इंटीरियर (टोपोलॉजी)

गणित में, विशेष रूप से सामान्य टोपोलॉजी में, एक उपसमुच्चय का आंतरिक भाग $x$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $S$ के सभी उपसमुच्चयों का संघ (सेट सिद्धांत) है $y$ जो खुला सेट  हैं $S$. एक बिंदु जो के आंतरिक भाग में है $S$ का आंतरिक बिंदु है $X$.

का आंतरिक भाग $S$ के पूरक के क्लोजर (टोपोलॉजी) का पूर्ण पूरक है $X$. इस अर्थ में आंतरिक और समापन द्वैत_(गणित) #द्वैत_में_तर्क_और_सेट_सिद्धांत धारणाएं हैं।

एक सेट का बाहरी भाग $S$ के बंद होने का पूरक है $S$; इसमें ऐसे बिंदु होते हैं जो न तो सेट में होते हैं और न ही इसकी सीमा (टोपोलॉजी) में। एक सबसेट का आंतरिक, सीमा और बाहरी एक साथ एक सेट का विभाजन पूरे स्थान को तीन ब्लॉकों में विभाजित करता है (या कम जब इनमें से एक या अधिक खाली सेट होता है)।

आंतरिक बिंदु
अगर $$S$$ एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक उपसमुच्चय है, तब $$x$$ का आंतरिक बिंदु है $$S$$ अगर वहाँ पर केंद्रित एक खुली गेंद मौजूद है $$x$$ जो पूरी तरह से निहित है $$S.$$ (यह इस लेख के परिचयात्मक खंड में सचित्र है।)

यह परिभाषा किसी भी उपसमुच्चय के लिए सामान्यीकरण करती है $$S$$ एक मीट्रिक स्थान का $$X$$ मीट्रिक के साथ $$d$$: $$x$$ का आंतरिक बिंदु है $$S$$ यदि कोई वास्तविक संख्या मौजूद है $$r > 0,$$ ऐसा है कि $$y$$ में है $$S$$ जब भी दूरी $$d(x, y) < r.$$ यह परिभाषा ओपन बॉल को ओपन सेट से बदलकर टोपोलॉजिकल स्पेस का सामान्यीकरण करती है। अगर $$S$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का सबसेट है $$X$$ तब $$x$$ एक का $$S$$ में $$X$$ अगर $$x$$ के एक खुले उपसमुच्चय में निहित है $$X$$ जो पूरी तरह से निहित है $$S.$$ (समान रूप से, $$x$$ का आंतरिक बिंदु है $$S$$ अगर $$S$$ का एक पड़ोस (गणित) है $$x.$$)

एक सेट का इंटीरियर
एक उपसमुच्चय का आंतरिक भाग $$S$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $$X,$$ द्वारा चिह्नित $$\operatorname{int}_X S$$ या $$\operatorname{int} S$$ या $$S^\circ,$$ निम्नलिखित समकक्ष तरीकों में से किसी में परिभाषित किया जा सकता है: यदि अंतरिक्ष $$X$$ संदर्भ से समझा जाता है तो छोटे अंकन $$\operatorname{int} S$$ आमतौर पर पसंद किया जाता है $$\operatorname{int}_X S.$$
 * 1) $$\operatorname{int} S$$ का सबसे बड़ा खुला उपसमुच्चय है $$X$$ में निहित $$S.$$
 * 2) $$\operatorname{int} S$$ के सभी खुले सेटों का मिलन है $$X$$ में निहित $$S.$$
 * 3) $$\operatorname{int} S$$ के सभी आंतरिक बिंदुओं का समुच्चय है $$S.$$

उदाहरण
*किसी भी स्थान में, रिक्त समुच्चय का अभ्यंतर रिक्त समुच्चय होता है।
 * किसी भी स्थान पर $$X,$$ अगर $$S \subseteq X,$$ तब $$\operatorname{int} S \subseteq S.$$
 * अगर $$X$$ वास्तविक रेखा है $$\Reals$$ (मानक टोपोलॉजी के साथ), तब $$\operatorname{int} ([0, 1]) = (0, 1)$$ जबकि सेट का इंटीरियर $$\Q$$ परिमेय संख्याओं का खाली है: $$\operatorname{int} \Q = \varnothing$$ *अगर $$X$$ सम्मिश्र संख्या है $$\Complex,$$ तब $$\operatorname{int} (\{z \in \Complex : |z| \leq 1\}) = \{z \in \Complex : |z| < 1\}.$$
 * किसी भी यूक्लिडियन स्थान में, किसी परिमित समुच्चय का अभ्यंतर रिक्त समुच्चय होता है।

वास्तविक संख्याओं के सेट पर, मानक एक के बजाय अन्य टोपोलॉजी रख सकते हैं:


 * अगर $$X$$ वास्तविक संख्या है $$\Reals$$ निचली सीमा टोपोलॉजी के साथ, फिर $$\operatorname{int} ([0, 1]) = [0, 1).$$
 * यदि कोई विचार करे $$\Reals$$ टोपोलॉजी जिसमें असतत टोपोलॉजी, फिर $$\operatorname{int} ([0, 1]) = [0, 1].$$
 * यदि कोई विचार करे $$\Reals$$ वह टोपोलॉजी जिसमें केवल खुले सेट ही खाली सेट होते हैं और $$\Reals$$ खुद, फिर $$\operatorname{int} ([0, 1])$$ खाली सेट है।

इन उदाहरणों से पता चलता है कि एक सेट का इंटीरियर अंतर्निहित स्थान की टोपोलॉजी पर निर्भर करता है। पिछले दो उदाहरण निम्नलिखित के विशेष मामले हैं।


 * किसी भी असतत स्थान में, चूंकि हर सेट खुला है, हर सेट अपने इंटीरियर के बराबर है।
 * किसी भी अविच्छिन्न स्थान में $$X,$$ चूँकि केवल खुले समुच्चय ही रिक्त समुच्चय होते हैं और $$X$$ अपने आप, $$\operatorname{int} X = X$$ और हर उपसमुच्चय के लिए $$S$$ का $$X,$$ $$\operatorname{int} S$$ खाली सेट है।

गुण
होने देना $$X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें और दें $$S$$ और $$T$$ का उपसमुच्चय हो $$X.$$ अन्य गुणों में शामिल हैं:
 * $$\operatorname{int} S$$ में खुला है $$X.$$
 * अगर $$T$$ में खुला है $$X$$ तब $$T \subseteq S$$ अगर और केवल अगर $$T \subseteq \operatorname{int} S.$$
 * $$\operatorname{int} S$$ का खुला उपसमुच्चय है $$S$$ कब $$S$$ सबस्पेस टोपोलॉजी दी गई है।
 * $$S$$ का खुला उपसमुच्चय है $$X$$ अगर और केवल अगर $$\operatorname{int} S = S.$$
 * : $$\operatorname{int} S \subseteq S.$$
 * उदास |: $$\operatorname{int} (\operatorname{int} S) = \operatorname{int} S.$$
 * /: $$\operatorname{int} (S \cap T) = (\operatorname{int} S) \cap (\operatorname{int} T).$$
 * हालांकि, इंटीरियर ऑपरेटर केवल यूनियनों पर वितरित नहीं करता है $$\operatorname{int} (S \cup T) ~\supseteq~ (\operatorname{int} S) \cup (\operatorname{int} T)$$ सामान्य रूप से गारंटी है और समानता कायम नहीं रह सकती है। उदाहरण के लिए, यदि $$X = \Reals, S = (-\infty, 0],$$ और $$T = (0, \infty)$$ तब $$(\operatorname{int} S) \cup (\operatorname{int} T) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty) = \Reals \setminus \{0\}$$ का उचित उपसमुच्चय है $$\operatorname{int} (S \cup T) = \operatorname{int} \Reals = \Reals.$$
 * /: अगर $$S \subseteq T$$ तब $$\operatorname{int} S \subseteq \operatorname{int} T.$$

बंद होने से संबंध
 * अगर $$S$$ में बंद है $$X$$ और $$\operatorname{int} T = \varnothing$$ तब $$\operatorname{int} (S \cup T) = \operatorname{int} S.$$

उपरोक्त कथन सही रहेंगे यदि प्रतीकों/शब्दों के सभी उदाहरण
 * इंटीरियर, इंट, ओपन, सबसेट और सबसे बड़ा

द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है
 * क्लोजर (टोपोलॉजी), सीएल, क्लोज्ड, सुपरसेट और सबसे छोटा

और निम्नलिखित प्रतीकों की अदला-बदली की जाती है:
 * 1) $$\subseteq$$के साथ अदला-बदली$$\supseteq$$#$$\cup$$के साथ अदला-बदली$$\cap$$इस मामले पर अधिक जानकारी के लिए, नीचे इंटीरियर (टोपोलॉजी)#इंटीरियर ऑपरेटर देखें या लेख कुराटोव्स्की क्लोजर एक्सिओम्स देखें।

आंतरिक ऑपरेटर
आंतरिक संचालक $$\operatorname{int}_X$$ क्लोजर (टोपोलॉजी) ऑपरेटर के लिए दोहरी है, जिसे द्वारा निरूपित किया जाता है $$\operatorname{cl}_X$$ या एक ओवरलाइन द्वारा —, इस अर्थ में कि $$\operatorname{int}_X S = X \setminus \overline{(X \setminus S)}$$ और भी $$\overline{S} = X \setminus \operatorname{int}_X (X \setminus S),$$ कहाँ $$X$$ टोपोलॉजिकल स्पेस युक्त है $$S,$$ और बैकस्लैश $$\,\setminus\,$$ पूरक (सेट सिद्धांत) | सेट-सैद्धांतिक अंतर को दर्शाता है। इसलिए, क्लोजर ऑपरेटरों के सार सिद्धांत और कुराटोस्की क्लोजर स्वयंसिद्धों को सेट को उनके पूरक के साथ बदलकर आंतरिक ऑपरेटरों की भाषा में आसानी से अनुवादित किया जा सकता है। $$X.$$ सामान्य तौर पर, इंटीरियर ऑपरेटर यूनियनों के साथ काम नहीं करता है। हालाँकि, एक पूर्ण मीट्रिक स्थान में निम्नलिखित परिणाम धारण करता है:

$S$

उपरोक्त परिणाम का तात्पर्य है कि प्रत्येक पूर्ण मीट्रिक स्थान एक बायर स्थान है।

एक सेट का बाहरी भाग
एक उपसमुच्चय का बाहरी भाग $$S$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $$X,$$ द्वारा चिह्नित $$\operatorname{ext}_X S$$ या केवल $$\operatorname{ext} S,$$ से सबसे बड़ा खुला सेट असंयुक्त (सेट) है $$S,$$ अर्थात्, यह सभी खुले सेटों का मिलन है $$X$$ जो से जुदा हैं $$S.$$ बाहरी पूरक का आंतरिक भाग है, जो समापन के पूरक के समान है; सूत्रों में, $$\operatorname{ext} S = \operatorname{int}(X \setminus S) = X \setminus \overline{S}.$$ इसी प्रकार, इंटीरियर पूरक का बाहरी हिस्सा है: $$\operatorname{int} S = \operatorname{ext}(X \setminus S).$$ एक सेट का आंतरिक, सीमा (टोपोलॉजी), और बाहरी $$S$$ एक साथ पूरे स्थान को तीन ब्लॉकों में सेट करें (या इनमें से एक या अधिक खाली होने पर कम): $$X = \operatorname{int} S \cup \partial S \cup \operatorname{ext} S,$$ कहाँ $$\partial S$$ की सीमा को दर्शाता है $$S.$$ आंतरिक और बाहरी हमेशा खुले सेट होते हैं, जबकि सीमा बंद सेट होती है।

बाहरी ऑपरेटर के कुछ गुण इंटीरियर ऑपरेटर के गुणों के विपरीत हैं:
 * बाहरी ऑपरेटर समावेशन को उलट देता है; अगर $$S \subseteq T,$$ तब $$\operatorname{ext} T \subseteq \operatorname{ext} S.$$
 * बाहरी ऑपरेटर बेवकूफ नहीं है। उसके पास वह गुण है $$\operatorname{int} S \subseteq \operatorname{ext}\left(\operatorname{ext} S\right).$$

आंतरिक-विच्छेद आकार
दो आकार $$a$$ और $$b$$ आंतरिक-विच्छेद कहलाते हैं यदि उनके आंतरिक भाग का प्रतिच्छेदन खाली है। आंतरिक-असंबद्ध आकृतियाँ अपनी सीमा में प्रतिच्छेद कर सकती हैं या नहीं भी कर सकती हैं।