क्रॉस-सहप्रसरण

संभाव्यता और सांख्यिकी में, दो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं दी गई हैं $$\left\{X_t\right\}$$ और $$\left\{Y_t\right\}$$, क्रॉस- सहप्रसरण एक फ़ंक्शन है जो समय बिंदुओं के जोड़े पर एक प्रक्रिया का दूसरे के साथ कोवेरिएंस देता है। सामान्य संकेतन के साथ $$\operatorname E$$ अपेक्षित मूल्य ऑपरेटर (गणित) के लिए, यदि प्रक्रियाओं में माध्य कार्य हैं $$\mu_X(t) = \operatorname \operatorname E[X_t]$$ और $$\mu_Y(t) = \operatorname E[Y_t]$$, तो क्रॉस-कोवेरिएंस द्वारा दिया जाता है


 * $$\operatorname{K}_{XY}(t_1,t_2) = \operatorname{cov} (X_{t_1}, Y_{t_2}) = \operatorname{E}[(X_{t_1} - \mu_X(t_1))(Y_{t_2} - \mu_Y(t_2))] = \operatorname{E}[X_{t_1} Y_{t_2}] - \mu_X(t_1) \mu_Y(t_2).\,$$

क्रॉस-सहप्रसरण प्रश्न में प्रक्रियाओं के अधिक सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले क्रॉस-सहसंबंध से संबंधित है।

दो यादृच्छिक सदिशों के मामले में $$\mathbf{X}=(X_1, X_2, \ldots, X_p)^{\rm T}$$ और $$\mathbf{Y}=(Y_1, Y_2, \ldots , Y_q)^{\rm T}$$, क्रॉस-कोवेरिएंस एक होगा $$p \times q$$ आव्यूह $$\operatorname{K}_{XY}$$ (अक्सर दर्शाया जाता है $$\operatorname{cov}(X,Y)$$) प्रविष्टियों के साथ $$\operatorname{K}_{XY}(j,k) = \operatorname{cov}(X_j, Y_k).\,$$ इस प्रकार इस अवधारणा को एक यादृच्छिक वेक्टर के सहप्रसरण से अलग करने के लिए क्रॉस-सहप्रसरण शब्द का उपयोग किया जाता है $$\mathbf{X}$$, जिसे के अदिश घटकों के बीच सहप्रसरण मैट्रिक्स समझा जाता है $$\mathbf{X}$$ अपने आप।

संकेत आगे बढ़ाना में, क्रॉस-कोवरियन्स को अक्सर क्रॉस-सहसंबंध कहा जाता है और यह दो सिग्नल (सूचना सिद्धांत) का एक समानता माप है, जिसका उपयोग आमतौर पर किसी अज्ञात सिग्नल में किसी ज्ञात सिग्नल से तुलना करके सुविधाओं को खोजने के लिए किया जाता है। यह संकेतों के बीच सापेक्ष समय का एक कार्य है, इसे कभी-कभी स्लाइडिंग डॉट उत्पाद कहा जाता है, और इसमें पैटर्न पहचान और क्रिप्ट विश्लेषण में अनुप्रयोग होते हैं।

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का क्रॉस-कोवेरिएंस
यादृच्छिक वैक्टरों के क्रॉस-कोवरियन्स की परिभाषा को निम्नानुसार स्टोकेस्टिक प्रक्रिया में सामान्यीकृत किया जा सकता है:

परिभाषा
होने देना $$\{ X(t) \}$$ और $$\{ Y(t) \}$$ स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं को निरूपित करें। फिर प्रक्रियाओं का क्रॉस-कोवेरिएंस फ़ंक्शन $$K_{XY}$$ द्वारा परिभाषित किया गया है:

कहाँ $$\mu_X(t) = \operatorname{E}\left[X(t)\right]$$ और $$\mu_Y(t) = \operatorname{E}\left[Y(t)\right]$$.

यदि प्रक्रियाएँ जटिल-मूल्यवान स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएँ हैं, तो दूसरे कारक को जटिल संयुग्मित करने की आवश्यकता है:


 * $$\operatorname{K}_{XY}(t_1,t_2) \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \operatorname{cov} (X_{t_1}, Y_{t_2}) = \operatorname{E} \left[ \left( X(t_1)- \mu_X(t_1) \right) \overline{\left( Y(t_2)- \mu_Y(t_2) \right)} \right]$$

संयुक्त WSS प्रक्रियाओं के लिए परिभाषा
अगर $$\left\{X_t\right\}$$ और $$\left\{Y_t\right\}$$ यदि संयुक्त वाइड-सेंस स्टेशनरी हैं| संयुक्त रूप संयुक्त व्यापक अर्थ स्थिरता हैं, तो निम्नलिखित सत्य हैं:


 * $$\mu_X(t_1) = \mu_X(t_2) \triangleq \mu_X$$ सभी के लिए $$t_1,t_2$$,


 * $$\mu_Y(t_1) = \mu_Y(t_2) \triangleq \mu_Y$$ सभी के लिए $$t_1,t_2$$

और


 * $$\operatorname{K}_{XY}(t_1,t_2) = \operatorname{K}_{XY}(t_2 - t_1,0)$$ सभी के लिए $$t_1,t_2$$

व्यवस्थित करके $$\tau = t_2 - t_1$$ (समय अंतराल, या समय की मात्रा जिसके द्वारा सिग्नल स्थानांतरित किया गया है), हम परिभाषित कर सकते हैं


 * $$\operatorname{K}_{XY}(\tau) = \operatorname{K}_{XY}(t_2 - t_1) \triangleq \operatorname{K}_{XY}(t_1,t_2)$$.

इसलिए दो संयुक्त WSS प्रक्रियाओं का क्रॉस-कोवरियन्स फ़ंक्शन इस प्रकार दिया गया है:

जो के बराबर है


 * $$\operatorname{K}_{XY}(\tau) = \operatorname{cov} (X_{t+\tau}, Y_{t}) = \operatorname{E}[(X_{t+ \tau} - \mu_X)(Y_{t} - \mu_Y)] = \operatorname{E}[X_{t+\tau} Y_t] - \mu_X \mu_Y$$.

असंबद्धता
दो स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं $$\left\{X_t\right\}$$ और $$\left\{Y_t\right\}$$ यदि उनका सहप्रसरण हो तो असंबद्ध कहलाते हैं $$\operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}}(t_1,t_2)$$ हर समय के लिए शून्य है. औपचारिक रूप से:


 * $$\left\{X_t\right\},\left\{Y_t\right\} \text{ uncorrelated} \quad \iff \quad \operatorname{K}_{\mathbf{X}\mathbf{Y}}(t_1,t_2) = 0 \quad \forall t_1,t_2$$.

नियतात्मक संकेतों का क्रॉस-सहप्रसरण
क्रॉस-कोवेरिएंस सिग्नल प्रोसेसिंग में भी प्रासंगिक है जहां दो व्यापक-अर्थ स्थिर यादृच्छिक प्रक्रियाओं के बीच क्रॉस-कोवेरिएंस का अनुमान एक प्रक्रिया से मापे गए नमूनों के उत्पाद और दूसरे से मापे गए नमूनों (और इसके समय बदलाव) के औसत से लगाया जा सकता है। औसत में शामिल नमूने सिग्नल में सभी नमूनों का एक मनमाना उपसमूह हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, एक सीमित समय विंडो के भीतर नमूने या एक नमूना (सांख्यिकी)|सिग्नलों में से एक का उप-नमूना)। बड़ी संख्या में नमूनों के लिए, औसत वास्तविक सहप्रसरण में परिवर्तित हो जाता है।

क्रॉस-सहप्रसरण दो संकेतों के बीच एक नियतात्मक क्रॉस-सहप्रसरण का भी उल्लेख कर सकता है। इसमें सभी समय सूचकांकों का योग शामिल है। उदाहरण के लिए, असतत-समय संकेतों के लिए $$f[k]$$ और $$g[k]$$ क्रॉस-कोवेरिएंस को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$(f\star g)[n] \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \sum_{k\in \mathbb{Z}} \overline{f[k]} g[n+k] = \sum_{k\in \mathbb{Z}} \overline{f[k-n]} g[k]$$

जहां रेखा इंगित करती है कि सिग्नल जटिल-मूल्यवान होने पर जटिल संयुग्म लिया जाता है।

सतत कार्य के लिए $$f(x)$$ और $$g(x)$$ (नियतात्मक) क्रॉस-कोवरियन्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$(f\star g)(x) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int \overline{f(t)} g(x+t)\,dt = \int \overline{f(t-x)} g(t)\,dt$$.

गुण
दो निरंतर संकेतों का (नियतात्मक) क्रॉस-सहप्रसरण कनवल्शन से संबंधित है


 * $$(f \star g)(t) = (\overline{f(-\tau)}*g(\tau))(t)$$

और दो असतत-समय संकेतों का (नियतात्मक) क्रॉस-सहप्रसरण असतत कनवल्शन से संबंधित है


 * $$(f \star g)[n] = (\overline{f[-k]}*g[k])[n]$$.

यह भी देखें

 * स्वतः सहप्रसरण
 * स्वसहसंबंध
 * सह - संबंध
 * कनवल्शन
 * पार सहसंबंध

बाहरी संबंध

 * Cross Correlation from Mathworld
 * http://scribblethink.org/Work/nvisionInterface/nip.html
 * http://www.phys.ufl.edu/LIGO/stochastic/sign05.pdf
 * http://www.staff.ncl.ac.uk/oliver.hinton/eee305/Chapter6.pdf