कर्ल (गणित)

वेक्टर कलन में, कर्ल एक वेक्टर ऑपरेटर है जो त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक वेक्टर क्षेत्र के विभेदक परिसंचरण का वर्णन करता है। क्षेत्र में एक बिंदु पर कर्ल एक वेक्टर द्वारा दर्शाया जाता है जिसकी लंबाई और दिशा अधिकतम संचलन के परिमाण और अक्ष को दर्शाती है। क्षेत्र के कर्ल को औपचारिक रूप से क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर संचलन घनत्व के रूप में परिभाषित किया जाता है।

एक सदिश क्षेत्र जिसका कर्ल शून्य है, इर्रोटेशनल अघूर्णी कहलाता है। कर्ल सदिश क्षेत्रों के लिए विभेदीकरण का एक रूप है। कैलकुलस के मूलभूत प्रमेय का संगत रूप स्टोक्स प्रमेय है, जो सदिश क्षेत्र के कर्ल के सतही समाकल को सीमा वक्र के चारों ओर सदिश क्षेत्र के रेखा समाकलन से संबंधित करता है।

$Curl F$ आज संयुक्त राज्य अमेरिका और अमेरिका के लिए एक सामान्य संकेत है। कई यूरोपीय देशों में, विशेष रूप से क्लासिक वैज्ञानिक साहित्य में, वैकल्पिक नोटेशन $rot F$ पारंपरिक रूप से प्रयोग किया जाता है, जिसे "रोटर" के रूप में लिखा जाता है, और "रोटर की दर" से आता है, जिसका वह प्रतिनिधित्व करता है। भ्रम से बचने के लिए, आधुनिक लेखक डेल (नाबला) ऑपरेटर $∇ × F$, के साथ क्रॉस गुणन संकेतन का उपयोग करते हैं, जो कर्ल (रोटर), विचलन (डाइवर्जेंस) और ढाल (ग्रेडिएंट) ऑपरेटरों के बीच के संबंध को भी प्रकट करता है।

ग्रेडिएंट और डाइवर्जेंस के विपरीत, वेक्टर कैलकुलस में तैयार किया गया कर्ल केवल अन्य आयामों के लिए सामान्यीकृत नहीं होता है; कुछ सामान्यीकरण संभव हैं, लेकिन केवल तीन आयामों में सदिश क्षेत्र का ज्यामितीय रूप से परिभाषित कर्ल फिर से एक सदिश क्षेत्र है। यह कमी सदिश कलन की सीमाओं का प्रत्यक्ष परिणाम है; दूसरी ओर, जब ज्यामितीय कैलकुलस के वेज ऑपरेटर के माध्यम से एक एंटीसिमेट्रिक टेंसर फ़ील्ड के रूप में व्यक्त किया जाता है, तो कर्ल सभी आयामों को सामान्य करता है। दुर्भाग्यपूर्ण परिस्थिति 3-आयामी क्रॉस उत्पाद में भाग लेने के समान है, और वास्तव में कनेक्शन कर्ल के लिए $∇×$ संकेतन में परिलक्षित होता है।

1871 में जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा पहली बार "कर्ल" नाम का सुझाव दिया गया था, लेकिन जाहिर तौर पर इस अवधारणा का पहली बार 1839 में जेम्स मैककुलघ द्वारा एक ऑप्टिकल क्षेत्र सिद्धांत के निर्माण में उपयोग किया गया था।

परिभाषा
सदिश क्षेत्र $F$ का कर्ल, जिसे $r$, या $C$, या $C$ द्वारा निरूपित किया जाता है, एक ऑपरेटर है जो $F$ में $curl F$ फ़ंक्शंस को $∇ × F$ में $rot F$ फ़ंक्शंस में मैप करता है, और विशेष रूप से, यह लगातार अलग-अलग फ़ंक्शन $R^{3}$ को निरंतर फलनों $C^{k}$ के लिए मैप करता है। इसे कई तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, जिसका उल्लेख नीचे किया गया है:

एक बिंदु पर सदिश क्षेत्र के कर्ल को परिभाषित करने का एक तरीका निहित रूप से इसके अनुमानों के माध्यम से बिंदु से गुजरने वाले विभिन्न अक्षों पर है: यदि $$\mathbf{\hat{u}}$$ है किसी भी इकाई सदिश के लिए, $$\mathbf{\hat{u}}$$ पर $R^{3}$ के कर्ल के प्रोजेक्शन को एक प्लेन में क्लोज्ड लाइन इंटीग्रल के लिमिटिंग वैल्यू के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। ऑर्थोगोनल से $$\mathbf{\hat{u}}$$ को संलग्न क्षेत्र से विभाजित किया जाता है, क्योंकि एकीकरण का मार्ग बिंदु के चारों ओर अनिश्चित काल तक संकुचित होता है।

अधिक विशेष रूप से, कर्ल को बिंदु $C^{k−1}$ पर परिभाषित किया गया है
 * $$(\nabla \times \mathbf{F})(p)\cdot \mathbf{\hat{u}} \ \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{{}={}} \lim_{A \to 0}\frac{1}{|A|}\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{r}$$

जहां लाइन इंटीग्रल की गणना प्रश्न में क्षेत्र $R^{3} → R^{3}$ की सीमा (टोपोलॉजी) $R^{3} → R^{3}$ के साथ की जाती है, $F$ क्षेत्र का परिमाण होना। यह समीकरण $$\mathbf{\hat{u}}$$ पर $p$ के कर्ल के प्रक्षेपण को परिभाषित करता है। $A$ से घिरे इनफिनिटिमल सतहों में $$\mathbf{\hat{u}}$$ उनका सामान्य वेक्टर है। सी दाहिने हाथ के नियम के माध्यम से उन्मुख है।

उपरोक्त सूत्र का अर्थ है कि एक निश्चित अक्ष के साथ एक सदिश क्षेत्र के कर्ल का प्रक्षेपण उस अक्ष के लंबवत विमान पर प्रक्षेपित क्षेत्र के संचलन का अतिसूक्ष्म क्षेत्र घनत्व है। यह सूत्र एक वैध सदिश क्षेत्र को परिभाषित नहीं करता है, विभिन्न अक्षों के संबंध में व्यक्तिगत संचलन घनत्व के लिए एक प्राथमिकता एक दूसरे से उसी तरह से संबंधित नहीं होती है जैसे सदिश के घटक करते हैं; कि वे वास्तव में एक दूसरे से इस सटीक तरीके से संबंधित हैं, अलग से सिद्ध किया जाना चाहिए।

इस परिभाषा के लिए स्वाभाविक रूप से केल्विन-स्टोक्स प्रमेय, परिभाषा के अनुरूप एक वैश्विक सूत्र के रूप में फिट बैठता है। यह सदिश क्षेत्र के कर्ल के सतह समाकल को सतह की सीमा के चारों ओर लिए गए उपरोक्त रेखा समाकलन के बराबर करता है।

एक और तरीका एक बिंदु पर एक फ़ंक्शन $C$ के कर्ल वेक्टर को परिभाषित कर सकता है, स्पष्ट रूप से एक वेक्टर-मूल्यवान सतह के सीमित मूल्य के रूप में एक शेल $|A|$ के चारों ओर एक शेल के आसपास होता है, जो संलग्न वॉल्यूम से विभाजित होता है, क्योंकि शेल को $F$ के आसपास अनिश्चित काल तक अनुबंधित किया जाता है।

अधिक विशेष रूप से, कर्ल को वेक्टर सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है


 * $$(\nabla \times \mathbf{F})(p) \overset{\underset{\mathrm{def}}{}}{{}={}} \lim_{V \to 0}\frac{1}{|V|}\oint_S \mathbf{\hat{n}} \times \mathbf{F} \ \mathrm{d}S$$

जहां सरफेस इंटीग्रल की गणना वॉल्यूम $C$, $F$ की सीमा $p$ के साथ की जाती है आयतन का परिमाण होना, और $$\mathbf{\hat{n}}$$ सतह $p$ से बाहर की ओर लंबवत रूप से $V$ के प्रत्येक बिंदु पर इंगित करना।

इस सूत्र में, इंटीग्रैंड में क्रॉस उत्पाद सतह $|V|$ के संबंध में इन स्पर्शरेखा घटकों के उन्मुखीकरण के साथ सतह $S$ पर प्रत्येक बिंदु पर $S$ के स्पर्शरेखा घटक को मापता है। इस प्रकार, सतह अभिन्न समग्र सीमा को मापता है $S$ अंतरिक्ष में इस संचलन के शुद्ध अभिविन्यास के साथ, S के चारों ओर परिचालित होता है। एक बिंदु पर एक वेक्टर क्षेत्र का कर्ल तब बिंदु के चारों ओर क्षेत्र के शुद्ध वेक्टर परिसंचरण (यानी, परिमाण और स्थानिक अभिविन्यास दोनों) का अतिसूक्ष्म आयतन घनत्व होता है।

इस परिभाषा के लिए स्वाभाविक रूप से एक अन्य वैश्विक सूत्र (केल्विन-स्टोक्स प्रमेय के समान) फिट बैठता है जो एक सदिश क्षेत्र के कर्ल के वॉल्यूम इंटीग्रल को वॉल्यूम की सीमा पर लिए गए उपरोक्त सतह इंटीग्रल के बराबर करता है।

जबकि कर्ल की उपरोक्त दो परिभाषाएँ नि: शुल्क समन्वयित हैं, कर्विलिनियर ऑर्थोगोनल निर्देशांक में कर्ल की एक और "याद रखना आसान" परिभाषा है, उदा। कार्तीय निर्देशांक में, गोलाकार निर्देशांक, बेलनाकार निर्देशांक, या यहाँ तक कि अण्डाकार समन्वय प्रणाली या परवलयिक निर्देशांक: $$\begin{align} & (\operatorname{curl}\mathbf F)_1=\frac{1}{h_2h_3}\left (\frac{\partial (h_3F_3)}{\partial u_2}-\frac{\partial (h_2F_2)}{\partial u_3}\right ), \\[5pt] & (\operatorname{curl}\mathbf F)_2=\frac{1}{h_3h_1}\left (\frac{\partial (h_1F_1)}{\partial u_3}-\frac{\partial (h_3F_3)}{\partial u_1}\right ), \\[5pt] & (\operatorname{curl}\mathbf F)_3=\frac{1}{h_1h_2}\left (\frac{\partial (h_2F_2)}{\partial u_1}-\frac{\partial (h_1F_1)}{\partial u_2}\right ). \end{align}$$ चक्रीय क्रमपरिवर्तन में एक सबस्क्रिप्ट 1, 2, 3 की प्रत्येक घटना का आदान-प्रदान करके प्रत्येक घटक $S$ के लिए समीकरण प्राप्त किया जा सकता है: 1 → 2, 2 → 3, और 3 → 1 (जहां सबस्क्रिप्ट प्रासंगिक सूचकांकों का प्रतिनिधित्व करते हैं).

यदि $S$ कार्टेशियन निर्देशांक हैं और $F$ ऑर्थोगोनल निर्देशांक हैं, तो$$h_i = \sqrt{\left (\frac{\partial x_1}{\partial u_i} \right )^2 + \left (\frac{\partial x_2}{\partial u_i} \right )^2 + \left (\frac{\partial x_3}{\partial u_i} \right )^2}$$$F$ के अनुरूप समन्वय सदिश की लंबाई है। कर्ल के शेष दो घटक सूचकांकों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन से उत्पन्न होते हैं: 3,1,2 → 1,2,3 → 2,3,1।

सहज व्याख्या
मान लीजिए कि सदिश क्षेत्र एक द्रव प्रवाह (जैसे तरल या गैस का एक बड़ा टैंक) के वेग क्षेत्र का वर्णन करता है और एक छोटी सी गेंद द्रव या गैस के भीतर स्थित है (गेंद का केंद्र एक निश्चित बिंदु पर तय किया जा रहा है)। यदि गेंद की सतह खुरदरी है, तो इससे गुजरने वाला द्रव इसे घुमाएगा। रोटेशन अक्ष (दाएं हाथ के नियम के अनुसार उन्मुख) गेंद के केंद्र में क्षेत्र के कर्ल की दिशा में इंगित करता है, और रोटेशन की कोणीय गति इस बिंदु पर कर्ल की परिमाण का आधा है।

किसी भी बिंदु पर वेक्टर का कर्ल एक्स-प्लेन (कर्ल के जेड-एक्सिस घटक के लिए), जेडएक्स-प्लेन (कर्ल के वाई-एक्सिस घटक के लिए) और वाईजेड-प्लेन में एक अपरिमेय क्षेत्र के घूर्णन द्वारा दिया जाता है। (कर्ल वेक्टर के एक्स-अक्ष घटक के लिए)। इसे नीचे दिए गए उदाहरणों में स्पष्ट रूप से देखा जा सकता है।

उपयोग
व्यवहार में, ऊपर वर्णित दो समन्वय-मुक्त परिभाषाओं का शायद ही कभी उपयोग किया जाता है क्योंकि वस्तुतः सभी मामलों में, वक्रीय निर्देशांक के कुछ सेट का उपयोग करके कर्ल ऑपरेटर (गणित) को लागू किया जा सकता है, जिसके लिए सरल प्रतिनिधित्व प्राप्त किए गए हैं।

नोटेशन $(curl F)_{k}$ की उत्पत्ति 3-आयामी क्रॉस उत्पाद की समानता में है, और यह कार्टेशियन निर्देशांक में एक स्मरक के रूप में उपयोगी है यदि ∇ को वेक्टर अंतर ऑपरेटर डेल के रूप में लिया जाता है। भौतिकी और बीजगणित में ऑपरेटरों (भौतिकी) को शामिल करने वाले ऐसे अंकन आम हैं। 3-आयामी कार्टेशियन निर्देशांक में विस्तारित (गोलाकार समन्वय प्रणाली और बेलनाकार समन्वय प्रणाली समन्वय प्रतिनिधित्व के लिए बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में डेल देखें), $(x_{1}, x_{2}, x_{3})$ है, $(u_{1}, u_{2}, u_{3})$ के लिए $u_{i}$ से बना है (जहां सबस्क्रिप्ट वेक्टर के घटकों को इंगित करते हैं, आंशिक डेरिवेटिव नहीं):



\nabla \times \mathbf{F} = \begin{vmatrix} \boldsymbol{\hat\imath} & \boldsymbol{\hat\jmath} & \boldsymbol{\hat k} \\[5pt] {\dfrac{\partial}{\partial x}} & {\dfrac{\partial}{\partial y}} & {\dfrac{\partial}{\partial z}} \\[10pt] F_x & F_y & F_z \end{vmatrix} $$ जहाँ $∇ × F$, $∇ × F$, और $F$ क्रमशः $[F_{x}, F_{y}, F_{z}]$-, $i$-, और $j$-अक्षों के लिए इकाई सदिश हैं। इसका विस्तार इस प्रकार होता है:

\nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \boldsymbol{\hat\imath} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \right) \boldsymbol{\hat\jmath} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y} \right) \boldsymbol{\hat k} = \begin{bmatrix}\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z} \\ \frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x} \\ \frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\end{bmatrix}$$ हालांकि निर्देशांक के संदर्भ में व्यक्त किया गया है, परिणाम समन्वय अक्षों के उचित घुमाव के तहत अपरिवर्तनीय है, लेकिन प्रतिबिंब के तहत परिणाम उलट जाता है।

एक सामान्य समन्वय प्रणाली में, कर्ल द्वारा दिया जाता है
 * $$(\nabla \times \mathbf{F} )^k = \frac{1}{\sqrt{g}} \varepsilon^{k\ell m} \nabla_\ell F_m$$

जहां $ε$ लेवी-सीविटा टेंसर को दर्शाता है, $k$ सहपरिवर्ती व्युत्पन्न, $$ g$$ मीट्रिक टेंसर का निर्धारक है और आइंस्टीन योग परिपाटी का अर्थ है कि दोहराए गए सूचकांकों का योग किया जाता है। सहसंयोजक व्युत्पन्न में भाग लेने वाले क्रिस्टोफेल प्रतीकों की समरूपता के कारण, यह अभिव्यक्ति आंशिक व्युत्पन्न को कम कर देती है:


 * $$(\nabla \times \mathbf{F} ) = \frac{1}{\sqrt{g}} \mathbf{R}_k\varepsilon^{k\ell m} \partial_\ell F_m$$

जहां $x$ स्थानीय आधार वैक्टर हैं। समान रूप से, बाहरी व्युत्पन्न का उपयोग करके, कर्ल को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$ \nabla \times \mathbf{F} = \left( \star \big( {\mathrm d} \mathbf{F}^\flat \big) \right)^\sharp $$

यहां ♭ और ♯ संगीत समरूपताएँ हैं, और ★ हॉज स्टार ऑपरेटर है। यह सूत्र दिखाता है कि किसी भी समन्वय प्रणाली में $y$ के कर्ल की गणना कैसे करें, और कर्ल को किसी भी उन्मुख त्रि-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड में कैसे बढ़ाया जाए। चूंकि यह अभिविन्यास की पसंद पर निर्भर करता है, कर्ल एक चिरल ऑपरेशन है। दूसरे शब्दों में, यदि ओरिएंटेशन उलट दिया जाता है, तो कर्ल की दिशा भी उलट जाती है।

उदाहरण 1
वेक्टर क्षेत्र


 * $$\mathbf{F}(x,y,z)=y\boldsymbol{\hat{\imath}}-x\boldsymbol{\hat{\jmath}}$$

के रूप में विघटित किया जा सकता है


 * $$F_x =y, F_y = -x, F_z =0.$$

दृश्य निरीक्षण पर, क्षेत्र को "घूर्णन" के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यदि क्षेत्र के वैक्टर उस बिंदु पर मौजूद वस्तुओं पर कार्य करने वाले एक रैखिक बल का प्रतिनिधित्व करते हैं, और एक वस्तु को क्षेत्र के अंदर रखा जाता है, तो वस्तु अपने चारों ओर दक्षिणावर्त घूमना शुरू कर देगी। यह इस बात पर ध्यान दिए बिना सत्य है कि वस्तु को कहाँ रखा गया है।

कर्ल की गणना:


 * $$\nabla \times \mathbf{F} =0\boldsymbol{\hat{\imath}}+0\boldsymbol{\hat{\jmath}}+ \left({\frac{\partial}{\partial x}}(-x) -{\frac{\partial}{\partial y}} y\right)\boldsymbol{\hat{k}}=-2\boldsymbol{\hat{k}}

$$$z$

कर्ल का वर्णन करने वाला परिणामी वेक्टर क्षेत्र सभी बिंदुओं पर ऋणात्मक z दिशा में इंगित करेगा। इस समीकरण के परिणाम उस चीज़ के साथ संरेखित होते हैं जिसकी भविष्यवाणी दाएं हाथ के नियम का उपयोग करके दाएं हाथ की समन्वय प्रणाली का उपयोग करके की जा सकती थी। एकसमान सदिश क्षेत्र होने के कारण, पहले बताई गई वस्तु की घूर्णी तीव्रता समान होगी चाहे उसे कहीं भी रखा गया हो।

उदाहरण 2
वेक्टर क्षेत्र के लिए


 * $$\mathbf{F}(x,y,z)=-x^2\boldsymbol{\hat{\jmath}}$$

कर्ल ग्राफ से उतना स्पष्ट नहीं है। हालांकि, पिछले उदाहरण में वस्तु को लेते हुए, और इसे रेखा $∇$ पर कहीं भी रखने पर, दाहिनी ओर लगाया गया बल बाईं ओर लगाए गए बल से थोड़ा अधिक होगा, जिससे यह दक्षिणावर्त घूमता है। दाहिने हाथ के नियम का उपयोग करके, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि परिणामी कर्ल ऋणात्मक $R_{k}$ दिशा में सीधा होगा। व्युत्क्रम रूप से, यदि $F$ पर रखा जाता है, तो वस्तु वामावर्त घूमेगी और दाहिने हाथ के नियम का परिणाम धनात्मक $z$ दिशा में होगा।

कर्ल की गणना:


 * $${\nabla} \times \mathbf{F} = 0 \boldsymbol{\hat{\imath}} + 0\boldsymbol{\hat{\jmath}} + {\frac{\partial}{\partial x}}\left(-x^2\right) \boldsymbol{\hat{k}} = -2x\boldsymbol{\hat{k}}.$$

कर्ल ऋणात्मक $x = 3$ दिशा में इंगित करता है जब $z$ धनात्मक होता है और इसके विपरीत। इस क्षेत्र में, घूर्णन की तीव्रता अधिक होगी क्योंकि वस्तु समतल $x = −3$ से दूर जाती है।

वर्णनात्मक उदाहरण

 * घूर्णन डिस्क के प्रत्येक भाग के रैखिक वेगों का वर्णन करने वाले सदिश क्षेत्र में, कर्ल का सभी बिंदुओं पर समान मान होता है, और यह मान डिस्क के सदिश कोणीय वेग का ठीक दो गुना होता है (सामान्य रूप से दाईं ओर उन्मुख) -हस्त नियम)। अधिक आम तौर पर, किसी भी बहने वाले द्रव्यमान के लिए, द्रव्यमान प्रवाह के प्रत्येक बिंदु पर रैखिक वेग सदिश क्षेत्र में एक कर्ल (उस बिंदु पर प्रवाह की वर्टिसिटी) होता है, जो बिंदु के बारे में द्रव्यमान के स्थानीय सदिश कोणीय वेग के ठीक दो गुना के बराबर होता है।
 * किसी बाहरी भौतिक बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण या विद्युत चुम्बकीय बल) के अधीन किसी भी ठोस वस्तु के लिए, वस्तु के प्रत्येक बिंदु पर कार्य करने वाले असीम बल-प्रति-इकाई-आयतन योगदान का प्रतिनिधित्व करने वाले सदिश क्षेत्र पर विचार किया जा सकता है। यह बल क्षेत्र अपने द्रव्यमान के केंद्र के बारे में वस्तु पर एक शुद्ध टोक़ बना सकता है, और यह टोक़ पूरे आयतन पर बल क्षेत्र के कर्ल के अभिन्न (वेक्टर-मूल्यवान) अभिन्न के समानुपाती और सदिश रूप से समानांतर होता है।
 * मैक्सवेल के चार समीकरणों में से दो- फैराडे का नियम और एम्पीयर का नियम- को कर्ल का उपयोग करके संक्षिप्त रूप से व्यक्त किया जा सकता है। फैराडे का नियम कहता है कि विद्युत क्षेत्र का कर्ल चुंबकीय क्षेत्र के परिवर्तन की समय दर के विपरीत के बराबर होता है, जबकि एम्पीयर का नियम चुंबकीय क्षेत्र के कर्ल को वर्तमान और विद्युत क्षेत्र के परिवर्तन की समय दर से संबंधित करता है।

सर्वसमिकाएँ
सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक में (न केवल कार्टेशियन निर्देशांक में), वेक्टर फ़ील्ड $z$ और $z$ के क्रॉस गुणनफल का कर्ल दिखाया जा सकता है


 * $$\nabla \times \left( \mathbf{v \times F} \right) = \Big( \left( \mathbf{ \nabla \cdot F } \right) + \mathbf{F \cdot \nabla} \Big) \mathbf{v}- \Big( \left( \mathbf{ \nabla \cdot v } \right) + \mathbf{v \cdot \nabla} \Big) \mathbf{F} \ . $$

वेक्टर फ़ील्ड $x$ और $x = 0$ ऑपरेटर को इंटरचेंज करते हुए, हम वेक्टर फ़ील्ड के क्रॉस उत्पाद पर वेक्टर फ़ील्ड के कर्ल के साथ पहुंचते हैं:


 * $$ \mathbf{v \ \times } \left( \mathbf{ \nabla \times F} \right) =\nabla_\mathbf{F} \left( \mathbf{v \cdot F } \right) - \left( \mathbf{v \cdot \nabla } \right) \mathbf{ F} \, $$

जहां $v$ फेनमैन सबस्क्रिप्ट नोटेशन है, जो केवल सदिश क्षेत्र $F$ के कारण भिन्नता पर विचार करता है (यानी, इस मामले में, $v$ को अंतरिक्ष में स्थिर होने के रूप में माना जाता है)।

एक अन्य उदाहरण सदिश क्षेत्र के कर्ल का कर्ल है। यह दिखाया जा सकता है कि सामान्य निर्देशांक में


 * $$ \nabla \times \left( \mathbf{\nabla \times F} \right) = \mathbf{\nabla}(\mathbf{\nabla \cdot F}) - \nabla^2 \mathbf{F} \, $$

और यह पहचान $∇$ के सदिश लाप्लासियन को परिभाषित करती है, जिसे $∇_{F}$ के रूप में दर्शाया गया है।

किसी भी अदिश क्षेत्र $φ$ के ढाल का कर्ल हमेशा शून्य सदिश क्षेत्र होता है


 * $$\nabla \times ( \nabla \varphi ) = \boldsymbol{0}$$

जो कर्ल की परिभाषा में एंटीसिमेट्री और दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता का अनुसरण करता है।

यदि $φ$ एक अदिश मान फलन है और $F$ एक सदिश क्षेत्र है, तब


 * $$\nabla \times ( \varphi \mathbf{F}) = \nabla \varphi \times \mathbf{F} + \varphi \nabla \times \mathbf{F} $$

सामान्यीकरण
ग्रेड, कर्ल और डिव के वेक्टर कैलकुलस ऑपरेशंस को डिफरेंशियल फॉर्म के संदर्भ में सबसे आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है, जिसमें कई चरण शामिल होते हैं। संक्षेप में, वे क्रमशः 0-रूपों, 1-रूपों और 2-रूपों के डेरिवेटिव के अनुरूप हैं। घुमाव के रूप में कर्ल की ज्यामितीय व्याख्या विशेष ऑर्थोगोनल लाई बीजगणित $v$ के साथ 3 आयामों में बाइवेक्टर (2-वैक्टर) की पहचान करने से मेल खाती है। निर्देशांक में, तिरछा-सममित 3 × 3 आव्यूह), जबकि सदिशों द्वारा घूर्णन का प्रतिनिधित्व करते हुए 1-वैक्टर (समतुल्य, 2-वैक्टर) और $F$, ये सभी 3-आयामी स्थान हैं।

विभेदक रूप
3 आयामों में, एक अंतर 0-रूप केवल एक फलन $∇^{2}F$ है; एक अवकलन 1-रूप निम्नलिखित व्यंजक है, जहाँ गुणांक फलन हैं:
 * $$a_1\,dx + a_2\,dy + a_3\,dz;$$

एक अंतर 2-रूप औपचारिक योग है, फिर से कार्य गुणांक के साथ:
 * $$a_{12}\,dx\wedge dy + a_{13}\,dx\wedge dz + a_{23}\,dy\wedge dz;$$

और एक अवकलन 3-रूप को गुणांक के रूप में एक कार्य के साथ एक शब्द द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$a_{123}\,dx\wedge dy\wedge dz.$$

(यहाँ $a$-गुणांक तीन चरों के वास्तविक फलन हैं; "कील उत्पाद", जैसे $F$, को कुछ प्रकार के उन्मुख क्षेत्र तत्वों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, $$\mathfrak{so}$(3)$, आदि।)

$$\mathfrak{so}$(3)$ में $f(x, y, z)$-फॉर्म के बाहरी डेरिवेटिव को ऊपर से $dx ∧ dy$-फॉर्म के रूप में परिभाषित किया गया है - और $dx ∧ dy = −dy ∧ dx$ में अगर, उदाहरण के लिए,


 * $$\omega^{(k)}=\sum_{\scriptstyle{i_1<i_2<\cdots<i_k} \atop \forall \scriptstyle{i_\nu\in 1,\ldots,n}} a_{i_1,\ldots,i_k}\,dx_{i_1}\wedge \cdots\wedge dx_{i_k},$$

तब बाहरी व्युत्पन्न $R^{3}$ की ओर जाता है


 * $$ d\omega^{(k)}=\sum_{\scriptstyle{j=1} \atop \scriptstyle{i_1<\cdots<i_k}}^n\frac{\partial a_{i_1,\ldots,i_k}}{\partial x_j}\,dx_j \wedge dx_{i_1}\wedge \cdots \wedge dx_{i_k}.$$

1-फॉर्म का बाहरी डेरिवेटिव इसलिए 2-फॉर्म है, और 2-फॉर्म का 3-फॉर्म है। दूसरी ओर, मिश्रित डेरिवेटिव की विनिमेयता के कारण, उदा। की वजह से


 * $$\frac{\partial^2}{\partial x\,\partial y}=\frac{\partial^2}{\partial y\,\partial x},$$

बाहरी व्युत्पन्न का दोहरा अनुप्रयोग 0 की ओर जाता है।

इस प्रकार, $k$-रूपों के स्थान को $(k + 1)$ और बाह्य व्युत्पन्न को $R^{n}$ से निरूपित करने पर एक अनुक्रम प्राप्त होता है:


 * $$0 \, \overset{d}{\longrightarrow} \;

\Omega^0\left(\mathbb{R}^3\right) \, \overset{d}{\longrightarrow} \; \Omega^1\left(\mathbb{R}^3\right) \, \overset{d}{\longrightarrow} \; \Omega^2\left(\mathbb{R}^3\right) \, \overset{d}{\longrightarrow} \; \Omega^3\left(\mathbb{R}^3\right) \, \overset{d}{\longrightarrow} \, 0.$$ यहाँ $d$ पर बाहरी बीजगणित $k$ वेक्टर बंडल के अनुभागों का स्थान है, जिसका आयाम द्विपद गुणांक $Ω^{k}(R^{3})$ है, ध्यान दें कि $d$, $Ω^{k}(R^{n})$ या $Λ^{k}(R^{n})$ या k < 0 के लिए। केवल आयाम लिखने पर, पास्कल के त्रिकोण की एक पंक्ति प्राप्त होती है:


 * 0 → 1 → 3 → 3 → 1 → 0;

1-आयामी फाइबर स्केलर फ़ील्ड के अनुरूप होते हैं, और 3-आयामी फाइबर वेक्टर फ़ील्ड के अनुरूप होते हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है। मोडुलो उपयुक्त पहचान, बाहरी व्युत्पन्न की तीन गैर-तुच्छ घटनाएं ग्रेड, कर्ल और डिव के अनुरूप हैं।

डिफरेंशियल फॉर्म और डिफरेंशियल को किसी भी यूक्लिडियन स्पेस पर परिभाषित किया जा सकता है, या वास्तव में किसी भी मैनिफोल्ड, रिमेंनियन मेट्रिक की किसी भी धारणा के बिना। एक रीमैनियन मैनिफोल्ड पर, या अधिक आम तौर पर स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड, के-फॉर्म को $( n k )$-वेक्टर फील्ड्स के साथ पहचाना जा सकता है ($Ω^{k}(R^{3}) = 0$-फॉर्म $k > 3$-कोवेक्टर फील्ड हैं, और एक स्यूडो-रीमैनियन मेट्रिक वैक्टर और कोवेक्टर के बीच एक आइसोमोर्फिज्म देता है), और एक गैर-डीजेनरेट फॉर्म (वैक्टर और कोवेक्टर के बीच एक समरूपता) के साथ एक उन्मुख वेक्टर अंतरिक्ष पर, $k < 0$-वैक्टर और $k$ -वेक्टर के बीच एक आइसोमोर्फिज्म है; विशेष रूप से (स्पर्शरेखा स्थान) एक उन्मुख छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड पर। इस प्रकार एक उन्मुख छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड पर, $k$-फॉर्म, $k$-वेक्टर फ़ील्ड, $k$ -फॉर्म, और $(n − k)$ -वेक्टर फ़ील्ड का आदान-प्रदान कर सकते हैं; इसे हॉज द्वैत के रूप में जाना जाता है। ठोस रूप से, $k$ पर यह निम्न द्वारा दिया गया है:
 * 1-फ़ॉर्म और 1-वेक्टर फ़ील्ड: 1-फ़ॉर्म $k$ वेक्टर फ़ील्ड $(n − k)$ से मेल खाता है।
 * 1-रूप और 2-रूप: एक $(n − k)$ को दोहरी मात्रा $R^{3}$ (अर्थात्, $a_{x} dx + a_{y} dy + a_{z} dz$ को छोड़ दें) से प्रतिस्थापित करता है, और इसी तरह, अभिविन्यास का ध्यान रखते हुए: $(a_{x}, a_{y}, a_{z})$ से मेल खाता है, और $dx$ से मेल खाता है। इस प्रकार $dy ∧ dz$ का रूप "दोहरी रूप" $dx$ से मेल खाता है।

इस प्रकार, अदिश क्षेत्रों के साथ 0-रूपों और 3-रूपों की पहचान करना, और सदिश क्षेत्रों के साथ 1-रूपों और 2-रूपों की पहचान करना:
 * ग्रेड एक स्केलर फ़ील्ड (0-फ़ॉर्म) को एक वेक्टर फ़ील्ड (1-फ़ॉर्म) में ले जाता है;
 * कर्ल एक वेक्टर फ़ील्ड (1-फ़ॉर्म) को स्यूडोवेक्टर फ़ील्ड (2-फ़ॉर्म) में ले जाता है;
 * div एक स्यूडोवेक्टर फ़ील्ड (2-फ़ॉर्म) को स्यूडोस्केलर फ़ील्ड (3-फ़ॉर्म) में ले जाता है

दूसरी ओर, यह तथ्य कि d2 = 0 सर्वसमिकाओं से मेल खाता है
 * $$\nabla\times(\nabla f) = 0$$

किसी भी अदिश क्षेत्र $f$ के लिए, और
 * $$\nabla \cdot (\nabla \times\mathbf v)=0$$

किसी सदिश क्षेत्र के लिए $dz ∧ dx = −dx ∧ dz$.

ग्रैड और डिव समान ज्यामितीय व्याख्या के साथ सभी उन्मुख छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड के लिए सामान्यीकरण करते हैं, क्योंकि प्रत्येक बिंदु पर 0-फॉर्म और $dx ∧ dy$-फॉर्म के रिक्त स्थान हमेशा 1-आयामी होते हैं और स्केलर फ़ील्ड के साथ पहचाने जा सकते हैं, जबकि 1 के रिक्त स्थान -फॉर्म और $a_{x} dx + a_{y} dy + a_{z} dz$-फॉर्म हमेशा फाइबरवाइज एन-डायमेंशनल होते हैं और इन्हें वेक्टर फील्ड के साथ पहचाना जा सकता है।

कर्ल इस तरह से 4 या अधिक आयामों (या 2 या उससे कम आयामों तक) को सामान्य नहीं करता है; 4 आयामों में आयाम हैं


 * 0 → 1 → 4 → 6 → 4 → 1 → 0;

इसलिए 1-वेक्टर फ़ील्ड (फाइबरवाइज़ 4-डायमेंशनल) का कर्ल एक 2-वेक्टर फ़ील्ड है, जो प्रत्येक बिंदु पर 6-डायमेंशनल वेक्टर स्पेस से संबंधित है, और इसलिए एक है


 * $$\omega^{(2)}=\sum_{i<k=1,2,3,4}a_{i,k}\,dx_i\wedge dx_k,$$

जो छह स्वतंत्र शब्दों का योग देता है, और 1-वेक्टर फ़ील्ड के साथ पहचाना नहीं जा सकता। न ही कोई सार्थक रूप से 1-वेक्टर क्षेत्र से 2-वेक्टर क्षेत्र से 3-वेक्टर क्षेत्र (4 → 6 → 4) में जा सकता है, क्योंकि अंतर को दो बार लेने पर शून्य (d2 = 0) प्राप्त होता है। इस प्रकार इस तरह से उत्पन्न होने वाले अन्य आयामों में वेक्टर फ़ील्ड्स से वेक्टर फ़ील्ड्स तक कोई कर्ल फ़ंक्शन नहीं है।

हालांकि, एक वेक्टर फ़ील्ड के कर्ल को सामान्य रूप से 2-वेक्टर फ़ील्ड के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जैसा कि नीचे वर्णित है।

ज्यामितीय रूप से कर्ल करें
2-वैक्टर बाहरी शक्ति $a_{z} dx ∧ dy + a_{y} dz ∧ dx + a_{x} dy ∧ dz$ के अनुरूप हैं; एक आंतरिक उत्पाद की उपस्थिति में, निर्देशांक में ये तिरछा-सममित मैट्रिक्स हैं, जिन्हें ज्यामितीय रूप से विशेष ऑर्थोगोनल लाई बीजगणित के रूप में माना जाता है $v$ का असीम घुमाव। इसमें $n$ आयाम, और किसी को 1-वेक्टर क्षेत्र के अंतर को इसके अतिसूक्ष्म घुमाव के रूप में व्याख्या करने की अनुमति देता है। केवल 3 आयामों में (या तुच्छ रूप से 0 आयामों में) $(n − 1)$ करता है, जो सबसे सुंदर और सामान्य मामला है। 2 आयामों में एक वेक्टर फ़ील्ड का कर्ल एक वेक्टर फ़ील्ड नहीं है, लेकिन एक फ़ंक्शन है, क्योंकि 2-आयामी घुमाव एक कोण द्वारा दिया जाता है (एक स्केलर - यह चुनने के लिए एक अभिविन्यास आवश्यक है कि कोई दक्षिणावर्त या वामावर्त घुमावों को सकारात्मक के रूप में गिनता है); यह div नहीं है, बल्कि इसके लंबवत है। 3 आयामों में सदिश क्षेत्र का कर्ल एक सदिश क्षेत्र है जैसा कि परिचित है (1 और 0 आयामों में सदिश क्षेत्र का कर्ल 0 है, क्योंकि कोई गैर-तुच्छ 2-वैक्टर नहीं हैं), जबकि 4 आयामों में कर्ल एक सदिश क्षेत्र, ज्यामितीय रूप से, प्रत्येक बिंदु पर 6-आयामी झूठ बीजगणित $$\mathfrak{so}(4)$$ का एक तत्व है।

एक 3-आयामी वेक्टर फ़ील्ड का कर्ल जो केवल 2 निर्देशांकों (माना $Λ^{2}V$ और $$\mathfrak{so}$(V)$) पर निर्भर करता है, केवल एक ऊर्ध्वाधर वेक्टर फ़ील्ड ($( n 2 )  = 1⁄2n(n − 1)$ दिशा में) है, जिसका परिमाण 2-आयामी वेक्टर फ़ील्ड का कर्ल है, जैसा कि उदाहरणों में है इस पृष्ठ पर।

कर्ल को 2-वेक्टर क्षेत्र (एक एंटीसिमेट्रिक 2-टेंसर) के रूप में मानते हुए वेक्टर कैलकुलस और संबद्ध भौतिकी को उच्च आयामों में सामान्यीकृत करने के लिए उपयोग किया गया है।

उलटा
ऐसे मामले में जहां वेक्टर फ़ील्ड $n = 1⁄2n(n − 1)$ का विचलन शून्य है, एक वेक्टर फ़ील्ड $x$ मौजूद है जैसे कि $y$। यही कारण है कि चुंबकीय क्षेत्र, शून्य विचलन द्वारा विशेषता, कर्ल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है एक चुंबकीय वेक्टर क्षमता का।

यदि $z$ कर्ल $V$ के साथ एक वेक्टर फ़ील्ड है, तो किसी भी ग्रेडिएंट वेक्टर फ़ील्ड $W$ को W में जोड़ने से एक और वेक्टर फ़ील्ड $V = curl(W)$ होगा जैसे कि कर्ल $W$ भी। यह कहकर संक्षेप में कहा जा सकता है कि एक त्रि-आयामी सदिश क्षेत्र के व्युत्क्रम कर्ल को बायोट-सावर्ट कानून के साथ एक अज्ञात अघूर्णन क्षेत्र तक प्राप्त किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन
 * डेल बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में
 * भ्रमिलता

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