समय प्रतिवर्तीता

एक गणितीय या भौतिक प्रक्रिया समय-प्रतिवर्ती होती है यदि समय-स्थिति के अनुक्रम को उलटने पर प्रक्रिया की गतिशीलता अच्छी तरह से परिभाषित रहती है।

एक नियतात्मक प्रणाली समय-प्रतिवर्ती है यदि समय-उलट प्रक्रिया मूल प्रक्रिया के समान गतिशील समीकरण (बहुविकल्पी) को संतुष्ट करती है; दूसरे शब्दों में, समय के चिन्ह (गणित) में परिवर्तन के अंतर्गत समीकरण अपरिवर्तनीय (गणित) या समरूपता हैं। एक अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया प्रतिवर्ती है यदि प्रक्रिया के सांख्यिकीय गुण उसी प्रक्रिया से समय-उलट आंकड़ों के सांख्यिकीय गुणों के समान हैं।

गणित
गणित में, एक गतिशील प्रणाली समय-प्रतिवर्ती होती है यदि आगे का विकास एक-से-एक होता है, ताकि हर स्तिथि के लिए एक परिवर्तन उपस्थित हो (एक उलटाव (गणित)) π जो संचालक समीकरण द्वारा दिए गए किसी एक स्तिथि के समय-उलट विकास और किसी अन्य संबंधित स्तिथि के आगे-समय के विकास के बीच एक-से-एक मानचित्रण देता है:


 * $$U_{-t} = \pi \, U_{t}\, \pi$$

किसी भी समय-स्वतंत्र संरचनाएं (जैसे महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) या आकर्षित करने वाले) जो गतिकी को उत्पन्न करती हैं, इसलिए या तो स्व-सममित होना चाहिए या प्रत्यावर्तन π के अंतर्गत सममित छवियां होनी चाहिए।

भौतिकी
भौतिकी में, शास्त्रीय यांत्रिकी की गति के न्यूटन के नियम समय की उत्क्रमणशीलता प्रदर्शित करते हैं, जब तक कि संचालक π प्रणाली के सभी कणों के संयुग्मित संवेग को उलट देता है, अर्थात. $$\mathbf{p} \rightarrow \mathbf{-p} $$ (टी-समरूपता)।

परिमाण यांत्रिकी प्रणालियों में, हालांकि, शक्तिहीन परमाणु बल अकेले टी-समरूपता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय नहीं है; यदि शक्तिहीन अंतःक्रियाएं उपस्थित हैं, तो प्रतिवर्ती गतिकी अभी भी संभव है, लेकिन केवल अगर संचालक π स्थानिक समन्वय (सी-समरूपता और पी-समरूपता) के सभी प्रभार (भौतिकी) और समता (भौतिकी) के संकेतों को भी उलट देता है। कई जुड़े गुणों की यह प्रतिवर्तीता सीपीटी समरूपता के रूप में जानी जाती है।

प्रक्रिया के उपरान्त एन्ट्रापी में परिवर्तन के आधार पर तापगतिकीय प्रक्रियाएं प्रतिवर्ती प्रक्रिया (तापगतिकीय्) या अपरिवर्तनीय प्रक्रिया हो सकती हैं। ध्यान दें, हालांकि, मौलिक नियम जो तापगतिकीय प्रक्रियाओं को रेखांकित करते हैं, वे सभी समय-प्रतिवर्ती हैं (गति के शास्त्रीय नियम और विद्युत् गतिक के नियम), जिसका अर्थ है कि सूक्ष्म स्तर पर, यदि कोई सभी कणों और स्वतंत्रता के सभी परिमाण का पथानुसरण रखता है, तो कई-शरीर प्रणाली प्रक्रियाएं उलटा हो सकती हैं; हालांकि, ऐसा विश्लेषण किसी भी इंसान (या कृत्रिम बुद्धि) की क्षमता से परे है, और तापगतिकीय स्तिथि (जैसे एंट्रॉपी और तापमान) कई-निकाय प्रणाली तापगतिकीय संतुलन से केवल स्तिथि चर हैं। जब हम ऊष्मप्रवैगिकी में ऐसे स्थूलदर्शित गुणों के बारे में बात करते हैं, तो कुछ स्तिथियों में, हम सांख्यिकीय स्तर पर इन मात्राओं के समय के विकास में अपरिवर्तनीयता देख सकते हैं। वास्तव में, ऊष्मप्रवैगिकी का दूसरा नियम भविष्यवाणी करता है कि पूरे ब्रह्मांड की एन्ट्रॉपी कम नहीं होनी चाहिए, इसलिए नहीं कि इसकी संभावना शून्य है, बल्कि इसलिए कि यह बहुत कम संभावना है कि यह सभी व्यावहारिक विचारों के लिए एक बड़ा विचलन सिद्धांत है (क्रूक्स उतार-चढ़ाव प्रमेय देखें)।

प्रसंभाव्य प्रक्रियाएं
एक प्रसंभाव्य प्रक्रिया समय-प्रतिवर्ती होती है यदि समय वृद्धि के सभी सम्मुच्चयों के लिए आगे और विपरीत स्तिथि अनुक्रमों { τs} की संयुक्त संभावनाएं समान होती हैं, s = 1 के लिए, ..., k किसी भी k के लिए निम्न है:
 * $$p(x_t, x_{t+\tau_1}, x_{t+\tau_2}, \ldots, x_{t+\tau_k}) = p(x_{t'}, x_{t'-\tau_1}, x_{t'-\tau_2} , \ldots , x_{t'-\tau_k})$$

एक अविभाजित स्थिर गाऊसी प्रक्रिया समय-प्रतिवर्ती है। मार्कोव प्रक्रियाएं केवल तभी प्रतिवर्ती हो सकती हैं यदि उनके स्थिर वितरण में विस्तृत संतुलन का गुण हो:
 * $$p(x_t=i,x_{t+1}=j) = \,p(x_t=j,x_{t+1}=i)$$

कोलमोगोरोव का मानदंड मार्कोव श्रृंखला या निरंतर-समय मार्कोव श्रृंखला के लिए समय-प्रतिवर्ती होने की स्थिति को परिभाषित करता है।

प्रसंभाव्य प्रक्रम के कई वर्गों के समय के उत्क्रमण का अध्ययन किया गया है, जिसमें लेवी प्रक्रियाएं, प्रसंभाव्य संजाल (केली की लेम्मा), जन्म और मृत्यु की प्रक्रिया, मार्कोव चेन, और खंडशः नियतात्मक मार्कोव प्रक्रियाएं सम्मिलित हैं।

तरंगें और प्रकाशिकी
कालोत्क्रमण विधि तरंग समीकरण के रैखिक पारस्परिकता के आधार पर काम करती है, जिसमें कहा गया है कि तरंग समीकरण का समय उलटा समाधान भी तरंग समीकरण का एक समाधान है क्योंकि मानक तरंग समीकरणों में केवल अज्ञात चर के संजात होते हैं। इस प्रकार, तरंग समीकरण समय उत्क्रमण के अंतर्गत सममित है, इसलिए किसी भी वैध समाधान का समय उत्क्रमण भी एक समाधान है। इसका मतलब यह है कि किसी भी दिशा में यात्रा करने पर अंतरिक्ष के माध्यम से तरंग का मार्ग मान्य होता है।

कालोत्क्रमण संकेत संसाधन एक ऐसी प्रक्रिया है जिसमें इस संपत्ति का उपयोग प्राप्त संकेत को उलटने के लिए किया जाता है; यह संकेत फिर से उत्सर्जित होता है और एक अस्थायी संपीड़न होता है, जिसके परिणामस्वरूप प्रारंभिक स्रोत पर चलाए जा रहे प्रारंभिक उत्तेजना तरंग का उत्क्रमण होता है।

यह भी देखें

 * टी-समरूपता
 * स्मृतिहीनता
 * मार्कोव संपत्ति
 * प्रतिवर्ती कंप्यूटिंग

संदर्भ

 * ईशम, वी. (1991) "मॉडलिंग स्टोचैस्टिक घटना". In: स्टोचैस्टिक थ्योरी एंड मॉडलिंग, हिंकले, डीवी., रीड, एन., स्नेल, ई.जे. (एड्स)। चैपमैन और हॉल. ISBN 978-0-412-30590-0.
 * टोंग, एच. (1990) गैर-रैखिक समय श्रृंखला: एक गतिशील प्रणाली दृष्टिकोण. ऑक्सफोर्ड यूपी. ISBN 0-19-852300-9