द्विअर्थी परिमेय

गणित में, एक द्विअर्थी परिमेय या द्विआधारी परिमेय संख्या एक ऐसी संख्या है जिसे भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसका हर दो की घात है। उदाहरण के लिए, 1/2, 3/2, और 3/8 द्विअर्थी परिमेय संख्याएँ हैं, लेकिन 1/3 नहीं है। कंप्यूटर विज्ञान में ये संख्याएं महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे केवल वही हैं जिनके पास सीमित द्विआधारी प्रतिनिधित्व हैं। द्विअर्थी परिमेय में वजन और माप, संगीतमय समय हस्ताक्षर और प्रारंभिक गणित शिक्षा में भी अनुप्रयोग हैं। वे किसी भी वास्तविक संख्या का सही-सही अनुमान लगा सकते हैं।

किन्हीं दो द्विअर्थी परिमेय संख्याओं का योग, अंतर, या गुणनफल एक अन्य द्विअर्थी परिमेय संख्या है, जो एक साधारण सूत्र द्वारा दी गई है। हालाँकि, एक द्विअर्थी परिमेय संख्या का दूसरे द्वारा विभाजन हमेशा एक द्विअर्थी तर्कसंगत परिणाम नहीं देता है। गणितीय रूप से, इसका अर्थ यह है कि द्विअर्थी परिमेय संख्याएँ एक वलय बनाती हैं, जो पूर्णांकों के वलय और परिमेय संख्याओं के क्षेत्र के बीच स्थित होती है। इस वलय को $$\Z[\tfrac12]$$ निरूपित किया जा सकता है।

उन्नत गणित में, द्विअर्थी परिमेय संख्याएं द्विअर्थी सोलनॉइड, मिन्कोव्स्की के प्रश्न-चिह्न फ़ंक्शन, डौबेचीज़ वेवलेट्स, थॉम्पसन के समूह, प्रुफ़र 2-समूह, वास्तविक संख्या और फ़्यूज़िबल संख्याओं के निर्माण के लिए केंद्रीय हैं। ये संख्याएँ परिमेय संख्याओं के लिए क्रम-समरूपी होती हैं; वे 2-ऐडिक संख्याओं के साथ-साथ वास्तविकों की एक उपप्रणाली बनाते हैं, और 2-ऐडिक संख्याओं के आंशिक भागों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। रिवर्स मैथमैटिक्स में गणितीय विश्लेषण को औपचारिक रूप देने के लिए प्राकृतिक संख्याओं से लेकर द्विअर्थी परिमेय तक के कार्यों का उपयोग किया गया है।

माप में
वजन और माप की कई पारंपरिक प्रणालियां बार-बार आधा करने के विचार पर आधारित होती हैं, जो इकाइयों की भिन्नात्मक मात्रा को मापते समय द्विअर्थी परिमेय बनाती हैं। इंच को सामान्यतः दशमलव उपखंड का उपयोग करने के बजाय डाईएडिक परिमेय में उपविभाजित किया जाता है। गैलन का आधा गैलन, क्वार्ट, पिंट और कप में प्रथागत विभाजन भी डाईडिक है। प्राचीन मिस्रवासी मापन में युग्मक परिमेय का उपयोग करते थे, जिसमें हर 64 तक होता था। इसी तरह, सिंधु घाटी सभ्यता से वजन की प्रणालियाँ अधिकांश भाग के लिए बार-बार आधा करने पर आधारित हैं; मानव विज्ञानी हीथर एम.-एल मिलर लिखते हैं कि "आधा करना बीम संतुलन के साथ एक अपेक्षाकृत सरल संचालन है, यही कारण है कि इस समय की इतनी सारी भार प्रणालियां बाइनरी प्रणाली का उपयोग करती हैं।"

कंप्यूटिंग में
द्विअर्थी परिमेय एक प्रकार की भिन्नात्मक संख्या के रूप में कंप्यूटर विज्ञान के लिए केंद्रीय हैं जो कई कंप्यूटर सीधे हेरफेर कर सकते हैं। विशेष रूप से, कंप्यूटर द्वारा उपयोग किए जाने वाले डेटा प्रकार के रूप में, अस्थायी बिंदु नंबरों को प्रायः दो की धनात्मक या ऋणात्मक घातों से गुणा किए गए पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया जाता है। वे संख्याएँ जिन्हें अस्थायी बिंदु प्रारूप में सटीक रूप से दर्शाया जा सकता है, जैसे कि आईईईई अस्थायी बिंदु डेटाटाइप्स, को प्रतिनिधित्व योग्य संख्याएँ कहा जाता है। अधिकांश अस्थायी बिंदु अभ्यावेदन के लिए, प्रतिनिधित्व योग्य संख्याएँ द्विअर्थी परिमेय का एक सबसेट हैं। नियत बिन्दु डेटाटाइप्स के लिए भी यही सच है, जो ज्यादातर स्थितियों में दो की घातों का भी उपयोग करता है। द्विअर्थी परिमेय के साथ कंप्यूटिंग की सादगी के कारण, उनका उपयोग अंतराल अंकगणित का उपयोग करते हुए सटीक वास्तविक कंप्यूटिंग के लिए भी किया जाता है, और गणना योग्य संख्याओं के कुछ सैद्धांतिक मॉडलों के लिए केंद्रीय हैं।

एक निश्चित समय में, यादृच्छिक बिट्स से एक यादृच्छिक चर उत्पन्न करना केवल तभी संभव है जब चर के बहुत से परिणाम हों जिनकी संभावनाएँ सभी युग्मक परिमेय संख्याएँ हैं। ऐसे यादृच्छिक चरों के लिए जिनकी संभावनाएँ डाईडिक नहीं हैं, यह आवश्यक है कि या तो द्विअर्थी परिमेय द्वारा उनकी संभावनाओं का अनुमान लगाया जाए या यादृच्छिक पीढ़ी प्रक्रिया का उपयोग किया जाए जिसका समय स्वयं यादृच्छिक और असीमित है।

संगीत में
पश्चिमी संगीत संकेतन में समय के हस्ताक्षर पारंपरिक रूप से अंशों के समान एक रूप में लिखे जाते हैं (उदाहरण के लिए:, , या ), हालांकि संगीत कर्मचारियों की क्षैतिज रेखा जो ऊपर और नीचे की संख्या को अलग करती है, सामान्यतः अपने कर्मचारियों से अलग हस्ताक्षर लिखते समय छोड़ी जाती है। अंशों के रूप में वे सामान्यतः डाईडिक होते हैं, हालांकि नॉन-डाइडिक टाइम सिग्नेचर भी उपयोग किए गए हैं। अंश के रूप में व्याख्या किए गए हस्ताक्षर का संख्यात्मक मान, माप की लंबाई को संपूर्ण नोट के अंश के रूप में वर्णित करता है। इसका अंश प्रति माप बीट की संख्या का वर्णन करता है, और हर बीट की लंबाई का वर्णन करता है।

गणित शिक्षा में
जीन पियागेट के काम के आधार पर एक भिन्न की अवधारणा के बचपन के विकास के सिद्धांतों में, आधा करने और बार-बार आधा करने से उत्पन्न होने वाली भिन्नात्मक संख्याएं विकसित होने वाले भिन्नों के प्रारंभिक रूपों में से हैं। भिन्नों की अवधारणा के विकास के इस चरण को "एल्गोरिथमिक हॉल्विंग" कहा गया है। इन संख्याओं का जोड़ और घटाव उन चरणों में किया जा सकता है जिनमें केवल पूर्णांकों को दोहराना, आधा करना, जोड़ना और घटाना सम्मिलित है। इसके विपरीत, अधिक सामान्य अंशों के जोड़ और घटाव में एक साधारण भाजक तक पहुंचने के लिए पूर्णांक गुणन और गुणन सम्मिलित होता है। इसलिए, अधिक सामान्य भिन्नों की तुलना में द्विअर्थी भिन्नों की गणना करना विद्यार्थियों के लिए आसान हो सकता है।

परिभाषाएं और अंकगणित
द्विअंकीय संख्याएँ वे परिमेय संख्याएँ होती हैं जो एक पूर्णांक को दो की घात से विभाजित करने पर प्राप्त होती हैं। सरलतम शब्दों में एक परिमेय संख्या $$p/q$$ एक द्विअर्थी परिमेय है जब $$q$$ दो की एक घात है। द्विअर्थी परिमेय को परिभाषित करने का एक अन्य समतुल्य तरीका यह है कि वे वास्तविक संख्याएं हैं जिनका एक समाप्ति बाइनरी प्रतिनिधित्व है।

निम्नलिखित सूत्रों के अनुसार, किन्हीं दो द्विअर्थी परिमेय संख्याओं का जोड़, घटाव, और गुणा एक और द्विअर्थी परिमेय बनाता है:
 * $$\begin{align}

\frac{a}{2^b}+\frac{c}{2^d}&=\frac{2^{d - \min(b,d)}a + 2^{b - \min(b,d)}c} {2^{\max(b,d)} } \\[6px] \frac{a}{2^b}-\frac{c}{2^d}&=\frac{2^{d - \min(b,d)}a - 2^{b - \min(b,d)}c} {2^{\max(b,d)} } \\[6px] \frac{a}{2^b}\cdot \frac{c}{2^d} &= \frac{ a c}{2^{b+d}} \end{align}$$ हालांकि, एक डाइडिक परिमेय को दूसरे से विभाजित करने का परिणाम आवश्यक रूप से द्विअर्थी परिमेय नहीं होता है। उदाहरण के लिए, 1 और 3 दोनों द्विअर्थी परिमेय संख्याएँ हैं, परन्तु 1/3 नहीं है।

अतिरिक्त गुण
प्रत्येक पूर्णांक, और प्रत्येक आधा पूर्णांक, एक युग्मक परिमेय है। वे दोनों दो की शक्ति से विभाजित एक पूर्णांक होने की परिभाषा को पूरा करते हैं: प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्णांक है जिसे एक (दो की शून्य शक्ति) से विभाजित किया जाता है, और प्रत्येक आधा पूर्णांक दो से विभाजित पूर्णांक होता है।

प्रत्येक वास्तविक संख्या को द्विअर्थी परिमेय द्वारा अव्यवस्थिततः से निकटता से अनुमानित किया जा सकता है। विशेष रूप से, एक वास्तविक संख्या $$x$$ के लिए, $\lfloor 2^i x \rfloor / 2^i$, के रूप के द्विअर्थी परिमेय पर विचार करें, जहां $$i$$ कोई पूर्णांक हो सकता है और ⌊ … ⌋ फ्लोर फंक्शन को दर्शाता है जो इसके तर्क को एक पूर्णांक तक ले जाता है। ये संख्याएँ $$1/2^i$$ की त्रुटि के भीतर नीचे से लगभग x का अनुमान लगाती हैं, जिसे अव्यवस्थिततः से बड़े होने के लिए $$i$$ का चयन करके अव्यवस्थिततः से छोटा किया जा सकता है। वास्तविक संख्याओं के भग्न उपसमुच्चय के लिए, यह त्रुटि सीमा इष्टतम के एक स्थिर कारक के भीतर है: इन संख्याओं के लिए, निरंतर समय $$1/2^i$$से कम त्रुटि के साथ कोई सन्निकटन $$n/2^i$$ नहीं है। सटीक द्विअर्थी सन्निकटन के अस्तित्व को यह कहकर व्यक्त किया जा सकता है कि वास्तविक रेखा में सभी द्विअर्थी परिमेय का सेट सघन है। अधिक दृढ़ता से, यह सेट समान रूप से सघन है, इस अर्थ में कि भाजक 2 i के साथ युग्मक परिमेय वास्तविक रेखा पर समान रूप से स्थान पर हैं।

द्विअर्थी परिमेय संख्याएँ सटीक रूप से वे संख्याएँ होती हैं जिनमें परिमित द्विआधारी विस्तार होते हैं। उनके बाइनरी विस्तार अद्वितीय नहीं हैं; 0 (टर्मिनल 0s को अनदेखा करते हुए) के अलावा प्रत्येक डायडिक तर्कसंगत का एक परिमित और एक अनंत प्रतिनिधित्व है। उदाहरण के लिए, 0.112 = 0.10111...2, के लिए दो भिन्न प्रतिनिधित्व देता है। द्विअर्थी परिमेय संख्याएं ही एकमात्र ऐसी संख्याएं हैं जिनके द्विआधारी विस्तार अद्वितीय नहीं हैं।

बीजगणितीय संरचना
क्योंकि वे योग, घटाव और गुणन के तहत बंद हैं, लेकिन विभाजन नहीं, द्विअर्थी परिमेय एक वलय हैं, लेकिन एक क्षेत्र नहीं हैं। द्विअर्थी परिमेय के वलय को $$\Z[\tfrac12]$$ निरूपित किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि यह 1/2 तर्क पर पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों का मूल्यांकन करके उत्पन्न किया जा सकता है। एक वलय के रूप में, द्विअर्थी परिमेय परिमेय संख्याओं का एक उपवलय और पूर्णांकों का अधिवृक्क हैं। बीजगणितीय रूप से, यह वलय दो की शक्तियों के समुच्चय के संबंध में पूर्णांकों का स्थानीयकरण है।

वास्तविक संख्याओं का उपसमूह बनाने के साथ-साथ, द्विअंकीय परिमेय संख्याएँ 2-ऐडिक संख्याओं का एक उपसमूह बनाती हैं, संख्याओं की एक प्रणाली जिसे बाइनरी निरूपण से परिभाषित किया जा सकता है जो कि दाईं ओर परिमित है, बाइनरी बिंदु लेकिन बाईं ओर असीम रूप से दूर तक विस्तारित हो सकता है। 2-एडिक संख्याओं में सभी परिमेय संख्याएँ सम्मिलित होती हैं, न कि केवल द्विगुणित परिमेय संख्याएँ।  द्वैदिक परिमेय को 2-आदिक संख्याओं में एम्बेड करने से युग्मक परिमेय के अंकगणित में परिवर्तन नहीं होता है, लेकिन यह उन्हें वास्तविक संख्याओं के एक उपसमूह की तुलना में एक अलग सामयिक संरचना देता है। जैसा कि वे वास्तविक में करते हैं, द्विअर्थी परिमेय 2-एडिक संख्याओं का एक सघन पसमुच्चय बनाते हैं, और परिमित बाइनरी विस्तार के साथ 2-एडिक नंबरों का सेट हैं।  प्रत्येक 2-ऐडिक संख्या को 2-ऐडिक पूर्णांक और एक द्विअर्थी परिमेय के योग में विघटित किया जा सकता है; इस अर्थ में, द्विअंकीय परिमेय 2-ऐडिक संख्याओं के भिन्नात्मक भागों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, लेकिन यह अपघटन अद्वितीय नहीं है।

द्विअर्थी परिमेय मॉडुलो 1 (पूर्णांकों द्वारा द्विअर्थी परिमेय संख्याओं का भागफल समूह $$\Z[\tfrac12]/\Z$$) का योग प्रुफर 2-समूह बनाता है।

द्विअर्थी सोलनॉइड
द्विअर्थी परिमेय के केवल जोड़ और घटाव के कार्यों को ध्यान में रखते हुए उन्हें एक योगात्मक एबेलियन समूह की संरचना देता है। पोंट्रीगिन द्वैत दोहरे समूहों का निर्माण करके एबेलियन समूहों को समझने की एक विधि है, जिनके तत्व मूल समूह के वर्ण हैं, समूह होमोमोर्फिज़्म को जटिल संख्याओं के गुणक समूह के लिए, दोहरे समूह संचालन के रूप में बिंदुवार गुणन के साथ। इस तरह से निर्मित योज्य द्विअर्थी परिमेय के दोहरे समूह को भी एक सामयिक समूह के रूप में देखा जा सकता है। इसे द्विअर्थी सोलनॉइड कहा जाता है, और वास्तविक संख्याओं और 2-एडीक संख्याओं के सामयिक उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है, जो इस उत्पाद में द्विअर्थी परिमेय के विकर्ण एम्बेडिंग द्वारा उद्धृत है। यह एक प्रोटोरस, एक परिनालिका और एक अविघटनीय सातत्य का उदाहरण है।

विशिष्ट बिंदुओं के रूप में द्विअर्थी परिमेय के साथ कार्य
क्योंकि वे वास्तविक संख्याओं के एक सघन उपसमुच्चय हैं, उनके संख्यात्मक क्रम के साथ, द्वैध परिमेय, एक सघन क्रम बनाते हैं। कैंटर के समरूपता प्रमेय द्वारा किन्हीं भी दो असीमित गणनीय सघन रेखीय क्रमों के साथ, द्विअर्थी परिमेय तर्कसंगत संख्याओं के क्रम-समरूपी होते हैं। इस मामले में, मिन्कोवस्की का प्रश्न-चिन्ह कार्य सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय और द्विअर्थी परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच एक क्रम-संरक्षण आक्षेप प्रदान करता है।

द्विअर्थी परिमेय बिंदु डौबेची वेवलेट्स के विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, बिंदुओं के सेट के रूप में जहां इन वेवलेट्स का स्केलिंग फ़ंक्शन गैर सुचारू है। इसी तरह, द्विअर्थी परिमेय हेनोन मानचित्र के पैरामीटर स्थान में स्थिर और अस्थिर बिंदुओं के बीच की सीमा में असंततता को मापते हैं।

यूनिट अंतराल से खुद तक टुकड़े-टुकड़े रैखिक होमोमोर्फिम्स का सेट जिसमें 2 ढलानों की शक्ति होती है और द्विअर्थी-तर्कसंगत विराम बिंदु फ़ंक्शन संरचना के संचालन के तहत एक समूह बनाते हैं। यह थॉम्पसन का समूह है, एक अनंत लेकिन सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत सरल समूह का पहला ज्ञात उदाहरण। एक ही समूह को रूटेड बाइनरी ट्री पर एक क्रिया द्वारा भी दर्शाया जा सकता है, या यूनिट अंतराल के भीतर द्विअर्थी परिमेय पर एक क्रिया द्वारा भी दर्शाया जा सकता है।

अन्य संबंधित निर्माण
व्युत्क्रम गणित में, वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक तरीका उन्हें यूनरी नंबरों से डायडिक परिमेय तक के कार्यों के रूप में प्रस्तुत करना है, जहां तर्क $$i$$ के लिए इन कार्यों में से एक का मान भाजक $$2^i$$के साथ एक डायडिक परिमेय है जो दी गई वास्तविक संख्या का अनुमान लगाता है। इस तरह से वास्तविक संख्याओं को परिभाषित करने से गणितीय विश्लेषण के कई बुनियादी परिणामों को "व्यवहार्य विश्लेषण" (बीटीएफए) कहे जाने वाले दूसरे क्रम के अंकगणित के सीमित सिद्धांत के भीतर सिद्ध किया जा सकता है।

वास्तविक संख्याएं एक पुनरावृत्त निर्माण सिद्धांत द्वारा उत्पन्न होती हैं जो सभी परिमित डाइडिक परिमेय संख्याओं को उत्पन्न करके प्रारंभिक होती हैं और फिर अनंत, अतिसूक्ष्म और अन्य संख्याओं के नए और अजीब प्रकार बनाती हैं। यह संख्या प्रणाली मिश्रित खेल सिद्धांत के लिए मूलभूत है, और इस सिद्धांत में स्वाभाविक रूप से कुछ संयोजी खेलों के मूल्यों के समुच्चय के रूप में रंगारिक तर्कसंगतता उत्पन्न होती है।

फ्यूसिबल नंबर डायडिक परिमेय का एक उपसमुच्चय है, ऑपरेशन $$x,y\mapsto(x+y+1)/2$$ के तहत सेट $$\{0\}$$को बंद करना, जोड़े $$x,y$$ के साथ प्रतिबंधित है $$|x-y|<1$$वे अच्छी तरह से क्रमित हैं, ऑर्डर प्रकार एप्सिलॉन संख्या $$\varepsilon_0$$ के बराबर है। प्रत्येक पूर्णांक $$n$$ के लिए सबसे छोटी फ्यूज़िबल संख्या जो $$n$$ से बड़ी है, का रूप $$n+1/2^k$$ है। प्रत्येक $$n$$ के लिए $$k$$ के अस्तित्व को पियानों अंकगणित में सिद्ध नहीं किया जा सकता है, और $$k$$ $$n$$ के कार्य के रूप में इतनी तेजी से बढ़ता है कि $$n=3$$ के लिए यह (बड़ी संख्या के लिए नुथ के अप-एरो नोटेशन में) है  $$2\uparrow^9 16$$ से पहले से ही बड़ा है।

उरीसोहन के लेम्मा का सामान्य प्रमाण लेम्मा से अलग करने योग्य कार्य के निर्माण के लिए डाइडिक अंशों का उपयोग करता है।