नियंत्रण सिद्धांत

नियंत्रण सिद्धांत गणित का एक क्षेत्र है जो इंजीनियर प्रक्रियाओं और मशीनों में गतिशील प्रणालियों के नियंत्रण से संबंधित है। इसका उद्देश्य किसी भी देरी, ओवरशूट या स्थिर-स्थिति त्रुटि को कम करते हुए और नियंत्रण स्थिरता के स्तर को सुनिश्चित करते हुए सिस्टम को वांछित स्थिति में चलाने के लिए सिस्टम इनपुट के अनुप्रयोग को नियंत्रित करने वाला एक मॉडल या एल्गोरिदम विकसित करना है; अक्सर इष्टतम नियंत्रण की डिग्री प्राप्त करने के उद्देश्य से।

ऐसा करने के लिए, आवश्यक सुधारात्मक व्यवहार वाले नियंत्रक की आवश्यकता होती है। यह नियंत्रक नियंत्रित प्रक्रिया चर (पीवी) पर नज़र रखता है, और इसकी तुलना संदर्भ या सेटपॉइंट (नियंत्रण प्रणाली) (एसपी) से करता है। प्रक्रिया चर के वास्तविक और वांछित मूल्य के बीच का अंतर, जिसे त्रुटि संकेत या एसपी-पीवी त्रुटि कहा जाता है, नियंत्रित प्रक्रिया चर को सेट बिंदु के समान मान पर लाने के लिए नियंत्रण कार्रवाई उत्पन्न करने के लिए प्रतिक्रिया के रूप में लागू किया जाता है। अन्य पहलू जिनका भी अध्ययन किया जाता है वे हैं नियंत्रणीयता और प्रेक्षणीयता। नियंत्रण सिद्धांत का उपयोग नियंत्रण प्रणाली इंजीनियरिंग में स्वचालन को डिजाइन करने के लिए किया जाता है जिसने विनिर्माण, विमान, संचार और अन्य उद्योगों में क्रांति ला दी है और रोबोटिक्स जैसे नए क्षेत्रों का निर्माण किया है।

व्यापक उपयोग आमतौर पर एक आरेखीय शैली से बना होता है जिसे ब्लॉक आरेख के रूप में जाना जाता है। इसमें स्थानांतरण प्रकार्य, जिसे सिस्टम फ़ंक्शन या नेटवर्क फ़ंक्शन के रूप में भी जाना जाता है, सिस्टम का वर्णन करने वाले अंतर समीकरणों के आधार पर इनपुट और आउटपुट के बीच संबंध का एक गणितीय मॉडल है।

नियंत्रण सिद्धांत 19वीं शताब्दी का है, जब जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा पहली बार गवर्नरों के संचालन के लिए सैद्धांतिक आधार का वर्णन किया गया था। नियंत्रण सिद्धांत को 1874 में एडवर्ड राउत, चार्ल्स स्टर्म और 1895 में, एडॉल्फ हर्विट्ज़ द्वारा आगे बढ़ाया गया, जिन्होंने नियंत्रण स्थिरता मानदंडों की स्थापना में योगदान दिया; और 1922 से, निकोलस मिनोर्स्की द्वारा पीआईडी ​​​​नियंत्रण सिद्धांत का विकास। हालांकि गणितीय नियंत्रण सिद्धांत का एक प्रमुख अनुप्रयोग नियंत्रण प्रणाली इंजीनियरिंग में है, जो उद्योग के लिए प्रक्रिया नियंत्रण प्रणाली के डिजाइन से संबंधित है, अन्य अनुप्रयोग इससे कहीं आगे हैं। प्रतिक्रिया प्रणाली के सामान्य सिद्धांत के रूप में, प्रतिक्रिया होने पर नियंत्रण सिद्धांत उपयोगी होता है - इस प्रकार नियंत्रण सिद्धांत में जीवन विज्ञान, कंप्यूटर इंजीनियरिंग, समाजशास्त्र और संचालन अनुसंधान में भी अनुप्रयोग होते हैं।

इतिहास
हालांकि विभिन्न प्रकार की नियंत्रण प्रणालियां प्राचीन काल से चली आ रही हैं, क्षेत्र का एक अधिक औपचारिक विश्लेषण सेंट्रीफ्यूगल गवर्नर के गतिकी विश्लेषण के साथ शुरू हुआ, जो 1868 में भौतिक विज्ञानी जेम्स क्लर्क मैक्सवेल द्वारा आयोजित किया गया था, जिसका शीर्षक था ऑन गवर्नर्स। पवन चक्कियों के वेग को नियंत्रित करने के लिए पहले से ही एक केन्द्रापसारक गवर्नर का उपयोग किया जाता था। मैक्सवेल ने स्व-दोलन की घटना का वर्णन और विश्लेषण किया, जिसमें सिस्टम में पिछड़ने से अति-क्षतिपूर्ति और अस्थिर व्यवहार हो सकता है। इसने विषय में रुचि की एक लहर उत्पन्न की, जिसके दौरान मैक्सवेल के सहपाठी, एडवर्ड जॉन राउथ ने मैक्सवेल के परिणामों को रेखीय प्रणालियों के सामान्य वर्ग के लिए सारगर्भित किया। स्वतंत्र रूप से, एडॉल्फ हर्विट्ज ने 1877 में विभेदक समीकरणों का उपयोग करते हुए प्रणाली स्थिरता का विश्लेषण किया, जिसके परिणामस्वरूप अब रूथ-हर्विट्ज प्रमेय के रूप में जाना जाता है। चालक दल की उड़ान के क्षेत्र में गतिशील नियंत्रण का एक उल्लेखनीय अनुप्रयोग था। राइट बंधुओं ने 17 दिसंबर, 1903 को अपनी पहली सफल परीक्षण उड़ानें भरीं, और पर्याप्त अवधि के लिए अपनी उड़ानों को नियंत्रित करने की उनकी क्षमता से प्रतिष्ठित थे (एक एयरफ़ॉइल से लिफ्ट का उत्पादन करने की क्षमता से कहीं अधिक, जो ज्ञात था)। कुछ सेकंड से अधिक समय तक चलने वाली उड़ानों के लिए हवाई जहाज का निरंतर, विश्वसनीय नियंत्रण आवश्यक था।

द्वितीय विश्व युद्ध तक, नियंत्रण सिद्धांत अनुसंधान का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र बनता जा रहा था। इर्मगार्ड फ्लुज-लॉट्ज़ ने असंतत स्वचालित नियंत्रण प्रणाली के सिद्धांत को विकसित किया, और विमान के लिए स्वचालित उड़ान नियंत्रण उपकरण के विकास के लिए बैंग-बैंग सिद्धांत को लागू किया। निरंतर नियंत्रण के लिए आवेदन के अन्य क्षेत्रों में अग्नि नियंत्रण प्रणाली, मार्गदर्शन प्रणाली और इलेक्ट्रानिक्स शामिल हैं।

कभी-कभी, सिस्टम की स्थिरता में सुधार के लिए यांत्रिक विधियों का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, जहाज स्टेबलाइजर पानी की रेखा के नीचे लगे पंख होते हैं और बाद में उभरते हैं। समकालीन जहाजों में, वे जाइरोस्कोपिक रूप से नियंत्रित सक्रिय पंख हो सकते हैं, जो जहाज पर अभिनय करने वाली हवा या लहरों के कारण होने वाले हमले के कोण को बदलने की क्षमता रखते हैं।

स्पेस रेस भी सटीक अंतरिक्ष यान नियंत्रण पर निर्भर थी, और नियंत्रण सिद्धांत ने अर्थशास्त्र और कृत्रिम बुद्धि जैसे क्षेत्रों में बढ़ते उपयोग को भी देखा है। यहां, कोई कह सकता है कि लक्ष्य एक आंतरिक मॉडल (मोटर नियंत्रण) खोजना है जो अच्छे नियामक प्रमेय का पालन करता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र में, अधिक सटीक रूप से एक (स्टॉक या कमोडिटीज) ट्रेडिंग मॉडल बाजार के कार्यों का प्रतिनिधित्व करता है, उतनी ही आसानी से वह उस बाजार को नियंत्रित कर सकता है (और उससे "उपयोगी कार्य" (मुनाफा) निकाल सकता है। एआई में, एक उदाहरण एक चैटबॉट हो सकता है जो मनुष्यों की प्रवचन स्थिति को मॉडलिंग करता है: अधिक सटीक रूप से यह मानव राज्य (जैसे टेलीफोन वॉयस-सपोर्ट हॉटलाइन पर) को मॉडल कर सकता है, बेहतर यह मानव को हेरफेर कर सकता है (जैसे सुधारात्मक कार्यों को करने में) उस समस्या को हल करने के लिए जिसके कारण हेल्प-लाइन को फोन किया गया था)। ये अंतिम दो उदाहरण नियंत्रण सिद्धांत की संकीर्ण ऐतिहासिक व्याख्या को अंतर समीकरणों के मॉडलिंग और गतिज गति को विनियमित करने के एक सेट के रूप में लेते हैं, और इसे एक संयंत्र के साथ बातचीत करने वाले नियामक के विशाल सामान्यीकरण में विस्तृत करते हैं।

ओपन-लूप और क्लोज्ड-लूप (फीडबैक) नियंत्रण
मूल रूप से, नियंत्रण लूप दो प्रकार के होते हैं: खुला लूप नियंत्रण और बंद लूप (प्रतिक्रिया) नियंत्रण।

ओपन लूप नियंत्रण में, नियंत्रक से नियंत्रण क्रिया "प्रक्रिया आउटपुट" (या "नियंत्रित प्रक्रिया चर" - पीवी) से स्वतंत्र होती है। इसका एक अच्छा उदाहरण एक केंद्रीय हीटिंग बॉयलर है जो केवल एक टाइमर द्वारा नियंत्रित होता है, ताकि भवन के तापमान की परवाह किए बिना गर्मी को निरंतर समय के लिए लागू किया जा सके। नियंत्रण क्रिया बॉयलर के चालू/बंद होने का समय है, प्रक्रिया चर इमारत का तापमान है, लेकिन कोई भी जुड़ा नहीं है।

बंद लूप नियंत्रण में, नियंत्रक से नियंत्रण क्रिया प्रक्रिया चर (पीवी) के मान के रूप में प्रक्रिया से प्रतिक्रिया पर निर्भर होती है। बॉयलर समानता के मामले में, एक बंद लूप में थर्मोस्टैट (सेट पॉइंट - एसपी) पर सेट तापमान के साथ बिल्डिंग तापमान (पीवी) की तुलना करने के लिए थर्मोस्टेट शामिल होगा। यह बॉयलर को चालू और बंद करके भवन को वांछित तापमान पर बनाए रखने के लिए एक नियंत्रक आउटपुट उत्पन्न करता है। एक बंद लूप नियंत्रक, इसलिए, एक फीडबैक लूप होता है जो यह सुनिश्चित करता है कि नियंत्रक "संदर्भ इनपुट" या "सेट पॉइंट" के समान होने के लिए प्रक्रिया चर में हेरफेर करने के लिए एक नियंत्रण कार्रवाई करता है। इस कारण से, बंद लूप नियंत्रकों को प्रतिक्रिया नियंत्रक भी कहा जाता है।

ब्रिटिश स्टैंडर्ड इंस्टीट्यूशन के अनुसार एक बंद लूप नियंत्रण प्रणाली की परिभाषा "निगरानी प्रतिक्रिया रखने वाली एक नियंत्रण प्रणाली है, इस प्रतिक्रिया के परिणामस्वरूप विचलन संकेत का उपयोग अंतिम नियंत्रण तत्व की कार्रवाई को नियंत्रित करने के लिए किया जाता है जैसे कि विचलन को शून्य करने की प्रवृत्ति रखते हैं।"

वैसे ही; "प्रतिक्रिया नियंत्रण प्रणाली एक ऐसी प्रणाली है जो इन चरों के कार्यों की तुलना करके और नियंत्रण के साधन के रूप में अंतर का उपयोग करके एक प्रणाली चर के एक निर्धारित संबंध को बनाए रखती है।"

अन्य उदाहरण
एक नियंत्रण प्रणाली का एक उदाहरण एक कार का क्रूज नियंत्रण है, जो एक उपकरण है जिसे चालक द्वारा प्रदान की गई स्थिर वांछित या संदर्भ गति पर वाहन की गति को बनाए रखने के लिए डिज़ाइन किया गया है। नियंत्रक क्रूज नियंत्रण है, संयंत्र कार है, और प्रणाली कार और क्रूज नियंत्रण है। सिस्टम आउटपुट कार की गति है, और नियंत्रण ही इंजन की थ्रॉटल स्थिति है जो यह निर्धारित करती है कि इंजन कितनी शक्ति प्रदान करता है।

क्रूज नियंत्रण को लागू करने का एक आदिम तरीका बस थ्रॉटल स्थिति को लॉक करना है जब चालक क्रूज नियंत्रण लगाता है। हालांकि, अगर क्रूज नियंत्रण गैर-सपाट सड़क के एक खंड पर लगा हुआ है, तो कार धीमी गति से ऊपर की ओर और तेजी से नीचे की ओर जाएगी। इस प्रकार के नियंत्रक को ओपन-लूप नियंत्रक कहा जाता है क्योंकि कोई प्रतिक्रिया नहीं होती है; नियंत्रण (थ्रॉटल स्थिति) को बदलने के लिए सिस्टम आउटपुट (कार की गति) का कोई माप नहीं किया जाता है। नतीजतन, नियंत्रक कार पर अभिनय करने वाले परिवर्तनों की भरपाई नहीं कर सकता है, जैसे सड़क की ढलान में बदलाव।

एक बंद-पाश नियंत्रण प्रणाली में, कार की गति (सिस्टम आउटपुट) की निगरानी करने वाले सेंसर से डेटा एक नियंत्रक में प्रवेश करता है जो वांछित गति का प्रतिनिधित्व करने वाली संदर्भ मात्रा के साथ गति का प्रतिनिधित्व करने वाली मात्रा की लगातार तुलना करता है। अंतर, जिसे त्रुटि कहा जाता है, थ्रॉटल स्थिति (नियंत्रण) निर्धारित करता है। परिणाम कार की गति को संदर्भ गति से मिलाना है (वांछित सिस्टम आउटपुट बनाए रखना)। अब, जब कार ऊपर जाती है, तो इनपुट (संवेदी गति) और संदर्भ के बीच का अंतर लगातार थ्रॉटल स्थिति को निर्धारित करता है। जैसे ही संवेदी गति संदर्भ से कम हो जाती है, अंतर बढ़ जाता है, थ्रॉटल खुल जाता है, और इंजन की शक्ति बढ़ जाती है, जिससे वाहन की गति बढ़ जाती है। इस तरह, नियंत्रक गतिशील रूप से कार की गति में परिवर्तन का प्रतिकार करता है। इन नियंत्रण प्रणालियों का केंद्रीय विचार फीडबैक लूप है, नियंत्रक सिस्टम आउटपुट को प्रभावित करता है, जिसे बदले में मापा जाता है और नियंत्रक को वापस खिलाया जाता है।

शास्त्रीय नियंत्रण सिद्धांत
ओपन-लूप नियंत्रक की सीमाओं को दूर करने के लिए, नियंत्रण सिद्धांत प्रतिक्रिया प्रस्तुत करता है। एक बंद-लूप नियंत्रक एक गतिशील प्रणाली के राज्यों या आउटपुट को नियंत्रित करने के लिए प्रतिक्रिया का उपयोग करता है। इसका नाम सिस्टम में सूचना पथ से आता है: प्रोसेस इनपुट (जैसे, विद्युत मोटर पर लागू वोल्टेज) का प्रोसेस आउटपुट (जैसे, मोटर की गति या टॉर्क) पर प्रभाव पड़ता है, जिसे सेंसर से मापा जाता है और इसके द्वारा प्रोसेस किया जाता है। नियंत्रक; परिणाम (नियंत्रण संकेत) प्रक्रिया के इनपुट के रूप में "फेड बैक" है, लूप को बंद करता है।

ओपन-लूप नियंत्रकों की तुलना में बंद-लूप नियंत्रकों के निम्नलिखित लाभ हैं:
 * अशांति अस्वीकृति (जैसे ऊपर क्रूज नियंत्रण उदाहरण में पहाड़ियों)
 * मॉडल अनिश्चितताओं के साथ भी गारंटीकृत प्रदर्शन, जब मॉडल संरचना पूरी तरह से वास्तविक प्रक्रिया से मेल नहीं खाती है और मॉडल पैरामीटर सटीक नहीं हैं
 * अस्थिर प्रक्रियाओं को स्थिर किया जा सकता है
 * पैरामीटर विविधताओं के प्रति कम संवेदनशीलता
 * बेहतर संदर्भ ट्रैकिंग प्रदर्शन

कुछ प्रणालियों में, बंद-लूप और खुले-लूप नियंत्रण का एक साथ उपयोग किया जाता है। ऐसी प्रणालियों में, ओपन-लूप नियंत्रण को फीडफॉरवर्ड नियंत्रण कहा जाता है और संदर्भ ट्रैकिंग प्रदर्शन को और बेहतर बनाने के लिए कार्य करता है।

एक सामान्य बंद-लूप नियंत्रक वास्तुकला पीआईडी ​​​​नियंत्रक है।

क्लोज्ड-लूप ट्रांसफर फंक्शन
संदर्भ मूल्य आर (टी) के साथ तुलना करने के लिए सिस्टम वाई (टी) का आउटपुट एक सेंसर माप एफ के माध्यम से वापस खिलाया जाता है। नियंत्रक सी तब संदर्भ और आउटपुट के बीच त्रुटि ई (अंतर) लेता है ताकि इनपुट यू को नियंत्रण पी के तहत सिस्टम में बदल दिया जा सके। यह चित्र में दिखाया गया है। इस प्रकार का नियंत्रक एक बंद लूप नियंत्रक या प्रतिक्रिया नियंत्रक है।

इसे सिंगल-इनपुट-सिंगल-आउटपुट (SISO) कंट्रोल सिस्टम कहा जाता है; MIMO (यानी, मल्टी-इनपुट-मल्टी-आउटपुट) सिस्टम, एक से अधिक इनपुट/आउटपुट के साथ, आम हैं। ऐसे मामलों में सरल स्केलर मानों के बजाय समन्वय वेक्टर के माध्यम से चर का प्रतिनिधित्व किया जाता है। कुछ वितरित पैरामीटर सिस्टम के लिए वैक्टर अनंत-आयामी (आमतौर पर कार्य) हो सकते हैं।

यदि हम मान लें कि नियंत्रक सी, संयंत्र पी, और सेंसर एफ रैखिक और समय-अपरिवर्तनीय हैं (यानी, उनके स्थानांतरण समारोह सी (एस), पी (एस), और एफ (एस) के तत्व समय पर निर्भर नहीं होते हैं), चरों पर लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करके उपरोक्त प्रणालियों का विश्लेषण किया जा सकता है। यह निम्नलिखित संबंध देता है:


 * $$Y(s) = P(s) U(s)$$
 * $$U(s) = C(s) E(s)$$
 * $$E(s) = R(s) - F(s)Y(s).$$

Y(s) को R(s) के पदों में हल करने पर प्राप्त होता है


 * $$Y(s) = \left( \frac{P(s)C(s)}{1 + P(s)C(s)F(s)} \right) R(s) = H(s)R(s).$$

व्यंजक $$H(s) = \frac{P(s)C(s)}{1 + F(s)P(s)C(s)}$$ को सिस्टम के बंद लूप ट्रांसफर फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है। अंश आर से वाई तक आगे (ओपन-लूप) लाभ है, और भाजक एक प्लस फीडबैक लूप के चारों ओर जाने में लाभ है, तथाकथित लूप लाभ। अगर $$|P(s)C(s)| \gg 1$$, यानी, इसमें s के प्रत्येक मान के साथ एक बड़ा मानदंड (गणित) है, और यदि $$|F(s)| \approx 1$$, तो Y(s) लगभग R(s) के बराबर है और आउटपुट संदर्भ इनपुट को बारीकी से ट्रैक करता है।

पीआईडी ​​प्रतिक्रिया नियंत्रण
एक आनुपातिक-अभिन्न-व्युत्पन्न नियंत्रक (पीआईडी ​​​​नियंत्रक) एक नियंत्रण पाश प्रतिक्रिया तंत्र नियंत्रण तकनीक है जो नियंत्रण प्रणालियों में व्यापक रूप से उपयोग की जाती है।

एक पीआईडी ​​​​नियंत्रक एक वांछित सेटपॉइंट और एक मापा प्रक्रिया चर के बीच अंतर के रूप में एक त्रुटि मान $r(t)$ की लगातार गणना करता है और आनुपातिक, अभिन्न और व्युत्पन्न शर्तों के आधार पर सुधार लागू करता है। पीआईडी ​​​​आनुपातिक-एकीकृत-व्युत्पन्न के लिए एक इनिशियलिज़्म है, जो नियंत्रण संकेत उत्पन्न करने के लिए त्रुटि संकेत पर काम करने वाले तीन शब्दों का जिक्र करता है।

1920 के दशक से सैद्धांतिक समझ और अनुप्रयोग की तारीखें, और वे लगभग सभी एनालॉग नियंत्रण प्रणालियों में लागू की जाती हैं; मूल रूप से यांत्रिक नियंत्रकों में, और फिर असतत इलेक्ट्रॉनिक्स और बाद में औद्योगिक प्रक्रिया कंप्यूटरों में। पीआईडी ​​​​नियंत्रक शायद सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला फीडबैक कंट्रोल डिज़ाइन है।

यदि $y(t)$ सिस्टम को भेजा गया नियंत्रण संकेत है, तो $e(t)$ मापा गया आउटपुट है और $u(t)$ वांछित आउटपुट है, और $y(t)$ ट्रैकिंग है त्रुटि, एक पीआईडी ​​​​नियंत्रक का सामान्य रूप होता है


 * $$u(t) = K_P e(t) + K_I \int^t e(\tau)\text{d}\tau + K_D \frac{\text{d}e(t)}{\text{d}t}.$$

वांछित बंद लूप गतिशीलता तीन पैरामीटर $r(t)$, $e(t) = r(t) − y(t)$ और $K_{P}$ को समायोजित करके प्राप्त की जाती है, अक्सर "ट्यूनिंग" द्वारा और संयंत्र मॉडल के विशिष्ट ज्ञान के बिना। केवल आनुपातिक शब्द का उपयोग करके स्थिरता को अक्सर सुनिश्चित किया जा सकता है। अभिन्न शब्द एक चरण गड़बड़ी (अक्सर प्रक्रिया नियंत्रण में एक हड़ताली विनिर्देश) की अस्वीकृति की अनुमति देता है। व्युत्पन्न शब्द का उपयोग प्रतिक्रिया को भिगोना या आकार देने के लिए किया जाता है। पीआईडी ​​​​नियंत्रक नियंत्रण प्रणालियों की सबसे अच्छी तरह से स्थापित श्रेणी हैं: हालांकि, उनका उपयोग कई जटिल मामलों में नहीं किया जा सकता है, खासकर अगर एमआईएमओ सिस्टम पर विचार किया जाता है।

रूपांतरित पीआईडी ​​​​नियंत्रक समीकरण में लाप्लास परिवर्तन परिणाम लागू करना


 * $$u(s) = K_P \, e(s) + K_I \, \frac{1}{s} \, e(s) + K_D \, s \, e(s)$$
 * $$u(s) = \left(K_P + K_I \, \frac{1}{s} + K_D \, s\right) e(s)$$

पीआईडी ​​​​नियंत्रक हस्तांतरण समारोह के साथ
 * $$C(s) = \left(K_P + K_I \, \frac{1}{s} + K_D \, s\right).$$

क्लोज-लूप सिस्टम $K_{I}$ में पीआईडी ​​​​नियंत्रक को ट्यून करने के उदाहरण के रूप में, दिए गए पहले ऑर्डर प्लांट पर विचार करें


 * $$P(s) = \frac{A}{1 + sT_P}$$

जहाँ $A$ और $K_{D}$ कुछ नियतांक हैं। संयंत्र उत्पादन के माध्यम से वापस खिलाया जाता है


 * $$F(s) = \frac{1}{1 + sT_F}$$

जहाँ $H(s)$ भी एक नियतांक है। अब अगर हम सेट करते हैं $$K_P=K\left(1+\frac{T_D}{T_I}\right)$$, $T_{P}$, और $$K_I=\frac{K}{T_I}$$, हम पीआईडी ​​कंट्रोलर ट्रांसफर फ़ंक्शन को श्रृंखला के रूप में व्यक्त कर सकते हैं


 * $$C(s) = K \left(1 + \frac{1}{sT_I}\right)(1 + sT_D)$$

$T_{F}$, $K_{D} = KT_{D}$, और $P(s)$ को बंद-लूप ट्रांसफर फ़ंक्शन $F(s)$ में प्लग करके, हम पाते हैं कि सेटिंग करके


 * $$K = \frac{1}{A},  T_I = T_F,   T_D = T_P$$

. इस उदाहरण में इस ट्यूनिंग के साथ, सिस्टम आउटपुट बिल्कुल संदर्भ इनपुट का अनुसरण करता है।

$C(s)$। इस उदाहरण में इस ट्यूनिंग के साथ, सिस्टम आउटपुट संदर्भ इनपुट का सटीक रूप से अनुसरण करता है।

हालांकि, व्यवहार में, सिस्टम में शोर और गुंजयमान मोड के प्रवर्धन के कारण एक शुद्ध विभेदक न तो शारीरिक रूप से प्राप्य है और न ही वांछनीय है । इसलिए, इसके बजाय एक फेज-लीड कम्पेसाटर टाइप एप्रोच या लो-पास रोल-ऑफ के साथ एक डिफरेंशिएटर का उपयोग किया जाता है।

रेखीय और अरैखिक नियंत्रण सिद्धांत
नियंत्रण सिद्धांत के क्षेत्र को दो शाखाओं में विभाजित किया जा सकता है:
 * रैखिक नियंत्रण सिद्धांत - यह उन उपकरणों से बनी प्रणालियों पर लागू होता है जो सुपरपोज़िशन सिद्धांत का पालन करते हैं, जिसका अर्थ मोटे तौर पर यह है कि आउटपुट इनपुट के समानुपाती होता है। वे रैखिक अंतर समीकरणों द्वारा शासित होते हैं। एक प्रमुख उपवर्ग ऐसी प्रणालियाँ हैं जिनके अतिरिक्त ऐसे पैरामीटर हैं जो समय के साथ नहीं बदलते हैं, जिन्हें रैखिक समय अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली कहा जाता है। ये प्रणालियाँ महान व्यापकता की शक्तिशाली आवृत्ति डोमेन गणितीय तकनीकों के लिए उत्तरदायी हैं, जैसे कि लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म, फुरियर रूपांतरण, जेड ट्रांसफ़ॉर्म, बोड प्लॉट, रूट लोकस और न्यक्विस्ट स्टेबिलिटी मानदंड। ये बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग), आवृत्ति प्रतिक्रिया, ईजेनवेल्यूज, गेन, गुंजयमान आवृत्ति, जीरो और पोल्स जैसे शब्दों का उपयोग करते हुए सिस्टम के विवरण की ओर ले जाते हैं, जो सिस्टम रिस्पॉन्स के लिए समाधान और ब्याज की अधिकांश प्रणालियों के लिए डिजाइन तकनीक प्रदान करते हैं।
 * अरैखिक नियंत्रण सिद्धांत - यह उन प्रणालियों के व्यापक वर्ग को शामिल करता है जो सुपरपोजिशन सिद्धांत का पालन नहीं करते हैं, और अधिक वास्तविक दुनिया प्रणालियों पर लागू होते हैं क्योंकि सभी वास्तविक नियंत्रण प्रणालियां गैर-रैखिक हैं। ये प्रणालियाँ अक्सर गैर-रैखिक अंतर समीकरणों द्वारा शासित होती हैं। कुछ गणितीय तकनीकें जिन्हें उन्हें संभालने के लिए विकसित किया गया है वे अधिक कठिन और बहुत कम सामान्य हैं, अक्सर केवल सिस्टम की संकीर्ण श्रेणियों पर ही लागू होती हैं। इनमें सीमा चक्र सिद्धांत, पोनकारे मानचित्र, लायपुनोव स्थिरता प्रमेय और वर्णनात्मक कार्य शामिल हैं। नॉनलाइनियर सिस्टम का अक्सर कंप्यूटर पर संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करके विश्लेषण किया जाता है, उदाहरण के लिए सिमुलेशन भाषा का उपयोग करके उनके ऑपरेशन का अनुकरण करके। यदि केवल एक स्थिर बिंदु के पास के समाधान रुचि के हैं, तो गैर-रैखिक प्रणालियों को अक्सर क्षोभ सिद्धांत का उपयोग करके एक रेखीय प्रणाली द्वारा अनुमानित करके रेखीयकृत किया जा सकता है, और रेखीय तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है।

विश्लेषण तकनीक - आवृत्ति डोमेन और समय डोमेन
नियंत्रण प्रणाली का विश्लेषण और डिजाइन करने के लिए गणितीय तकनीकें दो अलग-अलग श्रेणियों में आती हैं: शास्त्रीय नियंत्रण सिद्धांत के आवृत्ति डोमेन विश्लेषण के विपरीत, आधुनिक नियंत्रण सिद्धांत समय-डोमेन राज्य स्थान (नियंत्रण) प्रतिनिधित्व का उपयोग करता है, [उद्धरण वांछित] पहले से संबंधित इनपुट, आउटपुट और राज्य चर के एक सेट के रूप में एक भौतिक प्रणाली का एक गणितीय मॉडल- क्रम अंतर समीकरण। इनपुट, आउटपुट और राज्यों की संख्या से अमूर्त करने के लिए, चर को वैक्टर के रूप में व्यक्त किया जाता है और अंतर और बीजगणितीय समीकरण मैट्रिक्स रूप में लिखे जाते हैं (उत्तरार्द्ध केवल तभी संभव होता है जब गतिशील प्रणाली रैखिक हो)। राज्य अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व ("टाइम-डोमेन दृष्टिकोण" के रूप में भी जाना जाता है) कई इनपुट और आउटपुट के साथ सिस्टम को मॉडल और विश्लेषण करने के लिए एक सुविधाजनक और कॉम्पैक्ट तरीका प्रदान करता है। इनपुट और आउटपुट के साथ, हमें सिस्टम के बारे में सभी जानकारी को एनकोड करने के लिए लाप्लास ट्रांसफॉर्म को लिखना होगा। फ़्रीक्वेंसी डोमेन दृष्टिकोण के विपरीत, राज्य-अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व का उपयोग रैखिक घटकों और शून्य प्रारंभिक स्थितियों वाले सिस्टम तक सीमित नहीं है। "राज्य स्थान" उस स्थान को संदर्भित करता है जिसकी धुरी राज्य चर हैं। सिस्टम की स्थिति को उस स्थान के भीतर एक बिंदु के रूप में दर्शाया जा सकता है।
 * आवृत्ति डोमेन - इस प्रकार में राज्य चर के मान, सिस्टम के इनपुट, आउटपुट और फीडबैक का प्रतिनिधित्व करने वाले गणितीय चर आवृत्ति के कार्यों के रूप में दर्शाए जाते हैं। इनपुट सिग्नल और सिस्टम के ट्रांसफर फ़ंक्शन को फ़्यूरियर ट्रांसफ़ॉर्म, लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म या ज़ेड ट्रांसफ़ॉर्म जैसे ट्रांसफ़ॉर्मेशन द्वारा फ़्रीक्वेंसी के फ़ंक्शंस में टाइम फ़ंक्शंस से कन्वर्ट किया जाता है। इस तकनीक का लाभ यह है कि इसके परिणामस्वरूप गणित का सरलीकरण होता है; सिस्टम का प्रतिनिधित्व करने वाले अंतर समीकरणों को आवृत्ति डोमेन में बीजगणितीय समीकरणों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जो हल करने में बहुत आसान है। हालाँकि, आवृत्ति डोमेन तकनीकों का उपयोग केवल रैखिक प्रणालियों के साथ किया जा सकता है, जैसा कि ऊपर बताया गया है।
 * टाइम-डोमेन स्टेट स्पेस प्रतिनिधित्व - इस प्रकार में अवस्था चर के मूल्यों को समय के कार्यों के रूप में दर्शाया जाता है। इस मॉडल के साथ, विश्लेषण की जा रही प्रणाली को एक या अधिक अंतर समीकरणों द्वारा दर्शाया गया है। चूंकि फ़्रीक्वेंसी डोमेन तकनीकें रैखिक प्रणालियों तक सीमित हैं, समय डोमेन का व्यापक रूप से वास्तविक-विश्व गैर-रैखिक प्रणालियों का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किया जाता है। हालांकि इन्हें हल करना अधिक कठिन है, आधुनिक कंप्यूटर सिमुलेशन तकनीक जैसे कि सिमुलेशन भाषाओं ने उनके विश्लेषण को नियमित बना दिया है।

सिस्टम इंटरफेसिंग - SISO और MIMO
नियंत्रण प्रणालियों को इनपुट और आउटपुट की संख्या के आधार पर विभिन्न श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है।
 * सिंगल-इनपुट सिंगल-आउटपुट सिस्टम (SISO) – यह सबसे सरल और सबसे सामान्य प्रकार है, जिसमें एक आउटपुट को एक कंट्रोल सिग्नल द्वारा नियंत्रित किया जाता है। उदाहरण ऊपर क्रूज नियंत्रण का उदाहरण है, या एक ऑडियो सिस्टम है, जिसमें नियंत्रण इनपुट इनपुट ऑडियो सिग्नल है और आउटपुट स्पीकर से ध्वनि तरंगें हैं।
 * मल्टीपल-इनपुट मल्टीपल-आउटपुट (MIMO) – ये अधिक जटिल प्रणालियों में पाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, केक दूरबीन और एमएमटी वेधशाला जैसे आधुनिक बड़े दूरबीनों में एक एक्चुएटर द्वारा नियंत्रित प्रत्येक अलग-अलग खंडों से बने दर्पण होते हैं। थर्मल विस्तार, संकुचन, तनाव के कारण दर्पण के आकार में बदलाव की भरपाई के लिए फोकल प्लेन में कई सेंसर से इनपुट का उपयोग करके पूरे दर्पण के आकार को लगातार MIMO सक्रिय प्रकाशिकी नियंत्रण प्रणाली द्वारा समायोजित किया जाता है। वातावरण में अशांति के कारण वेवफ्रंट। जटिल प्रणालियाँ जैसे कि परमाणु रिएक्टर और मानव कोशिकाएँ कंप्यूटर द्वारा बड़े MIMO नियंत्रण प्रणालियों के रूप में अनुकरण की जाती हैं।

स्थिरता
बिना किसी इनपुट के एक सामान्य गतिशील प्रणाली की स्थिरता को लायपुनोव स्थिरता मानदंड के साथ वर्णित किया जा सकता है।
 * एक रेखीय प्रणाली को बाउंडेड-इनपुट बाउंडेड-आउटपुट (BIBO) स्थिर कहा जाता है यदि इसका आउटपुट किसी बाउंडेड इनपुट के लिए परिबद्ध रहेगा।
 * इनपुट लेने वाली अरेखीय प्रणालियों के लिए स्थिरता इनपुट-टू-स्टेट स्थिरता (आईएसएस) है, जो लायपुनोव स्थिरता और बीआईबीओ स्थिरता स्थिरता के समान धारणा को जोड़ती है।

सरलता के लिए, निम्नलिखित विवरण निरंतर-समय और असतत-समय रैखिक प्रणालियों पर ध्यान केंद्रित करते हैं।

गणितीय रूप से, इसका मतलब यह है कि एक कारण रैखिक प्रणाली के स्थिर होने के लिए इसके हस्तांतरण समारोह के सभी ध्रुवों में नकारात्मक-वास्तविक मान होना चाहिए, अर्थात प्रत्येक ध्रुव का वास्तविक भाग शून्य से कम होना चाहिए। व्यावहारिक रूप से बोलते हुए, स्थिरता के लिए आवश्यक है कि ट्रांसफर फ़ंक्शन जटिल ध्रुवों का निवास करे दो मामलों के बीच का अंतर केवल निरंतर समय बनाम असतत समय हस्तांतरण कार्यों की साजिश रचने की पारंपरिक पद्धति के कारण है। निरंतर लाप्लास परिवर्तन कार्तीय निर्देशांक में है जहां $$x$$ अक्ष वास्तविक अक्ष है और असतत Z-रूपांतरण परिपत्र निर्देशांक में है जहां $$\rho$$ अक्ष वास्तविक अक्ष है।
 * निरंतर समय के लिए जटिल विमान के खुले बाएं आधे हिस्से में, जब ट्रांसफर फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए लाप्लास ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग किया जाता है।
 * यूनिट सर्कल के अंदर असतत समय के लिए, जब जेड-ट्रांसफॉर्म का उपयोग किया जाता है।

जब उपरोक्त उपयुक्त शर्तें पूरी होती हैं, तो सिस्टम को असम्बद्ध रूप से स्थिर कहा जाता है; एक स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर नियंत्रण प्रणाली के चर हमेशा अपने प्रारंभिक मूल्य से घटते हैं और स्थायी दोलन नहीं दिखाते हैं। स्थायी दोलन तब होते हैं जब एक ध्रुव का वास्तविक भाग बिल्कुल शून्य के बराबर होता है (निरंतर समय के मामले में) या एक मापांक एक के बराबर (असतत समय के मामले में)। यदि एक साधारण स्थिर प्रणाली प्रतिक्रिया समय के साथ न तो घटती है और न ही बढ़ती है, और इसमें कोई दोलन नहीं है, तो यह मामूली रूप से स्थिर है; इस मामले में सिस्टम ट्रांसफर फ़ंक्शन में जटिल समतल उत्पत्ति पर गैर-दोहराए गए ध्रुव हैं (अर्थात निरंतर समय के मामले में उनका वास्तविक और जटिल घटक शून्य है)। दोलन मौजूद होते हैं जब शून्य के बराबर वास्तविक भाग वाले ध्रुवों का एक काल्पनिक भाग शून्य के बराबर नहीं होता है।

यदि विचाराधीन प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया है


 * $$\ x[n] = 0.5^n u[n]$$

तो जेड-ट्रांसफॉर्म (इस उदाहरण को देखें), द्वारा दिया गया है


 * $$\ X(z) = \frac{1}{1 - 0.5z^{-1}}$$

जिसमें $$z = 0.5$$ (शून्य काल्पनिक भाग ) में एक पोल है। यह सिस्टम BIBO (एसिम्प्टोटिक रूप से) स्थिर है क्योंकि पोल यूनिट सर्कल के अंदर है।

हालांकि, अगर आवेग प्रतिक्रिया थी


 * $$\ x[n] = 1.5^n u[n]$$

तो Z-रूपांतरण है


 * $$\ X(z) = \frac{1}{1 - 1.5z^{-1}}$$

जिसका एक पोल $$z = 1.5$$ पर है और BIBO स्थिर नहीं है क्योंकि पोल का मॉड्यूलस सख्ती से एक से अधिक है।

सिस्टम के ध्रुवों के विश्लेषण के लिए कई उपकरण मौजूद हैं। इनमें रूट लोकस, बोड प्लॉट या न्यक्विस्ट प्लॉट जैसे ग्राफिकल सिस्टम शामिल हैं।

यांत्रिक परिवर्तन उपकरण (और नियंत्रण प्रणाली) को अधिक स्थिर बना सकते हैं। जहाजों की स्थिरता में सुधार के लिए नाविक गिट्टी जोड़ते हैं। क्रूज जहाज एंटीरोल पंखों का उपयोग करते हैं जो जहाज के किनारे से लगभग 30 फीट (10 मीटर) तक फैले होते हैं और रोल का विरोध करने वाली ताकतों को विकसित करने के लिए अपनी धुरी के बारे में लगातार घुमाए जाते हैं।

नियंत्रणीयता और अवलोकनशीलता
लागू की जाने वाली सर्वोत्तम नियंत्रण रणनीति तय करने से पहले, या सिस्टम को नियंत्रित या स्थिर करना संभव है या नहीं, इससे पहले नियंत्रणीयता और अवलोकनशीलता एक प्रणाली के विश्लेषण में मुख्य मुद्दे हैं। नियंत्रणीयता उचित नियंत्रण संकेत का उपयोग करके सिस्टम को किसी विशेष स्थिति में मजबूर करने की संभावना से संबंधित है। यदि कोई राज्य नियंत्रण योग्य नहीं है, तो कोई भी संकेत कभी भी राज्य को नियंत्रित नहीं कर पाएगा। यदि कोई राज्य नियंत्रणीय नहीं है, लेकिन इसकी गतिशीलता स्थिर है, तो राज्य को स्थिरीकरण कहा जाता है। प्रेक्षणीयता इसके बजाय, आउटपुट मापन के माध्यम से, सिस्टम की स्थिति को देखने की संभावना से संबंधित है। यदि कोई स्थिति देखने योग्य नहीं है, तो नियंत्रक कभी भी एक अप्राप्य स्थिति के व्यवहार को निर्धारित करने में सक्षम नहीं होगा और इसलिए सिस्टम को स्थिर करने के लिए इसका उपयोग नहीं कर सकता है। हालांकि, उपरोक्त स्थिरीकरण की स्थिति के समान, यदि कोई स्थिति नहीं देखी जा सकती है तो यह अभी भी पता लगाने योग्य हो सकती है।

एक ज्यामितीय दृष्टिकोण से, सिस्टम के प्रत्येक चर के राज्यों को नियंत्रित करने के लिए देखते हुए, बंद-लूप प्रणाली में एक अच्छा व्यवहार सुनिश्चित करने के लिए इन चरों के प्रत्येक "खराब" राज्य को नियंत्रणीय और अवलोकन योग्य होना चाहिए। यही है, यदि सिस्टम के eigenvalues ​​​​में से एक नियंत्रणीय और अवलोकनीय दोनों नहीं है, तो गतिकी का यह हिस्सा बंद-लूप प्रणाली में अछूता रहेगा। यदि इस तरह के एक eigenvalue स्थिर नहीं है, तो इस eigenvalue की गतिशीलता बंद-लूप प्रणाली में मौजूद होगी जो इसलिए अस्थिर होगी। एक राज्य-अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व के हस्तांतरण समारोह की प्राप्ति में अप्राप्य पोल मौजूद नहीं हैं, यही कारण है कि कभी-कभी गतिशील सिस्टम विश्लेषण में उत्तरार्द्ध को प्राथमिकता दी जाती है।

एक बेकाबू या अप्राप्य प्रणाली की समस्याओं के समाधान में एक्चुएटर्स और सेंसर जोड़ना शामिल है।

नियंत्रण विनिर्देश
पिछले वर्षों में कई अलग-अलग नियंत्रण रणनीतियों को तैयार किया गया है। ये अत्यंत सामान्य वाले (पीआईडी ​​नियंत्रक) से भिन्न होते हैं, जो सिस्टम के बहुत विशेष वर्गों (विशेष रूप से रोबोटिक्स या विमान क्रूज नियंत्रण) के लिए समर्पित होते हैं।

एक नियंत्रण समस्या के कई विनिर्देश हो सकते हैं। स्थिरता, निश्चित रूप से, हमेशा मौजूद होती है। नियंत्रक को यह सुनिश्चित करना चाहिए कि ओपन-लूप स्थिरता की परवाह किए बिना बंद-लूप सिस्टम स्थिर है। नियंत्रक का एक खराब विकल्प ओपन-लूप सिस्टम की स्थिरता को और भी खराब कर सकता है, जिसे सामान्य रूप से टाला जाना चाहिए। कभी-कभी बंद लूप में विशेष गतिकी प्राप्त करना वांछित होगा: यानी कि ध्रुवों में $$Re[\lambda] < -\overline{\lambda}$$, जहां $$\overline{\lambda}$$ शून्य से अधिक निश्चित मान है, केवल यह पूछने के बजाय कि $$Re[\lambda]<0$$।

एक अन्य विशिष्ट विनिर्देश एक कदम गड़बड़ी की अस्वीकृति है; ओपन-लूप चेन में एक एकीकारक सहित (यानी सीधे नियंत्रण में सिस्टम से पहले) इसे आसानी से प्राप्त करता है। गड़बड़ी के अन्य वर्गों को शामिल करने के लिए विभिन्न प्रकार की उप-प्रणालियों की आवश्यकता होती है।

अन्य "शास्त्रीय" नियंत्रण सिद्धांत विनिर्देश बंद-लूप प्रणाली की समय-प्रतिक्रिया के संबंध में हैं। इनमें वृद्धि का समय (एक गड़बड़ी के बाद वांछित मूल्य तक पहुंचने के लिए नियंत्रण प्रणाली द्वारा आवश्यक समय), पीक ओवरशूट (संकेत) (वांछित मूल्य तक पहुंचने से पहले प्रतिक्रिया द्वारा पहुंचा उच्चतम मूल्य) और अन्य (सेटलिंग समय, तिमाही-क्षय) शामिल हैं। फ़्रीक्वेंसी डोमेन विनिर्देश आमतौर पर मजबूती से संबंधित होते हैं (बाद में देखें)।

आधुनिक प्रदर्शन आकलन एकीकृत ट्रैकिंग त्रुटि (आईएई, आईएसए, सीक्यूआई) की कुछ भिन्नता का उपयोग करते हैं।

मॉडल की पहचान और मजबूती
एक नियंत्रण प्रणाली में हमेशा कुछ मजबूती संपत्ति होनी चाहिए। एक मजबूत नियंत्रक ऐसा होता है कि इसके संश्लेषण के लिए उपयोग किए जाने वाले गणितीय से थोड़ा अलग सिस्टम पर लागू होने पर इसके गुणों में ज्यादा बदलाव नहीं होता है। यह आवश्यकता महत्वपूर्ण है, क्योंकि कोई वास्तविक भौतिक प्रणाली वास्तव में गणितीय रूप से इसका प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अंतर समीकरणों की श्रृंखला की तरह व्यवहार नहीं करती है। आम तौर पर गणनाओं को सरल बनाने के लिए एक सरल गणितीय मॉडल चुना जाता है, अन्यथा, वास्तविक प्रणाली की गतिशीलता इतनी जटिल हो सकती है कि एक पूर्ण मॉडल असंभव है।

सिस्टम पहचान
मॉडल की गतिशीलता को नियंत्रित करने वाले समीकरणों को निर्धारित करने की प्रक्रिया को सिस्टम पहचान कहा जाता है। इसे ऑफ-लाइन किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, उपायों की एक श्रृंखला को क्रियान्वित करना जिससे एक अनुमानित गणितीय मॉडल की गणना की जा सके, आमतौर पर इसका ट्रांसफर फ़ंक्शन या मैट्रिक्स। हालाँकि, आउटपुट से इस तरह की पहचान, अप्राप्य गतिकी को ध्यान में नहीं रख सकती है। कभी-कभी मॉडल सीधे ज्ञात भौतिक समीकरणों से शुरू करके बनाया जाता है, उदाहरण के लिए, मास-स्प्रिंग-डैम्पर मॉडल के मामले में हम जानते हैं कि $$ m \ddot(t) = - K x(t) - \Beta \dot{x}(t)$$. यहां तक ​​​​कि यह मानते हुए कि नियंत्रक को डिजाइन करने में एक "पूर्ण" मॉडल का उपयोग किया जाता है, इन समीकरणों में शामिल सभी पैरामीटर (जिन्हें "नाममात्र पैरामीटर" कहा जाता है) कभी भी पूर्ण सटीकता के साथ ज्ञात नहीं होते हैं; नाममात्र से दूर सही पैरामीटर मानों के साथ भौतिक प्रणाली से जुड़े होने पर भी नियंत्रण प्रणाली को सही ढंग से व्यवहार करना होगा।

कुछ उन्नत नियंत्रण तकनीकों में "ऑन-लाइन" पहचान प्रक्रिया शामिल है (बाद में देखें)। मॉडल के मापदंडों की गणना ("पहचान") की जाती है, जबकि नियंत्रक स्वयं चल रहा होता है। इस तरह, यदि मापदंडों में भारी बदलाव होता है, उदाहरण के लिए, यदि रोबोट का हाथ वजन कम करता है, तो नियंत्रक सही प्रदर्शन सुनिश्चित करने के लिए खुद को समायोजित करेगा।

एक SISO (एकल इनपुट एकल आउटपुट) नियंत्रण प्रणाली की मजबूती का विश्लेषण आवृत्ति डोमेन में किया जा सकता है, सिस्टम के ट्रांसफर फ़ंक्शन पर विचार करते हुए और Nyquist और बोड आरेखों का उपयोग करते हुए। विषयों में लाभ और चरण मार्जिन और आयाम मार्जिन शामिल हैं। एमआईएमओ (मल्टी-इनपुट मल्टी आउटपुट) और, सामान्य तौर पर, अधिक जटिल नियंत्रण प्रणालियों के लिए, प्रत्येक नियंत्रण तकनीक के लिए तैयार किए गए सैद्धांतिक परिणामों पर विचार करना चाहिए (अगला खंड देखें)। यानी, यदि विशेष मजबूती के गुणों की आवश्यकता होती है, तो इंजीनियर को इन गुणों को इसके गुणों में शामिल करके एक नियंत्रण तकनीक पर अपना ध्यान केंद्रित करना चाहिए।
 * विश्लेषण

इनपुट और राज्य की बाधाओं की उपस्थिति में एक नियंत्रण प्रणाली के ठीक से प्रदर्शन करने के लिए एक विशेष मजबूती का मुद्दा आवश्यक है। भौतिक दुनिया में हर संकेत सीमित है। ऐसा हो सकता है कि एक नियंत्रक नियंत्रण संकेत भेजेगा जिसका पालन भौतिक प्रणाली द्वारा नहीं किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, अत्यधिक गति से वाल्व को घुमाने की कोशिश करना। यह बंद-लूप सिस्टम के अवांछित व्यवहार का उत्पादन कर सकता है, या एक्ट्यूएटर्स या अन्य सबसिस्टम को भी नुकसान पहुंचा सकता है या तोड़ सकता है। समस्या को हल करने के लिए विशिष्ट नियंत्रण तकनीकें उपलब्ध हैं: मॉडल प्रेडिक्टिव कंट्रोल (बाद में देखें), और एंटी-विंड अप सिस्टम। उत्तरार्द्ध में एक अतिरिक्त नियंत्रण ब्लॉक होता है जो यह सुनिश्चित करता है कि नियंत्रण संकेत कभी भी दी गई सीमा से अधिक न हो।
 * प्रतिबंध

रैखिक प्रणाली नियंत्रण
MIMO सिस्टम के लिए, ओपन-लूप सिस्टम के स्टेट स्पेस प्रतिनिधित्व का उपयोग करके पोल प्लेसमेंट को गणितीय रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है और वांछित स्थिति में पोल्स असाइन करने वाले फीडबैक मैट्रिक्स की गणना की जा सकती है। जटिल प्रणालियों में इसके लिए कंप्यूटर-सहायता प्राप्त गणना क्षमताओं की आवश्यकता हो सकती है, और यह हमेशा मजबूती सुनिश्चित नहीं कर सकता है। इसके अलावा, सभी सिस्टम राज्यों को सामान्य रूप से मापा नहीं जाता है और इसलिए पर्यवेक्षकों को शामिल किया जाना चाहिए और पोल प्लेसमेंट डिज़ाइन में शामिल किया जाना चाहिए।

अरैखिक प्रणाली नियंत्रण
रोबोटिक्स और एयरोस्पेस उद्योग जैसे उद्योगों में प्रक्रियाओं में आमतौर पर मजबूत अरैखिक गतिकी होती है। नियंत्रण सिद्धांत में कभी-कभी ऐसी प्रणालियों के वर्गों को रैखिक बनाना और रैखिक तकनीकों को लागू करना संभव होता है, लेकिन कई मामलों में गैर-रैखिक प्रणालियों के नियंत्रण की अनुमति देने वाले खरोंच सिद्धांतों से तैयार करना आवश्यक हो सकता है। ये, उदाहरण के लिए, प्रतिक्रिया रेखीकरण, बैकस्टेपिंग, स्लाइडिंग मोड नियंत्रण, प्रक्षेपवक्र रेखीयकरण नियंत्रण सामान्य रूप से लायपुनोव के सिद्धांत के आधार पर परिणामों का लाभ उठाते हैं। अवकल ज्यामिति का व्यापक रूप से गैर-रैखिक मामले में प्रसिद्ध रैखिक नियंत्रण अवधारणाओं को सामान्य बनाने के लिए एक उपकरण के रूप में उपयोग किया गया है, साथ ही उन सूक्ष्मताओं को भी दिखाया गया है जो इसे और अधिक चुनौतीपूर्ण समस्या बनाती हैं। नियंत्रण सिद्धांत का उपयोग संज्ञानात्मक अवस्थाओं को निर्देशित करने वाले तंत्रिका तंत्र को समझने के लिए भी किया गया है।

विकेंद्रीकृत सिस्टम नियंत्रण
जब सिस्टम को कई नियंत्रकों द्वारा नियंत्रित किया जाता है, तो समस्या विकेंद्रीकृत नियंत्रण में से एक है। विकेंद्रीकरण कई मायनों में मददगार है, उदाहरण के लिए, यह नियंत्रण प्रणालियों को एक बड़े भौगोलिक क्षेत्र में संचालित करने में मदद करता है। विकेंद्रीकृत नियंत्रण प्रणाली में एजेंट संचार चैनलों का उपयोग करके बातचीत कर सकते हैं और अपने कार्यों का समन्वय कर सकते हैं।

नियतात्मक और स्टोकेस्टिक सिस्टम नियंत्रण
एक स्टोकास्टिक नियंत्रण समस्या वह है जिसमें राज्य चर के विकास को सिस्टम के बाहर से यादृच्छिक झटके के अधीन किया जाता है। एक नियतात्मक नियंत्रण समस्या बाहरी यादृच्छिक झटकों के अधीन नहीं है।

मुख्य नियंत्रण रणनीतियाँ
प्रत्येक नियंत्रण प्रणाली को पहले बंद लूप व्यवहार की स्थिरता की गारंटी देनी चाहिए। रैखिक प्रणालियों के लिए, इसे सीधे डंडे लगाकर प्राप्त किया जा सकता है। गैर-रैखिक नियंत्रण प्रणालियां विशिष्ट सिद्धांतों का उपयोग करती हैं (आमतौर पर अलेक्जेंडर लायपुनोव के सिद्धांत पर आधारित) ताकि प्रणाली की आंतरिक गतिशीलता की परवाह किए बिना स्थिरता सुनिश्चित की जा सके। विभिन्न विशिष्टताओं को पूरा करने की संभावना विचार किए गए मॉडल और चुनी गई नियंत्रण रणनीति से भिन्न होती है।


 * मुख्य नियंत्रण तकनीकों की सूची


 * अनुकूली नियंत्रण प्रक्रिया मापदंडों की ऑन-लाइन पहचान, या नियंत्रक लाभ के संशोधन का उपयोग करता है, जिससे मजबूत मजबूती गुण प्राप्त होते हैं। 1950 के दशक में एयरोस्पेस उद्योग में पहली बार अनुकूली नियंत्रण लागू किए गए थे, और उस क्षेत्र में उन्हें विशेष सफलता मिली है।
 * एक पदानुक्रमित नियंत्रण प्रणाली एक प्रकार की नियंत्रण प्रणाली है जिसमें एक पदानुक्रमित पेड़ (डेटा संरचना) में उपकरणों और शासी सॉफ़्टवेयर का एक सेट व्यवस्थित किया जाता है। जब पेड़ में लिंक एक कंप्यूटर नेटवर्क द्वारा कार्यान्वित किया जाता है, तो वह श्रेणीबद्ध नियंत्रण प्रणाली भी नेटवर्क नियंत्रण प्रणाली का एक रूप है।
 * बुद्धिमान नियंत्रण विभिन्न एआई कंप्यूटिंग दृष्टिकोणों का उपयोग करता है जैसे कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क, बायेसियन प्रायिकता, अस्पष्ट तर्क,

विकेंद्रीकृत प्रणाली नियंत्रण
जब सिस्टम को कई नियंत्रकों द्वारा नियंत्रित किया जाता है, तो समस्या विकेंद्रीकृत नियंत्रण में से एक है। विकेंद्रीकरण कई मायनों में मददगार है, उदाहरण के लिए, यह नियंत्रण प्रणालियों को एक बड़े भौगोलिक क्षेत्र में संचालित करने में मदद करता है। विकेंद्रीकृत नियंत्रण प्रणाली में एजेंट संचार चैनलों का उपयोग करके बातचीत कर सकते हैं और अपने कार्यों का समन्वय कर सकते हैं।

नियतात्मक और स्टोकेस्टिक सिस्टम नियंत्रण
एक स्टोकास्टिक नियंत्रण समस्या वह है जिसमें राज्य चर के विकास को सिस्टम के बाहर से यादृच्छिक झटके के अधीन किया जाता है। एक नियतात्मक नियंत्रण समस्या बाहरी यादृच्छिक झटकों के अधीन नहीं है।

मुख्य नियंत्रण रणनीतियाँ
प्रत्येक नियंत्रण प्रणाली को पहले बंद लूप व्यवहार की स्थिरता की गारंटी देनी चाहिए। रैखिक प्रणालियों के लिए, इसे सीधे डंडे लगाकर प्राप्त किया जा सकता है। गैर-रैखिक नियंत्रण प्रणालियां विशिष्ट सिद्धांतों का उपयोग करती हैं (आमतौर पर अलेक्सांद्र लायपुनोव के सिद्धांत पर आधारित) ताकि प्रणाली की आंतरिक गतिशीलता की परवाह किए बिना स्थिरता सुनिश्चित की जा सके। विभिन्न विशिष्टताओं को पूरा करने की संभावना विचार किए गए मॉडल और चुनी गई नियंत्रण रणनीति से भिन्न होती है।

मुख्य नियंत्रण तकनीकों की सूची

 * अनुकूली नियंत्रण प्रक्रिया मापदंडों की ऑन-लाइन पहचान, या नियंत्रक लाभ के संशोधन का उपयोग करता है, जिससे मजबूत मजबूती गुण प्राप्त होते हैं। 1950 के दशक में एयरोस्पेस उद्योग में पहली बार अनुकूली नियंत्रण लागू किए गए थे, और उस क्षेत्र में उन्हें विशेष सफलता मिली है।
 * एक पदानुक्रमित नियंत्रण प्रणाली एक प्रकार की नियंत्रण प्रणाली है जिसमें पदानुक्रमित पेड़ में उपकरणों और शासी सॉफ़्टवेयर का एक सेट व्यवस्थित किया जाता है। जब पेड़ में लिंक एक कंप्यूटर नेटवर्क द्वारा कार्यान्वित किया जाता है, तो वह श्रेणीबद्ध नियंत्रण प्रणाली भी नेटवर्क नियंत्रण प्रणाली का एक रूप है।
 * बुद्धिमान नियंत्रण एक गतिशील प्रणाली को नियंत्रित करने के लिए कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क, बायेसियन प्रायिकता, फ़ज़ी लॉजिक, मशीन लर्निंग, विकासवादी संगणना और आनुवंशिक एल्गोरिदम या इन विधियों के संयोजन जैसे न्यूरो फजी एल्गोरिदम जैसे विभिन्न एआई कंप्यूटिंग दृष्टिकोणों का उपयोग करता है।
 * इष्टतम नियंत्रण एक विशेष नियंत्रण तकनीक है जिसमें नियंत्रण संकेत एक निश्चित लागत सूचकांक का अनुकूलन करता है: उदाहरण के लिए, एक उपग्रह के मामले में, जेट थ्रस्ट को वांछित प्रक्षेपवक्र में लाने के लिए आवश्यक है जो कम से कम ईंधन की खपत करता है। औद्योगिक अनुप्रयोगों में दो इष्टतम नियंत्रण डिजाइन विधियों का व्यापक रूप से उपयोग किया गया है, क्योंकि यह दिखाया गया है कि वे बंद-लूप स्थिरता की गारंटी दे सकते हैं। ये मॉडल भविष्यवाणी नियंत्रण (MPC) और रैखिक-द्विघात-गाऊसी नियंत्रण (LQG) हैं। पहला सिस्टम में संकेतों पर अधिक स्पष्ट रूप से खाते की बाधाओं को ध्यान में रख सकता है, जो कई औद्योगिक प्रक्रियाओं में एक महत्वपूर्ण विशेषता है। हालाँकि, MPC में इष्टतम नियंत्रण संरचना केवल ऐसे परिणाम प्राप्त करने का एक साधन है, क्योंकि यह बंद-लूप नियंत्रण प्रणाली के एक सच्चे प्रदर्शन सूचकांक का अनुकूलन नहीं करता है। पीआईडी ​​​​नियंत्रकों के साथ मिलकर, एमपीसी सिस्टम प्रक्रिया नियंत्रण में सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल की जाने वाली नियंत्रण तकनीक है।
 * मजबूत नियंत्रण स्पष्ट रूप से नियंत्रक डिजाइन के अपने दृष्टिकोण में अनिश्चितता से संबंधित है। मजबूत नियंत्रण विधियों का उपयोग करके डिज़ाइन किए गए नियंत्रक वास्तविक प्रणाली और डिज़ाइन के लिए उपयोग किए जाने वाले नाममात्र मॉडल के बीच छोटे अंतरों का सामना करने में सक्षम होते हैं। हेनरी वेड बोडे और अन्य के शुरुआती तरीके काफी मजबूत थे; 1960 और 1970 के दशक में आविष्कार की गई राज्य-अंतरिक्ष विधियों में कभी-कभी मजबूती की कमी पाई गई। आधुनिक मजबूत नियंत्रण तकनीकों के उदाहरणों में डंकन मैकफर्लेन और कीथ ग्लोवर द्वारा विकसित एच-इनफिनिटी लूप-शेपिंग, वादिम यूटकिन द्वारा विकसित स्लाइडिंग मोड कंट्रोल (एसएमसी) और स्मार्ट पावर ग्रिड अनुप्रयोगों में इलेक्ट्रिक लोड की बड़ी विषम आबादी के नियंत्रण के लिए डिज़ाइन किए गए सुरक्षित प्रोटोकॉल शामिल हैं। . मजबूत तरीकों का उद्देश्य छोटी मॉडलिंग त्रुटियों की उपस्थिति में मजबूत प्रदर्शन और/या स्थिरता सिद्धांत प्राप्त करना है।
 * स्टोकेस्टिक नियंत्रण मॉडल में अनिश्चितता के साथ नियंत्रण डिजाइन से संबंधित है। विशिष्ट स्टोचैस्टिक नियंत्रण समस्याओं में, यह माना जाता है कि मॉडल और नियंत्रक में यादृच्छिक शोर और गड़बड़ी मौजूद है, और नियंत्रण डिजाइन को इन यादृच्छिक विचलनों को ध्यान में रखना चाहिए।
 * स्व-संगठित आलोचनात्मक नियंत्रण को उन प्रक्रियाओं में हस्तक्षेप करने के प्रयासों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके द्वारा स्व-संगठित प्रणाली ऊर्जा का प्रसार करती है।

सिस्टम और नियंत्रण में लोग
कई सक्रिय और ऐतिहासिक शख्सियतों ने सिद्धांतों को नियंत्रित करने में महत्वपूर्ण योगदान दिया, जिनमें शामिल हैं: 1950 के दशक में जॉन आर. रागाज़िनी ने डिजिटल नियंत्रण और जेड-ट्रांसफ़ॉर्म इन कंट्रोल थ्योरी (लाप्लास द्वारा आविष्कृत) के उपयोग की शुरुआत की।
 * पियरे-साइमन लाप्लास ने संभाव्यता सिद्धांत पर अपने काम में जेड-ट्रांसफ़ॉर्म का आविष्कार किया, जिसका उपयोग अब असतत-समय नियंत्रण सिद्धांत समस्याओं को हल करने के लिए किया जाता है। जेड-ट्रांसफॉर्म लैप्लस ट्रांसफॉर्म का असतत-समय समकक्ष है जिसे उसके नाम पर रखा गया है।
 * इर्मगार्ड फ्लग-लोट्ज़ ने असंतुलित स्वचालित नियंत्रण के सिद्धांत को विकसित किया और इसे स्वचालित विमान नियंत्रण प्रणालियों पर लागू किया।
 * 1890 के दशक में अलेक्जेंडर लायपुनोव ने स्थिरता सिद्धांत की शुरुआत की।
 * हेरोल्ड स्टीफन ब्लैक|हेरोल्ड एस. ब्लैक ने 1927 में नकारात्मक प्रतिक्रिया एम्पलीफायरों की अवधारणा का आविष्कार किया। उन्होंने 1930 के दशक में स्थिर नकारात्मक प्रतिक्रिया एम्पलीफायरों को विकसित करने में कामयाबी हासिल की।
 * हैरी निक्विस्ट ने 1930 के दशक में फीडबैक सिस्टम के लिए Nyquist स्थिरता मानदंड विकसित किया।
 * रिचर्ड बेलमैन ने 1940 के दशक में गतिशील प्रोग्रामिंग विकसित की।
 * वारेन ई. डिक्सन, नियंत्रण सिद्धांतकार और एक प्रोफेसर
 * एंड्री कोलमोगोरोव ने 1941 में वीनर फिल्टर | वीनर-कोल्मोगोरोव फिल्टर का सह-विकास किया।
 * नॉर्बर्ट वीनर ने वीनर-कोल्मोगोरोव फ़िल्टर का सह-विकास किया और 1940 के दशक में साइबरनेटिक्स शब्द गढ़ा।
 * लेव पोंट्रीगिन ने पोंट्रीगिन के न्यूनतम सिद्धांत और बैंग-बैंग नियंत्रण|बैंग-बैंग सिद्धांत की शुरुआत की।
 * पियरे-लुई लायंस ने स्टोचैस्टिक नियंत्रण और इष्टतम नियंत्रण विधियों में चिपचिपापन समाधान विकसित किया।
 * रूडोल्फ ई. काल्मन ने सिस्टम और नियंत्रण के लिए राज्य-अंतरिक्ष दृष्टिकोण का बीड़ा उठाया। नियंत्रणीयता और अवलोकनीयता की धारणाओं का परिचय दिया। रेखीय आकलन के लिए कलमन फिल्टर का विकास किया।
 * अली एच. नायफेह जो अरैखिक नियंत्रण सिद्धांत के मुख्य योगदानकर्ताओं में से एक थे और गड़बड़ी विधियों पर कई पुस्तकें प्रकाशित कीं
 * जेन कैमियल विलेम्स ने इनपुट/स्टेट/आउटपुट सिस्टम के लिए Lyapunov फ़ंक्शन के सामान्यीकरण के रूप में, अपव्यय की अवधारणा का परिचय दिया। स्टोरेज फ़ंक्शन का निर्माण, जिसे लाइपुनोव फ़ंक्शन के एनालॉग के रूप में कहा जाता है, ने नियंत्रण सिद्धांत में रैखिक मैट्रिक्स असमानता (एलएमआई) के अध्ययन का नेतृत्व किया। उन्होंने गणितीय प्रणाली सिद्धांत के व्यवहारिक दृष्टिकोण का बीड़ा उठाया।

यह भी देखें

 * नियंत्रण प्रणालियों के उदाहरण


 * स्वचालन
 * डेडबीट कंट्रोलर
 * वितरित पैरामीटर सिस्टम
 * आंशिक क्रम नियंत्रण
 * एच-इनफिनिटी लूप-शेपिंग
 * पदानुक्रमित नियंत्रण प्रणाली
 * मॉडल भविष्य कहनेवाला नियंत्रण
 * इष्टतम नियंत्रण
 * प्रक्रिया नियंत्रण
 * मजबूत नियंत्रण
 * सेवा तंत्र
 * राज्य स्थान (नियंत्रण)
 * वेक्टर नियंत्रण (मोटर)

नियंत्रण सिद्धांत में विषय

 * गुणांक आरेख विधि
 * नियंत्रण पुनर्गठन
 * प्रतिपुष्टि
 * एच अनंत
 * हैंकेल विलक्षण मूल्य
 * क्रेनर प्रमेय
 * लीड-लैग कम्पेसाटर
 * माइनर लूप फीडबैक
 * माइनर लूप फीडबैक | मल्टी-लूप फीडबैक
 * सकारात्मक प्रणाली
 * चमकीले आधार की क्रिया
 * रूट लोकस
 * सिग्नल-फ्लो ग्राफ
 * स्थिर बहुपद
 * राज्य अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व
 * स्थिर अवस्था
 * अस्थायी प्रतिसाद
 * क्षणिक अवस्था
 * अंडरएक्चुएशन
 * यूला-कुचेरा पैरामीट्रिजेशन
 * मार्कोव श्रृंखला सन्निकटन विधि

अन्य संबंधित विषय

 * अनुकूली प्रणाली
 * स्वचालन और रिमोट कंट्रोल
 * बॉन्ड ग्राफ
 * नियंत्रण इंजीनियरिंग
 * कंट्रोल-फीडबैक-एबॉर्ट लूप
 * नियंत्रक (नियंत्रण सिद्धांत)
 * साइबरनेटिक्स
 * बुद्धिमान नियंत्रण
 * गणितीय प्रणाली सिद्धांत
 * नकारात्मक प्रतिक्रिया एम्पलीफायर
 * सिस्टम और नियंत्रण में लोग
 * अवधारणात्मक नियंत्रण सिद्धांत
 * सिस्टम सिद्धांत
 * समय पैमाने की गणना

अग्रिम पठन



 * For Chemical Engineering
 * For Chemical Engineering

बाहरी संबंध

 * Control Tutorials for Matlab, a set of worked-through control examples solved by several different methods.
 * Control Tuning and Best Practices
 * Advanced control structures, free on-line simulators explaining the control theory
 * The Dark Side of Loop Control Theory, a professional seminar taught at APEC in 2012 (Orlando, FL).