स्थिर मैनिफोल्ड

गणित में, और विशेष रूप से गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में, स्थिर और अस्थिर समूह या 'स्थिर और अस्थिर मैनिफोल्ड' का विचार एक आकर्षितकर्ता या प्रतिकारक के विचार में सन्निहित सामान्य धारणाओं को एक औपचारिक गणितीय परिभाषा देता है। जो कि हाइपरबोलिक गतिशीलता के स्थिति में, संबंधित धारणा अतिशयोक्तिपूर्ण समूह की है।

भौतिक उदाहरण
शनि के वलय पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण ज्वारीय बल एक सरलता-से-कल्पना योग्य भौतिक उदाहरण प्रदान करते हैं। जिसका ज्वारीय बल वलय को भूमध्यरेखीय तल में समतल कर देते हैं, जिससे यहाँ तक कि वे इसे रेडियल दिशा में फैलाते हैं। जिसे शनि के चारों ओर कक्षा में वलय को रेत या बजरी के कण (धूल) के रूप में कल्पना करते हुए, इसके ज्वारीय बल ऐसे होते हैं कि कोई भी स्पष्टता जो कणों को भूमध्यरेखीय तल के ऊपर या नीचे धकेलती है, जिसके परिणामस्वरूप उस कण को ​​एक पुनर्स्थापना बल अनुभव होता है, जो उसे वापस तल में धकेल देता है। जिससे वह टकराव से नम हुए हार्मोनिक कुएं में कण प्रभावी रूप से दोलन करते हैं। जो कि स्थिर दिशा वलय  के लंबवत है। जिसका अस्थिर दिशा किसी भी त्रिज्या के साथ होती है, जहां बल कणों को खींचकर अलग कर देते हैं। दो कण जो चरण स्थान में एक-दूसरे के बहुत समीप से प्रारंभ होते हैं, जिसका रेडियल बलों का अनुभव करेंगे, जिससे वे रेडियल रूप से अलग हो जाएंगे। इन शक्तिओं के पास एक धनात्मक ल्यपुनोव प्रतिपादक है; जिसमे प्रक्षेप पथ हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड पर स्थित हैं, और कणों की गति अनिवार्य रूप से कैओस_सिद्धांत है, जो वलयों के माध्यम से घूमती है। केंद्र मैनिफोल्ड  वलय के स्पर्शरेखीय है, जिसमें कण न तो संपीड़न और न ही खिंचाव का अनुभव करते हैं। यह दूसरे क्रम के गुरुत्वाकर्षण बलों को प्रभावित होने की अनुमति देता है, और इसलिए कणों को चंद्रमाओं या चंद्रमाओं द्वारा वलयों, वृत्त मानचित्र में फंसाया जा सकता है। जिससे चंद्रमा की गुरुत्वाकर्षण शक्तियां प्रभावी रूप से कक्षा के चारों ओर हर बार नियमित रूप से दोहराई जाने वाली छोटी किक प्रदान करती हैं, जो कि किक किए गए रोटर के समान होती है, जैसे कि चरण-लॉक लूप में पाई जाती है।

इस प्रकार के वलय में कणों की अलग-अलग समय की गति का अनुमान पोंकारे मानचित्र द्वारा लगाया जा सकता है। जिससे इसका मानचित्र प्रभावी रूप से प्रणाली  का स्थानांतरण आव्यूह  प्रदान करता है। जो कि आव्यूह  के सबसे बड़े आइजेनवैल्यू  से जुड़ा आइजेनसदिश   फ्रोबेनियस-पेरॉन आइजेनसदिश   है|फ्रोबेनियस-पेरॉन आइजेनसदिश, जो अपरिवर्तनीय माप भी है, अथार्त जिसका  वलय  में कणों का वास्तविक घनत्व है जो स्थानांतरण आव्यूह  के अन्य सभी आइजेनसदिश में छोटे आइजेनवैल्यू ​​​​हैं, और क्षयकारी मोड के अनुरूप हैं।

परिभाषा
निम्नलिखित एक ऐसे प्रणाली के स्थिति के लिए एक परिभाषा प्रदान करता है जो या तो एक पुनरावृत्त फलन  है या जिसमें अलग-अलग समय की गतिशीलता है। इसी तरह की धारणाएँ उन प्रणालियों के लिए प्रयुक्त होती हैं जिनका समय विकास एक प्रवाह (गणित) द्वारा दिया जाता है।

मान लीजिए कि $$X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, और$$f\colon X\to X$$एक होमियोमोर्फिज्म है। यदि $$p$$, $$f$$ के लिए एक निश्चित बिंदु है, तो $$p$$ के स्थिर समुच्चय को परिभाषित किया जाता है


 * $$W^s(f,p) =\{q\in X: f^n(q)\to p \mbox{ as } n\to \infty \}$$

और $$p$$ के अस्थिर समूह को परिभाषित किया गया है
 * $$W^u(f,p) =\{q\in X: f^{-n}(q)\to p \mbox{ as } n\to \infty \}.$$

यहां, $$f^{-1}$$ फलन $$f$$ के व्युत्क्रम को दर्शाता है, अर्थात $$f\circ f^{-1}=f^{-1}\circ f =id_{X}$$ जहां $$id_{X}$$ पहचान $$X$$ पर मानचित्र है

यदि $$p$$ न्यूनतम अवधि $$p$$ का एक आवधिक बिंदु है, तो यह $$f^k$$ का एक निश्चित बिंदु है, और $$p$$ के स्थिर और अस्थिर समूह को परिभाषित किया गया है


 * $$W^s(f,p) = W^s(f^k,p)$$

और
 * $$W^u(f,p) = W^u(f^k,p).$$

पी के निकटतम  $$U$$ को देखते हुए, $$p$$ के स्थानीय स्थिर और अस्थिर समूह  को परिभाषित किया गया है


 * $$W^s_{\mathrm{loc}}(f,p,U) = \{q\in U: f^n(q)\in U \mbox{ for each } n\geq 0\} $$

और
 * $$W^u_{\mathrm{loc}}(f,p,U) = W^s_{\mathrm{loc}}(f^{-1},p,U).$$

यदि  $$X$$ मेट्रिज़ेबल है, हम किसी भी बिंदु के लिए स्थिर और अस्थिर समूह को परिभाषित कर सकते हैं


 * $$W^s(f,p) = \{q\in X: d(f^n(q),f^n(p))\to 0 \mbox { for } n\to \infty \}$$

और
 * $$W^u(f,p) = W^s(f^{-1},p),$$

जहाँ $$d$$, $$X$$ के लिए एक मीट्रिक है। यह परिभाषा स्पष्ट रूप से पिछली परिभाषा से मेल खाती है जब $$p$$ एक आवर्त बिंदु है।

अब मान लीजिए कि $$X$$ एक कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड है, और $$f$$ एक $$\mathcal{C}^k$$ डिफोमॉर्फिज्म है, $$k\geq 1$$. यदि $$p$$ एक हाइपरबोलिक आवधिक बिंदु है, तो स्थिर मैनिफोल्ड प्रमेय आश्वासन देता है कि $$p$$ के कुछ निकट $$U$$ के लिए, स्थानीय स्थिर और अस्थिर समूह $$\mathcal{C}^k$$ एम्बेडेड डिस्क हैं, जिनके $$p$$ पर स्पर्शरेखा स्थान क्रमशः $$E^s$$ और$$E^u$$ $$Df(p)$$ के स्थिर और अस्थिर स्थान) हैं; इसके अतिरिक्त, वे $$\mathcal{C}^k$$ की $$\mathrm{Diff}^k(X)$$ टोपोलॉजी में ($$X$$ से स्वयं तक सभी $$\mathcal{C}^k$$ भिन्नताओं का स्थान) $$f$$ के निकटतम में निरंतर  (एक निश्चित अर्थ में) भिन्न होते हैं। अंत में, स्थिर और अस्थिर समूह $$\mathcal{C}^k$$ इंजेक्शन से डूबे हुए डिस्क हैं। यही कारण है कि इन्हें समान्यत:   स्थिर और अस्थिर मैनिफोल्ड कहा जाता है। यह परिणाम गैर-आवधिक बिंदुओं के लिए भी मान्य है, जब तक कि वे कुछ हाइपरबोलिक समूह (हाइपरबोलिक समूह के लिए स्थिर मैनिफोल्ड प्रमेय) में स्थित हैं।

टिप्पणी
यदि $$X$$ एक (परिमित-आयामी) सदिश स्थान है और $$f$$ एक समरूपता है, इसके स्थिर और अस्थिर समूह को क्रमशः स्थिर स्थान और अस्थिर स्थान कहा जाता है।

यह भी देखें

 * अपरिवर्तनीय मैनिफोल्ड
 * केंद्र मैनिफोल्ड
 * सीमा निर्धारित
 * जूलिया सेट
 * धीमी गति से मैनिफोल्ड
 * जड़त्वीय मैनिफोल्ड
 * सामान्यतः अतिशयोक्तिपूर्ण अपरिवर्तनीय मैनिफोल्ड
 * लैग्रेंजियन सुसंगत संरचना