चरघातांकी प्रतिचित्र (लाई सिद्धांत)

लाई समूहों के सिद्धांत में, घातीय मानचित्र लाई बीजगणित से $$\mathfrak g$$ लाई समूह का $$G$$ समूह के लिए मानचित्र है, जो किसी को लाई बीजगणित से स्थानीय समूह संरचना को पुनः प्राप्त करने की अनुमति देता है। घातीय मानचित्र का अस्तित्व प्राथमिक कारणों में से है कि लाई बीजगणित लाई समूहों का अध्ययन करने के लिए उपयोगी उपकरण है।

गणितीय विश्लेषण का सामान्य घातांकीय फलन घातांकीय मानचित्र की विशेष स्थिति है $$G$$ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का गुणनात्मक समूह है (जिसका लाई बीजगणित सभी वास्तविक संख्याओं का योगात्मक समूह है)। लाई समूह का घातीय मानचित्र सामान्य घातीय फलन के अनुरूप कई गुणों को संतुष्ट करता है, चूँकि, यह कई महत्वपूर्ण स्थितियों में भिन्न भी है।

परिभाषाएँ
मान लीजिये $$G$$ लाई समूह बनें और $$\mathfrak g$$ इसका लाई बीजगणित हो ($$G$$ पहचान तत्व के स्पर्शरेखा स्थान के रूप में माना जाता है।) घातीय मानचित्र है:
 * $$\exp\colon \mathfrak g \to G$$

जिसे कई भिन्न-भिन्न विधियों से परिभाषित किया जा सकता है। विशिष्ट आधुनिक परिभाषा यह है:
 * परिभाषा: $$X\in\mathfrak g$$ का घातांक $$\exp(X) = \gamma(1)$$ द्वारा दिया गया है। जहां;
 * $$\gamma\colon \mathbb R \to G$$
 * $$G$$ का अद्वितीय एक-पैरामीटर उपसमूह है जिसकी पहचान पर स्पर्शरेखा सदिश $$X$$ के समान है।

यह श्रृंखला नियम $$\exp(tX) = \gamma(t)$$ का सरलता से पालन करता है। वो मानचित्र $$\gamma$$ का निर्माण दाएं या बाएं-अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र के अभिन्न वक्र $$X$$ के रूप में किया जा सकता है। यह कि सभी वास्तविक मापदंडों के लिए अभिन्न वक्र उपस्थित है, समाधान को शून्य के निकट दाएं या बाएं-अनुवाद द्वारा अनुसरण किया जाता है।

आव्यूह लाई समूह की स्थिति में हमारे पास अधिक ठोस परिभाषा है। घातीय मानचित्र आव्यूह घातांक के साथ युग्मित होता है और सामान्य श्रृंखला विस्तार द्वारा दिया जाता है:
 * $$\exp (X) = \sum_{k=0}^\infty\frac{X^k}{k!} = I + X + \frac{1}{2}X^2 + \frac{1}{6}X^3 + \cdots$$,

जहां $$I$$ आइडेंटिटी आव्यूह है। इस प्रकार, आव्यूह लाई समूहों की व्यवस्था में, घातांकीय मानचित्र, लाई बीजगणित के लिए आव्यूह घातांक $$\mathfrak g$$ का प्रतिबंध $$G$$ है।

रीमैनियन घातीय मानचित्र के साथ तुलना
यदि G कॉम्पैक्ट है, तो इसमें बाएं और दाएं अनुवाद के अंतर्गत रीमैनियन मीट्रिक अपरिवर्तनीय है, और G के लिए लाई-सैद्धांतिक घातीय मानचित्र इस रिमैनियन मीट्रिक के घातांक मानचित्र के साथ युग्मित होता है।

सामान्य G के लिए, बाएँ और दाएँ दोनों अनुवादों के अंतर्गत रीमैनियन मीट्रिक अपरिवर्तनीय उपस्थित नहीं होता है। चूँकि, बाएं अनुवाद के अंतर्गत सदैव रीमैनियन मीट्रिक अपरिवर्तनीय होता है, बाएं-अपरिवर्तनीय मीट्रिक के लिए रीमैनियन ज्यामिति के अर्थ में घातीय मानचित्र सामान्य रूप से लाई समूह अर्थ में घातीय मानचित्र से सहमत नहीं होता है। कहने का तात्पर्य यह है कि, यदि G लाई समूह है, जो बाएं-किन्तु दाएं-अपरिवर्तनीय मीट्रिक से सुसज्जित नहीं है, तो समरूपता के माध्यम से जियोडेसिक्स G के एक-पैरामीटर उपसमूह नहीं होंगे।

अन्य परिभाषाएँ
लाई -समूह घातांक की अन्य समकक्ष परिभाषाएँ इस प्रकार हैं:
 * यह G पर विहित बाएं-अपरिवर्तनीय एफ़िन सम्बन्ध का घातीय मानचित्र है, जैसे कि समानांतर परिवहन बाएं अनुवाद द्वारा दिया जाता है। वह है, $$\exp(X) = \gamma(1)$$ जहाँ $$\gamma$$ समरूपता तत्व पर प्रारंभिक बिंदु और प्रारंभिक वेग X (स्पर्शरेखा सदिश के रूप में माना जाता है) के साथ अद्वितीय जियोडेसिक है।
 * यह G पर विहित दाएं-अपरिवर्तनीय एफ़िन सम्बन्ध का घातीय मानचित्र है। यह सामान्यतः विहित बाएं-अपरिवर्तनीय सम्बन्ध से भिन्न होता है, किन्तु दोनों सम्बन्धो में ही जियोडेसिक्स होता है (बाएं या दाएं गुणन द्वारा कार्य करने वाले 1-पैरामीटर उपसमूहों की कक्षाएं) तो वही घातीय मानचित्र दीजिए।
 * लाई समूह-लाई बीजगणित पत्राचार भी परिभाषा देता है: X इन के लिए $$\mathfrak g$$, $$t \mapsto \exp(tX)$$ लाई बीजगणित समरूपता के अनुरूप अद्वितीय लाई समूह समरूपता $$t \mapsto tX.$$है I (टिप्पणी: $$\operatorname{Lie}(\mathbb{R}) = \mathbb{R}$$)

उदाहरण

 * जटिल तल में 0 पर केन्द्रित इकाई वृत्त लाई समूह है (जिसे वृत्त समूह कहा जाता है) जिसके 1 पर स्पर्शरेखा स्थान को जटिल तल में काल्पनिक रेखा $$\{it:t\in\mathbb R\}.$$ से पहचाना जा सकता है, इस लाई समूह के लिए घातीय मानचित्र द्वारा दिया गया है:-
 * $$it \mapsto \exp(it) = e^{it} = \cos(t) + i\sin(t),\,$$
 * अर्थात्, सामान्य सम्मिश्र घातांक के समान सूत्र है।


 * अधिक सामान्यतः, जटिल टोरस के लिए पृष्ठ 8 $$X = \mathbb{C}^n/\Lambda$$ कुछ अभिन्न लाई (समूह) के लिए $$\Lambda$$ रैंक का $$n$$ (इतना समरूपी $$\mathbb{Z}^n$$) टोरस यूनिवर्सल कवर से सुसज्जित है I

$$\pi: \mathbb{C}^n \to X$$

लाई द्वारा भागफल से तब से $$X$$ स्थानीय रूप से समरूपी है I $$\mathbb{C}^n$$ जटिल विविध के रूप में, हम इसे स्पर्शरेखा स्थान से पहचान सकते हैं I $$T_0X$$, और मानचित्र;

$$\pi:T_0X \to X$$

जटिल लाई समूह के लिए घातीय मानचित्र $$X$$ से युग्मित होता है I
 * चतुर्भुज में $$\mathbb H$$, इकाई लंबाई के चतुर्भुजों का समुच्चय लाई समूह बनाता है (विशेष एकात्मक समूह $SU(2)$ के समरूपी) जिसका 1 पर स्पर्शरेखा स्थान विशुद्ध रूप से काल्पनिक चतुर्भुजों $$\{it+ju + kv :t, u, v\in\mathbb R\}$$ के स्थान से पहचाना जा सकता है, इस लाई समूह के लिए घातीय मानचित्र द्वारा दिया गया है:
 * $$\mathbf{w} := (it+ju+kv) \mapsto \exp(it+ju+kv) = \cos(|\mathbf{w}|)1 + \sin(|\mathbf{w}|)\frac{\mathbf{w}}{|\mathbf{w}|}.\,$$
 * यह मानचित्र त्रिज्या $R$ के 2-गोले को विशुद्ध रूप से काल्पनिक चतुर्भुज $$\{s\in S^3 \subset \mathbf{H}: \operatorname{Re}(s) = \cos(R)\} $$ के अंदर ले जाता है, त्रिज्या का 2-गोला $$\sin(R)$$ (सीएफ पाउली सदिश का घातांक) है। इसकी तुलना ऊपर दिए गए पूर्व उदाहरण से करें।


 * मान लीजिए V परिमित आयामी वास्तविक सदिश समष्टि है, और इसे सदिश जोड़ के संचालन के अंतर्गत लाई समूह के रूप में देखें। तब $$\operatorname{Lie}(V) = V$$ 0 पर इसके स्पर्शरेखा स्थान और घातीय मानचित्र के साथ V की समरूपता के माध्यम से इस प्रकार है:-
 * $$\operatorname{exp}: \operatorname{Lie}(V) = V \to V$$
 * समरूपता मानचित्र है, अर्थात, $$\exp(v)=v$$


 * विभाजित-संमिश्र संख्या तल में $$z = x + y \jmath, \quad \jmath^2 = +1,$$ काल्पनिक रेखा $$\lbrace \jmath t : t \in \mathbb R \rbrace$$ इकाई हाइपरबोला समूह का बीजगणित बनाता है, $$\lbrace \cosh t + \jmath \ \sinh t : t \in \mathbb R \rbrace$$ चूँकि घातीय मानचित्र द्वारा दिया गया है:
 * $$\jmath t \mapsto \exp(\jmath t) = \cosh t + \jmath \ \sinh t.$$

घातांक के प्राथमिक गुण
सभी के लिए $$X\in\mathfrak g$$, वो मानचित्र $$\gamma(t) = \exp(tX)$$ का अद्वितीय पैरामीटर उपसमूह है I $$G$$ जिसकी पहचान पर स्पर्शरेखा सदिश $$X$$ है I यह इस प्रकार है कि: सामान्यतः
 * $$\exp((t+s)X) = \exp (tX)\exp (sX)\,$$
 * $$\exp(-X) =\exp (X)^{-1}.\,$$
 * $$\exp(X+Y)=\exp(X)\exp(Y),\quad\text{if }[X,Y]=0$$.

इस बात पर ध्यान देना आवश्यक है कि लाई पहचान सामान्य रूप से कायम नहीं है; यह धारणा $$X$$ और $$Y$$ आवागमन महत्वपूर्ण है I

घातीय मानचित्र की छवि सदैव पहचान घटक $$G$$ में निहित होती है I

समरूपता के निकट घातांक
घातीय मानचित्र $$\exp\colon \mathfrak g \to G$$ सहज मानचित्र है I यह शून्य पर पुशफॉरवर्ड (अंतर) है, $$\exp_{*}\colon \mathfrak g \to \mathfrak g$$, समरूपता मानचित्र है (सामान्य पहचान के साथ)।

व्युत्क्रम फलन प्रमेय से यह निष्कर्ष निकलता है कि घातांकीय मानचित्र, इसलिए, 0 के कुछ निकट से भिन्नता तक सीमित है I $$\mathfrak g$$ 1 इंच के निकट में $$G$$ है यह प्रदर्शित करना कठिन नहीं है कि यदि G जुड़ा हुआ है, तो G का प्रत्येक तत्व g, के तत्वों के घातांक का गुणनफल है। $$\mathfrak g$$: $$g=\exp(X_1)\exp(X_2)\cdots\exp(X_n),\quad X_j\in\mathfrak g$$

विश्व स्तर पर, घातीय मानचित्र आवश्यक रूप से विशेषणात्मक नहीं है। इसके अतिरिक्त, घातीय मानचित्र सभी बिंदुओं पर स्थानीय भिन्नता नहीं हो सकता है। उदाहरण के लिए, घातीय मानचित्र $$\mathfrak{so}$$(3) घूर्णन समूह SO(3)|SO(3) स्थानीय भिन्नता नहीं है; इस विफलता पर कट लोकस (रीमैनियन मैनिफोल्ड) भी देखें। अधिक जानकारी के लिए घातीय मानचित्र का व्युत्पन्न देखें।

घातांक की प्रत्यक्षता
इन महत्वपूर्ण विशेष विषयों में, घातीय मानचित्र सदैव विशेषण के रूप में जाना जाता है: उपरोक्त किसी भी शर्त को पूर्ण नहीं करने वाले समूहों के लिए, घातीय मानचित्र विशेषणात्मक हो भी सकता है और नहीं भी।
 * G संयुक्त है और कॉम्पैक्ट है,
 * G संयुक्त और निलपोटेंट है (उदाहरण के लिए, G कनेक्टेड और एबेलियन), और
 * $$G = GL_n(\mathbb{C})$$

संयुक्त किन्तु गैर-कॉम्पैक्ट समूह SL2(R)|SL के घातीय मानचित्र की छवि SL2(R) पूर्ण समूह नहीं है. इसकी छवि में या तो सकारात्मक या मापांक 1 के साथ आइगेनवैल्यू ​​​​के साथ C-विकर्ण आव्यूह और दोहराए गए आइगेनवैल्यू 1 के साथ गैर-विकर्ण आव्यूह और आव्यूह $$-I$$ सम्मिलित हैं। (इस प्रकार, छवि वास्तविक, नकारात्मक आइगेनवैल्यू ​​​​के अतिरिक्त अन्य आव्यूह $$-I$$ को बाहर कर देती है।)

घातांकीय मानचित्र और समरूपताएँ
$$\phi\colon G \to H$$ लाई समूह समरूपता बनें और $$\phi_{*}$$ पहचान पर इसका पुशफॉरवर्ड (अंतर) हो। फिर निम्नलिखित आरेख क्रमविनिमेय आरेख हैं: विशेष रूप से, जब किसी लाई समूह के लाई समूह के आसन्न प्रतिनिधित्व पर प्रस्तावित किया जाता है I $$G$$, तब से $$\operatorname{Ad}_* = \operatorname{ad}$$, हमारे निकट उपयोगी समरूपता है:
 * $$\mathrm{Ad}_{\exp X}(Y)=\exp(\mathrm{ad}_X)(Y)=Y+[X,Y]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots$$.

लघुगणकीय निर्देशांक
लाई समूह दिया गया, $$G$$ लाई बीजगणित के साथ $$\mathfrak{g}$$, आधार की प्रत्येक पसंद $$X_1, \dots, X_n$$ का $$\mathfrak{g}$$ G के लिए समरूपता तत्व e के निकट समन्वय लाई को निम्नानुसार निर्धारित करता है। व्युत्क्रम फलन प्रमेय द्वारा, घातीय मानचित्र $$\operatorname{exp} : N \overset{\sim}\to U$$ किसी पड़ोस से भिन्नरूपता है I $$N \subset \mathfrak{g} \simeq \mathbb{R}^n$$ पड़ोस की उत्पत्ति $$U$$ का $$e \in G$$ इसके विपरीत:
 * $$\log: U \overset{\sim}\to N \subset \mathbb{R}^n$$

U पर समन्वय प्रणाली है। इसे विभिन्न नामों से जाना जाता है, जैसे लघुगणक निर्देशांक, घातीय निर्देशांक या सामान्य निर्देशांक आदि। अनुप्रयोगों में उनका उपयोग कैसे किया जाता है, इसके उदाहरण के लिए बंद-उपसमूह प्रमेय अवलोकन देखें।

 'टिप्पणी': ओपन आवरण $$\{ U g | g \in G \}$$ G को वास्तविक-विश्लेषणात्मक विविध की संरचना देता है, जैसे कि समूह संचालन $$(g, h) \mapsto gh^{-1}$$ वास्तविक-विश्लेषणात्मक है।

यह भी देखें

 * घातांकीय विषयों की सूची
 * घातांकीय मानचित्र का व्युत्पन्न
 * आव्यूह घातांक