अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत

एक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत (सीएफटी) एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत है जो अनुरूप मानचित्र के तहत अपरिवर्तनीय (भौतिकी) है। द्वि-आयामी ज्यामिति आयामों में, स्थानीय अनुरूप परिवर्तनों का एक अनंत-आयामी बीजगणित होता है, और अनुरूप क्षेत्र सिद्धांतों को कभी-कभी ठीक से हल या वर्गीकृत किया जा सकता है।

अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं संघनित पदार्थ भौतिकी, सांख्यिकीय यांत्रिकी, क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी और स्ट्रिंग सिद्धांत। सांख्यिकीय और संघनित पदार्थ प्रणालियां वास्तव में प्रायः अपने महत्वपूर्ण बिंदु (ऊष्मप्रवैगिकी) या क्वांटम महत्वपूर्ण बिंदुओं पर अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय होती हैं।

स्केल अपरिवर्तनीयता बनाम अनुरूप अपरिवर्तनीयता
क्वांटम फील्ड सिद्धांत में, स्केल अपरिवर्तनीयता एक सामान्य और प्राकृतिक समरूपता है, क्योंकि पुनर्सामान्यीकरण समूह का कोई भी निश्चित बिंदु परिभाषा स्केल अचर द्वारा होता है। अनुरूप समरूपता स्केल अपरिवर्तनीयता से अधिक मजबूत है, और किसी को अतिरिक्त मान्यताओं की आवश्यकता है यह तर्क देने के लिए कि यह प्रकृति में प्रकट होना चाहिए। इसकी संभाव्यता के पीछे मूल विचार यह है कि स्थानीय पैमाने के अपरिवर्तनीय सिद्धांतों की धाराएँ इसके द्वारा दी गई हैं $$T_{\mu \nu} \xi^\nu$$ कहाँ $$\xi^\nu$$ एक  हत्या वेक्टर  है और $$T_{\mu \nu}$$ आयाम का एक संरक्षित संचालक (तनाव-टेंसर) है $$d$$. संबंधित समरूपता के लिए पैमाने सम्मिलित करने के लिए लेकिन अनुरूप परिवर्तन नहीं, ट्रेस $$T_\mu^\mu$$ एक गैर-शून्य कुल व्युत्पन्न होना चाहिए जिसका अर्थ है कि वास्तव में आयाम का एक गैर-संरक्षित संचालिका है $$d - 1$$.

कुछ धारणाओं के तहत इस प्रकार के गैर-पुनः सामान्यीकरण को पूरी तरह से बाहर करना संभव है और इसलिए यह साबित होता है कि स्केल अपरिवर्तनीयता का अर्थ क्वांटम फील्ड सिद्धांत में अनुरूप अपरिवर्तनीयता  है, उदाहरण के लिए एकात्मकता (भौतिकी) में दो आयामों में कॉम्पैक्ट अनुरूप फील्ड सिद्धांत ।

हालांकि क्वांटम फील्ड सिद्धांत के लिए स्केल अपरिवर्तनीयता होना संभव है, लेकिन कंफर्मली अचर नहीं, उदाहरण दुर्लभ हैं। इस कारण से, शब्दों को प्रायः क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किया जाता है।

दो आयाम बनाम उच्च आयाम
स्वतंत्र अनुरूप रूपांतरणों की संख्या दो आयामों में अनंत है, और उच्च आयामों में परिमित है। यह अनुरूप समरूपता को दो आयामों में और अधिक विवश करता है। सभी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत अनुरूप बूटस्ट्रैप के विचारों और तकनीकों को साझा करते हैं। लेकिन परिणामी समीकरण दो आयामों में अधिक शक्तिशाली होते हैं, जहां वे कभी-कभी बिल्कुल हल करने योग्य होते हैं (उदाहरण के लिए न्यूनतम मॉडल (भौतिकी)भौतिकी) के मामले में), उच्च आयामों के विपरीत, जहां संख्यात्मक दृष्टिकोण हावी होते हैं।

अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत का विकास दो आयामी मामले में पहले और गहरा रहा है, विशेष रूप से बेलाविन, पोलाकोव और ज़मोलोडचिकोव द्वारा 1983 के लेख के बाद। अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत शब्द का प्रयोग कभी-कभी द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के अर्थ के साथ किया जाता है, जैसा कि 1997 की पाठ्यपुस्तक के शीर्षक में है। यह अनुरूप समरूपता को दो आयामों में और अधिक विवश करता है। 1990 के दशक के उत्तरार्ध में AdS/CFT पत्राचार और 2000 के दशक में संख्यात्मक अनुरूप बूटस्ट्रैप तकनीकों के विकास के साथ उच्च-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत अधिक लोकप्रिय हो गए हैं।

दो आयामों में वैश्विक बनाम स्थानीय अनुरूप समरूपता
रीमैन क्षेत्र का वैश्विक अनुरूप समूह मोबियस परिवर्तनों का समूह है $$ PSL_2(\mathbb{C}) $$, जो परिमित-आयामी है।

दूसरी ओर, इनफिनिटिमल अनुरूप ट्रांसफॉर्मेशन इनफिनिट-डायमेंशनल विट बीजगणित बनाते हैं: अनुरूप हत्या समीकरण इन टू डाइमेंशन्स, $$\partial_\mu \xi_\nu + \partial_\nu \xi_\mu = \partial \cdot\xi \eta_{\mu \nu},~$$ केवल कौशी-रीमैन समीकरणों तक कम करें, $$\partial_{\bar{z}} \xi(z) = 0 = \partial_z \xi (\bar{z}) $$मनमानी विश्लेषणात्मक समन्वय परिवर्तनों के तरीकों की अनंतता $$\xi(z)$$ हत्या वेक्टर क्षेत्र की अनंतता प्राप्त करें $$z^n\partial_z$$.

सख्ती से बोलते हुए, द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत स्थानीय होना संभव है (तनाव-टेन्सर रखने के अर्थ में) जबकि अभी भी वैश्विक के तहत केवल अपरिवर्तनीयता प्रदर्शित करता है $$ PSL_2(\mathbb{C}) $$. यह गैर-एकात्मक सिद्धांतों के लिए अद्वितीय निकला; एक उदाहरण बिहारमोनिक स्केलर है। इस संपत्ति को बिना किसी अनुरूप आक्रमण के पैमाने से भी अधिक विशेष के रूप में देखा जाना चाहिए जैसा कि इसकी आवश्यकता है $$T_\mu^\mu$$ कुल दूसरा व्युत्पन्न होना।

दो आयामों में वैश्विक अनुरूप समरूपता उच्च आयामों में अनुरूप समरूपता का एक विशेष मामला है, और उसी तकनीकों के साथ अध्ययन किया जाता है। यह अनुरूप समरूपता को दो आयामों में और अधिक विवश करता है। यह न केवल उन सिद्धांतों में किया जाता है जिनके पास वैश्विक है, लेकिन स्थानीय अनुरूप समरूपता नहीं है, बल्कि उन सिद्धांतों में भी है जिनमें उच्च-आयामी सीएफटी से तकनीकों या विचारों के परीक्षण के उद्देश्य से स्थानीय अनुरूप समरूपता है। विशेष रूप से, संख्यात्मक बूटस्ट्रैप तकनीकों को न्यूनतम मॉडल (भौतिकी) पर लागू करके और स्थानीय अनुरूप समरूपता से अनुसरण करने वाले ज्ञात विश्लेषणात्मक परिणामों के साथ परिणामों की तुलना करके परीक्षण किया जा सकता है।

विरासोरो समरूपता बीजगणित के साथ अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत

अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय द्वि-आयामी क्वांटम सिद्धांत में, इनफिनिटिमल अनुरूप रूपांतरणों के विट बीजगणित को लाई बीजगणित विस्तार विरासोरो बीजगणित होना चाहिए। क्वांटम समरूपता बीजगणित इसलिए विरासोरो बीजगणित है, जो केंद्रीय आवेश नामक संख्या पर निर्भर करता है। इस केंद्रीय विस्तार को एक अनुरूप विसंगति के रूप में भी समझा जा सकता है।

यह अलेक्जेंडर ज़मोलोडचिकोव द्वारा दिखाया गया था कि एक ऐसा कार्य उपस्थित है जो द्वि-आयामी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पुनर्संरचनात्मक समूह प्रवाह के तहत मोनोटोनिक रूप से घटता है, और दो-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के लिए केंद्रीय प्रभार के बराबर है। यह अनुरूप समरूपता को दो आयामों में और अधिक विवश करता है। इसे ज़मोलोडचिकोव सी-प्रमेय के रूप में जाना जाता है, और हमें बताता है कि दो आयामों में पुनर्सामान्यीकरण समूह प्रवाह अपरिवर्तनीय है।

केंद्रीय रूप से विस्तारित होने के अलावा, अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय क्वांटम सिद्धांत के समरूपता बीजगणित को जटिल बनाना पड़ता है, जिसके परिणामस्वरूप वीरासोरो बीजगणित की दो प्रतियां होती हैं।

यूक्लिडियन सीएफटी में, इन प्रतियों को होलोमोर्फिक और एंटीहोलोमोर्फिक कहा जाता है। लोरेंत्ज़ियन सीएफटी में, उन्हें लेफ्ट-मूविंग और राइट मूविंग कहा जाता है। यह अनुरूप समरूपता को दो आयामों में और अधिक विवश करता है। दोनों प्रतियों का केंद्रीय प्रभार समान है।

एक सिद्धांत का राज्य स्थान (भौतिकी) दो वीरासोरो बीजगणित के उत्पाद का झूठा बीजगणित प्रतिनिधित्व है। यदि सिद्धांत एकात्मक है तो यह स्थान हिल्बर्ट अंतरिक्ष है।

इस स्थान में एक निर्वात अवस्था या सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक तापीय अवस्था हो सकती है। यह अनुरूप समरूपता को दो आयामों में और अधिक विवश करता है। जब तक केंद्रीय आवेश गायब नहीं हो जाता, तब तक ऐसी स्थिति उपस्थित नहीं हो सकती है जो संपूर्ण अनंत आयामी अनुरूप समरूपता को अखंडित छोड़ दे। हमारे पास जो सबसे अच्छा हो सकता है वह एक ऐसी अवस्था है जो जनरेटर के तहत अपरिवर्तनीय है $$L_{n\geq -1}$$ वीरासोरो बीजगणित का है, जिसका आधार है $$(L_n)_{n\in\mathbb{Z}}$$. इसमें जनरेटर सम्मिलित हैं $$L_{-1},L_0,L_1$$ वैश्विक अनुरूप परिवर्तनों की। शेष अनुरूप समूह अनायास टूट जाता है।

परिभाषा और याकूब
किसी दिए गए स्पेसटाइम और मीट्रिक के लिए, एक अनुरूप परिवर्तन एक परिवर्तन है जो कोणों को संरक्षित करता है। हम फ्लैट के अनुरूप ट्रांसफॉर्मेशन पर फोकस करेंगे $$d$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $$\mathbb{R}^d$$ या Minkowski अंतरिक्ष की $$\mathbb{R}^{1,d-1}$$.

अगर $$x\to f(x)$$ एक अनुरूप परिवर्तन है, जैकोबियन $$J^\mu_\nu(x) = \frac{\partial f^\mu(x)}{\partial x^\nu} $$ स्वरूप का है

J^\mu_\nu(x) = \Omega(x) R^\mu_\nu(x), $$ कहाँ $$\Omega(x)$$ पैमाना कारक है, और $$R^\mu_\nu(x)$$ एक रोटेशन (यानी एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स) या लोरेंत्ज़ परिवर्तन है।

अनुरूप समूह
अनुरूप समूह स्थानीय रूप से आइसोमोर्फिक है $$SO(1, d + 1)$$ (यूक्लिडियन) या $$SO(2,d)$$ (मिन्कोव्स्की)। इसमें अनुवाद, घुमाव (यूक्लिडियन) या लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन (मिन्कोव्स्की), और फैलाव यानी स्केल ट्रांसफ़ॉर्मेशन सम्मिलित हैं

x^\mu \to \lambda x^\mu. $$ इसमें विशेष अनुरूप परिवर्तन भी सम्मिलित हैं। किसी भी अनुवाद के लिए $$T_a(x) = x + a$$, एक विशेष अनुरूप परिवर्तन है

S_a = I \circ T_a \circ I, $$ कहाँ $$ I $$ उलटा ऐसा है

I\left(x^\mu\right) = \frac{x^\mu}{x^2}. $$ गोले में $$S^d = \mathbb{R}^d \cup \{\infty\}$$, उलटा आदान-प्रदान $$0$$ साथ $$\infty$$. अनुवाद छोड़ दें $$\infty$$ निश्चित, जबकि विशेष अनुरूप परिवर्तन निकलते हैं $$0$$ हल किया गया।

अनुरूप बीजगणित
इसी झूठ बीजगणित के रूपान्तरण संबंध हैं


 * $$\begin{align}[]

[P_\mu, P_\nu] &= 0, \\[] [D, K_\mu] &= -K_\mu, \\[] [D, P_\mu] &= P_\mu, \\[] [K_\mu, K_\nu] &= 0, \\[] [K_\mu, P_\nu] &= \eta_{\mu\nu}D - iM_{\mu\nu}, \end{align}$$ कहाँ $$P$$ अनुवाद (भौतिकी) उत्पन्न करें, $$D$$ फैलाव उत्पन्न करता है, $$K_\mu$$ विशेष अनुरूप रूपांतरण उत्पन्न करें, और $$M_{\mu\nu}$$ घूर्णन या लोरेंत्ज़ परिवर्तन उत्पन्न करें। टेंसर $$\eta_{\mu\nu}$$ समतल मीट्रिक है।

मिंकोस्की अंतरिक्ष में वैश्विक मुद्दे
मिन्कोव्स्की स्थान में, अनुरूप समूह कार्य-कारण (भौतिकी) को संरक्षित नहीं करता है। वेधशाला जैसे कि सहसंबंध कार्य अनुरूप बीजगणित के तहत अपरिवर्तनीय हैं, लेकिन अनुरूप समूह के तहत नहीं। जैसा कि लूशर और मैक द्वारा दिखाया गया है, फ्लैट मिन्कोव्स्की स्पेस को लोरेंत्ज़ियन सिलेंडर में विस्तारित करके अनुरूप समूह के तहत अपरिवर्तनीयता को पुनर्स्थापित करना संभव है। मूल मिन्कोव्स्की स्पेस सिलेंडर के एक क्षेत्र के अनुरूप है जिसे पॉइनकेयर पैच कहा जाता है। यह अनुरूप समरूपता को दो आयामों में और अधिक विवश करता है। सिलेंडर में, वैश्विक अनुरूप परिवर्तन कार्य-कारण का उल्लंघन नहीं करते हैं: इसके बजाय, वे पॉइंकेयर पैच के बाहर बिंदुओं को स्थानांतरित कर सकते हैं।

सहसंबंध कार्य और अनुरूप बूटस्ट्रैप
अनुरूप बूटस्ट्रैप दृष्टिकोण में, एक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत सहसंबंध कार्यों का एक सेट है जो कई सिद्धांतों का पालन करता है। $$n$$वें>-बिंदु सहसंबंध समारोह $$\left\langle O_1(x_1)\cdots O_n(x_n)\right\rangle $$ पदों का कार्य है $$x_i$$ और खेतों के अन्य पैरामीटर $$O_1,\dots ,O_n$$. बूटस्ट्रैप दृष्टिकोण में, फ़ील्ड स्वयं केवल सहसंबंध कार्यों के संदर्भ में समझ में आता है, और सहसंबंध कार्यों के लिए अभिगृहीत लिखने के लिए कुशल अंकन के रूप में देखा जा सकता है। सहसंबंध कार्य विशेष रूप से क्षेत्रों पर रैखिक रूप से निर्भर करते हैं $$ \partial_{x_1} \left\langle O_1(x_1)\cdots \right\rangle = \left\langle \partial_{x_1}O_1(x_1)\cdots \right\rangle $$.

हम यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर सीएफटी पर ध्यान केंद्रित करते हैं $$\mathbb{R}^d$$. इस मामले में, सहसंबंध कार्य श्विंगर कार्य हैं। के लिए परिभाषित हैं $$x_i\neq x_j$$, और खेतों के क्रम पर निर्भर नहीं हैं। मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में, सहसंबंध कार्य वेटमैन अभिगृहीत हैं। वे खेतों के क्रम पर निर्भर हो सकते हैं, क्योंकि क्षेत्र केवल तभी यात्रा करते हैं जब वे अलग-अलग अलग हो जाते हैं। यह अनुरूप समरूपता को दो आयामों में और अधिक विवश करता है। एक यूक्लिडियन सीएफटी को  बाती का घूमना द्वारा मिंकोव्स्कीन सीएफटी से संबंधित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए ओस्टरवाल्डर-श्राडर प्रमेय के लिए धन्यवाद। ऐसे मामलों में, यूक्लिडियन सहसंबंध कार्यों से मिंकोव्स्की सहसंबंध कार्यों को एक विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा प्राप्त किया जाता है जो क्षेत्रों के क्रम पर निर्भर करता है।

अनुरूप परिवर्तन के तहत व्यवहार
कोई अनुरूप परिवर्तन $$x\to f(x)$$ खेतों पर रैखिक रूप से कार्य करता है $$O(x) \to \pi_f(O)(x)$$, ऐसा है कि $$f\to \pi_f$$ अनुरूप समूह का प्रतिनिधित्व है, और सहसंबंध कार्य अपरिवर्तनीय हैं:

\left\langle\pi_f(O_1)(x_1)\cdots \pi_f(O_n)(x_n) \right\rangle = \left\langle O_1(x_1)\cdots O_n(x_n)\right\rangle. $$ प्राथमिक क्षेत्र ऐसे क्षेत्र हैं जो स्वयं के माध्यम से रूपांतरित होते हैं $$\pi_f$$. प्राथमिक क्षेत्र का व्यवहार एक संख्या द्वारा विशेषता है $$\Delta$$ इसके अनुरूप आयाम, और एक प्रतिनिधित्व कहा जाता है $$\rho$$ रोटेशन या लोरेंत्ज़ समूह का। एक प्राथमिक क्षेत्र के लिए, हमारे पास है

\pi_f(O)(x) = \Omega(x')^{-\Delta} \rho(R(x')) O(x'), \quad \text{where}\ x'=f^{-1}(x). $$ यहाँ $$\Omega(x)$$ और $$R(x)$$ स्केल फैक्टर और रोटेशन हैं जो अनुरूप परिवर्तन से जुड़े हैं $$f$$. प्रतिनिधित्व $$\rho$$ अदिश क्षेत्रों के मामले में तुच्छ है, जो रूपांतर करता है $$ \pi_f(O)(x) = \Omega(x')^{-\Delta} O(x') $$ . वेक्टर क्षेत्रों के लिए, प्रतिनिधित्व $$\rho$$ मौलिक प्रतिनिधित्व है, और हमारे पास होगा $$ \pi_f(O_\mu)(x) = \Omega(x')^{-\Delta} R_\mu^\nu(x') O_\nu(x') $$.

एक प्राथमिक क्षेत्र जो अनुरूप आयाम की विशेषता है $$\Delta$$ और प्रतिनिधित्व $$\rho$$ फैलाव और घुमावों द्वारा उत्पन्न उपसमूह से अनुरूप समूह के एक प्रेरित प्रतिनिधित्व में उच्चतम-वजन वाले वेक्टर के रूप में व्यवहार करता है। विशेष रूप से, अनुरूप आयाम $$ \Delta$$ फैलाव के उपसमूह का प्रतिनिधित्व करता है। दो आयामों में, तथ्य यह है कि यह प्रेरित प्रतिनिधित्व एक वर्मा मॉड्यूल है जो पूरे साहित्य में प्रकट होता है। उच्च-आयामी सीएफटी के लिए (जिसमें अधिकतम कॉम्पैक्ट सबलजेब्रा यह सबलजेब्रा परीक्षण से बड़ा है), यह हाल ही में सराहना की गई है कि यह प्रतिनिधित्व एक परवलयिक या सामान्यीकृत वर्मा मॉड्यूल है।

प्राथमिक क्षेत्रों के डेरिवेटिव (किसी भी क्रम के) को वंशज क्षेत्र कहा जाता है। अनुरूप परिवर्तन के तहत उनका व्यवहार अधिक जटिल होता है। उदाहरण के लिए, यदि $$O$$ एक प्राथमिक क्षेत्र है, तो $$\pi_f(\partial_\mu O)(x) = \partial_\mu\left(\pi_f(O)(x)\right)$$ का एक रैखिक संयोजन है $$ \partial_\mu O$$ और $$O$$. प्राथमिक क्षेत्रों के सहसंबंध कार्यों से वंशज क्षेत्रों के सहसंबंध कार्यों का अनुमान लगाया जा सकता है। हालांकि, सामान्य मामले में भी जहां सभी क्षेत्र या तो प्राथमिक या उसके वंशज हैं, वंशज क्षेत्र एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, क्योंकि अनुरूप ब्लॉक और संचालक उत्पाद विस्तार में सभी वंशज क्षेत्रों में रकम सम्मिलित होती है।

सभी प्राथमिक क्षेत्रों का संग्रह $$O_p$$, उनके स्केलिंग आयामों की विशेषता है $$\Delta_p$$ और अभ्यावेदन $$\rho_p$$, सिद्धांत का स्पेक्ट्रम कहा जाता है।

क्षेत्र की स्थिति पर निर्भरता
अनुरूप परिवर्तनों के तहत सहसंबंध कार्यों का निश्चरता क्षेत्र की स्थिति पर उनकी निर्भरता को गंभीर रूप से बाधित करता है। दो- और तीन-बिंदु कार्यों के मामले में, यह निर्भरता निश्चित रूप से कई स्थिर गुणांकों तक निर्धारित की जाती है। यह अनुरूप समरूपता को दो आयामों में और अधिक विवश करता है। उच्च-बिंदु कार्यों में अधिक स्वतंत्रता होती है, और केवल पदों के अनुरूप अपरिवर्तनीय संयोजनों के कार्यों तक ही निर्धारित होते हैं।

दो प्राथमिक क्षेत्रों का दो-बिंदु कार्य गायब हो जाता है यदि उनके अनुरूप आयाम भिन्न होते हैं।

\Delta_1\neq \Delta_2 \implies \left\langle O_{1}(x_1)O_{2}(x_2)\right\rangle= 0. $$ यदि फैलाव संचालिका विकर्णीय है (अर्थात यदि सिद्धांत लघुगणकीय नहीं है), तो प्राथमिक क्षेत्रों का एक आधार उपस्थित है जैसे कि दो-बिंदु कार्य विकर्ण हैं, अर्थात $$ i\neq j\implies \left\langle O_i O_j\right\rangle = 0$$. इस मामले में, स्केलर प्राथमिक क्षेत्र का दो-बिंदु कार्य है

\left\langle O(x_1)O(x_2) \right\rangle = \frac{1}{|x_1-x_2|^{2\Delta}}, $$ जहां हम क्षेत्र के सामान्यीकरण को चुनते हैं जैसे कि निरंतर गुणांक, जो अनुरूप समरूपता द्वारा निर्धारित नहीं होता है, एक है। इसी तरह, गैर-स्केलर प्राथमिक क्षेत्रों के दो-बिंदु कार्य एक गुणांक तक निर्धारित होते हैं, जिसे एक पर सेट किया जा सकता है। रैंक के एक सममित ट्रेसलेस टेंसर के मामले में $$\ell$$, दो-बिंदु फलन है
 * $$ \left\langle O_{\mu_1,\dots,\mu_\ell}(x_1) O_{\nu_1,\dots,\nu_\ell}(x_2)\right\rangle = \frac{\prod_{i=1}^\ell I_{\mu_i,\nu_i}(x_1-x_2) - \text{traces}}{|x_1-x_2|^{2\Delta}},

$$ जहां टेंसर $$I_{\mu,\nu}(x)$$ परिभाषित किया जाता है

I_{\mu,\nu}(x) = \eta_{\mu\nu} - \frac{2x_\mu x_\nu}{x^2}. $$ तीन स्केलर प्राथमिक क्षेत्रों का तीन-बिंदु कार्य है

\left\langle O_{1}(x_1)O_{2}(x_2)O_{3}(x_3)\right\rangle = \frac{C_{123}}{|x_{12}|^{\Delta_1+\Delta_2-\Delta_3}|x_{13}|^{\Delta_1+\Delta_3-\Delta_2} |x_{23}|^{\Delta_2+\Delta_3-\Delta_1}}, $$ कहाँ $$x_{ij}=x_i-x_j$$, और $$C_{123}$$ एक तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक है। प्राथमिक क्षेत्रों के साथ जो आवश्यक रूप से स्केलर नहीं हैं, अनुरूप समरूपता टेंसर संरचनाओं की एक सीमित संख्या की अनुमति देती है, और प्रत्येक टेंसर संरचना के लिए एक संरचना स्थिर होती है। दो अदिश क्षेत्रों और रैंक के एक सममित ट्रेसलेस टेंसर के मामले में $$\ell$$, केवल एक टेंसर संरचना है, और तीन-बिंदु फलन है

\left\langle O_{1}(x_1)O_{2}(x_2)O_{\mu_1,\dots,\mu_\ell}(x_3)\right\rangle = \frac{C_{123}\left(\prod_{i=1}^\ell V_{\mu_i}-\text{traces}\right)}{|x_{12}|^{\Delta_1+\Delta_2-\Delta_3}|x_{13}|^{\Delta_1+\Delta_3-\Delta_2} |x_{23}|^{\Delta_2+\Delta_3-\Delta_1}}, $$ जहां हम वेक्टर का परिचय देते हैं

V_\mu = \frac{x_{13}^\mu x_{23}^2 - x_{23}^\mu x_{13}^2}{|x_{12}||x_{13}||x_{23}|}. $$ अदिश प्राथमिक क्षेत्रों के चार-बिंदु फलन मनमाना फलन तक निर्धारित किए जाते हैं $$g(u,v)$$ दो क्रॉस-अनुपातों में से

u = \frac{x_{12}^2 x_{34}^2}{x_{13}^2 x_{24}^2} \, \ v = \frac{x_{14}^2 x_{23}^2}{x_{13}^2 x_{24}^2}. $$ चार बिंदु समारोह तब है :$$ \left\langle \prod_{i=1}^4O_i(x_i)\right\rangle = \frac{\left(\frac{|x_{24}|}{|x_{14}|}\right)^{\Delta_1-\Delta_2} \left(\frac{|x_{14}|}{|x_{13}|}\right)^{\Delta_3-\Delta_4}}{|x_{12}|^{\Delta_1+\Delta_2} |x_{34}|^{\Delta_3+\Delta_4}}g(u,v). $$

संचालक उत्पाद विस्तार
अधिक सामान्य क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों की तुलना में संचालक उत्पाद विस्तार (ओपीई) अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में अधिक शक्तिशाली है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में, संचालक उत्पाद विस्तार की अभिसरण की त्रिज्या परिमित है (अर्थात यह शून्य नहीं है)। पद प्रदान किये $$x_1,x_2$$ दो क्षेत्रों के काफी करीब हैं, संचालक उत्पाद विस्तार इन दो क्षेत्रों के उत्पाद को एक निश्चित बिंदु पर क्षेत्रों के एक रैखिक संयोजन के रूप में फिर से लिखता है, जिसे चुना जा सकता है $$ x_2$$ तकनीकी सुविधा के लिए।

दो क्षेत्रों का संचालक उत्पाद विस्तार रूप लेता है

O_1(x_1)O_2(x_2) = \sum_k c_{12k}(x_1-x_2) O_k(x_2), $$ कहाँ $$c_{12k}(x)$$ कुछ गुणांक कार्य है, और सिद्धांत में योग सिद्धांत में सभी क्षेत्रों पर चलता है। (समतुल्य रूप से, राज्य-क्षेत्र पत्राचार द्वारा, योग राज्यों के स्थान में सभी राज्यों पर चलता है।) कुछ क्षेत्र वास्तव में अनुपस्थित हो सकते हैं, विशेष रूप से समरूपता से बाधाओं के कारण: अनुरूप समरूपता, या अतिरिक्त समरूपता।

यदि सभी फ़ील्ड प्राथमिक या वंशज हैं, तो संबंधित प्राथमिक के योगदान के संदर्भ में किसी भी वंशज के योगदान को फिर से लिखकर फ़ील्ड के योग को प्राइमरी के योग में घटाया जा सकता है:

O_1(x_1)O_2(x_2) = \sum_p C_{12p}P_p(x_1-x_2,\partial_{x_2}) O_p(x_2), $$ जहाँ खेत $$O_p$$ सभी प्राथमिक हैं, और $$C_{12p}$$ तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक है (जो इस कारण से OPE गुणांक भी कहा जाता है)। अंतर संचालक $$ P_p(x_1-x_2,\partial_{x_2})$$ डेरिवेटिव्स में एक अनंत श्रृंखला है, जो अनुरूप समरूपता द्वारा निर्धारित की जाती है और इसलिए सिद्धांत रूप में ज्ञात है।

ओपीई को सहसंबंध कार्यों के बीच संबंध के रूप में देखने से पता चलता है कि ओपीई सहयोगी होना चाहिए। आगे,

यदि स्थान यूक्लिडियन है, तो ओपीई क्रमविनिमेय होना चाहिए, क्योंकि

सहसंबंध कार्य क्षेत्रों के क्रम पर निर्भर नहीं करते हैं, अर्थात $$ O_1(x_1)O_2(x_2) = O_2(x_2)O_1(x_1)$$.

संचालक उत्पाद विस्तार का अस्तित्व अनुरूप बूटस्ट्रैप का एक मौलिक सिद्धांत है। हालांकि, संचालक उत्पाद विस्तार और विशेष रूप से अंतर ऑपरेटरों की गणना करना सामान्यतः आवश्यक नहीं है $$ P_p(x_1-x_2,\partial_{x_2})$$. बल्कि, यह संरचना स्थिरांक और अनुरूप ब्लॉकों में सहसंबंध कार्यों का अपघटन है जिसकी आवश्यकता है।

ओपीई सिद्धांत रूप में अनुरूप ब्लॉकों की गणना के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, लेकिन व्यवहार में अधिक कुशल तरीके हैं।

अनुरूप ब्लॉक और क्रॉसिंग समरूपता
ओपीई का उपयोग करना $$O_1(x_1)O_2(x_2)$$, चार-बिंदु फलन को तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक और एस-चैनल अनुरूप ब्लॉक के संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है,

\left\langle \prod_{i=1}^4 O_i(x_i) \right\rangle = \sum_p C_{12p}C_{p34} G_p^{(s)}(x_i). $$ अनुरूप ब्लॉक $$G_p^{(s)}(x_i)$$ प्राथमिक क्षेत्र के योगदान का योग है $$O_p$$ और उसके वंशज। यह खेतों पर निर्भर करता है $$O_i$$ और उनके पद। यदि तीन-बिंदु कार्य करता है $$\left\langle O_1O_2O_p\right\rangle$$ या $$\left\langle O_3O_4O_p\right\rangle$$ कई स्वतंत्र टेंसर संरचनाएं सम्मिलित हैं, संरचना स्थिरांक और अनुरूप ब्लॉक इन टेंसर संरचनाओं और प्राथमिक क्षेत्र पर निर्भर करते हैं $$O_p$$ कई स्वतंत्र ब्लॉकों में योगदान देता है। अनुरूप ब्लॉकों को अनुरूप समरूपता द्वारा निर्धारित किया जाता है, और सिद्धांत रूप में जाना जाता है। उनकी गणना करने के लिए, पुनरावर्ती संबंध हैं और अभिन्न तकनीक।

ओपीई का उपयोग करना $$O_1(x_1)O_4(x_4)$$ या $$O_1(x_1)O_3(x_3)$$, वही चार-बिंदु फलन टी-चैनल अनुरूप ब्लॉक या यू-चैनल अनुरूप ब्लॉक के संदर्भ में लिखा गया है,

\left\langle \prod_{i=1}^4 O_i(x_i) \right\rangle = \sum_p C_{14p}C_{p23} G_p^{(t)}(x_i) =\sum_p C_{13p}C_{p24} G_p^{(u)}(x_i). $$ एस-, टी- और यू-चैनल अपघटन की समानता को क्रॉसिंग (भौतिकी) कहा जाता है: प्राथमिक क्षेत्रों के स्पेक्ट्रम पर एक बाधा, और तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक पर।

अनुरूप ब्लॉक समान अनुरूप समरूपता बाधाओं को चार-बिंदु कार्यों के रूप में मानते हैं। विशेष रूप से, कार्यों के संदर्भ में एस-चैनल अनुरूप ब्लॉक लिखे जा सकते हैं $$g_p^{(s)}(u,v)$$ क्रॉस-अनुपात का। जबकि ओ.पी.ई $$O_1(x_1)O_2(x_2)$$ केवल अगर अभिसरण करता है $$|x_{12}|<\min(|x_{23}|,|x_{24}|)$$, अनुरूप ब्लॉकों को पदों के सभी (गैर जोड़ीदार संयोग) मूल्यों के लिए विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखा जा सकता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, अनुरूप ब्लॉक पदों के एकल-मूल्यवान वास्तविक-विश्लेषणात्मक कार्य हैं, सिवाय इसके कि जब चार बिंदु $$x_i$$ एक सर्कल पर स्थित है, लेकिन एक एकल-ट्रांसपोज़्ड चक्रीय क्रम [1324] में, और केवल इन असाधारण मामलों में अपघटन को अनुरूप ब्लॉकों में परिवर्तित नहीं किया जाता है।

फ्लैट यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत $$\mathbb{R}^d$$ इस प्रकार इसके स्पेक्ट्रम द्वारा परिभाषित किया गया है $$\{(\Delta_p,\rho_p)\}$$ और ओपीई गुणांक (या तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक) $$\{C_{pp'p''}\}$$, बाधा को संतुष्ट करते हुए कि सभी चार-बिंदु फलन क्रॉसिंग-सममित हैं। स्पेक्ट्रम और ओपीई गुणांक (सामूहिक रूप से सीएफटी डेटा के रूप में संदर्भित) से, मनमाने क्रम के सहसंबंध कार्यों की गणना की जा सकती है।

एकात्मकता
एक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत एकात्मक है यदि इसके राज्यों के स्थान में एक सकारात्मक निश्चित स्केलर उत्पाद है, जैसे कि फैलाव संचालक स्व-संबद्ध है। तब स्केलर उत्पाद राज्यों के स्थान को हिल्बर्ट स्थान की संरचना से संपन्न करता है।

यूक्लिडियन अनुरूप क्षेत्र सिद्धांतों में, एकता सहसंबंध कार्यों की प्रतिबिंब सकारात्मकता के बराबर है: ओस्टरवाल्डर-श्रैडर स्वयंसिद्ध में से एक।

एकात्मकता का अर्थ है कि प्राथमिक क्षेत्रों के अनुरूप आयाम वास्तविक हैं और नीचे से बंधे हुए हैं। निचली सीमा स्पेसटाइम आयाम पर निर्भर करती है $$d$$, और रोटेशन या लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व पर जिसमें प्राथमिक क्षेत्र रूपांतरित होता है। अदिश क्षेत्रों के लिए, एकात्मकता बाध्य है :$$ \Delta \geq \frac12(d-2). $$ एकात्मक सिद्धांत में, तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक वास्तविक होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि चार-बिंदु कार्य कुछ असमानताओं का पालन करते हैं। शक्तिशाली संख्यात्मक बूटस्ट्रैप विधियाँ इन असमानताओं के दोहन पर आधारित हैं।

संहतता
एक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत कॉम्पैक्ट होता है यदि यह तीन शर्तों का पालन करता है: * सभी अनुरूप आयाम वास्तविक हैं।
 * किसी के लिए $$\Delta\in\mathbb{R}$$ ऐसे बहुत से राज्य हैं जिनके आयाम इससे कम हैं $$\Delta$$.
 * आयाम के साथ एक अनूठी स्थिति है $$\Delta =0$$, और यह निर्वात अवस्था है, अर्थात संबंधित क्षेत्र पहचान क्षेत्र है।

(पहचान क्षेत्र वह क्षेत्र है जिसका सहसंबंध कार्यों में सम्मिलन उन्हें संशोधित नहीं करता है, अर्थात। $$ \left\langle I(x)\cdots \right\rangle = \left\langle \cdots \right\rangle $$.) नाम इस तथ्य से आता है कि यदि एक 2डी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत भी एक सिग्मा मॉडल है, तो यह इन शर्तों को पूरा करेगा यदि और केवल तभी जब इसका लक्ष्य स्थान कॉम्पैक्ट हो।

यह माना जाता है कि सभी एकात्मक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत आयाम में कॉम्पैक्ट हैं $$d>2$$. एकात्मकता के बिना, दूसरी ओर, आयाम चार में सीएफटी खोजना संभव है और आयाम में $$4 - \epsilon$$ जिसका एक सतत स्पेक्ट्रम है। और दूसरे आयाम में, लिउविल क्षेत्र सिद्धांत एकात्मक है लेकिन कॉम्पैक्ट नहीं है।

अतिरिक्त समरूपता
अनुरूप समरूपता के अतिरिक्त एक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत में अतिरिक्त समरूपता हो सकती है। उदाहरण के लिए, ईज़िंग मॉडल में एक है $$\mathbb{Z}_2$$ समरूपता, और सुपरकॉन्फॉर्मल फील्ड सिद्धांत में सुपरसिमेट्री है।

माध्य क्षेत्र सिद्धांत
एक सामान्यीकृत मुक्त क्षेत्र एक ऐसा क्षेत्र है जिसके सहसंबंध कार्यों को विक के प्रमेय द्वारा दो-बिंदु कार्य से घटाया जाता है। उदाहरण के लिए, अगर $$\phi$$ आयाम का एक अदिश प्राथमिक क्षेत्र है $$\Delta$$, इसका चार-बिंदु फलन पढ़ता है :$$ \left\langle \prod_{i=1}^4\phi(x_i) \right\rangle = \frac{1}{|x_{12}|^{2\Delta}|x_{34}|^{2\Delta}} + \frac{1}{|x_{13}|^{2\Delta}|x_{24}|^{2\Delta}} + \frac{1}{|x_{14}|^{2\Delta}|x_{23}|^{2\Delta}}. $$ उदाहरण के लिए, अगर $$\phi_1,\phi_2$$ दो अदिश प्राथमिक क्षेत्र हैं जैसे कि $$\langle \phi_1\phi_2\rangle=0$$ (जो विशेष रूप से मामला है अगर $$\Delta_1\neq\Delta_2$$), हमारे पास चार-बिंदु फलन है

\Big\langle \phi_1(x_1)\phi_1(x_2)\phi_2(x_3)\phi_2(x_4)\Big\rangle = \frac{1}{|x_{12}|^{2\Delta_1}|x_{34}|^{2\Delta_2}}. $$ माध्य क्षेत्र सिद्धांत अनुरूप क्षेत्र सिद्धांतों के लिए एक सामान्य नाम है जो सामान्यीकृत मुक्त क्षेत्रों से निर्मित होते हैं। उदाहरण के लिए, एक माध्य क्षेत्र सिद्धांत एक अदिश प्राथमिक क्षेत्र से निर्मित किया जा सकता है $$\phi$$. फिर इस सिद्धांत में सम्मिलित है $$\phi$$, इसके वंशज क्षेत्र और OPE में दिखाई देने वाले क्षेत्र $$\phi \phi$$. प्राथमिक क्षेत्र जो दिखाई देते हैं $$\phi \phi$$ चार-बिंदु फलन को विघटित करके निर्धारित किया जा सकता है $$\langle\phi\phi\phi\phi\rangle$$ अनुरूप ब्लॉकों में: उनके अनुरूप आयाम हैं $$2\Delta+2\mathbb{N}$$: माध्य क्षेत्र सिद्धांत में, अनुरूप आयाम संरक्षित मापांक पूर्णांक है।

इसी तरह, गैर-तुच्छ लोरेंत्ज़ स्पिन वाले क्षेत्र से शुरू होने वाले औसत क्षेत्र सिद्धांतों का निर्माण करना संभव है। उदाहरण के लिए, 4d मैक्सवेल सिद्धांत (आवेशित पदार्थ क्षेत्रों की अनुपस्थिति में) एक औसत क्षेत्र सिद्धांत है जो एक एंटीसिमेट्रिक टेन्सर क्षेत्र से बना है। $$F_{\mu \nu}$$ स्केलिंग आयाम के साथ $$\Delta = 2$$.

मीन फील्ड सिद्धांत में लैग्रैजियन का वर्णन एक द्विघात क्रिया के संदर्भ में होता है जिसमें लाप्लासियन को एक मनमाना वास्तविक शक्ति (जो क्षेत्र के स्केलिंग आयाम को निर्धारित करता है) के लिए उठाया जाता है। एक सामान्य स्केलिंग आयाम के लिए, लाप्लासियन की शक्ति गैर-पूर्णांक है। संबंधित माध्य क्षेत्र सिद्धांत तब गैर-स्थानीय है (उदाहरण के लिए इसमें संरक्षित तनाव टेन्सर संचालक नहीं है)।

क्रिटिकल आइसिंग मॉडल
क्रिटिकल ईज़िंग मॉडल दो या तीन आयामों में एक हाइपरक्यूबिक जाली पर ईज़िंग मॉडल का महत्वपूर्ण बिंदु है। यह है एक $$\mathbb{Z}_2$$ वैश्विक समरूपता, सभी घुमावों को फ़्लिप करने के अनुरूप। द्वि-आयामी महत्वपूर्ण ईज़िंग मॉडल में सम्मिलित हैं $$\mathcal{M}(4,3)$$ विरासोरो न्यूनतम मॉडल, जिसे बिल्कुल हल किया जा सकता है। इसमें कोई ईज़िंग सीएफटी नहीं है $$d \geq 4$$ आयाम।

क्रिटिकल पॉट्स मॉडल
क्रिटिकल पॉट्स मॉडल के साथ $$q=2,3,4,\cdots$$ रंग एक एकात्मक सीएफटी है जो क्रमचय समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है $$S_q$$. यह महत्वपूर्ण ईज़िंग मॉडल का सामान्यीकरण है, जो इसके अनुरूप है $$q=2$$. महत्वपूर्ण पॉट्स मॉडल के आधार पर आयामों की एक श्रृंखला में उपस्थित है $$q$$.

क्रिटिकल पॉट्स मॉडल का निर्माण डी-डायमेंशनल हाइपरक्यूबिक जाली पर पॉट्स मॉडल की निरंतरता सीमा के रूप में किया जा सकता है। क्लस्टर के संदर्भ में फोर्टुइन-कास्टेलिन सुधार में, पॉट्स मॉडल को परिभाषित किया जा सकता है $$q\in\mathbb{C}$$, लेकिन यह एकात्मक नहीं है अगर $$q$$ पूर्णांक नहीं है।

क्रिटिकल ओ (एन) मॉडल
महत्वपूर्ण ओ (एन) मॉडल ऑर्थोगोनल समूह के तहत एक सीएफटी अपरिवर्तनीय है। किसी पूर्णांक के लिए $$N$$, यह एक अंतःक्रियात्मक, एकात्मक और कॉम्पैक्ट सीएफटी के रूप में उपस्थित है $$d=3$$ आयाम (और के लिए $$N=1$$ भी दो आयामों में)। यह क्रिटिकल ईज़िंग मॉडल का सामान्यीकरण है, जो O(N) CFT के अनुरूप है $$N=1$$.

ओ (एन) सीएफटी का निर्माण जाली मॉडल की निरंतरता सीमा के रूप में किया जा सकता है, जो कि एन-वेक्टर हैं, एन-वेक्टर मॉडल पर चर्चा की गई है।

वैकल्पिक रूप से, महत्वपूर्ण $$O(N)$$ मॉडल के रूप में बनाया जा सकता है $$\varepsilon \to 1$$ विल्सन-फिशर निश्चित बिंदु  इन की सीमा $$d=4-\varepsilon$$ आयाम। पर $$\varepsilon = 0$$, विल्सन-फिशर निश्चित बिंदु का टेन्सर उत्पाद बन जाता है $$N$$ आयाम के साथ मुक्त स्केलर $$\Delta = 1$$. के लिए $$0 < \varepsilon < 1$$ विचाराधीन मॉडल गैर-एकात्मक है। जब N बड़ा होता है, तो O(N) मॉडल को हबर्ड-स्ट्रैटोनोविच परिवर्तन के माध्यम से 1/N विस्तार में अनुदार रूप से हल किया जा सकता है। विशेष रूप से, $$N \to \infty$$ महत्वपूर्ण ओ (एन) मॉडल की सीमा अच्छी तरह से समझी जाती है।

अनुरूप गेज सिद्धांत
तीन और चार आयामों में कुछ अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत गेज सिद्धांत के रूप में लैग्रैन्जियन विवरण को स्वीकार करते हैं, या तो एबेलियन या गैर-एबेलियन। ऐसे सीएफटी के उदाहरण अनुरूप क्यूईडी हैं जिनमें पर्याप्त मात्रा में आवेशित क्षेत्र हैं $$d=3$$ या बैंक-ज़क्स निश्चित बिंदु इन $$d=4$$.

निरंतर चरण संक्रमण
डी स्थानिक आयामों के साथ शास्त्रीय सांख्यिकीय भौतिकी प्रणालियों के निरंतर चरण संक्रमण (महत्वपूर्ण बिंदु) प्रायः यूक्लिडियन अनुरूप क्षेत्र सिद्धांतों द्वारा वर्णित किए जाते हैं। ऐसा होने के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि स्थानिक घुमाव और अनुवाद के तहत महत्वपूर्ण बिंदु अपरिवर्तनीय होना चाहिए। हालाँकि यह स्थिति पर्याप्त नहीं है: कुछ असाधारण महत्वपूर्ण बिंदुओं को स्केल अचर द्वारा वर्णित किया गया है, लेकिन अनुरूप रूप से अपरिवर्तनीय सिद्धांतों द्वारा नहीं। यदि शास्त्रीय सांख्यिकीय भौतिकी प्रणाली प्रतिबिंब सकारात्मक है, तो इसके महत्वपूर्ण बिंदु का वर्णन करने वाला संबंधित यूक्लिडियन सीएफटी एकात्मक होगा।

डी स्थानिक आयामों के साथ संघनित पदार्थ प्रणालियों में निरंतर क्वांटम चरण संक्रमणों को लोरेंत्ज़ियन डी + 1 आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांतों (डी + 1 आयामों में यूक्लिडियन सीएफटी से विक रोटेशन द्वारा संबंधित) द्वारा वर्णित किया जा सकता है। ट्रांसलेशन और रोटेशन अपरिवर्तनीयता के अलावा, ऐसा होने के लिए एक अतिरिक्त आवश्यक शर्त यह है कि डायनेमिक क्रिटिकल एक्सपोनेंट z 1 के बराबर होना चाहिए। इस तरह के क्वांटम फेज ट्रांज़िशन (क्वेंक्ड डिसऑर्डर की अनुपस्थिति में) का वर्णन करने वाले सीएफटी हमेशा एकात्मक होते हैं।

स्ट्रिंग सिद्धांत
स्ट्रिंग सिद्धांत के वर्ल्ड-शीट विवरण में डायनेमिकल टू-डायमेंशनल क्वांटम ग्रेविटी (या सुपरग्रैविटी, सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत के मामले में) के साथ युग्मित एक द्वि-आयामी सीएफटी सम्मिलित है। स्ट्रिंग सिद्धांत मॉडल की संगति इस CFT के केंद्रीय आवेश पर बाधाएँ डालती है, जो कि बोसोनिक स्ट्रिंग सिद्धांत में c = 26 और सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत में c = 10 होना चाहिए। अंतरिक्ष-समय के निर्देशांक जिसमें स्ट्रिंग सिद्धांत रहता है, इस सीएफटी के बोसोनिक क्षेत्रों के अनुरूप है।

विज्ञापन/सीएफटी पत्राचार
एडीएस/सीएफटी पत्राचार में अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं, जिसमें एंटी-डी सिटर स्पेस (एडीएस) में एक गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत एडीएस सीमा पर एक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के बराबर है। उल्लेखनीय उदाहरण हैं d = 4, N = 4 सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत, जो AdS पर टाइप IIB स्ट्रिंग सिद्धांत के लिए दोहरा है5× एस5, और d = 3, N = 6 सुपर-चेर्न–सीमन्स सिद्धांत, जो AdS पर M-सिद्धांत से दोहरा है4× एस 7। (उपसर्ग सुपर सुपरसिमेट्री को दर्शाता है, एन सिद्धांत द्वारा प्राप्त विस्तारित सुपरसिमेट्री की डिग्री को दर्शाता है, और डी सीमा पर स्पेस-टाइम आयामों की संख्या।)

यह भी देखें

 * लघुगणक अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत
 * विज्ञापन/सीएफटी पत्राचार
 * ऑपरेटर उत्पाद विस्तार
 * महत्वपूर्ण बिंदु (भौतिकी)
 * सीमा अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत
 * प्राथमिक क्षेत्र
 * सुपरकॉन्फॉर्मल बीजगणित
 * अनुरूप बीजगणित
 * अनुरूप बूटस्ट्रैप
 * अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत का इतिहास

अग्रिम पठन

 * Martin Schottenloher, A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1997. ISBN 3-540-61753-1, 2nd edition 2008, ISBN 978-3-540-68625-5.
 * Martin Schottenloher, A Mathematical Introduction to Conformal Field Theory, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg, 1997. ISBN 3-540-61753-1, 2nd edition 2008, ISBN 978-3-540-68625-5.