संवृत्त-रूप व्यंजक

गणित में, एक बंद-रूप अभिव्यक्ति एक गणितीय अभिव्यक्ति है जो स्थिरांक (गणित), चर (गणित) और मानक ऑपरेशन (गणित) और फ़ंक्शन (गणित) की एक सीमित निर्धारित संख्या से बनती है, जैसे $+, −, ×, ÷$, Nवां मूल, घातांक, लघुगणक, त्रिकोणमितीय फलन और व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण फलन। आमतौर पर, अनुक्रम या अभिन्न की कोई सीमा स्वीकार नहीं की जाती है।

संचालन और कार्यों का सेट लेखक और संदर्भ के साथ भिन्न हो सकता है।

आमतौर पर, यदि किसी फ़ंक्शन को बंद फॉर्म अभिव्यक्ति के लिए अनुमति दी जाती है, तो इसके व्युत्पन्न को बंद-फॉर्म अभिव्यक्ति के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। तो, श्रृंखला नियम द्वारा, यौगिक  को बंद-फ़ॉर्म अभिव्यक्तियों से हटाया जा सकता है। चूँकि किसी व्युत्पन्न की अभिव्यक्ति फ़ंक्शन की तुलना में बहुत बड़ी हो सकती है, यह केवल सुविधा का प्रश्न है कि क्या व्युत्पन्न को बंद-रूप अभिव्यक्तियों में स्वीकार किया जाता है।

उदाहरण: बहुपदों की जड़ें
सम्मिश्र संख्या गुणांक वाले किसी भी द्विघात समीकरण के समाधान को जोड़, घटाव, गुणा, भाग (गणित), और वर्गमूल निष्कर्षण के रूप में बंद रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक एक प्राथमिक कार्य है। उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण


 * $$ax^2+bx+c=0,$$

सुव्यवस्थित है क्योंकि इसके समाधानों को एक बंद-रूप अभिव्यक्ति के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, यानी प्राथमिक कार्यों के संदर्भ में:


 * $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}.$$

इसी प्रकार, घन और चतुर्थक (तीसरी और चौथी डिग्री) समीकरणों के समाधान अंकगणित, वर्गमूल और nवें मूल का उपयोग करके व्यक्त किए जा सकते हैं|$n$वीं जड़ें. हालाँकि, उदाहरण के लिए, ऐसे बंद-फ़ॉर्म समाधानों के बिना क्विंटिक समीकरण भी हैं $x^{5} − x + 1 = 0$; यह एबेल-रफिनी प्रमेय है।

बहुपद जड़ों के लिए बंद रूपों के अस्तित्व का अध्ययन गैलोइस सिद्धांत नामक गणित के क्षेत्र की प्रारंभिक प्रेरणा और मुख्य उपलब्धियों में से एक है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ
अतिरिक्त फ़ंक्शंस को शामिल करने के लिए प्रसिद्ध की परिभाषा को बदलने से बंद-फ़ॉर्म समाधान वाले समीकरणों का सेट बदल सकता है। कई संचयी वितरण कार्यों को बंद रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, जब तक कि कोई विशेष कार्यों जैसे कि त्रुटि फ़ंक्शन या गामा फ़ंक्शन को अच्छी तरह से ज्ञात नहीं मानता है। यदि सामान्य हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन को शामिल किया जाए तो क्विंटिक समीकरण को हल करना संभव है, हालांकि समाधान उपयोगी होने के लिए बीजगणितीय रूप से बहुत जटिल है। कई व्यावहारिक कंप्यूटर अनुप्रयोगों के लिए, यह मान लेना पूरी तरह से उचित है कि गामा फ़ंक्शन और अन्य विशेष फ़ंक्शन अच्छी तरह से ज्ञात हैं क्योंकि संख्यात्मक कार्यान्वयन व्यापक रूप से उपलब्ध हैं।

विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति
एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति (विश्लेषणात्मक रूप में अभिव्यक्ति या विश्लेषणात्मक सूत्र के रूप में भी जाना जाता है) एक गणितीय अभिव्यक्ति है जो प्रसिद्ध संचालन का उपयोग करके बनाई गई है जो गणना के लिए आसानी से उधार देती है। बंद-रूप अभिव्यक्तियों के समान, अनुमत प्रसिद्ध कार्यों का सेट संदर्भ के अनुसार भिन्न हो सकता है लेकिन इसमें हमेशा अंकगणित # अंकगणित संचालन (जोड़, घटाव, गुणा और विभाजन), एक वास्तविक घातांक का घातांक (जिसमें निष्कर्षण शामिल होता है) शामिल होता है nवाँ मूल|$n$वें मूल), लघुगणक, और त्रिकोणमितीय कार्य।

हालाँकि, विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति मानी जाने वाली अभिव्यक्तियों का वर्ग बंद-रूप वाली अभिव्यक्तियों की तुलना में व्यापक होता है। विशेष रूप से, बेसेल कार्य करता है और गामा फ़ंक्शन जैसे विशेष कार्यों की आमतौर पर अनुमति दी जाती है, और अक्सर अनंत श्रृंखला और निरंतर भिन्न भी होते हैं। दूसरी ओर, सामान्य रूप से अनुक्रम की सीमा और विशेष रूप से अभिन्न को आम तौर पर बाहर रखा जाता है।

यदि एक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति में केवल बीजगणितीय संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, विभाजन, और तर्कसंगत घातांक के लिए घातांक) और तर्कसंगत स्थिरांक शामिल होते हैं तो इसे विशेष रूप से बीजगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में जाना जाता है।

 अभिव्यक्ति के विभिन्न वर्गों की तुलना
बंद-रूप अभिव्यक्तियाँ विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियों का एक महत्वपूर्ण उप-वर्ग हैं, जिसमें प्रसिद्ध कार्यों के अनुप्रयोगों की एक सीमित संख्या होती है। व्यापक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियों के विपरीत, बंद-रूप अभिव्यक्तियों में अनंत श्रृंखला या निरंतर भिन्न शामिल नहीं होते हैं; न तो किसी अनुक्रम का अभिन्न अंग या सीमा शामिल है। दरअसल, स्टोन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय द्वारा, इकाई अंतराल पर किसी भी निरंतर कार्य को बहुपद की सीमा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए बहुपद वाले और सीमाओं के तहत बंद किए गए कार्यों के किसी भी वर्ग में आवश्यक रूप से सभी निरंतर कार्य शामिल होंगे।

इसी प्रकार, एक समीकरण या समीकरणों की प्रणाली को एक बंद-रूप समाधान कहा जाता है यदि, और केवल तभी, कम से कम एक समीकरण समाधान को एक बंद-रूप अभिव्यक्ति के रूप में व्यक्त किया जा सकता है; और इसे एक विश्लेषणात्मक समाधान कहा जाता है यदि और केवल तभी जब कम से कम एक समाधान को विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के रूप में व्यक्त किया जा सके। क्लोज्ड-फॉर्म समाधान की चर्चा में क्लोज्ड-फॉर्म फंक्शन और #क्लोज्ड-फॉर्म नंबर|क्लोज्ड-फॉर्म नंबर के बीच एक सूक्ष्म अंतर है, जिस पर चर्चा की गई है। और #क्लोज्ड-फॉर्म नंबर। एक बंद-रूप या विश्लेषणात्मक समाधान को कभी-कभी स्पष्ट समाधान के रूप में जाना जाता है।

बंद-रूप वाले भावों में परिवर्तन
इजहार: $$f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{x}{2^n}$$ बंद रूप में नहीं है क्योंकि सारांश में अनंत संख्या में प्राथमिक संचालन शामिल होते हैं। हालाँकि, एक ज्यामितीय श्रृंखला का योग करके इस अभिव्यक्ति को बंद रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $$f(x) = 2x.$$

विभेदक गैलोज़ सिद्धांत
एक बंद-रूप अभिव्यक्ति का अभिन्न अंग स्वयं एक बंद-रूप अभिव्यक्ति के रूप में अभिव्यक्त हो भी सकता है और नहीं भी। बीजगणितीय गैलोज़ सिद्धांत के अनुरूप इस अध्ययन को विभेदक गैलोज़ सिद्धांत कहा जाता है।

डिफरेंशियल गैलोज़ सिद्धांत का मूल प्रमेय 1830 और 1840 के दशक में जोसेफ लिउविले के कारण है और इसलिए इसे लिउविले के प्रमेय (डिफरेंशियल अलजेब्रा) | लिउविले के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

एक प्राथमिक फ़ंक्शन का एक मानक उदाहरण जिसका एंटीडेरिवेटिव में बंद-फ़ॉर्म अभिव्यक्ति नहीं है: $$e^{-x^2},$$ जिसका एक प्रतिअवकलन (गुणात्मक स्थिरांक तक) त्रुटि फ़ंक्शन है: $$\operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{0}^x e^{-t^2} \, dt.$$

गणितीय मॉडलिंग और कंप्यूटर सिमुलेशन
बंद-रूप या विश्लेषणात्मक समाधानों के लिए बहुत जटिल समीकरणों या प्रणालियों का अक्सर गणितीय मॉडलिंग और कंप्यूटर सिमुलेशन द्वारा विश्लेषण किया जा सकता है।

बंद प्रपत्र संख्या
सम्मिश्र संख्याओं के तीन उपक्षेत्र $C$ को एक बंद-फ़ॉर्म संख्या की धारणा को एन्कोडिंग के रूप में सुझाया गया है; व्यापकता के बढ़ते क्रम में, ये लिउविलियन संख्याएं हैं (तर्कसंगत सन्निकटन के अर्थ में लिउविल संख्याओं के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए), ईएल संख्याएं और प्राथमिक संख्याएं। लिउविलियन संख्याएँ, निरूपित $L$, सबसे छोटा बीजगणितीय रूप से बंद उपक्षेत्र बनाएं $C$ घातांक और लघुगणक के तहत बंद (औपचारिक रूप से, ऐसे सभी उपक्षेत्रों का प्रतिच्छेदन) - अर्थात, संख्याएँ जिनमें स्पष्ट घातांक और लघुगणक शामिल होते हैं, लेकिन स्पष्ट और अंतर्निहित बहुपद (बहुपद की जड़ें) की अनुमति देते हैं; इसे इसमें परिभाषित किया गया है. $L$ को मूल रूप से प्रारंभिक संख्याओं के रूप में संदर्भित किया गया था, लेकिन अब इस शब्द का उपयोग बीजगणितीय संचालन, घातांक और लघुगणक के संदर्भ में स्पष्ट रूप से या अंतर्निहित रूप से परिभाषित संख्याओं को संदर्भित करने के लिए अधिक व्यापक रूप से किया जाता है। में एक संकीर्ण परिभाषा प्रस्तावित है, निरूपित $E$, और इसे ईएल संख्या के रूप में संदर्भित किया जाता है, यह सबसे छोटा उपक्षेत्र है $C$ घातांक और लघुगणक के तहत बंद - इसे बीजगणितीय रूप से बंद करने की आवश्यकता नहीं है, और यह स्पष्ट बीजगणितीय, घातीय और लघुगणकीय संचालन के अनुरूप है। ईएल का अर्थ घातीय-लघुगणक और प्राथमिक के संक्षिप्त रूप दोनों के लिए है।

क्या कोई संख्या एक बंद रूप वाली संख्या है, इसका संबंध इस बात से है कि क्या कोई संख्या पारलौकिक संख्या है। औपचारिक रूप से, लिउविलियन संख्याओं और प्राथमिक संख्याओं में बीजगणितीय संख्याएँ होती हैं, और उनमें कुछ नहीं बल्कि सभी पारलौकिक संख्याएँ शामिल होती हैं। इसके विपरीत, ईएल संख्याओं में सभी बीजगणितीय संख्याएँ शामिल नहीं होती हैं, लेकिन कुछ पारलौकिक संख्याएँ शामिल होती हैं। बंद-रूप संख्याओं का अध्ययन ट्रान्सेंडैंटल संख्या सिद्धांत के माध्यम से किया जा सकता है, जिसमें एक प्रमुख परिणाम गेलफोंड-श्नाइडर प्रमेय है, और एक प्रमुख खुला प्रश्न शैनुएल का अनुमान है।

संख्यात्मक गणना
संख्यात्मक गणना के प्रयोजनों के लिए, बंद रूप में होना सामान्य रूप से आवश्यक नहीं है, क्योंकि कई सीमाओं और अभिन्नों की गणना कुशलतापूर्वक की जा सकती है। कुछ समीकरणों का कोई बंद रूप समाधान नहीं होता है, जैसे कि वे जो तीन-निकाय समस्या या हॉजकिन-हक्सले मॉडल का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसलिए, इन प्रणालियों की भविष्य की स्थितियों की गणना संख्यात्मक रूप से की जानी चाहिए।

संख्यात्मक रूपों से रूपांतरण
ऐसा सॉफ़्टवेयर है जो RIES सहित संख्यात्मक मानों के लिए बंद-फ़ॉर्म अभिव्यक्ति खोजने का प्रयास करता है, identify मेपल में (सॉफ़्टवेयर) और सिम्पी, प्लॉफ़े का इन्वर्टर, और व्युत्क्रम प्रतीकात्मक कैलकुलेटर।

बाहरी संबंध

 * Closed-form continuous-time neural networks
 * Closed-form continuous-time neural networks