चरम बिंदु

गणित में, उत्तल सेट का एक चरम बिंदु $$S$$ एक वास्तविक संख्या या जटिल संख्या में सदिश स्थान एक बिंदु होता है $$S$$ के दो बिन्दुओं को मिलाने वाली किसी खुली रेखाखण्ड में स्थित नहीं है $$S.$$ रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं में, एक चरम बिंदु को वर्टेक्स या कॉर्नर पॉइंट भी कहा जाता है $$S.$$

परिभाषा
पूरे समय यह माना जाता है $$X$$ एक वास्तविक संख्या या जटिल संख्या सदिश स्थान है।

किसी के लिए $$p, x, y \in X,$$ कहते हैं कि $$p$$ $$x$$ और $$y$$ अगर $$x \neq y$$ और वहाँ एक मौजूद है $$0 < t < 1$$ ऐसा है कि $$p = t x + (1-t) y.$$ अगर $$K$$ का उपसमुच्चय है $$X$$ और $$p \in K,$$ तब $$p$$ एक कहा जाता है का $$K$$ अगर यह किन्हीं दो के बीच नहीं है के अंक $$K.$$ यानी अगर होता है  अस्तित्व $$x, y \in K$$ और $$0 < t < 1$$ ऐसा है कि $$x \neq y$$ और $$p = t x + (1-t) y.$$ के सभी चरम बिंदुओं का समुच्चय $$K$$ द्वारा निरूपित किया जाता है $$\operatorname{extreme}(K).$$ सामान्यीकरण

अगर $$S$$ सदिश समष्टि का एक उपसमुच्चय है फिर एक रेखीय उप-किस्म (अर्थात, एक सजातीय उप-वर्ग) $$A$$ सदिश समष्टि का भाग कहलाता है अगर $$A$$ की बैठक $$S$$ (वह है, $$A \cap S$$ खाली नहीं है) और हर खुला खंड $$I \subseteq S$$ जिसका आंतरिक भाग मिलता है $$A$$ अनिवार्य रूप से का एक उपसमुच्चय है $$A.$$ एक 0-आयामी समर्थन विविधता को चरम बिंदु कहा जाता है $$S.$$

लक्षण वर्णन
दो तत्वों का $$x$$ और $$y$$ सदिश स्थान में सदिश है $$\tfrac{1}{2}(x+y).$$ किसी भी तत्व के लिए $$x$$ और $$y$$ वेक्टर अंतरिक्ष में, सेट $$[x, y] = \{t x + (1-t) y : 0 \leq t \leq 1\}$$ कहा जाता है या बीच में $$x$$ और $$y.$$ या बीच में $$x$$ और $$y$$ है $$(x, x) = \varnothing$$ कब $$x = y$$ जबकि यह है $$(x, y) = \{t x + (1-t) y : 0 < t < 1\}$$ कब $$x \neq y.$$ बिन्दु $$x$$ और $$y$$ कहलाते हैं इन अंतरालों में से। एक अंतराल कहा जाता है या ए यदि इसके अंतिम बिंदु अलग हैं। इसके समापन बिंदुओं का मध्य बिंदु है।

बंद अंतराल $$[x, y]$$ के उत्तल पतवार के बराबर है $$(x, y)$$ अगर और केवल अगर) $$x \neq y.$$ तो यदि $$K$$ उत्तल है और $$x, y \in K,$$ तब $$[x, y] \subseteq K.$$ अगर $$K$$ का एक अरिक्त उपसमुच्चय है $$X$$ और $$F$$ का एक अरिक्त उपसमुच्चय है $$K,$$ तब $$F$$ ए कहा जाता है का $$K$$ अगर जब भी एक बिंदु $$p \in F$$ के दो बिंदुओं के बीच स्थित है $$K,$$ तो वे दो बिंदु अनिवार्य रूप से संबंधित हैं $$F.$$

$$

उदाहरण
अगर $$a < b$$ तब दो वास्तविक संख्याएँ हैं $$a$$ और $$b$$ अंतराल के चरम बिंदु हैं $$[a, b].$$ हालाँकि, खुला अंतराल $$(a, b)$$ कोई चरम बिंदु नहीं है। में कोई खुला अंतराल $$\R$$ कोई चरम बिंदु नहीं है जबकि कोई गैर-पतित बंद अंतराल के बराबर नहीं है $$\R$$ में चरम बिंदु होते हैं (अर्थात, बंद अंतराल का समापन बिंदु)। अधिक आम तौर पर, परिमित-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष का कोई भी खुला सेट $$\R^n$$ कोई चरम बिंदु नहीं है।

बंद यूनिट डिस्क के चरम बिंदु अंदर $$\R^2$$ इकाई वृत्त है।

समतल में किसी भी उत्तल बहुभुज का परिमाप उस बहुभुज का एक फलक होता है। समतल में किसी भी उत्तल बहुभुज के शीर्ष $$\R^2$$ उस बहुभुज के चरम बिंदु हैं।

एक इंजेक्शन रैखिक नक्शा $$F : X \to Y$$ उत्तल सेट के चरम बिंदुओं को भेजता है $$C \subseteq X$$ उत्तल सेट के चरम बिंदुओं पर $$F(X).$$ यह इंजेक्टिव एफ़िन मैप्स के लिए भी सही है।

गुण
एक कॉम्पैक्ट उत्तल सेट के चरम बिंदु एक बाहर की जगह (उप-स्पेस टोपोलॉजी के साथ) बनाते हैं लेकिन यह सेट हो सकता है में बंद होना है $$X.$$

क्रेन–मिलमैन प्रमेय
केरीन-मिलमैन प्रमेय यकीनन चरम बिंदुओं के बारे में सबसे प्रसिद्ध प्रमेयों में से एक है।

$$

बनच रिक्त स्थान के लिए
ये प्रमेय रैडॉन-निकोडीम संपत्ति के साथ बानाच रिक्त स्थान के लिए हैं।

जोराम लिंडेनस्ट्रॉस के एक प्रमेय में कहा गया है कि, राडोन-निकोडीम संपत्ति के साथ एक बनच स्थान में, एक गैर-खाली बंधा हुआ सेट और परिबद्ध सेट का एक चरम बिंदु है। (अनंत-आयामी स्थानों में, कॉम्पैक्ट जगह  की संपत्ति बंद होने और बाध्य होने के संयुक्त गुणों से अधिक मजबूत होती है। )

$$ एडगर के प्रमेय का तात्पर्य लिंडेनस्ट्रॉस प्रमेय से है।

संबंधित धारणाएं
एक सांस्थितिक सदिश स्थान का एक बंद उत्तल उपसमुच्चय कहलाता है यदि इसकी प्रत्येक सीमा (टोपोलॉजी) | (टोपोलॉजिकल) सीमा बिंदु एक चरम बिंदु है। किसी भी  हिल्बर्ट अंतरिक्ष  की यूनिट बॉल एक सख्त उत्तल सेट है।

के-चरम अंक
अधिक सामान्यतः, एक उत्तल सेट में एक बिंदु $$S$$ है$$k$$-चरम अगर यह एक के इंटीरियर में स्थित है $$k$$-आयामी उत्तल भीतर सेट $$S,$$ लेकिन नहीं $$k + 1$$-आयामी उत्तल भीतर सेट $$S.$$ इस प्रकार, एक चरम बिंदु भी एक है $$0$$-चरम बिंदु। अगर $$S$$ एक पॉलीटॉप है, तो $$k$$-चरम बिंदु ठीक इसके आंतरिक बिंदु हैं $$k$$-आयामी चेहरे $$S.$$ अधिक सामान्यतः, किसी भी उत्तल सेट के लिए $$S,$$ $$k$$-Extreme Points में विभाजित हैं $$k$$-आयामी खुले चेहरे।

परिमित-विम Krein-Milman प्रमेय, जो Minkowski के कारण है, की अवधारणा का उपयोग करके जल्दी से सिद्ध किया जा सकता है $$k$$-चरम बिंदु। अगर $$S$$ बंद है, घिरा हुआ है, और $$n$$-आयामी, और अगर $$p$$ में एक बिंदु है $$S,$$ तब $$p$$ है $$k$$-कुछ के लिए चरम $$k \leq n.$$ प्रमेय का दावा है कि $$p$$ चरम बिंदुओं का उत्तल संयोजन है। अगर $$k = 0$$ तो यह तत्काल है। अन्यथा $$p$$ में एक रेखाखंड पर स्थित है $$S$$ जिसे अधिकतम बढ़ाया जा सकता है (क्योंकि $$S$$ बंद और घिरा हुआ है)। यदि खंड के समापन बिंदु हैं $$q$$ और $$r,$$ तो उनकी चरम रैंक इससे कम होनी चाहिए $$p,$$ और प्रमेय प्रेरण द्वारा अनुसरण करता है।