वर्णक्रमीय सिद्धांत

गणित में, वर्णक्रमीय सिद्धांत एकल वर्ग आव्यूह के आइजन्वेक्टर और एजेंवलुए सिद्धांत को विस्तारित करने वाले सिद्धांतों के लिए समावेशी शब्द है। जो विभिन्न प्रकार के गणितीय स्पेस में संचालक (गणित) की संरचना के बहुत व्यापक सिद्धांत के लिए है। यह रैखिक बीजगणित के अध्ययन और रैखिक समीकरणों की प्रणाली और उनके सामान्यीकरण के समाधान का परिणाम है। सिद्धांत विश्लेषणात्मक कार्य से जुड़ा है क्योंकि संचालक के वर्णक्रमीय गुण वर्णक्रमीय मापदंड के विश्लेषणात्मक कार्यों से संबंधित हैं। 

गणितीय पृष्ठभूमि
हिल्बर्ट अंतरिक्ष सिद्धांत के अपने मूल सूत्रीकरण में डेविड हिल्बर्ट द्वारा नाम वर्णक्रमीय सिद्धांत पेश किया गया था, जो असीम रूप से कई चर में द्विघात रूपों के संदर्भ में डाला गया था। इसलिए मूल वर्णक्रमीय प्रमेय को एक अनंत-आयामी सेटिंग में, दीर्घवृत्ताभ के प्रधान अक्ष प्रमेय पर प्रमेय के एक संस्करण के रूप में माना गया था। क्वांटम यांत्रिकी में बाद की खोज कि वर्णक्रमीय सिद्धांत उत्सर्जन स्पेक्ट्रम की विशेषताओं की व्याख्या कर सकता है इसलिए आकस्मिक था। हिल्बर्ट स्वयं इस सिद्धांत के अप्रत्याशित अनुप्रयोग से आश्चर्यचकित थे, यह देखते हुए कि मैंने विशुद्ध रूप से गणितीय रुचियों से असीम रूप से कई चर के अपने सिद्धांत को विकसित किया, और बिना किसी प्रस्तुति के इसे 'वर्णक्रमीय विश्लेषण' भी कहा कि यह बाद में भौतिकी के वास्तविक स्पेक्ट्रम के लिए आवेदन करेगा।.

वर्णक्रमीय सिद्धांत तैयार करने के तीन मुख्य विधि हैं । जिनमें से प्रत्येक को विभिन्न डोमेन में उपयोग मिलता है। हिल्बर्ट के प्रारंभिक सूत्रीकरण के बाद, अमूर्त हिल्बर्ट रिक्त स्पेस के बाद के विकास और उन पर एकल सामान्य संचालक के वर्णक्रमीय सिद्धांत भौतिकी की आवश्यकताओं के अनुकूल थे। जो जॉन वॉन न्यूमैन के काम के उदाहरण थे। सामान्य रूप से बनच बीजगणित को संबोधित करने के लिए इस पर निर्मित आगे का सिद्धांत यह विकास गेलफैंड प्रतिनिधित्व की ओर जाता है। जो कम्यूटेटिव बनच बीजगणित को आवरण करता है, और आगे गैर-कम्यूटेटिव हार्मोनिक विश्लेषण में ले जाता है।

फूरियर विश्लेषण के साथ संबंध बनाने में अंतर देखा जा सकता है। वास्तविक रेखा पर फूरियर रूपांतरण अर्थ में विभेदक संचालक के रूप में व्युत्पन्न का वर्णक्रमीय सिद्धांत है। किन्तु इसके लिए घटना को आवरण करने के लिए पहले से ही सामान्यीकृत आइजनफंक्शन (उदाहरण के लिए, एब्स्ट्रेक्ट हिल्बर्ट स्पेस के माध्यम से) से सरल किया जाता है। दूसरी ओर स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह के समूह बीजगणित का निर्माण करना सरल है। जिसके स्पेक्ट्रम में फूरियर रूपांतरण के मूल गुणों को सम्मिलित किया गया है, और यह पोंट्रीगिन द्वैत के माध्यम से किया जाता है।

कोई भी बनच रिक्त स्पेस पर संचालको के वर्णक्रमीय गुणों का अध्ययन कर सकता है। उदाहरण के लिए, बनच रिक्त स्पेस पर कॉम्पैक्ट संचालको में आव्यूह (गणित) के समान कई वर्णक्रमीय गुण होते हैं।

भौतिक पृष्ठभूमि
कंपन की भौतिकी की पृष्ठभूमि को इस प्रकार समझाया गया है।

"स्पेक्ट्रल सिद्धांत विभिन्न वस्तुओं की एक किस्म के स्थानीयकृत कंपन की जांच से जुड़ा है,परमाणु और अणु से रसायन विज्ञान में ध्वनिक वेवगाइड में बाधाएं। इन कंपनों में आवृत्ति होती है, और उद्देश्य यह तय करना है कि ऐसे स्थानीयकृत कंपन कब होते हैं, और आवृत्तियों की गणना कैसे करें। यह एक बहुत ही जटिल समस्या है क्योंकि प्रत्येक वस्तु में न केवल एक मौलिक स्वर होता है, किन्तु ओवरटोन की एक जटिल श्रृंखला भी होती है, जो एक शरीर से दूसरे में मौलिक रूप से भिन्न होती है।"

इस तरह के भौतिक विचारों का विधि स्तर पर गणितीय सिद्धांत से कोई लेना-देना नहीं है, किन्तु अप्रत्यक्ष साझेदारी के उदाहरण हैं (उदाहरण के लिए मार्क काक का प्रश्न क्या आप ड्रम के आकार को सुन सकते हैं)। हिल्बर्ट द्वारा स्पेक्ट्रम शब्द को अपनाने का श्रेय विलियम विर्टिंगर के 1897 के हिल अंतर समीकरण (जीन डाइयूडोने द्वारा) के पेपर को दिया गया है, और इसे बीसवीं शताब्दी के पहले दशक के समय उनके छात्रों द्वारा लिया गया था। उनमें से एरहार्ड श्मिट और हरमन वेइल भी सम्मिलित थे। हिल्बर्ट स्पेस के लिए वैचारिक आधार हिल्बर्ट के विचारों से एरहार्ड श्मिट और फ्रिगियस रिज्ज़ द्वारा विकसित किया गया था। यह लगभग बीस साल बाद था । जब श्रोडिंगर समीकरण के संदर्भ में क्वांटम यांत्रिकी तैयार की गई थी, कि परमाणु स्पेक्ट्रा के साथ संबंध बनाया गया था । कंपन के गणितीय भौतिकी के साथ संबंध पर पहले संदेह किया गया था, जैसा कि हेनरी पोंकारे ने टिप्पणी की थी। किन्तु सरल मात्रात्मक कारणों से खारिज कर दिया, बाल्मर श्रृंखला की व्याख्या अनुपस्थित थी। क्वांटम यांत्रिकी में बाद की खोज कि वर्णक्रमीय सिद्धांत परमाणु स्पेक्ट्रम की विशेषताओं की व्याख्या कर सकता है। इसलिए हिल्बर्ट के वर्णक्रमीय सिद्धांत का उद्देश्य होने के अतिरिक्त अकारण था।

स्पेक्ट्रम की परिभाषा
सामान्य बानाच स्पेस पर प्रत्येक स्पेस परिभाषित सीमित रैखिक संचालक T पर विचार करें। हम परिवर्तन बनाते हैं। $$ R_{\zeta} = \left( \zeta I - T \right)^{-1}.$$ यहाँ I व्युत्क्रम संकारक और ζ सम्मिश्र संख्या है। संकारक T का व्युत्क्रम, जो कि T-1, द्वारा परिभाषित किया गया है। $$T T^{-1} = T^{-1} T = I. $$ यदि व्युत्क्रम उपस्थित है, तो T को नियमित कहा जाता है। यदि यह अस्तित्व में नहीं है, तो T को एकवचन कहा जाता है।

इन परिभाषाओं के साथ, T का विश्लेषक समुच्चय सभी जटिल संख्याओं का समुच्चय है। जैसे कि Rζ उपस्थित है और परिबद्ध संचालिका है। इस समुच्चय को अधिकांशतः ρ(T) के रूप में दर्शाया जाता है। T का स्पेक्ट्रम सभी सम्मिश्र संख्याओं ζ का समुच्चय है। जैसे कि Rζ विफल उपस्थित नहीं है या असीमित है। अधिकांशतः T के स्पेक्ट्रम को σ(T) द्वारा निरूपित किया जाता है। फलन Rζρ(T) में सभी ζ के लिए (अर्थात, जहाँ भी Rζ एक बंधे हुए संचालक के रूप में उपस्थित है) को T का विश्लेषक औपचारिकता कहा जाता है। इसलिए T का स्पेक्ट्रम जटिल तल में T के विश्लेषक समुच्चय का पूरक है। T का प्रत्येक एजेंवलुए σ(T) से संबंधित है, किन्तु σ(T) में गैर-आइगेनवैल्यूज़ ​​​​हो सकते हैं।

यह परिभाषा बानाच स्पेस पर प्रयुक्त होती है, किन्तु निश्चित रूप से अन्य प्रकार के स्पेस भी उपस्थित हैं । उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल सदिश रिक्त स्पेस में बैनच स्पेस सम्मिलित है। किन्तु यह अधिक सामान्य हो सकता है। दूसरी तरफ, बनच रिक्त स्पेस में हिल्बर्ट रिक्त स्पेस सम्मिलित हैं, और यह ये स्पेस हैं । जो सबसे बड़ा अनुप्रयोग और सबसे समृद्ध सैद्धांतिक परिणाम प्राप्त करते हैं। उपयुक्त प्रतिबंधों के साथ, हिल्बर्ट स्पेस की संरचना के बारे में बहुत कुछ कहा जा सकता है। हिल्बर्ट स्पेस में वर्णक्रमीय सिद्धांत विशेष रूप से, स्व-आसन्न संचालको के लिए, स्पेक्ट्रम वास्तविक रेखा पर स्थित होता है और (सामान्य रूप से) असतत ईजेनवैल्यूज के बिंदु स्पेक्ट्रम के स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) का अपघटन होता है। ईगेनवैल्यूज की गणना 2C और विशेषता समीकरण और निरंतर स्पेक्ट्रम है।

वर्णक्रमीय सिद्धांत संक्षेप में
कार्यात्मक विश्लेषण और रैखिक बीजगणित में वर्णक्रमीय प्रमेय ऐसी स्थितियाँ स्थापित करता है। जिसके अनुसार संचालक को सरल रूप में सरल संचालको के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। चूंकि इस आलेख के लिए पूर्ण कठोर प्रस्तुति उपयुक्त नहीं है। हम ऐसा दृष्टिकोण अपनाते हैं । जो गैर-विशेषज्ञ के लिए अधिक समझदार होने के उद्देश्य से औपचारिक उपचार की कठोरता और संतुष्टि से बचाता है।

संचालको के लिए पॉल डिराक के ब्रा-केट नोटेशन की प्रारंभ करके इस विषय का वर्णन करना सबसे सरल है। उदाहरण के रूप में, एक बहुत ही विशेष रैखिक संचालक L को डाईडिक उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है।
 * $$ L = | k_1 \rangle \langle b_1 |, $$

"ब्रा" ⟨$b$1| के संदर्भ में और "केट" |$k$1⟩. एक फलन $f$ को केट द्वारा |f ⟩ के रूप में वर्णित किया गया है। कार्य $f(x)$ निर्देशांक पर परिभाषित $$(x_1, x_2, x_3, \dots)$$ के रूप में दर्शाया गया है।
 * $$ f(x)=\langle x, f\rangle $$

और f का परिमाण
 * $$ \|f \|^2 = \langle f, f\rangle =\int \langle f, x\rangle \langle x, f \rangle \, dx = \int f^*(x) f(x) \, dx $$

जहाँ अंकन (*) जटिल संयुग्म को दर्शाता है। यह आंतरिक उत्पाद विकल्प एक बहुत ही विशिष्ट आंतरिक उत्पाद स्पेस को परिभाषित करता है। जो तर्कों की व्यापकता को प्रतिबंधित करता है।

फलन f पर L का प्रभाव तब इस प्रकार वर्णित है।


 * $$ L | f\rangle = | k_1 \rangle \langle b_1 | f \rangle $$

यह परिणाम व्यक्त करते हुए कि f पर L का प्रभाव नया कार्य उत्पन्न करना है। $$ | k_1 \rangle $$ द्वारा दर्शाए गए आंतरिक उत्पाद $$\langle b_1 | f \rangle $$ से गुणा किया जाता है। अधिक सामान्य रैखिक संकारक L को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।


 * $$ L = \lambda_1 | e_1\rangle\langle f_1| + \lambda_2 | e_2\rangle \langle f_2| +   \lambda_3 | e_3\rangle\langle f_3| + \dots, $$

जहां $$ \{ \, \lambda_i \, \}$$ अदिश हैं और $$ \{ \, | e_i \rangle \, \} $$ आधार (रैखिक बीजगणित) और $$ \{ \, \langle f_i | \, \} $$ हैं । स्पेस के लिए दोहरा आधार और पारस्परिक आधार के बीच के संबंध को आंशिक रूप से वर्णित किया गया है।


 * $$ \langle f_i | e_j \rangle = \delta_{ij} $$

यदि ऐसी औपचारिकता प्रयुक्त होती है, तो $$ \{ \, \lambda_i \, \}$$ एल और कार्यों के आइगेनवैल्यूज़ ​​​​हैं । $$ \{ \, | e_i \rangle \, \} $$ L के आइजनफंक्शन हैं। आइगेनवैल्यूज़ ​​​​L के स्पेक्ट्रम में हैं।

कुछ स्वाभाविक प्रश्न हैं: यह औपचारिकता किन परिस्थितियों में काम करती है, और किन संचालको के लिए एल इस तरह के अन्य संचालको की श्रृंखला में विस्तार संभव है? क्या किसी भी कार्य को आइजनफंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है (क्या वे शाउडर आधार हैं) और किन परिस्थितियों में बिंदु स्पेक्ट्रम या निरंतर स्पेक्ट्रम उत्पन्न होता है? अनंत-आयामी रिक्त स्पेस और परिमित-आयामी रिक्त स्पेस के लिए औपचारिकताएं कैसे भिन्न होती हैं, या वे भिन्न होती हैं? क्या इन विचारों को रिक्त स्पेस के व्यापक वर्ग तक बढ़ाया जा सकता है? ऐसे सवालों का जवाब देना वर्णक्रमीय सिद्धांत का क्षेत्र है और इसके लिए कार्यात्मक विश्लेषण और आव्यूह (गणित) में अधिक पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है।

व्युत्क्रम का समाधान
यह खंड ब्रा-केट संकेतन का उपयोग करते हुए उपरोक्त खंड के कच्चे और तैयार विधि से जारी है, और कठोर उपचार के कई महत्वपूर्ण विवरणों पर प्रकाश डालता है। कठोर गणितीय उपचार विभिन्न संदर्भों में पाया जा सकता है। विशेष रूप से, स्पेस का आयाम n परिमित होगा।

उपरोक्त अनुभाग के ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करते हुए, समाधान संचालक को इस प्रकार लिखा जा सकता है।


 * $$I = \sum _{i=1} ^{n} | e_i \rangle \langle f_i | $$

जहां यह $$\{ |e_i\rangle\}$$ ऊपर माना जाता है। आधार (रैखिक बीजगणित) और $$ \{ \langle f_i | \}$$ हैं । संबंध को संतुष्ट करने वाले स्पेस के लिए पारस्परिक आधार है।


 * $$\langle f_i | e_j\rangle = \delta_{ij} . $$

समाधान संचालन की इस अभिव्यक्ति को निरूपण या समाधान का समाधान कहा जाता है। यह औपचारिक प्रतिनिधित्व व्युत्क्रम की मूल संपत्ति को संतुष्ट करता है।
 * $$ I^k = I $$

प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक k के लिए मान्य है।

स्पेस में किसी भी कार्य के लिए व्युत्क्रम के समाधान को प्रयुक्त करना $$| \psi \rangle$$, एक प्राप्त करता है।


 * $$I |\psi \rangle = |\psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} | e_i \rangle \langle f_i | \psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} c_i | e_i \rangle $$

जो आधार कार्यों के संदर्भ में ψ की सामान्यीकृत फूरियर { ei } श्रृंखला है।

यहाँ $$c_i = \langle f_i | \psi \rangle$$.

फॉर्म के कुछ संचालक समीकरण को देखते हुए।
 * $$O | \psi \rangle = | h \rangle $$

स्पेस में एच के साथ, इस समीकरण को उपरोक्त आधार पर औपचारिक के माध्यम से हल किया जा सकता है।
 * $$ O | \psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} c_i \left( O | e_i \rangle \right) =  \sum_{i=1}^{n} | e_i \rangle \langle f_i |  h \rangle, $$
 * $$\langle f_j|O| \psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} c_i \langle f_j| O | e_i \rangle  =  \sum_{i=1}^{n} \langle f_j| e_i \rangle \langle f_i | h \rangle  = \langle f_j |  h \rangle, \quad \forall j $$

जो संचालक समीकरण को आव्यूह समीकरण में परिवर्तित करता है। जो अज्ञात गुणांक cj निर्धारित करता है। सामान्यीकृत फूरियर गुणांक के संदर्भ में $$\langle f_j | h \rangle$$ एच और आव्यूह तत्वों की $$O_{ji}= \langle f_j| O | e_i \rangle $$ संचालक है।

आधार और पारस्परिक आधार की प्रकृति और अस्तित्व को स्थापित करने में वर्णक्रमीय सिद्धांत की भूमिका उत्पन्न होती है। विशेष रूप से,आधार में कुछ रैखिक संचालक एल के ईजिनफंक्शन सम्मिलित हो सकते हैं।


 * $$L | e_i \rangle = \lambda_i | e_i \rangle \, ; $$

{ λi के साथ} L के स्पेक्ट्रम से L के आइगेनवैल्यूज़ फिर ऊपर की व्युत्क्रम का समाधान L का युग्मक विस्तार प्रदान करता है।


 * $$LI = L = \sum_{i=1}^{n} L | e_i \rangle \langle f_i| = \sum_{i=1}^{n} \lambda _i | e_i \rangle \langle f_i | . $$

विश्लेषक संचालक
वर्णक्रमीय सिद्धांत का प्रयोग, विश्लेषक संचालक R है।


 * $$R = (\lambda I - L)^{-1},\, $$

L के आइजनफंक्शन और आइगेनवैल्यूज़ ​​​​के संदर्भ में मूल्यांकन किया जा सकता है, और L के अनुरूप ग्रीन का कार्य पाया जा सकता है।

स्पेस में कुछ इच्छानुसार कार्य करने के लिए R को प्रयुक्त करना,$$\varphi$$ कहते हैं ।


 * $$R |\varphi \rangle = (\lambda I - L)^{-1} |\varphi \rangle = \sum_{i=1}^n \frac{1}{\lambda- \lambda_i} |e_i \rangle \langle f_i | \varphi \rangle. $$

इस फलन में L के प्रत्येक एजेंवलुए पर जटिल λ-प्लेन में ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है। इस प्रकार, अवशेषों की कलन का उपयोग करते है।


 * $$\frac{1}{2\pi i } \oint_C R |\varphi \rangle d \lambda = -\sum_{i=1}^n |e_i \rangle   \langle f_i | \varphi \rangle  = -|\varphi \rangle,$$

जहाँ रेखा अभिन्न समुच्चय C के ऊपर है। जिसमें L के सभी आइगेनवैल्यूज़ ​​​​सम्मिलित हैं।

मान लीजिए कि हमारे कार्यों को कुछ निर्देशांक {xj}, वह है।


 * $$\langle x, \varphi \rangle = \varphi (x_1, x_2, ...). $$

अंकन का परिचय


 * $$ \langle x, y \rangle = \delta (x-y), $$

जहाँ δ(x − y) = δ(x1 − y1, x2 − y2, x3 − y3, ...) डायराक डेल्टा फलन है, हम लिख सकते हैं।


 * $$\langle x, \varphi \rangle = \int \langle x, y \rangle \langle y, \varphi \rangle dy. $$

तब:


 * $$\begin{align}

\left\langle x, \frac{1}{2\pi i } \oint_C \frac{\varphi}{\lambda I - L} d \lambda\right\rangle &= \frac{1}{2\pi i }\oint_C d \lambda \left \langle x, \frac{\varphi}{\lambda I - L} \right \rangle\\ &= \frac{1}{2\pi i } \oint_C d \lambda \int dy \left \langle x, \frac{y}{\lambda I - L} \right \rangle  \langle y, \varphi \rangle \end{align}$$ फलन G(x, y; λ) द्वारा परिभाषित है।


 * $$\begin{align}

G(x, y; \lambda) &= \left \langle x, \frac{y}{\lambda I - L} \right \rangle \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \langle x, e_i \rangle \left \langle f_i, \frac{e_j}{\lambda I - L} \right \rangle \langle f_j, y\rangle \\ &= \sum_{i=1}^n \frac{\langle x, e_i \rangle \langle f_i, y\rangle }{\lambda  - \lambda_i} \\ &= \sum_{i=1}^n \frac{e_i (x) f_i^*(y) }{\lambda - \lambda_i}, \end{align}$$ संचालक एल के लिए ग्रीन का कार्य कहा जाता है, और संतुष्ट करता है।
 * $$\frac{1}{2\pi i }\oint_C G(x,y;\lambda) \, d \lambda = -\sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle \langle f_i, y\rangle = -\langle x, y\rangle = -\delta (x-y). $$

संचालक समीकरण
संचालक समीकरण पर विचार करें।


 * $$(O-\lambda I ) |\psi \rangle = |h \rangle; $$

निर्देशांक के संदर्भ में:


 * $$\int \langle x, (O-\lambda I)y \rangle \langle y, \psi \rangle \, dy = h(x). $$

विशेष स्थिति λ = 0 है।

पिछले खंड का ग्रीन का कार्य है।


 * $$\langle y, G(\lambda) z\rangle = \left \langle y, (O-\lambda I)^{-1} z \right \rangle = G(y, z; \lambda),$$

और संतुष्ट करता है।


 * $$\int \langle x, (O - \lambda I) y \rangle \langle y, G(\lambda) z \rangle \, dy = \int \langle x, (O-\lambda I) y \rangle \left \langle y, (O-\lambda I)^{-1} z \right \rangle \, dy = \langle x, z \rangle = \delta (x-z).$$

इस ग्रीन की फलन प्रॉपर्टी का उपयोग करता है।


 * $$\int \langle x, (O-\lambda I) y \rangle G(y, z; \lambda ) \, dy = \delta (x-z). $$

फिर, इस समीकरण के दोनों पक्षों को h(z) से गुणा करना और समाकलित करना है।


 * $$\int dz \, h(z) \int dy \, \langle x, (O-\lambda I)y \rangle G(y, z; \lambda)=\int dy \, \langle x, (O-\lambda I) y \rangle \int dz \, h(z)G(y, z; \lambda) = h(x), $$

जो सुझाव देता है समाधान है।


 * $$\psi(x) = \int h(z) G(x, z; \lambda) \, dz.$$

यही है, फलन ψ(x) संचालक समीकरण को संतुष्ट करता है। यदि हम ओ के स्पेक्ट्रम को ढूंढ सकते हैं, और g का निर्माण कर सकते हैं। उदाहरण के लिए:


 * $$G(x, z; \lambda) = \sum_{i=1}^n \frac{e_i (x) f_i^*(z)}{\lambda - \lambda_i}.$$

g को खोजने के और भी कई विधि हैं। ग्रीन के फलन हरा .27 एस पर लेखों को असमांगी सीमा मान समस्याओं को हल करने के लिए देखें | ग्रीन के फलन और फ्रेडहोम सिद्धांत स्काई समीकरण पर लेख देखें। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि उपरोक्त गणित विशुद्ध रूप से औपचारिक है, और कठोर उपचार में कार्यात्मक विश्लेषण, हिल्बर्ट रिक्त स्पेस, वितरण (गणित) और आगे के अच्छे पृष्ठभूमि ज्ञान सहित कुछ सुंदर परिष्कृत गणित सम्मिलित हैं। अधिक विवरण के लिए इन लेखों और संदर्भों से परामर्श लें।

वर्णक्रमीय प्रमेय और रैले भागफल
ऑप्टिमाइज़ेशन समस्याएँ सममित मैट्रिसेस में ईजेनवैल्यूज़ और ईजेनवेक्टरों के दहनशील महत्व के बारे में सबसे उपयोगी उदाहरण हो सकती हैं। विशेष रूप से आव्यूह एम के संबंध में रैले भागफल के लिए उपयोग किया जाता है।

प्रमेय 'चलो एम एक सममित आव्यूह हो और एक्स को गैर-शून्य सदिश होने दें जो एम के संबंध में रैले भागफल को अधिकतम करता है। फिर, एक्स एम का एक ईजेनवेक्टर है। जो रैले भागफल के समान ईजेनवेल्यू के साथ है। इसके अतिरिक्त, यह एजेंवलुए M का सबसे बड़ा एजेंवलुए है।

प्रमाण वर्णक्रमीय प्रमेय मान लें। माना M का आइगेन मान $$\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n$$ है। चूँकि $$\{v_i\}$$ के बाद से एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं, किसी भी सदिश x को इस आधार (रैखिक बीजगणित) में व्यक्त किया जा सकता है।


 * $$x = \sum_i v_i^T x v_i$$

इस सूत्र को सिद्ध करने की विधि बहुत सरल है। अर्थात्,


 * $$\begin{align}

v_j^T \sum_i v_i^T x v_i = {} & \sum_{i} v_i^{T} x v_j^{T} v_i \\[4pt] = {} & (v_j^T x ) v_j^T v_j \\[4pt] = {} & v_j^T x \end{align}$$ x के संबंध में रैले भागफल का मूल्यांकन करें:


 * $$\begin{align}

x^T M x = {} & \left(\sum_i (v_i^T x) v_i\right)^T M \left(\sum_j (v_j^T x) v_j\right) \\[4pt] = {} & \left(\sum_i (v_i^T x) v_i^T\right) \left(\sum_j (v_j^T x) v_j\lambda_j \right) \\[4pt] = {} & \sum_{i,j} (v_i^T x) v_i^T(v_j^T x) v_j\lambda_j \\[4pt] = {} & \sum_j (v_j^T x)(v_j^T x)\lambda_j \\[4pt] = {} & \sum_{j} (v_j^T x)^2\lambda_j\le\lambda_n \sum_j (v_j^T x)^2 \\[4pt] = {} & \lambda_n x^T x, \end{align}$$ जहां हमने अंतिम पंक्ति में पारसेवल की व्युत्क्रम का उपयोग किया अंत में हम वह प्राप्त करते हैं।
 * $$\frac{x^T M x}{x^T x}\le \lambda_n$$

इसलिए रैले भागफल सदैव $$\lambda_n$$ से कम होता है।

यह भी देखें

 * कार्यात्मक गणना, संचालक सिद्धांत * लक्स जोड़ी
 * कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
 * रिज प्रोजेक्टर
 * स्व-आसन्न संचालक * स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण), समाधान औपचारिकता, स्पेक्ट्रम का अपघटन (कार्यात्मक विश्लेषण)
 * वर्णक्रमीय त्रिज्या, एक संचालक का स्पेक्ट्रम, वर्णक्रमीय त्रिज्या
 * कॉम्पैक्ट संचालको का वर्णक्रमीय सिद्धांत
 * सामान्य c * - बीजगणित का वर्णक्रमीय सिद्धांत
 * स्टर्म-लिउविल सिद्धांत, इंटीग्रल समीकरण, फ्रेडहोम सिद्धांत
 * कॉम्पैक्ट संचालक, आइसोस्पेक्ट्रल संचालक, पूर्ण मीट्रिक स्पेस
 * वर्णक्रमीय ज्यामिति
 * वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत
 * कार्यात्मक विश्लेषण विषयों की सूची

बाहरी संबंध

 * Evans M. Harrell II: A Short History of Operator Theory

Spektrum (Operatortheorie)