हॉकी-स्टिक की पहचान

साहचर्य गणित में, हॉकी-स्टिक की पहचान, क्रिसमस स्टॉकिंग पहचान, बूमरैंग पहचान, फ़र्मेट की पहचान या चू की प्रमेय, बताता है कि यदि $$n \geq r \ge 0$$ तो, पूर्णांक हैं


 * $$\binom{r}{r} + \binom{r+1}{r} + \binom{r+2}{r} + \cdots + \binom{n}{r} = \binom{n+1}{r+1}. $$

नाम पास्कल के त्रिकोण पर पहचान के ग्राफिकल प्रतिनिधित्व से उत्पन्न होता है: जब योग में दर्शाए गए जोड़ और योग को हाइलाइट किया जाता है, तो प्रकट आकार उन वस्तुओं की याद दिलाता है ( हाँकी स्टिक, क्रिसमस मोजा देखें)।

सूत्रीकरण
सारांश#नोटेशन का उपयोग करते हुए, पहचान बताई गई है


 * $$\sum^n_{i=r}{i\choose r}={n+1\choose r+1} \qquad \text{ for } n,r\in\mathbb{N}, \quad n\geq r$$

या समकक्ष, प्रतिस्थापन द्वारा दर्पण-छवि $$j\to i-r$$:


 * $$\sum^{n-r}_{j=0}{j+r\choose r}=\sum^{n-r}_{j=0}{j+r\choose j}={n+1\choose n-r} \qquad \text{ for } n,r\in\mathbb{N}, \quad n\geq r.$$

फ़ंक्शन प्रमाण उत्पन्न करना
अपने पास


 * $$X^r + X^{r+1} + \dots + X^{n} = \frac{X^r-X^{n+1}}{1-X}$$

होने देना $$X=1+x$$, और के गुणांकों की तुलना करें $$x^r$$.

आगमनात्मक और बीजगणितीय प्रमाण
आगमनात्मक और बीजगणितीय प्रमाण दोनों पास्कल की पहचान का उपयोग करते हैं:


 * $${n \choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}.$$

आगमनात्मक प्रमाण
इस पहचान को गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है $$n$$.

बेस केस होने देना $$n=r$$;


 * $$\sum^n_{i=r} {i\choose r} = \sum^r_{i=r}{i\choose r}={r\choose r} = 1 = {r+1\choose r+1} = {n+1\choose r+1}. $$

प्रेरक कदम मान लीजिए, कुछ के लिए $$k\in\mathbb{N}, k \geqslant r$$,


 * $$\sum^k_{i=r}{i\choose r}={k+1\choose r+1}$$

तब


 * $$\sum^{k+1}_{i=r} {i\choose r} = \left(\sum^k_{i=r} {i\choose r} \right) + {k+1\choose r}={k+1\choose r+1}+{k+1\choose r}={k+2\choose r+1}.$$

बीजगणितीय प्रमाण
हम योग की गणना को सरल बनाने के लिए टेलीस्कोपिंग श्रृंखला तर्क का उपयोग करते हैं:



\begin{align} \sum_{t=\color{blue}0}^n \binom{t}{k} =\sum_{t=\color{blue}k}^n\binom tk &= \sum_{t=k}^n\left[ \binom {t+1}{k+1}-\binom {t}{k+1}\right]\\ &=\sum_{t=\color{green}k}^{\color{green}n}\binom {\color{green}{t+1}}{k+1} - \sum_{t=k}^n \binom t{k+1}\\ &=\sum_{t=\color{green}{k+1}}^{\color{green}{n+1}}\binom {\color{green}{t}}{k+1} - \sum_{t=k}^n \binom t{k+1}\\ &=\binom{n+1}{k+1}-\underbrace{\binom k{k+1}}_0&&\text{by telescoping}\\ &=\binom{n+1}{k+1}. \end{align} $$

प्रमाण 1
कल्पना कीजिए कि हम वितरण कर रहे हैं $$n$$ अविभाज्य कैंडीज $$k$$ अलग पहचाने जाने वाले बच्चे. स्टार्स और बार्स (कॉम्बिनेटरिक्स) के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग द्वारा, वहाँ हैं


 * $$\binom{n+k-1}{ k-1}$$

ऐसा करने के तरीके. वैकल्पिक रूप से, हम पहले दे सकते हैं $$0\leqslant i\leqslant n$$ सबसे बड़े बच्चे को कैंडीज इसलिए हम अनिवार्य रूप से दे रहे हैं $$n-i$$ कैंडीज को $$k-1$$ बच्चों और फिर से, सितारों और बार और डबल काउंटिंग (प्रूफ़ तकनीक) के साथ, हमारे पास है


 * $$\binom{n+k-1}{ k-1}=\sum_{i=0}^n\binom{n+k-2-i}{k-2},$$

जो लेने से वांछित परिणाम को सरल बनाता है $$n' = n+k-2$$ और $$r=k-2$$, और उस पर ध्यान दे रहा हूँ $$n'-n = k-2=r$$:


 * $$\binom{n'+1}{ r+1}=\sum_{i=0}^n \binom {n'-i}r = \sum_{i=r}^{n'} \binom {i}r .$$

प्रमाण 2
हम आकार की एक समिति बना सकते हैं $$k+1$$ के एक समूह से $$n+1$$ लोगों में


 * $$ \binom{n+1}{k+1}$$

तौर तरीकों। अब हम संख्याएँ सौंपते हैं $$1,2,3,\dots,n-k+1$$ को $$n-k+1$$ की $$n+1$$ लोग। इसे हम इसमें विभाजित कर सकते हैं $$n-k+1$$ असंयुक्त मामले. सामान्य तौर पर, मामले में $$x$$, $$1\leqslant x\leqslant n-k+1$$, व्यक्ति $$x$$ समिति और व्यक्तियों पर है $$1,2,3,\dots, x-1$$ समिति में नहीं हैं. इसमें किया जा सकता है


 * $$\binom{n-x+1}{k}$$

तौर तरीकों। अब हम इनके मूल्यों का योग कर सकते हैं $$n-k+1$$ असंयुक्त मामले, प्राप्त करना


 * $$ \binom{n+1}{k+1} = \binom n k + \binom {n-1} k + \binom{n-2} k + \cdots + \binom{k+1} k+ \binom k k.$$

यह भी देखें

 * पास्कल की पहचान
 * पास्कल का त्रिकोण
 * लाइबनिज़ त्रिकोण
 * वेंडरमोंडे की पहचान

बाहरी संबंध

 * On AOPS
 * On StackExchange, Mathematics
 * Pascal's Ladder on the Dyalog Chat Forum