परिमाणक (तर्क)

गणितीय तर्क में, एक परिमाणक एक संक्रियक है जो निर्दिष्ट करता है कि प्रेक्ति के क्षेत्र में कितने व्यक्तिगत  विवृत सूत्र को संतुष्ट करते हैं। उदाहरण के लिए, पूर्व  क्रम सूत्र $$ \forall x P(x)$$ में सार्वत्रिक परिमाणक $$ \forall $$ व्यक्त करता है कि डोमेन में सब कुछ  $$P$$ द्वारा निर्दिष्ट गुण को संतुष्ट करता है। दूसरी ओर, अस्तित्वगत परिमाणक $$ \exists $$ सूत्र में $$ \exists x P(x)$$ अभिव्यक्त करता है कि डोमेन में कुछ स्थित है जो उस गुण को संतुष्ट करता है। एक सूत्र जहां एक परिमाणक व्यापक क्षेत्र (तर्क) लेता है उसे  परिमाणित सूत्र कहा जाता है। एक परिमाणित सूत्र में एक मुक्त चर और बाध्य चर और उस चर के दिग्दर्शन की एक गुण निर्दिष्ट करने वाला एक उप-सूत्र होना चाहिए।

[[File:In Quest of Univeral Logic5.png|right|thumbnail|400px|अस्तित्वगत और सार्वभौमिक परिमाणकों के लिए सत्य की तालिका।

]]आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले क्वांटिफायर हैं $$\forall$$ और $$\exists$$. इन परिमाणकों को मानक रूप से दोहरे (गणित) के रूप में परिभाषित किया जाता है; शास्त्रीय तर्क में, वे निषेध का उपयोग करके अन्योन्याश्रित हैं। उनका उपयोग अधिक जटिल परिमाणकों को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है, जैसा कि सूत्र में है $$ \neg \exists x P(x)$$ जो व्यक्त करता है कि किसी के पास संपत्ति नहीं है $$P$$. अन्य क्वांटिफायर केवल दूसरे क्रम का तर्क या उच्च ऑर्डर लॉजिक के भीतर निश्चित हैं। आंद्रेज मोस्टोव्स्की और पेर लिंडस्ट्रॉम|लिंडस्ट्रॉम के काम से शुरुआत करके परिमाणकों को सामान्यीकृत किया गया है।

प्रथम-क्रम तर्क कथन में, एक ही प्रकार में परिमाणीकरण (या तो सार्वभौमिक परिमाण या अस्तित्वगत परिमाणीकरण) को कथन के अर्थ को बदले बिना आदान-प्रदान किया जा सकता है, जबकि विभिन्न प्रकार के परिमाणों के आदान-प्रदान से अर्थ बदल जाता है। एक उदाहरण के रूप में, समान निरंतरता की परिभाषा में एकमात्र अंतर # समान निरंतरता और समान निरंतरता की परिभाषा # (साधारण) निरंतरता की परिभाषा | (साधारण) निरंतरता परिमाणीकरण का क्रम है।

पहले क्रम के क्वांटिफायर कुछ प्राकृतिक भाषा क्वांटिफायर जैसे कुछ और सभी के अर्थों का अनुमान लगाते हैं। हालाँकि, कई प्राकृतिक भाषा परिमाणकों का विश्लेषण केवल सामान्यीकृत परिमाणकों के रूप में ही किया जा सकता है।

तार्किक संयोजन और संयोजन से संबंध
प्रवचन के एक सीमित डोमेन के लिए $$D = \{a_1,...a_n\}$$, सार्वभौमिक रूप से परिमाणित सूत्र $$\forall x \in D \; P(x)$$ तार्किक संयोजन के बराबर है $$P(a_1) \land ... \land P(a_n)$$. वस्तुतः, अस्तित्वगत रूप से परिमाणित सूत्र $$\exists x \in D \; P(x)$$ तार्किक संयोजन के बराबर है $$P(a_1) \lor ... \lor P(a_n)$$. उदाहरण के लिए, अगर $$B = \{ 0,1 \}$$ बाइनरी अंकों का सूत्र है $$\forall x \in B \; x = x^2$$ संक्षिप्त $$0 = 0^2 \land 1 = 1^2$$, जो सत्य का मूल्यांकन करता है।

प्रवचन का अनंत क्षेत्र
निम्नलिखित कथन पर विचार करें (गुणन के लिए डॉट नोटेशन का प्रयोग करके):
 * 1 · 2 = 1 + 1, और 2 · 2 = 2 + 2, और 3 · 2 = 3 + 3, ..., और 100 · 2 = 100 + 100, और ..., आदि।

इसमें प्रस्तावों के अनंत तार्किक संयोजन का आभास होता है। औपचारिक भाषाओं के दृष्टिकोण से, यह तुरंत एक समस्या है, क्योंकि सिंटैक्स (तर्क) नियमों से परिमित सेट शब्द उत्पन्न होने की उम्मीद है।

उपरोक्त उदाहरण सौभाग्यशाली है कि सभी संयोजनों को उत्पन्न करने के लिए एक कलन विधि है। हालाँकि, यदि प्रत्येक अपरिमेय संख्या के बारे में एक अभिकथन किया जाता है, तो सभी संयोजनों की गणना करने का कोई तरीका नहीं होगा, क्योंकि अपरिमेय की गणना नहीं की जा सकती है। एक संक्षिप्त, समतुल्य सूत्रीकरण जो इन समस्याओं से बचा जाता है, सार्वभौमिक परिमाणीकरण का उपयोग करता है:
 * प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए n · 2 = n + n।

एक समान विश्लेषण संयोजन (तर्क) पर लागू होता है,
 * 1 बराबर 5 + 5, या 2 बराबर 5 + 5, या 3 बराबर 5 + 5, ..., या 100 बराबर 5 + 5, या ..., आदि।

जिसे अस्तित्वगत परिमाणीकरण का उपयोग करके फिर से परिभाषित किया जा सकता है:
 * किसी प्राकृत संख्या n के लिए n बराबर 5+5 है।

परिमाणीकरण के लिए बीजगणितीय दृष्टिकोण
अमूर्त बीजगणित तैयार करना संभव है, जिनके मॉडल सिद्धांत में मात्रात्मकता के साथ औपचारिक भाषाएं शामिल हैं, लेकिन प्रगति धीमी रही है और ऐसे बीजगणित में रुचि सीमित रही है। आज तक तीन दृष्टिकोण तैयार किए गए हैं:
 * संबंध बीजगणित, ऑगस्टस डी मॉर्गन द्वारा आविष्कृत, और चार्ल्स सैंडर्स पियर्स, अर्न्स्ट श्रोडर (गणितज्ञ) द्वारा विकसित | अर्न्स्ट श्रोडर, अल्फ्रेड टार्स्की और टार्स्की के छात्र। संबंध बीजगणित किसी भी सूत्र का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है जिसमें क्वांटिफायर तीन से अधिक गहरे हों। आश्चर्यजनक रूप से, संबंध बीजगणित के मॉडल में स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत ZFC और पियानो अंकगणित शामिल हैं;
 * सिलिंड्रिक बीजगणित, अल्फ्रेड तार्स्की, आह वापसी पर और अन्य द्वारा तैयार किया गया;
 * पॉल हेल्मोस का पॉलीडिक बीजगणित।

नोटेशन
दो सबसे आम क्वांटिफायर सार्वभौमिक क्वांटिफायर और अस्तित्वगत क्वांटिफायर हैं। सार्वभौमिक क्वांटिफायर के लिए पारंपरिक प्रतीक ∀ है, एक घुमाया हुआ अक्षर A है, जो सभी या सभी के लिए है। अस्तित्वगत क्वांटिफायर के लिए संबंधित प्रतीक ∃ है, एक घुमाया हुआ अक्षर E है, जो मौजूद है या मौजूद है।

अंग्रेजी जैसी प्राकृतिक भाषा में मात्रात्मक कथन का अनुवाद करने का एक उदाहरण इस प्रकार होगा। कथन को देखते हुए, पीटर के प्रत्येक मित्र या तो नृत्य करना पसंद करते हैं या समुद्र तट पर जाना पसंद करते हैं (या दोनों), मुख्य पहलुओं की पहचान की जा सकती है और परिमाणक सहित प्रतीकों का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है। तो, X को सभी पीटर के दोस्तों का समूह है, P(x) विधेय (गणितीय तर्क) x नृत्य करना पसंद करता है, और Q(x) विधेय x समुद्र तट पर जाना पसंद करता है। फिर उपरोक्त वाक्य को औपचारिक संकेतन   $$ \forall{x}{\in}X, (P(x) \lor Q(x)) $$के रूप में लिखा जा सकता है जिसे पढ़ा जाता है, "प्रत्येक x के लिए जो कि X का सदस्य है, P x पर लागू होता है या Q x पर लागू होता है"।

सूत्र P के लिए कुछ अन्य परिमाणित व्यंजकों का निर्माण इस प्रकार किया गया है,
 * $$ \exists{x}\, P$$     $$\forall{x}\, P $$

इन दो अभिव्यक्तियों (ऊपर की परिभाषाओं का उपयोग करके) को पढ़ा जाता है क्योंकि पीटर का एक दोस्त स्थित है जो नृत्य करना पसंद करता है और पीटर के सभी दोस्त क्रमशः नृत्य करना पसंद करते हैं। भिन्न अंकन में समूह  X और समूह  सदस्यों x के लिए सम्मिलित  हैं:
 * $$ \bigvee_{x} P$$     $$(\exists{x}) P$$     $$(\exists x \ . \ P)$$     $$\exists x \ \cdot \ P$$     $$(\exists x : P)$$     $$\exists{x}(P)$$     $$\exists_{x}\, P$$     $$\exists{x}{,}\, P$$     $$\exists{x}{\in}X \, P $$     $$\exists\, x{:}X \, P$$

ये सभी विविधताएँ सार्वभौमिक परिमाणीकरण पर भी लागू होती हैं। सार्वत्रिक परिमाणक के लिए अन्य विविधताएं हैं
 * $$\bigwedge_{x} P$$     $$\bigwedge x P$$     $$(x) \, P$$

संकेतन के कुछ संस्करण स्पष्ट रूप से परिमाणीकरण की सीमा का उल्लेख करते हैं। परिमाणीकरण की सीमा सदैव  निर्दिष्ट होनी चाहिए; किसी दिए गए गणितीय सिद्धांत के लिए, यह कई विधियों  से किया जा सकता है:
 * प्रत्येक परिमाणीकरण के लिए प्रेक्ति का एक निश्चित डोमेन मान लें, जैसा कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समूह सिद्धांत में किया गया है,
 * प्रेक्ति के कई डोमेन पूर्व से निर्धारित करें और इसके लिए आवश्यक है कि प्रत्येक चर का एक घोषित डोमेन हो, जो उस चर का प्रकार है। यह प्रकार  प्रणाली  कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषा की स्थिति के अनुरूप है, जहां चरों ने प्रकार घोषित किए हैं।
 * स्पष्ट रूप से परिमाणीकरण की सीमा का उल्लेख करें, संभवतः उस डोमेन में सभी वस्तुओं के समूह के लिए एक प्रतीक का उपयोग करना (या उस डोमेन में वस्तुओं के प्रकार(प्रकार सिद्धांत))।

कोई भी चर किसी अन्य के स्थान पर मात्रात्मक चर के रूप में उपयोग कर सकता है, कुछ प्रतिबंधों के अंतर्गत जिसमें चर प्रग्रहण नहीं होता है। यहां तक ​​​​कि अगर संकेतन प्रकार  किए गए चर का उपयोग करता है, तो उस प्रकार के चर का उपयोग किया जा सकता है।

अनौपचारिक रूप से या प्राकृतिक भाषा में, ∀x या ∃x P(x) के बाद या बीच में प्रकट हो सकता है। औपचारिक रूप से, हालांकि, डमी चर का परिचय देने वाले वाक्यांश को सामने रखा गया है।

गणितीय सूत्र परिमाणक के लिए सांकेतिक अभिव्यक्ति को प्राकृतिक भाषा परिमाणक के साथ मिलाते हैं जैसे,
 * प्रत्येक प्राकृतिक संख्या x के लिए, ...
 * यहाँ एक x का अस्तित्व है जैसे कि...
 * कम से कम एक x के लिए, ....

विशिष्टता परिमाणीकरण के लिए कीवर्ड में सम्मिलित हैं:
 * ठीक एक प्राकृत संख्या x के लिए, ...
 * एक और केवल एक x ऐसा है कि ....

इसके अलावा, x को सर्वनाम से बदला जा सकता है। उदाहरण के लिए,
 * प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए, इसका गुणनफल 2 के साथ इसके योग के बराबर होता है।
 * कुछ प्राकृतिक संख्या प्रमुख है।

क्वांटिफायर्स (नेस्टिंग) का क्रम
परिमाणकों का क्रम अर्थ के लिए महत्वपूर्ण है, जैसा कि निम्नलिखित दो प्रस्तावों द्वारा स्पष्ट किया गया है:
 * प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, एक प्राकृत संख्या s का अस्तित्व होता है जैसे कि s = n 2।

यह स्पष्ट रूप से सत्य है; यह सिर्फ इतना दावा करता है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में एक वर्ग होता है। अभिकथन का अर्थ जिसमें परिमाणकों का क्रम उलटा है, भिन्न है:
 * एक प्राकृत संख्या s का अस्तित्व इस प्रकार है कि प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए s = n होता है 2।

यह स्पष्ट रूप से असत्य है; यह दावा करता है कि एक प्राकृतिक संख्या है जो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का वर्ग है। ऐसा इसलिए है क्योंकि सिंटैक्स निर्देश देता है कि कोई भी चर बाद में पेश किए गए चर का कार्य नहीं हो सकता है।

गणितीय विश्लेषण से एक कम तुच्छ उदाहरण समान निरंतरता और निरंतर कार्य निरंतरता की अवधारणाएं हैं, जिनकी परिभाषा केवल दो क्वांटिफायरों की स्थिति में विनिमय से भिन्न होती है। वास्तविक संख्याओं से एक फलन f|'R' से 'R' कहलाता है पूर्व मामले में, δ के लिए चुना गया विशेष मान ε और x दोनों का एक कार्य हो सकता है, चरों जो इससे पूर्व हैं। बाद के मामले में, δ केवल ε का कार्य हो सकता है (अर्थात, इसे x से स्वतंत्र चुना जाना है)। उदाहरण के लिए, एफ (एक्स) = एक्स2 बिंदुवार संतुष्ट करता है, लेकिन एकसमान निरंतरता नहीं (इसकी ढलान अनबाउंड है)। इसके विपरीत, बिंदुवार निरंतरता की परिभाषा में दो प्रारंभिक सार्वभौमिक क्वांटिफायरों को बदलने से अर्थ नहीं बदलता है।
 * बिंदुवार निरंतर यदि $$\forall \varepsilon > 0 \; \forall x \in \R \; \exists \delta > 0 \; \forall h \in \R \; (|h| < \delta \, \Rightarrow \, |f(x) - f(x + h)| < \varepsilon ) $$
 * समान रूप से निरंतर यदि $$\forall \varepsilon > 0 \; \exists \delta > 0 \; \forall x \in \R \; \forall h \in \R \; (|h| < \delta \, \Rightarrow \, |f(x) - f(x + h)| < \varepsilon ) $$

एक सामान्य नियम के रूप में, एक ही स्कोप (तर्क) के साथ दो आसन्न सार्वभौमिक क्वांटिफायरों की अदला-बदली (या एक ही स्कोप के साथ दो आसन्न अस्तित्वगत क्वांटिफायरों की अदला-बदली) से सूत्र का अर्थ नहीं बदलता है (देखें प्रीनेक्स नॉर्मल फॉर्म#उदाहरण), लेकिन स्वैपिंग एक अस्तित्वगत परिमाणक रैंक एक आसन्न सार्वभौमिक परिमाणक इसका अर्थ बदल सकते हैं।

किसी सूत्र में परिमाणकों के नेस्टिंग की अधिकतम गहराई को उसका परिमाणक कोटि कहते हैं।

समतुल्य भाव
यदि डी एक्स का एक डोमेन है और पी (एक्स) ऑब्जेक्ट चर एक्स पर निर्भर एक भविष्यवाणी है, तो सार्वभौमिक प्रस्ताव के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$\forall x\!\in\!D\; P(x).$$

इस संकेतन को प्रतिबंधित या सापेक्षित या परिबद्ध परिमाणक के रूप में जाना जाता है। समान रूप से कोई लिख सकता है,


 * $$\forall x\;(x\!\in\!D \to P(x)).$$

अस्तित्वगत प्रस्ताव को परिबद्ध मात्रा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$\exists x\!\in\!D\; P(x),$$

या समकक्ष


 * $$\exists x\;(x\!\in\!\!D \land P(x)).$$

नकारात्मकता के साथ, दोनों कार्यों को करने के लिए सार्वभौमिक या अस्तित्वगत परिमाणक में से केवल एक की आवश्यकता होती है:


 * $$\neg (\forall x\!\in\!D\; P(x)) \equiv \exists x\!\in\!D\; \neg P(x),$$

जो दर्शाता है कि सभी एक्स प्रस्तावों के लिए एक को अस्वीकार करने के लिए, किसी को एक्स खोजने की आवश्यकता नहीं है जिसके लिए भविष्यवाणी झूठी है। इसी प्रकार,


 * $$\neg (\exists x\!\in\!D\; P(x)) \equiv \forall x\!\in\!D\; \neg P(x),$$

a का खंडन करने के लिए एक x प्रस्ताव स्थित है, किसी को यह दिखाने की आवश्यकता है कि सभी x के लिए विधेय गलत है।

शास्त्रीय तर्क में, प्रत्येक सूत्र तार्किक रूप से प्रिनेक्स सामान्य रूप में एक सूत्र के बराबर होता है, जो कि परिमाणक की एक स्ट्रिंग और क्वांटिफायर-फ्री सूत्र के बाद बाउंड चरों होता है।

मात्रा का ठहराव
प्रत्येक परिमाणीकरण में एक विशिष्ट चर और प्रेक्ति का एक डोमेन या परिमाणीकरण की सीमा सम्मिलित होती है उस चर का। परिमाणीकरण की सीमा उन मानों के समूह को निर्दिष्ट करती है जो चर लेता है। उपरोक्त उदाहरणों में, परिमाणीकरण की सीमा प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है। क्वांटिफिकेशन की सीमा की विशिष्टता हमें अंतर को व्यक्त करने की अनुमति देती है, यह कहते हुए कि एक विधेय कुछ प्राकृतिक संख्या या कुछ वास्तविक संख्या के लिए है। एक्सपोजिटरी कन्वेंशन अक्सर कुछ चर नामों को आरक्षित करते हैं जैसे प्राकृतिक संख्याओं के लिए n, और वास्तविक संख्याओं के लिए x, हालांकि नामकरण सम्मेलनों पर विशेष रूप से निर्भर रहना सामान्य रूप से काम नहीं कर सकता है, क्योंकि गणितीय तर्क के दौरान चर की श्रेणियां बदल सकती हैं।

एक खाली सीमा पर एक सार्वभौमिक रूप से परिमाणित सूत्र (जैसे $$\forall x\!\in\!\varnothing\; x \neq x$$) सदैव  रिक्त रूप से सत्य होता है। इसके विपरीत, एक खाली सीमा पर एक अस्तित्वगत रूप से परिमाणित सूत्र (जैसे $$\exists x\!\in\!\varnothing\; x = x$$) सदैव   झूठा होता है।

प्रेक्ति के क्षेत्र को प्रतिबंधित करने का एक अधिक प्राकृतिक विधि संरक्षित परिमाणीकरण का उपयोग करता है। उदाहरण के लिए, संरक्षित मात्रा का ठहराव
 * किसी प्राकृत संख्या n के लिए n सम है और n अभाज्य है

साधन
 * कुछ सम संख्या n के लिए, n अभाज्य है।

कुछ गणितीय सिद्धांत में, पूर्व से निर्धारित किए गए विमर्श के एक एकल डोमेन को मान लिया जाता है। उदाहरण के लिए, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समूह  थ्योरी में, चर सभी समूह ों पर होते हैं। इस मामले में, संरक्षित परिमाणक का उपयोग क्वांटिफिकेशन की एक छोटी श्रृंखला की नकल करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार उपरोक्त उदाहरण में, व्यक्त करने के लिए
 * प्रत्येक प्राकृत संख्या n के लिए, n·2 = n + n

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समूह थ्योरी में, कोई लिख सकता है
 * प्रत्येक n के लिए, यदि n 'N' से संबंधित है, तो n·2 = n + n,

जहाँ 'N' सभी प्राकृत संख्याओं का समुच्चय है।

औपचारिक शब्दार्थ
गणितीय शब्दार्थ एक औपचारिक भाषा में अभिव्यक्तियों के अर्थ का अध्ययन करने के लिए गणित का अनुप्रयोग है। इसके तीन तत्व हैं: सिंटैक्स (तर्क) के माध्यम से वस्तुओं के एक वर्ग का एक गणितीय विनिर्देश, विभिन्न सिमेंटिक डोमेन का एक गणितीय विनिर्देश और दोनों के बीच संबंध, जिसे आमतौर पर सिंटैक्टिक ऑब्जेक्ट्स से सिमेंटिक वाले फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह लेख केवल इस मुद्दे को संबोधित करता है कि परिमाणक तत्वों की व्याख्या कैसे की जाती है। सिंटैक्स ट्री द्वारा सूत्र का सिंटैक्स दिया जा सकता है। परिमाणक में एक गुंजाइश (तर्क) होती है, और एक चर x की घटना मुक्त चर होती है यदि यह उस चर के लिए परिमाणीकरण के दायरे में नहीं है। इस प्रकार में
 * $$ \forall x (\exists y B(x,y)) \vee C(y,x) $$

सी (वाई, एक्स) में एक्स और वाई दोनों की घटना मुक्त है, जबकि बी (वाई, एक्स) में एक्स और वाई की घटना बाध्य है (यानी गैर-मुक्त)।

प्रथम-क्रम विधेय कलन के लिए एक व्याख्या (तर्क) मान लिया गया है कि व्यक्तियों का एक डोमेन एक्स दिया गया है। एक सूत्र ए जिसका मुक्त चर x है1, ..., एक्सn बूलियन समारोह फ़ंक्शन के रूप में व्याख्या की जाती है F(v1, ..., मेंn) n तर्कों का, जहां प्रत्येक तर्क डोमेन X पर होता है। बूलियन-वैल्यू का मतलब है कि फ़ंक्शन 'T' (सच्चाई के रूप में व्याख्या) या 'F' (झूठ के रूप में व्याख्या की गई) में से एक मान लेता है। सूत्र की व्याख्या
 * $$ \forall x_n A(x_1, \ldots, x_n) $$

n-1 तर्कों का फलन G ऐसा है कि G(v1, ..., मेंn-1) = टी अगर और केवल अगर एफ(वी1, ..., मेंn-1, w) = X में प्रत्येक w के लिए 'T'। यदि F(v1, ..., मेंn-1, w) = 'F' w के कम से कम एक मान के लिए, फिर G(v1, ..., मेंn-1) = एफ इसी प्रकार सूत्र की व्याख्या
 * $$ \exists x_n A(x_1, \ldots, x_n) $$

n-1 तर्कों का फलन H ऐसा है कि H(v1, ..., मेंn-1) = टी अगर और केवल अगर एफ(वी1, ..., मेंn-1, w) = 'T' कम से कम एक w और H(v1, ..., मेंn-1) = एफ अन्यथा।

विशिष्टता परिमाणीकरण के लिए शब्दार्थ के लिए समानता के साथ प्रथम-क्रम विधेय कलन की आवश्यकता होती है। इसका मतलब यह है कि एक विशिष्ट दो-स्थित विधेय = दिया गया है; शब्दार्थ को भी तदनुसार संशोधित किया जाता है ताकि = को सदैव  X पर दो-स्थान समानता संबंध के रूप में व्याख्यायित किया जा सके। की व्याख्या
 * $$ \exists !  x_n A(x_1, \ldots, x_n) $$

फिर n-1 तर्कों का कार्य है, जो तार्किक और व्याख्याओं का है
 * $$ \exists x_n A(x_1, \ldots, x_n) $$
 * $$ \forall y,z \big( A(x_1, \ldots ,x_{n-1}, y) \wedge A(x_1, \ldots ,x_{n-1}, z) \implies y = z \big).$$

प्रत्येक प्रकार का क्वांटिफिकेशन सूत्र के समूह पर संबंधित बंद करने वाला संक्रियक को परिभाषित करता है, प्रत्येक फ्री चर x के लिए, x को बाइंड करने के लिए परिमाणक जोड़कर। उदाहरण के लिए, विवृत सूत्र n>2 ∧ x का अस्तित्वगत समापनएन+yएन=zn बंद सूत्र है ∃n ∃x ∃y ∃z (n>2 ∧ xएन+yएन=zएन); उत्तरार्द्ध सूत्र, जब प्राकृतिक संख्याओं पर व्याख्या की जाती है, तो फर्मेट के अंतिम प्रमेय द्वारा गलत माना जाता है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, x+y=y+x जैसे समीकरणीय स्वयंसिद्ध, आमतौर पर उनके सार्वभौमिक समापन को इंगित करने के लिए होते हैं, जैसे ∀x ∀y (x+y=y+x) क्रमविनिमेयता व्यक्त करने के लिए।

पॉकल, मल्टील और अन्य डिग्री क्वांटिफायर्स
पूर्व चर्चा किए गए परिमाणकों में से कोई भी परिमाणीकरण पर लागू नहीं होता है जैसे कि


 * कई पूर्णांक n <100 हैं, जैसे कि n 2 या 3 या 5 से विभाज्य है।

एक संभावित व्याख्या तंत्र निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है: मान लीजिए कि सिमेंटिक डोमेन एक्स के अतिरिक्त, हमने एक्स और कटऑफ संख्या 0 <a ≤ b ≤ 1 पर परिभाषित एक संभाव्यता माप P दिया है। यदि A मुक्त चर x वाला एक सूत्र है1,...,एक्सn जिसकी व्याख्या है चर v का कार्य F1,...,मेंn फिर की व्याख्या
 * $$ \exists^{\mathrm{many}} x_n A(x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n) $$

वी. का कार्य है1,...,मेंn-1 जो टी है अगर और केवल अगर
 * $$ \operatorname{P} \{w: F(v_1, \ldots, v_{n-1}, w) = \mathbf{T} \} \geq b $$

और एफ अन्यथा। इसी प्रकार, की व्याख्या
 * $$ \exists^{\mathrm{few}} x_n  A(x_1, \ldots, x_{n-1}, x_n) $$

वी. का कार्य है1,...,मेंn-1 जो एफ है अगर और केवल अगर
 * $$ 0< \operatorname{P} \{w: F(v_1, \ldots, v_{n-1}, w) = \mathbf{T}\} \leq a $$

और टी अन्यथा।

अन्य क्वांटिफायर
समय के साथ कुछ अन्य परिमाणक प्रस्तावित किए गए हैं। विशेष रूप से, समाधान क्वांटिफायर, नोट किया § (अनुभाग चिह्न) और उनको पढ़ें। उदाहरण के लिए,
 * $$ \left[ \S n \in \mathbb{N} \quad n^2 \leq 4 \right] = \{0, 1, 2\}$$

उन n को 'N' में इस प्रकार पढ़ा जाता है कि n2 ≤ 4 {0,1,2} में हैं। समूह -बिल्डर अंकन में वही निर्माण अभिव्यक्त होता है
 * $$\{n \in \mathbb N: n^2 \le 4\} = \{0, 1, 2\}.$$

अन्य परिमाणकों के विपरीत, § एक सूत्र के बजाय एक समूह देता है। गणित में कभी-कभी उपयोग किए जाने वाले कुछ अन्य परिमाणकों में सम्मिलित हैं:
 * ऐसे अपरिमित रूप से बहुत से तत्व हैं जो...
 * सभी के लिए लेकिन बहुत से तत्वों के लिए... (कभी-कभी लगभग सभी तत्वों के लिए व्यक्त किया जाता है...)
 * ऐसे अनगिनत तत्व हैं जो...
 * सभी के लिए लेकिन कई तत्वों के लिए ...
 * सकारात्मक माप के एक समूह में सभी तत्वों के लिए...
 * माप शून्य के एक समूह को छोड़कर सभी तत्वों के लिए ...

इतिहास
टर्म लॉजिक, जिसे अरिस्टोटेलियन लॉजिक भी कहा जाता है, क्वांटिफिकेशन को ऐसे तरीके से व्यवहार करता है जो प्राकृतिक भाषा के करीब है, और औपचारिक विश्लेषण के लिए भी कम अनुकूल है। टर्म लॉजिक ने चौथी शताब्दी ईसा पूर्व में सभी, कुछ और नहीं का इलाज किया, एक खाते में भी एलेथिक तौर-विधियों को छूते हुए।

1827 में, जॉर्ज बेंथम ने परिमाणक के सिद्धांत का वर्णन करते हुए, डॉ व्हाली के तर्क के तत्वों की एक महत्वपूर्ण परीक्षा के साथ तर्क की एक नई प्रणाली की रूपरेखा प्रकाशित की, लेकिन पुस्तक व्यापक रूप से परिचालित नहीं हुई थी।

सर विलियम हैमिल्टन, 9वें बैरोनेट ने दावा किया कि उन्होंने क्वांटिफाई और क्वांटिफिकेशन जैसे शब्दों को गढ़ा है, सबसे अधिक संभावना उनके एडिनबर्ग लेक्चर सी में। 1840. ऑगस्टस डी मॉर्गन ने 1847 में इसकी पुष्टि की, लेकिन आधुनिक उपयोग 1862 में डी मॉर्गन के साथ शुरू हुआ, जहां उन्होंने बयान दिया जैसे कि हमें परिमाणक के रूप में सभी और कुछ-नहीं-दोनों को लेना है। Gottlob Frege, अपने 1879 Begriffsschrift में, प्रेक्ति के एक डोमेन पर एक चर को बाइंड करने के लिए परिमाणक को नियोजित करने वाले और Predicate (गणितीय तर्क) में दिखाई देने वाले पूर्व व्यक्ति थे। वह अपने आरेखीय सूत्रों में दिखाई देने वाली अन्यथा सीधी रेखा में एक डिंपल पर चर लिखकर सार्वभौमिक रूप से एक चर (या संबंध) की मात्रा निर्धारित करेगा। फ्रीज ने अस्तित्वगत मात्रा का ठहराव के लिए एक स्पष्ट संकेतन तैयार नहीं किया, इसके बजाय ~∀x~, या प्रतिरूपण के अपने समकक्ष को नियोजित किया। बर्ट्रेंड रसेल के 1903 के गणित के सिद्धांत तक फ्रीज के परिमाणीकरण के उपचार पर काफी हद तक ध्यान नहीं दिया गया।

पियर्स (1885) में समाप्त हुए काम में, चार्ल्स सैंडर्स पियर्स और उनके छात्र ऑस्कर हावर्ड मिशेल ने स्वतंत्र रूप से सार्वभौमिक और अस्तित्वगत परिमाणक और बाध्य चर का आविष्कार किया। पियर्स और मिशेल ने Π लिखाx और एसx जहाँ अब हम ∀x और ∃x लिखते हैं। पियर्स का संकेत अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ) | अर्नस्ट श्रोडर, लियोपोल्ड लोवेनहेम, थोराल्फ स्कोलेम और पोलिश तर्कशास्त्रियों के 1950 के दशक के लेखन में पाया जा सकता है। सबसे विशेष रूप से, यह कर्ट गोडेल के लैंडमार्क 1930 के पेपर की गोडेल की पूर्णता प्रमेय के पूर्व क्रम के तर्क पर, और 1931 के पेपर के पेनो अंकगणित के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय पर है।

परिमाणीकरण के लिए पियर्स के दृष्टिकोण ने विलियम अर्नेस्ट जॉनसन और जोसेफ पीनो को भी प्रभावित किया, जिन्होंने x के सार्वभौमिक परिमाणीकरण के लिए (x) और (1897 में) ∃x x के अस्तित्वगत परिमाणीकरण के लिए एक और अंकन का आविष्कार किया। इसलिए दशकों से, दर्शन और गणितीय तर्क में विहित संकेतन (x)P था, जो यह व्यक्त करता था कि विमर्श के क्षेत्र में सभी व्यक्तियों के पास गुण P है, और (∃x)P क्योंकि विमर्श के क्षेत्र में कम से कम एक व्यक्ति स्थित है गुण पी। पीनो, जो पियर्स की तुलना में बहुत बेहतर जानी जाती थी, ने प्रभाव में बाद की सोच को पूरे यूरोप में फैला दिया। पियानो के अंकन को अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड और बर्ट्रेंड रसेल, विलार्ड वैन ऑरमैन क्विन और अलोंजो चर्च के गणितीय सिद्धांत द्वारा अपनाया गया था। 1935 में, Gentzen ने Peano के ∃ प्रतीक के अनुरूप, ∀ प्रतीक की शुरुआत की। ∀ 1960 के दशक तक विहित नहीं हुआ।

1895 के आसपास, पियर्स ने अपने अस्तित्वगत ग्राफ को विकसित करना शुरू किया, जिसके चरों को मौन रूप से मात्रात्मक रूप में देखा जा सकता है। किसी चर का उथला उदाहरण सम या विषम है या नहीं यह निर्धारित करता है कि चर का परिमाणीकरण सार्वभौमिक है या अस्तित्वगत। (उथलापन गहराई के विपरीत है, जो नकारात्मकता के नेस्टिंग द्वारा निर्धारित होता है।) पियर्स के ग्राफिकल लॉजिक ने हाल के वर्षों में विषम तर्क और तार्किक ग्राफ पर शोध करने वालों द्वारा कुछ ध्यान आकर्षित किया है।

यह भी देखें

 * पूर्ण सामान्यता
 * लगभग सभी
 * ब्रांचिंग क्वांटिफायर
 * सशर्त क्वांटिफायर
 * गिनती मात्रा का ठहराव
 * आखिरकार (गणित)
 * सामान्यीकृत क्वांटिफ़ायर - एक उच्च-क्रम की गुण जिसका उपयोग मात्रात्मक संज्ञा वाक्यांशों के मानक शब्दार्थ के रूप में किया जाता है
 * लिंडस्ट्रॉम परिमाणक - एक सामान्यीकृत पॉलीएडिक क्वांटिफायर
 * परिमाणक उन्मूलन
 * परिमाणक शिफ्ट

ग्रन्थसूची

 * Barwise, Jon; and Etchemendy, John, 2000. Language Proof and Logic. CSLI (University of Chicago Press) and New York: Seven Bridges Press. A gentle introduction to first-order logic by two first-rate logicians.
 * Frege, Gottlob, 1879. Begriffsschrift. Translated in Jean van Heijenoort, 1967. From Frege to Gödel: A Source Book on Mathematical Logic, 1879-1931. Harvard University Press. The first appearance of quantification.
 * Hilbert, David; and Ackermann, Wilhelm, 1950 (1928). Principles of Mathematical Logic. Chelsea. Translation of Grundzüge der theoretischen Logik. Springer-Verlag. The 1928 first edition is the first time quantification was consciously employed in the now-standard manner, namely as binding variables ranging over some fixed domain of discourse. This is the defining aspect of first-order logic.
 * Peirce, C. S., 1885, "On the Algebra of Logic: A Contribution to the Philosophy of Notation, American Journal of Mathematics, Vol. 7, pp. 180–202. Reprinted in Kloesel, N. et al., eds., 1993. Writings of C. S. Peirce, Vol. 5. Indiana University Press. The first appearance of quantification in anything like its present form.
 * Reichenbach, Hans, 1975 (1947). Elements of Symbolic Logic, Dover Publications. The quantifiers are discussed in chapters §18 "Binding of variables" through §30 "Derivations from Synthetic Premises".
 * Westerståhl, Dag, 2001, "Quantifiers," in Goble, Lou, ed., The Blackwell Guide to Philosophical Logic. Blackwell.
 * Wiese, Heike, 2003. Numbers, language, and the human mind. Cambridge University Press. ISBN 0-521-83182-2.

बाहरी संबंध

 * . From College of Natural Sciences, University of Hawaii at Manoa.
 * Stanford Encyclopedia of Philosophy:
 * Shapiro, Stewart (2000). "Classical Logic" (Covers syntax, model theory, and metatheory for first order logic in the natural deduction style.)
 * Westerståhl, Dag (2005). "Generalized quantifiers"
 * Peters, Stanley; Westerståhl, Dag (2002). "Quantifiers"
 * Peters, Stanley; Westerståhl, Dag (2002). "Quantifiers"