स्थिति का चौथा, पाँचवाँ और छठा व्युत्पन्न

भौतिकी में, स्थिति के चौथे, पांचवें और छठे व्युत्पन्न को समय के संबंध में स्थिति (वेक्टर) के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है - पहला, दूसरा और तीसरा व्युत्पन्न क्रमशः वेग, त्वरण और झटका (भौतिकी) है। पहले तीन यौगिक  के विपरीत, उच्च-क्रम डेरिवेटिव कम आम हैं, इस प्रकार उनके नाम उतने मानकीकृत नहीं हैं, हालाँकि प्रक्षेपवक्र अनुकूलन की अवधारणा का उपयोग रोबोटिक्स में किया गया है और इसे MATLAB में लागू किया गया है। चौथे व्युत्पन्न को अक्सर स्नैप या जंज़ के रूप में जाना जाता है। चौथे व्युत्पन्न के लिए नाम स्नैप ने क्रमशः पांचवें और छठे व्युत्पन्न के लिए क्रैकल और पॉप का नेतृत्व किया, राइस क्रिस्पिज़ ़ शुभंकर स्नैप, क्रैकल और पॉप से ​​प्रेरित। इन शब्दों का उपयोग कभी-कभी किया जाता है, हालांकि कभी-कभी कुछ हद तक हास्यास्पद भी।

Fourth derivative (स्नैप/जौंस)
स्नैप, या उछाल, समय के संबंध में स्थिति (वेक्टर) का चौथा व्युत्पन्न है, या समय के संबंध में झटका (भौतिकी) का व्युत्पन्न है। समान रूप से, यह त्वरण का दूसरा व्युत्पन्न या वेग का तीसरा व्युत्पन्न है, और इसे निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी एक द्वारा परिभाषित किया गया है: $$\vec s = \frac{d \,\vec \jmath}{dt} = \frac{d^2 \vec a}{dt^2} = \frac{d^3 \vec v}{dt^3} = \frac{d^4 \vec r}{dt^4}.$$ असैनिक अभियंत्रण में, रेलवे ट्रैक और सड़कों के डिज़ाइन में स्नैप को न्यूनतम करना शामिल है, विशेष रूप से विभिन्न वक्रता त्रिज्या वाले मोड़ों के आसपास। जब स्नैप स्थिर होता है, तो झटका रैखिक रूप से बदलता है, जिससे रेडियल त्वरण में सहज वृद्धि होती है, और जब, जैसा कि प्राथमिकता दी जाती है, स्नैप शून्य होता है, रेडियल त्वरण में परिवर्तन रैखिक होता है। स्नैप का न्यूनतमकरण या उन्मूलन आमतौर पर गणितीय कपड़ानुमा फ़ंक्शन का उपयोग करके किया जाता है। स्नैप को छोटा करने से मशीन टूल्स और रोलर कोस्टर के प्रदर्शन में सुधार होता है।

निरंतर स्नैप के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है: $$\begin{align} \vec \jmath &= \vec \jmath_0 + \vec s t, \\ \vec a &= \vec a_0 + \vec \jmath_0 t + \tfrac{1}{2} \vec s t^2, \\ \vec v &= \vec v_0 + \vec a_0 t + \tfrac{1}{2} \vec \jmath_0 t^2 + \tfrac{1}{6} \vec s t^3, \\ \vec r &= \vec r_0 + \vec v_0 t + \tfrac{1}{2} \vec a_0 t^2 + \tfrac{1}{6} \vec \jmath_0 t^3 + \tfrac{1}{24} \vec s t^4, \end{align}$$ कहाँ


 * $$\vec s$$ निरंतर स्नैप है,
 * $$\vec \jmath_0$$ प्रारंभिक झटका है,
 * $$\vec \jmath$$ अंतिम झटका है,
 * $$\vec a_0$$ प्रारंभिक त्वरण है,
 * $$\vec a$$ अंतिम त्वरण है,
 * $$\vec v_0$$ प्रारंभिक वेग है,
 * $$\vec v$$ अंतिम वेग है,
 * $$\vec r_0$$ प्रारंभिक स्थिति है,
 * $$\vec r$$ अंतिम स्थिति है,
 * $$t$$ प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के बीच का समय है।

संकेतन $$\vec s$$ (विज़सर द्वारा प्रयुक्त आमतौर पर समान रूप से दर्शाए जाने वाले विस्थापन वेक्टर के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

स्नैप के आयाम समय की प्रति चौथाई शक्ति की दूरी हैं। एसआई इकाइयों में, यह मीटर प्रति सेकंड से चौथे तक है, एमएस4, m⋅s−4, या सीजीएस इकाइयों में प्रति सेकंड 100 गैलन (इकाई)।

Fifth derivative
समय के संबंध में स्थिति (वेक्टर) के पांचवें व्युत्पन्न को कभी-कभी क्रैकल कहा जाता है। यह समय के सापेक्ष स्नैप के परिवर्तन की दर है। क्रैकल को निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी एक द्वारा परिभाषित किया गया है: $$\vec c =\frac {d \vec s} {dt} = \frac {d^2 \vec \jmath} {dt^2} = \frac {d^3 \vec a} {dt^3} = \frac {d^4 \vec v} {dt^4}= \frac {d^5 \vec r} {dt^5}$$ निरंतर चटकने के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है: $$\begin{align} \vec s &= \vec s_0 + \vec c \,t \\ \vec \jmath &= \vec \jmath_0 + \vec s_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec c \,t^2 \\ \vec a &= \vec a_0 + \vec \jmath_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec s_0 \,t^2 + \tfrac{1}{6} \vec c \,t^3 \\ \vec v &= \vec v_0 + \vec a_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec \jmath_0 \,t^2 + \tfrac{1}{6} \vec s_0 \,t^3 + \tfrac{1}{24} \vec c \,t^4 \\ \vec r &= \vec r_0 + \vec v_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec a_0 \,t^2 + \tfrac{1}{6} \vec \jmath_0 \,t^3 + \tfrac{1}{24} \vec s_0 \,t^4 + \tfrac{1}{120} \vec c \,t^5 \end{align}$$ कहाँ
 * $$\vec c$$ : निरंतर कर्कशता,
 * $$\vec s_0$$ : प्रारंभिक स्नैप,
 * $$\vec s$$ : अंतिम स्नैप,
 * $$\vec \jmath_0$$ : प्रारंभिक झटका,
 * $$\vec \jmath$$ : अंतिम झटका,
 * $$\vec a_0$$ : प्रारंभिक त्वरण,
 * $$\vec a$$ : अंतिम त्वरण,
 * $$\vec v_0$$ : प्रारंभिक वेग,
 * $$\vec v$$ : अंतिम वेग,
 * $$\vec r_0$$ : प्रारंभिक स्थिति,
 * $$\vec r$$ :अंतिम स्थिति,
 * $$t$$ : प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के बीच का समय.

क्रैकल के आयाम एलटी हैं−5. एसआई इकाइयों में, यह एम/एस है5, और सीजीएस इकाइयों में, 100 गैलन (इकाई) प्रति घन सेकंड।

Sixth derivative
समय के संबंध में स्थिति (वेक्टर) के छठे व्युत्पन्न को कभी-कभी पॉप कहा जाता है। यह समय के सापेक्ष क्रैक के परिवर्तन की दर है।  पॉप को निम्नलिखित समकक्ष अभिव्यक्तियों में से किसी एक द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$\vec p =\frac {d \vec c} {dt} = \frac {d^2 \vec s} {dt^2} = \frac {d^3 \vec \jmath} {dt^3} = \frac {d^4 \vec a} {dt^4} = \frac {d^5 \vec v} {dt^5} = \frac {d^6 \vec r} {dt^6}$$ निरंतर पॉप के लिए निम्नलिखित समीकरणों का उपयोग किया जाता है: $$\begin{align} \vec c &= \vec c_0 + \vec p \,t \\ \vec s &= \vec s_0 + \vec c_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec p \,t^2 \\ \vec \jmath &= \vec \jmath_0 + \vec s_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec c_0 \,t^2 + \tfrac{1}{6} \vec p \,t^3 \\ \vec a &= \vec a_0 + \vec \jmath_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec s_0 \,t^2 + \tfrac{1}{6} \vec c_0 \,t^3 + \tfrac{1}{24} \vec p \,t^4 \\ \vec v &= \vec v_0 + \vec a_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec \jmath_0 \,t^2 + \tfrac{1}{6} \vec s_0 \,t^3 + \tfrac{1}{24} \vec c_0 \,t^4 + \tfrac{1}{120} \vec p \,t^5 \\ \vec r &= \vec r_0 + \vec v_0 \,t + \tfrac{1}{2} \vec a_0 \,t^2 + \tfrac{1}{6} \vec \jmath_0 \,t^3 + \tfrac{1}{24} \vec s_0 \,t^4 + \tfrac{1}{120} \vec c_0 \,t^5 + \tfrac{1}{720} \vec p \,t^6 \end{align}$$ कहाँ
 * $$\vec p$$ : निरंतर पॉप,
 * $$\vec c_0$$ : प्रारंभिक कर्कश,
 * $$\vec c$$ : अंतिम कर्कश,
 * $$\vec s_0$$ : प्रारंभिक स्नैप,
 * $$\vec s$$ : अंतिम स्नैप,
 * $$\vec \jmath_0$$ : प्रारंभिक झटका,
 * $$\vec \jmath$$ : अंतिम झटका,
 * $$\vec a_0$$ : प्रारंभिक त्वरण,
 * $$\vec a$$ : अंतिम त्वरण,
 * $$\vec v_0$$ : प्रारंभिक वेग,
 * $$\vec v$$ : अंतिम वेग,
 * $$\vec r_0$$ : प्रारंभिक स्थिति,
 * $$\vec r$$ :अंतिम स्थिति,
 * $$t$$ : प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाओं के बीच का समय.

पॉप का आयाम LT है−6. एसआई इकाइयों में, यह एम/एस है6, और सीजीएस इकाइयों में, 100 गैलन (इकाई) प्रति चतुर्थक सेकंड।