वर्णनात्मक फलन

नियंत्रण प्रणाली सिद्धांत में, 1930 के दशक में निकोले मित्रोफ़ानोविच क्रायलोव और निकोले बोगोलीबोव द्वारा विकसित, और राल्फ कोचेनबर्गर द्वारा विस्तारित वर्णनात्मक फलन (डीएफ) विधि, कुछ गैर-रेखीय नियंत्रण समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए एक अनुमानित प्रक्रिया है। यह अर्ध-रैखिकीकरण पर आधारित है, जो एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) स्थानांतरण फलन द्वारा जांच के तहत गैर-रैखिक प्रणाली का अनुमान है जो इनपुट तरंग के आयाम पर निर्भर करता है। परिभाषा के अनुसार, एक वास्तविक एलटीआई प्रणाली का स्थानांतरण फलन इनपुट फलन के आयाम पर निर्भर नहीं हो सकता क्योंकि एक एलटीआई प्रणाली रैखिक है। इस प्रकार, आयाम पर यह निर्भरता रैखिक प्रणालियों का एक परिवार उत्पन्न करती है जो गैर-रेखीय प्रणाली व्यवहार की मुख्य विशेषताओं को पकड़ने के प्रयास में संयुक्त होती है। वर्णन करने वाला फलन गैर-रेखीय प्रणालियों को डिजाइन करने के लिए कुछ व्यापक रूप से लागू तरीकों में से एक है, और औद्योगिक प्रक्रिया नियंत्रण, सर्वोमैकेनिज्म और इलेक्ट्रॉनिक ऑसिलेटर जैसे बंद-लूप नियंत्रकों में सीमा चक्रों का विश्लेषण करने के लिए एक मानक गणितीय उपकरण के रूप में बहुत व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

विधि
एक धीमी गति से स्थिर रैखिक प्रणाली के साथ कैस्केड किए गए एक असंतुलित (लेकिन टुकड़ों में निरंतर) गैर-रैखिकता (जैसे, संतृप्ति के साथ एक एम्पलीफायर, या डेडबैंड प्रभाव वाला एक तत्व) के आसपास प्रतिक्रिया पर विचार करें। निरंतर क्षेत्र जिसमें गैर-रैखिकता के लिए फीडबैक प्रस्तुत किया जाता है, रैखिक प्रणाली के आउटपुट के आयाम पर निर्भर करता है। जैसे-जैसे रैखिक प्रणाली का आउटपुट आयाम कम होता जाता है, गैर-रैखिकता एक अलग निरंतर क्षेत्र में स्थानांतरित हो सकती है। एक सतत क्षेत्र से दूसरे क्षेत्र में यह स्विचिंग आवधिक दोलन उत्पन्न कर सकता है। वर्णन करने वाली फलन विधि यह मानकर उन दोलनों की विशेषताओं (उदाहरण के लिए, उनकी मौलिक आवृत्ति) की भविष्यवाणी करने का प्रयास करती है कि धीमी प्रणाली एक कम-पास या बैंडपास फिल्टर की तरह काम करती है जो सभी ऊर्जा को एक ही आवृत्ति के आसपास केंद्रित करती है। भले ही आउटपुट तरंग में कई मोड हों, फिर भी विधि आवृत्ति और संभवतः आयाम जैसी गुणों के बारे में अंतर्ज्ञान प्रदान कर सकती है; इस मामले में, वर्णन फलन विधि को फीडबैक सिस्टम के स्लाइडिंग मोड का वर्णन करने के रूप में सोचा जा सकता है।

इस निम्न-पास धारणा का उपयोग करके, सिस्टम प्रतिक्रिया को साइनसॉइडल तरंगों के एक परिवार द्वारा वर्णित किया जा सकता है; इस मामले में सिस्टम को फलन (एसआईडीएफ) $$H(j\omega)$$ का वर्णन करने वाले एक साइन इनपुट द्वारा चित्रित किया जाएगा, जो आयाम A और आवृत्ति $$\omega$$ की साइन तरंग से युक्त इनपुट पर सिस्टम प्रतिक्रिया देता है। यह एसआईडीएफ ट्रांसफर फलन $$H(A,\,j\omega)$$ का एक संशोधन है जिसका उपयोग रैखिक प्रणालियों को चिह्नित करने के लिए किया जाता है। एक अर्ध-रेखीय प्रणाली में, जब इनपुट एक साइन तरंग है, तो आउटपुट समान आवृत्ति की एक साइन तरंग होगी, लेकिन स्केल किए गए आयाम और स्थानांतरित चरण के साथ जैसा कि $$H(A,\,j\omega)$$ द्वारा दिया गया है। कई प्रणालियाँ इस अर्थ में लगभग अर्ध-रैखिक हैं कि यद्यपि साइन तरंग की प्रतिक्रिया शुद्ध साइन तरंग नहीं है, लेकिन आउटपुट में अधिकांश ऊर्जा वास्तव में इनपुट के समान आवृत्ति $$\omega$$ पर होती है। इसका कारण यह है कि ऐसी प्रणालियों में आंतरिक कम-पास या बैंडपास विशेषताएं हो सकती हैं जैसे कि हार्मोनिक्स स्वाभाविक रूप से क्षीण हो जाते हैं, या क्योंकि इस उद्देश्य के लिए बाहरी फ़िल्टर जोड़े जाते हैं। एसआईडीएफ तकनीक का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग साइनसोइडल इलेक्ट्रॉनिक ऑसिलेटर में दोलन आयाम का अनुमान लगाना है।

अन्य प्रकार के वर्णनात्मक कार्यों का उपयोग किया गया है जो स्तर के इनपुट और गाऊसी शोर इनपुट के लिए डीएफ हैं। हालाँकि सिस्टम का पूरा विवरण नहीं है, लेकिन डीएफ अक्सर नियंत्रण और स्थिरता के बारे में विशिष्ट प्रश्नों का उत्तर देने के लिए पर्याप्त होते हैं। अपेक्षाकृत कमजोर गैर-रेखीयताओं वाले सिस्टम का विश्लेषण करने के लिए डीएफ विधियां सर्वोत्तम हैं। उच्च क्रम के साइनसॉइडल इनपुट फलन का वर्णन करने वाले कार्यों (एचओएसआईडीएफ) के अलावा, एक साइनसॉइडल इनपुट की इनपुट आवृत्ति के हार्मोनिक्स पर नॉनलाइनियर सिस्टम के एक वर्ग की प्रतिक्रिया का वर्णन करता है। एचओएसआईडीएफ उन प्रणालियों के लिए एसआईडीएफ का एक विस्तार है जहां प्रतिक्रिया में गैर-रैखिकताएं महत्वपूर्ण हैं।

चेतावनी
यद्यपि वर्णन करने वाली फलन विधि सिस्टम की एक विस्तृत श्रेणी के लिए यथोचित सटीक परिणाम उत्पन्न कर सकती है, लेकिन यह दूसरों के लिए बुरी तरह विफल हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि सिस्टम गैर-रैखिकता के उच्च हार्मोनिक्स पर जोर देता है तो विधि विफल हो सकती है। बैंग-बैंग नियंत्रण|बैंग-बैंग सिस्टम के लिए ऐसे उदाहरण त्ज़िपकिन द्वारा प्रस्तुत किए गए हैं। एक काफी समान उदाहरण एक बंद-लूप थरथरानवाला है जिसमें एक गैर-इनवर्टिंग श्मिट ट्रिगर होता है जिसके बाद एक इनवर्टिंग करनेवाला  होता है जो श्मिट ट्रिगर के इनपुट पर अपना आउटपुट वापस फ़ीड करता है। श्मिट ट्रिगर का आउटपुट एक वर्गाकार तरंगरूप होने वाला है, जबकि इंटीग्रेटर (इसके बाद) का आउटपुट एक त्रिकोण तरंगरूप होने वाला है, जिसकी चोटियाँ वर्गाकार तरंग में संक्रमण के साथ मेल खाती हैं। इन दो थरथरानवाला चरणों में से प्रत्येक सिग्नल से ठीक 90 डिग्री (इसके इनपुट के सापेक्ष) पीछे है। यदि कोई इस सर्किट पर डीएफ विश्लेषण करता है, तो श्मिट ट्रिगर के इनपुट पर त्रिकोण तरंग को इसके मौलिक (साइन वेव) से बदल दिया जाएगा, जो ट्रिगर से गुजरने पर 90 डिग्री से कम चरण बदलाव का कारण बनेगा (क्योंकि साइन वेव यह इसे त्रिभुज तरंग की तुलना में जल्दी ट्रिगर करेगा) ताकि सिस्टम उसी (सरल) तरीके से दोलन न करता दिखाई दे। साथ ही, ऐसे मामले में जहां एज़रमैन के अनुमान के लिए शर्तें|एज़रमैन या कलमैन के अनुमान को पूरा किया जाता है, फलन विधि का वर्णन करके कोई आवधिक समाधान नहीं होता है, लेकिन छिपे हुए आकर्षण वाले प्रति उदाहरण ज्ञात हैं। जब एक विश्राम खंड पूर्वानुमानित सीमा चक्रों को नष्ट कर देता है, तो वर्णन करने वाली फलन पद्धति के प्रति उदाहरणों का निर्माण असंतुलित गतिशील प्रणालियों के लिए किया जा सकता है। इसलिए, वर्णनात्मक फलन विधि के अनुप्रयोग के लिए अतिरिक्त औचित्य की आवश्यकता होती है।

अग्रिम पठन

 * N. Krylov and N. Bogolyubov: Introduction to Nonlinear Mechanics, Princeton University Press, 1947
 * A. Gelb and W. E. Vander Velde: Multiple-Input Describing Functions and Nonlinear System Design, McGraw Hill, 1968.
 * James K. Roberge, Operational Amplifiers: Theory and Practice, chapter 6: Non-Linear Systems, 1975; free copy courtesy of MIT OpenCourseWare 6.010 (2013); see also (1985) video recording of Roberge's lecture on describing functions
 * P.W.J.M. Nuij, O.H. Bosgra, M. Steinbuch, Higher Order Sinusoidal Input Describing Functions for the Analysis of Nonlinear Systems with Harmonic Responses, Mechanical Systems and Signal Processing, 20(8), 1883–1904, (2006)

बाहरी संबंध

 * Electrical Engineering Encyclopedia: Describing Functions