प्रारंभिक टोपोलॉजी

सामान्य सांस्थिति और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, प्रारंभिक सांस्थिति या प्रेरित सांस्थिति एक समुच्चय $$X,$$के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति संबंधित फलनों के संग्रह के संदर्भ में है, वह समुच्चय $$X,$$ के ऊपर सबसे बड़ी सांस्थिति है जो उन फलनों को निरंतर बनाती है।

उपसमष्‍टि सांस्थिति और उत्पाद सांस्थिति निर्माण दोनों प्रारंभिक सांस्थिति के विशेष स्थितिया हैं। वास्तव में, प्रारंभिक सांस्थिति निर्माण को इनके एक साधारणीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

द्विपक्षीय) अवधारणा है कि अंतिम सांस्थिति, जो एक दिए गए समुच्चय $$X$$ पर मान आविष्कार करने वाले फलनों के लिए सबसे बेहतर सांस्थिति है।

परिभाषा
एक समुच्चय  $$X$$ और एक अनुक्रमित वर्ग  $$\left(Y_i\right)_{i \in I}$$ के सांस्थितिकीय समष्‍टि फलनों के साथ दिया गया होता हैं$$f_i : X \to Y_i,$$प्रारंभिक सांस्थिति $$\tau$$ एक समुच्चय $$X$$ पर सबसे कोरस्ट सांस्थिति होती है जिसमें प्रत्येक$$f_i : (X, \tau) \to Y_i$$सतत होती है।

खुले समुच्चय के संदर्भ में परिभाषा

यदि हर $$i \in I$$ के लिए $$\sigma_i$$ $$Y_i$$ पर सांस्थिति को दर्शाता है, तो एक सांस्थिति है $$X$$ पर, और $$I$$-इंडेक्स्ड वर्ग  $$f_i^{-1}\left(\sigma_i\right)$$ (जहां $$i \in I$$) की अधिकतम सांस्थिति होती है।

यदि हर $$i \in I$$ के लिए $$\sigma_i$$ $$Y_i$$ पर सांस्थिति को दर्शाता है, तो एक सांस्थिति है $$X$$ पर, और  $$I$$-इंडेक्स्ड वर्ग  $$f_i^{-1}\left(\sigma_i\right)$$ (जहां $$i \in I$$) की अधिकतम सांस्थिति होती है।

स्पष्ट रूप से, प्रारंभिक सांस्थिति होती है सभी समुच्चय $$f_i^{-1}(U)$$ के रूप में खुला समुच्चय हैं, जहां $$U$$ किसी $$i \in I$$ के लिए $$Y_i$$ में एक खुला समुच्चय होता है, जो सीमित संचय और यादृच्छिक संयोग के अंतर्गत उत्पन्न होता हैं।

प्रायः $$f_i^{-1}(V)$$ जैसे समुच्चय को कहा जाता है। यदि $$I$$ में केवल एक तत्व होता है, तो प्रारंभिक सांस्थिति $$(X, \tau)$$ के सभी खुला समुच्चय भी  होता हैं।

उदाहरण
कई सांस्थितिकीय निर्माणों को प्रारंभिक सांस्थिति के विशेष स्थितियों के रूप में माना जा सकता है।
 * उपसमष्‍टि सांस्थिति समावेशन मानचित्र के संबंध में उपसमष्‍टि पर प्रारंभिक सांस्थिति है।
 * उत्पाद सांस्थिति प्रक्षेपण मानचित्र के वर्ग के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति है।
 * रिक्त स्थान और निरंतर मानचित्रों की किसी भी व्युत्क्रम प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा विहित आकारिकी द्वारा निर्धारित प्रारंभिक सांस्थिति के साथ समुच्चय -सैद्धांतिक व्युत्क्रम सीमा है।
 * स्थानीय रूप से उत्तल स्थान पर कमजोर सांस्थिति इसके दोहरे स्थान के निरंतर रैखिक रूपो के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति है।
 * एक निश्चित सेट $$X.$$ पर सांस्थितियों के एक परिवार के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति $$X.$$ पर फलन  $$\operatorname{id}_i : X \to \left(X, \tau_i\right)$$ के साथ, सांस्थितियों $$\left\{\tau_i\right\}$$  का सांस्थिति के ग्रिड में सर्वोच्च (या युग्मन) है। अर्थात, प्रारंभिक सांस्थिति \tau वह सांस्थिति है जो सांस्थितियों के यूनियन से उत्पन्न होती है।
 * एक सांस्थितियों समष्टि पूरी तरह से नियमित है यदि और केवल तभी जब इसमें वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के अपने वर्ग के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति हो।
 * प्रत्येक सांस्थितियों समष्टि $$X$$ से निरंतर कार्यों के वर्ग के संबंध में प्रारंभिक सांस्थिति $$X$$ सिएरपिंस्की क्षेत्र के लिए है।

विशेष गुण
प्रारंभिक सांस्थिति $$X$$ पर निम्नलिखित विशिष्ट गुण द्वारा चित्रित किया जा सकता है: किसी स्थान $$Z$$ से  $$X$$ तक किसी फलन $$g$$ निरंतर है, तब और केवल तब जब प्रत्येक $$i \in I.$$ के लिए  $$f_i \circ g$$  निरंतर होता है।

ध्यान दें, यहाँ यह एक सामान्य गुणधर्म नहीं है, यहाँ एक श्रेणीय वर्णन दिया गया है।

यदि एक फ़िल्टर $$\mathcal{B}$$ एक बिन्दु $$x \in X$$ पर संगत होता है, तब और केवल तब जब प्रत्येक $$i \in I$$ के लिए संगत प्रीफ़िल्टर $$f_i(\mathcal{B})$$ $$f_i(x)$$ पर संगत होता है।

मूल्यांकन
उत्पाद सांस्थिति की सार्वभौमिक संपत्ति से, हम जानते हैं कि निरंतर मानचित्रों का कोई भी वर्ग  $$f_i : X \to Y_i$$ एक अद्वितीय सतत मानचित्र निर्धारित करता है $$\begin{alignat}{4} f :\;&& X &&\;\to   \;& \prod_i Y_i \\[0.3ex] && x &&\;\mapsto\;& \left(f_i(x)\right)_{i \in I} \\ \end{alignat}$$ इस मानचित्र को के नाम से जाना जाता है.

यदि एक मानचित्रों का परिवार $${f_i : X \to Y_i}$$ $$X$$ में बिंदुओं को अलग करता है तो सभी $$x \neq y$$ के लिए $$X$$ में कुछ ऐसा $$i$$ मौजूद होता है जिसके लिए $$f_i(x) \neq f_i(y)$$ होता है। बिंदुओं को अलग करने वाले परिवार $${f_i}$$ बिंदुओं को अलग करता है अगर और केवल अगर संबंधित मानचित्र मानचित्रण $$f$$ प्रविष्टि है।

यदि मानचित्रण $$f$$ एक टोपोलॉजिक प्रतिष्ठान है, तो और केवल तब जब $$X$$ के लिए मानचित्रों $${f_i}$$ द्वारा निर्धारित प्रारंभिक टोपोलॉजी होती है और यह मानचित्र परिवार बिंदुओं को अलग करता है।

हॉसडॉर्फनेस

यदि $$X$$ मानचित्रों द्वारा प्रेरित प्रारंभिक टोपोलॉजी रखता है और हर $$Y_i$$ हौसडोरफ है, तो $$X$$ एक हौसडोरफ स्थान है अगर और केवल अगर ये मानचित्र बिंदुओं को अलग करते हैं।

प्रारंभिक सांस्थिति की परिवर्तनशीलता
यदि $$X$$ की प्रारंभिक टोपोलॉजी $$\left{f_i : X \to Y_i\right}$$ द्वारा प्रेरित होती है और हर $$i \in I$$ के लिए $$Y_i$$ पर टोपोलॉजी की प्रारंभिक टोपोलॉजी होती है, जिसे किसी $$J_i$$-indexed फैमिली $$\left{g_j : Y_i \to Z_j\right}$$ ($$j$$ को $$J_i$$ पर घुमाने के लिए) द्वारा प्रेरित किया जाता है, तो $$X$$ पर प्रेरित प्रारंभिक टोपोलॉजी $$\left{f_i : X \to Y_i\right}$$ और $${\textstyle \bigcup\limits_{i \in I} J_i}$$-indexed फैमिली $$\left{g_j \circ f_i : X \to Z_j\right}$$ के द्वारा प्रेरित प्रारंभिक टोपोलॉजी के बराबर होती है, जहां $$i$$ $$I$$ पर और $$j$$ $$J_i$$ पर घुमाया जाता है। इसके कई महत्वपूर्ण प्रमाण अब दिए जाते हैं।

विशेषकर, यदि $$S \subseteq X$$ फिर उपसमष्‍टि सांस्थिति वह $$S$$ से विरासत में मिला है $$X$$ समावेशन मानचित्र द्वारा प्रेरित प्रारंभिक सांस्थिति  के बराबर है $$S \to X$$ (द्वारा परिभाषित $$s \mapsto s$$). फलस्वरूप, यदि $$X$$ प्रारंभिक सांस्थिति से प्रेरित है $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ फिर उपसमष्‍टि सांस्थिति  वह $$S$$ से विरासत में मिला है $$X$$ पर प्रेरित प्रारंभिक सांस्थिति  के बराबर है $$S$$ प्रतिबंधों द्वारा $$\left\{\left.f_i\right|_S : S \to Y_i\right\}$$ की $$f_i$$ को $$S.$$

उत्पाद सांस्थिति चालू है $$\prod_i Y_i$$ विहित अनुमानों से प्रेरित प्रारंभिक सांस्थिति  के बराबर है $$\operatorname{pr}_i : \left(x_k\right)_{k \in I} \mapsto x_i$$ जैसा $$i$$ तक फैली हुई है $$I.$$ नतीजतन, प्रारंभिक सांस्थिति चालू है $$X$$ प्रेरक $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ उत्पाद सांस्थिति  की व्युत्क्रम छवि के बराबर है $$\prod_i Y_i$$ #मूल्यांकन मानचित्र द्वारा $f : X \to \prod_i Y_i\,.$  इसके अलावा, यदि मानचित्र $$\left\{f_i\right\}_{i \in I}$$ #अलग-अलग बिंदु $$X$$ तब मूल्यांकन मानचित्र उपस्थान पर एक समरूपता है $$f(X)$$ उत्पाद स्थान का $$\prod_i Y_i.$$

बंदसमुच्चय ों से बिंदुओं को अलग करना
यदि कोई स्थान $$X$$ सांस्थिति से सुसज्जित होता है, यह जानना अक्सर उपयोगी होता है कि सांस्थिति  चालू है या नहीं $$X$$ मानचित्रों के कुछ वर्ग  द्वारा प्रेरित प्रारंभिक सांस्थिति  है $$X.$$ यह खंड पर्याप्त (लेकिन आवश्यक नहीं) शर्त देता है।

मानचित्रों का एक वर्ग $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ बंदसमुच्चय ों से बिंदुओं को अलग करता है $$X$$ यदि सभी बंदसमुच्चय ों के लिए $$A$$ में $$X$$ और सभी $$x \not\in A,$$ वहाँ कुछ मौजूद है $$i$$ ऐसा है कि $$f_i(x) \notin \operatorname{cl}(f_i(A))$$ कहाँ $$\operatorname{cl}$$ समापन (सांस्थिति) को दर्शाता है।


 * प्रमेय. सतत मानचित्रों का एक वर्ग $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ बंदसमुच्चय ों से बिंदुओं को अलग करता है यदि और केवल यदि सिलेंडरसमुच्चय  होता है $$f_i^{-1}(V),$$ के लिए $$V$$ में खुलेगा $$Y_i,$$ पर एक बेस (सांस्थिति) बनाएं $$X.$$

यह जब भी चलता है $$\left\{f_i\right\}$$ बंदसमुच्चय ों से बिंदुओं को अलग करता है, स्थान $$X$$ मानचित्रों से प्रेरित प्रारंभिक सांस्थिति है $$\left\{f_i\right\}.$$ उलटा विफल हो जाता है, क्योंकि आम तौर पर सिलेंडरसमुच्चय  प्रारंभिक सांस्थिति  के लिए केवल एक सबबेस (और आधार नहीं) बनाएंगे।

यदि स्थान $$X$$ एक T0 स्थान है|T0 स्थान, फिर मानचित्रों का कोई संग्रह $$\left\{f_i\right\}$$ जो बंदसमुच्चय ों से बिंदुओं को अलग करता है $$X$$ अंक भी अलग-अलग होने चाहिए। इस मामले में, मूल्यांकन मानचित्र एक एम्बेडिंग होगा।

प्रारंभिक एकसमान संरचना
अगर $$\left(\mathcal{U}_i\right)_{i \in I}$$ एकसमान संरचनाओं का एक वर्ग है $$X$$ द्वारा अनुक्रमित $$I \neq \varnothing,$$ फिर  का $$\left(\mathcal{U}_i\right)_{i \in I}$$ पर सबसे मोटी एकसमान संरचना है $$X$$ वह प्रत्येक से बेहतर है $$\mathcal{U}_i.$$ यह वर्दी हमेशा मौजूद रहती है और यह फ़िल्टर (समुच्चय   सिद्धांत) के बराबर होती है $$X \times X$$ सबबेस फ़िल्टर करें द्वारा उत्पन्न $${\textstyle \bigcup\limits_{i \in I} \mathcal{U}_i}.$$ अगर $$\tau_i$$ सांस्थिति चालू है $$X$$ एकसमान संरचना से प्रेरित $$\mathcal{U}_i$$ फिर सांस्थिति  चालू $$X$$ न्यूनतम ऊपरी सीमा वाली एकसमान संरचना से संबद्ध, न्यूनतम ऊपरी सीमा वाली सांस्थिति  के बराबर है $$\left(\tau_i\right)_{i \in I}.$$

अब मान लीजिये $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ नक्शों का एक वर्ग है और हर किसी के लिए $$i \in I,$$ होने देना $$\mathcal{U}_i$$ पर एक समान संरचना हो $$Y_i.$$ फिर  अद्वितीय स्थूलतम एकसमान संरचना है $$\mathcal{U}$$ पर $$X$$ सब बना रहे हैं $$f_i : \left(X, \mathcal{U}\right) \to \left(Y_i, \mathcal{U}_i\right)$$ समान रूप से निरंतर. यह की न्यूनतम ऊपरी सीमा वाली एकसमान संरचना के बराबर है $$I$$-समान संरचनाओं का अनुक्रमित वर्ग $$f_i^{-1}\left(\mathcal{U}_i\right)$$ (के लिए $$i \in I$$). सांस्थिति चालू है $$X$$ प्रेरक $$\mathcal{U}$$ सबसे मोटे सांस्थिति पर है $$X$$ ऐसा कि हर $$f_i : X \to Y_i$$ सतत है. प्रारंभिक एकसमान संरचना $$\mathcal{U}$$ यह भी सबसे मोटे समान संरचना के बराबर है जैसे कि पहचान मानचित्रण $$\operatorname{id} : \left(X, \mathcal{U}\right) \to \left(X, f_i^{-1}\left(\mathcal{U}_i\right)\right)$$ समान रूप से निरंतर हैं.

हॉसडॉर्फनेस: सांस्थिति चालू $$X$$ प्रारंभिक समान संरचना से प्रेरित $$\mathcal{U}$$ हॉसडॉर्फ़ स्थान है यदि और केवल यदि जब भी $$x, y \in X$$ विशिष्ट हैं ($$x \neq y$$) तो कुछ मौजूद है $$i \in I$$ और कुछ दल $$V_i \in \mathcal{U}_i$$ का $$Y_i$$ ऐसा है कि $$\left(f_i(x), f_i(y)\right) \not\in V_i.$$ इसके अलावा, यदि प्रत्येक सूचकांक के लिए $$i \in I,$$ सांस्थिति चालू $$Y_i$$ प्रेरक $$\mathcal{U}_i$$ हॉसडॉर्फ़ है तो सांस्थिति  पर $$X$$ प्रारंभिक समान संरचना से प्रेरित $$\mathcal{U}$$ हॉसडॉर्फ़ है यदि और केवल यदि मानचित्र $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ #अलग-अलग बिंदु $$X$$ (या समतुल्य, यदि और केवल यदि #मूल्यांकन मानचित्र $f : X \to \prod_i Y_i$  इंजेक्शन है)

एकसमान निरंतरता: यदि $$\mathcal{U}$$ मैपिंग द्वारा प्रेरित प्रारंभिक समान संरचना है $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\},$$ फिर एक समारोह $$g$$ किसी एकसमान स्थान से $$Z$$ में $$(X, \mathcal{U})$$ समान रूप से सतत है यदि और केवल यदि $$f_i \circ g : Z \to Y_i$$ प्रत्येक के लिए समान रूप से निरंतर है $$i \in I.$$

कॉची फ़िल्टर: एक फ़िल्टर (समुच्चय  सिद्धांत) $$\mathcal{B}$$ पर $$X$$ एक कॉची फ़िल्टर चालू है $$(X, \mathcal{U})$$ अगर और केवल अगर $$f_i\left(\mathcal{B}\right)$$ एक कॉची प्रीफ़िल्टर चालू है $$Y_i$$ हरएक के लिए $$i \in I.$$

प्रारंभिक एकसमान संरचना की परिवर्तनशीलता: यदि ऊपर दिए गए प्रारंभिक सांस्थिति की #परिवर्तनशीलता के कथन में सांस्थिति  शब्द को एकसमान संरचना से प्रतिस्थापित कर दिया जाए तो परिणामी कथन भी सत्य होगा।

श्रेणीबद्ध विवरण
श्रेणी सिद्धांत की भाषा में प्रारंभिक सांस्थिति निर्माण को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है। होने देना $$Y$$ एक अलग श्रेणी से फ़नकार बनें $$J$$ टोपोलॉजिकल समष्टि  की श्रेणी में $$\mathrm{Top}$$ जो मानचित्र $$j\mapsto Y_j$$. होने देना $$U$$ से सामान्य भुलक्कड़ फनकार बनें $$\mathrm{Top}$$ को $$\mathrm{Set}$$. मानचित्र $$f_j : X \to Y_j$$ फिर इसे एक शंकु (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में सोचा जा सकता है $$X$$ को $$UY.$$ वह है, $$(X,f)$$ की एक वस्तु है $$\mathrm{Cone}(UY) := (\Delta\downarrow{UY})$$- शंकु की श्रेणी $$UY.$$ अधिक सटीक रूप से, यह शंकु $$(X,f)$$ ए को परिभाषित करता है $$U$$-संरचित कोसिंक में $$\mathrm{Set}.$$ भुलक्कड़ मनोरंजनकर्ता $$U : \mathrm{Top} \to \mathrm{Set}$$ आप एक पदाधिकारी का परिचय देंगे $$\bar{U} : \mathrm{Cone}(Y) \to \mathrm{Cone}(UY)$$. प्रारंभिक सांस्थिति की विशेषता संपत्ति इस कथन के समतुल्य है कि वहां से एक सार्वभौमिक रूपवाद मौजूद है $$\bar{U}$$ को $$(X,f);$$ यानी, श्रेणी में एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट $$\left(\bar{U}\downarrow(X,f)\right).$$ स्पष्ट रूप से, इसमें एक वस्तु शामिल है $$I(X,f)$$ में $$\mathrm{Cone}(Y)$$ एक रूपवाद के साथ $$\varepsilon : \bar{U} I(X,f) \to (X,f)$$ ऐसे कि किसी भी वस्तु के लिए $$(Z,g)$$ में $$\mathrm{Cone}(Y)$$ और रूपवाद $$\varphi : \bar{U}(Z,g) \to (X,f)$$ वहाँ एक अद्वितीय रूपवाद मौजूद है $$\zeta : (Z,g) \to I(X,f)$$ ऐसा कि निम्नलिखित आरेख आवागमन करता है: सौंपा गया काम $$(X,f) \mapsto I(X,f)$$ प्रारंभिक सांस्थिति को चालू करना $$X$$ एक फ़नकार तक विस्तारित है $$I : \mathrm{Cone}(UY) \to \mathrm{Cone}(Y)$$ जो भूलने वाले फ़नकार का सहायक फ़नकार है $$\bar{U}.$$ वास्तव में, $$I$$ का ठीक-विपरीत है $$\bar{U}$$; तब से $$\bar{U}I$$ पहचान फ़ैक्टर चालू है $$\mathrm{Cone}(UY).$$