मुक्त समूह

गणित में, किसी दिए गए समुच्चय S पर मुक्त समूह FS में वे सभी शब्द होते हैं जो S के सदस्यों से बनाए जा सकते हैं, दो शब्दों को भिन्न मानते हुए जब तक कि उनकी समानता समूह सिद्धांतों से न हो (उदाहरण के लिए st = suu−1t, लेकिन s ≠ t−1,s,t,u ∈ S) हैं। S के सदस्यों को FS का 'जनित्र' कहा जाता है, और जनित्र की संख्या मुक्त समूह की क्रम होती है। एक स्वेच्छाचारी समूह G को मुक्त कहा जाता है यदि यह G के कुछ उपसमुच्चय S के लिए FS के लिए तुल्याकारी है, अर्थात, यदि G का एक उपसमुच्च S है, जैसे कि G के प्रत्येक तत्व को यथार्थत: से लिखा जा सकता है जैसे कि बहुत से गुणनफल के रूप में S के तत्व और उनके व्युत्क्रम (तुच्छ भिन्नता की उपेक्षा करना जैसे कि st = suu−1t) है।

एक संबंधित लेकिन भिन्न धारणा एक मुक्त एबेलियन समूह है; दोनों धारणाएं सार्वभौमिक बीजगणित से मुक्त वस्तु के विशेष उदाहरण हैं। जैसे, मुक्त समूहों को उनकी सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जाता है।

इतिहास
फ़्यूचियन समूहों के उदाहरण के रूप में अतिपरवलयिक ज्यामिति के अध्ययन में सबसे पहले मुक्त समूह उत्पन्न हुए (अतिपरवलयिक समतल पर आइसोमेट्री द्वारा अभिनय करने वाले असतत समूह)। 1882 के एक लेख में, वाल्थर वॉन डाइक ने बताया कि इन समूहों में सबसे सरल संभव प्रस्तुतियाँ है। मुक्त समूहों का बीजगणितीय अध्ययन 1924 में जैकब नीलसन द्वारा आरम्भ किया गया था, जिन्होंने उन्हें अपना नाम दिया और उनके कई मूल गुण स्थापित किए।  मैक्स डेहन ने संस्थितिविज्ञान के साथ संबंध को सिद्ध किया, और पूर्ण नीलसन-श्रेयर प्रमेय का पहला प्रमाण प्राप्त किया। ओटो श्रेयर ने 1927 में इस परिणाम का एक बीजगणितीय प्रमाण प्रकाशित किया, और कर्ट रिडेमिस्टर ने मिश्रित संस्थितिविज्ञान पर अपनी 1932 की पुस्तक में मुक्त समूहों के व्यापक उपचार को सम्मिलित किया। बाद में 1930 के दशक में, विल्हेम मैग्नस ने मुक्त समूहों की निचली केंद्रीय श्रृंखला और मुक्त लाई बीजगणित के मध्य संबंध की खोज की।

उदाहरण
पूर्णांकों का समूह (Z,+) क्रम 1 से मुक्त है; एक जनक समुच्चय S = {1} है। पूर्णांक भी एक मुक्त एबेलियन समूह हैं, यद्यपि क्रम $$\geq 2$$ के सभी मुक्त समूह गैर-अबेलियन हैं। दो-तत्व समुच्चय S पर एक मुक्त समूह दो तत्व विरोधाभास के प्रमाण में होता है और वहां इसका वर्णन किया गया है।

दूसरी ओर, कोई भी गैर-तुच्छ परिमित समूह मुक्त नहीं हो सकता है, क्योंकि एक मुक्त समूह के मुक्त जनक समुच्चय के तत्वों में अनंत क्रम होता है।

बीजगणितीय संस्थितिविज्ञान में, k वृत्त के गुच्छे का मूलभूत समूह (k परिपथ का एक समुच्चय जिसमें केवल एक बिंदु समान होता है) k तत्वों के समुच्चय पर मुक्त समूह होता है।

निर्माण
मुक्त जनक समुच्चय S के साथ मुक्त समूह FS का निर्माण अनुसरण किया जा सकता है। S प्रतीकों का एक समुच्चय है, और हम मानते हैं कि s में प्रत्येक S के लिए एक समुच्चय s−1 में एक संबंधित प्रतिलोम प्रतीक, S−1है। मान लीजिए कि T = S ∪ S−1, और S में एक शब्द (समूह सिद्धांत) को T के तत्वों का कोई लिखित गुणनफल परिभाषित करें। अर्थात्, 'S' में एक शब्द 'T' द्वारा जनित एकाभ का एक तत्व है। प्रकार्य शब्द वह शब्द है जिसमें कोई प्रतीक नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि S = {a, b, c}, तो 

T = {a, a−1, b, b−1, c, c−1}, और
 * $$a b^3 c^{-1} c a^{-1} c\,$$

S में एक शब्द है।

यदि S का एक तत्व इसके व्युत्क्रम के ठीक सामने में स्थित है, तो c, c−1 जोड़ी के लोपन शब्द को सरल बनाया जा सकता है:
 * $$a b^3 c^{-1} c a^{-1} c\;\;\longrightarrow\;\;a b^3 \, a^{-1} c.$$

एक शब्द जिसे और अधिक सरल नहीं किया जा सकता है, उसे न्यूनीकृत कहा जाता है।

समूह संचालन के रूप में शब्दों के संयोजन (इसके बाद यदि आवश्यक हो तो समानयन के बाद) के साथ मुक्त समूह FS को S में सभी कम किए गए शब्दों के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है। सर्वसमिका प्रकार्य शब्द है।

एक न्यूनीकृत हुआ शब्द चक्रीय रूप से न्यूनीकृत कहा जाता है यदि उसका पहला और अंतिम अक्षर एक दूसरे के व्युत्क्रम नहीं होते हैं। प्रत्येक शब्द चक्रीय रूप से न्यूनीकृत किए गए शब्द के लिए संयुग्मन वर्ग है, और चक्रीय रूप से न्यूनीकृत किए गए शब्द का एक चक्रीय रूप से न्यूनीकृत संयुग्म शब्द में अक्षरों का एक चक्रीय क्रम परिवर्तन है। उदाहरण के लिए b−1abcb चक्रीय रूप से न्यूनीकृत नहीं होता है, लेकिन abc से संयुग्मित होता है, जो चक्रीय रूप से न्यूनीकृत होता है। abc के केवल चक्रीय रूप से न्यूनीकृत संयुग्म abc, bca और cab हैं।

सार्वभौमिक संपत्ति
मुक्त समूह FS समुच्चय S द्वारा उत्पन्न सार्वभौमिक समूह है। इसे निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा औपचारिक रूप दिया जा सकता है: S से समूह G तक कोई भी फलन f दिया गया है, तो एक अद्वितीय समरूपता φ अस्तित्व है: FS → G निम्नलिखित आरेख आवागमन कर रहा है (जहां अज्ञात मानचित्रण S से F में समावेश होने को दर्शाता है): अर्थात्, समरूपता FS → G फलन S → G के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं। एक गैर-मुक्त समूह के लिए, संबंधों की उपस्थिति जनित्र की संभावित छवियों को समरूपता के अंतर्गत सीमित कर देगी।

यह देखने के लिए कि यह रचनात्मक परिभाषा से कैसे संबंधित है, S से FS तक मानचित्रण के बारे में सोचें जैसे प्रत्येक प्रतीक से युक्त शब्द में भेजना। दिए गए f के लिए φ का निर्माण करने के लिए, पहले ध्यान दें कि φ प्रकार्य शब्द को G की पहचान के लिए भेजता है और इसे S के तत्वों पर $f$ से सहमत होता है। शेष शब्दों के लिए (एक से अधिक प्रतीकों से मिलकर), φ को विशिष्ट रूप से विस्तारित किया जा सकता है, क्योंकि यह एक समरूपता है, अर्थात, φ(ab) = φ(a) φ(b)।

उपरोक्त संपत्ति समरूपता तक मुक्त समूहों की विशेषता है, और कभी-कभी इसे वैकल्पिक परिभाषा के रूप में प्रयोग किया जाता है। इसे मुक्त समूहों की सार्वभौमिक संपत्ति के रूप में जाना जाता है, और जनक समुच्चय S को FS के लिए 'आधार' कहा जाता है। मुक्त समूह का आधार विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं है।

एक सार्वभौमिक संपत्ति की विशेषता होना सार्वभौमिक बीजगणित में मुक्त वस्तुओं की मानक विशेषता है। क्रम सिद्धांत की भाषा में, मुक्त समूह का निर्माण (मुक्त वस्तुओं के अधिकांश निर्माणों के समान) समुच्चय की श्रेणी से समूहों की श्रेणी का एक प्रकार्यक है। यह प्रकार्यक समूह से समुच्चय तक अनवहित प्रकार्यक के अभिसम्युक्त छोड़ दिया जाता है।

तथ्य और प्रमेय
परिभाषा से मुक्त समूहों के कुछ गुण सरलता से अनुसरण करते हैं:


 * 1) कोई भी समूह G किसी मुक्त समूह F(S) का समरूपी प्रतिबिम्ब है। बता दें कि S, G के जनित्र का एक समुच्चय है। प्राकृतिक मानचित्र f: F(S) → G एक अधिरूपता है, जो दावे को सिद्ध करता है। समतुल्य रूप से, G कुछ मुक्त समूह F(S) के भागफल समूह के लिए तुल्याकारी है। G की प्रस्तुति में φ का कर्नेल संबंधों का एक समुच्चय है। यदि S को यहाँ परिमित चुना जा सकता है, तो G को 'परिमित रूप से जनित' कहा जाता है।
 * 2) यदि S में एक से अधिक तत्व हैं, तो F(S) एबेलियन नहीं है, और वास्तव में F(S) का केंद्र तुच्छ है (अर्थात, इसमें केवल सर्वसमिका तत्व सम्मिलित हैं)।
 * 3) दो मुक्त समूह F(S) और F(T) आइसोमॉर्फिक हैं यदि और केवल अगर S और T में समान प्रमुखता है। इस प्रमुखता को मुक्त समूह F की श्रेणी कहा जाता है। इस प्रकार प्रत्येक गणन संख्या k के लिए, समाकृतिकता तक, श्रेणी k का यथार्थत: एक मुक्त समूह होता है।
 * 4) परिमित श्रेणी n> 1 के एक मुक्त समूह में क्रम 2n - 1 की एक घातीय वृद्धि दर है।

कुछ अन्य संबंधित परिणाम हैं:
 * 1) नीलसन-श्रेयर प्रमेय: एक मुक्त समूह का प्रत्येक उपसमूह स्वतंत्र है।
 * 2) श्रेणी k के एक मुक्त समूह में स्पष्ट रूप से k से कम प्रत्येक श्रेणी के उपसमूह होते हैं। कम स्पष्ट रूप से, एक (नॉनबेलियन!) श्रेणी के मुक्त समूह में कम से कम 2 में सभी गणनीय श्रेणीयो के उपसमूह होते हैं।
 * 3) श्रेणी k> 1 के मुक्त समूह के दिक्परिवर्तक उपसमूह में अनंत श्रेणी है; उदाहरण के लिए F(a,b) के लिए, यह गैर-शून्य m और n के लिए दिक्परिवर्तक [am, bn] द्वारा स्वतंत्र रूप से जनित होता है।
 * 4) दो तत्वों में मुक्त समूह SQ सार्वभौमिक है; उपरोक्त इस प्रकार है क्योंकि किसी भी SQ सार्वभौमिक समूह में सभी गणनीय श्रेणीयो के उपसमूह होते हैं।
 * 5) कोई भी समूह जो एक वृक्ष पर कार्य करता है, स्वतंत्र रूप से और अभिविन्यास को संरक्षित करता है, वह गणनीय श्रेणी का एक मुक्त समूह है (1 लाभ भागफल आलेख के यूलर विशेषता द्वारा दिया गया) हैं।
 * 6) मुक्त जनक समुच्चय के संबंध में परिमित श्रेणी के एक मुक्त समूह का केली आलेख एक वृक्ष है जिस पर समूह स्वतंत्र रूप से कार्य करता है, अभिविन्यास को संरक्षित करता है।
 * 7) इन परिणामों के लिए समूहबद्ध दृष्टिकोण, नीचे पी.जे. हिगिंस द्वारा दिए गए कार्य में दिया गया है, एक तरह से आवरक अंतरालक का उपयोग करके एक दृष्टिकोण से अतिरिक्त किया गया है। यह अधिक शक्तिशाली परिणामों की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए ग्रुस्को के प्रमेय पर, और समूहों के आलेख के मौलिक समूह के लिए एक सामान्य रूप है। इस दृष्टिकोण में एक निर्देशित आलेख पर मुक्त समूह का काफी उपयोग होता है।
 * 8) ग्रुस्को के प्रमेय का परिणाम यह है कि यदि n तत्वों पर मुक्त समूह F का एक उपसमुच्चय B, F उत्पन्न करता है और इसमें n तत्व हैं, तो B स्वतंत्र रूप से F उत्पन्न करता है।

मुक्त एबेलियन समूह
समुच्चय S पर मुक्त एबेलियन समूह को इसकी सार्वभौमिक संपत्ति के माध्यम से समान रूप से स्पष्ट संशोधनों के साथ परिभाषित किया गया है: एक युग्म (F, φ) पर विचार करें, जहाँ F एक एबेलियन समूह है और φ: S → F एक फलन है। φ के संबंध में F को S पर मुक्त एबेलियन समूह' कहा जाता है, यदि किसी एबेलियन समूह G और किसी फलन ψ के लिए: S → G, एक अद्वितीय समरूपता f: F → G अस्तित्व में है, जैसे कि


 * f(φ(s)) = ψ(s), S में सभी s के लिए।

S पर मुक्त एबेलियन समूह को स्पष्ट रूप से मुक्त समूह F(S) मॉड्यूलो के रूप में निर्धारित किया जा सकता है, जो इसके दिक्परिवर्तक, [F(S), F(S)] द्वारा उत्पन्न उपसमूह है। दूसरे शब्दों में, S पर मुक्त एबेलियन समूह शब्दों का समूह है जो केवल अक्षरों के क्रम तक ही प्रतिष्ठित हैं। इसलिए एक मुक्त समूह की श्रेणी को एक मुक्त एबेलियन समूह के रूप में इसके एबेलियनाइजेशन की श्रेणी के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

तर्स्की की समस्याएं
1945 के आसपास, अल्फ्रेड टार्स्की ने पूछा कि क्या दो या दो से अधिक जनित्र पर मुक्त समूहों का एक ही प्रथम-क्रम सिद्धांत है, और क्या यह सिद्धांत निर्णायकता है। ने यह दिखाते हुए पहले प्रश्न का उत्तर दिया कि किन्हीं भी दो गैर-अबेलियन मुक्त समूहों में एक ही प्रथम-क्रम सिद्धांत है, और  ने दोनों प्रश्नों का उत्तर दिया, यह दिखाते हुए कि यह सिद्धांत निर्णायक है।

मुक्त संभाव्यता सिद्धांत में एक समान न सुलझा हुआ (2011 तक) प्रश्न पूछता है कि क्या किसी भी दो गैर-अबेलियन के वॉन न्यूमैन समूह बीजगणित अंतिम रूप से उत्पन्न मुक्त समूह समाकृतिक हैं।

यह भी देखें

 * समूह का समुच्चय उत्पादन करना
 * एक समूह की प्रस्तुति
 * नीलसन परिवर्तन, एक मुक्त समूह के स्वसमाकृतिकता समूह के तत्वों का गुणनखंड
 * मुक्त समूहों के लिए सामान्य रूप और समूहों के निःशुल्क उत्पाद
 * निःशुल्क उत्पाद

संदर्भ

 * W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).
 * P.J. Higgins, 1971, "Categories and Groupoids", van Nostrand, {New York}. Reprints in Theory and Applications of Categories, 7 (2005) pp 1–195.
 * Serre, Jean-Pierre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL2", 3rd edition, astérisque 46 (1983))
 * P.J. Higgins, The fundamental groupoid of a graph of groups, Journal of the London Mathematical Society (2) 13 (1976), no. 1, 145–149.
 * Serre, Jean-Pierre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL2", 3rd edition, astérisque 46 (1983))
 * P.J. Higgins, The fundamental groupoid of a graph of groups, Journal of the London Mathematical Society (2) 13 (1976), no. 1, 145–149.