क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी

क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी  सांख्यिकीय यांत्रिकी है जो  क्वांटम यांत्रिकी  पर लागू होती है। क्वांटम यांत्रिकी में एक सांख्यिकीय समुच्चय (गणितीय भौतिकी) (संभावित क्वांटम अवस्थाओं पर संभाव्यता वितरण) को एक  घनत्व मैट्रिक्स  S द्वारा वर्णित किया जाता है, जो एक गैर-नकारात्मक, स्व-आसन्न, ट्रेस 1 का  ट्रेस वर्ग  ऑपरेटर है।  कितना राज्य  का वर्णन करते हुए  हिल्बर्ट अंतरिक्ष  एच। यह क्वांटम यांत्रिकी के विभिन्न गणितीय सूत्रीकरण के तहत दिखाया जा सकता है। ऐसी ही एक औपचारिकता  क्वांटम तर्क  द्वारा प्रदान की जाती है।

अपेक्षा
शास्त्रीय संभाव्यता सिद्धांत से, हम जानते हैं कि एक यादृच्छिक चर X का अपेक्षित मान इसके संभाव्यता वितरण D द्वारा परिभाषित किया गया हैX द्वारा
 * $$ \mathbb{E}(X) = \int_\mathbb{R} \lambda \, d \, \operatorname{D}_X(\lambda) $$

बेशक, यह मानते हुए कि यादृच्छिक चर पूर्णांक है या यादृच्छिक चर गैर-नकारात्मक है। इसी तरह, ए को क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम का अवलोकन करने दें। A, H पर सघन रूप से परिभाषित स्व-आसन्न संकारक द्वारा दिया गया है। A का वर्णक्रमीय माप  द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$ \operatorname{E}_A(U) = \int_U \lambda d \operatorname{E}(\lambda), $$

विशिष्ट रूप से ए निर्धारित करता है और इसके विपरीत, विशिष्ट रूप से एई द्वारा निर्धारित किया जाता हैA R के बोरेल उपसमुच्चय से 'H' के स्व-संलग्न अनुमानों के जाली Q में एक बूलियन समरूपता है। संभाव्यता सिद्धांत के अनुरूप, एक राज्य एस दिया गया है, हम एस के तहत ए के वितरण का परिचय देते हैं, जो आर के बोरेल सबसेट पर परिभाषित प्रायिकता माप है
 * $$ \operatorname{D}_A(U) = \operatorname{Tr}(\operatorname{E}_A(U) S). $$

इसी तरह, A का अपेक्षित मान संभाव्यता वितरण D के संदर्भ में परिभाषित किया गया हैA द्वारा
 * $$ \mathbb{E}(A) = \int_\mathbb{R} \lambda \, d \, \operatorname{D}_A(\lambda).$$

ध्यान दें कि यह अपेक्षा मिश्रित अवस्था S के सापेक्ष है जिसका उपयोग D की परिभाषा में किया जाता हैA.

टिप्पणी। तकनीकी कारणों से, असीमित ऑपरेटरों के लिए बोरेल कार्यात्मक कलन  द्वारा परिभाषित ए के सकारात्मक और नकारात्मक भागों पर अलग से विचार करने की आवश्यकता है।

कोई आसानी से दिखा सकता है:
 * $$ \mathbb{E}(A) = \operatorname{Tr}(A S) = \operatorname{Tr}(S A). $$

ध्यान दें कि यदि एस यूक्लिडियन वेक्टर  से संबंधित शुद्ध स्थिति है $$\psi$$, तब:
 * $$ \mathbb{E}(A) = \langle \psi | A | \psi \rangle. $$

ऑपरेटर ए का निशान निम्नानुसार लिखा गया है:
 * $$ \operatorname{Tr}(A) = \sum_{m} \langle m |  A |  m \rangle  . $$

वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी
किसी राज्य की यादृच्छिकता का वर्णन करने के लिए विशेष महत्व एस के वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी द्वारा औपचारिक रूप से परिभाषित किया गया है
 * $$ \operatorname{H}(S) = -\operatorname{Tr}(S \log_2 S) $$.

दरअसल, ऑपरेटर S log2 एस आवश्यक रूप से ट्रेस-क्लास नहीं है। हालाँकि, यदि S एक गैर-नकारात्मक स्वयं-आसन्न संकारक है जो ट्रेस वर्ग का नहीं है तो हम Tr(S) = +∞ को परिभाषित करते हैं। यह भी ध्यान दें कि किसी भी घनत्व ऑपरेटर एस को विकर्ण किया जा सकता है, कि इसे फॉर्म के (संभवतः अनंत) मैट्रिक्स द्वारा कुछ ऑर्थोनॉर्मल आधार पर दर्शाया जा सकता है
 * $$ \begin{bmatrix} \lambda_1 & 0 & \cdots & 0 & \cdots \\ 0 & \lambda_2 & \cdots & 0 & \cdots\\ \vdots & \vdots & \ddots & \\ 0 & 0 & & \lambda_n & \\ \vdots & \vdots & & & \ddots \end{bmatrix} $$

और हम परिभाषित करते हैं
 * $$ \operatorname{H}(S) = - \sum_i \lambda_i \log_2 \lambda_i. $$

परिपाटी यह है $$ \; 0 \log_2 0 = 0$$, क्योंकि प्रायिकता शून्य वाली घटना को एंट्रॉपी में योगदान नहीं देना चाहिए। यह मान एक विस्तारित वास्तविक संख्या है (जो कि [0, ∞] में है) और यह स्पष्ट रूप से S का एकात्मक अपरिवर्तनीय है।

'टिप्पणी'। यह वास्तव में संभव है कि कुछ घनत्व ऑपरेटर एस के लिए एच (एस) = +∞ वास्तव में टी विकर्ण मैट्रिक्स हो
 * $$ T = \begin{bmatrix} \frac{1}{2 (\log_2 2)^2 }& 0 & \cdots & 0 & \cdots \\ 0 & \frac{1}{3 (\log_2  3)^2 } & \cdots & 0 & \cdots\\ \vdots & \vdots & \ddots &  \\ 0 & 0 & &  \frac{1}{n (\log_2  n)^2 } & \\ \vdots & \vdots & & & \ddots \end{bmatrix} $$

टी गैर-नकारात्मक ट्रेस क्लास है और कोई टी लॉग दिखा सकता है2 टी ट्रेस-क्लास नहीं है।

'प्रमेय'। एंट्रॉपी एकात्मक अपरिवर्तनीय है।

शैनन एन्ट्रॉपी # औपचारिक परिभाषाओं के अनुरूप (परिभाषाओं में समानता पर ध्यान दें), एच (एस) राज्य एस में यादृच्छिकता की मात्रा को मापता है। जितना अधिक ईजेनवेल्यूज फैलाया जाता है, उतना बड़ा सिस्टम एन्ट्रॉपी होता है। एक ऐसी प्रणाली के लिए जिसमें स्थान H परिमित-आयामी है, एन्ट्रॉपी को उन राज्यों S के लिए अधिकतम किया जाता है जो विकर्ण रूप में प्रतिनिधित्व करते हैं
 * $$ \begin{bmatrix} \frac{1}{n} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \frac{1}{n} & \dots & 0 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & \cdots & \frac{1}{n} \end{bmatrix} $$

ऐसे S के लिए, H(S) = log2 एन। अवस्था S को अधिकतम मिश्रित अवस्था कहा जाता है।

याद रखें कि एक शुद्ध अवस्था एक रूप है
 * $$ S = | \psi \rangle \langle \psi |, $$

ψ मानक 1 के एक सदिश के लिए।

प्रमेय। H(S) = 0 यदि और केवल यदि 'S' एक शुद्ध अवस्था है।

S के लिए एक शुद्ध अवस्था है यदि और केवल यदि इसके विकर्ण रूप में एक गैर-शून्य प्रविष्टि है जो कि 1 है।

एन्ट्रापी का उपयोग क्वांटम उलझाव के माप के रूप में किया जा सकता है।

गिब्स विहित पहनावा
हैमिल्टनियन एच द्वारा औसत ऊर्जा ई के साथ वर्णित प्रणालियों के एक समूह पर विचार करें। यदि एच में शुद्ध-बिंदु स्पेक्ट्रम और आइगेनवेल्यू हैं $$E_n$$ एच का +∞ पर्याप्त तेजी से जाना, ई−r H प्रत्येक धनात्मक r के लिए एक गैर-नकारात्मक ट्रैस-क्लास ऑपरेटर होगा।

गिब्स विहित पहनावा राज्य द्वारा वर्णित है
 * $$ S= \frac{\mathrm{e}^{- \beta H}}{\operatorname{Tr}(\mathrm{e}^{- \beta H})}. $$

जहां β ऐसा है कि पहनावा औसत ऊर्जा को संतुष्ट करता है
 * $$ \operatorname{Tr}(S H) = E $$

और


 * $$\operatorname{Tr}(\mathrm{e}^{- \beta H}) = \sum_n \mathrm{e}^{- \beta E_n} = Z(\beta) $$

इसे विभाजन कार्य (गणित) कहा जाता है; यह शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी के विहित विभाजन समारोह  का क्वांटम यांत्रिक संस्करण है। संभावना है कि पहनावा से यादृच्छिक रूप से चुनी गई प्रणाली ऊर्जा eigenvalue के अनुरूप स्थिति में होगी $$E_m$$ है


 * $$\mathcal{P}(E_m) = \frac{\mathrm{e}^{- \beta E_m}}{\sum_n \mathrm{e}^{- \beta E_n}}.$$

कुछ शर्तों के तहत, गिब्स विहित पहनावा ऊर्जा संरक्षण आवश्यकता के अधीन राज्य के वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी को अधिकतम करता है।

भव्य विहित पहनावा
खुली प्रणालियों के लिए जहां ऊर्जा और कणों की संख्या में उतार-चढ़ाव हो सकता है, सिस्टम को घनत्व मैट्रिक्स द्वारा वर्णित भव्य विहित पहनावा  द्वारा वर्णित किया गया है
 * $$ \rho = \frac{\mathrm{e}^{\beta (\sum_i \mu_iN_i - H)}}{\operatorname{Tr}\left(\mathrm{e}^{ \beta ( \sum_i \mu_iN_i - H)}\right)}. $$

फिर कहाँ1, एन2, ... कणों की विभिन्न प्रजातियों के लिए कण संख्या संचालक हैं जिनका जलाशय के साथ आदान-प्रदान किया जाता है। ध्यान दें कि यह एक घनत्व मैट्रिक्स है जिसमें विहित पहनावा की तुलना में कई और राज्य (अलग-अलग N) शामिल हैं।

भव्य विभाजन कार्य है
 * $$\mathcal Z(\beta, \mu_1, \mu_2, \cdots) = \operatorname{Tr}(\mathrm{e}^{\beta (\sum_i \mu_iN_i - H)}) $$

यह भी देखें

 * क्वांटम थर्मोडायनामिक्स
 * थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

संदर्भ

 * J. von Neumann, Mathematical Foundations of Quantum Mechanics, Princeton University Press, 1955.
 * F. Reif, Statistical and Thermal Physics, McGraw-Hill, 1965.