स्ट्रेन-रेट टेंसर

सातत्य यांत्रिकी में, स्ट्रेन-रेट टेंसर या रेट-ऑफ-स्ट्रेन टेंसर एक भौतिक मात्रा है, जो एक निश्चित समय पर एक निश्चित बिंदु के निकटतम एक सामग्री के विरूपण (यांत्रिकी) व्युत्पन्न का वर्णन करता है। इसे समय के संबंध में स्ट्रेन टेन्सर के व्युत्पन्न के रूप में या प्रवाह वेग के जैकबियन आव्यूह (स्थिति के संबंध में व्युत्पन्न) के सममित घटक के रूप में द्रव यांत्रिकी में परिभाषित किया जा सकता है, इसे वेग प्रवणता के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है, यह एक माप है कि द्रव के भीतर विभिन्न बिंदुओं के बीच द्रव का वेग क्षेत्र कैसे परिवर्तित होता है। चूंकि यह शब्द एक पाइप में प्रवाह की परतों के बीच वेग के अंतर को संदर्भित कर सकता है। इसका उपयोग अधिकांशतः इसके निर्देशांक के संबंध में प्रवाह के वेग की प्रवणता के लिए किया जाता है। अवधारणा में मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स, खनन और जल उपचार सहित भौतिकी और अभियांत्रिकी के विभिन्न क्षेत्रों में निहितार्थ हैं।

स्ट्रेन रेट टेन्सर एक विशुद्ध रूप से गतिकी अवधारणा है जो सामग्री के स्थूल गति का वर्णन करता है। इसलिए, यह सामग्री की प्रकृति पर, या उस पर कार्य करने वाली ताकतों और स्ट्रेनों पर निर्भर नहीं करता है; चाहे वह ठोस, तरल या गैस हो और यह किसी भी सतत यांत्रिकी पर लागू हो सकता है।

दूसरी ओर, अतितरल को छोड़कर किसी भी द्रव के लिए, इसके विरूपण में कोई भी क्रमिक परिवर्तन (यानी एक गैर-शून्य तनाव दर टेंसर) आसन्न वद्र तत्वों के बीच घर्षण के कारण, इसके आंतरिक भाग में श्यान बलों को उत्पन्न करता है, जो उस परिवर्तन का विरोध करते हैं। द्रव में किसी भी बिंदु पर, इन स्ट्रेनों को एक श्यान स्ट्रेन टेंसर द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो लगभग निरंतर, पूरे प्रकार से स्ट्रेन रेट टेंसर और उस बिंदु पर द्रव के कुछ आंतरिक गुणों द्वारा निर्धारित होता है। स्थिर विरूपण में देखे गए इलास्टिक स्ट्रेन टेंसर के अतिरिक्त ठोस पदार्थों में श्यान स्ट्रेन भी होता है; जब यह अनदेखा करने के लिए बहुत बड़ा होता है, तो सामग्री को विस्कोइलास्टिक कहा जाता है।

आयामी विश्लेषण
आयामी विश्लेषण करके वेग प्रवणता के आयाम निर्धारित किए जा सकते हैं। वेग का आयाम $$\mathsf {M^0 L^1 T^{-1}} $$ है, और दूरी का आयाम $$\mathsf{ M^0 L^1 T^0}$$ है। चूँकि वेग प्रवणता को वेग दूरी $$\frac{\Delta \text{velocity}}{\Delta \text{distance}}$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसलिए अर्थात$$\mathsf{ M^0 L^0 T^{-1} }$$ वेग प्रवणता के आयाम इस अनुपात के समान हैं।

सातत्य यांत्रिकी में
3 आयामों में, वेग $$\nabla\mathbf{v}$$ का प्रवणता $$\mathbf{v}$$ एक दूसरे क्रम का टेन्सर है जिसे आव्यूह (गणित) $$\mathbf{L}$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:$$\mathbf{L} = \nabla\mathbf{v} = \begin{bmatrix} {\frac{\partial v_x}{\partial x}} & {\frac{\partial v_x}{\partial y}} & {\frac{\partial v_x}{\partial z}} \\ {\frac{\partial v_y}{\partial x}} & {\frac{\partial v_y}{\partial y}} & {\frac{\partial v_y}{\partial z}\ } \\ {\frac{\partial v_z}{\partial x}} & {\frac{\partial v_z}{\partial y}} & {\frac{\partial v_z}{\partial z}} \end{bmatrix}$$$$\mathbf{L}$$ को एक सममित आव्यूह $$\textbf{E}$$ और एक स्कयू-सममित आव्यूह $$\textbf{W}$$ के योग में निम्नानुसार विघटित किया जा सकता है,$$\begin{align} \mathbf{E} &= \frac{1}{2} \left(\mathbf{L} + \mathbf{L}^\textsf{T}\right) \\ \mathbf{W} &= \frac{1}{2} \left(\mathbf{L} - \mathbf{L}^\textsf{T}\right) \end{align}$$$$\textbf{E}$$ को स्ट्रेन रेट टेंसर कहा जाता है और यह स्ट्रेचिंग और शियरिंग के रेट का वर्णन करता है। $$\textbf{W}$$ को स्पिन टेंसर कहा जाता है और यह घूर्णन के रेट का वर्णन करता है।

अपरूपण प्रतिबल और वेग क्षेत्र के बीच संबंध
सर आइजैक न्यूटन ने प्रस्तावित किया कि अपरूपण प्रतिबल वेग प्रवणता के सीधे आनुपातिक होता है: $$\tau = \mu\frac{\partial u} {\partial y}.$$आनुपातिकता के स्थिरांक, $$\mu$$ को गतिशील श्यानता कहा जाता है।

औपचारिक परिभाषा
एक भौतिक पिंड, ठोस या द्रव पर विचार करें, जो बह रहा है और/या स्पेस में गतिमान है। मान लीजिए $v$ शरीर के भीतर वेग क्षेत्र है; अर्थात्, $R^{3} × R$ से एक सुचारू कार्य जैसे कि $v(p, t)$ उस सामग्री का स्थूल वेग है जो समय $t$ पर बिंदु $p$ से गुजर रहा है।

वेग $v(p + r, t)$ से विस्थापित एक बिंदु पर $p$ एक छोटे सदिश द्वारा $r$ टेलर श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है:$$\mathbf{v}(\mathbf{p} + \mathbf{r}, t) = \mathbf{v}(\mathbf{p}, t) + (\nabla \mathbf{v})(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}) + \text{higher order terms},$$जहां ∇v वेग क्षेत्र की प्रवणता है, इसे एक रेखीय मानचित्र के रूप में समझा जाता है जो वेग में संबंधित परिवर्तन के लिए एक विस्थापन सदिश r लेता है।

एक यादृच्छिक संदर्भ फ्रेम में, $v(p + r)$ क्षेत्र के जैकोबियन आव्यूह से संबंधित है, अर्थात् 3 आयामों में यह 3 × 3 आव्यूह है। $$\left(\nabla \mathbf{v}\right)^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} \partial_1 v_1 & \partial_2 v_1 & \partial_3 v_1 \\ \partial_1 v_2 & \partial_2 v_2 & \partial_3 v_2 \\ \partial_1 v_3 & \partial_2 v_3 & \partial_3 v_3 \end{bmatrix} = \mathbf{J}.$$ जहां $t$ समन्वय अक्ष $v_{i}$ के समानांतर $v(p)$ का घटक है और $(∇v)(p, t)(r)$ अंतरिक्ष निर्देशांक $i$ के संबंध में एक फ़ंक्शन $x_{j}$ के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है। ध्यान दें कि $v(p + r, t)$, $p$ और $f$ का एक फलन है।

इस समन्वय प्रणाली में, $p$ के निकट वेग के लिए टेलर सन्निकटन है$$v_i(\mathbf{p} + \mathbf{r}, t) = v_i(\mathbf{p}, t) + \sum_j J_{i j}(\mathbf{p}, t) r_j = v_i(\mathbf{p}, t) + \sum_j \partial_j v_i(\mathbf{p}, t) r_j;$$या केवल$$\mathbf{v}(\mathbf{p} + \mathbf{r}, t) = \mathbf{v}(\mathbf{p}, t) + \mathbf{J}(\mathbf{p}, t) \mathbf{r}$$यदि $∇v$ और $v$ को 3 × 1 आव्यूह के रूप में देखा जाता है।

सममित और प्रतिसममितीय भाग
इसी प्रकार किसी भी आव्यूह को एक सममित आव्यूह और प्रतिसममितीय आव्यूह के योग में विघटित किया जा सकता है। इसे क्रमशः सममित और प्रतिसममितीय घटकों $∂_{j}f$ और $J$ के साथ जैकोबियन आव्यूह पर लागू करा जा सकता है:$$\begin{align} \mathbf{E} &= \frac{1}{2}\left(\mathbf{J} + \mathbf{J}^\textsf{T}\right) & \mathbf{R} &= \frac{1}{2}\left(\mathbf{J} - \mathbf{J}^\textsf{T}\right) \\ E_{ij} &= \frac{1}{2}\left(\partial_j v_i + \partial_i v_j\right) & R_{ij} &= \frac{1}{2}\left(\partial_j v_i - \partial_i v_j\right) \end{align}$$

यह अपघटन समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है, और इसलिए इसका भौतिक महत्व है। तब वेग क्षेत्र का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है।$$\mathbf{v}(\mathbf{p} + \mathbf{r}, t) \approx \mathbf{v}(\mathbf{p}, t) + \mathbf{E}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}) + \mathbf{R}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}),$$अर्थात,$$\begin{align} v_i(\mathbf{p} + \mathbf{r}, t)   &= v_i(\mathbf{p}, t) + \sum_j E_{i j}(\mathbf{p}, t) r_j + \sum_j R_{i j}(\mathbf{p}, t) r_j \\ &= v_i(\mathbf{p}, t) + \frac{1}{2}\sum_j \left(\partial_j v_i(\mathbf{p}, t) + \partial_i v_j(\mathbf{p}, t)\right)r_j + \frac{1}{2}\sum_j \left(\partial_j v_i(\mathbf{p}, t) - \partial_i v_j(\mathbf{p}, t)\right)r_j \end{align}$$प्रतिसममितीय शब्द $p$, बिंदु $p$ के बारे में द्रव के कठोर-समान घुमाव का प्रतिनिधित्व करता है। इसका कोणीय वेग $v$ है। $$\vec{\omega} = \frac{1}{2} \nabla \times \mathbf{v} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \partial_2 v_3 - \partial_3 v_2 \\ \partial_3 v_1 - \partial_1 v_3 \\ \partial_1 v_2 - \partial_2 v_1 \end{bmatrix}.$$ उत्पाद $r$ को सदिश क्षेत्र का घूर्णी कर्ल कहा जाता है। एक कठोर घुमाव द्रव तत्वों की सापेक्ष स्थिति को परिवर्तित नहीं करता है, इसलिए वेग प्रवणता का प्रतिसममितीय शब्द $E(p, t)(r)$ विरूपण के परिवर्तन के रेट में योगदान नहीं करता है। इसलिए वास्तविक स्ट्रेन रेट को सममित $R(p, t)(r)$ शब्द द्वारा वर्णित किया गया है, जो स्ट्रेन रेट टेंसर है।

शियर रेट और कम्प्रेशन रेट
सममित शब्द $E$ (रेट-ऑफ़-स्ट्रेन टेन्सर) को इकाई टेंसर के अदिश गुणन के योग के रूप में तोड़ा जा सकता है, जो क्रमिक आइसोट्रोपिक विस्तार या संकुचन का प्रतिनिधित्व करता है; और एक ट्रेसलेस (गणित) सममित टेंसर जो क्रमिक शियर विरूपण का प्रतिनिधित्व करता है, इसके अतिरिक्त मात्रा में कोई परिवर्तन नहीं होता है: $$\mathbf{E}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}) = \mathbf{S}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}) + \mathbf{D}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}).$$अर्थात,$$E_{ij} = \underbrace{\frac{1}{3}\left(\sum_k\partial_k v_k\right) \delta_{ij}}_{\text{rate-of-expansion tensor } S_{ij}} + \underbrace{\overbrace{\frac{1}{2}\left(\partial_i v_j + \partial_j v_i\right)}^{E_{ij}}-S_{ij}}_{\text{rate-of-shear tensor } D_{ij}},$$

यहां $R$ इकाई टेंसर है, जैसे कि यदि $R$ है तो $t$ 1 है और यदि $p$ है तो 0 है। यह अपघटन समन्वय प्रणाली की पसंद से स्वतंत्र है, और इसलिए भौतिक रूप से महत्वपूर्ण है।

विस्तार रेट टेंसर का निशान वेग क्षेत्र का विचलन है:$$\nabla \cdot \mathbf{v} = \partial_1 v_1 + \partial_2 v_2 + \partial_3 v_3;$$जो वह दर है जिस पर उस बिंदु पर द्रव की एक निश्चित मात्रा का आयतन बढ़ता है।

शियर दर टेंसर को एक सममित 3 × 3 आव्यूह द्वारा दर्शाया जाता है, और एक प्रवाह का वर्णन करता है जो तीन ऑर्थोगोनल अक्षों के साथ कम्प्रेशन और विस्तार प्रवाह को जोड़ता है, जैसे कि मात्रा में कोई परिवर्तन नहीं होता है। इस प्रकार का प्रवाह तब होता है, उदाहरण के लिए, जब रबड़ की पट्टी को सिरों पर खींचकर खींचा जाता है, या जब चम्मच से शहद एक चिकनी, अखंड धारा के रूप में गिरता है।

द्वि-आयामी प्रवाह के लिए, $$\vec{\omega}$$ के विचलन में केवल दो पद होते हैं और यह आयतन के अतिरिक्त क्षेत्र में परिवर्तन की मात्रा निर्धारित करता है। उस स्थिति में विस्तार दर अवधि में कारक 1/3 को 1/2 से प्रतिस्थापित किया जाता है।

उदाहरण
वेग प्रवणताओं का अध्ययन पथ पर निर्भर सामग्रियों के विश्लेषण और स्ट्रेनों के पश्चात के अध्ययन में उपयोगी है; जैसे, धातुओं का प्लास्टिक विरूपण एक ट्यूब से बहने वाले असंतुलित अभिकारकों की निकट-दीवार वेग प्रवणता ज्वाला स्थिरता को चिह्नित करने के लिए एक प्रमुख पैरामीटर है। प्लाज्मा (भौतिकी) का वेग प्रवणता मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स में मौलिक समीकरणों के समाधान के लिए शर्तों को परिभाषित कर सकता है।

एक पाइप में द्रव
एक पाइप (द्रव संवहन) के माध्यम से बहने वाले द्रव के वेग क्षेत्र पर विचार करें, पाइप के संपर्क में द्रव की परत पाइप के संबंध में स्थिर रहती है। इसे नो स्लिप कंडीशन कहा जाता है। यदि पाइप के केंद्र और पाइप के किनारों पर द्रव परतों के बीच वेग का अंतर पर्याप्त रूप से छोटा है, तो द्रव प्रवाह निरंतर परतों के रूप में देखा जाता है। इस प्रकार के प्रवाह को लैमिनर प्रवाह कहा जाता है।

आसन्न परतों के बीच प्रवाह वेग अंतर को $$ \Delta u / \Delta y$$ द्वारा दिए गए वेग प्रवणता के संदर्भ में मापा जा सकता है। जहां $$\Delta u$$ दो परतों के बीच प्रवाह वेग में अंतर है और $$\Delta y$$ परतों के बीच की दूरी है।

यह भी देखें

 * स्ट्रेन टेन्सर (बहुविकल्पी)
 * , सातत्य यांत्रिकी से स्थानिक और भौतिक वेग प्रवणता