समूह क्रिया

गणित में, अंतरिक्ष पर एक समूह क्रिया (गणित) अंतरिक्ष के परिवर्तन (ज्यामिति) के समूह में दिए गए समूह (गणित) का एक समूह समरूपता है। इसी तरह, एक गणितीय संरचना पर एक समूह क्रिया संरचना के ऑटोमोर्फिज्म समूह में एक समूह का समूह समरूपता है। ऐसा कहा जाता है कि समूह अंतरिक्ष या संरचना पर 'कार्य' करता है। यदि कोई समूह किसी संरचना पर कार्य करता है, तो वह आमतौर पर उस संरचना से निर्मित वस्तुओं पर भी कार्य करेगा। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन आइसोमेट्री का समूह यूक्लिडियन स्पेस पर और उसमें खींची गई आकृतियों पर भी कार्य करता है। उदाहरण के लिए, यह सभी त्रिकोणों के सेट पर कार्य करता है। इसी तरह, पॉलीहेड्रॉन के समरूपता का समूह पॉलीहेड्रॉन के शीर्ष (ज्यामिति), किनारे (ज्यामिति) और फलक (ज्यामिति) पर कार्य करता है।

सदिश स्थान पर एक समूह क्रिया को समूह का समूह प्रतिनिधित्व कहा जाता है। एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष के मामले में, यह उपसमूहों के साथ कई समूहों की पहचान करने की अनुमति देता है $GL(n, K)$, आयाम के व्युत्क्रमणीय आव्यूहों का समूह $n$ एक क्षेत्र पर (गणित) $K$.

सममित समूह $Sn$ के साथ किसी भी सेट (गणित) पर कार्य करता है $n$ तत्वों को सेट के तत्वों की अनुमति देकर। यद्यपि एक समुच्चय के सभी क्रमपरिवर्तनों का समूह औपचारिक रूप से समुच्चय पर निर्भर करता है, समूह क्रिया की अवधारणा किसी को एक समूह पर विचार करने की अनुमति देती है ताकि सभी सेटों के क्रमपरिवर्तन का अध्ययन समान कार्डिनैलिटी के साथ किया जा सके।

वाम समूह कार्रवाई
यदि $G$ पहचान तत्व वाला समूह है $e$, तथा $X$ एक सेट है, फिर एक (बाएं) समूह क्रिया $&alpha;$ का $G$ पर $X$ एक समारोह है


 * $$\alpha\colon G \times X \to X,$$

जो निम्नलिखित दो स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है:

(साथ $&alpha;(g, x)$ अक्सर छोटा कर दिया जाता है $gx$ या $g &sdot; x$ जब विचार की जा रही कार्रवाई संदर्भ से स्पष्ट हो):
 * Identity:
 * $$\alpha(e,x)=x$$
 * Compatibility:
 * $$\alpha\left(g,\alpha\left(h,x\right)\right)=\alpha\left(gh,x\right)$$
 * }
 * }



सभी के लिए $g$ तथा $h$ में $G$ और सभी $x$ में $X$.
 * Identity:
 * $$e\cdot x = x$$
 * Compatibility:
 * $$g\cdot(h\cdot x) = (gh) \cdot x$$
 * }
 * }

समूह $G$ पर कार्रवाई करने के लिए कहा जाता है $X$ (बाएं से)। एक सेट $X$ एक साथ की कार्रवाई के साथ $G$ कहा जाता है (बाएं) $G$-समूह।

इन दो अभिगृहीतों से यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी नियत के लिए $g$ में $G$, समारोह से $X$ खुद के लिए कौन सा नक्शा $x$ प्रति $g &sdot; x$ एक आक्षेप है, व्युत्क्रम आक्षेप के साथ के लिए संबंधित मानचित्र $g^{&minus;1}$. इसलिए, कोई समान रूप से एक समूह कार्रवाई को परिभाषित कर सकता है $G$ पर $X$ से एक समूह समरूपता के रूप में $G$ सममित समूह में $Sym(X)$ सभी आपत्तियों से $X$ खुद को।

सही समूह कार्रवाई
इसी तरह, की एक सही समूह कार्रवाई $G$ पर $X$ एक समारोह है


 * $$\alpha\colon X \times G \to X,$$

जो अनुरूप स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है:

(साथ $&alpha;(x, g)$ अक्सर छोटा कर दिया जाता है $xg$ या $x &sdot; g$ जब विचार की जा रही कार्रवाई संदर्भ से स्पष्ट हो)
 * Identity:
 * $$\alpha(x,e)=x$$
 * Compatibility:
 * $$\alpha\left(\alpha\left(x,g\right),h\right)=\alpha\left(x,gh\right)$$
 * }
 * }



सभी के लिए $g$ तथा $h$ में $G$ और सभी $x$ में $X$.
 * Identity:
 * $$x \cdot e = x$$
 * Compatibility:
 * $$(x \cdot g) \cdot h = x \cdot (gh)$$
 * }
 * }

बाएँ और दाएँ क्रियाओं के बीच का अंतर उस क्रम में है जिसमें एक उत्पाद $gh$ पर कार्य करता है $x$. वामपंथी कार्रवाई के लिए, $h$ पहले कार्य करता है, उसके बाद $g$ दूसरा। सही कार्रवाई के लिए, $g$ पहले कार्य करता है, उसके बाद $h$ दूसरा। सूत्र के कारण $(gh)^{−1} = h^{−1}g^{−1}$, समूह के व्युत्क्रम संचालन के साथ रचना करके एक बाएं क्रिया का निर्माण एक सही क्रिया से किया जा सकता है। साथ ही, एक समूह की सही कार्रवाई $G$ पर $X$ इसके विपरीत समूह की बाईं क्रिया के रूप में माना जा सकता है $G^{op}$ पर $X$.

इस प्रकार, समूह क्रियाओं के सामान्य गुणों को स्थापित करने के लिए, यह केवल बाईं क्रियाओं पर विचार करने के लिए पर्याप्त है। हालांकि, ऐसे मामले हैं जहां यह संभव नहीं है। उदाहरण के लिए, एक समूह का गुणन समूह पर ही बाएं क्रिया और दाएं क्रिया दोनों को प्रेरित करता है - क्रमशः बाईं ओर और दाईं ओर गुणन।

क्रियाओं के उल्लेखनीय गुण
होने देना $$G$$ एक सेट पर अभिनय करने वाला समूह बनें $$X$$. क्रिया कहलाती हैयायदि $$g \cdot x = x$$ सभी के लिए $$x \in X$$ इसका आशय है $$g = e_G$$. समान रूप से, रूपवाद से $$G$$ के आपत्तियों के समूह के लिए $$X$$ कार्रवाई के अनुरूप इंजेक्शन है।

क्रिया कहलाती है(या अर्ध-नियमित या निश्चित-बिंदु मुक्त) यदि कथन है कि $$g \cdot x = x$$ कुछ के लिए $$x \in X$$ पहले से ही इसका तात्पर्य है $$g = e_G$$. दूसरे शब्दों में, का कोई गैर-तुच्छ तत्व नहीं $$G$$ का एक बिंदु तय करता है $$X$$. यह वफादारी से कहीं अधिक मजबूत संपत्ति है।

उदाहरण के लिए, बाएं गुणन द्वारा किसी भी समूह की कार्रवाई स्वयं पर मुक्त है। यह अवलोकन केली के प्रमेय का तात्पर्य है कि किसी भी समूह को एक सममित समूह में एम्बेड किया जा सकता है (जो कि समूह होने पर अनंत है)। एक परिमित समूह अपनी प्रमुखता की तुलना में बहुत छोटे आकार के सेट पर ईमानदारी से कार्य कर सकता है (हालांकि ऐसी कार्रवाई मुक्त नहीं हो सकती)। उदाहरण के लिए एबेलियन 2-ग्रुप $$(\mathbb Z/2\mathbb Z)^n$$ (कार्डिनैलिटी का $$2^n$$) आकार के एक सेट पर ईमानदारी से कार्य करता है $$2n$$. यह हमेशा मामला नहीं होता है, उदाहरण के लिए चक्रीय समूह $$\mathbb Z/2^n\mathbb Z$$ से कम आकार के सेट पर ईमानदारी से कार्य नहीं कर सकता $$2^n$$.

सामान्य तौर पर सबसे छोटा सेट जिस पर एक वफादार कार्रवाई को परिभाषित किया जा सकता है, उसी आकार के समूहों के लिए बहुत भिन्न हो सकता है। उदाहरण के लिए, आकार 120 के तीन समूह सममित समूह हैं $$S_5$$, आइकोसाहेड्रल समूह $$A_5 \times \mathbb Z/2\mathbb Z$$ और चक्रीय समूह $$\mathbb Z / 120\mathbb Z$$. सबसे छोटे समूह जिन पर इन समूहों के लिए विश्वासयोग्य कार्यों को परिभाषित किया जा सकता है, वे क्रमशः आकार 5, 12 और 16 के हैं।

ट्रांजिटिविटी गुण
की कार्रवाई $$G$$ पर $$X$$ कहा जाता हैअगर किन्हीं दो बिंदुओं के लिए $$x, y \in X$$ वहाँ एक मौजूद है $$g \in G$$ ताकि $$g \cdot x = y$$.

क्रिया है(या तीव्र संक्रमणीय, या) यदि यह सकर्मक और मुक्त दोनों है। इसका मतलब है कि दिया गया $$x, y \in X$$ तत्व $$g$$ संक्रामकता की परिभाषा में अद्वितीय है। यदि $$X$$ एक समूह द्वारा केवल सकर्मक रूप से कार्य किया जाता है $$G$$ तो इसे के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान कहा जाता है $$G$$ या ए $$G$$-मस्तिष्क।

एक पूर्णांक के लिए $$n \ge 1$$, क्रिया है यदि $$X$$ कम से कम है $$n$$ तत्वों, और किसी भी जोड़ी के लिए $$n$$-टुपल्स $$(x_1, \ldots, x_n), (y_1, \ldots, y_n) \in X^n$$ जोड़ीदार अलग प्रविष्टियों के साथ (अर्थात $$x_i \not=x_j$$, $$y_i \not=y_j$$ जब $$i \not= j$$) वहाँ मौजूद है $$g \in G$$ ऐसा है कि $$g \cdot x_i = y_i$$ के लिये $$i=1,\ldots,n$$. दूसरे शब्दों में के उपसमुच्चय पर क्रिया $$X^n$$ बार-बार प्रविष्टियों के बिना टुपल्स की संख्या सकर्मक है। के लिये $$n=2, 3$$ इसे अक्सर डबल, क्रमशः ट्रिपल, ट्रांजिटिविटी कहा जाता है। 2-संक्रमणीय समूहों का वर्ग (अर्थात, एक परिमित सममित समूह के उपसमूह जिनकी क्रिया 2-संक्रमणीय है) और अधिक सामान्यतः बहुगुणित सकर्मक समूह परिमित समूह सिद्धांत में अच्छी तरह से अध्ययन किए जाते हैं।

एक क्रिया है जब बार-बार प्रविष्टियों के बिना टुपल्स पर कार्रवाई $$X^n$$ तीव्र संक्रमणीय है।

उदाहरण
के सममित समूह की क्रिया $$X$$ सकर्मक है, वास्तव में $$n$$-किसी के लिए सकर्मक $$n$$ की कार्डिनैलिटी तक $$X$$. यदि $$X$$ कार्डिनैलिटी है $$n,$$ वैकल्पिक समूह की क्रिया है $$(n-2)$$-सकर्मक लेकिन नहीं $$(n-1)$$-सकर्मक।

एक सदिश स्थान के सामान्य रैखिक समूह की क्रिया $$V$$ मंच पर $$V \setminus \{0\}$$ गैर-शून्य वैक्टर सकर्मक है, लेकिन 2-सकर्मक नहीं है (इसी तरह विशेष रैखिक समूह की कार्रवाई के लिए यदि आयाम $$v$$ कम से कम 2) है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के ऑर्थोगोनल समूह की क्रिया अशून्य सदिशों पर सकर्मक नहीं है, लेकिन यह इकाई क्षेत्र पर है।

आदिम क्रियाएं
की कार्रवाई $$G$$ पर $$X$$ के समुच्चय का विभाजन न होने पर आदिम कहलाता है $$X$$ के सभी तत्वों द्वारा संरक्षित $$G$$ तुच्छ विभाजनों के अलावा (एक टुकड़े में विभाजन और इसके दोहरे, एकल में विभाजन)।

सांस्थितिक गुण
मान लो की $$X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और की क्रिया है $$G$$ होमियोमॉर्फिज्म द्वारा है।

कार्रवाई भटक रही है अगर हर $$x \in X$$ एक पड़ोस है $$U$$ जैसे कि केवल बहुत से हैं $$g \in G$$ साथ $$g\cdot U \cap U \not= \emptyset$$. अधिक आम तौर पर, एक बिंदु $$x \in X$$ की कार्रवाई के लिए असंततता का बिंदु कहा जाता है $$G$$ यदि कोई खुला उपसमुच्चय है $$U \ni x$$ जैसे कि केवल बहुत से हैं $$g \in G$$ साथ $$g\cdot U \cap U \not= \emptyset$$. क्रिया के असातत्य का क्षेत्र असातत्य के सभी बिंदुओं का समुच्चय है। समान रूप से यह सबसे बड़ा है $$G$$-स्थिर खुला सबसेट $$\Omega \subset X$$ ऐसी कि कार्रवाई $$G$$ पर $$\Omega$$ भटक रहा है। गतिशील संदर्भ में इसे वांडरिंग सेट भी कहा जाता है।

यदि प्रत्येक कॉम्पैक्ट सबसेट के लिए क्रिया ठीक से बंद हो जाती है $$K \subset X$$ निश्चित रूप से बहुत सारे हैं $$g \in G$$ ऐसा है कि $$g \cdot K \cap K \not= \emptyset$$. यह भटकने से सख्त मजबूत है; उदाहरण के लिए की कार्रवाई $$\mathbb Z$$ पर $$\mathbb{R}^2 \setminus \{(0,0)\}$$ के द्वारा दिया गया $$n\cdot (x, y) = (2^n x, 2^{-n} y)$$ भटक रहा है और मुक्त है लेकिन ठीक से बंद नहीं है। एक कवरिंग स्पेस पर स्थानीय रूप से बस जुड़े स्थान के मौलिक समूह के डेक ट्रांसफॉर्मेशन द्वारा कार्रवाई भटक रही है और मुक्त है। इस तरह की कार्रवाइयों को निम्नलिखित संपत्ति की विशेषता हो सकती है: प्रत्येक $$x \in X$$ एक पड़ोस है $$U$$ ऐसा है कि $$g \cdot U \cap U = \emptyset$$ हरएक के लिए $$g \in G \setminus \{e_G\}$$. इस संपत्ति के साथ क्रियाओं को कभी-कभी स्वतंत्र रूप से असंतत कहा जाता है, और सबसे बड़ा उपसमुच्चय जिस पर कार्रवाई स्वतंत्र रूप से बंद होती है, उसे मुक्त नियमित सेट कहा जाता है। एक समूह की एक क्रिया $$G$$ स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान पर $$X$$ कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय मौजूद होने पर सहकॉम्पैक्ट कहा जाता है $$A \subset X$$ ऐसा है कि $$X = G \cdot A$$. एक ठीक से बंद कार्रवाई के लिए, सहसंबद्धता भागफल स्थान की कॉम्पैक्टनेस के बराबर है $$G \backslash X$$.

स्थलाकृतिक समूहों की क्रियाएं
अब मान लीजिए $$G$$ एक सामयिक समूह है और $$X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस जिस पर यह होमोमोर्फिज्म द्वारा कार्य करता है। कार्रवाई को निरंतर कहा जाता है यदि नक्शा $$G \times X \to X$$ उत्पाद टोपोलॉजी के लिए निरंतर है।

कार्रवाई कहा जाता हैअगर नक्शा $$G \times X \to X \times X$$ द्वारा परिभाषित $$(g, x) \mapsto (x, g\cdot x)$$ उचित मानचित्र है। इसका मतलब है कि दिए गए कॉम्पैक्ट सेट $$K, K'$$ के समुच्चय $$g \in G$$ ऐसा है कि $$g \cdot K \cap K' \not= \emptyset$$ कॉम्पैक्ट है। विशेष रूप से, यह उचित विच्छेदन के बराबर है जब $$G$$ एक असतत समूह है।

यदि पड़ोस मौजूद है तो इसे स्थानीय रूप से मुक्त कहा जाता है $$U$$ का $$e_G$$ ऐसा है कि $$g \cdot x \not= x$$ सभी के लिए $$x \in X$$ तथा $$g \in U \setminus \{e_G\}$$.

यदि कक्षीय मानचित्र हो तो क्रिया को दृढ़ता से निरंतर कहा जाता है $$g \mapsto g \cdot x$$ हर के लिए निरंतर है $$ x \in X$$. नाम से पता चलता है कि इसके विपरीत, यह कार्रवाई की निरंतरता की तुलना में कमजोर संपत्ति है। यदि $$G$$ एक झूठ समूह है और $$X$$ एक अलग-अलग कई गुना, फिर कार्रवाई के लिए चिकनी बिंदुओं का उप-स्थान बिंदुओं का सेट है $$x \in X$$ ऐसा है कि नक्शा $$x \mapsto g \cdot x$$ चिकना नक्शा है। लाई समूह क्रियाओं का एक सुविकसित सिद्धांत है, अर्थात ऐसी क्रियाएं जो पूरे स्थान पर सहज होती हैं।

रैखिक क्रियाएं
यदि $$g$$ एक कम्यूटेटिव रिंग पर एक मॉड्यूल (गणित) पर रैखिक परिवर्तनों द्वारा कार्य करता है, यदि कोई उचित गैर-शून्य नहीं है तो कार्रवाई को इरेड्यूसबल कहा जाता है $$g$$-अपरिवर्तनीय सबमॉड्यूल। इसे अर्ध-सरल कहा जाता है यदि यह अपरिवर्तनीय क्रियाओं के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित हो जाता है।

ऑर्बिट और स्टेबलाइजर्स
समूह G पर विचार करें जो समुच्चय X पर कार्य कर रहा हैएक्स में एक तत्व एक्स एक्स में तत्वों का समूह है जिसमें जी के तत्वों द्वारा एक्स को स्थानांतरित किया जा सकता है। एक्स की कक्षा को दर्शाया जाता है $$G \cdot x$$: $$G \cdot x = \{ g \cdot x : g \in G \}.$$ एक समूह के परिभाषित गुण इस बात की गारंटी देते हैं कि G की कार्रवाई के तहत X की कक्षाओं का सेट (अंक x in) X के एक सेट का एक विभाजन बनाता है। संबद्ध तुल्यता संबंध को यह कहकर परिभाषित किया जाता है $$x \sim y$$ अगर और केवल अगर जी में जी मौजूद है $$g \cdot x = y.$$ कक्षाएँ तब इस संबंध के अंतर्गत तुल्यता वर्ग हैं; दो तत्व x और y समतुल्य हैं यदि और केवल यदि उनकी कक्षाएँ समान हैं, अर्थात, $$G \cdot x = G \cdot y.$$ समूह क्रिया समूह क्रिया है (गणित) # क्रियाओं के प्रकार यदि और केवल यदि इसकी ठीक एक कक्षा है, अर्थात, यदि X में x मौजूद है $$G \cdot x = X.$$ यह मामला है अगर और केवल अगर $$G \cdot x = X$$ के लिये x में X (दिया गया है कि X खाली नहीं है)।

G की क्रिया के तहत X की सभी कक्षाओं के सेट को X/G (या, कम बार: G\X) के रूप में लिखा जाता है, और इसे कहा जाता हैकार्रवाई का। ज्यामितीय स्थितियों में इसे कहा जा सकता है, जबकि बीजगणितीय स्थितियों में इसे का स्थान कहा जा सकता है, और लिखा $$X_G,$$ इनवेरिएंट्स (फिक्स्ड पॉइंट्स) के विपरीत, एक्स को निरूपित कियाG: सहपरिवर्तक a हैं जबकि अपरिवर्तनीय हैं a. कॉइनवेरिएंट शब्दावली और संकेतन का उपयोग विशेष रूप से ग्रुप कोहोमोलॉजी और ग्रुप होमोलॉजी में किया जाता है, जो एक ही सुपरस्क्रिप्ट/सबस्क्रिप्ट कन्वेंशन का उपयोग करते हैं।

अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय
यदि Y, X का उपसमुच्चय है, तो $$G \cdot Y$$ सेट को दर्शाता है $$\{ g \cdot y : g \in G \text{ and } y \in Y \}.$$ उपसमुच्चय Y को G के अंतर्गत अपरिवर्तनीय कहा जाता है यदि $$G \cdot Y = Y$$ (जो बराबर है $$G \cdot Y \subseteq Y$$). उस स्थिति में, G भी Y पर कार्रवाई को Y तक सीमित करके संचालित करता है। सबसेट Y को G के तहत निश्चित कहा जाता है यदि $$g \cdot y = y$$ G में सभी g के लिए और Y में सभी y के लिए। प्रत्येक उपसमुच्चय जो G के अंतर्गत निश्चित है, G के अंतर्गत भी अपरिवर्तनीय है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।

प्रत्येक कक्षा X का एक अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय है जिस पर G समूह क्रिया (गणित) # क्रियाओं के प्रकार कार्य करता है। इसके विपरीत, X का कोई भी अपरिवर्तनीय उपसमुच्चय कक्षाओं का एक संघ है। X पर G की क्रिया सकर्मक है यदि और केवल यदि सभी तत्व समतुल्य हैं, जिसका अर्थ है कि केवल एक कक्षा है।

X का G-इनवेरिएंट तत्व है $$x \in X$$ ऐसा है कि $$g \cdot x = x$$ सभी के लिए $$g \in G.$$ ऐसे सभी x के समुच्चय को निरूपित किया जाता है $$X_G$$ और X का G-इनवेरिएंट कहा जाता है। जब X एक G-मॉड्यूल है|G-मॉड्यूल, XG X में गुणांकों के साथ G का शून्य समूह कोहोलॉजी समूह है, और उच्च कोहोलॉजी समूह G-invariants के फ़ैक्टर के व्युत्पन्न फ़ैक्टर हैं।

निश्चित बिंदु और स्टेबलाइजर उपसमूह
जी में जी और एक्स में एक्स के साथ दिया गया $$g \cdot x = x,$$ यह कहा जाता है कि x, g का एक निश्चित बिंदु है या कि g, x को ठीक करता है। एक्स में हर एक्स के लिए, 'G का x के संबंध में (जिसे आइसोट्रॉपी समूह या छोटा समूह भी कहा जाता है) ) जी में सभी तत्वों का सेट है जो एक्स को ठीक करता है: $$G_x = \{g \in G : g \cdot x = x\}.$$ यह जी का एक उपसमूह है, हालांकि आम तौर पर सामान्य नहीं है। X पर G की क्रिया समूह क्रिया है (गणित) # क्रियाओं के प्रकार यदि और केवल यदि सभी स्टेबलाइजर्स तुच्छ हैं। सममित समूह के साथ समरूपता का कर्नेल एन, $$G \to \operatorname{Sym}(X),$$ स्टेबलाइजर्स जी के इंटरसेक्शन (सेट सिद्धांत) द्वारा दिया गया हैxX में सभी x के लिए। यदि N तुच्छ है, तो क्रिया को विश्वासयोग्य (या प्रभावी) कहा जाता है।

मान लीजिए x और y, X में दो अवयव हैं, और मान लीजिए $$g$$ एक समूह तत्व ऐसा हो कि $$y = g \cdot x.$$ फिर दो स्टेबलाइजर समूह $$G_x$$ तथा $$G_y$$ से संबंधित हैं $$G_y = g G_x g^{-1}.$$ प्रमाण: परिभाषा के अनुसार, $$h \in G_y$$ अगर और केवल अगर $$h \cdot (g \cdot x) = g \cdot x.$$ को लागू करने $$g^{-1}$$ इस समानता पैदावार के दोनों पक्षों के लिए $$\left(g^{-1} hg\right) \cdot x = x;$$ वह है, $$g^{-1} h g \in G_x.$$ एक विपरीत समावेशन लेने के समान ही होता है $$h \in G_x$$ और मान लीजिए $$x = g^{-1} \cdot y.$$ ऊपर कहा गया है कि एक ही कक्षा में तत्वों के स्टेबलाइजर्स एक दूसरे के लिए संयुग्मन वर्ग हैं। इस प्रकार, प्रत्येक कक्षा में, हम G के एक उपसमूह के संयुग्मी वर्ग को संबद्ध कर सकते हैं (अर्थात, उपसमूह के सभी संयुग्मों का समुच्चय)। होने देना $$(H)$$ H के संयुग्मी वर्ग को निरूपित करें। फिर कक्षा O का प्रकार है $$(H)$$ अगर स्टेबलाइजर $$G_x$$ O में कुछ/किसी x का है $$(H)$$. एक अधिकतम कक्षा प्रकार को अक्सर एक प्रमुख कक्षा प्रकार कहा जाता है।

और बर्नसाइड का लेम्मा
कक्षाएँ और स्टेबलाइजर्स निकट से संबंधित हैं। X में निश्चित x के लिए, मानचित्र पर विचार करें $$f : G \to X$$ के द्वारा दिया गया $$g \mapsto g \cdot x.$$ परिभाषा के अनुसार छवि $$f(G)$$ इस नक्शे की कक्षा है $$G \cdot x.$$ दो तत्वों की एक ही छवि होने की स्थिति है $$f(g)=f(h) \iff g\cdot x=h \cdot x \iff g^{-1}h \cdot x=x \iff g^{-1}h \in G_x \iff h \in gG_x.$$ दूसरे शब्दों में, $$f(g) = f(h) $$ अगर और केवल अगर $$g$$ तथा $$h$$ स्टेबलाइजर उपसमूह के लिए एक ही कोसेट में झूठ बोलना $$G_x$$. इस प्रकार, फाइबर (गणित) $$f^{-1}(\{y\})$$ G·x में किसी भी y के ऊपर का f इस तरह के कोसेट में समाहित है, और ऐसा हर कोसेट फाइबर के रूप में भी होता है। इसलिए f प्रेरित करता है सेट के बीच $$G/G_x$$ स्टेबलाइज़र उपसमूह और कक्षा के लिए कोसेट्स की $$G \cdot x,$$ जो भेजता है $$gG_x \mapsto g \cdot x$$. इस परिणाम को कक्षा-स्थिरीकरण प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

यदि G परिमित है तो कक्षा-स्थिरीकरण प्रमेय, साथ में लैग्रेंज की प्रमेय (समूह सिद्धांत) | लैग्रेंज का प्रमेय, देता है $$|G \cdot x| = [G\,:\,G_x] = |G| / |G_x|,$$ दूसरे शब्दों में x की कक्षा की लंबाई उसके स्टेबलाइजर के क्रम से समूह का क्रम है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य है कि कक्षा की लंबाई समूह क्रम का विभाजक है।


 * 'उदाहरण:' मान लीजिए G एक अभाज्य कोटि p का एक समूह है जो k तत्वों वाले समुच्चय X पर कार्य करता है। चूँकि प्रत्येक कक्षा में या तो 1 या p तत्व होते हैं, इसलिए कम से कम $$k \bmod p$$ लंबाई 1 की कक्षाएँ जो G-अपरिवर्तनीय तत्व हैं।

यह परिणाम विशेष रूप से उपयोगी है क्योंकि इसे तर्कों की गणना के लिए नियोजित किया जा सकता है (आमतौर पर उन स्थितियों में जहां एक्स भी सीमित है)।

एक यह भी देखता है $$\left(\left(G_1\right)_2\right)_3$$ केवल पहचान ऑटोमोर्फिज्म के होते हैं, क्योंकि जी फिक्सिंग 1, 2 और 3 के किसी भी तत्व को अन्य सभी शिखरों को भी ठीक करना चाहिए, क्योंकि वे 1, 2 और 3 के निकट के द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। पूर्ववर्ती गणनाओं को मिलाकर, अब हम प्राप्त कर सकते हैं $$|G| = 8\cdot3\cdot2\cdot1 = 48.$$ कक्षा-स्थिरीकरण प्रमेय से निकटता से संबंधित परिणाम बर्नसाइड की लेम्मा है: $$|X/G|=\frac{1}{|G|}\sum_{g\in G} |X^g|,$$ जहां एक्सजी जी द्वारा निर्धारित बिंदुओं का समूह है। यह परिणाम मुख्य रूप से तब उपयोग किया जाता है जब जी और एक्स परिमित होते हैं, जब इसे निम्नानुसार व्याख्या किया जा सकता है: कक्षाओं की संख्या प्रति समूह तत्व तय किए गए बिंदुओं की औसत संख्या के बराबर होती है।

एक समूह जी को ठीक करना, परिमित जी-सेट के औपचारिक मतभेदों का सेट जी की बर्नसाइड रिंग नामक एक अंगूठी बनाता है, जहां जोड़ अलग संघ से मेल खाता है, और कार्टेशियन उत्पाद के गुणन से मेल खाता है।

उदाहरण

 * Theकिसी समुच्चय X पर किसी समूह G की क्रिया द्वारा परिभाषित किया जाता है g⋅x = x G में सभी g और X में सभी x के लिए; अर्थात्, प्रत्येक समूह तत्व X पर पहचान फलन को प्रेरित करता है।
 * प्रत्येक समूह G में, बायाँ गुणन G पर G की एक क्रिया है: g⋅x = gx सभी जी के लिए, जी में एक्स। यह क्रिया मुक्त और संक्रमणीय (नियमित) है, और केली के प्रमेय के तेजी से प्रमाण का आधार बनाती है - कि प्रत्येक समूह सेट जी के क्रमपरिवर्तन के सममित समूह के उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है।
 * उपसमूह एच के साथ प्रत्येक समूह जी में, बाएं गुणन कोसेट जी/एच के सेट पर जी की एक क्रिया है: g⋅aH = gaH G में सभी g,a के लिए। विशेष रूप से यदि H में G का कोई गैर-तुच्छ सामान्य उपसमूह नहीं है, तो यह G से डिग्री [G : H] के क्रमपरिवर्तन समूह के एक उपसमूह में एक समरूपता को प्रेरित करता है।
 * प्रत्येक समूह G में, आंतरिक ऑटोमोर्फिज़्म G पर G की एक क्रिया है: g⋅x = gxg−1. एक घातीय संकेतन आमतौर पर राइट-एक्शन वेरिएंट के लिए उपयोग किया जाता है: xg = g−1xg; यह संतुष्ट करता है (xg)h = xgh.
 * उपसमूह एच के साथ प्रत्येक समूह जी में, संयुग्मन एच के संयुग्मों पर जी की एक क्रिया है: g⋅K = gKg−1 G में सभी g और H के K संयुग्मों के लिए।
 * सममित समूह Sn और इसके उपसमूह सेट पर कार्य करते हैं { 1, …, n } इसके तत्वों की अनुमति देकर
 * किसी बहुफलक का सममिति समूह उस बहुफलक के शीर्षों के समुच्चय पर कार्य करता है। यह फलकों के समुच्चय या बहुफलक के किनारों के समुच्चय पर भी कार्य करता है।
 * किसी भी ज्यामितीय वस्तु का सममिति समूह उस वस्तु के बिन्दुओं के समुच्चय पर कार्य करता है।
 * सदिश स्थान (या ग्राफ़ सिद्धांत, या समूह, या वलय...) का ऑटोमोर्फिज़्म समूह सदिश स्थान (या ग्राफ़, या समूह, या वलय के शीर्षों का सेट...) पर कार्य करता है।
 * सामान्य रैखिक समूह GL(n, K) और इसके उपसमूह, विशेष रूप से इसके लाई उपसमूह (विशेष रैखिक समूह सहित SL(n, K), ओर्थोगोनल समूह O(n, K), विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(n, K), और सहानुभूति समूह Sp(n, K)) वे समूह हैं जो सदिश स्थान K पर कार्य करते हैंएन. समूह संचालन K से वैक्टर वाले समूहों से मैट्रिसेस को गुणा करके दिया जाता हैएन.
 * सामान्य रैखिक समूह GL(n, Z) Z . में काम करती हैn प्राकृतिक मैट्रिक्स क्रिया द्वारा। इसकी क्रिया की कक्षाओं को 'Z' में वेक्टर के निर्देशांक के सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा वर्गीकृत किया गया है।एन.
 * affine समूह एक affine स्थान के बिंदुओं पर # प्रकार की क्रियाओं को कार्य करता है, और affine समूह के उपसमूह V (अर्थात, एक सदिश स्थान) में इन बिंदुओं पर सकर्मक और मुक्त (अर्थात, नियमित) क्रिया होती है; वास्तव में इसका उपयोग Affine space#Definition की परिभाषा देने के लिए किया जा सकता है।
 * प्रक्षेपी रैखिक समूह PGL(n + 1, K) और इसके उपसमूह, विशेष रूप से इसके लाई उपसमूह, जो लाई समूह हैं जो प्रोजेक्टिव स्पेस पी पर कार्य करते हैंएन(के)। यह प्रक्षेपी स्थान पर सामान्य रेखीय समूह की कार्रवाई का भागफल है। विशेष उल्लेखनीय है PGL(2, K), प्रक्षेप्य रेखा की समरूपता, जो तीव्र रूप से 3-संक्रमणीय है, क्रॉस अनुपात को संरक्षित करती है; मोबियस समूह PGL(2, C) विशेष रुचि है।
 * विमान की आइसोमेट्री 2डी छवियों और पैटर्न के सेट पर कार्य करती है, जैसे कि वॉलपेपर समूह। छवि या पैटर्न से क्या मतलब है, यह निर्दिष्ट करके परिभाषा को और अधिक सटीक बनाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, रंगों के एक सेट में मूल्यों के साथ स्थिति का एक कार्य। आइसोमेट्री वास्तव में एफाइन ग्रुप (कार्रवाई) का एक उदाहरण है।
 * समूह जी द्वारा कार्य किए गए सेट में जी-सेट की श्रेणी (गणित) शामिल है जिसमें वस्तुएं जी-सेट हैं और मॉर्फिज्म जी-सेट होमोमोर्फिज्म हैं: फ़ंक्शन f : X → Y ऐसा है कि g⋅(f(x)) = f(g⋅x) जी में प्रत्येक जी के लिए
 * क्षेत्र विस्तार एल/के का गैलोइस समूह एल क्षेत्र पर कार्य करता है लेकिन उपक्षेत्र के के तत्वों पर केवल एक छोटी सी कार्रवाई होती है। गैल (एल/के) के उपसमूह एल के उपक्षेत्रों के अनुरूप होते हैं जिनमें के, यानी मध्यवर्ती होता है। L और K के बीच क्षेत्र विस्तार।
 * वास्तविक संख्याओं का योगात्मक समूह (R, +) समय अनुवाद द्वारा शास्त्रीय यांत्रिकी (और अधिक सामान्य गतिशील प्रणालियों में) में अच्छी तरह से व्यवहार किए गए सिस्टम के चरण स्थान पर कार्य करता है: यदि t 'R' में है और x चरण स्थान में है, तो x सिस्टम की स्थिति का वर्णन करता है, और t + x यदि t धनात्मक है या −t सेकण्ड पहले यदि t ऋणात्मक है तो इसे t सेकंड बाद प्रणाली की स्थिति के रूप में परिभाषित किया जाता है।
 * वास्तविक संख्याओं का योज्य समूह (R, +) वास्तविक चर के वास्तविक कार्यों के सेट पर विभिन्न तरीकों से कार्य करता है, उदाहरण के लिए (t⋅f)(x) के बराबर, f(x + t), f(x) + t, f(xet), f(x)et, f(x + t)et, या f(xet) + t, लेकिन नहीं f(xet + t).
 * X पर G की समूह क्रिया को देखते हुए, हम X के घात सेट पर G की प्रेरित क्रिया को परिभाषित कर सकते हैं। g⋅U = {g⋅u : u ∈ U} X के प्रत्येक उपसमुच्चय U और G में प्रत्येक g के लिए। यह उपयोगी है, उदाहरण के लिए, 24-सेट पर बड़े मैथ्यू समूह की क्रिया का अध्ययन करने और परिमित ज्यामिति के कुछ मॉडलों में समरूपता का अध्ययन करने में।
 * चतुष्कोण 1 (छंद) के मानक के साथ चतुष्कोण, गुणक समूह के रूप में, 'आर' पर कार्य करते हैं3: ऐसे किसी भी quaternion के लिए z = cos α/2 + v sin α/2, मैपिंग f(x) = zxz∗ यूनिट वेक्टर 'v' द्वारा दिए गए अक्ष के बारे में कोण α के माध्यम से वामावर्त रोटेशन है; z एक ही घुमाव है; चतुष्कोण और स्थानिक घुमाव देखें। ध्यान दें कि यह एक विश्वसनीय कार्रवाई नहीं है क्योंकि चतुष्कोण -1 सभी बिंदुओं को वहीं छोड़ देता है जहां वे थे, जैसा कि चतुष्कोण 1 करता है।
 * बाएं जी-सेट दिए गए हैं $$X,Y$$, एक बायां जी-सेट है $$Y^X$$ जिनके तत्व G-equivariant मानचित्र हैं $$\alpha:X\times G\to Y$$, और बाएं जी-एक्शन द्वारा दिया गया $$g\cdot\alpha=\alpha\circ (id_X\times-g)$$ (कहाँ पे$$-g$$द्वारा सही गुणा को इंगित करता है $$g$$). इस जी-सेट में यह गुण है कि इसके निश्चित बिंदु समतुल्य मानचित्रों के अनुरूप हैं $$X\to Y$$; अधिक सामान्यतः, यह जी-सेट की श्रेणी में एक घातीय वस्तु है।

ग्रुप एक्शन और ग्रुपॉयड्स
ग्रुप एक्शन की धारणा को एक्शन ग्रुपॉइड द्वारा एनकोड किया जा सकता है $$G'=G \ltimes X$$ समूह क्रिया से संबंधित। एक्शन के स्टेबलाइजर्स ग्रुपॉयड के शीर्ष समूह हैं और एक्शन की कक्षाएँ इसके घटक हैं।

जी-सेट के बीच आकारिकी और समरूपता
यदि X और Y दो G-समुच्चय हैं, तो X से Y तक एक रूपवाद एक फलन है f : X → Y ऐसा है कि f(g⋅x) = g⋅f(x) जी में सभी जी और एक्स में सभी एक्स के लिए। जी-सेट के आकारिकी को समकक्ष मानचित्र या जी-मानचित्र भी कहा जाता है।

दो morphisms की संरचना फिर से एक morphism है। यदि एक आकृतिवाद f आच्छादक है, तो इसका व्युत्क्रम भी एक आकारिकी है। इस मामले में f को एक समरूपता कहा जाता है, और दो G-सेट X और Y को समरूपी कहा जाता है; सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, आइसोमॉर्फिक जी-सेट अप्रभेद्य हैं।

कुछ उदाहरण समरूपता:
 * प्रत्येक नियमित G क्रिया बाएं गुणन द्वारा दिए गए G पर G की क्रिया के लिए आइसोमोर्फिक है।
 * प्रत्येक मुक्त G क्रिया के लिए तुल्याकारी है G × S, जहाँ S कुछ समुच्चय है और G कार्य करता है G × S पहले निर्देशांक पर बाएँ गुणन द्वारा। (S को कक्षा X/G का समुच्चय माना जा सकता है।)
 * प्रत्येक सकर्मक G क्रिया, G के कुछ उपसमूह H के बाएँ कोसेट के सेट पर G द्वारा बाएँ गुणन के लिए आइसोमॉर्फिक है। (H को मूल G-सेट के किसी भी तत्व के स्टेबलाइज़र समूह के रूप में लिया जा सकता है।)

रूपवाद की इस धारणा के साथ, सभी जी-सेटों का संग्रह एक श्रेणी सिद्धांत बनाता है; यह श्रेणी एक ग्रोथेंडिक टोपोस है (वास्तव में, एक शास्त्रीय मेटालॉजिक मानते हुए, यह टोपोस बूलियन भी होगा)।

वेरिएंट और सामान्यीकरण
हम ऊपर बताए गए समान दो अभिगृहीतों का उपयोग करके समुच्चयों पर मोनोइड्स की क्रियाओं पर भी विचार कर सकते हैं। हालांकि यह विशेषण मानचित्र और तुल्यता संबंधों को परिभाषित नहीं करता है। सेमीग्रुप एक्शन देखें।

सेट पर क्रियाओं के बजाय, हम समूहों और मोनोइड्स की क्रियाओं को एक मनमाना श्रेणी की वस्तुओं पर परिभाषित कर सकते हैं: किसी श्रेणी के ऑब्जेक्ट X से शुरू करें, और फिर X पर एक क्रिया को एक मोनोइड होमोमोर्फिज्म के रूप में एक्स के एंडोमोर्फिज्म के मोनोइड में परिभाषित करें। यदि X का एक अंतर्निहित सेट है, तो ऊपर बताई गई सभी परिभाषाओं और तथ्यों को आगे बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम सदिश समष्टियों की श्रेणी लेते हैं, तो हमें इस प्रकार समूह निरूपण प्राप्त होते हैं।

हम समूह जी को एक ऐसी श्रेणी के रूप में देख सकते हैं जिसमें एक ही वस्तु है जिसमें प्रत्येक रूपवाद उलटा हो सकता है। ए (बाएं) समूह कार्रवाई तब जी से सेट की श्रेणी के लिए एक (सहसंयोजक) फ़ैक्टर के अलावा कुछ भी नहीं है, और एक समूह प्रतिनिधित्व जी से वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में एक फ़ंक्टर है। जी-सेट के बीच एक रूपवाद तब समूह क्रिया फ़ैक्टरों के बीच एक प्राकृतिक परिवर्तन है। समानता में, ग्रुपॉयड की एक क्रिया ग्रुपॉयड से सेट की श्रेणी या किसी अन्य श्रेणी के लिए एक मज़ेदार है।

टोपोलॉजिकल स्पेस पर टोपोलॉजिकल समूहों की निरंतर समूह कार्रवाई के अलावा, कई बार झूठ समूहों की कई गुना, बीजीय विविधता पर बीजगणितीय समूहों की नियमित कार्रवाई, और योजना (गणित) पर समूह योजनाओं की समूह-योजना कार्रवाई पर भी विचार किया जाता है। ये सभी समूह वस्तुओं के उदाहरण हैं जो अपनी संबंधित श्रेणी की वस्तुओं पर कार्य करते हैं।

यह भी देखें

 * लाभ ग्राफ
 * ऑपरेटरों के साथ समूह
 * मापने योग्य समूह कार्रवाई
 * मोनॉयड क्रिया

संदर्भ