समतुल्य मानचित्र

गणित में, समतुल्यता फ़ंक्शन (गणित) के लिए एक स्थान से दूसरे स्थान पर समरूपता के साथ समरूपता का एक रूप है (जैसे सममित स्थान)। एक फ़ंक्शन को एक समतुल्य मानचित्र कहा जाता है जब इसका डोमेन और कोडोमेन एक ही समरूपता समूह द्वारा समूह क्रिया (गणित) होते हैं, और जब समूह की कार्रवाई के साथ फ़ंक्शन क्रमविनिमेय संपत्ति होती है। अर्थात्, समरूपता परिवर्तन को लागू करना और फिर फ़ंक्शन की गणना करना फ़ंक्शन की गणना करने और फिर परिवर्तन को लागू करने के समान परिणाम उत्पन्न करता है।

समतुल्य मानचित्र अपरिवर्तनीय (गणित) की अवधारणा को सामान्यीकृत करते हैं, ऐसे कार्य जिनका मूल्य उनके तर्क के समरूपता परिवर्तन से अपरिवर्तित होता है। एक समतुल्य मानचित्र के मान को अक्सर (अस्पष्ट रूप से) एक अपरिवर्तनीय कहा जाता है।

सांख्यिकीय अनुमान में, डेटा के सांख्यिकीय परिवर्तनों के तहत समतुल्यता विभिन्न अनुमान विधियों की एक महत्वपूर्ण संपत्ति है; विवरण के लिए अपरिवर्तनीय अनुमानक देखें। शुद्ध गणित में, समतुल्यता समवर्ती टोपोलॉजी और इसके उपविषयों समवर्ती कोहोलॉजी और समवर्ती स्थिर होमोटॉपी सिद्धांत में अध्ययन का एक केंद्रीय उद्देश्य है।

प्राथमिक ज्यामिति
त्रिभुजों की ज्यामिति में, त्रिभुज का क्षेत्रफल और परिधि अपरिवर्तनीय होती है: किसी त्रिभुज का अनुवाद करने या घुमाने से उसका क्षेत्रफल या परिधि नहीं बदलती है। हालाँकि, त्रिभुज केंद्र जैसे कि केन्द्रक, परिकेंद्र, अंतकेंद्र और लंबकेंद्र अपरिवर्तनीय नहीं हैं, क्योंकि त्रिभुज के हिलने से उसके केंद्र भी हिल जाएंगे। इसके बजाय, ये केंद्र समतुल्य हैं: किसी भी यूक्लिडियन सर्वांगसमता (ज्यामिति) (अनुवाद और घूर्णन का एक संयोजन) को एक त्रिभुज में लागू करना, और फिर उसके केंद्र का निर्माण करना, पहले केंद्र के निर्माण के समान बिंदु उत्पन्न करता है, और फिर उसी सर्वांगसमता को लागू करना बीच में। अधिक सामान्यतः, सभी त्रिभुज केंद्र समानता (ज्यामिति) (अनुवाद, घूर्णन और स्केलिंग के संयोजन) के अंतर्गत भी समतुल्य होते हैं। और केन्द्रक एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन के तहत समतुल्य है। एक ही फ़ंक्शन समरूपता के एक समूह के लिए अपरिवर्तनीय और समरूपता के एक अलग समूह के लिए समतुल्य हो सकता है। उदाहरण के लिए, सर्वांगसमताओं के बजाय समानता परिवर्तनों के तहत क्षेत्र और परिधि अब अपरिवर्तनीय नहीं हैं: एक त्रिभुज को स्केल करने से इसका क्षेत्र और परिधि भी बदल जाती है। हालाँकि, ये परिवर्तन पूर्वानुमेय तरीके से होते हैं: यदि एक त्रिभुज को एक कारक द्वारा मापा जाता है $s$, परिधि भी मापती है $s$ और क्षेत्र का माप होता है $s^{2}$. इस तरह, प्रत्येक त्रिभुज को उसके क्षेत्रफल या परिधि पर मैप करने वाले फ़ंक्शन को सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर स्केलिंग परिवर्तनों की गुणक समूह कार्रवाई के लिए समतुल्य के रूप में देखा जा सकता है।

सांख्यिकी
सरल उदाहरणों का एक अन्य वर्ग सांख्यिकीय अनुमान से आता है। किसी नमूने का माध्य (वास्तविक संख्याओं का एक सेट) आमतौर पर नमूने की केंद्रीय प्रवृत्ति के रूप में उपयोग किया जाता है। यह वास्तविक संख्याओं के रैखिक फ़ंक्शन (कैलकुलस) के तहत समतुल्य है, उदाहरण के लिए, यह संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग की जाने वाली इकाइयों की पसंद से अप्रभावित है। इसके विपरीत, घातांक जैसे अरैखिक परिवर्तनों के संबंध में माध्य समतुल्य नहीं है।

एक नमूने का माध्यिका परिवर्तनों के एक बहुत बड़े समूह, वास्तविक संख्याओं के (सख्ती से) मोनोटोनिक कार्यों के लिए समतुल्य है। यह विश्लेषण इंगित करता है कि डेटा सेट में कुछ प्रकार के परिवर्तनों के विरुद्ध माध्यिका अधिक मजबूत आँकड़े हैं, और (माध्य के विपरीत) यह क्रमिक डेटा के लिए सार्थक है। विश्लेषण की इस शैली को औपचारिक बनाने के लिए एक अपरिवर्तनीय अनुमानक और समतुल्य अनुमानक की अवधारणाओं का उपयोग किया गया है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, एक समूह से सुसज्जित एक सदिश स्थान जो अंतरिक्ष के रैखिक परिवर्तनों द्वारा कार्य करता है, समूह का रैखिक प्रतिनिधित्व कहलाता है। एक रेखीय मानचित्र जो क्रिया के साथ चलता है उसे इंटरट्विनर कहा जाता है। अर्थात्, एक इंटरट्विनर दो अभ्यावेदन के बीच एक समतुल्य रेखीय मानचित्र मात्र है। वैकल्पिक रूप से, एक समूह के प्रतिनिधित्व के लिए एक इंटरट्विनर $G$ एक क्षेत्र पर (गणित) $K$ एक मॉड्यूल (गणित) के समान ही है $K[G]$-मॉड्यूल (गणित), जहां $K[G]$ G का समूह वलय है। कुछ शर्तों के तहत, यदि वह अंतर्संबंध तब एक गुणक कारक (एक गैर-शून्य अदिश (गणित) से) तक अद्वितीय होता है $K$). ये गुण तब धारण करते हैं जब की छवि $K[G]$ केंद्र सहित एक सरल बीजगणित है $K$ (जिसे शूर्स लेम्मा कहा जाता है: सरल मॉड्यूल देखें)। परिणामस्वरूप, महत्वपूर्ण मामलों में एक इंटरट्विनर का निर्माण यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि प्रतिनिधित्व प्रभावी रूप से समान हैं।

औपचारिकीकरण
समूह क्रिया (गणित) की अवधारणा का उपयोग करके समतुल्यता को औपचारिक रूप दिया जा सकता है$G$-एक समूह के लिए सेट (गणित) $G$. यह एक गणितीय वस्तु है जिसमें एक सेट (गणित) शामिल है $S$ और एक समूह क्रिया (गणित) (बाईं ओर)। $G$ पर $S$. अगर $X$ और $Y$ दोनों $G$-एक ही समूह के लिए सेट $G$, फिर एक फ़ंक्शन $f : X → Y$ को समतुल्य कहा जाता है यदि

सभी के लिए $f(g&middot;x) = g&middot;f(x)$ और सभी $g ∈ G$. यदि एक या दोनों क्रियाएं सही क्रियाएं हैं तो समतुल्य स्थिति को उपयुक्त रूप से संशोधित किया जा सकता है:
 * $x in X$; (सही सही)
 * $f(x&middot;g) = f(x)&middot;g$; (दाएं से बाएं)
 * $f(x&middot;g) = g^{&minus;1}&middot;f(x)$; (बाएँ दांए)

समतुल्य मानचित्र जी-सेट (एक निश्चित जी के लिए) की श्रेणी (गणित) में समरूपताएं हैं। इसलिए उन्हें जी-रूपवाद के रूप में भी जाना जाता है, जी-मानचित्र, या जी-समरूपता। जी-सेट की समरूपताएं केवल विशेषण समतुल्य मानचित्र हैं।

समतुल्य स्थिति को निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख के रूप में भी समझा जा सकता है। ध्यान दें कि $$g\cdot$$ उस मानचित्र को दर्शाता है जो एक तत्व लेता है $$z$$ और लौट आता है $$g\cdot z$$.



सामान्यीकरण
समतुल्य मानचित्रों को सीधे तरीके से मनमानी श्रेणी (गणित) में सामान्यीकृत किया जा सकता है। प्रत्येक समूह G को एक ही वस्तु वाली श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है (इस श्रेणी में आकारिकी केवल G के तत्व हैं)। एक मनमानी श्रेणी सी को देखते हुए, श्रेणी सी में जी का प्रतिनिधित्व जी से सी तक एक फ़नकार है। ऐसा फ़नकार सी की एक वस्तु और उस वस्तु के आकारिता के एक उपसमूह का चयन करता है। उदाहरण के लिए, एक जी-सेट, जी से सेट की श्रेणी, 'सेट' के लिए एक ऑपरेटर के बराबर है, और एक रैखिक प्रतिनिधित्व एक फ़ील्ड, 'वेक्ट' पर वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी के लिए एक फ़ैक्टर के बराबर है।K.

C में G के दो अभ्यावेदन, ρ और σ को देखते हुए, उन अभ्यावेदन के बीच एक समतुल्य मानचित्र ρ से σ तक एक प्राकृतिक परिवर्तन है। प्राकृतिक परिवर्तनों को रूपवाद के रूप में उपयोग करके, कोई C में G के सभी अभ्यावेदन की श्रेणी बना सकता है। यह केवल फ़ंक्टर श्रेणी C हैजी

दूसरे उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी सी = 'टॉप' लें। 'टॉप' में जी का प्रतिनिधित्व एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिस पर जी निरंतर कार्य करता है। एक समतुल्य मानचित्र तब अभ्यावेदन के बीच एक सतत मानचित्र f : X → Y होता है जो G की क्रिया के साथ परिवर्तित होता है।

यह भी देखें

 * कर्टिस-हेडलंड-लिंडन प्रमेय, समतुल्य मानचित्रों के संदर्भ में सेल्यूलर आटोमेटा का एक लक्षण वर्णन