शेर्क सतह

गणित में, एक शेर्क सतह (हेनरिक शर्क के नाम पर) न्यूनतम सतह का एक उदाहरण है। Scherk ने 1834 में दो पूर्ण एम्बेडेड न्यूनतम सतहों का वर्णन किया; उसकी पहली सतह दोहरी आवधिक सतह है, उसकी दूसरी सतह एकल आवधिक है। वे न्यूनतम सतहों के तीसरे गैर-तुच्छ उदाहरण थे (पहले दो कैटेनॉइड और घुमावदार थे)। दो सतहें एक दूसरे के सहयोगी परिवार हैं।

न्यूनतम सतह की समस्याओं को सीमित करने और अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान  के हार्मोनिक डिफियोमोर्फिज्म के अध्ययन में स्केर्क सतहें उत्पन्न होती हैं।

शेरक की पहली सतह
Scherk की पहली सतह समानांतर विमानों के दो अनंत परिवारों के लिए स्पर्शोन्मुख है, जो एक दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं, जो ब्रिजिंग मेहराब के चेकरबोर्ड पैटर्न में z = 0 के पास मिलते हैं। इसमें सीधी खड़ी रेखाओं की अनंत संख्या होती है।

एक साधारण शेर्क सतह का निर्माण
यूक्लिडियन विमान में एक वर्ग पर निम्न न्यूनतम सतह समस्या पर विचार करें: एक प्राकृतिक संख्या n के लिए, न्यूनतम सतह Σ खोजेंn किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ के रूप में


 * $$u_{n} : \left( - \frac{\pi}{2}, + \frac{\pi}{2} \right) \times \left( - \frac{\pi}{2}, + \frac{\pi}{2} \right) \to \mathbb{R}$$

ऐसा है कि


 * $$\lim_{y \to \pm \pi / 2} u_{n} \left( x, y \right) = + n \text{ for } - \frac{\pi}{2} < x < + \frac{\pi}{2},$$
 * $$\lim_{x \to \pm \pi / 2} u_{n} \left( x, y \right) = - n \text{ for } - \frac{\pi}{2} < y < + \frac{\pi}{2}.$$

यानी यूn न्यूनतम सतह समीकरण को संतुष्ट करता है


 * $$\mathrm{div} \left( \frac{\nabla u_{n} (x, y)}{\sqrt{1 + | \nabla u_{n} (x, y) |^{2}}} \right) \equiv 0$$

और


 * $$\Sigma_{n} = \left\{ (x, y, u_{n}(x, y)) \in \mathbb{R}^{3} \left| - \frac{\pi}{2} < x, y < + \frac{\pi}{2} \right. \right\}.$$

क्या, अगर कुछ भी, सीमांत सतह है क्योंकि n अनंत की ओर जाता है? उत्तर 1834 में एच. शर्क द्वारा दिया गया था: सीमांत सतह Σ का ग्राफ है


 * $$u : \left( - \frac{\pi}{2}, + \frac{\pi}{2} \right) \times \left( - \frac{\pi}{2}, + \frac{\pi}{2} \right) \to \mathbb{R},$$
 * $$u(x, y) = \log \left( \frac{\cos (x)}{\cos (y)} \right).$$

अर्थात्, वर्ग के ऊपर Scherk सतह है


 * $$\Sigma = \left\{ \left. \left(x, y, \log \left( \frac{\cos (x)}{\cos (y)} \right) \right) \in \mathbb{R}^{3} \right| - \frac{\pi}{2} < x, y < + \frac{\pi}{2} \right\}.$$

अधिक सामान्य Scherk सतहें
यूक्लिडियन विमान में अन्य चतुर्भुजों पर समान न्यूनतम सतह की समस्याओं पर विचार किया जा सकता है। हाइपरबोलिक स्पेस में चतुर्भुजों पर भी इसी समस्या पर विचार किया जा सकता है। 2006 में, हेरोल्ड रोसेनबर्ग और पास्कल कोलिन ने हाइपरबोलिक प्लेन (हाइपरबोलिक मेट्रिक के साथ यूनिट डिस्क) पर कॉम्प्लेक्स प्लेन से हार्मोनिक डिफेओमोर्फिज्म बनाने के लिए हाइपरबोलिक स्केर्क सतहों का इस्तेमाल किया, जिससे स्कोएन-यॉ अनुमान को खारिज कर दिया।

शेरक की दूसरी सतह
Scherk की दूसरी सतह विश्व स्तर पर दो ऑर्थोगोनल विमानों की तरह दिखती है, जिनके चौराहे में बारी-बारी से दिशाओं में सुरंगों का एक क्रम होता है। क्षैतिज विमानों के साथ इसके चौराहों में बारी-बारी से हाइपरबोलस होते हैं।

इसका निहित समीकरण है:
 * $$\sin(z) - \sinh(x)\sinh(y)=0$$

इसमें वीयरस्ट्रैस-एनीपर पैरामीटराइजेशन है $$f(z) = \frac{4}{1-z^4}$$, $$g(z) = iz$$ और पैरामीट्रिज्ड किया जा सकता है:
 * $$x(r,\theta) = 2 \Re ( \ln(1+re^{i \theta}) - \ln(1-re^{i \theta}) ) = \ln \left( \frac{1+r^2+2r \cos \theta}{1+r^2-2r \cos \theta} \right)$$
 * $$y(r,\theta) = \Re ( 4i \tan^{-1}(re^{i \theta})) = \ln \left( \frac{1+r^2-2r \sin\theta}{1+r^2+2r \sin \theta} \right)$$
 * $$z(r,\theta) = \Re ( 2i(-\ln(1-r^2e^{2i \theta}) + \ln(1+r^2e^{2i \theta}) ) = 2 \tan^{-1}\left( \frac{2 r^2 \sin 2\theta}{r^4-1} \right)$$

के लिए $$\theta \in [0, 2\pi)$$ और $$r \in (0,1)$$. यह सतह की एक अवधि देता है, जिसे समरूपता द्वारा जेड-दिशा में बढ़ाया जा सकता है।

समय-समय पर न्यूनतम सतहों के सैडल टॉवर परिवार में एच। करचर द्वारा सतह को सामान्यीकृत किया गया है।

कुछ भ्रामक रूप से, इस सतह को कभी-कभी साहित्य में शेरक की पांचवीं सतह कहा जाता है। भ्रम को कम करने के लिए इसे Scherk की एकल आवधिक सतह या Scherk-टॉवर के रूप में संदर्भित करना उपयोगी है।

बाहरी संबंध

 * Scherk's first surface in MSRI Geometry
 * Scherk's second surface in MSRI Geometry
 * Scherk's minimal surfaces in Mathworld
 * Scherk's minimal surfaces in Mathworld