मध्यकालीन इस्लामी दुनिया में गणित

इस्लाम के स्वर्ण युग के दौरान गणित, विशेष रूप से 9वीं और 10वीं शताब्दी के दौरान, ग्रीक गणित (यूक्लिड, आर्किमिडीज़, पेरगा के अपोलोनियस) और भारतीय गणित (आर्यभट्ट, ब्रह्मगुप्त) पर बनाया गया था। महत्वपूर्ण प्रगति हुई, जैसे दशमलव अंशों को शामिल करने के लिए दशमलव स्थान-मूल्य प्रणाली का पूर्ण विकास, बीजगणित का पहला व्यवस्थित अध्ययन, और ज्यामिति और त्रिकोणमिति में प्रगति। 10वीं-12वीं शताब्दी के दौरान यूरोप में गणित के प्रसारण में अरबी कार्यों ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।

बीजगणित
बीजगणित का अध्ययन, जिसका नाम अरबी भाषा के शब्द से लिया गया है जिसका अर्थ है टूटे हुए हिस्सों का पूरा होना या फिर से जुड़ना, इस्लामी स्वर्ण युग के दौरान फला-फूला। मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी, बगदाद में बुद्धि का घर के एक फारसी विद्वान, बीजगणित के संस्थापक थे, ग्रीक लोगों के गणितज्ञ डायोफैंटस के साथ हैं, जिन्हें बीजगणित के पिता के रूप में जाना जाता है। अपनी पुस्तक द कंपेंडिअस बुक ऑन कैलकुलेशन बाय कंप्लीशन एंड बैलेंसिंग में, अल-ख्वारिज्मी सकारात्मक संख्या # संकेतों के लिए शब्दावली को हल करने के तरीकों से संबंधित है, पहले और दूसरे-डिग्री (रैखिक और द्विघात) बहुपद समीकरणों की बहुपद जड़ों के गुण। वह न्यूनीकरण (गणित) की विधि का परिचय देता है, और डायोफैंटस के विपरीत, जिन समीकरणों से वह निपटता है उनके लिए सामान्य समाधान भी देता है। अल-ख्वारिज्मी का बीजगणित अलंकारिक था, जिसका अर्थ है कि समीकरण पूरे वाक्यों में लिखे गए थे। यह डायोफैंटस के बीजगणितीय कार्य के विपरीत था, जिसे सिंकॉपेट किया गया था, जिसका अर्थ है कि कुछ प्रतीकवाद का उपयोग किया जाता है। प्रतीकात्मक बीजगणित में परिवर्तन, जहां केवल प्रतीकों का उपयोग किया जाता है, इब्न अल-बन्ना अल-मरराकुशी और अबू अल-हसान इब्न अली अल-क़लासादी के काम में देखा जा सकता है।

अल-ख्वारिज्मी द्वारा किए गए कार्य पर, जे.जे. ओ'कॉनर और एडमंड एफ. रॉबर्टसन ने कहा:

""Perhaps one of the most significant advances made by Arabic mathematics began at this time with the work of al-Khwarizmi, namely the beginnings of algebra. It is important to understand just how significant this new idea was. It was a revolutionary move away from the Greek concept of mathematics which was essentially geometry. Algebra was a unifying theory which allowed rational numbers, irrational numbers, geometrical magnitudes, etc., to all be treated as "algebraic objects". It gave mathematics a whole new development path so much broader in concept to that which had existed before, and provided a vehicle for the future development of the subject. Another important aspect of the introduction of algebraic ideas was that it allowed mathematics to be applied to itself in a way which had not happened before.""

- MacTutor History of Mathematics archive

इस समयावधि के दौरान कई अन्य गणितज्ञों ने अल-ख्वारिज्मी के बीजगणित पर विस्तार किया। अबू कामिल शुजा ने ज्यामितीय चित्रण और प्रमाणों के साथ बीजगणित की एक पुस्तक लिखी। उन्होंने अपनी कुछ समस्याओं के सभी संभावित समाधान भी गिनाये। अबू अल-जौद, उमर खय्याम ने शराफ अल-दीन अल-तुसी के साथ मिलकर घन समीकरण के कई समाधान ढूंढे। उमर खय्याम ने घन समीकरण का सामान्य ज्यामितीय समाधान खोजा।

घन समीकरण


उमर खय्याम (एस. 1038/48 ईरान में - 1123/24) ने बीजगणित की समस्याओं के प्रदर्शन पर ग्रंथ लिखा जिसमें अल-ख्वारिज्मी के बीजगणित से परे जाकर घन समीकरण|घन या तीसरे क्रम के समीकरणों का व्यवस्थित समाधान शामिल है। खय्याम ने दो शंकु वर्गों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को ढूंढकर इन समीकरणों का समाधान प्राप्त किया। इस पद्धति का प्रयोग यूनानियों द्वारा किया गया था, लेकिन उन्होंने किसी फ़ंक्शन के सकारात्मक शून्य वाले सभी समीकरणों को कवर करने की विधि को सामान्यीकृत नहीं किया।

शराफ अल-दीन अल-सी (? तुस, ईरान में - 1213/4) ने घन समीकरणों की जांच के लिए एक नया दृष्टिकोण विकसित किया - एक दृष्टिकोण जिसमें उस बिंदु को ढूंढना शामिल था जिस पर एक घन बहुपद अपना अधिकतम मूल्य प्राप्त करता है। उदाहरण के लिए, समीकरण को हल करने के लिए $$\ x^3 + a = b x$$, ए और बी पॉजिटिव के साथ, वह नोट करेगा कि वक्र का अधिकतम बिंदु $$\ y = b x - x^3$$ पर होता है $$x = \textstyle\sqrt{\frac{b}{3}}$$, और यह कि समीकरण का कोई समाधान नहीं होगा, एक समाधान या दो समाधान होंगे, यह इस पर निर्भर करेगा कि उस बिंदु पर वक्र की ऊंचाई a से कम, उसके बराबर या उससे अधिक थी। उनके बचे हुए कार्यों से इस बात का कोई संकेत नहीं मिलता है कि उन्होंने इन वक्रों की उच्चिष्ठता के लिए अपने सूत्र कैसे खोजे। उनकी खोज के लिए विभिन्न अनुमान प्रस्तावित किए गए हैं।

प्रेरण
गणितीय प्रेरण के शुरुआती अंतर्निहित निशान यूक्लिड के यूक्लिड प्रमेय (लगभग 300 ईसा पूर्व) में पाए जा सकते हैं। प्रेरण के सिद्धांत का पहला स्पष्ट सूत्रीकरण ब्लेस पास्कल ने अपने ट्रैटे डू ट्राइएंगल अरिथमेटिक (1665) में दिया था।

बीच में, अंकगणितीय प्रगति के लिए प्रेरण द्वारा अंतर्निहित गणितीय प्रमाण गेराज  (लगभग 1000) द्वारा पेश किया गया था और इब्न याहया अल-मग़रिबी अल-समावल|अल-समावल द्वारा जारी रखा गया था, जिन्होंने इसका उपयोग विशेष मामलों के लिए किया था। द्विपद प्रमेय और पास्कल त्रिभुज के गुण।

अपरिमेय संख्या
यूनानियों ने अपरिमेय संख्याओं की खोज की थी, लेकिन वे उनसे खुश नहीं थे और केवल परिमाण और संख्या के बीच अंतर करके ही इससे निपटने में सक्षम थे। यूनानी दृष्टिकोण में, परिमाण लगातार भिन्न होते थे और इसका उपयोग रेखा खंडों जैसी संस्थाओं के लिए किया जा सकता था, जबकि संख्याएँ अलग-अलग थीं। इसलिए, अपरिमेयता को केवल ज्यामितीय तरीके से ही संभाला जा सकता है; और वास्तव में ग्रीक गणित मुख्यतः ज्यामितीय था। अबू कामिल शुजाइ इब्न असलम और इब्न ताहिर अल-बगदादी सहित इस्लामी गणितज्ञों ने धीरे-धीरे परिमाण और संख्या के बीच अंतर को हटा दिया, जिससे अपरिमेय मात्राएं समीकरणों में गुणांक के रूप में प्रकट हुईं और बीजगणितीय समीकरणों के समाधान बन गईं। उन्होंने गणितीय वस्तुओं के रूप में अपरिमेयता के साथ स्वतंत्र रूप से काम किया, लेकिन उन्होंने उनकी प्रकृति की बारीकी से जांच नहीं की। बारहवीं शताब्दी में, हिंदू-अरबी अंक प्रणाली पर अलखवारिज़मी  के मुअम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी#अंकगणित के लैटिन अनुवाद ने पश्चिमी दुनिया में दशमलव स्थिति संकेतन की शुरुआत की। पूर्णता और संतुलन द्वारा गणना पर उनकी सारगर्भित पुस्तक ने रैखिक समीकरण और द्विघात समीकरणों का पहला व्यवस्थित समाधान प्रस्तुत किया। पुनर्जागरण यूरोप में, उन्हें बीजगणित का मूल आविष्कारक माना जाता था, हालाँकि अब यह ज्ञात है कि उनका काम पुराने भारतीय या यूनानी स्रोतों पर आधारित है। उन्होंने टॉलेमी के भूगोल (टॉलेमी) को संशोधित किया और खगोल विज्ञान और ज्योतिष पर लिखा। हालाँकि, सी.ए. नालिनो का सुझाव है कि अल-ख्वारिज्मी का मूल कार्य टॉलेमी पर आधारित नहीं बल्कि व्युत्पन्न विश्व मानचित्र पर आधारित था, संभवतः सिरिएक भाषा या अरबी भाषा में।

गोलाकार त्रिकोणमिति
साइन का गोलाकार नियम 10वीं शताब्दी में खोजा गया था: इसका श्रेय अबू-महमूद खोजंदी, नासिर अल-दीन अल-तुसी और अबू नासिर मंसूर  को दिया गया है, जिसमें अबू अल-वफ़ा बुजानी भी योगदानकर्ता हैं। 11वीं शताब्दी में इब्न मुआद अल-जय्यानी की पुस्तक 'द बुक ऑफ अननोन आर्क्स ऑफ ए गोले' ने साइन के सामान्य नियम की शुरुआत की। साइन के समतल नियम का वर्णन 13वीं शताब्दी में नासिर अल-दीन अल-तुसी द्वारा किया गया था। अपने ऑन द सेक्टर चित्र में, उन्होंने समतल और गोलाकार त्रिभुजों के लिए ज्या का नियम बताया और इस नियम के लिए प्रमाण प्रदान किए।

ऋणात्मक संख्याएँ
9वीं शताब्दी में, इस्लामी गणितज्ञ भारतीय गणितज्ञों के कार्यों से नकारात्मक संख्याओं से परिचित थे, लेकिन इस अवधि के दौरान नकारात्मक संख्याओं की पहचान और उपयोग डरपोक रहा। अल-ख्वारिज्मी ने ऋणात्मक संख्याओं या ऋणात्मक गुणांकों का उपयोग नहीं किया। लेकिन पचास वर्षों के भीतर, अबू कामिल ने गुणन के विस्तार के लिए संकेतों के नियमों का वर्णन किया $$(a \pm b)(c \pm d)$$. अल-करजी ने अपनी पुस्तक अल-फखरी में लिखा है कि नकारात्मक मात्राओं को पदों के रूप में गिना जाना चाहिए। 10वीं शताब्दी में, अबू अल-वफ़ा अल-बुजानी ने शास्त्रियों और व्यवसायियों के लिए अंकगणित के विज्ञान से क्या आवश्यक है पर एक पुस्तक में ऋण को नकारात्मक संख्या के रूप में माना।

12वीं शताब्दी तक, अल-करजी के उत्तराधिकारियों को संकेतों के सामान्य नियम बताने थे और बहुपद विभाजनों को हल करने के लिए उनका उपयोग करना था। जैसा कि अल-सामावल लिखते हैं: एक ऋणात्मक संख्या - अल-नाक़ीश - का गुणनफल एक धनात्मक संख्या - अल-ज़ादीद - द्वारा ऋणात्मक होता है, और एक ऋणात्मक संख्या द्वारा गुणनफल धनात्मक होता है। यदि हम किसी उच्च ऋणात्मक संख्या में से एक ऋणात्मक संख्या घटा दें, तो शेषफल उनका ऋणात्मक अंतर होता है। यदि हम किसी निचली ऋणात्मक संख्या में से एक ऋणात्मक संख्या घटा दें तो अंतर धनात्मक रहता है। यदि हम किसी धनात्मक संख्या में से एक ऋणात्मक संख्या घटा दें, तो शेषफल उनका धनात्मक योग होता है। यदि हम एक खाली घात (मरताबा खलिया) से एक सकारात्मक संख्या घटाते हैं, तो शेष वही नकारात्मक संख्या होती है, और यदि हम एक खाली घात से एक नकारात्मक संख्या घटाते हैं, तो शेष वही सकारात्मक संख्या होती है। 

दोहरी झूठी स्थिति
9वीं और 10वीं शताब्दी के बीच, मिस्र के गणितज्ञ अबू कामिल ने दोहरी झूठी स्थिति के उपयोग पर एक अब लुप्त हो चुका ग्रंथ लिखा, जिसे दो त्रुटियों की पुस्तक (किताब अल-खतायन) के रूप में जाना जाता है। मध्य पूर्व से दोहरी झूठी स्थिति पर सबसे पुराना जीवित लेखन लेबनान के बाल्बेक  के एक अरब गणितज्ञ कुस्ता इब्न लुका (10 वीं शताब्दी) का है। उन्होंने औपचारिक, यूक्लिडियन ज्यामिति|यूक्लिडियन-शैली के ज्यामितीय प्रमाण द्वारा तकनीक को उचित ठहराया। स्वर्ण युग मुस्लिम गणित की परंपरा के भीतर, दोहरी झूठी स्थिति को हिसाब अल-खातायन (दो त्रुटियों से गणना) के रूप में जाना जाता था। इसका उपयोग सदियों से व्यावसायिक और न्यायिक प्रश्नों (इस्लामिक विरासत न्यायशास्त्र के नियमों के अनुसार संपत्ति विभाजन) और साथ ही विशुद्ध रूप से मनोरंजक समस्याओं जैसे व्यावहारिक समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता था। एल्गोरिथ्म को अक्सर स्मृती-विज्ञान की सहायता से याद किया जाता था, जैसे कि चमेली का बेटा के लिए जिम्मेदार एक कविता और  घेराबंदी  और इब्न अल-बन्ना द्वारा समझाए गए संतुलन-पैमाने के चित्र, जो मोरक्को मूल के गणितज्ञ थे।

अन्य प्रमुख आंकड़े
इस्लाम में विज्ञान के इतिहासकार सैली पी. रागेप ने 2019 में अनुमान लगाया था कि गणितीय विज्ञान और दर्शन में हजारों अरबी पांडुलिपियां अपठित रहती हैं, जो ऐसे अध्ययन देती हैं जो व्यक्तिगत पूर्वाग्रहों को दर्शाती हैं और अपेक्षाकृत कुछ ग्रंथों और विद्वानों पर सीमित ध्यान केंद्रित करती हैं।


 * 'अब्द अल-हमीद इब्न तुर्क (fl. 830) (द्विघात)
 * थबिट इब्न कुर्रा (826-901)
 * सिंध इब्न अली (मृत्यु 864 के बाद)
 * इस्माइल अल-जज़ारी (1136-1206)
 * अबू सहल अल-क़ुही (सी. 940-1000) (गुरुत्वाकर्षण के केंद्र)
 * अबुल-हसन अल-उक्लिदिसी (952-953) (अंकगणित)
 * अबू अल-सक्र अल-काबिसी 'अब्द अल-अजीज इब्न उस्मान|'अब्द अल-अजीज अल-काबिसी (मृत्यु 967)
 * इब्न अल-हेथम (सी. 965-1040)
 * अबू अल-रयान अल-बिरूनी (973-1048) (त्रिकोणमिति)
 * इब्न मादा (सी. 1116-1196)
 * जमशेद अल-काशी (लगभग 1380-1429) (दशमलव और स्थिर वृत्त का अनुमान)

यह भी देखें

 * अरबी अंक
 * इस्लामिक विज्ञान#गणित पर भारतीय प्रभाव
 * कलन का इतिहास
 * ज्यामिति का इतिहास
 * मध्यकालीन इस्लामी दुनिया में विज्ञान
 * मुस्लिम दुनिया में विज्ञान और इंजीनियरिंग की समयरेखा

अग्रिम पठन

 * Books on Islamic mathematics
 * Review:
 * Review:
 * Sowjetische Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaft pp. 62–160.
 * Sowjetische Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaft pp. 62–160.
 * Sowjetische Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaft pp. 62–160.
 * Sowjetische Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaft pp. 62–160.
 * Sowjetische Beiträge zur Geschichte der Naturwissenschaft pp. 62–160.


 * Book chapters on Islamic mathematics
 * Lindberg, D.C., and M. H. Shank, eds. The Cambridge History of Science. Volume 2: Medieval Science (Cambridge UP, 2013), chapters 2 and 3 mathematics in Islam.




 * Books on Islamic science


 * Books on the history of mathematics
 * (Reviewed: )


 * Journal articles on Islamic mathematics
 * Høyrup, Jens. “The Formation of «Islamic Mathematics»: Sources and Conditions”. Filosofi og Videnskabsteori på Roskilde Universitetscenter. 3. Række: Preprints og Reprints 1987 Nr. 1.


 * Bibliographies and biographies
 * Brockelmann, Carl. Geschichte der Arabischen Litteratur. 1.–2. Band, 1.–3. Supplementband. Berlin: Emil Fischer, 1898, 1902; Leiden: Brill, 1937, 1938, 1942.


 * Television documentaries
 * Marcus du Sautoy (presenter) (2008). "The Genius of the East". The Story of Maths. BBC.
 * Jim Al-Khalili (presenter) (2010). Science and Islam. BBC.

बाहरी संबंध

 * Richard Covington, Rediscovering Arabic Science, 2007, Saudi Aramco World
 * List of Inventions and Discoveries in Mathematics During the Islamic Golden Age
 * Richard Covington, Rediscovering Arabic Science, 2007, Saudi Aramco World
 * List of Inventions and Discoveries in Mathematics During the Islamic Golden Age