स्थिर-माध्य-वक्रता

विभेदक ज्यामिति में, स्थिर-माध्य-वक्रता (सीएमसी) सतहें निरंतर माध्य वक्रता वाली सतहें होती हैं। इसमें सबसेट के रूप में न्यूनतम सतहें सम्मलित हैं, किन्तु सामान्यतः उन्हें विशेष स्थिति के रूप में माना जाता है।

ध्यान दें कि गोलाकार के महत्वपूर्ण अपवाद के साथ, ये सतहें सामान्यतः निरंतर गॉसियन वक्रता सतहों से भिन्न होती हैं।

इतिहास
1841 में चार्ल्स-यूजेन डेलाउने ने सिद्ध किया कि स्थिर माध्य वक्रता वाली क्रांति की एकमात्र सतहें शांकवों के रूले (वक्र) को घुमाकर प्राप्त की गई सतहें थीं। ये हैं समतल, बेलन, गोला, कैटेनॉइड, अनड्यूलाइड और नोडोइड

1853 में जेएच जेललेट ने दिखाया कि अगर $$S$$ में एक सघन तारे के आकार की सतह है $$\R^3$$ निरंतर माध्य वक्रता के साथ, तो यह मानक गोला है। इसके बाद, अलेक्सांद्र डेनिलोविच अलेक्सांद्रोव|ए. डी। अलेक्जेंड्रोव ने सिद्ध किया कि एक कॉम्पैक्ट एम्बेडेड सतह $$\R^3$$ निरंतर औसत वक्रता के साथ $$H \neq 0$$ एक गोला होना चाहिए। इस पर आधारित हेंज हॉफ|एच. हॉफ ने 1956 में अनुमान लगाया था कि किसी भी डूबे हुए कॉम्पैक्ट ओरिएंटेबल कॉन्सटेंट मीन वक्रता हाइपरसफेस में $$\R^n$$एक मानक एम्बेडेड होना चाहिए $$n-1$$ वृत्त। इस अनुमान को 1982 में वू-यी ह्सियांग के माध्यम से  एक प्रति उदाहरण का उपयोग करके अप्रमाणित किया गया था $$\R^4$$. 1984 में हेनरी सी. वेंट ने वेंट टोरस का निर्माण किया, जिसमें एक विसर्जन था $$\R^3$$ निरंतर औसत वक्रता के साथ एक टोरस्र्स का।

इस बिंदु तक ऐसा लग रहा था कि सीएमसी सतहें दुर्लभ थीं; नई तकनीकों ने उदाहरणों की अधिकता उत्पन्न की। विशेष रूप से ग्लूइंग विधियां सीएमसी सतहों को काफी इच्छानुसार से संयोजित करने की अनुमति देती हैं। डेलॉनाय सतहों को डूबे हुए बुलबुले के साथ भी जोड़ा जा सकता है, उनके सीएमसी गुणों को बनाए रखा जा सकता है।

मीक्स ने दिखाया कि एकमात्र एक अंत के साथ कोई एम्बेडेड सीएमसी सतह नहीं है $$\R^3$$. कोरेवार, कुस्नर और सोलोमन ने सिद्ध किया कि एक पूरी तरह से एम्बेडेड सीएमसी सतह के सिरों पर अनडुलॉइड्स के लिए स्पर्शोन्मुख होगा। प्रत्येक अंत में एक होता है $$n(2\pi-n)$$ अनड्यूलॉइड के स्पर्शोन्मुख अक्ष के साथ बल (जहाँ n गर्दन की परिधि है), जिसका योग सतह के अस्तित्व के लिए संतुलित होना चाहिए। वर्तमान कार्य में एम्बेडेड सीएमसी सतहों के परिवारों का उनके मॉडुलि रिक्त स्थान के संदर्भ में वर्गीकरण सम्मलित है। विशेष रूप से, के लिए $$k \geq 3$$ जीनस 0 के समतलीय के-उन्ड्युलॉइड्स

संतुष्ट करते हैं $$\sum_{i=1}^k n_i \leq (k-1)\pi$$ विषम कश्मीर के लिए, और $$\sum_{i=1}^k n_i \leq k\pi$$ k के लिए भी। अधिक से अधिक k − 2 सिरे बेलनाकार हो सकते हैं।

प्रतिनिधित्व सूत्र
न्यूनतम सतहों की प्रकार, हार्मोनिक कार्यों के लिए एक करीबी लिंक उपस्थित है। एक उन्मुख सतह $$S$$ में $$\R^3$$ निरंतर माध्य वक्रता है यदि और एकमात्र यदि इसका गॉस मानचित्र एक हार्मोनिक मानचित्र है। केनमोत्सू का प्रतिनिधित्व सूत्र न्यूनतम सतहों के वीयरस्ट्रैस-एनीपर पैरामीटराइजेशन का समकक्ष है:

होने देना $$V$$ का एक खुला सरलता से जुड़ा उपसमुच्चय हो $$\C$$ और $$H$$ एक इच्छानुसार गैर-शून्य वास्तविक स्थिरांक हो। कल्पना करना $$\phi: V \rightarrow \C$$ रीमैन क्षेत्र में एक हार्मोनिक कार्य है। अगर $$\phi_{\bar z} \neq 0$$ तब $$X : V \rightarrow R$$ के माध्यम से  परिभाषित
 * $$X(z) = \Re \int_{z_0}^z X_z(z')\,dz'$$

साथ
 * $$X_z(z)=\frac{-1}{H(1+\phi(z)\bar\phi(z))^2} \left \{(1-\phi(z)^2, i(1+\phi(z)^2), 2\phi(z)) \frac{\bar{\partial\phi}}{\partial \bar z}(z) \right \}$$

के लिए $$z \in V$$ एक नियमित सतह है $$\phi$$ गॉस मानचित्र और माध्य वक्रता के रूप में $$H$$.

के लिए $$\phi(z)=-1/\bar z$$ और $$H=1$$ यह गोले का निर्माण करता है। $$\phi(z)=-e^{ix}$$ और $$H=1/2$$ जहां सिलेंडर देता है $$z=x+iv$$.

संयुग्मी चचेरी बहन विधि
लॉसन ने 1970 में दिखाया कि प्रत्येक सीएमसी सतह में $$\R^3$$में एक आइसोमेट्रिक चचेरा भाई न्यूनतम सतह है $$\mathbb{S}^3$$. यह जियोडेसिक पॉलीगोन से निर्माण शुरू करने की अनुमति देता है $$\mathbb{S}^3$$, जिन्हें एक न्यूनतम पैच के माध्यम से  फैलाया जाता है जिसे परावर्तन  के माध्यम से  पूरी सतह में बढ़ाया जा सकता है, और फिर सीएमसी सतह में बदल दिया जाता है।

सीएमसी तोरी
हिचिन, उलरिच पिंकॉल, स्टर्लिंग और बोबेंको ने दिखाया कि अंतरिक्ष रूपों में 2-टोरस के सभी निरंतर माध्य वक्रता विसर्जन $$\mathbb{R}^3, \mathbb{S}^3$$ और $$\mathbb{H}^3$$ विशुद्ध रूप से बीजगणितीय-ज्यामितीय डेटा में वर्णित किया जा सकता है। इसे विमान के सीएमसी निमज्जन के एक सबसेट तक बढ़ाया जा सकता है जो परिमित प्रकार के होते हैं। अधिक सटीक रूप से सीएमसी के विसर्जन के बीच एक स्पष्ट आक्षेप है $$\mathbb{R}^2$$ में $$\mathbb{R}^3, \mathbb{S}^3$$ और $$\mathbb{H}^3$$, और फार्म का वर्णक्रमीय डेटा $$(\Sigma, \lambda, \rho, \lambda_1, \lambda_2, L)$$ कहाँ $$\Sigma$$ एक हाइपरेलिप्टिक वक्र है जिसे वर्णक्रमीय वक्र कहा जाता है, $$\lambda$$ पर एक मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन है $$\Sigma$$, $$\lambda_1$$ और $$\lambda_2$$ पर बिंदु हैं $$\mathbb{C}\setminus\{0\}$$, $$\rho$$ एक एंटीहोलोमॉर्फिक इनवोल्यूशन है और $$L$$ एक लाइन बंडल चालू है $$\Sigma$$ कुछ शर्तों का पालन करना।

असतत संख्यात्मक विधियां
असतत अंतर ज्यामिति का उपयोग सीएमसी सतहों (या असतत समकक्षों) के प्राकृतिक विकल्प उत्पन्न करने के लिए डिस्क्रीट प्रामाणिक ज्यामिति का उपयोग किया जा सकता है, सामान्यतः एक उपयुक्त ऊर्जा कार्यात्मक को कम करके।

अनुप्रयोग
सीएमसी सतहें साबुन के बुलबुले के प्रतिनिधित्व के लिए प्राकृतिक रूप से हैं, क्योंकि उनके घुमाव कुछ गैस और तरल पदार्थ की सतह के बीच दबाव के अनुपात को प्रदर्शित करता है।

मैक्रोस्कोपिक बुलबुला सतहों के अतिरिक्त सीएमसी सतहें सुपरहाइड्रोफोबिकसतह पर गैस-तरल सतह के आकार के लिए भी प्रासंगिक हैं।

त्रिगुणात्मक आवधिक न्यूनतम सतहों की तरह आवधिक सीएमसी सतहों में ब्लॉक कॉपोलिमर के लिए मॉडल के रूप में रुचि रही है जहां विभिन्न घटकों में गैर-शून्य इंटरफेसियल ऊर्जा या तनाव होता है। समय-समय पर न्यूनतम सतहों के सीएमसी एनालॉग्स का निर्माण किया गया है, जो अंतरिक्ष के असमान विभाजन का निर्माण करता है। एबीसी ट्राइब्लॉक कॉपोलिमर में सीएमसी संरचनाएं देखी गई हैं।

वास्तुकला में, सीएमसी सतहें हवा से समर्थित संरचनाओं के लिए प्रासंगिक हैं, जैसे कि हवा से समर्थित गुमटियों और आवरणों की तरह, साथ ही वे एक विसर्जन विचलित आर्गेनिक आकारों का स्रोत भी हैं।

यह भी देखें

 * डबल बुलबुला अनुमान
 * मुक्त सतह
 * न्यूनतम सतह

बाहरी संबंध

 * CMC surfaces at the Scientific Graphics Project
 * GeometrieWerkstatt surface gallery
 * GANG gallery of CMC surfaces
 * Noid, software for computing n-noid CMC surfaces