द्विभाजन

गणित में, एक आक्षेप, जिसे विशेषण फलन, एक-से-एक पत्राचार, या उलटा फलन के रूप में भी जाना जाता है, दो समुच्चय (गणित) के तत्वों के बीच एक फलन (गणित) होता है, जहाँ एक समुच्चय का प्रत्येक तत्व ठीक-ठीक जोड़ा जाता है। दूसरे सेट का एक तत्व, और दूसरे सेट का प्रत्येक तत्व पहले सेट के ठीक एक तत्व के साथ जोड़ा जाता है। कोई अयुग्मित तत्व नहीं हैं। गणितीय शब्दों में, एक विशेषण कार्य f: X → Y एक इंजेक्शन समारोह  है | एक-से-एक (इंजेक्शन) और विशेषण फ़ंक्शन | एक सेट एक्स से एक सेट वाई पर (प्रत्यक्षर) मैपिंग। वन-टू-वन पत्राचार शब्द को वन-टू-वन फ़ंक्शन (एक इंजेक्शन फ़ंक्शन; आंकड़े देखें) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

समुच्चय X से समुच्चय Y तक एक आक्षेप में Y से X तक एक व्युत्क्रम कार्य होता है। यदि X और Y परिमित समुच्चय हैं, तो एक आक्षेप के अस्तित्व का अर्थ है कि उनके पास तत्वों की संख्या समान है। अनंत सेट ों के लिए, चित्र अधिक जटिल है, जो कार्डिनल संख्या की अवधारणा को आगे बढ़ाता है - अनंत सेटों के विभिन्न आकारों को अलग करने का एक तरीका।

एक सेट से स्वयं के लिए एक विशेषण फ़ंक्शन को क्रमचय भी कहा जाता है, और सेट के सभी क्रम परिवर्तन ों का सेट सममित समूह  बनाता है।

समरूपता, होमियोमोर्फिज्म,  डिफियोमोर्फिज्म , क्रमचय समूह और प्रक्षेपी मानचित्र की परिभाषाओं सहित गणित के कई क्षेत्रों के लिए विशेषण कार्य आवश्यक हैं।

परिभाषा
एक्स और वाई के बीच एक जोड़ी के लिए (जहां वाई को एक्स से अलग नहीं होना चाहिए) एक आक्षेप होने के लिए, चार गुण होने चाहिए:
 * 1) X के प्रत्येक तत्व को Y के कम से कम एक तत्व के साथ जोड़ा जाना चाहिए,
 * 2) X के किसी भी तत्व को Y के एक से अधिक तत्वों के साथ जोड़ा नहीं जा सकता है,
 * 3) Y के प्रत्येक तत्व को X के कम से कम एक तत्व के साथ जोड़ा जाना चाहिए, और
 * 4) Y के किसी भी तत्व को X के एक से अधिक तत्वों के साथ जोड़ा नहीं जा सकता है।

संतोषजनक गुण (1) और (2) का अर्थ है कि एक युग्मन एक फ़ंक्शन (गणित) है जो फ़ंक्शन X के डोमेन के साथ है। गुणों (1) और (2) को एक कथन के रूप में लिखा हुआ देखना अधिक सामान्य है: X का प्रत्येक तत्व Y के ठीक एक तत्व के साथ जोड़ा जाता है। गुण (3) को संतुष्ट करने वाले कार्यों को Y पर  कहा जाता है और उन्हें विशेषण फलन (या विशेषण फलन) कहा जाता है। कार्य जो संपत्ति (4) को संतुष्ट करते हैं, उन्हें एक-से-एक कार्य कहा जाता है और उन्हें अंतःक्रियात्मक कार्य (या अंतःक्षेपी कार्य) कहा जाता है। इस शब्दावली के साथ, एक द्विभाजन एक कार्य है जो एक अनुमान और इंजेक्शन दोनों है, या दूसरे शब्दों का उपयोग करते हुए, एक आपत्ति एक कार्य है जो एक-से-एक और पर दोनों है। आपत्तियों को कभी-कभी पूंछ के साथ दो-सिर वाले दाहिनी ओर तीर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसा कि f : X ⤖ Y में है। यह प्रतीक दाहिनी ओर दो सिरों वाले तीर का संयोजन है , कभी-कभी अनुमानों को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है, और दाहिनी ओर एक कांटेदार पूंछ वाला तीर , कभी-कभी इंजेक्शन को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

बेसबॉल या क्रिकेट टीम की बैटिंग लाइन-अप
बल्लेबाजी क्रम (बेसबॉल) | बेसबॉल या क्रिकेट टीम के बल्लेबाजी लाइन-अप पर विचार करें (या किसी भी खेल टीम के सभी खिलाड़ियों की सूची जहां प्रत्येक खिलाड़ी लाइन-अप में एक विशिष्ट स्थान रखता है)। सेट X टीम के खिलाड़ी होंगे (बेसबॉल के मामले में आकार नौ का) और सेट Y बल्लेबाजी क्रम (पहला, दूसरा, तीसरा, आदि) में स्थान होगा। जोड़ी किस खिलाड़ी द्वारा दी गई है इस क्रम में किस स्थिति में है। संपत्ति (1) संतुष्ट है क्योंकि प्रत्येक खिलाड़ी सूची में कहीं है। संपत्ति (2) संतुष्ट है क्योंकि कोई खिलाड़ी क्रम में दो (या अधिक) स्थिति में बल्लेबाजी नहीं करता है। संपत्ति (3) का कहना है कि क्रम में प्रत्येक स्थिति के लिए, उस स्थिति में कुछ खिलाड़ी बल्लेबाजी कर रहे हैं और संपत्ति (4) बताती है कि दो या दो से अधिक खिलाड़ी कभी भी सूची में एक ही स्थान पर बल्लेबाजी नहीं कर रहे हैं।

सीट और कक्षा के छात्र
एक कक्षा में एक निश्चित संख्या में सीटें होती हैं। छात्रों का एक समूह कमरे में प्रवेश करता है और प्रशिक्षक उन्हें बैठने के लिए कहता है। कमरे के चारों ओर एक त्वरित नज़र के बाद, प्रशिक्षक ने घोषणा की कि छात्रों के सेट और सीटों के सेट के बीच एक आपत्ति है, जहाँ प्रत्येक छात्र को उस सीट के साथ जोड़ा जाता है जिसमें वे बैठे हैं। इस निष्कर्ष पर पहुँचने के लिए प्रशिक्षक ने क्या देखा कि था: प्रशिक्षक यह निष्कर्ष निकालने में सक्षम था कि किसी भी सेट की गिनती किए बिना उतनी ही सीटें थीं जितनी कि छात्र थे।
 * 1) हर छात्र एक सीट पर था (कोई खड़ा नहीं था),
 * 2) एक से ज्यादा सीट पर नहीं था कोई छात्र,
 * 3) हर सीट पर कोई न कोई बैठा हुआ था (कोई खाली सीट नहीं थी), और
 * 4) किसी भी सीट पर एक से अधिक छात्र नहीं थे।

अधिक गणितीय उदाहरण

 * किसी भी समुच्चय X के लिए, पहचान फलन '1'X: एक्स → एक्स, '1'X(एक्स) = एक्स विशेषण है।
 * फलन f: 'R' → 'R', f(x) = 2x + 1 विशेषण है, क्योंकि प्रत्येक y के लिए एक अद्वितीय x = (y − 1)/2 ऐसा है कि f(x) = y। आम तौर पर, वास्तविक पर कोई भी रैखिक कार्य, f: 'R' → 'R', f(x) = ax + b (जहाँ a शून्य नहीं है) एक आक्षेप है। प्रत्येक वास्तविक संख्या y को वास्तविक संख्या x = (y - b)/a से (या उसके साथ युग्मित) प्राप्त किया जाता है।
 * फलन f: 'R' → (−π/2, π/2), f(x) = arctan(x) द्वारा प्रदत्त आच्छादक है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या x को अंतराल में ठीक एक कोण y के साथ जोड़ा जाता है ( −π/2, π/2) ताकि tan(y) = x (यानी, y = arctan(x))। यदि कोडोमेन  (−π/2, π/2) को π/2 के एक पूर्णांक गुणक को शामिल करने के लिए बड़ा किया गया था, तो यह फ़ंक्शन अब आच्छादित (आच्छादक) नहीं होगा, क्योंकि कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसे इसके साथ जोड़ा जा सके इस आर्कटन फ़ंक्शन द्वारा π/2 का गुणक।
 * चरघातांकी फलन, g: 'R' → 'R', g(x) = ex, आच्छादक नहीं है: उदाहरण के लिए, 'R' में ऐसा कोई x नहीं है कि g(x) = −1, यह दर्शाता है कि g आच्छादक नहीं है (प्रत्याक्षेप)। हालाँकि, यदि कोडोमेन धनात्मक वास्तविक संख्याओं तक सीमित है $$\R^+ \equiv \left(0, \infty\right)$$, तो जी विशेषण होगा; इसका व्युत्क्रम (नीचे देखें) प्राकृतिक  लघुगणक फलन ln है।
 * समारोह एच: 'आर' → 'आर'+, एच(एक्स) = एक्स2 विशेषण नहीं है: उदाहरण के लिए, h(−1) = h(1) = 1, यह दर्शाता है कि h वन-टू-वन (इंजेक्टिव) नहीं है। हालाँकि, यदि किसी फ़ंक्शन का डोमेन प्रतिबंधित है $$\R^+_0 \equiv \left[0, \infty\right)$$, तो h विशेषण होगा; इसका व्युत्क्रम धनात्मक वर्गमूल फलन है।
 * कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोडर प्रमेय द्वारा, कोई भी दो सेट X और Y, और दो अंतःक्षेपी फलन f: X → Y और g: Y → X दिए जाने पर, एक विशेषण फलन h: X → Y मौजूद है।

व्युत्क्रम
डोमेन X के साथ एक आक्षेप f (फ़ंक्शन (गणित) # नोटेशन में f: X → Y द्वारा दर्शाया गया) Y से शुरू होकर X तक जाने वाले एक विपरीत संबंध  को भी परिभाषित करता है (तीरों को चारों ओर घुमाकर)। किसी स्वेच्छ फलन के लिए तीरों को इधर-उधर घुमाने की प्रक्रिया, सामान्य रूप से, फलन नहीं देती है, लेकिन एक आक्षेपण के गुण (3) और (4) कहते हैं कि यह व्युत्क्रम संबंध डोमेन Y के साथ एक फलन है। इसके अलावा, गुण (1) ) और (2) तब कहते हैं कि यह उलटा कार्य एक अनुमान है और एक इंजेक्शन है, अर्थात, उलटा कार्य मौजूद है और एक विशेषण भी है। जिन कार्यों में उलटा कार्य होता है उन्हें व्युत्क्रमणीय कार्य कहा जाता है। एक फलन व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि यह एक आक्षेप है।

संक्षिप्त गणितीय संकेतन में कहा गया है, एक फ़ंक्शन f: X → Y विशेषण है यदि और केवल यदि यह स्थिति को संतुष्ट करता है
 * वाई में प्रत्येक वाई के लिए एक्स में वाई = एफ (एक्स) के साथ एक अद्वितीय एक्स है।

बेसबॉल बैटिंग लाइन-अप उदाहरण के साथ जारी रखते हुए, जिस फ़ंक्शन को परिभाषित किया जा रहा है वह इनपुट के रूप में खिलाड़ियों में से एक का नाम लेता है और उस खिलाड़ी की बल्लेबाजी क्रम में स्थिति को आउटपुट करता है। चूँकि यह फलन एक आक्षेप है, इसका एक व्युत्क्रम फलन है जो बल्लेबाजी क्रम में एक स्थिति को इनपुट के रूप में लेता है और उस स्थिति में बल्लेबाजी करने वाले खिलाड़ी को आउटपुट देता है।

रचना
समारोह रचना $$g \,\circ\, f$$ दो आक्षेपों का f: X → Y और g: Y → Z एक आक्षेप है, जिसका व्युत्क्रम इस प्रकार दिया जाता है $$g \,\circ\, f$$ है $$(g \,\circ\, f)^{-1} \;=\; (f^{-1}) \,\circ\, (g^{-1})$$.

इसके विपरीत, यदि रचना $$g \, \circ\, f$$ दो कार्यों में से एक विशेषण है, यह केवल इस प्रकार है कि f अंतःक्रियात्मक कार्य है और g विशेषण कार्य है।



कार्डिनैलिटी
यदि एक्स और वाई सीमित सेट हैं, तो दो सेट एक्स और वाई के बीच एक आक्षेप मौजूद है यदि और केवल अगर एक्स और वाई में तत्वों की संख्या समान है। वास्तव में, स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत में, इसे तत्वों की समान संख्या (विषुमानता) की परिभाषा के रूप में लिया जाता है, और अनंत सेटों के लिए इस परिभाषा को सामान्यीकृत करने से कार्डिनल संख्या की अवधारणा होती है, जो अनंत सेटों के विभिन्न आकारों को अलग करने का एक तरीका है।

गुण

 * एक फलन f: 'R' → 'R' एक विशेषण है यदि और केवल यदि किसी फलन का ग्राफ प्रत्येक क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखा से ठीक एक बार मिलता है।
 * यदि X एक समुच्चय है, तो X से स्वयं के लिए विशेषण कार्य, कार्यात्मक संरचना (∘) के संचालन के साथ मिलकर एक समूह (बीजगणित)  बनाते हैं, X का सममित समूह, जिसे S(X) द्वारा विभिन्न रूप से निरूपित किया जाता है, एसX, या एक्स! (एक्स  कारख़ाने का )।
 * बायजेक्शन सेट की कार्डिनलिटीज  को संरक्षित करते हैं: कार्डिनैलिटी वाले डोमेन के एक सबसेट ए के लिए |ए| और कार्डिनैलिटी के साथ कोडोमेन का सबसेट बी | बी |, एक में निम्नलिखित समानताएं हैं:
 * च(ए)| = |ए| और | च-1(बी)| = |बी|।
 * यदि एक्स और वाई समान कार्डिनैलिटी के साथ परिमित सेट हैं, और एफ: एक्स → वाई, तो निम्नलिखित समतुल्य हैं:
 * च एक आक्षेप है।
 * f एक अनुमान  है।
 * f एक इंजेक्शन (गणित)  है।
 * एक परिमित समुच्चय S के लिए, तत्वों के संभावित कुल क्रमों के समुच्चय और S से S तक के आक्षेपों के समुच्चय के बीच एक आक्षेप है। कहने का तात्पर्य यह है कि S के तत्वों के क्रमपरिवर्तन की संख्या संख्या के समान है उस सेट के कुल आदेश ों का - अर्थात्, n!।

श्रेणी सिद्धांत
श्रेणी (गणित) और सेट कार्यों के सेट की श्रेणी  सिद्धांत श्रेणी में द्विभाजन सटीक रूप से  समरूपता  हैं। हालांकि, अधिक जटिल श्रेणियों के लिए आक्षेप हमेशा समरूपता नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए,  समूह (गणित)  के  समूहों की श्रेणी  श्रेणी में, आकारिकी को समरूपता होना चाहिए क्योंकि उन्हें समूह संरचना को संरक्षित करना चाहिए, इसलिए समरूपता समूह समरूपताएं हैं जो विशेषण समरूपताएं हैं।

आंशिक कार्य ों के लिए सामान्यीकरण
एक-से-एक पत्राचार की धारणा आंशिक कार्यों के लिए सामान्यीकृत होती है, जहां उन्हें आंशिक द्विभाजन कहा जाता है, हालांकि आंशिक आक्षेप केवल इंजेक्शन के लिए आवश्यक हैं। इस छूट का कारण यह है कि एक (उचित) आंशिक कार्य पहले से ही अपने डोमेन के एक हिस्से के लिए अपरिभाषित है; इस प्रकार इसके व्युत्क्रम को कुल कार्य करने के लिए बाध्य करने का कोई अनिवार्य कारण नहीं है, अर्थात इसके डोमेन पर हर जगह परिभाषित किया गया है। किसी दिए गए आधार सेट पर सभी आंशिक आक्षेपों के सेट को सममित व्युत्क्रम अर्धसमूह कहा जाता है। समान धारणा को परिभाषित करने का एक अन्य तरीका यह कहना है कि A से B तक आंशिक आक्षेप कोई संबंध है R (जो एक आंशिक फलन निकला) इस गुण के साथ कि R एक फलन का ग्राफ़ है एक आक्षेप f:A′→B′, जहाँ A′, A का एक उपसमुच्चय है और B′, B का एक उपसमुच्चय है। जब आंशिक आक्षेप एक ही सेट पर होता है, तो इसे कभी-कभी एक-से-एक आंशिक परिवर्तन (फ़ंक्शन)  कहा जाता है। एक उदाहरण मोबियस परिवर्तन है जिसे विस्तारित जटिल विमान के पूरा होने के बजाय जटिल विमान पर परिभाषित किया गया है।

यह भी देखें

 * एक्स-ग्रोथेंडिक प्रमेय
 * आपत्ति, इंजेक्शन और प्रक्षेपण
 * विशेषण संख्या
 * विशेषण प्रमाण
 * श्रेणी सिद्धांत
 * बहुविकल्पी समारोह

संदर्भ
This topic is a basic concept in set theory and can be found in any text which includes an introduction to set theory. Almost all texts that deal with an introduction to writing proofs will include a section on set theory, so the topic may be found in any of these:



बाहरी कड़ियाँ

 * Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.
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