श्रृंखला (बीजगणितीय टोपोलॉजी)

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, ए k-ज़ंजीर का एक औपचारिक रैखिक संयोजन है k-सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स में कोशिकाएं। सरलीकृत संकुलों में (क्रमशः, घनीय संकुल), k-चेन का संयोजन है k-सादगी (क्रमशः, k-क्यूब्स),  लेकिन जरूरी नहीं कि जुड़ा हो. श्रृंखलाओं का उपयोग होमोलॉजी (गणित) में किया जाता है; एक समरूपता समूह के तत्व श्रृंखलाओं के समतुल्य वर्ग हैं।

परिभाषा
एक सरल परिसर के लिए $$X$$, समूह $$C_n(X)$$ का $$n$$-जंजीरों की $$X$$ द्वारा दिया गया है:

$$C_n(X) = \left\{ \sum\limits_i m_i \sigma_i | m_i \in \mathbb{Z} \right\}$$ कहाँ $$\sigma_i$$ एकवचन समरूपता|एकवचन हैं $$n$$-सरल का $$X$$. ध्यान दें कि कोई भी तत्व $$C_n(X)$$ एक जुड़ा हुआ सरलीकृत परिसर होना आवश्यक नहीं है।

जंजीरों पर एकीकरण
एकीकरण को श्रृंखला में गुणांकों (जो आमतौर पर पूर्णांक होते हैं) के साथ सरलताओं पर अभिन्नों के रैखिक संयोजन को ले कर परिभाषित किया जाता है। सभी k-चेन का सेट एक समूह बनाता है और इन समूहों के अनुक्रम को श्रृंखला जटिल कहा जाता है।

जंजीरों पर सीमा संचालक
एक श्रृंखला की सीमा श्रृंखला में सरलताओं की सीमाओं का रैखिक संयोजन है। k-श्रृंखला की सीमा एक (k−1)-श्रृंखला है। ध्यान दें कि एक सिंप्लेक्स की सीमा एक सिंप्लेक्स नहीं है, बल्कि गुणांक 1 या −1 के साथ एक श्रृंखला है - इस प्रकार श्रृंखलाएं सीमा ऑपरेटर के तहत सिंप्लेक्स का समापन हैं।

'उदाहरण 1:' एक पथ की सीमा (टोपोलॉजी) इसके अंतिम बिंदुओं का औपचारिक अंतर है: यह एक दूरबीन योग है। उदाहरण के लिए, यदि 1-श्रृंखला $$c = t_1 + t_2 + t_3\,$$ बिंदु से एक पथ है $$v_1\,$$ इंगित करने के लिए $$v_4\,$$, कहाँ $$t_1=[v_1, v_2]\,$$, $$t_2=[v_2, v_3]\,$$ और $$t_3=[v_3, v_4]\,$$ तो, इसके घटक 1-सिम्प्लेक्स हैं

$$\begin{align} \partial_1 c &= \partial_1(t_1 + t_2 + t_3)\\ &= \partial_1(t_1) + \partial_1(t_2) + \partial_1(t_3)\\ &= \partial_1([v_1, v_2]) + \partial_1([v_2, v_3]) + \partial_1([v_3, v_4]) \\ &= ([v_2]-[v_1]) + ([v_3]-[v_2]) + ([v_4]-[v_3]) \\ &= [v_4]-[v_1]. \end{align} $$ उदाहरण 2: त्रिभुज की सीमा उसके किनारों का एक औपचारिक योग है जिसमें सीमा को वामावर्त बनाने के लिए चिह्नों की व्यवस्था की गई है।

एक श्रृंखला को चक्र तब कहा जाता है जब उसकी सीमा शून्य होती है। एक शृंखला जो दूसरी शृंखला की सीमा होती है, सीमा कहलाती है। सीमाएँ चक्र हैं, इसलिए श्रृंखलाएं एक श्रृंखला परिसर बनाती हैं, जिनके समरूपता समूह (चक्र मॉड्यूलो सीमाएं) को सरल समरूपता (गणित) समूह कहा जाता है।

उदाहरण 3: मूल बिंदु पर छिद्रित विमान में गैर-तुच्छ 1-होमोलॉजी समूह है क्योंकि इकाई वृत्त एक चक्र है, लेकिन एक सीमा नहीं है।

विभेदक ज्यामिति में, जंजीरों पर सीमा ऑपरेटर और बाहरी व्युत्पन्न के बीच द्वंद्व सामान्य स्टोक्स प्रमेय द्वारा व्यक्त किया जाता है।