घातीय क्षय

एक मात्रा घातीय क्षय के अधीन है यदि यह अपने वर्तमान मूल्य के आनुपातिकता (गणित) की दर से घटती है। प्रतीकात्मक रूप से, इस प्रक्रिया को निम्नलिखित अवकल समीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, जहाँ $λ$ मात्रा है और $x$ (लैम्ब्डा) एक सकारात्मक दर है जिसे घातीय क्षय स्थिरांक, विघटन स्थिरांक कहा जाता है, दर लगातार, या परिवर्तन स्थिरांक:
 * $$\frac{dN}{dt} = -\lambda N.$$

इस समीकरण का हल (नीचे दिए गए अंतर समीकरण का समाधान देखें) है:


 * $$N(t) = N_0 e^{-\lambda t}, $$

कहाँ पे $N(t)$ समय पर मात्रा है $N$, $N_{0} = N(0)$ प्रारंभिक मात्रा है, अर्थात समय पर मात्रा $t = 0$.

औसत जीवनकाल
यदि क्षयकारी मात्रा, एन (टी), एक निश्चित सेट (गणित) में असतत तत्वों की संख्या है, तो उस समय की औसत लंबाई की गणना करना संभव है जब कोई तत्व सेट में रहता है। इसे 'औसत जीवनकाल' (या केवल 'जीवनकाल') कहा जाता है, जहां 'घातीय समय स्थिरांक', $$\tau$$, क्षय दर स्थिरांक से संबंधित है, λ, निम्नलिखित तरीके से:
 * $$\tau = \frac{1}{\lambda}.$$

औसत जीवनकाल को स्केलिंग समय के रूप में देखा जा सकता है, क्योंकि घातीय क्षय समीकरण को औसत जीवनकाल के रूप में लिखा जा सकता है, $$\tau$$, क्षय स्थिरांक के बजाय, λ:
 * $$N(t) = N_0 e^{-t/\tau}, $$

और कि $$\tau$$ वह समय है जिस पर विधानसभा की जनसंख्या कम हो जाती है e (गणितीय स्थिरांक)|1/e ≈ 0.367879441 इसके प्रारंभिक मूल्य का गुना।

उदाहरण के लिए, यदि विधानसभा की प्रारंभिक जनसंख्या, N(0), 1000 है, तो समय पर जनसंख्या $$\tau$$, $$N(\tau)$$, 368 है।

एक बहुत ही समान समीकरण नीचे देखा जाएगा, जो तब उत्पन्न होता है जब घातीय का आधार ई के बजाय 2 चुना जाता है। उस स्थिति में स्केलिंग का समय आधा जीवन है।

आधा जीवन
कई लोगों के लिए घातीय क्षय की एक अधिक सहज विशेषता क्षयकारी मात्रा के प्रारंभिक मूल्य के आधे तक गिरने के लिए आवश्यक समय है। (यदि N(t) असतत है, तो यह माध्य जीवन-काल के बजाय औसत जीवन-काल है।) इस समय को अर्ध-जीवन कहा जाता है, और इसे अक्सर प्रतीक t द्वारा निरूपित किया जाता है।1/2. अर्ध-आयु को क्षय स्थिरांक या माध्य जीवनकाल के रूप में लिखा जा सकता है:


 * $$t_{1/2} = \frac{\ln (2)}{\lambda} = \tau \ln (2).$$

जब के लिए यह व्यंजक डाला जाता है $$\tau$$ उपरोक्त घातीय समीकरण में, और 2|ln 2 के प्राकृतिक लघुगणक को आधार में समाहित कर लिया जाता है, यह समीकरण बन जाता है:


 * $$N(t) = N_0 2^{-t/t_{1/2}}. $$

इस प्रकार, शेष सामग्री की मात्रा 2 है−1 = 1/2 आधे जीवन की (संपूर्ण या भिन्नात्मक) संख्या जो बीत चुकी है। इस प्रकार, 3 अर्ध-आयु के बाद 1/2 होगा3 = 1/8 मूल सामग्री बची है।

इसलिए, औसत जीवनकाल $$\tau$$ आधे जीवन को 2 के प्राकृतिक लॉग से विभाजित करने के बराबर है, या:


 * $$\tau = \frac{t_{1/2}}{\ln (2)} \approx 1.44 \cdot t_{1/2}.$$

उदाहरण के लिए, पोलोनियम -210 की अर्द्ध-आयु 138 दिन और औसत जीवनकाल 200 दिन है।

अवकल समीकरण का हल
घातीय क्षय का वर्णन करने वाला समीकरण है
 * $$\frac{dN}{dt} = -\lambda N$$

या, पुनर्व्यवस्थित करके (वैरिएबल्स के पृथक्करण नामक तकनीक को लागू करके),
 * $$\frac{dN}{N} = -\lambda dt.$$

एकीकृत, हमारे पास है
 * $$\ln N = -\lambda t + C \,$$

जहाँ C समाकलन का स्थिरांक है, और इसलिए
 * $$N(t) = e^C e^{-\lambda t} = N_0 e^{-\lambda t} \,$$

जहां अंतिम प्रतिस्थापन, एन0 = औरC, t = 0 पर समीकरण का N के रूप में मूल्यांकन करके प्राप्त किया जाता है0 t = 0 पर मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया है।

यह समीकरण का वह रूप है जो घातीय क्षय का वर्णन करने के लिए सबसे अधिक उपयोग किया जाता है। कोई भी क्षय स्थिर, औसत जीवनकाल या अर्ध-जीवन क्षय को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त है। क्षय स्थिरांक के लिए संकेतन λ एक आइगेनमान के लिए सामान्य संकेतन का अवशेष है। इस मामले में, λ संबंधित eigenfunction के रूप में एन (टी) के साथ अंतर ऑपरेटर के योगात्मक व्युत्क्रम का eigenvalue है। क्षय स्थिरांक की इकाइयाँ s हैं-1.

औसत जीवनकाल की व्युत्पत्ति
तत्वों की एक असेंबली दी गई है, जिसकी संख्या अंततः शून्य हो जाती है, औसत जीवनकाल, $$\tau$$, (जिसे केवल जीवन भर भी कहा जाता है) किसी वस्तु को असेंबली से हटाए जाने से पहले की मात्रा का अपेक्षित मूल्य है। विशेष रूप से, यदि असेंबली के किसी तत्व का 'व्यक्तिगत जीवनकाल' कुछ संदर्भ समय और असेंबली से उस तत्व को हटाने के बीच का समय है, तो औसत जीवनकाल व्यक्तिगत जीवन काल का अंकगणितीय माध्य है।

जनसंख्या सूत्र से शुरू


 * $$N = N_0 e^{-\lambda t}, \,$$

पहले सी को प्रायिकता घनत्व समारोह में बदलने के लिए सामान्यीकरण कारक होने दें:


 * $$1 = \int_0^\infty c \cdot N_0 e^{-\lambda t}\, dt = c \cdot \frac{N_0}{\lambda}$$

या, पुनर्व्यवस्थित करने पर,


 * $$c = \frac{\lambda}{N_0}.$$

घातीय क्षय घातीय वितरण का एक अदिश गुणन है (अर्थात प्रत्येक वस्तु का व्यक्तिगत जीवनकाल घातीय रूप से वितरित किया जाता है), जिसका एक घातीय वितरण # गुण | प्रसिद्ध अपेक्षित मान है। हम भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके यहां इसकी गणना कर सकते हैं।


 * $$\tau = \langle t \rangle = \int_0^\infty t \cdot c \cdot N_0 e^{-\lambda t}\, dt = \int_0^\infty \lambda t e^{-\lambda t}\, dt = \frac{1}{\lambda}.$$

दो या दो से अधिक प्रक्रियाओं द्वारा क्षय
एक मात्रा एक साथ दो या दो से अधिक विभिन्न प्रक्रियाओं के माध्यम से क्षय हो सकती है। सामान्य तौर पर, इन प्रक्रियाओं (अक्सर क्षय मोड, क्षय चैनल, क्षय मार्ग आदि कहा जाता है) के घटित होने की अलग-अलग संभावनाएँ होती हैं, और इस प्रकार समानांतर में अलग-अलग अर्ध-जीवन के साथ अलग-अलग दरों पर होती हैं। मात्रा N की कुल क्षय दर क्षय मार्गों के योग द्वारा दी गई है; इस प्रकार, दो प्रक्रियाओं के मामले में:


 * $$-\frac{dN(t)}{dt} = N\lambda _1 + N\lambda _2 = (\lambda _1 + \lambda _2)N.$$

इस समीकरण का हल पिछले भाग में दिया गया है, जहाँ का योग है $$\lambda _1 + \lambda _2\,$$ एक नए कुल क्षय स्थिरांक के रूप में माना जाता है $$\lambda _c$$.


 * $$N(t) = N_0 e^{-(\lambda _1 + \lambda _2) t} = N_0 e^{-(\lambda _c) t}.$$

व्यक्तिगत प्रक्रियाओं से जुड़ा आंशिक औसत जीवन परिभाषा के अनुसार संबंधित आंशिक क्षय स्थिरांक का गुणक व्युत्क्रम है: $$\tau = 1/\lambda$$. ए संयुक्त $$\tau_c$$ के रूप में दिया जा सकता है $$\lambda$$एस:


 * $$\frac{1}{\tau_c} = \lambda_c = \lambda_1 + \lambda_2 = \frac{1}{\tau_1} + \frac{1}{\tau_2}$$
 * $$\tau_c = \frac{\tau_1 \tau_2}{\tau_1 + \tau_2}. $$

चूंकि आधा जीवन औसत जीवन से भिन्न होता है $$\tau$$ एक स्थिर कारक द्वारा, समान समीकरण दो संगत अर्ध-जीवन के संदर्भ में होता है:


 * $$T_{1/2} = \frac{t_1 t_2}{t_1 + t_2} $$

कहाँ पे $$T _{1/2}$$ प्रक्रिया के लिए संयुक्त या कुल आधा जीवन है, $$t_1$$ तथा $$t_2$$ संबंधित प्रक्रियाओं के तथाकथित आंशिक आधे जीवन हैं। पद आंशिक अर्ध-जीवन और आंशिक माध्य जीवन एक क्षय स्थिरांक से प्राप्त मात्राओं को दर्शाते हैं जैसे कि दिया गया क्षय मोड मात्रा के लिए एकमात्र क्षय मोड था। आंशिक आधा जीवन शब्द भ्रामक है, क्योंकि इसे एक समय अंतराल के रूप में नहीं मापा जा सकता है जिसके लिए एक निश्चित मात्रा एक आधा है।

अलग-अलग क्षय स्थिरांक के संदर्भ में, कुल आधा जीवन $$T _{1/2}$$ होना दिखाया जा सकता है


 * $$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda _c} = \frac{\ln 2}{\lambda _1 + \lambda _2}.$$

एक साथ तीन घातीय प्रक्रियाओं द्वारा क्षय के लिए कुल अर्ध-जीवन की गणना ऊपर की तरह की जा सकती है:


 * $$T_{1/2} = \frac{\ln 2}{\lambda _c} = \frac{\ln 2}{\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3} = \frac{t_1 t_2 t_3}{(t_1 t_2) + (t_1 t_3) + (t_2 t_3)}.$$

क्षय श्रृंखला / युग्मित क्षय
परमाणु विज्ञान और फार्माकोकाइनेटिक्स में, ब्याज का एजेंट क्षय श्रृंखला में स्थित हो सकता है, जहां संचय एक स्रोत एजेंट के घातीय क्षय द्वारा नियंत्रित होता है, जबकि ब्याज का एजेंट स्वयं घातीय प्रक्रिया के माध्यम से घटता है।

इन प्रणालियों को बेटमैन समीकरण का उपयोग करके हल किया जाता है।

फार्माकोलॉजी सेटिंग में, कुछ अंतर्ग्रहण पदार्थों को एक प्रक्रिया द्वारा शरीर में अवशोषित किया जा सकता है, जो उचित रूप से घातीय क्षय के रूप में तैयार किया जाता है, या जानबूझकर संशोधित-रिलीज़ खुराक हो सकता है ताकि इस तरह की रिलीज़ प्रोफ़ाइल हो।

अनुप्रयोग और उदाहरण
घातीय क्षय विभिन्न प्रकार की स्थितियों में होता है। इनमें से अधिकांश प्राकृतिक विज्ञान के क्षेत्र में आते हैं।

कई क्षय प्रक्रियाएं जिन्हें अक्सर घातांक के रूप में माना जाता है, वास्तव में केवल घातीय होती हैं जब तक नमूना बड़ा होता है और बड़ी संख्या का नियम लागू होता है। छोटे नमूनों के लिए, एक अधिक सामान्य विश्लेषण आवश्यक है, एक प्वासों प्रक्रिया के लिए लेखांकन।

प्राकृतिक विज्ञान

 * रासायनिक प्रतिक्रियाएँ: कुछ प्रकार की रासायनिक प्रतिक्रियाओं की प्रतिक्रिया दर एक या दूसरे अभिकारक की सांद्रता पर निर्भर करती है। ऐसी प्रतिक्रियाएँ जिनकी दर केवल एक अभिकारक की सांद्रता पर निर्भर करती है (जिसे दर समीकरण # प्रथम-क्रम प्रतिक्रियाएँ | प्रथम-क्रम प्रतिक्रियाएँ कहा जाता है) फलस्वरूप घातीय क्षय का पालन करती हैं। उदाहरण के लिए, कई एंजाइम-उत्प्रेरण प्रतिक्रियाएं इस तरह से व्यवहार करती हैं।
 * इलेक्ट्रोस्टाटिक्स: कैपेसिटर (कैपेसिटेंस C) में समाहित आवेश (या, समतुल्य, विद्युतीय संभाव्यता) तेजी से बदलता है, अगर कैपेसिटर एक निरंतर बाहरी इलेक्ट्रिक लोड (रेसिस्टेंस R) का अनुभव करता है। प्रक्रिया के लिए घातीय समय-स्थिर τ आर सी है, और आधा जीवन इसलिए आर सी ln2 है। यह चार्जिंग और डिस्चार्जिंग दोनों पर लागू होता है, यानी एक कैपेसिटर एक ही कानून के अनुसार चार्ज या डिस्चार्ज होता है। एक प्रारंभ करनेवाला में वर्तमान में समान समीकरण लागू किए जा सकते हैं। (इसके अलावा, एक संधारित्र या प्रारंभ करनेवाला का विशेष मामला कई श्रृंखला और समानांतर सर्किट के माध्यम से बदल रहा है # समानांतर सर्किट प्रतिरोधक कई क्षय प्रक्रियाओं का एक दिलचस्प उदाहरण बनाता है, प्रत्येक प्रतिरोधक एक अलग प्रक्रिया का प्रतिनिधित्व करता है। वास्तव में, रोकनेवाला # श्रृंखला और के लिए अभिव्यक्ति समांतर दर्पणों में दो प्रतिरोधकों के समांतर सर्किट दो क्षय प्रक्रियाओं के साथ अर्ध-जीवन के समीकरण।)
 * भूभौतिकी: वायुमंडलीय दबाव लगभग 12% प्रति 1000 मीटर की दर से समुद्र तल से ऊंचाई बढ़ने के साथ लगभग घातीय रूप से घटता है।
 * गर्मी का हस्तांतरण: यदि एक तापमान पर कोई वस्तु दूसरे तापमान के माध्यम के संपर्क में आती है, तो वस्तु और माध्यम के बीच तापमान का अंतर घातीय क्षय (धीमी प्रक्रियाओं की सीमा में; वस्तु के अंदर अच्छी गर्मी चालन के बराबर) के बाद होता है, ताकि इसका तापमान इसकी मात्रा के माध्यम से अपेक्षाकृत समान रहता है)। न्यूटन के शीतलन के नियम को भी देखें।
 * चमक: उत्तेजना के बाद, उत्सर्जन की तीव्रता - जो उत्तेजित परमाणुओं या अणुओं की संख्या के समानुपाती होती है - ल्यूमिनेसेंट सामग्री का तेजी से क्षय होता है। शामिल तंत्रों की संख्या के आधार पर, क्षय मोनो- या बहु-घातीय हो सकता है।
 * औषध और ज़हरज्ञान: यह पाया गया है कि कई प्रशासित पदार्थों को घातीय क्षय पैटर्न के अनुसार वितरित और चयापचय किया जाता है ('क्लीयरेंस (दवा)' देखें)। किसी पदार्थ का जैविक आधा जीवन | जैविक आधा जीवन अल्फा आधा जीवन और बीटा आधा जीवन मापता है कि पदार्थ कितनी जल्दी वितरित और समाप्त हो जाता है।
 * भौतिक प्रकाशिकी: एक शोषक माध्यम में प्रकाश या एक्स-रे या गामा किरणों जैसे विद्युत चुम्बकीय विकिरण की तीव्रता, अवशोषित माध्यम में दूरी के साथ एक घातीय कमी का अनुसरण करती है। इसे [[बीयर-Lambert]] कानून के रूप में जाना जाता है।
 * रेडियोधर्मिता: एक रेडियोन्यूक्लाइड के एक नमूने में जो एक अलग राज्य में रेडियोधर्मी क्षय से गुजरता है, मूल अवस्था में परमाणुओं की संख्या घातीय क्षय के बाद होती है जब तक कि परमाणुओं की शेष संख्या बड़ी होती है। क्षय उत्पाद को रेडियम-धर्मी न्यूक्लाइड कहा जाता है।
 * थर्मोइलेक्ट्रिसिटी: तापमान बढ़ने पर एक नकारात्मक तापमान गुणांक thermistor के प्रतिरोध में गिरावट।
 * कंपन: कुछ कंपन तेजी से क्षय हो सकते हैं; यह विशेषता अक्सर लयबद्ध दोलक में पाई जाती है, और सिंथेसाइज़र # साउंड बेसिक्स में ADSR लिफाफे बनाने में उपयोग की जाती है। एक अतिसंक्रमित प्रणाली बस एक घातीय क्षय के माध्यम से संतुलन में वापस आ जाएगी।
 * बीयर फ्रॉथ: म्यूनिख के म्यूनिख के लुडविग मैक्सिमिलियन विश्वविद्यालय लेइक ने यह प्रदर्शित करने के लिए आईजी नोबेल पुरस्कार विजेताओं की सूची जीती कि बीयर फ्रॉथ घातीय क्षय के कानून का पालन करता है।

सामाजिक विज्ञान

 * वित्त: एक सेवानिवृत्ति निधि तेजी से क्षय हो जाएगी, असतत भुगतान राशि के अधीन, आमतौर पर मासिक, और एक निरंतर ब्याज दर के अधीन एक इनपुट। डिफरेंशियल इक्वेशन dA/dt = इनपुट - आउटपुट को फंड में बची हुई किसी भी राशि A तक पहुंचने के लिए समय निकालने के लिए लिखा और हल किया जा सकता है।
 * सरल glotchronology में, (विवाद योग्य) भाषाओं में निरंतर क्षय दर की धारणा एक भाषा की आयु का अनुमान लगाने की अनुमति देती है। ("दो" भाषाओं के बीच विभाजन के समय की गणना करने के लिए अतिरिक्त अनुमानों की आवश्यकता होती है, घातीय क्षय से स्वतंत्र)।

कंप्यूटर विज्ञान

 * इंटरनेट पर कोर रूटिंग, बीजीपी, को उन रास्तों को याद रखने के लिए एक रूटिंग टेबल बनाए रखना पड़ता है जिससे एक पैकेट (सूचना प्रौद्योगिकी) विचलित हो सकता है। जब इनमें से एक पथ बार-बार अपनी स्थिति को उपलब्ध से उपलब्ध नहीं (और विपरीत) में बदलता है, तो उस पथ को नियंत्रित करने वाले बीजीपी राउटर (कंप्यूटिंग) को बार-बार पथ रिकॉर्ड को जोड़ना और हटाना पड़ता है इसकी मर्गदर्शक सारणी (फ्लैप्स पाथ) से, इस प्रकार सी पी यू और यादृच्छिक अभिगम स्मृति जैसे स्थानीय संसाधनों को खर्च करना और इससे भी अधिक, पीयर राउटर्स को बेकार जानकारी प्रसारित करना। इस अवांछित व्यवहार को रोकने के लिए, रूट फ्लैपिंग डैम्पिंग नाम का एक एल्गोरिद्म प्रत्येक रूट को एक भार प्रदान करता है जो हर बार जब रूट अपनी स्थिति बदलता है और समय के साथ तेजी से घटता है तो बड़ा हो जाता है। जब वजन एक निश्चित सीमा तक पहुंच जाता है, तो अधिक फड़फड़ाहट नहीं की जाती है, इस प्रकार मार्ग को दबा दिया जाता है।

यह भी देखें

 * घातीय सूत्र
 * घातीय वृद्धि
 * अलग-अलग स्थिरांक वाली घातीय प्रक्रियाओं की श्रृंखलाओं के गणित के लिए रेडियोधर्मी क्षय

संदर्भ




बाहरी संबंध

 * Exponential decay calculator
 * A stochastic simulation of exponential decay
 * Tutorial on time constants