अवमुख समुच्चय

ज्यामिति में, एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक उपसमुच्चय, या अधिक सामान्यतः वास्तविक संख्या पर एक संबधित स्थान उत्तल होता है, यदि उपसमुच्चय में कोई दो बिंदु दिए गए हों, तो उपसमुच्चय में उनसे जुड़ने वाला संपूर्ण रेखा खंड होता है। समतुल्य रूप से, उत्तल सेट या उत्तल क्षेत्र एक उपसमुच्चय है जो प्रत्येक रेखा (ज्यामिति) को एक रेखा खंड (संभवतः खाली) में प्रतिच्छेद करता है। उदाहरण के लिए, एक ठोस घन (ज्यामिति) एक उत्तल सेट है, लेकिन कुछ भी जो खोखला या इंडेंट है, उदाहरण के लिए, एक वर्धमान आकार, उत्तल नहीं है।

उत्तल सेट की सीमा (सांस्थिति) हमेशा एक उत्तल वक्र होती है। दिए गए सबसेट वाले सभी उत्तल सेटों का प्रतिच्छेदन $A$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष की उत्तल पतवार कहा जाता है $A$. यह युक्त सबसे छोटा उत्तल सेट है $A$.

एक उत्तल फलन एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है जो एक अंतराल पर इस गुण के साथ परिभाषित होता है कि इसका पुरालेख (फ़ंक्शन के किसी फलन के ग्राफ़ पर या उसके ऊपर बिंदुओं का समुच्चय) एक उत्तल समुच्चय है। उत्तल न्यूनीकरण गणितीय अनुकूलन का एक उपक्षेत्र है जो उत्तल सेटों पर उत्तल कार्यों को कम करने की समस्या का अध्ययन करता है। उत्तल सेट और कार्यों के गुणों के अध्ययन के लिए समर्पित गणित की शाखा उत्तल विश्लेषण कहलाती है।

उत्तल समुच्चय की धारणा को नीचे वर्णित के अनुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है।

परिभाषाएँ
मान लीजिए कि $S$ सदिश समष्टि हो या वास्तविक संख्याओं के ऊपर एक संबंद्ध स्थान हो, या, सामान्यतः, कुछ आदेशित क्षेत्र पर। इसमें यूक्लिडियन स्पेस सम्मलित हैं, जो एफ़िन स्पेस हैं। उपसमुच्चय $C$ का $S$ उत्तल है यदि, सभी के लिए $x$ तथा $y$ में $C$, जोड़ने वाला रेखा खंड $x$ तथा $y$ में सम्मलित है $C$. इसका मतलब है कि एफ़िन संयोजन $(1 − t)x + ty$ का है $C$, सभी के लिए $x$ तथा $y$ में $C$, तथा $t$ अंतराल में (गणित) $[0, 1]$. इसका तात्पर्य है कि उत्तलता (उत्तल होने की संपत्ति) एफ़िन परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। इसका तात्पर्य यह भी है कि वास्तविक संख्या या जटिल संख्या सांस्थितिक वेक्टर स्पेस में एक उत्तल सेट पथ से जुड़ा हुआ है, इस प्रकार जुड़ा हुआ स्थान है।

एक सेट $C$ है यदि प्रत्येक बिंदु जुड़ा हुआ है रेखा खंड पर  $x$ तथा $y$ अंतिमबिंदु के अतिरिक्त अन्य की आंतरिक सांस्थिति के अंदर है $C$. एक बंद उत्तल उपसमुच्चय सख्ती से उत्तल होता है यदि और केवल यदि इसकी प्रत्येक सीमा एक चरम बिंदु है।

एक सेट $C$ उत्तल और संतुलित सेट होने पर बिल्कुल उत्तल है।

$R$ का उत्तल उपसमुच्चय (वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) अंतराल और $R$ के बिंदु हैं. यूक्लिडियन विमान के उत्तल उपसमुच्चय के कुछ उदाहरण ठोस नियमित बहुभुज, ठोस त्रिकोण और ठोस त्रिकोण के चौराहे हैं। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के उत्तल उपसमुच्चय के कुछ उदाहरण| यूक्लिडियन-3 आयामी अंतरिक्ष आर्किमिडीयन ठोस और प्लेटोनिक ठोस हैं। केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा गैर-उत्तल सेट के उदाहरण हैं।

गैर-उत्तल सेट
एक सेट जो उत्तल नहीं होता है उसे गैर-उत्तल सेट कहा जाता है। एक बहुभुज जो उत्तल बहुभुज नहीं है, उसे कभी-कभी अवतल बहुभुज कहा जाता है, और कुछ स्रोत अधिक सामान्यतः अवतल सेट शब्द का उपयोग गैर-उत्तल सेट के लिए करते हैं, लेकिन अधिकांश अधिकारी इस प्रयोग पर रोक लगाते हैं। एक उत्तल सेट का पूरक (सेट सिद्धांत), जैसे एक अवतल फ़ंक्शन के एपिग्राफ, को कभी-कभी रिवर्स उत्तल सेट कहा जाता है, विशेष रूप से गणितीय अनुकूलन के संदर्भ में।

गुण
दिया गया $r$ अंक $u_{1}, ..., u_{r}$ उत्तल सेट में $S$, तथा $r$ नकारात्मक संख्या $λ_{1}, ..., λ_{r}$ ऐसा है कि $λ_{1} + ... + λ_{r} = 1$, एफाइन संयोजन $$\sum_{k=1}^r\lambda_k u_k$$ का है $S$. जैसा कि एक उत्तल सेट की परिभाषा है $r = 2$, यह संपत्ति उत्तल सेटों की विशेषता है।

इस तरह के एक एफाइन संयोजन को एक उत्तल संयोजन कहा जाता है $u_{1}, ..., u_{r}$.

चौराहे और संघ
वेक्टर स्पेस, एफाइन स्पेस या यूक्लिडियन स्पेस के उत्तल उपसमुच्चय के संग्रह में निम्नलिखित गुण होते हैं:
 * 1) खाली सेट और पूरा स्थान उत्तल है।
 * 2) उत्तल सेटों के किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन उत्तल है।
 * 3) उत्तल सेटों के एक अनुक्रम का संघ (सेट) उत्तल है, यदि वे समावेशन के लिए कुल क्रम चेन| गैर-घटती श्रृंखला बनाते हैं। इस संपत्ति के लिए, जंजीरों पर प्रतिबंध महत्वपूर्ण है, क्योंकि दो उत्तल सेटों के मिलन को उत्तल होने की आवश्यकता नहीं है।

बंद उत्तल सेट
बंद सेट उत्तल सेट होते हैं जिनमें उनके सभी सीमा बिंदु होते हैं। उन्हें बंद आधे स्थान के इंटरसेक्शन के रूप में चित्रित किया जा सकता है।

अभी जो कहा गया है, उससे यह स्पष्ट है कि ऐसे चौराहे उत्तल हैं, और वे बंद सेट भी होंगे। उलटा सिद्ध करने के लिए, अर्थात, प्रत्येक बंद उत्तल सेट को इस तरह के चौराहे के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, किसी को हाइपरप्लेन प्रमेय को इस रूप में समर्थन देने की आवश्यकता होती है कि किसी दिए गए बंद उत्तल सेट के लिए $C$ और बिंदु $P$ इसके बाहर एक बंद अर्ध-आकाश है $H$ उसमें सम्मिलित है $C$ और नहीं $P$. सहायक हाइपरप्लेन प्रमेय कार्यात्मक विश्लेषण के हन-बनाक प्रमेय का एक विशेष मामला है।

उत्तल सेट और आयत
होने देना $C$ विमान में एक उत्तल शरीर हो (एक उत्तल सेट जिसका आंतरिक खाली नहीं है)। हम एक आयत r को अंदर अंकित कर सकते हैं $C$ जैसे कि r की एक होमोथेटिक परिवर्तन कॉपी R के बारे में बताया गया है $C$. धनात्मक समरूपता अनुपात अधिक से अधिक 2 है और: $$\tfrac{1}{2} \cdot\operatorname{Area}(R) \leq \operatorname{Area}(C) \leq 2\cdot \operatorname{Area}(r)$$

ब्लाश्के-संतालो आरेख
सेट $$\mathcal{K}^2$$ उत्तल शरीर व्यास सामान्यीकरण डी, इसके अंतःत्रिज्या आर (उत्तल शरीर में निहित सबसे बड़ा वृत्त) और इसकी परिधि आर (उत्तल शरीर वाला सबसे छोटा वृत्त) के संदर्भ में सभी तलीय उत्तल पिंडों को परिचालित किया जा सकता है। वास्तव में, इस सेट को असमानताओं के सेट द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$2r \le D \le 2R$$ $$R \le \frac{\sqrt{3}}{3} D$$ $$r + R \le D$$ $$D^2 \sqrt{4R^2-D^2} \le 2R (2R + \sqrt{4R^2 -D^2})$$ और फ़ंक्शन g की छवि के रूप में देखा जा सकता है जो एक उत्तल शरीर को प्रतिचित्रित करता है $R^{2}$ (r/r, d/2,r) द्वारा दिया गया बिंदु। इस फ़ंक्शन की छवि को एक (r, d, r) ब्लाचके-संतालो आरेख के रूप में जाना जाता है। फ़ाइल: ब्लास्चके-सैंटलो_डायग्राम_फॉर_प्लानर_कोनवेक्स_बॉडीज़.पीडीएफ|alt=|center|thumb|673x673px|ब्लाशके-सैंटलो (r, d, r) प्लानर उत्तल पिंडों के लिए आरेख। $$\mathbb{L}$$ रेखा खंड को दर्शाता है, $$\mathbb{I}_{\frac{\pi}{3}}$$ समबाहु त्रिभुज, $$\mathbb{RT}$$ Reuleaux त्रिकोण और $$\mathbb{B}_2$$ यूनिट सर्कल। वैकल्पिक रूप से, सेट $$\mathcal{K}^2$$ इसकी चौड़ाई (किसी भी दो अलग-अलग समानांतर समर्थन हाइपरप्लेन के बीच की सबसे छोटी दूरी), परिधि और क्षेत्र द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है।

अन्य गुण
मान लीजिए कि X एक सांस्थितिक सदिश समष्टि है और $$C \subseteq X$$ उत्तल हो।
 * $$\operatorname{Cl} C$$ तथा $$\operatorname{Int} C$$ दोनों उत्तल हैं (अर्थात उत्तल सेट का संवरण और आंतरिक भाग उत्तल हैं)।
 * यदि $$a \in \operatorname{Int} C$$ तथा $$b \in \operatorname{Cl} C$$ फिर $$[a, b[ \, \subseteq \operatorname{Int} C$$ (कहाँ पे $$[a, b[ \, := \left\{ (1 - r) a + r b : 0 \leq r < 1 \right\}$$).
 * यदि $$\operatorname{Int} C \neq \emptyset$$ फिर:
 * $$\operatorname{cl} \left( \operatorname{Int} C \right) = \operatorname{Cl} C$$, तथा
 * $$\operatorname{Int} C = \operatorname{Int} \left( \operatorname{Cl} C \right) = C^i$$, कहाँ पे $$C^{i}$$ C का बीजगणितीय आंतरिक भाग है।

उत्तल पतवार
हर उपसमुच्चय $A$ सदिश स्थान का एक सबसे छोटा उत्तल सेट (जिसे उत्तल पतवार कहा जाता है) के भीतर समाहित है $A$), अर्थात् सभी उत्तल सेटों का चौराहा $A$. उत्तल-पतवार ऑपरेटर कनव में बंद करने वाला ऑपरेटर के विशिष्ट गुण हैं: उत्तल सेट के सेट को a बनाने के लिए उत्तल-पतवार ऑपरेशन की आवश्यकता होती है जाली (क्रम), जिसमें जुड़ना और मिलना | ज्वाइन ऑपरेशन दो उत्तल सेटों के मिलन का उत्तल पतवार है $$\operatorname{Conv}(S)\vee\operatorname{Conv}(T) = \operatorname{Conv}(S\cup T) = \operatorname{Conv}\bigl(\operatorname{Conv}(S)\cup\operatorname{Conv}(T)\bigr).$$ उत्तल सेटों के किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन स्वयं उत्तल होता है, इसलिए एक (वास्तविक या जटिल) वेक्टर स्थान के उत्तल उपसमुच्चय एक पूर्ण जाली (क्रम) बनाते हैं।
 * बहुत बड़ा: $S ⊆ Conv(S)$,
 * मोनोटोन फ़ंक्शन # क्रम सिद्धांत में एकरसता | गैर-घटता: $S ⊆ T$ इसका आशय है $Conv(S) ⊆ Conv(T)$, तथा
 * आलस्य : $Conv(Conv(S)) = Conv(S)$.

मिन्कोव्स्की जोड़
एक वास्तविक वेक्टर-स्पेस में, दो (गैर-खाली) सेटों का मिन्कोव्स्की जोड़, $Q_{1} = [0, 1] × [0, 1]$ तथा $Q_{2} = [1, 2] × [1, 2]$, सारांश के रूप में परिभाषित किया गया है $1=Q_{1}+Q_{2}=[1,3]×[1,3]$ सारांश-सेट से तत्व-वार वैक्टर के योग से बनता है $$S_1+S_2=\{x_1+x_2: x_1\in S_1, x_2\in S_2\}.$$ अधिक सामान्यतः, (गैर-रिक्त) सेटों के परिमित परिवार का मिन्कोव्स्की योग $S_{1}$ है सेट  वैक्टर के तत्व-वार जोड़ से बनता है $$ \sum_n S_n = \left \{ \sum_n x_n : x_n \in S_n \right \}.$$ मिन्कोव्स्की योग के लिए, शून्य सेट$S_{2}$ जिसमें केवल शून्य वेक्टर| शून्य वेक्टर हो $S_{1} + S_{2}$ पहचान तत्व है: सदिश स्थान के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय S के लिए $$S+\{0\}=S;$$ बीजीय शब्दावली में, $S_{n}$मिन्कोव्स्की जोड़ का पहचान तत्व है (गैर-खाली सेटों के संग्रह पर)।

मिन्कोव्स्की रकम के उत्तल हल
उत्तल हल्स लेने की संक्रिया के संबंध में मिन्कोवस्की योग अच्छा व्यवहार करता है, जैसा कि निम्नलिखित प्रस्ताव द्वारा दिखाया गया है:

मान लीजिए ${0}$ एक वास्तविक सदिश-स्थान के उपसमुच्चय हों, उनके मिन्कोव्स्की योग का उत्तल हल उनके उत्तल हलों का मिन्कोव्स्की योग है $$\operatorname{Conv}(S_1+S_2)=\operatorname{Conv}(S_1)+\operatorname{Conv}(S_2).$$ यह परिणाम आमतौर पर गैर-रिक्त सेटों के प्रत्येक सीमित संग्रह के लिए अधिक होता है: $$\text{Conv}\left ( \sum_n S_n \right ) = \sum_n \text{Conv} \left (S_n \right).$$ गणितीय शब्दावली में, मिन्कोवस्की संकलन की संक्रिया (गणित) और उत्तल पतवार बनाने की संक्रियाएँ क्रमविनिमेयता संक्रियाएँ हैं।

उत्तल सेटों के मिन्कोवस्की योग
दो सघन उत्तल समुच्चयों का मिन्कोव्स्की योग संहत है। एक कॉम्पैक्ट उत्तल सेट और एक बंद उत्तल सेट का योग बंद है। निम्नलिखित प्रसिद्ध प्रमेय, 1966 में डियूडोने द्वारा सिद्ध किया गया, दो बंद उत्तल उपसमुच्चय के अंतर को बंद करने के लिए पर्याप्त स्थिति देता है। यह एक गैर-खाली उत्तल उपसमुच्चय S के मंदी शंकु की अवधारणा का उपयोग करता है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$\operatorname{rec} S = \left\{ x \in X \, : \, x + S \subseteq S \right\},$$ जहां यह सेट उत्तल शंकु युक्त है $$0 \in X $$ और संतोषजनक $$S + \operatorname{rec} S = S$$. ध्यान दें कि यदि S बंद है और तब उत्तल है $$\operatorname{rec} S$$ बंद है और सभी के लिए है $$s_0 \in S$$, $$\operatorname{rec} S = \bigcap_{t > 0} t (S - s_0).$$ प्रमेय (डाययूडोने)। चलो 'a' और 'b' गैर-खाली, बंद, और स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के उत्तल उपसमुच्चय हैं जैसे कि $$\operatorname{rec} A \cap \operatorname{rec} B$$ एक रेखीय उपसमष्टि है। यदि ए या बी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है तो a − b बंद है।

उत्तलता के लिए सामान्यीकरण और विस्तार
कुछ या अन्य पहलुओं में परिभाषा को संशोधित करके यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उत्तलता की धारणा को सामान्यीकृत किया जा सकता है। सामान्य नाम सामान्यीकृत उत्तलता का उपयोग किया जाता है, क्योंकि परिणामी वस्तुएं उत्तल सेट के कुछ गुणों को बनाए रखती हैं।

स्टार-उत्तल (स्टार के आकार का) सेट
मान लीजिए $S$ वास्तविक या जटिल सदिश समष्टि में समुच्चय हो। $C$ तारा उत्तल (तारा-आकार) है यदि कोई सम्मलित है $0$ में $C$ जैसे कि रेखा खंड से ${0}$ किसी भी बिंदु पर $C$ में $y$ में निहित है $C$. इसलिए एक गैर-रिक्त उत्तल सेट हमेशा स्टार-उत्तल होता है लेकिन एक स्टार-उत्तल सेट हमेशा उत्तल नहीं होता है।

लम्बवत उत्तलता
सामान्यीकृत उत्तलता का एक उदाहरण ओर्थोगोनल उत्तलता है। एक सेट $C$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ऑर्थोगोनली उत्तल या ऑर्थो-उत्तल कहा जाता है, यदि कोई खंड किसी भी समन्वय अक्ष के समानांतर दो बिंदुओं को जोड़ता है $S$ पूरी तरह भीतर है $S$. यह सिद्ध करना आसान है कि ऑर्थोकोनवेक्स सेट के किसी भी संग्रह का इंटरसेक्शन ऑर्थोकॉन्वेक्स है। उत्तल समुच्चय के कुछ अन्य गुण भी मान्य हैं।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति
एक उत्तल सेट और एक उत्तल पतवार की परिभाषा स्वाभाविक रूप से उन ज्यामितीयों तक फैली हुई है जो एक जियोडेसिक उत्तलता को परिभाषित करके यूक्लिडियन नहीं हैं, जिसमें सेट में किसी भी दो बिंदुओं में सम्मलित होने वाले जियोडेसिक्स सम्मलित हैं।

ऑर्डर सांस्थिति
पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट के लिए उत्तलता को बढ़ाया जा सकता है $S$ आदेश सांस्थिति के साथ संपन्न। होने देना $S_{1}, S_{2}$. उपस्थान $X$ एक उत्तल सेट है यदि प्रत्येक जोड़ी बिंदुओं के लिए $x_{0}$ में $Y$ ऐसा है कि $x_{0}$, अंतराल $Y ⊆ X$ में निहित है $Y$. वह है, $Y$ उत्तल है यदि और केवल यदि सभी के लिए $a, b$ में $Y$, $a ≤ b$ तात्पर्य $[a, b] = {x ∈ X | a ≤ x ≤ b}$.

एक उत्तल सेट सामान्य रूप से जुड़ा नहीं है: उप-उदाहरण {1,2,3} द्वारा एक प्रति-उदाहरण दिया गया है $a, b$, जो दोनों उत्तल है और जुड़ा नहीं है।

उत्तल स्थान
उत्तलता की धारणा को अन्य वस्तुओं के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, यदि उत्तलता के कुछ गुणों को स्वयंसिद्ध के रूप में चुना जाता है।

एक सेट दिया $Y$, एक उत्तलता $X$ एक संग्रह है $a ≤ b$ के सबसेट का $X$ निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करना:
 * 1) खाली सेट और $X$ में हैं $[a, b] ⊆ Y$
 * 2) c से किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन $Z$ में है $c$
 * 3) तत्वों के कुल आदेश (समावेशी संबंध के संबंध में) का संघ $c$ में है $c$.

के तत्व $c$ उत्तल समुच्चय और युग्म कहलाते हैं $c$ उत्तल स्थान कहा जाता है। साधारण उत्तलता के लिए, पहले दो स्वयंसिद्ध हैं, और तीसरा तुच्छ है।

अमूर्त उत्तलता की एक वैकल्पिक परिभाषा के लिए, असतत ज्यामिति के लिए अधिक अनुकूल, एंटीमैट्रोइड से जुड़े उत्तल ज्यामिति देखें।

यह भी देखें

 * शोषक सेट
 * परिबद्ध सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस)
 * ब्रोवर फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय
 * जटिल उत्तलता
 * उत्तल पतवार
 * उत्तल श्रृंखला
 * उत्तल मीट्रिक स्थान
 * कैराथोडोरी का प्रमेय (उत्तल पतवार)
 * चॉकेट सिद्धांत
 * हेली की प्रमेय
 * होलोमॉर्फिक रूप से उत्तल पतवार
 * इंटीग्रेटेड-उत्तल सेट
 * जॉन इलिप्सिड
 * स्यूडोकोन्वेक्सिटी
 * रैडॉन की प्रमेय
 * शेपले-फोकमैन लेम्मा
 * सममित सेट

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * affine अंतरिक्ष
 * उत्तल समारोह
 * वास्तविक मूल्यवान समारोह
 * एक समारोह का ग्राफ
 * सदिश स्थल
 * सबसेट
 * एफ़िन संयोजन
 * इंटीरियर (सांस्थिति)
 * आर्किमिडीज़ ठोस
 * अवतल समारोह
 * ऋणात्मक संख्या
 * हाइपरप्लेन प्रमेय का समर्थन करना
 * सीमा अंक
 * आधा स्थान (ज्यामिति)
 * रेलेक्स त्रिकोण
 * बीजगणितीय इंटीरियर
 * जाली (आदेश)
 * मिन्कोव्स्की जोड़
 * sumset
 * जियोडेसिक उत्तलता
 * पूरी तरह से आदेशित सेट
 * समावेशन संबंध
 * एकीकृत-उत्तल सेट
 * चॉक्लेट सिद्धांत

बाहरी संबंध

 * Lectures on Convex Sets, notes by Niels Lauritzen, at Aarhus University, March 2010.
 * Lectures on Convex Sets, notes by Niels Lauritzen, at Aarhus University, March 2010.