नम्य वस्तुओं का प्लवन

लचीली वस्तुओं का तैरना एक ऐसी घटना है जिसमें लचीली सामग्री का झुकना किसी वस्तु को पूरी तरह से कठोर होने की तुलना में अधिक मात्रा में तरल पदार्थ को विस्थापित करने की अनुमति देता है। अधिक तरल पदार्थ को विस्थापित करने की यह क्षमता सीधे अधिक भार का समर्थन करने की क्षमता में तब्दील हो जाती है, जिससे लचीली संरचना को समान रूप से कठोर संरचना पर लाभ मिलता है। लोच (भौतिकी) के प्रभावों का अध्ययन करने की प्रेरणा प्रकृति से ली गई है, जहां काली मिर्च जैसे पौधे और पानी की सतह पर रहने वाले जानवर लोच द्वारा प्रदान किए जाने वाले भार-वहन लाभों का लाभ उठाने के लिए विकसित हुए हैं।

इतिहास
अपने काम ऑन फ्लोटिंग बॉडीज़ में, आर्किमिडीज़ प्रसिद्ध रूप से कहा गया है:

जबकि इस मूल विचार में भारी वजन है और यह समझने का आधार बन गया है कि वस्तुएं क्यों तैरती हैं, इसे केशिका लंबाई से अधिक विशेषता लंबाई पैमाने वाली वस्तुओं के लिए सबसे अच्छा लागू किया जाता है। आर्किमिडीज़ सतह के तनाव के प्रभाव और छोटी लंबाई के पैमाने पर इसके प्रभाव की भविष्यवाणी करने में विफल रहे थे।

हाल के कार्य, जैसे केलर के, आंशिक रूप से जलमग्न पिंडों पर सतह तनाव बलों की भूमिका पर विचार करके इन सिद्धांतों का विस्तार किया है। उदाहरण के लिए, केलर ने विश्लेषणात्मक रूप से प्रदर्शित किया कि मेनिस्कस (तरल) द्वारा विस्थापित पानी का वजन सतह तनाव बल के ऊर्ध्वाधर घटक के बराबर है।

बहरहाल, लचीलेपन की भूमिका और किसी वस्तु की भार-वहन क्षमता पर इसके प्रभाव पर 2000 के दशक के मध्य और उसके बाद तक ध्यान दिया गया था। प्रारंभिक अध्ययन में, वेला पतली, कठोर पट्टियों से बने बेड़ा द्वारा समर्थित भार का अध्ययन किया। विशेष रूप से, उन्होंने अलग-अलग पट्टियों को तैरने के मामले की तुलना पट्टियों के एकत्रीकरण को तैरने से की, जिसमें समुच्चय संरचना के कारण मेनिस्कस के हिस्से (और इसलिए, परिणामी सतह तनाव बल) गायब हो जाते हैं। कुछ सीमित झुकने वाली कठोरता की पतली पट्टियों से बनी एक समान प्रणाली पर विचार करने के लिए अपने विश्लेषण का विस्तार करके, उन्होंने पाया कि यह बाद का मामला वास्तव में अधिक भार का समर्थन करने में सक्षम था। सतह तनाव सहायता प्राप्त प्लवनशीलता के क्षेत्र में एक प्रसिद्ध कार्य पानी की सतह के साथ वॉटर स्ट्रीडर लोकोमोशन का विश्लेषण था। लचीली संरचनाओं के विचार का उपयोग करते हुए, जी एट अल. वॉटर स्ट्राइडर पैर की कठोरता पर विचार करके इस समस्या की दोबारा जांच की गई। पैर को एक सुसंगत संरचना के रूप में मॉडलिंग करके जो पानी की सतह पर विकृत हो जाती है (इसे छेदने के बजाय), जी यह पता लगाने में सक्षम थी कि इस लचीलेपन का कीट को सहारा देने में क्या अतिरिक्त लाभ है। वॉटर स्ट्राइडर पर अन्य अध्ययनों ने उन तरीकों की जांच की है जिनमें लचीलापन पैर के गीले गुणों को प्रभावित कर सकता है।

अनुसंधान का एक अन्य ट्रैक यह जांच करना है कि वास्तव में तरल और एक अनुवर्ती वस्तु के बीच की बातचीत परिणामी विकृति की ओर कैसे ले जाती है। एक उदाहरण में, किसी तरल पदार्थ में बालों को डुबाने में होने वाली कठिनाई को समझाने के लिए इस तरह के विश्लेषण का विस्तार किया गया है। ये कार्य संपर्क रेखा के पास व्यवहार पर ध्यान केंद्रित करते हैं, और विचार करते हैं कि फिसलन जैसे गैर-रेखीय प्रभाव क्या भूमिका निभाते हैं।

घटना की भौतिक व्याख्या
एक तरल घोल में, कोई भी तरल अणु पड़ोसी अणुओं से मजबूत सामंजस्य (रसायन) बलों का अनुभव करता है। जबकि ये बल थोक में संतुलित होते हैं, समाधान की सतह पर अणु एक तरफ पानी के अणुओं से और दूसरी तरफ गैस के अणुओं से घिरे होते हैं। सतह पर संयोजी बलों के असंतुलन के परिणामस्वरूप थोक की ओर शुद्ध खिंचाव होता है, जिससे सतह तनाव की घटना को जन्म मिलता है।

जब वजन की एक जल विरोधी  वस्तु $$w$$ पानी की सतह पर रखा जाता है, इसका वजन पानी की रेखा को विकृत करना शुरू कर देता है। वस्तु की हाइड्रोफोबिक प्रकृति का मतलब है कि पानी गीलापन से जुड़े प्रतिकूल ऊर्जा व्यापार के कारण संपर्क को कम करने का प्रयास करेगा। परिणामस्वरूप, हाइड्रोफोबिक वस्तु के साथ संपर्क को कम करने और न्यूनतम ऊर्जा स्थिति बनाए रखने के लिए सतह तनाव पानी की रेखा को वापस खींचने का प्रयास करता है। सतह द्वारा दबे हुए पानी के इंटरफ़ेस को वापस खींचने की यह क्रिया एक केशिका बल का स्रोत है, जो संपर्क रेखा के साथ स्पर्शरेखीय रूप से कार्य करती है और इस प्रकार ऊर्ध्वाधर दिशा में एक घटक को जन्म देती है। वस्तु को और अधिक दबाने के प्रयास का इस केशिका बल द्वारा तब तक विरोध किया जाता है जब तक कि संपर्क रेखा अबाधित जल रेखा के नीचे लगभग दो केशिका लंबाई में स्थित ऊर्ध्वाधर स्थिति तक नहीं पहुंच जाती। एक बार ऐसा होने पर, मेनिस्कस ढह जाता है और वस्तु डूब जाती है।

एक तैरती हुई वस्तु जितना अधिक तरल पदार्थ विस्थापित करने में सक्षम होती है, वह उतना ही अधिक भार सहन करने में सक्षम होती है। परिणामस्वरूप, लचीलेपन का अंतिम लाभ यह निर्धारित करना है कि मुड़े हुए विन्यास के परिणामस्वरूप विस्थापित पानी की मात्रा में वृद्धि होती है या नहीं। जैसे ही कोई लचीली वस्तु झुकती है, वह पानी में और अधिक घुस जाती है और उसके ऊपर विस्थापित कुल तरल पदार्थ बढ़ जाता है। हालाँकि, यह झुकने की क्रिया आवश्यक रूप से पानी की रेखा पर क्रॉस-सेक्शन को कम करने के लिए मजबूर करती है, जिससे वस्तु के ऊपर विस्थापित पानी का स्तंभ संकीर्ण हो जाता है। इस प्रकार, झुकना लाभप्रद है या नहीं, यह अंततः इन कारकों के तालमेल से पता चलता है।

एक टॉर्सनल स्प्रिंग से जुड़ी दो कठोर प्लेटें
निम्नलिखित विश्लेषण काफी हद तक बर्टन और बुश के काम से लिया गया है, और फ्लोटिंग ऑब्जेक्ट्स की लोड-वहन विशेषताओं को बेहतर बनाने में लचीलेपन की भूमिका में कुछ गणितीय अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

अनंत चौड़ाई, मोटाई की दो प्लेटों पर विचार करें $$t$$, और लंबाई $$b$$ जो प्रति यूनिट चौड़ाई स्प्रिंग स्थिरांक के साथ एक टॉर्सनल स्प्रिंग द्वारा जुड़े हुए हैं $$K_s$$. इसके अलावा, चलो $$\alpha$$ एक प्लेट और क्षैतिज के बीच का कोण हो, और $$\phi$$ जहां से मेनिस्कस प्लेट से क्षैतिज तक मिलता है। अबाधित जल रेखा से प्लेट के बाहरी किनारे तक की दूरी है $$h$$. जल का घनत्व है $$\rho$$, हवा का घनत्व नगण्य माना जाता है, और प्लेट घनत्व, $$\rho_s$$, विविध होगा. सभी प्रणालियाँ स्वाभाविक रूप से एक विन्यास ग्रहण करती हैं जो कुल ऊर्जा को न्यूनतम करती है। इस प्रकार, इस विश्लेषण का लक्ष्य कॉन्फ़िगरेशन (यानी, के मान) की पहचान करना है $$h$$ और $$\alpha$$) जिसके परिणामस्वरूप किसी दिए गए मान के लिए एक स्थिर संतुलन होता है $$\rho_s$$.

की कुल प्रणाली ऊर्जा के लिए $$\Pi $$, उप-घटकों में अंतर करना स्वाभाविक है:



$$ \Pi = U - V $$
 * $$ V $$: सिस्टम पर किया गया काम
 * $$ U $$: सिस्टम संभावित ऊर्जा

परिभाषित करने में $$V$$, कई संबद्ध घटक हैं:

$$ V = W_{H,i} + W_{H,p} - W_{g,p} + W_{\sigma} $$
 * $$W_{H,i} $$ हाइड्रोस्टैटिक दबाव द्वारा इंटरफ़ेस पर किया गया कार्य है
 * $$W_{H,p} $$ हाइड्रोस्टैटिक दबाव द्वारा प्लेटों पर किया गया कार्य है
 * $$W_{g,p} $$ गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्लेटों पर किया गया कार्य है
 * $$W_{\sigma} $$ सतह तनाव बलों द्वारा प्लेटों पर किया गया कार्य है

इसी प्रकार, सिस्टम संभावित ऊर्जा, $$U$$, को दो शब्दों से बना माना जाता है: $$U = S + E_s $$
 * $$ S $$ जल/वायु इंटरफ़ेस की सतह ऊर्जा है
 * $$ E_s $$ टॉर्सनल स्प्रिंग में संग्रहीत ऊर्जा है और इसके बराबर है $$E_s = K_s(2\alpha)^2/2 $$

ऐसे दो तरीके हैं जिनसे सिस्टम ऊर्जा वृद्धिशील मात्रा में बदल सकती है। पहला, कुछ दूरी तक प्लेटों के द्रव्यमान के केंद्र का अनुवाद है $$\delta h$$. दूसरा एक वृद्धिशील परिवर्तन है, $$\delta \alpha$$ काज कोण में. ऐसा परिवर्तन एक नये क्षण को प्रेरित करेगा।

जैसा कि उल्लेख किया गया है, सिस्टम उस अभिविन्यास की तलाश करेगा जो न्यूनतम हो $$\delta \Pi = \delta U - \delta V $$ स्थिर संतुलन का बिंदु खोजने के लिए। इन शब्दों को अधिक स्पष्ट रूप से लिखें:

$$ \delta V = \delta W_{H,i} + \delta W_{H,p} - \delta W_{g,p} + \delta W_{\sigma} $$
 * $$ \delta W_{H,i} = \rho g\int \eta(x)dx\delta\epsilon $$
 * $$ \delta W_{H,p} = \rho g\left( \left(2bh \text{cos}\alpha + b^2 \text{cos}\alpha \text{sin}\alpha\right) \delta h + \left( \frac{b^3}{3}\text{sin}\alpha + b^2 h\right) \delta\alpha\right) $$
 * $$ \delta W_{g,p} = \rho_s g t\left(2b\delta h + b^2 \text{cos}\left(\alpha\right)\delta\alpha\right) $$
 * $$ \delta W_{\sigma} = 2\sigma\left( \text{sin}\phi\delta h + b\left(\text{sin}\left(\phi-\alpha\right)\delta\alpha\right)\right) $$

$$ \delta U = \sigma\delta \mathcal{L} + 4K_s\alpha\delta\alpha $$ यहाँ, $$\eta(x)$$ समीकरण वायु/जल इंटरफ़ेस है, $$\delta\epsilon$$ इंटरफ़ेस का वृद्धिशील विस्थापन है, और $$\sigma$$ जल का पृष्ठ तनाव है.

किसी दिए गए मान के लिए $$\rho_s$$, स्थिर संतुलन विन्यास की पहचान उन मूल्यों के रूप में की जाती है $$h$$ और $$\alpha$$ जो संतुष्ट करता है

$$ \frac{\delta\Pi}{\delta h} = 0 $$ $$ \frac{\delta\Pi}{\delta\alpha} = 0 $$ एक अलग दृष्टि से देखें तो इन स्थितियों को पहचान के रूप में देखा जा सकता है $$h$$ और $$\alpha$$ जिसके परिणामस्वरूप किसी दिए गए के लिए शून्य शुद्ध बल और शून्य शुद्ध टोक़ होता है $$\rho_s$$.

अधिकतम भार के लिए विश्लेषणात्मक परिणाम
गैर-आयामी प्लेट की लंबाई को परिभाषित करना $$\beta = \frac{b}{2 l_c}$$, गैर-आयामी प्लेट किनारे की गहराई $$ H = \frac{h}{l_c}$$, और गैर-आयामी भार $$D = \frac{\rho_s-\rho}{\rho}\frac{t}{l_c}$$, बर्टन और बुश ने निम्नलिखित विश्लेषणात्मक परिणाम निकाले:

$$ H_{\text{max}, D} = \frac{2\left(\sqrt{2}+\beta\right)}{\sqrt{4+2\sqrt{2}\beta + \beta^2}} $$ $$ \alpha_{\text{max}, D} = \text{arcos}\left( \sqrt{\frac{1}{2} + \frac{8+\beta^2\left(-2+\sqrt{2}\beta\right)}{16+\beta^2} }\right) $$ $$ D_{\text{max}} = \frac{\beta}{4} + \sqrt{2} + \frac{1}{\beta} $$ के लिए समीकरण $$H$$ और $$\alpha$$ कॉन्फ़िगरेशन पैरामीटर दें जो अधिकतम मान देते हैं $$D$$. अधिक जानकारी के लिए, गैर-आयामी प्लेट लंबाई के विभिन्न शासनों की जांच करना सहायक होता है, $$\beta$$.

केस 1: छोटे पैमाने पर β << एच
जब विशिष्ट प्लेट की लंबाई विशिष्ट प्लेट किनारे की गहराई से बहुत छोटी होती है, तो गुरुत्वाकर्षण, सतह तनाव और स्प्रिंग ऊर्जा के प्रभाव प्रभावी हो जाते हैं। इस सीमित मामले में, यह पता चलता है कि लचीलापन प्लेटों की भार-वहन क्षमताओं में सुधार नहीं करता है; वास्तव में, इष्टतम विन्यास एक सपाट प्लेट है। चूँकि प्लेट की लंबाई अबाधित जल रेखा से विस्थापन की तुलना में बहुत छोटी है, एक कठोर प्लेट को मोड़ने से विस्थापित अतिरिक्त तरल पदार्थ प्लेट के ऊपर के स्तंभ में तरल पदार्थ के नुकसान से अधिक हो जाता है।

केस 2: मध्य स्केल β ~ एच
इस व्यवस्था में, लचीलापन प्लेटों की भार-वहन क्षमताओं में सुधार कर भी सकता है और नहीं भी। दोनों विशेषताओं की लंबाई तुलनीय आयाम की है, इसलिए प्रत्येक के लिए विशेष मान यह निर्धारित करते हैं कि झुकने के माध्यम से विस्थापित अतिरिक्त द्रव स्तंभ के संकुचन के माध्यम से खोए गए द्रव से अधिक है या नहीं।

केस 3: बड़े पैमाने पर β >> एच
इस व्यवस्था में लचीलेपन का लाभ सबसे अधिक स्पष्ट है। विशिष्ट प्लेट की लंबाई उस विशिष्ट गहराई से काफी अधिक है, जिस गहराई तक प्लेट पानी की रेखा के नीचे डूबी हुई है। परिणामस्वरूप, प्लेट के ऊपर संकीर्ण स्तंभ नगण्य है, जिसमें झुकने के कारण पानी का अतिरिक्त विस्थापन महत्वपूर्ण है।

निरंतर विकृत होने वाले शरीर का विस्तार
इस गणितीय को भौतिक प्रणालियों से जोड़ने के लिए, उपरोक्त विश्लेषण को लगातार विकृत होने वाले निकायों तक बढ़ाया जा सकता है। दो प्लेट प्रणाली के समीकरणों को सामान्य बनाने से व्यक्ति को लगातार विकृत होने वाली प्लेट के मामले में समीकरणों का एक संगत सेट लिखने की अनुमति मिलती है। यह निरंतर विकृत होने वाली प्लेट किससे बनी होती है? $$n$$ उप-प्लेटें, जहां पहले वर्णित समान बल और टोक़ संतुलन की स्थिति प्रत्येक उप-प्लेट के लिए संतुष्ट होनी चाहिए। इस तरह के विश्लेषण से पता चलता है कि केशिका लंबाई की तुलना में बहुत अधिक विशेषता लंबाई वाली अत्यधिक आज्ञाकारी 2डी संरचना के लिए, उच्चतम भार वहन करने वाली आकृति एक आदर्श अर्ध-वृत्त है। जैसे-जैसे कठोरता बढ़ती है, अर्धवृत्त कम वक्रता वाले आकार में विकृत हो जाता है।

लगातार विकृत होने वाले पिंडों पर यह प्रारंभिक नज़र एक बहुत ही जटिल समस्या पर प्रारंभिक प्रहार का प्रतिनिधित्व करती है। इस विश्लेषण में यहां दिए गए आधारभूत कार्य के साथ, यह संभावना है कि भविष्य के कार्य इस सामान्य विचारधारा को एक सीमित तत्व दृष्टिकोण में लागू करेंगे। ऐसा करने से वास्तविक दुनिया की घटनाओं का बहुत करीब से अनुकरण किया जा सकेगा और यह निर्धारित करने में सहायता मिलेगी कि लोच के प्रभाव रोबोट, उपकरणों और पानी की रेखा के साथ काम करने वाले अन्य उपकरणों के डिजाइन में कैसे सहायता कर सकते हैं।

आग चींटियाँ
ब्राज़ील के वर्षा वनों में, अचानक वर्षा से एक पल की सूचना पर बाढ़ आ सकती है। यह देखते हुए कि बाढ़ संभावित रूप से एक कॉलोनी को नष्ट कर सकती है और कीड़ों को डुबो सकती है, अग्नि चींटियों ने इस स्थिति के लिए एक अद्वितीय अनुकूलन विकसित किया है। जबकि व्यक्तिगत अग्नि चींटियाँ पानी की सतह पर हाइड्रोफोबिक और फ़्लाउंडर होती हैं, चींटियों के बड़े समूह एक जीवित बेड़ा बनाने के लिए एक साथ जुड़ सकते हैं। जैसे ही रानी और लार्वा को बाढ़ वाली कॉलोनी से निकाला जाता है, वे इस जीवित बेड़ा पर बैठते हैं, और कुछ ठोस भूमि तक पहुंचने तक जलरेखा के साथ तैरते रहते हैं।

इस स्व-इकट्ठे चींटी बेड़ा में लचीलेपन का महत्व कई गुना है। लचीलापन प्रदान करने वाला अतिरिक्त भार वहन करना महत्वपूर्ण है क्योंकि भूखी मछलियाँ बेड़ा के नीचे तैरती हैं और कई सदस्यों को खा जाती हैं। इसके अलावा, जैसे ही लहरें पानी की सतह के साथ चलती हैं, चींटी बेड़ा का लचीलापन इसे प्रभावी ढंग से लहर के साथ घूमने और गड़बड़ी को कम करने की अनुमति देता है, अन्यथा यह एक समान लेकिन कठोर संरचना का कारण बनता।

जलीय वनस्पति
जलीय वनस्पतियों में, निम्फियासी शायद सबसे अधिक पहचानी जाने वाली प्रजाति है, जो आमतौर पर तालाबों और झीलों से जुड़ी होती है। उनका लचीलापन बढ़े हुए भार की अनुमति देता है, जिससे वे मेंढक जैसे जानवरों को अपने वजन से कई गुना अधिक वजन उठाने में सक्षम बनाते हैं।

कुछ जलीय फूल, जैसे डेज़ी सतत युद्ध, जीवित रहने के तंत्र के रूप में अनुपालन का उपयोग करते हैं। ऐसे फूलों की जड़ें नीचे की मिट्टी तक फैली होती हैं, जो फूल को पानी की सतह पर बांधे रखती हैं। जब बाढ़ आती है, तो पंखुड़ियाँ अंदर की ओर खिंचती हैं और पानी की रेखा को विकृत कर देती हैं, जिससे कोर में आनुवंशिक सामग्री सुरक्षित हो जाती है। कुछ फूल इस तरह से पूरी तरह से एक खोल में बंद हो जाते हैं, जिससे हवा अंदर फंस जाती है।