स्केल इनवेरियन

भौतिकी, गणित और सांख्यिकी में, स्केल इनवेरियन वस्तुओं या कानूनों की एक विशेषता है जो लंबाई, ऊर्जा या अन्य चर के पैमाने को एक सामान्य कारक से गुणा करने पर नहीं बदलता है, और इस प्रकार एक सार्वभौमिकता का प्रतिनिधित्व करता है।

इस परिवर्तन (गणित) के लिए तकनीकी शब्द एक फैलाव (जिसे तनुकरण भी कहा जाता है) है। फैलाव एक बड़े अनुरूप समरूपता का हिस्सा बन सकता है।


 * गणित में, स्केल इनवेरियन आमतौर पर व्यक्तिगत फ़ंक्शन (गणित) या घटता के एक इनवेरियन को संदर्भित करता है। एक निकट से संबंधित अवधारणा स्व-समानता है, जहां फैलाव के असतत उपसमुच्चय के तहत एक फ़ंक्शन या वक्र अपरिवर्तनीय है। यादृच्छिक प्रक्रियाओं के संभाव्यता वितरण के लिए इस तरह के स्केल इनवेरियन या स्व-समानता को प्रदर्शित करना भी संभव है।
 * शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत में, स्केल इनवेरियन सबसे आम तौर पर तनुकरण के तहत एक संपूर्ण सिद्धांत के इनवेरियन पर लागू होता है। इस तरह के सिद्धांत आमतौर पर शास्त्रीय भौतिक प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं, जिनमें कोई विशिष्ट लंबाई का पैमाना नहीं होता है।
 * क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, स्केल इनवेरियन की कण भौतिकी के संदर्भ में व्याख्या है। स्केल-इनवेरिएंट सिद्धांत में, कण अंतःक्रियाओं की शक्ति शामिल कणों की ऊर्जा पर निर्भर नहीं करती है।
 * सांख्यिकीय यांत्रिकी में, स्केल इनवैरियंस चरण संक्रमण की एक विशेषता है। मुख्य अवलोकन यह है कि एक चरण संक्रमण या महत्वपूर्ण बिंदु (ऊष्मप्रवैगिकी) के पास, उतार-चढ़ाव सभी लंबाई के पैमाने पर होते हैं, और इस प्रकार घटना का वर्णन करने के लिए एक स्पष्ट रूप से स्केल-इनवेरिएंट सिद्धांत की तलाश करनी चाहिए। इस तरह के सिद्धांत स्केल-इनवेरिएंट सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत हैं, और औपचारिक रूप से स्केल-इनवेरिएंट क्वांटम फील्ड सिद्धांतों के समान हैं।
 * सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणालियां) यह अवलोकन है कि व्यापक रूप से विभिन्न सूक्ष्म प्रणालियां एक चरण संक्रमण पर समान व्यवहार प्रदर्शित कर सकती हैं। इस प्रकार कई अलग-अलग प्रणालियों में चरण संक्रमणों को एक ही अंतर्निहित स्केल-इनवेरिएंट सिद्धांत द्वारा वर्णित किया जा सकता है।
 * सामान्य तौर पर, आयाम रहित मात्राएँ स्केल इनवेरिएंट होती हैं। आँकड़ों में अनुरूप अवधारणा मानकीकृत क्षण हैं, जो एक चर के स्केल इनवेरिएंट आँकड़े हैं, जबकि गैर-मानकीकृत क्षण नहीं हैं।

स्केल-इनवेरिएंट कर्व्स और सेल्फ-समानता
गणित में, कोई फ़ंक्शन (गणित) या वक्र के स्केलिंग गुणों पर विचार कर सकता है $f (x)$ चर के पुनर्विक्रय के तहत $x$. अर्थात्, के आकार में रुचि रखता है $f (λx)$ कुछ पैमाने के कारक के लिए $λ$, जिसे लम्बाई या आकार में वृद्धि के रूप में लिया जा सकता है। के लिए आवश्यकता $f (x)$ सभी पुनर्विक्रय के तहत अपरिवर्तनीय होने के लिए आमतौर पर लिया जाता है
 * $$f(\lambda x)=\lambda^{\Delta}f(x)$$

प्रतिपादक के कुछ विकल्प के लिए $Δ$, और सभी फैलाव के लिए $λ$. यह इसके बराबर है $f$ डिग्री का एक सजातीय कार्य होना $Δ$.

स्केल-इनवेरिएंट फ़ंक्शंस के उदाहरण एकपद हैं $$f(x)=x^n$$, जिसके लिए $Δ = n$, उसमें स्पष्ट रूप से


 * $$f(\lambda x) = (\lambda x)^n = \lambda^n f(x)~.$$

स्केल-इनवेरिएंट वक्र का एक उदाहरण लघुगणकीय सर्पिल है, एक प्रकार का वक्र जो अक्सर प्रकृति में प्रकट होता है। ध्रुवीय निर्देशांक में $(r, θ)$, सर्पिल के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\theta = \frac{1}{b} \ln(r/a)~.$$

वक्र के घूर्णन की अनुमति देते हुए, यह सभी पुनर्विक्रय के तहत अपरिवर्तनीय है $λ$; वह है, $θ(λr)$ के घुमाए गए संस्करण के समान है $θ(r)$.

प्रक्षेपी ज्यामिति
एक मोनोमियल के स्केल इनवेरियन का विचार एक सजातीय बहुपद के विचार के लिए उच्च आयामों में सामान्यीकृत होता है, और आमतौर पर एक सजातीय कार्य के लिए। सजातीय कार्य प्रक्षेपण स्थान के प्राकृतिक डेनिजन्स हैं, और सजातीय बहुपदों का अध्ययन प्रोजेक्टिव ज्यामिति में प्रोजेक्टिव किस्मों के रूप में किया जाता है। प्रक्षेपी ज्यामिति गणित का विशेष रूप से समृद्ध क्षेत्र है; अपने सबसे अमूर्त रूपों में, योजना की ज्यामिति (गणित), इसमें स्ट्रिंग सिद्धांत में विभिन्न विषयों के संबंध हैं।

भग्न
कभी-कभी यह कहा जाता है कि भग्न स्केल-इनवेरिएंट होते हैं, हालांकि अधिक सटीक रूप से, किसी को यह कहना चाहिए कि वे स्व-समान हैं। एक फ्रैक्टल आमतौर पर मूल्यों के केवल असतत सेट के लिए स्वयं के बराबर होता है $λ$, और फिर भी फ्रैक्टल को अपने आप से मिलान करने के लिए एक अनुवाद और रोटेशन लागू करना पड़ सकता है।

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, कोच वक्र के साथ तराजू $∆ = 1$, लेकिन स्केलिंग केवल के मानों के लिए है $λ = 1/3^{n}$ पूर्णांक के लिए $n$. इसके अलावा, कोच वक्र न केवल मूल पर, बल्कि एक निश्चित अर्थ में, हर जगह: स्वयं की लघु प्रतियां वक्र के साथ पाई जा सकती हैं।

कुछ भग्नों में एक साथ कई स्केलिंग कारक हो सकते हैं; इस तरह के स्केलिंग का अध्ययन बहु-भग्न विश्लेषण के साथ किया जाता है।

आवधिक बाहरी किरण अपरिवर्तनीय वक्र हैं।

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं में स्केल इनवेरियन
अगर $P(f )$ अपेक्षा मूल्य है | आवृत्ति पर औसत, अपेक्षित शक्ति $f$, तो शोर पैमाने के रूप में
 * $$P(f) = \lambda^{-\Delta} P(\lambda f)$$

साथ $Δ$ सफेद शोर के लिए = 0, $Δ$ = -1 गुलाबी शोर के लिए, और  $Δ$ = -2 एक प्रकार कि गति के लिए (और अधिक सामान्यतः, ब्राउनियन गति)।

अधिक सटीक रूप से, स्टोकेस्टिक सिस्टम में स्केलिंग सभी संभावित यादृच्छिक कॉन्फ़िगरेशन के सेट से एक विशेष कॉन्फ़िगरेशन को चुनने की संभावना से संबंधित है। यह संभावना संभाव्यता वितरण द्वारा दी गई है।

स्केल-इनवेरिएंट डिस्ट्रीब्यूशन के उदाहरण परेटो वितरण और जिपफियन वितरण हैं।

स्केल इनवेरिएंट ट्वीडी वितरण
ट्वीडी डिस्ट्रीब्यूशन एक्सपोनेंशियल फैलाव मॉडल का एक विशेष मामला है, सांख्यिकीय मॉडल का एक वर्ग सामान्यीकृत रैखिक मॉडल के लिए त्रुटि वितरण का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है और एडिटिव और रिप्रोडक्टिव कनवल्शन के साथ-साथ स्केल ट्रांसफॉर्मेशन के तहत क्लोजर (गणित) द्वारा विशेषता है। इनमें कई सामान्य वितरण शामिल हैं: सामान्य वितरण, प्वासों वितरण और गामा वितरण, साथ ही यौगिक पॉइसन-गामा वितरण, सकारात्मक स्थिर वितरण और चरम स्थिर वितरण जैसे अधिक असामान्य वितरण। उनके निहित स्केल इनवेरियन ट्वीडी अनियमित परिवर्तनशील वस्तु्स के परिणामस्वरूप Y एक झगड़ा var(Y) प्रदर्शित करता है जिसका मतलब E(Y) पावर लॉ है:
 * $$\text{var}\,(Y) = a[\text{E}\,(Y)]^p$$,

जहाँ a और p धनात्मक स्थिरांक हैं। शक्ति कानून के अर्थ में यह भिन्नता भौतिकी साहित्य में 'उतार-चढ़ाव स्केलिंग' के रूप में जानी जाती है, और पारिस्थितिकी साहित्य में टेलर के नियम के रूप में। ट्वीडी डिस्ट्रीब्यूशन द्वारा शासित और ट्वीडी डिस्ट्रीब्यूशन द्वारा मूल्यांकन किए गए रैंडम सीक्वेंस, मतलब पावर लॉ और पावर लॉ ऑटो सहसंबंध के विचरण के बीच एक तार्किक द्विसशर्त रिलेशनशिप को प्रदर्शित करते हैं। वीनर-खिनचिन प्रमेय का अर्थ यह भी है कि किसी भी अनुक्रम के लिए जो इन शर्तों के तहत औसत शक्ति कानून में भिन्नता प्रदर्शित करता है, गुलाबी शोर भी प्रकट होगा। 1/f शोर। ट्वीडी डिस्ट्रीब्यूशन फ्लक्चुएशन स्केलिंग और 1/f शोर की व्यापक अभिव्यक्ति के लिए एक काल्पनिक व्याख्या प्रदान करता है। संक्षेप में, यह आवश्यक है कि कोई भी घातीय फैलाव मॉडल जो असमान रूप से शक्ति कानून के लिए भिन्नता प्रकट करता है, को एक प्राकृतिक घातीय परिवार व्यक्त करने की आवश्यकता होगी जो एक ट्वीडी मॉडल के आकर्षणकर्ता के भीतर आता है। परिमित संचयी के साथ लगभग सभी वितरण कार्य घातीय फैलाव मॉडल के रूप में अर्हता प्राप्त करते हैं और सबसे घातीय फैलाव मॉडल इस रूप के विचरण कार्यों को प्रकट करते हैं। इसलिए कई प्रायिकता वितरणों में विचरण कार्य होते हैं जो इस स्पर्शोन्मुख विस्तार को व्यक्त करते हैं, और ट्वीडी वितरण डेटा प्रकारों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए अभिसरण का केंद्र बन जाते हैं।

केंद्रीय सीमा प्रमेय को अभिसरण के सामान्य वितरण और अभिव्यक्त सफेद शोर के फोकस के रूप में कुछ प्रकार के यादृच्छिक चर की आवश्यकता होती है, ट्वीडी अभिसरण प्रमेय को 1/f शोर और उतार-चढ़ाव स्केलिंग व्यक्त करने के लिए कुछ गैर-गाऊसी यादृच्छिक चर की आवश्यकता होती है।

ब्रह्माण्ड विज्ञान
भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में, ब्रह्मांडीय माइक्रोवेव पृष्ठभूमि के स्थानिक वितरण का शक्ति स्पेक्ट्रम स्केल-इनवेरिएंट फ़ंक्शन होने के करीब है। यद्यपि गणित में इसका अर्थ है कि स्पेक्ट्रम एक शक्ति-नियम है, ब्रह्माण्ड विज्ञान में स्केल-इनवेरिएंट शब्द इंगित करता है कि आयाम, $P(k)$तरंग संख्या के एक समारोह के रूप में आदिम उतार-चढ़ाव, $k$, लगभग स्थिर है, अर्थात एक समतल स्पेक्ट्रम। यह पैटर्न ब्रह्मांडीय मुद्रास्फीति के प्रस्ताव के अनुरूप है।

शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत में स्केल इनवेरियंस
शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत को सामान्य रूप से एक क्षेत्र, या क्षेत्रों के सेट, φ द्वारा वर्णित किया जाता है, जो निर्देशांक, x पर निर्भर करता है। वैध क्षेत्र विन्यास तब φ के लिए अंतर समीकरणों को हल करके निर्धारित किया जाता है, और इन समीकरणों को क्षेत्र समीकरण के रूप में जाना जाता है।

स्केल-इनवेरिएंट होने के लिए एक सिद्धांत के लिए, इसके क्षेत्र समीकरणों को निर्देशांक के पुनर्विक्रय के तहत अपरिवर्तनीय होना चाहिए, फ़ील्ड के कुछ निर्दिष्ट पुनर्विक्रय के साथ संयुक्त होना चाहिए,
 * $$x\rightarrow\lambda x~,$$
 * $$\varphi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\varphi~.$$

पैरामीटर Δ को क्षेत्र के स्केलिंग आयाम के रूप में जाना जाता है, और इसका मान विचाराधीन सिद्धांत पर निर्भर करता है। स्केल इनवेरियन आमतौर पर प्रदान किया जाएगा बशर्ते सिद्धांत में कोई निश्चित लंबाई स्केल प्रकट न हो। इसके विपरीत, एक निश्चित लंबाई के पैमाने की उपस्थिति इंगित करती है कि एक सिद्धांत स्केल-इनवेरिएंट 'नहीं' है।

स्केल इनवेरियन का एक परिणाम यह है कि स्केल-इनवेरिएंट फ़ील्ड समीकरण का एक समाधान दिया गया है, हम निर्देशांक और फ़ील्ड दोनों को उचित रूप से पुन: स्केल करके स्वचालित रूप से अन्य समाधान पा सकते हैं। तकनीकी शब्दों में, एक समाधान दिया गया है, φ(x), हमेशा फॉर्म के अन्य समाधान होते हैं


 * $$\lambda^{\Delta}\varphi(\lambda x)$$.

फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन का स्केल इनवेरियन
किसी विशेष फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन के लिए, φ(x), स्केल-इनवेरिएंट होने के लिए, हमें इसकी आवश्यकता है
 * $$\varphi(x)=\lambda^{-\Delta}\varphi(\lambda x)$$

जहां Δ फिर से, क्षेत्र का स्केलिंग आयाम है।

हम ध्यान दें कि यह स्थिति बल्कि प्रतिबंधात्मक है। सामान्य तौर पर, स्केल-इनवेरिएंट फ़ील्ड समीकरणों के समाधान भी स्केल-इनवेरिएंट नहीं होंगे, और ऐसे मामलों में समरूपता को अनायास टूटा हुआ कहा जाता है।

शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व
स्केल-इनवेरिएंट शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत का एक उदाहरण विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र है जिसमें कोई शुल्क या धारा नहीं है। क्षेत्र विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र हैं, E(x,t) और B(x,t), जबकि उनके क्षेत्र समीकरण मैक्सवेल के समीकरण हैं।

बिना किसी चार्ज या करंट के, इलेक्ट्रोमैग्नेटिक फील्ड#लाइट एक इलेक्ट्रोमैग्नेटिक डिस्टर्बेंस के रूप में तरंग समीकरण का रूप ले लेता है
 * $$\nabla^2 \mathbf{E} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{E}}{\partial t^2}$$
 * $$\nabla^2\mathbf{B} = \frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \mathbf{B}}{\partial t^2}$$

जहाँ c प्रकाश की गति है।

ये क्षेत्र समीकरण परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं
 * $$x\rightarrow\lambda x,$$
 * $$t\rightarrow\lambda t.$$

इसके अलावा, मैक्सवेल के समीकरणों के दिए गए समाधान, E(x, t) और B(x, t), यह मानता है कि E(λx, λt) और B(λx, λt) भी समाधान हैं।

द्रव्यमान रहित अदिश क्षेत्र सिद्धांत
स्केल-इनवेरिएंट क्लासिकल फील्ड थ्योरी का एक और उदाहरण मासलेस स्केलर फील्ड थ्योरी है (ध्यान दें कि स्केलर (भौतिकी) नाम स्केल इनवेरियन से संबंधित नहीं है)। अदिश क्षेत्र, $φ(x, t)$ स्थानिक चर, x, और एक समय चर के सेट का एक कार्य है, $t$.

पहले रैखिक सिद्धांत पर विचार करें। उपरोक्त विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र समीकरणों की तरह, इस सिद्धांत के लिए गति का समीकरण भी एक तरंग समीकरण है,
 * $$\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}-\nabla^2 \varphi = 0,$$

और परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है
 * $$x\rightarrow\lambda x,$$
 * $$t\rightarrow\lambda t.$$

मासलेस नाम एक शब्द की अनुपस्थिति को संदर्भित करता है $$\propto m^2\varphi$$ फील्ड समीकरण में इस तरह के एक शब्द को अक्सर 'द्रव्यमान' शब्द के रूप में संदर्भित किया जाता है, और उपरोक्त परिवर्तन के तहत इनवेरियन को तोड़ देगा। सापेक्षतावादी क्षेत्र सिद्धांत में, एक बड़े पैमाने पर, $m$ शारीरिक रूप से एक निश्चित लंबाई के पैमाने के बराबर है
 * $$L=\frac{\hbar}{mc},$$

और इसलिए यह आश्चर्यजनक नहीं होना चाहिए कि बड़े पैमाने पर स्केलर क्षेत्र सिद्धांत स्केल-इनवेरिएंट नहीं है।

==== च 4 सिद्धांत= उपरोक्त उदाहरणों में फ़ील्ड समीकरण फ़ील्ड में सभी रेखीय हैं, जिसका अर्थ है कि स्केलिंग आयाम, $Δ$, इतना महत्वपूर्ण नहीं रहा है। हालाँकि, आमतौर पर यह आवश्यक होता है कि स्केलर फील्ड एक्शन (भौतिकी) आयाम रहित हो, और यह स्केलिंग आयाम को ठीक करता है $φ$. विशेष रूप से,
 * $$\Delta=\frac{D-2}{2},$$

कहाँ $D$ स्थानिक और समय आयामों की संयुक्त संख्या है।

इस स्केलिंग आयाम को देखते हुए $φ$, मासलेस स्केलर फील्ड थ्योरी के कुछ नॉनलाइनियर संशोधन हैं जो स्केल-इनवेरिएंट भी हैं। एक उदाहरण मासलेस Phi से चौथे | φ है4 के लिए सिद्धांत $D$=4. क्षेत्र समीकरण है
 * $$\frac{1}{c^2} \frac{\partial^2 \varphi}{\partial t^2}-\nabla^2 \varphi+g\varphi^3=0.$$

(ध्यान दें कि नाम $φ$4 Phi के रूप से चौथे#दि लैग्रैंगियन के रूप में निकला है, जिसमें की चौथी शक्ति समाहित है $φ$.)

कब $D$=4 (जैसे तीन स्थानिक आयाम और एक बार का आयाम), स्केलर फ़ील्ड स्केलिंग आयाम है $Δ$=1। क्षेत्र समीकरण तब परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है
 * $$x\rightarrow\lambda x,$$
 * $$t\rightarrow\lambda t,$$
 * $$\varphi (x)\rightarrow\lambda^{-1}\varphi(x).$$

मुख्य बिंदु यह है कि पैरामीटर $g$ आयाम रहित होना चाहिए, अन्यथा सिद्धांत में एक निश्चित लंबाई का पैमाना पेश किया जाता है: के लिए $φ$4 सिद्धांत, यह केवल मामला है $D$=4. ध्यान दें कि इन परिवर्तनों के तहत फ़ंक्शन का तर्क $φ$ अपरिवर्तित है।

क्वांटम फील्ड थ्योरी में स्केल इनवेरियन
क्वांटम फील्ड थ्योरी (क्यूएफटी) की स्केल-निर्भरता को उस तरह से वर्णित किया जाता है जिस तरह से इसकी युग्मन स्थिरांक किसी भौतिक प्रक्रिया के ऊर्जा-पैमाने पर निर्भर करती है। यह ऊर्जा निर्भरता पुनर्सामान्यीकरण समूह द्वारा वर्णित है, और सिद्धांत के बीटा-कार्यों में एन्कोड किया गया है।

स्केल-इनवेरिएंट होने के लिए क्यूएफटी के लिए, इसके युग्मन पैरामीटर को ऊर्जा-स्केल से स्वतंत्र होना चाहिए, और यह सिद्धांत के बीटा समारोह के गायब होने से संकेत मिलता है। इस तरह के सिद्धांतों को संबंधित पुनर्सामान्यीकरण समूह प्रवाह के पुनर्सामान्यीकरण समूह के रूप में भी जाना जाता है।

क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स
स्केल-इनवेरिएंट QFT का एक सरल उदाहरण आवेशित कणों के बिना परिमाणित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र है। इस सिद्धांत में वास्तव में कोई युग्मन पैरामीटर नहीं है (चूंकि फोटॉन द्रव्यमान रहित और गैर-अंतःक्रियात्मक हैं) और इसलिए शास्त्रीय सिद्धांत की तरह स्केल-इनवेरिएंट है।

हालाँकि, प्रकृति में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र इलेक्ट्रॉनों जैसे आवेशित कणों से जुड़ा होता है। फोटॉन और आवेशित कणों की परस्पर क्रियाओं का वर्णन करने वाला QFT क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स (QED) है, और यह सिद्धांत स्केल-इनवेरिएंट नहीं है। हम इसे बीटा-फ़ंक्शन#क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स|QED बीटा-फ़ंक्शन से देख सकते हैं। यह हमें बताता है कि बढ़ती ऊर्जा के साथ विद्युत आवेश (जो सिद्धांत में युग्मन पैरामीटर है) बढ़ता है। इसलिए, जबकि आवेशित कणों के बिना परिमाणित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र स्केल-इनवेरिएंट है, QED स्केल-इनवेरिएंट नहीं है।

द्रव्यमान रहित अदिश क्षेत्र सिद्धांत
मुक्त, द्रव्यमान रहित अदिश क्षेत्र (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) में कोई युग्मन पैरामीटर नहीं है। इसलिए, शास्त्रीय संस्करण की तरह, यह स्केल-इनवेरिएंट है। पुनर्सामान्यीकरण समूह की भाषा में, इस सिद्धांत को गॉसियन निश्चित बिंदु के रूप में जाना जाता है।

हालाँकि, भले ही शास्त्रीय द्रव्यमान रहित φ4 सिद्धांत डी = 4 में स्केल-इनवेरिएंट है, परिमाणित संस्करण 'नहीं' स्केल-इनवेरिएंट है। हम इसे युग्मन पैरामीटर, जी के लिए बीटा-फ़ंक्शन से देख सकते हैं।

भले ही परिमाणित द्रव्यमान रहित φ4 स्केल-इनवेरिएंट नहीं है, गॉसियन फिक्स्ड पॉइंट के अलावा स्केल-इनवेरिएंट क्वांटाइज़्ड स्केलर फील्ड सिद्धांत मौजूद हैं। एक उदाहरण नीचे विल्सन-फिशर निश्चित बिंदु है।

अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत
स्केल-इनवेरिएंट QFT पूर्ण अनुरूप समरूपता के तहत लगभग हमेशा अपरिवर्तनीय होते हैं, और ऐसे QFTs का अध्ययन अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत (CFT) है। सीएफटी में ऑपरेटर (भौतिकी) के पास एक अच्छी तरह से परिभाषित स्केलिंग आयाम है, स्केलिंग आयाम के अनुरूप, ऊपर चर्चा की गई शास्त्रीय क्षेत्र की। हालांकि, सीएफटी में ऑपरेटरों के स्केलिंग आयाम आम तौर पर इसी शास्त्रीय सिद्धांत के क्षेत्रों से भिन्न होते हैं। सीएफटी में दिखाई देने वाले अतिरिक्त योगदानों को विषम स्केलिंग आयामों के रूप में जाना जाता है।

स्केल और अनुरूप विसंगतियाँ
φ4 उपरोक्त सिद्धांत उदाहरण दर्शाता है कि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के युग्मन पैरामीटर स्केल-निर्भर हो सकते हैं भले ही संबंधित शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत स्केल-इनवेरिएंट (या अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय) हो। यदि यह स्थिति है, तो क्लासिकल स्केल (या अनुरूप) व्युत्क्रम को अनुरूप विसंगति कहा जाता है। क्लासिकल स्केल इनवेरिएंट फील्ड थ्योरी, जहां क्वांटम प्रभाव से स्केल इनवेरियन टूट जाता है, प्रारंभिक ब्रह्मांड के लगभग घातीय विस्तार का एक अन्वेषण प्रदान करता है जिसे इन्फ्लेशन (ब्रह्मांड विज्ञान) कहा जाता है, जब तक सिद्धांत को गड़बड़ी सिद्धांत के माध्यम से अध्ययन किया जा सकता है।

चरण संक्रमण
सांख्यिकीय यांत्रिकी में, जैसा कि एक प्रणाली एक चरण संक्रमण से गुजरती है, इसके उतार-चढ़ाव को पैमाने-अपरिवर्तनीय सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित किया जाता है। संतुलन में एक प्रणाली के लिए (अर्थात समय-स्वतंत्र) में $D$ स्थानिक आयाम, संबंधित सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत औपचारिक रूप से एक के समान है $D$-आयामी सीएफटी। ऐसी समस्याओं में स्केलिंग आयामों को आमतौर पर महत्वपूर्ण घातांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, और सिद्धांत रूप में इन घातांकों की उचित सीएफटी में गणना की जा सकती है।

ईज़िंग मॉडल
एक उदाहरण जो इस लेख में कई विचारों को एक साथ जोड़ता है, वह ईज़िंग मॉडल का चरण संक्रमण है, जो लौहिक पदार्थों का एक सरल मॉडल है। यह एक सांख्यिकीय यांत्रिकी मॉडल है, जिसमें अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में भी विवरण है। सिस्टम में जाली साइटों की एक सरणी होती है, जो एक बनाती है $D$-आयामी आवधिक जाली। प्रत्येक जाली साइट के साथ संबद्ध एक चुंबकीय क्षण या स्पिन (भौतिकी) है, और यह स्पिन या तो मान +1 या -1 ले सकता है। (इन राज्यों को क्रमशः ऊपर और नीचे भी कहा जाता है।)

मुख्य बिंदु यह है कि ईज़िंग मॉडल में एक स्पिन-स्पिन इंटरैक्शन है, जो इसे दो आसन्न स्पिनों को संरेखित करने के लिए ऊर्जावान रूप से अनुकूल बनाता है। दूसरी ओर, थर्मल उतार-चढ़ाव आमतौर पर स्पिन के संरेखण में एक यादृच्छिकता का परिचय देते हैं। कुछ महत्वपूर्ण तापमान पर, $T_{c}$, स्वतःस्फूर्त चुंबकीयकरण होने के लिए कहा जाता है। इसका मतलब है कि नीचे $T_{c}$ स्पिन-स्पिन इंटरेक्शन हावी होना शुरू हो जाएगा, और दो दिशाओं में से एक में स्पिन का कुछ शुद्ध संरेखण होता है।

इस महत्वपूर्ण तापमान पर जिस तरह की भौतिक मात्राओं की गणना करना चाहते हैं, उसका एक उदाहरण एक दूरी से अलग किए गए स्पिनों के बीच संबंध है $r$. इसका सामान्य व्यवहार है:
 * $$G(r)\propto\frac{1}{r^{D-2+\eta}},$$

के कुछ विशेष मूल्य के लिए $$\eta$$, जो एक महत्वपूर्ण प्रतिपादक का एक उदाहरण है।

सीएफटी विवरण
तापमान में उतार-चढ़ाव $T_{c}$ स्केल-इनवेरिएंट हैं, और इसलिए इस चरण के संक्रमण पर ईज़िंग मॉडल को स्केल-इनवेरिएंट स्टैटिस्टिकल फील्ड थ्योरी द्वारा वर्णित किए जाने की उम्मीद है। वास्तव में, यह सिद्धांत विल्सन-फिशर निश्चित बिंदु है, एक विशेष स्केल-इनवेरिएंट स्केलर फील्ड (क्वांटम फील्ड थ्योरी)।

इस संदर्भ में, $G(r)$ अदिश क्षेत्रों के सहसंबंध समारोह के रूप में समझा जाता है,
 * $$\langle\phi(0)\phi(r)\rangle\propto\frac{1}{r^{D-2+\eta}}.$$

अब हम पहले से देखे गए कई विचारों को एक साथ फिट कर सकते हैं।

ऊपर से, कोई देखता है कि महत्वपूर्ण प्रतिपादक, $η$, इस चरण के संक्रमण के लिए भी एक विषम आयाम है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अदिश क्षेत्र का शास्त्रीय आयाम,
 * $$\Delta=\frac{D-2}{2}$$

बनने के लिए संशोधित किया गया है
 * $$\Delta=\frac{D-2+\eta}{2},$$

कहाँ $D$ ईज़िंग मॉडल जाली के आयामों की संख्या है।

तो अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में यह विषम आयाम ईज़िंग मॉडल चरण संक्रमण के एक विशेष महत्वपूर्ण प्रतिपादक के रूप में समान है।

ध्यान दें कि आयाम के लिए $D ≡ 4−ε$, $η$ एप्सिलॉन विस्तार का उपयोग करके लगभग गणना की जा सकती है, और कोई यह पाता है
 * $$\eta=\frac{\epsilon^2}{54}+O(\epsilon^3)$$.

तीन स्थानिक आयामों के भौतिक दिलचस्प मामले में, हमारे पास है $ε$=1, और इसलिए यह विस्तार पूरी तरह विश्वसनीय नहीं है। हालाँकि, एक अर्ध-मात्रात्मक भविष्यवाणी है $η$ तीन आयामों में संख्यात्मक रूप से छोटा है।

दूसरी ओर, द्वि-आयामी मामले में ईज़िंग मॉडल बिल्कुल घुलनशील है। विशेष रूप से, यह न्यूनतम मॉडल (भौतिकी)भौतिकी) में से एक के बराबर है, अच्छी तरह से समझे जाने वाले सीएफटी का एक परिवार है, और इसकी गणना करना संभव है $η$ (और अन्य महत्वपूर्ण घातांक) बिल्कुल,
 * $$\eta_{_{D=2}}=\frac{1}{4}$$.

श्रम-लोवेनर विकास
कुछ द्वि-आयामी सीएफटी में विषम आयाम यादृच्छिक चलने के विशिष्ट फ्रैक्टल आयामों से संबंधित हो सकते हैं, जहां यादृच्छिक चलने को स्क्रैम-लोवेनर विकास (एसएलई) के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। जैसा कि हमने ऊपर देखा है, CFTs चरण संक्रमणों के भौतिकी का वर्णन करते हैं, और इसलिए इन भग्न आयामों के लिए कुछ चरण संक्रमणों के महत्वपूर्ण घातांकों को संबंधित कर सकते हैं। उदाहरणों में 2d क्रिटिकल आइसिंग मॉडल और अधिक सामान्य 2d क्रिटिकल पॉट्स मॉडल शामिल हैं। अन्य 2डी सीएफटी को एसएलई से संबंधित करना अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र है।

सार्वभौमिकता
सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली) के रूप में जानी जाने वाली घटना को भौतिक प्रणालियों की एक विशाल विविधता में देखा जाता है। यह इस विचार को व्यक्त करता है कि विभिन्न सूक्ष्म भौतिकी एक चरण संक्रमण पर समान स्केलिंग व्यवहार को जन्म दे सकती हैं। सार्वभौमिकता के एक प्रामाणिक उदाहरण में निम्नलिखित दो प्रणालियाँ शामिल हैं:
 * ईज़िंग मॉडल चरण संक्रमण, ऊपर वर्णित है।
 * शास्त्रीय तरल पदार्थों में तरल-वाष्प संक्रमण।

भले ही इन दोनों प्रणालियों का सूक्ष्म भौतिकी पूरी तरह से अलग है, लेकिन उनके महत्वपूर्ण घातांक समान हैं। इसके अलावा, एक ही सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत का उपयोग करके इन घातांकों की गणना की जा सकती है। मुख्य अवलोकन यह है कि एक चरण संक्रमण या महत्वपूर्ण बिंदु (ऊष्मप्रवैगिकी) पर, उतार-चढ़ाव सभी लंबाई के पैमाने पर होते हैं, और इस प्रकार घटना का वर्णन करने के लिए एक स्केल-इनवेरिएंट सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत की तलाश करनी चाहिए। एक मायने में, सार्वभौमिकता यह अवलोकन है कि इस तरह के पैमाने-अपरिवर्तनीय सिद्धांत अपेक्षाकृत कम हैं।

एक ही स्केल-इनवेरिएंट सिद्धांत द्वारा वर्णित विभिन्न सूक्ष्म सिद्धांतों के सेट को सार्वभौमिकता वर्ग के रूप में जाना जाता है। सार्वभौमिकता वर्ग से संबंधित प्रणालियों के अन्य उदाहरण हैं:
 * रेत के ढेर में हिमस्खलन। हिमस्खलन की संभावना हिमस्खलन के आकार के शक्ति-कानून अनुपात में है, और हिमस्खलन सभी आकार के पैमाने पर होते हैं।
 * इंटरनेट पर नेटवर्क से बाहर की आवृत्ति, आकार और अवधि के एक समारोह के रूप में।
 * किसी दिए गए पेपर में उद्धरणों की संख्या के एक समारोह के रूप में, सभी पत्रों के बीच सभी उद्धरणों के नेटवर्क में माने जाने वाले जर्नल लेखों के उद्धरणों की आवृत्ति।
 * स्टील से लेकर चट्टान से लेकर कागज तक की सामग्री में दरारें और फटने का निर्माण और प्रसार। आंसू की दिशा में भिन्नता, या खंडित सतह की खुरदरापन, शक्ति-नियम में आकार के पैमाने के अनुपात में होती है।
 * ढांकता हुआ्स का विद्युत टूटना, जो दरारों और आंसुओं जैसा दिखता है।
 * अव्यवस्थित मीडिया के माध्यम से तरल पदार्थ का रिसाव, जैसे खंडित रॉक बेड के माध्यम से पेट्रोलियम, या फ़िल्टर पेपर के माध्यम से पानी, जैसे क्रोमैटोग्राफी में। पावर-लॉ स्केलिंग प्रवाह की दर को फ्रैक्चर के वितरण से जोड़ता है।
 * समाधान (रसायन विज्ञान) में अणुओं का प्रसार, और प्रसार-सीमित एकत्रीकरण की घटना।
 * एक समग्र मिश्रण में विभिन्न आकारों की चट्टानों का वितरण जिसे हिलाया जा रहा है (चट्टानों पर गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव के साथ)।

मुख्य अवलोकन यह है कि, इन सभी विभिन्न प्रणालियों के लिए, व्यवहार एक चरण संक्रमण जैसा दिखता है, और उनका वर्णन करने के लिए सांख्यिकीय यांत्रिकी और स्केल-इनवेरिएंट सांख्यिकीय क्षेत्र सिद्धांत की भाषा लागू की जा सकती है।

बिना लागू बल के न्यूटोनियन द्रव यांत्रिकी
कुछ परिस्थितियों में, द्रव यांत्रिकी एक पैमाना-अपरिवर्तनीय शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत है। क्षेत्र द्रव प्रवाह का वेग हैं, $$\mathbf{u}(\mathbf{x},t)$$, द्रव घनत्व, $$\rho(\mathbf{x},t)$$, और द्रव दबाव, $$P(\mathbf{x},t)$$. इन क्षेत्रों को नेवियर-स्टोक्स समीकरण और निरंतरता समीकरण # द्रव गतिकी दोनों को संतुष्ट करना चाहिए। न्यूटोनियन द्रव पदार्थ के लिए ये संबंधित रूप लेते हैं

$$\rho\frac{\partial \mathbf{u}}{\partial t}+\rho\mathbf{u}\cdot\nabla \mathbf{u} = -\nabla P+\mu \left(\nabla^2 \mathbf{u}+\frac{1}{3}\nabla\left(\nabla\cdot\mathbf{u}\right)\right)$$
 * $$\frac{\partial \rho}{\partial t}+\nabla\cdot \left(\rho\mathbf{u}\right)=0$$

कहाँ $$\mu$$ गतिशील चिपचिपापन है # चिपचिपापन .28 गतिशील चिपचिपापन .29: .CE.BC।

इन समीकरणों के पैमाने के व्युत्क्रम को कम करने के लिए हम द्रव के दबाव को द्रव के घनत्व से संबंधित अवस्था के एक समीकरण को निर्दिष्ट करते हैं। राज्य का समीकरण द्रव के प्रकार और उन स्थितियों पर निर्भर करता है जिनके अधीन यह होता है। उदाहरण के लिए, हम इज़ोटेर्मल आदर्श गैस पर विचार करते हैं, जो संतुष्ट करती है
 * $$P=c_s^2\rho,$$

कहाँ $$c_s$$ द्रव में ध्वनि की गति है। राज्य के इस समीकरण को देखते हुए, परिवर्तनों के तहत नेवियर-स्टोक्स और निरंतरता समीकरण अपरिवर्तनीय हैं
 * $$x\rightarrow\lambda x,$$
 * $$t\rightarrow\lambda^2 t,$$
 * $$\rho\rightarrow\lambda^{-1} \rho,$$
 * $$\mathbf{u}\rightarrow\lambda^{-1}\mathbf{u}.$$

उपाय बताए $$\mathbf{u}(\mathbf{x},t)$$ और $$\rho(\mathbf{x},t)$$, हमारे पास स्वचालित रूप से वह है $$\lambda\mathbf{u}(\lambda\mathbf{x},\lambda^2 t)$$ और $$\lambda\rho(\lambda\mathbf{x},\lambda^2 t)$$ समाधान भी हैं।

तरल पदार्थ और ठोस में छिपा हुआ पैमाना
आणविक गतिशीलता कंप्यूटर सिमुलेशन द्वारा अध्ययन किए गए कुछ मॉडल, जिसमें लेनार्ड-जोन्स क्षमता | लेनार्ड-जोन्स और युकावा संभावित जोड़ी-संभावित मॉडल शामिल हैं, में संभावित-ऊर्जा कार्य होता है $$U(\mathbf{R})$$ कि एक अच्छे सन्निकटन के लिए छिपे हुए पैमाने की कसौटी का पालन करता है

$$U(\mathbf{R}_{\rm a})<U(\mathbf{R}_{\rm b})\,\Rightarrow\,U(\lambda\mathbf{R}_{\rm a})<U(\lambda\mathbf{R}_{\rm b}).$$ यहाँ $$\mathbf{R}_{\rm a}$$और $$\mathbf{R}_{\rm b}$$दो समान-घनत्व विन्यास और के पूर्ण स्थानिक निर्देशांक हैं $$\lambda$$ एक पैरामीटर है जो कॉन्फ़िगरेशन को एक अलग घनत्व में समान रूप से स्केल करता है। छिपे हुए पैमाने के आक्रमण का मतलब है कि उनकी संभावित ऊर्जा के अनुसार एक घनत्व पर कॉन्फ़िगरेशन का क्रम बनाए रखा जाता है यदि इन्हें एक अलग घनत्व पर समान रूप से स्केल किया जाता है। यह केवल यूलर-समरूप क्षमता-ऊर्जा फ़ंक्शन वाले सिस्टम के लिए सख्ती से लागू होता है, उदाहरण के लिए, व्युत्क्रम-शक्ति-कानून जोड़ी क्षमता के साथ बातचीत करने वाले कणों की प्रणाली। जब अधिकांश विन्यासों के लिए छिपे हुए स्केल इनवेरियन का अर्थ होता है, तो इसका तात्पर्य थर्मोडायनामिक चरण आरेख, तथाकथित आइसोमोर्फ्स में रेखाओं के अस्तित्व से है, जिसके साथ कम इकाइयों में संरचना और गतिकी एक अच्छे सन्निकटन के लिए अपरिवर्तनीय हैं। यह माना जाता है कि अधिकांश धातु और वैन डेर वाल्स बंधित प्रणालियां तरल और ठोस चरणों में इस अनुमानित समरूपता का पालन करती हैं, जबकि सहसंयोजक या हाइड्रोजन-बंधित प्रणालियों जैसे मजबूत दिशात्मक बंध वाले सिस्टम नहीं करते हैं; आयनिक और द्विध्रुवीय प्रणालियाँ बीच में एक वर्ग का निर्माण करती हैं। अधिकांश प्रणालियाँ गैस चरण में छिपे हुए पैमाने के आक्रमण का पालन नहीं करती हैं। चूँकि एक आइसोमॉर्फ लगातार अधिक एन्ट्रापी की रेखा है, आइसोमोर्फ का अस्तित्व काफी हद तक 1977 में रोसेनफेल्ड द्वारा खोजी गई अतिरिक्त-एन्ट्रॉपी स्केलिंग की व्याख्या करता है और यह मिश्रण, सीमित प्रणालियों, आणविक प्रणालियों आदि पर भी क्यों लागू होता है।

कंप्यूटर दृष्टि
कंप्यूटर दृष्टि और जैविक दृष्टि में, परिप्रेक्ष्य छवि मानचित्रण और दुनिया में अलग-अलग भौतिक आकार वाली वस्तुओं के कारण स्केलिंग परिवर्तन उत्पन्न होते हैं। इन क्षेत्रों में, स्केल इनवेरियन स्थानीय इमेज डिस्क्रिप्टर या इमेज डेटा के विज़ुअल प्रतिनिधित्व को संदर्भित करता है जो इमेज डोमेन में स्थानीय स्केल बदलने पर अपरिवर्तनीय रहता है। सामान्यीकृत डेरिवेटिव प्रतिक्रियाओं के पैमाने पर स्थानीय मैक्सिमा का पता लगाना छवि डेटा से स्केल इनवेरियन प्राप्त करने के लिए एक सामान्य ढांचा प्रदान करता है। अनुप्रयोगों के उदाहरणों में बूँद का पता लगाना, कोने का पता लगाना, रिज का पता लगाना और स्केल-इनवेरिएंट फीचर ट्रांसफॉर्म के माध्यम से ऑब्जेक्ट रिकग्निशन शामिल हैं।

यह भी देखें

 * उलटा वर्ग क्षमता
 * बिजली कानून
 * स्केल-फ्री नेटवर्क

अग्रिम पठन

 * Extensive discussion of scale invariance in quantum and statistical field theories, applications to critical phenomena and the epsilon expansion and related topics.