अवधि-दोहरीकरण द्विभाजन

गतिशील प्रणाली सिद्धांत में, अवधि-दोहरीकरण द्विभाजन तब होता है जब प्रणाली के मापदंडों में परिवर्तन वर्तमान आवधिक प्रक्षेपवक्र से नया आवधिक प्रक्षेपवक्र प्रदर्शित होने का कारण बनता है - इस प्रकार नए में मूल की अवधि दोगुनी होती है। इस प्रकार दोगुनी अवधि के साथ, प्रणाली द्वारा देखे गए संख्यात्मक मानों को स्वयं को दोहराने में दोगुना समय लगता है (या, एक भिन्न गतिशील प्रणाली में दो बार अधिक पुनरावृत्तियों के रूप में)।

इस प्रकार अवधि-अर्ध विभाजन तब होता है जब प्रणाली मूल प्रणाली की अर्ध अवधि के साथ नए व्यवहार पर स्विच करती है।

एक अवधि-दोहरीकरण कैस्केड अवधि-दोहरीकरण द्विभाजन का अनंत अनुक्रम है। इस तरह के कैस्केड सामान्य मार्ग हैं जिसके द्वारा गतिशील प्रणालियाँ अव्यवस्था विकसित करती हैं। हाइड्रोडायनामिक्स में, वह अव्यवस्था के संभावित मार्गों में से एक हैं।



लॉजिस्टिक मैप
लॉजिस्टिक मैप है
 * $$x_{n+1} = r x_n (1 - x_n)$$
 * जहां $$x_n$$ (असतत) समय $$n = 0, 1, 2, \ldots$$ का एक फलन है। इस प्रकार मापदंड $$r$$ को अंतराल $$(0,4]$$ में माना जाता है, जिस स्थिति में $$x_n$$ $$[0,1]$$ पर परिबद्ध है

इस प्रकार 1 और 3 के मध्य $$r$$ के लिए, $$x_n$$ स्थिर निश्चित बिंदु $$x_* = (r-1)/r$$ पर परिवर्तित होता है। फिर, 3 और 3.44949 के मध्य $$r$$ के लिए, $$x_n$$ दो मानों $$x_*$$ और $$x'_*$$ के मध्य एक स्थायी दोलन में परिवर्तित हो जाता है जो $$r$$ पर निर्भर करता है। जैसे-जैसे $$r$$ बड़ा होता है, 4 मान, फिर 8, 16, 32, आदि के मध्य दोलन दिखाई देते हैं। यह अवधि दोहरीकरण $$r \approx 3.56995$$ पर समाप्त होती है, जिसके आगे और अधिक समष्टि व्यवस्थाएं सामने आती हैं। जैसे-जैसे $$r$$ बढ़ता है, कुछ अंतराल होते हैं जहां अधिकांश प्रारंभिक मान एक या छोटी संख्या में स्थिर दोलनों में परिवर्तित हो जाते है, जैसे $$r=3.83$$ के निकट है

उस अंतराल में जहां कुछ धनात्मक पूर्णांक $$n$$ के लिए अवधि $$2^n$$ है, सभी बिंदुओं पर वास्तव में अवधि $$2^n$$ नहीं होती है। यह अंतराल के अतिरिक्त एकल बिंदु हैं। इन बिंदुओं को अस्थिर कक्षाए कहा जाता है, क्योंकि निकट के बिंदु उनके समान कक्षा तक नहीं पहुंचते हैं।

द्विघात मानचित्र
समष्टि द्विघात बहुपद का वास्तविक संस्करण मैंडेलब्रॉट सेट के वास्तविक भाग से संबंधित है।

कुरामोटो-सिवाशिंस्की समीकरण
कुरामोटो-सिवाशिन्स्की समीकरण स्थानिक-अस्थायी रूप से निरंतर गतिशील प्रणाली का उदाहरण है जो अवधि दोहरीकरण को प्रदर्शित करता है। यह सबसे अच्छी तरह से अध्ययन किए गए गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों में से एक है, जिसे मूल रूप से लौ फ्रंट प्रसार के मॉडल के रूप में प्रस्तुत किया गया था। आयामी कुरामोटो-सिवाशिन्स्की समीकरण है

u_t + u u_x + u_{xx} + \nu \, u_{xxxx} = 0 $$ सीमा स्थितियों के लिए सामान्य विकल्प स्थानिक आवधिकता है:

$$u(x + 2 \pi, t) = u(x,t)$$.

इस प्रकार $$\nu$$ के बड़े मानो के लिए, $$u(x,t)$$ स्थिर (समय-स्वतंत्र) समाधान या सरल आवधिक कक्षाओं की ओर विकसित होता है। जैसे-जैसे $$\nu$$ कम हो जाती है, गतिशीलता अंततः अव्यवस्था विकसित करती है। इस प्रकार व्यवस्था से अव्यवस्था की ओर संक्रमण अवधि-दोहरीकरण विभाजनों के कैस्केड के माध्यम से होता है, जिनमें से चित्र में दर्शाया गया है।

संशोधित फिलिप्स वक्र के लिए लॉजिस्टिक मैप
संशोधित फिलिप्स वक्र के लिए निम्नलिखित लॉजिस्टिक मैप पर विचार करें:

$$ \pi_{t} = f(u_{t}) + b \pi_{t}^e $$

$$ \pi_{t+1} = \pi_{t}^e + c (\pi_{t} - \pi_{t}^e) $$

$$ f(u) = \beta_{1} + \beta_{2} e^{-u} \,$$

$$ b > 0, 0 \leq c \leq 1, \frac {df} {du} < 0 $$

जहाँ :
 * $$\pi$$ वास्तविक इन्फ्लेशन है
 * $$ \pi^e $$ अपेक्षित इन्फ्लेशन है,
 * u बेरोजगारी का स्तर है,
 * $$ m - \pi $$ मुद्रा आपूर्ति वृद्धि दर है.

इस प्रकार $$ \beta_{1} = -2.5, \ \beta_{2} = 20, \ c = 0.75 $$ और भिन्न-भिन्न $$b$$ रखते हुए, प्रणाली समय-समय पर द्विभाजन से निकलती है और अंततः अव्यवस्थित हो जाता है।

प्रयोगात्मक अवलोकन
विभिन्न प्रायोगिक प्रणालियों में अवधि दोहरीकरण देखा गया है। अवधि-दोहरीकरण कैस्केड के प्रयोगात्मक साक्ष्य भी हैं। उदाहरण के लिए, जल और पारे में संवहन रोल की गतिशीलता में 4 अवधियों के दोगुने होने का क्रम देखा गया है। इसी प्रकार, कुछ अरैखिक इलेक्ट्रॉनिक परिपथ में 4-5 दोहरीकरण देखा गया है।   चूंकि, कैस्केड में ith दोहरीकरण घटना का पता लगाने के लिए आवश्यक प्रयोगात्मक परिशुद्धता i के साथ तेजी से बढ़ जाती है, जिससे कैस्केड में 5 से अधिक दोहरीकरण घटनाओं का निरीक्षण करना कठिन हो जाता है।

यह भी देखें

 * अव्यवस्थित मानचित्रों की सूची
 * समष्टि द्विघात मानचित्र
 * फीजेनबाम स्थिरांक
 * सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली)
 * शार्कोव्स्की का प्रमेय

बाहरी संबंध

 * Connecting period-doubling cascades to chaos