गेज सिद्धांत का परिचय

गेज सिद्धांत भौतिकी में एक प्रकार का वैज्ञानिक सिद्धांत है। गेज शब्द का अर्थ है एक माप, एक मोटाई, एक बीच की दूरी (जैसा कि नाप का पता करें में), या एक निश्चित पैरामीटर के अनुसार इकाइयों की परिणामी संख्या (कपड़े के एक इंच में लूप की संख्या या एक गेज (आग्नेयास्त्र))। आधुनिक सिद्धांत क्षेत्र (भौतिकी) के संदर्भ में भौतिक बलों का वर्णन करते हैं, उदाहरण के लिए, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और क्षेत्र जो प्राथमिक कणों के बीच बलों का वर्णन करते हैं। इन क्षेत्र सिद्धांतों की एक सामान्य विशेषता यह है कि मूलभूत क्षेत्रों को सीधे मापा नहीं जा सकता है; हालाँकि, कुछ संबद्ध मात्राएँ मापी जा सकती हैं, जैसे आवेश, ऊर्जा और वेग। उदाहरण के लिए, मान लें कि आप एक सीसे की गेंद का व्यास नहीं माप सकते हैं, लेकिन आप यह निर्धारित कर सकते हैं कि एक पाउंड बनाने के लिए कितनी सीसे की गेंदों की आवश्यकता है, जो हर तरह से बराबर हैं। गेंदों की संख्या, सीसे का घनत्व और उसके व्यास से किसी गोले के आयतन की गणना करने के सूत्र का उपयोग करके, अप्रत्यक्ष रूप से एकल सीसे की गेंद का व्यास निर्धारित किया जा सकता है। क्षेत्र सिद्धांतों में, अप्राप्य क्षेत्रों के विभिन्न विन्यासों के परिणामस्वरूप समान अवलोकन योग्य (भौतिकी) प्राप्त हो सकता है। ऐसे एक फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन से दूसरे में परिवर्तन को गेज परिवर्तन कहा जाता है; क्षेत्र के रूपांतरित होने के बावजूद, मापने योग्य मात्राओं में परिवर्तन की कमी, गेज इनवेरिएंस नामक एक संपत्ति है। उदाहरण के लिए, यदि आप सीसे की गेंदों के रंग को माप सकते हैं और पता लगा सकते हैं कि जब आप रंग बदलते हैं, तब भी आप एक पाउंड में समान संख्या में गेंदों को फिट करते हैं, तो रंग की संपत्ति गेज अपरिवर्तनीयता दिखाएगी। चूँकि क्षेत्र परिवर्तन के तहत किसी भी प्रकार के अपरिवर्तनीयता को भौतिकी में समरूपता माना जाता है, गेज अपरिवर्तनीयता को कभी-कभी गेज समरूपता कहा जाता है। आम तौर पर, कोई भी सिद्धांत जिसमें गेज अपरिवर्तनीयता की संपत्ति होती है उसे गेज सिद्धांत माना जाता है।

उदाहरण के लिए, विद्युत चुंबकत्व में विद्युत क्षेत्र ई और चुंबकीय क्षेत्र बी अवलोकनीय हैं, जबकि क्षमताएं वी (वोल्टेज) और ए (चुंबकीय वेक्टर क्षमता) नहीं हैं। गेज परिवर्तन के तहत जिसमें वी में एक स्थिरांक जोड़ा जाता है, 'ई' या 'बी' में कोई अवलोकनीय परिवर्तन नहीं होता है।

1920 के दशक में क्वांटम यांत्रिकी के आगमन के साथ, और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में लगातार प्रगति के साथ, गेज परिवर्तनों का महत्व लगातार बढ़ गया है। गेज सिद्धांत भौतिकी के नियमों को बाधित करते हैं, क्योंकि गेज परिवर्तन से प्रेरित सभी परिवर्तनों को अवलोकन योग्य मात्राओं के संदर्भ में लिखे जाने पर एक दूसरे को रद्द करना पड़ता है। 20वीं सदी के दौरान, भौतिकविदों को धीरे-धीरे एहसास हुआ कि सभी बल (मौलिक अंतःक्रियाएं) स्थानीय समरूपता द्वारा लगाए गए अवरोधों से उत्पन्न होते हैं, इस मामले में परिवर्तन अंतरिक्ष-समय में एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर भिन्न होते हैं। गड़बड़ी सिद्धांत क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (आमतौर पर बिखराव सिद्धांत के लिए नियोजित) गेज बोसॉन नामक बल-मध्यस्थ कणों के संदर्भ में बलों का वर्णन करता है। इन कणों की प्रकृति गेज परिवर्तनों की प्रकृति से निर्धारित होती है। इन प्रयासों की परिणति मानक मॉडल है, एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत जो गुरुत्वाकर्षण को छोड़कर सभी मूलभूत इंटरैक्शन की सटीक भविष्यवाणी करता है।

इतिहास और महत्व
गेज समरूपता वाला सबसे प्रारंभिक क्षेत्र सिद्धांत जेम्स क्लर्क मैक्सवेल का 1864-65 में शास्त्रीय इलेक्ट्रोडायनामिक्स (इलेक्ट्रोमैग्नेटिक फील्ड का एक गतिशील सिद्धांत) का सूत्रीकरण था। शुरुआती फॉर्मूलेशन में इस समरूपता के महत्व पर ध्यान नहीं दिया गया। इसी तरह, किसी के ध्यान में न आने पर, डेविड हिल्बर्ट ने निर्देशांक के किसी भी परिवर्तन के तहत एक समरूपता मानकर आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के समीकरण निकाले थे, जैसे आइंस्टीन अपना काम पूरा कर रहे थे। बाद में आइंस्टीन की सामान्य सापेक्षता में सफलता से प्रेरित हरमन वेइल ने 1919 में अनुमान लगाया (गलत, जैसा कि यह निकला) कि स्केल (माप) या गेज (रेलवे के विभिन्न ट्रैक गेज से प्रेरित एक शब्द) के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीयता भी हो सकती है विद्युत चुंबकत्व की एक स्थानीय समरूपता। हालाँकि वेइल की गेज की पसंद गलत थी, नाम गेज दृष्टिकोण पर अटका रहा। क्वांटम यांत्रिकी के विकास के बाद, वेइल, व्लादिमीर फॉक और फ़्रिट्ज़ लंदन ने तरंग चरण (तरंगों) के परिवर्तन के साथ स्केल कारक को प्रतिस्थापित करके और इसे विद्युत चुंबकत्व में सफलतापूर्वक लागू करके अपनी गेज पसंद को संशोधित किया। मजबूत अंतःक्रिया का वर्णन करने के प्रयास में  सी हेनिंग यांग  और रॉबर्ट मिल्स (भौतिक विज्ञानी) द्वारा 1954 में गेज समरूपता को गणितीय रूप से सामान्यीकृत किया गया था। इस विचार को, जिसे यांग-मिल्स सिद्धांत कहा गया, बाद में कमजोर बल के क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में और इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत में [[विद्युत]] चुंबकत्व के साथ इसके एकीकरण में आवेदन मिला।

भौतिकी के लिए गेज सिद्धांतों का महत्व क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत | विद्युत चुंबकत्व के क्वांटम-यांत्रिक व्यवहार, कमजोर बल और मजबूत बल का वर्णन करने के लिए एक एकीकृत ढांचा प्रदान करने में उनकी जबरदस्त सफलता से उत्पन्न होता है। यह गेज सिद्धांत, जिसे मानक मॉडल के रूप में जाना जाता है, प्रकृति की चार मूलभूत शक्तियों में से तीन के संबंध में प्रयोगात्मक भविष्यवाणियों का सटीक वर्णन करता है।

विद्युतचुम्बकत्व
ऐतिहासिक रूप से, गेज समरूपता का खोजा जाने वाला पहला उदाहरण शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व था। एक स्थैतिक विद्युत क्षेत्र को विद्युत क्षमता (वोल्टेज) के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है $$V$$) जिसे अंतरिक्ष में हर बिंदु पर परिभाषित किया गया है, और व्यावहारिक कार्य में पृथ्वी को एक भौतिक संदर्भ के रूप में लेना पारंपरिक है जो क्षमता, या विद्युत भूमि के शून्य स्तर को परिभाषित करता है। लेकिन केवल क्षमता में अंतर ही भौतिक रूप से मापने योग्य होता है, यही कारण है कि वाल्टमीटर  में दो जांच होनी चाहिए, और केवल उनके बीच वोल्टेज अंतर की रिपोर्ट कर सकता है। इस प्रकार कोई भी पृथ्वी के बजाय किसी अन्य मानक के सापेक्ष सभी वोल्टेज अंतरों को परिभाषित करना चुन सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक निरंतर ऑफसेट जुड़ जाएगा। यदि क्षमता $$V$$ मैक्सवेल के समीकरणों का एक समाधान है, इस गेज परिवर्तन के बाद, नई क्षमता $$V \rightarrow V+C$$ मैक्सवेल के समीकरणों का भी एक समाधान है और कोई भी प्रयोग इन दोनों समाधानों के बीच अंतर नहीं कर सकता है। दूसरे शब्दों में, बिजली और चुंबकत्व को नियंत्रित करने वाले भौतिकी के नियम (अर्थात, मैक्सवेल समीकरण) गेज परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। मैक्सवेल के समीकरणों में गेज समरूपता होती है।

स्थैतिक बिजली से विद्युत चुंबकत्व तक सामान्यीकरण करते हुए, हमारे पास एक दूसरी क्षमता है, चुंबकीय वेक्टर क्षमता ए, जो गेज परिवर्तनों से भी गुजर सकती है। ये परिवर्तन स्थानीय हो सकते हैं. अर्थात्, V पर एक स्थिरांक जोड़ने के बजाय, कोई एक फ़ंक्शन जोड़ सकता है जो अंतरिक्ष और समय में विभिन्न बिंदुओं पर अलग-अलग मान लेता है। यदि A को भी कुछ संगत तरीकों से बदला जाता है, तो समान E (विद्युत) और B (चुंबकीय) क्षेत्र परिणामित होते हैं। फ़ील्ड ई और बी और संभावित वी और ए के बीच विस्तृत गणितीय संबंध गेज परिवर्तन की प्रकृति के सटीक विवरण के साथ, गेज फिक्सिंग लेख में दिया गया है। यहां प्रासंगिक बात यह है कि गेज परिवर्तन के तहत फ़ील्ड समान रहते हैं, और इसलिए मैक्सवेल के समीकरण अभी भी संतुष्ट हैं।

गेज समरूपता का चार्ज संरक्षण से गहरा संबंध है। मान लीजिए कि कोई ऐसी प्रक्रिया मौजूद है जिसके द्वारा कोई अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु 1 पर एक चार्ज q बनाकर, इसे किसी अन्य बिंदु 2 पर ले जाकर और फिर इसे नष्ट करके चार्ज के संरक्षण का उल्लंघन कर सकता है। हम कल्पना कर सकते हैं कि यह प्रक्रिया ऊर्जा संरक्षण के अनुरूप थी। हम यह कहते हुए एक नियम बना सकते हैं कि चार्ज बनाने के लिए ऊर्जा ई के इनपुट की आवश्यकता होती है1=qV1 और इसे नष्ट करके ई को मुक्त कर दिया2=qV2, जो स्वाभाविक प्रतीत होगा क्योंकि qV एक निश्चित बिंदु पर आवेश के अस्तित्व के कारण विद्युत क्षेत्र में संग्रहीत अतिरिक्त ऊर्जा को मापता है। उस अंतराल के बाहर, जिसके दौरान कण मौजूद है, ऊर्जा का संरक्षण संतुष्ट होगा, क्योंकि कण के निर्माण और विनाश से जारी शुद्ध ऊर्जा, qV2-qV1, कण को ​​1 से 2, qV तक ले जाने में किए गए कार्य के बराबर होगा2-qV1. लेकिन यद्यपि यह परिदृश्य ऊर्जा के संरक्षण को बचाता है, यह गेज समरूपता का उल्लंघन करता है। गेज समरूपता के लिए आवश्यक है कि परिवर्तन के तहत भौतिकी के नियम अपरिवर्तनीय हों $$V \rightarrow V+C$$, जिसका तात्पर्य यह है कि कोई भी प्रयोग किसी बाहरी मानक जैसे कि विद्युत ग्राउंड के संदर्भ के बिना, पूर्ण क्षमता को मापने में सक्षम नहीं होना चाहिए। लेकिन प्रस्तावित नियम ई1=qV1 और ई2=qV2 सृजन और विनाश की ऊर्जाओं के लिए एक प्रयोगकर्ता को अंतरिक्ष में किसी विशेष बिंदु पर चार्ज q बनाने के लिए आवश्यक ऊर्जा इनपुट की तुलना करके पूर्ण क्षमता निर्धारित करने की अनुमति मिल सकती है, जहां क्षमता है $$V$$ और $$V+C$$ क्रमश। निष्कर्ष यह है कि यदि गेज समरूपता कायम है, और ऊर्जा संरक्षित है, तो चार्ज को संरक्षित किया जाना चाहिए।



सामान्य सापेक्षता
जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, शास्त्रीय (यानी, गैर-क्वांटम यांत्रिक) सामान्य सापेक्षता के लिए गेज परिवर्तन मनमाना समन्वय परिवर्तन हैं। तकनीकी रूप से, परिवर्तन उलटा होना चाहिए, और परिवर्तन और इसका उलटा दोनों सुचारू होना चाहिए, विभेदक होने के अर्थ में मनमाने ढंग से कई बार कार्य करना चाहिए।

भौतिक सिद्धांत में समरूपता का एक उदाहरण: अनुवाद अपरिवर्तनीयता
समन्वय के परिवर्तनों के तहत कुछ वैश्विक समरूपताएं सामान्य सापेक्षता और गेज की अवधारणा दोनों से पहले की हैं। उदाहरण के लिए, गैलीलियो और आइजैक न्यूटन ने गैलीलियन परिवर्तन की धारणा पेश की, अरिस्टोटेलियन भौतिकी अवधारणा से एक उन्नति जिसके अनुसार अंतरिक्ष में विभिन्न स्थान, जैसे कि पृथ्वी बनाम आकाश, विभिन्न भौतिक नियमों का पालन करते हैं।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक पर्यवेक्षक पृथ्वी पर हाइड्रोजन परमाणु के गुणों की जांच करता है, दूसरा - चंद्रमा (या ब्रह्मांड में किसी अन्य स्थान) पर, पर्यवेक्षक पाएगा कि उनके हाइड्रोजन परमाणु पूरी तरह से समान गुण प्रदर्शित करते हैं। फिर, यदि एक पर्यवेक्षक ने आज हाइड्रोजन परमाणु की जांच की थी और दूसरे ने - 100 साल पहले (या अतीत में या भविष्य में किसी भी समय), दोनों प्रयोग फिर से पूरी तरह से समान परिणाम देंगे। उस समय और स्थान के संबंध में जहां इन गुणों की जांच की गई थी, हाइड्रोजन परमाणु के गुणों की अपरिवर्तनीयता को अनुवाद अपरिवर्तनीयता कहा जाता है।

अलग-अलग उम्र के हमारे दो पर्यवेक्षकों को याद करते हुए: उनके प्रयोगों का समय 100 साल आगे बढ़ गया है। यदि पुराने पर्यवेक्षक द्वारा प्रयोग करने का समय t था, तो आधुनिक प्रयोग का समय t+100 वर्ष है। दोनों पर्यवेक्षकों ने भौतिकी के समान नियमों की खोज की। चूँकि दूर की आकाशगंगाओं में हाइड्रोजन परमाणुओं से प्रकाश अरबों वर्षों तक अंतरिक्ष में यात्रा करने के बाद पृथ्वी तक पहुँच सकता है, वास्तव में कोई भी महा विस्फोट से लेकर लगभग सभी तरह की समयावधियों को कवर करते हुए ऐसे अवलोकन कर सकता है, और वे दिखाते हैं कि के नियम भौतिकी हमेशा एक जैसी रही है।

दूसरे शब्दों में, यदि सिद्धांत में हम समय t को t+100 वर्ष में बदलते हैं (या वास्तव में कोई अन्य समय परिवर्तन) तो सैद्धांतिक भविष्यवाणियाँ नहीं बदलती हैं।

समरूपता का एक और उदाहरण: मनमाना समन्वय परिवर्तनों के तहत आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरण का अपरिवर्तनीयता
आइंस्टीन की सामान्य सापेक्षता में, x, y, z, और t जैसे निर्देशांक न केवल अनुवाद के वैश्विक अर्थ में सापेक्ष हैं $$t \rightarrow t+C$$, घूर्णन, आदि, लेकिन पूरी तरह से मनमाने ढंग से हो जाते हैं, ताकि, उदाहरण के लिए, कुछ मनमाने नियम के अनुसार एक पूरी तरह से नए समय-समान समन्वय को परिभाषित किया जा सके जैसे कि $$t \rightarrow t+t^3/t_0^2$$, कहाँ $$t_0$$ समय के आयाम हैं, और फिर भी आइंस्टीन के समीकरणों का रूप वही होगा। एक मनमाना समन्वय परिवर्तन के तहत समीकरण के रूप की अपरिवर्तनीयता को सामान्य रूप से सामान्य सहप्रसरण के रूप में जाना जाता है, और इस संपत्ति वाले समीकरणों को सहसंयोजक रूप में लिखा जाता है। सामान्य सहप्रसरण गेज अपरिवर्तन का एक विशेष मामला है।

मैक्सवेल के समीकरणों को आम तौर पर सहसंयोजक रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरण के समान सामान्य समन्वय परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है।

क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स
क्वांटम यांत्रिकी के आगमन तक, गेज समरूपता का एकमात्र प्रसिद्ध उदाहरण विद्युत चुंबकत्व में था, और अवधारणा का सामान्य महत्व पूरी तरह से समझा नहीं गया था। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट नहीं था कि यह क्षेत्र ई और बी थे या संभावित वी और ए जो मूलभूत मात्राएं थीं; यदि पूर्व, तो गेज परिवर्तन को गणितीय चाल से अधिक कुछ नहीं माना जा सकता है।

अहरोनोव-बोहम प्रयोग


क्वांटम यांत्रिकी में, इलेक्ट्रॉन जैसे कण को ​​तरंग के रूप में भी वर्णित किया गया है। उदाहरण के लिए, यदि डबल-स्लिट प्रयोग इलेक्ट्रॉनों के साथ किया जाता है, तो एक तरंग जैसा हस्तक्षेप पैटर्न देखा जाता है। इलेक्ट्रॉन के उन स्थानों पर पाए जाने की संभावना सबसे अधिक होती है, जहां दो स्लिटों से गुजरने वाली तरंग के हिस्से एक दूसरे के साथ चरण में होते हैं, जिसके परिणामस्वरूप तरंग हस्तक्षेप होता है। इलेक्ट्रॉन तरंग की आवृत्ति क्वांटम-मैकेनिकल संबंध E = hf के माध्यम से एक व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉन कण की गतिज ऊर्जा से संबंधित होती है। यदि इस प्रयोग में कोई विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र मौजूद नहीं है, तो इलेक्ट्रॉन की ऊर्जा स्थिर है, और, उदाहरण के लिए, प्रयोग के केंद्रीय अक्ष के साथ इलेक्ट्रॉन का पता लगाने की उच्च संभावना होगी, जहां समरूपता के दो भाग होते हैं लहर चरण में हैं.

लेकिन अब मान लीजिए कि प्रयोग में इलेक्ट्रॉन विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र के अधीन हैं। उदाहरण के लिए, यदि अक्ष के एक तरफ विद्युत क्षेत्र लगाया जाए लेकिन दूसरी तरफ नहीं, तो प्रयोग के परिणाम प्रभावित होंगे। उस तरफ से गुजरने वाली इलेक्ट्रॉन तरंग का हिस्सा एक अलग दर पर दोलन करता है, क्योंकि इसकी ऊर्जा में −eV जोड़ा गया है, जहां −e इलेक्ट्रॉन का चार्ज है और V विद्युत क्षमता है। प्रयोग के परिणाम अलग-अलग होंगे, क्योंकि इलेक्ट्रॉन तरंग के दो हिस्सों के बीच चरण संबंध बदल गए हैं, और इसलिए रचनात्मक और विनाशकारी हस्तक्षेप के स्थान एक तरफ या दूसरे में स्थानांतरित हो जाएंगे। यह विद्युत क्षमता है जो यहां घटित होती है, विद्युत क्षेत्र नहीं, और यह इस तथ्य की अभिव्यक्ति है कि यह क्षमताएं हैं न कि क्षेत्र जो क्वांटम यांत्रिकी में मौलिक महत्व रखते हैं।



संभावनाओं के साथ स्पष्टीकरण
ऐसे मामले भी संभव हैं जिनमें किसी प्रयोग के परिणाम तब भिन्न होते हैं जब क्षमताएँ बदल जाती हैं, भले ही कोई भी आवेशित कण कभी भी किसी भिन्न क्षेत्र के संपर्क में न आया हो। ऐसा ही एक उदाहरण अहरोनोव-बोहम प्रभाव है, जो चित्र में दिखाया गया है। इस उदाहरण में, सोलनॉइड को चालू करने से सोलनॉइड के भीतर केवल एक चुंबकीय क्षेत्र बी मौजूद होता है। लेकिन सोलनॉइड को इस प्रकार स्थित किया गया है कि इलेक्ट्रॉन संभवतः इसके आंतरिक भाग से नहीं गुजर सकता है। यदि किसी का मानना ​​है कि फ़ील्ड मूलभूत मात्राएँ हैं, तो वह उम्मीद करेगा कि प्रयोग के परिणाम अपरिवर्तित होंगे। वास्तव में, परिणाम भिन्न हैं, क्योंकि सोलनॉइड को चालू करने से उस क्षेत्र में वेक्टर क्षमता ए बदल गई जहां से इलेक्ट्रॉन गुजरते हैं। अब जब यह स्थापित हो गया है कि विभव V और A मौलिक हैं, न कि फ़ील्ड E और B, तो हम देख सकते हैं कि गेज परिवर्तन, जो V और A को बदलते हैं, वास्तविक हैं केवल गणितीय कलाकृतियाँ होने के बजाय भौतिक महत्व।

गेज अपरिवर्तनीयता: प्रयोगों के परिणाम क्षमता के लिए गेज की पसंद से स्वतंत्र हैं
ध्यान दें कि इन प्रयोगों में, परिणाम को प्रभावित करने वाली एकमात्र मात्रा इलेक्ट्रॉन तरंग के दो भागों के बीच चरण में अंतर है। मान लीजिए कि हम इलेक्ट्रॉन तरंग के दो हिस्सों को छोटी घड़ियों के रूप में कल्पना करते हैं, जिनमें से प्रत्येक में एक ही सुई होती है जो एक सर्कल में घूमती है, अपने चरण का ट्रैक रखती है। हालाँकि यह कार्टून कुछ तकनीकी विवरणों को नजरअंदाज करता है, लेकिन यह उन भौतिक घटनाओं को बरकरार रखता है जो यहां महत्वपूर्ण हैं। यदि दोनों घड़ियों को समान मात्रा में गति दी जाती है, तो उनके बीच चरण संबंध अपरिवर्तित रहता है, और प्रयोगों के परिणाम समान होते हैं। इतना ही नहीं, प्रत्येक घड़ी की गति को एक निश्चित मात्रा में बदलना भी आवश्यक नहीं है। हम प्रत्येक घड़ी पर सुई के कोण को अलग-अलग मात्रा में बदल सकते हैं, जहां θ अंतरिक्ष और समय दोनों की स्थिति पर निर्भर हो सकता है। इसका प्रयोग के परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा, क्योंकि इलेक्ट्रॉन के स्थान का अंतिम अवलोकन एक ही स्थान और समय पर होता है, जिससे प्रत्येक इलेक्ट्रॉन की घड़ी में चरण बदलाव समान होगा, और दो प्रभाव रद्द हो जाएंगे बाहर। यह गेज परिवर्तन का एक और उदाहरण है: यह स्थानीय है, और यह प्रयोगों के परिणामों को नहीं बदलता है।

सारांश
संक्षेप में, क्वांटम यांत्रिकी के संदर्भ में गेज समरूपता अपना पूर्ण महत्व प्राप्त कर लेती है। इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म, यानी क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स के लिए क्वांटम यांत्रिकी के अनुप्रयोग में, गेज समरूपता विद्युत चुम्बकीय तरंगों और इलेक्ट्रॉन तरंगों दोनों पर लागू होती है। ये दो गेज समरूपताएं वास्तव में घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक गेज परिवर्तन θ को इलेक्ट्रॉन तरंगों पर लागू किया जाता है, तो किसी को विद्युत चुम्बकीय तरंगों का वर्णन करने वाली क्षमता के अनुरूप परिवर्तन भी लागू करना होगा। क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स को एक पुनर्सामान्यीकरण सिद्धांत बनाने के लिए गेज समरूपता की आवश्यकता होती है, यानी, जिसमें सभी भौतिक रूप से मापने योग्य मात्राओं की गणना की गई भविष्यवाणियां सीमित होती हैं।

गेज समरूपता के प्रकार
उपरोक्त उपधारा में छोटी घड़ियों के रूप में इलेक्ट्रॉनों का वर्णन वास्तव में गणितीय नियमों का एक कथन है जिसके अनुसार इलेक्ट्रॉनों के चरणों को जोड़ा और घटाया जाना है: उन्हें सामान्य संख्याओं के रूप में माना जाना चाहिए, सिवाय उस स्थिति के जहां गणना का परिणाम 0≤θ<360° की सीमा के बाहर आता है, हम इसे अनुमत सीमा में लपेटने के लिए मजबूर करते हैं, जो एक सर्कल को कवर करता है। इसे रखने का दूसरा तरीका यह है कि 5° का चरण कोण, 365° के कोण के पूर्णतः समतुल्य माना जाता है। प्रयोगों ने इलेक्ट्रॉन तरंगों द्वारा निर्मित हस्तक्षेप पैटर्न के बारे में इस परीक्षण योग्य कथन को सत्यापित किया है। रैप-अराउंड संपत्ति को छोड़कर, इस गणितीय संरचना के बीजगणितीय गुण बिल्कुल सामान्य वास्तविक संख्याओं के समान हैं।

गणितीय शब्दावली में, इलेक्ट्रॉन चरण जोड़ के तहत एक एबेलियन समूह बनाते हैं, जिसे सर्कल समूह या यू(1) कहा जाता है। एबेलियन का अर्थ है कि जोड़ क्रमविनिमेय नियम, ताकि θ + φ = φ + θ। समूह (गणित) का अर्थ है कि योगात्मकता और इसका एक पहचान तत्व है, अर्थात् 0। साथ ही, प्रत्येक चरण के लिए एक व्युत्क्रम तत्व मौजूद होता है जैसे कि एक चरण और उसके व्युत्क्रम का योग 0 होता है। एबेलियन समूहों के अन्य उदाहरण जोड़, 0, और निषेध के तहत पूर्णांक और उत्पाद, 1 और व्युत्क्रम के तहत गैर-शून्य भिन्न हैं।.

गेज की पसंद की कल्पना करने के तरीके के रूप में, विचार करें कि क्या यह बताना संभव है कि सिलेंडर मुड़ गया है या नहीं। यदि सिलेंडर पर कोई उभार, निशान या खरोंच नहीं है, तो हम नहीं बता सकते। हालाँकि, हम सिलेंडर के अनुदिश एक मनमाना वक्र खींच सकते हैं, जिसे किसी फ़ंक्शन θ(x) द्वारा परिभाषित किया गया है, जहां x सिलेंडर की धुरी के साथ दूरी को मापता है। एक बार यह मनमाना विकल्प (गेज का चुनाव) हो जाने के बाद, यदि कोई बाद में सिलेंडर को घुमाता है तो इसका पता लगाना संभव हो जाता है।

1954 में, चेन निंग यांग और रॉबर्ट मिल्स (भौतिक विज्ञानी) ने इन विचारों को गैर-अनुवांशिक समूहों में सामान्यीकृत करने का प्रस्ताव रखा। एक गैर-अनुवांशिक गेज समूह एक ऐसे क्षेत्र का वर्णन कर सकता है, जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के विपरीत, स्वयं के साथ संपर्क करता है। उदाहरण के लिए, सामान्य सापेक्षता बताती है कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों में ऊर्जा होती है, और विशेष सापेक्षता का निष्कर्ष है कि ऊर्जा द्रव्यमान के बराबर है। इसलिए एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र एक और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को प्रेरित करता है। परमाणु बलों के पास भी यह स्व-अंतःक्रियात्मक गुण होता है।

गेज बोसॉन
आश्चर्यजनक रूप से, गेज समरूपता विद्युत और परमाणु इंटरैक्शन जैसे इंटरैक्शन के अस्तित्व के लिए गहरी व्याख्या दे सकती है। यह इस तथ्य से संबंधित एक प्रकार की गेज समरूपता से उत्पन्न होता है कि किसी दिए गए प्रकार के सभी कण प्रयोगात्मक रूप से एक दूसरे से अप्रभेद्य होते हैं। कल्पना कीजिए कि ऐलिस और बेट्टी एक जैसी जुड़वाँ बहनें हैं, जिन पर जन्म के समय कंगनों पर ए और बी लिखा होता है। क्योंकि लड़कियाँ एक जैसी हैं, इसलिए कोई भी यह नहीं बता पाएगा कि जन्म के समय उनका स्थान बदल गया था या नहीं; लेबल ए और बी मनमाने हैं, और इन्हें आपस में बदला जा सकता है। उनकी पहचानों का ऐसा स्थायी आदान-प्रदान वैश्विक गेज समरूपता की तरह है। एक संगत स्थानीय गेज समरूपता भी है, जो इस तथ्य का वर्णन करती है कि एक क्षण से दूसरे क्षण तक, ऐलिस और बेट्टी भूमिकाएँ बदल सकती हैं जबकि कोई नहीं देख रहा होगा, और कोई भी बताने में सक्षम नहीं होगा। यदि हम देखते हैं कि माँ का पसंदीदा फूलदान टूट गया है, तो हम केवल यह अनुमान लगा सकते हैं कि दोष किसी एक या दूसरे जुड़वां का है, लेकिन हम यह नहीं बता सकते कि दोष 100% ऐलिस का है और 0% बेट्टी का, या इसके विपरीत। यदि ऐलिस और बेट्टी वास्तव में लोग नहीं बल्कि क्वांटम-मैकेनिकल कण हैं, तो उनमें तरंग गुण भी हैं, जिसमें सुपरपोजिशन सिद्धांत का गुण भी शामिल है, जो तरंगों को मनमाने ढंग से जोड़ने, घटाने और मिश्रित करने की अनुमति देता है। इससे यह पता चलता है कि हम पहचान की पूर्ण अदला-बदली तक ही सीमित नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि हम देखते हैं कि अंतरिक्ष में एक निश्चित स्थान पर एक निश्चित मात्रा में ऊर्जा मौजूद है, तो ऐसा कोई प्रयोग नहीं है जो हमें बता सके कि क्या वह ऊर्जा 100% ए और 0% बी है, 0% ए और 100% बी है, या 20 है % ए और 80% बी, या कोई अन्य मिश्रण। तथ्य यह है कि समरूपता स्थानीय है इसका मतलब है कि हम इन अनुपातों के स्थिर रहने पर भी भरोसा नहीं कर सकते हैं क्योंकि कण अंतरिक्ष में फैलते हैं। गणितीय रूप से इसका प्रतिनिधित्व कैसे किया जाता है इसका विवरण कणों के स्पिन (भौतिकी) से संबंधित तकनीकी मुद्दों पर निर्भर करता है, लेकिन हमारे वर्तमान उद्देश्यों के लिए हम एक स्पिनलेस कण पर विचार करते हैं, जिसके लिए यह पता चलता है कि मिश्रण को कुछ मनमाने विकल्प द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है गेज θ(x), जहां एक कोण θ = 0° 100% A और 0% B का प्रतिनिधित्व करता है, θ = 90° का अर्थ 0% A और 100% B है, और मध्यवर्ती कोण मिश्रण का प्रतिनिधित्व करते हैं।

क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों के अनुसार, कणों का वास्तव में अंतरिक्ष के माध्यम से प्रक्षेप पथ नहीं होता है। गति को केवल तरंगों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, और एक व्यक्तिगत कण का संवेग p उसकी तरंग दैर्ध्य λ से p = h/λ द्वारा संबंधित होता है। अनुभवजन्य माप के संदर्भ में, तरंग दैर्ध्य केवल अंतरिक्ष में एक बिंदु और दूसरे निकटवर्ती बिंदु (गणितीय रूप से, व्युत्पन्न द्वारा) के बीच तरंग में परिवर्तन को देखकर निर्धारित किया जा सकता है। छोटी तरंग दैर्ध्य वाली तरंग अधिक तेजी से दोलन करती है, और इसलिए निकटवर्ती बिंदुओं के बीच अधिक तेजी से बदलती है। अब मान लीजिए कि हम मनमाने ढंग से अंतरिक्ष में एक बिंदु पर एक गेज तय करते हैं, यह कहकर कि उस स्थान पर ऊर्जा 20% ए और 80% बी है। फिर हम दोनों तरंगों को उनकी तरंग दैर्ध्य निर्धारित करने के लिए किसी अन्य, नजदीकी बिंदु पर मापते हैं। लेकिन लहरें बदलने के दो बिल्कुल अलग कारण हैं। वे बदल सकते थे क्योंकि वे एक निश्चित तरंग दैर्ध्य के साथ दोलन कर रहे थे, या वे बदल सकते थे क्योंकि गेज फ़ंक्शन 20-80 मिश्रण से बदलकर, मान लीजिए, 21-79 हो गया था। यदि हम दूसरी संभावना को नजरअंदाज करते हैं, तो परिणामी सिद्धांत काम नहीं करता है; संवेग में अजीब विसंगतियाँ दिखाई देंगी, जो संवेग के संरक्षण के सिद्धांत का उल्लंघन करेंगी। सिद्धांत में कुछ बदला जाना चाहिए.

फिर से स्पिन से संबंधित तकनीकी मुद्दे हैं, लेकिन कई महत्वपूर्ण मामलों में, विद्युत आवेशित कणों और परमाणु बलों के माध्यम से बातचीत करने वाले कणों सहित, समस्या का समाधान गेज फ़ंक्शन θ(x) में भौतिक वास्तविकता को लागू करना है। हम कहते हैं कि यदि फ़ंक्शन θ दोलन करता है, तो यह एक नए प्रकार की क्वांटम-मैकेनिकल तरंग का प्रतिनिधित्व करता है, और इस नई तरंग की अपनी गति p = h/λ होती है, जो pa में बदल जाती हैउन विसंगतियों को दूर करें जो अन्यथा गति के संरक्षण को तोड़ देतीं। विद्युत चुंबकत्व के संदर्भ में, कण ए और बी इलेक्ट्रॉनों जैसे आवेशित कण होंगे, और θ द्वारा दर्शाया गया क्वांटम यांत्रिक तरंग विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र होगा। (यहां हम इस तथ्य से उठाए गए तकनीकी मुद्दों को नजरअंदाज करते हैं कि इलेक्ट्रॉनों में वास्तव में स्पिन 1/2 होता है, स्पिन शून्य नहीं। यह अतिसरलीकरण यही कारण है कि गेज क्षेत्र θ एक अदिश राशि के रूप में सामने आता है, जबकि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र वास्तव में एक द्वारा दर्शाया जाता है वी और 'ए' से युक्त वेक्टर।) परिणाम यह है कि हमारे पास विद्युत चुम्बकीय इंटरैक्शन की उपस्थिति के लिए एक स्पष्टीकरण है: यदि हम समान, गैर-इंटरैक्टिंग कणों के गेज-सममित सिद्धांत का निर्माण करने का प्रयास करते हैं, तो परिणाम आत्मनिर्भर नहीं है, और केवल विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों को जोड़कर ही मरम्मत की जा सकती है जो कणों के परस्पर क्रिया का कारण बनते हैं।

हालाँकि फ़ंक्शन θ(x) एक तरंग का वर्णन करता है, क्वांटम यांत्रिकी के नियमों के अनुसार इसमें कण गुण भी होने चाहिए। विद्युत चुम्बकत्व के मामले में, विद्युत चुम्बकीय तरंगों के अनुरूप कण फोटॉन है। सामान्य तौर पर, ऐसे कणों को गेज बोसॉन कहा जाता है, जहां बोसॉन शब्द पूर्णांक स्पिन वाले कण को ​​​​संदर्भित करता है। सिद्धांत के सबसे सरल संस्करणों में गेज बोसॉन द्रव्यमान रहित होते हैं, लेकिन उन संस्करणों का निर्माण करना भी संभव है जिनमें उनका द्रव्यमान होता है। यह गेज बोसॉन का मामला है जो कमजोर अंतःक्रिया करता है: परमाणु क्षय के लिए जिम्मेदार बल।

अग्रिम पठन
These books are intended for general readers and employ the barest minimum of mathematics.
 * 't Hooft, Gerard: "Gauge Theories of the Force between Elementary Particles," Scientific American, 242(6):104–138 (June 1980).
 * "Press Release: The 1999 Nobel Prize in Physics". Nobelprize.org. Nobel Media AB 2013. 20 Aug 2013.
 * Schumm, Bruce (2004) Deep Down Things. Johns Hopkins University Press. A serious attempt by a physicist to explain gauge theory and the Standard Model.
 * Feynman, Richard (2006) QED: The Strange Theory of Light and Matter. Princeton University Press. A nontechnical description of quantum field theory (not specifically about gauge theory).