बलयुग्म (यांत्रिकी)

यांत्रिकी में बलयुग्म परिणामी बल (या शुद्ध बल या योग) बलाघूर्ण के साथ बलों की प्रणाली है। किन्तु कोई परिणामी बल नहीं है।

एक उत्कृष्ठ शब्द बल बलयुग्म या शुद्ध क्षण है। इसका प्रभाव कोणीय गति प्रदान करना है। किन्तु कोई रैखिक गति नहीं है। कठोर वस्तु की गतिशीलता में बलयुग्म 'मुक्त सदिश स्थल' हैं। जिसका अर्थ है कि वस्तु पर उनके प्रभाव आवेदन के बिंदु से स्वतंत्र हैं।

बलयुग्म का परिणामी क्षण एक स्थिति होती है। बलयुग्म के पास गुण है कि वह संदर्भ बिंदु से स्वतंत्र है।

साधारण बलयुग्म

 * परिभाषा

बलयुग्म एक सभी बलों का युग्म है और परिमाण में बराबर, विपरीत दिशा में निर्देशित और लंबवत दूरी से विस्थापित होता है।

सबसे सरल प्रकार के बलयुग्म में दो समान और विपरीत बल होते हैं। जिनकी क्रिया रेखा मिलती जुलती है। इसे सिंपल कपल कहते हैं। बलों का एक मोड़ प्रभाव या क्षण होता है। जिसे अक्ष के बारे में टॉर्क कहा जाता है। जो बलों के विमान के लिए सामान्य (ज्यामिति) (लंबवत) होता है। बलयुग्म के बलाघूर्ण के लिए एसआई इकाई न्यूटन मीटर है।

यदि दो बल $F$ और $−F$ हैं। तो टॉर्क का यूक्लिडियन वेक्टर निम्न सूत्र द्वारा दिया जाता है: $$\tau = F d $$ जहाँ-
 * $$\tau$$ बलयुग्म का क्षण है।
 * $F$ बल का परिमाण है।
 * $d$ दो समानांतर बलों के बीच लंबवत दूरी (आघूर्ण) है।

टॉर्क का परिमाण $F • d$ के बराबर है। इकाई वेक्टर द्वारा दिए गए टॉर्क की दिशा $$\hat{e}$$ के साथ जो दो बलों वाले विमान के लंबवत है और धनात्मक वामावर्त बलयुग्म है। जब $d$ बलों के दो बिंदुओं के बीच सदिश के रूप में लिया जाता है तो टॉर्क का क्रॉस उत्पाद $d$ और $F$ है, अर्थात- $$ \mathbf{\tau} = | \mathbf{d} \times \mathbf{F} | .$$  संदर्भ बिंदु की स्वतंत्रता 

किसी बल के प्रभाव को केवल एक निश्चित बिंदु $P$ के संबंध में परिभाषित किया जाता है। (यह पल के बारे में कहा जाता है $P$ ) और सामान्यतः जब $P$ बदल जाता है। तो बल का प्रभाव भी बदल जाता है। चूंकि बलयुग्म का प्रभाव (टॉर्क) संदर्भ बिंदु $P$ से स्वतंत्र है। कोई भी बिंदु वही प्रभाव देगा। दूसरे शब्दों में बलयुग्म किसी भी अधिक सामान्य बलाघूर्ण के विपरीत मुक्त सदिश है। (इस तथ्य को पियरे वैरिग्नन का सेकंड मोमेंट प्रमेय कहा जाता है।) इसका प्रमाण इस प्रकार है: माना कि बल सदिशों का एक समुच्चय $F1$, $F2$ है। जो एक युग्म बनाते हैं। स्थिति वैक्टर के साथ (कुछ मूल के बारे में $P$) $r1$, $r2$, आदि, क्रमशः $P$ के बारे में बलाघूर्ण हैं-
 * $$M = \mathbf{r}_1\times \mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2\times \mathbf{F}_2 + \cdots$$

अब हम एक नया संदर्भ बिंदु चुनते हैं। जो $P'$ से भिन्न है। $P$ वेक्टर द्वारा $r$ नया बलाघूर्ण है।
 * $$M' = (\mathbf{r}_1+\mathbf{r})\times \mathbf{F}_1 + (\mathbf{r}_2+\mathbf{r})\times \mathbf{F}_2 + \cdots$$

अब क्रॉस उत्पाद की वितरण गुण का तात्पर्य है।
 * $$M' = \left(\mathbf{r}_1\times \mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2\times \mathbf{F}_2 + \cdots\right) + \mathbf{r}\times \left(\mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 + \cdots \right).$$

चूंकि एक बल बलयुग्म की परिभाषा का अर्थ है।
 * $$\mathbf{F}_1 + \mathbf{F}_2 + \cdots = 0.$$

इसलिए-
 * $$M' = \mathbf{r}_1\times \mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2\times \mathbf{F}_2 + \cdots = M$$

यह प्रमाणित करता है कि बलाघूर्ण संदर्भ बिंदु से स्वतंत्र है। जो इस बात का प्रमाण है कि बलयुग्म मुक्त सदिश है।

बल और बलयुग्म
द्रव्यमान के केंद्र से दूरी d पर कठोर वस्तु पर लगाए गए बल F का वही प्रभाव होता है। जो समान बल सीधे द्रव्यमान के केंद्र पर निर्धारित होता है और बलयुग्म Cℓ = Fd है। बलयुग्म के तल पर समकोण पर कठोर वस्तु का कोणीय त्वरण उत्पन्न करता है। द्रव्यमान के केंद्र में बल की दिशा में अभिविन्यास में बदलाव के बिना वस्तु को गति देता है। सामान्य प्रमेय हैं कि एक कठोर पिंड के किसी भी बिंदु O' पर कार्य करने वाला बल किसी भी बिंदु O पर समान और समानांतर बल F द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और F के समानांतर बलों वाला बलयुग्म जिसका बलाघूर्ण M = Fd है, d का पृथक्करण है। इसके विपरीत बलयुग्म के तल में बलयुग्म और बल को उचित रूप से स्थित बल द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।


 * किसी भी बलयुग्म को एक ही दिशा और बलाघूर्ण के समान विमान में किसी भी वांछित बल या किसी वांछित भुजा के द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

अनुप्रयोग
मैकेनिकल इंजीनियरिंग और भौतिक विज्ञान में बलयुग्म बहुत महत्वपूर्ण हैं। कुछ उदाहरण हैं:
 * किसी के हाथ से पेचकस पर लगने वाला बल।
 * पेचकश की नोक द्वारा पेंच के सिर पर लगाया गया बल।
 * कताई प्रोपेलर पर कार्य करने वाले बलों को खींचें।
 * एक समान विद्युत क्षेत्र में विद्युत द्विध्रुव पर बल।
 * अंतरिक्ष यान पर प्रतिक्रिया नियंत्रण प्रणाली।
 * स्टीयरिंग व्हील पर हाथों द्वारा लगाया गया बल।

यह भी देखें

 * ट्रैक्शन (इंजीनियरिंग)
 * टॉर्क
 * बलाघूर्ण (भौतिकी)
 * बल

संदर्भ

 * H.F. Girvin (1938) Applied Mechanics, §28 Couples, pp 33,4, Scranton Pennsylvania: International Textbook Company.