पुनरावृत्त फलन

बार-बार, स्वयं से बना,समानता F केंद्र S के सबसे छोटे  समभुजकोणीय पंचकोण को क्रमिक संकेंद्रित पंचकोण में विस्तारित करता है, इस तरह से कि हर एक की रूपरेखा पिछले पंचकोण के सभी शीर्षों से होकर गुजरता है, जिनमें से यह F के नीचे का प्रतिबिम्ब है। यदि रूपांतरण F अनिश्चित पुनरावृत्त के लिए पुनरावृत्त होता है, फिर A और K दो अनंत सर्पिलों के शुरुआती बिंदु हैं।                                            गणित में, एक पुनरावृत्त फलन एक फलन $X → X$ (अर्थात्, कुछ समुच्चय X से स्वयं में एक फलन) जो एक अन्य फलन $f : X → X$ को स्वयं के साथ एक निश्चित संख्या में जोड़कर प्राप्त किया जाता है। एक ही कार्य को बार-बार लागू करने की प्रक्रिया को पुनरावृत्ति कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, किसी आरंभिक वस्तु से शुरू करके, दिए गए फलन को लागू करने के परिणाम को फिर से निविष्ट के रूप में फलन में फीड किया जाता है, और यह प्रक्रिया दोहराई जाती है। उदाहरण के लिए दाईं ओर की छवि पर: फलन रचना के वृत्त के आकार के प्रतीक के साथ।
 * L = $\mathit{F}\,$( K ),   M = $\mathit{F}\,\circ \mathit{F}\,$( K ) = $\mathit{F}\;^{2}\,$( K ),

कंप्यूटर विज्ञान, भग्न, गतिकीय तंत्र, गणित और पुनर्सामान्यीकरण समूह भौतिकी में पुनरावृत्त कार्य अध्ययन की वस्तुएं हैं।

परिभाषा
समुच्चय X पर पुनरावृत्त फलन की औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है।

मान लीजिए $X$ एक समुच्चय हो और $f: X → X$ एक फलन हो।

$f ^{n}$ को f के n-वें पुनरावृति के रूप में परिभाषित करना ( हंस हेनरिक बर्मन और जॉन फ्रेडरिक विलियम हर्शेल द्वारा प्रस्तुत एक संकेतन    ), जहां n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, इसके द्वारा: $$f^0 ~  \stackrel{\mathrm{def}}{=}  ~ \operatorname{id}_X$$ और $$f^{n+1} ~ \stackrel{\mathrm{def}}{=} ~ f \circ f^{n},$$ जहां $id_{X}$ $X$ पर तत्समक फलन और $f○g$ फलन रचना को दर्शाता है। वह है,

हमेशा सहयोगी।

क्योंकि अंकन $(f○g)(x) = f (g(x))$ फलन f के पुनरावृत्ति (रचना) या फलन $f$ के घातांक दोनों को संदर्भित कर सकता है (उत्तरार्द्ध आमतौर पर त्रिकोणमितीय में उपयोग किया जाता है), कुछ गणितज्ञ रचनात्मक अर्थ को दर्शाने के लिए $f ^{n}$ का उपयोग करना चुनते हैं, फलन f(x) के n-वें पुनरावृत्ति के लिए  $∘$ लिखते हैं, उदाहरण के लिए, $f(x)$ अर्थ $f(x)$ / इसी उद्देश्य के लिए, $f(f(f(x)))$ का उपयोग बेंजामिन पीयर्स द्वारा किया गया था  जबकि अल्फ्रेड प्रिंगशाइम और जूल्स मोल्क ने इसके बजाय $f ^{[n]}(x)$ का सुझाव दिया था। ।

एबेलियन गुण और पुनरावृत्ति अनुक्रम
सामान्य तौर पर, निम्नलिखित सर्वसमिका सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों m और n के लिए लागू होती है


 * $$f^m \circ f^n =  f^n \circ f^m = f^{m+n}~.$$

यह संरचनात्मक रूप से घातांक के गुण के समान है कि $f ^{(n)}$, यानी विशेष स्थिति $n$.

सामान्य तौर पर, स्वेच्छ सामान्य (ऋणात्मक, गैर-पूर्णांक, आदि) सूचकांक m और n के लिए, इस संबंध को अनुवाद प्रकार्यात्मक समीकरण सीएफ कहा जाता है, श्रोडर का समीकरण और एबेल समीकरण। लघुगणकीय पैमाने पर, यह चेबीशेव बहुपदों के नीडन गुण को कम कर देता है, $f(x)$, चूंकि $a^{m}a^{n} = a^{m + n}$ /

संबंध $f(x) = ax$ भी धारण करता है, घातांक के गुण के अनुरूप $T_{m}(T_{n}(x)) = T_{m n}(x)$।

फलन का अनुक्रम $T_{n}(x) = cos(n arccos(x))$ को पिकार्ड अनुक्रम कहा जाता है, जिसका नाम चार्ल्स एमिल पिकार्ड के नाम पर रखा गया है।

$x$ में दिए गए x के लिए, मानों के अनुक्रम fn(x) को x की कक्षा कहा जाता है।

अगर $(f^{ m})^{n}(x) = (f^{ n})^{m}(x) = f^{ mn}(x)$ कुछ पूर्णांक के लिए $(a^{m})^{n} = (a^{n})^{m} = a^{mn}$, कक्षा को आवर्ती कक्षा कहा जाता है। किसी दिए गए x के लिए m का ऐसा सबसे छोटा मान कक्षा का आवर्त कहलाता है। बिंदु $x$ को ही आवर्त बिन्दु कहते हैं। कंप्यूटर विज्ञान में चक्र का पता लगाने की समस्या एक कक्षा में पहला आवर्त बिंदु और कक्षा का आवर्त खोजने की कलन विधि समस्या है।

निश्चित बिंदु
यदि x में कुछ x के लिए f(x) = x (अर्थात् x की कक्षा की आवर्त 1 है), तो $x$ को पुनरावृत्त अनुक्रम का एक निश्चित बिंदु कहा जाता है। स्थिर बिन्दुओं के समुच्चय को प्राय: फिक्स (एफ) के रूप में दर्शाया जाता है। कई निश्चित-बिंदु प्रमेय मौजूद हैं जो विभिन्न स्थितियों में निश्चित बिंदुओं के अस्तित्व की गारंटी देते हैं, जिसमें बनच निश्चित बिंदु प्रमेय और ब्रोवर निश्चित बिंदु प्रमेय सम्मिलित हैं।

निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति द्वारा प्रस्तुत अनुक्रमों के अभिसरण त्वरण के लिए कई प्रविधि हैं। उदाहरण के लिए, ऐटकेन विधि को पुनरावृत्त निश्चित बिंदु पर लागू किया जाता है जिसे स्टीफ़ेंसन की विधि के रूप में जाना जाता है, और द्विघात अभिसरण उत्पन्न करता है।

सीमित व्यवहार
पुनरावृति पर, कोई यह पा सकता है कि ऐसे समुच्चय हैं जो संकुचित होते हैं और एक बिंदु की ओर अभिसरण करते हैं। ऐसी स्थिति में, जिस बिंदु पर अभिसरण होता है उसे एक आकर्षक निश्चित बिंदु के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, पुनरावृति एक बिंदु से अलग होने वाले बिंदुओं का आभास दे सकती है; यह अस्थिर निश्चित बिंदु के स्थिति में होगा। जब कक्षा के बिंदु एक या अधिक सीमाओं में अभिसरण करते हैं, तो कक्षा के संचयन बिंदुओं के समुच्चय को सीमा समुच्चय या ω-सीमा समुच्चय के रूप में जाना जाता है।

आकर्षण और प्रतिकर्षण के विचार समान रूप से सामान्य होते हैं; पुनरावृत्ति के तहत छोटे प्रतिवेश के व्यवहार के अनुसार, पुनरावृति को स्थिर समुच्चय और अस्थिर समुच्चय में वर्गीकृत किया जा सकता है। (विश्लेषणात्मक फलन की अनंत रचनाएं भी देखें।)

अन्य सीमित व्यवहार संभव हैं; उदाहरण के लिए, अस्थिर बिंदु वे बिंदु होते हैं जो दूर चले जाते हैं, और जहां से उन्होंने शुरू किया था, उसके करीब कभी वापस नहीं आते हैं।

निश्चर माप
यदि कोई व्यक्तिगत बिंदु गतिकी के बजाय घनत्व वितरण के विकास पर विचार करता है, तो सीमित व्यवहार निश्चर माप द्वारा दिया जाता है। इसे बार-बार पुनरावृत्ति के तहत बिंदु-समूह या चूर्ण-समूह के व्यवहार के रूप में देखा जा सकता है। निश्चर माप रूले-फ्रोबेनियस-पेरॉन प्रचालक या स्थानांतरण प्रचालक का एक ईजेनस्टेट है, जो 1 के ईजेनवेल्यू के अनुरूप है। छोटे ईजेनवेल्यूज अस्थिर, क्षय अवस्था के अनुरूप हैं।

सामान्य तौर पर, क्योंकि बार-बार पुनरावृत्ति एक बदलाव से मेल खाती है,और इसके सहायक,कोपमैन प्रचालक दोनों को शिफ्ट अंतरालक पर शिफ्ट प्रचालक की कार्रवाई के रूप में व्याख्या की जा सकती है। परिमित प्रकार के उप शिफ्ट का सिद्धांत कई पुनरावृत्त प्रकार्य में सामान्य अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, विशेष रूप से वे जो अराजकता की ओर ले जाते हैं।

भिन्नात्मक पुनरावृति और प्रवाह, और ऋणात्मक पुनरावृति
संकेतन $f ^{n}$ का उपयोग सावधानी से किया जाना चाहिए जब समीकरण $f ^{n} (x) = f ^{n+m} (x)$ के कई समाधान हैं, जो आम तौर पर होता है, जैसा कि बैबेज के पहचान मानचित्र के प्रकार्यात्मक मूल के समीकरण में होता है। उदाहरण के लिए, के लिए $m>0$ और $f$ के लिए,दोनों $g^{n}(x) = f(x)$ और $n = 2$ समाधान हैं; इसलिए व्यंजक $f(x) = 4x − 6$ किसी अद्वितीय फलन को निरूपित नहीं करता है, जैसे संख्याओं के अनेक बीजगणितीय मूल होते हैं। यह परिणाम अंकगणित में "0/0" व्यंजक के समान है। यदि f के प्रक्षेत्र को पर्याप्त रूप से बढ़ाया जा सकता है, तो f का एक तुच्छ मूल चित्र हमेशा प्राप्त किया जा सकता है, चुनी गई मूल कक्षा आमतौर पर अध्ययन के तहत से संबंधित होती हैं।

किसी फलन की भिन्नात्मक पुनरावृति को परिभाषित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, फलन $f$  का अर्द्ध पुनरावृति एक फलन g है जैसे कि $g(x) = 6 − 2x$ | यह फलन $g(x) = 2x − 2$ को  $f^{ 1/2}(x)$  के रूप में घातांक संकेतन का उपयोग करके लिखा जा सकता है। इसी तरह, $g(g(x)) = f(x)$ इस तरह परिभाषित फलन है कि $g(x)$, जबकि $f^{ 1/2}(x)$ को बराबर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $f^{ 1/3}(x)$, और इसी प्रकार आगे भी, यह सब पहले बताए गए सिद्धांत पर आधारित हैं कि $f^{1/3}(f^{1/3}(f^{1/3}(x))) = f(x)$ | इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि पुनरावृति संख्या $n$ एक सतत अंतःखंडी अनुपात बन जाता है,एक सतत कक्षा का सतत "समय"।

ऐसी स्थिति में, पद्धति को प्रवाह के रूप में संदर्भित किया जाता है। (cf. नीचे संयुग्मन पर अनुभाग।)

ऋणात्मक पुनरावृत्त प्रकार्य व्युत्क्रम और उनकी रचनाओं के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए, $f(x)$ का सामान्य प्रतिलोम है $f$, जबकि $f(f(x))$ स्वयं से बना प्रतिलोम है, अर्थात $f^{ m} ○ f^{ n} = f^{ m + n}$ | भिन्नात्मक ऋणात्मक पुनरावृत्त को भिन्नात्मक घनात्मक के अनुरूप परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए, $f^{ −1}(x)$ इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि $f^{ −2}(x)$, या, तुल्यतः रूप से, ऐसा कि  $f^{ −2}(x) = f^{ −1}(f^{ −1}(x))$ |

भिन्नात्मक पुनरावृत्ति के लिए कुछ सूत्र
भिन्नात्मक पुनरावृति के लिए एक श्रेणी सूत्र खोजने के कई विधि में से एक, एक निश्चित बिंदु का उपयोग करते हुए, इस प्रकार है। f^n(x) = f^n(a) + (x-a)\left.\frac{d}{dx}f^n(x)\right|_{x=a} + \frac{(x-a)^2}2\left.\frac{d^2}{dx^2}f^n(x)\right|_{x=a} +\cdots $$ f^n(x) = f^n(a) + (x-a) f'(a)f'(f(a))f'(f^2(a))\cdots f'(f^{n-1}(a)) + \cdots $$ f^n(x) = a + (x-a) f'(a)^n + \frac{(x-a)^2}2(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots+f'(a)^{n-1} \right)+\cdots $$ f^n(x) = a + (x-a) f'(a)^n + \frac{(x-a)^2}2(f''(a)f'(a)^{n-1})\frac{f'(a)^n-1}{f'(a)-1}+\cdots $$ एक विशेष स्थिति है जब $f^{ −1/2}(x)$, $$ f^n(x) = x + \frac{(x-a)^2}2(n f(a))+ \frac{(x-a)^3}6\left(\frac{3}{2}n(n-1) f(a)^2 + n f'''(a)\right)+\cdots $$ यह अस्पष्टतापूर्वक तक किया जा सकता है, हालांकि अक्षम रूप से, क्योंकि बाद की शर्तें विस्तार रूप से जटिल हो जाती हैं। संयुग्मता पर निम्नलिखित खंड में एक अधिक व्यवस्थित प्रक्रिया की रूपरेखा दी गई है।
 * 1) पहले फलन के लिए एक निश्चित बिंदु निर्धारित करें जैसे  $f^{ −1/2}(f^{ −1/2}(x)) = f^{ −1}(x)$.
 * 2) वास्तविक से संबंधित सभी n के लिए $f^{ −1/2}(f^{ 1/2}(x)) = f^{ 0}(x) = x$ परिभाषित करें। यह, कुछ स्थिति में, भिन्नात्मक पुनरावृति पर रखने के लिए सबसे प्राकृतिक अतिरिक्त स्थिति है।
 * 3) टेलरश्रेणी के रूप में निश्चित बिंदु a के आस-पास  $f(a) = a$ का विस्तार करें,$$
 * 1) प्रसारित करें $$
 * 1) $f ^{n}(a) = a$,के लिए, किसी भी के लिए प्रतिस्थापी करें$$
 * 1) शर्तों को सरल बनाने के लिए ज्यामितीय श्रेढ़ी का उपयोग करें, $$

उदाहरण 1
उदाहरण के लिए, समुच्चयिंग $f^{n}(x)$ निश्चित बिंदु $f(a) = a$ देता है,इसलिए उपरोक्त सूत्र केवल समाप्त होता है $$ f^n(x)=\frac{D}{1-C} + \left(x-\frac{D}{1-C}\right)C^n=C^nx+\frac{1-C^n}{1-C}D ~, $$ जो जांच के लिए तुच्छ है।

उदाहरण 2
मान ज्ञात कीजिए $$\sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} }$$ जहां यह n बार किया जाता है (और संभवतः अंतर्वेशित मान जब n पूर्णांक नहीं होता है)। हमारे पास $f '(a) = 1$ है | एक नियत बिंदु a = f(2) = 2 है। तो $f(x) = Cx + D$ समुच्चय करें और $a = D/(1 − C)$ 2 के निश्चित बिंदु मान के चारों ओर विस्तारित तब एक अनंत श्रेणी है,$$ \sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} } = f^n(1) = 2 - (\ln 2)^n + \frac{(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^n-1)}{4(\ln 2-1)} - \cdots $$ जो, केवल पहले तीन शर्तों को लेते हुए, पहले दशमलव स्थान पर सही होता है जब n धनात्मक-cf होता है। टेट्रेशन: $f(x) = √2^{x}$. (अन्य निश्चित बिंदु $x = 1$ का उपयोग करने से श्रेणी अलग हो जाती है।)

$f ^{n} (1)$ के लिए श्रेणी प्रतिलोम फलन की गणना करती है $2 ln x⁄ln 2$.

उदाहरण 3
फलन $f ^{n}(1) = ^{n}√2$ के साथ,  श्रेणी प्राप्त करने के लिए निश्चित बिंदु 1 के चारों ओर विस्तार करें $$ f^n(x) = 1 + b^n(x-1) + \frac{1}2b^{n}(b^n-1)(x-1)^2 + \frac{1}{3!}b^n (b^n-1)(b^n-2)(x-1)^3 + \cdots ~, $$ जो केवल x(bn ) की टेलर श्रेणी है जो 1 के आसपास विस्तारित है।

संयुग्मन
यदि $f$ और $g$ दो पुनरावर्तित फलन हैं, और एक सममिति $h$ उपस्थित है जैसे कि $1=a = f(4) = 4$, तो  $f$ और $g$ स्थैतिक रूप से संयुग्मित कहा जाता है।

स्पष्ट रूप से, सममिति संयुग्मन पुनरावृत्ति के तहत संरक्षित है,जैसे $n = −1$ | इस प्रकार, यदि कोई एक पुनरावृत्त प्रकार्य पद्धति के लिए हल कर सकता है, तो उसके पास सभी स्थैतिक रूप से संयुग्मित पद्धतिय़ों के लिए भी समाधान हैं। उदाहरण के लिए, टेंट का नक्शा स्थैतिक रूप से तार्किक मानचित्र के साथ जुड़ा हुआ है। एक विशेष स्थिति के रूप में,  $f(x) = x^{b}$ लेते हुए, $g = h^{−1} ○ f ○ h$ का पुनरावृत्त होता है
 * $g^{n} = h^{−1} ○ f ^{n} ○ h$, किसी भी फलन $h$ के लिए।

प्रतिस्थापन करने से $f(x) = x + 1$ प्राप्त होता है
 * $g(x) = h^{&minus;1}(h(x) + 1)$,  एबेल समीकरण के रूप में जाना जाने वाला एक रूप।

यहां तक ​​​​कि एक पूर्णतः सममिति की अनुपस्थिति में, एक निश्चित बिंदु के पास, यहां $x$ = 0, $f$(0) = 0 पर लिया जाता है, अक्सर एक फलनΨ के लिए श्रोडर के समीकरण को हल किया जा सकता है, जो  $g^{n}(x) = h^{&minus;1}(h(x) + n)$ बनाता है स्थैतिक रूप से एक मात्र विस्तार के लिए संयुग्मित, $x = h^{&minus;1}(y) = ϕ(y)$, अर्थात

इस प्रकार, इसकी पुनरावृति कक्षा, या प्रवाह, उपयुक्त प्रावधानों के तहत (जैसे, $g(ϕ(y)) = ϕ(y+1)$), एकपदी कक्षा के संयुग्म के बराबर है,

जहां $n$ इस व्यंजक में एक प्रत्यक्ष चर घातांक के रूप में कार्य करता है: प्रकार्यात्मक पुनरावृत्ति को गुणन में घटा दिया गया है! यहाँ, हालांकि, चर घातांक $n$ को अब पूर्णांक या धनात्मक होने की आवश्यकता नहीं है, और पूर्ण कक्षा के लिए विकास का एक सतत "समय" है: पिकार्ड अनुक्रम का एकाभ (cf. रूपांतरण अर्धसमूह) एक पूर्ण सतत समूह के लिए सामान्यीकृत है।

यह विधि (प्रमुख ईजेनफंक्शनΨ, cf. कार्लमैन आव्यूह का अनुगामी निर्धारण) पिछले अनुभाग कलनविधि के समतुल्य है, यद्यपि, अभ्यास में, अधिक सशक्त और व्यवस्थित।

मार्कोव शृंखला
यदि फलन रैखिक है और एक प्रसंभाव्य आव्यूह द्वारा वर्णित किया जा सकता है, अर्थात एक आव्यूह जिसकी पंक्तियों या स्तंभों का योग एक है, तो पुनरावृत्त पद्धति को मार्कोव शृंखला के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण
कई अराजक नक्शें है। जाने-माने पुनरावृत्त फलन में मैंडेलब्रॉट समुच्चय और पुनरावृत्त फलन पद्धति सम्मिलित हैं।

1870 में अर्नस्ट श्रोडर, ने तार्किक मानचित्र की विशेष स्थितियाें पर काम किया, जैसे अराजक स्थिति $f(x)$, ताकि $g(x) = f '(0) x$, इसलिए  $f(x) = Ψ^{−1}(f '(0) Ψ(x)) |$ |

श्रोडर ने भी अपनी विधि $f '(0) ≠ 1$, के साथ एक अराजक स्थिति को भी चित्रित किया, जिससे $Ψ^{−1}(f '(0)^{n} Ψ(x))$  प्राप्त हुआ और इसलिए  $f ^{n}(x) = Ψ^{−1}((ln 2)^{n} Ψ(x))$ |

अगर $f$ एक समुच्चय पर समूह तत्व की क्रिया है, तो पुनरावृत्त फलन एक मुक्त समूह से मेल खाता है।

अधिकांश फलन में n-वें पुनरावृत्त के लिए स्पष्ट सामान्य संवृत रूप व्यंजक नहीं होता है। नीचे दी गई तालिका मे कुछ सूचीबद्ध करते है ध्यान दें कि ये सभी व्यंजक गैर-पूर्णांक और ऋणात्मक n के साथ-साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए भी मान्य हैं।

नोट: $Ψ(√2^{x}) = ln 2 Ψ(x)$ की ये दो विशेष स्थितियाँ ही एकमात्र ऐसी स्थितियाँ हैं जिनका संवृत रूप में समाधान है। क्रमशः b = 2 = -a और b = 4 = -a चुनने से, उन्हें तालिका से पहले चर्चा किए गए गैर-अराजक और अराजक तार्किक स्थितियाें में कम कर दिया जाता है।

इनमें से कुछ उदाहरण आपस में सरल संयुग्मन द्वारा संबंधित हैं। कुछ और उदाहरण, अनिवार्य रूप से श्रोडर के उदाहरणों की सरल संयुग्मन के लिए उल्लेख में पाए जा सकते हैं।

अध्ययन के साधन
पुनरावृत्त फलन का अध्ययन आर्टिन-मज़ूर जेटा फलन और स्थानांतरण प्रचालकों के साथ किया जा सकता है।

कंप्यूटर विज्ञान में
कंप्यूटर विज्ञान में, पुनरावृत्त फलन पुनरावर्ती प्रकार्य के एक विशेष स्थिति के रूप में होते हैं, जो बदले में लैम्ब्डा कलन ,या संकीर्ण वाले जैसे व्यापक विषयों के अध्ययन को एंकर करते हैं, जैसे कंप्यूटर प्रोग्राम के सांकेतिक शब्दार्थविज्ञान |

पुनरावृत्त फलन के संदर्भ में परिभाषाएँ
पुनरावृत्त फलन के संदर्भ में दो महत्वपूर्ण फलन को परिभाषित किया जा सकता है। ये संकलन हैं:



\left\{b+1,\sum_{i=a}^b g(i)\right\} \equiv \left( \{i,x\} \rightarrow \{ i+1 ,x+g(i) \}\right)^{b-a+1} \{a,0\} $$ और समतुल्य परिणाम:



\left\{b+1,\prod_{i=a}^b g(i)\right\} \equiv \left( \{i,x\} \rightarrow \{ i+1 ,x g(i) \}\right)^{b-a+1} \{a,1\} $$

प्रकार्यात्मक अवकलज
पुनरावृत्त फलन का प्रकार्यात्मक अवकलज पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दिया जाता है:


 * $$\frac{ \delta f^N(x)}{\delta f(y)} = f'( f^{N-1}(x) ) \frac{ \delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)} + \delta( f^{N-1}(x) - y ) $$

असत्य का डेटा ट्रांसपोर्ट समीकरण
$(f ^{m}(x) − 2)/(ln 2)^{m}$. जैसे संयुक्त फलन के श्रेणी विस्तार में पुनरावृत्त कार्य फलन होते हैं।

पुनरावृत्ति वेग, या बीटा फलन(भौतिकी) को देखते हुए,
 * $$v(x) = \left. \frac{\partial f^n(x)}{\partial n} \right|_{n=0}$$ फलन f के nवें पुनरावृति के लिए, हमारे पास

g(f(x)) = \exp\left[ v(x) \frac{\partial}{\partial x} \right] g(x). $$| उदाहरण के लिए, दृढ़ संवहन के लिए, यदि $f(x) = 4x(1 − x)$, तब $Ψ(x) = arcsin^{2}(\sqrt{x})$ |परिणामस्वरूप, $f ^{n}(x) = sin^{2}(2^{n} arcsin(\sqrt{x}))$, सामान्य विस्थापन प्रचालक द्वारा क्रिया।

इसके विपरीत, ऊपर चर्चा किए गए सामान्य एबेल समीकरण के माध्यम से कोई भी स्वेच्छ $f(x) = 2x(1 − x)$, दिया गया f(x) निर्दिष्ट कर सकता है,

f(x) = h^{-1}(h(x)+1) , $$ जहां

h(x) = \int \frac{1}{v(x)} \, dx. $$ यह टिप्पण स्पष्ट करने से पता चलती है
 * $$f^n(x)=h^{-1}(h(x)+n)~.$$

सतत पुनरावृत्ति सूचकांक के लिए $t$, फिर अब एक पादांक के रूप में लिखा गया है, यह एक सतत समूह के असत्य की प्रख्यात घातीय प्राप्ति के बराबर है,
 * $$e^{t~\frac{\partial }{\partial h(x)}} g(x)= g(h^{-1}(h(x )+t))= g(f_t(x)).$$

प्रारंभिक प्रवाह वेग $v$ पूरे प्रवाह को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है, इस घातीय प्रस्तुति को देखते हुए जो स्वचालित रूप से अनुवाद प्रकार्यात्मक समीकरण का सामान्य समाधान प्रदान करता है, :$$f_t(f_\tau (x))=f_{t+\tau} (x) ~.$$

यह भी देखें

 * तर्कहीन घुमाव
 * पुनरावृत्त फलन पद्धति
 * पुनरावर्ती विधि
 * घूर्णन संख्या
 * सरकोवस्की की प्रमेय
 * भिन्नात्मक कलन
 * पुनरावृत्ति संबंध
 * श्रोडर का समीकरण
 * प्रकार्यात्मक वर्गमूल
 * हाबिल फलन
 * विश्लेषणात्मक प्रकार्य की अनंत रचनाएँ
 * प्रवाह (गणित)
 * टेट्रेशन
 * प्रकार्यात्मक समीकरण

बाहरी कड़ियाँ
श्रेणी:गतिशील प्रणालियाँ श्रेणी:भग्न श्रेणी:अनुक्रम और श्रृंखला श्रेणी:निश्चित अंक (गणित) श्रेणी:कार्य और मानचित्रण श्रेणी:प्रकार्यात्मकसमीकरण