एस्केप वेलोसिटी

आकाशीय यांत्रिकी में, पलायन वेग या भागने की गति प्राथमिक (खगोल विज्ञान) के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से मुक्त, गैर-प्रणोदन वस्तु के लिए आवश्यक न्यूनतम गति है, इस प्रकार इससे अनंत दूरी तक पहुंचती है। यह सामान्यतः आदर्श गति के रूप में कहा जाता है, वायु कर्षण को अनदेखा कर रहा है। यद्यपि पलायन वेग शब्द सामान्य है, इसे वेग की तुलना में गति के रूप में अधिक त्रुटिहीन रूप से वर्णित किया गया है क्योंकि यह दिशा से स्वतंत्र है; पलायन गति प्राथमिक पिंड के द्रव्यमान के साथ बढ़ती है और प्राथमिक पिंड से दूरी के साथ घटती है। इस प्रकार भागने की गति इस बात पर निर्भर करती है कि वस्तु कितनी दूर पहले ही यात्रा कर चुकी है, और किसी निश्चित दूरी पर इसकी गणना में यह ध्यान रखा जाता है कि नए त्वरण के बिना यह धीमा हो जाएगा क्योंकि यह यात्रा करता है - बड़े माप पर शरीर के गुरुत्वाकर्षण के कारण - किन्तु यह कभी भी धीमा नहीं होगा एक रूकावट।

रॉकेट, जो लगातार अपने निकास से त्वरित होता है, कभी भी भागने की गति तक पहुँचे बिना बच सकता है, क्योंकि यह अपने इंजनों से गतिज ऊर्जा जोड़ना जारी रखता है। गुरुत्वाकर्षण की मंदी का मुकाबला करने के लिए रॉकेट को नया त्वरण प्रदान करने के लिए पर्याप्त प्रणोदक दिए जाने पर यह किसी भी गति से पलायन कर सकता है और इस प्रकार इसकी गति को बनाए रखता है।

अधिक सामान्यतः, पलायन वेग वह गति है जिस पर किसी वस्तु की गतिज ऊर्जा और इसकी गुरुत्वाकर्षण क्षमता # संभावित ऊर्जा का योग शून्य के बराबर होता है; वस्तु जिसने पलायन वेग प्राप्त कर लिया है वह न तो सतह पर है, न ही किसी बंद कक्षा में (किसी भी त्रिज्या की)। विशाल पिंड की जमीन से दूर की ओर इशारा करते हुए पलायन वेग के साथ, वस्तु शरीर से दूर चली जाएगी, हमेशा के लिए धीमी हो जाएगी और निकट आ जाएगी, किन्तु शून्य गति तक कभी नहीं पहुंच पाएगी। एक बार पलायन वेग प्राप्त हो जाने के बाद, इसके भागने में जारी रखने के लिए किसी और आवेग को प्रयुक्त करने की आवश्यकता नहीं है। दूसरे शब्दों में, यदि भागने का वेग दिया जाता है, तो वस्तु दूसरे शरीर से दूर चली जाएगी, लगातार धीमी हो जाएगी, और असीमित रूप से शून्य गति तक पहुंच जाएगी क्योंकि वस्तु की दूरी अनंत तक पहुंचती है, कभी वापस नहीं आती है। पलायन वेग से अधिक गति अनंत दूरी पर सकारात्मक गति बनाए रखती है। ध्यान दें कि न्यूनतम पलायन वेग मानता है कि कोई घर्षण नहीं है (उदाहरण के लिए, वायुमंडलीय ड्रैग), जो गुरुत्वाकर्षण प्रभाव से बचने के लिए आवश्यक तात्कालिक वेग को बढ़ाएगा, और भविष्य में कोई त्वरण या बाहरी मंदी नहीं होगी (उदाहरण के लिए जोर से या से अन्य पिंडों का गुरुत्वाकर्षण), जो आवश्यक तात्कालिक वेग को बदल देगा।

द्रव्यमान एम के साथ गोलाकार सममित प्राथमिक पिंड (जैसे कि तारा या ग्रह) के केंद्र से डी दूरी पर भागने की गति सूत्र द्वारा दी गई है
 * $$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{d}} = \sqrt{2gd}$$

जहाँ G गुरुत्वीय स्थिरांक है (G ≈ 6.67×10$−11$ मी.$3$·केजी.$−1$·सेकंड$−2$) और g स्थानीय गुरुत्वाकर्षण त्वरण है (या सतह गुरुत्वाकर्षण, जब डी = आर)। भागने की गति भागने वाली वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र होती है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी की सतह से पलायन गति लगभग है 11.186 km/s और सतह का गुरुत्व लगभग 9.8 मीटर/सेकेंड है$2$ (9.8 एन/केजी, 32 फ़ीट/सेकंड$2$).

जब प्रारंभिक गति दी जाती है $$V$$ भागने की गति से अधिक $$v_e,$$ वस्तु विषम रूप से हाइपरबोलिक प्रक्षेपवक्र तक पहुंच जाएगी $$v_{\infty},$$ समीकरण को संतुष्ट करना:
 * $${v_\infty}^2 = V^2 - {v_e}^2 .$$

इन समीकरणों में वायुमंडलीय घर्षण (वायु ड्रैग) को ध्यान में नहीं रखा जाता है।

सिंहावलोकन
पलायन वेग का अस्तित्व ऊर्जा के संरक्षण और परिमित गहराई के ऊर्जा क्षेत्र का परिणाम है। दी गई कुल ऊर्जा वाली किसी वस्तु के लिए, जो रूढ़िवादी बल (जैसे कि एक स्थिर गुरुत्व क्षेत्र) के अधीन गतिमान है, वस्तु के लिए केवल उन स्थानों और गति के संयोजन तक पहुंचना संभव है जिनमें वह कुल ऊर्जा है; जिन स्थानों पर इससे अधिक संभावित ऊर्जा है, वहां बिल्कुल भी नहीं पहुंचा जा सकता है। वस्तु में गति (गतिज ऊर्जा) जोड़कर यह उन संभावित स्थानों का विस्तार करता है जहां तक ​​पहुंचा जा सकता है, जब तक कि पर्याप्त ऊर्जा के साथ, वे अनंत नहीं हो जाते।

किसी दिए गए स्थान पर दी गई गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा के लिए, एस्केप वेलोसिटी न्यूनतम गति है, अंतरिक्ष यान प्रणोदन के बिना वस्तु को गुरुत्वाकर्षण से बचने में सक्षम होने की आवश्यकता होती है (अर्थात जिससे गुरुत्वाकर्षण इसे कभी भी वापस खींचने में सक्षम न हो)। एस्केप वेलोसिटी वास्तव में गति है (वेग नहीं) क्योंकि यह दिशा निर्दिष्ट नहीं करती है: यात्रा की दिशा चाहे जो भी हो, वस्तु गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बच सकती है (बशर्ते उसका पथ ग्रह को न काटता हो)।

एस्केप वेलोसिटी के सूत्र को प्राप्त करने का सुंदर प्रणाली ऊर्जा के संरक्षण के सिद्धांत का उपयोग करना है (दूसरे तरीके के लिए, कार्य (भौतिकी) पर आधारित, देखें #कैलकुलस का उपयोग करके एस्केप वेलोसिटी प्राप्त करना)। सादगी के लिए, जब तक अन्यथा न कहा जाए, हम मानते हैं कि वस्तु समान गोलाकार ग्रह के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से दूर जाने से बच जाएगी और गतिमान वस्तु पर कार्य करने वाला एकमात्र महत्वपूर्ण बल ग्रह का गुरुत्वाकर्षण है। कल्पना करें कि द्रव्यमान एम का अंतरिक्ष यान प्रारंभ में ग्रह के द्रव्यमान के केंद्र से r दूरी पर है, जिसका द्रव्यमान एम है, और इसकी प्रारंभिक गति इसके पलायन वेग के बराबर है, $$v_e$$. अपनी अंतिम अवस्था में, यह ग्रह से अनंत दूरी पर होगा, और इसकी गति नगण्य रूप से कम होगी। गतिज ऊर्जा K और गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा Uजीऊर्जा के एकमात्र प्रकार हैं जिससे हम निपटेंगे (हम वातावरण के खिंचाव की उपेक्षा करेंगे), इसलिए ऊर्जा के संरक्षण से,


 * $$(K + U_g)_\text{initial} = (K + U_g)_\text{final}$$

हम K सेट कर सकते हैंfiएनal = 0 क्योंकि अंतिम वेग इच्छानुसारसे छोटा है, और Ugfinal = 0 क्योंकि अंतिम दूरी अनंत है, इसलिए


 * $$\begin{align}

\Rightarrow {} &\frac{1}{2}mv_e^2 + \frac{-GMm}{r} = 0 + 0 \\[3pt] \Rightarrow {} &v_e = \sqrt{\frac{2GM}{r}}= \sqrt{\frac{2\mu}{r}} \end{align}$$ जहां μ मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है।

समान परिणाम सापेक्षता के सिद्धांत की गणना द्वारा प्राप्त किया जाता है, जिस स्थिति में चर आर श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक के रेडियल समन्वय या कम परिधि का प्रतिनिधित्व करता है।

थोड़ा और औपचारिक रूप से परिभाषित किया गया है, पलायन वेग प्रारंभिक बिंदु से अनंत तक जाने के लिए आवश्यक प्रारंभिक गति है और बिना किसी अतिरिक्त त्वरण के शून्य की अवशिष्ट गति के साथ अनंत पर समाप्त होता है। सभी गति और वेग क्षेत्र के संबंध में मापा जाता है। इसके अतिरिक्त, अंतरिक्ष में बिंदु पर पलायन वेग उस गति के बराबर होता है जो वस्तु के पास होता है यदि वह अनंत दूरी से आराम से प्रारंभ होती है और गुरुत्वाकर्षण द्वारा उस बिंदु तक खींची जाती है।

सामान्य उपयोग में, प्रारंभिक बिंदु किसी ग्रह या प्राकृतिक उपग्रह की सतह पर होता है। पृथ्वी की सतह पर, पलायन वेग लगभग 11.2 किमी./सेकेंड है, जो ध्वनि की गति (मैक 33) से लगभग 33 गुना और राइफल की गोली के थूथन वेग से कई गुना अधिक है (1.7 किमी./सेकेंड तक)। यद्यपि, अंतरिक्ष में 9,000 किमी की ऊंचाई पर, यह 7.1 किमी/सेकंड से थोड़ा कम है। ध्यान दें कि यह पलायन वेग संदर्भ के गैर-घूर्णन फ्रेम के सापेक्ष है, न कि ग्रह या चंद्रमा की चलती सतह के सापेक्ष (नीचे देखें)।

पलायन वेग भागने वाली वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि द्रव्यमान 1 किग्रा या 1,000 किग्रा है; जो अलग है वह आवश्यक ऊर्जा की मात्रा है। द्रव्यमान की वस्तु के लिए $$m$$ पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से बचने के लिए आवश्यक ऊर्जा जीएमएम / r है, वस्तु के द्रव्यमान का कार्य (जहाँ r पृथ्वी की त्रिज्या है, नाममात्र 6,371 किलोमीटर (3,959 मील), G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, और एम पृथ्वी का द्रव्यमान है, ). संबंधित मात्रा विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा है जो अनिवार्य रूप से द्रव्यमान द्वारा विभाजित गतिज और संभावित ऊर्जा का योग है। विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा शून्य से अधिक या उसके बराबर होने पर वस्तु पलायन वेग तक पहुँच जाती है।

शरीर की सतह से
पलायन वेग के लिए वैकल्पिक अभिव्यक्ति $$v_e$$ शरीर पर सतह पर विशेष रूप से उपयोगी है:
 * $$v_e = \sqrt{2gr\,}$$

जहाँ r शरीर के केंद्र और उस बिंदु के बीच की दूरी है जिस पर पलायन वेग की गणना की जा रही है और g उस दूरी पर गुरुत्वाकर्षण त्वरण है (अर्थात, सतह का गुरुत्वाकर्षण)।

द्रव्यमान के गोलाकार रूप से सममित वितरण वाले शरीर के लिए, पलायन वेग $$v_e$$ सतह से त्रिज्या के समानुपाती होता है जिसे स्थिर घनत्व माना जाता है, और औसत घनत्व ρ के वर्गमूल के समानुपाती होता है।
 * $$v_e = Kr\sqrt\rho$$

कहाँ पे $K = \sqrt{\frac{8}{3} \pi G} \approx 2.364\times 10^{-5} \text{ m}^{1.5} \text{ kg}^{-0.5} \text{ s}^{-1} $

ध्यान दें कि यह पलायन वेग संदर्भ के गैर-घूर्णन फ्रेम के सापेक्ष है, ग्रह या चंद्रमा की चलती सतह के सापेक्ष नहीं, जैसा कि नीचे बताया गया है।

घूमते हुए शरीर से
घूर्णन पिंड की सतह के सापेक्ष पलायन वेग उस दिशा पर निर्भर करता है जिसमें पलायन करने वाला पिंड यात्रा करता है। उदाहरण के लिए, चूंकि भूमध्य रेखा पर पृथ्वी का घूर्णी वेग 465 मी/सेकेंड है, इसलिए पृथ्वी के भूमध्य रेखा से पूर्व की ओर स्पर्शरेखीय रूप से लॉन्च किए गए रॉकेट को बचने के लिए प्रक्षेपण के बिंदु पर गतिमान सतह के सापेक्ष लगभग 10.735 किमी/सेकेंड के प्रारंभिक वेग की आवश्यकता होती है जबकि रॉकेट को पृथ्वी के भूमध्य रेखा से पश्चिम की ओर स्पर्शरेखीय रूप से प्रक्षेपित करने के लिए उस गतिमान सतह के सापेक्ष लगभग 11.665 किमी./सेकेंड के प्रारंभिक वेग की आवश्यकता होती है। भौगोलिक अक्षांश के त्रिकोणमितीय कार्य के साथ सतह का वेग कम हो जाता है, इसलिए अंतरिक्ष प्रक्षेपण सुविधाएं अधिकांशतः भूमध्य रेखा के जितना संभव हो उतना करीब स्थित होती हैं, उदा। अमेरिकन केप कैनावेरल वायु सेना स्टेशन (अक्षांश 28°28′ एन) और फ़्रेंच गुयाना अंतरिक्ष केंद्र (अक्षांश 5°14′ एन)।

व्यावहारिक विचार
निहित त्वरण के कारण, और इसलिए भी कि यदि कोई वातावरण है, तो अधिकांश स्थितियों में एस्केप वेलोसिटी को लगभग तुरंत प्राप्त करना अव्यावहारिक है, इसमें सम्मिलित हाइपरसोनिक गति (पृथ्वी पर 11.2 किमी./सेकेंड, या 40,320 किमी/घंटा की गति) होगी वायुगतिकीय ताप के कारण अधिकांश वस्तुएँ जल जाती हैं या वायुमंडलीय खिंचाव से फट जाती हैं। वास्तविक पलायन कक्षा के लिए, अंतरिक्ष यान वायुमंडल से तेजी से बाहर निकलेगा जब तक कि यह अपनी ऊंचाई के लिए उचित पलायन वेग तक नहीं पहुंच जाता (जो सतह से कम होगा)। कई स्थितियोंमें, अंतरिक्ष यान को पहले पार्किंग कक्षा में रखा जा सकता है (उदाहरण के लिए 160–2,000 किमी पर पृथ्वी की निचली कक्षा) और फिर उस ऊंचाई पर पलायन वेग तक त्वरित किया जा सकता है, जो थोड़ा कम होगा (लगभग 11.0 किमी/सेकेंड 200 किमी की निम्न पृथ्वी कक्षा)। हालाँकि, आवश्यक अतिरिक्त डेल्टा-सी बहुत कम है क्योंकि अंतरिक्ष यान की पहले से ही महत्वपूर्ण कक्षीय गति है (पृथ्वी की निचली कक्षा में गति लगभग 7.8 किमी./सेकेंड, या 28,080 किमी/घंटा है)।

एक परिक्रमा करने वाले पिंड से
दी गई ऊंचाई पर पलायन वेग है $$\sqrt 2$$ समान ऊँचाई पर वृत्ताकार कक्षा में गति का गुना, (इसकी तुलना वृत्ताकार कक्षा में वेग समीकरण से करें)। यह इस तथ्य से मेल खाता है कि ऐसी कक्षा में किसी वस्तु की अनंतता के संबंध में संभावित ऊर्जा उसकी गतिज ऊर्जा से दो गुना कम है, जबकि संभावित और गतिज ऊर्जा के योग से बचने के लिए कम से कम शून्य होना चाहिए। वृत्ताकार कक्षा के अनुरूप वेग को कभी-कभी प्रथम ब्रह्मांडीय वेग कहा जाता है, जबकि इस संदर्भ में पलायन वेग को द्वितीय ब्रह्मांडीय वेग कहा जाता है।

अण्डाकार कक्षा में पिंड के लिए जो भागने की कक्षा में तेजी लाने की इच्छा रखता है, आवश्यक गति अलग-अलग होगी, और पेरीपसिस में सबसे बड़ी होगी जब शरीर केंद्रीय शरीर के सबसे करीब होगा। हालाँकि, इस बिंदु पर शरीर की कक्षीय गति भी अपने उच्चतम स्तर पर होगी, और आवश्यक वेग में परिवर्तन सबसे कम होगा, जैसा कि ओबेरथ प्रभाव द्वारा समझाया गया है।

बैरीसेंट्रिक एस्केप वेलोसिटी
पलायन वेग या तो दूसरे, केंद्रीय निकाय के सापेक्ष या पिंडों की प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष मापा जा सकता है। इस प्रकार दो पिंडों की प्रणालियों के लिए, एस्केप वेलोसिटी शब्द अस्पष्ट हो सकता है, किन्तु सामान्यतः इसका अर्थ कम विशाल पिंड के बैरीसेंट्रिक एस्केप वेलोसिटी से है। एस्केप वेलोसिटी सामान्यतः जीरो मास टेस्ट पार्टिकल्स के एस्केप वेलोसिटी को संदर्भित करता है। शून्य द्रव्यमान परीक्षण कण के लिए हमारे पास 'दूसरे के सापेक्ष' और 'बैरीसेंट्रिक' पलायन वेग समान हैं, अर्थात् $$v_e = \sqrt{\frac{2GM}{d}} $$. किन्तु जब हम छोटे द्रव्यमान की उपेक्षा नहीं कर सकते (कहते हैं $$m$$) हम थोड़े अलग फॉर्मूले पर पहुंचते हैं। क्योंकि सिस्टम को मोमेंटम # संरक्षण का पालन करना पड़ता है, हम देखते हैं कि बड़े और छोटे द्रव्यमान दोनों को गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में त्वरित किया जाना चाहिए। द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष बड़े द्रव्यमान का वेग ($$v_p$$, ग्रह के लिए) छोटे द्रव्यमान के वेग के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है ($$v_r$$, रॉकेट के लिए)। हम पाते हैं $$v_p=-\frac{m}{M}v_r$$ 'बैरीसेंट्रिक' एस्केप वेलोसिटी अब बन जाती है: $$v_r=\sqrt{\frac{2GM^2}{d(M+m)}} \approx \sqrt{\frac{2GM}{d}}$$ जबकि 'दूसरे के सापेक्ष' पलायन वेग बन जाता है: $$ v_r -v_p=\sqrt{\frac{2G(m+M)}{d}} \approx \sqrt{\frac{2GM}{d}}$$.

निम्न-वेग प्रक्षेपवक्र की ऊंचाई
शरीर और वस्तु के बीच गुरुत्वाकर्षण बल के अतिरिक्त अन्य सभी कारकों को अनदेखा करते हुए, वस्तु गति से लंबवत रूप से प्रक्षेपित होती है $$v$$ पलायन वेग के साथ गोलाकार शरीर की सतह से $$v_e$$ और त्रिज्या $$R$$ अधिकतम ऊंचाई प्राप्त करेगा $$h$$ समीकरण को संतुष्ट करना
 * $$v = v_e \sqrt{\frac{h}{R+h}} \ ,$$

जो h के लिए हल करने पर परिणामित होता है
 * $$h = \frac{x^2}{1-x^2} \ R \ ,$$

कहाँ पे $x = v/v_e$ मूल गति का अनुपात है $$v$$ पलायन वेग के लिए $$v_e.$$

पलायन वेग के विपरीत, अधिकतम ऊंचाई प्राप्त करने के लिए दिशा (ऊर्ध्वाधर ऊपर) महत्वपूर्ण है।

प्रक्षेपवक्र
यदि कोई वस्तु ठीक पलायन वेग प्राप्त कर लेती है, किन्तु सीधे ग्रह से दूर निर्देशित नहीं होती है, तो यह घुमावदार पथ या प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करेगी। यद्यपि यह प्रक्षेपवक्र बंद आकार नहीं बनाता है, इसे कक्षा के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। यह मानते हुए कि प्रणाली में गुरुत्वाकर्षण ही एकमात्र महत्वपूर्ण बल है, प्रक्षेपवक्र में किसी बिंदु पर इस वस्तु की गति ऊर्जा के संरक्षण के कारण उस बिंदु पर पलायन वेग के बराबर होगी, इसकी कुल ऊर्जा हमेशा 0 होनी चाहिए, जिसका अर्थ है कि यह हमेशा पलायन वेग होता है; ऊपर व्युत्पत्ति देखें। प्रक्षेपवक्र का आकार परवलय होगा जिसका ध्यान ग्रह के द्रव्यमान के केंद्र में स्थित है। वास्तविक बचाव के लिए प्रक्षेपवक्र के साथ पाठ्यक्रम की आवश्यकता होती है जो ग्रह या उसके वातावरण के साथ प्रतिच्छेद नहीं करता है, क्योंकि इससे वस्तु दुर्घटनाग्रस्त हो जाएगी। स्रोत से दूर जाने पर इस पथ को भागने की कक्षा कहा जाता है। पलायन कक्षाओं को सी3 = 0 कक्षाओं के रूप में जाना जाता है। सी3 अभिलक्षणिक ऊर्जा है, = -जीएम/2ए, जहाँ ए अर्ध-प्रमुख अक्ष है, जो परवलयिक प्रक्षेपवक्र के लिए अनंत है।

यदि शरीर का वेग पलायन वेग से अधिक है तो इसका पथ अतिशयोक्तिपूर्ण प्रक्षेपवक्र का निर्माण करेगा और इसमें अतिशयोक्तिपूर्ण वेग होगा, जो शरीर की अतिरिक्त ऊर्जा के बराबर होगा। अपेक्षाकृत छोटा अतिरिक्त डेल्टा-वी | डेल्टा-वी जिसके ऊपर भागने की गति में तेजी लाने की आवश्यकता होती है, जिसके परिणामस्वरूप अनंत पर अपेक्षाकृत बड़ी गति हो सकती है। द्वि-अण्डाकार स्थानांतरण इस तथ्य का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे स्थान पर जहां भागने की गति 11.2 किमी/सेकेंड है, 0.4 किमी/सेकेंड जोड़ने से 3.02 किमी/सेकेंड की अतिशयोक्तिपूर्ण अतिरिक्त गति प्राप्त होती है:
 * $$v_\infty = \sqrt{ V^2 - {v_e}^2 } = \sqrt{ (11.6 \text{ km/s})^2 - (11.2 \text{ km/s})^2 } \approx 3.02 \text{ km/s}.$$

यदि वृत्ताकार कक्षा में पिंड (या दीर्घवृत्तीय कक्षा के परिधि पर) गति से बचने के लिए अपनी यात्रा की दिशा में गति करता है, तो त्वरण का बिंदु पलायन प्रक्षेपवक्र का पेरीपसिस बन जाएगा। त्वरण के बिंदु पर यात्रा की अंतिम दिशा 90 डिग्री की दिशा में होगी। यदि पिंड एस्केप वेलोसिटी से परे गति करता है तो यात्रा की अंतिम दिशा छोटे कोण पर होगी, और हाइपरबोलिक प्रक्षेपवक्र के स्पर्शोन्मुख में से एक द्वारा इंगित किया जाएगा जो अब ले रहा है। इसका मतलब यह है कि यदि किसी विशेष दिशा में भागने का इरादा है तो त्वरण का समय महत्वपूर्ण है।

यदि पेरीएप्सिस पर गति है $v$, फिर प्रक्षेपवक्र का विलक्षणता वेक्टर द्वारा दिया गया है:
 * $$e=2(v/v_e)^2-1$$

यह अण्डाकार, परवलयिक और अतिशयोक्तिपूर्ण प्रक्षेपवक्र के लिए मान्य है। यदि प्रक्षेपवक्र अतिशयोक्तिपूर्ण या परवलयिक है, तो यह स्पर्शोन्मुख रूप से कोण पर पहुंचेगा $$\theta$$ पेरीएप्सिस की दिशा से, के साथ
 * $$\sin\theta=1/e.$$

गति असमान रूप से आ जाएगी
 * $$\sqrt{v^2-v_e^2}.$$

पलायन वेगों की सूची
इस तालिका में, बाएं हाथ का आधा दृश्य सतह (जो उदाहरण के लिए बृहस्पति के साथ गैसीय हो सकता है) से पलायन वेग देता है, ग्रह या चंद्रमा के केंद्र के सापेक्ष (जो कि इसकी चलती सतह के सापेक्ष नहीं है)। दाहिने हाथ के आधे भाग में, वीeकेंद्रीय शरीर (उदाहरण के लिए सूर्य) के सापेक्ष गति को संदर्भित करता है, जबकि वीटीईछोटे पिंड (ग्रह या चंद्रमा) के सापेक्ष गति (छोटे पिंड की दृश्य सतह पर) है।

अंतिम दो स्तंभ त्रुटिहीन रूप से निर्भर करेंगे कि कक्षा में एस्केप वेलोसिटी कहाँ पहुँची है, क्योंकि कक्षाएँ बिल्कुल गोलाकार नहीं हैं (विशेष रूप से बुध और प्लूटो)।

कैलकुलस
का उपयोग करके एस्केप वेलोसिटी प्राप्त करना

जी को गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक होने दें और M को पृथ्वी द्रव्यमान (या अन्य गुरुत्वाकर्षण पिंड) होने दें और m पलायन करने वाले पिंड या प्रक्षेप्य का द्रव्यमान हो। गुरुत्वाकर्षण के केंद्र से r दूरी पर शरीर आकर्षक बल अनुभूत करता है
 * $$F = G\frac{Mm}{r^2}.$$

इस बल के विरुद्ध शरीर को थोड़ी दूरी पर स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक कार्य इसलिए दिया जाता है
 * $$dW = F \, dr = G\frac{Mm}{r^2}\,dr.$$

शरीर को सतह r से स्थानांतरित करने के लिए आवश्यक कुल कार्य0 गुरुत्वाकर्षण शरीर का अनंत तक तब है
 * $$W = \int_{r_0}^\infty G\frac{Mm}{r^2}\,dr = G\frac{Mm}{r_0} = mgr_0.$$

अनंत तक पहुँचने के लिए इस कार्य को करने के लिए, प्रस्थान के समय शरीर की न्यूनतम गतिज ऊर्जा इस कार्य से मेल खाना चाहिए, इसलिए पलायन वेग वी0 संतुष्ट
 * $$ \frac{1}{2}m v_0^2 = G\frac{Mm}{r_0},$$

जिसके परिणामस्वरूप
 * $$v_0 = \sqrt\frac{2GM}{r_0} = \sqrt{2gr_0}.$$

यह भी देखें

 * ब्लैक होल - एक ऐसी वस्तु जिसका पलायन वेग प्रकाश की गति से अधिक होता है
 * विशेषता ऊर्जा (सी3)
 * डेल्टा-वी बजट - युद्धाभ्यास करने के लिए आवश्यक गति।
 * गुरुत्वाकर्षण सहायता - प्रक्षेपवक्र बदलने की एक तकनीक
 * गुरुत्वाकर्षण अच्छी तरह से
 * सूर्यकेंद्रित कक्षा में कृत्रिम वस्तुओं की सूची
 * सौर मंडल से निकलने वाली कृत्रिम वस्तुओं की सूची
 * न्यूटन का तोप का गोला
 * ओबेरथ प्रभाव - एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में प्रणोदक को जलाने से गतिज ऊर्जा में उच्च परिवर्तन होता है
 * दो शरीर की समस्या

बाहरी कड़ियाँ

 * Escape वीelocity calculator
 * Web-based एनumerical escape वीelocity calculator