सर्जरी सिद्धांत

गणित में, विशेष रूप से ज्यामितीय सांस्थितिकी में, सर्जरी सिद्धांत तकनीकों का एक संग्रह है जिसका उपयोग द्वारा प्रारम्भ किए गए 'नियंत्रित' तरीके से एक परिमित-आयामी बहुरूपता को दूसरे से उत्पन्न करने के लिए किया जाता है। मिल्नोर ने इस तकनीक को सर्जरी कहा है, जबकि एंड्रयू वालेस ने इसे गोलीय रूपांतरण कहा है। आयाम $$n=p+q+1$$ की भिन्न-भिन्न बहुरूपता M पर "सर्जरी" को M से आयाम p के अंतर्निहित क्षेत्र को हटाने के रूप में वर्णित किया जा सकता है। मूल रूप से अलग-अलग (या, निष्कोण) बहुरूपताओं के लिए विकसित की गई, सर्जरी तकनीक खंडशः रैखिक (पीएल-) और सांस्थितिक बहुरूपताओं पर भी लागू होती है।

सर्जरी से तात्पर्य बहुरूपता के कुछ भागों को काटने और कट या सीमा के साथ मेल खाते हुए दूसरी बहुरूपता के भाग से बदलने से है। यह हैंडलबॉडी अपघटन से निकटता से संबंधित है, लेकिन इसके समान नहीं है।

अधिक तकनीकी रूप से, विचार अच्छी तरह से समझी गई बहुरूपता M से प्रारम्भ करना है और कुछ वांछित गुण वाली बहुरूपता M′' का उत्पादन करने के लिए इस पर सर्जरी करें, इस तरह से कि सजातीय, समस्थेयता समूहों, या बहुरूपता के अन्य अपरिवर्तनीयों पर प्रभाव ज्ञात हो। मोर्स सिद्धांत का उपयोग करते हुए अपेक्षाकृत आसान तर्क से पता चलता है कि गोलीय रूपांतरणों के अनुक्रम द्वारा एक दूसरे से कई गुना प्राप्त किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब वे दोनों एक ही सह-बॉर्डिज्म वर्ग से संबंधित हों।

मिशेल केर्वेयर और मिल्नोर (1963) द्वारा असाधारण क्षेत्रों के वर्गीकरण ने उच्च-आयामी सांस्थितिकी में एक प्रमुख उपकरण के रूप में सर्जरी सिद्धांत के उद्भव को जन्म दिया।

मूल अवलोकन
यदि X, Y सीमा सहित बहुरूपता हैं, तो उत्पाद बहुरूपता की सीमा है
 * $$\partial(X \times Y) = (\partial X \times Y) \cup (X \times \partial Y).$$

मूल अवलोकन जो सर्जरी को उचित ठहराता है वह यह है कि अंतराल $$S^p \times S^{q-1}$$ को या तो $$D^{p+1} \times S^{q-1}$$ की सीमा या $$S^p \times D^q$$ की सीमा के रूप में समझा जा सकता है। प्रतीकों में,
 * $$\partial\left(S^p \times D^q\right) = S^p \times S^{q-1} = \partial\left(D^{p+1} \times S^{q-1}\right)$$,

जहां $$D^q$$ q-आयामी डिस्क है, अर्थात, $$\R^q$$ में बिंदुओं का समुच्चय जो किसी दिए गए निश्चित बिंदु (डिस्क के केंद्र) से एक या उससे कम दूरी पर है उदाहरण के लिए, फिर, $$D^1$$ इकाई अंतराल के लिए समरूप है, जबकि $$D^2$$ इसके आंतरिक बिंदुओं के साथ वृत्त है।

सर्जरी
अब, आयाम $$n = p+q$$ की बहुरूपता M और अंतःस्थापन $$\phi\colon S^p \times D^q \to M$$ दिया गया है, एक और n-आयामी बहुरूपता $$M'$$ को परिभाषित करें
 * $$M' := \left(M \setminus \operatorname{int}(\operatorname{im}(\phi))\right) \; \cup_{\phi|_{S^p \times S^{q-1}}} \left(D^{p+1} \times S^{q-1}\right).$$

चूंकि $$\operatorname{im}(\phi)=\phi(S^p \times D^q)$$ और हमारे मूल अवलोकन से पहले समीकरण से, ग्लूइंग तब उचित है
 * $$\phi\left(\partial\left(S^p \times D^q\right)\right) = \phi\left(S^p \times S^{q-1}\right).$$

एक का कहना है कि बहुरूपता M′ का निर्माण सर्जरी द्वारा $$S^p \times D^q$$ को काटकर $$D^{p+1} \times S^{q-1}$$ में चिपकाने से किया जाता है, या यदि कोई संख्या p निर्दिष्ट करना चाहता है तो p-सर्जरी द्वारा किया जाता है। दृढ़ता से बोलते हुए, M′ कोनों वाली बहुरूपता है, लेकिन उन्हें निष्कोण करने का एक विहित तरीका है। ध्यान दें कि M में प्रतिस्थापित किया गया उपबहुरूपता M (यह कोड आयाम 0 का था) के समान आयाम का था।

हैंडल और कोबॉर्डिज्म जोड़ना
सर्जरी का हैंडल जोड़ने से गहरा संबंध (लेकिन उसके समान नहीं) है। (n + 1)-सीमा (L, ∂L) के साथ बहुरूपता और अंतःस्थापन $$\phi$$: Sp × Dq → ∂L, जहां n = p + q दिया गया है, सीमा L′ के साथ एक और (n + 1)-बहुरूपताओं को परिभाषित करें।
 * $$L' := L\; \cup_\phi \left(D^{p+1} \times D^q\right).$$

बहुरूपता L′ को "(p + 1)-हैंडल जोड़कर" प्राप्त किया जाता है, जिसमें ∂L′ को p-सर्जरी द्वारा ∂L से प्राप्त किया जाता है।
 * $$\partial L' = (\partial L - \operatorname{int~im}\phi) \; \cup_{\phi|_{S^p \times D^{q}}} \left(D^{p+1} \times S^{q-1}\right).$$

M पर सर्जरी न केवल नई बहुरूपता M′ उत्पन्न करती है, बल्कि M और M′ के बीच सह-बॉर्डिज्म W भी उत्पन्न करती है। सर्जरी का चिह्न कोबॉर्डिज्म (W; M, M′) है, साथ में
 * $$W := (M \times I)\; \cup_{\phi \times \{1\}} \left(D^{p+1} \times D^q\right)$$

(n + 1)-सीमा ∂W = M ∪ M′ के साथ आयामी बहुरूपता, उत्पाद M × I से (p + 1)-हैंडल Dp+1 × Dq संलग्न करके प्राप्त किया जाता है।

सर्जरी इस अर्थ में सममित है कि बहुरूपता M को M′ से (q − 1)-सर्जरी द्वारा पुनः प्राप्त किया जा सकता है, जिसका चिह्न अभिविन्यास तक, मूल सर्जरी के चिह्न के साथ मेल खाता है।

अधिकांश अनुप्रयोगों में, बहुरूपता M अतिरिक्त ज्यामितीय संरचना के साथ आता है, जैसे कि कुछ संदर्भ अंतराल का मानचित्र, या अतिरिक्त बंडल डेटा। फिर कोई चाहता है कि सर्जरी प्रक्रिया M′ को उसी प्रकार की अतिरिक्त संरचना प्रदान करे। उदाहरण के लिए, सर्जरी सिद्धांत में मानक उपकरण सामान्य मानचित्रों पर सर्जरी है- ऐसी प्रक्रिया सामान्य मानचित्र को उसी बोर्डिज्म वर्ग के भीतर दूसरे सामान्य मानचित्र में बदल देती है।

उदाहरण
1. Surgery on the circle

As per the above definition, a surgery on the circle consists of cutting out a copy of S0 × D1 and gluing in D1 × S0. The pictures in Fig. 1 show that the result of doing this is either (i) S1 again, or (ii) two copies of S1.



2. Surgery on the 2-sphere

In this case there are more possibilities, since we can start by cutting out either S1 × D1 or S0 × D2.

1. S1 × D1: If we remove a cylinder from the 2-sphere, we are left with two disks. We have to glue back in S0 × D2 – that is, two disks – and it is clear that the result of doing so is to give us two disjoint spheres. (Fig. 2a)

Sphere-surgery4.png

2. S0 × D2: Having cut out two disks S0 × D2, we glue back in the cylinder S1 × D1. There are two possible outcomes, depending on whether our gluing maps have the same or opposite orientation on the two boundary circles. If the orientations are the same (Fig. 2b), the resulting manifold is the torus S1 × S1, but if they are different, we obtain the Klein Bottle (Fig. 2c).

3. Surgery on the n-sphere

If n = p + q, then
 * $S^n=\partial D^{n+1}\approx \partial (D^{p+1}\times D^q) = S^p\times D^q\;\cup\;D^{p+1}\times S^{q-1}$.

The p-surgery on Sn is therefore
 * $D^{p+1}\times S^{q-1}\;\cup\;D^{p+1}\times S^{q-1} = S^{p+1}\times S^{q-1}$.

Examples 1 and 2 above were a special case of this.

4. Morse functions

Suppose that f is a Morse function on an (n + 1)-dimensional manifold, and suppose that c is a critical value with exactly one critical point in its preimage. If the index of this critical point is p + 1, then the level-set $M' := f^{-1}(c + \varepsilon)$ is obtained from $M: = f^{-1}(c - \varepsilon)$ by a p-surgery. The bordism $W: = f^{-1}([c - \varepsilon, c + \varepsilon])$ can be identified with the trace of this surgery.

Indeed, in some coordinate chart around the critical point, the function f is of the form $-\Vert x\Vert^2 + \Vert y\Vert^2$, with $x\in R^{p+1}, y\in R^q$, and p + q + 1 = n + 1. Fig. 3 shows, in this local chart, the manifold M in blue and the manifold M′ in red. The colored region between M and M′ corresponds to the bordism W. The picture shows that W is diffeomorphic to the union
 * $W \cong M \times I \cup_{S^p\times D^q} D^{p+1}\times D^q$

(neglecting the issue of straightening corners), where M × I is colored in yellow, and $D^{p+1}\times D^q$ is colored in green. The manifold M′, being a boundary component of W, is therefore obtained from M by a p-surgery. Since every bordism between closed manifolds has a Morse function where different critical points have different critical values, this shows that any bordism can be decomposed into traces of surgeries (handlebody decomposition). In particular, every manifold M may be regarded as a bordism from the boundary ∂M (which may be empty) to the empty manifold, and so may be obtained from ∂M × I by attaching handles.

समरूप समूहों पर प्रभाव, और सेल-संलग्न से तुलना
सहज रूप से, सर्जरी की प्रक्रिया सेल को सांस्थितिक अंतराल से जोड़ने की बहुरूपता अनुरूप है, जहां अंतःस्थापन φ संलग्न मानचित्र की जगह लेता है। (p + 1)-सेल का n-बहुरूपता से साधारण संलग्न आयाम कारणों से बहुरूपता संरचना को नष्ट कर देगा, इसलिए इसे किसी अन्य सेल के साथ प्रतिच्छेद करके मोटा होना होगा।

समरूप तक, अंतःस्थापन φ: Sp × Dq → M पर सर्जरी की प्रक्रिया को (p + 1)-सेल के संलग्न के रूप में वर्णित किया जा सकता है, चिह्न का समरूप प्रकार देना, और N प्राप्त करने के लिए q-सेल को अलग करना। पृथक्करण प्रक्रिया की आवश्यकता को पोनकारे द्वैत के प्रभाव के रूप में समझा जा सकता है।

उसी तरह जैसे अंतराल के किसी समरूप समूह में किसी तत्व को मारने के लिए किसी अंतराल से सेल को जोड़ा जा सकता है, उसी तरह बहुरूपता M पर p-सर्जरी का उपयोग प्रायः तत्व $$\alpha\in\pi_p(M)$$ को मारने के लिए किया जा सकता है। हालाँकि, दो बिंदु महत्वपूर्ण हैं- सबसे पहले, तत्व $$\alpha\in\pi_p(M)$$ को अंतःस्थापन φ: Sp × Dq → M (जिसका अर्थ है साधारण सामान्य बंडल के साथ संबंधित क्षेत्र का अंतःस्थापन करना) द्वारा प्रस्तुत किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, अभिविन्यास-उत्क्रमी लूप पर सर्जरी करना संभव नहीं है। मोटे तौर पर कहें तो, यह दूसरा बिंदु केवल तभी महत्वपूर्ण है जब p कम से कम M के आधे आयाम के क्रम का है।

कई गुना के वर्गीकरण के लिए आवेदन
सर्जरी सिद्धांत की उत्पत्ति और मुख्य अनुप्रयोग चार से अधिक आयामों के कई गुना के वर्गीकरण में निहित है। शिथिल रूप से, सर्जरी सिद्धांत के संगठनात्मक प्रश्न हैं:
 * क्या X अनेक गुना है?
 * क्या f एक भिन्नरूपता है?

अधिक औपचारिक रूप से, कोई ये प्रश्न समरूपता तक पूछता है:
 * क्या स्पेस एक्स में किसी दिए गए आयाम के स्मूथ मैनिफोल्ड का होमोटॉपी प्रकार है?
 * क्या दो चिकने मैनिफोल्ड्स के बीच एक समरूप समतुल्यता f: M → N एक भिन्नरूपता के लिए समस्थानिक है?

यह पता चला है कि दूसरा (अद्वितीयता) प्रश्न पहले (अस्तित्व) प्रकार के प्रश्न का एक सापेक्ष संस्करण है; इस प्रकार दोनों प्रश्नों का समाधान एक ही तरीके से किया जा सकता है।

ध्यान दें कि सर्जरी सिद्धांत इन प्रश्नों के लिए अपरिवर्तनीयताओं का पूरा सेट नहीं देता है। इसके बजाय, यह बाधा सिद्धांत है | बाधा-सैद्धांतिक: एक प्राथमिक बाधा है, और एक माध्यमिक बाधा है जिसे सर्जरी बाधा कहा जाता है जिसे केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब प्राथमिक बाधा गायब हो जाती है, और जो प्राथमिक बाधा गायब होने की पुष्टि करने में की गई पसंद पर निर्भर करती है।

सर्जरी दृष्टिकोण
शास्त्रीय दृष्टिकोण में, जैसा कि विलियम ब्राउनर (गणितज्ञ), सर्गेई नोविकोव (गणितज्ञ), डेनिस सुलिवान  और सी. टी. सी. वॉल द्वारा विकसित किया गया है, सर्जरी डिग्री एक के सामान्य अपरिवर्तनीयों पर की जाती है। सर्जरी का उपयोग करते हुए, प्रश्न क्या सामान्य मानचित्र f: M → X डिग्री एक कोबॉर्डेंट से समरूप समतुल्य है? समूह रिंग के एल-सिद्धांत|एल-समूह में कुछ तत्व के बारे में बीजगणितीय कथन में अनुवाद किया जा सकता है (चार से अधिक आयामों में) $$\mathbf{Z}[\pi_1(X)]$$. अधिक सटीक रूप से, प्रश्न का उत्तर सकारात्मक है यदि और केवल यदि सर्जरी में बाधा आती है $$\sigma(f)\in L_n(\mathbf{Z}[\pi_1(X)])$$ शून्य है, जहाँ n, M का आयाम है।

उदाहरण के लिए, उस मामले पर विचार करें जहां आयाम n = 4k चार का गुणज है, और $$\pi_1(X) = 0$$. ह ज्ञात है कि $$L_{4k}(\mathbf{Z})$$ पूर्णांकों के लिए समरूपी है $$\mathbf{Z}$$; इस समरूपता के तहत एफ की सर्जरी बाधा हस्ताक्षरों के अंतर के समानुपाती होती है $$\sigma(X) - \sigma(M)$$ एक्स और एम का। इसलिए डिग्री एक का एक सामान्य नक्शा एक होमोटॉपी तुल्यता के लिए सह-समन्वय है यदि और केवल तभी जब डोमेन और कोडोमेन के हस्ताक्षर सहमत हों।

ऊपर से अस्तित्व के प्रश्न पर वापस आते हुए, हम देखते हैं कि एक स्पेस एक्स में स्मूथ मैनिफोल्ड का होमोटॉपी प्रकार होता है यदि और केवल तभी जब इसे डिग्री एक का सामान्य मानचित्र प्राप्त होता है जिसकी सर्जरी बाधा गायब हो जाती है। यह एक बहु-चरणीय बाधा प्रक्रिया की ओर ले जाता है: सामान्य मानचित्रों की बात करने के लिए, एक्स को पोंकारे द्वंद्व के एक उपयुक्त संस्करण को संतुष्ट करना होगा जो इसे पोंकारे कॉम्प्लेक्स में बदल देता है। यह मानते हुए कि यदि डिग्री एक से एक्स तक के सामान्य मानचित्र मौजूद हैं, तो उनके बोर्डिज़्म वर्ग (जिन्हें 'सामान्य अपरिवर्तनीय' कहा जाता है) को होमोटॉपी वर्गों के सेट द्वारा वर्गीकृत किया जाता है $$[X, G/O]$$. इनमें से प्रत्येक सामान्य अपरिवर्तनीय में सर्जरी में बाधा होती है; एक्स में स्मूथ मैनिफोल्ड का होमोटॉपी प्रकार है यदि और केवल यदि इनमें से एक अवरोध शून्य है। अलग ढंग से कहा गया है, इसका मतलब है कि 'सर्जरी बाधा मानचित्र' के तहत शून्य छवि के साथ सामान्य अपरिवर्तनीय का विकल्प है
 * $$[X, G/O] \to L_n\left(\mathbf{Z}\left[\pi_1(X)\right]\right).$$

संरचना सेट और सर्जरी सटीक क्रम
सर्जरी संरचना सेट की अवधारणा अस्तित्व और विशिष्टता दोनों प्रश्नों के लिए एकीकृत रूपरेखा है। मोटे तौर पर कहें तो, अंतरिक्ष किसी स्थान X के संरचना सेट के गैर-रिक्त होने के लिए एक आवश्यक (लेकिन सामान्य तौर पर पर्याप्त नहीं) शर्त यह है कि $$H^*(X) \cong H_{n-*}(X)$$ कुछ पूर्णांक n के लिए, एक n-आयामी मैनिफोल्ड का। सटीक परिभाषा और मैनिफोल्ड्स की श्रेणी (डिफरेंशियल मैनिफोल्ड, पीसवाइज लीनियर मैनिफोल्ड, या टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड) के आधार पर, संरचना सेट के विभिन्न संस्करण हैं। चूंकि, एस-कोबॉर्डिज्म प्रमेय के अनुसार, मैनिफोल्ड्स के बीच कुछ बोर्डिज्म सिलेंडरों के लिए आइसोमोर्फिक (संबंधित श्रेणी में) होते हैं, संरचना सेट की अवधारणा भिन्नता तक भी वर्गीकरण की अनुमति देती है।

संरचना सेट और सर्जरी बाधा मानचित्र को सर्जरी के सटीक क्रम में एक साथ लाया जाता है। एक बार सर्जरी बाधा मानचित्र (और इसका एक सापेक्ष संस्करण) समझ में आने के बाद यह अनुक्रम पोंकारे कॉम्प्लेक्स के संरचना सेट को निर्धारित करने की अनुमति देता है। महत्वपूर्ण मामलों में, सर्जरी के सटीक अनुक्रम के माध्यम से चिकनी या टोपोलॉजिकल संरचना सेट की गणना की जा सकती है। उदाहरण हैं विदेशी क्षेत्रों का वर्गीकरण, और स्केलर वक्रता मैनिफोल्ड्स और हाइपरबोलिक समूह मौलिक समूह के साथ मैनिफोल्ड्स के लिए बोरेल अनुमान के प्रमाण।

टोपोलॉजिकल श्रेणी में, सर्जरी का सटीक अनुक्रम स्पेक्ट्रम के फ़िब्रेशन अनुक्रम (होमोटोपी सिद्धांत) से प्रेरित लंबा सटीक अनुक्रम है। इसका तात्पर्य यह है कि अनुक्रम में शामिल सभी सेट वास्तव में एबेलियन समूह हैं। स्पेक्ट्रम स्तर पर, सर्जरी बाधा मानचित्र एक असेंबली मानचित्र है जिसका फाइबर संबंधित मैनिफोल्ड का ब्लॉक संरचना स्थान है।

यह भी देखें

 * एस-कोबॉर्डिज्म प्रमेय
 * एच-कोबॉर्डिज्म प्रमेय
 * व्हाइटहेड मरोड़
 * देहान सर्जरी
 * कई गुना अपघटन
 * अभिविन्यास चरित्र
 * नलसाज़ी (गणित)

बाहरी संबंध

 * Surgery Theory for Amateurs
 * Edinburgh Surgery Theory Study Group
 * 2012 Oberwolfach Seminar on Surgery theory on the Manifold Atlas Project
 * 2012 Regensburg Blockseminar on Surgery theory on the Manifold Atlas Project
 * Jacob Lurie's 2011 Harvard surgery course Lecture notes
 * Andrew Ranicki's homepage
 * Shmuel Weinberger's homepage