समीकरण हल करना



गणित में, किसी समीकरण को हल करना उसका हल खोजना है, जो ऐसे मान (संख्याएँ, फलन (गणित), समुच्चय (गणित), आदि) हैं जो समीकरण द्वारा बताई गई शर्तों को पूरा करते हैं, जिसमें सामान्यतः समान चिह्न से संबंधित दो व्यंजक सम्मलित होते हैं। समाधान खोजते समय, एक या अधिक चर (गणित) को अज्ञात के रूप में नामित किया जाता है। समाधान अज्ञात चरों के मानों का एक समनुदेशन है जो समीकरण में समानता को सत्य बनाता है। दूसरे शब्दों में, समाधान मान या मानों का संग्रह है (प्रत्येक अज्ञात के लिए एक) जैसे कि, जब अज्ञात के लिए प्रतिस्थापन किया जाता है, समीकरण समानता (गणित) बन जाता है। समीकरण के समाधान को अधिकांशतः समीकरण की मूल कहा जाता है, विशेष रूप से बहुपद समीकरण के लिए नहीं। किसी समीकरण के सभी हलों का समुच्चय उसका हल समुच्चय होता है।

समीकरण को संख्यात्मक गणितया प्रतीकात्मक रूप से हल किया जा सकता है। किसी समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल करने का अर्थ है कि केवल संख्याओं को हल के रूप में स्वीकार किया जाता है। किसी समीकरण को सांकेतिक रूप से हल करने का अर्थ है कि व्यंजकों का उपयोग समाधानों को निरूपित करने के लिए किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, समीकरण $ax^{2} + bx + c = 0$को अज्ञात $x$ के लिए व्यंजक $f(x) = 0$ से हल किया जाता है, क्योंकि समीकरण में $x + y = 2x – 1$ के लिए $x = y + 1$ को प्रतिस्थापित करने पर $x$ परिणाम प्राप्त होते हैं एक सत्य कथन हैं। चर $y + 1$ को अज्ञात के रूप में लेना भी संभव है, और फिर समीकरण को $(y + 1) + y = 2(y + 1) – 1$ द्वारा हल किया जाता है। या $y$ और $y = x – 1$ दोनों को अज्ञात के रूप में माना जा सकता है, और फिर समीकरण के कई समाधान हैं, एक सांकेतिक हल है $x$, जहां चर $a$  कोई भी मान ले सकता है। विशिष्ट संख्याओं के साथ सांकेतिक समाधान का दृष्टांत संख्यात्मक समाधान देता है, उदाहरण के लिए  $y$ देता है $(x, y) = (a + 1, a)$ (अर्थात, $a = 0$), और $(x, y) = (1, 0)$ देता है $x = 1, y = 0$।

ज्ञात चर और अज्ञात चर के बीच अंतर सामान्यतः समस्या के बयान में $x$ और $y$ में एक समीकरण", या $a = 1$ और $(x, y) = (2, 1)$ ,के लिए हल" जैसे वाक्यांशों द्वारा किया जाता है, जो अज्ञात को यहाँ $x$ और $y$ इंगित करते हैं। चूंकि, अज्ञात को निरूपित करने के लिए $x$, $y$, $z$, ... को आरक्षित करना और ज्ञात चरों को निरूपित करने के लिए $a$, $b$, $c$, ... का उपयोग करना सामान्य है, जिन्हें अधिकांशतः मानदंड कहा जाता है। द्विघात समीकरण जैसे बहुपद समीकरणों पर विचार करते समय यह सामान्यतः मामला होता है। चूंकि, कुछ समस्याओं के लिए, सभी चर या तो योगदान कर सकते हैं।

संदर्भ के आधार पर, समीकरण को हल करने में या तो कोई भी समाधान (समाधान खोजना पर्याप्त है), सभी समाधान, या समाधान जो आगे के गुणों को संतुष्ट करता है, जैसे किसी दिए गए अंतराल (गणित) से संबंधित हो सकता है। जब कार्य किसी मानदंड के अनुसार सबसे अच्छा समाधान खोजना है, तो यह अनुकूलन समस्या है। अनुकूलन समस्या को हल करने को सामान्यतः "समीकरण समाधान" के रूप में संदर्भित नहीं किया जाता है, सामान्यतः, बेहतर समाधान खोजने के लिए विशेष समाधान से हल करने के तरीके प्रारम्भ होते हैं, और अंततः सर्वोत्तम समाधान खोजने तक प्रक्रिया को दोहराते हैं।

सिंहावलोकन
समीकरण का सामान्य रूप है
 * $$f\left(x_1,\dots,x_n\right)=c,$$

जहाँ $f$ फलन है,, $x$ अज्ञात हैं, और $y$ एक अचर है। इसके समाधान उलटी छवि के तत्व हैं
 * $$f^{-1}(c)=\bigl\{(a_1,\dots,a_n)\in D\mid f\left(a_1,\dots,a_n\right)=c\bigr\},$$

जहाँ $x_{1}, ..., x_{n}$ फलन $f$ का प्रांत है। समाधान का समुच्चय खाली समुच्चय हो सकता है (कोई समाधान नहीं है), सिंगलटन (गणित) (एक समाधान है), परिमित या अनंत (असीम रूप से कई समाधान हैं)।

उदाहरण के लिए, एक समीकरण जैसे
 * $$3x+2y=21z,$$

अज्ञात $c$ और $D$, के साथ, समीकरण के दोनों पक्षों से  $x, y$  घटाकर उपरोक्त रूप में रखा जा सकता है, प्राप्त करने के लिए
 * $$3x+2y-21z=0$$

इस विशेष स्तिथि में केवल एक समाधान नहीं है, बल्कि समाधानों का अनंत समुच्चय है, जिसे समुच्चय बिल्डर अंकन के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\bigl\{(x,y,z)\mid 3x+2y-21z=0\bigr\}.$$

विशेष समाधान $z$ है। दो अन्य समाधान $21z$, और $x = 0, y = 0, z = 0$ हैं। एक अनूठा समतल है त्रिविम समष्टि में जो इन निर्देशांकों के साथ तीन बिंदुओं से होकर गुजरता है, और यह तल उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जिनके निर्देशांक समीकरण के समाधान हैं।

समाधान समुच्चय


दिए गए समीकरणों याअसमानताओं के समुच्चय का समाधान इसके सभी समाधानों का समुच्चय है, समाधान मानों का टपल है, प्रत्येक अज्ञात (गणित) के लिए जो सभी समीकरणों या असमानताओं को संतुष्ट करता है। यदि समाधान समुच्चय खाली है, तो अज्ञात का कोई मान नहीं है जो एक साथ सभी समीकरणों और असमानताओं को संतुष्ट करता हो।

साधारण उदाहरण के लिए, समीकरण पर विचार करें
 * $$x^2=2.$$

इस समीकरण को डायोफैंटाइन समीकरण के रूप में देखा जा सकता है, अर्थात एक समीकरण जिसके लिए केवल पूर्णांक समाधान मांगे जाते हैं। इस स्तिथि में, समाधान समुच्चय खाली समुच्चय है, क्योंकि 2 पूर्णांक का वर्ग (बीजगणित) हीं है। चूंकि, यदि कोई वास्तविक संख्या समाधान खोजता है, तो दो समाधान हैं, $x = 3, y = 6, z = 1$ और $x = 8, y = 9, z = 2$, दूसरे शब्दों में, हल समुच्चय $x^{2}⁄4 + y^{2} = 1$है।

जब समीकरण में कई अज्ञात होते हैं, और जब किसी के पास समीकरणों से अधिक अज्ञात के साथ कई समीकरण होते हैं, तो समाधान समुच्चय अधिकांशतः अनंत होता है। इस स्थिति में, समाधानों को सूचीबद्ध नहीं किया जा सकता है। उनका प्रतिनिधित्व करने के लिए, प्राचलीकरण ([[ज्यामिति)]] अधिकांशतः उपयोगी होता है, जिसमें कुछ अज्ञात या सहायक चर के संदर्भ में समाधान व्यक्त करना सम्मलित होता है। यह तभी संभव है जब सभी समीकरण रैखिक हों।

इस तरह के अनंत समाधान समुच्चय को स्वाभाविक रूप से ज्यामितीय आकृतियों जैसे कि रेखा (ज्यामिति), वक्र (ज्यामिति) (चित्र देखें), समतल, और अधिक सामान्यतः बीजगणितीय किस्मों या कई गुना के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। विशेष रूप से, बीजगणितीय ज्यामिति को बीजगणितीय समीकरणों के समाधान समुच्चय के अध्ययन के रूप में देखा जा सकता है।

समाधान के तरीके
समीकरणों को हल करने के तरीके सामान्यतः समीकरण के प्रकार, समीकरण में व्यंजक के प्रकार और अज्ञात द्वारा ग्रहण किए जा सकने वाले मानों के प्रकार पर निर्भर करते हैं। समीकरणों के प्रकारों में विविधता बड़ी है, और इसी तरह की विधियाँ भी हैं। नीचे केवल कुछ विशिष्ट प्रकारों का उल्लेख किया गया है।

सामान्यतः, समीकरणों के वर्ग को देखते हुए, कोई ज्ञात व्यवस्थित विधि (कलन विधि) नहीं हो सकती है जो काम करने की गारंटी हो। यह गणितीय ज्ञान की कमी के कारण हो सकता है, सदियों के प्रयास के बाद ही कुछ समस्याओं का समाधान हुआ। लेकिन यह यह भी दर्शाता है कि, सामान्यतः, ऐसी कोई विधि सम्मलित नहीं हो सकती है: कुछ समस्याओं को कलन विधि द्वारा अघुलनशील माना जाता है, जैसे कि हिल्बर्ट की दसवीं समस्या, जो 1970 में अघुलनशील सिद्ध हुई थी।

समीकरणों के कई वर्गों के लिए, उन्हें हल करने के लिए कलन विधि पाए गए हैं, जिनमें से कुछ को संगणक बीजगणित प्रणालियों में लागू और सम्मलित किया गया है, लेकिन अधिकांशतः पेंसिल और कागज की तुलना में अधिक परिष्कृत तकनीक की आवश्यकता नहीं होती है। कुछ अन्य स्थितियों में, अनुमानी तरीके ज्ञात हैं जो अधिकांशतः सफल होते हैं लेकिन सफलता की ओर ले जाने की गारंटी नहीं होती है।

मनमानी बल, परीक्षण और त्रुटि, प्रेरित अनुमान
यदि किसी समीकरण का समाधान समुच्चय सीमित समुच्चय तक सीमित है (उदाहरण के लिए, मॉड्यूलर अंकगणित में समीकरणों के स्तिथि में), या संभावनाओं की सीमित संख्या तक सीमित किया जा सकता है (जैसा कि कुछ डायोफैंटिन समीकरणों के स्तिथि में है), तो समाधान समुच्चय मनमानी-बल द्वारा पाया जा सकता है, अर्थात प्रत्येक संभावित मान (उम्मीदवार समाधान) का परीक्षण करके पाया जा सकता है। यह मामला हो सकता है, चूंकि, विचार की जाने वाली संभावनाओं की संख्या, चूंकि परिमित, इतनी बड़ी है कि संपूर्ण खोज व्यावहारिक रूप से संभव नहीं है, यह वास्तव में, मजबूत कूटलेखन विधियों के लिए एक आवश्यकता है।

जैसा कि सभी प्रकार की समस्या समाधान के साथ होता है, परीक्षण और त्रुटि कभी-कभी एक समाधान उत्पन्न कर सकते हैं, विशेष रूप से जहां समीकरण का रूप, या किसी ज्ञात समाधान के साथ किसी अन्य समीकरण के साथ इसकी समानता, समाधान पर "प्रेरित अनुमान" का कारण बन सकता है। यदि एक अनुमान, जब परीक्षण किया जाता है, समाधान होने में विफल रहता है, जिस तरह से यह विफल होता है, उस पर विचार करने से संशोधित अनुमान हो सकता है।

प्रारंभिक बीजगणित
वास्तविक मान अज्ञात के रैखिक या सरल तर्कसंगत कार्यों से जुड़े समीकरण, $x$ कहते हैं, जैसे


 * $$8x+7=4x+35 \quad \text{or} \quad \frac{4x + 9}{3x + 4} = 2 \, ,$$

प्रारंभिक बीजगणित के तरीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली
प्रारंभिक बीजगणित के तरीकों से इसी तरह रैखिक समीकरणों की छोटी प्रणालियों को हल किया जा सकता है। बड़ी प्रणालियों को हल करने के लिए, कलन विधि का उपयोग किया जाता है जो रैखिक बीजगणित पर आधारित होते हैं।

बहुपद समीकरण
चार तक की डिग्री के बहुपद समीकरणों को बीजगणितीय विधियों का उपयोग करके ठीक से हल किया जा सकता है, जिनमें से द्विघात सूत्र सबसे सरल उदाहरण है। पांच या अधिक की डिग्री वाले बहुपद समीकरणों के लिए सामान्य संख्यात्मक विधियों (नीचे देखें) या विशेष कार्यों जैसे मौलिक लाने की आवश्यकता होती है, चूंकि कुछ विशिष्ट स्थितियों को बीजगणितीय रूप से हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए
 * $$4x^5 - x^3 - 3 = 0$$

(तर्कसंगत मूल प्रमेय का उपयोग करके), और
 * $$x^6 - 5x^3 + 6 = 0 \, ,$$

(प्रतिस्थापन $\sqrt{2}$,का उपयोग करके, जो इसे $z$ में द्विघात समीकरण में सरल करता है)।

डायोफैंटाइन समीकरण
डायोफैंटाइन समीकरणों में समाधान पूर्णांक होना आवश्यक है। जैसा ऊपर बताया गया है, कुछ स्थितियों में मनमानी बल दृष्टिकोण का उपयोग किया जा सकता है। कुछ अन्य स्थितियों में, विशेष रूप से यदि समीकरण अज्ञात में है, तो तर्कसंगत-मान अज्ञात के लिए समीकरण को हल करना संभव है (तर्कसंगत मूल प्रमेय देखें), और फिर समाधान समुच्चय को पूर्णांक तक सीमित करके डायोफैंटाइन समीकरण का समाधान खोजें- मान समाधान। उदाहरण के लिए, बहुपद समीकरण
 * $$2x^5-5x^4-x^3-7x^2+2x+3=0\,$$

परिमेय हल के रूप में $–\sqrt{2}$ और $\{\sqrt{2}, −\sqrt{2}\}$ है और इसलिए, डायोफैंटाइन समीकरण के रूप में देखा गया, इसका अद्वितीय समाधान $x = z^$ है।

सामान्यतः, चूंकि, डायोफैंटाइन समीकरण हल करने के लिए सबसे कठिन समीकरणों में से हैं।

प्रतिलोम फलन
चर के फलन के साधारण स्तिथि में, मान लीजिए h(x), हम किसी स्थिरांक $c$ के लिए $x = −1⁄2$ के रूप के समीकरण को हल कर सकते हैं, जिसे $h$ के व्युत्क्रम फलन के रूप में जाना जाता है।

फलन $x = 3$, दिया है, व्युत्क्रम फलन $x = 3$ को निरूपित करता है और $h(x) = c$, के रूप में परिभाषित किया गया है, यह ऐसा फलन है जो


 * $$h^{-1}\bigl(h(x)\bigr) = h\bigl(h^{-1}(x)\bigr) = x \,.$$

अब, यदि हम $h : A → B$, के दोनों पक्षों पर व्युत्क्रम फलन लागू करते हैं, जहाँ $c$, $B$ में एक स्थिर मान है, तो हम प्राप्त करते हैं


 * $$\begin{align}

h^{-1}\bigl(h(x)\bigr) &= h^{-1}(c) \\ x &= h^{-1}(c) \\ \end{align}$$ और हमें समीकरण का हल मिल गया है। चूंकि, फलन के आधार पर, व्युत्क्रम को परिभाषित करना मुश्किल हो सकता है, या सभी समुच्चय $h^{−1}$ (केवल कुछ उपसमुच्चय पर) पर फलन नहीं हो सकता है, और किसी बिंदु पर कई मान हो सकते हैं।

यदि पूर्ण समाधान समुच्चय के अतिरिक्त केवल समाधान करेगा, तो यह वास्तव में केवल कार्यात्मक पहचान के लिए पर्याप्त है


 * $$h\left(h^{-1}(x)\right) = x$$

रखती है। उदाहरण के लिए, प्रक्षेपण (गणित) $h^{−1} : B → A$ को $h(x) = c$ द्वारा परिभाषित किया गया है, जिसका कोई पश्च-प्रतिलोम नहीं है, लेकिन इसमें पूर्व-प्रतिलोम  $B$ द्वारा परिभाषित $π_{1} : R^{2} → R$. दरअसल, समीकरण $π_{1}(x, y) = x$ द्वारा हल किया जाता है


 * $$(x,y) = \pi_1^{-1}(c) = (c,0).$$

प्रतिलोम फलनों के उदाहरणों में सम्मलित हैं nवां मूल( $π−1 1$ का प्रतिलोम), लघुगणक ( $π−1 1(x) = (x, 0)$ का व्युत्क्रम), व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य, और लैम्बर्ट का $W$ फलन ( $π_{1}(x, y) = c$ का व्युत्क्रम)।

गुणनखंड
यदि किसी समीकरण $x^{n}$ के बाएँ हाथ की व्यंजक को $a^{x}$ गुणनखंडन किया जा सकता है, तो मूल समाधान के समाधान समुच्चय में दो समीकरणों $xe^{x}$ और $P = 0$ के समाधान समुच्चय का मिलन होता है। उदाहरण के लिए, समीकरण
 * $$\tan x + \cot x = 2$$

$P = QR$ की पहचान का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है
 * $$\frac{\tan^2 x -2 \tan x+1}{\tan x} = 0,$$

जिसे गुणनखंडित किया जा सकता है
 * $$\frac{\left(\tan x - 1\right)^2}{\tan x}= 0.$$

समाधान इस प्रकार समीकरण के समाधान हैं $Q = 0$, और इस प्रकार समुच्चय हैं
 * $$x = \tfrac{\pi}{4} + k\pi, \quad k = 0, \pm 1, \pm 2, \ldots.$$

संख्यात्मक तरीके
वास्तविक या जटिल संख्याओं में अधिक जटिल समीकरणों के साथ, समीकरणों को हल करने के सरल तरीके विफल हो सकते हैं। अधिकांशतः, न्यूटन-रैफसन विधि जैसे रूट-खोज कलन विधि का उपयोग समीकरण के संख्यात्मक समाधान को खोजने के लिए किया जा सकता है, जो कुछ अनुप्रयोगों के लिए कुछ समस्या को हल करने के लिए पूरी तरह से पर्याप्त हो सकता है।

मैट्रिक्स समीकरण
वास्तविक संख्याओं के आव्यूहों और सदिशों वाले समीकरणों को अधिकांशतः रेखीय बीजगणित की विधियों का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

विभेदक समीकरण
संख्यात्मक और विश्लेषणात्मक दोनों तरह के विभिन्न प्रकार के अवकल समीकरणों को हल करने के लिए विधियों का विशाल निकाय है। समस्या का विशेष वर्ग जिसे यहाँ संबंधित माना जा सकता है, एकीकरण है, और इस तरह की समस्याओं को हल करने के लिए विश्लेषणात्मक तरीकों को अब प्रतीकात्मक एकीकरण कहा जाता है। अंतर समीकरणों के समाधान अंतर्निहित या स्पष्ट हो सकते हैं।

यह भी देखें

 * अप्रासंगिक और लापता समाधान
 * युगपत समीकरण
 * समीकरण गुणांक
 * जियोडेसिक समीकरणों को हल करना
 * एकीकरण (संगणक विज्ञान) - सांकेतिक भाव वाले समीकरणों को हल करना