विषमकोण

समतल यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक समचतुर्भुज (बहुवचन समचतुर्भुज या समचतुर्भुज) एक चतुर्भुज होता है जिसकी चारों भुजाओं की लंबाई समान होती है। एक अन्य नाम समबाहु चतुर्भुज है, क्योंकि समभुज का अर्थ है कि इसकी सभी भुजाएँ लंबाई में समान हैं। समचतुर्भुज को अधिकांशतः हीरा कहा जाता है, ताश खेलने में हीरा सूट के बाद जो एक अष्टफलक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण हीरा, या लोजेंज (आकार) के प्रक्षेपण जैसा दिखता है, चूंकि पूर्व कभी-कभी विशेष रूप से 60 डिग्री के साथ एक समचतुर्भुज को संदर्भित करता है। कोण (जिसे कुछ लेखक कैलिसन के बाद कैलिसन कहते हैं पॉलीयामोंड भी देखें), और बाद वाला कभी-कभी विशेष रूप से 45 डिग्री के कोण के साथ एक समचतुर्भुज को संदर्भित करता है।

प्रत्येक समचतुर्भुज सरल बहुभुज (गैर-स्व-प्रतिच्छेदी) है, और एक समांतर चतुर्भुज और पतंग (ज्यामिति) का एक विशेष स्थिति है। समकोण वाला एक समचतुर्भुज एक वर्ग होता है।

व्युत्पत्ति
समचतुर्भुज शब्द आया है ῥόμβος, कारण कुछ ऐसा जो घूमता है, जो क्रिया से निकला है, romanized: rhémbō, जिसका अर्थ है गोल-गोल घूमना। इस शब्द का प्रयोग यूक्लिड और आर्किमिडीज दोनों द्वारा किया गया था, जिन्होंने एक द्विकोन के लिए ठोस समचतुर्भुज शब्द का प्रयोग किया था, एक सामान्य आधार साझा करने वाले दो दाएँ वृत्ताकार शंकु होते है।

आज हम जिस सतह को समचतुर्भुज कहते हैं, वह दो शंकुओं के शीर्षों से होते हुए एक समतल पर बाइकोन का अनुप्रस्थ काट (ज्यामिति) है।

लक्षण वर्णन
एक साधारण बहुभुज (स्व-प्रतिच्छेदी बहुभुजों की गैर-सूची|स्व-प्रतिच्छेदी) चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है यदि और केवल यदि यह निम्न में से कोई एक है:
 * एक समांतर चतुर्भुज जिसमें एक विकर्ण एक आंतरिक और बाहरी कोण को समद्विभाजित करता है
 * एक समांतर चतुर्भुज जिसमें कम से कम दो लगातार भुजाएँ लंबाई में समान हों ॥
 * एक समांतर चतुर्भुज जिसमें विकर्ण लंबवत होते हैं (एक ओर्थोडायगोनल समांतर चतुर्भुज) ॥
 * समान लंबाई की चार भुजाओं वाला चतुर्भुज (परिभाषा के अनुसार) ॥
 * एक चतुर्भुज जिसमें विकर्ण लंबवत हैं और एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं
 * एक चतुर्भुज जिसमें प्रत्येक विकर्ण दो विपरीत आंतरिक कोणों को समद्विभाजित करता है
 * एक चतुर्भुज ABCD जिसके तल में एक बिंदु P इस प्रकार है कि चारों त्रिभुज ABP, BCP, CDP, और DAP सभी सर्वांगसम(ज्यामिति) हैं ॥
 * एक चतुर्भुज एबीसीडी जिसमें त्रिकोण ABP, BCP, CDP, और DAP में त्रिकोण के अंतःवृत्त और बहिष्कृत एक सामान्य बिंदु हैं

मूल गुण
प्रत्येक समचतुर्भुज में दो विकर्ण होते हैं जो विपरीत शीर्षों के युग्मों को जोड़ते हैं, और समानांतर भुजाओं के दो युग्म होते हैं। सर्वांगसमता (ज्यामिति) त्रिभुजों का उपयोग करके, गणितीय प्रमाण दिया जा सकता है कि समचतुर्भुज इन विकर्णों में से प्रत्येक में सममिति है। यह इस प्रकार है कि किसी भी समचतुर्भुज में निम्नलिखित गुण होते हैं:
 * समचतुर्भुज के सम्मुख कोणों का माप समान होता है।
 * एक समचतुर्भुज के दो विकर्ण लंबवत होते हैं; अर्थात्, एक समचतुर्भुज एक समकोणीय चतुर्भुज है।
 * इसके विकर्ण सम्मुख कोणों को समद्विभाजित करते हैं।

प्रथम गुण का अर्थ है कि प्रत्येक समचतुर्भुज एक समांतर चतुर्भुज है। एक समचतुर्भुज में सभी समांतर चतुर्भुज गुण होते हैं: उदाहरण के लिए, विपरीत भुजाएँ समानांतर होती हैं; आसन्न कोण संपूरक कोण हैं; दो विकर्ण एक दूसरे को समद्विभाजित करते हैं; मध्यबिंदु से होकर जाने वाली कोई भी रेखा क्षेत्र को समद्विभाजित करती है; और भुजाओं के वर्गों का योग विकर्णों के वर्गों के योग के समान होता है (समांतर चतुर्भुज नियम)। इस प्रकार प्रत्येक समचतुर्भुज में उभयनिष्ठ भुजा को a और विकर्णों को p और q के रूप में निरूपित करते हैं ॥
 * $$\displaystyle 4a^2=p^2+q^2.$$

प्रत्येक समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज नहीं है, चूंकि लंबवत विकर्णों (दूसरी संपत्ति) के साथ कोई समांतर चतुर्भुज एक समचतुर्भुज है। सामान्यतः, लंबवत विकर्णों वाला कोई भी चतुर्भुज, जिसमें से एक सममित रेखा है, पतंग (ज्यामिति) है। प्रत्येक समचतुर्भुज एक पतंग है, और कोई भी चतुर्भुज जो पतंग और समांतर चतुर्भुज दोनों है, एक समचतुर्भुज है।

एक समचतुर्भुज एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज है। अर्थात इसमें एक खुदी हुई आकृति है जो चारों दिशाओं को स्पर्श करती है।



विकर्ण
विकर्णों की लंबाई p = AC और q = BD को समचतुर्भुज भुजा a और एक शीर्ष कोण α के रूप में व्यक्त किया जा सकता है ॥
 * $$p=a\sqrt{2+2\cos{\alpha}}$$

और
 * $$q=a\sqrt{2-2\cos{\alpha}}.$$

ये सूत्र कोसाइन के नियम का प्रत्यक्ष परिणाम हैं।

त्रिज्या
अंतःत्रिज्या (समचतुर्भुज में अंकित एक वृत्त की त्रिज्या),जिसे $r$ द्वारा निरूपित किआ जाता है को विकर्णों $p$ और $q$ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है जैसा :

$$r = \frac{p \cdot q}{2\sqrt{p^2+q^2}},$$

या पक्ष की लंबाई $a$ के संदर्भ में और कोई शीर्ष कोण $α$ या $β$ के रूप में
 * $$r = \frac{a\sin\alpha}{2} = \frac{a\sin\beta}{2}.$$

क्षेत्र
सभी समांतर चतुर्भुजों के लिए, एक समचतुर्भुज का क्षेत्रफल K उसके आधार (ज्यामिति) और उसकी ऊँचाई (h) का गुणनफल होता है। आधार सिर्फ किसी भी तरफ की लंबाई है:
 * $$K = a \cdot h .$$

क्षेत्र को किसी भी कोण की ज्या के किनारे (ज्यामिति) वर्ग (बीजगणित) के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$K = a^2 \cdot \sin \alpha = a^2 \cdot \sin \beta ,$$

या ऊंचाई और शीर्ष (ज्यामिति) कोण के संदर्भ में:
 * $$K=\frac{h^2}{\sin\alpha} ,$$

या विकर्णों p, q के आधे गुणनफल के रूप में:
 * $$K = \frac{p \cdot q}{2} ,$$

या अर्धपरिधि के रूप में वृत्त की त्रिज्या के रूप में समचतुर्भुज (अंतर्त्रिज्या) में खुदी हुई आकृति:
 * $$K = 2a \cdot r .$$

एक अन्य विधि, समांतर चतुर्भुजों के साथ सामान्यतः, दो आसन्न पक्षों को सदिश के रूप में माना जाता है, जो एक बाय सदिश बनाता है, इसलिए क्षेत्र बाय सदिश का परिमाण है (दो सदिश के सदिश उत्पाद का परिमाण), जो दो सदिशों के कार्तीय निर्देशांक: K = x1y2 - x2y1 का निर्धारक है.

द्वैत गुण
एक समचतुर्भुज का द्वैत बहुभुज एक आयत होता है:
 * एक समचतुर्भुज की सभी भुजाएँ समान होती हैं, जबकि एक आयत के सभी कोण समान होते हैं।
 * एक समचतुर्भुज के सम्मुख कोण समान होते हैं, जबकि आयत की सम्मुख भुजाएँ समान होती हैं।
 * एक समचतुर्भुज में एक खुदा हुआ वृत्त होता है, जबकि एक आयत में एक परिवृत्त होता है।
 * एक समचतुर्भुज में विपरीत शीर्ष कोणों की प्रत्येक जोड़ी के माध्यम से समरूपता का एक अक्ष होता है, जबकि एक आयत में विपरीत पक्षों के प्रत्येक जोड़े के माध्यम से समरूपता का एक अक्ष होता है।
 * समचतुर्भुज के विकर्ण समान कोणों पर प्रतिच्छेद करते हैं, जबकि आयत के विकर्ण लंबाई में समान होते हैं।
 * एक समचतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिंदुओं को मिलाने से बनी आकृति एक आयत होती है।

कार्तीय समीकरण
एक समचतुर्भुज की भुजाएँ मूल बिंदु पर केंद्रित होती हैं, प्रत्येक विकर्ण एक अक्ष पर गिरता है, जिसमें सभी बिंदु (x, y) संतोषजनक होते हैं


 * $$\left|\frac{x}{a}\right|\! + \left|\frac{y}{b}\right|\! = 1.$$

शिखर $$(\pm a, 0)$$ और $$(0, \pm b).$$ पर हैं यह प्रतिपादक 1 के साथ सुपरलिप्स का एक विशेष स्थिति है।

अन्य गुण

 * पांच 2D जालक (समूह) प्रकारों में से एक समचतुर्भुज जालक है, जिसे केन्द्रित आयताकार जालक भी कहा जाता है।
 * समान समचतुर्भुज 2डी समतल को तीन अलग-अलग विधियों से टाइल कर सकता है, जिसमें 60° समचतुर्भुज, समचतुर्भुज टाइलिंग सम्मिलित है।
 * एक समचतुर्भुज के त्रि-आयामी एनालॉग्स में क्रांति की सतह के रूप में द्विपिरामिड और बाइकोन सम्मिलित हैं।
 * एक समचतुर्भुज के त्रि-आयामी एनालॉग्स में क्रांति की सतह के रूप में द्विपिरामिड और बाइकोन सम्मिलित हैं।

एक बहुफलक के रूपों के रूप में
समचतुर्भुज के साथ उत्तल बहुतल में समचतुर्भुज ज़ोनोहेड्रॉन का अनंत समुच्चय सम्मिलित है, जिसे अतिविम के प्रक्षेपी लिफाफे के रूप में देखा जा सकता है।


 * एक समचतुर्भुज (जिसे समचतुर्भुज हेक्साहेड्रॉन भी कहा जाता है) घनाभ (जिसे एक आयताकार समानांतर चतुर्भुज भी कहा जाता है) की तरह एक त्रि-आयामी आकृति है, इसके अतिरिक्त कि इसके समानांतर रूपों के 3 जोड़े आयतों के बजाय 3 प्रकार के समचतुर्भुज हैं।
 * समचतुर्भुज द्वादशफलक एक उत्तल बहुफलक है जिसके फलक (ज्यामिति) के रूप में 12 सर्वांगसमता (ज्यामिति) समचतुर्भुज है।
 * समचतुर्भुज त्रिकोणाफलक एक उत्तल बहुफलक है जिसके फलक के रूप में 30 स्वर्ण समचतुर्भुज (समचतुर्भुज जिसके विकर्ण सुनहरे अनुपात में हैं) हैं।
 * द ग्रेट समचतुर्भुज ट्राईकॉन्टाहेड्रोन एक गैर-उत्तल आइसोहेड्रल आकृति, आइसोटॉक्सल बहुतल है जिसमें 30 इंटरसेक्टिंग समचतुर्भुज रूप हैं।
 * समचतुर्भुज हेक्सेकोंटाहेड्रोन, समचतुर्भुज आइकोसैहेड्रोन का एक तारांकन है। यह आइकोसाहेड्रल समरूपता के साथ 60 सुनहरे समचतुर्भुज रूपों के साथ गैर-उत्तल है।
 * समचतुर्भुज आइकोसैहेड्रोन प्रत्येक शीर्ष पर तीन, पांच, या छह समचतुर्भुज बैठक के साथ 90 समचतुर्भुज रूपों से बना एक बहुफलक है। इसमें 60 चौड़े समचतुर्भुज और 30 पतले हैं।
 * समचतुर्भुज आइकोसैहेड्रोन 20 समचतुर्भुज रूपों से बना एक पॉलीहेड्रॉन है, जिनमें से तीन, चार, या पाँच प्रत्येक शीर्ष पर मिलते हैं। भूमध्य रेखा के बाद 10 रूपों के साथ ध्रुवीय अक्ष पर इसके 10 रूप हैं।

यह भी देखें

 * मर्केल हीरा
 * मानव शरीर रचना विज्ञान में माइकलिस का समचतुर्भुज
 * समचतुर्भुज या तो एक समांतर चतुर्भुज या एक समांतर चतुर्भुज जो न तो समचतुर्भुज है और न ही आयत
 * समचतुर्भुज एंटीना
 * समचतुर्भुज शतरंज
 * कोलम्बिया के उत्तरी सेंटेंडर विभाग का ध्वज, जिसमें समचतुर्भुज के आकार में चार तारे हैं
 * सुपरलिप्स (गोलाकार कोनों के साथ एक समचतुर्भुज सम्मिलित है)

बाहरी संबंध

 * Parallelogram and Rhombus - Animated course (Construction, Circumference, Area)
 * Rhombus definition, Math Open Reference with interactive applet.
 * Rhombus area, Math Open Reference - shows three different ways to compute the area of a rhombus, with interactive applet