इंटरटेम्पोरल सीएपीएम

गणितीय वित्त के भीतर, इंटरटेम्पोरल पूंजी परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण मॉडल  या ICAPM, रॉबर्ट सी. मर्टन द्वारा प्रदान किए गए कैपिटल एसेट प्राइसिंग मॉडल का एक विकल्प है। यह राज्य चर के रूप में धन के साथ एक रैखिक कारक मॉडल है जो भविष्य के रिटर्न (वित्त) या आय के वितरण में परिवर्तन का पूर्वानुमान करता है।

ICAPM में निवेशक एक से अधिक अनिश्चितताओं का सामना करने पर आजीवन उपभोग निर्णयों को हल कर रहे हैं। आईसीएपीएम और मानक सीएपीएम के बीच मुख्य अंतर अतिरिक्त राज्य चर हैं जो इस तथ्य को स्वीकार करते हैं कि निवेशक खपत में कमी या भविष्य के निवेश अवसर सेट में बदलाव के खिलाफ बचाव करते हैं।

निरंतर समय संस्करण
रॉबर्ट सी मर्टन संतुलन में एक सतत समय बाजार मानता है। राज्य चर (एक्स) एक वीनर प्रक्रिया का अनुसरण करता है:
 * $$ dX = \mu dt + s dZ $$

निवेशक अपने वॉन न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न उपयोगिता प्रमेय को अधिकतम करता है | वॉन न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न उपयोगिता:
 * $$E_o \left\{\int_o^T U[C(t),t]dt + B[W(T),T] \right\} $$

जहां टी समय क्षितिज है और बी [डब्ल्यू (टी), टी] धन से उपयोगिता (डब्ल्यू)।

धन (W) पर निवेशक की निम्नलिखित बाधाएँ हैं। होने देना $$ w_i $$ संपत्ति i में निवेश किया वजन हो। तब:
 * $$ W(t+dt) = [W(t) -C(t) dt]\sum_{i=0}^n w_i[1+ r_i(t+ dt)] $$

कहाँ $$ r_i $$ संपत्ति पर वापसी है i। धन में परिवर्तन है:
 * $$ dW=-C(t)dt +[W(t)-C(t)dt]\sum w_i(t)r_i(t+dt) $$

हम समस्या को हल करने के लिए गतिशील प्रोग्रामिंग का उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम असतत समय की समस्याओं की एक श्रृंखला पर विचार करते हैं:
 * $$\max E_0 \left\{\sum_{t=0}^{T-dt}\int_t^{t+dt} U[C(s),s]ds + B[W(T),T] \right\} $$

फिर, एक टेलर श्रृंखला देती है:
 * $$ \int_t^{t+dt}U[C(s),s]ds= U[C(t),t]dt + \frac{1}{2} U_t [C(t^*),t^*]dt^2 \approx U[C(t),t]dt $$

कहाँ $$t^*$$ t और t+dt के बीच का मान है।

यह मानते हुए कि रिटर्न एक वीनर प्रक्रिया का पालन करता है:
 * $$ r_i(t+dt) = \alpha_i dt + \sigma_i dz_i$$

साथ:
 * $$ E(r_i) = \alpha_i dt \quad ;\quad E(r_i^2)=var(r_i)=\sigma_i^2dt \quad ;\quad cov(r_i,r_j) = \sigma_{ij}dt $$

फिर दूसरे और उच्च क्रम की शर्तों को रद्द करना:
 * $$ dW \approx [W(t) \sum w_i \alpha_i - C(t)]dt+W(t) \sum w_i \sigma_i dz_i$$

इष्टतम नियंत्रण का उपयोग करके, हम समस्या को पुन: स्थापित कर सकते हैं:
 * $$ J(W,X,t) = max \; E_t\left\{\int_t^{t+dt} U[C(s),s]ds + J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]\right\}$$

पहले बताए गए धन की कमी के अधीन।

इटो लेम्मा का उपयोग करके हम फिर से लिख सकते हैं:
 * $$ dJ = J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]-J[W(t),X(t),t+dt]= J_t dt + J_W dW + J_X dX + \frac{1}{2}J_{XX} dX^2 + \frac{1}{2}J_{WW} dW^2 + J_{WX} dX dW$$

और अपेक्षित मूल्य:
 * $$ E_t J[W(t+dt),X(t+dt),t+dt]=J[W(t),X(t),t]+J_t dt + J_W E[dW]+ J_X E(dX) + \frac{1}{2} J_{XX} var(dX)+\frac{1}{2} J_{WW} var[dW] + J_{WX} cov(dX,dW)$$

कुछ बीजगणित के बाद

, हमारे पास निम्नलिखित उद्देश्य समारोह है:
 * $$ max \left\{ U(C,t) + J_t + J_W W [\sum_{i=1}^n w_i(\alpha_i-r_f)+r_f] - J_WC + \frac{W^2}{2} J_{WW}\sum_{i=1}^n\sum_{j=1}^n w_i w_j \sigma_{ij} + J_X \mu + \frac{1}{2}J_{XX} s^2 + J_{WX} W \sum_{i=1}^n w_i \sigma_{iX} \right\} $$

कहाँ $$r_f$$ जोखिम मुक्त वापसी है। पहले आदेश की शर्तें हैं:
 * $$ J_W(\alpha_i-r_f)+J_{WW}W \sum_{j=1}^n w^*_j \sigma_{ij} + J_{WX} \sigma_{iX}=0 \quad i=1,2,\ldots,n$$

मैट्रिक्स रूप में, हमारे पास है:
 * $$ (\alpha - r_f {\mathbf 1}) = \frac{-J_{WW}}{J_W} \Omega w^* W + \frac{-J_{WX}}{J_W} cov_{rX} $$

कहाँ $$\alpha$$ अपेक्षित रिटर्न का वेक्टर है, $$ \Omega $$ रिटर्न का सहप्रसरण, $$ {\mathbf 1}$$ एकता वेक्टर $$ cov_{rX} $$ रिटर्न और राज्य चर के बीच सहप्रसरण। इष्टतम वजन हैं:
 * $$ {\mathbf w^*} = \frac{-J_W}{J_{WW} W}\Omega^{-1}(\alpha - r_f {\mathbf 1}) - \frac{J_{WX}}{J_{WW}W}\Omega^{-1} cov_{rX}$$

ध्यान दें कि इंटरटेम्पोरल मॉडल पूंजी परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण मॉडल  का समान भार प्रदान करता है। अपेक्षित रिटर्न निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$ \alpha_i = r_f + \beta_{im} (\alpha_m - r_f) + \beta_{ih}(\alpha_h - r_f)$$

जहां m मार्केट पोर्टफोलियो है और h स्टेट वेरिएबल को हेज करने के लिए पोर्टफोलियो है।

यह भी देखें

 * इंटरटेम्पोरल पोर्टफोलियो विकल्प

संदर्भ

 * Merton, R.C., (1973), An Intertemporal Capital Asset Pricing Model. Econometrica 41, Vol. 41, No. 5. (Sep., 1973), pp. 867–887
 * "Multifactor Portfolio Efficiency and Multifactor Asset Pricing" by Eugene F. Fama, (The Journal of Financial and Quantitative Analysis), Vol. 31, No. 4, Dec., 1996