प्रारंभिक और टर्मिनल ऑब्जेक्ट

श्रेणी सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक श्रेणी की प्रारंभिक वस्तु (गणित) $C$ एक वस्तु है $I$ में $C$ ऐसा है कि हर वस्तु के लिए $X$ में $C$, ठीक एक आकारिकी मौजूद है $I → X$.

दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) धारणा एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट (जिसे टर्मिनल तत्व भी कहा जाता है) की है: $T$ हर वस्तु के लिए टर्मिनल है $X$ में $C$ बिल्कुल एक आकारिकी मौजूद है $X → T$. आरंभिक वस्तुओं को कोटर्मिनल या सार्वभौमिक भी कहा जाता है, और टर्मिनल वस्तुओं को अंतिम भी कहा जाता है।

यदि कोई वस्तु प्रारंभिक और अंतिम दोनों है, तो इसे शून्य वस्तु या अशक्त वस्तु कहा जाता है। एक नुकीली श्रेणी वह है जिसमें शून्य वस्तु होती है।

एक सख्त प्रारंभिक वस्तु $I$ वह है जिसके लिए प्रत्येक आकारिकी में $I$ एक समरूपता है।

उदाहरण
* नुकीले सेटों की श्रेणी में (जिनकी वस्तुएं एक विशिष्ट तत्व के साथ गैर-खाली सेट हैं; से एक आकारिकी $(A, a)$ को $(B, b)$ एक समारोह होने के नाते $f : A → B$ साथ $f(a) = b$), प्रत्येक सिंगलटन शून्य वस्तु है। इसी प्रकार, नुकीला स्थान  की श्रेणी में, प्रत्येक सिंगलटन एक शून्य वस्तु है।
 * खाली सेट, सेट की श्रेणी में अद्वितीय प्रारंभिक वस्तु है। प्रत्येक एक-तत्व सेट (सिंगलटन (गणित)) इस श्रेणी में एक अंतिम वस्तु है; कोई शून्य वस्तु नहीं है। इसी तरह, खाली स्थान शीर्ष में अद्वितीय प्रारंभिक वस्तु है, टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी और प्रत्येक एक-बिंदु स्थान इस श्रेणी में एक टर्मिनल वस्तु है।
 * सेट और संबंधों के संबंधों की श्रेणी में, खाली सेट अद्वितीय प्रारंभिक वस्तु है, अद्वितीय टर्मिनल वस्तु है, और इसलिए अद्वितीय शून्य वस्तु है।
 * जीआरपी में, समूहों की श्रेणी, कोई भी तुच्छ समूह एक शून्य वस्तु है। तुच्छ वस्तु भी एब में एक शून्य वस्तु है, एबेलियन समूहों की श्रेणी, आरएनजी छद्म-वलयों की श्रेणी, आर-मॉड, एक रिंग के ऊपर मॉड्यूल की श्रेणी, और के-वेक्ट, एक क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी। विवरण के लिए शून्य वस्तु (बीजगणित) देखें। यह शून्य वस्तु शब्द की उत्पत्ति है।
 * रिंग में, एकता और एकता-संरक्षण आकारिकी वाले छल्ले की श्रेणी, पूर्णांक Z की अंगूठी एक प्रारंभिक वस्तु है। केवल एक तत्व 0 = 1 से युक्त शून्य वलय एक टर्मिनल वस्तु है।
 * रिग में, रिग की श्रेणी (गणित) एकता और एकता-संरक्षण आकारिकी के साथ, प्राकृतिक संख्या एन की रिग एक प्रारंभिक वस्तु है। शून्य रिग, जो कि शून्य रिंग है, जिसमें केवल एक तत्व 0 = 1 होता है, एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट है।
 * फ़ील्ड में, फ़ील्ड की श्रेणी में, कोई आरंभिक या अंतिम वस्तु नहीं होती है। हालांकि, निश्चित विशेषता वाले क्षेत्रों की उपश्रेणी में, प्रमुख क्षेत्र एक प्रारंभिक वस्तु है।
 * कोई भी आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट $(P, ≤)$ को एक श्रेणी के रूप में व्याख्या किया जा सकता है: वस्तुएं इसके तत्व हैं $P$, और वहाँ से एक एकल morphism है $x$ को $y$ अगर और केवल अगर $x ≤ y$. इस श्रेणी में प्रारंभिक वस्तु है अगर और केवल अगर $P$ में सबसे कम अवयव है; इसका एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट है अगर और केवल अगर $P$ का सबसे बड़ा तत्व है।
 * बिल्ली, आकारिकी के रूप में कार्य करने वालों के साथ छोटी श्रेणियों की श्रेणी में खाली श्रेणी है, 0 (बिना किसी वस्तु और कोई आकारिकी के), प्रारंभिक वस्तु और टर्मिनल श्रेणी के रूप में, 1 (एकल पहचान आकृतिवाद के साथ एक वस्तु के साथ), टर्मिनल के रूप में वस्तु।
 * योजना (गणित) की श्रेणी में, युक्ति (Z), पूर्णांकों के वलय के एक वलय का वर्णक्रम, एक अंतिम वस्तु है। खाली योजना (शून्य वलय के प्रमुख स्पेक्ट्रम के बराबर) एक प्रारंभिक वस्तु है।
 * आरेख (श्रेणी सिद्धांत) एफ की एक सीमा (श्रेणी सिद्धांत) एफ को शंकु की श्रेणी में एक टर्मिनल वस्तु के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इसी तरह, एफ की कोलिमिट को एफ से सह-शंकु की श्रेणी में एक प्रारंभिक वस्तु के रूप में चित्रित किया जा सकता है।
 * श्रेणी में चRएक क्रमविनिमेय वलय R पर श्रृंखला परिसरों की संख्या, शून्य परिसर एक शून्य वस्तु है।

अस्तित्व और विशिष्टता
प्रारंभिक और अंतिम वस्तुओं को किसी श्रेणी में मौजूद होने की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, यदि वे मौजूद हैं, तो वे अनिवार्य रूप से अद्वितीय हैं। विशेष रूप से, अगर $I_{1}$ और $I_{2}$ दो अलग-अलग प्रारंभिक वस्तुएँ हैं, तो उनके बीच एक अद्वितीय समरूपता है। इसके अलावा, अगर $I$ एक प्रारंभिक वस्तु है तो कोई भी वस्तु आइसोमॉर्फिक है $I$ भी एक प्रारंभिक वस्तु है। टर्मिनल ऑब्जेक्ट्स के लिए भी यही सच है।

पूर्ण श्रेणी के लिए प्रारंभिक वस्तुओं के लिए एक अस्तित्व प्रमेय है। विशेष रूप से, एक (स्थानीय रूप से छोटी श्रेणी) पूर्ण श्रेणी $C$ में एक प्रारंभिक वस्तु है यदि और केवल यदि कोई सेट मौजूद है $I$ ( एक उचित वर्ग) और a $I$-अनुक्रमित परिवार $(K_{i})$ वस्तुओं की $C$ ऐसा कि किसी भी वस्तु के लिए $X$ का $C$, कम से कम एक आकारिकी है $K_{i} → X$ कुछ के लिए $i ∈ I$.

समतुल्य फॉर्मूलेशन
एक श्रेणी में टर्मिनल ऑब्जेक्ट $C$ को अद्वितीय खाली आरेख (श्रेणी सिद्धांत) की सीमा (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है $0 → C$. चूंकि खाली श्रेणी रिक्त रूप से असतत श्रेणी है, एक टर्मिनल वस्तु को एक खाली उत्पाद के रूप में माना जा सकता है (एक उत्पाद वास्तव में असतत आरेख की सीमा है $\{X_{i}\}$, सामान्य रूप में)। वस्तुतः, प्रारंभिक वस्तु खाली आरेख की एक सीमा (श्रेणी सिद्धांत) है $0 → C$ और इसे एक खाली योग प्रतिउत्पाद या श्रेणीबद्ध राशि के रूप में माना जा सकता है।

यह इस प्रकार है कि कोई मुक्त कारक जो सीमा को संरक्षित करता है, टर्मिनल ऑब्जेक्ट को टर्मिनल ऑब्जेक्ट पर ले जाएगा, और कोई भी फ़ैक्टर जो कोलिमिट को संरक्षित करता है, प्रारंभिक ऑब्जेक्ट को प्रारंभिक ऑब्जेक्ट में ले जाएगा। उदाहरण के लिए, मुक्त वस्तुओं के साथ किसी भी ठोस श्रेणी में प्रारंभिक वस्तु खाली सेट द्वारा उत्पन्न मुक्त वस्तु होगी (चूंकि मुक्त फ़ैक्टर, सेट करने के लिए भुलक्कड़ फ़ंक्टर के निकट छोड़ दिया जा रहा है, कोलिमिट्स को संरक्षित करता है)।

प्रारंभिक और टर्मिनल वस्तुओं को सार्वभौमिक संपत्ति और आसन्न फ़ैक्टरों के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है। 1 को एकल वस्तु के साथ असतत श्रेणी (द्वारा चिह्नित) होने दें, और दें $U : C → 1$ 1 के लिए अद्वितीय (निरंतर) फ़ैक्टर बनें। फिर
 * एक प्रारंभिक वस्तु $I$ में $C$ • से एक सार्वभौमिक रूपवाद है $U$. फ़ंक्टर जो • को भेजता है $I$, U के सटा हुआ है।
 * एक टर्मिनल वस्तु $T$ में $C$ से एक सार्वभौमिक आकारिकी है $U$ को •। फ़ंक्टर जो • को भेजता है $T$ के ठीक सटा हुआ है $U$.

अन्य स्पष्ट निर्माणों से संबंध
उपयुक्त श्रेणी में प्रारंभिक या अंतिम वस्तु खोजने के संदर्भ में श्रेणी सिद्धांत में कई प्राकृतिक निर्माण तैयार किए जा सकते हैं।


 * किसी वस्तु से एक सार्वभौमिक रूपवाद $X$ एक functor के लिए $U$ को अल्पविराम श्रेणी में प्रारंभिक वस्तु के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $(X ↓ U)$. द्वैत रूप से, एक सार्वभौमिक रूपवाद $U$ को $X$ एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट है $(U ↓ X)$.
 * आरेख की सीमा $F$ एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट है $Cone(F)$, शंकु की श्रेणी $F$. द्वैत रूप से, की एक कोलिमिट $F$ शंकु की श्रेणी में एक प्रारंभिक वस्तु है $F$.
 * एक प्रतिनिधित्व योग्य ऑपरेटर $F$ से सेट के तत्वों की श्रेणी में एक प्रारंभिक वस्तु है $F$.
 * अंतिम फ़ैक्टर (क्रमशः, प्रारंभिक फ़ंक्टर) की धारणा अंतिम वस्तु (क्रमशः, प्रारंभिक वस्तु) की धारणा का एक सामान्यीकरण है।

अन्य गुण

 * प्रारंभिक या अंतिम वस्तु का एंडोमोर्फिज्म मोनोइड $I$ तुच्छ है: $End(I) = Hom(I, I) = \{ id_{I} \}$.
 * यदि कोई श्रेणी $C$ में शून्य वस्तु है $0$, फिर वस्तुओं की किसी भी जोड़ी के लिए $X$ और $Y$ में $C$, अनूठी रचना $X → 0 → Y$ से एक शून्य रूपवाद है $X$ को $Y$.

संदर्भ

 * This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.
 * This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.
 * This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.
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