सदिश-मूल्यवान अवकल रूप

गणित में, मैनिफोल्ड M पर सदिश - मान विभेदक रूप है जिसमे कि एक सदिश स्थल है जो कि V में मानों के साथ M पर विभेदक रूप है। तथा अधिक सामान्यतः, यह है की M के ऊपर कुछ सदिश मान E में मानों के साथ विभेदक रूप है। साधारण विभेदक रूपों को R-मान विभेदक रूपों के रूप में देखा जा सकता है।

सदिश -मान विभेदक रूपों का महत्वपूर्ण स्तिथि बीजगणित-मान रूप हैं। (एक कनेक्शन प्रपत्र ऐसे रूप का उदाहरण है।)

परिभाषा
मान लीजिए कि M एक स्मूथ मैनिफोल्ड है और E → M, M के ऊपर स्मूथ सदिश मान है। हम मान E के अनुभाग (फाइबर मान) के स्थान को Γ(E) से निरूपित करते हैं। डिग्री P का 'ई-मान विभेदक रूप' Λp(T ∗M), के साथ ई के टेंसर उत्पाद मान का स्मूथ खंड है M के कोटैंजेंट मान की p-th बाहरी शक्ति। ऐसे रूपों का स्थान निम्न द्वारा दर्शाया गया है
 * $$\Omega^p(M,E) = \Gamma(E\otimes\Lambda^pT^*M).$$

क्योंकि Γ स्ट्रोंग मोनोइडल फ़ैक्टर है, इसका अर्थ इस प्रकार भी निकाला जा सकता है
 * $$\Gamma(E\otimes\Lambda^pT^*M) = \Gamma(E) \otimes_{\Omega^0(M)} \Gamma(\Lambda^pT^*M) = \Gamma(E) \otimes_{\Omega^0(M)} \Omega^p(M),$$

जहां बाद के दो टेंसर उत्पाद रिंग के ऊपर मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद हैं जिसमे (गणित) Ω0(M) M पर सुचारू 'R'-मान वाले फलन (सातवां उदाहरण मॉड्यूल देखें (गणित)#उदाहरण)। परंपरा के अनुसार, E-मान 0-रूप मान E का सिर्फ खंड है। यानी,
 * $$\Omega^0(M,E) = \Gamma(E).\,$$

समान रूप से, E-मान विभेदक रूप को सदिश मान आकारिकी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 * $$TM\otimes\cdots\otimes TM \to E$$

जो पूरी तरह से तिरछा-सममित मैट्रिक्स| तिरछा-सममित है।

मान लीजिए V निश्चित सदिश समष्टि है। डिग्री P का 'V-मान विभेदक रूप' तुच्छ मान M × V में मानों के साथ डिग्री P का विभेदक रूप है। ऐसे रूपों का स्थान ΩP(M, V) दर्शाया गया है जब V = 'R' साधारण विभेदक रूप की परिभाषा को पुनः प्राप्त करता है। तो कोई यह भी दिखा सकता है कि प्राकृतिक समरूपता V परिमित-आयामी है|
 * $$\Omega^p(M) \otimes_\mathbb{R} V \to \Omega^p(M,V),$$

एक समरूपता वह है, जहां पहला टेंसर उत्पाद R पर सदिश रिक्त स्थानों का है,

पुलबैक
कोई सामान्य रूपों की तरह ही स्मूथ मानचित्रों द्वारा सदिश -मान रूपों के पुलबैक (विभेदक ज्यामिति) को परिभाषित कर सकता है। सहज मानचित्र द्वारा N पर E-मान रूप का पुलबैक φ : M → N, M पर (φ*E)-मान रूप है, जहां φ*E, φ द्वारा E का पुलबैक मान है।

सूत्र सामान्य स्तिथि की तरह ही दिया गया है। N पर किसी भी E-मान P-रूप ω के लिए पुलबैक φ*ω द्वारा दिया जाता है
 * $$ (\varphi^*\omega)_x(v_1,\cdots, v_p) = \omega_{\varphi(x)}(\mathrm d\varphi_x(v_1),\cdots,\mathrm d\varphi_x(v_p)).$$

वेज उत्पाद
सामान्य विभेदक रूपों की तरह है, कोई सदिश -मान रूपों के वेज उत्पाद को परिभाषित कर सकता है। E1 का वेज उत्पाद -E2 के साथ मान P -रूप -मान Q-रूप  स्वाभाविक रूप से (E1⊗E2) है| तथा मूल्यांकित (p+q)-रूप में  होता है |
 * $$\wedge : \Omega^p(M,E_1) \times \Omega^q(M,E_2) \to \Omega^{p+q}(M,E_1\otimes E_2).$$

यह परिभाषा सामान्य रूपों की तरह ही होती है, इस अपवाद के साथ कि वास्तविक गुणन को टेंसर उत्पाद से बदल दिया जाता है:
 * $$(\omega\wedge\eta)(v_1,\cdots,v_{p+q}) = \frac{1}{p! q!}\sum_{\sigma\in S_{p+q}}\sgn(\sigma)\omega(v_{\sigma(1)},\cdots,v_{\sigma(p)})\otimes \eta(v_{\sigma(p+1)},\cdots,v_{\sigma(p+q)}).$$

विशेष रूप से, E-मान Q-रूप के साथ साधारण (R-मान) P-रूप  का वेज उत्पाद स्वाभाविक रूप से E -मान होता है ( p+q)-रूप (चूंकि तुच्छ मान M × R के साथ E का टेंसर उत्पाद स्वाभाविक रूप से E के समरूपी है)। ω ∈ ΩP(M) और η ∈ ΩQ(M, E) के लिए में सामान्य क्रमपरिवर्तन संबंध होता है:
 * $$\omega\wedge\eta = (-1)^{pq}\eta\wedge\omega.$$

सामान्य तौर पर, दो E-मान रूपों का वेज उत्पाद और E-मान रूप नहीं है, बल्कि (E⊗E)-मान रूप है। हालाँकि, यदि E बीजगणित मान है (अर्थात केवल सदिश रिक्त स्थान के बजाय फ़ील्ड पर बीजगणित का मान) तो कोई E-मान रूप प्राप्त करने के लिए E में गुणन के साथ रचना कर सकता है। यदि ई क्रमविनिमेय बीजगणित, साहचर्य बीजगणित का मान है, तो इस संशोधित पच्चर उत्पाद के साथ, सभी E-मान विभेदक रूपों का सेट
 * $$\Omega(M,E) = \bigoplus_{p=0}^{\dim M}\Omega^p(M,E)$$

एक श्रेणीबद्ध-क्रमविनिमेय साहचर्य बीजगणित बन जाता है। यदि E के तंतु क्रमविनिमेय नहीं हैं तो Ω(M,E) श्रेणीबद्ध-क्रमविनिमेय नहीं होंगे।

बाहरी व्युत्पन्न
किसी भी सदिश समष्टि V के लिए V-मान रूपों के समष्टि पर प्राकृतिक बाह्य व्युत्पन्न होता है। यह वी के किसी भी आधार (रैखिक बीजगणित) के सापेक्ष घटक-वार सामान्य बाहरी व्युत्पन्न अभिनय है। स्पष्ट रूप से, यदि {Eα} V के लिए आधार है तो V-मान P-रूप को ω = ωαeα का विभेदक  द्वारा दिया गया है
 * $$d\omega = (d\omega^\alpha)e_\alpha.\,$$

वी-मान रूपों पर बाहरी व्युत्पन्न पूरी तरह से सामान्य संबंधों द्वारा विशेषता है:
 * $$\begin{align}

&d(\omega+\eta) = d\omega + d\eta\\ &d(\omega\wedge\eta) = d\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta\qquad(p=\deg\omega)\\ &d(d\omega) = 0. \end{align}$$ अधिक आम तौर पर, उपरोक्त टिप्पणियाँ ई-मान रूपों पर लागू होती हैं जहां ई एम पर कोई फ्लैट सदिश मान है (यानी सदिश मान जिसका संक्रमण कार्य स्थिर है)। ई के किसी भी स्थानीय तुच्छीकरण पर बाहरी व्युत्पन्न को उपरोक्त के रूप में परिभाषित किया गया है।

यदि ई समतल नहीं है तो ई-मान रूपों पर अभिनय करने वाले बाहरी व्युत्पन्न की कोई प्राकृतिक धारणा नहीं है। ई पर कनेक्शन (सदिश मान) के विकल्प की आवश्यकता है। ई पर कनेक्शन रैखिक विभेदक ऑपरेटर है जो ई के अनुभागों को ई-मान रूप में लेता है:
 * $$\nabla : \Omega^0(M,E) \to \Omega^1(M,E).$$

यदि E कनेक्शन ∇ से सुसज्जित है तो अद्वितीय सहसंयोजक बाहरी व्युत्पन्न है
 * $$d_\nabla: \Omega^p(M,E) \to \Omega^{p+1}(M,E)$$

विस्तार ∇. सहसंयोजक बाहरी व्युत्पन्न रैखिकता और समीकरण द्वारा विशेषता है
 * $$d_\nabla(\omega\wedge\eta) = d_\nabla\omega\wedge\eta + (-1)^p\,\omega\wedge d\eta$$

जहां ω ई-मान पी-फॉर्म है और η सामान्य क्यू-फॉर्म है। सामान्य तौर पर, किसी को d होना आवश्यक नहीं है∇2 = 0. वास्तव में, ऐसा तभी होता है जब कनेक्शन ∇ समतल हो (अर्थात लुप्त हो रही वक्रता का रूप हो)।

प्रमुख बंडलों पर मूल या तन्य रूप
मान लीजिए E → M, M के ऊपर रैंक k का सहज सदिश मान है और π : F(E) → M, E का (संबद्ध मान) फ़्रेम मान है, जो प्रमुख मान GL हैk(आर) एम पर मान। E का π द्वारा पुलबैक मान विहित रूप से F(E) × के समरूपी हैρ Rk [u, v] →u(v) के व्युत्क्रम के माध्यम से, जहां ρ मानक प्रतिनिधित्व है। इसलिए, एम पर ई-वैल्यू फॉर्म के π द्वारा पुलबैक 'आर' निर्धारित करता हैk-F(E) पर मूल्यांकित रूप। यह जाँचना कठिन नहीं है कि यह खींचा हुआ रूप जीएल की प्राकृतिक समूह क्रिया (गणित) के संबंध में समतुल्य|दाएँ-समतुल्य है।k(आर) एफ(ई) × आर परk और ऊर्ध्वाधर मान (F(E) के स्पर्शरेखा सदिश जो dπ के कर्नेल में स्थित हैं) पर गायब हो जाता है। एफ(ई) पर ऐसे सदिश -मान रूप विशेष शब्दावली की गारंटी देने के लिए काफी महत्वपूर्ण हैं: उन्हें एफ(ई) पर मूल या टेंसोरियल फॉर्म कहा जाता है।

मान लीजिए π : P → M (सुचारू) प्रिंसिपल मान है|प्रिंसिपल G-मान है और मान लीजिए कि V समूह प्रतिनिधित्व ρ : G → GL(V) के साथ निश्चित सदिश स्पेस है। P पर ρ प्रकार का 'बेसिक' या 'टेन्सोरिअल फॉर्म', P पर V-वैल्यू फॉर्म ω है जो इस अर्थ में 'समतुल्य' और 'क्षैतिज' है यहां आरg कुछ g ∈ G के लिए P पर G की सही क्रिया को दर्शाता है। ध्यान दें कि 0-रूपों के लिए दूसरी शर्त शून्य रूप से सत्य है।
 * 1) $$(R_g)^*\omega = \rho(g^{-1})\omega\,$$ सभी जी ∈ जी के लिए, और
 * 2) $$\omega(v_1, \ldots, v_p) = 0$$ जब भी कम से कम वीi ऊर्ध्वाधर हैं (अर्थात्, dπ(vi) = 0).

उदाहरण: यदि ρ ली बीजगणित पर G का संयुक्त प्रतिनिधित्व है, तो कनेक्शन फॉर्म ω पहली शर्त को संतुष्ट करता है (लेकिन दूसरी नहीं)। संबंधित वक्रता रूप Ω दोनों को संतुष्ट करता है; इसलिए Ω आसन्न प्रकार का तन्य रूप है। दो कनेक्शन रूपों का विभेदक तन्य रूप है।

उपरोक्त P और ρ को देखते हुए कोई संबंधित सदिश मान E = P × का निर्माण कर सकता हैρ V. P पर टेन्सोरिअल q-फॉर्म, M पर E-मूल्य वाले q-फॉर्म के साथ प्राकृतिक एक-से-एक पत्राचार में हैं। जैसा कि ऊपर प्रमुख मान F(E) के स्तिथि में है, q-फॉर्म दिया गया है $$\overline{\phi}$$ E में मानों के साथ M पर, P पर φ को फ़ाइबरवाइज द्वारा परिभाषित करें, मान लीजिए u पर,
 * $$\phi = u^{-1}\pi^*\overline{\phi}$$

जहां यू को रैखिक समरूपता के रूप में देखा जाता है $$V \overset{\simeq}\to E_{\pi(u)} = (\pi^*E)_u, v \mapsto [u, v]$$. φ तो प्रकार ρ का तन्य रूप है। इसके विपरीत, प्रकार ρ का तन्य रूप φ दिया गया है, वही सूत्र ई-मान रूप को परिभाषित करता है $$\overline{\phi}$$ एम पर (सीएफ. चेर्न-वेइल होमोमोर्फिज्म।) विशेष रूप से, सदिश रिक्त स्थान का प्राकृतिक आइसोमोर्फिज्म है
 * $$\Gamma(M, E) \simeq \{ f: P \to V | f(ug) = \rho(g)^{-1}f(u) \}, \, \overline{f} \leftrightarrow f$$.

उदाहरण: मान लीजिए E, M का स्पर्शरेखा मान है। फिर पहचान मान मानचित्र आईडीE: ई → ई, एम पर ई-वैल्यू वन फॉर्म है। टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म ई के फ्रेम मान पर अद्वितीय वन-फॉर्म है जो आईडी से मेल खाता हैE. θ द्वारा निरूपित, यह मानक प्रकार का तन्य रूप है। अब, मान लीजिए कि पी पर कनेक्शन है ताकि पी पर (विभिन्न) सदिश -मान रूपों पर बाहरी सहसंयोजक भेदभाव डी हो। उपरोक्त पत्राचार के माध्यम से, डी ई-मान रूपों पर भी कार्य करता है: ∇ द्वारा परिभाषित करें
 * $$\nabla \overline{\phi} = \overline{D \phi}.$$

विशेष रूप से शून्य-रूपों के लिए,
 * $$\nabla: \Gamma(M, E) \to \Gamma(M, T^*M \otimes E)$$.

यह बिल्कुल कनेक्शन (सदिश मान) के लिए सहसंयोजक व्युत्पन्न है।

उदाहरण
सील मॉड्यूलर रूप सीगल मॉड्यूलर किस्म पर सदिश -मान विभेदक रूपों के रूप में उत्पन्न होते हैं।

संदर्भ

 * Shoshichi Kobayashi and Katsumi Nomizu (1963) Foundations of Differential Geometry, Vol. 1, Wiley Interscience.