अलेक्जेंडर टोपोलॉजी

टोपोलॉजी में, एक अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसमें खुले समुच्चय के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) खुला है। यह टोपोलॉजी का एक स्वयंसिद्ध है कि खुले समुच्चयों के किसी भी 'परिमित' परिवार का प्रतिच्छेदन खुला है; अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी में परिमित प्रतिबंध हटा दिया गया है।

अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी के साथ एक समुच्चय को अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान या अंतिम रूप से उत्पन्न स्थान के रूप में जाना जाता है।

अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी विशिष्ट रूप से उनकी विशेषज्ञता की सीमाओं से निर्धारित होती है। दरअसल, समुच्चय (गणित) X पर किसी भी प्रीऑर्डर ≤ को देखते हुए, X पर एक अद्वितीय अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी है, जिसके लिए विशेषज्ञता [[पूर्व आदेश]] ≤ है। खुला समुच्चय ≤ के संबंध में सिर्फ ऊपरी समुच्चय हैं। इस प्रकार, एक्स पर अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी एक्स पर पूर्व-आदेशों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं।

अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान को परिमित रूप से उत्पन्न स्थान भी कहा जाता है क्योंकि उनकी टोपोलॉजी विशिष्ट रूप से सुसंगत टोपोलॉजी है जो सभी परिमित सामयिक स्थान परिवार है। अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान इस प्रकार परिमित स्थलीय रिक्त स्थान के सामान्यीकरण के रूप में देखे जा सकते हैं।

इस तथ्य के कारण कि छवि (गणित) इच्छानुसार संघ (गणित) और चौराहों के साथ यात्रा करती है, एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान होने की संपत्ति भागफल स्थान (टोपोलॉजी) के अनुसार संरक्षित है।

अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान का नाम रूसी टोपोलॉजिस्ट पी एस अलेक्जेंड्रोव अंतरिक्ष नाम पर रखा गया है। उन्हें रूसी गणितज्ञ अलेक्जेंडर डेनिलोविच अलेक्जेंड्रोव द्वाराप्रस्तुतकिए गए अधिक ज्यामितीय एलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजीज के लक्षण
अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी में कई लक्षण हैं। मान लीजिए X =  एक टोपोलॉजिकल स्पेस है। उसके बाद निम्न बराबर हैं:
 * खुला और बंद समुच्चय लक्षण वर्णन:
 * ओपन समुच्चय। 'X में खुले समुच्चयों का एक इच्छानुसार चौराहा खुला है।
 * बंद समुच्चय। 'X में बंद समुच्चयों का इच्छानुसार संघ बंद है।
 * निकट के लक्षण:
 * सबसे छोटा निकट। X के हर बिंदु का एक छोटा निकट (टोपोलॉजी) है।
 * निकट फ़िल्टर। इच्छानुसार चौराहों के अनुसार 'एक्स' में हर बिंदु का निकट फिल्टर बंद है।
 * आंतरिक और बंद बीजगणितीय लक्षण वर्णन:
 * आंतरिक ऑपरेटर। 'X' का आंतरिक संचालिका उपसमुच्चय के इच्छानुसार चौराहों पर वितरित करता है।
 * बंद करने वाला ऑपरेटर। 'एक्स' का क्लोजर ऑपरेटर सबसमुच्चय के इच्छानुसार यूनियनों पर वितरण करता है।
 * अग्रिम आदेश लक्षण वर्णन:
 * स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर। T X के स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर के अनुरूप श्रेष्ठ टोपोलॉजी है अर्थात प्रीऑर्डर देने वाली श्रेष्ठ  टोपोलॉजी ≤ संतोषजनक x ≤ y यदि और केवल यदि x है X में {y} के बंद होने में।
 * ओपन अप-समुच्चय। एक प्रीऑर्डर ≤ ऐसा है कि 'एक्स' के खुले समुच्चय ठीक वही हैं जो ऊपरी समुच्चय हैं अर्थात यदि 'x' समुच्चय में है और x ≤ y तो y  समुच्चय में है। (यह प्रीऑर्डर स्पष्ट रूप से स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर होगा।)
 * बंद-समुच्चय। एक प्रीऑर्डर ≤ ऐसा है कि 'एक्स' के बंद समुच्चय ठीक वही हैं जो नीचे की ओर बंद हैं अर्थात यदि x समुच्चय में है और y ≤ x तो y  समुच्चय में है। (यह प्रीऑर्डर स्पष्ट रूप से स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर होगा।)
 * नीचे बंद। एक बिंदु x X के एक उपसमुच्चय S के बंद होने में निहित है यदि और केवल यदि S में एक बिंदु y है जैसे कि x ' ≤ y जहां ≤ स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर है अर्थात x {y} के क्लोजर में है।
 * परिमित पीढ़ी और श्रेणी सिद्धांत लक्षण वर्णन:
 * परिमित समापन। एक बिंदु x X के उपसमुच्चय S के बंद होने के अंदर स्थित है यदि और केवल यदि S का परिमित उपसमुच्चय F है जैसे कि x  'एफ के बंद होने में निहित है। (यह परिमित उपसमुच्चय सदैव एक सिंगलटन के रूप में चुना जा सकता है।)
 * परिमित उपस्थान। T X के परिमित उपस्थानों के साथ सुसंगत टोपोलॉजी है।
 * परिमित समावेशन मानचित्र। समावेशन मानचित्र एफi : एक्सi → X के परिमित उपस्थानों का X एक अंतिम सिंक बनाता है।
 * परिमित पीढ़ी। X परिमित रूप से उत्पन्न होता है अर्थात यह परिमित स्थानों के अंतिम हल में होता है। (इसका कारण है कि एक अंतिम सिंक एफ हैi : एक्सi → एक्स जहां प्रत्येक एक्सi एक परिमित सामयिक स्थान है।)

उपरोक्त समकक्ष लक्षणों को संतुष्ट करने वाले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को सूक्ष्म रूप से उत्पन्न स्थान या अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान कहा जाता है और उनकी टोपोलॉजी 'टी' को अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी कहा जाता है।

पहले से तय समुच्चय
पर एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी

एक पूर्वनिर्धारित समुच्चय दिया $$ \mathbf{X} = \langle X, \le\rangle$$ हम एक अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी को परिभाषित कर सकते हैं $$\tau$$ ऊपरी समुच्चय होने के लिए खुले समुच्चयों को चुनकर X पर:


 * $$\tau = \{\, G \subseteq X : \forall x,y\in X\ \ (x\in G\ \land\ x\le y)\ \rightarrow\ y \in G\,\}$$

इस प्रकार हम एक सामयिक स्थान प्राप्त करते हैं $$\mathbf{T}(\mathbf{X}) = \langle X, \tau\rangle$$.

संबंधित बंद समुच्चय निम्न समुच्चय हैं:
 * $$\{\, S \subseteq X : \forall x,y\in X\ \ (x\in S\ \land\ y\le x)\ \rightarrow\ y \in S\,\}$$

टोपोलॉजिकल स्पेस
पर स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर

एक टोपोलॉजिकल स्पेस X =  को देखते हुए X पर स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * x ≤ y यदि और केवल यदि x {y} के बंद होने में है।

इस प्रकार हम एक पूर्वनिर्धारित समुच्चय W(X) =  प्राप्त करते हैं।

प्रीऑर्डर्स और अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजीज के बीच समानता
पहले से ऑर्डर किए गए हर समुच्चय के लिए X =  हमारे पास सदैव W(T(X)) = X होता है, अर्थात X का प्रीऑर्डर टोपोलॉजिकल स्पेस T(X) से स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर के रूप में बरामद किया गया है। इसके अतिरिक्त प्रत्येक  अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान   एक्स  के लिए, हमारे पास  टी  ( डब्ल्यू  (  एक्स )) =  एक्स  है, अर्थात एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी X को स्पेशलाइज़ेशन प्रीऑर्डर द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी के रूप में पुनर्प्राप्त किया गया है।

यद्यपि सामान्य रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए हमारे पास T(W(X)) = X नहीं है। किंतु T(W(X)) X की तुलना में महीन टोपोलॉजी वाला समुच्चय X होगा (अर्थात इसमें अधिक खुले समुच्चय होंगे). T(W(X)) की टोपोलॉजी स्पेस के मूल टोपोलॉजी के समान स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर को प्रेरित करती है और वास्तव में 'X' पर श्रेष्ठ टोपोलॉजी है '' उस संपत्ति के साथ।

एकरसता और निरंतरता के बीच समानता
एक मोनोटोन प्रकार्य दिया गया


 * f : 'X'→'Y'

दो पूर्वनिर्धारित समुच्चयों के बीच (अर्थात एक function


 * f : X→Y

अंतर्निहित समुच्चयों के बीच जैसे कि x ≤ y 'X' में f(x) ≤ f(y) 'Y' में), चलो


 * 'T'(f) : 'T'('X')→'T'('Y')

उसी मानचित्र के रूप में हो जिसे f संबंधित अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान के बीच मानचित्र के रूप में माना जाता है। फिर 'टी' (एफ) एक सतत नक्शा (टोपोलॉजी) है।

इसके विपरीत एक सतत नक्शा दिया


 * g: 'X'→'Y'

दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच, चलो


 * 'W'(g) : 'W'('X')→'W'('Y')

वही नक्शा हो जैसा f को संबंधित पूर्वनिर्धारित समुच्चयों के बीच एक मानचित्र के रूप में माना जाता है। फिर 'डब्ल्यू' (जी) एक मोनोटोन फ़ंक्शन है।

इस प्रकार दो पूर्ववर्ती समुच्चयों के बीच एक नक्शा मोनोटोन है यदि और केवल यदि यह संबंधित अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान के बीच एक निरंतर नक्शा है। इसके विपरीत दो अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान के बीच एक नक्शा निरंतर है यदि और केवल यदि यह संबंधित पूर्ववर्ती समुच्चयों  के बीच एक मोनोटोन फ़ंक्शन है।

चूंकि ध्यान दें कि एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी के अतिरिक्त अन्य टोपोलॉजी के स्थितियों में, हमारे पास दो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच एक नक्शा हो सकता है जो निरंतर नहीं है, किंतु फिर भी संबंधित पूर्ववर्ती समुच्चयों के बीच एक मोनोटोन फ़ंक्शन है। (इसे देखने के लिए एक गैर-अलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान 'X' पर विचार करें और पहचान फ़ंक्शन i : 'X'→'T'('W'('X')) पर विचार करें।)

तुल्यता का श्रेणी सैद्धांतिक विवरण
मान लीजिए समुच्चय, समुच्चयों की श्रेणी और मानचित्र (गणित) को निरूपित करता है। टॉप को टोपोलॉजिकल स्पेस और निरंतरता (टोपोलॉजी) की श्रेणी को निरूपित करते हैं; और प्रो को प्रीऑर्डर और मोनोटोन फ़ंक्शंस की श्रेणी को निरूपित करने दें। तब


 * T : प्रो→टॉप और
 * W : टॉप→प्रो

समुच्चय पर मैं ठोस काम कर रहा हूं हैं जो क्रमशः आसन्न फ़ंक्टर हैं।

बता दें कि Alx ने टॉप की पूरी उपश्रेणी को निरूपित किया है जिसमें एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान सम्मिलित हैं। फिर प्रतिबंध


 * T : Pro→Alx and
 * W : Alx→Pro

समुच्चय पर व्युत्क्रम कंक्रीट फ़ैक्टर हैं।

वास्तव में Alx एक कोररिफ्लेक्टिव उपश्रेणी है|बायको-रिफ्लेक्टर T◦W के साथ टॉप की बाइको-रिफ्लेक्टिव उपश्रेणी: Top→Alx। इसका कारण यह है टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी 'एक्स', आइडेंटिटी मैप दिया गया है


 * i : T(W(X))→X

निरंतर है और हर निरंतर मानचित्र के लिए


 * f : Y→X

जहां Y एक एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान है, रचना


 * मैं−1◦f : 'Y'→'T'('W'('X'))

निरंतर है।

मोडल फ्रेम से मोडल बीजगणित के निर्माण से संबंध
पहले से ऑर्डर किए गए समुच्चय X को देखते हुए, T(X) के इंटीरियर ऑपरेटर और क्लोजर ऑपरेटर द्वारा दिए गए हैं:


 * Int(S) = { x ∈ X : सभी के लिए y ∈ X, x ≤ y का अर्थ है y ∈ S}, और
 * Cl(S) = { x ∈ X : एक y ∈ S x ≤ y के साथ उपस्थित है }

सभी S ⊆ X. के लिए

इंटीरियर ऑपरेटर और क्लोजर ऑपरेटर को 'एक्स' के सत्ता स्थापित बूलियन बीजगणित (संरचना) पर मोडल ऑपरेटर मानते हुए, यह निर्माण एक कृपके शब्दार्थ से एक मॉडल बीजगणित के निर्माण का एक विशेष स्थिति है अर्थात एक समुच्चय से एक के साथ एकल बाइनरी संबंध। (बाद का निर्माण स्वयं एक संबंधपरक संरचना से एक जटिल बीजगणित (समुच्चय सिद्धांत) के एक अधिक सामान्य निर्माण का एक विशेष स्थिति है, अर्थात उस पर परिभाषित संबंधों के साथ एक समुच्चय।) मोडल बीजगणित का वर्ग जो हम एक पूर्ववर्ती के स्थितियों में प्राप्त करते हैं। समुच्चय आंतरिक बीजगणित का वर्ग है - टोपोलॉजिकल स्पेस का बीजगणितीय सार।

गुण
एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान का कोई भी उप-स्थान एलेक्जेंड्रोव-असतत है। दो अलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान का उत्पाद अलेक्जेंड्रोव-असतत है। प्रत्येक अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी स्थानीय रूप से इस अर्थ में कॉम्पैक्ट है कि हर बिंदु के पास कॉम्पैक्ट निकट का स्थानीय आधार है, क्योंकि एक बिंदु का सबसे छोटा निकट सदैव कॉम्पैक्ट होता है। दरअसल, यदि $$U$$ एक बिंदु का सबसे छोटा (खुला) निकट है $$x$$, में $$U$$ उप-अंतरिक्ष टोपोलॉजी के साथ स्वयं का कोई भी खुला आवरण $$U$$ का निकट सम्मिलित है $$x$$ सम्मिलित $$U$$. ऐसा निकट आवश्यक रूप से बराबर है $$U$$, तो खुला आवरण स्वीकार करता है $$\{U\}$$ एक परिमित उपकवर के रूप में।

प्रत्येक अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है।

इतिहास
अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान पहली बार 1937 में पीएस अलेक्जेंड्रोव द्वारा असतत स्थानों के नाम सेप्रस्तुतकिए गए थे, जहां उन्होंने समुच्चय और निकट के संदर्भ में लक्षण वर्णन प्रदान किया था। असतत स्थान नाम बाद में टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए उपयोग किया जाने लगा, जिसमें हर सबसमुच्चय खुला है और मूल अवधारणा को टोपोलॉजिकल साहित्य में भुला दिया गया है। दूसरी ओर, एलेक्जेंड्रोव स्पेस ने क्लोजर ऑपरेटर और उनके संबंधों पर ऑयस्टीन अयस्क के अग्रणी अध्ययन में एक प्रासंगिक भूमिका निभाई। जाली सिद्धांत और टोपोलॉजी के साथ। 1980 के दशक में श्रेणीबद्ध टोपोलॉजी की उन्नति के साथ, अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान को फिर से खोजा गया जब सामान्य रूप से उत्पन्न वस्तु की अवधारणा को सामान्य टोपोलॉजी पर प्रयुक्त किया गया था और उनके लिए अंतिम रूप से उत्पन्न स्थान नाम को अपनाया गया था। अलेक्जेंड्रोव रिक्त स्थान भी उसी समय के आसपास कंप्यूटर विज्ञान में सांकेतिक शब्दार्थ और डोमेन सिद्धांत से उत्पन्न टोपोलॉजी के संदर्भ में फिर से खोजे गए थे।

1966 में माइकल सी. मैककॉर्ड और ए.के. स्टीनर प्रत्येक ने स्वतंत्र रूप से आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय और रिक्त स्थान के बीच एक समानता का अवलोकन किया जो वास्तव में कोलमोगोरोव स्थान थे|टी0अलेक्जेंड्रोव द्वाराप्रस्तुतकिए गए रिक्त स्थान के संस्करण। पीटी जॉनस्टोन ने ऐसे टोपोलॉजी को एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी के रूप में संदर्भित किया। एफजी एरेनास ने स्वतंत्र रूप से इन टोपोलॉजी के सामान्य संस्करण के लिए इस नाम का प्रस्ताव रखा। मैककॉर्ड ने यह भी दिखाया कि आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय के आदेश जटिल के लिए ये रिक्त स्थान दुर्बल होमोटॉपी समकक्ष हैं। स्टीनर ने प्रदर्शित किया कि तुल्यता एक सहप्रसरण है और फंक्शनल लैटिस (ऑर्डर) आइसोमोर्फिज्म का विरोधाभास है जो पूर्ण जाली के साथ-साथ पूरकता को संरक्षित करता है।

यह मॉडल तर्क के क्षेत्र में भी एक प्रसिद्ध परिणाम था कि परिमित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान और परिमित समुच्चय (मोडल लॉजिक एस 4 के लिए परिमित मोडल फ्रेम) के बीच समानता उपस्थित है। आंद्रेज ग्रेज़गोर्स्की | ए। Grzegorczyk ने देखा कि यह 'पूरी तरह से वितरण स्थान' और पूर्व-आदेशों के रूप में संदर्भित के बीच एक समानता तक विस्तारित है। सी। नटर्मन ने देखा कि ये स्थान एलेक्जेंड्रोव-असतत स्थान थे और परिणाम को एलेक्जेंड्रोव-असतत रिक्त स्थान की श्रेणी और (खुले) निरंतर मानचित्रों की श्रेणी के बीच एक श्रेणी-सैद्धांतिक तुल्यता तक बढ़ाया, और पूर्व-आदेशों की श्रेणी और (बाध्य) मोनोटोन मानचित्र, पूर्व-आदेश लक्षण वर्णन के साथ-साथ आंतरिक बीजगणित लक्षण वर्णन प्रदान करना। सामान्य टोपोलॉजी के दृष्टिकोण से इन स्थानों की एक व्यवस्थित जांच, जिसे अलेक्जेंड्रोव द्वारा मूल पेपर के बाद से उपेक्षित किया गया था, एफजी एरेनास द्वारा लिया गया था।

यह भी देखें

 * पी-स्पेस | पी-स्पेस, दुर्बल स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक स्थान जो खुले समुच्चयों के गणनीय चौराहे खुले हैं