जीवा (ज्यामिति)

वृत्त की जीवा सीधी रेखा का खंड होता है जिसके अंत बिंदु दोनों वृत्ताकार चाप पर स्थित होते हैं। यदि किसी जीवा को रेखा में दोनों दिशाओं में अनंत रूप से विस्तारित किया जाता है, तो वस्तु छेदक रेखा होती है। सामान्यतः, जीवा किसी भी वक्र पर दो बिंदुओं को जोड़ता है, उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त। जीवा जो वृत्त के केंद्र बिंदु से होकर गुजरती है, वृत्त का व्यास है।

'कॉर्ड' शब्द लैटिन के कॉर्डा से बना है जिसका अर्थ धनुष की डोरी होता है।



हलकों में
वृत्त की जीवाओं के गुणों में निम्नलिखित हैं:
 * 1) जीवाएँ केंद्र से समान दूरी पर होती हैं यदि उनकी लंबाई समान हो।
 * 2) समान जीवाएँ वृत्त के केंद्र से समान कोणों द्वारा अंतरित की जाती हैं।
 * 3) जीवा जो वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है उसे व्यास कहा जाता है और उस विशिष्ट वृत्त की सबसे लंबी जीवा होती है।
 * 4) यदि जीवा AB और CD के लाइन एक्सटेंशन (सेकंट लाइन)  बिंदु P पर प्रतिच्छेद करते हैं, तो उनकी लंबाई AP·PB = CP·PD ( बिंदु प्रमेय की शक्ति) को संतुष्ट करती है।

शांकवों में
शंकु के समांतर तारों जीवाओं के समुच्चय के मध्य बिंदु संरेख होते हैं (शंकुओं के लिए मध्य बिंदु प्रमेय)।।

त्रिकोणमिति में
त्रिकोणमिति के प्रारंभिक विकास में जीवाओं का बड़े पैमाने पर उपयोग किया गया था। हिप्पार्कस द्वारा संकलित पहली ज्ञात त्रिकोणमितीय तालिका, प्रत्येक के लिए जीवाओं की तालिका $7 1⁄2$ डिग्री (कोण) एस। दूसरी शताब्दी ईस्वी में, अलेक्जेंड्रिया के टॉलेमी ने अल्मागेस्ट में जीवाओं की एक अधिक व्यापक तालिका संकलित की, जिसमें कोणों के लिए जीवा का मान दिया गया था $1⁄2$ की वृद्धि द्वारा 180 डिग्री तक $1⁄2$ डिग्री। सर्कल व्यास 120 का था, और पूर्णांक भाग के बाद जीवा की लंबाई दो आधार -60 अंकों तक सटीक होती है।

चित्र में दिखाए अनुसार कॉर्ड फ़ंक्शन को ज्यामितीय रूप से परिभाषित किया गया है। कोण की जीवा उस केंद्रीय कोण द्वारा अलग किए गए इकाई वृत्त पर दो बिंदुओं के मध्य की जीवा की लंबाई है। कोण θ को सकारात्मक अर्थ में लिया जाता है और इसे अंतराल में होना चाहिए $0 < θ ≤ \pi$ (रेडियन माप) में होना चाहिए। कॉर्ड फ़ंक्शन को आधुनिक ज्या फ़ंक्शन से संबंधित किया जा सकता है, जिसमें से बिंदु (1,0) हो सकता है, और दूसरा बिंदु ($cos θ, sin θ$), कॉर्ड की गणना करने के लिए पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके लंबाई ज्ञात करना है।


 * $$ \operatorname{crd}\ \theta = \sqrt{(1-\cos \theta)^2+\sin^2 \theta} = \sqrt{2-2\cos \theta} =2 \sin \left(\frac{\theta }{2}\right). $$

अंतिम चरण अर्ध-कोण सूत्र का उपयोग करता है। जिस प्रकार आधुनिक त्रिकोणमिति को ज्या फलन पर बनाया गया है, प्राचीन त्रिकोणमिति को तार फलन पर बनाया गया था। हिप्पार्कस को कॉर्ड्स पर बारहवीं-आयतन का कार्य लिखा गया है, जो अब नहीं है, इसलिए संभवतः, उनके बारे में बहुत कुछ ज्ञात था। नीचे दी गई तालिका में (जहाँ c जीवा की लंबाई है, और D वृत्त का व्यास है) सुप्रसिद्ध आधुनिक लोगों के अनुरूप कई पहचानों को संपूर्ण करने के लिए तार फलन दिखाया जा सकता है:

विपरीत कार्य भी उपस्थित है:


 * $$\theta = 2\arcsin\frac{c}{2r}$$

यह भी देखें

 * परिपत्र खंड - क्षेत्र का वह भाग जो वृत्त के केंद्र द्वारा बनाए गए त्रिभुज और सीमा पर वृत्ताकार चाप के दो अंत बिंदुओं को हटाने के बाद बना रहता है।
 * जीवाओं का पैमाना
 * टॉलेमी की जीवाओं की तालिका
 * होल्डिच की प्रमेय, उत्तल बंद वक्र में घूमने वाली जीवा के लिए
 * सर्किल ग्राफ
 * एक्ससेकेंट और एक्सोसेकेंट
 * वरसाइन और हावरसाइन
 * ज़िंडलर वक्र (बंद और सरल वक्र जिसमें चाप की लंबाई को आधे हिस्से में विभाजित करने वाली सभी जीवाओं की लंबाई समान होती है)

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 * उन लोगों के
 * गोलाकार खंड
 * वर्साइन और हावरसाइन

बाहरी संबंध

 * History of Trigonometry Outline
 * Trigonometric functions, focusing on history
 * Chord (of a circle) With interactive animation