बहुरेखीय बीजगणित

बहुरेखीय बीजगणित गणित का एक उपक्षेत्र है जो रैखिक बीजगणित के तरीकों का विस्तार करता है। जैसे रेखीय बीजगणित एक वेक्टर अंतरिक्ष की अवधारणा पर बनाया गया है और वेक्टर रिक्त स्थान के सिद्धांत को विकसित करता है, बहुरेखीय बीजगणित मल्टीवेक्टर की अवधारणाओं पर बनाता है।

उत्पत्ति
आयाम (वेक्टर स्पेस) एन के वेक्टर स्पेस में, आमतौर पर केवल वैक्टर का उपयोग किया जाता है। हालांकि, हरमन ग्रासमैन  और अन्य के अनुसार, यह अनुमान जोड़े, ट्रिपलेट और सामान्य  multivector  | मल्टी-वैक्टर की संरचनाओं पर विचार करने की जटिलता को याद करता है। कई संयोजी संभावनाओं के साथ, बहु-वैक्टरों के स्थान में 2 हैn आयाम। निर्धारक#सार सूत्रीकरण सबसे तत्काल अनुप्रयोग है। बहुरेखीय बीजगणित में लोच के विभिन्न मॉड्यूल के साथ तनाव और तनाव के लिए भौतिक प्रतिक्रिया के यांत्रिक अध्ययन में भी अनुप्रयोग हैं। इस व्यावहारिक संदर्भ ने मल्टीलाइनर स्पेस के तत्वों का वर्णन करने के लिए टेंसर शब्द का उपयोग किया। एक बहुरेखीय अंतरिक्ष में अतिरिक्त संरचना ने इसे उच्च गणित में विभिन्न अध्ययनों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाने के लिए प्रेरित किया है। हालांकि ग्रासमैन ने 1844 में अपने ऑस्देहनुंगस्लेह्रे के साथ विषय शुरू किया, जिसे 1862 में पुनर्प्रकाशित भी किया गया था, उनका काम स्वीकृति प्राप्त करना था, क्योंकि सामान्य रैखिक बीजगणित ने समझने के लिए पर्याप्त चुनौतियां प्रदान की थीं।

बहुभिन्नरूपी बीजगणित का विषय बहुभिन्नरूपी कैलकुलस  और  विविध  के कुछ अध्ययनों में लागू किया जाता है जहां  जैकबियन मैट्रिक्स  चलन में आता है। सिंगल वेरिएबल कैलकुलस का डिफरेंशियल (इनफिनिटिमल) मल्टीवेरेट कैलकुलस में  विभेदक रूप  बन जाता है, और उनका हेरफेर  बाहरी बीजगणित  के साथ किया जाता है।

ग्रासमैन के बाद, बहुरेखीय बीजगणित में विकास 1872 में विक्टर श्लेगल  द्वारा किया गया था जब उन्होंने अपने सिस्टम डेर राउमलेह्रे और  एल्विन ब्रूनो क्रिस्टोफर  के पहले भाग को प्रकाशित किया था। बहुरेखीय बीजगणित में एक प्रमुख प्रगति  ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्त्रो  और  टुल्लियो लेवी-सिविता  (संदर्भ देखें) के काम में आई। यह बहुरेखीय बीजगणित का निरपेक्ष अवकल कलन रूप था जिसे  मार्सेल ग्रॉसमैन  और  माइकल बेस्सो  ने  अल्बर्ट आइंस्टीन  से परिचित कराया था। आइंस्टीन द्वारा 1915 में प्रकाशित  सामान्य सापेक्षता  के प्रकाशन ने बुध के उपसौर के पुरस्सरण की व्याख्या करते हुए बहुरेखीय बीजगणित और  टेन्सर  को भौतिक रूप से महत्वपूर्ण गणित के रूप में स्थापित किया।

बीजगणितीय टोपोलॉजी में प्रयोग करें
20वीं शताब्दी के मध्य के आस-पास टेंसरों के अध्ययन को और अधिक सारगर्भित रूप से पुनर्निरूपित किया गया था। निकोलस बोरबाकी  समूह का ग्रंथ बहुरेखीय बीजगणित विशेष रूप से प्रभावशाली था - वास्तव में, बहुरेखीय बीजगणित शब्द की उत्पत्ति वहीं हुई होगी। उस समय एक कारण आवेदन का एक नया क्षेत्र था, होमोलॉजिकल बीजगणित। 1940 के दशक के दौरान बीजगणितीय टोपोलॉजी  के विकास ने  टेंसर उत्पाद  के विशुद्ध रूप से बीजगणितीय उपचार के विकास के लिए अतिरिक्त प्रोत्साहन दिया। दो  टोपोलॉजिकल स्पेस  के  उत्पाद टोपोलॉजी  के होमोलॉजी (गणित) की गणना में टेंसर उत्पाद शामिल है; लेकिन केवल सबसे सरल मामलों में, जैसे कि एक  टोरस्र्स, क्या यह सीधे उस फैशन में गणना की जाती है (कुनेथ प्रमेय देखें)। सांस्थितिकीय परिघटनाएँ इतनी सूक्ष्म थीं कि उन्हें बेहतर मूलभूत अवधारणाओं की आवश्यकता थी; तकनीकी रूप से बोलते हुए,  टोर काम करता है  को परिभाषित किया जाना था।

व्यवस्थित करने के लिए सामग्री काफी व्यापक थी, जिसमें हर्मन ग्रासमैन के विचार भी शामिल थे, विभेदक रूप ों के सिद्धांत से विचार, जो  डॉ कहलमज गर्भाशय  के साथ-साथ क्रॉस उत्पाद को सामान्यीकृत करने वाले वेज उत्पाद जैसे अधिक प्राथमिक विचार थे।

बोर्बकी द्वारा विषय के परिणामी बल्कि गंभीर लेखन ने वेक्टर कैलकुलस में एक दृष्टिकोण को पूरी तरह से खारिज कर दिया (चतुर्भुज मार्ग, जो सामान्य स्थिति में, झूठ समूहों के साथ संबंध है), और इसके बजाय, श्रेणी का उपयोग करके एक उपन्यास दृष्टिकोण लागू किया। सिद्धांत, झूठ समूह दृष्टिकोण के साथ एक अलग मामले के रूप में देखा गया। चूँकि यह एक अधिक स्वच्छ उपचार की ओर ले जाता है, विशुद्ध रूप से गणितीय शब्दों में शायद कोई पीछे नहीं हटना था। (सख्ती से, सार्वभौमिक संपत्ति  दृष्टिकोण लागू किया गया था; यह  श्रेणी सिद्धांत  की तुलना में कुछ अधिक सामान्य है, और वैकल्पिक तरीकों के रूप में दोनों के बीच के संबंध को भी एक ही समय में स्पष्ट किया जा रहा था।)

वास्तव में, जो किया गया था वह लगभग सटीक रूप से यह समझाने के लिए है कि टेन्सर रिक्त स्थान बहु-रेखीय समस्याओं को रैखिक समस्याओं को कम करने के लिए आवश्यक निर्माण हैं। यह विशुद्ध रूप से बीजगणितीय हमला कोई ज्यामितीय अंतर्ज्ञान नहीं बताता है।

बहुरेखीय बीजगणित के संदर्भ में समस्याओं को फिर से व्यक्त करने से, एक स्पष्ट और अच्छी तरह से परिभाषित सबसे अच्छा समाधान होता है: समाधान की बाधाएं वास्तव में व्यवहार में आवश्यक होती हैं। सामान्य तौर पर समन्वय प्रणालियों के लिए किसी भी तदर्थ निर्माण, ज्यामितीय विचार या सहारा लेने की कोई आवश्यकता नहीं है। श्रेणी-सैद्धांतिक शब्दजाल में, सब कुछ पूरी तरह से प्राकृतिक परिवर्तन  है।

बहुरेखीय बीजगणित में विषय
बहुरेखीय बीजगणित की विषय वस्तु पिछले वर्षों में प्रस्तुतीकरण की तुलना में कम विकसित हुई है। इसके लिए केंद्रीय रूप से प्रासंगिक और पृष्ठ यहां दिए गए हैं:


 * बिलिनियर ऑपरेटर
 * टेंसरों का घटक-मुक्त उपचार
 * क्रेमर का नियम
 * दोहरी जगह
 * आइंस्टीन संकेतन
 * बाहरी बीजगणित
 * बाहरी व्युत्पन्न
 * अंदरूनी प्रोडक्ट
 * क्रोनकर डेल्टा
 * लेवी-सीविटा प्रतीक
 * मीट्रिक टेंसर
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 * टेंसर बीजगणित, मुक्त बीजगणित
 * टेंसर संकुचन
 * ज्यामितीय बीजगणित

टेंसर थ्योरी की शब्दावली भी है।

अनुप्रयोग
बहुरेखीय बीजगणित अवधारणाओं को लागू करने के कुछ तरीके:


 * टेंसरों का शास्त्रीय उपचार
 * डायडिक टेंसर
 * ब्रा-केट संकेतन
 * ज्यामितीय बीजगणित
 * क्लिफर्ड बीजगणित
 * स्यूडोस्केलर (गणित)
 * स्यूडोवेक्टर
 * स्पिनर
 * बाहरी उत्पाद
 * हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या
 * बहुरेखीय उप-अंतरिक्ष अधिगम