प्रतिस्पर्धी संतुलन

प्रतिस्पर्धी संतुलन (जिसे वालरासियन संतुलन भी कहा जाता है) आर्थिक संतुलन की अवधारणा है, जिसे 1951 में केनेथ एरो और जेरार्ड डेब्रू द्वारा प्रस्तुत किया गया था। लोचदार मूल्यों और अनेक व्यापारियों के साथ कमोडिटी मार्केट के विश्लेषण के लिए उपयुक्त और आर्थिक विश्लेषण में दक्षता के बेंचमार्क के रूप में कार्य करना है। यह पूर्ण प्रतिस्पर्धा की धारणा पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर करता है जहां प्रत्येक व्यापारी ऐसी मात्रा पर निर्णय लेता है जो मार्किट में कारोबार की गई कुल मात्रा की तुलना में इतनी छोटी होती है कि उनके व्यक्तिगत लेनदेन का मूल्यों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। प्रतिस्पर्धी मार्केट आदर्श मानक हैं जिसके द्वारा अन्य मार्केट संरचनाओं का मूल्यांकन किया जाता है।

परिभाषाएँ
प्रतिस्पर्धी संतुलन (CE) में दो तत्व होते हैं: $$. यह तर्क के रूप में वस्तुओं के बंडल का प्रतिनिधित्व करने वाले सदिश को लेता है और धनात्मक वास्तविक संख्या देता है जो इसकी मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्यतः मूल्य फलन रैखिक होता है - इसे मूल्यों के सदिश के रूप में दर्शाया जाता है, प्रत्येक वस्तु प्रकार के लिए एक मूल्य है।
 * एक मूल्य फलन $$P
 * एक आवंटन आव्युह $$X$$. प्रत्येक$$i\in 1,\dots,n$$ के लिए, $$X_i$$ एजेंट $$i$$ को आवंटित वस्तुओं का सदिश है।

इन तत्वों को निम्नलिखित आवश्यकता को पूरा करना चाहिए:
 * पूर्ति (बाजार-ऐंवई-मुक्ति): प्रत्येक एजेंट किसी अन्य वहनयोग्य बंडल की तुलना में अपने बंडल को अशक्त रूप से पसंद करता है:
 * $$\forall i\in 1,\dots,n$$, यदि $$P(Y) \leq P(X_i)$$ तब $$Y \preceq_i X_i$$.

अधिकांशतः, एक प्रारंभिक प्रतिभा आव्युह $$E$$ होता है: प्रत्येक $$i\in 1,\dots,n$$ के लिए, $$E_i$$ एजेंट $$i$$ की प्रारंभिक प्रतिभा है। फिर, एक सीई को कुछ अतिरिक्त आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए:
 * मार्केट निकासी: अनुरोध आपूर्ति के समान होती है, जिसमे कोई वस्तु निर्मित या नष्ट नहीं होती है:
 * $$\sum_{i=1}^n X_i = \sum_{i=1}^n E_i$$.


 * व्यक्तिगत तर्कसंगतता: व्यापार के बाद सभी एजेंट व्यापार से पहले की तुलना में उत्तम स्थिति में होते हैं:
 * $$\forall i\in 1,\dots,n: X_i \succeq_i E_i$$.


 * बजट शेष: सभी एजेंट अपनी प्रतिभा को देखते हुए अपना आवंटन वहन कर सकते हैं:
 * $$\forall i\in 1,\dots,n: P(X_i) \leq P(E_i)$$.

परिभाषा 2
यह परिभाषा स्पष्ट रूप से इस संभावना की अनुमति देती है कि अनेक कमोडिटी सरणियाँ हो सकती हैं जो समान रूप से आकर्षक होंते है। वो भी शून्य मूल्यों पर. वैकल्पिक परिभाषा अनुरोध-समूह की अवधारणा पर निर्भर करता है। मूल्य फलन P और उपयोगिता फलन U वाले एजेंट को देखते हुए, माल x का निश्चित बंडल एजेंट के अनुरोध-समूह में है यदि: $$U(x)-P(x) \geq U(y) - P(y)$$ हर दूसरे बंडल y के लिए प्रतिस्पर्धी संतुलन मूल्य फलन P और आवंटन आव्युह X है जैसे कि:
 * एक्स द्वारा प्रत्येक एजेंट को आवंटित बंडल मूल्य-सदिश P के लिए उस एजेंट की अनुरोध-समूह में है;
 * प्रत्येक वस्तु जिसकी धनात्मक मूल्य होती है, उसे पूर्ण रूप से आवंटित किया जाता है (अर्थात प्रत्येक अआवंटित वस्तु की मूल्य 0 होती है)।

अनुमानित संतुलन
कुछ स्थितियों में एक संतुलन को परिभाषित करना उपयोगी होता है जिसमें तर्कसंगतता की स्थिति में शिथिलता दी जाती है। एक धनात्मक मूल्य $$\epsilon$$ (मौद्रिक इकाइयों में मापा जाता है, उदाहरण के लिए, डॉलर), एक मूल्य सदिश $$P$$ और एक बंडल $$x$$ को देखते हुए, $$P^x_\epsilon$$ को एक मूल्य सदिश के रूप में परिभाषित करें जिसमें x में सभी वस्तुओं की वही मूल्य है जो P में है, और सभी वस्तुओं जो x में नहीं हैं उनकी मूल्य P में उनकी मूल्य से $$\epsilon$$ अधिक है।

$$\epsilon$$ -प्रतिस्पर्धी-संतुलन में, एक एजेंट को आवंटित बंडल x संशोधित मूल्य सदिश, $$P^x_\epsilon$$ के लिए उस एजेंट की अनुरोध-सेट में होना चाहिए।

जब खरीद/बिक्री कमीशन हो तो यह अनुमान यथार्थवादी होता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि किसी एजेंट को किसी वस्तु की एक इकाई खरीदने के लिए उस वस्तु की मूल्य के अतिरिक्त, $$\epsilon$$ डॉलर का भुगतान करना पड़ता है। वह एजेंट अपना वर्तमान बंडल तब तक रखेगा जब तक वह मूल्य सदिश $$P^x_\epsilon$$ के लिए अनुरोध-सेट में है। इससे संतुलन अधिक स्थिर हो जाता है।

उदाहरण
निम्नलिखित उदाहरणों में दो एजेंटों, जेन और केल्विन, दो वस्तुओं जैसे विनिमय अर्थव्यवस्था सम्मिलित है। केले (x) और सेब (y), और कोई पैसा नहीं है ।

1. ग्राफिकल उदाहरण: मान लीजिए कि प्रारंभिक आवंटन बिंदु X पर है, जहां जेन के पास केल्विन की तुलना में अधिक सेब हैं और केल्विन के पास जेन की तुलना में अधिक केले हैं।

जेन के उनके उदासीनता वक्र $$J_1$$ और केल्विन के $$K_1$$ को देखकर, हम देख सकते हैं कि यह एक संतुलन नहीं है - दोनों एजेंट $$P_x$$ और $$P_y$$ मूल्यों पर एक दूसरे के साथ व्यापार करने के इच्छुक हैं। व्यापार के बाद, जेन और केल्विन दोनों एक उदासीनता वक्र पर चले जाते हैं जो उपयोगिता के उच्च स्तर, $$J_2$$ और $$K_2$$. को दर्शाता है। नए अनधिमान वक्र बिंदु E पर प्रतिच्छेद करते हैं। दोनों वक्रों की स्पर्श रेखा का स्लोप -$$P_x / P_y$$ के समान है।

और $$MRS_{Jane} = P_x / P_y$$; $$MRS_{Kelvin} = P_x / P_y$$. जेन की प्रतिस्थापन की सीमांत दर (एमआरएस) केल्विन के समान है। इसलिए, 2 व्यक्तियों का समाज पेरेटो दक्षता तक पहुंचता है, जहां जेन या केल्विन को दूसरे को व्यर्थ बनाए बिना उत्तम बनाने का कोई रास्ता नहीं है।

2. अंकगणितीय उदाहरण: मान लीजिए कि दोनों एजेंटों के पास कॉब-डगलस उपयोगिताएँ हैं:
 * $$u_J(x,y) = x^a y^{1-a}$$
 * $$u_K(x,y) = x^b y^{1-b}$$

जहाँ $$a,b$$ स्थिरांक हैं.

मान लीजिए प्रारंभिक प्रतिभा $$E=[(1,0), (0,1)]$$ है.

x के लिए जेन का अनुरोध फलन है:
 * $$x_J(p_x,p_y,I_J) = \frac{a\cdot I_J}{p_x} = \frac{a\cdot (1\cdot p_x)}{p_x} = a$$

x के लिए केल्विन का अनुरोध फलन है:
 * $$x_K(p_x,p_y,I_K) = \frac{b\cdot I_K}{p_x} = \frac{b\cdot p_y}{p_x}$$

x के लिए मार्केट निकासी की स्थिति है:
 * $$x_J + x_K = E_{J,x} + E_{K,x} = 1$$

यह समीकरण संतुलन मूल्य अनुपात उत्पन्न करता है:
 * $$\frac{p_2}{p_1} = \frac{1-a}{b}$$

हम y के लिए समान गणना कर सकते हैं, किन्तु इसकी आवश्यकता नहीं है, क्योंकि वाल्रास का नियम आश्वासन देता है कि परिणाम समान होंगे। ध्यान दें कि सीई में, केवल सापेक्ष मूल्य निर्धारित की जाती हैं; हम मूल्य को सामान्य कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, $$p_1+p_2=1$$ की आवश्यकता के द्वारा। तब हमें $$p_1=\frac{b}{1+b-a}, p_1=\frac{1-a}{1+b-a}$$ प्राप्त होता है। किन्तु कोई अन्य सामान्यीकरण भी काम करेगा।

3. गैर-अस्तित्व उदाहरण: मान लीजिए कि एजेंटों की उपयोगिताएँ हैं:
 * $$u_J(x,y)=u_K(x,y) = \max(x,y)$$

और प्रारंभिक बंदोबस्ती [(2,1),(2,1)] है। सीई में, प्रत्येक एजेंट के पास या तो केवल x या केवल y होना चाहिए (अन्य उत्पाद उपयोगिता में कुछ भी योगदान नहीं देता है इसलिए एजेंट इसे एक्सचेंज करना चाहेगा)। इसलिए, एकमात्र संभावित सीई आवंटन [(4,0),(0,2)] और [(0,2),(4,0)] हैं। चूँकि एजेंटों की आय समान होती है, आवश्यक रूप से $$p_y = 2 p_x$$ किन्तु फिर, y की 2 इकाइयाँ रखने वाला एजेंट उन्हें x की 4 इकाइयों के बदले बदलना चाहेगा।

4. रैखिक उपयोगिताओं से जुड़े अस्तित्व और गैर-अस्तित्व के उदाहरणों के लिए, रैखिक उपयोगिता या उदाहरण देखें।

अविभाज्य वस्तुएँ
जब अर्थव्यवस्था में अविभाज्य वस्तुएं होती हैं, तो यह मान लेना सामान्य बात है कि धन भी है, जो विभाज्य है। एजेंटों के पास क्वासिलिनियर उपयोगिता कार्य होते हैं: उनकी उपयोगिता उनके पास उपस्थित धन की मात्रा और उनके पास उपस्थित वस्तुओं के बंडल से उपयोगिता है।

A. एकल वस्तुए : ऐलिस के पास कार है जिसका मूल्य वह 10 मानती है। बॉब के पास कोई कार नहीं है, और वह ऐलिस की कार का मूल्य 20 मानता है। संभावित CE है: कार की मूल्य 15 है, बॉब को कार मिलती है और वह ऐलिस को 15 का भुगतान करता है। यह संतुलन है क्योंकि मार्केट साफ़ हो गया है और दोनों एजेंट अपने प्रारंभिक बंडल की तुलना में अपने अंतिम बंडल को प्राथमिकता देते हैं। वास्तव में, 10 और 20 के मध्य की प्रत्येक मूल्य समान आवंटन के साथ CE मूल्य होगी। यही स्थिति तब होती है जब कार प्रारंभिक में ऐलिस के पास नहीं होती है किन्तु आक्शन में होती है जिसमें ऐलिस और बॉब दोनों खरीदार होते हैं: कार बॉब के पास जाएगी और मूल्य 10 और 20 के मध्य कहीं भी होगी।

दूसरी ओर, 10 से नीचे की कोई भी मूल्य संतुलन मूल्य नहीं है क्योंकि अतिरिक्त अनुरोध है (ऐलिस और बॉब दोनों उस मूल्य पर कार चाहते हैं), और 20 से ऊपर की कोई भी मूल्य संतुलन मूल्य नहीं है क्योंकि अतिरिक्त आपूर्ति है (इसमें न तो ऐलिस और न ही बॉब उस मूल्य पर कार चाहते हैं)।

यह उदाहरण दोहरी आक्शन का विशेष स्थिति है।

बी. विकल्प: कार और घोड़ा आक्शन में बेचे जाते हैं। ऐलिस केवल परिवहन की परवाह करती है, इसलिए उसके लिए ये सही विकल्प हैं: उसे घोड़े से उपयोगिता 8 मिलती है, कार से 9, और यदि उसके पास ये दोनों हैं तो वह केवल कार का उपयोग करती है, इसलिए उसकी उपयोगिता 9 है। बॉब को घोड़े से 5 और कार से 7 उपयोगिता मिलती है, किन्तु यदि उसके पास ये दोनों हैं तो उसकी उपयोगिता 11 है क्योंकि वह पालतू जानवर के रूप में घोड़े को भी पसंद करता है। इस स्थितियों में संतुलन खोजना अधिक कठिन है (देखें या संतुलन खोजना)। संभावित संतुलन यह है कि ऐलिस 5 में घोड़ा खरीदती है और बॉब 7 में कार खरीदता है। यह संतुलन है क्योंकि बॉब घोड़े के लिए 5 का भुगतान नहीं करना चाहेगा जिससे उसे केवल 4 अतिरिक्त उपयोगिता मिलेगी, और ऐलिस कार के लिए 7 का भुगतान नहीं करना चाहेगी जिससे उसे केवल 1 अतिरिक्त उपयोगिता मिलेगी।

सी. पूरक: एक घोड़ा और एक गाड़ी आक्शन में बेची जाती है। दो संभावित खरीदार हैं: AND और XOR AND केवल घोड़ा और गाड़ी को एक साथ रखना चाहता है - दोनों को पकड़ने पर उन्हें $$v_{and}$$ की उपयोगिता मिलती है, किन्तु उनमें से केवल एक को पकड़ने पर 0 की उपयोगिता मिलती है। एक्सओआर या तो घोड़ा या गाड़ी चाहता है, किन्तु दोनों की जरूरत नहीं है - उनमें से एक को रखने से उन्हें $$v_{xor}$$ की उपयोगिता मिलती है और दोनों को रखने के लिए एक ही उपयोगिता मिलती है। यहां, जब $$v_{and} < 2 v_{xor}$$, प्रतिस्पर्धी संतुलन उपस्थित नहीं होता है, अथार्त, कोई भी मूल्य मार्किट को खाली नहीं करेगी। प्रमाण: मूल्यों के योग के लिए निम्नलिखित विकल्पों पर विचार करें (घोड़े की मूल्य + गाड़ी की मूल्य):
 * योग $$v_{and}$$ से कम है. फिर, AND दोनों वस्तुए चाहता है। चूँकि कम से कम एक वस्तु की मूल्य $$v_{xor}$$ से कम है, एक्सओआर उस वस्तु को चाहता है, इसलिए अतिरिक्त अनुरोध है।
 * योग बिल्कुल $$v_{and}$$ है. फिर, AND दोनों वस्तुओं को खरीदने और किसी भी वस्तु को न खरीदने के बीच उदासीन है। किन्तु एक्सओआर अभी भी बिल्कुल एक वस्तुए चाहता है, इसलिए या तो अतिरिक्त अनुरोध है या अतिरिक्त आपूर्ति है।
 * योग $$v_{and}$$ इससे भी अधिक है फिर, AND को कोई वस्तु नहीं चाहिए और एक्सओआर अभी भी अधिकतम ही वस्तु चाहता है, इसलिए आपूर्ति अधिक है।

डी. यूनिट-डिमांड उपभोक्ता: n उपभोक्ता हैं। प्रत्येक उपभोक्ता का एक सूचकांक $$i=1,...,n$$ होता है। अच्छाई का एक ही प्रकार होता है। प्रत्येक उपभोक्ता वस्तु की अधिकतम एक इकाई चाहता है, जो उसे $$u(i)$$ की उपयोगिता प्रदान करती है। उपभोक्ताओं को इस तरह से आदेश दिया गया है कि $$u$$, $$i$$ का अशक्त रूप से बढ़ने वाला कार्य है। यदि आपूर्ति $$k\leq n$$ इकाइयां है, तो कोई भी मूल्य $$p$$ जो संतुष्ट करती है जिससे $$u(n-k)\leq p\leq u(n-k+1)$$ एक संतुलन मूल्य है, क्योंकि ऐसे k उपभोक्ता हैं जो या तो उत्पाद खरीदना चाहते हैं या इसे खरीदने और न खरीदने के बीच उदासीन हैं। ध्यान दें कि आपूर्ति में वृद्धि से मूल्य में कमी आती है।

विभाज्य संसाधन
एरो-डेब्रू मॉडल से पता चलता है कि प्रत्येक विनिमय अर्थव्यवस्था में सीई उपस्थित है जिसमें विभाज्य सामान निम्नलिखित नियम को पूरा करते हैं:
 * सभी एजेंटों की प्राथमिकताएं सख्ती से उत्तल होती हैं;
 * सभी वस्तुएँ वांछनीय हैं. इसका अर्थ यह है कि, यदि कोई अच्छा $$j$$ मुफ्त में दिया जाता है ($$p_j=0$$), तो सभी एजेंट उस अच्छे से जितना संभव हो सके उतना चाहते हैं।

प्रमाण अनेक चरणों में आगे बढ़ता है।

A. ठोसता के लिए, मान लें कि $$n$$ एजेंट और $$k$$ विभाज्य वस्तुएँ हैं सामान्यीकरण (सांख्यिकी) मूल्य इस प्रकार हैं कि उनका योग 1 है, अर्थात।

$$\sum_{j=1}^k p_j = 1$$ फिर सभी संभावित कीमतों का स्थान $$\mathbb{R}^k$$ में $$k-1$$-आयामी इकाई सिम्प्लेक्स है। हम इस सिम्प्लेक्स को प्राइस सिम्प्लेक्स कहते हैं।

बी. मान लीजिए $$z$$ अतिरिक्त अनुरोध फलन है। यह मूल्य सदिश $$p$$ का एक कार्य है जब प्रारंभिक प्रतिभा $$E$$ को स्थिर रखा जाता है:
 * $$z(p) = \sum_{i=1}^n {x_i(p, p\cdot E_i) - E_i}$$

यह ज्ञात है कि, जब एजेंटों के पास सख्ती से उत्तल प्राथमिकताएं होती हैं, तो मार्शलियन अनुरोध फलन निरंतर होता है। अतः, $$z$$ भी $$p$$ का एक सतत फलन है।

C. निम्नलिखित फलन को मूल्य सिंप्लेक्स से स्वयं तक परिभाषित करें:
 * $$g_i(p) = \frac{p_i + \max(0, z_i(p))}{1 + \sum_{j=1}^k \max(0,z_j(p))}, \forall i\in 1,\dots,k$$

यह सतत फलन है, इसलिए ब्रौवर निश्चित-बिंदु प्रमेय के अनुसार मूल्य सदिश $$p^*$$ है ऐसा है कि:
 * $$p^* = g(p^*)$$

इसलिए,
 * $$p^*_i = \frac{p_i + \max(0, z_i(p))}{1 + \sum_{j=1}^k \max(0,z_j(p))}, \forall i\in 1,\dots,k$$

डी. वाल्रास के नियम और कुछ बीजगणित का उपयोग करके, यह दिखाना संभव है कि इस मूल्य सदिश के लिए, किसी भी उत्पाद में कोई अतिरिक्त अनुरोध नहीं है, अर्थात:
 * $$z_j(p^*) \leq 0, \forall j\in 1,\dots,k$$

ई. वांछनीयता धारणा का तात्पर्य है कि सभी उत्पादों की मूल्य सख्ती से धनात्मक हैं:
 * $$p_j > 0, \forall j\in 1,\dots,k$$

वाल्रास के नियम के अनुसार, $$p^* \cdot z(p^*) = 0$$. किन्तु इसका तात्पर्य यह है कि उपरोक्त असमानता समानता होनी चाहिए:
 * $$z_j(p^*) = 0, \forall j\in 1,\dots,k$$

इस का अर्थ है कि $$p^*$$ प्रतिस्पर्धी संतुलन का मूल्य सदिश है।

ध्यान दें कि रैखिक उपयोगिताएँ केवल अशक्त रूप से उत्तल होती हैं, इसलिए वे एरो-डेब्रू मॉडल के लिए योग्य नहीं हैं। चूँकि, डेविड गेल ने सिद्ध किया कि प्रत्येक रैखिक विनिमय अर्थव्यवस्था में कुछ नियम को पूरा करने वाला CE उपस्थित होता है। विवरण के लिए रैखिक उपयोगिताएँया प्रतिस्पर्धी संतुलन का अस्तित्व देखें।

मार्केट संतुलन की गणना के लिए एल्गोरिदम मार्केट संतुलन गणना में वर्णित हैं।

अविभाज्य वस्तुएँ

 * 1) उदाहरणों में, प्रतिस्पर्धी संतुलन तब उपस्थित था जब वस्तुएं स्थानापन्न थीं किन्तु तब नहीं जब वस्तुएं पूरक थीं। यह संयोग नहीं है।

दो वस्तुओं इस का अर्थ है कि $$\frac{\Delta \text{demand}(X)}{\Delta \text{price}(Y)}\geq 0$$. अथार्त, यदि Y की मूल्य बढ़ती है, तो X की अनुरोध या तो स्थिर रहती है या बढ़ती है, किन्तु घटती नहीं है। यदि Y की मूल्य घटती है, तो X की अनुरोध या तो स्थिर रहती है या घट जाती है।

एक उपयोगिता फलन को जीएस कहा जाता है, यदि इस उपयोगिता फलन के अनुसार, विभिन्न वस्तुओं के सभी जोड़े जीएस हैं। जीएस उपयोगिता फलन के साथ, यदि किसी एजेंट के पास किसी दिए गए मूल्य सदिश पर अनुरोध निर्धारित है, और कुछ वस्तुओं की मूल्य बढ़ती हैं, तो एजेंट के पास अनुरोध समूह होता है जिसमें वे सभी वस्तुएं सम्मिलित होती हैं जिनकी मूल्य स्थिर रहती है। वह यह निश्चित कर सकता है कि उसे ऐसी वस्तु नहीं चाहिए जो अधिक मूल्यवान हो गई है; वह यह भी निर्णय ले सकता है कि उसे इसके बदले कोई अन्य वस्तु चाहिए (एक विकल्प); किन्तु वह यह निश्चित नहीं कर सकता कि उसे कोई तीसरी वस्तु नहीं चाहिए जिसकी मूल्य में बदलाव नहीं हुआ है।

जब सभी एजेंटों के उपयोगिता कार्य जीएस होते हैं, तो प्रतिस्पर्धी संतुलन सदैव उपस्थित रहता है। इसके अतिरिक्त, जीएस वैल्यूएशन का समूह इकाई अनुरोध वैल्यूएशन वाला सबसे बड़ा समूह है, जिसके लिए प्रतिस्पर्धी संतुलन के अस्तित्व की आश्वासन है: किसी भी गैर-जीएस वैल्यूएशन के लिए, यूनिट-डिमांड वैल्यूएशन उपस्थित हैं, जैसे कि दिए गए गैर-जीएस वैल्यूएशन के साथ इन यूनिट-डिमांड वैल्यूएशन के लिए प्रतिस्पर्धी संतुलन उपस्थित नहीं है।

एक विशेष प्रकार के मार्किट में प्रतिस्पर्धी संतुलन खोजने की कम्प्यूटेशनल समस्या के लिए, फिशर मार्केटया अविभाज्य देखें।

प्रतिस्पर्धी संतुलन और आवंटन दक्षता
कल्याणकारी अर्थशास्त्र के मौलिक प्रमेयों के अनुसार, कोई भी सीई आवंटन पेरेटो दक्षता है, और कोई भी कुशल आवंटन प्रतिस्पर्धी संतुलन द्वारा टिकाऊ हो सकता है। इसके अतिरिक्त वेरियन के प्रमेय के अनुसार, सीई आवंटन जिसमें सभी एजेंटों की समान आय होती है, वह भी ऐंवई-मुक्त है।

प्रतिस्पर्धी संतुलन में, समाज किसी वस्तु पर जो मूल्य लगाता है, वह उसके उत्पादन के लिए दिए गए संसाधनों के मूल्य के समान होता है (सीमांत लाभ सीमांत निवेश के समान होता है)। यह आवंटन दक्षता सुनिश्चित करता है: समाज किसी अन्य वस्तु की इकाई पर जो अतिरिक्त मूल्य लगाता है, वह उसके उत्पादन के लिए समाज को संसाधनों में दिए जाने वाले मूल्य के समान होता है।

ध्यान दें कि सूक्ष्म आर्थिक विश्लेषण योगात्मक उपयोगिता को नहीं मानता है, न ही यह किसी पारस्परिक उपयोगिता व्यापार को मानता है। इसलिए, दक्षता का तात्पर्य पेरेटो सुधार की अनुपस्थिति से है। यह किसी भी तरह से आवंटन की निष्पक्षता (वितरणात्मक न्याय या इक्विटी (अर्थशास्त्र) के अर्थ में) पर विचार नहीं करता है। कुशल संतुलन वह हो सकता है जहां खिलाड़ी के पास सभी चीजें हों और अन्य खिलाड़ियों के पास कुछ भी न हो (एक चरम उदाहरण में), जो इस अर्थ में कुशल है कि कोई पेरेटो सुधार खोजने में सक्षम नहीं हो सकता है - जो सभी खिलाड़ियों को बनाता है (जिसमें सम्मिलित हैं) इस स्थितियों में सब कुछ के साथ एक) उत्तम स्थिति में (सख्त पेरेटो सुधार के लिए), या व्यर्थ स्थिति में नहीं है।

अविभाज्य वस्तुए असाइनमेंट के लिए कल्याण प्रमेय
अविभाज्य वस्तुओं के स्थितियों में, हमारे पास कल्याण अर्थशास्त्र के दो मौलिक प्रमेयों के निम्नलिखित शसक्त संस्करण हैं:
 * 1) कोई भी प्रतिस्पर्धी संतुलन सामाजिक कल्याण (उपयोगिताओं का योग) को अधिकतम करता है,जिसमे न केवल वस्तुओं के सभी यथार्थवादी असाइनमेंट पर, किन्तु वस्तुओं के सभी आंशिक असाइनमेंट पर भी है। अथार्त, तथापि हम किसी वस्तु के अंशों को अलग-अलग लोगों को सौंप सकते हैं, हम प्रतिस्पर्धी संतुलन से उत्तम कुछ नहीं कर सकते हैं जिसमें केवल संपूर्ण वस्तुओं को निरुपित किया जाता है।
 * 2) यदि कोई अभिन्न असाइनमेंट है (बिना किसी आंशिक असाइनमेंट के) जो सामाजिक कल्याण को अधिकतम करता है, तो उस असाइनमेंट के साथ प्रतिस्पर्धी संतुलन होता है।

एक संतुलन खोजना
अविभाज्य वस्तुए असाइनमेंट के स्थितियों में, जब सभी एजेंटों के उपयोगिता कार्य जीएस (या संतुलन का अस्तित्व) होते हैं, तो आरोही आक्शन का उपयोग करके प्रतिस्पर्धी संतुलन खोजना संभव है। आरोही आक्शन में, नीलामीकर्ता मूल्य सदिश प्रकाशित करता है, प्रारंभिक में शून्य, और खरीदार इन मूल्यों के अनुसार अपने इच्छित बंडल की घोषणा करते हैं। यदि प्रत्येक वस्तु अधिकतम ही बोली लगाने वाले द्वारा वांछित है, तो वस्तुओं को विभाजित कर दिया जाता है और आक्शन समाप्त हो जाती है। यदि या अधिक वस्तुओं पर अतिरिक्त अनुरोध होती है तो नीलामीकर्ता अधिक अनुरोध वाली वस्तु की मूल्य थोड़ी सी राशि (उदाहरण के लिए डॉलर) बढ़ा देता है, और खरीदार फिर से बोली लगाते हैं।

साहित्य में अनेक अलग-अलग आरोही-आक्शन प्रक्रिया सुझाए गए हैं। ऐसे प्रक्रिया को अधिकांशतः वालरासियन आक्शन, वालरासियन टैटनमेंट या अंग्रेजी आक्शन कहा जाता है।

यह भी देखें

 * ऐंवई-मुक्त मूल्य-निर्धारण - वालरासियन संतुलन की छूट जिसमें कुछ वस्तुएं असंबद्ध रह सकती हैं।
 * फिशर मार्किट - सरलीकृत मार्किट मॉडल, जिसमें विक्रेता और अनेक खरीदार होते हैं, जिसमें सीई की गणना कुशलतापूर्वक की जा सकती है।
 * आवंटन दक्षता
 * आर्थिक संतुलन
 * सामान्य संतुलन सिद्धांत
 * वालरासियन आक्शन

==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                  ==



बाहरी संबंध

 * Competitive equilibrium, Walrasian equilibrium and Walrasian auction in Economics Stack Exchange.