अंतिम टोपोलॉजी

गणित के सामान्य टोपोलॉजी और संबंधित क्षेत्रों में, अंतिम टोपोलॉजी (अंतिम सांस्थिति) (या सहप्रेरित, शक्तिशाली, कोलिमिट, या इंडक्टिव टोपोलॉजी) एक सम्मुच्चय $$X$$ पर, सांस्थितिक समष्टि से $$X$$ में कार्यों के वर्ग के संबंध में $$X$$ पर बेहतरीन टोपोलॉजी है जो उन सभी कार्यों को निरंतर बनाता है।

अनुपात स्थल (टोपोलॉजी) एक अंतिम टोपोलॉजी है, जो कि एकल विशेषण फलन के संबंध में है, अर्थात् भागफल मानचित्र। समावेशन मानचित्रों के संबंध में विसंधित संघ (टोपोलॉजी) अंतिम टोपोलॉजी है। अंतिम टोपोलॉजी भी टोपोलॉजी है जो सांस्थितिक समष्टि की श्रेणी में प्रत्येक सीधी सीमा से संपन्न है, और यह प्रत्यक्ष सीमा के संदर्भ में है कि अंतिम टोपोलॉजी प्रायः प्रकट होती है। एक टोपोलॉजी उपसमष्‍टि टोपोलॉजी के कुछ संग्रह के साथ सुसंगत टोपोलॉजी है यदि और केवल यदि यह प्राकृतिक समावेशन से प्रेरित अंतिम टोपोलॉजी है।

दोहरी धारणा प्रारंभिक टोपोलॉजी है, जो एक सम्मुच्चय से कार्यों के दिए गए वर्ग सांस्थितिक समष्टि के लिए $$X$$ है सांस्थितिक समष्टि में सबसे मोटे टोपोलॉजी $$X$$ है जो उन कार्यों को निरंतर करता है।

परिभाषा
संबंधित कार्यों के साथ सांस्थितिक स्थल $$\left(Y_i, \upsilon_i\right)$$ के सम्मुच्चय $$X$$ और $$I$$-तालिका वर्ग को देखते हुए $$f_i : Y_i \to X,$$ $$X$$ पर बेहतरीन टोपोलॉजी $$\tau_{\mathcal{F}}$$ है पर ऐसा है कि $$f_i : \left(Y_i, \upsilon_i\right) \to \left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right)$$ प्रत्येक $$i\in I$$ के लिए निरंतर (टोपोलॉजी) है।

स्पष्ट रूप से, अंतिम टोपोलॉजी को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है:
 * उपसमुच्चय $$U$$ का $$X$$ अंतिम टोपोलॉजी $$\left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right)$$ (वह है, $$U \in \tau_{\mathcal{F}}$$) में खुला है यदि और केवल यदि $$f_i^{-1}(U)$$ में $$\left(Y_i, \upsilon_i\right)$$ खुला $$i\in I$$ है.

बंद उपसमुच्चय में एक समान विशेषता है:
 * उपसमुच्चय $$C$$ का $$X$$ अंतिम टोपोलॉजी में बंद $$\left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right)$$ है यदि और केवल यदि $$f_i^{-1}(C)$$ में बंद $$\left(Y_i, \upsilon_i\right)$$ है।

$$X$$ पर अंतिम टोपोलॉजी को प्रेरित करने वाले कार्यों का वर्ग $$\mathcal{F}$$ सामान्यतः कार्यों का एक सम्मुच्चय है। लेकिन वही निर्माण किया जा सकता है यदि $$\mathcal{F}$$ कार्यों का एक उचित वर्ग है, और परिणाम अभी भी ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सम्मुच्चय सिद्धांत में अच्छी तरह से परिभाषित है। उस मामले में हमेशा $$\mathcal{F}$$ का एक उपवर्ग $$\mathcal{G}$$ होता है, जिसमें $$\mathcal{G}$$ एक सम्मुच्चय होता है, जैसे कि $$X$$ पर अंतिम टोपोलॉजी $$\mathcal{F}$$ द्वारा प्रेरित होती है। और $$\mathcal{G}$$ से संपाती हैं। इस पर अधिक जानकारी के लिए, उदाहरण के लिए यहां चर्चा देखें। एक उदाहरण के रूप में, सघन रूप से उत्पन्न स्थान की धारणा के एक सामान्य रूप से प्रयुक्त संस्करण को कार्यों के एक उचित वर्ग के संबंध में अंतिम टोपोलॉजी के रूप में परिभाषित किया गया है।

उदाहरण
महत्वपूर्ण विशेष स्तिथि जहां मानचित्र का वर्ग $$\mathcal{F}$$ एक विशेषण मानचित्र से मिलकर भागफल मानचित्र की धारणा का उपयोग करके पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है। एक विशेषण फलन $$f : (Y, \upsilon) \to \left(X, \tau\right)$$ सांस्थितिक समष्टि के बीच एक भागफल मानचित्र है यदि और केवल यदि टोपोलॉजी $$\tau$$ पर $$X$$ अंतिम टोपोलॉजी $$\mathcal{F}=\{f\}$$ वर्ग द्वारा प्रेरित  $$\tau_{\mathcal{F}}$$ के साथ मेल खाता है।  विशेष रूप से: भागफल स्थान (टोपोलॉजी) द्वारा प्रेरित भागफल स्थान पर भागफल टोपोलॉजी अंतिम टोपोलॉजी है।

$$X$$-मूल्यवान मानचित्र के एक वर्ग द्वारा प्रेरित एक सम्मुच्चय $$X$$ पर अंतिम टोपोलॉजी को भागफल टोपोलॉजी के दूरगामी सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जहां केवल एक के स्थान पर कई मानचित्रों का उपयोग किया जा सकता है और जहां इन मानचित्रों को अनुमान लगाने की आवश्यकता नहीं है।

सांस्थितिक रिक्त स्थान $$X_i$$ दिया गया, विसंधित संघ पर विसंधित संघ (टोपोलॉजी) $$\coprod_i X_i$$ प्राकृतिक अंतःक्षेपण द्वारा प्रेरित विसंधित संघ पर अंतिम टोपोलॉजी है।

टोपोलॉजी के सम्मुच्चय के एक वर्ग $$\left(\tau_i\right)_{i \in I}$$ को देखते हुए एक निश्चित सम्मुच्चय $$X$$ पर अंतिम टोपोलॉजी पहचान $$X$$ मानचित्र के संबंध में $$\operatorname{id}_{\tau_i} : \left(X, \tau_i\right) \to X$$ जैसा $$i$$ $$I,$$ से अधिक है इसे $$\tau,$$कहते हैं और इन टोपोलॉजी में से कम (या मिलना)  $$\left(\tau_i\right)_{i \in I}$$है टोपोलॉजी के जाल में $$X$$ यानी अंतिम टोपोलॉजी $$\tau$$ प्रतिच्छेदन $$\tau = \bigcap_{i \in I} \tau_i$$ (सम्मुच्चय सिद्धांत) के बराबर है। रिक्त स्थान और निरंतर मानचित्रों के किसी भी प्रत्यक्ष प्रणाली (गणित) की प्रत्यक्ष सीमा सम्मुच्चय-सैद्धांतिक प्रत्यक्ष सीमा है, जो कैनोनिकल मोर्फिज्म द्वारा निर्धारित अंतिम टोपोलॉजी के साथ है। स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि यदि $$\operatorname{Sys}_Y = \left(Y_i, f_{ji}, I\right)$$ सांस्थितिक रिक्त स्थान की श्रेणी में एक प्रत्यक्ष प्रणाली है और यदि $$\left(X, \left(f_i\right)_{i \in I}\right)$$ की सीधी सीमा सम्मुच्चय की श्रेणी में $$\operatorname{Sys}_Y$$ है, फिर एंडोइंग द्वारा $$X$$ अंतिम टोपोलॉजी के साथ $$\tau_{\mathcal{F}}$$ प्रेरक $$\mathcal{F} := \left\{ f_i : i \in I \right\},$$ $$\left(\left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right), \left(f_i\right)_{i \in I}\right)$$ की सीधी सीमा शीर्ष श्रेणी में $$\operatorname{Sys}_Y$$ बन जाती है।

एक पुलिंदा के ईटेल स्थान को अंतिम टोपोलॉजी द्वारा टोपोलॉजीकृत किया जाता है।

एक प्रथम-गणनीय हौसडॉर्फ स्थान $$(X, \tau)$$ स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है यदि और केवल यदि $$\tau$$ पर $$C\left([0, 1]; X\right)$$अंतिम टोपोलॉजी के बराबर $$X$$ है। सम्मुच्चय से प्रेरित सभी निरंतर मानचित्रों की $$[0, 1] \to (X, \tau),$$ जहां ऐसे किसी मानचित्र को पथ (गणित) $$(X, \tau).$$ कहा जाता है यदि हॉसडॉर्फ स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक सदिश स्थल सांस्थितिक सदिश स्थल $$(X, \tau)$$ है तब एक फ्रेचेट-उरीसोहन स्थान $$\tau$$ पर अंतिम टोपोलॉजी के बराबर है $$X$$ सम्मुच्चय से प्रेरित $$\operatorname{Arc}\left([0, 1]; X\right)$$ $$(X, \tau)$$ सभी वृत्त (टोपोलॉजी) में जो परिभाषा के अनुसार निरंतर पथ $$[0, 1] \to (X, \tau)$$ (गणित) हैं जो सांस्थितिक अंतःस्थापन भी हैं।

निरंतर मानचित्रों के माध्यम से लक्षण वर्णन
सांस्थितिक समष्टि $$Y_i$$ से $$X$$ सम्मुच्चय पर दिए गए कार्य $$f_i : Y_i \to X,$$ अंतिम टोपोलॉजी चालू $$X$$ इन कार्यों के संबंध में $$f_i$$ निम्नलिखित संपत्ति को संतुष्ट करता है:
 * एक फलन $$g$$ से $$X$$ किसी जगह को $$Z$$ निरंतर है यदि और केवल यदि $$g \circ f_i$$ प्रत्येक $$i \in I.$$ के लिए निरंतर है

यह गुण इस अर्थ में अंतिम टोपोलॉजी की विशेषता बताता है कि यदि कोई टोपोलॉजी चालू है $$X$$ उपरोक्त संपत्ति को सभी रिक्त स्थान के लिए $$Z$$ और सभी कार्य $$g:X\to Z$$ संतुष्ट करता है, फिर टोपोलॉजी चालू $$X$$ के संबंध में अंतिम टोपोलॉजी $$f_i.$$ है

संरचना के अंतर्गत व्यवहार
मान लीजिये $$\mathcal{F} := \left\{ f_i:Y_i \to X \mid i \in I \right\}$$ मानचित्र का एक वर्ग है, और हर किसी $$i \in I,$$ के लिए टोपोलॉजी $$Y_i$$ पर $$\upsilon_i$$ कुछ वर्ग द्वारा प्रेरित अंतिम टोपोलॉजी $$\mathcal{G}_i$$ $$Y_i$$ में मूल्यवान मानचित्रों का है फिर अंतिम टोपोलॉजी चालू $$X$$ प्रेरक $$\mathcal{F}$$ पर अंतिम टोपोलॉजी $$X$$ के बराबर है। मानचित्रों $$\left\{ f_i \circ g ~:~ i \in I \text{ and } g \in \cal G_i \right\}$$ से प्रेरित है परिणामस्वरूप: यदि $$\tau_{\mathcal{F}}$$ पर अंतिम टोपोलॉजी है $$X$$ वर्ग द्वारा प्रेरित $$\mathcal{F} := \left\{ f_i : i \in I \right\}$$ और यदि $$\pi : X \to (S, \sigma)$$ क्या कोई आच्छादन मानचित्र है जिसका किसी सांस्थितिक समष्टि में महत्व है, $$(S, \sigma),$$ तब $$\pi : \left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right) \to (S, \sigma)$$ यदि और केवल यदि एक भागफल मानचित्र $$(S, \sigma)$$ है  मानचित्र से प्रेरित अंतिम टोपोलॉजी $$\left\{ \pi \circ f_i ~:~ i \in I \right\}$$है, असंयुक्त संघ टोपोलॉजी की सार्वभौमिक संपत्ति से हम जानते हैं कि निरंतर मानचित्रों के किसी भी वर्ग $$f_i : Y_i \to X,$$ को दिया गया एक अनूठा निरंतर मानचित्र है $$f : \coprod_i Y_i \to X$$ यह प्राकृतिक अन्तःक्षेपण के साथ संगत है। यदि मानचित्र का वर्ग $$f_i$$ $$X$$ (यानी प्रत्येक $$x \in X$$ कुछ की छवि $$f_i$$ में निहित है) फिर मानचित्र $$f$$ यदि और केवल यदि एक भागफल मानचित्र होगा $$X$$ मानचित्र से प्रेरित अंतिम टोपोलॉजी $$f_i$$ है

मानचित्र के वर्ग बदलने के प्रभाव
मान लीजिये $$\mathcal{F} := \left\{ f_i : i \in I \right\}$$ का वर्ग $$X$$-मूल्यवान मानचित्र हो जिसमें प्रत्येक मानचित्र $$f_i : \left(Y_i, \upsilon_i\right) \to X$$ प्ररूप का हो और मान लीजिये $$\tau_{\mathcal{F}}$$ $$\mathcal{F}$$ द्वारा प्रेरित $$X$$ पर अंतिम टोपोलॉजी को निरूपित करें। अंतिम टोपोलॉजी की परिभाषा प्रत्याभुति देती है कि प्रत्येक सूचकांक $$i,$$ के लिए वो मानचित्र $$f_i : \left(Y_i, \upsilon_i\right) \to \left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right)$$ सतत कार्य (टोपोलॉजी) है।

किसी उपसमुच्चय $$\mathcal{S} \subseteq \mathcal{F}$$ के लिए, अंतिम टोपोलॉजी $$\tau_{\mathcal{S}}$$ पर $$X$$ टोपोलॉजी की तुलना $$\tau_{\mathcal{F}}$$ में (और संभवतः इसके बराबर) सूक्ष्मतर होगी। इसका अर्थ है कि, $$\mathcal{S} \subseteq \mathcal{F}$$ तात्पर्य $$\tau_{\mathcal{F}} \subseteq \tau_{\mathcal{S}},$$ जहां सम्मुच्चय समानता हो सकती है भले ही $$\mathcal{S}$$ का उचित उपसमुच्चय $$\mathcal{F}$$ है। यदि $$\tau$$ क्या कोई टोपोलॉजी $$X$$ चालू है तो ऐसा है कि $$\tau \neq \tau_{\mathcal{F}}$$ और $$f_i : \left(Y_i, \upsilon_i\right) \to (X, \tau)$$ प्रत्येक सूचकांक के लिए निरंतर $$i \in I$$ है,  तब $$\tau$$ होना चाहिए टोपोलॉजी की तुलना | स्थान $$\tau_{\mathcal{F}}$$ पर  (मतलब है कि $$\tau \subseteq \tau_{\mathcal{F}}$$ और $$\tau \neq \tau_{\mathcal{F}};$$ यह लिखा जाएगा $$\tau \subsetneq \tau_{\mathcal{F}}$$) और इसके अतिरिक्त, किसी भी उपवर्ग के लिए $$\mathcal{S} \subseteq \mathcal{F}$$ टोपोलॉजी $$\tau$$ यह भी होगा  अंतिम टोपोलॉजी की तुलना में $$\tau_{\mathcal{S}}$$ वह $$\mathcal{S}$$ $$X$$ प्रवृत्त करता है  (क्योंकि $$\tau_{\mathcal{F}} \subseteq \tau_{\mathcal{S}}$$); अर्थात्, $$\tau \subsetneq \tau_{\mathcal{S}}$$। मान लीजिए कि इसके अतिरिक्त, $$\mathcal{G} := \left\{g_a : a \in A\right\}$$ एक $$A$$-अनुक्रमित वर्ग $$X$$-मूल्यवान मानचित्र $$g_a : Z_a \to X$$ जिनके कार्यक्षेत्र सांस्थितिक समष्टि $$\left(Z_a, \zeta_a\right)$$ हैं।  यदि हर $$g_a : \left(Z_a, \zeta_a\right) \to \left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right)$$ निरंतर है तो इन मानचित्र को वर्ग में जोड़ रहा है अर्थात्, $$\tau_{\mathcal{F} \cup \mathcal{G}} = \tau_{\mathcal{F}}$$। स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है कि अंतिम टोपोलॉजी $$X$$ चालू है  विस्तारित वर्ग से प्रेरित $$\mathcal{F} \cup \mathcal{G}$$ अंतिम टोपोलॉजी के बराबर है $$\tau_{\mathcal{F}}$$ मूल वर्ग से प्रेरित $$\mathcal{F} = \left\{ f_i : i \in I \right\}.$$ हालाँकि, क्या इसके स्थान पर सिर्फ एक मानचित्र $$g_{a_0}$$ भी उपस्थित था यह इस प्रकार है कि $$g_{a_0} : \left(Z_{a_0}, \zeta_{a_0}\right) \to \left(X, \tau_{\mathcal{F}}\right)$$ था  निरंतर, फिर अंतिम टोपोलॉजी $$\tau_{\mathcal{F} \cup \mathcal{G}}$$ पर $$X$$ विस्तारित वर्ग से प्रेरित $$\mathcal{F} \cup \mathcal{G}$$ अनिवार्य रूप से टोपोलॉजी की तुलना होगी  अंतिम टोपोलॉजी की तुलना में $$\tau_{\mathcal{F}}$$ प्रेरक $$\mathcal{F};$$ अर्थात, $$\tau_{\mathcal{F} \cup \mathcal{G}} \subsetneq \tau_{\mathcal{F}}$$ (यह फुटनोट देखें स्पष्टीकरण के लिए)।

उप-स्थानों के साथ सामंजस्य
मान लीजिए $$(X, \tau)$$ एक सांस्थितिक समष्टि है और $$\mathbb{S}$$ को $$(X, \tau)$$ के उपसमष्‍टि का एक वर्ग होने दें जहां महत्वपूर्ण रूप से, शब्द "उपसमष्‍टि" का उपयोग यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि प्रत्येक उपसमुच्चय $$S \in \mathbb{S}$$ में उपसमष्‍टि टोपोलॉजी $$\tau_{\mathcal{S}}$$ है जो $$(X, \tau)$$ से विरासत में मिली है।} स्पेस $$(X, \tau)$$ कहा जाता है

$$\mathcal{S} := \left\{ \operatorname{In}_S^X ~:~ S \in \mathbb{S} \right\}$$समावेशन मानचित्र रूप लेता है
 * $$\operatorname{In}_S^X : \left( S, \tau\vert_S \right) \to X.$$ परिभाषा को सुलझाना, $$(X, \tau)$$ से सुसंगत है $$\mathbb{S}$$ यदि और केवल यदि निम्न कथन सत्य है:
 * प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$U \subseteq X,$$ $$U$$ में खुला है $$(X, \tau)$$ यदि और केवल यदि प्रत्येक के लिए $$S \in \mathbb{S},$$ $$U \cap S$$ उपसमष्‍टि टोपोलॉजी में खुला $$\left(S, \tau\vert_S\right)$$है।

इसके स्थान पर बंद सम्मुच्चयों की जाँच की जा सकती है: $$(X, \tau)$$ $$\mathbb{S}$$ से सुसंगत है यदि और केवल यदि हर उपवर्ग के लिए $$C \subseteq X,$$ $$C$$ में बंद $$(X, \tau)$$ है। यदि और केवल यदि प्रत्येक $$S \in \mathbb{S},$$ के लिए  $$C \cap S$$ में बंद $$\left( S, \tau\vert_S \right)$$है उदाहरण के लिए, यदि $$\mathbb{O}$$ एक सांस्थितिक समष्टि का आवरण $$(X, \tau)$$ है खुले उप-स्थानों द्वारा (यानी के खुले उपसमुच्चय $$(X, \tau)$$ उपसमष्‍टि टोपोलॉजी के साथ संपन्न) तब $$\tau$$ से सुसंगत $$\mathbb{O}$$ है  इसके विपरीत यदि $$\mathbb{S}$$ के सभी सिंगलटन सम्मुच्चय का सम्मुच्चय है $$(X, \tau)$$ (प्रत्येक सम्मुच्चय को अपनी अनूठी टोपोलॉजी के साथ संपन्न किया जा रहा है) तब $$(X, \tau)$$ से सुसंगत है $$\mathbb{S}$$ यदि और केवल यदि $$\tau$$ असतत टोपोलॉजी चालू है $$X$$ विहित अन्तःक्षेपण के वर्ग के संबंध में असंयुक्त सम्मिलन (टोपोलॉजी) अंतिम टोपोलॉजी है। एक स्थान $$(X, \tau)$$ कहा जाता है और  यदि $$\tau$$ सम्मुच्चय  $$\mathbb{K}$$ के सभी सघन उप-स्थानों में से $$(X, \tau)$$ के अनुरूप है। सभी प्रथम-गिनने योग्य स्थान और सभी हौसडॉर्फ स्थान स्थानीय रूप से सघन स्थान हैं -स्थल, ताकि विशेष रूप से, हर बहुविध और हर मेट्रिजेबल स्थल अपने सभी सघन उपसमष्‍टि के वर्ग के साथ सुसंगत हो।

जैसा कि बाद के उदाहरणों से प्रदर्शित होता है, कुछ परिस्थितियों में, उप-स्थानों के साथ सुसंगतता के संदर्भ में अधिक सामान्य अंतिम टोपोलॉजी को चिह्नित करना संभव हो सकता है।

मान लीजिये $$\mathcal{F} := \left\{ f_i : i \in I \right\}$$ का वर्ग हो $$X$$-वैल्यूड मानचित्र जिसमें प्रत्येक मानचित्र प्ररूप का हो $$f_i : \left(Y_i, \upsilon_i\right) \to X$$ और जाने $$\tau_{\mathcal{F}}$$ अंतिम टोपोलॉजी को निरूपित करें $$X$$ प्रेरक $$\mathcal{F}.$$ लगता है कि $$\tau$$ पर एक टोपोलॉजी है $$X$$ और हर सूचकांक के लिए $$i \in I,$$ छवि (गणित) $$\operatorname{Im} f_i := f_i(Y_i)$$ उपसमष्‍टि टोपोलॉजी से संपन्न है $$\tau\vert_{\operatorname{Im} f_i}$$ विरासत में मिला $$(X, \tau).$$ यदि प्रत्येक के लिए $$i \in I,$$ वो मानचित्र $$f_i : \left(Y_i, \upsilon_i\right) \to \left( \operatorname{Im} f_i, \tau\vert_{\operatorname{Im} f_i} \right)$$ तब एक भागफल मानचित्र है $$\tau = \tau_{\mathcal{F}}$$ यदि और केवल यदि $$(X, \tau)$$ सभी छवियों के सम्मुच्चय के साथ सुसंगत है $$\left\{ \left( \operatorname{Im} f_i, \tau\vert_{\operatorname{Im} f_i} \right) ~:~ i \in I \right\}.$$

परिमित-आयामी यूक्लिडियन रिक्त स्थान की सीधी सीमा पर अंतिम टोपोलॉजी
मान लीजिये $$\R^{\infty} ~:=~ \left\{ \left(x_1, x_2, \ldots\right) \in \R^{\N} ~:~ \text{ सभी लेकिन निश्चित रूप से बहुत } x_i \text{ से बराबर हैं } 0 \right\},$$ निरूपित करें, जहाँ $$\R^{\N}$$ सभी वास्तविक अनुक्रमों के स्थान को दर्शाता है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $$n \in \N,$$ मान लीजिये $$\R^n$$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी के साथ संपन्न सामान्य यूक्लिडियन अंतरिक्ष को निरूपित करें और जाने दें $$\operatorname{In}_{\R^n} : \R^n \to \R^{\infty}$$ द्वारा परिभाषित समावेशन मानचित्र को निरूपित करें $$\operatorname{In}_{\R^n}\left(x_1, \ldots, x_n\right) := \left(x_1, \ldots, x_n, 0, 0, \ldots\right)$$ ताकि इसकी छवि (गणित) हो $$\operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right) = \left\{ \left(x_1, \ldots, x_n, 0, 0, \ldots\right) ~:~ x_1, \ldots, x_n \in \R \right\} = \R^n \times \left\{ (0, 0, \ldots) \right\}$$ और इसके परिणामस्वरूप, $$\R^{\infty} = \bigcup_{n \in \N} \operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right).$$ $$\R^{\infty}$$ सम्मुच्चय वृत्तिदान करो अंतिम टोपोलॉजी के साथ $$\tau^{\infty}$$ सभी समावेशन मानचित्रों $$\mathcal{F} := \left\{ \; \operatorname{In}_{\R^n} ~:~ n \in \N \; \right\}$$ के वर्ग द्वारा समाप्त करें ।

इस टोपोलॉजी के साथ, $$\R^{\infty}$$ एक पूर्ण सांस्थितिक सदिश स्थल हॉसडॉर्फ स्थल स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक सदिश स्थल बन जाता है जो अनुक्रमिक स्थल सांस्थितिक सदिश स्थल है एक फ्रेचेट-उरीसोहन अंतरिक्ष। टोपोलॉजी $$\tau^{\infty}$$ प्रेरित उप-स्थान टोपोलॉजी की तुलना में टोपोलॉजी की तुलना $$\R^{\infty}$$ द्वारा $$\R^{\N}$$ है, जहाँ $$\R^{\N}$$ अपने सामान्य उत्पाद टोपोलॉजी से संपन्न है।

$$\operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)$$ आपत्ति द्वारा उस पर प्रेरित अंतिम टोपोलॉजी के साथ $$\operatorname{In}_{\R^n} : \R^n \to \operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)$$ छवि प्रदान करें। अर्थात्, यह यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संपन्न है जिससे इसे $$\operatorname{In}_{\R^n}$$के माध्यम से $$\R^n$$ स्थानांतरित किया गया है यह टोपोलॉजी चालू है $$\operatorname{Im} \left( \operatorname{In}_{\R^n} \right)$$ इसके द्वारा प्रेरित उपसमष्‍टि टोपोलॉजी $$\left(\R^{\infty}, \tau^{\infty}\right)$$ के बराबर है। उपसमुच्चय $$S \subseteq \R^{\infty}$$ में खुला (क्रमशः, बंद) $$\left(\R^{\infty}, \tau^{\infty}\right)$$ है  यदि और केवल यदि प्रत्येक $$n \in \N$$ के लिए सम्मुच्चय $$S \cap \operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)$$ का एक खुला (क्रमशः, बंद) उपवर्ग $$\operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)$$ है टोपोलॉजी $$\tau^{\infty}$$ उपसमष्‍टि के वर्ग के साथ $$\mathbb{S} := \left\{ \; \operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right) ~:~ n \in \N \; \right\}$$सुसंगत है। यह एलबी-स्थल में $$\left(\R^{\infty}, \tau^{\infty}\right)$$ बनाता है। नतीजतन, यदि $$v \in \R^{\infty}$$ और $$v_{\bull}$$ में क्रम $$\R^{\infty}$$ है तब $$v_{\bull} \to v$$ में $$\left(\R^{\infty}, \tau^{\infty}\right)$$ यदि और केवल यदि कुछ उपस्थित है $$n \in \N$$ ऐसा कि दोनों $$v$$ और $$v_{\bull}$$ में $$\operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)$$ निहित हैं  और $$v_{\bull} \to v$$ में $$\operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)$$। प्राय: प्रत्येक $$n \in \N,$$ के लिए  समावेशन मानचित्र $$\operatorname{In}_{\R^n}$$ पहचानने के लिए $$\R^n$$ प्रयोग किया जाता है इसकी छवि के साथ $$\operatorname{Im} \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)$$ में $$\R^{\infty};$$ स्पष्ट रूप से, तत्व $$\left( x_1, \ldots, x_n \right) \in \R^n$$ और $$\left(x_1, \ldots, x_n, 0, 0, 0, \ldots\right)$$ एक साथ पहचाने जाते हैं।

इस पहचान के अंतर्गत $$\left(\left(\R^{\infty}, \tau^{\infty}\right), \left(\operatorname{In}_{\R^n}\right)_{n \in \N}\right)$$ प्रत्यक्ष प्रणाली की प्रत्यक्ष सीमा $$\left(\left(\R^n\right)_{n \in \N}, \left(\operatorname{In}_{\R^m}^{\R^n}\right)_{m \leq n \text{ in } \N}, \N\right)$$ बन जाती है, जहां हर $$m \leq n,$$ के लिए  वो मानचित्र $$\operatorname{In}_{\R^m}^{\R^n} : \R^m \to \R^n$$ द्वारा परिभाषित समावेशन मानचित्र है $$\operatorname{In}_{\R^m}^{\R^n}\left(x_1, \ldots, x_m\right) := \left(x_1, \ldots, x_m, 0, \ldots, 0\right),$$ जहाँ n-m अनुगामी शून्य हैं।

श्रेणीबद्ध विवरण
श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, अंतिम टोपोलॉजी निर्माण को निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। $$Y$$ एक असतत श्रेणी $$J$$ से सांस्थितिक समष्टि की श्रेणी का एक प्रकार्यक है, जो $$i \in J$$ के लिए रिक्त स्थान $$Y_i$$ का चयन करता है। मान लीजिये $$\Delta$$ शीर्ष से शीर्ष फलक श्रेणी के लिए विकर्ण प्रकार्यक बनेंJ (यह प्रकार्यक प्रत्येक स्थान भेजता है $$X$$ निरंतर कारक के लिए $$X$$). अल्पविराम श्रेणी $$(Y \,\downarrow\, \Delta)$$ तब से सह-शंकु की श्रेणी $$Y$$ है, यानी वस्तुओं में $$(Y \,\downarrow\, \Delta)$$ $$(X, f)$$ जोड़े हैं जहाँ $$f_i : Y_i \to X$$ निरंतर मानचित्र का वर्ग $$X$$ है, यदि $$Y$$ शीर्ष से सम्मुच्चय तक भुलक्कड़ प्रकार्यक है और Δ' सम्मुच्चय से सम्मुच्चयJ तक का विकर्ण प्रकार्यक है फिर अल्पविराम श्रेणी $$\left(UY \,\downarrow\, \Delta^{\prime}\right)$$ से सभी सह-शंकु की श्रेणी $$UY$$ है। अंतिम टोपोलॉजी निर्माण को तब से एक प्रकार्यक के रूप $$\left(UY \,\downarrow\, \Delta^{\prime}\right)$$ को $$(Y \,\downarrow\, \Delta)$$ में वर्णित किया जा सकता है यह प्रकार्यक संबंधित भुलक्कड़ प्रकार्यक के लिए सहायक प्रकार्यक है।

यह भी देखें

 * प्रारंभिक टोपोलॉजी
 * एलबी-स्थल
 * एलएफ-स्थल
 * एलबी-स्थल
 * एलएफ-स्थल

संदर्भ

 * . (Provides a short, general introduction in section 9 and Exercise 9H)
 * . (Provides a short, general introduction in section 9 and Exercise 9H)