बहुपद लंबा विभाजन

बीजगणित में, बहुपद लंबा विभाजन बहुपद के समान या निम्न डिग्री के बहुपद द्वारा बहुपद को विभाजित करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है, जो परिचित अंकगणितीय तकनीक का एक सामान्यीकृत संस्करण है जिसे दीर्घ विभाजन कहा जाता है। यह आसानी से हाथ से किया जा सकता है, क्योंकि यह अन्यथा जटिल विभाजन समस्या को छोटे में अलग करता है। कभी-कभी सिंथेटिक डिवीजन नामक आशुलिपि संस्करण का उपयोग करना कम लेखन और कम गणनाओं के साथ तेज़ होता है। एक अन्य संक्षिप्त विधि बहुपद लघु विभाजन (ब्लोमकविस्ट की विधि) है।

बहुपद लंबा विभाजन एक एल्गोरिथ्म है जो बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन को लागू करता है, जो दो बहुपदों 'ए' (लाभांश) और बी ('भाजक) से शुरू होता है, यदि ' 'बी' शून्य नहीं है, एक भागफल क्यू और एक शेष आर ऐसा है कि
 * ए = बीक्यू + आर,

और या तो 'आर' = 0 या 'आर' की डिग्री 'बी' की डिग्री से कम है। ये स्थितियाँ विशिष्ट रूप से Q और R को परिभाषित करती हैं, जिसका अर्थ है कि Q और R उनकी गणना करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि पर निर्भर नहीं करते हैं।

परिणाम 'आर' = 0 होता है अगर और केवल अगर बहुपद  ए  में  बी  एक बहुपद कारक के रूप में होता है। इस प्रकार दीर्घ विभाजन यह जाँचने का एक साधन है कि क्या एक बहुपद में दूसरा गुणनखंड है, और यदि ऐसा है, तो इसे गुणनखंड करने के लिए। उदाहरण के लिए, यदि A के बहुपद r की जड़ ज्ञात है, तो इसे A को (x – r) से भाग देकर गुणनखण्ड किया जा सकता है।

बहुपद दीर्घ विभाजन
के भाग का भागफल और शेषफल ज्ञात कीजिए $$x^3 - 2x^2 - 4,$$ लाभांश, द्वारा $$x-3,$$ भाजक।

लाभांश को पहले इस तरह फिर से लिखा जाता है:


 * $$x^3 - 2x^2 + 0x - 4.$$

तब भागफल और शेषफल निम्नानुसार निर्धारित किया जा सकता है:

  लाभांश के पहले पद को भाजक के उच्चतम पद से विभाजित करें (जिसका अर्थ है कि x की उच्चतम शक्ति वाला, जो इस मामले में x है)। परिणाम को बार के ऊपर रखें (x3 ÷ x = x2).

\begin{array}{l} {\color{White} x-3\ )\ x^3 - 2}x^2\\ x-3\ \overline{)\ x^3 - 2x^2 + 0x - 4} \end{array} $$   भाजक को अभी प्राप्त परिणाम से गुणा करें (अंतिम भागफल का पहला पद)। लाभांश के पहले दो पदों के तहत परिणाम लिखें ($x^{2} · (x − 3) = x^{3} − 3x^{2}$).

\begin{array}{l} {\color{White} x-3\ )\ x^3 - 2}x^2\\ x-3\ \overline{)\ x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\ {\color{White} x-3\ )\ } x^3 - 3x^2 \end{array} $$   मूल लाभांश की उपयुक्त शर्तों से अभी प्राप्त उत्पाद को घटाएं (सावधान रहें कि ऋण चिह्न वाली किसी चीज़ को घटाना धन चिह्न वाली चीज़ को जोड़ने के बराबर है), और परिणाम को नीचे लिखें ($(

x^{3} − 2x^{2}) − (x^{3} − 3x^{2}) = −2x^{2} + 3x^{2} = x^{2}$). फिर, अगले पद को भाज्य से नीचे लाएँ।



\begin{array}{l} {\color{White} x-3\ )\ x^3 - 2}x^2\\ x-3\ \overline{)\ x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\ {\color{White} x-3\ )\ } \underline{x^3 - 3x^2}\\ {\color{White} x-3\ )\ 0x^3} + {\color{White}}x^2 + 0x \end{array} $$   पिछले तीन चरणों को दोहराएं, इस समय को छोड़कर उन दो शब्दों का उपयोग करें जिन्हें लाभांश के रूप में अभी लिखा गया है।

\begin{array}{r} x^2 + {\color{White}1}x {\color{White} {} + 3}\\ x-3\ \overline{)\ x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\ \underline{x^3 - 3x^2 {\color{White} {} + 0x - 4}}\\ +x^2 + 0x {\color{White} {} - 4}\\ \underline{+x^2 - 3x {\color{White} {} - 4}}\\ +3x - 4\\ \end{array} $$   चरण 4 को दोहराएँ। इस बार, नीचे खींचने के लिए कुछ भी नहीं है।

\begin{array}{r} x^2 + {\color{White}1}x + 3\\ x-3\ \overline{)\ x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\ \underline{x^3 - 3x^2 {\color{White} {} + 0x - 4}}\\ +x^2 + 0x {\color{White} {} - 4}\\ \underline{+x^2 - 3x {\color{White} {} - 4}}\\ +3x - 4\\ \underline{+3x - 9}\\ +5 \end{array} $$  

बार के ऊपर का बहुपद भागफल q(x) है, और (5) के बाद बची हुई संख्या शेष r(x) है।


 * $${x^3 - 2x^2 - 4} = (x-3)\,\underbrace{(x^2 + x + 3)}_{q(x)} +\underbrace{5}_{r(x)}$$

अंकगणित के लिए दीर्घ विभाजन एल्गोरिथम उपरोक्त एल्गोरिथम के समान है, जिसमें चर x को (आधार 10 में) विशिष्ट संख्या 10 से बदल दिया जाता है।

बहुपद लघु विभाजन
ब्लोमक्विस्ट की विधि उपरोक्त दीर्घ विभाजन का संक्षिप्त रूप है। यह पेन-एंड-पेपर विधि समान एल्गोरिथ्म का उपयोग बहुपद लंबे विभाजन के रूप में करती है, लेकिन मानसिक गणना का उपयोग अवशेषों को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। इसके लिए कम लेखन की आवश्यकता होती है, और इसलिए एक बार महारत हासिल करने के बाद यह एक तेज़ तरीका हो सकता है।

विभाजन को पहले उसी तरह से लिखा जाता है जैसे शीर्ष पर भाजक और उसके नीचे विभाजक के साथ दीर्घ गुणन। भागफल को बार के नीचे बाएँ से दाएँ लिखा जाना है।


 * $$\begin{matrix} \qquad \qquad x^3-2x^2+{0x}-4 \\ \underline{ \div \quad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3 }\end{matrix}$$

भाजक के पहले पद को भाजक के उच्चतम पद से विभाजित करें (x3 ÷ x = x2). परिणाम को बार के नीचे रखें। एक्स3 को कोई शेष नहीं छोड़ते हुए विभाजित किया गया है, और इसलिए इसे बैकस्लैश के साथ उपयोग किए गए के रूप में चिह्नित किया जा सकता है। परिणाम एक्सफिर 2 को भाजक −3 = −3x के दूसरे पद से गुणा किया जाता है2। −2x को घटाकर आंशिक शेषफल ज्ञात करें 2 − (−3x2) = x2। मार्क -2x 2 उपयोग के रूप में और नया शेष x रखें2 इसके ऊपर।


 * $$\begin{matrix} \qquad x^2 \\ \qquad \quad \bcancel{x^3}+\bcancel{-2x^2}+{0x}-4 \\ \underline{ \div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3 }\\x^2 \qquad \qquad \end{matrix}

$$ शेष के उच्चतम पद को भाजक के उच्चतम पद से विभाजित करें (x2 ÷ x = x). परिणाम (+x) को बार के नीचे रखें। एक्स 2 को कोई शेष नहीं छोड़ते हुए विभाजित किया गया है, और इसलिए इसे उपयोग किए गए के रूप में चिह्नित किया जा सकता है। इसके बाद परिणाम x को भाजक −3 = −3x के दूसरे पद से गुणा किया जाता है। 0x - (−3x) = 3x घटाकर आंशिक शेषफल ज्ञात करें। 0x को प्रयुक्त के रूप में चिह्नित करें और इसके ऊपर नया शेष 3x रखें।


 * $$\begin{matrix} \qquad \qquad \quad\bcancel{x^2} \quad3x\\ \qquad \quad \bcancel{x^3}+\bcancel{-2x^2}+\bcancel{0x}-4 \\ \underline{ \div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3 }\\x^2 +x \qquad \end{matrix}

$$ शेषफल के उच्चतम पद को भाजक के उच्चतम पद (3x ÷ x = 3) से विभाजित करें। परिणाम (+3) को बार के नीचे रखें। 3x को कोई शेष नहीं छोड़ते हुए विभाजित किया गया है, और इसलिए इसे प्रयुक्त के रूप में चिह्नित किया जा सकता है। इसके बाद परिणाम 3 को भाजक −3 = −9 के दूसरे पद से गुणा किया जाता है। −4 − (−9) = 5 घटाकर आंशिक शेषफल निर्धारित करें। −4 को प्रयुक्त के रूप में चिह्नित करें और नए शेष 5 को इसके ऊपर रखें।


 * $$\begin{matrix} \quad \qquad \qquad \qquad\bcancel{x^2} \quad \bcancel{3x} \quad5\\

\qquad \quad \bcancel{x^3}+\bcancel{-2x^2}+\bcancel{0x}\bcancel{-4} \\ \underline{ \div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3 }\\ x^2 +x +3\qquad \end{matrix} $$ बार के नीचे बहुपद भागफल q(x) है, और शेष संख्या (5) शेषफल r(x) है।

स्यूडोकोड
एल्गोरिथ्म को स्यूडोकोड में निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है, जहां +, -, और × बहुपद अंकगणित का प्रतिनिधित्व करते हैं, और / दो शब्दों के सरल विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं:

समारोह एन / डी है डी ≠ 0 की आवश्यकता है क्यू ← 0 आर ← एन // प्रत्येक चरण पर एन = डी × क्यू + आर जबकि आर ≠ 0 और डिग्री (आर) ≥ डिग्री (डी) करते हैं टी ← लीड (आर) / लीड (डी) // प्रमुख शर्तों को विभाजित करें क्यू ← क्यू + टी आर ← आर - टी × डी वापसी (क्यू, आर)

ध्यान दें कि यह समान रूप से अच्छी तरह से काम करता है जब Degree(n) < Degree(d); उस स्थिति में परिणाम केवल तुच्छ (0, n) होता है।

यह एल्गोरिथम उपरोक्त कागज और पेंसिल विधि का बिल्कुल वर्णन करता है: d के बाईं ओर लिखा है); q लिखा है, पद के बाद पद, क्षैतिज रेखा के ऊपर, अंतिम पद का मान है t; क्षैतिज रेखा के नीचे के क्षेत्र का उपयोग गणना करने और क्रमिक मूल्यों को लिखने के लिए किया जाता है r.

यूक्लिडियन डिवीजन
बहुपदों (ए, बी) की प्रत्येक जोड़ी के लिए जैसे कि बी ≠ 0, बहुपद विभाजन एक भागफल क्यू और शेष आर प्रदान करता है जैसे कि
 * $$A=BQ+R,$$

और या तो आर = 0 या डिग्री (आर) <डिग्री (बी)। इसके अलावा (क्यू, आर) इस संपत्ति वाले बहुपदों की अनूठी जोड़ी है।

ए और बी से विशिष्ट रूप से परिभाषित बहुपद क्यू और आर प्राप्त करने की प्रक्रिया को यूक्लिडियन डिवीजन (कभी-कभी विभाजन परिवर्तन) कहा जाता है। बहुपद लंबा विभाजन इस प्रकार यूक्लिडियन विभाजन के लिए एक एल्गोरिथम है।

गुणनखंड बहुपद
कभी-कभी एक बहुपद की एक या अधिक जड़ें ज्ञात होती हैं, शायद परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग करके पाया गया है। यदि घात n वाले बहुपद P(x) का एक मूल r ज्ञात हो तो बहुपद दीर्घ विभाजन का उपयोग P(x) को गुणनखण्ड करने के लिए किया जा सकता है (x − r)(Q(x)) जहाँ Q(x) डिग्री n - 1 का एक बहुपद है। Q(x) केवल विभाजन प्रक्रिया से प्राप्त भागफल है; चूंकि आर को पी (एक्स) की जड़ के रूप में जाना जाता है, यह ज्ञात है कि शेष शून्य होना चाहिए।

इसी तरह, यदि एक से अधिक मूल ज्ञात हों, तो एक रैखिक गुणनखंड (x − r) उनमें से एक में (आर) को क्यू(एक्स) प्राप्त करने के लिए विभाजित किया जा सकता है, और फिर एक अन्य रूट में एक रैखिक शब्द, एस, को क्यू(एक्स), आदि से विभाजित किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, वे सभी को विभाजित किया जा सकता है एक बार: उदाहरण के लिए रैखिक कारक x − r तथा x − s द्विघात कारक प्राप्त करने के लिए एक साथ गुणा किया जा सकता है x2 − (r + s)x + rs, जिसे बाद में डिग्री का भागफल प्राप्त करने के लिए मूल बहुपद P(x) में विभाजित किया जा सकता है n − 2. इस तरह, कभी-कभी चार से अधिक डिग्री वाले बहुपद के सभी मूल प्राप्त किए जा सकते हैं, भले ही यह हमेशा संभव न हो। उदाहरण के लिए, यदि परिमेय मूल प्रमेय का उपयोग पंचांक फलन के एकल (तर्कसंगत) मूल को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, तो इसे क्वार्टिक (चौथी डिग्री) भागफल प्राप्त करने के लिए गुणनखंडित किया जा सकता है; क्वार्टिक फ़ंक्शन की जड़ों के लिए स्पष्ट सूत्र का उपयोग क्विंटिक की अन्य चार जड़ों को खोजने के लिए किया जा सकता है।

बहुपद कार्यों के लिए स्पर्शरेखा ढूँढना
बहुपद लंबे विभाजन का उपयोग उस रेखा के समीकरण को खोजने के लिए किया जा सकता है जो किसी विशेष बिंदु पर बहुपद P(x) द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा है। यदि R(x) द्वारा P(x) के विभाजन का शेषफल है (x – r)2, फिर स्पर्श रेखा का समीकरण पर  समारोह के ग्राफ के लिए  है  इस बात की परवाह किए बिना कि r बहुपद का एक मूल है या नहीं।

उदाहरण
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्न वक्र पर स्पर्श रेखा है :
 * $$y = x^3 - 12x^2 - 42.$$

द्वारा बहुपद को विभाजित करके प्रारंभ करें (x − 1)2 = x2 − 2x + 1:

\begin{array}{r} x - 10\\ x^2-2x+1\ \overline{)\ x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\ \underline{x^3 - {\color{White}0}2x^2 + {\color{White}1}x} {\color{White} {} - 42}\\ -10x^2 - {\color{White}01}x - 42\\ \underline{-10x^2 + 20x - 10}\\ -21x - 32 \end{array} $$ स्पर्श रेखा है.

चक्रीय अतिरेक जाँच
प्रेषित संदेशों में त्रुटियों का पता लगाने के लिए एक चक्रीय अतिरेक जाँच बहुपद विभाजन के शेष का उपयोग करती है।

यह भी देखें

 * बहुपद शेष प्रमेय
 * सिंथेटिक विभाजन, यूक्लिडियन बहुपद विभाजन करने की एक अधिक संक्षिप्त विधि
 * रफिनी का नियम
 * यूक्लिडियन डोमेन
 * ग्रोबनर आधार
 * दो बहुपदों का महत्तम समापवर्तक