रम्ब रेखा

मार्गदर्शन में, एक रूम्ब रेखा, रूम्ब, या एकदिश नौपथ एक चाप (ज्यामिति) है जो एक ही कोण पर देशांतर के सभी भूमध्य रेखा को पार करता है, अर्थात, वास्तविक उत्तर के सापेक्ष मापा गया अपरिवर्ती दिक्कोण (दिक् चालन) वाला पथ।

परिचय
एक ग्लोब की सतह पर एक रूम्ब रेखा पाठ्यक्रम का पालन करने के प्रभाव पर प्रथम बार 1537 में पुर्तगाली लोग गणितज्ञ पेड्रो नून्स ने 1590 के दशक में थॉमस हैरियट द्वारा आगे के गणितीय विकास के साथ समुद्री लेखाचित्र की रक्षा में अपने ग्रंथ में चर्चा की थी।

एक रूम्ब रेखा की तुलना एक बड़े वृत्त से की जा सकती है, जो एक गोले की सतह पर दो बिंदुओं के मध्य की सबसे छोटी दूरी का मार्ग है। एक बड़े वृत्त पर, गंतव्य बिंदु का दिक्कोण स्थिर नहीं रहता है। अगर किसी को एक बृहत् वृत के साथ एक कार चलाना होता है तो वह चालन चक्र को स्थिर रखता है, परन्तु एक रूम्ब रेखा का पालन करने के लिए चक्र को घुमाना पड़ता है, जैसे-जैसे ध्रुव पास आते हैं, इसे और अधिक तीव्रता से घुमाते हैं। दूसरे शब्दों में, एक बड़ा वृत्त शून्य अल्पांतरी वक्रता के साथ स्थानीय रूप से सीधा होता है, जबकि एक रूम्ब रेखा में गैर-शून्य अल्पांतरी वक्रता होती है।

देशांतर के ध्रुववृत्त और अक्षांश के समानांतर रूम्ब रेखा के विशेष स्थिति प्रदान करते हैं, जहां उनके प्रतिच्छेदन के कोण क्रमशः 0° और 90° होते हैं। एक उत्तर-दक्षिण पंथ पर रूम्ब रेखा पाठ्यक्रम एक बृहत् वृत के साथ मेल खाता है, जैसा कि यह भूमध्य रेखा के साथ पूर्व-पश्चिम मार्ग पर होता है।

मर्केटर प्रक्षेप प्रतिचित्र पर, कोई भी रूम्ब रेखा एक सीधी रेखा है; इस तरह के प्रतिचित्र पर पृथ्वी पर किन्हीं दो बिंदुओं के मध्य बिना प्रतिचित्र के किनारे से हटे एक रूम्ब रेखा खींची जा सकती है। परन्तु सैद्धांतिक रूप से एक एकदिश नौपथ प्रतिचित्र के दाहिने किनारे से आगे बढ़ सकता है, जहां यह फिर उसी प्रवणता के साथ बाएं किनारे पर जारी रहता है (यह मानते हुए कि प्रतिचित्र बिल्कुल 360 डिग्री देशांतर को आच्छादित करता है)।

तिर्यक् कोणों पर मध्याह्न रेखाओं को काटने वाली रूंब रेखाएं एकदिश नौपथ वक्र हैं जो ध्रुवों की ओर सर्पिल होती हैं। मर्केटर प्रक्षेप पर उत्तरी ध्रुव और दक्षिणी ध्रुव अनंत पर होते हैं और इसलिए इन्हें कभी नहीं दर्शाया जाता है। हालांकि असीमित उच्च प्रतिचित्र पर पूर्ण एकदिश नौपथ में दो किनारों के मध्य असीम रूप से कई रेखा खंड सम्मिलित होंगे। त्रिविम प्रक्षेप प्रतिचित्र पर, एक एकदिश नौपथ एक समकोणीय सर्पिल है जिसका केंद्र उत्तर या दक्षिण ध्रुव है।

सभी एकदिश नौपथ एक भौगोलिक ध्रुव से दूसरे तक उत्तरोत्तर होते हैं। ध्रुवों के पास, वे लघुगणकीय सर्पिल होने के निकट हैं (जो कि वे एक त्रिविम प्रक्षेप पर हैं, नीचे देखें), इसलिए वे प्रत्येक ध्रुव के चारों ओर अनंत बार चक्कर लगाते हैं परन्तु एक सीमित दूरी में ध्रुव तक पहुंचते हैं। एक एकदिश नौपथ की ध्रुव-से-ध्रुव लंबाई (एक आदर्श क्षेत्र मानते हुए) भूमध्य रेखा (भूगोल) की लंबाई है जो वास्तविक उत्तर से दूर दिक्कोण के कोज्या  से विभाजित होती है। एकदिश नौपथ को ध्रुवों पर परिभाषित नहीं किया गया है।

व्युत्पत्ति और ऐतिहासिक विवरण
एकदिश नौपथ शब्द प्राचीन यूनानी भाषा λοξός loxos से आया है: तिरछा + δρόμος drómos: परिचालन (δραμεῖν drameîn से: चलाने के लिए)। रूंब शब्द स्पेनिश भाषा या पुर्तगाली भाषा रूंबो/रुमो (पाठ्यक्रम या दिशा) और यूनानी समचतुर्भुज | ῥόμβος rhómbos, से आया है। रेम्बिन से।

द ग्लोब एनसाइक्लोपीडिया ऑफ यूनिवर्सल इंफॉर्मेशन के 1878 संस्करण में एकदिश नौपथ रेखा का वर्णन इस प्रकार है:

एकदिश नौपथ रेखा एक वक्र है जो किसी दिए गए सतह की वक्रता की रेखाओं की प्रणाली के प्रत्येक सदस्य को एक ही कोण पर काटती है। कम्पास के एक ही बिंदु की ओर जाने वाला जहाज एक ऐसी रेखा का वर्णन करता है जो सभी याम्योत्तरों को एक ही कोण पर काटती है। मर्केटर के प्रक्षेप (q.v.) में एकदिश नौपथ रेखाएँ स्पष्ट रूप से सीधी होती हैं।

एक मिथ्याबोध उत्पन्न हो सकती है क्योंकि जब यह शब्द प्रयोग में आया तो इसका कोई सटीक अर्थ नहीं था। यह विंडरोज रेखा के लिए समान रूप से अच्छी तरह से अनुप्रयुक्त होता है क्योंकि यह एकदिश नौपथ के लिए किया जाता है क्योंकि यह शब्द केवल स्थानीय रूप से अनुप्रयुक्त होता है और इसका अर्थ केवल वही होता है जो एक नौसैनिक ने अपरिवर्ती दिक्कोण (दिक् चालन) के साथ पालने के लिए किया था, जो कि सभी अशुद्धियों के साथ होता है। इसलिए, जब पत्तन दर्शिका उपयोग में थे, तो रूम्ब पत्तन दर्शिका पर सीधी रेखाओं पर अनुप्रयुक्त होता था, साथ ही मर्केटर रेखा चित्र पर सदैव सीधी रेखाओं के लिए भी अनुप्रयुक्त होता था। छोटी दूरी के लिए पोर्टोलन रूम्ब्स मर्केटर रूम्ब से सार्थक रूप से भिन्न नहीं होते हैं, परन्तु इन दिनों रूम्ब गणितीय रूप से सटीक एकदिश नौपथ का पर्याय बन गया है क्योंकि इसे पूर्वव्यापी रूप से पर्यायवाची बना दिया गया है।

जैसा कि लियो बग्रो कहते हैं: शब्द ('रूम्ब रेखा') इस अवधि के समुद्र-रेखा चित्र पर गलत तरीके से अनुप्रयुक्त किया गया है, क्योंकि एक एकदिश नौपथ एक सटीक पाठ्यक्रम देता है, जब रेखा चित्र एक उपयुक्त प्रक्षेपण पर खींचा जाता है। मानचित्रमितीय जांच से पता चला है कि प्रारम्भिक रेखा चित्र में किसी प्रक्षेपण का उपयोग नहीं किया गया था, इसलिए हम 'पत्तन दर्शिका' नाम रखते हैं।

गणितीय विवरण
त्रिज्या 1 के वृत्त के लिए, दिगंशीय कोण $λ$, ध्रुवीय कोण $−π⁄2 ≤ φ ≤ π⁄2$ (अक्षांश के अनुरूप यहां परिभाषित), और कार्तीय इकाई सदिश # मानक आधार में एक सदिश का प्रतिनिधित्व करना $i$, $j$, और $k$ का उपयोग त्रिज्या सदिश लिखने के लिए किया जा सकता है $r$ जैसा


 * $$\mathbf{r}(\lambda,\varphi) = (\cos{\lambda} \cdot \cos{\varphi}) \mathbf{i} + (\sin{\lambda} \cdot \cos{\varphi})  \mathbf{j} + (\sin{\varphi}) \mathbf{k} \, .$$

लंबकोणीय इकाई सदिश रिक्त स्थान दिगंशीय और गोले के ध्रुवीय दिशाओं में लिखा जा सकता है


 * $$\begin{align}

\boldsymbol{\hat\lambda}(\lambda,\varphi) &= \sec{\varphi} \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\lambda} = (-\sin{\lambda}) \mathbf{i} + (\cos{\lambda}) \mathbf{j} \,, \\[8pt] \boldsymbol{\hat\varphi}(\lambda,\varphi) &= \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi} = (-\cos{\lambda} \cdot \sin{\varphi}) \mathbf{i} + (-\sin{\lambda} \cdot \sin{\varphi}) \mathbf{j} + (\cos{\varphi}) \mathbf{k} \, , \end{align}$$ जिसकी अदिश गुणनफल ज्यामितीय परिभाषा है


 * $$\boldsymbol{\hat\lambda} \cdot \boldsymbol{\hat\varphi} = \boldsymbol{\hat\lambda} \cdot \mathbf{r} = \boldsymbol{\hat\varphi} \cdot \mathbf{r} = 0 \, .$$

$λ̂$ अपरिवर्ती के लिए $φ$ अक्षांश के समानांतर का पता लगाता है, जबकि $φ̂$ अपरिवर्ती के लिए $λ$ देशांतर के एक भूमध्य रेखा का पता लगाता है, और साथ में वे गोले के लिए एक तल स्पर्शरेखा उत्पन्न करते हैं।

इकाई सदिश
 * $$\mathbf{\boldsymbol{\hat\beta}}(\lambda,\varphi) = (\sin{\beta}) \boldsymbol{\hat\lambda} + (\cos{\beta}) \boldsymbol{\hat\varphi}$$

एक स्थिर कोण है $β$ इकाई सदिश के साथ $φ̂$ किसी के लिए $λ$ और $φ$, क्योंकि उनका अदिश गुणनफल है


 * $$\boldsymbol{\hat\beta} \cdot \boldsymbol{\hat\varphi} = \cos{\beta} \, .$$

एक एकदिश नौपथ को वृत्त पर एक वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें एक स्थिर कोण होता है $β$ देशांतर के सभी याम्योत्तरों के साथ, और इसलिए इकाई सदिश के समानांतर होना चाहिए $β̂$. नतीजतन, एक अंतर लंबाई $ds$ एकदिश नौपथ के साथ एक अंतर विस्थापन उत्पन्न करेगा


 * $$\begin{align}

d\mathbf{r} &= \boldsymbol{\hat\beta} \, ds \\[8px] \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\lambda} \, d\lambda + \frac{\partial\mathbf{r}}{\partial\varphi} \, d\varphi &= \bigl((\sin{\beta}) \, \boldsymbol{\hat\lambda} + (\cos{\beta}) \, \boldsymbol{\hat\varphi}\bigr) ds \\[8px] (\cos{\varphi}) \, d\lambda \, \boldsymbol{\hat\lambda} + d\varphi \, \boldsymbol{\hat\varphi} &= (\sin{\beta}) \, ds \, \boldsymbol{\hat\lambda} + (\cos{\beta}) \, ds \, \boldsymbol{\hat\varphi} \\[8px] ds &= \frac{\cos{\varphi} }{\sin{\beta}} \, d\lambda = \frac{d\varphi}{\cos{\beta}} \\[8px] \frac{d\lambda}{d\varphi} &= \tan{\beta} \cdot \sec{\varphi} \\[8px] \lambda(\varphi\,|\,\beta,\lambda_0,\varphi_0) &= \tan\beta \cdot \big( \operatorname{gd}^{-1}\varphi - \operatorname{gd}^{-1}\varphi_0 \big) + \lambda_0 \\[8px] \varphi(\lambda\,|\,\beta,\lambda_0,\varphi_0) &= \operatorname{gd} \big((\lambda - \lambda_0) \cot\beta + \operatorname{gd}^{-1}\varphi_0\big) \end{align}$$ जहाँ $$\operatorname{gd}$$ और $$\operatorname{gd}^{-1}$$ गुडेरमैनियन फलन और इसके व्युत्क्रम हैं, $$\operatorname{gd}\psi = \arctan(\sinh\psi),$$ $$\operatorname{gd}^{-1}\varphi = \operatorname{arsinh}(\tan\varphi),$$ और $$\operatorname{arsinh}$$ व्युत्क्रम अतिपरवलीय द्विज्या है।

इस मध्य के संबंध के साथ $λ$ और $φ$, त्रिज्या सदिश एक चर का प्राचलिक फलन बन जाता है, जो वृत्त पर एकदिश नौपथ का पता लगाता है:


 * $$\mathbf{r}(\lambda\,|\,\beta,\lambda_0,\varphi_0) = \big(\cos{\lambda} \cdot \operatorname{sech} \psi \big) \mathbf{i} +

\big(\sin{\lambda} \cdot \operatorname{sech}\psi\big) \mathbf{j} + \big(\tanh\psi\big) \mathbf{k} \, ,$$ जहाँ


 * $$\psi \equiv (\lambda - \lambda_0) \cot\beta + \operatorname{gd}^{-1}\varphi_0 = \operatorname{gd}^{-1}\varphi$$

अक्षांश#सममितीय अक्षांश है। रूम्ब रेखा में, जैसे-जैसे अक्षांश ध्रुवों की ओर जाता है, $φ → ±π⁄2$, $sin φ → ±1$, सममितीय अक्षांश $arsinh(tan φ) → ± ∞$, और देशांतर $λ$ बिना किसी सीमा के बढ़ता है, ध्रुव की ओर एक सर्पिल में इतनी तीव्रता से वृत्त का चक्कर लगाता है, जबकि एक परिमित कुल चाप लंबाई Δ की ओर जाता है$s$ द्वारा दिए गए
 * $$\Delta s = R \, \big|(\pm\pi/2 - \varphi_0) \cdot \sec \beta\big|$$

मर्केटर प्रक्षेप से सम्बन्ध
होने देना $λ$ वृत्त पर एक बिंदु का देशांतर हो, और $φ$ इसका अक्षांश। फिर, यदि हम मर्केटर प्रक्षेप के प्रतिचित्र निर्देशांक को परिभाषित करते हैं
 * $$\begin{align}

x &= \lambda - \lambda_0 \,, \\ y &= \operatorname{gd}^{-1}\varphi = \operatorname{arsinh}(\tan\varphi)\, , \end{align}$$ अपरिवर्ती दिक्कोण (दिक् चालन) के साथ एक एकदिश नौपथ $β$ सही उत्तर से एक सीधी रेखा होगी, क्योंकि (पिछले अनुभाग में अभिव्यक्ति का उपयोग करके)
 * $$y = m x$$

प्रवणता के साथ
 * $$m=\cot\beta\,.$$

दो दिए गए बिंदुओं के मध्य एकदिश नौपथ का पता लगाना एक मर्केटर प्रतिचित्र पर ग्राफिक रूप से किया जा सकता है, या दो अज्ञात में दो समीकरणों की एक गैर-रैखिक प्रणाली को हल करके किया जा सकता है। $m = cot β$ और $λ_{0}$. अपरिमित रूप से अनेक हल हैं; सबसे छोटा वह है जो वास्तविक देशांतर अंतर को आच्छादित करता है, अर्थात अतिरिक्त चक्कर नहीं लगाता है, और गलत मार्ग पर नहीं जाता है।

दो बिंदुओं के मध्य की दूरी $Δs$, एक एकदिश नौपथ के साथ मापा जाता है, उत्तर-दक्षिण दूरी (अक्षांश के हलकों को छोड़कर जिसके लिए दूरी अनंत हो जाती है) के दिक्कोण (अज़िमथ) के छेदक (त्रिकोणमिति) का पूर्ण मान है:


 * $$\Delta s = R \, \big|(\varphi - \varphi_0)\cdot \sec \beta \big|$$

जहाँ $R$ पृथ्वी की त्रिज्या#वैश्विक औसत त्रिज्या में से एक है।

अनुप्रयोग
दिक् चालन में इसका उपयोग सीधे शैली से जुड़ा हुआ है, या कुछ नेविगेशनल मानचित्रों के प्रतिचित्र प्रक्षेपण से जुड़ा हुआ है। नक्शा प्रक्षेपण प्रतिचित्र पर एक रूंब रेखा एक सीधी रेखा के रूप में दिखाई देती है।

यह नाम क्रमशः पुराने फ्रांसीसी या स्पैनिश से लिया गया है: रूंब या रूंबो, रेखा चित्र पर एक रेखा जो एक ही कोण पर सभी मध्याह्न रेखा को काटती है। समतल सतह पर यह दो बिंदुओं के मध्य की सबसे छोटी दूरी होगी। कम अक्षांशों पर या कम दूरी पर पृथ्वी की सतह पर इसका उपयोग किसी वाहन, विमान या जहाज के पाठ्यक्रम की आलेखन रचने के लिए किया जा सकता है। लंबी दूरी और/या उच्च अक्षांशों पर बृहत् वृत मार्ग समान दो बिंदुओं के मध्य की रेखा से काफी छोटा है। हालांकि, एक बृहत् वृत मार्ग की संचारण करते समय बियरिंग्स को निरन्तर परिवर्तित होने की असुविधा कुछ उदाहरणों में रूम्ब रेखा दिक् चालन को आकर्षक बनाती है।

बिंदु को भूमध्य रेखा के साथ 90 डिग्री देशांतर पर एक पूर्व-पश्चिम मार्ग के साथ चित्रित किया जा सकता है, जिसके लिए बृहत् वृत और रूम्ब रेखा की दूरी समान हैं, पर 5400 nmi. 20 डिग्री उत्तर में बृहत् वृत दूरी है 4997 nmi जबकि समचतुर्भुज रेखा की दूरी है 5074 nmi, लगभग 1.5% आगे। परन्तु 60 डिग्री उत्तर में बृहत् वृत दूरी है 2485 nmi जबकि रूम्ब रेखा है 2700 nmi, 8.5% का अंतर। एक अधिक चरम स्थिति न्यूयॉर्क शहर और हांगकांग के मध्य का हवाई मार्ग है, जिसके लिए रूम्ब रेखा पथ है 9700 nmi. उत्तरी ध्रुव के ऊपर वृहत वृत्त मार्ग है 7000 nmi, या $5 1/2$ सामान्य क्रूज (उड़ान) पर घंटे कम उड़ान समय।

मर्केटर प्रक्षेप के कुछ पुराने मानचित्रों में अक्षांश और देशांतर की रेखाओं से बने ग्रिड होते हैं, परन्तु रूंब लाइनें भी दिखाई देती हैं, जो सीधे उत्तर की ओर, उत्तर से समकोण पर, या उत्तर से कुछ कोण पर होती हैं, जो कि कुछ सरल तर्कसंगत अंश है। एक समकोण। ये रुम्ब रेखाएँ खींची जाएँगी ताकि वे प्रतिचित्र के कुछ बिंदुओं पर अभिसरित हों: प्रत्येक दिशा में जाने वाली रेखाएँ इनमें से प्रत्येक बिंदु पर अभिसरित होंगी। दिक्सूचक रोज़ देखें। इस तरह के प्रतिचित्र आवश्यक रूप से मर्केटर प्रक्षेप में रहे होंगे इसलिए सभी पुराने प्रतिचित्र रूंब रेखा चिह्नों को दिखाने में सक्षम नहीं रहे होंगे।

दिक्सूचक रोज़ पर रेडियल रेखाओं को रूम्ब्स भी कहा जाता है। 16वीं-19वीं शताब्दी में एक विशेष दिक्सूचक शीर्षक को इंगित करने के लिए एक छंद पर नौकायन अभिव्यक्ति का उपयोग किया गया था।

समुद्री क्रोनोमीटर के आविष्कार से पहले के शुरुआती नाविकों ने लंबे समुद्री मार्गों पर रूम्ब रेखा दिशा का उपयोग किया था, क्योंकि जहाज का अक्षांश सूर्य या तारों को देखकर सटीक रूप से स्थापित किया जा सकता था परन्तु देशांतर निर्धारित करने का कोई सटीक तरीका नहीं था। गंतव्य के अक्षांश तक पहुंचने तक जहाज उत्तर या दक्षिण की ओर जाएगा, और जहाज तब पूर्व या पश्चिम में रूम्ब रेखा (वास्तव में अक्षांश का एक सर्कल, जो कि रूंब रेखा का एक विशेष मामला है) के साथ चलेगा, एक अपरिवर्ती बनाए रखेगा। अक्षांश और भूमि के साक्ष्य देखे जाने तक दूरी के नियमित अनुमानों को रिकॉर्ड करना।

रीमैन क्षेत्र पर
पृथ्वी की सतह को गणितीय रूप से रीमैन क्षेत्र के रूप में समझा जा सकता है, अर्थात, गोले के एक जटिल तल के प्रक्षेपण के रूप में। इस मामले में, एकदिश नौपथ को मोबियस परिवर्तनों के कुछ वर्गों के रूप में समझा जा सकता है।

गोलाकार
उपरोक्त फॉर्मूलेशन को आसानी से गोलाकार तक बढ़ाया जा सकता है।    रूम्ब रेखा का मार्ग केवल दीर्घवृत्ताभ सममितीय अक्षांश का उपयोग करके पाया जाता है। इस पृष्ठ पर उपरोक्त सूत्रों में, गोले पर अक्षांश के लिए दीर्घवृत्ताभ पर अक्षांश#अनुरूप अक्षांश को प्रतिस्थापित करें। इसी तरह, दिगंश के छेदक द्वारा दीर्घवृत्ताकार याम्योत्तर चाप की लंबाई को गुणा करके दूरियां पाई जाती हैं।

यह भी देखें

 * महावृत्त
 * एक दीर्घवृत्ताभ पर भूगणित
 * महान दीर्घवृत्त
 * इसोआज़ीमुथल
 * रंबलाइन नेटवर्क
 * सीफ़र्ट का सर्पिल
 * छोटा घेरा

संदर्भ
Note: this article incorporates text from the 1878 edition of The Globe Encyclopaedia of Universal Information, a work in the public domain

बाहरी संबंध

 * Constant Headings and Rhumb Lines at MathPages.
 * RhumbSolve(1), a utility for ellipsoidal rhumb line calculations (a component of GeographicLib); supplementary documentation.
 * An online version of RhumbSolve.
 * Navigational Algorithms Paper: The Sailings.
 * Chart Work - Navigational Algorithms Chart Work free software: Rhumb line, Great Circle, Composite sailing, Meridional parts. Lines of position Piloting - currents and coastal fix.
 * Mathworld Loxodrome.