दोहरा ग्राफ

ग्राफ सिद्धांत के गणित अनुशासन में, समतल ग्राफ का दोहरा ग्राफ $G$  ऐसा ग्राफ़ है जिसमें प्रत्येक फलक (ग्राफ़ सिद्धांत) के लिए  शीर्ष (ग्राफ़ सिद्धांत) होता है $G$. दोहरे ग्राफ में चेहरों की प्रत्येक जोड़ी के लिए किनारा (ग्राफ सिद्धांत) होता है $G$ जो  किनारे से एक दूसरे से अलग होते हैं, और  आत्म पाश जब किनारे के दोनों ओर एक ही चेहरा दिखाई देता है। इस प्रकार, प्रत्येक किनारा $e$ का $G$ का  संगत दोहरा किनारा होता है, जिसके अंतबिंदु दोनों ओर के फलकों के संगत दोहरे शीर्ष होते हैं$e$. दोहरे की परिभाषा ग्राफ के एम्बेडिंग की पसंद पर निर्भर करती है $G$, इसलिए यह प्लेनर ग्राफ़ के बजाय प्लेन ग्राफ़ (ग्राफ़ जो पहले से ही प्लेन में एम्बेडेड हैं) की संपत्ति है (ग्राफ़ जो एम्बेड किए जा सकते हैं लेकिन जिनके लिए एम्बेडिंग अभी तक ज्ञात नहीं है)। प्लानर ग्राफ़ के लिए आम तौर पर, ग्राफ़ के प्लानर एम्बेडिंग की पसंद के आधार पर, कई दोहरे ग्राफ़ हो सकते हैं।

ऐतिहासिक रूप से, ग्राफ़ द्वैतता (गणित) का पहला रूप जिसे पहचाना जाना था, वह प्लेटोनिक ठोसों का द्वैत पॉलीहेड्रॉन के जोड़े में जुड़ाव था। ग्राफ़ द्वैत दोहरी पॉलीहेड्रा और दोहरी टेसलेशन की ज्यामितीय अवधारणाओं का टोपोलॉजी सामान्यीकरण है, और बदले में  दोहरी मैट्रोइड की अवधारणा द्वारा सामान्य रूप से संयोजन किया जाता है। प्लैनर ग्राफ़ द्वैत के रूपांतरों में निर्देशित ग्राफ के लिए द्वैत का  संस्करण और गैर-प्लानर द्वि-आयामी सतहों पर एम्बेडेड ग्राफ़ के लिए द्वैतता शामिल है।

दोहरे ग्राफ़ की इन धारणाओं को अलग धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए,  ग्राफ के किनारे-से-शीर्ष दोहरे या लाइन ग्राफ।

द्वैत (गणित) शब्द का प्रयोग किया जाता है क्योंकि दोहरी ग्राफ होने की संपत्ति सममित कार्य है, जिसका अर्थ है कि यदि $H$ जुड़े ग्राफ का दोहरा है $G$, तब $G$ का द्वैत है $H$. ग्राफ के दोहरे पर चर्चा करते समय $G$, लेखाचित्र $G$ को ही प्रारंभिक ग्राफ कहा जा सकता है। कई अन्य ग्राफ गुणों और संरचनाओं को दोहरे के अन्य प्राकृतिक गुणों और संरचनाओं में अनुवादित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, चक्र (ग्राफ सिद्धांत) कट (ग्राफ सिद्धांत) के लिए दोहरे हैं, फैले हुए पेड़ फैले हुए पेड़ों के पूरक सेट के लिए दोहरे हैं, और सरल रेखांकन (बिना मल्टीग्राफ या लूप (ग्राफ सिद्धांत) | स्व-लूप) k के लिए दोहरे हैं के-एज-कनेक्टेड ग्राफ|3-एज-कनेक्टेड ग्राफ।

ग्राफ़ द्वैत भूलभुलैया और जल निकासी घाटियों की संरचना की व्याख्या करने में मदद कर सकता है। कंप्यूटर दृष्टि,  कम्प्यूटेशनल ज्यामिति , जाल पीढ़ी और  एकीकृत परिपथ  के डिजाइन में डुअल ग्राफ भी लागू किए गए हैं।

साइकिल और द्विध्रुव
जॉर्डन वक्र प्रमेय द्वारा, चक्र ग्राफ का अद्वितीय प्लानर एम्बेडिंग विमान को चक्र के अंदर और बाहर केवल दो क्षेत्रों में विभाजित करता है। हालाँकि, ए में $n$-चक्र, इन दोनों क्षेत्रों को  दूसरे से किसके द्वारा अलग किया जाता है $n$ अलग किनारे। इसलिए, का दोहरा ग्राफ $n$-साइकिल  मल्टीग्राफ है जिसमें दो कोने (क्षेत्रों के लिए दोहरे) होते हैं, जो एक दूसरे से जुड़े होते हैं $n$ दोहरे किनारे। इस तरह के ग्राफ को मल्टीपल एज, लिंकेज या कभी-कभी एक द्विध्रुवीय ग्राफ कहा जाता है। इसके विपरीत, एक के लिए दोहरी $n$-किनारे का द्विध्रुव ग्राफ  है $n$-चक्र।

दोहरा पॉलीहेड्रा
स्टीनिट्ज़ के प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बहुफलकीय ग्राफ ़ (त्रि-आयामी उत्तल पॉलीहेड्रॉन के कोने और किनारों द्वारा गठित ग्राफ़) प्लानर होना चाहिए और के-वर्टेक्स-कनेक्टेड ग्राफ़ | 3-वर्टेक्स-कनेक्टेड, और हर 3-वर्टेक्स-कनेक्टेड प्लानर ग्राफ उत्तल पॉलीहेड्रॉन से इस तरह से आता है। प्रत्येक त्रि-आयामी उत्तल बहुफलक में  दोहरा बहुफलक होता है; दोहरे पॉलीहेड्रॉन में मूल पॉलीहेड्रॉन के प्रत्येक फलक के लिए  शीर्ष होता है, जब भी संबंधित दो चेहरे  किनारे को साझा करते हैं तो दो दोहरे कोने आसन्न होते हैं। जब भी दो बहुफलक द्वैत होते हैं, उनके आलेख भी द्वैत होते हैं। उदाहरण के लिए, प्लेटोनिक ठोस दोहरे जोड़े में आते हैं, ऑक्टाहेड्रॉन दोहरे घन के साथ, डोडेकाहेड्रॉन दोहरे आइकोसैहेड्रॉन के लिए, और टेट्राहेड्रॉन स्वयं के लिए दोहरी। पॉलीहेड्रोन द्वैत को उच्च आयामी  polytope ्स के द्वैत तक भी बढ़ाया जा सकता है, लेकिन ज्यामितीय द्वैत के इस विस्तार का ग्राफ-सैद्धांतिक द्वैत से स्पष्ट संबंध नहीं है।

स्व-दोहरी रेखांकन
समतल ग्राफ़ को स्व-द्वैत कहा जाता है यदि यह ग्राफ़ समरूपता अपने दोहरे ग्राफ़ के लिए है। पहिया ग्राफ ़ स्व-दोहरी पॉलीहेड्रॉन|सेल्फ-डुअल पॉलीहेड्रा (पिरामिड (ज्यामिति)) से आने वाले सेल्फ़-डुअल ग्राफ़ का अनंत परिवार प्रदान करते हैं। हालाँकि, वहाँ स्व-दोहरे ग्राफ़ भी मौजूद हैं जो पॉलीहेड्रल नहीं हैं, जैसे कि दिखाया गया है।  दो संक्रियाओं, एडहेसिव और एक्सप्लोशन का वर्णन कर सकेंगे, जिनका उपयोग दिए गए प्लानर ग्राफ वाले सेल्फ-डुअल ग्राफ के निर्माण के लिए किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, दिखाए गए स्व-दोहरे ग्राफ को इसके दोहरे के साथ टेट्राहेड्रॉन के आसंजन के रूप में बनाया जा सकता है। यह यूलर अभिलाक्षणिकता|यूलर के सूत्र से अनुसरण करता है जिसके साथ प्रत्येक स्व-दोहरा ग्राफ होता है $n$ शिखर बिल्कुल है $2n − 2$ किनारे। प्रत्येक साधारण सेल्फ-डुअल प्लानर ग्राफ में डिग्री तीन के कम से कम चार कोने होते हैं, और प्रत्येक सेल्फ-डुअल एम्बेडिंग में कम से कम चार त्रिकोणीय चेहरे होते हैं।

'''यह यूलर अभिलाक्षणिकता|यूलर के सूत्र से अनुसरण करता है जिसके साथ प्रत्येक स्व-दोहरा ग्राफ होता है $n$ शिखर बिल्कुल है $2n − 2$ किनारे। प्रत्येक साधारण सेल्फ-डुअल प्लानर ग्राफ में डिग्री तीन के कम से '''

गुण
ग्राफ़ सिद्धांत में कई प्राकृतिक और महत्वपूर्ण अवधारणाएँ अन्य समान रूप से प्राकृतिक लेकिन दोहरे ग्राफ़ में भिन्न अवधारणाओं के अनुरूप हैं। क्योंकि जुड़े हुए समतल ग्राफ के दोहरे का ग्राफ़ आइसोमोर्फिज़्म है, जो कि प्राइमल ग्राफ़ के लिए है, इनमें से प्रत्येक जोड़ी द्विदिश है: यदि अवधारणा $X$  प्लानर ग्राफ में अवधारणा से मेल खाता है $Y$ दोहरे ग्राफ में, फिर अवधारणा $Y$  प्लानर ग्राफ में अवधारणा से मेल खाता है $X$ दोहरे में।

सरल रेखांकन बनाम मल्टीग्राफ
साधारण ग्राफ के दोहरे को सरल होने की आवश्यकता नहीं है: इसमें लूप (ग्राफ सिद्धांत) | सेल्फ-लूप्स (एक ही शीर्ष पर दोनों समापन बिंदुओं के साथ किनारा) या एक ही दो कोने को जोड़ने वाले कई किनारे हो सकते हैं, जैसा कि उदाहरण में पहले से ही स्पष्ट था द्विध्रुव मल्टीग्राफ के चक्र ग्राफ के दोहरे होने के कारण। कट-चक्र द्वैत के  विशेष मामले के रूप में नीचे चर्चा की गई है, प्लानर ग्राफ का ब्रिज (ग्राफ सिद्धांत)। $G$ दोहरे ग्राफ के सेल्फ-लूप के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं। इसी कारण से, दोहरी मल्टीग्राफ (यानी, लंबाई -2 चक्र) में समानांतर किनारों की जोड़ी प्राइमल ग्राफ में 2-किनारे वाले  cutset  से मेल खाती है (किनारों की  जोड़ी जिसका विलोपन ग्राफ को डिस्कनेक्ट करता है)। इसलिए,  प्लानर ग्राफ सरल है अगर और केवल अगर इसके दोहरे में 1- या 2-किनारे वाले कटसेट नहीं हैं; यानी, अगर यह के-एज-कनेक्टेड ग्राफ|3-एज-कनेक्टेड है। साधारण प्लानर ग्राफ जिनके दोहरे सरल हैं, वे बिल्कुल 3-किनारे से जुड़े सरल प्लानर ग्राफ हैं। ग्राफ़ के इस वर्ग में के-वर्टेक्स-कनेक्टेड ग्राफ़ | 3-वर्टेक्स-कनेक्टेड सरल प्लानर ग्राफ़ के वर्ग के समान नहीं है, लेकिन समान नहीं है। उदाहरण के लिए, स्व-दोहरा ग्राफ दिखाने वाला आंकड़ा 3-किनारे से जुड़ा हुआ है (और इसलिए इसका दोहरा सरल है) लेकिन 3-शीर्ष-जुड़ा हुआ नहीं है।

विशिष्टता
क्योंकि दोहरी ग्राफ विशेष एम्बेडिंग पर निर्भर करता है,  प्लानर ग्राफ का दोहरा ग्राफ अद्वितीय नहीं है, इस अर्थ में कि एक ही प्लानर ग्राफ में गैर-ग्राफ आइसोमोर्फिज्म दोहरे ग्राफ हो सकते हैं। तस्वीर में, नीले ग्राफ़ आइसोमॉर्फिक हैं लेकिन उनके दोहरे लाल ग्राफ़ नहीं हैं। ऊपरी लाल दोहरे में डिग्री 6 के साथ  शीर्ष है (नीले ग्राफ के बाहरी चेहरे के अनुरूप) जबकि निचले लाल ग्राफ में सभी डिग्री 6 से कम हैं।

हस्लर व्हिटनी ने दिखाया कि यदि ग्राफ़ k-वर्टेक्स-कनेक्टेड ग्राफ़ | 3-कनेक्टेड है तो एम्बेडिंग, और इस प्रकार दोहरा ग्राफ़ अद्वितीय है। स्टीनिट्ज़ के प्रमेय के अनुसार, ये ग्राफ़ वास्तव में पॉलीहेड्रल ग्राफ़ हैं, उत्तल पॉलीहेड्रा के ग्राफ़। प्लेनर ग्राफ 3-वर्टेक्स-कनेक्टेड है अगर और केवल अगर इसका ड्यूल ग्राफ 3-वर्टेक्स-कनेक्टेड है। अधिक आम तौर पर,  प्लानर ग्राफ में  अद्वितीय एम्बेडिंग होती है, और इसलिए  अद्वितीय दोहरी भी होती है, अगर और केवल अगर यह 3-वर्टेक्स-कनेक्टेड प्लानर ग्राफ (3-वर्टेक्स-कनेक्टेड ग्राफ से बना ग्राफ) का होमोमोर्फिज्म (ग्राफ सिद्धांत) है। इसके कुछ किनारों को पथों से बदलकर प्लानर ग्राफ)। कुछ प्लानर ग्राफ़ के लिए जो 3-वर्टेक्स-कनेक्टेड नहीं हैं, जैसे कि पूर्ण द्विदलीय ग्राफ़ $K_{2,4}$, एम्बेडिंग अद्वितीय नहीं है, लेकिन सभी एम्बेडिंग आइसोमोर्फिक हैं। जब ऐसा होता है, तदनुसार, सभी दोहरे ग्राफ़ तुल्याकारी होते हैं।

क्योंकि अलग-अलग एम्बेडिंग से अलग-अलग दोहरे ग्राफ़ हो सकते हैं, यह परीक्षण करना कि क्या ग्राफ़ दूसरे का दोहरा है (पहले से ही उनके एम्बेडिंग को जाने बिना)  गैर-अल्गोरिथम समस्या है। द्विसंबद्ध ग्राफ के लिए, साझा आपसी दोहरे होने के तुल्यता संबंध के लिए  विहित रूप बनाने के लिए ग्राफ़ के एसपीक्यूआर पेड़ों का उपयोग करके बहुपद समय में इसे हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, चित्रण में दो लाल ग्राफ़ इस संबंध के अनुसार समतुल्य हैं। हालाँकि, प्लानर ग्राफ़ के लिए जो द्विसंबद्ध नहीं हैं, यह संबंध  तुल्यता संबंध नहीं है और पारस्परिक द्वैत के परीक्षण की समस्या एनपी-पूर्ण है।

कट और साइकिल
मनमाने ढंग से जुड़े ग्राफ़ में कट (ग्राफ़ सिद्धांत) किनारों के  उपसमुच्चय को दो उपसमुच्चय में परिभाषित करता है, जिसमें उपसमुच्चय में  किनारा शामिल होता है जब विभाजन के प्रत्येक पक्ष पर  समापन बिंदु होता है। कटसेट के किनारों को हटाने से ग्राफ़ कम से कम दो कनेक्टेड घटकों में विभाजित हो जाता है।  न्यूनतम कटसेट (जिसे बॉन्ड भी कहा जाता है) संपत्ति के साथ  कटसेट है कि कटसेट का प्रत्येक उचित उपसमुच्चय स्वयं  कट नहीं है। कनेक्टेड ग्राफ़ का  न्यूनतम कटसेट अनिवार्य रूप से इसके ग्राफ़ को दो घटकों में अलग करता है, और इसमें किनारों का सेट होता है जिसमें प्रत्येक घटक में  समापन बिंदु होता है।  चक्र (ग्राफ सिद्धांत) ग्राफ सिद्धांत का  जुड़ा हुआ शब्दकोष है#सबग्राफ जिसमें चक्र का प्रत्येक शीर्ष चक्र के ठीक दो किनारों पर होता है। कनेक्टेड प्लानर ग्राफ में $G$, का हर सरल चक्र $G$ के दोहरे में न्यूनतम कटसेट से मेल खाता है $G$, और इसके विपरीत। इसे जॉर्डन वक्र प्रमेय के रूप के रूप में देखा जा सकता है: प्रत्येक सरल चक्र के चेहरों को अलग करता है $G$ चक्र के आंतरिक भाग में और चक्र के बाहरी भाग के फलक में, और चक्र किनारों के द्वैत ठीक वे किनारे हैं जो आंतरिक से बाहरी की ओर जाते हैं। किसी भी प्लानर ग्राफ (इसके सबसे छोटे चक्र का आकार) का गर्थ (ग्राफ सिद्धांत) इसके दोहरे ग्राफ (इसके सबसे छोटे कटसेट का आकार) के के-एज-कनेक्टेड ग्राफ के बराबर होता है।

यह द्वंद्व अलग-अलग कटसेट और चक्रों से लेकर उनसे परिभाषित सदिश स्थानों तक फैला हुआ है। एक ग्राफ़ के चक्र स्थान को सभी सबग्राफ के परिवार के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें प्रत्येक शीर्ष पर डिग्री (ग्राफ़ सिद्धांत) भी है; इसे GF(2)|दो-तत्व परिमित क्षेत्र पर वेक्टर स्थान के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें किनारों के दो सेटों का सममित अंतर वेक्टर अंतरिक्ष में वेक्टर जोड़ ऑपरेशन के रूप में कार्य करता है। इसी तरह,  ग्राफ के  कट जगह  को सभी कटसेट के परिवार के रूप में परिभाषित किया गया है, उसी तरह वेक्टर जोड़ को भी परिभाषित किया गया है। तब किसी भी प्लानर ग्राफ का चक्र स्थान और उसके दोहरे ग्राफ का कट स्पेस  सदिश स्थल  के रूप में आइसोमोर्फिक होता है। इस प्रकार,  प्लैनर ग्राफ (इसकी कटी हुई जगह का आयाम (वेक्टर स्पेस)) का रैंक (ग्राफ सिद्धांत) इसके दोहरे (इसके चक्र स्थान के आयाम) के सर्किट रैंक के बराबर है और इसके विपरीत। ग्राफ़ का एक चक्र आधार सरल चक्रों का  सेट है जो चक्र स्थान के आधार (रैखिक बीजगणित) का निर्माण करता है (इनमें से कुछ चक्रों के सममित अंतर के रूप में प्रत्येक भी-डिग्री सबग्राफ बिल्कुल  तरह से बनाया जा सकता है)। ग्राफ़ के लिए (असतत गणित) वेटेड ग्राफ़|एज-वेटेड प्लैनर ग्राफ़ (पर्याप्त सामान्य भार के साथ कि किन्हीं भी दो चक्रों का वज़न समान नहीं होता है) ग्राफ़ का न्यूनतम-भार चक्र आधार दोहरे ग्राफ़ के गोमोरी-हू ट्री से दोहरा होता है, नेस्टेड कट्स का  संग्रह जिसमें ग्राफ़ में प्रत्येक जोड़ी को अलग करने वाला  न्यूनतम कट शामिल है। न्यूनतम वजन चक्र के आधार पर प्रत्येक चक्र में किनारों का  सेट होता है जो कि गोमोरी-हू पेड़ में कटौती के किनारों के दोहरे होते हैं। जब चक्र भार बंधे हो सकते हैं, तो न्यूनतम-वजन चक्र आधार अद्वितीय नहीं हो सकता है, लेकिन इस मामले में यह अभी भी सच है कि दोहरे ग्राफ का गोमोरी-हू पेड़ ग्राफ के न्यूनतम वजन चक्र आधारों में से एक से मेल खाता है। निर्देशित प्लानर ग्राफ़ में, सरल निर्देशित चक्र दोहरे होते हैं निर्देशित कटौती (कोने के दो सबसेट में विभाजन जैसे कि सभी किनारे एक दिशा में जाते हैं, एक उपसमुच्चय से दूसरे तक)। दृढ़ता से उन्मुख प्लानर ग्राफ़ (ग्राफ़ जिनके अंतर्निहित अप्रत्यक्ष ग्राफ़ जुड़े हुए हैं, और जिसमें प्रत्येक किनारे चक्र से संबंधित है) निर्देशित अचक्रीय ग्राफ़ के लिए दोहरी हैं जिसमें कोई किनारा किसी चक्र से संबंधित नहीं है। इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए,  कनेक्टेड प्लानर ग्राफ़ (ग्राफ़ के किनारों को दिशा-निर्देशों का असाइनमेंट जो दृढ़ता से जुड़े ग्राफ़ में परिणाम देता है) के मजबूत ओरिएंटेशन  चक्रीय अभिविन्यास  (दिशाओं के असाइनमेंट जो  निर्देशित एसाइक्लिक ग्राफ का निर्माण करते हैं) के लिए दोहरे हैं। उसी तरह, डिजॉइन्स (किनारों के सेट जिसमें प्रत्येक निर्देशित कट से किनारे शामिल हैं) फीडबैक आर्क सेट (किनारों के सेट जिसमें प्रत्येक चक्र से किनारे शामिल हैं) के लिए दोहरी हैं।

फैले हुए पेड़
फैले हुए पेड़ को किनारों के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो ग्राफ़ के सभी शीर्षों के साथ मिलकर  जुड़ा हुआ और एसाइक्लिक सबग्राफ बनाता है। लेकिन, कट-चक्र द्वैत द्वारा, यदि  सेट $S$ समतलीय ग्राफ में किनारों की $G$ चक्रीय है (कोई चक्र नहीं है), फिर किनारों का सेट दोहरी है $S$ में कोई कटौती नहीं है, जिससे यह पता चलता है कि दोहरे किनारों का पूरक सेट (किनारों के दोहरे जो अंदर नहीं हैं $S$)  कनेक्टेड सबग्राफ बनाता है। सममित रूप से, यदि $S$ जुड़ा हुआ है, तो किनारों के पूरक के लिए दोहरी $S$  एसाइक्लिक सबग्राफ बनाएं। इसलिए कब $S$ में दोनों गुण हैं - यह जुड़ा हुआ है और चक्रीय है - वही दोहरे ग्राफ में पूरक सेट के लिए सही है। यानी प्रत्येक फैले हुए पेड़ $G$ दोहरे ग्राफ के फैले हुए पेड़ का पूरक है, और इसके विपरीत। इस प्रकार, किसी भी प्लैनर ग्राफ के किनारों और इसके दोहरे को  साथ (कई अलग-अलग तरीकों से) दो फैले हुए पेड़ों में विभाजित किया जा सकता है,  प्राइमल में और  दोहरे में, जो  साथ ग्राफ के सभी कोने और चेहरों तक फैलता है लेकिन कभी नहीं  दूसरे को पार करो। विशेष रूप से, न्यूनतम फैले पेड़ $G$ दोहरे ग्राफ के अधिकतम फैले हुए वृक्ष का पूरक है। हालांकि, यह सबसे छोटे पथ के पेड़ों के लिए काम नहीं करता है, यहां तक ​​​​कि लगभग भी: प्लानर ग्राफ मौजूद हैं, जैसे कि ग्राफ में  फैले हुए पेड़ की हर जोड़ी और दोहरे ग्राफ में  पूरक फैले हुए पेड़ के लिए, कम से कम दो पेड़ों में से एक की दूरी है जो इसके ग्राफ में दूरियों से काफी अधिक हैं। इंटरडिजिटिंग पेड़ों में इस प्रकार के अपघटन का उदाहरण कुछ सरल प्रकार के भूल-भुलैया में देखा जा सकता है, जिसमें एक ही प्रवेश द्वार होता है और इसकी दीवारों का कोई भी घटक अलग नहीं होता है। इस मामले में भूलभुलैया की दीवारें और दीवारों के बीच की जगह दोनों  गणितीय पेड़ का रूप ले लेती हैं। यदि भूलभुलैया के मुक्त स्थान को सरल कोशिकाओं (जैसे ग्रिड के वर्ग) में विभाजित किया जाता है, तो कोशिकाओं की इस प्रणाली को  प्लानर ग्राफ के एम्बेडिंग के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें दीवारों की वृक्ष संरचना  फैले हुए वृक्ष का निर्माण करती है। ग्राफ और मुक्त स्थान की वृक्ष संरचना दोहरे ग्राफ का  फैला हुआ वृक्ष बनाती है। इंटरडिजिटेटिंग पेड़ों के समान जोड़े को  जल निकासी बेसिन के भीतर धाराओं और नदियों के पेड़ के आकार के पैटर्न और धाराओं को अलग करने वाली रिजलाइनों के दोहरे पेड़ के आकार के पैटर्न में भी देखा जा सकता है। किनारों के इस विभाजन और उनके दोहरे दो पेड़ों में यूलर विशेषता का सरल प्रमाण होता है|यूलर का सूत्र $V − E + F = 2$ समतलीय रेखांकन के लिए $V$ कोने, $E$ किनारों, और $F$ चेहरे के। कोई भी फैला हुआ पेड़ और उसका पूरक दोहरा फैला हुआ पेड़ किनारों को दो सबसेट में विभाजित करता है $V − 1$ और $F − 1$ किनारे, और दो सबसेट के आकार को जोड़ने से समीकरण मिलता है

जिसे यूलर का सूत्र बनाने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। डंकन सोमरविले के अनुसार, यूलर के सूत्र का यह प्रमाण कार्ल जॉर्ज क्रिश्चियन वॉन स्टॉड्ट|के. के कारण है। जी. सी. वॉन स्टॉड की जियोमेट्री डेर लेज (नूर्नबर्ग, 1847)। नॉनप्लानर सरफेस एंबेडिंग में फैले हुए पेड़ के पूरक दोहरे किनारों का सेट  दोहरा फैला हुआ पेड़ नहीं है। इसके बजाय किनारों का यह सेट दोहरे फैले हुए पेड़ का  अतिरिक्त किनारों के एक छोटे सेट के साथ मिलन है, जिसकी संख्या उस सतह के जीनस द्वारा निर्धारित की जाती है जिस पर ग्राफ एम्बेडेड है। फैले हुए पेड़ों में पथों के संयोजन में अतिरिक्त किनारों का उपयोग सतह के मूलभूत समूह समूह के सेट को उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।

अतिरिक्त गुण
कोई भी गणना सूत्र जिसमें कोने और चेहरे शामिल हैं जो सभी प्लानर ग्राफ़ के लिए मान्य है, प्लानर द्वैत द्वारा समकक्ष सूत्र में परिवर्तित किया जा सकता है जिसमें कोने और चेहरों की भूमिका बदली गई है। यूलर का सूत्र, जो स्व-द्वैत है,  उदाहरण है। फ्रैंक हैरिस द्वारा दिए गए एक अन्य में  हाथ मिलाना लेम्मा  शामिल है, जिसके अनुसार किसी भी ग्राफ के शीर्षों की डिग्री (ग्राफ सिद्धांत) का योग किनारों की संख्या के दोगुने के बराबर होता है। अपने दोहरे रूप में, यह लेम्मा बताती है कि  समतल ग्राफ में, ग्राफ के चेहरों की संख्या का योग किनारों की संख्या के दोगुने के बराबर होता है। समतल ग्राफ़ का औसत दर्जे का ग्राफ़ ग्राफ़ आइसोमोर्फिज़्म है जो इसके दोहरे के औसत दर्जे का ग्राफ़ है। दो प्लानर ग्राफ़ में आइसोमॉर्फिक औसत दर्जे का ग्राफ़ तभी हो सकता है जब वे एक-दूसरे से दोहरे हों। चार या अधिक शीर्षों वाला प्लानर ग्राफ अधिकतम होता है (प्लैनरिटी को संरक्षित करते समय कोई और किनारों को जोड़ा नहीं जा सकता है) अगर और केवल अगर इसका दोहरा ग्राफ 3-वर्टेक्स-कनेक्टेड और क्यूबिक ग्राफ दोनों है। 3-नियमित। जुड़ा समतलीय ग्राफ यूलेरियन पथ है (प्रत्येक शीर्ष पर सम डिग्री है) यदि और केवल यदि इसका दोहरा ग्राफ द्विदलीय ग्राफ है। समतलीय ग्राफ में हैमिल्टन का चक्र $G$ दोहरे ग्राफ़ के शीर्षों के दो सबसेट (चक्र के आंतरिक और बाहरी) में विभाजन से मेल खाता है, जिसके प्रेरित सबग्राफ दोनों पेड़ हैं। विशेष रूप से, घन द्विदलीय बहुफलकीय रेखांकन की हेमिल्टनिसिटी पर बार्नेट का अनुमान इस अनुमान के समतुल्य है कि प्रत्येक यूलेरियन अधिकतम तलीय ग्राफ को दो प्रेरित वृक्षों में विभाजित किया जा सकता है। यदि प्लानर ग्राफ $G$ में टुट्टे बहुपद है $E = (V − 1) + (F − 1)$, तो इसके दोहरे ग्राफ का टुट्टे बहुपद अदला-बदली करके प्राप्त किया जाता है $x$ और $y$. इस कारण से, यदि टुट्टे बहुपद का कुछ विशेष मूल्य कुछ प्रकार की संरचनाओं के बारे में जानकारी प्रदान करता है $G$, फिर टुट्टे बहुपद के लिए तर्कों की अदला-बदली करने से दोहरी संरचनाओं के लिए संबंधित जानकारी मिलेगी। उदाहरण के लिए, मजबूत ओरिएंटेशन की संख्या है $T_{G}(x,y)$ और एसाइक्लिक ओरिएंटेशन की संख्या है $T_{G}(0,2)$. ब्रिज के लिए (ग्राफ थ्योरी) प्लेनर ग्राफ, ग्राफ रंग  के साथ $k$ रंग कहीं नहीं-शून्य प्रवाह मोडुलो के अनुरूप हैं$k$ दोहरे ग्राफ़ पर। उदाहरण के लिए, चार रंग प्रमेय (हर प्लानर ग्राफ के लिए 4-रंगों का अस्तित्व) को समान रूप से यह कहते हुए व्यक्त किया जा सकता है कि प्रत्येक ब्रिजलेस प्लानर ग्राफ के दोहरे में शून्य-शून्य 4-प्रवाह है। की संख्या $k$-रंगों की गणना (आसानी से परिकलित गुणक तक) Tutte बहुपद मान द्वारा की जाती है $T_{G}(2,0)$ और कहीं नहीं-शून्य की संख्या $k$-प्रवाहों की गणना किसके द्वारा की जाती है $T_{G}(1 − k,0)$. सेंट-प्लानर ग्राफ | सेंट-प्लानर ग्राफ जुड़ा हुआ प्लानर ग्राफ है जो उस ग्राफ के द्विध्रुवीय अभिविन्यास के साथ जुड़ा हुआ है,  अभिविन्यास जो इसे  स्रोत और एक सिंक के साथ विश्वकोश बनाता है, दोनों को एक ही चेहरे पर होना आवश्यक है एक दूसरे के रूप में। इस तरह के ग्राफ को सिंक से वापस स्रोत तक, बाहरी चेहरे के माध्यम से, एक और किनारे को जोड़कर दृढ़ता से जुड़े ग्राफ में बनाया जा सकता है। इस संवर्धित प्लानर ग्राफ का दोहरापन अपने आप में एक और सेंट-प्लानर ग्राफ का संवर्द्धन है।

निर्देशित रेखांकन
निर्देशित ग्राफ़ समतल ग्राफ़ में, दोहरे ग्राफ़ को भी निर्देशित किया जा सकता है, प्रत्येक दोहरे किनारे को 90 ° दक्षिणावर्त घुमाकर संबंधित प्राइमल किनारे से उन्मुख किया जा सकता है। सख्ती से बोलते हुए, यह निर्माण निर्देशित प्लानर ग्राफों का द्वंद्व नहीं है, क्योंकि ग्राफ से शुरू होता है $G$ और दोहरे को दो बार लेने पर वापस नहीं आता है $G$ स्वयं, लेकिन इसके बजाय ट्रांसपोज़ ग्राफ़ के लिए  ग्राफ आइसोमोर्फिक बनाता है $G$, से बना ग्राफ $G$ इसके सभी किनारों को उलट कर। दोहरे को चार बार लेने से मूल ग्राफ पर वापस आ जाता है।

कमजोर दोहरी
समतल ग्राफ़ का कमज़ोर द्वैत ग्राफ़ थ्योरी की शब्दावली है#डुअल ग्राफ़ के सबग्राफ़, जिनके शीर्ष प्रारंभिक ग्राफ़ के बंधे चेहरों के अनुरूप होते हैं। प्लेन ग्राफ आउटरप्लानर ग्राफ है अगर और केवल अगर इसकी कमजोर दोहरी एक पेड़ (ग्राफ थ्योरी) है। किसी भी समतल ग्राफ के लिए $G$, होने देना $T_{G}(0,1 − k)$  नया शीर्ष जोड़कर बनने वाला समतल मल्टीग्राफ हो $v$ के असीमित चेहरे में $G$, और कनेक्ट कर रहा है $v$ बाहरी फलक के प्रत्येक शीर्ष पर (कई बार, यदि कोई शीर्ष बाहरी फलक की सीमा पर कई बार प्रकट होता है); तब, $G$ (विमान) के दोहरे का कमजोर दोहरा है $G^{+}$.

अनंत रेखांकन और छंद
द्वैत की अवधारणा विमान में सन्निहित अनंत रेखांकन पर भी लागू होती है क्योंकि यह रेखांकन को परिमित करती है। हालांकि, टोपोलॉजिकल जटिलताओं से बचने के लिए देखभाल की आवश्यकता होती है जैसे कि विमान के बिंदु जो न तो खुले क्षेत्र का हिस्सा हैं और न ही ग्राफ के किनारे या शीर्ष का हिस्सा हैं। जब सभी चेहरे ग्राफ़ के चक्र से घिरे क्षेत्र होते हैं, तो  अनंत प्लानर ग्राफ़ एम्बेडिंग को विमान के टेस्सेलेशन के रूप में भी देखा जा सकता है, बंद डिस्क (चौकोर की टाइलें) द्वारा विमान का  आवरण जिसके अंदरूनी (चेहरे) एम्बेडिंग के) खुले डिस्क से अलग हैं। प्लेनर द्वैत  दोहरे टेसलेशन की धारणा को जन्म देता है, प्रत्येक टाइल के केंद्र में एक शीर्ष रखकर और आसन्न टाइलों के केंद्रों को जोड़कर  टेसलेशन बनाया जाता है।

एक दोहरे टेस्सेलेशन की अवधारणा को समतल के कई क्षेत्रों में विभाजित करने के लिए भी लागू किया जा सकता है। यह बारीकी से संबंधित है लेकिन इस मामले में प्लानर ग्राफ द्वैत के समान नहीं है। उदाहरण के लिए, बिंदु साइटों के परिमित सेट का वोरोनोई आरेख बहुभुज में समतल का एक विभाजन है जिसके भीतर  साइट किसी अन्य की तुलना में करीब है। इनपुट के उत्तल पतवार पर साइटें असीमित वोरोनोई बहुभुजों को जन्म देती हैं, जिनमें से दो पक्ष परिमित रेखा खंडों के बजाय अनंत किरणें हैं। इस आरेख का दोहरा इनपुट का Delaunay त्रिभुज है,  प्लानर ग्राफ जो दो साइटों को  किनारे से जोड़ता है जब भी कोई सर्कल मौजूद होता है जिसमें वे दो साइटें होती हैं और कोई अन्य साइट नहीं होती है। इनपुट के उत्तल पतवार के किनारे भी डेलाउने त्रिभुज के किनारे हैं, लेकिन वे वोरोनोई आरेख के रेखा खंडों के बजाय किरणों के अनुरूप हैं। Voronoi आरेख और Delaunay त्रिभुजों के बीच के इस द्वैत को दो तरीकों से परिमित ग्राफ़ के बीच  द्वैत में बदला जा सकता है: Voronoi आरेख में अनंत पर  कृत्रिम शीर्ष बिंदु जोड़कर, इसकी सभी किरणों के लिए अन्य समापन बिंदु के रूप में सेवा करने के लिए, या वोरोनोई आरेख के बंधे हुए हिस्से को डेलाउने त्रिभुज के कमजोर दोहरे के रूप में मानकर। हालांकि वोरोनोई आरेख और डेलाउने त्रिभुज दोहरे हैं, विमान में उनके एम्बेडिंग में किनारों के दोहरे जोड़े के क्रॉसिंग से परे अतिरिक्त क्रॉसिंग हो सकते हैं। डेलाउने त्रिकोण का प्रत्येक शीर्ष वोरोनोई आरेख के संबंधित चेहरे के भीतर स्थित है। वोरोनोई आरेख के प्रत्येक शीर्ष को डेलाउने त्रिभुज के संबंधित त्रिकोण के परिधि पर स्थित है, लेकिन यह बिंदु इसके त्रिभुज के बाहर स्थित हो सकता है।

नॉनप्लानर एम्बेडिंग
द्वैत की अवधारणा को विमान के अलावा द्वि-आयामी कई गुना  पर ग्राफ एम्बेडिंग तक बढ़ाया जा सकता है। परिभाषा समान है: मैनिफोल्ड में ग्राफ़ के पूरक (सेट सिद्धांत) के प्रत्येक  जुड़ा हुआ स्थान  के लिए  दोहरा शीर्ष है, और प्रत्येक ग्राफ़ किनारे के लिए  दोहरा किनारा है जो किनारे के दोनों ओर दो दोहरे कोने जोड़ता है। इस अवधारणा के अधिकांश अनुप्रयोगों में, यह संपत्ति के साथ एम्बेडिंग तक ही सीमित है कि प्रत्येक चेहरा  टोपोलॉजिकल डिस्क है; यह बाधा प्लानर ग्राफ़ के लिए आवश्यकता को सामान्यीकृत करती है कि ग्राफ़ को कनेक्ट किया जाए। इस बाधा के साथ, किसी भी सतह-एम्बेडेड ग्राफ के दोहरे में एक ही सतह पर  प्राकृतिक एम्बेडिंग होती है, जैसे कि दोहरे का दोहरा आइसोमॉर्फिक होता है और आइसोमोर्फिक रूप से मूल ग्राफ में एम्बेडेड होता है। उदाहरण के लिए, पूरा ग्राफ $G^{+}$  टॉरॉयडल ग्राफ है: यह प्लानर नहीं है, लेकिन  टोरस में एम्बेड किया जा सकता है, जिसमें एम्बेडिंग का प्रत्येक चेहरा  त्रिकोण है। इस एम्बेडिंग में हीवुड ग्राफ अपने दोहरे ग्राफ के रूप में है। समान अवधारणा उन्मुखता  | गैर-उन्मुख सतहों के लिए समान रूप से अच्छी तरह से काम करती है। उदाहरण के लिए, $K_{7}$ हेमी-विंशतिफलक के रूप में दस त्रिकोणीय चेहरों के साथ  प्रक्षेपी विमान  में एम्बेड किया जा सकता है, जिसका दोहरा पीटरसन ग्राफ है जो हेमी-द्वादशफलक के रूप में एम्बेडेड है। यहां तक ​​​​कि प्लेनर ग्राफ़ में नॉनप्लानर एम्बेडिंग हो सकते हैं, उन एम्बेडिंग से प्राप्त दोहरे के साथ जो उनके प्लानर डुअल से भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, घन के चार पेट्री बहुभुज (घन के दो विपरीत सिरों को हटाकर गठित हेक्सागोन)  टोरस्र्स  में घन के एम्बेडिंग के हेक्सागोनल चेहरे बनाते हैं। इस एम्बेडिंग के दोहरे ग्राफ़ में चार कोने हैं जो  पूर्ण ग्राफ़ बनाते हैं $K_{6}$ दोगुने किनारों के साथ। इस दोहरे ग्राफ़ के टोरस एम्बेडिंग में, प्रत्येक शीर्ष पर छह किनारों की घटना, उस शीर्ष के चारों ओर चक्रीय क्रम में, तीन अन्य शीर्षों के माध्यम से दो बार चक्रित होती है। विमान में स्थिति के विपरीत, घन और उसके दोहरे का यह एम्बेडिंग अद्वितीय नहीं है; क्यूब ग्राफ में कई अन्य टोरस एम्बेडिंग हैं, जिनमें अलग-अलग दोहरे हैं।

प्लानर ग्राफ़ के मौलिक और दोहरे ग्राफ़ गुणों के बीच कई समानताएँ गैर-प्लानर दोहरे के सामान्यीकरण में विफल होती हैं, या उनके सामान्यीकरण में अतिरिक्त देखभाल की आवश्यकता होती है।

सतह-एम्बेडेड ग्राफ़ पर एक और ऑपरेशन पेट्री दोहरी  है, जो एम्बेडिंग के पेट्री पॉलीगॉन को  नए एम्बेडिंग के चेहरे के रूप में उपयोग करता है। सामान्य दोहरे ग्राफ़ के विपरीत, इसमें मूल ग्राफ़ के समान शीर्ष होते हैं, लेकिन आम तौर पर एक अलग सतह पर स्थित होते हैं। भूतल द्वैत और पेट्री द्वैत छह विल्सन ऑपरेशनों में से दो हैं, और साथ में इन ऑपरेशनों के समूह को उत्पन्न करते हैं।

मैट्रोइड्स और बीजगणितीय दोहरे
जुड़े हुए ग्राफ का बीजगणितीय दोहरा $G$  ग्राफ है $K_{7}$ ऐसा है कि $G$ और $K_{6}$ किनारों का एक ही सेट है, किसी भी चक्र का स्थान $G$ का कट (ग्राफ थ्योरी) है $K_{4}$, और कोई भी कटौती $G$ का चक्र है $G^{*}$. प्रत्येक प्लानर ग्राफ में बीजगणितीय दोहरी होती है, जो सामान्य रूप से अद्वितीय नहीं होती है ( विमान एम्बेडिंग द्वारा परिभाषित कोई भी दोहरी)। बातचीत वास्तव में सच है, जैसा कि हस्लर व्हिटनी ने व्हिटनी की ग्रहीयता कसौटी में तय किया है:
 * जुड़ा हुआ ग्राफ $G$ समतलीय है यदि और केवल यदि इसमें बीजगणितीय द्वैत है।

इसी तथ्य को matroid के सिद्धांत में व्यक्त किया जा सकता है। अगर $M$ ग्राफ का  ग्राफिक मैट्रोइड  है $G$, फिर  ग्राफ $G^{*}$ का  बीजगणितीय द्वैत है $G$ यदि और केवल यदि का ग्राफिक मैट्रॉइड $G^{*}$ की दोहरी matroid है $M$. फिर व्हिटनी की प्लेनेटरी कसौटी को यह कहते हुए दोहराया जा सकता है कि ग्राफिक मैट्रॉइड का दोहरा मैट्रोइड $M$ अपने आप में  ग्राफिक मैट्रॉइड है अगर और केवल अगर अंतर्निहित ग्राफ $G$ का $M$ तलीय है। अगर $G$ प्लानर है, डुअल मैट्रॉइड के डुअल ग्राफ का ग्राफिक मैट्रॉइड है $G$. विशेष रूप से, सभी दोहरे रेखांकन, के सभी अलग-अलग प्लानर एम्बेडिंग के लिए $G$, आइसोमॉर्फिक ग्राफिक मैट्रोइड्स हैं। नॉनप्लानर सरफेस एंबेडिंग के लिए, प्लेनर डुअल के विपरीत, डुअल ग्राफ आमतौर पर प्राइमल ग्राफ का बीजगणितीय डुअल नहीं होता है। और गैर-प्लानर ग्राफ के लिए $G$, के ग्राफिक मैट्रोइड का दोहरा मैट्रोइड $G$ अपने आप में  ग्राफिक मैट्रॉइड नहीं है। हालाँकि, यह अभी भी  मैट्रॉइड है जिसके सर्किट में कटौती के अनुरूप है $G$, और इस अर्थ में संयोजनात्मक रूप से सामान्यीकृत बीजगणितीय द्वैत के रूप में सोचा जा सकता है$G$. यूलेरियन और द्विदलीय प्लानर ग्राफ़ के बीच के द्वंद्व को बाइनरी मैट्रोइड्स तक बढ़ाया जा सकता है (जिसमें प्लानर ग्राफ़ से प्राप्त ग्राफ़िक मैट्रोइड्स शामिल हैं): बाइनरी मैट्रोइड यूलेरियन मैट्रोइड है अगर और केवल अगर इसकी दोहरी मैट्रॉइड द्विदलीय मैट्रोइड है। गर्थ और एज कनेक्टिविटी की दो दोहरी अवधारणाओं को मेट्रॉइड सिद्धांत में Metroid द्वारा एकीकृत किया गया है:  प्लानर ग्राफ के ग्राफिक मैट्रॉइड का घेरा ग्राफ के परिधि के समान है, और दोहरी मैट्रोइड (दोहरी का ग्राफिक मैट्रॉइड) ग्राफ) ग्राफ की बढ़त कनेक्टिविटी है।

अनुप्रयोग
ग्राफ़ सिद्धांत में इसके उपयोग के साथ, प्लानर ग्राफ़ के द्वंद्व में गणितीय और कम्प्यूटेशनल अध्ययन के कई अन्य क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं।

भौगोलिक सूचना प्रणालियों में, प्रवाह नेटवर्क (जैसे नेटवर्क दिखाते हैं कि जलधाराओं और नदियों की प्रणाली में पानी कैसे बहता है) जल निकासी विभाजन का वर्णन करने वाले सेलुलर नेटवर्क के लिए दोहरे हैं। इस द्वैत को उपयुक्त पैमाने के ग्रिड ग्राफ पर फैले हुए पेड़ के रूप में प्रवाह नेटवर्क को मॉडलिंग करके और दोहरी ग्रिड ग्राफ पर राइडलाइनों के पूरक फैले पेड़ के रूप में जल निकासी विभाजन को मॉडलिंग करके समझाया जा सकता है। कंप्यूटर दृष्टि में, डिजिटल छवियों को छोटे वर्ग पिक्सेल में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक का अपना रंग होता है। वर्गों में इस उपखंड के दोहरे ग्राफ़ में प्रति पिक्सेल शीर्ष होता है और किनारे साझा करने वाले पिक्सेल के जोड़े के बीच  किनारा होता है; यह समान रंगों के कनेक्टेड क्षेत्रों में पिक्सेल की क्लस्टरिंग सहित अनुप्रयोगों के लिए उपयोगी है। कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में, वोरोनोई आरेख और डेलाउने त्रिभुज के बीच द्वंद्व का तात्पर्य है कि वोरोनोई आरेख के निर्माण के लिए किसी भी एल्गोरिदम को तुरंत डेलाउने त्रिभुज के लिए एल्गोरिदम में परिवर्तित किया जा सकता है, और इसके विपरीत। इसी द्वैत का उपयोग परिमित तत्व विधि जाल निर्माण में भी किया जा सकता है। लॉयड्स एल्गोरिद्म, वोरोनोई आरेखों पर आधारित  विधि है जो  सतह पर बिंदुओं के  सेट को अधिक समान रूप से दूरी वाले स्थानों पर ले जाने के लिए उपयोग की जाती है, जिसे आमतौर पर दोहरे डेलाउने त्रिभुज द्वारा वर्णित  परिमित तत्व जाल को सुचारू करने के तरीके के रूप में उपयोग किया जाता है। यह विधि जाल के त्रिकोणों को अधिक समान आकार और आकार देकर जाल में सुधार करती है। सीएमओएस सर्किट के तर्क संश्लेषण में, संश्लेषित किए जाने वाले कार्य को बूलियन बीजगणित में सूत्र के रूप में दर्शाया गया है। फिर इस सूत्र का अनुवाद दो श्रृंखला-समानांतर ग्राफ|श्रृंखला-समानांतर मल्टीग्राफ में किया जाता है। इन ग्राफ़ों को सर्किट आरेखों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जिसमें ग्राफ़ के किनारे ट्रांजिस्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो फ़ंक्शन के इनपुट द्वारा गेट किए जाते हैं।  सर्किट फ़ंक्शन की गणना करता है, और दूसरा इसके पूरक की गणना करता है। दो परिपथों में से  सूत्र के संयोजनों और वियोजनों को क्रमशः रेखांकन की श्रृंखला और समानांतर रचनाओं में परिवर्तित करके प्राप्त किया जाता है। अन्य सर्किट इस निर्माण को उलट देता है, सूत्र के संयोजनों और संयोजनों को रेखांकन के समानांतर और श्रृंखला रचनाओं में परिवर्तित करता है। प्रत्येक सर्किट के इनपुट को उसके आउटपुट से जोड़ने वाले  अतिरिक्त किनारे से संवर्धित ये दो सर्किट, प्लानर डुअल ग्राफ़ हैं।

इतिहास
उत्तल पॉलीहेड्रा के द्वैत को जोहान्स केप्लर ने अपनी 1619 की किताब दुनिया के हार्मोनिक्स  में पहचाना था। पॉलीहेड्रा के संदर्भ के बाहर पहचाने जाने योग्य प्लानर डुअल ग्राफ़, 1725 की शुरुआत में, पियरे वैरिग्नन के मरणोपरांत प्रकाशित काम, नोवेल मेचैनिक ओ स्टेटिक में दिखाई दिए। यह लियोनहार्ड यूलर के 1736 में कोनिग्सबर्ग के सात पुलों पर काम करने से पहले भी था, जिसे अक्सर ग्राफ सिद्धांत पर पहला काम माना जाता है। वरिग्नन ने अकड़ ्स पर बलों के लिए आनुपातिक किनारे की लंबाई के साथ, स्ट्रट्स के लिए दोहरी ग्राफ खींचकर स्ट्रट्स की स्थैतिक प्रणालियों पर बलों का विश्लेषण किया; यह दोहरा ग्राफ एक प्रकार का क्रेमोना आरेख है। चार रंग प्रमेय के संबंध में, 1879 में अल्फ्रेड केम्पे द्वारा मानचित्रों के दोहरे रेखांकन (क्षेत्रों में विमान के उपविभाग) का उल्लेख किया गया था, और गैर-प्लानर सतहों पर मानचित्रों तक विस्तारित किया गया था।  1891 में। 1931 में हस्लर व्हिटनी द्वारा अमूर्त प्लानर ग्राफ पर  ऑपरेशन के रूप में द्वैत पेश किया गया था।

बाहरी संबंध


Dualität (Mathematik)