वेग

वेग गति  में एक  भौतिक वस्तु  की  दिशात्मक व्युत्पन्न  गति है, जो स्थिति (वेक्टर) में उसके  समय व्युत्पन्न  के संकेत के रूप देखी जाती है, जैसा कि समय के एक विशेष मानक (जैसे $$v$$  उत्तर  की ओर) द्वारा मापा जाता है। गति  गतिकी  में वेग एक मौलिक अवधारणा है,  शास्त्रीय यांत्रिकी  की शाखा जो निकायों की गति का वर्णन करती है।

वेग एक भौतिक सदिश (ज्यामिति) भौतिक मात्रा  है; इसे परिभाषित करने के लिए परिमाण और दिशा दोनों की आवश्यकता होती है। वेग का  अदिश (भौतिकी)  निरपेक्ष मान ( परिमाण (गणित) )को गति कहा जाता है, एक सुसंगत व्युत्पन्न इकाई होने के कारण जिसकी मात्रा  इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली  ( मीट्रिक प्रणाली ) में  मीटर प्रति सेकंड  (m/s या m⋅s) के रूप में मापी जाती है-1)। उदाहरण के लिए, "5 मीटर प्रति सेकंड" एक अदिश राशि है, जबकि "5 मीटर प्रति सेकंड पूर्व" एक सदिश है। यदि गति, दिशा या दोनों में कोई परिवर्तन होता है, तो कहा जाता है कि वस्तु   त्वरण  से गुजर रही है।

लगातार वेग बनाम त्वरण
एक स्थिर वेग रखने के लिए, किसी वस्तु की गति एक स्थिर दिशा में होनी चाहिए। स्थिर दिशा वस्तु को एक सीधे रास्ते में गति के लिए बाधित करती है, इस प्रकार एक स्थिर वेग का अर्थ है एक सीधी रेखा में एक स्थिर गति से गति।

उदाहरण के लिए, एक वृत्ताकार पथ में निरंतर 20 किलोमीटर प्रति घंटे की गति से चलने वाली कार की गति स्थिर होती है, लेकिन उसका वेग स्थिर नहीं होता क्योंकि उसकी दिशा बदलती है। इसलिए, कार को त्वरण के दौर से गुजरना माना जाता है।

गति और वेग में अंतर
गति, एक वेग वेक्टर का अदिश (गणित)  परिमाण, केवल यह दर्शाता है कि कोई वस्तु कितनी तेजी से आगे बढ़ रही है।

औसत वेग
वेग को समय के साथ स्थिति के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसे औसत वेग से अंतर पर जोर देने के लिए तात्कालिक वेग भी कहा जा सकता है। कुछ अनुप्रयोगों में किसी वस्तु के औसत वेग की आवश्यकता हो सकती है, अर्थात स्थिर वेग जो एक ही समय अंतराल में एक चर वेग के रूप में एक ही परिणामी विस्थापन प्रदान करता है, v(t), कुछ समय अवधि में Δt। औसत वेग की गणना इस प्रकार की जा सकती है:



औसत वेग हमेशा किसी वस्तु की औसत गति से कम या उसके बराबर होता है। यह महसूस करके देखा जा सकता है कि दूरी हमेशा सख्ती से बढ़ रही है, विस्थापन परिमाण में वृद्धि या कमी के साथ-साथ दिशा बदल सकता है।

विस्थापन-समय (x बनाम t) ग्राफ के संदर्भ में, तात्कालिक वेग (या, बस, वेग) को किसी भी बिंदु पर वक्र पर स्पर्शरेखा रेखा की ढलान और औसत वेग को ढलान के रूप में माना जा सकता है। औसत वेग के लिए समय अवधि की सीमाओं के बराबर t निर्देशांक वाले दो बिंदुओं के बीच की छेदक रेखा  का।

औसत वेग समय के साथ औसत वेग के समान होता है - यानी, इसका समय-भारित औसत, जिसे वेग के समय अभिन्न के रूप में गणना की जा सकती है:


 * $$\boldsymbol{\bar{v}} = {1 \over t_1 - t_0 } \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{v}(t) \ dt ,$$

जहां हम पहचान सकते हैं


 * $$ \Delta \boldsymbol{x} = \int_{t_0}^{t_1} \boldsymbol{v}(t) \ dt $$

तथा
 * $$ \Delta t = t_1 - t_0 .$$

तात्कालिक वेग
यदि हम v को वेग के रूप में और x को विस्थापन (स्थिति में परिवर्तन) वेक्टर के रूप में मानते हैं, तो हम किसी कण या वस्तु के (तात्कालिक) वेग को, किसी विशेष समय t पर, समय के संबंध में स्थिति के व्युत्पन्न के रूप में व्यक्त कर सकते हैं:


 * $$\boldsymbol{v} = \lim_{{\Delta t}\to 0} \frac{\Delta \boldsymbol{x}}{\Delta t} = \frac{d\boldsymbol{x}}{dt} .$$

इस व्युत्पन्न समीकरण से, एक-आयामी मामले में यह देखा जा सकता है कि वेग बनाम समय (v बनाम t ग्राफ) के तहत क्षेत्र विस्थापन, x है। कलन के संदर्भ में, वेग फलन v(t) का समाकल अभिन्न विस्थापन फलन x(t) है। चित्र में, यह s लेबल वाले वक्र के नीचे के पीले क्षेत्र से मेल खाता है (विस्थापन के लिए एक वैकल्पिक संकेतन होने के नाते)।



चूँकि समय के संबंध में स्थिति का व्युत्पन्न स्थिति में परिवर्तन ( मीटर में) को समय में परिवर्तन (सेकंड में) से विभाजित करता है, वेग को  मीटर प्रति सेकंड  (m/s) में मापा जाता है। हालांकि तात्कालिक वेग की अवधारणा पहली बार में प्रति-सहज प्रतीत हो सकती है, इसे उस वेग के रूप में माना जा सकता है जिस पर वस्तु उस समय गति करना बंद कर देती है।

त्वरण से संबंध
यद्यपि वेग को स्थिति के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, यह अक्सर किसी वस्तु के त्वरण के लिए अभिव्यक्ति के साथ शुरू करना आम है। जैसा कि चित्र में तीन हरी स्पर्शरेखा रेखाओं द्वारा देखा गया है, एक समय में किसी वस्तु का तात्कालिक त्वरण एक के वक्र पर स्पर्शरेखा का ढलान  है $v$ उस बिंदु पर ग्राफ। दूसरे शब्दों में, त्वरण को समय के संबंध में वेग के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया जाता है:



वहां से, हम एक के तहत क्षेत्र के रूप में वेग के लिए एक अभिव्यक्ति प्राप्त कर सकते हैं $v$ त्वरण बनाम समय ग्राफ। ऊपर के रूप में, यह अभिन्न की अवधारणा का उपयोग करके किया जाता है:


 * $$\boldsymbol{v} = \int \boldsymbol{a} \ dt .$$

निरंतर त्वरण
निरंतर त्वरण के विशेष मामले में, गति के समीकरण ों का उपयोग करके वेग का अध्ययन किया जा सकता है। a को कुछ मनमाने स्थिर सदिश के बराबर मानकर, यह दिखाना तुच्छ है कि
 * $$\boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} + \boldsymbol{a}t$$

साथ $v(t)$ समय पर वेग के रूप में $a(t)$ तथा $v$ समय पर वेग के रूप में $t$. इस समीकरण को सुवत समीकरण से जोड़कर $u$, विस्थापन और औसत वेग के बीच संबंध स्थापित करना संभव है
 * $$\boldsymbol{x} = \frac{(\boldsymbol{u} + \boldsymbol{v})}{2} t = \boldsymbol{\bar{v}}t.$$

समय से स्वतंत्र वेग के लिए एक व्यंजक प्राप्त करना भी संभव है, जिसे टोरिसेली समीकरण  के रूप में जाना जाता है, जो निम्नानुसार है:
 * $$v^{2} = \boldsymbol{v}\cdot\boldsymbol{v} = (\boldsymbol{u}+\boldsymbol{a}t)\cdot(\boldsymbol{u}+\boldsymbol{a}t) = u^{2} + 2t(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{u})+a^{2}t^{2}$$
 * $$(2\boldsymbol{a})\cdot\boldsymbol{x} = (2\boldsymbol{a})\cdot(\boldsymbol{u}t + \tfrac{1}{2} \boldsymbol{a}t^{2}) = 2t (\boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{u}) + a^{2}t^{2} = v^{2} - u^{2}$$
 * $$\therefore v^{2} = u^{2} + 2(\boldsymbol{a}\cdot\boldsymbol{x})$$

कहाँ पे $t = 0$ आदि।

उपरोक्त समीकरण न्यूटोनियन यांत्रिकी  और  विशेष सापेक्षता  दोनों के लिए मान्य हैं। जहां न्यूटोनियन यांत्रिकी और विशेष सापेक्षता भिन्न होती है, अलग-अलग पर्यवेक्षक एक ही स्थिति का वर्णन कैसे करेंगे। विशेष रूप से, न्यूटोनियन यांत्रिकी में, सभी पर्यवेक्षक टी के मान पर सहमत होते हैं और स्थिति के लिए परिवर्तन नियम एक ऐसी स्थिति बनाते हैं जिसमें सभी गैर-त्वरित पर्यवेक्षक समान मूल्यों के साथ किसी वस्तु के त्वरण का वर्णन करेंगे। विशेष सापेक्षता के लिए भी सत्य नहीं है। दूसरे शब्दों में, केवल सापेक्ष वेग की गणना की जा सकती है।

वेग पर निर्भर मात्रा
गतिमान वस्तु की गतिज ऊर्जा  उसके वेग पर निर्भर करती है और समीकरण द्वारा दी जाती है

विशेष सापेक्षता की उपेक्षा करते हुए, जहां ईk गति ज ऊर्जा है और m द्रव्यमान है। गतिज ऊर्जा एक अदिश राशि है क्योंकि यह वेग के वर्ग पर निर्भर करती है, हालांकि एक संबंधित मात्रा, संवेग, एक वेक्टर है और इसके द्वारा परिभाषित किया गया है

विशेष सापेक्षता में, आयामहीन लोरेंत्ज़ कारक  अक्सर प्रकट होता है, और द्वारा दिया जाता है

जहां लोरेंत्ज़ कारक है और c प्रकाश की गति है।

पलायन वेग वह न्यूनतम गति है जो एक बैलिस्टिक वस्तु को पृथ्वी जैसे विशाल पिंड से बचने के लिए आवश्यक है। यह गतिज ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, जब वस्तु की गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा  (जो हमेशा नकारात्मक होती है) में जोड़ा जाता है, शून्य के बराबर होता है। M द्रव्यमान वाले ग्रह के केंद्र से r दूरी पर किसी वस्तु के पलायन वेग का सामान्य सूत्र है
 * $$v_{\text{e}} = \sqrt{\frac{2GM}{r}} = \sqrt{2gr},$$

जहाँ G गुरुत्वीय स्थिरांक है और g गुरुत्वीय त्वरण है। पृथ्वी की सतह से पलायन वेग लगभग 11 200 m/s है, और यह वस्तु की दिशा पर ध्यान दिए बिना है। यह एस्केप वेलोसिटी को कुछ हद तक एक मिथ्या नाम बनाता है, क्योंकि अधिक सही शब्द एस्केप स्पीड होगा: कोई भी वस्तु उस परिमाण के वेग को प्राप्त करती है, भले ही वातावरण कुछ भी हो, बेस बॉडी के आसपास के क्षेत्र को तब तक छोड़ देगी जब तक कि यह किसी चीज के साथ प्रतिच्छेद न करे। इसके रास्ते में।

सापेक्ष वेग
सापेक्ष वेग एक समन्वय प्रणाली में निर्धारित दो वस्तुओं के बीच वेग का माप है। शास्त्रीय और आधुनिक भौतिकी दोनों में सापेक्ष वेग मौलिक है, क्योंकि भौतिकी में कई प्रणालियाँ दो या दो से अधिक कणों की सापेक्ष गति से निपटती हैं। न्यूटोनियन यांत्रिकी में, सापेक्ष वेग चुने हुए जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम से स्वतंत्र होता है। विशेष सापेक्षता के मामले में अब ऐसा नहीं है जिसमें वेग संदर्भ फ्रेम की पसंद पर निर्भर करते हैं।

यदि कोई वस्तु A वेग सदिश (ज्यामिति) v के साथ गतिमान है और एक वस्तु B वेग सदिश w के साथ है, तो वस्तु A  के सापेक्ष  वस्तु B के वेग को अंतर के रूप में परिभाषित किया जाता है दो वेग वैक्टर:
 * $$\boldsymbol{v}_{A\text{ relative to }B} = \boldsymbol{v} - \boldsymbol{w}$$

इसी प्रकार, वेग w से गतिमान वस्तु B का आपेक्षिक वेग, वेग v से गतिमान वस्तु A के सापेक्ष है:
 * $$\boldsymbol{v}_{B\text{ relative to }A} = \boldsymbol{w} - \boldsymbol{v}$$

आमतौर पर, चुना गया जड़त्वीय फ्रेम वह होता है जिसमें दो उल्लिखित वस्तुओं में से बाद वाला आराम में होता है।

अदिश वेग
एक आयामी मामले में, वेग अदिश हैं और समीकरण या तो है:
 * $$ v_\text{rel} = v - (-w)$$, अगर दो ऑब्जेक्ट विपरीत दिशाओं में चल रहे हैं, या:
 * $$ v_\text{rel} = v -(+w)$$, यदि दो वस्तुएँ एक ही दिशा में गतिमान हैं।

ध्रुवीय निर्देशांक
ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में, एक द्वि-आयामी वेग को एक  रेडियल वेग  द्वारा वर्णित किया जाता है, जिसे मूल से दूर या वेग के घटक के रूप में परिभाषित किया जाता है (जिसे वेलोसिटी मेड गुड भी कहा जाता है), और एक कोणीय वेग, जो रोटेशन की दर है मूल (सकारात्मक मात्राओं के साथ वामावर्त रोटेशन का प्रतिनिधित्व करते हैं और ऋणात्मक मात्राएं दक्षिणावर्त रोटेशन का प्रतिनिधित्व करती हैं, दाएं हाथ की समन्वय प्रणाली में)।

रेडियल और अनुप्रस्थ घटकों में वेग वेक्टर को विघटित करके रेडियल और कोणीय वेगों को कार्टेशियन वेग और विस्थापन वैक्टर से प्राप्त किया जा सकता है। अनुप्रस्थता (गणित) वेग मूल पर केंद्रित एक वृत्त के साथ वेग का घटक है।


 * $$\boldsymbol{v}=\boldsymbol{v}_T+\boldsymbol{v}_R$$

कहाँ पे रेडियल वेग का परिमाण वेग सदिश और विस्थापन की दिशा में इकाई सदिश का डॉट उत्पाद  है।
 * $$\boldsymbol{v}_T$$ अनुप्रस्थ वेग है
 * $$\boldsymbol{v}_R$$ रेडियल वेग है।
 * $$v_R=\frac{\boldsymbol{v} \cdot \boldsymbol{r}}{\left|\boldsymbol{r}\right|}$$

कहाँ पे $$\boldsymbol{r}$$ विस्थापन है।

अनुप्रस्थ वेग का परिमाण विस्थापन और वेग वेक्टर की दिशा में यूनिट वेक्टर के क्रॉस उत्पाद का है। यह कोणीय वेग का गुणनफल भी है $$\omega$$ और विस्थापन का परिमाण।
 * $$v_T=\frac{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{r}|}=\omega|\boldsymbol{r}|$$

ऐसा है कि
 * $$\omega=\frac{|\boldsymbol{r}\times\boldsymbol{v}|}{|\boldsymbol{r}|^2}.$$

अदिश रूप में कोणीय संवेग, अनुप्रस्थ वेग के मूल समय से दूरी का द्रव्यमान गुणा है, या समतुल्य रूप से, कोणीय गति  से दूरी के वर्ग गुणा का द्रव्यमान गुणा है। कोणीय गति के लिए साइन कन्वेंशन वही है जो कोणीय वेग के लिए है।
 * $$L=mrv_T=mr^2\omega$$

कहाँ पे भावाभिव्यक्ति $$mr^2$$ जड़त्व के क्षण के रूप में जाना जाता है। यदि बल केवल व्युत्क्रम वर्ग निर्भरता के साथ रेडियल दिशा में हैं, जैसा कि गुरुत्वाकर्षण कक्षा के मामले में, कोणीय गति स्थिर है, और अनुप्रस्थ गति दूरी के व्युत्क्रमानुपाती है, कोणीय गति दूरी वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होती है, और दर जिस पर क्षेत्र बह गया है वह स्थिर है। इन संबंधों को केपलर के ग्रहों की गति के नियम के रूप में जाना जाता है।
 * $$m$$ द्रव्यमान है
 * $$r=|\boldsymbol{r}|.$$

यह भी देखें
• Four-velocity (relativistic version of velocity for Minkowski spacetime)

• Group velocity

• Hypervelocity

• Phase velocity

• Proper velocity (in relativity, using traveler time instead of observer time)

• Rapidity (a version of velocity additive at relativistic speeds)

• Terminal velocity

• Velocity vs. time graph

संदर्भ

 * Robert Resnick and Jearl Walker, Fundamentals of Physics, Wiley; 7 Sub edition (June 16, 2004). ISBN 0-471-23231-9.

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 * मील प्रति घंटे
 * आदर्श सिद्धान्त
 * रफ़्तार
 * स्थिति वेक्टर)
 * निरपेक्ष मूल्य
 * वेक्टर (ज्यामिति)
 * यौगिक
 * स्पर्शरेखा
 * एस्केप वेलोसिटी
 * गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक
 * गुरुत्वाकर्षण त्वरण
 * ट्रांसवर्सलिटी (गणित)
 * कोणीय गति
 * पार उत्पाद
 * कोणीय गति
 * की परिक्रमा
 * निष्क्रियता के पल

बाहरी संबंध

 * Velocity and Acceleration
 * Introduction to Mechanisms (Carnegie Mellon University)