एकपदी आधार

गणित में एक [[बहुपद वलय]] का एकपदी आधार इसका आधार (रैखिक बीजगणित) होता है (क्षेत्र (गणित) या गुणांक के वलय (गणित) पर एक सदिश स्थान या मुक्त मॉड्यूल के रूप में) जिसमें सभी एकपदी शामिल होते हैं। एकपदी एक आधार बनाते हैं क्योंकि प्रत्येक बहुपद को विशिष्ट रूप से एकपदी के एक परिमित रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है (यह एक बहुपद की परिभाषा का तत्काल परिणाम है)।

एक अनिश्चित
बहुपद वलय $K[x]$ एक क्षेत्र पर एकविभिन्न बहुपदों का $K$ एक है $K$-वेक्टर स्पेस, जो है $$1, x, x^2, x^3, \ldots$$ एक (अनंत) आधार के रूप में। अधिक सामान्यतः, यदि $K$ तो एक वलय (गणित) है $K[x]$ एक मुफ़्त मॉड्यूल है जिसका आधार समान है।

अधिकतम एक बहुपद की घात वाले बहुपद $d$ एक सदिश स्थान (या गुणांकों की एक अंगूठी के मामले में एक मुक्त मॉड्यूल) भी बनाता है, जिसमें है $$1, x, x^2, \ldots$$ आधार रूप से।

किसी बहुपद का विहित रूप इस आधार पर उसकी अभिव्यक्ति है: $$a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \dots + a_d x^d,$$ या, छोटे सिग्मा संकेतन  का उपयोग करके: $$\sum_{i=0}^d a_ix^i.$$ एकपदी आधार स्वाभाविक रूप से कुल क्रम है, या तो डिग्री बढ़ाकर $$1 < x < x^2 < \cdots, $$ या घटती डिग्री से $$1 > x > x^2 > \cdots. $$

कई अनिश्चित
कई अनिश्चितताओं के मामले में $$x_1, \ldots, x_n,$$ एकपदी एक उत्पाद है $$x_1^{d_1}x_2^{d_2}\cdots x_n^{d_n},$$ जहां $$d_i$$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक हैं. जैसा $$x_i^0 = 1,$$ शून्य के बराबर घातांक का अर्थ है कि संबंधित अनिश्चित एकपदी में प्रकट नहीं होता है; विशेष रूप से $$ 1 = x_1^0 x_2^0\cdots x_n^0$$ एकपदी है.

अविभाज्य बहुपद के मामले के समान, बहुपद में $$x_1, \ldots, x_n$$ एक वेक्टर स्पेस बनाएं (यदि गुणांक किसी क्षेत्र से संबंधित हैं) या एक मुक्त मॉड्यूल (यदि गुणांक एक रिंग से संबंधित हैं), जिसमें आधार के रूप में सभी मोनोमियल का सेट होता है, जिसे मोनोमियल आधार कहा जाता है।

डिग्री के सजातीय बहुपद $$d$$ एक रैखिक उपसमष्टि बनाएं जिसमें डिग्री के एकपदी हों $$d = d_1+\cdots+d_n$$ आधार रूप से। इस उपस्थान का आयाम (वेक्टर स्थान) डिग्री के एकपदी की संख्या है $$d$$, जो है $$\binom{d+n-1}{d} = \frac{n(n+1)\cdots (n+d-1)}{d!},$$ कहाँ $\binom{d+n-1}{d}$ एक द्विपद गुणांक है.

अधिकतम घात के बहुपद $$d$$ एक उप-स्थान भी बनाते हैं, जिसमें अधिकतम डिग्री के एकपदी होते हैं $$d$$ आधार रूप से। इन एकपदों की संख्या इस उपसमष्टि के आयाम के बराबर है $$\binom{d + n}{d}= \binom{d + n}{n}=\frac{(d+1)\cdots(d+n)}{n!}.$$ अविभाज्य मामले के विपरीत, बहुभिन्नरूपी मामले में एकपदी आधार का कोई प्राकृतिक कुल क्रम नहीं है। उन समस्याओं के लिए जिनके लिए कुल क्रम चुनने की आवश्यकता होती है, जैसे कि ग्रोब्नर आधार गणना, व्यक्ति आम तौर पर एक स्वीकार्य एकपदी क्रम चुनता है - अर्थात, एकपदी के सेट पर कुल क्रम जैसे कि $$m<n \iff mq < nq$$ और $$1 \leq m$$ प्रत्येक एकपदी के लिए $$m, n, q.$$

यह भी देखें

 * हॉर्नर विधि
 * बहुपद अनुक्रम
 * न्यूटन बहुपद
 * लैग्रेंज बहुपद
 * लीजेंडर बहुपद
 * बर्नस्टीन फॉर्म
 * चेबीशेव रूप

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