लैंक्ज़ोस रीसैंपलिंग

लैंक्ज़ोस फ़िल्टरिंग और लैंक्ज़ोस रीसैंपलिंग एक गणितीय सूत्र के दो अनुप्रयोग हैं। इसका उपयोग लो पास फिल्टर के रूप में किया जा सकता है या इसके नमूने (सिग्नल) के बीच डिजिटल सिग्नल (सिग्नल प्रोसेसिंग) के मूल्य को सुचारू रूप से प्रक्षेपित करने के लिए उपयोग किया जाता है। बाद की स्थिति में दिए गए सिग्नल के प्रत्येक नमूने को लैंक्ज़ोस कर्नेल की एक अनुवादित और स्केल की गई प्रतिलिपि में चिन्हित करता है जो एक दूसरे लंबे सिंक फ़ंक्शन के केंद्रीय लोब द्वारा सिंक फ़ंक्शन विंडो फ़ंक्शन है। इन अनुवादित और स्केल किए गए कर्नेल का योग वांछित बिंदुओं पर मूल्यांकन किया जाता है।

लैंक्ज़ोस रीसैंपलिंग सामान्य रूप से डिजिटल सिग्नल की प्रतिचयन दर को बढ़ाने के लिए या नमूना अंतराल के अंश द्वारा इसे स्थानांतरित करने के लिए उपयोग किया जाता है। यह अधिकतर बहुचर प्रक्षेप के लिए भी प्रयोग किया जाता है उदाहरण के लिए छवि स्केलिंग या रोटेशन (ज्यामिति) एक डिजिटल चित्रण। इस उद्देश्य के लिए कई सरल फ़िल्टरों में इसे सबसे अच्छा समझौता माना गया है।

फ़िल्टर का नाम इसके आविष्कारक कॉर्नेलियस लैंक्ज़ोस के नाम पर रखा गया है।).

लैंक्ज़ोस कर्नेल


प्रक्षेपित मूल्यों पर प्रत्येक इनपुट नमूने का प्रभाव फ़िल्टर के सिग्नल पुनर्निर्माण द्वारा परिभाषित किया गया है लैंक्ज़ोस कर्नेल $L(x)$ कहा जाता है। यह सामान्यीकृत सिंक कार्य है $सिंक(एक्स)$ लैंक्ज़ोस विंडो द्वारा विंडो फ़ंक्शन (गुणा) या सिंक विंडो जो क्षैतिज रूप से फैला सिंक फ़ंक्शन का केंद्रीय पालि है, $सिंक(एक्स/ए)$ $−a ≤ x ≤ a$ के लिए:


 * $$ L(x) = \begin{cases}

\operatorname{sinc}(\pi x) \operatorname{sinc}(\pi x/a) & \text{if}\ -a < x < a, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} $$ समान रूप से,


 * $$L(x) = \begin{cases}

1 & \text{if}\ x = 0, \\ \dfrac{a \sin(\pi x) \sin(\pi x / a)}{\pi^2 x^2} & \text{if}\ -a \leq x < a \ \text{and}\ x \neq 0, \\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases}$$ पैरामीटर $a$ एक सकारात्मक पूर्णांक है एवं सामान्य रूप से 2 या 3 जो कर्नेल के आकार को निर्धारित करता है। लैंक्ज़ोस कर्नेल $2a − 1$ पालियाँ में है: केंद्र में $a − 1$ सकारात्मक और प्रत्येक तरफ ऋणात्मक और धनात्मक पालियों को बारी-बारी से।

प्रक्षेप सूत्र
नमूने के साथ आयामी संकेत $s_{i}$ दिया, $i$ के पूर्णांक मानों के लिए मूल्य $S(x)$ एक मनमाना वास्तविक तर्क पर प्रक्षेपित $x$ लैंक्ज़ोस कर्नेल के साथ उन नमूनों के असतत कनवल्शन द्वारा प्राप्त किया जाता है:
 * $$S(x) = \sum_{i=\lfloor x \rfloor - a + 1}^{\lfloor x \rfloor + a} s_{i} L(x - i),$$

जहाँ फ़िल्टर $a$ आकार पैरामीटर है और $$\lfloor x \rfloor $$ फ्लोर फंक्शन है। इस राशि की सीमाएँ ऐसी हैं कि इनके बाहर कर्नेल शून्य होता है।

गुण
जब तक पैरामीटर $a$ एक सकारात्मक पूर्णांक है लैंक्ज़ोस कर्नेल हर जगह निरंतर कार्य करता है और इसका व्युत्पन्न हर जगह परिभाषित और निरंतर होता है (यहां तक ​​​​कि $x = ±a$, जहां दोनों सिंक फलन शून्य हो जाते हैं)। इसलिए पुनर्निर्मित संकेत $S(x)$ निरंतर व्युत्पन्न के साथ भी निरंतर होगा।

लैंक्ज़ोस कर्नेल $x$, $x = 0$ को छोड़कर प्रत्येक पूर्णांक तर्क पर शून्य होता है जहां इसका मान 1 है। इसलिए पुनर्निर्मित संकेत दिए गए नमूनों को सटीक रूप से प्रक्षेपित करता है: हमारे पास प्रत्येक पूर्णांक तर्क के लिए $S(x) = s_{i}$, $x = i$ होगा।

लैंक्ज़ोस रीसैंपलिंग लैंक्ज़ोस द्वारा विकसित सामान्य विधि का एक रूप है जो गिब्स घटना का प्रतिकार करने के लिए काटे गए फूरियर श्रृंखला के गुणांक को गुणा करके करता है। $$\mathrm{sinc}(\pi k / m)$$, जहाँ $$k$$ गुणांक सूचकांक है और $$m$$ हम कितने गुणांक रख रहे हैं। यदि हम उनके स्पेक्ट्रम में गिब्स दोलनों को हटाना चाहते हैं तो यही तर्क छोटे कार्यों की स्थिति में लागू होता है।

बहुआयामी प्रक्षेप
लैंक्ज़ोस फ़िल्टर का कर्नेल दो आयामों में है
 * $$L(x, y) = L(x)L(y)$$

लाभ
बैंडलिमिटिंग के लिए सैद्धांतिक रूप से इष्टतम पुनर्निर्माण फ़िल्टर सिंक फ़िल्टर है जिसमें अनंत समर्थन (गणित) है। लैंकजोस फ़िल्टर सिंक फ़िल्टर के कई व्यावहारिक (अंतिम रूप से समर्थित) सन्निकटनों में से एक है। प्रत्येक प्रक्षेपित मान $2a$  लगातार इनपुट नमूनों का भारित योग है। इस प्रकार $2a$ मापदंडों को अलग करके उन्नत आवृत्ति प्रतिक्रिया के लिए संगणना गति का व्यापार किया जा सकता है। पैरामीटर भी सरलतम प्रक्षेप या डेटा में तेज संक्रमण के संरक्षण के बीच चयन करने की अनुमति देता है। छवि प्रसंस्करण के लिए कलाकृतियों और तीक्ष्ण किनारों का संरक्षण अलियासिंग की कमी के मध्य समझौता है। साथ ही ऐसी किसी भी प्रक्रिया के साथ छवि की सीमाओं के लिए कोई परिणाम नहीं होता है। कर्नेल की लंबाई बढ़ाने से चित्र के किनारों की काट-छाँट बढ़ जाती है।

लैंक्ज़ोस फ़िल्टर की तुलना असतत संकेतों के लिए अन्य प्रक्षेप विधियों से की गई है, विशेष रूप से सिंक फ़िल्टर के अन्य विंडो वाले संस्करण हेतु। केनेथ तुर्कोवस्की और स्टीवन गेब्रियल ने दावा किया कि लैंक्ज़ोस फ़िल्टर (के साथ $a = 2$) अलियासिंग, तीक्ष्णता और न्यूनतम रिंगिंग की कमी की स्थिति में सबसे अच्छा समझौता है जिसकी तुलना ट्रंकेटेड सिंक और बार्टलेट विंडो, कोसाइन विंडो, कोसाइन-, और हान विंडो के साथ की गई है। हन-विंडो सिंक के साथ तुलना में 2-आयामी के विनाश और प्रक्षेप के लिए छवि डेटा। जिम ब्लिन के अनुसार लैंक्ज़ोस कर्नेल (के साथ $a = 3$) अब तक देखे गए किसी भी (प्राप्त करने योग्य) फिल्टर की तुलना में कम आवृत्तियों को रखता है और उच्च आवृत्तियों को उन्नत प्रकार से अस्वीकार करता है।

लैंक्ज़ोस प्रक्षेप विभिन्न मीडिया उपयोगिताओं जैसे एवीसिंथ और एफएफएमपीईजी में वीडियो को बढ़ाने के लिए लोकप्रिय फ़िल्टर है।

सीमाएं
चूँकि कर्नेल के लिए ऋणात्मक मान $a > 1$ ग्रहण करता है एवं सभी नमूने धनात्मक होने पर भी प्रक्षेपित संकेत ऋणात्मक हो सकता है। सामान्य रूप से प्रक्षेपित सिग्नल के मूल्यों की सीमा असतत नमूना मूल्यों द्वारा फैली सीमा से अधिक व्यापक हो सकती है। विशेष रूप से नमूना मूल्यों में अचानक परिवर्तन से ठीक पहले और बाद में रिंगिंग शिल्पकृति हो सकते हैं जिससे क्लिपिंग (सिग्नल प्रोसेसिंग) हो सकती है। जबकि इन प्रभावों को (नॉन-विंडो) सिंक फ़िल्टर की तुलना में कम किया जाता है। a = 2 (तीन पालियों वाला कर्नेल) के लिए रिंगिंग <1% है।

यह विधि मुफ्त सॉफ्टवेयर जीआईएमपी, जीएनयू इमेज मैनीपुलेशन प्रोग्राम (जीआईएमपी) में उपलब्ध प्रक्षेपित विकल्पों में से एक है। रिंगिंग प्रभाव की कल्पना करने का एक तरीका काले और सफेद ब्लॉक ग्राफ़िक को पुनर्विक्रय करना और लैंक्ज़ोस प्रक्षेप का चयन करना है।

इमेज रीसैंपलिंग के लिए लैंक्ज़ोस फ़िल्टर का उपयोग करते समय रिंगिंग प्रभाव किसी भी सशक्त किनारों के साथ हल्का और गहरा प्रभामंडल बनाएगा। जबकि ये बैंड दृष्टिगत रूप से कष्टप्रद हो सकते हैं तथा वे कथित तीक्ष्णता को बढ़ाने में सहायता करते हैं और इसलिए बढ़त वृद्धि का एक रूप प्रदान करते हैं। दृष्टि में बढ़त की तीक्ष्णता की विशेष भूमिका को देखते हुए यह छवि की व्यक्तिपरक गुणवत्ता में सुधार कर सकता है।

कुछ अनुप्रयोगों में फ़िल्टरिंग से पहले डेटा को लॉगरिदमिक डोमेन में बदलकर निम्न-अंत क्लिपिंग कलाकृतियों को सुधारा जा सकता है। इस स्थिति में प्रक्षेपित मान इनपुट नमूनों के अंकगणितीय माध्य के स्थान पर एक भारित ज्यामितीय माध्य होगा।

लैंक्ज़ोस कर्नेल में एकता गुण का विभाजन नहीं है। अर्थात् $U(x) = \sum_{i\in \Z} L(x-i)$  कर्नेल योग की सभी पूर्णांक-अनुवादित प्रतियों की संख्या हमेशा 1 नहीं होती है। इसलिए निरंतर नमूनों के साथ असतत सिग्नल का लैंक्ज़ोस प्रक्षेप एक स्थिर फ़ंक्शन नहीं देता है। यह दोष सबसे अधिक स्पष्ट तब होता है जब $a = 1$ के लिए भी $a = 1$ इंटरपोलेटेड सिग्नल में प्रत्येक पूर्णांक तर्क पर शून्य व्युत्पन्न होता है। यह बल्कि अकादमिक है क्योंकि एकल-पाली कर्नेल (a = 1) का उपयोग करने से लैंक्ज़ोस दृष्टिकोण के सभी लाभ लुप्त हो जाते हैं और एक खराब फ़िल्टर प्रदान करता है। कई उन्नत सिंगल-लोब, बेल-आकारित विंडोइंग फंक्शन हैं।

यह भी देखें

 * बाइबिक प्रक्षेप
 * बिलिनियर प्रक्षेप
 * स्प्लाइन प्रक्षेप
 * निकटतम-पड़ोसी प्रक्षेप
 * सिंक फिल्टर

बाहरी संबंध

 * Anti-Grain Geometry examples:  shows comparisons of repeatedly resampling an image with various kernels.
 * imageresampler: A public domain image resampling class in C++ with support for several windowed Lanczos filter kernels.