घूर्णन (रोटेशन)

घूर्णन, या चक्रण, केंद्रीय अक्ष के चारों ओर एक वस्तु का गोलाकार संचलन है। द्वि-आयामी घूर्णन वस्तु में केवल एक संभव केंद्रीय अक्ष होता है और यह दक्षिणावर्त या वामावर्त दिशा में घूम सकता है। त्रि-आयामी वस्तु में संभावित केंद्रीय अक्षों और घूर्णी दिशाओं की अनंत संख्या होती है।

यदि घूर्णन अक्ष आंतरिक रूप से शरीर के द्रव्यमान के अपने केंद्र के माध्यम से गुजरता है, तो शरीर को 'स्वघूर्णी' या 'प्रचक्रण' कहा जाता है,. और अक्ष के सतही प्रतिच्छेदन को ध्रुव कहा जा सकता है। पूरी तरह से बाहरी अक्ष के चारों ओर एक घुमाव, उदा: सूर्य के चारों ओर ग्रह पृथ्वी को घूर्णन या परिक्रमा कहा जाता है, विशिष्ट रूप से जब यह  गुरुत्वाकर्षण  द्वारा निर्मित होता है, और घूर्णन अक्ष के सिरों को कक्षीय ध्रुव  कहा जा सकता है।

गणित
गणितानुसार, घूर्णन एक कठोर निकाय आंदोलन है, जो अनुवाद (ज्यामिति) के विपरीत, एक बिंदु को स्थिर रखता है। यह परिभाषा दो और तीन आयामों (क्रमशः एक विमान और अंतरिक्ष में) दोनों के भीतर घूर्णन पर लागू होती है।

सभी कठोर शरीर की गतियाँ घूर्णन, अनुवाद या दोनों का संयोजन हैं।

घूर्णन सामान्य बिंदु के लिए मात्र प्रगतिशील दीप्तिमान अभिविन्यास है। वह उभयनिष्ठ बिंदु उस गति की धुरी के भीतर स्थित है। अक्ष गति के तल से लंबवत 90 डिग्री है।

यदि किसी बिंदु या अक्ष के चारों ओर एक घूर्णन के बाद उसी बिंदु/अक्ष के चारों ओर दूसरा घूर्णन होता है, तो परिणाम में तीसरा घूर्णन होता है। एक घूर्णन का उल्टा ( उलटा तत्व ) भी एक घूर्णन है। इस प्रकार, एक बिंदु/अक्ष के चारों ओर घूमने से एक समूह (गणित) बनता है। हालांकि, एक बिंदु या अक्ष के चारों ओर घूमने और एक अलग बिंदु/अक्ष के चारों ओर घूमने के परिणामस्वरूप घूर्णन से भिन्न कुछ और हो सकता है, उदा। अनुवाद।

x, y और z अक्षों के चारों ओर घूर्णन को प्रमुख घूर्णन कहा जाता है। x अक्ष के चारों ओर घुमाकर किसी भी धुरी के चारों ओर घूर्णन किया जा सकता है, उसके बाद y अक्ष के चारों ओर घुमाकर, और उसके बाद z अक्ष के चारों ओर घुमाव किया जा सकता है। कहने का तात्पर्य यह है कि, किसी भी स्थानिक घूर्णन को मुख्य घूर्णन के संयोजन में विघटित किया जा सकता है।

उड़ान गतिकी में, विमान के प्रमुख अक्षों को विचलन, स्थिर करना और लुढ़कना(टेट-ब्रायन कोण) के रूप में जाना जाता है। इस शब्दावली का प्रयोग परिकलक चित्रमुद्रण में भी किया जाता है।

खगोल विज्ञान


खगोल विज्ञान में, घूर्णन एक सामान्य रूप से देखी जाने वाली घटना है। तारे, ग्रह और समान पिंड सभी अपनी-अपनी धुरी पर घूमते हैं। सौर मंडल में ग्रहों की घूर्णन दर को सबसे पहले दृश्य विशेषताओं को पथानुसरण करके मापा गया था। तारकीय घुमाव को डॉपलर शिफ्ट के माध्यम से या सक्रिय सतह सुविधाओं को चिह्न करके मापा जाता है।

यह घुमाव पृथ्वी के संदर्भ फ्रेम में एक केन्द्रापसारक बल (काल्पनिक) को प्रेरित करता है जो भूमध्य रेखा के करीब होने पर गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव का कुछ प्रतिकार करता है। पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण दोनों द्रव्यमान प्रभावों को जोड़ता है जैसे ध्रुवों की तुलना में भूमध्य रेखा पर एक वस्तु का वजन कुछ कम होता है। दूसरा यह है कि समय के साथ पृथ्वी एक चपटी गोलाकार आकृति में थोड़ी विकृत हो जाती है; अन्य ग्रहों के लिए एक समान भूमध्यरेखीय उभार विकसित होता है।

किसी ग्रह के घूर्णन का एक और परिणाम पुरस्सरण की घटना है। घूर्णाक्षस्थापी की तरह, समग्र प्रभाव किसी ग्रह की धुरी की गति में एक मामूली डगमगाने वाला होता है। वर्तमान में पृथ्वी की धुरी का अपने कक्षीय तल (सूर्यपथ का तिर्यक्ता) पर झुकाव 23.44 डिग्री है, लेकिन यह कोण धीरे-धीरे (हजारों वर्षों में) बदलता है। (विषुवों और ध्रुव तारों का अग्रगमन भी देखें।)

परिक्रमा
यद्यपि परिक्रमा को प्रायः घूर्णन के पर्याय के रूप में प्रयोग किया जाता है, कई क्षेत्रों में, विशेष रूप से खगोल विज्ञान और संबंधित क्षेत्रों में, परिक्रमा, जिसे अक्सर स्पष्टता के लिए कक्षीय परिक्रमा के रूप में जाना जाता है, और उसका उपयोग तब किया जाता है जब एक निकाय दूसरे के चारों ओर घूमता है, यद्यपि घूर्णन का उपयोग अक्ष के आसपास की गति के लिए किया जाता है। चंद्रमा अपने ग्रह के चारों ओर घूमते हैं, ग्रह अपने तारे के चारों ओर घूमते हैं (जैसे पृथ्वी सूर्य के चारों ओर घूमती है); और तारे धीरे-धीरे अपने आकाशगंगा केंद्र के चारों ओर चक्कर लगाते हैं। आकाशगंगा के घटकों की गति जटिल है, लेकिन इसमें सामान्यतः घूर्णन घटक सम्मिलित होता है।

प्रतिगामी रोटेशन
पृथ्वी सहित सौर मंडल के अधिकांश ग्रह उसी दिशा में घूमते हैं जिस दिशा में वे सूर्य की परिक्रमा करते हैं। शुक्र और अरुण ग्रह अपवाद हैं। शुक्र को धीरे-धीरे पीछे की ओर घूमते (या उल्टा होने) हुए माना जा सकता है। यूरेनस अपनी कक्षा के सापेक्ष लगभग अपनी ओर घूमता है। वर्तमान अटकलें यह है कि अरुण ग्रह ने एक विशिष्ट पुरःक्रमित अभिविन्यास के साथ आरंभ किया और अपने इतिहास के आरंभिक दिनों में एक बड़े प्रभाव से इसके पक्ष में दस्तक दी। बौना ग्रह प्लूटो (जिसे पहले एक ग्रह माना जाता था) कई तरीकों से विषम है, जिसमें यह भी अन्तर्वलित है कि वह अपनी तरफ घूमता है।

भौतिकी
घूर्णन की गति कोणीय आवृत्ति  (rad/s) या आवृत्ति (मोड़ (ज्यामिति) प्रति समय), या आवृत्ति (सेकंड, दिन, आदि) द्वारा दी जाती है। कोणीय आवृत्ति के परिवर्तन की समय-दर कोणीय त्वरण (rad/s²) है, जो बलाघूर्ण के कारण होता है। जड़ता के क्षण से दोनों का अनुपात (कितना भारी है, शुरू करना, रोकना या रोटेशन बदलना) दिया जाता है।

कोणीय वेग सदिश (एक अक्षीय सदिश) घूर्णन के अक्ष की दिशा का भी वर्णन करता है। इसी प्रकार बलाघूर्ण एक अक्षीय सदिश है।

स्थिर अक्ष के चारों ओर घूर्णन की भौतिकी को गणितीय रूप से घूर्णन के अक्ष-कोण निरूपण के साथ वर्णित किया गया है। दाहिने हाथ के नियम के अनुसार, पर्यवेक्षक से दूर की दिशा दक्षिणावर्त घुमाव से जुड़ी होती है और पर्यवेक्षक की दिशा वामावर्त घुमाव के साथ, एक पेंच की तरह होती है।

ब्रह्माण्ड संबंधी सिद्धांत
भौतिकी के नियमों को वर्तमान में घूर्णी अपरिवर्तनीयता माना जाता है (हालांकि घूर्णन दृष्टिकोण से देखे जाने पर वे बदलते दिखाई देते हैं: संदर्भ के घूर्णन फ्रेम  देखें।)

आधुनिक भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में, ब्रह्माण्ड संबंधी सिद्धांत में यह धारणा है कि जब इसे बड़े पैमाने पर देखा जाता है तो ब्रह्मांड में पदार्थ का वितरण सजातीय औरसमदैशिक है क्योंकि बलों से पूरे ब्रह्मांड में समान रूप से कार्य करने की उम्मीद की जाती है और उनकी कोई पसंदीदा दिशा नहीं होती है, और इसलिए, बिग बैंग द्वारा आरम्भ में निर्धारित किए गए पदार्थ क्षेत्र के विकास के दौरान बड़े पैमाने पर संरचना में कोई देखने योग्य अनियमितताएं उत्पन्न नहीं होती हैं।

विशेष रूप से, एक ऐसी प्रणाली के लिए जो अंतरिक्ष में उन्मुख होने की ध्यान दिए बिना समान व्यवहार करती है, इसका लग्रांजी यांत्रिकी घूर्णी अचल है। नोएदर के प्रमेय के अनुसार, यदि किसी भौतिक प्रणाली की क्रिया (भौतिकी) (इसके लग्रांगियन के समय के साथ अभिन्न ) क्रमावर्तन तहत अपरिवर्तनीय है, तो  कोणीय गति संरक्षित है।

यूलर रोटेशन
यूलर क्रमावर्तन, क्रमावर्तन का वैकल्पिक विवरण प्रदान करता है। यह तीन घुमावों की एक संरचना है, जिसे अन्य दो स्थिरांक को छोड़ते हुए एक यूलर कोण को बदलकर प्राप्त गति के रूप में परिभाषित किया गया है। यूलर घुमाव कभी भी बाहरी चौखट के संदर्भ में, या सह-चलती घुमाए गए तत्व के चौखट के संदर्भ में नहीं, बल्कि मिश्रण में व्यक्त किए जाते हैं। वे घूर्णन प्रणाली के एक मिश्रित अक्ष का निर्माण करते हैं, जहां पहला कोण बाहरी अक्ष z के चारों ओर पात रेखा को घुमाता है, दूसरा पात रेखा के चारों ओर घूमता है और तीसरा गतिमान तत्व में स्थिर अक्ष के चारों ओर आंतरिक घूर्णन है।

इन घुमावों को अग्रगमन, शिखावर्तन और आंतरिक क्रमावर्तन कहा जाता है।

उड़ान की गतिशीलता
उड़ान गतिकी में, यूलर घुमावों के साथ वर्णित प्रमुख घुमावों को प्रवणता, लुढ़कना और विचलन के रूप में जाना जाता है। क्रमावर्तन (विमानन) शब्द का उपयोग विमानन में भी एक विमान के ऊपर की ओर प्रवणता (नाक ऊपर की ओर) को संदर्भित करने के लिए किया जाता है, खासकर जब प्रस्थान के बाद चढ़ाई शुरू करते हैं।

प्रमुख घुमावों में कई भौतिक प्रणालियों जैसे कि छल्ले और नियंत्रक लीवर को प्रतिरूपित करने का लाभ होता है, इसलिए आसानी से देखे जा सकते हैं, और क्रमावर्तन  को संग्रहीत करने का एक बहुत ही संक्षिप्त तरीका है। लेकिन गणना में उनका उपयोग करना मुश्किल है क्योंकि क्रमावर्तन के संयोजन जैसे सरल संचालन करना भी महंगा है, और अनुप्रयुक्त गणित में छल्ले बंध के एक रूप से पीड़ित हैं, जहां कुछ घुमावों के लिए कोणों की विशिष्ट गणना नहीं की जा सकती है।

मनोरंजन की सवारी
कई मनोरंजन सवारी क्रमावर्तन प्रदान करती हैं। एक बड़े ऊंचे चक्के में एक क्षैतिज केंद्रीय अक्ष होता है, और प्रत्येक गुब्बारे के पद के समानांतर अक्ष होते हैं, जहां गुरुत्वाकर्षण या यांत्रिक रूप से घूर्णन विपरीत होता है। नतीजतन, किसी भी समय गोंडोला का उन्मुखीकरण खरा (घुमाया नहीं गया), बस अनुवादित है। अंतरण सदिश की नोक एक वृत्त का वर्णन करती है। एक हिंडोला  एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में क्रमावर्तन  प्रदान करता है। सवारी कई अक्षों के बारे में घुमावों का संयोजन प्रदान करती हैं।  चेयर-ओ-विमान में ऊर्ध्वाधर अक्ष के बारे में क्रमावर्तन यांत्रिक रूप से प्रदान किया जाता है, यद्यपि क्षैतिज अक्ष के बारे में क्रमावर्तन केन्द्रापसारक बल के कारण होता है। रोलर कोस्टर व्युत्क्रम में क्षैतिज अक्ष में घूर्णन एक या अधिक पूर्ण चक्र होता है, जहां जड़त्व लोगों को उनके आसन पर रखती है।

खेल
एक गेंद या अन्य वस्तु का क्रमावर्तन, जिसे प्रायः घुमाव कहा जाता है, कई खेलों में भूमिका निभाता है, जिसमें टेनिस में टॉपस्पिन बैकस्पिन, बिलियर्ड्स और पूल में फॉलो और ड्रॉ, बेसबॉल  में  वक्र गेंद , क्रिकेट में  घुमावदार गेंदबाजी , फ्लाईंग डिस्क आदि (खेल) सम्मिलित हैं।  टेबल टेनिस पेडल विभिन्न सतह विशेषताओं के साथ निर्मित होते हैं ताकि खिलाड़ी गेंद को अधिक या कम मात्रा में घुमाव प्रदान कर सके।

एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर एक या एक से अधिक बार घूमने को फिगर स्केटिंग में घुमाव कहा जा सकता है, बैटन ट्वर्लिंग में घुमाव (बैटन या कलाकार का) या स्नोबोर्डिंग में 360, 540, 720, आदि। एक क्षैतिज अक्ष के चारों ओर एक या एक से अधिक बार खिलाड़ी या कलाकार को कसरत, वाटर स्कीइंग, या कई अन्य खेलों में एक  फ्लिप (एक्रोबेटिक) , रोल (जिम्नास्टिक),  कलाबाज़ी , हेली, आदि कहा जा सकता है, या डेढ़ डाइविंग (खेल), आदि में ढाई, गेनर (पानी से दूर का सामना करना शुरू करना), आदि। ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज घुमाव (360 ° के साथ बैक फ्लिप) के संयोजन को फ्रीस्टाइल जंपिंग में मोबियस कहा जाता है।

सामान्यतय 180 और 360 डिग्री के बीच एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर एक खिलाड़ी के क्रमावर्तन को घुमाव चाल कहा जा सकता है और इसे एक भ्रामक या परिहार कौशल के रूप में प्रयोग किया जाता है, गेंद या पक आदि को खेलने, पारित करने या प्राप्त करने के प्रयास में किया जाता है, या किसी खिलाड़ी को लक्ष्य या अन्य खिलाड़ियों को देखने के लिए प्रयोग किया जाता है। यह अक्सर हॉकी, बास्केटबाल, विभिन्न आचार के फ़ुटबॉल, टेनिस आदि में देखा जाता है।

निश्चित अक्ष बनाम निश्चित बिंदु
एक निश्चित बिंदु के 3D में किसी भी वस्तु के घूर्णन के किसी भी क्रम का अंतिम परिणाम हमेशा एक धुरी के घूर्णन के बराबर होता है। यद्यपि, वस्तु एक साथ एक से अधिक अक्षों पर निश्चित बिंदु में 3D में भौतिक रूप से घूम सकती है, इस स्थिति में घूर्णन का कोई एक निश्चित अक्ष नहीं है - बस निश्चित बिंदु है। हालाँकि, इन दो विवरणों को इस तरह समेटा जा सकता है कि - भौतिक गति को हमेशा क्रमावर्तन के एकल अक्ष के संदर्भ में फिर से वर्णित किया जा सकता है, परंतु वस्तु के सापेक्ष उस अक्ष के उन्मुखीकरण को हर क्षण बदलने की अनुमति हो।

2 आयामी घुमावों की धुरी
2 आयामी घुमाव, 3 आयामी वाले के विपरीत, क्रमावर्तन की कोई धुरी नहीं है। यह रैखिक परिवर्तनों के लिए समतुल्य है, यह कहते हुए कि विमान में कोई दिशा नहीं है जिसे निश्चित रूप से, पहचान के अथवा 2 आयामी घुमाव से अपरिवर्तित रखा जाता है।

इस तरह की दिशा के अस्तित्व का सवाल मैट्रिक्स A के लिए एक आइजन्वेक्टर के अस्तित्व का सवाल है जो क्रमावर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक 2D एक कोण के माध्यम से मूल के चारों ओर घूमता है $$\theta$$ वामावर्त दिशा में निम्नलिखित मैट्रिक्स द्वारा काफी आसानी से प्रदर्शित किया जा सकता है:


 * $$A =

\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} $$ एक मानक आइजनमूल्य निर्धारण  विशेषता बहुपद  की ओर जाता है
 * $$\lambda^2 -2 \lambda \cos \theta + 1 = 0$$,

जो है
 * $$\cos \theta \pm i \sin \theta$$

इसके आइजनमूल्य ​​​​के रूप में। इसलिए, जब भी कोई वास्तविक आइजेनमूल्य नहीं होता है $$\cos \theta \neq \pm 1$$, जिसका अर्थ है कि विमान में कोई भी वास्तविक A द्वारा अपरिवर्तित नहीं रखा जाता है।

घूर्णन कोण और अक्ष 3 आयामों में
यह जानते हुए कि अनुरेख एक अपरिवर्तनीय है, क्रमावर्तन कोण $$\alpha$$ उचित आयतीय 3x3 क्रमावर्तन मैट्रिक्स के लिए $$A$$ द्वारा पाया जाता है

$$\alpha=\cos^{-1}\left(\frac{A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}\right)$$ मुख्य चाप-कोज्या का उपयोग करते हुए, यह सूत्र एक संतोषजनक घूर्णन कोण देता है $$0\le\alpha\le 180^\circ$$. संबंधित क्रमावर्तन अक्ष को उस दिशा में इंगित करने के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए जो क्रमावर्तन कोण को 180 डिग्री से अधिक नहीं होने तक सीमित करता है। (यह हमेशा किया जा सकता है क्योंकि एक धुरी में 180 डिग्री से अधिक का कोई भी घुमाव $$m$$ हमेशा एक घूर्णन के रूप में लिखा जा सकता है $$0\le\alpha\le 180^\circ$$ अगर अक्ष के साथ बदल दिया गया है तो $$n=-m$$)।

हर उचित क्रमावर्तन $$A$$ 3D स्थल में क्रमावर्तन की एक धुरी होती है, जिसे किसी भी सदिश के रूप में परिभाषित किया जाता है $$v$$ जो क्रमावर्तन अक्ष के साथ संरेखित है, क्रमावर्तन से प्रभावित नहीं होगा। तदनुसार, $$ A v = v $$, और क्रमावर्तन अक्ष इसलिए क्रमावर्तन मैट्रिक्स के एक आइजेनसदिश से मेल खाता है जो आइजेनमूल्य 1 के साथ जुड़ा हुआ है। जब तक क्रमावर्तन कोण $$\alpha$$ गैर-शून्य है (यानी, क्रमावर्तन पहचान प्रदिश  नहीं है), ऐसी एक और केवल एक ही दिशा है। क्योंकि A में केवल वास्तविक घटक हैं, कम से कम एक वास्तविक आइजेनसदिश है, और शेष दो आइजेनमूल्य ​​​​एक दूसरे के जटिल संयुग्मित होने चाहिए (देखें आइजेनमूल्य ​​​​और आइजेनसदिश #आइजेनमूल्य ​​​​और विशेषता बहुपद)। यह जानते हुए कि 1 आइजेनमूल्य है, यह इस प्रकार है कि शेष दो  ​आइजेनमूल्य एक दूसरे के जटिल संयुग्म हैं, लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि वे जटिल हैं - वे दोहरी बहुलता के साथ वास्तविक हो सकते हैं। घूर्णन कोण के पतित मामले में $$\alpha=180^\circ$$, शेष दो आइजेनमूल्य ​​​​दोनों -1 के बराबर हैं। शून्य घूर्णन कोण के पतित मामले में, क्रमावर्तन मैट्रिक्स पहचान है, और सभी तीन आइजेनमूल्य ​​​​1 हैं (जो एकमात्र मामला है जिसके लिए क्रमावर्तन अक्ष मनमाना है)।

क्रमावर्तन अक्ष को खोजने के लिए वर्णक्रमीय विश्लेषण की आवश्यकता नहीं है। यदि $$n$$ घूर्णन अक्ष के साथ संरेखित इकाई आइजेनसदिश को दर्शाता है, और यदि $$\alpha$$ क्रमावर्तन कोण को दर्शाता है, तो यह दिखाया जा सकता है $$2\sin(\alpha)n=\{A_{32}-A_{23},A_{13}-A_{31},A_{21}-A_{12}\}$$. नतीजतन, एक गैर-शून्य परिमाण होने पर इस सदीश को केवल सामान्य करके एक आइगेनवैल्यू विश्लेषण के खर्च से बचा जा सकता है। दूसरी ओर, यदि इस सदिश का परिमाण शून्य है, तो इसका अर्थ है कि $$\sin(\alpha)=0$$. दूसरे शब्दों में, यह सदिश शून्य होगा यदि और केवल यदि क्रमावर्तन कोण 0 या 180 डिग्री है, और इस मामले में क्रमावर्तन अक्ष को किसी भी पंक्ति को सामान्य करके नियुक्त किया जा सकता है $$A+I$$ जिसका परिमाण शून्य न हो। यह चर्चा उचित क्रमावर्तन पर लागू होती है, और इसलिए $$\det A = 1$$. कोई अनुचित आयतीय 3x3 मैट्रिक्स $$B$$ के रूप में लिखा जा सकता है $$B=-A$$, जिसमें $$A$$ उचित आयतीय है। यही है, किसी भी अनुचित आयतीय 3x3 मैट्रिक्स को एक उचित क्रमावर्तन के रूप में विघटित किया जा सकता है (जिससे ऊपर वर्णित अनुसार क्रमावर्तन की धुरी पाई जा सकती है) इसके बाद उलटा (-1 से गुणा) किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि $$A$$ का घूर्णन अक्ष $$B$$ का आइजेंनसादिश भी है जो -1 के आइजेनमूल्य के अनुरूप है।

रोटेशन प्लेन
जितना प्रत्येक त्रिविमीय घूर्णन में एक घूर्णन अक्ष होता है, उतना ही प्रत्येक त्रिविमीय घूर्णन में एक तल होता है, जो घूर्णन अक्ष के लंबवत होता है, और जो घूर्णन द्वारा अपरिवर्तनीय रहता है।, क्रमावर्तन इस विमान तक ही सीमित है जो एक सामान्य 2D क्रमावर्तन है।

प्रमाण उपरोक्त चर्चा के समान ही आगे बढ़ता है। सबसे पहले, मान लीजिए कि 3D क्रमावर्तन मैट्रिक्स A के सभी आइजेनमूल्य वास्तविक हैं। इसका मतलब यह है कि एक आयतीय आधार है, जो संबंधित आइजेंसदिश (जो आवश्यक रूप से आयतीय हैं) द्वारा बनाया गया है, जिस पर क्रमावर्तन मैट्रिक्स का प्रभाव बस इसे खींच रहा है। यदि हम इस आधार पर A लिखते हैं, तो यह विकर्ण है; लेकिन एक विकर्ण आयतीय मैट्रिक्स विकर्ण प्रविष्टियों में केवल +1s और -1s से बना है। इसलिए, हमारे पास उचित घूर्णन नहीं है, लेकिन या तो पहचान या प्रतिबिंबों के अनुक्रम का नतीजा है।

यह इस प्रकार है, कि एक उचित क्रमावर्तन में कुछ जटिल आइगेनवैल्यू है। मान लीजिए कि v संगत आइजनवेक्टर है। फिर, जैसा कि हमने पिछले विषय में दिखाया था, $$ \bar{v} $$ एक ईजेनवेक्टर भी है, और $$ v + \bar{v} $$ तथा $$ i(v - \bar{v}) $$ ऐसे हैं कि उनका अदिश उत्पाद गायब हो जाता है:


 * $$ i (v^\text{T} + \bar{v}^\text{T})(v - \bar{v}) = i (v^\text{T} v - \bar{v}^\text{T} \bar{v} + \bar{v}^\text{T} v - v^\text{T} \bar{v} ) = 0 $$

क्योंकि, तब से $$ \bar{v}^\text{T} \bar{v} $$ वास्तविक है, यह इसके जटिल संयुग्म के बराबर है $$ v^\text{T} v $$, तथा $$ \bar{v}^\text{T} v $$ तथा $$ v^\text{T} \bar{v} $$ के बीच एक ही स्केलर उत्पाद के दोनों प्रतिनिधित्व हैं $$ v $$ तथा $$ \bar{v} $$.

इसका मतलब है की $$ v + \bar{v} $$ तथा $$ i(v - \bar{v}) $$ आयतीय सदिश हैं। साथ ही, वे दोनों निर्माण द्वारा वास्तविक सदिश हैं। ये अदिश समान उप-स्थान को फैलाते हैं $$ v $$ तथा $$ \bar{v} $$, जो A के आवेदन के तहत एक अपरिवर्तनीय उप-स्थान है। इसलिए, वे एक अपरिवर्तनीय विमान फैलाते हैं।

यह विमान अपरिवर्तनीय अक्ष के लिए आयतीय है, जो A के आइजेंनसादिश की ओर्थोगोनैलिटी के कारण A के शेष आइजेंनसादिश से मेल खाती है, जिसमें आइजेनमूल्य 1 है।

यह भी देखें

 * , सबसे तेज़ घूमने वाली वस्तु
 * , सबसे तेज़ घूमने वाली वस्तु
 * , सबसे तेज़ घूमने वाली वस्तु
 * , सबसे तेज़ घूमने वाली वस्तु
 * , सबसे तेज़ घूमने वाली वस्तु
 * , सबसे तेज़ घूमने वाली वस्तु
 * , सबसे तेज़ घूमने वाली वस्तु

बाहरी संबंध

 * Product of Rotations at cut-the-knot. cut-the-knot.org
 * When a Triangle is Equilateral at cut-the-knot. cut-the-knot.org
 * Rotate Points Using Polar Coordinates, howtoproperly.com
 * Rotation in Two Dimensions by Sergio Hannibal Mejia after work by Roger Germundsson and Understanding 3D Rotation by Roger Germundsson, Wolfram Demonstrations Project. demonstrations.wolfram.com
 * Rotation, Reflection, and Frame Change: Orthogonal tensors in computational engineering mechanics, IOP Publishing
 * Rotation, Reflection, and Frame Change: Orthogonal tensors in computational engineering mechanics, IOP Publishing