घूर्णन तल

ज्यामिति में, घूर्णन का तल एक अमूर्त वस्तु है जिसका उपयोग अंतरिक्ष में घूर्णन (गणित) का वर्णन या कल्पना करने के लिए किया जाता है। तीन आयामों में यह एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमने का एक विकल्प है, लेकिन घूर्णन की धुरी के विपरीत इसका उपयोग अन्य आयामों में किया जा सकता है, जैसे कि दो, चार या अधिक आयाम।

गणितीय रूप से इस तरह के तल को कई तरह से वर्णित किया जा सकता है। उन्हें समतल (ज्यामिति) और घूर्णन कोण के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। उन्हें ज्यामितीय बीजगणित से बायवेक्टर के साथ जोड़ा जा सकता है। वे घूर्णन (गणित) के आइजनवैल्यू ​​​​और आइजन्वेक्टर से संबंधित हैं और विशेष आयामों में वे अन्य बीजगणितीय और ज्यामितीय गुणों से संबंधित हैं, जिन्हें बाद में अन्य आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

घूर्णन के विमानों का दो और तीन आयामों में अधिक उपयोग नहीं किया जाता है, क्योंकि दो आयामों में केवल एक ही तल होता है, इसलिए घूर्णन के विमान की पहचान तुच्छ और कदाचित ही कभी की जाती है, जबकि तीन आयामों में घूर्णन की धुरी एक ही उद्देश्य को पूरा करती है और और अधिक स्थापित दृष्टिकोण है। उनके लिए मुख्य उपयोग उच्च आयामों में अधिक जटिल घुमावों का वर्णन करने में है, जहाँ उनका उपयोग घुमावों को सरल भागों में तोड़ने के लिए किया जा सकता है। यह बीजगणित में साधारण द्विभाजकों से जुड़े घूर्णन के तलों के साथ ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करके किया जा सकता है।

तल
इस लेख के लिए, सभी समतल (ज्यामिति) मूल (गणित) से होकर जाने वाले तल हैं, अर्थात उनमें शून्य सदिश होता है। $n$-आयामी स्थान समष्टि का द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थान है। यह पूरी तरह से किसी भी दो गैर-शून्य और गैर-समानांतर सदिशों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है जो तल में स्थित होते हैं, जो कि किसी भी दो सदिश $a$ और $b$, द्वारा होता है। ऐसा है कि


 * $$ \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \ne 0,$$

जहाँ $∧$ बहिर्भाग बीजगणित या ज्यामितीय बीजगणित से बहिर्भाग उत्पाद है (तीन आयामों में संकरीकरण उत्पाद का उपयोग किया जा सकता है)। अधिक सटीक, मात्रा $a ∧ b$ द्वारा निर्दिष्ट विमान से जुड़ा बाइवेक्टर $a$ और $b$ है, और परिमाण है $|a| |b| sin φ$, जहाँ $φ$ सदिशों के बीच का कोण है; इसलिए आवश्यकता है कि सदिश गैर-शून्य और गैर-समानांतर हों।

अगर बायवेक्टर $a ∧ b$ $B$ लिखा है, तब वह स्थिति जिससे संबद्ध तल पर कोई बिंदु $B$ स्थित है।
 * $$ \mathbf{x} \wedge \mathbf{B} = 0.$$

यह सभी आयामों में सत्य है, और इसे समतल पर परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है। विशेष रूप से, बाहरी उत्पाद के गुणों से दोनों $a$ और $b$ से संतुष्ट है, और इसलिए निम्न स्वरुप के किसी भी सदिश द्वारा:


 * $$ \mathbf{c} = \lambda\mathbf{a} + \mu\mathbf{b},$$

वास्तविक संख्याओं $λ$ और $μ$ के साथ है। जैसा $λ$ और $μ$ सभी वास्तविक संख्याओं पर सीमा, $c$ पूरे विमान पर पर्वतमाला है, इसलिए इसे तल की एक और परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है।

घूर्णन तल
किसी विशेष घूर्णन (गणित) के लिए घूर्णन का समतल एक तल है जो घूर्णन द्वारा स्वयं के लिए रैखिक मानचित्र है। तल स्थिर नहीं है, लेकिन तल के सभी सदिश घूर्णन द्वारा उसी तल में अन्य सदिश के लिए प्रतिचित्र किए जाते हैं। तल का अपने आप में परिवर्तन हमेशा उत्पत्ति की ओर एक घूर्णन होता है, एक कोण के माध्यम से जो तल के घूर्णन का कोण होता है।

अस्मिता घूर्णन को छोड़कर हर घूर्णन में घूर्णन का कम से कम एक तल होता है, और निम्न तक


 * $$\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor$$

घूर्णन के तल, जहां $n$ आयाम है। इस तालिका में आठ आयामों तक के विमानों की अधिकतम संख्या दर्शाई गई है:


 * {| class="wikitable" border="1"

! आयाम ! तल की संख्या जब किसी घूर्णन में घूर्णन के कई तल होते हैं तो वे केवल उदगम उभयनिष्ठ होते हुए हमेशा एक दूसरे के लम्बवत होते हैं। यह कहने की तुलना में एक मजबूत स्थिति है कि तल समकोण पर हैं; इसके बजाय इसका मतलब है कि विमानों में कोई गैर-शून्य सदिश सामान्यतः नहीं है, और यह कि एक तल में प्रत्येक वेक्टर दूसरे विमान में प्रत्येक सदिश के लिए आयतीय है। यह केवल चार या अधिक आयामों में ही हो सकता है। दो आयामों में केवल एक तल होता है, जबकि तीन समतलों में सभी विमानों में कम से कम एक शून्येतर सदिश उभयनिष्ठ होता है।
 * 2 || 3 || 4 || 5 || 6 || 7 || 8
 * 1 || 1 || 2 || 2 || 3 || 3 || 4
 * }

तीन से अधिक आयामों में घूर्णन के तल हमेशा अद्वितीय नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए चार आयामों में पहचान मैट्रिक्स का ऋणात्मक (एक बिंदु में उलटा),


 * $$ \begin{pmatrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix}, $$

चार आयामों में घूर्णन का वर्णन करता है जिसमें उत्पत्ति के माध्यम से प्रत्येक विमान कोण के माध्यम से घूर्णन का विमान होता है $\pi$, इसलिए ऑर्थोगोनल विमानों की कोई भी जोड़ी घूर्णन उत्पन्न करती है। लेकिन एक सामान्य घुमाव के लिए कम से कम सैद्धांतिक रूप से ऑर्थोगोनल विमानों के एक अद्वितीय सेट की पहचान करना संभव है, जिनमें से प्रत्येक बिंदु को एक कोण के माध्यम से घुमाया जाता है, इसलिए विमानों और कोणों का सेट पूरी तरह से घूर्णन की विशेषता है।

दो आयाम
द्वि-आयामी अंतरिक्ष में घूर्णन का केवल एक विमान है, अंतरिक्ष का ही विमान। कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में यह कार्टेशियन विमान है, जटिल संख्या में यह जटिल विमान  है। इसलिए कोई भी घुमाव पूरे तल का होता है, यानी अंतरिक्ष का, केवल उत्पत्ति (गणित) को स्थिर रखते हुए। यह घूर्णन के हस्ताक्षरित कोण द्वारा पूरी तरह से निर्दिष्ट है, उदाहरण के लिए सीमा में -π को π. तो अगर कोण है $θ$ यूलर के सूत्र द्वारा जटिल विमान में घूर्णन दिया जाता है:


 * $$ e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta},\,$$

जबकि कार्तीय तल में घूर्णन द्वारा दिया जाता है 2 × 2 घूर्णन मैट्रिक्स:
 * $$ \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}.$$

तीन आयाम
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में घूर्णन के असीमित संख्या में विमान होते हैं, जिनमें से केवल एक ही किसी दिए गए घूर्णन में शामिल होता है। अर्थात्, एक सामान्य घुमाव के लिए ठीक एक तल होता है जो इसके साथ जुड़ा होता है या जिसमें घुमाव होता है। एकमात्र अपवाद तुच्छ घुमाव है, जो पहचान मैट्रिक्स के अनुरूप है, जिसमें कोई घुमाव नहीं होता है।

तीन आयामों में किसी भी घुमाव में हमेशा एक निश्चित धुरी होती है, घूर्णन की धुरी। घूर्णन को इस अक्ष को देकर वर्णित किया जा सकता है, जिस कोण से घूर्णन इसके बारे में घूमता है; यह एक घूर्णन का अक्ष कोण  निरूपण है। घूर्णन का विमान इस अक्ष के लिए समतल ऑर्थोगोनल है, इसलिए अक्ष विमान की सामान्य सतह है। घूर्णन तब इस विमान को उसी कोण से घुमाता है जैसे यह धुरी के चारों ओर घूमता है, अर्थात विमान में सब कुछ मूल के बारे में उसी कोण से घूमता है।

एक उदाहरण आरेख में दिखाया गया है, जहां घूर्णन के बारे में होता है $z$-एक्सिस। घूर्णन का विमान है $xy$-प्लेन, तो उस प्लेन में सब कुछ घूर्णन द्वारा प्लेन में रखा जाता है। यह एक मैट्रिक्स द्वारा निम्नलिखित की तरह वर्णित किया जा सकता है, जिसमें घूर्णन एक कोण के माध्यम से होता है $z$ (अक्ष के बारे में या विमान में):
 * $$ \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}.$$

एक अन्य उदाहरण पृथ्वी का घूर्णन है। घूर्णन की धुरी उत्तरी ध्रुव  और  दक्षिणी ध्रुव  को मिलाने वाली रेखा है और घूर्णन का विमान  भूमध्य रेखा  के माध्यम से उत्तरी गोलार्ध और दक्षिणी गोलार्ध के बीच का विमान है। अन्य उदाहरणों में  जाइरोस्कोप  या  चक्का  जैसे यांत्रिक उपकरण शामिल हैं जो  घूर्णी ऊर्जा  को द्रव्यमान में आमतौर पर घूर्णन के विमान के साथ संग्रहीत करते हैं।

किसी भी तीन आयामी घुमाव में घूर्णन के तल को विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जाता है। घूर्णन के कोण के साथ मिलकर यह घूर्णन का पूरी तरह से वर्णन करता है। या एक निरंतर घूमने वाली वस्तु में घूर्णी गुण जैसे घूर्णन की दर को घूर्णन के विमान के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। यह लंबवत है, और इसलिए इसे घूर्णन की धुरी द्वारा परिभाषित और परिभाषित किया गया है, इसलिए घूर्णन के विमान के संदर्भ में घूर्णन का कोई भी विवरण घूर्णन के अक्ष के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, और इसके विपरीत। लेकिन घूर्णन की धुरी के विपरीत विमान अन्य, विशेष रूप से उच्च, आयामों में सामान्यीकृत होता है।

चार आयाम
चार आयामी अंतरिक्ष में एक सामान्य घुमाव का केवल एक निश्चित बिंदु होता है, मूल बिंदु। इसलिए घूर्णन की धुरी का उपयोग चार आयामों में नहीं किया जा सकता है। लेकिन घूर्णन के विमानों का उपयोग किया जा सकता है, और चार आयामों में प्रत्येक गैर-तुच्छ घूर्णन में घूर्णन के एक या दो विमान होते हैं।

सरल घुमाव
घूर्णन के केवल एक विमान के साथ एक घूर्णन SO(4)#सरल घूर्णन है। एक साधारण घुमाव में एक निश्चित तल होता है, और इस तल के बारे में कहा जा सकता है कि घूर्णन होता है, इसलिए जब वे घूमते हैं तो बिंदु इस तल से अपनी दूरी नहीं बदलते हैं। घूर्णन का विमान इस विमान के लिए ओर्थोगोनल है, और कहा जा सकता है कि घूर्णन इस विमान में होता है।

उदाहरण के लिए निम्न मैट्रिक्स ठीक करता है $xy$-प्लेन: उस प्लेन में बिंदु और केवल उस प्लेन में अपरिवर्तित हैं। घूर्णन का विमान है $θ$-प्लेन, इस प्लेन में पॉइंट्स को एक एंगल से घुमाया जाता है $xy$. एक सामान्य बिंदु केवल में घूमता है $zw$-प्लेन, यानी यह चारों ओर घूमता है $θ$-विमान केवल बदलकर $zw$ और $xy$ निर्देशांक।


 * $$ \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos \theta & -\sin \theta \\ 0 & 0 & \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix} $$

दो और तीन आयामों में सभी घूर्णन सरल होते हैं, जिसमें उनके घूर्णन का केवल एक तल होता है। केवल चार या अधिक आयामों में ऐसे घुमाव होते हैं जो साधारण घुमाव नहीं होते हैं। विशेष रूप से चार आयामों में दोहरे और आइसोक्लिनिक घुमाव भी होते हैं।

डबल घूर्णन
SO(4)#डबल घूर्णन में घूर्णन के दो प्लेन हैं, कोई निश्चित प्लेन नहीं है, और एकमात्र निश्चित बिंदु मूल है। घूर्णन को घूर्णन के दोनों विमानों में होने के लिए कहा जा सकता है, क्योंकि उनमें बिंदुओं को विमानों के भीतर घुमाया जाता है। ये तल ओर्थोगोनल हैं, अर्थात इनमें कोई सदिश उभयनिष्ठ नहीं है इसलिए एक तल का प्रत्येक सदिश दूसरे तल के प्रत्येक सदिश के समकोण पर है। दो घूर्णन विमान चार-आयामी अंतरिक्ष में फैले हुए हैं, इसलिए अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को दो बिंदुओं द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, प्रत्येक विमान पर एक।

एक डबल घूर्णन में घूर्णन के दो कोण होते हैं, घूर्णन के प्रत्येक विमान के लिए एक। घूर्णन दो विमानों और दो गैर-शून्य कोणों को देकर निर्दिष्ट किया गया है, $z$ और $w$ (यदि कोण शून्य है तो घूर्णन सरल है)। पहले विमान में अंक घूमते हैं $α$, जबकि दूसरे विमान में बिंदु घूमते हैं $β$. अन्य सभी बिंदु बीच के कोण से घूमते हैं $α$ और $β$, इसलिए एक मायने में वे एक साथ घूर्णन की मात्रा निर्धारित करते हैं। एक सामान्य दोहरे घूर्णन के लिए घूर्णन और कोण के तल अद्वितीय होते हैं, और एक सामान्य घूर्णन दिए जाने पर उनकी गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए का एक घूर्णन $α$ में $β$-विमान और $α$ में $xy$-प्लेन मैट्रिक्स द्वारा दिया जाता है


 * $$ \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \cos \beta & -\sin \beta \\ 0 & 0 & \sin \beta & \cos \beta \end{pmatrix}.$$

आइसोक्लिनिक घूर्णन
दोहरे घुमाव का एक विशेष मामला तब होता है जब कोण बराबर होते हैं, अर्थात यदि $α = β ≠ 0$. इसे SO(4)#आइसोक्लिनिक घुमाव कहा जाता है, और यह कई तरीकों से सामान्य दोहरे घुमाव से अलग है। उदाहरण के लिए एक आइसोक्लिनिक घूर्णन में, सभी गैर-शून्य बिंदु एक ही कोण से घूमते हैं, $β$. सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि घूर्णन के विमानों की विशिष्ट पहचान नहीं की जाती है। इसके बजाय ऑर्थोगोनल विमानों के अनंत संख्या में जोड़े हैं जिन्हें घूर्णन के विमानों के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए किसी भी बिंदु को लिया जा सकता है, और जिस समतल में यह घूमता है, साथ में इसके ओर्थोगोनल तल के साथ घूर्णन के दो तलों के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

उच्च आयाम
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है कि घूर्णन के विमानों की अधिकतम संख्या $zw$ आयाम है


 * $$\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor,$$

इसलिए जटिलता जल्दी से चार से अधिक आयामों के साथ बढ़ जाती है और उपरोक्त के रूप में घूर्णन को वर्गीकृत करना व्यावहारिक होने के लिए बहुत जटिल हो जाता है, लेकिन कुछ अवलोकन किए जा सकते हैं।

सरल घुमावों को सभी आयामों में पहचाना जा सकता है, घूर्णन के केवल एक विमान के साथ घूर्णन के रूप में। में एक साधारण घुमाव $α$ आयाम लगभग (जो कि से एक निश्चित दूरी पर है) होता है $(n − 2)$घूर्णन के विमान के लिए आयामी उप-क्षेत्र ऑर्थोगोनल।

एक सामान्य घूर्णन सरल नहीं होता है, और जैसा कि ऊपर दिया गया है, घूर्णन के तलों की अधिकतम संख्या होती है। सामान्य स्थिति में इन तलों में घूर्णन के कोण भिन्न होते हैं और तल विशिष्ट रूप से परिभाषित होते हैं। यदि कोई भी कोण समान है तो तल अद्वितीय नहीं हैं, जैसा कि चार आयामों में एक आइसोक्लिनिक घुमाव के साथ होता है।

समान आयामों में ($n = 2, 4, 6...$) तक हैं $n⁄2$ घूर्णन के विमान अंतरिक्ष में फैले हुए हैं, इसलिए एक सामान्य घुमाव मूल बिंदु को छोड़कर सभी बिंदुओं को घुमाता है जो एकमात्र निश्चित बिंदु है। विषम आयामों में ($n = 3, 5, 7, ...$) वहाँ हैं $n − 1⁄2$ समतल और घूर्णन के कोण, समान आयाम के समान एक निचला। ये अंतरिक्ष को नहीं फैलाते हैं, लेकिन एक रेखा छोड़ते हैं जो घूमती नहीं है - जैसे कि तीन आयामों में एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना, इस रेखा के बारे में घुमावों को छोड़कर, इसके कई विमानों में ओर्थोगोनल नहीं होता है।

गणितीय गुण
ऊपर दिए गए उदाहरणों को घूर्णन के स्पष्ट और सरल उदाहरण के रूप में चुना गया था, आमतौर पर तीन और चार आयामों में समन्वय अक्षों के समानांतर विमानों के साथ। लेकिन यह आम तौर पर मामला नहीं है: विमान आमतौर पर कुल्हाड़ियों के समानांतर नहीं होते हैं, और आव्यूहों को आसानी से लिखा नहीं जा सकता है। सभी आयामों में घुमाव पूरी तरह से घूर्णन के विमानों और उनके संबंधित कोणों द्वारा वर्णित हैं, इसलिए उन्हें निर्धारित करने में सक्षम होना उपयोगी है, या कम से कम गणितीय रूप से उनका वर्णन करने के तरीके खोजें।

प्रतिबिंब
फ़ाइल: Simx2=rotOK.svg|right|thumb|200px|एक घूर्णन उत्पन्न करने वाले दो आयामों में दो अलग-अलग प्रतिबिंब। हर साधारण घुमाव को दो प्रतिबिंब (गणित)  द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। प्रतिबिंब में निर्दिष्ट किया जा सकता है $n$ एक देकर आयाम $(n − 1)$में प्रतिबिंबित करने के लिए -आयामी उप-स्थान, इसलिए एक द्वि-आयामी प्रतिबिंब एक रेखा में है, एक त्रि-आयामी प्रतिबिंब एक विमान में है, और इसी तरह। लेकिन उच्च आयामों में इसे लागू करना कठिन हो जाता है, इसलिए इसके बजाय वैक्टर का उपयोग करना बेहतर होता है।

में प्रतिबिंब $n$ आयाम एक सदिश लंबवत द्वारा निर्दिष्ट किया गया है $(n − 1)$-आयामी उपक्षेत्र। सरल घुमाव उत्पन्न करने के लिए केवल मूल को ठीक करने वाले प्रतिबिंबों की आवश्यकता होती है, इसलिए वेक्टर की स्थिति नहीं होती है, केवल दिशा होती है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह किस तरह से सामना कर रहा है: परिणाम को बदले बिना इसे इसके नकारात्मक से बदला जा सकता है। इसी तरह इकाई वेक्टर  का उपयोग गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है।

तो एक में प्रतिबिंब $(n − 1)$-आयामी स्थान इकाई सदिश द्वारा लंबवत दिया गया है, $m$, इस प्रकार:


 * $$\mathbf{x}' = -\mathbf{mxm} \, $$

जहां उत्पाद ज्यामितीय बीजगणित से ज्यामितीय उत्पाद है।

यदि $x′$ दूसरे में परिलक्षित होता है, विशिष्ट, $(n − 1)$एक इकाई वेक्टर द्वारा वर्णित आयामी स्थान $n$ इसके लंबवत, परिणाम है


 * $$ \mathbf{x}'' = -\mathbf{nx}'\mathbf{n} = -\mathbf{n}(-\mathbf{mxm})\mathbf{n} = \mathbf{nmxmn}$$

यह एक साधारण घुमाव है $n$ आयाम, उप-स्थानों के बीच दो बार कोण के माध्यम से, जो वैक्टर एम और के बीच का कोण भी है $n$. इसे ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करके जांचा जा सकता है कि यह एक घूर्णन है, और यह अपेक्षा के अनुरूप सभी सदिशों को घुमाता है।

मात्रा $mn$ एक रोटर (गणित)  है, और $nm$ इसका व्युत्क्रम है


 * $$(\mathbf{mn})(\mathbf{nm}) = \mathbf{mnnm} = \mathbf{mm} = 1$$

तो घूर्णन लिखा जा सकता है


 * $$\mathbf{x}'' = R\mathbf{x}R^{-1}$$

कहां $R = mn$ रोटर है।

घूर्णन का विमान युक्त विमान है $m$ और $n$, जो अलग होना चाहिए अन्यथा प्रतिबिंब समान होते हैं और कोई घुमाव नहीं होता है। जैसा कि किसी भी वेक्टर को उसके ऋणात्मक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, उनके बीच का कोण हमेशा न्यून या अधिक से अधिक हो सकता है $n$. घूर्णन सदिशों के बीच के दोगुने कोण से होता है, तक π या आधा मोड़। घुमाव का भाव से घूमना है $m$ की ओर $n$: ज्यामितीय उत्पाद विनिमेय  नहीं है इसलिए उत्पाद $nm$ उलटा घुमाव है, से अर्थ के साथ $n$ को $m$.

इसके विपरीत, सभी सरल घुमावों को इस तरह से उत्पन्न किया जा सकता है, दो प्रतिबिंबों के साथ, घूर्णन के विमान में दो इकाई वैक्टरों द्वारा घूर्णन के वांछित कोण के आधे से अलग किया जाता है। इनका उपयोग करके अधिक सामान्य घुमाव उत्पन्न करने के लिए इनकी रचना की जा सकती है $n$ प्रतिबिंब अगर आयाम $\pi⁄2$ सम है, $n − 2$ यदि $n$ विषम है, घूर्णन के प्रत्येक विमान में दो वैक्टर द्वारा दिए गए प्रतिबिंबों के जोड़े को चुनकर।

बायवेक्टर्स
द्विभाजक ज्यामितीय बीजगणित, क्लिफर्ड बीजगणित  और बाहरी बीजगणित से मात्राएं हैं, जो वैक्टर के विचार को दो आयामों में सामान्यीकृत करती हैं। चूंकि वेक्टर लाइनों के लिए हैं, इसलिए बाइवेक्टर विमानों के लिए हैं। तो हर विमान (किसी भी आयाम में) एक बायवेक्टर से जुड़ा हो सकता है, और हर बायवेक्टर # सिंपल बायवेक्टर एक प्लेन से जुड़ा होता है। यह उन्हें घूर्णन के विमानों का वर्णन करने के लिए उपयुक्त बनाता है।

घूर्णन में हर घूर्णन प्लेन में एक साधारण बायवेक्टर जुड़ा होता है। यह समतल के समानांतर है और इसका परिमाण समतल में घूर्णन कोण के बराबर है। इन बायवेक्टरों को पूरे घूर्णन के लिए एकल, आम तौर पर गैर-सरल, बायवेक्टर बनाने के लिए अभिव्यक्त किया जाता है। यह घातांक प्रकार्य  के माध्यम से एक रोटर (गणित) उत्पन्न कर सकता है, जिसका उपयोग किसी वस्तु को घुमाने के लिए किया जा सकता है।

बाइवेक्टर घातीय मानचित्र के माध्यम से रोटर्स से संबंधित हैं (जो डी मोइवर के सूत्र का उपयोग करके रोटर और घुमाव उत्पन्न करता है)। विशेष रूप से किसी भी बायवेक्टर को दिया गया $B$ इससे जुड़ा रोटर है


 * $$R_{\mathbf{B}} = e^{\frac{\mathbf{B}}{2}}.$$

यह एक साधारण घुमाव है यदि बायवेक्टर सरल है, अन्यथा अधिक सामान्य घुमाव है। चुकता करने पर,


 * $${R_{\mathbf{B}}}^2 = e^{\frac{\mathbf{B}}{2}}e^{\frac{\mathbf{B}}{2}} = e^{\mathbf{B}},$$

यह एक रोटर देता है जो दो बार कोण से घूमता है। यदि $B$ सरल है तो यह वही घुमाव है जो उत्पाद के रूप में दो प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होता है $mn$ सदिशों के बीच दुगुने कोण से घूर्णन देता है। इनकी बराबरी की जा सकती है,


 * $$\mathbf{mn} = e^{\mathbf{B}},$$

जिससे यह पता चलता है कि घूर्णन के विमान से जुड़े बायवेक्टर युक्त $m$ और $n$ वह घूमता है $m$ को $n$ है


 * $$\mathbf{B} = \log(\mathbf{mn}).$$

यह एक साधारण बायवेक्टर है, जो वर्णित सरल घुमाव से जुड़ा है। चार या अधिक आयामों में अधिक सामान्य घुमाव साधारण द्विभाजकों के योग से जुड़े होते हैं, घूर्णन के प्रत्येक विमान के लिए एक, ऊपर के रूप में गणना की जाती है।

उदाहरणों में ऊपर दिए गए चार आयामों में दो घुमाव शामिल हैं। में सरल घुमाव $n$-एक कोण से विमान $n$ बाइवेक्टर है $e_{34}θ$, एक साधारण बायवेक्टर। डबल घूर्णन द्वारा $zw$ और $θ$ में $α$-विमान और $β$-प्लेन में बाइवेक्टर होता है $e_{12}α + e_{34}β$, दो साधारण द्विभाजकों का योग $e_{12}α$ और $e_{34}β$ जो घूर्णन के दो तलों के समानांतर होते हैं और इनके परिमाण घूर्णन कोणों के बराबर होते हैं।

एक रोटर को देखते हुए इसके साथ जुड़े बायवेक्टर को रोटर के लघुगणक को ले कर पुनर्प्राप्त किया जा सकता है, जिसे बाद में घूर्णन के विमानों को निर्धारित करने के लिए सरल बायवेक्टरों में विभाजित किया जा सकता है, हालांकि व्यवहार में सभी के लिए लेकिन सबसे सरल मामलों में यह अव्यावहारिक हो सकता है। लेकिन सरल बायवेक्टर दिए जाने पर ज्यामितीय बीजगणित उपरोक्त की तरह बीजगणित का उपयोग करके घूर्णन के विमानों का अध्ययन करने के लिए एक उपयोगी उपकरण है।

आइगेनवैल्यू और ईजेन प्लेन
eigenvalue s ​​​​का उपयोग कर एक विशेष घुमाव के लिए घूर्णन के विमान। में एक सामान्य घूर्णन मैट्रिक्स को देखते हुए $xy$ आयाम इसके धर्मनिरपेक्ष समीकरण  में या तो एक (विषम आयामों में) या शून्य (सम आयामों में) वास्तविक जड़ें हैं। अन्य जड़ें बिल्कुल जटिल संयुग्म जोड़े में हैं


 * $$\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor,$$

ऐसे जोड़े। ये घूर्णन के विमानों के अनुरूप हैं, मैट्रिक्स के खुद की योजना, जिनकी गणना बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग करके की जा सकती है। इसके अलावा जटिल जड़ों के  तर्क (जटिल विश्लेषण)  घूर्णन के विमानों से जुड़े बायवेक्टरों के परिमाण हैं। विशेषता समीकरण का रूप विमानों से संबंधित है, जिससे इसके बीजगणितीय गुणों को दोहराए जाने वाले जड़ों से संबंधित करना संभव हो जाता है, जहां दोहराए जाने वाले बायवेक्टर परिमाण में विशेष ज्यामितीय व्याख्याएं होती हैं।

यह भी देखें

 * एसओ (3) पर चार्ट
 * घुमाव देता है
 * चतुष्कोण
 * घूर्णन समूह SO(3) (3)
 * 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन