ट्रुथ टेबल

ट्रुथ टेबल एक गणितीय तालिका है जिसका उपयोग तर्क में किया जाता है - विशेष रूप से बूलियन बीजगणित(तर्क), बूलियन फलन और तर्कवाक्यिक कलन के संबंध में - जो उनके प्रत्येक कार्यात्मक तर्कों पर तार्किक अभिव्यक्ति(गणित) के कार्यात्मक मानों को निर्धारित करता है, अर्थात उनके द्वारा लिए गए मानों के प्रत्येक संयोजन के लिए मूल्यांकन(तर्क) चर। विशेष रूप से, ट्रुथ टेबल का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि क्या सभी वैध निविष्ट मानों के लिए तर्कवाक्यात्मक अभिव्यक्ति सत्य है, अर्थात वैधता(तर्क)।

ट्रुथ टेबल में प्रत्येक निविष्ट चर(उदाहरण के लिए, P और Q) के लिए एक स्तंभ होता है, और एक अंतिम स्तंभ तालिका द्वारा प्रस्तुत तार्किक संक्रिया के सभी संभावित परिणामों को दर्शाता है(उदाहरण के लिए, P XOR Q)। ट्रूथ टेबल की प्रत्येक पंक्ति में निविष्ट चरों का संभावित विन्यास होता है(उदाहरण के लिए, P=सत्य Q=असत्य), और उन मानों के लिए संक्रिया का परिणाम। अधिक स्पष्टीकरण के लिए नीचे दिए गए उदाहरण देखें। लुडविग विट्गेन्स्टाइन को सामान्यतः उनके ट्रैक्टेटस तर्क-दार्शनिक में ट्रुथ टेबल का आविष्कार करने और लोकप्रिय बनाने का श्रेय दिया जाता है, जो 1918 में पूर्ण हुआ और 1921 में प्रकाशित हुआ। इस रूप की प्रणाली को 1921 में एमिल लियोन पोस्ट द्वारा स्वतंत्र रूप से तर्कवाक्यित किया गया था। 1893 से चार्ल्स सैंडर्स पियर्स द्वारा अप्रकाशित हस्तलेखयों में ट्रुथ टेबल का पूर्व के पुनरावृति भी पाया गया है, जो दोनों प्रकाशनों को लगभग 30 वर्षों से प्राचीन कर रहा है।

एकल संक्रियाएँ
4 एकल संक्रिया हैं:
 * अटल सत्य
 * कभी सत्य नहीं, एकल असत्य
 * एकात्मक तत्समक
 * एकात्मक निषेध

तार्किक सत्य
p के निविष्ट मान पर ध्यान दिए बिना निर्गत मान सदैव सत्य होता है

तार्किक असत्य
निर्गत मान कभी भी सत्य नहीं होता है: p के निविष्ट मान के अतिरिक्त, सदैव असत्य होता है

तार्किक तत्समक
तत्समक फलन एक तार्किक मान p पर एक तार्किक संक्रिया है, जिसके लिए निर्गत मान p रहता है।

तार्किक तत्समक संक्रियक के लिए ट्रुथ टेबल इस प्रकार है:

तार्किक निषेध
तार्किक निषेध तार्किक मान पर एक तार्किक संक्रिया है, सामान्यतः एक तर्कवाक्य का मान, जो सत्य का मान उत्पन्न करता है यदि उसका संकार्य असत्य है और असत्य का मान यदि उसका संकार्य सत्य है।

NOT p(¬p, Np, Fpq, या ~p के रूप में भी लिखा जाता है) के लिए ट्रुथ टेबल इस प्रकार है:

द्विआधारी संक्रियाएँ
दो द्विआधारी चर के 16 संभावित सत्य कार्य हैं:

सभी द्विआधारी तार्किक संक्रियकों के लिए ट्रुथ टेबल
यहाँ दो बूलियन चर P और Q के सभी सोलह संभावित सत्य कार्यों की परिभाषाएँ देने वाली एक विस्तारित ट्रुथ टेबल है:

जहाँ


 * T= सत्य।
 * F= असत्य।
 * मूर्धांक 0 से 15 वह संख्या है जो चार सत्य मानों F = 0 और T = 1 के साथ द्विआधारी संख्या के रूप में पढ़ने से उत्पन्न होती है।
 * Com पंक्ति इंगित करती है कि क्या एक संक्रियक, op, क्रमविनिमेय गुण है -P op Q = Q op P।
 * Assoc पंक्ति इंगित करती है कि क्या एक संक्रियक, op, साहचर्य गुण है -(P op Q) op R = P op(Q op R).
 * Adj पंक्ति संक्रियक op2 को इस प्रकार दर्शाती है कि P op Q = Q op2 P
 * Neg पंक्ति संक्रियक op2 को ऐसे दिखाती है कि P op Q = ¬(P op2 Q)
 * Dual पंक्ति T को F, और AND को OR से बदलने पर प्राप्त किए गए द्वैत सिद्धांत(बूलियन बीजगणित) को दर्शाती है।
 * L id पंक्ति संक्रियक की बाईं तत्समक दिखाती है यदि इसमें कोई - मान I है जैसे कि I op Q = Q।
 * R id पंक्ति संक्रियक की सत्य तत्समक दिखाती है यदि इसमें कोई - मान I है जैसे कि P op I = P।

p, q के लिए निविष्ट मानों के चार संयोजन उपरोक्त तालिका से पंक्ति द्वारा पढ़े जाते हैं। प्रत्येक p, q संयोजन के लिए निर्गत फलन को तालिका से, पंक्ति द्वारा पढ़ा जा सकता है।

कुंजी:
निम्न तालिका पंक्ति के अतिरिक्त स्तंभ द्वारा उन्मुख है। निविष्ट के रूप में p, q के चार संयोजनों को प्रदर्शित करने के लिए चार पंक्तियों के अतिरिक्त चार स्तंभ हैं।

p: T T F F q: T F T F

इस कुंजी में 16 पंक्तियाँ हैं, दो द्विआधारी चर, p, q के प्रत्येक द्विआधारी फलन के लिए एक पंक्ति। उदाहरण के लिए, इस कुंजी की पंक्ति 2 में, विलोम गैर-निम्नलिखित का मान('$$\nleftarrow$$') अद्वितीय संयोजन p=F, q=T द्वारा दर्शाए गए स्तंभ के लिए मात्र T है; जबकि पंक्ति 2 में, उस का मान '$$\nleftarrow$$p, q के तीन शेष स्तंभों के लिए संक्रिया F है। $$\nleftarrow$$ के लिए निर्गत पंक्ति इस प्रकार है

2: F F T F

और 16-पंक्ति कुंजी है तार्किक संचालकों को वेन आरेख अवलोकन का उपयोग करके भी देखा जा सकता है।

तार्किक संयोजन(AND)
तार्किक संयुग्मन दो तार्किक मानों पर एक तार्किक संक्रिया है, सामान्यतः दो तर्कवाक्यों के मान, जो कि कम से कम एक संकार्य सत्य होने पर सत्य का मान उत्पन्न करते हैं।

p OR q(जिसे p ∨ q, Apq, p || q, या p + q) के रूप में भी लिखा जाता है) के लिए सत्य सारणी इस प्रकार है:



सामान्य भाषा में, यदि p और q दोनों सत्य हैं, तो संयोजन p ∧ q सत्य है। p और q के तार्किक मानों के अन्य सभी समनुदेश के लिए संयोजन p∧ q असत्य है।

यह भी कहा जा सकता है कि यदि p, तो p∧q, q है, अन्यथा p∧q, p है।

तार्किक वियोजन(OR)
तार्किक विच्छेदन दो तार्किक मानों पर एक तार्किक संक्रिया है, सामान्यतः दो तर्कवाक्यों के मान, जो कि कम से कम एक संकार्य सत्य होने पर सत्य का मान उत्पन्न करता है।

p OR q(जिसे p ∨ q, Apq, p || q, या p + q के रूप में भी लिखा जाता है) के लिए ट्रुथ टेबल इस प्रकार है:

अंग्रेजी में कहा गया है, यदि p, तो p ∨ q, p है, अन्यथा p ∨ q, q है।

तार्किक निहितार्थ
तार्किक निहितार्थ और सामाग्र प्रतिबंधात्मक दोनों दो तार्किक मानों पर एक तार्किक संक्रिया से जुड़े होते हैं, सामान्यतः दो तर्कवाक्यों के मान, जो कि प्रथम संकार्य सत्य है और दूसरा संकार्य असत्य है, और अन्यथा सत्य का मान उत्पन्न करता है।.

तार्किक निहितार्थ 'p,से जुड़ी ट्रुथ टेबल का तात्पर्य है('p ⇒ q के रूप में चिन्हित, या संभवतः ही कभी 'Cpq ') इस प्रकार है:

सामाग्र प्रतिबंधात्मक से जुड़ी ट्रुथ टेबल यदि p तो q(p → q के रूप में प्रतीक) इस प्रकार है:

यह टिप्पणी करना भी उपयोगी हो सकता है कि p ⇒ q और p → q ¬p ∨ q के समतुल्य हैं।

तार्किक समानता
तार्किक समानता(जिसे द्विप्रतिबंधात्मक या अनन्य और nor के रूप में भी जाना जाता है) दो तार्किक मानों पर एक तार्किक संक्रिया है, सामान्यतः दो तर्कवाक्यों के मान, जो कि दोनों संकार्य असत्य है या दोनों संकार्य सत्य हैं, तो सत्य का मान उत्पन्न करता है।

p XNOR q(जिसे p ↔ q, Epq, p = q, or p ≡ q 'के रूप में भी लिखा जाता है) के लिए ट्रुथ टेबल इस प्रकार है:

अतः p EQ q सत्य है यदि p और q का सत्य मान समान है(दोनों सत्य या दोनों असत्य), और असत्य यदि उनके भिन्न सत्य मान हैं।

अनन्य वियोजन
अनन्य वियोजन दो तार्किक मानों पर एक तार्किक संक्रिया है, सामान्यतः दो तर्कवाक्यों के मान, जो सत्य का मान उत्पन्न करता है यदि एक नहीं प्रत्युत इसके दोनों संकार्य सत्य हैं

p XOR q(जिसे Jpq, या p ⊕ q के रूप में भी लिखा जाता है) के लिए ट्रुथ टेबल इस प्रकार है:

दो कथनों के लिए, XOR को(p ∧ ¬q) ∨(¬p ∧ q) के रूप में भी लिखा जा सकता है।

तार्किक NAND
तार्किक NAND दो तार्किक मानों पर एक तार्किक संक्रिया है, सामान्यतः दो तर्कवाक्यों के मान, जो असत्य का मान उत्पन्न करता है यदि इसके दोनो संकार्या सत्य हैं। दूसरे शब्दों में, यदि इसका कम से कम एक संकार्यं असत्य है तो यह सत्य का मान उत्पन्न करता है।

p NAND q(p ↑ q, Dpq, या p | q के रूप में भी लिखा गया है) के लिए ट्रुथ टेबल इस प्रकार है:

किसी तार्किक संक्रिया को यौगिक संक्रिया के रूप में अभिव्यक्त करना प्रायः उपयोगी होता है, अर्थात, एक ऐसी संक्रिया के रूप में जो अन्य संक्रियाओं से निर्मित या संघटित होती है। ऐसी कई रचनाएँ संभव हैं, जो उन संक्रियाओं पर निर्भर करती हैं जिन्हें मूल या प्राथमिक के रूप में लिया जाता है और उन संक्रियाओं को जिन्हें समग्र या व्युत्पन्न के रूप में लिया जाता है।

तार्किक NAND के स्थिति में, यह NOT और AND के यौगिक के रूप में स्पष्ट रूप से अभिव्यक्त होता है।

संयोजन का निषेध: ¬(p ∧ q), और निषेध का संयोजन:(¬p) ∨(¬q) को निम्नानुसार सारणीबद्ध किया जा सकता है:

तार्किक NOR
तार्किक NOR दो तार्किक मानों पर एक तार्किक संक्रिया है, सामान्यतः दो तर्कवाक्यों के मान, जो सत्य का मान उत्पन्न करता है यदि इसके दोनों संकार्यं असत्य है। दूसरे शब्दों में, यदि इसका कम से कम एक संकार्यक सत्य है, तो यह असत्य का मान उत्पन्न करता है। ↓ को इसके आविष्कारक, चार्ल्स सैंडर्स पियर्स के बाद पियर्स तीर के रूप में भी जाना जाता है, और यह एकमात्र पर्याप्त संक्रियक है।

p NOR q( 'p ↓ q', या  'Xpq' के रूप में भी लिखा जाता है) के लिए ट्रुथ टेबल इस प्रकार है:

वियोजन ¬(p ∨ q), और निषेधों के संयोजन(¬p) ∧(¬q) का निषेध निम्नानुसार सारणीबद्ध किया जा सकता है:

कार्यात्मक तर्क p और q के लिए तार्किक मानों के प्रत्येक समनुदेश के अंतर्गत NAND और NOR के लिए सारणीबद्ध व्युत्पत्तियों का निरीक्षण, ¬(p ∧ q) के लिए कार्यात्मक मानों के समान प्रतिरूप का उत्पादन करता है जैसा कि(¬p) ∨(¬q) के लिए होता है। और ¬(p ∨ q) के लिए(¬p) ∧(¬q) के लिए। इस प्रकार प्रत्येक युग्म में पहली और दूसरी अभिव्यक्तियाँ तार्किक रूप से समतुल्य हैं, और सभी संदर्भों में एक दूसरे के लिए प्रतिस्थापित की जा सकती हैं जो मात्र उनके तार्किक मानों से संबंधित हैं।

यह तुल्यता डी मॉर्गन के नियमों में से एक है।

ट्रुथ टेबल का आकार
यदि n निविष्ट चर हैं तो उनके सत्य मानों के 2n संभावित संयोजन हैं। एक दिया गया फलन प्रत्येक संयोजन के लिए सत्य या असत्य उत्पन्न कर सकता है इसलिए n चर के विभिन्न कार्यों की संख्या दोहरा घातांक फलन 22 n है।

तीन या अधिक चरों के फलनों के लिए सत्य सारणी कदाचित ही दी जाती है।

अनुप्रयोग
कई अन्य तार्किक तुल्यताओं को सिद्ध करने के लिए ट्रुथ टेबल का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित ट्रुथ टेबल पर विचार करें:

यह इस तथ्य को प्रदर्शित करता है कि $$p \Rightarrow q$$ तार्किक रूप से $$\lnot p \lor q$$ समतुल्य है।

सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले तार्किक संक्रियकों के लिए ट्रुथ टेबल
यहाँ एक ट्रुथ टेबल है जो ट्रैक्टैटस तर्क-दार्शनिक तर्कवाक्य 4.*-5.* में से सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले 7 की परिभाषा देती है:

द्विआधारी संक्रियकों के लिए संघनित सत्य सारणी
द्विआधारी संक्रियकों के लिए, ट्रुथ टेबल का एक संघनित रूप भी उपयोग किया जाता है, जहां पंक्ति शीर्षक और स्तंभ शीर्षक संकार्य निर्दिष्ट करते हैं और तालिका कक्ष परिणाम निर्दिष्ट करते हैं। उदाहरण के लिए, बूलियन तर्क इस संघनित ट्रुथ टेबल संकेतन का उपयोग करता है:

यह अंकन विशेष रूप से उपयोगी है यदि संक्रिया क्रमविनिमेय हैं, यद्यपि कोई अतिरिक्त रूप से यह निर्दिष्ट कर सकता है कि पंक्तियाँ प्रथम संकार्य हैं और स्तंभ दूसरे संकार्य हैं। यह संघनित संकेतन तर्क के बहु-मूल्यवान विस्तारों पर चर्चा करने में विशेष रूप से उपयोगी है, क्योंकि यह अन्यथा आवश्यक पंक्तियों की संख्या के संयोजी विस्फोट पर महत्वपूर्ण रूप से कटौती करता है। यह तालिका में मानों के वितरण के त्वरित तत्समक योग्य विशेषता आकार भी प्रदान करता है जो पाठक को नियमों को और अधिक तीव्र से समझने में सहायता कर सकता है।

डिजिटल तर्क में सत्य सारणी
डिजिटल परिपथ में हार्डवेयर लुक-अप टेबल(LUT) के कार्य को निर्दिष्ट करने के लिए ट्रूथ टेबल का भी उपयोग किया जाता है। एन- निविष्ट एलयूटी के लिए, ट्रुथ टेबल में 2^n मान(या उपरोक्त सारणीबद्ध प्रारूप में पंक्तियां) होंगे, जो पूर्ण रूप से एलयूटी के लिए एक बूलियन फलन निर्दिष्ट करते हैं। द्विआधारी अंक प्रणाली में प्रत्येक बूलियन मान को अंश के रूप में प्रदर्शित करके, ट्रुथ टेबल मानों को इलेक्ट्रॉनिक डिजाइन स्वचालन(EDA) सॉफ़्टवेयर में पूर्णांक मानों के रूप में कुशलतापूर्वक कोडित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक 32-बिट पूर्णांक 5 निविष्ट तक एलयूटी के लिए ट्रुथ टेबल को सांकेतिक शब्दों में बदल सकता है।

एक ट्रुथ टेबल के पूर्णांक प्रतिनिधित्व का उपयोग करते समय, एलयूटी का निर्गत मान एलयूटी के निविष्ट मानों के आधार पर बिट निर्देशिका k की गणना करके प्राप्त किया जा सकता है, जिस स्थिति में एलयूटी का निर्गत मान पूर्णांक का kवां बिट होता है। उदाहरण के लिए, n बूलियन निविष्ट मानों की सरणी डेटा संरचना दिए गए एलयूटी के निर्गत मान का मूल्यांकन करने के लिए, ट्रुथ टेबल के निर्गत मान के बिट निर्देशिका की गणना निम्नानुसार की जा सकती है: यदि iवां निविष्ट सत्य है, तो $$V_i = 1$$ दें, अन्यथा $$V_i = 0$$ दें। फिर ट्रुथ टेबल के द्विआधारी प्रतिनिधित्व का kवां बिट एलयूटी का निर्गत मान है, जहाँ $$k = V_0 \times 2^0 + V_1 \times 2^1 + V_2 \times 2^2 + \dots + V_n \times 2^n$$ है।

ट्रुथ टेबल बूलियन फलनों को कोडित करने का एक सरल और सीधी विधि है, यद्यपि निविष्ट की संख्या में वृद्धि के रूप में आकार में घातीय वृद्धि को देखते हुए, वे बड़ी संख्या में निविष्ट वाले फलनों के लिए उपयुक्त नहीं हैं। अन्य अभ्यावेदन जो अधिक मेमोरी कुशल हैं, पाठ समीकरण और द्विआधारी निर्णय आरेख हैं।

डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स में ट्रूथ टेबल के अनुप्रयोग
डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स और कंप्यूटर विज्ञान(प्रयुक्त तर्क अभियांत्रिकी और गणित के क्षेत्र) में, तर्क गेट्स या कोड के उपयोग के बिना, निर्गत के निविष्ट के सरल सहसंबंधों के लिए मूलभूत बूलियन संक्रिया को कम करने के लिए ट्रुथ टेबल का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक द्विआधारी योग को ट्रुथ टेबल के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है:

A B | C R

1 1 | 1 0

1 0 | 0 1

0 1 | 0 1

0 0 | 0 0

जहाँ

A= प्रथम संकार्य

B = दूसरा संकार्य

C= वहन

R= परिणाम

यह ट्रुथ टेबल बाएं से दाएं पढ़ी जाती है:
 * मान युग्म(A, B) मान युग्म(C, R) के बराबर है।
 * या इस उदाहरण के लिए, A+B समान परिणाम R, वहन C के साथ।

ध्यान दें कि यह तालिका इस संक्रिया को लागू करने के लिए आवश्यक तर्क संक्रियाएँ का वर्णन नहीं करती है, प्रत्युत यह मात्र निर्गत मानों के निविष्ट के कार्य को निर्दिष्ट करती है।

परिणाम के संबंध में, इस उदाहरण को अंकगणितीय रूप से सापेक्ष 2 द्विआधारी योग के रूप में देखा जा सकता है, और तार्किक रूप से अनन्य-या(अनन्य संयोजन) द्विआधारी तर्क संक्रिया के बराबर है।

इस स्थिति में इसका उपयोग मात्र बहुत ही सरल निविष्ट और निर्गत के लिए किया जा सकता है, जैसे 1s और 0s। यद्यपि, यदि निविष्ट् पर किसी प्रकार के मानों की संख्या बढ़ सकती है, तो ट्रुथ टेबल का आकार बढ़ जाएगा।

उदाहरण के लिए, एक अतिरिक्त संक्रिया में, किसी को दो संकार्य, A और B की आवश्यकता होती है। प्रत्येक में दो मानों में से एक हो सकता है, शून्य या एक। इन दो मानों के संयोजनों की संख्या 2×2 या चार है। तो परिणाम C और R के चार संभावित निर्गत हैं। यदि कोई आधार 3 का उपयोग करता है, तो आकार 3×3, या नौ संभावित निर्गत तक बढ़ जाएगा।

उपरोक्त पूर्व योग उदाहरण को आधा योजक कहा जाता है। एक पूर्ण-योजक तब होता है जब पिछले संक्रिया से अगले योजक को निविष्ट के रूप में प्रदान किया जाता है। इस प्रकार, एक पूर्ण योजक के तर्क का वर्णन करने के लिए आठ पंक्तियों की एक ट्रुथ टेबल की आवश्यकता होगी:

A B C* | C R

0 0 0 | 0 0

0 1 0 | 0 1

1 0 0 | 0 1

1 1 0 | 1 0

0 0 1 | 0 1

0 1 1 | 1 0

1 0 1 | 1 0

1 1 1 | 1 1

पूर्व जैसा ही, परन्तु..

C* = पिछले योजक से वहन करें

इतिहास
इरविंग एनेलिस के शोध से पता चलता है कि सी.एस. पियर्स एक ट्रुथ टेबल आव्यूह आविष्कार करने के लिए(1893 में) सबसे प्रारंभिक तर्कशास्त्री प्रतीत होते हैं। उनके पृष्ठ के सारांश से: 1997 में, जॉन शॉस्की ने बर्ट्रेंड रसेल के 1912 के लेक्चर ऑफ़ द फिलॉसफी ऑफ़ तर्कल एटमिज़्म ट्रूथ टेबल आव्यूह के लिखे गए प्रतिलेख के एक पृष्ठ के शीर्ष पर खोजा। निषेध का आव्यूह रसेल का है, जिसके साथ-साथ लुडविग विट्गेन्स्टाइन के हाथ में भौतिक निहितार्थ के लिए आव्यूह है। यह दिखाया गया है कि 1893 में पियर्स द्वारा रचित एक अप्रकाशित हस्तलेख में एक ट्रुथ टेबल आव्यूह सम्मिलित है जो जॉन शोस्की द्वारा खोजे गए भौतिक निहितार्थ के आव्यूह के बराबर है। पीयरस द्वारा एक अप्रकाशित हस्तलेख की तत्समक 1883-84 में पीयरस ऑन ​​द एलजेब्रा ऑफ तर्क: ए कंट्रीब्यूशन टू द फिलॉसफी ऑफ नोटेशन की रचना के संबंध में की गई थी, जो 1885 में अमेरिकन जर्नल ऑफ मैथमेटिक्स में छपी थी, जिसमें अप्रत्यक्ष का एक उदाहरण सम्मिलित है।

यह भी देखें

 * बूलियन कार्यक्षेत्र
 * बूलियन-मूल्यवान फलन
 * प्रकाशन
 * उत्तेजना तालिका
 * पहले क्रम का तर्क
 * कार्यात्मक पूर्णता
 * कर्णघ प्रतिचित्र
 * तर्क गेट
 * तार्किक संयोजक
 * तार्किक ग्राफ
 * विश्लेषणात्मक तालिका की विधि
 * प्रस्तावक कलन
 * सत्य फलन

बाहरी संबंध

 * Truth Tables, Tautologies, and तार्किक समतुल्यता
 * Converting truth tables into Boolean expressions
 * Converting truth tables into Boolean expressions
 * Converting truth tables into Boolean expressions