यूक्लिडियन समष्टि पर फलन

गणित में, यूक्लिडियन स्थान  पर कैलकुलस, यूक्लिडियन स्पेस पर कार्यों के कैलकुलस के लिए एक या कई चर में कार्यों के कैलकुलस का एक सामान्यीकरण है। $$\mathbb{R}^n$$ साथ ही एक परिमित-आयामी वास्तविक वेक्टर स्थान। इस कैलकुलस को विशेष रूप से संयुक्त राज्य अमेरिका में उन्नत कैलकुलस के रूप में भी जाना जाता है। यह बहुपरिवर्तनीय कैलकुलस के समान है, लेकिन किसी भी तरह से अधिक परिष्कृत है क्योंकि यह रैखिक बीजगणित (या कुछ कार्यात्मक विश्लेषण) का अधिक व्यापक रूप से उपयोग करता है और अंतर ज्यामिति से कुछ अवधारणाओं को शामिल करता है जैसे कि अंतर रूपों और अंतर रूपों के संदर्भ में स्टोक्स का सूत्र। रैखिक बीजगणित का यह व्यापक उपयोग बानाच रिक्त स्थान या टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान पर कैलकुलस के लिए बहुपरिवर्तनीय कैलकुलस के प्राकृतिक सामान्यीकरण की भी अनुमति देता है।

यूक्लिडियन स्पेस पर कैलकुलस भी मैनिफोल्ड्स पर कैलकुलस का एक स्थानीय मॉडल है, जो मैनिफोल्ड्स पर कार्यों का एक सिद्धांत है।

एक वास्तविक चर में कार्य
यह खंड एक-चर कलन में फ़ंक्शन सिद्धांत की एक संक्षिप्त समीक्षा है।

एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ पर निरंतर है $$a$$ यदि यह लगभग स्थिर है $$a$$; अर्थात।,
 * $$\lim_{h \to 0} (f(a + h) - f(a)) = 0.$$

इसके विपरीत, फ़ंक्शन $$f$$ पर भिन्न है $$a$$ यदि यह लगभग रैखिक है $$a$$; यानी, कुछ वास्तविक संख्या है $$\lambda$$ ऐसा है कि
 * $$\lim_{h \to 0} \frac{f(a + h) - f(a) - \lambda h}{h} = 0.$$

(सरलता के लिए, मान लीजिए $$f(a) = 0$$. तो फिर उपरोक्त का मतलब यही है $$f(a + h) = \lambda h + g(a, h)$$ कहाँ $$g(a, h)$$ h, 0 पर जाने की तुलना में तेजी से 0 पर जाता है और, इस अर्थ में, $$f(a + h)$$ जैसा व्यवहार करता है $$\lambda h$$.)

जो नंबर $$\lambda$$ पर निर्भर करता है $$a$$ और इस प्रकार दर्शाया गया है $$f'(a)$$. अगर $$f$$ खुले अंतराल पर अवकलनीय है $$U$$ और अगर $$f'$$ पर एक सतत कार्य है $$U$$, तब $$f$$ सी कहा जाता है1फ़ंक्शन. आम तौर पर अधिक, $$f$$ सी कहा जाता हैk फ़ंक्शन यदि यह व्युत्पन्न है $$f'$$ सी हैk-1फ़ंक्शन। टेलर के प्रमेय में कहा गया है कि एक सीk फ़ंक्शन वास्तव में एक फ़ंक्शन है जिसे डिग्री k के बहुपद द्वारा अनुमानित किया जा सकता है।

अगर $$f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ एक सी है1कार्य और $$f'(a) \ne 0$$ कुछ के लिए $$a$$, तो कोई $$f'(a) > 0$$ या $$f'(a) < 0$$; यानी, या तो $$f$$ किसी खुले अंतराल में सख्ती से बढ़ रहा है या सख्ती से घट रहा है। विशेष रूप से, $$f : f^{-1}(U) \to U$$ कुछ खुले अंतराल के लिए विशेषण है $$U$$ युक्त $$f(a)$$. व्युत्क्रम फलन प्रमेय तब कहता है कि व्युत्क्रम फलन $$f^{-1}$$ यू पर डेरिवेटिव के साथ अवकलनीय है: के लिए $$y \in U$$
 * $$(f^{-1})'(y) = {1 \over f'(f^{-1}(y))}.$$

मानचित्र और श्रृंखला नियम का व्युत्पन्न
कार्यों के लिए $$f$$ समतल में या अधिक सामान्यतः यूक्लिडियन स्थान पर परिभाषित $$\mathbb{R}^n$$, उन कार्यों पर विचार करना आवश्यक है जो वेक्टर-मूल्यवान या मैट्रिक्स-मूल्यवान हैं। इसे अपरिवर्तनीय तरीके से (अर्थात, समन्वय-मुक्त तरीके से) करना वैचारिक रूप से भी सहायक है। किसी बिंदु पर ऐसे मानचित्रों के व्युत्पन्न तब सदिश या रैखिक मानचित्र होते हैं, वास्तविक संख्याएँ नहीं।

होने देना $$f : X \to Y$$ एक खुले उपसमुच्चय से एक मानचित्र बनें $$X$$ का $$\mathbb{R}^n$$ एक खुले उपसमुच्चय के लिए $$Y$$ का $$\mathbb{R}^m$$. फिर नक्शा $$f$$ एक बिंदु पर अवकलनीय फलन कहा जाता है $$x$$ में $$X$$ यदि कोई (आवश्यक रूप से अद्वितीय) रैखिक परिवर्तन मौजूद है $$f'(x) : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$$, का व्युत्पन्न कहा जाता है $$f$$ पर $$x$$, ऐसा है कि
 * $$\lim_{ h \to 0 } \frac{1}{|h|} |f(x + h) - f(x) - f'(x)h| = 0$$

कहाँ $$f'(x)h$$ रैखिक परिवर्तन का अनुप्रयोग है $$f'(x)$$ को $$h$$. अगर $$f$$ पर भिन्न है $$x$$, तो यह निरंतर है $$x$$ तब से
 * $$|f(x + h) - f(x)| \le (|h|^{-1}|f(x + h) - f(x) - f'(x)h|) |h| + |f'(x)h| \to 0$$ जैसा $$h \to 0$$.

जैसा कि एक-चर मामले में है, वहाँ है

यह बिल्कुल एक चर में कार्यों के लिए सिद्ध होता है। दरअसल, संकेतन के साथ $$\widetilde{h} = f(x + h) - f(x)$$, अपने पास:
 * $$\begin{align}

& \frac{1}{|h|} |g(f(x + h)) - g(y) - g'(y) f'(x) h| \\ & \le \frac{1}{|h|}  |g(y + \widetilde{h}) - g(y) - g'(y)\widetilde{h}| +  \frac{1}{|h|} |g'(y)(f(x+h) - f(x) - f'(x) h)|. \end{align}$$ यहाँ, तब से $$f$$ पर भिन्न है $$x$$, दाईं ओर दूसरा पद शून्य हो जाता है $$h \to 0$$. जहाँ तक पहले पद की बात है, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$\begin{cases}

\frac{|\widetilde{h}|}{|h|} |g(y+ \widetilde{h}) - g(y) - g'(y)\widetilde{h}|/|\widetilde{h}|, & \widetilde{h} \neq 0, \\ 0, & \widetilde{h} = 0. \end{cases}$$ अब, निरंतरता दर्शाने वाले तर्क से $$f$$ पर $$x$$, हम देखते हैं $$\frac{|\widetilde{h}|}{|h|}$$ घिरा है। भी, $$\widetilde{h} \to 0$$ जैसा $$h \to 0$$ तब से $$f$$ पर निरंतर है $$x$$. इसलिए, पहला पद भी शून्य हो जाता है $$h \to 0$$ की भिन्नता से $$g$$ पर $$y$$. $$\square$$ वो नक्शा $$f$$ जैसा कि ऊपर कहा गया है निरंतर अवकलनीय या $$C^1$$ यदि यह डोमेन पर भिन्न है और डेरिवेटिव भी लगातार भिन्न होते हैं; अर्थात।, $$x \mapsto f'(x)$$ सतत है.

एक रैखिक परिवर्तन के रूप में, $$f'(x)$$ एक द्वारा दर्शाया गया है $$m \times n$$-मैट्रिक्स, जिसे जैकोबियन मैट्रिक्स कहा जाता है $$Jf(x)$$ का $$f$$ पर $$x$$ और हम इसे इस प्रकार लिखते हैं:
 * $$(Jf)(x) = \begin{bmatrix}

\frac{\partial f_1}{\partial x_1}(x) & \cdots & \frac{\partial f_1}{\partial x_n}(x) \\ \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{\partial f_m}{\partial x_1}(x) & \cdots & \frac{\partial f_m}{\partial x_n}(x) \end{bmatrix}.$$ ले रहा $$h$$ होना $$h e_j$$, $$h$$ एक वास्तविक संख्या और $$e_j = (0, \cdots, 1, \cdots, 0)$$ जे-वें मानक आधार तत्व, हम देखते हैं कि भिन्नता $$f$$ पर $$x$$ तात्पर्य:
 * $$\lim_{h \to 0} \frac{f_i(x + h e_j) - f_i(x)}{h} = \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)$$

कहाँ $$f_i$$ के i-वें घटक को दर्शाता है $$f$$. अर्थात प्रत्येक घटक $$f$$ पर भिन्न है $$x$$ व्युत्पन्न के साथ प्रत्येक चर में $$\frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x)$$. जैकोबियन मैट्रिक्स के संदर्भ में, श्रृंखला नियम कहता है $$J(g \circ f)(x) = Jg(y) Jf(x)$$; यानी, जैसे $$(g \circ f)_i = g_i \circ f$$,
 * $$\frac{\partial (g_i \circ f)}{\partial x_j}(x) = \frac{\partial g_i}{\partial y_1} (y) \frac{\partial f_1}{\partial x_j}(x) + \cdots + \frac{\partial g_i}{\partial y_m} (y) \frac{\partial f_m}{\partial x_j}(x),$$

जो शृंखला नियम का वह रूप है जो अक्सर बताया जाता है।

उपरोक्त का आंशिक उलटा ही सही है। अर्थात्, यदि आंशिक व्युत्पन्न $${\partial f_i}/{\partial x_j}$$ तो, सभी परिभाषित और निरंतर हैं $$f$$ निरंतर भिन्न है। यह माध्य मूल्य असमानता का परिणाम है:

(माध्य मूल्य असमानता का यह संस्करण माध्य मूल्य असमानता से अनुसरण करता है फ़ंक्शन पर लागू किया गया $$[0, 1] \to \mathbb{R}^m, \, t \mapsto f(x + ty) - tv$$, जहां माध्य मूल्य असमानता पर प्रमाण दिया गया है।)

वास्तव में, चलो $$g(x) = (Jf)(x)$$. हम ध्यान दें कि, यदि $$y = y_i e_i$$, तब
 * $$\frac{d}{dt}f(x + ty) = \frac{\partial f}{\partial x_i}(x+ty)y = g(x + ty)(y_i e_i).$$

सरलता के लिए, मान लीजिए $$n = 2$$ (सामान्य मामले के लिए तर्क समान है)। फिर, औसत मूल्य असमानता से, ऑपरेटर मानदंड के साथ $$\| \cdot \|$$,
 * $$\begin{align}

&|\Delta_y f (x) - g(x)y| \\ &\le |\Delta_{y_1 e_1} f(x_1, x_2 + y_2) - g(x)(y_1 e_1)| + |\Delta_{y_2 e_2} f(x_1, x_2) - g(x)(y_2 e_2)| \\ &\le |y_1| \sup_{0 < t < 1}\|g(x_1 + t y_1, x_2 + y_2) - g(x)\| + |y_2| \sup_{0 < t < 1}\|g(x_1, x_2 + ty_2) - g(x)\|, \end{align} $$ जो ये दर्शाता हे $$|\Delta_y f (x) - g(x)y|/|y| \to 0$$ आवश्यकता अनुसार। $$\square$$ उदाहरण: चलो $$U$$ आकार n के सभी व्युत्क्रमणीय वास्तविक वर्ग आव्यूहों का समुच्चय बनें। टिप्पणी $$U$$ के एक खुले उपसमुच्चय के रूप में पहचाना जा सकता है $$\mathbb{R}^{n^2}$$ निर्देशांक के साथ $$x_{ij}, 0 \le i, j \ne n$$. फ़ंक्शन पर विचार करें $$f(g) = g^{-1}$$ = का व्युत्क्रम मैट्रिक्स $$g$$ पर परिभाषित $$U$$. इसके व्युत्पन्न का अनुमान लगाने के लिए, मान लें $$f$$ अवकलनीय है और वक्र पर विचार करें $$c(t) = ge^{tg^{-1}h}$$ कहाँ $$e^A$$ का मतलब मैट्रिक्स घातांक है $$A$$. श्रृंखला नियम द्वारा लागू किया गया $$f(c(t)) = e^{-t g^{-1}h} g^{-1} $$, अपने पास:
 * $$f'(c(t)) \circ c'(t) = -g^{-1}h e^{-t g^{-1}h} g^{-1}$$.

ले रहा $$t = 0$$, हम पाते हैं:
 * $$f'(g) h = -g^{-1}h g^{-1}$$.

अब, हमारे पास है:
 * $$\|(g+h)^{-1} - g^{-1} + g^{-1}h g^{-1}\| \le \| (g+h)^{-1} \| \|h\| \|g^{-1} h g^{-1}\|.$$

चूंकि ऑपरेटर मानदंड यूक्लिडियन मानदंड के बराबर है $$\mathbb{R}^{n^2}$$ (कोई भी मानदंड एक दूसरे के समतुल्य हैं), इसका तात्पर्य है $$f$$ विभेदनीय है. अंत में, सूत्र से $$f'$$, हम इसका आंशिक व्युत्पन्न देखते हैं $$f$$ चिकने हैं (असीम रूप से भिन्न); कहाँ से, $$f$$ चिकना भी है.

उच्च डेरिवेटिव और टेलर सूत्र
अगर $$f : X \to \mathbb{R}^m$$ जहाँ भिन्न है $$X \subset \mathbb{R}^n$$ एक खुला उपसमुच्चय है, तो व्युत्पन्न मानचित्र निर्धारित करते हैं $$f' : X \to \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)$$, कहाँ $$\operatorname{Hom}$$ सदिश स्थानों के बीच समरूपता को दर्शाता है; यानी, रैखिक मानचित्र। अगर $$f'$$ तो फिर, अलग-अलग है $$f'' : X \to \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^n, \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m))$$. यहाँ, का कोडोमेन $$f''$$ द्विरेखीय मानचित्रों के स्थान से इसकी पहचान निम्न द्वारा की जा सकती है:
 * $$\operatorname{Hom}(\mathbb{R}^n, \operatorname{Hom}(\mathbb{R}^n, \mathbb{R}^m)) \overset{\varphi}\underset{\sim}\to \{ (\mathbb{R}^n)^2 \to \mathbb{R}^m \text{ bilinear}\}$$

कहाँ $$\varphi(g)(x, y) = g(x)y$$ और $$\varphi$$ व्युत्क्रम के साथ विशेषण है $$\psi$$ द्वारा दिए गए $$(\psi(g)x)y = g(x, y)$$. सामान्य रूप में, $$f^{(k)} = (f^{(k-1)})'$$ से एक नक्शा है $$X$$ के स्थान पर $$k$$-बहुरेखीय मानचित्र $$(\mathbb{R}^n)^k \to \mathbb{R}^m$$.

जिस प्रकार $$f'(x)$$ एक मैट्रिक्स (जैकोबियन मैट्रिक्स) द्वारा दर्शाया जाता है, जब $$m = 1$$ (एक द्विरेखीय मानचित्र एक द्विरेखीय रूप है), द्विरेखीय रूप $$f(x)$$ एक मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है जिसे हेस्सियन मैट्रिक्स कहा जाता है $$f$$ पर $$x$$; अर्थात्, वर्ग मैट्रिक्स $$H$$ आकार का $$n$$ ऐसा है कि $$f(x)(y, z) = (Hy, z)$$, जहां परिंग का तात्पर्य किसी आंतरिक उत्पाद से है $$\mathbb{R}^n$$, और $$H$$ जैकोबियन मैट्रिक्स के अलावा और कोई नहीं है $$f' : X \to (\mathbb{R}^n)^* \simeq \mathbb{R}^n$$. $$(i, j)$$वें>-वें की प्रविष्टि $$H$$ इस प्रकार स्पष्ट रूप से दिया गया है $$H_{ij} = \frac{\partial^2 f}{\partial x_i \partial x_j}(x)$$.

इसके अलावा, यदि $$f''$$ अस्तित्व में है और निरंतर है, फिर मैट्रिक्स $$H$$ सममित मैट्रिक्स है, इस तथ्य को दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता के रूप में जाना जाता है। इसे औसत मूल्य असमानता का उपयोग करके देखा जाता है। वैक्टर के लिए $$u, v$$ में $$\mathbb{R}^n$$, औसत मूल्य असमानता का दो बार उपयोग करने पर, हमारे पास है:
 * $$|\Delta_v \Delta_u f(x) - f(x)(u, v)| \le \sup_{0 < t_1, t_2 < 1} | f(x + t_1 u + t_2 v)(u, v) - f''(x)(u, v) |,$$

जो कहते हैं
 * $$f''(x)(u, v) = \lim_{s, t \to 0} (\Delta_{tv} \Delta_{su} f(x) - f(x))/(st).$$

चूँकि दाहिना भाग सममित है $$u, v$$, बाईं ओर भी ऐसा ही है: $$f(x)(u, v) = f(x)(v, u)$$. प्रेरण द्वारा, यदि $$f$$ है $$C^k$$, फिर k-बहुरेखीय मानचित्र $$f^{(k)}(x)$$ सममित है; यानी, आंशिक व्युत्पन्न लेने का क्रम कोई मायने नहीं रखता।

जैसा कि एक चर के मामले में, टेलर श्रृंखला विस्तार को भागों द्वारा एकीकरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है:
 * $$f(z+(h,k))=\sum_{a+b<n} \partial_x^a\partial_y^b f(z){h^a k^b\over a! b!} + n\int_0^1 (1-t)^{n-1} \sum_{a+b=n} \partial_x^a\partial_y^b f(z+t(h,k)){h^a k^b\over a! b!} \, dt.$$

टेलर के सूत्र में किसी फ़ंक्शन को चर द्वारा विभाजित करने का प्रभाव होता है, जिसे सूत्र के अगले विशिष्ट सैद्धांतिक उपयोग द्वारा चित्रित किया जा सकता है।

उदाहरण: होने देना $$T : \mathcal{S} \to \mathcal{S}$$ सदिश समष्टि के बीच एक रेखीय मानचित्र बनें $$\mathcal{S}$$ सुचारू कार्यों पर $$\mathbb{R}^n$$ तेजी से घटते डेरिवेटिव के साथ; अर्थात।, $$\sup |x^{\beta} \partial^{\alpha} \varphi| < \infty$$ किसी भी मल्टी-इंडेक्स के लिए $$\alpha, \beta$$. (अंतरिक्ष $$\mathcal{S}$$ श्वार्ट्ज स्थान  कहा जाता है।) प्रत्येक के लिए $$\varphi$$ में $$\mathcal{S}$$, टेलर का सूत्र बताता है कि हम लिख सकते हैं:
 * $$\varphi - \psi \varphi(y) = \sum_{j=1}^n (x_j - y_j) \varphi_j$$

साथ $$\varphi_j \in \mathcal{S}$$, कहाँ $$\psi$$ कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ एक सुचारू कार्य है और $$\psi(y) = 1$$. अब, मान लीजिए $$T$$ निर्देशांक के साथ आवागमन; अर्थात।, $$T (x_j \varphi) = x_j T\varphi$$. तब
 * $$T\varphi - \varphi(y) T\psi = \sum_{j=1}^n (x_j - y_j) T\varphi_j$$.

उपरोक्त का मूल्यांकन करते हुए $$y$$, हम पाते हैं $$T\varphi(y) = \varphi(y) T\psi(y).$$ दूसरे शब्दों में, $$T$$ किसी फ़ंक्शन द्वारा गुणन है $$m$$; अर्थात।, $$T\varphi = m \varphi$$. अब आगे मान लीजिये $$T$$ आंशिक भिन्नता के साथ आवागमन करता है। फिर हम उसे आसानी से देख पाते हैं $$m$$ एक स्थिरांक है; $$T$$ एक स्थिरांक से गुणा है.

(एक तरफ: उपरोक्त चर्चा फूरियर व्युत्क्रम सूत्र को लगभग सिद्ध करती है। वास्तव में, चलो $$F, R : \mathcal{S} \to \mathcal{S}$$ फूरियर रूपांतरण और प्रतिबिंब बनें; अर्थात।, $$(R \varphi)(x) = \varphi(-x)$$. फिर, इसमें शामिल अभिन्न अंग से सीधे निपटते हुए, कोई भी देख सकता है $$T = RF^2$$ निर्देशांक और आंशिक विभेदन के साथ आवागमन; इस तरह, $$T$$ एक स्थिरांक से गुणा है. यह लगभग एक प्रमाण है क्योंकि किसी को अभी भी इस स्थिरांक की गणना करनी है।)

टेलर सूत्र का आंशिक विपरीत भी है; बोरेल की लेम्मा और व्हिटनी विस्तार प्रमेय देखें।

व्युत्क्रम फलन प्रमेय और निमज्जन प्रमेय
ए $$C^k$$-मानचित्र के साथ $$C^k$$- व्युत्क्रम को a कहा जाता है $$C^k$$-विभिन्नरूपता. इस प्रकार, प्रमेय कहता है कि, एक मानचित्र के लिए $$f$$ एक बिंदु पर परिकल्पना को संतुष्ट करना $$x$$, $$f$$ निकट एक भिन्नरूपता है $$x, f(x).$$ प्रमाण के लिए देखें.

अंतर्निहित कार्य प्रमेय कहता है: एक नक्शा दिया $$f : \mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^m$$, अगर $$f(a, b) = 0$$, $$f$$ है $$C^k$$ के एक पड़ोस में $$(a, b)$$ और का व्युत्पन्न $$y \mapsto f(a, y)$$ पर $$b$$ उलटा है, तो एक भिन्न मानचित्र मौजूद है $$g : U \to V$$ कुछ पड़ोस के लिए $$U, V$$ का $$a, b$$ ऐसा है कि $$f(x, g(x)) = 0$$. प्रमेय व्युत्क्रम फलन प्रमेय से अनुसरण करता है; देखना.

एक अन्य परिणाम विसर्जन प्रमेय है।

यूक्लिडियन स्पेस पर इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस
एक अंतराल का विभाजन $$[a, b]$$ एक सीमित क्रम है $$a = t_0 \le t_1 \le \cdots \le t_k = b$$. एक विभाजन $$P$$ एक आयत का $$D$$ (अंतराल का उत्पाद) में $$\mathbb{R}^n$$ फिर इसके किनारों के विभाजन शामिल हैं $$D$$; यानी, अगर $$D = \prod_1^n [a_i, b_i]$$, तब $$P$$ के होते हैं $$P_1, \dots, P_n$$ ऐसा है कि $$P_i$$ का एक विभाजन है $$[a_i, b_i]$$. एक फ़ंक्शन दिया गया $$f$$ पर $$D$$, फिर हम इसके ऊपरी रीमैन योग को इस प्रकार परिभाषित करते हैं:
 * $$U(f, P) = \sum_{Q \in P} (\sup_Q f) \operatorname{vol}(Q)$$

कहाँ निचला रीमैन योग $$L(f, P)$$ का $$f$$ फिर प्रतिस्थापित करके परिभाषित किया जाता है $$\sup$$ द्वारा $$\inf$$. अंत में, समारोह $$f$$ यदि यह परिबद्ध है तो इसे पूर्णांकीय फलन कहा जाता है $$\sup \{ L(f, P) \mid P \} = \inf \{ U(f, P) \mid P \}$$. उस स्थिति में, सामान्य मान को इस प्रकार दर्शाया जाता है $$\int_D f \, dx$$. का एक उपसमुच्चय $$\mathbb{R}^n$$ कहा जाता है कि प्रत्येक के लिए माप शून्य है $$\epsilon > 0$$, कुछ संभवतः अपरिमित रूप से अनेक आयतें हैं $$D_1, D_2, \dots, $$ जिसके संघ में समुच्चय और शामिल है $$\sum_i \operatorname{vol}(D_i) < \epsilon.$$ एक प्रमुख प्रमेय है
 * $$Q$$ का एक विभाजन तत्व है $$P$$; अर्थात।, $$Q = \prod_{i = 1}^n [t_{i, j_i}, t_{i, j_i+1}]$$ कब $$P_i : a_i = t_{i, 0} \le \dots \cdots \le t_{i, k_i} = b_i$$ का एक विभाजन है $$[a_i, b_i]$$.
 * आयतन $$\operatorname{vol}(Q)$$ का $$Q$$ सामान्य यूक्लिडियन आयतन है; अर्थात।, $$\operatorname{vol}(Q) = \prod_1^n (t_{i, j_i+1} - t_{i, j_i})$$.

अगला प्रमेय हमें एक फ़ंक्शन के इंटीग्रल की गणना एक-चर में फ़ंक्शन के इंटीग्रल्स की पुनरावृत्ति के रूप में करने की अनुमति देता है:

विशेष रूप से, एकीकरण का क्रम बदला जा सकता है।

अंततः, यदि $$M \subset \mathbb{R}^n$$ एक परिबद्ध खुला उपसमुच्चय है और $$f$$ एक समारोह चालू $$M$$, फिर हम परिभाषित करते हैं $$\int_M f \, dx := \int_D \chi_M f \, dx$$ कहाँ $$D$$ एक बंद आयत है जिसमें $$M$$ और $$\chi_M$$ पर विशेषता कार्य है $$M$$; अर्थात।, $$\chi_M(x) = 1$$ अगर $$x \in M$$ और $$=0$$ अगर $$x \not\in M,$$ बशर्ते $$\chi_M f$$ अभिन्न है.

सतह अभिन्न
यदि एक घिरी हुई सतह $$M$$ में $$\mathbb{R}^3$$ द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया गया है $$\textbf{r} = \textbf{r}(u, v)$$ डोमेन के साथ $$D$$, फिर एक मापने योग्य फ़ंक्शन का सतह अभिन्न अंग $$F$$ पर $$M$$ परिभाषित और निरूपित किया गया है:
 * $$\int_M F \, dS := \int \int_D (F \circ \textbf{r}) | \textbf{r}_u \times \textbf{r}_v | \, du dv$$

अगर $$F : M \to \mathbb{R}^3$$ वेक्टर-मूल्यवान है, तो हम परिभाषित करते हैं
 * $$\int_M F \cdot dS := \int_M (F \cdot \textbf{n}) \, dS$$

कहाँ $$\textbf{n}$$ के लिए एक बाहरी इकाई सामान्य वेक्टर है $$M$$. तब से $$\textbf{n} = \frac{\textbf{r}_u \times \textbf{r}_v}{|\textbf{r}_u \times \textbf{r}_v|}$$, अपने पास:
 * $$\int_M F \cdot dS = \int \int_D (F \circ \textbf{r}) \cdot (\textbf{r}_u \times \textbf{r}_v) \, du dv = \int \int_D \det(F \circ \textbf{r}, \textbf{r}_u, \textbf{r}_v) \, dudv.$$

स्पर्शरेखा सदिश और सदिश क्षेत्र
होने देना $$c : [0, 1] \to \mathbb{R}^n$$ एक अवकलनीय वक्र बनें। फिर वक्र का स्पर्शरेखा सदिश $$c$$ पर $$t$$ एक वेक्टर है $$v$$ बिंदु पर $$c(t)$$ जिसके घटक इस प्रकार दिए गए हैं:
 * $$v = (c_1'(t), \dots, c_n'(t))$$.

उदाहरण के लिए, यदि $$c(t) = (a \cos(t), a \sin(t), bt), a > 0, b > 0$$ एक हेलिक्स है, तो t पर स्पर्शरेखा वेक्टर है:
 * $$c'(t) = (-a \sin(t), a \cos(t), b).$$

यह इस अंतर्ज्ञान से मेल खाता है कि हेलिक्स पर एक बिंदु एक स्थिर गति से ऊपर बढ़ता है।

अगर $$M \subset \mathbb{R}^n$$ एक अवकलनीय वक्र या सतह है, फिर स्पर्शरेखा स्थान $$M$$ एक बिंदु पर p अवकलनीय वक्रों के सभी स्पर्शरेखा सदिशों का समुच्चय है $$c: [0, 1] \to M$$ साथ $$c(0) = p$$.

एक सदिश क्षेत्र X, M में प्रत्येक बिंदु p के लिए एक स्पर्शरेखा सदिश है $$X_p$$ पी पर एम से इस तरह कि असाइनमेंट सुचारू रूप से बदलता रहे।

विभेदक रूप
सदिश क्षेत्र की दोहरी धारणा एक विभेदक रूप है। एक खुला उपसमुच्चय दिया गया $$M$$ में $$\mathbb{R}^n$$, परिभाषा के अनुसार, एक विभेदक रूप|अंतर 1-रूप (अक्सर केवल 1-रूप) $$\omega$$ एक बिंदु के लिए एक असाइनमेंट है $$p$$ में $$M$$ एक रैखिक कार्यात्मक $$\omega_p$$ स्पर्शरेखा स्थान पर $$T_p M$$ को $$M$$ पर $$p$$ ताकि असाइनमेंट सुचारू रूप से बदलता रहे। एक (वास्तविक या जटिल-मूल्यवान) सुचारू कार्य के लिए $$f$$, 1-फॉर्म को परिभाषित करें $$df$$ द्वारा: एक स्पर्शरेखा वेक्टर के लिए $$v$$ पर $$p$$,
 * $$df_p(v) = v(f)$$

कहाँ $$v(f)$$ के दिशात्मक व्युत्पन्न को दर्शाता है $$f$$ दिशा में $$v$$ पर $$p$$. उदाहरण के लिए, यदि $$x_i$$ है $$i$$-th समन्वय समारोह, तो $$dx_{i, p}(v) = v_i$$; अर्थात।, $$dx_{i,p}$$ मानक आधार पर दोहरे आधार हैं $$T_p M$$. फिर प्रत्येक अंतर 1-रूप $$\omega$$ के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है
 * $$\omega = f_1 \, dx_1 + \cdots + f_n \, dx_n$$

कुछ सुचारु कार्यों के लिए $$f_1, \dots, f_n$$ पर $$M$$ (चूँकि, हर बिंदु के लिए $$p$$, रैखिक कार्यात्मक $$\omega_p$$ का एक अनोखा रैखिक संयोजन है $$dx_i$$ वास्तविक संख्या से अधिक)। अधिक सामान्यतः, एक अंतर k-फॉर्म एक बिंदु के लिए एक असाइनमेंट है $$p$$ में $$M$$ एक सदिश $$\omega_p$$ में $$k$$-वीं बाहरी शक्ति $$\bigwedge^k T^*_p M$$ दोहरे स्थान का $$T^*_p M$$ का $$T_p M$$ ताकि असाइनमेंट सुचारू रूप से बदलता रहे। विशेष रूप से, 0-फ़ॉर्म एक सुचारु फ़ंक्शन के समान है। इसके अलावा, कोई भी $$k$$-प्रपत्र $$\omega$$ विशिष्ट रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$\omega = \sum_{i_1 < \cdots < i_k} f_{i_1 \dots i_k} \, dx_{i_1} \wedge \cdots \wedge dx_{i_k}$$

कुछ सुचारु कार्यों के लिए $$f_{i_1 \dots i_k}$$.

एक सुचारु कार्य की तरह, हम विभेदक रूपों को अलग और एकीकृत कर सकते हैं। अगर $$f$$ तो फिर यह एक सुचारु कार्य है $$df$$ इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$df = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i} \, dx_i$$

तब से $$v = \partial / \partial x_j |_p$$, अपने पास: $$df_p(v) = \frac{\partial f}{\partial x_j}(p) = \sum_{i=1}^n \frac{\partial f}{\partial x_i}(p) \, dx_i(v)$$. ध्यान दें कि, उपरोक्त अभिव्यक्ति में, बाईं ओर (जहां से दाईं ओर) निर्देशांक से स्वतंत्र है $$x_1, \dots, x_n$$; इस गुण को अंतर का अपरिवर्तनशीलता कहा जाता है।

संचालन $$d$$ इसे बाह्य व्युत्पन्न कहा जाता है और यह आवश्यकता के अनुसार आगमनात्मक रूप से किसी भी भिन्न रूप तक विस्तारित होता है (उत्पाद नियम)
 * $$d(\alpha \wedge \beta) = d \alpha \wedge \beta + (-1)^p \alpha \wedge d \beta.$$

कहाँ $$\alpha, \beta$$ एक पी-फॉर्म और एक क्यू-फॉर्म हैं।

बाहरी व्युत्पन्न में वह महत्वपूर्ण गुण होता है $$d \circ d = 0$$; वह है, बाहरी व्युत्पन्न $$d$$ एक भिन्न रूप का $$d \omega$$ शून्य है. यह संपत्ति दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता का परिणाम है (मिश्रित आंशिक बराबर हैं)।

सीमा और अभिविन्यास
एक वृत्त को दक्षिणावर्त या वामावर्त दिशा में उन्मुख किया जा सकता है। गणितीय रूप से, हम कहते हैं कि एक उपसमुच्चय $$M$$ का $$\mathbb{R}^n$$ यदि सामान्य सदिशों का एक सुसंगत विकल्प हो तो उन्मुख होता है $$M$$ जो लगातार बदलता रहता है. उदाहरण के लिए, एक वृत्त या, अधिक सामान्यतः, एक n-गोले को उन्मुख किया जा सकता है; यानी, ओरिएंटेबल. दूसरी ओर, एक मोबियस पट्टी (आयत की दो विपरीत भुजाओं द्वारा घुमाकर प्राप्त की गई सतह) उन्मुख नहीं हो सकती: यदि हम एक सामान्य वेक्टर से शुरू करते हैं और पट्टी के चारों ओर यात्रा करते हैं, तो अंत में सामान्य वेक्टर विपरीत दिशा की ओर इशारा करेगा।

प्रस्ताव उपयोगी है क्योंकि यह हमें वॉल्यूम फॉर्म देकर एक अभिविन्यास देने की अनुमति देता है।

विभेदक रूपों का एकीकरण
अगर $$\omega = f \, dx_1 \wedge \cdots \wedge dx_n$$ एक खुले उपसमुच्चय M पर एक विभेदक n-रूप है $$\mathbb{R}^n$$ (कोई भी एन-फॉर्म वह फॉर्म है), फिर इसका एकीकरण खत्म हो गया $$M$$ मानक अभिविन्यास के साथ इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$\int_M \omega = \int_M f \, dx_1 \cdots dx_n.$$

यदि एम को मानक एक के विपरीत अभिविन्यास दिया गया है, तो $$\int_M \omega$$ दाहिनी ओर के नकारात्मक के रूप में परिभाषित किया गया है।

फिर हमारे पास बाहरी व्युत्पन्न और एकीकरण से संबंधित मौलिक सूत्र है:

यहां सूत्र के प्रमाण का एक रेखाचित्र दिया गया है। अगर $$f$$ पर एक सुचारू कार्य है $$\mathbb{R}^n$$ कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ, तो हमारे पास है:
 * $$\int d(f \omega) = 0$$

(चूंकि, कैलकुलस के मौलिक प्रमेय द्वारा, उपरोक्त का मूल्यांकन समर्थन वाले सेट की सीमाओं पर किया जा सकता है।) दूसरी ओर,
 * $$\int d(f \omega) = \int df \wedge \omega + \int f \, d\omega.$$

होने देना $$f$$ विशेषता फ़ंक्शन पर संपर्क करें $$M$$. फिर दाहिनी ओर दूसरा पद जाता है $$\int_M d \omega$$ जबकि पहला जाता है $$-\int_{\partial M} \omega$$, कलन के मौलिक प्रमेय को सिद्ध करने के समान तर्क द्वारा। $$\square$$ सूत्र कैलकुलस के मौलिक प्रमेय के साथ-साथ बहुपरिवर्तनीय कैलकुलस में स्टोक्स प्रमेय को सामान्यीकृत करता है। वास्तव में, यदि $$M = [a, b]$$ एक अंतराल है और $$\omega = f$$, तब $$d\omega = f' \, dx$$ और सूत्र कहता है:
 * $$\int_M f' \, dx = f(b) - f(a)$$.

इसी प्रकार, यदि $$M$$ में एक उन्मुखी बंधी हुई सतह है $$\mathbb{R}^3$$ और $$\omega = f\,dx + g\,dy + h\,dz$$, तब $$d(f\,dx) = df \wedge dx = \frac{\partial f}{\partial y} \, dy \wedge dx + \frac{\partial f}{\partial z} \,dz \wedge dx$$ और इसी तरह के लिए $$d(g\,dy)$$ और $$d(g\,dy)$$. शर्तों को एकत्रित करने पर, हमें इस प्रकार मिलता है:
 * $$d\omega = \left( \frac{\partial h}{\partial y} - \frac{\partial g}{\partial z} \right) dy \wedge dz + \left( \frac{\partial f}{\partial z} - \frac{\partial h}{\partial x} \right) dz \wedge dx + \left( \frac{\partial g}{\partial x} - \frac{\partial f}{\partial y} \right) dx \wedge dy.$$

फिर, के एकीकरण की परिभाषा से $$\omega$$, अपने पास $$\int_M d \omega = \int_M (\nabla \times F) \cdot dS$$ कहाँ $$F = (f, g, h)$$ वेक्टर-वैल्यू फ़ंक्शन है और $$\nabla = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right)$$. अत: स्टोक्स का सूत्र बन जाता है
 * $$\int_M (\nabla \times F) \cdot dS = \int_{\partial M} (f\,dx + g\,dy + h\,dz),$$

जो सतहों पर स्टोक्स प्रमेय का सामान्य रूप है। ग्रीन का प्रमेय भी स्टोक्स के सूत्र का एक विशेष मामला है।

स्टोक्स का सूत्र कॉची के अभिन्न सूत्र का एक सामान्य संस्करण भी उत्पन्न करता है। जटिल चर के लिए इसे बताना और सिद्ध करना $$z = x + iy$$ और संयुग्म $$\bar z$$आइए हम ऑपरेटरों का परिचय दें
 * $$\frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right), \, \frac{\partial}{\partial \bar{z}} = \frac{1}{2}\left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right).$$

इन नोटेशन में, एक फ़ंक्शन $$f$$ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन (जटिल-विश्लेषणात्मक) है यदि और केवल यदि $$\frac{\partial f}{\partial \bar z} = 0$$ (कौची-रीमैन समीकरण)। इसके अलावा, हमारे पास है:
 * $$df = \frac{\partial f}{\partial z}dz + \frac{\partial f}{\partial \bar{z}}d \bar{z}.$$

होने देना $$D_{\epsilon} = \{ z \in \mathbb{C} \mid \epsilon < |z - z_0| < r \}$$ केंद्र के साथ एक पंचर डिस्क बनें $$z_0$$. तब से $$1/(z - z_0)$$ पर होलोमोर्फिक है $$D_{\epsilon}$$, अपने पास:
 * $$d \left( \frac{f}{z-z_0} dz \right) = \frac{\partial f}{\partial \bar z} \frac{d \bar{z} \wedge dz}{z - z_0} $$.

स्टोक्स के सूत्र द्वारा,
 * $$\int_{D_{\epsilon}} \frac{\partial f}{\partial \bar z} \frac{d \bar{z} \wedge dz}{z - z_0} = \left( \int_{|z - z_0| = r} - \int_{|z - z_0| = \epsilon} \right) \frac{f}{z-z_0} dz.$$

दे $$\epsilon \to 0$$ फिर हमें मिलता है:
 * $$2\pi i \, f(z_0) = \int_{|z - z_0| = r} \frac{f}{z-z_0} dz + \int_{|z - z_0| \le r} \frac{\partial f}{\partial \bar z} \frac{dz \wedge d \bar z}{z - z_0}.$$

घुमावदार संख्याएं और पोंकारे लेम्मा
एक भिन्न रूप $$\omega$$ यदि बंद और सटीक रूप कहा जाता है $$d\omega = 0$$ और सटीक यदि कहा जाता है $$\omega = d\eta$$ कुछ भिन्न रूप के लिए $$\eta$$ (अक्सर क्षमता कहा जाता है)। तब से $$d \circ d = 0$$, एक सटीक प्रपत्र बंद है. लेकिन यह बातचीत सामान्य रूप से लागू नहीं होती; कोई गैर-सटीक बंद प्रपत्र हो सकता है. ऐसे फॉर्म का एक उत्कृष्ट उदाहरण है:
 * $$\omega = \frac{-y}{x^2 + y^2} + \frac{x}{x^2 + y^2}$$,

जो कि एक भिन्न रूप है $$\mathbb{R}^2 - 0$$. मान लीजिए हम ध्रुवीय निर्देशांक पर स्विच करते हैं: $$x = r \cos \theta, y = r \sin \theta$$ कहाँ $$ r = \sqrt{x^2 + y^2}$$. तब
 * $$\omega = r^{-2}(-r \sin \theta \, dx + r \cos \theta \, dy) = d \theta.$$

इससे ये पता नहीं चलता $$\omega$$ सटीक है: समस्या यह है $$\theta$$ पर एक अच्छी तरह से परिभाषित सतत कार्य नहीं है $$\mathbb{R}^2 - 0$$. चूंकि कोई भी समारोह $$f$$ पर $$\mathbb{R}^2 - 0$$ साथ $$df = \omega$$ से अलग $$\theta$$ स्थिरांक से इसका मतलब यह है $$\omega$$ सटीक नहीं है. हालाँकि, गणना यह दर्शाती है $$\omega$$ सटीक है, उदाहरण के लिए, पर $$\mathbb{R}^2 - \{ x = 0 \}$$ चूँकि हम ले सकते हैं $$\theta = \arctan(y/x)$$ वहाँ।

एक परिणाम है (पोंकारे लेम्मा) जो एक शर्त देता है जो गारंटी देता है कि बंद किए गए फॉर्म सटीक हैं। इसे बताने के लिए, हमें टोपोलॉजी से कुछ धारणाओं की आवश्यकता है। दो सतत मानचित्र दिए गए $$f, g : X \to Y$$ के उपसमुच्चय के बीच $$\mathbb{R}^m, \mathbb{R}^n$$ (या अधिक आम तौर पर टोपोलॉजिकल स्पेस), से एक होमोटॉपी $$f$$ को $$g$$ एक सतत कार्य है $$H : X \times [0, 1] \to Y$$ ऐसा है कि $$f(x) = H(x, 0)$$ और $$g(x) = H(x, 1)$$. सहज रूप से, एक समरूपता एक फ़ंक्शन से दूसरे फ़ंक्शन की निरंतर भिन्नता है। एक सेट में एक लूप (टोपोलॉजी)। $$X$$ एक वक्र है जिसका प्रारंभिक बिंदु अंतिम बिंदु से मेल खाता है; अर्थात।, $$c : [0, 1] \to X$$ ऐसा है कि $$c(0) = c(1)$$. फिर का एक उपसमुच्चय $$\mathbb{R}^n$$ यदि प्रत्येक लूप एक स्थिर फ़ंक्शन के लिए समस्थानिक है तो इसे बस जुड़ा हुआ है कहा जाता है। सरलता से जुड़े सेट का एक विशिष्ट उदाहरण एक डिस्क है $$D = \{ (x, y) \mid \sqrt{x^2 + y^2} \le r \} \subset \mathbb{R}^2$$. दरअसल, एक लूप दिया गया है $$c : [0, 1] \to D$$, हमारे पास समरूपता है $$H : [0, 1]^2 \to D, \, H(x, t) = (1-t) c(x) + t c(0)$$ से $$c$$ निरंतर कार्य के लिए $$c(0)$$. दूसरी ओर, एक छिद्रित डिस्क, बस कनेक्ट नहीं होती है।

चलता हुआ फ्रेम
वेक्टर फ़ील्ड $$E_1, \dots, E_3$$ पर $$\mathbb{R}^3$$ यदि वे प्रत्येक बिंदु पर एक-दूसरे के ओर्थोगोनल हैं, तो उन्हें फ़्रेम फ़ील्ड कहा जाता है; अर्थात।, $$E_i \cdot E_j = \delta_{ij}$$ प्रत्येक बिंदु पर. मूल उदाहरण मानक फ़्रेम है $$U_i$$; अर्थात।, $$U_i(x)$$ प्रत्येक बिंदु के लिए एक मानक आधार है $$x$$ में $$\mathbb{R}^3$$. दूसरा उदाहरण बेलनाकार फ्रेम है
 * $$E_1 = \cos \theta U_1 + \sin \theta U_2, \, E_2 = -\sin \theta U_1 + \cos \theta U_2, \, E_3 = U_3.$$

किसी वक्र की ज्यामिति के अध्ययन के लिए, उपयोग किया जाने वाला महत्वपूर्ण फ्रेम फ़्रेनेट फ़्रेम  है $$T, N, B$$ एक इकाई-गति वक्र पर $$\beta : I \to \mathbb{R}^3$$ इस प्रकार दिया गया:

गॉस-बोनट प्रमेय
गॉस-बोनट प्रमेय किसी सतह की टोपोलॉजी और उसकी ज्यामिति से संबंधित है।

लैग्रेंज गुणक की विधि
सेट $$g^{-1}(0)$$ आमतौर पर इसे बाधा कहा जाता है।

उदाहरण: मान लीजिए हम वृत्त के बीच न्यूनतम दूरी ज्ञात करना चाहते हैं $$x^2 + y^2 = 1$$ और रेखा $$x + y = 4$$. इसका मतलब है कि हम फ़ंक्शन को छोटा करना चाहते हैं $$f(x, y, u, v) = (x - u)^2 + (y - v)^2$$, एक बिंदु के बीच की वर्ग दूरी $$(x, y)$$ वृत्त और एक बिंदु पर $$(u, v)$$ लाइन पर, बाधा के तहत $$g = (x^2 + y^2 - 1, u + v - 4)$$. अपने पास:
 * $$\nabla f = (2(x - u), 2(y - v), -2(x - u), -2(y - v)).$$
 * $$\nabla g_1 = (2x, 2y, 0, 0), \nabla g_2 = (0, 0, 1, 1).$$

जैकोबियन मैट्रिक्स के बाद से $$g$$ हर जगह 2 रैंक पर है $$g^{-1}(0)$$, लैग्रेंज गुणक देता है:
 * $$x - u = \lambda_1 x, \, y - v = \lambda_1 y, \, 2(x-u) = -\lambda_2, \, 2(y-v) = -\lambda_2.$$

अगर $$\lambda_1 = 0$$, तब $$x = u, y = v$$, संभव नहीं। इस प्रकार, $$\lambda_1 \ne 0$$ और
 * $$x = \frac{x-u}{\lambda_1}, \, y = \frac{y-v}{\lambda_1}.$$

इससे यह बात आसानी से समझ में आ जाती है $$x = y = 1/\sqrt{2}$$ और $$u = v = 2$$. अत: न्यूनतम दूरी है $$2\sqrt{2} - 1$$ (न्यूनतम दूरी स्पष्ट रूप से मौजूद है)।

यहां रैखिक बीजगणित का एक अनुप्रयोग है। होने देना $$V$$ एक परिमित-आयामी वास्तविक वेक्टर स्थान बनें और $$T : V \to V$$ एक स्व-सहायक ऑपरेटर। हम दिखाएंगे $$V$$ के eigenvectors से युक्त एक आधार है $$T$$ (अर्थात।, $$T$$ विकर्णीय है) के आयाम पर प्रेरण द्वारा $$V$$. आधार का चयन करना $$V$$ हम पहचान सकते हैं $$V = \mathbb{R}^n$$ और $$T$$ मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है $$[a_{ij}]$$. फ़ंक्शन पर विचार करें $$f(x) = (Tx, x)$$, जहां ब्रैकेट का मतलब आंतरिक उत्पाद है। तब $$\nabla f = 2(\sum a_{1i} x_i, \dots, \sum a_{ni} x_i)$$. दूसरी ओर, के लिए $$g = \sum x_i^2 - 1$$, तब से $$g^{-1}(0)$$ सघन है, $$f$$ एक बिंदु पर अधिकतम या न्यूनतम प्राप्त करता है $$u$$ में $$g^{-1}(0)$$. तब से $$\nabla g = 2(x_1, \dots, x_n)$$, लैग्रेंज गुणक द्वारा, हम एक वास्तविक संख्या पाते हैं $$\lambda$$ ऐसा है कि $$2 \sum_i a_{ji} u_i = 2 \lambda u_j, 1 \le j \le n.$$ लेकिन इसका मतलब है $$Tu = \lambda u$$. आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, स्व-सहायक संचालिका $$T : W \to W$$, $$W$$ ओर्थोगोनल पूरक $$u$$, eigenvectors से युक्त एक आधार है। इसलिए, हमारा काम हो गया। $$\square$$.

कमजोर व्युत्पन्न
माप-शून्य सेट तक, दो कार्यों को अन्य कार्यों (जिन्हें परीक्षण फ़ंक्शन कहा जाता है) के विरुद्ध एकीकरण के माध्यम से बराबर या नहीं निर्धारित किया जा सकता है। अर्थात्, निम्नलिखित को कभी-कभी विविधताओं के कलन की मौलिक प्रमेयिका कहा जाता है:

एक सतत कार्य दिया गया $$f$$, लेम्मा द्वारा, एक निरंतर भिन्न कार्य $$u$$ इस प्रकार कि $$\frac{\partial u}{\partial x_i} = f$$ अगर और केवल अगर
 * $$\int \frac{\partial u}{\partial x_i} \varphi \, dx = \int f \varphi \, dx$$

हरएक के लिए $$\varphi \in C_c^{\infty}(M)$$. लेकिन, भागों द्वारा एकीकरण द्वारा, बाईं ओर आंशिक व्युत्पन्न $$u$$ के उस पर ले जाया जा सकता है $$\varphi$$; अर्थात।,
 * $$-\int u \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} \, dx = \int f \varphi \, dx$$

जहाँ से कोई सीमा शब्द नहीं है $$\varphi$$ कॉम्पैक्ट समर्थन है. अब मुख्य बात यह है कि यह अभिव्यक्ति भले ही समझ में आती हो $$u$$ यह आवश्यक रूप से भिन्न नहीं है और इस प्रकार ऐसे फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को समझने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है।

प्रत्येक स्थानीय रूप से एकीकृत फ़ंक्शन पर ध्यान दें $$u$$ रैखिक कार्यात्मकता को परिभाषित करता है $$\varphi \mapsto \int u \varphi \, dx$$ पर $$C_c^{\infty}(M)$$ और, इसके अलावा, प्रारंभिक लेम्मा के कारण, प्रत्येक स्थानीय रूप से एकीकृत फ़ंक्शन को ऐसे रैखिक फ़ंक्शनल के साथ पहचाना जा सकता है। इसलिए, सामान्यतः, यदि $$u$$ पर एक रैखिक कार्यात्मक है $$C_c^{\infty}(M)$$, फिर हम परिभाषित करते हैं $$\frac{\partial u}{\partial x_i}$$ रैखिक कार्यात्मक होना $$\varphi \mapsto -\left \langle u, \frac{\partial \varphi}{\partial x_i} \right\rangle$$ जहां ब्रैकेट का मतलब है $$\langle \alpha, \varphi \rangle = \alpha(\varphi)$$. तब इसे इसका कमजोर व्युत्पन्न कहा जाता है $$u$$ इसके संबंध में $$x_i$$. अगर $$u$$ निरंतर अवकलनीय है, तो इसका कमजोर व्युत्पन्न सामान्य के साथ मेल खाता है; यानी, रैखिक कार्यात्मक $$\frac{\partial u}{\partial x_i}$$ के सामान्य आंशिक व्युत्पन्न द्वारा निर्धारित रैखिक कार्यात्मक के समान है $$u$$ इसके संबंध में $$x_i$$. एक सामान्य व्युत्पन्न को अक्सर शास्त्रीय व्युत्पन्न कहा जाता है। जब एक रैखिक कार्यात्मक पर $$C_c^{\infty}(M)$$ एक निश्चित टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर है $$C_c^{\infty}(M)$$, ऐसे रैखिक कार्यात्मक को वितरण (गणित) कहा जाता है, जो एक सामान्यीकृत फ़ंक्शन का एक उदाहरण है।

कमजोर व्युत्पन्न का एक उत्कृष्ट उदाहरण हेविसाइड फ़ंक्शन है $$H$$, अंतराल पर विशेषता कार्य $$(0, \infty)$$. प्रत्येक परीक्षण फ़ंक्शन के लिए $$\varphi$$, अपने पास:
 * $$\langle H', \varphi \rangle = -\int_0^{\infty} \varphi' \, dx = \varphi(0).$$

होने देना $$\delta_a$$ रैखिक कार्यात्मक को निरूपित करें $$\varphi \mapsto \varphi(a)$$, जिसे डिराक डेल्टा फ़ंक्शन कहा जाता है (हालाँकि यह वास्तव में एक फ़ंक्शन नहीं है)। फिर उपरोक्त को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$H' = \delta_0.$$

कॉची के अभिन्न सूत्र की कमजोर डेरिवेटिव के संदर्भ में समान व्याख्या है। जटिल चर के लिए $$z = x + iy$$, होने देना $$E_{z_0}(z) = \frac{1}{\pi (z - z_0)}$$. एक परीक्षण समारोह के लिए $$\varphi$$, यदि डिस्क $$| z - z_0 | \le r$$ का समर्थन शामिल है $$\varphi$$कॉची के अभिन्न सूत्र द्वारा, हमारे पास है:
 * $$\varphi(z_0) = {1 \over 2 \pi i} \int \frac{\partial \varphi}{\partial \bar z} \frac{dz \wedge d \bar z}{z - z_0}.$$

तब से $$dz \wedge d \bar z = -2i dx \wedge dy$$, इसका मतलब यह है:
 * $$\varphi(z_0) = -\int E_{z_0} \frac{\partial \varphi}{\partial \bar z} dxdy = \left\langle \frac{\partial E_{z_0}}{\partial \bar z}, \varphi \right \rangle,$$

या
 * $$\frac{\partial E_{z_0}}{\partial \bar z} = \delta_{z_0}.$$ सामान्य तौर पर, एक सामान्यीकृत फ़ंक्शन को रैखिक आंशिक अंतर ऑपरेटर के लिए मौलिक समाधान कहा जाता है यदि ऑपरेटर का अनुप्रयोग डायराक डेल्टा है। इसलिए, ऊपर कहा गया है $$E_{z_0}$$ विभेदक ऑपरेटर के लिए मौलिक समाधान है $$\partial/\partial \bar z$$.

अनेक गुना की परिभाषा

 * इस अनुभाग के लिए सामान्य टोपोलॉजी में कुछ पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है।

कई गुना एक हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसे स्थानीय रूप से यूक्लिडियन स्पेस द्वारा मॉडल किया गया है। परिभाषा के अनुसार, एक टोपोलॉजिकल स्पेस का एटलस (गणित)। $$M$$ मानचित्रों का एक सेट है $$\varphi_i : U_i \to \mathbb{R}^n$$, जिसे चार्ट कहा जाता है, जैसे कि परिभाषा के अनुसार, मैनिफोल्ड एक अधिकतम एटलस (जिसे एक भिन्न संरचना कहा जाता है) के साथ एक दूसरी-गणनीय हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस है; मैक्सिमम का मतलब है कि यह सख्ती से बड़े एटलस में शामिल नहीं है। अनेक गुना का आयाम $$M$$ मॉडल यूक्लिडियन स्पेस का आयाम है $$\mathbb{R}^n$$; अर्थात्, $$n$$ और मैनिफोल्ड को एन-मैनिफोल्ड कहा जाता है जब इसका आयाम एन होता है। मैनिफ़ोल्ड पर एक फ़ंक्शन $$M$$ यदि चिकनी कहा जाता है $$f|_U \circ \varphi^{-1}$$ चिकनी है $$\varphi(U)$$ प्रत्येक चार्ट के लिए $$\varphi : U \to \mathbb{R}^n$$ भिन्न संरचना में.
 * $$U_i$$ का एक खुला आवरण हैं $$M$$; यानी, प्रत्येक $$U_i$$ खुला है और $$M = \cup_i U_i$$,
 * $$\varphi_i : U_i \to \varphi_i(U_i)$$ एक समरूपता है और
 * $$\varphi_j \circ \varphi_i^{-1} : \varphi_i(U_i \cap U_j) \to \varphi_j(U_i \cap U_j)$$ चिकना है; इस प्रकार एक भिन्नतावाद।

मैनिफोल्ड पैराकॉम्पैक्ट स्पेस है; इसका निहितार्थ यह है कि यह किसी दिए गए खुले आवरण के अधीन एकता के विभाजन को स्वीकार करता है।

अगर $$\mathbb{R}^n$$ ऊपरी आधे स्थान द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$\mathbb{H}^n$$, तब हमें सीमा के साथ अनेक गुना की धारणा प्राप्त होती है। बिंदुओं का समूह जो की सीमा को दर्शाता है $$\mathbb{H}^n$$ चार्ट के अंतर्गत इसे दर्शाया गया है $$\partial M$$ और की सीमा कहलाती है $$M$$. यह सीमा टोपोलॉजिकल सीमा नहीं हो सकती है $$M$$. के आंतरिक भाग के बाद से $$\mathbb{H}^n$$ से भिन्न है $$\mathbb{R}^n$$, मैनिफोल्ड खाली सीमा के साथ एक मैनिफोल्ड-विथ-बाउंड्री है।

अगला प्रमेय अनेक गुनाओं के कई उदाहरण प्रस्तुत करता है।

उदाहरण के लिए, के लिए $$g(x) = x_1^2 + \cdots + x_{n+1}^2 - 1$$, व्युत्पन्न $$g'(x) = \begin{bmatrix}2 x_1 & 2 x_2 & \cdots & 2 x_{n+1}\end{bmatrix}$$ हर बिंदु पर एक रैंक है $$p$$ में $$g^{-1}(0)$$. इसलिए, n-गोला $$g^{-1}(0)$$ एक एन-मैनिफोल्ड है। प्रमेय को व्युत्क्रम फलन प्रमेय के परिणाम के रूप में सिद्ध किया गया है।

कई परिचित मैनिफोल्ड्स के उपसमुच्चय हैं $$\mathbb{R}^n$$. अगला सैद्धांतिक रूप से महत्वपूर्ण परिणाम कहता है कि किसी अन्य प्रकार की विविधता मौजूद नहीं है। विसर्जन एक सहज मानचित्र है जिसका अंतर विशेषणात्मक होता है। एम्बेडिंग एक ऐसा विसर्जन है जो छवि के लिए होमियोमॉर्फिक (इस प्रकार भिन्न-रूपी) होता है।

इस बात का प्रमाण कि इसमें अनेकता समाहित की जा सकती है $$\mathbb{R}^N$$ कुछ के लिए एन काफी आसान है और यहां आसानी से दिया जा सकता है। यह ज्ञात है कि मैनिफोल्ड का एक सीमित एटलस होता है $$\{ \varphi_i : U_i \to \mathbb{R}^n \mid 1 \le i \le r \}$$. होने देना $$\lambda_i$$ ऐसे सुचारु कार्य हों $$\operatorname{Supp}(\lambda_i) \subset U_i$$ और $$\{ \lambda_i = 1 \}$$ ढकना $$M$$ (उदाहरण के लिए, एकता का विभाजन)। मानचित्र पर विचार करें
 * $$f = (\lambda_1 \varphi_1, \dots, \lambda_r \varphi_r, \lambda_1, \dots, \lambda_r) : M \to \mathbb{R}^{(k+1)r}$$

यह देखना आसान है $$f$$ एक इंजेक्शन विसर्जन है. यह एम्बेडिंग नहीं हो सकता है. इसे ठीक करने के लिए, हम इसका उपयोग करेंगे:
 * $$(f, g) : M \to \mathbb{R}^{(k+1)r+1}$$

कहाँ $$g$$ एक सहज उचित मानचित्र है. एक सुचारू उचित मानचित्र का अस्तित्व एकता के विभाजन का परिणाम है। विसर्जन के मामले में बाकी सबूत के लिए देखें। $$\square$$ नैश का एम्बेडिंग प्रमेय कहता है कि, यदि $$M$$ रीमैनियन मीट्रिक से सुसज्जित है, तो एम्बेडिंग को बढ़ने के खर्च के साथ आइसोमेट्रिक माना जा सकता है $$2k$$; इसके लिए, [https://terrytao.wordpress.com/2016/05/11/notes-on-the-nash-embedding-theorem यह टी. ताओ का ब्लॉग] देखें।

ट्यूबलर पड़ोस और ट्रांसवर्सलिटी
तकनीकी रूप से महत्वपूर्ण परिणाम है:

इसे मैनिफ़ोल्ड पर रीमैनियन मीट्रिक डालकर सिद्ध किया जा सकता है $$M$$. दरअसल, मीट्रिक का चुनाव सामान्य बंडल बनाता है $$\nu_i$$ के लिए एक पूरक बंडल $$TN$$; अर्थात।, $$TM|_N$$ का सीधा योग है $$TN$$ और $$\nu_N$$. फिर, मीट्रिक का उपयोग करके, हमारे पास घातांकीय मानचित्र होता है $$\exp : U \to V$$ कुछ पड़ोस के लिए $$U$$ का $$N$$ सामान्य बंडल में $$\nu_N$$ किसी पड़ोस में $$V$$ का $$N$$ में $$M$$. यहां घातांकीय मानचित्र अंतःक्षेपी नहीं हो सकता है लेकिन इसे सिकुड़कर अंतःक्षेपी (इस प्रकार भिन्नरूपी) बनाना संभव है $$U$$ (अभी के लिए, देखें )।

अनेक गुना और वितरण घनत्व पर एकीकरण
मैनिफोल्ड्स पर एकीकरण के विषय का प्रारंभिक बिंदु यह है कि मैनिफोल्ड्स पर कार्यों को एकीकृत करने का कोई अपरिवर्तनीय तरीका नहीं है। यह स्पष्ट हो सकता है यदि हमने पूछा: एक परिमित-आयामी वास्तविक वेक्टर स्थान पर कार्यों का एकीकरण क्या है? (इसके विपरीत, विभेदीकरण करने का एक अपरिवर्तनीय तरीका है, क्योंकि परिभाषा के अनुसार, मैनिफोल्ड एक विभेदक संरचना के साथ आता है)। एकीकरण सिद्धांत को कई गुना पेश करने के कई तरीके हैं:
 * विभेदक रूपों को एकीकृत करें।
 * किसी उपाय के विरुद्ध एकीकरण करें।
 * मैनिफोल्ड को रीमानियन मेट्रिक से सुसज्जित करें और ऐसे मेट्रिक के विरुद्ध एकीकरण करें।

उदाहरण के लिए, यदि एक मैनिफ़ोल्ड यूक्लिडियन स्थान में अंतर्निहित है $$\mathbb{R}^n$$, फिर यह परिवेशी यूक्लिडियन स्थान से प्रतिबंधित लेबेस्ग माप प्राप्त करता है और फिर दूसरा दृष्टिकोण काम करता है। पहला दृष्टिकोण कई स्थितियों में ठीक है, लेकिन इसके लिए मैनिफोल्ड को उन्मुख करने की आवश्यकता होती है (और एक गैर-उन्मुख मैनिफोल्ड है जो पैथोलॉजिकल नहीं है)। तीसरा दृष्टिकोण सामान्यीकरण करता है और यह घनत्व की धारणा को जन्म देता है।

अनंत-आयामी मानक स्थानों तक विस्तार
विभेदीकरण जैसी धारणाएँ मानक स्थानों तक फैली हुई हैं।

यह भी देखें

 * सतहों की विभेदक ज्यामिति
 * फाइबर के साथ एकीकरण
 * लुसिन का प्रमेय
 * अनेक गुना पर घनत्व

संदर्भ

 * (revised 1990, Jones and Bartlett; reprinted 2014, World Scientific) [this text in particular discusses density]
 * (revised 1990, Jones and Bartlett; reprinted 2014, World Scientific) [this text in particular discusses density]
 * (revised 1990, Jones and Bartlett; reprinted 2014, World Scientific) [this text in particular discusses density]
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 * (revised 1990, Jones and Bartlett; reprinted 2014, World Scientific) [this text in particular discusses density]
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