पोंट्रीगिन द्वैत

गणित में, पोन्ट्रियाजिन द्विविधता स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों के मध्य एक द्विविधता है, जो सामान्य रूप से फूरियर को ऐसे सभी समूहों में परिवर्तित करने की अनुमति देता है, जिसमें वृत्त समूह (मापांक एक की जटिल संख्याओं का गुणक समूह), परिमित एबेलियन समूह (असतत संस्थितिविज्ञान के साथ) सम्मिलित हैं, और पूर्णांकों का योगात्मक समूह (असतत संस्थितिविज्ञान के साथ भी), वास्तविक संख्याएँ, और $p$-एडिक क्षेत्र पर प्रत्येक परिमित आयामी सदिश स्थान है।

स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह का पोन्ट्रियाजिन द्विक स्थानतः सुसंहत एबेलियन सांस्थितिक समूह है, जो समूह से वृत्त समूह तक बिन्दुवार गुणक की कार्य प्रणाली और सुसंहत समूह पर एकसमान अभिसरण के संस्थितिविज्ञान के साथ समूह समरूपता द्वारा बनाया गया है। पोन्ट्रियाजिन द्विविधता प्रमेय पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को यह कहते हुए स्थापित करता है कि कोई भी स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह स्वाभाविक रूप से द्विभाषी (इसके दोहरे का दोहरा) के साथ समरूपीय है। फूरियर उलटा प्रमेय इस प्रमेय का एक विशेष स्थिति है।

इस विषय का नाम लेव पोन्ट्रियाजिन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1934 में अपने प्रारंभिक गणितीय कार्यों के पर्यन्त स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों और उनके द्वंद्व के सिद्धांत की नींव रखी थी। पोन्ट्रियाजिन के उपचार समूहों के दूसरे-गणनीय होने और या तो सुसंहत या असतत होने पर निर्भर था।1935 में एगबर्ट वैन कम्पेन और 1940 में आंद्रे वेइल द्वारा स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों को आच्छादित करने के लिए इसमें सुधार किया गया था।

परिचय
पोन्ट्रियाजिन द्विविधता एकीकृत संदर्भ में वास्तविक रेखा पर या परिमित एबेलियन समूहों पर कार्यों के विषयो में कई टिप्पणियों को प्रस्तुत करता है:


 * वास्तविक रेखा पर उचित रूप से नियमित जटिल-मूल्यवान आवधिक कार्यों में फूरियर श्रृंखला होती है और इन कार्यों को उनकी फूरियर श्रृंखला से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है;
 * वास्तविक रेखा पर उचित रूप से नियमित जटिल-मूल्यवान कार्यों में फूरियर रूपांतरण होते हैं जो वास्तविक रेखाओ पर भी कार्य करते हैं ,और आवधिक कार्यों के लिए, इन कार्यों को उनके फूरियर रूपांतरणों से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है; और
 * एक एबेलियन समूहों पर जटिल-मूल्यवान कार्यों में असतत फूरियर रूपांतरण होते हैं, जो दोहरे समूह पर कार्य करते हैं, और जो एक (गैर-प्रामाणिक रूप से) समरूपीय समूह है। इसके अतिरिक्त, परिमित एबेलियन समूह पर कोई भी कार्य इसके असतत फूरियर रूपांतरण से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

सिद्धांत, लेव पोन्ट्रियाजिन द्वारा प्रस्तुत किया गया और जॉन वॉन न्यूमैन, आंद्रे वेइल और अन्य द्वारा प्रस्तुत किए गए हार मापको के साथ मिलकर स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह के दोहरे समूह के सिद्धांत पर निर्भर करता है।

यह सदिश स्थान के दोहरे सदिश स्थान के अनुरूप है: एक परिमित-आयामी सदिश स्थान V और इसका दोहरा सदिश स्थान V* स्वाभाविक रूप से समरूपीय नहीं है, परन्तु एक का अंतःरूपांतरण बीजगणितीय (आव्यूह बीजगणितीय) अंतःरूपांतरण के विपरीत समरूपीय है, और दूसरे का बीजगणितीय: $$\text{End}(V) \cong {\text{End}(V^*)}^\text{op},$$ परिवर्त के माध्यम से दर्शाया जाता है। इसी प्रकार एक समूह $$G$$ और इसका दोहरा समूह $$\widehat{G}$$ सामान्य रूप से समरूपीय नहीं होते हैं, परन्तु उनके अंतःरूपांतरण के वलय एक दूसरे के विपरीत होते हैं: $$\text{End}(G) \cong \text{End}(\widehat{G})^\text{op}$$अधिक स्पष्ट रूप से, यह केवल अंतःरूपांतरण बीजगणितीय की एक समरूपता नहीं है, बल्कि श्रेणियों की एक विपरीत तुल्यता है। इसके लिए श्रेणीबद्ध विचार देखें।

परिभाषा
एक सांस्थितिक समूह स्थानतः सुसंहत समूह है, यदि अंतर्निहित सांस्थितिक दिकस्थान स्थानतः सुसंहत और हॉसडॉर्फ है; एक सांस्थितिक समूह एबेलियन है यदि अंतर्निहित समूह एबेलियन है। स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों के उदाहरणों में परिमित एबेलियन समूह, पूर्णांक (दोनों असतत संस्थितिविज्ञान के लिए, जो सामान्य मापीय द्वारा भी प्रेरित होते हैं), वास्तविक संख्याएं, वृत्त समूह टी (दोनों अपने सामान्य मापीय संस्थितिविज्ञान के साथ), और पी-एडिक संख्या (उनके सामान्य पी-एडिक संस्थितिविज्ञान के साथ) सम्मिलित हैं।

स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह $$G$$ के लिए, पोन्ट्रियाजिन दोहरी समूह $$\widehat G$$ निरंतर समूह समरूपता से $$G$$ वृत्त समूह $$T$$ है,अर्थात $$\widehat G := \operatorname{Hom}(G, T).$$ पोन्ट्रियाजिन दोहरी $$\widehat G$$ सामान्यतः सुसंहत समूह पर समान अभिसरण द्वारा दी गई है, संस्थितिविज्ञान (अर्थात, सभी निरंतर कार्यों के स्थान पर सुसंहत-ओपन संस्थितिविज्ञान द्वारा प्रेरित संस्थितिविज्ञान $$G$$ को $$T$$) से संपन्न होता है।

उदाहरण के लिए,$$\widehat{\Z/n\Z}= \Z/n\Z,\ \widehat {\Z} = T,\ \widehat {\mathbb R} = \R,\ \widehat T = \Z.$$

पोन्ट्रियाजिन द्विविधता प्रमेय
$$

विहित रूप का अर्थ है कि स्वाभाविक रूप से परिभाषित प्रतिचित्र $$\operatorname{ev}_G\colon G \to \widehat{\widehat{G}}$$ है; और  इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि प्रतिचित्र $$G$$ में क्रियाशील होनी चाहिए। विहित समरूपता $$\operatorname{ev}_G$$ पर $$x\in G$$ परिभाषित किया गया है; जो इस प्रकार है : $$ \operatorname{ev}_G(x)(\chi) = \chi(x) \in\mathbb{T}. $$ अर्थात, $$\operatorname{ev}_G(x) : (\chi \mapsto \chi(x)).$$ दूसरे शब्दों में, प्रत्येक समूह तत्व $$x$$ की पहचान दोहरे पर मूल्यांकन वर्ण से की जाती है। यह एक परिमित-आयामी सदिश स्थान और इसके द्विक दोहरे, $$V \cong V^{**}$$ के मध्य विहित समरूपता के समान है, और यह उल्लेखनीय है कि कोई भी सदिश स्थान $$V$$ एक एबेलियन समूह है। यदि $$G$$ एक परिमित एबेलियन समूह है, तब $$G \cong \widehat{G}$$ है, परन्तु यह समरूपता विहित नहीं है। इस कथन को सटीक (सामान्य रूप से) बनाने के लिए न केवल समूहों पर, बल्कि समूहों के मध्य प्रतिचित्रो पर भी दोहरीकरण के विषय में विचार करने की आवश्यकता है, ताकि दोहरीकरण को एक प्रकार्यक के रूप में माना जा सके और पहचान प्रकार्यक को प्रमाणित किया जा सके और द्वैतीकरण प्रकार्यक स्वाभाविक रूप से समकक्ष नहीं हैं। साथ ही द्विविधता प्रमेय का अर्थ है कि किसी भी समूह के लिए (जरूरी नहीं कि परिमित हो) द्विविधताकरण प्रकार्यक एक सटीक प्रकार्यक है।

हार मापक
स्थानतः सुसंहत समूह के विषय में सबसे उल्लेखनीय तथ्यों में से एक $$G$$ यह है कि यह एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय प्राकृतिक माप है, हार माप, जो किसी को पर्याप्त रूप से नियमित उपसमुच्चय $$G$$ के आकार को निरंतर मापने की अनुमति देता है। पर्याप्त रूप से नियमित उपसमुच्चय का अर्थ है कि यहां एक बोरेल समूह है, अर्थात्, सुसंहत समूह द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणितीय का एक तत्व है। अधिक सटीक रूप से, स्थानतः सुसंहत समूह पर एक सही हार माप $$G$$ के बोरेल समूह पर परिभाषित एक योज्य माप μ है, $$G$$ जो इस अर्थ में सही अपरिवर्तनीय है; $μ(Ax) = μ(A)$ के लिए $$x$$ का एक तत्व $$G$$ और $$A$$ का एक बोरेल उपसमुच्चय $$G$$ और नियमितता की कुछ प्रतिबंधों को भी पूर्ण करता है (हार माप पर लेख में विस्तार से बताया गया है)। सकारात्मक क्रम गणक कारकों को छोड़कर, हार माप पर $$G$$ अनुपम है।

हार मापक रहा है $$G$$ हमें समूह पर परिभाषित बोरेल कार्यों (जटिल संख्या-मूल्यवान) के लिए अभिन्न की धारणा को परिभाषित करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, कोई व्यक्ति विभिन्न Lp स्थान #Lp स्थान और Lebesgue इंटीग्रल्स|L पर विचार कर सकता हैp हार से संबंधित रिक्त स्थान μ मापते हैं। विशेष रूप से, $$ \mathcal L^p_\mu(G) = \left \{ (f: G \to \Complex) \ \Big| \ \int_G |f(x)|^p\ d \mu(x) < \infty \right \}. $$ ध्यान दें, चूंकि कोई भी दो हार पर माप करता है $$G$$ एक क्रम गणक कारक के बराबर हैं, यह $$L^p$$-अंतरिक्ष हार माप की पसंद से स्वतंत्र है और इस प्रकार शायद इसे लिखा जा सकता है $$L^p(G)$$. हालांकि $$L^p$$-इस स्थान पर मानदंड हार माप की पसंद पर निर्भर करता है, इसलिए यदि कोई आइसोमेट्री के विषय में बात करना चाहता है तो उपयोग किए जा रहे हार माप का ट्रैक रखना महत्वपूर्ण है।

L1 - प्रकार्य के लिए फूरियर रूपांतरण और फूरियर व्युत्क्रम सूत्र
स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह के दोहरे समूह का उपयोग फूरियर रूपांतरण के सार संस्करण के लिए अंतर्निहित स्थान के रूप में किया जाता है। अगर $$f \in L^1(G)$$, तो फूरियर रूपांतरण कार्य है $$\widehat f$$ पर $$\widehat{G}$$ द्वारा परिभाषित $$ \widehat f(\chi) = \int_G f(x) \overline{\chi(x)}\ d\mu(x),$$ जहां इंटीग्रल हार माप के सापेक्ष है $$\mu$$ पर $$G$$. यह भी बताया गया है $$(\mathcal{F}f)(\chi)$$. ध्यान दें कि फूरियर रूपांतरण हार माप की पसंद पर निर्भर करता है। यह दिखाना बहुत मुश्किल नहीं है कि फूरियर एक का रूपांतरण करता है $$L^1$$ समारोह चालू $$G$$ पर एक परिबद्ध सतत फलन है $$\widehat{G}$$ जो रीमैन-लेबेस्गु लेम्मा है।

$$

एक समाकलनीय फलन का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण $$\widehat{G}$$ द्वारा दिया गया है $$ \check{g} (x) = \int_{\widehat{G}} g(\chi) \chi(x)\ d\nu(\chi),$$ जहां इंटीग्रल हार माप के सापेक्ष है $$\nu$$ दोहरे समूह पर $$\widehat{G}$$. पैमाना $$\nu$$ पर $$\widehat{G}$$ जो फूरियर व्युत्क्रम सूत्र में प्रकट होता है उसे पुशफॉरवर्ड माप कहा जाता है $$\mu$$ और निरूपित किया जा सकता है $$\widehat{\mu}$$.

विभिन्न फूरियर रूपांतरणों को उनके डोमेन और रूपांतरण डोमेन (समूह और दोहरे समूह) के संदर्भ में वर्गीकृत किया जा सकता है (ध्यान दें कि $$\mathbb T$$ मंडल समूह है):

उदाहरण के तौर पर, मान लीजिए $$G = \R^n$$, ताकि हम सोच सकें $$\widehat{G}$$ जैसा $$\R^n$$ जोड़ी द्वारा $$(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto e^{i \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}.$$ अगर $$\mu$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर लेबेस्ग माप है, हम सामान्य फूरियर रूपांतरण प्राप्त करते हैं $$\R^n$$ और फूरियर व्युत्क्रम सूत्र के लिए आवश्यक दोहरी माप है $$\widehat{\mu} = (2\pi)^{-n}\mu$$. यदि हम दोनों पक्षों पर समान माप के साथ फूरियर व्युत्क्रम सूत्र प्राप्त करना चाहते हैं (अर्थात, चूंकि हम इसके विषय में सोच सकते हैं $$\R^n$$ इसकी अपनी दोहरी जगह के रूप में हम मांग सकते हैं $$\widehat{\mu}$$ बराबर करने के लिए $$\mu$$) तो हमें उपयोग करने की आवश्यकता है $$\begin{align} \mu &= (2 \pi)^{-\frac{n}{2}} \times \text{Lebesgue measure} \\ \widehat{\mu} &= (2 \pi)^{-\frac{n}{2}} \times \text{Lebesgue measure} \end{align}$$ हालाँकि, अगर हम अपनी पहचान के तरीके को बदलते हैं $$\R^n$$ इसके दोहरे समूह के साथ, पेयरिंग का उपयोग करके $$(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto e^{2\pi i \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}},$$ फिर लेबेसेग माप $$\R^n$$ अपने स्वयं के दोहरे माप के बराबर है। यह सम्मेलन के कारकों की संख्या को कम करता है $$2\pi$$ जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर फूरियर रूपांतरण या व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण की गणना करते समय विभिन्न स्थानों पर दिखाई देता है। (असल में यह सीमित करता है $$2\pi$$ अभिन्न चिह्न के बाहर एक पूर्व-कारक के बजाय केवल प्रतिपादक के लिए।) ध्यान दें कि पहचान कैसे करें $$\R^n$$ अपने दोहरे समूह के साथ स्व-दोहरी कार्य शब्द के अर्थ को प्रभावित करता है, जो एक कार्य है $$\R^n$$ अपने स्वयं के फूरियर रूपांतरण के बराबर: शास्त्रीय जोड़ी का उपयोग करना $$(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto e^{i\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}$$ कार्यक्रम $$e^{-\frac{1}{2} x^2}$$ स्वयं द्विविधता है। परन्तु जोड़ी का उपयोग करना, जो पूर्व-कारक को एकता के रूप में रखता है, $$(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto e^{2\pi i \mathbf v \cdot \mathbf w}$$ बनाता है $$e^{-\pi x^2}$$ इसके बजाय स्व-दोहरी। फूरियर रूपांतरण के लिए इस दूसरी परिभाषा का लाभ यह है कि यह गुणात्मक पहचान को संकल्प पहचान के लिए मैप करता है, जो उपयोगी है $$L^1$$ एक संवलयी बीजगणित है। #The Group बीजगणित पर अगला भाग देखें। इसके अतिरिक्त, यह फॉर्म भी आवश्यक रूप से आइसोमेट्रिक है $$L^2$$ रिक्त स्थान। नीचे देखें #Plancherel और L2 फूरियर उलटा प्रमेय |Plancherel और L2 फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय।

समूह बीजगणित
स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह पर पूर्णांक कार्यों का स्थान $$G$$ एक बीजगणित है, जहाँ गुणन संवलयी है: दो पूर्णांक कार्यों का संवलयी $$f$$ और $$g$$ परिभाषित किया जाता है $$ (f *  g)(x) = \int_G f(x - y) g(y)\ d \mu(y).$$

$$

इस बीजगणित को समूह बीजगणित कहा जाता है $$G$$. फ़ुबिनी के प्रमेय के अनुसार|फ़ुबिनी-टोनेली प्रमेय के अनुसार संवलयी उप गुणक है $$L^1$$ मानदंड, बनाना $$L^1(G)$$ एक बनच बीजगणित। बनच बीजगणित $$L^1(G)$$ यदि और केवल यदि गुणक पहचान तत्व है $$G$$ एक असतत समूह है, अर्थात् कार्य जो पहचान पर 1 है और कहीं और शून्य है। सामान्य तौर पर, हालांकि, इसकी एक अनुमानित पहचान होती है जो एक शुद्ध (या सामान्यीकृत अनुक्रम) है $$\{e_i\}_{i \in I}$$ एक निर्देशित समूह पर अनुक्रमित $$I$$ ऐसा है कि $$ f *  e_i \to f. $$ फूरियर रूपांतरण संवलयी को गुणन में ले जाता है, अर्थात यह एबेलियन बनच बीजगणित का एक समरूपता है $$L^1(G) \to C_0\left(\widehat{G}\right)$$ (आदर्श ≤ 1): $$ \mathcal{F}( f *  g)(\chi) = \mathcal{F}(f)(\chi) \cdot \mathcal{F}(g)(\chi).$$ विशेष रूप से, प्रत्येक समूह के चरित्र पर $$G$$ द्वारा परिभाषित समूह बीजगणित पर एक अद्वितीय गुणात्मक रैखिक कार्यात्मक से अनुरूप है $$ f \mapsto \widehat{f}(\chi).$$ समूह बीजगणित की यह एक महत्वपूर्ण संपत्ति है कि ये समूह बीजगणित पर गैर-तुच्छ (जो समान रूप से शून्य नहीं है) गुणात्मक रैखिक क्रियाओं के समूह को समाप्त करते हैं; की धारा 34 देखें. इसका मतलब है कि फूरियर ट्रांसफॉर्म गेलफैंड ट्रांसफॉर्म का एक विशेष मामला है।

प्लांचरेल और एल2 फूरियर उलटा प्रमेय
जैसा कि हमने कहा है, स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह का दोहरा समूह अपने आप में स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह है और इस प्रकार एक हार माप है, या अधिक सटीक रूप से पैमाने से संबंधित हार मापों का एक पूरा परिवार है।

$$

सुसंहत समर्थन के जटिल-मूल्यवान निरंतर कार्यों के बाद से $$G$$ हैं $$L^2$$-सघन, उस स्थान से एकात्मक संचालिका में फूरियर रूपांतरण का एक अनूठा विस्तार है $$ \mathcal{F}: L^2_\mu(G) \to L^2_\nu\left(\widehat{G}\right).$$ और हमारे पास सूत्र है $$ \forall f \in L^2(G): \quad \int_G |f(x)|^2 \ d \mu(x) = \int_{\widehat{G}} \left|\widehat{f}(\chi)\right|^2 \ d \nu(\chi).$$ ध्यान दें कि गैर-सुसंहत स्थानतः सुसंहत समूहों के लिए $$G$$ अंतरिक्ष $$L^1(G)$$ सम्मिलित नहीं है $$L^2(G)$$, इसलिए फूरियर सामान्य का रूपांतरण करता है $$L^2$$-कार्य चालू है $$G$$ किसी भी प्रकार के एकीकरण सूत्र (या वास्तव में किसी स्पष्ट सूत्र) द्वारा नहीं दिया गया है। परिभाषित करने के लिए $$L^2$$ फूरियर रूपांतरण में किसी को कुछ तकनीकी तरकीबों का सहारा लेना पड़ता है जैसे घने उप-स्थान पर प्रारम्भ करना जैसे कि सुसंहत समर्थन के साथ निरंतर कार्य और फिर पूरे अंतरिक्ष में निरंतरता द्वारा आइसोमेट्री का विस्तार करना। फूरियर रूपांतरण का यह एकात्मक विस्तार वर्ग समाकलनीय कार्यों के स्थान पर फूरियर रूपांतरण से हमारा तात्पर्य है।

दोहरे समूह में अपने आप में एक व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण भी होता है; इसे व्युत्क्रम (या आसन्न, क्योंकि यह एकात्मक है) के रूप में चित्रित किया जा सकता है $$L^2$$ फूरियर रूपांतरण। यह की सामग्री है $$L^2$$ फूरियर उलटा सूत्र जो इस प्रकार है।

$$

यदि $$G = \mathbb{T}$$ द्विविधता समूह $$\widehat{G}$$ पूर्णांकों के समूह के लिए स्वाभाविक रूप से समरूपीय है $$\Z$$ और फूरियर रूपांतरण आवधिक कार्यों की फूरियर श्रृंखला के गुणांकों की गणना करने में प्रवीण है।

अगर $$G$$ एक परिमित समूह है, हम असतत फूरियर रूपांतरण को पुनः प्राप्त करते हैं। ध्यान दें कि इस मामले को सीधे प्रमाणित करना बहुत सरल है।

बोह्र संघनन और लगभग-आवधिकता
पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग सुसंहत एबेलियन सांस्थितिक समूहों का निम्नलिखित लक्षण वर्णन है: $$

वह $$G$$ सुसंहत होने का तात्पर्य है $$\widehat{G}$$ असतत है या वह $$G$$ असतत होने का तात्पर्य है $$\widehat{G}$$ सुसंहत है, सुसंहत-ओपन संस्थितिविज्ञान की परिभाषा का एक प्राथमिक परिणाम है $$\widehat{G}$$ और पोन्ट्रियाजिन द्वंद्व की आवश्यकता नहीं है। बातचीत को प्रमाणित करने के लिए एक पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का उपयोग करता है।

बोह्र संघनन को किसी भी सामयिक समूह के लिए परिभाषित किया गया है $$G$$, दोनों में से किसी की परवाह किये बिना $$G$$ स्थानतः सुसंहत या एबेलियन है। सुसंहत एबेलियन समूहों और असतत एबेलियन समूहों के मध्य पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का एक उपयोग स्थानतः सुसंहत सांस्थितिक समूह के एक मनमाना एबेलियन के बोह्र सुसंहतिफिकेशन की विशेषता है। बोहर संघनन $$B(G)$$ का $$G$$ है $$\widehat{H}$$, जहाँ H की समूह संरचना है $$\widehat{G}$$, परन्तु असतत संस्थितिविज्ञान दी। समावेशन मानचित्र के बाद से $$ \iota: H \to \widehat{G} $$ और एक समरूपता, दोहरी आकृतिवाद निरंतर है; $$ G \sim \widehat{\widehat{G}} \to \widehat{H} $$	एक सुसंहत समूह में एक रूपवाद है जिसे अपेक्षित सार्वभौमिक विषेशता को संतुष्ट करने के लिए सरलता से दर्शाया गया है।

स्पष्ट विचार
पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को लाभप्रद रूप से कार्यात्मक रूप से भी माना जा सकता है। निम्नलिखित में, LCA स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों और निरंतर समूह समरूपता की श्रेणी (गणित) है। का दोहरा समूह निर्माण $$\widehat{G}$$ एक प्रतिपरिवर्ती प्रकार्यक LCA → LCA है, जिसे वृत्त समूह द्वारा दर्शाया गया है (प्रतिनिधित्व योग्य प्रकार्यक के अर्थ में) $$\mathbb{T}$$ जैसा $$\widehat{G}= \text{Hom}(G, \mathbb{T}).$$ विशेष रूप से, डबल डुअल फंक्शनल $$G \to \widehat{\widehat{G}}$$ सहपरिवर्ती है। पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का एक स्पष्ट सूत्रीकरण तब बताता है कि 'LCA' पर पहचान प्रकार्यक और डबल डुअल प्रकार्यक के मध्य प्राकृतिक परिवर्तन एक समरूपता है। एक प्राकृतिक परिवर्तन की धारणा को खोलना, इसका मतलब है कि मानचित्र $$G \to \operatorname {Hom}(\operatorname {Hom}(G, T), T)$$ किसी भी स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह के लिए आइसोमोर्फिज्म हैं $$G$$, और ये समरूपताएँ क्रियात्मक हैं $$G$$. यह समरूपता परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान के दोहरे दोहरे के अनुरूप है (वास्तविक और जटिल सदिश रिक्त स्थान के लिए एक विशेष मामला)।

इस सूत्रीकरण का एक तात्कालिक परिणाम पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का एक और सामान्य श्रेणीबद्ध सूत्रीकरण है: दोहरी समूह प्रकार्यक एलसीए से एलसीए की श्रेणियों का एक तुल्यता हैऑप।

द्वंद्व असतत समूहों और सुसंहत समूहों की उपश्रेणियों का आदान-प्रदान करता है। अगर $$R$$ एक अंगूठी (गणित) है और $$G$$ एक बायाँ है $$R$$-मॉड्यूल (गणित), दोहरा समूह $$\widehat{G}$$ अधिकार बन जाएगा $$R$$-मापांक; इस तरह हम उस डिस्क्रीट लेफ्ट को भी देख सकते हैं $$R$$-मॉड्यूल पोन्ट्रियाजिन डुअल टू सुसंहत राइट होगा $$R$$-मॉड्यूल। अंगूठी $$\text{End}(G)$$ एलसीए में अंतःरूपांतरण को द्विविधता द्वारा इसके विपरीत रिंग में बदल दिया जाता है # दिए गए से नए रिंग का निर्माण (गुणन को दूसरे क्रम में बदलें)। उदाहरण के लिए, अगर $$G$$ एक अनंत चक्रीय असतत समूह है, $$\widehat{G}$$ एक वृत्त समूह है: पूर्व में है $$\text{End}(G) = \Z$$ तो यह बाद के विषय में भी सच है।

सामान्यीकरण
पोन्ट्रियाजिन द्विविधता के सामान्यीकरण दो मुख्य दिशाओं में निर्मित होते हैं: क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के लिए जो स्थानतः सुसंहत समूह नहीं हैं, और गैर-अनुसूचित सांस्थितिक समूहों के लिए। इन दोनों स्थितियों में सिद्धांत बहुत अलग हैं।

क्रमविनिमेय सामयिक समूहों के लिए द्विविधता
कब $$G$$ हॉउसडॉर्फ एबेलियन सामयिक समूह है, समूह $$\widehat{G}$$ सुसंहत-ओपन संस्थितिविज्ञान के साथ हॉसडॉर्फ एबेलियन सांस्थितिक समूह और नेचुरल मैपिंग है $$G$$ इसके दोहरे-दोहरे के लिए $$\widehat{\widehat{G}}$$ समझ में आता है। यदि यह मानचित्रण एक समरूपता है, तो ऐसा कहा जाता है $$G$$ पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करता है (या वह $$G$$ एक प्रतिवर्त समूह है, या एक चिंतनशील समूह). इस मामले से परे कई दिशाओं में इसे बढ़ाया गया है $$G$$ स्थानतः सुसंहत है।

विशेष रूप से, सैमुअल कपलान ने 1948 और 1950 में दिखाया कि मनमाना उत्पाद और स्थानतः सुसंहत (हॉसडॉर्फ) एबेलियन समूहों की गणनीय व्युत्क्रम सीमाएं पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करती हैं। ध्यान दें कि स्थानतः सुसंहत गैर-सुसंहत रिक्त स्थान का अनंत उत्पाद स्थानतः सुसंहत नहीं है।

बाद में, 1975 में, रंगाचारी वेंकटरमन ने दिखाया, अन्य तथ्यों के साथ, कि एबेलियन सांस्थितिक समूह का प्रत्येक खुला उपसमूह जो पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करता है, स्वयं पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करता है।

अभी हाल ही में, सर्जियो अर्दंज़ा-ट्रेविजानो और मारिया जेसुज चास्को ने ऊपर उल्लिखित कपलान के परिणामों को बढ़ा दिया है। उन्होंने दिखाया कि पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करने वाले एबेलियन समूहों के अनुक्रमों की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम सीमाएं भी पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करती हैं यदि समूह मेट्रिज़ेबल हैं या $$k_\omega$$-स्थान परन्तु जरूरी नहीं कि स्थानतः सुसंहत हो, बशर्ते कुछ अतिरिक्त शर्तें अनुक्रमों से संतुष्ट हों।

हालाँकि, एक मूलभूत पहलू है जो बदल जाता है अगर हम स्थानतः सुसंहत मामले से परे पोन्ट्रियाजिन द्वंद्व पर विचार करना चाहते हैं। ऐलेना मार्टिन-पीनाडोर ने 1995 में प्रमाणित किया कि अगर $$G$$ हॉउसडॉर्फ एबेलियन सांस्थितिक समूह है जो पोन्ट्रियाजिन द्वंद्व और प्राकृतिक मूल्यांकन जोड़ी को संतुष्ट करता है $$\begin{cases} G \times \widehat{G} \to \mathbb{T} \\ (x, \chi) \mapsto \chi(x) \end{cases}$$ (संयुक्त रूप से) निरंतर है, तब $$G$$ स्थानतः सुसंहत है। एक परिणाम के रूप में, पोन्ट्रियाजिन द्विविधता के सभी गैर-स्थानतः सुसंहत उदाहरण ऐसे समूह हैं जहां जोड़ी बनती है $$G \times \widehat{G} \to \mathbb{T}$$ (संयुक्त रूप से) निरंतर नहीं है।

क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के व्यापक वर्गों के लिए पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को सामान्य बनाने का एक और तरीका है, दोहरे समूह को समाप्त करना $$\widehat{G}$$ थोड़ा अलग संस्थितिविज्ञान के साथ, अर्थात् पूरी तरह से बंधे हुए स्थान पर समान अभिसरण की संस्थितिविज्ञान # अन्य संदर्भों में परिभाषाएँ। पहचान को संतुष्ट करने वाले समूह $$G \cong \widehat{\widehat{G}}$$ इस धारणा के तहत स्टीरियोटाइप समूह कहलाते हैं। यह वर्ग भी बहुत विस्तृत है (और इसमें स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह सम्मिलित हैं), परन्तु यह चिंतनशील समूहों के वर्ग की तुलना में संकीर्ण है।

सांस्थितिक सदिश स्थान के लिए पोन्ट्रियाजिन द्विविधता
1952 में मैरिएन एफ। स्मिथ ने देखा कि बनच स्थान और प्रतिवर्त स्थान, जिसे सांस्थितिक समूह (एडिटिव समूह कार्य प्रणाली के साथ) माना जाता है, पोन्ट्रियाजिन द्वंद्व को संतुष्ट करता है। बाद में बी.एस. ब्रुडोव्स्की, विलियम सी. वाटरहाउस और के. ब्रूनर ने दिखाया कि यह परिणाम सभी अर्ध-पूर्ण बरेल्ड रिक्त स्थान (विशेष रूप से, सभी फ्रेचेट रिक्त स्थान) के वर्ग तक बढ़ाया जा सकता है। 1990 के दशक में सर्गेई अकबरोव ने सांस्थितिक सदिश रिक्त स्थान के वर्ग का विवरण दिया जो शास्त्रीय पोन्ट्रियाजिन रिफ्लेक्सीविटी की तुलना में एक मजबूत संपत्ति को संतुष्ट करता है, अर्थात् पहचान $$(X^\star)^\star\cong X$$ कहाँ $$X^\star$$ का अर्थ है सभी रैखिक निरंतर कार्यात्मकताओं का स्थान $$f \colon X \to \Complex$$ पूरी तरह से बंधे हुए समूहों पर समान अभिसरण की संस्थितिविज्ञान से संपन्न $$X$$ (और $$(X^\star)^\star$$ का अर्थ है दोहरा $$X^\star$$ उसी अर्थ में)। इस वर्ग के रिक्त स्थान को स्टीरियोटाइप स्थान स्थान कहा जाता है, और संबंधित सिद्धांत को कार्यात्मक विश्लेषण और ज्यामिति में अनुप्रयोगों की एक श्रृंखला मिली, जिसमें गैर-क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के लिए पोन्ट्रियाजिन द्वंद्व का सामान्यीकरण सम्मिलित है।

गैर-क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के लिए द्विविधता
गैर-क्रमविनिमेय स्थानतः सुसंहत समूहों के लिए $$G$$ शास्त्रीय पोन्ट्रियाजिन निर्माण विभिन्न कारणों से काम करना बंद कर देता है, विशेष रूप से, क्योंकि पात्र हमेशा बिंदुओं को अलग नहीं करते हैं $$G$$, और का अलघुकरणीय निरूपण $$G$$ हमेशा एक आयामी नहीं होते। साथ ही यह स्पष्ट नहीं है कि इरेड्यूसिबल एकात्मक निरूपण के समूह पर गुणन का परिचय कैसे दिया जाए $$G$$, और यह भी स्पष्ट नहीं है कि क्या यह समूह दोहरी वस्तु की भूमिका के लिए एक अच्छा विकल्प है $$G$$. अतः इस स्थिति में द्विविधता निर्माण की समस्या पर पूर्ण पुनर्विचार की आवश्यकता है।

आज तक बनाए गए सिद्धांतों को दो मुख्य समूहों में विभाजित किया गया है: सिद्धांत जहां दोहरी वस्तु की प्रकृति स्रोत एक के समान होती है (जैसे कि पोन्ट्रियाजिन द्विविधता में ही), और सिद्धांत जहां स्रोत वस्तु और इसकी दोहरी एक दूसरे से भिन्न होती है उन्हें एक वर्ग की वस्तुओं के रूप में गिनना असंभव है।

दूसरे प्रकार के सिद्धांत ऐतिहासिक रूप से पहले थे: पोन्ट्रियाजिन के काम के तुरंत बाद टाडाओ तनाका (1938) और मार्क करें (1949) ने मनमाना सुसंहत समूहों के लिए एक द्विविधता सिद्धांत का निर्माण किया, जिसे अब तन्नाका-क्रेन द्विविधता के रूप में जाना जाता है। इस सिद्धांत में एक समूह के लिए दोहरी वस्तु $$G$$ एक समूह नहीं बल्कि अभ्यावेदन की एक श्रेणी है $$\Pi(G)$$.

पहले प्रकार के सिद्धांत बाद में प्रकट हुए और उनके लिए प्रमुख उदाहरण परिमित समूहों के लिए द्विविधता सिद्धांत था। इस सिद्धांत में परिमित समूहों की श्रेणी संक्रिया द्वारा सन्निहित है $$G\mapsto \Complex_G$$ समूह की अंगूठी  लेने का $$\Complex_G$$ (ऊपर $$\Complex$$) परिमित आयामी हॉफ बीजगणित की श्रेणी में, ताकि पोन्ट्रियाजिन द्विविधता क्रियाकार $$G\mapsto \widehat{G}$$ कार्य प्रणाली में बदल जाता है $$H\mapsto H^*$$ दोहरे सदिश स्थान को लेने का (जो परिमित आयामी हॉफ बीजगणित की श्रेणी में एक द्विविधता कारक है)।

1973 में लियोनिद आई. वेनरमैन, जॉर्ज आई. काक, मिशेल एनॉक और जीन-मैरी श्वार्ट्ज ने सभी स्थानीय सुसंहत समूहों के लिए इस प्रकार का एक सामान्य सिद्धांत बनाया। 1980 के दशक से क्वांटम समूहों की खोज के बाद इस क्षेत्र में अनुसंधान फिर से प्रारम्भ किया गया, जिसमें निर्मित सिद्धांतों को सक्रिय रूप से स्थानांतरित किया जाने लगा। इन सिद्धांतों को सी-स्टार बीजगणित|सी*-अलजेब्रा, या वॉन न्यूमैन बीजगणित की भाषा में तैयार किया गया है, और इसके प्रकारों में से एक स्थानतः सुसंहत क्वांटम समूहों का हालिया सिद्धांत है।

हालांकि, इन सामान्य सिद्धांतों की कमियों में से एक यह है कि उनमें समूह की अवधारणा को सामान्य बनाने वाली वस्तुएं सामान्य बीजगणितीय अर्थों में हॉफ बीजगणित नहीं हैं। सांस्थितिक बीजगणित की लिफाफा (श्रेणी सिद्धांत) की धारणा के आधार पर निर्मित द्विविधता सिद्धांतों के ढांचे के भीतर इस कमी को ठीक किया जा सकता है (समूहों के कुछ वर्गों के लिए)।

यह भी देखें

 * पीटर-वील प्रमेय
 * कार्टियर द्वंद्व
 * स्टीरियोटाइप स्थान