होमोटोपी

बीजगणितीय सांस्थितिकी में गणित का एक क्षेत्र सांस्थितिक समष्टि का होमोटोपी समूह उस समष्टि के स्व-होमियोमोर्फिज्म के समूह का एक होमोटॉपी समूह है।

परिभाषा
होमोटोपी समूह गुणांक $$\pi_k$$ प्रत्येक समूह से संबद्ध सांस्थितिक समष्टि $$X$$ को निरंतर मानचित्र $$S^k\to X$$ के होमोटॉपी वर्गों के समूह $$\pi_k(X)$$ को निर्दिष्ट करता है। समष्टि $$X$$ पर अन्य निर्मित सभी स्व-होमियोमोर्फिज्म समूह $$X \to X$$ के समूह है, जिसे $${\rm Homeo}(X)$$ द्वारा दर्शाया गया है यदि $$X$$ एक स्थानीय रूप से संक्षिप्त स्थानीय संबद्ध हॉसडॉर्फ समष्टि है तो आर.एरेन्स का एक मौलिक परिणाम कहता है कि वास्तव में संक्षिप्त विवृत सांस्थितिक के अंतर्गत $${\rm Homeo}(X)$$ एक सांस्थितिक समूह है।

उपरोक्त धारणाओं के अंतर्गत $$X$$ के लिए होमोटोपी समूहों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$HME_k(X)=\pi_k({\rm Homeo}(X)).$$

इस प्रकार $$HME_0(X)=\pi_0({\rm Homeo}(X))=MCG^*(X)$$ के लिए मानचित्रण वर्ग समूह $$X$$ है। दूसरे शब्दों में मानचित्रण वर्ग समूह $${\rm Homeo}(X)$$ से संबद्ध घटकों का समूह है, जैसा कि गुणांक $$\pi_0$$ द्वारा निर्दिष्ट किया गया है।

उदाहरण
डेन-नील्सन प्रमेय के अनुसार यदि $$X$$ एक सवृत सतह है तो $$HME_0(X)={\rm Out}(\pi_1(X))$$ अर्थात, किसी समष्टि के स्वसमाकृतिकता का शून्यवाँ होमोटॉपी समूह उसके मौलिक समूह के बाहरी स्वसमाकृतिकता समूह के समान होता है।