मोडुली (भौतिकी)

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में मोडुली (या अधिक उचित रूप से मोडुली क्षेत्र) शब्द का उपयोग कभी-कभी अदिश क्षेत्र को संदर्भित करने के लिए किया जाता है, जिनके संभावित ऊर्जा कार्य में वैश्विक न्यूनतम (ग्लोबल मिनिमा) के निरंतर परिवार होते हैं। ऐसे संभावित कार्य अधिकतर अतिसममित (सुपरसिमेट्री) प्रणाली में होते हैं। "मॉड्यूलस" शब्द को गणित से लिया गया है (या अधिक विशेष रूप से मोडुली अंतराल बीजगणितीय ज्यामिति से उधार लिया गया है) जहां इसे "पैरामीटर" के साथ समानार्थी रूप से प्रयोग किया जाता है। मोडुली शब्द (जर्मन में मॉडुलन) पहली बार 1857 में बर्नहार्ड रीमैन के प्रसिद्ध लेख्य "थ्योरी डेर एबेल'शेन फंक्शनेन" में दिखाई दिया।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों में मॉडुलि स्थिति
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों में संभावित शून्यक (वैकुआ) को सामान्यतौर पर अदिश क्षेत्र के निर्वात अपेक्षा मूल्यों द्वारा नामपत्र किया जाता है, क्योंकि लोरेंत्ज़ निश्चरता किसी भी उच्च स्पिन क्षेत्रों के निर्वात अपेक्षा मूल्य को खत्म करने के लिए मजबूर करता है। ये निर्वात अपेक्षा मान कोई भी मान ले सकते हैं जिसके लिए संभावित कार्य न्यूनतम है। नतीजतन, जब संभावित कार्य में वैश्विक मिनिमा वैश्विक न्यूनतम के निरंतर परिवार होते हैं तो क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के लिए वैकुआ का स्थान कई गुना (या ऑर्बिफोल्ड) होता है, जिसे सामान्यतौर पर निर्वात बहुविध कहा जाता है। इस बहुविध (मैनिफोल्ड) को अधिकतर वैकुआ का मॉडुलि स्थिति या शॉर्ट के लिए मॉडुलि स्थिति कहा जाता है।

मोडुली शब्द का उपयोग स्ट्रिंग सिद्धांत में विभिन्न निरंतर मापदंडों को संदर्भित करने के लिए भी किया जाता है जो संभावित स्ट्रिंग पृष्ठभूमि को नामपत्र करते हैं: तनु क्षेत्र की अपेक्षा मूल्य, पैरामीटर (जैसे त्रिज्या और जटिल संरचना) जो संघनन बहुविध के आकार को नियंत्रित करते हैं, इन मापदंडों को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में दर्शाया गया है, जो कम ऊर्जा पर स्ट्रिंग सिद्धांत का अनुमान लगाता है, ऊपर वर्णित उपयोग के साथ संपर्क बनाते हुए द्रव्यमान रहित अदिश क्षेत्रों के निर्वात अपेक्षा मूल्यों द्वारा स्ट्रिंग सिद्धांत में "मॉड्यूली स्पेस" शब्द का प्रयोग अधिकतर विशेष रूप से सभी संभावित स्ट्रिंग पृष्ठभूमि के स्थान को संदर्भित करने के लिए किया जाता है।

अति सममित गेज सिद्धांत मोडुली स्थिति
सामान्य क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों में, भले ही शास्त्रीय संभावित ऊर्जा को संभावित अपेक्षाओं के बड़े संग्रह पर कम से कम किया जाता है, एक बार क्वांटम सुधार सम्मिलित किए जाने पर यह सामान्य रूप से निश्चित है कि लगभग सभी विन्यास ऊर्जा को कम करने के लिए बंद हो जाते हैं। नतीजा यह है कि क्वांटम यांत्रिकी के रिक्तिका का संग्रह सामान्य तौर पर शास्त्रीय सिद्धांत की तुलना में बहुत छोटा होता है। एक उल्लेखनीय अपवाद तब होता है जब प्रश्न में विभिन्न रिक्तिकाएं समरूपता से संबंधित होती हैं जो सुनिश्चित करती है कि उनका ऊर्जा स्तर बिल्कुल गायब रहता हैं।

सुपरसिमेट्री क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में स्थिति बहुत अलग है सामान्य तौर पर इनमें निर्वात के बड़े मोडुली स्थान होते हैं जो किसी भी समरूपता से संबंधित नहीं होते हैं उदाहरण के लिए, मॉड्यूलि स्थिति पर विभिन्न उत्तेजनाओं के द्रव्यमान विभिन्न बिंदुओं पर भिन्न हो सकते हैं। अतिसममित (सुपरसिमेट्रिक) गेज सिद्धांतों के मोडुली रिक्त स्थान सामान्य रूप से गैर-अतिसममित सिद्धांतों की तुलना में गणना करने में आसान होते हैं क्योंकि क्वांटम सुधार सम्मिलित होने पर भी अतिसममित मोडुली स्थिति की अनुमत ज्यामिति को प्रतिबंधित करता है।

चार-आयामी सिद्धांतों के अनुमत मॉड्यूलि स्थिति
जितना अधिक अतिसममिति है निर्वात बहुविध पर प्रतिबंध उतना ही मजबूत है इसलिए, यदि अधिक ग्रहण करने वाले स्पिनरों की दी गई संख्या N के लिए एक प्रतिबंध नीचे दिखाई देता है, तो यह N के सभी बड़े मूल्यों के लिए भी लागू होता है।

= N = 1 सिद्धांत=

मॉड्यूलि स्पेस की ज्यामिति पर पहला प्रतिबंध 1979 में ब्रूनो जुमिनो द्वारा पाया गया था और अतिसममिति और काहलर बहुविध लेख में प्रकाशित हुआ था उन्होंने वैश्विक अतिसममिति के साथ 4-आयामों में N=1 सिद्धांत पर विचार किया N=1 का अर्थ है कि अतिसममित बीजगणित के फर्मीओनिक घटकों को एकल मेजराना सुपरचार्ज में इकट्ठा किया जा सकता है। इस तरह के सिद्धांत में एकमात्र अदिश चिरल सुपरफील्ड के जटिल अदिश हैं, उन्होंने पाया कि इन अदिशों के लिए अनुमत निर्वात अपेक्षा मूल्यों का निर्वात कई गुना न केवल जटिल है बल्कि काहलर भी कई गुना है।

यदि गुरुत्वाकर्षण को सिद्धांत में सम्मिलित किया जाता है, ताकि स्थानीय सुपरसिमेट्री हो तो परिणामी सिद्धांत को अतिगुरुत्वाकर्षण सिद्धांत कहा जाता है और मॉड्यूलि स्थिति की ज्यामिति पर प्रतिबंध मजबूत हो जाता है। मोडुली स्थिति केवल काहलर ही नहीं होना चाहिए बल्कि काहलर फॉर्म को अभिन्न कोहोलॉजी तक उठाना चाहिए। ऐसे बहुविध को हॉज बहुविध कहा जाता है। पहला उदाहरण 1979 के लेख ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के बिना अतिगुरुत्वाकर्षण में स्वतःस्फूर्त समरूपता ब्रेकिंग और हिग्स प्रभाव में दिखाई दिया और सामान्य कथन 3 साल बाद निश्चित कुछ सुपरग्रेविटी सिद्धांतों में न्यूटन के स्थिरांक का परिमाणीकरण दिखाई दिया।

= N = 2 सिद्धांत=

N = 2 सुपरसिमेट्री के साथ विस्तारित 4-आयामी सिद्धांतों में एकल डायराक स्पिनर अत्यधिक प्रभावकारी के अनुरूप स्थितियां अधिक मजबूत होती हैं। N=2 सुपरसिमेट्री बीजगणित में अदिश के साथ दो प्रतिनिधित्व होते हैं, वेक्टर मल्टीप्लेट जिसमें एक जटिल अदिश और हाइपरमल्टीप्लेट होता है जिसमें दो जटिल अदिश होते हैं। सदिश गुणकों के मॉडुलि स्थान को कूलम्ब शाखा कहा जाता है जबकि हाइपरमल्टीप्लेट्स को हिग्स शाखा कहा जाता है। कुल मोडुली स्थान स्थानीय रूप से इन दो शाखाओं का एक उत्पाद है, क्योंकि गैर-सामान्यीकरण प्रमेय का अर्थ है कि प्रत्येक का दशांश अन्य मल्टीप्लेट के क्षेत्रों से स्वतंत्र है। उदाहरण के लिए आर्गिरिईस, स्थानीय उत्पाद संरचना की आगे की चर्चा के लिए चार-आयामी अतिसममित क्षेत्र सिद्धांतों की गैर-प्रतिस्पर्धी गतिशीलता (पीपी 6-7 देखें)।

वैश्विक N = 2 की स्थिति में दूसरे शब्दों में गुरुत्वाकर्षण की अनुपस्थिति में मॉड्यूलि स्थिति की कूलम्ब शाखा एक विशेष काहलर बहुविध है। इस प्रतिबंध का पहला उदाहरण 1984 के लेख पोटेंशियल्स एंड सिमेट्रीज ऑफ जनरल गेज्ड N=2 सुपरग्रेविटी यांग-मिल्स मॉडल बाय बर्नार्ड डी विट और एंटोनी वान प्रोयेन द्वारा प्रकाशित किया गया था, जबकि अंतर्निहित ज्यामिति का एक सामान्य ज्यामितीय विवरण जिसे विशेष ज्यामिति कहा जाता है एंड्रयू स्ट्रोमिंगर द्वारा अपने 1990 के समाचार-पत्र विशेष ज्योमेट्री में प्रस्तुत किया गया था।

हिग्स शाखा एक हाइपरकाहलर बहुविध है जैसा कि लुइस अल्वारेज़ गौम और डैनियल जेड फ्रीडमैन ने अपने 1981 के समाचार-पत्र   अतिसममित सिग्मा मॉडल में ज्यामितीय संरचना और पराबैंगनी परिमितता में दिखाया था। गुरुत्वाकर्षण सहित अतिसममित स्थानीय हो जाती है फिर किसी को उसी हॉज की स्थिति को विशेष कहलर कूलम्ब शाखा में जोड़ने की आवश्यकता होती है जैसा कि N = 1 स्थिति में है। जोनाथन बैगर और एडवर्ड विटन ने अपने 1982 के समाचार-पत्र मैटर कपलिंग्स इन N=2 सुपरग्रेविटी में प्रदर्शित किया कि इस स्थिति में हिग्स शाखा एक चतुष्कोणीय काहलर बहुविध    होना चाहिए।

N>2 अति सममित
N>2 के साथ विस्तारित अतिगुरुत्वाकर्षण में मोडुली स्पेस हमेशा एक सममित स्पेस होना चाहिए।

संदर्भ

 * N=2 supergravity and N=2 superYang-Mills theory on general scalar manifolds: Symplectic covariance, gaugings and the momentum map contains a review of restrictions on moduli spaces in various supersymmetric gauge theories.