विपरीत समूह

समूह सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक विपरीत समूह दूसरे समूह से एक समूह बनाने का एक प्रकार है जो समूह क्रिया (गणित) को समूह क्रिया (गणित) के एक विशेष मामले के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देता है।

मोनोइड, समूह, वलय (गणित), और एक वलय के ऊपर बीजगणित को एक ही वस्तु के साथ श्रेणी (गणित) के रूप में देखा जा सकता है। विपरीत श्रेणी का निर्माण विपरीत समूह, विपरीत रिंग आदि का सामान्यीकरण करता है।

परिभाषा
होने देना $$G$$ ऑपरेशन के तहत एक समूह बनें $$*$$. के विपरीत समूह $$G$$, निरूपित $$G^{\mathrm{op}}$$, के समान अंतर्निहित सेट है $$G$$, और इसका समूह संचालन $$\mathbin{\ast'}$$ द्वारा परिभाषित किया गया है $$g_1 \mathbin{\ast'} g_2 = g_2 * g_1$$.

अगर $$G$$ आबेली समूह है, तो यह अपने विपरीत समूह के बराबर है। साथ ही, हर समूह $$G$$ (आवश्यक रूप से एबेलियन नहीं) अपने विपरीत समूह के लिए स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक है: एक आइसोमोर्फिज्म $$\varphi: G \to G^{\mathrm{op}}$$ द्वारा दिया गया है $$\varphi(x) = x^{-1}$$. अधिक आम तौर पर, कोई भी antiautomorphism $$\psi: G \to G$$ संगत समरूपता को जन्म देता है $$\psi': G \to G^{\mathrm{op}}$$ के जरिए $$\psi'(g)=\psi(g)$$, तब से
 * $$\psi'(g * h) = \psi(g * h) = \psi(h) * \psi(g) = \psi(g) \mathbin{\ast'} \psi(h)=\psi'(g) \mathbin{\ast'} \psi'(h).$$

ग्रुप एक्शन
होने देना $$X$$ किसी श्रेणी में एक वस्तु हो, और $$\rho: G \to \mathrm{Aut}(X)$$ एक समूह क्रिया (गणित) हो। तब $$\rho^{\mathrm{op}}: G^{\mathrm{op}} \to \mathrm{Aut}(X)$$ द्वारा परिभाषित एक वाम क्रिया है $$\rho^{\mathrm{op}}(g)x = x\rho(g)$$, या $$g^{\mathrm{op}}x = xg$$.

यह भी देखें

 * विपरीत अंगूठी
 * विपरीत श्रेणी

बाहरी संबंध

 * http://planetmath.org/oppositegroup