सामान्य लघुगणक

गणित में, सामान्य लघुगणक आधार 10 वाला लघुगणक है। इसे डेकाडिक लघुगणक के रूप में भी जाना जाता है और इसके आधार के नाम पर दशमलव लघुगणक, या हेनरी ब्रिग्स (गणितज्ञ) के नाम पर ब्रिग्सियन लघुगणक, एक अंग्रेजी गणितज्ञ, जिसने इसके उपयोग का बीड़ा उठाया है, साथ ही मानक लघुगणक के रूप में भी जाना जाता है। ऐतिहासिक रूप से, इसे 'लघुगणक दशमलव' के रूप में जाना जाता था या दशक का लघुगणक। द्वारा दर्शाया गया है $log(x)$, $log_{10}&thinsp;(x)$, या कभी कभी $Log(x)$ पूंजी के साथ $L$ (हालांकि, यह अंकन अस्पष्ट है, क्योंकि इसका अर्थ जटिल प्राकृतिक लघुगणक बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन भी हो सकता है)। कैलकुलेटर पर, इसे लॉग के रूप में मुद्रित किया जाता है, लेकिन गणितज्ञ आमतौर पर लॉग लिखते समय सामान्य लघुगणक के बजाय प्राकृतिक लघुगणक (आधार ई ≈ 2.71828 के साथ लघुगणक) का अर्थ करते हैं। इस अस्पष्टता को कम करने के लिए, ISO 80000-2 इसकी अनुशंसा करता है $log_{10}&thinsp;(x)$ लिखा जाना चाहिए $lg(x)$, और $log_{e}&thinsp;(x)$ होना चाहिए $ln(x)$.

फ़ाइल: APN2002 तालिका 1, 1000-1500.agr.tiff|thumb|300px|सामान्य लघुगणक की तालिका से पृष्ठ। यह पृष्ठ 1000 से 1500 तक की संख्याओं के लघुगणक को दशमलव के पाँच स्थानों तक दिखाता है। संपूर्ण तालिका में 9999 तक के मान शामिल हैं। 1970 के दशक की शुरुआत से पहले, हैंडहेल्ड इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर उपलब्ध नहीं थे, और गुणा करने में सक्षम यांत्रिक कैलकुलेटर भारी, महंगे और व्यापक रूप से उपलब्ध नहीं थे। इसके बजाय, विज्ञान, इंजीनियरिंग और नेविगेशन में बेस -10 लघुगणक की गणितीय तालिका का उपयोग किया गया था - जब गणना के लिए स्लाइड नियम से अधिक सटीकता की आवश्यकता होती है। गुणा और भाग को जोड़ और घटाव में बदलकर, लघुगणक के उपयोग से श्रमसाध्य और त्रुटि-प्रवण पेपर-एंड-पेंसिल गुणन और विभाजन से बचा जाता है। क्योंकि लघुगणक इतने उपयोगी थे, कई पाठ्यपुस्तकों के परिशिष्टों में आधार-10 लघुगणकों की गणितीय तालिकाएँ दी गई थीं। गणितीय और नेविगेशन पुस्तिकाओं में त्रिकोणमितीय कार्यों के लघुगणकों की तालिकाएँ भी शामिल हैं। ऐसी तालिकाओं के इतिहास के लिए, लॉग तालिका देखें।

मंटिसा और विशेषता
बेस-10 लघुगणकों की एक महत्वपूर्ण संपत्ति, जो उन्हें गणनाओं में इतना उपयोगी बनाती है, यह है कि 1 से बड़ी संख्याओं का लघुगणक जो 10 की शक्ति के कारक से भिन्न होता है, सभी का एक ही भिन्नात्मक भाग होता है। आंशिक भाग को मंटिसा के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार, लॉग टेबल को केवल आंशिक भाग दिखाने की आवश्यकता होती है। सामान्य लघुगणकों की तालिकाएँ आम तौर पर मंटिसा को एक श्रेणी में प्रत्येक संख्या के चार या पाँच दशमलव स्थानों या अधिक तक सूचीबद्ध करती हैं, उदा। 1000 से 9999।

पूर्णांक भाग, जिसे विशेषता कहा जाता है, की गणना केवल यह गिनकर की जा सकती है कि दशमलव बिंदु को कितने स्थानों पर स्थानांतरित किया जाना चाहिए, ताकि यह पहले महत्वपूर्ण अंक के दाईं ओर हो। उदाहरण के लिए, 120 का लघुगणक निम्नलिखित गणना द्वारा दिया गया है:


 * $$\log_{10}(120) = \log_{10}\left(10^2 \times 1.2\right) = 2 + \log_{10}(1.2) \approx 2 + 0.07918.$$

अंतिम संख्या (0.07918)—120 के सामान्य लघुगणक का आंशिक भाग या अपूर्णांश—दिखाई गई तालिका में पाया जा सकता है। 120 में दशमलव बिंदु का स्थान हमें बताता है कि 120 के सामान्य लघुगणक का पूर्णांक भाग, विशेषता, 2 है।

नकारात्मक लघुगणक
1 से कम धनात्मक संख्याओं में ऋणात्मक लघुगणक होते हैं। उदाहरण के लिए,


 * $$\log_{10}(0.012) = \log_{10}\left(10^{-2} \times 1.2\right) = -2 + \log_{10}(1.2) \approx -2 + 0.07918 = -1.92082.$$

धनात्मक और ऋणात्मक लघुगणकों को वापस उनकी मूल संख्याओं में परिवर्तित करने के लिए अलग-अलग तालिकाओं की आवश्यकता से बचने के लिए, एक ऋणात्मक लघुगणक को एक ऋणात्मक पूर्णांक विशेषता और एक धनात्मक अपूर्णांश के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसे सुविधाजनक बनाने के लिए, एक विशेष संकेतन, जिसे बार नोटेशन कहा जाता है, का उपयोग किया जाता है:


 * $$\log_{10}(0.012) \approx \bar{2} + 0.07918 = -1.92082.$$

विशेषता पर बार इंगित करता है कि यह नकारात्मक है, जबकि मंटिसा सकारात्मक रहता है। बार नोटेशन में किसी संख्या को ज़ोर से पढ़ते समय, प्रतीक $$\bar{n}$$ बार के रूप में पढ़ा जाता है $n$, ताकि $$\bar{2}.07918$$ बार 2 बिंदु 07918… के रूप में पढ़ा जाता है। लघुगणक मॉड्यूल 10 को व्यक्त करने के लिए एक वैकल्पिक सम्मेलन है, इस मामले में


 * $$\log_{10}(0.012) \approx 8.07918 \bmod 10,$$

परिणाम की उचित सीमा के ज्ञान द्वारा निर्धारित गणना के परिणाम के वास्तविक मूल्य के साथ। निम्न उदाहरण 0.012 × 0.85 = 0.0102 की गणना करने के लिए बार नोटेशन का उपयोग करता है:


 * $$\begin{array}{rll}

\text{As found above,}         &  \log_{10}(0.012) \approx\bar{2}.07918\\ \text{Since}\;\;\log_{10}(0.85) &= \log_{10}\left(10^{-1}\times 8.5\right) = -1 + \log_{10}(8.5) &\approx -1 + 0.92942 = \bar{1}.92942\\ \log_{10}(0.012 \times 0.85)   &= \log_{10}(0.012) + \log_{10}(0.85)                            &\approx \bar{2}.07918 + \bar{1}.92942\\ &= (-2 + 0.07918) + (-1 + 0.92942)                              &= -(2 + 1) + (0.07918 + 0.92942)\\                                 &= -3 + 1.00860                                                  &= -2 + 0.00860\;^*\\                                 &\approx \log_{10}\left(10^{-2}\right) + \log_{10}(1.02)         &= \log_{10}(0.01 \times 1.02)\\ &= \log_{10}(0.0102). \end{array}$$ * यह कदम 0 और 1 के बीच के अपूर्णांश को बनाता है, ताकि इसका एंटीलॉग (10$mantissa$) ऊपर देखा जा सकता है।

निम्न तालिका दर्शाती है कि कैसे एक ही मंटिसा का उपयोग दस की शक्तियों द्वारा भिन्न संख्याओं की श्रेणी के लिए किया जा सकता है: ध्यान दें कि मंटिसा सभी के लिए सामान्य है $5 10^{i}$. यह किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या | वास्तविक संख्या के लिए लागू होता है$$x$$ क्योंकि
 * $$\log_{10}\left(x \times10^i\right) = \log_{10}(x) + \log_{10}\left(10^i\right) = \log_{10}(x) + i.$$

तब से $i$ एक स्थिरांक है, मंटिसा कहा से आता है $$\log_{10}(x)$$, जो दिए गए के लिए स्थिर है $$x$$. यह लॉग टेबल को प्रत्येक मंटिसा के लिए केवल एक प्रविष्टि शामिल करने की अनुमति देता है। के उदाहरण में $5 10^{i}$, 0.698 970 (004 336 018 ...) को 5 (या 0.5, या 500, आदि) द्वारा अनुक्रमित करने के बाद सूचीबद्ध किया जाएगा।



इतिहास
17वीं शताब्दी के ब्रिटिश गणितज्ञ हेनरी ब्रिग्स (गणितज्ञ) के नाम पर सामान्य लघुगणकों को कभी-कभी ब्रिग्सियन लघुगणक भी कहा जाता है। 1616 और 1617 में, ब्रिग्स ने एडिनबरा में जॉन नेपियर का दौरा किया, जो नेपियर के लॉगरिदम में बदलाव का सुझाव देने के लिए अब प्राकृतिक (बेस-ई) लघुगणक कहलाते हैं। इन सम्मेलनों के दौरान, ब्रिग्स द्वारा प्रस्तावित परिवर्तन पर सहमति बनी; और अपनी दूसरी यात्रा से लौटने के बाद, उन्होंने अपने लघुगणक का पहला मिर्च प्रकाशित किया।

क्योंकि बेस-10 लघुगणक अभिकलन के लिए सबसे अधिक उपयोगी थे, इंजीनियरों ने आम तौर पर बस लिखा$2 3 = 6$जब उनका मतलब था $log(x)$. दूसरी ओर, गणितज्ञों ने लिखा$log_{10}&thinsp;(x)$जब उनका मतलब था $log(x)$ प्राकृतिक लघुगणक के लिए। आज, दोनों नोटेशन पाए जाते हैं। चूंकि हाथ से चलने वाले इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर गणितज्ञों के बजाय इंजीनियरों द्वारा डिज़ाइन किए जाते हैं, इसलिए यह प्रथागत हो गया कि वे इंजीनियरों के अंकन का पालन करते हैं। तो अंकन, जिसके अनुसार कोई लिखता है$log_{e}&thinsp;(x)$जब प्राकृतिक लघुगणक का इरादा होता है, तो उसी आविष्कार से और अधिक लोकप्रिय हो सकता है जिसने सामान्य लघुगणक के उपयोग को बहुत कम सामान्य, इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर बना दिया।

संख्यात्मक मान
आधार 10 के लघुगणक के संख्यात्मक मान की गणना निम्नलिखित पहचानों के साथ की जा सकती है:


 * $$ \log_{10}(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(10)} \quad$$ या $$\quad \log_{10}(x) = \frac{\log_2(x)}{\log_2(10)} \quad$$ या  $$\quad \log_{10}(x) = \frac{\log_B(x)}{\log_B(10)} \quad$$

किसी भी उपलब्ध आधार के लघुगणक का उपयोग करना $$\, B ~.$$ प्राकृतिक लघुगणक | लघुगणक आधार के लिए संख्यात्मक मान निर्धारित करने के लिए प्रक्रियाएं मौजूद हैं $10$(देखना ) और द्विआधारी लघुगणक (बाइनरी लॉगरिदम # एल्गोरिदम देखें)।

व्युत्पन्न
आधार b वाले लघुगणक का अवकलज ऐसा है कि

$${d \over dx}\log_b(x)={1 \over x\ln (b)}$$, इसलिए $${d \over dx}\log_{10}(x)={1 \over x\ln(10)}$$.

यह भी देखें

 * बाइनरी लघुगणक
 * वर्णगणित
 * डेसिबल
 * लघुगणकीय पैमाने
 * मंटिसा (फ्लोटिंग पॉइंट नंबर)
 * नेपियरियन लघुगणक