पूर्णता (आदेश सिद्धांत)

अनुक्रम सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, संपूर्ण गुण किसी दिए गए समूह के कुछ निश्चित या संपूर्ण के अस्तित्व पर जोर देते है। सबसे परिचित उदाहरण वास्तविक संख्याओं की संपूर्णता होती है। इस सिद्धांत का एक विशेष उपयोग संपूर्ण आंशिक अनुक्रम को संदर्भित करता है। चूँकि, संपूर्ण संख्याओ की कई अन्य रोचक धारणाएँ उपस्थित होती है।

संपूर्ण गुणों पर विचार करने की प्रेरणा संपूर्णता और सबसे कम आंशिक अनुक्रमों के सिद्धांत के लिए होती है। संपूर्ण संखयाए प्राप्त करने का अर्थ ऊपरी सीमाओं के समूह (गणित) से एक विशिष्ट न्यूनतम तत्व को अलग करना होता है। एक ओर, ये विशेष तत्व अधिकांशतः कुछ गुणों को अपनाते है जो दिए गए अनुप्रयोग के लिए रोचक होते है। दूसरी ओर, आंशिक रूप से अनुक्रमित किए गए समूह पर कुल संचालन के रूप में इन तत्वों की गणना पर विचार करने में सक्षम बनाता है। इस कारण से, कुछ संपूर्ण गुणों वाले समूह को अधिकांशतः एक निश्चित प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के रूप में वर्णित किया जा सकता है।ka

संपूर्ण गुणों के प्रकार
सभी संपूर्ण गुणों को एक समान योजना के अनुसार वर्णित किया जाता है, एक आंशिक रूप से अनुक्रमित समूह के उपसमुच्चय के एक निश्चित वर्ग (समूह सिद्धांत) का वर्णन करता है जिनके लिए एक उच्च होना आवश्यक होता है। जो दिए गए कथन में क्रम-निर्भर परिभाषाओं को उलट कर प्राप्त किया जाता है। कुछ धारणाएँ सामान्यतः स्व-दोहरी हो सकती है।

सबसे छोटा और सबसे बड़ा तत्व
परिभाषा के अनुसार, यह सभी तत्वों में सबसे छोटा तत्व होता है जो रिक्त समूह के प्रत्येक सदस्य से बड़ा होता है। लेकिन यह पूरे पोसमूह का सबसे छोटा तत्व होता है, क्योंकि पोसमूह पी के रिक्त उपसमुच्चय को परंपरागत रूप से ऊपर और नीचे दोनों से घिरा हुआ माना जाता है, पी के प्रत्येक तत्व ऊपरी और निचले दोनों तरफ से घिरा हुआ होता है। रिक्त उपसमुच्चय का सबसे छोटा तत्व शून्य (0) होता है।

शीर्ष वाले पोसमूह्स को यूनिटल या टॉपेड कहा जाता है। वह क्रम जिसमें न्यूनतम और अधिकतम दोनों तत्व होते है, वह परिबद्ध होते है। चूँकि, इसे नीचे दी गई सीमित संपूर्ण की धारणा के साथ भ्रमित नहीं किया जाता है।

परिमित संपूर्ण
इसके अतिरिक्त सभी गैर-रिक्त परिमित समूहों पर विचार करने से सरल संपूर्ण की स्थितियाँ उत्पन्न होती है। वह क्रम जिसमें सभी गैर-रिक्त परिमित समूहों में एक संपूर्ण और एक अनंत दोनों होते है, वह एक अनुक्रम समूह कहलाता है। सभी गैर-रिक्त परिमित तत्वों को प्राप्त करने के लिए दो तत्वों का उपस्थित होना आवश्यक होता है, यह एक सीधा गणितीय प्रेरण तर्क दर्शाता है, प्रत्येक परिमित द्विआधारी की सीमित संख्या में विघटित किया जा सकता है। इस प्रकार केंद्रीय संक्रियाएँ द्विआधारी संपूर्ण होते है $$\vee$$ और इन्फिमा  इस संदर्भ में होते है $$\wedge$$ और सम्मलित होते है $$\vee$$ सबसे आम होते है।

एक पोसमूह में केवल गैर-रिक्त परिमित संख्या का अस्तित्व ज्ञात होता है, उसे अर्ध-लेटेक्स कहा जाता है।

संपूर्ण स्थितियाँ
संपूर्ण स्थितियों का सबसे मजबूत रूप सभी संख्याओं का अस्तित्व होता है। चूँकि, दिए गए अनुक्रम का उपयोग करके, (संभवतः अनंत) उपसमुच्चय के आगे के वर्गों तक सीमित कर सकता है।

यदि किसी पोसमूह के सभी निर्देशित समूह संपूर्ण होते है, तो अनुक्रम एक निर्देशित पूर्ण आंशिक अनुक्रम (डीसीपीओ) होते है। ये डोमेन सिद्धांत में विशेष रूप से महत्वपूर्ण होते है। डीसीपीओ के लिए संभवतः ही कभी मानी जाने वाली दोहरी धारणा संपूर्ण पोसमूह होती है। कम से कम तत्व वाले डीसीपीएस वाक्यांश संपूर्ण आंशिक क्रम (सीपीओ) के संभावित अर्थों में से एक होते है।

यदि प्रत्येक उपसमुच्चय जिसमें कुछ ऊपरी सीमा होती है, तो संबंधित स्थिति को परिबद्ध संपूर्ण कहा जाता है। इस परिभाषा के साथ इस शब्द का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है जो उच्च संख्याओं पर केंद्रित होते है और दोहरी धारणाओं के लिए कोई सामान्य नाम नहीं होते है। चूँकि, संपूर्ण स्थितियों के उन संदर्भ को व्यक्त किया जा सकता है जिन्हें आसानी से दोहरीकृत किया जा सकता है। यद्यपि पूर्ण और परिबद्ध नामों वाली अवधारणाओं को पहले से ही परिभाषित किया गया होता है, इसलिए भ्रम उत्पन्न होने की संभावना नहीं होती है क्योंकि कोई संभवतः ही कभी एक परिबद्ध पूर्ण स्थिति के बारे में बात करता है जब इसका अर्थ एक परिबद्ध सीपीओ (जो कि सबसे बड़े तत्व के साथ एक सीपीओ है) होता है। इसी प्रकार, परिबद्ध पूर्ण समूह लगभग असंदिग्ध होता है, क्योंकि कोई भी संपूर्ण समूह के लिए परिबद्धता गुण नहीं बता सकता है। यह भी ध्यान दें कि रिक्त समूह में सामान्यतः ऊपरी सीमा होती है और इस प्रकार एक सीमित संपूर्ण पोसमूह में कम से कम तत्व होते है।

संपूर्ण समूह किसी पोसमूह के उपसमुच्चय पर विचार कर सकता है जो कुल अनुक्रम होता है। यदि सभी श्रृंखलाओं में संपूर्णता होती है, तो इस क्रम को श्रृंखला पूर्ण क्रम कहा जाता है। इस अवधारणा की दोहरे रूप में संभवतः ही कभी आवश्यकता होती है।

संपूर्ण गुणों के बीच संबंध
यह पहले से ही देखा गया था कि द्विआधारी से सभी गैर-रिक्त परिमित मिलते है। इसी प्रकार, उपरोक्त स्थितियों के कई अन्य (संयोजन) समतुल्य होते है।


 * सबसे प्रसिद्ध उदाहरण सभी उच्च संख्याओं का अस्तित्व होता है, जो वास्तव में सभी इन्फ़िमाओं के अस्तित्व के बराबर होता है। वास्तव में, किसी स्थिति के किसी उपसमुच्चय X के लिए, इसकी निचली सीमा B के समुच्चय पर विचार किया जा सकता है। एक्स के सभी तत्व, बी में होते है। यह बी का सबसे बड़ा तत्व होता है और इसलिए एक्स का न्यूनतम होता है। दोहरे विधि से, सभी इनफिमा का अस्तित्व सभी उच्च संख्याओं के अस्तित्व को दर्शाता है।
 * संपूर्ण संख्याओं को अलग तरह से भी चित्रित किया जा सकता है। उपरोक्त से, यह पाता लगाया जा सकता है कि ऊपरी सीमा वाले समुच्चय की संपूर्ण संख्या, ऊपरी सीमा वाले समुच्चय का न्यूनतम होता है। परिणाम स्वरूप, संपूर्ण संखयाएं सभी गैर-रिक्त इन्फिमा के अस्तित्व के बराबर होता है।
 * एक पोसमूह एक संपूर्ण समूह होता है। वास्तव में, उपसमुच्चय उपरोक्त अवलोकन से हमारे पास एक संपूर्ण समूह होता है।
 * सिद्धांत को मानते हुए, एक पोसमूह श्रृंखला संपूर्ण तब होती है जब वह एक डीसीपीओ होता है।

सार्वभौमिक बीजगणित के संदर्भ में संसंपूर्ण
जैसा कि ऊपर बताया गया है, कुछ संपूर्ण स्थितियों की उपस्थिति आंशिक रूप से अनुक्रमित समूह के कुल संचालन के रूप में कुछ उच्च और इन्फिमा के गठन पर विचार करने की अनुमति देती है। यह पता चलता है कि कई स्थितियों में सार्वभौमिक बीजगणित के अर्थ में उपयुक्त बीजगणितीय संरचनाओं पर विचार करके संपूर्ण को चिह्नित करना संभव होता है, जो संचालन से सुसज्जित है $$\vee$$ या $$\wedge$$. इन संक्रियाओं पर अतिरिक्त स्थितियाँ (उपयुक्त पहचान (गणित) के रूप में) लगाकर, कोई वास्तव में ऐसी बीजगणितीय संरचनाओं से विशेष रूप से अंतर्निहित आंशिक क्रम प्राप्त कर सकता है। इस लक्षण वर्णन पर विवरण जैसी संरचनाओं पर लेखों में प्राप्त किया जा सकता है जिसके लिए इसे सामान्यतः माना जाता है: अर्ध लैटिस, समूह (अनुक्रम), हेटिंग बीजगणित, और बूलियन बीजगणित (संरचना) देखें। ध्यान दें कि बाद की दो संरचनाएं निषेध प्रारंभ करके इन सिद्धांतों के अनुप्रयोग को केवल संपूर्ण आवश्यकताओं से परे बढ़ाती है।

संयोजन के संदर्भ में संपूर्ण
संपूर्ण गुणों को चिह्नित करने का एक और रोचक विधि (मोनोटोन) गैलोइस संपर्क की अवधारणा के माध्यम से प्रदान किया गया है। वास्तव में यह दृष्टिकोण कई संपूर्ण गुणों की प्रकृति और अनुक्रम सिद्धांत के लिए गैलोज़ संपर्क के महत्व दोनों में अतिरिक्त अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। सामान्य अवलोकन जिस पर संपूर्ण का यह सुधार आधारित है, वह यह होता है कि कुछ उच्च या इन्फिमा का निर्माण उपयुक्त गैलोज़ संपर्क के बाएँ या दाएँ सहायक भाग प्रदान करता है।

आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समूह (X, ≤) पर विचार करता है। पहले सरल उदाहरण के रूप में, 1 = {*} को केवल संभावित आंशिक क्रम के साथ एक निर्दिष्ट एक-तत्व समूह होता है। एक स्पष्ट मैपिंग j है: X → 1, j(x) = * के साथ, X में सभी x के लिए है*: 1 → X. वास्तव में गैलोज़ संपर्क की परिभाषा से पता चलता है कि इस स्थिति में j*(*) ≤ x यदि * ≤ j(x), जहां दाहिना हाथ स्पष्ट रूप से किसी भी x के लिए है। दोहरी दृष्टि से, j के लिए एक ऊपरी जोड़ का अस्तित्व X के सबसे बड़े तत्व के बराबर है।

एक और सरल मैपिंग फलन q: X → X × X है जो q(x) = (x, x) द्वारा दिया गया है। स्वाभाविक रूप से, X × X के लिए इच्छित अनुक्रम संबंध केवल सामान्य उत्पाद अनुक्रम है। q का निचला जोड़ q है* यदि X में सभी द्विआधारी उपस्थित है। इसके विपरीत, संचालन $$\vee$$: X × X → X हमेशा q के लिए (आवश्यक रूप से अद्वितीय) निचला जोड़ प्रदान कर सकता है। दोहरे रूप से, q एक ऊपरी जोड़ की अनुमति देता है यदि और केवल तभी जब X में सभी द्विआधारी मिलते है। इस प्रकार संचालन $$\wedge$$, यदि यह उपस्थित है, तो हमेशा एक ऊपरी जोड़ होता है। यदि दोनों $$\vee$$ और $$\wedge$$ अस्तित्व में है और, इसके अतिरिक्त, $$\wedge$$ यह एक निचला जोड़ भी है, तो पोसमूह एक्स एक हेटिंग बीजगणित होता है।

उपयुक्त संपूर्ण (अनुक्रम सिद्धांत) प्रक्रियाओं का उपयोग करके आगे संपूर्ण विवरण प्राप्त किया जा सकते है। उदाहरण के लिए, यह सर्वविदित होता है कि पोसमूह एक्स के सभी निचले समूहों का संग्रह, सबसमूह द्वारा क्रमबद्ध, एक पूर्ण समूह उत्पन्न करता है। इसके अतिरिक्त, एक स्पष्ट ई: एक्स → 'डी' (एक्स) है जो एक्स के प्रत्येक तत्व एक्स को उसके आदर्श सिद्धांत है y ≤ x}. अब थोड़ा प्रतिबिंब से पता चलता है कि ई का निचला जोड़ केवल तभी होता है जब एक्स एक पूर्ण समूह होता है। वास्तव में, यह निचला जोड़, कोई स्थापित 2 से सामान्य संपूर्ण मानचित्र प्राप्त करता है।

इस खंड में दिए गए विचार श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में अनुक्रम सिद्धांत के (भागों के) पुनर्रचना का सुझाव देते है, जहां गुणों को सामान्यतः वस्तुओं की आंतरिक संरचना पर विचार करने के अतिरिक्त, वस्तुओं के बीच संबंधों (रूपवाद, अधिक विशेष रूप से संयोजन) के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। इस संबंध पर अधिक विस्तृत विचार के लिए अनुक्रम सिद्धांत के श्रेणीबद्ध सूत्रीकरण पर लेख देखे।

यह भी देखें

 * सीमा-संरक्षण कार्य (अनुक्रम सिद्धांत)|उपस्थिता उच्च/इन्फिमा के संरक्षण पर सीमा-संरक्षण कार्य।
 * सीमा-संरक्षण कार्य (अनुक्रम सिद्धांत)|उपस्थिता उच्च/इन्फिमा के संरक्षण पर सीमा-संरक्षण कार्य।

संदर्भ

 * G. Markowsky and B.K. Rosen. Bases for chain-complete posets IBM Journal of Research and Development. March 1976.
 * Stephen Bloom. Varieties of ordered algebras Journal of Computer and System Sciences. October 1976.
 * Michael Smyth. Power domains Journal of Computer and System Sciences. 1978.
 * Daniel Lehmann. On the algebra of order Journal of Computer and System Sciences. August 1980.