जैकोबी रोटेशन

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में, जैकोबी रोटेशन n-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान के 2-आयामी रैखिक(गणित) उप-स्थान का रोटेशन Qkℓ है, A तब समान आव्युह के रूप में प्रयुक्त किया जाता है: जब n × n वास्तविक संख्या सममित आव्युह, की ऑफ-मेन विकर्ण प्रविष्टियों की सममित जोड़ी को शून्य करने के लिए चुना जाता है,


 * $$ A \mapsto Q_{k\ell}^T A Q_{k\ell} = A' . \,\!                                                                                                                                 $$

\begin{bmatrix} {*} &  &   & \cdots &   &   & * \\ & \ddots &  &   &   &   &   \\ &  & a_{kk} & \cdots & a_{k\ell} &   &   \\ \vdots &  & \vdots & \ddots & \vdots &   & \vdots \\ &  & a_{\ell k} & \cdots & a_{\ell\ell} &   &   \\ &   &   &   &   & \ddots &   \\ {*} &  &   & \cdots &   &   & * \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} {*} &  &   & \cdots &   &   & * \\ & \ddots &  &   &   &   &   \\ &  & a'_{kk} & \cdots & 0 &   &   \\ \vdots &  & \vdots & \ddots & \vdots &   & \vdots \\ &  & 0 & \cdots & a'_{\ell\ell} &   &   \\ &   &   &   &   & \ddots &   \\ {*} &  &   & \cdots &   &   & * \end{bmatrix}. $$ यह जैकोबी आइजेनवैल्यू एल्गोरिथम में मुख्य ऑपरेशन है, जो संख्यात्मक रूप से स्थिर है और समानांतर प्रोसेसर पर कार्यान्वयन के लिए उपयुक्त है।.

केवल A की पंक्तियाँ k और ℓ और कॉलम k और ℓ से प्रभावित होंगे, और वह A सममित रहेगा. इसके अतिरिक्त, Qkℓ के लिए स्पष्ट आव्युह इसकी गणना संभवतः ही कभी की जाती है; इसके अतिरिक्त, सहायक मानों की गणना की जाती है और A को कुशल और संख्यात्मक रूप से स्थिर विधियों से अद्यतन किया जाता है। चूँकि, संदर्भ के लिए, हम आव्युह को इस प्रकार लिख सकते हैं



Q_{k\ell} = \begin{bmatrix} 1 &  &   &   &   &   &   \\   & \ddots &   &   &   & 0 &   \\ &  & c & \cdots & s &   &   \\ &  & \vdots & \ddots & \vdots &   &  \\ &  & -s & \cdots & c &   &   \\ & 0 &  &   &   & \ddots &   \\ &  &   &   &   &   & 1 \end{bmatrix}. $$ अर्थात् Qkℓ की चार प्रविष्टियों को छोड़कर इसकी पहचान आव्युह है, तथा दोनों विकर्ण पर qkk और qℓℓ, दोनों c के समान हैं) और दो सममित रूप से विकर्ण से दूर रखे गए (qkℓ और qℓk, क्रमशः s और −s के समान ) होते हैं। यहां कुछ कोण θ के लिए c=cosθ और s=sinθ लेकिन रोटेशन प्रयुक्त करने के लिए कोण की ही आवश्यकता नहीं होती है। क्रोनकर डेल्टा नोटेशन का उपयोग करके, आव्युह प्रविष्टियाँ लिखी जा सकती हैं


 * $$ q_{ij} =

\delta_{ij} + (\delta_{ik}\delta_{jk} + \delta_{i\ell}\delta_{j\ell})(c-1) + (\delta_{ik}\delta_{j\ell} - \delta_{i\ell}\delta_{jk})s. \,\!                                                                                                                                                                        $$ मान लीजिए h, k या ℓ के अतिरिक्त सूचकांक है (जो स्वयं भिन्न होना चाहिए)। फिर समानता अद्यतन, बीजगणितीय रूप से, उत्पन्न करता है


 * $$ a'_{hk} = a'_{kh} = c a_{hk} - s a_{h\ell} \,\!                                                                                                                                            $$
 * $$ a'_{h\ell} = a'_{\ell h} = c a_{h\ell} + s a_{hk} \,\! $$
 * $$ a'_{k\ell} = a'_{\ell k} = (c^2-s^2)a_{k\ell} + sc (a_{kk} - a_{\ell\ell}) = 0 \,\! $$
 * $$ a'_{kk} = c^2 a_{kk} + s^2 a_{\ell\ell} - 2 s c a_{k\ell} \,\! $$
 * $$ a'_{\ell\ell} = s^2 a_{kk} + c^2 a_{\ell\ell} + 2 s c a_{k\ell}. \,\! $$

संख्यात्मक रूप से स्थिर गणना
अद्यतन के लिए आवश्यक मात्राएँ निर्धारित करने के लिए, हमें शून्य के लिए ऑफ-विकर्ण समीकरण को हल करना होगा. इसका अर्थ यह है कि


 * $$ \frac{c^2-s^2}{sc} = \frac{a_{\ell\ell} - a_{kk}}{a_{k\ell}} . $$

इस मात्रा के आधे पर β निर्धारित करें,


 * $$ \beta = \frac{a_{\ell\ell} - a_{kk}}{2 a_{k\ell}} .                                                                                                                                             $$

यदि akℓ शून्य है तो हम अद्यतन किए बिना रुक सकते हैं, इस प्रकार हम कभी भी शून्य से विभाजित नहीं होते हैं। मान लीजिए t tan θ है। फिर कुछ त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के साथ हम समीकरण को कम करते हैं


 * $$ t^2 + 2\beta t - 1 = 0 . \,\! $$

स्थिरता के लिए हम समाधान चुनते हैं


 * $$ t = \frac{\sgn(\beta)}{|\beta|+\sqrt{\beta^2+1}} .                                                                                                                                  $$

इससे हम c और s प्राप्त कर सकते हैं


 * $$ c = \frac{1}{\sqrt{t^2+1}} \,\!                                                                                                                                                                               $$
 * $$ s = c t \,\! $$

चूँकि अब हम पहले दिए गए बीजगणितीय अद्यतन समीकरणों का उपयोग कर सकते हैं, उन्हें फिर से लिखना बेहतर हो सकता है। मान लीजिये


 * $$ \rho= \frac{1-c}{s}, $$

जिससे ρ = tan(θ/2). फिर संशोधित अद्यतन समीकरण हैं


 * $$ a'_{hk} = a'_{kh} = a_{hk} - s (a_{h\ell} + \rho a_{hk}) \,\! $$
 * $$ a'_{h\ell} = a'_{\ell h} = a_{h\ell} + s (a_{hk} - \rho a_{h\ell}) \,\! $$
 * $$ a'_{k\ell} = a'_{\ell k} = 0 \,\! $$
 * $$ a'_{kk} = a_{kk} - t a_{k \ell} \,\!                                                                                                                                                                   $$
 * $$ a'_{\ell\ell} = a_{\ell\ell} + t a_{k \ell} \,\!                                                                                                                                                                       $$

जैसा कि पहले कहा गया है, हमें कभी भी रोटेशन कोण θ की स्पष्ट रूप से गणना करने की आवश्यकता नहीं है। वास्तव में, हम Qkℓ द्वारा निर्धारित सममित अद्यतन को पुन: उत्पन्न कर सकते हैं केवल तीन मान k, ℓ, और t को निरंतर रखते हुए, शून्य रोटेशन के लिए t को शून्य पर निर्धारित किया गया है।

यह भी देखें

 * गिवेंस रोटेशन
 * गृहस्थ परिवर्तन