सॉलिटॉन (ऑप्टिक्स)

प्रकाशिकी में, सॉलिटॉन शब्द का उपयोग किसी भी ऑप्टिकल क्षेत्र को संदर्भित करने के लिए किया जाता है जो माध्यम में गैर-रैखिकता और रैखिक प्रभावों के मध्य सूक्ष्म संतुलन के कारण प्रसार के दौरान नहीं बदलता है। सॉलिटॉन के दो मुख्य प्रकार हैं:
 * स्थानिक सॉलिटॉन: अरैखिक प्रभाव विवर्तन को संतुलित कर सकता है। विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र प्रचार करते समय माध्यम के अपवर्तक सूचकांक को परिवर्तन कर सकता है, इस प्रकार ग्रेडेड-इंडेक्स फाइबर के समान संरचना बना सकता है। यदि क्षेत्र भी उसके द्वारा बनाए गए मार्गदर्शक का प्रचार-प्रसार करता है, तो वह सीमित रहेगा और वह अपना आकार बदले बिना प्रचार करेगा।
 * लौकिक सॉलिटॉन: यदि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र पूर्व से ही स्थानिक रूप से सीमित है, जो उनके आकार को नहीं बदलेगा क्योंकि अरैखिक प्रभाव विस्तार (ऑप्टिक्स) को संतुलित करेगा। उन सॉलिटॉन को सबसे पूर्व अविष्कार किया गया था और उन्हें प्रकाशिकी में अधिकतर सॉलिटॉन के रूप में संदर्भित किया जाता है।

स्थानिक सॉलिटॉन्स
यह समझने के लिए कि स्थानिक सॉलिटॉन कैसे उपस्थित हो सकता है, हमें साधारण उत्तल लेंस (ऑप्टिक्स) के बारे में कुछ विचार करने होंगे। जैसा कि दाईं ओर की प्रतिकृति में दिखाया गया है, ऑप्टिकल क्षेत्र लेंस के निकटआता है और पुनः इसे फोकस किया जाता है। लेंस का प्रभाव गैर-समान चरण परिवर्तन का परिचय देना है जो ध्यान केंद्रित करने का कारण बनता है। यह चरण परिवर्तन अंतरिक्ष का कार्य है और इसका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $$\varphi (x)$$, जिसका आकार चित्र में लगभग दर्शाया गया है।

चरण परिवर्तन को चरण स्थिरांक और क्षेत्र द्वारा आवरण किए गए पथ की चौड़ाई के उत्पाद के रूप में प्रकट किया जा सकता है। हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:
 * $$\varphi (x) = k_0 n L(x)$$

कहाँ $$L(x)$$ लेंस की चौड़ाई है, प्रत्येक बिंदु में ही आकार के साथ परिवर्तन रहा है $$\varphi (x)$$ क्योंकि $$k_0$$ और n स्थिरांक हैं। दूसरे शब्दों में, ध्यान केंद्रित प्रभाव प्राप्त करने के लिए हमें एकमात्र इस प्रकार के आकार का चरण परिवर्तन करना होगा, लेकिन हम चौड़ाई बदलने के लिए बाध्य नहीं हैं। यदि हम प्रत्येक बिंदु में चौड़ाई L को नियत छोड़ दें, लेकिन हम अपवर्तक सूचकांक के मान को बदल दें $$n(x)$$ हमें उपयुक्त प्रभाव मिलेगा, लेकिन पूरी तरह से अलग दृष्टिकोण के साथ हैं।

इसका ग्रेडेड-इंडेक्स फाइबर में अनुप्रयोग है: अपवर्तक सूचकांक में परिवर्तन फोकसिंग प्रभाव प्रस्तुत करता है जो क्षेत्र के प्राकृतिक विवर्तन को संतुलित कर सकता है। यदि दो प्रभाव दूसरे को पूरी भांति से संतुलित करते हैं, हमारे निकट फाइबर के भीतर सीमित क्षेत्र का प्रसार होता है।

स्थानिक सॉलिटॉन सिद्धांत पर आधारित होते हैं: केर प्रभाव स्व-चरण मॉडुलन का परिचय देता है जो तीव्रता के अनुसार अपवर्तक सूचकांक को बदलता है:
 * $$\varphi (x) = k_0 n (x) L = k_0 L [n + n_2 I(x)]$$

यद्यपि $$I(x)$$ का आकार चित्र में दिखाए गए के समान है, तो हमने वह चरण व्यवहार बनाया है जो हम चाहते थे और क्षेत्र आत्म-केंद्रित प्रभाव दिखाएगा। दूसरे शब्दों में, प्रचार करते समय क्षेत्र फाइबर जैसी मार्गदर्शक संरचना बनाता है। यदि क्षेत्र फाइबर बनाता है और यह समय में इस प्रकार के फाइबर का मोड है, इसका तात्पर्य है कि गैर-रैखिक और विवर्तनशील रैखिक प्रभाव को परिपूर्ण प्रकार से संतुलित किया जाता है और क्षेत्र अपना आकार विरोध किये बिना सदैव के लिए प्रचार करेगा (जब तक माध्यम करता है) नहीं बदलेगा और हम हानि की उपेक्षा कर सकते हैं, प्रकाशित करता है)। आत्म-केंद्रित प्रभाव रखने के लिए, हमारे निकट सकारात्मक होना चाहिए $$n_2$$, अन्यथा हमें विपरीत प्रभाव मिलेगा और हम किसी भी अरैखिक व्यवहार पर ध्यान नहीं देंगे।

प्रचार करते समय सॉलिटॉन जो ऑप्टिकल वेवगाइड बनाता है, वह एकमात्र गणितीय मॉडल है, बल्कि यह वास्तव में उपस्थित है और इसका उपयोग विभिन्न तरंगों पर अन्य तरंगों को निर्देशित करने के लिए किया जा सकता है।. इस प्रकार प्रकाश को विभिन्न आवृत्तियों पर प्रकाश के साथ परस्पर क्रिया करने देना संभव है (यह रैखिक मीडिया में असंभव है)।

प्रमाण
विद्युत क्षेत्र ऑप्टिकल केर प्रभाव दिखाने वाले माध्यम में प्रचार कर रहा है, इसलिए अपवर्तक सूचकांक निम्न द्वारा दिया जाता है:
 * $$n(I) = n + n_2 I$$

हमें याद है कि विकिरण और विद्युत क्षेत्र के बीच संबंध है (जटिल प्रतिनिधित्व में)
 * $$I = \frac{|E|^2}{2 \eta}$$

कहाँ $$\eta = \eta_0 / n$$ और $$\eta_0$$ द्वारा दिया गया मुक्त स्थान का प्रतिबाधा है
 * $$ \eta_0 = \sqrt{\frac{\mu_0}{\varepsilon_0}} \approx 377\text{ }\Omega. $$

क्षेत्र में प्रचार कर रहा है $$z$$ चरण स्थिरांक के साथ दिशा $$k_0 n$$. अभी के बारे में, हम y अक्ष पर किसी भी निर्भरता की उपेक्षा करेंगे, यह मानते हुए कि यह उस दिशा में अनंत है। तब क्षेत्र को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$E(x,z,t) = A_m a(x,z) e^{i(k_0 n z - \omega t)}$$

कहाँ $$A_m$$ क्षेत्र का अधिकतम आयाम है और $$a(x,z)$$ आयाम रहित सामान्यीकृत कार्य है (ताकि इसका अधिकतम मान 1 हो) जो एक्स अक्ष के बीच विद्युत क्षेत्र के आकार का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्य तौर पर यह z पर निर्भर करता है क्योंकि प्रचार के दौरान खेत अपना आकार बदलते हैं। अब हमें हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण को हल करना है:


 * $$\nabla^2 E + k_0^2 n^2 (I) E = 0$$

जहां यह स्पष्ट रूप से बताया गया था कि अपवर्तक सूचकांक (इस प्रकार चरण स्थिरांक) तीव्रता पर निर्भर करता है। यदि हम लिफाफा मानते हुए समीकरण में विद्युत क्षेत्र की अभिव्यक्ति को प्रतिस्थापित करते हैं $$a(x,z)$$ प्रचार करते समय धीरे-धीरे बदलता है, यानी


 * $$\left| \frac{\partial^2 a(x, z)}{\partial z^2} \right| \ll \left|k_0 \frac{\partial a(x,z)}{\partial z} \right|$$

समीकरण बन जाता है:


 * $$\frac{\partial^2 a}{\partial x^2} + i 2 k_0 n \frac{\partial a}{\partial z} + k_0^2 \left[n^2 (I) - n^2\right] a = 0. $$

आइए हम सन्निकटन का परिचय दें जो मान्य है क्योंकि गैर-रैखिक प्रभाव हमेशा रैखिक लोगों की तुलना में बहुत छोटे होते हैं:


 * $$\left[n^2 (I) - n^2\right] = [n (I) - n] [n (I) + n] = n_2 I (2 n + n_2 I) \approx 2 n n_2 I$$

अब हम तीव्रता को विद्युत क्षेत्र के रूप में व्यक्त करते हैं:


 * $$\left[n^2 (I) - n^2\right] \approx 2 n n_2 \frac{|A_m|^2 |a(x, z)|^2}{2\eta_0 / n} = n^2 n_2 \frac{|A_m|^2 |a(x, z)|^2 }{\eta_0}$$

समीकरण बन जाता है:


 * $$\frac{1}{2 k_0 n} \frac{\partial^2 a}{\partial x^2} + i \frac{\partial a}{\partial z} + \frac{k_0 n n_2 |A_m|^2}{2 \eta_0} |a|^2 a = 0.$$

अब हम मानेंगे $$n_2 > 0$$ ताकि गैर-रैखिक प्रभाव स्वयं ध्यान केंद्रित कर सके। इसे स्पष्ट करने के लिए हम समीकरण में लिखेंगे $$n_2 = |n_2|$$ आइए अब कुछ प्राचलों को परिभाषित करें और उन्हें समीकरण में प्रतिस्थापित करें: समीकरण बन जाता है:
 * $$\xi = \frac{x}{X_0}$$, इसलिए हम आयाम रहित पैरामीटर के साथ एक्स अक्ष पर निर्भरता व्यक्त कर सकते हैं; $$X_0$$ लम्बाई है, जिसका भौतिक अर्थ बाद में स्पष्ट होगा।
 * $$L_d = X_0^2 k_0 n$$, इस लंबाई के लिए विद्युत क्षेत्र के पूरे z में फैलने के बाद, विवर्तन के रैखिक प्रभावों की उपेक्षा नहीं की जा सकती है।
 * $$\zeta = \frac{z}{L_d}$$, आयाम रहित चर के साथ z-निर्भरता का अध्ययन करने के लिए।
 * $$L_{n\ell} = \frac{2 \eta_0}{k_0 n |n_2| \cdot |A_m|^2}$$, इस लंबाई के लिए विद्युत क्षेत्र के पूरे z में प्रचारित होने के बाद, अरेखीय प्रभावों की उपेक्षा नहीं की जा सकती है। यह पैरामीटर विद्युत क्षेत्र की तीव्रता पर निर्भर करता है, जो कि गैर-रैखिक मापदंडों के लिए विशिष्ट है।
 * $$N^2 = \frac{L_d}{L_{n\ell}}$$


 * $$\frac{1}{2} \frac{\partial^2 a}{\partial \xi^2} + i\frac{\partial a}{\partial \zeta} + N^2 |a|^2 a = 0 $$

यह सामान्य समीकरण है जिसे अरेखीय श्रोडिंगर समीकरण के रूप में जाना जाता है। इस रूप से, हम पैरामीटर एन के भौतिक अर्थ को समझ सकते हैं:
 * अगर $$N \ll 1$$, तब हम समीकरण के अरैखिक भाग की उपेक्षा कर सकते हैं। का मतलब है $$L_d \ll L_{n\ell}$$, तो क्षेत्र गैर-रैखिक प्रभाव की तुलना में बहुत पहले रैखिक प्रभाव (विवर्तन) से प्रभावित होगा, यह बिना किसी गैर-रैखिक व्यवहार के बस अलग हो जाएगा।
 * अगर $$N \gg 1$$, तो अरेखीय प्रभाव विवर्तन की तुलना में अधिक स्पष्ट होगा और, स्व-चरण मॉडुलन के कारण, क्षेत्र ध्यान केंद्रित करेगा।
 * अगर $$N \approx 1$$, तब दो प्रभाव दूसरे को संतुलित करते हैं और हमें समीकरण को हल करना होता है।

के लिए $$N = 1$$ समीकरण का समाधान सरल है और यह मूलभूत सॉलिटॉन है:


 * $$a(\xi, \zeta) = \operatorname{sech} (\xi) e^{i \zeta /2}$$

जहां एसईएच अतिशयोक्तिपूर्ण समारोह है। यह अभी भी z पर निर्भर करता है, लेकिन केवल चरण में, इसलिए प्रसार के दौरान क्षेत्र का आकार नहीं बदलेगा।

के लिए $$N = 2$$ समाधान को बंद रूप में व्यक्त करना अभी भी संभव है, लेकिन इसका अधिक जटिल रूप है:
 * $$a(\xi,\zeta) = \frac{4[\cosh (3 \xi) + 3 e^{4 i \zeta} \cosh (\xi)] e^{i \zeta / 2}}{\cosh (4 \xi) + 4 \cosh (2 \xi) + 3 \cos (4 \zeta)}.$$

यह प्रसार के दौरान अपना आकार बदलता है, लेकिन यह अवधि के साथ z का आवधिक कार्य है $$\zeta = \pi / 2$$.

सॉलिटॉन समाधान के लिए, एन पूर्णांक होना चाहिए और इसे ऑर्डर या सॉलिटॉन कहा जाता है। के लिए $$N=3$$ सटीक बंद रूप समाधान भी मौजूद है; इसका और भी जटिल रूप है, लेकिन ही आवधिकता होती है। वास्तव में, सभी सोलिटोन के साथ $$N\geq 2$$ अवधि है $$\zeta = \pi / 2$$. पीढ़ी के तुरंत बाद ही उनका आकार आसानी से व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$a(\xi,\zeta = 0) = N \operatorname{sech} (\xi) $$

दाईं ओर दूसरे क्रम के सॉलिटॉन का प्लॉट है: शुरुआत में इसमें सेक का आकार होता है, फिर अधिकतम आयाम बढ़ जाता है और फिर सेच के आकार में वापस आ जाता है। चूँकि सॉलिटॉन उत्पन्न करने के लिए उच्च तीव्रता आवश्यक है, यदि क्षेत्र अपनी तीव्रता को और भी बढ़ा देता है तो माध्यम क्षतिग्रस्त हो सकता है।

यदि हम मौलिक सॉलिटॉन उत्पन्न करना चाहते हैं तो हल की जाने वाली स्थिति को सभी ज्ञात पैरामीटरों के संदर्भ में N व्यक्त करके प्राप्त किया जाता है और फिर डाल दिया जाता है $$N=1$$:


 * $$1 = N = \frac{L_d}{L_{n\ell}} = \frac{X_0^2 k_0^2 n^2 |n_2| |A_m|^2}{2 \eta_0}$$

अधिकतम विकिरण मान के संदर्भ में बन जाता है:


 * $$I_{\max} = \frac{|A_m|^2}{2 \eta_0 / n} = \frac{1}{X_0^2 k_0^2 n |n_2|}.

$$ अधिकांश मामलों में, जिन दो चरों को बदला जा सकता है, वे अधिकतम तीव्रता हैं $$I_\max$$ और नाड़ी की चौड़ाई $$X_0$$.

उत्सुकता से, सॉलिटॉन अवधि के अंत में अपने प्रारंभिक आकार में लौटने से पहले उच्च-क्रम सॉलिटॉन जटिल आकार प्राप्त कर सकते हैं। विभिन्न सॉलिटॉन की तस्वीर में, स्पेक्ट्रम (बाएं) और समय डोमेन (दाएं) आदर्श गैर-रैखिक माध्यम में प्रसार (ऊर्ध्वाधर अक्ष) की अलग-अलग दूरी पर दिखाए जाते हैं। यह दिखाता है कि कैसे लेजर पल्स व्यवहार कर सकता है क्योंकि यह ऐसे माध्यम में यात्रा करता है जिसमें मौलिक सॉलिटॉन का समर्थन करने के लिए आवश्यक गुण होते हैं। व्यवहार में, गैर-रैखिक प्रभावों को प्राप्त करने के लिए आवश्यक बहुत उच्च शिखर तीव्रता तक पहुंचने के लिए, लेजर दालों को अत्यधिक सीमित प्रसार मोड वाले फोटोनिक-क्रिस्टल फाइबर जैसे ऑप्टिकल फाइबर में जोड़ा जा सकता है। उन तंतुओं में अधिक जटिल फैलाव और अन्य विशेषताएँ होती हैं जो विश्लेषणात्मक सॉलिटॉन मापदंडों से हटती हैं।

स्थानिक सॉलिटॉन का उत्पादन
स्थानिक ऑप्टिकल सॉलिटॉन पर पहला प्रयोग 1974 में एश्किन और ब्योर्कहोम द्वारा रिपोर्ट किया गया था सोडियम वाष्प से भरे सेल में। इस क्षेत्र को तब लिमोज विश्वविद्यालय में प्रयोगों में दोबारा गौर किया गया था तरल कार्बन डाइसल्फ़ाइड में और 90 के दशक की शुरुआत में फोटोरिफ़्रेक्टिव क्रिस्टल में सॉलिटॉन के पहले अवलोकन के साथ विस्तारित हुआ, कांच, अर्धचालक और पॉलिमर। पिछले दशकों के दौरान सजातीय मीडिया, आवधिक प्रणालियों और वेवगाइड्स में विभिन्न आयामों, आकार, सर्पिलिंग, टकराव, फ़्यूज़िंग, स्प्लिटिंग के सॉलिटॉन के लिए विभिन्न सामग्रियों में कई निष्कर्ष बताए गए हैं। स्थानिक सॉलिटॉन को स्व-फंसे हुए ऑप्टिकल बीम के रूप में भी जाना जाता है और उनका गठन सामान्य रूप से स्व-लिखित वेवगाइड के साथ भी होता है। नेमैटिक  तरल स्फ़टिक  में, स्थानिक सॉलिटॉन को nematicon भी कहा जाता है।

अनुप्रस्थ-मोड-लॉकिंग सॉलिटॉन्स
Localized excitations in lasers may appear due to synchronization of transverse modes. कन्फोकल में $$2F$$ तरंग दैर्ध्य पर एकल अनुदैर्ध्य मोड के साथ लेजर गुहा पतित अनुप्रस्थ मोड $$\lambda$$ नॉनलाइनियर गेन डिस्क में मिश्रित $$G$$ (पर स्थित $$z = 0$$) और संतृप्त अवशोषक डिस्क $$\alpha$$ (पर स्थित $$z = 2F$$) व्यास का $$D$$ अतिशयोक्तिपूर्ण के स्थानिक solitons का उत्पादन करने में सक्षम हैं $$\operatorname{sech}$$ प्रपत्र:
 * $$\begin{align}

E(x, z=0) &\sim \operatorname{sech} \left(\!{\frac {\pi xD}{2 \lambda F}}\sqrt{\frac{1 - \alpha G}{G}}\,\right) \\[3pt] E(x, z=2F) &\sim \operatorname{sech} \left(\!{\frac {2\pi x }{D}}\sqrt{\frac{G}{1 - \alpha G}}\,\right) \end{align}$$ फूरियर-संयुग्मित विमानों में $$z = 0$$ और $$z = 2F$$.

टेम्पोरल सॉलिटॉन्स
ऑप्टिकल फाइबर में संचरण बिट दर को सीमित करने वाली मुख्य समस्या फैलाव (ऑप्टिक्स) है। ऐसा इसलिए है क्योंकि उत्पन्न आवेगों में गैर-शून्य बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) होता है और जिस माध्यम से वे प्रचार कर रहे हैं उसका अपवर्तक सूचकांक होता है जो आवृत्ति (या तरंग दैर्ध्य) पर निर्भर करता है। यह प्रभाव समूह विलंब फैलाव पैरामीटर डी द्वारा दर्शाया गया है; इसका उपयोग करके, यह गणना करना संभव है कि नाड़ी कितनी चौड़ी होगी:


 * $$\Delta \tau \approx D L \, \Delta \lambda$$

जहां एल फाइबर की लंबाई है और $$\Delta \lambda$$ तरंग दैर्ध्य के संदर्भ में बैंडविड्थ है। आधुनिक संचार प्रणालियों में दृष्टिकोण इस तरह के फैलाव को फाइबर के विभिन्न भागों में अलग-अलग संकेतों के साथ डी वाले अन्य फाइबर के साथ संतुलित करना है: इस तरह प्रसार के दौरान दालें चौड़ी और सिकुड़ती रहती हैं। टेम्पोरल सॉलिटॉन्स के साथ ऐसी समस्या को पूरी तरह से दूर करना संभव है।

दाईं ओर के चित्र पर विचार करें। बाईं ओर मानक गाऊसी समारोह पल्स है, जो परिभाषित आवृत्ति पर दोलन करने वाले क्षेत्र का लिफाफा है। हम मानते हैं कि नाड़ी के दौरान आवृत्ति बिल्कुल स्थिर रहती है।

अब हम इस पल्स को फाइबर के माध्यम से फैलने देते हैं $$D > 0$$, यह समूह वेग फैलाव से प्रभावित होगा। डी के इस संकेत के लिए, फैलाव विषम फैलाव है, ताकि उच्च आवृत्ति वाले घटक कम आवृत्तियों की तुलना में थोड़ी तेजी से फैलेंगे, इस प्रकार फाइबर के अंत में पहले पहुंचेंगे। हमें जो समग्र संकेत मिलता है वह व्यापक चहकती हुई नाड़ी है, जो चित्र के ऊपरी दाएँ भाग में दिखाया गया है।

अब हम मान लेते हैं कि हमारे निकट  ऐसा माध्यम है जो केवल अरेखीय केर प्रभाव दिखाता है लेकिन इसका अपवर्तक सूचकांक आवृत्ति पर निर्भर नहीं करता है: ऐसा माध्यम मौजूद नहीं है, लेकिन विभिन्न प्रभावों को समझने के लिए इस पर विचार करना उचित है।

क्षेत्र का चरण इसके द्वारा दिया गया है:
 * $$\varphi (t) = \omega_0 t - k z = \omega_0 t - k_0 z [n + n_2 I(t)]$$

आवृत्ति (इसकी परिभाषा के अनुसार) द्वारा दी गई है:
 * $$\omega (t) = \frac{\partial \varphi (t)}{\partial t} = \omega_0 - k_0 z n_2 \frac{\partial I(t) }{\partial t}$$

इस स्थिति को बाईं ओर के चित्र में दर्शाया गया है। नाड़ी की शुरुआत में आवृत्ति कम होती है, अंत में यह अधिक होती है। हमारे आदर्श माध्यम से प्रसार के बाद, हमें बिना किसी व्यापकता के चहकती हुई नाड़ी मिलेगी क्योंकि हमने फैलाव की उपेक्षा की है।

पहली तस्वीर पर वापस आते हुए, हम देखते हैं कि दो प्रभाव दो अलग-अलग विपरीत दिशाओं में आवृत्ति में परिवर्तन का परिचय देते हैं। स्पंद बनाना संभव है ताकि दो प्रभाव दूसरे को संतुलित कर सकें। उच्च आवृत्तियों को ध्यान में रखते हुए, रैखिक फैलाव उन्हें तेजी से प्रचार करने देगा, जबकि गैर-रैखिक केर प्रभाव उन्हें धीमा कर देगा। समग्र प्रभाव यह होगा कि प्रसार करते समय नाड़ी नहीं बदलती: ऐसी दालों को टेम्पोरल सॉलिटॉन कहा जाता है।

टेम्पोरल सॉलिटॉन्स का इतिहास
1973 में, एटी एंड टी बेल लैब्स के अकीरा हसेगावा और फ्रेड बहादुर ने सबसे पहले सुझाव दिया था कि स्व-चरण मॉड्यूलेशन और फैलाव (ऑप्टिक्स) के बीच संतुलन के कारण ऑप्टिकल फाइबर में सॉलिटॉन मौजूद हो सकते हैं। इसके अलावा 1973 में रॉबिन बुलो ने ऑप्टिकल सॉलिटॉन के अस्तित्व की पहली गणितीय रिपोर्ट बनाई। उन्होंने ऑप्टिकल दूरसंचार के प्रदर्शन को बढ़ाने के लिए सॉलिटॉन-आधारित ट्रांसमिशन सिस्टम का विचार भी प्रस्तावित किया।

फाइबर ऑप्टिक सिस्टम में सॉलिटॉन का वर्णन मनकोव समीकरणों द्वारा किया जाता है।

1987 में, ब्रुसेल्स और लिमोज विश्वविद्यालयों से पी. एम्प्लिट, जेपी हमाईड, एफ. रेनॉड, सी. फ्रोहली और ए. बारथेलेमी ने ऑप्टिकल फाइबर में डार्क सॉलिटॉन के प्रसार का पहला प्रायोगिक अवलोकन किया।

1988 में, लिन मोलेनॉयर और उनकी टीम ने भारतीय वैज्ञानिक चंद्रशेखर वेंकट रमन के नाम पर रमन प्रभाव नामक घटना का उपयोग करके 4,000 किलोमीटर से अधिक सॉलिटॉन दालों को प्रसारित किया। सर सी. वी. रमन जिन्होंने पहली बार 1920 के दशक में फाइबर में ऑप्टिकल लाभ प्रदान करने के लिए इसका वर्णन किया था।

1991 में, बेल लैब्स अनुसंधान दल ने एर्बियम ऑप्टिकल फाइबर एम्पलीफायरों (दुर्लभ पृथ्वी तत्व एरबियम युक्त ऑप्टिकल फाइबर के विभाजित-इन सेगमेंट) का उपयोग करते हुए, 14,000 किलोमीटर से अधिक में 2.5 गीगाबिट्स पर त्रुटि-मुक्त सॉलिटॉन प्रसारित किया। पंप लेजर, ऑप्टिकल एम्पलीफायरों के साथ युग्मित, एर्बियम को सक्रिय करता है, जो प्रकाश दालों को सक्रिय करता है.

1998 में, फ़्रांस टेलीकॉम आर एंड डी सेंटर में थियरी जॉर्जेस और उनकी टीम ने विभिन्न तरंग दैर्ध्य (तरंगदैर्ध्य विभाजन बहुसंकेतन) के ऑप्टिकल सॉलिटॉन के संयोजन से प्रति सेकंड 1 बाइनरी उपसर्ग (प्रति सेकंड सूचना के 1,000,000,000,000 यूनिट) के डेटा ट्रांसमिशन का प्रदर्शन किया।.

2020 में, ऑप्टिक्स कम्युनिकेशंस ने MEXT से जापानी टीम, ऑप्टिकल सर्किट स्विचिंग को 90 Tbps (प्रति सेकंड टेराबिट्स) तक की बैंडविड्थ के साथ रिपोर्ट किया, ऑप्टिक्स कम्युनिकेशंस, वॉल्यूम 466, 1 जुलाई 2020, 125677।

टेम्पोरल सोलिटोन के लिए सबूत
मार्गदर्शक संरचना (जैसे ऑप्टिकल फाइबर) के माध्यम से ऑप्टिकल केर प्रभाव दिखाने वाले माध्यम में विद्युत क्षेत्र का प्रसार हो रहा है जो xy विमान पर शक्ति को सीमित करता है। यदि क्षेत्र चरण स्थिरांक के साथ z की ओर बढ़ रहा है $$\beta_0$$, तो इसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$E(\mathbf{r},t) = A_m a(t,z) f(x,y) e^{i(\beta_0 z - \omega_0 t)}$$

कहाँ $$A_m$$ क्षेत्र का अधिकतम आयाम है, $$a(t,z)$$ वह लिफाफा है जो समय क्षेत्र में आवेग को आकार देता है; सामान्य तौर पर यह z पर निर्भर करता है क्योंकि प्रसार के दौरान आवेग अपना आकार बदल सकता है; $$f(x,y)$$ xy तल पर क्षेत्र के आकार का प्रतिनिधित्व करता है, और यह प्रसार के दौरान नहीं बदलता है क्योंकि हमने मान लिया है कि क्षेत्र निर्देशित है। ए और एफ दोनों सामान्यीकृत आयाम रहित कार्य हैं जिनका अधिकतम मान 1 है, ताकि $$A_m$$ वास्तव में क्षेत्र आयाम का प्रतिनिधित्व करता है।

चूंकि माध्यम में फैलाव होता है जिसे हम उपेक्षित नहीं कर सकते हैं, विद्युत क्षेत्र और इसके ध्रुवीकरण के बीच का संबंध कनवल्शन इंटीग्रल द्वारा दिया जाता है। वैसे भी, फूरियर रूपांतरण में प्रतिनिधित्व का उपयोग करके, हम कनवल्शन को साधारण उत्पाद से बदल सकते हैं, इस प्रकार मानक संबंधों का उपयोग कर सकते हैं जो सरल मीडिया में मान्य हैं। हम निम्नलिखित परिभाषा का उपयोग करके विद्युत क्षेत्र को फूरियर-रूपांतरित करते हैं:


 * $$\tilde{E} (\mathbf{r},\omega - \omega_0) = \int\limits_{-\infty}^\infty E (\mathbf{r}, t ) e^{-i (\omega - \omega_0)t} \, dt$$

इस परिभाषा का प्रयोग करते हुए, समय डोमेन में व्युत्पन्न फूरियर डोमेन में उत्पाद के अनुरूप होता है:


 * $$\frac{\partial}{\partial t} E \Longleftrightarrow i (\omega - \omega_0) \tilde{E}$$

फ़्रीक्वेंसी डोमेन में फ़ील्ड की पूर्ण अभिव्यक्ति है:
 * $$\tilde{E} (\mathbf{r},\omega - \omega_0) = A_m \tilde{a} (\omega, z) f(x,y) e^{i \beta_0 z} $$

अब हम फ़्रीक्वेंसी डोमेन में हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण को हल कर सकते हैं:


 * $$\nabla^2 \tilde{E} + n^2 (\omega) k_0^2 \tilde{E} = 0$$

हम निम्नलिखित संकेतन के साथ चरण स्थिरांक को व्यक्त करने का निर्णय लेते हैं:



\begin{align} n(\omega) k_0 = \beta (\omega) & = \overbrace{\beta_0}^{\text{linear non-dispersive}} + \overbrace{\beta_\ell (\omega)}^{\text{linear dispersive}} + \overbrace{\beta_{n\ell}}^{\text{non-linear}} \\[8pt] & = \beta_0 + \Delta \beta (\omega) \end{align} $$ जहां हम मानते हैं $$\Delta \beta$$ (रैखिक फैलाने वाले घटक और गैर-रैखिक भाग का योग) छोटा सा गड़बड़ी है, अर्थात $$|\beta_0| \gg |\Delta \beta (\omega)|$$. चरण स्थिरांक का कोई भी जटिल व्यवहार हो सकता है, लेकिन हम इसे टेलर श्रृंखला पर केंद्रित करके प्रस्तुत कर सकते हैं $$\omega_0$$:
 * $$\beta (\omega) \approx \beta_0 + (\omega - \omega_0) \beta_1 + \frac{(\omega - \omega_0)^2}{2} \beta_2 + \beta_{n\ell}$$

कहाँ, के रूप में जाना जाता है:
 * $$\beta_u = \left. \frac{d^u \beta (\omega)}{d \omega^u} \right|_{\omega = \omega_0}$$

हम विद्युत क्षेत्र की अभिव्यक्ति को समीकरण में रखते हैं और कुछ गणना करते हैं। अगर हम धीरे-धीरे बदलते लिफाफा सन्निकटन मान लें:
 * $$\left| \frac{\partial^2 \tilde{a}}{\partial z^2} \right| \ll \left| \beta_0 \frac{\partial \tilde{a}}{\partial z} \right|$$

हम पाते हैं:
 * $$2 i \beta_0 \frac{\partial \tilde{a}}{\partial z} + [\beta^2 (\omega) - \beta_0^2] \tilde{a} = 0$$

हम xy तल में व्यवहार की उपेक्षा कर रहे हैं, क्योंकि यह पहले से ही ज्ञात है और इसके द्वारा दिया गया है $$f(x,y)$$. हम छोटा सन्निकटन बनाते हैं, जैसा कि हमने स्थानिक सॉलिटॉन के लिए किया था:



\begin{align} \beta^2 (\omega) - \beta_0^2 & = [ \beta (\omega) - \beta_0 ] [ \beta (\omega) + \beta_0 ] \\[6pt] & = [ \beta_0 + \Delta \beta (\omega) - \beta_0 ] [2 \beta_0 + \Delta \beta (\omega) ] \approx 2 \beta_0 \,\Delta \beta (\omega) \end{align} $$ इसे समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर हमें बस मिलता है:
 * $$i \frac{\partial \tilde{a}}{\partial z} + \Delta \beta (\omega) \tilde{a} = 0$$.

अब हम टाइम डोमेन में वापस आना चाहते हैं। उत्पादों को डेरिवेटिव द्वारा व्यक्त करने पर हमें द्वैत मिलता है:


 * $$\Delta \beta (\omega) \Longleftrightarrow i \beta_1 \frac{\partial}{\partial t} - \frac{\beta_2}{2} \frac{\partial^2}{\partial t^2} + \beta_{n\ell}$$

हम क्षेत्र के विकिरण या आयाम के संदर्भ में गैर-रैखिक घटक लिख सकते हैं:


 * $$\beta_{n\ell} = k_0 n_2 I = k_0 n_2 \frac{|E|^2}{2 \eta_0 / n} = k_0 n_2 n \frac{|A_m|^2}{2 \eta_0} |a|^2$$

स्थानिक सॉलिटॉन के साथ द्वैत के लिए, हम परिभाषित करते हैं:


 * $$L_{n\ell} = \frac{2 \eta_0}{k_0 n n_2 |A_m|^2}$$

और इस प्रतीक का पिछले मामले का वही अर्थ है, भले ही संदर्भ अलग हो। समीकरण बन जाता है:


 * $$i \frac{\partial a}{\partial z} + i \beta_1 \frac{\partial a}{\partial t} - \frac{\beta_2}{2} \frac{\partial^2 a}{\partial t^2} + \frac{1}{L_{n\ell}} |a|^2 a = 0$$

हम जानते हैं कि आवेग z अक्ष के साथ दिए गए समूह वेग के साथ प्रचार कर रहा है $$v_g = 1/\beta_1$$, इसलिए हमें इसमें कोई दिलचस्पी नहीं है क्योंकि हम सिर्फ यह जानना चाहते हैं कि प्रसार के दौरान नाड़ी अपना आकार कैसे बदलती है। हम आवेग के आकार का अध्ययन करने का निर्णय लेते हैं, अर्थात संदर्भ का उपयोग करके लिफाफा फ़ंक्शन a(·) जो समान वेग से क्षेत्र के साथ चल रहा है। इस प्रकार हम प्रतिस्थापन करते हैं


 * $$T = t-\beta_1 z$$

और समीकरण बन जाता है:


 * $$i \frac{\partial a}{\partial z} - \frac{\beta_2}{2} \frac{\partial^2 a}{\partial T^2} + \frac{1}{L_{n\ell}} |a|^2 a = 0$$

अब हम यह भी मानते हैं कि जिस माध्यम में क्षेत्र का प्रचार हो रहा है, वह विषम फैलाव दिखाता है, अर्थात $$\beta_2 < 0 $$ या समूह विलंब फैलाव पैरामीटर के संदर्भ में $$D=\frac{- 2 \pi c}{\lambda^2} \beta_2 > 0 $$. हम समीकरण में इसे और अधिक स्पष्ट रूप से प्रतिस्थापित करते हैं $$\beta_2 = - |\beta_2|$$. आइए अब निम्नलिखित मापदंडों को परिभाषित करें (पिछले मामले के साथ द्वैत स्पष्ट है):



L_d = \frac{T_0^2}{|\beta_2|}; \qquad \tau=\frac{T}{T_0}; \qquad \zeta = \frac{z}{L_d} ; \qquad N^2 = \frac{L_d}{L_{n\ell}}$$ हमें प्राप्त होने वाले समीकरण में उन्हें प्रतिस्थापित करना:


 * $$\frac{1}{2} \frac{\partial^2 a}{\partial \tau^2} + i\frac{\partial a}{\partial \zeta} + N^2 |a|^2 a = 0 $$

यह बिल्कुल वैसा ही समीकरण है जैसा हमने पिछले मामले में प्राप्त किया था। पहला आदेश सॉलिटॉन द्वारा दिया गया है:


 * $$a(\tau,\zeta) = \operatorname{sech} (\tau) e^{i \zeta /2}$$

हमारे द्वारा किए गए वही विचार इस मामले में मान्य हैं। स्थिति N = 1 विद्युत क्षेत्र के आयाम पर शर्त बन जाती है:


 * $$|A_m|^2 = \frac{2 \eta_0 |\beta_2|}{T_0^2 n_2 k_0 n}$$

या, विकिरण के मामले में:


 * $$I_{\max} = \frac{|A_m|^2}{2 \eta_0 / n} = \frac{|\beta_2|}{T_0^2 n_2 k_0}$$

या यदि हम प्रभावी क्षेत्र का परिचय देते हैं तो हम इसे शक्ति के रूप में व्यक्त कर सकते हैं $$A_\text{eff}$$ परिभाषित किया ताकि $$P = I A_\text{eff}$$:


 * $$P = \frac{|\beta_2| A_\text{eff}}{T_0^2 n_2 k_0}$$

सोलिटोन की स्थिरता
हमने वर्णन किया है कि ऑप्टिकल सॉलिटॉन क्या हैं और गणित का उपयोग करते हुए, हमने देखा है कि, यदि हम उन्हें बनाना चाहते हैं, तो हमें अवधि से संबंधित विशेष शक्ति के साथ विशेष आकार (बस पहले क्रम के लिए sech) के साथ क्षेत्र बनाना होगा। आवेग का। लेकिन क्या होगा अगर हम इस तरह के आवेग पैदा करने में थोड़े गलत हैं? समीकरणों में छोटे-छोटे क्षोभों को जोड़कर और उन्हें संख्यात्मक रूप से हल करके, यह दिखाना संभव है कि मोनो-डायमेंशनल सॉलिटॉन स्थिर हैं। उन्हें अक्सर कहा जाता है (1 + 1) D solitons, जिसका अर्थ है कि वे आयाम (x या t, जैसा कि हमने देखा है) में सीमित हैं और दूसरे (z) में प्रचारित करते हैं।

यदि हम इस तरह के सॉलिटॉन को थोड़ा गलत शक्ति या आकार का उपयोग करके बनाते हैं, तो यह सही शक्ति के साथ मानक सेच आकार तक पहुंचने तक खुद को समायोजित करेगा। दुर्भाग्य से यह कुछ शक्ति हानि की कीमत पर हासिल किया जाता है, जो समस्या पैदा कर सकता है क्योंकि यह हमारे इच्छित क्षेत्र के साथ प्रचार करने वाला और गैर-सॉलिटॉन क्षेत्र उत्पन्न कर सकता है। मोनो-डायमेंशनल सॉलिटॉन बहुत स्थिर होते हैं: उदाहरण के लिए, यदि $$0.5 < N < 1.5$$ वैसे भी हम पहले ऑर्डर का सॉलिटॉन जनरेट करेंगे; यदि एन अधिक है तो हम उच्च क्रम सॉलिटॉन उत्पन्न करेंगे, लेकिन प्रचार करते समय ध्यान केंद्रित करने से मीडिया को नुकसान पहुंचाने वाली उच्च शक्ति चोटियों का कारण हो सकता है।

बनाने का एकमात्र तरीका है (1 + 1) D स्थानिक सॉलिटॉन वेवगाइड (ऑप्टिक्स) का उपयोग करके y अक्ष पर फ़ील्ड को सीमित करना है, फिर सॉलिटॉन का उपयोग करके x पर फ़ील्ड को सीमित करना है।

वहीं दूसरी ओर, (2 + 1) D स्थानिक सॉलिटॉन अस्थिर होते हैं, इसलिए किसी भी छोटे गड़बड़ी (उदाहरण के लिए, शोर के कारण) सॉलिटॉन को रेखीय माध्यम में क्षेत्र के रूप में अलग करने या ढहने का कारण बन सकता है, इस प्रकार सामग्री को नुकसान पहुंचा सकता है। स्थिर बनाना संभव है (2 + 1) D सैचुरेटिंग नॉनलाइनियर मीडिया का उपयोग करते हुए स्थानिक सॉलिटॉन, जहां केर संबंध $$n(I) = n + n_2 I$$ अधिकतम मूल्य तक पहुंचने तक मान्य है। इस संतृप्ति स्तर के करीब काम करने से त्रि-आयामी अंतरिक्ष में स्थिर सॉलिटॉन बनाना संभव हो जाता है।

यदि हम कम (अस्थायी) प्रकाश दालों या लंबी दूरी के प्रचार पर विचार करते हैं, तो हमें उच्च-क्रम सुधारों पर विचार करने की आवश्यकता है और इसलिए नाड़ी वाहक लिफ़ाफ़े को उच्च-क्रम के अरेखीय श्रोडिंगर समीकरण (HONSE) द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जिसके लिए कुछ विशेष (विश्लेषणात्मक) सॉलिटॉन समाधान हैं।

बिजली के नुकसान का प्रभाव
जैसा कि हमने देखा है, सॉलिटॉन बनाने के लिए इसे उत्पन्न होने पर सही शक्ति होना जरूरी है। यदि माध्यम में कोई नुकसान नहीं होता है, तो हम जानते हैं कि सॉलिटॉन बिना आकार (पहला क्रम) बदले या समय-समय पर (उच्च क्रम) अपना आकार बदले बिना हमेशा के लिए प्रचार करता रहेगा। दुर्भाग्य से कोई भी माध्यम घाटे का परिचय देता है, इसलिए शक्ति का वास्तविक व्यवहार इस रूप में होगा:


 * $$P(z) = P_0 e^{- \alpha z}$$

कई किलोमीटर तक तंतुओं में फैलने वाले टेम्पोरल सॉलिटॉन के लिए यह गंभीर समस्या है। गौर कीजिए कि लौकिक सॉलिटॉन के लिए क्या होता है, स्थानिक लोगों के लिए सामान्यीकरण तत्काल है। हमने साबित कर दिया है कि सत्ता के बीच संबंध $$P_0$$ और आवेग लंबाई $$T_0$$ है:
 * $$P = \frac{|\beta_2| A_\text{eff}}{T_0^2 n_2 k_0}$$

अगर सत्ता बदलती है, तो रिश्ते के दूसरे हिस्से में केवल चीज बदल सकती है $$T_0$$. अगर हम शक्ति में नुकसान जोड़ते हैं और रिश्ते को हल करते हैं $$T_0$$ हम पाते हैं:


 * $$T(z) = T_0 e^{(\alpha/2)z}$$

नुकसान को संतुलित करने के लिए आवेग की चौड़ाई तेजी से बढ़ती है! यह रिश्ता तब तक सही है जब तक सोलिटॉन मौजूद है, यानी जब तक यह परेशानी छोटी है, तो यह होना चाहिए $$\alpha z \ll 1$$ अन्यथा हम सोलिटोन के लिए समीकरणों का उपयोग नहीं कर सकते हैं और हमें मानक रैखिक फैलाव का अध्ययन करना होगा। अगर हम ऑप्टिकल फाइबर और सॉलिटॉन का उपयोग करके ट्रांसमिशन सिस्टम बनाना चाहते हैं, तो हमें बिजली के नुकसान को सीमित करने के लिए ऑप्टिकल एम्पलीफायर जोड़ना होगा।

सॉलिटॉन पल्स का उत्पादन
उच्च आवृत्ति (20 मेगाहर्ट्ज -1 गीगाहर्ट्ज) के प्रभाव का विश्लेषण करने के लिए प्रयोग किए गए हैं, समूह वेग फैलाव (जीवीडी) और बाद की भरपाई के लिए काफी लंबाई (50-100 मीटर) के सिंगल मोड ऑप्टिकल फाइबर पर बाहरी चुंबकीय क्षेत्र प्रेरित नॉनलाइनियर केर प्रभाव सॉलिटॉन पल्स का विकास (पीक एनर्जी, नैरो, सेकंड हाइपरबोलिक पल्स )। फाइबर में सॉलिटॉन पल्स का उत्पादन पल्स ऑफसेट जीवीडी की उच्च ऊर्जा के कारण सेल्फ फेज मॉड्यूलेशन के रूप में स्पष्ट निष्कर्ष है, जबकि विकास की लंबाई 2000 किमी है। (लेजर वेवलेंथ को 1.3 माइक्रोमीटर से अधिक चुना गया)। इसके अलावा, पीक सॉलिटॉन पल्स 1–3 पीएस की अवधि का होता है ताकि यह ऑप्टिकल बैंडविड्थ में सुरक्षित रूप से समायोजित हो जाए। बार सॉलिटॉन पल्स उत्पन्न हो जाने के बाद यह हजारों किलोमीटर लंबाई के फाइबर में कम से कम फैलाया जाता है, जिससे पुनरावर्तक स्टेशनों की संख्या सीमित हो जाती है।

डार्क सॉलिटॉन्स
दोनों प्रकार के सॉलिटॉन के विश्लेषण में हमने माध्यम के बारे में विशेष स्थितियाँ ग्रहण की हैं: यदि उन शर्तों को सत्यापित नहीं किया जाता है तो क्या सॉलिटॉन प्राप्त करना संभव है? अगर हम मान लें $$n_2 < 0$$ या $$\beta_2 > 0$$, हम निम्नलिखित अंतर समीकरण प्राप्त करते हैं (दोनों मामलों में इसका ही रूप है, हम केवल लौकिक सॉलिटॉन के अंकन का उपयोग करेंगे):
 * स्थानिक सोलिटोन में, $$n_2 > 0$$, इसका मतलब है कि सेल्फ-फेज मॉड्यूलेशन सेल्फ-फोकसिंग का कारण बनता है
 * टेम्पोरल सोलिटोन में, $$\beta_2 < 0$$ या $$D > 0 $$, विषम फैलाव
 * $$\frac{-1}{2} \frac{\partial^2 a}{\partial \tau^2} + i\frac{\partial a}{\partial \zeta} + N^2 |a|^2 a = 0. $$

इस समीकरण के सॉलिटॉन जैसे हल हैं। पहले आदेश के लिए (एन = 1):
 * $$a(\tau,\zeta) = \tanh (\tau) e^{i \zeta}.\ $$

का कथानक $$|a(\tau, \zeta)|^2$$ चित्र में दाईं ओर दिखाया गया है। उच्च क्रम सॉलिटन्स के लिए ($$ N > 1 $$) हम निम्नलिखित बंद प्रपत्र अभिव्यक्ति का उपयोग कर सकते हैं:


 * $$a(\tau,\zeta = 0) = N \tanh (\tau).\ $$

यह सॉलिटॉन है, इस अर्थ में कि यह अपना आकार बदले बिना प्रचार करता है, लेकिन यह सामान्य नाड़ी द्वारा नहीं बनाया जाता है; बल्कि, यह निरंतर समय किरण में ऊर्जा की कमी है। तीव्रता स्थिर है, लेकिन थोड़े समय के लिए जिसके दौरान यह शून्य पर कूदता है और फिर से वापस आ जाता है, इस प्रकार अंधेरे नाड़ी पैदा करता है '। उन सॉलिटॉन को वास्तव में लंबे समय तक मानक दालों में छोटे अंधेरे दालों को पेश करने के लिए उत्पन्न किया जा सकता है। मानक सॉलिटॉन की तुलना में डार्क सॉलिटॉन को संभालना अधिक कठिन होता है, लेकिन वे अधिक स्थिर और नुकसान के लिए मजबूत होते हैं।

यह भी देखें

 * सॉलिटन
 * स्व-चरण मॉडुलन
 * ऑप्टिकल केर प्रभाव
 * वेक्टर सॉलिटॉन
 * निमैटिकॉन
 * अल्ट्राशॉर्ट पल्स

बाहरी संबंध

 * Soliton propagation in SMF-28 using the GPU