शूर बहुपद

गणित में, शूर बहुपद, जिसका नाम ईसाई स्कूर के नाम पर रखा गया है, n चरों में कुछ सममित बहुपद हैं, जो पूर्णांक विभाजनों द्वारा अनुक्रमित हैं, जो प्राथमिक सममित बहुपदों और पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों का सामान्यीकरण करते हैं। प्रतिनिधित्व सिद्धांत में वे सामान्य रेखीय समूहों के बहुपद अलघुकरणीय अभ्यावेदन के पात्र हैं। शूर बहुपद सभी सममित बहुपदों के स्थान के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं। शूर बहुपदों के किसी भी गुणनफल को शूर बहुपदों के रैखिक संयोजन के रूप में गैर-ऋणात्मक समाकल गुणांकों के साथ लिखा जा सकता है; इन गुणांकों के मूल्यों को लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम द्वारा संयुक्त रूप से दिया गया है। अधिक सामान्यतः, स्कू शूर बहुपद विभाजन के जोड़े से जुड़े होते हैं और शूर बहुपदों के समान गुण होते हैं।

परिभाषा (जैकोबी का द्विवार्षिक सूत्र)
शूर बहुपदों को पूर्णांक विभाजनों द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। एक विभाजन $λ = (λ_{1}, λ_{2}, &hellip;,λ_{n})$ दिया गया, जहाँ $λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ &hellip; ≥ λ_{n}$, और प्रत्येक $λ_{j}$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, निम्न कार्य करता है $$ a_{(\lambda_1+n-1, \lambda_2+n-2, \dots, \lambda_n)} (x_1, x_2, \dots , x_n) = \det \left[ \begin{matrix} x_1^{\lambda_1+n-1} & x_2^{\lambda_1+n-1} & \dots & x_n^{\lambda_1+n-1} \\ x_1^{\lambda_2+n-2} & x_2^{\lambda_2+n-2} & \dots & x_n^{\lambda_2+n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{\lambda_n} & x_2^{\lambda_n} & \dots & x_n^{\lambda_n} \end{matrix} \right] $$ निर्धारक के गुणों द्वारा बहुपदों को वैकल्पिक कर रहे हैं। एक बहुपद वैकल्पिक है यदि यह चर के किसी भी विपर्यय (गणित) के तहत संकेत बदलता है।

चूंकि वे वैकल्पिक हैं, वे सभी वांडरमोंडे निर्धारक द्वारा विभाज्य हैं $$ a_{(n-1, n-2, \dots, 0)} (x_1, x_2, \dots , x_n) = \det \left[ \begin{matrix} x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_n^{n-1} \\ x_1^{n-2} & x_2^{n-2} & \dots & x_n^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \dots & 1 \end{matrix} \right] = \prod_{1 \leq j < k \leq n} (x_j-x_k). $$ शूर बहुपदों को अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है $$ s_{\lambda} (x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{ a_{(\lambda_1+n-1, \lambda_2+n-2, \dots, \lambda_n+0)} (x_1, x_2, \dots , x_n)} {a_{(n-1, n-2, \dots, 0)} (x_1, x_2, \dots , x_n) }. $$ इसे जैकोबी के द्विअर्थी सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह वेइल वर्ण सूत्र की एक विशेष स्तिथि है।

यह एक सममित कार्य है क्योंकि अंश और भाजक दोनों वैकल्पिक हैं, और एक बहुपद है क्योंकि सभी वैकल्पिक बहुपद वैंडरमोंड निर्धारक द्वारा विभाज्य हैं।

गुण
श्रेणी $d$ शूर बहुपद में $n$ चर सजातीय घात $d$ के स्थान के लिए सममित बहुपद $n$ चर एक रेखीय आधार हैं। एक विभाजन $λ = (λ_{1}, λ_{2}, ..., λ_{n})$ के लिए, शूर बहुपद एकपदी का योग निम्न है,
 * $$ s_\lambda(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_T x^T = \sum_T x_1^{t_1}\cdots x_n^{t_n} $$

जहां योग सभी अर्धमानक नवोदित टेबलॉक्स पर $T$ का आकार $λ$ है। प्रतिपादक $t_{1}, ..., t_{n}$ $T$ का भार देता है, दूसरे शब्दों में प्रत्येक $t_{i}$ संख्या की घटनाओं की गणना $i$ में $T$ करता है। यह लिंडस्ट्रॉम-गेसेल-वियनॉट लेम्मा (जैसा कि उस पृष्ठ पर उल्लिखित है) का उपयोग करके पहले गियाम्बेली सूत्र की परिभाषा के बराबर दिखाया जा सकता है।

शूर बहुपदों को एकपद सममित बहुपद $m_{μ}$ के रैखिक संयोजनों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, गैर-नकारात्मक पूर्णांक गुणांक $K_{λμ}$ के साथ निम्न संख्या घन कहा जाता है,


 * $$s_\lambda= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu.\ $$

कोस्तका संख्या $K_{λμ}$ आकार λ और वजन μ के अर्ध-मानक नवोदित टेबलॉक्स की संख्या द्वारा दिए गए हैं।

जैकोबी-ट्रुडी सर्वसमिका
पहला जैकोबी-ट्रूडी सूत्र शूर बहुपद को पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों के संदर्भ में एक निर्धारक के रूप में व्यक्त करता है,


 * $$ s_{\lambda} = \det(h_{\lambda_{i} + j - i})_{i,j = 1}^{l(\lambda)} =

\det\left[ \begin{matrix} h_{\lambda_1} & h_{\lambda_1 + 1} & \dots & h_{\lambda_1 + n - 1} \\ h_{\lambda_2-1} & h_{\lambda_2} & \dots & h_{\lambda_2+n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ h_{\lambda_n-n+1} & h_{\lambda_n-n+2} & \dots & h_{\lambda_n} \end{matrix} \right],$$ जहाँ $h_{i} := s_{(i)}$.

दूसरा जैकोबी-ट्रुडी सूत्र शूर बहुपद को प्रारंभिक सममित बहुपदों के संदर्भ में एक निर्धारक के रूप में व्यक्त करता है,


 * $$ s_{\lambda} = \det(e_{\lambda'_{i} + j - i})_{i,j = 1}^{l(\lambda')} =

\det\left[ \begin{matrix} e_{\lambda'_1} & e_{\lambda'_1 + 1} & \dots & e_{\lambda'_1 + l - 1} \\ e_{\lambda'_2-1} & e_{\lambda'_2} & \dots & e_{\lambda'_2+ l-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e_{\lambda'_l-l+1} & e_{\lambda'_l-l+2} & \dots & e_{\lambda'_l} \end{matrix} \right],$$ जहाँ $e_{i} := s_{(1^{i})}$ और $λ '$ $λ$ के संयुग्मी विभाजन है।

दोनों सर्वसमिकाओं में, नकारात्मक पादांक वाले कार्यों को शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है।

गियाम्बेली सर्वसमिका
एक अन्य निर्धारक सर्वसमिका गियाम्बेली का सूत्र है, जो नवोदित आरेख के भीतर निहित हुक विभाजनों के संदर्भ में मनमाने ढंग से विभाजन के लिए शूर फलन को व्यक्त करता है। फ्रोबेनियस के अंकन में, विभाजन को निरूपित किया गया है
 * $$ (a_1, \ldots, a_r\mid b_1, \ldots, b_r)$$

जहां, स्थिति में प्रत्येक विकर्ण तत्व के लिए $ii$, $a_{i}$ एक ही पंक्ति में दाईं ओर बक्सों की संख्या को दर्शाता है और $b_{i}$ एक ही पंक्ति (क्रमशः हाथ और पैर की लंबाई) में इसके नीचे के बक्सों की संख्या को दर्शाता है।

'गियाम्बेली सर्वसमिका' निर्धारक के रूप में इस विभाजन के अनुरूप शूर फलन को व्यक्त करता है
 * $$ s_{ (a_1, \ldots, a_r\mid b_1, \ldots, b_r)} = \det ( s_{(a_i \mid b_j)}) $$

उनमें से हुक विभाजन के लिए व्यक्त करता है।

कॉची सर्वसमिका
शूर कार्यों के लिए कॉची सर्वसमिका (अब असीम रूप से कई चर में), और इसकी दोहरी स्थिति निम्न है
 * $$\sum_\lambda s_\lambda(x) s_{\lambda}(y) = \sum_\lambda m_\lambda(x) h_{\lambda}(y)= \prod_{i,j} (1-x_i y_j)^{-1},$$

और
 * $$\sum_\lambda s_\lambda(x) s_{\lambda'}(y) = \sum_\lambda m_\lambda(x) e_{\lambda}(y) = \prod_{i,j} (1+x_i y_j),$$

जहां सभी विभाजन λ पर योग लिया जाता है, और $$h_{\lambda}(x)$$, $$e_{\lambda}(x)$$ क्रमशः पूर्ण सममित कार्यों और प्राथमिक सममित कार्यों को निरूपित करता है। यदि शूर बहुपदों के उत्पादों पर $$n$$ चर $$(x_1, \dots, x_n)$$योग लिया जाता है, योग में केवल लंबाई $$ \ell(\lambda) \le n $$ के विभाजन सम्मिलित हैं अन्यथा शूर बहुपद लुप्‍त हो जाते हैं।

सममित कार्यों के अन्य परिवारों के लिए इन सर्वसमिका के कई सामान्यीकरण हैं। उदाहरण के लिए, मैकडोनाल्ड बहुपद, शुबर्ट बहुपद और ग्रोथेंडिक बहुपद कॉची जैसी सर्वसमिका स्वीकार करते हैं।

आगे की सर्वसमिका
शूर बहुपद की गणना हॉल-लिटिलवुड बहुपद के लिए सूत्र की विशेषज्ञता के माध्यम से भी की जा सकती है,


 * $$ s_{\lambda}(x_1,\dotsc,x_n) = \sum_{w \in S_n / S^{\lambda}_n} w\left( x^\lambda  \prod_{\lambda_i > \lambda_j}

\frac{x_i}{x_i-x_j} \right)$$ जहाँ $$S^{\lambda}_n$$ क्रमपरिवर्तन का उपसमूह है जैसे कि सभी i के लिए $$\lambda_{w(i)}=\lambda_i$$ और w सूचकांकों की अनुमति देकर चर पर कार्य करता है।

मर्नाघन-नाकायमा नियम
मर्नाघन-नाकायामा नियम शूर बहुपद के संदर्भ में एक शूर बहुपद के साथ शक्ति-योग सममित फलन का एक उत्पाद व्यक्त करता है:


 * $$p_r \cdot s_\lambda = \sum_{\mu} (-1)^{ht(\mu/\lambda)+1}s_\mu$$

जहां योग सभी विभाजन μ पर है जैसे कि μ/λ आकार r का रिम-हुक है और ht(μ/λ) आरेख μ/λ में पंक्तियों की संख्या है।

लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम और पियरी का सूत्र
लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक तीन पूर्णांक विभाजनों पर निर्भर करते हैं, मान लीजिये $$\lambda,\mu,\nu$$, है जिसका कि $$\lambda$$ और $$\mu$$ गुणा किए जा रहे शूर कार्यों का वर्णन करता है, और $$\nu$$ शूर फलन देता है जिसका यह रैखिक संयोजन में गुणांक है; दूसरे शब्दों में वे गुणांक $$c_{\lambda,\mu}^\nu$$ हैं, यह इस प्रकार है कि
 * $$s_\lambda s_\mu=\sum_\nu c_{\lambda,\mu}^\nu s_\nu.$$

लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम कहता है कि $$c_{\lambda,\mu}^\nu$$ तिर्यक् आकार की लिटिलवुड-रिचर्डसन टेबलॉक्स की संख्या $$\nu/\lambda$$ और वजन का $$\mu$$ के बराबर है।

पियरी का सूत्र लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम की एक विशेष स्तिथि है, जो शूर बहुपदों के संदर्भ में उत्पाद $$h_r s_{\lambda}$$ को व्यक्त करता है। दोहरा संस्करण शूर बहुपद $$e_r s_{\lambda}$$ के संदर्भ में व्यक्त करता है।

विशेषज्ञता
शूर बहुपद का मूल्यांकन $s_{λ}$ में $(1, 1, ..., 1)$ आकार की अर्ध-मानक नवोदित टेबलॉक्स की संख्या $λ$ में प्रविष्टियों के साथ $1, 2, ..., n$ देता है।

उदाहरण के लिए, वेइल वर्ण सूत्र का उपयोग करके निम्न प्राप्त होता है $$s_\lambda(1,1,\dots,1) = \prod_{1\leq i < j \leq n} \frac{\lambda_i - \lambda_j + j-i}{j-i}.$$ इस सूत्र में, $λ$, यंग रेखाकृति की प्रत्येक पंक्ति की चौड़ाई को इंगित करने वाला टपल, शून्य के साथ तब तक विस्तारित होता है जब तक कि इसकी लंबाई $n$ नहीं हो जाती है। $λ_{i}$ तत्वों का योग $d$ है। हुक लंबाई सूत्र भी देखें जो निश्चित λ के लिए समान मात्रा की गणना करता है।

उदाहरण
निम्नलिखित विस्तारित उदाहरण से इन विचारों को स्पष्ट करने में सहायता मिलेगी। स्थिति n = 3, d = 4 पर विचार करें। फेरर्स आरेखों या किसी अन्य विधि का उपयोग करके, हम पाते हैं कि अधिकतम तीन भागों में 4 के केवल चार विभाजन हैं। अपने पास


 * $$ s_{(2,1,1)} (x_1, x_2, x_3) = \frac{1}{\Delta} \;

\det \left[ \begin{matrix} x_1^4 & x_2^4 & x_3^4 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{matrix} \right] = x_1 \, x_2 \, x_3 \, (x_1 + x_2 + x_3) $$
 * $$ s_{(2,2,0)} (x_1, x_2, x_3) = \frac{1}{\Delta} \;

\det \left[ \begin{matrix} x_1^4 & x_2^4 & x_3^4 \\ x_1^3 & x_2^3 & x_3^3 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right]= x_1^2 \, x_2^2 + x_1^2 \, x_3^2 + x_2^2 \, x_3^2 + x_1^2 \, x_2 \, x_3 + x_1 \, x_2^2 \, x_3 + x_1 \, x_2 \, x_3^2 $$ और इतने पर, जहाँ $$ \Delta $$ वैंडरमोंड निर्धारक $$ a_{(2,1,0)}(x_1,x_2,x_3) $$ है। संक्षेप:

प्रत्येक सजातीय घात-तीन चर में चार सममित बहुपद इन चार शूर बहुपदों के एक अद्वितीय रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं, और इस संयोजन को एक उचित उन्मूलन क्रम के लिए ग्रोबनेर आधार का उपयोग करके फिर से पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए,
 * 1) $$ s_{(2,1,1)} = e_1 \, e_3$$
 * 2) $$ s_{(2,2,0)} = e_2^2 - e_1 \, e_3$$
 * 3) $$ s_{(3,1,0)} = e_1^2 \, e_2 - e_2^2 - e_1 \, e_3$$
 * 4) $$ s_{(4,0,0)} = e_1^4 - 3 \, e_1^2 \, e_2 + 2 \, e_1 \, e_3 + e_2^2.$$


 * $$\phi(x_1, x_2, x_3) = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4$$

स्पष्ट रूप से एक सममित बहुपद है जो घात चार का सजातीय है, और हमारे पास है


 * $$\phi = s_{(2,1,1)} - s_{(3,1,0)} + s_{(4,0,0)}.\,\!$$

प्रतिनिधित्व सिद्धांत से संबंध
शूर बहुपद सममित समूहों, सामान्य रैखिक समूहों और एकात्मक समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में पाए जाते हैं। वेइल चरित्र सूत्र का अर्थ है कि शूर बहुपद सामान्य रैखिक समूहों के परिमित-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के वर्ण हैं, और शूर के काम को अन्य सघन और अर्धसूत्रीय लाइ समूह में सामान्य बनाने में सहायता करता है।

इस संबंध के लिए कई अभिव्यक्तियाँ उत्पन्न होती हैं, सममित शक्ति कार्यों $$p_k=\sum_i x_i^k$$ के संदर्भ में जिनमें से एक सबसे महत्वपूर्ण शूर कार्यों s&lambda; का विस्तार है। अगर हम χ$&lambda; &rho;$ लिखते हैं विभाजन λ द्वारा अनुक्रमित सममित समूह के प्रतिनिधित्व के चरित्र के लिए विभाजन ρ द्वारा अनुक्रमित चक्र प्रकार के तत्वों पर मूल्यांकन किया गया, फिर
 * $$s_\lambda = \sum_{\nu} \frac{\chi^\lambda_\nu}{z_\nu} p_\nu = \sum_{\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)}\chi^\lambda_\rho \prod_k \frac{p^{r_k}_k}{r_k! k^{r_k} },$$

जहां ρ = (1r1, 2r2, 3r3, ...) इसका अर्थ है कि विभाजन ρ में लंबाई k के rk भाग हैं।

इसका एक प्रमाण R. स्टेनली के गणनासूचक साहचर्य खंड 2, कोरोलरी 7.17.5 में पाया जा सकता है।

पूर्णांक χ$&lambda; &rho;$ मुर्नाघन-नाकायमा नियम का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

शूर सकारात्मकता
प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ संबंध के कारण, एक सममित कार्य जो शूर कार्यों में सकारात्मक रूप से फैलता है, विशेष रुचि के होते हैं। उदाहरण के लिए, तिर्यक् शूर कार्य सामान्य शूर कार्यों में सकारात्मक रूप से विस्तारित होता है, और गुणांक लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक हैं।

इसकी एक विशेष स्तिथि शूर कार्यों में पूर्ण सजातीय सममित कार्य hλ का विस्तार है ।

यह अपघटन दर्शाता है कि कैसे एक क्रमचय इकाई अप्रासंगिक अभ्यावेदन में विघटित हो जाता है।

शुर सकारात्मकता सिद्ध करने की विधियाँ
किसी दिए गए सममित फलन F की शूर सकारात्मकता साबित करने के लिए कई दृष्टिकोण हैं। यदि F को संयोजन तरीके से वर्णित किया गया है, तो अर्ध-मानक नवोदित टेबलॉक्स के साथ एक आक्षेप का उत्पादन करने के लिए एक सीधा दृष्टिकोण है।एडेलमैन-ग्रीन पत्राचार और रॉबिन्सन-शेंस्टेड-नुथ पत्राचार ऐसे पूर्वाग्रहों के उदाहरण हैं।

अधिक संरचना वाला एक आक्षेप तथाकथित स्फटिक आधार का उपयोग करके एक प्रमाण है। इस पद्धति को अंतर्निहित संयोजी वस्तुओं पर स्थानीय नियमों के साथ वर्णित एक निश्चित ग्राफ संरचना को परिभाषित करने के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

इसी तरह का विचार द्वैत तुल्यता की धारणा है। यह दृष्टिकोण मूलभूत क्वासिमेट्रिक आधार में विस्तार का प्रतिनिधित्व करने वाली वस्तुओं पर एक लेखाचित्र संरचना का भी उपयोग करता है। यह आरएसके-पत्राचार से निकटता से संबंधित है।

तिर्यक् शूर कार्य
तिर्यक् शूर &lambda;/&mu; दो विभाजन λ और μ पर निर्भर करता है, और निम्न विशेषता द्वारा परिभाषित किया जा सकता है
 * $$\langle s_{\lambda/\mu},s_\nu\rangle = \langle s_{\lambda},s_\mu s_\nu\rangle. $$

यहां, आंतरिक उत्पाद हॉल आंतरिक उत्पाद है, जिसके लिए शूर बहुपद एक प्रसामान्य लांबिक आधार बनाते हैं।

साधारण शूर बहुपदों के समान, इनकी गणना करने के कई तरीके हैं। संबंधित जैकोबी-ट्रुडी सर्वसमिका हैं
 * $$s_{\lambda/\mu} = \det(h_{\lambda_i - \mu_j -i + j})_{i,j = 1}^{l(\lambda)}$$
 * $$s_{\lambda'/\mu'} = \det(e_{\lambda_i - \mu_j -i + j})_{i,j = 1}^{l(\lambda)}$$

तिर्यक् शूर बहुपदों की एक मिश्रित व्याख्या भी है, अर्थात् यह तिरछी आकृति के सभी अर्ध-मानक नवोदित टेबलॉक्स (या स्तंभ-कठोर टेबलॉक्स) का योग $$\lambda/\mu$$ है

तिर्यक् शूर बहुपद शूर बहुपद में सकारात्मक रूप से फैलता है। गुणांक के लिए एक नियम लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम द्वारा दिया गया है।

युग्म शूर बहुपद
युग्म शूर बहुपद स्थानांतरित शूर बहुपदों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। ये बहुपद भी क्रमगुणित शूर बहुपदों से निकटता से संबंधित हैं। एक विभाजन $λ$ दिया, और एक क्रम $a_{1}, a_{2},&hellip;$ कोई दोहरे शूर बहुपद $s_{λ}(x || a)$ को परिभाषित कर सकता है, जैसे $$s_\lambda(x||a) = \sum_T \prod_{\alpha \in \lambda}(x_{T(\alpha)} - a_{T(\alpha)-c(\alpha)})$$ जहां योग $λ$ आकार के सभी उल्टे अर्ध-मानक नवोदित टेबलऑक्स $T$ पर लिया जाता है, और पूर्णांक प्रविष्टियाँ में $1, &hellip;, n$ पर लिया जाता है। यहाँ T(α) बॉक्स α में T के मान को दर्शाता है और c(α) बॉक्स की सामग्री है।

लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक (अनुक्रम a के आधार पर) के लिए एक संयोजी नियम एआई मोलेव द्वारा दिया गया था। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि स्थानान्तरित किए गए शूर बहुपदों में गैर-नकारात्मक लिटलवुड-रिचर्डसन गुणांक हैं।

स्थानांतरित शूर बहुपद $s^{*}_{λ}(y)$ $a_{i} = −i$ और $y_{i} = x_{i} + i$ विशेषज्ञता द्वारा युग्म शूर बहुपद से प्राप्त किया जा सकता है।

युग्म शूर बहुपद दोहरे शुबर्ट बहुपद की विशेष स्तिथि है।

क्रमगुणित शूर बहुपद
क्रमगुणित शूर बहुपदों को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। एक विभाजन λ दिया गया है, और एक दोगुना अनंत अनुक्रम …,a−1, a0, a1, … कोई क्रमगुणित शूर बहुपद sλ(x|a) को निम्न रूप में परिभाषित कर सकता है $$s_\lambda(x|a) = \sum_T \prod_{\alpha \in \lambda}(x_{T(\alpha)} - a_{T(\alpha)+c(\alpha)})$$ जहां आकार λ, और पूर्णांक प्रविष्टियों के सभी अर्ध-मानक नवोदित टेबलॉक्स T पर योग 1, …, n लिया जाता है। यहाँ T(α) बॉक्स α में T के मान को दर्शाता है और c(α) बॉक्स की सामग्री है।

एक निर्धारक सूत्र निम्न भी है, $$ s_\lambda(x|a) = \frac{\det[(x_j|a)^{\lambda_i+n-i}]_{i,j = 1}^{l(\lambda)}}{\prod_{i<j}(x_i-x_j)} $$ जहाँ (y|a)k = (y − a1) ... (y − ak) यह स्पष्ट है कि यदि हम सभी i के लिए a = 0 दें, तो हम सामान्य शूर बहुपद sλ को पुनः प्राप्त कर सकते हैं।

n परिवर्त्य में युग्म शूर बहुपद और क्रमगुणित शूर बहुपद सर्वसमिका sλ(x||a) = sλ(x|u) के माध्यम से संबंधित हैं, जहाँ an−i+1 = ui

अन्य सामान्यीकरण
शूर बहुपदों के कई सामान्यीकरण हैं:


 * हॉल-लिटिलवुड बहुपद
 * स्थानांतरित शूर बहुपद
 * ध्वजांकित शूर बहुपद
 * शुबर्ट बहुपद
 * स्टेनली सममित कार्य (स्थिर शुबर्ट बहुपद के रूप में भी जाना जाता है)
 * प्रमुख बहुपद (जिन्हें डीमाज़ूर वर्णों के रूप में भी जाना जाता है)
 * अर्ध-सममित शूर बहुपद
 * पंक्ति-कठोर शूर बहुपद
 * जैक बहुपद
 * इकाईर शूर बहुपद
 * लूप शूर कार्य करता है
 * मैकडोनाल्ड बहुपद
 * संसुघटित और आयतीय समूह के लिए शूर बहुपद।
 * के-शूर कार्य करता है
 * ग्रोथेंडिक बहुपद (के-सिद्धांत| शूर बहुपदों का के-सैद्धांतिक अनुरूप)
 * एलएलटी बहुपद

यह भी देखें

 * शूर प्रकार्यक
 * लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम, जहां शूर बहुपदों से जुड़ी कुछ सर्वसमिकाएं मिलती हैं।