द्वितल कोण

द्वितल कोण दो समतल-समतल प्रतिच्छेदन या अर्ध समतल के बीच का कोण है। रसायन विज्ञान में, यह तीन परमाणुओं के दो सम्मुच्चयों के माध्यम से अर्ध-समतल के बीच दक्षिणावर्त कोण होता है, जिसमें दो परमाणु समान होते हैं। ठोस ज्यामिति में, इसे एक रेखा (ज्यामिति) के संघ (सम्मुच्चय सिद्धांत) और दो अर्ध समतल के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें यह रेखा एक सामान्य किनारे (ज्यामिति) के रूप में होती है। उच्च आयामों में, द्वितल कोण दो अधिसमतल के बीच के कोण का प्रतिनिधित्व करता है। एक उड़ने वाली मशीन के समतल को सकारात्मक द्वितल कोण पर कहा जाता है जब दोनों स्टारबोर्ड और बंदरगाह मुख्य तल (सामान्यतः पंख कहलाते हैं) पार्श्व अक्ष पर ऊपर की ओर झुके होते हैं। जब नीचे की ओर झुके होते हैं तो उन्हें ऋणात्मक द्वितल कोण पर कहा जाता है।

गणितीय पृष्ठभूमि
जब दो अन्तर्विभाजक तलों को दो समीकरणों द्वारा कार्तीय निर्देशांक के रूप में वर्णित किया जाता है
 * $$ a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 $$ :$$a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 $$

द्वितल कोण, $$\varphi$$ उनके बीच दिया गया है:
 * $$\cos \varphi = \frac{\left\vert a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 \right\vert}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$$

और $$0\le \varphi \le \pi/2.$$ संतुष्ट करता है।

वैकल्पिक रूप से, अगर $n_{A}$ और $n_{B}$ समतल के सामान्य सदिश हैं, एक के पास निम्न है
 * $$\cos \varphi = \frac{ \left\vert\mathbf{n}_\mathrm{A} \cdot \mathbf{n}_\mathrm{B}\right\vert}{|\mathbf{n}_\mathrm{A} | |\mathbf{n}_\mathrm{B}|}$$

जहाँ $n_{A} · n_{B}$ सदिश का बिंदु गुणनफल है और $|n_{A}| |n_{B}|$ उनकी लंबाई का गुणनफल है।

उपरोक्त सूत्रों में निरपेक्ष मान आवश्यक है, क्योंकि एक समीकरण में सभी गुणांक चिह्नों को बदलते समय, या एक सामान्य सदिश को उसके विपरीत से प्रतिस्थापित करते समय तल नहीं बदले जाते हैं।

हालांकि दो आधे समतल के द्वितल कोण पर विचार करते समय पूर्ण मूल्य हो सकता है और इससे बचा जाना चाहिए, जिनकी सीमाएं एक ही रेखा हैं। इस स्तिथि में, आधे समतल को एक बिंदु $P$ से वर्णित किया जा सकता है उनके प्रतिच्छेदन और तीन सदिश $b_{0}$, $b_{1}$ और $b_{2}$ ऐसा है कि $P + b_{0}$, $P + b_{1}$ और $P + b_{2}$ क्रमशः प्रतिच्छेदन  रेखा, प्रथम अर्ध समतल और द्वितीय अर्ध समतल से संबंधित हैं। इन दो आधे समतल के द्वितल कोण द्वारा परिभाषित किया गया है

\cos\varphi = \frac{ (\mathbf{b}_0 \times \mathbf{b}_1) \cdot (\mathbf{b}_0 \times \mathbf{b}_2)}{|\mathbf{b}_0 \times \mathbf{b}_1| |\mathbf{b}_0 \times \mathbf{b}_2|}$$, और $$0\le\varphi <\pi$$ को संतुष्ट करता है। रसायन शास्त्र में (नीचे देखें), हम एक द्वितल कोण को इस तरह परिभाषित करते हैं कि $$\mathbf b_0$$ को $$-\mathbf b_0$$ से बदलने पर कोण का चिह्न बदल जाता है, जो $−\pi$ और $\pi$ के बीच हो सकता है।

बहुलक भौतिकी में
कुछ वैज्ञानिक क्षेत्रों जैसे बहुलक भौतिकी में, बिंदुओं की एक श्रृंखला और लगातार बिंदुओं के बीच श्रृंखला पर विचार किया जा सकता है। यदि अंक क्रमिक रूप से गिने जाते हैं और स्थिति r1, r2, r3, आदि पर स्थित होते हैं, तो बंध वैक्टर को u1=r2−r1, u2=r3−r2, और ui=ri+1−ri द्वारा अधिक सामान्यतः परिभाषित किया जाता है। यह प्रोटीन संरचना में गतिज श्रृंखला या एमिनो अम्ल की स्तिथि है। इन स्तिथि में, प्रायः तीन लगातार बिंदुओं द्वारा परिभाषित अर्ध समतल में रुचि होती है, और ऐसे दो लगातार अर्ध समतल के बीच द्वितल कोण होता है। अगर $u_{1}$, $u_{2}$ और $u_{3}$ लगातार तीन बंध सदिश हैं, अर्ध समतल का प्रतिच्छेदन उन्मुख है, जो अंतराल से संबंधित द्वितल कोण $(−\pi, π]$ को परिभाषित करने की अनुमति देता है। इस द्वितल कोण द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\begin{align}

\cos \varphi&=\frac{ (\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \cdot (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)}{|\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2|\, |\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3|}\\ \sin \varphi&=\frac{ \mathbf{u}_2 \cdot((\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \times (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3))}{|\mathbf{u}_2|\, |\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2|\, |\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3|}, \end{align}$$ या, फलन atan2 का उपयोग करके,
 * $$\varphi=\operatorname{atan2}(\mathbf{u}_2 \cdot((\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \times (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)), |\mathbf{u}_2|\,(\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \cdot (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)).$$

यह द्वितल कोण श्रृंखला के अभिविन्यास पर निर्भर नहीं करता है (जिस क्रम में बिंदु पर विचार किया जाता है) - इस क्रम को उलटने में प्रत्येक सदिश को उसके विपरीत सदिश से बदलना और सूचकांक 1 और 3 का आदान-प्रदान करना सम्मिलित है। दोनों संचालन कोटिज्या को नहीं बदलते हैं, लेकिन ज्या का चिन्ह बदल दें। इस प्रकार, एक साथ, वे कोण नहीं बदलते हैं।

समान द्वितल कोण के लिए एक सरल सूत्र निम्नलिखित है (उपपत्ति नीचे दी गई है)
 * $$\begin{align}

\cos \varphi&=\frac{ (\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \cdot (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)}{|\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2|\, |\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3|}\\ \sin \varphi&=\frac{ |\mathbf{u}_2|\,\mathbf{u}_1 \cdot(\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)}{|\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2|\, |\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3|}, \end{align}$$ या समकक्ष,
 * $$\varphi=\operatorname{atan2}(

(\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \cdot (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)).$$ इसे सदिश चतुष्क उत्पाद सूत्र का उपयोग करके पिछले सूत्रों से घटाया जा सकता है, और तथ्य यह है कि एक अदिश त्रिक गुणनफल शून्य है यदि इसमें दो बार एक ही सदिश होता है:
 * \mathbf{u}_2|\,\mathbf{u}_1 \cdot(\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3) ,

(\mathbf{u}_1\times\mathbf{u}_2)\times(\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_3) = [(\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_3)\cdot\mathbf{u}_1]\mathbf{u}_2 - [(\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_3)\cdot\mathbf{u}_2]\mathbf{u}_1 = [(\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_3)\cdot\mathbf{u}_1]\mathbf{u}_2 $$ अन्योन्य गुणन की परिभाषा को देखते हुए, इसका अर्थ यह है कि $$\varphi$$ पहले परमाणु की तुलना में चौथे परमाणु की दक्षिणावर्त दिशा में कोण है, जबकि दूसरे परमाणु से तीसरे तक धुरी को नीचे देखते हुए है। निम्न विशेष स्तिथि (सामान्य स्तिथि कह सकते हैं) हैं $$\varphi = \pi$$, $$\varphi = +\pi/3$$ और $$\varphi = -\pi/3$$, जिन्हें ट्रांस, गौचे+ और गौचे− अनुरूपताएं कहा जाता है।

रूढ़िवादिता में
त्रिविम में, एक मरोड़ कोण को एक द्वितल कोण के एक विशेष उदाहरण के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो एक रासायनिक बंधन से जुड़े अणु के दो भागों के ज्यामितीय संबंध का वर्णन करता है। एक अणु के तीन असंरेखीय परमाणुओं का प्रत्येक समुच्चय एक अर्ध-तल को परिभाषित करता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, जब ऐसे दो अर्ध-तल प्रतिच्छेद करते हैं (अर्थात्, चार लगातार बंधित परमाणुओं का एक सम्मुच्चय), तो उनके बीच का कोण एक द्वितल कोण होता है। द्वितल कोणों का उपयोग गठनात्मक समावयवता को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। 0° और ±90° के बीच के कोणों के अनुरूप त्रिविम रासायनिक व्यवस्था को syn (s) कहा जाता है, जो ±90° और 180° (ए) के बीच के कोणों के अनुरूप होते हैं। इसी तरह, 30° और 150° या -30° और -150° के बीच के कोणों के अनुरूप व्यवस्था को क्लिनल (c) कहा जाता है और 0° और ±30° या ±150° और 180° के बीच की व्यवस्था को पेरिप्लानर (p) कहा जाता है।

कोण की चार श्रेणियों को परिभाषित करने के लिए दो प्रकार की शर्तों को जोड़ा जा सकता है; 0° से ± 30° सिनपरिप्लानर (सपा); 30° से 90° और −30° से −90° सिंक्लिनल (sc); 90° से 150° और -90° से -150° अपनतिक (एसी); ±150° से 180° प्रतिपरिसमतलीय (एपी)। सिनपरिप्लानर संरूपण को सिन- या सिस-संरूपण के रूप में भी जाना जाता है; प्रतिपरिसमतलीय एंटी या ट्रांस के रूप में; और गौचे या तिरछा के रूप में सिंक्लिनल है।

उदाहरण के लिए, n-ब्यूटेन के साथ दो समतल को दो केंद्रीय कार्बन परमाणुओं और मिथाइल कार्बन परमाणुओं में से किसी एक के संदर्भ में निर्दिष्ट किया जा सकता है। ऊपर दिखाया गया सिंक-संरूपण, 60 डिग्री के द्वितल कोण के साथ 180 डिग्री के द्वितल कोण के साथ प्रति-अनुकूलता से कम स्थिर है।

बृहदाण्विक उपयोग के लिए प्रतीक टी, सी, जी+, जी-, ए+ और ए− की अनुशंसा की जाती है (ap, sp, +sc, -sc, +ac और -ac क्रमशः)।

प्रोटीन
एक रामचंद्रन आलेख (जिसे रामचंद्रन आरेख या [φ,ψ] आलेख के रूप में भी जाना जाता है), मूल रूप से 1963 में जी. एन. रामचंद्रन, सी. रामकृष्णन और वी. शशिशेखरन द्वारा विकसित किया गया था। प्रोटीन संरचना में अमीनो अम्ल अवशेषों के φ के खिलाफ आधार रज्जु के द्वितल कोणों के लिए ऊर्जावान रूप से अनुमत क्षेत्रों की कल्पना करने का एक तरीका है। प्रोटीन श्रृंखला में तीन द्वितल कोण परिभाषित होते हैं:
 * ω (ओमेगा) श्रृंखला Cα − C' − N − Cα में कोण है
 * φ (phi) श्रृंखला C' − N − Cα − C' का कोण है
 * ψ (psi) शृंखला N − Cα − C' − N (रामचंद्रन द्वारा φ' कहा जाता है) का कोण है

दाईं ओर का आंकड़ा इन कोणों में से प्रत्येक के स्थान को दिखाता है (लेकिन यह जिस तरह से परिभाषित किया गया है वह सही ढंग से नहीं दिखाता है)। पेप्टाइड बंधन की समतलीयता सामान्यतः ω को 180° (ठेठ सिस-ट्रांस समावयवता स्तिथि) या 0° (दुर्लभ सिस-ट्रांस समावयवता स्तिथि) तक सीमित करती है। ट्रांस और सिस समभारी में Cα परमाणुओं के बीच की दूरी क्रमशः लगभग 3.8 और 2.9 Å है। प्रोटीन में पेप्टाइड बंध का अधिकांश भाग ट्रांस होता है, हालांकि प्रोलीन के नाइट्रोजन के पेप्टाइड बंध में अन्य अमीनो-अम्ल जोड़े की तुलना में सीआईएस का प्रचलन बढ़ जाता है।

पार्श्वश्रृंखला द्वितल कोण को χn(ची-n) के साथ नामित किया गया है। वे 180°, 60°, और -60° के आस-पास समूह बनाते हैं, जिन्हें ट्रांस, गौचे−, और गौचे+ अनुरूपता कहा जाता है। कुछ पार्श्वश्रृंखला द्वितल कोणों की स्थिरता φ और ψ मानों से प्रभावित होती है। उदाहरण के लिए, गौचे में पार्श्वश्रृंखला के सीγ+ रोटामर के बीच सीधा स्टेरिक पारस्परिक क्रिया होता है और अगले अवशेष का आधार रज्जु नाइट्रोजन जब ψ -60° के करीब होता है। यह आधार रज्जु-आश्रित रोटामर लाइब्रेरी आधार रज्जु-आश्रित रोटामर लाइब्रेरी में सांख्यिकीय वितरण से स्पष्ट है।

द्वितल कोणों से कार्तीय निर्देशांकों में जंजीरों में बदलना
आंतरिक निर्देशांक में बहुलक आधार रज्जु, विशेष रूप से प्रोटीन का प्रतिनिधित्व करना सामान्य है; अर्थात्, क्रमागत द्वितल कोणों और बंध लंबाई की एक सूची है। हालांकि, कुछ प्रकार के संगणनात्मक रसायन शास्त्र इसके स्थान पर कार्तीय समन्वय प्रणाली का उपयोग करते हैं। संगणनात्मक संरचना अनुकूलन में, कुछ कार्यक्रमों को उनके पुनरावृत्तियों के दौरान इन प्रतिनिधित्वों के बीच आगे और पीछे उत्क्षेप करने की आवश्यकता होती है। यह कार्य गणना समय पर हावी हो सकता है। कई पुनरावृत्तियों या लंबी श्रृंखलाओं वाली प्रक्रियाओं के लिए, यह संचयी संख्यात्मक अशुद्धि भी प्रस्तुत कर सकता है। जबकि सभी रूपांतरण कलन विधि गणितीय रूप से समान परिणाम उत्पन्न करते हैं, वे गति और संख्यात्मक सटीकता में भिन्न होते हैं।

ज्यामिति
प्रत्येक पॉलीहेड्रॉन के प्रत्येक किनारे पर एक द्वितल कोण होता है जो उस किनारे को साझा करने वाले दो पटल के संबंध का वर्णन करता है। यह द्वितल कोण, जिसे फलक कोण भी कहा जाता है, को पॉलीहेड्रॉन के संबंध में आंतरिक कोण के रूप में मापा जाता है। 0° के कोण का अर्थ है कि फलक सामान्य सदिश प्रतिसमानांतर (गणित) हैं और फलक एक-दूसरे को अतिछादित करते हैं, जिसका अर्थ है कि यह एक अध: पतन (गणित) बहुफलक का भाग है। 180° के कोण का अर्थ है कि फलक समानांतर हैं, जैसा कि एकसमान तलीय टाइलिंग की सूची में है। एक बहुफलक के अवतल भागों पर 180° से बड़ा कोण उपस्थित होता है।

किनारे-संक्रमणीय पॉलीहेड्रॉन में प्रत्येक द्वितल कोण का मान समान होता है। इसमें 5 निष्काम ठोस, 13 कैटलन ठोस, 4 केपलर-प्वाइन्सॉट पॉलीहेड्रा, दो अर्ध-नियमित ठोस और दो अर्ध-नियमित दोहरे ठोस सम्मिलित हैं।

द्वितल कोण के लिए कोटिज्या का नियम
एक पॉलीहेड्रॉन के 3 चेहरे दिए गए हैं जो एक सामान्य शीर्ष पी पर मिलते हैं और किनारे एपी, बीपी और सीपी हैं, एपीसी और बीपीसी वाले पटल के बीच द्वितल कोण का कोटिज्या है:
 * $$\cos\varphi = \frac{ \cos (\angle \mathrm{APB}) - \cos (\angle \mathrm{APC}) \cos (\angle \mathrm{BPC})}{ \sin(\angle \mathrm{APC}) \sin(\angle \mathrm{BPC})}  $$

इसे कोज्या के गोलाकार नियम से निकाला जा सकता है

यह भी देखें

 * एट्रोपिसोमर

बाहरी संबंध

 * टिप्स.एफएम में वुडवर्किंग में डायहेड्रल कोण
 * 5 नियमित पॉलीहेड्रा का विश्लेषण इन सटीक मानों की चरण-दर-चरण व्युत्पत्ति देता है.