स्केलर इलेक्ट्रोडायनामिक्स

सैद्धांतिक भौतिकी में, स्केलर इलेक्ट्रोडायनामिक्स एक यू (1) गेज क्षेत्र का एक सिद्धांत है जो चार्ज स्पिन 0 अदिश क्षेत्र से जुड़ा होता है जो साधारण क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में डायराक फर्मों की जगह लेता है। स्केलर फ़ील्ड चार्ज किया गया है, और एक उपयुक्त क्षमता के साथ, यह हिग्स_मैकेनिज्म # एबेलियन_हिग्स_मैकेनिज्म के माध्यम से गेज समरूपता को तोड़ने की क्षमता रखता है।

पदार्थ सामग्री
मॉडल में एक जटिल स्केलर फ़ील्ड होता है $$\phi(x)$$ न्यूनतम रूप से एक गेज क्षेत्र के लिए युग्मित $$A_\mu(x)$$.

यह लेख फ्लैट स्पेसटाइम के सिद्धांत पर चर्चा करता है $$\mathbb{R}^{1,3}$$ (मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष) इसलिए इन क्षेत्रों को कार्यों के रूप में (भोलेपन से) माना जा सकता है $$\phi:\mathbb{R}^{1,3}\rightarrow \mathbb{C}$$, और $$A_\mu:\mathbb{R}^{1,3}\rightarrow (\mathbb{R}^{1,3})^*$$. सिद्धांत को घुमावदार स्पेसटाइम के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है लेकिन इन परिभाषाओं को अधिक सूक्ष्म से बदला जाना चाहिए। गेज फ़ील्ड को प्रमुख कनेक्शन, विशेष रूप से प्रिंसिपल के रूप में भी जाना जाता है $$\text{U}(1)$$ संबंध।

Lagrangian
गतिकी Lagrangian घनत्व द्वारा दी गई है

$$\mathcal{L}= (D_\mu \phi)^* D^\mu \phi - V(\phi^*\phi) -\frac14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}\ ,$$ कहाँ
 * $$F_{\mu\nu}=(\partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu)$$ विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की ताकत, या कनेक्शन का वक्रता रूप है।
 * $$D_\mu\phi=(\partial_\mu \phi - i e A_\mu \phi)$$ क्षेत्र का सहपरिवर्ती व्युत्पन्न है $$\phi$$
 * $$e$$ विद्युत आवेश है
 * $$V(\phi^*\phi)$$ जटिल अदिश क्षेत्र के लिए क्षमता है।

गेज-इनवेरियन
यह मॉडल गेज ट्रांसफॉर्मेशन के तहत अपरिवर्तनीय है जिसे इसके द्वारा परिचालित किया गया है $$\lambda(x)$$. यह एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है $$\lambda: \mathbb{R}^{1,3}\rightarrow \mathbb{R}.$$

$$\phi'(x) = e^{ie \lambda(x)}\phi(x)\quad\textrm{and}\quad A_\mu'(x)=A_\mu(x)+\partial_\mu \lambda(x).$$

विभेदक-ज्यामितीय दृश्य
ज्यामितीय दृष्टिकोण से, $$\lambda$$ तुच्छीकरण का एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन है, जो तुच्छीकरण के परिमित परिवर्तन को उत्पन्न करता है $$e^{ie\lambda}:\mathbb{R}^{1,3}\rightarrow \text{U}(1).$$ भौतिक विज्ञान में, यह तुच्छीकरण के एक अंतर्निहित विकल्प के तहत काम करने के लिए प्रथागत है, इसलिए एक गेज परिवर्तन वास्तव में तुच्छीकरण के परिवर्तन के रूप में देखा जा सकता है।

हिग्स मैकेनिज्म
यदि क्षमता ऐसी है कि इसका न्यूनतम गैर-शून्य मान पर होता है $$|\phi|$$, यह मॉडल हिग्स तंत्र प्रदर्शित करता है। यह सबसे कम ऊर्जा विन्यास के बारे में उतार-चढ़ाव का अध्ययन करके देखा जा सकता है: कोई देखता है कि गेज क्षेत्र एक विशाल क्षेत्र के रूप में व्यवहार करता है जिसका द्रव्यमान आनुपातिक होता है $$e$$ के न्यूनतम मूल्य का गुना $$|\phi|$$. जैसा कि 1973 में नीलसन और ओलेसन द्वारा दिखाया गया था, यह मॉडल, में $$2+1$$ आयाम, चुंबकीय प्रवाह ले जाने वाले भंवरों के अनुरूप समय-स्वतंत्र परिमित ऊर्जा विन्यास को स्वीकार करता है। इन भंवरों द्वारा किए गए चुंबकीय प्रवाह की मात्रा निर्धारित की जाती है (इकाइयों में $$\tfrac{2\pi}{e}$$) और टोपोलॉजिकल करंट से जुड़े एक टोपोलॉजिकल चार्ज के रूप में प्रकट होता है

$$J_{top}^\mu =\epsilon^{\mu\nu\rho} F_{\nu\rho}\ .$$ ये भंवर टाइप- II सुपरकंडक्टर्स में दिखने वाले भंवरों के समान हैं। इस समानता का उपयोग नीलसन और ओलेसन ने उनके समाधान प्राप्त करने में किया था।

उदाहरण
हिग्स तंत्र को प्रदर्शित करने की क्षमता का एक सरल विकल्प है


 * $$V(|\phi|^2) = \lambda(|\phi|^2 - \Phi^2)^2.$$

क्षमता कम से कम है $$|\phi| = \Phi$$, जिसे शून्य से अधिक चुना गया है। यह मूल्यों के साथ मिनिमा का एक चक्र बनाता है $$\Phi e^{i\theta}$$, के लिए $$\theta$$ एक वास्तविक संख्या।

स्केलर क्रोमोडायनामिक्स
इस सिद्धांत को एक सिद्धांत से सामान्यीकृत किया जा सकता है $$U(1)$$ स्केलर फ़ील्ड युक्त गेज समरूपता $$\phi$$ में मूल्यवान $$\mathbb{C}$$ एक गेज क्षेत्र के लिए युग्मित $$A_\mu$$ गेज समूह के तहत गेज समरूपता के सिद्धांत के लिए $$G$$, एक झूठ समूह।

अदिश क्षेत्र $$\phi$$ गेज समूह के एक प्रतिनिधित्व स्थान में मूल्यवान है $$G$$, इसे एक सदिश बनाना; अदिश क्षेत्र का लेबल केवल के परिवर्तन को संदर्भित करता है $$\phi$$ लोरेंत्ज़ समूह की कार्रवाई के तहत, इसलिए इसे अभी भी एक अदिश क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। गेज-फ़ील्ड एक है $$\mathfrak{g}$$-मूल्यवान 1-रूप, जहाँ $$\mathfrak{g}$$ G का झूठ बीजगणित है।

संदर्भ



 * Peskin, M and Schroeder, D. ;An Introduction to Quantum Field Theory (Westview Press, 1995) ISBN 0-201-50397-2