दूसरे क्रम का सेलुलर ऑटोमेटन

दूसरे क्रम का सेल्युलर ऑटोमेटन एक प्रकार का प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन (सीए) है जिसका आविष्कार एडवर्ड फ्रेडकिन ने किया था। जहां समय पर एक कोशिका की स्थिति होती है $t$ न केवल समय पर उसके पड़ोस पर निर्भर करता है $t &minus; 1$, लेकिन समय पर इसकी स्थिति पर भी $t &minus; 2$.

सामान्य तकनीक
सामान्य तौर पर, दूसरे क्रम के ऑटोमेटन के विकास नियम को एक फ़ंक्शन के रूप में वर्णित किया जा सकता है $f$ जो ऑटोमेटन की स्थिति पर क्रमपरिवर्तन के लिए सेल के पड़ोस को मैप करता है। प्रत्येक समय चरण में $t$, प्रत्येक कोशिका के लिए $c$ ऑटोमेटन के, यह फ़ंक्शन के पड़ोस पर लागू होता है $c$ क्रमपरिवर्तन देने के लिए $σ_{c}$. फिर, यह क्रमपरिवर्तन $σ_{c}$कोशिका की स्थिति पर लागू किया जाता है $c$ समय पर $t &minus; 1$, और परिणाम समय पर कोशिका की स्थिति है $t + 1$. इस तरह, प्रत्येक समय चरण पर ऑटोमेटन के कॉन्फ़िगरेशन की गणना दो पिछले समय चरणों से की जाती है: तुरंत पिछला चरण उन क्रमपरिवर्तनों को निर्धारित करता है जो कोशिकाओं पर लागू होते हैं, और उससे पहले का समय चरण उन राज्यों को देता है जिन पर ये क्रमपरिवर्तन संचालित होते हैं.

दूसरे क्रम के ऑटोमेटन के उलटे समय की गतिशीलता को उसी पड़ोस के साथ दूसरे दूसरे क्रम के ऑटोमेटन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसमें फ़ंक्शन $g$ पड़ोस को क्रमपरिवर्तन के अनुसार मैप करने से उलटा क्रमपरिवर्तन मिलता है $f$. अर्थात् प्रत्येक संभावित पड़ोस पर $N$, $f(N)$ और $g(N)$ व्युत्क्रम क्रमपरिवर्तन होना चाहिए। इस विपरीत नियम के साथ, ऑटोमेटन फ़ंक्शन द्वारा वर्णित है $g$ समय पर कॉन्फ़िगरेशन की सही गणना करता है $t &minus; 1$ समय पर कॉन्फ़िगरेशन से $t$ और $t + 1$. क्योंकि प्रत्येक दूसरे क्रम के ऑटोमेटन को इस तरह से उलटा किया जा सकता है, इससे यह पता चलता है कि वे सभी प्रतिवर्ती सेलुलर ऑटोमेटन हैं, भले ही उनका कार्य कुछ भी हो f}ऑटोमेटन नियम निर्धारित करने के लिए } को चुना जाता है।

दो-राज्य ऑटोमेटा के लिए
यदि एक सेलुलर ऑटोमेटन में केवल दो राज्य हैं, तो राज्यों के केवल दो संभावित क्रमपरिवर्तन भी हैं: पहचान क्रमपरिवर्तन जो प्रत्येक राज्य को स्वयं में मैप करता है, और क्रमपरिवर्तन जो प्रत्येक राज्य को दूसरे राज्य में मैप करता है। हम इन दो क्रमपरिवर्तनों को ऑटोमेटन की दो अवस्थाओं के साथ पहचान सकते हैं। इस तरह, प्रत्येक दूसरे क्रम का सेलुलर ऑटोमेटन (पड़ोस से क्रमपरिवर्तन तक एक फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित) विशिष्ट रूप से एक सामान्य (प्रथम-क्रम) सेलुलर ऑटोमेटन से मेल खाता है, जो सीधे पड़ोस से राज्यों तक एक फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित होता है। दो-राज्य द्वितीय-क्रम ऑटोमेटा समय उलट के तहत सममित हैं: ऑटोमेटन की समय-उलट गतिशीलता को मूल गतिशीलता के समान नियम के साथ अनुकरण किया जा सकता है।

यदि हम दोनों अवस्थाओं को बूलियन मानों के रूप में देखते हैं, तो साधारण और दूसरे क्रम के ऑटोमेटन के बीच इस पत्राचार को सरलता से वर्णित किया जा सकता है: समय पर दूसरे क्रम के ऑटोमेटन के एक सेल की स्थिति $t + 1$ समय पर उसकी विशिष्ट या अवस्था है $t &minus; 1$ इस शर्त के साथ कि सामान्य सेलुलर ऑटोमेटन नियम इसकी गणना करेगा। वास्तव में, सभी दो-राज्य दूसरे क्रम के नियमों को इस तरह से तैयार किया जा सकता है। हालाँकि, परिणामी दूसरे क्रम का ऑटोमेटन आम तौर पर उस साधारण सीए से बहुत कम समानता रखता है जिससे इसका निर्माण किया गया था। इस तरह से बनाए गए दूसरे क्रम के नियमों को आधार नियम की संख्या या वोल्फ्राम कोड में आर जोड़कर स्टीफन वोल्फ्राम द्वारा नाम दिया गया है।

अनुप्रयोग
बिलियर्ड-बॉल कंप्यूटर का अनुकरण करने के लिए दूसरे क्रम के ऑटोमेटा का उपयोग किया जा सकता है और सांख्यिकीय यांत्रिकी में लौहचुम्बकत्व का आइसिंग मॉडल। इनका उपयोग क्रिप्टोग्राफी के लिए भी किया जा सकता है।