क्वांटम सुपरकंपोज़न



क्वांटम अध्यारोपण क्वांटम यांत्रिकी का एक मूलभूत सिद्धांत है। इसमें कहा गया है कि, चिरसम्मत भौतिकी में तरंगों की तरह, किसी भी दो (या अधिक) क्वांटम अवस्थाओं को एक साथ जोड़ा जा सकता है ("अध्यारोपित") और प्राप्त परिणाम एक वैध क्वांटम अवस्था होगा; और इसके विपरीत, प्रत्येक क्वांटम अवस्था को दो या दो से अधिक अलग-अलग अवस्थाओं के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है। गणितीय रूप से, यह श्रोडिंगर समीकरण के समाधान की विशेषता को दर्शाता है; चूँकि श्रोडिंगर समीकरण रैखिक है, इसलिये समाधानों का कोई भी रैखिक संयोजन भी एक समाधान होगा। .

क्वांटम प्रणाली की तरंग प्रकृति का भौतिक रूप से निरीक्षण किया जा सकने वाला उदाहरण द्वि-रेखाछिद्र प्रयोग में एक इलेक्ट्रॉन किरणपुंज से हुआ व्यतिकरण शिखर है। इसका स्वरूप बहुत कुछ चिरसम्मत तरंगों के विवर्तन से प्राप्त किया गया है।

एक अन्य उदाहरण क्वांटम तार्किक क्यूबिट अवस्था है, जिसका उपयोग क्वांटम सूचना प्रसंस्करण में किया जाता है, जो आधार अवस्था 0 तथा 1 की क्वांटम अध्यारोपण अवस्था है। 0 क्वांटम स्थिति के लिए डायराक संकेतन है जो माप द्वारा चिरसम्मत तर्क में परिवर्तित होने पर हमेशा 0 परिणाम देगा। वैसे ही 1 वह अवस्था है जो हमेशा 1 में परिवर्तित हो जाएगा। चिरसम्मत बिट के विपरीत जो केवल 0 से संबंधित अवस्था में या 1 से संबंधित अवस्था में हो सकता है, दोनों अवस्थाओं की अध्यारोपण में एक क्यूबिट हो सकता है। इसका अर्थ यह है कि एक क्यूबिट के लिए 0 या 1 को मापने की संभावनाएं सामान्य रूप से न तो 0.0 और न ही 1.0 होती हैं, और समान अवस्थाओं में कई मापन हमेशा एक ही परिणाम नहीं देते हैं।

अवधारणा
क्वांटम अध्यारोपण का सिद्धांत बताता है कि भौतिक प्रणाली कई विन्यासों में से एक में हो सकती है - कणों या क्षेत्रों की व्यवस्था - तो सबसे सामान्य अवस्था इन सभी प्रायिकताओं का एक संयोजन है, जहाँ प्रत्येक विन्यास एक जटिल संख्या द्वारा निर्दिष्ट की जाती है।

उदाहरण के लिए, यदि दो विन्यास 0 और 1 द्वारा वर्गीकरण किए गए हो, तो सबसे सामान्य स्थिति होगी


 * $$c_0 {\mid} 0 \rangle + c_1 {\mid} 1 \rangle$$

जहाँ गुणांक जटिल संख्याएँ हैं जो यह बताती हैं कि प्रत्येक विन्यास में कितना जाता है।

पॉल डिराक सिद्धांत का वर्णन इस प्रकार किया गया था:

"क्वांटम यांत्रिकी के अध्यारोपण का सामान्य सिद्धांत [जो कि पारस्परिक हस्तक्षेप या विरोधाभास के बिना सैद्धांतिक रूप से संभव है] किसी एक गतिशील प्रणाली की अवस्था पर लागू होता है। इसके लिए हमें यह मानने की आवश्यकता है कि इन अवस्थाओं के बीच असामान्य संबंध उपस्थित हैं जैसे कि जब भी प्रणाली निश्चित रूप से एक अवस्था में होती है तो हम इसे दो या दो से अधिक अवस्थाओं में से प्रत्येक में आंशिक रूप से मान सकते हैं। मूल अवस्था को दो या दो से अधिक नए अवस्थाओं के एक प्रकार के अध्यारोपण के परिणाम के रूप में माना जाना चाहिए, इस तरह चिरसम्मत विचारों पर कल्पना नहीं की जा सकती। किसी भी अवस्था को दो या दो से अधिक अन्य अवस्थाओं के अध्यारोपण का परिणाम माना जा सकता है, और वास्तव में अनंत तरीकों से। इसके विपरीत, किन्हीं भी दो या अधिक अवस्थाओं को एक नया अवस्था देने के लिए अधिरोपित किया जा सकता है..."

अध्यारोपण प्रक्रिया की गैर-चिरसम्मत प्रकृति को स्पष्ट रूप से सामने लाया जाता है यदि हम दो अवस्थाओं A और B के अध्यारोपण पर विचार करते हैं, जैसे कि एक अवलोकन उपस्थित है, जो अवस्था A में प्रणाली पर किए जाने पर निश्चित रूप से नेतृत्व करता है एक विशेष परिणाम के लिए, A कहते हैं, और जब अवस्था B में प्रणाली पर बनाया जाता है, तो निश्चित रूप से कुछ अलग परिणाम मिलते हैं, B कहते हैं। सुपरपोज्ड अवस्था में प्रणाली पर किए गए अवलोकन का परिणाम क्या होगा? उत्तर यह है कि अध्यारोपण प्रक्रिया में ए और बी के b] से अलग नहीं होगा। अध्यारोपण द्वारा गठित अवस्था का मध्यवर्ती चरित्र इस प्रकार मूल अवस्थाओं के लिए संबंधित प्रायिकताओं के बीच एक अवलोकन के लिए एक विशेष परिणाम की संभावना के माध्यम से खुद को अभिव्यक्त करता है, न कि मूल अवस्थाओं के लिए संबंधित परिणामों के बीच मध्यवर्ती होने के परिणाम के माध्यम से।

द्वि-रेखाछिद्र प्रयोग के प्रोटोटाइपिकल उदाहरण का जिक्र करते हुए एंटोन ज़िलिंगर ने क्वांटम अध्यारोपण के निर्माण और अंत के बारे में विस्तार से बताया है:

आयामों का अध्यारोपण केवल तभी वैध होते हैं जब यह पता नहीं चल सकता कि कण ने किस पथ का अनुसरण किया है। यह समझना जरूरी है कि इसका अर्थ यह नहीं है कि एक पर्यवेक्षक वास्तव में क्या होता है इसका ध्यान रखता है। यह हस्तक्षेप के तरीके को नष्ट करने के लिए पर्याप्त है, यदि पथ की जानकारी प्रयोग से सैद्धांतिक रूप से सुलभ है या यदि यह पर्यावरण में और उसके फैलाव के साथ-साथ किसी तकनीकी संभावना को पुनः प्राप्त करने के लिए है, लेकिन सिद्धांत रूप में अभी भी 'बाहर' है। ऐसी किसी भी जानकारी का अभाव क्वांटम हस्तक्षेप के प्रकट होने के लिए आवश्यक मानदंड है।

उदाहरण
एक भौतिक परिघटना को वर्णित करने वाले समीकरण के लिए, अध्यारोपण सिद्धांत कहता है कि एक रैखिक समीकरण के समाधानों का संयोजन भी इसका एक समाधान है। जब यह सत्य होता है तो कहा जाता है कि समीकरण अध्यारोपण के सिद्धांत का पालन करता है। इस प्रकार, यदि क्वांटम अवस्था $f_{1}$, $f_{2}$ तथा $f_{3}$ में से प्रत्येक रैखिक समीकरण को ψ पर हल करें, फिर $ψ = c_{1} f_{1} + c_{2} f_{2} + c_{3} f_{3}$ एक समाधान भी होगा, जिसमें प्रत्येक $c$ गुणांक है। श्रोडिंगर समीकरण रैखिक है, इसलिए क्वांटम यांत्रिकी इसका अनुसरण करती है।

उदाहरण के लिए, दो संभावित विन्यास वाले एक इलेक्ट्रॉन पर विचार करें: ऊपर और नीचे। यह क्यूबिट की भौतिक प्रणाली का वर्णन करता है।


 * $$c_1 {\mid} {\uparrow} \rangle + c_2 {\mid} {\downarrow} \rangle$$

सबसे सामान्य अवस्था है। लेकिन ये गुणांक प्रणाली के विन्यास में होने की प्रायिकता को निर्धारित करते हैं। किसी निर्दिष्ट विन्यास की प्रायिकता गुणांक के निरपेक्ष मान के वर्ग द्वारा दी जाती है। प्रायिकता को 1 में जोड़ा जाता है, क्योंकि इलेक्ट्रॉन उन दो अवस्थाओं में से एक में होना चाहिए।


 * $$ p_\text{up} = {\mid} c_1 {\mid}^2 $$
 * $$ p_\text{down} = {\mid} c_2 \mid^2 $$
 * $$ p_\text{up or down} = p_\text{up} + p_\text{down} = 1 $$

इस उदाहरण को जारी रखते हुए, यदि कोई कण ऊपर और नीचे की कक्षा में हो सकता है, तो वह उस कक्षा में भी हो सकता है जहां वह एक राशि $3i/5$ से ऊपर और एक राशि $4/5$ से नीचे।


 * $$|\psi\rangle = {3\over 5} i {\mid}{\uparrow}\rangle + {4\over 5} {\mid}{\downarrow}\rangle.$$

इसमें ऊपर की संभावना है $$\left|\frac{3i}{5}\right|^2=\frac{9}{25}$$. और नीचे होने की संभावना $$\left|\frac{4}{5}\right|^2=\frac{16}{25}$$. है ध्यान दें कि $$\frac{9}{25}+\frac{16}{25}=1$$.

वर्णन में, विभिन्न घटकों का केवल सापेक्ष आकार मायने रखता है, और जटिल तल पर एक दूसरे से उनका कोण। यह आमतौर पर यह घोषित करके कहा जाता है कि दो अवस्था जो एक दूसरे के गुणक हैं, जहाँ तक स्थिति के विवरण का संबंध है। इनमें से कोई भी किसी भी अशून्य $$\alpha$$ के लिए एक ही कक्षा का वर्णन करता है

$$ क्वांटम यांत्रिकी का मूल नियम यह है कि विकास रैखिक होता है, अर्थात यदि अवस्था A 10 सेकंड के बाद A' में बदल जाये और अवस्था B, B' में बदल जाये, तो 10 सेकंड के बाद अध्यारोपण $$\psi$$ A और B के समान गुणांक वाले A' और B' के मिश्रण में परिवर्तित हो जाती है।
 * \psi \rangle \approx \alpha |\psi \rangle

उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास निम्नलिखित अवस्था हैं


 * $${\mid} {\uparrow} \rangle \to {\mid} {\downarrow} \rangle$$
 * $${\mid} {\downarrow} \rangle \to \frac{3i}{5} {\mid} {\uparrow} \rangle + \frac{4}{5} {\mid} {\downarrow} \rangle$$

फिर उन 10 सेकंड के बाद हमारी अवस्था परिवर्तित हो जाएगी


 * $$c_1 {\mid} {\uparrow} \rangle + c_2 {\mid} {\downarrow} \rangle \to c_1 \left( {\mid} {\downarrow} \rangle\right) + c_2 \left(\frac{3i}{5} {\mid} {\uparrow} \rangle + \frac{4}{5} {\mid} {\downarrow} \rangle \right) $$

अभी तक केवल 2 विन्यास हुए हैं, लेकिन अपरिमित रूप से अनेक हो सकते हैं।

दृष्टांत में, एक कण की कोई भी स्थिति हो सकती है, जिससे अलग-अलग विन्यास होते हैं जिनकी स्थिति $x$ का कोई मान होता है। जो की निम्नलिखित है:

$$ अध्यारोपण का सिद्धांत निश्चित करता है कि ऐसे अवस्था हैं जो जटिल गुणांक वाले सभी पदों का यादृच्छिक अध्यारोपण हैं:
 * x\rangle



\sum_x \psi(x) |x\rangle $$ यह योग केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब अनुक्रमणिका x असतत हो। अगर अनुक्रमणिका $$\reals$$ पर खत्म हो गया है, तो योग को एक  पूर्ण सांख्यिक से बदल दिया जाता है। मात्रा $$\psi(x)$$ कण की तरंग फलन कहलाती है।

यदि हम स्थिति और स्पिन दोनों के साथ एक क्यूबिट पर विचार करते हैं, तो अवस्था दोनों के लिए सभी प्रायिकता का अध्यारोपण है:



\sum_x \psi_+(x)|x,{\uparrow}\rangle + \psi_-(x)|x,{\downarrow}\rangle \,$$ क्वांटम यांत्रिक प्रणाली के विन्यास स्थान का भौतिक ज्ञान के बिना पता नहीं लगाया जा सकता है। इनपुट आमतौर पर विभिन्न चिरसम्मत विन्यासों की अनुमति दी जाती है, लेकिन स्थिति और गति दोनों को शामिल करने के दोहराव के बिना।

कणों की एक जोड़ी स्थिति के जोड़े के किसी भी संयोजन में हो सकती है। एक अवस्था जिसमें एक कण x स्थिति में होता है तथा दूसरा एक स्थिति y में होता है को $$|x,y\rangle$$ से प्रदर्शित किया जाता है। सबसे सामान्य स्थिति प्रायिकताओं का अध्यारोपण है:



\sum_{xy} A(x,y) |x,y\rangle \,$$ दो कणों का विवरण एक कणों के विवरण से काफी बड़ा होता है-यह आयामों की संख्या की दुगनी संख्या के बराबर होता है। प्रायिकता में भी यह सच है, जब दो यादृच्छिक चर के आँकड़े सहसंबद्ध होते हैं। यदि दो कण असंबंधित हैं, तो उनकी संयुक्त स्थिति के लिए संभाव्यता वितरण $P(x, y)$ एक को एक स्थान पर और दूसरे को दूसरे स्थान पर खोजने की प्रायिकता का गुणनफल है:

P(x,y) = P_x (x) P_y(y) \,$$ इसका अभिप्राय है कि तरंग फलन $$A(x,y)$$ प्रणाली $$\psi_x(x)$$ तथा $$\psi_y(y)$$ को तरंग फलनों के गुणनफल के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:

A(x,y) = \psi_x(x)\psi_y(y) \,$$.

1927 में, हिटलर और लंदन, ने मात्रात्मक रूप से H2 अणु की स्थायी स्थिति की गणना करने का प्रयास किया। ये परिकलन तंत्र H2 के निर्माण वाले दो हाइड्रोजन परमाणुओं के क्वांटम अतिस्थिति पर आधारित थे। इस प्रयास की सफलता सहसंयोजक बंध के और आगे के विकास का आधार बन गई।

संभाव्यता के साथ सादृश्य
संभाव्यता सिद्धांत भी एक ऐसा ही सिद्धांत है। यदि किसी प्रणाली में संभाव्य वर्णन होता है तो यह वर्णन किसी विन्यास की संभाव्यता प्रदान करता है और दो भिन्न विन्यास दिए जाते हैं, एक अवस्था है जो आंशिक रूप से इस और अंशतः होती है और धनात्मक वास्तविक संख्या गुणांक के साथ, संभाव्यता, जो कहती है कि प्रत्येक का कितना होता है।

उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास कण के स्थान के लिए संभाव्यता वितरण है, तो यह अवस्था द्वारा वर्णित है

\sum_x \rho(x) |x\rangle $$ जहाँ पर $$\rho$$ प्रायिकता घनत्व फलन है, एक धनात्मक संख्या जो उस संभावना को मापता है कि कण एक निश्चित स्थान पर पाया जाएगा.।

मौलिक कारणों से, विकास समीकरण संभाव्यता में भी रैखिक है। यदि कण की स्थिति x से y, और z से y तक जाने की कुछ संभावना है, तो y से शुरू होने की संभावना एक अवस्था से शुरू होती है जो अर्द्ध x और अर्द्ध z है, प्रायिकता का आधा-आधा मिश्रण है प्रत्येक विकल्प से y पर जाने का। यह संभाव्यता में रैखिक अध्यारोपण का सिद्धांत है।

क्वांटम यांत्रिकी अलग है, क्योंकि संख्याएँ धनात्मक या ऋणात्मक हो सकती हैं। जबकि संख्याओं की जटिल प्रकृति केवल दोहरीकरण है, यदि आप वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग से देखते हैं तो गुणकों का चिन्ह महत्वपूर्ण है। संभाव्यता में, दो भिन्न संभावित परिणाम एक साथ जोड़ते हैं, ताकि यदि बिंदु Z पर पहुंचने के लिए अधिक विकल्प हों, तो संभावना हमेशा बढ़ जाती है। क्वांटम यांत्रिकी में, विभिन्न संभावनाएं रद्द कर सकते हैं।

संभाव्यता सिद्धांत में परिमित अवस्थाओं की संख्या के साथ, संभाव्यता को धनात्मक संख्या से गुणा किया जा सकता है ताकि उनका योग एक के बराबर हो सके। उदाहरण के लिए, यदि तीन अवस्थाओं की संभाव्यता प्रणाली है:

x |1\rangle + y |2\rangle + z |3\rangle \,$$ जहां संभावनाएं $$x,y,z$$ धनात्मक संख्याएँ हैं। पुनः $$x,y,z$$  को मापने पर ताकि

x+y+z=1 \,$$ अवस्था स्थान की ज्यामिति एक त्रिभुज के रूप में प्रकट होती है। सामान्य तौर पर यह एक प्रसमुच्चय है। एक त्रिभुज या प्रसमुच्चय में कोनों के अनुरूप विशेष बिंदु होते हैं, और इन बिंदुओं में से एक की प्रायिकता एक 1 के बराबर होती है और अन्य की शून्य होती  हैं। ये वे अनोखे स्थान हैं, जहां निश्चित रूप से स्थिति जानी जाती है।

क्वांटम मैकेनिकल प्रणाली की तीनो अवस्थाओं में, क्वांटम मैकेनिकल तरंग फलन अवस्थाओं का अध्यारोपण है, लेकिन इस बार दो बार कई मात्रा के साथ साथ संकेत पर कोई प्रतिबंध नहीं है :

A|1\rangle + B|2\rangle + C|3\rangle = (A_r + iA_i) |1\rangle + (B_r + i B_i) |2\rangle + (C_r + iC_i) |3\rangle \,$$ चर को पुनः अनुक्रमित करने के लिए कि वर्गों का योग 1 है, समष्टि की ज्यामिति एक उच्च आयामी गोले के रूप में प्रकट हुई है।

A_r^2 + A_i^2 + B_r^2 + B_i^2 + C_r^2 + C_i^2 = 1 \,$$.

एक गोले में बड़ी मात्रा में समरूपता होती है, इसे विभिन्न समन्वय प्रणालियों या आधारों में देखा जा सकता है। इसलिए संभाव्यता सिद्धांत के विपरीत, क्वांटम सिद्धांत में बड़ी संख्या में अलग-अलग आधार होते हैं जिनमें इसे समान रूप से अच्छी तरह से वर्णित किया जा सकता है। चरण समष्टि की ज्यामिति को एक संकेत के रूप में देखा जा सकता है कि क्वांटम यांत्रिकी में मात्रा जो संभाव्यता से मेल खाती है, अध्यारोपण के गुणांक का पूर्ण वर्ग है।

हैमिल्टन का विकास
संख्याएं जो विभिन्न प्रायिकताओं के आयामों का वर्णन करती हैं, शुद्धगतिक विज्ञान, विभिन्न अवस्थाओं के स्थान को परिभाषित करती हैं। गतिकी बताती है कि ये संख्याएँ समय के साथ कैसे बदलती हैं। एक कण के लिए जो असीम रूप से कई असतत स्थितियों में से किसी एक में हो सकता है, एक जाली पर एक कण, अध्यारोपण सिद्धांत आपको बताता है कि अवस्था कैसे बनाया जाए:



\sum_n \psi_n |n\rangle \,$$ ताकि आयामों की अनंत सूची $(\ldots, \psi_{-2}, \psi_{-1}, \psi_0, \psi_1, \psi_2, \ldots) $ पूरी तरह से कण की क्वांटम स्थिति का वर्णन करता है। इस सूची को अवस्था सदिश कहा जाता है, और औपचारिक रूप से यह हिल्बर्ट समष्टि का एक तत्व है, एक अनंत-आयामी जटिल सदिश स्थल। अवस्था का प्रतिनिधित्व करना सामान्य है ताकि आयामों के पूर्ण वर्ग का योग एक हो:

\sum \psi_n^*\psi_n = 1 $$ संभाव्यता सिद्धांत द्वारा वर्णित एक कण के लिए यादृच्छिक रूप से एक रेखा पर चलना, सादृश्य चीज़ प्रायिकताओं की सूची है $(\ldots,P_{-2},P_{-1},P_0,P_1,P_2,\ldots)$, जो किसी भी स्थिति की संभावना देते हैं। मात्राएँ जो वर्णन करती हैं कि वे समय में कैसे बदलती हैं, संक्रमण संभावनाएँ हैं $$\scriptstyle K_{x\rightarrow y}(t)$$, जो संभावना देता है कि, x से शुरू होकर, कण बाद में y समय t पर समाप्त होता है। y पर समाप्त होने की कुल संभावना सभी प्रायिकताओं के योग द्वारा दी गई है



P_y(t_0+t) = \sum_x P_x(t_0) K_{x\rightarrow y}(t) \,$$ संभाव्यता के संरक्षण की शर्त बताती है कि किसी भी x से शुरू होने पर, कहीं समाप्त होने की कुल संभावना को 1 तक जोड़ा जाना चाहिए:



\sum_y K_{x\rightarrow y} = 1 \,$$ ताकि कुल संभावना बनी रहे, K वह है जिसे प्रसंभाव्य आव्यूह कहा जाता है।

जब कोई समय नहीं गुजरता, तो कुछ भी नहीं बदलता: 0 बीता हुआ समय $$\scriptstyle K{x\rightarrow y}(0) = \delta_{xy} $$, K आव्यूह एक अवस्था से लेकर स्वयं तक शून्य है। इसलिए यदि समय कम है, तो संभाव्यता में पूर्ण परिवर्तन के बजाय संभाव्यता के परिवर्तन की दर के बारे में बात करना बेहतर है।



P_y(t+dt) = P_y(t) + dt \, \sum_x P_x R_{x\rightarrow y} \,$$ कहाँ पे $$\scriptstyle R_{x\rightarrow y}$$ K आव्यूह का समय व्युत्पन्न है:



R_{x\rightarrow y} = {K_{x\rightarrow y} \, dt - \delta_{xy} \over dt}. \,$$ प्रायिकताओं के लिए समीकरण एक अंतर समीकरण है जिसे कभी-कभी मास्टर समीकरण कहा जाता है:



{dP_y \over dt} = \sum_x P_x R_{x\rightarrow y} \,$$ कण के लिए x से y में संक्रमण करने के लिए R आव्यूह प्रति एकांक समय की संभावना है। शर्त यह है कि K आव्यूह तत्व एक तक जुड़ते हैं, यह शर्त बन जाती है कि R आव्यूह तत्व शून्य तक जुड़ते हैं:



\sum_y R_{x\rightarrow y} = 0 \,$$ अध्ययन करने के लिए एक साधारण महत्व है जब R आव्यूह में एक इकाई को बाईं ओर या दाईं ओर जाने की समान संभावना होती है, जिसमें एक कण का वर्णन होता है जिसमें यादृच्छिक चलने की निरंतर दर होती है। इस घटना में $$\scriptstyle R_{x\rightarrow y}$$ शून्य है जब तक कि y या तो x + 1, x, या x − 1 न हो, जब y x+1 या x − 1 हो, तो R आव्यूह का मान c होता है, और R आव्यूह गुणांकों का योग शून्य के बराबर करने के लिए, $$R_{x\rightarrow x}$$ का मान है -2c होना चाहिए। तो संभावनाएं 'विघटित प्रसार समीकरण' का पालन करती हैं:



{dP_x \over dt } = c(P_{x+1} - 2P_x + P_{x-1}) \,$$ जो, जब c को उचित रूप से स्केल किया जाता है और P वितरण एक निरंतर सीमा में प्रणाली के बारे में सोचने के लिए काफी आसान होता है:



{\partial P(x,t) \over \partial t} = c {\partial^2 P \over \partial x^2 } \,$$ प्रसार समीकरण कौन सा है।

क्वांटम आयाम वह दर देते हैं जिस पर आयाम समय में बदलते हैं, और वे गणितीय रूप से बिल्कुल समान हैं, सिवाय इसके कि वे जटिल संख्याएं हैं। परिमित समय K आव्यूह के समधर्मी को $$U$$ आव्यूह कहा जाता है:



\psi_n(t) = \sum_m U_{nm}(t) \psi_m \,$$ चूंकि आयाम के पूर्ण वर्गों का योग स्थिर होना चाहिए, $$U$$ एकात्मक आव्यूह होना चाहिए:



\sum_n U^*_{nm} U_{np} = \delta_{mp} \,$$ या, आव्यूह संकेतन में,

U^\dagger U = I \,$$ $$U$$ के परिवर्तन की दर को हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) H कहा जाता है, i के पारंपरिक कारक तक:



H_{mn} = i{d \over dt} U_{mn} $$ हैमिल्टनियन वह दर देता है जिस पर कण का m से n तक जाने का आयाम होता है। इसे i से गुणा करने का कारण यह है कि $$U$$ एकात्मक होने की स्थिति इस स्थिति में बदल जाती है:



(I + i H^\dagger \, dt )(I - i H \, dt ) = I $$

H^\dagger - H = 0 \,$$ जो कहता है कि H हर्मिटियन है। हर्मिटियन आव्यूह H के ईगेनवेल्यू वास्तविक मात्राएं हैं, जिनकी ऊर्जा स्तरों के रूप में भौतिक व्याख्या है। यदि कारक मैं अनुपस्थित था, तो H आव्यूह एंटीहर्मिटियन होगा और इसमें विशुद्ध रूप से काल्पनिक आइगेनवेल्यू होंगे, जो पारंपरिक तरीका नहीं है, क्वांटम यांत्रिकी ऊर्जा जैसी अवलोकन योग्य मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है।

एक कण के लिए जिसमें बाएँ और दाएँ चलने के लिए समान आयाम है, निकटतम पड़ोसियों को छोड़कर हर्मिटियन आव्यूह H शून्य है, जहाँ इसका मान c है। यदि गुणांक हर जगह स्थिर है, तो शर्त यह है कि एच हर्मिटियन मांग करता है कि बाईं ओर जाने के लिए आयाम दाईं ओर जाने के लिए आयाम का जटिल संयुग्म है। के लिए गति का समीकरण $$\psi$$ समय अंतर समीकरण है:



i{d \psi_n \over dt} = c^* \psi_{n+1} + c \psi_{n-1} $$ जिस स्थिति में बाएँ और दाएँ सममित हैं, c वास्तविक है। समय में तरंग फलन के चरण को फिर से परिभाषित करके, $$ \psi\rightarrow \psi e^{i2ct}$$, अलग-अलग स्थानों पर होने के लिए आयाम को केवल पुनर्मूल्यांकन किया जाता है, ताकि भौतिक स्थिति अपरिवर्तित रहे। लेकिन इस चरण का घूर्णन रैखिक शब्द का परिचय देता है।

i{d \psi_n \over dt} = c \psi_{n+1} - 2c\psi_n + c\psi_{n-1}, $$ जो निरंतर सीमा लेने के लिए चरण का सही विकल्प है। कब $$c$$ बहुत बड़ा है और $$\psi$$ धीरे-धीरे परिवर्तित हो रहा है ताकि जाली को एक रेखा के रूप में सोचा जा सके, यह मुक्त श्रोडिंगर समीकरण बन जाता है:

i{ \partial \psi \over \partial t } = - {\partial^2 \psi \over \partial x^2} $$ यदि H आव्यूह में एक अतिरिक्त शब्द है जो एक अतिरिक्त चरण रोटेशन है जो बिंदु से बिंदु तक भिन्न होता है, तो निरंतर सीमा एक संभावित ऊर्जा के साथ श्रोडिंगर समीकरण है:

i{ \partial \psi \over \partial t} = - {\partial^2 \psi \over \partial x^2} + V(x) \psi $$ ये समीकरण गैर-सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में एक कण की गति का वर्णन करते हैं।

काल्पनिक समय में क्वांटम यांत्रिकी
क्वांटम यांत्रिकी तथा प्रायिकता में समानता बहुत अधिक है जिससे उनके बीच अनेक गणितीय संबंध हैं।असतत समय में सांख्यिकीय प्रणाली में, t=1,2,3 एक चरण के लिए संक्रमण आव्यूह द्वारा वर्णित एक चरण $$\scriptstyle K_{m\rightarrow n}$$, समय चरणों की एक सीमित संख्या के बाद दो बिंदुओं के बीच जाने की संभाव्यता को प्रत्येक पथ लेने की संभाव्यता के सभी मार्गों पर योग के रूप में दर्शाया जा सकता है:

$$ K_{x\rightarrow y}(T) = \sum_{x(t)} \prod_t K_{x(t)x(t+1)} \,$$

जहां योग सभी पथों पर फैला हुआ है $$x(t)$$ उस अधिकार के साथ $$x(0)=0$$ तथा $$x(T)=y$$. क्वांटम यांत्रिकी में समान अभिव्यक्ति पथ अभिन्न सूत्रीकरण है।

संभाव्यता में एक सामान्य संक्रमण आव्यूह में एक स्थायी वितरण होता है, जो किसी भी बिंदु पर चाहे प्रारंभ बिन्दु हो संभावित संभावना होती है।यदि समान बिन्दु पर एक ही समय पर पहुंचने के लिए दो मार्गों के शून्य संभाव्यता हो तो यह स्थिर वितरण प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर नहीं करता है। संभाव्यता सिद्धांत में, प्रसंभाव्य आव्यूह के लिए संभाव्यता m विस्तृत संतुलन का पालन करती है जब स्थिर वितरण  $$\rho_n$$मेसर्स की विशेशता होती है:



\rho_n K_{n\rightarrow m} = \rho_m K_{m\rightarrow n} \,$$ विस्तृत संतुलन का कहना है कि m से n तक के स्थिर वितरण में m से n तक जाने की संभावना $$\rho_m$$ m के द्वारा m से n तक अपलब्ध होने की संभाव्यता के बराबर होती है और इस तरह संतुलन में संभाव्यता का लगभग पीछे-पीछे प्रवाह किसी भी हॉप के साथ शून्य रहता है।स्थिति स्वतः ही संतुष्ट हो जाती है जब n=m, तो यह उसी रूप में होता है जब संक्रमण प्रायिकता R आव्यूह के लिए एक शर्त के रूप में लिखे जाने पर इसका एक ही रूप होता है।



\rho_n R_{n\rightarrow m} = \rho_m R_{m\rightarrow n} \,$$ जब R आव्यूह विस्तृत संतुलन का अनुसरण करता है, प्रायिकताओं के पैमाने को स्थिर वितरण का उपयोग करके पुनःपरिभाषित किया जा सकता है ताकि वे 1 की राशि न हों:



p'_n = \sqrt{\rho_n}\;p_n \,$$ नए निर्देशांकों में, R आव्यूह को निम्नानुसार पुन: स्केल किया गया है:



\sqrt{\rho_n} R_{n\rightarrow m} {1\over \sqrt{\rho_m}} = H_{nm} \,$$ और H सममित है

H_{nm} = H_{mn} \,$$ यह आव्यूह H एक क्वांटम मैकेनिकल प्रणाली को परिभाषित करता है:



i{d \over dt} \psi_n = \sum H_{nm} \psi_m \,$$ जिसका हैमिल्टनियन में सांख्यिकीय प्रणाली के R आव्यूह के समान आइगेनवेल्यू हैं। पुन: स्केल किए गए आधार में व्यक्त किए जाने के अलावा, अभिलाक्षणिक सदिश भी समान हैं। सांख्यिकीय प्रणाली का स्थिर वितरण हैमिल्टनियन की आधार स्थिति है और इसकी ऊर्जा बिल्कुल शून्य है, जबकि अन्य सभी ऊर्जाएं सकारात्मक हैं। यदि H को U आव्यूह खोजने के लिए प्रतिपादित किया जाता है:



U(t) = e^{-iHt} \,$$ और t को जटिल मान लेने की अनुमति है, काल्पनिक समय लेकर K' आव्यूह पाया जाता है।



K'(t) = e^{-Ht} \,$$ क्वांटम प्रणाली के लिए जो टी-समरूपता के तहत अपरिवर्तनीय हैं, हैमिल्टनियन को वास्तविक और सममित बनाया जा सकता है, ताकि तरंग-फ़ंक्शन पर समय-उत्क्रमण की क्रिया केवल जटिल संयुग्मन हो। यदि इस तरह के हैमिल्टनियन के पास एक सकारात्मक वास्तविक तरंग-फलन के साथ एक अद्वितीय निम्नतम ऊर्जा अवस्था है, जैसा कि यह अक्सर भौतिक कारणों से होता है, तो यह काल्पनिक समय में एक प्रसंभाव्य प्रणाली से जुड़ा होता है। स्टोचैस्टिक प्रणाली और क्वांटम प्रणाली के बीच यह संबंध सुपरसिमेट्री पर बहुत प्रकाश डालता है।

प्रयोग और अनुप्रयोग
अपेक्षाकृत बड़े (क्वांटम भौतिकी मानकों) वस्तुओं के अध्यारोपण से संबंधित सफल प्रयोग किए जा चुके हैं।
 * फोटॉन के साथ एक बिल्ली की अवस्था प्राप्त की गई है।
 * एक बैरिलियम आयन अध्यारोपित अवस्था में फंस गया है।
 * बुकीबल्स जितने बड़े अणुओं और 2000 परमाणुओं तक क्रियाशील ऑलिगोपोर्फिरीन के साथ एक डबल स्लिट प्रयोग किया गया है।
 * 2013 के एक प्रयोग ने सुपरपोज़्ड अणुओं में से प्रत्येक में 15,000 प्रोटॉन, न्यूट्रॉन और इलेक्ट्रॉन होते हैं। अणु उनके अच्छे थर्मल स्थिरता के लिए चुने गए यौगिकों के थे, और 600 K के तापमान पर एक बीम में वाष्पित हो गए थे। बीम को अत्यधिक शुद्ध रासायनिक पदार्थों से तैयार किया गया था, लेकिन फिर भी इसमें विभिन्न आणविक प्रजातियों का मिश्रण था। द्रव्यमान स्पेक्ट्रोमेट्री द्वारा सत्यापित अणु की प्रत्येक प्रजाति केवल स्वयं के साथ हस्तक्षेप करती है।
 * सुपरकंडक्टिंग क्वांटम इंटरफेरेंस डिवाइस (स्क्विड) से जुड़े एक प्रयोग को कैट अवस्था थॉट एक्सपेरिमेंट की थीम से जोड़ा गया है।
 * बहुत कम तापमान के उपयोग से, स्क्विड धाराओं की तैयारी और पता लगाने के बीच, समय की अवधि के लिए, निकट अलगाव में रक्षा करने और मध्यवर्ती अवस्थाओं के सुसंगतता को बनाए रखने के लिए बहुत बढ़िया प्रायोगिक व्यवस्था की गई थी। ऐसा स्क्विड करंट शायद अरबों इलेक्ट्रॉनों का एक सुसंगत भौतिक संयोजन है। इसकी सुसंगतता के कारण, ऐसी सभा को मैक्रोस्कोपिक क्वांटल इकाई के सामूहिक अवस्थाओं को प्रदर्शित करने के रूप में माना जा सकता है। अध्यारोपण के सिद्धांत के लिए, इसे तैयार करने के बाद लेकिन इसका पता लगाने से पहले, इसे एक मध्यवर्ती स्थिति का प्रदर्शन करने वाला माना जा सकता है। यह एक एकल-कण अवस्था नहीं है, जैसा कि अक्सर हस्तक्षेप की चर्चाओं में माना जाता है, उदाहरण के लिए डिराक ने अपने प्रसिद्ध उक्ति में ऊपर कहा है। इसके अलावा, हालांकि 'मध्यवर्ती' अवस्था को शिथिल रूप से माना जा सकता है, यह एक द्वितीयक क्वांटम विश्लेषक के आउटपुट के रूप में निर्मित नहीं किया गया है जिसे एक प्राथमिक विश्लेषक से शुद्ध अवस्था में खिलाया गया था, और इसलिए यह अध्यारोपण का एक उदाहरण नहीं है जैसा कि कड़ाई से और संकीर्ण रूप से परिभाषित।


 * फिर भी, तैयारी के बाद, लेकिन माप से पहले, इस तरह के स्क्विड अवस्था को एक शुद्ध अवस्था के रूप में बोलने के तरीके के रूप में माना जा सकता है जो एक दक्षिणावर्त और एक विरोधी दक्षिणावर्त वर्तमान स्थिति का एक अध्यारोपण है। स्क्विड में, सामूहिक इलेक्ट्रॉन अवस्थाओं को बहुत कम तापमान पर निकट अलगाव में भौतिक रूप से तैयार किया जा सकता है, ताकि संरक्षित सुसंगत मध्यवर्ती अवस्थाओं में परिणाम हो सके। यहाँ जो उल्लेखनीय है वह यह है कि दो अलग-अलग स्व-सुसंगत सामूहिक अवस्थाएँ हैं जो इस तरह की मेटास्टेबिलिटी प्रदर्शित करती हैं। इलेक्ट्रॉनों की भीड़ दक्षिणावर्त और वामावर्त अवस्थाओं के बीच आगे और पीछे सुरंग बनाती है, जो कि एकल मध्यवर्ती अवस्था बनाने के विपरीत होती है जिसमें वर्तमान प्रवाह का कोई निश्चित सामूहिक अर्थ नहीं होता है।


 * बुखार का वायरस से जुड़ा एक प्रयोग प्रस्तावित किया गया है।
 * एक पीजोइलेक्ट्रिक ट्यूनिंग कांटा का निर्माण किया गया है, जिसे वाइब्रेटिंग और नॉन-वाइब्रेटिंग अवस्था के अध्यारोपण में रखा जा सकता है। गुंजयमान यंत्र में लगभग 10 ट्रिलियन परमाणु होते हैं।
 * हाल के शोध से संकेत मिलता है कि पौधों के भीतर क्लोरोफिल ऊर्जा के परिवहन में अधिक दक्षता प्राप्त करने के लिए क्वांटम अध्यारोपण की विशेषता का फायदा उठाता है, जिससे पिगमेंट प्रोटीन को अन्यथा संभव होने की तुलना में अधिक दूर रखा जा सकता है।
 * एक इलेक्ट्रोमैकेनिकल ऑसिलेटर का उपयोग करके एक जीवाणु को 10 mK तक ठंडा करके एक प्रयोग प्रस्तावित किया गया है। उस तापमान पर, सभी चयापचय बंद हो जाएंगे, और कोशिका वस्तुतः एक निश्चित रासायनिक प्रजाति के रूप में व्यवहार कर सकती है। हस्तक्षेप का पता लगाने के लिए, यह आवश्यक होगा कि कोशिकाओं को बड़ी संख्या में समान और पहचाने जाने योग्य आभासी रासायनिक प्रजातियों के शुद्ध नमूनों के रूप में आपूर्ति की जाए। यह ज्ञात नहीं है कि जीवाणु कोशिकाओं द्वारा इस आवश्यकता को पूरा किया जा सकता है या नहीं। प्रयोग के दौरान वे निलंबित एनीमेशन की स्थिति में होंगे।

क्वांटम कम्प्यूटिंग में वाक्यांश कैट अवस्था अक्सर ग्रीनबर्गर-हॉर्न-ज़िलिंगर अवस्था को संदर्भित करता है, क्यूबिटस की विशेष उलझी हुई अवस्था जिसमें क्यूबिटस सभी के 0 होने और सभी के 1 होने के बराबर अध्यारोपण में हैं; अर्थात।,


 * $$ | \psi \rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} \bigg( | 00\ldots0 \rangle + |11\ldots1 \rangle \bigg). $$

औपचारिक व्याख्या
अध्यारोपण सिद्धांत को एक क्वांटम यांत्रिक कण पर लागू करते हुए, कण के विन्यास सभी पदों पर हैं, इसलिए अध्यारोपण समष्टि में एक जटिल तरंग बनाते हैं। रैखिक अध्यारोपण के गुणांक एक तरंग की तरह हैं जो कण को ​​​​जितना संभव हो उतना अच्छा वर्णन करता है,और जिनके आयाम ह्यूजेंस सिद्धांत के अनुसार हस्तक्षेप करते हैं.

क्वांटम यांत्रिकी में किसी भी भौतिक गुण के लिए, उन सभी अवस्थाओं की एक सूची होती है जहाँ उस गुण का कुछ मान होता है। लंबवत यूक्लिडियन धारणा का उपयोग करते हुए ये अवस्था एक दूसरे के लिए आवश्यक रूप से लंबवत हैं, जो वर्ग लंबाई के योग से आता है, सिवाय इसके कि वे एक दूसरे के i गुणक भी नहीं होने चाहिए। लंबवत अवस्थाओं की इस सूची का एक संबद्ध मान है जो भौतिक विशेशता का मान है। अध्यारोपण का सिद्धांत यह निश्चित करता है कि किसी भी अवस्था को जटिल गुणांक वाले इस रूप के अवस्थाओं के संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है।

प्रत्येक अवस्था को भौतिक मात्रा के मान q के साथ सदिश के रूप में लिखिए $$\psi^q_n$$सदिश के लिए n के प्रत्येक मान पर संख्याओं की एक सूची जिसमें भौतिक मात्रा के लिए मान q है। अब, सदिश के सभी संघटकों की गुणा करके संग्राहक का बाह्य गुणनफल बना लेते हैं तथा आव्यूह बनाने हेतु उन्हें गुणकों के साथ जोड़ देते हैं।

A_{nm} = \sum_q q \psi^{*q}_n \psi^q_m $$ जहाँ q के सभी संभावित मानों पर योग का विस्तार होता है। यह आव्यूह आवश्यक रूप से सममित है क्योंकि यह लंबकोणीय अवस्थाओं से बना है, और इसमें अभिलाक्षणिक मान ​​​​q है। आव्यूह A को भौतिक मात्रा से संबंधित अवलोकन योग्य कहा जाता है। इसकी विशेशता है कि अभिलाक्षणिक मान ​​​​और अभिलाक्षणिक सदिश भौतिक मात्रा और उन अवस्थाओं को निर्धारित करते हैं जिनके पास इस मात्रा के लिए निश्चित मान हैं।

प्रत्येक भौतिक मात्रा में एक हर्मिटियन ऑपरेटर रैखिक ऑपरेटर जुड़ा होता है, और जिन अवस्थाओं में इस भौतिक मात्रा का मान निश्चित होता है, वे इस रैखिक ऑपरेटर के अभिलाक्षणिक अवस्था हैं। दो या दो से अधिक अभिलाक्षणिक अवस्था के रैखिक संयोजन के परिणामस्वरूप दो या दो से अधिक मानों का क्वांटम अध्यारोपण होता है। यदि मात्रा को मापा जाता है, तो भौतिक मात्रा का मान यादृच्छिक होगा, रैखिक संयोजन में अध्यारोपण के गुणांक के वर्ग के बराबर संभावना के साथ। माप के तुरंत बाद, अवस्था मापा अभिलाक्षणिक मान के अनुरूप अभिलाक्षणिक सदिश द्वारा दिया जाएगा।

भौतिक व्याख्या
यह पूछना स्वाभाविक है कि रोजमर्रा की सामान्य वस्तुएं और घटनाएं अध्यारोपण जैसी क्वांटम यांत्रिक विशेषताओं को प्रदर्शित क्यों नहीं करती हैं। वास्तव में, इसे कभी-कभी रहस्यमय माना जाता है, उदाहरण के लिए रिचर्ड फेनमैन द्वारा। 1935 में, इरविन श्रोडिंगर ने एक प्रसिद्ध विचार प्रयोग तैयार किया, जिसे अब श्रोडिंगर की बिल्ली के रूप में जाना जाता है, जिसने क्वांटम यांत्रिकी और चिरसम्मत भौतिकी के बीच इस असंगति को स्पष्ट किया किया। एक आधुनिक दृष्टिकोण यह है कि इस रहस्य को क्वांटम असंगति द्वारा समझाया गया है। एक मैक्रोस्कोपिक प्रणाली (जैसे कि एक बिल्ली) समय के साथ चिरसम्मत रूप से विशिष्ट क्वांटम अवस्थाओं (जैसे जीवित और मृत) के अध्यारोपण में विकसित हो सकती है। इस प्रक्रिया को प्राप्त करने का विषय महत्त्वपूर्ण अनुसंधान का विषय है, एक अनुसंधान बताता है कि बिल्ली की स्थिति उसके पर्यावरण की स्थिति से उलझी हुई है (उदाहरण के लिए, उसके आसपास के वातावरण में अणु),जब पर्यावरण की संभावित क्वांटम स्थितियों (एक भौतिक रूप से उचित प्रक्रिया जब तक पर्यावरण की क्वांटम स्थिति को नियंत्रित या मापा जा सके) परिणामस्वरूप बिल्ली के लिए मिश्रित क्वांटम अवस्था चिरसम्मत संभाव्यता अवस्था के बहुत निकट होती है जहां कैट की मृत्यु या जीवित रहने की कुछ निश्चित संभाव्यता होती है, जैसा कि इस स्थिति में एक चिरसम्मत प्रेक्षक की अपेक्षा होती है। सिद्धांतों का एक अन्य प्रस्तावित वर्ग यह है कि मौलिक समय विकास समीकरण अपूर्ण है, और इसके लिए कुछ प्रकार के मौलिक लिंडब्लाडियन को जोड़ने की आवश्यकता है, इस जोड़ का कारण और अतिरिक्त शब्द का रूप सिद्धांत से सिद्धांत में भिन्न होता है। एक लोकप्रिय सिद्धांत उद्देश्य-पतन सिद्धांत है, जहां लिंडब्लाड शब्द अवस्थाओं के स्थानिक पृथक्करण के समानुपाती होता है, यह भी एक अर्ध-चिरसम्मत संभाव्य स्थिति का परिणाम है।

यह भी देखें

 * eigenstates
 * मैक-जेन्डर इंटरफेरोमीटर
 * पेनरोज़ व्याख्या
 * शुद्ध क्यूबिट अवस्था
 * क्वांटम गणना
 * शोडिंगर की बिल्ली
 * सुपरपोज़िशन सिद्धांत
 * वेव पैकेट

उद्धृत संदर्भों की ग्रंथ सूची

 * नील्स बोहर|बोहर, एन. (1927/1928). क्वांटम अभिधारणा और परमाणु सिद्धांत का हालिया विकास, नेचर सप्लीमेंट 14 अप्रैल 1928, '121': 580-590।
 * क्लाउड कोहेन-तन्नौदजी|कोहेन-तन्नौदजी, सी., दीव, बी., लालो, एफ. (1973/1977)। क्वांटम यांत्रिकी, फ्रेंच से अनुवादित एस.आर. ISBN 0471164321.
 * पॉल डिराक | डिराक, पी. ए. एम. (1930/1958)। क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत, चौथा संस्करण, ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस।
 * अल्बर्ट आइंस्टीन|आइंस्टीन, ए. (1949). इस सहकारी खंड में एक साथ लाए गए निबंधों के बारे में टिप्पणी, संपादक द्वारा मूल जर्मन से अनुवादित, पीपी। 665-688 पॉल आर्थर शिलप में। /शीर्षक/अल्बर्ट-आइंस्टीन-दार्शनिक-वैज्ञानिक/ओसीएलसी/311439 अल्बर्ट आइंस्टीन: दार्शनिक-वैज्ञानिक], खंड $II$, ओपन कोर्ट, ला सैले आईएल।
 * रिचर्ड फेनमैन|फेनमैन, आर.पी., लीटन, आर.बी., सैंड्स, एम. (1965)। भौतिकी पर फेनमैन व्याख्यान, खंड 3, एडिसन-वेस्ले, पढ़ना, एमए।
 * यूजेन मर्ज़बैकर|मर्ज़बैकर, ई. (1961/1970)। क्वांटम यांत्रिकी, दूसरा संस्करण, विली, न्यूयॉर्क।
 * अल्बर्ट मसीहा|मसीहा, ए. (1961). क्वांटम यांत्रिकी, खंड 1, जी.एम. द्वारा अनुवादित। फ्रेंच मेकनिक क्वांटिक, नॉर्थ-हॉलैंड, एम्स्टर्डम से टेमर।

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