व्रेथ गुणनफल

समूह सिद्धांत में, व्रेथ गुणनफल अर्ध-प्रत्यक्ष गुणनफल पर आधारित दो समूह (गणित) का एक विशेष संयोजन है। यह एक समूह की क्रिया (समूह सिद्धांत) द्वारा दूसरे समूह की कई प्रतियों पर बनता है, जो कुछ हद तक घातांक के अनुरूप होता है। व्रेथ उत्पादों का उपयोग क्रमचय समूहों के वर्गीकरण में किया जाता है और समूहों के रोचक उदाहरणों के निर्माण का एक तरीका भी प्रदान करता है।

$$A$$ और $$H$$ दो समूह दिए गए हैं (कभी-कभी नीचे और ऊपर के रूप में जाना जाता है ), व्रेथ गुणनफल के दो रूप उपस्थित हैं: अप्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल $$A \text{ Wr } H$$ और प्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल $$A \text{ wr } H$$। सामान्य रूप, जिसे क्रमशः $$A \text{ Wr}_{\Omega} H$$ या $$A \text{ wr}_{\Omega} H$$ द्वारा निरूपित किया जाता है उनके लिए आवश्यक है कि $$H$$ कुछ सम्मुच्चय $$\Omega$$ पर समूह क्रिया (गणित) करे। जब अनिर्दिष्ट होता है, सामान्यतः $$\Omega = H$$ (एक नियमित व्रेथ गुणनफल), हालांकि एक अलग $$\Omega$$ कभी-कभी निहित होता है। जब $$A$$, $$H$$, और $$\Omega$$ सभी परिमित होते हैं, तब दो भिन्नताएं मेल खाती हैं। अन्यतर भिन्नता को $$A \wr H$$  (लाटेक्स प्रतीक के लिए \wr के साथ) या $$A \wr H$$ (एकल कूट U+2240) के रूप में भी दर्शाया जाता है।

यह धारणा अर्धसमूहों के लिए सामान्यीकृत है और परिमित अर्धसमूहों क्रोह्न-रोड्स सिद्धांत में एक केंद्रीय निर्माण है।

परिभाषा
मान लीजिये A एक समूह है और H एक सम्मुच्चय पर कार्य करने वाला $$\Omega$$ समूह है। $$A$$ का प्रत्यक्ष उत्पादन $$A^{\Omega}$$ स्वयम् $$\Omega$$ द्वारा अनुक्रमित क्रम $$\overline{a} = (a_{\omega})_{\omega \in \Omega}$$ $$A$$ में $$\Omega$$ द्वारा अनुक्रमित बिंदुवार गुणन द्वारा दिए गए समूह संचालन का समुच्चय है। $$\Omega$$ पर $$H$$ की क्रिया को $$A^{\Omega}$$ पर एक क्रिया के लिए रीइन्डेक्सिंग द्वारा विस्तारित किया जा सकता है, अर्थात् निम्नलिखित को परिभाषित करके


 * $$ h \cdot (a_{\omega})_{\omega \in \Omega} := (a_{h^{-1} \cdot \omega})_{\omega \in \Omega}$$

सभी $$h \in H$$ के लिए और सभी $$(a_{\omega})_{\omega \in \Omega} \in A^{\Omega}$$ के लिए है।

फिर $$H$$द्वारा $$A$$ का अप्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल $$A \text{ Wr}_{\Omega} H$$ अर्ध-प्रत्यक्ष गुणनफल $$A^{\Omega} \rtimes H$$ ऊपर दिए गए $$A^{\Omega}$$ पर $$H$$ की क्रिया है। उपसमूह $$A^{\Omega}$$ को $$A^{\Omega} \rtimes H$$ व्रेथ गुणनफल का आधार कहा जाता है।

प्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल $$A \text{ wr}_{\Omega} H$$ अप्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल के रूप में उसी तरह बनाया गया है, अतिरिक्त इसके कि व्रेथ गुणनफल के आधार के रूप में समूहों के प्रत्यक्ष योग का उपयोग किया जाता है। इस स्तिथि में, आधार में सभी अनुक्रम $$A$$ निश्चित रूप से कई गैर-पहचान प्रविष्टियों के साथ होते हैं ।

सबसे सामान्य स्तिथि में, $$\Omega = H$$ और $$H$$ बाएं गुणन द्वारा स्वयं पर कार्य करता है। इस स्तिथि में, अप्रतिबंधित और प्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल $$A \text{ Wr } H$$ और $$A \text{ wr } H$$ द्वारा क्रमश निरूपित किया जा सकता है। इसे नियमित व्रेथ गुणनफल कहा जाता है।

अंकन और परंपराएँ
H द्वारा A के व्रेथ गुणनफल की संरचना H-सम्मुच्चय Ω पर निर्भर करती है और स्तिथियों में Ω अनंत है, यह इस बात पर भी निर्भर करता है कि कोई प्रतिबंधित या अप्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल का उपयोग करता है या नहीं। हालाँकि, साहित्य में प्रयुक्त संकेतन में कमी हो सकती है और परिस्थितियों पर ध्यान देने की आवश्यकता है।


 * रचना में A≀ΩH अप्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल A WrΩH या प्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल A wrΩH का अर्थ हो सकता है।
 * इसी तरह, A≀H अप्रतिबंधित नियमित व्रेथ गुणनफल A Wr H या प्रतिबंधित नियमित व्रेथ गुणनफल A wr H का अर्थ हो सकता है।
 * साहित्य में H-सम्मुच्चय Ω को अंकन से छोड़ा जा सकता है भले ही Ω ≠ H है।
 * विशेष स्तिथि में कि H = Sn घात n का सममित समूह है रचना में यह मान लेना सामान्य है कि Ω = {1,...,n} (Sn की प्राकृतिक क्रिया के साथ) और फिर Ω को अंकन से हटा दें। यानी A≀Sn सामान्यतः A≀{1,...,n}Sn को दर्शाता है नियमित व्रेथ गुणनफल A≀S nSn के स्थान पर पहले की स्तिथि में आधार समूह A की n प्रतियों का गुणनफल है, उत्तरार्द्ध में यह A की n प्रतियों का गुणनफल है।

परिमित Ω पर अप्रतिबंधित और प्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल का समझौता
चूँकि परिमित प्रत्यक्ष गुणनफल समूहों के परिमित प्रत्यक्ष योग के समान है, यह इस प्रकार है कि अप्रतिबंधित A WrΩH और प्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल A wrΩH सहमत है यदि H-सम्मुच्चय Ω परिमित है। विशेष रूप से यह तब सत्य होता है जब Ω = H परिमित होता है।

उपसमूह
A WRΩH हमेशा A WrΩ H का उपसमूह होता है।

गणनांक
यदि A, H और Ω परिमित हैं, तो
 * |A≀ΩH| = |A|undefined|H|.

सार्वभौमिक अंतःस्थापन प्रमेय
सार्वभौमिक अंतःस्थापन प्रमेय यदि G, H द्वारा A का एक समूह विस्तार है, तो अप्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल A≀H का एक उपसमूह उपस्थित है जो G के लिए समरूपी है। इसे क्रास्नर-कलौजिनिन अंतःस्थापन प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है। क्रोहन-रोड्स प्रमेय में वह सम्मिलित है जो मूल रूप से इसके समतुल्य अर्धसमूह है।

व्रेथ उत्पादों की विहित क्रियाएं
यदि समूह A एक सम्मुच्चय Λ पर कार्य करता है तो Ω और Λ से सम्मुच्चय बनाने के दो विहित तरीके हैं जिन पर A WrΩH (और इसलिए A WRΩH) कार्य कर सकता है।


 * Λ × Ω पर व्रेथ गुणनफल क्रिया।
 * अगर ((aω),h) ∈ A WrΩ H और (λ,ω&prime;) ∈ Λ × Ω, तब
 * $$((a_\omega), h) \cdot (\lambda,\omega') := (a_{h(\omega')}\lambda, h\omega'). $$
 * ΛΩ पर आदिम व्रेथ गुणनफल क्रिया।
 * ΛΩ में एक तत्व एक क्रम (λω) H-सम्मुच्चय Ω द्वारा अनुक्रमित है। एक तत्व ((aω), h) ∈ A WrΩ H दिया गया है, (λω) ∈ ΛΩ पर इसका संचालन निम्नलिखित द्वारा दिया गया है
 * $$((a_\omega), h) \cdot (\lambda_\omega) := (a_{h^{-1}\omega}\lambda_{h^{-1}\omega}).$$

उदाहरण

 * लैम्पलाइटर समूह प्रतिबंधित व्रेथ गुणनफल ℤ2≀ℤ है।
 * $ℤ_{m}≀S_{n}$ (सामान्यीकृत सममित समूह)।


 * इस व्रेथ गुणनफल का आधार n-गुना प्रत्यक्ष गुणनफल है


 * ℤmn = ℤm × ... × ℤm
 * ℤm की प्रतियों का जहां क्रिया φ : Sn → Aut(ℤmn) सममित समूह Sn की घात n निम्नलिखित द्वारा दी गई है


 * φ(σ)(α1,..., αn) := (ασ(1),..., ασ(n))


 * S2≀Sn (हाइपरऑक्टाहेड्रल समूह)।


 * Sn {1,...,n} की क्रिया ऊपर जैसी है। चूँकि सममित समूह S2 घात 2 का समूह समरूपता ℤ2 है तो हाइपरऑक्टाहेड्रल समूह सामान्यीकृत सममित समूह की एक विशेष स्तिथि है।


 * सबसे छोटा गैर-तुच्छ व्रेथ गुणनफल ℤ2≀ℤ2 है, जो उपरोक्त हाइपरऑक्टाहेड्रल समूह की द्वि-आयामी स्तिथि है। यह वर्ग का सममिति समूह है, जिसे Dih4 भी कहते हैं, क्रम 8 का द्वितल समूह।
 * मान लीजिए p एक अभाज्य संख्या है और मान लीजिए n≥1 है। P को सममित समूह Spn के साइलो p-उपसमूह प्रमेय होने दें। फिर P पुनरावृत्त नियमित व्रेथ गुणनफल Wn = ℤp ≀ ℤp≀...≀ℤp ℤ के लिए समूह समरूपता है। यहां सभी k ≥ 2 के लिए W1 := ℤp और Wk := Wk−1≀ℤp है।  उदाहरण के लिए, S4 का सिलो 2-उपसमूह उपरोक्त  ℤ2≀ℤ2 समूह है।


 * रुबिक का घन समूह व्रेथ उत्पादों के गुणनफल में सूचकांक 12 का एक उपसमूह (ℤ3≀S8) × (ℤ2≀S12), 8 कोनों और 12 किनारों की समरूपता के अनुरूप कारक है।


 * सुडोकू वैधता संरक्षण परिवर्तन (वीपीटी) समूह में युग्म व्रेथ गुणनफल (S3 ≀ S3) ≀ S2 सम्मिलित है, जहां कारक 3-पंक्ति या 3-स्तंभ पट्टी या ढेर (S3) के भीतर पंक्तियों/स्तंभों का क्रमचय है, पट्टी/ढेर का क्रमपरिवर्तन स्वयं (S3) और प्रतिस्थापन, जो पट्टी और ढेर (S2) को अंतर्विनिमय करता है। यहां, सूचकांक सम्मुच्चय Ω पट्टी (प्रतिक्रिया ढेर) (| Ω | = 3) और सम्मुच्चय {पट्टी, ढेर} (| Ω | = 2) का सम्मुच्चय है। तदनुसार, |S3 ≀ S3| = |S3|3|S3| = (3!)4 और |(S3 ≀ S3) ≀ S2| = |S3 ≀ S3|2|S2| = (3!)8 × 2।
 * व्रेथ गुणनफल स्वाभाविक रूप से पूर्ण जड़ वाले तरू (डेटा संरचना) और उनके आलेख (असतत गणित) के समरूपता समूह में उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, बार-बार (पुनरावृत्त) व्रेथ गुणनफल S2 ≀ S2 ≀ ... ≀ S2 एक पूर्ण द्वयी तरू का स्वसमाकृतिकता समूह है।

बाहरी संबंध

 * व्रेथ गुणनफल गणित के विश्वकोश में.
 * व्रेथ गुणनफल निर्माण के कुछ अनुप्रयोग.