बूलियन बीजगणित (संरचना)

अमूर्त बीजगणित में, बूलियन बीजगणित या बूलियन जालक एक पूरक वितरण जालक है। इस प्रकार की बीजगणितीय संरचना समुच्चय (गणित) संक्रियाओं और तर्क संक्रियाओं दोनों के आवश्यक गुणों को धारण करती है। एक बूलियन बीजगणित को अधिसमुच्चय बीजगणित या समुच्चयों के क्षेत्र के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, या इसके तत्वों को सामान्यीकृत सत्य मानों के रूप में देखा जा सकता है। यह डी मॉर्गन बीजगणित और क्लेन बीजगणित (इनवोल्यूशन के साथ) की एक विशेष स्थिति भी है।

प्रत्येक बूलियन बीजगणित संयोजन या मीट (गणित) ∧ के संगत वलय गुणन और विशेष वियोजन या सममित अंतर (वियोजन ∨ नहीं) के संगत वलय योग के साथ एक बूलियन वलय उत्पन्न करता है, और इसके विपरीत भी होता है। हालाँकि, बूलियन वलयों के सिद्धांत में दो संकारकों के मध्य एक अंतर्निहित असममिति है, जबकि बूलियन बीजगणित के अभिगृहीत और प्रमेय द्वैत सिद्धांत (बूलियन बीजगणित) द्वारा वर्णित सिद्धांत की समरूपता को व्यक्त करते हैं।

इतिहास
शब्द "बूलियन बीजगणित" एक स्व-शिक्षित अंग्रेजी गणितज्ञ जॉर्ज बूल (1815-1864) के सम्मान पर रखा गया है। इन्होंने ऑगस्टस डी मॉर्गन और विलियम हैमिल्टन के बीच चल रहे एक सार्वजनिक विवाद के प्रत्युत्तर में वर्ष 1847 में प्रकाशित एक छोटे से पत्रक, द मैथमेटिकल एनालिसिस ऑफ लॉजिक (तर्क का गणितीय विश्लेषण) में बीजगणितीय प्रणाली प्रारंभ की, और बाद में वर्ष 1854 में पुस्तक द लॉज ऑफ थॉट, एक अधिक महत्वपूर्ण पुस्तक के रूप में प्रकाशित हुई। बूल का सूत्रीकरण कुछ महत्वपूर्ण स्थितियों में ऊपर वर्णित सूत्रीकरण से भिन्न है। उदाहरण के लिए, बूल में संयोजन और वियोजन संचालन के एक दोहरे युग्म नहीं थे। 1860 के दशक में विलियम जेवन्स और चार्ल्स सैंडर्स पियर्स द्वारा लिखित पत्रों में बूलियन बीजगणित उभरकर सामने आया। बूलियन बीजगणित और वितरण जालक की पहली व्यवस्थित प्रस्तुति वर्ष 1890 के अर्नस्ट श्रोडर के वोरलेसुंगेन द्वारा प्रदत्त है। वर्ष 1898 का ए. एन. व्हाइटहेड का सार्वभौमिक बीजगणित, बूलियन बीजगणित का अंग्रेजी में पहला व्यापक निरूपण है। आधुनिक अभिगृहीत के अर्थ में एक अभिगृहीत बीजगणितीय संरचना के रूप में बूलियन बीजगणित, एडवर्ड वी. हंटिंगटन द्वारा वर्ष 1904 के पेपर से प्रारंभ होती है। 1930 के दशक में मार्शल स्टोन के कार्य और गैरेट बिरखॉफ के वर्ष 1940 के जालक सिद्धांत के साथ बूलियन बीजगणित, गंभीर गणित के रूप में प्रकाश में आयी। 1960 के दशक में, पॉल कोहेन, डाना स्कॉट और अन्य लोगों ने गणितीय तर्क और अभिगृहीत समुच्चय सिद्धांत में प्रेरण और बूलियन-मान मॉडल नामक बूलियन बीजगणित की शाखाओं का उपयोग करते हुए गहन नए परिणाम प्राप्त किए।

परिभाषा
बूलियन बीजगणित एक समुच्चय A वाला छह-ट्यूपल है, जो दो द्विआधारी संक्रियाओं ∧ (जिसे "मीट" या "और") कहा जाता है), ∨ ("ज्वाइन" या "या" कहा जाता है), एक एकाधारी संक्रिया ¬ (जिसे " पूरक" या "नहीं" कहा जाता है) और A के दो तत्वों 0 और 1 (जिन्हें "निम्न" और "शीर्ष", या "न्यूनतम" और "महत्तम" तत्व कहा जाता है, जिन्हें क्रमशः ⊥ और ⊤ प्रतीकों द्वारा भी निरूपित किया जाता है) से इस प्रकार सुसज्जित है कि A के सभी तत्वों a, b और c के लिए, निम्न अभिगृहीत सत्य हैं:
 * {| cellpadding=5

ध्यान दें, हालाँकि, अवशोषण नियम और यहाँ तक ​​​​कि साहचर्यता नियम को सिद्धांतों के समुच्चय से बाहर रखा जा सकता है क्योंकि इन्हें अन्य सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है (सिद्ध गुण देखें)।
 * a ∨ (b ∨ c) = (a ∨ b) ∨ c
 * a ∧ (b ∧ c) = (a ∧ b) ∧ c
 * साहचर्यता
 * a ∨ b = b ∨ a
 * a ∧ b = b ∧ a
 * क्रमविनिमेयता
 * a ∨ (a ∧ b) = a
 * a ∧ (a ∨ b) = a
 * अवशोषण
 * a ∨ 0 = a
 * a ∧ 1 = a
 * तत्समक
 * a ∨ (b ∧ c) = (a ∨ b) ∧ (a ∨ c)
 * a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c)
 * वितरण
 * a ∨ ¬a = 1
 * a ∧ ¬a = 0
 * पूरक
 * }
 * a ∨ ¬a = 1
 * a ∧ ¬a = 0
 * पूरक
 * }
 * }

केवल एक तत्व वाली बूलियन बीजगणित को तुच्छ बूलियन बीजगणित या विकृत बूलियन बीजगणित कहा जाता है। (पुराने कार्यों में, कुछ लेखकों को इस स्थिति को बाहर करने के लिए 0 और 1 के भिन्न तत्व होने की आवश्यकता थी।)

यह ऊपर दिए गए अभिगृहीतों के अंतिम तीन युग्मों (पहचान, वितरण और पूरक) से या अवशोषण अभिगृहीत से प्राप्त होता है, कि
 * a = b ∧ a     यदि और केवल यदि     a ∨ b = b

यदि a ≤ b द्वारा परिभाषित संबंध ≤, ये समतुल्य स्थितियाँ धारण करता हैं, तो यह न्यूनतम तत्व 0 और महत्तम तत्व 1 वाला एक आंशिक क्रम है। दो तत्वों के मीट a ∧ b और ज्वाइन a ∨ b, ≤ के सापेक्ष क्रमशः इनके न्यूनतम और उच्चतम के संपाती होते हैं।

अभिगृहीतों के पहले चार युग्म एक परिबद्ध जालक की परिभाषा का निर्माण करते हैं।

यह अभिगृहीतों के पहले पाँच युग्मों से प्राप्त होता है कि कोई भी पूरक अद्वितीय है।

अभिगृहीतों का समुच्चय इस अर्थ में स्व-द्वैत (आदेश सिद्धांत) है कि यदि किसी अभिगृहीत में ∨ को ∧ और 0 को 1 से प्रतिस्थापित किया जाता है, तो परिणाम पुनः एक अभिगृहीत होता है। इसलिए, इस संक्रिया को एक बूलियन बीजगणित (या बूलियन जालक) पर प्रयुक्त करके, समान तत्वों वाला एक और बूलियन बीजगणित प्राप्त होता है; इसे इसका द्वैत कहा जाता है।

उदाहरण

 * सबसे सरल गैर-तुच्छ बूलियन बीजगणित, दो-तत्व बूलियन बीजगणित, में केवल दो तत्व 0 और 1 हैं, और इसे निम्न नियमों द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * इसमें 0 को असत्य, 1 को सत्य, ∧ को और, ∨ को या, और ¬ को नहीं के रूप में वर्णित करते हुए तर्क में अनुप्रयोग हैं। चरों और बूलियन संक्रियाओं को समाहित करने वाले व्यंजक कथन रूप निरूपित करते हैं, और ऐसे दो व्यंजकों को उपरोक्त अभिगृहीतों का उपयोग करके बराबर दर्शाया जा सकता है यदि और केवल यदि संबंधित कथन रूप तार्किक रूप से समतुल्य हैं।
 * विद्युत अभियांत्रिकी में परिपथ संरचना के लिए दो-तत्व बूलियन बीजगणित का भी उपयोग किया जाता है; यहाँ 0 और 1 डिजिटल परिपथ में एक बिट की दो अलग-अलग अवस्थाओं, सामान्यतः उच्च और निम्न विभवान्तर को निरूपित करते हैं। परिपथ को चरों वाले व्यंजकों द्वारा वर्णित किया जाता है, और ऐसे दो व्यंजक, चरों के सभी मानों के लिए समान होते हैं यदि और केवल यदि संबंधित परिपथ में समान इनपुट-आउटपुट व्यवहार है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक संभव इनपुट-आउटपुट व्यवहार को एक उपयुक्त बूलियन व्यंजक द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है।


 * बूलियन बीजगणित के सामान्य सिद्धांत में दो-तत्व बूलियन बीजगणित भी महत्वपूर्ण है, क्योंकि कई चरों वाले समीकरण सामान्यतः सभी बूलियन बीजगणित में सत्य होते हैं यदि और केवल यदि यह दो-तत्व बूलियन बीजगणित में सत्य है (जिसे चर की छोटी संख्याओं के लिए एक तुच्छ स्वेच्छ बल एल्गोरिथम द्वारा जाँचा जा सकता है)। उदाहरण के लिए इसका उपयोग यह दर्शाने के लिए किया जा सकता है कि निम्नलिखित नियम (सर्वसम्मति प्रमेय) सामान्यतः सभी बूलियन बीजगणित में मान्य हैं
 * (a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c) ∧ (b ∨ c) ≡ (a ∨ b) ∧ (¬a ∨ c)
 * (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c) ∨ (b ∧ c) ≡ (a ∧ b) ∨ (¬a ∧ c)


 * किसी दिए गए अरिक्त समुच्चय S का अधिसमुच्चय (सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय), दो संक्रियाओं ∨:= ∪ (संघ) और ∧ := ∩ (सर्वनिष्ठ) वाले एक बूलियन बीजगणित, समुच्चयों के बीजगणित का निर्माण करता है। लघुतम तत्व 0, रिक्त समुच्चय और महत्तम तत्व 1, स्वयं समुच्चय S है।


 * दो-तत्व बूलियन बीजगणित के बाद, सरलतम बूलियन बीजगणित वह है जिसे दो परमाणुओं के घात समुच्चय द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$S$$ के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय $$A$$ (परिमित या सहपरिमित), एक बूलियन बीजगणित और समुच्चयों का बीजगणित है जिसे परिमित-सहपरिमित बीजगणित कहा जाता है। यदि $$S$$ अपरिमित है तो $$S$$ के सभी सहपरिमित उपसमुच्चयों का समुच्चय, (जिसे फ्रेचेट फिल्टर कहा जाता है), $$A$$ पर एक मुक्त अल्ट्राफिल्टर है। हालाँकि, फ्रेचेट फिल्टर $$S$$ के घात समुच्चय पर एक अल्ट्राफिल्टर नहीं है ।
 * κ वाक्य प्रतीकों वाले प्रतिज्ञप्ति कलन के साथ प्रारंभ करते हुए, लिंडेनबाउम बीजगणित (अर्थात्, प्रतिज्ञप्ति कलन मॉड्यूलो तार्किक तुल्यता में वाक्यों का समुच्चय) का निर्माण करें। यह निर्माण एक बूलियन बीजगणित उत्पन्न करता है। यह वास्तव में κ उत्पादकों पर मुक्त बूलियन बीजगणित है। तब प्रतिज्ञप्ति कलन में एक सत्य आवंटन, इस बीजगणित से दो-तत्व बूलियन बीजगणित में एक बूलियन बीजगणित समरूपता है।
 * न्यूनतम तत्व वाले किसी भी रैखिक रूप से क्रमित समुच्चय L के लिए, अंतराल बीजगणित L के उपसमुच्चयों की लघुतम बीजगणित है जिसमें ऐसे सभी अर्द्ध-विवृत अंतराल [a, b) होते हैं कि a, L में है और b या तो L में या ∞ बराबर है। अंतराल बीजगणित लिंडेनबाउम-टार्स्की बीजगणित के अध्ययन में उपयोगी होते हैं; प्रत्येक गणनीय बूलियन बीजगणित एक अंतराल बीजगणित के लिए समाकृतिक है।
 * किसी प्राकृतिक संख्या n के लिए, यह परिभाषित करने वाले n के सभी धनात्मक विभाजकों का समुच्चय एक वितरण जालक का निर्माण करता है, कि $$a \leq b$$, यदि a, b को विभाजित करता है। यह जालक एक बूलियन बीजगणित है यदि और केवल यदि n वर्ग-मुक्त है। इस बूलियन बीजगणित का निचला और शीर्ष तत्व क्रमशः प्राकृतिक संख्या 1 और n है। a का पूरक n/a द्वारा दिया गया है। a और b का मिलना और जुड़ना क्रमशः a और b के सबसे बड़े सामान्य भाजक (gcd) और सबसे कम सामान्य गुणक (lcm) द्वारा दिया जाता है। वलय जोड़ a+b lcm(a,b)/gcd(a,b) द्वारा दिया जाता है। चित्र n = 30 के लिए एक उदाहरण दिखाता है। एक प्रति-उदाहरण के रूप में, गैर-वर्ग-मुक्त n = 60 पर विचार करते हुए, 30 का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक और इसका पूरक 2 2 होगा, जबकि यह निचला तत्व 1 होना चाहिए।


 * बूलियन बीजगणित के अन्य उदाहरण टोपोलॉजिकल स्पेस से उत्पन्न होते हैं: यदि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, तो X के सभी उपसमुच्चयों का संग्रह, जो खुले और बंद दोनों हैं, ऑपरेशन के साथ एक बूलियन बीजगणित बनाता है ∨ := ∪ (यूनियन) और ∧ := ∩ (चौराहा)।
 * यदि $$R$$ एक मनमाना वलय है तो इसका केंद्रीय आदर्शों का समुच्चय, जो समुच्चय है $$A = \left\{e \in R : e^2 = e \text{ and } ex = xe \; \text{ for all } \; x \in R\right\},$$ एक बूलियन बीजगणित बन जाता है जब इसके संचालन द्वारा परिभाषित किया जाता है $$e \vee f := e + f - e f$$ और $$e \wedge f := e f.$$

समरूपता और समरूपता
दो बूलियन बीजगणित A और B के बीच एक समाकारिता एक फलन f : A → B है जैसे कि A में सभी a, b के लिए:
 * f(a ∨ b) = f(a) ∨ f(b),
 * f(a ∧ b) = f(a) ∧ f(b),
 * एफ (0) = 0,
 * एफ (1) = 1।

इसके बाद यह अनुसरण करता है कि f(¬a) = ¬f(a) सभी a में A के लिए। सभी बूलियन बीजगणितों का वर्ग (समुच्चय सिद्धांत), रूपवाद की इस धारणा के साथ, जालक की श्रेणी की एक पूर्ण उपश्रेणी बनाता है।

दो बूलियन बीजगणित ए और बी के बीच एक समरूपता एक समाकारिता है f: A → B एक व्युत्क्रम समरूपता के साथ, अर्थात््, एक समाकारिता g: B → A ऐसी है कि रचना g ∘ f: A → A, A पर पहचान कार्य है, और रचना f ∘ g: B → B, B पर पहचान फलन है। बूलियन बीजगणित का एक समरूपता एक समरूपता है यदि और केवल यदि यह विशेषण है।

बूलियन वलय
प्रत्येक बूलियन बीजगणित (A, ∧, ∨) a + b परिभाषित करके एक वलय (A, +, ·) बनाता है:= (a ∧ ¬b) ∨ (b ∧ ¬a) = (a ∨ b) ∧ ¬ (ए ∧ बी) (इस ऑपरेशन को समुच्चय के मामले में सममित अंतर और तर्क के मामले में एक्सओआर कहा जाता है) और ए · बी: = ए ∧ बी। इस अंगूठी का शून्य तत्व बूलियन बीजगणित के 0 के साथ मेल खाता है; वलय का गुणात्मक पहचान तत्व बूलियन बीजगणित का 1 है। इस वलय में यह गुण है कि a · a = a for all a in A; इस गुण वाले छल्ले को बूलियन वलय कहा जाता है।

इसके विपरीत, यदि एक बूलियन वलय A दिया गया है, तो हम x ∨ y := x + y + (x · y) और x ∧ y:= x · y को परिभाषित करके इसे एक बूलियन बीजगणित में बदल सकते हैं। चूंकि ये दो निर्माण एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं, इसलिए हम कह सकते हैं कि प्रत्येक बूलियन वलय एक बूलियन बीजगणित से उत्पन्न होता है, और इसके विपरीत। इसके अलावा, एक नक्शा f : A → B बूलियन बीजगणित का एक समरूपता है यदि और केवल यदि यह बूलियन छल्ले का एक समरूपता है। बूलियन छल्ले और बूलियन बीजगणित की श्रेणियां समतुल्य हैं।

ह्सियांग (1985) ने यह जांचने के लिए एक नियम-आधारित एल्गोरिथम दिया कि क्या दो मनमाने भाव प्रत्येक बूलियन वलय में समान मान को दर्शाते हैं। अधिक सामान्यतः, बॉडेट, जौनौड, और श्मिट-शाउस (1989) ने मनमाना बूलियन-वलय अभिव्यक्तियों के बीच समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म दिया। बूलियन वलय और बूलियन बीजगणित की समानता को नियोजित करते हुए, दोनों एल्गोरिदम में स्वचालित प्रमेय साबित करने में अनुप्रयोग हैं।

आदर्श और फ़िल्टर
बूलियन बीजगणित ए का आदर्श एक उपसमुच्चय है जैसे कि I में सभी x, y के लिए हमारे पास I में x ∨ y है और A में सभी के लिए हमारे पास I में एक ∧ x है। आदर्श की यह धारणा इस धारणा के साथ मेल खाती है बूलियन वलय A में वलय आदर्श। A का आदर्श I अभाज्य कहलाता है यदि I ≠ A और यदि I में a ∧ b हमेशा I में a या b I में निहित होता है। इसके अलावा, प्रत्येक a ∈ A के लिए हमारे पास वह a ∧ - a = 0 ∈ I और फिर a ∈ I या -a ∈ I प्रत्येक a ∈ A के लिए, यदि I अभाज्य है। A का एक आदर्श I अधिकतम कहा जाता है यदि I ≠ A और यदि एकमात्र आदर्श ठीक से I को समाहित करता है तो A ही है। एक आदर्श I के लिए, यदि a ∉ I और -a ∉ I, तो I ∪ {a} या I ∪ {-a} अन्य आदर्श J में उचित रूप से समाहित है। इसलिए, कि एक I अधिकतम नहीं है और इसलिए अभाज्य की धारणा बूलियन बीजगणित में आदर्श और अधिकतम आदर्श समान हैं। इसके अलावा, ये धारणाएं बूलियन वलय ए में प्रमुख आदर्श और अधिकतम आदर्श के वलय थ्योरिटिक के साथ मेल खाती हैं।

एक आदर्श का दोहरा एक फिल्टर है। बूलियन बीजगणित A का एक फ़िल्टर एक उपसमुच्चय p है जैसे कि p में सभी x, y के लिए हमारे पास p में x ∧ y है और A में सभी a के लिए हमारे पास p में एक ∨ x है। बूलियन बीजगणित में एक अधिकतम (या प्रधान) आदर्श का दोहरा अल्ट्राफिल्टर है। अल्ट्राफिल्टर को वैकल्पिक रूप से ए से दो-तत्व बूलियन बीजगणित के 2-मूल्यवान आकारिकी के रूप में वर्णित किया जा सकता है। बूलियन बीजगणित में प्रत्येक फ़िल्टर को एक अल्ट्राफ़िल्टर तक बढ़ाया जा सकता है, इसे अल्ट्राफ़िल्टर प्रमेय कहा जाता है और यदि ZF सुसंगत है, तो इसे ZF में सिद्ध नहीं किया जा सकता है। जेडएफ के भीतर, यह पसंद के अभिगृहीत से सख्ती से कमजोर है। अल्ट्राफिल्टर प्रमेय के कई समतुल्य योग हैं: प्रत्येक बूलियन बीजगणित में एक अल्ट्राफिल्टर होता है, बूलियन बीजगणित में प्रत्येक आदर्श को एक प्रमुख आदर्श तक बढ़ाया जा सकता है, आदि।

प्रतिनिधित्व
यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक परिमित बूलियन बीजगणित एक परिमित समुच्चय के सभी उपसमुच्चयों के बूलियन बीजगणित के लिए समरूप है। इसलिए, प्रत्येक परिमित बूलियन बीजगणित के तत्वों की संख्या दो की शक्ति है।

बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रसिद्ध प्रतिनिधित्व प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक बूलियन बीजगणित ए कुछ (कॉम्पैक्ट पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हॉसडॉर्फ) टोपोलॉजिकल स्पेस में सभी क्लोपेन समुच्चयों के बूलियन बीजगणित के लिए आइसोमॉर्फिक है।

अभिगृहीत
1898 में अंग्रेजी दार्शनिक और गणितज्ञ अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड द्वारा सामान्य रूप से बूलियन लैटिस/अल्जेब्रा का पहला स्वसिद्धीकरण दिया गया था। इसमें उपरोक्त अभिगृहीत और अतिरिक्त रूप से x∨1=1 और x∧0=0 शामिल हैं। 1904 में, अमेरिकी गणितज्ञ एडवर्ड वी. हंटिंगटन (1874-1952) ने संभवतः ∧, ∨, ¬ पर आधारित सबसे पारिश्रमिक अभिगृहीतीकरण दिया, यहां तक ​​कि साहचर्य के नियमों को भी साबित किया (बॉक्स देखें)। उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि ये अभिगृहीत एक दूसरे से स्वतंत्र हैं। 1933 में, हंटिंगटन ने बूलियन बीजगणित के लिए निम्नलिखित सुरुचिपूर्ण अभिगृहीतीकरण निर्धारित किया। [11] इसे 'पूरक' के रूप में पढ़ने के लिए केवल एक द्विआधारी संक्रिया + और एक यूनरी फंक्शनल सिंबल n की आवश्यकता होती है, जो निम्नलिखित नियमों को पूरा करता है:
 * 1) क्रमविनिमेयता: x + y = y + x।
 * 2) सहयोगीता: (x + y) + z = x + (y + z)।
 * 3) हंटिंगटन समीकरण: n(n(x) + y) + n(n(x) + n(y)) = x।

हर्बर्ट रॉबिन्स ने तुरंत पूछा: यदि हंटिंगटन समीकरण को इसके दोहरे से बदल दिया जाए, तो बुद्धि के लिए:


 * 4. रॉबिन्स समीकरण: n(n(x + y) + n(x + n(y))) = x,

क्या (1), (2), और (4) बूलियन बीजगणित के लिए आधार बनाते हैं? कॉलिंग (1), (2), और (4) एक रॉबिन्स बीजगणित, फिर प्रश्न बन जाता है: क्या प्रत्येक रॉबिन्स बीजगणित एक बूलियन बीजगणित है? यह प्रश्न (जिसे रॉबिन्स अनुमान के रूप में जाना जाता है) दशकों तक खुला रहा और अल्फ्रेड टार्स्की और उनके छात्रों का पसंदीदा प्रश्न बन गया। 1996 में, लैरी वोस, स्टीव विंकर, और बॉब वेरॉफ द्वारा किए गए पहले के काम पर निर्माण करते हुए, आर्गोन राष्ट्रीय प्रयोगशाला में विलियम मैकक्यून ने रॉबिन्स के प्रश्न का सकारात्मक उत्तर दिया: प्रत्येक रॉबिन्स बीजगणित एक बूलियन बीजगणित है। मैकक्यून के प्रमाण के लिए महत्वपूर्ण कंप्यूटर प्रोग्राम EQP था जिसे उन्होंने डिजाइन किया था। मैकक्यून के प्रमाण के सरलीकरण के लिए, दहन (1998) देखें।

अभिगृहीतों की संख्या को कम करने के लिए आगे कार्य किया गया है; बूलियन बीजगणित के लिए न्यूनतम अभिगृहीत देखें।

सामान्यीकरण
बूलियन बीजगणित के अभिगृहीतों से एक इकाई के अस्तित्व की आवश्यकता को हटाने से "सामान्यीकृत बूलियन बीजगणित" प्राप्त होता है। औपचारिक रूप से, एक वितरण जालक बी एक सामान्यीकृत बूलियन जालक है, यदि इसमें सबसे छोटा तत्व 0 है और बी में किसी भी तत्व ए और बी के लिए ऐसा है कि ए ≤ बी, एक तत्व एक्स मौजूद है जैसे कि ∧ x = 0 और एक ∨ x = ख। a ∖ b को अद्वितीय x के रूप में परिभाषित करना जैसे कि (a ∧ b) ∨ x = a और (a ∧ b) ∧ x = 0, हम कहते हैं कि संरचना (B,∧,∨,∖,0) एक सामान्यीकृत बूलियन है बीजगणित, जबकि (बी,∨,0) एक सामान्यीकृत बूलियन सेमीलैटिस है। सामान्यीकृत बूलियन जालक वास्तव में बूलियन जालक के आदर्श (आदेश सिद्धांत) हैं।

एक संरचना जो बूलियन बीजगणित के लिए दो वितरण अभिगृहीतों को छोड़कर सभी अभिगृहीतों को संतुष्ट करती है, एक ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड जालक कहलाती है। अलग-अलग हिल्बर्ट रिक्त स्थान के लिए बंद उप-स्थानों की जालक के रूप में ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड जालक क्वांटम तर्क में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं।

सामान्य संदर्भ

 * . खंड 2.5 देखें।
 * . अध्याय 2 देखें।
 * . अध्याय 2 देखें।


 * . 3 खंडों में। (खंड 1:ISBN 978-0-444-70261-6, खंड 2:ISBN 978-0-444-87152-7, खंड 3:ISBN 978-0-444-87153-4)
 * . डोवर प्रकाशन द्वारा पुनर्मुद्रित, 1979।
 * . 3 खंडों में। (खंड 1:ISBN 978-0-444-70261-6, खंड 2:ISBN 978-0-444-87152-7, खंड 3:ISBN 978-0-444-87153-4)
 * . डोवर प्रकाशन द्वारा पुनर्मुद्रित, 1979।
 * . 3 खंडों में। (खंड 1:ISBN 978-0-444-70261-6, खंड 2:ISBN 978-0-444-87152-7, खंड 3:ISBN 978-0-444-87153-4)
 * . डोवर प्रकाशन द्वारा पुनर्मुद्रित, 1979।
 * . डोवर प्रकाशन द्वारा पुनर्मुद्रित, 1979।
 * . डोवर प्रकाशन द्वारा पुनर्मुद्रित, 1979।

बाहरी संबंध

 * Stanford Encyclopedia of Philosophy: "The Mathematics of Boolean Algebra," by J. Donald Monk.
 * McCune W., 1997. Robbins Algebras Are Boolean JAR 19(3), 263—276
 * "Boolean Algebra" by Eric W. Weisstein, Wolfram Demonstrations Project, 2007.
 * Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.
 * Burris, Stanley N.; Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.