गुणनखण्ड

गणित में, फ़ैक्टराइज़ेशन (या फ़ैक्टराइज़ेशन, अंग्रेजी वर्तनी अंतर देखें) या फ़ैक्टरिंग में एक संख्या या अन्य गणितीय वस्तु को कई कारकों के उत्पाद के रूप में लिखना होता है, आमतौर पर एक ही तरह की छोटी या सरल उद्देश्य है। उदाहरण के लिए, 3 × 5 का गुणनखंडन पूर्णांक 15 है, और बहुपद (x - 2)(x + 2)  का गुणनखंडन x2 - 4 है।

गुणनखंडन को आमतौर पर विभाजन वाली संख्या प्रणालियों के भीतर सार्थक नहीं माना जाता है, जैसे वास्तविक या जटिल संख्याएं है, क्योंकि किसी भी $$x$$ को तुच्छ रूप से $$(xy)\times(1/y)$$ लिखा जा सकता है जब भी $$y$$ शून्य नहीं है। हालांकि, एक परिमेय संख्या या एक परिमेय फलन के लिए एक सार्थक गुणनखंडन को सबसे कम शब्दों में लिखकर और उसके अंश और हर को अलग-अलग करके प्राप्त किया जा सकता है।

प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने सबसे पहले पूर्णांकों के मामले में गुणनखंडन पर विचार किया था। उन्होंने अंकगणित के मूलभूत प्रमेय को सिद्ध किया, जो यह दावा करता है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में विभाजित किया जा सकता है, जिसे आगे 1 से अधिक पूर्णांकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है।इसके अलावा, यह गुणनखंड कारकों के क्रम तक अद्वितीय है। हालांकि पूर्णांक गुणनखंड गुणन का एक प्रकार है, यह एल्गोरिथम की दृष्टि से कहीं अधिक कठिन है, एक तथ्य है जिसका सार्वजनिक-कुंजी बीज-लेखन को लागू करने के लिए RSA क्रिप्टोसिस्टम में उपयोग किया जाता है।

सदियों से बहुपद गुणनखंड का भी अध्ययन किया गया है। प्रारंभिक बीजगणित में, बहुपद का गुणनखंड करने से इसकी जड़ों को खोजने की समस्या को कारकों की जड़ों को खोजने की समस्या कम हो जाती है। पूर्णांकों में या किसी क्षेत्र में गुणांक वाले बहुपदों में अद्वितीय गुणनखंडन गुण होते हैं, जो अभाज्य संख्याओं के साथ अंकगणित के मौलिक प्रमेय का एक संस्करण है जिसे अखंडनीय बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। विशेष रूप से, जटिल गुणांक वाला एक अविभाज्य बहुपद रैखिक बहुपदों में एक अद्वितीय (आदेश देने तक) गुणनखंड को स्वीकार करता है: यह बीजगणित के मौलिक प्रमेय का एक संस्करण है। इस मामले में, कारककरण मूल निकालने की विधि के साथ किया जा सकता है। पूर्णांक गुणांक के साथ बहुपद का मामला कंप्यूटर बीजगणित के लिए मौलिक है। तर्कसंगत संख्या गुणांक के साथ बहुपद की अंगूठी के भीतर कंप्यूटिंग (पूर्ण) कारक के लिए कुशल कंप्यूटर एल्गोरिदम हैं (बहुपदों का कारक देखें)।

अद्वितीय कारक संपत्ति वाले एक कम्यूटेटिव रिंग को एक अद्वितीय कारककरण डोमेन कहा जाता है। संख्या प्रणालियाँ हैं, जैसे कि बीजगणितीय पूर्णांक के कुछ छल्ले, जो अद्वितीय कारक नहीं हैं। हालांकि, बीजगणितीय पूर्णांक के छल्ले डेडेकिंड डोमेन की कमजोर संपत्ति को संतुष्ट करते हैं: आदर्श कारक विशिष्ट आदर्शों में विशिष्ट रूप से।

फैक्टरकरण भी छोटे या सरल वस्तुओं के उत्पाद में एक गणितीय वस्तु के अधिक सामान्य अपघटन का उल्लेख कर सकता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक फ़ंक्शन को एक इंजेक्टिव फ़ंक्शन के साथ एक सर्जिकल फ़ंक्शन की संरचना में शामिल किया जा सकता है। मैट्रिसेस में कई प्रकार के मैट्रिक्स कारक होते हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक मैट्रिक्स में एक कम त्रिकोणीय मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में एक अद्वितीय LUP कारक होता है$L$ एक के बराबर सभी विकर्ण प्रविष्टियों के साथ, एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स$U$, और एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स$P$;यह गाऊसी उन्मूलन का एक मैट्रिक्स सूत्रीकरण है।

पूर्णांक
अंकगणित के मौलिक प्रमेय द्वारा, 1 से अधिक पूर्णांक के पास प्राइम नंबरों में एक अद्वितीय (कारकों के क्रम तक) फैक्टरकरण होता है, जो उन पूर्णांक हैं जिन्हें एक से अधिक पूर्णांक के उत्पाद में आगे नहीं किया जा सकता है।

एक पूर्णांक के कारक की गणना के लिए$n$, किसी को एक भाजक खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म की आवश्यकता है$q$ का$n$ या तय करना$n$ प्राइम है।जब इस तरह के एक भाजक को पाया जाता है, तो कारकों के लिए इस एल्गोरिथ्म का बार -बार आवेदन किया जाता है$q$ तथा$n / q$ अंततः पूरा कारक देता है$n$. एक विभाजक खोजने के लिए$q$ का$n$, यदि कोई हो, तो यह सभी मूल्यों का परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है$q$ ऐसा है कि$1 < q$ तथा$q^{2} ≤ n$।वास्तव में, अगर$r$ का भाजक है$n$ ऐसा है कि$r^{2} > n$, फिर$q = n / r$ का भाजक है$n$ ऐसा है कि$q^{2} ≤ n$।

यदि कोई मान का परीक्षण करता है$q$ बढ़ते क्रम में, पहला विभाजक जो पाया जाता है वह आवश्यक रूप से एक प्रमुख संख्या है, और कोफ़ेक्टर$r = n / q$ किसी भी विभाजक से छोटा नहीं हो सकता है$q$।पूर्ण कारक प्राप्त करने के लिए, यह इस प्रकार पीड़ित है कि एल्गोरिथ्म को एक भाजक को खोजकर जारी रखा$r$ इससे छोटा नहीं है$q$ और से अधिक नहीं$√r$।

के सभी मूल्यों का परीक्षण करने की कोई आवश्यकता नहीं है$q$ विधि को लागू करने के लिए।सिद्धांत रूप में, यह केवल प्राइम डिवीर्स का परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है।इसके लिए प्राइम नंबरों की एक तालिका होनी चाहिए जो उदाहरण के लिए एरातोस्टेनेस की छलनी के साथ उत्पन्न हो सकती है।जैसा कि फैक्टराइजेशन की विधि अनिवार्य रूप से एराटोस्टेनेस की छलनी के रूप में एक ही काम करती है, यह आम तौर पर एक भाजक के लिए परीक्षण करने के लिए अधिक कुशल है, केवल उन नंबरों के लिए जिसके लिए यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि वे प्रमुख हैं या नहीं।आमतौर पर, कोई 2, 3, 5, और संख्या> & nbsp; 5 का परीक्षण करके आगे बढ़ सकता है, जिसका अंतिम अंक 1, 3, 7, 9 है और अंकों का योग 3 में से कई नहीं है।

यह विधि छोटे पूर्णांक को फैक्टर करने के लिए अच्छी तरह से काम करती है, लेकिन बड़े पूर्णांक के लिए अक्षम है।उदाहरण के लिए, पियरे डी फर्मेट यह पता लगाने में असमर्थ थे कि 6 वीं फ़र्मेट नंबर
 * $$1 + 2^{2^5} = 1 + 2^{32} = 4\,294\,967\,297$$

एक प्रमुख संख्या नहीं है।वास्तव में, उपरोक्त विधि को लागू करने के लिए अधिक से अधिक की आवश्यकता होगी$10,000 divisions$, एक संख्या के लिए जिसमें 10 & nbsp; दशमलव अंक हैं।

अधिक कुशल फैक्टरिंग एल्गोरिदम हैं।हालाँकि, वे अपेक्षाकृत अक्षम रहते हैं, जैसे कि कला की वर्तमान स्थिति के साथ, कोई भी कारक नहीं कर सकता है, यहां तक कि अधिक शक्तिशाली कंप्यूटरों के साथ, 500 दशमलव अंकों की संख्या जो दो यादृच्छिक रूप से चुने हुए प्राइम नंबरों का उत्पाद है।यह आरएसए क्रिप्टोसिस्टम की सुरक्षा सुनिश्चित करता है, जो व्यापक रूप से सुरक्षित इंटरनेट संचार के लिए उपयोग किया जाता है।

उदाहरण
फैक्टरिंग के लिए$n = 1386$ प्राइम्स में:
 * 2 से विभाजन से शुरू करें: संख्या भी है, और$n = 2 · 693$।693, और 2 के साथ पहले विभाजक उम्मीदवार के रूप में जारी रखें।
 * 693 विषम है (2 एक विभाजक नहीं है), लेकिन 3 में से एक है: एक है$693 = 3 · 231$ तथा$n = 2 · 3 · 231$।231, और 3 के साथ पहले भाजक के उम्मीदवार के रूप में जारी रखें।
 * 231 भी 3 में से एक है: एक है$231 = 3 · 77$, और इस तरह$n = 2 · 3^{2} · 77$।पहले विभाजक उम्मीदवार के रूप में 77, और 3 के साथ जारी रखें।
 * 77 3 में से कई नहीं है, क्योंकि इसके अंकों का योग 14 है, न कि 3. में से एक कई नहीं है। यह भी 5 में से कई नहीं है क्योंकि इसका अंतिम अंक 7 है। परीक्षण किया जाने वाला अगला विषम विभाजक 7. एक है 7. एक।है$77 = 7 · 11$, और इस तरह$n = 2 · 3^{2} · 7 · 11$।इससे पता चलता है कि 7 प्राइम है (सीधे परीक्षण करना आसान है)।11, और 7 के साथ पहले विभाजक उम्मीदवार के रूप में जारी रखें।
 * जैसा$7^{2} > 11$, एक समाप्त हो गया है।इस प्रकार 11 प्रमुख है, और प्रमुख कारक है

भाव
अभिव्यक्तियों में हेरफेर बीजगणित का आधार है।कारक कई कारणों से अभिव्यक्ति हेरफेर के लिए सबसे महत्वपूर्ण तरीकों में से एक है।यदि कोई एक समीकरण को एक रूप में रख सकता है$1386 = 2 · 3^{2} · 7 · 11$, फिर समीकरण को हल करने की समस्या दो स्वतंत्र (और आम तौर पर आसान) समस्याओं में विभाजित होती है$E⋅F = 0$ तथा$E = 0$।जब एक अभिव्यक्ति को फैक्टर किया जा सकता है, तो कारक अक्सर बहुत सरल होते हैं, और इस प्रकार समस्या पर कुछ अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकते हैं।उदाहरण के लिए,
 * $$x^3-ax^2-bx^2-cx^2+ abx+acx+bcx-abc$$

16 गुणन, 4 घटाव और 3 परिवर्धन, बहुत सरल अभिव्यक्ति में फैक्टर किया जा सकता है
 * $$(x-a)(x-b)(x-c),$$ केवल दो गुणा और तीन घटाव के साथ।इसके अलावा, फैक्टेड फॉर्म तुरंत बहुपद की जड़ों के रूप में जड़ों को x = a, b, c देता है।

दूसरी ओर, कारक हमेशा संभव नहीं होता है, और जब यह संभव होता है, तो कारक हमेशा सरल नहीं होते हैं।उदाहरण के लिए,$$x^{10}-1$$ दो irreducible कारकों में फैक्टर किया जा सकता है$$x-1$$ तथा$$x^{9}+x^{8}+\cdots+x^2+x+1$$।

कारक खोजने के लिए विभिन्न तरीकों को विकसित किया गया है;कुछ नीचे वर्णित हैं।

बीजगणितीय समीकरणों को हल करने से बहुपद कारक की समस्या के रूप में देखा जा सकता है।वास्तव में, बीजगणित के मौलिक प्रमेय को निम्नानुसार कहा जा सकता है: हर बहुपद में$x$ डिग्री का$F = 0$ जटिल गुणांक के साथ में कारक किया जा सकता है$n$ रैखिक कारक$$x-a_i,$$ के लिये$n$, जहां$i = 1, ..., n$s बहुपद की जड़ें हैं। भले ही इन मामलों में कारक की संरचना ज्ञात हो,$a_{i}$आमतौर पर कट्टरपंथी (n) के संदर्भ में गणना नहीं की जा सकती हैthरूट्स), हाबिल -रफिनी प्रमेय द्वारा।ज्यादातर मामलों में, जो सबसे अच्छा किया जा सकता है, वह रूट-फाइंडिंग एल्गोरिथ्म के साथ जड़ों के अनुमानित मूल्यों की गणना है।

अभिव्यक्तियों के कारक का इतिहास
मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज़्मी के साथ 9 वीं शताब्दी को सरल बनाने (अधिक विशेष रूप से समीकरण) को सरल बनाने के लिए बीजगणितीय जोड़-तोड़ का व्यवस्थित उपयोग किया जा सकता है।हेरफेर के प्रकार।

हालांकि, द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए भी, उनकी मृत्यु के दस साल बाद 1631 में प्रकाशित हैरियट के काम से पहले फैक्टरिंग विधि का उपयोग नहीं किया गया था। अपनी पुस्तक आर्टिस एनालिटिका प्रैक्सिस एड एसेक्यूज एज़ेब्रेकास रिजेल्डस, हैरियट ड्रू, टेबल्स फॉर एडिशन, सबटेक्शन, मल्टीप्लेशन और डिवीजन ऑफ मोनोमिअल, बिनोमियल और ट्रिनोमियल।फिर, एक दूसरे खंड में, उन्होंने समीकरण स्थापित किया$a_{i}$, और दिखाया कि यह गुणन के रूप से मेल खाता है जो उसने पहले प्रदान किया था, कारक को दे रहा था$aa − ba + ca = + bc$.

सामान्य तरीके
निम्नलिखित विधियाँ किसी भी अभिव्यक्ति पर लागू होती हैं जो एक राशि है, या जिसे एक राशि में बदल दिया जा सकता है।इसलिए, उन्हें अक्सर बहुपदों पर लागू किया जाता है, हालांकि उन्हें तब भी लागू किया जा सकता है जब राशि की शर्तें मोनोमियल नहीं होती हैं, अर्थात, योग की शर्तें चर और स्थिरांक का एक उत्पाद हैं।

सामान्य कारक
यह हो सकता है कि एक राशि के सभी शर्तें उत्पाद हैं और कुछ कारक सभी शब्दों के लिए आम हैं।इस मामले में, वितरण कानून इस सामान्य कारक को फैक्टरिंग करने की अनुमति देता है।यदि ऐसे कई सामान्य कारक हैं, तो इस तरह के सामान्य कारक को विभाजित करना बेहतर है।इसके अलावा, यदि पूर्णांक गुणांक हैं, तो कोई इन गुणांक के सबसे बड़े सामान्य भाजक को कारक कर सकता है।

उदाहरण के लिए,
 * $$6x^3y^2 + 8x^4y^3 - 10x^5y^3 = 2x^3y^2(3 + 4xy -5x^2y),$$

चूंकि 2 6, 8, और 10 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है, और$$x^3y^2$$ सभी शब्दों को विभाजित करता है।

समूहन
समूहीकरण शब्द एक कारक प्राप्त करने के लिए अन्य तरीकों का उपयोग करने की अनुमति दे सकते हैं।

उदाहरण के लिए, कारक के लिए
 * $$4x^2+20x+3xy+15y, $$

कोई टिप्पणी कर सकता है कि पहले दो शब्दों में एक सामान्य कारक है$x$, और पिछले दो शब्दों में सामान्य कारक है$y$।इस प्रकार
 * $$4x^2+20x+3xy+15y = (4x^2+20x)+(3xy+15y) = 4x(x+5)+3y(x+5). $$

तब एक साधारण निरीक्षण सामान्य कारक को दर्शाता है$(a − b)(a + c)$, कारक के लिए अग्रणी
 * $$4x^2+20x+3xy+15y = (4x+3y)(x+5).$$

सामान्य तौर पर, यह 4 शर्तों की रकम के लिए काम करता है जो दो द्विपद के उत्पाद के रूप में प्राप्त किए गए हैं।हालांकि अक्सर नहीं, यह अधिक जटिल उदाहरणों के लिए भी काम कर सकता है।

जोड़ना और घटाना शर्तें
कभी -कभी, कुछ शब्द समूहीकरण एक पहचानने योग्य पैटर्न का हिस्सा प्रकट करता है।पैटर्न को पूरा करने के लिए शब्दों को जोड़ना और घटाना उपयोगी है।

इसका एक विशिष्ट उपयोग द्विघात सूत्र प्राप्त करने के लिए वर्ग विधि को पूरा करना है।

एक अन्य उदाहरण का कारक है$$x^4 + 1.$$ यदि कोई -1 के गैर-वास्तविक वर्गमूल का परिचय देता है, तो आमतौर पर निरूपित किया जाता है$i$, तब एक को वर्गों का अंतर है
 * $$x^4+1=(x^2+i)(x^2-i).$$

हालांकि, कोई वास्तविक संख्या गुणांक के साथ एक कारक भी चाहता है।जोड़कर और घटाना$$2x^2,$$ और तीन शब्दों को एक साथ समूहित करते हुए, एक द्विपद के वर्ग को पहचान सकता है:
 * $$x^4+1 = (x^4+2x^2+1)-2x^2 = (x^2+1)^2 - \left(x\sqrt2\right)^2 =\left(x^2+x\sqrt2+1\right)\left(x^2-x\sqrt2+1\right).$$

घटाना और जोड़ना$$2x^2$$ कारक भी पैदावार देता है:
 * $$x^4+1 = (x^4-2x^2+1)+2x^2 = (x^2-1)^2 + \left(x\sqrt2\right)^2 =\left(x^2+x\sqrt{-2}-1\right)\left(x^2-x\sqrt{-2}-1\right).$$

ये कारक न केवल जटिल संख्याओं पर, बल्कि किसी भी क्षेत्र में भी काम करते हैं, जहां या तो -1, 2 या -2 एक वर्ग है।एक परिमित क्षेत्र में, दो गैर-वर्गों का उत्पाद एक वर्ग है;इसका तात्पर्य यह है कि बहुपद$$x^4 + 1,$$ जो पूर्णांक पर अतार्किक है, हर प्राइम नंबर को कम करने योग्य मोडुलो है।उदाहरण के लिए,
 * $$x^4 + 1 \equiv (x+1)^4 \pmod 2;$$
 * $$x^4 + 1 \equiv (x^2+x-1)(x^2-x-1) \pmod 3,\qquad$$जबसे$$1^2 \equiv -2 \pmod 3;$$
 * $$x^4 + 1 \equiv (x^2+2)(x^2-2) \pmod 5,\qquad$$जबसे$$2^2 \equiv -1 \pmod 5;$$
 * $$x^4 + 1 \equiv (x^2+3x+1)(x^2-3x+1) \pmod 7,\qquad$$जबसे$$3^2 \equiv 2 \pmod 7.$$

पहचानने योग्य पैटर्न
कई पहचान एक राशि और एक उत्पाद के बीच एक समानता प्रदान करते हैं।उपरोक्त तरीकों का उपयोग कुछ पहचान के योग को एक अभिव्यक्ति में दिखाई देने के लिए किया जा सकता है, जिसे इसलिए किसी उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

नीचे पहचानें हैं जिनके बाएं हाथ की ओर आमतौर पर पैटर्न के रूप में उपयोग की जाती हैं (इसका मतलब है कि चर$E$ तथा$F$ इन पहचानों में दिखाई देता है, अभिव्यक्ति के किसी भी उपप्रकार का प्रतिनिधित्व कर सकता है जिसे कारक किया जाना है)।
 * दो वर्गों का अंतर
 * $$ E^2 - F^2 = (E+F)(E-F)$$
 * उदाहरण के लिए,
 * $$\begin{align}

a^2 + &2ab + b^2 - x^2 +2xy - y^2 \\ &= (a^2 + 2ab + b^2) - (x^2 -2xy + y^2) \\ &= (a+b)^2 - (x -y)^2 \\ &= (a+b + x -y)(a+b -x + y). \end{align} $$
 * दो क्यूब्स का योग/अंतर::$$ E^3 + F^3 = (E + F)(E^2 - EF + F^2)$$
 * $$ E^3 - F^3 = (E - F)(E^2 + EF + F^2)$$


 * दो चौथी शक्तियों का अंतर
 * $$\begin{align}

E^4 - F^4 &= (E^2 + F^2)(E^2 - F^2) \\ &= (E^2 + F^2)(E + F)(E - F) \end{align}$$
 * दो का योग/अंतर$n$वें शक्तियां
 * निम्नलिखित पहचानों में, कारकों को अक्सर आगे बढ़ाया जा सकता है:
 * अंतर, यहां तक कि घातांक
 * $$E^{2n}-F^{2n}= (E^n+F^n)(E^n-F^n)$$
 * अंतर, यहां तक कि या विषम प्रतिपादक
 * $$ E^n - F^n = (E-F)(E^{n-1} + E^{n-2}F + E^{n-3}F^2 + \cdots + EF^{n-2}  + F^{n-1} )$$
 * यह एक उदाहरण है जो यह दिखाता है कि कारक उस राशि से बहुत बड़े हो सकते हैं जो कारक किया गया है।
 * संक्षेप, विषम प्रतिपादक
 * $$ E^n + F^n = (E+F)(E^{n-1} - E^{n-2}F + E^{n-3}F^2 - \cdots - EF^{n-2}  + F^{n-1} )$$
 * :( बदलकर प्राप्त किया$F$ द्वारा$x + 5$ पूर्ववर्ती सूत्र में)
 * संक्षेप, यहां तक कि घातांक
 * यदि घातांक दो की शक्ति है, तो अभिव्यक्ति सामान्य रूप से, जटिल संख्याओं को पेश किए बिना कारक नहीं किया जा सकता है (यदि)$E$ तथा$F$ जटिल संख्याएं होती हैं, यह मामला नहीं हो सकता है)।यदि n में एक विषम भाजक है, तो यह है$–F$ साथ$p$ विषम, कोई पूर्ववर्ती सूत्र (संक्षेप में, विषम प्रतिपादक) का उपयोग कर सकता है$$(E^q)^p+(F^q)^p.$$


 * ट्रिनोमियल और क्यूबिक फॉर्मूला

\begin{align} &x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy +yz+xz)= (x + y+ z)^2 \\ &x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)\\ &x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2(y + z) +3y^2(x+z) + 3z^2(x+y) + 6xyz = (x + y+z)^3 \\ &x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 + xy+y^2)(x^2 - xy + y^2). \end{align} $$
 * द्विपद विस्तारFile:binomial_theorem_visualisation.svg|thumb|300px|4 वीं शक्ति तक द्विपद विस्तार का दृश्य]]
 * द्विपद प्रमेय पैटर्न की आपूर्ति करता है जो आसानी से उन पूर्णांक से पहचाना जा सकता है जो उनमें दिखाई देते हैं
 * कम डिग्री में:
 * $$ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$
 * $$ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$
 * $$ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3 $$
 * $$ a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3 $$
 * अधिक आम तौर पर, विस्तारित रूपों के गुणांक$$(a+b)^n$$ तथा$$(a-b)^n$$ द्विपद गुणांक हैं, जो दिखाई देते हैं$n = pq$पास्कल के त्रिभुज की पंक्ति।

एकता की जड़ें
$n$n}} एकता की वें जड़ें जटिल संख्याएँ हैं जिनमें से प्रत्येक बहुपद की एक जड़ है$$x^n-1.$$ वे इस प्रकार संख्या हैं
 * $$e^{2ik\pi/n}=\cos \tfrac{2\pi k}n +i\sin \tfrac{2\pi k}n$$

के लिये$$k=0, \ldots, n-1.$$ यह इस प्रकार है कि किसी भी दो अभिव्यक्तियों के लिए$E$ तथा$F$, किसी के पास:
 * $$E^n-F^n= (E-F)\prod_{k=1}^{n-1} \left(E-F e^{2ik\pi/n}\right)$$
 * $$E^{n}+F^{n}=\prod_{k=0}^{n-1} \left(E-F e^{(2k+1)i\pi/n}\right) \qquad \text{if } n \text{ is even}$$
 * $$E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod_{k=1}^{n-1}\left(E+F e^{2ik\pi/n}\right) \qquad \text{if } n \text{ is odd}$$

यदि$E$ तथा$F$ वास्तविक भाव हैं, और एक वास्तविक कारक चाहता है, एक को अपने उत्पाद द्वारा जटिल संयुग्म कारकों की प्रत्येक जोड़ी को बदलना पड़ता है।के जटिल संयुग्म के रूप में$$e^{i\alpha}$$ है$$e^{-i\alpha},$$ तथा
 * $$\left(a-be^{i\alpha}\right)\left(a-be^{-i\alpha}\right)=

a^2-ab\left(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}\right)+b^2e^{i\alpha}e^{-i\alpha}= a^2-2ab\cos\,\alpha +b^2, $$ एक के पास निम्नलिखित वास्तविक कारक हैं (एक बदलकर एक से दूसरे तक गुजरता है$k$ में$n$ या$n – k$, और सामान्य त्रिकोणमितीय सूत्रों को लागू करना:
 * $$\begin{align}E^{2n}-F^{2n}&=

(E-F)(E+F)\prod_{k=1}^{n-1} \left(E^2-2EF \cos\,\tfrac{k\pi}n +F^2\right)\\ &=(E-F)(E+F)\prod_{k=1}^{n-1} \left(E^2+2EF \cos\,\tfrac{k\pi}n +F^2\right)\end{align}$$
 * $$ \begin{align}E^{2n} + F^{2n} &=

\prod_{k=1}^n \left(E^2 + 2EF\cos\,\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}+F^2\right)\\ &=\prod_{k=1}^n \left(E^2 - 2EF\cos\,\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}+F^2\right) \end{align}$$ इन कारकों में दिखाई देने वाले कोसाइन बीजगणितीय संख्याएं हैं, और कट्टरपंथियों के संदर्भ में व्यक्त किए जा सकते हैं (यह संभव है क्योंकि उनका गैलोइस समूह चक्रीय है);हालांकि, इन कट्टरपंथी अभिव्यक्तियों का उपयोग करने के लिए बहुत जटिल हैं, सिवाय इसके कि कम मूल्यों को छोड़कर$n$।उदाहरण के लिए,
 * $$ a^4 + b^4 = (a^2 - \sqrt 2 ab + b^2)(a^2 + \sqrt 2 ab + b^2).$$
 * $$ a^5 - b^5 = (a - b)\left(a^2 + \frac{1-\sqrt 5}2 ab + b^2\right)\left(a^2 +\frac{1+\sqrt 5}2 ab + b^2\right),$$
 * $$ a^5 + b^5 = (a + b)\left(a^2 - \frac{1-\sqrt 5}2 ab + b^2\right)\left(a^2 -\frac{1+\sqrt 5}2 ab + b^2\right),$$

अक्सर कोई तर्कसंगत गुणांक के साथ एक कारक चाहता है।इस तरह के एक कारक में साइक्लोटोमिक बहुपद शामिल हैं।रकम और अंतर या शक्तियों के तर्कसंगत कारक व्यक्त करने के लिए, हमें एक बहुपद के समरूपता के लिए एक संकेतन की आवश्यकता है: यदि$$P(x)=a_0x^n+a_ix^{n-1} +\cdots +a_n,$$ इसका समरूपता Bivariate बहुपद है$$\overline P(x,y)=a_0x^n+a_ix^{n-1}y +\cdots +a_ny^n.$$ फिर, एक है
 * $$E^n-F^n=\prod_{k\mid n}\overline Q_n(E,F),$$
 * $$E^n+F^n=\prod_{k\mid 2n,k\not\mid n}\overline Q_n(E,F),$$

जहां उत्पादों को सभी विभाजकों पर ले जाया जाता है$n$, या सभी दिव्य$n + 1 – k$ वह विभाजित नहीं है$n$, तथा$$Q_n(x)$$ है$n$TH साइक्लोटोमिक बहुपद।

उदाहरण के लिए,
 * $$a^6-b^6= \overline Q_1(a,b)\overline Q_2(a,b)\overline Q_3(a,b)\overline Q_6(a,b)=(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2),$$
 * $$a^6+b^6=\overline Q_4(a,b)\overline Q_{12}(a,b) = (a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4),$$

चूंकि 6 के विभाजक 1, 2, 3, 6 हैं, और 12 के विभाजक जो 6 को विभाजित नहीं करते हैं, वे 4 और 12 हैं।

बहुपद
बहुपदों के लिए, कारककरण बीजीय समीकरणों को हल करने की समस्या से दृढ़ता से संबंधित है।एक बीजीय समीकरण का रूप है
 * $$P(x)\ \,\stackrel{\text{def}}{=}\ \,a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0,$$

कहाँ पे$2n$ में एक बहुपद है$x$ साथ$$a_0\ne 0.$$ इस समीकरण का एक समाधान (जिसे बहुपद की जड़ भी कहा जाता है) एक मूल्य है$r$ का$x$ ऐसा है कि
 * $$P(r)=0.$$

यदि$$P(x)=Q(x)R(x)$$ का एक कारक है$P(x)$ दो बहुपदों के उत्पाद के रूप में, फिर की जड़ें$P(x) = 0$ की जड़ों के मिलन हैं$P(x)$ और की जड़ें$Q(x)$।इस प्रकार हल हो रहा है$R(x)$ हल करने की सरल समस्याओं के लिए कम हो गया है$P(x) = 0$ तथा$Q(x) = 0$।

इसके विपरीत, कारक प्रमेय का दावा है कि, अगर$r$ की जड़ है$R(x) = 0$, फिर$P(x) = 0$ के रूप में फैक्टर किया जा सकता है
 * $$P(x)=(x-r)Q(x),$$

कहाँ पे$P(x)$ यूक्लिडियन डिवीजन का भागफल है$Q(x)$ रैखिक (डिग्री एक) कारक द्वारा$P(x) = 0$।

यदि गुणांक$x – r$ वास्तविक या जटिल संख्याएं हैं, बीजगणित के मौलिक प्रमेय का दावा है कि$P(x)$ एक वास्तविक या जटिल जड़ है।कारक प्रमेय का उपयोग करते हुए पुनरावर्ती, इसका परिणाम है
 * $$P(x)=a_0(x-r_1)\cdots (x-r_n),$$

कहाँ पे$$r_1, \ldots, r_n$$ की वास्तविक या जटिल जड़ें हैं$P$, उनमें से कुछ के साथ संभवतः दोहराया गया।यह पूरा कारक कारकों के क्रम तक अद्वितीय है।

यदि गुणांक$P(x)$ वास्तविक हैं, एक आम तौर पर एक कारक चाहता है जहां कारकों में वास्तविक गुणांक होते हैं।इस मामले में, पूर्ण कारक में कुछ द्विघात (डिग्री दो) कारक हो सकते हैं।इस कारक को आसानी से उपरोक्त पूर्ण कारक से घटाया जा सकता है।वास्तव में, अगर$P(x)$ की एक गैर-वास्तविक जड़ है$r = a + ib$, फिर इसका जटिल संयुग्म$P(x)$ की जड़ भी है$s = a - ib$।तो, उत्पाद
 * $$(x-r)(x-s) = x^2-(r+s)x+rs =x^2+2ax+a^2+b^2$$

का एक कारक है$P(x)$ वास्तविक गुणांक के साथ।सभी गैर-वास्तविक कारकों के लिए इसे दोहराने से रैखिक या द्विघात वास्तविक कारकों के साथ एक कारक मिलता है।

इन वास्तविक या जटिल कारकों की गणना करने के लिए, किसी को बहुपद की जड़ों की आवश्यकता होती है, जिसकी गणना वास्तव में नहीं की जा सकती है, और केवल रूट-फाइंडिंग एल्गोरिदम का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है।

व्यवहार में, ब्याज के अधिकांश बीजगणितीय समीकरणों में पूर्णांक या तर्कसंगत गुणांक होते हैं, और कोई भी उसी तरह के कारकों के साथ एक कारक चाहता है।अंकगणित के मौलिक प्रमेय को इस मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें कहा गया है कि पूर्णांक या तर्कसंगत गुणांक वाले बहुपद में अद्वितीय कारक संपत्ति है।अधिक सटीक रूप से, तर्कसंगत गुणांक के साथ प्रत्येक बहुपद एक उत्पाद में कारक किया जा सकता है
 * $$P(x)=q\,P_1(x)\cdots P_k(x),$$

कहाँ पे$q$ एक तर्कसंगत संख्या है और$$P_1(x), \ldots, P_k(x)$$ पूर्णांक गुणांक के साथ गैर-स्थिर बहुपद हैं जो कि अप्रासंगिक और आदिम हैं;इसका मतलब है कि कोई भी नहीं$$P_i(x)$$ उत्पाद दो बहुपद (पूर्णांक गुणांक के साथ) के रूप में लिखा जा सकता है जो न तो 1 और न ही -1 (पूर्णांक को डिग्री शून्य के बहुपद के रूप में माना जाता है)।इसके अलावा, यह कारक कारकों के क्रम और कारकों के संकेतों के लिए अद्वितीय है।

इस कारक की गणना के लिए कुशल एल्गोरिदम हैं, जो अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में लागू होते हैं।बहुपद का कारक देखें।दुर्भाग्य से, ये एल्गोरिदम पेपर-एंड-पेंसिल कम्प्यूटेशन के लिए उपयोग करने के लिए बहुत जटिल हैं।ऊपर दिए गए उत्तराधिकारियों के अलावा, केवल कुछ ही तरीके हाथ की गणना के लिए उपयुक्त हैं, जो आम तौर पर केवल कुछ नॉनज़ेरो गुणांक के साथ कम डिग्री के बहुपद के लिए काम करते हैं।इस तरह के मुख्य तरीकों को अगले उपखंडों में वर्णित किया गया है।

आदिम-भाग और सामग्री कारक
तर्कसंगत गुणांक के साथ प्रत्येक बहुपद, एक अद्वितीय तरीके से, एक तर्कसंगत संख्या के उत्पाद के रूप में, एक अनोखे तरीके से और पूर्णांक गुणांक के साथ एक बहुपद के रूप में, जो आदिम है (यानी, गुणांक का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक 1 है), और एक हैसकारात्मक अग्रणी गुणांक (उच्चतम डिग्री के शब्द का गुणांक)।उदाहरण के लिए:
 * $$-10x^2 + 5x + 5 = (-5)\cdot (2x^2 - x - 1)$$
 * $$\frac{1}{3}x^5 + \frac{7}{2} x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{6} ( 2x^5 + 21x^2 + 12x + 6)$$

इस कारक में, तर्कसंगत संख्या को सामग्री कहा जाता है, और आदिम बहुपद आदिम भाग है।इस कारक की गणना निम्नानुसार की जा सकती है: सबसे पहले, एक पूर्णांक द्वारा भागफल प्राप्त करने के लिए, एक सामान्य भाजक के लिए सभी गुणांक को कम करें$q$ पूर्णांक गुणांक के साथ एक बहुपद।फिर एक अधिक से अधिक सामान्य विभाजक को विभाजित करता है$p$ आदिम भाग प्राप्त करने के लिए इस बहुपद के गुणांक, सामग्री है$$p/q.$$ अंत में, यदि आवश्यक हो, तो कोई संकेत बदल देता है$p$ और आदिम भाग के सभी गुणांक।

यह कारक एक परिणाम उत्पन्न कर सकता है जो मूल बहुपद की तुलना में बड़ा है (आमतौर पर जब कई कोपरीम भाजक होते हैं), लेकिन, यहां तक कि जब यह मामला होता है, तो आदिम हिस्सा आम तौर पर आगे के कारक के लिए हेरफेर करना आसान होता है।

कारक प्रमेय का उपयोग करना
कारक प्रमेय कहता है कि, अगर$r$ एक बहुपद की जड़ है
 * $$P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,$$

अर्थ$P(x)$, फिर एक कारक है
 * $$P(x)=(x-r)Q(x),$$

कहाँ पे
 * $$Q(x)=b_0x^{n-1}+\cdots+b_{n-2}x+b_{n-1},$$

साथ$$a_0=b_0$$।तब बहुपद लॉन्ग डिवीजन या सिंथेटिक डिवीजन देते हैं:
 * $$b_i=a_0r^i +\cdots+a_{i-1}r+a_i \ \text{ for }\ i = 1,\ldots,n{-}1.$$

यह उपयोगी हो सकता है जब कोई जानता है या बहुपद की जड़ का अनुमान लगा सकता है।

उदाहरण के लिए, के लिए$$P(x) = x^3 - 3x + 2,$$ कोई आसानी से देख सकता है कि इसके गुणांक का योग 0 है, इसलिए$P(r) = 0$ एक जड़ है।जैसा$r = 1$, तथा$$r^2 +0r-3=-2,$$ किसी के पास
 * $$x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2).$$

तर्कसंगत जड़ें
तर्कसंगत संख्या गुणांक के साथ बहुपद के लिए, कोई भी जड़ों की खोज कर सकता है जो तर्कसंगत संख्याएं हैं।आदिम पार्ट-कंटेंट फैक्टरकरण (देखें #Primitive पार्ट-कंटेंट फैक्टराइजेशन | ऊपर) पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के मामले में तर्कसंगत जड़ों की खोज की समस्या को कम करता है, जिसमें कोई गैर-तुच्छ सामान्य विभाजक नहीं है।

यदि$$x=\tfrac pq$$ इस तरह के एक बहुपद का तर्कसंगत जड़ है
 * $$P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,$$

कारक प्रमेय से पता चलता है कि एक का कारक है
 * $$P(x)=(qx-p)Q(x),$$

जहां दोनों कारकों में पूर्णांक गुणांक होते हैं (तथ्य यह है कि$Q$ के भागफल के लिए उपरोक्त सूत्र से पूर्णांक गुणांक परिणाम हैं$r + 0 = 1$ द्वारा$$x-p/q$$)।

डिग्री के गुणांक की तुलना करना$n$ और उपरोक्त समानता में निरंतर गुणांक दिखाता है कि, अगर$$\tfrac pq$$ कम रूप में एक तर्कसंगत जड़ है, फिर$q$ का भाजक है$$a_0,$$ तथा$p$ का भाजक है$$a_n.$$ इसलिए, संभावनाओं की एक सीमित संख्या है$p$ तथा$q$, जिसे व्यवस्थित रूप से जांच की जा सकती है। उदाहरण के लिए, यदि बहुपद
 * $$P(x)=2x^3 - 7x^2 + 10x - 6$$

एक तर्कसंगत जड़ है$$\tfrac pq$$ साथ$P(x)$, फिर$p$ 6 को विभाजित करना चाहिए;वह है$$p\in\{\pm 1,\pm 2,\pm3, \pm 6\}, $$ तथा$q$ 2 को विभाजित करना चाहिए, वह है$$q\in\{1, 2\}. $$ इसके अलावा, अगर$q > 0$, बहुपद के सभी शब्द नकारात्मक हैं, और इसलिए, एक जड़ नकारात्मक नहीं हो सकती है।वह है, एक होना चाहिए
 * $$\tfrac pq \in \{1, 2, 3, 6, \tfrac 12, \tfrac 32\}.$$

एक प्रत्यक्ष संगणना से पता चलता है कि केवल$$\tfrac 32$$ एक जड़ है, इसलिए कोई अन्य तर्कसंगत जड़ नहीं हो सकती है।कारक प्रमेय को लागू करने से अंत में कारक की ओर जाता है$$2x^3 - 7x^2 + 10x - 6 = (2x -3)(x^2 -2x + 2).$$

द्विघात एसी विधि
उपरोक्त विधि को द्विघात बहुपद के लिए अनुकूलित किया जा सकता है, जिससे कारक की एसी विधि होती है। द्विघात बहुपद पर विचार करें
 * $$P(x)=ax^2 + bx + c$$

पूर्णांक गुणांक के साथ।यदि इसकी एक तर्कसंगत जड़ है, तो इसके भाजक को विभाजित करना होगा$x < 0$ समान रूप से और इसे संभवतः एक रिड्यूसिबल अंश के रूप में लिखा जा सकता है$$r_1 = \tfrac ra.$$ विएता के सूत्रों द्वारा, दूसरी जड़$$r_2$$ है
 * $$r_2 = -\frac ba - r_1 = -\frac ba-\frac ra =-\frac{b+r}a = \frac sa,$$

साथ$$s=-(b+r).$$ इस प्रकार दूसरी जड़ भी तर्कसंगत है, और विएता का दूसरा सूत्र है$$r_1 r_2=\frac ca$$ देता है
 * $$\frac sa\frac ra =\frac ca,$$

वह है
 * $$rs=ac\quad \text{and}\quad r+s=-b.$$

पूर्णांक के सभी जोड़े की जाँच करना जिसका उत्पाद है$a$ यदि कोई हो तो तर्कसंगत जड़ें देता है।

सारांश में, अगर$$ax^2 +bx+c$$ तर्कसंगत जड़ें हैं पूर्णांक हैं$r$ तथा$s$ ऐसा$$rs=ac$$ तथा$$r+s=-b$$ (परीक्षण करने के लिए मामलों की एक परिमित संख्या), और जड़ें हैं$$\tfrac ra$$ तथा$$\tfrac sa.$$ दूसरे शब्दों में, एक का कारक है
 * $$a(ax^2+bx+c) = (ax-r)(ax-s).$$

उदाहरण के लिए, द्विघात बहुपद पर विचार करें
 * $$6x^2 + 13x + 6.$$

के कारकों का निरीक्षण$ac$ फलस्वरूप होता है$ac = 36$, दो जड़ें दे रहे हैं
 * $$r_1 = -\frac 46 =-\frac 23 \quad \text{and} \quad r_2 = -\frac96 = -\frac 32,$$

और कारक

6x^2 + 13x + 6 = 6(x+\tfrac 23)(x+\tfrac 32)= (3x+2)(2x+3). $$

बहुपद जड़ों के लिए सूत्रों का उपयोग करना
कोई भी अविभाज्य द्विघात बहुपद$$ax^2+bx+c$$ द्विघात सूत्र का उपयोग करके फैक्टर किया जा सकता है:

ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta) = a\left(x - \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \left(x - \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right), $$ कहाँ पे$$\alpha$$ तथा$$\beta$$ बहुपद की दो जड़ें हैं।

यदि$4 + 9 = 13 = b$ सभी वास्तविक हैं, कारक वास्तविक हैं यदि और केवल अगर भेदभावपूर्ण हैं$$b^2-4ac$$ गैर-नकारात्मक है।अन्यथा, द्विघात बहुपद को गैर-स्थिर वास्तविक कारकों में कारक नहीं किया जा सकता है।

द्विघात सूत्र तब मान्य होता है जब गुणांक दो से अलग विशेषता के किसी भी क्षेत्र से संबंधित होते हैं, और, विशेष रूप से, एक विषम संख्या के तत्वों के साथ एक परिमित क्षेत्र में गुणांक के लिए। क्यूबिक और क्वार्टिक बहुपद की जड़ों के लिए भी सूत्र हैं, जो सामान्य रूप से, व्यावहारिक उपयोग के लिए बहुत जटिल हैं।एबेल -रफ़िनी प्रमेय से पता चलता है कि डिग्री पांच या उच्चतर के बहुपद के लिए कट्टरपंथी के संदर्भ में कोई सामान्य रूट सूत्र नहीं हैं।

जड़ों के बीच संबंधों का उपयोग करना
यह हो सकता है कि कोई एक बहुपद और उसके गुणांक की जड़ों के बीच कुछ संबंध जानता है।इस ज्ञान का उपयोग करने से बहुपद को फैक्टर करने और इसकी जड़ों को खोजने में मदद मिल सकती है।गैलोइस सिद्धांत जड़ों और गुणांक के बीच संबंधों के एक व्यवस्थित अध्ययन पर आधारित है, जिसमें विएता के सूत्र शामिल हैं।

यहां, हम सरल मामले पर विचार करते हैं जहां दो जड़ें हैं$$x_1$$ तथा$$x_2$$ एक बहुपद का$$P(x)$$ संबंध को संतुष्ट करें
 * $$x_2=Q(x_1),$$

कहाँ पे$Q$ एक बहुपद है।

यह बताता है कि$$x_1$$ की एक सामान्य जड़ है$$P(Q(x))$$ तथा$$P(x).$$ इसलिए यह इन दो बहुपदों के सबसे बड़े आम भाजक की जड़ है।यह निम्नानुसार है कि यह सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक गैर -निरंतर कारक है$$P(x).$$ बहुपद के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म इस सबसे बड़े सामान्य कारक की गणना करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए, यदि कोई जानता है या अनुमान लगाता है कि:$$P(x)=x^3 -5x^2 -16x +80$$ दो जड़ें हैं जो शून्य पर हैं, एक यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को लागू कर सकता है$$P(x)$$ तथा$$P(-x).$$ पहला डिवीजन स्टेप जोड़ने में होता है$$P(x)$$ प्रति$$P(-x),$$ शेष को दे रहा है
 * $$-10(x^2-16).$$

फिर, विभाजित करना$$P(x)$$ द्वारा$$x^2-16$$ एक नए शेष के रूप में शून्य देता है, और$a, b, c$ एक भागफल के रूप में, पूर्ण कारक के लिए अग्रणी
 * $$x^3 - 5x^2 - 16x + 80 = (x -5)(x-4)(x+4).$$

अद्वितीय कारककरण डोमेन
एक क्षेत्र में पूर्णांक और बहुपद अद्वितीय कारक की संपत्ति को साझा करते हैं, अर्थात्, प्रत्येक नॉनज़ेरो तत्व को एक उल्टे तत्व (एक इकाई, पूर्णांक के मामले में ± 1) के उत्पाद में फैक्टर किया जा सकता है और irreducible तत्वों का एक उत्पाद ( प्राइम नंबर, पूर्णांक के मामले में), और यह कारक कारकों को फिर से व्यवस्थित करने और कारकों के बीच इकाइयों को स्थानांतरित करने के लिए अद्वितीय है। अभिन्न डोमेन जो इस संपत्ति को साझा करते हैं, उन्हें अद्वितीय कारककरण डोमेन (UFD) कहा जाता है।

UFDs में सबसे महान सामान्य विभाजक मौजूद हैं, और इसके विपरीत, प्रत्येक अभिन्न डोमेन जिसमें सबसे बड़ा सामान्य विभाजक मौजूद हैं, एक UFD है। प्रत्येक प्रमुख आदर्श डोमेन एक UFD है।

एक यूक्लिडियन डोमेन एक अभिन्न डोमेन है जिस पर पूर्णांक के समान एक यूक्लिडियन डिवीजन को परिभाषित किया गया है। प्रत्येक यूक्लिडियन डोमेन एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, और इस प्रकार एक UFD है।

एक यूक्लिडियन डोमेन में, यूक्लिडियन डिवीजन सबसे बड़ी सामान्य विभाजकों की गणना के लिए एक यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को परिभाषित करने की अनुमति देता है। हालांकि यह एक कारक एल्गोरिथ्म के अस्तित्व का अर्थ नहीं है। एक क्षेत्र का एक स्पष्ट उदाहरण है$F$ इस तरह कि यूक्लिडियन डोमेन में कोई कारककरण एल्गोरिथ्म मौजूद नहीं हो सकता है$x – 5$ Univariate बहुपद पर$F$।

आदर्श
बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, डायफेंटाइन समीकरणों के अध्ययन ने 19 वीं शताब्दी के दौरान गणितज्ञों का नेतृत्व किया, जो कि बीजीय पूर्णांक नामक पूर्णांक के सामान्यीकरण को पेश करने के लिए थे।बीजगणितीय पूर्णांक की पहली अंगूठी जिन्हें गॉसियन पूर्णांक और ईसेनस्टीन पूर्णांक माना जाता है, जो सामान्य पूर्णांक के साथ प्रमुख आदर्श डोमेन होने की संपत्ति के साथ साझा करते हैं, और इस प्रकार अद्वितीय कारक संपत्ति है।

दुर्भाग्य से, यह जल्द ही दिखाई दिया कि बीजगणितीय पूर्णांक के अधिकांश छल्ले प्रिंसिपल नहीं हैं और उनके पास अद्वितीय कारक नहीं है।सबसे सरल उदाहरण है$$\mathbb Z[\sqrt{-5}],$$ जिसमें
 * $$9=3\cdot 3 = (2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}),$$

और ये सभी कारक अतार्किक हैं।

अद्वितीय कारक की यह कमी डायोफेंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए एक बड़ी कठिनाई है।उदाहरण के लिए, फर्मेट के अंतिम प्रमेय के कई गलत प्रमाण (शायद फर्मेट के वास्तव में अद्भुत प्रमाण सहित, जो इस मार्जिन को शामिल करने के लिए बहुत संकीर्ण है) अद्वितीय कारक के निहित दमन पर आधारित थे।

इस कठिनाई को डेडेकिंड द्वारा हल किया गया था, जिन्होंने यह साबित कर दिया कि बीजगणितीय पूर्णांक के छल्ले में आदर्शों का अद्वितीय कारक है: इन छल्ले में, प्रत्येक आदर्श प्रमुख आदर्शों का एक उत्पाद है, और यह कारक कारकों के क्रम को अद्वितीय है।अभिन्न डोमेन जिनके पास यह अनूठा कारक है, अब डेडेकिंड डोमेन कहा जाता है।उनके पास कई अच्छे गुण हैं जो उन्हें बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में मौलिक बनाते हैं।

मैट्रिसेस
मैट्रिक्स के छल्ले गैर-कम्यूटेटिव हैं और उनका कोई अद्वितीय कारक नहीं है: सामान्य रूप से, मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में मैट्रिक्स लिखने के कई तरीके हैं।इस प्रकार, कारक समस्या में निर्दिष्ट प्रकारों के कारक खोजने के होते हैं।उदाहरण के लिए, लू अपघटन एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स द्वारा एक निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में एक मैट्रिक्स देता है।जैसा कि यह हमेशा संभव नहीं होता है, एक आम तौर पर LUP अपघटन को अपने तीसरे कारक के रूप में एक क्रमचय मैट्रिक्स के रूप में मानता है।

मैट्रिक्स कारक के सबसे सामान्य प्रकार के लिए मैट्रिक्स अपघटन देखें।

एक तार्किक मैट्रिक्स एक द्विआधारी संबंध का प्रतिनिधित्व करता है, और मैट्रिक्स गुणा संबंधों की संरचना से मेल खाता है।कारक के माध्यम से एक संबंध का अपघटन संबंध की प्रकृति को प्रोफाइल करने के लिए कार्य करता है, जैसे कि एक अलग संबंध।

यह भी देखें

 * पूर्णांक के लिए यूलर का कारक विधि
 * पूर्णांक के लिए Fermat का कारक विधि
 * मोनोइड कारक
 * गुणक विभाजन
 * गौसियन पूर्णांक कारक की तालिका

बाहरी संबंध

 * Wolfram Alpha can factorize too.

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