विलोम संबंध

गणित में, एक द्विआधारी संबंध का विलोम संबंध, या स्थानान्तरण, वह संबंध होता है जो तब होता है जब संबंध में तत्वों के क्रम को बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, 'का बच्चा' संबंध का विलोम 'का जनक' संबंध है। औपचारिक शब्दों में, यदि $$X$$ तथा $$Y$$ सेट (गणित) हैं और $$L \subseteq X \times Y$$ से सम्बन्ध है $$X$$ प्रति $$Y,$$ फिर $$L^{\operatorname{T}}$$ संबंध परिभाषित किया गया है ताकि $$yL^{\operatorname{T}}x$$ अगर और केवल अगर $$xLy.$$ सेट-बिल्डर नोटेशन में,
 * $$L^{\operatorname{T}} = \{ (y, x) \in Y \times X : (x, y) \in L \}.$$

उलटा कार्य के लिए संकेतन इसके अनुरूप है। हालाँकि कई फलनों का व्युत्क्रम नहीं होता है, फिर भी प्रत्येक संबंध का एक विशिष्ट विलोम होता है। एकात्मक ऑपरेशन, जो विपरीत संबंध से संबंध को मैप करता है, एक इनवोल्यूशन (गणित) है, इसलिए यह एक सेट पर द्विआधारी संबंधों पर शामिल होने के साथ एक सेमीग्रुप की संरचना को प्रेरित करता है, या अधिक आम तौर पर, संबंधों की श्रेणी पर एक डैगर श्रेणी को प्रेरित करता है। #गुणों के रूप में। एक यूनरी ऑपरेशन के रूप में, बातचीत (कभी-कभी रूपांतरण या पक्षांतरित़िशन कहा जाता है) लेने से संबंधों के कलन के आदेश-संबंधित संचालन के साथ संचार होता है, जो कि संघ, चौराहे और पूरक के साथ होता है।

चूँकि एक संबंध को एक तार्किक आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है, और विलोम सम्बन्ध का तार्किक आव्यूह मूल का स्थानान्तरण होता है, विलोम सम्बन्ध को स्थानान्तरण सम्बन्ध भी कहा जाता है। इसे मूल संबंध का विपरीत या द्वैत भी कहा गया है, या मूल संबंध के व्युत्क्रम, या पारस्परिक $$L^{\circ}$$ संबंध का $$L.$$ विपरीत संबंध के लिए अन्य संकेत शामिल हैं $$L^{\operatorname{C}}, L^{-1}, \breve{L}, L^{\circ},$$ या $$L^{\vee}.$$

उदाहरण
सामान्य (शायद सख्त या आंशिक) आदेश संबंधों के लिए, विपरीत भोले-भाले अपेक्षित विपरीत क्रम है, उदाहरण के लिए, $${\leq^\operatorname{T}} = {\geq},\quad {<^\operatorname{T}} = {>}.$$ एक संबंध को तार्किक मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है जैसे $$\begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ तब विलोम संबंध को उसके स्थानान्तरण मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है: $$\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}. $$ नातेदारी संबंधों के विलोम का नाम है:$$A$$ का बच्चा है $$B$$बातचीत की है$$B$$ का अभिभावक है $$A$$.$$A$$ का भतीजा और भतीजी है $$B$$बातचीत की है$$B$$ का चाचा या चाची है $$A$$. सम्बन्ध$$A$$ का भाई है $$B$$इसका अपना विलोम है, क्योंकि यह एक सममित संबंध है।

गुण
एक सेट पर बाइनरी android के मोनोइड में (संबंधों की संरचना होने वाले संबंधों पर बाइनरी ऑपरेशन के साथ), विलोम संबंध समूह सिद्धांत से व्युत्क्रम की परिभाषा को संतुष्ट नहीं करता है, अर्थात, यदि $$L$$ पर मनमाना संबंध है $$X,$$ फिर $$L \circ L^{\operatorname{T}}$$ करता है पहचान समारोह के बराबर $$X$$ सामान्य रूप में। उलटा संबंध एक अर्धसमूह के (कमजोर) स्वयंसिद्धों को शामिल करने से संतुष्ट करता है: $$\left(L^{\operatorname{T}}\right)^{\operatorname{T}} = L$$ तथा $$(L \circ R)^{\operatorname{T}} = R^{\operatorname{T}} \circ L^{\operatorname{T}}.$$

चूंकि कोई आम तौर पर विभिन्न सेटों के बीच संबंधों पर विचार कर सकता है (जो एक मोनॉइड के बजाय एक श्रेणी (गणित) बनाता है, अर्थात् संबंधों की श्रेणी), इस संदर्भ में विपरीत संबंध एक खंजर श्रेणी के स्वयंसिद्धों के अनुरूप होता है (इनवोल्यूशन के साथ उर्फ ​​​​श्रेणी). इसके विपरीत के बराबर संबंध एक सममित संबंध है; खंजर श्रेणियों की भाषा में यह स्वयंभू है।

इसके अलावा, एक सेट पर एंडोरेलेशन का सेमीग्रुप भी एक आंशिक रूप से आदेशित संरचना है (संबंधों को सेट के रूप में शामिल करने के साथ), और वास्तव में एक समावेशी कितना है। इसी प्रकार, विषम संबंधों की श्रेणी, Rel भी एक क्रमबद्ध श्रेणी है। बीजगणितीय तर्क में#संबंधों की गणना, (विपरीत संबंध लेने का एकात्मक संक्रिया) संघ और प्रतिच्छेदन के अन्य द्विआधारी संक्रियाओं के साथ संचार करता है। रूपांतरण बाइनरी रिलेशन # पूरक के साथ-साथ उच्चतम और इन्फिमा लेने के साथ-साथ यूनरी ऑपरेशन के साथ भी शुरू होता है। समावेशन द्वारा संबंधों के क्रम के साथ रूपांतरण भी संगत है।

यदि कोई संबंध रिफ्लेक्सिव संबंध है, अप्रतिवर्ती संबंध, सममित संबंध, एंटीसिमेट्रिक संबंध, असममित संबंध, सकर्मक संबंध, जुड़ा संबंध, द्विआधारी संबंध # एक सेट पर संबंध, एक आंशिक क्रम, कुल आदेश, सख्त कमजोर क्रम, सख्त कमजोर क्रम # कुल पूर्व आदेश (कमजोर क्रम), या एक तुल्यता संबंध, इसका विलोम भी है।

उलटा
यू $$I$$ पहचान संबंध का प्रतिनिधित्व करता है, फिर संबंध $$R$$ इसका प्रतिलोम इस प्रकार हो सकता है: $$R$$ कहा जाता है
 * अगर कोई संबंध है $$X,$$ को फ़ोन कियाका $$R,$$ जो संतुष्ट करता है $$R \circ X = I.$$ ;
 * अगर कोई संबंध है $$Y,$$ को फ़ोन कियाका $$R,$$ जो संतुष्ट करता है $$Y \circ R = I.$$ ;
 * यदि यह दाएं-उलटा और बाएं-उलटा दोनों है।
 * यदि यह दाएं-उलटा और बाएं-उलटा दोनों है।

एक व्युत्क्रमणीय सजातीय संबंध के लिए $$R,$$ सभी दाएँ और बाएँ व्युत्क्रम संयोग करते हैं; इस अनोखे सेट को इसका नाम दिया गया हैऔर इसे द्वारा निरूपित किया जाता है $$R^{-1}.$$ इस मामले में, $$R^{-1} = R^{\operatorname{T}}$$ रखती है।

किसी फलन का विलोम संबंध
एक फलन (गणित) प्रतिलोम फलन होता है यदि और केवल यदि इसका विलोम संबंध फलन हो, तो इस स्थिति में विलोम संबंध प्रतिलोम फलन होता है।

किसी फलन का विलोम संबंध $$f : X \to Y$$ संबंध है $$f^{-1} \subseteq Y \times X$$ द्वारा परिभाषित किया गया है $$\operatorname{graph}\, f^{-1} = \{ (y, x) \in Y \times X : y = f(x) \}.$$ यह आवश्यक रूप से एक कार्य नहीं है: एक आवश्यक शर्त यह है कि $$f$$ इंजेक्शन हो, और के बाद से $$f^{-1}$$ बहुमूल्यवान है। के लिए यह स्थिति पर्याप्त है $$f^{-1}$$ एक आंशिक कार्य होने के नाते, और यह स्पष्ट है कि $$f^{-1}$$ तो एक (कुल) कार्य है अगर और केवल अगर $$f$$ विशेषण है। उस मामले में, मतलब अगर $$f$$ विशेषण है, $$f^{-1}$$ का प्रतिलोम कार्य कहा जा सकता है $$f.$$ उदाहरण के लिए, समारोह $$f(x) = 2x + 2$$ उलटा कार्य है $$f^{-1}(x) = \frac{x}{2} - 1.$$ हालाँकि, समारोह $$g(x) = x^2$$ उलटा संबंध है $$g^{-1}(x) = \pm \sqrt{x},$$ जो बहु-मूल्यवान होने के कारण एक कार्य नहीं है।

संबंध के साथ रचना
संबंधों की रचना का उपयोग करते हुए, विलोम को मूल संबंध के साथ बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इसके विलोम से बना उपसमुच्चय संबंध हमेशा सार्वभौमिक संबंध होता है:
 * ∀A ∀B ∅ ⊂ A ∩B ⇔ A ⊃ ∅ ⊂ B ⇔ A ⊃ ⊂ B. इसी प्रकार,
 * यू = ब्रह्मांड (गणित) के लिए, ए ∪ बी ⊂ यू ⇔ ए ⊂ यू ⊃ बी ⇔ ए ⊂ ⊃ बी।

अब समुच्चय सदस्यता संबंध और इसके विलोम पर विचार करें।
 * $$A \ni z \in B \Leftrightarrow z \in A \cap B \Leftrightarrow A \cap B \ne \empty.$$

इस प्रकार $$A \ni \in B \Leftrightarrow A \cap B \ne \empty .$$ विपरीत रचना $$\in \ni$$ सार्वभौम संबंध है।

रचनाओं का उपयोग प्रकार के अनुसार संबंधों को वर्गीकृत करने के लिए किया जाता है: संबंध क्यू के लिए, जब क्यू की सीमा पर पहचान संबंध में क्यू होता हैTQ, तो Q को एकसंयोजक कहा जाता है। जब क्यू के डोमेन पर पहचान संबंध क्यू क्यू में निहित हैT, तो Q को कुल कहा जाता है। जब Q एकसंयोजक और कुल दोनों है तो यह एक कार्य है। जब क्यूT एकसंयोजक है, तो Q को अंतःक्षेपी कहा जाता है। जब क्यूT कुल है, Q को विशेषण कहा जाता है। यदि Q एकसंयोजक है, तो QQT Q के क्षेत्र पर एक तुल्यता संबंध है, सकर्मक संबंध#संबंधित गुण देखें।

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