एजवर्थ श्रृंखला

ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला (जॉर्जेन पेडर्सन ग्राम और कार्ल चार्लीयर के सम्मान में नामित), और एडगेवर्थ श्रृंखला (फ्रांसिस य्सिड्रो एडगेवर्थ के सम्मान में नामित) श्रृंखला (गणित) हैं जो इसके संचयकों के संदर्भ में संभाव्यता वितरण का अनुमान लगाती हैं। शृंखला वही है; लेकिन, पदों की व्यवस्था (और इस प्रकार श्रृंखला को काटने की सटीकता) भिन्न होती है। इन विस्तारों का मुख्य विचार वितरण के विशेषता फ़ंक्शन (संभावना सिद्धांत) को लिखना है जिसका संभाव्यता घनत्व कार्य करता है $f$ को ज्ञात और उपयुक्त गुणों के साथ वितरण के विशिष्ट कार्य के संदर्भ में अनुमानित किया जाना है, और पुनर्प्राप्त करना है $f$ व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण के माध्यम से।

ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला
हम सतत यादृच्छिक चर की जांच करते हैं। होने देना $$\hat{f}$$ इसके वितरण का अभिलक्षणिक फलन हो जिसका घनत्व फलन है $f$, और $$\kappa_r$$ इसके संचयक. हम संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ ज्ञात वितरण के संदर्भ में विस्तार करते हैं $ψ$, विशेषता कार्य $$\hat{\psi}$$, और संचयी $$\gamma_r$$. घनत्व $ψ$ को आम तौर पर सामान्य वितरण के रूप में चुना जाता है, लेकिन अन्य विकल्प भी संभव हैं। संचयकों की परिभाषा के अनुसार, हमारे पास (वालेस, 1958 देखें)
 * $$\hat{f}(t)= \exp\left[\sum_{r=1}^\infty\kappa_r\frac{(it)^r}{r!}\right]$$ और
 * $$ \hat{\psi}(t)=\exp\left[\sum_{r=1}^\infty\gamma_r\frac{(it)^r}{r!}\right],$$

जो निम्नलिखित औपचारिक पहचान देता है:
 * $$\hat{f}(t)=\exp\left[\sum_{r=1}^\infty(\kappa_r-\gamma_r)\frac{(it)^r}{r!}\right]\hat{\psi}(t)\,.$$

फूरियर रूपांतरण के गुणों से, $$(it)^r \hat{\psi}(t)$$ का फूरियर रूपांतरण है $$(-1)^r[D^r\psi](-x)$$, कहाँ $D$ के संबंध में विभेदक संचालिका है $x$. इस प्रकार, बदलने के बाद $$x$$ साथ $$-x$$ समीकरण के दोनों पक्षों पर, हम पाते हैं $f$ औपचारिक विस्तार


 * $$f(x) = \exp\left[\sum_{r=1}^\infty(\kappa_r - \gamma_r)\frac{(-D)^r}{r!}\right]\psi(x)\,.$$

अगर $ψ$ को सामान्य घनत्व के रूप में चुना जाता है


 * $$\phi(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]$$ माध्य और विचरण के साथ जैसा कि दिया गया है $f$, ये गलत है $$\mu = \kappa_1$$ और विचरण $$\sigma^2 = \kappa_2$$, तो विस्तार हो जाता है


 * $$f(x) = \exp\left[\sum_{r=3}^\infty\kappa_r\frac{(-D)^r}{r!}\right] \phi(x),$$

तब से $$ \gamma_r=0$$ सभी के लिए $r$ > 2, क्योंकि सामान्य वितरण के उच्च संचयी 0 हैं। घातांक का विस्तार करके और डेरिवेटिव के क्रम के अनुसार शर्तों को एकत्रित करके, हम ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला पर पहुंचते हैं। इस तरह के विस्तार को बेल बहुपद के रूप में संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है


 * $$\exp\left[\sum_{r=3}^\infty\kappa_r\frac{(-D)^r}{r!}\right] = \sum_{n=0}^\infty B_n(0,0,\kappa_3,\ldots,\kappa_n)\frac{(-D)^n}{n!}. $$

गाऊसी फ़ंक्शन के n-वें व्युत्पन्न के बाद से $$\phi$$ हर्माइट बहुपद के रूप में दिया गया है


 * $$\phi^{(n)}(x) = \frac{(-1)^n}{\sigma^n} He_n \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right) \phi(x),$$

यह हमें ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला की अंतिम अभिव्यक्ति देता है


 * $$ f(x) = \phi(x) \sum_{n=0}^\infty \frac{1}{n! \sigma^n} B_n(0,0,\kappa_3,\ldots,\kappa_n) He_n \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right).$$

श्रृंखला को एकीकृत करने से हमें संचयी वितरण फ़ंक्शन प्राप्त होता है


 * $$ F(x) = \int_{-\infty}^x f(u) du = \Phi(x) - \phi(x) \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n! \sigma^{n-1}} B_n(0,0,\kappa_3,\ldots,\kappa_n) He_{n-1} \left( \frac{x-\mu}{\sigma} \right), $$

कहाँ $$\Phi$$ सामान्य वितरण का सीडीएफ है।

यदि हम सामान्य वितरण में केवल पहले दो सुधार शब्दों को शामिल करते हैं, तो हमें प्राप्त होता है


 * $$ f(x) \approx \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma}\exp\left[-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}\right]\left[1+\frac{\kappa_3}{3!\sigma^3}He_3\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)+\frac{\kappa_4}{4!\sigma^4}He_4\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)\right]\,,$$

साथ $$He_3(x)=x^3-3x$$ और $$He_4(x)=x^4 - 6x^2 + 3$$.

ध्यान दें कि इस अभिव्यक्ति के सकारात्मक होने की गारंटी नहीं है, और इसलिए यह वैध संभाव्यता वितरण नहीं है। ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला रुचि के कई मामलों में भिन्न होती है - यह केवल तभी परिवर्तित होती है $$f(x)$$ से अधिक तेजी से गिरता है $$\exp(-(x^2)/4)$$ अनंत पर (क्रैमर 1957)। जब यह अभिसरण नहीं होता है, तो श्रृंखला भी वास्तविक स्पर्शोन्मुख विस्तार नहीं है, क्योंकि विस्तार की त्रुटि का अनुमान लगाना संभव नहीं है। इस कारण से, एडगेवर्थ श्रृंखला (अगला भाग देखें) को आम तौर पर ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला की तुलना में पसंद किया जाता है।

एजवर्थ श्रृंखला
एडगेवर्थ ने केंद्रीय सीमा प्रमेय में सुधार के रूप में समान विस्तार विकसित किया। एजवर्थ श्रृंखला का लाभ यह है कि त्रुटि को नियंत्रित किया जाता है, ताकि यह वास्तविक स्पर्शोन्मुख विस्तार हो।

होने देना $$\{Z_i\}$$ परिमित माध्य के साथ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर का अनुक्रम बनें $$\mu$$ और विचरण $$\sigma^2$$, और जाने $$X_n$$ उनके मानकीकृत योग बनें:


 * $$X_n = \frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{i=1}^n \frac{Z_i - \mu}{\sigma}.$$

होने देना $$F_n$$ चरों के संचयी वितरण फलनों को निरूपित करें $$X_n$$. फिर केंद्रीय सीमा प्रमेय द्वारा,

\lim_{n\to\infty} F_n(x) = \Phi(x) \equiv \int_{-\infty}^x \tfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}q^2}dq $$ हरएक के लिए $$x$$, जब तक माध्य और विचरण परिमित हैं।

का मानकीकरण $$\{Z_i\}$$ यह सुनिश्चित करता है कि पहले दो सहचालक $$X_n$$ हैं $$\kappa_1^{F_n} = 0$$ और $$\kappa_2^{F_n} = 1.$$ अब मान लीजिए कि, मतलबी होने के अलावा $$\mu$$ और विचरण $$\sigma^2$$, आई.आई.डी. यादृच्छिक चर $$Z_i$$ उच्च सहसंयोजक होते हैं $$ \kappa_r$$. क्यूमुलेंट्स की योगात्मकता और एकरूपता गुणों से, के क्यूमुलेंट्स $$X_n$$ के संचयकों के संदर्भ में $$Z_i$$ इसलिए है $$r \geq 2$$,


 * $$ \kappa_r^{F_n} = \frac{n \kappa_r}{\sigma^r n^{r/2}} = \frac{\lambda_r}{n^{r/2 - 1}} \quad \mathrm{where} \quad \lambda_r = \frac{\kappa_r}{\sigma^r}. $$

यदि हम विशेषता फ़ंक्शन की औपचारिक अभिव्यक्ति का विस्तार करते हैं $$\hat{f}_n(t)$$ का $$F_n$$ मानक सामान्य वितरण के संदर्भ में, अर्थात, यदि हम निर्धारित करते हैं


 * $$\phi(x)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}}\exp(-\tfrac{1}{2}x^2),$$

फिर विस्तार में संचयी अंतर हैं


 * $$ \kappa^{F_n}_1-\gamma_1 = 0,$$
 * $$ \kappa^{F_n}_2-\gamma_2 = 0,$$
 * $$ \kappa^{F_n}_r-\gamma_r = \frac{\lambda_r}{n^{r/2-1}}; \qquad r\geq 3.$$

के घनत्व फलन के लिए ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला $$X_n$$ अब है


 * $$ f_n(x) = \phi(x) \sum_{r=0}^\infty \frac{1}{r!} B_r \left(0,0,\frac{\lambda_3}{n^{1/2}},\ldots,\frac{\lambda_r}{n^{r/2-1}}\right) He_r(x).$$

एजवर्थ श्रृंखला को ग्राम-चार्लियर ए श्रृंखला के समान ही विकसित किया गया है, केवल अब शर्तों को शक्तियों के अनुसार एकत्र किया जाता है $$n$$. n के गुणांक-m/2पद m के पूर्णांक विभाजनों के अनुरूप बेल बहुपदों के एकपदों को एकत्रित करके प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, हमारे पास विशिष्ट कार्य इस प्रकार है


 * $$ \hat{f}_n(t)=\left[1+\sum_{j=1}^\infty \frac{P_j(it)}{n^{j/2}}\right] \exp(-t^2/2)\,,$$

कहाँ $$P_j(x)$$ डिग्री का बहुपद है $$3j$$. पुनः, व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण के बाद, घनत्व कार्य $$f_n$$ इस प्रकार है


 * $$ f_n(x) = \phi(x) + \sum_{j=1}^\infty \frac{P_j(-D)}{n^{j/2}} \phi(x)\,.$$

इसी प्रकार, श्रृंखला को एकीकृत करके, हम वितरण फलन प्राप्त करते हैं


 * $$ F_n(x) = \Phi(x) + \sum_{j=1}^\infty \frac{1}{n^{j/2}} \frac{P_j(-D)}{D} \phi(x)\,. $$

हम स्पष्ट रूप से बहुपद लिख सकते हैं $$P_m(-D)$$ जैसा


 * $$ P_m(-D) = \sum \prod_i \frac{1}{k_i!} \left(\frac{\lambda_{l_i}}{l_i!}\right)^{k_i} (-D)^s,$$

जहां m के सभी पूर्णांक विभाजनों का योग इस प्रकार है $$\sum_i i k_i = m$$ और $$l_i = i+2$$ और $$s = \sum_i k_i l_i.$$ उदाहरण के लिए, यदि m = 3, तो इस संख्या को विभाजित करने के तीन तरीके हैं: 1 + 1 + 1 = 2 + 1 = 3. इस प्रकार हमें तीन मामलों की जांच करने की आवश्यकता है:


 * 1 + 1 + 1 = 1 · के1, तो हमारे पास k है1 = 3, एल1 = 3, और एस = 9.
 * 1 + 2 = 1 · के1 + 2 · के2, तो हमारे पास k है1 = 1, क2 = 1, एल1 = 3, एल2 = 4, और एस = 7.
 * 3 = 3 · क3, तो हमारे पास k है3 = 1, एल3 = 5, और एस = 5.

अत: अभीष्ट बहुपद है



\begin{align} P_3(-D) &= \frac{1}{3!} \left(\frac{\lambda_3}{3!}\right)^3 (-D)^9 + \frac{1}{1! 1!} \left(\frac{\lambda_3}{3!}\right) \left(\frac{\lambda_4}{4!}\right) (-D)^7 + \frac{1}{1!} \left(\frac{\lambda_5}{5!}\right) (-D)^5 \\ &= \frac{\lambda_3^3}{1296} (-D)^9 + \frac{\lambda_3 \lambda_4}{144} (-D)^7 + \frac{\lambda_5}{120} (-D)^5. \end{align} $$ विस्तार के प्रथम पाँच पद हैं
 * $$\begin{align}

f_n(x) &= \phi(x) \\ &\quad -\frac{1}{n^{\frac{1}{2}}}\left(\tfrac{1}{6}\lambda_3\,\phi^{(3)}(x) \right) \\ &\quad +\frac{1}{n}\left(\tfrac{1}{24}\lambda_4\,\phi^{(4)}(x) + \tfrac{1}{72}\lambda_3^2\,\phi^{(6)}(x) \right) \\ &\quad -\frac{1}{n^{\frac{3}{2}}}\left(\tfrac{1}{120}\lambda_5\,\phi^{(5)}(x) + \tfrac{1}{144}\lambda_3\lambda_4\,\phi^{(7)}(x) + \tfrac{1}{1296}\lambda_3^3\,\phi^{(9)}(x)\right) \\ &\quad + \frac{1}{n^2}\left(\tfrac{1}{720}\lambda_6\,\phi^{(6)}(x) + \left(\tfrac{1}{1152}\lambda_4^2 + \tfrac{1}{720}\lambda_3\lambda_5\right)\phi^{(8)}(x) + \tfrac{1}{1728}\lambda_3^2\lambda_4\,\phi^{(10)}(x) + \tfrac{1}{31104}\lambda_3^4\,\phi^{(12)}(x) \right)\\ &\quad + O \left (n^{-\frac{5}{2}} \right ). \end{align}$$ यहाँ, $φ^{(j)}(x)$ का j-वाँ व्युत्पन्न है $φ(·)$बिंदु x पर. याद रखें कि सामान्य वितरण#समरूपता और व्युत्पन्न सामान्य घनत्व से संबंधित हैं $$\phi^{(n)}(x) = (-1)^n He_n(x)\phi(x)$$, (कहाँ $$He_n$$ क्रम n का हर्माइट बहुपद है), यह घनत्व फलन के संदर्भ में वैकल्पिक निरूपण की व्याख्या करता है। ब्लिनिकोव और मोसेनर (1998) ने विस्तार की उच्च-क्रम शर्तों की गणना करने के लिए सरल एल्गोरिदम दिया है।

ध्यान दें कि जाली वितरण (जिसमें अलग-अलग मान हैं) के मामले में, एजवर्थ विस्तार को जाली बिंदुओं के बीच असंतुलित छलांग के लिए समायोजित किया जाना चाहिए।

चित्रण: तीन χ² वितरणों के नमूना माध्य का घनत्व
लेना $$ X_i \sim \chi^2(k=2), \, i=1, 2, 3 \, (n=3)$$ और नमूना माध्य $$ \bar X = \frac{1}{3} \sum_{i=1}^{3} X_i $$.

हम इसके लिए कई वितरणों का उपयोग कर सकते हैं $$ \bar X $$:
 * सटीक वितरण, जो गामा वितरण का अनुसरण करता है: $$ \bar X \sim \mathrm{Gamma}\left(\alpha=n\cdot k /2, \theta= 2/n \right)=\mathrm{Gamma}\left(\alpha=3, \theta= 2/3 \right)$$.
 * स्पर्शोन्मुख सामान्य वितरण: $$ \bar X \xrightarrow{n \to \infty} N(k, 2\cdot k /n ) = N(2, 4/3 )$$.
 * दो एजवर्थ विस्तार, डिग्री 2 और 3 के।

परिणामों की चर्चा

 * सीमित नमूनों के लिए, एजवर्थ विस्तार की उचित संभाव्यता वितरण की गारंटी नहीं है क्योंकि कुछ बिंदुओं पर सीडीएफ मान इससे आगे जा सकते हैं $$[0,1]$$.
 * वे अनुमानित त्रुटि की गारंटी देते हैं (असममित रूप से), लेकिन समग्र अग्रणी शब्द के साथ शेष में अग्रणी एडगेवर्थ शब्द की तुलना करके सापेक्ष त्रुटियों का आसानी से आकलन किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * कोर्निश-फिशर विस्तार
 * एजुवर्थ द्विपद वृक्ष

अग्रिम पठन

 * H. Cramér. (1957). Mathematical Methods of Statistics. Princeton University Press, Princeton.
 * M. Kendall & A. Stuart. (1977), The advanced theory of statistics, Vol 1: Distribution theory, 4th Edition, Macmillan, New York.
 * P. McCullagh (1987). Tensor Methods in Statistics. Chapman and Hall, London.
 * D. R. Cox and O. E. Barndorff-Nielsen (1989). Asymptotic Techniques for Use in Statistics. Chapman and Hall, London.
 * P. Hall (1992). The Bootstrap and Edgeworth Expansion. Springer, New York.
 * J. E. Kolassa (2006). Series Approximation Methods in Statistics (3rd ed.). (Lecture Notes in Statistics #88). Springer, New York.
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