परिवर्तन मैट्रिक्स

रैखिक बीजगणित में, रैखिक परिवर्तनों को आव्यूह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। यदि $$T$$ एक रैखिक परिवर्तन मानचित्रण है $$\mathbb{R}^n$$ प्रति $$\mathbb{R}^m$$ तथा $$\mathbf x$$ के साथ एक स्तंभ सदिश है $$n$$ प्रविष्टियाँ, फिर$$T( \mathbf x ) = A \mathbf x$$कुछ के लिए $$m \times n$$ आव्यूह $$A$$, का परिवर्तन आव्यूह कहा जाता है $$T$$. ध्यान दें कि $$A$$ है $$m$$ पंक्तियाँ और $$n$$ कॉलम, जबकि परिवर्तन $$T$$ से है $$\mathbb{R}^n$$ प्रति $$\mathbb{R}^m$$. कुछ लेखकों द्वारा पसंद किए जाने वाले पंक्ति सदिश को सम्मलित करने वाले रूपांतरण आव्यूह के वैकल्पिक भाव हैं।

उपयोग करता है
आव्यूह मनमानी रैखिक परिवर्तनों को गणना के लिए उपयुक्त एक सुसंगत प्रारूप में प्रदर्शित करने की अनुमति देते हैं। यह परिवर्तन को आसानी से समारोह संरचना (उनके आव्यूह को गुणा करके) करने की अनुमति देता है।

रेखीय परिवर्तन केवल वही नहीं हैं जिन्हें आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है। कुछ परिवर्तन जो एक एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष आर पर गैर-रैखिक हैंn को n+1-आयामी स्थान 'R' पर रैखिक परिवर्तनों के रूप में दर्शाया जा सकता हैएन+1. इनमें एफाइन परिवर्तन (जैसे ट्रांसलेशन (ज्यामिति)) और  प्रक्षेपी परिवर्तन  दोनों सम्मलित हैं। इस कारण से,  3 डी कंप्यूटर ग्राफिक्स  में 4×4 परिवर्तन आव्यूह का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। इन एन + 1-आयामी परिवर्तन आव्यूह को उनके आवेदन के आधार पर, एफ़िन परिवर्तन आव्यूह, प्रक्षेपीय परिवर्तन आव्यूह, या अधिक सामान्यतः गैर-रेखीय परिवर्तन आव्यूह कहा जाता है। एक एन-आयामी आव्यूह के संबंध में, एक एन+1-आयामी आव्यूह को संवर्धित आव्यूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

भौतिकी में, एक सक्रिय परिवर्तन वह है जो वास्तव में एक प्रणाली की भौतिक स्थिति को बदलता है, और एक समन्वय प्रणाली की अनुपस्थिति में भी समझ में आता है, जबकि एक निष्क्रिय परिवर्तन भौतिक प्रणाली के समन्वय विवरण में परिवर्तन (आधार का परिवर्तन) है।. सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन (गणित) के बीच अंतर महत्वपूर्ण है। डिफ़ॉल्ट रूप से, परिवर्तन से,  गणितज्ञ ों का मतलब आमतौर पर सक्रिय परिवर्तन होता है, जबकि भौतिकविदों का मतलब या तो हो सकता है।

अलग तरीके से कहें तो, एक निष्क्रिय परिवर्तन एक ही वस्तु के विवरण को संदर्भित करता है जैसा कि दो अलग-अलग समन्वय फ़्रेमों से देखा जाता है।

एक परिवर्तन का आव्यूह ढूँढना
यदि किसी के पास रैखिक परिवर्तन है $$T(x)$$ कार्यात्मक रूप में, मानक आधार  के प्रत्येक वैक्टर को T द्वारा रूपांतरित करके, फिर परिणाम को आव्यूह के कॉलम में सम्मिलित करके रूपांतरण आव्यूह A को निर्धारित करना आसान है। दूसरे शब्दों में, $$A = \begin{bmatrix} T( \mathbf e_1 ) & T( \mathbf e_2 ) & \cdots & T( \mathbf e_n ) \end{bmatrix}$$ उदाहरण के लिए, समारोह $$T(x) = 5x$$ एक रैखिक परिवर्तन है। उपरोक्त प्रक्रिया को लागू करने से (मान लीजिए कि इस मामले में n = 2) से पता चलता है कि $$T( \mathbf{x} ) = 5 \mathbf{x} = 5I\mathbf{x} = \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & 5 \end{bmatrix} \mathbf{x}$$ वैक्टर और ऑपरेटरों का आव्यूह प्रतिनिधित्व चुने हुए आधार पर निर्भर करता है; एक आव्यूह समानता आव्यूह एक वैकल्पिक आधार से परिणाम होगा। फिर भी, घटकों को खोजने का तरीका वही रहता है।

विस्तृत करने के लिए, वेक्टर $$\mathbf v$$ आधार वैक्टर में रैखिक संयोजन, $$E = \begin{bmatrix}\mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \cdots & \mathbf e_n\end{bmatrix}$$ निर्देशांक के साथ $$ [\mathbf v]_E = \begin{bmatrix} v_1 & v_2 & \cdots & v_n \end{bmatrix}^\mathrm{T}$$: $$\mathbf v = v_1 \mathbf e_1 + v_2 \mathbf e_2 + \cdots + v_n \mathbf e_n = \sum_i v_i \mathbf e_i = E [\mathbf v]_E$$ अब, रूपांतरण आव्यूह ए के परिणाम को व्यक्त करें $$\mathbf v$$, दिए गए आधार पर: $$\begin{align} A(\mathbf v)   &= A \left(\sum_i v_i \mathbf e_i \right) = \sum_i {v_i A(\mathbf e_i)} \\ &= \begin{bmatrix}A(\mathbf e_1) & A(\mathbf e_2) & \cdots & A(\mathbf e_n)\end{bmatrix} [\mathbf v]_E = A \cdot [\mathbf v]_E \\[3pt] &= \begin{bmatrix}\mathbf e_1 & \mathbf e_2 & \cdots & \mathbf e_n \end{bmatrix} \begin{bmatrix} a_{1,1} & a_{1,2} & \cdots & a_{1,n} \\ a_{2,1} & a_{2,2} & \cdots & a_{2,n} \\ \vdots & \vdots & \ddots &  \vdots \\ a_{n,1} & a_{n,2} & \cdots & a_{n,n} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n\end{bmatrix} \end{align}$$

$$a_{i,j}$$ h> आव्यूह A के तत्वों को दिए गए आधार E के लिए प्रत्येक पर A लागू करके निर्धारित किया जाता है $$\mathbf e_j = \begin{bmatrix} 0 & 0 & \cdots & (v_j=1) & \cdots & 0 \end{bmatrix}^\mathrm{T}$$, और प्रतिक्रिया वेक्टर का अवलोकन करना $$A \mathbf e_j = a_{1,j} \mathbf e_1 + a_{2,j} \mathbf e_2 + \cdots + a_{n,j} \mathbf e_n = \sum_i a_{i,j} \mathbf e_i.$$ यह समीकरण वांछित तत्वों को परिभाषित करता है, $$a_{i,j}$$, आव्यूह ए के जे-वें कॉलम का।

ईजेनबेसिस और विकर्ण आव्यूह
फिर भी, एक ऑपरेटर के लिए एक विशेष आधार है जिसमें घटक एक विकर्ण आव्यूह बनाते हैं और इस प्रकार, गुणन जटिलता कम हो जाती है $n$. विकर्ण होने का अर्थ है कि सभी गुणांक $$a_{i,j} $$ के अलावा $$a_{i,i}$$ योग में केवल एक पद छोड़कर शून्य हैं $\sum a_{i,j} \mathbf e_i$ के ऊपर। बचे हुए विकर्ण तत्व, $$a_{i,i}$$, को eigenvalues ​​​​के रूप में जाना जाता है और इसके साथ नामित किया जाता है $$\lambda_i$$ परिभाषित समीकरण में, जो कम हो जाता है $$A \mathbf e_i = \lambda_i \mathbf e_i$$. परिणामी समीकरण को eigenvalue समीकरण के रूप में जाना जाता है। eigenvalues ​​और eigenvectors।

विकर्णीय आव्यूह # विकर्ण के साथ, यह आइजनबेस से और उसके आधार पर परिवर्तन की विकर्णता है।

2 आयामों में उदाहरण
अधिकांश सामान्य ज्यामितीय परिवर्तन  जो मूल को स्थिर रखते हैं, रैखिक होते हैं, जिनमें रोटेशन, स्केलिंग, शीयरिंग, प्रतिबिंब और ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन सम्मलित हैं; यदि एक संबधित परिवर्तन एक शुद्ध अनुवाद नहीं है तो यह कुछ बिंदु को स्थिर रखता है, और परिवर्तन को रैखिक बनाने के लिए उस बिंदु को मूल के रूप में चुना जा सकता है। दो आयामों में, 2×2 परिवर्तन आव्यूह का उपयोग करके रैखिक परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

स्ट्रेचिंग
एक्स-प्लेन में खिंचाव एक रैखिक परिवर्तन है जो एक विशेष दिशा में सभी दूरियों को एक स्थिर कारक द्वारा बढ़ाता है लेकिन लंबवत दिशा में दूरियों को प्रभावित नहीं करता है। हम केवल x-अक्ष और y-अक्ष के अनुदिश खिंचावों पर विचार करते हैं। एक्स-अक्ष के साथ एक खिंचाव का रूप है $x' = kx$; $y' = y$ कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए $k$. (ध्यान दें कि यदि $k &gt; 1$, तो यह वास्तव में एक खिंचाव है; यदि $k &lt; 1$, यह तकनीकी रूप से एक संपीड़न है, लेकिन हम इसे अभी भी एक खिंचाव कहते हैं। इसके अलावा यदि $k = 1$, तब परिवर्तन एक पहचान है, अर्थात इसका कोई प्रभाव नहीं है।)

आव्यूह एक कारक द्वारा एक खिंचाव के साथ जुड़ा हुआ है $k$ x-अक्ष के अनुदिश निम्न द्वारा दिया जाता है: $$\begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} $$ इसी प्रकार, y-अक्ष के अनुदिश एक गुणनखंड k द्वारा खींचे जाने का रूप है $x' = x$; $y' = ky$, इसलिए इस परिवर्तन से जुड़ा आव्यूह है $$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & k \end{bmatrix} $$

निचोड़ना
यदि ऊपर के दो हिस्सों को पारस्परिक मूल्यों के साथ जोड़ा जाता है, तो परिवर्तन आव्यूह एक निचोड़ मानचित्रण  का प्रतिनिधित्व करता है: $$\begin{bmatrix} k & 0 \\ 0 & 1/k \end{bmatrix} .$$ अक्षों के समानांतर भुजाओं वाला एक वर्ग एक आयत में बदल जाता है जिसका क्षेत्रफल वर्ग के समान होता है। पारस्परिक खिंचाव और संपीड़न क्षेत्र को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं।

रोटेशन
मूल के बारे में कोण θ वामावर्त (सकारात्मक दिशा) द्वारा समन्वय रोटेशन के लिए कार्यात्मक रूप है $$x' = x \cos \theta - y \sin \theta$$ तथा $$y' = x \sin \theta + y \cos \theta$$. आव्यूह रूप में लिखा, यह बन जाता है: $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin\theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$ इसी तरह, मूल के बारे में दक्षिणावर्त (नकारात्मक दिशा) घूमने के लिए, कार्यात्मक रूप है $$x' = x \cos \theta + y \sin \theta$$ तथा $$y' = -x \sin \theta + y \cos \theta$$ आव्यूह फॉर्म है: $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos \theta &  \sin\theta \\ -\sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$ ये सूत्र मानते हैं कि x अक्ष दाईं ओर इंगित करता है और y अक्ष ऊपर की ओर इंगित करता है।

बाल काटना
कतरनी मानचित्रण के लिए (नेत्रहीन तिरछा के समान), दो संभावनाएँ हैं।

एक्स अक्ष के समानांतर एक कतरनी है $$x' = x + ky$$ तथा $$y' = y$$. आव्यूह रूप में लिखा, यह बन जाता है: $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & k \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$ Y अक्ष के समानांतर एक कतरनी है $$x' = x$$ तथा $$y' = y + kx$$, जिसका आव्यूह रूप है: $$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ k & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$

प्रतिबिंब
एक रेखा के बारे में प्रतिबिंब के लिए जो मूल बिंदु से होकर जाती है, मान लीजिए $$\mathbf{l} = (l_x, l_y)$$ रेखा की दिशा में एक वेक्टर (ज्यामितीय)  बनें। फिर परिवर्तन आव्यूह का उपयोग करें: $$\mathbf{A} = \frac{1}{\lVert\mathbf{l}\rVert^2} \begin{bmatrix} l_x^2 - l_y^2 & 2 l_x l_y \\ 2 l_x l_y & l_y^2 - l_x^2 \end{bmatrix}$$

ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन
एक वेक्टर को ओर्थोगोनली रूप से एक रेखा पर प्रोजेक्ट करने के लिए जो मूल के माध्यम से जाती है, चलो $$\mathbf{u} = (u_x, u_y)$$ रेखा की दिशा में एक वेक्टर (ज्यामितीय) बनें। फिर परिवर्तन आव्यूह का उपयोग करें: $$\mathbf{A} = \frac{1}{\lVert\mathbf{u}\rVert^2} \begin{bmatrix} u_x^2 & u_x u_y \\ u_x u_y & u_y^2 \end{bmatrix}$$ प्रतिबिंबों की तरह, एक रेखा पर ओर्थोगोनल प्रक्षेपण जो मूल से नहीं गुजरता है वह एक एफाइन है, रैखिक नहीं, परिवर्तन।

प्रोजेक्शन (रैखिक बीजगणित) भी रैखिक परिवर्तन हैं और इसे केवल एक आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है। हालांकि, परिप्रेक्ष्य अनुमान नहीं हैं, और एक आव्यूह के साथ इनका प्रतिनिधित्व करने के लिए, सजातीय निर्देशांक#कंप्यूटर ग्राफिक्स में उपयोग का उपयोग किया जा सकता है।

3डी कंप्यूटर ग्राफिक्स
में उदाहरण

रोटेशन
रोटेशन आव्यूह एक कोण θ इकाई वेक्टर  (एल, एम, एन) द्वारा परिभाषित किसी भी अक्ष के बारे में है $$\begin{bmatrix} ll(1-\cos \theta)+\cos\theta & ml(1-\cos\theta)-n\sin\theta & nl(1-\cos\theta)+m\sin\theta\\ lm(1-\cos\theta)+n\sin\theta & mm(1-\cos\theta)+\cos\theta & nm(1-\cos\theta)-l\sin\theta \\ ln(1-\cos\theta)-m\sin\theta & mn(1-\cos\theta)+l\sin\theta & nn(1-\cos\theta)+\cos\theta \end{bmatrix}.$$

प्रतिबिंब
एक विमान के माध्यम से एक बिंदु को प्रतिबिंबित करने के लिए $$ax + by + cz = 0$$ (जो मूल के माध्यम से जाता है), कोई उपयोग कर सकता है $$\mathbf{A} = \mathbf{I} - 2\mathbf{NN}^\mathrm{T} $$, कहाँ पे $$\mathbf{I}$$ 3×3 पहचान आव्यूह है और $$\mathbf{N}$$ विमान के सामान्य वेक्टर के लिए त्रि-आयामी इकाई वेक्टर है। यदि L2 मानदंड|L2 का मानदंड $$a$$, $$b$$, तथा $$c$$ एकता है, परिवर्तन आव्यूह के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 - 2 a^2 & - 2 a b & - 2 a c \\ - 2 a b  & 1 - 2 b^2 & - 2 b c  \\ - 2 a c & - 2 b c & 1 - 2c^2 \end{bmatrix}$$ ध्यान दें कि ये दो और तीन आयामों में गृहस्थ प्रतिबिंब  के विशेष मामले हैं। एक रेखा या विमान के बारे में एक प्रतिबिंब जो मूल के माध्यम से नहीं जाता है, एक रैखिक परिवर्तन नहीं है - यह एक affine परिवर्तन है - 4 × 4 affine परिवर्तन आव्यूह के रूप में, इसे निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है (मानना ​​सामान्य एक इकाई वेक्टर है) : $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 - 2 a^2 & - 2 a b & - 2 a c & - 2 a d \\ - 2 a b  & 1 - 2 b^2 & - 2 b c & - 2 b d \\ - 2 a c & - 2 b c & 1 - 2c^2 & - 2 c d \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} $$ कहाँ पे $$d = -\mathbf{p} \cdot \mathbf{N}$$ कुछ बिंदु के लिए $$\mathbf{p}$$ विमान पर, या समकक्ष, $$ax + by + cz + d = 0$$.

यदि वेक्टर का चौथा घटक 1 के बजाय 0 है, तो केवल वेक्टर की दिशा परिलक्षित होती है और इसका परिमाण अपरिवर्तित रहता है, जैसे कि यह एक समानांतर विमान के माध्यम से प्रतिबिंबित होता है जो मूल से गुजरता है। यह एक उपयोगी गुण है क्योंकि यह एक ही आव्यूह के साथ स्थितीय वैक्टर और सामान्य वैक्टर दोनों के परिवर्तन की अनुमति देता है। अधिक स्पष्टीकरण के लिए समरूप निर्देशांक और #अन्य प्रकार के परिवर्तन नीचे देखें।

रूपांतरणों की रचना और उलटा करना
रैखिक परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए आव्यूह का उपयोग करने के लिए मुख्य प्रेरणाओं में से एक यह है कि परिवर्तन आसानी से सं रचना (कार्य) और उलटा हो सकता है।

रचना आव्यूह गुणन द्वारा पूरी की जाती है।  पंक्ति और स्तंभ वैक्टर  को आव्यूह, बाईं ओर पंक्तियों और दाईं ओर स्तंभों द्वारा संचालित किया जाता है। चूंकि टेक्स्ट बाएं से दाएं पढ़ता है, इसलिए कॉलम वैक्टर को प्राथमिकता दी जाती है जब परिवर्तन आव्यूह की रचना की जाती है:

यदि ए और बी दो रैखिक परिवर्तनों के आव्यूह हैं, तो पहले ए और फिर बी को कॉलम वेक्टर पर लागू करने का प्रभाव $$\mathbf{x}$$ द्वारा दिया गया है: $$\mathbf{B}(\mathbf{A} \mathbf x) = (\mathbf{BA}) \mathbf x.$$ दूसरे शब्दों में, संयुक्त परिवर्तन का आव्यूह 'ए के बाद बी केवल व्यक्तिगत आव्यूह का उत्पाद है।

जब A एक व्युत्क्रमणीय आव्यूह होता है तो एक आव्यूह A होता है−1 जो एक परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है जो A को पूर्ववत करता है क्योंकि A के साथ इसकी रचना पहचान आव्यूह है। कुछ व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, व्युत्क्रम की गणना सामान्य व्युत्क्रम एल्गोरिदम का उपयोग करके या व्युत्क्रम संचालन (जिसमें स्पष्ट ज्यामितीय व्याख्या होती है, जैसे विपरीत दिशा में घूमना) और फिर उन्हें उल्टे क्रम में रचना करके की जा सकती है। परावर्तन आव्यूह एक विशेष मामला है क्योंकि  अनैच्छिक आव्यूह और अलग से गणना करने की आवश्यकता नहीं है।

परिवर्तित परिवर्तन
आव्यूह के साथ एफ़िन परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने के लिए, हम सजातीय निर्देशांक का उपयोग कर सकते हैं। इसका मतलब है कि 2-वेक्टर (x, y) को 3-वेक्टर (x, y, 1) के रूप में और इसी तरह उच्च आयामों के लिए प्रदर्शित करना। इस प्रणाली का उपयोग करके, अनुवाद को आव्यूह गुणन के साथ व्यक्त किया जा सकता है। कार्यात्मक रूप $$x' = x + t_x; y' = y + t_y$$ बन जाता है: $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & t_x \\ 0 & 1 & t_y \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ 1 \end{bmatrix}.$$ सभी साधारण रेखीय परिवर्तन affine परिवर्तनों के सेट में सम्मलित हैं, और इसे affine परिवर्तनों के सरलीकृत रूप के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इसलिए, किसी भी रैखिक परिवर्तन को सामान्य परिवर्तन आव्यूह द्वारा भी प्रदर्शित किया जा सकता है। उत्तरार्द्ध को एक पंक्ति और स्तंभ द्वारा संबंधित रैखिक परिवर्तन आव्यूह का विस्तार करके प्राप्त किया जाता है, निचले-दाएं कोने को छोड़कर अतिरिक्त स्थान को शून्य से भर दिया जाता है, जिसे 1 पर सेट किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, 'काउंटर-क्लॉकवाइज' रोटेशन आव्यूह से ऊपर हो जाता है: $$\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta & 0 \\ \sin \theta & \cos \theta & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ सजातीय निर्देशांक वाले परिवर्तन आव्यूह का उपयोग करते हुए, अनुवाद रैखिक हो जाते हैं, और इस प्रकार अन्य सभी प्रकार के परिवर्तनों के साथ मूल रूप से मिश्रित हो सकते हैं। कारण यह है कि वास्तविक विमान को मैप किया जाता है $w = 1$ वास्तविक प्रक्षेप्य अंतरिक्ष में विमान, और इसलिए वास्तविक यूक्लिडियन अंतरिक्ष में अनुवाद को वास्तविक प्रक्षेप्य अंतरिक्ष में एक कतरनी के रूप में दर्शाया जा सकता है। हालांकि अनुवाद कार्टेशियन निर्देशांक द्वारा वर्णित 2-डी या 3-डी यूक्लिडियन स्थान में एक गैर-रेखीय मानचित्र है (यानी इसे कम्यूटेटिव संपत्ति और अन्य गुणों को संरक्षित करते हुए अन्य परिवर्तनों के साथ जोड़ा नहीं जा सकता), यह अनुवाद (ज्यामिति)# सजातीय निर्देशांक द्वारा वर्णित 3-डी या 4-डी प्रोजेक्टिव स्पेस में आव्यूह प्रतिनिधित्व, एक साधारण रैखिक परिवर्तन (एक कतरनी मानचित्रण)।

दो या दो से अधिक एफाइन परिवर्तन के लीनियर कॉम्बिनेशन द्वारा अधिक एफाइन परिवर्तन प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, वेक्टर के साथ अनुवाद T' दिया गया है $$(t'_x, t'_y),$$ θ वामावर्त कोण से एक घूर्णन R, कारकों के साथ एक स्केलिंग S $$(s_x, s_y)$$ और वेक्टर का अनुवाद टी $$(t_x, t_y),$$ T'RST का परिणाम M है: $$\begin{bmatrix} s_x \cos \theta & - s_y \sin \theta & t_x s_x \cos \theta - t_y s_y \sin \theta + t'_x \\ s_x \sin \theta & s_y \cos \theta & t_x s_x \sin \theta + t_y s_y \cos \theta + t'_y \\ 0     & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ एफ़िन परिवर्तन का उपयोग करते समय, एक समन्वय वेक्टर (आमतौर पर डब्ल्यू कहा जाता है) के सजातीय घटक को कभी नहीं बदला जाएगा। इसलिए कोई भी सुरक्षित रूप से मान सकता है कि यह हमेशा 1 है और इसे अनदेखा करें। हालांकि, परिप्रेक्ष्य अनुमानों का उपयोग करते समय यह सच नहीं है।

परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण
एक अन्य प्रकार का परिवर्तन, जो 3डी कंप्यूटर ग्राफिक्स में महत्वपूर्ण है, परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण  है। जबकि समानांतर अनुमानों का उपयोग समानांतर रेखाओं के साथ छवि तल पर बिंदुओं को प्रोजेक्ट करने के लिए किया जाता है, परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण प्रोजेक्ट छवि विमान पर उन रेखाओं के साथ इंगित करता है जो एक बिंदु से निकलती हैं, जिसे प्रक्षेपण का केंद्र कहा जाता है। इसका मतलब यह है कि जब किसी वस्तु का प्रक्षेपण केंद्र से बहुत दूर होता है तो उसका प्रक्षेपण छोटा होता है और जब वह करीब होता है तो बड़ा प्रक्षेपण होता है ( गुणात्मक प्रतिलोम  भी देखें)।

सरलतम परिप्रेक्ष्य प्रक्षेपण प्रक्षेपण के केंद्र के रूप में मूल का उपयोग करता है, और विमान पर $$z = 1$$ छवि विमान के रूप में। इस परिवर्तन का कार्यात्मक रूप तब है $$x' = x / z$$; $$y' = y / z$$. हम इसे सजातीय निर्देशांक में इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं: $$\begin{bmatrix} x_c \\ y_c \\ z_c \\ w_c \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \\ 1 \end{bmatrix} $$ आव्यूह गुणा करने के बाद, सजातीय घटक $$w_c$$ के मान के बराबर होगा $$z$$ और अन्य तीन नहीं बदलेंगे। इसलिए, वास्तविक विमान में वापस मैप करने के लिए हमें प्रत्येक घटक को विभाजित करके सजातीय विभाजन या परिप्रेक्ष्य विभाजन करना चाहिए $$w_c$$: $$\begin{bmatrix} x' \\ y' \\ z' \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{w_c} \begin{bmatrix} x_c \\ y_c \\ z_c \\ w_c \end{bmatrix}$$ अधिक जटिल परिप्रेक्ष्य अनुमानों को छवि विमान और प्रक्षेपण के केंद्र को स्थानांतरित करने के लिए घुमाव, तराजू, अनुवाद और कतरनी के साथ जोड़कर बनाया जा सकता है, जहां भी वे वांछित हैं।

यह भी देखें

 * 3 3डी प्रक्षेपण
 * आधार परिवर्तन
 * छवि सुधार
 * मुद्रा (कंप्यूटर दृष्टि)
 * कठोर परिवर्तन
 * परिवर्तन (फ़ंक्शन)
 * परिवर्तन ज्यामिति

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

 * लीनियर अलजेब्रा
 * पंक्ति वेक्टर
 * यूक्लिडियन स्पेस
 * आधार परिवर्तन
 * व्यवस्था
 * निर्देशांक तरीका
 * भौतिक विज्ञान
 * भौतिक विज्ञानी
 * अनुवाद (ज्यामिति)
 * विकर्णीयता
 * रोटेशन का समन्वय करें
 * एफ़िन परिवर्तन
 * सजातीय निर्देशांक
 * उलटा आव्यूह
 * क्रमचयी गुणधर्म
 * रैखिक नक्शा

बाहरी संबंध

 * The Matrix Page Practical examples in POV-Ray
 * Reference page - Rotation of axes
 * Linear Transformation Calculator
 * Transformation Applet - Generate matrices from 2D transformations and vice versa.
 * Coordinate transformation under rotation in 2D
 * Excel Fun - Build 3D graphics from a spreadsheet