आपतन बीजगणित (इन्सिडेन्स अलजेब्रा)

क्रम सिद्धांत में, गणित का क्षेत्र, घटना बीजगणित सहयोगी बीजगणित है, जिसे प्रत्येक स्थानीय रूप से परिमित आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय और एकता के साथ क्रमविनिमेय वलय के लिए परिभाषित किया गया है। उप-बीजगणित जिसे समानीत घटना बीजगणित कहा जाता है, साहचर्य और संख्या सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले विभिन्न प्रकार के उत्पन्न करने वाले फलनों का प्राकृतिक निर्माण देता है।

परिभाषा
स्थानीय रूप से परिमित स्थिति वह है जिसमें प्रत्येक आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय संवृत अंतराल
 * [a, b] = {x : a ≤ x ≤ b}

परिमित होता है।

घटना बीजगणित के सदस्य फ़ंक्शन (गणित) s f हैं जो प्रत्येक खाली समुच्चय अंतराल [a, b] को अदिश f(a, b) निर्दिष्ट करते हैं ), जो अदिश के वलय (गणित) से लिया गया है, जो एकता के साथ क्रमविनिमेय वलय है। इस अंतर्निहित समुच्चय पर कोई जोड़ और अदिश गुणन को बिंदुवार परिभाषित करता है, और घटना बीजगणित में गुणन कनवल्शन है जिसे परिभाषित किया गया है


 * $$(f*g)(a, b)=\sum_{a\leq x\leq b}f(a, x)g(x, b).$$

एक घटना बीजगणित परिमित-आयामी है यदि और केवल यदि अंतर्निहित स्थिति परिमित है।

संबंधित अवधारणाएँ
एक घटना बीजगणित समूह वलय के समान होता है; वास्तव में, समूह बीजगणित और घटना बीजगणित दोनों श्रेणी बीजगणित के विशेष मामले हैं, जिन्हें समान रूप से परिभाषित किया गया है; समूह (गणित) और आंशिक रूप से क्रमबद्ध समुच्चय विशेष प्रकार की श्रेणी (गणित) है।

ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह
किसी पर आंशिक आदेश ≤ के मामले पर विचार करें $n$-तत्व समुच्चय $S$. हम गिनाते हैं $S$ जैसा $s_{1}, …, s_{n}$, और इस तरह से कि गणना क्रम ≤ के अनुकूल हो $S$, वह है, $s_{i} ≤ s_{j}$ तात्पर्य $i ≤ j$, जो सदैव संभव है।

फिर, फलन करता है $f$ जैसा कि ऊपर बताया गया है, अंतराल से अदिश तक, को मैट्रिक्स (गणित) के रूप में सोचा जा सकता है $A_{ij}$, कहाँ $A_{ij} = f(s_{i}, s_{j})$ जब कभी भी $i ≤ j$, और $A_{ij} = 0$ अन्यथा। जब से हमने व्यवस्था की है $S$ तरह से मैट्रिक्स के सूचकांकों पर सामान्य क्रम के अनुरूप, वे ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स के रूप में दिखाई देंगे | ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स में अतुलनीय तत्वों द्वारा निर्धारित निर्धारित शून्य-पैटर्न के साथ $S$ ≤ के अंतर्गत.

≤ की घटना बीजगणित तब इस निर्धारित शून्य-पैटर्न और मनमानी (संभवतः शून्य सहित) स्केलर प्रविष्टियों के साथ ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स के बीजगणित के लिए समरूपी है, संचालन सामान्य मैट्रिक्स जोड़, स्केलिंग और मैट्रिक्स गुणन के साथ होता है।

विशेष तत्व
घटना बीजगणित का गुणक पहचान तत्व क्रोनकर डेल्टा है, जिसे परिभाषित किया गया है


 * $$\delta(a, b) = \begin{cases}

1 & \text{if } a=b, \\ 0 & \text{if } a \ne b. \end{cases}$$ एक घटना बीजगणित का जीटा फ़ंक्शन प्रत्येक गैर-रिक्त अंतराल [ए, बी] के लिए निरंतर फ़ंक्शन ζ(ए, बी) = 1 है। ζ से गुणा करना अभिन्न के समान है।

कोई यह दिखा सकता है कि घटना बीजगणित में (ऊपर परिभाषित कनवल्शन के संबंध में) इकाई (रिंग सिद्धांत) है। (आम तौर पर, घटना बीजगणित का सदस्य h व्युत्क्रमणीय होता है यदि और केवल यदि h(x, x) प्रत्येक x के लिए व्युत्क्रमणीय हो।) ज़ेटा फ़ंक्शन का गुणात्मक व्युत्क्रम मोबियस फ़ंक्शन μ(ए, बी) है; μ(a, b) का प्रत्येक मान बेस रिंग में 1 का अभिन्न गुणज है।

मोबियस फ़ंक्शन को निम्नलिखित संबंध द्वारा आगमनात्मक रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$\mu(x,y) = \begin{cases}

{}\qquad 1 & \text{if } x = y\\[6pt] \displaystyle -\!\!\!\!\sum_{z\, :\, x\,\leq\, z\, <\, y} \mu(x,z) & \text{for } x<y \\ {}\qquad 0 & \text{otherwise }. \end{cases}$$ μ से गुणा करना व्युत्पन्न के समान है, और इसे मोबियस व्युत्क्रम कहा जाता है।

ज़ेटा फ़ंक्शन का वर्ग अंतराल में तत्वों की संख्या देता है: $$\zeta^2(x,y) = \sum_{z\in [x,y]} \zeta(x,z)\,\zeta(z,y) = \sum_{z\in [x,y]} 1  =  \#[x,y].$$

उदाहरण

 * विभाज्यता द्वारा क्रमित धनात्मक पूर्णांक
 * अंतराल [1, एन] के लिए घटना बीजगणित से जुड़ा कनवल्शन डिरिचलेट कनवल्शन बन जाता है, इसलिए मोबियस फ़ंक्शन μ(ए, बी) = μ( है बी/ए), जहां दूसरा μ शास्त्रीय मोबियस फ़ंक्शन है जिसे 19वीं शताब्दी में संख्या सिद्धांत में पेश किया गया था।


 * कुछ समुच्चय ई के परिमित उपसमुच्चय, समावेशन द्वारा क्रमबद्ध
 * मोबियस फ़ंक्शन है $$\mu(S,T)=(-1)^{\left|T\setminus S\right|}$$
 * जब भी S और T, S ⊆ T के साथ E के परिमित उपसमुच्चय हैं, और मोबियस व्युत्क्रम को समावेशन-बहिष्करण का सिद्धांत कहा जाता है।
 * ज्यामितीय रूप से, यह अतिविम है: $$2^E = \{0,1\}^E.$$


 * प्राकृतिक संख्याएँ अपने सामान्य क्रम के साथ
 * मोबियस फ़ंक्शन है $$\mu(x,y) = \begin{cases}

1& \text{if }y=x, \\ -1 & \text{if }y = x+1, \\ 0 & \text{if }y>x+1, \end{cases} $$ और मोबियस व्युत्क्रम को (पीछे की ओर) अंतर ऑपरेटर कहा जाता है।
 * ज्यामितीय रूप से, यह पृथक संख्या रेखा से मेल खाता है।
 * घटना बीजगणित में फलनों का संकेंद्रण औपचारिक शक्ति श्रृंखला के गुणन से मेल खाता है: नीचे घटी हुई आपतन बीजगणित की चर्चा देखें। मोबियस फ़ंक्शन औपचारिक शक्ति श्रृंखला 1 −t के गुणांकों के अनुक्रम (1, −1, 0, 0, 0, ...) से मेल खाता है, और ज़ेटा फ़ंक्शन गुणांक (1, 1, 1) के अनुक्रम से मेल खाता है, 1, ...) औपचारिक शक्ति श्रृंखला का $$(1 - t)^{-1} = 1 + t + t^2 + t^3 + \cdots$$, जो उलटा है। इस घटना बीजगणित में डेल्टा फ़ंक्शन समान रूप से औपचारिक शक्ति श्रृंखला 1 से मेल खाता है।


 * कुछ मल्टीसमुच्चय ई के परिमित उप-मल्टीसमुच्चय, समावेशन द्वारा क्रमबद्ध
 * उपरोक्त तीन उदाहरणों को ई के मल्टीसमुच्चय ई और परिमित उप-मल्टीसमुच्चय एस और टी पर विचार करके एकीकृत और सामान्यीकृत किया जा सकता है। मोबियस फ़ंक्शन है $$ \mu(S,T) = \begin{cases}

0 & \text{if } T \setminus S \text{ is a proper multiset (has repeated elements)}\\ (-1)^{\left|T \setminus S\right|} & \text{if } T\setminus S \text{ is a set (has no repeated elements)}. \end{cases}$$
 * यह बहुलता के साथ अभाज्य संख्या विभाजक के मल्टीसमुच्चय के अनुरूप सकारात्मक पूर्णांक द्वारा विभाज्यता द्वारा क्रमित सकारात्मक पूर्णांकों को सामान्यीकृत करता है, उदाहरण के लिए, 12 मल्टीसमुच्चय से मेल खाता है $$\{ 2, 2, 3 \}.$$
 * यह प्राकृतिक संख्याओं को उनके सामान्य क्रम के साथ अंतर्निहित तत्व के मल्टीसमुच्चय और उस संख्या के बराबर कार्डिनलिटी के अनुरूप प्राकृतिक संख्या द्वारा सामान्यीकृत करता है, उदाहरण के लिए, 3 मल्टीसमुच्चय से मेल खाता है $$\{ 1, 1, 1 \}.$$


 * परिमित पी-समूह के उपसमूह|पी-समूह जी, समावेशन द्वारा क्रमबद्ध
 * मोबियस फ़ंक्शन है $$\mu_G(H_1,H_2) = (-1)^{k} p^{\binom{k}{2}}$$ अगर $$H_1$$ का सामान्य उपसमूह है $$H_2$$ और $$H_2/H_1 \cong (\Z/p\Z)^k$$ और अन्यथा यह 0 है. यह वीस्नर (1935) का प्रमेय है।


 * एक समुच्चय का विभाजन
 * किसी परिमित समुच्चय के सभी विभाजनों के समुच्चय को σ ≤ τ कहकर आंशिक रूप से क्रमबद्ध करें यदि σ, τ से अधिक महीन विभाजन है। विशेष रूप से, मान लीजिए कि τ में t ब्लॉक हैं जो क्रमशः s में विभाजित होते हैं1, ..., एसt σ के महीन ब्लॉक, जिसका कुल योग s = s है1 +···· + एसt ब्लॉक. फिर मोबियस फ़ंक्शन है: $$\mu(\sigma,\tau) =

(-1)^{s-t}(s_1{-}1)! \dots (s_t{-}1)!$$

यूलर विशेषता
एक पॉसमुच्चय परिबद्ध होता है यदि इसमें सबसे छोटे और सबसे बड़े तत्व हों, जिन्हें हम क्रमशः 0 और 1 कहते हैं (अदिश वलय के 0 और 1 के साथ भ्रमित न हों)। परिबद्ध परिमित स्थिति की 'यूलर विशेषता' μ(0,1) है। इस शब्दावली का कारण निम्नलिखित है: यदि P में 0 और 1 है, तो μ(0,1) सरल कॉम्प्लेक्स की घटी हुई यूलर विशेषता है, जिसके चेहरे P \ {0, 1} में श्रृंखलाएं हैं। इसे फिलिप हॉल के प्रमेय का उपयोग करके दिखाया जा सकता है, जो μ(0,1) के मान को लंबाई i की श्रृंखलाओं की संख्या से संबंधित करता है।

घटी हुई घटना बीजगणित
घटी हुई घटना बीजगणित में ऐसे फ़ंक्शन शामिल होते हैं जो किन्हीं दो अंतरालों के लिए समान मान निर्दिष्ट करते हैं जो उचित अर्थ में समतुल्य होते हैं, आमतौर पर क्रमित समुच्चय के रूप में क्रम समरूपता का अर्थ होता है। यह घटना बीजगणित का उपबीजगणित है, और इसमें स्पष्ट रूप से घटना बीजगणित के पहचान तत्व और जीटा फ़ंक्शन शामिल हैं। कम आपतन बीजगणित का कोई भी तत्व जो बड़े आपतन बीजगणित में उलटा होता है, कम आपतन बीजगणित में उसका व्युत्क्रम होता है। इस प्रकार मोबियस फ़ंक्शन भी समानीत घटना बीजगणित में है।

जनरेटिंग फ़ंक्शन के विभिन्न रिंगों का प्राकृतिक निर्माण देने के लिए डौबिललेट, रोटा और स्टेनली द्वारा समानीत घटना वाले बीजगणित की शुरुआत की गई थी।

प्राकृतिक संख्याएँ और सामान्य जनक फलन
क्रमित समुच्चय के लिए $$(\mathbb{N},\leq),$$ घटी हुई आपतन बीजगणित में फलन शामिल होते हैं $$f(a,b)$$ अनुवाद के अंतर्गत अपरिवर्तनीय, $$f(a+k,b+k) = f(a,b)$$ सभी के लिए $$k \ge 0,$$ ताकि आइसोमोर्फिक अंतराल [ए+के, बी+के] और [ए, बी] पर समान मान हो। मान लीजिए t फ़ंक्शन को t(a, a+1) = 1 और t(a, b) = 0 से निरूपित करता है अन्यथा, अंतराल के समरूपता वर्गों पर प्रकार का अपरिवर्तनीय डेल्टा फ़ंक्शन। घटना बीजगणित में इसकी शक्तियां अन्य अपरिवर्तनीय डेल्टा फ़ंक्शन टी हैंn(a, a+n) = 1 और tn(x, y) = 0 अन्यथा। ये कम आपतन बीजगणित के लिए आधार (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं, और हम किसी भी अपरिवर्तनीय फ़ंक्शन को इस प्रकार लिख सकते हैं $$\textstyle f = \sum_{n\ge 0} f(0,n)t^n$$. यह संकेतन घटी हुई घटना बीजगणित और औपचारिक शक्ति श्रृंखला की अंगूठी के बीच समरूपता को स्पष्ट करता है $$Rt$$ अदिश R के ऊपर, जिसे सामान्य जनक फलनों का वलय भी कहा जाता है। हम जीटा फ़ंक्शन को इस प्रकार लिख सकते हैं $$\zeta=1+t+t^2+\cdots = \tfrac1{1-t},$$ मोबियस फ़ंक्शन का व्युत्क्रम $$\mu=1-t.$$

सबसमुच्चय क्रमित समुच्चय और घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन
परिमित उपसमुच्चय के बूलियन स्थिति के लिए $$S\subset\{1,2,3,\ldots\}$$ शामिल करने का आदेश दिया गया $$S\subset T$$, घटी हुई घटना बीजगणित में अपरिवर्तनीय फलन शामिल हैं $$f(S,T),$$ समरूपी अंतरालों [S,T] और [S′,T&hairsp;′] पर |T\S| के साथ समान मान रखने के लिए परिभाषित किया गया है। = |T&hairsp;'\S'|. फिर, मान लीजिए t |T\S| के लिए t(S,T) = 1 के साथ अपरिवर्तनीय डेल्टा फ़ंक्शन को दर्शाता है। = 1 और t(S,T) = 0 अन्यथा। इसकी शक्तियाँ हैं: $$t^n(S,T) =\, \sum t(T_0,T_1)\,t(T_1,T_2) \dots t(T_{n-1},T_n) = \left\{ \begin{array}{cl} n! & \text{if}\,\, |T{\setminus}S| = n\\ 0 & \text{otherwise,}\end{array}\right.$$ जहां योग सभी श्रृंखलाओं से अधिक है $$S = T_0\subset T_1\subset\cdots\subset T_n=T,$$ और केवल गैर-शून्य शब्द संतृप्त श्रृंखलाओं के लिए होते हैं $$|T_{i}{\setminus}T_{i-1}| = 1;$$ चूँकि ये n के क्रमपरिवर्तन के अनुरूप हैं, हमें अद्वितीय गैर-शून्य मान n! मिलता है। इस प्रकार, अपरिवर्तनीय डेल्टा फ़ंक्शन विभाजित शक्तियां हैं $$\tfrac{t^n}{n!},$$ और हम किसी भी अपरिवर्तनीय फ़ंक्शन को इस प्रकार लिख सकते हैं $$\textstyle f = \sum_{n\geq0} f(\emptyset,[n])\frac{t^n}{n!},$$ जहां [एन] = {1,. . ., एन}। यह घटी हुई घटना बीजगणित और घातीय उत्पन्न करने वाले फलनों की अंगूठी के बीच प्राकृतिक समरूपता देता है। जीटा फ़ंक्शन है $$\textstyle \zeta = \sum_{n\geq 0}\frac{t^n}{n!} = \exp(t), $$ मोबियस फ़ंक्शन के साथ: $$\mu = \frac1{\zeta} = \exp(-t) = \sum_{n\geq 0} (-1)^n \frac{t^n}{n!}.$$ दरअसल, औपचारिक शक्ति श्रृंखला के साथ यह गणना यह साबित करती है $$\mu(S,T)=(-1)^{|T{\setminus}S|}.$$ उपसमुच्चय या लेबल वाली वस्तुओं को शामिल करने वाले कई संयुक्त गिनती अनुक्रमों की व्याख्या समानीत घटना बीजगणित और घातीय उत्पन्न करने वाले फलनों का उपयोग करके घातीय सूत्र के संदर्भ में की जा सकती है।

विभाजक क्रमित समुच्चय और डिरिचलेट श्रृंखला
विभाज्यता द्वारा निरूपित धनात्मक पूर्णांकों के पॉसमुच्चय डी पर विचार करें $$a\,|\,b.$$ घटी हुई आपतन बीजगणित में फ़ंक्शन शामिल होते हैं $$f(a,b)$$ जो गुणन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं: $$f(ka,kb) = f(a,b)$$ सभी के लिए $$k\ge 1.$$ (अंतराल की यह गुणात्मक तुल्यता क्रमित समुच्चय समरूपता की तुलना में बहुत मजबूत संबंध है; उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्या पी के लिए, दो-तत्व अंतराल [1,पी] सभी असमान हैं।) अपरिवर्तनीय फ़ंक्शन के लिए, एफ(ए,बी) केवल पर निर्भर करता है बी/ए, इसलिए प्राकृतिक आधार में अपरिवर्तनीय डेल्टा फ़ंक्शन शामिल होते हैं $$\delta_n$$ द्वारा परिभाषित $$\delta_n(a,b) = 1$$ यदि b/a = n और 0 अन्यथा; तो कोई भी अपरिवर्तनीय फ़ंक्शन लिखा जा सकता है $$\textstyle f = \sum_{n\geq 0} f(1,n)\, \delta_n.$$ दो अपरिवर्तनीय डेल्टा फ़ंक्शंस का उत्पाद है:
 * $$(\delta_n \delta_m)(a,b) = \sum_{a|c|b} \delta_n(a,c)\,\delta_m(c,b) = \delta_{nm}(a,b),$$

चूँकि एकमात्र गैर-शून्य पद c = na और b = mc = nma से आता है। इस प्रकार, हम समानीत घटना बीजगणित से औपचारिक डिरिचलेट श्रृंखला की अंगूठी तक समरूपता प्राप्त करते हैं $$\delta_n$$ को $$n^{-s}\!,$$ ताकि f के अनुरूप हो $\sum_{n\geq 1} \frac{f(1,n)}{n^s}.$ घटना बीजगणित जीटा फ़ंक्शन ζD(ए,बी) = 1 शास्त्रीय रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन से मेल खाता है $$\zeta(s)=\textstyle \sum_{n\geq 1}\frac{1}{n^s},$$ पारस्परिक होना $\frac{1}{\zeta(s)} = \sum_{n\geq 1}\frac{\mu(n)}{n^s},$ कहाँ $$\mu(n)=\mu_D(1,n)$$ संख्या सिद्धांत का शास्त्रीय मोबियस फ़ंक्शन है। कई अन्य अंकगणितीय फलन समानीत घटना बीजगणित के भीतर स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, और समकक्ष रूप से डिरिचलेट श्रृंखला के संदर्भ में। उदाहरण के लिए, विभाजक फ़ंक्शन $$\sigma_0(n)$$ जीटा फ़ंक्शन का वर्ग है, $$\sigma_0(n) = \zeta^2\!(1,n),$$ उपरोक्त परिणाम का विशेष मामला $$\zeta^2\!(x,y)$$ अंतराल [x,y] में तत्वों की संख्या देता है; बराबर, $\zeta(s)^2 = \sum_{n\geq 1} \frac{\sigma_0(n)}{n^s}.$ विभाजक क्रमित समुच्चय की उत्पाद संरचना इसके मोबियस फ़ंक्शन की गणना की सुविधा प्रदान करती है। अंकगणित के मौलिक प्रमेय का तात्पर्य है कि डी अनंत कार्टेशियन उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है $$\N\times\N \times \dots$$, समन्वयवार तुलना द्वारा दिए गए क्रम के साथ: $$n = p_1^{e_1}p_2^{e_2}\dots$$, कहाँ $$p_k$$ क हैवें अभाज्य, इसके घातांक के अनुक्रम से मेल खाता है $$(e_1,e_2,\dots).$$ अब डी का मोबियस फ़ंक्शन कारक पोज़ेट्स के लिए मोबियस फ़ंक्शन का उत्पाद है, जो ऊपर गणना की गई है, जो शास्त्रीय सूत्र देता है:
 * $$\mu(n) = \mu_D(1,n) = \prod_{k\geq 1}\mu_{\N}(0,e_k)

\,=\,\left\{\begin{array}{cl}(-1)^d & \text{for } n \text{ squarefree with } d \text{ prime factors}\\ 0 & \text{otherwise.} \end{array}\right.$$ उत्पाद संरचना ज़ेटा फ़ंक्शन के लिए शास्त्रीय यूलर उत्पाद की भी व्याख्या करती है। डी का ज़ेटा फ़ंक्शन कारकों के ज़ेटा फ़ंक्शन के कार्टेशियन उत्पाद से मेल खाता है, जिसकी गणना ऊपर की गई है $\frac{1}{1-t},$ ताकि $\zeta_D \cong \prod_{k\geq 1}\!\frac{1}{1-t},$  जहां दाहिनी ओर कार्टेशियन उत्पाद है। समरूपता को लागू करना जो k में t भेजता हैवेंकारक को $$p_k^{-s}$$, हम सामान्य यूलर उत्पाद प्राप्त करते हैं।

यह भी देखें

 * ग्राफ़ बीजगणित
 * घटना कोलजेब्रा
 * पथ बीजगणित

साहित्य
1964 में शुरू होने वाले जियान-कार्लो रोटा के कई पेपरों में और बाद के कई कॉम्बिनेटरिक्स द्वारा स्थानीय रूप से परिमित पोज़ेट्स के घटना बीजगणित का इलाज किया गया था। रोटा का 1964 का पेपर था:


 * नाथन जैकबसन|एन. जैकबसन, मूल बीजगणित। आई, डब्ल्यू. एच. फ्रीमैन एंड कंपनी, 1974। क्रमित समुच्चय्स पर मोबियस फ़ंक्शंस के उपचार के लिए अनुभाग 8.6 देखें
 * नाथन जैकबसन|एन. जैकबसन, मूल बीजगणित। आई, डब्ल्यू. एच. फ्रीमैन एंड कंपनी, 1974। क्रमित समुच्चय्स पर मोबियस फ़ंक्शंस के उपचार के लिए अनुभाग 8.6 देखें