टेंसर व्युत्पन्न (सातत्य यांत्रिकी)

स्केलर (गणित), यूक्लिडियन वेक्टर और दूसरे क्रम के टेन्सर  के संबंध में दूसरे क्रम के टेंसर के दिशात्मक व्युत्पन्न सातत्य यांत्रिकी में काफी उपयोग के हैं। इन डेरिवेटिव का उपयोग नॉनलाइनियर लोच और प्लास्टिसिटी (भौतिकी) के सिद्धांतों में किया जाता है, विशेष रूप से संख्यात्मक सिमुलेशन के लिए एल्गोरिदम के डिजाइन में। दिशात्मक व्युत्पन्न इन व्युत्पन्नों को खोजने का एक व्यवस्थित तरीका प्रदान करता है।

वैक्टर और दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में डेरिवेटिव
विभिन्न स्थितियों के लिए दिशात्मक डेरिवेटिव की परिभाषाएँ नीचे दी गई हैं। यह माना जाता है कि कार्य पर्याप्त रूप से सुचारू हैं कि डेरिवेटिव लिया जा सकता है।

सदिशों के अदिश मान वाले कार्यों के डेरिवेटिव्स
मान लीजिए कि f('v') सदिश 'v' का वास्तविक मान फलन है। फिर 'v' (या 'v') के संबंध में f('v') का व्युत्पन्न 'वेक्टर' है जो किसी भी वेक्टर 'यू' के साथ अपने डॉट उत्पाद के माध्यम से परिभाषित होता है

$$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = Df(\mathbf{v})[\mathbf{u}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~f(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u})\right]_{\alpha=0}$$ सभी वैक्टर यू के लिए। उपरोक्त डॉट उत्पाद एक स्केलर उत्पन्न करता है, और यदि यू एक यूनिट वेक्टर है तो यू दिशा में वी पर 'एफ' का दिशात्मक व्युत्पन्न देता है।

गुण:
 * 1) अगर $$f(\mathbf{v}) = f_1(\mathbf{v}) + f_2(\mathbf{v})$$ तब $$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{v}} + \frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\right)\cdot\mathbf{u}$$
 * 2) अगर $$f(\mathbf{v}) = f_1(\mathbf{v})~ f_2(\mathbf{v})$$ तब $$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \mathbf{v}} \cdot \mathbf{u} \right)~f_2(\mathbf{v}) + f_1(\mathbf{v})~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} \right)$$
 * 3) अगर $$f(\mathbf{v}) = f_1(f_2(\mathbf{v}))$$ तब $$\frac{\partial f}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\frac{\partial f_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u}$$

सदिशों के सदिश मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव्स
चलो f(v) सदिश v का एक सदिश मान फलन हो। फिर v (या v पर) के संबंध में f(v) का व्युत्पन्न दूसरा क्रम टेन्सर है जो इसके डॉट उत्पाद के माध्यम से किसी भी सदिश यू के साथ परिभाषित किया गया है

$$ \frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = D\mathbf{f}(\mathbf{v})[\mathbf{u}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~\mathbf{f}(\mathbf{v} + \alpha~\mathbf{u} ) \right]_{\alpha = 0}$$ सभी वैक्टर यू के लिए। उपरोक्त डॉट उत्पाद एक वेक्टर उत्पन्न करता है, और यदि यू एक इकाई वेक्टर है, तो दिशात्मक यू में, v पर f का डेरिवेटिव देता है।

गुण:
 * 1) अगर $$\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{v}) + \mathbf{f}_2(\mathbf{v})$$ तब $$\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial \mathbf{f}_1}{\partial \mathbf{v}} + \frac{\partial \mathbf{f}_2}{\partial \mathbf{v}}\right)\cdot\mathbf{u} $$
 * 2) अगर $$\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{v})\times\mathbf{f}_2(\mathbf{v})$$ तब $$\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \left(\frac{\partial \mathbf{f}_1}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u}\right)\times\mathbf{f}_2(\mathbf{v}) + \mathbf{f}_1(\mathbf{v})\times\left(\frac{\partial \mathbf{f}_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} \right)$$
 * 3) अगर $$\mathbf{f}(\mathbf{v}) = \mathbf{f}_1(\mathbf{f}_2(\mathbf{v}))$$ तब $$\frac{\partial \mathbf{f}}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} = \frac{\partial \mathbf{f}_1}{\partial \mathbf{f}_2}\cdot\left(\frac{\partial \mathbf{f}_2}{\partial \mathbf{v}}\cdot\mathbf{u} \right)$$

दूसरे क्रम के टेंसरों के स्केलर वैल्यू वाले कार्यों के डेरिवेटिव
होने देना $$f(\boldsymbol{S})$$ दूसरे क्रम के टेंसर का वास्तविक मूल्यवान कार्य हो $$\boldsymbol{S}$$. फिर की व्युत्पत्ति $$f(\boldsymbol{S})$$ इसके संबंध में $$\boldsymbol{S}$$ (या कि $$\boldsymbol{S}$$) दिशा में $$\boldsymbol{T}$$ दूसरे क्रम के टेंसर के रूप में परिभाषित किया गया है $$\frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = Df(\boldsymbol{S})[\boldsymbol{T}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~f(\boldsymbol{S} + \alpha~\boldsymbol{T})\right]_{\alpha = 0}$$ सभी दूसरे क्रम के टेंसरों के लिए $$\boldsymbol{T}$$.

गुण:
 * 1) अगर $$f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{S}) + f_2(\boldsymbol{S})$$ तब $$ \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{S}} + \frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}\right):\boldsymbol{T} $$
 * 2) अगर $$f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{S})~ f_2(\boldsymbol{S})$$ तब $$ \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T}\right)~f_2(\boldsymbol{S}) + f_1(\boldsymbol{S})~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) $$
 * 3) अगर $$f(\boldsymbol{S}) = f_1(f_2(\boldsymbol{S}))$$ तब $$ \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial f_1}{\partial f_2}~\left(\frac{\partial f_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) $$

दूसरे क्रम के टेंसर
के टेन्सर मूल्यवान कार्यों के डेरिवेटिव होने देना $$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})$$ दूसरे क्रम के टेंसर का दूसरा ऑर्डर टेन्सर वैल्यू फंक्शन हो $$\boldsymbol{S}$$. फिर की व्युत्पत्ति $$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})$$ इसके संबंध में $$\boldsymbol{S}$$ (या कि $$\boldsymbol{S}$$) दिशा में $$\boldsymbol{T}$$ चौथे क्रम के टेन्सर के रूप में परिभाषित किया गया है $$\frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = D\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S})[\boldsymbol{T}] = \left[\frac{d}{d\alpha}~\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S} + \alpha~\boldsymbol{T})\right]_{\alpha = 0}$$ सभी दूसरे क्रम के टेंसरों के लिए $$\boldsymbol{T}$$.

गुण:
 * 1) अगर $$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{S}) + \boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S})$$ तब $$ \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{S}} + \frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}\right):\boldsymbol{T} $$
 * 2) अगर $$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{S})\cdot\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S})$$ तब $$ \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T}\right)\cdot\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}) + \boldsymbol{F}_1 (\boldsymbol{S}) \cdot\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) $$
 * 3) अगर $$\boldsymbol{F}(\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{F}_1(\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}))$$ तब $$ \frac{\partial \boldsymbol{F}}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial \boldsymbol{F}_1}{\partial \boldsymbol{F}_2}:\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) $$
 * 4) अगर $$f(\boldsymbol{S}) = f_1(\boldsymbol{F}_2(\boldsymbol{S}))$$ तब $$ \frac{\partial f}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} = \frac{\partial f_1}{\partial \boldsymbol{F}_2}:\left(\frac{\partial \boldsymbol{F}_2}{\partial \boldsymbol{S}}:\boldsymbol{T} \right) $$

टेंसर फ़ील्ड का ग्रेडियेंट
ढाल, $$\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}$$, एक टेंसर क्षेत्र का $$\boldsymbol{T}(\mathbf{x})$$ एक मनमाना स्थिर सदिश c की दिशा में इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}\cdot\mathbf{c} = \lim_{\alpha \rightarrow 0} \quad \cfrac{d}{d\alpha}~\boldsymbol{T}(\mathbf{x}+\alpha\mathbf{c})$$ ऑर्डर n के टेंसर फ़ील्ड का ग्रेडिएंट ऑर्डर n+1 का टेंसर फ़ील्ड है।

कार्टेशियन निर्देशांक
अगर $$\mathbf{e}_1,\mathbf{e}_2,\mathbf{e}_3$$ कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर हैं, बिंदुओं के निर्देशांक के साथ निरूपित किया गया है ($$x_1, x_2, x_3$$), फिर टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट $$\boldsymbol{T}$$ द्वारा दिया गया है $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T} = \cfrac{\partial{\boldsymbol{T}}}{\partial x_i} \otimes \mathbf{e}_i $$

$$ चूंकि कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में आधार वैक्टर भिन्न नहीं होते हैं, हमारे पास स्केलर फ़ील्ड के ग्रेडियेंट के लिए निम्नलिखित संबंध हैं $$\phi$$, एक सदिश क्षेत्र v, और एक दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र $$\boldsymbol{S}$$. $$ \begin{align} \boldsymbol{\nabla}\phi & = \cfrac{\partial\phi}{\partial x_i}~\mathbf{e}_i = \phi_{,i} ~\mathbf{e}_i \\ \boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} & = \cfrac{\partial (v_j \mathbf{e}_j)}{\partial x_i}\otimes\mathbf{e}_i = \cfrac{\partial v_j}{\partial x_i}~\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_i = v_{j,i}~\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_i \\ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{S} & = \cfrac{\partial (S_{jk} \mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_k)}{\partial x_i}\otimes\mathbf{e}_i = \cfrac{\partial S_{jk}}{\partial x_i}~\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_i = S_{jk,i}~\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_i \end{align} $$

वक्रीय निर्देशांक
अगर $$\mathbf{g}^1,\mathbf{g}^2,\mathbf{g}^3$$ वक्रीय निर्देशांक प्रणाली में सदिशों के आधार वाले सदिशों के सहप्रसरण और विपरीतप्रसरण होते हैं, जिन्हें बिंदुओं के निर्देशांक द्वारा निरूपित किया जाता है ($$\xi^1, \xi^2, \xi^3$$), फिर टेंसर क्षेत्र का ग्रेडिएंट $$\boldsymbol{T}$$ द्वारा दिया गया है (देखें सबूत के लिए।) $$ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T} = \frac{\partial{\boldsymbol{T}}}{\partial \xi^i}\otimes\mathbf{g}^i $$ इस परिभाषा से हमारे पास स्केलर फ़ील्ड के ग्रेडियेंट के लिए निम्नलिखित संबंध हैं $$\phi$$, एक सदिश क्षेत्र v, और एक दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र $$\boldsymbol{S}$$. $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\phi & = \frac{\partial\phi}{\partial\xi^i}~\mathbf{g}^i \\ \boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} & = \frac{\partial\left(v^j \mathbf{g}_j\right)}{\partial\xi^i}\otimes\mathbf{g}^i = \left(\frac{\partial v^j}{\partial\xi^i} + v^k~\Gamma_{ik}^j\right)~\mathbf{g}_j\otimes\mathbf{g}^i = \left(\frac{\partial v_j}{\partial\xi^i} - v_k~\Gamma_{ij}^k\right)~\mathbf{g}^j\otimes\mathbf{g}^i \\ \boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{S} & = \frac{\partial\left(S_{jk}~\mathbf{g}^j\otimes\mathbf{g}^k\right)}{\partial\xi^i}\otimes\mathbf{g}^i = \left(\frac{\partial S_{jk}}{\partial\xi_i} - S_{lk}~\Gamma_{ij}^l - S_{jl}~\Gamma_{ik}^l\right)~\mathbf{g}^j\otimes\mathbf{g}^k\otimes\mathbf{g}^i \end{align}$$ जहां क्रिस्टोफेल प्रतीक है $$\Gamma_{ij}^k$$ का प्रयोग करके परिभाषित किया गया है $$ \Gamma_{ij}^k~\mathbf{g}_k = \frac{\partial\mathbf{g}_i}{\partial\xi^j} \quad \implies \quad \Gamma_{ij}^k = \frac{\partial\mathbf{g}_i}{\partial\xi^j}\cdot\mathbf{g}^k = -\mathbf{g}_i\cdot\frac{\partial \mathbf{g}^k}{\partial\xi^j} $$

बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक
बेलनाकार निर्देशांक में, ढाल द्वारा दिया जाता है $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\phi ={}\quad &\frac{\partial\phi}{\partial r}~\mathbf{e}_r +   \frac{1}{r}~\frac{\partial \phi}{\partial \theta}~\mathbf{e}_\theta +   \frac{\partial\phi}{\partial z}~\mathbf{e}_z \\

\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v} ={}\quad &\frac{\partial v_r}{\partial r}~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{1}{r}\left(\frac{\partial v_r}{\partial\theta} - v_\theta\right)~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_\theta +   \frac{\partial v_r}{\partial z}~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_z \\ {}+{} &\frac{\partial v_\theta}{\partial r}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{1}{r}\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} + v_r\right)~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_\theta +   \frac{\partial v_\theta}{\partial z}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_z \\ {}+{} &\frac{\partial v_z}{\partial r}~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_r +   \frac{1}{r}\frac{\partial v_z}{\partial\theta}~\mathbf{e}_z \otimes\mathbf{e}_\theta +   \frac{\partial v_z}{\partial z}~\mathbf{e}_z\otimes\mathbf{e}_z \\

\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{S} ={}\quad &\frac{\partial S_{rr}}{\partial r}~\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{rr}}{\partial z}~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{rr}}{\partial\theta} - (S_{\theta r} + S_{r\theta})\right]~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_r\otimes\mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{r\theta}}{\partial r}~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{r\theta}}{\partial z}~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{r\theta}}{\partial\theta} + (S_{rr} - S_{\theta\theta})\right]~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{rz}}{\partial r}~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{rz}}{\partial z}~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{rz}}{\partial \theta} - S_{\theta z}\right]~\mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{\theta r}}{\partial r}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{\theta r}}{\partial z}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{\theta r}}{\partial\theta} + (S_{rr} - S_{\theta\theta})\right]~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{\theta\theta}}{\partial r}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{\theta\theta}}{\partial z}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{\theta\theta}}{\partial\theta} + (S_{r\theta} + S_{\theta r})\right]~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{\theta z}}{\partial r}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{\theta z}}{\partial z}~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{\theta z}}{\partial\theta} + S_{rz}\right]~\mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{zr}}{\partial r}~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{zr}}{\partial z}~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{zr}}{\partial \theta} - S_{z\theta}\right]~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_r \otimes \mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{z\theta}}{\partial r}~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{z\theta}}{\partial z}~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{z\theta}}{\partial\theta} + S_{zr}\right]~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_\theta \otimes \mathbf{e}_\theta \\ {}+{} &\frac{\partial S_{zz}}{\partial r}~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{zz}}{\partial z}~\mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_z +   \frac{1}{r}~\frac{\partial S_{zz}}{\partial\theta}~ \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_z \otimes \mathbf{e}_\theta \end{align}$$

टेंसर फ़ील्ड का विचलन
एक टेंसर क्षेत्र का विचलन $$\boldsymbol{T}(\mathbf{x})$$ पुनरावर्ती संबंध का उपयोग करके परिभाषित किया गया है $$ (\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{T})\cdot\mathbf{c} = \boldsymbol{\nabla}\cdot\left(\mathbf{c}\cdot\boldsymbol{T}^\textsf{T}\right) ~;\qquad \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} = \text{tr}(\boldsymbol{\nabla}\mathbf{v}) $$ जहाँ c एक स्वेच्छ अचर सदिश है और v एक सदिश क्षेत्र है। अगर $$\boldsymbol{T}$$ क्रम n > 1 का टेन्सर क्षेत्र है तो क्षेत्र का विचलन क्रम n− 1 का टेन्सर है।

कार्टेशियन निर्देशांक
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में सदिश क्षेत्र v और दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र के लिए हमारे पास निम्नलिखित संबंध हैं $$\boldsymbol{S}$$. $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} &= \frac{\partial v_i}{\partial x_i} = v_{i,i} \\ \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} &= \frac{\partial S_{ik}}{\partial x_i}~\mathbf{e}_k = S_{ik, i}~\mathbf{e}_k \end{align}$$ जहां रिक्की कैलकुस # आंशिक डेरिवेटिव के लिए भेदभाव का उपयोग सबसे सही अभिव्यक्तियों में किया जाता है। ध्यान दें कि $$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} \neq \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S}^\textsf{T}.$$ एक सममित दूसरे क्रम के टेंसर के लिए, विचलन को अक्सर इस रूप में भी लिखा जाता है

$$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} &= \cfrac{\partial S_{ki}}{\partial x_i}~\mathbf{e}_k = S_{ki,i}~\mathbf{e}_k \end{align}$$ उपरोक्त अभिव्यक्ति को कभी-कभी परिभाषा के रूप में प्रयोग किया जाता है $$\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S}$$ कार्टेशियन घटक रूप में (अक्सर इसे भी लिखा जाता है $$\operatorname{div}\boldsymbol{S}$$). ध्यान दें कि इस तरह की परिभाषा इस लेख के बाकी हिस्सों के अनुरूप नहीं है (वक्रीय निर्देशांक पर अनुभाग देखें)।

अंतर इस बात से उपजा है कि क्या भेदभाव पंक्तियों या स्तंभों के संबंध में किया जाता है $$\boldsymbol{S}$$, और पारंपरिक है। यह एक उदाहरण द्वारा प्रदर्शित किया जाता है। कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में द्वितीय कोटि का टेंसर (मैट्रिक्स) $$\mathbf{S}$$ एक वेक्टर फ़ंक्शन का ढाल है $$\mathbf{v}$$.

$$\begin{align} \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( \boldsymbol{\nabla} \mathbf{v} \right) &= \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( v_{i,j} ~\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \right) = v_{i,ji} ~\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j = \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v} \right)_{,j} ~\mathbf{e}_j = \boldsymbol{\nabla} \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot \mathbf{v} \right) \\

\boldsymbol{\nabla} \cdot \left[ \left( \boldsymbol{\nabla} \mathbf{v} \right)^\textsf{T} \right] &= \boldsymbol{\nabla} \cdot \left( v_{j,i} ~\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \right) = v_{j,ii} ~\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j = \boldsymbol{\nabla}^{2} v_{j} ~\mathbf{e}_j = \boldsymbol{\nabla}^{2} \mathbf{v} \end{align}$$ अंतिम समीकरण वैकल्पिक परिभाषा/व्याख्या के समतुल्य है

$$\begin{align} \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot \right)_\text{alt} \left( \boldsymbol{\nabla} \mathbf{v} \right) = \left( \boldsymbol{\nabla} \cdot \right)_\text{alt} \left( v_{i,j} ~\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \right) = v_{i,jj} ~\mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \cdot \mathbf{e}_j = \boldsymbol{\nabla}^2 v_i ~\mathbf{e}_i = \boldsymbol{\nabla}^2 \mathbf{v} \end{align}$$

वक्रीय निर्देशांक
घुमावदार निर्देशांक में, एक सदिश क्षेत्र v और एक दूसरे क्रम के टेंसर क्षेत्र का विचलन $$\boldsymbol{S}$$ हैं $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} &= \left(\cfrac{\partial v^i}{\partial \xi^i} + v^k~\Gamma_{ik}^i\right)\\ \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} &= \left(\cfrac{\partial S_{ik}}{\partial \xi_i}- S_{lk}~\Gamma_{ii}^l - S_{il}~\Gamma_{ik}^l\right)~\mathbf{g}^k \end{align}$$ आम तौर पर अधिक, $$ \begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} & = \left[\cfrac{\partial S_{ij}}{\partial q^k} - \Gamma^l_{ki}~S_{lj} - \Gamma^l_{kj}~S_{il}\right]~g^{ik}~\mathbf{b}^j \\[8pt] & = \left[\cfrac{\partial S^{ij}}{\partial q^i} + \Gamma^i_{il}~S^{lj} + \Gamma^j_{il}~S^{il}\right]~\mathbf{b}_j \\[8pt] & = \left[\cfrac{\partial S^i_{~j}}{\partial q^i} + \Gamma^i_{il}~S^l_{~j} - \Gamma^l_{ij}~S^i_{~l}\right]~\mathbf{b}^j \\[8pt] & = \left[\cfrac{\partial S_i^{~j}}{\partial q^k} - \Gamma^l_{ik}~S_l^{~j} + \Gamma^j_{kl}~S_i^{~l}\right]~g^{ik}~\mathbf{b}_j \end{align} $$

बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक
बेलनाकार निर्देशांक में $$\begin{align} \boldsymbol{\nabla}\cdot\mathbf{v} =\quad &\frac{\partial v_r}{\partial r}   +    \frac{1}{r}\left(\frac{\partial v_\theta}{\partial\theta} + v_r \right) +   \frac{\partial v_z}{\partial z}\\

\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{S} =\quad &\frac{\partial S_{rr}}{\partial r}~\mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{r\theta}}{\partial r}~\mathbf{e}_\theta +   \frac{\partial S_{rz}}{\partial r}~\mathbf{e}_z \\

{}+{} &\frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{\theta r}}{\partial \theta} +   (S_{rr} - S_{\theta\theta})\right]~\mathbf{e}_r +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{\theta\theta}}{\partial\theta} +   (S_{r\theta} + S_{\theta r})\right]~\mathbf{e}_\theta +   \frac{1}{r}\left[\frac{\partial S_{\theta z}}{\partial\theta} + S_{rz}\right]~\mathbf{e}_z \\

{}+{} &\frac{\partial S_{zr}}{\partial z}~\mathbf{e}_r +   \frac{\partial S_{z\theta}}{\partial z}~\mathbf{e}_\theta +   \frac{\partial S_{zz}}{\partial z}~\mathbf{e}_z \end{align}$$

टेंसर फ़ील्ड का कर्ल
ऑर्डर-एन > 1 टेन्सर फ़ील्ड का कर्ल (गणित)। $$\boldsymbol{T}(\mathbf{x})$$ पुनरावर्ती संबंध का उपयोग करके भी परिभाषित किया गया है $$(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{T})\cdot\mathbf{c} = \boldsymbol{\nabla}\times(\mathbf{c}\cdot\boldsymbol{T}) ~;\qquad (\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{c} = \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{v}\times\mathbf{c})$$ जहाँ c एक स्वेच्छ अचर सदिश है और v एक सदिश क्षेत्र है।

प्रथम-क्रम टेंसर (वेक्टर) फ़ील्ड का कर्ल
एक सदिश क्षेत्र v और एक स्वेच्छ अचर सदिश c पर विचार करें। सूचकांक संकेतन में, क्रॉस उत्पाद किसके द्वारा दिया जाता है $$ \mathbf{v} \times \mathbf{c} = \varepsilon_{ijk}~v_j~c_k~\mathbf{e}_i $$ कहाँ $$\varepsilon_{ijk}$$ क्रमचय प्रतीक है, अन्यथा लेवी-सिविता प्रतीक के रूप में जाना जाता है। तब, $$ \boldsymbol{\nabla}\cdot(\mathbf{v} \times \mathbf{c}) = \varepsilon_{ijk}~v_{j,i}~c_k = (\varepsilon_{ijk}~v_{j,i}~\mathbf{e}_k)\cdot\mathbf{c} = (\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v})\cdot\mathbf{c} $$ इसलिए, $$\boldsymbol{\nabla}\times\mathbf{v} = \varepsilon_{ijk}~v_{j,i}~\mathbf{e}_k$$

दूसरे क्रम के टेंसर फ़ील्ड का कर्ल
दूसरे क्रम के टेंसर के लिए $$\boldsymbol{S}$$ $$ \mathbf{c}\cdot\boldsymbol{S} = c_m~S_{mj}~\mathbf{e}_j $$ इसलिए, प्रथम-क्रम टेन्सर क्षेत्र के कर्ल की परिभाषा का उपयोग करते हुए, $$ \boldsymbol{\nabla}\times(\mathbf{c}\cdot\boldsymbol{S}) = \varepsilon_{ijk}~c_m~S_{mj,i}~\mathbf{e}_k = (\varepsilon_{ijk}~S_{mj,i}~\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_m)\cdot\mathbf{c} = (\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{S}) \cdot \mathbf{c} $$ इसलिए, हमारे पास है $$ \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{S} = \varepsilon_{ijk}~S_{mj,i}~\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_m $$

टेंसर फ़ील्ड के कर्ल से संबंधित पहचान
टेंसर क्षेत्र के कर्ल से जुड़ी सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली पहचान, $$\boldsymbol{T}$$, है $$ \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{T}) = \boldsymbol{0} $$ यह पहचान सभी आदेशों के टेन्सर क्षेत्रों के लिए है। दूसरे क्रम के टेंसर के महत्वपूर्ण मामले के लिए, $$\boldsymbol{S}$$, इस पहचान का तात्पर्य है $$  \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{S}) = \boldsymbol{0} \quad \implies \quad S_{mi,j} - S_{mj,i} = 0 $$

दूसरे क्रम के टेंसर
के निर्धारक का व्युत्पन्न दूसरे क्रम के टेंसर के निर्धारक का व्युत्पन्न $$\boldsymbol{A}$$ द्वारा दिया गया है $$ \frac{\partial}{\partial\boldsymbol{A}}\det(\boldsymbol{A}) = \det(\boldsymbol{A})~\left[\boldsymbol{A}^{-1}\right]^\textsf{T} ~. $$ एक असामान्य आधार में, के घटक $$\boldsymbol{A}$$ मैट्रिक्स ए के रूप में लिखा जा सकता है। उस स्थिति में, दाहिने हाथ की ओर मैट्रिक्स के कॉफ़ैक्टर्स से मेल खाती है।

$$

दूसरे क्रम के टेंसर
के आक्रमणकारियों के डेरिवेटिव दूसरे क्रम के टेंसर के प्रमुख आविष्कार हैं $$ \begin{align} I_1(\boldsymbol{A}) & = \text{tr}{\boldsymbol{A}} \\ I_2(\boldsymbol{A}) & = \frac{1}{2} \left[ (\text{tr}{\boldsymbol{A}})^2 - \text{tr}{\boldsymbol{A}^2} \right] \\ I_3(\boldsymbol{A}) & = \det(\boldsymbol{A}) \end{align} $$ के संबंध में इन तीन अपरिवर्तनीयों के डेरिवेटिव $$\boldsymbol{A}$$ हैं $$ \begin{align} \frac{\partial I_1}{\partial\boldsymbol{A}} & = \boldsymbol{\mathit{1}} \\[3pt] \frac{\partial I_2}{\partial\boldsymbol{A}} & = I_1~\boldsymbol{\mathit{1}} - \boldsymbol{A}^\textsf{T} \\[3pt] \frac{\partial I_3}{\partial\boldsymbol{A}} & = \det(\boldsymbol{A})~\left[\boldsymbol{A}^{-1}\right]^\textsf{T} = I_2~\boldsymbol{\mathit{1}} - \boldsymbol{A}^\textsf{T}~\left(I_1~\boldsymbol{\mathit{1}} - \boldsymbol{A}^\textsf{T}\right) = \left(\boldsymbol{A}^2 - I_1~\boldsymbol{A} + I_2~\boldsymbol{\mathit{1}}\right)^\textsf{T} \end{align} $$

$$

दूसरे क्रम की पहचान टेंसर
का व्युत्पन्न होने देना $$\boldsymbol{\mathit{1}}$$ दूसरे क्रम की पहचान टेंसर बनें। फिर दूसरे क्रम के टेंसर के संबंध में इस टेंसर की व्युत्पत्ति $$\boldsymbol{A}$$ द्वारा दिया गया है $$ \frac{\partial \boldsymbol{\mathit{1}}}{\partial \boldsymbol{A}}:\boldsymbol{T} = \boldsymbol{\mathsf{0}}:\boldsymbol{T} = \boldsymbol{\mathit{0}}$$ यह है क्योंकि $$\boldsymbol{\mathit{1}}$$ से स्वतंत्र है $$\boldsymbol{A}$$.

स्वयं के संबंध में दूसरे क्रम के टेंसर का व्युत्पन्न
होने देना $$\boldsymbol{A}$$ दूसरे क्रम का टेंसर हो। तब $$ \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial \boldsymbol{A}}:\boldsymbol{T} = \left[\frac{\partial }{\partial \alpha} (\boldsymbol{A} + \alpha~\boldsymbol{T})\right]_{\alpha = 0} = \boldsymbol{T} = \boldsymbol{\mathsf{I}}:\boldsymbol{T} $$ इसलिए, $$ \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial \boldsymbol{A}} = \boldsymbol{\mathsf{I}}$$ यहाँ $$\boldsymbol{\mathsf{I}}$$ चौथा क्रम पहचान टेन्सर है। ऑर्थोनॉर्मल बेसिस के संबंध में इंडेक्स नोटेशन में $$ \boldsymbol{\mathsf{I}} = \delta_{ik}~\delta_{jl}~\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l $$ इस परिणाम का तात्पर्य है $$  \frac{\partial \boldsymbol{A}^\textsf{T}}{\partial \boldsymbol{A}}:\boldsymbol{T} = \boldsymbol{\mathsf{I}}^\textsf{T}:\boldsymbol{T} = \boldsymbol{T}^\textsf{T} $$ कहाँ $$ \boldsymbol{\mathsf{I}}^\textsf{T} = \delta_{jk}~\delta_{il}~\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l $$ इसलिए, यदि टेंसर $$\boldsymbol{A}$$ सममित है, तो व्युत्पन्न भी सममित है और हम प्राप्त करते हैं $$  \frac{\partial \boldsymbol{A}}{\partial \boldsymbol{A}} = \boldsymbol{\mathsf{I}}^{(s)} = \frac{1}{2}~\left(\boldsymbol{\mathsf{I}} + \boldsymbol{\mathsf{I}}^\textsf{T}\right) $$ जहां सममित चौथे क्रम की पहचान टेन्सर है $$ \boldsymbol{\mathsf{I}}^{(s)} = \frac{1}{2}~(\delta_{ik}~\delta_{jl} + \delta_{il}~\delta_{jk}) ~\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\otimes\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_l $$

दूसरे क्रम के टेंसर
के व्युत्क्रम का व्युत्पन्न होने देना $$\boldsymbol{A}$$ और $$\boldsymbol{T}$$ दो दूसरे क्रम के टेंसर बनें, फिर $$ \frac{\partial }{\partial \boldsymbol{A}} \left(\boldsymbol{A}^{-1}\right) : \boldsymbol{T} = - \boldsymbol{A}^{-1}\cdot\boldsymbol{T}\cdot\boldsymbol{A}^{-1} $$ ऑर्थोनॉर्मल बेसिस के संबंध में इंडेक्स नोटेशन में $$ \frac{\partial A^{-1}_{ij}}{\partial A_{kl}}~T_{kl} = - A^{-1}_{ik}~T_{kl}~A^{-1}_{lj} \implies \frac{\partial A^{-1}_{ij}}{\partial A_{kl}} = - A^{-1}_{ik}~A^{-1}_{lj} $$ हमारे पास भी है $$ \frac{\partial }{\partial \boldsymbol{A}} \left(\boldsymbol{A}^{-\textsf{T}}\right) : \boldsymbol{T} = - \boldsymbol{A}^{-\textsf{T}}\cdot\boldsymbol{T}^\textsf{T}\cdot\boldsymbol{A}^{-\textsf{T}} $$ इंडेक्स नोटेशन में $$ \frac{\partial A^{-1}_{ji}}{\partial A_{kl}}~T_{kl} = - A^{-1}_{jk}~T_{lk}~A^{-1}_{li} \implies \frac{\partial A^{-1}_{ji}}{\partial A_{kl}} = - A^{-1}_{li}~A^{-1}_{jk} $$ अगर टेंसर $$\boldsymbol{A}$$ तब सममित है $$ \frac{\partial A^{-1}_{ij}}{\partial A_{kl}} = -\cfrac{1}{2}\left(A^{-1}_{ik}~A^{-1}_{jl} + A^{-1}_{il}~A^{-1}_{jk}\right) $$

$$

भागों द्वारा एकीकरण
सातत्य यांत्रिकी में टेंसर डेरिवेटिव से संबंधित एक अन्य महत्वपूर्ण ऑपरेशन भागों द्वारा एकीकरण है। भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है $$  \int_{\Omega} \boldsymbol{F}\otimes\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{G}\,d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n} \otimes (\boldsymbol{F}\otimes\boldsymbol{G})\,d\Gamma - \int_{\Omega} \boldsymbol{G}\otimes\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{F}\,d\Omega $$ कहाँ $$\boldsymbol{F}$$ और $$\boldsymbol{G}$$ मनमाना क्रम के अवकलनीय टेन्सर क्षेत्र हैं, $$\mathbf{n}$$ उस डोमेन के लिए बाहरी सामान्य इकाई है जिस पर टेंसर फ़ील्ड परिभाषित हैं, $$\otimes$$ एक सामान्यीकृत टेंसर उत्पाद ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है, और $$\boldsymbol{\nabla}$$ एक सामान्यीकृत ढाल ऑपरेटर है। कब $$\boldsymbol{F}$$ पहचान टेन्सर के बराबर है, हमें डायवर्जेंस प्रमेय मिलता है $$ \int_{\Omega}\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{G}\,d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n}\otimes\boldsymbol{G}\,d\Gamma \,. $$ हम कार्टेशियन इंडेक्स नोटेशन में भागों द्वारा एकीकरण के सूत्र को व्यक्त कर सकते हैं $$  \int_{\Omega} F_{ijk....}\,G_{lmn...,p}\,d\Omega = \int_{\Gamma} n_p\,F_{ijk...}\,G_{lmn...}\,d\Gamma - \int_{\Omega} G_{lmn...}\,F_{ijk...,p}\,d\Omega \,. $$ विशेष मामले के लिए जहां टेन्सर उत्पाद संचालन एक सूचकांक का संकुचन है और ढाल संचालन एक विचलन है, और दोनों $$\boldsymbol{F}$$ और $$\boldsymbol{G}$$ दूसरे क्रम के टेंसर हैं, हमारे पास हैं $$ \int_{\Omega} \boldsymbol{F}\cdot(\boldsymbol{\nabla}\cdot\boldsymbol{G})\,d\Omega = \int_{\Gamma} \mathbf{n}\cdot\left(\boldsymbol{G}\cdot\boldsymbol{F}^\textsf{T}\right)\,d\Gamma - \int_{\Omega} (\boldsymbol{\nabla}\boldsymbol{F}):\boldsymbol{G}^\textsf{T}\,d\Omega \,. $$ इंडेक्स नोटेशन में, $$ \int_{\Omega} F_{ij}\,G_{pj,p}\,d\Omega = \int_{\Gamma} n_p\,F_{ij}\,G_{pj}\,d\Gamma - \int_{\Omega} G_{pj}\,F_{ij,p}\,d\Omega \,. $$

यह भी देखें

 * सहपरिवर्ती व्युत्पन्न
 * घुंघराले पथरी