आरोही श्रृंखला स्थिति

गणित में, आरोही श्रृंखला स्थिति (एसीसी) और अवरोही श्रृंखला स्थिति (डीसीसी) कुछ बीजगणितीय संरचनाओं द्वारा संतुष्ट परिमित गुण हैं, सबसे महत्वपूर्ण रूप से कुछ क्रमविनिमेय रिंगों में आदर्श (रिंग सिद्धांत)।  इन स्थितियों ने डेविड हिल्बर्ट,  एमी नोएदर  और एमिल आर्टिन के कार्यों में क्रमविनिमेय वलय के संरचना सिद्धांत के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। शर्तों को स्वयं एक अमूर्त रूप में बताया जा सकता है, ताकि वे किसी भी आंशिक रूप से आदेशित सेट के लिए समझ में आ सकें। गेब्रियल और रेंटश्लर के कारण यह दृष्टिकोण अमूर्त बीजगणितीय आयाम सिद्धांत में उपयोगी है।

परिभाषा
आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेट (पोसेट) पी को 'आरोही श्रृंखला स्थिति' (एसीसी) को संतुष्ट करने के लिए कहा जाता है यदि कोई अनंत सख्ती से आरोही अनुक्रम नहीं है
 * $$a_1 < a_2 < a_3 < \cdots$$

P के तत्वों का अस्तित्व है। समान रूप से, प्रत्येक कमज़ोर आरोही क्रम
 * $$a_1 \leq a_2 \leq a_3 \leq \cdots,$$

P के तत्वों की संख्या अंततः स्थिर हो जाती है, जिसका अर्थ है कि एक सकारात्मक पूर्णांक n मौजूद है
 * $$a_n = a_{n+1} = a_{n+2} = \cdots.$$

इसी प्रकार, यदि P के तत्वों की कोई अनंत अवरोही श्रृंखला नहीं है, तो P को 'अवरोही श्रृंखला स्थिति' (DCC) को संतुष्ट करने वाला कहा जाता है। समान रूप से, प्रत्येक कमज़ोर अवरोही क्रम
 * $$a_1 \geq a_2 \geq a_3 \geq \cdots$$

P के तत्व अंततः स्थिर हो जाते हैं।

टिप्पणियाँ

 * आश्रित विकल्प के सिद्धांत को मानते हुए, (संभवतः अनंत) पॉसेट पी पर अवरोही श्रृंखला की स्थिति पी के बराबर है जो अच्छी तरह से स्थापित है: पी के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में एक न्यूनतम तत्व होता है (जिसे 'न्यूनतम स्थिति' या 'न्यूनतम स्थिति' भी कहा जाता है) ). एक कुल ऑर्डर जो अच्छी तरह से स्थापित होता है वह एक सुव्यवस्थित | सुव्यवस्थित सेट होता है।
 * इसी तरह, आरोही श्रृंखला की स्थिति पी के विपरीत अच्छी तरह से स्थापित होने के बराबर है (फिर से, आश्रित विकल्प मानते हुए): पी के प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय में एक अधिकतम तत्व ('अधिकतम स्थिति' या 'अधिकतम स्थिति') होता है।
 * प्रत्येक परिमित स्थिति आरोही और अवरोही दोनों श्रृंखला स्थितियों को संतुष्ट करती है, और इस प्रकार दोनों अच्छी तरह से स्थापित और उलटा अच्छी तरह से स्थापित है।

उदाहरण
अंगूठी पर विचार करें
 * $$\mathbb{Z} = \{\dots, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, \dots\}$$

पूर्णांकों का. प्रत्येक आदर्श $$\mathbb{Z}$$ किसी संख्या के सभी गुणजों से मिलकर बनता है $$n$$. उदाहरण के लिए, आदर्श
 * $$I = \{\dots, -18, -12, -6, 0, 6, 12, 18, \dots\}$$

के सभी गुणजों से मिलकर बना है $$6$$. होने देना
 * $$J = \{\dots, -6, -4, -2, 0, 2, 4, 6, \dots\}$$

के सभी गुणजों से युक्त आदर्श बनें $$2$$. आदर्श $$I$$ आदर्श के अंदर समाहित है $$J$$, प्रत्येक गुणज के बाद से $$6$$ का गुणज भी है $$2$$. बदले में, आदर्श $$J$$ आदर्श में निहित है $$\mathbb{Z}$$, प्रत्येक गुणज के बाद से $$2$$ का गुणज है $$1$$. हालाँकि, इस बिंदु पर कोई बड़ा आदर्श नहीं है; हम शीर्ष पर हैं $$\mathbb{Z}$$.

सामान्य तौर पर, यदि $$I_1, I_2, I_3, \dots$$ के आदर्श हैं $$\mathbb{Z}$$ ऐसा है कि $$I_1$$ में निहित है $$I_2$$, $$I_2$$ में निहित है $$I_3$$, और इसी तरह, फिर कुछ है $$n$$ जिसके लिए सभी $$I_n = I_{n+1} = I_{n+2} = \cdots$$. अर्थात् एक समय के बाद सभी आदर्श एक-दूसरे के बराबर हो जाते हैं। इसलिए, के आदर्श $$\mathbb{Z}$$ आरोही श्रृंखला स्थिति को संतुष्ट करें, जहां आदर्शों को सेट समावेशन द्वारा क्रमबद्ध किया जाता है। इस तरह $$\mathbb{Z}$$ एक नोथेरियन अंगूठी है.

यह भी देखें

 * आर्टिनियन (बहुविकल्पी)
 * प्रमुख आदर्शों के लिए आरोही श्रृंखला स्थिति
 * क्रुल आयाम
 * सर्वांगसमताओं पर अधिकतम स्थिति
 * नोथेरियन

संदर्भ

 * Atiyah, M. F., and I. G. MacDonald, Introduction to Commutative Algebra, Perseus Books, 1969, ISBN 0-201-00361-9
 * Michiel Hazewinkel, Nadiya Gubareni, V. V. Kirichenko. Algebras, rings and modules. Kluwer Academic Publishers, 2004. ISBN 1-4020-2690-0
 * John B. Fraleigh, Victor J. Katz. A first course in abstract algebra. Addison-Wesley Publishing Company. 5 ed., 1967. ISBN 0-201-53467-3
 * Nathan Jacobson. Basic Algebra I. Dover, 2009. ISBN 978-0-486-47189-1