साहचर्य गुण

गणित में, साहचर्य संपत्ति कुछ द्विआधारी संक्रियाओं का एक गुण है, जिसका अर्थ है कि किसी व्यंजक में कोष्ठकों को पुनर्व्यवस्थित करने से परिणाम नहीं बदलेगा। प्रस्तावपरक तर्क में, औपचारिक सबूत में अच्छी तरह से गठित सूत्र के प्रतिस्थापन के लिए सहयोगीता एक वैधता (तर्क) नियम है।

एक ही साहचर्य ऑपरेटर की एक पंक्ति में दो या दो से अधिक घटनाओं वाली अभिव्यक्ति के भीतर, जिस क्रम में ऑपरेशन (गणित) किया जाता है, तब तक कोई फर्क नहीं पड़ता जब तक कि ओपेरंड का क्रम नहीं बदला जाता है। यही है (अभिव्यक्ति को कोष्ठक के साथ फिर से लिखने के बाद और यदि आवश्यक हो तो infix संकेतन में), ऐसी अभिव्यक्ति में कोष्ठक को पुनर्व्यवस्थित करने से इसका मान नहीं बदलेगा। निम्नलिखित समीकरणों पर विचार करें:

$$\begin{align} (2 + 3) + 4 &= 2 + (3 + 4) = 9 \,\\ 2 \times (3 \times 4) &= (2 \times 3) \times 4 = 24. \end{align}$$ भले ही कोष्ठकों को प्रत्येक पंक्ति पर पुनर्व्यवस्थित किया गया था, भावों के मूल्यों में परिवर्तन नहीं किया गया था। चूँकि यह किसी वास्तविक संख्या पर जोड़ और गुणा करते समय सही होता है, इसलिए यह कहा जा सकता है कि वास्तविक संख्याओं का जोड़ और गुणा साहचर्य संक्रियाएँ हैं।

साहचर्य क्रमविनिमेयता के समान नहीं है, जो बताता है कि क्या दो ऑपरेंड का क्रम परिणाम को प्रभावित करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं के गुणन में क्रम कोई मायने नहीं रखता, अर्थात, $a × b = b × a$, इसलिए हम कहते हैं कि वास्तविक संख्याओं का गुणन एक क्रमविनिमेय संक्रिया है। हालांकि, फ़ंक्शन रचना और मैट्रिक्स गुणन जैसे संचालन साहचर्य हैं, लेकिन (आमतौर पर) क्रमविनिमेय नहीं हैं।

गणित में साहचर्य संक्रियाएँ प्रचुर मात्रा में हैं; वास्तव में, कई बीजगणितीय संरचनाएं (जैसे कि सेमीग्रुप (गणित) और श्रेणी (गणित)) को स्पष्ट रूप से सहयोगी होने के लिए उनके द्विआधारी संचालन की आवश्यकता होती है।

हालांकि, कई महत्वपूर्ण और दिलचस्प ऑपरेशन गैर-सहयोगी हैं; कुछ उदाहरणों में घटाव, घातांक और वेक्टर क्रॉस उत्पाद शामिल हैं। वास्तविक संख्याओं के सैद्धांतिक गुणों के विपरीत, कंप्यूटर विज्ञान में तैरनेवाला स्थल नंबरों का जोड़ साहचर्य नहीं है, और किसी व्यंजक को कैसे जोड़ा जाए, इसका चुनाव राउंडिंग एरर पर महत्वपूर्ण प्रभाव डाल सकता है।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, एक बाइनरी ऑपरेशन $S×S×S$ एक सेट पर (गणित) $S$ साहचर्य कहा जाता है यदि यह साहचर्य कानून को संतुष्ट करता है:

$S×S×S$ for all $S$, $S$, $x$ in $y$.

यहाँ, ∗ का उपयोग ऑपरेशन के प्रतीक को बदलने के लिए किया जाता है, जो कि कोई भी प्रतीक हो सकता है, और यहाँ तक कि गुणन के लिए प्रतीक की अनुपस्थिति (जुक्सपोज़िशन#गणित) भी हो सकती है।

सहयोगी कानून को कार्यात्मक संकेतन में भी व्यक्त किया जा सकता है: $∗$.

सामान्यीकृत साहचर्य कानून
यदि एक बाइनरी ऑपरेशन साहचर्य है, तो ऑपरेशन के बार-बार उपयोग से एक ही परिणाम उत्पन्न होता है, भले ही अभिव्यक्ति में कोष्ठकों के मान्य जोड़े डाले गए हों। इसे सामान्यीकृत साहचर्य कानून कहा जाता है। उदाहरण के लिए, चार तत्वों का उत्पाद, कारकों के क्रम को बदले बिना, पाँच संभावित तरीकों से लिखा जा सकता है:

यदि उत्पाद संचालन साहचर्य है, तो सामान्यीकृत साहचर्य कानून कहता है कि ये सभी भाव समान परिणाम देंगे। इसलिए जब तक छोड़े गए कोष्ठक वाले व्यंजक का पहले से कोई भिन्न अर्थ न हो (नीचे देखें), कोष्ठकों को अनावश्यक माना जा सकता है और गुणनफल को स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है

जैसे-जैसे तत्वों की संख्या बढ़ती है, कैटलन संख्या # कॉम्बिनेटरिक्स में एप्लिकेशन तेज़ी से बढ़ते हैं, लेकिन वे असंबद्धता के लिए अनावश्यक रहते हैं।

एक उदाहरण जहां यह काम नहीं करता है वह है तार्किक द्विशर्त $(x ∗ y) ∗ z = x ∗ (y ∗ z)$. यह साहचर्य है; इस प्रकार, $(xy)z = x(yz) = xyz$ के बराबर है $f(f(x, y), z) = f(x, f(y, z))$, लेकिन $((ab)c)d$ सबसे सामान्य अर्थ है $(ab)(cd)$, जो समतुल्य नहीं है।

उदाहरण
साहचर्य संचालन के कुछ उदाहरणों में निम्नलिखित शामिल हैं।

{{unordered list
 * 1= The concatenation of the three strings,  ,   can be computed by concatenating the first two strings (giving  ) and appending the third string , or by joining the second and third string (giving  ) and concatenating the first string  with the result. The two methods produce the same result; string concatenation is associative (but not commutative).
 * 2= In arithmetic, addition and multiplication of real numbers are associative; i.e.,

$$ \left. \begin{matrix} (x+y)+z=x+(y+z)=x+y+z\quad \\ (x\,y)z=x(y\,z)=x\,y\,z\qquad\qquad\qquad\quad\ \ \, \end{matrix} \right\} \mbox{for all }x,y,z\in\mathbb{R}. $$

Because of associativity, the grouping parentheses can be omitted without ambiguity.
 * 3= The trivial operation $(a(bc))d$ (अर्थात, परिणाम पहला तर्क है, कोई फर्क नहीं पड़ता कि दूसरा तर्क क्या है) साहचर्य है लेकिन क्रमविनिमेय नहीं है। इसी तरह, तुच्छ ऑपरेशन $a((bc)d)$ (अर्थात, परिणाम दूसरा तर्क है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पहला तर्क क्या है) साहचर्य है लेकिन क्रमविनिमेय नहीं है।
 * 4= सम्मिश्र संख्याओं और चतुष्कोणों का जोड़ और गुणा साहचर्य हैं। ऑक्टोनियन का जोड़ भी सहयोगी है, लेकिन ऑक्टोनियंस का गुणा गैर-सहयोगी है।
 * 5= महत्तम समापवर्तक और लघुत्तम समापवर्तक फलन साहचर्य रूप से कार्य करते हैं।

$$ \left. \begin{matrix} \operatorname{gcd}(\operatorname{gcd}(x,y),z)= \operatorname{gcd}(x,\operatorname{gcd}(y,z))= \operatorname{gcd}(x,y,z)\ \quad \\ \operatorname{lcm}(\operatorname{lcm}(x,y),z)= \operatorname{lcm}(x,\operatorname{lcm}(y,z))= \operatorname{lcm}(x,y,z)\quad \end{matrix} \right\}\mbox{ for all }x,y,z\in\mathbb{Z}. $$ $$ \left. \begin{matrix} (A\cap B)\cap C=A\cap(B\cap C)=A\cap B\cap C\quad \\ (A\cup B)\cup C=A\cup(B\cup C)=A\cup B\cup C\quad \end{matrix} \right\}\mbox{for all sets }A,B,C. $$
 * 6= समुच्चय (गणित) का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) या संघ (सेट सिद्धांत) लेना:
 * 7= अगर $z$ कुछ सेट है और $S$ से सभी कार्यों के सेट को दर्शाता है $x$ को $y$, फिर फ़ंक्शन रचना का संचालन $z$ साहचर्य है:$$(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)=f\circ g\circ h\qquad\mbox{for all }f,g,h\in S.$$
 * 8= थोड़ा और आम तौर पर, चार सेट दिए गए हैं $S$, $a$, $b$ और $c$, साथ $a(b(cd))$, $abcd$, और $↔$, तब

$$(f\circ g)\circ h=f\circ(g\circ h)=f\circ g\circ h$$ पहले जैसा। संक्षेप में, नक्शों की रचना हमेशा साहचर्य होती है।
 * 9= श्रेणी सिद्धांत में, आकारिकी की संरचना परिभाषा के अनुसार साहचर्य है। फंक्शनलर्स और प्राकृतिक परिवर्तनों की साहचर्यता आकारिकी की साहचर्यता से अनुसरण करती है।
 * 10= तीन तत्वों वाले एक सेट पर विचार करें, $d$, $e$, और $M$. निम्नलिखित ऑपरेशन:

सहयोगी है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, $A ↔ (B ↔ C)$. यह संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है। }}
 * 11= क्योंकि मैट्रिक्स (गणित) रेखीय नक्शे का प्रतिनिधित्व करता है, और मैट्रिक्स गुणन फ़ंक्शन संरचना का प्रतिनिधित्व करता है, कोई भी तुरंत निष्कर्ष निकाल सकता है कि मैट्रिक्स गुणन साहचर्य है।
 * 12= वास्तविक संख्याओं के लिए (और किसी भी पूरी तरह से आदेशित सेट के लिए), न्यूनतम और अधिकतम संक्रिया साहचर्य है: $$\max(a, \max(b, c)) = \max(\max(a, b), c) \quad \text{ and } \quad \min(a, \min(b, c)) = \min(\min(a, b), c).$$

प्रतिस्थापन का नियम
मानक सत्य-कार्यात्मक प्रस्तावपरक तर्क में, संघ, या साहचर्य प्रतिस्थापन के दो वैधता (तर्क) नियम हैं। नियम किसी को औपचारिक प्रमाण में अच्छी तरह से बनाए गए सूत्र में कोष्ठकों को स्थानांतरित करने की अनुमति देते हैं। नियम (तार्किक संयोजक#भाषा संकेतन में) इस प्रकार हैं:

$$(P \lor (Q \lor R)) \Leftrightarrow ((P \lor Q) \lor R)$$ और

$$(P \land (Q \land R)) \Leftrightarrow ((P \land Q) \land R),$$ कहाँ$$\Leftrightarrow$$एक धातु संबंधी प्रतीक (औपचारिक) है जो दर्शाता है कि इसे औपचारिक प्रमाण में प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

सत्य कार्यात्मक संयोजक
साहचर्य सत्य-कार्यात्मक प्रस्तावपरक तर्क के कुछ तार्किक संयोजकों का गुण है। निम्नलिखित तार्किक तुल्यताएँ प्रदर्शित करती हैं कि साहचर्य विशेष संयोजकों का गुण है। निम्नलिखित (और उनके बातचीत, चूंकि $(A ↔ B) ↔ C$ क्रमविनिमेय है) सत्य-कार्यात्मक पुनरावलोकन (तर्क) हैं।
 * वियोजन की साहचर्यता
 * $$((P \lor Q) \lor R) \leftrightarrow (P \lor (Q \lor R))$$


 * संयोजन की साहचर्यता
 * $$((P \land Q) \land R) \leftrightarrow (P \land (Q \land R))$$


 * तुल्यता की साहचर्यता
 * $$((P \leftrightarrow Q) \leftrightarrow R) \leftrightarrow (P \leftrightarrow (Q \leftrightarrow R))$$

संयुक्त इनकार एक सत्य कार्यात्मक संयोजक का उदाहरण है जो साहचर्य नहीं है।

गैर-सहयोगी ऑपरेशन
एक बाइनरी ऑपरेशन $$*$$ एक सेट S पर जो साहचर्य कानून को संतुष्ट नहीं करता है, उसे 'गैर-सहयोगी' कहा जाता है। प्रतीकात्मक रूप से,

$$(x*y)*z\ne x*(y*z)\qquad\mbox{for some }x,y,z\in S.$$ ऐसे ऑपरेशन के लिए मूल्यांकन का क्रम मायने रखता है। उदाहरण के लिए:
 * घटाव

(5-3)-2 \, \ne \, 5-(3-2) $$
 * प्रभाग (गणित)

(4/2)/2 \, \ne \, 4/(2/2) $$
 * घातांक

2^{(1^2)} \, \ne \, (2^1)^2 $$
 * वेक्टर क्रॉस उत्पाद
 * $$\begin{align}

\mathbf{i} \times (\mathbf{i} \times \mathbf{j}) &= \mathbf{i} \times \mathbf{k} = -\mathbf{j} \\ (\mathbf{i} \times \mathbf{i}) \times \mathbf{j} &= \mathbf{0} \times \mathbf{j} = \mathbf{0} \end{align}$$ हालांकि परिमित राशियों के लिए जोड़ साहचर्य है, यह अनंत योगों (श्रृंखला (गणित)) के अंदर साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए, $$ (1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+(1+-1)+\dots = 0 $$ जबकि $$ 1+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+(-1+1)+\dots =  1. $$ गणित में कुछ असहयोगी संक्रियाएँ मौलिक हैं। वे अक्सर गैर-सहयोगी बीजगणित नामक संरचनाओं में गुणन के रूप में दिखाई देते हैं, जिसमें एक जोड़ और एक अदिश गुणन भी होता है। उदाहरण ऑक्टोनियंस और लाई बीजगणित हैं। झूठ बीजगणित में, गुणन साहचर्य कानून के बजाय जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है; यह असीम परिवर्तनों की बीजगणितीय प्रकृति को अमूर्त करने की अनुमति देता है।

अन्य उदाहरण quasigroup, kassifield, गैर-सहयोगी अंगूठी और क्रमविनिमेय गैर साहचर्य मैग्मास हैं।

फ़्लोटिंग पॉइंट गणना की गैर-सहयोगीता
गणित में, वास्तविक संख्याओं का जोड़ और गुणा साहचर्य होता है। इसके विपरीत, कंप्यूटर विज्ञान में, फ़्लोटिंग पॉइंट नंबरों का जोड़ और गुणा साहचर्य नहीं है, क्योंकि भिन्न-भिन्न आकार के मानों को एक साथ जोड़ने पर राउंडिंग त्रुटियां पेश की जाती हैं। इसे स्पष्ट करने के लिए, 4-बिट महत्व के साथ फ़्लोटिंग पॉइंट प्रतिनिधित्व पर विचार करें:

(1.0002×20 + 1.0002×20) + 1.0002×24 = 1.0002×2undefined + 1.0002×24 = 1.002×24

1.0002×20 + (1.0002×20 + 1.0002×24) = 1.0002×2undefined + 1.0002×24 = 1.002×24

भले ही अधिकांश कंप्यूटर 24 या 53 बिट्स मंटिसा के साथ गणना करते हैं, यह राउंडिंग एरर का एक महत्वपूर्ण स्रोत है, और एप्रोच जैसे कहन योग एल्गोरिथम त्रुटियों को कम करने के तरीके हैं। समानांतर कंप्यूटिंग में यह विशेष रूप से समस्याग्रस्त हो सकता है। 

गैर-सहयोगी संचालन के लिए संकेत
सामान्य तौर पर, संचालन के क्रम को इंगित करने के लिए कोष्ठक का उपयोग किया जाना चाहिए यदि एक गैर-सहयोगी ऑपरेशन एक अभिव्यक्ति में एक से अधिक बार प्रकट होता है (जब तक कि अंकन किसी अन्य तरीके से आदेश निर्दिष्ट नहीं करता है, जैसे $$\dfrac{2}{3/4}$$). हालांकि, गणितज्ञ कई सामान्य गैर-सहयोगी कार्यों के मूल्यांकन के एक विशेष क्रम पर सहमत हैं। कोष्ठकों से बचने के लिए यह केवल एक सांकेतिक सम्मेलन है।

एक बाएँ-सहयोगी संक्रिया एक गैर-सहयोगी संक्रिया है जिसका पारंपरिक रूप से बाएँ से दाएँ मूल्यांकन किया जाता है, अर्थात,

$$ \left. \begin{array}{l} a*b*c=(a*b)*c \\ a*b*c*d=((a*b)*c)*d \\ a*b*c*d*e=(((a*b)*c)*d)*e\quad \\ \mbox{etc.} \end{array} \right\} \mbox{for all }a,b,c,d,e\in S $$ जबकि एक दाएँ-सहयोगी ऑपरेशन का पारंपरिक रूप से दाएँ से बाएँ मूल्यांकन किया जाता है:

$$ \left. \begin{array}{l} x*y*z=x*(y*z) \\ w*x*y*z=w*(x*(y*z))\quad \\ v*w*x*y*z=v*(w*(x*(y*z)))\quad\\ \mbox{etc.} \end{array} \right\} \mbox{for all }z,y,x,w,v\in S $$ बाएँ-सहयोगी और दाएँ-साहचर्य दोनों प्रकार के ऑपरेशन होते हैं। वाम साहचर्य संचालन में निम्न शामिल हैं:
 * वास्तविक संख्याओं का घटाव और विभाजन   ब्रोंस्टीन, : डी: तस्चेनबच डेर मैथेमेटिक, पेज 115-120, अध्याय: 2.4.1.1, ISBN 978-3-8085-5673-3
 * $$x-y-z=(x-y)-z$$
 * $$x/y/z=(x/y)/z$$


 * समारोह आवेदन
 * $$(f \, x \, y) = ((f \, x) \, y)$$

इस अंकन को करी समरूपता से प्रेरित किया जा सकता है, जो आंशिक अनुप्रयोग को सक्षम बनाता है।

राइट-एसोसिएटिव ऑपरेशंस में निम्नलिखित शामिल हैं:
 * सुपरस्क्रिप्ट संकेतन में वास्तविक संख्याओं का घातांक
 * $$x^{y^z}=x^{(y^z)}$$ एक्सपोनेंशिएशन का उपयोग आमतौर पर ब्रैकेट्स या राइट-एसोसिएटिव के साथ किया जाता है क्योंकि बार-बार लेफ्ट-एसोसिएटिव एक्सपोनेंशिएशन ऑपरेशन का बहुत कम उपयोग होता है। दोहराई गई शक्तियाँ अधिकतर गुणा के साथ फिर से लिखी जाएंगी:
 * $$(x^y)^z=x^{(yz)}$$ सही ढंग से स्वरूपित, सुपरस्क्रिप्ट स्वाभाविक रूप से कोष्ठकों के एक सेट के रूप में व्यवहार करता है; उदा. अभिव्यक्ति में $$2^{x+3}$$ कोई स्पष्ट कोष्ठक नहीं होने के बावजूद घातांक को संचालन के क्रम में जोड़ा जाता है $$2^{(x+3)}$$ इसके चारों ओर लपेटा। इस प्रकार एक अभिव्यक्ति दी गई जैसे $$x^{y^z}$$, पूर्ण प्रतिपादक $$y^z$$ आधार का $$x$$ पहले मूल्यांकन किया जाता है। हालाँकि, कुछ संदर्भों में, विशेष रूप से लिखावट में, के बीच का अंतर $${x^y}^z=(x^y)^z$$, $$x^{yz}=x^{(yz)}$$ और $$x^{y^z}=x^{(y^z)}$$ देखना कठिन हो सकता है। ऐसे मामले में, राइट-एसोसिएटिविटी आमतौर पर निहित होती है।


 * समारोह (गणित)
 * $$\mathbb{Z} \rarr \mathbb{Z} \rarr \mathbb{Z} = \mathbb{Z} \rarr (\mathbb{Z} \rarr \mathbb{Z})$$
 * $$x \mapsto y \mapsto x - y = x \mapsto (y \mapsto x - y)$$ इन कार्यों के लिए राइट-एसोसिएटिव नोटेशन का उपयोग करी-हावर्ड पत्राचार और करी आइसोमोर्फिज्म द्वारा प्रेरित किया जा सकता है।

गैर-सहयोगी संचालन जिसके लिए कोई पारंपरिक मूल्यांकन आदेश परिभाषित नहीं किया गया है, में निम्नलिखित शामिल हैं।
 * इंफिक्स नोटेशन में वास्तविक संख्याओं का घातांक
 * $$(x^\wedge y)^\wedge z\ne x^\wedge(y^\wedge z)$$


 * नुथ का अप-एरो नोटेशन | नुथ का अप-एरो ऑपरेटर
 * $$ a \uparrow \uparrow (b \uparrow \uparrow c) \ne (a \uparrow \uparrow b) \uparrow \uparrow c$$
 * $$ a \uparrow \uparrow \uparrow (b \uparrow \uparrow \uparrow c) \ne (a \uparrow \uparrow \uparrow b) \uparrow \uparrow \uparrow c$$


 * तीन वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद लेना
 * $$\vec a \times (\vec b \times \vec c) \neq (\vec a \times \vec b ) \times \vec c \qquad \mbox{ for some } \vec a,\vec b,\vec c \in \mathbb{R}^3$$


 * वास्तविक संख्याओं का जोड़ीवार औसत लेना
 * $${(x+y)/2+z\over2}\ne{x+(y+z)/2\over2} \qquad \mbox{for all }x,y,z\in\mathbb{R} \mbox{ with }x\ne z.$$


 * समुच्चयों का पूरक (समुच्चय सिद्धांत) लेना
 * $$(A\backslash B)\backslash C \neq A\backslash (B\backslash C)$$. (तर्क में सामग्री की तुलना करें।)

इतिहास
ऐसा लगता है कि विलियम रोवन हैमिल्टन ने साहचर्य संपत्ति शब्द गढ़ा है 1844 के आसपास, एक समय जब वह जॉन टी. ग्रेव्स से सीखे गए Octonions के गैर-सहयोगी बीजगणित पर विचार कर रहे थे।

यह भी देखें

 * प्रकाश की साहचर्यता परीक्षण
 * टेलीस्कोपिंग श्रृंखला, एक अनंत श्रृंखला (गणित) में शर्तों को रद्द करने के लिए अतिरिक्त साहचर्य का उपयोग
 * एक semigroup एक सहयोगी बाइनरी ऑपरेशन वाला एक सेट है।
 * कम्यूटेटिविटी और वितरण बाइनरी ऑपरेशंस के दो अन्य अक्सर चर्चित गुण हैं।
 * पावर साहचर्य, वैकल्पिकता, लचीला बीजगणित और एन-आरी साहचर्य साहचर्य के कमजोर रूप हैं।
 * मौफंग लूप भी सहयोगीता का एक कमजोर रूप प्रदान करता है।