सामान्य सापेक्षता के विकल्प

सामान्य सापेक्षता के विकल्प भौतिक सिद्धांत हैं। जो आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत की प्रतिस्पर्धा में गुरुत्वाकर्षण की घटना का वर्णन करने का प्रयास करते हैं। गुरुत्वाकर्षण के आदर्श सिद्धांत के निर्माण के लिए कई अलग-अलग प्रयास किए गए हैं।

इन प्रयासों को उनके सीमा के आधार पर चार व्यापक श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है। इस लेख में सामान्य सापेक्षता के सीधे विकल्पों पर चर्चा की गई है। जिसमें क्वांटम यांत्रिकी या बल एकीकरण सम्मिलित नहीं है। अन्य सिद्धांत जो क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांतों का उपयोग करके सिद्धांत का निर्माण करने का प्रयास करते हैं। उन्हें क्वांटम गुरुत्व के सिद्धांतों के रूप में जाना जाता है। तीसरे ऐसे सिद्धांत हैं जो एक ही समय में गुरुत्वाकर्षण और अन्य बलों की व्याख्या करने का प्रयास करते हैं। इन्हें शास्त्रीय एकीकृत क्षेत्र सिद्धांतो के रूप में जाना जाता है। अंत में सबसे महत्वाकांक्षी सिद्धांत गुरुत्वाकर्षण को क्वांटम यांत्रिक शब्दों में रखने और बलों को एकत्र करने का प्रयास करते हैं; इन्हें प्रत्तेक वस्तु का सिद्धांत कहते है।

सामान्य सापेक्षता के इन विकल्पों में से किसी को भी व्यापक स्वीकृति नहीं मिली है। सामान्य सापेक्षता के कई परीक्षणों का सामना किया है। अब तक के सभी अवलोकनों के अनुरूप बने रहें। इसके विपरीत कई प्रारंभिक विकल्प निश्चित रूप से अप्रमाणित हैं। चूंकि गुरुत्वाकर्षण के कुछ वैकल्पिक सिद्धांत कुछ भौतिकविदों द्वारा समर्थित हैं और यह विषय सैद्धांतिक भौतिकी में गहन अध्ययन का विषय बना हुआ है।

सामान्य सापेक्षता के माध्यम से गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत का इतिहास
17वीं शताब्दी में प्रकाशित होने के समय न्यूटन का सार्वत्रिक गुरुत्वाकर्षण का नियम इसाक न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का सिद्धांत गुरुत्वाकर्षण का सबसे स्पष्ट सिद्धांत था। तब से कई विकल्प प्रस्तावित किए गए थे। 1915 में सामान्य सापेक्षता के सूत्रीकरण से पहले के सिद्धांतों पर गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत के इतिहास में चर्चा की गई है।

सामान्य सापेक्षता
यह सिद्धांत जिसे अब हम सामान्य सापेक्षता कहते हैं (तुलना के लिए यहां सम्मिलित ), मिन्कोव्स्की मीट्रिक को पूरी तरह से बहिष्कृत करते हुए आइंस्टीन को मिलता है:


 * $$\delta \int ds = 0 \,$$
 * $${ds}^2 = g_{\mu \nu} \, dx^\mu \, dx^\nu \,$$
 * $$R_{\mu\nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} \left( T_{\mu \nu} - \frac {1}{2} g_{\mu \nu}T \right) \,$$

जिसे लिखा जा सकता है


 * $$T^{\mu\nu} = {c^4 \over 8 \pi G} \left( R^{\mu \nu}-\frac {1}{2} g^{\mu \nu} R \right) \,.$$

आइंस्टीन द्वारा उपरोक्त अंतिम समीकरण प्रस्तुत करने के पांच दिन पहले हिल्बर्ट ने लगभग समान समीकरण वाला पेपर प्रस्तुत किया था। सामान्य सापेक्षता प्राथमिकता विवाद देखें। हिल्बर्ट सामान्य सापेक्षता के लिए आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया को सही ढंग से बताने वाले पहले व्यक्ति थे, जो है:


 * $$S = {c^4 \over 16 \pi G} \int R \sqrt{-g} \ d^4 x + S_m \,$$

जहां $$G \,$$ न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, $$R = R_{\mu}^{~\mu} \,$$ अंतरिक्ष का रिक्की वक्रता है, $$g = \det ( g_{\mu \nu} ) \,$$ और $$S_m \,$$ द्रव्यमान के कारण क्रिया (भौतिकी) है।

सामान्य सापेक्षता टेन्सर सिद्धांत है। सभी समीकरणों में टेन्सर होते हैं। दूसरी ओर नॉर्डस्ट्रॉम के सिद्धांत अदिश सिद्धांत हैं क्योंकि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र अदिश राशि है। अन्य प्रस्तावित विकल्पों में स्केलर-टेंसर सिद्धांत सम्मिलित हैं जिनमें सामान्य सापेक्षता के टेंसरों के अतिरिक्त स्केलर फ़ील्ड सम्मिलित है, और वेक्टर फ़ील्ड वाले अन्य रूपों को वर्तमान में विकसित किया गया है।

प्रेरणा
सामान्य सापेक्षता के बाद या तो सामान्य सापेक्षता से पहले विकसित सिद्धांतों में सुधार करने या सामान्य सापेक्षता में सुधार करने के प्रयास किए गए। कई अलग-अलग रणनीतियों का प्रयास किया गया। उदाहरण के लिए सामान्य सापेक्षता में स्पिन को जोड़ना सामान्य सापेक्षता-जैसी मीट्रिक को स्पेसटाइम के साथ जोड़ना जो ब्रह्मांड के विस्तार के संबंध में स्थिर है। एक और पैरामीटर जोड़कर अतिरिक्त स्वतंत्रता प्राप्त करना। कम से कम एक सिद्धांत सामान्य सापेक्षता का एक विकल्प विकसित करने की इच्छा से प्रेरित था जो विलक्षणता से मुक्त हो।

सिद्धांतों के साथ प्रायोगिक परीक्षणों में सुधार हुआ। सामान्य सापेक्षता के तुरंत बाद विकसित की गई कई अलग-अलग रणनीतियों को छोड़ दिया गया था, और सिद्धांतों के अधिक सामान्य रूपों को विकसित करने के लिए एक धक्का था, जिससे एक सिद्धांत तैयार हो सके जब कोई परीक्षण सामान्य सापेक्षता के साथ असहमति दिखाता है।

1980 के दशक तक प्रायोगिक परीक्षणों की बढ़ती सटीकता ने सभी सामान्य सापेक्षता की पुष्टि कर दी थी। विशेष स्थितियों के रूप में सामान्य सापेक्षता को सम्मिलित करने वालों को छोड़कर कोई प्रतिस्पर्धी नहीं बचा था। इसके अतिरिक्त सिद्धांतकारों ने स्ट्रिंग थ्योरी पर स्विच किया। जो आशाजनक दिखने लगा था, किन्तु तब से इसकी लोकप्रियता कम हो गई है। 1980 के दशक के मध्य में कुछ प्रयोग सुझाव दे रहे थे कि कुछ मीटर की सीमा में अभिनय करने वाले पांचवें बल (या एक स्थितियों में, पांचवें, छठे और सातवें बल) के अतिरिक्त गुरुत्वाकर्षण को संशोधित किया जा रहा था। बाद के प्रयोगों ने इन्हें समाप्त कर दिया।

अधिक हाल के वैकल्पिक सिद्धांतों के लिए प्रेरणाएं लगभग सभी ब्रह्माण्ड संबंधी हैं। जो लौकिक मुद्रास्फीति गहरे द्रव्य और काली ऊर्जा जैसी संरचनाओं से जुड़ी हैं या उनकी जगह लेती हैं। पायनियर विसंगति की जांच ने सामान्य सापेक्षता के विकल्पों में नए सिरे से सार्वजनिक रुचि पैदा की है।

इस लेख में संकेतन
$$c\;$$ प्रकाश की गति है, $$G\;$$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है। प्राकृतिक इकाइयों का उपयोग नहीं किया जाता है।

लैटिन सूचकांक 1 से 3 तक जाते हैं, यूनानी सूचकांक 0 से 3 तक जाते हैं। आइंस्टीन संकेतन का उपयोग किया जाता है।

$$\eta_{\mu\nu}\;$$ मिन्कोवस्की स्थान है। $$g_{\mu\nu}\;$$ एक टेन्सर है, सामान्यतः मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता)। इनमें मीट्रिक हस्ताक्षर (−,+,+,+) होते हैं।

आंशिक व्युत्पन्न लिखा है $$\partial_\mu \varphi\;$$ या $$\varphi_{,\mu}\;$$. सहपरिवर्ती विभेदन लिखा है $$\nabla_\mu \varphi\;$$ या $$\varphi_{;\mu}\;$$.

सिद्धांतों का वर्गीकरण
गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांतों को कमजोर रूप से कई श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है। यहाँ वर्णित अधिकांश सिद्धांतों में है:
 * एक 'चाल (कम से कम चाल का सिद्धांत देखें, चाल की अवधारणा पर आधारित परिवर्तनशील सिद्धांत)
 * एक लाग्रंगियन घनत्व
 * एक मीट्रिक टेंसर

यदि किसी सिद्धांत में गुरुत्वाकर्षण के लिए लैग्रैन्जियन घनत्व है, तो $$L\,$$, फिर क्रिया का गुरुत्वीय भाग $$S\,$$, इसका अभिन्न अंग है:
 * $$S = \int L \sqrt{-g} \, \mathrm{d}^4x $$.

इस समीकरण में यह सामान्य है, चूंकि आवश्यक नहीं है $$g = -1\,$$ कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग करते समय स्थानिक अनंतता पर। उदाहरण के लिए आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया का उपयोग करता है
 * $$L\,\propto\, R $$

जहाँ R अदिश वक्रता है। अंतरिक्ष की वक्रता का माप है।

इस लेख में वर्णित लगभग हर सिद्धांत में एक क्रिया (भौतिकी) है। यह विश्वास देने का सबसे कुशल ज्ञात तरीका है कि ऊर्जा संवेग और कोणीय संवेग के आवश्यक संरक्षण नियम स्वतः सम्मिलित हो जाते हैं; चूंकि उन संरक्षण कानूनों का विरोध होने पर चाल करना आसान है। कैनोनिकल विधियां उन प्रणालियों के निर्माण का एक और तरीका प्रदान करती हैं। जिनमें आवश्यक संरक्षण कानून हैं, किन्तु यह दृष्टिकोण लागू करने के लिए अधिक भारी है। संशोधित न्यूटोनियन गतिकी के मूल 1983 संस्करण में कोई क्रिया नहीं थी।

कुछ सिद्धांतों में क्रिया होती है किन्तु लैग्रैन्जियन घनत्व नहीं। एक अच्छा उदाहरण व्हाइटहेड है, वहां की चाल को दूसरा-स्थानीय कहा जाता है।

गुरुत्वाकर्षण का सिद्धांत एक मीट्रिक सिद्धांत है और केवल इसे गणितीय प्रतिनिधित्व दिया जा सकता है। जिसमें दो स्थितियां हैं: शर्त 1: एक सममित मीट्रिक टेंसर आधुनिक है $$g_{\mu\nu}\,$$ मीट्रिक हस्ताक्षर (-, +, +, +) का, जो विशेष और सामान्य सापेक्षता के सामान्य तरीके से उचित-लंबाई और उचित-समय माप को नियंत्रित करता है:


 * $${d\tau}^2 = - g_{\mu \nu} \, dx^\mu \, dx^\nu \,$$

जहां सूचकांकों पर योग है $$\mu$$ और $$\nu$$ शर्त 2: तनावग्रस्त पदार्थ और क्षेत्र गुरुत्वाकर्षण द्वारा क्रियान्वित होने पर समीकरण के अनुसार प्रतिक्रिया करते हैं:


 * $$0 = \nabla_\nu T^{\mu \nu} = {T^{\mu \nu}}_{,\nu} + \Gamma^{\mu}_{\sigma \nu} T^{\sigma \nu} + \Gamma^{\nu}_{\sigma \nu} T^{\mu \sigma} \,$$

जहां $$T^{\mu \nu} \,$$ सभी पदार्थों और दूसरा-गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के लिए तनाव-ऊर्जा टेंसर है, और जहां $$\nabla_{\nu}$$ मीट्रिक के संबंध में सहपरिवर्ती व्युत्पन्न है और $$\Gamma^{\alpha}_{\sigma \nu} \,$$ क्रिस्टोफेल प्रतीक है। तनाव-ऊर्जा टेंसर को भी ऊर्जा की स्थिति को पूरा करना चाहिए।

मीट्रिक सिद्धांतों में सम्मिलित हैं (सरलतम से सबसे जटिल तक): (नीचे प्रस्तुत करने के लिए खंड आधुनिक सिद्धांत 1980 देखें)
 * स्केलर फील्ड सिद्धांत
 * बर्गमैन
 * कोलमैन
 * आइंस्टीन (1912)
 * आइंस्टीन-फोकर सिद्धांत
 * डेविड एल. ली-एलन लाइटमैन-वी-टू नी
 * लिटिलवुड
 * नि
 * नॉर्डस्ट्रॉम का गुरुत्वाकर्षण का सिद्धांत (गुरुत्वाकर्षण का पहला मीट्रिक सिद्धांत विकसित किया जाना है)
 * पेज-टपर
 * पापापेट्रो
 * रोसेन (1971)
 * व्हिट्रो-मोर्डुच
 * गुरुत्वाकर्षण का यिलमाज़ सिद्धांत (सिद्धांत से घटना क्षितिज को खत्म करने का प्रयास किया गया।)
 * क्वैसिलिनियर सिद्धांत (रैखिक निश्चित गेज सम्मिलित हैं)
 * बोलिनी–गियाम्बियागी–टिओम्नो
 * डेसर-लॉरेंट
 * व्हाइटहेड का गुरुत्वाकर्षण का सिद्धांत (केवल मंद क्षमता का उपयोग करने का विचार)
 * टेंसर सिद्धांत
 * आइंस्टीन की सामान्य सापेक्षता
 * चौथे क्रम का गुरुत्व (लैग्रैंगियन को रीमैन वक्रता टेंसर के दूसरे क्रम के संकुचन पर निर्भर रहने की अनुमति देता है)
 * f(R) गुरुत्वाकर्षण (लैग्रैंजियन को रिक्की स्केलर की उच्च शक्तियों पर निर्भर रहने की अनुमति देता है)
 * गॉस-बोनट ग्रेविटी
 * गुरुत्वाकर्षण का लवलॉक सिद्धांत (लैग्रैंगियन को रीमैन वक्रता टेंसर के उच्च-क्रम के संकुचन पर निर्भर रहने की अनुमति देता है)
 * अनंत व्युत्पन्न गुरुत्व
 * अदिश–टेंसर सिद्धांत
 * जैकब बेकनस्टीन
 * बर्गमैन-वैगनर
 * ब्रान्स-डिके सिद्धांत (सामान्य सापेक्षता का सबसे प्रसिद्ध विकल्प मच के सिद्धांत को लागू करने में अच्छा होने का विचार है)
 * जॉर्डन
 * केनेथ नॉर्डवेट
 * तीन
 * गिरगिट कण
 * प्रेशरॉन
 * वेक्टर–टेंसर सिद्धांत
 * हेलिंग्स-केनेथ नॉर्डवेट
 * क्लिफर्ड मार्टिन विल-केनेथ नॉर्डवेट
 * बायमेट्रिक सिद्धांत
 * एलन लाइटमैन–डेविड एल. ली
 * रैस्टल
 * रोसेन (1975)
 * अन्य मीट्रिक सिद्धांत


 * 1) दूसरा-मीट्रिक सिद्धांत सम्मिलित हैं
 * बेलिनफैंटे-स्विहार्ट
 * आइंस्टीन-कार्टन सिद्धांत (स्पिन-ऑर्बिटल कोणीय गति इंटरचेंज को संभालने का विचार)
 * कुस्तानहाइमो (1967)
 * टेलीपैरेललिज्म
 * गेज सिद्धांत गुरुत्वाकर्षण

मच के सिद्धांत के बारे में यहाँ एक शब्द उपयुक्त है क्योंकि इनमें से कुछ सिद्धांत मैक के सिद्धांत पर निर्भर करते हैं (जैसे व्हाइटहेड), और कई लोग इसकी चर्चा करते हैं (उदाहरण के लिए आइंस्टीन-ग्रॉसमैन, चोकर की मोटाई ). मच के सिद्धांत को न्यूटन और आइंस्टीन के बीच आधे रास्ते के घर के रूप में सोचा जा सकता है।
 * न्यूटन: निरपेक्ष स्थान और समय।
 * मैच: संदर्भ फ्रेम ब्रह्मांड में पदार्थ के वितरण से आता है।
 * आइंस्टीन: कोई संदर्भ ढांचा नहीं है।

1917 से 1980 के दशक तक के सिद्धांत
इस खंड में सामान्य सापेक्षता के बाद प्रकाशित सामान्य सापेक्षता के विकल्प सम्मिलित हैं, किन्तु आकाशगंगा रोटेशन के अवलोकन से पहले जो काले पदार्थ की परिकल्पना का नेतृत्व करते थे। यहां जिन लोगों पर विचार किया गया उनमें सम्मिलित हैं (विल देखें अभी  ): इन सिद्धांतों को बिना किसी ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक या अतिरिक्त अदिश या सदिश क्षमता के यहाँ प्रस्तुत किया गया है। साधारण कारण के लिए कि सुपरनोवा कॉस्मोलॉजी प्रोजेक्ट और हाई-जेड सुपरनोवा सर्च टीम द्वारा सुपरनोवा टिप्पणियों से पहले इनमें से एक या दोनों की आवश्यकता को मान्यता नहीं दी गई थी। किसी सिद्धांत में ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक और सर्वोत्कृष्टता को कैसे जोड़ा जाए, इसकी चर्चा आधुनिक सिद्धांतों के अनुसार की जाती है। (आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया भी देखें)।

अदिश क्षेत्र सिद्धांत
नॉर्डस्ट्रॉम के अदिश क्षेत्र सिद्धांत की पहले ही चर्चा की जा चुकी है। लिटिलवुड के, बर्गमैन, यिलमाज़, व्हिट्रो, मोर्डच,  पेज और टपर द्वारा दिए गए सामान्य सूत्र का पालन करें।

पेज और टपर के अनुसार, जो नॉर्डस्ट्रॉम को छोड़कर इन सभी पर चर्चा करते हैं, सामान्य अदिश क्षेत्र सिद्धांत कम से कम क्रिया के सिद्धांत से आता है:


 * $$\delta\int f \left(\tfrac{\varphi}{c^2} \right) \, ds=0$$

जहाँ अदिश क्षेत्र है,


 * $$\varphi = \frac{GM} r$$

और $c$ पर निर्भर हो सकता है और नहीं भी $$\varphi$$.

नॉर्डस्ट्रॉम में,


 * $$f(\varphi/c^2)=\exp(-\varphi/c^2), \qquad c=c_\infty$$

लिटिलवुड में और बर्गमैन,


 * $$f\left( \frac \varphi {c^2} \right) = \exp\left(-\frac{\varphi}{c^2} - \frac{(c/\varphi^2)^2} 2 \right) \qquad c=c_\infty\,$$

व्हिट्रो और मोर्डच में,


 * $$f\left(\frac \varphi {c^2} \right) = 1, \qquad c^2=c_\infty^2-2\varphi\,$$

व्हिट्रो और मोर्डच में,


 * $$f\left( \frac \varphi {c^2} \right)=\exp\left(-\frac \varphi {c^2} \right), \qquad c^2=c_\infty^2-2\varphi\,$$

पेज और टपर में,


 * $$f\left( \frac \varphi {c^2} \right) = \frac \varphi {c^2} + \alpha\left( \frac \varphi {c^2} \right)^2, \qquad \frac{c_\infty^2}{c^2} = 1+ 4 \left( \frac \varphi {c_\infty^2} \right) + (15+2\alpha) \left( \frac \varphi {c_\infty^2} \right)^2$$

पेज और टपर गुरुत्वाकर्षण के यिलमाज़ सिद्धांत से दूसरे क्रम में मेल खाते है | $$\alpha=-7/2$$.

c स्थिर होने पर प्रकाश का गुरुत्वीय विक्षेपण शून्य होना चाहिए। यह देखते हुए कि चर c और प्रकाश का शून्य विक्षेपण दोनों प्रयोग के साथ संघर्ष में हैं। गुरुत्वाकर्षण के सफल स्केलर सिद्धांत की संभावना बहुत कम दिखती है। इसके अतिरिक्त, यदि अदिश सिद्धांत के मापदंडों को समायोजित किया जाता है जिससे प्रकाश का विक्षेपण सही हो तो गुरुत्वीय लाल विचलन गलत होने की संभावना है।

नी ने कुछ सिद्धांतों को संक्षेप में प्रस्तुत किया और दो और भी बनाए। पहले में पूर्व-विद्यमान विशेष सापेक्षता स्थान-समय और सार्वभौमिक समय अदिश क्षेत्र उत्पन्न करने के लिए पदार्थ और दूसरा-गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के साथ समन्वय करता है। यह अदिश क्षेत्र मीट्रिक उत्पन्न करने के लिए अन्य सभी के साथ मिलकर कार्य करता है।

क्रिया है:


 * $$S={1\over 16\pi G}\int d^4 x \sqrt{-g}L_\varphi+S_m$$
 * $$L_\varphi=\varphi R-2g^{\mu\nu} \, \partial_\mu\varphi \, \partial_\nu\varphi$$

मिसनर एट अल। इसके बिना देता है। $$\varphi R$$ अवधि $$S_m$$पदार्थ क्रिया है।


 * $$\Box\varphi=4\pi T^{\mu\nu} \left [\eta_{\mu\nu}e^{-2\varphi}+ \left (e^{2\varphi}+e^{-2\varphi} \right ) \, \partial_\mu t \, \partial_\nu t \right ]$$

$t$ सार्वभौमिक समय समन्वय है। यह सिद्धांत आत्मनिर्भर और पूर्ण है। किन्तु ब्रह्मांड के माध्यम से सौर मंडल की गति प्रयोग से गंभीर असहमति की ओर ले जाती है।

नी के दूसरे सिद्धांत में दो इच्छानुसार कार्य हैं $$f(\varphi)$$ और $$k(\varphi)$$ जो मीट्रिक से संबंधित हैं:


 * $$ds^2=e^{-2f(\varphi)}dt^2-e^{2f(\varphi)} \left [dx^2+dy^2+dz^2 \right ]$$
 * $$\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\varphi=4\pi\rho^*k(\varphi)$$

में रोसेन उद्धरण दो अदिश क्षेत्रों के रूप में $$\varphi$$ और $$\psi$$ जो मीट्रिक से संबंधित हैं:


 * $$ds^2=\varphi^2 \, dt^2-\psi^2 \left [dx^2+dy^2+dz^2 \right ]$$

पापापेट्रो लाग्रंगियन का गुरुत्वाकर्षण भाग है:


 * $$L_\varphi=e^\varphi \left(\tfrac{1}{2} e^{-\varphi} \, \partial_\alpha \varphi \, \partial_\alpha\varphi + \tfrac{3}{2} e^{\varphi} \, \partial_0\varphi \, \partial_0\varphi \right )$$

पापापेट्रो दूसरा अदिश क्षेत्र है $$\chi$$. लाग्रंगियन का गुरुत्वाकर्षण भाग अब है:


 * $$L_\varphi=e^{\frac{1}{2}(3\varphi+\chi)} \left (-\tfrac{1}{2} e^{-\varphi} \, \partial_\alpha \varphi \, \partial_\alpha\varphi -e^{-\varphi} \, \partial_\alpha\varphi \, \partial_\chi\varphi + \tfrac{3}{2} e^{-\chi} \, \partial_0 \varphi \, \partial_0\varphi \right )\,$$

द्विमितीय सिद्धांत
बायमेट्रिक सिद्धांतों में सामान्य टेन्सर मीट्रिक और मिंकोव्स्की मीट्रिक (या निरंतर वक्रता का मीट्रिक) दोनों होते हैं, और इसमें अन्य स्केलर या वेक्टर फ़ील्ड सम्मिलित हो सकते हैं।

रोजेन (1975) द्विमितीय सिद्धांत

क्रिया है:


 * $$S={1\over 64\pi G} \int d^4 x \, \sqrt{-\eta}\eta^{\mu\nu}g^{\alpha\beta}g^{\gamma\delta} (g_{\alpha\gamma |\mu} g_{\alpha\delta |\nu} -\textstyle\frac{1}{2}g_{\alpha\beta |\mu}g_{\gamma\delta |\nu})+S_m$$
 * $$\Box_\eta g_{\mu\nu}-g^{\alpha\beta}\eta^{\gamma\delta}g_{\mu\alpha |\gamma}g_{\nu\beta |\delta}=-16\pi G\sqrt{g/\eta}(T_{\mu\nu}-\textstyle\frac{1}{2}g_{\mu\nu} T)\,$$

लाइटमैन-ली बेलिनफैंटे और स्विहार्ट के दूसरे-मीट्रिक सिद्धांत पर आधारित एक मीट्रिक सिद्धांत विकसित किया। परिणाम को बीएसएलएल सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। एक टेंसर फ़ील्ड दिया गया $$B_{\mu\nu}\,$$, $$B=B_{\mu\nu}\eta^{\mu\nu}\,$$, और दो स्थिरांक $$a\,$$ और $$f\,$$ चाल है:


 * $$S={1\over 16\pi G}\int d^4 x\sqrt{-\eta}(aB^{\mu\nu|\alpha}B_{\mu\nu|\alpha} + fB_{,\alpha} B^{,\alpha}) + S_m$$

और तनाव-ऊर्जा टेन्सर से आता है:


 * $$a\Box_\eta B^{\mu\nu}+f\eta^{\mu\nu}\Box_\eta B=-4\pi G\sqrt{g/\eta} \, T^{\alpha\beta} \left( \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial B_\mu\nu} \right)$$

रैस्टल में, मेट्रिक मिंकोवस्की मेट्रिक और वेक्टर फ़ील्ड का बीजगणितीय फ़ंक्शन है। क्रिया है:


 * $$S={1\over 16\pi G}\int d^4 x \, \sqrt{-g} F(N)K^{\mu;\nu}K_{\mu;\nu}+S_m$$

जहां


 * $$F(N)=- \frac N {2+N} $$ और $$N=g^{\mu\nu} K_\mu K_\nu\;$$

(विल देखें क्षेत्र समीकरण के लिए $$T^{\mu\nu}\;$$ और $$K_\mu\;$$).

समरेखीय सिद्धांत
अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड में, भौतिक मीट्रिक $$g\;$$( जॉन लाइटन गाओ द्वारा) मिन्कोव्स्की मीट्रिक से बीजगणितीय रूप से निर्मित किया गया है। $$\eta\;$$और पदार्थ चर, इसलिए इसमें एक अदिश क्षेत्र भी नहीं है। निर्माण है:


 * $$g_{\mu\nu}(x^\alpha) = \eta_{\mu\nu}-2\int_{\Sigma^-}{y_\mu^- y_\nu^-\over(w^-)^3} \left[ \sqrt{-g}\rho u^\alpha \, d\Sigma_\alpha \right]^-$$

जहां सुपरस्क्रिप्ट (-) भूतकाल के साथ मूल्यांकन की गई मात्राओं को संकेत करता है। $$\eta\;$$ क्षेत्र बिंदु का प्रकाश शंकु $$x^\alpha\;$$ और



\begin{align} (y^\mu)^-& =x^\mu-(x^\mu)^-, \qquad (y^\mu)^-(y_\mu)^-=0,\\[5pt] w^- & =(y^\mu)^-(u_\mu)^-, \qquad (u_\mu) = \frac{dx^\mu}{d\sigma}, \\[5pt] d\sigma^2 & =\eta_{\mu\nu} \, dx^\mu \, dx^\nu \end{align} $$
 * लंबाई संकुचन एक सत्ज़ का उपयोग कर मीट्रिक निर्माण (एक दूसरा-मीट्रिक सिद्धांत से) की आलोचना की जाती है।
 * डेसर और लॉरेंट बोल्लिनी-गिआम्बियागी-टिओम्नो रैखिक निश्चित गेज सिद्धांत हैं। क्वांटम फील्ड थ्योरी से दृष्टिकोण लेते हुए, एक स्पिन-दो टेंसर फील्ड (अर्थात ग्रेविटॉन) के गेज इनवेरिएंट एक्शन के साथ मिंकोव्स्की स्पेसटाइम को मिलाएं। $$h_{\mu\nu}\;$$ परिभाषित करने के लिए


 * $$g_{\mu\nu} = \eta_{\mu\nu}+h_{\mu\nu}\;$$

क्रिया है:


 * $$S={1\over 16\pi G} \int d^4 x\sqrt{-\eta} \left[2h_{|\nu}^{\mu\nu}h_{\mu\lambda}^{|\lambda} -2h_{|\nu}^{\mu\nu}h_{\lambda|\mu}^{\lambda}+h_{\nu|\mu}^\nu h_\lambda^{\lambda|\mu} -h^{\mu\nu|\lambda}h_{\mu\nu|\lambda} \right] + S_m\;$$

इस आंशिक गेज आक्रमण से जुड़ी बियांची पहचान गलत है। रेखीय निश्चित गेज सिद्धांत सहायक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों की प्रारंभ के माध्यम से गुरुत्वाकर्षण क्रिया के गेज व्युत्क्रम को तोड़कर इसका समाधान करना चाहते हैं जो जोड़े को $$h_{\mu\nu}\;$$.

1923 में जी. टेंपल द्वारा सुझाई गई मिन्कोव्स्की पृष्ठभूमि को सिटर स्पेस द्वारा या एंटी-डी सिटर स्पेसटाइम में बदलने के सरल उपाय द्वारा एक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक को क्वासिलिनियर सिद्धांत में प्रस्तुत किया जा सकता है। ऐसा करने के तरीके पर मंदिर के सुझावों की 1955 में सी.बी. रेनर द्वारा आलोचना की गई थी।

टेन्सर सिद्धांत
आइंस्टीन का सामान्य सापेक्षता गुरुत्वाकर्षण का सबसे सरल प्रशंसनीय सिद्धांत है। जो केवल सममित टेंसर क्षेत्र (मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता)) पर आधारित हो सकता है। स्टारोबिंस्की (आर+आर^2) गुरुत्वाकर्षण, गॉस-बोनट गुरुत्वाकर्षण, एफ(आर) गुरुत्वाकर्षण, और गुरुत्वाकर्षण का लवलॉक सिद्धांत अन्य में सम्मिलित हैं।

स्टारोबिंस्की
अलेक्सी स्टारोबिंस्की द्वारा प्रस्तावित स्ट्रोबिन्स्की ग्रेविटी में लैग्रैंगियन है
 * $$\mathcal{L}= \sqrt{-g}\left[R+\frac{R^2}{6M^2}\right]

$$ और इसका उपयोग स्टारोबिंस्की मुद्रास्फीति के रूप में मुद्रास्फीति की व्याख्या करने के लिए किया गया है। यहाँ $$M$$ एक स्थिरांक है।

गॉस–बोनट
गॉस-बोनट गुरुत्वाकर्षण में क्रिया होती है

\mathcal{L} =\sqrt{-g}\left[R+ R^2 - 4R^{\mu\nu}R_{\mu\nu} + R^{\mu\nu\rho\sigma}R_{\mu\nu\rho\sigma} \right]. $$ जहां अतिरिक्त लक्ष्य के गुणांक चुने जाते हैं। जिससे क्रिया 4 स्पेसटाइम आयामों में सामान्य सापेक्षता को कम कर दे और अतिरिक्त आयाम केवल दूसरा-अल्प हों जब अधिक आयाम प्रस्तुत किए जाएं।

स्टेल का चौथा व्युत्पन्न गुरुत्व
स्टेल का चौथा व्युत्पन्न गुरुत्व जो गॉस-बोनट गुरुत्वाकर्षण का एक सामान्यीकरण है, में क्रिया है

\mathcal{L} =\sqrt{-g}\left[ R +f_1 R^2 + f_2 R^{\mu\nu}R_{\mu\nu} + f_3 R^{\mu\nu\rho\sigma}R_{\mu\nu\rho\sigma} \right]. $$

एफ (आर)
एफ (आर) गुरुत्वाकर्षण की क्रिया है

\mathcal{L}= \sqrt{-g} f(R) $$ और सिद्धांतों का एक परिवार है, प्रत्येक रिक्की स्केलर के एक अलग कार्य द्वारा परिभाषित किया गया है। स्टारोबिंस्की गुरुत्वाकर्षण वास्तव में एक है। एफ (आर) सिद्धांत।

अनंत व्युत्पन्न गुरुत्व
अनंत व्युत्पन्न गुरुत्वाकर्षण का एक सहसंयोजक सिद्धांत है। वक्रता में द्विघात, मरोड़ मुक्त और समता अपरिवर्तनीय है,

\mathcal{L} =\sqrt{-g} \left[ M_p^2 R + Rf_1\left( \frac \Box {M_s^2}\right)R + R^{\mu\nu}f_2 \left( \frac \Box {M_s^2} \right) R_{\mu\nu} + R^{\mu\nu\rho\sigma} f_3\left( \frac \Box {M_s^2}\right) R_{\mu\nu\rho\sigma} \right]. $$ और

2f_1 \left( \frac \Box {M_s^2} \right) + f_2 \left( \frac \Box {M_s^2} \right) + 2f_3 \left( \frac \Box {M_s^2} \right) = 0, $$ यह सुनिश्चित करने के लिए कि केवल द्रव्यमान रहित स्पिन -2 और स्पिन -0 घटक मिन्कोव्स्की पृष्ठभूमि के निकट ग्रेविटॉन प्रोपेगेटर में फैलते हैं। कार्रवाई पैमाने से दूर गैर-स्थानीय हो जाती है और गैर-स्थानीय पैमाने से नीचे की ऊर्जाओं के लिए इन्फ्रारेड में सामान्य सापेक्षता में वापस आ जाता है। पराबैंगनी शासन में, गैर-स्थानीय पैमाने के नीचे की दूरी और समय के पैमाने पर,गुरुत्वीय अन्योन्यक्रिया बिंदु जैसी विलक्षणता को हल करने के लिए पर्याप्त रूप से कमजोर हो जाती है, जिसका अर्थ है कि श्वार्जस्चिल्ड की विलक्षणता को गुरुत्वाकर्षण के अनंत व्युत्पन्न सिद्धांतों में संभावित रूप से हल किया जा सकता है।

लवलॉक
गुरुत्वाकर्षण के लवलॉक सिद्धांत में क्रिया है

\mathcal{L}=\sqrt{-g}\ (\alpha _{0}+\alpha _{1}R+\alpha _{2}\left( R^{2}+R_{\alpha \beta \mu \nu }R^{\alpha \beta \mu \nu }-4R_{\mu \nu }R^{\mu \nu }\right) +\alpha _{3}\mathcal{O}(R^{3})), $$ और सामान्य सापेक्षता के सामान्यीकरण के रूप में सोचा जा सकता है।

स्केलर-टेंसर सिद्धांत
इन सभी में कम से कम एक मुक्त पैरामीटर होता है। सामान्य सापेक्षता के विपरीत जिसमें कोई मुक्त पैरामीटर नहीं होता है।

चूंकि सामान्य रूप से गुरुत्वाकर्षण का स्केलर-टेंसर सिद्धांत नहीं माना जाता है। कलुजा-क्लेन सिद्धांत के 5 बाय 5 मीट्रिक, कलुजा-क्लेन 4 से 4 मीट्रिक और एक एकल स्केलर को कम करता है। इसलिए यदि 5वें तत्व को विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के अतिरिक्त एक अदिश गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के रूप में माना जाता है तो कलुज़ा-क्लेन सिद्धांत, कलुज़ा-क्लेन को गुरुत्वाकर्षण के स्केलर-टेंसर सिद्धांतों का पूर्वज माना जा सकता है। यह थ्री द्वारा पहचाना गया था।

अदिश-टेंसर सिद्धांतों में सम्मिलित हैं तीन, जॉर्डन, ब्रान्स और डिके, बर्गमैन, नॉर्डवेल्ड्ट (1970), वैगनर, बेकेंस्तें और बार्कर।

कार्य $$S\;$$ लाग्रंगियन के अभिन्न पर आधारित है $$L_\varphi\;$$.


 * $$S={1\over 16\pi G}\int d^4 x\sqrt{-g}L_\varphi+S_m\;$$
 * $$L_\varphi=\varphi R-{\omega(\varphi)\over\varphi} g^{\mu\nu} \, \partial_\mu\varphi \, \partial_\nu\varphi + 2\varphi \lambda(\varphi)\;$$
 * $$S_m=\int d^4 x \, \sqrt{g} \, G_N L_m\;$$
 * $$T^{\mu\nu}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {2\over\sqrt{g}}{\delta S_m\over\delta g_{\mu\nu}}$$

जहां $$\omega(\varphi)\;$$ प्रत्येक अलग स्केलर-टेंसर सिद्धांत के लिए एक अलग आयाम रहित कार्य है। कार्यक्रम $$\lambda(\varphi)\;$$ सामान्य सापेक्षता में ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के समान भूमिका निभाता है। $$G_N\;$$ एक आयामहीन सामान्यीकरण स्थिरांक है जो वर्तमान के मूल्य को ठीक करता है। $$G\;$$. स्केलर के लिए इच्छानुसार क्षमता जोड़ी जा सकती है।

बर्गमैन और वैगनर में पूर्ण संस्करण को बरकरार रखा गया है। विशेष स्थितिया हैं:

नॉर्डवेट, $$\lambda=0\;$$

तब से $$\lambda$$ उस समय शून्य माना जाता था। इसे एक महत्वपूर्ण अंतर नहीं माना जाता। अधिक आधुनिक कार्य में ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक की भूमिका पर ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक और सार तत्व के अंतर्गत चर्चा की गई है।

ब्रान्स-डिके, $$\omega\;$$ स्थिर है

बेकेंस्तें चर द्रव्यमान सिद्धांत

मापदंडों से शुरू $$r\;$$ और $$q\;$$, एक ब्रह्माण्ड संबंधी समाधान से मिला,

$$\varphi=[1-qf(\varphi)]f(\varphi)^{-r}\;$$ कार्य निर्धारित करता है $$f\;$$ तब


 * $$\omega(\varphi)=-\textstyle\frac{3}{2}-\textstyle\frac{1}{4}f(\varphi)[(1-6q) qf(\varphi)-1] [r+(1-r) qf(\varphi)]^{-2}\;$$

रिवाल्वर निरंतर जी सिद्धांत


 * $$\omega(\varphi)= \frac{4-3\varphi}{2\varphi-2} $$

का समायोजन $$\omega(\varphi)\;$$ स्केलर टेन्सर सिद्धांतों की सीमा में सामान्य सापेक्षता की ओर प्रवृत्त होने की अनुमति देता है $$\omega\rightarrow\infty\;$$ वर्तमान युग में। चूँकि, प्रारंभिक ब्रह्मांड में सामान्य सापेक्षता से महत्वपूर्ण अंतर हो सकते हैं।

जब तक प्रयोग द्वारा सामान्य सापेक्षता की पुष्टि की जाती है, तब तक सामान्य स्केलर-टेंसर सिद्धांत (ब्रान्स-डिके सहित) कभी भी पूरी तरह से अस्वीकृति नहीं किया जा सकता है, किन्तु जैसे-जैसे प्रयोग सामान्य सापेक्षता की अधिक सटीकता से पुष्टि करना जारी रखते हैं और मापदंडों को सही करना पड़ता है जिससे भविष्यवाणियां सामान्य सापेक्षता से अधिक निकटता से मेल खा सकें।

उपरोक्त उदाहरण हॉर्नडेस्की के सिद्धांत के विशेष स्थितियों हैं, मेट्रिक टेन्सर और अदिश क्षेत्र से निर्मित सबसे सामान्य लैग्रैन्जियन, जो 4-आयामी अंतरिक्ष में गति के दूसरे क्रम के समीकरणों की ओर ले जाता है। हॉर्नडेस्की (गति के उच्च क्रम समीकरणों के साथ) से दूर व्यवहार्य सिद्धांतों को अस्तित्व में दिखाया गया है।

वेक्टर-टेंसर सिद्धांत
शुरू करने से पहले, विल (2001) ने कहा है: 1970 और 1980 के दशक के दौरान विकसित कई वैकल्पिक मीट्रिक सिद्धांतों को स्ट्रॉ-मैन सिद्धांतों के रूप में देखा जा सकता है, यह साबित करने के लिए आविष्कार किया गया था कि ऐसे सिद्धांत आधुनिक हैं या विशेष गुणों को चित्रित करने के लिए। इनमें से कुछ को क्षेत्र सिद्धांत या कण भौतिकी के दृष्टिकोण से अच्छी तरह से प्रेरित सिद्धांतों के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण वेक्टर-टेंसर सिद्धांत हैं जिनका अध्ययन विल, नॉर्डवेट और हेलिंग्स द्वारा किया गया है।

हेलिंग्स और नॉर्डवेट और विल और नॉर्डवेट दोनों वेक्टर-टेंसर सिद्धांत हैं। मीट्रिक टेन्सर के अतिरिक्त एक टाइमलाइक वेक्टर फ़ील्ड भी है $$K_\mu.$$ गुरुत्वाकर्षण क्रिया है:


 * $$S=\frac{1}{16\pi G}\int d^4 x\sqrt{-g}\left [R+\omega K_\mu K^\mu R+\eta K^\mu K^\nu R_{\mu\nu}-\epsilon F_{\mu\nu}F^{\mu\nu}+\tau K_{\mu;\nu} K^{\mu;\nu} \right ]+S_m$$

जहां $$\omega, \eta, \epsilon, \tau$$ स्थिरांक हैं और


 * $$F_{\mu\nu}=K_{\nu;\mu}-K_{\mu;\nu}.$$ (विल देखें क्षेत्र समीकरणों के लिए $$T^{\mu\nu}$$ और $$K_\mu.$$)

विल और नॉर्डवेट एक विशेष स्थितियाँ है जहां


 * $$\omega=\eta=\epsilon=0; \quad \tau=1$$

हेलिंग्स और नॉर्डवेट एक विशेष स्थितियाँ है जहां


 * $$\tau=0; \quad\epsilon=1; \quad \eta=-2\omega$$

ये सदिश-टेंसर सिद्धांत अर्ध-रूढ़िवादी हैं, जिसका अर्थ है कि वे संवेग और कोणीय गति के संरक्षण के नियमों को संतुष्ट करते हैं किन्तु पसंदीदा फ्रेम प्रभाव हो सकते हैं। कब $$\omega=\eta=\epsilon=\tau=0$$ वे सामान्य सापेक्षता तक कम हो जाते हैं, इसलिए जब तक प्रयोग द्वारा सामान्य सापेक्षता की पुष्टि की जाती है, सामान्य वेक्टर-टेंसर सिद्धांतों को कभी भी अलग नहीं किया जा सकता है।

अन्य मीट्रिक सिद्धांत
अन्य मीट्रिक सिद्धांत प्रस्तावित किए गए हैं; जैकब बेकनस्टीन की आधुनिक सिद्धांतों के अनुसार चर्चा की गई है।

दूसरा-मीट्रिक सिद्धांत
कार्टन का सिद्धांत विशेष रूप से दोनों के लिए दिलचस्प है क्योंकि यह एक दूसरा-मीट्रिक सिद्धांत है और क्योंकि यह बहुत पुराना है। कार्टन के सिद्धांत की स्थिति अनिश्चित है। इच्छा का दावा है कि आइंस्टीन के तुल्यता सिद्धांत द्वारा सभी दूसरा-मीट्रिक सिद्धांतों को समाप्त कर दिया गया है। विल (2001) आइंस्टीन के तुल्यता सिद्धांत के खिलाफ दूसरा-मीट्रिक सिद्धांतों के परीक्षण के लिए प्रायोगिक मानदंडों की व्याख्या करके इसे कम करता है। मिसनर एट अल। दावा है कि कार्टन का सिद्धांत एकमात्र दूसरा-मीट्रिक सिद्धांत है जो उस तिथि तक के सभी प्रायोगिक परीक्षणों और तुरीशेव तक जीवित रहा कार्टन के सिद्धांत को उन गिने-चुने लोगों में सूचीबद्ध करता है जो उस तारीख तक सभी प्रायोगिक परीक्षणों से बचे हुए हैं। निम्नलिखित कार्टन के सिद्धांत का एक त्वरित रेखाचित्र है जैसा कि ट्रॉटमैन द्वारा पुन: प्रस्तुत किया गया है। कार्टन आइंस्टीन के गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत का एक सरल सामान्यीकरण सुझाया। उन्होंने मीट्रिक टेन्सर के साथ अंतरिक्ष समय का एक मॉडल प्रस्तावित किया और मीट्रिक के साथ संगत एक रैखिक कनेक्शन किन्तु जरूरी नहीं कि सममित हो। कनेक्शन का मरोड़ टेंसर आंतरिक कोणीय गति के घनत्व से संबंधित है। 1958 से 1966 के वर्षों में किब्बल द्वारा कार्टन से स्वतंत्र, इसी तरह के विचारों को साइआमा द्वारा आगे रखा गया था, जिसकी परिणति हेहल एट अल द्वारा 1976 की समीक्षा में हुई।

मूल विवरण विभेदक रूपों के संदर्भ में है, किन्तु वर्तमान लेख के लिए टेंसरों की अधिक परिचित भाषा (सटीकता के जोखिम को कम करने) द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। जैसा कि सामान्य सापेक्षता में होता है, लाग्रंगियन एक द्रव्यमान रहित और एक द्रव्यमान भाग से बना होता है। द्रव्यमान रहित भाग के लिए लाग्रंगियन है:



\begin{align} L & ={1\over 32\pi G}\Omega_\nu^\mu g^{\nu\xi}x^\eta x^\zeta \varepsilon_{\xi\mu\eta\zeta} \\[5pt] \Omega_\nu^\mu & =d \omega^\mu_\nu + \omega^\eta_\xi \\[5pt] \nabla x^\mu & =-\omega^\mu_\nu x^\nu \end{align} $$

$$\omega^\mu_\nu\;$$ h> रैखिक कनेक्शन है। $$\varepsilon_{\xi\mu\eta\zeta}\;$$ के साथ पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक छद्म-टेंसर (लेवी-सिविता प्रतीक) है $$\varepsilon_{0123}=\sqrt{-g}\;$$, और $$g^{\nu\xi}\,$$ मीट्रिक टेंसर सदैव की तरह है। यह मानते हुए कि रैखिक संबंध मीट्रिक है, दूसरा-मीट्रिक सिद्धांत में निहित अवांछित स्वतंत्रता को दूर करना संभव है। तनाव-ऊर्जा टेंसर की गणना निम्न से की जाती है:


 * $$T^{\mu\nu}={1\over 16\pi G} (g^{\mu\nu}\eta^\xi_\eta-g^{\xi\mu}\eta^\nu_\eta-g^{\xi\nu} \eta^\mu_\eta) \Omega^\eta_\xi\;$$

अंतरिक्ष वक्रता रीमैनियन नहीं है, किन्तु रीमैनियन स्पेस-टाइम पर लैग्रैंगियन सामान्य सापेक्षता के लैग्रैंगियन तक कम हो जाएगा।

बेलिनफैंटे और स्विहार्ट के दूसरा-मीट्रिक सिद्धांत के कुछ समीकरण #बायमेट्रिक सिद्धांतों पर अनुभाग में पहले ही चर्चा की जा चुकी है।

गेज थ्योरी ग्रेविटी द्वारा एक विशिष्ट दूसरा-मीट्रिक सिद्धांत दिया जाता है, जो मीट्रिक को उसके क्षेत्र समीकरणों में फ्लैट स्पेसटाइम में गेज फ़ील्ड की एक जोड़ी के साथ बदल देता है। एक ओर, सिद्धांत काफी रूढ़िवादी है क्योंकि यह आइंस्टीन-कार्टन सिद्धांत (या गायब स्पिन की सीमा में सामान्य सापेक्षता) के बराबर है, जो कि इसके वैश्विक समाधानों की प्रकृति में भिन्न है। दूसरी ओर, यह कट्टरपंथी है क्योंकि यह अंतर ज्यामिति को ज्यामितीय बीजगणित से बदल देता है।

आधुनिक सिद्धांत 1980 से वर्तमान
इस खंड में आकाशगंगा रोटेशन के अवलोकन के बाद प्रकाशित सामान्य सापेक्षता के विकल्प सम्मिलित हैं, जो डार्क मैटर की परिकल्पना का नेतृत्व करते हैं। इन सिद्धांतों की तुलना की कोई ज्ञात विश्वसनीय सूची नहीं है। यहां जिन लोगों पर विचार किया गया उनमें सम्मिलित हैं: बेकनस्टीन, मोफ़त, मोफ़त, मोफ़त। इन सिद्धांतों को ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक या अतिरिक्त अदिश या सदिश क्षमता के साथ प्रस्तुत किया जाता है।

प्रेरणा
सामान्य सापेक्षता के अधिक हाल के विकल्पों के लिए प्रेरणाएँ लगभग सभी ब्रह्मांड संबंधी हैं, जो मुद्रास्फीति, डार्क मैटर और डार्क एनर्जी जैसे निर्माणों से जुड़ी हैं या उनकी जगह लेती हैं। मूल विचार यह है कि गुरुत्वाकर्षण वर्तमान युग में सामान्य सापेक्षता से सहमत है किन्तु प्रारंभिक ब्रह्मांड में काफी भिन्न हो सकता है।

1980 के दशक में, भौतिकी की दुनिया में धीरे-धीरे यह अहसास हुआ कि उस समय के बिग-बैंग परिदृश्य में कई समस्याएं निहित थीं, जिसमें क्षितिज की समस्या और यह अवलोकन सम्मिलित था कि प्रारंभिक समय में जब क्वार्क पहली बार बन रहे थे, तब पर्याप्त नहीं था। ब्रह्मांड पर एक क्वार्क रखने के लिए स्थान। इन कठिनाइयों को दूर करने के लिए मुद्रास्फीति सिद्धांत विकसित किया गया था। एक अन्य विकल्प सामान्य सापेक्षता के लिए एक विकल्प का निर्माण कर रहा था जिसमें प्रारंभिक ब्रह्मांड में प्रकाश की गति अधिक थी। आकाशगंगाओं के लिए अप्रत्याशित घूर्णन वक्रों की खोज ने सभी को अचंभित कर दिया। क्या ब्रह्माण्ड में हमारी जानकारी से अधिक द्रव्यमान हो सकता है, या गुरुत्वाकर्षण का सिद्धांत ही गलत है? अब आम सहमति यह है कि लापता द्रव्यमान ठंडा डार्क मैटर है, किन्तु यह सहमति केवल सामान्य सापेक्षता के विकल्पों की कोशिश करने के बाद ही पहुंची थी, और कुछ भौतिक विज्ञानी अभी भी मानते हैं कि गुरुत्वाकर्षण के वैकल्पिक मॉडल का जवाब हो सकता है।

1990 के दशक में, सुपरनोवा सर्वेक्षणों ने ब्रह्मांड के त्वरित विस्तार की खोज की, जिसे अब सामान्यतः डार्क एनर्जी के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। इससे आइंस्टीन के ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक की तेजी से बहाली हुई, और सर्वोत्कृष्टता ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के विकल्प के रूप में आ गई। सामान्य सापेक्षता के कम से कम एक नए विकल्प ने सुपरनोवा सर्वेक्षणों के परिणामों को पूरी तरह से अलग तरीके से समझाने का प्रयास किया। गुरुत्वाकर्षण तरंग घटना GW170817 के साथ गुरुत्वाकर्षण की गति की माप ने त्वरित विस्तार के स्पष्टीकरण के रूप में गुरुत्वाकर्षण के कई वैकल्पिक सिद्धांतों को अलग कर दिया।  एक और अवलोकन जिसने सामान्य सापेक्षता के विकल्पों में हाल ही में रुचि जगाई, वह पायनियर विसंगति है। यह जल्द ही पता चला कि सामान्य सापेक्षता के विकल्प इस विसंगति की व्याख्या कर सकते हैं। यह अब दूसरा-समान तापीय विकिरण के कारण माना जाता है।

ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक और सर्वोत्कृष्टता
ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक $$\Lambda\;$$ एक बहुत पुराना विचार है, 1917 में आइंस्टीन के पास वापस जाना। ब्रह्मांड के फ्रीडमैन मॉडल की सफलता जिसमें $$\Lambda=0\;$$ सामान्य स्वीकृति के कारण यह शून्य है, किन्तु दूसरा-शून्य मान का उपयोग प्रतिशोध के साथ वापस आया जब सुपरनोवा के डेटा ने संकेत दिया कि ब्रह्मांड का विस्तार तेज हो रहा है

सबसे पहले, देखते हैं कि यह न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण और सामान्य सापेक्षता के समीकरणों को कैसे प्रभावित करता है। न्यूटोनियन गुरुत्व में, ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक के योग से न्यूटन-पोइसन समीकरण बदल जाता है:


 * $$\nabla^2\varphi=4\pi\rho\ G;$$

को


 * $$\nabla^2\varphi + \frac{1}{2}\Lambda c^2 = 4\pi\rho\ G;$$

सामान्य सापेक्षता में, यह आइंस्टीन-हिल्बर्ट क्रिया को बदल देता है


 * $$S={1\over 16\pi G}\int R\sqrt{-g} \, d^4x \, +S_m\;$$

को


 * $$S={1\over 16\pi G}\int (R-2\Lambda)\sqrt{-g}\,d^4x \, +S_m\;$$

जो क्षेत्र समीकरण को बदल देता है


 * $$T^{\mu\nu}={1\over 8\pi G} \left(R^{\mu\nu}-\frac {1}{2} g^{\mu\nu} R \right)\;$$

को


 * $$T^{\mu\nu}={1\over 8\pi G}\left(R^{\mu\nu}-\frac {1}{2} g^{\mu\nu} R + g^{\mu\nu} \Lambda \right)\;$$

गुरुत्वाकर्षण के वैकल्पिक सिद्धांतों में, एक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक को क्रिया में ठीक उसी तरह जोड़ा जा सकता है।

सामान्य सापेक्षता के विकल्पों में ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक ब्रह्मांड के त्वरित विस्तार को प्राप्त करने का एकमात्र तरीका नहीं है। हम पहले ही देख चुके हैं कि स्केलर क्षमता कैसी है $$\lambda(\varphi)\;$$ स्केलर टेंसर सिद्धांतों में जोड़ा जा सकता है। यह सामान्य सापेक्षता के प्रत्येक विकल्प में भी किया जा सकता है जिसमें एक अदिश क्षेत्र होता है $$\varphi\;$$ पद जोड़कर $$\lambda(\varphi)\;$$ चाल के गुरुत्वाकर्षण भाग के लिए लाग्रंगियन के अंदर $$L_\varphi\;$$ का हिस्सा


 * $$S={1\over 16\pi G}\int d^4x \, \sqrt{-g} \, L_\varphi+S_m\;$$

क्योंकि $$\lambda(\varphi)\;$$ स्केलर क्षेत्र का एक इच्छानुसार कार्य है, इसे एक त्वरण देने के लिए समुच्चय किया जा सकता है जो प्रारंभिक ब्रह्मांड में बड़ा है और वर्तमान युग में छोटा है। इसे पंचतत्व के नाम से जाना जाता है।

इसी तरह की विधि का उपयोग सामान्य सापेक्षता के विकल्पों में किया जा सकता है जो रैस्टल सहित सदिश क्षेत्रों का उपयोग करते हैं और वेक्टर-टेंसर सिद्धांत। आनुपातिक शब्द


 * $$K^\mu K^\nu g_{\mu\nu}\;$$

चाल के गुरुत्वाकर्षण भाग के लिए लाग्रंगियन में जोड़ा जाता है।

फार्नेस के सिद्धांत
दिसंबर 2018 में, ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय के एस्ट्रोफिजिसिस्ट जेमी फार्नेस ने गुरुत्वाकर्षण प्रतिकारक नकारात्मक द्रव्यमान की धारणाओं से संबंधित एक गहरा तरल पदार्थ थ्योरी का प्रस्ताव दिया, जो पहले अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा प्रस्तुत किया गया था। सिद्धांत ब्रह्मांड में अज्ञात डार्क मैटर और डार्क एनर्जी की काफी मात्रा को बेहतर ढंग से समझने में मदद कर सकता है। सिद्धांत नकारात्मक द्रव्यमान की अवधारणा पर निर्भर करता है और केवल नकारात्मक द्रव्यमान कणों के लिए पदार्थ निर्माण की अनुमति देने के लिए फ्रेड हॉयल के निर्माण टेंसर को पुन: प्रस्तुत करता है। इस तरह, नकारात्मक द्रव्यमान के कण आकाशगंगाओं को घेर लेते हैं और उन पर दबाव डालते हैं, जिससे डार्क मैटर जैसा दिखता है। जैसा कि ये परिकल्पित कण परस्पर एक दूसरे को पीछे हटाते हैं, वे ब्रह्मांड को अलग करते हैं, जिससे डार्क एनर्जी जैसी दिखती है। पदार्थ का निर्माण विदेशी नकारात्मक द्रव्यमान कणों के घनत्व को समय के कार्य के रूप में स्थिर रहने की अनुमति देता है, और इसलिए यह एक ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक की तरह प्रतीत होता है। आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों को संशोधित किया गया है:
 * $$R_{\mu \nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} \left( T_{\mu \nu}^{+} + T_{\mu \nu}^{-} + C_{\mu \nu} \right)$$

ओकाम के रेज़र के अनुसार, फ़ार्नेस का सिद्धांत पारंपरिक लैम्ब्डासीडीएम मॉडल का एक सरल विकल्प है, क्योंकि डार्क एनर्जी और डार्क मैटर (दो परिकल्पनाएँ) दोनों को एक नकारात्मक द्रव्यमान द्रव (एक परिकल्पना) का उपयोग करके हल किया जाता है। सिद्धांत दुनिया के सबसे बड़े रेडियो टेलीस्कोप, वर्ग किलोमीटर सरणी का उपयोग करके सीधे परीक्षण योग्य होगा जो 2022 में ऑनलाइन होना चाहिए।

सापेक्षवादी मुद्रा
मिलग्रोम द्वारा मोंड के मूल सिद्धांत को 1983 में डार्क मैटर के विकल्प के रूप में विकसित किया गया था। न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम से प्रस्थान एक त्वरण पैमाने द्वारा नियंत्रित होते हैं, दूरी के पैमाने से नहीं। MOND सफलतापूर्वक टली-फिशर अवलोकन की व्याख्या करता है कि एक आकाशगंगा की चमक को घूर्णन गति की चौथी शक्ति के रूप में मापना चाहिए। यह यह भी बताता है कि बौनी आकाशगंगाओं में घूर्णन विसंगति विशेष रूप से बड़ी क्यों है।

शुरुआत में MOND में कई दिक्कतें आईं।
 * 1) इसमें सापेक्षतावादी प्रभाव सम्मिलित नहीं थे
 * 2) इसने ऊर्जा, संवेग और कोणीय संवेग के संरक्षण का उल्लंघन किया
 * 3) यह असंगत था कि यह गैस और तारों के लिए अलग-अलग गांगेय कक्षाएँ देता है
 * 4) इसमें यह नहीं बताया गया कि आकाशगंगा समूहों से गुरुत्वीय लेंसिंग की गणना कैसे की जाए।

1984 तक, लाग्रंगियन (AQUAL) को शुरू करके समस्या 2 और 3 को हल कर लिया गया था। स्केलर-टेंसर सिद्धांत पर आधारित इसका एक सापेक्षवादी संस्करण अस्वीकार कर दिया गया क्योंकि इसने स्केलर क्षेत्र में तरंगों को प्रकाश की तुलना में तेजी से फैलने की अनुमति दी। दूसरा-सापेक्षतावादी रूप का लाग्रंगियन है:


 * $$L=-{a_0^2\over 8\pi G}f\left\lbrack \frac{|\nabla\varphi|^2}{a_0^2}\right\rbrack-\rho\varphi$$

इसके सापेक्षवादी संस्करण में है:


 * $$L=-{a_0^2\over 8\pi G}\tilde f \left( \ell_0^2 g^{\mu\nu}\,\partial_\mu\varphi\, \partial_\nu\varphi \right )$$

एक अमानक जन चाल के साथ। यहाँ $$f$$ और $$\tilde f$$ न्यूटोनियन और एमओएनडी व्यवहार को सही सीमा में देने के लिए मनमाने ढंग से चुने गए कार्य हैं, और $$l_0 = c^2/a_0\;$$ MOND लंबाई का पैमाना है। 1988 तक, एक दूसरे स्केलर फील्ड (PCC) ने पहले के स्केलर-टेंसर संस्करण के साथ समस्याओं को ठीक कर दिया था, किन्तु बुध के पेरिहेलियन प्रीसेशन और आकाशगंगाओं और समूहों द्वारा गुरुत्वाकर्षण लेंसिंग के साथ संघर्ष में है। 1997 तक, MOND को एक स्तरीकृत सापेक्षतावादी सिद्धांत [सैंडर्स] में सफलतापूर्वक सम्मिलित कर लिया गया था, किन्तु चूंकि यह एक पसंदीदा फ्रेम सिद्धांत है, इसकी अपनी समस्याएं हैं। बेकेंस्तें टेंसर-वेक्टर-स्केलर ग्रेविटी|टेन्सर-वेक्टर-स्केलर मॉडल (TeVeS) प्रस्तुत किया। इसके दो अदिश क्षेत्र हैं $$\varphi$$ और $$\sigma\;$$ और वेक्टर क्षेत्र $$U_\alpha$$. चाल गुरुत्वाकर्षण, अदिश, सदिश और द्रव्यमान के लिए भागों में विभाजित है।


 * $$S=S_g+S_s+S_v+S_m$$

गुरुत्वाकर्षण भाग सामान्य सापेक्षता के समान है।


 * $$\begin{align}

S_s &= -\frac{1}{2}\int \left [\sigma^2 h^{\alpha\beta}\varphi_{,\alpha}\varphi_{,\beta} + \frac12G \ell_0^{-2}\sigma^4F(kG\sigma^2)\right ]\sqrt{-g}\,d^4x \\[5pt] S_v &= -\frac{K}{32\pi G}\int \left [g^{\alpha\beta}g^{\mu\nu}U_{[\alpha,\mu]}U_{[\beta,\nu]} -\frac{2\lambda}{K} \left (g^{\mu\nu} U_\mu U_\nu+1 \right ) \right ]\sqrt{-g}\,d^4x \\[5pt] S_m &= \int L \left (\tilde g_{\mu\nu},f^\alpha,f^\alpha_{|\mu},\ldots \right)\sqrt{-g}\,d^4x \end{align}$$ जहां


 * $$h^{\alpha\beta} = g^{\alpha\beta}-U^\alpha U^\beta$$
 * $$\tilde g^{\alpha\beta}=e^{2\varphi}g^{\alpha\beta}+2U^\alpha U^\beta\sinh(2\varphi)$$

$$k, K$$ सूचकांकों में स्थिरांक, वर्ग कोष्ठक हैं $$U_{[\alpha,\mu]}$$ विरोधी सममितीकरण का प्रतिनिधित्व करते हैं, $$\lambda$$ एक Lagrange गुणक है (कहीं और परिकलित), और $L$ फ्लैट स्पेसटाइम से मीट्रिक पर अनुवादित लैग्रैन्जियन है $$\tilde g^{\alpha\beta}$$. ध्यान दें कि $G$ देखे गए गुरुत्वीय स्थिरांक के बराबर होने की आवश्यकता नहीं है $$G_{Newton}$$. $F$ एक इच्छानुसार कार्य है, और


 * $$F(\mu)=\frac{3}{4}{\mu^2(\mu-2)^2\over 1-\mu}$$

सही स्पर्शोन्मुख व्यवहार के साथ एक उदाहरण के रूप में दिया गया है; ध्यान दें कि यह कब अपरिभाषित हो जाता है $$\mu=1$$ इस सिद्धांत के पैरामीट्रिक पोस्ट-न्यूटोनियन पैरामीटर की गणना की जाती है, जो दर्शाता है कि इसके सभी पैरामीटर सामान्य सापेक्षता के बराबर हैं, को छोड़कर


 * $$\begin{align}

\alpha_1 &= \frac{4G}{K} \left ((2K-1) e^{-4\varphi_0} - e^{4\varphi_0} + 8 \right ) - 8 \\[5pt] \alpha_2 &= \frac{6 G}{2 - K} - \frac{2 G (K + 4) e^{4 \varphi_0}}{(2 - K)^2} - 1 \end{align}$$ जिनमें से दोनों को ज्यामितीय इकाइयों में व्यक्त किया गया है $$c = G_{Newtonian} = 1$$; इसलिए


 * $$ G^{-1} = \frac{2}{2-K} + \frac{k}{4\pi}.$$

मोफ़त के सिद्धांत
जे डब्ल्यू मोफत एक दूसरा-सममित गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत विकसित किया|दूसरा-सममित गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत। यह एक मीट्रिक सिद्धांत नहीं है। सबसे पहले यह दावा किया गया था कि इसमें ब्लैक होल क्षितिज नहीं, बल्कि बुर्को और ओरी सम्मिलित हैं ने पाया है कि असममित गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत में ब्लैक होल हो सकते हैं। बाद में, मोफ़त ने दावा किया कि इसे डार्क मैटर का आह्वान किए बिना आकाशगंगाओं के घूर्णन वक्रों की व्याख्या करने के लिए भी लागू किया गया है। डामोर, डेसर और मैकार्थी ने असममित गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत की आलोचना करते हुए कहा है कि इसमें अस्वीकार्य स्पर्शोन्मुख व्यवहार है।

गणित कठिन नहीं है बल्कि आपस में गुँथा हुआ है इसलिए निम्नलिखित केवल एक संक्षिप्त रेखाचित्र है। एक दूसरा-सममित टेंसर से शुरू करना $$g_{\mu\nu}\;$$, लाग्रंगियन घनत्व में विभाजित है


 * $$L=L_R+L_M\;$$

जहां $$L_M\;$$ सामान्य सापेक्षता में पदार्थ के समान है।


 * $$L_R = \sqrt{-g} \left[R(W)-2\lambda-\frac14\mu^2g^{\mu\nu}g_{[\mu\nu]}\right] - \frac16g^{\mu\nu}W_\mu W_\nu\;$$

जहां $$R(W)\;$$ सामान्य सापेक्षता में रिक्की वक्रता के समान किन्तु बराबर नहीं एक वक्रता शब्द है, $$\lambda\;$$ और $$\mu^2\;$$ ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक हैं, $$g_{[\nu\mu]}\;$$ का विषम भाग है $$g_{\nu\mu}\;$$. $$W_\mu\;$$ एक कनेक्शन है, और इसकी व्याख्या करना थोड़ा मुश्किल है क्योंकि इसे पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है। चूँकि, $$W_\mu\approx-2g^{,\nu}_{[\mu\nu]}\;$$ हौगन और कॉफ़मैन आकाशगंगाओं द्वारा उत्सर्जित प्रकाश के ध्रुवीकरण मापन का उपयोग कुछ दूसरा-सममित गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत के मापदंडों के परिमाण पर तीव्र अवरोध लगाने के लिए किया गया। उन्होंने स्वतंत्रता की शेष डिग्री को बाधित करने के लिए ह्यूजेस-ड्रेवर प्रयोगों का भी इस्तेमाल किया। उनकी बाधा पिछले अनुमानों की तुलना में तीव्रता के आठ आदेश हैं।

मोफत का मीट्रिक-तिरछा-टेंसर-गुरुत्वाकर्षण (MSTG) सिद्धांत बिना डार्क मैटर या MOND के आकाशगंगाओं के लिए रोटेशन वक्र की भविष्यवाणी करने में सक्षम है, और दावा करता है कि यह डार्क मैटर के बिना आकाशगंगा समूहों के गुरुत्वाकर्षण लेंसिंग की व्याख्या भी कर सकता है। इसमें परिवर्तनशील है $$G\;$$, बिग बैंग के लगभग एक लाख वर्षों के बाद अंतिम स्थिर मान तक बढ़ रहा है। ऐसा लगता है कि सिद्धांत में एक असममित टेंसर है $$A_{\mu\nu}\;$$ क्षेत्र और एक स्रोत वर्तमान $$J_\mu\;$$ वेक्टर। चाल में विभाजित है:


 * $$S=S_G+S_F+S_{FM}+S_M\;$$

गुरुत्व और द्रव्यमान दोनों शब्द सामान्य सापेक्षता के ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक से मेल खाते हैं। तिरछा क्षेत्र क्रिया और तिरछा क्षेत्र पदार्थ युग्मन हैं:


 * $$S_F=\int d^4x\,\sqrt{-g} \left( \frac1{12}F_{\mu\nu\rho}F^{\mu\nu\rho} - \frac14\mu^2 A_{\mu\nu}A^{\mu\nu} \right)\;$$
 * $$S_{FM}=\int d^4x\,\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}A_{\alpha\beta}\partial_\mu J_\nu\;$$

जहां


 * $$F_{\mu\nu\rho}=\partial_\mu A_{\nu\rho}+\partial_\rho A_{\mu\nu}$$

और $$\epsilon^{\alpha\beta\mu\nu}\;$$ लेवी-Civita प्रतीक है। तिरछा फील्ड कपलिंग एक पाउली कपलिंग है और किसी भी स्रोत करंट के लिए गेज इनवेरिएंट है। स्रोत करंट बैरियन और लेप्टान नंबर से जुड़े एक फ़र्मियन क्षेत्र की तरह दिखता है।

अदिश-टेंसर-वेक्टर गुरुत्वाकर्षण
मोफ़त का अदिश-टेंसर-वेक्टर गुरुत्व एक टेंसर, वेक्टर और तीन स्केलर फ़ील्ड सम्मिलित हैं। किन्तु समीकरण बिल्कुल सीधे हैं। चाल में विभाजित है: $$ S=S_G+S_K+S_S+S_M$$ गुरुत्वाकर्षण, वेक्टर क्षेत्र के लिए लक्ष्य के साथ $$K_\mu,$$ अदिश क्षेत्र $$G, \omega, \mu$$ और द्रव्यमान। $$S_G$$ अपवाद के साथ मानक गुरुत्व शब्द है $$G$$ अभिन्न के अंदर ले जाया जाता है।


 * $$S_K=-\int d^4x\,\sqrt{-g}\omega \left( \frac14 B_{\mu\nu} B^{\mu\nu} + V(K) \right), \qquad \text{where } \quad B_{\mu\nu}=\partial_\mu K_\nu-\partial_\nu K_\mu.$$
 * $$S_S = -\int d^4x\,\sqrt{-g} \frac{1}{G^3} \left( \frac12g^{\mu\nu}\,\nabla_\mu G\,\nabla_\nu G -V(G) \right) + \frac{1}{G} \left( \frac{1}{2} g^{\mu\nu}\,\nabla_\mu\omega\,\nabla_\nu\omega -V(\omega) \right) +{1\over\mu^2G} \left( \frac12g^{\mu\nu}\,\nabla_\mu\mu\,\nabla_\nu\mu - V(\mu) \right).$$

वेक्टर क्षेत्र के लिए संभावित कार्य को चुना गया है:


 * $$V(K) = -\frac12\mu^2\varphi^\mu\varphi_\mu - \frac14g \left (\varphi^\mu \varphi_\mu \right )^2$$

जहां $$g$$ एक युग्मन स्थिरांक है। स्केलर क्षमता के लिए ग्रहण किए गए कार्यों को नहीं बताया गया है।

अनंत व्युत्पन्न गुरुत्वाकर्षण
संशोधित प्रचारक में भूतों को हटाने के साथ-साथ स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता प्राप्त करने के लिए, बिस्वास, अनुपम मजूमदार और वॉरेन सील (2005) ने उच्च व्युत्पन्न शब्दों के एक स्ट्रिंग-प्रेरित अनंत समुच्चय पर विचार किया।
 * $$S = \int \mathrm{d}^4x \sqrt{-g} \left(\frac{R}{2} + R F (\Box) R \right)$$

जहां $$ F (\Box)$$ डी'अलेम्बर्ट ऑपरेटर|डी'अलेम्बर्टियन ऑपरेटर के पूरे कार्य का घातांक है। यह बड़ी दूरी पर सामान्य सापेक्षता क्षमता के 1/r गिरावट को ठीक करते हुए मूल के पास एक ब्लैक होल विलक्षणता से बचा जाता है। कार्लोस लूस्टो और माज़िटेली (1997) ने गुरुत्वीय शॉक-वेव का प्रतिनिधित्व करने वाले इस सिद्धांत का स्पष्ट समाधान खोजा।

सामान्य सापेक्षता के विकल्पों का परीक्षण
सामान्य सापेक्षता के किसी भी ख्यात विकल्प को स्वीकार करने के लिए उसे विभिन्न प्रकार के परीक्षणों को पूरा करने की आवश्यकता होगी। इन परीक्षणों की गहन कवरेज के लिए, मिसनर एट अल देखें। Ch.39, विल तालिका 2.1, और नि। ऐसे अधिकांश परीक्षणों को निम्नलिखित उपखंडों में वर्गीकृत किया जा सकता है।

आत्म-संगति
दूसरा-मीट्रिक सिद्धांतों के बीच आत्म-संगति में टैकीन्स, भूत ध्रुवों और उच्च क्रम वाले ध्रुवों की अनुमति देने वाले सिद्धांतों को समाप्त करना सम्मिलित है, और जिनके पास अनंत व्यवहार के साथ समस्या है। मीट्रिक सिद्धांतों के बीच, इस परीक्षण में विफल होने वाले कई सिद्धांतों का वर्णन करके आत्म-संगति का सबसे अच्छा वर्णन किया गया है। क्लासिक उदाहरण फिर्ज़ और पाउली का स्पिन-दो क्षेत्र सिद्धांत है; क्षेत्र समीकरणों का अर्थ है कि गुरुत्वाकर्षण पिंड सीधी रेखा में गति करते हैं, जबकि गति के समीकरण इस बात पर जोर देते हैं कि गुरुत्वाकर्षण पिंड को सीधी रेखा गति से दूर विक्षेपित करता है। यिलमाज़ (1971) एक टेंसर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र होता है जिसका उपयोग मीट्रिक बनाने के लिए किया जाता है; यह गणितीय रूप से असंगत है क्योंकि टेन्सर क्षेत्र पर मीट्रिक की कार्यात्मक निर्भरता अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है।

पूर्णता
पूर्ण होने के लिए, गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत को रुचि के प्रत्येक प्रयोग के परिणाम का विश्लेषण करने में सक्षम होना चाहिए। इसलिए इसे विद्युत चुंबकत्व और अन्य सभी भौतिकी के साथ मेल खाना चाहिए। उदाहरण के लिए, कोई भी सिद्धांत जो पहले सिद्धांतों से ग्रहों की गति या परमाणु घड़ियों के व्यवहार की भविष्यवाणी नहीं कर सकता है, अधूरा है।

कई प्रारंभिक सिद्धांत अधूरे हैं क्योंकि यह स्पष्ट नहीं है कि घनत्व क्या है $$\rho$$ सिद्धांत द्वारा प्रयुक्त तनाव-ऊर्जा टेंसर से गणना की जानी चाहिए $$T$$ जैसा $$\rho=T_{\mu\nu}u^\mu u^\nu$$ या के रूप में $$\rho=T_{\mu\nu}\delta^{\mu \nu}$$, जहां $$u$$ चार-वेग है, और $$\delta$$ क्रोनकर डेल्टा है। थ्रीरी (1948) और जॉर्डन के सिद्धांत जॉर्डन के पैरामीटर तक अधूरे हैं $$\eta\;$$ -1 पर समुच्चय है, जिस स्थिति में वे ब्रान्स-डिके के सिद्धांत से मेल खाते हैं और इसलिए आगे विचार करने योग्य हैं। मिलन अधूरा है क्योंकि यह कोई गुरुत्वाकर्षण रेड-शिफ्ट भविष्यवाणी नहीं करता है। व्हिट्रो और मोर्डच के सिद्धांत, कुस्तान जनजाति और Kustaanheimo और Nuotio या तो अपूर्ण हैं या असंगत हैं। मैक्सवेल के समीकरणों का समावेश तब तक अधूरा है जब तक कि यह नहीं माना जाता है कि वे सपाट पृष्ठभूमि स्पेस-टाइम पर लगाए गए हैं, और जब ऐसा किया जाता है तो वे असंगत होते हैं, क्योंकि वे प्रकाश के तरंग संस्करण (मैक्सवेल सिद्धांत) का उपयोग किए जाने पर शून्य गुरुत्वाकर्षण रेडशिफ्ट की भविष्यवाणी करते हैं।, और शून्येतर रेडशिफ्ट जब कण संस्करण (फोटॉन) का उपयोग किया जाता है। मैक्सवेल के समीकरणों के साथ एक और अधिक स्पष्ट उदाहरण न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण है; फोटॉनों के रूप में प्रकाश गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र (सामान्य सापेक्षता के आधे से) द्वारा विक्षेपित होता है, किन्तु तरंगों के रूप में प्रकाश नहीं होता है।

शास्त्रीय परीक्षण
सापेक्षतावादी प्रभावों को संभालने के लिए गुरुत्वाकर्षण सिद्धांतों की क्षमता के तीन शास्त्रीय परीक्षण (1910 या उससे पहले के समय के हैं) हैं; वे गुरुत्वाकर्षण रेडशिफ्ट, गुरुत्वाकर्षण लेंसिंग (सामान्यतः सूर्य के चारों ओर परीक्षण), और ग्रहों की विषम पेरिहेलियन अग्रिम हैं। प्रत्येक सिद्धांत को इन क्षेत्रों में देखे गए परिणामों को पुन: प्रस्तुत करना चाहिए, जो आज तक सामान्य सापेक्षता की भविष्यवाणियों के साथ सदैव संरेखित होते हैं। 1964 में, इरविन आई। शापिरो देरी एक चौथा परीक्षण पाया, जिसे शापिरो विलंब कहा जाता है। इसे सामान्यतः शास्त्रीय परीक्षण के रूप में भी माना जाता है।

न्यूटोनियन यांत्रिकी और विशेष सापेक्षता
के साथ समझौता न्यूटोनियन प्रयोगों के साथ असहमति के एक उदाहरण के रूप में, बिरखॉफ सिद्धांत सापेक्षतावादी प्रभावों की काफी मज़बूती से भविष्यवाणी करता है किन्तु मांग करता है कि ध्वनि तरंगें प्रकाश की गति से यात्रा करती हैं। यह जनता की टक्कर से निपटने को आसान बनाने के लिए बनाई गई धारणा का परिणाम था।

आइंस्टीन तुल्यता सिद्धांत
आइंस्टीन के तुल्यता सिद्धांत के तीन घटक हैं। पहला फ्री फॉल की विशिष्टता है, जिसे कमजोर समतुल्य सिद्धांत के रूप में भी जाना जाता है। यह संतुष्ट है अगर जड़त्वीय द्रव्यमान गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान के बराबर है। η कमजोर समतुल्य सिद्धांत के अधिकतम स्वीकार्य उल्लंघन का परीक्षण करने के लिए उपयोग किया जाने वाला पैरामीटर है। कमजोर तुल्यता सिद्धांत का पहला परीक्षण 1900 से पहले Eötvös द्वारा किया गया था और η को 5 से कम तक सीमित किया गया था. आधुनिक परीक्षणों ने इसे घटाकर 5 कर दिया है. दूसरा लोरेंत्ज़ इनवेरिएंस है। गुरुत्वाकर्षण प्रभाव के अभाव में प्रकाश की गति स्थिर रहती है। इसके लिए परीक्षण पैरामीटर δ है। 1890 से पहले माइकलसन और मॉर्ले द्वारा लोरेंत्ज़ के आक्रमण का पहला परीक्षण किया गया था और δ को 5 से कम तक सीमित किया गया था।. आधुनिक परीक्षणों ने इसे घटाकर 1 से भी कम कर दिया है. तीसरा स्थानीय स्थिति व्युत्क्रम है, जिसमें स्थानिक और लौकिक आक्रमण सम्मिलित हैं। किसी भी स्थानीय दूसरा-गुरुत्वाकर्षण प्रयोग का परिणाम इस बात से स्वतंत्र होता है कि इसे जहां और कब किया जाता है। गुरुत्वाकर्षण रेडशिफ्ट मापन का उपयोग करके स्थानिक स्थानीय स्थिति व्युत्क्रमण का परीक्षण किया जाता है। इसके लिए परीक्षण पैरामीटर α है। 1960 में पाउंड और रेबका द्वारा पाई गई इस पर ऊपरी सीमा α को 0.1 से कम तक सीमित कर दिया। आधुनिक परीक्षणों ने इसे घटाकर 1 से भी कम कर दिया है.

लियोनार्ड आई. शिफ के अनुमान में कहा गया है कि गुरुत्वाकर्षण का कोई भी पूर्ण, आत्मनिर्भर सिद्धांत जो कमजोर समतुल्य सिद्धांत का प्रतीक है, अनिवार्य रूप से आइंस्टीन के समतुल्य सिद्धांत का प्रतीक है। यदि सिद्धांत में पूर्ण ऊर्जा संरक्षण है तो यह सच होने की संभावना है। मीट्रिक सिद्धांत आइंस्टीन तुल्यता सिद्धांत को संतुष्ट करते हैं। बहुत कम दूसरा-मीट्रिक सिद्धांत इसे संतुष्ट करते हैं। उदाहरण के लिए, बेलिनफ़ेंटे और स्विहार्ट का दूसरा-मीट्रिक सिद्धांत आइंस्टीन के तुल्यता सिद्धांत के परीक्षण के लिए THεμ औपचारिकता द्वारा समाप्त कर दिया गया है। गेज सिद्धांत गुरुत्वाकर्षण एक उल्लेखनीय अपवाद है, जहां मजबूत तुल्यता सिद्धांत अनिवार्य रूप से गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न का न्यूनतम युग्मन है।

पैरामीट्रिक पोस्ट-न्यूटोनियन औपचारिकता
सामान्य सापेक्षता के परीक्षण, मिसनर एट अल भी देखें। और होगा अधिक जानकारी के लिए।

वैकल्पिक गुरुत्वाकर्षण मॉडल के मूल्यांकन के लिए परीक्षणों के तदर्थ समुच्चय के अतिरिक्त एक मानकीकृत विकसित करने पर काम 1922 में एडिंगटन के साथ शुरू हुआ और इसके परिणामस्वरूप नॉर्डवेट और विल में पैरामीट्रिक पोस्ट-न्यूटनियन नंबरों का एक मानक समुच्चय तैयार हुआ। और विल और नॉर्डवेट। प्रत्येक पैरामीटर एक अलग पहलू को मापता है कि न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण से कितना सिद्धांत निकलता है। क्योंकि हम यहां न्यूटोनियन सिद्धांत से विचलन के बारे में बात कर रहे हैं, ये केवल कमजोर क्षेत्र प्रभाव को मापते हैं। मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के प्रभावों की बाद में जांच की जाती है।

ये दस हैं: $$\gamma, \beta,\eta,\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3,\zeta_1,\zeta_2,\zeta_3,\zeta_4.$$
 * $$\gamma$$ अंतरिक्ष वक्रता का एक उपाय है, न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण के लिए शून्य और सामान्य सापेक्षता के लिए एक है।
 * $$\beta$$ सामान्य सापेक्षता के लिए गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के अतिरिक्त दूसरा-रैखिकता का एक उपाय है।
 * $$\eta$$ पसंदीदा स्थान प्रभाव के लिए एक जाँच है।
 * $$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$$ पसंदीदा-फ्रेम प्रभावों की सीमा और प्रकृति को मापें। गुरुत्वाकर्षण का कोई भी सिद्धांत जिसमें तीन में से कम से कम एक अशून्य है, पसंदीदा-फ्रेम सिद्धांत कहलाता है।
 * $$\zeta_1,\zeta_2,\zeta_3,\zeta_4,\alpha_3$$ वैश्विक संरक्षण कानूनों में टूटने की सीमा और प्रकृति को मापें। गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत में ऊर्जा-संवेग के लिए 4 संरक्षण नियम और 6 कोणीय संवेग के लिए केवल तभी होते हैं जब सभी पाँच शून्य हों।

मजबूत गुरुत्वाकर्षण और गुरुत्वाकर्षण तरंगें
पैरामीट्रिक पोस्ट-न्यूटोनियन केवल कमजोर क्षेत्र प्रभाव का एक उपाय है। सफेद बौने, न्यूट्रॉन तारे और ब्लैक होल जैसी सघन वस्तुओं में मजबूत गुरुत्वाकर्षण प्रभाव देखा जा सकता है। सफेद बौनों की स्थिरता, पल्सर की स्पिन-डाउन दर, बाइनरी पल्सर की कक्षाओं और ब्लैक होल क्षितिज के अस्तित्व जैसे प्रायोगिक परीक्षणों का उपयोग सामान्य सापेक्षता के विकल्प के परीक्षण के रूप में किया जा सकता है। सामान्य सापेक्षता भविष्यवाणी करती है कि गुरुत्वाकर्षण तरंगें प्रकाश की गति से यात्रा करती हैं। सामान्य सापेक्षता के कई विकल्प कहते हैं कि गुरुत्वाकर्षण तरंगें प्रकाश की तुलना में तेज़ी से यात्रा करती हैं, संभवतः कार्य-कारण को तोड़ती हैं। न्यूट्रॉन सितारों के GW170817 सहसंयोजन की बहु-संदेश पहचान के बाद, जहां प्रकाश और गुरुत्वाकर्षण तरंगों को 1/10 की त्रुटि के साथ समान गति से यात्रा करने के लिए मापा गया था।15, उनमें से कई गुरुत्वाकर्षण के संशोधित सिद्धांत को बाहर रखा गया था।

ब्रह्माण्ड संबंधी परीक्षण
इनमें से कई हाल ही में विकसित किए गए हैं। उन सिद्धांतों के लिए जो डार्क मैटर को बदलने का लक्ष्य रखते हैं, आकाशगंगा रोटेशन कर्व, टुली-फिशर रिलेशन, बौनी आकाशगंगाओं की तेज़ रोटेशन दर, और गैलेक्टिक क्लस्टर के कारण गुरुत्वाकर्षण लेंसिंग बाधाओं के रूप में कार्य करते हैं। उन सिद्धांतों के लिए जो ब्रह्मांडीय मुद्रास्फीति को बदलने का लक्ष्य रखते हैं, ब्रह्मांडीय माइक्रोवेव पृष्ठभूमि विकिरण के स्पेक्ट्रम में तरंगों का आकार सबसे सख्त परीक्षा है। उन सिद्धांतों के लिए जो डार्क एनर्जी को सम्मिलित करते हैं या बदलने का लक्ष्य रखते हैं, सुपरनोवा चमक के परिणाम और ब्रह्मांड की आयु को परीक्षण के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। एक और परीक्षण ब्रह्मांड की सपाटता है। सामान्य सापेक्षता के साथ, बैरोनिक पदार्थ, डार्क मैटर और डार्क एनर्जी का संयोजन ब्रह्मांड को बिल्कुल सपाट बनाने के लिए जुड़ जाता है। जैसे-जैसे प्रायोगिक परीक्षणों की सटीकता में सुधार होता है, सामान्य सापेक्षता के विकल्प जो डार्क मैटर या डार्क एनर्जी को बदलने का लक्ष्य रखते हैं, उन्हें इसकी व्याख्या करनी होगी।

सिद्धांतों की एक श्रृंखला के लिए पैरामीट्रिक पोस्ट-न्यूटोनियन पैरामीटर
(विल देखें और नी अधिक जानकारी के लिए। मिसनर एट अल। नी के अंकन से वसीयत के मापदंडों के अनुवाद के लिए एक तालिका देता है)

सामान्य सापेक्षता अब 100 वर्ष से अधिक पुरानी है, जिसके दौरान गुरुत्वाकर्षण के एक के बाद एक वैकल्पिक सिद्धांत पहले से कहीं अधिक स्पष्ट टिप्पणियों से सहमत होने में विफल रहे हैं। एक व्याख्यात्मक उदाहरण पैरामीटरेटेड पोस्ट-न्यूटोनियन औपचारिकता है। निम्न तालिका बड़ी संख्या में सिद्धांतों के लिए पैरामीट्रिक पोस्ट-न्यूटोनियन मूल्यों को सूचीबद्ध करती है। यदि सेल में मान कॉलम हेडिंग के मान से मेल खाता है, तो यहां सम्मिलित करने के लिए पूर्ण सूत्र बहुत जटिल है।

† सिद्धांत अधूरा है, और $$\zeta_{ 4}$$ दो मानों में से एक ले सकता है। शून्य के निकटतम मान सूचीबद्ध है।

अब तक के सभी प्रायोगिक परीक्षण सामान्य सापेक्षता से सहमत हैं, और इसलिए पैरामीट्रिक पोस्ट-न्यूटोनियन विश्लेषण तालिका में सभी स्केलर क्षेत्र सिद्धांतों को तुरंत समाप्त कर देता है। व्हाइटहेड के लिए पैरामीट्रिक पोस्ट-न्यूटोनियन पैरामीटर की पूरी सूची उपलब्ध नहीं है, डेसर-लॉरेंट, बोलिनी-गियाम्बियागी-टियोमिनो, किन्तु इन तीन मामलों में $$\beta=\xi$$, जो सामान्य सापेक्षता और प्रयोगात्मक परिणामों के साथ मजबूत संघर्ष में है। विशेष रूप से, ये सिद्धांत पृथ्वी के ज्वार के लिए गलत आयाम की भविष्यवाणी करते हैं। (व्हाइटहेड के गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत का एक मामूली संशोधन। व्हाइटहेड का सिद्धांत इस समस्या से बचता है। चूंकि, संशोधन नॉर्डवेट प्रभाव की भविष्यवाणी करता है, जो प्रयोगात्मक रूप से बाधित है।)

सिद्धांत जो अन्य परीक्षणों में विफल होते हैं
नी के स्तरीकृत सिद्धांत, ली लाइटमैन और नी शुरुआत नहीं कर रहे हैं क्योंकि वे सभी बुध के पेरीहेलियन अग्रिम की व्याख्या करने में विफल हैं। लाइटमैन और ली के द्विमितीय सिद्धांत, रोसेन, रैस्टाल सभी मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों से जुड़े कुछ परीक्षणों में असफल रहे। स्केलर-टेंसर सिद्धांतों में एक विशेष स्थितियों के रूप में सामान्य सापेक्षता सम्मिलित है, किन्तु सामान्य सापेक्षता के पैरामीट्रिक पोस्ट-न्यूटोनियन मूल्यों से केवल तभी सहमत होते हैं जब वे प्रयोगात्मक त्रुटि के अंदर सामान्य सापेक्षता के बराबर होते हैं। चूंकि प्रयोगात्मक परीक्षण अधिक स्पष्ट होते हैं, सामान्य सापेक्षता से स्केलर-टेंसर सिद्धांतों का विचलन शून्य हो रहा है। सदिश-टेंसर सिद्धांतों के बारे में भी यही सच है, सामान्य सापेक्षता से वेक्टर-टेंसर सिद्धांतों का विचलन शून्य हो रहा है। इसके अतिरिक्त, वेक्टर-टेंसर सिद्धांत अर्ध-रूढ़िवादी हैं; उनके लिए एक अशून्य मान है $$\alpha_2$$ जिसका पृथ्वी के ज्वार पर एक औसत दर्जे का प्रभाव हो सकता है। बेलिनफैंटे और स्विहार्ट जैसे दूसरा-मीट्रिक सिद्धांत, सामान्यतः आइंस्टीन के तुल्यता सिद्धांत के प्रायोगिक परीक्षणों से सहमत होने में विफल रहते हैं। और वह छोड़ देता है, सामान्य सापेक्षता के संभावित वैध विकल्प के रूप में, संभवतः कार्टन के अतिरिक्त कुछ भी नहीं। यह स्थिति तब तक थी जब तक कि ब्रह्माण्ड संबंधी खोजों ने आधुनिक विकल्पों के विकास को आगे नहीं बढ़ाया।

संदर्भ

 * Carroll, Sean. Video lecture discussion on the possibilities and constraints to revision of the General Theory of Relativity.
 * Poincaré, H. (1908) Science and Method