दृढ़ पिण्ड

भौतिकी में, एक दृढ़ पिंड (जिसे कठोर वस्तु के रूप में भी जाना जाता है ) एक ठोस पिंड होता है जिसमें विरूपण शून्य या इतना छोटा है कि इसे उपेक्षित किया जा सकता है। दृढ़ पिंड पर दिए गए किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी बाह्य शक्ति या उस पर लगाए गए क्षणों पर ध्यान दिए बिना समय में स्थिर रहती है। एक दृढ़ पिंड को सामान्यतः द्रव्यमान का निरंतर वितरण माना जाता है।

विशिष्ट आपेक्षिकता के अध्ययन में, एक पूरी तरह से दृढ़ पिंड प्रचलित नहीं है; और वस्तुओं को केवल तभी दृढ़ माना जा सकता है जब वे प्रकाश की गति के निकट नहीं चल रहे हों। क्वांटम यांत्रिकी में, एक दृढ़ पिंड को सामान्यतः बिंदु द्रव्यमानों के संग्रह के रूप में माना जाता है। उदाहरण के लिए, अणु (बिंदु द्रव्यमान से मिलकर: इलेक्ट्रॉन और नाभिक) को प्रायः दृढ़ पिंड के रूप में देखा जाता है (कठोर घूर्णक के रूप में अणुओं का वर्गीकरण देखें)।

रैखिक और कोणीय स्थिति
दृढ़ पिंड की स्थिति उन सभी कणों की स्थिति है जिनसे यह बना है। इस स्थिति के विवरण को सरल बनाने के लिए, हम उस संपत्ति का उपयोग करते हैं जो पिंड कठोर है, अर्थात् इसके सभी कण एक दूसरे के सापेक्ष समान दूरी बनाए रखते हैं। यदि पिंड दृढ़ है, तो यह कम से कम तीन असंरेखीय कणों की स्थिति का वर्णन करने के लिए पर्याप्त है। यह अन्य सभी कणों की स्थिति को फिर से बनाना संभव बनाता है, प्रविहित तीन चयनित कणों के सापेक्ष उनकी काल-अपरिवर्तनीय स्थिति ज्ञात हो। तथापि, सामान्यतः एक अलग, गणितीय रूप से अधिक सुविधाजनक, लेकिन समतुल्य दृष्टिकोण का उपयोग किया जाता है। पूरे पिंड की स्थिति को निम्न द्वारा दर्शाया जाता है:
 * 1) पिंड की रैखिक स्थिति या स्थिति, अर्थात् पिंड के कणों में से एक की स्थिति, विशेष रूप से एक संदर्भ बिंदु के रूप में चुनी गई (सामान्यतः द्रव्यमान के केंद्र या पिंड के केन्द्रक के साथ संयोगात्मक होती है), साथ में
 * 2) पिंड की कोणीय स्थिति (अभिविन्यास या दृष्टिकोण के रूप में भी जाना जाता है)।

इस प्रकार, एक दृढ़ पिंड की स्थिति में दो घटक होते हैं: क्रमशः रैखिक और कोणीय। एक दृढ़ पिंड की गति का वर्णन करने वाली अन्य शुद्धगतिक और गतिज मात्राओं के लिए भी यही सच है, जैसे रैखिक और कोणीय वेग, त्वरण, संवेग, आवेग (भौतिकी), और गतिज ऊर्जा।

रेखीय स्थिति के अंतराल में एक स्वेच्छ संदर्भ बिंदु (एक चुनिंदा समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति) और इसकी सलाह दृढ़ पिंड पर रुचि के स्वेच्छ बिंदु पर, सामान्यतः इसके द्रव्यमान या केन्द्रक के केंद्र के साथ संयोगात्मक है। यह संदर्भ बिंदु पिंड के लिए निर्धारित समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति को परिभाषित कर सकता है।

दृढ़ पिंड के अभिविन्यास (ज्यामिति) का संख्यात्मक रूप से वर्णन करने के कई तरीके हैं, जिसमें तीन यूलर कोणों का एक सेट, एक चतुर्धातुक, या एक दिशा कोसाइन # कार्टेशियन निर्देशांक (जिसे रोटेशन मैट्रिक्स भी कहा जाता है) शामिल हैं। ये सभी विधियाँ वास्तव में एक आधार (रैखिक बीजगणित) (या समन्वय प्रणाली) के अभिविन्यास को परिभाषित करती हैं, जिसमें पिंड के सापेक्ष एक निश्चित अभिविन्यास होता है (अर्थात पिंड के साथ घूमता है), दूसरे आधार सेट (या समन्वय प्रणाली) के सापेक्ष, जिससे दृढ़ पिंड की गति देखी जाती है। उदाहरण के लिए, एक हवाई जहाज के सापेक्ष निश्चित अभिविन्यास के साथ निर्धारित आधार को तीन ऑर्थोगोनल इकाई वेक्टर बी के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।1, बी2, बी3, ऐसा कि बी1 विंग की कॉर्ड लाइन के समानांतर है और आगे की ओर निर्देशित है, b2 समरूपता के तल के लिए सामान्य है और दाईं ओर निर्देशित है, और b3 क्रॉस उत्पाद द्वारा दिया जाता है $$ b_3 = b_1 \times b_2 $$.

सामान्य तौर पर, जब एक दृढ़ पिंड चलता है, तो समय के साथ इसकी स्थिति और अभिविन्यास दोनों अलग-अलग होते हैं। कीनेमेटिक अर्थ में, इन परिवर्तनों को क्रमशः अनुवाद (भौतिकी) और ROTATION के रूप में संदर्भित किया जाता है। दरअसल, एक दृढ़ पिंड की स्थिति को एक काल्पनिक संदर्भ स्थिति से शुरू होने वाले पिंड के एक काल्पनिक अनुवाद और रोटेशन (रोटो-अनुवाद) के रूप में देखा जा सकता है (जरूरी नहीं कि वास्तव में इसकी गति के दौरान पिंड द्वारा ली गई स्थिति के साथ मेल खाता हो)।

रैखिक और कोणीय वेग
वेग (जिसे रेखीय वेग भी कहा जाता है) और कोणीय वेग को संदर्भ के एक फ्रेम के संबंध में मापा जाता है।

एक दृढ़ पिंड का रैखिक वेग एक वेक्टर (ज्यामिति) मात्रा है, जो इसकी रैखिक स्थिति के व्युत्पन्न समय के बराबर है। इस प्रकार, यह पिंड के लिए निर्धारित एक संदर्भ बिंदु का वेग है। विशुद्ध रूप से स्थानांतरीय गति (घूर्णन रहित गति) के दौरान, दृढ़ पिंड के सभी बिंदु समान वेग से गति करते हैं। हालांकि, जब गति (भौतिकी) में रोटेशन शामिल होता है, तो पिंड पर किन्हीं दो बिंदुओं का तात्कालिक वेग सामान्यतः समान नहीं होगा। एक घूर्णन पिंड के दो बिंदुओं का तात्क्षणिक वेग तभी होगा जब वे घूर्णन के तात्क्षणिक अक्ष के समांतर अक्ष पर हों।

कोणीय वेग एक वेक्टर (ज्यामिति) मात्रा है जो कोणीय गति का वर्णन करता है जिस पर दृढ़ पिंड का अभिविन्यास बदल रहा है और घूर्णन के तात्कालिक अक्ष जिसके बारे में यह घूर्णन कर रहा है (इस तात्कालिक धुरी का अस्तित्व यूलर के रोटेशन प्रमेय द्वारा गारंटीकृत है). दृढ़ पिंड के सभी बिंदु हर समय समान कोणीय वेग का अनुभव करते हैं। विशुद्ध रूप से घूर्णी गति के दौरान, पिंड के सभी बिंदुओं की स्थिति बदल जाती है सिवाय उनके जो घूर्णन के तात्क्षणिक अक्ष पर स्थित होते हैं। अभिविन्यास और कोणीय वेग के बीच का संबंध सीधे स्थिति और वेग के बीच के संबंध के अनुरूप नहीं है। कोणीय वेग अभिविन्यास का समय व्युत्पन्न नहीं है, क्योंकि अभिविन्यास सदिश के रूप में ऐसी कोई अवधारणा नहीं है जो कोणीय वेग प्राप्त करने के लिए व्युत्पन्न हो सकती है।

कोणीय वेग के लिए जोड़ प्रमेय
एक संदर्भ फ्रेम N में एक दृढ़ पिंड B का कोणीय वेग, N में एक दृढ़ पिंड D के कोणीय वेग और D के संबंध में B के कोणीय वेग के योग के बराबर है:
 * $$ {}^\mathrm{N}\!\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B} = {}^\mathrm{N}\!\boldsymbol{\omega}^\mathrm{D} + {}^\mathrm{D}\!\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B}.$$

इस मामले में, कठोर निकाय और संदर्भ फ़्रेम अप्रभेद्य और पूरी तरह से विनिमेय हैं।

स्थिति के लिए अतिरिक्त प्रमेय
तीन बिंदुओं पी, क्यू, और आर के किसी भी सेट के लिए, पी से आर की स्थिति वेक्टर पी से क्यू की स्थिति वेक्टर और क्यू से आर की स्थिति वेक्टर का योग है:


 * $$ \mathbf{r}^\mathrm{PR} = \mathbf{r}^\mathrm{PQ} + \mathbf{r}^\mathrm{QR}.$$

स्थिति सदिश का मानक स्थानिक दूरी है। यहाँ सभी तीन सदिशों के निर्देशांकों को समान अभिविन्यास वाले निर्देशांक फ़्रेमों में व्यक्त किया जाना चाहिए।

वेग की गणितीय परिभाषा
संदर्भ फ्रेम एन में बिंदु पी के वेग को ओ से पी स्थिति वेक्टर के एन में समय व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:
 * $$ {}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{P} = \frac{{}^\mathrm{N}\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}(\mathbf{r}^\mathrm{OP}) $$

जहां ओ संदर्भ फ्रेम एन में तय किया गया कोई मनमाना बिंदु है, और डी/डीटी ऑपरेटर के बाईं ओर एन इंगित करता है कि व्युत्पन्न को संदर्भ फ्रेम एन में लिया जाता है। परिणाम ओ के चयन से स्वतंत्र होता है जब तक ओ तय हो जाता है इन।

त्वरण की गणितीय परिभाषा
संदर्भ फ्रेम N में बिंदु P के त्वरण को इसके वेग के N में समय व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:


 * $$ {}^\mathrm{N}\mathbf{a}^\mathrm{P} = \frac{^\mathrm{N}\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} ({}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{P}).$$

दृढ़ पिण्ड पर स्थिर दो बिन्दुओं का वेग
दो बिंदु P और Q के लिए जो एक कठोर पिंड B पर स्थिर हैं, जहाँ B का कोणीय वेग है $$\scriptstyle{^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B}}$$ संदर्भ फ्रेम N में, N में Q के वेग को N में P के वेग के फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$ {}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{Q} = {}^\mathrm{N}\!\mathbf{v}^\mathrm{P} + {}^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B} \times \mathbf{r}^\mathrm{PQ}.$$

कहाँ $$\mathbf{r}^\mathrm{PQ} $$ P से Q तक स्थिति सदिश है। एन में व्यक्त निर्देशांक के साथ (या एन के समान अभिविन्यास वाला एक फ्रेम।) यह संबंध पी और क्यू के बीच मानक दूरी के अस्थायी आक्रमण से प्राप्त किया जा सकता है।

दृढ़ पिण्ड पर स्थिर दो बिन्दुओं का त्वरण
क्रॉस_प्रोडक्ट # डिफरेंशिएशन द्वारा समय के संबंध में एन में एक दृढ़ पिंड पर तय किए गए दो बिंदुओं के वेग के लिए समीकरण, एक दृढ़ पिंड बी पर तय बिंदु क्यू के संदर्भ फ्रेम एन में त्वरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$ {}^\mathrm{N}\mathbf{a}^\mathrm{Q} = {}^\mathrm{N}\mathbf{a}^\mathrm{P} + {}^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B} \times \left( {}^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B} \times \mathbf{r}^\mathrm{PQ} \right) + {}^\mathrm{N}\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{B} \times \mathbf{r}^\mathrm{PQ} $$

कहाँ $$\scriptstyle{{}^\mathrm{N}\!\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{B}}$$ संदर्भ फ्रेम N में B का कोणीय त्वरण है।

दृढ़ पिंड पर स्थिर दो बिंदुओं का कोणीय वेग और त्वरण
जैसा कि दृढ़ पिंड # रैखिक और कोणीय वेग का उल्लेख किया गया है, दृढ़ पिंड बी पर सभी बिंदुओं में समान कोणीय वेग होता है $${}^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B}$$ एक निश्चित संदर्भ फ्रेम एन में, और इस प्रकार समान कोणीय त्वरण $${}^\mathrm{N}\boldsymbol{\alpha}^\mathrm{B}.$$

दृढ़ पिंड पर गतिमान एक बिंदु का वेग
यदि बिंदु R दृढ़ पिंड B में गतिमान है जबकि B संदर्भ फ्रेम N में चलता है, तो N में R का वेग है


 * $$ {}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{R} = {}^\mathrm{N}\mathbf{v}^\mathrm{Q} + {}^\mathrm{B}\mathbf{v}^\mathrm{R}$$

जहां Q, B में स्थिर बिंदु है जो ब्याज की तत्काल पर R के साथ तुरंत संपाती है। यह संबंध प्रायः एक दृढ़ पिंड पर स्थिर दो बिंदुओं के वेग के संबंध के साथ संयुक्त होता है।

दृढ़ पिंड पर गति करते हुए एक बिंदु का त्वरण
पिंड B में चलते हुए बिंदु R के संदर्भ फ्रेम N में त्वरण, जबकि B फ्रेम N में घूम रहा है, द्वारा दिया गया है


 * $$ {}^\mathrm{N}\mathbf{a}^\mathrm{R} = {}^\mathrm{N}\mathbf{a}^\mathrm{Q} + {}^\mathrm{B}\mathbf{a}^\mathrm{R} + 2 {}^\mathrm{N}\boldsymbol{\omega}^\mathrm{B} \times {}^\mathrm{B}\mathbf{v}^\mathrm{R} $$

जहां Q, B में स्थिर बिंदु है जो ब्याज की तत्काल पर R के साथ तुरंत संपाती है। यह समीकरण प्रायः दृढ़ पिंड पर तय दो बिंदुओं के त्वरण के साथ जोड़ा जाता है।

अन्य मात्राएँ
यदि C पिंड से जुड़ी एक स्थानीय समन्वय प्रणाली L का मूल है, दृढ़ पिंड के 'स्थानिक' या 'पेंच सिद्धांत # ट्विस्ट' 'त्वरण' को सी के स्थानिक त्वरण के रूप में परिभाषित किया गया है (उपरोक्त भौतिक त्वरण के विपरीत): $$ \boldsymbol\psi(t,\mathbf{r}_0) = \mathbf{a}(t,\mathbf{r}_0) - \boldsymbol\omega(t) \times \mathbf{v}(t,\mathbf{r}_0) = \boldsymbol\psi_c(t) + \boldsymbol\alpha(t) \times A(t) \mathbf{r}_0$$ कहाँ
 * $$ \mathbf{r}_0 $$ स्थानीय समन्वय प्रणाली एल के संदर्भ में पिंड के संदर्भ बिंदु के संबंध में बिंदु / कण की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है (पिंड की कठोरता का अर्थ है कि यह समय पर निर्भर नहीं करता है)
 * $$A(t)\, $$ ओरिएंटेशन (दृढ़ पिंड) मैट्रिक्स है, निर्धारक 1 के साथ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, स्थानीय समन्वय प्रणाली एल के अभिविन्यास (दृढ़ पिंड) (कोणीय स्थिति) का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरे समन्वय प्रणाली जी के मनमाना संदर्भ अभिविन्यास के संबंध में। इस बारे में सोचें मैट्रिक्स तीन ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर के रूप में, प्रत्येक कॉलम में एक, जो G के संबंध में L के अक्षों के उन्मुखीकरण को परिभाषित करता है।
 * $$\boldsymbol\omega(t)$$ दृढ़ पिंड के कोणीय वेग का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$\mathbf{v}(t,\mathbf{r}_0)$$ बिंदु/कण के कुल वेग का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$\mathbf{a}(t,\mathbf{r}_0)$$ बिंदु/कण के कुल त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$\boldsymbol\alpha(t)$$ दृढ़ पिंड के कोणीय त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$\boldsymbol\psi(t,\mathbf{r}_0)$$ बिंदु/कण के स्थानिक त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है
 * $$\boldsymbol\psi_c(t)$$ दृढ़ पिंड के स्थानिक त्वरण का प्रतिनिधित्व करता है (यानी एल की उत्पत्ति का स्थानिक त्वरण)।

2D में, कोणीय वेग एक अदिश राशि है, और मैट्रिक्स A(t) केवल एक कोण द्वारा xy-तल में एक घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है जो समय के साथ कोणीय वेग का अभिन्न अंग है।

वाहन, चलने वाले लोग आदि सामान्यतः वेग की दिशा में परिवर्तन के अनुसार घूमते हैं: वे अपने स्वयं के अभिविन्यास के संबंध में आगे बढ़ते हैं। फिर, यदि पिंड एक विमान में एक बंद कक्षा का अनुसरण करता है, कोणीय वेग एक समय अंतराल पर एकीकृत होता है जिसमें कक्षा एक बार पूरी हो जाती है, एक पूर्णांक गुणा 360° है। वेग की उत्पत्ति के संबंध में यह पूर्णांक घुमावदार संख्या है। बहुभुज#कोणों की तुलना करें।

काइनेटिक्स
कोई भी बिंदु जो पिंड से दृढ़ता से जुड़ा हुआ है, पिंड के रैखिक गति का वर्णन करने के लिए संदर्भ बिंदु (समन्वय प्रणाली एल की उत्पत्ति) के रूप में उपयोग किया जा सकता है (रैखिक स्थिति, वेग और त्वरण वैक्टर पसंद पर निर्भर करते हैं)।

हालाँकि, आवेदन के आधार पर, एक सुविधाजनक विकल्प हो सकता है:
 * पूरे सिस्टम के द्रव्यमान का केंद्र, जिसमें सामान्यतः अंतरिक्ष में स्वतंत्र रूप से घूमने वाले पिंड के लिए सबसे सरल गति होती है;
 * एक बिंदु ऐसा है कि स्थानांतरीय गति शून्य या सरलीकृत है, उदा। एक धुरी या कब्जे पर, एक गेंद और सॉकेट जोड़ आदि के केंद्र में।

जब द्रव्यमान के केंद्र को संदर्भ बिंदु के रूप में प्रयोग किया जाता है:
 * (रैखिक) संवेग घूर्णी गति से स्वतंत्र है। किसी भी समय यह कठोर पिंड के कुल द्रव्यमान के गुणन के स्थानांतरीय वेग के बराबर होता है।
 * द्रव्यमान के केंद्र के संबंध में कोणीय गति बिना अनुवाद के समान है: किसी भी समय यह कोणीय वेग जड़ता के क्षण के बराबर होता है। जब कोणीय वेग को एक समन्वय प्रणाली के संबंध में व्यक्त किया जाता है जो पिंड के जड़ता # जड़ता के क्षण के साथ मेल खाता है, तो कोणीय गति का प्रत्येक घटक जड़ता के क्षण (जड़ता टेंसर का एक प्रमुख मूल्य) के गुणनफल का गुणनफल होता है। कोणीय वेग का संगत घटक; बल आघूर्ण जड़त्व टेंसर गुणा कोणीय त्वरण है।
 * बाहरी बलों की अनुपस्थिति में संभावित गति निरंतर वेग के साथ अनुवाद, एक निश्चित मुख्य अक्ष के बारे में स्थिर रोटेशन, और टोक़-मुक्त पुरस्सरण भी हैं।
 * कठोर पिंड पर शुद्ध बाहरी बल हमेशा स्थानांतरीय त्वरण के कुल द्रव्यमान गुणन के बराबर होता है (अर्थात्, न्यूटन के गति के नियम| न्यूटन का दूसरा नियम अनुवाद संबंधी गति के लिए लागू होता है, तब भी जब शुद्ध बाहरी बलाघूर्ण शून्य न हो, और/या पिंड घूमता है)।
 * कुल गतिज ऊर्जा केवल स्थानांतरण और घूर्णी ऊर्जा का योग है।

ज्यामिति
दो कठोर पिंडों को समानता (ऑब्जेक्ट्स) कहा जाता है (कॉपी नहीं) यदि एक से दूसरे में उचित रोटेशन नहीं होता है। एक दृढ़ पिंड को चिरायता (गणित) कहा जाता है यदि इसकी दर्पण छवि उस अर्थ में भिन्न होती है, अर्थात, यदि इसमें या तो कोई समरूपता नहीं है या इसके समरूपता समूह में केवल उचित घुमाव हैं। विपरीत स्थिति में एक वस्तु को अचिरल कहा जाता है: दर्पण छवि एक प्रति है, अलग वस्तु नहीं। ऐसी वस्तु में समरूपता का तल हो सकता है, लेकिन जरूरी नहीं: प्रतिबिंब का एक तल भी हो सकता है जिसके संबंध में वस्तु की छवि एक घुमाया हुआ संस्करण है। उत्तरार्द्ध बिंदु समूहों के लिए तीन आयामों में लागू होता है। एस2nजिनमें से मामला n = 1 उलटा समरूपता है।

एक (कठोर) आयताकार पारदर्शी शीट के लिए, व्युत्क्रम समरूपता एक तरफ घूर्णी समरूपता के बिना एक छवि और दूसरी तरफ एक ऐसी छवि से मेल खाती है, जिसके माध्यम से जो चमकता है, वह ऊपर की तरफ छवि है, उल्टा। हम दो मामलों में अंतर कर सकते हैं:
 * छवि के साथ शीट की सतह सममित नहीं है - इस मामले में दोनों पक्ष अलग-अलग हैं, लेकिन वस्तु की दर्पण छवि समान है, दर्पण तल के लंबवत अक्ष के बारे में 180° घुमाने के बाद।
 * छवि के साथ शीट की सतह में एक समरूपता अक्ष है - इस मामले में दोनों पक्ष समान हैं, और वस्तु की दर्पण छवि भी समान है, फिर से दर्पण तल के लंबवत अक्ष के बारे में 180° घुमाने के बाद।

थ्रू और थ्रू इमेज वाली शीट अचिरल होती है। हम फिर से दो मामलों में अंतर कर सकते हैं:
 * छवि वाली शीट की सतह में कोई समरूपता अक्ष नहीं है - दोनों पक्ष अलग-अलग हैं
 * छवि वाली शीट की सतह में एक समरूपता अक्ष है - दोनों पक्ष समान हैं

कॉन्फ़िगरेशन स्पेस
एक स्थिर बिंदु (अर्थात्, शून्य स्थानान्तरण गति वाला एक पिंड) के साथ एक दृढ़ पिंड का विन्यास स्थान (भौतिकी) रोटेशन समूह SO(3) के अंतर्निहित कई गुना द्वारा दिया जाता है। एक गैर-स्थिर (गैर-शून्य अनुवाद संबंधी गति के साथ) दृढ़ पिंड का विन्यास स्थान यूक्लिडियन समूह # प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष समरूपता है। ई+(3), यूक्लिडियन समूह का उपसमूह#तीन आयामों (अनुवाद (ज्यामिति) और घूर्णन के संयोजन) में यूक्लिडियन समूह के प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष आइसोमेट्रीज़।

यह भी देखें

 * कोणीय वेग
 * अक्ष सम्मेलन
 * दृढ़ पिंड की गतिशीलता
 * तिरछा-सममित मैट्रिक्स#अनंत सूक्ष्म घुमाव
 * यूलर के समीकरण (दृढ़ पिंड गतिकी)
 * यूलर के नियम
 * पैदाइशी कठोरता
 * कठोर रोटर
 * कठोर परिवर्तन
 * ज्यामितीय यांत्रिकी
 * शास्त्रीय यांत्रिकी (गोल्डस्टीन पुस्तक) | शास्त्रीय यांत्रिकी (गोल्डस्टीन)

संदर्भ

 * This reference effectively combines screw theory with rigid body dynamics for robotic applications. The author also chooses to use spatial accelerations extensively in place of material accelerations as they simplify the equations and allow for compact notation.
 * JPL DARTS page has a section on spatial operator algebra (link: ) as well as an extensive list of references (link: ).
 * (link: ).