लेब्सेग एकीकरण



गणित में, एक एकल चर के एक गैर-नकारात्मक कार्य (गणित) के अभिन्न अंग को, सबसे सरल स्थितियों में, उस कार्य के ग्राफ़ और कार्य के बीच के क्षेत्र के रूप में माना जा सकता है। $x$-एक्सिस। लेबेस्ग इंटीग्रल, जिसका नाम फ्रांस के गणितज्ञ  हेनरी लेबेस्गुए  के नाम पर रखा गया है, इंटीग्रल को कार्यों के एक बड़े वर्ग तक विस्तारित करता है। यह कार्यों के कार्यक्षेत्र का भी विस्तार करता है जिस पर इन कार्यों को परिभाषित किया जा सकता है।

20वीं शताब्दी से बहुत पहले, गणितज्ञों ने पहले ही समझ लिया था कि सुचारू कार्य के साथ गैर-नकारात्मक कार्यों के लिए पर्याप्त ग्राफ़ - जैसे कि बंद सेट बंधा हुआ सेट अंतराल (गणित) पर निरंतर कार्य - वक्र के नीचे का क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जा सकता है अभिन्न, और बहुभुज द्वारा क्षेत्र पर सन्निकटन तकनीकों का उपयोग करके गणना की गई। चूंकि, जैसे-जैसे अधिक अनियमित कार्यों पर विचार करने की आवश्यकता उत्पन्न हुई - उदाहरण के लिए, गणितीय विश्लेषण की कार्य प्रक्रियाओं की सीमा और संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत के परिणामस्वरूप - यह स्पष्ट हो गया कि उपयुक्त अभिन्न को परिभाषित करने के लिए अधिक सावधानीपूर्वक सन्निकटन तकनीकों की आवश्यकता थी। इसके अलावा, कोई व्यक्ति वास्तविक रेखा से अधिक सामान्य स्थानों को एकीकृत करना चाह सकता है। लेबेस्ग इंटीग्रल इसके लिए आवश्यक सार-संक्षेप प्रदान करता है।

लेबेस्ग इंटीग्रल संभाव्यता सिद्धांत, वास्तविक विश्लेषण और गणित के कई अन्य क्षेत्रों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इसका नाम हेनरी लेब्सग्यू (1875-1941) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इंटीग्रल की शुरुआत की थी. यह संभाव्यता के स्वयंसिद्ध सिद्धांत का भी एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।

लेबेस्ग एकीकरण शब्द का अर्थ या तो सामान्य माप (गणित) के संबंध में किसी कार्य के एकीकरण का सामान्य सिद्धांत हो सकता है, जैसा कि लेबेस्गु द्वारा प्रस्तुत किया गया है, या वास्तविक लाइन के उप-कार्यक्षेत्र पर परिभाषित कार्य के एकीकरण का विशिष्ट स्थिति हो सकता है। लेब्सगेग उपाय के प्रति सम्मान।

परिचय
एक सकारात्मक कार्य का अभिन्न अंग $f$ सीमाओं के बीच $a$ और $b$ की व्याख्या ग्राफ़ के अंतर्गत आने वाले क्षेत्र के रूप में की जा सकती है  $f$. यह बहुपद जैसे कार्यों के लिए सीधा है, लेकिन अधिक विदेशी कार्यों के लिए इसका क्या मतलब है ? सामान्यतः, किस वर्ग के कार्यों के लिए वक्र के नीचे का क्षेत्र मायने रखता है? इस प्रश्न का उत्तर बहुत सैद्धांतिक और व्यावहारिक महत्व रखता है।

उन्नीसवीं सदी में गणित में गणितीय कठोरता की ओर एक सामान्य आंदोलन के हिस्से के रूप में, गणितज्ञों ने इंटीग्रल कैलकुलस को एक मजबूत आधार पर रखने का प्रयास किया। बर्नहार्ड रीमैन (1826-1866) द्वारा प्रस्तावित रीमैन अभिन्न  - ऐसी नींव प्रदान करने का एक व्यापक रूप से सफल प्रयास है। रीमैन की परिभाषा आसानी से गणना किए गए क्षेत्रों के अनुक्रम के निर्माण से शुरू होती है जो किसी दिए गए कार्य के अभिन्न अंग में परिवर्तित होते हैं। यह परिभाषा इस अर्थ में सफल है कि यह पहले से ही हल हो चुकी कई समस्याओं के लिए अपेक्षित उत्तर देती है, और कई अन्य समस्याओं के लिए उपयोगी परिणाम देती है।

चूंकि, रीमैन एकीकरण कार्यों के अनुक्रमों की सीमा लेने के साथ अच्छी तरह से बातचीत नहीं करता है, जिससे ऐसी सीमित प्रक्रियाओं का विश्लेषण करना दुष्कर हो जाता है। उदाहरण के लिए, फूरियर श्रृंखला, फूरियर रूपांतरण और अन्य विषयों के अध्ययन में यह महत्वपूर्ण है। लेबेस्ग इंटीग्रल यह वर्णन करने में बेहतर ढंग से सक्षम है, कि इंटीग्रल साइन के अनुसार सीमाएं कब और कैसे लेना संभव है (मोनोटोन अभिसरण प्रमेय और प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय के माध्यम से)।

जबकि रीमैन इंटीग्रल एक वक्र के नीचे के क्षेत्र को ऊर्ध्वाधर आयतों से बना मानता है, लेबेस्ग्यू परिभाषा क्षैतिज स्लैब पर विचार करती है जो जरूरी नहीं कि सिर्फ आयताकार हों, और इसलिए यह अधिक लचीला है। इस कारण से, लेबेस्ग्यू परिभाषा कार्यों के व्यापक वर्ग के लिए अभिन्नों की गणना करना संभव बनाती है। उदाहरण के लिए, डिरिचलेट कार्य, जो 0 है जहां इसका तर्क अपरिमेय संख्या है और अन्यथा 1, में एक लेबेस्ग इंटीग्रल है, लेकिन इसमें रीमैन इंटीग्रल नहीं है। इसके अलावा, इस कार्य का लेबेस्ग इंटीग्रल शून्य है, जो इस अंतर्ज्ञान से सहमत है कि इकाई अंतराल से यादृच्छिक रूप से समान रूप से वास्तविक संख्या चुनते समय, एक तर्कसंगत संख्या चुनने की संभावना शून्य होनी चाहिए।

लेबेस्ग्यू ने पॉल मोंटेल को लिखे एक पत्र में एकीकरण के प्रति अपने दृष्टिकोण का सारांश दिया: "मुझे एक निश्चित राशि का भुगतान करना होगा, जो मैंने अपनी जेब में एकत्र कर लिया है। मैं अपनी जेब से बिल और सिक्के निकालता हूं और उन्हें ऋणदाता को उसी क्रम में देता हूं जिस क्रम में मैं उन्हें पाता हूं जब तक कि मैं कुल राशि तक नहीं पहुंच जाता। यह रीमैन इंटीग्रल है। लेकिन मैं अलग ढंग से आगे बढ़ सकता हूं. अपनी जेब से सारा पैसा निकाल लेने के बाद मैं समान मूल्यों के अनुसार बिल और सिक्कों का ऑर्डर देता हूं और फिर मैं लेनदार को एक के बाद एक कई ढेर का भुगतान करता हूं। यह मेरा अभिन्न अंग है."

अंतर्दृष्टि यह है कि व्यक्ति को इंटीग्रल के मान को संरक्षित करते हुए किसी कार्य के मानों को स्वतंत्र रूप से पुनर्व्यवस्थित करने में सक्षम होना चाहिए। पुनर्व्यवस्था की यह प्रक्रिया एक बहुत ही पैथोलॉजिकल (गणित) को एकीकरण के दृष्टिकोण से अच्छे में बदल सकती है, और इस प्रकार ऐसे पैथोलॉजिकल कार्यों को एकीकृत किया जा सकता है।

सहज व्याख्या
फोलैंड (1984) ने रीमैन और लेबेस्ग दृष्टिकोण के बीच अंतर को इस प्रकार सारांशित किया है: रीमैन इंटीग्रल की गणना करने के लिए $f$, एक कार्यक्षेत्र का विभाजन करता है $[a, b]$ उपअंतरालों में, जबकि लेबेस्ग इंटीग्रल में, वास्तव में एक की सीमा को विभाजित किया जाता है $f$. रीमैन इंटीग्रल के लिए, कार्यक्षेत्र को अंतरालों में विभाजित किया गया है, और ग्राफ़ की ऊंचाई को पूरा करने के लिए बार का निर्माण किया गया है। इन पट्टियों के क्षेत्रों को एक साथ जोड़ा जाता है, और यह प्रपत्र के क्षेत्रों के योग द्वारा, अभिन्न का अनुमान लगाता है $$f(x)dx$$ कहाँ $$f(x)$$ एक आयत की ऊंचाई है और $$dx$$ इसकी चौड़ाई है.

लेबेस्ग इंटीग्रल के लिए, रेंज को अंतरालों में विभाजित किया गया है, और इसलिए ग्राफ़ के नीचे के क्षेत्र को क्षैतिज स्लैब में विभाजित किया गया है (जो सेट से जुड़े नहीं हो सकते हैं)। ऊँचाई dy के f के ग्राफ के नीचे एक छोटे क्षैतिज स्लैब का क्षेत्रफल, स्लैब की चौड़ाई गुणा dy के माप के बराबर है:
 * $$\mu \left (\{x\mid f(x)>y\} \right ) \,dy.$$

इन क्षैतिज स्लैबों के क्षेत्रों को जोड़कर लेबेस्ग इंटीग्रल को अनुचित रीमैन इंटीग्रल के माध्यम से जोड़ा जा सकता है।

सरल कार्य
लेबेस्ग इंटीग्रल को पेश करने का एक समकक्ष तरीका तथाकथित के द्वारा सरल कार्यों का उपयोग करना है, जो रीमैन एकीकरण के चरण कार्यों को सामान्यीकृत करता है। उदाहरण के लिए, सुचारू नए दैनिक स्थितियों (दाएं) के ग्राफ से संचयी कोविड-19 स्थितियों की संख्या निर्धारित करने पर विचार करें।


 * रीमैन-डारबौक्स दृष्टिकोण: कार्यक्षेत्र (समय अवधि) को अंतरालों में विभाजित करें (आठ, दाईं ओर के उदाहरण में) और ग्राफ़ से मिलने वाली ऊंचाइयों के साथ बार का निर्माण करें। संचयी गणना सभी बारों के योग से, अंतराल की चौड़ाई (दिनों में समय) और बार की ऊंचाई (प्रति दिन स्थितियों) के उत्पाद द्वारा पाई जाती है।


 * लेबेस्ग दृष्टिकोण: कार्य की सीमा में लक्ष्य मानों की एक सीमित संख्या (उदाहरण में आठ) चुनें। इन मानों के बराबर ऊंचाई वाले बार का निर्माण करके, लेकिन कार्य के नीचे, वे कार्यक्षेत्र को समान संख्या में सबसेट में विभाजित करते हैं (उदाहरण में रंग द्वारा इंगित सबसेट को कनेक्ट करने की आवश्यकता नहीं है)। यह एक सरल कार्य है, जैसा कि नीचे बताया गया है। संचयी गणना कार्यक्षेत्र के सभी उपसमूहों, उस उपसमूह पर माप के उत्पाद (दिनों में कुल समय) और बार ऊंचाई (प्रति दिन स्थितियों) के योग से पाई जाती है।

माप सिद्धांत
माप सिद्धांत शुरू में वास्तविक रेखा के उपसमुच्चय की लंबाई की धारणा का एक उपयोगी सार प्रदान करने के लिए बनाया गया था - और, अधिक सामान्यतः, यूक्लिडियन रिक्त स्थान के उपसमुच्चय का क्षेत्रफल और आयतन। विशेष रूप से, इसने इस प्रश्न का एक व्यवस्थित उत्तर प्रदान किया कि किस उपसमूह का $R$ की लंबाई होती है. जैसा कि बाद में सेट सिद्धांत के विकास से पता चला (गैर-मापने योग्य सेट देखें), वास्तव में सभी उपसमूहों को लंबाई निर्दिष्ट करना असंभव है $R$ एक तरह से जो कुछ प्राकृतिक योजकता और अनुवाद अपरिवर्तनीयता गुणों को संरक्षित करता है। इससे पता चलता है कि मापने योग्य उपसमुच्चय का एक उपयुक्त वर्ग चुनना एक आवश्यक शर्त है।

रीमैन इंटीग्रल लंबाई की धारणा का स्पष्ट रूप से उपयोग करता है। दरअसल, रीमैन इंटीग्रल के लिए गणना का तत्व आयत है $[a, b] × [c, d]$, जिसका क्षेत्रफल आंका गया है $(b − a)(d − c)$. मात्रा $b − a$ आयत के आधार की लंबाई है और $d − c$ आयत की ऊंचाई है. रीमैन वक्र के नीचे के क्षेत्र का अनुमान लगाने के लिए केवल समतल आयतों का उपयोग कर सकता था, क्योंकि अधिक सामान्य सेटों को मापने के लिए कोई पर्याप्त सिद्धांत नहीं था।

अधिकांश आधुनिक पाठ्यपुस्तकों (1950 के बाद) में सिद्धांत के विकास में, माप और एकीकरण का दृष्टिकोण स्वयंसिद्ध है। इसका मतलब यह है कि एक माप एक निश्चित वर्ग पर परिभाषित कोई कार्य μ है $X$ एक समुच्चय के उपसमुच्चय का $E$, जो संपत्तियों की एक निश्चित सूची को संतुष्ट करता है। इन संपत्तियों को कई अलग-अलग स्थितियों में धारण करके दिखाया जा सकता है।

मापने योग्य कार्य
हम माप स्थान से शुरुआत करते हैं $(E, X, μ)$ कहाँ $E$ एक समुच्चय (गणित) है, $X$ के उपसमुच्चय का एक सिग्मा-बीजगणित|σ-बीजगणित है $E$, और $μ$ एक (गैर-हस्ताक्षरित माप) माप (गणित) है $E$ के सेट पर परिभाषित किया गया है $X$.

उदाहरण के लिए, $E$ यूक्लिडियन स्थान हो सकता है|यूक्लिडियन $n$-अंतरिक्ष $R^{n}$ या कुछ लेबेस्ग इसका उपसमुच्चय मापते हैं, $X$ सभी लेबेस्ग मापनयोग्य उपसमुच्चय का σ-बीजगणित है $E$, और $μ$ लेब्सेग माप है। संभाव्यता के गणितीय सिद्धांत में, हम अपने अध्ययन को संभाव्यता माप तक सीमित रखते हैं$μ$, जो संतुष्ट करता है $μ(E) = 1$.

लेबेस्ग्यू का सिद्धांत कार्यों के एक वर्ग के लिए अभिन्नों को परिभाषित करता है जिन्हें मापने योग्य कार्य कहा जाता है। एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य $f$ पर $E$ यदि फॉर्म के प्रत्येक अंतराल की पूर्व-छवि मापी जा सकती है $(t, ∞)$ में है $X$:


 * $$ \{x\,\mid\,f(x) > t\} \in X\quad \forall t\in\mathbb{R}. $$

हम दिखा सकते हैं कि यह आवश्यकता के बराबर है कि आर के किसी भी बोरेल बीजगणित उपसमुच्चय की पूर्व-छवि अंदर हो $X$. मापने योग्य कार्यों का सेट बीजगणितीय संचालन के अनुसार अवस्र्द्ध है, लेकिन अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि यह विभिन्न प्रकार की सीमा श्रेष्ठ और सीमा निम्न के अनुसार बंद है | बिंदुवार अनुक्रमिक सीमाएं:


 * $$ \sup_{k \in \N} f_k, \quad \liminf_{k \in \N} f_k, \quad \limsup_{k \in \N} f_k $$

मूल अनुक्रम होने पर मापे जा सकते हैं $(f_{k})$, कहाँ $k ∈ N$, मापने योग्य कार्यों से युक्त है।

मापने योग्य वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए एक अभिन्न अंग को परिभाषित करने के लिए कई दृष्टिकोण हैं $f$ पर परिभाषित किया गया $E$, और ऐसे अभिन्न को दर्शाने के लिए कई नोटेशन का उपयोग किया जाता है।


 * $$ \int_E f \,\mathrm d \mu = \int_E f(x)\,\mathrm d\mu(x) = \int_E f(x)\,\mu(\mathrm d x). $$

क्रम के वितरण के साथ उपायों के वितरण_(गणित) में पहचान के बाद $0$, या रेडॉन माप के साथ, कोई दोहरी प्रणाली नोटेशन का भी उपयोग कर सकता है और इसके संबंध में अभिन्न अंग लिख सकता है $μ$ प्रपत्र में


 * $$ \langle \mu, f\rangle. $$

परिभाषा
लेबेस्ग इंटीग्रल के सिद्धांत के लिए इन सेटों पर मापने योग्य सेटों और मापों के सिद्धांत के साथ-साथ इन कार्यों पर मापने योग्य कार्यों और इंटीग्रल्स के सिद्धांत की आवश्यकता होती है।

सरल कार्यों के माध्यम से
लेबेस्ग इंटीग्रल के निर्माण का एक तरीका तथाकथित सरल कार्यों का उपयोग करना है: संकेतक कार्यों के परिमित, वास्तविक रैखिक संयोजन। सरल कार्य जो सीधे किसी दिए गए कार्य के नीचे स्थित होते हैं $f$ की सीमा को विभाजित करके बनाया जा सकता है $f$ परतों की एक सीमित संख्या में। के ग्राफ का प्रतिच्छेदन $f$ एक परत के साथ के क्षेत्र में अंतराल के एक सेट की पहचान करता है $f$, जिसे एक साथ मिलाकर, साधारण कार्य के अनुसार, उस परत की निचली सीमा की पूर्वछवि के रूप में परिभाषित किया गया है। इस प्रकार, की सीमा का विभाजन  $f$ का तात्पर्य इसके कार्यक्षेत्र के विभाजन से है। एक साधारण कार्य का अभिन्न अंग, कार्यक्षेत्र के इन (जरूरी नहीं कि जुड़े हुए) उपसमुच्चय पर, सरल कार्य के अनुसार उपसमुच्चय और उसकी छवि के माप के उत्पाद (संबंधित परत की निचली सीमा) को जोड़कर पाया जाता है; सहज रूप से, यह उत्पाद समान ऊँचाई की सभी पट्टियों के क्षेत्रफलों का योग है। एक गैर-नकारात्मक सामान्य मापनीय कार्य के अभिन्न अंग को तब सरल कार्यों द्वारा सन्निकटन के उचित सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया जाता है, और एक (जरूरी नहीं कि सकारात्मक) मापने योग्य कार्य का अभिन्न अंग गैर-नकारात्मक मापनीय कार्यों के दो अभिन्नों का अंतर होता है।

संकेतक कार्य
सूचक कार्य के अभिन्न अंग के लिए एक मान निर्दिष्ट करना $1_{S}$ एक मापने योग्य सेट का $S$ दिए गए माप_(गणित) μ के अनुरूप, एकमात्र उचित विकल्प सेट करना है:


 * $$\int 1_S \, \mathrm d\mu = \mu (S).$$

ध्यान दें कि परिणाम बराबर हो सकता है $+∞$, जब तक $μ$ एक सीमित माप है.

सरल कार्य
सूचक कार्यों का एक सीमित रैखिक संयोजन


 * $$\sum_k a_k 1_{S_k}$$

जहां गुणांक $a_{k}$ वास्तविक संख्याएँ हैं और $S_{k}$ असंयुक्त मापन योग्य समुच्चय हैं, जिन्हें मापन योग्य सरल फलन कहा जाता है। हम रैखिकता द्वारा अभिन्न को गैर-नकारात्मक मापनीय सरल कार्यों तक विस्तारित करते हैं। जब गुणांक $a_{k}$ सकारात्मक हैं, हम सेट करते हैं


 * $$\int \left(\sum_k a_k 1_{S_k}\right) \,\mathrm d \mu = \sum_k a_k \int 1_{S_k} \, \mathrm d \mu = \sum_k a_k \, \mu(S_k) $$

क्या यह योग परिमित है या +∞. एक साधारण कार्य को सूचक कार्यों के रैखिक संयोजन के रूप में अलग-अलग तरीकों से लिखा जा सकता है, लेकिन उपायों की योगात्मकता से अभिन्न अंग समान होगा।

अपरिभाषित अभिव्यक्ति से बचने के लिए, वास्तविक-मूल्य वाले सरल कार्य के अभिन्न अंग को परिभाषित करते समय कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है $∞ − ∞$: कोई मानता है कि प्रतिनिधित्व


 * $$ f = \sum_k a_k 1_{S_k}$$

इस प्रकार कि $μ(S_{k}) < ∞$ जब कभी भी $a_{k} ≠ 0$. तब f के समाकलन के लिए उपरोक्त सूत्र समझ में आता है, और परिणाम विशेष निरूपण पर निर्भर नहीं करता है $f$ धारणाओं को संतुष्ट करना।

यदि $B$ का एक मापने योग्य उपसमुच्चय है $E$ और $s$ एक मापने योग्य सरल कार्य है जिसे कोई परिभाषित करता है


 * $$ \int_B s \,\mathrm{d}\mu = \int 1_B \, s \,\mathrm{d}\mu = \sum_k a_k \, \mu(S_k \cap B). $$

गैर-नकारात्मक कार्य
होने देना $f$ एक गैर-नकारात्मक मापनीय कार्य बनें $E$, जिसे हम मूल्य प्राप्त करने की अनुमति देते हैं $+∞$, दूसरे शब्दों में, $f$ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा में गैर-नकारात्मक मान लेता है। हम परिभाषित करते हैं


 * $$\int_E f \, \mathrm d\mu = \sup\left\{\,\int_E s\,\mathrm d\mu : 0 \le s \le f,\ s\ \text{simple}\,\right\}.$$

हमें यह दिखाने की ज़रूरत है कि यह अभिन्न अंग पिछले वाले से मेल खाता है, जिसे सरल कार्यों के सेट पर परिभाषित किया गया है, जब E  एक खंड [a,b] है। यह भी सवाल है कि क्या यह किसी भी तरह से एकीकरण की रीमैन धारणा से मेल खाता है। यह सिद्ध करना संभव है कि दोनों प्रश्नों का उत्तर हाँ है।

हमने ई पर किसी भी गैर-नकारात्मक विस्तारित वास्तविक-मूल्य मापन योग्य कार्य के लिए एफ के अभिन्न अंग को परिभाषित किया है। कुछ कार्यों के लिए, यह अभिन्न अंग $∫_{E} f dμ$ अनंत है.

सरल कार्यों का एक विशेष अनुक्रम रखना अधिकांशतः उपयोगी होता है जो लेबेस्ग इंटीग्रल वेल (एक रीमैन योग के अनुरूप) का अनुमान लगाता है। एक गैर-नकारात्मक मापन योग्य कार्य के लिए $f$, होने देना $$s_n(x)$$ वह सरल फलन हो जिसका मान है $$k/2^n$$ जब कभी भी $$k/2^n\le f(x)<(k+1)/2^n$$, k के लिए (कहें) से कम एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक $$4^n$$. तो यह बात सीधे तौर पर सिद्ध की जा सकती है
 * $$\int f\,\mathrm d\mu = \lim_{n\to\infty} \int s_n\,\mathrm d\mu$$

और दाहिनी ओर की सीमा एक विस्तारित वास्तविक संख्या के रूप में सम्मलित है। यह सरल कार्यों का उपयोग करके लेबेस्ग इंटीग्रल के दृष्टिकोण और रेंज के विभाजन का उपयोग करके लेबेस्ग इंटीग्रल के लिए प्रेरणा के बीच संबंध को पाटता है।

हस्ताक्षरित कार्य
हस्ताक्षरित कार्यों को संभालने के लिए, हमें कुछ और परिभाषाओं की आवश्यकता है। यदि $f$  सेट का एक मापने योग्य कार्य है $E$ वास्तविक के लिए (सहित $±∞$), तो हम लिख सकते हैं


 * $$ f = f^+ - f^-, $$

कहाँ


 * $$ f^+(x) = \begin{cases} f(x) & \text{if } f(x) > 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$
 * $$ f^-(x) = \begin{cases} -f(x) & \text{if } f(x) < 0 \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

ध्यान दें कि दोनों $f^{+}$ और $f^{−}$ गैर-नकारात्मक मापन योग्य कार्य हैं। यह भी ध्यान रखें


 * $$ |f| = f^+ + f^-. \quad $$

हम कहते हैं कि मापने योग्य कार्य का लेबेस्ग इंटीग्रल $f$ सम्मलित है, या परिभाषित है यदि कम से कम एक $ \int f^+ \,\mathrm d\mu $  और $ \int f^- \,\mathrm d\mu $  परिमित है:


 * $$ \min\left(\int f^+ \,\mathrm d \mu, \int f^- \,\mathrm d \mu\right) < \infty. $$

इस स्थितियों में हम परिभाषित करते हैं


 * $$ \int f \,\mathrm d \mu =  \int f^+ \,\mathrm d\mu - \int f^- \,\mathrm d\mu. $$

यदि


 * $$ \int |f| \,\mathrm{d}\mu < \infty, $$

हम ऐसा कहते हैं $f$ लेब्सग्यू पूर्णांक है।

यह पता चला है कि यह परिभाषा अभिन्न के वांछनीय गुण देती है।

अनुचित रीमैन इंटीग्रल के माध्यम से
ये मानते हुए $$f$$ कार्य मापने योग्य और गैर-नकारात्मक है
 * $$f^*(t)\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \mu \left (\{x \in E \mid f(x)>t\} \right ).$$

नीरस रूप से गैर-बढ़ती है। लेबेस्ग इंटीग्रल को तब अनुचित रीमैन इंटीग्रल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$f^*$$:
 * $$\int_E f\,\mathrm d\mu\ \stackrel{\text{def}}{=}\ \int_0^\infty f^*(t)\,\mathrm dt.$$

यह अभिन्न अंग अनुचित है $$ \infty $$ और (संभवतः) शून्य पर भी. यह अस्तित्व में है, इस अनुमति के साथ कि यह अनंत हो सकता है।

जैसा कि ऊपर दिया गया है, एक लेबेस्ग इंटीग्रेबल (जरूरी नहीं कि गैर-नकारात्मक) कार्य का अभिन्न अंग इसके सकारात्मक और नकारात्मक भागों के अभिन्न अंग को घटाकर परिभाषित किया गया है।

जटिल-मूल्यवान कार्य
वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग पर अलग-अलग विचार करके, जटिल संख्या-मूल्य वाले कार्यों को समान रूप से एकीकृत किया जा सकता है।

यदि वास्तविक-मूल्यवान पूर्णांकीय फलनों f, g के लिए h=f+ig है, तो h का समाकलन किसके द्वारा परिभाषित किया गया है?


 * $$ \int h \, \mathrm d \mu = \int f \, \mathrm d \mu + i \int g \, \mathrm d \mu.$$

कार्य लेब्सग्यू इंटीग्रेबल है यदि और केवल यदि इसका निरपेक्ष मान लेब्सग्यू इंटीग्रेबल है (बिल्कुल एकीकृत कार्य देखें)।

उदाहरण
परिमेय संख्याओं के सूचक फलन पर विचार करें, $1_{Q}$, जिसे डिरिचलेट कार्य के रूप में भी जाना जाता है। यह कार्य कहीं भी सतत नहीं है।


 * $$1_{\mathbf Q}$$ रीमैन-अभिन्न नहीं है $[0, 1]$: कोई फर्क नहीं पड़ता कि सेट कैसा है $[0, 1]$ को उपअंतरालों में विभाजित किया गया है, प्रत्येक विभाजन में कम से कम एक परिमेय और कम से कम एक अपरिमेय संख्या होती है, क्योंकि परिमेय और अपरिमेय दोनों ही वास्तविकता में घने होते हैं। इस प्रकार ऊपरी डार्बौक्स योग सभी एक हैं, और निचले डार्बौक्स योग सभी शून्य हैं।
 * $$1_{\mathbf Q}$$ लेब्सग्यू-अभिन्न पर है $[0, 1]$ लेबेस्ग माप का उपयोग करना: वास्तव में, यह परिभाषा के अनुसार परिमेय का सूचक कार्य है $$ \int_{[0,1]} 1_{\mathbf Q} \,\mathrm d \mu = \mu(\mathbf{Q} \cap [0,1]) = 0,$$ क्योंकि $Q$ गणनीय है.

एकीकरण का क्षेत्र
लेबेस्ग एकीकरण में एक तकनीकी विवाद यह है कि एकीकरण के कार्यक्षेत्र को एक सेट (माप स्थान का एक उपसमूह) के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें अभिविन्यास की कोई धारणा नहीं है। प्राथमिक कलन में, एकीकरण को एक अभिविन्यास (कई गुना) के संबंध में परिभाषित किया जाता है:
 * $$\int_b^a f := - \int_a^b f.$$

इसे उच्च आयामों में सामान्यीकृत करने से विभेदक रूपों का एकीकरण प्राप्त होता है। इसके विपरीत, लेबेस्ग एकीकरण एक वैकल्पिक सामान्यीकरण प्रदान करता है, जो एक माप के संबंध में सबसेट पर एकीकरण करता है; इसे इस प्रकार नोट किया जा सकता है
 * $$\int_A f\,\mathrm d\mu = \int_{[a,b]} f\,\mathrm d\mu$$

एक उपसमूह पर एकीकरण को इंगित करने के लिए $A$. इन सामान्यीकरणों के बीच संबंध के विवरण के लिए देखें.

रीमैन इंटीग्रल की सीमाएं
फूरियर श्रृंखला के आगमन के साथ, इंटीग्रल्स से जुड़ी कई विश्लेषणात्मक समस्याएं सामने आईं जिनके संतोषजनक समाधान के लिए सीमा प्रक्रियाओं और इंटीग्रल संकेतों को बदलने की आवश्यकता थी। चूंकि, जिन शर्तों के अनुसार अभिन्न


 * $$ \sum_k \int f_k(x) \,\mathrm dx, \quad \int \left[\sum_k f_k(x) \right] \mathrm dx  $$

रीमैन ढांचे में समान रूप से काफी मायावी सिद्ध करना हुए हैं। रीमैन इंटीग्रल के साथ कुछ अन्य तकनीकी कठिनाइयाँ हैं। ये ऊपर चर्चा की गई सीमा लेने की कठिनाई से जुड़े हुए हैं।

एकस्वर अभिसरण की विफलता. जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, सूचक कार्य करता है $1_{Q}$तर्कसंगत पर रीमैन पूर्णांकीय नहीं है। विशेष रूप से, मोनोटोन अभिसरण प्रमेय विफल हो जाता है। यह देखने के लिए कि क्यों, आइए $\{a_{k}\}$ में सभी परिमेय संख्याओं की गणना करें $[0, 1]$ (वे गणनीय हैं इसलिए यह किया जा सकता है।) तो चलिए
 * $$ g_k(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x = a_j, j\leq k \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$

कार्यक्रम $g_{k}$ अंकों के एक सीमित सेट को छोड़कर, हर जगह शून्य है। इसलिए इसका रीमैन इंटीग्रल शून्य है। प्रत्येक $g_{k}$ गैर-नकारात्मक है, और कार्यों का यह क्रम नीरस रूप से बढ़ रहा है, लेकिन इसकी सीमा उतनी ही है $k → ∞$ है $1_{Q}$, जो रीमैन पूर्णांकीय नहीं है।

असीमित अंतरालों के लिए अनुपयुक्तता. रीमैन इंटीग्रल केवल एक सीमित अंतराल पर कार्यों को एकीकृत कर सकता है। चूंकि इसे सीमाएं लेकर असीमित अंतराल तक बढ़ाया जा सकता है, जब तक कि इससे कोई उत्तर न मिले $∞ − ∞$.

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के अतिरिक्त अन्य संरचनाओं पर एकीकरण। रीमैन इंटीग्रल वास्तविक रेखा की क्रम संरचना से अटूट रूप से जुड़ा हुआ है।

लेबेस्ग इंटीग्रल के मूल प्रमेय
कहा जाता है कि दो कार्य लगभग हर जगह समान होते हैं ($$f\ \stackrel{\text{a.e.}}{=}\ g$$ संक्षेप में) यदि $$\{x \mid f(x) \neq g(x)\}$$ शून्य समुच्चय का उपसमुच्चय है।

सेट की मापनीयता $$\{x \mid f(x) \neq g(x)\}$$ आवश्यक नहीं।


 * यदि $f, g$ गैर-नकारात्मक मापन योग्य कार्य हैं (संभवतः मान मानते हुए)। $+∞$) ऐसा है कि $f = g$ तो फिर लगभग हर जगह $$ \int f \, d \mu =  \int g \, d \mu. $$ बुद्धिमानी से, अभिन्न लगभग हर जगह समानता के समतुल्य संबंध का सम्मान करता है।
 * यदि $f, g$ ऐसे कार्य हैं $f = g$ तो फिर लगभग हर जगह $f$ क्या लेब्सेग पूर्णांकित है यदि और केवल यदि $g$ लेब्सग्यू पूर्णांक है, और का अभिन्न अंग है $f$ और $g$ यदि वे सम्मलित हैं तो वही हैं।
 * रैखिक परिवर्तन: यदि $f$ और $g$ लेबेस्ग इंटीग्रेबल कार्यों हैं और $a$ और $b$ तो फिर वास्तविक संख्याएँ हैं $af + bg$ लेब्सेग इंटीग्रेबल है और $$ \int (a f + bg) \, d \mu = a \int f \, d\mu + b \int g \, d\mu. $$
 * एकरसता: यदि $f ≤ g$, तब $$ \int f \, d \mu \leq \int g \, d \mu. $$
 * होने देना $$(\Omega,\Sigma,\mu)$$ एक माप स्थान बनें. निरूपित $$ \operatorname{\mathcal B}_{\R_{\geq 0}} $$ $$\sigma$$- बोरेल का बीजगणित चालू होता है $$[0,+\infty]$$. (परिभाषा से, $$\operatorname{\mathcal B}_{\R_{\geq 0}}$$ सेट सम्मलित है $$\{+\infty\}$$ और सभी बोरेल उपसमुच्चय $$\R_{\geq 0}$$.) एक पर विचार करें $$(\Sigma,\operatorname{\mathcal B}_{\R_{\geq 0}})$$-मापने योग्य गैर-नकारात्मक कार्य $$s:\Omega\to [0,+\infty]$$. एक सेट के लिए $$S\in\Sigma$$, परिभाषित करना $$\nu(S)=\int_Ss\,d\mu.$$ तब $$\nu$$ पर एक लेब्सग्यू माप है $$(\Omega,\Sigma)$$.
 * लेबेस्ग्यू का मोनोटोन अभिसरण प्रमेय: मान लीजिए ${ f_{k}}_{k ∈ N}|undefined$ गैर-नकारात्मक मापन योग्य कार्यों का एक क्रम है जैसे कि $$ f_k(x) \leq f_{k+1}(x) \quad \forall k\in \mathbb{N}, \, \forall x \in E. $$ फिर, बिंदुवार सीमा $f$ का $f_{k}$ लेबेस्ग मापने योग्य है और $$ \lim_k \int f_k \, d\mu = \int f \, d \mu. $$ किसी भी अभिन्न अंग का मान अनंत होने की अनुमति है।
 * फ़तौ की लेम्मा: यदि ${ f_{k}}_{k ∈ N}|undefined$ तो, गैर-नकारात्मक मापनीय कार्यों का एक क्रम है $$ \int \liminf_k f_k \, d \mu \leq  \liminf_k \int f_k \, d \mu.$$ पुनः, किसी भी अभिन्न का मान अनंत हो सकता है।
 * प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय: मान लीजिए ${f_{k}}_{k ∈ N}|undefined$ बिंदुवार सीमा के साथ जटिल मापने योग्य कार्यों का एक क्रम है $f$, और एक लेब्सग्यू इंटीग्रेबल कार्य है $g$ (अर्थात।, $g$ का है $space L^{1})$ ऐसा है कि $| f_{k} | ≤ g$ सभी के लिए $k$. तब, $f$ लेब्सेग इंटीग्रेबल है और $$ \lim_k \int f_k \, d \mu = \int f \, d \mu. $$

वैकल्पिक सूत्रीकरण
माप सिद्धांत की पूरी मशीनरी पर भरोसा किए बिना लेबेस्ग माप के संबंध में अभिन्न अंग विकसित करना संभव है। ऐसा ही एक दृष्टिकोण डेनियल अभिन्न  द्वारा प्रदान किया गया है।

कार्यात्मक विश्लेषण के तरीकों के माध्यम से एकीकरण के सिद्धांत को विकसित करने का एक वैकल्पिक दृष्टिकोण भी है। रीमैन इंटीग्रल किसी भी निरंतर कार्य के लिए सम्मलित है $f$ सघन स्थान  सपोर्ट (गणित) पर परिभाषित $R^{n}$ (या एक निश्चित खुला उपसमुच्चय)। इन समाकलनों से आरंभ करके अधिक सामान्य कार्यों के समाकलन बनाए जा सकते हैं।

होने देना $C_{c}$ आर के सभी वास्तविक-मूल्यवान कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित निरंतर कार्यों का स्थान बनें। पर एक मानदंड परिभाषित करें $C_{c}$ द्वारा $$ \left\| f \right\| = \int |f(x)| \, \mathrm dx .$$ तब $C_{c}$ एक मानक वेक्टर स्पेस है (और विशेष रूप से, यह एक मीट्रिक स्पेस है।) सभी मीट्रिक स्पेस में पूर्ण स्पेस होता है, इसलिए चलो $L^{1}$ इसकी पूर्णता हो. यह स्थान इंटीग्रल शून्य के साथ कार्यों के उप-स्थान मॉड्यूलो लेबेस्ग इंटीग्रेबल कार्यों के स्थान के लिए आइसोमोर्फिक है। इसके अलावा, रीमैन इंटीग्रल $∫$ मानक के संबंध में एक समान रूप से निरंतर कार्यात्मक है $C_{c}$, जो सघन है $L^{1}$. इस तरह $∫$ का सभी के लिए एक अद्वितीय विस्तार है $L^{1}$. यह इंटीग्रल बिल्कुल लेब्सगेग इंटीग्रल है।

अधिक सामान्यतः, जब माप स्थान जिस पर कार्यों को परिभाषित किया जाता है, वह स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन स्थान टोपोलॉजिकल स्पेस भी होता है (जैसा कि वास्तविक संख्या आर के स्थितियों में होता है), एक उपयुक्त अर्थ में टोपोलॉजी के साथ संगत उपाय (रेडॉन उपाय, जिनमें से लेब्सग्यू माप एक उदाहरण है) उनके संबंध में एक अभिन्न अंग को उसी तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, जो कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्यों के अभिन्न अंग से शुरू होता है। अधिक सटीक रूप से, कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कार्य एक सदिश स्थल  बनाते हैं जो प्राकृतिक टोपोलॉजिकल स्पेस को वहन करता है, और (रेडॉन) माप को इस स्पेस पर एक सतत रैखिक मानचित्र कार्यात्मक के रूप में परिभाषित किया गया है। एक सघन रूप से समर्थित कार्य पर माप का मान तब परिभाषा के अनुसार कार्य का अभिन्न अंग भी होता है। फिर कोई निरंतरता द्वारा माप (अभिन्न) को अधिक सामान्य कार्यों तक विस्तारित करने के लिए आगे बढ़ता है, और एक सेट के माप को उसके संकेतक कार्य के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित करता है। यही दृष्टिकोण अपनाया गया है  और अन्य लेखकों की एक निश्चित संख्या। विवरण के लिए देखें रैडॉन माप रेडॉन स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थानों पर मापता है।

लेबेस्ग इंटीग्रल की सीमाएँ
लेबेस्ग इंटीग्रल का मुख्य उद्देश्य एक इंटीग्रल धारणा प्रदान करना है जहां इंटीग्रल्स की सीमाएं हल्की धारणाओं के अंतर्गत होती हैं। इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि प्रत्येक कार्य लेब्सग्यू इंटीग्रेबल है। लेकिन ऐसा हो सकता है कि उन कार्यों के लिए अनुचित इंटीग्रल सम्मलित हों जो लेबेसेग इंटीग्रेबल नहीं हैं। एक उदाहरण साथ-साथ करना कार्य होगा: $$\frac{\sin(x)}{x}$$ संपूर्ण वास्तविक रेखा पर. यह कार्य लेब्सग्यू इंटीग्रेबल नहीं है, जैसे $$ \int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(x)}{x}\right| \mathrm d x = \infty.$$ वहीं दूसरी ओर, $ \int_{-\infty}^\infty\frac{\sin(x)}{x} \,\mathrm dx$ एक अनुचित अभिन्न अंग के रूप में सम्मलित है और इसे सीमित माना जा सकता है; यह डिरिचलेट इंटीग्रल से दोगुना और इसके बराबर है $$\pi$$.

यह भी देखें

 * हेनरी लेब्सग्यू#लेब्सग्यू का एकीकरण का सिद्धांत, लेब्सग्यू एकीकरण के गैर-तकनीकी विवरण के लिए
 * शून्य सेट
 * अभिन्न
 * माप (गणित)
 * सिग्मा-बीजगणित
 * लेब्सेग स्पेस (बहुविकल्पी)
 * लेबेस्गुए-स्टिल्टजेस एकीकरण
 * रीमैन इंटीग्रल
 * हेनस्टॉक-कुर्जवील इंटीग्रल

संदर्भ

 * Very thorough treatment, particularly for probabilists with good notes and historical references.
 * A classic, though somewhat dated presentation.
 * Includes a presentation of the Daniell integral.
 * Good treatment of the theory of outer measures.
 * Known as Little Rudin, contains the basics of the Lebesgue theory, but does not treat material such as Fubini's theorem.
 * Known as Big Rudin. A complete and careful presentation of the theory. Good presentation of the Riesz extension theorems. However, there is a minor flaw (in the first edition) in the proof of one of the extension theorems, the discovery of which constitutes exercise 21 of Chapter 2.
 * . English translation by Laurence Chisholm Young, with two additional notes by Stefan Banach.
 * Emphasizes the Daniell integral.
 * Includes a presentation of the Daniell integral.
 * Good treatment of the theory of outer measures.
 * Known as Little Rudin, contains the basics of the Lebesgue theory, but does not treat material such as Fubini's theorem.
 * Known as Big Rudin. A complete and careful presentation of the theory. Good presentation of the Riesz extension theorems. However, there is a minor flaw (in the first edition) in the proof of one of the extension theorems, the discovery of which constitutes exercise 21 of Chapter 2.
 * . English translation by Laurence Chisholm Young, with two additional notes by Stefan Banach.
 * Emphasizes the Daniell integral.
 * Known as Little Rudin, contains the basics of the Lebesgue theory, but does not treat material such as Fubini's theorem.
 * Known as Big Rudin. A complete and careful presentation of the theory. Good presentation of the Riesz extension theorems. However, there is a minor flaw (in the first edition) in the proof of one of the extension theorems, the discovery of which constitutes exercise 21 of Chapter 2.
 * . English translation by Laurence Chisholm Young, with two additional notes by Stefan Banach.
 * Emphasizes the Daniell integral.