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ज्यामिति में, हाइपरसफेस हाइपरप्लेन, समतल वक्र और सतह(गणित) की अवधारणाओं का सामान्यीकरण है। हाइपरसफेस कई गुना या एक बीजगणितीय किस्म का आयाम $n − 1$है, जो आयाम $n$ के परिवेश स्थान में सन्निहित है(सामान्यतः यूक्लिडियन अंतरिक्ष, सजातीय स्थान या एक प्रक्षेप्य स्थान)।, तीन-आयामी अंतरिक्ष में सतहों के साथ, कम से कम स्थानीय रूप से(हर बिंदु के पास), और कभी-कभी विश्व स्तर पर अंतर्निहित समीकरण द्वारा परिभाषित होने की संपत्ति, हाइपरसर्फ्स साझा करते हैं।

उदाहरण के लिए, समीकरण
 * $$x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2-1=0$$

आयाम n के यूक्लिडियन स्थान में आयाम n − 1 के एक बीजगणितीय हाइपरसफेस को परिभाषित करता है । यह हाइपरसफेस भी एक चिकनी मैनिफोल्ड है, और इसे हाइपरस्फीयर या( एन -1) -स्फीयर कहा जाता है ।

निर्विघ्ऩ ऊनविम पृष्ठ
हाइपरसतह जो चिकनी मैनिफोल्ड है, चिकनी हाइपरसफेस कहलाती है।

$R^{n}$ में, चिकनी हाइपरसफेस उन्मुखता है। हर जुड़ा हुआ स्थान कॉम्पैक्ट जगह स्मूथ हाइपरसर्फेस लेवल सेट है, और Rn को दो जुड़े हुए घटकों में अलग करता है; यह जॉर्डन-ब्रूवर पृथक्करण प्रमेय से संबंधित है।

सजातीय बीजगणितीय हाइपरसफेस
बीजगणितीय हाइपरसफेस एक बीजगणितीय विविधता है जिसे फॉर्म के एकल अंतर्निहित समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

$$p(x_1, \ldots, x_n)=0,$$

जहाँ पे $p$ एक बहुभिन्नरूपी बहुपद है। सामान्यतः बहुपद को अलघुकरणीय बहुपद माना जाता है। जब ऐसा नहीं होता है, तो हाइपरसफेस एक बीजगणितीय विविधता नहीं है, बल्कि केवल बीजगणितीय सेट है। यह लेखकों पर निर्भर हो सकता है कि क्या कम करने योग्य बहुपद एक हाइपरसफेस को परिभाषित करता है। अस्पष्टता से बचने के लिए, अलघुकरणीय हाइपरसफेस शब्द का प्रयोग प्रायः किया जाता है।

बीजगणितीय किस्मों के लिए, परिभाषित बहुपद के गुणांक किसी निश्चित क्षेत्र(गणित) $k$ से संबंधित हो सकते हैं, और हाइपरसफेस के सजातीय बिंदु स्थान में p शून्य हैं। $$K^n,$$ जहाँ पे $K$ का बीजगणितीय रूप से बंद विस्तार है।

हाइपरसफेस में एक बीजगणितीय विविधता का एकवचन बिंदु हो सकता है, जो परिभाषित बहुपद और इसके आंशिक डेरिवेटिव के सामान्य शून्य हैं। विशेष रूप से, एक वास्तविक बीजगणितीय हाइपरसफेस आवश्यक रूप से कई गुना नहीं है।

गुण
हाइपरसर्फ्स में कुछ विशिष्ट गुण होते हैं जो अन्य बीजगणितीय किस्मों के साथ साझा नहीं किए जाते हैं।

इस तरह के मुख्य गुणों में से एक हिल्बर्ट का नलस्टेलनसैट्ज है, जो दावा करता है कि हाइपरसर्फफेस में दिए गए बीजगणितीय सेट होते हैं यदि और केवल अगर हाइपरसर्फेस के परिभाषित बहुपद में शक्ति होती ह जो बीजगणितीय के परिभाषित बहुपदों द्वारा उत्पन्न आदर्श(रिंग थ्योरी) से संबंधित होती ह।

इस प्रमेय का एक उपप्रमेय यह है कि, यदि दो अलघुकरणीय बहुपद(या सामान्यतः दो वर्ग मुक्त बहुपद) एक ही हाइपरसर्फफेस परिभाषित करते हैं, तो एक गैर-शून्य स्थिरांक द्वारा दूसरे का उत्पाद होता है।

हाइपरसर्फफेस वास्तव में बीजगणितीय किस्म के आयाम $n – 1$ की उप-किस्में हैं। यह इस तथ्य की ज्यामितीय व्याख्या है कि, एक क्षेत्र पर बहुपद अंगूठी में, आदर्श की ऊंचाई(रिंग सिद्धांत) है और आदर्श एक प्रमुख आदर्श है। संभावित रूप से कम करने योग्य हाइपरसर्फ्स के मामले में, इस परिणाम को निम्नानुसार पुनर्कथित किया जा सकता है: हाइपरसर्फेस बिल्कुल बीजगणितीय सेट होते हैं जिनके सभी अलघुकरणीय घटकों का $n – 1$आयाम होता है।

वास्तविक और तर्कसंगत बिंदु
वास्तविक हाइपरसर्फफेस एक हाइपरसर्फफेस है जिसे वास्तविक संख्या गुणांक वाले बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है। इस मामले में बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र जिस पर अंक परिभाषित होते हैं, वह सामान्यतः जटिल संख्याओं $$\mathbb C$$ का क्षेत्र होता है। वास्तविक हाइपरसफेस के वास्तविक बिंदु वे बिंदु हैं जो $$\mathbb R^n \subset \mathbb C^n$$ से संबंधित हैं। प्रायः, यह संदर्भ पर छोड़ दिया जाता है कि हाइपरसर्फफेस शब्द सभी बिंदुओं को संदर्भित करता है या केवल वास्तविक भाग को संदर्भित करता है।

यदि परिभाषित बहुपद के गुणांक क्षेत्र $k$ से संबंधित हैं जो बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र नहीं है(आमतौर पर तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र, परिमित क्षेत्र या संख्या क्षेत्र), तो हाइपरसफेस को $k$ पर परिभाषित किया गया है।

उदाहरण के लिए, काल्पनिक n-क्षेत्र समीकरण द्वारा परिभाषित
 * $$x_0^2 +\cdots+x_n^2 +1=0$$

बिना किसी वास्तविक बिंदु के वास्तविक हाइपरसर्फफेस है, जिसे परिमेय संख्याओं पर परिभाषित किया गया है। इसका कोई तर्कसंगत बिंदु नहीं है, लेकिन कई बिंदु हैं जो गॉसियन परिमेय पर तर्कसंगत हैं।

प्रक्षेप्य बीजगणितीय हाइपरसफेस
एक क्षेत्र k पर आयाम n के प्रक्षेपी स्थान में आयाम n - 1 का एक प्रक्षेपी(बीजीय) हाइपरसफेस एक सजातीय बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है जो $$P(x_0, x_1, \ldots, x_n)$$ $n + 1$ में अनिश्चित है। समांगी बहुपद का अर्थ है कि P के सभी एकपदी की घात समान है या समतुल्य है $$P(cx_0, cx_1, \ldots, cx_n)=c^dP(x_0, x_1, \ldots, x_n)$$ हर स्थिरांक $c$ के लिए, जहाँ $d$ बहुपद की घात है। हाइपरसफेस के बिंदु प्रोजेक्टिव स्पेस के बिंदु हैं जिनके प्रोजेक्टिव निर्देशांक पी शून्य हैं।

यदि कोई समीकरण के हाइपरप्लेन को चुनता है $$x_0=0$$ अनंत पर हाइपरप्लेन के रूप में, इस हाइपरप्लेन का पूरक एक एफ़ाइन स्पेस है, और प्रोजेक्टिव हाइपरसर्फफेस के बिंदु जो इस एफ़िन स्पेस से संबंधित हैं, समीकरण का एफ़िन हाइपरसर्फफेस बनाते हैं $$P(1, x_1, \ldots, x_n) = 0.$$ इसके विपरीत, समीकरण की सजातीय हाइपरसफेस दी गई है $$p(x_1, \ldots, x_n)=0,$$ यह प्रोजेक्टिव हाइपरसफेस को परिभाषित करता $$P(x_0, x_1, \ldots, x_n) = 0,$$
 * $$P(x_0, x_1, \ldots, x_n) = x_0^dp(x_1/x_0, \ldots, x_n/x_0),$$ जहां $d$, $P$ की घात है.

ये दो प्रक्रियाएं प्रोजेक्टिव पूर्णता और एफ़िन सबस्पेस एक दूसरे के विपरीत हैं। इसलिए, एफ़िन हाइपरसर्फफेस और इसके प्रक्षेपी पूर्णता में अनिवार्य रूप से समान गुण होते हैं, और प्रायः एक ही हाइपरसर्फफेस के लिए दो दृष्टिकोणों के रूप में माना जाता है।

हालांकि, ऐसा हो सकता है कि एक एफ़िन हाइपरसर्फफेस बीजगणितीय किस्म का एकवचन बिंदु है, जबकि इसकी प्रक्षेप्य पूर्णता में एकवचन बिंदु हैं। उदाहरण के लिए, समीकरण का गोलाकार बेलन
 * $$x^2+y^2-1=0$$ आयाम तीन के संबंध स्थान में एक अनूठा विलक्षण बिंदु है, जो दिशा में अनंत पर है $x = 0, y = 0$.

यह भी देखें

 * एफ़िन क्षेत्र
 * कोबल हाइपरसफेस
 * डीवर्क परिवार
 * अशक्त हाइपरसफेस
 * ध्रुवीय हाइपरसफेस

संदर्भ

 * Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu(1969), Foundations of Differential Geometry Vol II, Wiley Interscience
 * P.A. Simionescu & D. Beal(2004) Visualization of hypersurfaces and multivariable(objective) functions by partial globalization, The Visual Computer 20(10):665–81.
 * P.A. Simionescu & D. Beal(2004) Visualization of hypersurfaces and multivariable(objective) functions by partial globalization, The Visual Computer 20(10):665–81.