स्यूडोग्रुप

गणित में, एक स्यूडोग्रुप एक स्थान के खुले सेटों के बीच भिन्नता का एक सेट है, जो समूह-समान और शीफ-समान गुणों को संतुष्ट करता है। यह एक समूह (गणित) की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है, जो सोफस झूठ के ज्यामितीय दृष्टिकोण से उत्पन्न हुआ है। सार बीजगणित (जैसे अर्धसमूह, उदाहरण के लिए) के बजाय अंतर समीकरणों की समरूपता की जांच करने के लिए। स्यूडोग्रुप्स का आधुनिक सिद्धांत 1900 की शुरुआत में एली कार्टन द्वारा विकसित किया गया था।

परिभाषा
एक स्यूडोग्रुप किसी दिए गए यूक्लिडियन अंतरिक्ष के खुले सेट यू पर परिभाषित होमोमोर्फिज्म (क्रमशः, डिफियोमोर्फिज्म) के एक सेट पर कई शर्तें लगाता है या आमतौर पर एक निश्चित टोपोलॉजिकल स्पेस (क्रमशः, अलग करने योग्य कई गुना) का होता है। दो होमियोमोर्फिज्म के बाद से h : U → V तथा g : V → W U से W तक एक होमोमोर्फिज्म की रचना करें, कोई पूछता है कि रचना और व्युत्क्रम के तहत स्यूडोग्रुप बंद है। हालांकि, एक समूह के सिद्धांतों के विपरीत, छद्म समूह को परिभाषित करने वाले सिद्धांत विशुद्ध रूप से बीजगणितीय नहीं होते हैं; आगे की आवश्यकताएं होमोमोर्फिज्म को प्रतिबंधित करने और पैच करने की संभावना से संबंधित हैं (शेफ के वर्गों के लिए ग्लूइंग स्वयंसिद्ध के समान)।

अधिक सटीक रूप से, एक स्थलीय स्थान पर एक 'छद्म समूह' $S$ एक संग्रह है $Γ$ के खुले उपसमुच्चय के बीच होमोमोर्फिज्म का $S$ निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करना:
 * 1) तत्वों का डोमेन $g$ में $Γ$ ढकना $S$ ( ढकना )।
 * 2) एक तत्व का प्रतिबंध $g$ में $Γ$ इसके डोमेन में निहित किसी भी खुले सेट में भी है $Γ$ (प्रतिबंध)।
 * 3) रचना $g$ ○ $h$ के दो तत्वों का $Γ$, जब परिभाषित किया गया है, में है $Γ$ ( संयोजन )।
 * 4) के एक तत्व का व्युत्क्रम $g$ में है $Γ$ ( श्लोक में )।
 * 5) लेटने का गुण $Γ$ स्थानीय है, यानी अगर $g $: $U$ → $V$ के खुले सेटों के बीच एक होमोमोर्फिज्म है $S$ तथा $U$ खुले सेटों द्वारा कवर किया गया है $U_{i}$ साथ $g$ के लिए प्रतिबंधित $U_{i}$ में लेटा हुआ $Γ$ प्रत्येक के लिए $i$, फिर $g$ में भी है $Γ$ ( स्थानीय )।

परिणामस्वरूप किसी भी खुले उपसमुच्चय की पहचान होमोमोर्फिज्म $S$ में निहित है $Γ$.

इसी तरह, एक स्मूथ मैनिफोल्ड पर एक स्यूडोग्रुप $X$ संग्रह के रूप में परिभाषित किया गया है $Γ$ के खुले उपसमुच्चय के बीच भिन्नता का $X$ अनुरूप गुणों को संतुष्ट करना (जहां हम होमोमोर्फिज्म को डिफियोमोर्फिज्म से बदल देते हैं)। दो अंक अंदर $X$ कहा जाता है कि यदि कोई तत्व एक ही कक्षा में है Γ एक को दूसरे को भेजता है। स्यूडोग्रुप की कक्षाएँ स्पष्ट रूप से एक विभाजन बनाती हैं $X$; एक स्यूडोग्रुप को सकर्मक कहा जाता है यदि इसकी केवल एक कक्षा हो।

उदाहरण
किसी दिए गए ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करने वाले स्यूडोग्रुप्स द्वारा उदाहरणों का एक व्यापक वर्ग दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि (एक्स, जी) एक रीमैनियन कई गुना है, तो इसके स्थानीय आइसोमेट्री का स्यूडोग्रुप है; अगर (एक्स, ω) एक सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड है, तो किसी के पास स्थानीय सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म का स्यूडोग्रुप है; आदि। इन छद्म समूहों को इन संरचनाओं की स्थानीय समरूपता के समुच्चय के रूप में माना जाना चाहिए।

समरूपता और ज्यामितीय संरचनाओं के छद्म समूह
अतिरिक्त संरचनाओं के साथ मैनिफोल्ड्स को अक्सर एक निश्चित स्थानीय मॉडल के समरूपता के छद्म समूह का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। अधिक सटीक, एक छद्म समूह दिया गया $Γ$, एक एटलस (टोपोलॉजी) |$Γ$-एटलस एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर $S$ में एक मानक एटलस होता है $S$ जैसे कि निर्देशांक के परिवर्तन (अर्थात संक्रमण मानचित्र) से संबंधित हैं $Γ$. Γ-एटलस के समतुल्य वर्ग को a भी कहा जाता है$Γ$-संरचना चालू $S$.

विशेष रूप से, कब $Γ$ R के सभी स्थानीय रूप से परिभाषित भिन्नताओं का छद्म समूह हैn, एक चिकनी एटलस और एक चिकनी संरचना की मानक धारणा को पुनः प्राप्त करता है। अधिक सामान्यतः, निम्नलिखित वस्तुओं को परिभाषित किया जा सकता है $Γ$एक स्थलीय स्थान पर संरचनाएं $S$:


 * फ्लैट मैनिफोल्ड, के लिए $Γ$ आर के आइसोमेट्री के स्यूडोग्रुपn प्रामाणिक यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ;
 * सहानुभूतिपूर्ण संरचना, के लिए $Γ$ आर के सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म का स्यूडोग्रुप2n विहित सहानुभूतिपूर्ण रूप के साथ;
 * विश्लेषणात्मक कई गुना, के लिए $Γ$ विश्लेषणात्मक कार्य का स्यूडोग्रुप |एन;
 * रीमैन सतह, के लिए $Γ$ एक जटिल चर के व्युत्क्रम समारोह होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन का छद्म समूह।

अधिक आम तौर पर, कई गुना पर कोई भी पूर्ण जी-संरचना$G$-संरचना और कोई भी (जी, एक्स) - कई गुना |($G$, $X$)-कई गुना की विशेष स्थितियाँ हैं $Γ$-संरचनाएं, उपयुक्त स्यूडोग्रुप्स के लिए $Γ$.

स्यूडोग्रुप्स और लाई थ्योरी
सामान्य तौर पर, स्यूडोग्रुप्स का अध्ययन लाइ_ग्रुप#इनफिनिट-डायमेंशनल_ली_ग्रुप्स|अनंत-डायमेंशनल लाइ ग्रुप्स के संभावित सिद्धांत के रूप में किया गया था। एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष की उत्पत्ति के पड़ोस (गणित) में परिभाषित कार्यों के छद्म समूह नामक एक स्थानीय झूठ समूह की अवधारणा $E$, वास्तव में लाइ समूह की मूल अवधारणा के करीब है, ऐसे मामले में जहां परिवर्तन शामिल हैं, कई गुना के माध्यम से समकालीन परिभाषा की तुलना में मापदंडों की एक सीमित संख्या पर निर्भर करते हैं। कार्टन की उपलब्धियों में शामिल बिंदुओं को स्पष्ट करना था, जिसमें यह बिंदु भी शामिल है कि एक स्थानीय लाई समूह हमेशा एक वैश्विक समूह को जन्म देता है, वर्तमान अर्थों में (ली के तीसरे प्रमेय का एक एनालॉग, एक समूह का निर्धारण करने वाले लाई बीजगणित पर)। औपचारिक समूह अभी तक झूठ समूहों के विनिर्देशन के लिए एक और दृष्टिकोण है, असीम रूप से। हालांकि, यह ज्ञात है कि स्थानीय टोपोलॉजिकल समूहों के पास वैश्विक समकक्ष नहीं हैं।

अनंत-आयामी स्यूडोग्रुप्स के उदाहरण लाजिमी हैं, जो कि सभी भिन्नताओं के स्यूडोग्रुप से शुरू होते हैं $E$. रुचि मुख्य रूप से डिफियोमोर्फिज्म के उप-छद्मसमूहों में है, और इसलिए उन वस्तुओं के साथ जिनके पास सदिश क्षेत्रों का झूठा बीजगणित एनालॉग है। कंप्यूटर बीजगणित की प्रगति को देखते हुए इन वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए लाई और कार्टन द्वारा प्रस्तावित तरीके अधिक व्यावहारिक हो गए हैं।

1950 के दशक में, कार्टन के सिद्धांत को शिंग-शेन चेर्न द्वारा सुधारा गया था, और स्यूडोग्रुप्स के लिए एक सामान्य विरूपण सिद्धांत कुनिहिको कोडैरा द्वारा विकसित किया गया था। और डी.सी. स्पेंसर। 1960 के दशक में सजातीय बीजगणित को मूल आंशिक अंतर समीकरण प्रश्नों पर लागू किया गया था, जिसमें अति-निर्धारण; हालांकि इससे पता चला कि सिद्धांत का बीजगणित संभावित रूप से बहुत भारी है। उसी दशक में वर्तमान बीजगणित के आकार में पहली बार अनंत-आयामी झूठ सिद्धांत के सैद्धांतिक भौतिकी के लिए रुचि दिखाई दी।

सहजता से, एक छद्म समूह एक छद्म समूह होना चाहिए जो पीडीई की एक प्रणाली से उत्पन्न होता है। साहित्य में कई समान लेकिन असमान धारणाएँ हैं;    सही व्यक्ति इस बात पर निर्भर करता है कि उसके मन में कौन सा अनुप्रयोग है। हालाँकि, इन सभी विभिन्न दृष्टिकोणों में (परिमित- या अनंत-आयामी) जेट बंडल शामिल है $Γ$, जिन्हें लाइ ग्रुपॉयड कहा जाता है। विशेष रूप से, झूठ छद्म समूह को परिमित आदेश कहा जाता है $k$अगर इसे इसके स्थान से पुनर्निर्मित किया जा सकता है $k$-जेट (गणित)।

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