रिडबर्ग स्थिरांक

स्पेक्ट्रोस्कोपी में, Rydberg स्थिरांक, प्रतीक $$R_\infty$$ के लिए भारी परमाणु या $$R_\text{H}$$ हाइड्रोजन के लिए, स्वीडिश भौतिक विज्ञानी जोहान्स रिडबर्ग के नाम पर, एक परमाणु के विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम से संबंधित एक भौतिक स्थिरांक है। हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला के लिए Rydberg सूत्र में एक अनुभवजन्य उपयुक्त पैरामीटर के रूप में पहली बार स्थिरांक उत्पन्न हुआ, लेकिन नील्स बोह्र ने बाद में दिखाया कि इसके मूल्य की गणना उनके बोहर मॉडल के अनुसार अधिक मौलिक स्थिरांक से की जा सकती है।

SI आधार इकाइयों की 2019 पुनर्परिभाषा से पहले, $$R_\infty$$ और इलेक्ट्रॉन स्पिन जी-फैक्टर (भौतिकी) | जी-फैक्टर सबसे सटीक रूप से मापे गए भौतिक स्थिरांक थे। स्थिरांक या तो हाइड्रोजन के लिए व्यक्त किया जाता है $$R_\text{H}$$, या अनंत परमाणु द्रव्यमान की सीमा पर $$R_\infty$$. किसी भी मामले में, स्थिरांक का उपयोग हाइड्रोजन परमाणु से उत्सर्जित होने वाले किसी भी फोटोन के उच्चतम तरंग संख्या (व्युत्क्रम तरंग दैर्ध्य) के सीमित मान को व्यक्त करने के लिए किया जाता है, या, वैकल्पिक रूप से, हाइड्रोजन को आयनित करने में सक्षम निम्नतम-ऊर्जा फोटॉन की लहर संख्या अपनी जमीनी अवस्था से परमाणु। हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला को केवल हाइड्रोजन के रिडबर्ग स्थिरांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$R_\text{H}$$ और रिडबर्ग सूत्र।

परमाणु भौतिकी में, Rydberg ऊर्जा की इकाई, प्रतीक Ry, फोटॉन की ऊर्जा से मेल खाती है जिसका तरंग संख्या Rydberg स्थिरांक है, यानी एक सरल बोह्र मॉडल में हाइड्रोजन परमाणु की आयनीकरण ऊर्जा।

रिडबर्ग स्थिरांक
CODATA मान है


 * $$R_\infty = \frac{m_\text{e} e^4}{8 \varepsilon_{0}^{2} h^3 c}$$

या,


 * $$R_\infty= 109737 \,\text{cm}^{-1}$$

कहाँ
 * $$m_\text{e}$$ इलेक्ट्रॉन का शेष द्रव्यमान है (अर्थात इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान),
 * $$e$$ प्राथमिक शुल्क है,
 * $$\varepsilon_0$$ मुक्त स्थान की पारगम्यता है,
 * $$h$$ प्लैंक स्थिरांक है, और
 * $$c$$ निर्वात में प्रकाश की गति है।

हाइड्रोजन के लिए Rydberg स्थिरांक की गणना इलेक्ट्रॉन के कम द्रव्यमान से की जा सकती है:
 * $$R_\text{H} = R_\infty \frac{ m_\text{p} }{ m_\text{e}+m_\text{p} } \approx 1.09678 \times 10^7 \text{ m}^{-1} ,$$

कहाँ


 * $$m_\text{e}$$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है,
 * $$m_\text{p}$$ नाभिक (एक प्रोटॉन) का द्रव्यमान है।

ऊर्जा की रिडबर्ग इकाई
ऊर्जा की रिडबर्ग इकाई जूल के बराबर है और इलेक्ट्रॉन वोल्ट निम्नलिखित तरीके से:
 * $$1 \ \text{Ry} \equiv h c R_\infty = \frac{m_\text{e} e^4}{8 \varepsilon_{0}^{2} h^2} = \frac{e^2}{8 \pi \varepsilon_{0} a_0} = 2.179\;872\;361\;1035(42) \times 10^{-18}\ \text{J} \ = 13.605\;693\;122\;994(26)\ \text{eV}.$$

रिडबर्ग आवृत्ति

 * $$c R_\infty = 3.289\;841\;960\;2508(64) \times 10^{15}\ \text{Hz} .$$

रिडबर्ग वेवलेंथ

 * $$\frac 1 {R_\infty} = 9.112\;670\;505\;824(17) \times 10^{-8}\ \text{m}$$.

कोणीय तरंग दैर्ध्य है


 * $$\frac 1 {2\pi R_\infty} = 1.450\;326\;555\;7696(28) \times 10^{-8}\ \text{m}$$.

बोह्र मॉडल में घटना
बोह्र मॉडल हाइड्रोजन के परमाणु स्पेक्ट्रम (हाइड्रोजन वर्णक्रमीय श्रृंखला देखें) के साथ-साथ विभिन्न अन्य परमाणुओं और आयनों की व्याख्या करता है। यह पूरी तरह से सटीक नहीं है, लेकिन कई मामलों में उल्लेखनीय रूप से अच्छा सन्निकटन है, और क्वांटम यांत्रिकी के विकास में ऐतिहासिक रूप से महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है। बोह्र मॉडल मानता है कि इलेक्ट्रॉन परमाणु नाभिक के चारों ओर घूमते हैं, ठीक वैसे ही जैसे ग्रह सूर्य के चारों ओर घूमते हैं।

बोह्र मॉडल के सरलतम संस्करण में, इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान की तुलना में परमाणु नाभिक का द्रव्यमान अनंत माना जाता है, ताकि सिस्टम के द्रव्यमान का केंद्र, द्रव्यमान का केंद्र, नाभिक के केंद्र में स्थित हो। यह अनंत द्रव्यमान सन्निकटन वह है जिसके साथ संकेत किया गया है $$\infty$$ सबस्क्रिप्ट। बोह्र मॉडल तब भविष्यवाणी करता है कि हाइड्रोजन परमाणु संक्रमणों की तरंग दैर्ध्य हैं (Rydberg सूत्र देखें):
 * $$\frac{1}{\lambda} = \mathrm{Ry} \cdot {1\over hc} \left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)=\frac{m_\text{e} e^4}{8 \varepsilon_0^2 h^3 c} \left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right) $$

जहां एन1 और n2 कोई भी दो भिन्न धनात्मक पूर्णांक (1, 2, 3, ...), और हैं $$\lambda$$ उत्सर्जित या अवशोषित प्रकाश की तरंग दैर्ध्य (निर्वात में) है।


 * $$\frac{1}{\lambda} = R_M\left(\frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2}\right)$$

कहाँ $$R_M = \frac{R_\infty}{1+\frac{m_{\text{e}}}{M}},$$ और M नाभिक का कुल द्रव्यमान है। यह सूत्र इलेक्ट्रॉन के घटे हुए द्रव्यमान को प्रतिस्थापित करने से आता है।

सटीक माप
Rydberg स्थिरांक सबसे सटीक रूप से निर्धारित भौतिक स्थिरांकों में से एक है, जिसमें 10 में 2 भागों से कम की सापेक्ष मानक अनिश्चितता है 12। यह सटीकता इसे परिभाषित करने वाले अन्य भौतिक स्थिरांकों के मानों को बाधित करती है। चूंकि बोह्र मॉडल पूरी तरह से सटीक नहीं है, ठीक संरचना, हाइपरफाइन विभाजन और ऐसे अन्य प्रभावों के कारण, Rydberg स्थिरांक $$R_{\infty}$$ अकेले हाइड्रोजन की परमाणु वर्णक्रमीय रेखा से बहुत उच्च सटीकता पर सीधे नहीं मापा जा सकता है। इसके बजाय, Rydberg स्थिरांक तीन अलग-अलग परमाणुओं (हाइड्रोजन, ड्यूटेरियम और एंटीप्रोटोनिक हीलियम) में परमाणु संक्रमण आवृत्तियों के मापन से अनुमानित है। क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स के ढांचे में विस्तृत सैद्धांतिक गणनाओं का उपयोग परिमित परमाणु द्रव्यमान, ठीक संरचना, हाइपरफाइन विभाजन, और इसी तरह के प्रभावों के लिए किया जाता है। अंत में, का मूल्य $$R_{\infty}$$ माप के सर्वोत्तम फिट से सिद्धांत तक निर्धारित किया जाता है।

वैकल्पिक भाव
Rydberg स्थिरांक को निम्नलिखित समीकरणों के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।


 * $$R_\infty = \frac{\alpha^2 m_\text{e} c}{4 \pi \hbar} = \frac{\alpha^2}{2 \lambda_{\text{e}}} = \frac{\alpha}{4\pi a_0}$$

और ऊर्जा इकाइयों में
 * $$\text{Ry} = h c R_\infty = \frac{1}{2} m_{\text{e}} c^2 \alpha^2 = \frac{1}{2} \frac{e^4 m_{\text{e}}}{(4 \pi \varepsilon_0)^2 \hbar^2} = \frac{1}{2} \frac{m_{\text{e}} c^2 r_{\text{e}}}{a_0} = \frac{1}{2} \frac{h c \alpha^2}{\lambda_{\text{e}}} = \frac{1}{2} h f_{\text{C}} \alpha^2 = \frac{1}{2} \hbar \omega_{\text{C}} \alpha^2 = \frac{1}{2 m_{\text{e}}}\left(\dfrac{\hbar}{a_0}\right)^2 = \frac{1}{2}\frac{e^2}{(4\pi\varepsilon_0)a_0}.$$

कहाँ
 * $$m_\text{e}$$ इलेक्ट्रॉन बाकी द्रव्यमान है,
 * $$e$$ इलेक्ट्रॉन का विद्युत आवेश है,
 * $$h$$ प्लैंक स्थिरांक है,
 * $$\hbar= h/2\pi$$ घटी हुई प्लैंक स्थिरांक है,
 * $$c$$ निर्वात में प्रकाश की गति है,
 * $$\varepsilon_0$$ मुक्त स्थान का विद्युत क्षेत्र स्थिरांक ( परावैद्युतांक ) है,
 * $$\alpha = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{\hbar c}$$ ठीक-संरचना स्थिर है,
 * $$\lambda_{\text{e}} = h/m_\text{e} c$$ इलेक्ट्रॉन का कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य है,
 * $$f_{\text{C}}=m_{\text{e}} c^2/h$$ इलेक्ट्रॉन की कॉम्पटन आवृत्ति है,
 * $$\omega_{\text{C}}=2\pi f_{\text{C}}$$ इलेक्ट्रॉन की कॉम्पटन कोणीय आवृत्ति है,
 * $$a_0=\frac{4\pi\varepsilon_0\hbar^2}{e^2m_{\text{e}}}$$ बोह्र त्रिज्या है,
 * $$r_\mathrm{e} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{e^2}{m_{\mathrm{e}} c^2} $$ शास्त्रीय इलेक्ट्रॉन त्रिज्या है।

पहले समीकरण में अंतिम अभिव्यक्ति से पता चलता है कि हाइड्रोजन परमाणु को आयनित करने के लिए आवश्यक प्रकाश की तरंग दैर्ध्य परमाणु के बोह्र त्रिज्या का 4π/α गुना है।

दूसरा समीकरण प्रासंगिक है क्योंकि इसका मान हाइड्रोजन परमाणु के परमाणु कक्षकों की ऊर्जा का गुणांक है: $$E_n = -h c R_\infty / n^2 $$.