पूर्णांक

पूर्णांक का अर्थ लैटिन भाषा में "संपूर्ण" होता है एवं सामान्य बोलचाल की भाषा में संख्या से परिभाषित किया जाता है और जिसे भिन्नात्मक घटक के बिना लिखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, 21, 4, 0 और −2048 पूर्णांक हैं, जबकि 9.75, 5+1/2 और √2 नहीं हैं।

पूर्णांकों के समुच्चय में शून्य (0) धनात्मक प्राकृत संख्याएँ (1, 2, 3, ...), जिसे पूर्ण संख्याएं या गिनती संख्याएं भी कहा जाता है, और उनके योगात्मक प्रतिलोम (ऋणात्मक पूर्णांक, अर्थात, -1, −2, −3, . . .) पूर्णांकों समुच्चय को प्रायः बोल्डफेस ($Z$) या ब्लैकबोर्ड बोल्ड $$(\mathbb{Z})$$ द्वारा दर्शाया जाता है, अक्षर "Z" को मूल रूप से जर्मन शब्द ज़हलेन ("संख्या") लिया गया है।

सभी $$\mathbb{Z}$$ परिमेय संख्याओं के (सेट) का उपसमुच्चय $$\mathbb{Q}$$ होता है, जो कि वास्तविक संख्याओं का उपसमुच्चय $$\mathbb{R}$$ है। प्राकृतिक संख्याओं की तरह ही $$\mathbb{Z}$$ की गणना भी अनंत है।

पूर्णांक प्राकृतिक संख्याओं का सबसे छोटा समूह और सबसे छोटा वृत्त बनाते हैं बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, पूर्णांक कभी -कभी परिमेय पूर्णांक के रूप में योग्य होते हैं ताकि उन्हें अधिक सामान्य बीजगणितीय पूर्णांक से अलग किया जा सके। वास्तव में, (परिमेय) पूर्णांक बीजीय पूर्णांक होते हैं जो कि परिमेय संख्याएँ भी होते हैं।

चिन्ह
$$\mathbb{Z}$$ अलग-अलग लेखकों के द्वारा Z चिन्ह को विभिन्न समुच्चय में दर्शाया एवं उपयोग में लाया जाता है: $$\mathbb{Z}^+$$,$$\mathbb{Z}_+$$ या $$\mathbb{Z}^{>}$$धनात्मक पूर्णांकों के लिए, $$\mathbb{Z}^{0+}$$ या $$\mathbb{Z}^{\geq}$$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए, और $$\mathbb{Z}^{\neq}$$ गैर-शून्य पूर्णांक के लिए है। कुछ लेखक गैर-शून्य पूर्णांक के लिए $$\mathbb{Z}^{*}$$उपयोग करते हैं, जबकि अन्य इसे गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए, या${–1, 1}$ के लिए उपयोग करते हैं। इसके अतिरिक्त, $$\mathbb{Z}_{p}$$ पूर्णांक मोडुलो के सेट को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है $p$(यानी, पूर्णांक की बधाई वर्गों का सेट), या पी-एडिक पूर्णांक का सेट |$p$- पूर्णांक हैं।

बीजीय गुण
प्राकृतिक संख्याओं की तरह ही, $$\mathbb{Z}$$ जोड़ और गुणा के संक्रिया के अधीन समाप्ति है।

प्राकृतिक संख्याओं की तरह, $$\mathbb{Z}$$ जोड़ और गुणन के संचालन के तहत बंद है, यानी कि किन्हीं दो पूर्णांकों का योग और गुणनफल एक पूर्णांक होता है। हालांकि, हालांकि, ऋणात्मक प्राकृतिक संख्याओं को शामिल करने के साथ (और महत्वपूर्ण रूप से, & nbsp;), $$\mathbb{Z}$$, प्राकृतिक संख्याओं के विपरीत, घटाव के तहत भी बंद है।

पूर्णांक एक यूनिटल रिंग बनाते हैं जो निम्नलिखित अर्थों में सबसे बुनियादी है: किसी भी यूनिटल रिंग के लिए, इस रिंग में पूर्णांक से एक अद्वितीय रिंग होमोमोर्फिज्म है।यह सार्वभौमिक संपत्ति, अर्थात् छल्ले की श्रेणी में एक प्रारंभिक वस्तु होने के लिए, अंगूठी & nbsp की विशेषता है;$$\mathbb{Z}$$।

$$\mathbb{Z}$$ विभाजन के तहत बंद नहीं है, क्योंकि दो पूर्णांक (जैसे, & nbsp; 1 से विभाजित & nbsp; 2) के भागफल को पूर्णांक की आवश्यकता नहीं है।यद्यपि प्राकृतिक संख्याओं को घातांक के तहत बंद कर दिया जाता है, पूर्णांक नहीं होते हैं (चूंकि परिणाम एक अंश हो सकता है जब घातांक नकारात्मक होता है)।

निम्न तालिका किसी भी पूर्णांक के लिए जोड़ और गुणन के कुछ मूल गुणों को सूचीबद्ध करती है $a$, $b$ तथा $c$: इसके अलावा ऊपर सूचीबद्ध पहले पांच संपत्तियों का कहना है कि $$\mathbb{Z}$$इसके अलावा, एक एबेलियन समूह है।यह एक चक्रीय समूह भी है, क्योंकि प्रत्येक गैर-शून्य पूर्णांक को एक परिमित राशि के रूप में लिखा जा सकता है 1 + 1 + ... + 1 या (−1) + (−1) + ... + (−1)।वास्तव में, $$\mathbb{Z}$$ इसके अलावा एकमात्र अनंत चक्रीय समूह है - इस अर्थ में कि कोई भी अनंत चक्रीय समूह आइसोमोर्फिक है $$\mathbb{Z}$$।

गुणन के लिए ऊपर सूचीबद्ध पहले चार गुण कहते हैं कि $$\mathbb{Z}$$ गुणन के तहत एक कम्यूटेटिव मोनोइड है।हालांकि, प्रत्येक पूर्णांक में एक गुणात्मक व्युत्क्रम नहीं होता है (जैसा कि संख्या 2 का मामला है), जिसका अर्थ है कि $$\mathbb{Z}$$ गुणन के तहत एक समूह नहीं है।

उपरोक्त संपत्ति तालिका से सभी नियम (अंतिम को छोड़कर), जब एक साथ लिया जाता है, तो कहें $$\mathbb{Z}$$ साथ में जोड़ और गुणन एकता के साथ एक कम्यूटेटिव रिंग है।यह इस तरह की बीजीय संरचना की सभी वस्तुओं का प्रोटोटाइप है।अभिव्यक्तियों के केवल उन समानताएं & nbsp में सत्य हैं;$$\mathbb{Z}$$ चर के सभी मूल्यों के लिए, जो किसी भी यूनिटल कम्यूटेटिव रिंग में सच हैं।कुछ गैर-शून्य पूर्णांक कुछ रिंगों में शून्य तक मैप करते हैं।

पूर्णांक (तालिका में अंतिम संपत्ति) में शून्य विभाजकों की कमी का मतलब है कि कम्यूटेटिव रिंग & nbsp;$$\mathbb{Z}$$ एक अभिन्न डोमेन है।

गुणक व्युत्क्रमों की कमी, जो इस तथ्य के बराबर है $$\mathbb{Z}$$ विभाजन के तहत बंद नहीं है, इसका मतलब है कि $$\mathbb{Z}$$ एक क्षेत्र नहीं है।सबरिंग के रूप में पूर्णांक युक्त सबसे छोटा क्षेत्र तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र है।पूर्णांक से तर्कसंगतों के निर्माण की प्रक्रिया को किसी भी अभिन्न डोमेन के अंशों के क्षेत्र को बनाने के लिए नकल की जा सकती है।और वापस, एक बीजीय संख्या क्षेत्र (तर्कसंगत संख्याओं का एक विस्तार) से शुरू होने पर, पूर्णांक की रिंग को निकाला जा सकता है, जिसमें शामिल हैं $$\mathbb{Z}$$ इसके सबरिंग के रूप में।

हालांकि साधारण विभाजन को परिभाषित नहीं किया गया है $$\mathbb{Z}$$, शेष के साथ विभाजन को उन पर परिभाषित किया गया है।इसे यूक्लिडियन डिवीजन कहा जाता है, और निम्नलिखित महत्वपूर्ण संपत्ति है: दो पूर्णांक को देखते हुए $a + b$ तथा $a × b$ साथ $a + (b + c) = (a + b) + c$, अद्वितीय पूर्णांक मौजूद हैं $a × (b × c) = (a × b) × c$ तथा $a + b = b + a$ ऐसा है कि $a × b = b × a$ और {गणित | 0 ≤ r <  |b|}}, कहाँ पे $a + 0 = a$ के निरपेक्ष मूल्य को दर्शाता है  {गणित | b}}पूर्णांक $a × 1 = a$ भागफल कहा जाता है और $a + (−a) = 0$ के विभाजन के शेष को कहा जाता है $−1$ द्वारा $1$।ग्रेटेस्ट कॉमन डिवीर्सर्स की गणना करने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म यूक्लिडियन डिवीजनों के अनुक्रम द्वारा काम करता है।

उपरोक्त कहता है कि $$\mathbb{Z}$$ एक यूक्लिडियन डोमेन है।यह बताता है कि $$\mathbb{Z}$$ एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, और किसी भी सकारात्मक पूर्णांक को अनिवार्य रूप से अद्वितीय तरीके से primes के उत्पादों के रूप में लिखा जा सकता है। यह अंकगणित का मौलिक प्रमेय है।

आदेश-सिद्धांत गुण
$$\mathbb{Z}$$ ऊपरी या निचले बाउंड के बिना एक पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट है।का आदेश $$\mathbb{Z}$$ द्वारा दिया गया है: $a × (b + c) = (a × b) + (a × c)$ एक पूर्णांक सकारात्मक है यदि यह 0 से अधिक है | शून्य, और नकारात्मक अगर यह शून्य से कम है।शून्य को न तो नकारात्मक और न ही सकारात्मक के रूप में परिभाषित किया गया है।

पूर्णांक का आदेश निम्नलिखित तरीके से बीजगणितीय संचालन के साथ संगत है:
 * 1) यदि $(a + b) × c = (a × c) + (b × c)$ तथा $a × b = 0$, फिर $a = 0$
 * 2) यदि $b = 0$ तथा $a$, फिर $b$।

इस प्रकार यह इस प्रकार है $$\mathbb{Z}$$ उपरोक्त आदेश के साथ मिलकर एक आदेशित अंगूठी है।

पूर्णांक एकमात्र nontrivial पूरी तरह से ऑर्डर किए गए एबेलियन समूह हैं जिनके सकारात्मक तत्व अच्छी तरह से आदेश दिए गए हैं। यह इस कथन के बराबर है कि कोई भी नोरथियन वैल्यूएशन रिंग या तो एक क्षेत्र है - या एक असतत मूल्यांकन की अंगूठी।

निर्माण
लाल अंक प्राकृतिक संख्याओं के जोड़े का प्रतिनिधित्व करते हैं।लिंक्ड रेड पॉइंट लाइन के अंत में नीले रंग के पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करने वाले समानता वर्ग हैं। प्राथमिक विद्यालय शिक्षण में, पूर्णांक को अक्सर सहज रूप से (सकारात्मक) प्राकृतिक संख्या, शून्य और प्राकृतिक संख्याओं की उपेक्षा के रूप में परिभाषित किया जाता है।हालांकि, परिभाषा की यह शैली कई अलग -अलग मामलों की ओर ले जाती है (प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन को पूर्णांक के प्रकार के प्रत्येक संयोजन पर परिभाषित किया जाना चाहिए) और यह साबित करने के लिए थकाऊ बनाता है कि पूर्णांक अंकगणित के विभिन्न नियमों का पालन करते हैं। इसलिए, आधुनिक सेट-सिद्धांत गणित में, एक अधिक अमूर्त निर्माण किसी भी मामले के बिना अंकगणितीय संचालन को परिभाषित करने के लिए एक की अनुमति देना अक्सर इसके बजाय उपयोग किया जाता है। पूर्णांक को औपचारिक रूप से प्राकृतिक संख्याओं के आदेशित जोड़े के तुल्यता वर्गों के रूप में औपचारिक रूप से बनाया जा सकता है $b ≠ 0$.

अंतर्ज्ञान वह है $q$ घटाने के परिणाम के लिए खड़ा है $r$ से $a = q × b + r$. हमारी उम्मीद की पुष्टि करने के लिए 1 − 2 तथा 4 − 5 उसी संख्या को दर्शाते हैं, हम एक समानता संबंध को परिभाषित करते हैं $|b|$ निम्नलिखित नियम के साथ इन जोड़े पर:
 * $$(a,b) \sim (c,d) $$

ठीक से
 * $$a + d = b + c. $$

पूर्णांक के जोड़ और गुणन को प्राकृतिक संख्याओं पर समकक्ष संचालन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है; का उपयोग करके $q$ समतुल्यता वर्ग को निरूपित करने के लिए $r$ एक सदस्य के रूप में, एक के पास है:
 * $$[(a,b)] + [(c,d)] := [(a+c,b+d)].$$
 * $$[(a,b)]\cdot[(c,d)] := [(ac+bd,ad+bc)].$$

एक पूर्णांक की नकार (या योज्य उलटा) जोड़ी के क्रम को उलटकर प्राप्त किया जाता है:
 * $$-[(a,b)] := [(b,a)].$$

इसलिए घटाव को योज्य उलटा के अलावा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$[(a,b)] - [(c,d)] := [(a+d,b+c)].$$

पूर्णांक पर मानक आदेश द्वारा दिया गया है:
 * $$[(a,b)] < [(c,d)]$$ अगर और केवल अगर $$a+d < b+c.$$

यह आसानी से सत्यापित किया जाता है कि ये परिभाषाएँ तुल्यता वर्गों के प्रतिनिधियों की पसंद से स्वतंत्र हैं।

प्रत्येक तुल्यता वर्ग में एक अनूठा सदस्य होता है जो प्रपत्र का होता है $a$ या $b$ (या दोनों एक साथ)।प्राकृतिक संख्या $
 * ... −3 < −2 < −1 < 0 < 1 < 2 < 3 < ...$ कक्षा के साथ पहचाना जाता है $a < b$ (यानी, प्राकृतिक संख्याएं ईएमबी हैंएडिंग | मैप भेजने से पूर्णांक में एम्बेडेड $c < d$ प्रति $a + c < b + d$), और वर्ग $a < b$ निरूपित है $0 < c$ (यह सभी शेष वर्गों को कवर करता है, और कक्षा देता है $ac < bc$ एक दूसरी बार $(a,b)$

इस प्रकार, {गणित | [(ए, बी)]}} द्वारा निरूपित किया गया है
 * $$\begin{cases} a - b, & \mbox{if } a \ge b  \\ -(b - a),  & \mbox{if } a < b. \end{cases}$$

यदि प्राकृतिक संख्याओं को संबंधित पूर्णांक (ऊपर उल्लिखित एम्बेडिंग का उपयोग करके) के साथ पहचाना जाता है, तो यह सम्मेलन कोई अस्पष्टता नहीं बनाता है।

यह संकेतन पूर्णांक के परिचित प्रतिनिधित्व को ठीक करता है $(a,b)$।

कुछ उदाहरण निम्न हैं:
 * $$\begin{align}

0 &= [(0,0)] &= [(1,1)] &= \cdots & &= [(k,k)] \\ 1 &= [(1,0)] &= [(2,1)] &= \cdots & &= [(k+1,k)] \\ -1 &= [(0,1)] &= [(1,2)] &= \cdots & &= [(k,k+1)] \\ 2 &= [(2,0)] &= [(3,1)] &= \cdots & &= [(k+2,k)] \\ -2 &= [(0,2)] &= [(1,3)] &= \cdots & &= [(k,k+2)]. \end{align}$$ सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में, पूर्णांक के निर्माण के लिए अन्य दृष्टिकोणों का उपयोग स्वचालित प्रमेय समर्थकों और शब्द पुनर्लेखन इंजन द्वारा किया जाता है। पूर्णांक को कुछ बुनियादी संचालन (जैसे, शून्य, succ, pred) और संभवतः, प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग करके निर्मित बीजगणितीय शब्दों के रूप में दर्शाया जाता है, जो कि पहले से ही निर्मित होने के लिए माना जाता है (मीनो दृष्टिकोण का उपयोग करके)।

हस्ताक्षरित पूर्णांक के कम से कम दस ऐसे निर्माण मौजूद हैं। ये निर्माण कई तरीकों से भिन्न होते हैं: निर्माण के लिए उपयोग किए जाने वाले बुनियादी संचालन की संख्या, संख्या (आमतौर पर, 0 और 2 के बीच) और इन कार्यों द्वारा स्वीकार किए गए तर्कों के प्रकार;इन कार्यों में से कुछ के तर्क के रूप में प्राकृतिक संख्याओं की उपस्थिति या अनुपस्थिति, और यह तथ्य कि ये ऑपरेशन मुक्त निर्माणकर्ता हैं या नहीं, अर्थात्, एक ही पूर्णांक को केवल एक या कई बीजगणितीय शब्दों का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है।

इस खंड में ऊपर प्रस्तुत किए गए पूर्णांक के निर्माण की तकनीक उस विशेष मामले से मेल खाती है जहां एक एकल बुनियादी ऑपरेशन जोड़ी है$$(x,y)$$ यह दो प्राकृतिक संख्याओं के तर्क के रूप में लेता है $$x$$ तथा $$y$$, और एक पूर्णांक (के बराबर) देता है $$x-y$$)।यह ऑपरेशन मुक्त नहीं है क्योंकि पूर्णांक 0 को जोड़ी (0,0), या जोड़ी (1,1), या जोड़ी (2,2), आदि लिखी जा सकती है, निर्माण की इस तकनीक का उपयोग प्रमाण सहायक इसाबेल द्वारा किया जाता है;हालांकि, कई अन्य उपकरण वैकल्पिक निर्माण तकनीकों का उपयोग करते हैं, जो मुक्त निर्माणकर्ताओं के आधार पर उल्लेखनीय हैं, जो सरल हैं और कंप्यूटर में अधिक कुशलता से लागू किए जा सकते हैं।

कंप्यूटर विज्ञान
एक पूर्णांक अक्सर कंप्यूटर भाषाओं में एक आदिम डेटा प्रकार होता है।हालांकि, पूर्णांक डेटा प्रकार केवल सभी पूर्णांक के एक सबसेट का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, क्योंकि व्यावहारिक कंप्यूटर परिमित क्षमता के होते हैं।इसके अलावा, आम दो के पूरक प्रतिनिधित्व में, संकेत की अंतर्निहित परिभाषा नकारात्मक, सकारात्मक और & nbsp; 0 के बजाय नकारात्मक और गैर-नकारात्मक के बीच अंतर करती है।(हालांकि, यह निश्चित रूप से एक कंप्यूटर के लिए यह निर्धारित करने के लिए संभव है कि एक पूर्णांक मूल्य वास्तव में सकारात्मक है।) निश्चित लंबाई पूर्णांक सन्निकटन डेटा प्रकार (या सबसेट) कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में int या पूर्णांक को निरूपित किया जाता है (जैसे कि [[ Algol68  ]], C, Java,डेल्फी, आदि)।

पूर्णांक के परिवर्तनीय-लंबाई का प्रतिनिधित्व, जैसे कि बिग्नम, कंप्यूटर की मेमोरी में फिट होने वाले किसी भी पूर्णांक को संग्रहीत कर सकता है।अन्य पूर्णांक डेटा प्रकारों को एक निश्चित आकार के साथ लागू किया जाता है, आमतौर पर कई बिट्स जो & nbsp; 2 (4, 8, 16, आदि) या दशमलव अंकों की एक यादगार संख्या (जैसे, 9 या & nbsp; 10) की एक शक्ति है।

कार्डिनलिटी
पूर्णांक के सेट की कार्डिनलिटी के बराबर है $b$ (अलेफ-नल)।यह आसानी से एक बायसेक्शन के निर्माण द्वारा प्रदर्शित किया जाता है, अर्थात, एक फ़ंक्शन जो इंजेक्टिव और सर्जिकल होता है $$\mathbb{Z}$$ प्रति $$\mathbb{N}= \{0, 1, 2, ...\}.$$ इस तरह के एक समारोह को परिभाषित किया जा सकता है
 * $$f(x) = \begin{cases} -2x, & \mbox{if } x \leq 0\\ 2x-1, & \mbox{if }  x > 0, \end{cases} $$

ग्राफ के साथ (जोड़े का सेट) $$(x, f(x))$$ है



इसका उलटा फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\begin{cases}g(2x) = -x\\g(2x-1)=x, \end{cases} $$

ग्राफ के साथ

यह भी देखें

 * एक सकारात्मक पूर्णांक का विहित कारक
 * हाइपरइन्टेगर
 * पूर्णांक जटिलता
 * पूर्णांक जाली
 * पूर्णांक भाग
 * पूर्णांक अनुक्रम
 * पूर्णांक-मूल्यवान कार्य
 * गणितीय प्रतीक
 * समता (गणित)
 * PROFINITE INTEGER

स्रोत

 * बेल, ई.टी., गणित के पुरुष।न्यूयॉर्क: साइमन एंड शूस्टर, 1986. (हार्डकवर; ISBN 0-671-46400-0)/(पेपरबैक; ISBN 0-671-62818-6)
 * हर्स्टीन, आई.एन., बीजगणित में विषय, विली;2 संस्करण (20 जून, 1975), ISBN 0-471-01090-1।
 * मैक लेन, सॉन्डर्स, और गैरेट बिरखॉफ;बीजगणित, अमेरिकी गणितीय सोसायटी;तीसरा संस्करण (1999)। ISBN 0-8218-1646-2।

बाहरी संबंध

 * The Positive Integers – divisor tables and numeral representation tools
 * On-Line Encyclopedia of Integer Sequences cf OEIS
 * On-Line Encyclopedia of Integer Sequences cf OEIS

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