अर्न प्रॉब्लेम

संभाव्यता और आंकड़ों में, एक कलश समस्या एक आदर्श विचार प्रयोग है जिसमें वास्तविक रुचि की कुछ वस्तुओं (जैसे परमाणु, लोग, कार, आदि) को एक कलश या अन्य कंटेनर में रंगीन गेंदों के रूप में दर्शाया जाता है। कोई कलश से एक या अधिक गेंदें निकालने का नाटक करता है; लक्ष्य एक या दूसरे रंग को चित्रित करने की संभावना निर्धारित करना है, या कुछ अन्य गुण. नीचे कई महत्वपूर्ण विविधताओं का वर्णन किया गया है।

एक कलश मॉडल या तो संभावनाओं का एक सेट है जो एक कलश समस्या के भीतर घटनाओं का वर्णन करता है, या यह एक संभाव्यता वितरण है, या कलश समस्याओं से जुड़े यादृच्छिक चर के ऐसे वितरणों का एक परिवार है।

इतिहास
प्रक्षेपित करने की कला (1713) में, जैकब बर्नौली ने एक कलश से निकाले गए कई कंकड़ों को देखते हुए, कलश के भीतर विभिन्न रंग के कंकड़ के अनुपात को निर्धारित करने की समस्या पर विचार किया। इस समस्या को व्युत्क्रम संभाव्यता समस्या के रूप में जाना जाता था, और यह अठारहवीं शताब्दी में शोध का विषय था, जिसने अब्राहम डी मोइवरे और थॉमस बेयस का ध्यान आकर्षित किया।

बर्नौली ने लैटिन शब्द विक्ट:अर्ना#लैटिन का उपयोग किया, जिसका मुख्य अर्थ मिट्टी का बर्तन है, लेकिन यह शब्द मतपत्र या लॉट इकट्ठा करने के लिए किसी भी प्रकार के बर्तन के लिए प्राचीन रोम में भी इस्तेमाल किया जाता है; मतपेटी के लिए वर्तमान इतालवी भाषा का शब्द अभी भी wikt:urna#Italian है। बर्नौली की प्रेरणा शायद लॉटरी, चुनाव या मौका के खेल रहे होंगे जिसमें एक कंटेनर से गेंदें निकालना शामिल था, और यह दावा किया गया है कि मध्ययुगीन और पुनर्जागरण वेनिस में चुनाव, जिसमें वेनिस के डोगे भी शामिल थे, में अक्सर चिट्ठी डालकर स्थिर करना  शामिल होता था, जिसमें एक कलश से निकाली गई विभिन्न रंगों की गेंदों का उपयोग किया जाता था।

मूल कलश मॉडल
संभाव्यता सिद्धांत में इस मूल कलश मॉडल में, कलश में x सफेद और y काली गेंदें होती हैं, जो एक साथ अच्छी तरह मिश्रित होती हैं। कलश से यादृच्छिक रूप से एक गेंद निकाली जाती है और उसका रंग देखा जाता है; फिर इसे वापस कलश में रख दिया जाता है (या नहीं), और चयन प्रक्रिया दोहराई जाती है। इस मॉडल में जिन संभावित प्रश्नों का उत्तर दिया जा सकता है वे हैं:
 * क्या मैं n अवलोकनों से सफेद और काली गेंदों के अनुपात का अनुमान लगा सकता हूँ? किस स्तर के आत्मविश्वास के साथ?
 * x और y को जानते हुए, एक विशिष्ट अनुक्रम (उदाहरण के लिए एक सफेद के बाद एक काला) निकालने की संभावना क्या है?
 * यदि मैं केवल n गेंदें देखता हूँ, तो मैं कितना आश्वस्त हो सकता हूँ कि कोई काली गेंदें नहीं हैं? (पहले और दूसरे प्रश्न दोनों में भिन्नता)

कलश समस्याओं के उदाहरण

 * बीटा-द्विपद मॉडल|बीटा-द्विपद वितरण: जैसा ऊपर बताया गया है, सिवाय इसके कि हर बार जब एक गेंद देखी जाती है, तो उसी रंग की एक अतिरिक्त गेंद कलश में जोड़ दी जाती है। इसलिए, कलश में कुल गेंदों की संख्या बढ़ जाती है। पोल्या कलश मॉडल देखें।
 * द्विपद वितरण: सफल ड्रॉ (परीक्षण) की संख्या का वितरण, यानी सफेद गेंदों का निष्कर्षण, काले और सफेद गेंदों के साथ एक कलश में प्रतिस्थापन के साथ दिए गए एन ड्रॉ। * हॉप कलश: एक अतिरिक्त गेंद के साथ एक पोल्या कलश जिसे म्यूटेटर कहा जाता है। जब म्यूटेटर निकाला जाता है तो इसे पूरी तरह से नए रंग की एक अतिरिक्त गेंद के साथ बदल दिया जाता है।
 * हाइपरजियोमेट्रिक वितरण: एक बार निकाले जाने के बाद गेंदें कलश में वापस नहीं आतीं। इसलिए, कलश में कुल कंचों की संख्या कम हो जाती है। प्रतिस्थापन के साथ ड्राइंग के विरोध में इसे प्रतिस्थापन के बिना ड्राइंग कहा जाता है।
 * हाइपरजियोमेट्रिक वितरण#मल्टीवेरिएट हाइपरजियोमेट्रिक वितरण: गेंदें एक बार निकाले जाने के बाद कलश में वापस नहीं आतीं, बल्कि दो से अधिक रंगों की गेंदों के साथ वापस आती हैं। * ज्यामितीय वितरण: पहले सफल (सही रंग वाले) ड्रा से पहले ड्रा की संख्या। * मिश्रित प्रतिस्थापन/गैर-प्रतिस्थापन: कलश में काली और सफेद गेंदें हैं। जबकि काली गेंदों को ड्रॉ (प्रतिस्थापन नहीं) के बाद अलग रख दिया जाता है, जबकि सफेद गेंदों को ड्रॉ (प्रतिस्थापन) के बाद कलश में वापस कर दिया जाता है। m निकालने के बाद निकाली गई काली गेंदों की संख्या का वितरण क्या है?
 * बहुपद वितरण: दो से अधिक रंगों की गेंदें होती हैं। हर बार जब एक गेंद निकाली जाती है, तो उसे दूसरी गेंद निकालने से पहले वापस कर दिया जाता है। इसे 'डिब्बे में गेंद डालने की समस्या' के नाम से भी जाना जाता है।
 * नकारात्मक द्विपद वितरण: विफलताओं की एक निश्चित संख्या (गलत रंग वाले ड्रॉ) होने से पहले ड्रॉ की संख्या।
 * अधिभोग समस्या: कूपन संग्राहक की समस्या और जन्मदिन की समस्या से संबंधित n कलशों में k गेंदों के यादृच्छिक असाइनमेंट के बाद कब्जे वाले कलशों की संख्या का वितरण।
 * पोल्या कलश मॉडल|पोल्या कलश: हर बार जब एक विशेष रंग की गेंद निकाली जाती है, तो उसे उसी रंग की एक अतिरिक्त गेंद के साथ बदल दिया जाता है।
 * सांख्यिकीय भौतिकी: ऊर्जा और वेग वितरण की व्युत्पत्ति।
 * एल्सबर्ग विरोधाभास।

यह भी देखें

 * गेंदों को डिब्बे में डालें
 * सिक्का उछालने की समस्या
 * कूपन संग्राहक की समस्या
 * डिरिचलेट-बहुपद वितरण
 * गैरकेंद्रीय हाइपरज्यामितीय वितरण

अग्रिम पठन

 * Johnson, Norman L.; and Kotz, Samuel (1977); Urn Models and Their Application: An Approach to Modern Discrete Probability Theory, Wiley ISBN 0-471-44630-0
 * Mahmoud, Hosam M. (2008); Pólya Urn Models, Chapman & Hall/CRC. ISBN 1-4200-5983-1