परिक्रामी कक्षाओं का न्यूटन का प्रमेय

Newton revolving orbit e0.0 3rd harmonic.ogv version of this animation is found यहाँ। Newton revolving orbits.svg में k का अंतर है। ऐसी कक्षाओं के उदाहरण चित्र 1 और 3-5 में दिखाए गए हैं।]]मौलिक यांत्रिकी में, न्यूटन की परिक्रामी कक्षाओं का प्रमेय किसी कण की रेडियल गति को प्रभावित किए बिना उसकी कोणीय गति को कारक k से गुणा करने के लिए आवश्यक केंद्रीय बल के प्रकार की पहचान करता है (आंकड़े 1 और 2)। न्यूटन ने चंद्रमा और ग्रह के लिए देखे गए कक्षाओं के समग्र घूर्णन ( अप्साइडल प्रीसेशन , चित्र 3) को समझने के लिए अपने प्रमेय का उपयोग किया। रेडियल गति शब्द बल के केंद्र की ओर या उससे दूर की गति को दर्शाता है, जबकि कोणीय गति रेडियल गति के लंबवत है।

आइजैक न्यूटन ने इस प्रमेय को अपनी फिलोसोफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथमेटिका की पुस्तक के प्रस्ताव 43-45 में व्युत्पन्न किया है, जो पहली बार 1687 में प्रकाशित हुआ था। प्रस्ताव 43 में, उन्होंने दिखाया कि जोड़ा गया बल केंद्रीय बल होना चाहिए, जिसका परिमाण केवल निर्भर करता है कण और अंतरिक्ष (केंद्र) में स्थिर बिंदु के मध्य की दूरी r पर प्रस्ताव 44 में, उन्होंने बल के लिए सूत्र निकाला, जिसमें दिखाया गया कि यह व्युत्क्रम-घन बल था, जो r के व्युत्क्रम घन के रूप में भिन्न होता है। इस प्रकार प्रस्ताव 45 में न्यूटन ने अपने प्रमेय को मनमाना केंद्रीय बलों तक विस्तारित किया था, यह मानते हुए कि कण लगभग वृत्ताकार कक्षा में घूमता है।

जैसा कि खगोलभौतिकीविद् सुब्रह्मण्यन चंद्रशेखर ने न्यूटन के प्रिंसिपिया पर अपनी 1995 की टिप्पणी में उल्लेख किया है, यह प्रमेय तीन शताब्दियों से अधिक समय तक अधिक सीमा तक अज्ञात और अविकसित रहा। 1997 से, प्रमेय का अध्ययन डोनाल्ड लिंडन-बेल और सहयोगियों द्वारा किया गया है। इसका पहला स्पष्ट विस्तार 2000 में महोमेद और वावदा के कार्य के साथ आया था।

ऐतिहासिक संदर्भ


Newton revolving orbit e0.6 precession.ogg को विज़ुअलाइज़ेशन के लिए बढ़ा-चढ़ाकर पेश किया गया है। सौर मंडल की अधिकांश कक्षाओं में अधिक छोटी विलक्षणता होती है, जिससे वह लगभग वृत्ताकार हो जाती हैं। ग्राफ़िक्स इंटरचेंज प्रारूप version of this animation is found यहाँ।

इस प्रकार हजारों वर्षों से खगोलीय पिंडों की गति का व्यवस्थित रूप से अध्ययन किया जाता रहा है। यह देखा गया कि तारे समान रूप से घूमते हैं, सदैव दूसरे के सापेक्ष समान स्थिति बनाए रखते हैं। चूंकि, अन्य पिंडों को स्थिर तारों की पृष्ठभूमि में घूमते हुए देखा गया था; ऐसे अधिकांश पिंडों को भटकने वालों के लिए ग्रीक शब्द πλανήτοι (प्लानेटोई) के पश्चात् ग्रह कहा जाता था। यद्यपि वह सामान्यतः आकाश (क्रांतिवृत्त) के पार पथ पर ही दिशा में चलते हैं, व्यक्तिगत ग्रह कभी-कभी प्रतिगामी गति का प्रदर्शन करते हुए, कुछ समय के लिए अपनी दिशा को उलट देते हैं।

इस आगे और पीछे की गति का वर्णन करने के लिए, पेर्गा के अपोलोनियस (c. 262 – c. 190 BC) ने आस्थगित और महाकाव्य की अवधारणा विकसित की थी, जिसके अनुसार ग्रह घूमते हुए वृत्तों पर चलते हैं जो स्वयं अन्य घूर्णन वृत्तों पर चलते हैं, इत्यादि। इस प्रकार किसी भी कक्षा को पर्याप्त संख्या में विवेकपूर्ण विधि से चुने गए महाकाव्यों के साथ वर्णित किया जा सकता है, क्योंकि यह दृष्टिकोण आधुनिक फूरियर रूपांतरण से मेल खाता है। लगभग 350 वर्ष पश्चात्, टॉलेमी ने अपना अल्मागेस्ट प्रकाशित किया था, जिसमें उन्होंने अपने युग के सर्वोत्तम खगोलीय अवलोकनों से मेल खाने के लिए इस प्रणाली को विकसित किया था। महाकाव्यों की व्याख्या करने के लिए, टॉलेमी ने अरस्तू के भूकेन्द्रित मॉडल ब्रह्माण्ड विज्ञान को अपनाया था, जिसके अनुसार ग्रह संकेंद्रित घूर्णन क्षेत्रों तक ही सीमित थे। ब्रह्माण्ड का यह मॉडल लगभग 1500 वर्षों तक प्रामाणिक था।

ग्रहों की गति की आधुनिक समझ 16वीं शताब्दी में खगोलशास्त्री टाइको ब्राहे और भौतिक विज्ञानी जोहान्स केप्लर के संयुक्त प्रयासों से उत्पन्न हुई थी। टाइको को ग्रहों की गति के अत्यंत स्पष्ट माप का श्रेय दिया जाता है, जिससे केप्लर ग्रहों की गति के बारे में केपलर के नियमों को प्राप्त करने में सक्षम था। इन नियमों के अनुसार, ग्रह सूर्य (पृथ्वी नहीं) के चारों ओर दीर्घवृत्त (महाचक्र नहीं) पर चलते हैं। केप्लर के दूसरे और तीसरे नियम विशिष्ट मात्रात्मक भविष्यवाणियां करते हैं: ग्रह समान समय में समान क्षेत्रों को पार करते हैं, और उनकी कक्षीय अवधि का वर्ग उनके अर्ध-प्रमुख अक्ष के घन के निश्चित स्थिरांक के समान होता है। ग्रहों की कक्षाओं के पश्चात् के अवलोकनों से पता चला कि दीर्घवृत्त की लंबी धुरी (तथाकथित अप्साइड्स की रेखा) समय के साथ धीरे-धीरे घूमती है; इस घूर्णन को एप्साइडल प्रीसेशन के रूप में जाना जाता है। किसी कक्षा के एप्सिस वह बिंदु होते हैं जिन पर परिक्रमा करने वाला पिंड आकर्षण केंद्र से निकटतम या सबसे दूर होता है; सूर्य की परिक्रमा करने वाले ग्रहों के लिए, एप्स पेरीहेलियन (निकटतम) और अपहेलियन (सबसे दूर) के अनुरूप हैं।

इस प्रकार लगभग अस्सी वर्ष पश्चात् (1687) अपने फिलोसोफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथमेटिका के प्रकाशन के साथ, आइजैक न्यूटन ने भौतिक सिद्धांत प्रदान किया जो केपलर के सभी तीन नियमो के लिए उत्तरदायी था, सिद्धांत जो न्यूटन के गति के नियमों और उनके न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम पर आधारित था। विशेष रूप से, न्यूटन ने प्रस्तावित किया कि किन्हीं दो पिंडों के मध्य गुरुत्वाकर्षण बल केंद्रीय बल F(r) था जो उनके मध्य की दूरी r के व्युत्क्रम-वर्ग नियम के रूप में भिन्न होता था। गति के अपने नियमों के आधार पर नियम देते हुए, न्यूटन ने दिखाया कि ऐसे बल द्वारा कार्य किए गए किसी भी कण की कक्षा सदैव शंकु खंड होती है, विशेष रूप से दीर्घवृत्त यदि यह अनंत तक नहीं जाती है। चूंकि, यह निष्कर्ष तभी मान्य होता है जब दो निकाय उपस्थित हों (दो-निकाय की समस्या); तीन या अधिक पिंडों की गति जो उनके पारस्परिक गुरुत्वाकर्षण के अनुसार कार्य करती है (एन-बॉडी समस्या या एन-बॉडी समस्या) न्यूटन के पश्चात् सदियों तक अनसुलझी रही है, चूंकि कुछ यूलर की तीन-निकाय समस्या का समाधान खोजा गया था। न्यूटन ने प्रस्तावित किया कि सूर्य के चारों ओर ग्रहों की कक्षाएँ अधिक सीमा तक वृत्ताकार हैं क्योंकि सूर्य का गुरुत्वाकर्षण प्रमुख है; सन्निकटन के क्रम में, अन्य ग्रहों की उपस्थिति को नजरअंदाज किया जा सकता है। सादृश्य से, पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा की वृत्ताकार कक्षा पर पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण का प्रभुत्व था; पहले सन्निकटन में, सूर्य के गुरुत्वाकर्षण और सौर मंडल के अन्य पिंडों के गुरुत्वाकर्षण की उपेक्षा की जा सकती है। चूंकि, न्यूटन ने कहा कि ग्रहों और चंद्र कक्षाओं की क्रमिक अप्साइडल पूर्वता इन उपेक्षित अंतःक्रियाओं के प्रभावों के कारण थी; विशेष रूप से, उन्होंने कहा कि चंद्रमा की कक्षा का पूर्वगामी सूर्य के साथ गुरुत्वाकर्षण संपर्क के डिस्टर्ब करने वाले प्रभावों के कारण था।

इस प्रकार न्यूटन की परिक्रामी कक्षाओं का प्रमेय एप्साइडल प्रीसेशन को मात्रात्मक रूप से समझने का उनका पहला प्रयास था। इस प्रमेय के अनुसार, विशेष प्रकार के केंद्रीय बल - व्युत्क्रम-घन बल - को जोड़ने से घूर्णन कक्षा उत्पन्न हो सकती है; कोणीय गति को कारक k से गुणा किया जाता है, जबकि रेडियल गति को अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है। चूंकि, यह प्रमेय विशिष्ट प्रकार के बल तक ही सीमित है जो प्रासंगिक नहीं हो सकता है; विभिन्न डिस्टर्ब करने वाली व्युत्क्रम-वर्ग अंतःक्रियाएं (जैसे कि अन्य ग्रहों की) व्युत्क्रम-घन बल के बिल्कुल योग में होने की संभावना नहीं लगती हैं। अपने प्रमेय को अन्य प्रकार की बलों पर प्रयुक्त करने के लिए, न्यूटन ने लगभग वृत्ताकार कक्षाओं की सीमा में व्युत्क्रम-घन क्षमता के लिए मनमाना केंद्रीय बल F(r) का सबसे अच्छा सन्निकटन पाया, अर्थात, कम विलक्षणता की वृत्ताकार कक्षाएँ, जैसा कि है वास्तव में यह सौर मंडल की अधिकांश कक्षाओं के लिए सत्य है। इस सन्निकटन को खोजने के लिए, न्यूटन ने अनंत श्रृंखला विकसित की थी जिसे टेलर विस्तार के अग्रदूत के रूप में देखा जा सकता है। इस सन्निकटन ने न्यूटन को इच्छानुसार विधि से केंद्रीय बलों के लिए पूर्वता की दर का अनुमान लगाने की अनुमति दी थी। न्यूटन ने इस सन्निकटन को चंद्रमा की कक्षा के अप्साइडल पूर्वगमन का कारण बनने वाले बल के मॉडल का परीक्षण करने के लिए प्रयुक्त किया था। चूंकि, चंद्रमा की गति की समस्या अत्यधिक सम्मिश्र है, और न्यूटन ने कभी भी चंद्रमा की अर्धवृत्ताकार पूर्वता का स्पष्ट गुरुत्वाकर्षण मॉडल प्रकाशित नहीं किया था। 1747 में Lेक्सिस क्लाउड क्लैरौट द्वारा अधिक स्पष्ट मॉडल के पश्चात्, चंद्रमा की गति के विश्लेषणात्मक मॉडल 19वीं शताब्दी के अंत में जॉर्ज विलियम हिल द्वारा विकसित किए गए थे,

चूंकि, न्यूटन का प्रमेय केवल अप्साइडल प्रीसेशन की व्याख्या करने से अधिक सामान्य है। यह किसी भी केंद्रीय बल F(r) में व्युत्क्रम-घन बल जोड़ने के प्रभावों का वर्णन करता है, न कि केवल व्युत्क्रम-वर्ग बलों जैसे कि न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम और कूलम्ब के नियम के लिए। न्यूटन का प्रमेय व्युत्क्रम-घन बलों को विचार से हटाकर मौलिक यांत्रिकी में कक्षीय समस्याओं को सरल बनाता है। रेडियल और कोणीय गति, r(t) और θ1(t), व्युत्क्रम-घन बल के बिना गणना की जा सकती है; पश्चात् में, कण की कोणीय गति को गुणा करके इसके प्रभाव की गणना की जा सकती है



\omega_{2} = \frac{d\theta_{2}}{dt} = k \frac{d\theta_{1}}{dt} = k \omega_{1}. $$

गणितीय कथन
Newton revolving orbit e0.6 3rd harmonic.ogg

Newton revolving orbit e0.6 3rd subharmonic.ogg

इच्छानुसार केंद्रीय बल F1(r) के अनुसार गतिमान कण पर विचार करें जिसका परिमाण केवल कण और निश्चित केंद्र के मध्य की दूरी r पर निर्भर करता है। चूंकि केंद्रीय बल के अनुसार किसी कण की गति सदैव समतल में होती है, कण की स्थिति को ध्रुवीय समन्वय प्रणाली (r,θ1) द्वारा वर्णित किया जा सकता है), बल के केंद्र के सापेक्ष कण की त्रिज्या और कोण (चित्र 1)। यह दोनों निर्देशांक, r(t) और θ1(t), हैं जैसे-जैसे कण चलता है, समय t के साथ परिवर्तन होता है।

इस प्रकार समान द्रव्यमान m और समान रेडियल गति r(t) वाले दूसरे कण की कल्पना करें, किन्तु जिसकी कोणीय गति पहले कण की तुलना में k गुना तेज है। दूसरे शब्दों में, दो कणों के अज़ीमुथल कोण समीकरण θ2(t) = k θ1(t) से संबंधित हैं। न्यूटन ने दिखाया कि दूसरे कण की गति किसी भी बल F1(r) में व्युत्क्रम-घन केंद्रीय बल जोड़कर उत्पन्न की जा सकती है पहले कण पर कार्य करता है

F_2(r) - F_1(r) = \frac{L_1^2}{mr^3} \left( 1 - k^2 \right) $$ जहां L1 पहले कण के कोणीय संवेग का परिमाण है, जो केंद्रीय बलों के लिए गति का स्थिरांक (संरक्षित) है।

यदि k2 से बड़ा है, F2− F1 ऋणात्मक संख्या है; इस प्रकार, जोड़ा गया व्युत्क्रम-घन बल आकर्षक है, जैसा कि चित्र 1-4 और 9 के हरे ग्रह में देखा गया है। इसके विपरीत, यदि k2 से कम है, F2−F1 धनात्मक संख्या है; जोड़ा गया व्युत्क्रम-घन बल प्रतिकारक है, जैसा कि चित्र 5 और 10 के हरे ग्रह और चित्र 4 और 5 के लाल ग्रह में देखा गया है।

कण पथ का परिवर्तन
ऐसे व्युत्क्रम-घन बल के जुड़ने से कण द्वारा अपनाए गए पथ में भी परिवर्तन होता है। इस प्रकार कण का पथ रेडियल और कोणीय गति की समय निर्भरता को नजरंदाज करता है, जैसे कि r(t) और θ1(t); किन्तु, यह त्रिज्या और कोण वैरिएबल को दूसरे से जोड़ता है। इस प्रयोजन के लिए, कोण वैरिएबल अप्रतिबंधित है और अनिश्चित काल तक बढ़ सकता है क्योंकि कण विभिन्न बार केंद्रीय बिंदु के चारों ओर घूमता है। उदाहरण के लिए, यदि कण केंद्रीय बिंदु के चारों ओर दो बार घूमता है और अपनी प्रारंभिक स्थिति में लौट आता है, तो इसका अंतिम कोण इसके प्रारंभिक कोण के समान नहीं होता है; किन्तु इसमें बढ़ोतरी 2×360° = 720° हुई है. औपचारिक रूप से, कोण वैरिएबल को कोणीय गति के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है



\theta_1 \equiv \int \omega_1(t)\, dt. $$ समान परिभाषा θ2 के लिए है, दूसरे कण का कोण.

यदि पहले कण का पथ के रूप में वर्णित है तो दूसरे कण का पथ कार्य  द्वारा दिया गया है क्योंकि । उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि पहले कण का पथ एक दीर्घवृत्त है



\frac{1}{r} = A + B \cos \theta_1 $$ जहां A और B स्थिरांक हैं; पुनः, दूसरे कण का पथ दिया गया है



\frac{1}{r} = A + B \cos \left( \frac{\theta_2}{k} \right). $$

कक्षीय पूर्वता
यदि k के निकट है, किन्तु समान नहीं है, तो दूसरी कक्षा पहली कक्षा के समान है, किन्तु बल के केंद्र के चारों ओर धीरे-धीरे घूमती है; इसे एप्साइडल प्रीसेशन (चित्र 3) के रूप में जाना जाता है। यदि k से अधिक है, तो कक्षा कक्षा के समान दिशा में आगे बढ़ती है (चित्र 3); यदि k से कम है, तो कक्षा विपरीत दिशा में आगे बढ़ती है।

चूंकि चित्र 3 में कक्षा समान रूप से घूमती हुई प्रतीत हो सकती है, अर्थात, स्थिर कोणीय गति से, यह केवल वृत्ताकार कक्षाओं के लिए सच है। यदि कक्षा कोणीय गति Ω से घूमती है, तो दूसरे कण की कोणीय गति Ω द्वारा पहले कण की तुलना में तेज़ या धीमी होती है; दूसरे शब्दों में, कोणीय गति समीकरण को संतुष्ट करेगी. चूंकि, न्यूटन की परिक्रामी कक्षाओं के प्रमेय में कहा गया है कि कोणीय गति गुणन से संबंधित हैं:, जहां k स्थिरांक है। इन दोनों समीकरणों को मिलाने से पता चलता है कि पूर्वगमन की कोणीय गति  समान है. इसलिए, Ω स्थिर है केवल यदि ω1 स्थिर है. कोणीय गति के संरक्षण के अनुसार, ω1 त्रिज्या r के साथ परिवर्तन होता है



\omega_{1} = \frac{L_{1}}{m r^{2}}; $$ जहां m और L1 क्रमशः पहले कण का द्रव्यमान और कोणीय संवेग हैं, जो दोनों स्थिर हैं। इसलिए, ω1 केवल तभी स्थिर होता है जब त्रिज्या r स्थिर हो, अर्थात, जब कक्षा वृत्त होता है। चूंकि, उस स्थिति में, आगे बढ़ने पर कक्षा नहीं परिवर्तित होती है।

उदाहरण उदाहरण: कोट्स कुंडली
न्यूटन के प्रमेय का सबसे सरल चित्रण तब होता है जब कोई प्रारंभिक बल नहीं होता है, अर्थात, F1(r) = 0 है इस स्थिति में, पहला कण स्थिर है या सीधी रेखा में यात्रा करता है। यदि यह सीधी रेखा में यात्रा करता है जो मूल बिंदु (चित्रा 6 में पीली रेखा) से नहीं निकलती है तो ऐसी रेखा के लिए समीकरण ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ1) में लिखा जा सकता है) जैसा



\frac{1}{r} = \frac{1}{b} \cos\ (\theta_1 - \theta_0) $$ जहाँ θ0 वह कोण है जिस पर दूरी न्यूनतम हो जाती है (चित्र 6)। दूरी r अनंत से प्रारंभ होती है (जब θ1 – ), और θ1 – तक धीरे-धीरे घटता जाता है, जब दूरी न्यूनतम तक पहुंच जाती है, तो धीरे-धीरे θ1 –. पर पुनः से अनंत तक बढ़ जाती है न्यूनतम दूरी b प्रभाव मापदंड है, जिसे निश्चित केंद्र से गति की रेखा तक लंबवत की लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है। जब व्युत्क्रम-घन केंद्रीय बल जोड़ा जाता है तो समान रेडियल गति संभव होती है।

व्युत्क्रम-घन केंद्रीय बल F2(r) का रूप है



F_2(r) = \frac{\mu}{r^3} $$ जहां अंश μ धनात्मक (प्रतिकारक) या ऋणात्मक (आकर्षक) हो सकता है। यदि ऐसा व्युत्क्रम-घन बल प्रस्तुत किया जाता है, तो न्यूटन का प्रमेय कहता है कि संबंधित समाधानों का आकार होता है जिसे कोट्स कुंडली कहा जाता है. ये समीकरण द्वारा परिभाषित वक्र हैं

\frac{1}{r} = \frac{1}{b} \cos\ \left(\frac{\theta_2 - \theta_0}{k} \right) $$ जहां स्थिरांक k समान है



k^2 = 1 - \frac{m \mu}{L_1^2} $$ जब समीकरण का दाहिना भाग धनात्मक वास्तविक संख्या है, तो समाधान एपिस्पिरल से मेल खाता है। जब नियम θ1 - i0 ±90°×k के समान, कोज्या शून्य हो जाती है और त्रिज्या अनंत हो जाती है। इस प्रकार, जब k से कम होता है, तो अनुमत कोणों की सीमा छोटी हो जाती है और बल प्रतिकारक होता है (चित्र 7 में दाईं ओर लाल वक्र)। दूसरी ओर, जब k से अधिक होता है, तो अनुमत कोणों की सीमा बढ़ जाती है, जो आकर्षक बल के अनुरूप होती है (चित्र 7 में बाईं ओर हरे, सियान और नीले रंग के वक्र); कण की कक्षा विभिन्न बार केंद्र के चारों ओर चक्कर भी लगा सकती है। इस प्रकार मापदंड k का संभावित मान शून्य से अनंत तक हो सकता है, जो ऋणात्मक अनंत से लेकर धनात्मक ऊपरी सीमा तक μ के मान L12/m से मेल खाता है, इस प्रकार, सभी आकर्षक व्युत्क्रम-घन बलों (ऋणात्मक μ) के लिए संगत एपिस्पिरल कक्षा होती है, जैसे कि कुछ प्रतिकारक बलों (μ < L) के लिए12/m), जैसा कि चित्र 7 में दिखाया गया है। इस प्रकार सशक्त प्रतिकारक बल तेज़ रैखिक गति के अनुरूप होते हैं।

अन्य समाधान प्रकारों में से हाइपरबोलिक कोसाइन के संदर्भ में दिया गया है:



\frac{1}{r} = \frac{1}{b} \cosh\ \left(\frac{\theta_0 - \theta_2}{\lambda} \right) $$ जहां स्थिरांक λ संतुष्ट करता है



\lambda^2 = \frac{m \mu}{L_1^{2}} - 1 $$ कोट्स के कुंडली का यह रूप दो पॉइंसॉट के कुंडली में से से मेल खाता है (चित्र 8)। λ का संभावित मान शून्य से अनंत तक होता है, जो धनात्मक संख्या L से अधिक μ12/m के मान से मेल खाता है. इस प्रकार, पॉइंसॉट कुंडली गति केवल प्रतिकारक व्युत्क्रम-घन केंद्रीय बलों के लिए होती है, और उस स्थिति में प्रयुक्त होती है जब L दिए गए μ के लिए अधिक बड़ा नहीं है।

K या λ की सीमा को शून्य तक ले जाने पर समाधान के रूप में कोट्स कुंडली का तीसरा रूप, तथाकथित पारस्परिक कुंडली या हाइपरबोलीक कुंडली प्राप्त होता है।

\frac{1}{r} = A \theta_2 + \varepsilon $$ जहां A और ε इच्छानुसार स्थिरांक हैं। ऐसे वक्र तब उत्पन्न होते हैं जब प्रतिकारक बल की बल μ कोणीय गति-द्रव्यमान शब्द को बिल्कुल संतुलित करती है



\mu = \frac{L_{1}^{2}}{m} $$

बंद कक्षाएँ और व्युत्क्रम-घन केंद्रीय बल
दो प्रकार के केंद्रीय बल - वह जो दूरी के साथ रैखिक रूप F = Cr से बढ़ते हैं, जैसे हुक का नियम, और व्युत्क्रम-वर्ग बल, है, जैसे कि न्यूटन का सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण का नियम और कूलम्ब का नियम - अधिक ही असामान्य प्रोपर्टी है। किसी भी प्रकार के बल के अनुसार चलने वाला कण सदैव अपने प्रारंभिक वेग के साथ अपने प्रारंभिक स्थान पर लौटता है, परन्तु कि उसके निकट अनंत तक जाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा न हो। दूसरे शब्दों में, किसी बंधे हुए कण का मार्ग सदैव बंद रहता है और उसकी गति अनिश्चित काल तक दोहराई जाती है, चाहे उसकी प्रारंभिक स्थिति या वेग कुछ भी हो। जैसा कि बर्ट्रेंड के प्रमेय द्वारा दिखाया गया है, इस प्रकार यह गुण अन्य प्रकार की बलों के लिए सत्य नहीं है; सामान्यतः, कण उसी वेग से अपने प्रारंभिक बिंदु पर वापस नहीं आएगा।

चूंकि, न्यूटन के प्रमेय से पता चलता है कि रैखिक या व्युत्क्रम-वर्ग बल के अनुसार चलने वाले कण पर व्युत्क्रम-घन बल लगाया जा सकता है, जिससे इसकी कक्षा (गतिशीलता) बंद रहे, परन्तु कि k तर्कसंगत संख्या के समान हो। ( संख्या को तर्कसंगत कहा जाता है यदि इसे भिन्न m/n के रूप में लिखा जा सकता है, जहां m और n पूर्णांक हैं।) ऐसे स्थितियों में, व्युत्क्रम-घन बल के जुड़ने से कण बल के केंद्र के बारे में m घूर्णन पूरा कर लेता है उसी समय में जब मूल कण n घूर्णन पूरा करता है। इस प्रकार बंद कक्षाएँ उत्पन्न करने की यह विधि बर्ट्रेंड के प्रमेय का उल्लंघन नहीं करती है, क्योंकि जोड़ा गया व्युत्क्रम-घन बल कण के प्रारंभिक वेग पर निर्भर करता है।

इस प्रकार हार्मोनिक और सबहार्मोनिक कक्षाएँ विशेष प्रकार की ऐसी बंद कक्षाएँ हैं। प्रक्षेपवक्र को हार्मोनिक कक्षा कहा जाता है यदि k पूर्णांक है, अर्थात, यदि सूत्र में  है उदाहरण के लिए, यदि  (चित्र 1 और 4 में हरा ग्रह, चित्र 9 में हरी कक्षा), परिणामी कक्षा मूल कक्षा का तीसरा हार्मोनिक है। इस प्रकार इसके विपरीत, बंद प्रक्षेपवक्र को सबहार्मोनिक कक्षा कहा जाता है यदि k पूर्णांक का गुणक व्युत्क्रम है, अर्थात, यदि  सूत्र में. उदाहरण के लिए, यदि (चित्र 5 में हरा ग्रह, चित्र 10 में हरी कक्षा), परिणामी कक्षा को मूल कक्षा का तीसरा सबहार्मोनिक कहा जाता है। चूंकि प्रकृति में ऐसी कक्षाएँ घटित होने की संभावना नहीं है, पुनः भी वह न्यूटन के प्रमेय को दर्शाने में सहायक हैं।

लगभग वृत्ताकार कक्षाओं की सीमा
इस प्रकार अपने प्रिंसिपिया के प्रस्ताव 45 में, न्यूटन ने ग्रहों की गति को नियंत्रित करने वाले बल नियमो को खोजने के लिए विधि विकसित करने के लिए परिक्रामी कक्षाओं के अपने प्रमेय को प्रयुक्त किया है। जोहान्स केपलर ने नोट किया था कि अधिकांश ग्रहों और चंद्रमा की कक्षाएँ दीर्घवृत्ताकार प्रतीत होती हैं, और उन दीर्घवृत्तों की लंबी धुरी खगोलीय माप से स्पष्ट रूप से निर्धारित की जा सकती है। लंबी धुरी को न्यूनतम और अधिकतम दूरी की स्थिति को केंद्रीय बिंदु से जोड़ने वाली रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात, दो अक्षों को जोड़ने वाली रेखा। उदाहरण के लिए, बुध ग्रह की लंबी धुरी को पेरिहेलियन और एपहेलियन की क्रमिक स्थितियों के माध्यम से रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है। समय के साथ, अधिकांश परिक्रमा करने वाले पिंडों की लंबी धुरी धीरे-धीरे घूमती है, सामान्यतः प्रति पूर्ण क्रांति में कुछ डिग्री से अधिक नहीं, अन्य पिंडों से गुरुत्वाकर्षण गड़बड़ी, ओब्लेट वृत्ताकार, बुध का पेरीहेलियन पूर्वगमन प्रभावों के कारण। न्यूटन की विधि ग्रहों पर प्रयुक्त होने वाले बल के प्रकार की संवेदनशील जांच के रूप में इस एप्साइडल प्रीसेशन का उपयोग करती है।

न्यूटन का प्रमेय केवल व्युत्क्रम-घन केंद्रीय बल जोड़ने के प्रभावों का वर्णन करता है। चूंकि, न्यूटन ने अपने प्रमेय को मनमाना केंद्रीय बल F(r) तक विस्तारित किया है, जो लगभग वृत्ताकार कक्षाओं पर अपना ध्यान केंद्रित करता है, जैसे कि कम कक्षीय विलक्षणता वाले दीर्घवृत्त (ε ≤ 0.1), जो कि आठ ग्रहों की कक्षाओं में से सात के लिए सच है। सौर - मण्डल न्यूटन ने अपने प्रमेय को बुध ग्रह पर भी प्रयुक्त किया हा, जिसकी विलक्षणता ε लगभग 0.21 है, और सुझाव दिया गया है कि यह हैली धूमकेतु से संबंधित हो सकता है, जिसकी कक्षा की विलक्षणता लगभग 0.97 है।

वल्लुरी, विल्सन और हार्पर द्वारा उनकी पद्धति के इस एक्सट्रपलेशन का गुणात्मक औचित्य सुझाया गया है। उनके नियम के अनुसार, न्यूटन ने एपसाइडल प्रीसेशन कोण α (केंद्र से क्रमिक न्यूनतम और अधिकतम दूरी के वैक्टर के मध्य का कोण) को सुचारू कार्य, कक्षीय विलक्षणता ε का निरंतर कार्य माना था । इस प्रकार व्युत्क्रम-वर्ग बल के लिए, α 180° के समान है; न्यूनतम और अधिकतम दूरी की स्थिति के सदिश ही रेखा पर स्थित होते हैं। यदि α प्रारंभ में निम्न ε (अर्ध-वृत्ताकार कक्षा) पर 180° नहीं है, तो सामान्यतः, α केवल ε के पृथक मानों के लिए 180° के समान होगा; ε का विधि से चुना गया मान α = 180° देने की अधिक संभावना नहीं है। इसलिए, ग्रहों की कक्षाओं के शीर्षों के देखे गए धीमे घूर्णन से पता चलता है कि गुरुत्वाकर्षण बल व्युत्क्रम-वर्ग नियम है।

मात्रात्मक सूत्र
समीकरणों को सरल बनाने के लिए, न्यूटन ने नए कार्य C(r) के संदर्भ में F(r) लिखा था



F(r) = \frac{C(r)}{R r^3} $$ जहाँ R लगभग वृत्ताकार कक्षा की औसत त्रिज्या है। न्यूटन ने C(r) को श्रृंखला में विस्तारित किया था - जिसे अब टेलर विस्तार के रूप में जाना जाता है - दूरी r की बल श्रृंखला में, ऐसी श्रृंखला की पहली उपस्थिति में से एक है। परिक्रामी कक्षाओं के लिए परिणामी व्युत्क्रम-घन बल शब्द को व्युत्क्रम-घन बल के साथ समान करके, न्यूटन लगभग वृत्ताकार कक्षाओं के लिए समतुल्य कोणीय स्केलिंग कारक k प्राप्त करता है:

\frac{1}{k^{2}} = \left( \frac{R}{C} \right) \left. \frac{dC}{dr} \right|_{r=R} $$ दूसरे शब्दों में, लगभग वृत्ताकार वृत्ताकार कक्षा में मनमाना केंद्रीय बल F(r) का अनुप्रयोग रेडियल गति को महत्वपूर्ण रूप से प्रभावित किए बिना कारक k द्वारा कोणीय गति को तेज कर सकता है। यदि वृत्ताकार कक्षा स्थिर है, तो कण बल के केंद्र के चारों ओर 180° तक घूमता है क्योंकि यह लंबी धुरी के छोर से दूसरे (दो अक्ष) तक जाता है। इस प्रकार, सामान्य नियम का उपयोग करते हुए, सामान्य केंद्रीय बल के लिए संबंधित अक्षीय कोण α k×180° के समान होता है.

उदाहरण
न्यूटन ने अपने सूत्र को तीन उदाहरणों से दर्शाया है। पहले दो में, केंद्रीय बल बल नियम है,, इसलिए C(r) rn के समानुपाती है. उपरोक्त सूत्र इंगित करता है कि कोणीय गति को कारक से गुणा किया जाता है, जिससे अपसाइडल कोण α 180°/ के समान $\sqrt{n}$ होता है.

इस कोणीय स्केलिंग को एप्साइडल प्रीसेशन में देखा जा सकता है, अर्थात, दीर्घवृत्त की लंबी धुरी के क्रमिक घूर्णन में (चित्र 3)। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, पूरी कक्षा माध्य कोणीय गति Ω=(k−1)ω के साथ घूमती है, जहां ω स्थिर दीर्घवृत्त के बारे में कण की औसत कोणीय गति के समान है। यदि कण को ​​ एपीएसई से दूसरे एपीएसई तक जाने के लिए समय t की आवश्यकता होती है, तो इसका कारण है कि, उसी समय में, लंबी धुरी कोण β = ΩT = (k − 1)ωT = (k − 1)× कोण से घूम जाएगी 180°. न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम जैसे व्युत्क्रम-वर्ग नियम के लिए, जहां n 1 के समान है, कोई कोणीय स्केलिंग नहीं है (k = 1), अपसाइडल कोण α 180° है, और वृत्ताकार कक्षा (Ω = β = 0) स्थिर है.

अंतिम उदाहरण के रूप में, न्यूटन दो बल नियमो के योग पर विचार करता है



C(r) \propto a r^m + b r^n $$ जो कोणीय गति को कारक से गुणा करता है



k = \sqrt{\frac{a + b}{am + bn}} $$ न्यूटन चंद्रमा की कक्षा की अप्साइडल पूर्वता की जांच करने के लिए इन दोनों सूत्रों (बल नियम और दो बल नियमो का योग) को प्रयुक्त करता है।

चंद्रमा की कक्षा का पूर्वगामी
इस प्रकार चंद्रमा की गति को स्पष्ट रूप से मापा जा सकता है, और यह ग्रहों की तुलना में कहीं अधिक सम्मिश्र है। प्राचीन यूनानी खगोलशास्त्रियों, हिप्पार्कस और टॉलेमी ने चंद्रमा की कक्षा में विभिन्न आवधिक परिवर्तन को को नोट किया था, जैसे कि इसकी कक्षीय विलक्षणता में छोटे दोलन और क्रांतिवृत्त के तल पर इसकी कक्षा का झुकाव ये दोलन सामान्यतः बार-मासिक या दो-मासिक समय-मापदंड पर होते हैं। इसकी एप्सिस की रेखा लगभग 8.85 वर्ष की अवधि के साथ धीरे-धीरे आगे बढ़ती है, जबकि इसके आरोही नोड का देशांतर उस समय से लगभग दोगुना, 18.6 वर्ष में पूर्ण चक्र में परिवर्तन जाता है। इस प्रकार यह ग्रहण की लगभग 18-वर्षीय आवधिकता, तथाकथित सरोस चक्र, के लिए उत्तरदायी है। चूंकि, दोनों रेखाएँ अपनी गति में छोटे उतार-चढ़ाव का अनुभव करती हैं, पुनः से मासिक समय-मापदंड पर उपयोग किया जाता है।

इस प्रकार1673 में, जेरेमिया हॉरोक्स ने चंद्रमा की गति का अधिक स्पष्ट मॉडल प्रकाशित किया था जिसमें चंद्रमा को पूर्ववर्ती वृत्ताकार कक्षा का अनुसरण करते हुए माना गया था। चंद्रमा की गति की पूर्वानुमान करने के लिए पर्याप्त स्पष्ट और सरल विधि ने जहाज के देशांतर को निर्धारित करने की नेविगेशनल समस्या को हल कर दिया होगा; न्यूटन के समय में, लक्ष्य चंद्रमा की स्थिति की पूर्वानुमान 2' (आर्क या आर्क-मिनट के दो मिनट) तक करना था, इस प्रकार जो स्थलीय देशांतर में 1° त्रुटि के अनुरूप होगा। हॉरोक्स मॉडल ने 10 आर्क-मिनट से अधिक की त्रुटियों के साथ चंद्र स्थिति की पूर्वानुमान की थी; तुलना के लिए, चंद्रमा का व्यास लगभग 30 चाप-मिनट है।

न्यूटन ने चंद्रमा की अक्षीय पूर्वता का पता लगाने के लिए परिक्रामी कक्षाओं के अपने प्रमेय का दो तरह से उपयोग किया था। सबसे पहले, उन्होंने दिखाया कि न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को व्युत्क्रम-वर्ग से परिवर्तित करके चंद्रमा की देखी गई अर्धवृत्ताकार पूर्वता का हिसाब लगाया जा सकता है। बल नियम के लिए नियम 2 + 4/243 जिसमें प्रतिपादक था (लगभग 2.0165)

F(r) = - \frac{GMm}{r^{2 + 4/243}} $$ 1894 में, आसफ हॉल ने बुध ग्रह की विषम कक्षीय पूर्वता को समझाने के लिए व्युत्क्रम-वर्ग नियम में घातांक को थोड़ा संशोधित करने का यह दृष्टिकोण अपनाया था, जिसे 1859 में अर्बन ले वेरियर ने देखा था। विडंबना यह है कि चंद्रमा के सावधानीपूर्वक खगोलीय अवलोकन से वर्तमान सिद्धांत को निरस्त कर दिया गया था। इस पूर्वता के लिए बुध की पेरीहेलियन पूर्वता में सामान्य सापेक्षता का सिद्धांत सम्मिलित है, जो (अनुमान के क्रम में) व्युत्क्रम-चतुर्थक बल जोड़ता है, अर्थात, जो दूरी की व्युत्क्रम चौथी बल के रूप में भिन्न होता है।

चंद्रमा की गति को समझाने के दूसरे दृष्टिकोण के रूप में, न्यूटन ने सुझाव दिया कि चंद्रमा की गति पर सूर्य का डिस्टर्ब करने वाला प्रभाव लगभग अतिरिक्त रैखिक बल के समान हो सकता है



F(r) = \frac{A}{r^{2}} + B r $$ पहला पद चंद्रमा और पृथ्वी के मध्य गुरुत्वाकर्षण आकर्षण से मेल खाता है, जहां r पृथ्वी से चंद्रमा की दूरी है। न्यूटन ने नियम दिया कि दूसरा शब्द, पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली के सूर्य के गुरुत्वाकर्षण के औसत डिस्टर्ब करने वाले बल का प्रतिनिधित्व कर सकता है। ऐसा बल नियम तब भी परिणामित हो सकता है यदि पृथ्वी समान घनत्व के वृत्ताकार धूल के पश्चात्ल से घिरी हो। लगभग वृत्ताकार कक्षाओं के लिए k के सूत्र का उपयोग करते हुए, और A और B के अनुमानों का उपयोग करते हुए, न्यूटन ने दिखाया कि यह बल नियम चंद्रमा की पूर्वता के लिए उत्तरदायी नहीं हो सकता है, क्योंकि अनुमानित एप्साइडल कोण α (≈ 180.76°) के अतिरिक्त (≈ 180.76°) था। प्रेक्षित α (≈181.525°)। प्रत्येक क्रांति के लिए, लंबी धुरी 1.5° घूमेगी, जो कि देखे गए 3.0° का लगभग आधा है

सामान्यीकरण
आइजैक न्यूटन ने पहली बार 1687 में अपने प्रमेय को उनकी फिलोसोफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथमेटिका की पुस्तक I के प्रस्ताव 43-45 के रूप में प्रकाशित किया था। चूंकि, जैसा कि खगोल भौतिकीविद् सुब्रह्मण्यम चन्द्रशेखर ने न्यूटन के प्रिंसिपिया पर अपनी 1995 की टिप्पणी में उल्लेख किया था, प्रमेय तीन शताब्दियों से अधिक समय तक अधिक सीमा तक अज्ञात और अविकसित रहा था।

न्यूटन के प्रमेय का पहला सामान्यीकरण 2000 में महोमेद और वावदा द्वारा खोजा गया था। जैसा कि न्यूटन ने किया, उन्होंने मान लिया कि दूसरे कण की कोणीय गति पहले कण की तुलना में k गुना तेज़ थी। न्यूटन के विपरीत, चूंकि महोमेद और वावदा को यह आवश्यक नहीं था कि दोनों कणों की रेडियल गति समान  होटी है। किन्तु उनकी अपेक्षा थी कि व्युत्क्रम त्रिज्याएँ एक रैखिक समीकरण से संबंधित होंटी है



\frac{1}{r_{2}(t)} = \frac{a}{r_{1}(t)} + b $$ वैरिएबल का यह परिवर्तन कण का पथ परिवर्तन देता है। यदि पहले कण का पथ लिखा है, दूसरे कण का पथ इस प्रकार लिखा जा सकता है



\frac{a r_2}{1 - b r_2} = g\left( \frac{\theta_2}{k} \right) $$ यदि पहले कण की गति केंद्रीय बल F1(r) द्वारा उत्पन्न होती है, महोमेद और वावदा ने दिखाया कि दूसरे कण की गति निम्नलिखित बल द्वारा उत्पन्न की जा सकती है



F_2(r_2) = \frac{a^3}{\left( 1 - b r_2 \right)^2} F_{1}\left( \frac{a r_2}{1 - b r_2} \right) + \frac{L^2}{mr^3} \left( 1 - k^2 \right) - \frac{bL^2}{mr^2} $$ इस समीकरण के अनुसार दूसरा बल F2(आर) पहले बल को स्केल करके और उसके नियम को परिवर्तित करके, साथ ही व्युत्क्रम-वर्ग और व्युत्क्रम-घन केंद्रीय बलों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

तुलना के लिए, न्यूटन की परिक्रामी कक्षाओं का प्रमेय स्थिति और  से मेल खाता है ताकि  हो। इस स्थिति में, मूल बल को बढ़ाया नहीं गया है और इसका नियम अपरिवर्तित है; व्युत्क्रम-घन बल जोड़ा गया है, किन्तु व्युत्क्रम-वर्ग पद नहीं जोड़ा गया है। इस प्रकार दूसरे कण का पथ  है, जो ऊपर दिए गए सूत्र के अनुरूप है।

न्यूटन की व्युत्पत्ति
न्यूटन की व्युत्पत्ति उनके फिलोसोफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथमेटिका के खंड IX में पाई जाती है, विशेष रूप से प्रस्ताव 43-45 में उपयोग की जाती है। इन प्रस्तावों की उनकी व्युत्पत्ति अधिक सीमा तक ज्यामिति पर आधारित है।


 * प्रस्ताव 43; समस्या 30

किसी पिंड को ऐसे वक्र में घुमाना आवश्यक होता है जो बल के केंद्र के चारों ओर उसी प्रकार घूमता है जैसे उसी वक्र में रेस्ट कर रहा कोई अन्य पिंड होता है। न्यूटन के प्रस्ताव 43 की व्युत्पत्ति उसके प्रस्ताव 2 पर निर्भर करती है, जो पहले प्रिंसिपिया में प्राप्त हुआ था। प्रस्ताव 2 ज्यामितीय परीक्षण प्रदान करता है कि क्या बिंदु द्रव्यमान ( कण) पर कार्य करने वाला शुद्ध बल केंद्रीय बल है। न्यूटन ने दिखाया कि बल केंद्रीय है यदि और केवल तभी जब कण केंद्र से मापे गए समान समय में समान क्षेत्रों को बाहर निकालता है।

इस प्रकार न्यूटन की व्युत्पत्ति कण के इच्छानुसार केंद्रीय बल F1(r) के अनुसार गति करने से प्रारंभ होती है; इस बल के अनुसार इस कण की गति को समय के फलन के रूप में केंद्र से इसकी त्रिज्या r(t) और इसके कोण θ1(t) द्वारा वर्णित किया गया है।। अतिसूक्ष्म समय dt में, कण अनुमानित समकोण त्रिभुज को पार कर जाता है जिसका क्षेत्रफल है



dA_1 = \frac{1}{2} r^2 d\theta_1 $$ चूँकि कण पर कार्य करने वाले बल को केंद्रीय बल माना जाता है, कण न्यूटन के प्रस्ताव 2 के अनुसार समान समय में समान कोणों को पार करता है। दूसरे विधि से व्यक्त किया गया, क्षेत्र को बाहर निकालने की दर स्थिर है



\frac{dA_1}{dt} = \frac{1}{2} r^2 \frac{d\theta_1}{dt} = \mathrm{constant} $$ इस स्थिर क्षेत्रीय वेग की गणना निम्नानुसार की जा सकती है। एप्सिस पर, आकर्षित केंद्र से निकटतम और सबसे दूर की दूरी की स्थिति, वेग और त्रिज्या वैक्टर लंबवत होते हैं; इसलिए, कोणीय संवेग L1 कण के प्रति द्रव्यमान m (h1 के रूप में लिखा गया है) क्षेत्रों को साफ़ करने की दर से संबंधित हो सकता है



h_1 = \frac{L_1}{m} = r v_1 = r^2 \frac{d\theta_1}{dt} = 2 \frac{dA_1}{dt} $$ अब दूसरे कण पर विचार करें जिसकी कक्षा त्रिज्या में समान है, किन्तु जिसका कोणीय परिवर्तन स्थिर कारक k से गुणा होता है



\theta_2(t) = k \theta_1(t)\,\! $$ दूसरे कण का क्षेत्रीय वेग समान कारक k से गुणा किए गए पहले कण के समान होता है



h_2 = 2 \frac{dA_2}{dt} = r^2 \frac{d\theta_2}{dt} = k r^2 \frac{d\theta_1}{dt} = 2 k \frac{dA_1}{dt} = k h_1 $$ चूँकि k स्थिरांक है, दूसरा कण भी समान समय में समान क्षेत्रों को पार करता है। इसलिए, प्रस्ताव 2 के अनुसार, दूसरे कण पर भी केंद्रीय बल F2(r) द्वारा कार्य किया जाता है। यह प्रस्ताव 43 का निष्कर्ष है.


 * प्रस्ताव 44


 * इस प्रकार बलों का अंतर, जिसके द्वारा दो पिंडों को समान रूप से गतिमान किया जा सकता है, जिसको स्थिर में, दूसरे को ही कक्षा में घूमते हुए, उनकी सामान्य ऊंचाई के घन के विपरीत भिन्न होता है।

इस प्रकार F2(r) का परिमाण ज्ञात करने के लिए मूल केंद्रीय बल F1(r) से, न्यूटन ने उनके अंतर की गणना की F2(r) − F1(r) ज्यामिति और अभिकेन्द्रीय त्वरण की परिभाषा का उपयोग करता है। अपने प्रिंसिपिया के प्रस्ताव 44 में, उन्होंने दिखाया कि अंतर त्रिज्या के व्युत्क्रम घन के समानुपाती होता है, विशेष रूप से ऊपर दिए गए सूत्र द्वारा, जिसे न्यूटन दो स्थिर क्षेत्रीय वेगों h1 और h2 के संदर्भ में लिखते हैं,

F_2(r) - F_1(r) = m \frac{h_1^2 - h_2^2}{r^3} $$
 * प्रस्ताव 45; समस्या 31


 * वृत्तों के अधिक निकट आने वाली कक्षाओं में एप्साइड्स की गति का पता लगाना है।

इस प्रस्ताव में, न्यूटन ने लगभग वृत्ताकार कक्षाओं की सीमा में परिक्रामी कक्षाओं के अपने प्रमेय के परिणाम निकाले। यह सन्निकटन सामान्यतः ग्रहों की कक्षाओं और पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा की कक्षा के लिए मान्य है। इस प्रकार यह सन्निकटन न्यूटन को केवल व्युत्क्रम-वर्ग और व्युत्क्रम-घन बल नियमो पर ही नहीं, किन्तु विभिन्न प्रकार के केंद्रीय बल नियमो पर भी विचार करने की अनुमति देता है।

आधुनिक व्युत्पत्ति
न्यूटन के प्रमेय की आधुनिक व्युत्पत्तियाँ ई. टी. व्हिटेकर (1937) द्वारा प्रकाशित की गई हैं। एंड सुब्रह्मण्यन चंद्रशेखर (1995) अनुमान के अनुसार, दूसरी कोणीय गति पहली की तुलना में k गुना तेज़ है



\omega_{2} = \frac{d\theta_{2}}{dt} = k \frac{d\theta_{1}}{dt} = k \omega_{1} $$ चूंकि दोनों त्रिज्याओं का व्यवहार समय, r(t) के साथ समान है, इसलिए संरक्षित कोणीय संवेग ही कारक k से संबंधित हैं।



L_{2} = m r^{2} \omega_{2} = m r^{2} k \omega_{1} = k L_{1} \,\! $$ इस प्रकार केंद्रीय बल V(r) में गतिमान द्रव्यमान m के कण की त्रिज्या r के लिए गति का समीकरण यूलर-लैग्रेंज समीकरण द्वारा दिया गया है।

लैग्रेंज के समीकरण



m\frac{d^2 r}{dt^2} - mr \omega^2 = m\frac{d^2 r}{dt^2} - \frac{L^2}{mr^3} = F(r) $$ सामान्य सूत्र को दो कक्षाओं में प्रयुक्त करने से समीकरण प्राप्त होता है



m\frac{d^2 r}{dt^2} = F_1(r) + \frac{L_1^2}{mr^{3}} = F_2(r) + \frac{L_2^2}{mr^3} = F_2(r) + \frac{k^2 L_1^2}{mr^3} $$ जिसे पुनः स्वरूप में व्यवस्थित किया जा सकता है



F_{2}(r) = F_1(r) + \frac{L_1^2}{mr^3} \left( 1 - k^2 \right) $$ दो रेडियल बलों से संबंधित इस समीकरण को गुणात्मक रूप से इस प्रकार समझा जा सकता है। इस प्रकार कोणीय गति में अंतर (या समकक्ष, कोणीय संवेग में) सेंट्रिपेटल बल की आवश्यकता में अंतर का कारण बनता है; इसकी आपूर्ति के लिए, रेडियल बल को व्युत्क्रम-घन बल के साथ परिवर्तित किया जाना चाहिए।

न्यूटन के प्रमेय को संभावित ऊर्जा के संदर्भ में समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है, जिसे केंद्रीय बलों के लिए परिभाषित किया गया है


 * $$ F(r) = -\frac{dV}{dr} $$

इस प्रकार रेडियल बल समीकरण को दो संभावित ऊर्जा के संदर्भ में लिखा जा सकता है



- \frac{dV_2}{dr} = - \frac{dV_1}{dr} + \frac{L_1^2}{mr^3} \left( 1 - k^2 \right) $$ दूरी r के संबंध में एकीकरण करते हुए, न्यूटन के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी संभावित ऊर्जा V में व्युत्क्रम-वर्ग संभावित ऊर्जा जोड़ने से कोणीय गति में k1(r)-गुना परिवर्तन होता है।



V_2(r) = V_1(r) + \frac{L_1^2}{2mr^2} \left( 1 - k^2 \right) $$

प्रस्ताव 44 का सरलीकृत ज्यामितीय प्रमाण
चूंकि न्यूटन का कहना है कि समस्या को प्रस्ताव 6 द्वारा हल किया जाना था, वह इसका स्पष्ट रूप से उपयोग नहीं करता है। निम्नलिखित, सरलीकृत प्रमाण में, प्रस्ताव 6 का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि परिणाम कैसे प्राप्त होता है।

न्यूटन का विस्तृत प्रमाण उसका अनुसरण करता है, और अंत में प्रस्ताव 6 जोड़ा जाता है, क्योंकि यह पूर्ण रूप से ज्ञात नहीं है।

प्रस्ताव 44 परिक्रामी कक्षाओं के बारे में परिणाम सिद्ध करने के लिए प्रस्ताव 6 का उपयोग करता है। प्रिंसिपिया की धारा 2 में प्रस्ताव 6 के पश्चात् के प्रस्तावों में, वह इसे विशिष्ट वक्रों पर प्रयुक्त करता है, उदाहरण के लिए, शंकुधारी खंड। प्रस्ताव 44 के स्थिति में, इसे निश्चित बिंदु की ओर निर्देशित इच्छानुसार बल की कार्रवाई के अनुसार, किसी भी कक्षा पर प्रयुक्त किया जाता है, जिससे संबंधित परिक्रामी कक्षा का निर्माण किया जा सकता है।

चित्र 1 में, mn उस कक्षा का भाग है। बिंदु P पर, पहले की तरह, S की ओर निर्देशित बल की कार्रवाई के अनुसार निकाय Q की ओर बढ़ता है। बल, F(SP) को वक्र पर प्रत्येक बिंदु P पर परिभाषित किया गया है।

चित्र 2 में, परिक्रामी कक्षा का संगत भाग mn है और इसका बल केंद्र s है। मान लें कि प्रारंभ में, स्थिर कक्षा में पिंड गति V के साथ त्रिज्या के समकोण पर प्रारंभ होता है। इस प्रकार परिक्रामी कक्षा में पिंड को भी समकोण पर प्रारंभ करना चाहिए और मान लेना चाहिए कि इसकी गति v है। चित्र 1 में दिखाए गए स्थिति में, $$v > V$$ और बल S की ओर निर्देशित है। यह नियम समान रूप से प्रयुक्त होता है यदि $$v < V$$ साथ ही, बल को केंद्र से दूर निर्देशित किया जा सकता है।

मान लीजिए SA स्थिर कक्षा की प्रारंभिक दिशा है, और sa, परिक्रामी कक्षा यदि निश्चित समय के पश्चात् संबंधित कक्षाओं में पिंड P और p पर हैं, तो कोणों का अनुपात $$ \frac{asp}{ASP} = \frac{psq}{PSQ} = \frac{v}{V} $$; क्षेत्रों का अनुपात

$$ \frac{asp}{ASP} = \frac{psq}{PSQ} = \frac{v}{V} $$; और त्रिज्या

$$ SP = sp $$, $$ SQ = sq $$, $$ SA = sa $$.

चित्र 2 में आकृति pryx और चाप py चित्र 1 में आकृति PRQT और चाप PQ हैं, जो अनुपात में क्षैतिज दिशा $$ \frac{v}{V}$$ में रैखिक रूप से विस्तारित हैं, जिससे $$ PU = pu $$, $$ UT = ux $$, और $$ qt = \frac{v}{V}QT $$. सीधी रेखाएँ qt और QT वास्तव में क्रमशः केंद्र s और S और त्रिज्याएँ sq और SQ के साथ वृत्ताकार चाप होनी चाहिए। सीमा में इनका अनुपात $$ \frac{v}{V}$$ बन जाता है, यद्यपि वह सीधी रेखाएँ हों या चाप हो।

चूँकि सीमा में बल SP और sp के समानांतर हैं, यदि चित्र 1 की तरह चित्र 2 में भी निकाय पर वही बल कार्य करता है, तो निकाय y पर पहुँच जाएगा, क्योंकि ry = RQ है। क्षैतिज गति में अंतर ऊर्ध्वाधर दूरियों को प्रभावित नहीं करता है। न्यूटन गति के नियमों के परिणाम 2 को संदर्भित करता है, जहां पिंडों की गति रेडियल दिशा में घटक में परिवर्तन जाती है, जिस पर संपूर्ण बल कार्य करता है, और दूसरा घटक उसके अनुप्रस्थ होता है, जिस पर बिना किसी बल के कार्य किया जाता है।

चूंकि, y से केंद्र की दूरी, s, अब SQ से अधिक है, इसलिए निकाय को q तक ले जाने के लिए अतिरिक्त बल की आवश्यकता होती है जैसे कि sq = SQ है। अतिरिक्त बल को yq द्वारा दर्शाया गया है, और f, ry + yq के समानुपाती है, जैसे F, RQ के समानुपाती है।

$$ RQ = SP - PU - ST $$, $$ rq = sp - pu - st = RQ + ST - st $$.

के अंतर, $$ ST - st = yq $$, इस प्रकार पाया जा सकता है:

$$ ST^2 = SQ^2 - QT^2 $$, $$ st^2 = sq^2 - qt^2 $$, इसलिए $$ (ST - st)(ST + st) = qt^2 - QT^2 $$.

और सीमा में, जैसे-जैसे qt और qt शून्य के निकट पहुंचते हैं,

$$ST + st$$ के समान हो जाता है

$$SQ + sq$$ या 2SP तो

$$ yq*2SP = \frac{QT^2(v^2 - V^2)}{V^2} $$.

इसलिए,

$$ rq = RQ + ST - st = RQ + \frac{QT^2(v^2 - V^2) }{2SP*V^2} $$.

चूँकि प्रस्ताव 6 (चित्र 1 और नीचे देखें) से, बल है

$$ \frac{k*QR}{(SP^2*QT^2) } $$

से भाग

$$ \frac {(SP^2*QT^2)}{k} $$

जहाँ k स्थिरांक है, बल प्राप्त करने के लिए

$$ f(sp) = F(sp) + \frac{k(v^2 - V^2) }{2sp^3*V^2} $$.

चित्र 3 में, स्थिर वक्र के प्रारंभिक बिंदु A पर, स्पर्शरेखा AR, जो SA पर लंबवत है, और वृत्त AQD खींचिए, जो वक्र को A पर स्पर्श करता है। मान लीजिए ρ उस वृत्त की त्रिज्या है। चूँकि कोण SAR समकोण है, वृत्त का केंद्र SA पर स्थित है। किसी वृत्त की प्रोपर्टी से:

$$ QT^2 = AT(2\rho - AT) = RQ(2\rho - RQ) $$,

और सीमा में जैसे-जैसे Q, A के निकट पहुंचता है, यह बन जाता है

$$ \rho = QT^2 / 2RQ $$.

इस तरह,

$$ F(SA) = \frac{k}{(2\rho*SA^2) } $$.

और चूँकि F(SA) दिया गया है, यह स्थिरांक k निर्धारित करता है। चूंकि, न्यूटन चाहता है कि A पर बल इसी प्रकार का हो

$$ cV^2 / SA^2 $$,

जहाँ c स्थिरांक है, अतः

$$ f(sp) = F(sp) + \frac{c\rho (v^2 - V^2) }{sp^3} $$,

जहाँ

$$ c = \frac{F(SA) * SA^2}{V^2} $$.

उपरोक्त f(sp) के लिए अभिव्यक्ति प्रस्ताव 44 के परिणाम 4 में न्यूटन की अभिव्यक्ति के समान है, अतिरिक्त इसके कि वह विभिन्न अक्षरों का उपयोग करता है। वह $$ \frac{G}{F} = \frac{v}{V} $$ लिखता है (जहाँ G और F आवश्यक रूप से क्रमशः v और V के समान नहीं हैं), और "c" के अनुरूप स्थिरांक के लिए "V" अक्षर का उपयोग करता है, और इस प्रकार कार्य F(sp) के लिए अक्षर "X" का उपयोग करता है।

उपरोक्त ज्यामितीय प्रमाण अधिक स्पष्ट रूप से दिखाता है कि स्थिर कक्षा के संबंध में कक्षा को घुमाने के लिए अतिरिक्त बल जहाँ से उत्पन्न होता है।

न्यूटन के प्रस्ताव का प्रमाण 44
उपरोक्त प्रमाण की सरलता को देखते हुए न्यूटन का प्रमाण सम्मिश्र है। उदाहरण के तौर पर, उसके प्रमाण के लिए कुछ व्याख्या की आवश्यकता है, जैसा कि निम्नलिखित वाक्य से पता चलता है:

इसलिए, यदि केंद्र सी और किसी त्रिज्या cp या cp के साथ वृत्ताकार क्षेत्र को कुल क्षेत्रफल vpc के समान वर्णित किया गया है, जिसे स्थिर कक्षा में घूमने वाले निकाय P ने किसी भी समय केंद्र में खींची गई त्रिज्या द्वारा वर्णित किया है, तो मध्य का अंतर स्थिर कक्षा में पिंड P और गतिशील कक्षा में पिंड P जिस बल से घूमते हैं, इस प्रकार वह अभिकेन्द्रीय बल होगा जिसके द्वारा कोई पिंड, केंद्र की ओर खींची गई त्रिज्या द्वारा, उस क्षेत्र का समान रूप से वर्णन करने में सक्षम होगा वह समय जिसमें क्षेत्र vpc को g2- f2 से F2 के रूप में वर्णित किया गया था।”

वह प्रारंभ में अतिसूक्ष्म $$\tau$$ को मानता है जैसा कि निश्चित है, तो क्षेत्र SPQ और spq क्रमशः V और v के समानुपाती हैं; इसलिए,

$$QT*SP \propto V\tau$$ और $$qt*sp \propto v\tau$$

प्रत्येक बिंदु P और p पर, और

$$yq = \frac{qt^2 - QT^2}{2sp} \propto \frac{1}{sp^3}$$

इसलिए अतिरिक्त बल त्रिज्या के घन के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

चित्र 1 में, XQ वृत्ताकार चाप है, जिसका केंद्र S और त्रिज्या SQ है, जो SP को X पर मिलता है। इस प्रकार लंबवत XY, RQ को Y पर मिलता है, और $$YQ = \frac{QT^2}{2SP}$$.

माना $$\phi(SQ)$$ किसी पिंड को त्रिज्या SQ के वृत्त में घुमाने के लिए आवश्यक बल होता है, यदि इसकी गति Q पर स्थिर कक्षा में पिंड की अनुप्रस्थ गति के समान हो।

$$\frac{f(sp) - F(sp)}{\phi(sp)} = \frac{yq}{YQ} = \frac{(qt^2 - QT^2) }{QT^2} = \frac{(v^2 - V^2) }{V^2}$$

प्रत्येक बिंदु पर, P और विशेष रूप से शीर्ष A पर,:

$$\frac{f(SA) - F(SA)}{\phi(SA)} = \frac{(v^2 - V^2) }{V^2}$$.

किन्तु चित्र 3 में, A पर, उस बल का अनुपात जो निकाय को स्थैतिक वक्र, AE का अनुसरण करता है, और इसे त्रिज्या SA के साथ वृत्त AB का अनुसरण करने के लिए आवश्यक बल का अनुपात, उनकी त्रिज्या के अनुपात के विपरीत है। क्योंकि वह दोनों ही गति, V, SA के लंबवत गति से आगे बढ़ रहे हैं:

$$\frac{F(SA)}{\phi(SA)} = \frac{SA}{\rho}$$.

प्रमाण के पहले भाग से, $$ f(sp) - F(sp) = \frac{(f(sa) - F(sa))sa^3}{sp^3} = \frac{\rho F(sa)sa^2(v^2 - V^2)}{V^2sp^3} $$.

F(SA) के लिए न्यूटन की अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करने पर, पहले प्राप्त परिणाम मिलता है।

न्यूटन के प्रस्ताव का प्रमाण 45
इस प्रकार "वृत्तों के निकट आने वाली कक्षाओं में अप्साइड्स की गति का पता लगाना होता है।"

इस प्रस्ताव को सिद्ध करने के लिए प्रस्ताव 44 को स्पष्ट रूप से तैयार किया गया था। न्यूटन किसी बल द्वारा आकर्षित लगभग वृत्ताकार कक्षा में किसी पिंड की गति की जांच करना चाहता है

$$ f(sp) = \gamma*sp^{n - 3} $$.

प्रस्ताव 44 के अनुसार, वह व्युत्क्रम वर्ग बल, F(SP) के साथ दीर्घवृत्त द्वारा स्थैतिक वक्र का अनुमान लगाता है, जो नाभि की ओर निर्देशित होता है, जिसे व्युत्क्रम घन बल जोड़कर घूमने के लिए बनाया जाता है।

इस प्रकार स्थैतिक दीर्घवृत्त के लिए, SP वर्ग के विपरीत बल भिन्न होता है,

$$ F(SP) = \frac{cV^2}{SP^2} $$,

चूँकि c को ऊपर परिभाषित किया गया है इसलिए $$ F(SA) = \frac{cV^2}{SA^2} $$.

स्थैतिक कक्षा में पिंड A पर ऊपरी पार्श्व से प्रारंभ होकर, 180 डिग्री के कोण से घूमने के पश्चात्, निचले पृष्ठ पर, S के निकटतम बिंदु पर पहुंच जाएगा। न्यूटन संगत परिक्रमण कक्षा चाहता है जो एपसाइड से प्रारंभ हो, A, बिंदु S के बारे में, निचले एपसाइड को कोण, α द्वारा स्थानांतरित किया जाता है, जहां $$ \frac{(180 + \alpha)}{180} = \frac{v}{V} $$.

A पर प्रारंभिक गति, V, निकाय को वृत्त में घुमाने के लिए आवश्यक गति से कम होनी चाहिए। तब ρ को SA या sa के समान लिया जा सकता है। समस्या n के मान से v निर्धारित करने की है, जिससे α पाया जा सके, या n खोजने के लिए α दिया जा सकता है।

$$ f(sp) = F(sp) + \frac{c\rho (v^2 - V^2)}{sp^3} = \frac{c(sp*V^2 + sa(v^2 - V^2))}{sp^3} $$ दे $$ sp = sa - X $$,

$$ f(sp) = \frac{c(s*av^2 - XV^2)}{sp^3} $$.

पुनः "अभिसरण श्रृंखला की हमारी विधि द्वारा":

$$ f(sp) = \frac{\gamma*sp^n}{sp^3} = \frac{\gamma(sa - X)^n}{sp^3} = \frac{\gamma*sa^{n - 1}(sa - nX)}{sp^3} $$ x2 में धनात्मक नियम और इससे ऊपर को नजरअंदाज किया जा सकता है क्योंकि कक्षा लगभग वृत्ताकार है, इसलिए X, sa की तुलना में छोटा है।

f(sp) के लिए दो अभिव्यक्तियों की तुलना करते हुए, $$ f(sp) = \frac{\gamma*sa^{n-1}(sa - nX)}{sp^3} = \frac{c(sa*v^2 - XV^2)}{sp^3} $$

यह इस प्रकार है कि

$$ \frac{v}{V} = \frac {1}{n ^{1/2}} = \frac{(180 + \alpha)}{180} $$.

भी, $$ f(sp) = \frac{cv^2*sp^{n-3}}{sa^{n-1}} $$.

A पर प्रारंभिक बलों का अनुपात इस प्रकार दिया गया है

$$ \frac{f(sa)}{F(sa)} = \frac{1}{n} $$.

प्रस्ताव 44 के प्रमाण के लिए प्रस्ताव 6, ऊपर
चित्र 1 में, पिंड विशिष्ट वक्र MN पर (केन्द्राभिमुख) बल द्वारा कार्यित होकर, निश्चित बिंदु S की ओर बढ़ रहा है। बल केवल S से बिंदु की दूरी पर निर्भर करता है। इस प्रस्ताव का उद्देश्य निर्धारित करना है त्रिज्या, SP के साथ बल कैसे परिवर्तित होता है। यह विधि उस स्थिति में समान रूप से प्रयुक्त होती है जहां बल केन्द्रापसारक है।

इस प्रकार अल्प समय में, $$\tau$$, निकाय P से निकटतम बिंदु Q की ओर बढ़ता है। SP के समानांतर QR खींचिए जो R पर स्पर्शरेखा से मिले, और QT SP के लंबवत खींचे जो इसे T पर मिलता था।

यदि कोई बल उपस्थित नहीं होता तो यह P पर स्पर्शरेखा के अनुदिश उसी गति से चलता जिस गति से यह था P, बिंदु r पर पहुंच रहा है। इस प्रकार यदि P से q की ओर जाने वाले निकाय पर बल परिमाण में स्थिर था और दिशा SP के समानांतर था, तो चाप pq pr के साथ स्पर्शरेखा के रूप में परवलयिक होगा और qr उस स्थिरांक के समानुपाती होगा। बल और समय का वर्ग, $$\tau$$ है

इसके विपरीत, यदि r पर पहुंचने के अतिरिक्त, निकाय को q पर विक्षेपित किया गया था, तो SP के समानांतर निरंतर बल, परिमाण के साथ:

$$ F \propto \frac{QR}{\tau^2} $$

इसके कारण यह R के अतिरिक्त Q तक पहुंच जाता है।

चूंकि, चूँकि S से चाप PQ पर बिंदुओं तक त्रिज्या की दिशा और S की ओर बल का परिमाण भी PQ के साथ परिवर्तन जाएगा, उपरोक्त संबंध P पर स्पष्ट बल नहीं देगा। यदि Q, P के पर्याप्त रूप से निकट है, बल की दिशा PQ के अनुदिश SP के लगभग समानांतर होगी और यदि बल थोड़ा परिवर्तित होता है, तो PQ को QR के संदर्भ में ऊपर दिए गए बल के साथ परवलयिक चाप द्वारा अनुमानित माना जा सकता है और $$\tau$$.

इस प्रकार समय, $$\tau$$ सेक्टर SPQ के क्षेत्रफल के समानुपाती होता है। यह केप्लर का दूसरा नियम है। प्रिंसिपिया में प्रस्ताव 1, पुस्तक 1 ​​में प्रमाण प्रदर्शित किया गया है। चूँकि चाप PQ को सीधी रेखा द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, त्रिज्यखंड SPQ का क्षेत्रफल और त्रिभुज SPQ का क्षेत्रफल समान लिया जा सकता है, इसलिए

$$ F \propto \frac{QR}{\tau^2} = \frac{k*QR}{(SP^2*QT^2) } $$, जहां k स्थिरांक है।

पुनः, यह परिमित लंबाई PQ के लिए स्पष्ट नहीं है। यदि उपरोक्त अभिव्यक्ति की सीमा SP के कार्य के रूप में उपस्थित है, तो बल नियम प्राप्त होता है, क्योंकि pq शून्य के निकट पहुंचता है।

परन्तु, समय में $$\tau$$, बिना किसी बल के निकाय R की तुलना में P से आगे बिंदु W तक पहुंच गया होगा। चूंकि, सीमा में QW SP के समानांतर हो जाता है। न्यूटन के प्रमाण में बिंदु W को नजरअंदाज कर दिया गया है।

इसके अतिरिक्त, न्यूटन ने QR को चाप की रहैमेड ज्या के रूप में वर्णित किया है जिसके केंद्र में P है और लंबाई QP से दोगुनी है। चूंकि यह पूरी तरह से उस qr के समान नहीं है जो उसके चित्र (चित्र 1) में है, सीमा में, वह समान हो जाते हैं।

टिप्पणियाँ:

यह प्रस्ताव स्थिर त्वरण की क्रिया के अनुसार परवलयिक प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करने वाले निकाय के गैलीलियो के विश्लेषण पर आधारित है। प्रस्ताव 10 में, उन्होंने इसे गैलीलियो के प्रमेय के रूप में वर्णित किया है, और प्रिंसिपिया में इसके संबंध में विभिन्न बार गैलीलियो का उल्लेख किया है। इसे केप्लर के दूसरे नियम के साथ मिलाने पर सरल और सुंदर विधि प्राप्त होती है।

इस प्रकार ऐतिहासिक रूप से अधिक महत्वपूर्ण स्थिति में जहां चित्र 1 में mn दीर्घवृत्त का भाग था और S इसके फोकसों में से था, न्यूटन ने प्रस्ताव 11 में दिखाया कि सीमा $$ QR / QT^2$$ वक्र पर प्रत्येक बिंदु पर स्थिर था, जिससे निश्चित बिंदु S की ओर निर्देशित निकाय पर बल दूरी SP के वर्ग के विपरीत भिन्न होटी है।

इस प्रकार फोकस पर केंद्र के साथ दीर्घवृत्त के अतिरिक्त, न्यूटन ने प्रस्ताव 6 को हाइपरबोला (प्रस्ताव 12), परवलय (प्रस्ताव 13), दीर्घवृत्त के केंद्र में बल के केंद्र के साथ दीर्घवृत्त (प्रस्ताव 10), समबाहु पर भी प्रयुक्त किया था। कुंडली (प्रस्ताव 9), और बल का केंद्र और यहां तक ​​कि परिधि पर भी (प्रस्ताव 7) के साथ मेल नहीं खाता है, ।

यह भी देखें

 * केप्लर प्रॉब्लम
 * लाप्लास-रंज-लेन्ज़ वेक्टर
 * सामान्य सापेक्षता में दो-निकाय की समस्या
 * वृत्ताकार के बारे में न्यूटन का प्रमेय

अग्रिम पठन

 * (séance du lundi 20 Octobre 1873)
 * Alternative translation of earlier (2nd) edition of Newton's Principia.
 * Alternative translation of earlier (2nd) edition of Newton's Principia.
 * Alternative translation of earlier (2nd) edition of Newton's Principia.
 * Alternative translation of earlier (2nd) edition of Newton's Principia.
 * Alternative translation of earlier (2nd) edition of Newton's Principia.

बाहरी संबंध

 * Three-body problem discussed by Alain Chenciner at Scholarpedia