जायरोवेक्टर स्पेस

जाइरो सदिश स्थल इब्राहीम ए. अनगर द्वारा यूक्लिडियन ज्यामिति में वेक्टर रिक्त स्थान के उपयोग के तरीके के अनुरूप अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति का अध्ययन करने के लिए प्रस्तावित एक गणित अवधारणा है। अनगर ने gyrovectors की अवधारणा पेश की, जिसमें वैक्टर के बजाय gyrogroups पर आधारित योग है, जो कि समूह (गणित) के आधार पर जोड़ है। अनगर ने वेग की रचनाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के उपयोग के विकल्प के रूप में विशेष सापेक्षता के निर्माण के लिए एक उपकरण के रूप में अपनी अवधारणा विकसित की (जिसे लोरेंत्ज़ बूस्ट भी कहा जाता है - बूस्ट सापेक्ष वेग के पहलू हैं, और अनुवाद (ज्यामिति) के साथ सम्‍मिलित नहीं होना चाहिए। ). जाइरो ऑपरेटरों को पेश करके इसे हासिल किया जाता है; एक ऑपरेटर के निर्माण के लिए दो 3डी वेग वैक्टर का उपयोग किया जाता है, जो दूसरे 3डी वेग पर कार्य करता है।

नाम
जाइरोग्रुप कमजोर सहयोगी समूह जैसी संरचनाएं हैं। उंगर ने जाइरोग्रुप शब्द का प्रस्ताव रखा, जिसे उन्होंने जाइरोकोमुटेटिव-जाइरोग्रुप कहा, जिसमें जाइरोग्रुप शब्द गैर-जाइरोकम्यूटिव मामले के लिए आरक्षित है, समूहों बनाम एबेलियन समूहों के साथ समानता में। जाइरोग्रुप एक प्रकार का बॉल रन है। गायरोकोम्यूटेटिव जाइरोग्रुप्स के-लूप के बराबर हैं हालांकि अलग तरह से परिभाषित किया गया है। ब्रुक लूप की शर्तें और डायाडिक सिम्सेट उपयोग में भी हैं।

सिद्धांत
जाइरोग्रुप (जी, $$\oplus$$) में एक अंतर्निहित सेट G और एक बाइनरी ऑपरेशन सम्मिलित है $$\oplus$$ निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करना:
 * 1) G में कम से कम एक तत्व 0 है जिसे 0 के साथ बाईं पहचान कहा जाता है $$\oplus$$ a = a for all a in G.
 * 2) G में प्रत्येक a के लिए एक अवयव है $$\ominus$$a in G को a का बायाँ व्युत्क्रम कहा जाता है ($$\ominus$$ए) $$\oplus$$ ए = 0।
 * 3) G में किसी भी a, b, c के लिए G में एक अद्वितीय तत्व gyr [a, b] c मौजूद है, जैसे कि बाइनरी ऑपरेशन बाएं जाइरोएसोसिएटिव नियम का पालन करता है: a $$\oplus$$ (बी $$\oplus$$ सी) = (ए $$\oplus$$ बी) $$\oplus$$ gyr [ए, बी] सी
 * 4) मानचित्र gyr[a,b]: G → G c ↦ gyr[a,b]c द्वारा दिया गया मैग्मा (बीजगणित) (G, $$\oplus$$) - यानी gyr[a,b] Aut(G, $$\oplus$$) और G के ऑटोमॉर्फिज्म gyr[a,b] को G में a, b द्वारा उत्पन्न Gyroautomorphism कहा जाता है। ऑपरेशन gyr: G × G → Aut(G,$$\oplus$$) G का जाइरेटर कहलाता है।
 * 5) जाइरोआटोमोर्फिज्म गेयर [ए, बी] में बायां पाश (बीजगणित) संपत्ति जीआईआर [ए, बी] = जीआईआर [ए $$\oplus$$ बी, बी]

अभिगृहीतों का पहला युग्म समूह (गणित) अभिगृहीतों के समान है। अंतिम जोड़ी गाइरेटर स्वयंसिद्धों को प्रस्तुत करती है और मध्य स्वयंसिद्ध दो जोड़े को जोड़ती है।

चूंकि जाइरोग्रुप में व्युत्क्रम और एक पहचान होती है, इसलिए यह quasigroup और लूप (बीजगणित) के रूप में उत्तीर्ण होता है।

Gyrogroups समूह (गणित) का एक सामान्यीकरण है। प्रत्येक समूह जाइरोग्रुप का एक उदाहरण है जिसमें Gyr[a,b] को G में सभी a और b के लिए पहचान मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है।

परिमित जाइरोग्रुप का एक उदाहरण में दिया गया है.

पहचान
कुछ सर्वसमिकाएँ जो किसी जाइरोग्रुप (G, $$\oplus$$) हैं:


 * 1) $$\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w}=\ominus(\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) \oplus (\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w}))$$ (घूमना)
 * 2) $$\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w}) = (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v})\oplus \mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w}$$ (वाम साहचर्य)
 * 3) $$(\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) \oplus \mathbf{w} = \mathbf{u} \oplus (\mathbf{v}\oplus \mathrm{gyr}[\mathbf{v},\mathbf{u}]\mathbf{w})$$ (सही साहचर्य)

इसके अलावा, कोई जाइरेशन व्युत्क्रम नियम को सिद्ध कर सकता है, जो नीचे जाइरोकोम्यूटेटिविटी की परिभाषा के लिए प्रेरणा है:
 * 1) $$ \ominus (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) = \mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}] (\ominus \mathbf{v} \ominus \mathbf{u}) $$ (गाइरेशन व्युत्क्रम नियम)

किसी जाइरोग्रुप के परिभ्रमण समूह द्वारा संतुष्ट कुछ अतिरिक्त प्रमेयों में सम्मिलित हैं:
 * 1) $$\mathrm{gyr}[\mathbf{0},\mathbf{u}] = \mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{u}] = \mathrm{gyr}[\ominus \mathbf{u},\mathbf{u}] = I $$ (पहचान gyrations)
 * 2) $$\mathrm{gyr}^{-1}[\mathbf{u},\mathbf{v}] =\mathrm{gyr}[\mathbf{v},\mathbf{u}] $$ (gyroautomorphism उलटा नियम)
 * 3) $$\mathrm{gyr}[\ominus \mathbf{u},\ominus \mathbf{v}] =\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}] $$ (जाइरेशन इवन प्रॉपर्टी)
 * 4) $$\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}] =\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v} \oplus \mathbf{u}] $$ (राइट लूप प्रॉपर्टी)
 * 5) $$\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}] =\mathrm{gyr}[\mathbf{u} \oplus \mathbf{v},\mathbf{v}] $$ (बायां पाश संपत्ति)

अधिक पहचान पृष्ठ 50 पर दी गई है. उपरोक्त सर्वसमिकाओं का एक विशेष रूप से उपयोगी परिणाम यह है कि जाइरोग्रुप्स बोल लूप को संतुष्ट करते हैं


 * 1) $$(\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{u})) \oplus \mathbf{w} = \mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus (\mathbf{u} \oplus \mathbf{w})) $$

जाइरोकम्यूटेटिविटी
जाइरोग्रुप (जी,$$\oplus$$) gyrocommutative है अगर इसका बाइनरी ऑपरेशन gyrocommutative law का पालन करता है: a $$\oplus$$ बी = जीआईआर [ए, बी] (बी $$\oplus$$ ए)। सापेक्षिक वेग योग के लिए, a + b और b + a से संबंधित घूर्णन की भूमिका दर्शाने वाला यह सूत्र 1914 में लुडविग सिल्बरस्टीन द्वारा प्रकाशित किया गया था।

जोड़
प्रत्येक जाइरोग्रुप में, एक दूसरे ऑपरेशन को कोडिशन कहा जा सकता है: a $$\boxplus$$ बी = ए $$\oplus$$ गाड़ी चलाना$$\ominus$$b]b सभी a, b ∈ G के लिए। यदि जाइरोग्रुप जोड़ जाइरोकम्यूटेटिव है तो कोडिशन कम्यूटिव है।

बेल्ट्रामी-क्लेन डिस्क/बॉल मॉडल और आइंस्टीन जोड़
हाइपरबोलिक ज्योमेट्री के बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल में सापेक्षिक वेगों को बिंदुओं के रूप में माना जा सकता है और इसलिए बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल में वेक्टर योग वेग-जोड़ सूत्र सूत्र द्वारा दिया जा सकता है। 3 से अधिक आयामों के अतिपरवलयिक स्थान में सदिश योग को सामान्यीकृत करने के सूत्र के लिए, सूत्र को ऐसे रूप में लिखा जाना चाहिए जो डॉट उत्पाद के पक्ष में क्रॉस उत्पाद के उपयोग से बचा जाए।

सामान्य स्थिति में, दो वेगों का आइंस्टीन वेग-जोड़ सूत्र $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ समन्वय-स्वतंत्र रूप में दिया गया है:


 * $$\mathbf{u} \oplus_E \mathbf{v}=\frac{1}{1+\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{c^2}}\left\{\mathbf{u}+\frac{1}{\gamma_\mathbf{u}}\mathbf{v}+\frac{1}{c^2}\frac{\gamma_\mathbf{u}}{1+\gamma_\mathbf{u}}(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v})\mathbf{u}\right\}$$

कहाँ $$\gamma_\mathbf{u}$$ समीकरण द्वारा दिया गया गामा कारक है $$\gamma_\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{|\mathbf{u}|^2}{c^2}}}$$.

निर्देशांक का उपयोग करना यह बन जाता है:


 * $$\begin{pmatrix}w_1\\ w_2\\ w_3\\ \end{pmatrix}=\frac{1}{1+\frac{u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3}{c^2}}\left\{\left[1+\frac{1}{c^2}\frac{\gamma_\mathbf{u}}{1+\gamma_\mathbf{u}}(u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3)\right]\begin{pmatrix}u_1\\ u_2\\ u_3\\ \end{pmatrix}+\frac{1}{\gamma_\mathbf{u}}\begin{pmatrix}v_1\\ v_2\\ v_3\\ \end{pmatrix}\right\}$$

कहाँ $$\gamma_\mathbf{u}=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{u_1^2+u_2^2+u_3^2}{c^2}}}$$.

आइंस्टाइन का वेग योग क्रमविनिमेय और साहचर्य तभी होता है जब $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ समानांतर हैं। वास्तव में


 * $$\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}=\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}](\mathbf{v} \oplus \mathbf{u})

$$ और
 * $$\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w}) = (\mathbf{u} \oplus \mathbf{v})\oplus \mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w}$$

जहां gyr थॉमस gyration नामक ऑपरेटर में थॉमस प्रीसेशन का गणितीय अमूर्तन है और इसके द्वारा दिया गया है
 * $$\mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]\mathbf{w}=\ominus(\mathbf{u} \oplus \mathbf{v}) \oplus (\mathbf{u} \oplus (\mathbf{v} \oplus \mathbf{w}))$$

सभी के लिए डब्ल्यू। थॉमस प्रीसेशन की अतिपरवलयिक ज्यामिति में ऋणात्मक अतिपरवलयिक त्रिभुज दोष के रूप में व्याख्या है।

लोरेंत्ज़ परिवर्तन रचना
यदि 3-निर्देशांकों पर लागू रोटेशन का 3 × 3 मैट्रिक्स रूप gyr[u,v] द्वारा दिया जाता है, तो 4-निर्देशांकों पर लागू 4 × 4 मैट्रिक्स रोटेशन द्वारा दिया जाता है:

\mathrm{Gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \mathrm{gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}] \end{pmatrix} $$.

दो लोरेंत्ज़ की संरचना यू और वी वेगों के बी (यू) और बी (वी) को बढ़ाती है:
 * $$B(\mathbf{u})B(\mathbf{v})=B(\mathbf{u}\oplus\mathbf{v})\mathrm{Gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]=\mathrm{Gyr}[\mathbf{u},\mathbf{v}]B(\mathbf{v}\oplus\mathbf{u})$$

यह तथ्य कि या तो B(u$$\oplus$$वी) या बी (वी$$\oplus$$u) का उपयोग इस आधार पर किया जा सकता है कि आप वेग-जोड़ सूत्र # वेग रचना विरोधाभास के पहले या बाद में रोटेशन लिखते हैं या नहीं।

दो लोरेंत्ज़ रूपांतरण एल(यू,यू) और एल(वी,वी) की संरचना जिसमें रोटेशन यू और वी सम्मिलित हैं, द्वारा दिया गया है:
 * $$L(\mathbf{u},U)L(\mathbf{v},V)=L(\mathbf{u}\oplus U\mathbf{v}, \mathrm{gyr}[\mathbf{u},U\mathbf{v}]UV)$$

उपरोक्त में, बूस्ट को 4 × 4 मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता है। बूस्ट मैट्रिक्स B(v) का अर्थ है बूस्ट B जो v के घटकों का उपयोग करता है, अर्थात v1, में2, में3 मैट्रिक्स की प्रविष्टियों में, या बल्कि प्रतिनिधित्व में v/c के घटकों का उपयोग किया जाता है जो कि लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन # मैट्रिक्स रूपों में उपयोग किया जाता है। मैट्रिक्स प्रविष्टियाँ 3-वेग v के घटकों पर निर्भर करती हैं, और यही संकेतन B(v) का अर्थ है। यह तर्क दिया जा सकता है कि प्रविष्टियाँ 4-वेग के घटकों पर निर्भर करती हैं क्योंकि 4-वेग की प्रविष्टियों में से 3 प्रविष्टियाँ 3-वेग की प्रविष्टियों के समान हैं, लेकिन 3-वेग द्वारा बढ़ावा देने की उपयोगिता है परिणामी बूस्ट आपको दो बूस्ट की संरचना से मिलता है जो 3-वेग संरचना यू के घटकों का उपयोग करता है$$\oplus$$v 4 × 4 मैट्रिक्स में B(u$$\oplus$$वी). लेकिन परिणामी बूस्ट को भी एक रोटेशन मैट्रिक्स से गुणा करने की आवश्यकता होती है क्योंकि बूस्ट संरचना (यानी दो 4 × 4 मैट्रिक्स का गुणा) का परिणाम शुद्ध बूस्ट में नहीं बल्कि एक बूस्ट और एक रोटेशन में होता है, यानी एक 4 × 4 मैट्रिक्स जो इसके अनुरूप होता है बी (यू) बी (वी) = बी (यू) प्राप्त करने के लिए रोटेशन Gyr [यू, वी]$$\oplus$$सी) मैं शोक करता हूं, वीएसएचसी = मैं शोक करता हूं, वीएसवीबी (इन$$\oplus$$में)।

आइंस्टीन जायरोवेक्टर स्पेस
मान लीजिए s कोई धनात्मक स्थिरांक है, मान लीजिए (V,+,.) कोई वास्तविक आंतरिक गुणनफल समष्टि है और मान लीजिए Vs={v ∈ V :|v|<s}. एक आइंस्टीन ग्योरोवेक्टर स्पेस (वीs, $$\oplus$$, $$\otimes$$) एक आइंस्टीन जाइरोग्रुप (वीs, $$\oplus$$) आर द्वारा दिए गए स्केलर गुणन के साथ$$\otimes$$v= 's tanh(r tanh−1(|v|/s))v/|v| जहाँ r कोई वास्तविक संख्या है, v ∈ Vs, वी ≠ 0 और आर''$$\otimes$$0 = 0 अंकन v के साथ$$\otimes$$आर = आर$$\otimes$$वी

आइन्स्टाइन अदिश गुणन आइंस्टाइन योग पर वितरण नहीं करता सिवाय इसके कि जाइरोवेक्टर कॉलिनियर (मोनोडिस्ट्रिब्यूटिविटी) हों, लेकिन इसमें वेक्टर स्पेस के अन्य गुण होते हैं: किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए और सभी वास्तविक संख्याओं के लिए r, आर1,आर2 और वी ∈ वी''s':

पोंकारे डिस्क/बॉल मॉडल और मोबियस एडिशन
जटिल विमान में ओपन यूनिट डिस्क का मोबियस परिवर्तन ध्रुवीय अपघटन द्वारा दिया गया है
 * $$z\to {e^{i\theta}}{\frac{a+z}{1+a\bar{z}}}$$ जिसे लिखा जा सकता है $$e^{i\theta} {(a\oplus_M {z})} $$ जो मोबियस जोड़ को परिभाषित करता है $${a\oplus_M {z}}= \frac{a+z}{1+a\bar{z}}$$.

इसे उच्च आयामों में सामान्यीकृत करने के लिए जटिल संख्याओं को विमान में वैक्टर के रूप में माना जाता है $$\mathbf{\mathrm{R}}^2$$, और मोबियस जोड़ को वेक्टर रूप में फिर से लिखा गया है:


 * $$\mathbf{u} \oplus_M \mathbf{v}=\frac{(1+\frac{2}{s^2}\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\frac{1}{s^2}|\mathbf{v}|^2)\mathbf{u}+(1-\frac{1}{s^2}|\mathbf{u}|^2)\mathbf{v}}{1+\frac{2}{s^2}\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}+\frac{1}{s^4}|\mathbf{u}|^2|\mathbf{v}|^2}$$

यह पॉइनकेयर डिस्क मॉडल|हाइपरबोलिक ज्योमेट्री के पॉइनकेयर बॉल मॉडल में बिंदुओं का सदिश जोड़ देता है जहां जटिल इकाई डिस्क के लिए s=1 अब कोई भी s>0 बन जाता है।

मोबियस जायरोवेक्टर स्पेस
मान लीजिए s कोई धनात्मक स्थिरांक है, मान लीजिए (V,+,.) कोई वास्तविक आंतरिक गुणनफल समष्टि है और मान लीजिए Vs={v ∈ V :|v|<s}. एक मोबियस गायरोवेक्टर स्पेस (वीs, $$\oplus$$, $$\otimes$$) एक मोबियस जाइरोग्रुप (वीs, $$\oplus$$) आर द्वारा दिए गए स्केलर गुणन के साथ$$\otimes$$v= 's tanh(r tanh−1(|v|/s))v/|v| जहाँ r कोई वास्तविक संख्या है, v ∈ Vs, वी ≠ 0 और आर''$$\otimes$$0 = 0 अंकन v के साथ$$\otimes$$आर = आर$$\otimes$$वी

मोबियस स्केलर गुणन आइंस्टीन स्केलर गुणन (ऊपर अनुभाग देखें) के साथ मेल खाता है और यह मोबीस जोड़ और आइंस्टीन जोड़ से उत्पन्न होता है जो समानांतर वैक्टर के लिए होता है।

उचित वेग अंतरिक्ष मॉडल और उचित वेग जोड़
अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति का एक उचित वेग अंतरिक्ष मॉडल उचित वेग योग सूत्र द्वारा दिए गए वेक्टर योग के साथ उचित वेग द्वारा दिया जाता है:
 * $$\mathbf{u} \oplus_U \mathbf{v}=\mathbf{u}+\mathbf{v}+\left\{ {\frac{\beta_\mathbf{u}}{1+\beta_\mathbf{u}}}{\frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}}{c^2}} + {\frac{1 - \beta_\mathbf{v}}{\beta_\mathbf{v}}} \right\} \mathbf{u} $$

कहाँ $$\beta_\mathbf{w}$$ द्वारा दिया गया बीटा कारक है $$\beta_\mathbf{w}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{|\mathbf{w}|^2}{c^2}}}$$.

यह सूत्र एक मॉडल प्रदान करता है जो डिस्क या अर्ध-विमानों का उपयोग करने वाले अतिपरवलयिक ज्यामिति के अन्य मॉडलों की तुलना में संपूर्ण स्थान का उपयोग करता है।

एक उचित वेग gyrovector अंतरिक्ष एक वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थान V है, जिसमें उचित वेग gyrogroup जोड़ है $$\oplus_U$$ और आर द्वारा परिभाषित अदिश गुणन के साथ$$\otimes$$v= 's सिंह(r sinh−1(|v|/s))v/|v| जहां r कोई वास्तविक संख्या है, v ∈ V, v ≠ 0 और r''$$\otimes$$0 = 0 अंकन v के साथ$$\otimes$$आर = आर$$\otimes$$में।

समाकृतिकता
जाइरोवेक्टर स्पेस आइसोमोर्फिज्म जाइरोग्रुप जोड़ और स्केलर गुणन और आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करता है।

मोबियस, आइंस्टीन और प्रॉपर वेलोसिटी तीन गाइरोवेक्टर स्पेस आइसोमॉर्फिक हैं।

यदि M, E और U तत्व v के साथ क्रमशः मोबियस, आइंस्टीन और प्रॉपर वेलोसिटी गायरोवेक्टर स्पेस हैंm, मेंe और वीu तो समरूपता द्वारा दिया जाता है: इस तालिका से बीच का संबंध $$\oplus_E$$ और $$\oplus_M$$ समीकरणों द्वारा दिया गया है: $$\mathbf{u}\oplus_E\mathbf{v}=2\otimes\left({\frac{1}{2}\otimes\mathbf{u}\oplus_M\frac{1}{2}\otimes\mathbf{v}}\right)$$

$$\mathbf{u}\oplus_M\mathbf{v}=\frac{1}{2}\otimes\left({2\otimes\mathbf{u}\oplus_E 2\otimes\mathbf{v}}\right)$$ यह मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन # लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन से संबंधित है। मोबियस ट्रांसफ़ॉर्मेशन और लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन के बीच संबंध।

जाइरोट्रिगोनोमेट्री
जायरोट्रिगोनोमेट्री हाइपरबोलिक त्रिकोणों का अध्ययन करने के लिए जाइरोकॉन्सेप्ट का उपयोग है।

अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोणमिति, जैसा कि आमतौर पर अध्ययन किया जाता है, अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों cos, sinh आदि का उपयोग करती है, और यह गोलाकार त्रिकोणमिति के साथ विरोधाभासी है जो यूक्लिडियन त्रिकोणमितीय कार्यों cos, sin का उपयोग करती है, लेकिन गोलाकार त्रिकोणमिति#Identities के साथ सामान्य समतल त्रिभुज पहचान के बजाय। जाइरोट्रिगोनोमेट्री सामान्य त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करने का दृष्टिकोण लेती है लेकिन जाइरोट्राएंगल पहचान के संयोजन के साथ।

त्रिभुज केंद्र
त्रिभुज केंद्रों का अध्ययन पारंपरिक रूप से यूक्लिडियन ज्यामिति से संबंधित है, लेकिन त्रिभुज केंद्रों का अध्ययन अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में भी किया जा सकता है। जाइरोट्रिगोनोमेट्री का उपयोग करके, त्रिकोणमितीय बैरीसेंट्रिक निर्देशांक के लिए अभिव्यक्ति की गणना की जा सकती है जो यूक्लिडियन और हाइपरबॉलिक ज्यामिति दोनों के लिए समान रूप है। अभिव्यक्तियों के मेल खाने के लिए, अभिव्यक्तियों को कोणों के 180 डिग्री होने के विनिर्देश को समाहित नहीं करना चाहिए।

जाइरोपैरालेलोग्राम जोड़
जाइरोट्रिगोनोमेट्री का उपयोग करके, जाइरोवेक्टर जोड़ पाया जा सकता है जो जाइरोपैरेललोग्राम नियम के अनुसार संचालित होता है। यह जाइरोग्रुप ऑपरेशन का #Coadition है। जाइरोपैरालेलोग्राम जोड़ क्रमविनिमेय है।

जाइरोपैराललोग्राम नियम समांतर चतुर्भुज नियम के समान है जिसमें एक जाइरोपैरललोग्राम एक अतिशयोक्तिपूर्ण चतुर्भुज है, जिसके दो जाइरोडायगोनल उनके जाइरोमिडपॉइंट्स पर प्रतिच्छेद करते हैं, ठीक उसी तरह जैसे एक समांतर चतुर्भुज एक यूक्लिडियन चतुर्भुज है जिसके दो विकर्ण उनके मध्य बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं।

बलोच वेक्टर
बलोच वैक्टर जो यूक्लिडियन 3-स्पेस की ओपन यूनिट बॉल से संबंधित हैं, आइंस्टीन जोड़ के साथ अध्ययन किया जा सकता है या मोबियस जोड़।

पुस्तक समीक्षा
पहले के gyrovector किताबों में से एक की समीक्षा निम्नलिखित कहते हैं:

वर्षों से, सापेक्षता और विद्युतगतिकी में समस्या समाधान में उपयोग के लिए गैर-यूक्लिडियन शैली को बढ़ावा देने के लिए मुट्ठी भर प्रयास किए गए हैं, जिनमें से किसी भी सकारात्मक परिणाम की अनुपस्थिति से जटिल किसी भी पर्याप्त निम्नलिखित को आकर्षित करने में विफलता को विराम देना चाहिए एक समान उपक्रम पर विचार करने वाला कोई भी। कुछ समय पहले तक, कोई भी 1912 से उपलब्ध उपकरणों में सुधार की पेशकश करने की स्थिति में नहीं था। आइंस्टीन के वेग रचना के नियम की संरचना।

नोट्स और संदर्भ

 * डोमेनिको गिउलिनी, बीजगणितीय और विशेष सापेक्षता की ज्यामितीय संरचनाएं, विशेष सापेक्षता में एक अध्याय: क्या यह अगले 100 वर्षों तक जीवित रहेगा?, क्लॉस लैमरज़ाहल द्वारा संपादित, जुरगेन एहलर्स, स्प्रिंगर, 2006।

अग्रिम पठन

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 * T Foguel (2000), Comment. Math. Univ. Carolinae, Groups, transversals, and loops
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बाहरी संबंध

 * Einstein's Special Relativity: The Hyperbolic Geometric Viewpoint