फूरियर विश्लेषण



गणित में, फूरियर विश्लेषण सामान्य फलन (गणित) को सरल त्रिकोणमितीय फलनों के योग द्वारा प्रदर्शित या अनुमानित करने के विधि का अध्ययन है। और फूरियर विश्लेषण फूरियर श्रेणी के अध्ययन से विकसित हुआ, और इसका नाम जोसेफ फूरियर के नाम पर रखा गया, जिन्होंने दिखाया कि त्रिकोणमितीय फलनों के योग के रूप में फलन का निरूपण करना ऊष्मा स्थानांतरण के अध्ययन को अधिक सरल करता है।

इस प्रकार से फूरियर विश्लेषण के विषय में गणित की बृहत विस्तृत श्रेणी सम्मिलित की जाती है। किन्तु विज्ञान और इंजीनियरिंग में, फलन को दोलन घटकों में विघटित करने की प्रक्रिया को प्रायः फूरियर विश्लेषण कहा जाता है, जबकि इन नोटों की संख्या से फलन के पुनर्निर्माण के संचालन को फूरियर संश्लेषण के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि संगीत स्वर में कौन से घटक आवृत्ति सम्मिलित हैं, नमूनाकृत संगीत स्वर के फूरियर रूपांतरण की गणना करना सम्मिलित होता है । फूरियर विश्लेषण में सामने आए आवृत्ति घटकों को सम्मिलित करके ही ध्वनि को पुनः से संश्लेषित किया जा सकता है। गणित में, ' फूरियर विश्लेषण' शब्द प्रायः दोनों संक्रियाओं के अध्ययन को संदर्भित करता है।

चूंकि वियोजन प्रक्रिया को ही फूरियर रूपांतरण कहा जाता है। इसका आउटपुट, फूरियर रूपांतरण, प्रायः अधिक विशिष्ट नाम दिया जाता है, जोकी फलन के प्रक्षेत्र और फलन के अन्य गुणों पर निर्भर करता है। इसके अतिरिक्त, फूरियर विश्लेषण की मूल अवधारणा को अधिक से अधिक अमूर्त और सामान्य स्थितियों पर प्रयुक्त करने के लिए समय के साथ विस्तारित किया गया है, और सामान्य क्षेत्र को प्रायः हार्मोनिक विश्लेषण के रूप में जाना जाता है। विश्लेषण के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रत्येक रूपांतरण (गणित) में समान व्युत्क्रम फलन परिवर्तन होता है जिसका उपयोग संश्लेषण के लिए किया जा सकता है।

इस प्रकार से फूरियर विश्लेषण का उपयोग करने के लिए, डेटा समान दूरी पर होना चाहिए। असमान स्थान वाले डेटा का विश्लेषण करने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोण विकसित किए गए हैं, विशेष रूप से कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण (एलएसएसए) विधियां जो फूरियर विश्लेषण के समान, डेटा नमूनों के साइनसोइड्स के कम से कम वर्गों का उपयोग करती हैं। और फूरियर विश्लेषण, विज्ञान में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली वर्णक्रमीय विधि, सामान्य रूप से लंबे अंतराल वाले रिकॉर्ड में दीर्घ आवर्त्त के ध्वनि को बढ़ाती है; एलएसएसए ऐसी समस्याओं को कम करता है।

अनुप्रयोग
इस प्रकार से फूरियर विश्लेषण के कई वैज्ञानिक अनुप्रयोग किये गये हैं - भौतिकी में, आंशिक अवकल समीकरण, संख्या सिद्धांत, कॉम्बिनेटरिक्स, संकेत प्रसंस्करण, अंकीय प्रतिबिंब प्रक्रमण, प्रायिकता सिद्धांत, सांख्यिकी, फोरेंसिक, विकल्प मूल्य निर्धारण, क्रिप्टोग्राफी, संख्यात्मक विश्लेषण, ध्वनिकी, समुद्र विज्ञान, सोनार, प्रकाशिकी, विवर्तन, ज्यामिति, प्रोटीन संरचना विश्लेषण, और अन्य क्षेत्र आदि ।

अतः यह व्यापक प्रयोज्यता परिवर्तनों के कई उपयोगी गुणों से उत्पन्न होती है:
 * परिवर्तन रूपान्तरण रैखिक संचालक हैं और, उपयुक्त सामान्यीकरण के साथ, एकात्मक संचालिका भी हैं ( गुण जिसे पारसेवल के प्रमेय के रूप में जाना जाता है या, अधिक सामान्यतः, प्लैंकेरल प्रमेय के रूप में, और सबसे सामान्य रूप से पोन्ट्रियाजिन द्विकता के माध्यम से)।
 * परिवर्तन सामान्य रूप से प्रतीप्य होता है।
 * घातांकीय फलन अवकलन के आइगेनफलन हैं, जिसका अर्थ है कि यह निरूपण रैखिक गुणांक वाले रैखिक अवकल समीकरणों को साधारण बीजगणितीय समीकरणों में परिवर्तित कर देता है। इसलिए, रैखिक समय-अपरिवर्तनीय एलटीआई प्रणाली के वास्तव का प्रत्येक आवृत्ति पर स्वतंत्र रूप से विश्लेषण किया जा सकता है।
 * संवलन (कनवल्शन) प्रमेय द्वारा, फूरियर रूपांतरण सम्मिश्र संवलन संक्रिया को सरल गुणन में परिवर्तित कर देता है, जिसका अर्थ है कि वे संवहन-आधारित संचालन जैसे संकेत शोधन, बहुपद गुणन और बड़ी संख्याओ को फूरियर रूपांतरण विधियों की गणना करने का अरैखिक विरूपण गुणांक विधि प्रदान करते हैं।
 * फूरियर रूपांतरण के असतत फूरियर रूपांतरण संस्करण (नीचे देखें) का त्वरित फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) कलन विधि का उपयोग करके कंप्यूटर पर शीघ्रता से मूल्यांकन किया जा सकता है।

इस प्रकार से फोरेंसिक में, प्रयोगशाला अवरक्त स्पेक्ट्रम-प्रकाशमापी प्रकाश के तरंग दैर्ध्य को मापने के लिए फूरियर रूपांतरण विश्लेषण का उपयोग करते हैं जिस पर अवरक्त स्पेक्ट्रम में सामग्री अवशोषित होती है । फूरियर रूपांतरण पद्धति का उपयोग मापित संकेतों को व्याख्या करने और तरंग दैर्ध्य डेटा रिकॉर्ड करने के लिए किया जाता है। कंप्यूटर का उपयोग करके, इन फूरियर गणनाओं को शीघ्रता से किया जाता है, जिससे सेकंड के स्थितियों में, कंप्यूटर संचालित फूरियर रूपांतरण-आईआर उपकरण प्रिज्म उपकरण की तुलना में अवरक्त अवशोषण पैटर्न का उत्पादन कर सकते है ।

किन्तु संकेत के सुसम्बद्ध निरूपण के रूप में फूरियर रूपांतरण भी उपयोगी होते है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, जेपीईजी संपीड़न डिजिटल प्रतिबिंब के छोटे वर्ग टुकड़ों के फूरियर रूपांतरण (असतत कोज्या परिवर्तन) के संस्करण का उपयोग करता है। प्रत्येक वर्ग के फूरियर घटकों को कम स्पष्टता (अंकगणित) के लिए गोलाकार किया जाता है, और दुर्बल घटकों को पूर्ण रूप से समाप्त कर दिया जाता है, जिससे शेष घटकों को अधिक सुसम्बद्ध रूप से संग्रहीत किया जा सकता है । और प्रतिबिंब पुनर्निर्माण में, प्रत्येक प्रतिबिंब वर्ग को संरक्षित अनुमानित फूरियर श्रृंखला घटकों से पुन: जोड़ा जाता है, जो मूल प्रतिबिंब के सन्निकटन का उत्पादन करने के लिए व्युत्क्रम-रूपांतरित होते हैं।

किन्तु संकेत प्रक्रमन में, फूरियर रूपांतरण प्रायः समय श्रेणी या सतत समय का फलन लेता है, और इसे आवृत्ति स्पेक्ट्रम में मानचित्रण करता है। अर्थात्, यह समय प्रक्षेत्र से आवृति प्रक्षेत्र में फलन लेता है; यह विभिन्न आवृत्तियों के साइनसोइड्स में फलन का वियोजन है; फूरियर श्रृंखला या असतत फूरियर रूपांतरण के स्थिति में, साइनसोइड्स विश्लेषण किए जा रहे फलन की मौलिक आवृत्ति के हार्मोनिक्स हैं।

जब एक फलन $$s(t)$$ समय का एक फलन होता है और एक भौतिक सिग्नल का प्रतिनिधित्व करता है, तो परिवर्तन की सिग्नल की आवृत्ति स्पेक्ट्रम के रूप में एक मानक व्याख्या होती है। आवृत्ति $$f$$ पर परिणामी जटिल-मूल्यवान फलन $$S(f)$$ का परिमाण एक आवृत्ति घटक के आयाम का प्रतिनिधित्व करता है जिसका प्रारंभिक चरण (तरंगें) $$S(f)$$ (ध्रुवीय निर्देशांक) के कोण द्वारा दिया जाता है।

इस प्रकार से फूरियर रूपांतरण समय के फलन और अस्थायी आवृत्तियों तक सीमित नहीं हैं। वे समान रूप से स्थानिक आवृत्तियों का विश्लेषण करने के लिए और वास्तव में लगभग किसी भी फलन प्रक्षेत्र के लिए प्रयुक्त किए जा सकते हैं। यह प्रतिबिम्ब संसाधन, ऊष्मा चालन और स्वत: नियंत्रण जैसी विविध शाखाओं में उनके उपयोग को न्यायहार्मोनिक सिद्ध करता है।

चूंकि ध्वनि, रेडियो तरंगों, प्रकाश तरंगों, भूकंपीय तरंगों और यहां तक ​​कि प्रतिबिंब यों जैसे संकेतों को संसाधित करते समय, फूरियर विश्लेषण मिश्रित तरंग के नैरोबैंड घटकों को अलग कर सकता है, उन्हें आसानी से पहचानने या हटाने के लिए केंद्रित कर सकता है। संकेत प्रक्रमन विधियों के उच्च श्रेणी में फूरियर- श्रृंखला संकेत, फूरियर रूपांतरण डेटा को सरल विधि से कुशलतापूर्वक प्रयोग करना और परिवर्तन को प्रत्यावर्ती करना सम्मिलित होता है।

इस प्रकार से निम्नलिखि उदाहरणों में सम्मिलित किया गया हैं:
 * बैंडपास फिल्टर की श्रेणी के साथ ऑडियो रिकॉर्डिंग का समकरण;
 * सुपरहेटरोडाइन परिपथ के बिना अंकीय रेडियो अभिग्रहण, जैसा कि आधुनिक सेल फोन या रेडियो संचारक में होता है;
 * आवधिक या अनिसोट्रोपिक कलाकृतियों को हटाने के लिए प्रतिबिंब प्रसंस्करण, जैसे कि इंटरलेस्ड वीडियो से जग्गीज़, स्ट्रिप एरियल फोटोग्राफी से स्ट्रिप कलाकृतियाँ, या डिजिटल कैमरे में रेडियो फ्रीक्वेंसी हस्तक्षेप से तरंग पैटर्न;
 * सह-संरेखण के लिए समान प्रतिबिंब यों का परस्पर सह-संबंध;
 * इसके विवर्तन पैटर्न से क्रिस्टल संरचना का पुनर्निर्माण करने के लिए एक्स-रे क्रिस्टलोग्राफी;
 * चुंबकीय क्षेत्र में साइक्लोट्रॉन गति की आवृत्ति से आयनों के द्रव्यमान को निर्धारित करने के लिए फूरियर श्रृंखला आयन साइक्लोट्रॉन अनुनाद द्रव्यमान स्पेक्ट्रममिति;
 * स्पेक्ट्रमदर्शी के कई अन्य रूप, अवरक्त स्पेक्ट्रमदर्शी और परमाणु चुंबकीय अनुनाद स्पेक्ट्रमदर्शी सहित;
 * ध्वनियों का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले ध्वनि स्पेक्ट्रम चित्र का निर्माण;
 * निष्क्रिय सोनार का उपयोग मशीनरी ध्वनि के आधार पर लक्ष्यों को वर्गीकृत करने के लिए किया जाता है।

(निरंतर) फूरियर रूपांतरण
इस प्रकार से प्रायः, अयोग्य शब्द फूरियर रूपांतरण सतत वास्तविक संख्या तर्क के फलन के परिवर्तन को संदर्भित करता है, और यह आवृत्ति के सतत फलन का उत्पादन करता है, जिसे 'आवृत्ति वितरण' के रूप में जाना जाता है। फलन दूसरे में परिवर्तित हो जाता है, और संक्रिया उत्क्रमणीय होती है। जब इनपुट (प्रारंभिक) फलन का डोमेन समय ($t$), और आउटपुट (अंतिम) फलन का प्रक्षेत्र आवृत्ति $f$ है, जो फलन $S(f)$ का परिवर्तन आवृत्ति पर सम्मिश्र संख्या द्वारा दिया जाता है:


 * $$S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \cdot e^{- i2\pi f t} \, dt.$$

$f$ के सभी मानों के लिए इस मात्रा का मूल्यांकन करने से आवृत्ति-प्रक्षेत्र फलन उत्पन्न करता है। तब $s(t)$ के सभी संभावित आवृत्तियों के संभावित आवृत्तियों के पुनर्संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है:


 * $$s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} S(f) \cdot e^{i2\pi f t} \, df,$$

जो व्युत्क्रम परिवर्तन सूत्र है। सम्मिश्र संख्या, $s(t)$, आवृत्ति $f$ के आयाम और चरण दोनों को व्यक्त करता है.

अधिक जानकारी के लिए फूरियर रूपांतरण देखें, जिसमें सम्मिलित हैं:
 * आयाम सामान्यीकरण और आवृत्ति अनुमापन/इकाइयों के लिए अभिसमय
 * गुणों को रूपांतरित करें
 * विशिष्ट फलन के सारणीबद्ध परिवर्तन
 * प्रतिबिंब जैसे कई आयामों के फलन के लिए विस्तार/सामान्यीकरण।

फूरियर श्रेणी
आवधिक फलन का फूरियर रूपांतरण, $S(f)$, अवधि $P$ के साथ, डायराक कॉम्ब फलन बन जाता है: जो जटिल गुणांकों के अनुक्रम द्वारा संशोधित होता है:


 * $$S[k] = \frac{1}{P}\int_{P} s_P(t)\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{P} t}\, dt, \quad k\in\Z,$$ (जहां पर $s_{P}(t)$ लंबाई P के किसी भी अंतराल पर अभिन्न है)।

व्युत्क्रम रूपांतरण, जिसे ' फूरियर श्रेणी ' के रूप में जाना जाता है, हार्मोनिक रूप से संबंधित साइनसोइड्स या सम्मिश्र घातीय फलन की संभावित अनंत संख्या के योग के संदर्भ में $∫_{P}$ का प्रतिनिधित्व है, प्रत्येक गुणांक द्वारा निर्दिष्ट आयाम और चरण के साथ:


 * $$s_P(t)\ \ =\ \ \mathcal{F}^{-1}\left\{\sum_{k=-\infty}^{+\infty} S[k]\, \delta \left(f-\frac{k}{P}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum_{k=-\infty}^\infty S[k]\cdot e^{i2\pi \frac{k}{P} t}.$$

किसी भी $s_{P}(t)$ किसी अन्य फलन, $s_{P}(t)$ के आवधिक योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है :


 * $$s_P(t) \,\triangleq\, \sum_{m=-\infty}^\infty s(t-mP),$$

और गुणांक $s(t)$ के अलग-अलग अंतराल पर $1⁄P$ के नमूनों के समानुपाती होते हैं:

ध्यान दें कि कोई भी $S(f)$ जिनके परिवर्तन में समान असतत प्रतिदर्श मान हैं, उनका उपयोग आवधिक योग में किया जा सकता है। केवल इन नमूनों से (अर्थात फूरियर श्रेणी से) $s(t)$ (और इसलिए S(f)) को पुनर्प्राप्त करने के लिए पर्याप्त नियम यह है कि s(t) का गैर-शून्य भाग अवधि P के ज्ञात अंतराल तक सीमित हो जो नाइक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय का आवृत्ति प्रक्षेत्र दोहरा है।
 * $$S[k] =\frac{1}{P}\cdot S\left(\frac{k}{P}\right).$$

अधिक जानकारी के लिए फूरियर श्रेणी देखें, जिसमें ऐतिहासिक विकास भी सम्मिलित है।

असतत-समय फूरियर रूपांतरण (डीटीएफटी)
इस प्रकार से असतत-समय फूरियर रूपांतरण समय-प्रक्षेत्र फूरियर श्रेणी का गणितीय द्विक है। इस प्रकार, आवृत्ति प्रक्षेत्र में अभिसारी आवधिक योग को फूरियर श्रेणी द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसके गुणांक संबंधित सतत समय फलन के प्रतिदर्श हैं:


 * $$S_\frac{1}{T}(f)\ \triangleq\ \underbrace{\sum_{k=-\infty}^{\infty} S\left(f - \frac{k}{T}\right) \equiv \overbrace{\sum_{n=-\infty}^{\infty} s[n] \cdot e^{-i2\pi f n T}}^{\text{Fourier series (DTFT)}}}_{\text{Poisson summation formula}} = \mathcal{F} \left \{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} s[n]\ \delta(t-nT)\right \},\,$$

जिससे असतत-समय फूरियर रूपांतरण के नाम से जाना जाता है। इस प्रकार डी.टी.टी.टी $s(t)$ अनुक्रम संग्राहक डायराक कॉम्ब फलन का फूरियर रूपांतरण भी है।

फूरियर श्रेणी गुणांक (और व्युत्क्रम परिवर्तन), द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$s[n]\ \triangleq\ T \int_\frac{1}{T} S_\frac{1}{T}(f)\cdot e^{i2\pi f nT} \,df = T \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} S(f)\cdot e^{i2\pi f nT} \,df}_{\triangleq\, s(nT)}.$$

पैरामीटर $T$ नमूनाकरण अंतराल के अनुरूप है, और इस फूरियर श्रृंखला को अब पॉइसन योग सूत्र के एक रूप के रूप में पहचाना जा सकता है। इस प्रकार हमारे पास महत्वपूर्ण परिणाम है कि जब एक अलग डेटा अनुक्रम, $s[n]$, एक अंतर्निहित निरंतर फलन, $s[n]$ के नमूने के लिए आनुपातिक होता है, तो कोई निरंतर फूरियर रूपांतरण ,$S(f)$ के आवधिक योग का निरीक्षण कर सकता है। ध्यान दें कि समान असतत नमूना मूल्यों वाला कोई भी $s[n]$ समान डीटीएफटी उत्पन्न करता है किन्तु कुछ आदर्श स्थितियों के तहत कोई सैद्धांतिक रूप से $s(t)$ और $S(f)$ को ठीक से पुनर्प्राप्त कर सकता है। पूर्ण पुनर्प्राप्ति के लिए एक पर्याप्त नियम यह है कि $s(t)$ का गैर-शून्य भाग चौड़ाई $S(f)$ के ज्ञात आवृत्ति अंतराल तक सीमित होना चाहिए जब वह अंतराल $1⁄T$ होता है तो प्रस्तुत पुनर्निर्माण सूत्र व्हिटेकर-शैनन इंटरपोलेशन फॉर्मूला होता है। यह अंकीय संकेत प्रोसेसिंग की नींव में आधारशिला है।

$[−1⁄2T, 1⁄2T]$ रुचि रखने का और कारण यह है कि यह प्रायः नमूनाकरण प्रक्रिया के कारण अलियासिंग (उपघटन) की मात्रा में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

डीटीएफटी के फूरियर रूपांतरण के अनुप्रयोग नमूनाकृत फलन तक सीमित नहीं हैं। इस और अन्य विषयों पर अधिक जानकारी के लिए असतत-समय फूरियर रूपांतरण देखें, जिसमें सम्मिलित हैं:
 * सामान्यीकृत आवृत्ति इकाइयाँ
 * विंडोिंग (परिमित-लंबाई अनुक्रम)
 * गुणों को रूपांतरित करें
 * विशिष्ट फलन के सारणीबद्ध परिवर्तन

असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी)
इस प्रकार से फूरियर श्रृंखला के समान, एक आवधिक अनुक्रम का डीटीएफटी, अवधि $$N$$, के साथ $$s_N[n]$$, डिराक कॉम्ब फलन बन जाता है, जो जटिल गुणांक के अनुक्रम द्वारा संशोधित होता है (डीटीएफटी § आवधिक डेटा देखें):


 * $$S[k] = \sum_n s_N[n]\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{N} n}, \quad k\in\Z,$$ (जहां पर $S1/T(f)$ लंबाई के किसी भी अनुक्रम का योग $N$ है)
 * $Σ_{n}$ }} अनुक्रम को सामान्य $S[k]$ के एक चक्र के डीएफटी के रूप में जाना जाता है। यह Ν-आवधिक भी है, इसलिए Ν गुणांक से अधिक की गणना करना कभी भी आवश्यक नहीं होता है। व्युत्क्रम परिवर्तन, जिसे असतत फूरियर श्रृंखला के रूप में भी जाना जाता है, द्वारा दिया गया है:


 * $$s_N[n] = \frac{1}{N} \sum_{k} S[k]\cdot e^{i2\pi \frac{n}{N}k},$$ जहां पर $sN$ लंबाई के किसी भी अनुक्रम का योग $N$ है

जब $Σ_{k}$ किसी अन्य फलन के आवधिक योग के रूप में व्यक्त किया गया है:


 * $$s_N[n]\, \triangleq\, \sum_{m=-\infty}^{\infty} s[n-mN],$$ और $$s[n]\, \triangleq\, s(nT),$$

गुणांक $sN[n]$ के अलग-अलग अंतराल पर S1/T(f) के प्रतिदर्श के समानुपाती होते हैं:


 * $$S[k] = \frac{1}{T}\cdot S_\frac{1}{T}\left(\frac{k}{P}\right).$$

इसके विपरीत, जब कोई निरंतर डीटीएफटी, S1/T(f) के एक चक्र के असतत नमूनों की एक मनमानी संख्या ($T$) की गणना करना चाहता है, तो यह sN[n] के अपेक्षाकृत सरल डीएफटी की गणना करके किया जा सकता है, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।. अधिकांश स्तिथियों में, $N$ को $1⁄P = 1⁄NT$ के गैर-शून्य भाग की लंबाई के समान चुना जाता है। बढ़ते $N$, जिसे शून्य-अनावश्यक विस्तार या प्रक्षेप के रूप में जाना जाता है, के परिणामस्वरूप S1/T(f) के एक चक्र के नमूने अधिक निकटवर्ती प्रतिदर्श होते हैं। $N$ घटने से, समय-क्षेत्र में ओवरलैप (जोड़ना) होता है (अलियासिंग के अनुरूप), जो आवृत्ति डोमेन में क्षय से मेल खाता है। वास्तविक रुचि के अधिकांश स्तिथियों में, $s[n]$ अनुक्रम एक लंबे अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है जिसे परिमित-लंबाई विंडो फलन या एफआईआर फिल्टर के लिए सरणी के अनुप्रयोग द्वारा छोटा कर दिया गया था।

असतत फूरियर रूपांतरण की गणना त्वरित फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) एल्गोरिथम का उपयोग करके की जा सकती है, जो इसे कंप्यूटर पर वास्तविक और महत्वपूर्ण परिवर्तन बनाती है।

अधिक जानकारी के लिए असतत फूरियर रूपांतरण देखें, जिसमें सम्मिलित हैं:
 * गुणों को रूपांतरित करें
 * अनुप्रयोग
 * विशिष्ट फलन के सारणीबद्ध परिवर्तन

सारांश
आवधिक फलन के लिए, फूरियर रूपांतरण और असतत-समय फूरियर रूपांतरण दोनों में आवृत्ति घटकों ( फूरियर श्रेणी) का केवल असतत समुच्चय होता है, और उन आवृत्तियों पर परिवर्तन होता है। सामान्य अभ्यास (ऊपर चर्चा नहीं की गई) डिराक डेल्टा और डिराक कॉम्ब फलन के माध्यम से उस विचलन को ग्रहण करना है। किन्तु ही वर्णक्रमीय जानकारी आवधिक फलन के सिर्फ चक्र से सुस्पष्ट की जा सकती है, क्योंकि अन्य सभी चक्र सर्वसम हैं। इसी प्रकार से, परिमित-अवधि के फलन को फूरियर श्रेणी के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसमें सूचना का कोई वास्तविक हानि नहीं होता है, इसके अतिरिक्त कि व्युत्क्रम परिवर्तन की आवधिकता मात्र विरूपण साक्ष्य है।

वास्तव में s(•) की अवधि तक सीमित होना सामान्य है, $N$ या $P$. किन्तु इन सूत्रों के लिए उस नियम की आवश्यकता नहीं है।

समरूपता गुण
जब सम्मिश्र फलन के वास्तविक और काल्पनिक भागों को उनके सम और विषम भागों में विघटित किया जाता है, तो चार घटक होते हैं, जिन्हें सबस्क्रिप्ट RE,, RO, IE और IO द्वारा निरूपित किया जाता है। और सम्मिश्र समय फलन के चार घटकों और इसके सम्मिश्र आवृत्ति परिवर्तन के चार घटकों के मध्य एक-से- मानचित्रण होता है:



\begin{array}{rccccccccc} \text{Time domain} & s & = & s_{_{\text{RE}}} & + & s_{_{\text{RO}}} & + & i s_{_{\text{IE}}} & + & \underbrace{i\ s_{_{\text{IO}}}} \\ &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F}\\ \text{Frequency domain} & S & = & S_\text{RE} & + & \overbrace{\,i\ S_\text{IO}\,} & + & i S_\text{IE} & + & S_\text{RO} \end{array} $$ इससे विभिन्न संबंध स्पष्ट होते हैं, उदाहरण के लिए:
 * वास्तविक-मूल्यवान फलन (sRE + sRO) का रूपांतरण सम सममितीय फलन SRE + i SIO है इसके विपरीत, सम-सममितीय परिवर्तन का तात्पर्य वास्तविक-मूल्यवान समय-प्रक्षेत्र से है।
 * काल्पनिक-मूल्यवान फलन (i sIE + i sIO) का रूपांतरण विषम सममितीय SRO + i SIE है और इसका व्युत्क्रम सत्य है।
 * सम-सममितीय फलन (sRE + i sIO) वास्तविक-मूल्यवान फलन SRE + SRO है, और इसका व्युत्क्रम सत्य है।
 * विषम-सममितीय फलन (sRO + i sIE) काल्पनिक-मूल्यवान फलन i SIE + i SIO है और इसका व्युत्क्रम सत्य है।

इतिहास
इस प्रकार से हार्मोनिक श्रेणी का प्रारंभिक रूप प्राचीन बेबीलोनियन गणित से मिलता है, जहां उनका उपयोग इफेमेराइड्स (अस्थायी पाठ्य सामग्री) खगोलीय स्थिति की सारणी की गणना करने के लिए किया जाता था।

खगोलाकार विज्ञान की टॉलेमिक प्रणाली में डिफ्रेंट और एपिसायकल की शास्त्रीय ग्रीक अवधारणाएं फूरियर श्रेणी से संबंधित थीं (̈ ).

आधुनिक समय में, कक्षाओ की गणना करने के लिए 1754 में एलेक्सिस क्लेराट द्वारा असतत फूरियर रूपांतरण के रूपों का उपयोग किया गया था, जिसे असतत फूरियर रूपांतरण के लिए प्रथम सूत्र के रूप मे, और 1759 में जोसेफ लुइस लाग्रेंज द्वारा, विभेदक शृंखला के लिए त्रिकोणमितीय श्रेणी के गुणांकों की गणना में वर्णित किया गया। विधि रूप से, क्लेराट का कार्य केवल कोज्या श्रेणी (असतत कोज्या परिवर्तन का रूप) था, जबकि लाग्रेंज का कार्य केवल जीवा श्रेणी (असतत जीवा परिवर्तन का रूप) था; 1805 में क्षुद्रग्रह कक्षाओं के त्रिकोणमितीय प्रक्षेप के लिए गॉस द्वारा वास्तविक कोज्या+जीवा असतत फूरियर रूपांतरण का उपयोग किया गया था। यूलर और लाग्रेंज दोनों ने विभेदक शृंखला समस्या को अलग कर दिया, जिसे आज के प्रतिदर्श कहा जाएगा।

फूरियर विश्लेषण की दिशा में प्रारंभिक आधुनिक विकास 1770 मे लैग्रेंज द्वारा पेपर रिफ्लेक्शंस सुर ला रेजोल्यूशन एल्गेब्रिक डेस इक्वेशन था, जिसमें लैग्रेंज वियोजित की विधि में घन संबंधी समाधान का अध्ययन करने के लिए सम्मिश्र फूरियर वियोजन का उपयोग किया गया था: लैग्रेंज ने मूलों को रूपांतरित $s[n]$ समाधानको में:
 * $$\begin{align}

r_1 &= x_1 + x_2 + x_3\\ r_2 &= x_1 + \zeta x_2 + \zeta^2 x_3\\ r_3 &= x_1 + \zeta^2 x_2 + \zeta x_3 \end{align}$$ जहां पर $N$ इकाई का घनमूल है, जो क्रम 3 का असतत फूरियर रूपांतरण है।

कई लेखकों, विशेष रूप से जीन ले रोंड डी' अलेम्बर्ट और कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने ऊष्मा समीकरण का अध्ययन करने के लिए त्रिकोणमितीय श्रेणी का उपयोग किया, किन्तु सफलता का विकास जोसेफ फूरियर द्वारा 1807 का पेपर मेमोइर सुर ला प्रोपेगेशन डे ला चालुर डन्स लेस कॉर्प्स सॉलिड था, जिसकी महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि फूरियर श्रेणी की की प्रारंभ करते हुए त्रिकोणमितीय श्रृंखला द्वारा सभी फलन को प्रतिदर्श करना था।

फूरियर सिद्धांत के विकास के लिए लैग्रेंज और अन्य लोगों को श्रेय देने के लिए इतिहासकार विभाजित हैं: डैनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर ने फलन के त्रिकोणमितीय निरूपण प्रारंभ किए थे, और लैग्रेंज ने तरंग समीकरण के लिए फूरियर श्रेणी समाधान दिया था, इसलिए फूरियर का योगदान मुख्य रूप से स्पष्ट दावा था कि फूरियर श्रेणी द्वारा एकपक्षीय फलन का निरूपण किया जा सकता है।

क्षेत्र के बाद के विकास को हार्मोनिक विश्लेषण के रूप में जाना जाता है, और यह निरूपण सिद्धांत का प्रारंभिक उदाहरण भी है।

असतत फूरियर रूपांतरण के लिए पहला त्वरित फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) एल्गोरिथम 1805 के चारों ओर कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा खोजा गया था, जब क्षुद्रग्रह जूनो और पलास की कक्षा के मापों को प्रक्षेपित किया गया था,, चूंकि उस विशेष त्वरित फूरियर रूपान्तरण कलन विधि को प्रायः इसके आधुनिक पुनर्खोजकर्ता कूली और तुकी त्वरित फूरियर रूपान्तरण कलन विधि के लिए अधीन किया जाता है।

समय-आवृत्ति रूपांतरण
संकेत प्रक्रमन नियम में, फलन (समय का) सही समय विभेदन के साथ संकेत का निरूपण है, किन्तु कोई आवृत्ति जानकारी नहीं है, जबकि फूरियर रूपांतरण में पूर्ण आवृत्ति विभेदन है, किन्तु समय की जानकारी नहीं है।

फूरियर रूपांतरण के विकल्प के रूप में, समय-आवृत्ति विश्लेषण में, समय-आवृत्ति रूपांतरण का उपयोग ऐसे रूप में संकेतों का निरूपण करने के लिए करता है जिसमें कुछ समय की जानकारी और कुछ आवृत्ति की जानकारी होती है - अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा, इनके मध्य समंजन होता है। ये फूरियर रूपांतरण के सामान्यीकरण हो सकते हैं, जैसे कि अल्पावधि के फूरियर रूपांतरण, गैबोर रूपांतरण या भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण (एफआरएफटी), या संकेतों का निरूपण करने के लिए विभिन्न फलन का उपयोग कर सकते हैं, जैसे तरंगिका रूपांतरण और चिरलेट रूपांतरण, तरंगिका अनुरूप के साथ (सतत) फूरियर रूपांतरण का सतत तरंगिका रूपांतरित होती है।

फूरियर एकपक्षीय स्थानीय रूप मे सुसम्बद्ध एबेलियन संस्थानिक समूहो मे रूपांतरण
इस प्रकार से फूरियर रूपों को स्थानीय रूप से सुसम्बद्ध एबेलियन समूह सांस्थितिक समूहों पर फूरियर रूपांतरणों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिनका हार्मोनिक विश्लेषण में अध्ययन किया जाता है; वहां, फूरियर रूपांतरण दोहरे समूह पर फलन करने के लिए समूह पर फलन करता है। यह प्रतिपादन संवहन प्रमेय के सामान्य सूत्रीकरण की भी स्वीकृति देता है, जो फूरियर रूपांतरण और संवहन से संबंधित है। फूरियर रूपांतरण के सामान्यीकृत आधारों के लिए पोन्ट्रियाजिन द्विकता भी देखें।

अतः अधिक विशिष्ट, फूरियर विश्लेषण सह-समुच्चय और असतत सह-समुच्चय पर भी किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * संयुग्म फूरियर श्रृंखला
 * सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला
 * फूरियर-बेसेल श्रृंखला
 * फूरियर से संबंधित रूपांतरण
 * लाप्लास रूपांतरण (एलटी)
 * द्वि पक्ष लाप्लास परिवर्तन
 * मध्य परिवर्तन
 * गैर-समान असतत फूरियर रूपांतरण (एनडीएफटी)
 * क्वांटम फूरियर रूपांतरण (क्यूएफटी)
 * संख्या-सैद्धांतिक परिवर्तन
 * आधार वैक्टर
 * बिस्पेक्ट्रम
 * विशेषता कार्य (संभावना सिद्धांत)
 * ऑर्थोगोनल फलन
 * श्वार्ट्ज अंतरिक्ष
 * वर्णक्रमीय घनत्व
 * वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान
 * स्पेक्ट्रल संगीत
 * वाल्श फलन
 * तरंगिका

आगे की पढाई




बाहरी कड़ियाँ

 * Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 * An Intuitive Explanation of Fourier Theory by Steven Lehar.
 * Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 6 is on the 1- and 2-D Fourier Transform. Lectures 7–15 make use of it., by Alan Peters