एकात्मक भाजक

गणित में, एक प्राकृतिक संख्या a संख्या b का 'एकात्मक भाजक' (या 'हॉल विभाजक') है यदि a, b का भाजक है और यदि a और $$\frac{b}{a}$$ सहअभाज्य हैं, जिनका 1 के अतिरिक्त कोई उभयनिष्ठ गुणनखंड नहीं है। इस प्रकार, 5, 60 का एकात्मक भाजक है, क्योंकि 5 और $$\frac{60}{5}=12$$ एक सामान्य कारक के रूप में केवल 1 है, जबकि 6 एक विभाजक है, लेकिन 60 का एकात्मक विभाजक नहीं है, क्योंकि 6 और $$\frac{60}{6}=10$$ 1 के अलावा एक सामान्य भाजक है, अर्थात् 2. 1 प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का एक एकात्मक भाजक है।

समान रूप से, b का एक विभाजक एक एकात्मक भाजक है यदि और केवल यदि a के प्रत्येक अभाज्य संख्या कारक की a में समान बहुलता (गणित) है जैसा कि b में है।

सम-ऑफ-एकात्मक-भाजक फ़ंक्शन को लोअरकेस ग्रीक अक्षर सिग्मा द्वारा इस प्रकार दर्शाया गया है: σ*(n)। एकात्मक विभाजकों के k-वें घातांक का योग σ* द्वारा निरूपित किया जाता हैk(एन):


 * $$\sigma_k^*(n) = \sum_{d \,\mid\, n \atop \gcd(d,\,n/d)=1} \!\! d^k.$$

यदि किसी दी गई संख्या का उचित भाजक एकात्मक भाजक उस संख्या में जोड़ दें, तो वह संख्या एकात्मक पूर्ण संख्या कहलाती है।

एकात्मक भाजक की अवधारणा आर. वैद्यनाथस्वामी (1931) [गुणात्मक अंकगणितीय कार्यों का सिद्धांत] से उत्पन्न हुई है। अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी के लेन-देन, 33(2), 579--662] जिन्होंने ब्लॉक डिवाइज़र शब्द का प्रयोग किया।

गुण
किसी संख्या n के एकात्मक भाजकों की संख्या 2 हैk, जहाँ k, n के विशिष्ट अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक N > 1 सकारात्मक शक्तियों p का गुणनफल हैrpविशिष्ट अभाज्य संख्याओं का p. इस प्रकार N का प्रत्येक एकात्मक भाजक, N के अभाज्य भाजकों {p} के दिए गए उपसमुच्चय S का गुणनफल है, प्रधान शक्तियों में से पीrp p ∈ S के लिए। यदि k अभाज्य गुणनखंड हैं, तो ठीक 2 हैंk उपसमुच्चय S, और कथन अनुसरण करता है।

n के एकात्मक विभाजकों का योग समता (गणित) है यदि n 2 की शक्ति है (1 सहित), और समता (गणित) अन्यथा।

n के एकात्मक विभाजकों की गिनती और योग दोनों ही n के गुणक कार्य हैं जो पूरी तरह से गुणक नहीं हैं। डिरिचलेट जनरेटिंग फंक्शन है


 * $$\frac{\zeta(s)\zeta(s-k)}{\zeta(2s-k)} = \sum_{n\ge 1}\frac{\sigma_k^*(n)}{n^s}.$$

n का प्रत्येक विभाजक एकात्मक है यदि और केवल यदि n वर्ग-मुक्त पूर्णांक | वर्ग-मुक्त है।

विषम एकात्मक भाजक
विषम एकात्मक भाजक की k-वें घात का योग है


 * $$\sigma_k^{(o)*}(n) = \sum_{{d \,\mid\, n \atop d \equiv 1 \pmod 2} \atop \gcd(d,n/d)=1} \!\! d^k.$$

यह ड्यूरिचलेट जनरेटिंग फंक्शन के साथ गुणक भी है


 * $$\frac{\zeta(s)\zeta(s-k)(1-2^{k-s})}{\zeta(2s-k)(1-2^{k-2s})} = \sum_{n\ge 1}\frac{\sigma_k^{(o)*}(n)}{n^s}.$$

द्वि-एकात्मक विभाजक
n का एक भाजक d एक 'द्वि-एकात्मक भाजक' है यदि d और n/d का सबसे बड़ा सामान्य एकात्मक भाजक 1 है। यह अवधारणा डी। सूर्यनारायण (1972) से उत्पन्न हुई है। [द थ्योरी ऑफ़ अरिथमेटिक फ़ंक्शंस, लेक्चर नोट्स इन मैथमैटिक्स 251: 273–282, न्यूयॉर्क, स्प्रिंगर-वर्लाग] में एक पूर्णांक के द्वि-एकात्मक विभाजकों की संख्या।

n के द्वि-एकात्मक विभाजकों की संख्या एक अंकगणितीय फ़ंक्शन के औसत क्रम के साथ n का गुणक कार्य है $$A \log x$$ कहाँ
 * $$A = \prod_p\left({1 - \frac{p-1}{p^2(p+1)} }\right) \ . $$

एक द्वि-एकात्मक पूर्ण संख्या अपने द्वि-एकात्मक विभाजक भाजक के योग के बराबर होती है। केवल ऐसी संख्याएँ 6, 60 और 90 हैं।

ओईआईएस अनुक्रम
is σ*0(n) · is σ*1(n) · to are σ*2(n) to σ*8(n) · is σ(o)*0(n) · is σ(o)*1(n) · is $\sum_{i=1}^{n}\sigma_{1}(i)$

संदर्भ

 * Section B3.
 * Section 4.2
 * Section 4.2
 * Section 4.2
 * Section 4.2
 * Section 4.2
 * Section 4.2
 * Section 4.2
 * Section 4.2
 * Section 4.2

बाहरी संबंध

 * Mathoverflow | Boolean ring of unitary divisors
 * Mathoverflow | Boolean ring of unitary divisors