परमाणु (माप सिद्धांत)

गणित में, अधिक यथार्थ रूप से माप सिद्धांत में, एक परमाणु एक मापनीय समुच्चय होता है जिसका धनात्मक माप होता है और इसमें छोटे धनात्मक माप का कोई समुच्चय नहीं होता है। माप जिसमें कोई परमाणु नहीं होता है, उसे गैर-परमाणु या परमाणु रहित कहा जाता है।

परिभाषा
एक मापनीय समष्टि $$(X, \Sigma)$$ और उस समष्टि पर माप (गणित) $$\mu$$ को देखते हुए, $$\Sigma$$ में समुच्चय $$A\subset X$$ को एक परमाणु कहा जाता है यदि $$\mu(A) > 0$$ और किसी भी मापनीय उपसमुच्चय $$B \subset A$$ के लिए $$\mu(B) < \mu(A)$$ के साथ समुच्चय $$B$$ का माप शून्य है।

यदि $$A$$ एक परमाणु है, तो $$A$$ के $$\mu$$- तुल्यता वर्ग $$[A]$$ के सभी उपसमुच्चय परमाणु हैं, और $$[A]$$ को परमाणु वर्ग कहा जाता है। यदि $$\mu$$ एक $$\sigma$$- परिमित माप है, तो असंख्य परमाणु वर्ग हैं।

उदाहरण

 * समुच्चय X = {1, 2, ..., 9, 10} पर विचार करें और सिग्मा-बीजगणित $$\Sigma$$ को X का घात समुच्चय मान लें। समुच्चय की माप $$\mu$$ को उसके गणनांक, अर्थात समुच्चय में अवयवों की संख्या के रूप में परिभाषित करें। फिर, प्रत्येक एकल (गणित) {i}, i = 1, 2, ..., 9, 10 के लिए एक परमाणु है।
 * वास्तविक रेखा पर लेबेस्ग माप पर विचार करें। इस माप में कोई परमाणु नहीं है।

परमाणु के माप
मापनीय समष्टि $$(X, \Sigma)$$ पर $$\sigma$$- परिमित माप $$ \mu $$ को परमाणु या विशुद्ध रूप से परमाणु कहा जाता है यदि धनात्मक माप के प्रत्येक मापनीय समुच्चय में एक परमाणु होता है। यह कहने के समतुल्य है कि शून्य समुच्चय तक परमाणुओं द्वारा गठित $$X$$ का गणनीय समुच्चय का विभाजन है। $$\sigma$$-परिमितता की धारणा आवश्यक है। अन्यथा समष्टि $$(\mathbb{R},\mathcal{P}(\Reals),\nu)$$ पर विचार करें जहां $$\nu$$ गणना माप को दर्शाता है। यह समष्टि परमाणु है, जिसमें सभी परमाणु एकल (गणित) हैं, फिर भी समष्टि को कई अलग-अलग परमाणुओं, $\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ और एक शून्य समुच्चय $$N$$ असंयुक्त संयोजनों में विभाजित करने में सक्षम नहीं है, चूँकि एकल का गणनीय संयोजन एक गणनीय समुच्चय है, और वास्तविक संख्याओं की अगणनीयता से पता चलता है कि पूरक $N = \mathbb{R} \setminus \bigcup_{n=1}^\infty A_n$  अगणनीय होना होगा, इसलिए इसका $$\nu$$-माप अनंत होगा, इसके विपरीत यह एक शून्य समुच्चय है। $$\sigma$$-परिमित समष्टि के परिणाम की वैधता परिमित माप रिक्त समष्टि के प्रमाण से अनुसरण करती है, यह देखते हुए कि गणनीय संयोजनों का गणनीय संयोजन फिर से गणनीय संयोजन है, और यह कि शून्य समुच्चयों के गणनीय संयोजन शून्य हैं।

असतत माप
$$\sigma$$- परिमित परमाणु माप $$ \mu $$ को असतत कहा जाता है यदि किसी परमाणु वर्ग के परमाणुओं का प्रतिच्छेदन रिक्त नहीं है। यह कहने के समतुल्य है कि $$ \mu $$ गणनात्मक रूप से कई डिरैक मापों का भारित योग है, अर्थात $$ X $$ में अंकों का अनुक्रम $$ x_1,x_2,... $$ है, और धनात्मक वास्तविक संख्याओं (भार) का अनुक्रम $$ c_1,c_2,... $$ ऐसा है कि $ \mu=\sum_{k=1}^\infty c_k\delta_{x_k} $, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक $$ A\in\Sigma $$ के लिए $ \mu(A) = \sum_{k=1}^\infty c_k\delta_{x_k}(A) $ । हम $$ k $$-वें परमाणु वर्ग में प्रत्येक बिंदु $$ x_k $$ को परमाणुओं का सामान्य बिंदु चुन सकते हैं।

एक असतत माप परमाणु है परन्तु व्युत्क्रम निहितार्थ विफल रहता है: $$X=[0,1]$$, $$\Sigma$$ को गणनीय और सह-गणनीय उपसमुच्चय का $$\sigma$$-बीजगणित, गणनीय उपसमुच्चय में $$ \mu=0 $$ और सह-गणनीय उपसमुच्चय में $$ \mu=1 $$ लें। फिर एकल परमाणु वर्ग होता है, जो सह-गणनीय उपसमुच्चय द्वारा गठित होता है। माप $$ \mu$$ परमाणु है परन्तु अद्वितीय परमाणु वर्ग में परमाणुओं का प्रतिच्छेदन रिक्त है और $$ \mu $$ को डिरैक मापों के योग के रूप में नहीं रखा जा सकता है।

यदि प्रत्येक परमाणु एकल $$ \mu $$ के समतुल्य है, असतत है यदि यह परमाणु है। इस स्थिति में उपरोक्त $$ x_k $$ परमाणु एकल हैं, इसलिए वे अद्वितीय हैं। बोरेल समुच्चय के साथ प्रदान किए गए वियोज्य मापीय समष्टि में कोई परिमित माप इस प्रतिबन्ध को पूरा करता है।

गैर-परमाणु माप
एक माप जिसमें कोई परमाणु नहीं होता है, उसे गैर-परमाणु माप या विसरित माप कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, एक माप $$ \mu $$ गैर-परमाणु है यदि किसी मापनीय समुच्चय $$A$$ के लिए $$\mu(A) > 0$$ के साथ $$A$$ का मापनीय उपसमुच्चय $$B$$ स्थित है जैसे कि $$\mu(A) > \mu (B) > 0.$$ कम से कम धनात्मक मान के साथ एक गैर-परमाणु माप में समुच्चय के साथ प्रारम्भ होने वाले अलग-अलग मानों की अनंत संख्या होती है $$A$$ साथ $$\mu(A) > 0$$ मापनीय समुच्चयों के घटते क्रम का निर्माण किया जा सकता है $$A = A_1\supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots$$ ऐसा है कि $$\mu(A) = \mu(A_1) > \mu(A_2) > \mu(A_3) > \cdots > 0.$$ यह उन मापों के लिए उचित नहीं हो सकते जिनमें परमाणु हों; ऊपर पहला उदाहरण देखें।

यह पता चला है कि गैर-परमाणु मापों में वस्तुतः मानों का सातत्य (सिद्धांत) होता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि $$\mu$$ एक गैर-परमाणु माप है और $$A$$ $$\mu(A) > 0$$ के साथ मापनीय समुच्चय है, तो किसी भी वास्तविक संख्या $$b$$ के लिए $$\mu(A) \geq b \geq 0$$ को संतुष्ट करने के लिए $$A$$ का मापनीय उपसमुच्चय $$B$$ स्थित होता है जैसे कि $$\mu(B) = b.$$ यह सिद्धांत वैक्लाव सीरपिन्स्की के कारण है। यह संतत फलनों के लिए मध्यवर्ती मान प्रमेय की याद दिलाते है।

गैर-परमाणु मापों पर सिएरपिन्स्की के प्रमेय के प्रमाण का रेखाचित्र। साधारणत: दृढ कथन, जो यद्यपि प्रमाण को सरल बनाता है, यह है कि यदि $$(X, \Sigma, \mu)$$ एक गैर-परमाणु माप समष्टि है और $$\mu(X) = c$$ वहां एक फलन $$S : [0, c] \to \Sigma$$ स्थित है जो समावेशन के संबंध में एकदिष्ट है, और इसका $$\mu : \Sigma \to [0, c]$$ के दाएं-विपरीत है। अर्थात्, मापनीय समुच्चय $$S(t)$$ का एक-पैरामीटर वर्ग स्थित है जैसे कि सभी $$0 \leq t \leq t' \leq c$$ $$S(t) \subseteq S(t'),$$$$\mu\left (S(t)\right)=t$$ के लिए। प्रमाण सरलता से ज़ोर्न के लेम्मा से अनुसरण करता है जो सभी एकदिष्ट आंशिक वर्गों के समुच्चय पर $$\mu$$ : $$\Gamma: = \{S : D \to \Sigma\; :\; D \subseteq [0, c],\, S\; \mathrm{ monotone }, \text{ for all } t \in D\; (\mu(S(t)) = t)\}$$ पर लागू होता है, जो रेखांकन, $$\mathrm{graph}(S) \subseteq \mathrm{graph}(S')$$ को सम्मिलित करके क्रमित होते है। यह दिखाने के लिए मानक है कि $$\Gamma$$ में प्रत्येक श्रृंखला में $$\Gamma$$ की ऊपरी सीमा है, और $$\Gamma$$ के किसी भी अधिकतम अवयव का प्रांत $$[0, c]$$ है, जो अनुरोध को सिद्ध करता है।

यह भी देखें

 * परमाणु (क्रम सिद्धांत) — क्रम सिद्धांत में एक समान अवधारणा
 * डिराक डेल्टा फलन
 * प्राथमिक घटना, जिसे परमाणु घटना के रूप में भी जाना जाता है

बाहरी संबंध

 * Atom at The Encyclopedia of Mathematics