साहचर्य बीजगणित

गणित में, एक साहचर्य बीजगणित 'ए' एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें जोड़, गुणन (सहयोगी संपत्ति माना जाता है) के संगत संचालन होते हैं, और कुछ क्षेत्र (गणित)  के  में तत्वों द्वारा एक अदिश गुणन होता है। जोड़ और गुणन संक्रियाएँ मिलकर A को एक वलय (गणित) की संरचना देती हैं; जोड़ और अदिश गुणन संक्रियाएँ मिलकर A को K के ऊपर सदिश स्थान की संरचना प्रदान करती हैं। इस लेख में हम एक क्षेत्र के ऊपर बीजगणित शब्द का भी उपयोग करेंगे। K-बीजगणित का एक मानक पहला उदाहरण सामान्य मैट्रिक्स गुणन के साथ K क्षेत्र पर स्क्वायर मैट्रिक्स का एक छल्ला है।

एक क्रमविनिमेय बीजगणित एक साहचर्य बीजगणित है जिसमें क्रमविनिमेय गुणन होता है, या, समकक्ष रूप से, एक साहचर्य बीजगणित होता है जो क्रमविनिमेय वलय भी होता है।

इस लेख में साहचर्य बीजगणित को एक गुणात्मक पहचान माना जाता है, जिसे 1 दर्शाया गया है; स्पष्टीकरण के लिए उन्हें कभी-कभी एकात्मक साहचर्य बीजगणित कहा जाता है। गणित के कुछ क्षेत्रों में यह धारणा नहीं बनती है, और हम ऐसी संरचनाओं को एकात्मक बीजगणित | गैर-एकात्मक साहचर्य बीजगणित कहेंगे। हम यह भी मानेंगे कि सभी वलय एकात्मक हैं, और सभी वलय समरूपताएँ एकात्मक हैं।

कई लेखक एक क्षेत्र के बजाय एक क्रमविनिमेय अंगूठी आर पर एक साहचर्य बीजगणित की अधिक सामान्य अवधारणा पर विचार करते हैं: एक आर-बीजगणित एक मॉड्यूल (गणित) है।आर'-मॉड्यूल एक के साथ साहचर्य आर- बिलिनियर बाइनरी ऑपरेशन, जिसमें गुणक पहचान भी शामिल है। इस अवधारणा के उदाहरण के लिए, यदि S केंद्र (रिंग थ्योरी) C के साथ कोई वलय है, तो S एक साहचर्य C''-बीजगणित है।

परिभाषा
मान लीजिए कि R एक क्रमविनिमेय वलय है (इसलिए R एक क्षेत्र हो सकता है)। एक 'सहयोगी आर-बीजगणित' (या अधिक सरल रूप से, एक 'आर-बीजगणित') एक अंगूठी (गणित) है वह भी एक मॉड्यूल (गणित) | आर-मॉड्यूल इस तरह से है कि दो जोड़ (रिंग जोड़ और मॉड्यूल जोड़) एक ही ऑपरेशन हैं, और स्केलर गुणन संतुष्ट करता है
 * $$r\cdot(xy) = (r\cdot x)y = x(r\cdot y)$$

बीजगणित में आर और एक्स, वाई में सभी आर के लिए। (इस परिभाषा का तात्पर्य है कि बीजगणित एकात्मक बीजगणित है, क्योंकि अंगूठियों को गुणक पहचान माना जाता है।)

समतुल्य रूप से, एक साहचर्य बीजगणित A, A के R से केंद्र (रिंग सिद्धांत) तक एक वलय समरूपता के साथ एक वलय है। यदि f ऐसा समाकारिता है, तो अदिश गुणन है $$(r,x)\mapsto f(r)x$$ (यहाँ गुणन वलय गुणन है); यदि स्केलर गुणन दिया गया है, तो रिंग समरूपता द्वारा दिया जाता है $$r\mapsto r\cdot 1_A$$ (यह सभी देखें नीचे)।

हर अंगूठी एक सहयोगी है $$\mathbb Z$$-बीजगणित, कहाँ $$\mathbb Z$$ पूर्णांकों के वलय को दर्शाता है।

एcommutative algebraएक साहचर्य बीजगणित है जो एक क्रमविनिमेय वलय भी है।

मॉड्यूल
की श्रेणी में एक मोनोइड वस्तु के रूप में परिभाषा यह कहने के बराबर है कि एक यूनिटल सहयोगी आर-बीजगणित मॉड्यूल की श्रेणी में एक मोनोइड (श्रेणी सिद्धांत) है। 'आर-मॉड' (आर-मॉड्यूल की मोनोइडल श्रेणी)। परिभाषा के अनुसार, एबेलियन समूहों की श्रेणी में एक अंगूठी एक मोनोइड वस्तु है; इस प्रकार, मॉड्यूल की श्रेणी के साथ एबेलियन समूहों की श्रेणी को बदलकर एक सहयोगी बीजगणित की धारणा प्राप्त की जाती है।

इस विचार को आगे बढ़ाते हुए, कुछ लेखकों ने मॉड्यूल की श्रेणी की तरह व्यवहार करने वाली किसी अन्य श्रेणी में एक मोनोइड वस्तु के रूप में एक सामान्यीकृत अंगूठी पेश की है। दरअसल, यह पुनर्व्याख्या एक बीजगणित ए के तत्वों के लिए एक स्पष्ट संदर्भ बनाने से बचने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, सहयोगीता निम्नानुसार व्यक्त की जा सकती है। मॉड्यूल के एक टेन्सर उत्पाद की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा, गुणन (आर-बिलिनियर मानचित्र) एक अद्वितीय आर-रैखिक मानचित्र से मेल खाता है
 * $$m: A \otimes_R A \to A$$.

सहयोगीता तब पहचान को संदर्भित करती है:
 * $$m \circ ({\operatorname{id}} \otimes m) = m \circ (m \otimes \operatorname{id}).$$

वलय समरूपता से
एक साहचर्य बीजगणित एक वलय समरूपता के बराबर है जिसकी छवि एक वलय के केंद्र में स्थित है। दरअसल, रिंग ए और रिंग होमोमोर्फिज्म से शुरू होता है $$\eta\colon R \to A$$ जिसकी छवि A के केंद्र (रिंग थ्योरी) में निहित है, हम परिभाषित करके A को R-बीजगणित बना सकते हैं
 * $$r\cdot x = \eta(r)x$$

सभी r ∈ R और x ∈ A के लिए। यदि A एक R-बीजगणित है, तो x = 1 लेते हुए, वही सूत्र एक वलय समरूपता को परिभाषित करता है $$\eta\colon R \to A$$ जिसकी छवि केंद्र में है।

यदि एक वलय क्रमविनिमेय है तो यह इसके केंद्र के बराबर है, ताकि एक क्रमविनिमेय आर-बीजगणित को एक क्रमविनिमेय वलय A के रूप में एक क्रमविनिमेय वलय समरूपता के साथ परिभाषित किया जा सके। $$\eta\colon R \to A$$.

उपरोक्त में दिखाई देने वाली वलय समरूपता η को अक्सर संरचना मानचित्र कहा जाता है। क्रमविनिमेय मामले में, कोई उस श्रेणी पर विचार कर सकता है जिसकी वस्तुएं रिंग होमोमोर्फिज्म आर → ए हैं; यानी, क्रमविनिमेय आर-बीजगणित और जिनकी आकारिकी वलय समरूपता A → A हैं'जो आर के अधीन हैं; यानी, आर → ए → ए'आर → ए है'(यानी, आर के तहत कम्यूटेटिव रिंग्स की श्रेणी की कोस्लिस श्रेणी।) प्रधान स्पेक्ट्रम फंक्शनल स्पेक तब इस श्रेणी की एंटी-समतुल्यता को स्पेक आर पर एफ़िन योजनाओं की श्रेणी में निर्धारित करता है।

कम्यूटेटिविटी धारणा को कैसे कमजोर किया जाए, यह गैर-अनुमेय बीजगणितीय ज्यामिति का विषय है और हाल ही में व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति का विषय है। यह भी देखें: सामान्य मैट्रिक्स रिंग।

बीजगणित समरूपता
दो आर-बीजगणित के बीच एक समरूपता एक मॉड्यूल समरूपता है। आर-रैखिक अंगूठी समरूपता। स्पष्ट रूप से, $$\varphi : A_1 \to A_2$$ एक साहचर्य बीजगणित समरूपता है यदि
 * $$\begin{align}

\varphi(r \cdot x) &= r \cdot \varphi(x) \\ \varphi(x + y) &= \varphi(x) + \varphi(y) \\ \varphi(xy) &= \varphi(x)\varphi(y) \\ \varphi(1) &= 1 \end{align}$$ सभी आर-अल्जेब्रा का वर्ग उनके बीच बीजगणित समरूपता के साथ मिलकर एक श्रेणी (गणित) बनाता है, जिसे कभी-कभी 'आर-एल्ग' कहा जाता है।

क्रमविनिमेय आर-अल्जेब्रस की उपश्रेणी को कोस्लिस श्रेणी आर/'सीआरिंग' के रूप में चित्रित किया जा सकता है जहां 'सीआरिंग' क्रमविनिमेय रिंगों की श्रेणी है।

उदाहरण
सबसे बुनियादी उदाहरण एक अंगूठी ही है; यह अपने केंद्र (रिंग थ्योरी) या केंद्र में पड़े किसी उपवलय पर एक बीजगणित है। विशेष रूप से, कोई भी क्रमविनिमेय वलय इसके किसी भी उप-वलय पर एक बीजगणित है। अन्य उदाहरण बीजगणित और गणित के अन्य क्षेत्रों दोनों से लाजिमी हैं।

बीजगणित
G(A) \to A \\ 1 + \sum_{i > 0} a_i t^i \mapsto a_1 \end{cases}$$ दूसरी ओर, यदि A एक λ-अंगूठी है, तो एक वलय समरूपता है $$ \begin{cases} A \to G(A) \\ a \mapsto 1 + \sum_{i > 0} \lambda^i(a)t^i \end{cases}$$ दे रही है $$G(A)$$ ए-बीजगणित की संरचना।
 * किसी भी वलय A को 'Z'-बीजगणित माना जा सकता है। 'Z' से A तक अद्वितीय वलय समरूपता इस तथ्य से निर्धारित होती है कि इसे A में पहचान के लिए 1 भेजना चाहिए। इसलिए, वलय और 'Z'-बीजगणित समकक्ष अवधारणाएं हैं, ठीक उसी तरह जैसे कि एबेलियन समूह और 'Z' -मॉड्यूल समकक्ष हैं।
 * विशेषता (बीजगणित) n का कोई भी वलय उसी तरह एक ('Z'/n'Z')-बीजगणित है।
 * एक आर-मॉड्यूल एम दिया गया है, एम की एंडोमोर्फिज्म रिंग, निरूपित एंडR(एम) (r·φ)(x) = r·φ(x) को परिभाषित करके एक आर-बीजगणित है।
 * कम्यूटेटिव रिंग आर में गुणांक के साथ मैट्रिक्स (गणित) की कोई भी अंगूठी मैट्रिक्स जोड़ और गुणा के तहत एक आर-बीजगणित बनाती है। यह पिछले उदाहरण के साथ मेल खाता है जब एम एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न, मुक्त मॉड्यूल आर-मॉड्यूल है।
 * विशेष रूप से, वर्ग n-by-n वर्ग मैट्रिक्स क्षेत्र K से प्रविष्टियों के साथ K पर एक साहचर्य बीजगणित बनाता है।
 * सम्मिश्र संख्याएँ वास्तविक संख्याओं पर द्वि-आयामी क्रमविनिमेय बीजगणित बनाती हैं।
 * चतुष्कोण वास्तविक के ऊपर एक 4-आयामी साहचर्य बीजगणित बनाते हैं (लेकिन जटिल संख्याओं पर बीजगणित नहीं, क्योंकि जटिल संख्या चतुष्कोणों के केंद्र में नहीं हैं)।
 * वास्तविक गुणांक वाले बहुपद वास्तविक पर क्रमविनिमेय बीजगणित बनाते हैं।
 * प्रत्येक बहुपद वलय R [x1, ..., एक्सn] क्रमविनिमेय R-बीजगणित है। वास्तव में, यह सेट {x पर मुक्त क्रमविनिमेय आर-बीजगणित है1, ..., एक्सn}.
 * एक सेट ई पर मुक्त बीजगणित | मुक्त आर-बीजगणित आर में गुणांक वाले बहुपदों का बीजगणित है और सेट ई से लिया गया गैर-कम्यूटिंग अनिश्चित है।
 * आर-मॉड्यूल का टेंसर बीजगणित स्वाभाविक रूप से एक सहयोगी आर-बीजगणित है। बाहरी बीजगणित और सममित बीजगणित जैसे भागफलों के लिए भी यही सच है। स्पष्ट रूप से बोलते हुए, ऑपरेटर जो आर-मॉड्यूल को अपने टेन्सर बीजगणित में मैप करता है, फ़ंक्टर के पास छोड़ दिया जाता है जो आर-बीजगणित को उसके अंतर्निहित आर-मॉड्यूल (गुणात्मक संरचना को भूलकर) भेजता है।
 * निम्नलिखित रिंग का उपयोग λ-रिंग्स के सिद्धांत में किया जाता है। क्रमविनिमेय वलय A दिया है, मान लीजिए $$G(A) = 1 + tA[\![t]\!],$$ निरंतर अवधि 1 के साथ औपचारिक शक्ति श्रृंखला का सेट। यह समूह संचालन वाला एक एबेलियन समूह है जो शक्ति श्रृंखला का गुणन है। यह तब गुणन के साथ एक वलय है, जिसे द्वारा निरूपित किया जाता है $$\circ$$, ऐसा है कि $$(1 + at) \circ (1 + bt) = 1 + abt,$$ इस स्थिति और रिंग स्वयंसिद्धों द्वारा निर्धारित। योगात्मक पहचान 1 है और गुणक पहचान है $$1 + t$$. फिर $$A$$ की एक विहित संरचना है $$G(A)$$-बीजगणित रिंग होमोमोर्फिज्म द्वारा दिया गया $$\begin{cases}

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

 * लाई बीजगणित का सार्वभौमिक आवरण बीजगणित एक साहचर्य बीजगणित है जिसका उपयोग दिए गए लाई बीजगणित का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है।
 * यदि G एक समूह है और R एक क्रमविनिमेय वलय है, तो परिमित समर्थन वाले G से R तक के सभी कार्यों का समुच्चय एक R-बीजगणित बनाता है जिसमें गुणन के रूप में कनवल्शन होता है। इसे जी का समूह वलय कहा जाता है। निर्माण (असतत) समूहों के अध्ययन के लिए आवेदन का प्रारंभिक बिंदु है।
 * यदि G एक बीजगणितीय समूह है (उदाहरण के लिए, अर्ध-सरल जटिल लाई समूह), तो G का निर्देशांक वलय G के अनुरूप हॉफ बीजगणित A है। G की कई संरचनाएँ A की उन संरचनाओं का अनुवाद करती हैं।
 * एक निर्देशित ग्राफ का तरकश बीजगणित (या एक पथ बीजगणित) ग्राफ में पथों द्वारा उत्पन्न क्षेत्र पर मुक्त साहचर्य बीजगणित है।

विश्लेषण

 * किसी भी बनच स्थान एक्स को देखते हुए, निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) रैखिक ऑपरेटर ए: एक्स → एक्स एक सहयोगी बीजगणित बनाते हैं (ऑपरेटरों की संरचना को गुणन के रूप में उपयोग करके); यह एक बनच बीजगणित है।
 * किसी भी टोपोलॉजी एक्स को देखते हुए, एक्स पर निरंतर वास्तविक- या जटिल-मूल्यवान कार्य एक वास्तविक या जटिल साहचर्य बीजगणित बनाते हैं; यहाँ कार्यों को जोड़ा जाता है और बिंदुवार गुणा किया जाता है।
 * फिल्ट्रेशन (गणित) पर परिभाषित s्स का सेट#माप सिद्धांत (Ω, एफ, (एफ)t)t &ge; 0, P) स्टोचैस्टिक कैलकुलस के तहत एक रिंग बनाता है।
 * वीइल बीजगणित
 * एक अज़ुमाया बीजगणित

ज्यामिति और संयोजन

 * क्लिफोर्ड बीजगणित, जो ज्यामिति और भौतिकी में उपयोगी हैं।
 * आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए स्थानीय रूप से परिमित पोसेट के घटना बीजगणित साहचर्य बीजगणित हैं जिन्हें कॉम्बिनेटरिक्स में माना जाता है।
 * विभाजन बीजगणित और इसके उप-लजेब्रा, जिसमें ब्राउर बीजगणित और टेम्परले-लीब बीजगणित शामिल हैं।

निर्माण
भागफल बीजगणित: मान लीजिए A एक R-बीजगणित है। कोई भी रिंग-सैद्धांतिक आदर्श (रिंग थ्योरी) I A में स्वचालित रूप से एक आर-मॉड्यूल है क्योंकि r·x = (r1A)एक्स। यह भागफल वलय A / को एक R-मॉड्यूल की संरचना और वास्तव में, एक R-बीजगणित देता है। यह इस प्रकार है कि A की कोई भी रिंग होमोमोर्फिक छवि भी एक R-बीजगणित है। प्रत्यक्ष उत्पाद: आर-अल्जेब्रस के एक परिवार का प्रत्यक्ष उत्पाद रिंग-सैद्धांतिक प्रत्यक्ष उत्पाद है। यह स्पष्ट अदिश गुणन के साथ एक आर-बीजगणित बन जाता है। नि: शुल्क उत्पाद: समूह के मुक्त उत्पाद के समान तरीके से आर-एलजेब्रा के सहयोगी बीजगणित का एक मुफ्त उत्पाद बना सकते हैं। मुक्त उत्पाद आर-अल्जेब्रा की श्रेणी में सह-उत्पाद है। टेंसर उत्पाद: दो आर-एलजेब्रा का टेंसर उत्पाद भी प्राकृतिक तरीके से एक आर-एलजेब्रा है। अधिक विवरण के लिए बीजगणित का टेन्सर गुणनफल देखें। एक क्रमविनिमेय वलय R और कोई वलय A दिया है, जो वलय R ⊗ का टेंसर उत्पाद हैZr · (s ⊗ a) = (rs ⊗ a) परिभाषित करके A को R-बीजगणित की संरचना दी जा सकती है। फ़ैक्टर जो A को R ⊗ भेजता हैZA को फ़ंक्टर के पास छोड़ दिया जाता है जो R-बीजगणित को उसकी अंतर्निहित रिंग (मॉड्यूल संरचना को भूलकर) भेजता है। यह भी देखें: अंगूठियों का परिवर्तन।
 * Subalgebras: R-बीजगणित A का एक सबलजेब्रा A का एक उपसमुच्चय है जो A का सबरिंग और submodule दोनों है। यानी, इसे जोड़, रिंग गुणन, स्केलर गुणन के तहत बंद किया जाना चाहिए, और इसमें पहचान तत्व होना चाहिए ए का

वियोज्य बीजगणित
मान लीजिए A क्रमविनिमेय वलय R पर एक बीजगणित है। तब बीजगणित A एक अधिकार है मॉड्यूल खत्म $$A^e := A^{op} \otimes_R A$$ कार्रवाई के साथ $$x \cdot (a \otimes b) = axb$$. फिर, परिभाषा के अनुसार, A को वियोज्य बीजगणित कहा जाता है यदि गुणन मानचित्र $$A \otimes_R A \to A, \, x \otimes y \mapsto xy$$ के रूप में विभाजित करता है $$A^e$$-रैखिक नक्शा, कहाँ पे $$A \otimes A$$ है एक $$A^e$$-मॉड्यूल द्वारा $$(x \otimes y) \cdot (a \otimes b) = ax \otimes yb$$. समान रूप से, $$A$$ वियोज्य है अगर यह एक प्रक्षेपी मॉड्यूल खत्म हो गया है $$A^e$$; इस प्रकार $$A^e$$ए का प्रक्षेपी आयाम, जिसे कभी-कभी ए का 'बिडीमेंशन' कहा जाता है, पृथक्करणीयता की विफलता को मापता है।

परिमित-विम बीजगणित
मान लीजिए कि क्षेत्र k पर A परिमित-विमीय बीजगणित है। तब A एक आर्टिनियन रिंग है।

क्रमविनिमेय मामला
जैसा कि ए आर्टिनियन है, अगर यह कम्यूटेटिव है, तो यह आर्टिनियन लोकल रिंग्स का एक परिमित उत्पाद है, जिसके अवशेष क्षेत्र बेस फील्ड k पर बीजगणित हैं। अब, एक छोटा आर्टिनियन स्थानीय वलय एक क्षेत्र है और इस प्रकार निम्नलिखित समतुल्य हैं
 * 1) $$A$$ वियोज्य है।
 * 2) $$A \otimes \overline{k}$$ कम हो गया है, जहां $$\overline{k}$$ k का कुछ बीजगणितीय समापन है।
 * 3) $$A \otimes \overline{k} = \overline{k}^n$$ कुछ एन के लिए
 * 4) $$\dim_k A$$ की संख्या है $$k$$-बीजगणित समरूपता $$A \to \overline{k}$$.

गैर-अनुवर्ती मामला
चूँकि एक साधारण आर्टिनियन वलय एक विभाजन वलय के ऊपर एक (पूर्ण) मैट्रिक्स वलय है, यदि A एक साधारण बीजगणित है, तो A एक (पूर्ण) मैट्रिक्स बीजगणित है जो एक विभाजन बीजगणित D के ऊपर k है; अर्थात।, $$A = M_n(D)$$. अधिक आम तौर पर, यदि ए एक अर्ध-सरल बीजगणित है, तो यह मैट्रिक्स बीजगणित (विभिन्न विभाजन के-बीजगणित पर) का एक परिमित उत्पाद है, इस तथ्य को आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

तथ्य यह है कि ए आर्टिनियन है, जैकबसन रेडिकल की धारणा को सरल करता है; एक आर्टिनियन रिंग के लिए, A का जैकबसन रेडिकल सभी (दो तरफा) अधिकतम आदर्शों का प्रतिच्छेदन है (इसके विपरीत, सामान्य रूप से, एक जैकबसन रेडिकल सभी बाएं अधिकतम आदर्शों का प्रतिच्छेदन है या सभी सही अधिकतम आदर्शों का प्रतिच्छेदन है।)

'वेडरबर्न प्रिंसिपल प्रमेय' कहता है: एक निलपोटेंट आदर्श I के साथ एक परिमित-आयामी बीजगणित A के लिए, यदि प्रक्षेपी आयाम $$A/I$$ एक के रूप में $$(A/I)^e$$-मॉड्यूल अधिक से अधिक एक है, फिर प्राकृतिक अनुमान $$p: A \to A/I$$ विभाजन; अर्थात।, $$A$$ एक सबलजेब्रा शामिल है $$B$$ ऐसा है कि $$p|_B : B \overset{\sim}\to A/I$$ एक समरूपता है। I को जैकबसन रेडिकल के रूप में लेते हुए, प्रमेय विशेष रूप से कहता है कि जैकबसन रेडिकल एक अर्ध-सरल बीजगणित द्वारा पूरक है। प्रमेय ली बीजगणित के लिए लेवी के प्रमेय का एक एनालॉग है।

जाली और आदेश
मान लें कि R अंश K के क्षेत्र के साथ एक नोथेरियन इंटीग्रल डोमेन है (उदाहरण के लिए, वे हो सकते हैं $$\mathbb{Z}, \mathbb{Q}$$). एक परिमित-आयामी K-वेक्टर अंतरिक्ष V में एक जाली (क्रम) L, V का एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न R-सबमॉड्यूल है जो V तक फैला है; दूसरे शब्दों में, $$L \otimes_R K = V$$.

होने देना $$A_K$$ परिमित-विमीय K-बीजगणित हो। एक आदेश (रिंग थ्योरी) में $$A_K$$ एक R-subalgebra है जो एक जाली है। सामान्य तौर पर, लैटिस की तुलना में बहुत कम ऑर्डर होते हैं; जैसे, $${1 \over 2} \mathbb{Z}$$ में जाली है $$\mathbb{Q}$$ लेकिन एक आदेश नहीं (चूंकि यह बीजगणित नहीं है)। एक अधिकतम आदेश एक आदेश है जो सभी आदेशों में अधिकतम है।

कोलजेब्रस
K के ऊपर एक साहचर्य बीजगणित एक K-वेक्टर स्थान A द्वारा दिया गया है जो बिलिनियर मानचित्र A × A → A से संपन्न है जिसमें दो इनपुट (गुणक और गुणक) और एक आउटपुट (उत्पाद) है, साथ ही एक आकारिकी K → A स्केलर की पहचान करता है गुणक पहचान के गुणक। यदि द्विरेखीय मानचित्र A × A → A की एक रेखीय मानचित्र के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है (अर्थात, K-वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में आकृतिवाद) A ⊗ A → A (टेंसर उत्पाद द्वारा # एक सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा विशेषता), तो हम देख सकते हैं K-वेक्टर स्थान A के रूप में K पर एक साहचर्य बीजगणित दो आकारिकी से संपन्न है (एक रूप A ⊗ A → A में से एक और K → A रूप में से एक) बीजगणित के स्वयंसिद्धों को उबालने वाली कुछ स्थितियों को संतुष्ट करता है। बीजगणित के स्वयंसिद्धों का वर्णन करने वाले क्रमविनिमेय आरेखों में सभी तीरों को उल्टा करके श्रेणीबद्ध द्वैत का उपयोग करके इन दो आकारिकी को द्वैत किया जा सकता है; यह कोलजेब्रा की संरचना को परिभाषित करता है।

F-coalgebra|F-coalgebra की एक अमूर्त धारणा भी है, जहाँ F एक फ़ंक्टर है। यह अस्पष्ट रूप से ऊपर चर्चित कोलजेब्रा की धारणा से संबंधित है।

प्रतिनिधित्व
एक बीजगणित ए का एक प्रतिनिधित्व सिद्धांत एक बीजगणित समरूपता ρ है: ए → अंत (वी) ए से कुछ सदिश अंतरिक्ष (या मॉड्यूल) वी के एंडोमोर्फिज्म बीजगणित तक। बीजगणित समरूपता होने के ρ की संपत्ति का अर्थ है कि ρ गुणक संचालन को संरक्षित करता है (अर्थात, ρ(xy) = ρ(x)ρ(y) सभी x और y के लिए A में), और यह कि ρ, A की इकाई को End(V) की इकाई को भेजता है (अर्थात, पहचान एंडोमोर्फिज़्म को वी) का।

यदि A और B दो बीजगणित हैं, और ρ : A → End(V) और τ : B → End(W) दो प्रतिनिधित्व हैं, तो एक (कैनोनिकल) प्रतिनिधित्व A है $$\otimes$$ बी → अंत (वी $$\otimes$$ W) टेन्सर उत्पाद बीजगणित A का $$\otimes$$ सदिश समष्टि V पर B $$\otimes$$ डब्ल्यू। हालांकि, एक सहयोगी बीजगणित के दो प्रतिनिधित्वों के टेंसर उत्पाद को इस तरह से परिभाषित करने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है कि परिणाम अभी भी उसी बीजगणित का प्रतिनिधित्व है (उसके टेंसर उत्पाद के साथ नहीं), किसी भी तरह से लागू किए बिना अतिरिक्त शर्तों। यहां, प्रतिनिधित्व के टेन्सर उत्पाद द्वारा, सामान्य अर्थ का इरादा है: परिणाम उत्पाद वेक्टर स्थान पर समान बीजगणित का एक रैखिक प्रतिनिधित्व होना चाहिए। इस तरह की अतिरिक्त संरचना को लागू करने से आमतौर पर हॉफ बीजगणित या झूठ बीजगणित के विचार की ओर जाता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

हॉफ बीजगणित के लिए प्रेरणा
उदाहरण के लिए, दो अभ्यावेदन पर विचार करें $$\sigma:A\rightarrow \mathrm{End}(V)$$ और $$\tau:A\rightarrow \mathrm{End}(W)$$. कोई टेंसर उत्पाद प्रतिनिधित्व बनाने का प्रयास कर सकता है $$\rho: x \mapsto \sigma(x) \otimes \tau(x)$$ यह उत्पाद सदिश स्थान पर कैसे कार्य करता है, इसके अनुसार


 * $$\rho(x)(v \otimes w) = (\sigma(x)(v)) \otimes (\tau(x)(w)).$$

हालाँकि, ऐसा नक्शा रैखिक नहीं होगा, क्योंकि एक के पास होगा


 * $$\rho(kx) = \sigma(kx) \otimes \tau(kx) = k\sigma(x) \otimes k\tau(x) = k^2 (\sigma(x) \otimes \tau(x)) = k^2 \rho(x)$$

k ∈ K के लिए। बीजगणित समरूपता Δ: A → A ⊗ A को परिभाषित करके, और टेन्सर उत्पाद प्रतिनिधित्व को परिभाषित करके, इस प्रयास को बचाया जा सकता है और अतिरिक्त संरचना को लागू करके रैखिकता को बहाल किया जा सकता है।


 * $$\rho = (\sigma\otimes \tau) \circ \Delta.$$

ऐसी समाकारिता Δ को सहगुणन कहा जाता है यदि यह कुछ अभिगृहीतों को संतुष्ट करती है। परिणामी संरचना को bialgebra कहा जाता है। साहचर्य बीजगणित की परिभाषाओं के अनुरूप होने के लिए, कोलजेब्रा को सह-सहयोगी होना चाहिए, और, यदि बीजगणित एकात्मक है, तो सह-बीजगणित सह-एकात्मक भी होना चाहिए। एक हॉफ बीजगणित संरचना के एक अतिरिक्त टुकड़े (तथाकथित एंटीपोड) के साथ एक द्विबीजगणित है, जो न केवल दो अभ्यावेदन के टेंसर उत्पाद को परिभाषित करने की अनुमति देता है, बल्कि दो अभ्यावेदन के होम मॉड्यूल (फिर से, इसी तरह यह कैसे किया जाता है) समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में)।

झूठ बीजगणित के लिए प्रेरणा
टेंसर उत्पाद को परिभाषित करने में कोई और अधिक चतुर होने का प्रयास कर सकता है। उदाहरण के लिए विचार करें,


 * $$x \mapsto \rho (x) = \sigma(x) \otimes \mbox{Id}_W + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x)$$

ताकि टेंसर उत्पाद स्थान पर कार्रवाई द्वारा दी गई हो


 * $$\rho(x) (v \otimes w) = (\sigma(x) v)\otimes w + v \otimes (\tau(x) w) $$.

यह नक्शा एक्स में स्पष्ट रूप से रैखिक है, और इसलिए इसमें पहले की परिभाषा की समस्या नहीं है। हालाँकि, यह गुणन को संरक्षित करने में विफल रहता है:


 * $$\rho(xy) = \sigma(x) \sigma(y) \otimes \mbox{Id}_W + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x) \tau(y)$$.

लेकिन, सामान्य तौर पर, यह बराबर नहीं होता है


 * $$\rho(x)\rho(y) = \sigma(x) \sigma(y) \otimes \mbox{Id}_W + \sigma(x) \otimes \tau(y) + \sigma(y) \otimes \tau(x) + \mbox{Id}_V \otimes \tau(x) \tau(y)$$.

इससे पता चलता है कि टेंसर उत्पाद की यह परिभाषा बहुत भोली है; स्पष्ट सुधार इसे इस तरह परिभाषित करना है कि यह एंटीसिमेट्रिक है, ताकि बीच की दो शर्तें रद्द हो जाएं। यह झूठ बीजगणित की अवधारणा की ओर जाता है।

गैर-अनौपचारिक बीजगणित
कुछ लेखक साहचर्य बीजगणित शब्द का उपयोग उन संरचनाओं को संदर्भित करने के लिए करते हैं जिनके लिए आवश्यक रूप से गुणात्मक पहचान नहीं होती है, और इसलिए समरूपता पर विचार करते हैं जो अनिवार्य रूप से एकात्मक नहीं हैं।

एक गैर-इकाई साहचर्य बीजगणित का एक उदाहरण सभी कार्यों के सेट f: 'R' → 'R' द्वारा दिया गया है, जिसकी सीमा अनंत के पास x के रूप में शून्य है।

एक और उदाहरण घुमाव के साथ-साथ निरंतर आवधिक कार्यों का वेक्टर स्थान है।

यह भी देखें

 * सार बीजगणित
 * बीजगणितीय संरचना
 * एक क्षेत्र पर बीजगणित
 * बीजगणित का पुलिंदा, चक्राकार स्थान के ऊपर एक प्रकार का बीजगणित

संदर्भ

 * Nathan Jacobson, Structure of Rings
 * James Byrnie Shaw (1907) A Synopsis of Linear Associative Algebra, link from Cornell University Historical Math Monographs.
 * Ross Street (1998) Quantum Groups: an entrée to modern algebra, an overview of index-free notation.
 * Nathan Jacobson, Structure of Rings
 * James Byrnie Shaw (1907) A Synopsis of Linear Associative Algebra, link from Cornell University Historical Math Monographs.
 * Ross Street (1998) Quantum Groups: an entrée to modern algebra, an overview of index-free notation.