मुख्य अक्ष प्रमेय

ज्यामिति और रैखिक बीजगणित में, एक प्रमुख अक्ष यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक दीर्घवृत्त या hyperboloid  से जुड़ी एक निश्चित रेखा होती है, जो दीर्घवृत्त या  अतिशयोक्ति  की प्रमुख और छोटी घूर्णी समरूपता को सामान्य बनाती है। मुख्य अक्ष प्रमेय बताता है कि मुख्य अक्ष लंबवत हैं, और उन्हें खोजने के लिए एक रचनात्मक प्रक्रिया देता है।

गणितीय रूप से, मुख्य अक्ष प्रमेय प्राथमिक बीजगणित से वर्ग को पूरा करने की विधि का एक सामान्यीकरण है। रैखिक बीजगणित और कार्यात्मक विश्लेषण में, मुख्य अक्ष प्रमेय वर्णक्रमीय प्रमेय का एक ज्यामितीय समकक्ष है। इसमें प्रमुख घटकों के विश्लेषण और एकल मूल्य अपघटन के आँकड़ों के अनुप्रयोग हैं। भौतिकी में, प्रमेय कोणीय गति और द्विअपवर्तन के अध्ययन के लिए मौलिक है।

प्रेरणा
कार्तीय तल R में समीकरण2:
 * $$\begin{align}

\frac{x^2}{9} + \frac{y^2}{25} &= 1 \\[3pt] \frac{x^2}{9} - \frac{y^2}{25} &= 1 \end{align}$$ क्रमशः दीर्घवृत्त और अतिपरवलय को परिभाषित करें। प्रत्येक मामले में, x और y अक्ष प्रमुख अक्ष हैं। यह आसानी से देखा जा सकता है, यह देखते हुए कि किसी भी अभिव्यक्ति में उत्पाद xy से संबंधित कोई क्रॉस-टर्म नहीं है। हालाँकि, जैसे समीकरणों के लिए स्थिति अधिक जटिल है
 * $$5x^2 + 8xy + 5y^2 = 1.$$

यहां यह निर्धारित करने के लिए कुछ विधि की आवश्यकता है कि यह दीर्घवृत्त है या अतिपरवलय। मूल अवलोकन यह है कि यदि, वर्ग को पूरा करके, द्विघात अभिव्यक्ति को दो वर्गों के योग तक कम किया जा सकता है तो समीकरण एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है, जबकि यदि यह दो वर्गों के अंतर तक कम हो जाता है तो समीकरण एक अतिपरवलय का प्रतिनिधित्व करता है:
 * $$\begin{align}

u(x, y)^2 + v(x, y)^2 &= 1\qquad \text{(ellipse)} \\ u(x, y)^2 - v(x, y)^2 &= 1\qquad \text{(hyperbola)}. \end{align}$$ इस प्रकार, हमारे उदाहरण अभिव्यक्ति में, समस्या यह है कि क्रॉस-टर्म 8xy के गुणांक को फ़ंक्शन यू और वी में कैसे अवशोषित किया जाए। औपचारिक रूप से, यह समस्या मैट्रिक्स विकर्णीकरण की समस्या के समान है, जहां कोई एक उपयुक्त समन्वय प्रणाली ढूंढने का प्रयास करता है जिसमें रैखिक परिवर्तन का मैट्रिक्स विकर्ण होता है। पहला कदम एक मैट्रिक्स ढूंढना है जिसमें विकर्णीकरण की तकनीक लागू की जा सके।

युक्ति यह है कि द्विघात रूप को इस प्रकार लिखें
 * $$5x^2 + 8xy + 5y^2 =

\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 4 \\   4 & 5  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \mathbf{x}^\textsf{T} A\mathbf{x} $$ जहां क्रॉस-टर्म को दो बराबर भागों में विभाजित किया गया है। उपरोक्त अपघटन में मैट्रिक्स ए एक सममित मैट्रिक्स है। विशेष रूप से, वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार, इसमें वास्तविक संख्याएँ eigenvalues ​​​​हैं और यह एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स (ऑर्थोगोनली विकर्ण) द्वारा विकर्ण योग्य है।

A को ओर्थोगोनल रूप से विकर्ण करने के लिए, पहले इसके eigenvalues ​​​​को ढूंढना होगा, और फिर एक ऑर्थोनॉर्मल eigenbasis को ढूंढना होगा। गणना से पता चलता है कि A के eigenvalues ​​​​हैं
 * $$\lambda_1 = 1,\quad \lambda_2 = 9$$

संगत eigenvectors के साथ

\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix},\quad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}. $$ इन्हें उनकी संबंधित लंबाई से विभाजित करने पर एक ऑर्थोनॉर्मल ईजेनबासिस प्राप्त होता है:

\mathbf{u}_1 = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \end{bmatrix},\quad \mathbf{u}_2 = \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}. $$ अब मैट्रिक्स S = ['u'1 u2] एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, क्योंकि इसमें ऑर्थोनॉर्मल कॉलम हैं, और ए को इसके द्वारा विकर्ण किया गया है:
 * $$A = SDS^{-1} = SDS^\textsf{T} =

\begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2}\\ -1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\   0 & 9  \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} & -1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} & 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}. $$ यह अवलोकन के माध्यम से द्विघात रूप को विकर्ण करने की वर्तमान समस्या पर लागू होता है

5x^2 + 8xy + 5y^2 = \mathbf{x}^\textsf{T} A\mathbf{x} = \mathbf{x}^\textsf{T}\left(SDS^\textsf{T}\right)\mathbf{x} = \left(S^\textsf{T} \mathbf{x}\right)^\textsf{T} D\left(S^\textsf{T} \mathbf{x}\right) = 1\left(\frac{x - y}{\sqrt{2}}\right)^2 + 9\left(\frac{x + y}{\sqrt{2}}\right)^2. $$ इस प्रकार, समीकरण $$5x^2 + 8xy + 5y^2 = 1$$ यह एक दीर्घवृत्त है, क्योंकि बायीं ओर को दो वर्गों के योग के रूप में लिखा जा सकता है।

2 के गुणनखंडों को निकालकर इस अभिव्यक्ति को सरल बनाना आकर्षक है। हालाँकि, ऐसा न करना महत्वपूर्ण है। मात्राएँ
 * $$c_1 = \frac{x - y}{\sqrt{2}},\quad c_2 = \frac{x + y}{\sqrt{2}}$$

एक ज्यामितीय अर्थ है. वे 'आर' पर एक ऑर्थोनॉर्मल समन्वय प्रणाली निर्धारित करते हैं2. दूसरे शब्दों में, वे मूल निर्देशांक से एक घूर्णन (और संभवतः एक प्रतिबिंब) के अनुप्रयोग द्वारा प्राप्त किए जाते हैं। नतीजतन, कोई सी का उपयोग कर सकता है1 और सी2 लंबाई और कोणों (विशेष रूप से लंबाई) के बारे में बयान देने के लिए निर्देशांक, जो अन्यथा निर्देशांक की एक अलग पसंद में अधिक कठिन होगा (उदाहरण के लिए, उन्हें पुन: स्केल करके)। उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त पर मूल बिंदु से अधिकतम दूरी c12+9c22 = 1 तब होता है जब c2 = 0, अत: बिंदु c पर1 = ±1. इसी प्रकार, न्यूनतम दूरी वह है जहाँ c2 = ±1/3.

अब इस दीर्घवृत्त की बड़ी और छोटी अक्षों को पढ़ना संभव है। ये वास्तव में मैट्रिक्स ए के अलग-अलग eigenspace हैं, क्योंकि ये वहीं हैं जहां सी है2 = 0 या सी1 = 0. प्रतीकात्मक रूप से, प्रमुख अक्ष हैं

E_1 = \text{span}\left(\begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ -1/\sqrt{2} \end{bmatrix}\right),\quad E_2 = \text{span}\left(\begin{bmatrix} 1/\sqrt{2} \\ 1/\sqrt{2} \end{bmatrix}\right). $$ संक्षेप में: इस जानकारी का उपयोग करके, दीर्घवृत्त की एक स्पष्ट ज्यामितीय तस्वीर प्राप्त करना संभव है: उदाहरण के लिए, इसे ग्राफ़ करना।
 * समीकरण एक दीर्घवृत्त के लिए है, क्योंकि दोनों eigenvalues ​​​​धनात्मक हैं। (अन्यथा, यदि एक सकारात्मक और दूसरा नकारात्मक होता, तो यह अतिपरवलय होता।)
 * मुख्य अक्ष eigenvectors द्वारा फैली हुई रेखाएँ हैं।
 * मूल बिंदु से न्यूनतम और अधिकतम दूरी को विकर्ण रूप में समीकरण से पढ़ा जा सकता है।

औपचारिक कथन
मुख्य अक्ष प्रमेय आर में द्विघात रूपों से संबंधित हैn, जो घात 2 के सजातीय बहुपद हैं। किसी भी द्विघात रूप को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है
 * $$Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^\textsf{T} A\mathbf{x}$$

जहाँ A एक सममित मैट्रिक्स है।

प्रमेय का पहला भाग वर्णक्रमीय प्रमेय द्वारा गारंटीकृत निम्नलिखित कथनों में निहित है: विशेष रूप से, ए ओर्थोगोनली विकर्ण है, क्योंकि कोई व्यक्ति प्रत्येक ईजेनस्पेस का आधार ले सकता है और ऑर्थोनॉर्मल ईजेनबेस प्राप्त करने के लिए ईजेनस्पेस के भीतर ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को अलग से लागू कर सकता है।
 * A के eigenvalues ​​​​वास्तविक हैं।
 * A विकर्णीय है, और A के eigenspaces परस्पर ओर्थोगोनल हैं।

दूसरे भाग के लिए, मान लीजिए कि A के eigenvalues ​​λ हैं1, ..., एलn (संभवतः उनकी बीजगणितीय बहुलता के अनुसार दोहराया गया) और संबंधित ऑर्थोनॉर्मल ईजेनबेसिस यू है1, ..., मेंn. तब,
 * $$ \mathbf{c} = [\mathbf{u}_1, \ldots,\mathbf{u}_n]^\textsf{T}  \mathbf{x},$$

और
 * $$Q(\mathbf{x}) = \lambda_1 c_1^2 + \lambda_2 c_2^2 + \dots + \lambda_n c_n^2,$$

जहां सीi 'c' की i-वीं प्रविष्टि है। आगे,
 * i-वें 'मुख्य अक्ष' c को बराबर करके निर्धारित की गई रेखा हैj =सभी के लिए 0 $$j = 1,\ldots, i-1, i+1,\ldots, n$$. i-वें प्रमुख अक्ष वेक्टर 'u' का विस्तार हैi.

यह भी देखें

 * सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम