सीमा (श्रेणी सिद्धांत)

श्रेणी सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक सीमा की अमूर्त धारणा सार्वभौमिक निर्माणों जैसे उत्पादों, पुलबैक और व्युत्क्रम सीमाओं के आवश्यक गुणधर्मो को अधिकृत करती है। एक सह-सीमा की द्विक धारणा निर्माणों को सामान्यीकृत करती है जैसे कि असंयुक्त संघ, प्रत्यक्ष योग, सह-उत्पाद, बहिकर्षी और प्रत्यक्ष सीमा हैं।

सीमाएं और सह-सीमाएं, सार्वभौमिक गुणधर्मो और आसन्न प्रकार्यको की दृढ़ता से संबंधित धारणाओं की तरह, अमूर्तता के उच्च स्तर पर उपस्थित हैं। उन्हें समझने के लिए, पहले उन विशिष्ट उदाहरणों का अध्ययन करना सहायक होता है जो इन अवधारणाओं को सामान्य बनाने के लिए हैं।

परिभाषा
एक श्रेणी $$C$$ में सीमाएं और सह-सीमाएं $$C$$ में आरेखों के माध्यम से परिभाषित किया गया है औपचारिक रूप से, आकृति का आरेख $$J$$ में $$C$$ का एक प्रकार्यक $$J$$ से $$C$$ है :
 * $$F:J\to C$$

श्रेणी $$J$$ को सूचकांक श्रेणी और आरेख के रूप में माना जाता है, $$F$$ में वस्तुओं और आकारिता $$C$$ प्रतिरूपित $$J$$ के संग्रह को अनुक्रमणित करने के रूप में माना जाता है।

किसी को प्रायः उस स्थिति में रुचि होती है जहां श्रेणी $$J$$ एक छोटी या परिमित श्रेणी है। आरेख को छोटा या परिमित कहा जाता है, जब कभी भी $$J$$ है।

सीमाएं
मान लीजिये कि $$F : J \to C$$ आकृति $$J$$ एक श्रेणी में $$C$$ का आरेख है। एक शंकु $$F$$ एक वस्तु $$N$$ का $$C$$ एक वर्ग के साथ $$\psi_X:N\to F(X)$$ वस्तुओं $$X$$ से $$J$$ द्वारा अनुक्रमित आकारिता है, ऐसा कि प्रत्येक आकारिता $$J$$ में $$f: X \to Y$$ के लिए, हमारे पास $$F(f)\circ\psi_X=\psi_Y$$ है।

आरेख की एक सीमा $$F:J\to C$$ एक शंकु $$(L, \phi)$$ से $$F$$ ऐसा है कि प्रत्येक दूसरे शंकु के लिए $$(N, \psi)$$ से $$F$$ एक अद्वितीय आकारिता $$u:N\to L$$ ऐसा है कि $$\phi_X\circ u=\psi_X$$ सभी $$X$$ में $$J$$ के लिए; एक का कहना है कि शंकु $$(N, \psi)$$ शंकु के माध्यम से कारक $$(L, \phi)$$ के साथ अद्वितीय गुणनखंड $$u$$ है। आकारिता $$u$$ को कभी-कभी मध्यस्थ आकारिता कहा जाता है।

सीमाओं को "सार्वभौमिक शंकु" के रूप में भी संदर्भित किया जाता है क्योंकि वे एक सार्वभौमिक गुणधर्मो द्वारा अभिलक्षित हैं (अधिक सूचना के लिए नीचे देखें)। प्रत्येक सार्वभौमिक गुणधर्मो के साथ, उपरोक्त परिभाषा सामान्यता की संतुलित स्थिति का वर्णन करती है: सीमा वस्तु $$L$$ को इतना सामान्य होना चाहिए कि किसी अन्य शंकु को इसके माध्यम से गुणनखंड करने की अनुमति प्राप्त हो सके; वहीं दूसरी ओर, $$L$$ पर्याप्त रूप से विशिष्ट होना चाहिए, ताकि प्रत्येक शंकु के लिए केवल एक ही ऐसा गुणनखंड संभव हो सके।

सीमाओं को F से शंकु की श्रेणी में सीमावर्ती वस्तु के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है।

यह संभव है कि आरेख की कोई सीमा न हो। हालाँकि, यदि आरेख की कोई सीमा है तो यह सीमा अनिवार्य रूप से अद्वितीय है: यह एक अद्वितीय समरूपता तक अद्वितीय है। इस कारण प्रायः F की सीमा की बात की जाती है।

सह-सीमाएं
सीमा और शंकु की द्विक धारणा सह-सीमा और सह-शंकु हैं। यद्यपि उपरोक्त परिभाषाओं में सभी रूपों को प्रतिलोम कर इनकी परिभाषाएँ प्राप्त करना सरल है, हम उन्हें यहाँ स्पष्ट रूप से बताएंगे:

आरेख का सह-शंकु $$F:J\to C$$ एक वस्तु $$N$$ का $$C$$ एक साथ आकारिता के एक वर्ग के साथ है।
 * $$\psi_X:F(X) \to N$$

प्रत्येक वस्तु $$X$$ का $$J$$ के लिए, ऐसा कि प्रत्येक आकारिता $$J$$ में $$f:X\to Y$$ के लिए, हमारे पास $$\psi_Y\circ F(f)=\psi_X$$है।

आरेख का एक सह सीमा $$F:J\to C$$ एक सह-शंकु $$(L, \phi)$$ का $$F$$ ऐसा है कि किसी अन्य सह-शंकु $$(N, \psi)$$ का $$F$$ के लिए एक अद्वितीय आकारिता $$u:L\to N$$ उपस्थित है, ऐसा है कि $$u\circ \phi_X = \psi_X$$ सभी $$X$$ में $$J$$ के लिए;

सह सीमा को सार्वभौमिक सह-शंकु भी कहा जाता है। उन्हें $$F$$ सह-शंकु की श्रेणी में प्रारंभिक वस्तुओं के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

सीमाओं के साथ, यदि एक आरेख $$F$$ एक सह-सीमा है तो यह सह-सीमा एक अद्वितीय समरूपता तक अद्वितीय है।

विविधताएं
आरेखों के उपयोग के बिना वस्तुओं और आकारिता के संग्रह के लिए सीमाएं और सह सीमा भी परिभाषित किए जा सकते हैं। परिभाषाएँ समान हैं (ध्यान दें कि ऊपर दी गई परिभाषाओं में हमें आकारिकी की संरचना का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है $$J$$). हालाँकि, यह भिन्नता कोई नई सूचना नहीं जोड़ती है। वस्तुओं और आकारिता का कोई संग्रह एक (संभवतः बड़े) निर्देशित ग्राफ को परिभाषित करता है $$G$$. यदि हम जाने दें $$J$$ द्वारा उत्पन्न मुक्त श्रेणी हो $$G$$, एक सार्वभौमिक आरेख है $$F:J\to C$$ जिसकी छवि सम्मिलित है $$G$$. इस आरेख की सीमा (या सह सीमा) वस्तुओं और रूपों के मूल संग्रह की सीमा (या सह सीमा) के समान है।

दुर्बल सीमा और दुर्बल सह सीमा को सह सीमा और सह सीमा की तरह परिभाषित किया जाता है, अतिरिक्त इसके कि मध्यस्थ आकारिता की विशिष्टता को छोड़ दिया जाता है।

सीमाएं
व्यावहारिक सेटिंग्स में उपयोगी कई निर्माणों को समाहित करने के लिए सीमा की परिभाषा सामान्य है। निम्नलिखित में हम आरेख F : J → C की सीमा (L, φ) पर विचार करेंगे। * उलटा सीमा। चलो 'जे' एक निर्देशित समुच्चय हो (तीरों को जोड़कर एक छोटी श्रेणी के रूप में माना जाता है 'i' → j यदि और केवल यदि i ≥ j) और चलो  एफ :  जे op → C एक रेखाचित्र हो। एफ की सीमा को (भ्रामक रूप से) एक व्युत्क्रम सीमा या प्रक्षेप्य सीमा कहा जाता है।
 * 'सीमावर्ती वस्तु'। यदि J रिक्त श्रेणी है तो आकृति J का केवल एक आरेख है: रिक्त वाला (समुच्चय सिद्धांत में रिक्त फलन के समान)। रिक्त आरेख के लिए एक शंकु अनिवार्य रूप से सी की एक वस्तु है। एफ की सीमा कोई भी वस्तु है जो अद्वितीय रूप से हर दूसरी वस्तु के माध्यम से होती है। यह सिर्फ सीमावर्ती वस्तु की परिभाषा है।
 * 'उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)'। यदि J एक असतत श्रेणी है तो एक आरेख F अनिवार्य रूप से C की वस्तुओं का एक अनुक्रमित परिवार है, जो J द्वारा अनुक्रमित है। F की सीमा L को इन वस्तुओं का उत्पाद कहा जाता है। शंकु φ आकारिकी φ के परिवार से बना हैX : φX : L → F(X)) उत्पाद के प्रक्षेपण कहा जाता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय की श्रेणी में, उत्पाद कार्तीय उत्पादों द्वारा दिए गए हैं और अनुमान विभिन्न कारकों पर सिर्फ प्राकृतिक अनुमान हैं।
 * 'शक्तियाँ'। किसी उत्पाद का एक विशेष स्थिति तब होता है जब आरेख F, C की वस्तु X के लिए एक स्थिर प्रकार्यक होता है। इस आरेख की सीमा को J कहा जाता हैth X की घात और X को निरूपित किया ज.
 * समकारी (गणित)'। यदि J दो वस्तुओं वाली एक श्रेणी है और एक वस्तु से दूसरी वस्तु में दो समानांतर आकारिकी है, तो आकृति J का आरेख C में समानांतर आकारिकी की एक जोड़ी है। ऐसे आरेख की सीमा L को उन आकारिकी का एक तुल्यकारक कहा जाता है।
 * 'कर्नेल (श्रेणी सिद्धांत)'। एक कर्नेल एक तुल्यकारक का एक विशेष स्थिति है जहां आकारिकी में से एक शून्य आकारिकी है।
 * 'पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत)'। F को एक आरेख होने दें, जो C में तीन वस्तुओं X, Y और Z को चुनता है, जहां केवल गैर-पहचान आकारिता f : X → Z और g : Y → Z हैं। F की सीमा L को पुलबैक या a कहा जाता है। फाइबर उत्पाद। इसे क्रम विनिमय आरेख के रूप में अच्छी तरह से देखा जा सकता है:
 * यदि J = '1', एक एकल वस्तु और आकारिकी वाली श्रेणी, तो आकृति J का एक आरेख अनिवार्य रूप से C का एक वस्तु X है। वस्तु X के लिए एक शंकु कोडोमेन X के साथ एक आकारिकी है। एक आकारिकी f : Y → X आरेख X की एक सीमा है यदि और केवल यदि f एक तुल्याकारिता है। अधिक सामान्यतः, यदि J प्रारंभिक वस्तु i के साथ कोई श्रेणी है, तो आकृति J के किसी भी आरेख की एक सीमा होती है, अर्थात् कोई भी वस्तु F(i) के लिए समरूपता होती है। इस तरह की समरूपता विशिष्ट रूप से एफ के लिए एक सार्वभौमिक शंकु निर्धारित करती है।
 * 'स्थलीय सीमाएँ'। फलन की सीमाएँ सांस्थिति में निस्यंदक का एक विशेष स्थिति है, जो निम्नानुसार श्रेणीबद्ध सीमा से संबंधित हैं। एक सांस्थितिक स्पेस एक्स दिया गया है, एक्स पर निस्यंदक के समुच्चय को एफ द्वारा निरूपित करें, x ∈ X एक बिंदु, V(x) ∈ F निस्यंदक (गणित) # एक्स के आस-पास के आधार, A ∈ F एक विशेष निस्यंदक और $$F_{x,A}=\{G\in F \mid V(x)\cup A \subset G\} $$ A से महीन निस्यंदक का समुच्चय और जो x में परिवर्तित होता है। निस्यंदक एफ को तीरA → B जोड़कर एक छोटी और पतली श्रेणी संरचना दी जाती है यदि और केवल यदि ए ⊆ बी। इंजेक्शन $$I_{x,A}:F_{x,A}\to F$$ एक प्रकार्यक बन जाता है और निम्नलिखित समानता होती है:


 * x, A की सांस्थितिकीय सीमा है यदि और केवल यदि A की श्रेणीबद्ध सीमा है $$I_{x,A}$$

सह सीमा
उपरोक्त उदाहरणों के दोहरे संस्करणों द्वारा सह सीमा के उदाहरण दिए गए हैं:
 * प्रारंभिक वस्तुएँ रिक्त रेखाचित्रों की सह सीमा हैं।
 * सह उत्पाद असतत श्रेणियों द्वारा अनुक्रमित आरेखों की सह सीमा हैं।
 * सहशक्तियां असतत श्रेणियों से निरंतर आरेखों की सह सीमा हैं।
 * समतुल्य आकारिता की समानांतर जोड़ी के सह सीमा हैं।
 * सह अष्ठि आकारिकी और समानांतर शून्य आकारिकी के सह-तुल्यकारक हैं।
 * बहिकर्षी (श्रेणी सिद्धांत) सामान्य कार्यक्षेत्र के साथ आकारिकी की एक जोड़ी के सह सीमा हैं।
 * प्रत्यक्ष सीमाएँ निर्देशित समुच्चयों द्वारा अनुक्रमित आरेखों की सह सीमा हैं।

सीमाओं का अस्तित्व
एक दिया गया आरेख F : J → C, C में एक सीमा (या सह सीमा) हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। वास्तव में, F के लिए एक शंकु भी नहीं हो सकता है, अकेले एक सार्वभौमिक शंकु होने दें।

एक श्रेणी C को 'आकृति J की सीमाएँ हैं' कहा जाता है यदि आकृति J के प्रत्येक आरेख की C में एक सीमा है। विशेष रूप से, एक श्रेणी C को कहा जाता है एक पूर्ण श्रेणी एक ऐसी श्रेणी है जिसमें सभी छोटी सीमाएँ होती हैं (अर्थात प्रत्येक छोटी श्रेणी J के लिए आकृति की सभी सीमाएँ J)।
 * 'उत्पाद हैं' यदि इसमें प्रत्येक छोटी असतत श्रेणी J के लिए आकृति J की सीमाएँ हैं (इसमें बड़े उत्पाद होने की आवश्यकता नहीं है),
 * 'बराबर है' यदि इसमें आकृति की सीमाएँ हैं $$\bullet\rightrightarrows\bullet$$ (अर्थात् आकारिकी के प्रत्येक समानांतर युग्म में एक तुल्यकारक होता है),
 * यदि इसमें आकृति की सीमाएँ हैं तो पुलबैक हैं $$\bullet\rightarrow\bullet\leftarrow\bullet$$ (अर्थात सामान्य कोडोमेन वाले आकारिकी के प्रत्येक जोड़े में एक पुलबैक होता है)।

कोई दोहरी परिभाषा भी बना सकता है। एक श्रेणी में J आकृति की सह सीमा होती है, यदि आकृति J के प्रत्येक आरेख में C में एक सह सीमा होता है। एक सह-पूर्ण श्रेणी वह है जिसमें सभी छोटी सह-सीमाएँ होती हैं।

सीमाओं के अस्तित्व प्रमेय में कहा गया है कि यदि श्रेणी 'सी' में तुल्यकारक हैं और वर्ग ओबी (जे) और होम (जे) द्वारा अनुक्रमित सभी उत्पाद हैं, तो  सी  में सभी आकृति की सीमा  जे । इसस्थिति में, आरेख F : J → C की सीमा को दो रूपों के तुल्यकारक के रूप में बनाया जा सकता है
 * $$s,t : \prod_{i\in\operatorname{Ob}(J)}F(i) \rightrightarrows \prod_{f\in\operatorname{Hom}(J)} F(\operatorname{cod}(f))$$

द्वारा दिया गया (घटक रूप में)।
 * $$\begin{align}

s &= \bigl( F(f)\circ\pi_{\operatorname{dom}(f)}\bigr)_{f\in\operatorname{Hom}(J)} \\ t &= \bigl( \pi_{\operatorname{cod}(f)}\bigr)_{f\in\operatorname{Hom}(J)}. \end{align}$$ सह-तुल्यकारकों और सह-उत्पादों के संदर्भ में सह सीमा के लिए एक दोहरी अस्तित्व प्रमेय है। ये दोनों प्रमेय आकृति 'जे' की सभी (सह) सीमाओं के अस्तित्व के लिए पर्याप्त और आवश्यक प्रतिबन्ध देते हैं।

सार्वभौमिक गुणधर्मो
सह सीमा और सह सीमा सार्वभौमिक निर्माण के महत्वपूर्ण विशेषस्थिति हैं।

C को एक श्रेणी होने दें और J को एक छोटी अनुक्रमणिका श्रेणी होने दें। प्रकार्यक श्रेणी सीJ को C में आकृति J के सभी आरेखों की श्रेणी के रूप में माना जा सकता है। विकर्ण प्रकार्यक
 * $$\Delta : \mathcal C \to \mathcal C^{\mathcal J}$$

वह प्रकार्यक है जो C में प्रत्येक वस्तु N को निरंतर प्रकार्यक Δ(N) : J → C से N तक मैप करता है। अर्थात, Δ(N)(X) = N, J में प्रत्येक वस्तु X के लिए और Δ(N)(f) ) = आईडीN J में प्रत्येक आकारिकी f के लिए।

एक आरेख F: J → C दिया गया है (C में एक वस्तु के रूप में सोचा गया हैJ), एक प्राकृतिक परिवर्तन ψ : Δ(N) → F (जो कि श्रेणी C में सिर्फ एक आकारिकी हैJ) N से F तक एक शंकु के समान है। इसे देखने के लिए, पहले ध्यान दें कि सभी X के लिए Δ(N)(X) = N का अर्थ है कि ψ के घटक ψ हैंX : एन → एफ (एक्स), जो सभी कार्यक्षेत्र एन को साझा करते हैं। इसके अलावा, आवश्यकता है कि शंकु के आरेखों का परिवर्तन केवल इसलिए सही है क्योंकि यह ψ एक प्राकृतिक परिवर्तन है। (द्वैत रूप से, एक प्राकृतिक परिवर्तन ψ : F → Δ(N) वही है जो F से N तक एक सह-शंकु है।)

इसलिए, सीमाओं और सह सीमा की परिभाषाओं को फिर से रूप में पुन: स्थापित किया जा सकता है:
 * F की एक सीमा Δ से F तक एक सार्वभौमिक आकारिकी है।
 * F की एक सह सीमा F से Δ तक एक सार्वभौमिक आकारिकी है।

संयोजन
सभी सार्वभौमिक निर्माणों की तरह, सीमा और सह सीमा का निर्माण प्रकृति में कार्यात्मक है। दूसरे शब्दों में, यदि आकृति J के प्रत्येक आरेख की C में एक सीमा है (J छोटे के लिए) तो एक 'लिमिट प्रकार्यक' उपस्थित है
 * $$\lim : \mathcal{C}^\mathcal{J} \to \mathcal{C}$$

जो प्रत्येक आरेख को इसकी सीमा और प्रत्येक प्राकृतिक परिवर्तन को निर्दिष्ट करता है η : F → G अद्वितीय आकारिकी lim η : lim F → lim G संबंधित सार्वभौमिक शंकुओं के साथ आवागमन करता है। यह प्रकार्यक विकर्ण प्रकार्यक Δ : C → C के ठीक सटा हुआ है ज. यह संयोजन एन से लिम एफ तक सभी आकारिकी के समुच्चय और एन से एफ तक सभी शंकुओं के समुच्चय के बीच एक आपत्ति देता है।
 * $$\operatorname{Hom}(N,\lim F) \cong \operatorname{Cone}(N,F)$$

जो चर एन और एफ में स्वाभाविक है। इस संयोजन का कॉउंट केवल लिम एफ से एफ तक सार्वभौमिक शंकु है। यदि सूचकांक श्रेणी जे कनेक्टेड श्रेणी (और गैर-रिक्त) है तो जुड़ाव की इकाई एक समरूपता है ताकि लिम Δ का बायाँ व्युत्क्रम है। यदि J जुड़ा नहीं है तो यह विफल हो जाता है। उदाहरण के लिए, यदि J एक असतत श्रेणी है, तो इकाई के घटक विकर्ण आकारिकी हैं δ : N → N ज.

वास्तव में, यदि आकृति J के प्रत्येक आरेख में C (J छोटे के लिए) में एक सह सीमा है, तो एक 'सह सीमा प्रकार्यक' उपस्थित है।
 * $$\operatorname{colim} : \mathcal{C}^\mathcal{J} \to \mathcal{C}$$

जो प्रत्येक आरेख को उसकी सह सीमा प्रदान करता है। यह प्रकार्यक विकर्ण प्रकार्यक Δ : C → C के निकट छोड़ दिया गया हैJ, और एक में एक प्राकृतिक समरूपता है
 * $$\operatorname{Hom}(\operatorname{colim}F,N) \cong \operatorname{Cocone}(F,N).$$

इस संयोजन की इकाई एफ से कोलिम एफ तक सार्वभौमिक कोकोन है। यदि जे जुड़ा हुआ है (और गैर-रिक्त) तो कॉउनिट एक समरूपता है, ताकि कोलिम Δ का एक बाएं व्युत्क्रम हो।

ध्यान दें कि सीमा और सह सीमा प्रकार्यक दोनों ही सहसंयोजक प्रकार्यक हैं।

प्रकार्यक के प्रतिनिधित्व के रूप में
श्रेणी सी में सीमा और सह सीमा से संबंधित 'समुच्चय', समुच्चय की श्रेणी में सीमित करने के लिए कोई भी मैं एक आदमी के रूप में काम करता हूं का उपयोग कर सकता है। यह आंशिक रूप से इस तथ्य से आता है कि सहपरिवर्ती होम फलक होम(एन, –) : सी → 'समुच्चय' # सी में सीमाओं का संरक्षण। द्वैत द्वारा, प्रतिपरिवर्ती होम फलक को सह सीमा को सीमा तक ले जाना चाहिए।

यदि एक आरेख F : J → C की C में एक सीमा है, जिसे lim F द्वारा निरूपित किया जाता है, तो एक विहित समरूपता है
 * $$\operatorname{Hom}(N,\lim F)\cong \lim\operatorname{Hom}(N,F-)$$

जो चर N में स्वाभाविक है। यहाँ फलनकार होम (N, F–) F के साथ गृह फलक गृह (N, –) की संरचना है। यह समरूपता अद्वितीय है जो सीमित शंकुओं का सम्मान करती है।

C में F की सीमा को परिभाषित करने के लिए उपरोक्त संबंध का उपयोग किया जा सकता है। पहला कदम यह देखना है कि क्रियाकार होम (N, F–) की सीमा को N से F तक सभी शंकुओं के समुच्चय के साथ पहचाना जा सकता है:
 * $$\lim\operatorname{Hom}(N,F-) = \operatorname{Cone}(N,F).$$

सीमित शंकु मानचित्र π के परिवार द्वारा दिया गया हैX : शंकु (एन, एफ) → होम (एन, एफएक्स) जहां $\pi$X(ψ) = ψX. यदि किसी को एक प्राकृतिक समरूपता Φ के साथ C का एक वस्तु L दिया जाता है: Hom(L, -) → Cone(-, F), तो वस्तु L, F की एक सीमा होगी, जिसमें Φ द्वारा दिए गए सीमित शंकु होंगे।L(पहचानL). फैंसी भाषा में, यह कहने के बराबर है कि F की एक सीमा फलक शंकु (-, F) : C → 'समुच्चय' का एक प्रतिनिधित्व योग्य प्रकार्यक है।

वास्तव में, यदि एक आरेख F : J → C में C में एक सह सीमा है, जिसे कोलिम F से निरूपित किया जाता है, तो एक अद्वितीय विहित समरूपता होती है
 * $$\operatorname{Hom}(\operatorname{colim} F, N)\cong\lim\operatorname{Hom}(F-,N)$$

जो चर N में स्वाभाविक है और कोलिमिटिंग शंकुओं का सम्मान करता है। समुच्चय कोकोन (एफ, एन) के साथ होम (एफ-, एन) की सीमा की पहचान करना, इस संबंध का उपयोग डायग्राम एफ के सह सीमा को प्रकार्यक कोकोन (एफ, -) के प्रतिनिधित्व के रूप में परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

समुच्चय की सीमा और सह सीमा का आदान-प्रदान
मान लीजिए I एक सीमित श्रेणी है और J एक छोटी फ़िल्टर्ड श्रेणी है। किसी भी द्विभाजक के लिए


 * $$F : I\times J \to \mathbf{Set},$$

एक प्राकृतिक समरूपता है


 * $$\operatorname{colim}\limits_J \lim_I F(i, j) \rightarrow \lim_I\operatorname{colim}\limits_J F(i, j).$$

शब्दों में, परिमित सीमाओं के साथ समुच्चय कम्यूट में निस्यंदक किए गए सह सीमा। यह भी मानता है कि छोटे सह सीमा छोटी सीमाओं के साथ यात्रा करते हैं।

प्रकार्यक और सीमाएँ
यदि F: J → C, C में एक आरेख है और G: C → D एक प्रकार्यक है, तो रचना द्वारा (याद रखें कि एक आरेख केवल एक प्रकार्यक है) एक आरेख GF: J → D प्राप्त करता है। एक स्वाभाविक प्रश्न तब है:
 * “GF की सीमाएँ F से कैसे संबंधित हैं?”

सीमाओं का संरक्षण
एक प्रकार्यक G : C → D, Cone(F) से Cone(GF) तक एक मानचित्र को प्रेरित करता है: यदि Ψ N से F तक एक शंकु है तो GΨ GN से GF तक एक शंकु है। यदि (GL, Gφ) GF की एक सीमा है, जब भी (L, φ) F की एक सीमा है, तो प्रकार्यक G को 'F की सीमा को संरक्षित' करने के लिए कहा जाता है। (ध्यान दें कि यदि F की सीमा उपस्थित नहीं है, तो G रिक्त सत्य F की सीमा को सुरक्षित रखता है।)

एक मज़ेदार जी को 'आकृति जे की सभी सीमाओं को संरक्षित' करने के लिए कहा जाता है यदि यह सभी आरेखों एफ: जे → सी की सीमाओं को संरक्षित करता है। उदाहरण के लिए, कोई कह सकता है कि जी उत्पादों, तुल्यकारक, पुलबैक इत्यादि को संरक्षित करता है। एक 'निरंतर मज़ेदार' वह है जो सभी छोटी सीमाओं को संरक्षित करता है।

कोई सह सीमा के लिए समान परिभाषाएं बना सकता है। उदाहरण के लिए, एक प्रकार्यक G, F की सह सीमा को संरक्षित करता है यदि G(L, φ) GF की सह सीमा है जब भी (L, φ) F की एक सह सीमा है।

यदि C एक पूर्ण श्रेणी है, तो सीमा के लिए उपरोक्त अस्तित्व प्रमेय द्वारा, एक प्रकार्यक G : C → D निरंतर है यदि और केवल यदि यह (छोटे) उत्पादों और तुल्यकारकों को संरक्षित करता है। वास्तव में, G सह-सतत है यदि और केवल यदि यह (छोटे) सह-उत्पादों और सह-तुल्यकारकों को संरक्षित करता है।

आसन्न प्रकार्यक की एक महत्वपूर्ण गुणधर्मो यह है कि प्रत्येक दायां आसन्न प्रकार्यक निरंतर होता है और प्रत्येक बाएं आसन्न प्रकार्यक सहवर्ती होता है। चूँकि निकटस्थ फ़नकार बहुतायत में उपस्थित हैं, यह निरंतर और सहवर्ती फ़नकार के कई उदाहरण देता है।

किसी दिए गए आरेख के लिए F : J → C और प्रकार्यक G : C → D, यदि F और GF दोनों में निर्दिष्ट सीमाएँ हैं तो एक अद्वितीय विहित आकारिकी है
 * $$\tau_F : G \lim F \to \lim GF$$

जो संगत सीमा शंकु का सम्मान करता है। मज़ेदार जी एफ की सीमाओं को बरकरार रखता है यदि और केवल यह नक्शा एक समरूपता है। यदि श्रेणियों C और D में आकृति J की सभी सीमाएँ हैं तो लिम एक फ़नकार है और आकारिता τF एक प्राकृतिक परिवर्तन के घटकों का निर्माण करें
 * $$\tau:G \lim \to \lim G^J.$$

प्रकार्यक G आकृति J की सभी सीमाओं को संरक्षित करता है यदि और केवल यदि τ एक प्राकृतिक समरूपता है। इस अर्थ में, मज़ेदार जी को सीमा के साथ यात्रा करने के लिए कहा जा सकता है (एक विहित प्राकृतिक समरूपता तक)।

सीमाओं और सह सीमा का संरक्षण एक अवधारणा है जो केवल सहसंयोजक प्रकार्यक प्रकार्यक पर लागू होती है। प्रतिपरिवर्ती प्रकार्यक के लिए संबंधित धारणा एक प्रकार्यक होगी जो सह सीमा को सीमा तक ले जाती है, या वह जो सह सीमा की सीमा लेती है।

सीमा का उठाना
एक मज़ेदार जी: सी → डी को आरेख एफ के लिए 'लिफ़्ट सीमा' कहा जाता है: जे → सी यदि जब भी (एल, φ) जीएफ की सीमा होती है तो एफ की एक सीमा (एल ', φ') उपस्थित होती है जैसे कि जी (एल', φ') = (एल, φ)। एक प्रकार्यक G 'आकृति J की सीमाएँ उठाता है' यदि यह आकृति J के सभी आरेखों की सीमाएँ उठाता है। इसलिए कोई उत्पादों, तुल्यकारकों, पुलबैक आदि को उठाने के बारे में बात कर सकता है। अंत में, कोई कहता है कि G 'सीमाएँ उठाता है' यदि यह सभी सीमाओं को उठाता है. सह सीमा को उठाने के लिए दोहरी परिभाषाएँ हैं।

यदि कोई अद्वितीय प्रीइमेज कोन (L′, φ′) है, तो आरेख F के लिए एक प्रकार्यक G 'विशिष्ट रूप से सीमाएँ उठाता है' जैसे कि (L′, φ′) F और G(L′, φ′) = की एक सीमा है (एल, φ)। कोई दिखा सकता है कि जी सह सीमा को विशिष्ट रूप से उठाता है यदि और केवल यदि यह सह सीमा को उठाता है और अमानवीय कार्यकर्ता  है।

सीमाओं को उठाना स्पष्ट रूप से सीमाओं के संरक्षण से संबंधित है। यदि G आरेख F के लिए सीमा उठाता है और GF की सीमा होती है, तो F की भी सीमा होती है और G, F की सीमा को संरक्षित करता है। यह इस प्रकार है: सह सीमा के लिए दोहरे कथन समान रूप से मान्य हैं।
 * यदि G सभी आकृति J की सीमाओं को हटा देता है और D के पास J आकृति की सभी सीमाएँ हैं, तो C के पास J आकृति की सभी सीमाएँ भी हैं और G इन सीमाओं को संरक्षित करता है।
 * यदि G सभी छोटी सीमाएँ हटा देता है और D पूर्ण है, तो C भी पूर्ण है और G निरंतर है।

सीमाओं का निर्माण और प्रतिबिंब
मान लीजिए F : J → C एक आरेख है। एक प्रकार्यक G : C → D कहलाता है दोहरे रूप से, सह सीमा के निर्माण और प्रतिबिंब को परिभाषित किया जा सकता है।
 * F के लिए 'सीमाएँ बनाएँ' यदि जब भी (L, φ) GF की एक सीमा होती है तो F के लिए एक अद्वितीय शंकु (L′, φ′) उपस्थित होता है जैसे कि G(L′, φ′) = (L, φ), और इसके अलावा, यह शंकु F की एक सीमा है।
 * एफ के लिए 'प्रतिबिंबित सीमा' यदि एफ के लिए प्रत्येक शंकु जिसकी जी के तहत छवि जीएफ की सीमा पहले से ही एफ की सीमा है।

निम्नलिखित बयानों को सरलता से समतुल्य देखा जा सकता है: फ़ैक्टर्स के ऐसे उदाहरण हैं जो विशिष्ट रूप से सीमाएँ बढ़ाते हैं परन्तु न तो उन्हें बनाते हैं और न ही उन्हें प्रतिबिंबित करते हैं।
 * कार्यकर्ता जी सीमा बनाता है।
 * प्रकार्यक G विशिष्ट रूप से सीमाएँ उठाता है और सीमाओं को दर्शाता है।

उदाहरण

 * प्रत्येक प्रतिनिधित्व करने योग्य प्रकार्यक सी → 'समुच्चय' सीमा को संरक्षित करता है (परन्तु जरूरी नहीं कि सह सीमा हो)। विशेष रूप से, C के किसी वस्तु A के लिए, यह सहपरिवर्ती होम फलक होम(A,–) : C → 'समुच्चय' के लिए सत्य है।
 * अनवहित प्रकार्यक यू: 'जीआरपी' → 'समुच्चय' सभी छोटी सीमाएं और निस्यंदक किए गए सह सीमा बनाता है (और संरक्षित करता है); हालाँकि, U सह-उत्पादों का संरक्षण नहीं करता है। यह स्थिति बीजगणितीय अनवहित प्रकार्यक की विशिष्ट है।
 * मुक्त कारक F : 'समुच्चय' → 'Grp' (जो हर समुच्चय S को S के ऊपर फ्री ग्रुप असाइन करता है) को अनवहित प्रकार्यक U के साथ छोड़ दिया जाता है और इसलिए, सहवर्ती है। यह बताता है कि दो मुक्त समूहों G और H का मुक्त उत्पाद G और H के जनित के असंयुक्त संघ द्वारा उत्पन्न मुक्त समूह क्यों है।
 * समावेशन प्रकार्यक 'एबी' → 'जीआरपी' सीमाएँ बनाता है परन्तु सह-उत्पादों को संरक्षित नहीं करता है (दो एबेलियन समूहों का प्रतिफल एबेलियन समूहों का प्रत्यक्ष योग है)।
 * अनवहित 'टॉप' → 'समुच्चय' विशिष्ट रूप से सीमा और सह सीमा उठाता है परन्तु न तो बनाता है।
 * चलो 'मिले'c आकारिता के लिए सतत कार्यों के साथ मीट्रिक रिक्त स्थान की श्रेणी बनें। अनवहित कारक मेटc → लिफ्ट की सीमित सीमा निर्धारित करें परन्तु उन्हें विशिष्ट रूप से नहीं उठाएं।

शब्दावली पर टिप्पणी
पुरानी शब्दावली को प्रतिलोम सीमा या प्रक्षेपी सीमा के रूप में और प्रत्यक्ष सीमा या आगमनात्मक सीमा के रूप में सह सीमा के रूप में संदर्भित किया जाता है। यह बहुत भ्रम का स्रोत रहा है।

आधुनिक शब्दावली को याद रखने के कई तरीके हैं। सबसे पहले, सह सीमा के प्रकार हैं, जबकि मर्यादा के प्रकार हैं। दूसरा, उपसर्ग सह का तात्पर्य पहले चर से है $$\operatorname{Hom}$$. कोहोलॉजी और कोफिब्रेशन जैसे शब्दों का पहले चर के साथ थोड़ा मजबूत जुड़ाव है, अर्थात, प्रतिपरिवर्तक चर, का। $$\operatorname{Hom}$$ bifunctor.
 * कोकरनेल,
 * सह उत्पाद,
 * सहतुल्यकारक, और
 * कोड कार्यक्षेत्र
 * गुठली,
 * उत्पाद
 * तुल्यकारक, और
 * कार्यक्षेत्र

बाहरी संबंध

 * Interactive Web page which generates examples of limits and colimits in the category of finite sets. Written by Jocelyn Paine.