एलसी परिपथ

एक एलसी परिपथ, जिसे अनुनादक परिपथ, टैंक परिपथ, या समस्वरित परिपथ भी कहा जाता है, एक विद्युत परिपथ होता है जिसमें एक प्रेरक करने वाला होता है, जिसे अक्षर L द्वारा निरूपित किया जाता है, और एक संधारित्र, जिसे अक्षर C द्वारा निरूपित किया जाता है, जो एक साथ जुड़ा होता है। परिपथ एक विद्युत अनुनादक यंत्र के रूप में कार्य कर सकता है, एक स्वरित्र का एक विद्युत अनुरूप, परिपथ की अनुनादक आवृत्ति पर दोलायमान करने वाली ऊर्जा का संग्रहण करता है।

एलसी परिपथ का उपयोग या तो किसी विशेष आवृत्ति पर संकेत उत्पन्न करने के लिए किया जाता है, या किसी विशेष आवृत्ति पर एक अधिक सम्मिश्र संकेत से संकेत समाहरण के लिए उपयोग किया जाता है; इस प्रकार्य को बैंड पारक फिल्टर कहा जाता है। वे कई इलैक्ट्रॉनिक युक्ति, विशेष रूप से रेडियो उपकरण, परिपथ के उपयोग किए जाने वाले दोलक, फिल्टर, समंजक और आवृत्ति मिक्सर जैसे परिपथ में उपयोग किए जाने वाले प्रमुख घटक हैं।

एक एलसी परिपथ एक आदर्श मॉडल है क्योंकि यह मानता है कि विद्युत प्रतिरोध के कारण ऊर्जा का अपव्यय नहीं होता है। एलसी परिपथ के किसी भी प्रयोगिक कार्यान्वयन में हमेशा घटकों और संयोजी तारों के अन्तर्गत छोटे लेकिन शून्येतर प्रतिरोध से होने वाली हानि सम्मिलित होगी। एलसी परिपथ का उद्देश्य सामान्यतः न्यूनतम अवमंदक के साथ दोलन करना होता है, इसलिए प्रतिरोध जितना संभव हो उतना कम किया जाता है। जबकि कोई भी प्रायोगिक परिपथ हानि के बिना नहीं है, फिर भी समझ और भौतिक अंतर्ज्ञान प्राप्त करने के लिए परिपथ के इस आदर्श रूप का अध्ययन करना शिक्षाप्रद है। प्रतिरोध को सम्मिलित करने वाले परिपथ मॉडल के लिए, आरएलसी

परिपथ देखें।

शब्दावली
ऊपर वर्णित दो-तत्व एलसी परिपथ प्रेरक-संधारित्र संजाल (या एलसी संजाल) का सबसे सरल प्रकार है। इसे अधिक प्रेरक और संधारित्र के साथ अधिक सम्मिश्र (उच्च गण) एलसी संजाल से अलग करने के लिए दूसरे गण एलसी परिपथ के रूप में भी जाना जाता है। दो से अधिक प्रतिक्रिया वाले ऐसे एलसी संजाल में एक से अधिक अनुनादक आवृत्ति हो सकती है।

संजाल का गण सम्मिश्र आवृत्ति चर $s$ में संजाल का वर्णन करने वाले तर्कसंगत कार्य का गण है। सामान्यतः, गण परिपथ में L और C तत्वों की संख्या के समान होता है और किसी भी स्थिति में इस संख्या से अधिक नहीं हो सकता है।

संचालन
एक एलसी परिपथ, जो अपनी प्राकृतिक अनुनादक आवृत्ति पर दोलन करते है, विद्युत ऊर्जा को संग्रहीत कर सकता है। एनिमेशन देखें। एक संधारित्र अपनी प्लेटों के मध्य विद्युत क्षेत्र ($E$) में  वोल्टेज के आधार पर ऊर्जा को संग्रहीत करता है,पर निर्भर करता है, और एक प्रेरक अपने चुंबकीय क्षेत्र ($B$) में ऊर्जा संग्रहीत करता है, जो इसके माध्यम से विद्युत प्रवाह पर निर्भर करता है।

यदि प्रेरक एक आवेशित संधारित्र से जुड़ा हुआ है, तो संधारित्र के सामने वोल्टेज प्रेरक के माध्यम से एक धारा चलाएगा, इसके चारों तरफ़ एक चुंबकीय क्षेत्र का निर्माण करेगा। संधारित्र के सामने वोल्टेज शून्य हो जाता है क्योंकि विद्युत प्रवाह द्वारा आवेश का उपयोग किया जाता है। इस स्थिति में, कॉइल के चुंबकीय क्षेत्र में संग्रहीत ऊर्जा कॉइल में एक वोल्टेज को प्रेरित करता है, क्योंकि प्रेरक धारा में बदलाव का प्रतिरोध करते हैं। यह प्रेरित वोल्टेज एक धारा को संधारित्र उसके मूल आवेश के विपरीत ध्रुवता के वोल्टेज के साथ पुनर्भरण करना प्रारंभ कर देता है। फैराडे के नियम के कारण, ईएमएफ जो विद्युत धारा परिचालन करता है यह चुंबकीय क्षेत्र में कमी के कारण होता है, इस प्रकार संधारित्र को आवेश करने के लिए अपेक्षित ऊर्जा चुंबकीय क्षेत्र से निकाली जाती है। जब चुंबकीय क्षेत्र पूरी तरह से क्षयित हो जाता है तो धारा बंद हो जाती है और आवेश फिर से संधारित्र में संचित हो जाता है, विपरीत ध्रुवता के साथ पहले की तरह। फिर चक्र फिर से प्रारंभ हो जाएगा, जिसमें प्रेरक के माध्यम से विपरीत दिशा में धारा प्रवाहित होगी।

प्रेरक के माध्यम से, संधारित्र की प्लेटों के मध्य आवेश आगे और पीछे प्रवाहित होता है। ऊर्जा संधारित्र और प्रेरक के मध्य आगे और पीछे तब तक दोलन करती है जब तक (यदि बाह्य परिपथ से पुनःपूर्ति नहीं की जाती है) आंतरिक प्रतिरोध दोलनों को विलुप्त कर देता है। समस्वरित परिपथ की क्रिया, जिसे गणितीय रूप से एक प्रसंवादी दोलक के रूप में जाना जाता है, एक लोलक के समान है जो आगे और पीछे झूलता है, या एक टैंक में आगे और पीछे पानी का आच्छलन; इस कारण परिपथ को टैंक परिपथ भी कहा जाता है। प्राकृतिक आवृत्ति  (अर्थात, वह आवृत्ति जिस पर यह किसी अन्य प्रणाली से पृथक होने पर दोलन करेगी, जैसा कि ऊपर वर्णित है) धारिता और प्रेरकत्व मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है। अधिकांश अनुप्रयोगों में समस्वरित परिपथ एक बड़े परिपथ का भाग होता है जो उस पर प्रत्यावर्ती धारा लागू करता है, संतत दोलन परिचालन करता है। यदि लागू धारा की आवृत्ति परिपथ की प्राकृतिक अनुनाद आवृत्ति (प्राकृतिक आवृत्ति $$f_0\,$$नीचे) है, अनुनाद घटित होगा, और एक छोटा परिचालक धारा बड़े आयाम को दोलन करने वाले वोल्टेज और धाराओं को उत्तेजित कर सकता है। इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों में विशिष्ट समस्वरित परिपथ में दोलन बहुत तीव्र होते हैं, हजारों से लेकर अरबों प्रति सेकंड तक।

अनुनादी प्रभाव
अनुनाद तब होता है जब एक एलसी परिपथ एक बाहरी स्रोत से कोणीय आवृत्ति $ω_{0}$ पर संचालित होता है जिस पर आगमन और धारिता प्रतिघात परिमाण में समान हैं। जिस आवृत्ति पर यह समानता विशिष्ट सर्किट के लिए होती है, उसे अनुनादी आवृत्ति कहा जाता है। एलसी परिपथ की अनुनादी आवृत्ति है


 * $$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},$$

जहाँ $E$ हेनरीज़ में प्रेरकत्व है, और $B$ फैराड्स में धारिता है। कोणीय आवृत्ति $ω_{0}$ में प्रति सेकंड रेडियन की इकाइयाँ होती हैं।

हर्ट्ज़ की इकाइयों में समतुल्य आवृत्ति है


 * $$f_0 = \frac{\omega_0}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}.$$

अनुप्रयोगों
एलसी परिपथ के अनुनाद प्रभाव में संकेत संसाधन और संचार प्रणालियों में कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।
 * टैंक परिपथ का सबसे सामान्य अनुप्रयोग समस्वरण रेडियो प्रेषित्र और अभिग्राही है। उदाहरण के लिए, किसी विशेष स्टेशन पर रेडियो समस्वरण करते समय, एलसी परिपथ उस विशेष वाहक आवृत्ति के लिए अनुनाद पर समुच्चय होते हैं।
 * एक श्रृंखला अनुनादक परिपथ वोल्टेज आवर्धन प्रदान करता है।
 * एक समानांतर अनुनादक परिपथ धारा आवर्धन प्रदान करता है।
 * एक समानांतर अनुनाद परिपथ का उपयोग आरएफ प्रवर्धक के निर्गम परिपथ में भार प्रतिबाधा के रूप में किया जा सकता है। उच्च प्रतिबाधा के कारण, अनुनादक आवृत्ति पर प्रवर्धक का लाभ अधिकतम होता है।
 * प्रेरण तापन में समानांतर और श्रृंखला दोनों अनुनाद परिपथ का उपयोग किया जाता है।

एलसी परिपथ इलेक्ट्रॉनिक अनुनादक के रूप में व्यवहार करते हैं, जो कई अनुप्रयोगों में एक महत्वपूर्ण घटक हैं:
 * प्रवर्धक
 * दोलन
 * निस्पंदन
 * समस्वरक
 * मिश्रक
 * पोषक-सीले विविक्तकर
 * संपर्क रहित कार्ड
 * आलेखिकी सारणिका
 * इलेक्ट्रॉनिक अनुच्छेद निगरानी (सुरक्षा लेबल)

किरचॉफ के नियम
किरचॉफ के वोल्टेज नियम द्वारा, संधारित्र में वोल्टेज $L$ और प्रेरक में वोल्टेज $C$ शून्य के समान होना चाहिए:


 * $$V_C + V_L = 0.$$

इसी तरह, किरचॉफ के धारा नियम के अनुसार, संधारित्र के माध्यम से धारा प्रेरक के माध्यम से धारा के समान होती है:


 * $$I_C = I_L.$$

परिपथ के अवयवों संघटनिक संबंधों से, हम यह भी जानते हैं कि


 * $$\begin{align}

V_L(t) &= L \frac{\mathrm{d}I_L}{\mathrm{d}t}, \\ I_C(t) &= C \frac{\mathrm{d}V_C}{\mathrm{d}t}. \end{align}$$

अवकल समीकरण
पुनर्व्यवस्थित और प्रतिस्थापन दूसरे क्रम के अंतर समीकरण देता है


 * $$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}I(t) + \frac{1}{LC} I(t) = 0.$$

प्राचल (पैरामीटर) $ω_{0}$, अनुनादक कोणीय आवृत्ति, के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\omega_0 = \frac{1}\sqrt{LC}.$$

इसका उपयोग करके अंतर समीकरण को सरल बनाया जा सकता है:


 * $$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}I(t) + \omega_0^2 I(t) = 0.$$

संबंधित लाप्लास रूपांतरण है


 * $$s^2 + \omega_0^2 = 0,$$

इस प्रकार


 * $$s = \pm j \omega_0,$$

कहाँ $V_{C}$ काल्पनिक इकाई है।

समाधान
इस प्रकार, अवकल समीकरण का पूर्ण हल है


 * $$I(t) = Ae^{+j \omega_0 t} + Be^{-j \omega_0 t}$$

और प्रारंभिक स्थितियों पर विचार करके $V_{L}$ तथा $j$ के लिए हल किया जा सकता है। क्योंकि चरघातांकी जटिल हैं, समाधान एक ज्यावक्रीय प्रत्यावर्ती धारा का प्रतिनिधित्व करता है। क्योंकि विद्युत धारा $A$ एक भौतिक मात्रा है, इसका वास्तविक-मूल्यवान होना चाहिए।।परिणाम, यह दिखाया जा सकता है कि स्थिरांक $B$ तथा $I$ सम्मिश्र संयुग्म होना चाहिए:


 * $$A = B^*.$$

अब अनुमान


 * $$A = \frac{I_0}{2} e^{+j \phi}.$$

इसलिए,


 * $$B = \frac{I_0}{2} e^{-j \phi}.$$

दूसरा, हम यूलर के सूत्र का उपयोग आयाम $I_{0}$, कोणीय आवृत्ति $ω_{0} = 1⁄√LC$, और कला कोण $$\phi$$ के साथ एक वास्तविक ज्यावक्रीय प्राप्त करने के लिए कर सकते हैं।

इस प्रकार, परिणामी समाधान बन जाता है


 * $$I(t) = I_0 \cos\left(\omega_0 t + \phi \right),$$
 * $$V(t) = L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = -\omega_0 L I_0 \sin\left(\omega_0 t + \phi \right).$$

प्रारंभिक प्रतिबंध
इस परिणाम को संतुष्ट करने वाली प्रारंभिक परिस्थिति हैं:


 * $$I(0) = I_0 \cos \phi,$$
 * $$V(0) = L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\Bigg|_{t=0} = -\omega_0 L I_0 \sin \phi.$$

श्रृंखला परिपथ
एलसी परिपथ की श्रृंखला विन्यास में, प्रेरक (एल) और संधारित्र (सी) श्रृंखला में जुड़े हुए हैं, जैसा कि यहां दिखाया गया है। कुल वोल्टेज $A$ खुले टर्मिनलों के पार प्रेरक के पार वोल्टेज और संधारित्र के पार वोल्टेज का योग है। द करेंट $B$ परिपथ के सकारात्मक टर्मिनल में संधारित्र और प्रेरक दोनों के माध्यम से वर्तमान के समान है।


 * $$\begin{align}

V &= V_L + V_C, \\ I &= I_L = I_C. \end{align}$$

अनुनाद
आगमनात्मक प्रतिक्रिया परिमाण $V$ आवृत्ति बढ़ने पर बढ़ता है, जबकि प्रतिक्रिया (इलेक्ट्रॉनिक्स)#धारिता प्रतिघा परिमाण $I$ आवृत्ति में वृद्धि के साथ घट जाती है। एक विशेष आवृत्ति पर, ये दो प्रतिक्रियाएँ परिमाण में समान होती हैं लेकिन संकेत में विपरीत होती हैं; उस आवृत्ति को अनुनादक आवृत्ति कहा जाता है $f_{0}$ दिए गए परिपथ के लिए।

इसलिए, प्रतिध्वनि पर,


 * $$\begin{align}

X_L &= X_C, \\ \omega L &= \frac{1}{\omega C}. \end{align}$$ के लिए हल करना $X_{L}$, अपने पास


 * $$\omega = \omega_0 = \frac{1}\sqrt{LC},$$

जिसे परिपथ की अनुनादक कोणीय आवृत्ति के रूप में परिभाषित किया गया है। कोणीय आवृत्ति (प्रति सेकंड रेडियन में) को आवृत्ति (हर्ट्ज में) में बदलना, एक है


 * $$f_0 = \frac{\omega_0}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}.$$

एक श्रृंखला विन्यास में, $X_{C}$ तथा $ω$ एक दूसरे को रद्द करो। वास्तव में, आदर्शीकृत घटकों के बजाय, धारा का प्रतिरोध किया जाता है, ज्यादातर कॉइल वाइंडिंग के प्रतिरोध से। इस प्रकार, एक श्रृंखला अनुनादक परिपथ को आपूर्ति की जाने वाली धारा अनुनाद पर अधिकतम होती है।
 * सीमा के रूप में $f → f_{0}$ वर्तमान अधिकतम है। परिपथ प्रतिबाधा न्यूनतम है। इस अवस्था में, एक परिपथ को एक स्वीकर्ता परिपथ कहा जाता है
 * के लिये $f < f_{0}$, $X_{L} ≪ −X_{C}$. इसलिए, परिपथ कैपेसिटिव है।
 * के लिये $f > f_{0}$, $X_{L} ≫ −X_{C}$. इसलिए, परिपथ आगमनात्मक है।

प्रतिबाधा
श्रृंखला विन्यास में, अनुनाद तब होता है जब परिपथ का सम्मिश्र विद्युत प्रतिबाधा  शून्य के करीब पहुंच जाता है।

पहले श्रृंखला एलसी परिपथ के विद्युत प्रतिबाधा पर विचार करें। कुल प्रतिबाधा आगमनात्मक और कैपेसिटिव प्रतिबाधाओं के योग द्वारा दी गई है:


 * $$ Z = Z_L + Z_C \;.$$

आगमनात्मक प्रतिबाधा को इस प्रकार लिखना $Z_{L} = jωL$ और कैपेसिटिव प्रतिबाधा के रूप में $Z_{C} = 1⁄jωC$ और प्रतिस्थापन देता है


 * $$ Z(\omega) = j \omega L + \frac{1}{j\omega C} \;.$$

इस व्यंजक को एक समान भाजक के अंतर्गत लिखने पर प्राप्त होता है


 * $$ Z(\omega) = j \left( \frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C} \right) \;.$$

अंत में, प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति को परिभाषित करते हुए


 * $$ \omega_0 = \frac{1}\sqrt{ L C \,} \,,$$

प्रतिबाधा बन जाती है


 * $$ Z(\omega) = j\ L\ \left( \frac{\omega^2 - \omega_0^2}{\omega} \right) = j\ \omega_0 L\ \left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right) \,,$$

कहाँ पे $$\, \omega_0 L\ \,$$ अनुनाद पर प्रेरक की प्रतिक्रिया देता है।

अंश का तात्पर्य है कि सीमा के रूप में $ω → ±ω_{0}$, कुल प्रतिबाधा $X_{C}$ शून्य होगा और अन्यथा शून्य नहीं होगा। इसलिए श्रृंखला एलसी परिपथ, जब लोड के साथ श्रृंखला में जुड़ा होता है, एलसी परिपथ की अनुनाद आवृत्ति पर शून्य प्रतिबाधा वाले बंदपास छननी  के रूप में कार्य करेगा।

समानांतर परिपथ
जब प्रेरक (एल) और संधारित्र (सी) समानांतर में जुड़े होते हैं जैसा कि यहां दिखाया गया है, वोल्टेज $X_{L}$ खुले टर्मिनलों के आर-पार प्रेरक पर वोल्टेज और संधारित्र के आर-पार वोल्टेज दोनों के समान होता है। कुल धारा $Z$ परिपथ के सकारात्मक टर्मिनल में प्रवाहित होना प्रेरक के माध्यम से बहने वाली धारा और संधारित्र के माध्यम से बहने वाली धारा के योग के समान है:


 * $$\begin{align}

V &= V_L = V_C, \\ I &= I_L + I_C. \end{align}$$

अनुनाद
कब $V$ समानी $I$, दो शाखा धाराएं समान और विपरीत हैं। वे मुख्य लाइन में न्यूनतम धारा देने के लिए एक दूसरे को रद्द करते हैं (सिद्धांत रूप में, शून्य धारा)। हालाँकि, संधारित्र और प्रेरक के मध्य एक बड़ा प्रवाह होता है। सिद्धांत रूप में, यह परिसंचारी धारा अनंत है, लेकिन वास्तव में परिपथ में प्रतिरोध द्वारा सीमित है, विशेष रूप से प्रेरक वाइंडिंग में प्रतिरोध। चूँकि कुल धारा न्यूनतम होती है, इस अवस्था में कुल प्रतिबाधा अधिकतम होती है।

अनुनादक आवृत्ति द्वारा दिया जाता है
 * $$f_0 = \frac{\omega_0}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}.$$

ध्यान दें कि अनुनाद पर कोई भी शाखा धारा न्यूनतम नहीं होती है, लेकिन प्रत्येक को स्रोत वोल्टेज को विभाजित करके अलग से दिया जाता है ($X_{L}$) प्रतिक्रिया द्वारा ($X_{C}$) अत $I = V⁄Z$, ओम के नियम के अनुसार।


 * पर $f_{0}$, लाइन धारा न्यूनतम है। कुल प्रतिबाधा अधिकतम है। इस अवस्था में एक परिपथ को रिजेक्टर परिपथ कहा जाता है।
 * नीचे $f_{0}$, परिपथ आगमनात्मक है।
 * के ऊपर $f_{0}$, परिपथ कैपेसिटिव है।

प्रतिबाधा
समानांतर एलसी परिपथ पर एक ही विश्लेषण लागू किया जा सकता है। तब कुल प्रतिबाधा द्वारा दी जाती है


 * $$Z = \frac{Z_L Z_C}{Z_L + Z_C},$$

और के प्रतिस्थापन के बाद $Z_{L} = jωL$ तथा $Z_{C} = 1⁄jωC$ और सरलीकरण, देता है


 * $$Z(\omega) = -j \cdot \frac{\omega L}{\omega^2 LC - 1}.$$

का उपयोग करते हुए


 * $$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},$$

यह आगे सरल करता है


 * $$Z(\omega) = -j \left(\frac{1}{C} \right) \left( \frac{\omega}{\omega^2 - \omega_0^2} \right).$$

ध्यान दें कि


 * $$\lim_{\omega \to \omega_0} Z(\omega) = \infty,$$

लेकिन के अन्य सभी मूल्यों के लिए $V$ प्रतिबाधा सीमित है।

इस प्रकार, लोड के साथ श्रृंखला में जुड़े समानांतर एलसी परिपथ एलसी परिपथ की अनुनाद आवृत्ति पर अनंत प्रतिबाधा वाले बैंड-स्टॉप फ़िल्टर  के रूप में कार्य करेगा, जबकि समानांतर एलसी परिपथ लोड के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ बैंड-पास फ़िल्टर के रूप में कार्य करेगा।

लाप्लास समाधान
लैपलेस ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके एलसी परिपथ को हल किया जा सकता है।

हम सामान्य तरीके से संधारित्र और प्रेरक में वर्तमान और वोल्टेज के मध्य संबंध को परिभाषित करके प्रारंभ करते हैं:


 * $$ v_\mathrm{C}(t) = v(t)\, ~$$ $$ i(t) = C\ \frac{\mathrm{d}\ v_\mathrm{C}}{\mathrm{d}t}\ , ~ $$ तथा $$ ~ v_\mathrm{L}(t) = L\ \frac{\mathrm{d}\ i}{\mathrm{d}t} \;.$$

फिर किरचॉफ के नियमों को लागू करके, हम सिस्टम के गवर्निंग डिफरेंशियल इक्वेशन पर पहुंच सकते हैं


 * $$ v_{in} (t) = v_\mathrm{L} (t) + v_\mathrm{C}(t) = L\ \frac{ \mathrm{d}\ i }{\mathrm{d}t} + v = L\ C\ \frac{\mathrm{d}^2\ v}{\mathrm{d}t^2} + v \;.$$

प्रारंभिक शर्तों के साथ $$\ v(0) = v_0\ $$ तथा $$\ i(0) = i_0 = C \cdot v'(0) = C \cdot v'_0 \;. $$ निम्नलिखित परिभाषाएँ बनाते हुए,
 * $$ \omega_0 \equiv \frac{1}{\ \sqrt{L\ C\ } } ~$$ तथा $$~ f(t) \equiv \omega_0^2\ v_\mathrm{in} (t) $$

देता है
 * $$ f(t) = \frac{\ \mathrm{d}^2\ v\ }{\mathrm{d}t^2} + \omega_0^2\ v \;.$$

अब हम लाप्लास परिवर्तन लागू करते हैं।
 * $$ \operatorname\mathcal{L} \left[\ f(t)\ \right] = \operatorname\mathcal{L} \left[\ \frac{\ \mathrm{d}^2\ v\ }{ \mathrm{d}t^2 } + \omega_0^2\ v\ \right] \,,$$
 * $$ F(s) = s^2\ V(s) - s\ v_0 - v'_0 + \omega_0^2\ V(s) \;.$$

लाप्लास परिवर्तन ने हमारे अंतर समीकरण को बीजीय समीकरण में बदल दिया है। के लिए हल करना $Z$ में $ω$ डोमेन (फ़्रीक्वेंसी डोमेन) बहुत सरल है अर्थात।
 * $$ V(s) = \frac{\ s\ v_0 + v'_0 + F(s)\ }{ s^2 + \omega_0^2 } \,,$$

जिसे व्युत्गण लाप्लास परिवर्तन के माध्यम से समय डोमेन में वापस बदला जा सकता है:
 * $$ v(t) = v_0\cos(\omega_0\ t)+ \frac{ v'_0 }{\ \omega_0\ }\ \sin(\omega_0\ t) + \operatorname\mathcal{L}^{-1} \left[\ \frac{ F(s) }{\ s^2 + \omega_0^2\ }\ \right] $$

अंतिम शब्द इनपुट वोल्टेज के सटीक रूप पर निर्भर है। हेविसाइड स्टेप फंक्शन और साइन वेव दो सामान्य मामले हैं। एक भारी कदम समारोह  के लिए हमें मिलता है
 * $$ v_\mathrm{in}(t) = M\ u(t) \,,$$
 * $$ \operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\ \omega_0^2 \frac{ V_\mathrm{in}(s) }{\ s^2 + \omega_0^2\ }\ \right] ~=~ \operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\ \omega_0^2\ M\ \frac{1}{\ s\ (s^2 + \omega_0^2)\ }\ \right] ~=~ M\ \Bigl( 1 - \cos(\omega_0\ t) \Bigr) \,,$$
 * $$ v(t) = v_0 \ \cos(\omega_0\ t)+ \frac{ v'_0 }{ \omega_0 }\ \sin(\omega_0\ t) + M\ \Bigl(1-\cos(\omega_0\ t)\Bigr) \;.$$

इनपुट के रूप में ज्यावक्रीय प्रकार्य के मामले में हमें मिलता है:
 * $$ v_\mathrm{in}(t) = U\ \sin(\omega_\mathrm{f}\ t) \Rightarrow V_\mathrm{in}(s)= \frac{\ U\ \omega_\mathrm{f}\ }{\ s^2 + \omega_\mathrm{f}^2 \ } \,,$$
 * $$ \operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\ \omega_0^2\ \frac{1}{\ s^2 + \omega_0^2\ }\ \frac{ U\ \omega_\mathrm{f} }{\ s^2+\omega_\mathrm{f}^2\ }\ \right] = \operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\ \frac{\ \omega_0^2\ U\omega_\mathrm{f}\ }{\ \omega_\mathrm{f}^2-\omega_0^2\ }\left(\frac{1}{s^2 + \omega_0^2} - \frac{1}{\ s^2+\omega_f^2\ }\right)\ \right] \,$$
 * $$ \qquad\qquad = \frac{\ \omega_0^2\ U\ \omega_\mathrm{f}\ }{ \omega_\mathrm{f}^2 - \omega_0^2 }\ \left( \frac{1}{\omega_0}\ \sin(\omega_0\ t) - \frac{1}{\ \omega_\mathrm{f}\ }\ \sin(\omega_\mathrm{f}\ t)\right) \;,$$ इसलिए
 * $$ v(t) = v_0 \cos(\omega_0\ t)+ \frac{ v'_0\ b}{\ b\ \omega_0\ }\ \sin(\omega_0\ t) + \frac{ \omega_0^2\ U\ \omega_\mathrm{f} }{\ \omega_\mathrm{f}^2 - \omega_0^2\ }\left(\frac{1}{\omega_0}\ \sin(\omega_0\ t) - \frac{1}{\ \omega_\mathrm{f}\ }\ \sin(\omega_\mathrm{f}\ t) \right) \;.$$

इतिहास
पहला सबूत है कि एक संधारित्र और प्रेरक विद्युत दोलन पैदा कर सकता है, 1826 में फ्रांसीसी वैज्ञानिक फेलिक्स सेवरी  द्वारा खोजा गया था। उन्होंने पाया कि जब एक लोहे की सुई के चारों ओर एक तार घाव के माध्यम से एक  लेडेन जार  को छुट्टी दे दी गई थी, तो कभी सुई एक दिशा में और कभी विपरीत दिशा में चुंबकित हो गई थी। उन्होंने सही ढंग से यह अनुमान लगाया कि यह तार में एक नम दोलन निर्वहन धारा के कारण होता है, जो सुई के चुंबकीयकरण को आगे और पीछे तब तक उलट देता है जब तक कि यह प्रभाव के लिए बहुत छोटा न हो, सुई को एक यादृच्छिक दिशा में चुम्बकित छोड़ देता है। अमेरिकी भौतिक विज्ञानी  जोसेफ हेनरी  ने 1842 में सावरी के प्रयोग को दोहराया और उसी निष्कर्ष पर पहुंचे, जाहिर तौर पर स्वतंत्र रूप से। आयरिश वैज्ञानिक विलियम थॉमसन, 1853 में प्रथम बैरन केल्विन (लॉर्ड केल्विन) ने गणितीय रूप से दिखाया कि एक अधिष्ठापन के माध्यम से एक लेडेन जार का निर्वहन दोलनशील होना चाहिए, और इसकी अनुनादक आवृत्ति व्युत्पन्न होनी चाहिए।  ब्रिटिश रेडियो शोधकर्ता  ओलिवर लॉज  ने एक लंबे तार के माध्यम से लेडेन जार की एक बड़ी बैटरी को डिस्आवेश करके, ऑडियो रेंज में इसकी अनुनादक आवृत्ति के साथ एक समस्वरित परिपथ बनाया, जो स्पार्क से एक संगीतमय स्वर उत्पन्न करता था जब इसे डिस्आवेश किया जाता था। 1857 में, जर्मन भौतिक विज्ञानी  बेरेन्ड विल्हेम फेडरसन  ने एक घूर्णन दर्पण में एक अनुनाद लेडेन जार परिपथ द्वारा उत्पादित चिंगारी की तस्वीर खींची, जो दोलनों के दृश्य प्रमाण प्रदान करती है।   1868 में, स्कॉटिश भौतिक विज्ञानी  जेम्स क्लर्क मैक्सवेल  ने एक परिपथ में एक प्रत्यावर्ती धारा को अधिष्ठापन और समाई के साथ लागू करने के प्रभाव की गणना की, यह दर्शाता है कि अनुनादक आवृत्ति पर प्रतिक्रिया अधिकतम है। विद्युत अनुनाद वक्र का पहला उदाहरण 1887 में जर्मन भौतिक विज्ञानी  हेनरिक हर्ट्ज़  द्वारा रेडियो तरंगों की खोज पर अपने अग्रणी पेपर में प्रकाशित किया गया था, जिसमें आवृत्ति के एक कार्य के रूप में उनके स्पार्क-गैप एलसी रेज़ोनेटर डिटेक्टरों से प्राप्त होने वाली चिंगारी की लंबाई को दिखाया गया था।

समस्वरित परिपथ के मध्य अनुनाद के पहले प्रदर्शनों में से एक लॉज का सिनटोनिक जार प्रयोग 1889 के आसपास था। उन्होंने एक दूसरे के बगल में दो अनुनादक परिपथ लगाए, जिनमें से प्रत्येक में एक लेडेन जार होता है जो एक स्पार्क गैप के साथ एक समायोज्य एक-टर्न कॉइल से जुड़ा होता है। जब एक इंडक्शन कॉइल से एक उच्च वोल्टेज को एक ट्यून किए गए परिपथ पर लागू किया गया था, जिससे स्पार्क्स और इस तरह दोलन धाराएं पैदा हुईं, स्पार्क्स दूसरे समस्वरित परिपथ में तभी उत्तेजित हुए जब परिपथ को रेजोनेंस में समायोजित किया गया था। लॉज और कुछ अंग्रेजी वैज्ञानिकों ने इस आशय के लिए पर्यायवाची शब्द को प्राथमिकता दी, लेकिन अनुनाद शब्द अंततः अटक गया। एलसी परिपथ के लिए पहला प्रायोगिक उपयोग 1890 के दशक में  स्पार्क-गैप ट्रांसमीटर  | स्पार्क-गैप रेडियो ट्रांसमीटर में रिसीवर और ट्रांसमीटर को एक ही आवृत्ति पर ट्यून करने की अनुमति देने के लिए किया गया था। 1897 में लॉज द्वारा समस्वरण की अनुमति देने वाले रेडियो सिस्टम के लिए पहला पेटेंट दायर किया गया था, हालांकि पहली प्रायोगिक प्रणाली का आविष्कार 1900 में इतालवी रेडियो अग्रणी  गुग्लिल्मो मार्कोनी  द्वारा किया गया था।

यह भी देखें

 * आरएल परिपथ
 * आरसी परिपथ
 * आरएलसी परिपथ

बाहरी संबंध

 * An electric pendulum by Tony Kuphaldt is a classical story about the operation of LC tank
 * How the parallel-LC circuit stores energy is another excellent LC resource.