डिफियोमोर्फिज्म

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गणित में डिफेओमोर्फिज्म चिकने मैनिफोल्ड्स का  समाकृतिकता है। यह   व्युत्क्रम फ़ंक्शन (गणित) है जो   अलग-अलग कई गुना मैप करता है जैसे कि फ़ंक्शन और इसके व्युत्क्रम फ़ंक्शन दोनों अलग-अलग होते हैं।



परिभाषा
दो गुण दिए गए हैं $$M$$ और $$N$$,  अवकलनीय मैनिफोल्ड विभेदक फलन मानचित्र (गणित) $$f \colon M \rightarrow N $$ यदि यह   आक्षेप और इसका व्युत्क्रम है, तो इसे डिफियोमोर्फिज्म कहा जाता है $$f^{-1} \colon N \rightarrow M$$ अवकलनीय भी है। यदि ये कार्य हैं $$r$$ समय लगातार अलग-अलग, $$f$$ ए कहा जाता है $$C^r$$-विरूपण।

दो कई गुना $$M$$ और $$N$$ डिफियोमॉर्फिक हैं (आमतौर पर निरूपित $$M \simeq N$$) अगर कोई भिन्नता है $$f$$ से $$M$$ को $$N$$. वे हैं $$C^r$$-डिफियोमॉर्फिक अगर कोई है $$ r $$ उनके बीच बार लगातार अलग-अलग विशेषण मानचित्र जिसका व्युत्क्रम भी है $$r$$ बार लगातार अलग-अलग।

मैनिफोल्ड्स के सबसेट का डिफियोमोर्फिज्म
उपसमुच्चय दिया $$X$$ कई गुना $$M$$ और  उपसमुच्चय $$Y$$ कई गुना $$N$$,   समारोह $$f:X\to Y$$ कहा जाता है कि अगर सभी के लिए चिकना हो $$p$$ में $$X$$   पड़ोस है (गणित) $$U\subset M$$ का $$p$$ और   चिकना कार्य $$g:U\to N$$ ऐसा है कि प्रतिबंध (गणित) सहमत हैं: $$g_{|U \cap X} = f_{|U \cap X}$$ (ध्यान दें कि $$g$$ का विस्तार है $$f$$). कार्यक्रम $$f$$ यदि यह विशेषण, चिकना है और इसका व्युत्क्रम चिकना है, तो इसे  भिन्नता कहा जाता है।

स्थानीय विवरण
यदि $$U$$, $$V$$ जुड़ा हुआ स्थान का खुला सेट हैं $$\R^n$$ ऐसा है कि $$V$$ बस जुड़ा हुआ है,  यौगिक मैप $$f:U\to V$$ यदि यह उचित मानचित्र है और यदि पुशफॉरवर्ड (अंतर) है तो यह   भिन्नता है $$Df_x:\R^n\to\R^n$$ प्रत्येक बिंदु पर विशेषण (और इसलिए   रैखिक समरूपता ) है $$x$$ में $$U$$.
 * हैडमार्ड-कैसिओपोली प्रमेय

 के लिए अति आवश्यक है $$V$$ समारोह के लिए बस जुड़े रहने के लिए $$f$$ विश्व स्तर पर उलटा होना ( मात्र शर्त के तहत कि इसका व्युत्पन्न प्रत्येक बिंदु पर  विशेषण मानचित्र हो)। उदाहरण के लिए, जटिल संख्या स्क्वायर फ़ंक्शन की प्राप्ति पर विचार करें
 * पहली टिप्पणी
 * $$\begin{cases}

f : \R^2 \setminus \{(0,0)\} \to \R^2 \setminus \{(0,0)\} \\ (x,y)\mapsto(x^2-y^2,2xy). \end{cases}$$ फिर $$f$$ विशेषण है और यह संतुष्ट करता है
 * $$\det Df_x = 4(x^2+y^2) \neq 0.$$ इस प्रकार, यद्यपि $$Df_x$$ प्रत्येक बिंदु पर विशेषण है, $$f$$ व्युत्क्रमणीय नहीं है क्योंकि यह अंतःक्षेपी होने में विफल रहता है (उदा. $$f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)$$).



 बिंदु पर अंतर के बाद से ( अलग समारोह के लिए)
 * दूसरी टिप्पणी
 * $$Df_x : T_xU \to T_{f(x)}V$$  रैखिक नक्शा है, इसमें   अच्छी तरह से परिभाषित उलटा है अगर और केवल अगर $$Df_x$$   आपत्ति है। मैट्रिक्स (गणित) का प्रतिनिधित्व $$Df_x$$ है $$n\times n$$ प्रथम-क्रम आंशिक डेरिवेटिव का मैट्रिक्स जिसकी प्रविष्टि में $$i$$-वीं पंक्ति और $$j$$-वाँ स्तंभ है $$\partial f_i / \partial x_j$$. यह तथाकथित जैकबियन मैट्रिक्स अक्सर स्पष्ट संगणनाओं के लिए उपयोग किया जाता है।



 डिफियोमोर्फिज्म अनिवार्य रूप से  ही आयाम के कई गुना के बीच होते हैं। कल्पना करना $$f$$ आयाम से जा रहा है $$n$$ आयाम के लिए $$k$$. यदि $$nk$$ तब $$Df_x$$ इंजेक्शन कभी नहीं हो सकता। इसलिए, दोनों ही मामलों में $$Df_x$$  आपत्ति होने में विफल रहता है। यदि $$Df_x$$ पर आपत्ति है $$x$$ तब $$f$$  स्थानीय भिन्नता कहा जाता है (चूंकि, निरंतरता से, $$Df_y$$ भी सभी के लिए विशेषण होगा $$y$$ काफी करीब $$x$$). आयाम से  सहज नक्शा दिया $$n$$ आयाम के लिए $$k$$, यदि $$Df$$ (या, स्थानीय रूप से, $$Df_x$$) विशेषण है, $$f$$   जलमग्न (गणित) (या, स्थानीय रूप से,   स्थानीय जलमग्न) कहा जाता है; और अगर $$Df$$ (या, स्थानीय रूप से, $$Df_x$$) इंजेक्शन है, $$f$$   विसर्जन (गणित) (या, स्थानीय रूप से,   स्थानीय विसर्जन) कहा जाता है। अलग-अलग आक्षेप जरूरी नहीं कि  भिन्नता है। $$f(x)=x^3$$, उदाहरण के लिए, से   भिन्नता नहीं है $$\R$$ क्योंकि इसका व्युत्पन्न 0 पर लुप्त हो जाता है (और इसलिए इसका व्युत्क्रम 0 पर अवकलनीय नहीं है)। यह होमियोमोर्फिज्म का   उदाहरण है जो डिफियोमोर्फिज्म नहीं है। कब $$f$$ डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स के बीच  मैप है,   डिफियोमॉर्फिक $$f$$ होमियोमॉर्फिक की तुलना में   मजबूत स्थिति है $$f$$. डिफियोमोर्फिज्म के लिए, $$f$$ और इसके व्युत्क्रम को डिफरेंशियल मैनिफोल्ड डिफरेंशियल फंक्शन होना चाहिए; होमियोमोर्फिज्म के लिए, $$f$$ और इसके व्युत्क्रम को केवल निरंतर कार्य होना चाहिए। प्रत्येक भिन्नता  होमियोमोर्फिज्म है, लेकिन प्रत्येक होमियोमोर्फिज्म   भिन्नता नहीं है।
 * तीसरी टिप्पणी
 * चौथी टिप्पणी
 * पांचवीं टिप्पणी
 * छठी टिप्पणी
 * सातवीं टिप्पणी

$$f:M\to N$$ डिफियोमोर्फिज्म कहा जाता है, यदि मैनिफोल्ड डिफरेंशिएबल मैनिफोल्ड्स में, यह उपरोक्त परिभाषा को पूरा करता है। अधिक सटीक: का कोई भी कवर चुनें $$M$$ संगत मैनिफोल्ड द्वारा # अलग-अलग मैनिफोल्ड और इसके लिए भी ऐसा ही करें $$N$$. होने देना $$\phi$$ और $$\psi$$ क्रमशः चार्ट बनें, $$M$$ और $$N$$, साथ $$U$$ और $$V$$ के रूप में, क्रमशः, की छवियां $$\phi$$ और $$\psi$$. वो नक्शा $$\psi f\phi^{-1}:U\to V$$ ऊपर की परिभाषा के अनुसार, जब भी,  भिन्नता है $$f(\phi^{-1}(U))\subseteq\psi^{-1}(V)$$.

उदाहरण
चूंकि किसी भी मैनिफोल्ड को स्थानीय रूप से पैरामीट्रिज किया जा सकता है, इसलिए हम कुछ स्पष्ट मानचित्रों पर विचार कर सकते हैं $$\R^2$$ में $$\R^2$$.


 * होने देना
 * $$f(x,y) = \left (x^2 + y^3, x^2 - y^3 \right ).$$ : हम जैकबियन मैट्रिक्स की गणना कर सकते हैं।
 * $$ J_f = \begin{pmatrix} 2x & 3y^2 \\ 2x & -3y^2 \end{pmatrix} . $$
 * जेकोबियन आव्यूह में शून्य सारणिक होता है यदि और केवल यदि $$xy=0$$. हम देखते है कि $$f$$ से केवल  भिन्नता हो सकती है $$x$$-अक्ष और $$y$$- ्सिस। हालांकि, $$f$$ के बाद से विशेषण नहीं है $$f(x,y)=f(-x,y)$$, और इस प्रकार यह   भिन्नता नहीं हो सकती।


 * होने देना
 * $$g(x,y) = \left (a_0 + a_{1,0}x + a_{0,1}y + \cdots, \ b_0 + b_{1,0}x + b_{0,1}y + \cdots \right )$$ : जहां $$a_{i,j}$$ और $$b_{i,j}$$ मनमाना वास्तविक संख्या एं हैं, और छोड़े गए शब्द x और y में कम से कम दो डिग्री के हैं। हम जैकबियन मैट्रिक्स की गणना '0' पर कर सकते हैं:
 * $$ J_g(0,0) = \begin{pmatrix} a_{1,0} & a_{0,1} \\ b_{1,0} & b_{0,1} \end{pmatrix}. $$
 * हम देखते हैं कि जी '0' पर  स्थानीय भिन्नता है, अगर और केवल अगर,
 * $$a_{1,0}b_{0,1} - a_{0,1}b_{1,0} \neq 0,$$
 * यानी जी के घटकों में रैखिक शब्द बहुपद के रूप में रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।


 * होने देना
 * $$h(x,y) = \left (\sin(x^2 + y^2), \cos(x^2 + y^2) \right ).$$
 * हम जैकबियन मैट्रिक्स की गणना कर सकते हैं:
 * $$ J_h = \begin{pmatrix} 2x\cos(x^2 + y^2) & 2y\cos(x^2 + y^2) \\ -2x\sin(x^2+y^2) & -2y\sin(x^2 + y^2) \end{pmatrix} . $$
 * जेकोबियन मैट्रिक्स में हर जगह शून्य निर्धारक है! वास्तव में हम देखते हैं कि h का प्रतिबिम्ब इकाई वृत्त है।

सतह विकृति
यांत्रिकी में,  तनाव-प्रेरित परिवर्तन को विरूपण (यांत्रिकी) कहा जाता है और इसे   भिन्नता द्वारा वर्णित किया जा सकता है। भिन्नता $$f:U\to V$$ दो सतह (टोपोलॉजी) के बीच $$U$$ और $$V$$ जैकबियन मैट्रिक्स है $$Df$$ यह  उलटा मैट्रिक्स है। वास्तव में, यह आवश्यक है कि के लिए $$p$$ में $$U$$, का   पड़ोस (टोपोलॉजी) है $$p$$ जिसमें जैकोबियन $$Df$$ उलटा मैट्रिक्स | गैर- वचन रहता है। मान लीजिए कि सतह के   चार्ट में, $$f(x,y) = (u,v).$$ यू का कुल अंतर है
 * $$du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy$$, और इसी तरह वी के लिए।

फिर छवि $$ (du, dv) = (dx, dy) Df $$  रैखिक परिवर्तन है, मूल को ठीक करना, और   विशेष प्रकार की जटिल संख्या की क्रिया के रूप में अभिव्यक्त करना। जब (डी ्स,-डीई) को उस प्रकार की जटिल संख्या के रूप में भी व्याख्या किया जाता है, तो क्रिया उचित जटिल संख्या विमान में जटिल गुणन की होती है। जैसे,   प्रकार का कोण (कोण, अतिशयोक्तिपूर्ण कोण, या ढलान ) है जो इस तरह के गुणन में संरक्षित है। Df व्युत्क्रमणीय होने के कारण सम्मिश्र संख्या का प्रकार सतह पर  समान होता है। नतीजतन, सतहों के   सतह विरूपण या भिन्नता के संरक्षण (उचित प्रकार के) कोणों की 'अनुरूप संपत्ति' होती है।

डिफियोमोर्फिज्म समूह
होने देना $$M$$  अलग करने योग्य कई गुना हो जो कि दूसरी-गणनीय और हौसडॉर्फ अंतरिक्ष है। द डिफियोमोर्फिज्म ग्रुप ऑफ $$M$$ सभी का समूह (गणित) है $$C^r$$ के डिफियोमोर्फिज्म $$M$$ खुद के लिए, द्वारा निरूपित $$\text{Diff}^r(M)$$ या जब $$r$$ विदित है, $$\text{Diff}(M)$$. यह  बड़ा समूह है, इस अर्थ में कि—प्रदान किया गया $$M$$ शून्य-आयामी नहीं है—यह स्थानीय रूप से सघन नहीं है।

टोपोलॉजी
डिफियोमोर्फिज्म समूह में दो प्राकृतिक टोपोलॉजिकल स्पेस हैं। कमजोर और मजबूत । जब मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट जगह होता है, तो ये दो टोपोलॉजी सहमत होती हैं। कमजोर टोपोलॉजी हमेशा मेट्रिजेबल स्पेस होती है। जब मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट नहीं होता है, तो मजबूत टोपोलॉजी अनंत पर कार्यों के व्यवहार को पकड़ लेती है और मेट्रिजेबल नहीं होती है। हालाँकि, यह अभी भी बाहर की जगह है।

रिमेंनियन मीट्रिक चालू कर रहा हूँ $$M$$कमजोर टोपोलॉजी मेट्रिक्स के परिवार द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी है
 * $$d_K(f,g) = \sup\nolimits_{x\in K} d(f(x),g(x)) + \sum\nolimits_{1\le p\le r} \sup\nolimits_{x\in K} \left \|D^pf(x) - D^pg(x) \right \|$$

जैसा $$K$$ के कॉम्पैक्ट सबसेट में भिन्न होता है $$M$$. दरअसल, तब से $$M$$ है $$\sigma$$-कॉम्पैक्ट, कॉम्पैक्ट सबसेट का  क्रम है $$K_n$$ जिसका संघ (सेट सिद्धांत) है $$M$$. फिर:
 * $$d(f,g) = \sum\nolimits_n 2^{-n}\frac{d_{K_n}(f,g)}{1+d_{K_n}(f,g)}.$$

अपनी कमजोर टोपोलॉजी से लैस डिफोमोर्फिज्म समूह स्थानीय रूप से अंतरिक्ष के लिए होमोमोर्फिक है $$C^r$$ वेक्टर क्षेत्र. के  कॉम्पैक्ट सबसेट पर $$M$$, इसके बाद रिमेंनियन मेट्रिक को फिक्स किया जाता है $$M$$ और उस मीट्रिक के लिए घातीय मानचित्र (रीमैनियन ज्यामिति) का उपयोग करना। यदि $$r$$ परिमित है और कई गुना कॉम्पैक्ट है, सदिश क्षेत्रों का स्थान   बनच स्थान है। इसके अलावा, इस एटलस के   चार्ट से दूसरे चार्ट में संक्रमण के नक्शे सुचारू हैं, जो डिफियोमोर्फिज्म समूह को   बनच कई गुना में सुचारू रूप से सही अनुवाद के साथ बनाते हैं; बाएं अनुवाद और व्युत्क्रम केवल निरंतर हैं। यदि $$r=\infty$$, सदिश क्षेत्रों का स्थान   फ्रेचेट स्थान है। इसके अलावा, ट्रांज़िशन मैप सुचारू हैं, डिफियोमोर्फिज्म समूह को   फ्रेचेट मैनिफोल्ड में और यहां तक ​​कि   सुविधाजनक वेक्टर स्पेस#रेगुलर लाइ ग्रुप्स|रेगुलर फ्रेचेट लाइ ग्रुप में बनाते हैं। अगर कई गुना है $$\sigma$$-कॉम्पैक्ट और कॉम्पैक्ट नहीं, पूर्ण भिन्नता समूह दो टोपोलॉजी में से किसी के लिए स्थानीय रूप से अनुबंधित नहीं है।   विविधता समूह प्राप्त करने के लिए अनंत के पास की पहचान से विचलन को नियंत्रित करके समूह को प्रतिबंधित करना होगा जो कि कई गुना है; देखो.

झूठ बीजगणित
डिफियोमोर्फिज्म समूह का झूठ बीजगणित $$M$$ सभी वेक्टर क्षेत्र शामिल हैं $$M$$ सदिश क्षेत्रों के लेट ब्रैकेट से सुसज्जित। कुछ हद तक औपचारिक रूप से, इसे निर्देशांक में  छोटा परिवर्तन करके देखा जाता है $$x$$ अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर:
 * $$x^{\mu} \mapsto x^{\mu} + \varepsilon h^{\mu}(x)$$

अत: अतिसूक्ष्म जनित्र सदिश क्षेत्र हैं
 * $$ L_{h} = h^{\mu}(x)\frac{\partial}{\partial x^\mu}.$$

उदाहरण

 * कब $$M=G$$  झूठ समूह है, का   स्वाभाविक समावेश है $$G$$ वाम-अनुवाद के माध्यम से अपने स्वयं के डिफोमोर्फिज्म समूह में। होने देना $$\text{Diff}(G)$$ के डिफोमोर्फिज्म समूह को निरूपित करें $$G$$, तब विभाजन होता है $$\text{Diff}(G)\simeq G\times\text{Diff}(G,e)$$, कहां $$\text{Diff}(G,e)$$ का उपसमूह है $$\text{Diff}(G)$$ जो समूह के पहचान तत्व को ठीक करता है।
 * यूक्लिडियन अंतरिक्ष का डिफियोमोर्फिज्म समूह $$\R^n$$ इसमें दो घटक होते हैं, जिसमें ओरिएंटेशन-संरक्षण और ओरिएंटेशन-रिवर्सिंग डिफियोमोर्फिज्म शामिल हैं। वास्तव में, सामान्य रेखीय समूह उपसमूह का  विरूपण पीछे हटना है $$\text{Diff}(\R^n,0)$$ नक्शे के नीचे उत्पत्ति को ठीक करने वाले डिफियोमोर्फिज्म $$f(x)\to f(tx)/t, t\in(0,1]$$. विशेष रूप से, सामान्य रेखीय समूह भी पूर्ण अंतररूपता समूह का   विरूपण प्रतिगमन है।
 * अंकों के  परिमित सेट (गणित) के लिए, भिन्नता समूह केवल सममित समूह है। इसी प्रकार यदि $$M$$ क्या कई गुना है   समूह विस्तार है $$0\to\text{Diff}_0(M)\to\text{Diff}(M)\to\Sigma(\pi_0(M))$$. यहां $$\text{Diff}_0(M)$$ का उपसमूह है $$\text{Diff}(M)$$ जो सभी घटकों को सुरक्षित रखता है $$M$$, और $$\Sigma(\pi_0(M))$$ सेट का क्रमपरिवर्तन समूह है $$\pi_0(M)$$ (के घटक $$M$$). इसके अलावा, मानचित्र की छवि $$\text{Diff}(M)\to\Sigma(\pi_0(M))$$ की आपत्ति है $$\pi_0(M)$$ जो डिफोमोर्फिज्म क्लासेस को संरक्षित करता है।

संक्रमणशीलता
जुड़े कई गुना के लिए $$M$$, डिफियोमोर्फिज्म ग्रुप ग्रुप ्शन (गणित) Group_action#Types_of_actions on $$M$$. अधिक आम तौर पर, भिन्नता समूह विन्यास स्थान (भौतिकी) पर सकर्मक रूप से कार्य करता है $$C_k M$$. यदि $$M$$ कम से कम द्वि-आयामी है, डिफोमोर्फिज्म समूह विन्यास स्थान (भौतिकी) पर सकर्मक रूप से कार्य करता है $$F_k M$$ और कार्रवाई चालू $$M$$ समूह क्रिया है (गणित)#कार्रवाई के प्रकार.

डिफियोमोर्फिज्म का विस्तार
1926 में, टिबोर राडो ने पूछा कि क्या यूनिट डिस्क के यूनिट सर्कल के किसी भी होमोमोर्फिज्म या डिफियोमोर्फिज्म का पोइसन अभिन्न ओपन डिस्क पर डिफियोमोर्फिज्म पैदा करता है। कुछ ही समय बाद हेलमथ केसर द्वारा  सुंदर प्रमाण प्रदान किया गया। 1945 में, गुस्ताव चॉक्वेट, जाहिर तौर पर इस परिणाम से अनभिज्ञ थे, उन्होंने   पूरी तरह से अलग प्रमाण प्रस्तुत किया।

सर्कल का (अभिविन्यास-संरक्षण) डिफियोमोर्फिज्म समूह पथ के अनुसार जुड़ा हुआ है। इसे इस बात पर ध्यान देकर देखा जा सकता है कि इस तरह के किसी भी भिन्नता को  भिन्नता के रूप में उठाया जा सकता है $$f$$ वास्तविक संतोषजनक $$[f(x+1)=f(x)+1]$$; यह स्थान उत्तल है और इसलिए पथ से जुड़ा हुआ है। पहचान के लिए   चिकनी, अंततः निरंतर पथ सर्कल से ओपन यूनिट डिस्क ( अलेक्जेंडर चाल का   विशेष मामला) के लिए   भिन्नता का विस्तार करने का दूसरा और प्राथमिक तरीका देता है। इसके अलावा, सर्कल के डिफोमोर्फिज्म ग्रुप में ऑर्थोगोनल समूह का होमोटॉपी-टाइप है $$O(2)$$.

उच्च-आयामी क्षेत्रों के डिफियोमोर्फिज्म के लिए संगत विस्तार समस्या $$S^{n-1}$$ 1950 और 1960 के दशक में रेने थॉम, जॉन मिल्नोर और स्टीफन स्मेल के उल्लेखनीय योगदान के साथ बहुत अधिक अध्ययन किया गया था। परिमित एबेलियन समूह द्वारा इस तरह के विस्तार में बाधा दी जाती है $$\Gamma_n$$, ्सोटिक स्फेयर#ट्विस्टेड स्फीयर, गेंद के डिफियोमोर्फिज्म तक फैले वर्गों के उपसमूह द्वारा डिफेओमोर्फिज्म समूह के एबेलियन घटक समूह के भागफल समूह के रूप में परिभाषित किया गया $$B^n$$.

जुड़ाव
कई गुना के लिए, भिन्नता समूह आमतौर पर जुड़ा नहीं होता है। इसके घटक समूह को मानचित्रण वर्ग समूह कहा जाता है। डायमेंशन 2 (यानी सरफेस (टोपोलॉजी)) में, मैपिंग क्लास ग्रुप स्ट्रेच ट्विस्ट ( मैक्स डेहन, डब्ल्यू.बी.आर. लिकोरिश, एलन हैचर ) द्वारा उत्पन्न  सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह है। मैक्स डेहन और जैकब नीलसन (गणितज्ञ) ने दिखाया कि इसे सतह के मौलिक समूह के बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह के साथ पहचाना जा सकता है।

विलियम थर्स्टन ने नीलसन-थर्स्टन वर्गीकरण द्वारा इस विश्लेषण को तीन प्रकारों में परिष्कृत किया: वे  आवधिक कार्य के समतुल्य #आवधिक मानचित्रण भिन्नता;   साधारण बंद वक्र अपरिवर्तनीय छोड़ने वाले डिफियोमोर्फिज्म के समतुल्य; और छद्म-अनोसोव मानचित्र|छद्म-अनोसोव डिफेओमोर्फिज्म के समतुल्य। टोरस्र्स के मामले में $$S^1\times S^1=\R^2/\Z^2$$, मैपिंग क्लास ग्रुप केवल मॉड्यूलर समूह है $$\text{SL}(2,\Z)$$ और वर्गीकरण मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन#एलिप्टिक ट्रांसफॉर्मेशन, मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन#पैराबोलिक ट्रांसफॉर्मेशन और मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन#हाइपरबोलिक ट्रांसफॉर्म मैट्रिसेस के संदर्भ में शास्त्रीय हो जाता है। थर्स्टन ने यह देखते हुए अपने वर्गीकरण को पूरा किया कि मानचित्रण वर्ग समूह ने स्वाभाविक रूप से टेकमुलर अंतरिक्ष के   संघनन (गणित) पर कार्य किया; चूंकि यह बढ़ा हुआ स्थान   बंद गेंद के लिए होमियोमॉर्फिक था, इसलिए ब्रोवर फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय लागू हो गया। स्मेल ने अनुमान लगाया कि यदि $$M$$   ओरिएंटेबिलिटी है # ओरिएंटेबिलिटी_ऑफ_मैनिफोल्ड्स स्मूथ क्लोज्ड मैनिफोल्ड, ओरिएंटेशन-प्रिजर्विंग डिफियोमोर्फिज्म के समूह का पहचान घटक सरल समूह है। यह पहली बार मिशेल हरमन द्वारा हलकों के   उत्पाद के लिए सिद्ध किया गया था; यह थर्स्टन द्वारा पूर्ण सामान्यता में सिद्ध किया गया था।

समरूपता प्रकार

 * का डिफियोमोर्फिज्म समूह $$S^2$$ उपसमूह का होमोटोपी-प्रकार है $$O(3)$$. यह स्टीव स्मेल द्वारा सिद्ध किया गया था। * टोरस के डिफोमोर्फिज्म समूह में इसके रैखिक automorphism का होमोटोपी-प्रकार है: $$S^1\times S^1\times\text{GL}(2,\Z)$$.
 * जीनस (गणित) की उन्मुख सतहों के भिन्नता समूह $$g>1$$ उनके मानचित्रण वर्ग समूहों का होमोटॉपी-प्रकार है (अर्थात घटक संविदात्मक हैं)।
 * इवानोव, हैचर, गबाई और रुबिनस्टीन के काम के माध्यम से 3-मैनिफोल्ड्स के डिफोमोर्फिज्म समूहों के होमोटोपी-प्रकार को काफी अच्छी तरह से समझा जाता है, हालांकि कुछ उत्कृष्ट खुले मामले हैं (मुख्य रूप से परिमित मौलिक समूहों के साथ 3-मैनिफोल्ड)।
 * होमोटॉपी-प्रकार के डिफियोमोर्फिज्म समूह $$n$$- के लिए कई गुना $$n>3$$ खराब समझे जाते हैं। उदाहरण के लिए, यह  खुली समस्या है या नहीं $$\text{Diff}(S^4)$$ दो से अधिक घटक हैं। मिलनोर, क्हान और एंटोनेली के माध्यम से, हालांकि, यह ज्ञात है कि प्रदान किया गया $$n>6$$, $$\text{Diff}(S^n)$$ परिमित स.ग.-जटिल का होमोटॉपी-प्रकार नहीं है।

होमोमोर्फिज्म और डिफियोमोर्फिज्म
चूंकि प्रत्येक भिन्नता  होमोमोर्फिज्म है, प्रत्येक डिफियोमोर्फिक मैनिफोल्ड होमोमोर्फिक हैं, लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है। जबकि होमियोमॉर्फिज्म को ढूंढना आसान है जो गैर-डिफियोमोर्फिज्म हैं, होमियोमॉर्फिक मैनिफोल्ड्स की  जोड़ी को ढूंढना अधिक कठिन है जो डिफियोमॉर्फिक नहीं हैं। आयाम 1, 2 और 3 में, होमियोमॉर्फिक स्मूथ मैनिफोल्ड्स की कोई भी जोड़ी अलग-अलग होती है। आयाम 4 या उससे अधिक में, होमियोमॉर्फिक के उदाहरण हैं, लेकिन डिफियोमॉर्फिक जोड़े नहीं पाए गए हैं। इस तरह का पहला उदाहरण जॉन मिल्नोर द्वारा आयाम 7 में बनाया गया था। उन्होंने   चिकनी 7-आयामी मैनिफोल्ड (जिसे अब मिलनोर का गोला कहा जाता है) का निर्माण किया जो कि मानक 7-गोले के लिए होमियोमॉर्फिक है, लेकिन इसके लिए भिन्न नहीं है। वास्तव में, 7-गोले के लिए कई गुना होमोमोर्फिक के 28 उन्मुख भिन्नता वर्ग हैं (उनमें से प्रत्येक 4-गोले पर   फाइबर बंडल का कुल स्थान है जिसमें 3-क्षेत्र फाइबर के रूप में है)।

अधिक असामान्य घटनाएं 4-कई गुना के लिए होती हैं। 1980 के दशक की शुरुआत में, साइमन डोनाल्डसन और माइकल फ्रीडमैन के परिणाम के संयोजन ने विदेशी R4 की खोज का नेतृत्व किया $$\R^4$$: बेशुमार सेट पेयर वाइज नॉन-डिफियोमॉर्फिक ओपन सबसेट हैं $$\R^4$$ जिनमें से प्रत्येक होमोमोर्फिक है $$\R^4$$, और यह भी कि बेशुमार रूप से कई जोड़ीदार गैर-डिफियोमॉर्फिक डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स होमियोमॉर्फिक हैं $$\R^4$$ जो #Differential_topology को एम्बेड नहीं करता है $$\R^4$$.

यह भी देखें

 * बड़ा अंतररूपवाद जैसे कि अर्नोल्ड का कैट मैप
 * डिफियो विसंगति को गुरुत्वीय विसंगति के रूप में भी जाना जाता है, क्वांटम यांत्रिकी में  प्रकार की विसंगति (भौतिकी)
 * डिफियोलॉजी,  सेट पर सुचारू पैरामीटरीकरण, जो   डिफोलॉजिकल स्पेस बनाता है
 * डिफियोमोर्फोमेट्री, कम्प्यूटेशनल एनाटॉमी में आकार और रूप का मीट्रिक अध्ययन
 * एटेल मोर्फिज्म
 * विशाल भिन्नता
 * स्थानीय भिन्नता
 * supermanifold