निर्धारित पहचान और संबंधों की सूची

यह लेख गणित के गुणों और सेट (गणित) के नियमों को सूचीबद्ध करता है, जिसमें यूनियन (सेट सिद्धांत), इंटरसेक्शन (सेट सिद्धांत), और पूरक (सेट सिद्धांत) और सेट समानता (गणित) के सेट-सैद्धांतिक ऑपरेशन (गणित) शामिल हैं। ) और सबसेट सेट करें। यह इन परिचालनों और संबंधों को शामिल करते हुए, अभिव्यक्तियों के मूल्यांकन और गणना करने के लिए व्यवस्थित प्रक्रियाएं भी प्रदान करता है।

सेट यूनियन के द्विआधारी संचालन ($$\cup$$) और चौराहा ($$\cap$$) कई पहचानों को संतुष्ट करें। इनमें से कई पहचानों या कानूनों के सुस्थापित नाम हैं।

नोटेशन
इस पूरे लेख में, बड़े अक्षर (जैसे $$A, B, C, L, M, R, S,$$ और $$X$$) समुच्चयों को निरूपित करेगा। किसी पहचान के बाईं ओर, आमतौर पर, इसका उद्देश्य उन अभिव्यक्तियों में पहचान लागू करने की सुविधा प्रदान करना है जो जटिल हैं या पहचान के समान प्रतीकों का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, पहचान $$(L \,\setminus\, M) \,\setminus\, R ~=~ (L \,\setminus\, R) \,\setminus\, (M \,\setminus\, R)$$ इस प्रकार पढ़ा जा सकता है: $$(\text{Left set} \,\setminus\, \text{Middle set}) \,\setminus\, \text{Right set} ~=~ (\text{Left set} \,\setminus\, \text{Right set}) \,\setminus\, (\text{Middle set} \,\setminus\, \text{Right set}).$$
 * $$L$$ यह होंगेसबसे अधिक सेट,
 * $$M$$ यह होंगेआइडल सेट, और
 * $$R$$ यह होंगेआठवां सबसे सेट।

प्राथमिक सेट संचालन
सेट के लिए $$L$$ और $$R,$$ परिभाषित करना: $$\begin{alignat}{4} L \cup R     &&~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{~ x ~:~ x \in L \;&&\text{ or }\;\, &&\; x \in R ~\} \\ L \cap R     &&~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{~ x ~:~ x \in L \;&&\text{ and }    &&\; x \in R ~\} \\ L \setminus R &&~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{~ x ~:~ x \in L \;&&\text{ and }   &&\; x \notin R ~\} \\ \end{alignat}$$ और $$L \triangle R ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{~ x ~:~ x \text{ belongs to exactly one of } L \text{ and } R ~\}$$ जहां $$L \triangle R$$ कभी-कभी द्वारा दर्शाया जाता है $$L \ominus R$$ और बराबर: $$\begin{alignat}{4} L \;\triangle\; R ~&=~ (L ~\setminus~ &&R) ~\cup~     &&(R ~\setminus~ &&L) \\ ~&=~ (L ~\cup~     &&R) ~\setminus~ &&(L ~\cap~      &&R). \end{alignat}$$ एक सेट $$L$$ कहा जाता है कि एक और सेट $$R$$ अगर $$L \cap R \neq \varnothing.$$ ऐसे समुच्चय जो प्रतिच्छेद नहीं करते, कहलाते हैं.

का सत्ता स्थापित  $$X$$ के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय है $$X$$ और द्वारा निरूपित किया जाएगा $$\wp(X) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{~ L ~:~ L \subseteq X ~\}.$$ ब्रह्मांड सेट और पूरक संकेतन

संकेतन $$L^\complement ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ X \setminus L.$$ यदि उपयोग किया जा सकता है $$L$$ किसी समुच्चय का उपसमुच्चय है $$X$$ यह समझा जाता है (संदर्भ से कहें, या क्योंकि यह स्पष्ट रूप से कहा गया है कि सुपरसेट क्या है)। $$X$$ है)। इस बात पर जोर दिया गया है कि की परिभाषा $$L^\complement$$ संदर्भ पर निर्भर करता है. उदाहरण के लिए, था $$L$$ के उपसमुच्चय के रूप में घोषित किया गया है $$Y,$$ सेट के साथ $$Y$$ और $$X$$ फिर, जरूरी नहीं कि वे किसी भी तरह से एक-दूसरे से संबंधित हों $$L^\complement$$ संभवतः मतलब होगा $$Y \setminus L$$ के बजाय $$X \setminus L.$$ यदि इसकी आवश्यकता है तो जब तक अन्यथा सूचित न किया जाए, यही मानना ​​चाहिए $$X$$ ब्रह्मांड (गणित) को दर्शाता है, जिसका अर्थ है कि सूत्र में उपयोग किए जाने वाले सभी सेट उपसमुच्चय हैं $$X.$$ विशेष रूप से, पूरक (सेट सिद्धांत) $$L$$ द्वारा निरूपित किया जाएगा $$L^\complement$$ जहां जब तक अन्यथा इंगित न किया जाए, यह मान लिया जाना चाहिए $$L^\complement$$ के पूरक को दर्शाता है $$L$$ ब्रह्मांड में) $$X.$$

एक उपसमुच्चय शामिल
मान लीजिए $$L \subseteq X.$$ पहचान तत्व:

परिभाषा: $$e$$ बाइनरी ऑपरेटर का बायां पहचान तत्व कहा जाता है $$\,\ast\,$$ अगर $$e \,\ast\, R = R$$ सभी के लिए $$R$$ और इसे सही पहचान तत्व कहा जाता है $$\,\ast\,$$ अगर $$L \,\ast\, e = L$$ सभी के लिए $$L.$$ एक बायां पहचान तत्व जिसे पहचान तत्व कहा जाए तो वह एक दायां पहचान तत्व भी है।

खाली सेट $$\varnothing$$ बाइनरी यूनियन का एक पहचान तत्व है $$\cup$$ और सममित अंतर $$\triangle,$$ और यह सेट घटाव का एक सही पहचान तत्व भी है $$\, \setminus:$$

$$\begin{alignat}{10} L \cap X                 &\;=\;&& L &\;=\;&  X \cap L                  ~\text{ where } L \subseteq X \\[1.4ex] L \cup \varnothing       &\;=\;&& L &\;=\;& \varnothing \cup L        \\[1.4ex] L \,\triangle \varnothing &\;=\;&& L &\;=\;& \varnothing \,\triangle L \\[1.4ex] L \setminus \varnothing  &\;=\;&& L \\[1.4ex] \end{alignat}$$ लेकिन $$\varnothing$$ का बायाँ पहचान तत्व नहीं है $$\, \setminus \,$$ तब से $$\varnothing \setminus L = \varnothing$$ इसलिए $\varnothing \setminus L = L$ अगर और केवल अगर $$L = \varnothing.$$ नपुंसक $$L \ast L = L$$ और निलपोटेंट $$L \ast L = \varnothing$$:

$$\begin{alignat}{10} L \cup L                 &\;=\;&& L            && \quad \text{ (Idempotence)} \\[1.4ex] L \cap L                 &\;=\;&& L            && \quad \text{ (Idempotence)} \\[1.4ex] L \,\triangle\, L        &\;=\;&& \varnothing  && \quad \text{ (Nilpotence of index 2)} \\[1.4ex] L \setminus L            &\;=\;&& \varnothing  && \quad \text{ (Nilpotence of index 2)} \\[1.4ex] \end{alignat}$$ प्रभुत्व/शून्य तत्व:

$$\begin{alignat}{10} X \cup L                 &\;=\;&& X           &\;=\;& L \cup X ~\text{ where } L \subseteq X \\[1.4ex] \varnothing \cap L       &\;=\;&& \varnothing &\;=\;& L \cap \varnothing  \\[1.4ex] \varnothing \times L     &\;=\;&& \varnothing &\;=\;& L \times \varnothing \\[1.4ex] \varnothing \setminus L  &\;=\;&& \varnothing &\;\;& \\[1.4ex] \end{alignat}$$ लेकिन $$L \setminus \varnothing = L$$ इसलिए $L \setminus \varnothing = \varnothing \text{ if and only if } L = \varnothing.$ दोहरा पूरक या इनवोलुशन (गणित) कानून:

$$\begin{alignat}{10} X \setminus (X \setminus L) &= L &&\qquad\text{ Also written }\quad &&\left(L^\complement\right)^\complement = L &&\quad&&\text{ where } L \subseteq X \quad \text{ (Double complement/Involution law)} \\[1.4ex] \end{alignat}$$

$$L \setminus \varnothing = L$$ $$\begin{alignat}{4} \varnothing &= L          &&\setminus L \\ &= \varnothing &&\setminus L \\ &= L          &&\setminus X ~\text{ where } L \subseteq X \\ \end{alignat}$$

$$L^\complement = X \setminus L \quad \text{ (definition of notation)}$$

$$\begin{alignat}{10} L \,\cup (X \setminus L) &= X &&\qquad\text{ Also written }\quad &&L \cup L^\complement = X &&\quad&&\text{ where } L \subseteq X \\[1.4ex]

L \,\triangle (X \setminus L) &= X &&\qquad\text{ Also written }\quad &&L \,\triangle L^\complement = X &&\quad&&\text{ where } L \subseteq X \\[1.4ex]

L \,\cap (X \setminus L) &= \varnothing &&\qquad\text{ Also written }\quad &&L \cap L^\complement = \varnothing &&\quad&& \\[1.4ex] \end{alignat}$$

$$\begin{alignat}{10} X \setminus \varnothing &= X &&\qquad\text{ Also written }\quad &&\varnothing^\complement = X &&\quad&&\text{ (Complement laws for the empty set))} \\[1.4ex]

X \setminus X &= \varnothing &&\qquad\text{ Also written }\quad &&X^\complement = \varnothing &&\quad&&\text{ (Complement laws for the universe set)} \\[1.4ex] \end{alignat}$$

दो सेट शामिल
निम्नलिखित पहचानों के बायीं ओर, $$L$$ है एफ्ट मोस्ट सेट और $$R$$ है आठवां सबसे सेट। दोनों मान लें $$L \text{ and } R$$ कुछ ब्रह्माण्ड समुच्चय के उपसमुच्चय हैं $$X.$$

बाइनरी सेट संचालन के लिए सूत्र ⋂, ⋃, \, और ∆
निम्नलिखित पहचानों के बायीं ओर, $$L$$ है एफ्ट मोस्ट सेट और $$R$$ है आठवां सबसे सेट। जब भी आवश्यक हो, दोनों $$L \text{ and } R$$ इसे किसी ब्रह्माण्ड समुच्चय का उपसमुच्चय माना जाना चाहिए $$X,$$ ताकि $$L^\complement := X \setminus L \text{ and } R^\complement := X \setminus R.$$

$$\begin{alignat}{9} L \cap R &= L &&\,\,\setminus\,  &&(L &&\,\,\setminus &&R) \\ &= R &&\,\,\setminus\,  &&(R &&\,\,\setminus &&L) \\ &= L &&\,\,\setminus\,  &&(L &&\,\triangle\, &&R) \\ &= L &&\,\triangle\,    &&(L &&\,\,\setminus &&R) \\ \end{alignat}$$

$$\begin{alignat}{9} L \cup R &= (&&L \,\triangle\, R) &&\,\,\cup     && &&L &&       &&  \\ &= (&&L \,\triangle\, R) &&\,\triangle\, &&(&&L &&\cap\, &&R) \\ &= (&&R \,\setminus\, L) &&\,\,\cup     && &&L &&       &&    \text{ (union is disjoint)} \\ \end{alignat}$$

$$\begin{alignat}{9} L \,\triangle\, R &= &&R \,\triangle\, L    &&                  && &&                     && \\ &= (&&L \,\cup\, R)       &&\,\setminus\,     &&(&&L \,\,\cap\, R)      && \\ &= (&&L \,\setminus\, R)  &&\cup\,            &&(&&R \,\,\setminus\, L) && \text{ (union is disjoint)} \\ &= (&&L \,\triangle\, M)  &&\,\triangle\,     &&(&&M \,\triangle\, R)   && \text{ where } M \text{ is an arbitrary set. } \\ &= (&&L^\complement)                &&\,\triangle\,     &&(&&R^\complement)                 && \\ \end{alignat}$$

$$\begin{alignat}{9} L \setminus R &=  &&L                   &&\,\,\setminus     &&(L &&\,\,\cap       &&R) \\ &=  &&L                   &&\,\,\cap          &&(L &&\,\triangle\,  &&R) \\ &=  &&L                   &&\,\triangle\,     &&(L &&\,\,\cap       &&R) \\ &=  &&R                   &&\,\triangle\,     &&(L &&\,\,\cup       &&R) \\ \end{alignat}$$

डी मॉर्गन के नियम
डी मॉर्गन के कानून इसके लिए कहते हैं $$L, R \subseteq X:$$

$$\begin{alignat}{10} X \setminus (L \cap R) &= (X \setminus L) \cup (X \setminus R) &&\qquad\text{ Also written }\quad &&(L \cap R)^\complement = L^\complement \cup R^\complement &&\quad&&\text{ (De Morgan's law)} \\[1.4ex]

X \setminus (L \cup R) &= (X \setminus L) \cap (X \setminus R) &&\qquad\text{ Also written }\quad &&(L \cup R)^\complement = L^\complement \cap R^\complement &&\quad&&\text{ (De Morgan's law)} \\[1.4ex] \end{alignat}$$

कम्यूटेटिविटी
संघ, प्रतिच्छेदन और सममित अंतर क्रमविनिमेय संक्रियाएँ हैं:

$$\begin{alignat}{10} L \cup R               &\;=\;&& R \cup L        && \quad \text{ (Commutativity)} \\[1.4ex] L \cap R               &\;=\;&& R \cap L        && \quad \text{ (Commutativity)} \\[1.4ex] L \,\triangle R        &\;=\;&& R \,\triangle L && \quad \text{ (Commutativity)} \\[1.4ex] \end{alignat}$$ समुच्चय घटाव क्रमविनिमेय नहीं है। हालाँकि, सेट घटाव की क्रमपरिवर्तनशीलता की विशेषता हो सकती है: से $$(L \,\setminus\, R) \cap (R \,\setminus\, L) = \varnothing$$ यह इस प्रकार है कि: $$L \,\setminus\, R = R \,\setminus\, L \quad \text{ if and only if } \quad L = R.$$ अलग ढंग से कहा गया है, यदि अलग-अलग प्रतीक हमेशा अलग-अलग सेटों का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो प्रपत्र के सत्य सूत्र $$\,\cdot\, \,\setminus\, \,\cdot\, = \,\cdot\, \,\setminus\, \,\cdot\,$$ जो लिखा जा सकता है वह एक ही प्रतीक को शामिल करने वाला होगा; अर्थात्, वे फॉर्म के: $$S \,\setminus\, S = S \,\setminus\, S.$$ लेकिन ऐसे सूत्र आवश्यक रूप से सत्य हैं  बाइनरी ऑपरेशन $$\,\ast\,$$ (क्योंकि $$x \,\ast\, x = x \,\ast\, x$$ समानता (गणित) की परिभाषा के अनुसार होना चाहिए), और इसलिए इस अर्थ में, सेट घटाव क्रमविनिमेय होने के बिल्कुल विपरीत है जैसा कि बाइनरी ऑपरेशन के लिए संभव है। सेट घटाव भी न तो बायां विकल्प है और न ही दायां विकल्प; बजाय, $$(L \setminus L) \setminus R = L \setminus (L \setminus R)$$ अगर और केवल अगर $$L \cap R = \varnothing$$ अगर और केवल अगर $$(R \setminus L) \setminus L = R \setminus (L \setminus L).$$ सेट घटाव अर्ध-क्रमविनिमेय है और जॉर्डन की पहचान को संतुष्ट करता है।

दो सेटों से जुड़ी अन्य पहचान
अवशोषण नियम:

$$\begin{alignat}{4} L \cup (L \cap R) &\;=\;&& L  && \quad \text{ (Absorption)} \\[1.4ex] L \cap (L \cup R) &\;=\;&& L  && \quad \text{ (Absorption)} \\[1.4ex] \end{alignat}$$ अन्य गुण

$$\begin{alignat}{10} L \setminus R &= L \cap (X \setminus R) &&\qquad\text{ Also written }\quad &&L \setminus R = L \cap R^\complement &&\quad&&\text{ where } L, R \subseteq X \\[1.4ex]

X \setminus (L \setminus R) &= (X \setminus L) \cup R &&\qquad\text{ Also written }\quad &&(L \setminus R)^\complement = L^\complement \cup R &&\quad&&\text{ where } R \subseteq X \\[1.4ex]

L \setminus R &= (X \setminus R) \setminus (X \setminus L) &&\qquad\text{ Also written }\quad &&L \setminus R = R^\complement \setminus L^\complement &&\quad&&\text{ where } L, R \subseteq X \\[1.4ex] \end{alignat}$$ अंतराल:

$$(a, b) \cap (c, d) = (\max\{a,c\}, \min\{b,d\})$$ $$[a, b) \cap [c, d) = [\max\{a,c\}, \min\{b,d\})$$

सबसेट ⊆ और सुपरसेट ⊇
निम्नलिखित कथन किसी के लिए समतुल्य हैं $$L, R \subseteq X:$$ <द> <ली>$$L \subseteq R$$  <ली>$$L \cap R = L$$ <ली>$$L \cup R = R$$ <ली>$$L \,\triangle\, R = R \setminus L$$ <ली>$$L \,\triangle\, R \subseteq R \setminus L$$ <ली>$$L \setminus R = \varnothing$$ <ली>$$L$$ और $$X \setminus R$$ असंयुक्त हैं (अर्थात्, $$L \cap (X \setminus R) = \varnothing$$) <ली>$$X \setminus R \subseteq X \setminus L \qquad$$ (वह है, $$R^\complement \subseteq L^\complement$$) 
 * की परिभाषा : अगर $$l \in L$$ तब $$l \in R$$

निम्नलिखित कथन किसी के लिए समतुल्य हैं $$L, R \subseteq X:$$ <द> <ली>$$L \not\subseteq R$$ कुछ मौजूद हैं $$l \in L \setminus R.$$ 

समानता सेट करें
निम्न कथन समतुल्य हैं:  <ली>$$L = R$$</li> <ली>$$L \,\triangle\, R = \varnothing$$</li> <ली>$$L \,\setminus\, R = R \,\setminus\, L$$</li> </ol>

<ul> यदि $$L \cap R = \varnothing$$ तब $$L = R$$ अगर और केवल अगर $$L = \varnothing = R.$$</li> पूरकों की विशिष्टता: यदि $L \cup R = X \text{ and } L \cap R = \varnothing$ तब $$R = X \setminus L$$</li> </ul>

खाली सेट
एक सेट $$L$$ यदि वाक्य रिक्त समुच्चय का अभिगृहीत है $$\forall x (x \not\in L)$$ सत्य है, जहां अंकन $$x \not\in L$$ के लिए आशुलिपि है $$\lnot (x \in L).$$ अगर $$L$$ यदि कोई समुच्चय है तो निम्नलिखित समतुल्य हैं:  <ली>$$L$$ रिक्त नहीं है, जिसका अर्थ है कि वाक्य $$\lnot [\forall x (x \not\in L)]$$ सत्य है (शाब्दिक रूप से, इसका तार्किक निषेध)।$$L$$ क्या रिक्त सत्य है).</li> (शास्त्रीय गणित में) $$L$$ आबाद सेट है, जिसका अर्थ है: $$\exists x (x \in L)$$ </li> <ली>$$L \not\subseteq R$$ कुछ सेट के लिए $$R$$</li> </ol>
 * रचनात्मक गणित में, रिक्त नहीं और आबाद समतुल्य नहीं हैं: प्रत्येक आबाद सेट खाली नहीं है, लेकिन इसके विपरीत की हमेशा गारंटी नहीं होती है; वह है, रचनात्मक गणित में, एक सेट $$L$$ वह खाली नहीं है (जहाँ परिभाषा के अनुसार,$$L$$ खाली है का मतलब है कि कथन $$\forall x (x \not\in L)$$ सत्य है) में :wiktionary:inhabitant#English (जो एक है) नहीं हो सकता है $$x$$ ऐसा है कि $$x \in L$$).

अगर $$L$$ यदि कोई समुच्चय है तो निम्नलिखित समतुल्य हैं:  <ली>$$L$$ खाली है ($$L = \varnothing$$), अर्थ: $$\forall x (x \not\in L)$$</li> <ली>$$L \cup R \subseteq R$$ प्रत्येक सेट के लिए $$R$$</li> <ली>$$L \subseteq R$$ प्रत्येक सेट के लिए $$R$$</li> <ली>$$L \subseteq R \setminus L$$ कुछ/प्रत्येक सेट के लिए $$R$$</li> <ली>$$\varnothing / L = L$$</li> </ol>

कोई भी दिया गया $$x,$$ $$x \not\in L \setminus R \quad \text{ if and only if }\quad x \in L \cap R \; \text{ or } \; x \not\in L.$$ इसके अतिरिक्त, $$(L \setminus R) \cap R = \varnothing \qquad \text{ always holds}.$$

मिलता है, जुड़ता है, और जाली गुण
समावेशन एक आंशिक आदेश है: स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि Subset $$\,\subseteq,\,$$ जो एक बाइनरी ऑपरेशन है, इसमें निम्नलिखित तीन गुण हैं: <ul> प्रतिवर्ती संबंध: $L \subseteq L$ </li> एंटीसिमेट्रिक संबंध: $(L \subseteq R \text{ and } R \subseteq L) \text{ if and only if } L = R$ </li> सकर्मक संबंध: $\text{If }L \subseteq M \text{ and } M \subseteq R \text{ then } L \subseteq R$ </li> </ul>

निम्नलिखित प्रस्ताव किसी भी सेट के लिए ऐसा कहता है $$S,$$ का पावर सेट $$S,$$ समावेशन द्वारा क्रमबद्ध, एक जाली (आदेश) है, और इसलिए ऊपर दिए गए वितरण और पूरक कानूनों के साथ, यह दर्शाता है कि यह एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है।

सबसे छोटे तत्व और सबसे बड़े तत्व का अस्तित्व: $$\varnothing \subseteq L \subseteq X$$ जुड़ें (गणित)/सुप्रीम मौजूद हैं: $$L \subseteq L \cup R$$ संगठन $$L \cup R$$ का सम्मिलित/सर्वोच्च है $$L$$ और $$R$$ इसके संबंध में $$\,\subseteq\,$$ क्योंकि:  <ली>$$L \subseteq L \cup R$$ और $$R \subseteq L \cup R,$$ और</li> यदि $$Z$$ एक सेट ऐसा है $$L \subseteq Z$$ और $$R \subseteq Z$$ तब $$L \cup R \subseteq Z.$$</li> </ol>

चौराहा $$L \cap R$$ का सम्मिलित/सर्वोच्च है $$L$$ और $$R$$ इसके संबंध में $$\,\supseteq.\,$$ मिलें (गणित)/इन्फीमम्स मौजूद हैं: $$L \cap R \subseteq L$$ चौराहा $$L \cap R$$ का मिलन/अतिरिक्त है $$L$$ और $$R$$ इसके संबंध में $$\,\subseteq\,$$ क्योंकि:  यदि $$L \cap R \subseteq L$$ और $$L \cap R \subseteq R,$$ और</li> यदि $$Z$$ एक सेट ऐसा है $$Z \subseteq L$$ और $$Z \subseteq R$$ तब $$Z \subseteq L \cap R.$$</li> </ol>

संगठन $$L \cup R$$ का मिलन/अतिरिक्त है $$L$$ और $$R$$ इसके संबंध में $$\,\supseteq.\,$$ अन्य समावेशन गुण:

$$L \setminus R \subseteq L$$ $$(L \setminus R) \cap L = L \setminus R$$ <ul> यदि $$L \subseteq R$$ तब $$L \,\triangle\, R = R \setminus L.$$</li> यदि $$L \subseteq X$$ और $$R \subseteq Y$$ तब $$L \times R \subseteq X \times Y$$</li> </ul>

तीन सेट शामिल
निम्नलिखित पहचानों के बायीं ओर, $$L$$ है सबसे अधिक सेट, $$M$$ है आइडल सेट, और $$R$$ है आठवां सबसे सेट।

वरीयता नियम

बुनियादी सेट ऑपरेटरों के प्राथमिकता नियम पर कोई सार्वभौमिक सहमति नहीं है। फिर भी, कई लेखक सेट ऑपरेटरों के लिए प्राथमिकता नियमों का उपयोग करते हैं, हालांकि ये नियम लेखक के अनुसार भिन्न होते हैं।

एक सामान्य परंपरा है प्रतिच्छेदन को संबद्ध करना $$L \cap R = \{x : (x \in L) \land (x \in R)\}$$ तार्किक संयोजन के साथ|तार्किक संयोजन (और) $$L \land R$$ और सहयोगी संघ $$L \cup R = \{x : (x \in L) \lor (x \in R)\}$$ तार्किक वियोजन के साथ|तार्किक वियोजन (या) $$L \lor R,$$ और फिर लॉजिकल संयोजक # प्राथमिकता के क्रम को स्थानांतरित करें (जहां $$\,\land\,$$ पर प्राथमिकता है $$\,\lor\,$$) इन सेट ऑपरेटरों को, जिससे देना $$\,\cap\,$$ पर वरीयता $$\,\cup.\,$$ तो उदाहरण के लिए, $$L \cup M \cap R$$ इसका मतलब होगा $$L \cup (M \cap R)$$ चूँकि यह तार्किक कथन से जुड़ा होगा $$L \lor M \land R ~=~ L \lor (M \land R)$$ और इसी प्रकार, $$L \cup M \cap R \cup Z$$ इसका मतलब होगा $$L \cup (M \cap R) \cup Z$$ चूँकि यह इससे संबद्ध होगा $$L \lor M \land R \lor Z ~=~ L \lor (M \land R) \lor Z.$$ कभी-कभी, पूरक (घटाव) सेट करें $$\,\setminus\,$$ तार्किक पूरक|तार्किक पूरक (नहीं) से भी जुड़ा है $$\,\lnot,\,$$ ऐसी स्थिति में इसकी सर्वोच्च प्राथमिकता होगी। अधिक विशेष रूप से, $$L \setminus R = \{x : (x \in L) \land \lnot (x \in R)\}$$ पुनः लिखा गया है $$L \land \lnot R$$ ताकि उदाहरण के लिए, $$L \cup M \setminus R$$ इसका मतलब होगा $$L \cup (M \setminus R)$$ चूँकि इसे तार्किक कथन के रूप में पुनः लिखा जाएगा $$L \lor M \land \lnot R$$ जो के बराबर है $$L \lor (M \land \lnot R).$$ दूसरे उदाहरण के लिए, क्योंकि $$L \land \lnot M \land R$$ साधन $$L \land (\lnot M) \land R,$$ जो दोनों के बराबर है $$(L \land (\lnot M)) \land R$$ और $$L \land ((\lnot M) \land R) ~=~ L \land (R \land (\lnot M))$$ (कहाँ $$(\lnot M) \land R$$ के रूप में पुनः लिखा गया $$R \land (\lnot M)$$), सूत्र $$L \setminus M \cap R$$ सेट को संदर्भित करेगा $$(L \setminus M) \cap R = L \cap (R \setminus M);$$ इसके अलावा, तब से $$L \land (\lnot M) \land R = (L \land R) \land \lnot M,$$ यह सेट भी बराबर है $$(L \cap R) \setminus M$$ (अन्य निर्धारित पहचानों को इसी तरह से प्रस्तावित कलन तार्किक तुल्यता से निकाला जा सकता है)। हालाँकि, क्योंकि सेट घटाव साहचर्य नहीं है $$(L \setminus M) \setminus R \neq L \setminus (M \setminus R),$$ एक सूत्र जैसे $$L \setminus M \setminus R$$ अस्पष्ट होगा; इस कारण से, दूसरों के बीच, सेट घटाव को अक्सर कोई प्राथमिकता नहीं दी जाती है।

सममित अंतर $$L \triangle R = \{x : (x \in L) \oplus (x \in R)\}$$ कभी-कभी एकमात्र|एक्सक्लूसिव या (एक्सओआर) से जुड़ा होता है $$L \oplus R$$ (कभी-कभी इसके द्वारा भी दर्शाया जाता है $$\,\veebar$$), जिस स्थिति में यदि प्राथमिकता का क्रम उच्चतम से निम्नतम है $$\,\lnot, \,\oplus, \,\land, \,\lor\,$$ तो सेट ऑपरेटरों के लिए प्राथमिकता का क्रम (उच्चतम से निम्नतम तक) होगा $$\,\setminus,\, \triangle,\, \cap,\, \cup.$$ अनन्य विच्छेदन की पूर्वता पर कोई सार्वभौमिक सहमति नहीं है $$\,\oplus\,$$ अन्य तार्किक संयोजकों के संबंध में, यही कारण है कि सममित अंतर है $$\,\triangle\,$$ अक्सर प्राथमिकता नहीं दी जाती।

सहयोगिता
परिभाषा: एक बाइनरी ऑपरेटर $$\,\ast\,$$ साहचर्यता कहलाती है यदि $$(L \,\ast\, M) \,\ast\, R = L \,\ast\, (M \,\ast\, R)$$ हमेशा धारण करता है.

निम्नलिखित सेट ऑपरेटर सहयोगी हैं:

$$\begin{alignat}{5} (L \cup M) \cup R              &\;=\;\;&& L \cup (M \cup R) \\[1.4ex] (L \cap M) \cap R              &\;=\;\;&& L \cap (M \cap R) \\[1.4ex] (L \,\triangle M) \,\triangle R &\;=\;\;&& L \,\triangle (M \,\triangle R) \\[1.4ex] \end{alignat}$$ सेट घटाव के लिए, साहचर्यता के बजाय, केवल निम्नलिखित की हमेशा गारंटी दी जाती है: $$(L \,\setminus\, M) \,\setminus\, R \;{\color{red}{\subseteq}}\; L \,\setminus\, (M \,\setminus\, R)$$ जहां समानता केवल यदि और केवल यदि होती है $$L \cap R = \varnothing$$ (यह शर्त इस पर निर्भर नहीं करती $$M$$). इस प्रकार $\; (L \setminus M) \setminus R = L \setminus (M \setminus R) \;$ अगर और केवल अगर $$\; (R \setminus M) \setminus L = R \setminus (M \setminus L), \;$$ जहाँ बाएँ और दाएँ पक्ष की सेट समानताओं के बीच एकमात्र अंतर यह है कि स्थान $$L \text{ and } R$$ अदला-बदली कर दी गई है.

वितरणशीलता
परिभाषा: यदि $$\ast \text{ and } \bullet$$ फिर बाइनरी ऑपरेटर हैं अगर $$L \,\ast\, (M \,\bullet\, R) ~=~ (L \,\ast\, M) \,\bullet\, (L \,\ast\,R) \qquad\qquad \text{ for all } L, M, R$$ जबकि अगर $$(L \,\bullet\, M) \,\ast\, R ~=~ (L \,\ast\, R) \,\bullet\, (M \,\ast\,R) \qquad\qquad \text{ for all } L, M, R.$$ परिचालक  यदि यह बायां और दायां दोनों वितरित करता है $$\,\bullet\,.\,$$ उपरोक्त परिभाषाओं में, एक पक्ष को दूसरे पक्ष में बदलने के लिए, सबसे भीतरी संचालक (कोष्ठक के अंदर का संचालक) सबसे बाहरी संचालक बन जाता है और सबसे बाहरी संचालक सबसे भीतरी संचालक बन जाता है।

सही वितरण:

$$\begin{alignat}{9} (L \,\cap\, M) \,\cup\, R     ~&=&& (L \,\cup\, R) \,&&\cap\, &&(M \,\cup\, R)             \qquad &&\text{ (Right-distributivity of } \,\cup\, \text{ over } \,\cap\, \text{)} \\[1.4ex] (L \,\cup\, M) \,\cup\, R     ~&=&& (L \,\cup\, R) \,&&\cup\, &&(M \,\cup\, R)             \qquad &&\text{ (Right-distributivity of } \,\cup\, \text{ over } \,\cup\, \text{)} \\[1.4ex] (L \,\cup\, M) \,\cap\, R     ~&=&& (L \,\cap\, R) \,&&\cup\, &&(M \,\cap\, R)             \qquad &&\text{ (Right-distributivity of } \,\cap\, \text{ over } \,\cup\, \text{)} \\[1.4ex] (L \,\cap\, M) \,\cap\, R     ~&=&& (L \,\cap\, R) \,&&\cap\, &&(M \,\cap\, R)             \qquad &&\text{ (Right-distributivity of } \,\cap\, \text{ over } \,\cap\, \text{)} \\[1.4ex] (L \,\triangle\, M) \,\cap\, R     ~&=&& (L \,\cap\, R) \,&&\triangle\, &&(M \,\cap\, R)    \qquad &&\text{ (Right-distributivity of } \,\cap\, \text{ over } \,\triangle\, \text{)} \\[1.4ex] (L \,\cap\, M) \,\times\, R     ~&=&& (L \,\times\, R) \,&&\cap\, &&(M \,\times\, R)             \qquad &&\text{ (Right-distributivity of } \,\times\, \text{ over } \,\cap\, \text{)} \\[1.4ex] (L \,\cup\, M) \,\times\, R     ~&=&& (L \,\times\, R) \,&&\cup\, &&(M \,\times\, R)              \qquad &&\text{ (Right-distributivity of } \,\times\, \text{ over } \,\cup\, \text{)} \\[1.4ex] (L \,\setminus\, M) \,\times\, R     ~&=&& (L \,\times\, R) \,&&\setminus\, &&(M \,\times\, R)    \qquad &&\text{ (Right-distributivity of } \,\times\, \text{ over } \,\setminus\, \text{)} \\[1.4ex] (L \,\cup\, M) \,\setminus\, R     ~&=&& (L \,\setminus\, R) \,&&\cup\, &&(M \,\setminus\, R)      \qquad &&\text{ (Right-distributivity of } \,\setminus\, \text{ over } \,\cup\, \text{)} \\[1.4ex] (L \,\cap\, M) \,\setminus\, R     ~&=&& (L \,\setminus\, R) \,&&\cap\, &&(M \,\setminus\, R)      \qquad &&\text{ (Right-distributivity of } \,\setminus\, \text{ over } \,\cap\, \text{)} \\[1.4ex] (L \,\triangle\, M) \,\setminus\, R ~&=&& (L \,\setminus\, R) &&\,\triangle\, &&(M \,\setminus\, R) \qquad &&\text{ (Right-distributivity of } \,\setminus\, \text{ over } \,\triangle\, \text{)} \\[1.4ex] (L \,\setminus\, M) \,\setminus\, R ~&=&& (L \,\setminus\, R) &&\,\setminus\, &&(M \,\setminus\, R)  \qquad &&\text{ (Right-distributivity of } \,\setminus\, \text{ over } \,\setminus\, \text{)} \\[1.4ex] ~&=&&\;\;\;~ L &&\,\setminus\, &&(M \cup R) \\[1.4ex] \end{alignat}$$ वाम वितरण:

$$\begin{alignat}{5} L \cup  (M \cap R)            &\;=\;\;&& (L \cup M)     \cap        (L \cup R) \qquad &&\text{ (Left-distributivity of } \,\cup\, \text{ over } \,\cap\, \text{)} \\[1.4ex] L \cup  (M \cup R)            &\;=\;\;&& (L \cup M)     \cup        (L \cup R) &&\text{ (Left-distributivity of } \,\cup\, \text{ over } \,\cup\, \text{)} \\[1.4ex] L \cap  (M \cup R)            &\;=\;\;&& (L \cap M)     \cup        (L \cap R) &&\text{ (Left-distributivity of } \,\cap\, \text{ over } \,\cup\, \text{)} \\[1.4ex] L \cap  (M \cap R)            &\;=\;\;&& (L \cap M)     \cap        (L \cap R) &&\text{ (Left-distributivity of } \,\cap\, \text{ over } \,\cap\, \text{)} \\[1.4ex] L \cap  (M \,\triangle\, R)   &\;=\;\;&& (L \cap M)   \,\triangle\, (L \cap R) &&\text{ (Left-distributivity of } \,\cap\, \text{ over } \,\triangle\, \text{)} \\[1.4ex] L \times (M \cap R)           &\;=\;\;&& (L \times M)   \cap        (L \times R) &&\text{ (Left-distributivity of } \,\times\, \text{ over } \,\cap\, \text{)} \\[1.4ex] L \times (M \cup R)           &\;=\;\;&& (L \times M)   \cup        (L \times R) &&\text{ (Left-distributivity of } \,\times\, \text{ over } \,\cup\, \text{)} \\[1.4ex] L \times (M \,\setminus R)    &\;=\;\;&& (L \times M) \,\setminus   (L \times R) &&\text{ (Left-distributivity of } \,\times\, \text{ over } \,\setminus\, \text{)} \\[1.4ex] \end{alignat}$$

वितरण और सममित अंतर ∆
प्रतिच्छेदन सममित अंतर पर वितरित होता है: $$\begin{alignat}{5} L \,\cap\, (M \,\triangle\, R) ~&=&& (L \,\cap\, M) \,\triangle\, (L \,\cap\, R) ~&&~ \\[1.4ex] \end{alignat}$$ $$\begin{alignat}{5} (L \,\triangle\, M) \,\cap\, R~&=&& (L \,\cap\, R) \,\triangle\, (M \,\cap\, R) ~&&~ \\[1.4ex] \end{alignat}$$ संघ सममित अंतर पर वितरण नहीं करता है क्योंकि सामान्य तौर पर केवल निम्नलिखित की गारंटी होती है: $$\begin{alignat}{5} L \cup (M \,\triangle\, R) {\color{red}{\supseteq}} \color{black}{\,} (L \cup M) \,\triangle\, (L \cup R) ~ &~=~&& (M \,\triangle\, R) \,\setminus\, L &~=~&& (M \,\setminus\, L) \,\triangle\, (R \,\setminus\, L) \\[1.4ex] \end{alignat}$$ सममित अंतर अपने आप में वितरित नहीं होता: $$L \,\triangle\, (M \,\triangle\, R) {\color{red}{\neq}} \color{black}{\,} (L \,\triangle\, M) \,\triangle\, (L \,\triangle\, R) ~=~ M \,\triangle\, R$$ और सामान्य तौर पर, किसी भी सेट के लिए $$L \text{ and } A$$ (कहाँ $$A$$ का प्रतिनिधित्व करता है $$M \,\triangle\, R$$), $$L \,\triangle\, A$$ का उपसमुच्चय या सुपरसेट नहीं हो सकता $$L$$ (और यही सच है $$A$$).

वितरण और समुच्चय घटाव \
बाएँ वितरण में सेट घटाव की विफलता:

सेट घटाव है अपने ऊपर वितरणात्मक। हालाँकि, सेट घटाव है  अपने ऊपर वितरणात्मक छोड़ दिया क्योंकि सामान्य रूप से केवल निम्नलिखित की गारंटी है: $$\begin{alignat}{5} L \,\setminus\, (M \,\setminus\, R) &{\color{red}{\supseteq}}&& \color{black}{\,} (L \,\setminus\, M) \,\setminus\, (L \,\setminus\, R) = L \cap R \,\setminus\, M \\[1.4ex] \end{alignat}$$ जहां समानता केवल यदि और केवल यदि होती है $$L \,\setminus\, M = L \,\cap\, R,$$ जो घटित होता है यदि और केवल यदि $$L \cap M \cap R = \varnothing \text{ and } L \setminus M \subseteq R.$$ सममित अंतर के लिए, सेट $$L \,\setminus\, (M \,\triangle\, R)$$ और $$(L \,\setminus\, M) \,\triangle\, (L \,\setminus\, R) = L \,\cap\, (M \,\triangle\, R)$$ सदैव असंयुक्त होते हैं. तो ये दोनों सेट बराबर हैं यदि और केवल तभी जब वे दोनों बराबर हों $$\varnothing.$$ इसके अतिरिक्त, $$L \,\setminus\, (M \,\triangle\, R) = \varnothing$$ अगर और केवल अगर $$L \cap M \cap R = \varnothing \text{ and } L \subseteq M \cup R.$$ संघ या प्रतिच्छेदन पर सेट घटाव की बाएं वितरण की जांच करने के लिए, विचार करें कि (दोनों) डी मॉर्गन के कानूनों में शामिल सेट कैसे संबंधित हैं: $$\begin{alignat}{5} (L \,\setminus\, M) \,\cap\, (L \,\setminus\, R) = L \,\setminus\, (M \,\cup\, R) ~&{\color{red}{\subseteq}}&& \color{black}{\,} L \,\setminus\, (M \,\cap\, R) = (L \,\setminus\, M) \,\cup\, (L \,\setminus\, R) \\[1.4ex] \end{alignat}$$ हमेशा कायम रहता है (बायीं और दायीं ओर समानताएं डी मॉर्गन के नियम हैं) लेकिन सामान्य तौर पर समानता की गारंटी नहीं है (अर्थात, रोकथाम $${\color{red}{\subseteq}}$$ सख्त हो सकता है)। समानता यदि और केवल यदि ही मान्य है $$L \,\setminus\, (M \,\cap\, R) \;\subseteq\; L \,\setminus\, (M \,\cup\, R),$$ जो घटित होता है यदि और केवल यदि $$L \,\cap\, M = L \,\cap\, R.$$ डी मॉर्गन के नियमों के बारे में यह अवलोकन यह दर्शाता है $$\,\setminus\,$$ है वितरणात्मक छोड़ दिया $$\,\cup\,$$ या $$\,\cap\,$$ क्योंकि सामान्यतः निम्नलिखित की ही गारंटी होती है: $$\begin{alignat}{5} L \,\setminus\, (M \,\cup\, R) ~&{\color{red}{\subseteq}}&& \color{black}{\,} (L \,\setminus\, M) \,\cup\, (L \,\setminus\, R) = L \,\setminus\, (M \,\cap\, R) \\[1.4ex] \end{alignat}$$ $$\begin{alignat}{5} L \,\setminus\, (M \,\cap\, R) ~&{\color{red}{\supseteq}}&& \color{black}{\,} (L \,\setminus\, M) \,\cap\, (L \,\setminus\, R) = L \,\setminus\, (M \,\cup\, R) \\[1.4ex] \end{alignat}$$ जहां समानता उपरोक्त दो समावेशन सूत्रों में से एक (या समकक्ष, दोनों के लिए) के लिए है यदि और केवल यदि $$L \,\cap\, M = L \,\cap\, R.$$ निम्न कथन समतुल्य हैं:  <ली>$$L \cap M \,=\, L \cap R$$</li> <ली>$$L \,\setminus\, M \,=\, L \,\setminus\, R$$</li> <ली>$$L \,\setminus\, (M \,\cap\, R) = (L \,\setminus\, M) \,\cap\, (L \,\setminus\, R);$$ वह है, $$\,\setminus\,$$ बायां वितरित करता है $$\,\cap\,$$ इन तीन विशेष सेटों के लिए</li> <ली>$$L \,\setminus\, (M \,\cup\, R) = (L \,\setminus\, M) \,\cup\, (L \,\setminus\, R);$$ वह है, $$\,\setminus\,$$ बायां वितरित करता है $$\,\cup\,$$ इन तीन विशेष सेटों के लिए</li> <ली>$$L \,\setminus\, (M \,\cap\, R) \,=\, L \,\setminus\, (M \,\cup\, R)$$</li> <ली>$$L \cap (M \cup R) \,=\, L \cap M \cap R$$</li> <ली>$$L \cap (M \cup R) ~\subseteq~ M \cap R$$</li> <ली>$$L \cap R ~\subseteq~ M \;$$ और $$\; L \cap M ~\subseteq~ R$$</li> <ली>$$L \setminus (M \setminus R) \,=\, L \setminus (R \setminus M)$$</li> <ली>$$L \setminus (M \setminus R) \,=\, L \setminus (R \setminus M) \,=\, L$$</li> </ol>

अर्ध-क्रमविनिमेयता संपत्ति|अर्ध-क्रमविनिमेयता: $$(L \setminus M) \setminus R ~=~ (L \setminus R) \setminus M \qquad \text{ (Quasi-commutative)}$$ हमेशा कायम रहता है लेकिन सामान्य तौर पर, $$L \setminus (M \setminus R) {\color{red}{\neq}} L \setminus (R \setminus M).$$ हालाँकि, $$L \setminus (M \setminus R) ~\subseteq~ L \setminus (R \setminus M)$$ अगर और केवल अगर $$L \cap R ~\subseteq~ M$$ अगर और केवल अगर $$L \setminus (R \setminus M) ~=~ L.$$ सेट घटाव जटिलता: सेट घटाव से जुड़ी कई पहचानों को प्रबंधित करने के लिए, इस अनुभाग को इस आधार पर विभाजित किया गया है कि सेट घटाव ऑपरेशन और कोष्ठक पहचान के बाईं ओर कहाँ स्थित हैं। सेट घटाव से जुड़े सूत्रों की महान विविधता और (सापेक्ष) जटिलता (इसके बिना वाले की तुलना में) आंशिक रूप से इस तथ्य के कारण है कि इसके विपरीत $$\,\cup, \,\cap,$$ और $$\triangle,\,$$ समुच्चय घटाव न तो साहचर्य है और न ही क्रमविनिमेय है और इसे वितरणात्मक भी नहीं छोड़ा गया है $$\,\cup, \,\cap, \,\triangle,$$ या यहां तक ​​कि अपने ऊपर भी.

दो सेट घटाव
सेट घटाव है सामान्य तौर पर सहयोगी: $$(L \,\setminus\, M) \,\setminus\, R \;{\color{red}{\neq}}\; L \,\setminus\, (M \,\setminus\, R)$$ चूँकि हमेशा केवल निम्नलिखित की ही गारंटी होती है: $$(L \,\setminus\, M) \,\setminus\, R \;{\color{red}{\subseteq}}\; L \,\setminus\, (M \,\setminus\, R).$$

(L\M)\R
$$\begin{alignat}{4} (L \setminus M) \setminus R &= &&L \setminus (M \cup R) \\[0.6ex] &= (&&L \setminus R) \setminus M \\[0.6ex] &= (&&L \setminus M) \cap (L \setminus R) \\[0.6ex] &= (&&L \setminus R) \setminus M \\[0.6ex] &= (&&L \,\setminus\, R) \,\setminus\, (M \,\setminus\, R) \\[1.4ex] \end{alignat}$$

L\(M\R)
$$\begin{alignat}{4} L \setminus (M \setminus R) &= (L \setminus M) \cup (L \cap R) \\[1.4ex] \end{alignat}$$
 * अगर $$L \subseteq M \text{ then } L \setminus (M \setminus R) = L \cap R$$
 * $L \setminus (M \setminus R) \subseteq (L \setminus M) \cup R$ समानता के साथ यदि और केवल यदि $$R \subseteq L.$$

(एल\एम) ⁎ आर
बाईं ओर पर घटाव सेट करें, और बाईं ओर कोष्ठक सेट करें

$$\begin{alignat}{4} \left(L \setminus M\right) \cup R &= (L \cup R) \setminus (M \setminus R) \\ &= (L \setminus (M \cup R)) \cup R \text{ (the outermost union is disjoint) } \\ \end{alignat}$$
 * $$\begin{alignat}{4}

(L \setminus M) \cap R &= (&&L \cap R) \setminus (M \cap R) \text{ (Distributive law of } \cap \text{ over } \setminus \text{ )} \\ &= (&&L \cap R) \setminus M \\ &= &&L \cap (R \setminus M) \\ \end{alignat}$$

$$\begin{alignat}{5} (L \,\setminus\, M) \,\cap\, (L \,\setminus\, R) = L \,\setminus\, (M \,\cup\, R) ~&{\color{red}{\subseteq}}&& \color{black}{\,} L \,\setminus\, (M \,\cap\, R) = (L \,\setminus\, M) \,\cup\, (L \,\setminus\, R) \\[1.4ex] \end{alignat}$$ $$\begin{alignat}{4} (L \setminus M) ~\triangle~ R &= (L \setminus (M \cup R)) \cup (R \setminus L) \cup (L \cap M \cap R) \text{ (the three outermost sets are pairwise disjoint) } \\ \end{alignat}$$

$$(L \,\setminus M) \times R = (L \times R) \,\setminus (M \times R)   \text{ (Distributivity)}$$

L\(M ⁎ R)
बाईं ओर पर घटाव सेट करें, और बाईं ओर कोष्ठक सेट करें

$$\begin{alignat}{3} L \setminus (M \cup R) &= (L \setminus M) &&\,\cap\,   (&&L \setminus R) ~\text{ (De Morgan's law) } \\ &= (L \setminus M) &&\,\,\setminus &&R \\ &= (L \setminus R) &&\,\,\setminus &&M \\ \end{alignat}$$

$$\begin{alignat}{4} L \setminus (M \cap R) &= (L \setminus M) \cup (L \setminus R) ~\text{ (De Morgan's law) } \\ \end{alignat}$$ जहां उपरोक्त दो सेट जो डी मॉर्गन के नियमों के विषय हैं, हमेशा संतुष्ट करते हैं $$L \,\setminus\, (M \,\cup\, R) {\color{red}{\subseteq}} \color{black}{\,} L \,\setminus\, (M \,\cap\, R).$$

$$\begin{alignat}{4} L \setminus (M ~\triangle~ R) &= (L \setminus (M \cup R)) \cup (L \cap M \cap R) \text{ (the outermost union is disjoint) } \\ \end{alignat}$$

(एल ⁎ एम)\आर
दाईं ओर पर घटाव और दाईं ओर कोष्ठक सेट करें

$$\begin{alignat}{4} (L \cup M) \setminus R &= (L \setminus R) \cup (M \setminus R) \\ \end{alignat}$$

$$\begin{alignat}{4} (L \cap M) \setminus R &= (&&L \setminus R) &&\cap (M \setminus R) \\ &= &&L              &&\cap (M \setminus R) \\ &= &&M              &&\cap (L \setminus R) \\ \end{alignat}$$

$$\begin{alignat}{4} (L \,\triangle\, M)  \setminus R &= (L \setminus R) ~&&\triangle~ (M \setminus R) \\ &= (L \cup R)     ~&&\triangle~ (M \cup R) \\ \end{alignat}$$

L ⁎ (M\R)
दाईं ओर पर घटाव और दाईं ओर कोष्ठक सेट करें

$$\begin{alignat}{3} L \cup (M \setminus R) &= && &&L              &&\cup\;            &&(M \setminus (R \cup L)) &&\text{ (the outermost union is disjoint) } \\ &= [&&(&&L \setminus M) &&\cup\;           &&(R \cap L)] \cup (M \setminus R)       &&\text{ (the outermost union is disjoint) } \\ &= &&(&&L \setminus (M \cup R)) \;&&\;\cup &&(R \cap L)\,\, \cup (M \setminus R)   &&\text{ (the three outermost sets are pairwise disjoint) } \\ \end{alignat}$$
 * $$\begin{alignat}{4}

L \cap (M \setminus R) &= (&&L \cap M)     &&\setminus (L \cap R) \text{ (Distributive law of } \cap \text{ over } \setminus \text{ )}  \\ &= (&&L \cap M)     &&\setminus R  \\ &= &&M              &&\cap (L \setminus R) \\ &= (&&L \setminus R) &&\cap (M \setminus R) \\ \end{alignat} $$

$$L \times (M \,\setminus R) = (L \times M) \,\setminus (L \times R)   \text{ (Distributivity)}$$

(एल • एम) ⁎ (एम • आर)
प्रपत्र का संचालन $$(L \bullet M) \ast (M \bullet R)$$:

$$\begin{alignat}{9} (L \cup M)           &\,\cup\,&&       (&&M \cup R) && &&\;=\;\;&& L \cup M \cup R \\[1.4ex] (L \cup M)           &\,\cap\,&&       (&&M \cup R) && &&\;=\;\;&& M \cap (L \cup R) \\[1.4ex] (L \cup M)           &\,\setminus\,&&  (&&M \cup R) && &&\;=\;\;&& L \,\setminus\, (M \cup R) \\[1.4ex] (L \cup M)           &\,\triangle\,&&  (&&M \cup R) && &&\;=\;\;&& (L \,\setminus\, (M \cup R)) \,\cup\, (R \,\setminus\, (L \cup M)) \\[1.4ex] &\,&&\,&&\,&& &&\;=\;\;&& (L \,\triangle\, R) \,\setminus\, M \\[1.4ex] (L \cap M)           &\,\cup\,&&       (&&M \cap R) && &&\;=\;\;&& M \cup (L \cap R) \\[1.4ex] (L \cap M)           &\,\cap\,&&       (&&M \cap R) && &&\;=\;\;&& L \cap M \cap R \\[1.4ex] (L \cap M)           &\,\setminus\,&&  (&&M \cap R) && &&\;=\;\;&& (L \cap M) \,\setminus\, R \\[1.4ex] (L \cap M)           &\,\triangle\,&&  (&&M \cap R) && &&\;=\;\;&& [(L \,\cap M) \cup (M \,\cap R)] \,\setminus\, (L \,\cap M \,\cap R) \\[1.4ex] (L \,\setminus M)    &\,\cup\,&&  (&&M \,\setminus R) && &&\;=\;\;&& (L \,\cup M) \,\setminus (M \,\cap\, R) \\[1.4ex] (L \,\setminus M)    &\,\cap\,&&  (&&M \,\setminus R) && &&\;=\;\;&& \varnothing \\[1.4ex] (L \,\setminus M)    &\,\setminus\,&&  (&&M \,\setminus R) && &&\;=\;\;&& L \,\setminus M \\[1.4ex] (L \,\setminus M)    &\,\triangle\,&&  (&&M \,\setminus R) && &&\;=\;\;&& (L \,\setminus M) \cup (M \,\setminus R) \\[1.4ex] &\,&&\,&&\,&& &&\;=\;\;&& (L \,\cup M) \setminus (M \,\cap R) \\[1.4ex] (L \,\triangle\, M)  &\,\cup\,&&  (&&M \,\triangle\, R) && &&\;=\;\;&& (L \,\cup\, M \,\cup\, R) \,\setminus\, (L \,\cap\, M \,\cap\, R) \\[1.4ex] (L \,\triangle\, M)  &\,\cap\,&&  (&&M \,\triangle\, R) && &&\;=\;\;&& ((L \,\cap\, R) \,\setminus\, M) \,\cup\, (M \,\setminus\, (L \,\cup\, R)) \\[1.4ex] (L \,\triangle\, M)  &\,\setminus\,&&  (&&M \,\triangle\, R) && &&\;=\;\;&& (L \,\setminus\, (M \,\cup\, R)) \,\cup\, ((M \,\cap\, R) \,\setminus\, L) \\[1.4ex] (L \,\triangle\, M)  &\,\triangle\,&&  (&&M \,\triangle\, R) && &&\;=\;\;&& L \,\triangle\, R \\[1.7ex] \end{alignat}$$

(एल • एम) ⁎ (आर\एम)
प्रपत्र का संचालन $$(L \bullet M) \ast (R \,\setminus\, M)$$:

$$\begin{alignat}{9} (L \cup M)           &\,\cup\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& L \cup M \cup R \\[1.4ex] (L \cup M)           &\,\cap\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& (L \cap R) \,\setminus\, M \\[1.4ex] (L \cup M)           &\,\setminus\,&&  (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& M \cup (L \,\setminus\, R) \\[1.4ex] (L \cup M)           &\,\triangle\,&&  (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& M \cup (L \,\triangle\, R) \\[1.4ex] (L \cap M)           &\,\cup\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& [L \cap (M \cup R)] \cup [R \,\setminus\, (L \cup M)] \qquad \text{ (disjoint union)} \\[1.4ex] &\,&&\,&&\,&& &&\;=\;\;&& (L \cap M) \,\triangle\, (R \,\setminus\, M) \\[1.4ex] (L \cap M)           &\,\cap\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& \varnothing \\[1.4ex] (L \cap M)           &\,\setminus\,&&   (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& L \cap M \\[1.4ex] (L \cap M)           &\,\triangle\,&&  (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& (L \cap M) \cup (R \,\setminus\, M) \qquad \text{ (disjoint union)} \\[1.4ex] (L \,\setminus\, M)  &\,\cup\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& L \cup R \,\setminus\, M \\[1.4ex] (L \,\setminus\, M)  &\,\cap\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& (L \cap R) \,\setminus\, M \\[1.4ex] (L \,\setminus\, M)  &\,\setminus\,&&  (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& L \,\setminus\, (M \cup R) \\[1.4ex] (L \,\setminus\, M)  &\,\triangle\,&&  (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& (L \,\triangle\, R) \,\setminus\, M \\[1.4ex] (L \,\triangle\, M)  &\,\cup\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& (L \cup M \cup R) \,\setminus\, (L \cap M) \\[1.4ex] (L \,\triangle\, M)  &\,\cap\,&&       (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& (L \cap R) \,\setminus\, M \\[1.4ex] (L \,\triangle\, M)  &\,\setminus\,&&  (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& [L \,\setminus\, (M \cup R)] \cup (M \,\setminus\, L) \qquad \text{ (disjoint union)} \\[1.4ex] &\,&&\,&&\,&& &&\;=\;\;&& (L \,\triangle\, M) \setminus (L \,\cap R) \\[1.4ex] (L \,\triangle\, M)  &\,\triangle\,&&  (&&R \,\setminus\, M) && &&\;=\;\;&& L \,\triangle\, (M \cup R) \\[1.7ex] \end{alignat}$$

(L\M) ⁎ (L\R)
प्रपत्र का संचालन $$(L \,\setminus\, M) \ast (L \,\setminus\, R)$$:

$$\begin{alignat}{9} (L \,\setminus M) &\,\cup\,&&  (&&L \,\setminus R)              &&\;=\;&&  L \,\setminus\, (M \,\cap\, R)        \\[1.4ex] (L \,\setminus M) &\,\cap\,&&  (&&L \,\setminus R)              &&\;=\;&&  L \,\setminus\, (M \,\cup\, R)        \\[1.4ex] (L \,\setminus M) &\,\setminus\,&&  (&&L \,\setminus R)              &&\;=\;&&  (L \,\cap\, R) \,\setminus\, M        \\[1.4ex] (L \,\setminus M) &\,\triangle\,&&  (&&L \,\setminus R)              &&\;=\;&&  L \,\cap\, (M \,\triangle\, R)        \\[1.4ex] &\,&&\,&&\, &&\;=\;&& (L \cap M)  \,\triangle\, (L \cap R)  \\[1.4ex] \end{alignat}$$

अन्य सरलीकरण
अन्य गुण:

$$L \cap M = R \;\text{ and }\; L \cap R = M \qquad \text{ if and only if } \qquad M = R \subseteq L.$$ <ul> <li>यदि $$L \subseteq M$$ तब $$L \setminus R = L \cap (M \setminus R).$$</li> <ली>$$L \times (M \,\setminus R) = (L \times M) \,\setminus (L \times R)$$</li> <li>यदि $$L \subseteq R$$ तब $$M \setminus R \subseteq M \setminus L.$$</li> <ली>$$L \cap M \cap R = \varnothing$$ यदि और केवल यदि किसी के लिए $$x \in L \cup M \cup R,$$ $$x$$ से संबंधित सेट का $$L, M, \text{ and } R.$$</li> </ul>

परिमित का बाइनरी ⨯
$$(L \times R) \cap \left(L_2 \times R_2\right) ~=~ \left(L \cap L_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)$$ $$(L \times M \times R) \cap \left(L_2 \times M_2 \times R_2\right) ~=~ \left(L \cap L_2\right) \times \left(M \cap M_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)$$

परिमित का बाइनरी ⨯
$$\begin{alignat}{9} \left(L \times R\right) ~\cup~ \left(L_2 \times R_2\right) ~&=~ \left[\left(L \setminus L_2\right) \times R\right] ~\cup~ \left[\left(L_2 \setminus L\right) \times R_2\right] ~\cup~ \left[\left(L \cap L_2\right) \times \left(R \cup R_2\right)\right] \\[0.5ex] ~&=~ \left[L \times \left(R \setminus R_2\right)\right] ~\cup~ \left[L_2 \times \left(R_2 \setminus R\right)\right] ~\cup~ \left[\left(L \cup L_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)\right] \\ \end{alignat}$$

परिमित का अंतर ⨯
$$\begin{alignat}{9} \left(L \times R\right) ~\setminus~ \left(L_2 \times R_2\right) ~&=~ \left[\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times R\right] ~\cup~ \left[L \times \left(R \,\setminus\, R_2\right)\right] \\ \end{alignat}$$ और $$(L \times M \times R) ~\setminus~ \left(L_2 \times M_2 \times R_2\right) ~=~ \left[\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times M \times R\right] ~\cup~ \left[L \times \left(M \,\setminus\, M_2\right) \times R\right] ~\cup~ \left[L \times M \times \left(R \,\setminus\, R_2\right)\right]$$

परिमित ⨯अंतरों का \
$$\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times \left(R \,\setminus\, R_2\right) ~=~ \left(L \times R\right) \,\setminus\, \left[\left(L_2 \times R\right) \cup \left(L \times R_2\right)\right]$$

$$\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times \left(M \,\setminus\, M_2\right) \times \left(R \,\setminus\, R_2\right) ~=~ \left(L \times M \times R\right) \,\setminus\, \left[\left(L_2 \times M \times R\right) \cup \left(L \times M_2 \times R\right) \cup \left(L \times M \times R_2\right)\right]$$

सममित अंतर ∆ और परिमित ⨯
$$L \times \left(R \,\triangle\, R_2\right) ~=~ \left[L \times \left(R \,\setminus\, R_2\right)\right] \,\cup\, \left[L \times \left(R_2 \,\setminus\, R\right)\right]$$ $$\left(L \,\triangle\, L_2\right) \times R ~=~ \left[\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times R\right] \,\cup\, \left[\left(L_2 \,\setminus\, L\right) \times R\right]$$

$$\begin{alignat}{4} \left(L \,\triangle\, L_2\right) \times \left(R \,\triangle\, R_2\right) ~&=~ && && \,\left[\left(L \cup L_2\right) \times \left(R \cup R_2\right)\right] \;\setminus\; \left[\left(\left(L \cap L_2\right) \times R\right) \;\cup\; \left(L \times \left(R \cap R_2\right)\right)\right] \\[0.7ex] &=~ & &&& \,\left[\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times \left(R_2 \,\setminus\, R\right)\right] \,\cup\, \left[\left(L_2 \,\setminus\, L\right) \times \left(R_2 \,\setminus\, R\right)\right] \,\cup\, \left[\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times \left(R \,\setminus\, R_2\right)\right] \,\cup\, \left[\left(L_2 \,\setminus\, L\right) \cup \left(R \,\setminus\, R_2\right)\right] \\ \end{alignat}$$

$$\begin{alignat}{4} \left(L \,\triangle\, L_2\right) \times \left(M \,\triangle\, M_2\right) \times \left(R \,\triangle\, R_2\right) ~&=~ \left[\left(L \cup L_2\right) \times \left(M \cup M_2\right) \times \left(R \cup R_2\right)\right] \;\setminus\; \left[\left(\left(L \cap L_2\right) \times M \times R\right) \;\cup\; \left(L \times \left(M \cap M_2\right) \times R\right) \;\cup\; \left(L \times M \times \left(R \cap R_2\right)\right)\right] \\ \end{alignat}$$ सामान्य रूप में, $$\left(L \,\triangle\, L_2\right) \times \left(R \,\triangle\, R_2\right)$$ का उपसमुच्चय या सुपरसमुच्चय होना आवश्यक नहीं है $$\left(L \times R\right) \,\triangle\, \left(L_2 \times R_2\right).$$

$$\begin{alignat}{4} \left(L \times R\right) \,\triangle\, \left(L_2 \times R_2\right) ~&=~ && \left(L \times R\right) \cup \left(L_2 \times R_2\right) \;\setminus\; \left[\left(L \cap L_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)\right] \\[0.7ex] \end{alignat}$$

$$\begin{alignat}{4} \left(L \times M \times R\right) \,\triangle\, \left(L_2 \times M_2 \times R_2\right) ~&=~ && \left(L \times M \times R\right) \cup \left(L_2 \times M_2 \times R_2\right) \;\setminus\; \left[\left(L \cap L_2\right) \times \left(M \cap M_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)\right] \\[0.7ex] \end{alignat}$$

समुच्चय के मनमाने परिवार
होने देना $$\left(L_i\right)_{i \in I},$$ $$\left(R_j\right)_{j \in J},$$ और $$\left(S_{i,j}\right)_{(i, j) \in I \times J}$$ सेटों का परिवार अनुक्रमित किया जाए। जब भी धारणा की आवश्यकता होती है, तो सभी अनुक्रमण सेट, जैसे $$I$$ और $$J,$$ गैर-रिक्त माना जाता है।

परिभाषाएँ
ए या (अधिक संक्षेप में) a  उस समुच्चय को संदर्भित करता है जिसके अवयव समुच्चय हैं।

एक किसी सेट से एक फ़ंक्शन है, जिसे इसका कहा जाता है, सेट के कुछ परिवार में। समुच्चयों के एक अनुक्रमित परिवार को इसके द्वारा निरूपित किया जाएगा $$\left(L_i\right)_{i \in I},$$ जहां यह अंकन प्रतीक निर्दिष्ट करता है $$I$$ अनुक्रमण सेट के लिए और प्रत्येक सूचकांक के लिए $$i \in I,$$ प्रतीक चिन्ह निर्दिष्ट करता है $$L_i$$ फ़ंक्शन के मान पर $$i.$$ फिर फ़ंक्शन को प्रतीक द्वारा दर्शाया जा सकता है $$L_\bull,$$ जो अंकन से प्राप्त होता है $$\left(L_i\right)_{i \in I}$$ सूचकांक को प्रतिस्थापित करके $$i$$ बुलेट चिन्ह के साथ $$\bullet\,;$$ स्पष्ट रूप से, $$L_\bull$$ कार्य है: $$\begin{alignat}{4} L_\bull :\;&& I &&\;\to   \;& \left\{L_i : i \in I\right\} \\[0.3ex] && i &&\;\mapsto\;& L_i \\ \end{alignat}$$ जिसे लिखकर संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है $$L_\bull = \left(L_i\right)_{i \in I}.$$ सेटों का कोई भी अनुक्रमित परिवार $$L_\bull = \left(L_i\right)_{i \in I}$$ (जो एक फ़ंक्शन (गणित) है) को इसकी छवि/सीमा के साथ प्रामाणिक रूप से जोड़ा जा सकता है $$\operatorname{Im} L_\bull ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \left\{L_i : i \in I\right\}$$ (जो सेटों का एक परिवार है)। इसके विपरीत, सेट का कोई भी परिवार $$\mathcal{B}$$ से संबद्ध हो सकता है $$\mathcal{B}$$-सेट का अनुक्रमित परिवार $$(B)_{B \in \mathcal{B}},$$ जो तकनीकी रूप से पहचान मानचित्र है $$\mathcal{B} \to \mathcal{B}.$$ हालाँकि, यह है एक विशेषण पत्राचार क्योंकि सेट का एक अनुक्रमित परिवार $$L_\bull = \left(L_i\right)_{i \in I}$$ है  इंजेक्शन होना आवश्यक है (अर्थात, अलग-अलग सूचकांक मौजूद हो सकते हैं $$i \neq j$$ जैसे कि $$L_i = L_j$$), जिसका विशेष रूप से मतलब यह है कि सेटों के अलग-अलग अनुक्रमित परिवारों (जो फ़ंक्शन हैं) को सेटों के एक ही परिवार (समान छवि/सीमा के द्वारा) के साथ जोड़ा जाना संभव है।

मनमानी यूनियनों को परिभाषित किया गया

अगर $$I = \varnothing$$ तब $$\bigcup_{i \in \varnothing} L_i = \{x ~:~ \text{ there exists } i \in \varnothing \text{ such that } x \in L_i\} = \varnothing,$$ जिसे कुछ कहा जाता है (सम्मेलन कहे जाने के बावजूद, यह समानता परिभाषा का अनुसरण करती है)।

अगर $$\mathcal{B}$$ तो यह सेटों का एक परिवार है $$\cup \mathcal{B}$$ सेट को दर्शाता है: $$\bigcup \mathcal{B} \stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \bigcup_{B \in B} B \stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{x ~:~ \text{ there exists } B \in B \text{ such that } x \in \mathcal{B}\}.$$ मनमाने चौराहों को परिभाषित किया गया

अगर $$I \neq \varnothing$$ तब

अगर $$\mathcal{B} \neq \varnothing$$ एक है फिर सेट का परिवार $$\cap \mathcal{B}$$ सेट को दर्शाता है: $$\bigcap \mathcal{B} \stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \bigcap_{B \in B} B \stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{x ~:~ x \in B \text{ for every } B \in \mathcal{B}\} ~=~ \{x ~:~ \text{ for all } B, \text{ if } B \in \mathcal{B} \text{ then } x \in B\}.$$ शून्य चौराहे

अगर $$I = \varnothing$$ तब $$\bigcap_{i \in \varnothing} L_i = \{x ~:~ \text{ for all } i, \text{ if } i \in \varnothing \text{ then } x \in L_i\}$$ जहां हर संभव बात $$x$$ ब्रह्मांड में शून्य सत्य ने स्थिति को संतुष्ट किया: यदि $$i \in \varnothing$$ तब $$x \in L_i$$. फलस्वरूप, $${\textstyle\bigcap\limits_{i \in \varnothing}} L_i = \{x : \text{ true }\}$$ के होते हैं ब्रह्मांड में।

तो यदि $$I = \varnothing$$ और:
 * 1) यदि आप एक मॉडल सिद्धांत में काम कर रहे हैं जिसमें कुछ यूनिवर्स सेट|ब्रह्मांड मौजूद हैं $$X$$ तब $${\textstyle\bigcap\limits_{i \in \varnothing}} L_i = \{x ~:~ x \in L_i \text{ for every } i \in \varnothing\} ~=~ X.$$ #अन्यथा, यदि आप एक मॉडल सिद्धांत में काम कर रहे हैं जिसमें सभी चीजों का वर्ग है $$x$$तो यह एक सेट नहीं है (अब तक की सबसे सामान्य स्थिति)। $${\textstyle\bigcap\limits_{i \in \varnothing}} L_i$$ है क्योंकि $${\textstyle\bigcap\limits_{i \in \varnothing}} L_i$$ के होते हैं, किसने बनाया $${\textstyle\bigcap\limits_{i \in \varnothing}} L_i$$ एक उचित वर्ग और  एक सेट।


 * धारणा: अब से, जब भी किसी सूत्र को किसी मनमाने प्रतिच्छेदन को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए कुछ अनुक्रमण सेट को गैर-रिक्त होने की आवश्यकता होती है, तो इसे बिना उल्लेख के स्वचालित रूप से मान लिया जाएगा।

इसका परिणाम निम्नलिखित धारणा/परिभाषा है:


 * ए सेट का या ए एक सीमित संग्रह के प्रतिच्छेदन को संदर्भित करता है सेट.

कुछ लेखक तथाकथित को अपनाते हैं, जो कि यह परंपरा है कि सेटों का एक खाली प्रतिच्छेदन कुछ विहित सेट के बराबर होता है। विशेषकर, यदि सभी समुच्चय किसी समुच्चय के उपसमुच्चय हों $$X$$ तब कुछ लेखक यह घोषणा कर सकते हैं कि इन सेटों का खाली चौराहा बराबर होगा $$X.$$ हालाँकि, अशक्त प्रतिच्छेदन सम्मेलन को आम तौर पर अशक्त संघ सम्मेलन के रूप में स्वीकार नहीं किया जाता है और यह लेख इसे नहीं अपनाएगा (यह इस तथ्य के कारण है कि खाली संघ के विपरीत, खाली प्रतिच्छेदन का मूल्य निर्भर करता है $$X$$ इसलिए यदि कई सेट विचाराधीन हैं, जो आमतौर पर मामला है, तो खाली चौराहे का मूल्य अस्पष्ट होने का जोखिम है)।

एकाधिक सूचकांक सेट $$\bigcup_{\stackrel{i \in I,}{j \in J}} S_{i,j} \stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \bigcup_{(i, j) \in I \times J} S_{i,j}$$ $$\bigcap_{\stackrel{i \in I,}{j \in J}} S_{i,j} \stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \bigcap_{(i, j) \in I \times J} S_{i,j}$$

मनमाना ⋃ का बाइनरी ⋂
और


 * मैं गिरा $$\left(L_i\right)_{i \in I}$$ जोड़ीवार असंयुक्त और सभी हैं $$\left(R_j\right)_{j \in J}$$ जोड़ीवार भी असंयुक्त हैं, तो सभी भी ऐसे ही हैं $$\left(L_i \cap R_j\right)_{(i, j) \in I \times J}$$ (अर्थात, यदि $$(i, j) \neq \left(i_2, j_2\right)$$ तब $$\left(L_i \cap R_j\right) \cap \left(L_{i_2} \cap R_{j_2}\right) = \varnothing$$).


 * महत्वपूर्ण बात यह है कि यदि $$I = J$$ फिर सामान्य तौर पर, $$~\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \cap \left(\bigcup_{i \in I} R_i\right) \color{Red}{\neq}\color{Black}{} \bigcup_{i \in I} \left(L_i \cap R_i\right)~$$ (एक #CounterExampleToEqualityInterOfUnionsWhenIequalsJ नीचे दिया गया है)। दाहिनी ओर एकल संघ सभी जोड़ियों के ऊपर रहें $$(i, j) \in I \times I:$$ $$~\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \cap \left(\bigcup_{i \in I} R_i\right) = \bigcup_{\stackrel{i \in I,}{j \in I}} \left(L_i \cap R_j\right).~$$ यही बात आमतौर पर अन्य समान गैर-तुच्छ सेट समानताओं और संबंधों के लिए भी सच है जो दो (संभावित रूप से असंबंधित) अनुक्रमण सेटों पर निर्भर करते हैं $$I$$ और $$J$$ (जैसे कि $$ या $$). दो अपवाद हैं $$ (यूनियनों की यूनियनें) और $$ (चौराहों के चौराहे), लेकिन ये दोनों निर्धारित समानताओं में से सबसे तुच्छ हैं (हालांकि इन समानताओं के लिए अभी भी कुछ ऐसा है जिसे सिद्ध किया जाना चाहिए ).
 * होने देना $$X \neq \varnothing$$ और जाने $$I = \{1, 2\}.$$ होने देना $$L_1 \colon= R_2 \colon= X$$ और जाने $$L_2 \colon= R_1 \colon= \varnothing.$$ तब $$X = X \cap X = \left(L_1 \cup L_2\right) \cap \left(R_2 \cup R_2\right) = \left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \cap \left(\bigcup_{i \in I} R_i\right) ~\neq~ \bigcup_{i \in I} \left(L_i \cap R_i\right) = \left(L_1 \cap R_1\right) \cup \left(L_2 \cap R_2\right) = \varnothing \cup \varnothing = \varnothing.$$ आगे, $$\varnothing = \varnothing \cup \varnothing = \left(L_1 \cap L_2\right) \cup \left(R_2 \cap R_2\right) = \left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \cup \left(\bigcap_{i \in I} R_i\right) ~\neq~ \bigcap_{i \in I} \left(L_i \cup R_i\right) = \left(L_1 \cup R_1\right) \cap \left(L_2 \cup R_2\right) = X \cap X = X.$$

मनमाना ⋂ का बाइनरी ⋃
और


 * महत्वपूर्ण बात यह है कि यदि $$I = J$$ फिर सामान्य तौर पर, $$~\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \cup \left(\bigcap_{i \in I} R_i\right) \color{Red}{\neq}\color{Black}{} \bigcap_{i \in I} \left(L_i \cup R_i\right)~$$ (एक #CounterExampleToEqualityUnionOfIntersWhenIequalsJ ऊपर दिया गया है)। दाहिनी ओर एकल चौराहा सभी जोड़ियों के ऊपर रहें $$(i, j) \in I \times I:$$ $$~\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \cup \left(\bigcap_{i \in I} R_i\right) = \bigcap_{\stackrel{i \in I,}{j \in I}} \left(L_i \cup R_j\right).~$$

⋂ और ⋃ की अदला-बदली करके गलत वितरण
भोलेपन से अदला-बदली $$\;{\textstyle\bigcup\limits_{i \in I}}\;$$ और $$\;{\textstyle\bigcap\limits_{j \in J}}\;$$ एक अलग सेट तैयार कर सकता है

निम्नलिखित समावेश हमेशा कायम रहता है:

सामान्य तौर पर, समानता की आवश्यकता नहीं होती है और इसके अलावा, दाहिना हाथ इस बात पर निर्भर करता है कि प्रत्येक के लिए कैसे तय किया गया है $$i \in I,$$ सेट $$\left(S_{i,j}\right)_{j \in J}$$ लेबल किए गए हैं; और इसी प्रकार, बायां हाथ इस बात पर निर्भर करता है कि प्रत्येक के लिए कैसे तय किया गया है $$j \in J,$$ सेट $$\left(S_{i,j}\right)_{i \in I}$$ लेबल किये गये हैं. इसे प्रदर्शित करने वाला एक उदाहरण अब दिया गया है।

<ul> <li>लेबलिंग पर निर्भरता और समानता की विफलता का उदाहरण: यह देखने के लिए कि समानता को कब बनाए रखने की आवश्यकता क्यों नहीं है $$\cup$$ और $$\cap$$ अदला-बदली की जाती है, चलो $$I \colon= J \colon= \{1, 2\},$$ और जाने $$S_{11} = \{1, 2\},~S_{12} = \{1, 3\},~S_{21} = \{3, 4\},$$ और $$S_{22} = \{2, 4\}.$$ तब $$\{1, 4\} = \{1\} \cup \{4\} = \left(S_{11} \cap S_{12}\right) \cup \left(S_{21} \cap S_{22}\right) = \bigcup_{i \in I} \left(\bigcap_{j \in J} S_{i,j}\right) ~\neq~ \bigcap_{j \in J} \left(\bigcup_{i \in I} S_{i,j}\right) = \left(S_{11} \cup S_{21}\right) \cap \left(S_{12} \cup S_{22}\right) = \{1, 2, 3, 4\}.$$ अगर $$S_{11}$$ और $$S_{21}$$ जबकि अदला-बदली की जाती है $$S_{12}$$ और $$S_{22}$$ अपरिवर्तित हैं, जो समुच्चय को जन्म देता है $$\hat{S}_{11} \colon= \{3, 4\},~\hat{S}_{12} \colon= \{1, 3\},~\hat{S}_{21} \colon= \{1, 2\},$$ और $$\hat{S}_{22} \colon= \{2, 4\},$$ तब $$\{2, 3\} = \{3\} \cup \{2\} = \left(\hat{S}_{11} \cap \hat{S}_{12}\right) \cup \left(\hat{S}_{21} \cap \hat{S}_{22}\right) = \bigcup_{i \in I} \left(\bigcap_{j \in J} \hat{S}_{i,j}\right) ~\neq~ \bigcap_{j \in J} \left(\bigcup_{i \in I} \hat{S}_{i,j}\right) = \left(\hat{S}_{11} \cup \hat{S}_{21}\right) \cap \left(\hat{S}_{12} \cup \hat{S}_{22}\right) = \{1, 2, 3, 4\}.$$ विशेषकर, बायां हाथ अब नहीं रहा $$\{1, 4\},$$ जो दर्शाता है कि बायां हाथ $${\textstyle\bigcup\limits_{i \in I}} \; {\textstyle\bigcap\limits_{j \in J}} S_{i,j}$$ यह इस बात पर निर्भर करता है कि सेट को कैसे लेबल किया गया है। यदि इसके बजाय $$S_{11}$$ और $$S_{12}$$ जबकि अदला-बदली की जाती है $$S_{21}$$ और $$S_{22}$$ अपरिवर्तित हैं, जो समुच्चय को जन्म देता है $$\overline{S}_{11} \colon= \{1, 3\},~ \overline{S}_{12} \colon= \{1, 2\},~ \overline{S}_{21} \colon= \{3, 4\},$$ और $$\overline{S}_{22} \colon= \{2, 4\},$$ तो बायां पक्ष और दायां पक्ष दोनों बराबर हैं $$\{1, 4\},$$ जो दिखाता है कि दाहिना हाथ इस बात पर भी निर्भर करता है कि सेट को कैसे लेबल किया गया है।</li> </ul>

में समानता $$ कुछ परिस्थितियों में होल्ड कर सकता है, जैसे कि $$, जो विशेष मामला है $$\left(S_{i,j}\right)_{(i,j) \in I \times J}$$ है $$\left(L_i \setminus R_j\right)_{(i,j) \in I \times J}$$ (वह है, $$S_{i,j} \colon= L_i \setminus R_j$$ समान अनुक्रमण सेट के साथ $$I$$ और $$J$$), या जैसे कि में $$, जो विशेष मामला है $$\left(S_{i,j}\right)_{(i,j) \in I \times J}$$ है $$\left(L_i \setminus R_j\right)_{(j, i) \in J \times I}$$ (वह है, $$\hat{S}_{j,i} \colon= L_i \setminus R_j$$ अनुक्रमण सेट के साथ $$I$$ और $$J$$ अदला-बदली)। एक सही सूत्र के लिए जो वितरणात्मक कानूनों का विस्तार करता है, केवल स्विचिंग के अलावा एक दृष्टिकोण $$\cup$$ और $$\cap$$ ज़रूरी है।

सही वितरणात्मक कानून
मान लीजिए कि प्रत्येक के लिए $$i \in I,$$ $$J_i$$ एक गैर-रिक्त सूचकांक सेट है और प्रत्येक के लिए $$j \in J_i,$$ होने देना $$T_{i,j}$$ कोई भी सेट हो (उदाहरण के लिए, इस कानून को लागू करने के लिए $$\left(S_{i,j}\right)_{(i, j) \in I \times J},$$ उपयोग $$J_i \colon= J$$ सभी के लिए $$i \in I$$ और उपयोग करें $$T_{i,j} \colon= S_{i,j}$$ सभी के लिए $$i \in I$$ और सभी $$j \in J_i = J$$). होने देना $${\textstyle \prod} J_{\bull} ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \prod_{i \in I} J_i$$ कार्टेशियन उत्पाद को निरूपित करें, जिसकी व्याख्या सभी कार्यों के समुच्चय के रूप में की जा सकती है $$f ~:~ I ~\to~ {\textstyle\bigcup\limits_{i \in I}} J_i$$ ऐसा है कि $$f(i) \in J_i$$ हरएक के लिए $$i \in I.$$ ऐसे फ़ंक्शन को टुपल नोटेशन का उपयोग करके भी दर्शाया जा सकता है $$\left(f_i\right)_{i \in I}$$ कहाँ $$f_i ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ f(i)$$ हरएक के लिए $$i \in I$$ और इसके विपरीत, एक टुपल $$\left(f_i\right)_{i \in I}$$ डोमेन के साथ फ़ंक्शन के लिए केवल नोटेशन है $$I$$ जिसका मूल्य पर $$i \in I$$ है $$f_i;$$ दोनों नोटेशन का उपयोग तत्वों को दर्शाने के लिए किया जा सकता है $${\textstyle \prod} J_{\bull}.$$ तब

कहाँ $${\textstyle \prod} J_{\bull} ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ {\textstyle\prod\limits_{i \in I}} J_i.$$

वितरणात्मक कानूनों को लागू करना
$$\bigcap_{i \in I} \; \bigcup_{j \in J} S_{i,j} = \bigcup_{f \in J^I} \; \bigcap_{i \in I} S_{i,f(i)}$$ $$\bigcup_{i \in I} \; \bigcap_{j \in J} S_{i,j} = \bigcap_{f \in J^I} \; \bigcup_{i \in I} S_{i,f(i)}$$ जिसके साथ संयुक्त होने पर $$ तात्पर्य: $$\bigcup_{i \in I} \; \bigcap_{j \in J} S_{i,j} ~=~ \bigcap_{f \in J^I} \; \bigcup_{i \in I} S_{i,f(i)} \color{Red}{\subseteq}\color{Black}{} \bigcup_{g \in I^J} \; \bigcap_{j \in J} S_{g(j),j} ~=~ \bigcap_{j \in J} \; \bigcup_{i \in I} S_{i,j}$$ कहाँ $$~\bigcap_{i \in I} \; \bigcup_{j \in J_i} T_{i,j} = \bigcup_{f \in {\textstyle \prod} J_{\bull}} \; \bigcap_{i \in I} T_{i,f(i)}.~$$ बाईं ओर का विस्तार और सरलीकरण देता है $$\bigcap_{i \in I} \; \bigcup_{j \in J_i} T_{i,j} = \left(\bigcup_{j \in J_1} T_{1,j}\right) \cap \left(\;\bigcup_{j \in J_2} T_{2,j}\right) = \left(\bigcup_{k \in K} T_{1,k}\right) \cap \left(\;\bigcup_{l \in L} T_{2,l}\right) = \left(\bigcup_{k \in K} C_k\right) \cap \left(\;\bigcup_{l \in L} D_l\right) $$ और दाहिनी ओर भी ऐसा ही करने से मिलता है: $$\bigcup_{f \in \prod J_{\bull}} \; \bigcap_{i \in I} T_{i,f(i)} = \bigcup_{f \in \prod J_{\bull}} \left(T_{1,f(1)} \cap T_{2,f(2)}\right) = \bigcup_{f \in \prod J_{\bull}} \left(C_{f(1)} \cap D_{f(2)}\right) = \bigcup_{(k,l) \in K \times L} \left(C_k \cap D_l\right) = \bigcup_{\stackrel{k \in K,}{l \in L}} \left(C_k \cap D_l\right). $$ इस प्रकार सामान्य पहचान $$ पहले दी गई सेट समानता तक कम हो जाता है $$: $$\left(\bigcup_{k \in K} C_k\right) \cap \;\bigcup_{l \in L} D_l = \bigcup_{\stackrel{k \in K,}{l \in L}} \left(C_k \cap D_l\right).$$
 * विशेष मामले में जहां सभी $$J_i$$ बराबर हैं (अर्थात्, $$J_i = J_{i_2}$$ सभी के लिए $$i, i_2 \in I,$$ जो परिवार के मामले में है $$\left(S_{i,j}\right)_{(i, j) \in I \times J},$$ उदाहरण के लिए), फिर देना $$J$$ इस सामान्य समुच्चय को निरूपित करें, कार्तीय गुणनफल होगा $${\textstyle \prod} J_{\bull} ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ {\textstyle\prod\limits_{i \in I}} J_i = {\textstyle\prod\limits_{i \in I}} J = J^I,$$ जो फॉर्म का कार्य स्थान  है $$f ~:~ I ~\to~ J.$$ उपरोक्त सेट समानताएँ $$ और $$, क्रमशः बन जाते हैं:
 * बायीं ओर, सूचकांक $$f \text{ and } i$$ सीमा से अधिक $$f \in J^I \text{ and } i \in I$$ (इसलिए की सबस्क्रिप्ट $$S_{i,f(i)}$$ सीमा से अधिक $$i \in I \text{ and } f(i) \in f(I) \subseteq J$$)
 * दाहिनी ओर, सूचकांक $$g \text{ and } j$$ सीमा से अधिक $$g \in I^J \text{ and } j \in J$$ (इसलिए की सबस्क्रिप्ट $$S_{g(j),j}$$ सीमा से अधिक $$j \in J \text{ and } g(j) \in g(J) \subseteq I$$).: के मामले में सामान्य सूत्र लागू करने के लिए $$\left(C_k\right)_{k \in K}$$ और $$\left(D_{l}\right)_{l \in L},$$ उपयोग $$I \colon= \{1, 2\},$$ $$J_1 \colon= K,$$ $$J_2 \colon= L,$$ और जाने $$T_{1,k} \colon= C_k$$ सभी के लिए $$k \in J_1$$ और जाने $$T_{2,l} \colon= D_l$$ सभी के लिए $$l \in J_2.$$ हर नक्शा $$f \in {\textstyle \prod} J_{\bull} ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ {\textstyle\prod\limits_{i \in I}} J_i = J_1 \times J_2 = K \times L$$ द्विभाजन को जोड़ी से पहचाना जा सकता है $$\left(f(1), f(2)\right) \in K \times L$$ (उलटा भेजता है $$(k,l) \in K \times L$$ मानचित्र के लिए $$f_{(k,l)} \in {\textstyle \prod} J_{\bull}$$ द्वारा परिभाषित $$1 \mapsto k$$ और $$2 \mapsto l;$$ यह तकनीकी रूप से केवल संकेतन का परिवर्तन है)। याद करें कि $$ था

घटाव को ⋃ और ⋂ पर वितरित करना
अगली पहचानों को डी मॉर्गन के नियमों के रूप में जाना जाता है।

समानताओं से निम्नलिखित चार सेट समानताएं निकाली जा सकती हैं $$ - $$ ऊपर।

सामान्य तौर पर, भोली-भाली अदला-बदली $$\;\cup\;$$ और $$\;\cap\;$$ एक अलग सेट तैयार कर सकता है (अधिक विवरण के लिए # मनमाना यूनियन/चौराहे और स्विचिंग प्रतीक देखें)। समानताएं $$\bigcup_{i \in I} \; \bigcap_{j \in J} \left(L_i \setminus R_j\right) ~=~ \bigcap_{j \in J} \; \bigcup_{i \in I} \left(L_i \setminus R_j\right) \quad \text{ and } \quad \bigcup_{j \in J} \; \bigcap_{i \in I} \left(L_i \setminus R_j\right) ~=~ \bigcap_{i \in I} \; \bigcup_{j \in J} \left(L_i \setminus R_j\right)$$ में पाया $$ और $$ इस मायने में असामान्य हैं कि वे ठीक उसी तरह की अदला-बदली बताते हैं $$\;\cup\;$$ और $$\;\cap\;$$ इच्छा परिणामी सेट बदलें।

⋃ और ⋂ की क्रमपरिवर्तनशीलता और साहचर्यता
क्रमपरिवर्तनशीलता:

$$\bigcup_{\stackrel{i \in I,}{j \in J}} S_{i,j} \stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \bigcup_{(i, j) \in I \times J} S_{i,j} ~=~ \bigcup_{i \in I} \left(\bigcup_{j \in J} S_{i,j}\right) ~=~ \bigcup_{j \in J} \left(\bigcup_{i \in I} S_{i,j}\right)$$

$$\bigcap_{\stackrel{i \in I,}{j \in J}} S_{i,j} \stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \bigcap_{(i, j) \in I \times J} S_{i,j} ~=~ \bigcap_{i \in I} \left(\bigcap_{j \in J} S_{i,j}\right) ~=~ \bigcap_{j \in J} \left(\bigcap_{i \in I} S_{i,j}\right)$$ यूनियनों के संघ और चौराहों के चौराहे:

$$\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \cup R ~=~ \bigcup_{i \in I} \left(L_i \cup R\right)$$ $$\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \cap R ~=~ \bigcap_{i \in I} \left(L_i \cap R\right)$$ और

और अगर $$I = J$$ तब भी:

Π
का प्रतिच्छेदन ⋂

अगर $$\left(S_{i,j}\right)_{(i,j) \in I \times J}$$ तो यह सेटों का एक परिवार है विशेषकर, यदि $$\left(L_i\right)_{i \in I}$$ और $$\left(R_i\right)_{i \in I}$$ तब दो परिवार एक ही सेट द्वारा अनुक्रमित होते हैं $$\left(\prod_{i \in I} L_i\right) \cap \prod_{i \in I} R_i ~=~ \prod_{i \in I} \left(L_i \cap R_i\right)$$ तो उदाहरण के लिए, $$(L \times R) \cap \left(L_2 \times R_2\right) ~=~ \left(L \cap L_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)$$ $$(L \times R) \cap \left(L_2 \times R_2\right) \cap \left(L_3 \times R_3\right) ~=~ \left(L \cap L_2 \cap L_3\right) \times \left(R \cap R_2 \cap R_3\right)$$ और $$(L \times M \times R) \cap \left(L_2 \times M_2 \times R_2\right) ~=~ \left(L \cap L_2\right) \times \left(M \cap M_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)$$ विभिन्न सेटों द्वारा अनुक्रमित उत्पादों के प्रतिच्छेदन
 * इसके अलावा, एक टुपल $$\left(x_i\right)_{i \in I}$$ में सेट के अंतर्गत आता है $$ ऊपर यदि और केवल यदि $$x_i \in S_{i,j}$$ सभी के लिए $$i \in I$$ और सभी $$j \in J.$$

होने देना $$\left(L_i\right)_{i \in I}$$ और $$\left(R_j\right)_{j \in J}$$ अलग-अलग सेटों द्वारा अनुक्रमित दो परिवार बनें।

तकनीकी रूप से, $$I \neq J$$ तात्पर्य $$\left({\textstyle\prod\limits_{i \in I}} L_i\right) \cap {\textstyle\prod\limits_{j \in J}} R_j = \varnothing.$$ हालाँकि, कभी-कभी इन उत्पादों को कुछ आक्षेप के माध्यम से एक ही सेट के रूप में पहचाना जाता है या इनमें से एक उत्पाद को कुछ इंजेक्शन मानचित्र के माध्यम से दूसरे के सबसेट के रूप में पहचाना जाता है, इस स्थिति में (नोटेशन के दुरुपयोग द्वारा) यह प्रतिच्छेदन किसी अन्य के बराबर हो सकता है (संभवतः गैर-रिक्त) सेट।
 * उदाहरण के लिए, यदि $$I := \{1, 2\}$$ और $$J := \{1, 2, 3\}$$ सभी सेट बराबर के साथ $$\R$$ तब $${\textstyle\prod\limits_{i \in I}} L_i = {\textstyle\prod\limits_{i \in \{1, 2\}}} \R = \R^2$$ और $${\textstyle\prod\limits_{j \in J}} R_j = {\textstyle\prod\limits_{j \in \{1, 2, 3\}}} \R = \R^3$$ कहाँ $$\R^2 \cap \R^3 = \varnothing$$, उदाहरण के लिए, $${\textstyle\prod\limits_{i \in \{1, 2\}}} \R = \R^2$$ के उपसमूह के रूप में पहचाना जाता है $${\textstyle\prod\limits_{j \in \{1, 2, 3\}}} \R = \R^3$$ कुछ इंजेक्टिव मानचित्र के माध्यम से, जैसे कि हो सकता है $$(x, y) \mapsto (x, y, 0)$$ उदाहरण के लिए; हालाँकि, इस विशेष मामले में उत्पाद $${\textstyle\prod\limits_{i \in I = \{1, 2\}}} L_i$$ वास्तव में प्रतिनिधित्व करता है $$J$$-अनुक्रमित उत्पाद $${\textstyle\prod\limits_{j \in J = \{1, 2, 3\}}} L_i$$ कहाँ $$L_3 := \{0\}.$$
 * दूसरे उदाहरण के लिए लीजिए $$I := \{1, 2\}$$ और $$J := \{1, 2, 3\}$$ साथ $$L_1 := \R^2$$ और $$L_2, R_1, R_2, \text{ and } R_3$$ सभी के बराबर $$\R.$$ तब $${\textstyle\prod\limits_{i \in I}}L_i = \R^2 \times \R$$ और $${\textstyle\prod\limits_{j \in J}} R_j = \R \times \R \times \R,$$ जिसे भेजे गए आक्षेप के माध्यम से दोनों को एक ही सेट के रूप में पहचाना जा सकता है $$((x, y), z) \in \R^2 \times \R$$ को $$(x, y, z) \in \R \times \R \times \R.$$ इस पहचान के तहत, $$\left({\textstyle\prod\limits_{i \in I}} L_i\right) \cap \, {\textstyle\prod\limits_{j \in J}} R_j ~=~ \R^3.$$

संघ ⋃ का Π
यूनियनों के लिए, सामान्यतः केवल निम्नलिखित की गारंटी दी जाती है: $$\bigcup_{j \in J} \; \prod_{i \in I} S_{i,j} \color{Red}{\subseteq}\color{Black}{} \prod_{i \in I} \; \bigcup_{j \in J} S_{i,j} \qquad \text{ and } \qquad \bigcup_{i \in I} \; \prod_{j \in J} S_{i,j} \color{Red}{\subseteq}\color{Black}{} \prod_{j \in J} \; \bigcup_{i \in I} S_{i,j}$$ कहाँ $$\left(S_{i,j}\right)_{(i,j) \in I \times J}$$ सेटों का एक परिवार है.

हालाँकि, $$\begin{alignat}{9} \left(L \times R\right) ~\cup~ \left(L_2 \times R_2\right) ~&=~ \left[\left(L \setminus L_2\right) \times R\right] ~\cup~ \left[\left(L_2 \setminus L\right) \times R_2\right] ~\cup~ \left[\left(L \cap L_2\right) \times \left(R \cup R_2\right)\right] \\[0.5ex] ~&=~ \left[L \times \left(R \setminus R_2\right)\right] ~\cup~ \left[L_2 \times \left(R_2 \setminus R\right)\right] ~\cup~ \left[\left(L \cup L_2\right) \times \left(R \cap R_2\right)\right] \\ \end{alignat}$$

Π
का अंतर

अगर $$\left(L_i\right)_{i \in I}$$ और $$\left(R_i\right)_{i \in I}$$ तो सेट के दो परिवार हैं: $$\begin{alignat}{9} \left(\prod_{i \in I} L_i\right) ~\setminus~ \prod_{i \in I}R_i ~&=~ \;~ \bigcup_{j \in I} \; ~ \prod_{i \in I} \begin{cases}L_j \,\setminus\, R_j & \text{ if } i = j \\ L_i & \text{ if } i \neq j \\ \end{cases} \\[0.5ex] ~&=~ \;~ \bigcup_{j \in I} \; ~ \Big[\left(L_j \,\setminus\, R_j\right) ~\times~ \prod_{\stackrel{i \in I,}{j \neq i}} L_i\Big] \\[0.5ex] ~&=~ \bigcup_{\stackrel{j \in I,}{L_j \not\subseteq R_j}} \Big[\left(L_j \,\setminus\, R_j\right) ~\times~ \prod_{\stackrel{i \in I,}{j \neq i}} L_i\Big] \\[0.3ex] \end{alignat}$$ उदाहरण के लिए, $$\begin{alignat}{9} \left(L \times R\right) ~\setminus~ \left(L_2 \times R_2\right) ~&=~ \left[\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times R\right] ~\cup~ \left[L \times \left(R \,\setminus\, R_2\right)\right] \\ \end{alignat}$$ और $$(L \times M \times R) ~\setminus~ \left(L_2 \times M_2 \times R_2\right) ~=~ \left[\left(L \,\setminus\, L_2\right) \times M \times R\right] ~\cup~ \left[L \times \left(M \,\setminus\, M_2\right) \times R\right] ~\cup~ \left[L \times M \times \left(R \,\setminus\, R_2\right)\right]$$

Π
का सममित अंतर ∆

$$\begin{alignat}{9} \left(\prod_{i \in I} L_i\right) ~\triangle~ \left(\prod_{i \in I} R_i\right) ~&=~ \;~ \left(\prod_{i \in I} L_i\right) ~\cup~ \left(\prod_{i \in I} R_i\right) \;\setminus\; \prod_{i \in I} L_i \cap R_i \\[0.5ex] \end{alignat}$$

कार्य और सेट
होने देना $$f : X \to Y$$ कोई भी कार्य हो.

होने देना $$L \text{ and } R$$ पूरी तरह से मनमाने सेट हों। मान लीजिए $$A \subseteq X \text{ and } C \subseteq Y.$$

परिभाषाएँ
होने देना $$f : X \to Y$$ कोई भी फ़ंक्शन हो, जहां हम उसे निरूपित करते हैं $$X$$ द्वारा $$\operatorname{domain} f$$ और इसे निरूपित करें  $$Y$$ द्वारा $$\operatorname{codomain} f.$$ नीचे दी गई कई पहचानों के लिए वास्तव में यह आवश्यक नहीं है कि सेट किसी तरह से संबंधित हों $$f$$का डोमेन या कोडोमेन (अर्थात्, को $$X$$ या $$Y$$) इसलिए जब किसी प्रकार का संबंध आवश्यक होगा तो इसका स्पष्ट संकेत दिया जाएगा। इस कारण इस लेख में यदि $$L$$ होना घोषित किया गया है, और यह इंगित नहीं किया गया है $$L$$ किसी न किसी तरह से संबंधित होना चाहिए $$X$$ या $$Y$$ (उदाहरण के लिए, कहें कि यह एक उपसमुच्चय है $$X$$ या $$Y$$) तो इसका मतलब यह है $$L$$ वास्तव में मनमाना है. यह व्यापकता उन स्थितियों में उपयोगी है जहां $$f : X \to Y$$ दो उपसमूहों के बीच का मानचित्र है $$X \subseteq U$$ और $$Y \subseteq V$$ कुछ बड़े सेटों का $$U$$ और $$V,$$ और सेट कहां है $$L$$ पूरी तरह से समाहित नहीं हो सकता है $$X = \operatorname{domain} f$$ और/या $$Y = \operatorname{codomain} f$$ (उदाहरण के लिए यदि वह सब कुछ ज्ञात हो $$L$$ यह है कि $$L \subseteq U$$); ऐसी स्थिति में यह जानना उपयोगी हो सकता है कि किस बारे में कहा जा सकता है और क्या नहीं $$f(L)$$ और/या $$f^{-1}(L)$$ बिना (संभावित रूप से अनावश्यक) प्रतिच्छेदन का परिचय दिए बिना जैसे: $$f(L \cap X)$$ और/या $$f^{-1}(L \cap Y).$$ सेट की छवियाँ और पूर्व-छवियाँ

अगर $$L$$ है फिर सेट करें  को सेट के रूप में परिभाषित किया गया है: $$f(L) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{\,f(l) ~:~ l \in L \cap \operatorname{domain} f\,\}$$ जब है: $$f^{-1}(L) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \{\,x \in \operatorname{domain} f ~:~ f(x) \in L\,\}$$ कहाँ अगर $$L = \{s\}$$ एक सिंगलटन सेट है तो या  है $$f^{-1}(s) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ f^{-1}(\{s\}) ~=~ \{\,x \in \operatorname{domain} f ~:~ f(x) = s\,\}.$$ द्वारा निरूपित करें $$\operatorname{Im} f$$ या $$\operatorname{image} f$$  या  का $$f : X \to Y,$$ कौन सा सेट है: $$\operatorname{Im} f ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ f(X) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ f(\operatorname{domain} f) ~=~ \{f(x) ~:~ x \in \operatorname{domain} f\}.$$ संतृप्त सेट

एक सेट $$A$$ बताया गया या ए यदि निम्नलिखित में से कोई भी समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं: <ol> <li>वहां एक सेट मौजूद है $$R$$ ऐसा है कि $$A = f^{-1}(R).$$ <ली>$$A = f^{-1}(f(A)).$$</li> <ली>$$A \supseteq f^{-1}(f(A))$$ और $$A \subseteq \operatorname{domain} f.$$ <ली>$$A \subseteq \operatorname{domain} f$$ और अगर $$a \in A$$ और $$x \in \operatorname{domain} f$$ संतुष्ट करना $$f(x) = f(a),$$ तब $$x \in A.$$ <li>जब भी एक फाइबर का $$f$$ काटती है $$A,$$ तब $$A$$ इसमें संपूर्ण फाइबर होता है। दूसरे शब्दों में, $$A$$ प्रत्येक शामिल है $$f$$-फाइबर जो इसे काटता है।</li> <li>का चौराहा $$A$$ के फाइबर के साथ $$f$$ खाली सेट या स्वयं फाइबर के बराबर है। </li> </ol> एक सेट के लिए $$A$$ होना $$f$$-संतृप्त, यह आवश्यक है कि $$A \subseteq \operatorname{domain} f.$$ कार्यों की संरचना और प्रतिबंध
 * ऐसा कोई भी सेट $$R$$ आवश्यक रूप से शामिल है $$f(A)$$ एक उपसमुच्चय के रूप में.
 * कोई भी सेट पूरी तरह से के डोमेन में शामिल नहीं है $$f$$ हो नहीं सकता $$f$$-संतृप्त.</li>
 * समावेश $$L \cap \operatorname{domain} f \subseteq f^{-1}(f(L))$$ हमेशा धारण करता है, जहां यदि $$A \subseteq \operatorname{domain} f$$ तो ये बन जाता है $$A \subseteq f^{-1}(f(A)).$$</li>
 * स्पष्ट रूप से: जब भी $$y \in \operatorname{Im} f$$ इस प्रकार कि $$A \cap f^{-1}(y) \neq \varnothing,$$ तब $$f^{-1}(y) s\subseteq A.$$
 * इस कथन और अगले दोनों में, सेट $$\operatorname{Im} f$$ के किसी भी सुपरसेट से बदला जा सकता है $$\operatorname{Im} f$$ (जैसे कि $$\operatorname{codomain} f$$) और परिणामी कथन अभी भी बाकी के बराबर होगा।
 * स्पष्ट रूप से: प्रत्येक के लिए $$y \in \operatorname{Im} f,$$ चौराहा $$A \cap f^{-1}(y)$$ खाली सेट के बराबर है $$\varnothing$$ या करने के लिए $$f^{-1}(y)$$ (वह है, $$A \cap f^{-1}(y) = \varnothing$$ या $$A \cap f^{-1}(y) = f^{-1}(y)$$).

अगर $$f$$ और $$g$$ तो फिर मानचित्र हैं $$g \circ f$$ को दर्शाता है नक्शा $$g \circ f ~:~ \{\,x \in \operatorname{domain} f ~:~ f(x) \in \operatorname{domain} g\,\} ~\to~ \operatorname{codomain} g$$ डोमेन और कोडोमेन के साथ $$\begin{alignat}{4} \operatorname{domain}  (g \circ f) &= \{\,x \in \operatorname{domain} f ~:~ f(x) \in \operatorname{domain}  g\,\} \\[0.4ex] \operatorname{codomain} (g \circ f) &= \operatorname{codomain} g \\[0.7ex] \end{alignat}$$ द्वारा परिभाषित $$(g \circ f)(x) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ g(f(x)).$$

{{em|restriction of $$f : X \to Y$$ to $$L,$$}h>}} द्वारा दर्शाया गया है $$f\big\vert_L,$$ नक्शा है $$f\big\vert_L ~:~ L \cap \operatorname{domain} f ~\to~ Y$$ साथ $$\operatorname{domain} f\big\vert_L ~=~ L \cap \operatorname{domain} f$$ भेजकर परिभाषित किया गया $$x \in L \cap \operatorname{domain} f$$ को $$f(x);$$ वह है, $$f\big\vert_L(x) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ f (x).$$ वैकल्पिक रूप से, $$~f\big\vert_L ~=~ f \circ \operatorname{In}~$$ कहाँ $$~\operatorname{In} ~:~ L \cap X \to X~$$ समावेशन मानचित्र को दर्शाता है, जिसे परिभाषित किया गया है $$\operatorname{In}(s) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ s.$$

(पूर्व)मनमानी यूनियनों ⋃ और चौराहों की छवियाँ ⋂'s
अगर $$\left(L_i\right)_{i \in I}$$ द्वारा अनुक्रमित मनमाने सेटों का एक परिवार है $$I \neq \varnothing$$ तब: $$\begin{alignat}{4} f\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right)      \;&~\;\color{Red}{\subseteq}\color{Black}{}~ \;\;\;\bigcap_{i \in I} f\left(L_i\right) \\ f\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right)      \;&~=~ \;\bigcup_{i \in I} f\left(L_i\right) \\ f^{-1}\left(\bigcup_{i \in I} L_i\right) \;&~=~ \;\bigcup_{i \in I} f^{-1}\left(L_i\right) \\ f^{-1}\left(\bigcap_{i \in I} L_i\right) \;&~=~ \;\bigcap_{i \in I} f^{-1}\left(L_i\right) \\ \end{alignat}$$ तो इन चार पहचानों में से यह है जो हमेशा संरक्षित नहीं रहते। प्रीइमेज सभी बुनियादी सेट संचालन को सुरक्षित रखते हैं। यूनियनों को छवियों और पूर्वछवियों दोनों द्वारा संरक्षित किया जाता है।

मैं गिरा $$L_i$$ हैं $$f$$-फिर संतृप्त $$\bigcap_{i \in I} L_i$$ होना होगा $$f$$-ऊपर के पहले संबंध में संतृप्त और समानता कायम रहेगी; स्पष्ट रूप से, इसका मतलब है:

अगर $$\left(A_i\right)_{i \in I}$$ के मनमाने उपसमुच्चय का एक परिवार है $$X = \operatorname{domain} f,$$ जिसका अर्थ है कि $$A_i \subseteq X$$ सभी के लिए $$i,$$ तब $$ बन जाता है:

(पूर्व)बाइनरी सेट संचालन की छवियाँ
भर में, चलो $$L$$ और $$R$$ कोई भी सेट हो और चलो $$f : X \to Y$$ कोई भी कार्य हो.

सारांश

जैसा कि नीचे दी गई तालिका से पता चलता है, सेट समानता है गारंटी  के लिए  का: प्रतिच्छेदन, सेट घटाव, और सममित अंतर।

प्रीइमेज सेट संचालन को सुरक्षित रखते हैं

सभी बुनियादी सेट संचालन के संबंध में सेट की प्रीइमेज अच्छी तरह से व्यवहार की जाती हैं:

$$\begin{alignat}{4} f^{-1}(L \cup R) ~&=~ f^{-1}(L) \cup f^{-1}(R) \\ f^{-1}(L \cap R) ~&=~ f^{-1}(L) \cap f^{-1}(R) \\ f^{-1}(L \setminus\, R) ~&=~ f^{-1}(L) \setminus\, f^{-1}(R) \\ f^{-1}(L \,\triangle\, R) ~&=~ f^{-1}(L) \,\triangle\, f^{-1}(R) \\ \end{alignat}$$ शब्दों में, पूर्वछवियाँ वितरणात्मक संपत्ति संघ, प्रतिच्छेदन, सेट घटाव और सममित अंतर।

इमेजिस यूनियनों को सुरक्षित रखें

यूनियनों की छवियां अच्छी तरह से व्यवहार की जाती हैं:

$$\begin{alignat}{4} f(L \cup R) ~&=~ f(L) \cup f(R) \\ \end{alignat}$$ लेकिन अन्य बुनियादी सेट संचालन की छवियां हैं चूँकि सामान्यतः निम्नलिखित की ही गारंटी होती है:

$$\begin{alignat}{4} f(L \cap R) ~&\subseteq~ f(L) \cap f(R) \\ f(L \setminus R) ~&\supseteq~ f(L) \setminus f(R) \\ f(L \triangle R) ~&\supseteq~ f(L) \,\triangle\, f(R) \\ \end{alignat}$$ शब्दों में, छवियां वितरणात्मक संपत्ति संघ लेकिन जरूरी नहीं कि चौराहों, सेट घटाव, या सममित अंतर पर हों।

सामान्य तौर पर, सेट घटाव की छवियों के लिए समानता की गारंटी नहीं है $$L \setminus R$$ न ही अन्य दो प्राथमिक सेट ऑपरेटरों की छवियों के लिए जिन्हें दो सेटों के अंतर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: $$L \cap R = L \setminus (L \setminus R) \quad \text{ and } \quad L \triangle R = (L \cup R) \setminus (L \cap R).$$ अगर $$L = X$$ तब $$f(X \setminus R) \supseteq f(X) \setminus f(R)$$ जबकि अधिक सामान्य मामले में, समानता की गारंटी नहीं है। अगर $$f$$ तो फिर विशेषण है $$f(X \setminus R) ~\supseteq~ Y \setminus f(R),$$ जिसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है: $$f\left(R^\complement\right) ~\supseteq~ f(R)^\complement$$ अगर $$R^\complement ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ X \setminus R$$ और $$f(R)^\complement ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ Y \setminus f(R).$$

प्रति-उदाहरण: वितरित न होने वाले परिचालनों की छवियाँ
अगर $$f : \{1, 2\} \to Y$$ स्थिर है, $$L = \{1\},$$ और $$R = \{2\}$$ फिर सेट के सभी चार कंटेंट $$\begin{alignat}{4} f(L \cap R) ~&\subsetneq~ f(L) \cap f(R) \\ f(L \setminus R) ~&\supsetneq~ f(L) \setminus f(R) \\ f(X \setminus R) ~&\supsetneq~ f(X) \setminus f(R) \\ f(L \triangle R) ~&\supsetneq~ f(L) \triangle f(R) \\ \end{alignat}$$ उचित उपसमुच्चय हैं|सख्त/उचित (अर्थात्, समुच्चय समान नहीं हैं) क्योंकि एक पक्ष रिक्त समुच्चय है जबकि दूसरा गैर-रिक्त समुच्चय है। इस प्रकार सबसे सरल कार्यों के लिए भी समानता की गारंटी नहीं है। ऊपर दिए गए उदाहरण को अब यह दिखाने के लिए सामान्यीकृत किया गया है कि ये चार सेट समानताएं किसी भी स्थिर फ़ंक्शन के लिए विफल हो सकती हैं जिनके डोमेन में कम से कम दो (विशिष्ट) बिंदु हैं।: होने देना $$f : X \to Y$$ छवि के साथ कोई भी स्थिर कार्य हो $$f(X) = \{y\}$$ और मान लीजिये $$L, R \subseteq X$$ गैर-रिक्त असंयुक्त उपसमुच्चय हैं; वह है, $$L \neq \varnothing, R \neq \varnothing,$$ और $$L \cap R = \varnothing,$$ जिसका तात्पर्य यह है कि सभी सेट $$L ~\triangle~ R = L \cup R,$$ $$\,L \setminus R = L,$$ और $$X \setminus R \supseteq L \setminus R$$ खाली नहीं हैं और परिणामस्वरूप, उनकी छवियां नीचे हैं $$f$$ सभी समान हैं $$\{y\}.$$ <ol> <li>रोकथाम $$~f(L \setminus R) ~\supsetneq~ f(L) \setminus f(R)~$$ सख्त है: $$\{y\} ~=~ f(L \setminus R) ~\neq~ f(L) \setminus f(R) ~=~ \{y\} \setminus \{y\} ~=~ \varnothing$$ शब्दों में: फ़ंक्शंस वितरण संपत्ति नहीं हो सकते हैं | सेट घटाव पर वितरित करें $$\,\setminus\,$$</li> <li>रोकथाम $$~f(X \setminus R) ~\supsetneq~ f(X) \setminus f(R)~$$ सख्त है: $$\{y\} ~=~ f(X \setminus R) ~\neq~ f(X) \setminus f(R) ~=~ \{y\} \setminus \{y\} ~=~ \varnothing.$$ </li> <li>रोकथाम $$~f(L ~\triangle~ R) ~\supsetneq~ f(L) ~\triangle~ f(R)~$$ सख्त है: $$\{y\} ~=~ f\left(L ~\triangle~ R\right) ~\neq~ f(L) ~\triangle~ f(R) ~=~ \{y\} \triangle \{y\} ~=~ \varnothing$$ शब्दों में: फ़ंक्शंस वितरणात्मक गुण नहीं हो सकते हैं|सममित अंतर पर वितरित हो सकते हैं $$\,\triangle\,$$(जिसे दो सेटों के सेट घटाव के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: $$L \triangle R = (L \cup R) \setminus (L \cap R)$$). </li> <li>रोकथाम $$~f(L \cap R) ~\subsetneq~ f(L) \cap f(R)~$$ सख्त है: $$\varnothing ~=~ f(\varnothing) ~=~ f(L \cap R) ~\neq~ f(L) \cap f(R) ~=~ \{y\} \cap \{y\} ~=~ \{y\}$$ शब्दों में: फ़ंक्शंस वितरण संपत्ति नहीं हो सकते हैं | सेट चौराहे पर वितरित नहीं हो सकते हैं $$\,\cap\,$$(जिसे दो सेटों के सेट घटाव के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: $$L \cap R = L \setminus (L \setminus R)$$). </li> </ol>

इन चार उदाहरणों में सेट ऑपरेशनों में जो समानता है वह यह है कि वे दोनों हैं घटाव सेट करें $$\setminus$$ (उदाहरण (1) और (2)) अन्यथा वे स्वाभाविक रूप से कर सकते हैं  दो सेटों के सेट घटाव के रूप में (उदाहरण (3) और (4))।

स्मरणीय: वास्तव में, उपरोक्त चार सेट फ़ार्मुलों में से प्रत्येक के लिए जिसके लिए समानता की गारंटी नहीं है, रोकथाम की दिशा (अर्थात, उपयोग करना है या नहीं) $$\,\subseteq \text{ or } \supseteq\,$$) हमेशा फ़ंक्शन की कल्पना करके अनुमान लगाया जा सकता है $$f$$ होने के नाते और दो सेट ($$L$$ और $$R$$) अपने डोमेन के गैर-रिक्त असंयुक्त उपसमुच्चय के रूप में। यह है क्योंकि  ऐसे फ़ंक्शन और सेट के लिए समानता विफल हो जाती है: एक पक्ष हमेशा रहेगा $$\varnothing$$ और दूसरा गैर-रिक्त - इस तथ्य से, का सही विकल्प $$\,\subseteq \text{ or } \supseteq\,$$ उत्तर देकर अनुमान लगाया जा सकता है: कौन सा पक्ष खाली है? उदाहरण के लिए, यह तय करने के लिए कि क्या $$?$$ में $$f(L \triangle R) \setminus f(R) ~\;~?~\;~ f((L \triangle R) \setminus R)$$ होना चाहिए $$\,\subseteq \text{ or } \supseteq,\,$$ दिखावा करना वह $$f$$ स्थिर है और वह $$L \triangle R$$ और $$R$$ के गैर-रिक्त असंयुक्त उपसमुच्चय हैं $$f$$का डोमेन; फिर  हाथ की ओर खाली होगा (चूंकि $$f(L \triangle R) \setminus f(R) = \{f\text{'s single value}\} \setminus \{f\text{'s single value}\} = \varnothing$$), जो कि इंगित करता है $$\,?\,$$ होना चाहिए $$\,\subseteq\,$$ (परिणामस्वरूप कथन हमेशा सत्य होने की गारंटी है) क्योंकि यही वह विकल्प है जो चुनना होगा $$\varnothing = \text{left hand side} ~\;~?~\;~ \text{right hand side}$$ सत्य। वैकल्पिक रूप से, रोकथाम की सही दिशा किसी स्थिरांक पर विचार करके भी निकाली जा सकती है $$f : \{1, 2\} \to Y$$ साथ $$L = \{1\}$$ और $$R = \{2\}.$$ इसके अलावा, इस निमोनिक का उपयोग सही ढंग से यह पता लगाने के लिए भी किया जा सकता है कि सेट ऑपरेशन हमेशा छवियों या प्रीइमेज पर वितरित होता है या नहीं; उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि क्या है या नहीं $$f(L \cap R)$$ हमेशा बराबर होता है $$f(L) \cap f(R),$$ या वैकल्पिक रूप से, चाहे या नहीं $$f^{-1}(L \cap R)$$ हमेशा बराबर होता है $$f^{-1}(L) \cap f^{-1}(R)$$ (यद्यपि $$\,\cap\,$$ यहाँ प्रयोग किया गया था, इसे प्रतिस्थापित किया जा सकता है $$\,\cup, \,\setminus, \text{ or } \,\triangle$$). ऐसे प्रश्न का उत्तर, पहले की तरह, इस स्थिर फलन पर विचार करके निकाला जा सकता है: सामान्य मामले के लिए उत्तर (अर्थात, मनमाने ढंग से) $$f, L,$$ और $$R$$) हमेशा (स्थिर) फ़ंक्शन और असंयुक्त गैर-रिक्त सेटों की इस पसंद के उत्तर के समान होता है।

स्थितियाँ यह गारंटी देती हैं कि छवियाँ सेट संचालन पर वितरित होती हैं
समानता कब लागू होती है इसके लक्षण | सेट:

किसी भी समारोह के लिए $$f : X \to Y,$$ निम्न कथन समतुल्य हैं: <ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <ली>$$f : X \to Y$$ इंजेक्शन का कार्य है. </li> <ली>$$f(L \cap R) = f(L) \,\cap\, f(R) \, \text{ for all } \, L, R \subseteq X.$$ (बराबर का चिह्न $$\,=\,$$ से बदला जा सकता है $$\,\supseteq\,$$). </li> <ली>$$f(L \,\setminus R) = f(L) \,\setminus\, f(R) \; \text{ for all } \, L, R \subseteq X.$$ (बराबर का चिह्न $$\,=\,$$ से बदला जा सकता है $$\,\subseteq\,$$). </li> <ली>$$f(X \setminus R) = f(X) \setminus\, f(R) \; \text{ for all } \, R \subseteq X.$$ (बराबर का चिह्न $$\,=\,$$ से बदला जा सकता है $$\,\subseteq\,$$). </li> <ली>$$f(L \,\triangle\, R) = f(L) \,\triangle\, f(R) \; \text{ for all } \, L, R \subseteq X.$$ (बराबर का चिह्न $$\,=\,$$ से बदला जा सकता है $$\,\subseteq\,$$). </li> <li>चार कथनों में से कोई एक (बी) - (ई) लेकिन सभी के लिए शब्दों को निम्नलिखित में से किसी एक से बदल दिया जाए: <ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <li> सभी सिंगलटन सेट के लिए <li> सभी असंयुक्त सेट सिंगलटन सबसेट के लिए <li> सभी असंयुक्त उपसमुच्चय के लिए </li> </ol> </li> </ol>
 * इसका मतलब यह है: $$f(x) \neq f(y)$$ सभी के लिए विशिष्ट $$x, y \in X.$$
 * विशेष रूप से, जो कथन (डी) से उत्पन्न होता है वह इंजेक्टिविटी का एक लक्षण वर्णन देता है जिसमें स्पष्ट रूप से केवल एक बिंदु शामिल होता है (दो के बजाय): $$f$$ इंजेक्शन है यदि और केवल यदि $$f(x) \not\in f(X \setminus \{x\}) \; \text{ for every } \, x \in X.$$</li>
 * कथन (डी) के लिए, यह समान है: सभी सिंगलटन उपसमुच्चय के लिए (क्योंकि जोड़ीदार असंयुक्त की परिभाषा किसी भी परिवार द्वारा शून्य रूप से संतुष्ट होती है जिसमें बिल्कुल 1 सेट होता है)।</li>

विशेष रूप से, यदि किसी मानचित्र को इंजेक्शन के रूप में नहीं जाना जाता है, तो अतिरिक्त जानकारी को छोड़कर, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि कथनों (बी) - (ई) में कोई भी समानता कायम रहेगी।

इस लक्षण वर्णन को साबित करने में मदद के लिए #ConstantFunctionWithDisjointSubsetExample का उपयोग किया जा सकता है। वास्तव में, ऐसे प्रमाण के साथ उस उदाहरण की तुलना करने से पता चलता है कि उदाहरण मूल कारण का प्रतिनिधि है कि कथनों (बी) - (ई) में इन चार समानताओं में से एक क्यों नहीं हो सकती है (अर्थात, एक सेट होने पर क्या गलत होता है इसका प्रतिनिधि) समानता कायम नहीं है)।

f(L⋂R) = f(L)⋂f(R) के लिए शर्तें
$$f(L \cap R) ~\subseteq~ f(L) \cap f(R) \qquad\qquad \text{ always holds}$$ समानता की विशेषताएँ: निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं: <ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <ली>$$f(L \cap R) ~=~ f(L) \cap f(R)$$</li> <ली>$$f(L \cap R) ~\supseteq~ f(L) \cap f(R)$$</li> <ली>$$L \cap f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ f^{-1}(f(L \cap R))$$ <ली>$$R \cap f^{-1}(f(L)) ~\subseteq~ f^{-1}(f(L \cap R))$$</li> <ली>$$L \cap f^{-1}(f(R)) ~=~ f^{-1}(f(L \cap R)) \cap L$$</li> <ली>$$R \cap f^{-1}(f(L)) ~=~ f^{-1}(f(L \cap R)) \cap R$$</li> <li>यदि $$l \in L$$ संतुष्ट $$f(l) \in f(R)$$ तब $$f(l) \in f(L \cap R).$$</li> <li>यदि $$y \in f(L)$$ लेकिन $$y \notin f(L \cap R)$$ तब $$y \notin f(R).$$</li> <ली>$$f(L) \, \setminus \, f(L \cap R) ~\subseteq~ f(L) \, \setminus \, f(R)$$</li> <ली>$$f(R) \, \setminus \, f(L \cap R) ~\subseteq~ f(R) \, \setminus \, f(L)$$</li> <ली>$$f(L \cup R) \setminus f(L \cap R) ~\subseteq~ f(L) \,\triangle\, f(R)$$</li> <li>उपरोक्त तीन शर्तों में से कोई भी (i) - (k) लेकिन उपसमुच्चय प्रतीक के साथ $$\,\subseteq\,$$ बराबर चिह्न से प्रतिस्थापित किया गया $$\,=.\,$$</li> </ol>
 * बाएँ हाथ की ओर $$L \cap f^{-1}(f(R))$$ हमेशा बराबर होता है $$L \cap f^{-1}(f(L) \cap f(R))$$ (क्योंकि $$L \cap f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ f^{-1}(f(L))$$ हमेशा धारण करता है).</li>

समानता के लिए पर्याप्त शर्तें: यदि निम्नलिखित में से कोई भी सत्य है तो समानता मान्य है: <ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <ली>$$f$$ इंजेक्शन है. </li> <li>प्रतिबंध $$f\big\vert_{L \cup R}$$ इंजेक्शन है.</li> <ली>$$f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ R$$ </li> <ली>$$f^{-1}(f(L)) ~\subseteq~ L$$ </li> <ली>$$R$$ है $$f$$-संतृप्त; वह है, $$f^{-1}(f(R)) = R$$ </li> <ली>$$L$$ है $$f$$-संतृप्त; वह है, $$f^{-1}(f(L)) = L$$</li> <ली>$$f(L) ~\subseteq~ f(L \cap R)$$</li> <ली>$$f(R) ~\subseteq~ f(L \cap R)$$</li> <ली>$$f(L \,\setminus\, R) ~\subseteq~ f(L) \setminus \, f(R)$$ या समकक्ष, $$f(L \,\setminus\, R) ~=~ f(L) \setminus f(R)$$</li> <ली>$$f(R \,\setminus\, L) ~\subseteq~ f(R) \setminus \, f(L)$$ या समकक्ष, $$f(R \,\setminus\, L) ~=~ f(R) \setminus f(L)$$</li> <ली>$$f\left(L ~\triangle~ R\right) \subseteq f(L) ~\triangle~ f(R)$$ या समकक्ष, $$f\left(L ~\triangle~ R\right) = f(L) ~\triangle~ f(R)$$</li> <ली>$$R \cap \operatorname{domain} f \,\subseteq L$$</li> <ली>$$L \cap \operatorname{domain} f \,\subseteq R$$</li> <ली>$$R \subseteq L$$</li> <ली>$$L \subseteq R$$</li> </ol>

इसके अलावा, निम्नलिखित हमेशा कायम रहते हैं: $$f\left(f^{-1}(L) \cap R\right) ~=~ L \cap f(R)$$ $$f\left(f^{-1}(L) \cup R\right) ~=~ (L \cap \operatorname{Im} f) \cup f(R)$$

f(L\R) के लिए शर्तें = f(L)\f(R)
$$f(L \setminus R) ~\supseteq~ f(L) \setminus f(R) \qquad\qquad \text{ always holds}$$ समानता की विशेषताएँ: निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं: <ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <ली>$$f(L \setminus R) ~=~ f(L) \setminus f(R)$$</li> <ली>$$f(L \setminus R) ~\subseteq~ f(L) \setminus f(R)$$</li> <ली>$$L \cap f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ R$$</li> <ली>$$L \cap f^{-1}(f(R)) ~=~ L \cap R \cap \operatorname{domain} f$$</li> <li>जब भी $$y \in f(L) \cap f(R)$$ तब $$L \cap f^{-1}(y) \subseteq R.$$</li> <ली>$f(L) \cap f(R) ~\subseteq~ \left\{y \in f(L) : L \cap f^{-1}(y) \subseteq R\right\}$ <ली>$f(L) \cap f(R) ~=~ \left\{y \in f(L) : L \cap f^{-1}(y) \subseteq R\right\}$ </ol>
 * दायीं ओर का सेट हमेशा बराबर होता है $$\left\{y \in f(L \cap R) : L \cap f^{-1}(y) \,\subseteq R\right\}.$$</li>
 * यह उपरोक्त शर्त है (एफ) लेकिन उपसमुच्चय प्रतीक के साथ $$\,\subseteq\,$$ बराबर चिह्न से प्रतिस्थापित किया गया $$\,=.\,$$</li>

समानता के लिए आवश्यक शर्तें (विशेषताओं को छोड़कर): यदि समानता कायम है तो निम्नलिखित आवश्यक रूप से सत्य हैं: <ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <ली>$$f(L \cap R) = f(L) \cap f(R),$$ या समकक्ष $$f(L \cap R) \supseteq f(L) \cap f(R).$$</li> <ली>$$L \cap f^{-1}(f(R)) ~=~ L \cap f^{-1}(f(L \cap R))$$ या समकक्ष, $$L \cap f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ f^{-1}(f(L \cap R))$$</li> <ली>$$R \cap f^{-1}(f(L)) ~=~ R \cap f^{-1}(f(L \cap R))$$</li> </ol>

समानता के लिए पर्याप्त शर्तें: यदि निम्नलिखित में से कोई भी सत्य है तो समानता मान्य है: <ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <ली>$$f$$ इंजेक्शन है.</li> <li>प्रतिबंध $$f\big\vert_{L \cup R}$$ इंजेक्शन है.</li> <ली>$$f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ R$$ या समकक्ष, $$R \cap \operatorname{domain} f ~=~ f^{-1}(f(R))$$</li> <ली>$$R$$ है $$f$$-संतृप्त; वह है, $$R = f^{-1}(f(R)).$$ </li> <ली>$$f\left(L ~\triangle~ R\right) \subseteq f(L) ~\triangle~ f(R)$$ या समकक्ष, $$f\left(L ~\triangle~ R\right) = f(L) ~\triangle~ f(R)$$</li> </al>

f(X\R) के लिए शर्तें = f(X)\f(R)
$$f(X \setminus R) ~\supseteq~ f(X) \setminus f(R) \qquad\qquad \text{ always holds, where } f : X \to Y$$ समानता की विशेषताएँ: निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं: <ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <ली>$$f(X \setminus R) ~=~ f(X) \setminus f(R)$$</li> <ली>$$f(X \setminus R) ~\subseteq~ f(X) \setminus f(R)$$</li> <ली>$$f^{-1}(f(R)) \,\subseteq\, R$$</li> <ली>$$f^{-1}(f(R)) \,=\, R \cap \operatorname{domain} f$$</li> <ली>$$R \cap \operatorname{domain} f$$ है $$f$$-संतृप्त.</li> <li>जब भी $$y \in f(R)$$ तब $$f^{-1}(y) \subseteq R.$$</li> <ली>$f(R) ~\subseteq~ \left\{ y \in f(R) : f^{-1}(y) \subseteq R \right\}$ </li> <ली>$f(R) ~=~ \left\{ y \in f(R) : f^{-1}(y) \subseteq R \right\}$ </li> </ol> कहाँ अगर $$R \subseteq \operatorname{domain} f$$ तो इस सूची को इसमें शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है: <ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; प्रारंभ=9> <ली>$$R$$ है $$f$$-संतृप्त; वह है, $$R = f^{-1}(f(R)).$$</li> </ol>

समानता के लिए पर्याप्त शर्तें: यदि निम्नलिखित में से कोई भी सत्य है तो समानता मान्य है: <ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <ली>$$f$$ इंजेक्शन है.</li> <ली>$$R$$ है $$f$$-संतृप्त; वह है, $$R = f^{-1}(f(R)).$$</li> </al>

f(L∆R) = f(L)∆f(R) के लिए शर्तें
$$f\left(L ~\triangle~ R\right) ~\supseteq~ f(L) ~\triangle~ f(R) \qquad\qquad \text{ always holds}$$ समानता की विशेषताएँ: निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं: <ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <ली>$$f\left(L ~\triangle~ R\right) = f(L) ~\triangle~ f(R)$$</li> <ली>$$f\left(L ~\triangle~ R\right) \subseteq f(L) ~\triangle~ f(R)$$</li> <ली>$$f(L \,\setminus\, R) = f(L) \,\setminus\, f(R)$$ और $$f(R \,\setminus\, L) = f(R) \,\setminus\, f(L)$$</li> <ली>$$f(L \,\setminus\, R) \subseteq f(L) \,\setminus\, f(R)$$ और $$f(R \,\setminus\, L) \subseteq f(R) \,\setminus\, f(L)$$</li> <ली>$$L \cap f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ R$$ और $$R \cap f^{-1}(f(L)) ~\subseteq~ L$$ <ली>$$L \cap f^{-1}(f(R)) ~=~ R \cap f^{-1}(f(L))$$ <ली>$$L \cap f^{-1}(f(L \cap R)) ~=~ R \cap f^{-1}(f(L \cap R))$$ और $$f(L \cap R) ~\supseteq~ f(L) \cap f(R).$$</li> </ol>
 * समावेशन $$L \cap f^{-1}(f(R)) ~\subseteq~ f^{-1}(f(L))$$ और $$R \cap f^{-1}(f(L)) ~\subseteq~ f^{-1}(f(R))$$ हमेशा पकड़ें.</li>
 * यदि यह उपरोक्त समुच्चय समानता रखता है तो यह समुच्चय भी दोनों के बराबर होगा $$L \cap R \cap \operatorname{domain} f$$ और $$L \cap R \cap f^{-1}(f(L \cap R)).$$</li>

समानता के लिए आवश्यक शर्तें (विशेषताओं को छोड़कर): यदि समानता कायम है तो निम्नलिखित आवश्यक रूप से सत्य हैं: <ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <ली>$$f(L \cap R) = f(L) \cap f(R),$$ या समकक्ष $$f(L \cap R) \supseteq f(L) \cap f(R).$$</li> <ली>$$L \cap f^{-1}(f(L \cap R)) ~=~ R \cap f^{-1}(f(L \cap R))$$</li> </ol>

समानता के लिए पर्याप्त शर्तें: यदि निम्नलिखित में से कोई भी सत्य है तो समानता मान्य है: <ol शैली= सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <ली>$$f$$ इंजेक्शन है.</li> <li>प्रतिबंध $$f\big\vert_{L \cup R}$$ इंजेक्शन है.</li> </ol>

f(L\R) = के लिए सूत्र
किसी भी समारोह के लिए $$f : X \to Y$$ और कोई भी सेट $$L$$ और $$R,$$ $$\begin{alignat}{4} f(L \setminus R) &= Y \;\,\, \setminus \left\{ y \in Y ~\;\,  ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \\[0.4ex] &= f(L)       \setminus \left\{ y \in f(L)~\,      ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \\[0.4ex] &= f(L)       \setminus \left\{ y \in f(L \cap R)        ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \\[0.4ex] &= f(L)       \setminus \left\{ y \in V\,    ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \qquad && \text{ for any superset } \quad V \supseteq f(L \cap R) \\[0.4ex] &= f(S)       \setminus \left\{ y \in f(S)~\,      ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \qquad && \text{ for any superset } \quad S \supseteq L \cap X. \\[0.7ex] \end{alignat}$$

f(X\R) = के लिए सूत्र
ले रहा $$L := X = \operatorname{domain} f$$ उपरोक्त सूत्रों में दिया गया है: $$\begin{alignat}{4} f(X \setminus R) &= Y \;\,\,           \setminus \left\{ y \in Y ~\;\,\,           :~ f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \\[0.4ex] &= f(X)                  \setminus \left\{ y \in f(X) ~                 :~ f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \\[0.4ex] &= f(X)                  \setminus \left\{ y \in f(R) ~                 :~ f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \\[0.4ex] &= f(X)                  \setminus \left\{ y \in W \;\,\,            :~ f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \qquad \text{ for any superset } \quad W \supseteq f(R) \\[0.4ex] \end{alignat}$$ जहां सेट $$\left\{ y \in f(R) : f^{-1}(y) \subseteq R \right\}$$ नीचे दी गई छवि के बराबर है $$f$$ सबसे बड़े का $$f$$-संतृप्त उपसमुच्चय $$R.$$ <ul> <li>सामान्य तौर पर, केवल $$f(X \setminus R) \,\supseteq\, f(X) \setminus f(R)$$ हमेशा कायम रहता है और समानता की गारंटी नहीं होती; लेकिन प्रतिस्थापित कर रहा हूँ$$f(R)$$इसके उपसमुच्चय के साथ$$\left\{ y \in f(R) : f^{-1}(y) \subseteq R \right\}$$एक ऐसे सूत्र में परिणत होता है जिसमें समानता होती है गारंटी: $$f(X \setminus R) \,=\, f(X) \setminus \left\{ y \in f(R) : f^{-1}(y) \subseteq R \right\}.$$ इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि: $$f(X \setminus R) = f(X) \setminus f(R) \quad \text{ if and only if } \quad f(R) = \left\{ y \in f(R) : f^{-1}(y) \subseteq R \right\} \quad \text{ if and only if } \quad f^{-1}(f(R)) \subseteq R.$$ </li> <li>यदि $$f_R := \left\{y \in f(X) : f^{-1}(y) \subseteq R\right\}$$ तब $$f(X \setminus R) = f(X) \setminus f_R,$$ जिसे अधिक सममित रूप से लिखा जा सकता है $$f(X \setminus R) = f_X \setminus f_R$$ (तब से $$f_X = f(X)$$). </li> </ul>

f(L∆R) = के लिए सूत्र
यह इस प्रकार है $$L \,\triangle\, R = (L \cup R) \setminus (L \cap R)$$ और किसी भी फ़ंक्शन के लिए सेट घटाव की छवि के लिए उपरोक्त सूत्र $$f : X \to Y$$ और कोई भी सेट $$L$$ और $$R,$$ $$\begin{alignat}{4} f(L \,\triangle\, R) &= Y \;\;\; \setminus \left\{ y \in Y \,\;\,~  ~:~ L \cap f^{-1}(y) = R \cap f^{-1}(y)\right\} \\[0.4ex] &= f(L \cup R) \setminus \left\{ y \in f(L \cup R)       ~:~ L \cap f^{-1}(y) = R \cap f^{-1}(y)\right\} \\[0.4ex] &= f(L \cup R) \setminus \left\{ y \in f(L \cap R)       ~:~ L \cap f^{-1}(y) = R \cap f^{-1}(y)\right\} \\[0.4ex] &= f(L \cup R) \setminus \left\{ y \in V \,  ~:~ L \cap f^{-1}(y) = R \cap f^{-1}(y)\right\} \qquad && \text{ for any superset } \quad V \supseteq f(L \cap R) \\[0.4ex] &= f(S) \,\,~\, \setminus \left\{ y \in f(S) \,\; ~:~ L \cap f^{-1}(y) = R \cap f^{-1}(y)\right\} \qquad && \text{ for any superset } \quad S \supseteq (L \cup R) \cap X. \\[0.7ex] \end{alignat}$$

f(L) = के लिए सूत्र
यह किसी भी फ़ंक्शन के लिए सेट घटाव की छवि के लिए उपरोक्त सूत्रों से अनुसरण करता है $$f : X \to Y$$ और कोई भी सेट $$L,$$$$\begin{alignat}{4} f(L) &= Y \;\,          \setminus \left\{y \in Y \;\,           ~:~ f^{-1}(y) \cap L = \varnothing\right\} \\[0.4ex] &= \operatorname{Im} f \setminus \left\{y \in \operatorname{Im} f ~:~ f^{-1}(y) \cap L = \varnothing\right\} \\[0.4ex] &= W \,            \setminus \left\{y \in W \;\,            ~:~ f^{-1}(y) \cap L = \varnothing\right\} \qquad \text{ for any superset } \quad W \supseteq f(L) \\[0.7ex] \end{alignat}$$ इसे किसी के लिए भी इस तथ्य के परिणाम के रूप में अधिक आसानी से देखा जा सकता है $$y \in Y,$$ $$f^{-1}(y) \cap L = \varnothing$$ अगर और केवल अगर $$y \not\in f(L).$$

f(L⋂R) = के लिए सूत्र
यह किसी भी फ़ंक्शन के लिए किसी सेट की छवि के लिए उपरोक्त सूत्रों का अनुसरण करता है $$f : X \to Y$$ और कोई भी सेट $$L$$ और $$R,$$ $$\begin{alignat}{4} f(L \cap R) &= Y \setminus \left\{y \in Y ~:~ L \cap R \cap f^{-1}(y) = \varnothing\right\}       && \\[0.4ex] &= f(L)  \setminus \left\{y \in f(L)   ~:~ L \cap R \cap f^{-1}(y) = \varnothing\right\}        && \\[0.4ex] &= f(L)  \setminus \left\{y \in U ~:~ L \cap R \cap f^{-1}(y) = \varnothing\right\} \qquad && \text{ for any superset } \quad U \supseteq f(L) \\[0.4ex] &= f(R)  \setminus \left\{y \in f(R)   ~:~ L \cap R \cap f^{-1}(y) = \varnothing\right\}        && \\[0.4ex] &= f(R)  \setminus \left\{y \in V ~:~ L \cap R \cap f^{-1}(y) = \varnothing\right\} \qquad && \text{ for any superset } \quad V \supseteq f(R) \\[0.4ex] &= f(L) \cap f(R) \setminus \left\{y \in f(L) \cap f(R) ~:~ L \cap R \cap f^{-1}(y) = \varnothing\right\}       && \\[0.7ex] \end{alignat}$$ इसके अलावा, किसी के लिए भी कहां $$y \in Y,$$ :$$L \cap f^{-1}(y) \subseteq L \setminus R~$$ अगर और केवल अगर $$~L \cap R \cap f^{-1}(y) = \varnothing~$$ अगर और केवल अगर $$~R \cap f^{-1}(y) \subseteq R \setminus L~$$ अगर और केवल अगर $$~y \not\in f(L \cap R).$$ सेट $$U$$ और $$V$$ ऊपर उल्लिखित, विशेष रूप से, कोई भी सेट हो सकता है $$f(L \cup R), \;\operatorname{Im} f,$$ या $$Y,$$ उदाहरण के लिए।

(पूर्व)छवियों पर सेट संचालन की छवियां
होने देना $$L$$ और $$R$$ मनमाना सेट हो, $$f : X \to Y$$ कोई भी मानचित्र हो, और रहने दो $$A \subseteq X$$ और $$C \subseteq Y.$$

(पूर्व)छवियों पर परिचालन की छवियां

तब से $$f(L) \setminus f(L \setminus R) ~=~ \left\{y \in f(L \cap R) ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R\right\},$$

$$\begin{alignat}{4} f^{-1}(f(L) \setminus f(L \setminus R)) &=&& f^{-1}\left(\left\{y \in f(L \cap R) ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R\right\}\right) \\ &=&& \left\{x \in f^{-1}(f(L \cap R)) ~:~ L \cap f^{-1}(f(x)) \subseteq R\right\} \\ \end{alignat}$$ तब से $$f(X) \setminus f(L \setminus R) ~=~ \left\{y \in f(X) ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R\right\},$$ $$\begin{alignat}{4} f^{-1}(Y \setminus f(L \setminus R)) &~=~&& f^{-1}(f(X) \setminus f(L \setminus R)) \\ &=&& f^{-1}\left(\left\{y \in f(X) ~:~ L \cap f^{-1}(y) \subseteq R\right\}\right) \\ &=&& \left\{x \in X ~:~ L \cap f^{-1}(f(x)) \subseteq R\right\} \\ &~=~&& X \setminus f^{-1}(f(L \setminus R)) \\ \end{alignat}$$ का उपयोग करते हुए $$L := X,$$ ये बन जाता है $$~f(X) \setminus f(X \setminus R) ~=~ \left\{y \in f(R) ~:~ f^{-1}(y) \subseteq R\right\}~$$ और $$\begin{alignat}{4} f^{-1}(Y \setminus f(X \setminus R)) &~=~&& f^{-1}(f(X) \setminus f(X \setminus R)) \\ &=&& f^{-1}\left(\left\{y \in f(R) ~:~ f^{-1}(y) \subseteq R\right\}\right) \\ &=&& \left\{r \in R \cap X ~:~ f^{-1}(f(r)) \subseteq R\right\} \\ &\subseteq&& R \\ \end{alignat}$$ इसलिए $$\begin{alignat}{4} f^{-1}(Y \setminus f(L)) &~=~&& f^{-1}(f(X) \setminus f(L)) \\ &=&& f^{-1}\left(\left\{y \in f(X \setminus L) ~:~ f^{-1}(y) \cap L = \varnothing\right\}\right) \\ &=&& \{x \in X \setminus L ~:~ f(x) \not\in f(L)\} \\ &=&& X \setminus f^{-1}(f(L)) \\ &\subseteq&& X \setminus L \\ \end{alignat}$$

(पूर्व)छवियां और कार्टेशियन उत्पाद Π
होने देना $$\prod Y_{\bull} ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \prod_{j \in J} Y_j$$ और हर किसी के लिए $$k \in J,$$ होने देना $$\pi_k ~:~ \prod_{j \in J} Y_j ~\to~ Y_k$$ विहित प्रक्षेपण को निरूपित करें $$Y_k.$$ परिभाषाएं

मानचित्रों का एक संग्रह दिया गया $$F_j : X \to Y_j$$ द्वारा अनुक्रमित $$j \in J,$$ मानचित्र को परिभाषित करें $$\begin{alignat}{4} \left(F_j\right)_{j \in J} :\;&& X &&\;\to\;   & \prod_{j \in J} Y_j \\[0.3ex] && x &&\;\mapsto\;& \left(F_j\left(x_j\right)\right)_{j \in J}, \\ \end{alignat}$$ जिसे द्वारा भी दर्शाया जाता है $$F_{\bull} = \left(F_j\right)_{j \in J}.$$ यह अद्वितीय मानचित्र संतोषजनक है $$\pi_j \circ F_{\bull} = F_j \quad \text{ for all } j \in J.$$ इसके विपरीत, यदि कोई मानचित्र दिया जाए $$F ~:~ X ~\to~ \prod_{j \in J} Y_j$$ तब $$F = \left(\pi_j \circ F\right)_{j \in J}.$$ स्पष्ट रूप से, इसका मतलब यह है कि यदि $$F_k ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \pi_k \circ F ~:~ X ~\to~ Y_k$$ प्रत्येक के लिए परिभाषित किया गया है $$k \in J,$$ तब $$F$$ अद्वितीय मानचित्र संतोषजनक: $$\pi_j \circ F = F_j$$ सभी के लिए $$j \in J;$$ या अधिक संक्षेप में कहा जाए, $$F = \left(F_j\right)_{j \in J}.$$ वो नक्शा $$F_{\bull} = \left(F_j\right)_{j \in J} ~:~ X ~\to~ \prod_{j \in J} Y_j$$ कार्टेशियन उत्पाद के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए $$\prod_{j \in J} F_j$$ इन मानचित्रों में से, जो परिभाषा के अनुसार मानचित्र है $$\begin{alignat}{4} \prod_{j \in J} F_j :\;&& \prod_{j \in J} X         &&~\;\to\;~    & \prod_{j \in J} Y_j \\[0.3ex] && \left(x_j\right)_{j \in J} &&~\;\mapsto\;~& \left(F_j\left(x_j\right)\right)_{j \in J} \\ \end{alignat}$$ डोमेन के साथ $$\prod_{j \in J} X = X^J$$ इसके बजाय $$X.$$ कार्टेशियन उत्पाद की पूर्वछवि और छवियाँ

कल्पना करना $$F_{\bull} = \left(F_j\right)_{j \in J} ~:~ X ~\to~ \prod_{j \in J} Y_j.$$ अगर $$A ~\subseteq~ X$$ तब $$F_{\bull}(A) \;\color{Red}{\subseteq}\color{Black}{}\; \prod_{j \in J} F_j(A).$$ अगर $$B ~\subseteq~ \prod_{j \in J} Y_j$$ तब $$F_{\bull}^{-1}(B) \;\color{Red}{\subseteq}\color{Black}{}\; \bigcap_{j \in J} F_j^{-1}\left(\pi_j(B)\right)$$ यदि समानता कायम रहेगी $$B = \prod_{j \in J} \pi_j(B),$$ किस स्थिति में $F_{\bull}^{-1}(B) = \displaystyle\bigcap_{j \in J} F_j^{-1}\left(\pi_j(B)\right)$ और

समानता कायम रखने के लिए एक परिवार का होना ही काफी है $$\left(B_j\right)_{j \in J}$$ उपसमुच्चय का $$B_j \subseteq Y_j$$ ऐसा है कि $$B = \prod_{j \in J} B_j,$$ किस स्थिति में: और $$\pi_j(B) = B_j$$ सभी के लिए $$j \in J.$$

छवियों और पूर्वछवियों की सामग्री ⊆ और प्रतिच्छेदन ⋂
छवियों और पूर्वछवियों की समानताएं और निहितार्थ

एक सेट और एक (पूर्व) छवि का प्रतिच्छेदन

निम्न कथन समतुल्य हैं: <ol> <ली>$$\varnothing = f(L) \cap R$$</li> <ली>$$\varnothing = L \cap f^{-1}(R)$$</li> <ली>$$\varnothing = f^{-1}(f(L)) \cap f^{-1}(R)$$</li> <ली>$$\varnothing = f^{-1}(f(L) \cap R)$$</li> </ol>

इस प्रकार किसी के लिए $$t,$$ $$t \not\in f(L) \quad \text{ if and only if } \quad L \cap f^{-1}(t) = \varnothing.$$

परिभाषाएँ
ए या बस ए  एक समुच्चय है जिसके अवयव समुच्चय हैं। ए के उपसमुच्चय का एक परिवार है $$X.$$

} एक सेट का $$X$$ के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय है $$X$$: $$\wp(X) ~\colon=~ \{\; S ~:~ S \subseteq X\; \}.$$ सेटों के अनुक्रम के लिए संकेतन

लगातार, $$S \text{ and } T$$ मनमाना सेट होगा और $$S_{\bull}$$ और एक नेट (गणित) या सेटों के अनुक्रम को निरूपित करेगा जहां यदि यह एक अनुक्रम है तो इसे किसी भी नोटेशन द्वारा इंगित किया जाएगा $$S_{\bull} = \left(S_i\right)_{i=1}^{\infty} \qquad \text{ or } \qquad S_{\bull} = \left(S_i\right)_{i \in \N}$$ कहाँ $$\N$$ प्राकृतिक संख्याओं को दर्शाता है। एक संकेतन $$S_{\bull} = \left(S_i\right)_{i \in I}$$ दर्शाता है कि $$S_{\bull}$$ नेट (गणित) द्वारा निर्देशित एक सेट है $$(I, \leq),$$ जो (परिभाषा के अनुसार) यदि सेट हो तो एक अनुक्रम है $$I,$$ जिसे नेट का इंडेक्सिंग सेट कहा जाता है, वह प्राकृतिक संख्या है (अर्थात, यदि $$I = \N$$) और $$\,\leq\,$$ पर प्राकृतिक क्रम है $$\N.$$ सेटों का असंयुक्त और एकस्वर क्रम

अगर $$S_i \cap S_j = \varnothing$$ सभी विशिष्ट सूचकांकों के लिए $$i \neq j$$ तब $$S_{\bull}$$ ए कहा जाता है या बस ए. एक क्रम या जाल $$S_{\bull}$$ सेट का कहा जाता है या  यदि (सम्मान)  या ) यदि सभी सूचकांकों के लिए $$i \leq j,$$ $$S_i \subseteq S_j$$ (सम्मान. $$S_i \supseteq S_j$$). एक क्रम या जाल $$S_{\bull}$$ सेट का कहा जाता है (सम्मान. ) यदि यह घटता नहीं है (सम्मान बढ़ता नहीं है) और भी $$S_i \neq S_j$$ सभी के लिए सूचकांक $$i \text{ and } j.$$ यह कहा जाता है  यदि यह घटता नहीं या बढ़ता नहीं है तो इसे कहा जाता है यदि यह सख्ती से बढ़ रहा है या सख्ती से घट रहा है।

एक अनुक्रम या नेट $$S_{\bull}$$ कहा जाता है कि द्वारा चिह्नित $$S_{\bull} \uparrow S$$ या $$S_{\bull} \nearrow S,$$ अगर $$S_{\bull}$$ बढ़ रहा है और सबका मिलन $$S_i$$ है $$S;$$ वह है, यदि $$\bigcup_{n} S_n = S \qquad \text{ and } \qquad S_i \subseteq S_j \quad \text{ whenever } i \leq j.$$ ऐसा कहा जाता है द्वारा चिह्नित $$S_{\bull} \downarrow S$$ या $$S_{\bull} \searrow S,$$ अगर $$S_{\bull}$$ बढ़ रहा है और सभी का प्रतिच्छेदन $$S_i$$ है $$S$$ वह है, यदि $$\bigcap_{n} S_n = S \qquad \text{ and } \qquad S_i \supseteq S_j \quad \text{ whenever } i \leq j.$$ परिवारों पर तत्ववार संचालन की परिभाषाएँ

अगर $$\mathcal{L} \text{ and } \mathcal{R}$$ सेट के परिवार हैं और यदि $$S$$ क्या कोई सेट है तो परिभाषित करें: $$\mathcal{L} \;(\cup)\; \mathcal{R} ~\colon=~ \{~ L \cup R ~:~ L \in \mathcal{L} ~\text{ and }~ R \in \mathcal{R} ~\}$$ $$\mathcal{L} \;(\cap)\; \mathcal{R} ~\colon=~ \{~ L \cap R ~:~ L \in \mathcal{L} ~\text{ and }~ R \in \mathcal{R} ~\}$$ $$\mathcal{L} \;(\setminus)\; \mathcal{R} ~\colon=~ \{~ L \setminus R ~:~ L \in \mathcal{L} ~\text{ and }~ R \in \mathcal{R} ~\}$$ $$\mathcal{L} \;(\triangle)\; \mathcal{R} ~\colon=~ \{~ L \;\triangle\; R ~:~ L \in \mathcal{L} ~\text{ and }~ R \in \mathcal{R} ~\}$$ $$\mathcal{L}\big\vert_S ~\colon=~ \{ L \cap S ~:~ L \in \mathcal{L} \} = \mathcal{L} \;(\cap)\; \{S\}$$ जिन्हें क्रमशः कहा जाता है, , , , और यह/ नियमित संघ, प्रतिच्छेदन, और सेट अंतर सभी को सामान्य रूप से परिभाषित किया गया है और उनके सामान्य संकेतन के साथ दर्शाया गया है: $$\mathcal{L} \cup \mathcal{R}, \mathcal{L} \cap \mathcal{R}, \mathcal{L} \;\triangle\; \mathcal{R},$$ और $$\mathcal{L} \setminus \mathcal{R},$$ क्रमश। सेट के परिवारों पर ये तत्ववार संचालन, अन्य विषयों के अलावा, सेट पर फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) और प्रीफ़िल्टर के सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। {{em|upward closure in $$X$$}h>}} एक परिवार का $$\mathcal{L} \subseteq \wp(X)$$ परिवार है: $$\mathcal{L}^{\uparrow X} ~\colon=~ \bigcup_{L \in \mathcal{L}} \{\; S ~:~ L \subseteq S \subseteq X \;\} ~=~ \{\; S \subseteq X ~:~ \text{ there exists } L \in \mathcal{L} \text{ such that } L \subseteq S \;\}$$ और यह परिवार है: $$\mathcal{L}^{\downarrow} ~\colon=~ \bigcup_{L \in \mathcal{L}} \wp(L) ~=~ \{\; S ~:~ \text{ there exists } L \in \mathcal{L} \text{ such that } S \subseteq L \;\}.$$

समुच्चय के परिवारों की श्रेणियों की परिभाषाएँ
एक परिवार $$\mathcal{L}$$ कहा जाता है, , या में $$X$$ अगर $$\mathcal{L} \subseteq \wp(X)$$ और $$\mathcal{L} = \mathcal{L}^{\uparrow X}.$$ एक परिवार $$\mathcal{L}$$ कहा जाता है अगर $$\mathcal{L} = \mathcal{L}^{\downarrow}.$$ एक परिवार $$\mathcal{L}$$ बताया गया:
 * (सम्मान. ) यदि जब भी $$L, R \in \mathcal{L}$$ तब $$L \cap R \in \mathcal{L}$$ (क्रमश, $$L \cup R \in \mathcal{L}$$).
 * (सम्मान. ) यदि जब भी $$L_1, L_2, L_3, \ldots$$ के तत्व हैं $$\mathcal{L}$$ तो फिर उनके चौराहे भी ऐसे ही हैं $$\bigcap_{i=1}^{\infty} L_i := L_1 \cap L_2 \cap L_3 \cap \cdots$$ (सम्मान। उनका मिलन भी ऐसा ही है $$\bigcup_{i=1}^{\infty} L_i := L_1 \cup L_2 \cup L_3 \cup \cdots$$).
 * (या ) अगर जब भी $$L \in \mathcal{L}$$ तब $$X \setminus L \in \mathcal{L}.$$ एक परिवार $$\mathcal{L}$$ समुच्चय को a/an कहा जाता है:
 * अगर $$\mathcal{L} \neq \varnothing$$ और $$\mathcal{L}$$ परिमित-चौराहों के अंतर्गत बंद है।
 * प्रत्येक गैर-रिक्त परिवार $$\mathcal{L}$$ एक अद्वितीय लघुतम (के संबंध में) में समाहित है $$\subseteq$$) π−प्रणाली जिसे द्वारा निरूपित किया जाता है $$\pi(\mathcal{L})$$ और बुलाया
 * और कहा जाता है अगर $$\mathcal{L} \neq \varnothing$$ और $$\varnothing \not\in \pi(\mathcal{L}).$$ *  अगर $$\mathcal{L} \neq \varnothing$$ के उपसमुच्चय का एक परिवार है $$X$$ वह π−प्रणाली, ऊपर की ओर बंद है $$X,$$ और है भी, जिसकी परिभाषा का अर्थ है कि इसमें तत्व के रूप में खाली सेट शामिल नहीं है।
 * या यदि यह किसी समुच्चय के उपसमुच्चय का एक गैर-रिक्त परिवार है $$X$$ जिसका ऊपर की ओर बंद होना $$X$$ एक फ़िल्टर चालू है $$X.$$ *  के उपसमुच्चय का एक गैर-रिक्त परिवार है $$X$$ जिसमें खाली सेट, फॉर्म ए शामिल है π−प्रणाली, और इसके संबंध में पूरकता के तहत भी बंद है $$X.$$ *  एक बीजगणित पर है $$X$$ जो गणनीय यूनियनों के अंतर्गत बंद है (या समकक्ष, गणनीय चौराहों के अंतर्गत बंद है)।

माप सिद्धांत में अक्सर सेटों के अनुक्रम सामने आते हैं।

समुच्चय का बीजगणित

सेटों का एक परिवार $$\Phi$$ एक समुच्चय के उपसमुच्चय का $$X$$ बताया गया अगर $$\varnothing \in \Phi$$ और सभी के लिए $$L, R \in \Phi,$$ तीनों सेट $$X \setminus R, \,L \cap R,$$ और $$L \cup R$$ के तत्व हैं $$\Phi.$$ सेट का बीजगणित इन तीन परिचालनों की सेट पहचान और अन्य संबंधों को सूचीबद्ध करता है।

समुच्चयों का प्रत्येक बीजगणित समुच्चयों का एक वलय भी है और एक पाई-सिस्टम|π-सिस्टम।

सेट के एक परिवार द्वारा उत्पन्न बीजगणित

किसी भी परिवार को दिया गया $$\mathcal{S}$$ के उपसमुच्चय $$X,$$ वहाँ एक अनोखा सबसे छोटा है सेट का बीजगणित $$X$$ युक्त $$\mathcal{S}.$$ यह कहा जाता है और इसे इससे निरूपित किया जाएगा $$\Phi_{\mathcal{S}}.$$ इस बीजगणित का निर्माण इस प्रकार किया जा सकता है:

<ol> <li>यदि $$\mathcal{S} = \varnothing$$ तब $$\Phi_{\mathcal{S}} = \{\varnothing, X\}$$ और हमारा काम हो गया. वैकल्पिक रूप से, यदि $$\mathcal{S}$$ तब खाली है $$\mathcal{S}$$ से बदला जा सकता है $$\{\varnothing\}, \{X\}, \text{ or } \{\varnothing, X\}$$ और निर्माण जारी रखें।</li> <li>चलिए $$\mathcal{S}_0$$ सभी सेटों का परिवार बनें $$\mathcal{S}$$ उनके पूरकों के साथ (अंदर लिया गया)। $$X$$).</li> <ली>लेट $$\mathcal{S}_1$$ समुच्चयों के सभी संभावित परिमित प्रतिच्छेदनों का परिवार बनें $$\mathcal{S}_0.$$ </li> <li>फिर बीजगणित उत्पन्न होता है $$\mathcal{S}$$ सेट है $$\Phi_{\mathcal{S}}$$ सेट के सभी संभावित परिमित संघों से मिलकर $$\mathcal{S}_1.$$</li> </al>

परिवारों पर तत्ववार संचालन
होने देना $$\mathcal{L}, \mathcal{M},$$ और $$\mathcal{R}$$ सेट के परिवार बनें $$X.$$ निम्नलिखित पहचानों के बायीं ओर, $$\mathcal{L}$$ है बाएं अधिकांश परिवार, $$\mathcal{M}$$ में है मध्य, और $$\mathcal{R}$$ है सबसे दाहिना सेट. क्रमविनिमेय संक्रिया: $$\mathcal{L} \;(\cup)\; \mathcal{R} = \mathcal{R} \;(\cup)\; \mathcal{L}$$ $$\mathcal{L} \;(\cap)\; \mathcal{R} = \mathcal{R} \;(\cap)\; \mathcal{L}$$ साहचर्य: $$[\mathcal{L} \;(\cup)\; \mathcal{M}] \;(\cup)\; \mathcal{R} = \mathcal{L} \;(\cup)\; [\mathcal{M} \;(\cup)\; \mathcal{R}]$$ $$[\mathcal{L} \;(\cap)\; \mathcal{M}] \;(\cap)\; \mathcal{R} = \mathcal{L} \;(\cap)\; [\mathcal{M} \;(\cap)\; \mathcal{R}]$$ पहचान: $$\mathcal{L} \;(\cup)\; \{\varnothing\} = \mathcal{L}$$ $$\mathcal{L} \;(\cap)\; \{X\} = \mathcal{L}$$ $$\mathcal{L} \;(\setminus)\; \{\varnothing\} = \mathcal{L}$$ प्रभुत्व: $$\mathcal{L} \;(\cup)\; \{X\} = \{X\} ~\text{ if } \mathcal{L} \neq \varnothing$$ $$\mathcal{L} \;(\cap)\; \{\varnothing\} = \{\varnothing\} ~\text{ if } \mathcal{L} \neq \varnothing$$ $$\mathcal{L} \;(\cup)\; \varnothing = \varnothing$$ $$\mathcal{L} \;(\cap)\; \varnothing = \varnothing$$ $$\mathcal{L} \;(\setminus)\; \varnothing = \varnothing$$ $$\varnothing \;(\setminus)\; \mathcal{R} = \varnothing$$

पावर सेट
$$\wp(L \cap R) ~=~ \wp(L) \cap \wp(R)$$ $$\wp(L \cup R) ~=~ \wp(L) \ (\cup)\ \wp(R) ~\supseteq~ \wp(L) \cup \wp(R).$$ अगर $$L$$ और $$R$$ एक सदिश समष्टि के उपसमुच्चय हैं $$X$$ और अगर $$s$$ तब एक अदिश राशि है $$\wp(s L) ~=~ s \wp(L)$$ $$\wp(L + R) ~\supseteq~ \wp(L) + \wp(R).$$

सेटों का क्रम
उसका विरोध करो $$L$$ क्या कोई सेट ऐसा है $$L \supseteq R_i$$ प्रत्येक सूचकांक के लिए $$i.$$ अगर $$R_{\bull}$$ तक कम हो जाता है $$R$$ तब $$L \setminus R_{\bull} := \left(L \setminus R_i\right)_i$$ तक बढ़ जाता है $$L \setminus R$$ जबकि यदि इसके बजाय $$R_{\bull}$$ तक बढ़ जाता है $$R$$ तब $$L \setminus R_{\bull}$$ तक कम हो जाता है $$L \setminus R.$$ अगर $$L \text{ and } R$$ मनमाना सेट हैं और यदि $$L_{\bull} = \left(L_i\right)_i$$ बढ़ता है (सम्मान घटता है)। $$L$$ तब $$\left(L_i \setminus R\right)_i$$ वृद्धि (सम्मान घटता है)। $$L \setminus R.$$

विभाजन
लगता है कि $$S_{\bull} = \left(S_i\right)_{i = 1}^{\infty}$$ सेट का कोई क्रम है, वह $$S \subseteq \bigcup_i S_i$$ कोई उपसमुच्चय है, और प्रत्येक सूचकांक के लिए $$i,$$ होने देना $$D_i = \left(S_i \cap S\right) \setminus \bigcup_{m=1}^i \left(S_m \cap S\right).$$ तब $$S = \bigcup_i D_i$$ और $$D_{\bull} := \left(D_i\right)_{i=1}^{\infty}$$ जोड़ीवार असंयुक्त सेटों का एक क्रम है।

लगता है कि $$S_{\bull} = \left(S_i\right)_{i = 1}^{\infty}$$ घटता नहीं है, चलो $$S_0 = \varnothing,$$ और जाने $$D_i = S_i \setminus S_{i-1}$$ हरएक के लिए $$i = 1, 2, \ldots.$$ तब $$\bigcup_i S_i = \bigcup_i D_i$$ और $$D_{\bull} = \left(D_i\right)_{i=1}^{\infty}$$ जोड़ीवार असंयुक्त सेटों का एक क्रम है।

टिप्पणियाँ
टिप्पणियाँ

Proofs

संदर्भ

 * Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, What is mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press US, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3. "SUPPLEMENT TO CHAPTER II THE ALGEBRA OF SETS".
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, What is mathematics?: An Elementary Approach to Ideas and Methods, Oxford University Press US, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3. "SUPPLEMENT TO CHAPTER II THE ALGEBRA OF SETS".
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.
 * Stoll, Robert R.;, Mineola, N.Y.: Dover Publications (1979) ISBN 0-486-63829-4. "The Algebra of Sets", pp 16&mdash;23.

बाहरी संबंध

 * Operations on Sets at ProvenMath