डील-ग्रोव मॉडल

डील-ग्रोव मॉडल गणितीय रूप से सामग्री की सतह पर ऑक्साइड परत के विकास का वर्णन करता है। विशेष रूप से, इसका उपयोग अर्धचालक उपकरण निर्माण  में सिलिकॉन के थर्मल ऑक्सीकरण की भविष्यवाणी और व्याख्या करने के लिए किया जाता है। मॉडल पहली बार 1965 में ब्रूस डील और फेयरचाइल्ड सेमीकंडक्टर के एंड्रयू ग्रोव द्वारा प्रकाशित किया गया था, 1950 के दशक के अंत में बेल लैब्स में थर्मल ऑक्सीडेशन द्वारा सिलिकॉन  सतह निष्क्रियता  पर मोहम्मद एम. अटाला के काम पर निर्माण। यह CMOS उपकरणों के विकास और एकीकृत परिपथों के निर्माण में एक कदम के रूप में कार्य करता है।

भौतिक धारणाएँ
मॉडल मानता है कि ऑक्साइड और परिवेशी गैस के बजाय ऑक्साइड परत और सब्सट्रेट सामग्री के बीच इंटरफ़ेस पर रिडॉक्स  रासायनिक प्रतिक्रिया होती है। इस प्रकार, यह तीन घटनाओं पर विचार करता है कि ऑक्सीकरण प्रजातियां इस क्रम में गुजरती हैं:


 * 1) यह परिवेशी गैस के थोक से सतह तक फैलता है।
 * 2) यह मौजूदा ऑक्साइड परत के माध्यम से ऑक्साइड-सब्सट्रेट इंटरफेस में फैलता है।
 * 3) यह सब्सट्रेट के साथ प्रतिक्रिया करता है।

मॉडल मानता है कि इनमें से प्रत्येक चरण ऑक्सीडेंट की एकाग्रता के आनुपातिक दर पर आगे बढ़ता है। पहले चरण में, इसका अर्थ है हेनरी का नियम; दूसरे में, फिक का विसरण का नियम; तीसरे में, एक दर समीकरण#प्रथम-क्रम प्रतिक्रियाएँ|ऑक्सीडेंट के संबंध में प्रथम-क्रम प्रतिक्रिया। यह स्थिर स्थिति की स्थिति भी मानता है, यानी कि क्षणिक प्रभाव प्रकट नहीं होते हैं।

परिणाम
इन धारणाओं को देखते हुए, तीन चरणों में से प्रत्येक के माध्यम से ऑक्सीडेंट के प्रवाह को सांद्रता, भौतिक गुणों और तापमान के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।


 * $$J_{gas} = h_g (C_g- C_s)$$
 * $$J_{oxide} = D_{ox} \frac{C_s- C_i}{x}$$
 * $$J_{reacting} = k_i C_i$$

तीन फ्लक्स को एक दूसरे के बराबर सेट करके $$J_{gas} = J_{oxide} = J_{reacting}$$, निम्नलिखित संबंध प्राप्त किए जा सकते हैं:
 * $$\frac {C_i}{C_g} = \frac {1}{1+k_i/h_g+{k_ix}/D_{ox}}$$
 * $$\frac {C_s}{C_g} = \frac {1+{k_ix}/D_{ox}}{1+k_i/h_g+{k_ix}/D_{ox}}$$

एक प्रसार नियंत्रित विकास मान लिया जाए यानी जहां $$J_{oxide}$$ विकास दर, और प्रतिस्थापन को निर्धारित करता है $$C_i$$ और $$C_s$$ के अनुसार $$C_g$$ उपरोक्त दो संबंधों से में $$J_{oxide}$$ और $$J_{reacting}$$ समीकरण क्रमशः, एक प्राप्त करता है:


 * $$J_{oxide} = J_{reacting} = \frac {k_iC_g}{1+k_i/h_g+{k_ix}/D_{ox}}$$

यदि एन ऑक्साइड की एक इकाई मात्रा के अंदर ऑक्सीडेंट की एकाग्रता है, तो ऑक्साइड विकास दर को अंतर समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। इस समीकरण का हल किसी भी समय t पर ऑक्साइड की मोटाई देता है।


 * $$\frac{dx}{dt} = \frac{J_{oxide}}{N} = \frac {k_iC_g/N}{1+k_i/h_g+{k_ix}/D_{ox}}$$
 * $$x^2 + Ax = Bt + {x_i}^2 + Ax_i $$
 * $$x^2 + Ax = B(t+\tau) $$

जहां स्थिरांक $$A$$ और $$B$$ क्रमशः प्रतिक्रिया और ऑक्साइड परत के गुणों को समाहित करता है, और $$ x_i $$ ऑक्साइड की प्रारंभिक परत है जो सतह पर मौजूद थी। ये स्थिरांक इस प्रकार दिए गए हैं:
 * $$A=2 D_{ox} (\frac{1}{k_i} + \frac{1}{h_g})$$
 * $$B= \frac {2D_{ox} C_s}{N} $$
 * $$\tau = \frac{x_i^2 + A x_i}{B} $$

कहाँ $$ C_s = H P_g $$, साथ $$ H $$ हेनरी के कानून के गैस घुलनशीलता पैरामीटर होने के नाते और $$ P_g $$ विसरित गैस का आंशिक दबाव है।

x पैदावार के लिए द्विघात समीकरण को हल करना:
 * $$x(t) = \frac{-A+\sqrt{{A^2}+4(B)(t+\tau)}}{2}$$

उपरोक्त समीकरण की छोटी और लंबी समय सीमा लेने से ऑपरेशन के दो मुख्य तरीके सामने आते हैं। पहला मोड, जहां विकास रैखिक होता है, प्रारंभ में होता है $$t+\tau$$ छोटा है। दूसरा मोड एक द्विघात वृद्धि देता है और तब होता है जब ऑक्सीकरण समय बढ़ने पर ऑक्साइड गाढ़ा हो जाता है।
 * $$t+\tau \ll \frac{A^2}{4B} \Rightarrow x(t) = \frac{B}{A}(t+\tau)$$
 * $$t+\tau \gg \frac{A^2}{4B} \Rightarrow x(t) = \sqrt{B(t+\tau)}$$

मात्रा बी और बी/ए को अक्सर द्विघात और रैखिक प्रतिक्रिया दर स्थिरांक कहा जाता है। वे तापमान पर घातीय रूप से निर्भर करते हैं, जैसे:
 * $$B = B_0 e^{-E_A/kT}; \quad B/A = (B/A)_0 e^{-E_A/kT} $$

कहाँ $$E_A$$ सक्रियण ऊर्जा है और $$k$$ ईवी में बोल्ट्जमैन कॉन्स्टेंट है। $$E_A$$ एक समीकरण से दूसरे समीकरण में भिन्न होता है। निम्न तालिका एकल-क्रिस्टल सिलिकॉन के लिए चार मापदंडों के मूल्यों को आमतौर पर उद्योग (कम डोपिंग (सेमीकंडक्टर), वातावरण (यूनिट) दबाव) में उपयोग की जाने वाली स्थितियों के तहत सूचीबद्ध करती है। रैखिक दर स्थिरांक क्रिस्टल के अभिविन्यास पर निर्भर करता है (आमतौर पर सतह का सामना करने वाले क्रिस्टल विमान के मिलर सूचकांकों द्वारा इंगित किया जाता है)। तालिका और सिलिकॉन के लिए मान देती है।

सिलिकॉन के लिए वैधता
डील-ग्रोव मॉडल अधिकांश परिस्थितियों में सिंगल-क्रिस्टल सिलिकॉन के लिए बहुत अच्छा काम करता है। हालाँकि, प्रायोगिक डेटा से पता चलता है कि बहुत पतले ऑक्साइड (लगभग 25 नैनोमीटर से कम) बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं $$O_2$$ मॉडल की भविष्यवाणी की तुलना में। सिलिकॉन नैनोस्ट्रक्चर (उदाहरण के लिए, सिलिकॉन नैनोवायर) में यह तेजी से विकास आम तौर पर आत्म-सीमित ऑक्सीकरण के रूप में जाने वाली प्रक्रिया में घटते ऑक्सीकरण कैनेटीक्स द्वारा पीछा किया जाता है, जो डील-ग्रोव मॉडल के संशोधन की आवश्यकता होती है।

यदि किसी विशेष ऑक्सीकरण चरण में विकसित ऑक्साइड 25 एनएम से अधिक हो जाता है, तो असामान्य वृद्धि दर के लिए एक साधारण समायोजन खाता है। मॉडल मोटे ऑक्साइड के लिए सटीक परिणाम देता है, यदि शून्य प्रारंभिक मोटाई (या 25 एनएम से कम कोई प्रारंभिक मोटाई) मानने के बजाय, हम मानते हैं कि ऑक्सीकरण शुरू होने से पहले 25 एनएम ऑक्साइड मौजूद है। हालांकि, इस दहलीज के निकट या पतले आक्साइड के लिए, अधिक परिष्कृत मॉडल का उपयोग किया जाना चाहिए।

1980 के दशक में, यह स्पष्ट हो गया कि डील-ग्रोव मॉडल के लिए एक अद्यतन उपरोक्त पतले ऑक्साइड (स्व-सीमित मामलों) को मॉडल करने के लिए आवश्यक है। 1985 [2] का मसूद मॉडल एक ऐसा दृष्टिकोण है जो अधिक सटीक रूप से पतले ऑक्साइड का मॉडल करता है। मसूद मॉडल विश्लेषणात्मक है और समानांतर ऑक्सीकरण तंत्र पर आधारित है। यह डील-ग्रोव मॉडल के मापदंडों को दर-वृद्धि शर्तों के अतिरिक्त प्रारंभिक ऑक्साइड वृद्धि के बेहतर मॉडल के लिए बदलता है।

डील-ग्रोव मॉडल पॉलीक्रिस्टलाइन सिलिकॉन (पॉली-सिलिकॉन) के लिए भी विफल रहता है। सबसे पहले, क्रिस्टल अनाज का यादृच्छिक अभिविन्यास रैखिक दर स्थिरांक के लिए एक मान चुनना मुश्किल बनाता है। दूसरा, ऑक्सीडेंट अणु अनाज की सीमाओं के साथ तेजी से फैलते हैं, जिससे कि पॉली-सिलिकॉन एकल-क्रिस्टल सिलिकॉन की तुलना में अधिक तेज़ी से ऑक्सीकरण करता है।

डोपेंट परमाणु सिलिकॉन जाली को तनाव देते हैं, और आने वाली ऑक्सीजन के साथ सिलिकॉन परमाणुओं के बंधन को आसान बनाते हैं। इस प्रभाव को कई मामलों में उपेक्षित किया जा सकता है, लेकिन भारी मात्रा में डोप किया गया सिलिकॉन काफी तेजी से ऑक्सीकरण करता है। परिवेशी गैस का दबाव भी ऑक्सीकरण दर को प्रभावित करता है।

बाहरी संबंध

 * Online Calculator including pressure, doping, and thin oxide effects