अलघुकरणीय बहुपद

गणित में, एक अलघुकरणीय बहुपद मोटे तौर पर एक ऐसा बहुपद है जिसे दो गैर-निरंतर बहुपदों के गुणनफल में सम्मिलित नहीं किया जा सकता है। अलघुकरणीयता का गुण उन गुणांकों की प्रकृति पर निर्भर करता है जो संभावित कारकों के लिए स्वीकार किए जाते हैं, यानी वह क्षेत्र जिससे बहुपद के गुणांक और इसके संभावित कारक संबंधित होने चाहिए। उदाहरण के लिए, बहुपद $x^{2} − 2$ पूर्णांक गुणांकों वाला एक बहुपद है, लेकिन चूंकि प्रत्येक पूर्णांक भी एक वास्तविक संख्या है, इसलिए यह वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद भी है। यदि इसे पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के रूप में माना जाता है, तो यह अलघुकरणीय है, लेकिन यह $$\left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right)$$ कारक के रूप में यदि इसे वास्तविक गुणांक वाले बहुपद के रूप में माना जाता है। एक का कहना है कि बहुपद $x^{2} − 2$ पूर्णांकों पर अलघुकरणीय है लेकिन वास्तविक पर नहीं।

एक अभिन्न क्षेत्र में गुणांक वाले बहुपदों के लिए बहुपद अलघुकरणीयता पर विचार किया जा सकता है, और दो सामान्य परिभाषाएं हैं। सबसे अधिक बार, एक अभिन्न क्षेत्र $R$ पर एक बहुपद को अलघुकरणीय कहा जाता है यदि यह दो बहुपदों का गुणनफल नहीं है, जिनके गुणांक $R$ में हैं, और $R$, में इकाई नहीं हैं। समान रूप से, इस परिभाषा के लिए, एक अलघुकरणीय बहुपद $R$ पर बहुपदों के छल्लों में एक अलघुकरणीय तत्व है। यदि $R$ एक क्षेत्र है, तो अलघुकरणीयता की दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं। दूसरी परिभाषा के लिए, एक बहुपद अलघुकरणीय है यदि इसे एक ही क्षेत्र में गुणांक वाले बहुपदों में सम्मिलित नहीं किया जा सकता है, जिसमें दोनों की सकारात्मक डिग्री है। समतुल्य रूप से, एक बहुपद अलघुकरणीय है यदि यह अभिन्न क्षेत्र के अंशों के क्षेत्र में अलघुकरणीय है। उदाहरण के लिए, बहुपद $$2(x^2-2)\in \Z[x]$$ दूसरी परिभाषा के लिए अलघुकरणीय है, न कि पहली परिभाषा के लिए। दूसरी ओर, $$x^2-2$$  $$\Z[x]$$ में अलघुकरणीय है दो परिभाषाओं के लिए, जबकि यह $$\R[x]$$ में लघुकरणीय है।

एक बहुपद जो कि गुणांक वाले किसी भी क्षेत्र पर अलघुकरणीय है, वह बिल्कुल अलघुकरणीय है। बीजगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, एक अविभाजित बहुपद पूरी तरह से अलघुकरणीय है और केवल यदि इसकी डिग्री एक है। दूसरी ओर, कई अनिश्चित के साथ, किसी भी डिग्री के पूरी तरह से अलघुकरणीय बहुपद होते हैं, जैसे कि $$x^2 + y^n - 1,$$ किसी भी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए।

एक बहुपद जो अलघुकरणीय नहीं होता है उसे कभी-कभी एक लघुकरणीय बहुपद कहा जाता है।

बहुपद गुणनखंडन और बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार के अध्ययन में अलघुकरणीय बहुपद स्वाभाविक रूप से प्रकट होते हैं।

अभाज्य बहुपदों की अभाज्य संख्याओं से तुलना करना सहायक होता है- अभाज्य संख्याएँ (समान परिमाण की संबंधित ऋणात्मक संख्याओं के साथ) अलघुकरणीय पूर्णांक हैं। वे "अलघुकरणीयता" की अवधारणा के कई सामान्य गुणों को प्रदर्शित करते हैं जो समान रूप से अलघुकरणीय बहुपदों पर लागू होते हैं, जैसे कि अभाज्य या अलघुकरणीय कारकों में अनिवार्य रूप से अद्वितीय गुणनखंडन। जब गुणांक वलय एक क्षेत्र या अन्यअद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र होता है, तो एक अलघुकरणीय बहुपद को एक अभाज्य बहुपद भी कहा जाता है, क्योंकि यह एक प्रमुख आदर्श उत्पन्न करता है।

परिभाषा
यदि F एक क्षेत्र है, तो एक गैर-निरंतर बहुपद F पर अप्रासंगिक है यदि इसके गुणांक F से संबंधित हैं और इसे F में गुणांक वाले दो गैर-निरंतर बहुपदों के गुणनफल में सम्मिलित नहीं किया जा सकता है।

पूर्णांक गुणांक वाले एक बहुपद, या, अधिक प्रायः, एक अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र R में गुणांक के साथ, कभी-कभी अलघुकरणीय (या R पर अलघुकरणीय) कहा जाता है यदि यह बहुपद रिंग का एक अलघुकरणीय तत्व है, अर्थात यह उल्टा नहीं, शून्य नहीं है, और R में गुणांक वाले दो गैर-व्युत्क्रम योग्य बहुपदों के गुणनफल में कारक नहीं हो सकते। यह परिभाषा एक क्षेत्र में गुणांक की स्थिति के लिए दी गई परिभाषा को सामान्यीकृत करती है, क्योंकि, एक क्षेत्र के ऊपर, गैर-निरंतर बहुपद वास्तव में बहुपद हैं जो गैर-व्युत्क्रम और गैर-शून्य हैं।

एक अन्य परिभाषा का प्रायः उपयोग किया जाता है, जिसमें कहा गया है कि एक बहुपद R पर अलघुकरणीय है यदि यह R के अंशों के क्षेत्र (परिमेय संख्याओं का क्षेत्र, यदि R पूर्णांक है) पर अलघुकरणीय है। इस लेख में इस दूसरी परिभाषा का प्रयोग नहीं किया गया है।

कारक की प्रकृति
एक कारक के लिए एक स्पष्ट बीजगणितीय अभिव्यक्ति की अनुपस्थिति का मतलब यह नहीं है कि एक बहुपद अलघुकरणीय है। जब एक बहुपद को गुणनखंडों में कम किया जा सकता है, तो ये गुणनखंड स्पष्ट बीजगणितीय व्यंजक या अंतर्निहित व्यंजक हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, $$x^2 + 2$$ को सम्मिश्र संख्याओं पर $$\left(x - \sqrt{2}i\right)\left(x + \sqrt{2}i\right)$$ के रूप में स्पष्ट रूप से विभाजित किया जा सकता है। हालांकि, एबेल-रफिनी प्रमेय में कहा गया है कि 4 से अधिक किसी भी डिग्री के बहुपद हैं जिनके लिए जटिल कारक मौजूद हैं जिनकी कोई स्पष्ट बीजगणितीय अभिव्यक्ति नहीं है। इस तरह के कारक को सरल रूप में लिखा जा सकता है, जैसे, $$\left(x - x_1\right),$$ जहां $$x_1$$ को समीकरण के एक विशेष समाधान के रूप में स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है जो बहुपद को 0 के बराबर निर्धारित करता है। इसके अलावा, किसी भी प्रकार के कारकों को मूलनिर्धारण एल्गोरिदम (कलन विधि ) द्वारा प्राप्त संख्यात्मक सन्निकटन के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए उदाहरण के लिए $$\left(x - 1.2837\ldots\right)$$।

सरल उदाहरण
निम्नलिखित छह बहुपद कम करने योग्य और अलघुकरणीय बहुपदों के कुछ प्रारंभिक गुणों को प्रदर्शित करते हैं।


 * $$\begin{align}

p_1(x) &= x^2 + 4x + 4\, = {(x + 2)^2}\\ p_2(x) &= x^2 - 4\, = {(x - 2)(x + 2)}\\ p_3(x) &= 9x^2 - 3\, = 3\left(3x^2 - 1\right)\, = 3\left(x\sqrt{3} - 1\right)\left(x\sqrt{3} + 1\right)\\ p_4(x) &= x^2 - \frac{4}{9}\, = \left(x - \frac{2}{3}\right)\left(x + \frac{2}{3}\right)\\ p_5(x) &= x^2 - 2\, = \left(x - \sqrt{2}\right)\left(x + \sqrt{2}\right)\\ p_6(x) &= x^2 + 1\, = {(x - i)(x + i)} \end{align}$$ पूर्णांकों पर, पहले तीन बहुपद लघुकरणीय है (तीसरा एक लघुकरणीय है क्योंकि कारक 3 पूर्णांकों में व्युत्क्रमणीय नहीं है) अंतिम दो अलघुकरणीय हैं। (चौथा, निश्चित रूप से, पूर्णांकों पर बहुपद नहीं है।)

परिमेय संख्याओं पर, पहले दो और चौथे बहुपद लघुकरणीय है, लेकिन अन्य तीन बहुपद अलघुकरणीय है (परिमेय पर एक बहुपद के रूप में, 3 एक इकाई है, और इसलिए, एक कारक के रूप में नहीं गिना जाता है)।

वास्तविक संख्याओं के ऊपर, पहले पांच बहुपद लघुकरणीय है, लेकिन $$p_6(x)$$अलघुकरणीय है।

सम्मिश्र संख्याओं पर, सभी छह बहुपद लघुकरणीय है।

जटिल संख्याओं पर
जटिल क्षेत्र पर, और प्रायः, एक बीजगणितीय रूप से सीमित क्षेत्र पर, एक अविभाजित बहुपद अलघुकरणीय है और केवल यदि इसकी डिग्री एक है। इस तथ्य को जटिल संख्याओं की स्थिति में बीजगणित के मौलिक प्रमेय के रूप में जाना जाता है और सामान्य रूप से बीजगणितीय रूप से सीमित होने की स्थिति के रूप में जाना जाता है।

यह इस प्रकार है कि प्रत्येक गैर-निरंतर अविभाज्य बहुपद के रूप में कारक हो सकते हैं।
 * $$a\left(x - z_1\right) \cdots \left(x - z_n\right)$$

जहाँ $$n$$ डिग्री है, $$a$$ अग्रणी गुणांक है और $$z_1, \dots, z_n$$ बहुपद के शून्य हैं (जरूरी नहीं कि अलग हों, और जरूरी नहीं कि स्पष्ट बीजगणितीय अभिव्यक्तियां हों)।

सम्मिश्र संख्याओं पर प्रत्येक डिग्री के अलघुकरणीय बहुभिन्नरूपी बहुपद हैं। उदाहरण के लिए बहुपद हैं
 * $$x^n + y^n - 1,$$
 * जो फर्मेट वक्र को परिभाषित करता है, प्रत्येक सकारात्मक n के लिए अलघुकरणीय है।

वास्तविक से अधिक
वास्तविकताओं के क्षेत्र में, एक अलघुकरणीय अविभाजित बहुपद की डिग्री या तो एक या दो है। अधिक सटीक रूप से, अलघुकरणीय बहुपद एक डिग्री के बहुपद और द्विघात बहुपद $$ax^2 + bx + c$$ हैं जिसका एक ऋणात्मक विविक्तक $$b^2 - 4ac$$ है। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक गैर-निरंतर अविभाज्य बहुपद को अधिकतम दो डिग्री के बहुपदों के गुणनफल के रूप में कारक बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $$x^4 + 1$$ वास्तविक संख्याओं को $$\left(x^2 + \sqrt{2}x + 1\right)\left(x^2 - \sqrt{2}x + 1\right),$$ के रूप में कारक बनाता है। और इसे आगे कारक नहीं बनाया जा सकता है, क्योंकि दोनों कारकों में एक ऋणात्मक विविक्तक है। $$\left(\pm\sqrt{2}\right)^2 - 4 = -2 < 0$$

अद्वितीय गुणनखंडन गुण
एक क्षेत्र $F$ पर प्रत्येक बहुपद को एक गैर-शून्य स्थिरांक और अलघुकरणीय ($F$ से अधिक) बहुपदों की एक परिमित संख्या के गुणनफल में कारक बनाया जा सकता है। यह अलघुकरणीय कारकों के क्रम और गैर-शून्य स्थिरांक वाले कारकों के गुणन तक अद्वितीय है जिसका गुणनफल 1 है।

एक अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र पर वही प्रमेय सही है, लेकिन साधारण बहुपद की धारणा का उपयोग करके अधिक सटीक रूप से तैयार किया गया है। एक साधारण बहुपद एक अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र पर एक बहुपद है, जैसे कि 1 इसके गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है।

$F$ को एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र होने दें। $F$ पर एक गैर-स्थिर अलघुकरणीय बहुपद साधारण है। और केवल यदि यह $F$ के अंशों के क्षेत्र में अलघुकरणीय है। $F$ पर प्रत्येक बहुपद को एक गैर-शून्य स्थिरांक और गैर-निरंतर अलघुकरणीय साधारण बहुपद की एक परिमित संख्या के गुणनफल में विघटित किया जा सकता है। गैर-शून्य स्थिरांक स्वयं $F$ की एक इकाई के गुणनफल और $F$ के अलघुकरणीय तत्वों की एक परिमित संख्या में विघटित हो सकता है। दोनों गुणनखंड कारकों के क्रम और $F$ की एक इकाई द्वारा कारकों के गुणन तक अद्वितीय हैं।

यह वह प्रमेय है जो प्रेरित करता है कि एक अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र पर अलघुकरणीय बहुपद की परिभाषा प्रायः यह मानती है कि बहुपद गैर-निरंतर है।

सभी कलन विधि जो वर्तमान में पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं पर बहुपदों के गुणनखंडन के लिए कार्यान्वित किए जाते हैं, इस परिणाम का उपयोग करते हैं (बहुपदों का गुणनखंडन देखें)।

पूर्णांकों और परिमित क्षेत्रों पर
पूर्णांकों $$\mathbb{Z}$$ पर एक बहुपद की अलघुकरणीयता का संबंध $$p$$ तत्व (अभाज्य $$p$$ के लिए ) के क्षेत्र $$\mathbb{F}_p$$से है विशेष रूप से, यदि $$\mathbb{Z}$$ पर एक अविभाज्य बहुपद $f$, $$\mathbb{F}_p$$ पर अलघुकरणीय है कुछ अभाज्य $$p$$ के लिए जो $f$ के प्रमुख गुणांक (चर की उच्चतम शक्ति का गुणांक) को विभाजित नहीं करता है, तो $$\mathbb{\Q}$$ (अर्थात, यह पूर्णांक गुणांक वाले दो गैर-निरंतर बहुपदों का गुणनफल नहीं है) पर अलघुकरणीय है। आइनस्टीन का मानदंड इस गुण का प्रकार है जहां $$p^2$$पर अलघुकरणीयता भी सम्मिलित है।

हालांकि, व्युत्क्रम सच नहीं है- मनमाने ढंग से बड़ी डिग्री के बहुपद हैं जो पूर्णांकों पर अलघुकरणीय हैं और प्रत्येक परिमित क्षेत्र पर लघुकरणीय हैं। ऐसे बहुपद का एक सरल उदाहरण $$x^4 + 1$$ है।

पूर्णांकों पर अलघुकरणीयता और अलघुकरणीयता सापेक्षों p के बीच संबंध पिछले परिणाम की तुलना में गहन है- आज तक, पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं पर गुणनखंडन और अलघुकरणीयता के लिए सभी कार्यान्वित एल्गोरिदम एक उपनित्यक्रम के रूप में परिमित क्षेत्रों पर गुणनखंड का उपयोग करते हैं।

एक क्षेत्र $$\mathbb{F}_q$$पर डिग्री की संख्या $n$ अलघुकरणीय मोनिक बहुपद, $q$ के लिए एक अभाज्य शक्ति द्वारा दी गई है।
 * $$N(q, n) = \frac{1}{n}\sum_{d\mid n} \mu(d)q^\frac{n}{d},$$

कहाँ पे $μ$ मोबियस फ़ंक्शन है। के लिये $q = 2$, ऐसे बहुपद आमतौर पर छद्म आयामी बाइनरी अनुक्रम उत्पन्न करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

कुछ अर्थों में, शून्य या एक गुणांक वाले लगभग सभी बहुपद पूर्णांकों पर अलघुकरणीय होते हैं। अधिक सटीक रूप से, यदि डेडेकाइंड जीटा फंक्शन के लिए रीमैन परिकल्पना का एक संस्करण माना जाता है, तो स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर गुणांक वाले बहुपद के लिए पूर्णांकों पर अलघुकरणीय होने की संभावना ${0, 1}$ डिग्री बढ़ने पर एक की ओर जाता है।

एल्गोरिदम
बहुपदों के अद्वितीय गुणनखंड गुण का अर्थ यह नहीं है कि किसी दिए गए बहुपद के गुणनखंड की हमेशा गणना की जा सकती है। यहां तक ​​कि एक बहुपद की अप्रासंगिकता भी हमेशा एक संगणना द्वारा सिद्ध नहीं हो सकती है: ऐसे क्षेत्र हैं जिन पर मनमाना बहुपदों की अनियमितता को तय करने के लिए कोई एल्गोरिदम मौजूद नहीं हो सकता है। बहुपदों के गुणनखंडन और इरेड्यूसिबिलिटी तय करने के लिए एल्गोरिद्म कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं, परिमित क्षेत्रों और इन क्षेत्रों के परिमित रूप से उत्पन्न क्षेत्र विस्तार पर बहुपदों के लिए जाना जाता है और कार्यान्वित किया जाता है। ये सभी एल्गोरिदम परिमित क्षेत्रों पर बहुपदों के गुणनखंडन के लिए एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।

क्षेत्र विस्तार
इरेड्यूसिबल बहुपद और बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार की धारणाएं निम्नलिखित तरीके से दृढ़ता से संबंधित हैं।

मान लें कि x क्षेत्र K के क्षेत्र विस्तार L का एक तत्व है। इस तत्व को बीजगणितीय कहा जाता है यदि यह K में गुणांक वाले एक गैर-शून्य बहुपद के एक फ़ंक्शन का शून्य है। बहुपदों में से x एक जड़ है, वहां बिल्कुल वही है जो मोनिक बहुपद है और न्यूनतम डिग्री है, जिसे एक्स का न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) कहा जाता है। एल के एक बीजगणितीय तत्व x का न्यूनतम बहुपद अप्रासंगिक है, और अद्वितीय मोनिक इरेड्यूसबल बहुपद है जिसमें से x एक जड़ है। एक्स का न्यूनतम बहुपद प्रत्येक बहुपद को विभाजित करता है जिसकी जड़ के रूप में एक्स है (यह एबेल की इरेड्यूसबिलिटी प्रमेय है)।

इसके विपरीत यदि $$P(X) \in K[X]$$ क्षेत्र K पर एक अविभाजित बहुपद है, मान लीजिए $$L = K[X]/P(X)$$ बहुपद वलय का भागफल वलय हो $$K[X]$$ आदर्श (रिंग थ्योरी) द्वारा # एक सेट द्वारा उत्पन्न आदर्श $P$. फिर $L$ एक क्षेत्र है अगर और केवल अगर $P$ अपूरणीय है $K$. इस मामले में अगर $x$ की छवि है $X$ में $L$, का न्यूनतम बहुपद $x$ का भागफल है $P$ इसके प्रमुख गुणांक द्वारा।

उपरोक्त का एक उदाहरण जटिल संख्याओं की मानक परिभाषा है $$\mathbb{C} = \mathbb{R}[X]\;/\left(X^2 + 1\right).$$ यदि एक बहुपद $P$ एक अलघुकरणीय कारक है $Q$ ऊपर $K$, जिसके पास एक से अधिक डिग्री है, जिसके लिए कोई आवेदन कर सकता है $Q$ एक बीजगणितीय विस्तार के पूर्ववर्ती निर्माण, जिसमें एक विस्तार प्राप्त करने के लिए $P$ की तुलना में कम से कम एक अधिक रूट है $K$. इस निर्माण को दोहराते हुए, अंततः एक क्षेत्र प्राप्त होता है जिस पर $P$ रैखिक कारकों में कारक। रिंग आइसोमोर्फिज्म तक अद्वितीय इस क्षेत्र को विखंडन क्षेत्र कहा जाता है $P$.

एक अभिन्न डोमेन से अधिक
यदि R एक अभिन्न डोमेन है, तो R का एक तत्व f जो न तो शून्य है और न ही एक इकाई है, अगर कोई गैर-इकाइयां g और h नहीं हैं, तो f = gh के साथ। कोई दिखा सकता है कि प्रत्येक प्रमुख तत्व अप्रासंगिक है; इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है, लेकिन अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन में है। बहुपद वलय F [x] एक फ़ील्ड F (या कोई अद्वितीय-कारक डोमेन) पर फिर से एक अद्वितीय कारक डोमेन है। आगमनात्मक रूप से, इसका मतलब यह है कि n अनिश्चित में बहुपद की अंगूठी (एक अंगूठी आर पर) एक अद्वितीय कारककरण डोमेन है यदि आर के लिए भी यही सच है।

यह भी देखें

 * गॉस लेम्मा (बहुपद)
 * रैशनल रूट प्रमेय, यह पता लगाने की एक विधि है कि क्या एक बहुपद में तर्कसंगत गुणांक के साथ एक रैखिक कारक है
 * ईसेनस्टीन की कसौटी
 * पेरॉन की अलघुकरणीयता कसौटी
 * हिल्बर्ट की अलघुकरणीयता प्रमेय
 * कोहन की अलघुकरणीयता कसौटी
 * एक टोपोलॉजिकल स्पेस का अलघुकरणीय घटक
 * परिमित क्षेत्रों पर बहुपदों का गुणनखंडन
 * एक अपूरणीय मामला, तीन वास्तविक जड़ों वाला इरेड्यूसिबल क्यूबिक
 * एक अपूरणीय मामला, तीन वास्तविक जड़ों वाला इरेड्यूसिबल क्यूबिक
 * एक अपूरणीय मामला, तीन वास्तविक जड़ों वाला इरेड्यूसिबल क्यूबिक

संदर्भ

 * . This classical book covers most of the content of this article.
 * , pp. 91.
 * , pp. 154.
 * , pp. 154.
 * , pp. 154.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * स्थिर बहुपद
 * सकारात्मक असर
 * गुणक
 * अंक शास्त्र
 * इकाई (अंगूठी सिद्धांत)
 * अंशों का क्षेत्र
 * अविभाज्य बहुपद
 * बिल्कुल अप्रासंगिक
 * बीजगणित का मौलिक प्रमेय
 * प्रधान आदर्श
 * बहुपद की अंगूठी
 * निहित समारोह
 * बीजगणतीय अभिव्यक्ति
 * रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम
 * जटिल संख्या
 * एक बहुपद की डिग्री
 * बीजीय रूप से बंद क्षेत्र
 * विभेदक
 * महत्तम सामान्य भाजक
 * छद्म आयामी द्विआधारी अनुक्रम
 * निश्चित रूप से उत्पन्न फ़ील्ड एक्सटेंशन
 * कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली
 * परिमित क्षेत्रों पर बहुपदों का गुणनखंडन
 * एक समारोह का शून्य
 * फील्ड एक्सटेंशन
 * भागफल की अंगूठी
 * नेतृत्व गुणांक
 * विभाजन क्षेत्र
 * प्रधान तत्व
 * तर्कसंगत जड़ प्रमेय

बाहरी संबंध

 * Information on Primitive and Irreducible Polynomials, The (Combinatorial) Object Server.
 * Information on Primitive and Irreducible Polynomials, The (Combinatorial) Object Server.
 * Information on Primitive and Irreducible Polynomials, The (Combinatorial) Object Server.