भिन्नीय फूरियर रूपांतरण

गणित में, हार्मोनिक विश्लेषण के क्षेत्र में, फ्रैक्शनल फूरियर रूपांतरण (एफआरएफटी) फूरियर ट्रांसफॉर्म को सामान्यीकृत करने वाले रैखिक परिवर्तनों का एक परिवार है। इसे फूरियर के एन-वें पावर में बदलने के रूप में सोचा जा सकता है, जहां एन को पूर्णांक होने की आवश्यकता नहीं है - इस प्रकार, यह किसी फ़ंक्शन को समय और के बीच किसी भी मध्यवर्ती डोमेन में बदल सकता है। आवृत्ति। इसके अनुप्रयोग फ़िल्टर डिज़ाइन और सिग्नल विश्लेषण से लेकर चरण पुनर्प्राप्ति और पैटर्न पहचान तक हैं।

एफआरएफटी का उपयोग आंशिक कनवल्शन, सहसंबंध और अन्य परिचालनों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, और इसे रैखिक विहित परिवर्तन (एलसीटी) में भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। एफआरएफटी की प्रारंभिक परिभाषा एडवर्ड कॉन्डन द्वारा प्रस्तुत की गई थी, चरण-अंतरिक्ष घूर्णन के लिए ग्रीन के फ़ंक्शन को हल करके, और नामियास द्वारा भी, नॉर्बर्ट वीनर का सामान्यीकरण कार्य हर्मिट बहुपद पर.

हालाँकि, इसे सिग्नल प्रोसेसिंग में व्यापक रूप से मान्यता नहीं मिली थी जब तक कि इसे 1993 के आसपास कई समूहों द्वारा स्वतंत्र रूप से पुनः प्रस्तुत नहीं किया गया था। तब से, शैनन के नमूनाकरण प्रमेय का विस्तार करने में रुचि बढ़ गई है सिग्नल के लिए जो फ्रैक्शनल फूरियर डोमेन में बैंड-सीमित हैं।

फ्रैक्शनल फूरियर ट्रांसफॉर्म के लिए एक पूरी तरह से अलग अर्थ बेली और स्वार्टज़ट्रॉबर द्वारा पेश किया गया था अनिवार्य रूप से एक z-परिवर्तन के लिए एक और नाम के रूप में, और विशेष रूप से उस मामले के लिए जो आवृत्ति स्थान में एक भिन्नात्मक राशि द्वारा स्थानांतरित किए गए असतत फूरियर परिवर्तन से मेल खाता है (एक रैखिक कलरव द्वारा इनपुट को गुणा करना) और आवृत्ति बिंदुओं के एक भिन्नात्मक सेट पर मूल्यांकन करना ( उदाहरण के लिए स्पेक्ट्रम के केवल एक छोटे से हिस्से पर विचार करना)। (ऐसे परिवर्तनों का मूल्यांकन ब्लूस्टीन के एफएफटी एल्गोरिदम द्वारा कुशलतापूर्वक किया जा सकता है।) हालांकि, अधिकांश तकनीकी साहित्य में यह शब्दावली एफआरएफटी की तुलना में उपयोग से बाहर हो गई है। इस आलेख का शेष भाग FRFT का वर्णन करता है।

परिचय
निरंतर फूरियर रूपांतरण $$\mathcal{F}$$ एक समारोह का $$f: \mathbb{R} \mapsto \mathbb{C}$$ एलपी स्पेस का एकात्मक संचालक है| $$L^2$$ वह स्थान जो फ़ंक्शन को मैप करता है $$f$$ इसके बारंबार संस्करण के लिए $$\hat{f}$$ (सभी भाव इसमें लिए गए हैं $$L^2$$ बिंदुवार के बजाय अर्थपूर्ण):

$$\hat{f}(\xi) = \int_{-\infty}^{\infty} f(x)\ e^{- 2\pi i x \xi}\,\mathrm{d}x$$ और $$f$$ इसके द्वारा निर्धारित किया जाता है $$\hat{f}$$ व्युत्क्रम परिवर्तन के माध्यम से $$\mathcal{F}^{-1}\, ,$$

$$f(x) = \int_{-\infty}^{\infty} \hat{f}(\xi)\ e^{2 \pi i \xi x}\,\mathrm{d}\xi\, .$$ आइये इसके पुनरावृत्त फलन का अध्ययन करें|n-वें पुनरावृत्त $$\mathcal{F}^{n}$$ द्वारा परिभाषित $$\mathcal{F}^{n}[f] = \mathcal{F}[\mathcal{F}^{n-1}[f]]$$ और $$\mathcal{F}^{-n} = (\mathcal{F}^{-1})^n$$ जब n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, और $$\mathcal{F}^{0}[f] = f$$. तब से उनका क्रम सीमित है $$\mathcal{F}$$ एक 4-आवधिक स्वचालितता  है: प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए $$f$$, $$\mathcal{F}^4 [f] = f$$.

अधिक सटीक रूप से, आइए हम समता ऑपरेटर का परिचय दें $$\mathcal{P}$$ जो उलट देता है $$x$$, $$\mathcal{P}[f]\colon x \mapsto f(-x)$$. फिर निम्नलिखित गुण धारण करते हैं: $$\mathcal{F}^0 = \mathrm{Id}, \qquad \mathcal{F}^1 = \mathcal{F}, \qquad \mathcal{F}^2 = \mathcal{P}, \qquad \mathcal{F}^4 = \mathrm{Id}$$ $$\mathcal{F}^3 = \mathcal{F}^{-1} = \mathcal{P} \circ \mathcal{F} = \mathcal{F} \circ \mathcal{P}.$$ एफआरएफटी रैखिक परिवर्तनों का एक परिवार प्रदान करता है जो गैर-पूर्णांक शक्तियों को संभालने के लिए इस परिभाषा को आगे बढ़ाता है $$n = 2\alpha/\pi$$ एफटी का.

परिभाषा
नोट: कुछ लेखक परिवर्तन को क्रम के अनुसार लिखते हैं $a$ कोण के बजाय $α$, किस स्थिति में $α$ आमतौर पर है $a$ बार $π/2$. हालाँकि ये दोनों रूप समतुल्य हैं, किसी को इस बात से सावधान रहना चाहिए कि लेखक किस परिभाषा का उपयोग करता है।

किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $α$, द $α$-किसी फ़ंक्शन का कोण भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण ƒ द्वारा दर्शाया जाता है $$\mathcal{F}_\alpha (u)$$ और द्वारा परिभाषित

औपचारिक रूप से, यह सूत्र केवल तभी मान्य होता है जब इनपुट फ़ंक्शन पर्याप्त रूप से अच्छे स्थान (जैसे कि एलपी स्पेस या श्वार्ट्ज स्थान ) में होता है, और घनत्व तर्क के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, सामान्य फूरियर ट्रांसफॉर्म के समान (लेख देखें), सामान्य स्थिति में. अगर $α$ π का ​​एक पूर्णांक गुणज है, तो ऊपर कोटैंजेंट और cosecant  फ़ंक्शन अलग हो जाते हैं। हालाँकि, इसे किसी फ़ंक्शन की सीमा लेकर नियंत्रित किया जा सकता है, और इंटीग्रैंड में एक डिराक डेल्टा फ़ंक्शन की ओर ले जाता है। अधिक सीधे तौर पर, चूँकि $$\mathcal{F}^2(f)=f(-t)~, \mathcal{F}_{\alpha} ~ (f) $$ बस होना चाहिए $f(t)$ या $f(−t)$ के लिए  $α$ सम और विषम संख्याओं का गुणज $π$ क्रमश।

के लिए $α = π/2$, यह सटीक रूप से निरंतर फूरियर रूपांतरण की परिभाषा बन जाती है, और इसके लिए  $α = −π/2$ यह व्युत्क्रम निरंतर फूरियर रूपांतरण की परिभाषा है।

एफआरएफटी तर्क $u$ न तो कोई स्थानिक है $x$ न ही कोई आवृत्ति $ξ$. हम देखेंगे कि इसकी व्याख्या दोनों निर्देशांकों के रैखिक संयोजन के रूप में क्यों की जा सकती है $(x,ξ)$. जब हम भेद करना चाहते हैं $α$-कोणीय भिन्नात्मक डोमेन, हम देंगे $$x_a$$ के तर्क को निरूपित करें $$\mathcal{F}_\alpha$$.

टिप्पणी: आवृत्ति एक के बजाय कोणीय आवृत्ति ω सम्मेलन के साथ, एफआरएफटी सूत्र मेहलर कर्नेल है, $$\mathcal{F}_\alpha(f)(\omega) = \sqrt{\frac{1-i\cot(\alpha)}{2\pi}} e^{i \cot(\alpha) \omega^2/2} \int_{-\infty}^\infty e^{-i\csc(\alpha) \omega t + i \cot(\alpha) t^2/2} f(t)\, dt~. $$

गुण
$α$}-वें क्रम का फ्रैक्शनल फूरियर ट्रांसफॉर्म ऑपरेटर, $$\mathcal{F}_\alpha$$, गुण हैं:

योगात्मकता
किसी भी वास्तविक कोण के लिए $α, β$, $$\mathcal{F}_{\alpha+\beta} = \mathcal{F}_\alpha \circ \mathcal{F}_\beta = \mathcal{F}_\beta \circ \mathcal{F}_\alpha.$$

रैखिकता
$$\mathcal{F}_\alpha \left [\sum\nolimits_k b_kf_k(u) \right ]=\sum\nolimits_k b_k\mathcal{F}_\alpha \left [f_k(u) \right ]$$

पूर्णांक आदेश
अगर $α$ का एक पूर्णांक गुणज है $$\pi / 2$$, तब: $$\mathcal{F}_\alpha = \mathcal{F}_{k\pi/2} = \mathcal{F}^k = (\mathcal{F})^k$$ इसके अलावा, इसका निम्नलिखित संबंध है

$$\begin{align} \mathcal{F}^2 &= \mathcal{P} && \mathcal{P}[f(u)]=f(-u)\\ \mathcal{F}^3 &= \mathcal{F}^{-1} = (\mathcal{F})^{-1} \\ \mathcal{F}^4 &= \mathcal{F}^0 = \mathcal{I} \\ \mathcal{F}^i &= \mathcal{F}^j && i \equiv j \mod 4 \end{align}$$

उलटा
$$(\mathcal{F}_\alpha)^{-1}=\mathcal{F}_{-\alpha}$$

कम्यूटेटिविटी
$$\mathcal{F}_{\alpha_1}\mathcal{F}_{\alpha_2}=\mathcal{F}_{\alpha_2}\mathcal{F}_{\alpha_1}$$

सहयोगिता
$$ \left (\mathcal{F}_{\alpha_1}\mathcal{F}_{\alpha_2} \right )\mathcal{F}_{\alpha_3} = \mathcal{F}_{\alpha_1} \left (\mathcal{F}_{\alpha_2}\mathcal{F}_{\alpha_3} \right )$$

एकात्मकता
$$\int f(u)g^*(u)du=\int f_\alpha(u)g_\alpha^*(u)du$$

समय उत्क्रमण
$$\mathcal{F}_\alpha\mathcal{P}=\mathcal{P}\mathcal{F}_\alpha$$ $$\mathcal{F}_\alpha[f(-u)]=f_\alpha(-u)$$

स्थानांतरित फ़ंक्शन का रूपांतरण
शिफ्ट और चरण शिफ्ट ऑपरेटरों को निम्नानुसार परिभाषित करें:

$$\begin{align} \mathcal{SH}(u_0)[f(u)] &= f(u+u_0) \\ \mathcal{PH}(v_0)[f(u)] &= e^{j2\pi v_0u}f(u) \end{align}$$ तब $$\begin{align} \mathcal{F}_\alpha \mathcal{SH}(u_0) &= e^{j\pi u_0^2 \sin\alpha \cos\alpha} \mathcal{PH}(u_0\sin\alpha) \mathcal{SH}(u_0\cos\alpha) \mathcal{F}_\alpha, \end{align}$$ वह है,

$$\begin{align} \mathcal{F}_\alpha [f(u+u_0)] &=e^{j\pi u_0^2 \sin\alpha \cos\alpha} e^{j2\pi uu_0 \sin\alpha} f_\alpha (u+u_0 \cos\alpha) \end{align}$$

स्केल किए गए फ़ंक्शन का रूपांतरण
स्केलिंग और चिरप गुणन ऑपरेटरों को निम्नानुसार परिभाषित करें: $$\begin{align} M(M)[f(u)] &= |M|^{-\frac{1}{2}} f \left (\tfrac{u}{M} \right) \\ Q(q)[f(u)] &= e^{-j\pi qu^2 } f(u) \end{align}$$ तब, $$\begin{align} \mathcal{F}_\alpha M(M) &= Q \left (-\cot \left (\frac{1-\cos^2 \alpha'}{\cos^2 \alpha}\alpha \right ) \right)\times M \left (\frac{\sin \alpha}{M\sin \alpha'} \right )\mathcal{F}_{\alpha'} \\ [6pt] \mathcal{F}_\alpha \left [|M|^{-\frac{1}{2}} f \left (\tfrac{u}{M} \right) \right ] &= \sqrt{\frac{1-j \cot\alpha}{1-jM^2  \cot\alpha}} e^{j\pi u^2\cot \left (\frac{1-\cos^2 \alpha'}{\cos^2 \alpha}\alpha \right )} \times f_a \left (\frac{Mu \sin\alpha'}{\sin\alpha} \right ) \end{align}$$ ध्यान दें कि भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण $$f(u/M)$$ के लघु संस्करण के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता $$f_\alpha (u)$$. बल्कि, का भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण $$f(u/M)$$ का एक स्केल्ड और चहचहा मॉड्यूलेटेड संस्करण निकला $$f_{\alpha'}(u)$$ कहाँ $$\alpha\neq\alpha'$$ एक अलग क्रम है.

आंशिक कर्नेल
एफआरएफटी एक अभिन्न परिवर्तन है $$\mathcal{F}_\alpha f (u) = \int K_\alpha (u, x) f(x)\, \mathrm{d}x$$ जहां α-कोण कर्नेल है $$K_\alpha (u, x) = \begin{cases}\sqrt{1-i\cot(\alpha)} \exp \left(i \pi (\cot(\alpha)(x^2+ u^2) -2 \csc(\alpha) u x) \right) & \mbox{if } \alpha \mbox{ is not a multiple of }\pi, \\ \delta (u - x) & \mbox{if } \alpha \mbox{ is a multiple of } 2\pi, \\ \delta (u + x) & \mbox{if } \alpha+\pi \mbox{ is a multiple of } 2\pi, \\ \end{cases}$$ यहां फिर से विशेष मामले सीमा व्यवहार के अनुरूप हैं $α$ के गुणक के पास पहुंचता है $π$.

FRFT में इसके गुठली के समान गुण हैं:
 * समरूपता: $$K_\alpha~(u, u')=K_\alpha ~(u', u)$$
 * श्लोक में: $$K_\alpha^{-1} (u, u') = K_\alpha^* (u, u') = K_{-\alpha} (u', u) $$
 * एडिटिविटी: $$K_{\alpha+\beta} (u,u') = \int K_\alpha (u, u) K_\beta (u, u')\,\mathrm{d}u''.$$

संबंधित परिवर्तन
असतत फूरियर रूपांतरण जैसे समान परिवर्तनों के संबंधित भिन्नात्मक सामान्यीकरण भी मौजूद हैं।


 * असतत भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण को ज़ीव ज़ेलेव्स्की द्वारा परिभाषित किया गया है। उप-बहुपद समय में असतत भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण के एक संस्करण को लागू करने के लिए एक क्वांटम एल्गोरिथ्म का वर्णन सोम्मा द्वारा किया गया है।
 * आंशिक [[तरंगिका परिवर्तन ]] (एफआरडब्ल्यूटी) फ्रैक्शनल फूरियर ट्रांसफॉर्म डोमेन में शास्त्रीय वेवलेट ट्रांसफॉर्म का एक सामान्यीकरण है।
 * तरंगिका परिवर्तन के संबंधित सामान्यीकरण के लिए चिरप्लेट परिवर्तन।

सामान्यीकरण
फूरियर रूपांतरण मूलतः बोसोनिक है; यह काम करता है क्योंकि यह सुपरपोज़िशन सिद्धांत और संबंधित हस्तक्षेप पैटर्न के अनुरूप है। इसमें फर्मिओनिक फूरियर रूपांतरण भी है। इन्हें अति सममित  एफआरएफटी और सुपरसिमेट्रिक रेडॉन परिवर्तन में सामान्यीकृत किया गया है।  एक भिन्नात्मक रेडॉन परिवर्तन, एक समय-आवृत्ति विश्लेषण एफआरएफटी, और एक सिम्प्लेक्टिक तरंगिका परिवर्तन भी है। क्योंकि  यह कितना घूमता है  एकात्मक संचालन पर आधारित होते हैं, वे अभिन्न परिवर्तनों की गणना के लिए उपयोगी होते हैं क्योंकि बाद वाले कार्य स्थान पर एकात्मक ऑपरेटर होते हैं। एक क्वांटम सर्किट डिज़ाइन किया गया है जो FRFT को लागू करता है।

व्याख्या
फूरियर ट्रांसफॉर्म की सामान्य व्याख्या एक टाइम डोमेन सिग्नल को फ़्रीक्वेंसी डोमेन सिग्नल में बदलने के रूप में है। दूसरी ओर, व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण की व्याख्या एक आवृत्ति डोमेन सिग्नल के समय डोमेन सिग्नल में परिवर्तन के रूप में है। फ्रैक्शनल फूरियर एक सिग्नल (या तो समय डोमेन या आवृत्ति डोमेन में) को समय और आवृत्ति के बीच के डोमेन में बदल देता है: यह समय-आवृत्ति डोमेन में एक रोटेशन है। इस परिप्रेक्ष्य को रैखिक विहित परिवर्तन द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है, जो भिन्नात्मक फूरियर परिवर्तन को सामान्यीकृत करता है और रोटेशन के अलावा समय-आवृत्ति डोमेन के रैखिक परिवर्तनों की अनुमति देता है।

उदाहरण के तौर पर नीचे दिए गए चित्र को लें. यदि समय डोमेन में सिग्नल आयताकार है (नीचे के अनुसार), तो यह आवृत्ति डोमेन में एक सिन फ़ंक्शन बन जाता है। लेकिन अगर कोई फ्रैक्शनल फूरियर ट्रांसफॉर्म को आयताकार सिग्नल पर लागू करता है, तो ट्रांसफॉर्मेशन आउटपुट समय और आवृत्ति के बीच के डोमेन में होगा। फ्रैक्शनल फूरियर ट्रांसफॉर्म समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व | समय-आवृत्ति वितरण पर एक रोटेशन ऑपरेशन है। उपरोक्त परिभाषा से, α = 0 के लिए, आंशिक फूरियर रूपांतरण लागू करने के बाद कोई परिवर्तन नहीं होगा, जबकि α = π/2 के लिए, भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण एक सादा फूरियर रूपांतरण बन जाता है, जो समय-आवृत्ति वितरण को π/ के साथ घुमाता है 2. α के अन्य मान के लिए, भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण α के अनुसार समय-आवृत्ति वितरण को घुमाता है। निम्नलिखित आंकड़ा α के विभिन्न मूल्यों के साथ भिन्नात्मक फूरियर परिवर्तन के परिणाम दिखाता है।

आवेदन
फ्रैक्शनल फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग समय आवृत्ति विश्लेषण और अंकीय संकेत प्रक्रिया  में किया जा सकता है। यह शोर को फ़िल्टर करने के लिए उपयोगी है, लेकिन इस शर्त के साथ कि यह समय-आवृत्ति डोमेन में वांछित सिग्नल के साथ ओवरलैप न हो। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें. हम शोर को खत्म करने के लिए सीधे फ़िल्टर लागू नहीं कर सकते हैं, लेकिन फ्रैक्शनल फूरियर ट्रांसफॉर्म की मदद से, हम पहले सिग्नल (वांछित सिग्नल और शोर सहित) को घुमा सकते हैं। फिर हम एक विशिष्ट फ़िल्टर लागू करते हैं, जो केवल वांछित सिग्नल को पारित करने की अनुमति देगा। इस प्रकार शोर पूरी तरह से दूर हो जाएगा। फिर हम सिग्नल को वापस घुमाने के लिए फ्रैक्शनल फूरियर ट्रांसफॉर्म का फिर से उपयोग करते हैं और हम वांछित सिग्नल प्राप्त कर सकते हैं।

इस प्रकार, समय डोमेन में केवल काट-छांट, या आवृत्ति डोमेन में समकक्ष लो पास फिल्टर का उपयोग करके, कोई समय-आवृत्ति स्थान में किसी भी उत्तल सेट को काट सकता है। इसके विपरीत, भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण के बिना समय डोमेन या आवृत्ति डोमेन टूल का उपयोग करने से केवल अक्षों के समानांतर आयतों को काटने की अनुमति मिलेगी।

फ्रैक्शनल फूरियर ट्रांसफॉर्म का क्वांटम भौतिकी में भी अनुप्रयोग होता है। उदाहरण के लिए, इनका उपयोग एंट्रोपिक अनिश्चितता संबंध तैयार करने के लिए किया जाता है, एकल फोटॉन के साथ उच्च-आयामी क्वांटम कुंजी वितरण योजनाओं में, और फोटॉन युग्मों के स्थानिक उलझाव का अवलोकन करने में। वे ऑप्टिकल सिस्टम के डिजाइन और होलोग्राफिक भंडारण दक्षता को अनुकूलित करने के लिए भी उपयोगी हैं।

यह भी देखें
अन्य समय-आवृत्ति परिवर्तन:
 * न्यूनतम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
 * भिन्नात्मक कलन
 * मेहलर कर्नेल
 * रैखिक विहित परिवर्तन
 * अल्पकालीन फूरियर रूपांतरण
 * तरंगिका परिवर्तन
 * चिरप्लेट परिवर्तन
 * शंकु-आकार वितरण फ़ंक्शन
 * द्विघात फूरियर रूपांतरण

बाहरी संबंध

 * DiscreteTFDs -- software for computing the fractional Fourier transform and time–frequency distributions
 * "Fractional Fourier Transform" by Enrique Zeleny, The Wolfram Demonstrations Project.
 * Dr YangQuan Chen's FRFT (Fractional Fourier Transform) Webpages
 * LTFAT - A free (GPL) Matlab / Octave toolbox Contains several version of the fractional Fourier transform.