अवकल रैखिकता

कैलकुलस में, किसी भी फलन (गणित) के रैखिक संयोजन का व्युत्पन्न फलन के यौगिक के समान रैखिक संयोजन के सामान्तर होता है; इस गुण को विभेदन की रैखिकता के नियम के रूप में जाना जाता है, या विभिन्निता के लिए सुपरपोजीशन नियम के नाम से जाना जाता है। यह मूलभूत गुणसूत्र है जो विभेदीकरण के तत्वों को ही नियम में सम्मिलित करता है, विभेदन में योग नियम (दो फलन के योग का व्युत्पन्न व्युत्पन्नों का योग है) और विभेदन में स्थिर कारक नियम किसी फलन के अचर गुणज का व्युत्पन्न, व्युत्पन्न का ही अचर गुणज होता है)। इसलिए इसका कहना है कि विभेदन रैखिक मानचित्र है, या विभेदक संचालिका रेखीय मानचित्र संचालिका है।

कथन और व्युत्पत्ति
माना कि $f$ और $g$ फलन है, साथ $α$ और $β$ स्थिरांक अब विचार करें


 * $$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} ( \alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x) ).$$

विभेदन में योग नियम के अनुसार, यह है


 * $$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} ( \alpha \cdot f(x) ) + \frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x} (\beta \cdot g(x)),$$

और विभेदन में स्थिर कारक नियम से, यह कम हो जाता है


 * $$\alpha \cdot f'(x) + \beta \cdot g'(x).$$

इसलिए,


 * $$\frac{\mbox{d}}{\mbox{d} x}(\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x)) = \alpha \cdot f'(x) + \beta \cdot g'(x).$$

कोष्ठक को हटाकर, इसे अधिकांशतः इस प्रकार लिखा जाता है:


 * $$(\alpha \cdot f + \beta \cdot g)' = \alpha \cdot f'+ \beta \cdot g'.$$

परिभाषा से विस्तृत प्रमाण/व्युत्पन्न
हम संपूर्ण रैखिकता सिद्धांत को एक ही बार में सिद्ध कर सकते हैं, या हम व्यक्तिगत चरणों (स्थिर कारक और जोड़ने के) को व्यक्तिगत रूप से सिद्ध कर सकते हैं। यहां, दोनों विधि दिखाए जाएंगे।

रैखिकता को सीधे सिद्ध करना स्थिर कोण नियम, योग नियम और अंतर नियम को विशेष स्थितियों के रूप में भी सिद्ध करता है। दोनों स्थिर गुणांकों को निर्धारित करके योग नियम $$1$$ के द्वारा प्राप्त किया जाता है अंतर नियम पहला स्थिरांक गुणांक निर्धारित करके प्राप्त किया जाता है, $$1$$ और दूसरा स्थिरांक गुणांक $$-1$$ है। स्थिर कारक नियम या तो दूसरे स्थिर गुणांक या दूसरे फलन को समुच्चय करके $$0$$ प्राप्त किया जाता है (तकनीकी दृष्टिकोण से, दूसरे फलन के फलन के डोमेन पर भी विचार किया जाना चाहिए - समस्याओं से बचने का विधि दूसरे फलन को पहले फलन के सामान्तर और दूसरे निरंतर गुणांक को सामान्तर समुच्चय करना है $$0$$, कोई दूसरे स्थिरांक गुणांक और दूसरे फलन दोनों को 0 के रूप में परिभाषित कर सकता है, जहां दूसरे फलन का डोमेन अन्य संभावनाओं के बीच पहले फलन का उपसमूह है।)

विपरीत रूप से, यदि हम पहले निरंतर कोण नियम और योग नियम को सिद्ध करते हैं, तो हम रैखिकता और अंतर नियम को सिद्ध कर सकते हैं। रैखिकता को सिद्ध करना पहले और दूसरे फलन को दो अन्य फलन के रूप में परिभाषित करके निरंतर गुणांक द्वारा गुणा किया जाता है। फिर, जैसा कि पिछले अनुभाग से व्युत्पत्ति में दिखाया गया है, हम विभेदन करते समय पहले योग विधि का उपयोग कर सकते हैं, और फिर निरंतर कारक नियम का उपयोग कर सकते हैं, जो रैखिकता के लिए हमारे निष्कर्ष तक पहुंचेगा। अंतर नियम को सिद्ध करने के लिए, दूसरे फलन को स्थिर गुणांक द्वारा गुणा किए गए किसी अन्य फलन के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है $$-1$$, इससे, सरलीकरण करने पर हमें तत्वनिर्धारण के लिए अंतर नियम प्राप्त होता है।

निम्नलिखित सिद्धांतों या विवरणों में, $$a, b$$ के प्रयोग किया है; यह ऊपर दिए गए $$\alpha, \beta$$ के प्रतिनिधित्व करते हैं।

रैखिकता (सीधे)
माना कि $$a, b \in \mathbb{R}$$। माना कि $$f, g$$ फलन हैं। $$j$$ फलन  हैं।, जहां $$j$$ केवल वहीं परिभाषित किया गया है $$f$$ और $$g$$ दोनों परिभाषित हैं। (दूसरे शब्दों में, $$j$$ का डोमेन $$f$$ और $$g$$  के डोमेन का प्रतिच्छेदन है।) $$x$$, $$j$$ के डोमेन में है। $$j$$ को $$j(x) = af(x) + bg(x)$$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

हम $$j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x) + bg^{\prime}(x)$$ सिद्ध करना चाहते हैं ।

परिभाषा के अनुसार, हम इसे देख सकते हैं

$$\begin{align} j^{\prime}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{j(x + h) - j(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left( af(x + h) + bg(x + h) \right) - \left( af(x) + bg(x) \right)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{af(x + h) + bg(x + h) - af(x) - bg(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{af(x + h) - af(x) + bg(x + h) - bg(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(af(x + h) - af(x)) + (bg(x + h) - bg(x))}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{af(x + h) - af(x)}{h} + \frac{bg(x + h) - bg(x)}{h} \right) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{a(f(x + h) - f(x))}{h} + \frac{b(g(x + h) - g(x))}{h} \right) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left( a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} + b\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\ \end{align}$$ सीमाओं के योग के लिए सीमा विधि का उपयोग करने के लिए, हमें यह जानना आवश्यक है कि $\lim_{h \to 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ और $\lim_{h \to 0} b\frac{g(x + h) - g(x)}{h}$  दोनों व्यक्तिगत रूप से उपस्थित हैं। इन छोटी सीमाओं के लिए, हमें यह जानना आवश्यक है कि $\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$  और $\lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}$  सीमा के लिए गुणांक विधि का उपयोग करने के लिए दोनों व्यक्तिगत रूप से उपस्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, $f^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$  और $g^{\prime}(x) = \lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}$ । इसलिए, यदि हम जानते हैं कि $$f^{\prime}(x)$$ और $$g^{\prime}(x)$$ दोनों उपस्थित हैं, तो हम जानेंगे कि $\lim_{h \to 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$  और $\lim_{h \to 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}$  दोनों अलग-अलग उपस्थित होते हैं। यह हमें लिखने की सीमा के लिए गुणांक विधि का उपयोग करने की अनुमति देता है

$$ \lim_{h \to 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = a\lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$ और

$$ \lim_{h \to 0} b\frac{g(x + h) - f(x)}{h} = b\lim_{h \to 0}\frac{g(x + h) - g(x)}{h}. $$ इसके साथ, हम सीमाओं के योग के लिए सीमा विधि को लागू करने के लिए वापस जा सकते हैं, क्योंकि हम यह जानते हैं $\lim_{h \rightarrow 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ और $\lim_{h \rightarrow 0} b\frac{g(x + h) - g(x)}{h}$  दोनों व्यक्तिगत रूप से उपस्थित हैं। यहां से, हम सीधे उस व्युत्पन्न पर वापस जा सकते हैं जिस पर हम काम कर रहे थे।$$\begin{align} j^{\prime}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{j(x + h) - j(x)}{h} \\ &\;\;\vdots \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left( a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} + b\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left( a\frac{f(x + h) - f(x)}{h}\right) + \lim_{h \rightarrow 0} \left(b\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\ &= a\lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\right) + b\lim_{h \rightarrow 0} \left(\frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\ &= af^{\prime}(x) + bg^{\prime}(x) \end{align}$$अंततः, हमने वही दिखाया जो हमने प्रारंभ में प्रामाणित किया था: $$j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x) + bg^{\prime}(x)$$।

योग
$$f, g$$ फलन है। $$j$$ फलन है, जहां $$j$$ केवल वहीं परिभाषित किया गया है $$f$$ और $$g$$ दोनों परिभाषित हैं। (दूसरे शब्दों में, $$j$$ का डोमेन $$f$$ और $$g$$ के डोमेन का प्रतिच्छेदन है।) $$x$$, $$j$$ के डोमेन में है। $$j$$ को $$j(x) = f(x) + g(x)$$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

हम $$j^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) + g^{\prime}(x)$$ सिद्ध करना चाहते हैं ।

परिभाषा के अनुसार, हम इसे देख सकते हैं

$$\begin{align} j^{\prime}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{j(x + h) - j(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left( f(x + h) + g(x + h) \right) - \left( f(x) + g(x) \right)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) + g(x + h) - f(x) - g(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x) + g(x + h) - g(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(f(x + h) - f(x)) + (g(x + h) - g(x))}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\ \end{align}$$यहां सीमाओं के योग के लिए विधि का उपयोग करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि व्यक्तिगत सीमाएं, $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ और $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}$  दोनों उपस्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, $f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ और $g^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}$, इसलिए अगर$$f^{\prime}(x)$$ और $$g^{\prime}(x)$$ उपस्थित हैं तो ये सीमाएं उपस्थित होंगी। इसलिए, हम ऊपर दिए गए प्रस्तावना को आगे बढ़ा सकते हैं:

$$\begin{align} j^{\prime}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{j(x + h) - j(x)}{h} \\ &\;\;\vdots \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} + \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \\ &= f^{\prime}(x) + g^{\prime}(x) \end{align}$$ इसलिए, हमने दिखाया कि जो हम दिखाना चाहते थे, वह है: $$j^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) + g^{\prime}(x)$$।

अंतर
$$f, g$$ फलन है। $$j$$ फलन है, जहां $$j$$ केवल वहीं परिभाषित किया गया है $$f$$ और $$g$$ दोनों परिभाषित हैं। (दूसरे शब्दों में, $$j$$ का डोमेन $$f$$ और $$g$$ के डोमेन का प्रतिच्छेदन है।) $$x$$, $$j$$ के डोमेन में है। $$j$$ को $$j(x) = f(x) - g(x)$$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

हम $$j^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x)$$ सिद्ध करना चाहते हैं।

परिभाषा के अनुसार, हम यह देख सकते हैं: $$\begin{align} j^{\prime}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{j(x + h) - j(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{\left( f(x + h) - (g(x + h) \right) - \left( f(x) - g(x) \right)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - g(x + h) - f(x) + g(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x) - g(x + h) + g(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(f(x + h) - f(x)) + (-g(x + h) + g(x))}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{(f(x + h) - f(x)) - (g(x + h) - g(x))}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} - \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\ \end{align}$$ यहां सीमाओं के अंतर के लिए विधि का उपयोग करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि व्यक्तिगत सीमाएं, $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ और $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}$  दोनों उपस्थित हैं। परिभाषा के अनुसार, $f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$  और $g^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h}$,  इसलिए ये सीमाएं उपस्थित होती हैं जबकि विभेदक$$f^{\prime}(x)$$ और $$g^{\prime}(x)$$ उपस्थित होते है। इसलिए, यदि हम मान लें कि विभेदक उपस्थित हैं, तो हम ऊपर दिए गए विवरण को जारी रख सकते हैं।

$$\begin{align} j^{\prime}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{j(x + h) - j(x)}{h} \\ &\;\;\vdots \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \left( \frac{f(x + h) - f(x)}{h} - \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \right) \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} - \lim_{h \rightarrow 0} \frac{g(x + h) - g(x)}{h} \\ &= f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x) \end{align}$$ इसलिए, हमने दिखाया है कि जब $$j(x) = f(x) - g(x)$$ होता है, तो $$j^{\prime}(x) = f^{\prime}(x) - g^{\prime}(x)$$ होता है।।

स्थिर गुणांक
माना कि $$f$$ फलन हैं। $$a \in \mathbb{R}$$; जहाँ $$a$$ स्थिर गुणांक होगा। $$j$$ फलन हैं, जहां j को केवल वहीं परिभाषित किया गया है $$f$$ परिभाषित किया गया। (दूसरे शब्दों में,  $$j$$ का डोमेन के  $$f$$ डोमेन के सामान्तर है)। $$x$$, $$j$$ के डोमेन में है, $$j$$ को  $$j(x) = af(x)$$ के रूप में परिभाषित किया गया है।।

हम $$ j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x)$$ सिद्ध करना चाहते हैं।

परिभाषा के अनुसार, हम यह देख सकते हैं:

$$\begin{align} j^{\prime}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{j(x + h) - j(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{af(x + h) - af(x)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{a\left( f(x + h) - f(x) \right)}{h} \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ \end{align}$$ अब, स्थायी गुणकों के लिए सीमा नियम का उपयोग करने के लिए दिखाना होगा कि

$$ \lim_{h \rightarrow 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} = a\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} $$ हमें दिखाना होगा कि $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$ उपस्थित है। चूँकि, $f^{\prime}(x) = \lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$, यह विभेदी की परिभाषा द्वारा है। इसलिए, यदि $$f^{\prime}(x)$$ उपस्थित है,तो हम दिखा सकते हैं कि $\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h}$  भी उपस्थित होता है।

इसलिए, यदि हम मान लें कि$$f^{\prime}(x)$$ उपस्थित है, हम सीमा विधि का उपयोग कर सकते हैं और अपना प्रमाण जारी रख सकते हैं।

$$\begin{align} j^{\prime}(x) &= \lim_{h \rightarrow 0} \frac{j(x + h) - j(x)}{h} \\ &\;\;\vdots \\ &= \lim_{h \rightarrow 0} a\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= a\lim_{h \rightarrow 0} \frac{f(x + h) - f(x)}{h} \\ &= af^{\prime}(x) \\ \end{align}$$ इसलिए, हमने सिद्ध किया है कि जब $$j(x) = af(x)$$,होता है, तो $$j^{\prime}(x) = af^{\prime}(x)$$होता है।