लोकस (गणित)

ज्यामिति में, लोकस (बहुवचन: लोकी) (स्थान के लिए लैटिन शब्द) सभी बिंदुओं (ज्यामिति) का सेट (गणित) है (सामान्यतः, रेखा (ज्यामिति), रेखा खंड, वक्र ( गणित) या सतह (टोपोलॉजी)), जिसका स्थान संतुष्ट करता है अथवा अधिक निर्दिष्ट स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है। कुछ संपत्ति को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं के समुच्चय को अधिकांशतः इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाले बिंदु का स्थान कहा जाता है। इस सूत्रीकरण में एकवचन का प्रयोग इस तथ्य का साक्षी है कि 19वीं शताब्दी के अंत में गणितज्ञ अनंत समुच्चयों पर विचार नहीं किया करते थे। रेखाओं और वक्रों को बिंदुओं के समुच्चय के रूप में अवलोकित करने के अतिरिक्त, उन्हें ऐसे स्थानों के रूप में अवलोकित किया जहाँ बिंदु स्थित हो सकता है या स्थानांतरित हो सकता है।

इतिहास और दर्शन
20वीं शताब्दी के प्रारम्भ में, ज्यामितीय आकृति (उदाहरण के लिए वक्र) को बिंदुओं के अनंत समुच्चय के रूप में स्वीकार नहीं किया जाता था, किंतु, इसे इकाई के रूप में स्वीकार किया जाता था, जिस पर बिंदु स्थित हो सकता है अथवा जिस पर वह गमन करता है। इस प्रकार यूक्लिडियन विमान में वृत्त (गणित) को बिंदु के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया था जो निश्चित बिंदु, वृत्त के केंद्र की दूरी पर स्थित है। आधुनिक गणित में, आकृतियों को समुच्चय के रूप में वर्णित करके समान अवधारणाओं की अधिक पुनरावृत्ति की जाती है| उदाहरण के लिए, वृत्त उन बिंदुओं का समुच्चय है जो केंद्र से निश्चित दूरी पर हैं।

सेट-सैद्धांतिक दृष्टिकोण के विपरीत, पूर्व सूत्रीकरण अनंत संग्रहों पर विचार नहीं करता है, क्योंकि वास्तविक अनंत से प्रतिरक्षण पूर्व गणितज्ञों की महत्वपूर्ण दार्शनिक स्थिति थी।

स्थापित सिद्धांत सार्वभौमिक आधार है जिस पर गणित आधारित है, लोकस प्राचीन शब्द है। तथापि, यह शब्द वर्तमान में व्यापक रूप से मुख्यतः संक्षिप्त सूत्रीकरण के लिए उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए-
 * क्रिटिकल लोकस, अवकलनीय फलन के महत्वपूर्ण बिंदुओं (गणित) का समुच्चय है।
 * शून्य लोकस या लुप्त लोकस, उन बिंदुओं का समुच्चय जहाँ फलन लुप्त हो जाता है, जिसमें वह शून्य मान (गणित) स्वीकार करता है।
 * एकल लोकस, बीजगणितीय प्रकार के बिंदुओं का समुच्चय है।
 * जुड़ाव स्थान, परिमेय फलन के सदस्य के प्राचल समुच्चय का उप-समुच्चय जिसके लिए फलन का जूलिया सेट जुड़ा हुआ है।

हाल ही में, योजना के सिद्धांत (गणित) जैसी तकनीकें, और गणित को आधार देने के लिए सेट सिद्धांत के अतिरिक्त श्रेणी सिद्धांत का उपयोग, धारणाओं पर वापस आ गया है, जैसे कि लोकस की मूल परिभाषा वस्तु के अतिरिक्त अपने आप में। बिंदुओं के समूह के रूप में।

विमान ज्यामिति में उदाहरण
समतल ज्यामिति के उदाहरणों में शामिल हैं:
 * दो बिंदुओं से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय दो बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड का लम्ब समद्विभाजक होता है।
 * दो रेखाओं से समदूरस्थ बिंदुओं का समुच्चय जो एक दूसरे को काटते हैं, कोण समद्विभाजक होता है।
 * सभी शांकव खंड लोकी हैं:
 * वृत्त: बिंदुओं का समूह जिसके लिए एक बिंदु से दूरी स्थिर (त्रिज्या) है।
 * परवलय: निश्चित बिंदु (फोकस (ज्यामिति)) और एक रेखा (डायरेक्ट्रिक्स (शंक्वाकार खंड)) से समदूरस्थ बिंदुओं का समूह।
 * अतिशयोक्ति : बिंदुओं का समूह जिनमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरियों के बीच अंतर का निरपेक्ष मान स्थिरांक होता है।
 * दीर्घवृत्त: बिंदुओं का समुच्चय जिसमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरियों का योग एक स्थिरांक होता है

लोकी के अन्य उदाहरण गणित के विभिन्न क्षेत्रों में दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, जटिल गतिकी में, मैंडलब्रॉट सेट#औपचारिक परिभाषा जटिल तल का उपसमुच्चय है जिसे बहुपद मानचित्रों के परिवार के जुड़ाव स्थान के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

लोकस का प्रमाण
एक ज्यामितीय आकार साबित करने के लिए शर्तों के एक सेट के लिए सही स्थान है, एक आम तौर पर सबूत को दो चरणों में विभाजित करता है: सबूत है कि शर्तों को संतुष्ट करने वाले सभी बिंदु दिए गए आकार पर हैं, और प्रमाण है कि दिए गए आकार पर सभी बिंदु शर्तों को पूरा करते हैं।

पहला उदाहरण
उस बिंदु P का बिंदुपथ ज्ञात कीजिए जिसकी दूरियों का अनुपात k = d है1/डी2 दो दिए गए बिंदुओं के लिए।

इस उदाहरण में k = 3, A(−1,0) और B(0,2) को निश्चित बिंदुओं के रूप में चुना गया है।


 * P(x,y) बिंदुपथ का एक बिंदु है
 * $$\Leftrightarrow |PA| = 3 |PB| $$
 * $$\Leftrightarrow |PA|^2 = 9 |PB|^2 $$
 * $$\Leftrightarrow (x + 1)^2 + (y - 0)^2 = 9(x - 0)^2 + 9(y - 2)^2 $$
 * $$\Leftrightarrow 8(x^2 + y^2) - 2x - 36y + 35 = 0 $$
 * $$\Leftrightarrow \left(x - \frac18\right)^2 + \left(y - \frac94\right)^2 = \frac{45}{64}.$$

यह समीकरण केंद्र (1/8,9/4) और त्रिज्या के साथ एक वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है $$\tfrac{3}{8}\sqrt{5}$$. यह अपोलोनियस # अपोलोनियस की परिभाषा है, जो के, ए, और बी के इन मूल्यों द्वारा परिभाषित सर्कल की परिभाषा है।

दूसरा उदाहरण
एक त्रिभुज ABC की लंबाई c के साथ एक निश्चित भुजा [AB] है। तीसरे वर्टेक्स (ज्यामिति) सी का स्थान निर्धारित करें जैसे कि ए और सी से मेडियन (ज्यामिति) ओर्थोगोनल हैं।

एक असामान्य निर्देशांक प्रणाली चुनें जैसे कि A(−c/2,0), B(c/2,0)। C(x,y) चर तीसरा शीर्ष है। [BC] का केंद्र M((2x+c)/4,y/2) है। C से माध्यिका का ढलान y/x है। माध्यिका AM का ढलान 2y/(2x+3c) है।


 * $$\Leftrightarrow$$ A और C से माध्यिकाएँ ओर्थोगोनल हैं
 * $$\Leftrightarrow \frac{y}{x} \cdot \frac{2y}{2x + 3c} = -1 $$ :$$\Leftrightarrow 2 y^2 + 2x^2 + 3c x = 0 $$ :$$\Leftrightarrow x^2 + y^2 + (3c/2) x = 0 $$ :$$\Leftrightarrow (x + 3c/4)^2 + y^2 = 9c^2/16. $$

शीर्ष C का स्थान केंद्र (−3c/4,0) और त्रिज्या 3c/4 वाला एक वृत्त है।

तीसरा उदाहरण
एक सामान्य पैरामीटर के आधार पर एक लोकस को दो संबद्ध वक्रों द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है। यदि पैरामीटर भिन्न होता है, तो संबंधित वक्रों के प्रतिच्छेदन बिंदु लोकस का वर्णन करते हैं।

आकृति में, बिंदु K और L किसी दिए गए रेखा m पर स्थिर बिंदु हैं। रेखा k, K से होकर जाने वाली एक परिवर्तनशील रेखा है। L से होकर जाने वाली रेखा l, k के लंबवत है। कोना $$\alpha$$ k और m के बीच का पैरामीटर है। सामान्य पैरामीटर के आधार पर k और l संबद्ध रेखाएँ हैं। k और l का चर चौराहा बिंदु S एक वृत्त का वर्णन करता है। यह वृत्त दो संबद्ध रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु का स्थान है।

चौथा उदाहरण
बिंदुओं का स्थान एक-आयामी (एक वृत्त, रेखा, आदि के रूप में) होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, असमानता का ठिकाना $P$ समतल का वह भाग है जो समीकरण की रेखा के नीचे है $l$.

यह भी देखें

 * बीजगणितीय किस्म
 * वक्र
 * रेखा (ज्यामिति)
 * सेट-बिल्डर नोटेशन
 * आकार (ज्यामिति)