सात-आयामी क्रॉस उत्पाद

गणित में, सप्त आकारीय क्रॉस उत्पाद सप्त आकारीय यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सदिश (गणित) एक द्विरेखीय संचालक है। यह किन्हीं दो सदिशों a, b को निर्दिष्ट करता है $\mathbb{R}^7$ एक सदिश a × b मे भी $\mathbb{R}^7$. तीन आकारों में क्रॉस उत्पाद की तरह, सप्त आकारीय उत्पाद प्रतिसंक्रामकता  और है a × b ए और बी दोनों के लिए ऑर्थोगोनल है। तीन आकारों के विपरीत, यह जैकोबी पहचान को संतुष्ट नहीं करता है, और जबकि त्रि-आयामी क्रॉस उत्पाद एक संकेत तक अद्वितीय है, कई सप्त आकारीय क्रॉस उत्पाद हैं। सप्त आकारीय क्रॉस उत्पाद का अष्टकोणों से वही संबंध है जो त्रि-आयामी उत्पाद का चतुर्भुजों से है।

सप्त आकारीय क्रॉस उत्पाद तीन आकारों के अलावा क्रॉस उत्पाद को सामान्यीकृत करने का एक तरीका है, और यह दो सदिशों का एकमात्र अन्य द्विरेखीय उत्पाद है जो सदिश-मूल्यवान, ऑर्थोगोनल है, और 3 डी मामले के समान परिमाण है। अन्य आकारों में तीन या अधिक सदिश के सदिश-मूल्य वाले उत्पाद होते हैं जो इन शर्तों को पूरा करते हैं, और bivector  परिणामों के साथ बाइनरी उत्पाद होते हैं।

गुणन सारणी
गुणनफल को गुणन सारणी द्वारा दिया जा सकता है, जैसे कि यहाँ दी गई है। यह तालिका, केली के कारण, ऑर्थोनॉर्मल आधार सदिश ई का उत्पाद देता हैi और ईj 1 से 7 तक प्रत्येक i, j के लिए। उदाहरण के लिए, तालिका से
 * $$\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3 =-\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_1$$

तालिका का उपयोग किन्हीं दो सदिशों के उत्पाद की गणना करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ई की गणना करने के लिए1 x × y का घटक आधार सदिश है जो e उत्पन्न करने के लिए गुणा करता है1 देने के लिए चुना जा सकता है
 * $$\left( \mathbf{ x \times y}\right)_1 = x_2y_3 - x_3y_2 +x_4y_5-x_5y_4 + x_7y_6-x_6y_7.$$

इसे अन्य छह घटकों के लिए दोहराया जा सकता है।

ऐसी 480 तालिकाएँ हैं, परिभाषा को पूरा करने वाले प्रत्येक उत्पाद के लिए एक। इस तालिका को संबंध द्वारा संक्षेपित किया जा सकता है :$$\mathbf{e}_i \mathbf{\times} \mathbf{e}_j = \varepsilon _{ijk} \mathbf{e}_k, $$ कहाँ $$\varepsilon _{ijk}$$ जब ijk = 123, 145, 176, 246, 257, 347, 365 सकारात्मक मान +1 के साथ एक पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक टेंसर है।

इस तालिका का शीर्ष बाएँ 3 × 3 कोना तीन आकारों में क्रॉस उत्पाद देता है।

परिभाषा
यूक्लिडियन स्थान V पर क्रॉस उत्पाद V × V से V तक एक द्विरेखीय मानचित्र है, V में सदिश 'x' और 'y' को दूसरे सदिश 'x' × 'y' में मैप करता है, V में भी, जहां 'x' × ' y' में गुण हैं
 * रूढ़िवादिता:
 * $$\mathbf{x} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \cdot \mathbf{y}=0,$$


 * सामान्य (गणित):
 * $$|\mathbf{x} \times \mathbf{y}|^2 = |\mathbf{x}|^2 |\mathbf{y}|^2 - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y})^2 $$

जहां (x·y) यूक्लिडियन डॉट उत्पाद है और |x| नॉर्म (गणित) है। पहली संपत्ति बताती है कि उत्पाद उसके तर्कों के लंबवत है, जबकि दूसरी संपत्ति उत्पाद का परिमाण बताती है। सदिश के बीच एंगल#डॉट उत्पाद और सामान्यीकरण θ के संदर्भ में एक समतुल्य अभिव्यक्ति है


 * $$|\mathbf{x} \times \mathbf{y}| = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}| \sin \theta, $$

जो x और y के तल में दो सदिशों की भुजा वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है। परिमाण की स्थिति का तीसरा कथन है


 * $$|\mathbf{x} \times \mathbf{y}| = |\mathbf{x}| |\mathbf{y}|~\mbox{if} \  \left( \mathbf{x} \cdot \mathbf{y} \right)= 0,$$

यदि x × x = 0 को एक अलग अभिगृहीत माना जाता है।

परिभाषित गुणों के परिणाम
द्विरेखीयता, रूढ़िवादिता और परिमाण के गुणों को देखते हुए, एक गैर-शून्य क्रॉस उत्पाद केवल तीन और सप्त आकारों में मौजूद होता है।  इसे क्रॉस उत्पाद के लिए आवश्यक गुणों को निर्धारित करके, फिर एक समीकरण निकालकर दिखाया जा सकता है जो केवल तभी संतुष्ट होता है जब आयाम 0, 1, 3 या 7 हो। शून्य आकारों में केवल शून्य सदिश होता है, जबकि एक आयाम में सभी सदिश होते हैं समानांतर हैं, इसलिए इन दोनों मामलों में उत्पाद समान रूप से शून्य होना चाहिए।

0, 1, 3 और 7 आकारों पर प्रतिबंध हर्विट्ज़ के प्रमेय (मानक विभाजन बीजगणित) से संबंधित है|हर्विट्ज़ के प्रमेय, कि मानक विभाजन बीजगणित केवल 1, 2, 4 और 8 आकारों में ही संभव है। क्रॉस उत्पाद मानक विभाजन बीजगणित के उत्पाद से बनता है, इसे बीजगणित के 0, 1, 3, या 7 काल्पनिक आकारों तक सीमित करके, केवल तीन और सप्त आकारों में गैर-शून्य उत्पाद देता है। त्रि-आयामी क्रॉस उत्पाद के विपरीत, जो अद्वितीय है (चिह्न के अलावा), सप्त आकारों में कई संभावित बाइनरी क्रॉस उत्पाद हैं। इसे देखने का एक तरीका यह है कि सदिश x और y के किसी भी जोड़े को ध्यान में रखें $$\isin \mathbb{R}^7$$ और परिमाण का कोई भी सदिश v |v| = |x||y| x और y द्वारा फैलाए गए विमान के लंबवत पांच-आयामी स्थान में पाप θ, गुणन तालिका (और आधार सदिश के एक संबद्ध सेट) के साथ एक क्रॉस उत्पाद ढूंढना संभव है जैसे कि x × y = v तीन आकारों के विपरीत, x × y = a × b का अर्थ यह नहीं है कि a और b, x और y के समान तल में हैं।

आगे के गुण परिभाषा से अनुसरण करते हैं, जिनमें निम्नलिखित पहचान शामिल हैं:

अन्य गुण केवल त्रि-आयामी मामले में अनुसरण करते हैं, और सप्त आकारीय क्रॉस उत्पाद से संतुष्ट नहीं होते हैं, विशेष रूप से, क्योंकि जैकोबी पहचान संतुष्ट नहीं है, सप्तआकारीय क्रॉस उत्पाद आर नहीं देता है7झूठ बीजगणित की संरचना।
 * 1) एंटीकम्यूटेटिविटी:
 * $$ \mathbf{x} \times \mathbf{y} = -\mathbf{y} \times \mathbf{x} $$
 * 1) अदिश त्रिगुण उत्पाद:
 * $$ \mathbf{x} \cdot (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) = \mathbf{y} \cdot (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) = \mathbf{z} \cdot (\mathbf{x} \times \mathbf{y})$$
 * 1) मालसेव बीजगणित: #:$$ (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times (\mathbf{x} \times \mathbf{z}) = ((\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \times \mathbf{z}) \times \mathbf{x} + ((\mathbf{y} \times \mathbf{z}) \times \mathbf{x}) \times \mathbf{x} + ((\mathbf{z} \times \mathbf{x}) \times \mathbf{x}) \times \mathbf{y}$$
 * $$ \mathbf{x} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) = -|\mathbf{x}|^2 \mathbf{y} + (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{x}.$$
 * 1) सदिश ट्रिपल उत्पाद:
 * $$ \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) = (\mathbf{x} \cdot \mathbf{z}) \mathbf{y} - (\mathbf{x} \cdot \mathbf{y}) \mathbf{z} $$
 * 1) जैकोबी पहचान: #:$$ \mathbf{x} \times (\mathbf{y} \times \mathbf{z}) + \mathbf{y} \times (\mathbf{z} \times \mathbf{x}) + \mathbf{z} \times (\mathbf{x} \times \mathbf{y}) \ne 0$$

अभिव्यक्तियों का समन्वय
किसी विशेष क्रॉस उत्पाद को परिभाषित करने के लिए, एक ऑर्थोनॉर्मल आधार {ईj} का चयन किया जा सकता है और एक गुणन तालिका प्रदान की जा सकती है जो सभी उत्पादों को निर्धारित करती है {ईi × औरj}. #गुणा तालिका में एक संभावित गुणन सारणी का वर्णन किया गया है, लेकिन यह अद्वितीय नहीं है। तीन आकारों के विपरीत, कई तालिकाएँ हैं क्योंकि यूनिट सदिश की प्रत्येक जोड़ी पांच अन्य यूनिट सदिश के लंबवत है, जिससे प्रत्येक क्रॉस उत्पाद के लिए कई विकल्प मिलते हैं।

एक बार जब हम एक गुणन तालिका स्थापित कर लेते हैं, तो इसे आधार के संदर्भ में x और y को व्यक्त करके और द्विरेखीयता के माध्यम से x × y का विस्तार करके सामान्य सदिश x और y पर लागू किया जाता है। ई का उपयोग करना1 तब7 आधार सदिश के लिए परिचय में दी गई गुणन सारणी से भिन्न गुणन तालिका दी गई है, जिससे एक भिन्न क्रॉस उत्पाद प्राप्त होता है, जिसे एंटीकम्यूटेटिविटी के साथ दिया गया है।


 * $$\mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_4, \quad \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_1, \quad \mathbf{e}_4 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2,$$
 * $$\mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_5, \quad \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_5 = \mathbf{e}_2, \quad \mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_3,$$
 * $$\mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_6, \quad \mathbf{e}_4 \times \mathbf{e}_6 = \mathbf{e}_3, \quad \mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_4,$$
 * $$\mathbf{e}_4 \times \mathbf{e}_5 = \mathbf{e}_7, \quad \mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_7 = \mathbf{e}_4, \quad \mathbf{e}_7 \times \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_5,$$
 * $$\mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_6 = \mathbf{e}_1, \quad \mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_5, \quad \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_5 = \mathbf{e}_6,$$
 * $$\mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_7 = \mathbf{e}_2, \quad \mathbf{e}_7 \times \mathbf{e}_2 = \mathbf{e}_6, \quad \mathbf{e}_2 \times \mathbf{e}_6 = \mathbf{e}_7,$$
 * $$\mathbf{e}_7 \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_3, \quad \mathbf{e}_1 \times \mathbf{e}_3 = \mathbf{e}_7, \quad \mathbf{e}_3 \times \mathbf{e}_7 = \mathbf{e}_1.$$

इस नियम को अधिक संक्षेप में इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$\mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_{i+1} = \mathbf{e}_{i+3}$$

i = 1...7 मॉड्यूलर अंकगणित 7 और सूचकांकों i, i + 1 और i + 3 के साथ समान रूप से क्रमपरिवर्तन की अनुमति दी गई। एंटीकम्यूटेटिविटी के साथ मिलकर यह उत्पाद उत्पन्न करता है। यह नियम सीधे तालिका में शून्य के विकर्ण के ठीक समीप दो विकर्ण उत्पन्न करता है। इसके अलावा, #परिभाषित_गुणों_के_परिणाम_पर उपधारा में एक पहचान से,
 * $$\mathbf{e}_i \times \left( \mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_{i+1}\right) =-\mathbf{e}_{i+1} = \mathbf{e}_i \times \mathbf{e}_{i+3} \ ,$$

जो आगे की ओर विकर्ण उत्पन्न करता है, इत्यादि।

ईj क्रॉस उत्पाद x × y का घटक ई की सभी घटनाओं का चयन करके दिया गया हैj तालिका में और बाएं कॉलम से x और शीर्ष पंक्ति से y के संबंधित घटकों को एकत्रित करना। परिणाम है:


 * $$\begin{align}\mathbf{x} \times \mathbf{y}

=  (x_2y_4 - x_4y_2 + x_3y_7 - x_7y_3 + x_5y_6 - x_6y_5)\,&\mathbf{e}_1 \\ {}+ (x_3y_5 - x_5y_3 + x_4y_1 - x_1y_4 + x_6y_7 - x_7y_6)\,&\mathbf{e}_2 \\ {}+ (x_4y_6 - x_6y_4 + x_5y_2 - x_2y_5 + x_7y_1 - x_1y_7)\,&\mathbf{e}_3 \\ {}+ (x_5y_7 - x_7y_5 + x_6y_3 - x_3y_6 + x_1y_2 - x_2y_1)\,&\mathbf{e}_4 \\ {}+ (x_6y_1 - x_1y_6 + x_7y_4 - x_4y_7 + x_2y_3 - x_3y_2)\,&\mathbf{e}_5 \\ {}+ (x_7y_2 - x_2y_7 + x_1y_5 - x_5y_1 + x_3y_4 - x_4y_3)\,&\mathbf{e}_6 \\ {}+ (x_1y_3 - x_3y_1 + x_2y_6 - x_6y_2 + x_4y_5 - x_5y_4)\,&\mathbf{e}_7. \end{align}$$ चूँकि क्रॉस उत्पाद द्विरेखीय है इसलिए ऑपरेटर x×– को एक मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है, जो रूप लेता है


 * $$T_{\mathbf x} = \begin{bmatrix}

0  & -x_4 & -x_7 &  x_2 & -x_6 &  x_5 &  x_3 \\ x_4 & 0   & -x_5 & -x_1 &  x_3 & -x_7 &  x_6 \\ x_7 & x_5 & 0    & -x_6 & -x_2 &  x_4 & -x_1 \\ -x_2 & x_1 &  x_6 &  0   & -x_7 & -x_3 &  x_5 \\ x_6 & -x_3 & x_2 &  x_7 &  0   & -x_1 & -x_4 \\ -x_5 & x_7 & -x_4 &  x_3 &  x_1 & 0    & -x_2 \\ -x_3 & -x_6 & x_1 & -x_5 &  x_4 &  x_2 & 0 \end{bmatrix}.$$ इसके बाद क्रॉस उत्पाद दिया जाता है


 * $$\mathbf{x} \times \mathbf{y} = T_{\mathbf{x}} \mathbf{y}.$$

विभिन्न गुणन सारणी
इस आलेख में दो अलग-अलग गुणन तालिकाओं का उपयोग किया गया है, और भी हैं। इन गुणन तालिकाओं को फ़ानो विमान द्वारा चित्रित किया गया है, रेफरी नाम=फौसर>

और इन्हें यहां उपयोग की गई दो तालिकाओं के चित्र में दिखाया गया है: सबसे ऊपर, सबिनिन, सबितनेवा और शेस्ताकोव द्वारा वर्णित तालिका, और सबसे नीचे लूनेस्टो द्वारा वर्णित तालिका। फ़ानो आरेख (आरेख में रेखाओं का सेट) के अंतर्गत संख्याएँ प्रत्येक मामले में सप्त स्वतंत्र उत्पादों के लिए सूचकांकों का एक सेट दर्शाती हैं, जिसे ijk → 'e' के रूप में समझा जाता है।i × औरj = औरk. गुणन तालिका को फ़ानो आरेख से किन्हीं तीन बिंदुओं को जोड़ने वाली सीधी रेखा या केंद्र में वृत्त का अनुसरण करके तीरों द्वारा दिए गए चिह्न के साथ पुनर्प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, गुणन की पहली पंक्ति जिसके परिणामस्वरूप e आता है1 #निर्देशांक में अभिव्यक्ति ई से जुड़े तीन पथों का अनुसरण करके प्राप्त की जाती है1 निचले फ़ैनो आरेख में: वृत्ताकार पथ e2 × और4, विकर्ण पथ ई3 × और7, और किनारे का रास्ता ई6 × और1 = और5 #परिणाम_के_परिभाषित_गुणों का उपयोग करके इस प्रकार पुनर्व्यवस्थित किया गया:


 * $$\mathbf{e}_6 \times \left( \mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_1 \right) = -\mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_6 \times \mathbf{e}_5, $$

या


 * $$ \mathbf{e}_5 \times \mathbf{e}_6 =\mathbf{e}_1, $$

आरेख से सीधे इस नियम के साथ प्राप्त किया जाता है कि एक सीधी रेखा पर कोई भी दो इकाई सदिश उस सीधी रेखा पर तीसरी इकाई सदिश से गुणा करके तीरों के अनुसार संकेतों के साथ जुड़े होते हैं (क्रमपरिवर्तन का संकेत जो इकाई सदिश को आदेश देता है)।

यह देखा जा सकता है कि दोनों गुणन नियम केवल इकाई सदिश का नाम बदलकर और केंद्र इकाई सदिश की भावना को बदलकर एक ही फ़ानो आरेख का पालन करते हैं। आधार के सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों को ध्यान में रखते हुए 480 गुणन सारणी और इस तरह 480 क्रॉस उत्पाद हैं।

ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करना
उत्पाद की गणना ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करके भी की जा सकती है। उत्पाद बाहरी उत्पाद से शुरू होता है, दो सदिशों का एक द्विसदिश मूल्यवान उत्पाद:


 * $$\mathbf{B} = \mathbf{x} \wedge \mathbf{y} = \frac{1}{2}(\mathbf{xy} - \mathbf{yx}).$$

यह द्विरेखीय है, वैकल्पिक है, इसमें वांछित परिमाण है, लेकिन सदिश मान नहीं है। सदिश, और इसलिए क्रॉस उत्पाद, त्रिसदिश के साथ इस बायसदिश के उत्पाद से आता है। स्केल फ़ैक्टर तक तीन आकारों में केवल एक त्रि-सदिश, स्पेस का स्यूडोस्केलर और उपरोक्त बाइसदिश का एक उत्पाद होता है और दो यूनिट त्रि-सदिश में से एक सदिश परिणाम देता है, बाइसदिश का हॉज दोहरे ।

एक समान गणना सप्त आकारों में की जाती है, सिवाय इसके कि त्रि-सदिश एक 35-आयामी स्थान बनाते हैं, ऐसे कई त्रि-सदिश हैं जिनका उपयोग किया जा सकता है, हालांकि कोई भी त्रि-सदिश ऐसा नहीं करेगा। त्रि-सदिश जो उपरोक्त समन्वय परिवर्तन के समान उत्पाद देता है


 * $$\mathbf{v} = \mathbf{e}_{124} + \mathbf{e}_{235} + \mathbf{e}_{346} + \mathbf{e}_{457} + \mathbf{e}_{561} + \mathbf{e}_{672} + \mathbf{e}_{713}.$$

क्रॉस उत्पाद देने के लिए इसे बाहरी उत्पाद के साथ जोड़ा जाता है


 * $$ \mathbf{x} \times \mathbf{y} = -(\mathbf{x} \wedge \mathbf{y}) ~\lrcorner~ \mathbf{v} $$

कहाँ $$ \lrcorner $$ ज्यामितीय बीजगणित#ज्यामितीय बीजगणित से आंतरिक और बाहरी उत्पाद ऑपरेटर का विस्तार है।

अष्टकोणों से संबंध
जिस तरह 3-आयामी क्रॉस उत्पाद को चतुर्भुज के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, उसी तरह 7-आयामी क्रॉस उत्पाद को ऑक्टोनियन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। पहचान करने के बाद $$\mathbb{R}^7$$ काल्पनिक अष्टकोणों के साथ (वास्तविक रेखा का ओर्थोगोनल पूरक)। $$\mathbb{O}$$), क्रॉस उत्पाद ऑक्टोनियन गुणन के संदर्भ में दिया गया है
 * $$\mathbf x \times \mathbf y = \mathrm{Im}(\mathbf{xy}) = \frac{1}{2}(\mathbf{xy}-\mathbf{yx}).$$

इसके विपरीत, मान लीजिए कि वी एक दिए गए क्रॉस उत्पाद के साथ 7-आयामी यूक्लिडियन स्थान है। फिर कोई द्विरेखीय गुणन को परिभाषित कर सकता है $$\mathbb{R} \oplus V$$ निम्नलिखित नुसार:
 * $$(a,\mathbf{x})(b,\mathbf{y}) = (ab - \mathbf{x}\cdot\mathbf{y}, a\mathbf y + b\mathbf x + \mathbf{x}\times\mathbf{y}).$$

अंतरिक्ष $$\mathbb{R} \oplus V$$ इसके साथ ही गुणन अष्टकोणों के समरूपी हो जाता है। क्रॉस उत्पाद केवल तीन और सप्त आकारों में मौजूद होता है क्योंकि कोई हमेशा ऊपर बताए अनुसार एक उच्च आयाम के स्थान पर गुणन को परिभाषित कर सकता है, और इस स्थान को एक मानक विभाजन बीजगणित के रूप में दिखाया जा सकता है। हर्विट्ज़ के प्रमेय (मानक विभाजन बीजगणित) के अनुसार|हर्विट्ज़ के प्रमेय के अनुसार ऐसे बीजगणित केवल एक, दो, चार और आठ आकारों में मौजूद होते हैं, इसलिए क्रॉस उत्पाद शून्य, एक, तीन या सप्त आकारों में होना चाहिए। शून्य और एक आयाम में उत्पाद तुच्छ हैं, इसलिए गैर-तुच्छ क्रॉस उत्पाद केवल तीन और सप्त आकारों में मौजूद हैं। जैकोबी पहचान को संतुष्ट करने में 7-आयाम क्रॉस उत्पाद की विफलता ऑक्टोनियन की गैर-सहयोगिता के कारण है। वास्तव में,
 * $$\mathbf{x}\times(\mathbf{y}\times\mathbf{z}) + \mathbf{y}\times(\mathbf{z}\times\mathbf{x}) + \mathbf{z}\times(\mathbf{x}\times\mathbf{y}) = -\frac{3}{2}[\mathbf x, \mathbf y, \mathbf z]$$

जहां [x, y, z] सहयोगी है।

रोटेशन
तीन आकारों में क्रॉस उत्पाद रोटेशन समूह, SO(3) की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय है, इसलिए घुमाए जाने के बाद x और y का क्रॉस उत्पाद की छवि है x × y रोटेशन के तहत. लेकिन यह अपरिवर्तनीयता सप्त आकारों में सत्य नहीं है; अर्थात्, सप्त आकारों में घूर्णन के समूह, ऑर्थोगोनल समूह|SO(7) के तहत क्रॉस उत्पाद अपरिवर्तनीय नहीं है। इसके बजाय यह असाधारण लाई समूह G2 (गणित)|G के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है2, SO(7) का एक उपसमूह।

सामान्यीकरण
गैर-शून्य बाइनरी क्रॉस उत्पाद केवल तीन और सप्त आकारों में मौजूद हैं। इस प्रतिबंध को हटाने पर आगे के उत्पाद संभव हैं कि यह एक द्विआधारी उत्पाद होना चाहिए। हमें प्रत्येक निविष्ट सदिश के लिए उत्पाद को बहु-रेखीय, वैकल्पिक ऑपरेटर, सदिश-मूल्यवान और ऑर्थोगोनल होना चाहिए।i. ऑर्थोगोनैलिटी आवश्यकता का तात्पर्य है कि n आकारों में, इससे अधिक नहीं n − 1 सदिश का उपयोग किया जा सकता है। उत्पाद का परिमाण किनारों के रूप में सदिश के साथ पैरेललेपिप्ड#पैरेललोटोप के आयतन के बराबर होना चाहिए, जिसकी गणना ग्रामियन मैट्रिक्स#ग्राम निर्धारक का उपयोग करके की जा सकती है। शर्तें हैं

= \det (\mathbf{a}_i \cdot \mathbf{a}_j) = \begin{vmatrix} \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_1 \cdot \mathbf{a}_k\\ \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_2 \cdot \mathbf{a}_k\\ \vdots                         & \vdots                          & \ddots & \vdots                         \\ \mathbf{a}_k \cdot \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_k \cdot \mathbf{a}_2 & \cdots & \mathbf{a}_k \cdot \mathbf{a}_k\\ \end{vmatrix} $$ ग्राम निर्धारक एक के साथ समांतर चतुर्भुज का वर्ग आयतन है1, ..., एk किनारों के रूप में.
 * रूढ़िवादिता: $$\left( \mathbf{a}_1 \times \ \cdots \ \times \mathbf{a}_k\right) \cdot \mathbf{a}_i = 0$$ के लिए $$i = 1,\ \dots\, k$$.
 * ग्राम निर्धारक: $$|\mathbf{a}_1 \times \cdots \times \mathbf{a}_k |^2

इन शर्तों के साथ एक गैर-तुच्छ क्रॉस उत्पाद केवल मौजूद है: आठ आकारों में तीन सदिशों के उत्पाद का एक संस्करण दिया गया है $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} \times \mathbf{c} = (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b} \wedge \mathbf{c}) ~\lrcorner~ (\mathbf{w} - \mathbf{ve}_8)$$ जहां v वही ​​त्रि-सदिश है जिसका उपयोग सप्त आकारों में किया जाता है, $$\lrcorner$$ फिर से बायां संकुचन है, और w = −ve12...7 एक 4-सदिश है.
 * तीन और सप्त आकारों में एक द्विआधारी उत्पाद के रूप में
 * n ≥ 3 आकारों में n - 1 सदिश के उत्पाद के रूप में, सदिश के बाहरी उत्पाद का हॉज डुअल होना
 * आठ आकारों में तीन सदिश के उत्पाद के रूप में

तुच्छ उत्पाद भी हैं. परिभाषित गुणों के #परिणाम के रूप में, एक द्विआधारी उत्पाद केवल 7, 3, 1 और 0 आकारों में मौजूद होता है, अंतिम दो समान रूप से शून्य होते हैं। एक और तुच्छ 'उत्पाद' सम आकारों में उत्पन्न होता है, जो एक एकल सदिश लेता है और एक उपयुक्त बायसदिश के साथ बाएं संकुचन के माध्यम से उसी परिमाण ऑर्थोगोनल का एक सदिश उत्पन्न करता है। दो आकारों में यह एक समकोण से घूमना है।

एक और सामान्यीकरण के रूप में, हम बहुरेखीयता और परिमाण की आवश्यकताओं को ढीला कर सकते हैं, और एक सामान्य निरंतर कार्य पर विचार कर सकते हैं $$V^d \to V$$ (कहाँ $$V$$ है $$\mathbb{R}^n$$ यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद से संपन्न और $$ d \geq 2 $$) जो केवल निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करने के लिए आवश्यक है:


 * 1) क्रॉस उत्पाद हमेशा सभी निविष्ट सदिश के लिए ऑर्थोगोनल होता है।
 * 2) यदि निविष्ट सदिश रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो क्रॉस उत्पाद गैर-शून्य है।

इन आवश्यकताओं के तहत, क्रॉस उत्पाद केवल (I) के लिए मौजूद है $$n = 3, d = 2$$, (द्वितीय) के लिए $$n = 7, d = 3$$, (III) के लिए $$n = 8, d = 3$$, और (IV) किसी के लिए $$ d = n - 1 $$.

यह भी देखें

 * रचना बीजगणित

संदर्भ

 * Also available as ArXiv reprint.
 * Also available as ArXiv reprint.
 * Also available as ArXiv reprint.