चतुर्घाती फलन

बीजगणित में, एक चतुर्घाती फलन निम्नलिखित प्रकार का फलन होता है-
 * $$f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e,$$

जहाँ a अशून्य है, जिसे चतुर्थ घात के बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे चतुर्घाती बहुपद कहा जाता है।

एक चतुर्घाती समीकरण या चतुर्थ घात का समीकरण, एक समीकरण है जो इस रूप के चतुर्घाती बहुपद को शून्य के बराबर करता है-


 * $$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 ,$$

जहाँ पर a ≠ 0

चतुर्घाती फलन का व्युत्पन्न एक घन फलन है।

कभी-कभी चतुर्घाती के बजाय द्विवर्गीय शब्द का उपयोग किया जाता है, लेकिन आमतौर पर द्विवर्गीय फ़लन एक वर्ग के द्विघात फ़लन को संदर्भित करता है (या समतुल्य, विषम घात की शर्तों के बिना चतुर्घाती बहुपद द्वारा परिभाषित फ़लन के लिए), निम्नलिखित रूप में -
 * $$f(x)=ax^4+cx^2+e.$$

चूँकि एक चतुर्थांश फलन को सम कोटि के बहुपद द्वारा परिभाषित किया जाता है, जब तर्क धनात्मक या ऋणात्मक अनन्तता में जाता है तो इसकी समान अनंत सीमा होती है। यदि a धनात्मक है, तो फलन दोनों सिरों पर धनात्मक अनंत तक बढ़ जाता है, और इस प्रकार फलन में उच्चिष्ट और निम्निष्ट है। इसी तरह, यदि a ऋणात्मक है तो यह ऋणात्मक अनंत तक घटता है और वैश्विक अधिकतम होता है। दोनों ही मामलों में इसमें एक और स्थानीय अधिकतम और दूसरा स्थानीय न्यूनतम हो सकता है या नहीं भी हो सकता है।

एबेल-रफ़िनी प्रमेय के अनुसार, चतुर्थ घात (चतुर्घाती स्थिति) उच्चतम घात है जैसे कि हर बहुपद समीकरण को रेडिकल ( √ प्रतीक जिसका उपयोग वर्गमूल या nवें मूल को दर्शाने के लिए किया जाता है) द्वारा हल किया जा सकता है।

इतिहास
लोदोविको फेरारी को 1540 में चतुर्घात के समाधान की खोज का श्रेय दिया जाता है, लेकिन चूंकि यह समाधान चतुर्घात के सभी बीजगणितीय समाधानों की तरह, एक घन समीकरण के समाधान की आवश्यकता होती है, इसे तुरंत प्रकाशित नहीं किया जा सका। चतुर्घात का समाधान फेरारी के सलाहकार जेरोम कार्डानो द्वारा अर्स मैग्ना (गेरोलमो कार्डानो) पुस्तक में घन के साथ प्रकाशित किया गया था।

सोवियत इतिहासकार आई.वाई. डेपमैन ने दावा किया कि इससे पहले भी, 1486 में स्पेनिश गणितज्ञ वाल्म्स को चतुर्घाती समीकरण को हल करने का दावा करने के लिए दांव पर जला दिया गया था। जांचकर्ता जनरल टॉमस डी टोरक्वेमाडा ने कथित तौर पर वाल्म्स को बताया कि यह ईश्वर की इच्छा थी कि ऐसा समाधान मानव समझ के लिए दुर्गम हो। हालाँकि, पश्चिम में डेपमैन की इस कहानी को लोकप्रिय बनाने वाले पेट्र बेकमैन ने कहा कि यह अविश्वसनीय था और संकेत दिया कि इसका आविष्कार सोवियत विरोधी धार्मिक प्रचार के रूप में किया गया हो सकता है। इस कहानी के बेकमैन के संस्करण को कई किताबों और इंटरनेट साइटों में व्यापक रूप से कॉपी किया गया है, आमतौर पर उनके आरक्षण के बिना और कभी-कभी काल्पनिक अलंकरणों के साथ। इस कहानी के लिए, या यहां तक ​​कि वाल्म्स के अस्तित्व के लिए पुष्टि करने वाले सबूत खोजने के कई प्रयास विफल रहे हैं।

चार एक सामान्य बहुपद की उच्चतम डिग्री है जिसके लिए इस तरह के समाधान खोजे जा सकते हैं, जिसका सबूत है कि पहली बार 1824 में एबेल-रफिनी प्रमेय में दिया गया था, यह साबित करते हुए कि उच्च क्रम बहुपदों को हल करने के सभी प्रयास व्यर्थ होंगे। 1832 में एक द्वंद्वयुद्ध में मरने से पहले एवरिस्ट गैलोइस द्वारा छोड़े गए लेखों ने बाद में बहुपदों के मूलो के एक पूर्ण सिद्धांत का नेतृत्व किया, जिसमें से यह प्रमेय एक परिणाम था।

अनुप्रयोग
दो शंकु वर्गों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का प्रत्येक निर्देशांक एक चतुर्थांश समीकरण का एक समाधान है। एक रेखा और एक टोरस्र्स के प्रतिच्छेदन के लिए भी यही सच है। यह इस प्रकार है कि चतुर्घात समीकरण अक्सर अभिकलनी ज्यामिति और अभिकलित्र आलेखिकी, कंप्यूटर एडेड डिजाइन(अभिकलित्र सहाय अभिकल्पना), कम्प्यूटर सहायित विनिर्माण और प्रकाशिकी जैसे सभी संबंधित क्षेत्रों में उत्पन्न होते हैं। यहां अन्य ज्यामितीय समस्याओं के उदाहरण दिए गए हैं जिनके समाधान में चतुर्घात समीकरण को हल करना शामिल है।

कंप्यूटर सहायतायुक्त विनिर्माण में, टोरस एक ऐसा आकार है जो आमतौर पर एंडमिल कर्तक से जुड़ा होता है। त्रिकोणीय सतह के सापेक्ष इसके स्थान की गणना करने के लिए,z- अक्ष पर एक क्षैतिज टोरस की स्थिति को पाया जाना चाहिए जहां यह एक निश्चित रेखा पर स्पर्शरेखा है, और इसकी गणना करने के लिए एक सामान्य चतुर्घाती समीकरण के समाधान की आवश्यकता होती है।

क्रास्ड लैडर समस्या को हल करने की प्रक्रिया में एक चतुर्घाती समीकरण भी उत्पन्न होता है, जिसमें दो क्रास्ड लैडर की लंबाई, प्रत्येक एक दीवार के खिलाफ और दूसरी के खिलाफ झुकी हुई होती है, उस ऊंचाई के साथ दी जाती है जिस पर वे पार करते हैं, और दीवारों के बीच की दूरी पता करनी हैं।

प्रकाशिकी में, अलहज़ेन की समस्या इस प्रकार है कि एक प्रकाश स्रोत और एक गोलाकार दर्पण को देखते हुए, दर्पण पर उस बिंदु का पता लगाएं जहां प्रकाश एक पर्यवेक्षक की आंख पर प्रतिबिंबित होगा। यह एक चतुर्थक समीकरण का नेतृत्व करता है।

दो दीर्घवृत्त के निकटतम उपगमन की दूरी का पता लगाने में एक चतुर्थांश समीकरण को हल करना शामिल है।

एक 4×4 आव्यूह (गणित) के अभिलाक्षणिक मान ​​एक चतुर्घाती बहुपद के मूल हैं जो आव्यूह की विशिष्ट बहुपद है।

चौथे क्रम के रैखिक अंतर समीकरण या अवकल समीकरण का अभिलाक्षणिक समीकरण एक चतुर्थांश समीकरण है। बीम बेंडिंग के टिमोचेंको-रेले सिद्धांत में एक उदाहरण सामने आता है।

क्वार्टिक समीकरणों का उपयोग करके गोलाकार, सिलेंडर या अन्य चतुष्कोणों के बीच प्रतिच्छेदन (यूक्लिडियन ज्यामिति) पाए जा सकते है।

विभक्ति बिंदु और स्वर्ण अनुपात
यहां $F$ तथा $G$ को चतुर्घाती फलन के ग्राफ के अलग-अलग नतिपरिवर्तन बिंदु होने दें और $H$ छेदक रेखा $FG$ और चतुर्थ घात का प्रतिच्छेदन हो, जो $G$  के करीब हो $F$  कि तुलना में, फिर $G$  FH  को स्वर्ण अनुपात में विभाजित करता हैं :
 * $$\frac{FG}{GH}=\frac{1+\sqrt{5}}{2}= \varphi \; (\text{स्वर्ण अनुपात}).$$

इसके अलावा छेदक रेखा और छेदक रेखा के नीचे चतुर्थांश के बीच के क्षेत्र का क्षेत्रफल छेदक रेखा के ऊपर के क्षेत्र और छेदक रेखा के ऊपर चतुर्थक के बीच के क्षेत्र के बराबर होता है। उन क्षेत्रों में से एक को समान क्षेत्र के उप-क्षेत्रों में विभाजित किया गया है।

मूलो की प्रकृति
सामान्य चतुर्थक समीकरण दिया गया है
 * $$ax^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0$$

वास्तविक गुणांक और $a ≠ 0$ के साथ इसके मूलो की प्रकृति मुख्य रूप से इसके विवेचक के चिन्ह से निर्धारित होती है
 * $$\begin{align}

\Delta = {} &256 a^3 e^3 - 192 a^2 b d e^2 - 128 a^2 c^2 e^2 + 144 a^2 c d^2 e - 27 a^2 d^4 \\ &+ 144 a b^2 c e^2 - 6 a b^2 d^2 e - 80 a b c^2 d e + 18 a b c d^3 + 16 a c^4 e \\ &- 4 a c^3 d^2 - 27 b^4 e^2 + 18 b^3 c d e - 4 b^3 d^3 - 4 b^2 c^3 e + b^2 c^2 d^2 \end{align} $$ इसे चार अन्य बहुपदों के चिह्नों पर विचार करके परिष्कृत किया जा सकता है:
 * $$P = 8ac - 3b^2$$

ऐसा है कि $P⁄8a^{2}$ संबंधित अवनत चतुर्थ घात का दूसरा कोटि का गुणांक है (नीचे देखें );
 * $$R= b^3+8da^2-4abc,$$

ऐसा है कि $R⁄8a^{3}$ संबंधित अवनत चतुर्थ घात का पहला कोटि गुणांक है;
 * $$\Delta_0 = c^2 - 3bd + 12ae,$$

जो 0 है यदि चतुर्थ घात के तिहरे मूल है; तथा
 * $$D = 64 a^3 e - 16 a^2 c^2 + 16 a b^2 c - 16 a^2 bd - 3 b^4$$

जो कि 0 है यदि क्वार्टिक के दो दोहरे मूल हैं।

मूलो की प्रकृति के संभावित मामले इस प्रकार हैं:
 * यदि $∆ < 0$ तब समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल और दो सम्मिश्र संयुग्मी अवास्तविक मूल होते हैं।
 * यदि $∆ > 0$ तब या तो समीकरण के चारों मूल वास्तविक हैं या कोई भी मूल वास्तविक नहीं है।
 * यदि $P$ < 0 और $D$ < 0 तो चारों मूल वास्तविक और भिन्न हैं।
 * यदि $P$ > 0 या $D$ > 0 तो गैर-वास्तविक सम्मिश्र संयुग्मी मूलो के दो जोड़े हैं।
 * यदि $∆ = 0$ तब (और केवल तभी) बहुपद के अनेक मूल (गणित) मूल होते है। यहां विभिन्न मामले हैं जो हो सकते हैं:
 * यदि $P$ < 0 और $D$ < 0 और $∆_{0} ≠ 0$, एक वास्तविक दोहरे मूल और दो वास्तविक सरल मूल हैं।
 * यदि $D$ > 0 या ($P$ > 0 और ($D$ ≠ 0 या $R$ ≠ 0)), एक वास्तविक दोहरे मूल और दो सम्मिश्र संयुग्मी मूल हैं।
 * यदि $∆_{0} = 0$ तथा $D$ ≠ 0, एक तिहरे मूल और एक साधारण रूट हैं, सभी वास्तविक हैं।
 * यदि $D$ = 0, तब:
 * यदि $P$ <0, दो वास्तविक दोहरे मूल हैं।
 * यदि $P$ > 0 और $R$ = 0, दो सम्मिश्र संयुग्मी दोहरे मूल हैं।
 * यदि $∆_{0} = 0$, चारों मूल बराबर हैं $−b⁄4a$

कुछ मामले ऐसे होते हैं जो इस प्रकार नहीं होते हैं, और वास्तव में वे घटित नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, $∆_{0} > 0$, $P$ = 0 और $D$ ≤ 0 मामलों में से एक नहीं है। वास्तव में, अगर $∆_{0} > 0$ तथा $P$ = 0 तब $D$ > 0, चूंकि $$16 a^2\Delta_0 = 3D + P^2; $$ इसलिए यह संमिश्रण संभव नहीं है।

मूलो के लिए सामान्य सूत्र
चार मूल $x_{1}$, $x_{2}$, $x_{3}$, तथा $x_{4}$ सामान्य चतुर्घाती समीकरण के लिए
 * $$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0 \,$$

$a$ ≠ 0 के साथ निम्नलिखित सूत्र में दिए गए हैं, जो चरों को वापस बदलकर (देखें § अवनत चतुर्थ घात में बदलना) और द्विघात और घन समीकरणों के सूत्रों का उपयोग करके फेरारी की विधि पर अनुभाग में से एक से घटाया गया है।
 * $$\begin{align}

x_{1,2}\ &= -\frac{b}{4a} - S \pm \frac12\sqrt{-4S^2 - 2p + \frac{q}{S}}\\ x_{3,4}\ &= -\frac{b}{4a} + S \pm \frac12\sqrt{-4S^2 - 2p - \frac{q}{S}} \end{align}$$ जहाँ पर $p$ तथा $q$ एक अवनत चतुर्घात में क्रमशः दूसरी और पहली घात के गुणांक हैं-
 * $$\begin{align}

p &= \frac{8ac-3b^2}{8a^2}\\ q &= \frac{b^3 - 4abc + 8a^2d}{8a^3} \end{align}$$ और जहाँ
 * $$\begin{align}

S &= \frac{1}{2}\sqrt{-\frac23\ p+\frac{1}{3a}\left(Q + \frac{\Delta_0}{Q}\right)}\\ Q &= \sqrt[3]{\frac{\Delta_1 + \sqrt{\Delta_1^2 - 4\Delta_0^3}}{2}} \end{align}$$ (यदि $S = 0$ या $Q = 0$, नीचे देखें)

साथ
 * $$\begin{align}

\Delta_0 &= c^2 - 3bd + 12ae\\ \Delta_1 &= 2c^3 - 9bcd + 27b^2 e + 27ad^2 - 72ace \end{align}$$ तथा
 * $$\Delta_1^2-4\Delta_0^3 = - 27 \Delta\ ,$$ जहाँ पर $$\Delta$$ पूर्वोक्त विवेचक है। Q के लिए घनमूल अभिव्यक्ति के लिए, जटिल विमान में तीन घनमूलों में से किसी का भी उपयोग किया जा सकता है, हालांकि यदि उनमें से एक वास्तविक है तो यह चुनने के लिए प्राकृतिक और सरलतम है। इन अंतिम चार पदों के गणितीय व्यंजक उनके घन फलन बीजगणितीय हल के समान हैं।

सूत्र की विशेष स्थितियाँ

 * यदि $$\Delta > 0,$$ $$Q$$ एक अवास्तविक सम्मिश्र संख्या है। इस स्थिति में या तो सभी मूल अवास्तविक हैं या वे सभी वास्तविक हैं। बाद के मामले में, $$S$$ का मान भी वास्तविक है, $$Q$$ के संदर्भ में व्यक्त किए जाने के बावजूद, यह चतुर्घात के वर्तमान संदर्भ में विस्तारित घन फलन का एक अपरिवर्तनीय मौका है। त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करके, इसे विशुद्ध रूप से वास्तविक तरीके से व्यक्त करना पसंद कर सकते हैं:
 * $$S = \frac{1}{2} \sqrt{-\frac23\ p+\frac{2}{3a}\sqrt{\Delta_0}\cos\frac{\varphi}{3}}$$
 * जहाँ पर
 * $$\varphi = \arccos\left(\frac{\Delta_1}{2\sqrt{\Delta_0^3}}\right).$$


 * यदि $$\Delta \neq 0$$ तथा $$\Delta_0 = 0,$$ $$\sqrt{\Delta_1^2 - 4 \Delta_0^3}=\sqrt{\Delta_1^2} $$ होने के लिए  $$Q \neq 0$$ चुना जाना है वह परिभाषित करना चाहिए $$\sqrt{\Delta_1^2}$$ जैसा $$\Delta_1,$$  $$\Delta_1$$ का चिह्न बनाए रखे।
 * यदि $$S = 0,$$ तो घन मूल की पसंद को बदलना होगा $$Q$$ होने के लिए $$S \neq 0.$$ यह हमेशा संभव है, सिवाय इसके कि अगर चतुर्घात को $$\left(x+\tfrac{b}{4a}\right)^4$$ में गुणनखंड किया जा सकता है परिणाम तब सही है, लेकिन भ्रामक है क्योंकि यह इस तथ्य को छुपाता है कि इस मामले में घनमूल की आवश्यकता नहीं है। वास्तव में यह मामला तभी हो सकता है जब $$q$$ का अंश शून्य हो, जिस स्थिति में संबद्ध अवनत चतुर्घात द्विवर्गीय है, इस प्रकार इसे नीचे वर्णित विधि से हल किया जा सकता है।
 * यदि $$\Delta = 0$$ तथा $$\Delta_0 = 0$$ और इस प्रकार भी $$\Delta_1 = 0,$$ कम से कम तीन मूल एक दूसरे के बराबर हैं, और मूल गुणांक के तर्कसंगत कार्य हैं। त्रिगुण मूल $$x_0$$ चतुर्घात की एक सामान्य मूल और इसका दूसरा व्युत्पन्न है $$2(6ax^2+3bx+c);$$ इस प्रकार यह अपने दूसरे व्युत्पन्न द्वारा चतुर्घाती के यूक्लिडियन विभाजन के शेष के अनूठे मूल भी है, जो एक रैखिक बहुपद है। जिसे साधारण मूल $$x_1$$ से निकाला जा सकता है-$$x_1+3x_0=-b/a.$$
 * यदि $$\Delta=0$$ तथा $$ \Delta_0 \neq 0,$$ मूलो के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति सही है लेकिन भ्रामक है, इस तथ्य को छिपाते हुए कि बहुपद अलघुकरणीय बहुपद है और मूलो का प्रतिनिधित्व करने के लिए किसी घनमूल की आवश्यकता नहीं है।

कम करने योग्य चतुर्घात
सामान्य चतुर्घाती पर विचार करें-
 * $$Q(x) = a_4x^4+a_3x^3+a_2x^2+a_1x+a_0.$$

यह अलघुकरणीय बहुपद है यदि $Q(x) = R(x)×S(x)$, जहाँ पर $R(x)$ तथा $S(x)$ तर्कसंगत संख्या गुणांक वाले गैर-निरंतर बहुपद हैं (या आमतौर पर एक ही क्षेत्र (गणित) में गुणांक के साथ गुणांक के रूप में) $Q(x)$)। इस तरह का कारककरण दो रूपों में से एक होगा:


 * $$Q(x) = (x-x_1)(b_3x^3+b_2x^2+b_1x+b_0)$$

या
 * $$Q(x) = (c_2x^2+c_1x+c_0)(d_2x^2+d_1x+d_0).$$

किसी भी मामले में, $Q(x)$ के मूल गुणनखंडों के मूल हैं, जिनकी गणना किसी द्विघात फलन या घन फलन के मूलों के सूत्रों का उपयोग करके की जा सकती है।

इस तरह के गुणनखंडों के अस्तित्व का पता लगाने के लिए $Q(x)$ के विलायक घनमूल का उपयोग किया जा सकता है। परिणाम यह निकला:
 * अगर हम $R$ पर काम कर रहे हैं (अर्थात, यदि गुणांक वास्तविक संख्या तक ही सीमित हैं) (या, अधिक सामान्यतः कुछ वास्तविक बंद क्षेत्र पर) तो हमेशा ऐसा गुणनखंड होता है;
 * अगर हम $Q$ पर काम कर रहे हैं (अर्थात, यदि गुणांक परिमेय संख्याओं तक ही सीमित हैं) तो यह निर्धारित करने के लिए एक एल्गोरिथम है या नहीं $Q(x)$ कम करने योग्य है और, यदि है, तो इसे छोटी घात के बहुपदों के उत्पाद के रूप में कैसे व्यक्त किया जाए।

वास्तव में, चतुर्घाती समीकरणों को हल करने के कई तरीके ( फेरारी की विधि, डेसकार्टेस की विधि और कुछ हद तक यूलर की विधि) ऐसे गुणनखंडों के हल प्राप्त करने पर आधारित हैं।

द्विवर्गीय समीकरण
यदि $a_{3} = a_{1} = 0$ तो चतुर्घात फलन



Q(x) = a_4x^4+a_2x^2+a_0\,\! $$ चतुर्घात समीकरण को परिभाषित करता है, जिसे हल करना आसान है।

माना सहायक चर $z = x^{2}$ ।

फिर $Q(x)$ एक द्विघात फलन बन जाता है $q$ में $z$: $q(z) = a_{4}z^{2} + a_{2}z + a_{0}$। माना $z_{+}$ तथा $z_{−}$ $q(z)$ के मूल हैं, तो हमारे चतुर्घात फलन $Q(x)$ के मूल इस प्रकार हैं-

\begin{align} x_1&=+\sqrt{z_+}, \\ x_2&=-\sqrt{z_+}, \\ x_3&=+\sqrt{z_-}, \\ x_4&=-\sqrt{z_-}. \end{align} $$

अर्द्ध मुरजबंध संबंधी समीकरण
बहुपद
 * $$P(x)=a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_1 m x+a_0 m^2$$

के रूप में लगभग मुरजबंध संबंधी है $P(mx) = x^{4}⁄m^{2}P(m⁄x)$ (यह मुरजबंध संबंधी है अगर $m = 1$) चरों में परिवर्तन $z = x + m⁄x$ में $P(x)⁄x^{2} = 0$ द्विघात समीकरण उत्पन्न करता है $a_{0}z^{2} + a_{1}z + a_{2} − 2ma_{0} = 0$. तब $x^{2} − xz + m = 0$, चतुर्थक समीकरण $P(x) = 0$ द्विघात सूत्र का दो बार प्रयोग करके हल किया जा सकता है।

एक अवनत चतुर्घात में परिवर्तित होना
समीकरणों को हल करने के लिए, चर में निम्नलिखित सरल परिवर्तन से आमतौर पर चतुर्घात को अवनत चतुर्घात में परिवर्तित करना बेहतर होता है। सभी सूत्र सरल हैं और कुछ विधियाँ केवल इस मामले में काम करती हैं। चर के विपरीत परिवर्तन द्वारा मूल चतुर्घात की मूलो को अवनत चतुर्घात से आसानी से पुनर्प्राप्त किया जाता है।

माना कि,
 * $$ a_4 x^4 + a_3 x^3 + a_2 x^2 + a_1 x + a_0 = 0 $$

सामान्य चतुर्घाती समीकरण बनें जिसे हम हल करना चाहते हैं।

$a_{4}$ द्वारा विभाजित करने पर, समतुल्य समीकरण प्रदान करता है $x^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e = 0$, साथ $b = a_{3}⁄a_{4}$, $c = a_{2}⁄a_{4}$, $d = a_{1}⁄a_{4}$, तथा $e = a_{0}⁄a_{4}$.

स्थानापन्न $y − b⁄4$ के लिये $x$ शर्तों को फिर से समूहीकृत करने के बाद, समीकरण देता है $y^{4} + py^{2} + qy + r = 0$,

जहाँ पर-
 * $$\begin{align}

p&=\frac{8c-3b^2}{8} =\frac{8a_2a_4-3{a_3}^2}{8{a_4}^2}\\ q&=\frac{b^3-4bc+8d}{8} =\frac{{a_3}^3-4a_2a_3a_4+8a_1{a_4}^2}{8{a_4}^3}\\ r&=\frac{-3b^4+256e-64bd+16b^2c}{256}=\frac{-3{a_3}^4+256a_0{a_4}^3-64a_1a_3{a_4}^2+16a_2{a_3}^2a_4}{256{a_4}^4}. \end{align} $$ यदि $y_{0}$ इस अवनत चतुर्घात के मूल है, फिर $y_{0} − b⁄4$ (वह है $y_{0} − a_{3}⁄4a_{4})$ मूल चतुर्घात की मूल है और मूल चतुर्घात के सभी मूलो के परिणाम इस प्रक्रिया से प्राप्त किए जा सकते है।

फेरारी का समाधान
जैसा कि पिछले अनुभाग में बताया गया है, हम अवनत चतुर्घात समीकरण से शुरू कर सकते हैं-
 * $$ y^4 + p y^2 + q y + r = 0. $$

लोदोविको फेरारी द्वारा खोजी गई विधि के माध्यम से इस अवनत चतुर्घाती समीकरण को हल किया जा सकता है। अवनत समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है (यह आसानी से वर्ग का विस्तार करके और बाईं ओर सभी शब्दों को पुनर्समूहित करके सत्यापित किया जाता है)
 * $$ \left(y^2 + \frac p2\right)^2 = -q y - r + \frac{p^2}4. $$

फिर, हम दोनों पक्षों में $2y^{2}m + pm + m^{2}$ जोड़कर बाईं ओर के कारक में एक चर m का परिचय देते हैं। y की घात के गुणांकों को दाहिनी ओर पुनर्समूहित करने के बाद, यह समीकरण देता है-

जो मूल समीकरण के समतुल्य है, जो भी मान $$ के लिए दिया गया हो।

चूँकि $m$ का मान अनिश्चित ढंग से चुना जा सकता है, हम इसे दाहिनी ओर के वर्ग को पूरा करने के लिए चुनेंगे। इसका तात्पर्य है कि इस द्विघात समीकरण वाला $m$ में विविक्तकर शून्य है, अर्थात $y$ समीकरण का मूल है-
 * $$ (-q)^2 - 4 (2m)\left(m^2 + p m + \frac{p^2}4 - r\right) = 0,\,$$

जिसे इस प्रकार से भी लिखा जा सकता है-

यह चतुर्घाती समीकरण का साधक त्रिघाती है। $m$ का मान इस प्रकार कार्डानो के सूत्र से प्राप्त किया जा सकता है। जब $$ इस समीकरण का मूल है, समीकरण ($m$) का दाहिना पक्ष वर्ग है-
 * $$\left(\sqrt{2m}y-\frac q{2\sqrt{2m}}\right)^2.$$

हालाँकि, यह यदि $m = 0$ होने पर शून्य से एक विभाजन को प्रेरित करता है। इसका तात्पर्य $q = 0$ हैं, और इस प्रकार अवनत समीकरण द्वि-द्विघात है, और इसे एक आसान विधि से हल किया जा सकता है (ऊपर देखें)। यह फेरारी के समय में कोई समस्या नहीं थी, जब केवल संख्यात्मक गुणांक वाले स्पष्ट रूप से दिए गए समीकरणों को हल किया जाता था। एक सामान्य सूत्र के लिए जो हमेशा सत्य होता है, इस प्रकार किसी को घन समीकरण के मूल चुनने की आवश्यकता होती है $m ≠ 0$। अवनत समीकरण $y^{4} = 0$ को छोड़कर यह हमेशा संभव है।

अब अगर $m$ घन समीकरण का एक मूल है जैसे कि $m ≠ 0$, समीकरण ($$) इस प्रकार बन जाता हैं -
 * $$ \left(y^2 + \frac p2 + m\right)^2 = \left(y\sqrt{2 m}-\frac{q}{2\sqrt{2 m}}\right)^2. $$

यह समीकरण $M^{2} = N^{2}$ के रूप का है, जिसे  $M^{2} − N^{2} = 0$ या $(M + N)(M − N) = 0$ के रूप में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। इसलिए, समीकरण ($m$) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है-
 * $$ \left(y^2 + \frac p2 + m + \sqrt{2 m}y-\frac q{2\sqrt{2 m}}\right) \left(y^2 + \frac p2 + m - \sqrt{2 m}y+\frac q{2\sqrt{2 m}}\right)=0.$$

द्विघात सूत्र को प्रत्येक कारक पर लागू करके इस समीकरण को आसानी से हल किया जाता है। इन्हें हल करते हुए हम चार मूलों को इस प्रकार लिख सकते हैं
 * $$y={\pm_1\sqrt{2 m} \pm_2 \sqrt{-\left(2p + 2m \pm_1 {\sqrt 2q \over \sqrt{m}} \right)} \over 2},$$

जहाँ पर $±_{1}$ तथा $±_{2}$, $+$ या $−$ को निरूपित करें जैसा कि ±1 की दो घटनाओं को एक ही संकेत को निरूपित करना चाहिए, यह चार संभावनाएँ छोड़ता है, प्रत्येक मूल के लिए एक।

इसलिए, मूल चतुर्घाती समीकरण के समाधान हैं-
 * $$x=-{a_3 \over 4a_4} + {\pm_1\sqrt{2 m} \pm_2 \sqrt{-\left(2p + 2m \pm_1 {\sqrt2q \over \sqrt{m}} \right)} \over 2}$$
 * उपरोक्त सामान्य सूत्र के साथ तुलना से पता चलता है $√2m = 2S$।

डेसकार्टेस 'समाधान
डेसकार्टेस 1637 में एक द्विघात बहुपद की जड़ों को दो द्विघात बहुपदों में विभाजित करके खोजने की विधि पेश की गई। होने देना



\begin{align} x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e & = (x^2 + sx + t)(x^2 + ux + v) \\ & = x^4 + (s + u)x^3 + (t + v + su)x^2 + (sv + tu)x + tv \end{align} $$ गुणांकों को समान करके, समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली में इसका परिणाम होता है:



\left\{\begin{array}{l} b = s + u \\ c = t + v + su \\ d = sv + tu \\ e = tv \end{array}\right. $$
 * 1) अवनत चतुर्घात में #परिवर्तित करके फिर से शुरू करके इसे सरल बनाया जा सकता है $y^{4} + py^{2} + qy + r$, जिसे प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है $y − b/4$ के लिये $x$. के गुणांक के बाद से $y^{3}$ है$0$, हम पाते हैं $s = −u$, तथा:



\left\{\begin{array}{l} p + u^2 = t + v \\ q = u (t - v) \\ r = tv \end{array}\right. $$ कोई अब दोनों को समाप्त कर सकता है $$ तथा $$ निम्नलिखित करके:

\begin{align} u^2(p + u^2)^2 - q^2 & = u^2(t + v)^2 - u^2(t - v)^2 \\ & = u^2 [(t + v + (t - v))(t + v - (t - v))]\\ & = u^2(2t)(2v) \\ & = 4u^2tv \\ & = 4u^2r \end{align} $$ अगर हम सेट करते हैं $U = u^{2}$, तो इस समीकरण को हल करने से विलेय घन के मूल ज्ञात हो जाते हैं

जो कि क्यूबिक_फंक्शन#सामान्य_समाधान_to_the_cubic_equation_with_real_coeffients है। यह रिज़ॉल्वेंट क्यूबिक ऊपर दिए गए रिज़ॉल्वेंट क्यूबिक (समीकरण (1a)) के बराबर है, जैसा कि U = 2m को प्रतिस्थापित करके देखा जा सकता है।

यदि $u$ इस विलायक के गैर-शून्य मूल का एक वर्गमूल है (क्वार्टिक को छोड़कर ऐसा गैर-शून्य मूल मौजूद है) $x^{4}$, जो तुच्छ रूप से कारक है),



\left\{\begin{array}{l} s = -u \\ 2t = p + u^2 + q/u \\ 2v = p + u^2 - q/u \end{array}\right. $$ इस समाधान में समरूपता इस प्रकार है। क्यूबिक की तीन जड़ें हैं, तीन तरीकों से संबंधित है कि क्वार्टिक को दो क्वाड्रैटिक्स में विभाजित किया जा सकता है, और सकारात्मक या नकारात्मक मानों का चयन किया जा सकता है $t$ के वर्गमूल के लिए $v$ केवल दो चतुष्कोणों का एक दूसरे के साथ आदान-प्रदान करता है।

उपरोक्त समाधान से पता चलता है कि तर्कसंगत गुणांक के साथ एक क्वार्टिक बहुपद और क्यूबिक शब्द पर शून्य गुणांक तर्कसंगत गुणांक वाले क्वाड्रैटिक्स में कारक है यदि और केवल यदि या तो घुलनशील क्यूबिक ($$) का शून्येतर मूल है जो परिमेय का वर्ग है, या $p^{2} − 4r$ तर्कसंगत और का वर्ग है $q = 0$; इसे तर्कसंगत जड़ परीक्षण का उपयोग करके आसानी से चेक किया जा सकता है।

यूलर का समाधान
पिछली पद्धति का एक प्रकार लियोनहार्ड यूलर के कारण है। पिछले तरीकों के विपरीत, जिनमें से दोनों विलायक क्यूबिक की कुछ जड़ का उपयोग करते हैं, यूलर की विधि उन सभी का उपयोग करती है। एक अवनत चतुर्घात पर विचार करें $x^{4} + px^{2} + qx + r$. ध्यान दें कि, अगर फिर इसलिए, $x^{4} + px^{2} + qx + r = (x^{2} + sx + t)(x^{2} − sx + v)$. दूसरे शब्दों में, $r_{1}$ विलायक घन की जड़ों में से एक है ($u$) और इससे पता चलता है कि घन की जड़ें बराबर हैं $r_{2}$, $x^{2} + sx + t$, तथा $r_{3}$. यह वास्तव में सच है और यह वीटा के सूत्रों का अनुसरण करता है। यह वीटा के फॉर्मूले से भी निकलता है, साथ ही इस तथ्य के साथ कि हम एक अवनत चतुर्घात के साथ काम कर रहे हैं, कि $r_{4}$. (बेशक, यह इस तथ्य से भी निकलता है कि $x^{2} − sx + v$।) इसलिए, यदि $x^{4} + px^{2} + qx + r$, $r_{1}$, तथा $r_{2}$ विलायक घन की जड़ें हैं, फिर संख्याएं $r_{3}$, $r_{4}$, $r_{1} + r_{2} = −s$, तथा $r_{3} + r_{4} = s$ ऐसे हैं
 * $(r_{1} + r_{2})(r_{3} + r_{4}) = −s^{2}$ तथा $−(r_{1} + r_{2})(r_{3} + r_{4})$ की जड़ें हैं $−(r_{1} + r_{2})(r_{3} + r_{4})$,
 * $−(r_{1} + r_{3})(r_{2} + r_{4})$ तथा $−(r_{1} + r_{4})(r_{2} + r_{3})$ की जड़ें हैं $r_{1} + r_{2} + r_{3} + r_{4} = 0$,
 * $r_{1} + r_{2} + r_{3} + r_{4} = −s + s$ तथा $α$ की जड़ें हैं $β$,
 * की जड़ें $γ$ हैं $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$, तथा $r_{4}$,
 * $$\left\{\begin{array}{l}r_1+r_2+r_3+r_4=0\\(r_1+r_2)(r_3+r_4)=-\alpha\\(r_1+r_3)(r_2+r_4)=-\beta\\(r_1+r_4)(r_2+r_3)=-\gamma\text{.}\end{array}\right.$$

यह पहले दो समीकरणों का परिणाम है $r_{1} + r_{2}$ का वर्गमूल है $α$ और कि $r_{3} + r_{4}$ का अन्य वर्गमूल है $α$. एक ही कारण के लिए, इसलिए, संख्याएँ $r_{1} + r_{3}$, $β$, $r_{2} + r_{4}$, तथा $β$ ऐसे हैं
 * $r_{1} + r_{4}$ का वर्गमूल है $γ$,
 * $r_{2} + r_{3}$ का अन्य वर्गमूल है $γ$,
 * $r_{1}$ का वर्गमूल है $r_{2}$,
 * $r_{3}$ का अन्य वर्गमूल है $r_{4}$.
 * $$\left\{\begin{array}{l}r_1+r_2+r_3+r_4=0\\r_1+r_2=\sqrt{\alpha}\\r_1+r_3=\sqrt{\beta}\\r_1+r_4=\sqrt{\gamma}\text{;}\end{array}\right.$$

वर्गमूल के चिह्न के बारे में नीचे चर्चा की जाएगी। इस प्रणाली का एकमात्र समाधान है:
 * $$\left\{\begin{array}{l}r_1=\frac{\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}+\sqrt{\gamma}}2\\[2mm]r_2=\frac{\sqrt{\alpha}-\sqrt{\beta}-\sqrt{\gamma}}2\\[2mm]r_3=\frac{-\sqrt{\alpha}+\sqrt{\beta}-\sqrt{\gamma}}2\\[2mm]r_4=\frac{-\sqrt{\alpha}-\sqrt{\beta}+\sqrt{\gamma}}2\text{.}\end{array}\right.$$

चूंकि, सामान्य तौर पर, प्रत्येक वर्गमूल के लिए दो विकल्प होते हैं, ऐसा लग सकता है कि यह प्रदान करता है $8 (= 2^{3})$ सेट के लिए विकल्प ${r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}}|undefined$, लेकिन, वास्तव में, यह इससे अधिक प्रदान नहीं करता है $2$इस तरह के विकल्प, क्योंकि सममित एक द्वारा वर्गमूलों में से एक को बदलने का परिणाम यह है कि सेट ${r_{1}, r_{2}, r_{3}, r_{4}}|undefined$ समुच्चय बन जाता है ${−r_{1}, −r_{2}, −r_{3}, −r_{4}}|undefined$.

वर्गमूल का सही चिह्न निर्धारित करने के लिए, प्रत्येक संख्या के लिए बस कुछ वर्गमूल चुनता है $α$, $β$, तथा $γ$ और संख्याओं की गणना करने के लिए उनका उपयोग करता है $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$, तथा $r_{4}$ पिछली समानता से। फिर, कोई संख्या की गणना करता है $√α√β√γ$. तब से $α$, $β$, तथा $γ$ की जड़ें हैं ($U$), यह वीटा के फार्मूले का परिणाम है कि उनका उत्पाद बराबर है $q^{2}$ और इसलिए वह $√α√β√γ = ±q$. लेकिन एक सीधी गणना से पता चलता है

यदि यह संख्या है $√α√β√γ = r_{1}r_{2}r_{3} + r_{1}r_{2}r_{4} + r_{1}r_{3}r_{4} + r_{2}r_{3}r_{4}.$, तब वर्गमूल का चुनाव अच्छा था (फिर से, वीटा के सूत्रों द्वारा); अन्यथा, बहुपद के मूल होंगे $−q$, $−r_{1}$, $−r_{2}$, तथा $−r_{3}$, यदि वर्गमूलों में से एक को सममित एक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो कौन सी संख्याएँ प्राप्त होती हैं (या, यदि तीन वर्गमूलों में से प्रत्येक को सममित एक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो एक ही चीज़ के बराबर क्या होता है)।

यह तर्क वर्गमूल चुनने का एक और तरीका सुझाता है: बेशक, इसका कोई मतलब नहीं होगा अगर $−r_{4}$ या $√α$ के बराबर है $α$, लेकिन $√β$ की जड़ है ($$) केवल जब $β$, यानी, केवल जब हम एक चतुर्घाती फ़ंक्शन#द्विद्विघात समीकरण के साथ काम कर रहे हैं, इस मामले में एक बहुत ही सरल दृष्टिकोण है।
 * कोई भी वर्गमूल चुनें $√γ$ का $α$ और कोई भी वर्गमूल $β$ का $0$;
 * परिभाषित करना $0$ जैसा $$-\frac q{\sqrt{\alpha}\sqrt{\beta}}$$.

लैग्रेंज रिसॉल्वेंट द्वारा समाधान
सममित समूह $q = 0$ चार तत्वों पर सामान्य उपसमूह के रूप में क्लेन चार-समूह है। यह एक का उपयोग करने का सुझाव देता हैजिनकी जड़ों को असतत फूरियर रूपांतरण या जड़ों के हैडमार्ड मैट्रिक्स रूपांतरण के रूप में विभिन्न रूप से वर्णित किया जा सकता है; सामान्य विधि के लिए लग्रेंज विलायक देखें। द्वारा निरूपित करें $S_{4}$, के लिये $x_{i}$ से$i$ प्रति$0$, की चार जड़ें $3$. अगर हम सेट करते हैं


 * $$ \begin{align}

s_0 &= \tfrac12(x_0 + x_1 + x_2 + x_3), \\[4pt] s_1 &= \tfrac12(x_0 - x_1 + x_2 - x_3), \\[4pt] s_2 &= \tfrac12(x_0 + x_1 - x_2 - x_3), \\[4pt] s_3 &= \tfrac12(x_0 - x_1 - x_2 + x_3), \end{align}$$ तब चूंकि परिवर्तन एक अंतर्वलन (गणित) है, हम जड़ों को चार के संदर्भ में व्यक्त कर सकते हैं $x^{4} + bx^{3} + cx^{2} + dx + e$ ठीक उसी तरह। चूंकि हम मूल्य जानते हैं $s_{i}$, हमें केवल इसके लिए मूल्यों की आवश्यकता है $s_{0} = −b⁄2$, $s_{1}$ तथा $s_{2}$. ये बहुपद की जड़ें हैं


 * $$(s^2 - {s_1}^2)(s^2-{s_2}^2)(s^2-{s_3}^2).$$

प्रतिस्थापित कर रहा है $s_{3}$ के संदर्भ में उनके मूल्यों द्वारा $s_{i}$, इस बहुपद को एक बहुपद में विस्तारित किया जा सकता है $x_{i}$ जिनके गुणांक सममित बहुपद हैं $s$. सममित बहुपदों के मौलिक प्रमेय द्वारा, इन गुणांकों को मोनिक क्वार्टिक के गुणांकों में बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अगर, सरलीकरण के लिए, हम मानते हैं कि क्वार्टिक उदास है, यानी $x_{i}$, इसका परिणाम बहुपद में होता है

यह बहुपद डिग्री छह का है, लेकिन केवल डिग्री तीन इंच का है $b = 0$, और इसलिए क्यूबिक फ़ंक्शन के बारे में आलेख में वर्णित विधि द्वारा संबंधित समीकरण हल करने योग्य है। की अभिव्यक्ति में जड़ों को प्रतिस्थापित करके $s^{2}$ के रूप में $x_{i}$, हम जड़ों के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करते हैं। वास्तव में, स्पष्ट रूप से, हमें कई व्यंजक प्राप्त होते हैं, जो घन बहुपद के मूलों की संख्या और उनके वर्गमूलों को दिए गए चिह्नों पर निर्भर करते हैं। इन सभी अलग-अलग अभिव्यक्तियों को उनमें से किसी एक से केवल नंबरिंग को बदलकर निकाला जा सकता है $s_{i}$.

ये भाव अनावश्यक रूप से जटिल हैं, जिनमें एकता की जड़ शामिल है, जिसे निम्नानुसार टाला जा सकता है। यदि $x_{i}$ का कोई अशून्य मूल है ($$), और अगर हम सेट करते हैं


 * $$\begin{align}

F_1(x) & = x^2 + sx + \frac{c}{2} + \frac{s^2}{2} - \frac{d}{2s} \\ F_2(x) & = x^2 - sx + \frac{c}{2} + \frac{s^2}{2} + \frac{d}{2s} \end{align}$$ फिर


 * $$F_1(x)\times F_2(x) = x^4 + cx^2 + dx + e.$$

इसलिए हम के लिए हल करके क्वार्टिक को हल कर सकते हैं $s$ और फिर द्विघात सूत्र का उपयोग करके दो कारकों की जड़ों को हल करना।

यह जड़ों के लिए ठीक वही सूत्र देता है जो चतुर्घाती फलन#डेसकार्टेस' सॉल्यूशन|डेसकार्टेस' विधि द्वारा प्रदान किया गया है।

बीजगणितीय ज्यामिति के साथ हल करना
बीजगणितीय ज्यामिति का उपयोग कर एक वैकल्पिक समाधान है संक्षेप में, कोई जड़ों को दो द्विघात वक्रों के प्रतिच्छेदन के रूप में व्याख्या करता है, फिर इन बिंदुओं से गुजरने वाले तीन पतित शंकु (रेखाओं के जोड़े) पाता है (यह विलायक घन से मेल खाता है, रेखाओं के जोड़े लग्रेंज विलायक होते हैं), और फिर द्विघात को हल करने के लिए इन रैखिक समीकरणों का उपयोग करें।

उदास क्वार्टिक की चार जड़ें $s$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है $$ दो द्विघात समीकरणों के प्रतिच्छेदन के निर्देशांक $x^{4} + px^{2} + qx + r = 0$ तथा $y^{2} + py + qx + r = 0$ यानी, प्रतिस्थापन का उपयोग करना $y − x^{2} = 0$ कि दो द्विघात चार बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं, बेज़ाउट के प्रमेय का एक उदाहरण है। स्पष्ट रूप से, चार बिंदु हैं $y = x^{2}$ चार जड़ों के लिए $P_{i} ≔ (x_{i}, x_{i}^{2})$ क्वार्टिक का।

ये चार बिंदु संरेख नहीं हैं क्योंकि ये अलघुकरणीय द्विघात पर स्थित हैं $x_{i}$ और इस प्रकार इन बिंदुओं से गुजरने वाला द्विघात (वक्रों का एक पेंसिल) का 1-पैरामीटर परिवार है। तीन चरों में द्विघात रूपों के रूप में दो द्विघातों के प्रक्षेपण को लिखना:
 * $$\begin{align}

F_1(X,Y,Z) &:= Y^2 + pYZ + qXZ + rZ^2,\\ F_2(X,Y,Z) &:= YZ - X^2 \end{align}$$ पेंसिल रूपों द्वारा दी गई है $y = x^{2}$ किसी भी बिंदु के लिए $λF_{1} + μF_{2}$ प्रोजेक्टिव लाइन में - दूसरे शब्दों में, जहां $[λ, μ]$ तथा $λ$ दोनों शून्य नहीं हैं, और एक द्विघात रूप को एक स्थिरांक से गुणा करने से इसके शून्य के द्विघात वक्र में परिवर्तन नहीं होता है।

इस पेंसिल में तीन कम करने योग्य द्विघात होते हैं, जिनमें से प्रत्येक रेखाओं की एक जोड़ी के अनुरूप होता है, प्रत्येक चार बिंदुओं में से दो से होकर गुजरता है, जिसे किया जा सकता है $$\textstyle{\binom{4}{2}}$$ = $μ$ विभिन्न तरीके। इन्हें निरूपित करें $6$, $Q_{1} = L_{12} + L_{34}$, तथा $Q_{2} = L_{13} + L_{24}$. इनमें से किन्हीं दो को देखते हुए, उनके प्रतिच्छेदन के ठीक चार बिंदु हैं।

कम करने योग्य द्विघात, बदले में, द्विघात रूप को व्यक्त करके निर्धारित किया जा सकता है $Q_{3} = L_{14} + L_{23}$ के रूप में $λF_{1} + μF_{2}$मैट्रिक्स: रिड्यूसिबल क्वाड्रैटिक्स इस मैट्रिक्स के एकवचन होने के अनुरूप है, जो इसके निर्धारक के शून्य होने के बराबर है, और निर्धारक एक सजातीय डिग्री तीन बहुपद है $3×3$ तथा $λ$ और विलायक घन के अनुरूप है।

बाहरी संबंध

 * Ferrari's achievement
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