इकाई वृत्त

गणित में, एक इकाई वृत्त इकाई त्रिज्या का एक वृत्त होता है - अर्थात, 1 की त्रिज्या। अक्सर, विशेष रूप से त्रिकोणमिति में, यूनिट सर्कल यूक्लिडियन विमान में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में मूल (0, 0) पर केंद्रित त्रिज्या 1 का चक्र होता है। टोपोलॉजी में, इसे अक्सर के रूप में निरूपित किया जाता है $C = 2πr$ क्योंकि यह एक एक आयामी इकाई n-sphere| है$2π$-वृत्त। यदि $S^{1}$ यूनिट सर्कल की परिधि पर एक बिंदु है, तो $n$ और $(x, y)$ एक समकोण त्रिभुज के पादों की लंबाई है जिसके कर्ण की लंबाई 1 है। इस प्रकार, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, $|x|$ और $|y|$ समीकरण को संतुष्ट करें $$x^2 + y^2 = 1.$$ तब से $x$ सबके लिए $y$, और यूनिट सर्कल पर किसी भी बिंदु के प्रतिबिंब के बाद से $x^{2} = (−x)^{2}$- या $x$-एक्सिस यूनिट सर्कल पर भी है, उपरोक्त समीकरण सभी बिंदुओं के लिए है $x$ यूनिट सर्कल पर, न केवल पहले चतुर्थांश में।

यूनिट सर्कल के इंटीरियर को ओपन यूनिट डिस्क कहा जाता है, जबकि यूनिट सर्कल के इंटीरियर को यूनिट सर्कल के साथ ही बंद यूनिट डिस्क कहा जाता है।

अन्य इकाई वृत्तों को परिभाषित करने के लिए दूरी की अन्य धारणाओं का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि रीमानियन वृत्त; अतिरिक्त उदाहरणों के लिए मानदंड (गणित) पर लेख देखें।

जटिल विमान में
जटिल तल में, इकाई परिमाण की संख्या को इकाई जटिल संख्या कहा जाता है। यह जटिल संख्याओं का समूह है $z$ ऐसा है कि $$|z| = 1.$$ वास्तविक और काल्पनिक घटकों में विभाजित होने पर $$z = x + iy,$$ यह स्थिति है $$|z|^2 = z\bar{z} = x^2 + y^2 = 1.$$ जटिल इकाई चक्र को कोण माप द्वारा पैरामीट्रिज किया जा सकता है $$\theta$$ जटिल चरघातांकी फलन का उपयोग करके धनात्मक वास्तविक अक्ष से, $$z = e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta.$$ (यूलर का सूत्र देखें।)

जटिल गुणन संक्रिया के अंतर्गत, इकाई सम्मिश्र संख्याएँ समूह (गणित) होती हैं जिन्हें वृत्त समूह कहा जाता है, जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है $$\mathbb{T}.$$ क्वांटम यांत्रिकी में, एक इकाई जटिल संख्या को चरण कारक कहा जाता है।

यूनिट सर्कल
पर त्रिकोणमितीय कार्य त्रिकोणमितीय कार्य कोण के कोसाइन और साइन होते हैं $y$ यूनिट सर्कल पर निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है: यदि $(x, y)$ यूनिट सर्कल पर एक बिंदु है, और यदि किरण मूल से है $θ$ को $θ$ कोण बनाता है $(x, y)$ सकारात्मक से $(0, 0)$-एक्सिस, (जहां वामावर्त मोड़ सकारात्मक है), फिर $$\cos \theta = x \quad\text{and}\quad \sin \theta = y.$$ समीकरण $(x, y)$ सम्बन्ध देता है $$ \cos^2\theta + \sin^2\theta = 1.$$ यूनिट सर्कल यह भी दर्शाता है कि पहचान के साथ साइन और कोज्या आवधिक कार्य हैं $$\cos \theta = \cos(2\pi k+\theta)$$ $$\sin \theta = \sin(2\pi k+\theta)$$ किसी भी पूर्णांक के लिए $θ$.

त्रिकोणमितीय कार्यों की आवधिकता को दर्शाने के लिए इकाई वृत्त पर निर्मित त्रिभुजों का भी उपयोग किया जा सकता है। सबसे पहले, एक त्रिज्या बनाएँ $x$ उत्पत्ति से $x^{2} + y^{2} = 1$ एक स्तर तक $k$ यूनिट सर्कल पर ऐसा है कि एक कोण $OP$ साथ $O$ की धनात्मक भुजा से बनता है $P(x_{1},y_{1})$-एक्सिस। अब एक बिंदु पर विचार करें $t$ और रेखा खंड $0 < t < π⁄2$. परिणाम एक समकोण त्रिभुज है $x$ साथ $Q(x_{1},0)$. चूंकि $PQ ⊥ OQ$ लंबाई है $△OPQ$, $∠QOP = t$ लंबाई $PQ$, और $y_{1}$ यूनिट सर्कल पर त्रिज्या के रूप में लंबाई 1 है, $OQ$ और $x_{1}$. इन तुल्यताओं को स्थापित करने के बाद, एक और त्रिज्या लें $OP$ उत्पत्ति से एक बिंदु तक $sin(t) = y_{1}$ वृत्त पर ऐसा है कि समान कोण $cos(t) = x_{1}$ की ऋणात्मक भुजा से बनता है $OR$-एक्सिस। अब एक बिंदु पर विचार करें $R(−x_{1},y_{1})$ और रेखा खंड $t$. परिणाम एक समकोण त्रिभुज है $x$ साथ $S(−x_{1},0)$. इसलिए यह देखा जा सकता है कि, क्योंकि $RS ⊥ OS$, $△ORS$ पर है $∠SOR = t$ उसी तरह जिस पर पी है $∠ROQ = π − t$. निष्कर्ष यह है कि, चूंकि $R$ वैसा ही है जैसा कि $(cos(π − t), sin(π − t))$ और $(cos(t), sin(t))$ वैसा ही है जैसा कि $(−x_{1}, y_{1})$, यह सच है कि $(cos(π − t), sin(π − t))$ और $(x_{1},y_{1})$. इसी से अंदाजा लगाया जा सकता है $(cos(t),sin(t))$, जबसे $sin(t) = sin(π − t)$ और $−cos(t) = cos(π − t)$. उपरोक्त का एक सरल प्रदर्शन समानता में देखा जा सकता है $tan(π − t) = −tan(t)$.

समकोण त्रिभुजों के साथ कार्य करते समय, ज्या, कोज्या, और अन्य त्रिकोणमितीय फलन केवल शून्य से अधिक और इससे कम के कोण मापों के लिए अर्थपूर्ण होते हैं $\pi⁄2$. हालांकि, जब यूनिट सर्कल के साथ परिभाषित किया जाता है, तो ये फ़ंक्शन किसी भी वास्तविक संख्या-मूल्यवान कोण माप के लिए अर्थपूर्ण मान उत्पन्न करते हैं - यहां तक ​​कि 2 से अधिक वाले भी$\pi$. वास्तव में, सभी छह मानक त्रिकोणमितीय कार्य - साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श, छेदक, और कोसेकेंट, साथ ही उसका संस्करण और अमल में लाना जैसे पुरातन कार्य - एक इकाई वृत्त के संदर्भ में ज्यामितीय रूप से परिभाषित किए जा सकते हैं, जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है।

यूनिट सर्कल का उपयोग करके, लेबल किए गए कोणों के अलावा कई कोणों के लिए किसी भी त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के मानों को त्रिकोणमितीय पहचान#कोण योग और अंतर पहचान का उपयोग करके हाथ से आसानी से गणना की जा सकती है।



जटिल गतिशीलता
विकास कार्य के साथ डायनेमिक सिस्टम (परिभाषा) का जूलिया सेट: $$f_0(x) = x^2$$ एक इकाई वृत्त है। यह सबसे सरल मामला है इसलिए इसे गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

 * कोण माप
 * पाइथागोरस त्रिकोणमितीय पहचान
 * रिमानियन सर्कल
 * इकाई कोण
 * यूनिट डिस्क
 * इकाई क्षेत्र
 * यूनिट हाइपरबोला
 * इकाई वर्ग
 * बारी (इकाई)
 * जेड-रूपांतरण

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