स्थानीय संबद्ध समष्टि

गणित की टोपोलॉजी और अन्य शाखाओं में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस X स्थानीय रूप से संबद्ध होता है यदि हर बिंदु एक आसन्न आधार को स्वीकार करता है जिसमें पूरी तरह से विवृत, संबद्ध हुआ समुच्चय होता है।

पृष्ठभूमि
टोपोलॉजी के पूरे इतिहास में, संयोजकता और संहतता सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए गए दो टोपोलॉजिकल गुण रहे हैं। वास्तव में, यूक्लिडियन स्पेस के उपसमुच्चय के बीच भी इन गुणों का अध्ययन, और यूक्लिडियन मीट्रिक के विशेष रूप से उनकी स्वतंत्रता की मान्यता ने एक टोपोलॉजिकल संपत्ति और इस प्रकार एक टोपोलॉजिकल स्पेस की धारणा को स्पष्ट करने में एक बड़ी भूमिका निभाई। हालाँकि, जबकि यूक्लिडियन स्पेस के सघन उपसमुच्चय की संरचना को हेइन-बोरेल प्रमेय के माध्यम से काफी पहले ही समझ लिया गया था, $$\R^n$$ के संबद्ध उपसमुच्चय (n>1 के लिए) बहुत अधिक जटिल साबित हुए। दरअसल, जबकि कोई भी सघन हॉसडॉर्फ स्पेस स्थानीय रूप से सघन होता है, एक संबद्ध स्पेस - और यहां तक ​​कि यूक्लिडियन प्लेन का एक संबद्ध उपसमुच्चय - स्थानीय रूप से कनेक्ट होने की आवश्यकता नहीं है (नीचे देखें)।

इससे बीसवीं शताब्दी के पूर्वार्ध में अनुसंधान की एक समृद्ध श्रृंखला शुरू हुई, जिसमें टोपोलॉजिस्ट ने स्थानीय रूप से संबद्ध स्थान की धारणा पर तेजी से सूक्ष्म और जटिल विविधताओं के बीच निहितार्थ का अध्ययन किया। उदाहरण के तौर पर, एक बिंदु पर कमजोर स्थानीय संयोजकता की धारणा और स्थानीय संयोजकता से इसके संबंध पर लेख में बाद में विचार किया जाएगा।

बीसवीं सदी के उत्तरार्ध में, अनुसंधान की प्रवृत्ति कई गुना  जैसे स्थानों के अधिक गहन अध्ययन की ओर स्थानांतरित हो गई, जो स्थानीय रूप से अच्छी तरह से समझे जाते हैं (यूक्लिडियन स्पेस के लिए स्थानीय रूप से होमोमोर्फिक होने के कारण) लेकिन जटिल वैश्विक व्यवहार रखते हैं। इसका मतलब यह है कि यद्यपि मैनिफोल्ड्स की मूल बिंदु-सेट टोपोलॉजी अपेक्षाकृत सरल है (क्योंकि अवधारणा की अधिकांश परिभाषाओं के अनुसार मैनिफोल्ड्स अनिवार्य रूप से  मेट्रिज़ेबल  हैं), उनकी बीजगणितीय टोपोलॉजी कहीं अधिक जटिल है। इस आधुनिक परिप्रेक्ष्य से, स्थानीय पथ संयोजकता की मजबूत संपत्ति अधिक महत्वपूर्ण हो जाती है: उदाहरण के लिए, किसी स्थान को सार्वभौमिक कवर स्वीकार करने के लिए इसे कनेक्ट किया जाना चाहिए और स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध होना चाहिए। स्थानीय पथ संयोजकता पर भी चर्चा की जाएगी।

एक स्थान स्थानीय रूप से तभी संबद्ध होता है जब प्रत्येक खुले सेट यू के लिए, यू के संबद्ध घटक (सबस्पेस टोपोलॉजी में) खुले हों। उदाहरण के लिए, यह इस प्रकार है कि स्थानीय रूप से संबद्ध स्थान से पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किए गए स्थान तक निरंतर कार्य स्थानीय रूप से स्थिर होना चाहिए। वास्तव में घटकों का खुलापन इतना स्वाभाविक है कि किसी को यह ध्यान में रखना चाहिए कि यह सामान्य रूप से सच नहीं है: उदाहरण के लिए कैंटर स्पेस पूरी तरह से अलग हो गया है लेकिन अलग स्थान नहीं है।

परिभाषाएँ
होने देना $$X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें, और रहने दें $$x$$ का एक बिंदु हो $$X.$$ एक स्थान $$X$$ स्थानीय रूप से संबद्ध कहा जाता है $$x$$ यदि प्रत्येक पड़ोस (गणित) का $$x$$ का एक संबद्ध (टोपोलॉजी) खुला पड़ोस शामिल है $$x$$, अर्थात्, यदि बात है $$x$$ एक पड़ोस का आधार है जिसमें संबद्ध हुए खुले सेट शामिल हैं। स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ स्थान एक ऐसा स्थान है जो अपने प्रत्येक बिंदु पर स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है।

स्थानीय जुड़ाव का मतलब जुड़ाव नहीं है (दो असंयुक्त खुले अंतरालों पर विचार करें)। $$\R$$ उदाहरण के लिए); और संयोजकता का मतलब स्थानीय संयोजकता नहीं है (टोपोलॉजिस्ट का साइन कर्व देखें)।

एक स्थान $$X$$ स्थानीय रूप से संबद्ध हुए पथ को कहा जाता है $$x$$ यदि प्रत्येक पड़ोस $$x$$ के खुले पड़ोस से संबद्ध एक पथ शामिल है $$x$$, अर्थात्, यदि बात है $$x$$ एक पड़ोस आधार है जिसमें पथ से संबद्ध खुले सेट शामिल हैं। एक स्थानीय पथ से संबद्ध स्थान एक ऐसा स्थान है जो अपने प्रत्येक बिंदु पर स्थानीय पथ से संबद्ध हुआ है।

स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध स्थान स्थानीय रूप से संबद्ध हुए हैं। उलटा पकड़ में नहीं आता है (इकाई वर्ग पर लेक्सिकोग्राफ़िक ऑर्डर टोपोलॉजी देखें)।

छोटे पैमाने पर जुड़ाव
एक स्थान $$X$$ संबद्ध इम क्लेनेन एट कहा जाता है $$x$$ या कमजोर रूप से स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है $$x$$ यदि प्रत्येक पड़ोस $$x$$ का एक संबद्ध हुआ पड़ोस शामिल है $$x$$, अर्थात्, यदि बात है $$x$$ एक पड़ोस आधार है जिसमें संबद्ध हुए सेट शामिल हैं। किसी स्थान को कमजोर रूप से स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ कहा जाता है यदि वह अपने प्रत्येक बिंदु पर कमजोर रूप से स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है; जैसा कि नीचे बताया गया है, यह अवधारणा वास्तव में स्थानीय रूप से संबद्ध होने के समान है।

एक स्थान जो स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है $$x$$ छोटे से में संबद्ध हुआ है $$x.$$ जैसा कि उदाहरण के लिए घटते झाड़ू स्थानों के एक निश्चित अनंत संघ द्वारा दिखाया गया है, यह उलटा नहीं है, जो एक विशेष बिंदु पर संबद्ध हुआ है, लेकिन उस बिंदु पर स्थानीय रूप से संबद्ध नहीं है। हालाँकि, यदि कोई स्थान अपने प्रत्येक बिंदु पर संबद्ध हुआ है, तो यह स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है। एक स्थान $$X$$ कहा जाता है कि पथ संबद्ध हुआ है $$x$$ यदि प्रत्येक पड़ोस $$x$$ के पड़ोस से संबद्ध एक पथ शामिल है $$x$$, अर्थात्, यदि बात है $$x$$ एक पड़ोस आधार है जिसमें पथ से संबद्ध सेट शामिल हैं।

एक स्थान जो स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध हुआ है $$x$$ पथ छोटे से संबद्ध हुआ है $$x.$$ जैसा कि ऊपर बताए गए घटते झाड़ू स्थानों के समान अनंत संघ द्वारा दिखाया गया है, इसका उलटा असर नहीं करता है। हालाँकि, यदि कोई स्थान अपने प्रत्येक बिंदु पर पथ से संबद्ध हुआ है, तो यह स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध हुआ है।

पहले उदाहरण

 * 1) किसी भी सकारात्मक पूर्णांक n के लिए, यूक्लिडियन स्पेस $$\R^n$$ स्थानीय पथ से संबद्ध हुआ है, इस प्रकार स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है; यह भी संबद्ध हुआ है.
 * 2) अधिक सामान्यतः, प्रत्येक स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस स्थानीय रूप से संबद्ध होता है, क्योंकि प्रत्येक बिंदु पर उत्तल सेट (और इसलिए संबद्ध हुआ) पड़ोस का एक स्थानीय आधार होता है।
 * 3) उपस्थान $$S = [0,1] \cup [2,3]$$ असली लाइन का $$\R^1$$ स्थानीय रूप से पथ संबद्ध है लेकिन संबद्ध नहीं है.
 * 4) टोपोलॉजिस्ट का साइन वक्र यूक्लिडियन प्लेन का एक उपस्थान है जो संबद्ध हुआ है, लेकिन स्थानीय रूप से संबद्ध नहीं है।
 * 5) स्पेस $$\Q$$ मानक यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संपन्न परिमेय संख्याएँ, न तो जुड़ी हुई हैं और न ही स्थानीय रूप से जुड़ी हुई हैं।
 * 6) कंघी स्थान पथ से संबद्ध है लेकिन स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध नहीं है, और स्थानीय रूप से भी संबद्ध नहीं है।
 * 7) सहपरिमित टोपोलॉजी से संपन्न एक अनगिनत अनंत सेट स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है (वास्तव में, हाइपरसंबद्ध) ​​लेकिन स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध नहीं है।
 * 8) यूनिट स्क्वायर पर लेक्सिकोग्राफ़िक ऑर्डर टोपोलॉजी संबद्ध और स्थानीय रूप से संबद्ध है, लेकिन पथ संबद्ध नहीं है, न ही स्थानीय पथ संबद्ध है।
 * 9) किर्च स्थान संबद्ध हुआ है और स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है, लेकिन पथ से संबद्ध नहीं है, और किसी भी बिंदु पर पथ से संबद्ध नहीं है। वास्तव में यह पूरी तरह से पथ विच्छेदित है।

प्रथम-गणनीय हॉसडॉर्फ़ स्थान $$(X, \tau)$$ स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध हुआ है यदि और केवल यदि $$\tau$$ पर अंतिम टोपोलॉजी के बराबर है $$X$$ सेट से प्रेरित $$C([0, 1]; X)$$ सभी सतत पथों का $$[0, 1] \to (X, \tau).$$

गुण
$$

गैर-तुच्छ दिशा के लिए, मान लें $$X$$ स्थानीय रूप से कमजोर रूप से जुड़ा हुआ है। यह दिखाने के लिए कि यह स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है, यह दिखाना पर्याप्त है कि खुले सेट के जुड़े घटक (टोपोलॉजी) खुले हैं।

होने देना $$U$$ में खुले रहो $$X$$ और जाने $$C$$ का एक जुड़ा हुआ घटक बनें $$U.$$ होने देना $$x$$ का एक तत्व बनें $$C.$$ तब $$U$$ का पड़ोस है $$x$$ ताकि एक जुड़ा हुआ पड़ोस हो $$V$$ का $$x$$ में निहित $$U.$$ तब से $$V$$ जुड़ा हुआ है और शामिल है $$x,$$ $$V$$ का एक उपसमुच्चय होना चाहिए $$C$$ (जुड़ा हुआ घटक युक्त $$x$$). इसलिए $$x$$ का एक आंतरिक बिंदु है $$C.$$ तब से $$x$$ का एक मनमाना बिंदु था $$C,$$ $$C$$ में खुला है $$X.$$ इसलिए, $$X$$ स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है.


 * 1) स्थानीय जुड़ाव, परिभाषा के अनुसार, टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की एक स्थानीय संपत्ति है, यानी, एक टोपोलॉजिकल संपत्ति पी जैसे कि एक स्थान, स्थानीय संपत्ति द्वारा धारित सभी मेटाप्रॉपर्टी स्थानीय संयोजकता के लिए मान्य हैं। विशेष रूप से:
 * 2) कोई स्थान स्थानीय रूप से तभी संबद्ध होता है जब वह (खुले) संबद्ध उपसमुच्चय के आधार (टोपोलॉजी) को स्वीकार करता है।
 * 3)  असंयुक्त संघ (टोपोलॉजी)  $$\coprod_i X_i$$ एक परिवार का $$\{X_i\}$$ रिक्त स्थान स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है यदि और केवल यदि प्रत्येक $$X_i$$ स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है. विशेष रूप से, चूंकि एक बिंदु निश्चित रूप से स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है, इसका मतलब यह है कि कोई भी अलग स्थान स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है। दूसरी ओर, एक अलग स्थान पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया है, इसलिए केवल तभी संबद्ध हुआ है जब इसमें अधिकतम एक बिंदु हो।
 * 4) इसके विपरीत, एक पूरी तरह से अलग किया गया स्थान स्थानीय रूप से तभी संबद्ध होता है जब वह अलग हो। इसका उपयोग उपरोक्त तथ्य को समझाने के लिए किया जा सकता है कि तर्कसंगत संख्याएँ स्थानीय रूप से जुड़ी नहीं हैं।
 * 5) एक गैर-रिक्त उत्पाद स्थान $$\prod_i X_i$$ स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है यदि और केवल यदि प्रत्येक $$X_i$$ स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है और सीमित रूप से बहुत सारे को छोड़कर सभी $$X_i$$ संबद्ध हुए हैं।
 * 6) प्रत्येक हाइपरसंबद्ध स्पेस स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है, और संबद्ध हुआ है।

घटक और पथ घटक
निम्नलिखित परिणाम परिभाषाओं से लगभग तुरंत मिलता है लेकिन काफी उपयोगी होगा:

लेम्मा: मान लीजिए कि X एक स्थान है, और $$\{Y_i\}$$ X के उपसमुच्चय का एक परिवार। मान लीजिए कि $$ \bigcap_i Y_i $$ गैर-रिक्त है. फिर, यदि प्रत्येक $$Y_i$$ संबद्ध हुआ है (क्रमशः, पथ संबद्ध हुआ) फिर संघ $$\bigcup_i Y_i$$ संबद्ध हुआ है (क्रमशः, पथ संबद्ध हुआ है)। अब टोपोलॉजिकल स्पेस X: for पर दो संबंधों पर विचार करें $$x,y \in X,$$ लिखना:
 * $$x \equiv_c y$$ यदि X का एक संबद्ध हुआ उपसमुच्चय है जिसमें x और y दोनों हैं; और
 * $$ x \equiv_{pc} y $$ यदि X का एक पथ से संबद्ध उपसमुच्चय है जिसमें x और y दोनों हैं।

जाहिर तौर पर दोनों संबंध प्रतिवर्ती और सममित हैं। इसके अलावा, यदि x और y एक संबद्ध हुए (क्रमशः, पथ से संबद्ध) उपसमुच्चय A में समाहित हैं और y और z एक संबद्ध हुए (क्रमशः, पथ से संबद्ध) उपसमुच्चय B में संबद्ध हुए हैं, तो लेम्मा का तात्पर्य है कि $$A \cup B$$ एक संबद्ध हुआ (क्रमशः, पथ संबद्ध हुआ) उपसमुच्चय है जिसमें x, y और z शामिल हैं। इस प्रकार प्रत्येक संबंध एक समतुल्य संबंध है, और एक्स के विभाजन को समतुल्य वर्गों में परिभाषित करता है। हम इन दोनों विभाजनों पर बारी-बारी से विचार करते हैं।

एक्स में एक्स के लिए, सेट $$C_x$$ सभी बिंदुओं में से y ऐसा है $$y \equiv_c x$$ x का संबद्ध कंपोनेंट (टोपोलॉजी) कहलाता है। लेम्मा का तात्पर्य यह है $$C_x$$ एक्स युक्त एक्स का अद्वितीय अधिकतम संबद्ध उपसमुच्चय है। चूंकि का समापन $$C_x$$ यह एक संबद्ध हुआ उपसमुच्चय भी है जिसमें x शामिल है, यह इस प्रकार है कि $$C_x$$ बन्द है। यदि एक्स में केवल सीमित रूप से कई संबद्ध हुए घटक हैं, तो प्रत्येक घटक बंद सेटों के एक सीमित संघ का पूरक है और इसलिए खुला है। सामान्य तौर पर, संबद्ध हुए घटकों को खुला होने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि, उदाहरण के लिए, पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किए गए स्थान मौजूद हैं (यानी, $$C_x = \{x\}$$ सभी बिंदुओं के लिए x) जो अलग-अलग नहीं हैं, जैसे कैंटर स्पेस। हालाँकि, स्थानीय रूप से संबद्ध स्थान के संबद्ध घटक भी खुले हैं, और इस प्रकार क्लोपेन सेट हैं। यह इस प्रकार है कि स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ स्थान X एक टोपोलॉजिकल असंयुक्त संघ है $$\coprod C_x$$ इसके विशिष्ट संबद्ध घटकों की। इसके विपरीत, यदि X के प्रत्येक खुले उपसमुच्चय U के लिए, U के संबद्ध हुए घटक खुले हैं, तो X संबद्ध हुए सेटों का एक आधार स्वीकार करता है और इसलिए स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है। इसी तरह एक्स में एक्स, सेट $$PC_x$$ सभी बिंदुओं में से y ऐसा है $$y \equiv_{pc} x$$ x का पथ घटक कहलाता है। ऊपरोक्त अनुसार, $$PC_x$$ एक्स के सभी पथ से संबद्ध उपसमूहों का संघ भी है जिसमें एक्स शामिल है, इसलिए लेम्मा द्वारा स्वयं पथ संबद्ध हुआ है। क्योंकि पथ से संबद्ध सेट संबद्ध हुए हैं, हमारे पास है $$PC_x \subseteq C_x$$ सभी के लिए $$x \in X.$$ हालाँकि, पथ से संबद्ध सेट को बंद करने के लिए पथ से संबद्ध होने की आवश्यकता नहीं है: उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिस्ट का साइन वक्र खुले उपसमुच्चय U का बंद होना है जिसमें x > 0 के साथ सभी बिंदु (x, y) शामिल हैं, और U, एक के लिए होमोमोर्फिक है। वास्तविक रेखा पर अंतराल निश्चित रूप से पथ से संबद्ध हुआ है। इसके अलावा, टोपोलॉजिस्ट के साइन वक्र सी के पथ घटक यू हैं, जो खुला है लेकिन बंद नहीं है, और $$C \setminus U,$$ जो बंद है लेकिन खुला नहीं है.

एक स्थान स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध होता है यदि और केवल तभी जब सभी खुले उपसमुच्चय यू के लिए, यू के पथ घटक खुले हों। इसलिए स्थानीय पथ से संबद्ध स्थान के पथ घटक एक्स को जोड़ीदार असंयुक्त खुले सेटों में विभाजित करते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध स्थान का एक खुला संबद्ध उपस्थान आवश्यक रूप से पथ से संबद्ध हुआ है। इसके अलावा, यदि कोई स्थान स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध हुआ है, तो वह स्थानीय रूप से भी संबद्ध हुआ है, इसलिए सभी के लिए $$x \in X,$$ $$C_x$$ संबद्ध हुआ और खुला है, इसलिए पथ संबद्ध हुआ है, अर्थात, $$C_x = PC_x.$$ अर्थात्, स्थानीय रूप से पथ से संबद्ध स्थान के लिए घटक और पथ घटक मेल खाते हैं।

उदाहरण

 * 1) सेट $$I \times I$$ (कहाँ $$I = [0, 1]$$) शब्दावली क्रम में टोपोलॉजी में बिल्कुल एक घटक होता है (क्योंकि यह संबद्ध हुआ है) लेकिन इसमें अनगिनत पथ घटक होते हैं। दरअसल, फॉर्म का कोई भी सेट $$\{a\} \times I$$ I से संबंधित प्रत्येक a के लिए एक पथ घटक है।
 * 2) होने देना $$f : \R \to \R_{\ell}$$ से एक सतत मानचित्र बनें $$\R$$ को $$\R_{\ell}$$ (जो है $$\R$$ निचली सीमा टोपोलॉजी में)। तब से $$\R$$ संबद्ध हुआ है, और एक सतत मानचित्र के अंतर्गत संबद्ध स्थान की छवि जुड़ी होनी चाहिए, की छवि $$\R$$ अंतर्गत $$f$$ संबद्ध होना चाहिए. इसलिए, की छवि $$\R$$ अंतर्गत $$f$$ के एक घटक का उपसमुच्चय होना चाहिए $$\R_{\ell}/$$ चूँकि यह छवि गैर-रिक्त है, 'से एकमात्र सतत मानचित्र$$\R$$ को $$\R_{\ell},$$ स्थिर मानचित्र हैं. वास्तव में, किसी संबद्ध हुए स्थान से पूरी तरह से असंबद्ध स्थान तक का कोई भी निरंतर मानचित्र स्थिर होना चाहिए।

अर्धघटक
एक्स को टपॉलजी का मूल्य रहने दें। हम X पर तीसरा संबंध परिभाषित करते हैं: $$x \equiv_{qc} y$$ यदि X को खुले सेट A और B में इस प्रकार अलग नहीं किया गया है कि x, A का एक तत्व है और y, B का एक तत्व है। यह X और समतुल्य वर्ग पर एक तुल्यता संबंध है $$QC_x$$ x युक्त को x का 'अर्धघटक' कहा जाता है।

$$QC_x$$ इसे एक्स के सभी क्लोपेन उपसमुच्चय के प्रतिच्छेदन के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जिसमें एक्स शामिल है। इसलिए $$QC_x$$ बन्द है; सामान्यतः इसे खुला रखने की आवश्यकता नहीं है।

ज़रूर $$C_x \subseteq QC_x$$ सभी के लिए $$x \in X.$$ कुल मिलाकर हमारे पास x पर पथ घटकों, घटकों और अर्धघटकों के बीच निम्नलिखित सामग्रियां हैं: $$PC_x \subseteq C_x \subseteq QC_x.$$ यदि एक्स स्थानीय रूप से संबद्ध हुआ है, तो, ऊपर के अनुसार, $$C_x$$ एक क्लोपेन सेट है जिसमें x है, इसलिए $$QC_x \subseteq C_x$$ और इस तरह $$QC_x = C_x.$$ चूंकि स्थानीय पथ संयोजकता का तात्पर्य स्थानीय संयोजकता से है, इसका मतलब यह है कि हमारे पास स्थानीय पथ से संबद्ध स्थान के सभी बिंदुओं x पर है $$PC_x = C_x = QC_x.$$ रिक्त स्थान का एक अन्य वर्ग जिसके लिए अर्धघटक घटकों से सहमत होते हैं, सघन हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान का वर्ग है।

उदाहरण

 * 1) किसी स्थान का एक उदाहरण जिसके अर्धघटक उसके घटकों के बराबर नहीं हैं, दोहरे सीमा बिंदु वाला एक अनुक्रम है। यह स्थान पूरी तरह से अलग हो गया है, लेकिन दोनों सीमा बिंदु एक ही अर्धघटक में स्थित हैं, क्योंकि उनमें से किसी एक वाले क्लोपेन सेट में अनुक्रम की एक पूंछ होनी चाहिए, और इस प्रकार दूसरा बिंदु भी होना चाहिए।
 * 2) स्पेस $$(\{0\}\cup\{\frac{1}{n} : n \in \Z^+\}) \times [-1,1] \setminus \{(0,0)\}$$ स्थानीय रूप से सघन और हॉसडॉर्फ लेकिन सेट हैं $$\{0\} \times [-1,0)$$ और $$\{0\} \times (0,1]$$ दो अलग-अलग घटक हैं जो एक ही अर्धघटक में निहित हैं।
 * 3) एरेन्स-फोर्ट स्थान स्थानीय रूप से संबद्ध नहीं है, लेकिन फिर भी घटक और अर्धघटक मेल खाते हैं: वास्तव में $$QC_x = C_x = \{x\}$$ सभी बिंदुओं के लिए x.

यह भी देखें

 * एमएलसी अनुमान
 * एमएलसी अनुमान
 * एमएलसी अनुमान

संदर्भ

 * John L. Kelley; General Topology ; ISBN 0-387-90125-6
 * Stephen Willard; General Topology ; Dover Publications, 2004.
 * Stephen Willard; General Topology ; Dover Publications, 2004.
 * Stephen Willard; General Topology ; Dover Publications, 2004.
 * Stephen Willard; General Topology ; Dover Publications, 2004.

अग्रिम पठन

 * . For Hausdorff spaces, it is shown that any continuous function from a connected locally connected space into a connected space with a dispersion point is constant