क्वांटम यांत्रिकी



क्वांटम यांत्रिकी एक मौलिक सिद्धांत है भौतिकी में जो परमाणुओं और उप-परमाणु कणों के पैमाने पर प्रकृति के भौतिक गुणों का विवरण प्रदान करता है। यह क्वांटम रसायन विज्ञान, क्वांटम प्रमात्रा क्षेत्र सिद्धान्त, क्वांटम प्रौद्योगिकी और क्वांटम सूचना विज्ञान सहित सभी क्वांटम भौतिकी की नींव है।

शास्त्रीय भौतिकी, क्वांटम यांत्रिकी के आगमन से पहले मौजूद सिद्धांतों का संग्रह, सामान्य ( स्थूलदर्शीय) पैमाने पर प्रकृति के कई पहलुओं का वर्णन करता है, लेकिन छोटे (परमाणु और उप-परमाणु) पैमाने पर उनका वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं है। शास्त्रीय भौतिकी में अधिकांश सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी से बड़े ( स्थूलदर्शीय) पैमाने पर मान्य अनुमान के रूप में प्राप्त किए जा सकते हैं।

क्वांटम यांत्रिकी शास्त्रीय भौतिकी से उस ऊर्जा में भिन्न होती है, गति, कोणीय गति, और एक बाध्य प्रणाली की अन्य मात्रा असतत मूल्यों (परिमाणीकरण) तक सीमित होती है, वस्तुओं में कणों और तरंगों (लहर-कण द्वैत) दोनों की विशेषताएं होती हैं, और सीमाएं होती हैं प्रारंभिक स्थितियों (अनिश्चितता सिद्धांत) का एक पूर्ण समुच्चय दिया गया है, इसके मापन से पहले भौतिक मात्रा के मूल्य की कितनी सटीक भविष्यवाणी की जा सकती है।

क्वांटम यांत्रिकी धीरे-धीरे सिद्धांतों से उन टिप्पणियों की व्याख्या करने के लिए उत्पन्न हुई, जिन्हें शास्त्रीय भौतिकी के साथ समेटा नहीं जा सकता था, जैसे कि 1900 में मैक्स प्लैंक ( Max Planck) का कृष्णिका विकिरण (ब्लैक-बॉडी रेडिएशन) समस्या का समाधान, और अल्बर्ट आइंस्टीन (Albert Einstein) के 1905 के पेपर में ऊर्जा और आवृत्ति के बीच पत्राचार जिसने प्रकाश-विद्युत प्रभाव की व्याख्या की। सूक्ष्म घटना को समझने के इन शुरुआती प्रयासों, जिसे अब "पुराने क्वांटम सिद्धांत" के रूप में जाना जाता है, ने 1920 के दशक के मध्य में नील्स बोहर, इरविन श्रोडिंगर, वर्नर हाइजेनबर्ग, मैक्स बॉर्न, पॉल डिराक और अन्य द्वारा क्वांटम यांत्रिकी के पूर्ण विकास का नेतृत्व किया था। आधुनिक सिद्धांत विभिन्न विशेष रूप से विकसित गणितीय औपचारिकताओं में तैयार किया गया है। उनमें से एक में, एक गणितीय इकाई जिसे तरंग क्रिया कहा जाता है, एक कण की ऊर्जा, गति और अन्य भौतिक गुणों के माप के बारे में संभाव्यता आयामों के रूप में जानकारी प्रदान करता है।

अवलोकन और मौलिक अवधारणाएं
क्वांटम यांत्रिकी भौतिक प्रणालियों के गुणों और व्यवहार की गणना की अनुमति देता है। यह आमतौर पर सूक्ष्म प्रणालियों अणु, परमाणु और उप-परमाणु कण पर लागू होता है। यह हजारों परमाणुओं के साथ जटिल अणुओं को धारण करने के लिए प्रदर्शित किया गया है, लेकिन मनुष्य के लिए इसका आवेदन दार्शनिक समस्याओं को जन्म देता है, जैसे कि विग्नर फ्रेंड, और संपूर्ण ब्रह्मांड के लिए इसका अनुप्रयोग उत्सुकतापूर्ण रहता है। क्वांटम यांत्रिकी की भविष्यवाणियों को प्रयोगात्मक रूप से अत्यधिक उच्च स्तर की सटीकता के लिए सत्यापित किया गया है।

सिद्धांत की एक मूलभूत विशेषता यह है कि यह आमतौर पर निश्चितता के साथ भविष्यवाणी नहीं कर सकता कि क्या होगा, लेकिन केवल संभावनाएं देता है। गणितीय रूप से, एक सम्मिश्र संख्या के निरपेक्ष मान का वर्ग लेकर एक प्रायिकता ज्ञात की जाती है, जिसे प्रायिकता आयाम के रूप में जाना जाता है। इसे बॉर्न नियम के नाम से जाना जाता है, जिसका नाम भौतिक विज्ञानी मैक्स बॉर्न के नाम पर रखा गया है। उदाहरण के लिए, एक इलेक्ट्रॉन जैसे क्वांटम कण को एक तरंग क्रिया द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो समष्टि में प्रत्येक बिंदु को एक संभाव्यता आयाम से जोड़ता है। इन आयामों पर बोर्न नियम को लागू करने से उस स्थिति के लिए संभाव्यता घनत्व कार्य मिलता है जो इलेक्ट्रॉन को मापने के लिए एक प्रयोग करने पर पाया जाएगा। यह सबसे अच्छा सिद्धांत है जो कर सकता है, यह निश्चित रूप से नहीं कह सकता जहां इलेक्ट्रॉन मिलेगा। श्रोडिंगर समीकरण संभाव्यता आयामों के संग्रह से संबंधित है जो समय के एक क्षण से संबंधित संभाव्यता आयामों के संग्रह से संबंधित है जो दूसरे से संबंधित है।

क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय नियमों का एक परिणाम विभिन्न मापनीय मात्राओं के बीच पूर्वानुमेयता में एक दुविधा है। इस अनिश्चितता के सिद्धांत का सबसे प्रसिद्ध रूप कहता है कि कोई भी क्वांटम कण कैसे तैयार किया जाता है या उस पर कितनी सावधानी से प्रयोग किए जाते हैं, इसकी स्थिति के माप के लिए और साथ ही इसकी गति के माप के लिए एक सटीक भविष्यवाणी करना असंभव है।

क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय नियमों का एक अन्य परिणाम क्वांटम हस्तक्षेप की घटना है, जिसे अक्सर दो झिरी प्रयोग के साथ चित्रित किया जाता है। इस प्रयोग के मूल संस्करण में, एक सुसंगत प्रकाश स्रोत, जैसे कि एक लेज़र किरणपुंज, दो समानांतर झिल्लियों द्वारा छेदी गई पट्टिका को प्रकाशित करता है, और रेखाछिद्र से गुजरने वाला प्रकाश पट्टिका के पीछे एक पटल पर देखा जाता है।  प्रकाश की तरंग प्रकृति दो झिल्लियों से गुजरने वाली प्रकाश तरंगों को हस्तक्षेप करने का कारण बनती है, जिससे पटल पर उज्ज्वल और गहरे रंग के धारियाँ बनते हैं - एक परिणाम जिसकी उम्मीद नहीं की जा सकती यदि प्रकाश में शास्त्रीय कण होते हैं। हालांकि, प्रकाश हमेशा पटल पर असतत बिंदुओं पर अवशोषित होता है, तरंगों के बजाय अलग-अलग कणों के रूप में, पटल पर इन कणों के हिट के अलग-अलग घनत्व के माध्यम से हस्तक्षेप प्रतिलिपि दिखाई देता है। इसके अलावा, प्रयोग के संस्करण जिनमें  रेखाछिद्र पर अनुवेदक शामिल हैं, यह पाते हैं कि प्रत्येक पाया गया फोटॉन एक रेखाछिद्र (एक शास्त्रीय कण के रूप में) के माध्यम से गुजरता है, न कि दोनों रेखाछिद्र (जैसा कि एक लहर) के माध्यम से होता है।   हालांकि, इस तरह के प्रयोगों से पता चलता है कि कण हस्तक्षेप प्रतिलिपि नहीं बनाते हैं यदि कोई पता लगाता है कि वे किस रेखाछिद्र से गुजरते हैं। अन्य परमाणु-पैमाने के निकाय, जैसे कि इलेक्ट्रॉन, दोगुना रेखाछिद्र की ओर ताप किए जाने पर समान व्यवहार प्रदर्शित करते पाए जाते हैं। इस व्यवहार को तरंग-कण द्वैत के रूप में जाना जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी द्वारा भविष्यवाणी की गई एक और प्रति-सहज घटना क्वान्टम सुरंगन है: एक कण जो एक संभावित बाधा के खिलाफ जाता है, वह इसे पार कर सकता है, भले ही इसकी गतिज ऊर्जा अधिकतम क्षमता से छोटी हो शास्त्रीय यांत्रिकी में यह कण फंस जाएगा। क्वान्टम सुरंगन के कई महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जिससे रेडियोसक्रिय क्षय, तारों में परमाणु संलयन, और अवलोकन सुरंगन सूक्ष्मदर्शी यंत्र और सुरंगन डायोड जैसे अनुप्रयोग सक्षम होते हैं।

जब क्वांटम प्रणाली परस्पर क्रिया करते हैं, तो परिणाम क्वांटम उलझाव का निर्माण हो सकता है: उनके गुण इतने परस्पर जुड़े हो जाते हैं कि पूरी तरह से व्यक्तिगत भागों के संदर्भ में वर्णन करना संभव नहीं है। इरविन श्रोडिंगर ने उलझाव को "...क्वांटम यांत्रिकी का विशिष्ट लक्षण कहा, जो शास्त्रीय विचारों से अपने संपूर्ण प्रस्थान को लागू करता है"। क्वांटम उलझाव क्वांटम छद्म- पारेन्द्रियज्ञान के प्रति-सहज गुणों को सक्षम बनाता है, और संचार विज्ञप्ति में एक मूल्यवान संसाधन हो सकता है, जैसे कि क्वांटम कुंजी वितरण और ऊर्ध्वजनित विज्ञप्ति। लोकप्रिय गलत धारणा के विपरीत, उलझाव प्रकाश की तुलना में तेजी से संकेत भेजने की अनुमति नहीं देता है, जैसा कि नो-कम्युनिधनायन प्रमेय द्वारा प्रदर्शित किया गया है।

उलझाव द्वारा खोली गई एक और संभावना "छिपे हुए चर" के लिए परीक्षण कर रही है, क्वांटम सिद्धांत में संबोधित मात्राओं की तुलना में काल्पनिक गुण अधिक मौलिक हैं, जिसका ज्ञान क्वांटम सिद्धांत की तुलना में अधिक सटीक भविष्यवाणियों की अनुमति देगा। परिणामों का एक संग्रह, सबसे महत्वपूर्ण रूप से बेल के प्रमेय, ने प्रदर्शित किया है कि ऐसे छिपे-चर सिद्धांतों के व्यापक वर्ग वास्तव में क्वांटम भौतिकी के साथ असंगत हैं। बेल के प्रमेय के अनुसार, यदि प्रकृति वास्तव में स्थानीय छिपे हुए चर के किसी भी सिद्धांत के अनुसार काम करती है, तो बेल परीक्षण के परिणाम एक विशेष, मात्रात्मक तरीके से सीमित होंगे। उलझे हुए कणों का उपयोग करते हुए कई बेल परीक्षण किए गए हैं, और उन्होंने स्थानीय छिपे हुए चर द्वारा लगाए गए बाधाओं के साथ असंगत परिणाम दिखाए हैं।

इन अवधारणाओं को शामिल किए गए वास्तविक गणित को पेश किए बिना एक सतही तरीके से अधिक प्रस्तुत करना संभव नहीं है, क्वांटम यांत्रिकी को समझने के लिए न केवल जटिल संख्याओं में हेरफेर करने की आवश्यकता है, बल्कि रैखिक बीजगणित, अंतर समीकरण, समूह सिद्धांत और अन्य उन्नत विषय भी हैं।तदनुसार, यह लेख क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय सूत्रीकरण प्रस्तुत करेगा और कुछ उपयोगी के लिए इसके अनुप्रयोग का सर्वेक्षण करेगा। और अक्सर अध्ययन किए गए उदाहरण।

गणितीय सूत्रीकरण
क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय रूप से कठोर सूत्रीकरण में, एक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की स्थिति एक सदिश (वेक्टर) है $$\psi$$ एक (वियोज्य) जटिल हिल्बर्ट समष्टि $$\mathcal H$$ से संबंधित है। इस सदिश (वेक्टर) को हिल्बर्ट समष्टि आंतरिक उत्पाद के तहत सामान्यीकृत होने के लिए प्रकाशित किया गया है, अर्थात, यह $$\langle \psi,\psi \rangle = 1$$, का पालन करता है। और यह मापांक 1 (वैश्विक चरण) की एक जटिल संख्या तक अच्छी तरह से परिभाषित है, यानी $$\psi$$ तथा $$e^{i\alpha}\psi$$ एक ही भौतिक तंत्र का प्रतिनिधित्व करते हैं। दूसरे शब्दों में, संभावित अवस्था हिल्बर्ट समष्टि के प्रक्षेप्य स्थान में बिंदु होते हैं, जिन्हें आमतौर पर जटिल प्रक्षेप्य स्थान कहा जाता है। इस हिल्बर्ट समष्टि की सटीक प्रकृति प्रणाली पर निर्भर है - उदाहरण के लिए, स्थिति और गति का वर्णन करने के लिए हिल्बर्ट समष्टि जटिल वर्गाकार समाकलनीय फलन का स्थान है $$L^2(\mathbb C)$$, जबकि एक प्रोटॉन के प्रचक्रण के लिए हिल्बर्ट समष्टि केवल दो-आयामी जटिल सदिश का स्थान है $$\mathbb C^2$$ सामान्य आंतरिक उत्पाद के साथ।

भौतिक मात्रा – स्थिति, गति, ऊर्जा, प्रचक्रण – वेधशालाओं द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, जो कि हर्मिटियन (अधिक सटीक रूप से, स्व-संलग्नक संचालक, स्व-अभिसम्युक्त) रैखिक संचालक हैं जो हिल्बर्ट समष्टि पर काम कर रहे हैं। एक क्वांटम अवस्था एक अवलोकन का एक अभिलक्षणिक सदिश हो सकता है, जिस स्थिति में इसे एक अभिलक्षणिक अवस्था कहा जाता है, और संबंधित अभिलक्षणिक मान उस अभिलक्षणिक अवस्था में अवलोकन के मूल्य से मेल खाता है। अधिक आम तौर पर, एक क्वांटम अवस्था अभिलक्षणिक अवस्था का एक रैखिक संयोजन होगा, जिसे क्वांटम अधिस्थापन के रूप में जाना जाता है। जब एक अवलोकनीय मापा जाता है, तो परिणाम जन्म के नियम द्वारा दी गई संभावना के साथ इसके अभिलक्षणिक मान में से एक होगा: सबसे सरल मामले में अभिलक्षणिक मान $$\lambda$$ गैर-पतित है और संभावना द्वारा दी गई है $$|\langle \vec\lambda,\psi\rangle|^2$$, कहाँ पे $$ \vec\lambda$$ इसका संबद्ध अभिलक्षणिक सदिश है।अधिक आम तौर पर, अभिलक्षणिक मान पतित है और संभावना दी जाती है $$\langle \psi,P_\lambda\psi\rangle$$, कहाँ पे $$P_\lambda$$ इसके संबद्ध अभिलक्षणिक स्थल पर प्रक्षेपक है। निरंतर मामले में, ये सूत्र संभावना घनत्व के बजाय देते हैं।

माप के बाद, यदि परिणाम $$\lambda$$ प्राप्त किया गया था, तो क्वांटम स्थिति को $$ \vec\lambda$$}, के पतन के लिए गैर-पतित मामले में, या $$P_\lambda\psi/\sqrt{\langle \psi,P_\lambda\psi\rangle}$$, सामान्य स्थिति में प्रकाशित किया गया है। क्वांटम यांत्रिकी की संभाव्य प्रकृति इस प्रकार माप के कार्य से उत्पन्न होती है। यह समझने के लिए क्वांटम प्रणाली के सबसे कठिन पहलुओं में से एक है। यह प्रसिद्ध बोहर-आइंस्टीन बहस का केंद्रीय विषय था, जिसमें दो वैज्ञानिकों ने विचार प्रयोगों के माध्यम से इन मूलभूत सिद्धांतों को स्पष्ट करने का प्रयास किया था। क्वांटम यांत्रिकी के निर्माण के बाद के दशकों में, "माप" का गठन करने वाले प्रश्न का व्यापक अध्ययन किया गया है। क्वांटम यांत्रिकी की नई व्याख्याएं तैयार की गई हैं जो "तरंग फलन पतन" की अवधारणा को दूर करती हैं (उदाहरण के लिए, कई-दुनिया की व्याख्या देखें)। मूल विचार यह है कि जब एक क्वांटम प्रणाली एक मापने वाले उपकरण के साथ परस्पर क्रिया करती है, तो उनके संबंधित तरंग कार्य उलझ जाते हैं ताकि मूल क्वांटम प्रणाली एक स्वतंत्र इकाई के रूप में मौजूद न रह जाए। विवरण के लिए, क्वांटम यांत्रिकी में माप पर लेख देखें।

क्वांटम अवस्था का समय विकास श्रोडिंगर समीकरण (Schrödinger) द्वारा वर्णित है:
 * $$i\hbar {\frac {d}{dt}} \psi (t) =H \psi (t). $$

यहां $$H$$ हैमिल्टनियन को दर्शाता है, जो प्रणाली की कुल ऊर्जा के अनुरूप देखने योग्य है, और $$\hbar$$ कम प्लैंक स्थिरांक है। निरंतर $$i\hbar$$ को पेश किया जाता है ताकि हेमिल्टनियन को शास्त्रीय है मिल्टनियन में बदल दिया जाए जहां क्वांटम प्रणाली को शास्त्रीय प्रणाली द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, कुछ सीमाओं में ऐसा सन्निकटन करने की क्षमता को पत्राचार सिद्धांत कहा जाता है।

इस विभेदक समीकरण का हल द्वारा दिया गया है
 * $$ \psi(t) = e^{-iHt/\hbar }\psi(0). $$

परिचालक $$U(t) = e^{-iHt/\hbar } $$ समय-विकास के रूप में जाना जाता है, और इसमें महत्वपूर्ण संपत्ति है कि यह एकात्मक है। इस बार विकास इस अर्थ में नियतात्मक है कि एक प्रारंभिक क्वांटम अवस्था दी गई $$\psi(0)$$ यह एक निश्चित भविष्यवाणी करता है कि क्वांटम स्थिति क्या है $$\psi(t)$$ बाद में किसी भी समय होगा।

कुछ तरंग फलन संभाव्यता वितरण उत्पन्न करते हैं जो समय से स्वतंत्र होते हैं, जैसे हैमिल्टनियन के अभिलक्षणिक अवस्था। शास्त्रीय यांत्रिकी में गतिशील रूप से व्यवहार की जाने वाली कई प्रणालियों को ऐसे "स्थैतिक" तरंग कार्यों द्वारा वर्णित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अप्रकाशित परमाणु में एक एकल इलेक्ट्रॉन को शास्त्रीय रूप से परमाणु नाभिक के चारों ओर एक गोलाकार प्रक्षेपवक्र में घूमते हुए एक कण के रूप में चित्रित किया जाता है, जबकि क्वांटम यांत्रिकी में, यह नाभिक के चारों ओर एक स्थिर तरंग फलन द्वारा वर्णित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक उत्तेजित हाइड्रोजन परमाणु के लिए इलेक्ट्रॉन तरंग फलन एक गोलाकार सममित फलन है जिसे s कक्षक (चित्र 1) के रूप में जाना जाता है।

श्रोडिंगर समीकरण के विश्लेषणात्मक समाधान क्वांटम सरल आवर्ती दोलक, एक बॉक्स में कण, डायहाइड्रोजन धनायन और हाइड्रोजन परमाणु सहित बहुत कम अपेक्षाकृत सरल प्रतिरूप हैमिल्टन के लिए जाने जाते हैं। यहां तक ​​कि हीलियम परमाणु - जिसमें सिर्फ दो इलेक्ट्रॉन होते हैं - ने पूरी तरह से विश्लेषणात्मक उपचार के सभी प्रयासों को विफल कर दिया है।

हालांकि, अनुमानित समाधान खोजने के लिए तकनीकें हैं। एक विधि, जिसे गड़बड़ी सिद्धांत कहा जाता है, एक साधारण क्वांटम यांत्रिक प्रतिरूप  के लिए विश्लेषणात्मक परिणाम का उपयोग करता है, जो एक संबंधित लेकिन अधिक जटिल प्रतिरूप  (उदाहरण के लिए) एक कमजोर संभावित ऊर्जा के अतिरिक्त के लिए एक परिणाम बनाने के लिए बनाता है। एक अन्य विधि को गति का अर्ध-शास्त्रीय समीकरण कहा जाता है, जो उन प्रणालियों पर लागू होता है जिनके लिए क्वांटम यांत्रिकी शास्त्रीय व्यवहार से केवल छोटे विचलन का उत्पादन करता है। इन विचलन को तब शास्त्रीय गति के आधार पर गणना की जा सकती है। यह दृष्टिकोण क्वांटम अराजकता के क्षेत्र में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।

अनिश्चितता सिद्धांत
मूल क्वांटम औपचारिकता का एक परिणाम अनिश्चितता सिद्धांत है।अपने सबसे परिचित रूप में, यह बताता है कि क्वांटम कण की कोई भी तैयारी एक साथ सटीक भविष्यवाणियां नहीं कर सकती है, जो इसकी स्थिति के माप के लिए और इसकी गति के माप के लिए दोनों की सटीक भविष्यवाणियां कर सकती है। स्थिति और गति दोनों वेधशालाएं हैं, जिसका अर्थ है कि वे हर्मिटियन संचालकों द्वारा प्रतिनिधित्व करते हैं। स्थिति संचालक $$\hat{X}$$ और गति संचालक $$\hat{P}$$ परिवर्तित न करें, बल्कि विहित रूपान्तरण संबंधको संतुष्ट करें:
 * $$[\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar.$$

एक क्वांटम अवस्था को देखते हुए, जन्म का नियम हमें दोनों के लिए अपेक्षा मूल्यों की गणना करने देता है $$X$$ तथा $$P$$, और उनमें से शक्तियों के लिए। परिभाषित एक मानक विचलन द्वारा एक अवलोकन के लिए अनिश्चितता, हमारे पास है
 * $$\sigma_X=\sqrt{\langle {X}^2 \rangle-\langle {X}\rangle^2},$$

और इसी तरह गति के लिए:
 * $$\sigma_P=\sqrt{\langle {P}^2 \rangle-\langle {P}\rangle^2}.$$

अनिश्चितता सिद्धांत बताता है कि
 * $$\sigma_X \sigma_P \geq \frac{\hbar}{2}.$$

या तो मानक विचलन सिद्धांत रूप में मनमाने ढंग से छोटा बनाया जा सकता है, लेकिन दोनों एक साथ नहीं। यह असमानता स्व-अभिसम्युक्त संचालकों की मनमानी जोड़े को सामान्य करती है $$A$$ तथा $$B$$। इन दोनों संचालकों का क्रमविनिमयक है
 * $$[A,B]=AB-BA,$$

और यह मानक विचलन के उत्पाद पर निचली सीमा प्रदान करता है:
 * $$\sigma_A \sigma_B \geq \frac{1}{2}\left|\langle[A,B]\rangle \right|.$$

विहित रूपान्तरण संबंधका एक और परिणाम यह है कि स्थिति और गति संचालक एक-दूसरे के फूरियर रूपांतरण (Fourier transforms) होते हैं, ताकि इसकी गति के अनुसार किसी वस्तु का विवरण इसकी स्थिति के अनुसार इसके विवरण का फूरियर रूपांतरण (Fourier transforms) है।तथ्य यह है कि गति में निर्भरता स्थिति में निर्भरता का फूरियर रूपांतरण (Fourier transforms) है, इसका मतलब है कि गति संचालक समतुल्य है (एक तक $$i/\hbar$$ कारक) स्थिति के अनुसार व्युत्पन्न लेने के लिए, क्योंकि फूरियर विश्लेषण में भेदभाव दोहरे स्थान में गुणा से मेल खाता है।यही कारण है कि स्थिति समष्टि में क्वांटम समीकरणों में, गति $$ p_i$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$-i \hbar \frac {\partial}{\partial x}$$, और विशेष रूप से गैर-सापेक्षवादी श्रोडिंगर समीकरण में स्थिति स्थान में गति-वर्ग शब्द को लाप्लासियन काल से बदल दिया जाता है $$-\hbar^2$$.

समग्र प्रणाली और उलझाव
जब दो अलग -अलग क्वांटम प्रणाली को एक साथ माना जाता है, तो संयुक्त प्रणाली का हिल्बर्ट समष्टि दो घटकों के हिल्बर्ट रिक्त स्थान का प्रदिश गुणनफल है। उदाहरण के लिए, चलो $A$ तथा $B$ हिल्बर्ट रिक्त स्थान के साथ दो क्वांटम प्रणाली हो, $$ \mathcal H_A $$ तथा $$ \mathcal H_B $$, क्रमश।समग्र प्रणाली का हिल्बर्ट समष्टि तब है
 * $$ \mathcal H_{AB} = \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B.$$

यदि पहली प्रणाली के लिए अवस्था सदिश (वेक्टर) है $$\psi_A$$ और दूसरी प्रणाली के लिए अवस्था है $$\psi_B$$, फिर समग्र प्रणाली की स्थिति है
 * $$\psi_A \otimes \psi_B.$$

संयुक्त हिल्बर्ट समष्टि में सभी अवस्था नहीं $$\mathcal H_{AB}$$ हालांकि, इस रूप में लिखा जा सकता है, क्योंकि अधिस्थापन सिद्धांत का अर्थ है कि इन अलग -अलग या उत्पाद अवस्थाों के रैखिक संयोजन भी मान्य हैं। उदाहरण के लिए, यदि $$\psi_A$$ तथा $$\phi_A$$ प्रणाली के लिए दोनों संभावित अवस्था हैं $$A$$, और इसी तरह $$\psi_B$$ तथा $$\phi_B$$ प्रणाली के लिए दोनों संभावित अवस्था हैं $$B$$, फिर
 * $$\tfrac{1}{\sqrt{2}} \left ( \psi_A \otimes \psi_B + \phi_A \otimes \phi_B \right )$$

वैध संयुक्त स्थिति है जो अलग नहीं है। जो अवस्था अलग -अलग नहीं हैं, उन्हें उलझा दिया जाता है।

यदि एक समग्र प्रणाली के लिए अवस्था उलझा हुआ है, तो घटक प्रणाली का वर्णन $A$ या प्रणाली $B$ एक अवस्था सदिश (वेक्टर) द्वारा करना असंभव है। इसके बजाय कम घनत्व वाले मैट्रिसेस को परिभाषित किया जा सकता है जो उन आंकड़ों का वर्णन करते हैं जो अकेले घटक प्रणाली पर माप करके प्राप्त किए जा सकते हैं। यह आवश्यक रूप से जानकारी का नुकसान का कारण बनता है, हालांकि: व्यक्तिगत प्रणालियों के कम घनत्व मैट्रिसेस को जानना समग्र प्रणाली की स्थिति को फिर से बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है।  जिस तरह घनत्व मैट्रिसेस एक बड़ी प्रणाली के एक उपतंत्र की स्थिति को निर्दिष्ट करते हैं, अनुरूप रूप से, सकारात्मक संचालक-मूल्यवान उपाय (POVMs) एक बड़ी प्रणाली पर किए गए माप के एक उपतंत्र पर प्रभाव का वर्णन करते हैं। POVMs क्वांटम सूचना सिद्धांत में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं।

जैसा कि ऊपर वर्णित है, उलझाव माप प्रक्रियाओं के प्रतिरूप की एक प्रमुख विशेषता है जिसमें एक तंत्र मापा जा रहा प्रणाली के साथ उलझ जाता है। प्रणाली उस वातावरण के साथ बातचीत करता है जिसमें वे रहते हैं, आम तौर पर उस वातावरण से उलझ जाते हैं, एक घटना जिसे क्वांटम असम्बद्धता के रूप में जाना जाता है। यह समझा सकता है कि क्यों, व्यवहार में, क्वांटम प्रभाव सूक्ष्म से बड़े प्रणाली में निरीक्षण करना मुश्किल है।

योगों के बीच तुल्यता
क्वांटम यांत्रिकी के कई गणितीय रूप से समतुल्य योग हैं। सबसे पुराने और सबसे आम में से एक पॉल डिराक द्वारा प्रस्तावित परिवर्तन सिद्धांत है,जो क्वांटम यांत्रिकी के दो शुरुआती सूत्रीकरण को एकीकृत और सामान्यीकृत करता है - मैट्रिक्स यांत्रिकी (वर्नर हाइजेनबर्ग द्वारा आविष्कार किया गया) और तरंग यांत्रिकी (इरविन श्रोडिंगर द्वारा आविष्कार किया गया) | क्वांटम यांत्रिकी का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण फेनमैन का पथ अभिन्न सूत्रीकरण है, जिसमें प्रारंभिक और अंतिम अवस्थाों के बीच सभी संभावित शास्त्रीय और गैर-शास्त्रीय पथों पर एक क्वांटम- यांत्रिक आयाम को एक योग माना जाता है। यह शास्त्रीय यांत्रिकी में प्रक्रिया सिद्धांत का क्वांटम- यांत्रिक समकक्ष है।

समरूपता और संरक्षण कानून
हैमिल्टनियन $$H$$ समय विकास के जनित्र के रूप में जाना जाता है, क्योंकि यह एक एकात्मक समय-विकास संचालक को परिभाषित करता है $$U(t) = e^{-iHt/\hbar}$$ के प्रत्येक मूल्य के लिए $$t$$ के बीच इस संबंध से $$U(t)$$ तथा $$H$$, यह इस प्रकार है कि कोई भी अवलोकनीय है $$A$$ इसके साथ आता है $$H$$ संरक्षित किया जाएगा: समय के साथ इसकी अपेक्षा मूल्य नहीं बदलेगा। यह कथन सामान्य करता है, गणितीय रूप से, कोई भी हर्मिटियन संचालक $$A$$ एक परिवर्ती $$t$$ द्वारा परिचालित एकात्मक  संचालकों का एक परिवार उत्पन्न कर सकता है।  $$A$$ द्वारा उत्पन्न विकास के तहत, कोई भी अवलोकन योग्य $$B$$ जो $$A$$ के साथ आवागमन करता है, संरक्षित किया जाएगा। इसके अलावा, यदि $$B$$, $$A$$ के तहत विकास द्वारा संरक्षित है तो, फिर $$A$$, $$B$$ द्वारा उत्पन्न विकास के तहत संरक्षित है। इसका मतलब है कि एमी नूथर द्वारा शास्त्रीय (लैग्रैन्जियन) मैकेनिक्स में सिद्ध परिणाम का एक क्वांटम संस्करण: हैमिल्टनियन के प्रत्येक अलग -अलग समरूपता के लिए, एक समान संरक्षण कानून मौजूद है।

मुक्त कण


स्वतंत्रता की स्थिति की परिमाण के साथ क्वांटम प्रणाली का सबसे सरल उदाहरण एकल स्थानिक आयाम में एक मुक्त कण है। एक मुक्त कण वह है जो बाहरी प्रभावों के अधीन नहीं है, ताकि इसके हैमिल्टन में केवल इसकी गतिज ऊर्जा होती है:
 * $$H = \frac{1}{2m}P^2 = - \frac {\hbar ^2}{2m} \frac {d ^2}{dx^2}. $$

श्रोडिंगर समीकरण का सामान्य समाधान द्वारा दिया गया है
 * $$\psi (x,t)=\frac {1}{\sqrt {2\pi }}\int _{-\infty}^\infty{\hat {\psi }}(k,0)e^{i(kx -\frac{\hbar k^2}{2m} t)}\mathrm{d}k,$$

जो सभी संभावित विमान तरंगों का एक अधिस्थापन है $$e^{i(kx -\frac{\hbar k^2}{2m} t)}$$, जो गति के साथ गति संचालक के अभिलक्षणिक अवस्था s हैं  $$p = \hbar k $$, अधिस्थापन के गुणांक हैं $$ \hat {\psi }(k,0) $$, जो प्रारंभिक क्वांटम अवस्था का फूरियर रूपांतरण (Fourier transforms) है $$\psi(x,0)$$।

समाधान के लिए एक एकल गति अभिलक्षणिक अवस्था, या एक एकल स्थिति अभिलक्षणिक अवस्था होना संभव नहीं है, क्योंकि ये सामान्य रूप से क्वांटम अवस्था नहीं हैं। इसके बजाय, हम एक गौसियन वेव पैकेट पर विचार कर सकते हैं:
 * $$\psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi a}}e^{-\frac{x^2}{2a}} $$

जिसमें फूरियर रूपांतरण (Fourier transforms) है, और इसलिए गति वितरण है
 * $$\hat \psi(k,0) = \sqrt[4]{\frac{a}{\pi}}e^{-\frac{a k^2}{2}}. $$

हम देखते हैं कि हम बनाते हैं $$a$$ स्थिति में छोटा फैलना छोटा हो जाता है, लेकिन गति में फैलना बड़ा हो जाता है।इसके विपरीत, बनाकर $$a$$ बड़ा हम गति में प्रसार को छोटा कर देते हैं, लेकिन स्थिति में प्रसार बड़ा हो जाता है।यह अनिश्चितता सिद्धांत को दिखाता है।

जैसा कि हम गॉसियन वेव पैकेट को समय में विकसित होने देते हैं, हम देखते हैं कि इसका केंद्र एक निरंतर वेग पर समष्टि के माध्यम से चलता है (जैसे कि उस पर अभिनय करने वाली कोई बलों के साथ एक शास्त्रीय कण)। हालांकि, समय बढ़ने के साथ वेव पैकेट भी फैल जाएगा, जिसका अर्थ है कि स्थिति अधिक से अधिक अनिश्चित हो जाती है। हालांकि, गति में अनिश्चितता स्थिर बनी हुई है।।

बॉक्स में कण
एक-आयामी संभावित ऊर्जा बॉक्स में कण सबसे गणितीय रूप से सरल उदाहरण है जहां प्रतिबंधों से ऊर्जा के स्तर का परिमाणीकरण होता है। बॉक्स को एक निश्चित क्षेत्र के अंदर हर जगह शून्य संभावित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है, और इसलिए उस क्षेत्र के बाहर हर जगह अनंत संभावित ऊर्जा है। में एक आयामी मामले के लिए $$x$$ दिशा, समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण लिखा जा सकता है


 * $$ - \frac {\hbar ^2}{2m} \frac {d ^2 \psi}{dx^2} = E \psi.$$

द्वारा परिभाषित अंतर संचालक के साथ


 * $$ \hat{p}_x = -i\hbar\frac{d}{dx} $$

पिछला समीकरण क्लासिक गतिज ऊर्जा एनालॉग का उद्घोषक है,


 * $$ \frac{1}{2m} \hat{p}_x^2 = E,$$

अवस्था के साथ $$\psi$$ इस मामले में ऊर्जा है $$E$$ कण की गतिज ऊर्जा के साथ संयोग।

एक बॉक्स में कण के लिए श्रोडिंगर समीकरण के सामान्य समाधान हैं


 * $$ \psi(x) = A e^{ikx} + B e ^{-ikx} \qquad\qquad E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$$

या, यूलर के सूत्र से,


 * $$ \psi(x) = C \sin(kx) + D \cos(kx).\!$$

बॉक्स की अनंत संभावित दीवारें के मूल्यों को निर्धारित करती हैं $$C, D, $$ तथा $$k$$ पर $$x=0$$ तथा $$x=L$$ कहाँ पे $$\psi$$ शून्य होना चाहिए।इस प्रकार, पर $$x=0$$,


 * $$\psi(0) = 0 = C\sin(0) + D\cos(0) = D$$

तथा $$D=0$$।पर $$x=L$$,


 * $$ \psi(L) = 0 = C\sin(kL),$$

जिसमें $$C$$ शून्य नहीं हो सकता क्योंकि यह उस प्रकाशित के साथ संघर्ष करेगा $$\psi$$ मानदंड 1. इसलिए, $$\sin(kL)=0$$, $$kL$$ एक पूर्णांक कई होना चाहिए $$\pi$$,


 * $$k = \frac{n\pi}{L}\qquad\qquad n=1,2,3,\ldots.$$

इस बाधा पर $$k$$ ऊर्जा के स्तर पर एक बाधा, उपज का तात्पर्य है

$$E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2} = \frac{n^2h^2}{8mL^2}.$$

सीमित विभव कूप, सीमित गहराई वाले संभावित कुओं के लिए अनंत विभव कूप की समस्या का सामान्यीकरण है। परिमित विभव कूप की समस्या अनंत कण-इन-द-बॉक्स समस्या की तुलना में गणितीय रूप से अधिक जटिल है क्योंकि तरंग फलन को कूप की दीवारों पर शून्य पर पिन नहीं किया जाता है। इसके बजाय, तरंग फलन को अधिक जटिल गणितीय सीमा शर्तों को पूरा करना चाहिए क्योंकि यह कूप के बाहर के क्षेत्रों में गैर-शून्य है। एक अन्य संबंधित समस्या आयताकार संभावित अवरोध की है, जो क्वान्टम सुरंगन प्रभाव के लिए एक प्रतिरूप प्रस्तुत करता है जो फ्लैश मेमोरी और अवलोकन सुरंगन सूक्ष्मदर्शी यंत्र जैसी आधुनिक तकनीकों के प्रदर्शन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

लयबद्ध दोलक
जैसा कि शास्त्रीय मामले में, क्वांटम लयबद्ध दोलक के लिए क्षमता दी गई है


 * $$V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2.$$

इस समस्या का इलाज या तो श्रोडिंगर समीकरण को सीधे हल करके किया जा सकता है, जो तुच्छ नहीं है, या पॉल डीरेक द्वारा प्रस्तावित अधिक सुरुचिपूर्ण सीढ़ी विधि का उपयोग करके। अभिलक्षणिक अवस्था द्वारा दिए गए हैं


 * $$ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n\, n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot e^{

- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar}} \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right), \qquad $$
 * $$n = 0,1,2,\ldots. $$

जहां Hn हरमाइट बहुपद हैं


 * $$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right),$$

और संबंधित ऊर्जा स्तर हैं
 * $$ E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right).$$

यह एक और उदाहरण है जो बाध्य अवस्थाों के लिए ऊर्जा के विवेक को दर्शाता है।

मच-ज़ेन्डर व्यतिकरणमापी


मच -ज़ेन्डर व्यतिकरणमापी (MZI)

मच-ज़ेन्डर व्यतिकरणमापी (MZI) अंतर समीकरणों के बजाय आयाम 2 में अधिस्थापन और रैखिक बीजगणित के साथ हस्तक्षेप की अवधारणाओं को दिखाता है। इसे डबल-स्लिट प्रयोग के एक सरलीकृत संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, लेकिन यह अपने आप में रुचि रखता है, उदाहरण के लिए विलंबित पसंद क्वांटम इरेज़र, एलिट्ज़ुर-वैडमैन बम परीक्षक, और क्वांटम उलझाव के अध्ययन में है।

हम व्यतिकरणमापी के माध्यम से जाने वाले एक फोटॉन का प्रतिरूप कर सकते हैं, यह विचार करके कि प्रत्येक बिंदु पर यह केवल दो पथों के अधिस्थापन में हो सकता है: "निचला" पथ जो बाईं ओर से शुरू होता है, दोनों बीम विपाटित्र के माध्यम से सीधे जाता है, और शीर्ष पर समाप्त होता है, और "ऊपरी" पथ जो नीचे से शुरू होता है, दोनों बीम विपाटित्र के माध्यम से सीधे जाता है, और दाईं ओर समाप्त होता है। इसलिए फोटॉन की क्वांटम स्थिति एक सदिश (वेक्टर) $$\psi \in \mathbb{C}^2$$ है जो कि एक अधिस्थापन है "निचला" पथ $$\psi_l = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ और ऊपरी पथ $$\psi_u = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$, वह है, $$\psi = \alpha \psi_l + \beta \psi_u$$ जटिल $$\alpha,\beta$$ है। उस अभिधारणा का सम्मान करने के लिए $$\langle \psi,\psi\rangle = 1$$ हमें इसकी आवश्यकता है $$|\alpha|^2+|\beta|^2 = 1$$।

दोनों किरणपुंज विपाटित्र को एकात्मक मैट्रिक्स के रूप में तैयार किया गया है $$B = \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}$$, जिसका अर्थ है कि जब एक फोटॉन किरणपुंज विपाटित्र से मिलता है तो यह या तो एक ही रास्ते पर एक संभावना आयाम के साथ रहेगा $$1/\sqrt{2}$$, या की संभावना आयाम के साथ दूसरे पथ पर परिलक्षित किया जाता है $$i/\sqrt{2}$$ । ऊपरी भुजा पर चरण स्थानान्तरित को एकात्मक मैट्रिक्स के रूप में तैयार किया गया है $$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\Delta\Phi} \end{pmatrix}$$, जिसका अर्थ है कि अगर फोटॉन ऊपरी रास्ते पर है तो यह एक सापेक्ष चरण प्राप्त करेगा $$\Delta\Phi$$, और अगर यह निचले रास्ते में है तो यह अपरिवर्तित रहेगा।

एक फोटॉन जो बाईं ओर से व्यतिकरणमापी में प्रवेश करता है, फिर एक किरणपुंज विपाटित्र के साथ कार्रवाई की जाएगी $$B$$, एक चरण स्थानान्तरित $$P$$, और एक और किरणपुंज विपाटित्र $$B$$, और इसलिए अवस्था में समाप्त हो गया
 * $$BPB\psi_l = ie^{i\Delta\Phi/2} \begin{pmatrix} -\sin(\Delta\Phi/2) \\ \cos(\Delta\Phi/2) \end{pmatrix},$$

और यह संभावनाएं कि यह दाईं ओर या शीर्ष पर पाया जाएगा
 * $$ p(u) = |\langle \psi_u, BPB\psi_l \rangle|^2 = \cos^2 \frac{\Delta \Phi}{2},$$
 * $$ p(l) = |\langle \psi_l, BPB\psi_l \rangle|^2 = \sin^2 \frac{\Delta \Phi}{2}.$$

इसलिए इन संभावनाओं का अनुमान लगाकर चरण बदलाव का अनुमान लगाने के लिए मच-ज़ेन्डर व्यतिकरणमापी का उपयोग कर सकते हैं।

यह विचार करना दिलचस्प है कि क्या होगा यदि फोटॉन निश्चित रूप से किरणपुंज विपाटित्र के बीच "निचले" या "ऊपरी" पथ में थे। यह पथों में से किसी एक को अवरुद्ध करके, या समकक्ष रूप से पहले किरणपुंज विपाटित्र को हटाकर (और वांछित के रूप में बाएं या नीचे से फोटॉन को खिलाकर) पूरा किया जा सकता है। दोनों ही मामलों में अब रास्तों के बीच कोई व्यवधान नहीं होगा, और प्रायिकताएँ  $$p(u)=p(l) = 1/2$$, द्वारा दी गई हैं। स्वतंत्र रूप से चरण से  $$\Delta\Phi$$ हैं। इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि पहले किरणपुंज विपाटित्र के बाद फोटॉन एक पथ या दूसरा पथ नहीं लेता है, बल्कि यह कि यह दो पथों की वास्तविक क्वांटम अधिस्थापन में है।

अनुप्रयोग
क्वांटम यांत्रिकी को हमारे ब्रह्मांड की कई विशेषताओं को छोटे पैमाने और असतत मात्राओं और अंतःक्रियाओं के संबंध में समझाने में भारी सफलता मिली है, जिन्हें शास्त्रीय तरीकों से समझाया नहीं जा सकता है। क्वांटम यांत्रिकी अक्सर एकमात्र सिद्धांत है जो प्रकट कर सकता है उप-परमाणु कणों के व्यक्तिगत व्यवहार जो सभी प्रकार के पदार्थ (इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन, फोटॉन, और अन्य) बनाते हैं। ठोस अवस्था भौतिकी और पदार्थ विज्ञान क्वांटम यांत्रिकी पर निर्भर हैं।

कई पहलुओं में आधुनिक तकनीक उस पैमाने पर काम करती है जहां क्वांटम प्रभाव महत्वपूर्ण होते हैं। क्वांटम सिद्धांत के महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में क्वांटम रसायन विज्ञान, क्वान्टम प्रकाशिकी, क्वांटम संगणना, अतिचालक चुम्बक, प्रकाश उत्सर्जक डायोड, प्रकाश प्रवर्धक और लेजर, प्रतिरोधान्तरित्र और अर्धचालक जैसे सूक्ष्मप्रक्रमक, चिकित्सा और अनुसंधान प्रतिबिम्बन जैसे चुंबकीय अनुनाद प्रतिबिम्बन और इलेक्ट्रॉन सूक्ष्मदर्शिकी शामिल हैं। कई जैविक और भौतिक घटनाओं के लिए स्पष्टीकरण रासायनिक बंधन की प्रकृति में निहित हैं, विशेष रूप से मैक्रो-अणु DNA।

शास्त्रीय यांत्रिकी
क्वांटम यांत्रिकी के नियम इस बात पर जोर देते हैं कि एक प्रणाली की समष्टि अवस्था एक हिल्बर्ट समष्टि है और प्रणाली के वेधशाला उस समष्टि में सदिश पर काम करने वाले हर्मिटियन संचालक हैं - हालांकि वे हमें यह नहीं बताते हैं कि कौन सा हिल्बर्ट समष्टि या कौन से संचालक हैं। क्वांटम प्रणाली का मात्रात्मक विवरण प्राप्त करने के लिए इन्हें उचित रूप से चुना जा सकता है, भौतिक भविष्यवाणियां करने में एक आवश्यक कदम है। इन विकल्पों को बनाने के लिए एक महत्वपूर्ण मार्गदर्शिका है पत्राचार सिद्धांत, एक अनुमानी जो बताता है कि क्वांटम यांत्रिकी की भविष्यवाणियां बड़ी क्वांटम संख्याओं के शासन में शास्त्रीय यांत्रिकी की भविष्यवाणी को कम कर देती हैं। कोई भी किसी विशेष प्रणाली के एक स्थापित शास्त्रीय प्रतिरूप से शुरू कर सकता है, और फिर अंतर्निहित क्वांटम प्रतिरूप का अनुमान लगाने का प्रयास कर सकता है जो पत्राचार सीमा में शास्त्रीय प्रतिरूप को जन्म देगा। इस दृष्टिकोण को परिमाणीकरण के रूप में जाना जाता है।

जब क्वांटम यांत्रिकी को मूल रूप से तैयार किया गया था, तो इसे उन प्रतिरूप पर लागू किया गया था जिनकी पत्राचार सीमा गैर-सापेक्ष शास्त्रीय यांत्रिकी थी। उदाहरण के लिए, क्वांटम सरल आवर्ती दोलक का प्रसिद्ध प्रतिरूप दोलक की गतिज ऊर्जा के लिए एक स्पष्ट रूप से गैर-सापेक्ष अभिव्यक्ति का उपयोग करता है, और इस प्रकार शास्त्रीय सरल आवर्ती दोलक का एक क्वांटम संस्करण है।

अराजक प्रणालियों के साथ जटिलताएं उत्पन्न होती हैं, जिनमें अच्छी क्वांटम संख्या नहीं होती है, और क्वांटम अराजकता इन प्रणालियों में शास्त्रीय और क्वांटम विवरणों के बीच संबंधों का अध्ययन करती है। क्वांटम असम्बद्धता एक ऐसा तंत्र है जिसके माध्यम से क्वांटम प्रणाली सुसंगतता खो देते हैं, और इस प्रकार कई आम तौर पर क्वांटम प्रभाव प्रदर्शित करने में असमर्थ हो जाते हैं: क्वांटम अधिस्थापन केवल संभाव्य मिश्रण बन जाते हैं, और क्वांटम उलझाव केवल शास्त्रीय सहसंबंध बन जाता है। क्वांटम सुसंगतता आमतौर पर स्थूलदर्शीय पैमानों पर स्पष्ट नहीं होती है, सिवाय इसके कि तापमान पूर्ण शून्य के करीब पहुंच जाए, जिस पर क्वांटम व्यवहार स्थूलदर्शीय रूप से प्रकट हो सकता है।

एक शास्त्रीय प्रणाली के कई स्थूलदर्शीय गुण इसके भागों के क्वांटम व्यवहार का प्रत्यक्ष परिणाम हैं। उदाहरण के लिए, थोक पदार्थ की स्थिरता (परमाणुओं और अणुओं से मिलकर जो अकेले विद्युत बलों के तहत जल्दी से ढह जाते हैं), ठोस पदार्थों की कठोरता, और पदार्थ के यांत्रिक, ऊष्मीय, रासायनिक, प्रकाशीय और चुंबकीय गुण सभी परस्पर क्रिया के परिणाम हैं क्वांटम यांत्रिकी के नियमों के तहत विद्युत प्रभार है।

विशेष सापेक्षता और विद्युत् गतिकी
विशेष सापेक्षता के साथ क्वांटम यांत्रिकी को मिलाने के शुरुआती प्रयासों में श्रोडिंगर समीकरण को एक सहसंयोजक समीकरण जैसे कि क्लेन-गॉर्डन समीकरण या डिराक समीकरण के साथ बदलना शामिल था। हालांकि ये सिद्धांत कई प्रयोगात्मक परिणामों की व्याख्या करने में सफल रहे, लेकिन उनमें कुछ असंतोषजनक गुण थे जो सापेक्षतावादी निर्माण और कणों के विनाश की उपेक्षा से उत्पन्न हुए थे। एक पूरी तरह से सापेक्षतावादी क्वांटम सिद्धांत को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के विकास की आवश्यकता होती है, जो एक क्षेत्र (कणों के एक निश्चित सेट के बजाय) पर परिमाणीकरण लागू करता है। पहला पूर्ण क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत, क्वांटम विद्युत् गतिकी, विद्युत चुम्बकीय संपर्क का पूरी तरह से क्वांटम विवरण प्रदान करता है। क्वांटम विद्युत् गतिकी, सामान्य सापेक्षता के साथ, अब तक तैयार किए गए सबसे सटीक भौतिक सिद्धांतों में से एक है।

विद्युत् गतिकी प्रणाली का वर्णन करने के लिए क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का पूरा उपकरण अक्सर अनावश्यक होता है। एक सरल दृष्टिकोण, जिसका उपयोग क्वांटम यांत्रिकी की स्थापना के बाद से किया गया है, आवेशित कणों को क्वांटम यांत्रिक वस्तुओं के रूप में माना जाता है जो एक शास्त्रीय विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र द्वारा कार्य किया जा रहा है। उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन परमाणु का प्राथमिक क्वांटम प्रतिरूप एक शास्त्रीय का उपयोग करके हाइड्रोजन परमाणु के विद्युत क्षेत्र कूलम्ब विद्युत विभव का वर्णन करता है $$\textstyle -e^2/(4 \pi\epsilon_{_0}r)$$ । यह "अर्ध-शास्त्रीय" दृष्टिकोण विफल हो जाता है यदि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में क्वांटम उतार-चढ़ाव एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, जैसे चार्ज कणों द्वारा फोटॉन के उत्सर्जन में होता है।

मजबूत परमाणु बल और कमजोर परमाणु बल के लिए क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत भी विकसित किए गए हैं। मजबूत परमाणु बल के क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स कहा जाता है, और क्वार्क और ग्लून्स जैसे उप-परमाणु कणों की बातचीत का वर्णन करता है। भौतिकविदों अब्दुस सलाम, शेल्डन ग्लासो और स्टीवन वेनबर्ग द्वारा कमजोर परमाणु बल और विद्युत चुम्बकीय बल को उनके परिमाणित रूपों में एक एकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (विद्युत-चुम्बकीय-दुर्बल सिद्धांत के रूप में जाना जाता है) में एकीकृत किया गया था।

सामान्य सापेक्षता से संबंध
भले ही क्वांटम सिद्धांत और सामान्य सापेक्षता दोनों की भविष्यवाणियों को कठोर और दोहराए गए अनुभवजन्य साक्ष्य द्वारा समर्थित किया गया है, उनकी अमूर्त औपचारिकताएं एक-दूसरे का खंडन करती हैं और वे एक सुसंगत, एकजुट प्रतिरूप में शामिल करना बेहद मुश्किल साबित हुआ है। कण भौतिकी के कई क्षेत्रों में गुरुत्वाकर्षण उपेक्षणीय है, इसलिए सामान्य सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी के बीच एकीकरण उन विशेष अनुप्रयोगों में एक जरूरी मुद्दा नहीं है। हालांकि, क्वांटम गुरुत्वाकर्षण के एक सही सिद्धांत की कमी भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान में एक महत्वपूर्ण मुद्दा है और भौतिकविदों द्वारा एक सुरुचिपूर्ण "थ्योरी ऑफ एवरीथिंग" (TOE) की खोज है। नतीजतन, दोनों सिद्धांतों के बीच विसंगतियों को हल करना 20वीं और 21वीं सदी के भौतिकी का एक प्रमुख लक्ष्य रहा है। यह TOE न केवल उप-परमाणु भौतिकी के प्रतिरूप को संयोजित करेगा बल्कि एक ही बल या घटना से प्रकृति की चार मूलभूत शक्तियों को भी प्राप्त करेगा।

ऐसा करने का एक प्रस्ताव श्रृंखला सिद्धांत है, जो यह मानता है कि कण भौतिकी के बिंदु जैसे कणों को एक-आयामी वस्तुओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जिन्हें श्रृंखला कहा जाता है। श्रृंखला सिद्धांत बताता है कि कैसे ये तार समष्टि के माध्यम से फैलते हैं और एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। श्रृंखला स्केल से बड़े दूरी के पैमाने पर, एक  श्रृंखला एक सामान्य कण की तरह दिखती है, इसके द्रव्यमान, चार्ज और श्रृंखला की कंपन स्थिति द्वारा निर्धारित अन्य गुणों के साथ।  श्रृंखला सिद्धांत में,  श्रृंखला की कई कंपन अवस्थाओं में से एक गुरुत्वाकर्षण से मेल खाती है, एक क्वांटम यांत्रिक कण जो गुरुत्वाकर्षण बल वहन करता है।

एक अन्य लोकप्रिय सिद्धांत लूप क्वांटम ग्रेविटी (LQG) है, जो गुरुत्वाकर्षण के क्वांटम गुणों का वर्णन करता है और इस प्रकार क्वांटम समष्टिटाइम का एक सिद्धांत है। LQG मानक क्वांटम यांत्रिकी और मानक सामान्य सापेक्षता को मिलाने और अनुकूलित करने का एक प्रयास है। यह सिद्धांत समष्टि को प्रचक्रण नेटवर्क नामक परिमित छोरों के "बुने हुए" के रूप में एक अत्यंत महीन कपड़े के रूप में वर्णित करता है। समय के साथ प्रचक्रण नेटवर्क के विकास को प्रचक्रण फोम कहा जाता है। प्रचक्रण फोम की विशेषता लंबाई का पैमाना प्लैंक लंबाई है, लगभग 1.616×10−35 मीटर, और इसलिए प्लैंक लंबाई से कम लंबाई एलक्यूजी में शारीरिक रूप से सार्थक नहीं है।

दार्शनिक निहितार्थ
इसकी स्थापना के बाद से, क्वांटम यांत्रिकी के कई प्रति-सहज पहलुओं और परिणामों ने मजबूत दार्शनिक बहस और कई व्याख्याओं को उकसाया है। क्वांटम यांत्रिकी की संभाव्य प्रकृति पर तर्क केंद्र, वेवफंक्शन पतन के साथ कठिनाइयों और संबंधित माप समस्या, और क्वांटम गैर-स्थानीयता। शायद इन मुद्दों के बारे में एकमात्र सर्वसम्मति मौजूद है कि कोई आम सहमति नहीं है। रिचर्ड फेनमैन ने एक बार कहा था, "मुझे लगता है कि मैं सुरक्षित रूप से कह सकता हूं कि कोई भी क्वांटम यांत्रिकी को नहीं समझता है।" स्टीवन वेनबर्ग के अनुसार, "अब मेरी राय में क्वांटम यांत्रिकी की पूरी तरह से संतोषजनक व्याख्या नहीं है।"

नील्स बोहर, वर्नर हाइजेनबर्ग और अन्य भौतिकविदों के विचारों को अक्सर "कोपेनहेगन व्याख्या" के रूप में एक साथ समूहीकृत किया जाता है। इन विचारों के अनुसार, क्वांटम यांत्रिकी की संभाव्य प्रकृति एक अस्थायी विशेषता नहीं है जिसे अंततः एक नियतात्मक सिद्धांत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा, बल्कि इसके बजाय "कार्य-कारण" के शास्त्रीय विचार का अंतिम त्याग है। बोह्र ने विशेष रूप से जोर दिया कि क्वांटम यांत्रिक औपचारिकता के किसी भी अच्छी तरह से परिभाषित आवेदन को हमेशा प्रयोगात्मक व्यवस्था का संदर्भ देना चाहिए, विभिन्न प्रयोगात्मक स्थितियों के तहत प्राप्त साक्ष्य की पूरक प्रकृति के कारण। कोपेनहेगन-प्रकार की व्याख्याएं 21वीं सदी में लोकप्रिय बनी हुई हैं।

अल्बर्ट आइंस्टीन, जो स्वयं क्वांटम सिद्धांत के संस्थापकों में से एक थे, नियतिवाद और स्थानीयता जैसे कुछ पोषित आध्यात्मिक सिद्धांतों का सम्मान करने में अपनी स्पष्ट विफलता से परेशान थे। क्वांटम यांत्रिकी के अर्थ और स्थिति के बारे में बोहर के साथ आइंस्टीन के लंबे समय से चल रहे आदान-प्रदान को अब बोहर-आइंस्टीन बहस के रूप में जाना जाता है। आइंस्टीन का मानना ​​​​था कि अंतर्निहित क्वांटम यांत्रिकी एक सिद्धांत होना चाहिए जो स्पष्ट रूप से दूरी पर कार्रवाई को मना करता है। उन्होंने तर्क दिया कि क्वांटम यांत्रिकी अधूरा था, एक सिद्धांत जो वैध था लेकिन मौलिक नहीं था, थर्मोडायनामिक्स कैसे मान्य है, इसके अनुरूप है, लेकिन इसके पीछे मौलिक सिद्धांत सांख्यिकीय यांत्रिकी है। 1935 में, आइंस्टीन और उनके सहयोगियों बोरिस पोडॉल्स्की और नाथन रोसेन ने एक तर्क प्रकाशित किया कि स्थानीयता का सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी की अपूर्णता को दर्शाता है, एक विचार प्रयोग को बाद में आइंस्टीन-पोडॉल्स्की-रोसेन विरोधाभास कहा गया। 1964 में, जॉन बेल ने दिखाया। कि ईपीआर का स्थानीयता का सिद्धांत, नियतत्ववाद के साथ, वास्तव में क्वांटम यांत्रिकी के साथ असंगत था: उन्होंने दूरी प्रणालियों द्वारा निर्मित सहसंबंधों पर बाधाओं को निहित किया, जिसे अब बेल असमानताओं के रूप में जाना जाता है, जिसे उलझे हुए कणों द्वारा भंग किया जा सकता है। तब से इन सहसंबंधों को प्राप्त करने के लिए कई प्रयोग किए गए हैं, जिसके परिणामस्वरूप वे वास्तव में बेल असमानताओं का उल्लंघन करते हैं, और इस प्रकार नियतिवाद के साथ स्थानीयता के संयोजन को गलत साबित करते हैं।

बोहमियन यांत्रिकी से पता चलता है कि इसे स्पष्ट रूप से गैर-स्थानीय बनाने की कीमत पर, इसे नियतात्मक बनाने के लिए क्वांटम यांत्रिकी को सुधारना संभव है। यह न केवल एक भौतिक प्रणाली के लिए एक तरंग कार्य करता है, बल्कि एक वास्तविक स्थिति के अलावा, जो एक गैर-स्थानीय मार्गदर्शक समीकरण के तहत निश्चित रूप से विकसित होता है। एक भौतिक प्रणाली का विकास हर समय श्रोडिंगर समीकरण द्वारा मार्गदर्शक समीकरण के साथ दिया जाता है, तरंग समारोह का पतन कभी नहीं होता है। यह माप की समस्या को हल करता है।

1956 में तैयार की गई एवरेट की कई-दुनिया की व्याख्या, मानती है कि क्वांटम सिद्धांत द्वारा वर्णित सभी संभावनाएं एक साथ बहुसंख्यक में होती हैं जो ज्यादातर स्वतंत्र समानांतर ब्रह्मांडों से बनी होती हैं। ह तरंग पैकेट के पतन के स्वयंसिद्ध को हटाने का एक परिणाम है। मापा प्रणाली और मापने वाले उपकरण के सभी संभावित अवस्था, पर्यवेक्षक के साथ, वास्तविक भौतिक क्वांटम अधिस्थापन में मौजूद हैं। जबकि मल्टीवर्स नियतात्मक है, हम संभावनाओं द्वारा शासित गैर-नियतात्मक व्यवहार का अनुभव करते हैं, क्योंकि हम मल्टीवर्स को समग्र रूप से नहीं देखते हैं, लेकिन एक समय में केवल एक समानांतर ब्रह्मांड का निरीक्षण करते हैं। वास्तव में यह कैसे काम करना चाहिए यह बहुत बहस का विषय रहा है। इसे समझने और बोर्न रूल को प्राप्त करने के लिए कई प्रयास किए गए हैं, इस पर कोई सहमति नहीं है कि क्या वे सफल रहे हैं।

संबंधपरक क्वांटम यांत्रिकी 1990 के दशक के अंत में कोपेनहेगन-प्रकार के विचारों के एक आधुनिक व्युत्पन्न के रूप में प्रकट हुई, और क्यूबिज़्म को कुछ वर्षों बाद विकसित किया गया था।

इतिहास
क्वांटम यांत्रिकी 20वीं सदी के शुरुआती दशकों में विकसित हुई थी, जो कि कुछ मामलों में, पहले के समय में देखी गई घटनाओं की व्याख्या करने की आवश्यकता से प्रेरित थी। प्रकाश की तरंग प्रकृति की वैज्ञानिक जांच 17वीं और 18वीं शताब्दी में शुरू हुई, जब रॉबर्ट हुक, क्रिस्टियान ह्यूजेन्स और लियोनहार्ड यूलर जैसे वैज्ञानिकों ने प्रयोगात्मक अवलोकनों के आधार पर प्रकाश के तरंग सिद्धांत का प्रस्ताव रखा था। 1803 में अंग्रेजी बहुज्ञ थॉमस यंग ने प्रसिद्ध दो झिरी प्रयोग का वर्णन किया। इस प्रयोग ने प्रकाश के तरंग सिद्धांत की सामान्य स्वीकृति में प्रमुख भूमिका निभाई थी।

19वीं शताब्दी की शुरुआत में, जॉन डाल्टन और एमेडियो अवोगाद्रो द्वारा रासायनिक अनुसंधान ने पदार्थ के परमाणु सिद्धांत को महत्व दिया, एक विचार जिसे जेम्स क्लर्क मैक्सवेल, लुडविग बोल्ट्जमैन और अन्य ने गैसों के गतिज सिद्धांत को स्थापित करने के लिए बनाया था। गतिज सिद्धांत की सफलताओं ने इस विचार को और बल दिया कि पदार्थ परमाणुओं से बना है, फिर भी सिद्धांत में भी कमियां थीं जिनका समाधान केवल क्वांटम यांत्रिकी के विकास से ही होगा। जबकि ग्रीक दर्शन से परमाणुओं की प्रारंभिक अवधारणा यह थी कि वे अविभाज्य इकाइयाँ थीं - शब्द "परमाणु" ग्रीक से "अनकटेटेबल" के लिए निकला - 19 वीं शताब्दी में उप-परमाणु संरचना के बारे में परिकल्पनाओं का निर्माण देखा गया। उस संबंध में एक महत्वपूर्ण खोज माइकल फैराडे की 1838 में कम दबाव पर गैस युक्त कांच नली के अंदर विद्युत निर्वहन के कारण होने वाली चमक का अवलोकन था। जूलियस प्लकर, जोहान विल्हेम हिट्टोर्फ और यूजेन गोल्डस्टीन ने फैराडे के काम को आगे बढ़ाया और सुधार किया, जिससे कैथोड किरणों की पहचान हुई, जिसे जे जे थॉमसन ने उप-परमाणु कणों से मिलकर पाया, जिन्हें इलेक्ट्रॉन कहा जाएगा।

1859 में गुस्ताव किरचॉफ द्वारा कृष्णिका विकिरण समस्या की खोज की गई थी। 1900 में, मैक्स प्लैंक ने इस परिकल्पना का प्रस्ताव रखा कि ऊर्जा असतत "क्वांटा" (या ऊर्जा पैकेट) में विकीर्ण और अवशोषित होती है, एक गणना की उपज होती है जो कृष्णिका विकिरण प्रतिलिपि से सटीक रूप से मेल खाती है। क्वांटम शब्द लैटिन से निकला है, जिसका अर्थ "कितना महान" या "कितना" है। प्लैंक के अनुसार, ऊर्जा की मात्रा को "तत्वों" में विभाजित माना जा सकता है, जिनका आकार (E) उनकी आवृत्ति (ν) के समानुपाती होगा:
 * $$ E = h \nu\ $$,

जहाँ h प्लैंक नियतांक है। प्लैंक ने सावधानी से जोर दिया कि यह विकिरण के अवशोषण और उत्सर्जन की प्रक्रियाओं का केवल एक पहलू था और विकिरण की भौतिक वास्तविकता नहीं थी। वास्तव में, उन्होंने अपनी क्वांटम परिकल्पना को एक बड़ी खोज के बजाय सही उत्तर पाने के लिए एक गणितीय चाल माना। हालाँकि, 1905 में अल्बर्ट आइंस्टीन ने प्लैंक की क्वांटम परिकल्पना की वास्तविक रूप से व्याख्या की और इसका उपयोग प्रकाश-विद्युत प्रभाव की व्याख्या करने के लिए किया, जिसमें कुछ सामग्रियों पर चमकदार प्रकाश सामग्री से इलेक्ट्रॉनों को बाहर निकाल सकता है। नील्स बोहर ने तब विकिरण के बारे में प्लैंक के विचारों को हाइड्रोजन परमाणु के एक प्रतिरूप के रूप में विकसित किया जिसने हाइड्रोजन की वर्णक्रमीय रेखाओं की सफलतापूर्वक भविष्यवाणी की। आइंस्टीन ने यह दिखाने के लिए इस विचार को और विकसित किया कि प्रकाश जैसी विद्युतचुंबकीय तरंग को एक कण (जिसे बाद में फोटॉन कहा जाता है) के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसमें असतत मात्रा में ऊर्जा होती है जो इसकी आवृत्ति पर निर्भर करती है। अपने पेपर "ऑन द क्वांटम थ्योरी ऑफ रेडिएशन" में, आइंस्टीन ने परमाणुओं द्वारा ऊर्जा के अवशोषण और उत्सर्जन की व्याख्या करने के लिए ऊर्जा और पदार्थ के बीच बातचीत पर विस्तार किया। हालांकि उस समय उनके सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत द्वारा छायांकित किया गया था, इस पत्र ने विकिरण के उत्तेजित उत्सर्जन के अंतर्निहित तंत्र को स्पष्ट किया, जो लेजर का आधार बन गया।

इस चरण को पुराने क्वांटम सिद्धांत के रूप में जाना जाता है। कभी भी पूर्ण या आत्मनिर्भर नहीं, पुराना क्वांटम सिद्धांत शास्त्रीय यांत्रिकी के अनुमानी सुधारों का एक सेट था। सिद्धांत को अब आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी के लिए एक अर्ध-शास्त्रीय सन्निकटन के रूप में समझा जाता है। इस अवधि के उल्लेखनीय परिणामों में शामिल हैं, ऊपर उल्लिखित प्लैंक, आइंस्टीन और बोहर के काम के अलावा, आइंस्टीन और पीटर डेबी के ठोस पदार्थों की विशिष्ट गर्मी पर काम, बोहर और हेंड्रिका जोहाना वैन लीउवेन का सबूत है कि शास्त्रीय भौतिकी हीरेग्नेटिज्म के लिए जिम्मेदार नहीं हो सकती है, और अर्नोल्ड विशेष-सापेक्ष प्रभाव को शामिल करने के लिए बोहर प्रतिरूप के सोमरफेल्ड का विस्तार।

1920 के दशक के मध्य में क्वांटम यांत्रिकी को परमाणु भौतिकी के लिए मानक सूत्रीकरण बनने के लिए विकसित किया गया था। 1923 में, फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी लुई डी ब्रोगली ने पदार्थ तरंगों के अपने सिद्धांत को यह कहकर सामने रखा कि कण तरंग विशेषताओं को प्रदर्शित कर सकते हैं और इसके विपरीत। डी ब्रोगली के दृष्टिकोण पर निर्माण, आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी का जन्म 1925 में हुआ, जब जर्मन भौतिकविदों वर्नर हाइजेनबर्ग, मैक्स बॉर्न और पास्कुअल जॉर्डन ने मैट्रिक्स यांत्रिकी विकसित की और ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी इरविन श्रोडिंगर ने तरंग यांत्रिकी का आविष्कार किया। बोर्न ने जुलाई 1926 में श्रोडिंगर के तरंग फलन की संभाव्य व्याख्या की शुरुआत की। इस प्रकार, क्वांटम भौतिकी के पूरे क्षेत्र का उदय हुआ, जिससे 1927 में पांचवें सोल्वे सम्मेलन में इसे व्यापक स्वीकृति मिली।

1930 तक क्वांटम यांत्रिकी को डेविड हिल्बर्ट, पॉल डिराक और जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा और अधिक एकीकृत और औपचारिक रूप दिया गया था, जिसमें माप पर अधिक जोर दिया गया था, वास्तविकता के हमारे ज्ञान की सांख्यिकीय प्रकृति, और 'पर्यवेक्षक' के बारे में दार्शनिक अटकलें। तब से इसने क्वांटम रसायन विज्ञान, क्वांटम इलेक्ट्रॉनिक्स, क्वान्टम प्रकाशिकी और क्वांटम सूचना विज्ञान सहित कई विषयों में प्रवेश किया है। यह तत्वों की आधुनिक आवर्त सारणी की कई विशेषताओं के लिए एक उपयोगी ढांचा भी प्रदान करता है, और रासायनिक बंधन के दौरान परमाणुओं के व्यवहार और कंप्यूटर अर्धचालकों में इलेक्ट्रॉनों के प्रवाह का वर्णन करता है, और इसलिए कई आधुनिक तकनीकों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। जबकि क्वांटम यांत्रिकी का निर्माण बहुत छोटे की दुनिया का वर्णन करने के लिए किया गया था, सुपरकंडक्टर्स और सुपरफ्लुइड्स जैसी कुछ  स्थूलदर्शीय घटनाओं की व्याख्या करने के लिए भी इसकी आवश्यकता है।

यह भी देखें

 * ब्रा -केट नोटेशन
 * आइंस्टीन के विचार प्रयोग
 * शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी पर पाठ्यपुस्तकों की सूची
 * स्थूलदर्शीय क्वांटम घटना
 * चरण-अंतरिक्ष सूत्रीकरण
 * नियमितीकरण (भौतिकी)
 * दो-राज्य क्वांटम प्रणाली

अग्रिम पठन
The following titles, all by working physicists, attempt to communicate quantum theory to lay people, using a minimum of technical apparatus.

More technical:
 * Chester, Marvin (1987). Primer of Quantum Mechanics. John Wiley. ISBN 0-486-42878-8
 * Richard Feynman, 1985. QED: The Strange Theory of Light and Matter, Princeton University Press. ISBN 0-691-08388-6. Four elementary lectures on quantum electrodynamics and quantum field theory, yet containing many insights for the expert.
 * Ghirardi, GianCarlo, 2004. Sneaking a Look at God's Cards, Gerald Malsbary, trans. Princeton Univ. Press. The most technical of the works cited here. Passages using algebra, trigonometry, and bra–ket notation can be passed over on a first reading.
 * N. David Mermin, 1990, "Spooky actions at a distance: mysteries of the QT" in his Boojums All the Way Through. Cambridge University Press: 110–76.
 * Victor Stenger, 2000. Timeless Reality: Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Buffalo, NY: Prometheus Books. Chpts. 5–8. Includes cosmological and philosophical considerations.
 * Victor Stenger, 2000. Timeless Reality: Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Buffalo, NY: Prometheus Books. Chpts. 5–8. Includes cosmological and philosophical considerations.
 * Bryce DeWitt, R. Neill Graham, eds., 1973. The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton Series in Physics, Princeton University Press. ISBN 0-691-08131-X
 * D. Greenberger, K. Hentschel, F. Weinert, eds., 2009. Compendium of quantum physics, Concepts, experiments, history and philosophy, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg.
 * A standard undergraduate text.
 * Max Jammer, 1966. The Conceptual Development of Quantum Mechanics. McGraw Hill.
 * Hagen Kleinert, 2004. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 3rd ed. Singapore: World Scientific. Draft of 4th edition.
 * Online copy
 * Gunther Ludwig, 1968. Wave Mechanics. London: Pergamon Press. ISBN 0-08-203204-1
 * George Mackey (2004). The mathematical foundations of quantum mechanics. Dover Publications. ISBN 0-486-43517-2.
 * Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G.M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons. Cf. chpt. IV, section III. online
 * Scerri, Eric R., 2006. The Periodic Table: Its Story and Its Significance. Oxford University Press. Considers the extent to which chemistry and the periodic system have been reduced to quantum mechanics. ISBN 0-19-530573-6
 * Veltman, Martinus J.G. (2003), Facts and Mysteries in Elementary Particle Physics.
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On Wikibooks
 * This Quantum World

बाहरी संबंध

 * J. O'Connor and E. F. Robertson: A history of quantum mechanics.
 * Introduction to Quantum Theory at Quantiki.
 * Quantum Physics Made Relatively Simple: three video lectures by Hans Bethe


 * Course material
 * Quantum Cook Book and PHYS 201: Fundamentals of Physics II by Ramamurti Shankar, Yale OpenCourseware
 * The Modern Revolution in Physics – an online textbook.
 * MIT OpenCourseWare: Chemistry and Physics. See 8.04, 8.05 and 8.06
 * 5½ Examples in Quantum Mechanics
 * Imperial College Quantum Mechanics Course.


 * Philosophy