रेखीय मानचित्र

गणित में, और अधिक विशेष रूप से रैखिक बीजगणित में, एक रेखीय मानचित्र(जिसे एक रेखीय मानचित्रण, रैखिक रूपांतरण, सदिश समष्टि समरूपता या कुछ संदर्भों में रैखिक फलन भी कहा जाता है) दो सदिश समष्टिों के बीच एक मानचित्रण $$V \to W$$ है जो सदिश जोड़ और अदिश गुणज के संचालन को संरक्षित करता है। रिंग(गणित) पर इकाई(गणित) के अधिक सामान्य मामले के लिए समान नाम और समान परिभाषा का भी उपयोग किया जाता है, उदहारण के लिए इकाई समरूपता देखें।

यदि एक रेखीय मानचित्र एक आक्षेप है तो इसे कहा जाता है। ऐसे मामले में जहां $$V = W$$, एक रेखीय मानचित्र को(रैखिक) अंतःरूपांतरण कहा जाता है। कभी-कभी 'रैखिक प्रचालक' शब्द इस मामले को संदर्भित करता है, लेकिन रैखिक प्रचालक शब्द के विभिन्न सम्मेलनों के लिए अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, इसका उपयोग इस बात पर जोर देने के लिए किया जा सकता है कि $$V$$ तथा $$W$$ वास्तविक संख्या सदिश समष्टियाँ  हैं (जरूरी नहीं कि $$V = W$$ के साथ हो), या इसका उपयोग इस बात पर जोर देने के लिए किया जा सकता है कि $$V$$ एक फलन समष्टि है, जो कार्यात्मक विश्लेषण में एक सामान्य सम्मेलन है। कभी-कभी रेखीय फलन शब्द का वही अर्थ होता है जो रेखीय मानचित्र का होता है, जबकि विश्लेषण में ऐसा नहीं होता है।

V से W तक का एक रेखीय मानचित्र हमेशा V की उत्पत्ति को W की उत्पत्ति के लिए मानचित्रित करता है। इसके अलावा, यह V में रैखिक उपसमष्‍टि को W में रैखिक उपसमष्‍टि पर मानचित्रित करता है (संभवतः एक निम्न आयाम(सदिश समष्‍टि) का), उदाहरण के लिए, यह V में उत्पत्ति के माध्यम से एक तल(ज्यामिति) को या तो W डब्ल्यू में उत्पत्ति के माध्यम से एक तल को, डब्ल्यू में उत्पत्ति के माध्यम से एक रेखा, या सिर्फ डब्ल्यू में उत्पत्ति के माध्यम से एक तल को मानचित्रित करता है। रेखीय मानचित्रो को अक्सर आव्यूह के रूप में दर्शाया जा सकता है, और सरल उदाहरणों में परिक्रमण और रेखीय रूपांतरण शामिल हैं।

श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, रेखीय मानचित्र सदिश समष्‍टिको के रूप हैं।

परिभाषा और प्रथम परिणाम
माना $$V$$ और $$W$$ एक ही क्षेत्र (गणित) $$K$$ पर सदिश समष्टियाँ हैं। किसी फलन $$f: V \to W$$ को एक रेखीय मानचित्र कहा जाता है यदि किन्हीं दो सदिशों $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in V$ और किसी अदिश $$c \in K$$ के लिए निम्नलिखित दो शर्तें पूरी होती हैं तो ,

इस प्रकार, एक रेखीय मानचित्र को संचालन संरक्षण कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि रैखिक मानचित्र पहले (उपरोक्त उदाहरणों के दाहिने हाथ की ओर) या बाद में (उदाहरणों के बाएं हाथ की ओर) जोड़ और अदिश गुणन के संचालन के लिए लागू किया गया है।
 * योगात्मकता / जोड़ का संचालन $$f(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = f(\mathbf{u}) + f(\mathbf{v})$$
 * डिग्री 1 की एकरूपता / अदिश गुणन की संक्रिया$$f(c \mathbf{u}) = c f(\mathbf{u})$$

किसी भी सदिश $c_1, \ldots, c_n \in K,$ और अदिश $ \mathbf{u}_1, \ldots, \mathbf{u}_n \in V$  के लिए जोड़ संक्रिया की साहचर्यता से + के रूप में निरूपित किया जाता है, जो निम्नलिखित समानताए रखती है,  $$f(c_1 \mathbf{u}_1 + \cdots + c_n \mathbf{u}_n) = c_1 f(\mathbf{u}_1) + \cdots + c_n f(\mathbf{u}_n).$$इस प्रकार एक रैखिक मानचित्र वह है जो रैखिक संयोजन को संरक्षित करता है।

सदिश समष्टियों $$V$$ और $$W$$ के शून्य तत्वों को क्रमशः $\mathbf{0}_V$  और $\mathbf{0}_W$  से दर्शाने पर यह $f(\mathbf{0}_V) = \mathbf{0}_W$  का अनुसरण करता है। मान लीजिये $$c = 0$$ तथा $\mathbf{v} \in V$  डिग्री 1 की एकरूपता के समीकरण में,$$f(\mathbf{0}_V) = f(0\mathbf{v}) = 0f(\mathbf{v}) = \mathbf{0}_W.$$एक रेखीय मानचित्र  $$V \to K$$ जिसमें $$K$$ को एक आयामी सदिश समष्टि के रूप में देखा जाता है उसे एक रेखीय फलन कहा जाता है।

ये कथन बिना संशोधन के किसी भी बाएं-मापांक ${}_R M$ को रिंग $$R$$ पर और अदिश गुणन को उलटने पर किसी भी दाएं-मापांक के लिए सामान्यीकृत करते हैं।

उदाहरण

 * एक आद्य उदाहरण जो रैखिक मानचित्रों को उनका नाम देता है, एक फलन $$f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}: x \mapsto cx$$ है, जिसका आलेख मूल बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा है।
 * आम तौर पर अधिक, कोई भी समरूपता $\mathbf{v} \mapsto c\mathbf{v}$ है जहां पर $$c$$ एक सदिश समष्टि के मूल में केन्द्रित एक रेखीय मानचित्र है।
 * दो सदिश समष्टि (एक ही क्षेत्र में) के बीच शून्य मानचित्र $\mathbf x \mapsto \mathbf 0$ रैखिक है।
 * किसी भी मापांक पर तत्समक मानचित्र एक रैखिक प्रचालक है।
 * वास्तविक संख्याओं के लिए, मानचित्र $x \mapsto x^2$ रेखीय नहीं है।
 * वास्तविक संख्याओं के लिए, मानचित्र $x \mapsto x + 1$ रैखिक नहीं है (लेकिन एक परिशोधन रूपांतरण  है)।
 * यदि $$A$$ एक $$m \times n$$ वास्तविक आव्यूह है, तो $$A$$ स्तंभ सदिश $$A \mathbf x \in \R^m$$को स्तंभ सदिश $$\mathbf x \in \R^n$$ में प्रेषित करके $$\R^n$$से $$\R^m$$ तक एक रैखिक मानचित्र को परिभाषित करता है। इसके विपरीत, परिमित-आयामी सदिश समष्टिको के बीच किसी भी रेखीय मानचित्र को इस तरीके से प्रदर्शित किया जा सकता है, नीचे,  देखें।
 * यदि $f: V \to W$ वास्तविक मानक समष्टि के बीच एक समदूरीकता है जैसे कि$ f(0) = 0$  तो $$f$$ एक रैखिक मानचित्र है। यह परिणाम आवश्यक रूप से सम्मिश्र मानदंड वाले समष्टि के लिए सही नहीं है।
 * अवकलन सभी भिन्न फलनो के समष्टि से लेकर सभी फलनो के समष्टि तक एक रेखीय मानचित्र को परिभाषित करता है। यह सभी सहज फलनो के समष्टि पर एक रैखिक प्रचालक को भी परिभाषित करता है (एक रैखिक प्रचालक एक रैखिक अंतःरूपांतरण है, जो कि एक ही प्रक्षेत्र और सहप्रांत वाला एक रैखिक मानचित्र है)। जिसक यह एक उदाहरण है, $$\frac{d}{dx} \left( c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) + \cdots + c_n f_n(x) \right) = c_1 \frac{d f_1(x)}{dx} + c_2 \frac{d f_2( x)}{dx} + \cdots + c_n \frac{d f_n(x)}{dx}.$$
 * कुछ अंतराल $V$ पर एक निश्चित अभिन्न अंग $V$ से $$\R$$  पर सभी वास्तविक-मूल्यवान पूर्णांक फलनों के समष्टि से एक रेखीय मानचित्र है। उदाहरण के लिए, $$\int_a^b \left[c_1 f_1(x) + c_2 f_2(x) + \dots + c_n f_n(x)\right] \, dx = {c_1 \int_a^b f_1(x) \, dx} + c_2 \int_a^b f_2(x) \, dx + \cdots + c_n \int_a^b f_n(x) \, dx. $$
 * एक निश्चित एकीकरण प्रारंभिक बिंदु के साथ एक अनिश्चित अभिन्न (या प्रतिअवकलज) $$\R$$ पर सभी वास्तविक-मूल्यवान पूर्णांक फलनो के समष्टि से $$\R$$ पर सभी वास्तविक-मूल्यवान, अलग-अलग फलनो के समष्टि पर एक रैखिक मानचित्र को परिभाषित करते है। एक निश्चित प्रारंभिक बिंदु के बिना, निरंतर फलनो के रैखिक समष्टि द्वारा अलग-अलग फलनो के भागफल समष्टि( रैखिक बीजगणित) के लिए प्रतिपक्षी मानचित्र।
 * यदि $$V$$ और $$W$$ संबंधित आयामों $V$ तथा $V$ के एक क्षेत्र $W$ पर परिमित-आयामी सदिश समष्टि हैं, तो वह फलन जो  (नीचे) में वर्णित तरीके से $f: V \to W$  से $n × m$ आव्यूह को रैखिक मानचित्रित करता है, तथा एक रैखिक मानचित्र है, और यहां तक ​​कि एक रेखीय समरूपता भी है।
 * एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान (जो वास्तव में एक फलन है, और एक सदिश समष्टि का एक अवयव है) रैखिक है, जैसा कि यादृच्छिक चर $$X$$ और $$Y$$ के लिए हमारे पास $$E[X + Y] = E[X] + E[Y]$$ तथा $$E[aX] = aE[X]$$ है, लेकिन एक यादृच्छिक चर का प्रसरण रैखिक नहीं है।

रेखीय विस्तार
अक्सर, एक सदिश समष्टि के उपसमुच्चय पर इसे परिभाषित करके एक रेखीय मानचित्र का निर्माण किया जाता है और फिर  प्रक्षेत्र के रैखिक विस्तार  तक विस्तारित किया जाता है। किसी फलन $$f$$ का एक  किसी सदिश समष्टि के लिए $$f$$ का विस्तार है जो एक रैखिक मानचित्र है।

मान लीजिए $$X$$ तथा $$Y$$ सदिश समष्टियाँ हैं और $$f : S \to Y$$ किसी उपसमुच्चय $$S \subseteq X$$ पर परिभाषित फलन है। तब $$f$$ एक रेखीय मानचित्र $$F : \operatorname{span} S \to Y$$ तक बढ़ाया जा सकता है और यदि केवल $$n > 0$$ एक पूर्णांक है, तो $$c_1, \ldots, c_n$$ अदिश होगा, और $$s_1, \ldots, s_n \in S$$ एक सदिश हैं जैसा की $$0 = c_1 s_1 + \cdots + c_n s_n$$है, तो अनिवार्य रूप से $$0 = c_1 f\left(s_1\right) + \cdots + c_n f\left(s_n\right).$$ यदि $$f : S \to Y$$ का रैखिक विस्तार मौजूद है तो रैखिक विस्तार $$F : \operatorname{span} S \to Y$$ अद्वितीय है और$$F\left(c_1 s_1 + \cdots c_n s_n\right) = c_1 f\left(s_1\right) + \cdots + c_n f\left(s_n\right)$$उपरोक्त सभी , $$n, c_1, \ldots, c_n,$$ तथा $$s_1, \ldots, s_n$$के लिए मान्य है। यदि $$S$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैतो किसी भी सदिश समष्टि में प्रत्येक फलन $$f : S \to Y$$ का एक (रैखिक) मानचित्र $$\;\operatorname{span} S \to Y$$ तक एक रैखिक विस्तार होता है (इसका विपरीत भी सच है)।

उदाहरण के लिए, यदि फलन $$X = \R^2$$ तथा $$Y = \R$$ है तो नियतन $$(1, 0) \to -1$$ तथा $$(0, 1) \to 2$$ को सदिशों $$S := \{(1,0), (0, 1)\}$$ के रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय से $$\operatorname{span}\{(1,0), (0, 1)\} = \R^2$$ पर एक रैखिक मानचित्र तक रैखिक रूप से विस्तारित किया जा सकता है। अद्वितीय रैखिक विस्तार $$F : \R^2 \to \R$$ वह मानचित्र है जो $$(x, y) = x (1, 0) + y (0, 1) \in \R^2$$ से$$F(x, y) = x (-1) + y (2) = - x + 2 y$$के प्रति प्रेषित करता है ।

वास्तविक या जटिल सदिश समष्टि $$X$$ के सदिश उप-समष्टि पर परिभाषित प्रत्येक(अदिश-मूल्यवान) रैखिक फलन $$f$$ का सभी $$X$$ के लिए एक रैखिक विस्तार है। वास्तव में, हैन-बनाच प्रभुत्व विस्तार प्रमेय यह भी प्रत्याभुति देता है कि जब इस रैखिक फलन $$f$$ पर कुछ दिए गए सामिमानक $$p : X \to \R$$ का प्रभुत्व होता है (अर्थात् $$|f(m)| \leq p(m)$$ ,$$f$$ के क्षेत्र में सभी $$m$$ के लिए मान्य है ) तो $$X$$ के लिए एक रैखिक विस्तार मौजूद होता है जो $$p$$ का प्रभुत्व भी होता है।

आव्युह
यदि $$V$$ तथा $$W$$ परिमित-आयामी सदिश समष्टियाँ हैं और प्रत्येक सदिश समष्टि के लिए एक आधार परिभाषित किया गया है, तो $$V$$ से $$W$$ तक के प्रत्येक रैखिक मानचित्र को एक आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है। यह उपयोगी है क्योंकि यह ठोस गणनाओं की अनुमति देता है। आव्युह रैखिक मानचित्रों के उदाहरण देते हैं, जैसे यदि $$A$$ एक वास्तविक $$m \times n$$ आव्युह है, तो $$f(\mathbf x) = A \mathbf x$$ एक रैखिक मानचित्र $$\R^n \to \R^m$$ का वर्णन करता है (यूक्लिडियन समष्टि देखें)।

माना $$\{ \mathbf {v}_1, \ldots, \mathbf {v}_n \}$$, $$V$$ का आधार है। तब प्रत्येक सदिश $$\mathbf {v} \in V$$ विशिष्ट रूप से क्षेत्र $$\R$$ में गुणांक $$c_1, \ldots , c_n$$ द्वारा निर्धारित किया जाता है,$$\mathbf{v} = c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf {v}_n.$$यदि $f: V \to W$ एक रैखिक मानचित्र है, तो$$f(\mathbf{v}) = f(c_1 \mathbf{v}_1 + \cdots + c_n \mathbf{v}_n) = c_1 f(\mathbf{v}_1) + \cdots + c_n f\left(\mathbf{v}_n\right),$$जिसका अर्थ है कि फलन f पूरी तरह सदिशों $$f(\mathbf {v}_1), \ldots , f(\mathbf {v}_n)$$ द्वारा निर्धारित होता है। अब मान लीजिए $$\{ \mathbf {w}_1, \ldots , \mathbf {w}_m \}$$ ,$$W$$ का आधार है। तब हम प्रत्येक सदिश $$f(\mathbf {v}_j)$$ को$$f\left(\mathbf{v}_j\right) = a_{1j} \mathbf{w}_1 + \cdots + a_{mj} \mathbf{w}_m$$के रूप में निरूपित कर सकते हैं।

इस प्रकार, फलन $$f$$ पूरी तरह से $$a_{ij}$$ के मानों से निर्धारित होता है। यदि हम इन मानों को $$m \times n$$ आव्यूह $$M$$ में रखते हैं, तो हम $$V$$ में किसी भी सदिश के लिए $$f$$ के सदिश निर्गम की गणना करने के लिए आसानी से इसका उपयोग कर सकते हैं। $$M$$ प्राप्त करने के लिए, $$M$$ का प्रत्येक स्तंभ $$j$$  एक सदिश

$$\begin{pmatrix} a_{1j} \\ \vdots \\ a_{mj} \end{pmatrix}$$है जो $$f(\mathbf {v}_j)$$ के अनुरूप है जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है। इसे और अधिक स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए, कुछ स्तंभ $$j$$ के लिए जो मानचित्रण $$f(\mathbf {v}_j)$$,

$$\mathbf{M} = \begin{pmatrix} \ \cdots & a_{1j} & \cdots\ \\ & \vdots &         \\ & a_{mj} & \end{pmatrix}$$ के अनुरूप है ,जहां $$M$$ ,$$f$$ का आव्युह है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक स्तंभ $$j = 1, \ldots, n$$ में संबंधित सदिश $$f(\mathbf {v}_j)$$ होता है जिसके निर्देशांक $$a_{1j}, \cdots, a_{mj}$$ स्तंभ $$j$$ के अवयव हैं। एक एकल रैखिक मानचित्र को कई आव्यूहों द्वारा दर्शाया जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि आव्यूह के अवयव, चुने गए मान के आधारों पर निर्भर करते हैं।

एक रैखिक परिवर्तन के आव्यूह को नेत्रहीन रूप से दर्शाया जा सकता है:


 * 1) $T$  के लिए आव्यूह $B$ : $A$  के सापेक्ष
 * 2) $T$  के लिए आव्यूह $B'$ : $A'$  के सापेक्ष
 * 3) $B'$  से $B$ : $P$  तक संक्रमण आव्यूह
 * 4) $B$  से $B'$ : $P^{-1}$ तक संक्रमण आव्यूह

ऐसा कि निचले बाएँ कोने से शुरू होकर $\left[\mathbf{v}\right]_{B'}$ और निचले दाएं कोने $\left[T\left(\mathbf{v}\right)\right]_{B'}$  की तलाश में, अर्थात् जो बायें-गुणा करेगा—वह, $A'\left[\mathbf{v}\right]_{B'} = \left[T\left(\mathbf{v}\right)\right]_{B'}$ है। समतुल्य विधि एक ही बिंदु से दक्षिणावर्त जाने वाली लंबी विधि होगी जैसे कि $\left[\mathbf{v}\right]_{B'}$ को $P^{-1}AP$  या $P^{-1}AP\left[\mathbf{v}\right]_{B'} = \left[T\left(\mathbf{v}\right)\right]_{B'}$  से -गुणा किया जाता है।

दो आयामों में उदाहरण
द्वि-आयामी समष्टि में R2 रैखिक मानचित्रों को 2 × 2 आव्यूहों (गणित) द्वारा वर्णित किया जाता है। ये कुछ उदाहरण हैं,


 * घूर्णन(गणित)
 * 90 डिग्री वामावर्त द्वारा, $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & -1\\ 1 & 0\end{pmatrix}$$
 * θ वामावर्त कोण से,$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} \cos\theta & -\sin\theta \\ \sin\theta & \cos\theta \end{pmatrix}$$
 * प्रतिबिंब(गणित)
 * एक्स अक्ष के माध्यम से,$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1\end{pmatrix}$$
 * वाई अक्ष के माध्यम से,$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix}-1 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}$$
 * मूल के साथ कोण θ बनाने वाली रेखा के माध्यम से, $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix}\cos2\theta & \sin2\theta \\ \sin2\theta & -\cos2\theta \end{pmatrix}$$ * सभी दिशाओं में 2 से मापने पर(ज्यामिति),$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0\\ 0 & 2\end{pmatrix} = 2\mathbf{I}$$
 * क्षैतिज कतरनी मानचित्रण,$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1 & m\\ 0 & 1\end{pmatrix}$$
 * संकुचन मानचित्रण,$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} k & 0\\ 0 & \frac{1}{k}\end{pmatrix}$$
 * वाई अक्ष पर प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित),$$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 0 & 1\end{pmatrix}.$$

रैखिक मानचित्रों का सदिश समष्टि
रेखीय नक्शों की संरचना रेखीय होती है, यदि $$f: V \to W$$ और $g: W \to Z$ रैखिक हैं, तो उनका  संयोजन  $g \circ f: V \to Z$  भी होगा। यह इस बात का अनुसरण करता है कि किसी दिए गए क्षेत्र K पर सभी सदिश समष्टि का वर्ग(सेट सिद्धांत), K-रैखिक मानचित्रों के रूप में एक साथ मिलकर एक श्रेणी (गणित) बनाता है।

एक रेखीय मानचित्र का व्युत्क्रम, जब परिभाषित किया जाता है, तो फिर से एक रेखीय मानचित्र होता है।

यदि $f_1: V \to W$ और $f_2: V \to W$  रैखिक हैं, तो उनका बिंदुवार योग $$f_1 + f_2$$ भी होगा, जिसे $$(f_1 + f_2)(\mathbf x) = f_1(\mathbf x) + f_2(\mathbf x)$$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

यदि $f: V \to W$ रैखिक है और $\alpha$  जमीनी क्षेत्र $K$  का एक अवयव है, तो $(\alpha f)(\mathbf x) = \alpha (f(\mathbf x))$  द्वारा परिभाषित  मानचित्र  $\alpha f$   भी रैखिक है।

इस प्रकार $V$ से $W$  तक रैखिक मानचित्रों का $\mathcal{L}(V, W)$  समुच्चय स्वयं $K$  पर एक सदिश समष्टि बनाता है, जिसे कभी-कभी $\operatorname{Hom}(V, W)$  के रूप में दर्शाया जाता है। इसके अलावा, इस स्थिति में $V = W$ , यह सदिश समष्टि, $ \operatorname{End}(V)$  को निरूपित करता है, तथा मानचित्र की रचना के तहत यह एक साहचर्य बीजगणित है, क्योंकि दो रेखीय मानचित्रों की रचना फिर से एक रेखीय मानचित्र होती है, और मानचित्रों की रचना हमेशा साहचर्य होती है। इस स्थिति पर नीचे और अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

फिर से परिमित-आयामी स्थिति को देखते हुए, यदि आधारों को चुना गया है, तो रैखिक मानचित्रों की संरचना आव्यूह गुणन से मेल खाती है,तथा रैखिक मानचित्रों का जोड़ आव्यूह जोड़ से मेल खाता है, और अदिशों के साथ रैखिक मानचित्रों का गुणन अदिशों के साथ आव्यूहों के गुणन के अनुरूप होता है।

अंतःरूपांतरण और स्वसमाकृतिकता
एक रैखिक परिवर्तन $f : V \to V$, $V$ का अंतःरूपांतरण है, इस तरह के सभी अंतःरूपांतरण  $\operatorname{End}(V)$  का समुच्चय योग, संरचना और अदिश गुणन के साथ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, क्षेत्र $K$  पर पहचान अवयव के साथ एक साहचर्य बीजगणित  बनाता है (और विशेष रूप से एक रिंग(बीजगणित))। इस बीजगणित का गुणात्मक तत्समक अवयव तत्समक मानचित्र $\operatorname{id}: V \to V$  है।

$V$ का अंतःरूपांतरण जो कि एक समरूपता भी है जिसे $V$  का स्वसमाकृतिकता भी कहा जाता है। दो स्वसमाकृतिकता की संरचना फिर से एक स्वसमाकृतिकता है, और $V$  के सभी स्वसमाकृतिकता का समुच्चय एक समूह (गणित) बनाता है, $V$  का स्वसमाकृतिकता समूह जिसे $\operatorname{Aut}(V)$  या $\operatorname{GL}(V)$  द्वारा दर्शाया जाता है। चूंकि स्वसमाकृतिकता ठीक उनमे अंतःरूपांतरण हैं, जिनमें रचना के तहत व्युत्क्रम होते हैं, जैसे $\operatorname{Aut}(V)$  रिंग $\operatorname{End}(V)$  में इकाइयों का समूह है।

यदि $V$ परिमित आयाम $n$  है, तो $ \operatorname{End}(V)$ , $K$  में प्रविष्टियों के साथ सभी $n \times n$  आव्यूहों के साहचर्य बीजगणित के लिए समरूप है। $V$  का स्वसमाकृतिकता समूह $K$  में प्रविष्टियों के साथ सभी $n \times n$  व्युतक्रमणीय आव्यूह के सामान्य रैखिक समूह $\operatorname{GL}(n, K)$  के लिए समरूपी है।

मध्यभाग, प्रतिबिम्ब और कोटि-शून्यता प्रमेय
यदि $f: V \to W$ रैखिक है, तो हम कर्नेल (रैखिक प्रचालक) और $f$  का प्रतिबिम्ब(गणित) या श्रेणी को इसके द्वारा परिभाषित करते हैं , $$\begin{align} \ker(f) &= \{\,\mathbf x \in V: f(\mathbf x) = \mathbf 0\,\} \\ \operatorname{im}(f) &= \{\,\mathbf w \in W: \mathbf w = f(\mathbf x), \mathbf x \in V\,\} \end{align}$$

$\ker(f)$, $V$ की एक रेखीय उपसमष्टि है तथा $\operatorname{im}(f)$ , $W$ की एक उपसमष्टि है। निम्नलिखित आयाम सूत्र को कोटि-शून्यता प्रमेय के रूप में जाना जाता है, $$\dim(\ker( f )) + \dim(\operatorname{im}( f )) = \dim( V ).$$ संख्या $\dim(\operatorname{im}(f))$ को $f$  की कोटि भी कहा जाता है और इसे $\operatorname{rank}(f)$, या कभी कभी, $\rho(f)$ ,के रूप में लिखा जाता है  संख्या $\dim(\ker(f))$  को $f$  की शून्यता कहा जाता है और इसे $\operatorname{null}(f)$  या $\nu(f)$  के रूप में लिखा जाता है।  यदि $V$  तथा $W$  परिमित-आयामी हैं, और आधार के रूप में चुने गए हैं और $f$  आव्यूह $A$  द्वारा दर्शाया गया है, तब $f$  की कोटि और शून्यता क्रमशः आव्यूह $A$  की कोटि और शून्यता के बराबर होती है।

कोकरनेल
एक रेखीय परिवर्तन का एक सूक्ष्मतर अपरिवर्तनीय $f: V \to W$ कोकरनेल है, जिसे इस रूप में परिभाषित किया गया है$$\operatorname{coker}(f) := W/f(V) = W/\operatorname{im}(f).$$यह कर्नेल के लिए दोहरी धारणा है, जैसे कर्नेल प्रक्षेत्र का एक उप-समष्टि है, और सह-कर्नेल लक्ष्य का एक भागफल समष्टि (रैखिक बीजगणित) है। औपचारिक रूप से, किसी का सटीक क्रम इस तरह होता है$$0 \to \ker(f) \to V \to W \to \operatorname{coker}(f) \to 0.$$इनकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है, तथा हल करने के लिए एक रैखिक समीकरण f('v') = 'w' दिया गया है,
 * कर्नेल सजातीय समीकरण f('v') = 0 के समाधान का समष्टि है, और यदि यह खाली नहीं है, तो इसका आयाम समाधान के समष्टि में स्वातन्त्र्य कोटि की संख्या है,
 * सह-कर्नेल विकट का समष्टि है, जिसे समाधान संतुष्ट करना चाहिए, और इसका आयाम स्वतंत्र बाधाओं की अधिकतम संख्या होता है।

सह-कर्नेल का आयाम और प्रतिबिम्ब का आयाम(कोटि) लक्ष्य समष्टि के आयाम तक जुड़ते हैं। परिमित आयामों के लिए, इसका अर्थ है कि भागफल समष्टि W/f(V) का आयाम लक्षित समष्टि का आयाम न्यूनतम प्रतिबिम्ब का आयाम है।

एक साधारण उदाहरण के रूप में, f(x, y) =(0, y) द्वारा दिए गए मानचित्र f: 'R'2 →R2, पर विचार करें। f(x, y) =(0, y) द्वारा दिया गया है। फिर एक समीकरण f(x, y) =(a, b) के समाधान के लिए, हमारे पास a = 0 (एक अवरोध) होना चाहिए, और उस स्थिति में समाधान समष्टि(x, b) या समकक्ष रूप से कहा गया है,( 0, बी) +(एक्स, 0) (स्वातन्त्र्य कोटि)। कर्नेल को उपसमष्टि (x, 0)  0 द्वारा वहन किया जाता है। इसके प्रतिबिम्ब में पहले अवयव 0 के साथ सभी अनुक्रम होते हैं, और इस प्रकार इसके कोकर्नेल में पहले समान अवयव वाले अनुक्रमों के वर्ग होते हैं। इस प्रकार, जबकि इसके कर्नेल का आयाम 0 है (यह केवल शून्य अनुक्रम को शून्य अनुक्रम में प्रतिचित्र करता है), इसके सह-कर्नेल का आयाम है ,

1. चूंकि प्रक्षेत्र और लक्ष्य समष्टि समान हैं, कोटि और कर्नेल का आयाम कोटि और सह-कर्नेल के आयाम के समान योग तक जोड़ते हैं ($\aleph_0 + 0 = \aleph_0 + 1$ ), लेकिन अनंत-आयामी स्थिति में यह अनुमान नहीं लगाया जा सकता है कि अंतःरूपांतरण के कर्नेल और सह-कर्नेल का एक ही आयाम(0 ≠ 1) है। मानचित्र h के लिए R∞ → R∞ , $\left\{a_n\right\} \mapsto \left\{c_n\right\}$  तथा cn = an + 1  1 के साथ विपरीत स्थिति प्राप्त होती है। इसका प्रतिबिम्ब संपूर्ण लक्ष्य समष्टि है, और इसलिए इसके सह-कर्नेल का आयाम 0 है, लेकिन चूंकि यह सभी अनुक्रमों को प्रतिचित्र करता है जिसमें केवल पहला अवयव गैर-शून्य से शून्य अनुक्रम तक होता है, तथा इसके कर्नेल का आयाम 1 होता है।

सूचकांक
परिमित-आयामी कर्नेल और सह-कर्नेल वाले एक रैखिक प्रचालक के लिए, सूचकांक को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:$$\operatorname{ind}(f) := \dim(\ker(f)) - \dim(\operatorname{coker}(f)),$$अर्थात् स्वातन्त्र्य कोटि ऋण बाधाओं की संख्या।

परिमित-आयामी सदिश समष्टि के बीच परिवर्तन के लिए, यह कोटि-शून्यता द्वारा dim(V) − dim(W) का अंतर है। यह इस बात का संकेत देता है कि किसी के पास कितने समाधान या कितने व्यवरोध हैं, यदि एक बड़े समष्टि से एक छोटे समष्टि पर मानचित्रण किया जाता है, तो हो सकता है, मानचित्र पर, इस प्रकार व्यवरोधो के बिना भी स्वातन्त्र्य कोटि होगी। इसके विपरीत, यदि छोटे समष्टि से बड़े समष्टि पर मानचित्रण किया जाता है, तो हो सकता है, मानचित्र पर, इस प्रकार स्वातन्त्र्य कोटि के बिना भी व्यवरोध होंगे।

एक प्रचालक का सूचकांक ठीक 2-सम्मिश्र अवधि 0 → V → W → 0 की यूलर विशेषता है। प्रचालक सिद्धांत में, फ्रेडहोम प्रचालको का सूचकांक अध्ययन का एक उद्देश्य है, जिसका प्रमुख परिणाम अतियाह-सिंगर सूचकांक प्रमेय है।

रैखिक परिवर्तनों का बीजगणितीय वर्गीकरण
रेखीय मानचित्रों का कोई वर्गीकरण संपूर्ण नहीं हो सकता। निम्नलिखित अधूरी सूची कुछ महत्वपूर्ण वर्गीकरणों की गणना करती है जिन्हें सदिश समष्टि पर किसी अतिरिक्त संरचना की आवश्यकता नहीं होती है।

मान लीजिए कि $V$ तथा $W$ एक क्षेत्र $V$ पर सदिश को निरूपित करते हैं और $T: V → W$ को एक रैखिक मानचित्र बनाते हैं।

एकैक समाकारिता
$W$ को अंतःक्षेपी या एकैक समाकारिता कहा जाता है यदि निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से कोई भी सत्य है,
 * 1) $λ$ समुच्चय (गणित) के मानचित्र के रूप में एकैकी अंतःक्षेपी है।
 * 2) $A$ मोनिक एकरूपता या वाम-रद्द करने योग्य है, जिसका अर्थ है, किसी भी सदिश समष्टि $B$ और रैखिक मानचित्रों की किसी भी जोड़ी के लिए $ker T = {0_{V}} |undefined$ तथा $dim(ker T) = 0$, समीकरण $R: U → V$ का तात्पर्य $S: U → V$ से है।
 * 3) $X$ बाएं-उलटा है, जिसका कहना है कि एक रैखिक मानचित्र $TR = TS$ मौजूद है जैसे कि $R = S$, $X$ पर तत्समक मानचित्र है।
 * 1) $Y$ मोनिक एकरूपता या वाम-रद्द करने योग्य है, जिसका अर्थ है, किसी भी सदिश समष्टि $A$ और रैखिक मानचित्रों की किसी भी जोड़ी के लिए $S: W → V$ तथा $ST$, समीकरण $coker T = {0_{W}} |undefined$ का तात्पर्य $R: W → U$ से है।
 * 2) $X$ बाएं-उलटा है, जिसका कहना है कि एक रैखिक मानचित्र $S: W → U$ मौजूद है जैसे कि $RT = ST$, $Y$ पर तत्समक मानचित्र है।

अभिरूपी
$c$ को विशेषण या अभिरूपी कहा जाता है यदि निम्न समकक्ष स्थितियों में से कोई भी सत्य है
 * 1) $A$ समुच्चयों के मानचित्र के रूप में आच्छादित है।
 * 2) $X$ एपिक अभिरूपी या सही-रद्द करने योग्य है, जो कहता है किसी भी सदिश समष्टि $I$ और रैखिक मानचित्रों की किसी भी जोड़ी के लिए $R = S$ तथा $S: W → V$, समीकरण $TS$ का तात्पर्य $T: V → V$ से है।
 * 3) $I$ सही-उलटा है, जिसका कहना है कि एक रैखिक मानचित्र $T^{n}$ मौजूद है जैसे कि कि $T^{2}$, $m$ पर तत्समक मानचित्र है।
 * 1) $n$ सही-उलटा है, जिसका कहना है कि एक रैखिक मानचित्र $T = kI$ मौजूद है जैसे कि कि $sin(nx)/n$, $F$ पर तत्समक मानचित्र है।

समरूपता
$X$ को एक तुल्याकारिता कहा जाता है यदि यह बाएँ और दाएँ-उलटने योग्य दोनों है। यह $Y$ के एकैकी और आच्छादित(समुच्चयो का एक आक्षेप) या $m$ के एपिक और मोनिक दोनों होने के बराबर है, और इसलिए एक द्विरूपता है।

यदि $cos(nx)$ एक अंतःरूपांतरण है, तो,
 * यदि, किसी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए, $m$ ,᙭᙭᙭᙭᙭ का $n$-वाँ का पुनरावृत्त समान रूप से शून्य है, तो $A$ को शून्य-शक्तिशाली कहा जाता है।
 * यदि ,᙭᙭᙭᙭᙭ = $V$ तो $W$ को उदासीन कहा जाता है।
 * यदि ᙭᙭᙭᙭᙭, जहां पर $F$ कुछ अदिश है, तो $T$ को प्रवर्धन रूपांतरण या अदिश गुणन मानचित्र कहा जाता है, अदिश आव्यूह देखें।

आधार परिवर्तन
एक रैखिक मानचित्र दिया गया है जो एक अंतःरूपांतरण है जिसका आव्यूह A है, समष्टि के आधार B में यह सदिश निर्देशांक [u] को [v] = A[u] के रूप में बदलता है। चूंकि सदिश B के व्युत्क्रम के साथ बदलते हैं (सदिश प्रतिपरिवर्ती होते हैं) ,इसका व्युत्क्रम रूपांतरण [v] = B[v'] होता है।

इसे पहली अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना होता है,$$B\left[v'\right] = AB\left[u'\right]$$इसलिये$$\left[v'\right] = B^{-1}AB\left[u'\right] = A'\left[u'\right].$$इसलिए, नए आधार में आव्यूह A' = B−1AB है, जो दिए गए आधार का आव्यूह B है।

इसलिए, रेखीय मानचित्रों को 1-सह- 1-कॉन्ट्रा-सहप्रसरण पिण्ड, या प्रकार(1, 1) प्रदिश कहा जाता है।

निरंतरता
सांस्थितिक सदिश समष्टि के बीच एक रैखिक परिवर्तन, उदाहरण के लिए आदर्श समष्टि, सतत हो सकता है। यदि इसका प्रक्षेत्र और कोप्रक्षेत्र समान हैं, तो यह एक सतत रैखिक संकारक होगा। एक मानक रेखीय समष्टि पर एक रेखीय संकारक सतत होता है यदि केवल यह घिरा हुआ है, उदाहरण के लिए, जब प्रक्षेत्र परिमित-आयामी है। एक अनंत-आयामी प्रक्षेत्र में असंतत रैखिक प्रचालक हो सकते हैं।

एक असीमित, और असंतुलित, रैखिक परिवर्तन का एक उदाहरण सर्वोच्च मानदंड से सुसज्जित सहज फलन के समष्टि पर भिन्नता है (छोटे मानों वाले फलन में बड़े मान वाले अवकलज हो सकते हैं, जबकि 0 का अवकलज 0 है)। एक विशिष्ट उदाहरण के लिए, ᙭᙭᙭᙭᙭ 0 में अभिसरण करता है, लेकिन इसका अवकलज ᙭᙭᙭᙭᙭ नहीं होता है, इसलिए अवकलन 0 पर सतत नहीं है (और इस तर्क की भिन्नता से, यह कहीं भी सतत नहीं है)।

अनुप्रयोग
रेखीय मानचित्रों का एक विशिष्ट अनुप्रयोग ज्यामितीय परिवर्तनों के लिए है, जैसे कि इसका उपयोग कंप्यूटर ग्राफिक्स में किया जाता है, जहाँ 2डी या 3डी वस्तुओं का अनुवाद, परिक्रमण और प्रवर्धन रूपांतरण आव्यूह के उपयोग द्वारा किया जाता है। रेखीय मानचित्रण का उपयोग परिवर्तन का वर्णन करने के लिए एक तंत्र के रूप में भी किया जाता है, उदाहरण के लिए कलन में अवकलज (शब्द) के अनुरूप, या सापेक्षता में, निर्देश तंत्र के समष्टिीय परिवर्तनों का तरीका रखने के लिए एक उपकरण के रूप में उपयोग किया जाता है।

इन परिवर्तनों का एक अन्य अनुप्रयोग स्थिर-परिपथ नियमावली के संकलक अनुकूलन में है, और संकलक तकनीकों को समानांतर करने में है।