बिंदु प्रक्रिया

सांख्यिकी और संभाव्यता सिद्धांत में, बिंदु प्रक्रिया या बिंदु क्षेत्र मुख्य रूप से गणित में बिंदुओं का संग्रह है, जो गणितीय समष्टि जैसे वास्तविक रेखा या यूक्लिडियन समष्टि पर यादृच्छिक रूप से स्थित होता है।

समष्टििक डेटा विश्लेषण के लिए बिंदु प्रक्रियाओं का उपयोग किया जा सकता है, जो इस प्रकार वानिकी, पादप पारिस्थितिकी, महामारी विज्ञान, भूगोल, भूकंप विज्ञान, सामग्री विज्ञान, खगोल विज्ञान, दूरसंचार, कम्प्यूटरीकृत तंत्रिका विज्ञान जैसे विविध विषयों जैसे अर्थशास्त्र और दूसरे विमें रुचि रखता है।

किसी बिंदु प्रक्रिया की विभिन्न गणितीय व्याख्याएँ होती हैं, जैसे यादृच्छिक गिनती माप या यादृच्छिक समुच्चय इत्यादि। कुछ लेखक बिंदु प्रक्रिया और स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को दो अलग-अलग वस्तुओं के रूप में मानते हैं जैसे कि बिंदु प्रक्रिया यादृच्छिक वस्तु है जो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया से उत्पन्न होती है या उससे जुड़ी होती है,  चूंकि इस प्रकार यह टिप्पणी की गई है कि बिंदु प्रक्रियाओं और स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के बीच अंतर स्पष्ट नहीं है। इसके लिए अन्य लोगों ने बिंदु प्रक्रिया को स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के रूप में माना हैं, जहाँ प्रक्रिया को अंतर्निहित समष्टि के समुच्चय द्वारा अनुक्रमित किया जाता है जिस पर इसे परिभाषित किया गया है, जैसे वास्तविक रेखा या $$n$$-आयामी यूक्लिडियन समष्टि इसके प्रमुख उदाहरण हैं।  इस प्रकार बिंदु प्रक्रियाओं के सिद्धांत में अन्य स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं जैसे नवीकरण और गिनती प्रक्रियाओं का अध्ययन किया जाता है। कभी-कभी बिंदु प्रक्रिया शब्द को प्राथमिकता नहीं दी जाती है, क्योंकि इस प्रकार ऐतिहासिक रूप से प्रक्रिया शब्द समय में किसी प्रणाली के विकास को दर्शाता है, इसलिए बिंदु प्रक्रिया को यादृच्छिक बिंदु क्षेत्र भी कहा जाता है।

वास्तविक रेखा पर बिंदु प्रक्रियाएं महत्वपूर्ण विशेष स्थिति बनाती हैं जिसका अध्ययन विशेष रूप से किया जा सकता है, क्योंकि इस प्रकार बिंदुओं को प्राकृतिक विधि से क्रमबद्ध किया जाता है, और संपूर्ण बिंदु प्रक्रिया को बिंदुओं के बीच (यादृच्छिक) अंतराल द्वारा पूर्ण रूप से वर्णित किया जा सकता है। इस प्रकार इन बिंदु प्रक्रियाओं को अधिकांशतः समय में यादृच्छिक घटनाओं के लिए प्रारूप के रूप में उपयोग किया जाता है, जैसे किसी श्रेणी में ग्राहकों का आगमन (कतार सिद्धांत), न्यूरॉन में आवेगों (कम्प्यूटरीकृत तंत्रिका विज्ञान), गीगर काउंटर में कण, रेडियो स्टेशनों का समष्टि दूरसंचार नेटवर्क या विश्वव्यापी वेब पर की जाने वाली विभिन्न खोजों का व्यापक रूप हैं।

सामान्य बिंदु प्रक्रिया का सिद्धांत
गणित में, बिंदु प्रक्रिया यादृच्छिक अवयव है जिसका मान समुच्चय (गणित) एस पर बिंदु स्वरूप हैं। जबकि इस प्रकार सही प्रकार से यदि कहें तो गणितीय परिभाषा में बिंदु स्वरूप को समष्टिीय रूप से परिमित माप गिनती माप के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है, यह अधिक लागू उद्देश्यों के लिए पर्याप्त है बिंदु स्वरूप को S के गणनीय समुच्चय उपसमुच्चय के रूप में सोचें जिसमें कोई सीमा बिंदु नहीं है।

परिभाषा
सामान्य बिंदु प्रक्रियाओं को परिभाषित करने के लिए, हम संभाव्यता समष्टि $$(\Omega, \mathcal{F}, P)$$ से प्रारंभ करते हैं,

और मापने योग्य समष्टि $$(S, \mathcal{S})$$ जहाँ $$S$$ समष्टिीय रूप से सघन समष्टि है,

द्वितीय-गणनीय समष्टि हॉसडॉर्फ समष्टि और $$\mathcal{S}$$ क्या ऐसी बात है,

बोरेल सिग्मा-बीजगणित या बोरेल σ-बीजगणित अब पूर्णांक-मान समष्टिीय रूप से परिमित कर्नेल $$\xi$$ पर विचार करें, जिससे इस प्रकार $$(\Omega, \mathcal{F})$$ में $$(S, \mathcal{S})$$ का मानचित्रण $$\Omega \times \mathcal{S} \mapsto \mathbb{Z}_{+}$$ ऐसा है कि: यह कर्नेल यादृच्छिक माप को निम्नलिखित विधि से परिभाषित करता है। यहाँ पर इस प्रकार हम $$\xi$$ के लिए सोचना चाहेंगे,
 * 1) हरएक के लिए $$\omega \in \Omega$$, $$\xi(\omega, \cdot)$$ पर समष्टिीय रूप से सीमित उपाय $$S$$ है।
 * 2) हरएक के लिए $$B \in \mathcal{S}$$, $$\xi(\cdot, B): \Omega \mapsto \mathbb{Z}_+$$ यादृच्छिक चर $$\mathbb{Z}_+$$ है।

किसी मैपिंग को परिभाषित करने के रूप में जो $$\omega \in \Omega$$ उपाय के लिए इस प्रकार $$\xi_\omega \in \mathcal{M}(\mathcal{S})$$ मैप करता है,

(अर्थात्, $$\Omega \mapsto \mathcal{M}(\mathcal{S})$$),

जहाँ $$\mathcal{M}(\mathcal{S})$$ सभी समष्टिीय रूप से परिमित उपायों का समुच्चय $$S$$ है।

अब, इस मानचित्रण को मापने योग्य बनाने के लिए, हमें $$\sigma$$-फ़ील्ड ओवर $$\mathcal{M}(\mathcal{S})$$ के लिए इसे परिभाषित करने की आवश्यकता है।

यह $$\sigma$$-फ़ील्ड का निर्माण न्यूनतम बीजगणित के रूप में किया गया है जिससे कि प्रपत्र के सभी मानांकन मानचित्र $$\pi_B: \mu \mapsto \mu(B)$$, जहाँ $$B \in \mathcal{S}$$ अपेक्षाकृत सघन उपसमुच्चय है, जो मापने योग्य हैं। इससे सुसज्जित $$\sigma$$-फ़ील्ड, फिर $$\xi$$ यादृच्छिक अवयव है, जहाँ हर किसी के लिए $$\omega \in \Omega$$, $$\xi_\omega$$ समष्टिीय रूप से सीमित माप $$S$$ है।

अब, बिंदु प्रक्रिया द्वारा $$S$$ हमारा मतलब बस पूर्णांक-मान यादृच्छिक माप (या समकक्ष, पूर्णांक-मान) है।

कर्नेल $$\xi$$ उपरोक्तानुसार से निर्मित होता हैं।

स्टेट समष्टि S के लिए सबसे सरल उदाहरण यूक्लिडियन स्पेस 'R'n है या उसका उपसमुच्चय, जहाँ इस प्रकार विशेष रूप से दिलचस्प विशेष स्थिति वास्तविक अर्ध-पंक्ति [0,∞) द्वारा दिया जाता है। चूंकि, बिंदु प्रक्रियाएँ इन उदाहरणों तक सीमित नहीं हैं और अन्य चीजों के अतिरिक्त इसका उपयोग तब भी किया जा सकता है जब बिंदु स्वयं 'R'n के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय हों। इस स्थिति में ξ को सामान्यतः कण प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।

यह नोट किया गया है कि यदि S वास्तविक रेखा का उपसमुच्चय नहीं है, तो इस प्रकार बिंदु प्रक्रिया शब्द बहुत अच्छा नहीं है, क्योंकि इससे यह सुझाव मिल सकता है कि ξ स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है। चूंकि इस प्रकार यह शब्द सामान्य स्थिति में भी अच्छे प्रकार से स्थापित और निर्विरोध है।

प्रतिनिधित्व
किसी बिंदु प्रक्रिया के प्रत्येक उदाहरण (या घटना) को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है


 * $$ \xi=\sum_{i=1}^n \delta_{X_i}, $$

जहाँ $$\delta$$ डिराक माप को दर्शाता है, n पूर्णांक-मान यादृच्छिक चर है और इस प्रकार $$X_i$$ S के यादृच्छिक अवयव हैं, इसके कारण यदि $$X_i$$ लगभग निश्चित रूप से भिन्न (या समकक्ष, लगभग निश्चित रूप से $$\xi(x) \leq 1$$ सभी के लिए $$x \in \mathbb{R}^d $$) हैं, तो इस प्रकार बिंदु प्रक्रिया को सरल बिंदु प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है।

किसी घटना का और अलग अपितु उपयोगी प्रतिनिधित्व (घटना समष्टि में घटना, यानी अंकों की श्रृंखला) गिनती संकेतन है, जहाँ इस प्रकार प्रत्येक उदाहरण को के रूप में दर्शाया जाता है $$N(t)$$ फलन, सतत फलन जो पूर्णांक मान लेता है: $$N:{\mathbb R}\rightarrow {\mathbb Z^+_0}$$:
 * $$ N(t_1, t_2)=\int_{t_1}^{t_2} \xi(t) \, dt $$

जो अवलोकन अंतराल में घटनाओं की संख्या $$(t_1,t_2]$$ है, इस प्रकार इसे कभी-कभी $$N_{t_1,t_2}$$, और $$N_T$$ या $$N(T)$$ अर्थ $$N_{0,T}$$ द्वारा दर्शाया जाता है।

अपेक्षा माप
किसी बिंदु प्रक्रिया ξ की अपेक्षा माप Eξ (माध्य माप के रूप में भी जाना जाता है) S पर माप है, जो इस प्रकार S के प्रत्येक बोरेल उपसमुच्चय B को B में ξ के अंकों की अपेक्षित संख्या निर्दिष्ट करता है।


 * $$E \xi (B) := E \bigl( \xi(B) \bigr) \quad \text{for every } B \in \mathcal{B}.$$

लाप्लास फलन
लाप्लास फलन $$\Psi_{N}(f)$$ बिंदु प्रक्रिया का N है।

एन के स्थिति से जुड़े समष्टि पर सभी धनात्मक मान इससे जुड़े फलनों पर F के समुच्चय से मानचित्र $$[0,\infty)$$ को इस प्रकार परिभाषित करती हैं:


 * $$ \Psi_N(f)=E[\exp(-N(f))] $$

वे यादृच्छिक चर के लिए विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) के समान भूमिका प्रदर्शित करते हैं। यहाँ पर इस प्रकार महत्वपूर्ण प्रमेय यह कहती है कि दो बिंदु प्रक्रियाओं में ही नियम होता है यदि उनके लाप्लास फलन समान होते हैं।

क्षण माप
$$n$$ बिंदु प्रक्रिया की th>th शक्ति, $$ \xi^n, $$ उत्पाद समष्टि पर $$S^n$$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$ \xi^n(A_1 \times \cdots \times A_n) = \prod_{i=1}^n \xi(A_i) $$

मोनोटोन वर्ग प्रमेय द्वारा, यह विशिष्ट रूप से उत्पाद माप को परिभाषित करता है, जिसे $$(S^n,B(S^n)).$$ अपेक्षा $$ E \xi^n(\cdot)$$ कहा जाता है $$n$$ वें क्षण माप. पहला क्षण माप माध्य माप है।

इस प्रकार $$S = \mathbb{R}^d$$ बिंदु प्रक्रिया की संयुक्त तीव्रता $$\xi$$ w.r.t. लेबेस्ग्यू माप फलन $$\rho^{(k)} :(\mathbb{R}^d)^k \to [0,\infty) $$ हैं, इसका मान इस प्रकार हैं कि किसी भी असंयुक्त परिबद्ध बोरेल उपसमुच्चय के लिए $$B_1,\ldots,B_k $$
 * $$ E\left(\prod_i \xi(B_i)\right) = \int_{B_1 \times \cdots \times B_k} \rho^{(k)}(x_1,\ldots,x_k) \, dx_1\cdots dx_k . $$

बिंदु प्रक्रियाओं के लिए संयुक्त तीव्रताएँ सदैव उपस्थित नहीं होती हैं। यह देखते हुए कि यादृच्छिक चर का क्षण (गणित) कई स्थितियों में यादृच्छिक चर निर्धारित करता है, संयुक्त तीव्रता के लिए समान परिणाम की उम्मीद की जाती है। संभवतः, ऐसा कई स्थितियों में दिखाया गया है।

स्थिरता
किसी बिंदु प्रक्रिया $$ \xi \subset \mathbb{R}^d$$ को यदि स्थिर कहा जाता है इसका अर्थ $$ \xi + x := \sum_{i=1}^N \delta_{X_i + x} $$ के समान वितरण $$ \xi $$ है, जहाँ पर इसके सभी मान के लिए $$ x \in \mathbb{R}^d.$$ को मुख्य रूप से स्थिर बिंदु प्रक्रिया के लिए, माध्य माप $$ E \xi (\cdot) = \lambda \|\cdot\| $$ कुछ स्थिरांक के लिए $$\lambda \geq 0$$ और जहाँ $$\|\cdot\|$$ लेब्सगेग माप के लिए रहता है। यह $$\lambda$$ बिन्दु प्रक्रिया की तीव्रता कहलाती है। इस प्रकार स्थिर बिंदु प्रक्रिया चालू $$\mathbb{R}^d$$ इसमें लगभग निश्चित रूप से या तो 0 या कुल अंकों की अनंत संख्या है। स्थिर बिंदु प्रक्रियाओं और यादृच्छिक माप के बारे में अधिक जानकारी के लिए डेली और वेरे-जोन्स का अध्याय 12 देखें। इस प्रकार स्थिरता को अधिक सामान्य समष्टिों में बिंदु प्रक्रियाओं के लिए $$\mathbb{R}^d$$ को परिभाषित और अध्ययन किया गया है।

बिंदु प्रक्रियाओं के उदाहरण
हम बिंदु प्रक्रियाओं के कुछ उदाहरण $$\mathbb{R}^d.$$ के द्वारा देखेंगे।

पॉइसन बिंदु प्रक्रिया
बिंदु प्रक्रिया का सबसे सरल और सबसे सर्वव्यापी उदाहरण पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है, जो पॉइसन प्रक्रिया का समष्टििक सामान्यीकरण है। इस प्रकार किसी रेखा पर पॉइसन (गिनती) प्रक्रिया को दो गुणों द्वारा चित्रित किया जा सकता है: असंयुक्त अंतरालों में बिंदुओं (या घटनाओं) की संख्या स्वतंत्र होती है और इस प्रकार पॉइसन वितरण होता है। इसके कारण इन दो गुणों का उपयोग करके पॉइसन बिंदु प्रक्रिया को भी परिभाषित किया जा सकता है। अर्थात्, हम कह सकते हैं कि बिंदु प्रक्रिया $$\xi$$ यदि निम्नलिखित दो शर्तें लागू होती हैं तो यह पॉइसन बिंदु प्रक्रिया है।

1) $$\xi(B_1),\ldots,\xi(B_n)$$ असंयुक्त उपसमुच्चय के लिए स्वतंत्र हैं

$$B_1,\ldots,B_n.$$

2) किसी भी परिबद्ध उपसमुच्चय के लिए $$B$$, $$\xi(B)$$ पैरामीटर के साथ $$\lambda \|B\|,$$ जहाँ पॉइसन वितरण है,

$$\|\cdot\|$$ लेब्सग्यू माप को दर्शाता है।

दोनों शर्तों को मिलाकर इस प्रकार लिखा जा सकता है: जो किसी भी असंयुक्त परिबद्ध उपसमुच्चय के लिए $$ B_1,\ldots,B_n $$ और धनात्मक पूर्णांक $$k_1,\ldots,k_n$$ हमारे पास इस प्रकार हैं कि-


 * $$\Pr[\xi(B_i) = k_i, 1 \leq i \leq n] = \prod_i e^{-\lambda \|B_i\|}\frac{(\lambda \|B_i\|)^{k_i}}{k_i!}.$$

अटल $$\lambda$$ पॉइसन बिंदु प्रक्रिया की तीव्रता कहलाती है। यहाँ पुर ध्यान दें कि पॉइसन बिंदु प्रक्रिया एकल पैरामीटर $$\lambda.$$ द्वारा विशेषता है, यह सरल, स्थिर बिंदु प्रक्रिया है।

अधिक विशिष्ट होने के लिए उपरोक्त बिंदु प्रक्रिया को सजातीय पॉइसन बिंदु प्रक्रिया कहा जाता है। इस प्रकार अमानवीय पॉइसन प्रक्रिया को उपरोक्त के रूप में परिभाषित किया गया है, अपितु प्रतिस्थापित करके $$\lambda \|B\|$$ साथ $$ \int_B\lambda(x) \, dx$$ जहाँ $$\lambda $$ पर धनात्मक फलन $$\mathbb{R}^d.$$ है।

कॉक्स पॉइंट प्रक्रिया
कॉक्स प्रक्रिया (डेविड कॉक्स (सांख्यिकीविद्) के नाम पर) पॉइसन बिंदु प्रक्रिया का सामान्यीकरण है, जिसमें हम इसके समष्टि पर यादृच्छिक उपायों $$\lambda \|B\|$$ का उपयोग करते हैं, इसके लिए अधिक औपचारिक रूप से, $$\Lambda$$ यादृच्छिक उपाय का उपयोग किया जाता हैं, इसके आधार पर यादृच्छिक माप द्वारा संचालित कॉक्स बिंदु प्रक्रिया $$\Lambda$$ बिंदु प्रक्रिया $$\xi$$ है, जिसमें इस प्रकार निम्नलिखित दो गुण विद्यमान होते हैं:


 * 1) दिया गया हैं कि $$\Lambda(\cdot)$$, $$\xi(B)$$ पॉइसन को पैरामीटर के साथ वितरित किया जाता है, जिसके लिए $$\Lambda(B)$$ किसी भी परिबद्ध उपसमुच्चय के लिए $$B.$$ को प्रदर्शित करता हैं।
 * 2) असंयुक्त उपसमुच्चय के किसी भी सीमित संग्रह के लिए $$B_1,\ldots,B_n$$ और वातानुकूलित किया गया $$\Lambda(B_1),\ldots,\Lambda(B_n),$$ हमारे पास वह है $$\xi(B_1),\ldots,\xi(B_n)$$ स्वतंत्र हैं।

यह देखना सरल है कि पॉइसन बिंदु प्रक्रिया (सजातीय और अमानवीय) कॉक्स बिंदु प्रक्रियाओं के विशेष स्थितियों के रूप में अनुसरण करती है। कॉक्स बिंदु प्रक्रिया का औसत माप $$E \xi(\cdot) = E \Lambda(\cdot)$$ है और इस प्रकार पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के विशेष स्थिति में, यह $$\lambda\|\cdot\|.$$ के समान है।

कॉक्स पॉइंट प्रक्रिया के लिए, $$\Lambda(\cdot)$$ तीव्रता माप कहलाता है, इस प्रकार यदि $$\Lambda(\cdot)$$ (यादृच्छिक) घनत्व है, जिसमें रेडॉन-निकोडिम प्रमेय या रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न) $$\lambda(\cdot)$$ हैं।
 * $$\Lambda(B) \,\stackrel{\text{a.s.}}{=}\, \int_B \lambda(x) \, dx,$$

तब $$\lambda(\cdot)$$ कॉक्स बिंदु प्रक्रिया का तीव्रता क्षेत्र कहा जाता है। तीव्रता माप या तीव्रता क्षेत्रों की स्थिरता संबंधित कॉक्स बिंदु प्रक्रियाओं की स्थिरता का संकेत देती है।

कॉक्स बिंदु प्रक्रियाओं के कई विशिष्ट वर्ग हैं जिनका विस्तार से अध्ययन किया गया है जैसे: जेन्सेन की असमानता से, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि कॉक्स बिंदु प्रक्रियाएं निम्नलिखित असमानता को संतुष्ट करती हैं: सभी बंधे हुए बोरेल उपसमुच्चय $$B$$ के लिए,
 * लॉग-गॉसियन कॉक्स बिंदु प्रक्रियाएं: $$\lambda(y) = \exp(X(y))$$ गाऊसी यादृच्छिक क्षेत्र के लिए $$X(\cdot)$$ के समान हैं।
 * शॉट शोर कॉक्स बिंदु प्रक्रियाएं:, $$\lambda(y)= \sum_{X \in \Phi} h(X,y)$$ पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के लिए $$\Phi(\cdot)$$ और कर्नेल $$h(\cdot, \cdot)$$ के समान हैं।
 * सामान्यीकृत शॉट शोर कॉक्स बिंदु प्रक्रियाएं: $$\lambda(y)= \sum_{X \in \Phi} h(X,y)$$ बिंदु प्रक्रिया के लिए $$\Phi(\cdot)$$ और कर्नेल $$h(\cdot, \cdot)$$ के समान हैं।
 * लेवी आधारित कॉक्स प्वाइंट प्रक्रियाएं: $$\lambda(y)= \int h(x,y)L(dx)$$ लेवी आधार के लिए $$L(\cdot)$$ और कर्नेल $$h(\cdot, \cdot)$$ के समान हैं।, और
 * स्थायी कॉक्स बिंदु प्रक्रियाएं: $$\lambda(y) = X_1^2(y) + \cdots + X_k^2(y)$$ k स्वतंत्र गाऊसी यादृच्छिक क्षेत्रों के लिए $$X_i(\cdot)$$'एस के समान हैं।
 * सिग्मोइडल गॉसियन कॉक्स बिंदु प्रक्रियाएं: $$\lambda(y) = \lambda^{\star}/(1+\exp(-X(y)))$$ गाऊसी यादृच्छिक क्षेत्र के लिए $$X(\cdot)$$ और यादृच्छिक $$\lambda^\star > 0$$ के समान हैं।


 * $$ \operatorname{Var}(\xi(B)) \geq \operatorname{Var}(\xi_{\alpha}(B)) ,$$

जहाँ इस प्रकार $$\xi_\alpha$$ तीव्रता माप के साथ पॉइसन बिंदु प्रक्रिया $$\alpha(\cdot) := E \xi(\cdot) = E \Lambda(\cdot).$$ के लिए अग्रेषित है, इस प्रकार पॉइसन बिंदु प्रक्रिया की तुलना में कॉक्स बिंदु प्रक्रिया में अंक अधिक परिवर्तनशीलता के साथ वितरित किए जाते हैं। इसे कभी-कभी कॉक्स पॉइंट प्रक्रिया की क्लस्टरिंग कहा जाता है।

निर्धारक बिंदु प्रक्रियाएं
भौतिकी में यादृच्छिक आव्यूह सिद्धांत और साहचर्य के अनुप्रयोगों के साथ बिंदु प्रक्रियाओं का महत्वपूर्ण वर्ग निर्धारक बिंदु प्रक्रियाओं का है।

हॉक्स प्रक्रियाएँ
हॉक्स प्रक्रिया $$N_t$$, जिसे स्व-रोमांचक गिनती प्रक्रिया के रूप में भी जाना जाता है, सरल बिंदु प्रक्रिया है जिसकी सशर्त तीव्रता को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है,


 * $$\begin{align}

\lambda (t) & = \mu (t) + \int_{-\infty}^t \nu (t - s) \, dN_s\\[5pt] & = \mu (t) + \sum_{T_k < t} \nu (t - T_k) \end{align}$$ जहाँ $$\nu : \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+$$ कर्नेल फलन है जो पिछली घटनाओं के धनात्मक प्रभाव को $$T_i$$ से व्यक्त करता है, यहाँ पर तीव्रता प्रक्रिया के वर्तमान मान $$\lambda (t)$$, $$\mu (t)$$ पर संभवतः अस्थिर फलन है, जो इस प्रकार तीव्रता के अपेक्षित, पूर्वानुमानित या नियतात्मक भाग का प्रतिनिधित्व करता है, और इस प्रकार $$\{ T_i : T_i < T_{i + 1} \} \in \mathbb{R}$$ प्रक्रिया की i-वीं घटना के घटित होने का समय है।

ज्यामितीय प्रक्रियाएं
धनात्मक यादृच्छिक चर का क्रम $ \{X_k,k=1,2, \dots\} $ दिया गया है, यदि ये स्वतंत्र हैं और सी.डी.एफ $$ X_k $$ द्वारा दिया गया है तो इस प्रकार $$F(a^{k-1}x)$$ के लिए $$ k=1,2, \dots $$ के समान हैं, जहाँ $$a $$ धनात्मक स्थिरांक $$\{X_k,k=1,2,\ldots\}$$ है, यह मुख्य रूप से ज्यामितीय प्रक्रिया (GP) कहलाती है।

ज्यामितीय प्रक्रिया के कई विस्तार हैं, जिनमें α-श्रृंखला प्रक्रिया और दोगुनी ज्यामितीय प्रक्रिया भी उपस्थित है

वास्तविक अर्ध-रेखा पर प्रक्रियाओं को इंगित करना
ऐतिहासिक रूप से जिन पहली बिंदु प्रक्रियाओं का अध्ययन किया गया हैं उनमें वास्तविक आधी रेखा R3+ = [0,∞) उनके स्थिति समष्टि के रूप में, जिसे इस संदर्भ में सामान्यतः समय के रूप में व्याख्या किया जाता है। ये अध्ययन दूरसंचार प्रणालियों को प्रारूप बनाने की इच्छा से प्रेरित थे, जिसमें बिंदु समय में घटनाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, जैसे टेलीफोन एक्सचेंज पर कॉल किया जाता हैं।

R+ पर बिंदु प्रक्रियाएं सामान्यतः उनके (यादृच्छिक) अंतर-घटना समय (T1, T2,...) का अनुक्रम देकर वर्णित किया जाता है, जिससे इस प्रकार वास्तविक अनुक्रम (X1, X2,...) घटना के समय के रूप में प्राप्त किया जा सकता है


 * $$ X_k = \sum_{j=1}^{k} T_j \quad \text{for } k \geq 1. $$

यदि अंतर-घटना समय स्वतंत्र और समान रूप से वितरित हैं, तो प्राप्त बिंदु प्रक्रिया को नवीनीकरण सिद्धांत कहा जाता है।

बिंदु प्रक्रिया की तीव्रता
तीव्रता λ(t | Ht) निस्पंदन Ht के संबंध में वास्तविक अर्ध-रेखा पर बिंदु प्रक्रिया का परिभाषित किया जाता है

\lambda(t \mid H_t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{1}{\Delta t}\Pr(\text{One event occurs in the time-interval}\,[t,t+\Delta t] \mid H_t) ,$$ Ht समय t से पहले के घटना-बिंदु समय के इतिहास को निरूपित कर सकता है, अपितु अन्य फ़िल्टरेशन के अनुरूप (उदाहरण के लिए कॉक्स प्रक्रिया के स्थिति में) भी हो सकता है,।

जिसमें $$N(t)$$-नोटेशन, इसे अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है:


 * $$\lambda(t \mid H_t)=\lim_{\Delta t\to 0}\frac{1}{\Delta t}\Pr(N(t+\Delta t)-N(t)=1 \mid H_t).$$

एक बिंदु प्रक्रिया का कम्पेसाटर, जिसे दोहरे-अनुमानित प्रक्षेपण के रूप में भी जाना जाता है, जिसके द्वारा परिभाषित एकीकृत सशर्त तीव्रता फलन है


 * $$\Lambda (s, u) = \int_s^u \lambda (t \mid H_t) \, \mathrm{d} t$$

पैपेंजेलो तीव्रता फलन
किसी बिंदु प्रक्रिया का पपांगेलो तीव्रता फलन $$N$$ में $$n$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $$ \mathbb{R}^n$$ द्वारा परिभाषित किया जाता है-



\lambda_p(x)=\lim_{\delta \to 0}\frac{1}{|B_\delta (x)|}{P}\{\text{One event occurs in } \,B_\delta(x)\mid \sigma[N(\mathbb{R}^n \setminus B_\delta(x))] \} , $$ जहाँ $$B_\delta (x)$$ गेंद केन्द्रित है, इस प्रकार $$x$$ त्रिज्या का $$\delta$$, और $$\sigma[N(\mathbb{R}^n \setminus B_\delta(x))]$$ बिंदु प्रक्रिया की जानकारी $$N$$ के बाहर $$B_\delta(x)$$ को दर्शाता है।

संभावना फलन
कुछ देखे गए डेटा पर सशर्त पैरामीटरयुक्त सरल बिंदु प्रक्रिया की लघुगणकीय संभावना को इस प्रकार लिखा गया है


 * $$\ln \mathcal{L} (N (t)_{t \in [0, T]})=\int_0^T (1 - \lambda (s)) \, ds + \int_0^T \ln \lambda (s) \, dN_s

$$

समष्टििक आँकड़ों में बिंदु प्रक्रियाएँ
'R' के कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय Sn में बिंदु स्वरूप डेटा का विश्लेषण समष्टििक सांख्यिकी के अंतर्गत अध्ययन का प्रमुख उद्देश्य है। इस प्रकार का डेटा विषयों की विस्तृत श्रृंखला में दिखाई देता है, जिनमें से कुछ इस प्रकार हैं-


 * वानिकी और पादप पारिस्थितिकी (सामान्य रूप से पेड़ों या पौधों की स्थिति)
 * महामारी विज्ञान (संक्रमित रोगियों के घरेलू समष्टि)
 * प्राणीशास्त्र (जानवरों के बिल या घोंसले)
 * भूगोल (मानव बस्तियों, कस्बों या शहरों की स्थिति)
 * भूकंप विज्ञान (भूकंप का केंद्र)
 * सामग्री विज्ञान (औद्योगिक सामग्रियों में दोषों की स्थिति)
 * खगोल विज्ञान (तारों या आकाशगंगाओं का समष्टि)
 * कम्प्यूटरीकृत तंत्रिका विज्ञान (न्यूरॉन्स के स्पाइक्स)।

इस प्रकार के डेटा को प्रारूप करने के लिए बिंदु प्रक्रियाओं का उपयोग करने की आवश्यकता उनकी अंतर्निहित समष्टििक संरचना में निहित है। इस प्रकार तदनुसार रुचि का पहला प्रश्न अधिकांशतः यह होता है कि क्या दिया गया डेटा समष्टििक एकत्रीकरण या समष्टििक अवरोध को प्रदर्शित करने के विपरीत पूर्ण समष्टििक यादृच्छिकता प्रदर्शित करता है, अर्ताथ इस प्रकार समष्टििक पॉइसन प्रक्रिया के समान है।

इसके विपरीत, मौलिक बहुभिन्नरूपी आँकड़ों में माने जाने वाले कई डेटासमुच्चय में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न डेटापॉइंट उपस्थित होते हैं जिन्हें कई सहसंयोजक (सामान्यतः गैर-समष्टििक) द्वारा नियंत्रित किया जा सकता है।

समष्टििक सांख्यिकी में अनुप्रयोगों के अतिरिक्त, बिंदु प्रक्रियाएं स्टोकेस्टिक ज्यामिति में मूलभूत वस्तुओं में से हैं। इस प्रकार के अनुसंधान ने वोरोनोई टेस्सेलेशन, यादृच्छिक ज्यामितीय ग्राफ और बूलियन प्रारूप (संभावना सिद्धांत) जैसे बिंदु प्रक्रियाओं पर निर्मित विभिन्न प्रारूपों पर भी बड़े पैमाने पर ध्यान केंद्रित किया है।

यह भी देखें

 * अनुभवजन्य उपाय
 * यादृच्छिक माप
 * बिंदु प्रक्रिया संकेतन
 * बिंदु प्रक्रिया संचालन
 * पॉइसन प्रक्रिया
 * नवीकरण सिद्धांत
 * अपरिवर्तनीय उपाय
 * समष्टिांतरण ऑपरेटर
 * व्यापारी संचालक
 * शिफ्ट ऑपरेटर