गणनीय समुच्चय

गणित में, समुच्चय (गणित) गणनीय है यदि परिमित समुच्चय है या इसे प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के साथ पत्राचार में बनाया जा सकता है। समान रूप से, समुच्चय गणनीय होता है यदि उसमें से प्राकृतिक संख्याओं में कोई विशेषण फलन उपस्थित हो; इसका आशय यह है कि समुच्चय में प्रत्येक तत्व अद्वितीय प्राकृतिक संख्या से जुड़ा हो सकता है, या समुच्चय के तत्वों को समय में गिना जा सकता है, चूँकि तत्वों की अनंत संख्या के कारण गिनती कभी अंत नहीं हो सकती है।

अधिक तकनीकी शब्दों में, गणनीय विकल्प के सिद्धांत को मानते हुए, समुच्चय गणनीय है यदि इसकी प्रमुखता (समुच्चय के तत्वों की संख्या) प्राकृतिक संख्याओं से अधिक नहीं है। गणनीय समुच्चय जो परिमित नहीं है, 'गणनीय अनंत' कहा जाता है।

इस अवधारणा का श्रेय जॉर्ज कैंटर को दिया जाता है, जिन्होंने अनगिनत समुच्चय के अस्तित्व को सिद्ध किया, ऐसे समुच्चय जो गिनने योग्य नहीं हैं; उदाहरण के लिए वास्तविक संख्याओं का समुच्चय आदि।

शब्दावली पर एक नोट 
यद्यपि यहां परिभाषित गणनीय और गणनीय अनंत शब्द अधिक सामान्य हैं, किन्तु शब्दावली सार्वभौमिक नहीं है। वैकल्पिक शैली में गणनीय का उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे यहां गणनीय रूप से अनंत कहा जाता है, और अधिक से अधिक गणनीय का उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे यहां गणनीय कहा जाता है। अस्पष्टता से बचने के लिए, व्यक्ति अपने आप को अधिकतम गणनीय और गणनीय अनंत शब्दों तक सीमित कर सकता है, चूँकि संक्षेपण के संबंध में यह दोनों संसारो में सबसे अनुपयुक्त है। पाठक को राय दी जाती है कि साहित्य में गणनीय शब्द का सामना करते समय उपयोग में आने वाली परिभाषा का परिक्षण करें।

गिनती योग्य शर्तें और संख्यात्मक का भी उपयोग किया जा सकता है, दाहरण के लिए क्रमशः गणनीय और गणनीय अनंत का विचार करते हुए I किन्तु चूँकि परिभाषाएँ भिन्न-भिन्न होती हैं, इसलिए पाठक को एक बार पुनः उपयोग में आने वाली परिभाषा का परिक्षण करने की राय दी जाती है।

परिभाषा
एक सेट $$S$$ गणनीय है यदि:
 * इसकी प्रमुखता $$|S|$$ से कम या बराबर है $$\aleph_0$$ (aleph-अशक्त), प्राकृतिक संख्याओं के सेट की कार्डिनैलिटी $$\N$$. * से एक इंजेक्शन फ़ंक्शन मौजूद है $$S$$ को $$\N$$.
 * $$S$$ खाली है या वहां से कोई विशेषण फलन मौजूद है $$\N$$ को $$S$$. * के बीच एक विशेषण मानचित्रण मौजूद है $$S$$ और का एक उपसमुच्चय $$\N$$.
 * $$S$$ या तो परिमित समुच्चय है ($$|S|<\aleph_0$$) या गणनीय रूप से अनंत। ये सभी परिभाषाएँ समतुल्य हैं।

एक सेट $$S$$ गणनीय रूप से अनंत सेट है यदि: एक समुच्चय बेशुमार है यदि वह गणनीय नहीं है, अर्थात उसकी प्रमुखता इससे अधिक है $$\aleph_0$$.
 * इसकी प्रमुखता $$|S|$$ बिलकुल है $$\aleph_0$$. * एक विशेषण और विशेषण (और इसलिए आक्षेप) के बीच मानचित्रण है $$S$$ और $$\N$$.
 * $$S$$ के साथ एक-एक पत्राचार|एक-से-एक पत्राचार है $$\N$$.
 * के तत्व $$S$$ अनंत क्रम में व्यवस्थित किया जा सकता है $$a_0, a_1, a_2, \ldots$$, कहाँ $$a_i$$ से भिन्न है $$a_j$$ के लिए $$i\neq j$$ और प्रत्येक तत्व $$S$$ सूचीबद्ध है।

इतिहास
1874 में, जॉर्ज कैंटर के पहले सेट सिद्धांत लेख में, कैंटर ने साबित किया कि वास्तविक संख्याओं का सेट बेशुमार है, इस प्रकार यह दर्शाता है कि सभी अनंत सेट गणनीय नहीं हैं। 1878 में, उन्होंने कार्डिनैलिटी को परिभाषित करने और तुलना करने के लिए एक-से-एक पत्राचार का उपयोग किया। 1883 में, उन्होंने अपनी अनंत क्रमसूचक संख्या के साथ प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार किया, और अलग-अलग अनंत कार्डिनलिटी वाले अनंत सेटों का उत्पादन करने के लिए क्रमसूचकों के सेट का उपयोग किया।

परिचय
एक सेट (गणित) तत्वों का एक संग्रह है, और इसे कई तरीकों से वर्णित किया जा सकता है। एक तरीका बस इसके सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना है; उदाहरण के लिए, पूर्णांक 3, 4 और 5 से युक्त समुच्चय को दर्शाया जा सकता है $$\{3, 4, 5\}$$, जिसे रोस्टर फॉर्म कहा जाता है। हालाँकि, यह केवल छोटे सेटों के लिए प्रभावी है; बड़े सेटों के लिए, यह समय लेने वाला और त्रुटि-प्रवण होगा। हर एक तत्व को सूचीबद्ध करने के बजाय, कभी-कभी किसी सेट में प्रारंभिक तत्व और अंतिम तत्व के बीच कई तत्वों को दर्शाने के लिए एक दीर्घवृत्त (...) का उपयोग किया जाता है, यदि लेखक का मानना ​​​​है कि पाठक आसानी से अनुमान लगा सकता है कि ... क्या दर्शाता है; उदाहरण के लिए, $$\{1, 2, 3, \dots, 100\}$$ संभवतः 1 से 100 तक पूर्णांकों के समुच्चय को दर्शाता है। हालाँकि, इस मामले में भी, सभी तत्वों को सूचीबद्ध करना अभी भी संभव है, क्योंकि समुच्चय में तत्वों की संख्या सीमित है। यदि हम समुच्चय के तत्वों को 1, 2, इत्यादि तक क्रमांकित करते हैं $$n$$, यह हमें आकार के सेट की सामान्य परिभाषा देता है $$n$$.

कुछ समुच्चय अनंत हैं; इन सेटों में इससे भी अधिक है $$n$$ तत्व कहाँ $$n$$ कोई पूर्णांक है जिसे निर्दिष्ट किया जा सकता है। (कोई फर्क नहीं पड़ता कि निर्दिष्ट पूर्णांक कितना बड़ा है $$n$$ है, जैसे $$n=10^{1000}$$, अनंत समुच्चय से अधिक है $$n$$ तत्व।) उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं का सेट, द्वारा निरूपित $$\{0, 1, 2, 3, 4, 5,\dots\}$$, में अनंत रूप से कई तत्व हैं, और हम इसका आकार देने के लिए किसी प्राकृतिक संख्या का उपयोग नहीं कर सकते हैं। समुच्चयों को अलग-अलग वर्गों में विभाजित करना स्वाभाविक लग सकता है: एक तत्व वाले सभी समुच्चयों को एक साथ रखें; सभी सेट जिनमें दो तत्व एक साथ हैं; ...; अंत में, सभी अनंत सेटों को एक साथ रखें और उन्हें समान आकार का मानें। यह दृश्य अनगिनत अनंत सेटों के लिए अच्छा काम करता है और जॉर्ज कैंटर के काम से पहले यह प्रचलित धारणा थी। उदाहरण के लिए, अपरिमित रूप से अनेक विषम पूर्णांक, अपरिमित रूप से अनेक सम पूर्णांक और कुल मिलाकर अपरिमित रूप से अनेक पूर्णांक होते हैं। हम इन सभी सेटों को एक ही आकार का मान सकते हैं क्योंकि हम चीजों को इस तरह व्यवस्थित कर सकते हैं कि, प्रत्येक पूर्णांक के लिए, एक अलग सम पूर्णांक हो: $$\ldots \, -\! 2\! \rightarrow \! - \! 4, \, -\! 1\! \rightarrow \! - \! 2, \, 0\! \rightarrow \! 0, \, 1\! \rightarrow \! 2, \, 2\! \rightarrow \! 4 \, \cdots$$ या, अधिक सामान्यतः, $$n \rightarrow 2n$$ (तस्वीर देखने)। हमने यहां जो किया है वह पूर्णांकों और सम पूर्णांकों को एक-से-एक पत्राचार (या आक्षेप) में व्यवस्थित करना है, जो एक फ़ंक्शन (गणित) है जो दो सेटों के बीच मैप करता है जैसे कि प्रत्येक सेट का प्रत्येक तत्व एक ही तत्व से मेल खाता है दूसरे सेट में. आकार, कार्डिनलिटी की यह गणितीय धारणा यह है कि दो सेट एक ही आकार के होते हैं यदि और केवल तभी जब उनके बीच कोई आपत्ति हो। हम उन सभी सेटों को अनंत कहते हैं जो पूर्णांकों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं और कहते हैं कि उनमें कार्डिनैलिटी है $$\aleph_0$$.

जॉर्ज कैंटर ने दिखाया कि सभी अनंत सेट गणनीय रूप से अनंत नहीं हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं (गैर-नकारात्मक पूर्णांक) के साथ एक-से-एक पत्राचार में नहीं रखा जा सकता है। वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की तुलना में अधिक प्रमुखता होती है और इसे बेशुमार कहा जाता है।

औपचारिक सिंहावलोकन
परिभाषा के अनुसार, एक सेट $$S$$ यदि बीच में कोई आपत्ति मौजूद है तो गणनीय है $$S$$ और प्राकृतिक संख्याओं का एक उपसमुच्चय $$\N=\{0,1,2,\dots\}$$. उदाहरण के लिए, पत्राचार को परिभाषित करें $$ a \leftrightarrow 1,\ b \leftrightarrow 2,\ c \leftrightarrow 3 $$ चूँकि प्रत्येक तत्व $$S=\{a,b,c\}$$ के ठीक एक तत्व के साथ जोड़ा गया है $$\{1,2,3\}$$, और इसके विपरीत, यह एक आक्षेप को परिभाषित करता है, और उसे दिखाता है $$S$$ गणनीय है. इसी प्रकार हम दिखा सकते हैं कि सभी परिमित समुच्चय गणनीय हैं।

जहाँ तक अनंत समुच्चयों की बात है, एक समुच्चय $$S$$ यदि बीच में कोई आपत्ति है तो यह गणनीय रूप से अनंत है $$S$$ और सभी $$\N$$. उदाहरण के तौर पर, सेट पर विचार करें $$A=\{1,2,3,\dots\}$$, धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय, और $$B=\{0,2,4,6,\dots\}$$, सम पूर्णांकों का समुच्चय। हम प्राकृतिक संख्याओं पर आपत्ति प्रदर्शित करके यह दिखा सकते हैं कि ये समुच्चय गणनीय रूप से अनंत हैं। इसे असाइनमेंट का उपयोग करके हासिल किया जा सकता है $$n \leftrightarrow n+1$$ और $$n \leftrightarrow 2n$$, ताकि $$\begin{matrix} 0 \leftrightarrow 1, & 1 \leftrightarrow 2, & 2 \leftrightarrow 3, & 3 \leftrightarrow 4, & 4 \leftrightarrow 5, & \ldots \\[6pt] 0 \leftrightarrow 0, & 1 \leftrightarrow 2, & 2 \leftrightarrow 4, & 3 \leftrightarrow 6, & 4 \leftrightarrow 8, & \ldots \end{matrix}$$ प्रत्येक गणनीय अनंत समुच्चय गणनीय है, और प्रत्येक अनंत गणनीय समुच्चय गणनीय रूप से अनंत है। इसके अलावा, प्राकृतिक संख्याओं का कोई भी उपसमूह गणनीय है, और अधिक सामान्यतः: $$

प्राकृतिक संख्याओं के सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय (प्राकृतिक संख्याओं के दो सेटों का कार्तीय गुणनफल, $$\N\times\N$$ is countably infinite, as can be seen by following a path like the one in the picture: परिणामी मानचित्र (गणित) इस प्रकार आगे बढ़ता है: $$ 0 \leftrightarrow (0, 0), 1 \leftrightarrow (1, 0), 2 \leftrightarrow (0, 1), 3 \leftrightarrow (2, 0), 4 \leftrightarrow (1, 1), 5 \leftrightarrow (0, 2), 6 \leftrightarrow (3, 0), \ldots $$ यह मैपिंग ऐसे सभी ऑर्डर किए गए जोड़े को कवर करती है।

त्रिकोणीय मानचित्रण पुनरावर्तन का यह रूप सामान्यीकृत होता है $$n$$-प्राकृतिक संख्याओं का समूह, अर्थात्, $$(a_1,a_2,a_3,\dots,a_n)$$ कहाँ $$a_i$$ और $$n$$ के पहले दो तत्वों को बार-बार मैप करके, प्राकृतिक संख्याएँ हैं $$n$$-एक प्राकृतिक संख्या में ट्यूपल करें। उदाहरण के लिए, $$(0, 2, 3)$$ के रूप में लिखा जा सकता है $$((0, 2), 3)$$. तब $$(0, 2)$$ 5 तक मानचित्र $$((0, 2), 3)$$ के लिए मानचित्र $$(5, 3)$$, तब $$(5, 3)$$ 39 तक मैप करता है। चूंकि एक अलग 2-टुपल, वह एक जोड़ी है जैसे $$(a,b)$$, एक अलग प्राकृतिक संख्या के लिए मैप, एक ही तत्व द्वारा दो एन-टुपल्स के बीच का अंतर यह सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है कि एन-टुपल्स को अलग-अलग प्राकृतिक संख्याओं के लिए मैप किया जा रहा है। तो, के सेट से एक इंजेक्शन $$n$$-प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के ट्यूपल्स $$\N$$ सिद्ध है. के सेट के लिए $$n$$- कार्टेशियन उत्पाद द्वारा परिमित रूप से कई अलग-अलग सेटों से बने टुपल्स, प्रत्येक टुपल में प्रत्येक तत्व का एक प्राकृतिक संख्या के साथ पत्राचार होता है, इसलिए प्रत्येक टुपल को प्राकृतिक संख्याओं में लिखा जा सकता है, फिर प्रमेय को साबित करने के लिए उसी तर्क को लागू किया जाता है।

$$

सभी पूर्णांकों का समुच्चय $$\Z$$ और सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय $$\Q$$ सहज रूप से इससे कहीं अधिक बड़ा लग सकता है $$\N$$. लेकिन स्वरूप धोखा देने वाले हो सकते हैं। यदि एक जोड़ी को एक अशिष्ट भिन्न (एक भिन्न के रूप में) के अंश और हर के रूप में माना जाता है $$a/b$$ कहाँ $$a$$ और $$b\neq 0$$ पूर्णांक हैं), तो प्रत्येक धनात्मक भिन्न के लिए, हम उसके अनुरूप एक विशिष्ट प्राकृत संख्या प्राप्त कर सकते हैं। इस प्रतिनिधित्व में प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के बाद से प्राकृतिक संख्याएँ भी शामिल हैं $$n$$ यह भी एक अंश है $$n/1$$. तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि उतनी ही धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं जितनी धनात्मक पूर्णांक हैं। यह सभी परिमेय संख्याओं के लिए भी सत्य है, जैसा कि नीचे देखा जा सकता है।

$$

इसी प्रकार, बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय गणनीय होता है।

कभी-कभी एक से अधिक मैपिंग उपयोगी होती है: एक सेट $$A$$ गणनीय के रूप में दिखाया जाना एक-से-एक को दूसरे सेट में मैप (इंजेक्शन) करना है $$B$$, तब $$A$$ गणनीय सिद्ध होता है यदि $$B$$ प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर एक-से-एक मैप किया जाता है। उदाहरण के लिए, सकारात्मक परिमेय संख्याओं के सेट को प्राकृतिक संख्या जोड़े (2-टुपल्स) के सेट पर आसानी से एक-से-एक मैप किया जा सकता है क्योंकि $$p/q$$ के लिए मानचित्र $$(p,q)$$. चूँकि प्राकृतिक संख्या युग्मों का सेट प्राकृतिक संख्याओं के सेट के लिए एक-से-एक मैप (वास्तव में एक-से-एक पत्राचार या आक्षेप) है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, सकारात्मक तर्कसंगत संख्या सेट गणनीय साबित होता है।

$$

यह जानने की दूरदर्शिता के साथ कि अनगिनत सेट हैं, हम आश्चर्यचकित हो सकते हैं कि क्या इस अंतिम परिणाम को और आगे बढ़ाया जा सकता है या नहीं। इसका उत्तर हाँ और नहीं है, हम इसे बढ़ा सकते हैं, लेकिन ऐसा करने के लिए हमें एक नया सिद्धांत मानने की आवश्यकता है।

$$

उदाहरण के लिए, गणनीय समुच्चय दिए गए हैं $$\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c},\dots$$, हम पहले प्रत्येक सेट के प्रत्येक तत्व को एक टुपल निर्दिष्ट करते हैं, फिर हम ऊपर देखे गए त्रिकोणीय गणना के एक प्रकार का उपयोग करके प्रत्येक टुपल को एक सूचकांक निर्दिष्ट करते हैं: $$ \begin{array}{ c|c|c } \text{Index} & \text{Tuple} & \text {Element} \\ \hline 0 & (0,0) & \textbf{a}_0 \\ 1 & (0,1) & \textbf{a}_1 \\ 2 & (1,0) & \textbf{b}_0 \\ 3 & (0,2) & \textbf{a}_2 \\ 4 & (1,1) & \textbf{b}_1 \\ 5 & (2,0) & \textbf{c}_0 \\ 6 & (0,3) & \textbf{a}_3 \\ 7 & (1,2) & \textbf{b}_2 \\ 8 & (2,1) & \textbf{c}_1 \\ 9 & (3,0) & \textbf{d}_0 \\ 10 & (0,4) & \textbf{a}_4 \\ \vdots & & \end{array} $$ हमें सभी सेटों को अनुक्रमित करने के लिए गणनीय विकल्प के सिद्धांत की आवश्यकता है $$\textbf{a},\textbf{b},\textbf{c},\dots$$ इसके साथ ही।

$$

यह सेट लंबाई-1 अनुक्रम, लंबाई-2 अनुक्रम, लंबाई-3 अनुक्रमों का संघ है, जिनमें से प्रत्येक एक गणनीय सेट (परिमित कार्टेशियन उत्पाद) है। तो हम गणनीय समुच्चयों के गणनीय संघ के बारे में बात कर रहे हैं, जो पिछले प्रमेय के अनुसार गणनीय है।

$$

किसी भी परिमित उपसमुच्चय के तत्वों को एक परिमित अनुक्रम में क्रमबद्ध किया जा सकता है। वहाँ केवल गिनती के कई परिमित अनुक्रम हैं, इसलिए वहाँ भी केवल गिनती के कई परिमित उपसमुच्चय हैं।

$$

ये इंजेक्शन/विशेषण फलन के रूप में गणनीय सेट की परिभाषाओं का अनुसरण करते हैं।

कैंटर का प्रमेय इस बात पर जोर देता है कि यदि $$A$$ एक सेट है और $$\mathcal{P}(A)$$ इसका सत्ता स्थापित  है, यानी सभी उपसमुच्चय का सेट $$A$$, तो कोई विशेषण फलन नहीं है $$A$$ को $$\mathcal{P}(A)$$. कैंटर के प्रमेय लेख में एक प्रमाण दिया गया है। इसके तत्काल परिणाम और उपरोक्त मूल प्रमेय के रूप में हमारे पास है: $$

इस परिणाम के विस्तार के लिए कैंटर का विकर्ण तर्क देखें।

वास्तविक संख्याओं का समुच्चय अगणनीय है, और प्राकृतिक संख्याओं के सभी अनंत अनुक्रमों का समुच्चय भी ऐसा ही है।

सेट सिद्धांत का न्यूनतम मॉडल गणनीय है
यदि कोई सेट है जो ZFC सेट सिद्धांत का एक मानक मॉडल (आंतरिक मॉडल देखें) है, तो एक न्यूनतम मानक मॉडल है (ब्रह्मांड का निर्माण देखें)। लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि यह न्यूनतम मॉडल गणनीय है। तथ्य यह है कि बेशुमारता की धारणा इस मॉडल में भी समझ में आती है, और विशेष रूप से इस मॉडल एम में ऐसे तत्व शामिल हैं: सेट सिद्धांत के शुरुआती दिनों में इसे विरोधाभास के रूप में देखा गया था, अधिक जानकारी के लिए स्कोलेम का विरोधाभास देखें।
 * M का उपसमुच्चय, इसलिए गणनीय,
 * लेकिन एम की दृष्टि से बेशुमार,

न्यूनतम मानक मॉडल में सभी बीजगणितीय संख्याएँ और सभी प्रभावी रूप से गणना योग्य पारलौकिक संख्याएँ, साथ ही कई अन्य प्रकार की संख्याएँ शामिल हैं।

कुल ऑर्डर
गणनीय समुच्चय विभिन्न तरीकों से कुल क्रम के हो सकते हैं, उदाहरण के लिए:
 * अच्छी तरह से आदेश (क्रमिक संख्या भी देखें):
 * प्राकृतिक संख्याओं का सामान्य क्रम (0, 1, 2, 3, 4, 5,...)
 * क्रम में पूर्णांक (0, 1, 2, 3, ...; −1, −2, −3, ...)
 * अन्य (अच्छे ऑर्डर नहीं):
 * पूर्णांकों का सामान्य क्रम (..., −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, ...)
 * तर्कसंगत संख्याओं का सामान्य क्रम (स्पष्ट रूप से क्रमबद्ध सूची के रूप में नहीं लिखा जा सकता!)

यहां सुक्रम के दोनों उदाहरणों में, किसी भी उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्व होता है; और गैर-अच्छी तरह से आदेश के दोनों उदाहरणों में, कुछ उपसमुच्चय में कम से कम तत्व नहीं है। यह मुख्य परिभाषा है जो यह निर्धारित करती है कि क्या कुल ऑर्डर भी एक अच्छा ऑर्डर है।

यह भी देखें

 * अलेफ़ संख्या
 * गिनती
 * हिल्बर्ट का ग्रैंड होटल का विरोधाभास
 * बेशुमार सेट

संदर्भ

 * Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
 * Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
 * Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
 * Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
 * Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).
 * Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (Paperback edition).