रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन

ज्यामिति में, रोम्बिक ट्राइकॉन्टाहेड्रोन, जिसे कभी-कभी केवल ट्राइकॉन्टाहेड्रोन कहा जाता है क्योंकि यह सबसे आम तीस-सामना करने वाला बहुतल  है, 30  विषमकोण  चेहरे (ज्यामिति) के साथ एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन है। इसमें 60 किनारे (ज्यामिति) और 32 शीर्ष (ज्यामिति) दो प्रकार के होते हैं। यह एक कातालान ठोस है, और icosidodecahedron का दोहरी पॉलीहेड्रॉन है। यह एक ज़ोनोहेड्रॉन है।

प्रत्येक फलक के लंबे विकर्ण और छोटे विकर्ण का अनुपात बिल्कुल सुनहरे अनुपात के बराबर होता है, $φ$, ताकि प्रत्येक फलक पर कोण#प्रकार के कोण नापें $2 tan−1(1⁄φ) = tan−1(2),$ या लगभग 63.43°। इस प्रकार प्राप्त एक समचतुर्भुज स्वर्ण समचतुर्भुज कहलाता है।

एक आर्किमिडीयन ठोस के दोहरे होने के कारण, रोम्बिक ट्राइकॉन्टाहेड्रॉन चेहरा-संक्रमणीय है, जिसका अर्थ है कि ठोस क्रियाओं का समरूपता समूह चेहरों के सेट पर सकर्मक क्रिया करता है। इसका मतलब है कि किसी भी दो चेहरों के लिए, $A$ और $B$, ठोस का एक घूर्णन या परावर्तन (गणित) होता है जो चेहरे को गति करते समय अंतरिक्ष के उसी क्षेत्र पर कब्जा कर लेता है $A$ सामना करने के लिए $B$.

रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन नौ किनारे-संक्रमणीय उत्तल पॉलीहेड्रा में से एक होने में कुछ विशेष है, अन्य पांच प्लेटोनिक ठोस, cuboctahedron, इकोसिडोडेकेड्रॉन और रोम्बिक द्वादशफ़लक  हैं।

रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन भी दिलचस्प है क्योंकि इसके कोने में चार प्लेटोनिक ठोस पदार्थों की व्यवस्था शामिल है। इसमें दस चतुर्पाश्वीय, पांच क्यूब्स, एक विंशतिफलक और एक डोडेकेहेड्रोन शामिल हैं। फलकों के केंद्र में पाँच अष्टफलक होते हैं।

यह षट्कोणीय फलकों को 3 समचतुर्भुज द्वादशफलक विभाजित करके एक काटे गए अष्टफलक से बनाया जा सकता है:

कार्तीय निर्देशांक
होने देना $$\phi$$ सुनहरा अनुपात हो। द्वारा दिए गए 12 अंक $$(0, \pm 1, \pm \phi)$$ और इन निर्देशांकों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन नियमित आईकोसाहेड्रॉन के शिखर हैं। इसके दोहरे नियमित द्वादशफलक, जिनके किनारे समकोण पर समकोण पर प्रतिच्छेद करते हैं, के शीर्ष 8 बिंदु हैं $$(\pm 1, \pm 1, \pm 1)$$ एक साथ 12 बिंदुओं के साथ $$(0, \pm\phi, \pm 1/\phi)$$ और इन निर्देशांकों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन। सभी 32 बिंदु एक साथ मूल पर केंद्रित एक विषमकोण त्रिभुज के शीर्ष हैं। इसके किनारों की लम्बाई है $$\sqrt{3-\phi}\approx 1.175\,570\,504\,58$$. इसके फलकों में लंबाई के साथ विकर्ण होते हैं $$2$$ और $$2/\phi$$.

आयाम
यदि एक समचतुर्भुज त्रिभुज के किनारे की लंबाई एक, सतह क्षेत्र, आयतन है, तो एक खुदे हुए गोले की त्रिज्या (रंबिक त्रिभुज के प्रत्येक चेहरे के लिए स्पर्शरेखा) और मध्यत्रिज्या, जो प्रत्येक किनारे के मध्य को छूती है:
 * $$\begin{align}

S &= 12\sqrt{5}\,a^2 &&\approx 26.8328 a^2 \\ V &= 4\sqrt{5+2\sqrt{5}}\,a^3 &&\approx 12.3107 a^3 \\ r_\mathrm{i} &= \frac{\varphi^2}{\sqrt{1 + \varphi^2}}\,a = \sqrt{1 + \frac{2}{\sqrt{5}}}\,a &&\approx 1.37638 a \\ r_\mathrm{m} &= \left(1+\frac{1}{\sqrt{5}}\right)\,a &&\approx 1.44721 a \end{align}$$ जहां φ सुनहरा अनुपात है।

यह क्षेत्र उनके चेहरे के केन्द्रक पर चेहरों को स्पर्श करता है। लघु विकर्ण केवल उत्कीर्ण नियमित द्वादशफ़लक के किनारों से संबंधित हैं, जबकि लंबे विकर्ण केवल अंकित आईकोसाहेड्रॉन के किनारों में शामिल हैं।

विच्छेदन
समचतुर्भुज त्रिकोणाफलक को 20 स्वर्ण समचतुर्भुजों में विच्छेदित किया जा सकता है: 10 तीक्ष्ण वाले और 10 मोटे।

ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन
रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन में चार समरूपता की स्थिति होती है, दो कोने पर केंद्रित होती है, एक मध्य-मुख और एक मध्य-किनारे पर होती है। प्रोजेक्शन 10 में एंबेडेड मोटे रोम्बस और स्किनी रोम्बस हैं जो गैर-आवधिक टेसलेशन का उत्पादन करने के लिए एक साथ टाइल करते हैं जिसे अक्सर पेनरोज़ टाइलिंग कहा जाता है।

तारक


समचतुर्भुज त्रिकोणाफलक में 227 पूर्ण समर्थित तारकीय हैं। रम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन का एक और तारामंडल पांच क्यूब्स का यौगिक है। समचतुर्भुज त्रिकोणाफलक के तारों की कुल संख्या 358,833,097 है।

संबंधित पॉलीहेड्रा
यह पॉलीहेड्रॉन [n,3] कॉक्सेटर समूह समरूपता के साथ रोम्बिक पॉलीहेड्रॉन और टाइलिंग के अनुक्रम का एक हिस्सा है। घन को समचतुर्भुज षट्फलक के रूप में देखा जा सकता है जहाँ समचतुर्भुज भी आयत होते हैं।

6-घन
रोम्बिक ट्राइकॉन्टाहेड्रोन 6-क्यूब से तीन आयामों के एक प्रक्षेपण के 32 वर्टेक्स उत्तल पतवार बनाता है।

उपयोग करता है
डेनिश डिजाइनर होल्गर स्ट्रॉम ने अपने निर्माण योग्य दीपक आईक्यू-लाइट (इंटरलॉकिंग क्वाड्रिलेटरल्स के लिए आईक्यू) के डिजाइन के लिए एक आधार के रूप में रोम्बिक ट्राइकॉन्टाहेड्रोन का इस्तेमाल किया।

वुडवर्कर जेन कोस्टिक एक रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन के आकार में बॉक्स बनाता है। सरल निर्माण समचतुर्भुज त्रिभुज और घन के बीच स्पष्ट संबंध से कम पर आधारित है।

रोजर वॉन ओच की बॉल ऑफ व्हेक्स एक रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन के आकार में आती है।

रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रॉन का उपयोग पासा के रूप में किया जाता है#दुर्लभ रूपांतर तीस-तरफा मर जाते हैं, कभी-कभी कुछ भूमिका निभाने वाले खेलों या अन्य स्थानों में उपयोगी होते हैं।

पौधों का गुप्त जीवन के सह-लेखक क्रिस्टोफर बर्ड ने मई, 1975 में न्यू एज जर्नल के लिए एक लेख लिखा था, जो पृथ्वी (टेल्यूरिक) ऊर्जा ग्रिड के एक मॉडल, पृथ्वी की क्रिस्टलीय संरचना के रूप में दोहरे आइकोसैहेड्रोन और डोडेकाहेड्रॉन को लोकप्रिय बनाता है। बिल बेकर और बेथे ए. हेगेंस द्वारा द अर्थस्टार ग्लोब पृथ्वी की प्राकृतिक ज्यामिति, और महान पिरामिड, बरमूडा त्रिभुज और ईस्टर द्वीप जैसे पवित्र स्थानों के बीच ज्यामितीय संबंध दिखाने का दावा करता है। यह 30 हीरों पर एक रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन के रूप में मुद्रित होता है, और एक ग्लोब में बदल जाता है।

यह भी देखें

 * गोल्डन रोम्बस
 * रॉम्बिल टाइलिंग
 * काटे गए रोम्बिक ट्राईकॉन्टाहेड्रोन

संदर्भ

 * (Section 3-9)
 * (The thirteen semiregular convex polyhedra and their duals, p. 22, Rhombic triacontahedron)
 * The Symmetries of Things 2008, John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, p. 285, Rhombic triacontahedron )

बाहरी संबंध

 * Rhombic Triacontrahedron – Interactive Polyhedron Model
 * Virtual Reality Polyhedra – The Encyclopedia of Polyhedra
 * Stellations of Rhombic Triacontahedron
 * EarthStar globe – Rhombic Triacontahedral map projection
 * IQ-light—Danish designer Holger Strøm's lamp
 * Make your own
 * a wooden construction of a rhombic triacontahedron box – by woodworker Jane Kostick
 * 120 Rhombic Triacontahedra, 30+12 Rhombic Triacontahedra, and 12 Rhombic Triacontahedra by Sándor Kabai, The Wolfram Demonstrations Project
 * A viper drawn on a rhombic triacontahedron.
 * A viper drawn on a rhombic triacontahedron.