अल्फा-बीटा परिवर्तन

विद्युत अभियन्त्रण में, अल्फा-बीटा ($$\alpha\beta\gamma$$) परिवर्तन (क्लार्क परिवर्तन के रूप में भी जाना जाता है) गणितीय परिवर्तन (गणित) है जो तीन चरणीय परिप्रेक्ष्यों के विश्लेषण को सरलित करने के लिए प्रयुक्त होता है। यह वैचारिक रूप से यह dq0 परिवर्तन के समान है। $$\alpha\beta\gamma$$ आल्फा-बीटा-गामा परिवर्तन का बहुत उपयोगी अनुप्रयोग तीन चरणीय इन्वर्टर (इलेक्ट्रिकल) के समिष्ट सदिश मॉड्युलेशन नियंत्रण के लिए संदर्भ सिग्नल की उत्पत्ति है।

इतिहास
1937 और 1938 में, एडिथ क्लार्क ने असंतुलित तीन चरण की समस्याओं पर गणना के संशोधित विधियो के साथ पत्र प्रकाशित किए, जो विशेष रूप से उपयोगी सिद्ध हुए।

परिभाषा
आल्फा-बीटा-गामा ($$\alpha\beta\gamma$$ ) परिवर्तन जो एडिथ क्लार्क द्वारा प्रयुक्त हुआ था, तीन चरणीय विद्युत धाराओं को प्रयुक्त करने का गणितीय परिवर्तन है:
 * $$i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \frac{2}{3}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}$$ यहाँ $$i_{abc}(t)$$ सामान्य तीन-चरण वर्तमान अनुक्रम है और $$i_{\alpha\beta\gamma}(t)$$ परिवर्तन $$T$$ द्वारा दिया गया संगत वर्तमान अनुक्रम है।परिवर्तन $$T$$ का प्रतिलोम परिवर्तन:


 * $$i_{abc}(t) = T^{-1}i_{\alpha\beta\gamma}(t) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1\\

-\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & 1\\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & 1\end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}.$$ उपरोक्त क्लार्क का परिवर्तन उन विद्युत चरों के आयाम को संरक्षित करता है जिन पर इसे प्रयुक्त किया जाता है। वास्तव में, तीन-चरण सममित, प्रत्यक्ष, वर्तमान अनुक्रम पर विचार करें

\begin{align} i_a(t)=&\sqrt{2}I\cos\theta(t),\\ i_b(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)-\frac23\pi\right),\\ i_c(t)=&\sqrt{2}I\cos\left(\theta(t)+\frac23\pi\right), \end{align} $$ यहाँ $$I$$ विद्युतीय चरणों की $$i_a(t)$$, $$i_b(t)$$, $$i_c(t)$$ है, और $$\theta(t)$$ सामान्य समय-भिन्न कोण है जो कि वास्तव में $$\omega t$$ के सामान्तर भी हो सकती है। फिर, परिवर्तन $$T$$ को वर्तमान क्रम पर प्रयुक्त करने से निम्नलिखित परिणाम मिलता है:

\begin{align} i_{\alpha}=&\sqrt2 I\cos\theta(t),\\ i_{\beta}=&\sqrt2 I\sin\theta(t),\\ i_{\gamma}=&0, \end{align} $$ यहाँ, आखिरी समीकरण इसलिए सत्य है क्योंकि हमने संतुलित धाराओं को माना है। ऊपर के दिखाया गया है कि आल्फा-बीटा-गामा $$\alpha\beta\gamma$$ संदर्भ फ़्रेम प्राकृतिक संदर्भ फ़्रेम के समान होते हैं।

शक्ति अपरिवर्तनीय परिवर्तन
ऊपर दिखाए गए परिवर्तन के साथ क्लार्क के डोमेन में गणना की गई सक्रिय और प्रतिक्रियाशील शक्तियां मानक संदर्भ फ्रेम में गणना की गई शक्तियों के समान नहीं होते हैं। यह इसलिए होता है क्योंकि $$T$$ एकात्मक आव्युह होता है। सक्रिय और प्रतिक्रियाशील शक्तियों को संरक्षित करने के लिए, इसके अतिरिक्त, हमें निम्नलिखित को विचार करना होगा:
 * $$i_{\alpha\beta\gamma}(t) = Ti_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\

0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} & \frac{1}{\sqrt2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix},$$ जो एकात्मक आव्युह है और व्युत्क्रम इसके स्थानान्तरण के साथ मेल खाता है। इस स्थितियोंमें रूपांतरित धाराओं के आयाम मानक संदर्भ फ्रेम के समान नहीं होता हैं, अर्थात

\begin{align} i_{\alpha}=&\sqrt3 I\cos\theta(t),\\ i_{\beta}=&\sqrt3 I\sin\theta(t),\\ i_{\gamma}=&0. \end{align} $$ अंत में, इस स्थितियों में प्रतिलोम परिवर्तन निम्नलिखित है:

i_{abc}(t) = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix} 1 & 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2} & \frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ -\frac{1}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} & \frac{1}{\sqrt{2}} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\\i_\gamma(t)\end{bmatrix}. $$

सरलीकृत परिवर्तन
चूंकि संतुलित प्रणाली में, जहाँ $$i_a(t)+i_b(t)+i_c(t)=0$$ होता है, और इस प्रकार $$i_\gamma(t)=0$$ होता है, हम सरलीकृत परिवर्तन पर भी विचार कर सकता है:
 * $$i_{\alpha\beta}(t) = \frac23 \begin{bmatrix} 1 & -\frac12 & -\frac12\\

0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix}i_a(t)\\i_b(t)\\i_c(t)\end{bmatrix}$$ जो तीसरे समीकरण को छोड़कर केवल मूल क्लार्क का परिवर्तन है, और


 * $$i_{abc}(t) = \frac32\begin{bmatrix} \frac23 & 0 \\

-\frac{1}{3} & \frac{\sqrt{3}}{3} \\ -\frac{1}{3} & -\frac{\sqrt{3}}{3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}i_\alpha(t)\\i_\beta(t)\end{bmatrix}.$$

ज्यामितीय व्याख्या
आल्फा-बीटा-गामा $$\alpha\beta\gamma$$ परिवर्तन को तीन चरणीय मात्राओं (वोल्टेज या करंट) की दो स्थिर धाराओं, आल्फा धारा और बीटा धारा पर प्रक्षिप्ति के रूप में सोचा जा सकता है। हालांकि, यदि प्रणाली संतुलित है, तो कोई जानकारी नहीं खो जाती है, क्योंकि समीकरण $$I_a+I_b+I_c=0$$ समीकरण $$I_{\gamma}$$ के लिए समरूप होता है जो परिवर्तन में होता है। अगर प्रणाली संतुलित नहीं है, तो $$I_{\gamma}$$ शब्द में प्रक्षिप्ति के त्रुटि घटक को सम्मिलित करेगा। इस प्रकार, $$I_{\gamma}$$की मान शून्य यह सूचित करती है कि प्रणाली संतुलित है (और इस प्रकार पूरी तरह से आल्फा-बीटा निर्देशांक खंड में होती है), और इस पूर्वानुमान के अनुसार दो निर्देशांक गणनाओं के लिए इसे उपेक्षित किया जा सकता है कि प्रणाली संतुलित है। यह क्लार्क परिवर्तन की श्रेष्ठता है क्योंकि यह इस धारणा के कारण तीन घटक प्रणाली को दो घटक प्रणाली में बदल देता है।

इसे समझने का दूसरा विधि यह है कि समीकरण $$I_a+I_b+I_c=0$$ यूक्लिडियन तीन समन्वय समिष्ट में विमान को परिभाषित करता है। अल्फा-बीटा समन्वय समिष्ट को इस तल द्वारा परिभाषित दो समन्वय समिष्ट के रूप में समझा जा सकता है, अर्थात् अल्फा-बीटा अक्ष परिभाषित विमान पर स्थित हैं, जो $$I_a+I_b+I_c=0$$ द्वारा परिभाषित तल पर आते हैं।

इसका यह भी मतलब है कि क्लार्क परिवर्तन का उपयोग करने के लिए, किसी को यह सुनिश्चित करना होगा कि प्रणाली संतुलित है, अन्यथा बाद की दो समन्वय गणनाएँ गलत हो सकती हैं। यह उन अनुप्रयोगों में व्यावहारिक विचार है जहां तीन चरण की मात्राएं मापी जाती हैं और संभवतः माप में त्रुटि हो सकती है।



dq0 परिवर्तन
$$dq0$$ परिवर्तन की संवेदनात्मक रूप से $$\alpha\beta\gamma$$ परिवर्तन के सामान तत्व होते हैं। जहाँ $$dq0$$ परिवर्तन चरणीय मात्राओं की घूमते हुए दो-धिक्कारी संदर्भ फ्रेम पर परियोजना है, वहीं $$\alpha\beta\gamma$$ रिवर्तन को चरणीय मात्राओं की स्थिर दो-धिक्कारी संदर्भ फ्रेम पर परियोजना किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * सममित घटक
 * Y-Δ परिवर्तन
 * क्षेत्र-उन्मुख नियंत्रण

संदर्भ

 * General references


 * C.J. O'Rourke et al. "A Geometric Interpretation of Reference Frames and Transformations: dq0, Clarke, and Park," in IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 34, no. 4, pp. 2070-2083, Dec. 2019.