भाजित-सम्मिश्र संख्या

बीजगणित में, एक विभाजित सम्मिश्र संख्या (या अतिशयोक्तिपूर्ण संख्या, जटिल संख्या, दोहरी संख्या) एक अतिशयोक्तिपूर्ण इकाई $j$ पर आधारित होती है संतुष्टि देने वाला $$j^2=1.$$ एक विभाजित-जटिल संख्या में दो वास्तविक संख्या घटक $x$ और $y$, होते हैं और लिखा है $$z=x+yj .$$ का संयुग्मी $z$ है $$z^*=x-yj.$$ तब से $$j^2=1,$$ एक संख्या का उत्पाद $z$ इसके संयुग्मी के साथ है $$N(z) := zz^* = x^2 - y^2,$$ एक समदैशिक द्विघात रूप है।

$x,y \in \R$ के लिए सभी विभाजित सम्मिश्र संख्याओं $$z=x+yj$$ का संग्रह D  वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में एक बीजगणित बनाता है। दो विभक्त-जटिल संख्याएँ $w$ और $z$ के पास एक उत्पाद $wz$ है  जो संतुष्ट करता है $$N(wz)=N(w)N(z).$$  बीजगणित उत्पाद पर $N$ की यह रचना $(D, +, ×, *)$  एक रचना बीजगणित बनाती है |

$\R^2$ पर आधारित एक समान बीजगणित और जोड़ और गुणा के घटक-वार संचालन, $(\R^2, +, \times, xy),$ जहां $xy$ पर द्विघात रूप $\R^2,$  है | रिंग आइसोमोर्फिज्म भी द्विघात स्थान बनाता है $$\begin{align} D &\to \mathbb{R}^2 \\ x + yj &\mapsto (x - y, x + y) \end{align}$$ आनुपातिक द्विघात रूपों से संबंधित है, लेकिन मानचित्रण आइसोमेट्री नहीं है  क्योंकि $\R^2$ की  गुणात्मक पहचान $(1, 1)$ 0 से $\sqrt 2$  की दूरी पर है, जो $D$ सामान्यीकृत है.

विभक्त-जटिल संख्याएँ के कई अन्य नाम हैं; नीचे  देखें। विभाजन-जटिल संख्या के कार्यों के लिए मोटर चर लेख देखें।

परिभाषा
विभक्त-जटिल संख्या वास्तविक संख्याओं की एक क्रमबद्ध जोड़ी है, जिसे फॉर्म में लिखा गया है $$z = x + jy$$ जहां $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएँ और अतिपरवलयिक इकाई हैं $j$ संतुष्ट करता है $$j^2 = +1$$ सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र में काल्पनिक इकाई i संतुष्ट करती है $$i^2 = -1 .$$ चिन्ह का परिवर्तन विभाजित-जटिल संख्याओं को साधारण सम्मिश्र संख्याओं से अलग करता है। अतिशयोक्तिपूर्ण इकाई $j$ एक वास्तविक संख्या नहीं बल्कि एक स्वतंत्र मात्रा है।

ऐसे सभी का संग्रह $z$ को विभक्त-जटिल प्लेन कहा जाता है। विभक्त-जटिल संख्याएँ का जोड़ और गुणा किसके द्वारा परिभाषित किया जाता है $$\begin{align} (x + jy) + (u + jv) &= (x + u) + j(y + v) \\ (x + jy)(u + jv) &= (xu + yv) + j(xv + yu). \end{align}$$ यह गुणन योग के ऊपर क्रमविनिमेय, साहचर्य और वितरण गुण है।

संयुग्मी, मापांक और द्विरेखीय रूप
सम्मिश्र संख्याओं की तरह ही, कोई विभाजित-जटिल संयुग्म की धारणा को परिभाषित कर सकता है। अगर $$ z = x + jy ~,$$ तो $z$ के संयुग्म को परिभाषित किया गया है $$ z^* = x - jy ~.$$ संयुग्म सामान्य जटिल संयुग्म के समान गुणों को संतुष्ट करता है। अर्थात्, $$\begin{align} (z + w)^* &= z^* + w^* \\ (zw)^* &= z^* w^* \\ \left(z^*\right)^* &= z. \end{align}$$ इन तीन गुणों का अर्थ है कि विभाजन-जटिल संयुग्म क्रम (समूह सिद्धांत) 2 का ऑटोमोर्फिज्म है।

विभाजित-जटिल संख्या का वर्गित मापांक $$z=x+jy$$ आइसोट्रोपिक द्विघात रूप द्वारा दिया गया है $$\lVert z \rVert^2 = z z^* = z^* z = x^2 - y^2 ~.$$ इसमें रचना बीजगणित गुण है: $$\lVert z w \rVert = \lVert z \rVert \lVert w \rVert ~.$$ हालाँकि, यह द्विघात रूप निश्चित द्विरेखीय रूप नहीं है | सकारात्मक-निश्चित है, बल्कि मीट्रिक हस्ताक्षर है $(1, −1)$, इसलिए मापांक एक आदर्श (गणित) नहीं है।

संबंधित द्विरेखीय रूप  द्वारा दिया गया है $$\langle z, w \rangle = \operatorname\mathcal{R_e}\left(zw^*\right) = \operatorname\mathcal{R_e} \left(z^* w\right) = xu - yv ~,$$ जहां $$z=x+jy$$ और $$w=u+jv.$$ वर्गित मापांक के लिए एक और अभिव्यक्ति तब है $$ \lVert z \rVert^2 = \langle z, z \rangle ~.$$ चूंकि यह सकारात्मक-निश्चित नहीं है, यह द्विरेखीय रूप एक आंतरिक उत्पाद नहीं है; फिर भी द्विरेखीय रूप को अक्सर अनिश्चित आंतरिक उत्पाद के रूप में संदर्भित किया जाता है। भाषा का एक समान दुरुपयोग मापांक को एक आदर्श के रूप में संदर्भित करता है।

एक विभक्त-जटिल संख्या व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि इसका मापांक अशून्य ($\lVert z \rVert \ne 0$), है इस प्रकार$x ± j x$ के रूप की संख्याओं का कोई व्युत्क्रम नहीं होता है। एक व्युत्क्रमणीय तत्व का गुणक व्युत्क्रम किसके द्वारा दिया जाता है $$z^{-1} = \frac{z^*}{ {\lVert z \rVert}^2} ~.$$ विभक्त-जटिल संख्याएँ जो व्युत्क्रमणीय नहीं होती हैं, अशक्त सदिश कहलाती हैं। ये सभी किसी वास्तविक संख्या $a$ के लिए $(a ± j a)$  के रूप हैं।

विकर्ण आधार
दो गैर-तुच्छ निरंकुश तत्व (रिंग थ्योरी) द्वारा दिए गए $$e=\tfrac{1}{2}(1-j)$$ और $$e^* = \tfrac{1}{2}(1+j).$$हैं | याद रखें कि निरंकुश का अर्थ है कि $$ee=e$$ और $$e^*e^*=e^*.$$ ये दोनों तत्व शून्य हैं: $$\lVert e \rVert = \lVert e^* \rVert = e^* e = 0 ~.$$ इसका उपयोग करना अक्सर सुविधाजनक होता है $e$ और $e$∗ विभक्त-जटिल प्लेन के लिए एक वैकल्पिक आधार (रैखिक बीजगणित) के रूप में। इस आधार को विकर्ण आधार या अशक्त आधार कहा जाता है। विभाजित जटिल संख्या $z$ को शून्य आधार पर लिखा जा सकता है $$ z = x + jy = (x - y)e + (x + y)e^* ~.$$ यदि हम संख्या को निरूपित करते हैं $$z=ae+be^*$$ वास्तविक संख्या के लिए $a$ और $b$ द्वारा $(a, b)$, तो विभाजन-जटिल गुणन द्वारा दिया जाता है $$\left( a_1, b_1 \right) \left( a_2, b_2 \right) = \left( a_1 a_2, b_1 b_2 \right) ~.$$ विकर्ण आधार में विभाजन-जटिल संयुग्म द्वारा दिया जाता है $$(a, b)^* = (b, a)$$ और मापांक द्वारा $$\lVert (a, b) \rVert = ab.$$

समरूपता
{e, e*} के आधार पर यह स्पष्ट हो जाता है कि विभाजित-जटिल संख्याएं रिंग आइसोमोर्फिज्म हैं। रिंग-आइसोमोर्फिक प्रत्यक्ष योग के लिए $D$ योग और गुणा के साथ जोड़ीदार परिभाषित।

एक आदेशित जोड़ी का उपयोग करके विभाजित-जटिल संख्या विमान के लिए विकर्ण आधार को लागू किया जा सकता है $(x, y)$ के लिए $$z = x + jy$$ और मैपिंग कर रहा है $$(u, v) = (x, y) \begin{pmatrix}1 & 1 \\1 & -1\end{pmatrix} = (x, y) S ~.$$ अब द्विघात रूप है $$uv = (x + y)(x - y) = x^2 - y^2 ~.$$ आगे, $$(\cosh a, \sinh a) \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} = \left(e^a, e^{-a}\right)$$ इसलिए दो एक-पैरामीटर समूह हाइपरबोलस को पत्राचार में लाया जाता है $σ$.

पद्य या अतिशयोक्तिपूर्ण छंद की सामूहिक क्रिया (गणित)। $$e^{bj} \!$$ फिर इस रैखिक परिवर्तन के तहत एक निचोड़ मानचित्रण से मेल खाता है $$\sigma: (u, v) \mapsto \left(ru, \frac{v}{r}\right),\quad r = e^b ~.$$ हालांकि छल्ले की श्रेणी में एक ही समरूपता वर्ग में स्थित, विभाजित-जटिल विमान और दो वास्तविक रेखाओं का सीधा योग कार्टेशियन विमान में उनके लेआउट में भिन्न होता है। समतल मानचित्रण के रूप में समाकृतिकता में 45° द्वारा वामावर्त घुमाव और एक फैलाव (मीट्रिक स्थान) होता है। √2. विशेष रूप से फैलाव ने कभी-कभी अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र के क्षेत्रों के संबंध में भ्रम पैदा किया है। दरअसल, अतिशयोक्तिपूर्ण कोण में एक क्षेत्र के क्षेत्र से मेल खाती है $\R^2$ इसके द्वारा दिए गए यूनिट सर्कल के साथ विमान $$\{(a,b) \in \R \oplus \R : ab=1\}.$$ अनुबंधित इकाई हाइपरबोला $$\{\cosh a+j\sinh a : a \in \R\}$$ विभक्त-जटिल प्लेन का संबंधित हाइपरबोलिक सेक्टर की अवधि में केवल आधा क्षेत्र है। इस तरह के भ्रम को कायम रखा जा सकता है जब विभाजित-जटिल विमान की ज्यामिति उस से अलग नहीं होती है $\R \oplus \R$.

ज्यामिति
[[Image:Drini-conjugatehyperbolas.svg|thumb|

]]मिन्कोव्स्की आंतरिक उत्पाद के साथ एक द्वि-आयामी वास्तविक वेक्टर अंतरिक्ष कहा जाता है $‖z‖ = 1$-आयामी मिन्कोवस्की स्थान, जिसे अक्सर निरूपित किया जाता है $S$ यूक्लिडियन तल की ज्यामिति के बराबर $\R \oplus \R$ को जटिल संख्याओं के साथ वर्णित किया जा सकता है, मिंकोस्की विमान की ज्यामिति $\R \oplus \R$ को विभाजित-जटिल संख्याओं के साथ वर्णित किया जा सकता है।

बिंदुओं का समूह $$\left\{ z : \lVert z \rVert^2 = a^2 \right\}$$ प्रत्येक अशून्य के लिए एक अतिपरवलय है $\R^{1,1}.$ में $\R^2$ अतिपरवलय एक दाएँ और बाएँ शाखा से होकर गुजरता है $‖z‖ = −1$ और $‖z‖ = 0$. मामला $(1 + 1)$ को इकाई अतिपरवलय कहते हैं। संयुग्म अतिपरवलय किसके द्वारा दिया जाता है $$\left\{ z : \lVert z \rVert^2 = -a^2 \right\}$$ एक ऊपरी और निचली शाखा से होकर गुजर रहा है $(a, 0)$ और $(−a, 0)$. हाइपरबोला और कॉन्जुगेट हाइपरबोला को दो विकर्ण स्पर्शोन्मुख द्वारा अलग किया जाता है जो अशक्त तत्वों का सेट बनाते हैं: $$\left\{ z : \lVert z \rVert = 0 \right\}.$$ ये दो रेखाएँ (कभी-कभी अशक्त शंकु कहलाती हैं) लंबवत होती हैं $\R^{1,1}$ और ढलान ± 1 है।

भाजित-जटिल संख्याएँ $a$ और $\R.$ को अतिशयोक्तिपूर्ण-ऑर्थोगोनल अगर कहा जाता है $a = 1$. जबकि साधारण ऑर्थोगोनलिटी के अनुरूप, विशेष रूप से इसे साधारण जटिल संख्या अंकगणित के साथ जाना जाता है, यह स्थिति अधिक सूक्ष्म है। यह मिन्कोव्स्की स्पेस या  स्पेसटाइम में कारण संरचना अवधारणा के लिए आधार बनाता है।

विभक्त-जटिल संख्याएँ के लिए यूलर के सूत्र का एनालॉग है $$\exp(j\theta) = \cosh(\theta) + j\sinh(\theta).$$ यह सूत्र इस तथ्य का उपयोग करते हुए एक शक्ति श्रृंखला विस्तार से प्राप्त किया जा सकता है कि अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन में केवल सम शक्तियाँ होती हैं जबकि अतिपरवलयिक ज्या के लिए विषम शक्तियाँ होती हैं। अतिशयोक्तिपूर्ण कोण के सभी वास्तविक मूल्यों के लिए $\R^2$ विभाजन-जटिल संख्या $(0, a)$ का मानक 1 है और इकाई अतिपरवलय की दाहिनी शाखा पर स्थित है। नंबर जैसे $z$ को छंद या अतिशयोक्तिपूर्ण छंद कहा गया है।

तब से $w$ में मॉड्यूलस 1 है, किसी भी विभाजित-जटिल संख्या को गुणा करना $θ$ द्वारा $λ$ के मापांक को बरकरार रखता है $λ$ और एक अतिशयोक्तिपूर्ण घुमाव का प्रतिनिधित्व करता है (जिसे लोरेंत्ज़ बूस्ट या स्क्वीज़ मैपिंग भी कहा जाता है)। से गुणा करना $z$ हाइपरबोलस को अपने आप में और शून्य शंकु को अपने पास ले जाकर ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करता है।

विभक्त-जटिल प्लेन के सभी परिवर्तनों का सेट जो मापांक (या समतुल्य, आंतरिक उत्पाद) को संरक्षित करता है, एक समूह (गणित) बनाता है जिसे सामान्यीकृत ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है $(0, −a)$. इस समूह में अतिशयोक्तिपूर्ण घुमाव होते हैं, जो एक निरूपित उपसमूह बनाते हैं $⟨z, w⟩ = 0$, द्वारा दिए गए चार असतत गणित प्रतिबिंब (गणित) के साथ संयुक्त
 * $$z \mapsto \pm z$$ और $$z \mapsto \pm z^*.$$

घातीय नक्शा $$\exp\colon (\R, +) \to \mathrm{SO}^{+}(1, 1)$$ भेजना $λ$ द्वारा घुमाने के लिए $λ = exp(jθ)$ एक समूह समरूपता है क्योंकि सामान्य घातीय सूत्र लागू होता है: $$e^{j(\theta + \phi)} = e^{j\theta}e^{j\phi}.$$ यदि एक विभाजित-जटिल संख्या $z$ तब किसी एक विकर्ण पर स्थित नहीं होता है $λ$ में एक ध्रुवीय अपघटन या Alternative Planar decompositions है।

बीजगणितीय गुण
अमूर्त बीजगणित के संदर्भ में, विभाजित-जटिल संख्याओं को बहुपद वलय के भागफल वलय के रूप में वर्णित किया जा सकता है $θ$ बहुपद द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) द्वारा $$x^2-1,$$ $$\R[x]/(x^2-1 ).$$ की छवि x}भागफल में } काल्पनिक इकाई है $z$. इस विवरण के साथ, यह स्पष्ट है कि विभाजन-जटिल संख्याएँ वास्तविक संख्याओं के ऊपर क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) बनाती हैं। बीजगणित एक क्षेत्र (गणित) नहीं है क्योंकि अशक्त तत्व व्युत्क्रमणीय नहीं होते हैं। सभी शून्येतर अशक्त तत्व शून्य भाजक हैं।

चूंकि विमान के सामान्य टोपोलॉजी के संबंध में जोड़ और गुणा निरंतर संचालन होते हैं, विभाजन-जटिल संख्याएं एक टोपोलॉजिकल रिंग बनाती हैं।

विभाजित-जटिल संख्याओं का बीजगणित एक रचना बीजगणित बनाता है
 * $$\lVert zw \rVert = \lVert z \rVert \lVert w \rVert ~$$ किसी भी संख्या के लिए $z$ और $\R[x]$.

परिभाषा से यह स्पष्ट है कि विभाजित-जटिल संख्याओं का वलय समूह वलय के लिए समरूप है $j$ चक्रीय समूह का $O(1, 1)$ वास्तविक संख्याओं पर $z$

मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व
मैट्रिक्स (गणित) द्वारा विभाजित-जटिल संख्याओं का आसानी से प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। विभाजित जटिल संख्या $$z = x + jy$$ मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है $$z \mapsto \begin{pmatrix}x & y \\ y & x\end{pmatrix}.$$ विभक्त-जटिल संख्याएँ का जोड़ और गुणा तब मैट्रिक्स जोड़ और गुणा द्वारा दिया जाता है। का मापांक $w$ संबंधित मैट्रिक्स के निर्धारक द्वारा दिया जाता है।

वास्तव में 2x2 वास्तविक मैट्रिसेस के चार-आयामी रिंग (गणित) में विभाजित-जटिल विमान के कई प्रतिनिधित्व हैं। पहचान मैट्रिक्स के वास्तविक गुणक मैट्रिक्स रिंग एम (2, आर) में एक वास्तविक रेखा बनाते हैं। कोई भी अतिशयोक्तिपूर्ण इकाई m एक आधार (रैखिक बीजगणित) तत्व प्रदान करता है जिसके साथ वास्तविक रेखा को विभाजित-जटिल विमान तक विस्तारित किया जाता है। मेट्रिसेस
 * $$m = \begin{pmatrix}a & c \\ b & -a \end{pmatrix}$$ कौन सा वर्ग पहचान मैट्रिक्स को संतुष्ट करता है $$a^2 + bc = 1 .$$

उदाहरण के लिए, जब a = 0, तब (b, c) मानक अतिपरवलय पर एक बिंदु होता है। अधिक आम तौर पर, अतिशयोक्तिपूर्ण इकाइयों के एम (2, आर) में एक हाइपरसफेस होता है, जिनमें से कोई भी एम (2, आर) के सबरिंग के रूप में विभाजन-जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के आधार पर कार्य करता है। जो नंबर $$z = x + jy$$ मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है$$x\ I + y\ m .$$

इतिहास
विभक्त-जटिल संख्याएँ का उपयोग 1848 से शुरू होता है जब जेम्स कॉकल (वकील) ने अपनी tessarine प्रकट की थी। विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड ने घुमावों के योग को दर्शाने के लिए विभक्त-जटिल संख्याओं का उपयोग किया। क्लिफोर्ड ने चतुष्कोणीय बीजगणित में गुणांक के रूप में विभाजन-जटिल संख्याओं के उपयोग की शुरुआत की, जिसे अब विभाजन-द्विभाजित कहा जाता है। उन्होंने इसके तत्वों को मोटर्स कहा, चक्र समूह से ली गई एक साधारण जटिल संख्या की रोटर क्रिया के समानांतर एक शब्द। सादृश्यता का विस्तार, एक साधारण जटिल चर के कार्यों के विपरीत एक मोटर चर के कार्य।

बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध के बाद से, विभाजन-जटिल गुणन को आमतौर पर अंतरिक्ष समय  विमान के लोरेंत्ज़ बूस्ट के रूप में देखा जाता है।      उस मॉडल में, संख्या $SO+(1, 1)$ अनुपात-लौकिक समतल में एक घटना का प्रतिनिधित्व करता है, जहाँ x को नैनोसेकंड में मापा जाता है और {mvar|y}डेविड मर्मिन में }  या  शब्द और वाक्यांश के सिक्के|मर्मिन के पैर। भविष्य घटनाओं के चतुर्थांश से मेल खाता है $exp(jθ)$, जिसमें विभाजन-जटिल ध्रुवीय अपघटन है $$z = \rho e^{aj} \!$$. मॉडल का कहना है $\R[C^2]$ तीव्रता के संदर्भ के एक फ्रेम में प्रवेश करके मूल से पहुँचा जा सकता है $\R.$ और प्रतीक्षा कर रहा है $z$ नैनोसेकंड। विभाजन-जटिल समीकरण $$e^{aj} \ e^{bj} = e^{(a + b)j}$$ इकाई अतिपरवलय पर उत्पादों को अभिव्यक्त करना संरेखीय वेगों के लिए तीव्रता की योज्यता को दर्शाता है। घटनाओं का एक साथ होना तेजी पर निर्भर करता है $z$; $$\{ z = \sigma j e^{aj} : \sigma \isin \R \}$$ तीव्रता के साथ संदर्भ के फ्रेम में उत्पत्ति के साथ-साथ घटनाओं की रेखा है।

दो घटनाएँ $a$ और $ρ$ हाइपरबॉलिक-ऑर्थोगोनल हैं जब $$z^*w+zw^* = 0.$$ कैननिकल घटनाएं $C2$ और $z = x + y j$ हाइपरबोलिक ऑर्थोगोनल हैं और संदर्भ के एक फ्रेम के अक्ष पर स्थित हैं जिसमें मूल के साथ-साथ होने वाली घटनाएं समानुपाती होती हैं ${z : |y| < x}$.

1933 में मैक्स ज़ोर्न विभाजन-octonion का उपयोग कर रहे थे और रचना बीजगणित संपत्ति का उल्लेख किया। उन्होंने महसूस किया कि विभाजन बीजगणित उत्पन्न करने के लिए उपयोग किए जाने वाले केली-डिक्सन निर्माण को संशोधित किया जा सकता है (एक कारक गामा के साथ, $a$) स्प्लिट-ऑक्टोनियंस सहित अन्य रचना बीजगणित बनाने के लिए। उनके नवप्रवर्तन को एड्रियन अल्बर्ट, रिचर्ड डी. शाफर और अन्य लोगों ने कायम रखा। गामा कारक, के साथ $exp(aj)$ आधार क्षेत्र के रूप में, एक रचना बीजगणित के रूप में विभाजित-जटिल संख्या बनाता है। गणितीय समीक्षाओं के लिए अल्बर्ट की समीक्षा करते हुए, एन. एच. मैककॉय ने लिखा कि क्रम 2 के कुछ नए बीजगणित का परिचय थाई केली-डिक्सन बीजगणित के सामान्यीकरण के बारे में। ले रहा $j exp(aj)$ और $j exp(aj)$ इस लेख के बीजगणित से मेल खाता है।

1935 में जे.सी. विग्नौक्स और ए. दुरानोना और वेदिया ने भौतिक और गणितीय विज्ञान में योगदान में चार लेखों में विभाजन-जटिल ज्यामितीय बीजगणित और कार्य सिद्धांत विकसित किया, ला प्लाटा के राष्ट्रीय विश्वविद्यालय, अर्जेंटीना|रिपब्लिका अर्जेंटीना (स्पेनिश में)। इन व्याख्यात्मक और शैक्षणिक निबंधों ने विषय को व्यापक प्रशंसा के लिए प्रस्तुत किया।

1941 में ई.एफ. एलन ने एक त्रिकोण के नौ-बिंदु अतिपरवलय को स्थापित करने के लिए विभाजित-जटिल ज्यामितीय अंकगणित का उपयोग किया$R$.

1956 में मिक्ज़िस्लाव वार्मस ने बुलेटिन डे ल'एकेडेमी पोलोनेस डेस साइंसेस में अनुमानों की गणना प्रकाशित की (संदर्भ में लिंक देखें)। उन्होंने दो बीजगणितीय प्रणालियाँ विकसित कीं, जिनमें से प्रत्येक को उन्होंने अनुमानित संख्याएँ कहा, जिनमें से दूसरी एक वास्तविक बीजगणित बनाती है। डी. एच. लेह्मर ने गणितीय समीक्षा में लेख की समीक्षा की और देखा कि यह दूसरी प्रणाली अतिशयोक्तिपूर्ण जटिल संख्याओं के लिए समरूप थी, जो इस लेख का विषय है।

1961 में वार्मस ने अपने प्रदर्शन को जारी रखा, एक अनुमानित संख्या के घटकों को मध्यबिंदु और अंतराल के त्रिज्या के रूप में दर्शाया।

पर्यायवाची
अलग-अलग लेखकों ने विभक्त-जटिल संख्याएँ के लिए कई तरह के नामों का इस्तेमाल किया है। इनमें से कुछ में शामिल हैं:


 * (असली) टेसरीन, जेम्स कॉकल (1848)
 * (बीजीय) मोटर्स, डब्ल्यू.के. क्लिफर्ड (1882)
 * अतिशयोक्तिपूर्ण जटिल संख्याएं, जे.सी. विग्नॉक्स (1935)
 * द्विवार्षिक संख्याएँ, यू. बेंसिवेंगा (1946)
 * अनुमानित संख्या, वार्मस (1956), अंतराल विश्लेषण में उपयोग के लिए
 * दोहरी संख्या, इसहाक याग्लोम|I.M. याग्लोम (1968), कांटोर और सोलोडोवनिकोव (1989), माइकल हेज़विंकेल (1990), रूनी (2014)
 * असामान्य-जटिल संख्याएं, डब्ल्यू. बेंज़ (1973)
 * पेरप्लेक्स नंबर, पी. फजेलस्टैड (1986) और पूडियाक और लेक्लेयर (2009)
 * काउंटरकॉम्प्लेक्स या हाइपरबॉलिक, कारमोडी (1988)
 * लोरेंत्ज़ नंबर, एफ.आर. हार्वे (1990)
 * अतिशयोक्तिपूर्ण संख्याएँ, जी. सोब्ज़ीक (1995)
 * पैराकॉम्प्लेक्स नंबर, क्रूसेनु, फॉर्च्यूनी और गेडिया (1996)
 * सेमी-कॉम्प्लेक्स संख्याएं, एफ एंटोनुशियो (1994)
 * स्प्लिट बायनेरियंस, के. मैकक्रिमोन (2004)
 * विभक्त-जटिल नंबर, बी. रोसेनफेल्ड (1997)
 * स्पेसटाइम नंबर, एन. बोरोटा (2000)
 * स्टडी नंबर, पी. लौनेस्टो (2001)
 * दोजटिल संख्याएं, एस. ओलारियू (2002)

यह भी देखें

 * मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष
 * विभाजन-चतुर्भुज
 * हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या

अग्रिम पठन

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