विशेषण संख्या

विशेषण संख्या एक ऐसी अंक प्रणाली है जिसमें प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों को अंकों की परिमित स्ट्रिंग (गणित) का उपयोग करके पूर्णतः दर्शाया जा सकता है। यह नाम उस आक्षेप (अर्थात समानता) को संदर्भित करता है जो इस स्थिति में गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के समुच्चय और प्रतीकों के परिमित समुच्चय ("अंक") का उपयोग करके परिमित स्ट्रिंग के समुच्चय के बीच सम्मिलित है।

अधिकांश सामान्य अंक प्रणाली जैसे कि सामान्य दशमलव प्रणाली, द्विभाजित नहीं होती हैं क्योंकि अंकों की एक से अधिक स्ट्रिंग एक ही धनात्मक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं। विशेष रूप से प्रथम शून्य जोड़ने से प्रतिनिधित्व मान नहीं परिवर्तित होता है। इसलिए "1", "01" और "001" सभी संख्याओ का प्रतिनिधित्व करते हैं। यद्यपि केवल पहला सामान्य है तथ्य यह है कि अन्य संभव हैं इसका तात्पर्य है कि दशमलव प्रणाली द्विभाजित नहीं है। हालाँकि केवल एक अंक वाली यूनरी अंक प्रणाली द्विभाजित है।

द्विभाजित मूलांक k संख्या एक द्विभाजित स्थितिगत संकेतन है। यह प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक को एन्कोड करने के लिए समुच्चय {1, 2, ..., k} जहाँ k ≥ 1 से अंकों की एक स्ट्रिंग का उपयोग करता है। स्ट्रिंग में एक अंक की स्थिति इसके मान को k की घात के गुणक के रूप में परिभाषित करती है। इस संकेतन को k-एडिक कहते हैं, लेकिन इसे P एडिक संख्याओं के साथ भ्रमित नहीं किया जा सकता है। द्विभाजित अंक गैर-शून्य अंकों के परिमित स्ट्रिंग द्वारा साधारण पूर्णांकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक प्रणाली है जबकि P एडिक संख्याओं की एक प्रणाली हैं। जिनमें गणितीय मान पूर्णांक के एक उपसमुच्चय के रूप में होते हैं और किसी भी संख्यात्मक प्रतिनिधित्व में अंकों के अनंत अनुक्रम की आवश्यकता हो सकती है।

परिभाषा
आधार K द्विभाजित संख्या प्रणाली अंक समुच्चय {1, 2, ..., k} (k ≥ 1) के प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का विशिष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग करते है। जो इस प्रकार है:
 * पूर्णांक शून्य को रिक्त स्ट्रिंग $a_{n}a_{n−1} ... a_{1}a_{0}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
 * पूर्णांक गैर-रिक्त अंक-स्ट्रिंग $a_{n} k^{n} + a_{n−1} k^{n−1} + ... + a_{1} k^{1} + a_{0} k^{0}$ द्वारा दर्शाया जाता है।
 * पूर्णांक m> 0 का प्रतिनिधित्व करने वाला अंक-स्ट्रिंग $a_{n}a_{n−1} ... a_{1}a_{0}$ है।


 * जहाँ,



\begin{align} a_0 & = m  - q_0 k, & q_0 & = f\left(\frac m   k \right) & \\ a_1 & = q_0 - q_1 k, & q_1 & = f\left(\frac {q_0} k \right) & \\ a_2 & = q_1 - q_2 k, & q_2 & = f\left(\frac {q_1} k \right) & \\ & \,\,\,\vdots         &     & \,\,\,\vdots \\ a_n & = q_{n-1} - 0 k, & q_n & = f\left(\frac {q_{n-1}} k \right) = 0 \end{align} $$
 * और


 * $$f(x) = \lceil x \rceil - 1,$$
 * $$\lceil x \rceil$$ मे कम से कम पूर्णांक x (अन्तिम सीमा फलन) से कम नहीं है।

इसके विपरीत मानक स्थितीय संकेतन को एक समान पुनरावर्ती कलनविधि के साथ परिभाषित किया जा सकता है।

जहां,
 * $$f(x) = \lfloor x \rfloor, $$

पूर्णांकों तक विस्तार
आधार $$k > 1$$ के लिए द्विभाजित आधार $$k$$ संख्या प्रणाली को ऋणात्मक पूर्णांक तक बढ़ाया जा सकता है। उसी प्रकार मानक आधार के रूप में $$b$$ अंकों की अनंत संख्या का उपयोग करके अंक प्रणाली $$d_{k - 1}$$, जहाँ $$f(d_{k - 1}) = k - 1$$, अंकों के बाएं अनंत अनुक्रम $$\ldots d_{k - 1}d_{k - 1}d_{k - 1} = \overline{d_{k - 1}}$$ के रूप में दर्शाया गया है। ऐसा इसलिए है क्योंकि यूलर योग निम्न है:
 * $$g(\overline{d_{k - 1}}) = \sum_{i = 0}^\infty f(d_{k - 1}) k^i = -\frac{k - 1}{k - 1} = -1$$

जिसका तात्पर्य है कि
 * $$g(\overline{d_{k - 1}}d_{k}) = f(d_{k}) \sum_{i = 1}^\infty f(d_{k - 1}) k^i = 1 + \sum_{i = 0}^\infty f(d_{k - 1}) k^i = 0$$

प्रत्येक धनात्मक संख्या के लिए $$n$$ द्विभाजित अंक प्रतिनिधित्व के साथ $$d$$ द्वारा $$\overline{d_{k - 1}}d_{k}d$$ दर्शाया गया है। आधार $$k > 2$$,के लिए ऋणात्मक संख्या $$n < -1$$ द्वारा $$\overline{d_{k - 1}}d_{i}d$$ और $$i < k - 1$$ के साथ प्रतिनिधित्व किया जाता है। जबकि आधार $$k = 2$$ के लिए ऋणात्मक संख्या $$n < -1$$ द्वारा $$\overline{d_{k}}d$$ का प्रतिनिधित्व किया जाता है। यह संकेत अंक प्रणाली अभ्यावेदन, सभी पूर्णांकों के समान है। $$n$$ अंकों के प्रतिनिधित्व के साथ $$d$$ के रूप में $$\overline{d_0}d$$ दर्शाए गए हैं। जहाँ $$f(d_0) = 0$$ यह प्रतिनिधित्व अब द्विभाजित नहीं है क्योंकि अंकों के बाएं अनंत अनुक्रमों के पूरे समुच्चय का उपयोग P-एडिक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। $$k$$-एडिक पूर्णांक जिनमें से पूर्णांक केवल एक उपसमुच्चय हैं।

द्विभाजित आधार-K अंकों के गुण
किसी दिए गए आधार $$k \geq 2$$ के लिए, किसी दिए गए आधार $$k \geq 1$$ के लिए, 
 * गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n का प्रतिनिधित्व करने वाले द्विभाजित आधार-k अंक में n अंकों की संख्या $$\lfloor \log_k ((n+1)(k - 1))\rfloor$$ है। इसके विपरीत साधारण $$\lceil \log_k(n+1)\rceil$$ आधार k अंकों के लिए k = 1 मे यूनरी अंकों की संख्या n है।
 * सबसे छोटा गैर-ऋणात्मक पूर्णांक लंबाई के एक द्विभाजित आधार-k अंक में प्रतिनिधित्व करने योग्य $$\ell \geq 0$$, है:
 * $$\mathrm{min}(\ell)=\frac{k^{\ell}-1}{k-1}$$
 * सबसे बड़ा गैर-ऋणात्मक पूर्णांक लंबाई के एक द्विभाजित आधार-k अंक में प्रतिनिधित्व करने योग्य $$\ell \geq 0$$, है:
 * $$\mathrm{max}(\ell)=\frac{k^{\ell+1}-k}{k-1}$$, के बराबर $$\mathrm{max}(\ell)=k \times \mathrm{min}(\ell)$$, या $$\mathrm{max}(\ell)=\mathrm{min}(\ell+1)-1$$
 * एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए द्विभाजित आधार k और साधारण आधार k के अंक समान हैं। यदि और केवल यदि साधारण अंक में अंक 0 नहीं है या समतुल्य रूप से द्विभाजित अंक न तो रिक्त स्ट्रिंग है और न ही अंक k है।
 * बिल्कुल हैं $$k^{\ell}$$ द्विभाजित आधार-k लंबाई के अंक $$\ell \geq 0$$;
 * प्रायः $$k^{\ell}$$ लंबाई के द्विभाजित आधार k के लिए अंक $$\ell \geq 0$$ हैं।
 * द्विभाजित आधार-k अंकों की एक सूची के प्रतिनिधित्व किए गए पूर्णांकों के प्राकृतिक क्रम में स्वचालित रूप से लघु अनुक्रम के रूप मे होते है। सबसे छोटा अनुक्रम प्रत्येक लंबाई के भीतर कोशक्रमानुसार है। इस प्रकार रिक्त स्ट्रिंग को निरूपित करने के लिए λ का उपयोग करते हुए, आधार 1, 2, 3, 8, 10, 12 और 16 अंक निम्नानुसार हैं। जहां सामान्य प्रतिनिधित्व तुलना के लिए सूचीबद्ध हैं:

उदाहरण

 * 34152 द्विभाजित आधार 5 में 3×54 + 4×53 + 1×52 + 5×51 + 2×1 = 2427 दशमलव मे है।
 * 119A द्विभाजित आधार -10 में "A" के साथ अंक मान दस 1×103 + 1×102 + 9×101 + 10×1 = 1200 (दशमलव में) का प्रतिनिधित्व करता है।
 * A, B, C...X, Y, Z, AA, AB, AC...ZX, ZY, ZZ, AAA, AAB, AAC के क्रम का उपयोग करते हुए 26 से अधिक तत्वों वाली एक विशिष्ट वर्णमाला सूची द्विभाजित है।

द्विभाजित आधार 10 प्रणाली
द्विभाजित आधार-10 प्रणाली एक आधार दस स्थितीय अंक प्रणाली है जो शून्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंक का उपयोग नहीं करती है। इसके बजाय इसमें ए जैसे दस का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक अंक है।

परंपरागत दशमलव के साथ, प्रत्येक अंक की स्थिति दस की शक्ति का प्रतिनिधित्व करती है, इसलिए उदाहरण के लिए 123 "एक सौ, प्लस टू दहाई, प्लस थ्री यूनिट्स" है। पारंपरिक दशमलव (जैसे 123) में गैर-शून्य अंकों के साथ पूरी तरह से प्रदर्शित होने वाले सभी धनात्मक पूर्णांक शून्य के बिना दशमलव में समान प्रतिनिधित्व करते हैं। जो शून्य का उपयोग करते हैं उन्हें फिर से लिखा जाना चाहिए, इसलिए उदाहरण के लिए 10 A बन जाता है, पारंपरिक 20 1A बन जाता है, पारंपरिक 100 9A बन जाता है, पारंपरिक 101 A1 बन जाता है, पारंपरिक 302 2A2 बन जाता है, पारंपरिक 1000 99A बन जाता है, पारंपरिक 1110 AAA बन जाता है, पारंपरिक 2010 19AA बन जाता है, और इसी तरह।

शून्य के बिना दशमलव में जोड़ और गुणा अनिवार्य रूप से परंपरागत दशमलव के समान ही होते हैं, सिवाय इसके कि वह तब होता है जब कोई स्थिति दस से अधिक हो जाती है, बजाय इसके कि वह नौ से अधिक हो। तो 643 + 759 की गणना करने के लिए, बारह इकाइयाँ हैं (दाईं ओर 2 लिखें और 1 को दहाई तक ले जाएँ), दस दहाई (लिखें A को सैकड़ों तक ले जाने की आवश्यकता नहीं है), तेरह सौ (3 लिखें और 1 को दहाई तक ले जाएँ) हजारों), और एक हजार (1 लिखें), पारंपरिक 1402 के बजाय परिणाम 13A2 देने के लिए।

द्विभाजित आधार -26 प्रणाली
द्विभाजित आधार-26 प्रणाली में 26 अंकों के मान 1 (संख्या) से 26 (संख्या) |छब्बीस का प्रतिनिधित्व करने के लिए लैटिन वर्णमाला के अक्षर A से Z तक का उपयोग किया जा सकता है। (ए=1, बी=2, सी=3, ..., जेड=26)

अंकन के इस विकल्प के साथ संख्या क्रम (1 से प्रारम्भ) A, B, C, ..., X, Y, Z, AA, AB, AC, ..., AX, AY, AZ, BA, BB, प्रारम्भ होता है। ईसा पूर्व, ...

प्रत्येक अंक की स्थिति छब्बीस की शक्ति का प्रतिनिधित्व करती है, इसलिए उदाहरण के लिए, अंक एबीसी मान 1 × 262 + 2 × 261 + 3 × 260 = 731 को आधार 10 में दर्शाता है।

Microsoft Excel सहित कई स्प्रैडशीट A, B, C, ..., Z, AA, AB, ..., AZ, BA, ..., ZZ, AAA, प्रारम्भ करते हुए स्प्रेडशीट के कॉलम में लेबल असाइन करने के लिए इस प्रणाली का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक्सेल 2013 में, ए से एक्सएफडी तक लेबल किए गए 16384 कॉलम (बाइनरी कोड में 214) तक हो सकते हैं। इस प्रणाली के एक प्रकार का उपयोग चर सिस्ट्रिंग के नाम के लिए किया जाता है। इसे किसी भी समस्या पर प्रयुक्त किया जा सकता है जहां कम से कम संभव स्ट्रिंग का उपयोग करते हुए अक्षरों का व्यवस्थित नामकरण वांछित है।

ऐतिहासिक नोट्स
तथ्य यह है कि प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक का द्विभाजित बेस-के (के ≥ 1) में एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व होता है, यह एक "लोक प्रमेय" है जिसे कई बार फिर से खोजा गया है। केस k = 10 के लिए ), और सभी k ≥ 1 के लिए और  के प्रारम्भिक उदाहरण हैं। Smullyan इस प्रणाली का उपयोग एक तार्किक प्रणाली में प्रतीकों के स्ट्रिंग की गोडेल संख्या प्रदान करने के लिए करता है; बॉम प्रोग्रामिंग भाषा P  में संगणना करने के लिए इन अभ्यावेदन का उपयोग करता है। ' k = 10 के विशेष स्थिति का उल्लेख करता है, और ' मामलों k ≥ 2 पर चर्चा करता है। '' एक और पुनर्वितरण प्रतीत होता है, और परिकल्पना करता है कि यदि प्राचीन संख्या प्रणाली द्विभाजित आधार-k का उपयोग करती है, तो वे हो सकता है इस प्रणाली से सामान्य अपरिचितता के कारण, पुरातात्विक दस्तावेजों में इस रूप में मान्यता प्राप्त नहीं है।

संदर्भ

 * . (Discusses द्विभाजित मूल-10.)
 * . (Discusses द्विभाजित मूल-k for all k ≥ 2.)
 * . (Discusses द्विभाजित मूल-10.)
 * . (Discusses द्विभाजित मूल-k for all k ≥ 2.)
 * . (Discusses द्विभाजित मूल-k for all k ≥ 2.)