अनाकार समुच्चय

सबसेट सिद्धांत में, एक अनाकार सेट एक कार्डिनैलिटी # अनंत सेट सेट (गणित) है जो दो अनंत उपसमुच्चयों का असंयुक्त संघ नहीं है।

अस्तित्व
अगर पसंद का स्वयंसिद्ध मान लिया जाए तो अनाकार सेट मौजूद नहीं हो सकते। अब्राहम फ्रेंकेल ने सेट थ्योरी में यूरेलेमेंट#यूरेलेमेंट्स का एक क्रमचय मॉडल बनाया। एटम्स के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल जिसमें परमाणुओं का सेट एक अनाकार सेट है। 1963 में फोर्सिंग पर कोहेन के शुरुआती काम के बाद, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी के साथ अनाकार सेटों की निरंतरता के प्रमाण। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल प्राप्त किए गए थे।

अतिरिक्त गुण
प्रत्येक अनाकार समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय है | डेडेकिंड-परिमित, जिसका अर्थ है कि इसमें स्वयं के उचित उपसमुच्चय के लिए कोई आक्षेप नहीं है। इसे देखने के लिए, मान लीजिए $$S$$ एक ऐसा सेट है जिसमें आपत्ति है $$f$$ एक उचित उपसमुच्चय के लिए। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $$i\ge 0$$ परिभाषित करना $$S_i$$ की छवि से संबंधित तत्वों का सेट होना $$i$$-फोल्ड इटरेटेड फंक्शन | की संरचना $f$ खुद के साथ लेकिन की छवि के लिए नहीं $$(i+1)$$-गुना रचना। फिर प्रत्येक $$S_i$$ गैर-खाली है, इसलिए सेट का मिलन $$S_i$$ यहां तक ​​कि सूचकांकों के साथ एक अनंत सेट होगा जिसका पूरक होगा $$S$$ यह भी अनंत है, यह दिखा रहा है $$S$$ अनाकार नहीं हो सकता। हालांकि, इसका विलोम आवश्यक रूप से सत्य नहीं है: यह अनंत डेडेकिंड-परिमित सेटों के अस्तित्व के लिए सुसंगत है जो अनाकार नहीं हैं। कोई अनाकार सेट रैखिक क्रम नहीं हो सकता। क्योंकि एक अनाकार सेट की छवि या तो अनाकार या परिमित होती है, यह इस प्रकार है कि एक अनाकार सेट से लेकर रैखिक रूप से क्रमबद्ध सेट तक के प्रत्येक कार्य में केवल एक परिमित छवि होती है।

एक अनाकार सेट पर कोफिनिट फिल्टर एक अल्ट्राफिल्टर (सेट सिद्धांत) है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक अनंत उपसमुच्चय का पूरक अनंत नहीं होना चाहिए, इसलिए प्रत्येक उपसमुच्चय या तो परिमित या सहमित है।

रूपांतर
अगर $$\Pi$$ परिमित उपसमुच्चय में एक अनाकार सेट के एक सेट का विभाजन है, तो ठीक एक पूर्णांक होना चाहिए $$n(\Pi)$$ ऐसा है कि $$\Pi$$ आकार के अपरिमित रूप से अनेक उपसमुच्चय होते हैं $$n$$; के लिए, यदि प्रत्येक आकार का उपयोग कई बार परिमित रूप से किया गया था, या यदि एक से अधिक आकार का उपयोग कई बार असीम रूप से किया गया था, तो इस जानकारी का उपयोग विभाजन को विभाजित करने और विभाजित करने के लिए किया जा सकता है। $$\Pi$$ दो अनंत उपसमूहों में। यदि एक असंगत सेट में अतिरिक्त संपत्ति होती है, तो प्रत्येक विभाजन के लिए $$\Pi$$, $$n(\Pi)=1$$, तो इसे सख्ती से अनाकार या दृढ़ता से अनाकार कहा जाता है, और यदि कोई परिमित ऊपरी सीमा होती है $$n(\Pi)$$ तब सेट को परिबद्ध अनाकार कहा जाता है। यह ZF के अनुरूप है कि अनाकार सेट मौजूद हैं और सभी बंधे हुए हैं, या वे मौजूद हैं और सभी अबाधित हैं।