डार्विन-फाउलर विधि

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, माध्य संभाव्यता के साथ वितरण फ़ंक्शन (भौतिकी) प्राप्त करने के लिए डार्विन-फाउलर विधि का उपयोग किया जाता है। इसे 1922-1923 में चार्ल्स गैल्टन डार्विन और राल्फ एच. फाउलर द्वारा विकसित किया गया था।

वितरण कार्यों का उपयोग सांख्यिकीय भौतिकी में ऊर्जा स्तर पर रहने वाले कणों की औसत संख्या का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है (इसलिए इसे व्यवसाय संख्या भी कहा जाता है)। ये वितरण अधिकतर उन संख्याओं के रूप में प्राप्त होते हैं जिनके लिए विचाराधीन प्रणाली अधिकतम संभावना की स्थिति में होती है। लेकिन वास्तव में किसी को औसत संख्या की आवश्यकता होती है। ये औसत संख्याएं डार्विन-फाउलर विधि द्वारा प्राप्त की जा सकती हैं। बेशक, सांख्यिकीय यांत्रिकी की तरह, थर्मोडायनामिक सीमा (कणों की बड़ी संख्या) में सिस्टम के लिए, परिणाम अधिकतमकरण के समान ही होते हैं।

डार्विन-फाउलर विधि
सांख्यिकीय यांत्रिकी पर अधिकांश ग्रंथों में सांख्यिकीय वितरण कार्य करता है $$f$$ मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन आँकड़े, बोस-आइंस्टीन आँकड़े, फ़र्मी-डिराक आँकड़े) उन लोगों को निर्धारित करके प्राप्त किए जाते हैं जिनके लिए सिस्टम अधिकतम संभावना की स्थिति में है। लेकिन किसी को वास्तव में औसत या औसत संभावना वाले लोगों की आवश्यकता होती है, हालांकि - निश्चित रूप से - परिणाम आमतौर पर बड़ी संख्या में तत्वों वाले सिस्टम के लिए समान होते हैं, जैसा कि सांख्यिकीय यांत्रिकी में होता है। माध्य संभाव्यता के साथ वितरण फलन प्राप्त करने की विधि सी.जी. डार्विन और आर.एच. फाउलर द्वारा विकसित की गई है और इसलिए इसे डार्विन-फाउलर विधि के रूप में जाना जाता है। यह विधि सांख्यिकीय वितरण फलन प्राप्त करने के लिए सबसे विश्वसनीय सामान्य प्रक्रिया है। चूंकि विधि एक चयनकर्ता चर (गिनती प्रक्रिया की अनुमति देने के लिए प्रत्येक तत्व के लिए पेश किया गया एक कारक) को नियोजित करती है, इसलिए विधि को चयनकर्ता चर की डार्विन-फाउलर विधि के रूप में भी जाना जाता है। ध्यान दें कि एक वितरण फ़ंक्शन प्रायिकता के समान नहीं है - सीएफ। मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण, बोस-आइंस्टीन वितरण, फर्मी-डिराक वितरण। यह भी ध्यान दें कि वितरण फ़ंक्शन $$f_i$$ जो उन राज्यों के अंश का एक माप है जो वास्तव में तत्वों द्वारा व्याप्त हैं, द्वारा दिया गया है $$f_i = n_i/g_i $$ या $$ n_i= f_ig_i$$, कहाँ $$g_i$$ ऊर्जा स्तर की गिरावट है $$i$$ उर्जा से $$\varepsilon_i$$ और $$n_i$$ इस स्तर पर मौजूद तत्वों की संख्या है (उदाहरण के लिए फर्मी-डिराक आंकड़ों में 0 या 1)। कुल ऊर्जा $$E$$ और तत्वों की कुल संख्या $$N$$ फिर द्वारा दिए जाते हैं $$E = \sum_i n_i\varepsilon_i$$ और $$N = \sum n_i$$.

डार्विन-फाउलर पद्धति का इलाज इरविन श्रोडिंगर|ई के ग्रंथों में किया गया है। श्रोडिंगर, बहेलिया और फाउलर और एडवर्ड ए. गुगेनहेम|ई. ए गुगेनहेम, केर्सन हुआंग|के. हुआंग, और हेराल्ड जे. डब्ल्यू. म्यूएलर-कर्स्टन|एच. जे. डब्ल्यू. मुलर-कर्स्टन। आर.बी. डिंगल की पुस्तक में बोस-आइंस्टीन संघनन की व्युत्पत्ति के लिए इस विधि पर भी चर्चा की गई है और इसका उपयोग किया गया है।

शास्त्रीय आँकड़े
के लिए $$N=\sum_in_i$$ स्वतंत्र तत्वों के साथ $$n_i$$ ऊर्जा के स्तर पर $$\varepsilon_i$$ और $$E=\sum_in_i\varepsilon_i$$ तापमान के साथ ताप स्नान में एक विहित प्रणाली के लिए $$T$$ हमलोग तैयार हैं
 * $$ Z = \sum_\text{arrangements}e^{-E/kT} = \sum_\text{arrangements}\prod_iz_i^{n_i}, \;\;\; z_i = e^{-\varepsilon_i/kT}.$$

सभी व्यवस्थाओं का औसत औसत व्यवसाय संख्या है
 * $$ (n_i)_\text{av} = \frac{\sum_jn_jZ}{Z} = z_j\frac{\partial}{\partial z_j}\ln Z. $$

एक चयनकर्ता चर सम्मिलित करें $$\omega$$ व्यवस्थित करके
 * $$ Z_\omega = \sum \prod_i(\omega z_i)^{n_i}.$$

शास्त्रीय सांख्यिकी में $$N$$ तत्व (ए) अलग-अलग हैं और इन्हें पैकेट के साथ व्यवस्थित किया जा सकता है $$n_i$$ स्तर पर तत्व $$\varepsilon_i$$ जिसका नंबर है
 * $$ \frac{N!}{\prod_in_i!}, $$

ताकि इस मामले में
 * $$ Z_\omega = N!\sum_{n_i}\prod_i\frac{(\omega z_i)^{n_i}}{n_i!}.$$

(बी) अधोगति के लिए अनुमति देना $$g_i$$ स्तर का $$\varepsilon_i$$ यह अभिव्यक्ति बन जाती है
 * $$ Z_\omega = N!\prod_{i=1}^{\infty}\left(\sum_{n_i=0,1,2,\ldots}\frac{(\omega z_i)^{n_i}}{n_i!}\right)^{g_i} = N!e^{\omega\sum_ig_iz_i}. $$

चयनकर्ता चर $$\omega$$ का गुणांक निकालने की अनुमति देता है $$\omega^N$$ जो है $$Z$$. इस प्रकार
 * $$ Z = \left(\sum_ig_iz_i\right)^N, $$

और इसलिए
 * $$ (n_j)_\text{av} = z_j\frac{\partial}{\partial z_j}\ln Z = N\frac{g_je^{-\varepsilon_j/kT}}{\sum_ig_ie^{-\varepsilon_i/kT}}.$$

यह परिणाम जो अधिकतमीकरण द्वारा प्राप्त सबसे संभावित मूल्य से सहमत है, इसमें एक भी सन्निकटन शामिल नहीं है और इसलिए यह सटीक है, और इस प्रकार इस डार्विन-फाउलर विधि की शक्ति को प्रदर्शित करता है।

क्वांटम आँकड़े
हमारे पास ऊपर जैसा है
 * $$ Z_{\omega}=\sum\prod (\omega z_i)^{n_i}, \;\; z_i=e^{-\varepsilon_i/kT}, $$

कहाँ $$n_i$$ ऊर्जा स्तर में तत्वों की संख्या है $$\varepsilon_i$$. चूंकि क्वांटम सांख्यिकी में तत्व अप्रभेद्य हैं, इसलिए तत्वों को पैकेटों में विभाजित करने के तरीकों की संख्या की कोई प्रारंभिक गणना नहीं की गई है $$n_1, n_2, n_3, ...$$ आवश्यक है। इसलिए योग $$\sum$$ केवल संभावित मानों के योग को संदर्भित करता है $$n_i$$.

फर्मी-डिराक आँकड़ों के मामले में हमारे पास है
 * $$ n_i=0$$ या $$ n_i=1 $$

प्रति राज्य. वहाँ हैं $$g_i$$ ऊर्जा स्तर के लिए राज्य $$\varepsilon_i$$. इसलिए हमारे पास है
 * $$ Z_\omega=(1+\omega z_1)^{g_1}(1+\omega z_2)^{g_2}\cdots=\prod(1+\omega z_i)^{g_i}.$$

बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी के मामले में हमारे पास है
 * $$ n_i=0,1,2,3, \ldots \infty.$$

पहले जैसी ही प्रक्रिया से हम वर्तमान मामले में प्राप्त करते हैं
 * $$Z_{\omega}=(1+\omega z_1+(\omega z_1)^2 + (\omega z_1)^3 + \cdots)^{g_1}(1+\omega z_2 + (\omega z_2)^2 + \cdots)^{g_2} \cdots.$$

लेकिन
 * $$1 + \omega z_1 + (\omega z_1)^2 + \cdots = \frac{1}{(1 - \omega z_1)}.$$

इसलिए
 * $$ Z_\omega=\prod_i(1-\omega z_i)^{-g_i}.$$

दोनों मामलों को सारांशित करना और इसकी परिभाषा को याद करना $$Z$$, हमारे पास वह है $$Z$$ का गुणांक है $$\omega^N$$ में
 * $$ Z_\omega=\prod_i(1\pm \omega z_i)^{\pm g_i},$$

जहां ऊपरी संकेत फर्मी-डिराक सांख्यिकी पर लागू होते हैं, और निचले संकेत बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी पर लागू होते हैं।

आगे हमें के गुणांक का मूल्यांकन करना होगा $$\omega^N$$ में $$Z_\omega.$$ किसी फ़ंक्शन के मामले में $$\phi(\omega)$$ जिसे इस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है
 * $$ \phi(\omega) = a_0 + a_1\omega + a_2\omega^2 + \cdots, $$

का गुणांक $$\omega^N$$ कॉची के अवशेष प्रमेय की सहायता से,
 * $$ a_N = \frac{1}{2\pi i}\oint \frac{\phi(\omega)d\omega}{\omega^{N+1}}.$$

हम ध्यान दें कि इसी प्रकार गुणांक $$Z$$ उपरोक्त के रूप में प्राप्त किया जा सकता है
 * $$ Z=\frac{1}{2\pi i}\oint\frac{Z_{\omega}}{\omega^{N+1}}d\omega\equiv \frac{1}{2\pi i}\int e^{f(\omega)}d\omega,$$

कहाँ
 * $$ f(\omega)=\pm\sum_ig_i\ln (1\pm \omega z_i)-(N+1)\ln\omega.$$

विभेद करने से व्यक्ति प्राप्त होता है
 * $$ f'(\omega) = \frac{1}{\omega}\left[\sum_i\frac{g_i}{(\omega z_i)^{-1}\pm 1}-(N+1)\right],$$

और
 * $$ f''(\omega) = \frac{N+1}{\omega^2}\mp \frac{1}{\omega^2}\sum_i\frac{g_i}{[(\omega z_i)^{-1}\pm 1]^2}.$$

अब कोई पहले और दूसरे डेरिवेटिव का मूल्यांकन करता है $$f(\omega)$$ स्थिर बिंदु पर $$\omega_0$$ जिस पर $$f'(\omega_0)=0.$$. मूल्यांकन की यह विधि $$Z$$ काठी बिंदु के आसपास $$\omega_0$$तीव्रतम अवतरण की विधि के रूप में जाना जाता है। तब कोई प्राप्त करता है
 * $$ Z = \frac{e^{f(\omega_0)}}{\sqrt{2\pi f''(\omega_0)}}.$$

हमारे पास है $$f'(\omega_0) = 0 $$ और इसलिए
 * $$(N+1) = \sum_i\frac{g_i}{(\omega_0z_i)^{-1}\pm 1}$$

(तब से +1 नगण्य है $$N$$ बड़ी है)। हम एक क्षण में देखेंगे कि यह अंतिम संबंध केवल सूत्र है
 * $$ N = \sum_in_i.$$

हमें माध्य व्यवसाय संख्या प्राप्त होती है $$(n_i)_{av}$$ मूल्यांकन करके
 * $$(n_j)_{av} = z_j\frac{d}{dz_j}\ln Z = \frac{g_j}{(\omega_0z_j)^{-1}\pm 1} = \frac{g_j}{e^{(\varepsilon_j-\mu)/kT} \pm 1}, \quad e^{\mu/kT}= \omega_0.$$

यह अभिव्यक्ति कुल के तत्वों की औसत संख्या बताती है $$N$$ मात्रा में $$V$$ जो तापमान पर कब्जा कर लेते हैं $$T$$ 1-कण स्तर $$\varepsilon_j$$ पतन के साथ $$g_j$$ (उदाहरण के लिए एक प्राथमिक संभाव्यता देखें)। संबंध के विश्वसनीय होने के लिए यह जांचना चाहिए कि उच्च क्रम के योगदान शुरू में परिमाण में कम हो रहे हैं ताकि सैडल बिंदु के आसपास का विस्तार वास्तव में एक स्पर्शोन्मुख विस्तार उत्पन्न कर सके।