यूलेरियन संख्या

साहचर्य में, यूलेरियन संख्या $A(n,k)$ 1 से संख्याओं के क्रमपरिवर्तन की संख्या है$n$ जिसमें बिल्कुल$k$ तत्व पिछले तत्व से बड़े हैं (क्रमपरिवर्तन के साथ)।$k$ आरोहण ).

लियोनहार्ड यूलर ने अपनी 1755 की पुस्तक विभेदक कैलकुलस की संस्थाएँ में उनकी और संबंधित बहुपदों की जांच की।

के लिए अन्य संकेतन $A(n,k)$ हैं $E(n,k)$  और $$\textstyle \left\langle {n \atop k} \right\rangle$$.

परिभाषा
यूलेरियन बहुपदों को घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\sum_{n=0}^{\infty} A_{n}(t) \,\frac{x^n}{n!} = \frac{t-1}{t - e^{(t-1)\,x}}.$$

यूलेरियन संख्याओं को यूलेरियन बहुपदों के गुणांक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$A_{n}(t) = \sum_{k=0}^n A(n,k)\,t^k.$$

के लिए एक स्पष्ट सूत्र $A(n,k)$ है
 * $$A(n,k)=\sum_{i=0}^{k}(-1)^i \binom{n+1}{i} (k+1-i)^n.$$

बुनियादी गुण

 * तय के लिए$n$ एक एकल क्रमपरिवर्तन है जिसमें 0 आरोहण हैं: $(n, n-1, n-2, \ldots, 1)$ . वास्तव में, जैसे $${\tbinom n 0}=1$$ सभी के लिए $$n$$, $A(n, 0) = 1$ . इसमें औपचारिक रूप से संख्याओं का खाली संग्रह शामिल है, $n=0$ . इसलिए $A_0(t)=A_1(t)=1$.
 * के लिए $k=1$ स्पष्ट सूत्र का तात्पर्य है $A(n,1)=2^n-(n+1)$, में एक क्रम $$n$$ वह पढ़ता है $0, 0, 1, 4, 11, 26, 57, \dots$.
 * के साथ क्रमपरिवर्तन को पूरी तरह से उलट देना$k$ आरोहण एक और क्रमपरिवर्तन बनाता है जिसमें मौजूद हैं$n-k-1$ आरोहण। इसलिए $A(n, k) = A(n, n-k-1)$ . तो वहाँ भी एक ही क्रमपरिवर्तन है जो है$n-1$ आरोहण, अर्थात् बढ़ती क्रमपरिवर्तन $(1, 2, \ldots, n)$ . इसलिए भी $A(n, n-1)$ के बराबर होती है $$1$$.
 * एक भव्य ऊपरी सीमा है $A(n, k) \le (k+1)^n\cdot(n+2)^k$ . अभी चर्चा की गई सीमाओं के बीच, मान अधिक हो गया है $$1$$.
 * के लिए $k\ge n > 0$, मान औपचारिक रूप से शून्य हैं, जिसका अर्थ है कई योग $k$ तक ही ऊपरी सूचकांक के साथ लिखा जा सकता है $n-1$ . इसका मतलब यह भी है कि बहुपद $$A_{n}(t)$$ वास्तव में एक बहुपद की डिग्री के हैं $n-1$  के लिए $n>0$.

त्रिकोणीय सरणी में संख्याओं के सारणीकरण को यूलर त्रिकोण या यूलर का त्रिकोण कहा जाता है। यह पास्कल के त्रिकोण के साथ कुछ सामान्य विशेषताएं साझा करता है। के मान $A(n, k)$  के लिए $0 \le n \le 9$  हैं:


 * {| class="wikitable" style="text-align:right;"

! ! width="50" | 0 ! width="50" | 1 ! width="50" | 2 ! width="50" | 3 ! width="50" | 4 ! width="50" | 5 ! width="50" | 6 ! width="50" | 7 ! width="50" | 8 ! 0 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 7 ! 8 ! 9
 * 1 || || || || || || || ||
 * 1 || || || || || || || ||
 * 1 || 1 || || || || || || ||
 * 1 || 4 || 1 || || || || || ||
 * 1 || 11 || 11 || 1 || || || || ||
 * 1 || 26 || 66 || 26 || 1 || || || ||
 * 1 || 57 || 302 || 302 || 57 || 1 || || ||
 * 1 || 120 || 1191 || 2416 || 1191 || 120 || 1 || ||
 * 1 || 247 || 4293 || 15619 || 15619 || 4293 || 247 || 1 ||
 * 1 || 502 || 14608 || 88234 || 156190 || 88234 || 14608 || 502 || 1
 * }

गणना
के बड़े मूल्यों के लिए $n$, $A(n,k)$ पुनरावृत्ति सूत्र का उपयोग करके भी गणना की जा सकती है
 * $$A(n,k)=(n-k)\,A(n-1,k-1) + (k+1)\,A(n-1,k).$$

इस सूत्र को संयोजक परिभाषा से प्रेरित किया जा सकता है और इस प्रकार यह सिद्धांत के लिए एक प्राकृतिक प्रारंभिक बिंदु के रूप में कार्य करता है।

के छोटे मूल्यों के लिए$n$ और$k$, के मूल्य $A(n,k)$ हाथ से गणना की जा सकती है. उदाहरण के लिए


 * {| class="wikitable"

! n ! k ! Permutations ! A(n, k) पुनरावृत्ति को एक उदाहरण पर लागू करने पर, हम पा सकते हैं
 * 1
 * 0
 * (1)
 * A(1,0) = 1
 * rowspan="2" | 2
 * 0
 * (2, 1)
 * A(2,0) = 1
 * 1
 * (1, 2)
 * A(2,1) = 1
 * rowspan="3" | 3
 * 0
 * (3, 2, 1)
 * A(3,0) = 1
 * 1
 * (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1) and (3, 1, 2)
 * A(3,1) = 4
 * 2
 * (1, 2, 3)
 * A(3,2) = 1
 * }
 * A(3,1) = 4
 * 2
 * (1, 2, 3)
 * A(3,2) = 1
 * }
 * }
 * $$A(4,1)=(4-1)\,A(3,0) + (1+1)\,A(3,1)=3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 11.$$

इसी प्रकार, यूलेरियन बहुपद की गणना पुनरावृत्ति द्वारा की जा सकती है
 * $$A_{0}(t) = 1,$$
 * $$A_{n}(t) = A_{n-1}'(t)\cdot t\,(1-t) + A_{n-1}(t)\cdot (1+(n-1)\,t),\text{ for } n > 1.$$

दूसरे सूत्र को आगमनात्मक रूप में ढाला जा सकता है,
 * $$A_{n}(t) = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} A_{k}(t)\cdot (t-1)^{n-1-k}, \text{ for } n > 1.$$

निम्नलिखित एक पायथन भाषा है।  आयात गणित # पायथन 3.8

def Ank(n, k) -> int: स्पष्ट सूत्र का उपयोग करके A(n, k) की गणना करें। डीईएफ़ सारांश(i): वापसी (-1) ** i * गणित.comb(n + 1, i) * (k + 1 - i) ** n   वापसी योग (मानचित्र (सारांश, श्रेणी (k + 1)))

def Anks(n) -> सूची: n'वें बहुपद A_n(t) के लिए गुणांक सूची। वापसी [1] यदि n == 0 अन्यथा [श्रेणी (n) में k के लिए अंक (n, k)]

def eval_बहुपद(coeffs, t): बहुपद मूल्यांकन कार्य. रिटर्न योग (c * t ** k for k, c in enumerate (coeffs))

def An(n, t: फ्लोट) -> फ्लोट: बहुपद A_n(t). वापसी eval_बहुपद(Anks(n), t)

सुपर = लैम्ब्डा एन: str(n).translate(str.maketrans( 0123456789, ⁰¹²³⁴⁵⁶⁷⁸⁹ )) उप = लैम्ब्डा एन: str(n).translate(str.maketrans( 0123456789, ₀₁₂₃₄₅₆₇₈₉ ))
 * 1) पहले कुछ बहुपद प्रिंट करें

संख्या = 8 रेंज में n के लिए (NUM): print(f A{sub(n)}(t) = + + .join(f {ank} t{sup(k)} for k, ank in enumerate(Anks(n)))) # उदा. A₇(t) = 1 t⁰ + 120 t¹ + 1191 t² + 2416 t³ + 1191 t⁴ + 120 t⁵ + 1 t⁶

#स्वच्छता की जाँच जोर अंक(एन, 1) == 2 ** एन - (एन + 1) जोर से n == 0 या An(n, 1) == गणित.तथ्यात्मक(n) # कार्डिनैलिटी जांच अल्टरनेटिंग_सम: फ्लोट = योग((-1)**k * अंक(एन, के) / गणित.कॉम्ब(एन - 1, के) रेंज में के के लिए(एन)) एन <2 या एबीएस(अल्टरनेटिंग_सम) <1ई-13 पर जोर दें 

पहचान
किसी परिमित सेट को सीमित रूप से कई छोटे सेटों में विभाजित करने वाली किसी भी संपत्ति के लिए, छोटे सेटों की कार्डिनैलिटी का योग बड़े सेट की कार्डिनैलिटी के बराबर होता है। यूलेरियन संख्याएँ क्रमपरिवर्तन को विभाजित करती हैं $$n$$ तत्व, इसलिए उनका योग भाज्य के बराबर होता है $$n!$$. अर्थात।
 * $$\sum_{k=0}^{n-1} A(n,k) = n!, \text{ for }n > 0.$$

साथ ही $$A(0,0)=0!$$. रिक्त योग परिपाटी के साथ टकराव से बचने के लिए, केवल प्रमेयों को बताना सुविधाजनक है $$n>0$$ केवल।

एक निश्चित कार्य के लिए, अधिक सामान्यतः $$f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$$ अंतराल पर अभिन्न $$(0, n)$$
 * $$\sum_{k=0}^{n-1} A(n, k)\, f(k) = n!\int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left(\left\lfloor x_1 + \cdots + x_n\right\rfloor\right) {\mathrm d}x_1 \cdots {\mathrm d}x_n $$

वर्पिट्ज़की की पहचान एक्सप्रेस $x^n$ द्विपद गुणांकों के साथ यूलेरियन संख्याओं के रैखिक संयोजन के रूप में:
 * $$\sum_{k=0}^{n-1}A(n,k)\binom{x+k}{n}=x^n.$$

इससे यह निष्कर्ष निकलता है
 * $$\sum_{k=1}^{m}k^n=\sum_{k=0}^{n-1} A(n,k) \binom{m+k+1}{n+1}.$$

प्रत्यावर्ती योगों वाले सूत्र
के एक निश्चित मान के लिए यूलेरियन संख्याओं का प्रत्यावर्ती योग$n$ बर्नौली संख्या से संबंधित है $B_{n+1}$
 * $$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k A(n,k) = 2^{n+1}(2^{n+1}-1) \frac{B_{n+1}}{n+1}, \text{ for  }n > 0.$$

आगे,
 * $$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \frac{A(n,k)}{\binom{n-1}{k}}=0, \text{ for  }n > 1$$

और
 * $$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \frac{A(n,k)}{\binom{n}{k}}=(n+1)B_{n}, \text{ for  } n > 1$$

बहुपदों से जुड़े सूत्र
समरूपता गुण का तात्पर्य है:
 * $$A_n(t) = t^{n-1} A_n(t^{-1}) $$

यूलेरियन संख्याएँ n के अनुक्रम के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन में शामिल हैं दशक्तियाँ:
 * $$\sum_{i=1}^\infty i^n x^i = \frac{1}{(1-x)^{n+1}}\sum_{k=0}^n A(n,k)\,x^{k+1} = \frac{x}{(1-x)^{n+1}}A_n(x)$$

यह भी मानता है कि,
 * $$\frac{e}{1-e\,x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!(1-x)^{n+1}}A_n(x).$$

दूसरे क्रम की यूलेरियन संख्याएँ
मल्टीसेट का क्रमपरिवर्तन $\{1, 1, 2, 2, \ldots, n, n\}$ जिसमें यह गुण है कि प्रत्येक k के लिए, क्रमपरिवर्तन में k की दो घटनाओं के बीच दिखाई देने वाली सभी संख्याएँ k से अधिक होती हैं, जिन्हें दोहरे भाज्य संख्या द्वारा गिना जाता है $(2n-1)!!$. दूसरे क्रम की यूलेरियन संख्या, निरूपित $$ \scriptstyle \left\langle \! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \! \right\rangle $$, ऐसे सभी क्रमपरिवर्तनों की संख्या की गणना करता है जिनका बिल्कुल m आरोहण है। उदाहरण के लिए, n = 3 के लिए 15 ऐसे क्रमपरिवर्तन हैं, 1 बिना आरोह के, 8 एकल आरोह के साथ, और 6 दो आरोह के साथ:


 * 332211,
 * 221133, 221331, 223311, 233211, 113322, 133221, 331122, 331221,
 * 112233, 122133, 112332, 123321, 133122, 122331।

दूसरे क्रम की यूलेरियन संख्याएँ पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करती हैं, जो उपरोक्त परिभाषा से सीधे अनुसरण करती है:
 * $$ \left\langle \!\! \left\langle {n \atop k} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-k-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop k-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (k+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop k} \right\rangle \!\! \right\rangle, $$

एन = 0 के लिए प्रारंभिक शर्त के साथ, इवरसन ब्रैकेट नोटेशन में व्यक्त किया गया:
 * $$ \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop k} \right\rangle \!\! \right\rangle = [k=0].$$

तदनुसार, दूसरे क्रम का यूलेरियन बहुपद, यहाँ P को दर्शाता हैn (उनके लिए कोई मानक संकेतन मौजूद नहीं है) हैं
 * $$P_n(x) := \sum_{k=0}^n \left\langle \!\! \left\langle {n \atop k} \right\rangle \!\! \right\rangle x^k $$

और उपरोक्त पुनरावृत्ति संबंधों को अनुक्रम पी के लिए पुनरावृत्ति संबंध में अनुवादित किया गया हैn(एक्स):
 * $$ P_{n+1}(x) = (2nx+1) P_n(x) - x(x-1) P_n^\prime(x) $$

प्रारंभिक शर्त के साथ $$ P_0(x) = 1. $$. बाद की पुनरावृत्ति को एक एकीकृत कारक के माध्यम से कुछ हद तक अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$ (x-1)^{-2n-2} P_{n+1}(x) = \left( x\,(1-x)^{-2n-1} P_n(x) \right)^\prime $$

ताकि तर्कसंगत कार्य हो सके
 * $$ u_n(x) := (x-1)^{-2n} P_{n}(x) $$

एक साधारण स्वायत्त पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है:
 * $$ u_{n+1} = \left( \frac{x}{1-x} u_n \right)^\prime, \quad u_0=1$$

जहाँ से दूसरे क्रम के यूलेरियन बहुपद प्राप्त होते हैं $P_n(x) = (1-x)^{2n} u_n(x)$, और उनके गुणांक के रूप में दूसरे क्रम की यूलेरियन संख्याएँ।

निम्न तालिका पहले कुछ दूसरे क्रम के यूलेरियन संख्याओं को प्रदर्शित करती है:


 * {| class="wikitable" style="text-align:right;"

! ! width="50" | 0 ! width="50" | 1 ! width="50" | 2 ! width="50" | 3 ! width="50" | 4 ! width="50" | 5 ! width="50" | 6 ! width="50" | 7 ! width="50" | 8 !0 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 7 ! 8 ! 9 n-वीं पंक्ति का योग, जो मान भी है $P_n(1)$, है $(2n-1)!!$.
 * 1
 * 1 || || || || || || || ||
 * 1 || 2 || || || || || || ||
 * 1 || 8 || 6 || || || || || ||
 * 1 || 22 || 58 || 24 || || || || ||
 * 1 || 52 || 328 || 444 || 120 || || || ||
 * 1 || 114 || 1452 || 4400 || 3708 || 720 || || ||
 * 1 || 240 || 5610 || 32120 || 58140 || 33984 || 5040 || ||
 * 1 || 494 || 19950 || 195800 || 644020 || 785304 || 341136 || 40320 ||
 * 1 || 1004 || 67260 || 1062500 || 5765500 || 12440064 || 11026296 || 3733920 || 362880
 * }

दूसरे क्रम के यूलेरियन संख्याओं का अनुक्रमण तीन स्वादों में आता है:
 * रिओर्डन और कॉमटेट का अनुसरण करते हुए,
 * ग्राहम, नुथ और पाटश्निक का अनुसरण करते हुए,
 * , गेसल और स्टेनली की परिभाषा का विस्तार।

संदर्भ

 * Eulerus, Leonardus [Leonhard Euler] (1755). Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum [Foundations of differential calculus, with applications to finite analysis and series]. Academia imperialis scientiarum Petropolitana; Berolini: Officina Michaelis.



बाहरी संबंध

 * Eulerian Polynomials at OEIS Wiki.
 * Euler-matrix (generalized rowindexes, divergent summation)
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