लिपमैन-श्विंगर समीकरण

लिपमैन-श्विंगर समीकरण (बर्नार्ड लिपमैन और जूलियन श्विंगर के नाम पर ) क्वांटम यांत्रिकी में कण विखंडन- या, अधिक त्रुटिहीन रूप से, प्रकीर्णन का वर्णन करने के लिए सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले समीकरणों में से है।   इसका उपयोग अणुओं, परमाणुओं, न्यूट्रॉन, फोटॉन या किसी अन्य कणों के स्कैटरिंग में किया जा सकता है और यह मुख्य रूप से परमाणु, आणविक और ऑप्टिकल भौतिकी, परमाणु भौतिकी और कण भौतिकी में महत्वपूर्ण है, किंतु भूभौतिकी में भूकंपीय आने की समस्याओं के लिए भी महत्वपूर्ण है। यह स्कैटरिंग तरंग फलन को उस अंतःक्रिया से जोड़ता है जो स्कैटरिंग (स्कैटरिंग पोटेंशियल) उत्पन्न करता है और इसलिए प्रासंगिक प्रयोगात्मक मापदंडों (स्कैटरिंग आयाम और क्रॉस सेक्शन (भौतिकी)) की गणना की अनुमति देता है।

प्रकीर्णन सहित किसी भी क्वांटम घटना का वर्णन करने के लिए सबसे मौलिक समीकरण श्रोडिंगर समीकरण है। भौतिक समस्याओं में, इस अंतर समीकरण को अध्ययन की गई विशिष्ट भौतिक प्रणाली के लिए प्रारंभिक और सीमा स्थितियों के अतिरिक्त सेट के इनपुट के साथ समाधान किया जाना चाहिए। लिपमैन-श्विंगर समीकरण, श्रोडिंगर समीकरण और स्कैटरिंग की समस्याओं के लिए विशिष्ट सीमा स्थितियों के समान है। सीमा स्थितियों को एम्बेड करने के लिए, लिपमैन-श्विंगर समीकरण अभिन्न समीकरण के रूप में लिखा जाना चाहिए। प्रकीर्णन समस्याओं के लिए, लिपमैन-श्विंगर समीकरण प्रायः मूल श्रोडिंगर समीकरण की तुलना में अधिक सुविधाजनक होता है।

लिपमान-श्विंगर समीकरण का सामान्य रूप है (वास्तव में, दो समीकरण नीचे दिखाए गए हैं, एक के लिए $$ + \,$$ हस्ताक्षर और अन्य के लिए $$ - \,$$ संकेत):
 * $$ | \psi^{(\pm)} \rangle = | \phi \rangle + \frac{1}{E - H_0 \pm i \epsilon} V |\psi^{(\pm)} \rangle. \,$$

संभावित ऊर्जा $$ V \,$$दो विखंडन वाली प्रणालियों के मध्य सम्बन्ध का वर्णन करता है। हैमिल्टन फलन $$ H_0 \,$$ उस स्थिति का वर्णन करता है जिसमें दो प्रणालियाँ अनंत रूप से दूर हैं और परस्पर क्रिया नहीं करते हैं। इसके एइगेंफलन हैं $$ | \phi \rangle \,$$और इसके एइगेंमान ​​​​ऊर्जाएं हैं $$ E \,$$ अंततः, $$ i \epsilon \,$$ समीकरण को समाधान करने के लिए आवश्यक अभिन्नों की गणना के लिए आवश्यक गणितीय तकनीकी है। यह कार्य-कारण का परिणाम है, यह सुनिश्चित करना है कि स्कैटरिंग तरंगों में केवल बाहर जाने वाली तरंगें ही सम्मिलित होती हैं। इसे सीमित अवशोषण सिद्धांत द्वारा कठोर बनाया गया है।

उपयोग
लिपमान-श्विंगर समीकरण में दो-शरीर के स्कैटरिंग से जुड़ी अधिक स्थितियों में उपयोगी है। गणितीय सीमाओं के कारण तीन या अधिक विखंडन वाले पिंडों के लिए यह उत्तम प्रकार से कार्य नहीं करता है; इसके स्थान पर फादीव समीकरणका उपयोग किया जा सकता है। चूँकि, ऐसे अनुमान हैं जो विभिन्न स्थितियों में कई-शरीर की समस्या को दो-शरीर की समस्याओं के समूह में कम कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉनों और अणुओं के मध्य विखंडन में दसियों या सैकड़ों कण सम्मिलित हो सकते हैं। किंतु छद्म क्षमता के साथ सभी अणु घटक कण क्षमता का वर्णन करके घटना को दो-शरीर की समस्या में कम किया जा सकता है। इन स्थितियों में, लिपमैन-श्विंगर समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है। अवश्य, इन दृष्टिकोणों की मुख्य प्रेरणा अधिक कम कम्प्यूटेशनल प्रयासों के साथ गणना करने की संभावना भी है।

व्युत्पत्ति
हम मान लेंगे कि हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) को इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$H = H_0 + V$$

जहाँ $H_{0}$ मुक्त हैमिल्टनियन है (या अधिक सामान्यतः, ज्ञात आइजेनवेक्टर वाला हैमिल्टनियन)। उदाहरण के लिए, गैरसापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी में $H_{0}$ हो सकता है:


 * $$H_0 = \frac{p^2}{2m}$$.

सहज रूप से $V$ प्रणाली की अंतःक्रिया ऊर्जा है। मान लीजिए कि $H_{0}$ का प्रतिरूप है:


 * $$H_0 | \phi \rangle = E | \phi \rangle$$.

अब यदि हम इंटरेक्शन जोड़ते हैं मिश्रण में $$ V $$, श्रोडिंगर समीकरण रीड करता है


 * $$\left( H_0 + V \right) | \psi \rangle = E | \psi \rangle$$

अब हेलमैन-फेनमैन प्रमेय पर विचार करें, जिसके लिए हैमिल्टनियनमें निरंतर परिवर्तनों के साथ हैमिल्टनियन के ऊर्जा स्वदेशी मानों को निरंतर परिवर्तन की आवश्यकता होती है। इसलिए हम यही चाहते हैं $$| \psi \rangle \to | \phi \rangle$$ जैसा $$V \to 0$$. इस समीकरण का सरल समाधान होगा:


 * $$| \psi \rangle = | \phi \rangle + \frac{1}{E - H_0} V | \psi \rangle$$.

जहां अंकन $1/A$, $A$ के व्युत्क्रम तत्व को दर्शाता है, चूँकि $E − H_{0}$ गणितीय विलक्षणता है $E$, $H_{0}$ का प्रतिध्वनि है, जैसा कि नीचे बताया गया है, इस विलक्षणता को दो भिन्न-भिन्न विधियों से समाप्त किया जाता है, जिससे विभाजक जटिल हो जाता है, स्वयं को थोड़ा विगल रूप देने के लिए :


 * $$| \psi^{(\pm)} \rangle = | \phi \rangle + \frac{1}{E - H_0 \pm i \epsilon} V |\psi^{(\pm)} \rangle$$.

मुक्त कण अवस्थाओं का पूर्ण सेट सम्मिलित किया गया है:


 * $$| \psi^{(\pm)} \rangle = | \phi \rangle + \int d\beta\frac{|\phi_\beta\rangle}{E - E_\beta \pm i \epsilon} \langle \phi_\beta |V|\psi^{(\pm)} \rangle, \quad H_0 |\phi_\beta\rangle = E_\beta|\phi_\beta\rangle$$,

श्रोडिंगर समीकरण को एक अभिन्न समीकरण में बदल दिया गया है। में $(+)$ और बाहर $(−)$ अवस्था को आधार (रैखिक बीजगणित) भी माना जाता है, दूर के अतीत और दूर के भविष्य में क्रमशः मुक्त कण अवस्था की उपस्थिति होती है, किंतु पूर्ण हैमिल्टनियन के ईजेनफलन होते हैं। इस प्रकार उन्हें एक सूचकांक के साथ समाप्त करने से समीकरण बन जाता है


 * $$| \psi^{(\pm)}_\alpha \rangle = | \phi_\alpha \rangle + \int d\beta\frac{T^{(\pm)}_{\beta\alpha}|\phi_\beta\rangle}{E_\alpha - E_\beta \pm i \epsilon}, \quad T^{(\pm)}_{\beta\alpha} = \langle \phi_\beta |V|\psi^{(\pm)}_\alpha \rangle$$.

समाधान की विधियाँ
गणितीय दृष्टिकोण से समन्वय प्रतिनिधित्व में लिपमैन-श्विंगर समीकरण फ्रेडहोम प्रकार का अभिन्न समीकरण है। इसे विवेक से समाधान किया जा सकता है। चूंकि यह उपयुक्त सीमा स्थितियों के साथ अवकलन समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण के समतुल्य है, इसलिए इसे अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियों द्वारा भी समाधान किया जा सकता है। गोलाकार रूप से सममित क्षमता की स्तिथि में $$V$$ इसे सामान्यतः आंशिक तरंग विश्लेषण द्वारा समाधान किया जाता है। उच्च ऊर्जा और निर्बल क्षमता के लिए इसे बोर्न श्रृंखला के माध्यम से भी समाधान किया जा सकता है। बहु-निकाय भौतिकी की स्तिथि में भी सुविधाजनक विधि, जैसे कि परमाणु या आणविक विखंडन के विवरण में, विग्नर और ईसेनबड की आर-आव्यूह की विधि है। विधियों का अन्य वर्ग संभावित या ग्रीन के संचालन के भिन्न-भिन्न विस्तार पर आधारित है, जैसे होरासेक और सासाकावा के निरंतर भागों की विधि का होना। विधियों का अधिक महत्वपूर्ण वर्ग परिवर्तनशील सिद्धांतों पर आधारित है, उदाहरण के लिए श्विंगर-लैंक्ज़ोस विधि, जो लैंक्ज़ोस एल्गोरिथम के साथ श्विंगर के परिवर्तनशील सिद्धांत को जोड़ती है।

S आव्यूह प्रतिमान
कण भौतिकी के S-आव्यूह समीकरण में, जिसका प्रारंभ अन्य लोगों के अतिरिक्त जॉन आर्चीबाल्ड व्हीलर ने की थी, सभी भौतिक प्रक्रियाओं को निम्नलिखित प्रतिमान के अनुसार तैयार किया गया है।

इसका प्रारंभ दूरस्थ विगत में गैर-अंतःक्रियात्मक बहुकणीय अवस्था से होती है। गैर-अंतःक्रिया का तात्पर्य यह नहीं है कि सभी बलों को बंद कर दिया गया है, उदाहरण के लिए प्रोटॉन भिन्न हो जाएंगे, अन्यथा यह अंतःक्रिया-मुक्त हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) $H$0 उपस्तिथ है, जिसके लिए बाध्य अवस्था में समान ऊर्जा स्तर स्पेक्ट्रम है, वास्तविक हैमिल्टनियन $H$ प्रारंभिक अवस्था को इन अवस्था के रूप में जाना जाता है। सहज रूप से, इसमें प्राथमिक कण या बाध्य अवस्थाएँ सम्मिलित होती हैं जो इतने उत्तम प्रकार से भिन्न होती हैं कि एक-दूसरे के साथ सम्बन्ध को अशिष्टता कर दिया जाता है।

विचार यह है कि जो भी भौतिक प्रक्रिया का अध्ययन करने का प्रयास किया जा रहा है, उसे इन उत्तम प्रकार से भिन्न-भिन्न बाध्य अवस्था की स्कैटरिंग की प्रक्रिया के रूप में तैयार किया जा सकता है। इस प्रक्रिया का वर्णन पूर्ण हैमिल्टनियन $H$ द्वारा किया गया है, किंतु एक बार जब यह समाप्त हो जाता है, तो सभी नए प्राथमिक कण और बाध्य अवस्थाएं फिर से भिन्न हो जाती हैं और व्यक्ति को नई गैर-अंतःक्रियात्मक अवस्था मिलती है जिसे आउट स्टेट कहा जाता है। S-आव्यूह हैमिल्टनियन की तुलना में सापेक्षता के अंतर्गत अधिक सममित है, क्योंकि इसे परिभाषित करने के लिए समय स्लाइस के विकल्प की आवश्यकता नहीं होती है।

यह प्रतिमान उन सभी प्रक्रियाओं की संभावनाओं की गणना करने की अनुमति देता है जिन्हें हमने उल्लेखनीय त्रुटिहीन के साथ 70 वर्षों के कण कोलाइडर प्रयोगों में उल्लेखनीय त्रुटिहीनता के साथ देखा है। किंतु कई लोकप्रिय भौतिक घटनाएं स्पष्ट रूप से इस प्रतिमान में फिट नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, यदि कोई न्यूट्रॉन तारे के अंदर की गतिकी पर विचार करना चाहता है, तो कभी-कभी वह इससे अधिक जानना चाहता है कि अंत में इसका क्षय क्या होगा। दूसरे शब्दों में, किसी की रुचि उन मापों में हो सकती है जो स्पर्शोन्मुख भविष्य में नहीं हैं। कभी-कभी स्पर्शोन्मुख अतीत या भविष्य भी उपलब्ध नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यह अधिक संभव है कि महा विस्फोट से पहले कोई अतीत न हो।

1960 के दशक में, S-आव्यूह प्रतिमान को कई भौतिकविदों द्वारा प्रकृति के मौलिक नियम में उन्नत किया गया था। S-आव्यूह सिद्धांत में, यह कहा गया था कि कोई भी मात्रा जिसे कोई माप सकता है, उसे किसी प्रक्रिया के लिए S-आव्यूह में पाया जाना चाहिए। यह विचार उस भौतिक व्याख्या से प्रेरित था जो S-आव्यूह तकनीक द्रव्यमान शेल तक सीमित फेनमैन आरेखों को दे सकती थी, और दोहरे अनुनाद मॉडल के निर्माण का नेतृत्व किया। किंतु यह अधिक विवादास्पद था, क्योंकि इसने स्थानीय क्षेत्रों और हैमिल्टनियनों पर आधारित क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत की वैधता को नकार दिया था।

लिपमैन-श्विंगर से संबंध
सहज रूप से, थोड़ा विकृत ईजेनफलन $$ \psi^{(\pm)}$$ पूर्ण हैमिल्टनियन H के अंदर और बाहर की अवस्थाएं हैं। $$\phi$$ h> गैर-अंतःक्रियात्मक अवस्थाएँ हैं जो अनंत अतीत और अनंत भविष्य में अंदर और बाहर की अवस्थाओं से सहचर हैं।

तरंगपैकेट बनाना
यह सहज चित्र निश्चयही सही नहीं है, क्योंकि $$ \psi^{(\pm)}$$ हैमिल्टनियन का आइजनफलन है और इसलिए भिन्न-भिन्न समय पर भिन्न होता है। इस प्रकार, विशेष रूप से, भौतिक अवस्था विकसित नहीं होती है और इसलिए यह गैर-अंतःक्रियात्मक नहीं हो सकती है। संयोजन करके इस समस्या को सरलता से समाधान किया जाता है $$ \psi^{(\pm)}$$ और कुछ वितरण के साथ वेवपैकेट में $$ \phi$$ ऊर्जा का $$g(E)$$ ऊर्जाओं का $$E$$ विशेषता पैमाने पर $$\Delta E$$ अनिश्चितता सिद्धांत अब स्पर्शोन्मुख अवस्थाओं की परस्पर क्रिया को एक समय-सीमा में घटित होने की अनुमति देता है $$\hbar/\Delta E$$ और विशेष रूप से यह अब अकल्पनीय नहीं है कि इस अंतराल के बाहर सम्बन्ध बंद हो सकते है। निम्नलिखित तर्क बताता है कि वास्तव में ऐसा ही है।

लिपमैन-श्विंगर समीकरणों को परिभाषाओं में जोड़ना:


 * $$ \psi^{(\pm)}_g(t)=\int dE\, e^{-iEt} g(E)\psi^{(\pm)}$$

और


 * $$ \phi_g(t)=\int dE\, e^{-iEt} g(E)\phi$$

तरंगपैकेट में हम देखते हैं कि, एक निश्चित समय के मध्य का अंतर $$\psi_g(t)$$ और $$\phi_g(t)$$ तरंगपैकेट ऊर्जा E पर अभिन्न भाग द्वारा दिया जाता है।

समोच्च अभिन्न
इस इंटीग्रल का मूल्यांकन कॉम्प्लेक्स ई प्लेन पर तरंग फलन को परिभाषित करके और अर्धवृत्त का उपयोग करके ई कॉन्टूर को बंद करके किया जा सकता है, जिस पर तरंगफलन गायब हो जाते हैं। विभिन्न ध्रुवों पर अवशेषों के योग के रूप में, कॉची अभिन्न प्रमेय का उपयोग करते हुए, बंद समोच्च पर अभिन्न का मूल्यांकन किया जा सकता है। अब हम तर्क देंगे कि के अवशेष $$ \psi^{(\pm)}$$ उनसे संपर्क करें $$ \phi$$ समय पर $$t\rightarrow\mp\infty$$ और इसलिए संबंधित तरंगपैकेट टेम्पोरल इनफिनिटी पर समान हैं।

वास्तव में, अधिक ही सकारात्मक समय के लिए टी $$e^{-iEt}$$ श्रोडिंगर तस्वीर राज्य में कारक निचले आधे विमान पर समोच्च को बंद करने के लिए मजबूर करता है। में पोल $$(\phi ,V \psi^{\pm})$$ लिपमैन-श्विंगर समीकरण से इंटरेक्शन की समय-अनिश्चितता को दर्शाता है, जबकि तरंगपैकेट में वेट फलन इंटरेक्शन की अवधि को दर्शाता है। इन दोनों प्रकार के ध्रुव परिमित काल्पनिक ऊर्जा पर होते हैं और इसलिए अधिक बड़े समय में दब जाते हैं। के मामले में हर में ऊर्जा अंतर में ध्रुव ऊपरी आधे विमान पर है $$ \psi^{-}$$, और इसलिए अभिन्न समोच्च के अंदर स्थित नहीं है और इसमें योगदान नहीं देता है $$ \psi^{-}$$ अभिन्न। शेष के समान है $$\phi$$ wavepacket. इस प्रकार, अधिक देर से $$ \psi^{-}=\phi$$, पहचान करना $$ \psi^{-}$$ स्पर्शोन्मुख गैर-बातचीत राज्य के रूप में।

इसी प्रकार कोई तरंगपैकेट को इसी प्रकार एकीकृत कर सकता है $$ \psi^{+}$$ अधिक नकारात्मक समय पर। इस मामले में समोच्च को ऊपरी आधे तल पर बंद करने की आवश्यकता होती है, जो इसलिए ऊर्जा ध्रुव को याद करता है $$ \psi^{+}$$, जो निचले आधे तल में है। एक तो पाता है कि $$ \psi^{+}$$ और $$ \phi$$ तरंगपैकेट स्पर्शोन्मुख अतीत में समान हैं, पहचान कर रहे हैं $$ \psi^{+}$$ राज्य में स्पर्शोन्मुख गैर-सहभागिता के रूप में।

लिपमैन-श्विंगर
का जटिल भाजक

यह पहचान $$\psi$$स्पर्शोन्मुख अवस्था के लिए औचित्य है $$\pm\epsilon$$ लिपमैन-श्विंगर समीकरणों के हर में।

एस-आव्यूह
के लिए एक सूत्र

एस-आव्यूह | एस-आव्यूह को आंतरिक उत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$ S_{ab}=(\psi^-_a,\psi^+_b)$$

Ath और bth हाइजेनबर्ग चित्र स्पर्शोन्मुख अवस्थाएँ। उपरोक्त समोच्च अभिन्न रणनीति का उपयोग करके एस-आव्यूह को संभावित वी से संबंधित एक सूत्र प्राप्त किया जा सकता है, किंतु इस बार भूमिकाओं को बदलना $$ \psi^+$$ और $$ \psi^-$$. नतीजतन, समोच्च अब ऊर्जा ध्रुव को उठाता है। यह से संबंधित हो सकता है $$\phi$$यदि कोई दो को स्वैप करने के लिए एस-आव्यूह का उपयोग करता है $$\psi$$'एस। के गुणांक की पहचान करना $$\phi$$समीकरण के दोनों पक्षों में संभावित S से संबंधित वांछित सूत्र मिलता है


 * $$ S_{ab}=\delta(a-b)-2i\pi\delta(E_a-E_b)(\phi_a,V\psi^+_b).$$

बोर्न सन्निकटन में, प्रथम क्रम गड़बड़ी सिद्धांत के अनुरूप, यह अंतिम स्थान लेता है $$ \psi^+$$ इसी eigenfunction के साथ $$ \phi$$ मुक्त हैमिल्टनियन एच0, उपज


 * $$ S_{ab}=\delta(a-b)-2i\pi\delta(E_a-E_b)(\phi_a,V\phi_b)\,$$

जो एस-आव्यूह को पूरी तरह से वी और मुक्त हैमिल्टनियन ईजेनफलन के संदर्भ में व्यक्त करता है।

बदले में इन सूत्रों का उपयोग प्रक्रिया की प्रतिक्रिया दर की गणना के लिए किया जा सकता है $$b\rightarrow a$$, जो समान है $$|S_{ab}-\delta_{ab}|^2.\,$$

समरूपता
ग्रीन के कार्य के उपयोग के साथ, लिपमैन-श्विंगर समीकरण में समरूपता सिद्धांत (जैसे यांत्रिकी, चालकता, पारगम्यता) में समकक्ष हैं।

यह भी देखें

 * बेथे-सालपीटर समीकरण

मूल प्रकाशन


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