सहायक कारक

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत, संयोजन एक संबंध है जो दो कारक दो संबंधित श्रेणियों के बीच समानता के एक कमजोर रूप के अनुरूप सहज रूप से प्रदर्शित कर सकते हैं। इस संबंध में खड़े होने वाले दो ऑपरेटर को एडजॉइंट फंक्‍टर्स के रूप में जाना जाता है, एक लेफ्ट एडजॉइंट और दूसरा राइट एडजॉइंट। सन्निकट फलनकार के जोड़े गणित में सर्वव्यापी हैं और अक्सर कुछ समस्याओं के इष्टतम समाधान के निर्माण से उत्पन्न होते हैं (अर्थात, एक निश्चित सार्वभौमिक संपत्ति वाले वस्तुओं का निर्माण), जैसे कि बीजगणित में एक मुक्त समूह का निर्माण, या स्टोन का निर्माण- टोपोलॉजी में एक टोपोलॉजिकल स्पेस का सीईसी कॉम्पैक्टिफिकेशन।

परिभाषा के अनुसार, श्रेणियों के बीच एक संयोजन $$\mathcal{C}$$ और $$\mathcal{D}$$ फ़ैक्टरों की एक जोड़ी है (सहसंयोजक फ़ैक्टर माना जाता है)


 * $$F: \mathcal{D} \rightarrow \mathcal{C}$$ और $$G: \mathcal{C} \rightarrow \mathcal{D}$$

और, सभी वस्तुओं के लिए $$X$$ में $$\mathcal{C}$$ और $$Y$$ में $$\mathcal{D}$$, संबंधित आकारिकी सेटों के बीच एक आक्षेप


 * $$\mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal{D}}(Y,GX)$$

ऐसा कि आपत्तियों के इस परिवार में प्राकृतिक परिवर्तन है $$X$$ और $$Y$$. यहाँ प्राकृतिकता का अर्थ है कि फंक्शंस की जोड़ी के बीच प्राकृतिक समरूपताएँ हैं $$\mathcal{C}(F-,X) : \mathcal{D} \to \mathrm{Set}$$ और $$\mathcal{D}(-,GX) : \mathcal{D} \to \mathrm{Set}$$ एक निश्चित के लिए $$X$$ में $$\mathcal{C}$$, और फ़ैक्टरों की जोड़ी भी $$\mathcal{C}(FY,-) : \mathcal{C} \to \mathrm{Set}$$ और $$\mathcal{D}(Y,G-) : \mathcal{C} \to \mathrm{Set}$$ एक निश्चित के लिए $$Y$$ में $$\mathcal{D}$$.

काम करनेवाला $$F$$ एक बाएं आसन्न फ़ैक्टर या बाएं आसन्न कहा जाता है $$G$$, जबकि $$G$$ एक सही आसन्न functor या सही आसन्न कहा जाता है $$F$$. हम लिखते हैं $$F\dashv G$$.

श्रेणियों के बीच एक संयोजन $$\mathcal{C}$$ और $$\mathcal{D}$$ के बीच श्रेणियों की समानता के कमजोर रूप के समान है $$\mathcal{C}$$ और $$\mathcal{D}$$, और वास्तव में हर समानता एक संयोजन है। कई स्थितियों में, शामिल श्रेणियों और फ़ैक्टरों के एक उपयुक्त प्राकृतिक संशोधन के द्वारा, एक संयोजन को एक तुल्यता में उन्नत किया जा सकता है।

शब्दावली और संकेतन
शब्द विक्ट: एडजॉइंट और विक्ट: एडजंक्ट दोनों का उपयोग किया जाता है, और सजातीय हैं: एक सीधे लैटिन से लिया गया है, दूसरा लैटिन से फ्रेंच के माध्यम से लिया गया है। कामकाजी गणितज्ञ के क्लासिक टेक्स्ट कैटेगरीज में, सॉन्डर्स मैक लेन दोनों के बीच अंतर करता है। एक परिवार दिया


 * $$\varphi_{XY}: \mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal{D}}(Y,GX)$$

होम-सेट आक्षेपों की, हम कहते हैं $$\varphi$$ एक संयोजन या बीच में एक संयोजन $$ F $$ और $$ G $$. अगर $$f$$ में तीर है $$ \mathrm{hom}_{\mathcal{C}}(FY,X) $$, $$\varphi f$$ का सही सहायक है $$f$$ (पृष्ठ 81)। काम करनेवाला $$ F $$ से सटा हुआ है $$G$$, और $$G$$ के ठीक बगल में है $$F$$. (ध्यान दें कि $$G$$ अपने आप में एक दाहिना जोड़ हो सकता है जो इससे काफी अलग है $$F$$; उदाहरण के लिए नीचे देखें।)

सामान्य तौर पर, वाक्यांश$$ F $$ एक वाम सन्निकट है और$$ F $$ एक सही आसन्न है समकक्ष हैं। हम बुलाते है $$F$$ एक बायाँ आसन्न क्योंकि यह के बाएँ तर्क पर लागू होता है $$\mathrm{hom}_{\mathcal{C}}$$, और $$G$$ एक सही आसन्न क्योंकि यह सही तर्क के लिए लागू होता है $$\mathrm{hom}_{\mathcal{D}}$$.

यदि F को G के सन्निकट छोड़ दिया जाए, तो हम भी लिखते हैं
 * $$F\dashv G.$$

शब्दावली निकटवर्ती संचालकों के हिल्बर्ट अंतरिक्ष विचार से आती है $$T$$, $$U$$ साथ $$\langle Ty,x\rangle = \langle y,Ux\rangle$$, जो औपचारिक रूप से होम-सेट के बीच उपरोक्त संबंध के समान है। कुछ संदर्भों में हिल्बर्ट रिक्त स्थान के आसन्न नक्शों की सादृश्यता को सटीक बनाया जा सकता है।

परिचय और प्रेरणा
"The slogan is "Adjoint functors arise everywhere"."

- Saunders Mac Lane, Categories for the Working Mathematician

सामान्य गणितीय रचनाएं अक्सर आसन्न फलनकार होती हैं। नतीजतन, बाएं/दाएं आसन्न फ़ैक्टरों के बारे में सामान्य प्रमेय कई उपयोगी और अन्यथा गैर-तुच्छ परिणामों के विवरण को एन्कोड करते हैं। इस तरह के सामान्य प्रमेयों में आसन्न फलकों की विभिन्न परिभाषाओं की समानता शामिल है, किसी दिए गए बाएं आसन्न के लिए दाएं आसन्न की विशिष्टता, तथ्य यह है कि बाएं/दाएं आसन्न कार्यक क्रमशः सीमा (श्रेणी सिद्धांत) को संरक्षित करते हैं। कोलिमिट/सीमाएं (जो भी पाए जाते हैं) गणित के हर क्षेत्र में), और सामान्य आसन्न फ़ंक्टर प्रमेय ऐसी स्थितियाँ देते हैं जिनके तहत दिया गया फ़ैक्टर एक बाएँ / दाएँ आसन्न होता है।

अनुकूलन समस्याओं का समाधान
एक अर्थ में, एक सहायक फ़ंक्टर एक विधि के माध्यम से किसी समस्या का सबसे कुशल समाधान देने का एक तरीका है जो सूत्र है। उदाहरण के लिए, अंगूठी सिद्धांत  में एक प्रारंभिक समस्या यह है कि कैसे एक Rng (बीजगणित) (जो एक रिंग की तरह है जिसकी गुणक पहचान नहीं हो सकती है) को रिंग (गणित) में बदल दिया जाए। सबसे कुशल तरीका यह है कि एक तत्व '1' को rng से जोड़ा जाए, सभी (और केवल) तत्वों को जोड़ा जाए जो रिंग एक्सिओम्स को संतुष्ट करने के लिए आवश्यक हैं (उदाहरण के लिए रिंग में प्रत्येक r के लिए r+1), और कोई संबंध नहीं थोपें। नवगठित वलय जो स्वयंसिद्धों द्वारा मजबूर नहीं हैं। इसके अलावा, यह निर्माण इस अर्थ में सूत्रबद्ध है कि यह किसी भी आरएनजी के लिए अनिवार्य रूप से उसी तरह काम करता है।

यह बल्कि अस्पष्ट है, हालांकि विचारोत्तेजक है, और श्रेणी सिद्धांत की भाषा में सटीक बनाया जा सकता है: एक निर्माण सबसे अधिक कुशल है यदि यह एक सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है, और यह सूत्र है यदि यह एक मज़ेदार को परिभाषित करता है। सार्वभौमिक गुण दो प्रकार में आते हैं: प्रारंभिक गुण और टर्मिनल गुण। चूंकि ये दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) धारणाएं हैं, इसलिए इनमें से किसी एक पर चर्चा करना आवश्यक है।

एक प्रारंभिक संपत्ति का उपयोग करने का विचार कुछ सहायक श्रेणी ई के संदर्भ में समस्या को स्थापित करना है, ताकि हाथ में समस्या ई की प्रारंभिक वस्तु को खोजने के अनुरूप हो। इसका एक फायदा यह है कि अनुकूलन-यह अर्थ है कि प्रक्रिया पाता है सबसे कुशल समाधान-का अर्थ है कुछ कठोर और पहचानने योग्य, बल्कि सर्वोच्चता की प्राप्ति जैसा। इस निर्माण में श्रेणी ई भी सूत्र है, क्योंकि यह हमेशा फ़ंक्टर के तत्वों की श्रेणी है, जिसके लिए कोई एक आसन्न निर्माण कर रहा है।

हमारे उदाहरण पर वापस जाएं: दिए गए rng R को लें, और एक श्रेणी E बनाएं, जिसकी वस्तुएं R → S से संबंधित हैं, जिसमें S एक गुणक पहचान वाली अंगूठी है। R → S के बीच E में आकृतिवाद1 और आर → एस2 फॉर्म के क्रमविनिमेय आरेख हैं (आर → एस1, आर → एस2, एस1 → एस2) जहां एस1 → एस2 एक रिंग मैप है (जो पहचान को सुरक्षित रखता है)। (ध्यान दें कि यह आरएनजी में एकात्मक छल्ले को शामिल करने पर आर की अल्पविराम श्रेणी की सटीक परिभाषा है।) आर → एस के बीच एक आकारिकी का अस्तित्व1 और आर → एस2 तात्पर्य यह है कि एस1 कम से कम एस के रूप में एक कुशल समाधान है2 आपकी समस्या के लिए एस2 अधिक संलग्न तत्व हो सकते हैं और/या एस की तुलना में सिद्धांतों द्वारा लगाए गए अधिक संबंध नहीं हो सकते हैं1. इसलिए, यह अभिकथन कि एक वस्तु R → R* E में आरंभिक है, अर्थात, E के किसी अन्य तत्व में एक आकारिकी है, का अर्थ है कि वलय R* हमारी समस्या का सबसे कुशल समाधान है।

रिंगों को रिंगों में बदलने की यह विधि सबसे कुशल और फॉर्मूलाबद्ध है, यह कहकर एक साथ व्यक्त किया जा सकता है कि यह एक आसन्न फलक को परिभाषित करता है। अधिक स्पष्ट रूप से: F को एक पहचान को rng से जोड़ने की उपरोक्त प्रक्रिया को निरूपित करें, इसलिए F(R)=R*। जी को "भूलने" की प्रक्रिया को निरूपित करने दें कि क्या रिंग एस की एक पहचान है और इसे केवल एक आरएनजी के रूप में माना जाता है, इसलिए अनिवार्य रूप से जी (एस) = एस। तब F, G का बायाँ सन्निकट फलनकार है।

ध्यान दें कि हमने वास्तव में अभी तक R* का निर्माण नहीं किया है; यह एक महत्वपूर्ण और पूरी तरह से मामूली बीजगणितीय तथ्य नहीं है कि इस तरह के एक बाएं आसन्न फलक R → R* वास्तव में मौजूद है।

अनुकूलन समस्याओं की समरूपता
फ़ैक्टर एफ के साथ शुरू करना भी संभव है, और निम्नलिखित (अस्पष्ट) प्रश्न उठाएं: क्या कोई समस्या है जिसके लिए एफ सबसे कुशल समाधान है?

यह धारणा कि F, G द्वारा प्रस्तुत समस्या का सबसे कुशल समाधान है, एक निश्चित कठोर अर्थ में, इस धारणा के बराबर है कि G सबसे कठिन समस्या है जिसे F हल करता है।

यह इस तथ्य के पीछे का अंतर्ज्ञान देता है कि आसन्न फ़नकार जोड़े में होते हैं: यदि F को G के निकट छोड़ दिया जाता है, तो G, F के ठीक निकट है।

औपचारिक परिभाषाएँ
आसन्न फ़ैक्टरों के लिए विभिन्न समतुल्य परिभाषाएँ हैं:


 * सार्वभौमिक morphisms के माध्यम से परिभाषाओं को बताना आसान है, और एक आसन्न फ़ैक्टर का निर्माण करते समय न्यूनतम सत्यापन की आवश्यकता होती है या दो फ़ैक्टर साबित होते हैं। वे अनुकूलन से जुड़े हमारे अंतर्ज्ञान के सबसे अनुरूप भी हैं।
 * होम-सेट के माध्यम से परिभाषा समरूपता को सबसे स्पष्ट बनाती है, और यह शब्द आसन्न शब्द का उपयोग करने का कारण है।
 * काउंटर-यूनिट एडजंक्शन के माध्यम से परिभाषा उन फ़ैक्टरों के बारे में सबूत के लिए सुविधाजनक है, जिन्हें आसन्न माना जाता है, क्योंकि वे सूत्र प्रदान करते हैं जिन्हें सीधे हेरफेर किया जा सकता है।

इन परिभाषाओं की समानता काफी उपयोगी है। गणित के सभी क्षेत्रों में, हर जगह आसन्न कारक उत्पन्न होते हैं। चूंकि इनमें से किसी भी परिभाषा में संरचना दूसरों में संरचनाओं को जन्म देती है, उनके बीच स्विच करने से कई विवरणों का अंतर्निहित उपयोग होता है जो अन्यथा प्रत्येक विषय क्षेत्र में अलग-अलग दोहराना होगा।

कन्वेंशन
आसन्नों के सिद्धांत की नींव बाएँ और दाएँ हैं, और ऐसे कई घटक हैं जो दो श्रेणियों C और D में से एक में रहते हैं जो विचाराधीन हैं। इसलिए वर्णानुक्रम में अक्षरों का चयन करना मददगार हो सकता है, चाहे वे बाएं श्रेणी सी या दाएं श्रेणी डी में रहते हों, और जब भी संभव हो उन्हें इस क्रम में लिखने के लिए भी।

उदाहरण के लिए इस लेख में, अक्षर X, F, f, ε लगातार उन चीजों को निरूपित करेंगे जो श्रेणी C में रहते हैं, अक्षर Y, G, g, η लगातार उन चीजों को निरूपित करेंगे जो श्रेणी D में रहते हैं, और जब भी संभव हो ऐसे चीजों को बाएं से दाएं क्रम में संदर्भित किया जाएगा (एक मज़ेदार एफ: डी → सी को रहने के बारे में सोचा जा सकता है जहां इसके आउटपुट सी में हैं)। यदि बाएँ सटे फ़ंक्टर F के लिए तीर खींचे गए तो वे बाईं ओर इंगित करेंगे; यदि दाएँ सटे फ़ैक्टर G के लिए तीर खींचे गए थे तो वे दाईं ओर इशारा कर रहे होंगे।

सार्वभौम morphisms के माध्यम से परिभाषा
परिभाषा के अनुसार, एक functor $$F: D \to C$$ यदि प्रत्येक वस्तु के लिए एक बायाँ सन्निकट फ़ंक्टर है $$X$$ में $$C$$ एक सार्वभौमिक रूपवाद मौजूद है से $$F$$ को $$X$$. वर्तनी, इसका मतलब है कि प्रत्येक वस्तु के लिए $$X$$ में $$C$$ एक वस्तु मौजूद है $$G(X)$$ में $$D$$ और एक रूपवाद $$\epsilon_X: F(G(X)) \to X$$ ऐसा कि हर वस्तु के लिए $$Y$$ में $$D$$ और हर रूपवाद $$f: F(Y) \to X$$ एक अद्वितीय morphism मौजूद है $$g: Y \to G(X)$$ साथ $$\epsilon_X \circ F(g) = f$$.

बाद वाला समीकरण निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख द्वारा व्यक्त किया गया है: ऐसी स्थिति में यह दिखाया जा सकता है $$G$$ एक फंक्‍टर में बदला जा सकता है $$G : C \to D$$ एक अनोखे तरीके से ऐसा है $$\epsilon_X \circ F(G(f)) = f \circ \epsilon_{X'}$$ सभी रूपों के लिए $$f: X' \to X$$ में $$C$$; $$F$$ तब इसे बायाँ सन्निकट कहा जाता है $$G$$.

इसी प्रकार, हम दाएं-संलग्न फलकों को परिभाषित कर सकते हैं। एक मज़ेदार $$G: C \to D$$ यदि प्रत्येक वस्तु के लिए एक सही आसन्न फ़ैक्टर है $$Y$$ में $$D$$, वहाँ से एक सार्वभौमिक आकारिकी मौजूद है $$Y$$ को $$G$$. वर्तनी, इसका मतलब है कि प्रत्येक वस्तु के लिए $$Y$$ में $$D$$, एक वस्तु मौजूद है $$F(Y)$$ में $$C$$ और एक रूपवाद $$\eta_Y: Y \to G(F(Y))$$ ऐसा कि हर वस्तु के लिए $$X$$ में $$C$$ और हर रूपवाद $$g: Y \to G(X)$$ एक अद्वितीय morphism मौजूद है $$f: F(Y) \to X$$ साथ $$G(f) \circ \eta_Y = g$$. फिर से, यह $$F$$ विशिष्ट रूप से एक functor में परिवर्तित किया जा सकता है $$F: D \to C$$ ऐसा है कि $$G(F(g)) \circ \eta_Y = \eta_{Y'} \circ g$$ के लिए $$g: Y \to Y'$$ में एक रूपवाद $$D$$; $$G$$ तब इसे दायां संलग्न कहा जाता है $$F$$.

यह सच है, जैसा कि शब्दावली का अर्थ है, कि $$F$$ से सटा हुआ है $$G$$ अगर और केवल अगर $$G$$ के ठीक बगल में है $$F$$.

सार्वभौमिक morphisms के माध्यम से ये परिभाषाएं अक्सर यह स्थापित करने के लिए उपयोगी होती हैं कि किसी दिए गए मज़ेदार बाएं या दाएं आसन्न हैं, क्योंकि वे अपनी आवश्यकताओं में न्यूनतर हैं। वे इस अर्थ में भी सहज रूप से सार्थक हैं कि एक सार्वभौमिक रूपवाद को खोजना एक अनुकूलन समस्या को हल करने जैसा है।

होम सेट एडजंक्शन
के माध्यम से परिभाषा

दो श्रेणियों सी और डी के बीच एक होम-सेट संयोजन में दो कारक एफ होते हैं: डी → सी और G : C → D और एक प्राकृतिक समरूपता
 * $$\Phi:\mathrm{hom}_C(F-,-) \to \mathrm{hom}_D(-,G-)$$.

यह आपत्तियों के परिवार को निर्दिष्ट करता है
 * $$\Phi_{Y,X}:\mathrm{hom}_C(FY,X) \to \mathrm{hom}_D(Y,GX)$$

सी में सभी वस्तुओं एक्स और डी में वाई के लिए।

इस स्थिति में, 'F, G के बायें सन्निकट है' और 'G, F के दायें सन्निकट है'।

यह परिभाषा एक तार्किक समझौता है जिसमें सार्वभौमिक आकारिकी परिभाषाओं की तुलना में इसे संतुष्ट करना अधिक कठिन है, और इसका तात्कालिक प्रभाव काउनिट-यूनिट परिभाषा की तुलना में कम है। इसकी स्पष्ट समरूपता के कारण और अन्य परिभाषाओं के बीच एक कदम-पत्थर के रूप में यह उपयोगी है।

एक प्राकृतिक समरूपता के रूप में Φ की व्याख्या करने के लिए, किसी को पहचानना होगा homC(F–, –) और homD(–, G–) फ़ैक्टर के रूप में। वास्तव में, वे दोनों द्विभाजक हैं Dop × C से सेट (सेट की श्रेणी)। विवरण के लिए, मैं काम कर रहा हूं पर लेख देखें। स्पष्ट रूप से, Φ की स्वाभाविकता का अर्थ है कि सभी morphisms के लिए f : X → X′ सी और सभी morphisms में g : Y′ → Y डी में निम्नलिखित आरेख कम्यूटेटिव आरेख:

इस आरेख में लंबवत तीर रचना द्वारा प्रेरित हैं। औपचारिक रूप से, होम (एफजी, एफ) : होमC(FY, X) → होमC(FY', X') h → f द्वारा दिया गया है o h o होम में प्रत्येक एच के लिए एफजीC(एफवाई, एक्स)। होम (जी, जीएफ) समान है।

काउंटर-यूनिट एडजंक्शन
के माध्यम से परिभाषा

दो श्रेणियों सी और डी के बीच एक इकाई-इकाई संयोजन में दो कारक एफ होते हैं: डी → सी और जी : सी  → डी और दो प्राकृतिक परिवर्तन
 * $$\begin{align}

\varepsilon &: FG \to 1_{\mathcal C} \\ \eta &: 1_{\mathcal D} \to GF\end{align}$$ क्रमशः काउंट और एडजंक्शन की इकाई (सार्वभौमिक बीजगणित से शब्दावली) कहा जाता है, जैसे रचनाएं
 * $$F\xrightarrow{\;F\eta\;}FGF\xrightarrow{\;\varepsilon F\,}F$$
 * $$G\xrightarrow{\;\eta G\;}GFG\xrightarrow{\;G \varepsilon\,}G$$

पहचान परिवर्तन हैं 1F और 1G क्रमशः एफ और जी पर।

इस स्थिति में हम कहते हैं कि 'F, G के बायीं ओर है' और 'G, F के दायीं ओर है', और इस संबंध को लिख कर इंगित कर सकते हैं$$(\varepsilon,\eta):F\dashv G$$, या केवल$$F\dashv G$$.

समीकरण के रूप में, (ε,η) पर उपरोक्त शर्तें 'गणना-इकाई समीकरण' हैं
 * $$\begin{align}

1_F &= \varepsilon F\circ F\eta\\ 1_G &= G\varepsilon \circ \eta G \end{align}$$ जिसका अर्थ है कि C में प्रत्येक X और D में प्रत्येक Y के लिए,
 * $$\begin{align}

1_{FY} &= \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y) \\ 1_{GX} &= G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX} \end{align}$$.

ध्यान दें कि $$1_{\mathcal C}$$ श्रेणी पर पहचान फ़ैक्टर को दर्शाता है $$\mathcal C$$, $$1_F$$ फंक्टर एफ से स्वयं के लिए पहचान प्राकृतिक परिवर्तन को दर्शाता है, और $$1_{FY}$$ वस्तु FY की पहचान आकृतिवाद को दर्शाता है। ये समीकरण बीजगणितीय जोड़-तोड़ के लिए आसन्न फ़ैक्टरों के प्रमाण को कम करने में उपयोगी होते हैं। संबंधित स्ट्रिंग आरेखों की उपस्थिति के कारण उन्हें कभी-कभी त्रिभुज पहचान या कभी-कभी ज़िग-ज़ैग समीकरण कहा जाता है। उन्हें याद रखने का एक तरीका यह है कि पहले बेतुके समीकरण को लिख लिया जाए $$1=\varepsilon\circ\eta$$ और फिर एफ या जी में से किसी एक को उन दो सरल तरीकों से भरें जो रचनाओं को परिभाषित करते हैं।

नोट: यहाँ उपसर्ग सह का उपयोग यहाँ सीमा और कोलिमिट की शब्दावली के अनुरूप नहीं है, क्योंकि एक कोलिमिट एक प्रारंभिक संपत्ति को संतुष्ट करता है, जबकि कॉउनिट मोर्फिज़्म टर्मिनल गुणों को संतुष्ट करेगा, और दो बार। यहां शब्द इकाई को मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) के सिद्धांत से उधार लिया गया है, जहां यह पहचान 1 को एक मोनोइड में सम्मिलित करने जैसा दिखता है।

इतिहास
1958 में डेनियल कैन द्वारा आसन्न फ़ैक्टरों का विचार पेश किया गया था। श्रेणी सिद्धांत में कई अवधारणाओं की तरह, यह होमोलॉजिकल बीजगणित की जरूरतों के द्वारा सुझाया गया था, जो उस समय कम्प्यूटेशंस के लिए समर्पित था। विषय की सुव्यवस्थित, व्यवस्थित प्रस्तुतियों का सामना करने वालों ने संबंधों पर ध्यान दिया होगा जैसे


 * होम (एफ (एक्स), वाई) = होम (एक्स, जी (वाई))

एबेलियन समूहों की श्रेणी में, जहाँ F फ़ंक्टर था $$- \otimes A$$ (अर्थात् ए के साथ टेन्सर उत्पाद लें), और जी फंक्टर होम (ए,–) था (इसे अब टेंसर-होम संयोजन  के रूप में जाना जाता है)।

बराबर चिह्न का उपयोग अंकन का दुरुपयोग है; वे दो समूह वास्तव में समान नहीं हैं लेकिन उन्हें पहचानने का एक तरीका है जो स्वाभाविक है। इसे इस आधार पर स्वाभाविक रूप से देखा जा सकता है, सबसे पहले, कि ये X × A से Y तक बिलिनियर मैपिंग के दो वैकल्पिक विवरण हैं। हालांकि, यह टेंसर उत्पाद के मामले में कुछ खास है। श्रेणी सिद्धांत में आक्षेप की 'स्वाभाविकता' को एक प्राकृतिक समरूपता की अवधारणा में शामिल किया गया है।

सर्वव्यापकता
यदि कोई इन आसन्न जोड़ों के फ़ैक्टरों की तलाश करना शुरू करता है, तो वे सार बीजगणित में और अन्य जगहों पर भी बहुत आम हो जाते हैं। नीचे दिया गया उदाहरण खंड इसका प्रमाण प्रदान करता है; इसके अलावा, सार्वभौमिक निर्माण, जो कुछ लोगों के लिए अधिक परिचित हो सकते हैं, फ़ैक्टरों के कई आसन्न जोड़े को जन्म देते हैं।

सॉन्डर्स मैक लेन की सोच के अनुसार, किसी भी विचार, जैसे कि आसन्न फ़ैक्टर, जो कि गणित में व्यापक रूप से पर्याप्त रूप से होता है, का स्वयं के लिए अध्ययन किया जाना चाहिए।

अवधारणाओं को समस्याओं को हल करने में उनके उपयोग के साथ-साथ सिद्धांतों के निर्माण में उनके उपयोग के अनुसार आंका जा सकता है। इन दो प्रेरणाओं के बीच तनाव विशेष रूप से 1950 के दशक के दौरान बहुत अधिक था जब श्रेणी सिद्धांत को शुरू में विकसित किया गया था। अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक दर्ज करें, जिन्होंने कार्यात्मक विश्लेषण, होमोलॉजिकल बीजगणित और अंत में बीजगणितीय ज्यामिति में अन्य कार्यों में कम्पास बीयरिंग लेने के लिए श्रेणी सिद्धांत का उपयोग किया।

यह कहना शायद गलत है कि उन्होंने अलगाव में आसन्न फ़ैक्टर अवधारणा को बढ़ावा दिया: लेकिन ग्रोथेंडिक के दृष्टिकोण में संयोजन की भूमिका की पहचान अंतर्निहित थी। उदाहरण के लिए, उनकी प्रमुख उपलब्धियों में से एक बीजगणितीय किस्मों के एक सतत परिवार में, सापेक्ष रूप में सेरे द्वैत का सूत्रीकरण था। संपूर्ण प्रमाण एक निश्चित फ़नकार के लिए एक सही आसन्न के अस्तित्व पर बदल गया। यह कुछ निर्विवाद रूप से अमूर्त और गैर-रचनात्मक है, लेकिन अपने तरीके से शक्तिशाली भी।

मुक्त समूह
मुक्त समूहों का निर्माण एक सामान्य और रोशन करने वाला उदाहरण है।

चलो एफ: 'सेट की श्रेणी' → 'समूहों की श्रेणी' प्रत्येक सेट वाई को वाई के तत्वों द्वारा उत्पन्न मुक्त समूह को असाइन करने वाला फ़ैक्टर हो, और जी को दें: 'जीआरपी' → 'सेट' भुलक्कड़ मज़ेदार हो, जो असाइन करता है प्रत्येक समूह X को इसका अंतर्निहित सेट। तब F, G के आसन्न छोड़ दिया जाता है:

'प्रारंभिक morphisms।' प्रत्येक सेट Y के लिए, सेट GFY Y द्वारा उत्पन्न मुक्त समूह FY का अंतर्निहित सेट है। मान लीजिए$$\eta_Y:Y\to GFY$$जेनरेटर को शामिल करके दिए गए सेट मानचित्र बनें। यह वाई से जी तक एक प्रारंभिक रूपवाद है, क्योंकि वाई से अंतर्निहित सेट जीडब्ल्यू के लिए कुछ समूह डब्ल्यू के किसी भी सेट मानचित्र के माध्यम से कारक होगा$$\eta_Y:Y\to GFY$$FY से W तक एक अद्वितीय समूह समरूपता के माध्यम से। यह निश्चित रूप से मुक्त समूह#सार्वभौमिक संपत्ति है।

'टर्मिनल morphisms।' प्रत्येक समूह X के लिए, समूह FGX, GX, X के तत्वों द्वारा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न मुक्त समूह है$$\varepsilon_X:FGX\to X$$समूह होमोमोर्फिज्म हो जो एफजीएक्स के जेनरेटर को एक्स के तत्वों के अनुरूप भेजता है, जो मुक्त समूहों की सार्वभौमिक संपत्ति से मौजूद है। फिर प्रत्येक$$(GX,\varepsilon_X)$$F से X तक एक टर्मिनल रूपवाद है, क्योंकि मुक्त समूह FZ से X तक कोई भी समूह समरूपता कारक होगा$$\varepsilon_X:FGX\to X$$Z से GX तक एक अद्वितीय सेट मैप के माध्यम से। इसका मतलब है कि (एफ, जी) एक आसन्न जोड़ी है।

'होम-सेट एडजंक्शन।' मुक्त समूह FY से समूह X के समूह समरूपता सेट Y से सेट GX के मानचित्रों के ठीक अनुरूप होते हैं: FY से X तक प्रत्येक समरूपता जनरेटर पर अपनी कार्रवाई द्वारा पूरी तरह से निर्धारित होती है, मुक्त समूहों की सार्वभौमिक संपत्ति का एक और पुनर्कथन। कोई सीधे सत्यापित कर सकता है कि यह पत्राचार एक प्राकृतिक परिवर्तन है, जिसका अर्थ है कि यह जोड़ी (एफ, जी) के लिए होम-सेट संयोजन है।

'काउंट-यूनिट एडजंक्शन।' कोई सीधे यह भी सत्यापित कर सकता है कि ε और η प्राकृतिक हैं। फिर, एक सीधा सत्यापन कि वे एक काउंटर-यूनिट एडजंक्शन बनाते हैं$$(\varepsilon,\eta):F\dashv G$$इस प्रकार है:

पहला काउंटर-यूनिट समीकरण$$1_F = \varepsilon F\circ F\eta$$कहते हैं कि प्रत्येक सेट वाई रचना के लिए
 * $$FY\xrightarrow{\;F(\eta_Y)\;}FGFY\xrightarrow{\;\varepsilon_{FY}\,}FY$$

पहचान होनी चाहिए। मध्यवर्ती समूह FGFY मुक्त समूह FY के शब्दों द्वारा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न मुक्त समूह है। (इन शब्दों को कोष्ठकों में रखे जाने के बारे में सोचें, यह इंगित करने के लिए कि वे स्वतंत्र जनरेटर हैं।) तीर$$F(\eta_Y)$$FY से FGFY में समूह समरूपता है, जो FGFY के जनरेटर के रूप में लंबाई एक (y) के संबंधित शब्द के लिए FY के प्रत्येक जनरेटर y को भेज रहा है। तीर$$\varepsilon_{FY}$$एफजीएफवाई से एफवाई तक समूह होमोमोर्फिज्म है जो प्रत्येक जनरेटर को वित्त वर्ष के शब्द से मेल खाता है (इसलिए यह नक्शा कोष्ठक छोड़ रहा है)। इन नक्शों की संरचना वास्तव में FY पर पहचान है।

'दूसरा गिनती-इकाई समीकरण'$$1_G = G\varepsilon \circ \eta G$$कहते हैं कि प्रत्येक समूह X के लिए रचना
 * $$GX\xrightarrow{\;\eta_{GX}\;}GFGX\xrightarrow{\;G(\varepsilon_X)\,}GX$$

पहचान होनी चाहिए। इंटरमीडिएट सेट जीएफजीएक्स एफजीएक्स का सिर्फ अंतर्निहित सेट है। तीर$$\eta_{GX}$$सेट GX से सेट GFGX में जेनरेटर सेट मैप का समावेश है। तीर$$G(\varepsilon_X)$$जीएफजीएक्स से जीएक्स तक सेट मैप है जो समूह होमोमोर्फिज्म को रेखांकित करता है जो एफजीएक्स के प्रत्येक जनरेटर को एक्स के तत्व से मेल खाता है (कोष्ठकों को छोड़कर)। इन नक्शों की संरचना वास्तव में GX पर पहचान है।

मुफ्त निर्माण और भुलक्कड़ मजदूर
नि: शुल्क वस्तुएं एक भुलक्कड़ फ़ैक्टर के बाएं आसन्न के सभी उदाहरण हैं जो एक बीजगणितीय वस्तु को इसके अंतर्निहित सेट को निर्दिष्ट करती हैं। इन बीजीय मुक्त फ़ैक्टरों का आम तौर पर वैसा ही विवरण होता है जैसा कि ऊपर मुक्त समूह की स्थिति के विस्तृत विवरण में होता है।

विकर्ण कारक और सीमाएं
उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत), पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत), तुल्यकारक (गणित), और कर्नेल (बीजगणित) एक सीमा (श्रेणी सिद्धांत) की स्पष्ट धारणा के सभी उदाहरण हैं। कोई भी लिमिट फ़ंक्टर एक संबंधित विकर्ण फ़ंक्टर के ठीक सटा हुआ है (बशर्ते श्रेणी में प्रश्न में सीमा का प्रकार हो), और एडजंक्शन का काउंटर लिमिट ऑब्जेक्ट से डिफाइनिंग मैप्स प्रदान करता है (अर्थात सीमा पर विकर्ण फ़ंक्टर से, में) फ़ंक्टर श्रेणी)। नीचे कुछ विशिष्ट उदाहरण दिए गए हैं।


 * उत्पाद चलो Π : समूह2 → फ़ंक्टर को पकड़ें जो प्रत्येक जोड़ी (X) को असाइन करता है1, एक्स2) उत्पाद समूह X1×X2, और चलो Δ : जीआरपी → जीआरपी2 विकर्ण फ़ैक्टर बनें जो उत्पाद श्रेणी Grp में प्रत्येक समूह X जोड़ी (X, X) को असाइन करता है 2। उत्पाद समूह की सार्वभौमिक संपत्ति दर्शाती है कि Π Δ के दाहिनी ओर है। इस एडजंक्शन का काउंटर X से प्रक्षेपण मानचित्रों की परिभाषित जोड़ी है1×X2 एक्स को1 और एक्स2 जो सीमा को परिभाषित करता है, और इकाई एक समूह X का X×X में विकर्ण समावेशन है (x को (x, x) से मैप करना)।


 * समुच्चय (गणित) का कार्तीय गुणन, वलयों का गुणनफल, गुणनफल टोपोलॉजी आदि समान पैटर्न का पालन करते हैं; इसे सीधे-सीधे तरीके से केवल दो कारकों से अधिक तक बढ़ाया जा सकता है। अधिक आम तौर पर, किसी भी प्रकार की सीमा एक विकर्ण फ़ैक्टर के ठीक निकट होती है।


 * 'कर्नेल।' एबेलियन समूहों के होमोमोर्फिज्म की श्रेणी डी पर विचार करें। अगर एफ1 : ए1 → बी1 और एफ2 : ए2 → बी2 D की दो वस्तुएँ हैं, तो f से एक आकारिकी1 एफ के लिए2 एक जोड़ी है (जीA, जीB) आकारिकी जैसे कि जीBf1 = च2gA. मान लीजिए कि G : D → 'Ab' वह फ़ंक्टर है जो प्रत्येक समाकारिता को उसका कर्नेल (बीजगणित) प्रदान करता है और F: 'Ab →' D वह फ़ंक्टर है जो समूह A को समाकारिता A → 0 से मैप करता है। एफ से, जो गुठली की सार्वभौमिक संपत्ति को व्यक्त करता है। इस एडजंक्शन का कॉउनिट होमोमोर्फिज्म के डोमेन में होमोमोर्फिज्म के कर्नेल को परिभाषित करने वाला एम्बेडिंग है, और यूनिट मोर्फिज्म है जो होमोमोर्फिज्म ए → 0 के कर्नेल के साथ समूह ए की पहचान करता है।


 * इस उदाहरण का एक उपयुक्त रूपांतर यह भी दर्शाता है कि वेक्टर रिक्त स्थान और मॉड्यूल के लिए कर्नेल फ़ंक्टर सही सन्निकट हैं। अनुरूप रूप से, कोई यह दिखा सकता है कि एबेलियन समूहों, वेक्टर रिक्त स्थान और मॉड्यूल के लिए कोकर्नेल फ़ैक्टर बाएं आसन्न हैं।

कोलिमिट और विकर्ण कारक
सहउत्पाद, पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत), सह-तुल्यकारक, और cokernel एक सीमा (श्रेणी सिद्धांत) की स्पष्ट धारणा के सभी उदाहरण हैं। किसी भी कोलिमिट फ़ंक्टर को संबंधित विकर्ण फ़ंक्टर के पास छोड़ दिया जाता है (बशर्ते श्रेणी में प्रश्न में कोलिमिट्स का प्रकार हो), और एडजंक्शन की इकाई कोलिमिट ऑब्जेक्ट में परिभाषित मानचित्र प्रदान करती है। नीचे कुछ विशिष्ट उदाहरण दिए गए हैं।


 * कोप्रोडक्ट्स। अगर एफ : एबी2 → Ab हर जोड़े (X) को असाइन करता है1, एक्स2) एबेलियन समूहों के उनके समूहों का प्रत्यक्ष योग, और यदि G : 'Ab' → 'Ab'2 वह फ़ंक्टर है जो हर एबेलियन समूह Y की जोड़ी (Y, Y) को असाइन करता है, फिर F को G के पास छोड़ दिया जाता है, फिर से प्रत्यक्ष राशियों की सार्वभौमिक संपत्ति का परिणाम है। इस संलग्न जोड़ी की इकाई एक्स से समावेशन मानचित्रों की परिभाषित जोड़ी है1 और एक्स2 सीधे योग में, और counit (X,X) के प्रत्यक्ष योग से X पर वापस जाने के लिए योगात्मक मानचित्र है (प्रत्यक्ष योग का एक तत्व (a,b) X के तत्व a+b को भेजना)।

सदृश्य उदाहरण सदिश समष्टियों के मॉड्यूलों के प्रत्यक्ष योग और मॉड्यूल (गणित) द्वारा, समूहों के मुक्त गुणनफल द्वारा और समुच्चयों के असंयुक्त संघ द्वारा दिए गए हैं।

बीजगणित

 * किसी पहचान को एक रंग (बीजगणित) से जोड़ना। इस उदाहरण पर ऊपर प्रेरणा अनुभाग में चर्चा की गई थी। एक rng R दिया गया है, एक गुणात्मक पहचान तत्व RxZ लेकर और एक Z-बिलिनियर उत्पाद को (r,0)(0,1) = (0,1)(r) के साथ परिभाषित करके जोड़ा जा सकता है ,0) = (आर,0), (आर,0)(एस,0) = (रुपये,0), (0,1)(0,1) = (0,1)। यह अंतर्निहित आरएनजी के लिए एक अंगूठी ले जाने वाले फ़ैक्टर के लिए बाएं आसन्न बनाता है।
 * एक पहचान को एक अर्धसमूह से जोड़ना। इसी तरह, एक अर्धसमूह S दिया गया है, हम एक पहचान तत्व जोड़ सकते हैं और असंयुक्त संघ S लेकर एक मोनोइड प्राप्त कर सकते हैं। $$\sqcup$$ {1} और उस पर एक बाइनरी ऑपरेशन को परिभाषित करना जैसे कि यह एस पर ऑपरेशन को बढ़ाता है और 1 एक पहचान तत्व है। यह निर्माण एक फ़नकार देता है जो फ़नकार के लिए एक बायीं ओर है जो एक मोनोइड को अंतर्निहित सेमीग्रुप में ले जाता है।
 * 'रिंग एक्सटेंशन।' मान लीजिए कि R और S वलय हैं, और ρ : R → S एक वलय समाकारिता है। फिर एस को एक (बाएं) आर-मॉड्यूल के रूप में देखा जा सकता है, और एस के साथ टेंसर उत्पाद एक फंक्टर एफ: आर-'मॉड' → एस-'मॉड' पैदा करता है। तब F को भुलक्कड़ फंक्टर G: S-'Mod' → R-'Mod' के साथ छोड़ दिया जाता है।
 * 'टेन्सर-होम एडजंक्शन।' यदि R एक वलय है और M एक सही R-मॉड्यूल है, तो M के साथ टेन्सर उत्पाद एक फ़ंक्टर F : R-'Mod' → 'Ab' उत्पन्न करता है। फ़ंक्टर जी: 'एबी' → आर-'मॉड', जी (ए) = होम द्वारा परिभाषितZ(एम, ए) प्रत्येक एबेलियन समूह ए के लिए, एफ के दाएं आसन्न है।
 * 'मोनॉयड्स और ग्रुप्स से रिंग्स तक।' इंटीग्रल मोनोइड रिंग कंस्ट्रक्शन मोनोइड्स से रिंग्स तक एक फंक्टर देता है। यह फ़ैक्टर फ़ैक्टर के पास छोड़ दिया जाता है जो किसी दिए गए रिंग से जुड़ा होता है, इसके अंतर्निहित गुणक मोनोइड। इसी तरह, अभिन्न समूह की अंगूठी  कंस्ट्रक्शन ग्रुप (मैथमैटिक्स) से रिंग्स तक एक फ़ंक्टर पैदा करता है, फ़ंक्टर के बगल में छोड़ दिया जाता है जो किसी दिए गए रिंग को उसके यूनिट्स के ग्रुप को असाइन करता है। कोई क्षेत्र (गणित) K से भी शुरू कर सकता है और K के ऊपर मोनोइड और समूह के छल्ले प्राप्त करने के लिए रिंगों की श्रेणी के बजाय K-एसोसिएटिव बीजगणित की श्रेणी पर विचार कर सकता है।
 * 'भिन्नों का क्षेत्र।' श्रेणी 'डोम' पर विचार करेंm इंजेक्‍टिव मोर्फिज्‍म के साथ इंटेग्रल डोमेन का। भुलक्कड़ फ़ंक्टर फील्ड → डोमm फ्रॉम फ़ील्ड्स में एक बायाँ सन्निकट होता है—यह प्रत्येक अभिन्न डोमेन को इसके अंशों के क्षेत्र को निर्दिष्ट करता है।
 * बहुपद के छल्ले। घंटी बजाओ* एकता के साथ नुकीले कम्यूटेटिव रिंगों की श्रेणी हो (जोड़े (ए, ए) जहां ए एक अंगूठी है, एक ∈ ए और आकृतिवाद विशिष्ट तत्वों को संरक्षित करते हैं)। भुलक्कड़ कारक जी: अंगूठी* → रिंग का एक बायाँ जोड़ है - यह प्रत्येक रिंग R को जोड़ी (R[x],x) प्रदान करता है जहाँ R[x] R से गुणांक के साथ बहुपद रिंग है।
 * abelianization । समावेशन कारक 'जी' पर विचार करें: एबी → जीआरपी एबेलियन समूहों की श्रेणी से समूहों की श्रेणी तक। इसमें एक बायाँ जोड़ होता है जिसे एबेलियनाइज़ेशन कहा जाता है जो प्रत्येक समूह  G  को भागफल समूह  G  प्रदान करता है।अब=जी/[जी,जी].
 * 'द ग्रोथेंडिक ग्रुप'। K-सिद्धांत में, प्रस्थान का बिंदु यह देखना है कि टोपोलॉजिकल स्पेस पर वेक्टर बंडलों की श्रेणी में मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के तहत एक कम्यूटेटिव मोनोइड संरचना होती है। औपचारिक रूप से प्रत्येक बंडल (या समकक्ष वर्ग) के लिए एक योगात्मक व्युत्क्रम जोड़कर, इस मोनॉइड, ग्रोथेंडिक समूह से एक एबेलियन समूह बना सकता है। वैकल्पिक रूप से कोई भी यह देख सकता है कि प्रत्येक समूह के लिए अंतर्निहित मोनोइड (उलटाओं को अनदेखा कर रहा है) के लिए मज़ेदार एक बाएं आसन्न है। उपरोक्त तीसरे खंड की चर्चा के अनुरूप, यह एक बार-के-लिए-एक निर्माण है। अर्थात्, ऋणात्मक संख्याओं के निर्माण का अनुकरण किया जा सकता है; लेकिन एक अस्तित्व प्रमेय का दूसरा विकल्प है। एकात्मक बीजगणितीय संरचनाओं के मामले में, स्वयं के अस्तित्व को सार्वभौमिक बीजगणित, या मॉडल सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया जा सकता है; स्वाभाविक रूप से श्रेणी सिद्धांत के लिए अनुकूलित एक प्रमाण भी है।
 * समूह प्रतिनिधित्व में 'फ्रोबेनियस पारस्परिकता': प्रेरित प्रतिनिधित्व देखें। इस उदाहरण ने लगभग आधी शताब्दी तक सामान्य सिद्धांत का पूर्वाभास किया।

टोपोलॉजी

 * बाएँ और दाएँ सन्निकट के साथ एक मज़ेदार। चलो 'जी' टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान से सेट (गणित) के लिए मज़ेदार हो जो प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस को इसके अंतर्निहित सेट (टोपोलॉजी को भूलकर) से जोड़ता है। G में एक बायाँ सम्मिलन F है, जो एक सेट Y पर असतत स्थान बनाता है, और एक दाहिनी ओर H Y पर तुच्छ टोपोलॉजी बनाता है।
 * सस्पेंशन और लूप स्पेस। दिए गए टोपोलॉजिकल स्पेस X और Y, स्पेस [SX, Y] होमोटॉपी कक्षाएं ेस ऑफ मैप्स के  निलंबन (टोपोलॉजी)  SX से X  से  Y  स्वाभाविक रूप से अंतरिक्ष के लिए आइसोमोर्फिक है [X, ΩY] X से लूप स्पेस ΩY के मानचित्रों के होमोटोपी वर्गों के वाई''। इसलिए सस्पेंशन फ़ैक्टर को होमोटॉपी श्रेणी में लूप स्पेस फ़ंक्टर के पास छोड़ दिया जाता है, जो होमोटॉपी सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण तथ्य है।
 * स्टोन–चेक संघनन। बता दें कि KHaus कॉम्पैक्ट जगह  हॉसडॉर्फ स्पेस की श्रेणी है और G : KHaus → टॉप टोपोलॉजिकल स्पेस की कैटेगरी का इंक्लूजन फंक्शनल है। तब जी के पास एक बायां जोड़ है एफ : शीर्ष → खौस, स्टोन-सीच संघनन। इस संलग्न जोड़ी की इकाई प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस X से इसके स्टोन-सीच कॉम्पेक्टिफिकेशन में एक सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) मानचित्र उत्पन्न करती है।
 * ढेरों की सीधी और उलटी छवियां। हर निरंतर मानचित्र f : X → Y टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक functor f को प्रेरित करता है∗ एक्स पर शीफ (गणित) (सेट्स, या एबेलियन ग्रुप्स, या रिंग्स ...) की श्रेणी से, वाई पर प्रत्यक्ष छवि ऑपरेटर  की इसी श्रेणी में। यह एक कारक f को भी प्रेरित करता है−1 Y पर एबेलियन समूहों के ढेरों की श्रेणी से लेकर X पर एबेलियन समूहों के ढेरों की श्रेणी तक, प्रतिलोम छवि फ़ैक्टर। एफ-1 को f के सन्निकट छोड़ दिया गया है∗. यहाँ एक अधिक सूक्ष्म बिंदु यह है कि सुसंगत शीफ के लिए बायाँ सन्निकट शेवों (सेटों) के लिए उससे भिन्न होगा।
 * संयम। स्टोन द्वैत पर लेख टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी और शांत स्थान  की श्रेणी के बीच एक जुड़ाव का वर्णन करता है जिसे सोबरिफिकेशन के रूप में जाना जाता है। विशेष रूप से, लेख में एक अन्य संयोजन का विस्तृत विवरण भी शामिल है जो व्यर्थ टोपोलॉजी में शोषण किए गए सोबर रिक्त स्थान और स्थानिक लोकेशंस के प्रसिद्ध द्वंद्व (श्रेणी सिद्धांत) के लिए रास्ता तैयार करता है।

पोसेट्स
प्रत्येक आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट को एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है (जहां पोसेट के तत्व श्रेणी की वस्तुएं बन जाते हैं और हमारे पास x से y तक एक ही आकारिकी होती है और केवल अगर x ≤ y)। दो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों के बीच आसन्न फंक्शंस की एक जोड़ी को गाल्वा कनेक्शन  कहा जाता है (या, यदि यह विरोधाभासी है, तो एंटीटोन गैलोइस कनेक्शन)। कई उदाहरणों के लिए उस लेख को देखें: गैलोज़ सिद्धांत का मामला निश्चित रूप से एक प्रमुख है। कोई भी गैलोज़ कनेक्शन  बंद करने वाला ऑपरेटर ्स को जन्म देता है और संबंधित क्लोज्ड एलिमेंट्स के बीच ऑर्डर-प्रोटेक्टिंग बायजेक्शन को उलट देता है।

जैसा कि गैल्वा समूहों के मामले में है, वास्तविक रुचि अक्सर एक द्वैत (गणित) (यानी एंटीटोन ऑर्डर आइसोमोर्फिज्म) के पत्राचार को परिष्कृत करने में होती है। इरविंग कपलान्स्की द्वारा इन पंक्तियों के साथ गैलोज़ सिद्धांत का एक उपचार यहां की सामान्य संरचना की मान्यता में प्रभावशाली था।

आंशिक आदेश का मामला काफी ध्यान देने योग्य परिभाषाओं को ध्वस्त करता है, लेकिन कई विषय प्रदान कर सकता है:
 * संलग्नक द्वैत या समरूपता नहीं हो सकते हैं, लेकिन उस स्थिति में उन्नयन के लिए उम्मीदवार हैं
 * क्लोजर ऑपरेटर एडजंक्शन की उपस्थिति का संकेत दे सकते हैं, जैसा कि संबंधित मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) (cf. Kuratowski क्लोजर स्वयंसिद्ध)
 * विलियम लॉवरे की एक बहुत ही सामान्य टिप्पणी यह है कि वाक्यविन्यास और शब्दार्थ आसन्न हैं: C को सभी तार्किक सिद्धांतों (स्वयंसिद्धीकरण) का सेट मानें, और D सभी गणितीय संरचनाओं के सेट का पावर सेट है। C में एक सिद्धांत T के लिए, G(T) को उन सभी संरचनाओं का समुच्चय होने दें जो स्वयंसिद्ध T को संतुष्ट करते हैं; गणितीय संरचनाओं एस के एक सेट के लिए, एफ (एस) को एस का न्यूनतम स्वयंसिद्ध होना चाहिए। हम तब कह सकते हैं कि एस जी (टी) का एक उपसमुच्चय है अगर और केवल अगर एफ (एस) तार्किक रूप से टी का अर्थ है: शब्दार्थ कारक जी सिंटैक्स फ़ैक्टर F के ठीक निकट है।
 * विभाजन (गणित) (सामान्य रूप से) गुणन को उल्टा करने का प्रयास है, लेकिन ऐसी स्थितियों में जहां यह संभव नहीं है, हम अक्सर इसके बजाय एक आसन्न निर्माण करने का प्रयास करते हैं: आदर्श भागफल रिंग आदर्शों और भौतिक सशर्त द्वारा गुणन से जुड़ा होता है प्रस्तावपरक कलन में तार्किक संयोजन के निकट है।

श्रेणी सिद्धांत

 * समानताएं। यदि F : D → C श्रेणियों का एक तुल्यता है, तो हमारे पास एक व्युत्क्रम तुल्यता G : C → D है, और दो फ़ैक्टर F और G एक संलग्न जोड़ी बनाते हैं। इस मामले में इकाई और देश प्राकृतिक समरूपताएं हैं।
 * संधियों की एक श्रृंखला। काम करनेवाला π0 जो किसी श्रेणी को असाइन करता है, उसके कनेक्टेड घटकों का सेट फ़ंक्टर डी से बाएँ-आसन्न होता है जो उस सेट पर असतत श्रेणी को सेट करता है। इसके अलावा, D ऑब्जेक्ट फ़ंक्टर U के बाएँ-आसन्न है जो प्रत्येक श्रेणी को उसकी वस्तुओं के सेट को असाइन करता है, और अंत में U को A से बाएँ-आसन्न करता है जो प्रत्येक सेट को अविवेकी श्रेणी प्रदान करता है उस सेट पर।
 * घातीय वस्तु। एक कार्तीय बंद श्रेणी में -×ए द्वारा दिए गए एंडोफंक्टर सी → सी का दाहिना जोड़ है - ए। इस जोड़ी को अक्सर करी और अनकरींग कहा जाता है; कई विशेष मामलों में, वे निरंतर भी होते हैं और एक होमियोमोर्फिज्म बनाते हैं।

श्रेणीबद्ध तर्क

 * परिमाणीकरण। अगर $$\phi_Y$$ कुछ संपत्ति को व्यक्त करने वाला एक एकात्मक विधेय है, तो एक पर्याप्त रूप से मजबूत सेट सिद्धांत सेट के अस्तित्व को साबित कर सकता है $$Y=\{y\mid\phi_Y(y)\}$$ संपत्ति को पूरा करने वाली शर्तों की। एक उचित उपसमुच्चय $$T\subset Y$$ और संबंधित इंजेक्शन $$T$$ में $$Y$$ एक विधेय द्वारा विशेषता है $$\phi_T(y)=\phi_Y(y)\land\varphi(y)$$ सख्ती से अधिक प्रतिबंधात्मक संपत्ति व्यक्त करना।
 * विधेय तर्क में परिमाणक (तर्क)तर्क) की भूमिका प्रस्ताव बनाने में है और संभवतः अधिक चर के साथ सूत्रों को बंद करके परिष्कृत विधेय को व्यक्त करने में भी है। उदाहरण के लिए, एक विधेय पर विचार करें $$\psi_f$$ प्रकार के दो खुले चर के साथ $$X$$ और $$Y$$. बंद करने के लिए क्वांटिफायर का उपयोग करना $$X$$, हम सेट बना सकते हैं
 * $$\{y\in Y\mid \exists x.\,\psi_f(x,y)\land\phi_{S}(x)\}$$
 * सभी तत्वों का $$y$$ का $$Y$$ जिसके लिए एक है $$x$$ जिसके लिए यह है $$\psi_f$$-संबंधित, और जो स्वयं संपत्ति की विशेषता है $$\phi_{S}$$. चौराहे की तरह सैद्धांतिक संचालन सेट करें $$\cap$$ दो सेटों का संयोजन सीधे संयोजन से मेल खाता है $$\land$$ विधेय का। श्रेणीबद्ध तर्क में, टोपोस सिद्धांत का एक उपक्षेत्र, क्वांटिफ़ायर की पहचान पुलबैक फ़ंक्टर के निकटवर्ती के साथ की जाती है। इस तरह की प्राप्ति को सेट थ्योरी का उपयोग करते हुए प्रस्तावपरक तर्क की चर्चा के अनुरूप देखा जा सकता है, लेकिन सामान्य परिभाषा तर्कों की एक समृद्ध श्रेणी के लिए बनाती है।


 * तो एक वस्तु पर विचार करें $$Y$$ पुलबैक वाली श्रेणी में। कोई रूपवाद $$f:X\to Y$$ आप एक पदाधिकारी का परिचय देंगे
 * $$f^{*} : \text{Sub}(Y) \longrightarrow \text{Sub}(X)$$ : उस श्रेणी पर जो सबऑब्जेक्ट का प्रीऑर्डर है। यह सबऑब्जेक्ट्स को मैप करता है $$T$$ का $$Y$$ (तकनीकी रूप से: मोनोमोर्फिज्म क्लास ऑफ $$T\to Y$$) पुलबैक के लिए $$X\times_Y T$$. यदि इस फ़ंक्टर के पास बाएँ या दाएँ सन्निकटन है, तो उन्हें कहा जाता है $$\exists_f$$ और $$\forall_f$$, क्रमश। वे दोनों से मानचित्र करते हैं $$\text{Sub}(X)$$ वापस $$\text{Sub}(Y)$$. बहुत मोटे तौर पर, एक डोमेन दिया गया $$S\subset X$$ के माध्यम से व्यक्त संबंध को मापने के लिए $$f$$ ओवर, फ़ैक्टर/क्वांटिफायर बंद हो जाता है $$X$$ में $$X\times_Y T$$ और इसके द्वारा निर्दिष्ट सबसेट लौटाता है $$Y$$.


 * उदाहरण: में $$\operatorname{Set}$$, सेट और फ़ंक्शंस की श्रेणी, कैनोनिकल सबोबजेक्ट्स सबसेट (या बल्कि उनके कैनोनिकल इंजेक्शन) हैं। पुलबैक $$f^{*}T=X\times_Y T$$ एक उपसमुच्चय का एक इंजेक्शन $$T$$ में $$Y$$ साथ में $$f$$ सबसे बड़े सेट के रूप में जाना जाता है जिसके बारे में सब कुछ जानता है $$f$$ और का इंजेक्शन $$T$$ में $$Y$$. इसलिए यह उलटी छवि के साथ (आक्षेप में) निकलता है $$f^{-1}[T]\subseteq X$$.
 * के लिए $$S \subseteq X$$, आइए हम बाएं आसन्न को समझें, जिसे परिभाषित किया गया है
 * $${\operatorname{Hom}}(\exists_f S,T)

\cong {\operatorname{Hom}}(S,f^{*}T),$$
 * जो यहाँ सिर्फ मतलब है
 * $$\exists_f S\subseteq T

\leftrightarrow S\subseteq f^{-1}[T]$$.


 * विचार करना $$ f[S] \subseteq T $$. हम देखते हैं $$S\subseteq f^{-1}[f[S]]\subseteq f^{-1}[T]$$. इसके विपरीत, यदि एक के लिए $$x\in S$$ हमारे पास भी है $$x\in f^{-1}[T]$$, तो स्पष्ट रूप से $$ f(x)\in T $$. इसलिए $$ S \subseteq f^{-1}[T] $$ तात्पर्य $$ f[S] \subseteq T $$. हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि उलटा छवि फ़ैक्टर के बगल में बायाँ है $$f^{*}$$ प्रत्यक्ष छवि द्वारा दिया गया है। यहाँ इस परिणाम का एक लक्षण वर्णन है, जो तार्किक व्याख्या से अधिक मेल खाता है: की छवि $$S$$ अंतर्गत $$\exists_f $$ का पूरा सेट है $$y$$है, ऐसा है $$ f^{-1} [\{y\}] \cap S$$ खाली नहीं है। यह काम करता है क्योंकि यह ठीक उन्हीं की उपेक्षा करता है $$y\in Y$$ जो के पूरक हैं $$f[S]$$. इसलिए

\exists_f S = \{ y \in Y \mid \exists (x \in f^{-1}[\{y\}]).\, x \in S \; \} = f[S]. $$
 * इसे हमारी प्रेरणा के अनुरूप रखें $$\{y\in Y\mid\exists x.\,\psi_f(x,y)\land\phi_{S}(x)\}$$.
 * उलटा छवि फ़ंक्टर का दाहिना जोड़ दिया गया है (यहाँ गणना किए बिना)।

\forall_f S = \{ y \in Y \mid \forall (x \in f^{-1} [\{y\}]).\, x \in S \; \}. $$
 * सबसेट $$\forall_f S$$ का $$Y$$ के पूर्ण सेट के रूप में जाना जाता है $$y$$के गुण के साथ है जिसकी उलटी छवि है $$\{y\}$$ इसके संबंध में $$f$$ में पूर्णतः समाहित है $$S$$. ध्यान दें कि कैसे सेट का निर्धारण करने वाला विधेय उपरोक्त के समान है, सिवाय उसके $$\exists$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$\forall$$.


 * सत्ता स्थापित भी देखें।

संभावना
संभाव्यता में जुड़वाँ तथ्य को एक संयोजन के रूप में समझा जा सकता है: यह उम्मीद affine परिवर्तन के साथ शुरू होती है, और यह उम्मीद कुछ अर्थों में वास्तविक संख्याओं पर वितरण के लिए वास्तविक-मूल्य सन्निकटन खोजने की समस्या का सबसे अच्छा समाधान है।

के आधार पर श्रेणी निर्धारित करें $$\R$$, वस्तुओं के वास्तविक संख्या होने के साथ, और आकारिकी एक बिंदु पर मूल्यांकन किए गए कार्यों को प्रभावित करती है। यानी किसी भी एफ़िन फंक्शन के लिए $$f(x) = ax + b$$ और कोई वास्तविक संख्या $$r$$, आकारिकी को परिभाषित करें $$(r, f): r \to f(r)$$.

के आधार पर श्रेणी निर्धारित करें $$M(\R)$$, प्रायिकता वितरण का सेट $$\R$$ सीमित अपेक्षा के साथ। आकारिकी को परिभाषित कीजिए $$M(\R)$$ एक वितरण पर मूल्यांकन किए गए affine कार्यों के रूप में। यानी किसी भी एफ़िन फंक्शन के लिए $$f(x) = ax + b$$ और कोई भी $$\mu\in M(\R)$$, आकारिकी को परिभाषित करें $$(\mu, f): r \to \mu\circ f^{-1}$$.

फिरडायराक डेल्टा माप उपाय एक फ़ैक्टर को परिभाषित करता है: $$\delta: x\mapsto \delta_x$$, और उम्मीद एक और फ़ंक्टर को परिभाषित करती है $$\mathbb E: \mu \mapsto \mathbb E[\mu]$$, और वे संलग्न हैं: $$\mathbb E \dashv \delta$$. (कुछ विचलित होकर, $$\mathbb E$$ हालांकि, बाएं आसन्न है $$\mathbb E$$ भुलक्कड़ है और $$\delta$$ आज़ाद है ।)

पूर्ण रूप से संयोजन
इसलिए हर संयोजन से जुड़े कई कारक और प्राकृतिक परिवर्तन होते हैं, और शेष को निर्धारित करने के लिए केवल एक छोटा सा हिस्सा पर्याप्त होता है।

श्रेणियों सी और डी के बीच एक संयोजन के होते हैं
 * एक फंक्‍टर F : D → C को 'लेफ्ट एडजॉइंट' कहा जाता है
 * एक फ़ंक्टर G : C → D को 'दाहिना सन्निकट' कहा जाता है
 * एक प्राकृतिक समरूपता Φ : homC(F–,–) → होमD(-, जी-)
 * एक प्राकृतिक परिवर्तन ε : FG → 1C कॉउंट कहा जाता है
 * एक प्राकृतिक परिवर्तन η : 1D → GF को 'यूनिट' कहा जाता है

एक समतुल्य सूत्रीकरण, जहाँ X, C की किसी वस्तु को दर्शाता है और Y, D की किसी वस्तु को दर्शाता है, इस प्रकार है:


 * प्रत्येक सी-मॉर्फिज्म एफ : एफवाई → एक्स के लिए, एक अद्वितीय डी-मॉर्फिज्म Φ हैY, X(f) = g : Y → GX ऐसा है कि नीचे दिए गए चित्र कम्यूट करते हैं, और प्रत्येक D-मोर्फिज्म g : Y → GX के लिए, एक अद्वितीय C-मॉर्फिज्म Φ है-1Y, X(जी) = एफ: एफवाई → एक्स सी में ऐसा है कि नीचे दिए गए आरेख कम्यूट:

इस दावे से, कोई इसे पुनर्प्राप्त कर सकता है:
 * परिवर्तन ε, η, और Φ समीकरणों से संबंधित हैं
 * $$\begin{align}

f = \Phi_{Y,X}^{-1}(g) &= \varepsilon_X\circ F(g) & \in & \, \, \mathrm{hom}_C(F(Y),X)\\ g = \Phi_{Y,X}(f) &= G(f)\circ \eta_Y & \in & \, \, \mathrm{hom}_D(Y,G(X))\\ \Phi_{GX,X}^{-1}(1_{GX}) &= \varepsilon_X & \in & \, \, \mathrm{hom}_C(FG(X),X)\\ \Phi_{Y,FY}(1_{FY}) &= \eta_Y & \in & \, \, \mathrm{hom}_D(Y,GF(Y))\\ \end{align} $$
 * रूपांतरण ε, η इकाई-इकाई समीकरणों को संतुष्ट करते हैं
 * $$\begin{align}

1_{FY} &= \varepsilon_{FY} \circ F(\eta_Y)\\ 1_{GX} &= G(\varepsilon_X) \circ \eta_{GX} \end{align}$$
 * प्रत्येक जोड़ी (GX, εX) C में F से X तक एक सार्वभौमिक आकारिकी है
 * प्रत्येक जोड़ी (FY, ηY) डी में वाई से जी तक एक सार्वभौमिक आकारिकी है

विशेष रूप से, उपरोक्त समीकरण किसी को Φ, ε, और η को तीनों में से किसी एक के संदर्भ में परिभाषित करने की अनुमति देते हैं। हालांकि, आसन्न कारक एफ और जी अकेले सामान्य रूप से संयोजन को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। इन स्थितियों की समानता नीचे प्रदर्शित की गई है।

सार्वभौमिक रूपात्मक होम-सेट संयोजन
को प्रेरित करते हैं

एक सही आसन्न फ़ैक्टर जी दिया गया: सी → डी; प्रारंभिक morphisms के अर्थ में, निम्न चरणों का पालन करके प्रेरित होम-सेट संयोजन का निर्माण किया जा सकता है।


 * एक फंक्टर एफ : डी → सी और एक प्राकृतिक परिवर्तन η का निर्माण करें।
 * डी में प्रत्येक वस्तु वाई के लिए, एक प्रारंभिक आकारिकी चुनें (एफ (वाई), ηY) वाई से जी तक, ताकि ηY : वाई → जी (एफ (वाई))। हमारे पास वस्तुओं पर F का मानचित्र और आकारिकी η का परिवार है।
 * प्रत्येक f : Y के लिए0 → और1, के रूप में (एफ (वाई0), दY 0 ) एक प्रारंभिक आकारिकी है, तो η का गुणनखंड करेंY 1 o एफ η के साथY 0 और F(f) प्राप्त करें : F(Y उप>0) → एफ(वाई1). यह morphisms पर F का मानचित्र है।
 * उस कारक के आने वाले आरेख का तात्पर्य प्राकृतिक परिवर्तनों के आने वाले आरेख से है, इसलिए η : 1D → जी o एफ एक प्राकृतिक परिवर्तन है।
 * उस गुणनखंड की विशिष्टता और यह कि G एक फ़ंक्टर है, का तात्पर्य है कि आकारिकी पर F का मानचित्र रचनाओं और पहचानों को संरक्षित करता है।
 * एक प्राकृतिक समरूपता का निर्माण करें Φ : homC(एफ-,-) → होमD(-,जी-)।
 * सी में प्रत्येक वस्तु एक्स के लिए, डी में प्रत्येक वस्तु वाई, (एफ (वाई), η के रूप मेंY) एक प्रारंभिक रूपवाद है, फिर ΦY, X एक आपत्ति है, जहां ΦY, X(एफ: एफ (वाई) → एक्स) = जी (एफ) o ηY.
 * η एक प्राकृतिक परिवर्तन है, जी एक मज़ेदार है, फिर किसी वस्तु एक्स के लिए0, एक्स1 C में, कोई भी वस्तु Y0, और1 डी में, कोई एक्स: एक्स0 → एक्स1, कोई वाई: वाई1 → और0, हमारे पास Φ हैY 1, एक्स1 (एक्स o f o एफ (वाई)) = जी (एक्स) o जी (एफ) o जी (एफ (वाई)) o ηY 1 = जी (एक्स) o जी (एफ) o ηY 0 o वाई = जी (एक्स) o ΦY 0, एक्स0(एफ) o y, और फिर Φ दोनों तर्कों में स्वाभाविक है।

एक समान तर्क किसी को टर्मिनल मोर्फिज्म से बाएं आसन्न फ़ंक्टर के लिए एक होम-सेट संयोजन बनाने की अनुमति देता है। (निर्माण जो एक सही आसन्न के साथ शुरू होता है, थोड़ा अधिक सामान्य है, क्योंकि कई आसन्न जोड़े में सही आसन्न एक तुच्छ रूप से परिभाषित समावेशन या भुलक्कड़ मज़ेदार है।)

देश-इकाई अधिष्ठापन होम-सेट संयोजन
को प्रेरित करता है

दिए गए कारक F : D → C, G : C → D, और एक इकाई-इकाई संयोजन (ε, η) : F $$\dashv$$ जी, हम प्राकृतिक परिवर्तन Φ: होम खोजने के द्वारा एक होम-सेट संयोजन का निर्माण कर सकते हैंC(एफ-,-) → होमD(-, जी-) निम्नलिखित चरणों में:


 * प्रत्येक f : FY → X और प्रत्येक g : Y → GX के लिए, परिभाषित करें
 * $$\begin{align}\Phi_{Y,X}(f) = G(f)\circ \eta_Y\\

\Psi_{Y,X}(g) = \varepsilon_X\circ F(g)\end{align}$$
 * परिवर्तन Φ और Ψ प्राकृतिक हैं क्योंकि η और ε प्राकृतिक हैं।


 * इस क्रम में, कि F एक फ़ंक्टर है, कि ε प्राकृतिक है, और काउंटर-यूनिट समीकरण 1FY = ईFY o एफ (एनY), हमने प्राप्त
 * $$\begin{align}

\Psi\Phi f &= \varepsilon_X\circ FG(f)\circ F(\eta_Y) \\ &= f\circ \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y) \\ &= f\circ 1_{FY} = f\end{align}$$
 * इसलिए ΨΦ पहचान परिवर्तन है।


 * Dually, उस G का उपयोग करना एक फ़ंक्टर है, कि η प्राकृतिक है, और काउंटर-यूनिट समीकरण 1GX = जी (ईX) o ηGX, हमने प्राप्त
 * $$\begin{align}

\Phi\Psi g &= G(\varepsilon_X)\circ GF(g)\circ\eta_Y \\ &= G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX}\circ g \\ &= 1_{GX}\circ g = g\end{align}$$
 * इसलिए ΦΨ पहचान परिवर्तन है। इस प्रकार Φ व्युत्क्रम Φ के साथ एक प्राकृतिक समरूपता है −1 = पीएस.

होम-सेट एडजंक्शन उपरोक्त सभी
को प्रेरित करता है

दिए गए फ़ैनक्टर्स F : D → C, G : C → D, और एक होम-सेट एडजंक्शन Φ : होमC(एफ-,-) → होमD(-, जी-), कोई एक इकाई-इकाई संयोजन का निर्माण कर सकता है


 * $$(\varepsilon,\eta):F\dashv G$$,

जो निम्नलिखित चरणों में आरंभिक और अंतिम आकारिकी के परिवारों को परिभाषित करता है:


 * होने देना$$\varepsilon_X=\Phi_{GX,X}^{-1}(1_{GX})\in\mathrm{hom}_C(FGX,X)$$सी में प्रत्येक एक्स के लिए, जहां$$1_{GX}\in\mathrm{hom}_D(GX,GX)$$पहचान रूपवाद है।
 * होने देना$$\eta_Y=\Phi_{Y,FY}(1_{FY})\in\mathrm{hom}_D(Y,GFY)$$डी में प्रत्येक वाई के लिए, जहां$$1_{FY}\in\mathrm{hom}_C(FY,FY)$$पहचान रूपवाद है।
 * Φ की विशिष्टता और स्वाभाविकता का अर्थ है कि प्रत्येक (GX, εX) C में F से X तक एक टर्मिनल आकारिकी है, और प्रत्येक (FY, ηY) डी में वाई से जी तक प्रारंभिक आकारिकी है।
 * Φ की स्वाभाविकता का तात्पर्य ε और η की स्वाभाविकता और दो सूत्रों से है
 * $$\begin{align}\Phi_{Y,X}(f) = G(f)\circ \eta_Y\\

\Phi_{Y,X}^{-1}(g) = \varepsilon_X\circ F(g)\end{align}$$
 * प्रत्येक f के लिए: FY → X और g: Y → GX (जो पूरी तरह से Φ निर्धारित करता है)।


 * X और η के लिए FY को प्रतिस्थापित करनाY = एफY, FY(1FY) दूसरे सूत्र में जी के लिए पहला काउंटर-यूनिट समीकरण देता है
 * $$1_{FY} = \varepsilon_{FY}\circ F(\eta_Y)$$,
 * और Y और ε के लिए GX को प्रतिस्थापित करनाX = एफ-1GX, X(1GX) पहले सूत्र में f के लिए दूसरा काउंट-यूनिट समीकरण देता है
 * $$1_{GX} = G(\varepsilon_X)\circ\eta_{GX}$$.

अस्तित्व
प्रत्येक फ़ंक्टर G : C → D बाएँ आसन्न को स्वीकार नहीं करता है। यदि सी एक पूर्ण श्रेणी है, तो बाएं आसन्न वाले फ़ैक्टरों को पीटर जे। फ़्रीड के 'एडज्वाइंट फ़ंक्टर प्रमेय' द्वारा वर्णित किया जा सकता है: जी के पास एक बाएं आसन्न है अगर और केवल अगर यह सीमा (श्रेणी सिद्धांत) है # सीमा का संरक्षण और एक निश्चित लघुता की स्थिति संतुष्ट होती है: D की प्रत्येक वस्तु Y के लिए आकारिकी का एक परिवार मौजूद होता है


 * एफi : वाई → जी (एक्सi)

जहां सूचकांक मैं एक सेट से आता हूं $I$, एक वर्ग (सेट सिद्धांत) नहीं, जैसे कि हर रूपवाद


 * एच : वाई → जी (एक्स)

रूप में लिखा जा सकता है


 * एच = जी (टी) ∘ एफi

कुछ के लिए मैं में $I$ और कुछ आकृतिवाद


 * टी : एक्सi → एक्स ∈ सी।

एक समान कथन उन फ़ैक्टरों को सही आसन्न के साथ दर्शाता है।

एक महत्वपूर्ण विशेष मामला स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य श्रेणी का है। अगर $$F : C \to D$$ तब स्थानीय रूप से प्रस्तुत करने योग्य श्रेणियों के बीच एक फ़नकार है


 * F का दाहिना जोड़ है यदि और केवल यदि F छोटे कोलिमिट को संरक्षित करता है
 * F का एक बायाँ जोड़ है यदि और केवल यदि F छोटी सीमाओं को बनाए रखता है और एक सुलभ फ़ंक्टर है

विशिष्टता
यदि फलक F : D → C के दो दाएँ सन्निकट G और G' हैं, तो G और G' प्राकृतिक परिवर्तन हैं। बाएं आसन्न के लिए भी यही सच है।

इसके विपरीत, यदि F को G के निकट छोड़ दिया जाता है, और G स्वाभाविक रूप से G' के समतुल्य है, तो F को भी G' के समीप छोड़ दिया जाता है। अधिक आम तौर पर, अगर 〈F, G, ε, η〉 एक संयोजन है (Counit-unit (ε,η) के साथ) और
 * σ : एफ → एफ'
 * τ : जी → जी '

प्राकृतिक समरूपताएं हैं तो 〈F′, G′, ε′, η′〉 एक संयोजन है जहां
 * $$\begin{align}

\eta' &= (\tau\ast\sigma)\circ\eta \\ \varepsilon' &= \varepsilon\circ(\sigma^{-1}\ast\tau^{-1}). \end{align}$$ यहाँ $$\circ$$ प्राकृतिक परिवर्तनों की लंबवत संरचना को दर्शाता है, और $$\ast$$ क्षैतिज रचना को दर्शाता है।

रचना
संयोजनों की रचना प्राकृतिक रूप से की जा सकती है। विशेष रूप से, यदि 〈F, G, ε, η〉 C और D के बीच एक संयोजन है और 〈F′, G′, ε′, η′〉, D और E के बीच एक संयोजन है तो functor
 * $$F \circ F' : E \rightarrow C$$

से सटा हुआ है
 * $$G' \circ G : C \to E.$$

अधिक सटीक रूप से, F F' और G' G के बीच संयोजन द्वारा क्रमशः दी गई इकाई और देश के बीच एक संयोजन है:
 * $$\begin{align}

&1_{\mathcal E} \xrightarrow{\eta'} G' F' \xrightarrow{G' \eta F'} G' G F F' \\ &F F' G' G \xrightarrow{F \varepsilon' G} F G \xrightarrow{\varepsilon} 1_{\mathcal C}. \end{align}$$ इस नए संयोजन को दिए गए दो संयोजनों का संयोजन कहा जाता है।

चूंकि एक श्रेणी 'सी' और स्वयं के बीच एक पहचान संयोजन को परिभाषित करने का एक स्वाभाविक तरीका भी है, फिर एक ऐसी श्रेणी बनाई जा सकती है, जिसकी वस्तुएं सभी छोटी श्रेणी हैं और जिनकी आकृतियाँ संलग्नक हैं।

सीमा संरक्षण
संलग्नकों की सबसे महत्वपूर्ण संपत्ति उनकी निरंतरता है: प्रत्येक फ़ैक्टर जिसमें बाएं आसन्न है (और इसलिए दाएं आसन्न है) निरंतर है (यानी श्रेणी सैद्धांतिक अर्थ में सीमा (श्रेणी सिद्धांत) के साथ संचार); प्रत्येक फंक्‍टर जिसका एक दाहिना जोड़ है (और इसलिए एक बायां आसन्न है) सह-सतत है (यानी सीमा (श्रेणी सिद्धांत) के साथ यात्रा करता है)।

चूंकि गणित में कई सामान्य रचनाएं लिमिट या कोलिमिट हैं, इसलिए यह जानकारी का खजाना प्रदान करती है। उदाहरण के लिए:
 * वस्तुओं के एक उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) के लिए एक सही आसन्न फ़ंक्टर लगाने से छवियों का उत्पाद प्राप्त होता है;
 * वस्तुओं के एक सह-उत्पाद के लिए एक बाएं आसन्न फ़ंक्टर को लागू करने से छवियों का प्रतिफल प्राप्त होता है;
 * दो एबेलियन श्रेणियों के बीच हर दाहिनी ओर का फ़ंक्टर बाएँ सटीक फ़ैक्टर है;
 * दो एबेलियन श्रेणियों के बीच प्रत्येक बाएं आसन्न फ़ैक्टर सही सटीक फ़ंक्टर है।

एडिटिविटी
यदि C और D पूर्ववर्ती श्रेणियां हैं और F : D → C दाएँ संलग्न G : C → D के साथ एक योगात्मक फ़ंक्टर है, तो G भी एक योगात्मक फ़नकार है और होम-सेट बायजेक्शन


 * $$\Phi_{Y,X} : \mathrm{hom}_{\mathcal C}(FY,X) \cong \mathrm{hom}_{\mathcal D}(Y,GX)$$

वास्तव में, एबेलियन समूहों के समरूपता हैं। वास्तव में, यदि G बाएं सटे F के साथ योगात्मक है, तो F भी योगात्मक है।

इसके अलावा, यदि सी और डी दोनों योगात्मक श्रेणियां हैं (अर्थात सभी परिमित द्विउत्पाद ्स के साथ प्रीएडिटिव श्रेणियां), तो उनके बीच के किसी भी जोड़ीदारों की जोड़ी स्वचालित रूप से योगात्मक है।

सार्वभौमिक निर्माण
जैसा कि पहले कहा गया है, श्रेणियों सी और डी के बीच एक संयोजन सार्वभौमिक morphisms के एक परिवार को जन्म देता है, सी में प्रत्येक वस्तु के लिए एक और डी में प्रत्येक वस्तु के लिए एक। D की प्रत्येक वस्तु से, तो G का एक बायाँ सन्निकट है।

हालांकि, सार्वभौमिक निर्माण आसन्न फ़ैक्टरों की तुलना में अधिक सामान्य हैं: एक सार्वभौमिक निर्माण एक अनुकूलन समस्या की तरह है; यह एक आसन्न जोड़ी को जन्म देता है अगर और केवल अगर इस समस्या का समाधान डी के प्रत्येक वस्तु (समकक्ष रूप से, सी के प्रत्येक वस्तु) के लिए है।

श्रेणियों की समानता
यदि एक फ़ंक्टर F : D → C श्रेणियों के समकक्ष का एक आधा है तो यह श्रेणियों के एक आसन्न समकक्ष में बाएं आसन्न है, यानी एक संयोजन जिसकी इकाई और कूनिट समरूपताएं हैं।

प्रत्येक संयोजन 〈F, G, ε, η〉 कुछ उपश्रेणियों की समानता का विस्तार करता है। सी को परिभाषित करें1 C की पूर्ण उपश्रेणी के रूप में C की वे वस्तुएँ X शामिल हैं जिनके लिए εX एक समरूपता है, और डी परिभाषित करें1 डी की पूर्ण उपश्रेणी के रूप में डी की उन वस्तुओं वाई से मिलकर जिसके लिए ηY एक समरूपता है। तब F और G को D तक सीमित किया जा सकता है1 और सी1 और इन उपश्रेणियों की व्युत्क्रम समतुल्यता प्राप्त करें।

एक मायने में, फिर, आसन्न सामान्यीकृत व्युत्क्रम हैं। हालांकि ध्यान दें कि एफ का एक सही व्युत्क्रम (यानी एक मज़ेदार जी ऐसा है कि एफजी स्वाभाविक रूप से 1 के लिए आइसोमोर्फिक हैD) F का दायां (या बायां) जोड़ होना जरूरी नहीं है। संलग्न दो-तरफा व्युत्क्रमों का सामान्यीकरण करते हैं।

मोनाड
हर संयोजन 〈F, G, ε, η〉 श्रेणी डी में एक संबंधित मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) 〈T, η, μ〉 को जन्म देता है।
 * $$T : \mathcal{D} \to \mathcal{D}$$

टी = जीएफ द्वारा दिया गया है। मोनाड की इकाई
 * $$\eta : 1_{\mathcal{D}} \to T$$

केवल इकाई η संयोजन और गुणन परिवर्तन की है
 * $$\mu : T^2 \to T\,$$

μ = GεF द्वारा दिया जाता है। वास्तव में, ट्रिपल 〈FG, ε, FηG〉 C में एक कॉमोनैड को परिभाषित करता है।

प्रत्येक सन्यासी कुछ संयोजन से उत्पन्न होता है - वास्तव में, आमतौर पर कई संयोजनों से - उपरोक्त फैशन में। इलेनबर्ग-मूर बीजगणित की श्रेणी और क्लेस्ली श्रेणी कहे जाने वाले दो निर्माण, एक संयोजन के निर्माण की समस्या के दो अतिवादी समाधान हैं जो किसी दिए गए सन्यासी को जन्म देते हैं।

बाहरी संबंध

 * – seven short lectures on adjunctions by Eugenia Cheng of The Catsters
 * WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, categories, functors, natural transformations, universal properties.