केप्लर त्रिकोण

केप्लर त्रिभुज,ज्यामितीय अनुक्रम में किनारे की लंबाई वाला एक विशेष समकोण त्रिभुज है। अनुक्रम का अनुपात है $$\sqrt\varphi$$ जहां पर $$\varphi=(1+\sqrt{5})/2$$ स्वर्णिम अनुपात है,और अनुक्रम लिखी जा सकती है: $ 1 : \sqrt\varphi : \varphi$, या लगभग $1 : 1.272 : 1.618$. इस त्रिभुज के किनारों पर वर्गों में एक और ज्यामितीय अनुक्रम में क्षेत्र हैं, $$1:\varphi:\varphi^2$$. एक ही त्रिभुज की वैकल्पिक परिभाषाएँ इसे दो संख्याओं के तीन पायथागॉरियन माध्यों के संदर्भ में,या समद्विबाहु त्रिभुजों की अंतःत्रिज्या के माध्यम से दर्शाती हैं।

इस त्रिभुज का नाम जोहान्स केप्लर के नाम पर रखा गया है, लेकिन इसे पहले के स्रोतों में पाया जा सकता है। हालांकि कुछ सूत्रों का दावा है कि प्राचीन मिस्र के पिरामिडों के अनुपात केपलर त्रिभुज पर आधारित थे, अधिकांश विद्वानों का मानना ​​है कि मिस्र के गणितज्ञ और वास्तुकला शास्त्रीय को स्वर्णिम अनुपात की जानकारी नहीं थी।

इतिहास
केप्लर त्रिभुज का नाम जर्मन गणितज्ञ और खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर (1571-1630) के नाम पर रखा गया है,जिन्होंने 1597 के एक पत्र में इस आकार के बारे में लिखा था। जैसा कि केप्लर ने कही लिखा था की इस त्रिभुज का विश्लेषण करने के लिए उपयोग की जा सकने वाली दो अवधारणाएँ, पायथागॉरियन प्रमेय और स्वर्णिम अनुपात, दोनों ही उनके लिए रुचिकर थीं। "रेखागणित के दो महान खजाने हैं: एक पाइथागोरस का प्रमेय है,दूसरा अधिकतम और औसत अनुपात में एक रेखा का विभाजन। पहले की तुलना हम सोने की शुद्धता से कर सकते हैं, दूसरे को हम बहुमूल्य रत्न कह सकते हैं। [2]"

हालाँकि,केप्लर इस त्रिभुज का वर्णन करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे। केप्लर ने स्वयं इसका श्रेय मैगिरस नामक एक संगीत प्राध्यापक को दिया था। प्रारंभ में वही त्रिभुज अरबी गणितज्ञ की एक पुस्तक अबू बेकर की द लिबर मेंशुरेशनम में दिखाई देता है, जिसे 12 वीं शताब्दी के क्रेमोना के जेरार्ड द्वारा लैटिन में किए गए अनुवाद फाइबोनैचि की प्रेक्टिका रेखागणितके नाम से जाना जाता है जो 1220-1221 में प्रकाशित हुई थी,जिन्होंने इसे केप्लर के समान तरीके से परिभाषित किया था। केप्लर से थोड़ा पहले,पेड्रो नून्स ने 1567 में इसके बारे में लिखा था,और यह मध्यकालीन और पुनरुत्थान हस्तलेख परंपराओं में व्यापक रूप से होने की संभावना है। केप्लर की तुलना में इसे कई बार स्वतंत्र रूप से फिर से खोजा गया है।

कुछ लेखकों के अनुसार,इसके व्यापक प्रतिनिधित्व के रूप में केप्लर का दोहरा त्रिभुज के साथ मिस्र का एक स्वर्णिम पिरामिड जैसे गीज़ा के महान पिरामिड के रचना का सटीक वर्णन करता है; इस सिद्धांत का एक स्रोत पिरामिडोलॉजी जॉन टेलर द्वारा हेरोडोटस की 19वीं सदी की गलत व्याख्या है। उसी पिरामिड के लिए अनुपात के कई अन्य सिद्धांत प्रस्तावित किए गए हैं,जो केप्लर त्रिभुज से संबंधित नहीं हैं। क्योंकि ये विभिन्न सिद्धांत उनके द्वारा प्राप्त संख्यात्मक मूल्यों में बहुत समान हैं,और माप में अशुद्धियों के कारण,आंशिक रूप से पिरामिड की बाहरी सतह के विनाश के कारण,ऐसे सिद्धांतों को विशुद्ध रूप से भौतिक साक्ष्य के आधार पर हल करना मुश्किल है। केप्लर त्रिभुज के अनुपात में मिलान अच्छी तरह से एक संख्यात्मक संयोग हो सकता है: विद्वानों के अनुसार जिन्होंने इस संबंध की जांच की है,प्राचीन मिस्र के लोग अपने गणित या वास्तुकला में स्वर्णिम अनुपात के बारे में नहीं जानते थे या इसका उपयोग नहीं करते थे। इसके अतिरिक्त,11 और 14 भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज पर आधारित पूर्णांक अनुपातों का उपयोग करके पिरामिड के अनुपातों को पर्याप्त रूप से समझाया जा सकता है।

एक चौकोर पिरामिड के किनारे के मध्य बिंदु, आधार केंद्र बिंदु और शीर्ष से बना एक समकोण त्रिभुज । कुछ पिरामिडोलॉजिस्टों ने सिद्धांत दिया है कि गीज़ा के महान पिरामिड के लिए इस तरह से बने त्रिभुज को केपलर त्रिभुज के रूप में बनाया गया था।}}

1979 के प्रारम्भ में, इस आकृति के लिए केप्लर त्रिभुज नाम का उपयोग रोजर हर्ज़-फिशलर द्वारा किया गया था,जो केप्लर के 1597 के पत्र पर आधारित था। इसी त्रिभुज का एक अन्य नाम,जिसका प्रयोग मतिला घीका ने 1946 में स्वर्णिम अनुक्रम पर अपनी पुस्तक कला और जीवन की ज्यामिति और पिरामिडविज्ञानी ने अपनी किताब त्रिभुज की कीमत में किया था।

 परिभाषाएँ  केप्लर त्रिभुज को विशिष्ट रूप से एक समकोण त्रिभुज होने और ज्यामितीय अनुक्रम में इसकी भुजाओं की लंबाई होने,या समतुल्य रूप से ज्यामितीय अनुक्रम में इसके किनारों पर वर्ग होने के गुणों द्वारा परिभाषित किया गया है।

पक्ष की लंबाई की अनुक्रम का अनुपात है $\sqrt\varphi$, जहां पर $$\varphi=(1+\sqrt{5})/2$$ स्वर्णिम अनुपात है,और अनुक्रम लिखी जा सकती है: $ 1 : \sqrt\varphi : \varphi$, या लगभग 1 : 1.272 : 1.618। इस त्रिभुज के किनारों पर वर्गों में एक और ज्यामितीय अनुक्रम में क्षेत्र हैं, $$1:\varphi:\varphi^2$$.

तथ्य यह है कि इन अनुपातों के साथ त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है,इस तथ्य से अनुसरण करता है कि,इन अनुपातों के साथ किनारे की लंबाई के वर्ग के लिए,

स्वर्णिम अनुपात का परिभाषित बहुपद वही है जो पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा दिए गए सूत्र के रूप में एक समकोण त्रिभुज के वर्ग किनारे की लंबाई के लिए दिया गया है:$$\varphi^2 = \varphi + 1.$$क्योंकि यह समीकरण स्वर्णिम अनुपात के लिए सही है,ये तीन लंबाई पाइथागोरस प्रमेय का पालन करती हैं और एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। इसके विपरीत,किसी भी समकोण त्रिभुज में जिसके वर्गाकार किनारे की लंबाई किसी भी अनुपात के साथ ज्यामितीय अनुक्रम में है $$\rho$$ पाइथागोरस प्रमेय का अर्थ है कि यह अनुपात सर्वसमिका का पालन करता है $$\rho^2=\rho+1$$. इसलिए,अनुपात इस समीकरण का अद्वितीय सकारात्मक समाधान होना चाहिए,स्वर्णिम अनुपात,और त्रिभुज एक केप्लर त्रिभुज होना चाहिए।

तीन किनारों की लंबाई $$1$$, $$\sqrt\varphi$$ तथा $$\varphi$$ क्रमशः दो संख्याओं के अनुकूल माध्य ज्यामितीय माध्य और अंकगणितीय माध्य हैं $\varphi\pm1$. दो संख्याओं के संयोजन के इन तीन तरीकों का प्राचीन ग्रीक गणित में अध्ययन किया गया था,और इन्हें पायथागॉरियन साधन कहा जाता है। इसके विपरीत,इसे केप्लर त्रिभुज की एक वैकल्पिक परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है: यह एक समकोण त्रिभुज है जिसके किनारों की लंबाई कुछ दो संख्याओं के तीन पायथागॉरियन साधन हैं। एकमात्र केप्लर त्रिभुज जिसके लिए यह सत्य है।

इस त्रिभुज को परिभाषित करने का एक तीसरा,समतुल्य तरीका समद्विबाहु त्रिभुजों की अंतःत्रिज्या को अधिकतम करने की समस्या से आता है। दो बराबर भुजाओं की लंबाई के एक निश्चित विकल्प के साथ सभी समद्विबाहु त्रिभुजों में, लेकिन एक चर आधार लंबाई के साथ,केपलर त्रिभुज की दो प्रतियों से एक सबसे बड़ा अंतःत्रिज्या बनता है, जो एक दूसरे से उनके लंबे पक्षों पर परिलक्षित होता है। इसलिए,केप्लर त्रिभुज को सही त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है,जो समान कर्ण वाले सभी समकोण त्रिभुजों के बीच, अपने प्रतिबिंब के साथ अधिकतम अंतःत्रिज्या का समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है। वही प्रतिबिंब एक समद्विबाहु त्रिभुज भी बनाता है,जो किसी दिए गए परिधि के लिए सबसे बड़ा संभव अर्धवृत्त होता है।

 गुण  यदि केप्लर त्रिभुज की छोटी भुजा की लंबाई है $$s$$, दूसरी भुजाओं की लंबाई होगी $$s\sqrt\varphi$$ तथा $$s\varphi$$. क्षेत्रफल की गणना समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफल के लिए मानक सूत्र द्वारा की जा सकती है (दो छोटी भुजाओं का आधा गुणनफल)। $$\tfrac{s^2}{2}\sqrt\varphi$$. दो गैर-समकोणों में से बड़े का कोज्या कर्ण के निकटवर्ती पक्ष (दोनों पक्षों में से छोटा) का अनुपात है, $$\varphi$$, जिससे यह पता चलता है कि दो गैर समकोण हैं $$\theta=\sin^{-1}\frac{1}{\varphi}\approx 38.1727^\circ$$ तथा $$\theta=\cos^{-1}\frac{1}{\varphi}\approx 51.8273^\circ.$$ जेर्ज़ी कोसिक ने देखा है कि इन दो कोणों में से बड़ा भी कॉक्सेटर के लॉक्सोड्रोमिक अनुक्रम में स्पर्शरेखा मंडलियों के लगातार हलकों के त्रिगुणों के केंद्रों द्वारा गठित कोण है ।

यह भी देखें

 * ऑटोमेडियन त्रिभुज, एक त्रिभुज जिसकी वर्गाकार भुजाएँ एक अंकगणितीय अनुक्रम बनाती हैं, जिसमें भुजाओं की लंबाई के साथ समकोण त्रिभुज सम्मिलित है $$1:\sqrt2:\sqrt3$$
 * स्वर्ण त्रिभुज (गणित), एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसका आधार और पार्श्व लंबाई का अनुपात सुनहरा अनुपात है।

Jerzy Kocik has observed that the larger of these two angles is also the angle formed by the centers of triples of consecutive circles in Coxeter's loxodromic sequence of tangent circles.