सीधा किनारा और कम्पास निर्माण



ज्यामिति में, सीधा-एज-एंड-कम्पास निर्माण - जिसे रूलर-एंड-कम्पास निर्माण, यूक्लिडियन निर्माण, या शास्त्रीय निर्माण के रूप में भी जाना जाता है - केवल एक आइडियलाइज़ेशन (विज्ञान दर्शन) शासक और एक का उपयोग करके लंबाई, कोण और अन्य ज्यामितीय आकृतियों का निर्माण है। कम्पास (ड्राइंग टूल) की जोड़ी।

आदर्श रूलर, जिसे स्ट्रेटेज के रूप में जाना जाता है, लंबाई में अनंत माना जाता है, केवल एक किनारा होता है, और उस पर कोई निशान नहीं होता है। यह माना जाता है कि कम्पास की कोई अधिकतम या न्यूनतम त्रिज्या नहीं है, और माना जाता है कि जब पृष्ठ से उठाया जाता है तो यह ढह जाता है, इसलिए दूरी को सीधे स्थानांतरित करने के लिए इसका उपयोग नहीं किया जा सकता है। (यह एक महत्वहीन प्रतिबंध है, क्योंकि एक बहु-चरण प्रक्रिया का उपयोग करते हुए, एक दूरी को कम्पास समतुल्य प्रमेय के साथ भी स्थानांतरित किया जा सकता है। कम्पास समकक्ष प्रमेय देखें। हालांकि ध्यान दें कि एक गैर-ढहने वाले कम्पास को एक सीधी रेखा के खिलाफ आयोजित किया जा सकता है। इसे चिह्नित करते हुए, न्यूसिस निर्माण अभी भी अभेद्य है और अचिह्नित का वास्तव में यही अर्थ है: स्ट्रेटएज और कम्पास निर्माण#नीचे मार्क करने योग्य शासक देखें।) अधिक औपचारिक रूप से, केवल अनुमेय निर्माण वे हैं जो पहले तीन यूक्लिडियन ज्यामिति द्वारा प्रदान किए गए हैं#यूक्लिड के तत्वों के एक्सिओम्स| यूक्लिड के तत्व।

यह पता चला है कि स्ट्रेटेज और कम्पास मोहर-मास्चेरोनी प्रमेय का उपयोग करके, या पोंसलेट-स्टाइनर प्रमेय द्वारा निर्मित हर बिंदु। अकेले एक सर्कल और उसके केंद्र को सीधा करने पर।

ग्रीक गणित ने सबसे पहले सीधे-एज-एंड-कम्पास निर्माणों की कल्पना की, और यूक्लिडियन समतल ज्यामिति में कई प्राचीन समस्याएं इस प्रतिबंध को लागू करती हैं। प्राचीन यूनानियों ने कई निर्माण विकसित किए, लेकिन कुछ मामलों में ऐसा करने में असमर्थ रहे। गॉस ने दिखाया कि कुछ बहुभुज रचनात्मक होते हैं लेकिन अधिकांश नहीं होते हैं। गणितीय क्षेत्र सिद्धांत (गणित) का उपयोग करते हुए, 1837 में पियरे वांजेल द्वारा सबसे प्रसिद्ध स्ट्रेटेज-एंड-कम्पास समस्याओं में से कुछ को असंभव साबित किया गया था।

असंभवता के मौजूदा सबूत के बावजूद, कुछ लोग इन समस्याओं को हल करने की कोशिश में लगे रहते हैं। इनमें से कई समस्याओं को आसानी से हल किया जा सकता है, बशर्ते कि अन्य ज्यामितीय परिवर्तनों की अनुमति हो: उदाहरण के लिए, ज्यामितीय निर्माणों का उपयोग करके घन को दोगुना करना संभव है, लेकिन केवल सीधे किनारे और कम्पास का उपयोग करना संभव नहीं है।

बीजगणित के संदर्भ में, एक लंबाई रचनात्मक है अगर और केवल अगर यह एक रचनात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करती है, और एक कोण रचनात्मक होता है अगर और केवल तभी इसकी कोसाइन एक रचनात्मक संख्या होती है। एक संख्या रचनात्मक है अगर और केवल अगर इसे चार बुनियादी अंकगणितीय परिचालनों और वर्गमूलों के निष्कर्षण का उपयोग करके लिखा जा सकता है लेकिन उच्च-क्रम की जड़ें नहीं हैं।

सीधा किनारा और कम्पास उपकरण
स्ट्रेटेज-एंड-कम्पास निर्माण के स्ट्रेटेज और कम्पास वास्तविक दुनिया में शासकों और कम्पास के आदर्शीकरण हैं:


 * सीधा किनारा असीम रूप से लंबा है, लेकिन उस पर कोई निशान नहीं है और सामान्य शासकों के विपरीत केवल एक सीधा किनारा है। खींची गई रेखा असीम रूप से पतली बिंदु-चौड़ाई है। इसका उपयोग केवल दो बिंदुओं के बीच एक रेखा खंड खींचने के लिए किया जा सकता है, उन बिंदुओं की अनंत सटीकता के साथ, या किसी मौजूदा खंड का विस्तार करने के लिए।
 * कम्पास को मनमाने ढंग से चौड़ा किया जा सकता है, लेकिन (कुछ वास्तविक कम्पास (ड्राफ्टिंग) के विपरीत) इस पर कोई निशान नहीं है। मंडलियों को केवल दो दिए गए बिंदुओं से शुरू किया जा सकता है: केंद्र और सर्कल पर एक बिंदु, और अनंत सटीकता के साथ उन बिंदुओं के साथ गठबंधन किया जा सकता है। खींचा गया चाप असीम रूप से पतली बिंदु-चौड़ाई वाला है। जब कम्पास कोई वृत्त नहीं बना रहा हो तो यह गिर भी सकता है और नहीं भी।

वास्तविक कम्पास नष्ट नहीं होते हैं और आधुनिक ज्यामितीय निर्माण अक्सर इस सुविधा का उपयोग करते हैं। एक 'ढहने वाला कम्पास' एक कम शक्तिशाली उपकरण प्रतीत होगा। हालाँकि, यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक 1 ​​के प्रस्ताव 2 में कम्पास तुल्यता प्रमेय द्वारा, एक ढहने वाले कम्पास का उपयोग करने से कोई शक्ति नहीं खोती है। यद्यपि प्रस्ताव सही है, इसके प्रमाणों का एक लंबा और उतार-चढ़ाव वाला इतिहास है। किसी भी मामले में, समानता यही है कि आदर्श कम्पास की परिभाषा में यह विशेषता क्यों नहीं दी गई है।

प्रत्येक निर्माण सटीक होना चाहिए। इसे आँख मारना (अनिवार्य रूप से निर्माण को देखना और इसकी सटीकता का अनुमान लगाना, या माप के किसी रूप का उपयोग करना, जैसे कि शासक पर माप की इकाइयाँ) और पास होना एक समाधान के रूप में नहीं गिना जाता है।

प्रत्येक निर्माण समाप्त होना चाहिए। अर्थात्, इसमें चरणों की एक परिमित संख्या होनी चाहिए, और कभी निकट अनुमानों की सीमा नहीं होनी चाहिए।

इस तरह से कहा गया है, सीधा-एज-एंड-कम्पास निर्माण एक गंभीर व्यावहारिक समस्या के बजाय एक पार्लर गेम प्रतीत होता है; लेकिन प्रतिबंध का उद्देश्य यह सुनिश्चित करना है कि निर्माण बिल्कुल सही साबित हो सकें।

इतिहास
ग्रीक गणित ने सबसे पहले स्ट्रेटेज-एंड-कम्पास निर्माण का प्रयास किया, और उन्होंने पता लगाया कि योग, अंतर (गणित), उत्पाद (गणित), अनुपात और दी गई लंबाई के वर्गमूल कैसे बनाए जाते हैं। वे समद्विभाजन#कोण भी बना सकते हैं, एक वर्ग जिसका क्षेत्रफल दूसरे वर्ग से दोगुना है, एक वर्ग जिसका क्षेत्रफल दिए गए बहुभुज के समान है, और 3, 4, या 5 भुजाओं वाला एक नियमित बहुभुज  (या किसी दिए गए बहुभुज की भुजाओं की संख्या के दोगुने के साथ एक ). लेकिन वे विशेष मामलों को छोड़कर किसी दिए गए कोण का एक तिहाई हिस्सा नहीं बना सकते थे, या किसी दिए गए वृत्त के समान क्षेत्रफल वाला एक वर्ग, या भुजाओं की अन्य संख्या के साथ एक नियमित बहुभुज का निर्माण नहीं कर सकते थे। न ही वे एक ऐसे घन की भुजा का निर्माण कर सकते थे जिसका आयतन किसी दी गई भुजा वाले घन के आयतन का दुगुना होगा। चियोस और मेनाकेमस के हिप्पोक्रेट्स ने दिखाया कि हाइपरबोलस और पैराबोलस के चौराहे को ढूंढकर घन की मात्रा दोगुनी हो सकती है, लेकिन इन्हें सीधा और कंपास द्वारा नहीं बनाया जा सकता है। पाँचवीं शताब्दी ईसा पूर्व में, हिप्पियास ने एक वक्र का उपयोग किया था जिसे उन्होंने सामान्य कोण और वृत्त को वर्गाकार करने के लिए चतुर्भुज कहा था, और दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में निकोमेदेस (गणितज्ञ) ने दिखाया कि एक मनमाना कोण को तिगुना करने के लिए शंख (गणित) का उपयोग कैसे किया जाता है। ;  लेकिन इन तरीकों का भी सिर्फ सीधा और कम्पास के साथ पालन नहीं किया जा सकता है।

दो सहस्राब्दियों तक अनसुलझी समस्याओं पर कोई प्रगति नहीं हुई, जब तक कि 1796 में गॉस ने यह नहीं दिखाया कि 17 भुजाओं वाला एक नियमित बहुभुज बनाया जा सकता है; पांच साल बाद उन्होंने एन पक्षों के एक नियमित बहुभुज के निर्माण के लिए पर्याप्त मानदंड दिखाया। 1837 में पियरे वांजेल ने एक मनमाना कोण को त्रिविभाजित करने या घन के आयतन को दोगुना करने की असंभवता का प्रमाण प्रकाशित किया, लंबाई के घनमूलों के निर्माण की असंभवता के आधार पर। उन्होंने यह भी दिखाया कि नियमित बहुभुजों के लिए गॉस की पर्याप्त रचनात्मक स्थिति भी आवश्यक है।

फिर 1882 में फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन ने यह दिखाया $$\pi$$ एक पारलौकिक संख्या है, और इस प्रकार यह सीधा और कम्पास द्वारा एक दिए गए वृत्त के समान क्षेत्र के साथ एक वर्ग का निर्माण करना असंभव है।

बुनियादी निर्माण
सभी सीधे-एज-एंड-कम्पास निर्माण में उन बिंदुओं, रेखाओं और मंडलियों का उपयोग करके पांच बुनियादी निर्माणों का बार-बार उपयोग होता है जो पहले ही निर्मित हो चुके हैं। य़े हैं:


 * दो मौजूदा बिंदुओं के माध्यम से रेखा बनाना
 * केंद्र से दूसरे बिंदु के साथ एक बिंदु के माध्यम से वृत्त बनाना
 * उस बिंदु का निर्माण करना जो दो मौजूदा, गैर-समानांतर रेखाओं का प्रतिच्छेदन है
 * एक रेखा और एक वृत्त के प्रतिच्छेदन में एक या दो बिंदु बनाना (यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं)
 * दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन में एक या दो बिंदु बनाना (यदि वे प्रतिच्छेद करते हैं)।

उदाहरण के लिए, केवल दो अलग-अलग बिंदुओं से शुरू करके, हम एक रेखा या दो वृत्त बना सकते हैं (बदले में, प्रत्येक बिंदु को केंद्र के रूप में उपयोग करके और दूसरे बिंदु से गुजरते हुए)। यदि हम दोनों वृत्त बनाते हैं, तो उनके प्रतिच्छेदन पर दो नए बिंदु बन जाते हैं। दो मूल बिंदुओं और इन नए बिंदुओं में से एक के बीच रेखा खींचना एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण पूरा करता है।

इसलिए, किसी भी ज्यामितीय समस्या में हमारे पास प्रतीकों (बिंदुओं और रेखाओं), एक एल्गोरिदम और कुछ परिणामों का प्रारंभिक सेट होता है। इस दृष्टिकोण से, ज्यामिति एक स्वयंसिद्ध सार बीजगणित के समतुल्य है, इसके तत्वों को प्रतीकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। संभवतः कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने सबसे पहले इसे महसूस किया, और कुछ निर्माणों की असंभवता को साबित करने के लिए इसका इस्तेमाल किया; केवल बहुत बाद में डेविड हिल्बर्ट को हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों का एक पूरा सेट मिला।

बहुत अधिक उपयोग किए जाने वाले सीधे-एज-एंड-कम्पास निर्माण
सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले स्ट्रेटएज-एंड-कम्पास निर्माण में शामिल हैं:


 * एक खंड से द्विभाजन#रेखा खंड द्विभाजक का निर्माण
 * मध्य बिंदु ढूँढना # एक खंड का निर्माण।
 * एक लंब रेखा खींचना # एक बिंदु से एक रेखा पर लंब का निर्माण।
 * द्विभाजन # कोण द्विभाजक
 * प्रतिबिंब (गणित) # निर्माण
 * वृत्तों की स्पर्श रेखाएँ#कम्पास और सीधे किनारे की रचनाएँ
 * वृत्त#तीन असंरेख बिंदुओं के माध्यम से निर्माण
 * दिए गए रेखा के समानांतर दिए गए बिंदु के माध्यम से एक रेखा खींचना।

बिल्ड करने योग्य डॉट्स
एक बीजगणित को दो रेखाओं से बने कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करके हमारे ज्यामिति से जोड़ सकते हैं, और आदेशित जोड़े द्वारा हमारे विमान के बिंदुओं का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। अंत में हम इन सदिशों को सम्मिश्र संख्याओं के रूप में लिख सकते हैं।

रेखाओं और वृत्तों के लिए समीकरणों का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि जिन बिंदुओं पर वे प्रतिच्छेद करते हैं, वे सबसे छोटे क्षेत्र F के Kummer सिद्धांत में होते हैं, जिसमें रेखा पर दो बिंदु होते हैं, वृत्त का केंद्र और वृत्त की त्रिज्या। अर्थात् स्वरूप के हैं $x +y√k$, कहाँ पे $x$, $y$, तथा $k$ में हैं $F$.

चूँकि रचनात्मक बिंदुओं का क्षेत्र वर्गमूल के अंतर्गत बंद है, इसमें वे सभी बिंदु शामिल हैं जो तर्कसंगत गुणांक वाले जटिल संख्याओं के क्षेत्र के द्विघात विस्तार के परिमित अनुक्रम द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं। उपरोक्त अनुच्छेद से, कोई यह दिखा सकता है कि इस तरह के विस्तार के अनुक्रम से कोई रचनात्मक बिंदु प्राप्त किया जा सकता है। इसके एक परिणाम के रूप में, कोई पाता है कि एक रचनात्मक बिंदु (और इसलिए किसी भी रचनात्मक लंबाई) के लिए न्यूनतम बहुपद की डिग्री 2 की शक्ति है। विशेष रूप से, कोई भी रचनात्मक बिंदु (या लंबाई) एक बीजगणितीय संख्या है, हालांकि नहीं प्रत्येक बीजगणितीय संख्या रचनात्मक है; उदाहरण के लिए, $\sqrt{2$ बीजगणितीय है लेकिन रचनात्मक नहीं है।

रचनात्मक कोण
निर्माण योग्य कोणों और किसी रचनात्मक वृत्त पर निर्माण योग्य बिंदुओं के बीच एक आपत्ति है। निर्माण योग्य कोण 2π मॉड्यूल के तहत एक एबेलियन समूह बनाते हैं (जो जटिल संख्या के रूप में देखे जाने वाले यूनिट सर्कल पर बिंदुओं के गुणन से मेल खाती है)। जो कोण रचना योग्य होते हैं वे वास्तव में वे होते हैं जिनकी स्पर्शरेखा (या समतुल्य, साइन या कोसाइन) एक संख्या के रूप में निर्माण योग्य होती है। उदाहरण के लिए, नियमित हेप्टाडेकैगन (सत्रह-पक्षीय नियमित बहुभुज) रचनात्मक है क्योंकि


 * $$\begin{align}

\cos{\left(\frac{2\pi}{17}\right)} &= \,-\frac{1}{16} \,+\, \frac{1}{16} \sqrt{17} \,+\, \frac{1}{16} \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} \\[5mu] &\qquad +\, \frac{1}{8} \sqrt{ 17 + 3 \sqrt{17} - \sqrt{34 - 2 \sqrt{17}} - 2 \sqrt{34 + 2 \sqrt{17}} } \end{align}$$ जैसा कि कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने खोजा था। रचनात्मक कोणों का समूह ऑपरेशन के तहत बंद होता है जो कोणों को आधा करता है (जो जटिल संख्याओं में वर्गमूल लेने से मेल खाता है)। परिमित क्रम के एकमात्र कोण जिनका निर्माण दो बिंदुओं से शुरू किया जा सकता है, वे हैं जिनका क्रम या तो दो की शक्ति है, या दो की शक्ति का उत्पाद है और अलग-अलग फर्मेट प्राइम्स का एक सेट है। इसके अलावा अनंत क्रम के रचनात्मक कोणों का एक घना सेट है।

जटिल अंकगणित से संबंध
यूक्लिडियन विमान में बिंदुओं के एक सेट को देखते हुए, उनमें से किसी एक को 0 कहने के लिए और दूसरे को 1 कहने के लिए चयन करने के साथ-साथ ओरिएंटेशन (वेक्टर स्पेस) की मनमानी पसंद के साथ हमें जटिल संख्याओं के सेट के रूप में बिंदुओं पर विचार करने की अनुमति मिलती है।

जटिल संख्याओं के रूप में बिंदुओं के एक सेट की ऐसी किसी भी व्याख्या को देखते हुए, केवल मान्य सीधे-एज-एंड-कम्पास निर्माण का उपयोग करके बनाए जाने वाले बिंदु सटीक रूप से सबसे छोटे क्षेत्र (गणित) के तत्व होते हैं जिनमें बिंदुओं का मूल सेट होता है और जटिल संयुग्म और वर्ग के तहत बंद होता है। रूट ऑपरेशंस (अस्पष्टता से बचने के लिए, हम वर्गमूल को π से कम जटिल तर्क के साथ निर्दिष्ट कर सकते हैं)। इस क्षेत्र के तत्व ठीक वे हैं जिन्हें केवल जोड़, घटाव, गुणा, भाग (गणित), जटिल संयुग्म और वर्गमूल के संचालन का उपयोग करके मूल बिंदुओं में एक सूत्र के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसे आसानी से एक गणनीय माना जाता है विमान का घना उपसमुच्चय। इन छह संक्रियाओं में से प्रत्येक एक साधारण सीधेएज-एंड-कम्पास निर्माण के अनुरूप है। इस तरह के एक सूत्र से प्रत्येक अंकगणितीय संचालन के लिए निर्माणों को जोड़कर संबंधित बिंदु का निर्माण करना सीधा है। बिंदुओं के एक विशेष समूह की अधिक कुशल रचनाएं ऐसी गणनाओं में शॉर्टकट के अनुरूप होती हैं।

समतुल्य रूप से (और मनमाने ढंग से दो बिंदुओं को चुनने की आवश्यकता के बिना) हम कह सकते हैं कि, अभिविन्यास के एक मनमाना विकल्प को देखते हुए, बिंदुओं का एक सेट बिंदुओं के किन्हीं दो युग्मों के बीच के अंतरों के अनुपात द्वारा दिए गए जटिल अनुपातों के एक सेट को निर्धारित करता है। इस तरह के अनुपातों के सेट से स्ट्रेटेज और कम्पास का उपयोग करके निर्मित अनुपातों का सेट मूल अनुपातों से युक्त सबसे छोटा क्षेत्र है और जटिल संयुग्मों और वर्गमूलों के तहत बंद है।

उदाहरण के लिए, एक बिंदु या अनुपात 'z'' का वास्तविक भाग, काल्पनिक भाग और मापांक (उपर्युक्त दो दृष्टिकोणों में से एक को लेकर) रचनात्मक हैं क्योंकि इन्हें व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\mathrm{Re}(z)=\frac{z+\bar z}{2}\;$$
 * $$\mathrm{Im}(z)=\frac{z-\bar z}{2i}\;$$
 * $$\left | z \right | = \sqrt{z \bar z}.\;$$

एक कोण के घन और तिराहे को दोगुना करना (विशेष कोणों को छोड़कर जैसे कोई φ ऐसा है कि φ/(2$\pi$) एक परिमेय संख्या है जिसमें भाजक 3 से विभाज्य नहीं है) अनुपातों की आवश्यकता होती है जो घन समीकरणों का हल होते हैं, जबकि वृत्त का वर्ग करने के लिए अनुवांशिक संख्या अनुपात की आवश्यकता होती है। इनमें से कोई भी वर्णित क्षेत्रों में नहीं है, इसलिए इनके लिए कोई स्ट्रेटेज-एंड-कम्पास निर्माण मौजूद नहीं है।

असंभव निर्माण
प्राचीन यूनानियों ने सोचा था कि जिन निर्माण समस्याओं को वे हल नहीं कर सकते थे, वे केवल अड़ियल थीं, अघुलनशील नहीं थीं। हालांकि, आधुनिक तरीकों के साथ, इन सीधे-एज-एंड-कम्पास निर्माणों को प्रदर्शन करने के लिए तार्किक रूप से असंभव दिखाया गया है। (समस्याएं, हालांकि, हल करने योग्य हैं, और यूनानियों को पता था कि केवल सीधा और कम्पास के साथ काम करने की बाधा के बिना उन्हें कैसे हल किया जाए।)

वृत्त का वर्ग बनाना
इन समस्याओं में सबसे प्रसिद्ध, वृत्त को वर्गाकार करना, अन्यथा वृत्त के चतुर्भुज के रूप में जाना जाता है, इसमें केवल सीधा किनारा और कम्पास का उपयोग करके दिए गए वृत्त के समान क्षेत्र के साथ एक वर्ग का निर्माण करना शामिल है।

वृत्त का वर्ग करना असंभव साबित हुआ है, क्योंकि इसमें एक पारलौकिक संख्या उत्पन्न करना शामिल है, अर्थात, $√\pi$. केवल रूलर और कम्पास के साथ केवल कुछ बीजगणितीय संख्याओं का निर्माण किया जा सकता है, अर्थात् वे पूर्णांक से निर्मित होते हैं जो जोड़, घटाव, गुणा, भाग और वर्गमूल लेने के संचालन के एक परिमित अनुक्रम के साथ होते हैं। वृत्त को चौकोर करने वाले वाक्यांश का प्रयोग अक्सर इस कारण से असंभव को करने के अर्थ में किया जाता है।

केवल शासक और कम्पास द्वारा समाधान की आवश्यकता की बाधा के बिना, ज्यामितीय और बीजगणितीय साधनों की एक विस्तृत विविधता द्वारा समस्या को आसानी से हल किया जा सकता है, और पुरातनता में कई बार हल किया गया था। एक विधि जो वृत्त के चतुर्भुज का अनुमान लगाने के बहुत करीब आती है, उसे केपलर त्रिभुज का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

घन को दोगुना करना
क्यूब को दोगुना करना, केवल एक स्ट्रेटेज और कम्पास का उपयोग करके, एक क्यूब के किनारे का निर्माण है, जिसमें दिए गए किनारे के साथ क्यूब का आयतन दोगुना है। यह असंभव है क्योंकि 2 का घनमूल, हालांकि बीजगणितीय है, पूर्णांक से जोड़, घटाव, गुणा, भाग और वर्गमूल लेकर गणना नहीं की जा सकती है। यह इस प्रकार है क्योंकि परिमेय पर इसके न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) की डिग्री 3 है। यह निर्माण उस पर दो निशान और एक कम्पास के साथ एक सीधी रेखा का उपयोग करके संभव है।

कोण तिरछा
कोण त्रिविभाजन निर्माण है, केवल एक सीधा किनारा और एक कम्पास का उपयोग करके, एक कोण का जो कि दिए गए मनमाना कोण का एक तिहाई है। यह सामान्य मामले में असंभव है। उदाहरण के लिए, कोण 2π/5 रेडियन (72° = 360°/5) को समत्रिभाजित किया जा सकता है, लेकिन का कोण π/3 रेडियन (60डिग्री (कोण)|°) को समत्रिभाजित नहीं किया जा सकता। सामान्य ट्राइसेक्शन समस्या भी आसानी से हल हो जाती है जब उस पर दो निशानों के साथ एक सीधी रेखा की अनुमति होती है (एक नेसिस निर्माण)।

दीर्घवृत्त से दूरी
समतल में किसी भी बिंदु से एक वृत्त पर निकटतम बिंदु तक रेखा खंड का निर्माण किया जा सकता है, लेकिन समतल के किसी भी बिंदु से निकटतम बिंदु तक के खंड को सकारात्मक सनकीपन (गणित) के एक दीर्घवृत्त पर सामान्य रूप से निर्मित नहीं किया जा सकता है।

अलहज़ेन की समस्या
1997 में, ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय के गणितज्ञ पीटर एम. न्यूमैन ने इस प्रमेय को सिद्ध किया कि प्राचीन अल्हज़ेन की समस्या (बिलियर्ड समस्या या एक गोलाकार दर्पण से प्रतिबिंब) के सामान्य समाधान के लिए कोई रूलर और कम्पास निर्माण नहीं है।

नियमित बहुभुज बनाना
कुछ नियमित बहुभुज (जैसे एक पेंटागन) सीधे किनारे और कम्पास के साथ बनाना आसान है; अन्य नहीं हैं। इससे यह प्रश्न उत्पन्न हुआ: क्या स्ट्रेटेज और कम्पास के साथ सभी नियमित बहुभुजों का निर्माण संभव है?

1796 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने दिखाया कि एक नियमित 17-पक्षीय बहुभुज का निर्माण किया जा सकता है, और पांच साल बाद दिखाया गया कि एक नियमित n-पक्षीय बहुभुज का निर्माण सीधा और कम्पास के साथ किया जा सकता है यदि n के विषम प्रमुख कारक अलग-अलग फ़र्मेट प्राइम हैं। गॉस ने अनुमान लगाया कि यह स्थिति भी आवश्यक शर्त थी, लेकिन उन्होंने इस तथ्य का कोई प्रमाण नहीं दिया, जो कि 1837 में पियरे वांजेल द्वारा प्रदान किया गया था। पहले कुछ रचनात्मक नियमित बहुभुजों में निम्नलिखित भुजाएँ होती हैं:


 * समबाहु त्रिभुज, वर्ग, पेंटागन, षट्भुज, अष्टकोना, दशकोण, डोडेकैगन, पेंटाडेकैगन, षट्कोण, हेप्टाडेकैगन, आइकोसैगन, आइकोसिटेट्रागोन, ट्राईकॉन्टागन, ट्राईकॉन्टाडिगॉन, ट्राईकॉन्टेट्रागोन, टेट्राकॉन्टागन, टेट्राकॉन्टाऑक्टागन, 51, हेक्साकोंटागोन, हेक्साकॉन्टेट्रागन, 68, ऑक्टाकोंटागोन, 85, एनीकॉन्टाहेक्सागोन, 102, 120-गॉन, 128, 136, 160, 170, 192, 204, 240, 255, 256, 257-गॉन, 272...

भुजाओं की सम संख्या के साथ रचनात्मक नियमित बहुभुजों की अनंतता के रूप में जाना जाता है (क्योंकि यदि एक नियमित एन-गॉन रचनात्मक है, तो एक नियमित 2n-गॉन है और इसलिए एक नियमित 4n-गॉन, 8n-गॉन, आदि। ). हालांकि, विषम संख्या में पक्षों के साथ केवल 31 ज्ञात रचनात्मक नियमित एन-गॉन्स हैं।

दिए गए तीन विशिष्ट बिंदुओं या लंबाई से त्रिभुज का निर्माण करना
एक त्रिभुज के सोलह प्रमुख बिंदु हैं इसका शीर्ष (ज्यामिति), बहुभुज की भुजाओं का द्विभाजन#द्विभाजक, इसकी ऊँचाई के पाद (ज्यामिति), इसके द्विभाजन के पाद#कोण द्विभाजक, और इसका परिकेन्द्र, केन्द्रक, लंबकेन्द्र, और केंद्र। तीन बिंदुओं से एक त्रिकोण के निर्माण की 139 अलग-अलग गैर-तुच्छ समस्याओं को प्राप्त करने के लिए इन्हें एक समय में तीन लिया जा सकता है। इन समस्याओं में से तीन में एक बिंदु शामिल है जिसे अन्य दो बिंदुओं से विशिष्ट रूप से निर्मित किया जा सकता है; 23 गैर-अद्वितीय रूप से निर्मित किया जा सकता है (वास्तव में असीम रूप से कई समाधानों के लिए) लेकिन केवल अगर बिंदुओं के स्थान कुछ बाधाओं का पालन करते हैं; 74 में समस्या सामान्य स्थिति में रचनात्मक है; और 39 में आवश्यक त्रिभुज मौजूद है लेकिन रचनात्मक नहीं है।

एक त्रिकोण की बारह मुख्य लंबाई तीन भुजाओं की लंबाई, तीन ऊंचाई (ज्यामिति), तीन माध्यिका (ज्यामिति), और तीन द्विभाजन#कोण द्विभाजक हैं। तीन कोणों के साथ, ये 95 अलग-अलग संयोजन देते हैं, जिनमें से 63 एक निर्माण योग्य त्रिकोण को जन्म देते हैं, जिनमें से 30 नहीं होते हैं, और जिनमें से दो अपरिभाषित होते हैं।

प्रतिबंधित निर्माण
विभिन्न नियमों के तहत निर्माण के लिए स्वीकार्य उपकरणों को प्रतिबंधित करने के लिए कई प्रयास किए गए हैं, ताकि यह निर्धारित किया जा सके कि क्या अभी भी निर्माण योग्य है और इसका निर्माण कैसे किया जा सकता है, साथ ही साथ कंपास और सीधा सब कुछ बनाने में सक्षम होने के लिए आवश्यक न्यूनतम मानदंड निर्धारित करना कर सकते हैं।

केवल शासक या केवल कम्पास के साथ निर्माण
यह संभव है (मोहर-मस्चेरोनी प्रमेय के अनुसार) केवल एक कंपास के साथ कुछ भी बनाना संभव है यदि इसे शासक और कंपास के साथ बनाया जा सकता है, बशर्ते कि दिए गए डेटा और डेटा को असतत बिंदु (रेखाएं या सर्कल नहीं) ). इस प्रमेय की सत्यता आर्किमिडीयन गुणधर्म की सत्यता पर निर्भर करती है | आर्किमिडीज का स्वयंसिद्ध, जो प्रकृति में प्रथम-क्रम नहीं है। कम्पास-ओनली कंस्ट्रक्शन के उदाहरणों में नेपोलियन की समस्या शामिल है।

केवल रूलर से वर्गमूल लेना असंभव है, इसलिए कुछ चीजें जो रूलर से नहीं बनाई जा सकतीं उन्हें कम्पास से बनाया जा सकता है; लेकिन (पोंसेलेट-स्टेनर प्रमेय द्वारा) एक वृत्त और उसके केंद्र को देखते हुए, उनका निर्माण किया जा सकता है।

विस्तारित निर्माण
प्राचीन यूनानियों ने निर्माणों को उनके समाधान के लिए आवश्यक उपकरणों की जटिलता के आधार पर तीन प्रमुख श्रेणियों में वर्गीकृत किया। यदि एक निर्माण में केवल एक सीधा किनारा और कम्पास का उपयोग किया जाता है, तो उसे तलीय कहा जाता था; यदि इसमें एक या एक से अधिक शंक्वाकार खंडों (वृत्त के अलावा) की भी आवश्यकता होती है, तो इसे ठोस कहा जाता था; तीसरी श्रेणी में वे सभी निर्माण शामिल थे जो अन्य दो श्रेणियों में से किसी में भी नहीं आते थे। यह वर्गीकरण आधुनिक बीजगणितीय दृष्टिकोण के साथ अच्छी तरह मेल खाता है। एक सम्मिश्र संख्या जिसे केवल फ़ील्ड संचालनों और वर्गमूलों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है (जैसा कि वर्णित #रचनात्मक बिंदु और लंबाई) में एक समतलीय संरचना होती है। एक सम्मिश्र संख्या जिसमें घनमूल का निष्कर्षण भी शामिल है, का एक ठोस निर्माण होता है।

खेतों की भाषा में, एक सम्मिश्र संख्या जो समतलीय है, की घात दो होती है, और एक बीजगणितीय विस्तार में निहित होती है जिसे क्षेत्रों के एक टॉवर में तोड़ा जा सकता है जहां प्रत्येक विस्तार की डिग्री दो होती है। एक जटिल संख्या जिसमें एक ठोस निर्माण होता है, केवल दो और तीन के प्रमुख कारकों के साथ डिग्री होती है, और फ़ील्ड एक्सटेंशन में स्थित होती है जो फ़ील्ड के टॉवर के शीर्ष पर होती है जहां प्रत्येक एक्सटेंशन की डिग्री 2 या 3 होती है।

ठोस निर्माण
एक बिंदु का एक ठोस निर्माण होता है यदि इसका निर्माण एक सीधा किनारा, कम्पास, और एक (संभवतः काल्पनिक) शांकव आरेखण उपकरण का उपयोग करके किया जा सकता है जो पहले से निर्मित फोकस, डायरेक्ट्रिक्स और विलक्षणता के साथ किसी भी शंकु को आकर्षित कर सकता है। उपकरणों के एक छोटे सेट का उपयोग करके अक्सर बिंदुओं का एक ही सेट बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कम्पास, सीधा किनारा और कागज के एक टुकड़े का उपयोग करना, जिस पर हमारे पास परवलय y=x है2 बिंदुओं (0,0) और (1,0) के साथ मिलकर, कोई भी जटिल संख्या बना सकता है जिसमें ठोस निर्माण हो। इसी तरह, एक उपकरण जो पहले से निर्मित फ़ॉसी और प्रमुख अक्ष (दो पिन और स्ट्रिंग का एक टुकड़ा) के साथ किसी भी दीर्घवृत्त को खींच सकता है, उतना ही शक्तिशाली है। प्राचीन यूनानियों को पता था कि घन को दोगुना करना और एक मनमाना कोण को तिगुना करना दोनों में ठोस निर्माण होता है। आर्किमिडीज ने नियमित 7-गॉन का ठोस निर्माण किया। वृत्त के चतुर्भुज का कोई ठोस निर्माण नहीं है।

एक नियमित एन-गॉन का ठोस निर्माण होता है अगर और केवल अगर एन = 2ए3bm जहां a और b कुछ गैर-नकारात्मक पूर्णांक हैं और m शून्य या अधिक विशिष्ट पियरपोंट प्राइम्स (फॉर्म 2 के प्राइम्स) का उत्पाद हैआर3स+1). इसलिए, नियमित एन-गॉन एक ठोस को स्वीकार करता है, लेकिन प्लानर नहीं, निर्माण अगर और केवल अगर एन अनुक्रम में है
 * हेप्टागन, एननेगॉन, ट्राइडेकैगन, टेट्राडेकैगन, ऑक्टाडेकैगन, एनीडेकैगन, इकोसिहेनगन, 26, 27, 28, 35, 36, 37, 38, 39, टेट्राकोंटाडिगॉन, 45, 52, 54, 56, 57, 63, 65, 70, 72, 73, 74, 76, 78, 81, 84, 90, 91, 95, 97...

n का समुच्चय जिसके लिए एक नियमित n-गॉन का कोई ठोस निर्माण नहीं है, अनुक्रम है


 * हेंडेकैगन, आईकोसिडिगॉन, आईकोसिट्रिगोन, 25, 29, 31, 33, 41, 43, 44, 46, 47, 49, 50, 53, 55, 58, 59, 61, 62, 66, 67, 69, 71, 75, 77, 79, 82, 83, 86, 87, 88, 89, 92, 93, 94, 98, 99, 100...

फ़र्मेट प्राइम्स के प्रश्न की तरह, यह एक खुला प्रश्न है कि क्या पियरपोंट प्राइम्स की अनंत संख्या है।

कोण तिरछा
क्या होगा अगर, सीधे किनारे और कम्पास के साथ, हमारे पास एक उपकरण था जो (केवल) एक मनमाने कोण को तिरछा कर सकता था? ऐसे निर्माण ठोस निर्माण होते हैं, लेकिन ऐसे ठोस निर्माणों के साथ संख्याएँ मौजूद होती हैं जिन्हें ऐसे उपकरण का उपयोग करके नहीं बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, हम ऐसे उपकरण से घन को दोगुना नहीं कर सकते। दूसरी ओर, इस तरह के एक उपकरण का उपयोग करके ठोस निर्माण वाले प्रत्येक नियमित एन-गॉन का निर्माण किया जा सकता है।

ओरिगेमी
कागज़ को मोड़ने का गणित सीधा-एज-एंड-कम्पास निर्माण से अधिक शक्तिशाली है। हुज़िता-हटोरी अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाले फ़ोल्ड बिंदुओं के ठीक उसी सेट का निर्माण कर सकते हैं, जैसा कि कम्पास और शंकु आरेखण टूल का उपयोग करके विस्तारित निर्माणों के रूप में किया जाता है। इसलिए, ओरिगेमी का उपयोग क्यूबिक समीकरणों (और इसलिए क्वार्टिक समीकरणों) को हल करने के लिए भी किया जा सकता है, और इस प्रकार दो शास्त्रीय समस्याओं को हल किया जा सकता है।

मार्क करने योग्य शासक
आर्किमिडीज़, निकोमेडीज़ (गणितज्ञ) और पेर्गा के एपोलोनियस ने एक उल्लेखनीय शासक के उपयोग से जुड़े निर्माण दिए। यह उन्हें, उदाहरण के लिए, एक रेखा खंड, दो रेखाएँ (या वृत्त), और एक बिंदु लेने की अनुमति देगा; और फिर एक रेखा खींचें जो दिए गए बिंदु से गुजरती है और दो दी गई रेखाओं को काटती है, जैसे कि चौराहे के बिंदुओं के बीच की दूरी दिए गए खंड के बराबर होती है। यूनानियों ने इसे न्युसिस (झुकाव, प्रवृत्ति या कगार) कहा, क्योंकि नई रेखा बिंदु की ओर झुकती है। इस विस्तारित योजना में, हम एक स्वेच्छ कोण को समत्रिभाजित कर सकते हैं (देखें आर्किमिडीज़ का तिराहा) या एक मनमाना घनमूल (निकोमेडीज़ के कारण) निकाल सकते हैं। इसलिए, कोई भी दूरी जिसका मौजूदा दूरी से अनुपात घन समीकरण या क्वार्टिक समीकरण का समाधान है, रचनात्मक है। एक चिह्नित शासक का उपयोग करते हुए, ठोस निर्माण के साथ नियमित बहुभुज, जैसे हेप्टागन, निर्माण योग्य होते हैं; और जॉन एच. कॉनवे और रिचर्ड के. गाय उनमें से कई के लिए निर्माण देते हैं। शंकु आरेखण उपकरण की तुलना में न्यूसिस निर्माण अधिक शक्तिशाली है, क्योंकि कोई जटिल संख्या का निर्माण कर सकता है जिसमें ठोस निर्माण नहीं होते हैं। वास्तव में, इस टूल का उपयोग करके कोई भी कुछ क्विंटिक्स को हल कर सकता है जो एबेल-रफिनी प्रमेय हैं। यह ज्ञात है कि न्यूसिस निर्माण का उपयोग करके 7 से अधिक या 7 के बराबर अभाज्य बहुपद को हल नहीं किया जा सकता है, इसलिए इस उपकरण का उपयोग करके एक नियमित 23-गॉन या 29-गॉन का निर्माण करना संभव नहीं है। बेंजामिन और स्नाइडर ने साबित किया कि नियमित 11-गॉन का निर्माण संभव है, लेकिन कोई निर्माण नहीं दिया। यह अभी भी खुला है कि इस उपकरण का उपयोग करके एक नियमित 25-गॉन या 31-गॉन निर्माण योग्य है या नहीं।

एक सीधे खंड को तिरछा करें
एबी नामक एक सीधी रेखा खंड दिया गया है, क्या इसे तीन नए समान खंडों में विभाजित किया जा सकता है और इंटरसेप्ट प्रमेय के उपयोग के लिए आवश्यक कई भागों में

बाइनरी अंकों की गणना
1998 में साइमन प्लॉफ़ी ने एक रूलर-एंड-कम्पास एल्गोरिथम दिया जिसका उपयोग कुछ संख्याओं के बाइनरी अंकों की गणना के लिए किया जा सकता है। एल्गोरिथम में एक कोण को बार-बार दोहराना शामिल है और लगभग 20 बाइनरी अंकों के बाद शारीरिक रूप से अव्यावहारिक हो जाता है।

यह भी देखें

 * कार्लाइल सर्कल
 * ज्यामितीय क्रिप्टोग्राफी
 * ज्यामिति
 * इंटरैक्टिव ज्योमेट्री सॉफ़्टवेयर की सूची, उनमें से अधिकांश स्ट्रेटएज-एंड-कम्पास निर्माण दिखाते हैं
 * पेपर फोल्डिंग का गणित
 * अंडरवुड डुडले, एक गणितज्ञ जिसने झूठे सीधे-एज-एंड-कम्पास सबूत एकत्र करने की एक साइडलाइन बनाई है।

बाहरी संबंध

 * Regular polygon constructions by Dr. Math at The Math Forum @ Drexel
 * Construction with the Compass Only at cut-the-knot
 * Angle Trisection by Hippocrates at cut-the-knot