वीक़ ऑर्डरिंग

गणित में, विशेष रूप से ऑर्डर सिद्धांत में, एक वीक़ ऑर्डरिंग एक समुच्चय (गणित) की रैंकिंग की सहज धारणा का गणितीय औपचारिकीकरण है, जिसके कुछ सदस्य एक दूसरे के साथ टाई (ड्रा) हो सकते हैं। वीक़ ऑर्डर पूरे प्रकार से ऑर्डर किए गए समुच्चय (संबंधों के बिना रैंकिंग) का सामान्यीकरण है और बदले में आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय और पूर्व ऑर्डर द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है।

वीक़ ऑर्डर्स को औपचारिक बनाने की कई सामान्य विधि हैं, जो क्रिप्टोमोर्फिज्म (जानकारी की हानि के बिना अंतर-परिवर्तनीय) के अतिरिक्त एक-दूसरे से भिन्न हैं: उन्हें स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डर्स के रूप में स्वयंसिद्ध किया जा सकता है (स्ट्रिक्टी से आंशिक रूप से ऑर्डरित समुच्चय जिसमें अतुलनीयता एक सकर्मक संबंध है), जैसे कुल प्रीऑर्डर (सकर्मक द्विआधारी संबंध जिसमें तत्वों की प्रत्येक जोड़ी के बीच दो संभावित संबंधों में से कम से कम एक उपस्तिथ होता है), या क्रमित विभाजन के रूप में (तत्वों के एक समुच्चय को असंयुक्त उपसमुच्चय में विभाजित करना, उपसमुच्चय पर कुल ऑर्डरिंग के साथ) तथा कई स्थितियों में यह भी संभव है की एक अन्य प्रतिनिधित्व जिसे उपयोगिता फ़ंक्शन के आधार पर अधिमान्य व्यवस्था कहा जाता है।

वीक़ ऑर्डरों की गणना ऑर्डर किए गए बेल नंबरों द्वारा की जाती है। इनका उपयोग कंप्यूटर विज्ञान में विभाजन शोधन कलन विधि के भाग के रूप में और C++ मानक लाइब्रेरी में किया जाता है।

उदाहरण
घुड़दौड़ में, फोटो फ़िनिश के उपयोग ने कुछ, लेकिन सभी को नहीं, बंधनों या (जैसा कि उन्हें इस संदर्भ में कहा जाता है) मृत गर्मी को समाप्त कर दिया है, इसलिए घुड़दौड़ का परिणाम वीक़ ऑर्डरिंग के आधार पर तैयार किया जा सकता है। 2007 में मैरीलैंड हंट कप स्टीपलचेज़ के एक उदाहरण में, ब्रूस स्पष्ट विजेता था, लेकिन दो घोड़े बग रिवर और लियर चार्म दूसरे स्थान पर रहे, जबकि शेष घोड़े पीछे थे; तीन घोड़े ख़त्म नहीं हुए है। इस परिणाम का वर्णन करने वाले वीक़ ऑर्डरिंग में, द ब्रूस पहले स्थान पर होगा, बग रिवर और लियर चार्म को ब्रूस के पश्चात स्थान दिया जाएगा, लेकिन समाप्त होने वाले अन्य सभी घोड़ों से पहले, और जो तीन घोड़े समाप्त नहीं हुए, उन्हें ऑर्डरिंग में अंतिम स्थान पर रखा जाएगा लेकिन वह एक दूसरे से बंधे हुए है।

यूक्लिडियन प्लेन के बिंदुओं को मूल (गणित) से उनकी यूक्लिडियन दूरी के आधार पर क्रमबद्ध किया जा सकता है, जो अनंत कई तत्वों के साथ वीक़ ऑर्डरिंग का एक और उदाहरण देता है, बंधे हुए तत्वों के अनंत रूप से कई उपसमुच्चय (बिंदुओं के समुच्चय जो एक मूल पर सामान्य केंद्र से संबंधित होते हैं) और इन उपसमुच्चय के भीतर अनंत रूप से कई बिंदु हैं। चूंकि इस ऑर्डरिंग में सबसे छोटा तत्व (स्वयं मूल) है, लेकिन इसमें कोई दूसरा सबसे छोटा तत्व नहीं है, न ही कोई सबसे बड़ा तत्व है।

राजनीतिक चुनावों में जनमत सर्वेक्षण एक प्रकार के ऑर्डर का उदाहरण प्रदान करता है जो वीक़ ऑर्डर जैसा दिखता है, लेकिन अन्य विधियों से गणितीय रूप से बेहतर विधि से तैयार किया जाता है। किसी सर्वेक्षण के नतीजों में, एक उम्मीदवार स्पष्ट रूप से दूसरे से आगे हो सकता है, या दो उम्मीदवार सांख्यिकीय रूप से बंधे हो सकते हैं, जिसका अर्थ यह नहीं है कि उनके मतदान परिणाम समतुल्य हैं, अपितु यह कि वे एक-दूसरे की त्रुटि के दायरे में हैं। चूंकि, यदि उम्मीदवार $$x$$ सांख्यिकीय रूप से $$y,$$ से बंधा हुआ है, और $$y$$ सांख्यिकीय रूप से $$z,$$ से बंधा हुआ है, तब भी $$x$$ के लिए $$z,$$ से स्पष्ट रूप से बेहतर होना संभव हो सकता है, इसलिए इस स्थिति में बंधा होना एक सकर्मक संबंध नहीं है। इस संभावना के कारण, इस प्रकार की रैंकिंग को वीक़ ऑर्डर की तुलना में सेमीऑर्डर के रूप में बेहतर विधि से तैयार किया जाता है।

स्वयंसिद्धीकरण
मान लीजिए कि $$\,<\,$$ एक समुच्चय $$S$$ पर एक सजातीय द्विआधारी संबंध है (अर्थात्, $$\,<\,$$ $$S \times S$$ का एक उपसमुच्चय है) और निंरंतर के जैसे, $$x < y$$ लिखें और यदि और केवल यदि $$(x, y) \in \,<\,$$, कहें कि $$x < y$$ सही है या सत्य है।

अतुलनीयता और अतुलनीयता की परिवर्तनशीलता पर प्रारंभिक बातें
$$S$$ के दो तत्व $$x$$ और $$y$$ को $$\,<\,$$ के संबंध में अतुलनीय कहा जाता है, यदि न तो $$x < y$$ और न ही $$y < x$$ सत्य है। $$\,<\,$$ के संबंध में अतुलनीयता अपने आप में $$S$$ पर एक सजातीय सममित संबंध है जो प्रतिवर्ती है यदि और केवल यदि $$\,<\,$$ अपरिवर्तनीय संबंध है (जिसका अर्थ है कि $$x < x$$ निरंतर गलत होता है), जिसे इस प्रकार माना जा सकता है कि परिवर्तनशीलता ही एकमात्र गुण है जिसकी इस "अतुलनीयता संबंध" को समतुल्य संबंध होने के लिए आवश्यकता है। यह घोषित करके $$S$$ पर एक प्रेरित सजातीय संबंध ≲ को भी परिभाषित करें$$x \lesssim y \text{ is true } \quad \text{ if and only if } \quad y < x \text{ is false}$$जहां महत्वपूर्ण रूप से, यह परिभाषा आवश्यक रूप से समान नहीं है: $$x \lesssim y$$ यदि और केवल यदि $$x < y \text{ or } x = y$$, दो तत्व $$x, y \in S$$, < के संबंध में अतुलनीय हैं।$$\,<\,$$(या कम शब्दाडंबरपूर्ण, $$\,\lesssim\,$$-समतुल्य), जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ है कि दोनों $$x \lesssim y \text{ तथा } y \lesssim x$$ सत्य हैं। संबंध "$$\,<$$" के संबंध में अतुलनीय हैं, इस प्रकार संबंध "$$\,\lesssim$$-समतुल्य" के समान है (अर्थात, इसके बराबर है) (इसलिए विशेष रूप से, पूर्व सकर्मक है यदि और केवल यदि बाद वाला है)। जब $$\,<\,$$अपरिवर्तनीय है तो "अतुलनीयता की परिवर्तनशीलता" (नीचे परिभाषित) के रूप में जाना जाने वाला गुण बिल्कुल आवश्यक शर्त है और यह गारंटी देने के लिए पर्याप्त है कि संबंध "हैं $$\,\lesssim$$-समतुल्य" वास्तव में $$S$$ पर एक समतुल्य संबंध बनाता है। जब यह स्थिति होती है, तो यह किन्हीं दो तत्वों की अनुमति देता है $$x, y \in S$$ संतुष्टि देने वाला $$x \lesssim y \text{ तथा } y \lesssim x$$ एक ही वस्तु के रूप में पहचाने जाने के लिए विशेष रूप से, उन्हें उनके सामान्य तुल्यता वर्ग में एक साथ पहचाना जाता है।

परिभाषा
समुच्चय $$S$$ पर एक स्ट्रिक्ट वीक ऑर्डर एक स्ट्रिक्ट पार्शियल ऑर्डर है $$\,<\,$$पर $$S$$ जिसके लिए $$S$$ पर प्रेरित अतुलनीयता संबंध $$\,<\,$$ एक सकर्मक संबंध है। स्पष्ट रूप से, एक स्ट्रिक्ट वीक ऑर्डर पर $$S$$ एक सजातीय संबंध है $$\,<\,$$ पर $$S$$ इसमें निम्नलिखित सभी चार गुण हैं:


 * 1) अपरिवर्तनीयता: सभी $$x \in S,$$ के लिए $$x < x$$, यह सत्य नहीं है।


 * यह स्थिति तभी लागू होती है जब $$S$$ पर प्रेरित संबंध $$\,\lesssim\,$$ प्रतिवर्ती संबंध हो, जहां $$\,\lesssim\,$$ को यह घोषित करके परिभाषित किया जाता है कि $$x \lesssim y$$ सत्य है यदि और केवल यदि $$y < x$$ गलत है।

 
 * 1) ट्रांजिटिविटी: सभी के लिए $$x, y, z \in S,$$ यदि $$x < y \text{ and } y < z$$ तो $$x < z$$ है।
 * 2) विषमता: सभी के लिए $$x, y \in S,$$ यदि $$x < y$$ सत्य है तो $$y < x$$ गलत है।
 * 3) अतुलनीयता की परिवर्तनशीलता: सभी के लिए $$x, y, z \in S,$$ यदि $$x$$, $$y$$ के साथ अतुलनीय है (जिसका अर्थ है कि न तो $$x < y$$ और न ही $$y < x$$ सत्य है) और यदि $$y$$,$$z$$ के साथ अतुलनीय है, तो $$x$$,$$z$$ के साथ अतुलनीय है।
 * दो तत्व $$x \text{ and } y$$ के संबंध में अतुलनीय हैं $$\,<\,$$ यदि और केवल यदि वे प्रेरित संबंध के संबंध में समतुल्य हैं $$\,\lesssim\,$$ (जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ है $$x \lesssim y \text{ and } y \lesssim x$$ दोनों सत्य हैं), जहां पहले की प्रकार, $$x \lesssim y$$ सत्य घोषित किया जाता है यदि और केवल यदि $$y < x$$ गलत है। इस प्रकार यह स्थिति तभी लागू होती है जब सममित संबंध चालू हो $$S$$ द्वारा परिभाषित $$x \text{ and } y$$ के संबंध में समतुल्य हैं $$\,\lesssim\,$$एक सकर्मक संबंध है, अर्थात जब भी $$x \text{ and } y$$ हैं $$\,\lesssim$$-समतुल्य और भी $$y \text{ and } z$$ हैं $$\,\lesssim$$-समतुल्य तो आवश्यक रूप से $$x \text{ and } z$$ हैं $$\,\lesssim$$-समतुल्य, इसे इस प्रकार भी दोहराया जा सकता है: जब भी $$x \lesssim y \text{ and } y \lesssim x$$ और भी $$y \lesssim z \text{ and } z \lesssim y$$ तो आवश्यक रूप से $$x \lesssim z \text{ and } z \lesssim x.$$

गुण (1), (2), और (3) एक स्ट्रिक्ट पार्शियल ऑर्डरिंग के परिभाषित गुण हैं, चूंकि इस सूची में कुछ अतिरेक है क्योंकि विषमता (3) का अर्थ अपरिवर्तनीयता (1) है, और इसलिए भी कि अपरिवर्तनीयता (1) और परिवर्तनशीलता (2) मिलकर विषमता (3) दर्शाती है। अतुलनीयता संबंध निरंतर सममित संबंध होता है और यह प्रतिवर्ती संबंध होगा यदि और केवल यदि $$\,<\,$$ एक अपरिवर्तनीय संबंध है (जिसे उपरोक्त परिभाषा द्वारा माना गया है)। नतीजतन, एक स्ट्रिक्ट पार्शियल ऑर्डरिंग $$\,<\,$$ एक स्ट्रिक्ट वीक ऑर्डर है यदि और केवल यदि इसका प्रेरित अतुलनीयता संबंध एक तुल्यता संबंध है। इस स्थिति में, इसके समतुल्य वर्ग विभाजन $$S$$ और इसके अतिरिक्त, इन समतुल्य वर्गों के समुच्चय $$\mathcal{P}$$ को पूरी तरह से एक द्विआधारी संबंध द्वारा ऑर्डर दिया जा सकता है, जिसे $$\,<,$$ द्वारा भी दर्शाया जाता है जिसे परिभाषित किया गया है $$A, B \in \mathcal{P}$$ सभी द्वारा:


 * $$A < B \text{ if and only if } a < b$$ कुछ (या समकक्ष, सभी के लिए) प्रतिनिधियों के लिए $$a \in A \text{ and } b \in B.$$ इसके विपरीत, विभाजन पर कोई स्ट्रिक्ट पार्शियल ऑर्डर (समुच्चय सिद्धांत) $$\mathcal{P}$$ का $$S$$ स्ट्रिक्ट वीक़ व्यवस्था को उत्पन्न करता है $$\,<\,$$ पर $$S$$ द्वारा परिभाषित $$a < b$$ यदि और केवल यदि समुच्चय उपस्तिथ हैं $$A, B \in \mathcal{P}$$ इस विभाजन में ऐसा है कि $$a \in A, b \in B, \text{ and } A < B.$$ प्रत्येक आंशिक ऑर्डर अतुलनीयता के लिए संक्रमणीय कानून का पालन नहीं करता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय में आंशिक ऑर्डरिंग पर विचार करें $$\{ a, b ,c \}$$ रिश्ते द्वारा परिभाषित $$b < c.$$ जोड़े $$a, b \text{ and } a, c$$ अतुलनीय हैं लेकिन $$b$$ और $$c$$ संबंधित हैं, इसलिए अतुलनीयता तुल्यता संबंध नहीं बनाती है और यह उदाहरण स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डरिंग नहीं है।

अतुलनीयता की परिवर्तनशीलता के लिए, निम्नलिखित शर्तों में से प्रत्येक आवश्यकता और पर्याप्तता है, और स्ट्रिक्ट आंशिक ऑर्डर्स के लिए भी आवश्यकता और पर्याप्तता है:
 * यदि $$x < y$$ फिर सबके लिए $$z,$$ दोनों में से एक $$x < z \text{ or } z < y$$ अथवा दोनों है।
 * यदि $$x$$ के साथ अतुलनीय है $$y$$ फिर सबके लिए $$z$$, दोनों में से एक ($$x < z \text{ and } y < z$$) या ($$z < x \text{ and } z < y$$) या ($$z$$ के साथ अतुलनीय है $$x$$ और $$z$$ के साथ अतुलनीय $$y$$ है)।

कुल प्रीऑर्डर्स
स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डर कुल प्रीऑर्डर या (नॉन-स्ट्रिक्ट) वीक़ ऑर्डर से बहुत निकटता से संबंधित हैं, और वही गणितीय अवधारणाएं जिन्हें स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डर के साथ मॉडल किया जा सकता है, उन्हें कुल प्रीऑर्डर के साथ समान रूप से अच्छे प्रकार से मॉडल किया जा सकता है। कुल प्रीऑर्डर या वीक़ ऑर्डर एक प्रीऑर्डर है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होते हैं। कुल प्रीऑर्डर $$\,\lesssim\,$$ निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

कुल ऑर्डर एक कुल प्रीऑर्डर है जो एंटीसिमेट्रिक है, दूसरे शब्दों में, जो आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया समुच्चय भी है। कुल अग्रिम-ऑर्डर्स को कभी-कभी वरीयता संबंध भी कहा जाता है।
 * : सभी के लिए $$x, y, \text{ and } z,$$ यदि $$x \lesssim y \text{ and } y \lesssim z$$ तब $$x \lesssim z.$$
 * : सभी के लिए $$x \text{ and } y,$$ $$x \lesssim y \text{ or } y \lesssim x.$$
 * जो ये दर्शाता हे : सभी के लिए $$x,$$ $$x \lesssim x.$$

स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डर का पूरक (समुच्चय सिद्धांत) कुल प्रीऑर्डर है, और इसके विपरीत, लेकिन स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डर और कुल प्रीऑर्डर को इस प्रकार से जोड़ना अधिक स्वाभाविक लगता है जो तत्वों के ऑर्डरिंग को उलटने के अतिरिक्त संरक्षित करता है। इस प्रकार हम पूरक का विपरीत संबंध लेते हैं: स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डरिंग के लिए $$\,<,$$ कुल प्रीऑर्डर परिभाषित करें $$\,\lesssim\,$$ व्यवस्थित करके $$x \lesssim y$$ जब भी ऐसा नहीं है $$y < x.$$ दूसरी दिशा में, कुल प्रीऑर्डर से एक स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डरिंग को परिभाषित करना $$\,\lesssim,$$ तय करना $$x < y$$ जब भी ऐसा नहीं है $$y \lesssim x.$$ किसी भी प्रीऑर्डर में एक प्रीऑर्डर कंस्ट्रक्शन होता है जहां दो तत्व होते हैं $$x$$ और $$y$$ यदि समतुल्य के रूप में परिभाषित किया गया है $$x \lesssim y \text{ and } y \lesssim x.$$ ए के स्थिति में तुल्यता वर्गों के समुच्चय पर संबंधित आंशिक ऑर्डरिंग को प्रीऑर्डर करना कुल ऑर्डर है। कुल प्रीऑर्डर में दो तत्व समतुल्य हैं यदि और केवल तभी जब वे संबंधित स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डरिंग में अतुलनीय होते है।

ऑर्डरित विभाजन
समुच्चय $$S$$ का विभाजन, $$S$$ के गैर-रिक्त असंयुक्त उपसमुच्चयों का एक परिवार है, जिनका संघ $$S$$ है। एक विभाजन, विभाजन के समुच्चय पर कुल ऑर्डरिंग के साथ, एक संरचना देता है जिसे रिचर्ड पी. स्टेनली ने एक क्रमबद्ध विभाजन कहा है और थिओडोर मोत्ज़किन  द्वारा समुच्चय की एक सूची किसी परिमित समुच्चय के क्रमित विभाजन को विभाजन में समुच्चयों के परिमित अनुक्रम के रूप में लिखा जा सकता है: उदाहरण के लिए, समुच्चय के तीन क्रमित विभाजन $$\{a, b\}$$ हैं $$\{a\}, \{b\},$$$$\{b\}, \{a\}, \; \text{ and }$$$$\{a, b\}.$$ स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डरिंग में, अतुलनीयता के समतुल्य वर्ग एक समुच्चय विभाजन देते हैं, जिसमें समुच्चय अपने तत्वों से कुल ऑर्डर प्राप्त करते हैं, जिससे एक ऑर्डर किए गए विभाजन को जन्म मिलता है। दूसरी दिशा में, कोई भी क्रमबद्ध विभाजन एक स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डरिंग को उत्पन्न करता है जिसमें दो तत्व अतुलनीय होते हैं जब वे विभाजन में एक ही समुच्चय से संबंधित होते हैं, और अन्यथा उन समुच्चयों के ऑर्डरिंग को प्राप्त करते हैं जिनमें वे सम्मलित होते हैं।

कार्यों द्वारा प्रतिनिधित्व
पर्याप्त रूप से छोटी प्रमुखता के समुच्चय के लिए, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के आधार पर एक तीसरा स्वयंसिद्धीकरण संभव है। यदि $$X$$ क्या कोई भी समुच्चय एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है $$f : X \to \R$$ पर $$X$$ पर एक स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डर प्रेरित करता है $$X$$ व्यवस्थित करके $$a < b \text{ if and only if } f(a) < f(b).$$ संबंधित कुल प्रीऑर्डर समुच्चयिंग द्वारा दिया गया है $$a {}\lesssim{} b \text{ if and only if } f(a) \leq f(b)$$ और समुच्चयिंग द्वारा संबंधित तुल्यता $$a {}\sim{} b \text{ if and only if } f(a) = f(b).$$ रिश्ते कब से नहीं बदलते $$f$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$g \circ f$$ (फ़ंक्शन रचना), कहाँ $$g$$ एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है जिसे कम से कम सीमा पर परिभाषित किया गया है $$f.$$ इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक यूटिलिटी#यूटिलिटी फ़ंक्शन एक प्राथमिकता संबंध को परिभाषित करता है। इस संदर्भ में, वीक़ ऑर्डर्स को तरजीही व्यवस्था के रूप में भी जाना जाता है। यदि $$X$$ परिमित या गणनीय है, प्रत्येक वीक़ ऑर्डरिंग पर $$X$$ किसी फ़ंक्शन द्वारा इस प्रकार दर्शाया जा सकता है. चूंकि, ऐसे स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डर उपस्तिथ हैं जिनका कोई वास्तविक कार्य नहीं है। उदाहरण के लिए, शब्दावली ऑर्डरिंग के लिए ऐसा कोई फ़ंक्शन उपस्तिथ नहीं है $$\R^n.$$ इस प्रकार, जबकि अधिकांश प्राथमिकता संबंध मॉडल में संबंध ऑर्डर-संरक्षण परिवर्तनों तक एक उपयोगिता फ़ंक्शन को परिभाषित करता है, शब्दकोषीय प्राथमिकताएँ के लिए ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है।

अधिक सामान्यतः, यदि $$X$$ एक समुच्चय है, $$Y$$ स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डरिंग वाला एक समुच्चय है $$\,<,\,$$ और $$f : X \to Y$$ तो फिर, यह एक फ़ंक्शन है $$f$$ एक स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डर को प्रेरित करता है $$X$$ व्यवस्थित करके $$a < b \text{ if and only if } f(a) < f(b).$$ पहले की प्रकार, संबंधित कुल प्रीऑर्डर समुच्चयिंग द्वारा दिया गया है $$a {}\lesssim{} b \text{ if and only if } f(a) {}\lesssim{} f(b),$$ और समुच्चयिंग द्वारा संबंधित तुल्यता $$a {}\sim{} b \text{ if and only if } f(a) {}\sim{} f(b).$$ यहाँ ऐसा नहीं माना गया है $$f$$ एक इंजेक्शन समारोह है, इसलिए दो समकक्ष तत्वों का एक वर्ग $$Y$$ समतुल्य तत्वों के एक बड़े वर्ग को प्रेरित कर सकता है $$X.$$ भी, $$f$$ इसे एक विशेषण फलन नहीं माना जाता है, इसलिए समतुल्य तत्वों का एक वर्ग $$Y$$ एक छोटी या खाली कक्षा को प्रेरित कर सकता है $$X.$$ चूंकि, फ़ंक्शन $$f$$ एक इंजेक्टिव फ़ंक्शन को प्रेरित करता है जो विभाजन को मैप करता है $$X$$ उस पर $$Y.$$ इस प्रकार, परिमित विभाजन के स्थिति में, वर्गों की संख्या $$X$$ कक्षाओं की संख्या से कम या उसके समतुल्य है $$Y.$$

ऑर्डरिंग के संबंधित प्रकार
अर्ध-ऑर्डर स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डर्स को सामान्यीकृत करते हैं, लेकिन अतुलनीयता की परिवर्तनशीलता को नहीं मानते हैं। एक स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डर जो कि ट्राइकोटॉमी (गणित) है, को स्ट्रिक्ट कुल ऑर्डर कहा जाता है। कुल प्रीऑर्डर जो कि इसके पूरक का व्युत्क्रम है, इस स्थिति में कुल ऑर्डर है।

स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डर के लिए $$\,<\,$$ एक अन्य संबद्ध रिफ्लेक्सिव संबंध इसका बाइनरी रिलेशन#ऑपरेशंस है, जो एक (नॉन-स्ट्रिक्ट) आंशिक ऑर्डरिंग है $$\,\leq.$$ दो संबद्ध प्रतिवर्ती संबंध भिन्न-भिन्न के संबंध में भिन्न-भिन्न हैं $$a$$ और $$b$$ जिसके लिए न तो $$a < b$$ और न $$b < a$$: कुल प्रीऑर्डर में एक स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डर के अनुरूप हमें मिलता है $$a \lesssim b$$ और $$b \lesssim a,$$ जबकि रिफ्लेक्सिव क्लोजर द्वारा दिए गए आंशिक ऑर्डरिंग में हमें कुछ भी नहीं मिलता है $$a \leq b$$ और न $$b \leq a.$$ स्ट्रिक्ट कुल ऑर्डर्स के लिए ये दो संबंधित प्रतिवर्ती संबंध समान हैं: संबंधित (नॉन-स्ट्रिक्ट) कुल ऑर्डर। स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डरिंग का रिफ्लेक्सिव क्लोजर एक प्रकार का श्रृंखला-समानांतर आंशिक ऑर्डरिंग है।

संयुक्त गणना
एक पर विशिष्ट कमज़ोर ऑर्डर्स की संख्या (या तो स्ट्रिक्ट कमज़ोर ऑर्डर्स के रूप में या कुल अग्रिम ऑर्डर्स के रूप में दर्शाई गई)। $$n$$-तत्व समुच्चय निम्नलिखित अनुक्रम द्वारा दिया गया है :

इन नंबरों को फ़ुबिनी नंबर या ऑर्डर किए गए बेल नंबर भी कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, तीन लेबल वाली वस्तुओं के एक समुच्चय के लिए, एक वीक़ ऑर्डरिंग है जिसमें सभी तीन वस्तुएं बंधी हुई हैं। वस्तुओं को एक सिंगलटन (गणित) समुच्चय और दो बंधी हुई वस्तुओं के एक समूह में विभाजित करने के तीन विधि हैं, और इनमें से प्रत्येक विभाजन दो वीक़ ऑर्डर देता है (एक जिसमें सिंगलटन दो के समूह से छोटा है, और एक जिसमें) इस ऑर्डरिंग को उलट दिया गया है), इस प्रकार के छह वीक़ ऑर्डर दिए गए हैं। और समुच्चय को तीन सिंगलटन में विभाजित करने का एक ही तरीका है, जिसे पूरे प्रकार से छह अलग-अलग विधियों से ऑर्डर किया जा सकता है। इस प्रकार, कुल मिलाकर, तीन वस्तुओं पर 13 अलग-अलग वीक़ ऑर्डर हैं।

आसन्नता संरचना
आंशिक ऑर्डर्स के विपरीत, किसी दिए गए परिमित समुच्चय पर वीक़ ऑर्डर का परिवार आम तौर पर उन चालों से जुड़ा नहीं होता है जो किसी दिए गए ऑर्डर से एकल ऑर्डर संबंध जोड़ते या हटाते हैं। उदाहरण के लिए, तीन तत्वों के लिए, जिस ऑर्डरिंग में सभी तीन तत्वों को बांधा गया है, वह एक ही समुच्चय पर किसी भी अन्य वीक़ ऑर्डरिंग से कम से कम दो जोड़े से भिन्न होता है, या तो स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डरिंग या कुल प्रीऑर्डर स्वयंसिद्धीकरण में। चूंकि, एक अलग प्रकार का कदम संभव है, जिसमें समुच्चय पर वीक़ ऑर्डर अधिक मजबूती से जुड़े होते हैं। ए को परिभाषित करें दो समतुल्य वर्गों के साथ एक वीक़ ऑर्डरिंग होना, और एक द्वंद्व को परिभाषित करना  किसी दिए गए वीक़ ऑर्डरिंग के साथ यदि ऑर्डरिंग में संबंधित प्रत्येक दो तत्व या तो एक ही प्रकार से संबंधित हैं या द्वंद्व में बंधे हैं। वैकल्पिक रूप से, एक द्विभाजन को वीक़ ऑर्डरिंग के लिए डेडेकाइंड कट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। फिर एक वीक़ ऑर्डरिंग को उसके संगत द्विभाजन के समुच्चय द्वारा चित्रित किया जा सकता है। लेबल किए गए आइटमों के एक सीमित समुच्चय के लिए, वीक़ ऑर्डरों की प्रत्येक जोड़ी को चालों के अनुक्रम द्वारा एक दूसरे से जोड़ा जा सकता है जो एक समय में डाइकोटॉमी के इस समुच्चय में या उससे एक डाइकोटॉमी को जोड़ता या हटाता है। इसके अतिरिक्त, अप्रत्यक्ष ग्राफ जिसके शीर्षों के रूप में वीक़ ऑर्डरिंग हैं, और ये उसके किनारों के रूप में चलते हैं, एक आंशिक घन बनाता है। ज्यामितीय रूप से, किसी दिए गए परिमित समुच्चय के कुल ऑर्डरिंग को परमुटोहेड्रोन के शीर्षों के रूप में दर्शाया जा सकता है, और इसी समुच्चय पर द्विभाजन को परमुटोहेड्रोन के पहलुओं के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस ज्यामितीय प्रतिनिधित्व में, समुच्चय पर वीक़ ऑर्डर पर्मुटोहेड्रोन के सभी अलग-अलग आयामों के चेहरों के अनुरूप होते हैं (परमुटोहेड्रोन सहित, लेकिन एक चेहरे के रूप में खाली समुच्चय नहीं)। किसी चेहरे का संहिताकरण  संबंधित वीक़ ऑर्डरिंग में समतुल्य वर्गों की संख्या देता है। इस ज्यामितीय प्रतिनिधित्व में वीक़ ऑर्डरिंग पर चालों का आंशिक घन पर्मुटोहेड्रा के चेहरे की जाली के कवरिंग संबंध का वर्णन करने वाला ग्राफ है।

उदाहरण के लिए, के लिए $$n = 3,$$ तीन तत्वों पर पर्मुटोहेड्रोन सिर्फ एक नियमित षट्भुज है। षट्भुज की फलक जाली (फिर से, षट्भुज को एक फलक के रूप में सम्मलित करते हुए, लेकिन खाली समुच्चय को सम्मलित नहीं करते हुए) में तेरह तत्व होते हैं: एक षट्भुज, छह किनारे, और छह शीर्ष, जो पूरे प्रकार से बंधे हुए वीक़ ऑर्डरिंग के अनुरूप होते हैं, छह वीक़ ऑर्डरिंग एक टाई और कुल छह ऑर्डर के साथ। इन 13 वीक़ क्रमों पर चाल का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।

अनुप्रयोग
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, वीक़ ऑर्डर्स का उपयोगिता सिद्धांत में अनुप्रयोग होता है। रैखिक प्रोग्रामिंग और अन्य प्रकार की संयुक्त अनुकूलन समस्या में, समाधानों या आधारों की प्राथमिकता अक्सर एक वीक़ ऑर्डरिंग द्वारा दी जाती है, जो एक वास्तविक-मूल्यवान उद्देश्य फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित की जाती है; इन ऑर्डरिंगों में संबंधों की घटना को अध:पतन कहा जाता है, और अध: पतन के कारण होने वाली समस्याओं को रोकने के लिए इस वीक़ ऑर्डरिंग को कुल ऑर्डरिंग में परिष्कृत करने के लिए कई प्रकार के टाई-ब्रेकिंग नियम का उपयोग किया गया है।

लेक्सिकोग्राफ़िक चौड़ाई-प्रथम खोज और कॉफ़मैन-ग्राहम कलन विधि के लिए विभाजन शोधन आधारित कलन विधि में, कंप्यूटर विज्ञान में भी वीक़ ऑर्डर्स का उपयोग किया गया है। इन कलन विधि में, एक ग्राफ के शीर्षों पर एक वीक़ ऑर्डरिंग (समुच्चय के एक परिवार के रूप में दर्शाया गया है जो एक समुच्चय के शीर्षों का विभाजन करता है, साथ में समुच्चय पर कुल ऑर्डर प्रदान करने वाली दोगुनी लिंक की गई सूची) को धीरे-धीरे परिष्कृत किया जाता है। एल्गोरिथम, अंततः कुल ऑर्डर तैयार करता है जो एल्गोरिथम का आउटपुट है।

C++ प्रोग्रामिंग भाषा के लिए C++ मानक लाइब्रेरी में, एसोसिएटिव कंटेनर (C++) अपने इनपुट को एक तुलनात्मक फ़ंक्शन द्वारा सॉर्ट करते हैं जो टेम्पलेट इंस्टेंटेशन के समय निर्दिष्ट होता है, और यह एक स्ट्रिक्ट वीक़ ऑर्डरिंग को लागू करने के लिए माना जाता है।

यह भी देखें

 * − किसी दिए गए संबंध के अनुरूप सर्वोत्तम वीक़ ऑर्डरिंग में समतुल्य उपसमुच्चय
 * − किसी दिए गए संबंध के अनुरूप सर्वोत्तम वीक़ ऑर्डरिंग में समतुल्य उपसमुच्चय
 * − किसी दिए गए संबंध के अनुरूप सर्वोत्तम वीक़ ऑर्डरिंग में समतुल्य उपसमुच्चय