कारण फ़िल्टर

संकेत आगे बढ़ाना में, एक कारण फ़िल्टर एक LTI प्रणाली सिद्धांत है। रैखिक और समय-अपरिवर्तनीय कारण प्रणाली। 'कारण' शब्द इंगित करता है कि फ़िल्टर आउटपुट केवल पिछले और वर्तमान इनपुट पर निर्भर करता है। एक फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) जिसका आउटपुट भी भविष्य के इनपुट पर निर्भर करता है, गैर-कारण है, जबकि एक फ़िल्टर जिसका आउटपुट भविष्य के इनपुट पर केवल निर्भर करता है, कारण विरोधी है। सिस्टम (फ़िल्टर सहित) जो 'प्राप्त करने योग्य' हैं (अर्थात जो रीयल-टाइम कंप्यूटिंग में काम करते हैं) कारणात्मक होने चाहिए क्योंकि ऐसी प्रणालियाँ भविष्य के इनपुट पर कार्य नहीं कर सकती हैं। असल में इसका मतलब है कि आउटपुट नमूना जो समय पर इनपुट का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है $$t,$$ थोड़ी देर बाद बाहर आता है। डिजिटल फिल्टर के लिए एक सामान्य डिजाइन अभ्यास एक गैर-कारण आवेग प्रतिक्रिया को छोटा और/या समय-स्थानांतरित करके एक वास्तविक फिल्टर बनाना है। यदि छोटा करना आवश्यक है, तो इसे अक्सर खिड़की समारोह के साथ आवेग-प्रतिक्रिया के उत्पाद के रूप में पूरा किया जाता है।

एंटी-कारण फ़िल्टर का एक उदाहरण अधिकतम चरण फ़िल्टर है, जिसे बीआईबीओ स्थिरता, एंटी-कारण फ़िल्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका व्युत्क्रम भी स्थिर और विरोधी कारण है।



उदाहरण
निम्नलिखित परिभाषा इनपुट डेटा का स्लाइडिंग या औसत चलन  है $$s(x)\,$$. का एक स्थिर कारक $1⁄2$ सादगी के लिए छोड़ा गया है:


 * $$f(x) = \int_{x-1}^{x+1} s(\tau)\, d\tau\ = \int_{-1}^{+1} s(x + \tau) \,d\tau\,$$

कहाँ $$x$$ छवि प्रसंस्करण के रूप में एक स्थानिक समन्वय का प्रतिनिधित्व कर सकता है। लेकिन अगर $$x$$ समय का प्रतिनिधित्व करता है $$(t)\,$$, तो एक मूविंग एवरेज परिभाषित करता है कि जिस तरह से गैर-कारणात्मक है (जिसे गैर-वसूली योग्य भी कहा जाता है), क्योंकि $$f(t)\,$$ भविष्य के इनपुट पर निर्भर करता है, जैसे $$s(t+1)\,$$. एक वसूली योग्य आउटपुट है


 * $$f(t-1) = \int_{-2}^{0} s(t + \tau)\, d\tau = \int_{0}^{+2} s(t - \tau) \, d\tau\,$$

जो गैर-वसूली योग्य आउटपुट का विलंबित संस्करण है।

किसी भी रेखीय फिल्टर (जैसे एक चलती औसत) को एक फ़ंक्शन एच (टी) द्वारा वर्णित किया जा सकता है जिसे इसकी आवेग प्रतिक्रिया कहा जाता है। इसका आउटपुट कनवल्शन है



f(t) = (h*s)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) s(t - \tau)\, d\tau. \, $$ उन शब्दों में, कार्य-कारण की आवश्यकता होती है



f(t) = \int_{0}^{\infty} h(\tau) s(t - \tau)\, d\tau $$ और इन दो भावों की सामान्य समानता के लिए सभी t < 0 के लिए h(t) = 0 की आवश्यकता होती है।

फ़्रीक्वेंसी डोमेन
में कारण फ़िल्टर का लक्षण वर्णन एच (टी) को इसी फूरियर ट्रांसफॉर्म एच (ω) के साथ एक कारण फ़िल्टर होने दें। फलन को परिभाषित कीजिए



g(t) = {h(t) + h^{*}(-t) \over 2} $$ जो अकारण है। दूसरी ओर, जी (टी) हर्मिटियन फ़ंक्शन है और इसके परिणामस्वरूप, इसका फूरियर रूपांतरण जी (ω) वास्तविक-मूल्यवान है। अब हमारा निम्नलिखित संबंध है



h(t) = 2\, \Theta(t) \cdot g(t)\, $$ जहां Θ(टी) हेविसाइड फ़ंक्शन है।

इसका अर्थ है कि h(t) और g(t) के फूरियर रूपांतरण निम्नानुसार संबंधित हैं



H(\omega) = \left(\delta(\omega) - {i \over \pi \omega}\right) * G(\omega) = G(\omega) - i\cdot \widehat G(\omega) \, $$ कहाँ $$\widehat G(\omega)\,$$ फ़्रीक्वेंसी डोमेन (टाइम डोमेन के बजाय) में किया गया हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म है। का चिह्न $$\widehat G(\omega)\,$$ फूरियर रूपांतरण की परिभाषा पर निर्भर हो सकता है।

उपरोक्त समीकरण के हिल्बर्ट रूपांतरण को लेने से H और उसके हिल्बर्ट रूपांतरण के बीच यह संबंध प्राप्त होता है:



\widehat H(\omega) = i H(\omega) $$