इलेक्ट्रॉन परिवहन के लिए मोंटे कार्लो विधियाँ

इलेक्ट्रॉन परिवहन के लिए मोंटे कार्लो विधि अर्धचालक परिवहन मॉडलिंग का एक अर्धशास्त्रीय भौतिकी मोंटे कार्लो विधि (एमसी) दृष्टिकोण है। यह मानते हुए कि वाहक गति में बिखरने वाले तंत्रों द्वारा बाधित मुक्त उड़ानें शामिल हैं, एक कंप्यूटर का उपयोग कणों के प्रक्षेप पथ को अनुकरण करने के लिए किया जाता है क्योंकि वे शास्त्रीय यांत्रिकी का उपयोग करके विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में डिवाइस के पार जाते हैं। प्रकीर्णन की घटनाओं और कणों की उड़ान की अवधि यादृच्छिक संख्याओं के उपयोग के माध्यम से निर्धारित की जाती है।

बोल्ट्जमैन परिवहन समीकरण
बोल्ट्ज़मैन परिवहन समीकरण मॉडल अर्धचालकों में परिवहन के विश्लेषण में उपयोग किया जाने वाला मुख्य उपकरण रहा है। बीटीई समीकरण द्वारा दिया गया है:



\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{\hbar} \nabla_k E(k) \nabla_r f + \frac{qF(r)}{\hbar} \nabla_k f = \left[\frac{\partial f}{\partial t}\right]_\mathrm{collision} $$

v = \frac{1}{\hbar} \nabla_k E(k) $$

वितरण फ़ंक्शन (भौतिकी), एफ, एक आयामहीन फ़ंक्शन है जिसका उपयोग ब्याज के सभी अवलोकनीय पदार्थों को निकालने के लिए किया जाता है और वास्तविक और गति स्थान दोनों में इलेक्ट्रॉन वितरण का पूर्ण चित्रण देता है|के-स्पेस। इसके अलावा, यह स्थिति r और समय t पर ऊर्जा k पर कण के कब्जे की संभावना को भौतिक रूप से दर्शाता है। इसके अलावा, सात-आयामी इंटीग्रो-डिफरेंशियल समीकरण (चरण स्थान में छह आयाम और समय में एक) होने के कारण बीटीई का समाधान बोझिल है और इसे बहुत विशेष प्रतिबंधों के तहत बंद विश्लेषणात्मक रूप में हल किया जा सकता है। संख्यात्मक रूप से, बीटीई का समाधान या तो नियतात्मक विधि या स्टोकेस्टिक विधि का उपयोग करके नियोजित किया जाता है। नियतात्मक विधि समाधान ग्रिड-आधारित संख्यात्मक विधि जैसे गोलाकार हार्मोनिक्स दृष्टिकोण पर आधारित है, जबकि मोंटे कार्लो बीटीई को हल करने के लिए उपयोग किया जाने वाला स्टोकेस्टिक दृष्टिकोण है।

मोंटे कार्लो विधि
अर्धशास्त्रीय मोंटे कार्लो विधि एक सांख्यिकीय विधि है जिसका उपयोग बोल्ट्जमैन परिवहन समीकरण का सटीक समाधान प्राप्त करने के लिए किया जाता है जिसमें जटिल बैंड संरचना और बिखरने की प्रक्रियाएं शामिल हैं। यह दृष्टिकोण इस कारण से अर्धशास्त्रीय है कि बिखरने वाले तंत्र को फर्मी के सुनहरे नियम का उपयोग करके यांत्रिक रूप से क्वांटम का इलाज किया जाता है, जबकि बिखरने की घटनाओं के बीच परिवहन को शास्त्रीय कण धारणा का उपयोग करके माना जाता है। मोंटे कार्लो मॉडल संक्षेप में प्रत्येक मुक्त उड़ान पर कण प्रक्षेपवक्र को ट्रैक करता है और स्टोकेस्टिक रूप से एक संबंधित बिखरने वाले तंत्र को चुनता है। सेमीक्लासिकल मोंटे कार्लो के दो बड़े फायदे बिखरने की शर्तों के भीतर विभिन्न अलग-अलग बिखरने वाले तंत्रों का सटीक क्वांटम यांत्रिक उपचार प्रदान करने की क्षमता है, और ऊर्जा या के-स्पेस में वाहक वितरण के रूप के बारे में धारणा की अनुपस्थिति है। एक इलेक्ट्रॉन की गति का वर्णन करने वाला अर्धशास्त्रीय समीकरण है


 * $$ \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\hbar} \nabla_k E(k) $$
 * $$ \frac{dk}{dt} = \frac{qF(r)}{\hbar} $$

जहां F विद्युत क्षेत्र है, E(k) ऊर्जा फैलाव संबंध है, और k संवेग तरंग वेक्टर है। उपरोक्त समीकरण को हल करने के लिए, किसी को बैंड संरचना (ई(के)) का मजबूत ज्ञान होना चाहिए। ई(के) संबंध बताता है कि कण डिवाइस के अंदर कैसे चलता है, इसके अलावा परिवहन के लिए आवश्यक उपयोगी जानकारी जैसे कि राज्यों का घनत्व (डीओएस) और कण वेग को चित्रित करता है। अर्ध-अनुभवजन्य छद्मसंभाव्य विधि का उपयोग करके एक पूर्ण-बैंड ई(के) संबंध प्राप्त किया जा सकता है।

हाइड्रोडायनामिक और बहाव प्रसार विधि
बहाव-प्रसार समीकरण (डीडी) और हाइड्रोडायनामिक (एचडी) मॉडल दोनों को लंबे चैनल उपकरणों के लिए मान्य सरलीकृत सन्निकटन का उपयोग करके बोल्ट्जमैन ट्रांसपोर्ट समीकरण (बीटीई) के क्षणों से प्राप्त किया जा सकता है। डीडी योजना सबसे शास्त्रीय दृष्टिकोण है और आमतौर पर बहाव और प्रसार घटकों पर विचार करते हुए वाहकों के लिए पॉइसन समीकरण और निरंतरता समीकरणों को हल करती है। इस दृष्टिकोण में, चार्ज पारगमन समय को ऊर्जा विश्राम समय की तुलना में बहुत बड़ा माना जाता है। दूसरी ओर, एचडी पद्धति हल करती है बीटीई के क्षणों से प्राप्त ऊर्जा संतुलन समीकरणों के साथ डीडी योजना। इस प्रकार, कोई वाहक हीटिंग और वेग ओवरशूट प्रभाव जैसे भौतिक विवरणों को पकड़ और गणना कर सकता है। कहने की जरूरत नहीं है, एचडी सिमुलेशन में एक सटीक विवेकीकरण विधि की आवश्यकता होती है, क्योंकि गवर्निंग समीकरण दृढ़ता से युग्मित होते हैं और डीडी योजना की तुलना में बड़ी संख्या में चर से निपटना पड़ता है।

अर्धशास्त्रीय मॉडलों की तुलना
सेमीक्लासिकल मॉडल की सटीकता की तुलना बीटीई के आधार पर की जाती है, यह जांच करके कि वे ट्रांजिस्टर संरचनाओं में एक प्रमुख लघु चैनल प्रभाव (एससीई) शास्त्रीय वेग ओवरशूट समस्या का इलाज कैसे करते हैं। अनिवार्य रूप से, वेग ओवरशूट स्केल किए गए उपकरणों का एक गैर-स्थानीय प्रभाव है, जो वर्तमान ड्राइव और ट्रांसकंडक्टेंस में प्रयोगात्मक रूप से देखी गई वृद्धि से संबंधित है। जैसे-जैसे चैनल की लंबाई छोटी होती जाती है, उच्च क्षेत्र क्षेत्र में वेग संतृप्त नहीं रह जाता है, बल्कि यह अनुमानित संतृप्ति वेग से अधिक हो जाता है। इस घटना का कारण यह है कि वाहक पारगमन समय ऊर्जा विश्राम समय के बराबर हो जाता है, और इसलिए मोबाइल वाहक के पास लघु चैनल उपकरणों में बिखरने से लागू विद्युत क्षेत्र के साथ संतुलन तक पहुंचने के लिए पर्याप्त समय नहीं होता है। डीडी और एचडी मॉडल के साथ सिमुलेशन परिणामों (इलिनोइस टूल: एमओसीए) का सारांश बगल के चित्र में दिखाया गया है। चित्र (ए) में, उस मामले को दिखाया गया है जब क्षेत्र पूरे चैनल क्षेत्र में वेग ओवरशूट प्रभाव पैदा करने के लिए पर्याप्त ऊंचा नहीं है। ध्यान दें कि ऐसी सीमा पर, डीडी मॉडल का डेटा गैर-ओवरशूट क्षेत्र में एमसी मॉडल के लिए अच्छी तरह से फिट बैठता है, लेकिन एचडी मॉडल उस क्षेत्र में वेग को अधिक महत्व देता है। वेग ओवरशूट केवल एमसी डेटा में ड्रेन जंक्शन के पास देखा जाता है और एचडी मॉडल उस क्षेत्र में अच्छी तरह से फिट बैठता है। एमसी डेटा से, यह देखा जा सकता है कि उच्च-क्षेत्र क्षेत्र में वेग ओवरशूट प्रभाव अचानक होता है, जो एचडी मॉडल में ठीक से शामिल नहीं है। उच्च क्षेत्र की स्थितियों के लिए जैसा कि चित्र (बी) में दिखाया गया है, वेग का ओवरशूट प्रभाव लगभग पूरे चैनल पर होता है और एचडी परिणाम और एमसी परिणाम चैनल क्षेत्र में बहुत करीब होते हैं।

बैंड संरचना
बैंड संरचना ऊर्जा (ई) और तरंग वेक्टर (के) के बीच संबंध का वर्णन करती है। बैंड संरचना का उपयोग विद्युत क्षेत्र की कार्रवाई, बिखरने की दर और टक्कर के बाद अंतिम स्थिति के तहत वाहक की गति की गणना करने के लिए किया जाता है। सिलिकॉन बैंड संरचना और उसके ब्रिलौइन क्षेत्र को नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है, लेकिन कोई विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति नहीं है जो पूरे ब्रिलौइन क्षेत्र को संतुष्ट करती हो। कुछ सन्निकटन का उपयोग करके, बैंड संरचना के लिए दो विश्लेषणात्मक मॉडल हैं, अर्थात् परवलयिक और गैर-परवलयिक मोड।



परवलयिक बैंड संरचना
बैंड संरचना की अवधारणा के लिए, परवलयिक ऊर्जा बैंड को आम तौर पर सरलता के लिए माना जाता है। इलेक्ट्रॉन रहते हैं, कम से कम जब संतुलन के करीब, ई(के) संबंध के न्यूनतम के करीब। फिर E(k) संबंध को टेलर श्रृंखला में इस प्रकार बढ़ाया जा सकता है


 * $$ E(k) = E(0) + \left. \frac{\partial E(k)}{\partial k} \right|_{\mathrm{k=0}}

\cdot k + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E(k)}{\partial k^2} \cdot k^2 $$ चूँकि पहला व्युत्पन्न बैंड न्यूनतम पर गायब हो जाता है, इसलिए E(k) का ग्रेडिएंट k = 0 पर शून्य है। इस प्रकार,


 * $$ E(k) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*} $$

जिससे प्रभावी द्रव्यमान टेंसर की परिभाषा प्राप्त होती है


 * $$ \frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E(k)}{\partial k^2} $$

यह अभिव्यक्ति उन अर्धचालकों के लिए सत्य है जिनमें आइसोट्रोपिक प्रभावी द्रव्यमान होता है, उदाहरण के लिए GaAs। सिलिकॉन के मामले में, चालन बैंड मिनिमा k = 0 पर नहीं होता है और प्रभावी द्रव्यमान न्यूनतम के क्रिस्टलोग्राफिक अभिविन्यास पर निर्भर करता है


 * $$ E(k) = \frac{\hbar^2}{2} \left(\frac{k^2_l}{m^*_l} + \frac{2k^2_t}{m^*_t}\right) $$

कहाँ $$m^*_l, m^*_t $$ क्रमशः अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ प्रभावी द्रव्यमान का वर्णन करें।

गैर-परवलयिक बैंड संरचना
उच्च लागू क्षेत्रों के लिए, वाहक न्यूनतम से ऊपर रहते हैं और फैलाव संबंध, ई (के), ऊपर वर्णित सरल परवलयिक अभिव्यक्ति को संतुष्ट नहीं करता है। इस गैर-परवलयिकता का वर्णन आम तौर पर किया जाता है


 * $$ E(1+\alpha E) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*} $$

कहाँ $$\alpha$$ द्वारा दिया गया गैर-परवलयिकता का गुणांक है


 * $$ \alpha = \frac{(1-m^* / m_0)^2}{E_g} $$

कहाँ $$m_0$$ निर्वात में इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान है, और Eg ऊर्जा अंतर है.

पूर्ण बैंड संरचना
कई अनुप्रयोगों के लिए, गैर-परवलयिक बैंड संरचना उचित सन्निकटन प्रदान करती है। हालाँकि, बहुत उच्च क्षेत्र परिवहन के मामले में, जिसके लिए पूर्ण बैंड संरचना के बेहतर भौतिक मॉडल की आवश्यकता होती है। पूर्ण बैंड दृष्टिकोण के लिए, E(k) की संख्यात्मक रूप से उत्पन्न तालिका का उपयोग किया जाता है। मोंटे कार्लो सिमुलेशन के लिए पूर्ण बैंड दृष्टिकोण का उपयोग पहली बार अर्बाना-शैंपेन में इलिनोइस विश्वविद्यालय में कार्ल हेस द्वारा किया गया था। यह दृष्टिकोण कोहेन और बर्गस्ट्रेसर [18] द्वारा सुझाई गई अनुभवजन्य छद्मसंभाव्य विधि पर आधारित है। पूर्ण बैंड दृष्टिकोण कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा है, हालांकि, कम्प्यूटेशनल शक्ति की प्रगति के बाद, इसे अधिक सामान्य दृष्टिकोण के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

एक-कण मोंटे कार्लो
इस प्रकार के सिमुलेशन के लिए, एक वाहक को इंजेक्ट किया जाता है और डोमेन में गति को ट्रैक किया जाता है, जब तक कि यह संपर्क के माध्यम से बाहर नहीं निकल जाता। फिर एक अन्य वाहक को इंजेक्ट किया जाता है और प्रक्षेप पथों के समूह को अनुकरण करने के लिए प्रक्रिया को दोहराया जाता है। यह दृष्टिकोण अधिकतर थोक गुणों का अध्ययन करने के लिए उपयोगी है, जैसे क्षेत्र के कार्य के रूप में स्थिर अवस्था बहाव वेग।

एन्सेम्बल मोंटे कार्लो
एकल वाहक के बजाय, एक ही समय में वाहकों का एक बड़ा समूह तैयार किया जाता है। यह प्रक्रिया स्पष्ट रूप से सुपर-गणना के लिए एक अच्छा उम्मीदवार है, क्योंकि कोई समानांतरीकरण और वैश्वीकरण लागू कर सकता है। साथ ही, अब सामूहिक औसतों को सीधे निष्पादित करना संभव है। यह दृष्टिकोण क्षणिक सिमुलेशन के लिए उपयुक्त है।

आत्मनिर्भर पहनावा मोंटे कार्लो
यह विधि मोंटे कार्लो प्रक्रिया को पॉइसन के समीकरण से जोड़ती है, और डिवाइस सिमुलेशन के लिए सबसे उपयुक्त है। आमतौर पर, वाहकों की गति के कारण, आवेश के आंतरिक पुनर्वितरण को प्रतिबिंबित करने के लिए, आंतरिक क्षेत्र को अद्यतन करने के लिए पॉइसन के समीकरण को निश्चित अंतराल पर हल किया जाता है।

यादृच्छिक उड़ान चयन
संभावना यह है कि इलेक्ट्रॉन अपनी अगली टक्कर t के आसपास dt के दौरान झेलेगा, इस प्रकार दी गई है


 * $$ p(t) \, dt = P[k(t)] \exp[-\int^t_0 P[k(t')] \, dt' ] \, dt $$

जहां P[k(t)]dt संभावना है कि राज्य k में एक इलेक्ट्रॉन समय dt के दौरान टकराव से ग्रस्त है। घातांक पर अभिन्न की जटिलता के कारण, उपरोक्त समीकरण के वितरण के साथ स्टोकेस्टिक मुक्त उड़ानें उत्पन्न करना अव्यावहारिक है। इस कठिनाई को दूर करने के लिए, लोग एक काल्पनिक "स्व-बिखराव" योजना का उपयोग करते हैं। ऐसा करने से, इस स्व-प्रकीर्णन सहित कुल प्रकीर्णन दर स्थिर और बराबर होती है, मान लीजिए, $$\Gamma$$. यादृच्छिक चयन द्वारा, यदि स्व-प्रकीर्णन का चयन किया जाता है, तो टक्कर के बाद k' k के समान होता है और वाहक बिना किसी गड़बड़ी के अपनी उड़ान जारी रखता है। एक स्थिरांक का परिचय $$P(k) = \tau_0^{-1}$$, उपरोक्त समीकरण कम हो जाता है


 * $$ p(t) = \frac{1}{\tau_0} \exp(-t/ \tau_0). $$

स्टोकेस्टिक मुक्त उड़ानें उत्पन्न करने के लिए यादृच्छिक संख्या आर का उपयोग बहुत सरलता से किया जा सकता है, जिसकी अवधि तब दी जाएगी $$ t_r = - \tau_0 \ln(r) $$. स्व-प्रकीर्णन के लिए उपयोग किए गए कंप्यूटर समय की भरपाई मुक्त-उड़ान अवधि की गणना के सरलीकरण से की जाती है। निःशुल्क उड़ान समय गणना की गति को बढ़ाने के लिए, स्व-प्रकीर्णन घटनाओं को कम करने के लिए "निरंतर तकनीक", और "टुकड़े-टुकड़े तकनीक" जैसी कई योजनाओं का उपयोग किया जाता है।

ठोस अवस्था भौतिकी में सामान्य पृष्ठभूमि
अर्धचालक उपकरणों के महत्वपूर्ण चार्ज परिवहन गुण जैसे ओम के नियम से विचलन और वाहक गतिशीलता की संतृप्ति बिखरने वाले तंत्र का प्रत्यक्ष परिणाम है। इस प्रकार अर्धचालक उपकरण सिमुलेशन के लिए ऐसे तंत्रों की भौतिकी को पकड़ना बहुत महत्वपूर्ण है। इस दायरे में सेमीकंडक्टर मोंटे कार्लो सिमुलेशन, आसानी और सटीकता के लिए एक बहुत शक्तिशाली उपकरण है जिसके साथ बिखरने वाले तंत्र की लगभग संपूर्ण श्रृंखला को शामिल किया जा सकता है। निःशुल्क उड़ानों की अवधि प्रकीर्णन दरों से निर्धारित की जाती है। प्रत्येक उड़ान के अंत में, बिखरे हुए वाहक की अंतिम ऊर्जा, या समकक्ष, इसकी नई गति और बिखरने के कोण को निर्धारित करने के लिए उपयुक्त बिखरने वाले तंत्र को चुना जाना चाहिए। इस अर्थ में, दो व्यापक प्रकार के बिखरने वाले तंत्रों को अलग किया जाएगा जो स्वाभाविक रूप से क्लासिक से प्राप्त होते हैं दो पिंडों के बीच टकराव का गतिज सिद्धांत:

लोचदार प्रकीर्णन, जहां बिखरने के बाद कण की ऊर्जा संरक्षित रहती है। इसलिए लोचदार प्रकीर्णन केवल कण की गति की दिशा को बदल देगा। अशुद्धता प्रकीर्णन और सतह प्रकीर्णन, उचित अनुमान के साथ, लोचदार प्रकीर्णन प्रक्रियाओं के दो अच्छे उदाहरण हैं।

बेलोचदार प्रकीर्णन, जहां ऊर्जा बिखरे हुए कण और प्रकीर्णन केंद्र के बीच स्थानांतरित होती है। इलेक्ट्रॉनफोनन इंटरैक्शन अनिवार्य रूप से बेलोचदार होते हैं क्योंकि निश्चित ऊर्जा का एक फोनन या तो बिखरे हुए कण द्वारा उत्सर्जित या अवशोषित होता है। अधिक गणितीय विवरणों में प्रकीर्णन तंत्र को चिह्नित करने से पहले, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि सेमीकंडक्टर मोंटे कार्लो सिमुलेशन चलाते समय, किसी को मुख्य रूप से निम्नलिखित प्रकार की प्रकीर्णन घटनाओं से निपटना पड़ता है:

ध्वनिक फ़ोनन: आवेश वाहक क्रिस्टल जाली में परमाणुओं के कंपन के ध्वनिक मोड के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान करता है। ध्वनिक फोनन मुख्य रूप से क्रिस्टल जाली के थर्मल उत्तेजना से उत्पन्न होते हैं।

ध्रुवीय ऑप्टिकल: चार्ज वाहक क्रिस्टल जाली के ध्रुवीय ऑप्टिकल मोड में से एक के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान करता है। ये मोड सहसंयोजक अर्धचालकों में मौजूद नहीं हैं। जब सबसे छोटी इकाई कोशिका में एक से अधिक परमाणु होते हैं, तो विभिन्न प्रकार के परमाणुओं के एक-दूसरे के विरुद्ध कंपन से ऑप्टिकल फोनन उत्पन्न होते हैं, और आमतौर पर प्रकाश से उत्तेजित होते हैं।

गैर-ध्रुवीय ऑप्टिकल: ऊर्जा का आदान-प्रदान ऑप्टिकल मोड से होता है। गैर-ध्रुवीय ऑप्टिकल फ़ोनों को आम तौर पर सहसंयोजक अर्धचालकों और GaAs की एल-घाटी में माना जाना चाहिए।

समतुल्य इंटरवैली फ़ोनन: फ़ोनन के साथ अंतःक्रिया के कारण, आवेश वाहक प्रारंभिक अवस्था से अंतिम अवस्था में स्थानांतरित होता है जो अलग-अलग लेकिन समतुल्य घाटियों से संबंधित होता है। आमतौर पर, इस प्रकार का प्रकीर्णन तंत्र एक इलेक्ट्रॉन के एक एक्स-घाटी से दूसरे एक्स-घाटी में, या एक एल-घाटी से दूसरे एल-घाटी में संक्रमण का वर्णन करता है। गैर समतुल्य अंतरालीय फ़ोनन: इसमें विभिन्न प्रकार की घाटियों के बीच एक आवेश वाहक का संक्रमण शामिल होता है।

पीजोइलेक्ट्रिक फोनन: कम तापमान के लिए।

आयनित अशुद्धता: क्रिस्टल जाली में आयनित अशुद्धता के साथ कूलम्ब की बातचीत के कारण बैलिस्टिक प्रक्षेपवक्र से एक कण के विचलन को दर्शाता है। क्योंकि एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान किसी अशुद्धता की तुलना में अपेक्षाकृत छोटा होता है, प्रारंभिक और अंतिम अवस्था के बीच गति के मापांक के अंतर के साथ कूलम्ब क्रॉस सेक्शन तेजी से घटता है। इसलिए, अशुद्धता बिखरने की घटनाओं को ज्यादातर इंट्रावैली बिखरने, इंट्राबैंड बिखरने और, कुछ हद तक, इंटरबैंड बिखरने के लिए माना जाता है।

कैरियर-कैरियर: (इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन, होल-होल और इलेक्ट्रॉन-होल इंटरैक्शन)। जब वाहक सांद्रता अधिक होती है, तो इस प्रकार का प्रकीर्णन आवेश वाहकों के बीच इलेक्ट्रोस्टैटिक संपर्क को दर्शाता है। किसी संयोजन सिमुलेशन में कणों की बढ़ती संख्या के साथ यह समस्या बहुत तेजी से कम्प्यूटेशनल रूप से गहन हो जाती है। इस दायरे में, कण-कण-कण-मेष (पी3एम) एल्गोरिदम, जो किसी कण की उसके आसपास की चार्ज गैस के साथ छोटी दूरी और लंबी दूरी की बातचीत को अलग करता है, सेमीकंडक्टर मोंटे कार्लो सिमुलेशन में वाहक-वाहक बातचीत को शामिल करने में कुशल साबित हुआ है। बहुत बार, वाहकों का चार्ज क्लाउड-इन-सेल विधि का उपयोग करके ग्रिड को सौंपा जाता है, जहां किसी दिए गए कण के चार्ज का हिस्सा एक निश्चित वजन कारक के साथ निकटतम ग्रिड बिंदुओं की दी गई संख्या को सौंपा जाता है।

प्लास्मोन: किसी दिए गए कण पर आवेश वाहकों के सामूहिक दोलन के प्रभाव को दर्शाता है।

मोंटे कार्लो में प्रकीर्णन तंत्र का समावेश
मोंटे कार्लो सिमुलेशन में बिखरने को शामिल करने के लिए एक कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल दृष्टिकोण में तालिकाओं में व्यक्तिगत तंत्र की बिखरने की दरों को संग्रहीत करना शामिल है। एक सटीक कण स्थिति के लिए अलग-अलग बिखरने की दर को देखते हुए, कोई व्यक्ति मुक्त उड़ान के अंत में यादृच्छिक रूप से बिखरने की प्रक्रिया का चयन कर सकता है। ये बिखरने की दरें अक्सर बोर्न सन्निकटन का उपयोग करके प्राप्त की जाती हैं, जिसमें एक बिखरने की घटना शामिल वाहक के दो गति राज्यों के बीच एक संक्रमण मात्र है। जैसा कि खंड II-I में चर्चा की गई है, एक वाहक की उसके आसपास के वातावरण (फोनन, इलेक्ट्रॉन, छेद, प्लास्मों, अशुद्धियाँ, ...) के साथ बातचीत से उत्पन्न होने वाली क्वांटम कई-शरीर की समस्या को दो-शरीर की समस्या में कम किया जा सकता है। क्वासिपार्टिकल सन्निकटन, जो ब्याज के वाहक को बाकी क्रिस्टल से अलग करता है। इन सन्निकटनों के भीतर, फ़र्मी का सुनहरा नियम, पहले क्रम में, एक राज्य से बिखरने वाले तंत्र के लिए प्रति इकाई समय में संक्रमण की संभावना देता है $$ |k \rangle$$ एक राज्य के लिए $$ |k' \rangle$$:


 * $$ S(k,k') = \frac{2\pi}{\hbar}

\left | \langle k|H'|k' \rangle \right |^2 \cdot \delta(E - E') $$ जहां H' टकराव का प्रतिनिधित्व करने वाला गड़बड़ी हैमिल्टनियन है और E और E' क्रमशः वाहक और इलेक्ट्रॉन और फोनन गैस दोनों से गठित प्रणाली की प्रारंभिक और अंतिम ऊर्जा हैं। डिराक $$\delta$$-फ़ंक्शन का अर्थ ऊर्जा संरक्षण है। इसके अलावा, शब्द $$\langle k|H'|k' \rangle$$, जिसे आम तौर पर मैट्रिक्स तत्व के रूप में जाना जाता है, गणितीय रूप से वाहक के प्रारंभिक और अंतिम तरंग कार्यों के आंतरिक उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है:
 * $$ \langle k|H'|k' \rangle = \frac{1}{Vol} \int_\mathrm{Vol}

\psi_k (r) H' \psi^*_{k'} (r) \, dr $$ क्रिस्टल जाली में, तरंग कार्य करती है $$\psi_k (r)$$ और  $$\psi_{k'} (r)$$ बस बलोच तरंगें हैं। जब यह संभव होता है, तो मैट्रिक्स तत्वों की विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति आमतौर पर फूरियर द्वारा हैमिल्टनियन यांत्रिकी#गणितीय औपचारिकता एच' का विस्तार करते हुए पाई जाती है, जैसा कि अशुद्धता बिखरने के मामले में होता है या ध्वनिक फ़ोनन प्रकीर्णन। तरंग वेक्टर q और आवृत्ति के एक फोनन के कारण ऊर्जा अवस्था E से ऊर्जा अवस्था E' में संक्रमण के महत्वपूर्ण मामले में $$\omega_q$$, ऊर्जा और संवेग परिवर्तन है:


 * $$ E' - E = E(k') - E(k) \pm \hbar \omega_q \, $$
 * $$k' - k \pm q = \begin{cases} 0 & \text{ } \\ R & \text{Umklapp-process} \end{cases} $$

जहाँ R एक व्युत्क्रम जालक सदिश है। उमक्लैप प्रक्रियाएं (या यू-प्रक्रियाएं) बिखरने के बाद कण की गति को बदल देती हैं और इसलिए अर्धचालक क्रिस्टल में चालन को सीमित कर रही हैं। भौतिक रूप से, यू-प्रक्रियाएँ तब घटित होती हैं जब कण का अंतिम संवेग पहले ब्रिलोइन क्षेत्र से बाहर की ओर इंगित करता है। एक बार जब किसी को राज्य k से राज्य k' तक प्रति इकाई समय में बिखरने की संभावना का पता चल जाता है, तो किसी दिए गए बिखरने की प्रक्रिया के लिए बिखरने की दर निर्धारित करना दिलचस्प होता है। बिखरने की दर पारस्परिक स्थान में एक राज्य k से किसी अन्य राज्य में बिखरने के लिए प्रति इकाई समय की संभावना देती है। अत: प्रकीर्णन दर है


 * $$ \lambda (k) = \sum_{k'} S(k,k')$$

जिसका उपयोग मुक्त उड़ान समय और प्रकीर्णन प्रक्रिया को निर्धारित करने के लिए आसानी से किया जा सकता है जैसा कि धारा 3-3 में चर्चा की गई है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह बिखरने की दर सामग्री की बैंड संरचना पर निर्भर होगी (निर्भरता मैट्रिक्स तत्वों से उत्पन्न होती है)।

प्रकीर्णन मोड और प्रकीर्णित प्रक्षेपवक्र का चयन
एक मुक्त उड़ान के अंत में, एक प्रकीर्णन मोड और कोण को यादृच्छिक रूप से चुना जाना चाहिए। प्रकीर्णन तंत्र को निर्धारित करने के लिए, सभी प्रकीर्णन दरों पर विचार करना होगा $$ \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$$ सिमुलेशन के लिए प्रासंगिक तंत्र के साथ-साथ बिखरने के समय कुल बिखरने की दर $$ \lambda_{tot} (t_{sc}) = \sum_i \lambda_i. $$ एक प्रकीर्णन तंत्र का चयन करने से एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्या 0 < r < 1 उत्पन्न होती है और निम्नलिखित नियमों का संदर्भ मिलता है



\begin{align} r & < \frac{\lambda_1}{\lambda_\mathrm{tot}} \rightarrow \text{scattering-mechanism-}1 \\ r & < \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\lambda_\mathrm{tot}} \rightarrow \text{scattering-mechanism-}2 \\ & {} \ \vdots \\ r & < \frac{\sum_{i=0}^n \lambda_i}{\lambda_\mathrm{tot}} \rightarrow \text{scattering-mechanism-}n \end{align} $$ प्रकीर्णन तंत्र को चुनने के लिए एक कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल दृष्टिकोण में एक "शून्य" प्रकीर्णन तंत्र को जोड़ना शामिल है ताकि $$\lambda_\mathrm{tot}$$ समय के साथ स्थिर रहता है. यदि कोई कण इस तंत्र के अनुसार बिखरा हुआ है, तो बिखरने के बाद यह अपने बैलिस्टिक प्रक्षेपवक्र को बनाए रखेगा। एक नया प्रक्षेप पथ चुनने के लिए, पहले बिखरने के बाद कण की ऊर्जा (या गति) प्राप्त करनी होगी


 * $$ E(k') = E(k) \pm \hbar \omega_q \pm \Delta E_C \, $$

जहां शब्द $$\hbar \omega_q$$ फोनन उत्सर्जन या अवशोषण और शब्द के लिए जिम्मेदार है $$ \Delta E_C $$ अंतर-घाटी प्रकीर्णन के लिए गैर-शून्य है। अंतिम ऊर्जा (और बैंड संरचना) सीधे नए संवेग k' का मापांक उत्पन्न करती है। इस बिंदु पर किसी को बिखरे हुए कण के लिए केवल एक नई दिशा (या कोण) चुनने की आवश्यकता होती है। फ़ोनन प्रकीर्णन और परवलयिक फैलाव संबंध जैसे कुछ सरल मामलों में, प्रकीर्णन कोण यादृच्छिक होता है और त्रिज्या k' के गोले पर समान रूप से वितरित होता है। गोलाकार निर्देशांकों का उपयोग करते हुए, कोण चुनने की प्रक्रिया दो कोणों को यादृच्छिक रूप से चुनने के बराबर है $$\theta$$और $$\psi$$. यदि कोण को वितरण के साथ वितरित किया जाता है $$p(\theta, \psi)$$, तो कोणों के एक समान वितरण के लिए, गोले का एक बिंदु चुनने की संभावना है


 * $$ p(\theta, \psi) \, d \theta d \psi = \frac{\sin \theta \, d \theta \, d \psi}{4 \pi} $$

इस मामले में, दो चरों को अलग करना संभव है। एकीकरण हो रहा है $$\psi$$ फिर खत्म $$\theta$$, कोई पाता है
 * $$ p(\theta) = \frac{\sin \theta}{2}$$
 * $$ p(\psi) = \frac{1}{2 \pi}$$

फिर दो यादृच्छिक संख्याएँ 0 <r उत्पन्न करके, एक समान स्थिति में, दो गोलाकार कोणों को चुना जा सकता है1, आर2 <1 ऐसा कि


 * $$ r_1 = \int_0^\psi p(\psi ') \, d \psi ' = \frac{\psi}{2 \pi} $$
 * $$ r_2 = \int_0^\theta p(\theta ') \, d \theta ' = \frac{1 - \cos \theta}{2} $$

मोंटे कार्लो सिमुलेशन के लिए क्वांटम सुधार
सेमीकंडक्टर उपकरणों को कम करने की मौजूदा प्रवृत्ति ने भौतिकविदों को डिवाइस व्यवहार की गहन समझ हासिल करने के लिए क्वांटम मैकेनिकल मुद्दों को शामिल करने के लिए मजबूर किया है। नैनो-स्केल उपकरणों के व्यवहार का अनुकरण करने के लिए पूर्ण क्वांटम यांत्रिकी मॉडल के उपयोग की आवश्यकता होती है, खासकर उन मामलों के लिए जब क्वांटम प्रभावों को नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, अर्ध-शास्त्रीय ढांचे के भीतर क्वांटम सुधारों को नियोजित करके, आधुनिक MOSFET जैसे व्यावहारिक उपकरणों के मामले में इस जटिलता से बचा जा सकता है। फिर डिवाइस विशेषताओं का अनुकरण करने के लिए अर्ध-शास्त्रीय मोंटे कार्लो मॉडल को नियोजित किया जा सकता है। क्वांटम सुधारों को मोंटे कार्लो सिम्युलेटर में केवल एक क्वांटम संभावित शब्द पेश करके शामिल किया जा सकता है जो सिम्युलेटेड कणों द्वारा देखी गई शास्त्रीय इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता पर लगाया जाता है। बगल में दिया गया चित्र इस तकनीक की आवश्यक विशेषताओं को सचित्र रूप से दर्शाता है। कार्यान्वयन के लिए उपलब्ध विभिन्न क्वांटम दृष्टिकोणों का वर्णन निम्नलिखित उपखंडों में किया गया है।

विग्नर-आधारित सुधार
विग्नर ट्रांसपोर्ट समीकरण विग्नर-आधारित क्वांटम सुधार का आधार बनता है।


 * $$ \frac{\partial f}{\partial t} + r \cdot \nabla_r f

- \frac{1}{\hbar} \nabla_r V \cdot \nabla_k f + \sum_{\alpha = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{\alpha +1}}{\hbar 4^{\alpha} (2 \alpha +1)!} \times (\nabla_r \nabla_k)^{2 \alpha +1} V f = \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_c $$ जहां, k क्रिस्टल गति है, V शास्त्रीय क्षमता है, RHS पर पद टकराव का प्रभाव है, LHS पर चौथा पद गैर-स्थानीय क्वांटम यांत्रिक प्रभावों का प्रतिनिधित्व करता है। मानक बोल्ट्ज़मैन ट्रांसपोर्ट समीकरण तब प्राप्त होता है जब एलएचएस पर गैर-स्थानीय शब्द धीमी स्थानिक विविधताओं की सीमा में गायब हो जाते हैं। सरलीकृत (के लिए) $$\alpha=0$$) क्वांटम सही BTE तब बन जाता है


 * $$ \frac{\partial f}{\partial t} + r \cdot \nabla_r f

- \frac{1}{\hbar} \nabla_r V \cdot \nabla_k f = \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_c $$ जहां क्वांटम क्षमता शब्द में निहित है $$V_{\omega}$$ (एक त्रुटि होनी चाहिए: $$V_{\omega}$$ कभी उल्लेख नहीं किया गया था)।

प्रभावी संभावित सुधार
क्वांटम सुधार की यह विधि 1965 में फेनमैन और हिब्स द्वारा विकसित की गई थी। इस विधि में किसी कण के शास्त्रीय पथ के चारों ओर क्वांटम उतार-चढ़ाव के पथ अभिन्न अंग में योगदान की गणना करके प्रभावी क्षमता प्राप्त की जाती है। यह गणना पहले क्रम की परीक्षण क्षमता का उपयोग करके एक परिवर्तनीय विधि द्वारा की जाती है। प्रत्येक पथ पर औसत बिंदु में प्रभावी शास्त्रीय क्षमता तब बन जाती है


 * $$ V_\mathrm{eff} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi a}} \int^\infty_{- \infty} V(x')

e^{-\frac{(x'-x)^2}{2a^2}} dx' $$
 * $$ a^2 = \frac{\hbar^2}{12m^*k_BT} $$

श्रोडिंगर-आधारित सुधार
इस दृष्टिकोण में एक सिमुलेशन में श्रोडिंगर समीकरण का आवधिक समाधान शामिल है जिसमें इनपुट आत्मनिर्भर इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता है। क्वांटम क्षमता की गणना के लिए इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित समाधान से संबंधित सटीक ऊर्जा स्तर और तरंग कार्यों को नियोजित किया जाता है। इस विधि के आधार पर प्राप्त क्वांटम सुधार को निम्नलिखित समीकरण द्वारा देखा जा सकता है


 * $$ V_\mathrm{schr}(z) = -k_BT \cdot \log(n_q(z)) - V_p(z) + V_0 $$

जहां वीschr क्वांटम सुधार क्षमता है, z इंटरफ़ेस की लंबवत दिशा है, nq श्रोडिंगर समीकरण से क्वांटम घनत्व है जो अभिसरण मोंटे कार्लो एकाग्रता, वी के बराबर हैp पॉइसन समाधान से क्षमता है, वी0 क्वांटम क्षेत्र से इतनी दूर मनमाना संदर्भ क्षमता है कि अर्ध-शास्त्रीय व्यवहार के क्षेत्र में सुधार शून्य हो जाता है। भले ही क्वांटम सुधार के लिए उपर्युक्त संभावनाएं उनकी गणना की विधि और उनकी बुनियादी मान्यताओं में भिन्न हैं, फिर भी जब मोंटे कार्लो सिमुलेशन में उन्हें शामिल करने की बात आती है तो वे सभी एक ही तरह से शामिल हो जाते हैं।

यह भी देखें

 * अर्ध-मोंटे कार्लो विधि
 * अर्धचालक उपकरण
 * फोटॉन परिवहन के लिए मोंटे कार्लो विधि
 * इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना
 * क्वांटम विशेषताओं की विधि
 * क्वांटम मोंटे कार्लो
 * क्वासी-मोंटे कार्लो विधि