घातीय वृद्धि

[[File:Exponential.svg|thumb|300px|right|ग्राफ दिखाता है कि कैसे घातीय वृद्धि (हरा) रैखिक (लाल) और घन (नीला) विकास दोनों से आगे निकल जाती है।

{{legend|red|Linear growth}} {{legend|blue|Cubic growth}} {{legend|green|Exponential growth}}]]घातीय वृद्धि वह प्रक्रिया है जो समय के साथ मात्रा में वृद्धि करती है। यह तब होता है जब समय के संबंध में किसी मात्रा का तात्कालिक दर (गणित) या परिवर्तन (अर्थात, व्युत्पन्न) मात्रा के लिए आनुपातिक (गणित) होता है। फलन (गणित) के रूप में वर्णित, घातीय वृद्धि से निकलने वाली मात्रा समय का घातीय कार्य है, अर्थात, समय का प्रतिनिधित्व करने वाला चर घातांक है (अन्य प्रकार के विकास के विपरीत, जैसे कि द्विघात वृद्धि)।

यदि आनुपातिकता का स्थिरांक ऋणात्मक है, जिससे समय के साथ मात्रा घट जाती है, और कहा जाता है कि इसके अतिरिक्त घातीय क्षय हो रहा है। समान अंतराल के साथ परिभाषा के फलन के असतत डोमेन के मामले में, इसे ज्यामितीय वृद्धि या ज्यामितीय क्षय भी कहा जाता है क्योंकि फलन मान ज्यामितीय प्रगति बनाते हैं।

किसी चर की चरघातांकी वृद्धि का सूत्र $x$ विकास दर पर $r$, समय के अनुसार $t$ असतत अंतराल में चलता है (यानी, पूर्णांक गुणा 0, 1, 2, 3, ... पर), है

$$x_t = x_0(1+r)^t$$ कहाँ पे $x_{0}$ का मूल्य है $x$ समय पर 0. जीवाणु कालोनी (जीव विज्ञान) का विकास अक्सर इसे चित्रित करने के लिए प्रयोग किया जाता है। जीवाणु खुद को दो में विभाजित करता है, जिनमें से प्रत्येक खुद को चार में विभाजित करता है, फिर आठ, 16, 32, और इसी तरह। वृद्धि की मात्रा बढ़ती रहती है क्योंकि यह जीवाणुओं की बढ़ती संख्या के समानुपाती होती है। इस तरह की वृद्धि वास्तविक जीवन की गतिविधि या घटनाओं में देखी जाती है, जैसे कि वायरस संक्रमण का प्रसार, चक्रवृद्धि ब्याज के कारण ऋण में वृद्धि और वायरल वीडियो का प्रसार। वास्तविक मामलों में, प्रारंभिक घातीय वृद्धि अक्सर हमेशा के लिए नहीं रहती है, इसके अतिरिक्त अंततः बाहरी कारकों की वजह से ऊपरी सीमा के कारण धीमा हो जाता है और रसद वक्र में बदल जाता है।

घातीय वृद्धि जैसी शर्तों को कभी-कभी गलत तरीके से तीव्र वृद्धि के रूप में व्याख्या की जाती है। वास्तव में, जो कुछ तेजी से बढ़ता है वह वास्तव में पहले धीरे-धीरे बढ़ सकता है।

जीव विज्ञान

 * सूक्ष्मजीवविज्ञानी संस्कृति में सूक्ष्मजीवों की संख्या तेजी से बढ़ेगी जब तक कि आवश्यक पोषक तत्व समाप्त नहीं हो जाता है, इसलिए अधिक जीवों के विकास के लिए उस पोषक तत्व की अधिक मात्रा नहीं होती है। विशिष्ट रूप से पहला जीव कोशिका दो संतति जीवों में विभाजित होता है, जो तब विभाजित होकर चार बनते हैं, जो विभाजित होकर आठ बनते हैं, इत्यादि। क्योंकि घातीय वृद्धि निरंतर वृद्धि दर को इंगित करती है, यह अक्सर माना जाता है कि घातीय रूप से बढ़ने वाली कोशिकाएं स्थिर-अवस्था में हैं। हालांकि, कोशिकाएं अपने चयापचय और जीन अभिव्यक्ति को फिर से तैयार करते हुए स्थिर दर पर तेजी से बढ़ सकती हैं। * यदि कोई कृत्रिम टीकाकरण उपलब्ध नहीं है, तो वायरस (उदाहरण के लिए COVID-19, या चेचक) आमतौर पर सबसे पहले तेजी से फैलेगा। प्रत्येक संक्रमित व्यक्ति कई नए लोगों को संक्रमित कर सकता है।

भौतिकी

 * ढांकता हुआ पदार्थ के भीतर हिमस्खलन टूटना। मुक्त इलेक्ट्रॉन बाहरी रूप से लागू विद्युत क्षेत्र द्वारा पर्याप्त रूप से त्वरित हो जाता है कि यह अतिरिक्त इलेक्ट्रॉनों को मुक्त कर देता है क्योंकि यह ढांकता हुआ मीडिया के परमाणुओं या अणुओं से टकराता है। ये द्वितीयक इलेक्ट्रॉन भी त्वरित होते हैं, जिससे बड़ी संख्या में मुक्त इलेक्ट्रॉन बनते हैं। इलेक्ट्रॉनों और आयनों के परिणामस्वरूप घातीय वृद्धि तेजी से सामग्री के पूर्ण ढांकता हुआ टूटने का कारण बन सकती है।
 * परमाणु श्रृंखला प्रतिक्रिया (परमाणु रिएक्टरों और परमाणु हथियारों के पीछे की अवधारणा)। प्रत्येक यूरेनियम परमाणु नाभिक जो परमाणु विखंडन से गुजरता है, कई न्यूट्रॉन पैदा करता है, जिनमें से प्रत्येक आसन्न यूरेनियम परमाणुओं द्वारा अवशोषण (रसायन विज्ञान) हो सकता है, जिससे वे बदले में विखंडन कर सकते हैं। यदि न्यूट्रॉन अवशोषण की संभावना न्यूट्रॉन पलायन (यूरेनियम के आकार और द्रव्यमान का कार्य (गणित)) की संभावना से अधिक हो जाती है, तो अनियंत्रित प्रतिक्रिया में न्यूट्रॉन और प्रेरित यूरेनियम विखंडन की उत्पादन दर तेजी से बढ़ जाती है। वृद्धि की घातीय दर के कारण, श्रृंखला अभिक्रिया के किसी भी बिंदु पर पिछली 4.6 पीढ़ियों में 99% ऊर्जा मुक्त हो चुकी होगी। पहली 53 पीढ़ियों को वास्तविक विस्फोट तक ले जाने वाली विलंबता अवधि के रूप में सोचना उचित अनुमान है, जिसमें केवल 3-4 पीढ़ियाँ लगती हैं।
 * विद्युत या इलेक्ट्रोअकॉस्टिक एम्पलीफायर की रैखिक सीमा के भीतर सकारात्मक प्रतिक्रिया के परिणामस्वरूप प्रवर्धित सिग्नल की घातीय वृद्धि हो सकती है, हालांकि अनुनाद प्रभाव दूसरों पर सिग्नल की कुछ घटक आवृत्ति का पक्ष ले सकता है।

अर्थशास्त्र

 * आर्थिक विकास को प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, जिसका अर्थ घातीय वृद्धि है।

वित्त

 * स्थिर ब्याज दर पर चक्रवृद्धि ब्याज पूंजी की घातीय वृद्धि प्रदान करता है। 72 का नियम भी देखें।
 * पिरामिड योजनाएं या पोंजी योजनाएं भी इस प्रकार की वृद्धि दिखाती हैं जिसके परिणामस्वरूप कुछ शुरुआती निवेशकों को अधिक मुनाफा होता है और बड़ी संख्या में निवेशकों को नुकसान होता है।

कंप्यूटर विज्ञान

 * कंप्यूटर की घड़ी दर। मूर का नियम और तकनीकी विलक्षणता भी देखें। (घातीय वृद्धि के तहत, कोई विलक्षणता नहीं है। यहां विलक्षणता रूपक है, जो अकल्पनीय भविष्य को व्यक्त करने के लिए है। घातीय वृद्धि के साथ इस काल्पनिक अवधारणा का लिंक सबसे मुखर रूप से भविष्यवादी रेमंड कुर्ज़वील द्वारा बनाया गया है।)
 * कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में, घातीय जटिलता के कंप्यूटर एल्गोरिदम को समस्या के आकार में लगातार वृद्धि के लिए संसाधनों की घातीय रूप से बढ़ती मात्रा (जैसे समय, कंप्यूटर मेमोरी) की आवश्यकता होती है। तो समय जटिलता के एल्गोरिदम के लिए $2^{x}$, अगर आकार की समस्या है $x = 10$ पूरा करने के लिए 10 सेकंड की आवश्यकता है, और आकार की समस्या है $x = 11$ 20 सेकंड की आवश्यकता है, फिर आकार की समस्या $x = 12$ 40 सेकंड की आवश्यकता होगी। इस तरह का एल्गोरिथ्म आमतौर पर बहुत छोटी समस्या के आकार में अनुपयोगी हो जाता है, अक्सर 30 और 100 वस्तुओं के बीच (अधिकांश कंप्यूटर एल्गोरिदम को उचित समय में हजारों या यहां तक ​​कि लाखों वस्तुओं तक बड़ी समस्याओं को हल करने में सक्षम होने की आवश्यकता होती है। घातीय एल्गोरिथम के साथ शारीरिक रूप से असंभव हो)। इसके अलावा, मूर के नियम के प्रभाव से स्थिति को बहुत मदद नहीं मिलती है क्योंकि प्रोसेसर की गति को दोगुना करने से आप समस्या का आकार लगातार बढ़ा सकते हैं। उदा. अगर धीमा प्रोसेसर आकार की समस्याओं को हल कर सकता है $x$ समय के भीतर $t$, तब दुगुनी तेजी से प्रोसेसर केवल आकार की समस्याओं को हल कर सकता था $x + constant$ एक ही समय में $t$. इसलिए घातीय रूप से जटिल एल्गोरिदम अक्सर अव्यावहारिक होते हैं, और अधिक कुशल एल्गोरिदम की खोज आज कंप्यूटर विज्ञान के केंद्रीय लक्ष्यों में से एक है।

इंटरनेट घटनाएं

 * इंटरनेट सामग्री, जैसे कि इंटरनेट मेम्स या वायरल वीडियो, घातीय तरीके से फैल सकते हैं, अक्सर वायरल घटना को वायरस के प्रसार के सादृश्य के रूप में कहा जाता है। सामाजिक नेटवर्क जैसे मीडिया के साथ, व्यक्ति एक ही सामग्री को कई लोगों को एक साथ अग्रेषित कर सकता है, जो इसे और भी अधिक लोगों तक फैला सकते हैं, और इसी तरह तेजी से फैलते हैं। उदाहरण के लिए, वीडियो गंगनम स्टाइल 15 जुलाई 2012 को YouTube पर अपलोड किया गया था, पहले दिन सैकड़ों हजारों दर्शकों तक पहुंचा, बीसवें दिन लाखों, और दो महीने से भी कम समय में संचयी रूप से लाखों लोगों द्वारा देखा गया।

मूल सूत्र
मात्रा $x$ समय पर चरघातांकी रूप से निर्भर करता है $t$ यदि $$x(t)=a\cdot b^{t/\tau}$$ जहां निरंतर $a$ का प्रारंभिक मूल्य है $x$, $$x(0) = a \, ,$$ अटल $b$ सकारात्मक विकास कारक है, और $τ$ समय स्थिर है - के लिए आवश्यक समय $x$ के कारक से वृद्धि करना $b$: $$x(t+\tau) = a \cdot b^{\frac{t+\tau}{\tau}} = a \cdot b^{\frac{t}{\tau}} \cdot b^{\frac{\tau}{\tau}} = x(t) \cdot b\, .$$ यदि $τ > 0$ तथा $b > 1$, फिर $x$ घातीय वृद्धि है। यदि $τ < 0$ तथा $b > 1$, या $τ > 0$ तथा $0 < b < 1$, फिर $x$ घातीय क्षय है।

उदाहरण: यदि बैक्टीरिया की प्रजाति हर दस मिनट में दोगुनी हो जाती है, केवल जीवाणु से शुरू होकर, घंटे के बाद कितने बैक्टीरिया मौजूद होंगे? प्रश्न का तात्पर्य है $a = 1$, $b = 2$ तथा $τ = 10 min$.

$$x(t)=a\cdot b^{t/\tau} = 1 \cdot 2^{t/(10\text{ min})}$$ $$x(1\text{ hr}) = 1\cdot 2^{(60\text{ min})/(10\text{ min})} = 1 \cdot 2^6 =64.$$ घंटे या छह दस मिनट के अंतराल के बाद चौंसठ बैक्टीरिया होंगे।

कई जोड़े $(b, τ)$ आयाम रहित गैर-ऋणात्मक संख्या का $b$ और समय की राशि $τ$ ( भौतिक मात्रा जिसे कई इकाइयों और समय की इकाई के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है) समान वृद्धि दर का प्रतिनिधित्व करती है, $τ$ आनुपातिक $log b$. किसी निश्चित के लिए $b$ 1 के बराबर नहीं (जैसे ई (गणितीय स्थिरांक) या 2), विकास दर गैर-शून्य समय द्वारा दी गई है $τ$. किसी भी गैर-शून्य समय के लिए $τ$ विकास दर आयाम रहित सकारात्मक संख्या द्वारा दी गई है$b$.

इस प्रकार चरघातांकी वृद्धि के नियम को अलग-अलग घातांकों का उपयोग करके भिन्न-भिन्न लेकिन गणितीय रूप से समतुल्य रूपों में लिखा जा सकता है। सबसे आम रूप निम्नलिखित हैं: $$x(t) = x_0\cdot e^{kt} = x_0\cdot e^{t/\tau} = x_0 \cdot 2^{t/T} = x_0\cdot \left( 1 + \frac{r}{100} \right)^{t/p},$$ कहाँ पे $x_{0}$ प्रारंभिक मात्रा व्यक्त करता है $x(0)$.

पैरामीटर (घातीय क्षय के मामले में नकारात्मक): मात्राएँ $k$, $e$, तथा $r$, और दिए गए के लिए $p$ भी $k$, निम्नलिखित समीकरण द्वारा दिया गया एक-से-एक कनेक्शन है (जो ऊपर के प्राकृतिक लघुगणक को ले कर प्राप्त किया जा सकता है): $$k = \frac{1}{\tau} = \frac{\ln 2}{T} = \frac{\ln \left( 1 + \frac{r}{100} \right)}{p}$$ कहाँ पे $τ$ से मेल खाती है $T$ और करने के लिए $p$ तथा $r$ अनंत होना।
 * वृद्धि स्थिर $k = 0$ कारक द्वारा बढ़ने की आवृत्ति (प्रति इकाई समय की संख्या) है $r = 0$; वित्त में इसे लॉगरिदमिक रिटर्न, निरंतर चक्रवृद्धि, या चक्रवृद्धि ब्याज#ब्याज का बल भी कहा जाता है।
 * ई तह | ई-फोल्डिंग टाइम τ कारक ई (गणितीय स्थिरांक) द्वारा बढ़ने में लगने वाला समय है।
 * दुगुना होने में लगने वाला समय T दुगना होने में लगने वाला समय है।
 * प्रतिशत वृद्धि $τ$ ( आयाम रहित संख्या) अवधि में $T$.

यदि $p$ समय की इकाई भागफल है $t/p$ बस समय की इकाइयों की संख्या है। अंकन का उपयोग करना $t$ (आयाम रहित) समय की अतिरिक्त समय की इकाइयों की संख्या के लिए, $t/p$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $t$, लेकिन एकरूपता के लिए इसे यहाँ टाला गया है। इस मामले में द्वारा विभाजन $p$ अंतिम सूत्र में संख्यात्मक विभाजन भी नहीं है, बल्कि आयाम रहित संख्या को इकाई सहित सही मात्रा में परिवर्तित करता है।

विकास दर से दोहरीकरण समय की गणना के लिए लोकप्रिय अनुमानित विधि 70 का नियम है, वह है, $$T \simeq 70 / r$$.

लॉग-लीनियर ग्रोथ
के रूप में सुधार यदि चर $x$ के अनुसार घातीय वृद्धि प्रदर्शित करता है $$x(t) = x_0 (1+r)^t$$, फिर लॉग (किसी भी आधार पर)। $x$ समय के साथ रैखिक कार्य, जैसा कि घातीय वृद्धि समीकरण के दोनों पक्षों के लघुगणक लेकर देखा जा सकता है: $$\log x(t) = \log x_0 + t \cdot \log (1+r).$$ यह घातीय रूप से बढ़ते चर को गैर-रैखिक प्रतिगमन#रैखिकीकरण|लॉग-रैखिक मॉडल के साथ मॉडलिंग करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई अनुभवजन्य रूप से इंटरटेम्पोरल डेटा से विकास दर का अनुमान लगाना चाहता है $x$, कोई रैखिक प्रतिगमन कर सकता है $log x$ पर $t$.

विभेदक समीकरण
घातीय कार्य $$x(t) = x_0 e^{kt}$$ रैखिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है: $$\frac{dx}{dt} = kx$$ यह कह रहा है कि समय के प्रति पल में परिवर्तन $x$ समय पर $t$ के मान के समानुपाती होता है $x(t)$, तथा $x(t)$ प्रारंभिक मूल्य है $$x(0) = x_0$$.

अंतर समीकरण प्रत्यक्ष एकीकरण द्वारा हल किया जाता है: $$\begin{align} \frac{dx}{dt} & = kx \\[5pt] \frac{dx} x & = k\, dt \\[5pt] \int_{x_0}^{x(t)} \frac{dx}{x} & = k \int_0^t \, dt \\[5pt] \ln \frac{x(t)}{x_0} & = kt. \end{align}$$ ताकि $$ x(t) = x_0 e^{kt}.$$ उपरोक्त अंतर समीकरण में, यदि $k < 0$, तो मात्रा घातीय क्षय का अनुभव करती है।

इस विकास मॉडल की अरैखिक भिन्नता के लिए रसद समारोह देखें।

अन्य विकास दर
लंबे समय में, किसी भी प्रकार की घातीय वृद्धि किसी भी प्रकार की रैखिक वृद्धि (जो कि माल्थसियन तबाही का आधार है) के साथ-साथ किसी भी बहुपद वृद्धि से आगे निकल जाएगी, अर्थात सभी के लिए $α$: $$\lim_{t \to \infty} \frac{t^\alpha}{a e^t} = 0.$$ कल्पनीय विकास दर का पूरा पदानुक्रम है जो घातीय से धीमा है और रैखिक (लंबे समय में) से तेज है। देखना.

विकास दर घातांक से भी तेज हो सकती है। सबसे चरम मामले में, जब वृद्धि परिमित समय में बिना किसी सीमा के बढ़ती है, तो इसे अतिशयोक्तिपूर्ण विकास कहा जाता है। घातीय और अतिशयोक्तिपूर्ण विकास के बीच विकास व्यवहार के अधिक वर्ग हैं, जैसे टेट्रेशन से शुरू होने वाले हाइपरऑपरेशन, और $$A(n,n)$$, एकरमैन समारोह का विकर्ण।

रसद विकास


हकीकत में, प्रारंभिक घातीय वृद्धि अक्सर हमेशा के लिए कायम नहीं रहती है। कुछ अवधि के बाद, यह बाहरी या पर्यावरणीय कारकों द्वारा धीमा हो जाएगा। उदाहरण के लिए, जनसंख्या वृद्धि संसाधन सीमाओं के कारण ऊपरी सीमा तक पहुँच सकती है। 1845 में, बेल्जियम के गणितज्ञ पियरे फ़्राँस्वा वेरहल्स्ट ने पहली बार इस तरह के विकास का गणितीय मॉडल प्रस्तावित किया, जिसे लॉजिस्टिक कर्व कहा जाता है।

मॉडल की सीमाएं
भौतिक परिघटनाओं के घातीय वृद्धि मॉडल केवल सीमित क्षेत्रों में ही लागू होते हैं, क्योंकि असीमित वृद्धि भौतिक रूप से यथार्थवादी नहीं है। हालांकि विकास शुरू में घातीय हो सकता है, मॉडलिंग की घटना अंततः ऐसे क्षेत्र में प्रवेश करेगी जिसमें पहले से उपेक्षित नकारात्मक प्रतिक्रिया कारक महत्वपूर्ण हो जाते हैं ( रसद विकास मॉडल के लिए अग्रणी) या घातीय वृद्धि मॉडल की अन्य अंतर्निहित धारणाएं, जैसे निरंतरता या तात्कालिक प्रतिक्रिया, ब्रेक नीचे।

एक्सपोनेंशियल ग्रोथ बायस
अध्ययनों से पता चलता है कि मनुष्य को घातीय वृद्धि को समझने में कठिनाई होती है। घातीय वृद्धि पूर्वाग्रह चक्रवृद्धि विकास प्रक्रियाओं को कम आंकने की प्रवृत्ति है। इस पूर्वाग्रह के वित्तीय प्रभाव भी हो सकते हैं। नीचे कुछ कहानियाँ दी गई हैं जो इस पूर्वाग्रह पर ज़ोर देती हैं।

शतरंज की बिसात पर चावल
पुरानी किंवदंती के अनुसार, वज़ीर सिसा बेन दाहिर ने भारतीय राजा शरीम को सुंदर हस्तनिर्मित शतरंज की बिसात भेंट की। राजा ने पूछा कि वह अपने उपहार के बदले में क्या चाहते हैं और दरबारी ने पहले चौके पर चावल का एक दाना, दूसरे पर दो दाने, तीसरे पर चार दाने आदि मांगकर राजा को आश्चर्यचकित कर दिया। राजा ने सहर्ष सहमति व्यक्त की और पूछा। चावल लाने के लिए। पहले तो सब ठीक चला, लेकिन आवश्यकता के लिए $2^{n−1}$ पर अनाज $n$वें वर्ग ने 21वें वर्ग पर एक लाख से अधिक अनाज की मांग की, मिलियन मिलियन से अधिक (a.k.a. परिमाण के आदेश (संख्या) # 1012) 41 वें पर और अंतिम वर्गों के लिए पूरी दुनिया में पर्याप्त चावल नहीं थे। (स्विर्स्की से, 2006) शतरंज की बिसात का दूसरा भाग वह समय होता है जब तेजी से बढ़ते प्रभाव का संगठन की समग्र व्यावसायिक रणनीति पर महत्वपूर्ण आर्थिक प्रभाव पड़ता है।

जल लिली
फ्रांसीसी बच्चों को पहेली पेश की जाती है, जो घातीय वृद्धि का पहलू प्रतीत होता है: स्पष्ट आकस्मिकता जिसके साथ घातीय रूप से बढ़ती मात्रा निश्चित सीमा तक पहुंचती है। पहेली तालाब में उगने वाले पानी के लिली के पौधे की कल्पना करती है। यह पौधा हर दिन आकार में दुगना हो जाता है और अगर अकेला छोड़ दिया जाए तो यह 30 दिनों में तालाब को गला देगा और पानी में अन्य सभी जीवित चीजों को मार देगा। दिन-ब-दिन, पौधे की वृद्धि कम होती जाती है, इसलिए यह निर्णय लिया जाता है कि यह तब तक चिंता का विषय नहीं होगा जब तक कि यह तालाब के आधे हिस्से को कवर न कर ले। वह कौन सा दिन होगा? 29वां दिन, तालाब बचाने के लिए सिर्फ एक दिन बचा है।

यह भी देखें

 * तेजी से परिवर्तन
 * अल्बर्ट एलन बार्टलेट
 * आर्थ्रोबैक्टर
 * स्पर्शोन्मुख संकेतन
 * जीवाणु वृद्धि
 * परिबद्ध वृद्धि
 * कोशिका विकास
 * मिश्रित विस्फोट
 * घातीय एल्गोरिथ्म
 * एक्सपस्पेस
 * EXPTIME
 * हॉसडॉर्फ आयाम
 * अतिशयोक्तिपूर्ण विकास
 * सूचना विस्फोट
 * तेजी से रिटर्न का कानून
 * घातीय विषयों की सूची
 * लघुगणक वृद्धि
 * लॉजिस्टिक फंक्शन
 * माल्थसियन विकास मॉडल
 * मेरा स्पंज
 * मूर की विधि
 * द्विघात वृद्धि
 * स्टीन का नियम

स्रोत

 * मीडोज, डोनेला। रैंडर्स, जोर्गेन। मीडोज, डेनिस। विकास की सीमाएं: 30 साल का अद्यतन। चेल्सी ग्रीन प्रकाशन, 2004। ISBN 9781603581554
 * मीडोज, डोनेला एच., डेनिस एल. मीडोज, जोर्जेन रैंडर्स, और विलियम डब्ल्यू. बेहरेंस III। (1972) द लिमिट्स टू ग्रोथ। न्यूयॉर्क: यूनिवर्सिटी बुक्स। ISBN 0-87663-165-0
 * पोरिट, जे. कैपिटलिज्म ऐज इफ द वर्ल्ड मैटर्स, अर्थस्कैन 2005। ISBN 1-84407-192-8
 * स्वार्स्की, पीटर। ऑफ लिटरेचर एंड नॉलेज: एक्सप्लोरेशन इन नैरेटिव थॉट एक्सपेरिमेंट्स, एवोल्यूशन एंड गेम थ्योरी। न्यूयॉर्क: रूटलेज। ISBN 0-415-42060-1
 * थॉमसन, डेविड जी. ब्लूप्रिंट टू अ बिलियन: 7 एसेंशियल्स टू अचीव एक्सपोनेंशियल ग्रोथ, विले दिसंबर 2005, ISBN 0-471-74747-5
 * त्सिरेल, एस.वी. 2004। सामाजिक और आर्थिक गतिशीलता / एड की गणितीय मॉडलिंग। एम. जी. दमित्रिएव और ए. पी. पेट्रोव द्वारा, पीपी। 367–9। मास्को: रूसी राज्य सामाजिक विश्वविद्यालय, 2004।

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * घातांक प्रकार्य
 * ज्यामितीय अनुक्रम
 * किसी फलन का डोमेन
 * यौगिक
 * समारोह (गणित)
 * कोशिका विभाजन
 * सूक्ष्मजीवविज्ञानी संस्कृति
 * प्रतिरक्षा
 * ढांकता हुआ टूटना
 * नाभिकीय रिएक्टर्स
 * गूंज
 * पॉन्ज़ी योजना
 * घड़ी की दर
 * स्थिर समय
 * आयामरहित
 * दोहरा समय
 * निरंतर कंपाउंडिंग
 * रैखिक प्रकार्य
 * लोगारित्म
 * रेखीय प्रतिगमन
 * आरंभिक मूल्य
 * अरेखीय
 * माल्थुसियन आपदा
 * नकारात्मक प्रतिपुष्टि
 * रसद वृद्धि
 * बंधी हुई वृद्धि
 * परिवर्तन में तेजी
 * संयुक्त विस्फोट
 * लघुगणकीय वृद्धि

बाहरी संबंध

 * Growth in a Finite World – Sustainability and the Exponential Function — Presentation
 * Dr. Albert Bartlett: Arithmetic, Population and Energy — streaming video and audio 58 min