स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी

प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल   अध्ययन किए गए द्विआधारी संबंधों की पारगमनता गुणधर्म के प्रसंभाव्य संस्करण हैं। प्रसंभाव्य पारगमनता के कई मॉडल होते हैं और युग्मित तुलनाओं के प्रयोगों में सम्मिलित संभावनाओं का वर्णन करने के लिए उनका उपयोग किया गया है, विशेषतः उन परिदृश्यों में जहां पारगमनता अपेक्षित है, यद्यपि, द्विआधारी संबंध का अनुभवजन्य अवलोकन संभाव्य है। उदाहरण के लिए, किसी खेल में खिलाड़ियों का कौशल पारगमन होने की अपेक्षा की जा सकती है, अर्थात "यदि खिलाड़ी A, B से उत्तम है और B, C से उत्तम है, तो खिलाड़ी A को C से उत्तम होना चाहिए"; यद्यपि किसी भी मैच में एक दुर्बल खिलाड़ी भी सकारात्मक संभावना के साथ विजय प्राप्त कर सकता है। दृढ़ता से सुमेलित खिलाड़ी को इस व्युत्क्रम के अवलोकन की अधिक संभावना हो सकती है, जबकि कौशल में विशाल अंतर वाले खिलाड़ी इन व्युत्क्रम को संभवतः प्रेक्षित कर पाएंगे। प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल संभावनाओं (उदाहरण के लिए, किसी खेल का निष्कर्ष) और अंतर्निहित पारगमन संबंध (उदाहरण के लिए खिलाड़ियों के कौशल) के बीच ऐसे संबंधों को औपचारिक बनाते हैं।

समुच्चय $$\mathcal{A}$$ पर द्विआधारी संबंध $\succsim$ को मानक गैर-प्रसंभाव्य अर्थ में पारगमन कहा जाता है, यदि $$\mathcal{A}$$ के सभी सदस्यों $$a,b,c$$ के लिए $$a \succsim b$$ और $$b \succsim c$$ तात्पर्य $$a \succsim c$$ हैं।.

पारगमनता के प्रसंभाव्य संस्करणों में सम्मिलित हैं:
 * 1) अशक्त प्रसंभाव्य पारगमनता (डबल्यूएसटी): ' $$\mathbb{P}(a\succsim b)\geq \tfrac{1}{2}$$ और $$\mathbb{P}(b\succsim c)\geq \tfrac{1}{2}$$ तात्पर्य $$\mathbb{P}(a\succsim c)\geq \tfrac{1}{2}$$, सभी के लिए $$a,b,c \in \mathcal{A}$$;
 * 2) मजबूत स्टोकेस्टिक ट्रांज़िटिविटी (एसएसटी): $$\mathbb{P}(a\succsim b)\geq \tfrac{1}{2}$$ और $$\mathbb{P}(b\succsim c)\geq \tfrac{1}{2}$$ तात्पर्य $$\mathbb{P}(a\succsim c)\geq \max \{\mathbb{P}(a\succsim b),\mathbb{P}(b\succsim c)\}$$, सभी के लिए $$a,b,c \in \mathcal{A}$$;
 * 3) रैखिक स्टोकेस्टिक ट्रांज़िटिविटी (एलएसटी): $$\mathbb{P}(a\succsim b) = F(\mu(a) - \mu(b))$$, सभी के लिए $$a,b \in \mathcal{A}$$, कहाँ $$F:\mathbb{R} \to [0,1]$$ कुछ बढ़ता हुआ कार्य है और  फ़ंक्शन (तुलना फ़ंक्शन कहा जाता है), और $$\mu: \mathcal{A}\to \mathbb{R}$$ सेट से कुछ मैपिंग है $$\mathcal{A}$$ वास्तविक रेखा के विकल्पों का (जिसे योग्यता फलन कहा जाता है)।

एक खिलौने का उदाहरण
संगमरमर का खेल - मान लें कि दो बच्चे, बिली और गैब्रिएला मार्बल एकत्रित करते हैं। बिली नीले मार्बल और गैब्रिएला हरे मार्बल एकत्र करता है। वे एकत्र होकर एक खेल खेलते हैं जहां वे अपने सभी मार्बल को एक थैले में मिश्रित करते हैं और यादृच्छिक रूप से एक का नमूना लेते हैं। यदि नमूना लिया गया मार्बल हरा है तो गैब्रिएला विजयी होती है और यदि नीला है, तो बिली विजय होता है। यदि थैली में $$B$$ नीले मार्बल की संख्या है और $$G$$ हरे मार्बल की संख्या है, तो गैब्रिएला के विरुद्ध बिली के विजयी की प्रायिकता $$\mathbb{P}(\text{Billy} \succsim \text{Gabriela})$$ है

$$\mathbb{P}(\text{Billy} \succsim \text{Gabriela}) = \frac{B}{B+G} = \frac{e^{\ln(B)}}{e^{\ln(B)}+e^{\ln(G)}} = \frac{1}{1+e^{\ln(G)-\ln(B)}}$$.

इस उदाहरण में, संगमरमर का खेल रैखिक प्रसंभाव्य पारगमनता को संतुष्ट करता है, जहाँ तुलना फलन $$F:\mathbb{R} \to [0,1]$$ द्वारा दिया गया है $$F(x) = \frac{1}{1+e^{-x }}$$ और योग्यता फलन $$\mu: \mathcal{A}\to \mathbb{R}$$, $$\mu(M) = \ln(M)$$,द्वारा दिया गया है, जहाँ $$M$$ खिलाड़ी के मार्बल की संख्या है। यह खेल ब्रैडली-टेरी मॉडल का एक उदाहरण है।

अनुप्रयोग

 * श्रेणीकरण और सन्‍निर्धारण - प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल का उपयोग कई श्रेणीकरण और सन्‍निर्धारण प्रणालियों के आधार के रूप में किया गया है। उदाहरणों में शतरंज, गो और अन्य शास्त्रीय खेलों में उपयोग की जाने वाली एलो रेटिंग प्रणाली के साथ-साथ एक्सबॉक्स गेमिंग प्लेटफ़ॉर्म के लिए उपयोग की जाने वाली माइक्रोसॉफ्ट की ट्रूस्किल सम्मिलित है।
 * मनोविज्ञान और तर्कसंगतता के मॉडल - थर्स्टोनियन मॉडल (तुलनात्मक निर्णय के नियम में केस 5 देखें), फेचनेरियन मॉडल और लूस की वरण सिद्धांत ऐसे सिद्धांत हैं जिनका आधार प्रसंभाव्य पारगमनता के गणित पर है। इसके अतिरिक्त, तर्कसंगत वरण सिद्धांत के मॉडल प्राथमिकताओं की पारगमनता की अवधारणा पर आधारित हैं (वॉन न्यूमैन की उपयोगिता और डेब्रू के प्रमेय देखें), यद्यपि, ये प्राथमिकताएं प्रायः प्रसंभाव्य तरीके से रव के साथ प्रत्यक्ष होती हैं।
 * यंत्र अधिगम और कृत्रिम बुद्धि (श्रेणीकरण करना सीखें देखें) - जबकि एलो और ट्रूस्किल विशिष्ट एलएसटी मॉडल पर निर्भर करते हैं, यंत्र अधिगम मॉडल को अंतर्निहित प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल के पूर्व ज्ञान के बिना या प्रसंभाव्य पारगमनता पर सामान्य अवधारणाओं से अशक्त के अंतर्गत श्रेणीकरण करने के लिए विकसित किया गया है।   युग्मित तुलनाओं से अधिगम भी अभिरूचि में है क्योंकि यह एआई एजेंट को अन्य एजेंट की अंतर्निहित प्राथमिकताओं के ज्ञात की अनुमति देता है।
 * गेम थ्योरी - यादृच्छिक नॉकआउट टूर्नामेंट की निष्पक्षता अंतर्निहित प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल पर दृढ़ता से निर्भर है।   सामाजिक वरण सिद्धांत का आधार भी प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल पर निर्भर करती है।

मॉडलों के मध्य संबंध
सकारात्मक परिणाम:

नकारात्मक परिणाम:
 * 1) प्रत्येक मॉडल जो रैखिक प्रसंभाव्य पारगमनता को संतुष्ट करता है उसे दृढ़ प्रसंभाव्य पारगमनता को भी संतुष्ट करना चाहिए, जिसे परिणामस्वरूप अशक्त प्रसंभाव्य पारगमनता को संतुष्ट करना चाहिए। इसे इस प्रकार दर्शाया गया है: एलएसटी $$\implies$$ एसएसटी$$\implies$$डब्ल्यूएसटी;
 * 2) चूंकि ब्रैडली-टेरी मॉडल और थर्स्टन का केस V मॉडल एलएसटी मॉडल हैं, वे एसएसटी और डब्लूएसटी को भी संतुष्ट करते हैं;
 * 3)  की सुविधा के कारण, कुछ लेखकों     स्वयंसिद्ध की पहचान की है  रैखिक स्टोकेस्टिक ट्रांज़िटिविटी (और अन्य मॉडल) के, सबसे विशेष रूप से जेरार्ड डेब्रू ने दिखाया कि:      +    $$\implies$$ एलएसटी (डेब्रू प्रमेय भी देखें);
 * 4) व्युत्क्रमणीय तुलना फलन $$F(x)$$ और  $$G(x)$$ द्वारा दिए गए दो LST मॉडल  हैं, यदि और केवल यदि कुछ $$\kappa \geq 0.$$  के लिए $$F(x) = G(\kappa x)$$ है।


 * 1) प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल अनुभवतः  हैं, यद्यपि वे मिथ्याकरणीय हो सकते हैं;
 * 2) एलएसटी तुलना फलन $$F(x)$$ और  $$G(x)$$ के मध्य  है, यद्यपि सीमित  में डेटा की अनंत मात्रा प्रदान की गई हो;
 * 3) डब्लूएसटी, एसएसटी और एलएसटी मॉडल के लिए सामान्य रूप से एनपी-हार्ड है, हालांकि एसएसटी और एलएसटी मॉडल के लिए इष्टतम बहुपद रूप से गणना योग्य अनुमान प्रक्रियाएं ज्ञात हैं।

यह भी देखें

 * असंक्रामक खेल
 * निर्णय सिद्धांत
 * उपयोगितावाद