कम्प्यूटेबिलिटी तर्क

कम्प्यूटेबिलिटी लॉजिक (सीओएल) मुख्य रूप से शोध कार्यक्रम और गणित की ऐसी रूपरेखा है, जो कि कम्प्यूटेबिलिटी के व्यवस्थित औपचारिक सिद्धांत के रूप में तर्क को पुनर्विकसित करता है, जो कि मौलिक तर्क के विपरीत है, जो सत्य का औपचारिक सिद्धांत है। इसे 2003 में जियोर्गी जैपरिडेज़ द्वारा प्रस्तुत किया गया था और इसका नाम रखा गया था। इस प्रकार मौलिक तर्क में, सूत्र सही/गलत कथनों का प्रतिनिधित्व करते हैं। सीओएल में, सूत्र कम्प्यूटरीकृत समस्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। मौलिक तर्क में, किसी सूत्र की वैधता केवल उसके रूप पर निर्भर करती है, उसके अर्थ पर नहीं। सीओएल में, वैधता का अर्थ को सदैव इस प्रकार की गणना के योग्य होना आवश्यक होता है। अधिक सामान्यतः, मौलिक तर्क हमें बताता है कि किसी दिए गए कथन की सत्यता हमेशा अन्य कथनों के दिए गए सेट की सत्यता से मेल खाती है। इसी प्रकार, सीओएल हमें बताता है कि किसी दी गई समस्या a की संगणनीयता हमेशा अन्य दी गई समस्याओं b1,...,bn की संगणनीयता से अनुसरण करती है, इसके अतिरिक्त, यह वास्तव में b1,...,bn के किसी भी ज्ञात समाधान से ऐसे a के लिए समाधान (कलन विधि) बनाने का समान तरीका प्रदान करता है।

सीओएल कम्प्यूटरीकृत समस्याओं को उनके सबसे सामान्य इंटरैक्टिव गणना के अर्थ में तैयार करता है। इस प्रकार किसी सीओएल कम्प्यूटरीकृत समस्या को मशीन द्वारा उसके पर्यावरण के विरुद्ध गेमे जाने वाले गेम के रूप में परिभाषित करता है। इस प्रकार ऐसी समस्याओं की गणना तब की जा सकती है जब कोई ऐसी मशीन हो जो पर्यावरण के हर संभावित व्यवहार के विरुद्ध गेम जीतती हो। इसके कारण ऐसी गेम-प्लेइंग मशीन चर्च-ट्यूरिंग थीसिस को इंटरैक्टिव स्तर पर सामान्यीकृत करती है। इस प्रकार सत्यता की मौलिक अवधारणा संगणनीयता का विशेष, शून्य-अंतःक्रियाशीलता-डिग्री वाली स्थिति बन जाती है। यह मौलिक तर्क के अनुसार CoL के विशेष भाग को उत्पन्न करता है। इस प्रकार सीओएल मौलिक तर्क का रूढ़िवादी विस्तार को प्रदर्शित करता है। इसकी संगणनीयता के तर्क को मौलिक तर्क की तुलना में अधिक अभिव्यंजक, रचनात्मक और कम्प्यूटरीकृत रूप से सार्थक माना जाता है। इसके मौलिक तर्क के अतिरिक्त, स्वतंत्रता-अनुकूल तर्क या स्वतंत्रता-अनुकूल (आईएफ) तर्क और रैखिक तर्क और अंतर्ज्ञानवादी तर्क के कुछ उचित विस्तार भी सीओएल के प्राकृतिक टुकड़े बन जाते हैं। इसलिए अंतर्ज्ञानवादी सत्य, रैखिक-तर्क सत्य और आईएफ-तर्क सत्य की सार्थक अवधारणाएं सीओएल के शब्दार्थ से प्राप्त की जा सकती हैं।

सीओएल व्यवस्थित रूप से मूलभूत प्रश्न का उत्तर देता है कि क्या गणना की जा सकती है और कैसे; इस प्रकार सीओएल के कई अनुप्रयोग हैं, जैसे रचनात्मक व्यावहारिक सिद्धांत, ज्ञान आधार प्रणाली, योजना और प्रतिक्रिया के लिए इस प्रणाली का उपयोग करते हैं। इनमें से, अब तक केवल रचनात्मक व्यावहारिक सिद्धांतों में अनुप्रयोगों का बड़े पैमाने पर पता लगाया गया है, इसके कारण सीओएल-आधारित संख्या सिद्धांतों की श्रृंखला, जिसे क्लैरिथमेटिक्स कहा जाता है, जिसका निर्माण किया गया है। कम्प्यूटरीकृत और जटिलता-सैद्धांतिक रूप से मौलिक-तर्क-आधारित पीनो सिद्धांतों और इसकी विविधताओं जैसे कि बंधे हुए अंकगणित की प्रणालियों के सार्थक विकल्प के रूप में उपयोग किया जाता हैं।

प्राकृतिक रूप से होने वाली विभिन्न कटौतियो और अनुक्रमिक कैलकुलस के अनुसार इस प्रकार की पारंपरिक प्रमाण वाली विभिन्न प्रणालियों के लिए सीओएल के गैर-तुच्छ अंशों को स्वयंसिद्ध करने के लिए अपर्याप्त माना जाता हैं। इसके लिए प्रमाण के वैकल्पिक, अधिक सामान्य और तन्यता युक्त विभिन्न विधियों को विकसित करना आवश्यक हो गया है, जैसे कि सर्कुएंट कैलकुलस इसका प्रमुख उदाहरण हैं।

भाषा
सीओएल की पूरी भाषा मौलिक प्रथम-क्रम तर्क की भाषा का विस्तार करती है। इसकी तार्किक शब्दावली में कई प्रकार के संयोजन, विच्छेदन, परिमाणक, निहितार्थ, निषेध और तथाकथित पुनरावृत्ति ऑपरेटर हैं। इस संग्रह में मौलिक तर्क के सभी संयोजक और परिमाणक उपस्थित हैं। इस प्रकार भाषा में भी दो प्रकार के अतार्किक परमाणु प्राथमिक और सामान्य रूप में होते हैं। इसके आधार पर प्राथमिक परमाणु, जो मौलिक तर्क के परमाणुओं के अतिरिक्त और कुछ नहीं हैं, प्राथमिक समस्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, अर्ताथ इसके बिना किसी चाल वाले गेम जो सही होने पर मशीन द्वारा स्वचालित रूप से जीते जाते हैं और गलत होने पर हार जाते हैं। दूसरी ओर, सामान्य परमाणुओं की व्याख्या किसी भी गेम, प्राथमिक या गैर-प्राथमिक के रूप में की जा सकती है। शब्दार्थ और वाक्यात्मक रूप से, मौलिक तर्क और कुछ नहीं बल्कि अपनी भाषा में सामान्य परमाणुओं को प्रतिबंधित करके और ¬, ∧, ∨, →, ∀, ∃ के अतिरिक्त अन्य सभी ऑपरेटरों को प्रतिबंधित करके प्राप्त CoL का टुकड़ा है।

जैपरिडेज़ ने बार-बार बताया है कि सीओएल की भाषा ओपन-एंडेड है, और इसे और विस्तार से प्रसारित करना पड़ सकता है। इस भाषा की अभिव्यक्ति के कारण, सीओएल में प्रगति, जैसे स्वयंसिद्धीकरण का निर्माण या सीओएल-आधारित व्यावहारिक सिद्धांतों का निर्माण, सामान्यतः भाषा के या किसी अन्य उचित टुकड़े तक ही सीमित है।

शब्दार्थ
सीओएल के शब्दार्थ में अंतर्निहित गेम्स को स्थिर गेम कहा जाता है। ऐसे गेम्स में कोई बारी क्रम नहीं होता; खिलाड़ी हमेशा तब आगे बढ़ सकता है जब दूसरे खिलाड़ी सोच रहे हों। चूंकि स्थिर गेम कभी भी किसी खिलाड़ी को बहुत देर तक सोचने के बाद अपनी चाल में देरी करने के लिए दंडित नहीं करते हैं, इसलिए ऐसे गेम कभी भी गति की प्रतियोगिता नहीं बनते हैं। सभी प्राथमिक गेम स्वचालित रूप से स्थिर होते हैं, और इसलिए गेम्स को सामान्य परमाणुओं की व्याख्या करने की अनुमति दी जाती है।

स्थिर गेम्स में दो खिलाड़ी मशीन और पर्यावरण होते हैं। इस प्रकार की मशीने केवल एल्गोरिथम रणनीतियों का पालन कर सकती है, जबकि पर्यावरण के व्यवहार पर कोई प्रतिबंध नहीं है। प्रत्येक रन (गेम) इनमें से खिलाड़ी द्वारा जीता जाता है और दूसरे द्वारा हारा जाता है।

सीओएल के तार्किक ऑपरेटरों को गेम्स पर संचालन के रूप में समझा जाता है। यहां हम अनौपचारिक रूप से उनमें से कुछ परिचालनों का सर्वेक्षण करते हैं। सरलता के लिए हम मानते हैं कि प्रवचन का क्षेत्र सदैव सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय {0,1,2,...} होता है।

यहाँ पर नकार (नहीं) की प्रक्रिया को दो खिलाड़ियों की भूमिकाओं को परिवर्तित कर देता है, इस प्रकार की मशीन की चालों और जीतों को पर्यावरण की चालों और जीतों में परिवर्तित कर देता है, और यह इसके विपरीत हैं। उदाहरण के लिए, यदि श्वेत खिलाड़ी के दृष्टिकोण से शतरंज शतरंज का गेम है, अपितु इन संबंधों को निरस्त कर दिया गया है, तो काले खिलाड़ी के दृष्टिकोण से शतरंज भी वही गेम है।

समानांतर संयोजन ∧ ( पांड ) और समानांतर विच्छेदन ∨ ( पोर ) गेम्स को समानांतर रूप से जोड़ते हैं। यहाँ पर A∧B या A∨B का रन दो संयोजनों में साथ होने वाला गेम है। मशीन A∧B जीतती है यदि वह इन दोनों को जीतती है। इसके आधार पर यहाँ पर मशीन A∨B जीतती है यदि वह उनमें से कम से कम जीतती है। उदाहरण के लिए, शतरंज∨¬शतरंज दो बोर्डों पर प्ले किये जाने वाला गेम है, सफेद और काला प्ले किये जाता है, और जहां मशीन का काम कम से कम बोर्ड पर जीतना है। इस प्रकार का गेम सरलता से जीता जा सकता है, भले ही प्रतिद्वंद्वी कोई भी हो, उसकी चालों को बोर्ड से दूसरे बोर्ड पर कॉपी करके प्राप्त किया जाता हैं।

समानांतर निहितार्थ ऑपरेटर → (पिम्प्लिकेशन) को A→B = ¬A∨B द्वारा परिभाषित किया गया है। इस ऑपरेशन का सहज अर्थ B को A में कम करना है, अर्ताथ, जब तक प्रतिद्वंद्वी B को हल करता है तब तक A को हल करना है।

समानांतर परिमाणक ∧  ( pall ) और  ∨  ( pexists ) को  ∧  xA(x) = A(0)∧A(1)∧A(2)∧... और  ∨  xA( x) = A(0)∨A(1)∨A(2)∨.... के द्वारा हल किया जाता हैं। इस प्रकार ये A(0),A(1),A(2),... के साथ क्रिया करते हैं, इस प्रकार प्रत्येक बोर्ड के लिए यदि मशीन इन सभी गेम्स को जीतती है तो वह ∧  xA(x) जीतती है, और  ∨  xA(x) अगर यह कुछ जीतता है।

दूसरी ओर, ब्लाइंड क्वांटिफायर ∀ ( ब्लॉल ) और ∃ ( ब्लेक्सिस्ट ) सिंगल-बोर्ड गेम उत्पन्न करते हैं। इसी प्रकार ∀xA(x) या ∃xA(x) का रन, A का एकल रन है। मशीन ∀xA(x) जीतती है (सम्मान ∃xA(x)) यदि ऐसा रन A(x) का जीता हुआ रन है, इसके आधार पर x के सभी कम से कम के संबंध में संभावित मानों के लिए, और ∃xA(x) जीतता है यदि यह कम से कम के लिए सत्य है।

अब तक वर्णित सभी ऑपरेटर बिल्कुल अपने मौलिक समकक्षों की तरह व्यवहार करते हैं, जब उन्हें प्राथमिक (मूवलेस) गेम पर लागू किया जाता है, और समान सिद्धांतों को मान्य करते हैं। यही कारण है कि सीओएल उन ऑपरेटरों के लिए उन्हीं प्रतीकों का उपयोग करता है जैसा कि मौलिक तर्क करता है। चूंकि जब ऐसे ऑपरेटरों को गैर-प्राथमिक गेम्स पर लागू किया जाता है, तो उनका व्यवहार मौलिक नहीं रह जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, यदि p प्राथमिक परमाणु है और P सामान्य परमाणु है, तो p→p∧p वैध है जबकि P→P∧P मान्य नहीं है। चूंकि इस प्रकार से बहिष्कृत के गए मध्य मान P∨¬P का सिद्धांत वैध बना हुआ है। इस कारण विच्छेदन के अन्य तीनों प्रकारों विकल्प, अनुक्रमिक और टॉगलिंग के साथ भी यही सिद्धांत अमान्य है।

गेम A और B का चॉइस डिसजंक्शन ⊔ ( chor ), जिसे A⊔B लिखा जाता है, ऐसा गेम है, जहां जीतने के लिए मशीन को दो डिसजंक्ट्स में से को चुनना होता है और फिर चुने गए घटक में जीत प्राप्त करनी होती है। अनुक्रमिक विच्छेदन (सोर) A ᐁ B A के रूप में प्रारंभ होता है; यह भी A के रूप में समाप्त होता है जब तक कि मशीन स्विच मूव नहीं करती है, जिस स्थिति में A को छोड़ दिया जाता है और गेम फिर से प्रारंभ होता है और B के रूप में जारी रहता है। इस प्रकार टॉगलिंग डिसजंक्शन (टोर) A⩛B में, मशीन A और B के बीच किसी भी परिमित संख्या में स्विच कर सकती है, इसके लिए कई बार प्रत्येक डिसजंक्शन ऑपरेटर का अपना दोहरा संयोजन होता है, जो दो खिलाड़ियों की भूमिकाओं को आपस में बदलकर प्राप्त किया जाता है। इस कारण संगत परिमाणकों को आगे अनंत संयोजनों या वियोजनों के रूप में उसी तरह परिभाषित किया जा सकता है जैसे समानांतर परिमाणकों की स्थिति में होता है। इस प्रकार प्रत्येक प्रकार का विच्छेदन भी उसी तरह से समान निहितार्थ संचालन को प्रेरित करता है जैसे कि यह समानांतर निहितार्थ → के मामले में था। उदाहरण के लिए, विकल्प निहितार्थ (चिम्प्लिकेशन) A⊐B को ¬A⊔B के रूप में परिभाषित किया गया है।

A की समानांतर पुनरावृत्ति (precurrence) को अनंत समानांतर संयोजन A∧A∧A∧ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, इस प्रकार अनुक्रमिक (recurrence) और टॉगल (trecurrence) प्रकार की पुनरावृत्ति को समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

कोरकरेंस ऑपरेटरों को अनंत विच्छेदन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यहाँ पर शाखाबद्ध पुनरावृत्ति ( brecurrence ) ⫰ हैं, जो पुनरावृत्ति का सबसे मजबूत प्रकार है, इसका कोई संगत संयोजन नहीं है। ⫰ A ऐसा गेम है, जो A के रूप में प्रारंभ होता है और आगे बढ़ता है। चूंकि, किसी भी समय, पर्यावरण को प्रतिकृति चाल बनाने की अनुमति दी जाती है, जो A की तत्कालीन-वर्तमान स्थिति की दो प्रतियां बनाती है, इस प्रकार विभाजित हो जाती है सामान्य अतीत अपितु संभवतः अलग-अलग भविष्य के विकास के साथ दो समानांतर धागों में प्राप्त होता हैं। उसी प्रकार पर्यावरण किसी भी थ्रेड की किसी भी स्थिति को दोहरा सकता है, इस प्रकार A के अधिक से अधिक थ्रेड बना सकता है। उन थ्रेड को समानांतर में प्ले किये जाता है, और मशीन को विजेता बनने के लिए सभी थ्रेड में A जीतने की आवश्यकता होती है, इस प्रकार ⫰A के लिए ब्रांचिंग कोरकरेंस (cobrecurrence) ⫯ को मशीन और पर्यावरण को इंटरचेंज करके सममित रूप से परिभाषित किया गया है।

प्रत्येक प्रकार की पुनरावृत्ति निहितार्थ के संबंधित कमजोर संस्करण और निषेध के कमजोर संस्करण को प्रेरित करती है। पहले को अनुप्रमाणन कहा जाता है, और बाद को खंडन कहा जाता है। इस कारण ब्रांचिंग रिफ्यूटेशन के लिए ब्रिम्प्लिकेशन को A ⟜ B और कुछ नहीं बल्कि ⫰A→B द्वारा दर्शाया जाता है, और A का ब्रांचिंग रिफ्यूटेशन ( ब्रेफ्यूटेशन ) A ⟜ है, यहाँ पर ⊥ के लिए ⊥ को सदैव हारा हुआ प्राथमिक गेम माना जाता है। इसी प्रकार अन्य सभी प्रकार के प्रतिरूपण और खंडन के लिए भी उपयोग किया जाता हैं।

एक समस्या विनिर्देशन उपकरण के रूप में
सीओएल की भाषा साहित्य में स्थापित नामों के साथ या उनके बिना, अनंत प्रकार की कम्प्यूटरीकृत समस्याओं को निर्दिष्ट करने का व्यवस्थित तरीका प्रदान करती है। नीचे कुछ उदाहरण हैं.

मान लीजिए f एकात्मक फलन है। f की गणना करने की समस्या को ⊓  x  ⊔  y(y=f(x)) के रूप में लिखा जाएगा। इस प्रकार सीओएल के शब्दार्थ के अनुसार, यह ऐसा गेम है जहां पहली चाल (इनपुट) पर्यावरण द्वारा होती है, जिसे x के लिए मान m चुनना चाहिए। यहां पर सहजता से इसका अर्थ मशीन से f(m) का मान बताने के लिए कहना है। इस प्रकार गेम  ⊔  y(y=f(m)) के रूप में प्रस्तुत किया जाता है। इसके आधार पर अब मशीन से चाल (आउटपुट) की उम्मीद की जाती है, जिसे y के लिए मान n चुनना चाहिए। इसका तात्पर्य यह है कि n, f(m) का मान है। गेम को अब प्रारंभिक n=f(m) पर लाया गया है, जिसे मशीन द्वारा जीता जाता है यदि और केवल तभी जब n वास्तव में f(m) का मान हो।

मान लीजिए p एकात्मक विधेय है। फिर ⊓  x(p(x)⊔¬p(x)) Decidability (तर्क) p की समस्या को व्यक्त करता है,  ⊓  x(p(x)& ᐁ ¬p(x)) पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य सेट p की समस्या को व्यक्त करता है, और  ⊓  x(p(x)⩛¬p(x)) सीमा p में गणना की समस्या को व्यक्त करता है।

मान लीजिए कि p और q दो एकात्मक विधेय हैं। इसके बाद पुनः ⊓  x(p(x)⊔¬p(x)) ⟜   ⊓  x(q(x)⊔¬q(x)) के लिए ट्यूरिंग में कमी की समस्या को व्यक्त करता है, इस प्रकार ट्यूरिंग-कम करने वाले q को p (इस अर्थ में कि q ट्यूरिंग को p में रिड्यूस करने योग्य है यदि और केवल यदि इंटरैक्टिव समस्या  ⊓  x(p(x)⊔¬p(x)) ⟜   ⊓  x(q(x)⊔¬q(x)) गणना योग्य है। इसके कारण  ⊓  x(p(x)⊔¬p(x)) →   ⊓  x(q(x)⊔¬q(x)) वही करता है अपितु ट्यूरिंग रिडक्शन के मजबूत संस्करण के लिए जहां p के लिए ओरेकल से केवल बार पूछताछ की जा सकती है। इस प्रकार  ⊓  x  ⊔  y(q(x)↔p(y)) अनेक-एक कमी या मैनी-वन कमिंग क्यू टू पी की समस्या के लिए भी यही करता है। अधिक जटिल अभिव्यक्तियों के साथ कोई भी कम्प्यूटरीकृत समस्याओं पर सभी प्रकार के नामहीन अपितु संभावित रूप से सार्थक संबंधों और संचालन को पकड़ सकता है, जैसे, उदाहरण के लिए, अर्ध-निर्णय आर की समस्या को ट्यूरिंग-कम करना, क्यू को पी में कई-एक को कम करने की समस्या को कम करना हैं। इस प्रकार की मशीनों के लिए इसके कार्य पर समय या स्थान प्रतिबंध लगाने से, ऐसे संबंधों और संचालन के जटिलता-सैद्धांतिक समकक्ष प्राप्त होते हैं।

समस्या समाधान उपकरण के रूप में
सीओएल के विभिन्न टुकड़ों के लिए ज्ञात डिडक्टिव सिस्टम में यह गुण होता है कि सिस्टम में किसी समस्या के प्रमाण से समाधान (एल्गोरिदम) स्वचालित रूप से निकाला जा सकता है। यह संपत्ति उन प्रणालियों पर आधारित सभी लागू सिद्धांतों द्वारा विरासत में मिली है। इसलिए किसी दी गई समस्या का समाधान खोजने के लिए, इसे सीओएल की भाषा में व्यक्त करना और फिर उस अभिव्यक्ति का प्रमाण ढूंढना पर्याप्त है। इस घटना को देखने का दूसरा तरीका कार्यक्रम विनिर्देश (लक्ष्य) के रूप में सीओएल के सूत्र जी के बारे में सोचना है। इसके पश्चात पुनः G का प्रमाण प्राप्त करते है, और इसके पश्चात अधिक सटीक रूप से, इसका अनुवाद उस विनिर्देश को पूरा करने वाला प्रोग्राम है। यह सत्यापित करने की कोई आवश्यकता नहीं है कि विनिर्देश पूरा हो गया है, क्योंकि प्रमाण ही, वास्तव में, ऐसा सत्यापन है।

सीओएल-आधारित अनुप्रयुक्त सिद्धांतों के उदाहरण तथाकथित क्लैरिथमेटिक्स हैं। ये सीओएल पर आधारित संख्या सिद्धांत हैं, उसी अर्थ में जैसे पीनो अंकगणित पीए मौलिक तर्क पर आधारित है। ऐसी प्रणाली सामान्यतः पीए का रूढ़िवादी विस्तार है। इसमें सामान्यतः सभी पीनो स्वयंसिद्धों को उपस्थित किया जाता है, और उनमें या दो अतिरिक्त-पीनो स्वयंसिद्धों को जोड़ा जाता है, जैसे कि ⊓  x  ⊔  y(y=x') इसका उचित उदाहरण हैं, जो उत्तराधिकारी फ़ंक्शन की संगणना को व्यक्त करता है। सामान्यतः इसमें अनुमान के या दो गैर-तार्किक नियम भी होते हैं, जैसे प्रेरण या समझ के रचनात्मक संस्करण। ऐसे नियमों में नियमित परिवर्तन के माध्यम से कोई व्यक्ति या किसी अन्य इंटरैक्टिव कम्प्यूटरीकृत जटिलता वर्ग सी को चिह्नित करने वाली ध्वनि और पूर्ण प्रणाली प्राप्त कर सकता है। यह इस अर्थ में है कि समस्या सी से संबंधित है यदि और केवल अगर सिद्धांत में इसका प्रमाण है। इसलिए, इस प्रकार के सिद्धांत का उपयोग न केवल एल्गोरिथम समाधान खोजने के लिए किया जा सकता है, बल्कि मांग पर कुशल समाधान भी खोजा जा सकता है, जैसे कि बहुपद समय या लघुगणकीय स्थान में चलने वाले समाधान को व्यक्त करते हैं। इस कारण यह बताया जाना आवश्यक होता हैं कि सभी क्लैरिथमेटिकल सिद्धांत समान तार्किक अभिधारणाओं को साझा करते हैं, और केवल उनके गैर-तार्किक अभिधारणाएं लक्ष्य जटिलता वर्ग के आधार पर भिन्न होती हैं। इस प्रकार समान आकांक्षाओं जैसे कि सीमित अंकगणित के साथ अन्य दृष्टिकोणों से उनकी उल्लेखनीय विशिष्ट विशेषता यह है कि वे पीए को कमजोर करने के अतिरिक्त विस्तार करते हैं, इसके पश्चात इन पूर्ण कटौती की जाने वाली विभिन्न प्रकार की शक्तियों और सुविधाओं को संरक्षित करते हैं।

यह भी देखें

 * गेम शब्दार्थ
 * इंटरैक्टिव गणना
 * तर्क
 * कम्प्यूटेबिलिटी के लिए तर्क

बाहरी संबंध

 * Computability Logic Homepage Comprehensive survey of the subject.
 * Giorgi Japaridze
 * Game Semantics or Linear Logic?
 * Lecture Course on Computability Logic
 * On abstract resource semantics and computabilty logic Video lecture by N.Vereshchagin.
 * A Survey of Computability Logic (PDF) Downloadable equivalent of the above homepage.