फॉक समष्टि

फॉक समष्टि एक बीजगणितीय संरचना है जिसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में एक कण हिल्बर्ट समष्टि $H$ से एक चर या अज्ञात संख्या के समान कणों मे क्वांटम यांत्रिकी समष्टि के निर्माण के लिए किया जाता है इसका नाम "वीए फॉक" के नाम पर रखा गया है जिन्होंने पहली बार इसे अपने 1932 के पेपर "विन्यास श्रम जेडव्हाइट क्वांटेलुंग" अर्थात "विन्यास समष्टि और दूसरा परिमाणीकरण" में प्रस्तुत किया था।

अनौपचारिक रूप से, फॉक समष्टि शून्य कण अवस्थाओ जैसे एक कण अवस्था, दो कण अवस्था और इसी प्रकार का प्रतिनिधित्व करने वाले हिल्बर्ट रिक्त समष्टि के समुच्चय का योग है यदि समान कण बोसॉन हैं तो n-कण अवस्थाएँ n एकल कण हिल्बर्ट रिक्त समष्टि H के सममित प्रदिश उत्पाद में सदिश हैं यदि समान कण फर्मिऑन हैं तो n-कण अवस्थाएँ $n$ एकल कण के एक सममित प्रदिश उत्पाद में सदिश हैं n-कण हिल्बर्ट समष्टि $H$ (क्रमशः सममित बीजगणित और बाह्य बीजगणित देखें)। फॉक समष्टि में सामान्य स्थिति n-कण अवस्थाओ का एक रैखिक संयोजन है जो प्रत्येक $n$ के लिए समान है।

तकनीकी रूप से, फॉक समष्टि कण हिल्बर्ट समष्टि के हिल्बर्ट समष्टि प्रदिश उत्पाद में सममित या सममित प्रदिश के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग हिल्बर्ट समष्टि पूर्णता (आव्यूह समष्टि) $H$ है:$$F_\nu(H)=\overline{\bigoplus_{n=0}^{\infty}S_\nu H^{\otimes n}} ~.$$

जहाँ $$S_\nu$$ संक्रियक है जो हिल्बर्ट समष्टि आइंस्टीन आंकड़ों का अनुसरण करने वाले कणों का वर्णन करता है यह इस पर निर्भर करता है कि समरूपता या सममित प्रदिश $$(\nu = +)$$ या फर्मी-डिराक सांख्यिकी आँकड़े $$(\nu = -)$$ और चित्र शीर्षक समष्टि के पूरा होने का प्रतिनिधित्व करता है बोसोनिक (फर्मीओनिक) फॉक समष्टि को वैकल्पिक रूप से (हिल्बर्ट समष्टि पूर्णता) सममित प्रदिश $$F_+(H) = \overline{S^*H}$$ और प्रत्यावर्ती प्रदिश $F_-(H) = \overline{ {\bigwedge}^* H}$ ) के रूप में बनाया जा सकता है प्रत्येक आधार के लिए $H$ फॉक समष्टि का प्राकृतिक आधार है जिसे सामान्यतः फॉक समष्टि कहा जाता है।

परिभाषा
फॉक समष्टि (हिल्बर्ट) एकल-कण हिल्बर्ट समष्टि $$H$$ की प्रतियों के प्रदिश उत्पादों के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है: $$F_\nu(H)=\bigoplus_{n=0}^{\infty}S_\nu H^{\otimes n} = \Complex \oplus H \oplus \left(S_\nu \left(H \otimes H\right)\right) \oplus \left(S_\nu \left( H \otimes H \otimes H\right)\right) \oplus \cdots$$यहाँ $$\Complex$$, सम्मिश्र संख्या अतिरिक्त कणों की अवस्था $$H$$ से मिलकर बनती है जिसको एक कण की अवस्था $$S_\nu (H\otimes H)$$ को दो समान कणों की अवस्था में एक सामान्य स्थिति $$F_\nu(H)$$ द्वारा दिया गया है: $$|\Psi\rangle_\nu= |\Psi_0\rangle_\nu \oplus |\Psi_1\rangle_\nu \oplus |\Psi_2\rangle_\nu \oplus \cdots = a |0\rangle \oplus \sum_i a_i|\psi_i\rangle \oplus \sum_{ij} a_{ij}|\psi_i, \psi_j \rangle_\nu \oplus \cdots $$जहाँ
 * $$|0\rangle$$ लंबाई 1 का सदिश है जिसे निर्वात अवस्था कहा जाता है और $$a \in \Complex$$ समिश्र गुणांक है।
 * $$ |\psi_i\rangle \in H$$ एकल कण हिल्बर्ट समष्टि में एक अवस्था है और $$a_i \in \Complex$$ समिश्र गुणांक है।
 * $ |\psi_i, \psi_j \rangle_\nu = a_{ij} |\psi_i\rangle \otimes|\psi_j\rangle + a_{ji} |\psi_j\rangle\otimes|\psi_i\rangle \in S_\nu(H \otimes H)$ , और $$ a_{ij} = \nu a_{ji} \in \Complex$$ समिश्र गुणांक है।

इस अनंत राशि का अभिसरण महत्वपूर्ण है यदि $$F_\nu(H)$$ एक हिल्बर्ट समष्टि है तकनीकी रूप से हमें $$F_\nu(H)$$ की आवश्यकता होती है बीजगणितीय प्रत्यक्ष योग का हिल्बर्ट समष्टि इसमें सभी अनंत टपल $$|\Psi\rangle_\nu = (|\Psi_0\rangle_\nu, |\Psi_1\rangle_\nu , |\Psi_2\rangle_\nu, \ldots)$$ होते हैं ऐसा इसलिए है कि आंतरिक उत्पाद द्वारा परिभाषित मानदंड (गणित) परिमित है:$$\| |\Psi\rangle_\nu \|_\nu^2 = \sum_{n=0}^\infty \langle \Psi_n |\Psi_n \rangle_\nu < \infty $$जहां $$n$$ कणों को मानदंड द्वारा परिभाषित किया गया है: $$ \langle \Psi_n | \Psi_n \rangle_\nu = \sum_{i_1,\ldots i_n, j_1, \ldots j_n} a_{i_1,\ldots, i_n}^* a_{j_1, \ldots, j_n} \langle \psi_{i_1}| \psi_{j_1} \rangle\cdots \langle \psi_{i_n}| \psi_{j_n} \rangle $$

अर्थात, हिल्बर्ट समष्टि के प्रदिश उत्पाद $$H^{\otimes n}$$ का प्रतिबंध दो सामान्य अवस्थाओ के लिए है: $$|\Psi\rangle_\nu= |\Psi_0\rangle_\nu \oplus |\Psi_1\rangle_\nu \oplus |\Psi_2\rangle_\nu \oplus \cdots = a |0\rangle \oplus \sum_i a_i|\psi_i\rangle \oplus \sum_{ij} a_{ij}|\psi_i, \psi_j \rangle_\nu \oplus \cdots,$$और$$|\Phi\rangle_\nu=|\Phi_0\rangle_\nu \oplus |\Phi_1\rangle_\nu \oplus |\Phi_2\rangle_\nu \oplus \cdots = b |0\rangle \oplus \sum_i b_i |\phi_i\rangle \oplus \sum_{ij} b_{ij}|\phi_i, \phi_j \rangle_\nu \oplus \cdots$$आंतरिक उत्पाद पर $$F_\nu(H)$$ तब परिभाषित किया गया है:$$\langle \Psi |\Phi\rangle_\nu := \sum_n \langle \Psi_n| \Phi_n \rangle_\nu = a^* b + \sum_{ij} a_i^* b_j\langle\psi_i | \phi_j \rangle +\sum_{ijkl}a_{ij}^*b_{kl}\langle \psi_i|\phi_k\rangle\langle\psi_j| \phi_l \rangle_\nu + \cdots $$जहां हम प्रत्येक $$n$$-कण हिल्बर्ट रिक्त समष्टि पर आंतरिक उत्पादों का उपयोग करते हैं ध्यान दें कि, विशेष रूप से $$n$$ कण उप-समष्टि अलग-अलग $$n$$ के लिए लंबकोणीय हैं।

उत्पाद की स्थिति, अप्रभेद्य कण और फॉक समष्टि के लिए उपयोगी आधार
फॉक समष्टि के उत्पाद फॉर्म की एक अवस्था है: $$|\Psi\rangle_\nu=|\phi_1,\phi_2,\cdots,\phi_n\rangle_\nu = |\phi_1\rangle \otimes |\phi_2\rangle \otimes \cdots \otimes |\phi_n\rangle$$जो n कणों के संग्रह का वर्णन करता है जिनमें से एक की क्‍वांटम अवस्था $$\phi_1$$ दूसरी $$\phi_2$$ और इसी प्रकार $$n$$वें कण तक है जहां प्रत्येक $$\phi_i$$ एकल कण हिल्बर्ट समष्टि $$H$$ से की अवस्थाए है। यहां संसर्ग ( ⊗ के साथ-साथ एकल कण केट लिखना) सममितीय प्रदिश बीजगणित में सममित (प्रतिसंबंध सममित) गुणन है फॉक समष्टि में सामान्य स्थिति उत्पाद अवस्थाओ का एक रैखिक संयोजन है एक अवस्था जिसे लिखा नहीं जा सकता उत्पाद अवस्थाओ के उत्तल योग के रूप में समिश्र अवस्था कहलाती है।

जब हम अवस्था $$\phi_i$$ में एक कण की बात करते हैं तो हमें यह ध्यान रखना चाहिए कि क्वांटम यांत्रिकी में समान कण अप्रभेद्य होते हैं एक ही फॉक समष्टि में सभी कण समान होते हैं कणों की कई प्रजातियों का वर्णन करने के लिए, हम कई अलग-अलग फॉक समष्टि के प्रदिश उत्पाद लेते हैं क्योंकि विचाराधीन कणों की प्रजातियां हैं यह इस औपचारिकता की सबसे प्रभावशाली विशेषताओं में से एक है कि अवस्था स्पष्ट रूप से सममित हैं उदाहरण के लिए, यदि उपरोक्त अवस्था $$|\Psi\rangle_-$$ फर्मिओनिक है तो यह 0 होगा यदि $$\phi_i$$ के दो (या अधिक) बराबर हैं क्योंकि सममित (बाहरी) उत्पाद$$|\phi_i \rangle |\phi_i \rangle = 0 $$ यह पाउली बहिष्करण सिद्धांत का एक गणितीय सूत्रीकरण है कि कोई भी दो (या अधिक) फ़र्मियन एक ही क्वांटम अवस्था में नहीं हो सकते है वास्तव में जब भी एक औपचारिक उत्पाद में शब्द रैखिक रूप से निर्भर होते हैं तब उत्पाद सममित प्रदिश के लिए शून्य होगा। इसके अतिरिक्त सामान्य लांबिक विश्लेषण अवस्था के उत्पाद निर्माण द्वारा उपयुक्त रूप से लंबकोणीय है हालांकि फर्मी स्थिति में संभवतः 0 तब होता है जब दो अवस्थाए समान होती हैं।

हिल्बर्ट समष्टि $$H$$ के आधार $$\{|\psi_i\rangle\}_{i = 0,1,2, \dots}$$ को देखते हुए, हम अवस्था को $$n_0$$ अवस्था में कण $$|\psi_0\rangle$$ में कणों से निरूपित कर सकते हैं $$|\psi_1\rangle$$, ...$$n_k$$ अवस्था में कण $$|\psi_k\rangle$$ और $$n_k$$ को परिभाषित करते है यदि शेष अवस्था में कोई कण नहीं है: $$|n_0,n_1,\ldots,n_k\rangle_\nu = |\psi_0\rangle^{n_0}|\psi_1\rangle^{n_1} \cdots |\psi_k\rangle^{n_k},$$जहां प्रत्येक $$n_i$$ फेरमोनिक कणों के लिए मान 0 या 1 और बोसोनिक कणों के लिए 0, 1, 2, ... लेता है ध्यान दें कि पिछली शून्य स्थिति को परिवर्तित किए बिना हटा दिया जा सकता है ऐसी अवस्था को फॉक अवस्था कहते हैं जब $$|\psi_i\rangle$$ एक मुक्त क्षेत्र की स्थिर अवस्थाओं के रूप में समझा जाता है तो फॉक अवस्था निश्चित संख्या में गैर-अंतःक्रियात्मक कणों की एक असेंबली का वर्णन करते हैं। सबसे सामान्य फॉक अवस्था शुद्ध अवस्थाओं का एक रेखीय अध्यारोपण है।महत्वपूर्ण दो संचालक सृजन और विनाश संक्रियक हैं जो फॉक अवस्था पर कार्य करने पर क्रमशः आरोपित क्वांटम अवस्था में एक कण को ​​​​जोड़ते हैं या हटाते हैं उन्हें क्रमशः $$a^{\dagger}(\phi)\,$$ निर्माण के लिए और $$a(\phi)$$ विनाश के लिए चिह्नित किया जाता है एक कण ("योग") बनाने के लिए, क्वांटम अवस्था $$|\phi\rangle$$ सममित या बाहरी $$|\phi\rangle$$ से गुणा किया जाता है और क्रमशः एक कण को ​​नष्ट करने के लिए एक (सम या विषम) आंतरिक उत्पाद $$\langle\phi|$$ को लिया जाता है जो कि $$a^\dagger(\phi)$$ का सम्मुख है $$H$$ के आधार वाले स्थितियों के साथ कार्य करना प्रायः सुविधाजनक होता है ताकि ये संक्रियक दिए गए आधार अवस्था में एक कण को ​​हटा दें या जोड़ दें। ये संक्रियक फॉक समष्टि पर कार्य करने वाले अधिक सामान्य संक्रियकों के लिए जनरेटर के रूप में भी कार्य करते हैं उदाहरण के लिए संक्रियक संख्या $$|\phi_i\rangle$$ एक विशिष्ट अवस्था में कणों की संख्या $$a^{\dagger}(\phi_i)a(\phi_i)$$ देता है।

तरंग फलन व्याख्या
प्रायः कण समष्टि $$H$$ को $$L_2(X, \mu)$$ के रूप में दिया जाता है एक समष्टि X पर वर्ग-अभिन्न कार्य का समष्टि माप $$X$$ के साथ होता है सामान्यतः वर्ग पूर्णांक कार्यों के समतुल्य वर्ग जहां कार्य समान होते हैं यदि वे एक शून्य समुच्चय पर भिन्न होते हैं विशिष्ट उदाहरण $$ H = L_2(\R^3, d^3x)$$ मुक्त कण है त्रि-आयामी समष्टि पर वर्ग पूर्णांक फलन का समष्टि फॉक रिक्त समष्टि के रूप में निम्नानुसार सममित या विरोधी सममित वर्ग पूर्णांक फलन के रूप में प्राकृतिक व्याख्या होती है।

माना कि $$X^0 = \{*\}$$ और $$X^1 = X$$, $$X^2 = X\times X $$, $$X^3 = X \times X \times X$$, बिंदुओं के समूह कि समष्टि पर विचार करें जो कि असम्बद्ध संघ है: $$X^* = X^0 \bigsqcup X^1 \bigsqcup X^2 \bigsqcup X^3 \bigsqcup \cdots .$$इसका एक प्राकृतिक पैमाना $$\mu^*$$है ऐसा कि$$\mu^*(X^0) = 1$$ और $$\mu^*$$ से $$X^n$$ का प्रतिबंध $$\mu^n$$ है। सम फॉक समष्टि $$F_+(L_2(X,\mu))$$ को तब $$L_2(X^*, \mu^*)$$ में सममित फलन समष्टि के साथ पहचाना जा सकता है जबकि विषम फॉक समष्टि $$F_-(L_2(X,\mu))$$ को विरोधी सममित फलन के समष्टि से पहचाना जा सकता है पहचान प्रत्यक्ष सममित मानचित्र से होती है: $$ L_2(X, \mu)^{\otimes n} \to L_2(X^n, \mu^n) $$$$ \psi_1(x)\otimes\cdots\otimes\psi_n(x) \mapsto \psi_1(x_1)\cdots \psi_n(x_n)$$

दिए गए तरंग फलन $$\psi_1 = \psi_1(x), \ldots, \psi_n = \psi_n(x) $$,

$$\Psi(x_1, \ldots x_n) = \frac{1}{\sqrt{n!}} \begin{vmatrix} \psi_1(x_1) & \cdots & \psi_n(x_1) \\ \vdots     & \ddots & \vdots      \\ \psi_1(x_n) & \cdots & \psi_n(x_n) \\ \end{vmatrix} $$ जो $$X^n$$ पर एक सममित फलन है इस प्रकार इसकी स्वाभाविक रूप से फॉक समष्टि के $$n$$-कण के एक तत्व के रूप में व्याख्या को किया जा सकता है सामान्यीकरण इस प्रकार चुना जाता है कि $$\|\Psi\| = 1$$ यदि फलन $$\psi_1, \ldots, \psi_n$$ लंबकोणीय हैं तो एक समान "स्लेटर स्थायी" है जिसमें निर्धारक को स्थायी (गणित) के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है जो एक तत्व देता है।

सेगल-बार्गमैन समष्टि से संबंध
गॉसियन माप के संबंध में समिश्र होलोमॉर्फिक फलन के वर्ग-अभिन्नीकरण के सेगल-बार्गमैन समष्टि $$B_N$$ को परिभाषित करें:$$\mathcal{F}^2\left(\Complex^N\right) = \left\{ f\colon\Complex^N\to\Complex \mid \Vert f\Vert_{\mathcal{F}^2(\Complex^N)} < \infty\right\},$$जहाँ$$\Vert f\Vert_{\mathcal{F}^2(\Complex^N)} := \int_{\Complex^n}\vert f(\mathbf{z})\vert^2 e^{-\pi\vert \mathbf{z}\vert^2}\,d\mathbf{z}.$$

फिर एक समष्टि $$B_\infty$$ को परिभाषित करना रिक्त समष्टि के स्थिर संघ के रूप में $$B_N$$ पूर्णांकों पर $$ N \ge 0 $$, सहगल और बर्गमैन ने दिखाया कि वह $$B_\infty$$ एक बोसोनिक फॉक समष्टि के लिए समरूपी है:$$x_1^{n_1}...x_k^{n_k}$$जो फॉक समष्टि के अनुरूप है:$$|n_0,n_1,\ldots,n_k\rangle_\nu = |\psi_0\rangle^{n_0}|\psi_1\rangle^{n_1} \cdots |\psi_k\rangle^{n_k}.$$

यह भी देखें

 * फॉक समष्टि
 * प्रदिश बीजगणित
 * पूर्णसममितिक फॉक समष्टि
 * निर्माण और विनाश संचालक
 * स्लेटर सारणिक
 * विक प्रमेय
 * गैर अनुमेय ज्यामिति
 * बृहत् विहित समुच्चय, फॉक अवस्था पर ऊष्मीय वितरण

बाहरी संबंध

 * Feynman diagrams and Wick products associated with q-Fock space - noncommutative analysis, Edward G. Effros and Mihai Popa, Department of Mathematics, UCLA
 * R. Geroch, Mathematical Physics, Chicago University Press, Chapter 21.