अक्षीय सदिश

भौतिकी और गणित में, एक छद्म सदिश (या अक्षीय सदिश) एक राशि है जो कई स्थितियों में एक सदिश के जैसा व्यवहार करती है, लेकिन इसकी दिशा तब अनुरूप नहीं होती है जब वस्तु को घूर्णन, स्थानांतरण, परावर्तन, आदि द्वारा दृढ़ता से रूपांतरित कर दिया जाता है। ऐसा तब भी हो सकता है जब समष्टि का अभिविन्यास बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, कोणीय संवेग एक छद्मसदिश है क्योंकि इसे अधिकतर एक सदिश के रूप में वर्णित किया जाता है, लेकिन केवल संदर्भ की स्थिति को बदलने (और स्थिति सदिश को बदलने) से, कोणीय संवेग 'सदिश' दिशा को उत्क्रमित कर सकता है। यह दिशा उत्क्रमण वास्तविक सदिश के साथ नहीं होना चाहिए।

तीन आयामों में, एक बिंदु पर एक ध्रुवीय सदिश क्षेत्र का कर्ल और दो ध्रुवीय सदिशों का सदिश गुणनफल छद्मसदिश हैं।

छद्मसदिश का एक उदाहरण एक अभिविन्यस्त समतल का अभिलम्ब है। एक अभिविन्यस्त समतल को दो गैर-समानांतर सदिशों, a और b द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जो समतल को स्पैन करते हैं। सदिश a × b समतल के लिए एक अभिलम्ब है (दो अभिलम्ब हैं, प्रत्येक तरफ एक - दाहिने हाथ का नियम यह निर्धारित करेगा कि कौन सा), और एक छद्मसदिश है। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में इसके परिणाम होते हैं, जहां सतही अभिलंबों का रूपांतरण करते समय इस पर विचार करना पड़ता है।

भौतिकी में कई राशियाँ ध्रुवीय सदिशों के बजाय छद्मसदिश के रूप में व्यवहार करती हैं, जिनमें चुंबकीय क्षेत्र और कोणीय वेग सम्मिलित हैं। गणित में, तीन-आयामों में, छद्मसदिश बायवेक्टर के बराबर होते हैं, जिससे छद्मसदिश के रूपांतरण नियम प्राप्त किए जा सकते हैं। अधिक आम तौर पर n-विमीय ज्यामितीय बीजगणित में छद्मसदिश विमा n − 1 के साथ बीजगणित के अवयव होते हैं, जिसे ⋀n−1'R'n लिखा जाता है। लेबल "छद्म" को छद्मअदिश और छद्मप्रदिश के लिए और अधिक व्यापकीकृत किया जा सकता है, जो दोनों एक वास्तविक अदिश या प्रदिश की तुलना में अनुचित घूर्णनों के अंतर्गत एक अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप प्राप्त करते हैं।

भौतिक उदाहरण
छद्मसदिशों के भौतिक उदाहरणों में बलाघूर्ण, कोणीय वेग, कोणीय संवेग, चुंबकीय क्षेत्र, और चुंबकीय द्विध्रुवी आघूर्ण सम्मिलित हैं |

छद्मसदिश कोणीय संवेग L = Σ(r × p) पर विचार करें। कार में ड्राइविंग करते समय, और आगे देखते हुए, प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेतन करने वाला एक कोणीय संवेग सदिश होता है। यदि दुनिया एक दर्पण में परावर्तित होती है जो कार के बाएं और दाएं तरफ स्विच करती है, तो इस कोणीय संवेग "सदिश" का "परावर्तन" (एक साधारण सदिश के रूप में देखा जाता है) दाईं ओर संकेत करता है, लेकिन पहिए का वास्तविक कोणीय संवेग सदिश (जो अभी भी प्रतिबिंब में आगे की ओर मुड़ रहा है) अभी भी बाईं ओर संकेत करता है, जो एक छद्मसदिश के परावर्तन में अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप के अनुरूप है।

भौतिकी तंत्रों के समाधान पर सममिति के प्रभाव को समझने में ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश के मध्य अंतर महत्वपूर्ण हो जाता है। z = 0 समतल में एक विद्युत धारा पाश पर विचार करें, जो पाश के भीतर z दिशा में अभिविन्यस्त एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। यह तंत्र इस समतल के माध्यम से दर्पण परावर्तन के अंतर्गत सममित (निश्चर) है, परावर्तन द्वारा चुंबकीय क्षेत्र अपरिवर्तित है। लेकिन उस समतल के माध्यम से चुंबकीय क्षेत्र को एक सदिश के रूप में परावर्तित करने से इसके उत्क्रम होने की अपेक्षा की जाएगी; इस अपेक्षा को यह समझकर ठीक किया जाता है कि चुंबकीय क्षेत्र एक छद्मसदिश है, जिसमें अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप इसे अपरिवर्तित छोड़ देता है।

भौतिकी में, छद्मसदिश आम तौर पर दो ध्रुवीय सदिशों के सदिश गुणनफल या ध्रुवीय सदिश क्षेत्र के कर्ल को लेने के परिणाम होते हैं। सदिश गुणनफल और कर्ल को कन्वेंशन के अनुसार, दाहिने हाथ के नियम के अनुसार परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे बाएं हाथ के नियम के पदों में भी उतनी ही आसानी से परिभाषित किया जा सकता था। भौतिकी का संपूर्ण निकाय जो (दाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और दाएँ हाथ के नियम से संबंधित है, बिना किसी समस्या के (बाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और बाएँ हाथ के नियम का उपयोग करके प्रतिस्थापन किया जा सकता है। इस प्रकार परिभाषित (बाएं) छद्मसदिश दाएं हाथ के नियम द्वारा परिभाषित दिशा में विपरीत होंगे।

जबकि भौतिकी में सदिश संबंधों को निर्देशांक-मुक्त तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है, सदिश और छद्मसदिश को संख्यात्मक राशियों के रूप में व्यक्त करने के लिए एक निर्देशांक पद्धति की आवश्यकता होती है। सदिशों को संख्याओं के क्रमित त्रिक के रूप में दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए $$\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$$, और छद्मसदिशों को इस रूप में भी दर्शाया गया है। बाएं और दाएं हाथ की निर्देशांक पद्धतियों के मध्य रूपांतरण करते समय, छद्मसदिशों का निरूपण सदिशों के रूप में रूपांतरित नहीं होता है| यह समस्या उपस्थित नहीं है यदि दो सदिशों के सदिश गुणनफल को दो सदिशों के बाह्य गुणनफल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो एक बायवेक्टर उत्पन्न करता है जो 2 रैंक प्रदिश है और 3×3 मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। 2-प्रदिश का यह निरूपण किन्हीं दो निर्देशांक पद्धतियों के मध्य, उनकी सहजता से स्वतंत्र रूप से, सही ढंग से रूपांतरित होता है।

विवरण
भौतिकी में "सदिश" की परिभाषा (ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश दोनों सहित) "सदिश" (अर्थात्, अमूर्त सदिश समष्टि का कोई भी अवयव) की गणितीय परिभाषा से अधिक विशिष्ट है। भौतिकी की परिभाषा के अंतर्गत, एक "सदिश" में ऐसे घटकों की आवश्यकता होती है जो उचित घूर्णन के अंतर्गत एक निश्चित तरीके से "रूपांतरित" होते हैं: विशेष रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ घूर्णित किया जाए, तो सदिश बिल्कुल उसी प्रकार से घूर्णित होता है। (इस परिचर्चा में निर्देशांक पद्धति निर्धारित की गई है; दूसरे शब्दों में यह सक्रिय रूपांतरणों का परिप्रेक्ष्य है।) गणितीय रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ एक घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा वर्णित घूर्णन से गुजरता है, ताकि एक विस्थापन सदिश x x = Rx में रूपांतरित हो जाए, तो किसी भी "सदिश" v को इसी प्रकार v = Rv में रूपांतरित किया जाना चाहिए। यह महत्वपूर्ण आवश्यकता ही एक सदिश (जो उदाहरण के लिए, वेग के x-, y- और z-घटकों से बना हो सकता है) को भौतिक राशियों के किसी भी अन्य त्रिक से अलग करती है (उदाहरण के लिए, एक आयताकार बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को सदिश के तीन घटक नहीं माने जा सकते हैं, क्योंकि बॉक्स को घुमाने से ये तीन घटक उचित रूप से रूपांतरित नहीं होते हैं।)

(अवकल ज्यामिति की भाषा में, यह आवश्यकता एक सदिश को सहप्रसरण का प्रदिश और कोटि एक के सदिश के प्रतिपरिवर्त को परिभाषित करने के तुल्य है। इस अधिक सामान्य फ्रेमवर्क में, उच्च कोटि प्रदिशों में स्वेच्छतः से कई और मिश्रित सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्त कोटि भी हो सकते हैं, जो आइंस्टीन संकलन प्रथा (कन्वेंशन) के भीतर उन्नत और कम सूचकांकों द्वारा दर्शाए जाते हैं।

सामान्य मैट्रिक्स गुणन संकारक के अंतर्गत पंक्ति और स्तंभ सदिश का एक मूल और ठोस उदाहरण है: एक क्रम में वे डॉट उत्पाद प्राप्त करते हैं, जो सिर्फ एक अदिश है और इस तरह एक रैंक शून्य टेंसर है, जबकि दूसरे में वे डायडिक उत्पन्न करते हैं उत्पाद, जो एक मैट्रिक्स है जो एक रैंक दो मिश्रित टेंसर का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें एक कंट्रावेरिएंट और एक सहसंयोजक सूचकांक होता है। इस प्रकार, मानक मैट्रिक्स बीजगणित की गैर-अनुवर्तनीयता का उपयोग सहसंयोजक और विरोधाभासी वैक्टर के बीच अंतर का ट्रैक रखने के लिए किया जा सकता है। वास्तव में, अधिक औपचारिक और सामान्यीकृत टेंसर नोटेशन के आने से पहले बहीखाता पद्धति इसी प्रकार की जाती थी। यह अभी भी स्वयं प्रकट होता है कि व्यावहारिक हेरफेर के लिए सामान्य टेंसर रिक्त स्थान के आधार वैक्टर को कैसे प्रदर्शित किया जाता है।)

अब तक की चर्चा केवल उचित घूर्णन, यानी एक अक्ष के चारों ओर घूर्णन से संबंधित है। हालाँकि, कोई अनुचित घुमाव पर भी विचार कर सकता है, यानी दर्पण-परावर्तन के बाद संभवतः उचित घुमाव। (अनुचित घूर्णन का एक उदाहरण 3-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु के माध्यम से व्युत्क्रमण है।) मान लीजिए कि ब्रह्मांड में हर चीज अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स आर द्वारा वर्णित एक अनुचित घूर्णन से गुजरती है, जिससे एक स्थिति सदिश 'x' में बदल जाता है। x = Rx. यदि सदिश v एक ध्रुवीय सदिश है, तो इसे रूपांतरित किया जाएगा v = Rv. यदि यह एक छद्मसदिश है, तो इसे रूपांतरित किया जाएगा v = −Rv.

ध्रुवीय सदिशों और छद्मसदिशों के लिए परिवर्तन नियमों को संक्षिप्त रूप से इस प्रकार बताया जा सकता है



\begin{align} \mathbf{v}' & = R\mathbf{v} & & \text{(polar vector)} \\ \mathbf{v}' & = (\det R)(R\mathbf{v}) & & \text{(pseudovector)} \end{align} $$ जहां प्रतीक ऊपर वर्णित अनुसार हैं, और रोटेशन मैट्रिक्स आर या तो उचित या अनुचित हो सकता है। प्रतीक det निर्धारक को दर्शाता है; यह सूत्र काम करता है क्योंकि उचित और अनुचित रोटेशन मैट्रिक्स के निर्धारक क्रमशः +1 और -1 हैं।

जोड़, घटाव, अदिश गुणन के अंतर्गत व्यवहार
मान लीजिए वी1 और वी2 ज्ञात छद्मसदिश हैं, और वी3 उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, v3 = v1 + v2. यदि ब्रह्मांड एक घूर्णन मैट्रिक्स आर द्वारा रूपांतरित होता है, तो 'v'3 में परिवर्तित हो जाता है



\begin{align} \mathbf{v_3}' = \mathbf{v_1}'+\mathbf{v_2}' & = (\det R)(R\mathbf{v_1}) + (\det R)(R\mathbf{v_2}) \\ & = (\det R)(R(\mathbf{v_1}+\mathbf{v_2}))=(\det R)(R\mathbf{v_3}). \end{align} $$ तो वि3 एक छद्मसदिश भी है. इसी प्रकार कोई यह दिखा सकता है कि दो छद्मसदिशों के बीच का अंतर एक छद्मसदिश है, कि दो ध्रुवीय वैक्टरों का योग या अंतर एक ध्रुवीय सदिश है, कि एक ध्रुवीय सदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक और ध्रुवीय सदिश प्राप्त होता है, और एक छद्मसदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक ध्रुवीय सदिश प्राप्त होता है। संख्या एक और छद्मसदिश उत्पन्न करती है।

दूसरी ओर, मान लीजिए वी1 एक ध्रुवीय सदिश के रूप में जाना जाता है, वी2 एक छद्मसदिश के रूप में जाना जाता है, और वी3 उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, v3 = v1 + v2. यदि ब्रह्माण्ड एक अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा रूपांतरित होता है, तो 'v'3 में परिवर्तित हो जाता है



\mathbf{v_3}' = \mathbf{v_1}'+\mathbf{v_2}' = (R\mathbf{v_1}) + (\det R)(R\mathbf{v_2}) = R(\mathbf{v_1}+(\det R) \mathbf{v_2}). $$ इसलिए, वी3 न तो ध्रुवीय सदिश है और न ही छद्मसदिश (हालांकि भौतिकी की परिभाषा के अनुसार यह अभी भी एक सदिश है)। अनुचित घुमाव के लिए, वी3 सामान्यतः समान परिमाण भी नहीं रखता:


 * $$|\mathbf{v_3}| = |\mathbf{v_1}+\mathbf{v_2}|, \text{ but } \left|\mathbf{v_3}'\right| = \left|\mathbf{v_1}'-\mathbf{v_2}'\right|$$.

यदि v का परिमाण3 एक मापने योग्य भौतिक मात्रा का वर्णन करने के लिए, इसका मतलब यह होगा कि यदि ब्रह्मांड को दर्पण में देखा जाए तो भौतिकी के नियम समान नहीं दिखेंगे। वास्तव में, कमज़ोर अंतःक्रिया में ठीक यही होता है: कुछ रेडियोधर्मी क्षय बाएँ और दाएँ अलग-अलग व्यवहार करते हैं, एक ऐसी घटना जिसे अंतर्निहित सिद्धांत में एक छद्मसदिश के साथ एक ध्रुवीय सदिश के योग का पता लगाया जा सकता है। (समता उल्लंघन देखें।)

सदिश गुणनफलों के अंतर्गत व्यवहार
रोटेशन मैट्रिक्स आर के लिए, चाहे उचित हो या अनुचित, निम्नलिखित गणितीय समीकरण हमेशा सत्य होता है:
 * $$(R\mathbf{v_1})\times(R\mathbf{v_2}) = (\det R)(R(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}))$$,

जहां वी1 और वी2 कोई त्रि-आयामी सदिश हैं। (यह समीकरण या तो ज्यामितीय तर्क के माध्यम से या बीजगणितीय गणना के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।)

मान लीजिए वी1 और वी2 ज्ञात ध्रुवीय सदिश हैं, और v3 उनके सदिश गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है, v3 = v1 × v2. यदि ब्रह्मांड एक घूर्णन मैट्रिक्स आर द्वारा रूपांतरित होता है, तो 'v'3 में परिवर्तित हो जाता है
 * $$\mathbf{v_3}' = \mathbf{v_1}' \times \mathbf{v_2}' = (R\mathbf{v_1}) \times (R\mathbf{v_2}) = (\det R)(R(\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2})) = (\det R)(R\mathbf{v_3}).$$

तो वि3 एक छद्मसदिश है. इसी प्रकार, कोई यह दिखा सकता है: यह जोड़ मॉड्यूलो 2 का समरूपी है, जहां ध्रुवीय 1 और छद्म 0 से मेल खाता है।
 * ध्रुवीय सदिश × ध्रुवीय सदिश = छद्मसदिश
 * छद्म सदिश× छद्म सदिश= स्यूडोसदिश
 * ध्रुवीय सदिश × छद्म सदिश= ध्रुवीय सदिश
 * छद्मसदिश × ध्रुवीय सदिश = ध्रुवीय सदिश

उदाहरण
परिभाषा से यह स्पष्ट है कि विस्थापन सदिश एक ध्रुवीय सदिश है। वेग सदिश एक विस्थापन सदिश (एक ध्रुवीय सदिश) है जो समय (एक अदिश राशि) से विभाजित होता है, इसलिए यह एक ध्रुवीय सदिश भी है। इसी तरह, संवेग सदिश वेग सदिश (एक ध्रुवीय सदिश) गुना द्रव्यमान (एक अदिश) है, इसलिए एक ध्रुवीय सदिश है। कोणीय संवेग एक विस्थापन (एक ध्रुवीय सदिश) और संवेग (एक ध्रुवीय सदिश) का सदिश गुणनफल है, और इसलिए यह एक छद्मसदिश है। इस तरह से जारी रखते हुए, भौतिकी में किसी भी सामान्य सदिश को छद्मसदिश या ध्रुवीय सदिश के रूप में वर्गीकृत करना सीधा है। (कमजोर-अंतर्क्रिया के सिद्धांत में समता-उल्लंघन करने वाले सदिश हैं, जो न तो ध्रुवीय सदिश हैं और न ही छद्मसदिश हैं। हालांकि, ये भौतिकी में बहुत कम ही होते हैं।)

दाहिने हाथ का नियम
ऊपर, सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तनों का उपयोग करके छद्मसदिशों पर चर्चा की गई है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण, सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तनों की तर्ज पर, ब्रह्मांड को स्थिर रखना है, लेकिन गणित और भौतिकी में हर जगह दाएं हाथ के नियम को बाएं हाथ के नियम से बदलना है, जिसमें सदिश गुणनफल और कर्ल की परिभाषा भी सम्मिलित है ( अंक शास्त्र)। कोई भी ध्रुवीय सदिश (उदाहरण के लिए, एक अनुवाद सदिश) अपरिवर्तित होगा, लेकिन छद्मसदिश (उदाहरण के लिए, एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश) संकेतों को बदल देगा। फिर भी, समता उल्लंघन के अलावा, कुछ रेडियोधर्मी क्षय जैसी समता-उल्लंघन घटनाओं को छोड़कर, कोई भौतिक परिणाम नहीं होगा।

औपचारिकीकरण
छद्मसदिशों को औपचारिक बनाने का एक तरीका इस प्रकार है: यदि V एक n-आयाम (सदिश स्थान) सदिश स्थान है, तो V का एक छद्मसदिश (n − 1)-वें बाहरी बीजगणित#V की बाहरी शक्ति का एक तत्व है: ⋀n−1(V). V के छद्मसदिश V के समान आयाम वाला एक सदिश स्थान बनाते हैं।

यह परिभाषा उस परिभाषा के समतुल्य नहीं है जिसके लिए अनुचित घुमाव के तहत साइन फ़्लिप की आवश्यकता होती है, लेकिन यह सभी सदिश स्थानों के लिए सामान्य है। विशेष रूप से, जब n समता (गणित) है, तो ऐसे छद्मसदिश को साइन फ़्लिप का अनुभव नहीं होता है, और जब V के अंतर्निहित फ़ील्ड (गणित) की विशेषता (बीजगणित) 2 होती है, तो साइन फ़्लिप का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। अन्यथा, परिभाषाएँ समतुल्य हैं, हालाँकि यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अतिरिक्त संरचना (विशेष रूप से, या तो वॉल्यूम फॉर्म या अभिविन्यास (सदिश स्थान) ) के बिना, की कोई प्राकृतिक पहचान नहीं हैn−1(V) V के साथ।

उन्हें औपचारिक बनाने का दूसरा तरीका उन्हें प्रतिनिधित्व सिद्धांत के तत्वों के रूप में मानना ​​है $$\text{O}(n)$$. सदिश मौलिक प्रतिनिधित्व में रूपांतरित होते हैं $$\text{O}(n)$$ द्वारा दिए गए डेटा के साथ $$(\mathbb{R}^n, \rho_{\text{fund}}, \text{O}(n))$$, ताकि किसी भी मैट्रिक्स के लिए $$R$$ में $$\text{O}(n)$$, किसी के पास $$\rho_{\text{fund}}(R) = R$$. छद्मसदिश एक छद्म मौलिक प्रतिनिधित्व में बदल जाते हैं $$(\mathbb{R}^n, \rho_{\text{pseudo}}, \text{O}(n))$$, साथ $$\rho_{\text{pseudo}}(R) = \det(R)R$$. इस समरूपता को देखने का दूसरा तरीका $$n$$ इस मामले में यह अजीब है $$\text{O}(n) \cong \text{SO}(n)\times \mathbb{Z}_2$$. तब $$\rho_{\text{pseudo}}$$ समूह समरूपता का प्रत्यक्ष उत्पाद है; यह मौलिक समरूपता का प्रत्यक्ष उत्पाद है $$\text{SO}(n)$$ तुच्छ समरूपता के साथ $$\mathbb{Z}_2$$.

ज्यामितीय बीजगणित
ज्यामितीय बीजगणित में मूल तत्व सदिश होते हैं, और इनका उपयोग इस बीजगणित में उत्पादों की परिभाषाओं का उपयोग करके तत्वों का पदानुक्रम बनाने के लिए किया जाता है। विशेष रूप से, बीजगणित सदिशों से छद्मसदिश बनाता है।

ज्यामितीय बीजगणित में मूल गुणन ज्यामितीय उत्पाद है, जिसे एबी में दो वैक्टरों को जोड़कर दर्शाया जाता है। यह उत्पाद इस प्रकार व्यक्त किया गया है:


 * $$ \mathbf {ab} = \mathbf {a \cdot b} +\mathbf {a \wedge b} \, $$

जहां अग्रणी पद प्रथागत सदिश डॉट उत्पाद है और दूसरे पद को वेज उत्पाद कहा जाता है। बीजगणित की अभिधारणाओं का उपयोग करके, डॉट और वेज उत्पादों के सभी संयोजनों का मूल्यांकन किया जा सकता है। विभिन्न संयोजनों का वर्णन करने के लिए एक शब्दावली प्रदान की गई है। उदाहरण के लिए, एक मल्टीसदिश#ज्यामितीय बीजगणित विभिन्न के-मानों के के-फोल्ड वेज उत्पादों का एक योग है। के-फ़ोल्ड वेज उत्पाद को ब्लेड (ज्यामिति)|के-ब्लेड के रूप में भी जाना जाता है।

वर्तमान संदर्भ में छद्मसदिश इन संयोजनों में से एक है। यह शब्द अंतरिक्ष के आयामों (अर्थात्, अंतरिक्ष में रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर की संख्या) के आधार पर एक अलग मल्टीसदिश से जुड़ा हुआ है। तीन आयामों में, सबसे सामान्य 2-ब्लेड या बाइसदिश को दो वैक्टरों के वेज उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और यह एक छद्मसदिश है। हालाँकि, चार आयामों में, छद्मसदिश मल्टीसदिश होते हैं। सामान्य तौर पर, यह एक है (n − 1)-ब्लेड, जहां n स्थान और बीजगणित का आयाम है। एक n-आयामी स्थान में n आधार वैक्टर और n आधार छद्मसदिश भी होते हैं। प्रत्येक आधार छद्म सदिशn आधार वैक्टरों में से एक को छोड़कर सभी के बाहरी (वेज) उत्पाद से बनता है। उदाहरण के लिए, चार आयामों में जहां आधार वैक्टर को {'ई माना जाता है1, यह है2, यह है3, यह है4}, छद्मसदिशों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: {e234, यह है134, यह है124, यह है123}.

तीन आयामों में परिवर्तन
तीन आयामों में छद्म सदिशके परिवर्तन गुणों की तुलना बेलिस द्वारा सदिश सदिश गुणनफल से की गई है। वह कहते हैं: अक्षीय सदिश और छद्म सदिशशब्दों को अक्सर पर्यायवाची माना जाता है, लेकिन एक बायसदिश को उसके दोहरे से अलग करने में सक्षम होना काफी उपयोगी है। बायलिस की व्याख्या करने के लिए: तीन आयामों में दो ध्रुवीय वैक्टर (अर्थात, सच्चे सदिश) 'ए' और 'बी' को देखते हुए, 'ए' और 'बी' से बना सदिश गुणनफल उनके विमान के लिए सामान्य सदिश है जो द्वारा दिया गया है c = a × b. दाएं हाथ के ऑर्थोनॉर्मल आधार वैक्टर का एक सेट दिया गया है { eℓ }, सदिश गुणनफल को इसके घटकों के संदर्भ में इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:


 * $$\mathbf {a} \times \mathbf{b} = \left(a^2b^3 - a^3b^2\right) \mathbf {e}_1 + \left(a^3b^1 - a^1b^3\right) \mathbf {e}_2 + \left(a^1b^2 - a^2b^1\right) \mathbf {e}_3 ,$$

जहां सुपरस्क्रिप्ट सदिश घटकों को लेबल करते हैं। दूसरी ओर, दो वैक्टरों के तल को बाहरी उत्पाद या वेज उत्पाद द्वारा दर्शाया जाता है a ∧ b. ज्यामितीय बीजगणित के इस संदर्भ में, इस द्विसदिश को छद्मसदिश कहा जाता है, और यह सदिश गुणनफल का हॉज दोहरे  है। 'ई' का द्वैत1 के रूप में पेश किया गया है e23 ≡  e2 ∧ e3, इत्यादि। अर्थात ई का द्वैत1 ई के लिए लंबवत उप-स्थान है1, अर्थात् ई द्वारा फैलाया गया उपस्थान2 और ई3. इस समझ के साथ,
 * $$ \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \left(a^2b^3 - a^3b^2\right) \mathbf {e}_{23} + \left(a^3b^1 - a^1b^3\right) \mathbf {e}_{31} + \left(a^1b^2 - a^2b^1\right) \mathbf {e}_{12} \ . $$

विवरण के लिए देखें. सदिश गुणनफल और वेज उत्पाद निम्न से संबंधित हैं:


 * $$\mathbf {a} \ \wedge \ \mathbf{b} = \mathit i \ \mathbf {a} \ \times \ \mathbf{b} \ ,$$

कहाँ को स्यूडोस्केलर (क्लिफ़ोर्ड बीजगणित)#यूनिट स्यूडोस्केलर कहा जाता है।  इसकी संपत्ति है:
 * $$\mathit{i}^2 = -1 \ . $$

उपरोक्त संबंधों का उपयोग करते हुए, यह देखा गया है कि यदि आधार वैक्टर को स्थिर छोड़ते हुए सदिश ए और बी को उनके घटकों के संकेतों को बदलकर उलट दिया जाता है, तो छद्मसदिश और सदिश गुणनफल दोनों अपरिवर्तनीय हैं। दूसरी ओर, यदि घटक निश्चित हैं और आधार वैक्टर ईℓ उलटे हैं, तो छद्मसदिश अपरिवर्तनीय है, लेकिन सदिश गुणनफल संकेत बदलता है। सदिश गुणनफलों का यह व्यवहार सदिश-जैसे तत्वों के रूप में उनकी परिभाषा के अनुरूप है, जो ध्रुवीय वैक्टर के विपरीत, दाएं हाथ से बाएं हाथ के समन्वय प्रणाली में परिवर्तन के तहत संकेत बदलते हैं।

उपयोग पर ध्यान दें
एक तरफ, यह ध्यान दिया जा सकता है कि ज्यामितीय बीजगणित के क्षेत्र में सभी लेखक छद्म सदिश पद का उपयोग नहीं करते हैं, और कुछ लेखक ऐसी शब्दावली का पालन करते हैं जो छद्मसदिश और सदिश गुणनफल के मध्य अंतर नहीं करता है। हालाँकि, क्योंकि सदिश गुणनफल तीन आयामों के अलावा अन्य के लिए व्यापकीकरण नहीं करता है, इसलिए सदिश गुणनफल पर आधारित छद्मसदिश की धारणा को किसी अन्य संख्या के आयामों वाले दिकस्थान तक प्रसारित नहीं किया जा सकता है। एन-विमीय दिकस्थान में (n – 1)-ब्लेड के रूप में छद्मसदिश इस प्रकार से प्रतिबंधित नहीं है।

एक और महत्वपूर्ण बात यह है कि छद्मसदिश, अपने नाम के बावजूद, एक सदिश दिकस्थान के अवयव होने के अर्थ में "सदिश" हैं। विचार यह है कि "एक छद्मसदिश एक सदिश से भिन्न होता है |

यह भी देखें

 * बाह्य बीजगणित
 * क्लिफोर्ड बीजगणित
 * एंटीवेक्टर, क्लिफोर्ड बीजगणित में छद्म सदिश का एक व्यापकीकरण
 * अभिविन्यसनीयता - गैर-अभिविन्यसनीय स्पेस के बारे में विचार-विमर्श।
 * प्रदिश घनत्व

संदर्भ

 * Axial vector at Encyclopaedia of Mathematics
 * : The dual of the wedge product a ∧ b is the cross product a × b.
 * Axial vector at Encyclopaedia of Mathematics
 * : The dual of the wedge product a ∧ b is the cross product a × b.
 * : The dual of the wedge product a ∧ b is the cross product a × b.
 * : The dual of the wedge product a ∧ b is the cross product a × b.
 * : The dual of the wedge product a ∧ b is the cross product a × b.