प्रत्यक्ष-चतुर्भुज-शून्य परिवर्तन

प्रत्यक्ष-समकोणिक-शून्य (DQZया डीक्यू0 या डीक्यूओ, कभी-कभी लोअरकेस) ट्रांसफ़ॉर्म या शून्य-प्रत्यक्ष-समकोणिक (0डीक्यू या ओडीक्यू, कभी-कभी लोअरकेस) ट्रांसफ़ॉर्म एक टेन्सर  है जो विश्लेषण को सरल बनाने के प्रयास में तीन-तत्व सदिश या तीन-बाय-तीन तत्व मैट्रिक्स के संदर्भ फ्रेम को घुमाता है। DQZ ट्रांसफॉर्म(परिवर्तक) अल्फा-बीटा ट्रांसफ़ॉर्म और पार्क ट्रांसफॉर्म का उत्पाद है, जिसे पहली बार 1929 में रॉबर्ट एच. पार्क द्वारा प्रस्तावित किया गया था।

DQZ ट्रांसफॉर्म का उपयोग अधिकांशत: तीन फ़ेज़ सर्किट वाले विद्युत् इंजीनियरी के संदर्भ में किया जाता है। ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग प्रत्यावर्ती धारा तरंगों के संदर्भ फ़्रेमों को घुमाने के लिए किया जा सकता है जिससे कि वे प्रत्यक्ष धारा सिग्नल बन जाएं। वास्तविक तीन फ़ेज़ एसी परिणामों को पुनर्प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रम ट्रांसफ़ॉर्म करने से पहले इन dc मात्रा पर सरलीकृत गणना की जा सकती है। उदाहरण के तौर पर, DQZ ट्रांसफॉर्म का उपयोग अधिकांशत: तीन फ़ेज़ तुल्यकालिक मोटर के विश्लेषण को सरल बनाने या तीन फ़ेज़ इन्वर्टर (इलेक्ट्रिकल) के नियंत्रण के लिए गणना को सरल बनाने के लिए किया जाता है। तीन फ़ेज़ तुल्यकालिक मशीनों के विश्लेषण में, ट्रांसफ़ॉर्म समय-भिन्न अधिष्ठापन के प्रभाव को खत्म करने और सिस्टम को एक रैखिक समय-अट्रांसफ़ॉर्मीय प्रणाली में बदलने के लिए तीन फ़ेज़ स्टेटर और रोटर मात्रा को एक एकल घूर्णन संदर्भ फ्रेम में स्थानांतरित करता है।

परिचय
DQZ ट्रांसफ़ॉर्म पार्क और क्लार्क ट्रांसफ़ॉर्मेशन मैट्रिसेस से बना है। क्लार्क ट्रांसफॉर्म (एडिथ क्लार्क के नाम पर) ABC संदर्भ फ्रेम में सदिश को αβγ संदर्भ फ्रेम में परिवर्तित करता है। क्लार्क ट्रांसफ़ॉर्म का प्राथमिक मूल्य ABC-संदर्भित सदिश के उस हिस्से को अलग करना है, जो सदिश के सभी तीन घटकों के लिए सामान्य है; यह सामान्य-मोड घटक (अर्थात, Z घटक) को अलग करता है। पावर-अट्रांसफ़ॉर्मीय, दाएं हाथ, समान रूप से स्केल किया गया क्लार्क परिणमन मैट्रिक्स है;
 * $$K_{C} = \sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\begin{bmatrix}

1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$.

ABC-संदर्भित कॉलम सदिश को XYZ संदर्भ फ्रेम में परिवर्तित करने के लिए, सदिश को क्लार्क परिणमन मैट्रिक्स द्वारा पूर्व-गुणा किया जाना चाहिए:

\vec{u}_{XYZ} = K_{C}\cdot \vec{u}_{ABC} $$. और, XYZ-संदर्भित कॉलम सदिश से ABC संदर्भ फ्रेम में वापस परिवर्तित करने के लिए, सदिश को व्युत्क्रम क्लार्क ट्रांसफ़ॉर्म मैट्रिक्स द्वारा पूर्व-गुणा किया जाना चाहिए:

\vec{u}_{ABC} = K_{C}^{-1}\cdot \vec{u}_{XYZ} $$.

पार्क ट्रांसफ़ॉर्म (रॉबर्ट एच. पार्क के नाम पर) XYZ संदर्भ फ़्रेम में सदिश को DQZ संदर्भ फ़्रेम में परिवर्तित करता है। पार्क ट्रांसफॉर्म का प्राथमिक मूल्य एक सदिश के संदर्भ फ्रेम को एक यादृच्छिक आवृत्ति पर घुमाना है। पार्क ट्रांसफॉर्म सिग्नल की आवृत्ति स्पेक्ट्रम को इस तरह से बदल देता है कि यादृच्छिक आवृत्ति अब "dc," के रूप में दिखाई देती है, और पुरानी dc यादृच्छिक आवृत्ति के नकारात्मक के रूप में दिखाई देती है। पार्क ट्रांसफ़ॉर्म मैट्रिक्स है
 * $$K_{P} = \begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & \sin{\left(\theta\right)} & 0 \\ -\sin{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta\right)} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$, जहां θ एक यादृच्छिक ω आवृत्ति का तात्कालिक कोण है। XYZ-संदर्भित सदिश को DQZ संदर्भ फ्रेम में परिवर्तित करने के लिए, कॉलम सदिश सिग्नल को पार्क परिणमन मैट्रिक्स द्वारा पूर्व-गुणा किया जाना चाहिए:

u_{DQZ} = K_{P}\cdot u_{XYZ} $$. और, DQZ-संदर्भित सदिश से XYZ संदर्भ फ्रेम में वापस परिवर्तित करने के लिए, कॉलम सदिश सिग्नल को व्युत्क्रम पार्क ट्रांसफ़ॉर्म पूर्व मैट्रिक्स द्वारा गुणा किया जाना चाहिए:

u_{XYZ} = K_{P}^{-1}\cdot u_{DQZ} $$.

क्लार्क और पार्क मिलकर DQZ रूपांतरण बनाते हैं:
 * $$K_{CP} = K_{P}\cdot K_{C}$$
 * $$\to\begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & \sin{\left(\theta\right)} & 0 \\ -\sin{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta\right)} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} 1 & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$
 * $$ \to \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right)} & \cos{\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)} \\ -\sin{\left(\theta\right)} & -\sin{\left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right)} & -\sin{\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$$ उलटा ट्रांसफ़ॉर्म है:
 * $$K_{CP}^{-1} = \sqrt{\frac{2}{3}}\begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & -\sin{\left(\theta\right)} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos{\left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right)} & -\sin{\left(\theta - \frac{2\pi}{3}\right)} & \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \cos{\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)} & -\sin{\left(\theta + \frac{2\pi}{3}\right)} & \frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix}$$ ABC-संदर्भित सदिश को DQZ संदर्भ फ्रेम में परिवर्तित करने के लिए, कॉलम सदिश सिग्नल को DQZ परिणमन पूर्व मैट्रिक्स द्वारा गुणा किया जाना चाहिए:

u_{DQZ} = K_{CP}\cdot u_{ABC} $$. और, DQZ-संदर्भित सदिश से ABC संदर्भ फ्रेम में वापस परिवर्तित करने के लिए, कॉलम सदिश सिग्नल को व्युत्क्रम DQZ परिणमन पूर्व मैट्रिक्स द्वारा गुणा किया जाना चाहिए:

u_{ABC} = K_{CP}^{-1}\cdot u_{DQZ} $$.

इस ट्रांसफ़ॉर्म को बेहतर ढंग से समझने के लिए, ट्रांसफ़ॉर्म की व्युत्पत्ति सम्मलित की गई है।

पार्क ट्रांसफ़ॉर्म व्युत्पत्ति
पार्क ट्रांसफ़ॉर्म डॉट उत्पाद की अवधारणा और अन्य सदिश पर सदिश के प्रक्षेप पर आधारित है। सबसे पहले, आइए दो इकाई सदिशों की कल्पना करें, $$\hat{u}_{D}$$ और $$\hat{u}_{Q}$$ (पुराने संदर्भ फ्रेम के परिप्रेक्ष्य से नए संदर्भ फ्रेम की इकाई सदिश, या अक्ष), और एक तीसरा, यादृच्छिक, सदिश $$\vec{v}_{XY}$$ है। हम दो यूनिट सदिश और यादृच्छिक सदिश को पुराने संदर्भ फ्रेम में उनके कार्तीय(कार्टेशियन) समन्वय प्रणाली निर्देशांक के संदर्भ में परिभाषित कर सकते हैं:
 * $$\hat{u}_{D} =

\cos{\left(\theta\right)}\hat{u}_{X} + \sin{\left(\theta\right)}\hat{u}_{Y}$$
 * $$\hat{u}_{Q} =

-\sin{\left(\theta\right)}\hat{u}_{X} + \cos{\left(\theta\right)}\hat{u}_{Y}$$
 * $$\vec{v}_{XY} =

v_{X}\hat{u}_{X} + v_{Y}\hat{u}_{Y}$$, यहाँ $$\hat{u}_{X}$$ और $$\hat{u}_{Y}$$ पुरानी समन्वय प्रणाली के इकाई आधार सदिश हैं और $$\theta$$ के बीच का कोण $$\hat{u}_{X}$$ और $$\hat{u}_{D}$$ यूनिट सदिश (अर्थात, दो संदर्भ फ़्रेमों के बीच का कोण) है। दो नए इकाई सदिशों में से प्रत्येक पर यादृच्छिक सदिश का प्रक्षेप डॉट उत्पाद को दर्शाता है:
 * $$v_{D} =

\hat{u}_{D}\cdot \vec{v}_{XY}$$
 * $$\to \cos{\left(\theta\right)} v_{X}

+ \sin{\left(\theta\right)} v_{Y}$$
 * $$v_{Q} =

\hat{u}_{Q}\cdot \vec{v}_{XY}$$
 * $$\to -\sin{\left(\theta\right)} v_{X}

+ \cos{\left(\theta\right)} v_{Y}$$. इसलिए, $$v_{D}$$ का प्रक्षेप $$\vec{v}_{XY}$$ उस पर $$\hat{u}_{D}$$ अक्ष, और $$v_{Q}$$ का प्रक्षेप है $$\vec{v}_{XY}$$ उस पर $$\hat{u}_{Q}$$ एक्सिस है। ये नए सदिश घटक, $$v_{D}$$ और $$v_{Q}$$, एक साथ मिलकर नया सदिश $$\vec{v}_{DQ}$$, मूल सदिश $$\vec{v}_{XY}$$ नए DQ संदर्भ फ़्रेम के संदर्भ में बनाएं।



ध्यान दें कि सकारात्मक कोण $$\theta$$ उपरोक्त के कारण नए DQ संदर्भ फ़्रेम में परिवर्तित होने पर यादृच्छिक सदिश पीछे की ओर घूमने लगता है। दूसरे शब्दों में, नए संदर्भ फ्रेम से संबंधित इसका कोण पुराने संदर्भ फ्रेम से इसके कोण से कम है। ऐसा इसलिए है क्योंकि संदर्भ फ़्रेम, सदिश नहीं, आगे की ओर घूमता है। दरअसल, संदर्भ फ्रेम का आगे का घुमाव सदिश के नकारात्मक घुमाव के समान है। यदि पुराना संदर्भ फ्रेम आगे की ओर घूम रहा था, जैसे कि तीन फ़ेज़ विद्युत प्रणालियों में, तो परिणामी DQ सदिश स्थिर रहता है।

एक एकल मैट्रिक्स समीकरण उपरोक्त ऑपरेशन को संक्षेप में प्रस्तुत कर सकता है:
 * $$\vec{v}_{DQ} = \begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & \sin{\left(\theta\right)} \\ -\sin{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta\right)} \end{bmatrix} \cdot \vec{v}_{XY}$$. इस टेंसर को त्रि-आयामी समस्याओं तक विस्तारित किया जा सकता है, जहां जिस अक्ष के बारे में घूर्णन होता है उसे अप्रभावित छोड़ दिया जाता है। निम्नलिखित उदाहरण में, घूर्णन Z अक्ष के बारे में है, लेकिन कोई भी अक्ष चुना जा सकता था:
 * $$K_{P} = \begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & \sin{\left(\theta\right)} & 0 \\  -\sin{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta\right)} & 0 \\  0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$.

रैखिक बीजगणित परिप्रेक्ष्य से, यह बस z-अक्ष के बारे में एक दक्षिणावर्त घुमाव है और गणितीय रूप से त्रिकोणमितीय अंतर कोण सूत्रों के बराबर है।

ABC इकाई आधार सदिश
इकाई आधार सदिश A, B, और C के साथ एक त्रि-आयामी स्थान पर विचार करें। नीचे दिए गए चित्र में गोले का उपयोग संदर्भ के लिए संदर्भ फ्रेम के पैमाने को दिखाने के लिए किया जाता है और बॉक्स का उपयोग घूर्णी संदर्भ प्रदान करने के लिए किया जाता है।



सामान्यत:, विद्युत् इंजीनियरी (या कोई अन्य संदर्भ जो तीन फ़ेज़ प्रणालियों का उपयोग करता है) में, तीन फ़ेज़ घटकों को दो-आयामी परिप्रेक्ष्य में दिखाया जाता है। चूंकि, यह देखते हुए कि तीन फ़ेज़ स्वतंत्र रूप से बदल सकते हैं, वे परिभाषा के अनुसार एक-दूसरे के लिए लंबकोणीय हैं। इसका तात्पर्य त्रि-आयामी परिप्रेक्ष्य से है, जैसा कि ऊपर चित्र में दिखाया गया है। तो, द्वि-आयामी परिप्रेक्ष्य वास्तव में एक समतलीय पर त्रि-आयामी वास्तविकता का प्रक्षेप दिखा रहा है।



तीन फ़ेज़ की समस्याओं को सामान्यत: इस समतलीय के भीतर संचालित होने के रूप में वर्णित किया जाता है। वास्तव में, समस्या संभवतः एक संतुलित चरण वाली समस्या है (अर्थात्, vA + vB + vC = 0) और नेट सदिश
 * $$\vec{v} = v_{A}\hat{u}_{A} + v_{B}\hat{u}_{B} + v_{C}\hat{u}_{C}$$

सदैव इसी तल पर रहता है।

AYC' इकाई आधार सदिश
क्लार्क ट्रांसफ़ॉर्म बनाने के लिए, हम वास्तव में दो चरणों में पार्क ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करते हैं। हमारा लक्ष्य C अक्ष को बॉक्स के कोने में घुमाना है। इस प्रकार घुमाया गया C अक्ष ऊपर उल्लिखित द्वि-आयामी परिप्रेक्ष्य के तल पर लंबकोणीय होगा। क्लार्क ट्रांसफॉर्म के निर्माण की दिशा में पहले कदम के लिए A अक्ष के बारे में ABC संदर्भ फ्रेम को घुमाने की आवश्यकता है। तो, इस बार, 1 पार्क ट्रांसफ़ॉर्म के पहले तत्व में होगा:
 * $$K_{1} = \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\  0 & \cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} & \sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} \\ 0 & -\sin{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} & \cos{\left(-\frac{\pi}{4}\right)} \end{bmatrix}$$
 * $$\to \begin{bmatrix}

1 & 0 & 0 \\  0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$ निम्नलिखित चित्र दिखाता है कि जब किसी सदिश को K1 आव्यूह पूर्व-गुणा किया जाता है तो ABC संदर्भ फ़्रेम को AYC ' संदर्भ फ़्रेम में कैसे घुमाया जाता है । C'  और Y अक्ष अब बॉक्स के किनारों के मध्य बिंदुओं को इंगित करते हैं, लेकिन संदर्भ फ्रेम का परिमाण नहीं बदला है (अर्थात, गोला बढ़ता या सिकुड़ता नहीं है)।यह इस तथ्य के कारण है कि K1 टेंसर का मान 1: ||K1|| = 1 है। इसका मतलब यह है कि ABC संदर्भ फ्रेम में किसी भी सदिश को AYC' संदर्भ फ्रेम में घुमाए जाने पर समान परिमाण जारी रहता है।



XYZ इकाई आधार सदिश
इसके बाद, निम्नलिखित टेंसर सदिश को नए Y अक्ष के बारे में Y अक्ष के संबंध में वामावर्त दिशा में घुमाता है (कोण इसलिए चुना गया जिससे कि C' अक्ष बॉक्स के कोने की ओर इंगित हो।):
 * $$K_{2} = \begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & 0 & -\sin{\left(\theta\right)} \\ 0 & 1 & 0 \\  \sin{\left(\theta\right)} & 0 & \cos{\left(\theta\right)} \end{bmatrix}$$
 * $$ \theta = \cos^{-1}\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right) \to 35.26^\circ$$,

या
 * $$K_{2} = \begin{bmatrix}

\sqrt{\frac{2}{3}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & 1 & 0 \\  \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \sqrt{\frac{2}{3}} \end{bmatrix}$$. ध्यान दें कि गोले के केंद्र से बॉक्स के किनारे के मध्य बिंदु तक की दूरी है $\sqrt{2}$ लेकिन गोले के केंद्र से बॉक्स के कोने तक है $\sqrt{3}$. यहीं से 35.26° कोण आया है। कोण की गणना डॉट उत्पाद का उपयोग करके की जा सकती है। माना $$\vec{m}=\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$$ C' की दिशा में इकाई सदिश बनें और जाने दें $$\vec{n} = \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) $$ बॉक्स के कोने की दिशा में एक यूनिट सदिश बनें $$\vec{n} = \left( 1, 1, 1 \right) $$. क्योंकि $$\vec{m} \cdot \vec{n} = |\vec{m}| |\vec{n}| \cos \theta,$$ कहाँ $$\theta$$ के बीच का कोण है $$\vec{m}$$ और $$\vec{n},$$ हमारे पास है



\left(0,\frac{\sqrt{2}}{2},\frac{\sqrt{2}}{2}\right) \cdot \left( \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}}, \frac{1}{\sqrt{3}} \right) = \cos \theta $$
 * $$ \cos \theta = 0 + \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} +  \frac{\sqrt{2}}{2\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{2}{3}}$$
 * $$\theta = \cos^{-1} \left( \sqrt{\frac{2}{3}} \right)$$
 * $$\theta = 35.26^\circ.$$

K2 का मानदंड2मैट्रिक्स भी 1 है, इसलिए यह भी K2 आव्यूह द्वारा पूर्व-गुणा किए गए किसी भी सदिश के परिमाण को नहीं बदलता है ।



शून्य तल
इस बिंदु पर, Z अक्ष अब उस तल के लंबकोणीय है जिसमें सामान्य-मोड घटक के बिना कोई भी ABC सदिश पाया जा सकता है। कोई भी संतुलित ABC सदिश तरंग (एक सामान्य मोड के बिना एक सदिश) इस समतलीय के बारे में यात्रा करेगा। इस समतलीय को शून्य समतलीय कहा जाएगा और इसे नीचे षट्कोणीय रूपरेखा द्वारा दिखाया गया है। X और Y आधार सदिश शून्य तल पर हैं। ध्यान दें कि X अक्ष शून्य तल पर A अक्ष के प्रक्षेप के समानांतर है। X अक्ष शून्य तल पर A अक्ष के प्रक्षेप से थोड़ा बड़ा है। यह √3/2 के गुणक से बड़ा है। ABC संदर्भ फ्रेम से XYZ संदर्भ फ्रेम में इस रूपांतरण के माध्यम से यादृच्छिक सदिश ने परिमाण नहीं बदला (अर्थात, गोले का आकार नहीं बदला)। यह क्लार्क ट्रांसफ़ॉर्म के शक्ति-अट्रांसफ़ॉर्मीय रूप के लिए सच है। निम्नलिखित आंकड़ा ABC और XYZ संदर्भ फ्रेम के सामान्य द्वि-आयामी परिप्रेक्ष्य को दर्शाता है। यह अजीब लग सकता है कि चूंकि सदिश का परिमाण नहीं बदला, लेकिन इसके घटकों का परिमाण बदल गया (अर्थात, X और Y घटक A, B और C घटकों से अधिक लंबे हैं)। शायद इसे सहज रूप से इस बात पर विचार करके समझा जा सकता है कि सामान्य मोड के बिना एक सदिश के लिए, जिसे व्यक्त करने के लिए तीन मान (A, B, और C घटक) लगते थे, अब केवल 2 (X और Y घटक) लगते हैं क्योंकि Z घटक शून्य है। इसलिए, क्षतिपूर्ति के लिए X और Y घटक मान बड़े होने चाहिए।

टेन्सर्स का संयोजन
पावर-इनवेरिएंट क्लार्क परिणमन मैट्रिक्स K1 का एक संयोजन है और K2 टेंसर:
 * $$K_{C} = \underbrace{\begin{bmatrix}

\sqrt{\frac{2}{3}} & 0 & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ 0 & 1 & 0 \\  \frac{1}{\sqrt{3}} & 0 & \sqrt{\frac{2}{3}} \end{bmatrix}}_{K_2}\cdot\underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\  0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}}_{K_1}$$, या
 * $$K_{C} = \sqrt{\frac{2}{3}}\cdot\begin{bmatrix}

1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$
 * $$\to \begin{bmatrix}

\frac{2}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{6}} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{2}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} \\ \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix}$$.

ध्यान दें कि जब गुणा किया जाता है, तो KC की निचली पंक्ति मैट्रिक्स 1/$\sqrt{3}$, 1/3 नहीं है। (एडिथ क्लार्क ने पावर-वेरिएंट स्थिति के लिए 1/3 का उपयोग किया था।) Z घटक बिल्कुल A, B और C घटकों का औसत नहीं है। यदि केवल निचली पंक्ति के तत्वों को 1/3 में बदल दिया जाए, तो गोला Z अक्ष के अनुदिश कुचल दिया जाएगा, इसका मतलब यह है कि Z घटक में X और Y घटकों के समान स्केलिंग नहीं होती है।



जैसा कि ऊपर लिखा गया है, क्लार्क ट्रांसफ़ॉर्म मैट्रिक्स का मानदंड अभी भी 1 है, जिसका अर्थ है कि यह केवल ABC सदिश को घुमाता है लेकिन इसे स्केल नहीं करता है। क्लार्क के मूल ट्रांसफ़ॉर्म के बारे में ऐसा नहीं कहा जा सकता है।

यह सत्यापित करना आसान है (मैट्रिक्स गुणन द्वारा) कि KC का व्युत्क्रम है;



K^{-1}_C = \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{6}} & 0 & \frac{1}{\sqrt{3}}\\ -\frac{1}{\sqrt{6}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \\ -\frac{1}{\sqrt{6}} & -\frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{3}} \end{bmatrix} $$

पावर-वेरिएंट फॉर्म
कभी-कभी क्लार्क परिणमन मैट्रिक्स को स्केल करना वांछनीय होता है जिससे कि X अक्ष शून्य समतलीय पर A अक्ष का प्रक्षेप हो। ऐसा करने के लिए, हम समान रूप से स्केलिंग कारक लागू करते हैं $\sqrt{2/3}$ और A $\sqrt{1/radical$ पावर-वेरिएंट क्लार्क परिणमन मैट्रिक्स प्राप्त करने के लिए शून्य घटक पर:
 * $$K_{\hat{C}} = \sqrt{\frac{2}{3}} \cdot

\underbrace{\sqrt{\frac{2}{3}} \cdot \begin{bmatrix} 1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}}_{K_C}$$
 * $$\to \frac{2}{3} \begin{bmatrix}

1 & -\frac{1}{2} & -\frac{1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$$ या
 * $$K_{\hat{C}} = \begin{bmatrix}

\frac{2}{3} & -\frac{1}{3} & -\frac{1}{3} \\ 0 & \frac{1}{\sqrt{3}} & -\frac{1}{\sqrt{3}} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{3} & \frac{1}{3} \end{bmatrix}$$.

यह आवश्यक रूप से गोले को एक $\sqrt{2/3}$ कारक से छोटा कर देगा जैसा कि नीचे दिया गया है। ध्यान दें कि यह नया X अक्ष बिल्कुल शून्य तल पर A अक्ष का प्रक्षेप है। पावर-वेरिएंट क्लार्क ट्रांसफ़ॉर्म के साथ, यादृच्छिक सदिश का परिमाण XYZ संदर्भ फ़्रेम में ABC संदर्भ फ़्रेम की तुलना में छोटा होता है (ट्रांसफ़ॉर्म का मानदंड है $\sqrt{2/3}$), लेकिन व्यक्तिगत सदिश घटकों के परिमाण समान हैं (जब कोई सामान्य मोड नहीं है)। तो, एक उदाहरण के रूप में, द्वारा परिभाषित एक संकेत है।
 * $$\begin{bmatrix}

A \\ B \\ C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos{\left(\omega t\right)} \\ \cos{\left(\omega t - \frac{2\pi}{3}\right)} \\ \cos{\left(\omega t + \frac{2\pi}{3}\right)} \end{bmatrix}$$ XYZ संदर्भ फ़्रेम में, बन जाता है,
 * $$\begin{bmatrix}

X \\ Y \\ Z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos{\left(\omega t\right)} \\ \cos{\left(\omega t - \frac{\pi}{2}\right)} \\ 0 \end{bmatrix}$$, एक नया सदिश जिसके घटक मूल घटकों के समान परिमाण: 1 हैं। कई स्थितियोंं में, यह पावर-वेरिएंट क्लार्क ट्रांसफॉर्म का एक लाभप्रद गुण है।

DQZ रूपांतरण
DQZ परिणमन ABC-संदर्भित सदिश को दो अंतर-मोड घटकों (अर्थात, X और Y) और एक सामान्य-मोड घटक (अर्थात, Z) में परिवर्तित करने के लिए क्लार्क ट्रांसफॉर्म का उपयोग करता है और फिर संदर्भ फ्रेम को घुमाने के लिए पार्क ट्रांसफॉर्म लागू करता है। किसी दिए गए कोण पर Z अक्ष X घटक D घटक बन जाता है, जो परिक्रमण के सदिश के साथ सीधे संरेखण में होता है, और Y घटक Q घटक बन जाता है, जो प्रत्यक्ष घटक के समकोणिक कोण पर होता है। DQZ ट्रांसफ़ॉर्म है;
 * $$K_{CP} = K_{P}\cdot K_{C}$$
 * $$\to\begin{bmatrix}

\cos{\left(\theta\right)} & \sin{\left(\theta\right)} & 0 \\ -\sin{\left(\theta\right)} & \cos{\left(\theta\right)} & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \sqrt{\frac{2}{3}} \begin{bmatrix} 1 & \frac{-1}{2} & \frac{-1}{2} \\ 0 & \frac{\sqrt{3}}{2} & -\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} & \frac{1}{\sqrt{2}} \end{bmatrix}$$.

कोड कार्यान्वयन
अभिकलनीय दक्षता के लिए, क्लार्क और पार्क ट्रांसफॉर्म को अलग रखना और उन्हें एक ट्रांसफ़ॉर्म में संयोजित नहीं करना समझ में आता है।

पावर-इनवेरिएंट क्लार्क ट्रांसफॉर्म का एक अभिकलनीय रूप से कुशल कार्यान्वयन है जबकि इसका उलटा है पावर-वेरिएंट क्लार्क ट्रांसफ़ॉर्म का अभिकलनीय रूप से कुशल कार्यान्वयन है जबकि इसका उलटा है प्रकट है, स्थिर गुणांकों की पूर्व-गणना की जा सकती है।

पार्क ट्रांसफ़ॉर्म का अभिकलनीय रूप से कुशल कार्यान्वयन है जबकि इसका उलटा है यदि पार्क और व्युत्क्रम पार्क ट्रांसफॉर्म दोनों का उपयोग किया जा रहा है तो केवल एक बार co और si की गणना करना समझ में आता है।

उदाहरण
विद्युत प्रणालियों में, अधिकांशत: A, B और C मान इस तरह से दोलन कर रहे होते हैं कि नेट सदिश घूम रहा है। एक संतुलित प्रणाली में, सदिश Z अक्ष के चारों ओर घूम रहा है। बहुत बार, संदर्भ फ़्रेम को इस तरह घुमाना सहायक होता है कि इस घूमने के कारण ABC मानों में होने वाले अधिकांश ट्रांसफ़ॉर्म रद्द हो जाते हैं और कोई भी बारीक बदलाव अधिक स्पष्ट हो जाता है। यह अविश्वसनीय रूप से उपयोगी है क्योंकि यह अब सिस्टम को एक रैखिक समय- ट्रांसफ़ॉर्मीय प्रणाली में बदल देता है

DQZ ट्रांसफ़ॉर्म को ज्यामितीय शब्दों में ज्यावक्रीय(साइनसोइडल) चरण मात्रा के समान कोणीय वेग के साथ घूमते हुए दो अक्षों पर तीन अलग-अलग साइनसॉइडल चरण मात्रा के प्रक्षेप के रूप में सोचा जा सकता है।



ऊपर दिखाया गया DQZ ट्रांसफॉर्म है जैसा कि एक तुल्यकालिक(सिंक्रोनस) मशीन के स्टेटर पर लागू होता है। 120 भौतिक डिग्री से अलग तीन वाइंडिंग हैं। तीन फ़ेज़ धाराएं परिमाण में समान हैं और 120 विद्युत डिग्री द्वारा एक दूसरे से अलग होती हैं। तीन फ़ेज़ धाराएँ अपने संगत चरण वोल्टेज $$\delta$$ से पीछे रहती हैं। DQ अक्षों को समान कोणीय वेग $$\omega$$ से घूमते हुए दिखाया गया है, चरण वोल्टेज और धाराओं के समान कोणीय वेग, D अक्ष एक कोण बनाता है $$\theta = \omega t$$ चरण A वाइंडिंग के साथ जिसे संदर्भ के रूप में चुना गया है। धाराएँ $$I_D$$ और $$I_Q$$ स्थिर dc मात्राएँ हैं।

पार्क का ट्रांसफ़ॉर्म
पार्क द्वारा मूल रूप से प्रस्तावित ट्रांसफ़ॉर्म ऊपर दिए गए ट्रांसफ़ॉर्म से थोड़ा भिन्न है। पार्क के ट्रांसफ़ॉर्म में q-अक्ष, d-अक्ष, qd0 और से आगे है $$\theta$$ कोण चरण-A और Q-अक्ष के बीच का कोण है, जैसा कि नीचे दिया गया है:


 * $$P= \frac{2}{3}\begin{bmatrix} \cos(\theta)&\cos(\theta - \frac{2\pi}{3})&\cos(\theta + \frac{2\pi}{3}) \\

\sin(\theta)& \sin(\theta - \frac{2\pi}{3})& \sin(\theta + \frac{2\pi}{3}) \\ \frac{1}{2}&\frac{1}{2}&\frac{1}{2} \end{bmatrix}$$ और


 * $$P^{-1} = \begin{bmatrix}\cos(\theta)& \sin(\theta)&1\\

\cos(\theta - \frac{2\pi}{3})& \sin(\theta - \frac{2\pi}{3})&1\\ \cos(\theta + \frac{2\pi}{3})& \sin(\theta + \frac{2\pi}{3})&1\end{bmatrix}$$ D. होम्स और T. लिपो, पावर परिवर्तक के लिए स्पंद विस्तार मॉडुलन: सिद्धांत और अभ्यास, विली-आईईईई प्रेस, 2003, और

पी. क्राउज़, ओ. वासिंकज़ुक और एस. सुधॉफ, इलेक्ट्रिक मशीनरी और ड्राइव सिस्टम का विश्लेषण, दूसरा संस्करण, पिस्काटावे, एनजे: आईईईई प्रेस, 2002 है।

αβγ ट्रांसफ़ॉर्म
dqo ट्रांसफ़ॉर्म वैचारिक रूप से αβγ ट्रांसफ़ॉर्म के समान है। जबकि dqo ट्रांसफ़ॉर्म एक घूर्णन दो-अक्ष संदर्भ फ्रेम पर चरण मात्रा का प्रक्षेप है, αβγ ट्रांसफ़ॉर्म को एक स्थिर दो-अक्ष संदर्भ फ्रेम पर चरण मात्रा के प्रक्षेप के रूप में माना जा सकता है।

संदर्भ

 * In-line references


 * General references


 * C.J. O'Rourke et al. "A Geometric Interpretation of Reference Frames and Transformations: dq0, Clarke, and Park," in IEEE Transactions on Energy Conversion, vol. 34, no. 4, pp. 2070-2083, Dec. 2019.
 * J. Lewis Blackburn Symmetrical Components for Power Systems Engineering, Marcel Dekker, New York (1993). ISBN 0-8247-8767-6
 * Zhang et al. A three-phase inverter with a neutral leg with space vector modulation IEEE APEC '97 Conference Proceedings (1997).
 * T.A.Lipo, “A Cartesian Vector Approach To Reference Theory of AC Machines”, Int. Conference On Electric Machines, Laussane, Sept. 18–24, 1984.

यह भी देखें

 * सममित घटक
 * अल्फा बीटा गामा ट्रांसफ़ॉर्म|$$\alpha\beta\gamma$$ ट्रांसफ़ॉर्म
 * सदिश नियंत्रण (मोटर)