क्वांटम टोमोग्राफी

क्वांटम टोमोग्राफी या क्वांटम स्थान टोमोग्राफी वह प्रक्रिया है जिसके द्वारा समान क्वांटम अवस्थाओं के समूह पर माप का उपयोग करके क्वांटम अवस्था का पुनर्निर्माण किया जाता है। इन अवस्थाओं का स्रोत कोई भी उपकरण या प्रणाली हो सकती है जो क्वांटम अवस्थाओं को या तब निरंतर क्वांटम शुद्ध अवस्थाओं में या अन्यथा सामान्य मिश्रित अवस्था (भौतिकी) में तैयार करती है। अवस्था की विशिष्ट पहचान करने में सक्षम होने के लिए, माप टोमोग्राफिक रूप से पूर्ण होना चाहिए। अर्थात्, मापे गए संचालक (गणित) को प्रणाली के हिल्बर्ट स्थान पर एक संचालक (गणित) आधार (रैखिक बीजगणित) बनाना होगा, जो अवस्था के बारे में सभी जानकारी प्रदान करेगा। टिप्पणियों के ऐसे समूह को कभी-कभी कोरम कहा जाता है। टोमोग्राफी शब्द का प्रयोग पहली बार क्वांटम भौतिकी साहित्य में 1993 में प्रयोगात्मक प्रकाशीय होमोडाइन टोमोग्राफी प्रस्तुत करने वाले पेपर में किया गया था।  दूसरी ओर, क्वांटम प्रक्रिया टोमोग्राफी में, ज्ञात क्वांटम अवस्थाओं का उपयोग क्वांटम प्रक्रिया की जांच करने के लिए किया जाता है जिससे यह पता लगाया जा सके कि प्रक्रिया का वर्णन कैसे किया जा सकता है। इसी प्रकार, क्वांटम माप टोमोग्राफी यह पता लगाने के लिए काम करती है कि कौन सा माप किया जा रहा है। जबकि, यादृच्छिक बेंचमार्किंग त्रुटि प्रवण भौतिक क्वांटम प्रक्रिया और उसके आदर्श समकक्ष के मध्य ओवरलैप की योग्यता का एक आंकड़ा प्राप्त करती है।

क्वांटम स्थान टोमोग्राफी के पीछे सामान्य सिद्धांत यह है कि समान घनत्व आव्यूह द्वारा वर्णित क्वांटम प्रणाली पर बार-बार कई अलग-अलग माप करके, संभावनाओं का अनुमान लगाने के लिए आवृत्ति गणना का उपयोग किया जा सकता है, और घनत्व आव्यूह निर्धारित करने के लिए इन संभावनाओं को बोर्न नियम के साथ जोड़ा जाता है जो अवलोकनों के साथ सबसे उचित है।

इसे पारंपरिक सादृश्य बनाकर आसानी से समझा जा सकता है। एक हार्मोनिक ऑसिलेटर (उदाहरण के लिए एक पेंडुलम) पर विचार करें। किसी भी बिंदु पर थरथरानवाला की स्थिति (वेक्टर) और गति को मापा जा सकता है और इसलिए गति को चरण स्थान द्वारा पूरी प्रकार से वर्णित किया जा सकता है। यह चित्र 1 में दिखाया गया है। बड़ी संख्या में समान ऑसिलेटरों के लिए यह माप करने से हमें चरण स्थान (चित्र 2) में संभाव्यता वितरण मिलता है। इस वितरण को सामान्यीकृत (किसी निश्चित समय पर थरथरानवाला कहीं होना चाहिए) किया जा सकता है और वितरण गैर-ऋणात्मक होना चाहिए। इसलिए हमने एक फलन W(x,p) पुनर्प्राप्त किया है जो किसी दिए गए गति के साथ किसी दिए गए बिंदु पर कण को ​​खोजने की संभावना का विवरण देता है। क्वांटम यांत्रिक कणों के लिए भी ऐसा ही किया जा सकता है। अंतर केवल इतना है कि हाइजेनबर्ग के अनिश्चितता सिद्धांत का उल्लंघन नहीं किया जाना चाहिए, जिसका अर्थ है कि हम एक ही समय में कण की गति और स्थिति को नहीं माप सकते हैं। क्वांटम से संबंधित अवस्थाओं में कण की गति और उसकी स्थिति को चतुर्भुज (अधिक जानकारी के लिए प्रकाशीय चरण स्थान देखें) कहा जाता है। बड़ी संख्या में समान क्वांटम अवस्थाओं के किसी एक चतुर्भुज को मापने से हमें उस विशेष चतुर्भुज के अनुरूप संभाव्यता घनत्व मिलेगा। इसे सीमांत वितरण pr(X) या pr(P) (चित्र 3 देखें) कहा जाता है। निम्नलिखित पाठ में हम देखेंगे कि कण की क्वांटम स्थिति को चिह्नित करने के लिए इस संभाव्यता घनत्व की आवश्यकता है, जो कि क्वांटम टोमोग्राफी का संपूर्ण बिंदु है।

किस क्वांटम स्थान टोमोग्राफी टोमोग्राफी का उपयोग
क्वांटम टोमोग्राफी को प्रणाली के स्रोत पर प्रयुक्त किया जाता है, जिससे उस स्रोत के आउटपुट की क्वांटम स्थिति निर्धारित की जा सके। एकल प्रणाली पर माप के विपरीत, जो माप (सामान्यतः, माप करने का कार्य क्वांटम स्थिति को बदल देता है) के पश्चात् प्रणाली की वर्तमान स्थिति निर्धारित करता है, क्वांटम टोमोग्राफी माप से पहले स्थिति को निर्धारित करने के लिए काम करती है।

क्वांटम टोमोग्राफी का उपयोग प्रकाशीय संकेतों को चिह्नित करने के लिए किया जा सकता है, जिसमें प्रकाशीय उपकरणों के सिग्नल लाभ और हानि को मापने के साथ-साथ क्वांटम कम्प्यूटिंग और क्वांटम सूचना सिद्धांत में क्वैबिट की वास्तविक स्थिति को विश्वसनीय रूप से निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।  कोई ऐसी स्थिति की कल्पना कर सकता है जिसमें एक व्यक्ति बॉब एक ​​ही क्वांटम अवस्था में कई समान वस्तुओं (कण या क्षेत्र) को तैयार करता है और फिर उन्हें मापने के लिए ऐलिस को देता है। अवस्था के बारे में बॉब के विवरण से आश्वस्त नहीं, ऐलिस स्वयं अवस्था को वर्गीकृत करने के लिए क्वांटम टोमोग्राफी करना चाह सकती है।

रेखीय व्युत्क्रम
बॉर्न के नियम का उपयोग करके, कोई क्वांटम टोमोग्राफी का सबसे सरल रूप प्राप्त कर सकता है। सामान्यतः शुद्ध अवस्था में होने का पहले से पता नहीं चलता और अवस्था मिश्रित हो सकती है। इस स्थिति में, कई अलग-अलग प्रकार के माप प्रत्येक बार कई बार करने होंगे। परिमित-आयामी हिल्बर्ट स्थान में मिश्रित अवस्था (भौतिकी) के लिए घनत्व आव्यूह को पूरी प्रकार से पुनर्निर्माण करने के लिए, निम्नलिखित पद्धति का उपयोग किया जा सकता है।

बॉर्न का नियम बताता है कि $$\mathrm{P}(E_i | \rho) = \mathrm{Trace}(E_i \rho)$$ जहां $$E_i$$ एक विशेष माप परिणाम प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) है और $$\rho$$ प्रणाली का घनत्व आव्यूह है। प्रत्येक माप के लिए अवलोकनों के हिस्टोग्राम को देखते हुए, प्रत्येक $$E_i$$ के लिए एक अनुमान $$p_i$$ से $$\mathrm{P}(E_i | \rho)$$ होता है।

रैखिक संचालक $$S$$ और $$T$$ को देखते हुए, आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करें
 * $$S \cdot T = \mathrm{Tr}[S^\dagger T] = \vec{S}^\dagger \vec{T}$$

जहां $$\vec{T}$$ एक कॉलम वेक्टर के रूप में $$T$$ संचालक का प्रतिनिधित्व करता है और $$\vec{S}^\dagger$$ एक पंक्ति वेक्टर के रूप में प्रतिनिधित्व करता है जैसे कि $$\vec{S}^\dagger \vec{T}$$ दोनों के $$\mathbb{C}^d$$ में आंतरिक उत्पाद है।

आव्यूह $$A$$ को इस प्रकार परिभाषित करें
 * $$A = \begin{pmatrix} \vec E_1^\dagger \\ \vec E_2^\dagger \\ \vec E_3^\dagger \\ \vdots \end{pmatrix}$$.

यहां Ei व्यक्तिगत मापों की कुछ निश्चित सूची है (द्विआधारी परिणामों के साथ), और A सभी माप एक ही बार में करता है।

फिर इसे $$\vec{\rho}$$ पर प्रयुक्त करने से संभावनाएं प्राप्त होती हैं:
 * $$A\vec{\rho} = \begin{pmatrix} \vec{E}_1^\dagger \vec\rho \\ \vec{E}_2^\dagger \vec\rho \\ \vec{E}_3^\dagger \vec\rho \\ \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} E_1 \cdot \rho \\ E_2 \cdot \rho  \\ E_3 \cdot \rho \\ \vdots \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathrm{P}(E_1 | \rho) \\ \mathrm{P}(E_2 | \rho)  \\ \mathrm{P}(E_3 | \rho) \\ \vdots \end{pmatrix} \approx \begin{pmatrix} p_1 \\ p_2  \\ p_3 \\ \vdots \end{pmatrix} = \vec{p}$$.

रैखिक व्युत्क्रम इस प्रणाली को व्युत्क्रमित के लिए प्रेक्षित सापेक्ष आवृत्तियों $$\vec p$$ का उपयोग करके व्युत्पन्न $$\vec \rho$$ (जो कि $$\displaystyle\rho$$ के लिए आइसोमोर्फिक है) से मेल खाता है।

यह प्रणाली सामान्य रूप से वर्गाकार नहीं होने वाली है, क्योंकि किए जाने वाले प्रत्येक माप के लिए सामान्यतः एकाधिक माप परिणाम प्रक्षेपण $$E_i$$ (रैखिक बीजगणित) होंगे। उदाहरण के लिए, 3 मापों $$\sigma_x, \sigma_y, \sigma_z$$ के साथ 2-डी हिल्बर्ट स्थान में, प्रत्येक माप के 2 परिणाम होते हैं,जिनमें से प्रत्येक में 6 प्रोजेक्टरों के लिए एक प्रोजेक्टर Ei होता है, जबकि स्थान का वास्तविक आयाम घनत्व आव्यूह का मान (2⋅22)/2=4 है, जिससे A 6 x 4 हो जाता है। प्रणाली को हल करने के लिए, बाईं ओर $$A^T$$ से गुणा करें:
 * $$A^T A \vec\rho = A^T \vec{p}$$.

अब के लिए समाधान $$\vec\rho$$ छद्म व्युत्क्रम उत्पन्न करता है:
 * $$\vec\rho = (A^T A)^{-1} A^T \vec{p}$$.

यह सामान्य रूप से तभी काम करता है जब माप सूची Ei टोमोग्राफिक रूप से पूर्ण है। अन्यथा, आव्यूह $$A^T A$$ व्युत्क्रम नहीं होगा.

सतत चर और क्वांटम होमोडाइन टोमोग्राफी
अनंत आयामी हिल्बर्ट स्थान में, उदा. स्थिति जैसे सतत वेरिएबल्स के मापन में, कार्यप्रणाली कुछ अधिक जटिल है। एक उल्लेखनीय उदाहरण प्रकाश की टोमोग्राफी में है, जिसे प्रकाशीय होमोडाइन टोमोग्राफी के रूप में जाना जाता है। संतुलित होमोडाइन माप का उपयोग करके, कोई विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण और प्रकाश की स्थिति के लिए एक घनत्व आव्यूह प्राप्त कर सकता है।

एक दृष्टिकोण में चरण स्थान में विभिन्न घुमाई गई दिशाओं के साथ माप सम्मिलित है। प्रत्येक दिशा $$\theta$$ के लिए, चरण स्थान की $$\theta$$ दिशा में माप की संभाव्यता घनत्व के लिए एक संभाव्यता वितरण $$w(q,\theta)$$ पाया जा सकता है, जिससे मान $$q$$ प्राप्त होता है। $$w(q,\theta)$$ पर व्युत्क्रम रेडॉन परिवर्तन (फ़िल्टर किए गए बैक प्रोजेक्शन) का उपयोग करने से विग्नर फलन, $$\mathrm{W}(x,p)$$ प्राप्त होता है जिसे व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण द्वारा किसी भी आधार पर अवस्था के लिए घनत्व आव्यूह में परिवर्तित किया जा सकता है। टोमोग्राफी में अधिकांश इसी प्रकार की पद्धति का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण: सिंगल-क्विबिट स्थान टोमोग्राफी
एकल क्वबिट के घनत्व आव्यूह को उसके बलोच वेक्टर $\vec{r}$ और पाउली वेक्टर $$\vec{\sigma}$$ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$ \rho = \frac{1}{2}\left(I + \vec{r} \cdot \vec{\sigma}\right)

= \frac{1}{2}\begin{pmatrix} 1 + r_z & r_x - \mathrm i r_y \\ r_x + \mathrm i r_y &  1 -  r_z \end{pmatrix}$$.

सिंगल-क्विबिट अवस्था टोमोग्राफी को सिंगल-क्विबिट पाउली माप के माध्यम से किया जा सकता है:


 * 1) सबसे पहले, तीन क्वांटम परिपथ की एक सूची बनाएं, जिसमें पहला कम्प्यूटेशनल आधार (z-आधार) में क्वबिट को मापता है, दूसरा माप (जो एक्स-आधार में माप करता है) से पहले क्वांटम लॉजिक गेट हैडमार्ड गेट का प्रदर्शन करता है, और तीसरा उपयुक्त क्वांटम लॉजिक गेट फ़ेज़ शिफ्ट गेट्स (अर्थात् $$\sqrt{Z}^{\dagger}=|0\rangle\langle 0|+\exp(-\mathrm i \pi/2)|1\rangle\langle 1|$$) का प्रदर्शन कर रहा है माप (जो y-आधार में माप करता है) से पहले एक हैडमार्ड गेट का पालन किया जाता है;
 * 2) फिर, इन परिपथों को चलाएं (सामान्यतः हजारों बार), और पहले परिपथ के माप परिणामों में गिनती उत्पन्न $$\bar{z}=(n_{z,+}-n_{z,-})/(n_{z,+}+n_{z,-})$$ होती है, दूसरा परिपथ $$\bar{x}$$, और तीसरा परिपथ $$\bar{y}$$ है;
 * 3) अंत में, यदि $$\bar{x}^2+\bar{y}^2+\bar{z}^2\leq 1$$, तब एक मापा बलोच वेक्टर $$\vec{r}_{m}=(\bar{x},\bar{y},\bar{z})$$ उत्पन्न होता है, और मापा घनत्व आव्यूह $$  \rho_m = \frac{1}{2}\left(I + \vec{r}_m \cdot \vec{\sigma}\right)$$ है; यदि $$\bar{x}^2+\bar{y}^2+\bar{z}^2>1$$, मापे गए घनत्व आव्यूह की गणना करने के लिए इसका उपयोग करने से पहले मापे गए बलोच वेक्टर को $$\vec{r}_{m}=(\bar{x},\bar{y},\bar{z})/\sqrt{\bar{x}^2+\bar{y}^2+\bar{z}^2}$$ को पुनः के रूप में पुनः सामान्यीकृत करना आवश्यक होगा।

यह एल्गोरिदम क्वबिट टोमोग्राफी की नींव है और इसका उपयोग कुछ क्वांटम प्रोग्रामिंग रूटीन में किया जाता है, जैसे कि किस्किट।

उदाहरण: होमोडाइन टोमोग्राफी.
विद्युतचुंबकीय क्षेत्र के आयाम (चतुर्भुज) को टेम्पोरल मोड चयनात्मकता के साथ फोटो डिटेक्टरों का उपयोग करके उच्च दक्षता के साथ मापा जा सकता है। संतुलित होमोडाइन टोमोग्राफी प्रकाशीय डोमेन में क्वांटम अवस्थाओं के पुनर्निर्माण की एक विश्वसनीय पद्धति है। यह पद्धति होमोडाइन टोमोग्राफी संसूचक नामक एक चतुर सेट-अप द्वारा प्रकाश की क्वांटम विशेषताओं को मापने के साथ-साथ प्रकाश की तीव्रता या फोटॉन संख्या को मापने में फोटोडायोड की उच्च दक्षता के लाभों को जोड़ती है।क्वांटम होमोडाइन टोमोग्राफी को निम्नलिखित उदाहरण से समझा जाता है।

क्वांटम होमोडाइन टोमोग्राफी को निम्नलिखित उदाहरण से समझा जाता है। एक लेज़र को 50-50% बीमस्प्लिटर पर निर्देशित किया जाता है, जो लेज़र बीम को दो बीमों में विभाजित करता है। एक का उपयोग स्थानिक दोलित्र (एलओ) के रूप में किया जाता है और दूसरे का उपयोग एक विशेष क्वांटम स्थिति के साथ फोटॉन उत्पन्न करने के लिए किया जाता है। क्वांटम अवस्थाओं की पीढ़ी को साकार किया जा सकता है, उदा. आवृत्ति दोहरीकरण क्रिस्टल के माध्यम से लेजर बीम को निर्देशित करके और फिर एक पैरामीट्रिक डाउन-रूपांतरण क्रिस्टल पर। यह क्रिस्टल एक निश्चित क्वांटम अवस्था में दो फोटॉन उत्पन्न करता है। फोटॉन में से एक का उपयोग ट्रिगर सिग्नल के रूप में किया जाता है जिसका उपयोग होमोडाइन टोमोग्राफी संसूचक के रीडआउट इवेंट को ट्रिगर (प्रारंभ) करने के लिए किया जाता है। अन्य फोटॉन को इसकी क्वांटम स्थिति का पुनर्निर्माण करने के लिए होमोडाइन टोमोग्राफी संसूचक में निर्देशित किया जाता है। चूंकि ट्रिगर और सिग्नल फोटॉन क्वांटम उलझाव हैं (यह सहज पैरामीट्रिक डाउन-रूपांतरण लेख द्वारा समझाया गया है), यह जानना महत्वपूर्ण है कि सिग्नल स्थिति का प्रकाशीय मोड केवल तभी गैर-स्थानीय बनाया जाता है जब ट्रिगर फोटॉन फोटोडिटेक्टर (ट्रिगर इवेंट रीडआउट मॉड्यूल के) को प्रभावित करता है और वास्तव में मापा जाता है। अधिक सरल रूप से कहा जाए तो, यह केवल तभी होता है जब ट्रिगर फोटॉन को मापा जाता है, कि सिग्नल फोटॉन को होमोडाइन संसूचक द्वारा मापा जा सकता है।

अब होमोडाइन टोमोग्राफी संसूचक पर विचार करें जैसा कि चित्र 4 (चित्र गायब है) में दर्शाया गया है। सिग्नल फोटॉन (यह वह क्वांटम स्थिति है जिसे हम पुनर्निर्माण करना चाहते हैं) स्थानीय ऑसिलेटर के साथ हस्तक्षेप करता है, जब उन्हें 50-50% बीमस्प्लिटर पर निर्देशित किया जाता है। चूँकि दोनों किरणें एक ही तथाकथित मास्टर लेजर से उत्पन्न होती हैं, इसलिए उनका निश्चित चरण (तरंगें) संबंध समान होता है। सिग्नल की तुलना में स्थानिक दोलित्र तीव्र होना चाहिए जिससे यह एक त्रुटिहीन चरण संदर्भ प्रदान कर सके। स्थानिक दोलित्र इतना तीव्र है, कि हम इसका पारंपरिक (a = α) विधि से इलाज कर सकते हैं और क्वांटम उतार-चढ़ाव की उपेक्षा कर सकते हैं।

सिग्नल फ़ील्ड को स्थानीय ऑसिलेटर द्वारा स्थानिक और अस्थायी रूप से नियंत्रित किया जाता है, जिसका एक नियंत्रित आकार होता है। जहां स्थानिक दोलित्र शून्य है, सिग्नल अस्वीकार कर दिया जाता है। इसलिए, हमारे पास सिग्नल की अस्थायी-स्थानिक मोड चयनात्मकता है।

बीमस्प्लिटर दो बीमों को दो फोटोडिटेक्टरों पर पुनर्निर्देशित करता है। फोटोडिटेक्टर फोटॉन संख्या के आनुपातिक विद्युत प्रवाह उत्पन्न करते हैं। दो संसूचक धाराओं को घटा दिया जाता है और परिणामी धारा सिग्नल मोड में विद्युत क्षेत्र संचालक के लिए आनुपातिक होती है, जो सिग्नल के सापेक्ष प्रकाशीय चरण और स्थानिक दोलित्र पर निर्भर होती है।

चूंकि स्थानिक दोलित्र के विद्युत क्षेत्र का आयाम सिग्नल की तुलना में बहुत अधिक है, इसलिए सिग्नल क्षेत्र में तीव्रता या उतार-चढ़ाव देखा जा सकता है। होमोडाइन टोमोग्राफी प्रणाली एक एम्पलीफायर के रूप में कार्य करती है। प्रणाली को ऐसे उच्च तीव्रता संदर्भ बीम (स्थानिक दोलित्र) के साथ एक इंटरफेरोमीटर के रूप में देखा जा सकता है जो सिग्नल में एकल फोटॉन द्वारा हस्तक्षेप को असंतुलित करना मापनीय है। यह प्रवर्धन फोटोडिटेक्टर ध्वनि तल से अधिक ऊपर है।

माप को बड़ी संख्या में पुन: प्रस्तुत किया जाता है। फिर चरण स्थान में एक अलग कोण को 'स्कैन' करने के लिए सिग्नल और स्थानीय ऑसिलेटर के मध्य चरण अंतर को बदल दिया जाता है। इसे चित्र 4 से देखा जा सकता है। माप को बड़ी संख्या में दोबारा दोहराया जाता है और वर्तमान अंतर से सीमांत वितरण प्राप्त किया जाता है। सीमांत वितरण को घनत्व आव्यूह और/या विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण में परिवर्तित किया जा सकता है। चूंकि घनत्व आव्यूह और विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण फोटॉन की क्वांटम स्थिति के बारे में जानकारी देते हैं, इसलिए हमने फोटॉन की क्वांटम स्थिति का पुनर्निर्माण किया है।

इस संतुलित पता लगाने की विधि का लाभ यह है कि यह व्यवस्था लेजर की तीव्रता में उतार-चढ़ाव के प्रति असंवेदनशील है।

वर्तमान अंतर से चतुर्भुज घटक को पुनः प्राप्त करने के लिए क्वांटम गणना निम्नानुसार की जाती है।

बीमस्प्लिटर के पश्चात् फोटोडिटेक्टरों पर प्रहार करने वाले बीम के लिए फोटॉन नंबर संचालक (गणित) इस प्रकार दिया गया है:
 * $$\hat n_{i}=\hat a_{i}^\dagger \hat a_{i}$$,

जहां i क्रमशः बीम एक और दो के लिए 1 और 2 है।

बीमस्प्लिटर उभरने वाले क्षेत्र के मोड संचालक इस प्रकार दिए गए हैं:
 * $$\hat a_{1}= 2^{-1/2}(\hat a - \alpha_{LO})$$
 * $$\hat a_{2}= 2^{-1/2}(\hat a + \alpha_{LO})$$
 * $$\hat a$$ h> सिग्नल के विनाश संचालक को दर्शाता है और स्थानीय ऑसिलेटर के जटिल आयाम को अल्फा करता है।

फोटॉन अंतर की संख्या अंततः चतुर्भुज के समानुपाती होती है और इसके द्वारा दी जाती है:
 * $$\hat n_{21}=\hat n_{2} - \hat n_{1} = \alpha^*_{LO} \hat a + \alpha_{LO} \hat a^\dagger$$,

इसे संबंध के साथ पुनः लिखना:
 * $$ \hat q=2^{-1/2}(\hat a^\dagger+\hat a)$$

निम्नलिखित संबंध में परिणाम:
 * $$ \hat n_{21}=2^{1/2}|\hat\alpha_{LO}|\hat q_{\theta}$$,

जहां हम फोटॉन संख्या अंतर और चतुर्भुज घटक $$ \hat q_{\theta}$$ के मध्य स्पष्ट संबंध देखते हैं। योग धारा पर नज़र रखकर, कोई स्थानिक दोलित्र की तीव्रता के बारे में जानकारी प्राप्त कर सकता है, क्योंकि यह सामान्यतः एक अज्ञात मात्रा है, किन्तु चतुर्भुज घटक $$ \hat q_{\theta}$$ की गणना के लिए एक महत्वपूर्ण मात्रा हैं।

रैखिक व्युत्क्रमण के साथ समस्याएँ
घनत्व आव्यूह को हल करने के लिए रैखिक व्युत्क्रम का उपयोग करने में प्राथमिक समस्याओं में से एक यह है कि सामान्यतः गणना किया गया समाधान एक वैध घनत्व आव्यूह नहीं होगा। उदाहरण के लिए, यह कुछ माप परिणामों के लिए ऋणात्मक संभावनाएँ या 1 से अधिक संभावनाएँ दे सकता है। यह विशेष रूप से एक विषय है जब कम माप किए जाते हैं।

एक और विषय यह है कि अनंत आयामी हिल्बर्ट स्थानों में, अनंत संख्या में माप परिणामों की आवश्यकता होगी। संरचना के बारे में धारणाएँ बनाने और एक सीमित माप आधार का उपयोग करने से चरण स्थान घनत्व में कलाकृतियाँ बनती हैं।

अधिकतम संभावना अनुमान
अधिकतम संभावना अनुमान (जिसे एमएलई या मैक्सलिक के रूप में भी जाना जाता है) रैखिक व्युत्क्रमण की समस्याओं से निपटने के लिए एक लोकप्रिय पद्धति है। घनत्व आव्यूह के डोमेन को उचित स्थान तक सीमित करके, और घनत्व आव्यूह की खोज करके जो प्रयोगात्मक परिणाम देने की संभावना को अधिकतम करता है, यह डेटा को एक निकटतम फिट देते हुए अवस्था को सैद्धांतिक रूप से मान्य होने की गारंटी देता है। किसी स्थिति की संभावना वह संभावना है जो देखे गए परिणामों को सौंपी जाएगी यदि प्रणाली उस स्थिति में होता।

मान लीजिए कि माप $$\{|y_j\rang \lang y_j|\}$$ को आवृत्तियों $$f_j$$ के साथ देखा गया है फिर एक अवस्था $$\hat\rho$$ से जुड़ी संभावना है
 * $$L(\hat\rho) = \prod_j \lang y_j|\hat\rho|y_j\rang^{f_j}$$

जहां $$\lang y_j|\hat\rho|y_j\rang$$ अवस्था $$\hat\rho$$ के लिए परिणाम $$y_j$$ की संभावना है।

इस फलन का अधिकतम पता लगाना गैर-नगण्य है और सामान्यतः इसमें पुनरावृत्त विधियां सम्मिलित होती हैं। विधियाँ शोध का एक सक्रिय विषय हैं।

अधिकतम संभावना अनुमान के साथ समस्याएं
अधिकतम संभावना अनुमान रैखिक व्युत्क्रमण की तुलना में कुछ कम स्पष्ट समस्याओं से ग्रस्त है। एक समस्या यह है कि यह उन संभावनाओं के बारे में भविष्यवाणियाँ करता है जिन्हें डेटा द्वारा उचित नहीं ठहराया जा सकता है। इसे शून्य आइगेनवैल्यूज़ मानों की समस्या को देखकर सबसे आसानी से देखा जा सकता है। एमएलई का उपयोग करके परिकलित समाधान में अधिकांश आइगेनवैल्यूज़ ​​​​होते हैं जो 0 होते हैं, अर्थात् यह पद की कमी है। इन स्थितियों में, समाधान N-आयामी बलोच क्षेत्र की सीमा (टोपोलॉजी) पर निहित है। इसे रैखिक व्युत्क्रम से संबंधित अवस्थाओं के रूप में देखा जा सकता है जो वैध स्थान (ब्लोच क्षेत्र) के बाहर स्थित हैं। इन स्थितियों में एमएलई एक निकटतम बिंदु चुनता है जो वैध है, और निकटतम बिंदु सामान्यतः सीमा पर होते हैं।

यह भौतिक रूप से कोई समस्या नहीं है, वास्तविक स्थिति में शून्य आइगेनवैल्यूज़ मान हो सकते हैं। चूँकि, कोई भी मान 0 से कम नहीं हो सकता है, एक आइगेनवैल्यू के 0 होने का अनुमान यह दर्शाता है कि अनुमानक निश्चित है कि मान 0 है, अन्यथा उन्होंने 0 से अधिक कुछ $$\epsilon$$ का अनुमान लगाया होगा, जिसमें अनिश्चितता की एक छोटी डिग्री सबसे अच्छी होगी। यहीं पर समस्या उत्पन्न होती है, इसमें माप की एक सीमित संख्या के पश्चात् पूर्ण निश्चितता के साथ यह निष्कर्ष निकालना तर्कसंगत नहीं है कि कोई भी आइगेनवैल्यूज़ मान (अर्थात, किसी विशेष परिणाम की संभावना) 0 है। उदाहरण के लिए, यदि एक सिक्का उछाला जाता है तब 5 बार-बार और हर बार हेड्स देखे जाने पर, इसका अर्थात् यह नहीं है कि टेल्स आने की 0 संभावना है, इसके अतिरिक्त कि यह सिक्के का सबसे संभावित विवरण है।

बायेसियन विधियाँ
बायेसियन औसत माध्य अनुमान (बीएमई) एक अपेक्षाकृत नया दृष्टिकोण है जो अधिकतम संभावना अनुमान के साथ समस्याओं का समाधान करता है। यह इष्टतम समाधान खोजने पर ध्यान केंद्रित करता है जो इस अर्थ में भी ईमानदार हैं कि वह अनुमान में त्रुटि सलाखों को सम्मिलित करते हैं। सामान्य विचार एक संभावना फलन और प्रयोगकर्ता के पूर्व ज्ञान (जो एक निरंतर फलन हो सकता है) का वर्णन करने वाले फलन से प्रारंभ करना है, फिर संभावना फलन और पूर्व ज्ञान फलन के उत्पाद को वजन के रूप में उपयोग करके सभी घनत्व आव्यूह को एकीकृत करना है।

एक उचित पूर्व ज्ञान फलन को देखते हुए, बीएमई एन-आयामी बलोच क्षेत्र के भीतर सख्ती से एक अवस्था उत्पन्न करेगा। ऊपर वर्णित n हेड प्राप्त करने के लिए सिक्के को n बार उछालने की स्थिति में, निरंतर पूर्व ज्ञान फलन के साथ, बीएमई पट की संभावना के रूप में $$\scriptstyle\frac{1}{N+2}$$ निर्दिष्ट करेगा।

बीएमई उच्च स्तर की त्रुटिहीनता प्रदान करता है क्योंकि यह वास्तविक स्थिति से अनुमान के परिचालन विचलन को कम करता है।

अपूर्ण डेटा के लिए विधि
एक बहु-कण प्रणाली के लिए पूर्ण क्वांटम राज्य टोमोग्राफी के लिए आवश्यक माप की संख्या कणों की संख्या के साथ तेजी से बढ़ती है, जो साधारण प्रणाली आकार के लिए भी ऐसी प्रक्रिया को असंभव बनाती है। इसलिए, कम माप के साथ क्वांटम टोमोग्राफी को साकार करने के लिए कई तरीके विकसित किए गए हैं।

आव्यूह पूर्णता और संकुचित संवेदन की अवधारणा को माप के अपूर्ण समूह (अर्थात्, माप का एक समूह जो कोरम नहीं है) से घनत्व आव्यूह को फिर से बनाने के लिए प्रयुक्त किया गया है। सामान्यतः, यह असंभव है, किन्तु मान्यताओं के अनुसार (उदाहरण के लिए, यदि घनत्व आव्यूह एक शुद्ध अवस्था है, या केवल कुछ शुद्ध अवस्थाओं का संयोजन है) घनत्व आव्यूह में स्वतंत्रता की कम डिग्री होती है और अपूर्ण माप से राज्य का पुनर्निर्माण करना संभव हो सकता है।

क्रमपरिवर्तनीय रूप से अपरिवर्तनीय क्वांटम स्थान टोमोग्राफी क ऐसी प्रक्रिया है जिसे अधिकांश उन अवस्थाओं के लिए विकसित किया गया है जो क्रमपरिवर्तनीय रूप से सममित होने के निकट हैं, जो आजकल के प्रयोगों में विशिष्ट है। दो-अवस्था वाले कणों के लिए, माप की संख्या को केवल कणों की संख्या के साथ चतुष्कोणीय रूप से मापने की आवश्यकता होती है।

साधारण माप प्रयास के अतिरिक्त, मापे गए डेटा का प्रसंस्करण भी कुशलतापूर्वक किया जा सकता है:

बड़े प्रणाली के लिए भी मापे गए डेटा पर भौतिक घनत्व आव्यूह की फिटिंग करना संभव है।

क्रमिक रूप से अपरिवर्तनीय क्वांटम टोमोग्राफी को छह-क्यूबिट फोटोनिक प्रयोग में संकुचित संवेदन के साथ जोड़ा गया है।

क्वांटम माप टोमोग्राफी
कोई ऐसी स्थिति की कल्पना कर सकता है जिसमें एक उपकरण क्वांटम प्रणाली पर कुछ माप करता है, और यह निर्धारित करता है कि कौन सा विशेष माप वांछित है। रणनीति विभिन्न ज्ञात अवस्थाओं की प्रणालियों को भेजने और अज्ञात माप के परिणामों का अनुमान लगाने के लिए इन अवस्थाओं का उपयोग करने की है। इसे क्वांटम अनुमान के रूप में भी जाना जाता है, टोमोग्राफी पद्धति क्वांटम माप टोमोग्राफी और बहुत समान क्वांटम स्थान टोमोग्राफी सहित तेजी से महत्वपूर्ण होती जा रही है। चूंकि माप को सदैव POVM के एक समूह द्वारा चित्रित किया जा सकता है, इसलिए लक्ष्य विशेषता वाले POVM के $$\Pi_l$$ का पुनर्निर्माण करना है। सबसे सरल विधि रैखिक व्युत्क्रमण है। जैसे कि क्वांटम अवस्था अवलोकन में, उपयोग करें
 * $$\displaystyle\mathrm{Tr}[\Pi_l \rho_m] = \mathrm{P}(l | \rho_m)$$.

ऊपर दी गई रैखिकता का उपयोग करते हुए, इसे $$\Pi_l$$ के समाधान करने के लिए व्युत्क्रम किया जा सकता है.

आश्चर्य की बात नहीं है, यह क्वांटम स्थान टोमोग्राफी के समान ही हानि से ग्रस्त है: अर्थात्, गैर-भौतिक परिणाम, विशेष रूप से ऋणात्मक संभावनाएं। यहां ही $$\Pi_l$$ मान्य POVM नहीं होंगे, क्योंकि वह धनात्मक नहीं होंगे। बायेसियन विधियों के साथ-साथ घनत्व आव्यूह की अधिकतम संभावना अनुमान का उपयोग संचालकं को वैध भौतिक परिणामों तक सीमित करने के लिए किया जा सकता है।

क्वांटम प्रक्रिया टोमोग्राफी
क्वांटम प्रक्रिया टोमोग्राफी (क्यूपीटी) एक अज्ञात क्वांटम गतिशील प्रक्रिया की पहचान करने से संबंधित है। पहला दृष्टिकोण, 1996 में प्रारंभ किया गया और कभी-कभी मानक क्वांटम प्रक्रिया टोमोग्राफी (एसक्यूपीटी) के रूप में जाना जाता है, जिसमें क्वांटम अवस्थाओं का एक समूह तैयार करना और उन्हें प्रक्रिया के माध्यम से भेजना सम्मिलित है, फिर परिणामी अवस्थाओं की पहचान करने के लिए क्वांटम स्थान टोमोग्राफी का उपयोग करना सम्मिलित है। अन्य पद्धतिों में एंसीला-असिस्टेड प्रोसेस टोमोग्राफी (एएपीटी) और एन्टैंगलमेंट-असिस्टेड प्रोसेस टोमोग्राफी (ईएपीटी) सम्मिलित हैं जिनके लिए प्रणाली की एक अतिरिक्त प्रतिलिपि की आवश्यकता होती है।

ऊपर सूचीबद्ध प्रत्येक पद्धति को क्वांटम गतिशीलता के लक्षण वर्णन के लिए अप्रत्यक्ष विधियों के रूप में जाना जाता है, क्योंकि उन्हें प्रक्रिया के पुनर्निर्माण के लिए क्वांटम स्थान टोमोग्राफी के उपयोग की आवश्यकता होती है। इसके विपरीत, 'क्वांटम डायनेमिक्स का प्रत्यक्ष लक्षण वर्णन' (डीसीक्यूडी) जैसी प्रत्यक्ष विधियां हैं जो बिना किसी अवस्था टोमोग्राफी के क्वांटम प्रणाली का पूर्ण लक्षण वर्णन प्रदान करती हैं।

पूर्ण क्वांटम प्रक्रिया टोमोग्राफी के लिए आवश्यक प्रयोगात्मक कॉन्फ़िगरेशन (अवस्था की तैयारी और माप) की संख्या एक प्रणाली के घटक कणों की संख्या के साथ तेजी से बढ़ती है। परिणामस्वरुप, सामान्यतः, QPT बड़े पैमाने के क्वांटम प्रणाली के लिए एक असंभव कार्य है। चूँकि, कमजोर डीकोहेरेंस धारणा के अनुसार, एक क्वांटम डायनेमिक मानचित्र एक विरल प्रतिनिधित्व पा सकता है। संकुचित क्वांटम प्रोसेस टोमोग्राफी (सीक्यूपीटी) की विधि संकुचित सेंसिंग पद्धति का उपयोग करती है और माप या परीक्षण अवस्था की तैयारी के अधूरे समूह से क्वांटम डायनेमिक चित्र को फिर से बनाने के लिए स्पार्सिटी धारणा को प्रयुक्त करती है।

क्वांटम गतिशील मानचित्र
एक क्वांटम प्रक्रिया, जिसे क्वांटम गतिशील चित्र के रूप में भी जाना जाता है, $$\mathcal{E}(\rho)$$, एक पूर्णतः धनात्मक मानचित्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है
 * $$\mathcal{E}(\rho) = \sum_i A_i \rho A_i^\dagger$$,

जहाँ $$\rho \in \mathcal{B(H)}$$, हिल्बर्ट स्थान पर परिबद्ध संचालक; ऑपरेशन तत्वों के साथ $$\displaystyle A_i$$ $$\textstyle\sum_i A_i^\dagger A_i \leq I$$ को संतुष्ट करता है जिससे $$\mathrm{Tr}[\mathcal{E}(\rho)] \leq 1$$।

मान ले $$\displaystyle\{E_i\}$$ के लिए एक ऑर्थोगोनल आधार $$\mathcal{B(H)}$$ बनें। लिखना $$\displaystyle A_i$$ इस आधार पर संचालक
 * $$\displaystyle A_i = \sum_{m} a_{im}E_m$$.

इससे ये होता है
 * $$\mathcal{E}(\rho) = \sum_{m,n} \chi_{mn} E_{m} \rho E_n^\dagger$$,

जहाँ $$\chi_{mn} = \sum_{i} a_{mi} a_{ni}^*$$.

लक्ष्य तब $$\displaystyle\chi$$ के लिए समाधान करना है जो एक धनात्मक सुपरसंचालक है और $$\displaystyle\{E_i\}$$ आधार के संबंध में $$\mathcal{E}$$ को पूरी तरह से चित्रित करता है।

मानक क्वांटम प्रक्रिया टोमोग्राफी
एसक्यूपीटी $$d^2$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र इनपुट $$\rho_j$$ का उपयोग करके इस तक पहुंचता है, जहाँ $$d$$ हिल्बर्ट स्थान $$\mathcal{H}$$ का आयाम है। इनमें से प्रत्येक इनपुट स्थिति $$\rho_j$$ के लिये, इसे प्रक्रिया के माध्यम से भेजने से एक आउटपुट स्थिति $$\mathcal{E}(\rho)$$ मिलती है जिसे $$\rho_k$$ के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात $$\textstyle \mathcal{E}(\rho_j) = \sum_k c_{jk} \rho_k$$. प्रत्येक $$\rho_j$$को कई बार भेजकर, क्वांटम स्थान टोमोग्राफी का उपयोग प्रयोगात्मक रूप से गुणांक $$c_{jk}$$ निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है।

लिखना
 * $$E_m \rho_j E_n^\dagger = \sum_{k} B_{m,n,j,k} \rho_k$$,

जहाँ $$B$$ गुणांकों का एक आव्यूह है।

तब
 * $$\sum_k c_{jk} \rho_k = \mathcal{E}(\rho_j) = \sum_{m,n} \chi_{m,n} E_m \rho_j E_n^\dagger = \sum_{m,n}\sum_{k} \chi_{m,n} B_{m,n,j,k} \rho_k$$.

तब से $$\rho_k$$ एक रैखिक रूप से स्वतंत्र आधार बनाएं,
 * $$\displaystyle c_{jk} = \sum_{m,n}\chi_{m,n} B_{m,n,j,k}$$.

$$B$$ का व्युत्क्रम करने पर $$\chi$$ मिलता है:
 * $$\chi_{m,n} = \sum_{j,k} B^{-1}_{m,n,j,k} c_{jk}$$.