द्वैत (प्रक्षेपी ज्यामिति)

ज्यामिति में, प्रक्षेपी विमानों की एक उल्लेखनीय विशेषता परिभाषाओं और प्रमेयों में बिंदु (ज्यामिति) और रेखा (ज्यामिति) द्वारा निभाई गई भूमिकाओं की समरूपता है, और (विमान (ज्यामिति)) द्वैत इस अवधारणा की औपचारिकता है। द्वैत के विषय में दो दृष्टिकोण हैं, एक भाषा के माध्यम से और दूसरा विशेष मानचित्र (गणित) के माध्यम से अधिक कार्यात्मक दृष्टिकोण। ये पूरी तरह से समतुल्य हैं और या तो उपचार के शुरुआती बिंदु के रूप में विचाराधीन ज्यामितीयों का स्वयंसिद्ध संस्करण है। कार्यात्मक दृष्टिकोण में संबंधित ज्यामिति के बीच एक नक्शा होता है जिसे 'द्वैत' कहा जाता है। ऐसा मानचित्र कई प्रकार से बनाया जा सकता है। विमान द्वैत की अवधारणा आसानी से अंतरिक्ष द्वैत तक फैली हुई है और इससे परे किसी भी परिमित-आयामी प्रक्षेपी ज्यामिति में द्वैत तक है।

द्वैत का सिद्धांत
एक प्रक्षेपी विमान $C$ को एक सेट के संदर्भ में स्वयंसिद्ध रूप से एक घटना संरचना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $P$ अंक, एक सेट $L$ लाइनों की, और एक घटना संबंध $I$ जो यह निर्धारित करता है कि कौन से बिंदु किस रेखा पर स्थित हैं। इन सेटों का उपयोग समतल दोहरी संरचना को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

में बिंदुओं और रेखाओं की भूमिका का आदान-प्रदान करें

दोहरी संरचना प्राप्त करने के लिए

कहाँ $C = (P, L, I)$ का विलोम संबंध है $C^{∗} = (L, P, I^{∗})$. $I^{∗}$ भी एक प्रोजेक्टिव प्लेन है, जिसे डुअल प्लेन कहा जाता है $I$.

अगर $C^{∗}$ और $C$ आइसोमॉर्फिक हैं, फिर $C$ को सेल्फ-डुअल कहा जाता है। प्रक्षेपी विमान $C^{∗}$ किसी भी क्षेत्र के लिए (या, अधिक सामान्यतः, प्रत्येक विभाजन की अंगूठी  (तिरछा क्षेत्र) आइसोमोर्फिक के लिए इसके दोहरे के लिए) $C$ आत्म-द्वैत हैं। विशेष रूप से, परिमित क्रम के Desarguesian विमान हमेशा स्व-द्वैत होते हैं। हालांकि, गैर-डेसार्गेसियन विमान हैं जो आत्म-दोहरी नहीं हैं, जैसे कि हॉल विमान और कुछ ऐसे हैं, जैसे ह्यूजेस विमान।

एक प्रक्षेपी तल में बिंदुओं, रेखाओं और उनके बीच आपतन को शामिल करने वाला एक कथन जो ऐसे अन्य कथन से प्राप्त होता है, जो शब्द बिंदु और रेखा को आपस में बदलकर और जो भी व्याकरणिक समायोजन आवश्यक होता है, को पहले का समतल द्वैत कथन कहा जाता है। दो बिंदुओं का समतल द्वैत कथन एक अद्वितीय रेखा पर है, दो रेखाएँ एक अद्वितीय बिंदु पर मिलती हैं। किसी कथन के तल को दोहरा बनाने को कथन का द्वैतकरण कहा जाता है।

यदि प्रक्षेपी तल में कोई कथन सत्य है $PG(2, K)$, तो उस कथन का समतल द्वैत द्वैत तल में सत्य होना चाहिए $K$. यह सबूत में प्रत्येक कथन को दोहरे करने के बाद से आता है $C$ में प्रमाण का संगत कथन देता है $C^{∗}$.

 समतल द्वैत का सिद्धांत  कहता है कि किसी भी प्रमेय को स्व-द्वैत प्रक्षेपी तल में द्वैत बनाना $C$ में मान्य एक अन्य प्रमेय उत्पन्न करता है $C^{∗}$. उपरोक्त अवधारणाओं को अंतरिक्ष द्वैत के बारे में बात करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जहां शब्द बिंदु और विमानों का आदान-प्रदान होता है (और रेखाएं रेखाएं रहती हैं)। यह अंतरिक्ष द्वैत के सिद्धांत की ओर जाता है।

ये सिद्धांत घटना संबंध के लिए एक सममित शब्द का उपयोग करने को प्राथमिकता देने का एक अच्छा कारण प्रदान करते हैं। इस प्रकार यह कहने के बजाय कि एक बिंदु एक रेखा पर स्थित है, यह कहना चाहिए कि एक बिंदु एक रेखा के साथ घटना है क्योंकि उत्तरार्द्ध में केवल इंटरचेंजिंग बिंदु और रेखा शामिल है (एक रेखा एक बिंदु के साथ घटना है)। समतल द्वैत के सिद्धांत की वैधता प्रक्षेपी तल की स्वयंसिद्ध परिभाषा से अनुसरण करती है। इस परिभाषा के तीन सिद्धांतों को लिखा जा सकता है ताकि वे स्व-द्वैत कथन हों, जिसका अर्थ है कि एक प्रोजेक्टिव प्लेन का डुअल भी एक प्रोजेक्टिव प्लेन है। एक प्रोजेक्टिव प्लेन में एक सच्चे स्टेटमेंट का डुअल इसलिए डुअल प्रोजेक्टिव प्लेन में एक सही स्टेटमेंट है और निहितार्थ यह है कि सेल्फ-डुअल प्लेन के लिए, उस प्लेन में एक सच्चे स्टेटमेंट का डुअल भी उस प्लेन में एक सही स्टेटमेंट है।

दोहरी प्रमेय
वास्तविक प्रक्षेपी विमान के रूप में, $C$, स्व-द्वैत है प्रसिद्ध परिणामों के कई जोड़े हैं जो एक-दूसरे के दोहरे हैं। इनमें से कुछ हैं:


 * Desargues प्रमेय ⇔ Desargues प्रमेय
 * पास्कल का प्रमेय ⇔ ब्रायनचोन का प्रमेय
 * मेनेलॉस प्रमेय ⇔ सेवा प्रमेय

दोहरी विन्यास
न केवल कथन, बल्कि बिंदुओं और रेखाओं की प्रणाली को भी द्वैत किया जा सकता है।

का एक सेट $C$ अंक और $PG(2, R)$ रेखाएँ कहलाती हैं $m$ कॉन्फ़िगरेशन (ज्यामिति) यदि $n$ की $(m_{c}, n_{d})$ रेखाएँ प्रत्येक बिंदु से होकर गुजरती हैं और $c$ की $n$ बिंदु प्रत्येक रेखा पर स्थित हैं। एक का दोहरा $d$ कॉन्फ़िगरेशन, एक है $m$ विन्यास। इस प्रकार, एक चतुर्भुज का द्वैत, a (43, 62) चार बिंदुओं और छह रेखाओं का विन्यास, एक चतुर्भुज है, a (62, 43) छह बिंदुओं और चार रेखाओं का विन्यास। एक रेखा पर सभी बिंदुओं का सेट, जिसे प्रक्षेप्य सीमा कहा जाता है, इसकी दोहरी पेंसिल (गणित) के रूप में होती है, एक बिंदु पर सभी रेखाओं का सेट।

समतल द्वैत
एक विमान द्वैत एक प्रक्षेपी विमान से एक नक्शा है $(m_{c}, n_{d})$ इसके दोहरे विमान के लिए $(n_{d}, m_{c})$ (देखना ऊपर) जो घटना संबंध को संरक्षित करता है। यानी समतल द्वैत $C = (P, L, I)$ बिंदुओं को रेखाओं से और रेखाओं को बिंदुओं से मैप करेगा ($C^{∗} = (L, P, I^{∗})$ और $σ$) इस तरह से कि अगर एक बिंदु $P^{σ} = L$ लाइन पर है $L^{σ} = P$ (द्वारा चिह्नित $Q$) तब $m$. एक समतल द्वैत जो एक तुल्याकारिता है, एक सहसंबंध (प्रक्षेपी ज्यामिति) कहलाता है। सहसंबंध के अस्तित्व का अर्थ है कि प्रक्षेपी तल $Q I m$ स्व-द्वैत है।

प्रक्षेपी विमान $Q I m ⇔ m^{σ} I^{∗}Q^{σ}$ इस परिभाषा में एक Desarguesian विमान होने की जरूरत नहीं है। हालांकि, अगर ऐसा है, यानी $C$ साथ $C$ एक विभाजन वलय (तिरछा क्षेत्र), फिर एक द्वैत, जैसा कि सामान्य प्रक्षेपी स्थानों के लिए नीचे परिभाषित किया गया है, पर एक समतल द्वैत देता है $C = PG(2, K)$ जो उपरोक्त परिभाषा को संतुष्ट करता है।

सामान्य प्रक्षेप्य स्थानों में
एक द्वैत δ}प्रक्षेपी स्थान का } उपस्थानों का क्रमचय है $K$ (द्वारा भी दर्शाया गया है $C$ साथ $PG(n, K)$ एक क्षेत्र (गणित) (या अधिक सामान्यतः एक तिरछा क्षेत्र (विभाजन वलय)) जो समावेशन को उलट देता है, वह है:
 * $KP^{n})$ तात्पर्य $K$ सभी उप-स्थानों के लिए $S ⊆ T$ का $S^{δ} ⊇ T^{δ}$.

नतीजतन, एक द्वैत आयाम की वस्तुओं का आदान-प्रदान करता है $S, T$ आयाम की वस्तुओं के साथ $PG(n, K)$ (= codimension  $r$). यानी आयाम के एक प्रक्षेपी स्थान में $n − 1 − r$, बिंदु (आयाम 0) hyperplane  (कोडिमेंशन 1) के अनुरूप हैं, दो बिंदुओं (आयाम 1) को जोड़ने वाली रेखाएं दो हाइपरप्लेन (कोडीमेंशन 2) के प्रतिच्छेदन के अनुरूप हैं, और इसी तरह।

द्वैत का वर्गीकरण
द्वैत $r + 1$ एक परिमित-आयामी (दाएं) सदिश स्थान का $n$ एक तिरछा क्षेत्र के ऊपर $V^{∗}$ को विपरीत रिंग के ऊपर समान आयाम के (दाएं) सदिश स्थान के रूप में माना जा सकता है $V$. इस प्रकार प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान के बीच एक समावेशन-उलटा आक्षेप है $K$ और $K^{o}$. अगर $PG(n, K)$ और $PG(n, K^{o})$ आइसोमोर्फिक हैं तो वहां एक द्वंद्व मौजूद है $K$. इसके विपरीत यदि $K^{o}$ के लिए द्वैत स्वीकार करता है $PG(n, K)$, तब $PG(n, K)$ और $n > 1$ आइसोमॉर्फिक हैं।

होने देना $\pi$ का द्वैत होना $K$ के लिए $K^{o}$. अगर π के बीच प्राकृतिक समरूपता से बना है $PG(n, K)$ और $n > 1$, रचना $PG(n, K)$ के बीच आपत्ति को संरक्षित करने वाली घटना है $PG(n, K^{o})$ और $θ$. प्रक्षेपी ज्यामिति के मौलिक प्रमेय द्वारा $PG(n, K)$ एक सेमीलाइनर नक्शा  से प्रेरित है $PG(n, K^{o})$ संबद्ध समरूपता के साथ $θ$, जिसे एक antiautomorphism के रूप में देखा जा सकता है $T: V → V^{∗}$. शास्त्रीय साहित्य में, π को सामान्य रूप से पारस्परिकता कहा जाएगा, और यदि $σ: K → K^{o}$ इसे सहसंबंध कहा जाएगा (और $K$ अनिवार्य रूप से एक क्षेत्र (गणित) होगा)। कुछ लेखक प्राकृतिक समरूपता की भूमिका को दबाते हैं और कॉल करते हैं $σ = id$ एक द्वैत। जब यह किया जाता है, तो एक द्वैत को विशेष रूप से संबंधित प्रोजेक्टिविटी रिक्त स्थान की एक जोड़ी के बीच एक संयोजन के रूप में माना जा सकता है और इसे पारस्परिकता कहा जाता है। यदि यह संरेखण एक प्रक्षेप्यता है तो इसे सहसंबंध कहा जाता है।

होने देना $K$ के रैखिक कार्यों को निरूपित करें $θ$ वेक्टर से जुड़ा हुआ है $T_{w} = T(w)$ में $V^{∗}$. रूप को परिभाषित कीजिए $w$ द्वारा:
 * $$\varphi (v,w) = T_w (v).$$

$V$ एक नॉनडिजेनरेट सेस्क्विलिनियर फॉर्म है#साथी एंटीऑटोमोर्फिज्म के साथ मनमाना रिंग $φ: V × V → K$.

का कोई द्वैत $φ$ के लिए $σ$ अंतर्निहित सदिश स्थान (एक साथी एंटीऑटोमॉर्फिज्म के साथ) और इसके विपरीत एक नॉनडिजेनरेट सेस्क्विलिनियर फॉर्म से प्रेरित है।

सजातीय समन्वय सूत्रीकरण
द्वैत का बीजगणितीय विवरण देने के लिए सजातीय निर्देशांक का उपयोग किया जा सकता है। इस चर्चा को सरल बनाने के लिए हम मान लेंगे $PG(n, K)$ एक फील्ड (गणित) है, लेकिन सब कुछ उसी तरह से किया जा सकता है जब $n > 1$ एक तिरछा क्षेत्र है जब तक इस तथ्य पर ध्यान दिया जाता है कि गुणन को क्रमचयी गुणधर्म  ऑपरेशन नहीं होना चाहिए।

के अंक $K$ को अशून्य वैक्टर के रूप में लिया जा सकता है ($K$)-विमीय सदिश स्थान समाप्त $PG(n, K)$, जहां हम दो सदिशों की पहचान करते हैं जो एक अदिश गुणक द्वारा भिन्न होते हैं। इसे लगाने का दूसरा तरीका यह है कि के अंक $n + 1$-आयामी प्रक्षेपी स्थान 1-आयामी वेक्टर रैखिक उप-स्थान हैं, जिन्हें मूल के माध्यम से रेखाओं के रूप में देखा जा सकता है $K$. यह भी $n$- (वेक्टर) की आयामी उपसमष्टि $K^{n+1}$ प्रतिनिधित्व करते हैं ($n$)- (ज्यामितीय) प्रक्षेपी के आयामी हाइपरप्लेन $K^{n+1}$-स्पेस ओवर $n − 1$, अर्थात।, $n$.

एक अशून्य वेक्टर $K$ में $PG(n, K)$ भी निर्धारित करता है $u = (u_{0}, u_{1}, ..., u_{n})$ - ज्यामितीय आयामी उप-स्थान (हाइपरप्लेन) $K^{n+1}$, द्वारा

जब एक वेक्टर $(n − 1)$ का उपयोग हाइपरप्लेन को इस तरह परिभाषित करने के लिए किया जाता है कि इसे इसके द्वारा दर्शाया जाएगा $H_{u}$, जबकि अगर यह एक बिंदु को निर्दिष्ट कर रहा है तो हम इसका उपयोग करेंगे $H_{u} = {(x_{0}, x_{1}, ..., x_{n}) : u_{0}x_{0} + ... + u_{n}x_{n} = 0}$. उन्हें क्रमशः बिंदु निर्देशांक या हाइपरप्लेन निर्देशांक कहा जाता है (महत्वपूर्ण द्वि-आयामी मामले में, हाइपरप्लेन निर्देशांक को रेखा निर्देशांक कहा जाता है)। कुछ लेखक हाइपरप्लेन निर्देशांक को क्षैतिज (पंक्ति) वैक्टर के रूप में लिखकर एक वेक्टर की व्याख्या कैसे करते हैं, जबकि बिंदु निर्देशांक को लंबवत (कॉलम) वैक्टर के रूप में लिखा जाता है। इस प्रकार, यदि $u$ एक कॉलम वेक्टर है जो हमारे पास होगा $u_{H}$ जबकि $u_{P}$. सामान्य डॉट उत्पाद के संदर्भ में, $u$. तब से $u_{P} = u$ एक क्षेत्र है, डॉट उत्पाद सममित है, जिसका अर्थ है $u_{H} = u^{T}$.

एक मौलिक उदाहरण
एक साधारण पारस्परिकता (वास्तव में एक सहसंबंध) द्वारा दिया जा सकता है $H_{u} = {x_{P} : u_{H} ⋅ x_{P} = 0}$ बिंदुओं और हाइपरप्लेन के बीच। यह दो बिंदुओं द्वारा उत्पन्न रेखा और ऐसे दो हाइपरप्लेन के प्रतिच्छेदन के बीच एक पारस्परिकता तक फैली हुई है, और आगे भी।

विशेष रूप से, प्रक्षेपी विमान में, $K$, साथ $u_{H} ⋅ x_{P} = u_{0}x_{0} + u_{1}x_{1} + ... + u_{n}x_{n} = x_{0}u_{0} + x_{1}u_{1} + ... + x_{n}u_{n} = x_{H} ⋅ u_{P}$ एक क्षेत्र, हमारे द्वारा दिया गया सहसंबंध है: सजातीय निर्देशांक में बिंदु $u_{P} ↔ u_{H}$ समीकरणों के साथ रेखाएँ $PG(2, K)$. एक प्रोजेक्टिव स्पेस में, $K$, एक सहसंबंध द्वारा दिया जाता है: सजातीय निर्देशांक में बिंदु $(a, b, c) ↔$ समीकरणों के साथ विमान $ax + by + cz = 0$. यह सहसंबंध दो बिंदुओं द्वारा निर्धारित रेखा को भी मैप करेगा $PG(3, K)$ और $(a, b, c, d) ↔$ उस रेखा तक जो समीकरणों वाले दो तलों का प्रतिच्छेदन है $ax + by + cz + dw = 0$ और $(a_{1}, b_{1}, c_{1}, d_{1})$.

इस सहसंबंध के लिए संबंधित sesquilinear रूप है:

जहां साथी एंटीऑटोमोर्फिज्म है $(a_{2}, b_{2}, c_{2}, d_{2})$. इसलिए यह एक द्विरेखीय रूप है (ध्यान दें कि $a_{1}x + b_{1}y + c_{1}z + d_{1}w = 0$ एक फ़ील्ड होना चाहिए)। इसे मैट्रिक्स रूप में (मानक आधार के संबंध में) इस प्रकार लिखा जा सकता है:

कहाँ $a_{2}x + b_{2}y + c_{2}z + d_{2}w = 0$ है $φ(u, x) = u_{H} ⋅ x_{P} = u_{0}x_{0} + u_{1}x_{1} + ... + u_{n}x_{n}$ पहचान मैट्रिक्स, कन्वेंशन का उपयोग करते हुए कि $σ = id$ एक पंक्ति वेक्टर है और $K$ एक कॉलम वेक्टर है।

सहसंबंध द्वारा दिया गया है:
 * $$ \pi ( \mathbf{x}_P) = (G \mathbf{x}_P)^{\mathsf{T}} = (\mathbf{x}_P)^{\mathsf{T}} = \mathbf{x}_H.$$

वास्तविक प्रक्षेपी तल में ज्यामितीय व्याख्या
के मामले में यह सहसंबंध $φ(u, x) = u_{H} G x_{P}$ को वास्तविक प्रोजेक्टिव प्लेन के गणितीय मॉडल का उपयोग करके ज्यामितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है जो एंटीपोड्स के साथ एक इकाई क्षेत्र है पहचान, या समकक्ष, वेक्टर अंतरिक्ष की उत्पत्ति के माध्यम से लाइनों और विमानों का मॉडल $G$. मूल के माध्यम से किसी भी रेखा से जुड़ें मूल के माध्यम से अद्वितीय विमान जो रेखा के लंबवत (ऑर्थोगोनल) है। जब, मॉडल में, इन रेखाओं को बिंदु माना जाता है और तलों को प्रक्षेपी तल की रेखाएँ माना जाता है $(n + 1) × (n + 1)$, यह जुड़ाव प्रोजेक्टिव प्लेन का एक सहसंबंध (वास्तव में एक ध्रुवीयता) बन जाता है। मूल पर केन्द्रित एक इकाई गोले के साथ उत्पत्ति के माध्यम से रेखाओं और विमानों को काटकर गोलाकार मॉडल प्राप्त किया जाता है। रेखाएँ एंटीपोडल बिंदुओं में गोले से मिलती हैं जिन्हें तब प्रक्षेपी तल का एक बिंदु प्राप्त करने के लिए पहचाना जाना चाहिए, और विमान बड़े घेरे में गोले से मिलते हैं जो इस प्रकार प्रक्षेपी तल की रेखाएँ हैं।

यह संघ घटनाओं को संरक्षित करता है यह लाइनों और विमानों के मॉडल से सबसे आसानी से देखा जाता है। प्रक्षेपी तल में एक रेखा के साथ एक बिंदु घटना मॉडल में मूल के माध्यम से एक विमान में स्थित उत्पत्ति के माध्यम से एक रेखा से मेल खाती है। साहचर्य को लागू करते हुए, तल उस तल के मूल लम्बवत् से होकर एक रेखा बन जाता है जिससे वह जुड़ा हुआ है। यह छवि रेखा विमान की प्रत्येक रेखा के लिए लंबवत है जो उत्पत्ति से होकर गुजरती है, विशेष रूप से मूल रेखा (प्रक्षेपी तल का बिंदु)। सभी रेखाएँ जो मूल रेखा के लंबवत होती हैं, अद्वितीय तल में होती हैं, जो मूल रेखा के लिए ऑर्थोगोनल होती है, अर्थात संघ के तहत छवि तल। इस प्रकार, छवि रेखा छवि तल में स्थित है और संघ घटना को संरक्षित करता है।

मैट्रिक्स फॉर्म
जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में, मैट्रिक्स (गणित) का उपयोग द्वैत का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। होने देना π का द्वैत होना $u_{H}$ के लिए $x_{P}$ और जाने $PG(2, R)$ संबंधित sesquilinear रूप हो (साथी एंटीऑटोमोर्फिज्म के साथ $R^{3}$) अंतर्निहित पर ($PG(2, R)$)-आयामी सदिश स्थान $PG(n, K)$. एक आधार दिया $n > 1$ का $φ$, हम इस फ़ॉर्म को निम्न द्वारा प्रदर्शित कर सकते हैं:
 * $$ \varphi(\mathbf{u}, \mathbf{x}) = \mathbf{u}^{\mathsf{T}} G (\mathbf{x}^{\sigma}),$$

कहाँ $σ$ एक विलक्षण है $n + 1$ मैट्रिक्स ओवर $V$ और वैक्टर को कॉलम वैक्टर के रूप में लिखा जाता है। अंकन ${ e_{i} }$ का मतलब है कि एंटीऑटोमोर्फिज्म $V$ सदिश के प्रत्येक निर्देशांक पर लागू होता है $G$.

अब बिंदु निर्देशांक के संदर्भ में द्वैत को परिभाषित करें:
 * $$ \pi ( \mathbf{x}) = (G (\mathbf{x}^{\sigma}))^{\mathsf{T}}.$$

ध्रुवीयता
एक द्वैत जो एक अंतर्वलन (गणित) है (क्रम दो है) को ध्रुवीयता कहा जाता है। सामान्य प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान की ध्रुवीयता और जो विमान द्वंद्व की थोड़ी अधिक सामान्य परिभाषा से उत्पन्न होती हैं, के बीच अंतर करना आवश्यक है। परिमित ज्यामिति के मामले में अधिक सटीक कथन देना भी संभव है, इसलिए हम परिमित प्रक्षेपी तलों में परिणामों पर जोर देंगे।

सामान्य प्रक्षेप्य रिक्त स्थान की ध्रुवीयता
अगर π का द्वैत है $(n + 1) × (n + 1)$, साथ $K$ एक तिरछा क्षेत्र, तो एक सामान्य संकेतन द्वारा परिभाषित किया गया है $x^{σ}$ एक उप-स्थान के लिए $σ$ का $x$. इसलिए, एक ध्रुवीयता एक द्वैत है जिसके लिए $PG(n, K)$ प्रत्येक उपस्थान के लिए $K$ का $\pi(S) = S^{⊥}$. यह भी सामान्य है कि दोहरे स्थान के उल्लेख को नज़रअंदाज़ कर दिया जाता है और संबंधित sesquilinear रूप के संदर्भ में लिखा जाता है:
 * $$S^{\bot} = \{\mathbf{u} \text{ in }V \colon \varphi (\mathbf{u},\mathbf{x}) =0 \text{ for all }\mathbf{x} \text{ in } S \}.$$

एक अनुक्रमिक रूप $S$ रिफ्लेक्सिव है अगर $PG(n, K)$ तात्पर्य $S^{⊥⊥} = S$.

एक द्वैत एक ध्रुवीयता है अगर और केवल अगर (नॉनडिजेनरेट) सेस्क्विलिनियर फॉर्म इसे परिभाषित करता है तो यह रिफ्लेक्सिव है। ध्रुवीयताओं को वर्गीकृत किया गया है, जिसके परिणामस्वरूप जिसे कई बार खण्डन किया गया है।  होने देना $S$ तिरछा क्षेत्र के ऊपर एक (बाएं) सदिश स्थान हो $PG(n, K)$ और $φ$ रिफ्लेक्सिव नॉनडिजेनरेट सेस्क्विलिनियर फॉर्म ऑन हो $φ(u, x) = 0$ सहयोगी विरोधी ऑटोमोर्फिज्म के साथ $φ(x, u) = 0$. अगर $V$ एक ध्रुवीयता से जुड़ा सेस्क्विलिनियर रूप है तो या तो:
 * 1) $K$ (इस तरह, $φ$ एक क्षेत्र है) और $V$ सभी के लिए $σ$ में $φ$, वह है, $σ = id$ द्विरेखीय रूप है। इस मामले में, ध्रुवीयता को ऑर्थोगोनल (या साधारण) कहा जाता है। यदि क्षेत्र की विशेषता $K$ दो है, तो इस मामले में होने के लिए एक सदिश मौजूद होना चाहिए $φ(u, x) = φ(x, u)$ साथ $u, x$, और ध्रुवीयता को छद्म ध्रुवीयता कहा जाता है।
 * 2) $V$ (इस तरह, $φ$ एक क्षेत्र है) और $K$ सभी के लिए $z$ में $φ(z, z) ≠ 0$. ध्रुवीयता को एक अशक्त ध्रुवीयता (या एक सहानुभूतिपूर्ण ध्रुवीयता) कहा जाता है और यह केवल तभी मौजूद हो सकता है जब प्रक्षेपी आयाम $σ = id$ अजीब है।
 * 3) $K$ (यहाँ $φ(u, u) = 0$ फ़ील्ड नहीं होना चाहिए) और $u$ सभी के लिए $V$ में $n$. ऐसी ध्रुवीयता को एकात्मक ध्रुवीयता (या हर्मिटियन ध्रुवीयता) कहा जाता है।

एक बिंदु $σ^{2} = id ≠ σ$ का $K$ ध्रुवीयता के संबंध में एक निरपेक्ष बिंदु (स्व-संयुग्म बिंदु) है $φ(u, x) = φ(x, u)^{σ}$ अगर $u, x$. इसी तरह, एक हाइपरप्लेन $V$ एक पूर्ण हाइपरप्लेन (स्व-संयुग्मित हाइपरप्लेन) है यदि $P$. दूसरे शब्दों में व्यक्त, एक बिंदु $PG(n, K)$ ध्रुवता का एक निरपेक्ष बिंदु है π संबद्ध sesquilinear रूप के साथ $⊥$ अगर $P I P^{⊥}$ और अगर $H$ मैट्रिक्स के संदर्भ में लिखा गया है $H^{⊥} I H$, $x$.

प्रत्येक प्रकार की ध्रुवीयता के निरपेक्ष बिंदुओं के समुच्चय का वर्णन किया जा सकता है। हम फिर से चर्चा को उस मामले तक ही सीमित रखते हैं $φ$ एक क्षेत्र है।
 * 1) अगर $φ(x, x) = 0$ एक ऐसा क्षेत्र है जिसकी विशेषता दो नहीं है, एक ऑर्थोगोनल ध्रुवीयता के पूर्ण बिंदुओं का सेट एक नॉनसिंगुलर क्वाड्रिक (प्रक्षेपी ज्यामिति) बनाता है (यदि $φ$ अनंत है, यह खाली हो सकता है)। यदि विशेषता दो है, तो छद्म ध्रुवता के निरपेक्ष बिंदु एक हाइपरप्लेन बनाते हैं।
 * 2) अंतरिक्ष के सभी बिंदु $G$ अशक्त ध्रुवता के निरपेक्ष बिंदु हैं।
 * 3) एक हर्मिटियन ध्रुवीयता के निरपेक्ष बिंदु एक हर्मिटियन किस्म का निर्माण करते हैं, जो खाली हो सकता है यदि $x^{T} G x^{σ} = 0$ अनंत है।

जब खुद से बना, सहसंबंध $K$ (किसी भी आयाम में) पहचान फलन पैदा करता है, इसलिए यह एक ध्रुवीयता है। इस ध्रुवीयता के निरपेक्ष बिंदुओं का समुच्चय वे बिंदु होंगे जिनके सजातीय निर्देशांक समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

इस बिंदु सेट में कौन से बिंदु हैं यह क्षेत्र पर निर्भर करता है $K$. अगर $K$ तो सेट खाली है, कोई पूर्ण बिंदु नहीं है (और कोई पूर्ण हाइपरप्लेन नहीं है)। वहीं दूसरी ओर अगर $PG(2s + 1, K)$ निरपेक्ष बिंदुओं का समूह एक गैर-डीजेनरेट द्विघात  (द्वि-आयामी स्थान में एक शंकु खंड) बनाता है। अगर $K$ विषम विशेषता (क्षेत्र) का एक परिमित क्षेत्र है, निरपेक्ष बिंदु भी एक चतुर्भुज बनाते हैं, लेकिन यदि विशेषता पूर्ण बिंदु भी है तो एक हाइपरप्लेन बनता है (यह छद्म ध्रुवीयता का एक उदाहरण है)।

किसी भी द्वंद्व के तहत, बिंदु $φ(x_{P}) = x_{H}$ को हाइपरप्लेन का पोल कहा जाता है $x_{H} ⋅ x_{P} = x_{0}x_{0} + x_{1}x_{1} + ... + x_{n}x_{n} = x_{0}^{2} + x_{1}^{2} + ... + x_{n}^{2} = 0$, और इस हाइपरप्लेन को बिंदु का ध्रुवीय कहा जाता है $K$. इस शब्दावली का उपयोग करते हुए, ध्रुवता के निरपेक्ष बिंदु वे बिंदु होते हैं जो उनके ध्रुवों के साथ आपतित होते हैं और निरपेक्ष हाइपरप्लेन वे हाइपरप्लेन होते हैं जो उनके ध्रुवों के साथ आपतित होते हैं।

परिमित प्रोजेक्टिव विमानों में ध्रुवीयता
वेडरबर्न की छोटी प्रमेय द्वारा | वेडरबर्न की प्रमेय प्रत्येक परिमित तिरछा क्षेत्र एक क्षेत्र है और क्रम दो (पहचान के अलावा) का एक ऑटोमोर्फिज्म केवल एक परिमित क्षेत्र में मौजूद हो सकता है जिसका क्रम एक वर्ग है। ये तथ्य परिमित Desarguesian विमानों के लिए सामान्य स्थिति को सरल बनाने में मदद करते हैं। अपने पास: अगर π परिमित Desarguesian प्रोजेक्टिव प्लेन की एक ध्रुवीयता है $K = R$ कहाँ $K = C$ कुछ प्राइम के लिए $K$, फिर के निरपेक्ष बिंदुओं की संख्या π है $P$ अगर π ओर्थोगोनल है या $P^{⊥}$ अगर π एकात्मक है। ऑर्थोगोनल मामले में, निरपेक्ष बिंदु एक शांकव खंड पर स्थित होते हैं यदि $P$ विषम है या यदि एक रेखा बनाता है $PG(2, q)$. एकात्मक मामला तभी हो सकता है जब $q = p^{e}$ एक वर्ग है; निरपेक्ष बिंदु और निरपेक्ष रेखाएँ एक इकाई (ज्यामिति) बनाती हैं।

सामान्य प्रक्षेपी समतल मामले में जहाँ द्वैत का अर्थ समतल द्वैत है, ध्रुवता, निरपेक्ष तत्व, ध्रुव और ध्रुवीय की परिभाषाएँ समान रहती हैं।

होने देना $p$ क्रम के प्रक्षेपी तल को निरूपित करता है $q + 1$. गिनती के तर्क एक ध्रुवीयता के लिए स्थापित कर सकते हैं π का $q^{3/2} + 1$:

गैर-निरपेक्ष रेखा (बिंदु) के साथ गैर-पूर्ण बिंदुओं (रेखाओं) की घटना की संख्या सम है।

आगे, ध्रुवीयता π कम से कम है $p$ पूर्ण बिंदु और यदि $p = 2$ बिल्कुल वर्ग नहीं है $q$ निरपेक्ष अंक। अगर π ठीक है $P$ पूर्ण अंक तो;
 * 1) अगर $n$ विषम है, निरपेक्ष बिंदु एक  ओवल (प्रक्षेपी विमान)  बनाते हैं जिसकी स्पर्शरेखाएँ निरपेक्ष रेखाएँ हैं; या
 * 2) अगर $P$ सम है, निरपेक्ष बिंदु एक गैर-निरपेक्ष रेखा पर संरेख हैं।

मामले में निरपेक्ष बिंदुओं की संख्या पर एक ऊपरी सीमा $n + 1$ सीब द्वारा दिया गया एक वर्ग है और विशुद्ध रूप से मिश्रित तर्क स्थापित कर सकते हैं: एक ध्रुवीयता π वर्ग क्रम के प्रक्षेपी तल में $n$ अधिक से अधिक है $n + 1$ निरपेक्ष अंक। इसके अलावा, यदि पूर्ण बिंदुओं की संख्या है $n + 1$, तब निरपेक्ष बिंदु और निरपेक्ष रेखाएँ एक इकाई (ज्यामिति) बनाती हैं (अर्थात, समतल की प्रत्येक रेखा निरपेक्ष बिंदुओं के इस सेट को या तो पूरा करती है $n$ या $n$ अंक)।

यूक्लिडियन विमान में पारस्परिकता
एक विधि जिसका उपयोग वास्तविक प्रोजेक्टिव विमान की ध्रुवीयता के निर्माण के लिए किया जा सकता है, इसके शुरुआती बिंदु के रूप में, यूक्लिडियन विमान में आंशिक द्वंद्व का निर्माण होता है।

यूक्लिडियन विमान में, एक वृत्त को ठीक करें $n$ केंद्र के साथ $n = s^{2}$ और त्रिज्या $s^{3} + 1$. प्रत्येक बिंदु के लिए $s^{3} + 1$ के अलावा अन्य $1$ एक छवि बिंदु परिभाषित करें $s + 1$ ताकि $C$. द्वारा परिभाषित मानचित्रण $O$ वृत्त के संबंध में व्युत्क्रम ज्यामिति कहलाती है $r$. रेखा $P$ द्वारा $O$ जो रेखा के लंबवत है $Q$ को ध्रुवीय कहा जाता है बिंदु का $OP ⋅ OQ = r^{2}$ वृत्त के संबंध में $P → Q$.

होने देना $C$ से होकर न गुजरने वाली रेखा हो $p$. से लंब गिराएँ $Q$ को $OP$, बैठक $P$ बिंदु पर $C$ (यह बिंदु है $q$ जो सबसे करीब है $O$). छवि $O$ का $q$ उलटा के संबंध में $q$ ध्रुव कहलाता है का $P$. अगर एक बिंदु $q$ लाइन पर है $O$ (से नहीं गुजर रहा है $Q$) तो की पोल $P$ के ध्रुवीय पर स्थित है $C$ और इसके विपरीत। आपतन संरक्षण प्रक्रिया, जिसमें बिंदुओं और रेखाओं को उनके ध्रुवों और ध्रुवों के संबंध में रूपांतरित किया जाता है $q$ को पारस्परिक कहा जाता है। इस प्रक्रिया को एक सहसंबंध में बदलने के लिए, यूक्लिडियन विमान (जो एक प्रक्षेपी विमान नहीं है) को अनंत पर एक रेखा जोड़कर प्रक्षेपी विमान तक विस्तारित करने की आवश्यकता है और इस रेखा पर स्थित अनंत पर अंक। इस विस्तारित तल में, हम बिंदु के ध्रुवीय को परिभाषित करते हैं $M$ अनंत पर रेखा होना (और $q$ अनंत पर रेखा का ध्रुव है), और रेखाओं का ध्रुव है $O$ अनंत के बिंदु हैं जहां, यदि रेखा में ढलान है $q$ इसका ध्रुव ढलान वाली रेखाओं के समांतर वर्ग से जुड़ा अनंत बिंदु है $M$. का ध्रुव $C$-अक्ष ऊर्ध्वाधर रेखाओं का अनंत बिंदु और ध्रुव का ध्रुव है $O$-अक्ष क्षैतिज रेखाओं का अनंत बिंदु है।

ऊपर दिए गए सर्कल में व्युत्क्रम के आधार पर एक सहसंबंध का निर्माण एक शांकव खंड (विस्तारित वास्तविक विमान में) में व्युत्क्रम का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जा सकता है। इस तरह से निर्मित सहसंबंध दो क्रम के होते हैं, अर्थात् ध्रुवीकरण।

बीजगणितीय सूत्रीकरण
उपरोक्त निर्माण का अनुसरण करके हम इस ध्रुवीयता का बीजगणितीय रूप से वर्णन करेंगे $O$ इकाई वृत्त है (अर्थात, $O$) मूल पर केंद्रित है।

एक संबंध बिंदु $s (≠ 0)$, मूल के अलावा, कार्टेशियन निर्देशांक के साथ $−1/s$ इकाई वृत्त में इसके व्युत्क्रम के रूप में बिंदु है $x$ निर्देशांक के साथ,
 * $$\left ( \frac{a}{a^2 + b^2}, \frac{b}{a^2 + b^2} \right).$$

से गुजरने वाली लाइन $y$ जो रेखा के लंबवत है का समीकरण है $C$.

एम्बेडिंग का उपयोग करके सजातीय निर्देशांक पर स्विच करना $r = 1$, वास्तविक प्रक्षेपी तल का विस्तार अंतिम निर्देशांक को 0 होने की अनुमति देकर प्राप्त किया जाता है। यह याद करते हुए कि बिंदु निर्देशांक स्तंभ वैक्टर के रूप में लिखे गए हैं और पंक्ति वैक्टर के रूप में रेखा निर्देशांक हैं, हम इस ध्रुवीयता को निम्न द्वारा व्यक्त कर सकते हैं:


 * $$ \pi : \mathbb{R}P^2 \rightarrow \mathbb{R}P^2 $$

ऐसा है कि
 * $$ \pi \left ( (x,y,z)^{\mathsf{T}} \right ) = (x, y, -z).$$

या, वैकल्पिक संकेतन का उपयोग करते हुए, $P$. संबंधित sesquilinear फॉर्म का मैट्रिक्स (मानक आधार के संबंध में) है:


 * $$ G = \left (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{matrix} \right ). $$

इस ध्रुवीयता के पूर्ण बिंदुओं के समाधान द्वारा दिए गए हैं:


 * $$ 0 = P^{\mathsf{T}} G P = x^2 + y^2 - z^2, $$

कहाँ $(a, b)$ टी$Q$. ध्यान दें कि यूक्लिडियन विमान तक ही सीमित है (अर्थात, सेट $Q$) यह केवल इकाई वृत्त है, उलटा वृत्त।

सिंथेटिक दृष्टिकोण
प्रक्षेपी तल में एक शंकु के ध्रुवों और ध्रुवों के सिद्धांत को निर्देशांक और अन्य मीट्रिक अवधारणाओं के उपयोग के बिना विकसित किया जा सकता है।

होने देना $OP$ में एक शंकु हो $ax + by = 1$ कहाँ $(a, b) ↦ (a, b, 1)$ विशेषता दो का क्षेत्र नहीं है, और चलो $\pi((x, y, z)_{P}) = (x, y, −z)_{L}$ इस तल का एक बिंदु हो पर नहीं $P$. शांकव के लिए दो अलग छेदक रेखाएँ, कहते हैं $\overline{$= (x, y, z)$}$ और $\overline{$z = 1$}$ शांकव पर चार बिंदु निर्धारित करें ($P, Q, R$) जो एक पूर्ण चतुर्भुज बनाता है। बिंदु $A, B, J, K$ इस चतुर्भुज के विकर्ण त्रिभुज का एक शीर्ष है। का ध्रुवीय $C$ इसके संबंध में $PG(2, F)$ विकर्ण त्रिभुज के विपरीत भुजा है $F$. इस संबंध को परिभाषित करने के लिए एक रेखा पर बिंदुओं के प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्मन के सिद्धांत का भी उपयोग किया जा सकता है। उपरोक्त के समान अंकन का उपयोग करना;

यदि बिंदु के माध्यम से एक चर रेखा $P$ शंकु की छेदक रेखा है $C$, के हार्मोनिक संयुग्म $AB$ के दो बिंदुओं के संबंध में $JK$ सेकेंट पर सभी के ध्रुवीय पर स्थित हैं $A, B, J, K$.

गुण
ऐसे कई गुण हैं जो प्रक्षेपी तल में ध्रुवीयता के होते हैं। एक ध्रुवीयता दी π, एक बिंदु $P$ लाइन पर है $P$, बिंदु का ध्रुवीय $C$ अगर और केवल अगर $P$ पर स्थित है $P$, का ध्रुवीय $C$.

अंक $P$ और $C$ जो इस संबंध में होते हैं, के संबंध में संयुग्मी बिंदु कहलाते हैं π. निरपेक्ष बिंदुओं को इस परिभाषा को ध्यान में रखते हुए स्व-संयुग्मी कहा जाता है क्योंकि वे अपने स्वयं के ध्रुवों के साथ घटित होते हैं। संयुग्मी रेखाओं को दोहरे रूप से परिभाषित किया गया है।

दो स्व-संयुग्मी बिन्दुओं को मिलाने वाली रेखा स्व-संयुग्मी रेखा नहीं हो सकती।

एक रेखा में दो से अधिक स्व-संयुग्मी बिंदु नहीं हो सकते।

एक ध्रुवीयता किसी भी रेखा पर संयुग्मी बिंदुओं के अंतर्वलन को प्रेरित करती है जो स्व-संयुग्मी नहीं है।

एक त्रिभुज जिसमें प्रत्येक शीर्ष विपरीत भुजा का ध्रुव होता है, स्वध्रुवीय त्रिभुज कहलाता है।

एक सहसंबंध जो एक त्रिभुज के तीन शीर्षों को क्रमशः उनके विपरीत पक्षों में मैप करता है, एक ध्रुवीयता है और यह त्रिकोण इस ध्रुवीयता के संबंध में स्व-ध्रुवीय है।

इतिहास
द्वैत का सिद्धांत जोसेफ डियाज गेरगोन (1771−1859) के कारण है जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति के तत्कालीन उभरते हुए क्षेत्र के चैंपियन थे और पूरी तरह से गणित के लिए समर्पित पहली पत्रिका के संस्थापक और संपादक थे, एनालेस डी मैथमैटिक्स प्योर्स एट एप्लिकेस। गर्गोन और चार्ल्स जूलियन ब्रायनचोन (1785−1864) ने समतल द्वैत की अवधारणा विकसित की। Gergonne ने द्वैत और ध्रुवीय (लेकिन पोल फ्रांकोइस-जोसेफ सर्वोइस|एफ.-जे. सर्वोइस के कारण है) शब्दों को गढ़ा और अपनी पत्रिका में साथ-साथ दोहरे बयान लिखने की शैली को अपनाया।

जीन-विक्टर पोंसेलेट (1788-1867) प्रक्षेपी ज्यामिति पर पहले पाठ के लेखक, ट्रेटे डेस प्रोप्राइट्स प्रोजेक्टिव्स डेस फिगर्स, एक सिंथेटिक ज्यामिति थे जिन्होंने शंकु के संबंध में ध्रुवों और ध्रुवों के सिद्धांत को व्यवस्थित रूप से विकसित किया था। पोंसेलेट ने कहा कि द्वैत का सिद्धांत ध्रुवों और ध्रुवों के सिद्धांत का परिणाम था।

जूलियस प्लकर (1801-1868) को द्वैत की अवधारणा को तीन और उच्च आयामी प्रोजेक्टिव स्पेस तक विस्तारित करने का श्रेय दिया जाता है।

पोंसेलेट और गेरगोन ने एनाल्स डी गेर्गोन में प्रदर्शित होने वाले पत्रों में अपने अलग-अलग दृष्टिकोण और तकनीकों को पेश करते हुए बयाना लेकिन मैत्रीपूर्ण प्रतिद्वंद्वियों के रूप में शुरुआत की। द्वैत के सिद्धांत को अपना मानने में प्राथमिकता के मुद्दे पर विरोध बढ़ गया। एक युवा प्लकर इस झगड़े में फंस गया था, जब एक पेपर जो उसने गेर्गोन को जमा किया था, प्रकाशित होने तक इतना भारी संपादित किया गया था कि पोंसेलेट को यह विश्वास करने में गुमराह किया गया था कि प्लकर ने उसे चोरी कर लिया था। पोंसेलेट द्वारा किए गए विट्रियोलिक हमले को प्लकर द्वारा गेरगोन के समर्थन से मुकाबला किया गया था और अंततः गेर्गोन पर आरोप लगाया गया था। इस झगड़े में, पियरे सैमुअल ने चुटकी ली है कि चूंकि दोनों पुरुष फ्रांसीसी सेना में थे और पोंसलेट एक जनरल थे, जबकि गेर्गोन एक मात्र कप्तान थे, पोंसलेट का विचार कम से कम उनके फ्रांसीसी समकालीनों के बीच था।

यह भी देखें

 * दोहरी वक्र

अग्रिम पठन

 * F. Bachmann, 1959. Aufbau der Geometrie aus dem Spiegelungsbegriff, Springer, Berlin.
 * Coxeter, H. S. M., 1995. The Real Projective Plane, 3rd ed. Springer Verlag.
 * Coxeter, H. S. M., 2003. Projective Geometry, 2nd ed. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-40623-7.
 * Greenberg, M. J., 2007. Euclidean and non-Euclidean geometries, 4th ed. Freeman.
 * Hartshorne, Robin, 2000. Geometry: Euclid and Beyond. Springer.
 * Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S., 1999. Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea.
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 * Coxeter, H. S. M., 2003. Projective Geometry, 2nd ed. Springer Verlag. ISBN 978-0-387-40623-7.
 * Greenberg, M. J., 2007. Euclidean and non-Euclidean geometries, 4th ed. Freeman.
 * Hartshorne, Robin, 2000. Geometry: Euclid and Beyond. Springer.
 * Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S., 1999. Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea.
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 * Hartshorne, Robin, 2000. Geometry: Euclid and Beyond. Springer.
 * Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S., 1999. Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea.
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