गेज फिक्सिंग

गेज सिद्धांत भौतिकी में, गेज फिक्सिंग क्षेत्र चर में स्वतंत्रता की अनावश्यक डिग्री से तुलना करने के लिए गणितीय प्रक्रिया को दर्शाता है। परिभाषा के अनुसार,गेज सिद्धांत प्रणाली के प्रत्येक भौतिक रूप से विशिष्ट संरूपण को विस्तृत स्थानीय क्षेत्र संरूपण के समतुल्य वर्ग के रूप में दर्शाता है। एक ही तुल्यता वर्ग में कोई भी दो विस्तृत विन्यास गेज परिवर्तन से संबंधित हैं और विन्यास स्थान में अभौतिक अक्षांसो के साथ समरूपता परिवर्तन के बराबर है। गेज सिद्धांत की अधिकांश मात्रात्मक भौतिक अनुमानों को केवल स्वतंत्रता की इन अभौतिक श्रेणी को दबाने या अनदेखा करने के लिए एक सुसंगत उपाय के अंतर्गत प्राप्त किया जा सकता है।

यद्यपि विस्तृत विन्यास के स्थान में अभौतिक अक्षांश भौतिक प्रारूप की मौलिक संपत्ति हैं, इनके लिए लंबवत दिशाओं का कोई विशेष समुच्चय नहीं है। इसलिए एक विशेष विस्तृत विन्यास द्वारा प्रत्येक भौतिक विन्यास का प्रतिनिधित्व करने वाले अनुप्रस्थ काट के भारी मात्रा में स्वतंत्रता सम्मिलित है। विवेकपूर्ण गेज फिक्सिंग, गणनाओं को अत्यधिक सरल बना सकती है, लेकिन उत्तरोत्तर कठिन हो जाती है क्योंकि भौतिक प्रारूप अधिक यथार्थवादी हो जाता है; क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के लिए इसका अनुप्रयोग पुनर्सामान्यीकरण से संबंधित जटिलताओं से भरा होता है, विशेषतः जब गणना उच्च क्रम में जारी रहती है। ऐतिहासिक रूप से, तार्किक सुसंगत और अभिकलनीयतः ट्रैक्टेबल गेज फिक्सिंग प्रक्रियाओं की खोज, और विभिन्न प्रकार की तकनीकी कठिनाइयों के सामने उनकी समानता प्रदर्शित करने का प्रयास, उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से लेकर धारा तक गणितीय भौतिकी का एक प्रमुख चालक रहा है।

गेज स्वतंत्रता
पुरातन गेज सिद्धांत विद्युत चुम्बकीय चर-क्षमता के संदर्भ में हेविसाइड-गिब्स की निरंतर विद्युत् गतिविज्ञान का सूत्रीकरण है, जिसे यहां अंतरिक्ष और समय के असममित हीविसाइड संख्या में प्रस्तुत किया गया है; अंतरिक्ष मैक्सवेल के समीकरणों के विद्युतीय क्षेत्र ई और चुंबकीय क्षेत्र बी में स्वतंत्रता की केवल भौतिक डिग्री होती है, इस अर्थ में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र विन्यास में स्वतंत्रता की प्रत्येक 'गणितीय' डिग्री के आसपास के क्षेत्र में परीक्षण आवेशों की गति पर अलग से मापने योग्य प्रभाव होता है। इन क्षेत्र शक्ति चर विद्युत क्षमता p और चुंबकीय सदिश क्षमता A के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। $${\mathbf E} = -\nabla\varphi - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t}\,, \quad {\mathbf B} = \nabla\times{\mathbf A}.$$ यदि परिवर्तन

बना दिया जाता है, तब B अपरिवर्तित रहता है, क्योंकि पहचान के साथ $$\nabla \times \nabla \psi = 0$$ $${\mathbf B} = \nabla\times ({\mathbf A}+ \nabla \psi) = \nabla\times{\mathbf A}.$$ यद्यपि, यह परिवर्तन E के अनुसार बदलता है $$\mathbf E = -\nabla\varphi - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t} - \nabla \frac{\partial{\psi}}{\partial t} = -\nabla \left( \varphi + \frac{\partial{\psi}}{\partial t}\right) - \frac{\partial{\mathbf A}}{\partial t}. $$ यदि कोई अन्य परिवर्तन

बना दिया जाता है तो E भी वही रहता है। इसलिए, यदि कोई कार्य होता है तो E और B क्षेत्र अपरिवर्तित रहते हैं $ψ(r, t)$ और साथ ही रूपांतरणों के माध्यम से A और φ को रूपांतरित करता है।

स्केलर और वेक्टर क्षमता का विशेष विकल्प, गेज क्षमता है और इसे परिवर्तित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अदिश फलन ψ को गेज फलन कहा जाता है। गेज कार्यों की मनमानी संख्या का अस्तित्व $ψ(r, t)$ सिद्धांत यू 1 गेज स्वतंत्रता से मेल खाती है। गेज फिक्सिंग कई तरीकों से की जा सकती है, जिनमें से कुछ को हम नीचे प्रदर्शित कर रहे हैं।

यद्यपि पारम्परिक विद्युत चुंबकत्व को अब प्रायः गेज सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया जाता है, यह मूल रूप से इन शर्तों में नहीं माना गया था। पारम्परिक बिंदु आवेश की गति केवल उस बिंदु पर विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र की शक्ति से प्रभावित होती है, और संभावितों को कुछ प्रमाणों और गणनाओं को सरल बनाने के लिए केवल गणितीय उपकरण के रूप में माना जा सकता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के आगमन तक यह नहीं कहा जा सकता था कि क्षमताएं स्वयं प्रणाली के भौतिक विन्यास का हिस्सा हैं। सटीक रूप से अनुमानित और प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित होने वाला सबसे पहला परिणाम अहरोनोव-बोहम प्रभाव था, जिसका कोई पारम्परिक समकक्ष नहीं है। फिर भी, इन सिद्धांतों में गेज स्वतंत्रता अभी भी सत्य है। उदाहरण के लिए, अहरोनोव-बोहम प्रभाव एक बंद कुंडली के चारों ओर A के रेखा पूर्णांक पर निर्भर करता है, और यह पूर्णांक इसके द्वारा नहीं बदला जाता है $$\mathbf{A} \rightarrow \mathbf{A} + \nabla \psi\,.$$ गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत, जैसे यांग-मिल्स सिद्धांत और सामान्य सापेक्षता, अधिक जटिल विषय है; विवरण के लिए ग्रिबोव अस्पष्टता फैडडीव-पोपोव छाया और फ्रेम बंडल देखें।

एक उदाहरण
गेज फिक्सिंग के उदाहरण के रूप में, बेलनाकार छड़ को देख सकते हैं और यह बताने का प्रयास कर सकते हैं कि यह मुड़ा हुआ है या नहीं। यदि छड़ पूरी तरह से बेलनाकार है, तो अनुप्रस्थ काट की गोलाकार समरूपता यह बताना असंभव बना देती है कि यह मुड़ी हुई है या नहीं। यद्यपि, यदि छड़ की लंबाई के साथ एक सीधी रेखा खींची जाती, तो रेखा की स्थिति को देखकर यह आसानी से कहा जा सकता था कि कोई मोड़ है या नहीं। रेखा खींचना गेज फिक्सिंग है। रेखा खींचना गेज समरूपता को बिगाड़ता है, अर्थात छड़ के प्रत्येक बिंदु पर अनुप्रस्थ काट की वृत्ताकार समरूपता रेखा गेज फलन के समतुल्य है; यह सीधा नहीं होना चाहिए। लगभग कोई भी लाइन वैध गेज फिक्सिंग है, संक्षेप में, गेज ज्ञात होना चाहिए यह बताने के लिए कि क्या छड़ मुड़ी हुई है, भौतिक मात्राएँ, जैसे कि अपरूपण ऊर्जा, गेज पर निर्भर नहीं करती हैं, अर्थात वे अचर गेज हैं।



कूलम्ब गेज
कूलम्ब गेज जिसे अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ क्षेत्र के रूप में भी जाना जाता है, इसका उपयोग क्वांटम रसायन विज्ञान और संघनित पदार्थ भौतिकी में किया जाता है और इसे गेज स्थिति द्वारा परिभाषित किया जाता है। $$\nabla\cdot{\mathbf A}(\mathbf{r},t)=0\,.$$ यह क्वांटम यांत्रिकी में अर्ध-शास्त्रीय गणनाओं के लिए विशेष रूप से उपयोगी है, जिसमें सदिश क्षमता परिमाणीकरण है, लेकिन कूलम्ब सहभागिता नहीं है।

कूलम्ब गेज में कई गुण हैं:

लॉरेंज गेज
एसआई इकाइयों में लॉरेंज गेज की स्थिति दी गई है: $$\nabla\cdot{\mathbf A} + \frac{1}{c^2}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0$$ और गॉसियन इकाइयों में: $$\nabla\cdot{\mathbf A} + \frac{1}{c}\frac{\partial\varphi}{\partial t}=0.$$ इसे पुनः लिखा जा सकता है: $$\partial_{\mu} A^{\mu} = 0.$$ जहाँ $$A^\mu = \left[\,\tfrac{1}{c}\varphi,\,\mathbf{A}\,\right]$$ विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता है, ∂μ 4-ढाल मीट्रिक हस्ताक्षर (+, −, −, −)] का उपयोग करके

लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस को बनाए रखने में बाधा गेज के बीच अद्वितीय है। यद्यपि इस गेज का नाम मूल रूप से डेनिश भौतिक विज्ञानी लुडविग लॉरेंज के नाम पर रखा गया था न कि हेंड्रिक लोरेंत्ज़ के नाम पर; प्रायः इसे लोरेंत्ज़ गेज की गलत वर्तनी दी जाती है। गणना में इसका उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे; इसे 1888 में जॉर्ज फ्रांसिस फिट्जगेराल्ड  द्वारा पेश किया गया था।

लॉरेंज गेज संभावितो के लिए निम्नलिखित तरंग असमांगी समीकरणों की ओर ले जाता है। $$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\varphi}{\partial t^2} - \nabla^2{\varphi} = \frac{\rho}{\varepsilon_0}$$ $$\frac{1}{c^2}\frac{\partial^2\mathbf A}{\partial t^2} - \nabla^2{\mathbf A} = \mu_0 \mathbf{J}$$ यह इन समीकरणों से देखा जा सकता है कि, धारा और आवेश की अनुपस्थिति में, समाधान वे क्षमताएँ हैं जो प्रकाश की गति से फैलती हैं।

लॉरेंज गेज कुछ अर्थों में अधूरा है। गेज परिवर्तनों का एक उप-स्थान बना रहता है जो बाधा को भी संरक्षित कर सकता है। स्वतंत्रता की ये शेष डिग्री गेज कार्यों से मेल खाती हैं जो तरंग समीकरण को संतुष्ट करती हैं $$\frac{ \partial^2 \psi }{ \partial t^2 } = c^2 \nabla^2\psi $$ स्वतंत्रता की ये शेष गेज डिग्री प्रकाश की गति से फैलती हैं। और पूरी तरह से निश्चित गेज प्राप्त करने के लिए, प्रयोगात्मक क्षेत्र के प्रकाश शंकु के साथ सीमा शर्तों को जोड़ती है इसीलिए लॉरेंज गेज में मैक्सवेल के समीकरण सरल होते हैं$$\partial_\mu \partial^\mu A^\nu = \mu_0 j^\nu$$ जहाँ $$j^\nu = \left[\,c\,\rho,\,\mathbf{j}\,\right]$$ चार धारा है।

एक ही धारा संरूपण के लिए इन समीकरणों के दो समाधान निर्वात तरंग समीकरण के समाधान से भिन्न होते हैं।

$$\partial_\mu \partial^\mu A^\nu = 0.$$

अतः यह स्पष्ट है कि क्षमता के घटक अलग-अलग क्लेन-गॉर्डन समीकरण को पालन करते हैं, और इसलिए लॉरेंज गेज की स्थिति चार-संभावित में अनुप्रस्थ,अनुदैर्ध्य और समय-समान ध्रुवीकरण तरंगों की अनुमति देती है। अनुप्रस्थ ध्रुवीकरण पारम्परिक विकिरण के अनुरूप हैं, अर्थात, क्षेत्र की उर्जा में अनुप्रस्थ ध्रुवीकृत तरंगें अभौतिक अनुदैर्ध्य और समय की तरह ध्रुवी स्थिति को दबाने के लिए, पारम्परिक दूरी के पैमाने के प्रयोगों में नहीं देखा जाता है, प्रतिपाल्य पहचान के रूप में ज्ञात सहायक बाधाओं को भी नियोजित करना चाहिए। पारम्परिक रूप से, ये सर्वसमिकाएँ निरंतरता समीकरण के समतुल्य  पारम्परिक और क्वांटम वैद्युतगतिकी के बीच अंतरों को उस भूमिका के लिए दोषी ठहराया जा सकता है जो अनुदैर्ध्य और समय-जैसे ध्रुवीकरण सूक्ष्म दूरी पर आवेशित कणों के बीच परस्पर क्रिया करते हैं।

आरξगेज
आरξ गेज लॉरेंज गेज का सामान्यीकरण है जो लैग्रैंगियन घनत्व के साथ एक क्रिया सिद्धांत के संदर्भ में व्यक्त सिद्धांतों पर लागू होता है। 𝐿. एक सहायक समीकरण के माध्यम से गेज क्षेत्र को प्राथमिकता से बाधित करके गेज को ठीक करने के अतिरिक्त, "भौतिक" लैग्रैंगियन में गेज ब्रेकिंग शब्द जोड़ा जाता है $$\delta \mathcal{L} = -\frac{\left(\partial_{\mu} A^{\mu}\right)^2}{2 \xi}$$ पैरामीटर ξ का चुनाव गेज की पसंद को निर्धारित करता है। 'लैंडौ गेज' लोरेन्ज गेज के पारम्परिक रूप से समतुल्य है यह सीमा ξ→ 0 में प्राप्त किया जाता है, लेकिन उस सीमा को तब तक के लिए स्थगित कर दिया जाता है जब तक कि सिद्धांत को परिमाणित नहीं किया जाता है। यह कुछ अस्तित्व और तुल्यता प्रमाणों की कठोरता में सुधार करता है। अधिकांश क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत संगणनाएँ 'फेनमैन-टी हूफ्ट गेज' में सबसे सरल हैं, जिसमें $ρ(r, t)$; कुछ अन्य आर में अधिक ट्रैक्टेबल हैंξ गेज, जैसे कि डोनाल्ड आर. येनी गेज $J(r, t)$.

आर का एक समकक्ष सूत्रीकरणξ गेज सहायक क्षेत्र का उपयोग करता है,अतः अदिश क्षेत्र B जिसमें कोई स्वतंत्र गतिकी नहीं है। $$\delta \mathcal{L} = B\,\partial_{\mu} A^{\mu} + \frac{\xi}{2} B^2$$ सहायक क्षेत्र के पिछले रूप को प्राप्त करने के लिए वर्ग को पूरा करके समाप्त किया जा सकता है। गणितीय दृष्टिकोण से सहायक क्षेत्र गोल्डस्टोन बोसोन का प्रकार है,और इसके उपयोग के कई लाभ है जब सिद्धांत के स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं की पहचान की जाती है,और विशेष रूप से जब सामान्यीकरण किया जाता है। तो ऐतिहासिक रूप से, आर का उपयोग क्वांटम वैद्युतगतिकी संगणनाओं को विस्तारित करने में एक महत्वपूर्ण तकनीकी प्रगति थी। मैनिफ़ेस्ट लोरेंत्ज़ इनवेरिएंस को बनाए रखने के अतिरिक्त,आरξनुस्खा किसी भी दो भौतिक रूप से अलग गेज संरूपण  के कार्यात्मक उपायों  के अनुपात को संरक्षित करते हुए स्थानीय गेज परिवर्तनों के अंतर्गत समरूपता को तोड़ता है। यह अचरो के परिवर्तन की अनुमति देता है जिसमें विन्यास स्थान में भौतिक दिशाओं के साथ त्रुटिया पूरी तरह से अभौतिक दिशाओं के साथ अयुग्मित होती है, जिससे उत्तरार्द्ध को कार्यात्मक अभिन्न के शारीरिक रूप से अर्थहीन सामान्यीकृत स्थिरांक में अवशोषित किया जा सकता है। जब गेज परिमित होता है, तो प्रत्येक भौतिक विन्यास गेज परिवर्तनों के समूह की कक्षा को बाधा समीकरण के समाधान द्वारा नहीं बल्कि गेज ब्रेकिंग टर्म के चरम पर केंद्रित गॉसियन वितरण द्वारा दर्शाया जाता है। गेज-फिक्स्ड सिद्दांत के फेनमैन नियमो के संदर्भ में, यह अभौतिक ध्रुवीकरण तरंगों के आभासी फोटॉनो से आंतरिक लाइनों के लिए फोटॉन प्रचारक के योगदान के रूप में प्रकट होता है।

फोटॉन प्रवर्धक जो एक क्यूईडी गणना के फेनमैन आरेख विस्तार में एक आंतरिक फोटॉन के अनुरूप गुणक कारक है, मिन्कोव्स्की मीट्रिक के अनुरूप फोटॉन ध्रुवीकरणों के योग के रूप में इस कारक के विस्तार में सभी चार संभावित ध्रुवीकरण वाले शब्द सम्मिलित हैं।आंशिक रूप से ध्रुवीकृत विकिरण को गणितीय रूप से एक रैखिक ध्रुवीकरण या गोलाकार ध्रुवीकृत आधार पर योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसी तरह, आगे और पीछे ध्रुवीकरण प्राप्त करने के लिए अनुदैर्ध्य और समय की तरह गेज ध्रुवीकरणों को जोड़ सकते हैं; ये प्रकाश-शंकु निर्देशांक का एक रूप हैं जिसमें मीट्रिक विकर्ण होता है। gμν का विस्तार चक्रीय रूप से ध्रुवीकृतघूर्णन ±1 और प्रकाश-शंकु निर्देशांक के संदर्भ में कारक कोघूर्णन  योग कहा जाता है। प्रचक्रण योग व्यंजकों को सरल बनाने और सैद्धांतिक परिकलन में विभिन्न शब्दों से जुड़े प्रयोगात्मक प्रभावों की भौतिक समझ प्राप्त करने में बहुत सहायक हो सकता है।

रिचर्ड फेनमैन ने सामान्यतः गणना प्रक्रियाओं को सही ठहराने के लिए लगभग इन पंक्तियों के साथ तर्कों का इस्तेमाल किया, जो महत्वपूर्ण अवलोकन योग्य मापदंडों जैसे कि इलेक्ट्रॉन के विषम चुंबकीय क्षण के लिए सुसंगत, परिमित, उच्च परिशुद्धता परिणाम उत्पन्न करते हैं। यद्यपि उनके तर्कों में कभी-कभी भौतिकविदों के मानकों से भी गणितीय कठोरता का अभाव था और वार्ड-ताकाहाशी पहचान की व्युत्पत्ति जैसे विवरणों पर प्रकाश डाला गया था। जूलियन श्विंगर और हार्ट-इचिरो टोमोनागा के साथ फेनमैन ने भौतिकी में 1965 ईo का नोबेल पुरस्कार प्राप्त किया।

आगे और पीछे के ध्रुवीकृत किरण को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं में छोड़ा जा सकता है। इस कारण सेघूर्णन राशियों में उनकी उपस्थिति को QED में एक मात्र गणितीय उपकरण के रूप में देखा जा सकता है, उन्हें प्रायः अभौतिक कहा जाता है। लेकिन उपरोक्त बाधा-आधारित गेज फिक्सिंग प्रक्रियाओं के विपरीत, Rξगेज| गैर-अबेलियन गेज समूहों  के लिए अच्छी तरह से सामान्यीकृत करता है। भौतिक और अभौतिक विकृतिया ध्रुवो के बीच युग्मन चर के संगत परिवर्तन के अंतर्गत पूरी तरह से विलुप्त नहीं होते हैं; सही परिणाम प्राप्त करने के लिए, विस्तृत संरूपण  के स्थान के अंदर  गैर-तुच्छ जैकोबियन मैट्रिक्स और गेज स्वतंत्रता अक्षों के एम्बेडिंग के निर्धारक के लिए खुला होना चाहिए। इससे फदीदेव-पोपोव छायाों के साथ-साथ फेनमैन आरेखों में आगे और पीछे के ध्रुवीकृत गेज बोसोन की स्पष्ट उपस्थिति होती है, जो कि और भी अभौतिक हैं क्योंकि वे घूर्णन -सांख्यिकी प्रमेय का उल्लंघन करते हैं। इन संस्थाओं के बीच संबंध, और वे क्वांटम यांत्रिक अर्थों में कणों के रूप में प्रकट नहीं होने के कारण, परिमाणीकरण के बीआरएसटी औपचारिकता में अधिक स्पष्ट हो जाते हैं।

मैक्सिमल एबेलियन गेज
किसी भी गैर-गेज सिद्धांत में, अधिकतम एबेलियन गेज एक अपूर्ण गेज है जो अधिकतम एबेलियन उपसमूह के बाहर गेज की स्वतंत्रता को ठीक करता है। उदाहरण हैं यह उच्च बीजगणित में नियमित रूप से लागू होता है, उदाहरण के लिए क्लिफोर्ड बीजगणित।
 * डी आयामों में एसयू 2 गेज सिद्धांत के लिए, अधिकतम एबेलियन उपसमूह एक यू 1 उपसमूह है। यदि इसे पाउली मैट्रिक्स σ3 द्वारा उत्पन्न किया जाता है तो अधिकतम एबेलियन गेज वह है जो फलन को अधिकतम करता है $$\int d^Dx \left[\left(A_\mu^1\right)^2+\left(A_\mu^2\right)^2\right]\,,$$ जहाँ $${\mathbf A}_\mu = A_\mu^a \sigma_a\,.$$
 * D आयामों में SU(3) गेज सिद्धांत के लिए, अधिकतम एबेलियन उपसमूह एक U(1)×U(1) उपसमूह है। यदि इसे गेल-मैन मैट्रिसेस λ3 और λ8 द्वारा उत्पन्न होने के लिए चुना जाता है तो अधिकतम एबेलियन गेज वह है जो फलन को अधिकतम करता है $$\int d^Dx \left[\left(A_\mu^1\right)^2 + \left(A_\mu^2\right)^2 + \left(A_\mu^4\right)^2 + \left(A_\mu^5\right)^2 + \left(A_\mu^6\right)^2 + \left(A_\mu^7\right)^2\right]\,,$$ जहाँ $${\mathbf A}_\mu = A_\mu^a \lambda_a$$

सामान्यतः कम प्रयोग किए जाने वाले गेज
साहित्य में विभिन्न गेज, जो विशिष्ट परिस्थितियों में लाभप्रद हो सकते हैं, प्रकट हुए हैं।

वेइल गेज
वेइल गेज जिसे हैमिल्टनियन या टेम्पोरल गेज के रूप में भी जाना जाता है एक अपूर्ण गेज है $$\varphi=0$$ इसका नाम हरमन वेइल के नाम पर रखा गया है। यह नकारात्मक-मानक छाया को समाप्त करता है और लोरेन्ट्ज़ इनवेरिएंस को प्रकट नहीं करता हैबी तथा अनुदैर्ध्य फोटोन और राज्यों पर एक बाधा की आवश्यकता होती है।

बहुध्रुवीय गेज
बहुध्रुवीय गेज की गेज स्थिति जिसे लाइन गेज, पॉइंट गेज या पॉइनकेयर गेज के रूप में भी जाना जाता है: $$\mathbf{r}\cdot\mathbf{A} = 0.$$ यह एक और गेज है जिसमें तात्क्षणिक क्षेत्रों के संदर्भ में क्षमता को सरल तरीके से व्यक्त किया जा सकता है $$ \mathbf{A}(\mathbf{r},t) = -\mathbf{r} \times\int_0^1 \mathbf{B}(u \mathbf{r},t) u \, du$$ $$ \varphi(\mathbf{r},t) = -\mathbf{r} \cdot \int_0^1 \mathbf{E}(u \mathbf{r},t) du.$$

फॉक-श्विंगर गेज
फॉक-श्विंगर गेज की गेज स्थिति व्लादिमीर फॉक और जूलियन श्विंगर के नाम पर, जिसे कभी-कभी सापेक्षतावादी पोंकारे गेज भी कहा जाता है, रखा गया है : $$x^{\mu}A_{\mu}=0$$ जहां Xμ स्थिति चार-वेक्टर है।

डायराक गेज
नॉनलाइनियर डायराक गेज स्थिति पॉल डिराक के नाम पर है: $$A_{\mu} A^{\mu} = k^2$$

अग्रिम पठन


Cechowanie (fizyka)