अधिकतम-एन्ट्रापी यादृच्छिक ग्राफ मॉडल

अधिकतम-एन्ट्रापी यादृच्छिक ग्राफ मॉडल यादृच्छिक ग्राफ मॉडल हैं जिनका उपयोग संरचनात्मक बाधाओं के एक सेट के तहत अधिकतम एन्ट्रापी के सिद्धांत के अधीन जटिल नेटवर्क का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, जो वैश्विक, वितरणात्मक या स्थानीय हो सकता है।

अवलोकन
किसी भी यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल (पैरामीटर मानों के एक निश्चित सेट पर) के परिणामस्वरूप ग्राफ़ (असतत गणित) पर संभाव्यता वितरण होता है, और जो वितरण के विचारित वर्ग के भीतर अधिकतम एन्ट्रॉपी होते हैं उनमें नेटवर्क के लिए अधिकतम निष्पक्ष शून्य मॉडल होने की विशेष संपत्ति होती है अनुमान (उदाहरण के लिए जैविक नेटवर्क अनुमान)। प्रत्येक मॉडल आकार के ग्राफ़ के सेट पर संभाव्यता वितरण के एक परिवार को परिभाषित करता है $$n$$ (प्रत्येक के लिए $$n>n_0$$ कुछ सीमित के लिए $$n_0$$), बाधाओं के संग्रह द्वारा मानकीकृत $$J$$ अवलोकनीय $$\{Q_j(G)\}_{j=1}^J$$ प्रत्येक ग्राफ़ के लिए परिभाषित $$G$$ (जैसे निश्चित अपेक्षित औसत डिग्री (ग्राफ सिद्धांत), किसी विशेष रूप का डिग्री वितरण, या विशिष्ट डिग्री (ग्राफ सिद्धांत)#डिग्री अनुक्रम), लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि द्वारा एन्ट्रापी अधिकतमकरण के साथ-साथ ग्राफ वितरण में लागू किया जाता है। ध्यान दें कि इस संदर्भ में अधिकतम एन्ट्रॉपी ग्राफ एन्ट्रापी को संदर्भित नहीं करती है, बल्कि यादृच्छिक ग्राफ़ के संपूर्ण संभाव्य समूह की एन्ट्रॉपी को संदर्भित करती है।

आमतौर पर अध्ययन किए गए कई यादृच्छिक नेटवर्क मॉडल वास्तव में अधिकतम एन्ट्रापी हैं, उदाहरण के लिए एर्दोस-रेनी मॉडल  ग्राफ़ $$G(n,m)$$ और $$G(n,p)$$ (जिनमें से प्रत्येक के किनारों की संख्या पर एक वैश्विक बाधा है), साथ ही कॉन्फ़िगरेशन मॉडल (सीएम)। और नरम विन्यास मॉडल (एससीएम) (जो प्रत्येक के पास है $$n$$ स्थानीय बाधाएँ, प्रत्येक नोडवार डिग्री-मान के लिए एक)। ऊपर वर्णित मॉडलों के दो जोड़े में, एक महत्वपूर्ण अंतर  यह इस बात में है कि क्या बाधा तीव्र है (अर्थात आकार के सेट के प्रत्येक तत्व से संतुष्ट है-$$n$$ समूह में गैर-शून्य संभावना वाले ग्राफ़), या नरम (यानी पूरे समूह में औसतन संतुष्ट)। पूर्व (तीव्र) मामला एक माइक्रोकैनोनिकल पहनावा से मेल खाता है, सभी ग्राफ़ उत्पन्न करने वाली अधिकतम एन्ट्रापी की स्थिति $$G$$ संतुष्टि देने वाला $$Q_j(G)=q_j\forall j$$ समसंभाव्य के रूप में; बाद वाला (मुलायम) मामला विहित पहनावा है, एक घातीय यादृच्छिक ग्राफ मॉडल (ईआरजीएम) का निर्माण।

ग्राफ़ का विहित समूह (सामान्य रूपरेखा)
मान लीजिए कि हम संभाव्यता वितरण से युक्त एक यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल बना रहे हैं $$\mathbb{P}(G)$$ मंच पर $$\mathcal{G}_n$$ ग्राफ़ का (असतत गणित)#सरल ग्राफ़ के साथ $$n$$ शिखर. एन्ट्रॉपी (सांख्यिकीय थर्मोडायनामिक्स)#गिब्स एन्ट्रॉपी फॉर्मूला $$S[G]$$ इस पहनावे की ओर से दिया जाएगा


 * $$ S[G]=-\sum_{G\in \mathcal{G}_n}\mathbb{P}(G)\log\mathbb{P}(G).$$

हम समग्र-औसत मान चाहेंगे $$\{\langle Q_j \rangle\}_{j=1}^J$$ अवलोकन योग्य वस्तुओं का $$\{Q_j(G)\}_{j=1}^J$$ (जैसे औसत डिग्री (ग्राफ़ सिद्धांत), औसत क्लस्टरिंग गुणांक, या औसत पथ लंबाई) ट्यून करने योग्य हो, इसलिए हम लगाते हैं $$J$$ ग्राफ़ वितरण पर नरम बाधाएँ:


 * $$ \langle Q_j \rangle = \sum_{G\in \mathcal{G}_n}\mathbb{P}(G)Q_j(G) = q_j, $$

कहाँ $$j=1,...,J$$ बाधाओं को लेबल करें. वितरण निर्धारित करने के लिए लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि का अनुप्रयोग $$\mathbb{P}(G)$$ वह अधिकतम होता है $$S[G]$$ संतुष्ट करते हुए $$\langle Q_j \rangle=q_j$$, और सामान्यीकरण की स्थिति $$\sum_{G\in \mathcal{G}_n}\mathbb{P}(G)=1$$ परिणाम निम्नलिखित है:


 * $$ \mathbb{P}(G) = \frac{1}{Z}\exp\left[-\sum_{j=1}^J\psi_j Q_j(G)\right],$$

कहाँ $$Z$$ एक सामान्यीकरण स्थिरांक है (विभाजन फ़ंक्शन (गणित)) और $$\{\psi_j\}_{j=1}^J$$ वे पैरामीटर (लैग्रेंज मल्टीप्लायर) हैं जो संगत रूप से अनुक्रमित ग्राफ़ अवलोकनों से जुड़े होते हैं, जिन्हें औसतन उन गुणों के वांछित मूल्यों के साथ ग्राफ़ नमूने प्राप्त करने के लिए ट्यून किया जा सकता है; परिणाम एक घातीय परिवार और विहित पहनावा है; विशेष रूप से एक घातीय यादृच्छिक ग्राफ़ मॉडल उत्पन्न करना।

एर्डोस-रेनी मॉडल $$G(n,m)$$
उपरोक्त विहित ढांचे में, सामूहिक-औसत मात्राओं पर प्रतिबंध लगाए गए थे $$\langle Q_j \rangle$$. हालाँकि ये गुण औसतन उचित सेटिंग द्वारा निर्दिष्ट मूल्यों पर आधारित होंगे $$\{\psi_j\}_{j=1}^J$$, प्रत्येक विशिष्ट उदाहरण $$G$$ हो सकता है $$Q_j(G)\ne q_j$$, जो अवांछनीय हो सकता है. इसके बजाय, हम बहुत कड़ी शर्त लगा सकते हैं: गैर-शून्य संभावना वाले प्रत्येक ग्राफ को संतुष्ट करना होगा $$Q_j(G)= q_j$$ बिल्कुल। इन तीव्र बाधाओं के तहत, अधिकतम-एन्ट्रापी वितरण निर्धारित किया जाता है। हम इसका उदाहरण एर्दो-रेनी मॉडल के साथ देते हैं $$G(n,m)$$.

में तीव्र बाधा $$G(n,m)$$ ग्राफ़ सिद्धांत शर्तों#किनारे की शब्दावली की एक निश्चित संख्या है $$m$$, वह है $$|\operatorname E(G)|=m$$, सभी ग्राफ़ के लिए $$G$$ समुच्चय से निकाला गया (निरूपित संभाव्यता के साथ त्वरित)। $$\mathbb{P}_{n,m}(G)$$). यह नमूना स्थान को प्रतिबंधित करता है $$\mathcal{G}_n$$ (सभी ग्राफ़ चालू हैं $$n$$ शीर्ष) उपसमुच्चय तक $$\mathcal{G}_{n,m}=\{g\in\mathcal{G}_n;|\operatorname E(g)|=m\}\subset \mathcal{G}_n$$. यह शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी में माइक्रोकैनोनिकल संयोजन के सीधे सादृश्य में है, जिसमें सिस्टम एक विशेष ऊर्जा मूल्य के सभी राज्यों के चरण स्थान में एक पतली विविधता तक सीमित है।

हमारे नमूना स्थान को सीमित करने पर $$\mathcal{G}_{n,m}$$, हमारे पास संतुष्ट करने के लिए (सामान्यीकरण के अलावा) कोई बाहरी बाधा नहीं है, और इस प्रकार हम चयन करेंगे $$\mathbb{P}_{n,m}(G)$$ बढ़ाने के लिए $$S[G]$$ लैग्रेंज मल्टीप्लायरों का उपयोग किए बिना। यह सर्वविदित है कि बाहरी बाधाओं की अनुपस्थिति में एन्ट्रापी-अधिकतम वितरण नमूना स्थान पर असतत समान वितरण है (अधिकतम एन्ट्रापी संभाव्यता वितरण देखें), जिससे हम प्राप्त करते हैं:


 * $$\mathbb{P}_{n,m}(G)=\frac{1}{|\mathcal{G}_{n,m}|}=\binom{\binom{n}{2}}{m}^{-1},$$

जहां द्विपद गुणांक के संदर्भ में अंतिम अभिव्यक्ति स्थान के तरीकों की संख्या है $$m$$ किनारों के बीच $$\binom{n}{2}$$ संभावित बढ़त (ग्राफ़ सिद्धांत), और इस प्रकार की प्रमुखता है $$\mathcal{G}_{n,m}$$.

सामान्यीकरण
सरल ग्राफ़ के सामान्यीकरण पर विभिन्न प्रकार के अधिकतम-एन्ट्रॉपी संयोजनों का अध्ययन किया गया है। इनमें शामिल हैं, उदाहरण के लिए, सरल परिसरों का समुच्चय, और किसी दिए गए अपेक्षित डिग्री अनुक्रम के साथ भारित यादृच्छिक ग्राफ़

यह भी देखें

 * अधिकतम एन्ट्रापी का सिद्धांत
 * अधिकतम एन्ट्रापी संभाव्यता वितरण
 * लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि
 * शून्य मॉडल
 * यादृच्छिक ग्राफ
 * घातीय यादृच्छिक ग्राफ मॉडल
 * विहित पहनावा
 * माइक्रोकैनोनिकल पहनावा