कंप्यूटर-सहायता प्रमाण

एक कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण एक गणितीय प्रमाण है जो कम से कम आंशिक रूप से कंप्यूटर द्वारा उत्पन्न किया गया है।

आज तक के अधिकांश कंप्यूटर-एडेड प्रूफ एक गणितीय प्रमेय के बड़े प्रूफ बाय एग्जॉशन | प्रूफ-बाय-एक्जॉशन के कार्यान्वयन हैं। यह विचार एक कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग लंबी संगणना करने के लिए है, और एक प्रमाण प्रदान करने के लिए है कि इन संगणनाओं का परिणाम दिए गए प्रमेय का तात्पर्य है। 1976 में, चार रंग प्रमेय एक कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करके सत्यापित किया जाने वाला पहला प्रमुख प्रमेय था।

ह्यूरिस्टिक (कंप्यूटर विज्ञान) खोज जैसी स्वचालित तर्क तकनीकों का उपयोग करके नीचे से ऊपर तक गणितीय प्रमेयों के छोटे, स्पष्ट, नए प्रमाण बनाने के लिए कृत्रिम बुद्धिमत्ता अनुसंधान के क्षेत्र में भी प्रयास किए गए हैं। इस तरह के स्वचालित प्रमेय सिद्ध करने वालों ने कई नए परिणामों को सिद्ध किया है और ज्ञात प्रमेयों के लिए नए प्रमाण खोजे हैं। इसके अतिरिक्त, इंटरैक्टिव प्रूफ सहायक गणितज्ञों को मानव-पठनीय प्रमाण विकसित करने की अनुमति देते हैं जो फिर भी शुद्धता के लिए औपचारिक रूप से सत्यापित होते हैं। चूँकि ये प्रमाण आम तौर पर गैर-सर्वे योग्य प्रमाण हैं | मानव-सर्वे योग्य (यद्यपि कठिनाई के साथ, जैसा कि रॉबिन्स अनुमान के प्रमाण के साथ है) वे कंप्यूटर-एडेड प्रूफ-बाय-थकावट के विवादास्पद निहितार्थों को साझा नहीं करते हैं।

तरीके
गणितीय प्रमाणों में कंप्यूटरों का उपयोग करने का एक तरीका तथाकथित मान्य संख्यात्मक या कठोर संख्यात्मक के माध्यम से है। इसका अर्थ है संख्यात्मक रूप से फिर भी गणितीय कठोरता के साथ गणना करना। एक सेट-वैल्यू अंकगणित का उपयोग करता है और यह सुनिश्चित करने के लिए कि संख्यात्मक प्रोग्राम का सेट-वैल्यू आउटपुट मूल गणितीय समस्या के समाधान को संलग्न करता है। यह राउंड-ऑफ और ट्रंकेशन त्रुटियों को नियंत्रित करने, घेरने और प्रचारित करने के द्वारा किया जाता है, उदाहरण के लिए अंतराल अंकगणितीय। अधिक सटीक रूप से, कोई गणना को प्राथमिक संचालन के अनुक्रम में कम कर देता है, कहते हैं $$(+, -, \times, /)$$. एक कंप्यूटर में, प्रत्येक प्रारंभिक ऑपरेशन का परिणाम कंप्यूटर परिशुद्धता द्वारा गोल किया जाता है। हालांकि, एक प्रारंभिक ऑपरेशन के परिणाम पर ऊपरी और निचले सीमा द्वारा प्रदान किए गए अंतराल का निर्माण कर सकते हैं। इसके बाद संख्याओं को अंतरालों से प्रतिस्थापित करके और प्रस्तुत करने योग्य संख्याओं के ऐसे अंतरालों के बीच प्रारंभिक संक्रियाएँ करते हुए आगे बढ़ता है।

दार्शनिक आपत्तियाँ
कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण गणितीय दुनिया में कुछ विवाद का विषय हैं, आपत्तियों को स्पष्ट करने के लिए सबसे पहले थॉमस टिमोच्ज़को के साथ। जो लोग Tymoczko के तर्कों का पालन करते हैं, उनका मानना ​​​​है कि लंबे कंप्यूटर-सहायता वाले प्रमाण, कुछ अर्थों में, 'वास्तविक' गणितीय प्रमाण नहीं हैं, क्योंकि उनमें इतने तार्किक कदम शामिल हैं कि वे व्यावहारिक रूप से मनुष्यों द्वारा सत्यापन और सत्यापन नहीं कर रहे हैं, और गणितज्ञ प्रभावी रूप से एक अनुभवजन्य कम्प्यूटेशनल प्रक्रिया में विश्वास के साथ अनुमानित सिद्धांतों से तार्किक कटौती को बदलने के लिए कहा गया, जो कंप्यूटर प्रोग्राम में त्रुटियों के साथ-साथ रनटाइम पर्यावरण और हार्डवेयर में दोषों से संभावित रूप से प्रभावित होता है। अन्य गणितज्ञों का मानना ​​है कि लंबे कंप्यूटर-सहायता वाले प्रमाणों को प्रमाणों के बजाय गणनाओं के रूप में माना जाना चाहिए: सबूत एल्गोरिथ्म को ही वैध साबित होना चाहिए, ताकि इसके उपयोग को केवल सत्यापन के रूप में माना जा सके। तर्क है कि कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण उनके स्रोत प्रोग्राम, कंपाइलर और हार्डवेयर में त्रुटियों के अधीन हैं, कंप्यूटर प्रोग्राम के लिए शुद्धता का एक औपचारिक प्रमाण प्रदान करके हल किया जा सकता है (एक दृष्टिकोण जिसे 2005 में चार-रंग प्रमेय पर सफलतापूर्वक लागू किया गया था) साथ ही विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं, विभिन्न कंपाइलरों और विभिन्न कंप्यूटर हार्डवेयर का उपयोग करके परिणाम की नकल करना।

कंप्यूटर-एडेड प्रूफ को सत्यापित करने का एक अन्य संभावित तरीका मशीन-पठनीय रूप में उनके तर्कपूर्ण चरणों को उत्पन्न करना है, और फिर उनकी शुद्धता को प्रदर्शित करने के लिए सबूत चेकर  प्रोग्राम का उपयोग करना है। चूँकि दिए गए प्रमाण को सत्यापित करना प्रमाण खोजने की तुलना में बहुत आसान है, चेकर कार्यक्रम मूल सहायक कार्यक्रम की तुलना में सरल है, और इसकी शुद्धता में विश्वास हासिल करना तदनुसार आसान है। हालांकि, दूसरे प्रोग्राम के आउटपुट को सही साबित करने के लिए एक कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग करने का यह तरीका कंप्यूटर प्रूफ संशयवादियों को पसंद नहीं आता है, जो इसे मानव समझ की कथित आवश्यकता को संबोधित किए बिना जटिलता की एक और परत जोड़ने के रूप में देखते हैं।

कंप्यूटर-एडेड प्रूफ के खिलाफ एक और तर्क यह है कि उनमें गणितीय लालित्य की कमी है - कि वे कोई अंतर्दृष्टि या नई और उपयोगी अवधारणा प्रदान नहीं करते हैं। वास्तव में, यह एक ऐसा तर्क है जिसे किसी भी लंबे प्रमाण के विरुद्ध थकावट द्वारा आगे बढ़ाया जा सकता है।

कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाणों द्वारा उठाया गया एक अतिरिक्त दार्शनिक मुद्दा यह है कि क्या वे गणित को गणित में अर्ध-अनुभववाद में बनाते हैं|अर्ध-अनुभवजन्य विज्ञान, जहां अमूर्त गणितीय अवधारणाओं के क्षेत्र में वैज्ञानिक पद्धति शुद्ध कारण के अनुप्रयोग से अधिक महत्वपूर्ण हो जाती है। यह सीधे गणित के भीतर तर्क से संबंधित है कि क्या गणित विचारों पर आधारित है, या औपचारिक प्रतीक हेरफेर में केवल एक अभ्यास (गणित)। यह सवाल भी उठाता है कि क्या, यदि गणितीय प्लैटोनिज्म दृष्टिकोण के अनुसार, किसी अर्थ में सभी संभावित गणितीय वस्तुएं पहले से मौजूद हैं, तो क्या कंप्यूटर-समर्थित गणित खगोल विज्ञान की तरह एक अवलोकन संबंधी अध्ययन विज्ञान है, न कि भौतिकी या रसायन विज्ञान की तरह एक प्रयोगात्मक अध्ययन। गणित के भीतर यह विवाद उसी समय उत्पन्न हो रहा है जब भौतिकी समुदाय में इस बारे में प्रश्न पूछे जा रहे हैं कि क्या इक्कीसवीं सदी का सैद्धांतिक भौतिकी बहुत अधिक गणितीय होता जा रहा है, और अपनी प्रायोगिक जड़ों को पीछे छोड़ रहा है।

प्रायोगिक गणित का उभरता हुआ क्षेत्र गणितीय अन्वेषण के लिए अपने मुख्य उपकरण के रूप में संख्यात्मक प्रयोगों पर ध्यान केंद्रित करके इस बहस का सामना कर रहा है।

कंप्यूटर प्रोग्राम की मदद से प्रमेयों को सिद्ध किया
इस सूची में शामिल करने का अर्थ यह नहीं है कि एक औपचारिक कंप्यूटर-जाँच प्रमाण मौजूद है, बल्कि यह कि एक कंप्यूटर प्रोग्राम किसी तरह से शामिल किया गया है। विवरण के लिए मुख्य लेख देखें।

बिक्री के लिए प्रमेय
2010 में, एडिनबर्ग विश्वविद्यालय के शिक्षाविदों ने लोगों को कंप्यूटर-सहायता प्रमाण के माध्यम से बनाए गए अपने स्वयं के प्रमेय को खरीदने का मौका दिया। इस नए प्रमेय को क्रेता के नाम पर रखा जाएगा। ऐसा लगता है कि यह सेवा अब उपलब्ध नहीं है।

यह भी देखें
• Formal verification

• Logic Theorist

• Mathematical proof

• Metamath

• Model checking

• Seventeen or Bust

• Symbolic computation

• Validated numerics