बहुपद दीर्घ विभाजन

बीजगणित में, बहुपद दीर्घ विभाजन एक बहुपद को उसी या बहुपद की निचली डिग्री के दूसरे बहुपद से विभाजित करने के लिए एक कलन विधि है, जो परिचित अंकगणितीय तकनीक का एक सामान्यीकृत संस्करण है जिसे दीर्घ विभाजन कहा जाता है। इसे आसानी से हाथ से किया जा सकता है, क्योंकि यह अन्यथा जटिल विभाजन समस्या को छोटी समस्याओं में अलग कर देता है। कभी-कभी सिंथेटिक विभाजन  नामक शॉर्टहैंड संस्करण का उपयोग कम लेखन और कम गणना के साथ तेज़ होता है। एक अन्य संक्षिप्त विधि बहुपद लघु विभाजन (ब्लोमक्विस्ट की विधि) है।

बहुपद दीर्घ विभाजन एक एल्गोरिथ्म है जो बहुपद के यूक्लिडियन विभाजन को लागू करता है, जो दो बहुपद ए (लाभांश) और बी (भाजक) से शुरू होता है, यदि ' 'बी शून्य नहीं है, एक भागफल क्यू और एक शेष आर'' इस प्रकार है
 * ए = बीक्यू + आर,

और या तो आर = 0 या आर की डिग्री बी की डिग्री से कम है। ये स्थितियाँ Q और R को विशिष्ट रूप से परिभाषित करती हैं, जिसका अर्थ है कि Q और R उनकी गणना करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि पर निर्भर नहीं हैं।

परिणाम R = 0 तब होता है जब और केवल यदि बहुपद A में बहुपद गुणनखंड के रूप में B हो। इस प्रकार दीर्घ विभाजन यह परीक्षण करने का एक साधन है कि क्या एक बहुपद में एक कारक के रूप में दूसरा है, और, यदि है, तो इसका गुणनखंड करने के लिए। उदाहरण के लिए, यदि ए के बहुपद आर का मूल ज्ञात है, तो इसे ए को (x - r) से विभाजित करके गुणनखंडित किया जा सकता है।

बहुपद दीर्घ विभाजन
भागफल और भागफल का शेषफल ज्ञात कीजिए $$x^3 - 2x^2 - 4,$$ लाभांश, द्वारा $$x-3,$$ भाजक.

लाभांश को पहले इस प्रकार पुनः लिखा जाता है:


 * $$x^3 - 2x^2 + 0x - 4.$$

भागफल और शेषफल को निम्नानुसार निर्धारित किया जा सकता है:

 <ली> लाभांश के पहले पद को भाजक के उच्चतम पद से विभाजित करें (अर्थात् x की उच्चतम शक्ति वाला, जो इस मामले में x है)। परिणाम को बार के ऊपर रखें (x3 ÷ x = x2).

\begin{array}{l} {\color{White} x-3\ )\ x^3 - 2}x^2\\ x-3\ \overline{)\ x^3 - 2x^2 + 0x - 4} \end{array} $$  <ली> भाजक को अभी प्राप्त परिणाम (अंतिम भागफल का पहला पद) से गुणा करें। लाभांश के पहले दो पदों के अंतर्गत परिणाम लिखें ($x^{2} · (x − 3) = x^{3} − 3x^{2}$).

\begin{array}{l} {\color{White} x-3\ )\ x^3 - 2}x^2\\ x-3\ \overline{)\ x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\ {\color{White} x-3\ )\ } x^3 - 3x^2 \end{array} $$  <ली> मूल लाभांश की उचित शर्तों से प्राप्त उत्पाद को घटाएं (सावधान रहें कि ऋण चिह्न वाली किसी चीज़ को घटाना प्लस चिह्न वाली किसी चीज़ को जोड़ने के बराबर है), और परिणाम को नीचे लिखें ($(

x^{3} − 2x^{2}) − (x^{3} − 3x^{2}) = −2x^{2} + 3x^{2} = x^{2}$). फिर, लाभांश से अगला पद नीचे लाएँ।



\begin{array}{l} {\color{White} x-3\ )\ x^3 - 2}x^2\\ x-3\ \overline{)\ x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\ {\color{White} x-3\ )\ } \underline{x^3 - 3x^2}\\ {\color{White} x-3\ )\ 0x^3} + {\color{White}}x^2 + 0x \end{array} $$  <ली> पिछले तीन चरणों को दोहराएँ, इस बार को छोड़कर उन दो शब्दों का उपयोग करें जिन्हें अभी लाभांश के रूप में लिखा गया है।

\begin{array}{r} x^2 + {\color{White}1}x {\color{White} {} + 3}\\ x-3\ \overline{)\ x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\ \underline{x^3 - 3x^2 {\color{White} {} + 0x - 4}}\\ +x^2 + 0x {\color{White} {} - 4}\\ \underline{+x^2 - 3x {\color{White} {} - 4}}\\ +3x - 4\\ \end{array} $$  <ली> चरण 4 दोहराएँ। इस बार, नीचे लाने के लिए कुछ भी नहीं है।

\begin{array}{r} x^2 + {\color{White}1}x + 3\\ x-3\ \overline{)\ x^3 - 2x^2 + 0x - 4}\\ \underline{x^3 - 3x^2 {\color{White} {} + 0x - 4}}\\ +x^2 + 0x {\color{White} {} - 4}\\ \underline{+x^2 - 3x {\color{White} {} - 4}}\\ +3x - 4\\ \underline{+3x - 9}\\ +5 \end{array} $$  

बार के ऊपर का बहुपद भागफल q(x) है, और (5) के ऊपर बची हुई संख्या शेषफल r(x) है।


 * $${x^3 - 2x^2 - 4} = (x-3)\,\underbrace{(x^2 + x + 3)}_{q(x)} +\underbrace{5}_{r(x)}$$

अंकगणित के लिए दीर्घ विभाजन एल्गोरिथ्म उपरोक्त एल्गोरिदम के समान है, जिसमें चर x को विशिष्ट संख्या 10 से (आधार 10 में) प्रतिस्थापित किया जाता है।

बहुपद लघु विभाजन
ब्लोमक्विस्ट की विधि उपरोक्त लंबे विभाजन का संक्षिप्त संस्करण है। यह पेन-एंड-पेपर विधि बहुपद लंबे विभाजन के समान एल्गोरिदम का उपयोग करती है, लेकिन शेषफल निर्धारित करने के लिए मानसिक गणना का उपयोग किया जाता है। इसमें कम लिखने की आवश्यकता होती है, और इसलिए एक बार महारत हासिल करने के बाद यह एक तेज़ तरीका हो सकता है।

सबसे पहले विभाजन को लंबे गुणन के समान तरीके से लिखा जाता है जिसमें शीर्ष पर लाभांश और उसके नीचे भाजक होता है। भागफल को बार के नीचे बाएँ से दाएँ लिखना है।


 * $$\begin{matrix} \qquad \qquad x^3-2x^2+{0x}-4 \\ \underline{ \div \quad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3 }\end{matrix}$$

लाभांश के पहले पद को भाजक के उच्चतम पद (x) से विभाजित करें3 ÷ x = x2). परिणाम को बार के नीचे रखें. एक्स3 को कोई शेष न छोड़ते हुए विभाजित किया गया है, और इसलिए इसे बैकस्लैश के साथ प्रयुक्त के रूप में चिह्नित किया जा सकता है। परिणाम एक्स2 को फिर भाजक −3 = −3x में दूसरे पद से गुणा किया जाता है2. −2x घटाकर आंशिक शेषफल ज्ञात करें2 − (−3x2) = x2. मार्क −2x2जैसा कि उपयोग किया गया है और नया शेष x रखें2इसके ऊपर.


 * $$\begin{matrix} \qquad x^2 \\ \qquad \quad \bcancel{x^3}+\bcancel{-2x^2}+{0x}-4 \\ \underline{ \div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3 }\\x^2 \qquad \qquad \end{matrix}

$$ शेषफल के उच्चतम पद को भाजक के उच्चतम पद (x) से विभाजित करें2 ÷ x = x). परिणाम (+x) को बार के नीचे रखें। एक्स2को कोई शेष न छोड़कर विभाजित किया गया है, और इसलिए इसे प्रयुक्त के रूप में चिह्नित किया जा सकता है। फिर परिणाम x को भाजक −3 = −3x के दूसरे पद से गुणा किया जाता है। 0x - (−3x) = 3x घटाकर आंशिक शेषफल निर्धारित करें। 0x को प्रयुक्त के रूप में चिह्नित करें और उसके ऊपर नया शेष 3x रखें।


 * $$\begin{matrix} \qquad \qquad \quad\bcancel{x^2} \quad3x\\ \qquad \quad \bcancel{x^3}+\bcancel{-2x^2}+\bcancel{0x}-4 \\ \underline{ \div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3 }\\x^2 +x \qquad \end{matrix}

$$ शेषफल के उच्चतम पद को भाजक के उच्चतम पद (3x ÷ x = 3) से विभाजित करें। परिणाम (+3) को बार के नीचे रखें। 3x को कोई शेष न छोड़ते हुए विभाजित किया गया है, और इसलिए इसे प्रयुक्त के रूप में चिह्नित किया जा सकता है। फिर परिणाम 3 को भाजक −3 = −9 में दूसरे पद से गुणा किया जाता है। −4 − (−9) = 5 घटाकर आंशिक शेषफल निर्धारित करें। −4 को प्रयुक्त के रूप में चिह्नित करें और उसके ऊपर नया शेष 5 रखें।


 * $$\begin{matrix} \quad \qquad \qquad \qquad\bcancel{x^2} \quad \bcancel{3x} \quad5\\

\qquad \quad \bcancel{x^3}+\bcancel{-2x^2}+\bcancel{0x}\bcancel{-4} \\ \underline{ \div \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad x-3 }\\ x^2 +x +3\qquad \end{matrix} $$ बार के नीचे का बहुपद भागफल q(x) है, और (5) के ऊपर बची हुई संख्या शेषफल r(x) है।

छद्मकोड
एल्गोरिथ्म को छद्मकोड में निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है, जहां +, -, और × बहुपद अंकगणित का प्रतिनिधित्व करते हैं, और / दो शब्दों के सरल विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं:

फ़ंक्शन n/d है d ≠ 0 की आवश्यकता है क्यू ← 0 r ← n // प्रत्येक चरण पर n = d × q + r    जबकि r ≠ 0 और डिग्री(r) ≥ डिग्री(d) करते हैं t ← लीड(r) / लीड(d) // प्रमुख पदों को विभाजित करें क्यू ← क्यू + टी आर ← आर − टी × डी वापसी (क्यू, आर)

यह समान रूप से अच्छी तरह से तब काम करता है जब डिग्री(एन) <डिग्री(डी); उस स्थिति में परिणाम केवल मामूली (0, n) होता है।

यह एल्गोरिथम बिल्कुल उपरोक्त कागज और पेंसिल विधि का वर्णन करता है: d के बायीं ओर लिखा है ); q क्षैतिज रेखा के ऊपर, पद दर पद लिखा जाता है, अंतिम पद का मान होता है t; क्षैतिज रेखा के नीचे के क्षेत्र का उपयोग क्रमिक मानों की गणना करने और लिखने के लिए किया जाता है r.

यूक्लिडियन विभाजन
बहुपदों (ए, बी) के प्रत्येक जोड़े के लिए, जैसे कि बी ≠ 0, बहुपद विभाजन एक भागफल क्यू और एक शेष आर प्रदान करता है जैसे कि
 * $$A=BQ+R,$$

और या तो R=0 या डिग्री(R) <डिग्री(B)। इसके अलावा (Q, R) इस गुण वाले बहुपदों का अद्वितीय युग्म है।

ए और बी से विशिष्ट रूप से परिभाषित बहुपद क्यू और आर प्राप्त करने की प्रक्रिया को यूक्लिडियन विभाजन (कभी-कभी विभाजन परिवर्तन) कहा जाता है। इस प्रकार बहुपद दीर्घ विभाजन यूक्लिडियन विभाजन के लिए एक एल्गोरिथ्म है।

बहुपदों का गुणनखंडन
कभी-कभी एक बहुपद की एक या अधिक जड़ें ज्ञात होती हैं, शायद तर्कसंगत मूल प्रमेय का उपयोग करके पाई गई हों। यदि घात n वाले बहुपद P(x) का एक मूल r ज्ञात हो तो बहुपद दीर्घ विभाजन का उपयोग P(x) को गुणनखंडित करने के लिए किया जा सकता है। (x − r)(Q(x)) जहां Q(x) घात n - 1 का एक बहुपद है। Q(x) केवल विभाजन प्रक्रिया से प्राप्त भागफल है; चूँकि r को P(x) का मूल माना जाता है, इसलिए यह ज्ञात है कि शेषफल शून्य होना चाहिए।

इसी प्रकार, यदि एक से अधिक मूल ज्ञात हों, तो एक रैखिक गुणनखंड (x − r) उनमें से एक में (r) को Q(x) प्राप्त करने के लिए विभाजित किया जा सकता है, और फिर दूसरे मूल में एक रैखिक शब्द, s को Q(x) आदि से विभाजित किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, उन सभी को विभाजित किया जा सकता है एक ही बार में: उदाहरण के लिए रैखिक कारक x − r और {{nowrap|x − s}द्विघात गुणनखंड प्राप्त करने के लिए } को एक साथ गुणा किया जा सकता है x2 − (r + s)x + rs, जिसे डिग्री का भागफल प्राप्त करने के लिए मूल बहुपद P(x) में विभाजित किया जा सकता है n − 2.

इस प्रकार, कभी-कभी चार से अधिक घात वाले बहुपद के सभी मूल प्राप्त किए जा सकते हैं, हालाँकि यह हमेशा संभव नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि तर्कसंगत मूल प्रमेय का उपयोग क्विंटिक फ़ंक्शन की एकल (तर्कसंगत) जड़ प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, तो इसे चतुर्थक (चौथी डिग्री) भागफल प्राप्त करने के लिए गुणनखंडित किया जा सकता है; एक चतुर्थक फलन की जड़ों के लिए स्पष्ट सूत्र का उपयोग क्विंटिक की अन्य चार जड़ों को खोजने के लिए किया जा सकता है।

बहुपद फलनों की स्पर्शरेखाएँ ज्ञात करना
बहुपद दीर्घ विभाजन का उपयोग उस रेखा के समीकरण को खोजने के लिए किया जा सकता है जो किसी विशेष बिंदु पर बहुपद P(x) द्वारा परिभाषित फ़ंक्शन के ग्राफ़ की स्पर्शरेखा है यदि R(x), P(x) को विभाजित करने पर शेषफल है (x – r)2, फिर स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण  फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर  है इस बात पर ध्यान दिए बिना कि r बहुपद का मूल है या नहीं।

उदाहरण
उस रेखा का समीकरण ज्ञात कीजिए जो निम्नलिखित वक्र पर स्पर्शरेखा है :
 * $$y = x^3 - 12x^2 - 42.$$

बहुपद को इससे विभाजित करके प्रारंभ करें (x − 1)2 = x2 − 2x + 1:

\begin{array}{r} x - 10\\ x^2-2x+1\ \overline{)\ x^3 - 12x^2 + 0x - 42}\\ \underline{x^3 - {\color{White}0}2x^2 + {\color{White}1}x} {\color{White} {} - 42}\\ -10x^2 - {\color{White}01}x - 42\\ \underline{-10x^2 + 20x - 10}\\ -21x - 32 \end{array} $$ स्पर्शरेखा रेखा है.

चक्रीय अतिरेक जांच
एक चक्रीय अतिरेक जांच प्रेषित संदेशों में त्रुटियों का पता लगाने के लिए बहुपद विभाजन के शेष का उपयोग करती है।

यह भी देखें

 * बहुपद शेषफल प्रमेय
 * सिंथेटिक विभाजन, यूक्लिडियन बहुपद विभाजन करने की एक अधिक संक्षिप्त विधि
 * रफिनी का नियम
 * यूक्लिडियन डोमेन
 * ग्रोबनेर आधार
 * दो बहुपदों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक