हर्मिट ट्वीन

संख्यात्मक विश्लेषण में, हर्मिट इंटरपोलेशन (हर्मिट अंतर्वेशन), जिसका नाम चार्ल्स हर्मिट के नाम पर रखा गया है, बहुपद इंटरपोलेशन की एक विधि है, जो लैग्रेंज इंटरपोलेशन को सामान्यीकृत करती है। लैग्रेंज इंटरपोलेशन से कम डिग्री वाले बहुपद की गणना करने की अनुमति देता है $n$ जो समान मान लेता है $n$ दिए गए फलन के रूप में दिए गए बिंदु। इसके बजाय, हर्मिट इंटरपोलेशन से कम डिग्री वाले बहुपद की गणना करता है $mn$ ऐसा कि बहुपद और उसका $m − 1$ पहले डेरिवेटिव का मान समान होता है $n$ किसी दिए गए फलन के रूप में दिए गए बिंदु और उसके $m − 1$ प्रथम व्युत्पन्न है।

हर्मिट की इंटरपोलेशन विधि न्यूटन बहुपद|न्यूटन की इंटरपोलेशन विधि से निकटता से संबंधित है, जिसमें दोनों विभाजित अंतरों की गणना से प्राप्त होते हैं। हालाँकि, हर्मिट इंटरपोलेटिंग बहुपद की गणना के लिए अन्य विधियाँ हैं। कोई व्यक्ति इंटरपोलेशन बहुपद के गुणांकों को अज्ञात (गणित) के रूप में लेकर रैखिक बीजगणित का उपयोग कर सकता है, और उन बाधाओं को रैखिक समीकरणों के रूप में लिख सकता है जिन्हें इंटरपोलेशन बहुपद को पूरा करना होगा। अन्य विधि के लिए देखें.

समस्या का विवरण
हर्मिट इंटरपोलेशन में यथासंभव न्यूनतम डिग्री के बहुपद की गणना करना सम्मिलित है जो किसी अज्ञात फलन से प्रेक्षित मान और उसके पहले के प्रेक्षित मान दोनों से मेल खाता है। $m$ डेरिवेटिव. इस का तात्पर्य है कि $n(m + 1)$ मान

\begin{matrix} (x_0, y_0), &(x_1, y_1), &\ldots, &(x_{n-1}, y_{n-1}), \\ (x_0, y_0'), &(x_1, y_1'), &\ldots, &(x_{n-1}, y_{n-1}'), \\ \vdots & \vdots & &\vdots \\ (x_0, y_0^{(m)}), &(x_1, y_1^{(m)}), &\ldots, &(x_{n-1}, y_{n-1}^{(m)}) \end{matrix} $$ अवश्य जानना चाहिए. परिणामी बहुपद की घात इससे एक डिग्री कम है $n(m + 1)$. (अधिक सामान्य स्थिति में, इसकी कोई आवश्यकता नहीं है $m$ एक निश्चित मान होना; अर्थात्, कुछ बिंदुओं में दूसरों की तुलना में अधिक ज्ञात व्युत्पन्न हो सकते हैं। इस स्थिति में परिणामी बहुपद में डेटा बिंदुओं की संख्या से एक डिग्री कम होती है।)

एक बहुपद पर विचार करें तो देखा जाये $P(x)$ डिग्री से कम $n(m + 1)$ अनिश्चित (परिवर्तनीय) गुणांक के साथ; अर्थात्, का गुणांक $P(x)$ हैं $n(m + 1)$ नए चर। फिर, उन अवरोधों को लिखने से जिन्हें इंटरपोलेशनित बहुपद को संतुष्ट करना होगा, किसी को रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली मिलती है। $n(m + 1)$ में रैखिक समीकरण $n(m + 1)$ अज्ञात.

सामान्य तौर पर, ऐसी प्रणाली का बिल्कुल एक ही समाधान होता है। चार्ल्स हर्मिट ने जैसे ही साबित कर दिया कि यहाँ प्रभावी रूप से यही स्थिति है $xi$ जोड़ीवार भिन्न हैं, और इसकी गणना के लिए एक विधि प्रदान की, जिसका वर्णन नीचे किया गया है।

साधारण स्थिति
किसी फलन f के हर्मिट बहुपद की गणना करने के लिए विभाजित अंतरों का उपयोग करते समय, पहला कदम प्रत्येक बिंदु को m बार कॉपी करना है। (यहां हम सबसे सरल स्थिति पर विचार करेंगे $$m = 1$$ सभी बिंदुओं के लिए।) इसलिए, दिया गया $$n + 1$$ डेटा अंक $$x_0, x_1, x_2, \ldots, x_n$$, और मूल्य $$f(x_0), f(x_1), \ldots, f(x_n)$$ और $$f'(x_0), f'(x_1), \ldots, f'(x_n)$$ एक फलन के लिए $$f$$ जिसे हम इंटरपोलेशनित करना चाहते हैं, हम एक नया डेटासेट बनाते हैं
 * $$z_0, z_1, \ldots, z_{2n+1}$$

ऐसा है कि
 * $$z_{2i}=z_{2i+1}=x_i.$$

अब, हम अंकों के लिए एक विभाजित अंतर बनाते हैं $$z_0, z_1, \ldots, z_{2n+1}$$. हालाँकि, कुछ विभाजित मतभेदों के लिए,
 * $$z_i = z_{i + 1}\implies f[z_i, z_{i+1}] = \frac{f(z_{i+1})-f(z_{i})}{z_{i+1}-z_{i}} = \frac{0}{0}$$

जो अपरिभाषित है.

इस स्थिति में, विभाजित अंतर को प्रतिस्थापित कर दिया जाता है $$f'(z_i)$$. अन्य सभी की गणना सामान्य रूप से की जाती है।

सामान्य स्थिति
सामान्य स्थिति में, मान लीजिए कि कोई बिंदु दिया गया है $$x_i$$ के डेरिवेटिव हैं। फिर डेटासेट $$z_0, z_1, \ldots, z_{N}$$ की समरूप प्रतियाँ सम्मिलित हैं $$x_i$$. तालिका बनाते समय, मतभेदों को विभाजित करें $$j = 2, 3, \ldots, k$$ समान मानों की गणना इस प्रकार की जाएगी


 * $$\frac{f^{(j)}(x_i)}{j!}.$$

उदाहरण के लिए,
 * $$f[x_i, x_i, x_i]=\frac{f''(x_i)}{2}$$
 * $$f[x_i, x_i, x_i, x_i]=\frac{f^{(3)}(x_i)}{6}$$

वगैरह।

उदाहरण
फलन पर विचार करें $$f(x) = x^8 + 1$$. फलन और उसके पहले दो डेरिवेटिव का मूल्यांकन करना $$x \in \{-1, 0, 1\}$$, हमें निम्नलिखित डेटा प्राप्त होता है:
 * {| class="wikitable" style="text-align: right; padding: 1em;"

! x || &fnof;(x) || &fnof; ' (x)  || &fnof;  (x'') चूँकि हमारे पास काम करने के लिए दो डेरिवेटिव हैं, इसलिए हम समुच्चय का निर्माण करते हैं $$\{z_i\} = \{-1, -1, -1, 0, 0, 0, 1, 1, 1\}$$. हमारी विभाजित अंतर तालिका इस प्रकार है:
 * &minus;1 || 2   ||  &minus;8     || 56
 * 0 ||  1   ||  0     || 0
 * 1 ||  2   ||  8    || 56
 * }
 * 1 ||  2   ||  8    || 56
 * }
 * }

\begin{array}{llcclrrrrr} z_0 = -1 &  f[z_0] = 2  &                          &                         &                           &      &     &   &    & \\ &             &  \frac{f'(z_0)}{1} = -8  &                         &                           &      &     &   &    & \\ z_1 = -1 &  f[z_1] = 2  &                          & \frac{f''(z_1)}{2} = 28 &                           &      &     &   &    & \\ &             &  \frac{f'(z_1)}{1} = -8  &                         &  f[z_3,z_2,z_1,z_0] = -21 &      &     &   &    & \\ z_2 = -1 &  f[z_2] = 2  &                          & f[z_3,z_2,z_1] = 7      &                           &  15  &     &   &    & \\ &             &  f[z_3,z_2] = -1         &                         &  f[z_4,z_3,z_2,z_1] = -6  &      & -10 &   &    & \\ z_3 = 0  &  f[z_3] = 1  &                          & f[z_4,z_3,z_2] = 1      &                           &   5  &     & 4 &    & \\ &             &  \frac{f'(z_3)}{1} = 0   &                         &  f[z_5,z_4,z_3,z_2] = -1  &      &  -2 &   & -1 & \\ z_4 = 0  &  f[z_4] = 1  &                          & \frac{f''(z_4)}{2} = 0  &                           &   1  &     & 2 &    & 1 \\ &             &  \frac{f'(z_4)}{1} = 0   &                         &  f[z_6,z_5,z_4,z_3] =  1  &      &   2 &   &  1 & \\ z_5 = 0  &  f[z_5] = 1  &                          & f[z_6,z_5,z_4] = 1      &                           &   5  &     & 4 &    & \\ &             &  f[z_6,z_5] = 1          &                         &  f[z_7,z_6,z_5,z_4] =  6  &      &  10 &   &    & \\ z_6 = 1  &  f[z_6] = 2  &                          & f[z_7,z_6,z_5] = 7      &                           &  15  &     &   &    & \\ &             &  \frac{f'(z_6)}{1} = 8   &                         &  f[z_8,z_7,z_6,z_5] =  21 &      &     &   &    & \\ z_7 = 1  &  f[z_7] = 2  &                          & \frac{f''(z_7)}{2} = 28 &                           &      &     &   &    & \\ &             &  \frac{f'(z_7)}{1} = 8   &                         &                           &      &     &   &    & \\ z_8 = 1  &  f[z_8] = 2  &                          &                         &                           &      &     &   &    & \\ \end{array} $$ और उत्पन्न बहुपद है

\begin{align} P(x) &= 2 - 8(x+1) + 28(x+1) ^2 - 21 (x+1)^3 + 15x(x+1)^3 - 10x^2(x+1)^3 \\ &\quad{} + 4x^3(x+1)^3 -1x^3(x+1)^3(x-1)+x^3(x+1)^3(x-1)^2 \\ &=2 - 8 + 28 - 21 - 8x + 56x - 63x + 15x + 28x^2 - 63x^2 + 45x^2 - 10x^2 - 21x^3 \\ &\quad {}+ 45x^3 - 30x^3 + 4x^3 + x^3 + x^3 + 15x^4 - 30x^4 + 12x^4 + 2x^4 + x^4 \\ &\quad {}- 10x^5 + 12x^5 - 2x^5 + 4x^5 - 2x^5 - 2x^5 - x^6 + x^6 - x^7 + x^7 + x^8 \\ &= x^8 + 1. \end{align} $$ विभाजित अंतर तालिका के विकर्ण से गुणांक लेकर, और kवें गुणांक को गुणा करके $$\prod_{i=0}^{k-1} (x - z_i)$$, जैसा कि हम न्यूटन बहुपद उत्पन्न करते समय करेंगे।

क्विंटिक हर्मिट इंटरपोलेशन
फलन के आधार पर क्विंटिक हर्मिट इंटरपोलेशन ($$f$$), यह पहला ($$f'$$) और दूसरा डेरिवेटिव ($$f''$$) दो अलग-अलग बिंदुओं पर ($$x_0$$ और $$x_1$$) का उपयोग उदाहरण के लिए किसी वस्तु की स्थिति, वेग और त्वरण के आधार पर उसकी स्थिति को इंटरपोलेशनित करने के लिए किया जा सकता है।

सामान्य रूप इसके द्वारा दिया गया है

$$ \begin{align} p(x) & = f(x_0) + f'(x_0) (x - x_0) + \frac{1}{2}f(x_0) (x - x_0)^2 + \frac{f(x_1) - f(x_0) - f'(x_0) (x_1 - x_0) - \frac{1}{2} f(x_0) (x_1 - x_0)^2}{(x_1 - x_0)^3} (x - x_0)^3 \\ & + \frac{3 f(x_0) - 3 f(x_1) + 2\left( f'(x_0) + \frac{1}{2}f'(x_1) \right) (x_1 - x_0) + \frac{1}{2} f''(x_0) (x_1 - x_0)^2}{(x_1 - x_0)^4} (x - x_0)^3 (x - x_1) \\ & + \frac{6 f(x_1) - 6 f(x_0) - 3 \left( f'(x_0) + f'(x_1) \right) (x_1 - x_0) + \frac{1}{2}\left( f(x_1) - f(x_0) \right) (x_1 - x_0)^2}{(x_1 - x_0)^5} (x - x_0)^3 (x - x_1)^2. \end{align} $$

त्रुटि
परिकलित बहुपद H और मूल फलन f को कॉल करें। एक बिंदु का मूल्यांकन करना $$x \in [x_0, x_n]$$, त्रुटि फलन है
 * $$f(x) - H(x) = \frac{f^{(K)}(c)}{K!} \prod_{i}(x - x_i)^{k_i},$$

जहां c सीमा के भीतर एक अज्ञात है $$[x_0, x_N]$$, K डेटा-बिंदुओं की कुल संख्या है, और $$k_i$$ प्रत्येक पर ज्ञात डेरिवेटिव की संख्या है $$x_i$$ मैं भी सहमत हूं।

यह भी देखें

 * घन हर्मिट तख़्ता
 * न्यूटन श्रृंखला, जिसे परिमित अंतर के रूप में भी जाना जाता है
 * नेविल की स्कीमा
 * इंटरपोलेशन बहुपद का बर्नस्टीन बहुपद

बाहरी संबंध

 * Hermites Interpolating Polynomial at Mathworld