सार्वभौमिक आवरण बीजगणित

गणित में, लाई बीजगणित का सार्वभौमिक आवरण बीजगणित इकाई बीजगणित साहचर्य बीजगणित बीजगणित है जिसका बीजगणित प्रतिनिधित्व उस लाई बीजगणित के लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व से त्रुटिहीन रूप से मेल खाता है।

सार्वभौमिक आवरण बीजगणित का उपयोग लाई समूहों और लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में किया जाता है। उदाहरण के लिए, वर्मा मॉड्यूल का निर्माण सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के भागफल के रूप में किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, आवरण बीजगणित कासिमिर संचालकों के लिए त्रुटिहीन परिभाषा देता है। चूँकि कासिमिर संचालक लाई बीजगणित के सभी तत्वों के साथ आवागमन करते हैं, इसलिए उनका उपयोग अभ्यावेदन को वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है। त्रुटिहीन परिभाषा कासिमिर संचालकों को गणित के अन्य क्षेत्रों में आयात करने की भी अनुमति देती है, विशेष रूप से, जिनमें अंतर बीजगणित होता है। वह गणित के कुछ हालिया विकासों में भी केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। विशेष रूप से, उनका दोहरा सदिश स्थान गैर-कम्यूटेटिव ज्यामिति, क्वांटम समूहो में अध्ययन की गई वस्तुओं का क्रमविनिमेय उदाहरण प्रदान करता है। इस दोहरे को, गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय द्वारा, संबंधित लाई समूह के सी-स्टार बीजगणित  को सम्मिलित करने के लिए दिखाया जा सकता है। यह संबंध कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समूहों और उनके प्रतिनिधित्व के मध्य तन्नाका-क्रेन द्वंद्व के विचार को सामान्यीकृत करता है।

एक विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण से, लाई समूह के लाई बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित को समूह पर बाएं-अपरिवर्तनीय अंतर संचालकों के बीजगणित के साथ पहचाना जा सकता है।

अनौपचारिक निर्माण
सार्वभौमिक आवरण बीजगणित का विचार लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ को एम्बेड करना है साहचर्य बीजगणित $$\mathcal{A}$$ में  पहचान के साथ इस तरह से कि अमूर्त ब्रैकेट ऑपरेशन में $$\mathfrak{g}$$, $$\mathcal{A}$$ कम्यूटेटर $$xy-yx$$ से मेल खाता है और बीजगणित $$\mathcal{A}$$ $$\mathfrak{g}$$ के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है ऐसी एम्बेडिंग बनाने की अनेक विधिया हो सकती हैं, किन्तु अनोखा सबसे बड़ा $$\mathcal{A}$$ विधि है  जिसे $$\mathfrak{g}$$ सार्वभौमिक आवरण बीजगणित कहा जाता है.

जनरेटर और संबंध
मान लीजिये कि $$\mathfrak{g}$$ लाई बीजगणित है, जिसे सरलता के लिए आधार के साथ परिमित-आयामी माना जाता है जिसका आधार $$X_1,\ldots X_n$$है. मान लीजिए कि इस आधार के लिए $$c_{ijk}$$ संरचना स्थिरांक है
 * $$[X_i,X_j]=\sum_{k=1}^n c_{ijk}X_k.$$

फिर सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के संबंधों के अधीन तत्वों द्वारा उत्पन्न $$x_1,\ldots x_n$$ साहचर्य बीजगणित (पहचान के साथ) है
 * $$x_i x_j -                         x_j x_i=\sum_{k=1}^n c_{ijk}x_k$$

और कोई अन्य संबंध नहीं. नीचे हम $$\mathfrak g$$ से अधिक टेंसर बीजगणित के भागफल के रूप में सार्वभौमिक आवरण बीजगणित का निर्माण करके इस जनरेटर और संबंध निर्माण को और अधिक त्रुटिहीन बनाएंगे।.

उदाहरण के लिए, आव्यूहों द्वारा फैलाए गए बीजगणित SL(2,C)/sl(2,C) पर विचार करें
 * $$ X = \begin{pmatrix}

0 & 1\\ 0 & 0 \end{pmatrix} \qquad Y = \begin{pmatrix} 0 & 0\\ 1 & 0 \end{pmatrix} \qquad H = \begin{pmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{pmatrix} ~,$$ जो कम्यूटेशन संबंधों $$[H,X]=2X$$, $$[H,Y]=-2Y$$ और $$[X,Y]=H$$ को संतुष्ट करता है sl(2,C) का सार्वभौमिक आवरण बीजगणित संबंधों के अधीन तीन तत्वों $$x,y,h$$ द्वारा उत्पन्न बीजगणित है
 * $$hx-xh=2x,\quad hy-yh=-2y,\quad xy-yx=h,$$

और कोई अन्य संबंध नहीं. हम इस बात पर जोर देते हैं कि सार्वभौमिक आवरण बीजगणित $$2\times 2$$ आव्यूह बीजगणित के समान (या उसमें$$2\times 2$$ निहित) नहीं है. उदाहरण के लिए, $$2\times 2$$ आव्यूह $$X$$ $$X^2=0$$, को संतुष्ट करता है जैसा कि आसानी से सत्यापित है। किन्तु सार्वभौमिक आवरण बीजगणित में, तत्व $$x$$, $$x^2=0$$को संतुष्ट नहीं करता - क्योंकि हम इस संबंध को आवरण बीजगणित के निर्माण में लागू नहीं करते हैं। वास्तव में, यह पोंकारे-बिरखॉफ-विट प्रमेय (नीचे चर्चा) से इस प्रकार है कि तत्व $$1,x,x^2,x^3,\ldots$$ सार्वभौमिक आवरण बीजगणित में सभी रैखिक रूप स्वतंत्र हैं।

आधार ढूँढना
सामान्यतः, सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के तत्व सभी संभावित क्रमों में जनरेटर के उत्पादों के रैखिक संयोजन होते हैं। सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के परिभाषित संबंधों का उपयोग करके, हम सदैव उन उत्पादों को विशेष क्रम में फिर से व्यवस्थित कर सकते हैं, जैसे कि सभी कारकों के साथ। $$x_1$$ पहले, फिर के कारक $$x_2$$, आदि। उदाहरण के लिए, जब भी हमारे पास कोई शब्द होता है $$x_2 x_1$$ (गलत क्रम में), हम इसे फिर से लिखने के लिए संबंधों का उपयोग कर सकते हैं $$x_1 x_2$$ साथ ही इसका रैखिक संयोजन $$x_j$$'एस। इस प्रकार का कार्य बार-बार करने से अंततः कोई भी तत्व आरोही क्रम में शब्दों के रैखिक संयोजन में परिवर्तित हो जाता है। इस प्रकार, प्रपत्र के तत्व
 * $$x_1^{k_1}x_2^{k_2}\cdots x_n^{k_n}$$

साथ $$k_j$$गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होने के कारण, घेरने वाले बीजगणित का विस्तार करें। (हमने इजाजत दी $$k_j=0$$, जिसका अर्थ है कि हम ऐसे शब्दों की अनुमति देते हैं जिनमें कोई कारक नहीं है $$x_j$$ घटित होता है।) नीचे चर्चा की गई पोंकारे-बिरखॉफ-विट प्रमेय का प्रामाणित है कि यहतत्व रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं और इस प्रकार सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के लिए आधार बनाते हैं। विशेष रूप से, सार्वभौमिक आवरण बीजगणित सदैव अनंत आयामी होता है।

पोंकारे-बिरखॉफ-विट प्रमेय का तात्पर्य, विशेष रूप से, तत्वों से है $$x_1,\ldots, x_n$$ स्वयं रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसलिए इसे पहचानना सामान्य है - यदि संभावित रूप से भ्रमित करने वाला हो $$x_j$$जनरेटर के साथ है $$X_j$$ मूल लाई बीजगणित का। कहने का तात्पर्य यह है कि, हम मूल लाई बीजगणित को जनरेटर द्वारा फैलाए गए इसके सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के उप-स्थान के रूप में पहचानते हैं। यद्यपि $$\mathfrak{g}$$ का बीजगणित हो सकता है $$n\times n$$ आव्युह, का सार्वभौमिक आवरण $$\mathfrak{g}$$ इसमें (परिमित-आयामी) आव्युह सम्मिलित नहीं है। विशेष रूप से, कोई परिमित-आयामी बीजगणित नहीं है जिसमें सार्वभौमिक आवरण सम्मिलित हो $$\mathfrak{g}$$; सार्वभौमिक आवरण बीजगणित सदैव अनंत आयामी होता है। इस प्रकार, sl(2,C) के स्तिथियां में, यदि हम अपने लाई बीजगणित को इसके सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के उप-स्थान के रूप में पहचानते हैं, तब हमें इसकी व्याख्या नहीं करनी चाहिए $$X$$, $$Y$$ और $$H$$ जैसा $$2\times 2$$ आव्युह, बल्कि ऐसे प्रतीकों के रूप में जिनमें कोई और गुण नहीं हैं (कम्यूटेशन संबंधों के अतिरिक्त)।

औपचारिकताएं
सार्वभौमिक आवरण बीजगणित का औपचारिक निर्माण उपरोक्त विचारों को लेता है, और उन्हें नोटेशन और शब्दावली में लपेटता है जिससे इसके साथ काम करना अधिक सुविधाजनक हो जाता है। सबसे महत्वपूर्ण अंतर यह है कि उपरोक्त में प्रयुक्त मुक्त साहचर्य बीजगणित को टेंसर बीजगणित तक सीमित कर दिया गया है, जिससे कि प्रतीकों के उत्पाद को टेंसर उत्पाद समझा जा सके। रूप के तत्वों वाले सबसे छोटे दो-तरफा आदर्श द्वारा उद्धृत टेन्सर बीजगणित के भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) का निर्माण करके कम्यूटेशन संबंध लगाए जाते हैं। $$x_i x_j -x_j x_i-\Sigma c_{ijk}x_k$$. सार्वभौमिक आवरण बीजगणित, तत्वों द्वारा उत्पन्न सबसे बड़ा एकात्मक साहचर्य बीजगणित है $$\mathfrak g$$ मूल लाई बीजगणित के साथ संगत लेट ब्रैकेट के साथ।

औपचारिक परिभाषा
याद रखें कि हर लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ विशेष रूप से सदिश समष्टि है। इस प्रकार, कोई भी टेंसर बीजगणित का निर्माण करने के लिए स्वतंत्र है $$T(\mathfrak{g})$$ यह से। टेंसर बीजगणित स्वतंत्र बीजगणित है: इसमें सभी संभावित वैक्टरों के सभी संभावित टेंसर उत्पाद सम्मिलित हैं $$\mathfrak{g}$$, उन उत्पादों पर किसी भी तरह का कोई प्रतिबंध नहीं।

अर्थात् कोई स्थान का निर्माण करता है
 * $$T(\mathfrak{g}) = K \,\oplus\, \mathfrak{g} \,\oplus\, (\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g})

\,\oplus\, (\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}) \,\oplus\, \cdots $$ कहाँ $$\otimes$$ टेंसर उत्पाद है, और $$\oplus$$ सदिश स्थानों का प्रत्यक्ष योग है। यहाँ, $K$ वह क्षेत्र है जिस पर लाई बीजगणित परिभाषित किया गया है। यहां से, इस लेख के शेष भाग तक, टेंसर उत्पाद सदैव स्पष्ट रूप से दिखाया जाता है। अनेक लेखक इसे छोड़ देते हैं, क्योंकि अभ्यास के साथ, इसके स्थान का सामान्यतः संदर्भ से अनुमान लगाया जा सकता है। यहां, अभिव्यक्तियों के अर्थ के बारे में किसी भी संभावित भ्रम को कम करने के लिए, बहुत ही स्पष्ट दृष्टिकोण अपनाया जाता है।

निर्माण में पहला कदम लाई ब्रैकेट को लाई बीजगणित (जहां इसे परिभाषित किया गया है) से टेंसर बीजगणित (जहां यह नहीं है) तक उठाना है, जिससे कि कोई दो टेंसरों के लाई ब्रैकेट के साथ सुसंगत रूप से काम कर सके। उठाव निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले, याद रखें कि लाई बीजगणित पर ब्रैकेट ऑपरेशन द्विरेखीय मानचित्र है $$\mathfrak{g}\times\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$$ वह द्विरेखीय रूप है, तिरछा-सममित द्विरेखीय रूप|तिरछा-सममित और जैकोबी पहचान को संतुष्ट करता है। हम लाई ब्रैकेट [-,-] को परिभाषित करना चाहते हैं जो मानचित्र है $$T(\mathfrak{g})\otimes T(\mathfrak{g})\to T(\mathfrak{g})$$ वह भी द्विरेखीय, तिरछा सममित है और जैकोबी पहचान का पालन करता है।

ग्रेड दर ग्रेड लिफ्टिंग की जा सकती है। कोष्ठक को परिभाषित करके प्रारंभ करें $$\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g} \to \mathfrak{g}$$ जैसा


 * $$a \otimes b - b \otimes a = [a,b]$$

यह सुसंगत, सुसंगत परिभाषा है, क्योंकि दोनों पक्ष द्विरेखीय हैं, और दोनों पक्ष तिरछी सममित हैं (जेकोबी पहचान शीघ्र ही अनुसरण करेगी)। उपरोक्त ब्रैकेट को परिभाषित करता है $$T^2(\mathfrak{g})=\mathfrak{g} \otimes \mathfrak{g}$$; इसे अभी उठाया जाना चाहिए $$T^n(\mathfrak{g})$$ मनमानी के लिए $$n.$$ यह परिभाषित करके, पुनरावर्ती रूप से किया जाता है


 * $$[a\otimes b, c] = a \otimes [b,c] + [a,c]\otimes b$$

और इसी तरह


 * $$[a, b\otimes c] = [a,b]\otimes c + b\otimes [a,c]$$

यह सत्यापित करना सीधा है कि उपरोक्त परिभाषा द्विरेखीय है, और तिरछी-सममित है; कोई यह भी दिखा सकता है कि यह जैकोबी पहचान का पालन करता है। अंतिम परिणाम यह होता है कि किसी के पास लाई ब्रैकेट होता है जो लगातार सभी पर परिभाषित होता है $$T(\mathfrak{g});$$ कहता है कि इसे सभी के लिए उठा लिया गया है $$T(\mathfrak{g})$$ आधार स्थान (यहां, लाई बीजगणित) से स्थान को कवर करना (यहां, टेंसर बीजगणित) तक लिफ्ट के पारंपरिक अर्थ में।

इस उठाने का परिणाम स्पष्ट रूप से पॉइसन बीजगणित है। यह लाई ब्रैकेट के साथ यूनिटल एसोसिएटिव बीजगणित है जो लाई बीजगणित ब्रैकेट के साथ संगत है; यह निर्माण द्वारा संगत है. चूँकि, यह ऐसा सबसे छोटा बीजगणित नहीं है; इसमें आवश्यकता से कहीं अधिक तत्व सम्मिलित हैं। कोई पीछे की ओर प्रक्षेपित करके कुछ छोटा प्राप्त कर सकता है। सार्वभौमिक आवरण बीजगणित $$U(\mathfrak{g})$$ का $$\mathfrak{g}$$ भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$U(\mathfrak{g}) = T(\mathfrak{g})/\sim$$

जहां तुल्यता संबंध $$\sim$$ द्वारा दिया गया है


 * $$a\otimes b - b \otimes a = [a,b]$$

अर्थात्, लाई ब्रैकेट भागफलन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है। परिणाम अभी भी इकाई सहयोगी बीजगणित है, और कोई अभी भी किन्हीं दो सदस्यों का लाई ब्रैकेट ले सकता है। परिणाम की गणना करना सीधा-सीधा है, यदि कोई यह ध्यान में रखता है कि प्रत्येक तत्व $$U(\mathfrak{g})$$ सह समुच्चय के रूप में समझा जा सकता है: कोई सदैव की तरह ब्रैकेट लेता है, और उस कोसेट की खोज करता है जिसमें परिणाम होता है। यह इस प्रकार का सबसे छोटा बीजगणित है; कोई भी इससे छोटी कोई चीज़ नहीं खोज सकता जो अभी भी साहचर्य बीजगणित के सिद्धांतबं का पालन करती हो।

सार्वभौमिक आवरण बीजगणित वह है जो पोइसन बीजगणित संरचना को संशोधित करने के पश्चात् टेंसर बीजगणित का अवशेष है। (यह गैर-तुच्छ कथन है; टेंसर बीजगणित की संरचना अधिक जटिल है: अन्य बातबं के अतिरिक्त, यह हॉपफ बीजगणित है; पॉइसन बीजगणित भी इसी तरह जटिल है, जिसमें अनेक विशिष्ट गुण हैं। यह टेंसर बीजगणित के साथ संगत है, और इसलिए मॉडिंग किया जा सकता है। हॉपफ बीजगणित संरचना संरक्षित है; यही वह है जो इसके अनेक उपन्यास अनुप्रयोगों की ओर ले जाती है, उदाहरण के लिए स्ट्रिंग सिद्धांत में। चूंकि, औपचारिक परिभाषा के प्रयोजनों के लिए, इनमें से कोई भी विशेष रूप से मायने नहीं रखता है।)

निर्माण थोड़ा भिन्न (किन्तु अंततः समतुल्य) विधिया से किया जा सकता है। पल के लिए उपरोक्त उठान को भूल जाइए, और इसके अतिरिक्त  दो-तरफा आदर्श पर विचार करें $I$ प्रपत्र के तत्वों द्वारा उत्पन्न


 * $$a\otimes b - b \otimes a - [a,b]$$

यह जनरेटर का तत्व है
 * $$\mathfrak{g} \oplus (\mathfrak{g}\otimes\mathfrak{g}) \subset T(\mathfrak{g})$$

आदर्श का सामान्य सदस्य $I$फॉर्म होगा


 * $$c\otimes d \otimes \cdots \otimes (a\otimes b - b \otimes a - [a,b]) \otimes f \otimes g \cdots$$

कुछ के लिए $$a,b,c,d,f,g\in\mathfrak{g}.$$ के सभी तत्व $I$ इस रूप के तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में प्राप्त किए जाते हैं। स्पष्ट रूप से, $$I\subset T(\mathfrak{g})$$ उपस्थान है. यह आदर्श है, यदि $$j\in I$$ और $$x\in T(\mathfrak{g}),$$ तब $$j\otimes x\in I$$ और $$x\otimes j\in I.$$ यह स्थापित करना कि यह आदर्श है, महत्वपूर्ण है, क्योंकि आदर्श वह चीजें हैं जिनके साथ कोई भी भाग ले सकता है; आदर्श भागफल मानचित्र के कर्नेल (रैखिक बीजगणित) में निहित हैं। अर्थात्, किसी के पास संक्षिप्त त्रुटिहीन अनुक्रम होता है


 * $$0\to I \to T(\mathfrak{g}) \to T(\mathfrak{g})/I \to 0$$

जहां प्रत्येक तीर रेखीय मानचित्र है, और उस मानचित्र का कर्नेल पिछले मानचित्र की छवि द्वारा दिया गया है। सार्वभौमिक आवरण बीजगणित को तब परिभाषित किया जा सकता है
 * $$U(\mathfrak{g}) = T(\mathfrak{g})/I$$

सुपरलेजब्रा और अन्य सामान्यीकरण
उपरोक्त निर्माण लाई बीजगणित और लाई ब्रैकेट, और इसकी तिरछापन और एंटीसिममेट्री पर केंद्रित है। कुछसीमा तक, यहसंपत्तियाँ निर्माण के लिए प्रासंगिक हैं। इसके अतिरिक्त सदिश समष्टि पर कुछ (इच्छानुसार) बीजगणित (लाई बीजगणित नहीं) पर विचार करें, अर्थात सदिश समष्टि $$V$$ गुणन से संपन्न $$m:V\times V\to V$$ वह तत्व लेता है $$a\times b\mapsto m(a,b).$$ यदि गुणन द्विरेखीय है, तब वही निर्माण और परिभाषाएँ चल सकती हैं। उठाने से प्रारंभ होता है $$m$$ तक $$T(V)$$ जिससे कि उठा लिया जाए $$m$$ आधार के समान सभी गुणों का पालन करता है $$m$$ करता है - समरूपता या प्रतिसममिति या कुछ भी। उठान बिल्कुल पहले की तरह ही प्रारंभ करके किया जाता है
 * $$\begin{align}

m: V \otimes V &\to V \\ a \otimes b &\mapsto m(a,b) \end{align}$$ यह त्रुटिहीन रूप से सुसंगत है क्योंकि टेंसर उत्पाद द्विरेखीय है, और गुणन द्विरेखीय है। शेष लिफ्ट को समरूपता के रूप में गुणन को संरक्षित करने के लिए किया जाता है। परिभाषा के अनुसार, कोई लिखता है


 * $$m(a \otimes b,c)= a \otimes m(b,c) + m(a,c) \otimes b$$

और वह भी
 * $$m(a,b\otimes c)= m(a,b) \otimes c + b \otimes m(a,c)$$

यह विस्तार मुक्त वस्तुओं पर लेम्मा की अपील के अनुरूप है: चूंकि टेंसर बीजगणित मुक्त बीजगणित है, इसके जेनरेटिंगसमुच्चयपर किसी भी समरूपता को पूरे बीजगणित तक बढ़ाया जा सकता है। बाकी सब कुछ ऊपर वर्णित अनुसार आगे बढ़ता है: पूरा होने पर, किसी के पास इकाई सहयोगी बीजगणित होता है; कोई ऊपर वर्णित दो तरीकों में से किसी में भागफल ले सकता है।

उपरोक्त बिल्कुल वैसा ही है कि कैसे सुपरबीजगणित से प्यार है के लिए सार्वभौमिक आवरण बीजगणित का निर्माण किया जाता है। तत्वों को क्रमपरिवर्तित करते समय, किसी को केवल संकेत पर सावधानीपूर्वक नज़र रखने की आवश्यकता होती है। इस स्तिथियां में, सुपरबीजगणित का (एंटी-) कम्यूटेटर (एंटी-) कम्यूटिंग पॉइसन ब्रैकेट पर ले जाता है।

एक अन्य संभावना कवरिंग बीजगणित के रूप में टेंसर बीजगणित के अतिरिक्त किसी अन्य चीज़ का उपयोग करना है। ऐसी ही संभावना बाहरी बीजगणित का उपयोग करना है; अर्थात्, टेंसर उत्पाद की प्रत्येक घटना को बाहरी उत्पाद से प्रतिस्थापित करना। यदि आधार बीजगणित लाई बीजगणित है, तब परिणाम गेरस्टेनहाबर बीजगणित है; यह संबंधित लाई समूह का बाहरी बीजगणित है। पहले की तरह, इसमें बाहरी बीजगणित पर ग्रेडिंग से आने वाला ग्रेडिंग प्राकृतिक परिवर्तन है। (गेरस्टेनहाबर बीजगणित को पोइसन सुपरबीजगणित के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए; दोनों एंटीकोम्यूटेशन का आह्वान करते हैं, किन्तु भिन्न-भिन्न तरीकों से।)

मालसेव बीजगणित के लिए भी निर्माण को सामान्यीकृत किया गया है, बॉल रन और वैकल्पिक बीजगणित.

सार्वभौमिक संपत्ति
सार्वभौमिक आवरण बीजगणित, या यूँ कहें कि विहित मानचित्र के साथ सार्वभौमिक आवरण बीजगणित $$h:\mathfrak{g}\to U(\mathfrak{g})$$, सार्वभौमिक संपत्ति रखता है। मान लीजिए हमारे पास कोई लाई बीजगणित मानचित्र है
 * $$\varphi: \mathfrak{g} \to A$$

एक इकाई साहचर्य बीजगणित के लिए $A$ (लेट ब्रैकेट के साथ $A$ कम्यूटेटर द्वारा दिया गया)। अधिक स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि हम मान लेते हैं
 * $$\varphi([X,Y])=\varphi(X)\varphi(Y)-\varphi(Y)\varphi(X)$$

सभी के लिए $$X,Y\in\mathfrak{g}$$. फिर अद्वितीय इकाई बीजगणित समरूपता उपस्तिथ है


 * $$\widehat\varphi: U(\mathfrak{g}) \to A$$

ऐसा है कि
 * $$\varphi = \widehat \varphi \circ h $$

कहाँ $$h:\mathfrak{g}\to U(\mathfrak{g})$$ विहित मानचित्र है. (वो नक्शा $$h$$ एम्बेडिंग द्वारा प्राप्त किया जाता है $$\mathfrak{g}$$ इसके टेंसर बीजगणित में और फिर भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) के साथ सार्वभौमिक आवरण बीजगणित की रचना करना। यह नक्शा पोंकारे-बिरखॉफ़-विट प्रमेय द्वारा एम्बेडिंग है।)

इसे भिन्न ढंग से कहें तब, यदि $$\varphi:\mathfrak{g}\rightarrow A$$ इकाई बीजगणित में रेखीय मानचित्र है $$A$$ संतुष्टि देने वाला $$\varphi([X,Y])=\varphi(X)\varphi(Y)-\varphi(Y)\varphi(X)$$, तब $$\varphi$$ की बीजगणित समरूपता तक विस्तारित है $$\widehat\varphi: U(\mathfrak{g}) \to A$$. तब से $$ U(\mathfrak{g})$$ के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है $$\mathfrak{g}$$, वो नक्शा $$\widehat{\varphi}$$ उस आवश्यकता द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाना चाहिए
 * $$\widehat{\varphi}(X_{i_1}\cdots X_{i_N})=\varphi(X_{i_1})\cdots \varphi(X_{i_N}),\quad X_{i_j}\in\mathfrak{g}$$.

उद्देश्य यह है कि क्योंकि सार्वभौमिक आवरण बीजगणित में रूपान्तरण संबंधों से आने वाले संबंधों के अतिरिक्त कोई अन्य संबंध नहीं हैं $$\mathfrak{g}$$, वो नक्शा $$\widehat{\varphi}$$ अच्छी तरह से परिभाषित है, यह इस बात से स्वतंत्र है कि कोई किसी दिए गए तत्व को कैसे लिखता है $$x\in U(\mathfrak{g})$$ लाई बीजगणित तत्वों के उत्पादों के रैखिक संयोजन के रूप में।

घेरने वाले बीजगणित की सार्वभौमिक संपत्ति का तात्पर्य तुरंत यह है कि प्रत्येक प्रतिनिधित्व $$\mathfrak{g}$$ सदिश समष्टि पर कार्य करना $$V$$ के प्रतिनिधित्व तक विशिष्ट रूप से विस्तारित है $$U(\mathfrak{g})$$. (लेना $$A=\mathrm{End}(V)$$.) यह अवलोकन महत्वपूर्ण है क्योंकि यह कासिमिर तत्वों पर कार्रवाई करने की अनुमति देता है (जैसा कि नीचे चर्चा की गई है)। $$V$$. यहऑपरेटर (के केंद्र से) $$U(\mathfrak{g})$$) अदिश के रूप में कार्य करते हैं और अभ्यावेदन के बारे में महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करते हैं। इस संबंध में कासिमिर तत्व का विशेष महत्व है।

अन्य बीजगणित
यद्यपि ऊपर दिए गए विहित निर्माण को अन्य बीजगणितबं पर प्रयुक्त किया जा सकता है, परिणाम में, सामान्यतः, सार्वभौमिक संपत्ति नहीं होती है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, जब निर्माण को जॉर्डन बीजगणित पर प्रयुक्त किया जाता है, तब परिणामी आवरण बीजगणित में विशेष जॉर्डन बीजगणित होते हैं, किन्तु असाधारण नहीं: अर्थात, यह अल्बर्ट बीजगणित को कवर नहीं करता है। इसी तरह, नीचे पोंकारे-बिरखॉफ-विट प्रमेय, आवरण बीजगणित के लिए आधार का निर्माण करता है; यह सार्वभौमिक नहीं होगा. इसी तरह की टिप्पणियाँ लाई सुपरएलजेब्रा के लिए भी प्रयुक्त होती हैं।

पोंकारे-बिरखॉफ़-विट प्रमेय
पोंकारे-बिरखॉफ़-विट प्रमेय इसका त्रुटिहीन विवरण देता है $$U(\mathfrak{g})$$. यह दो भिन्न-भिन्न तरीकों में से किसी में किया जा सकता है: या तब लाई बीजगणित पर स्पष्ट सदिश आधार के संदर्भ में, या समन्वय-मुक्त फैशन में।

आधार तत्वों का उपयोग करना
एक विधि यह मान लेना है कि लाई बीजगणित को पूरी तरह से व्यवस्थित आधार दिया जा सकता है, अर्थात, यह पूरी तरह से व्यवस्थितसमुच्चयका मुक्त सदिश स्थान है। याद रखें कि मुक्त सदिश स्थान कोसमुच्चयसे सभी परिमित समर्थित कार्यों के स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है $X$ फील्ड में $K$ (अंततः समर्थित का अर्थ है कि केवल सीमित रूप से अनेक मान गैर-शून्य हैं); इसे आधार दिया जा सकता है $$e_a:X\to K$$ ऐसा है कि $$e_a(b) = \delta_{ab}$$ के लिए सूचक कार्य है $$a,b\in X$$. होने देना $$h:\mathfrak{g}\to T(\mathfrak{g})$$ टेंसर बीजगणित में इंजेक्शन बनें; इसका उपयोग टेंसर बीजगणित को आधार देने के लिए भी किया जाता है। यह उठाने के द्वारा किया जाता है: कुछ इच्छानुसार अनुक्रम दिया गया $$e_a$$, के विस्तार को परिभाषित करता है $$h$$ होना


 * $$h(e_a\otimes e_b \otimes\cdots \otimes e_c) = h(e_a) \otimes h(e_b) \otimes\cdots \otimes h(e_c)$$

पोंकारे-बिरखॉफ़-विट प्रमेय तब बताता है कि कोई भी इसके लिए आधार प्राप्त कर सकता है $$U(\mathfrak{g})$$ उपरोक्त से, के कुल आदेश को प्रयुक्त करके $X$ बीजगणित पर. वह है, $$U(\mathfrak{g})$$ आधार है


 * $$e_a\otimes e_b \otimes\cdots \otimes e_c$$

कहाँ $$a\le b \le \cdots \le c$$, ऑर्डरसमुच्चयपर कुल ऑर्डर का होता है $X$. प्रमेय के प्रमाण में यह ध्यान देना सम्मिलित है कि, यदि कोई आउट-ऑफ़-ऑर्डर आधार तत्वों से प्रारंभ होता है, तब इन्हें सदैव कम्यूटेटर (संरचना स्थिरांक के साथ) का उपयोग करके स्वैप किया जा सकता है। प्रमाण का कठिन हिस्सा यह स्थापित करना है कि अंतिम परिणाम अद्वितीय है और उस क्रम से स्वतंत्र है जिसमें स्वैप किए गए थे।

इस आधार को सममित बीजगणित के आधार के रूप में आसानी से पहचाना जाना चाहिए। अर्थात्, के अंतर्निहित सदिश स्थान $$U(\mathfrak{g})$$ और सममित बीजगणित समरूपी है, और यह पीबीडब्ल्यू प्रमेय है जो दर्शाता है कि ऐसा है। चूँकि, समरूपता की प्रकृति के अधिक त्रुटिहीन विवरण के लिए, नीचे प्रतीकों के बीजगणित पर अनुभाग देखें।

संभवतः, प्रक्रिया को दो चरणों में विभाजित करना उपयोगी है। पहले चरण में, व्यक्ति मुक्त लाई बीजगणित का निर्माण करता है: यदि कोई सभी कम्यूटेटरों को मॉडिफाई करता है, तब उसे यही मिलता है, बिना यह निर्दिष्ट किए कि कम्यूटेटर के मान क्या हैं। दूसरा चरण विशिष्ट रूपान्तरण संबंधों को प्रयुक्त करना है $$\mathfrak{g}.$$ पहला कदम सार्वभौमिक है, और विशिष्ट पर निर्भर नहीं करता है $$\mathfrak{g}.$$ इसे त्रुटिहीन रूप से परिभाषित भी किया जा सकता है: आधार तत्व हॉल शब्दों द्वारा दिए गए हैं, जिनमें से विशेष स्तिथि लिंडन शब्द हैं; इन्हें स्पष्ट रूप से कम्यूटेटर के रूप में उचित व्यवहार करने के लिए बनाया गया है।

समन्वय-मुक्त
कुल आदेशों और आधार तत्वों के उपयोग से बचते हुए, कोई भी प्रमेय को समन्वय-मुक्त विधिया से बता सकता है। यह तब सुविधाजनक होता है जब आधार वैक्टर को परिभाषित करने में कठिनाइयां होती हैं, जैसा कि अनंत-आयामी लाई बीजगणित के लिए हो सकता है। यह अधिक प्राकृतिक रूप भी देता है जिसे अन्य प्रकार के बीजगणित तक अधिक आसानी से बढ़ाया जा सकता है। यह निस्पंदन (गणित) का निर्माण करके पूरा किया जाता है $$U_m \mathfrak{g}$$ जिसकी सीमा सार्वभौमिक आवरण बीजगणित है $$U(\mathfrak{g}).$$ सबसे पहले, टेंसर बीजगणित के उप-स्थानों के आरोही क्रम के लिए अंकन की आवश्यकता होती है। होने देना
 * $$T_m\mathfrak{g} = K\oplus \mathfrak{g}\oplus T^2\mathfrak{g} \oplus \cdots \oplus T^m\mathfrak{g}$$

कहाँ
 * $$T^m\mathfrak{g} = T^{\otimes m} \mathfrak{g} = \mathfrak{g}\otimes \cdots \otimes \mathfrak{g}$$

है $m$-टाइम्स टेंसर उत्पाद का $$\mathfrak{g}.$$ $$T_m\mathfrak{g}$$ h> निस्पंदन बनाएं (गणित):
 * $$K\subset \mathfrak{g}\subset T_2\mathfrak{g} \subset \cdots \subset T_m\mathfrak{g} \subset\cdots$$

अधिक त्रुटिहीन रूप से, यह फ़िल्टर्ड बीजगणित है, क्योंकि निस्पंदन उप-स्थानों के बीजगणितीय गुणों को संरक्षित करता है। ध्यान दें कि इस निस्पंदन की सीमा (श्रेणी सिद्धांत) टेंसर बीजगणित है $$T(\mathfrak{g}).$$ ऊपर, यह पहले से ही स्थापित किया गया था कि आदर्श द्वारा उद्धरण देना प्राकृतिक परिवर्तन है जो व्यक्ति को आगे ले जाता है $$T(\mathfrak{g})$$ को $$U(\mathfrak{g}).$$ यह स्वाभाविक रूप से उप-स्थानों पर भी काम करता है, और इस प्रकार व्यक्ति को निस्पंदन प्राप्त होता है $$U_m \mathfrak{g}$$ जिसकी सीमा सार्वभौमिक आवरण बीजगणित है $$U(\mathfrak{g}).$$ इसके पश्चात्, स्थान को परिभाषित करें
 * $$G_m\mathfrak{g} = U_m \mathfrak{g}/U_{m-1} \mathfrak{g}$$

यहस्थान है $$U_m \mathfrak{g}$$ सभी उप-स्थानों को मॉड्यूलो करें $$U_n \mathfrak{g}$$ कड़ाई से छोटी निस्पंदन डिग्री की। ध्यान दें कि $$G_m\mathfrak{g}$$ प्रमुख पद के बिल्कुल समान नहीं है $$U^m\mathfrak{g}$$ निस्पंदन का, जैसा कि कोई भी भोलेपन से अनुमान लगा सकता है। इसका निर्माण निस्पंदन से जुड़ेसमुच्चयघटाव तंत्र के माध्यम से नहीं किया गया है।

उद्धरण $$U_m \mathfrak{g}$$ द्वारा $$U_{m-1} \mathfrak{g}$$ में परिभाषित सभी लाई कम्यूटेटर कोसमुच्चयकरने का प्रभाव है $$U_m \mathfrak{g}$$ शून्य करने के लिए. इसे कोई यह देख कर देख सकता है कि तत्वों की जोड़ी का कम्यूटेटर जिनके उत्पादों में निहित है $$U_{m} \mathfrak{g}$$ वास्तव में तत्व देता है $$U_{m-1} \mathfrak{g}$$. यह संभवतः तुरंत स्पष्ट नहीं है: इस परिणाम को प्राप्त करने के लिए, व्यक्ति को बार-बार कम्यूटेशन संबंधों को प्रयुक्त करना होगा, और क्रैंक को घुमाना होगा। पोंकारे-बिरखॉफ़-विट प्रमेय का सार यह है कि ऐसा करना सदैव संभव है, और परिणाम अद्वितीय है।

चूंकि तत्वों के कम्यूटेटर जिनके उत्पादों को परिभाषित किया गया है $$U_{m} \mathfrak{g}$$ रिहायश $$U_{m-1} \mathfrak{g}$$, वह उद्धरण जो परिभाषित करता है $$G_m\mathfrak{g}$$ सभी कम्यूटेटरों को शून्य परसमुच्चयकरने का प्रभाव है। पीबीडब्ल्यू का कहना है कि तत्वों का कम्यूटेटर $$G_m\mathfrak{g}$$ अनिवार्य रूप से शून्य है. जो बचे हैं वह ऐसे तत्व हैं जिन्हें कम्यूटेटर के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

इस तरह, व्यक्ति को तुरंत सममित बीजगणित की ओर ले जाया जाता है। यह बीजगणित है जहां सभी कम्यूटेटर गायब हो जाते हैं। इसे निस्पंदन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$S_m \mathfrak{g}$$ सममित टेंसर उत्पादों का $$\operatorname{Sym}^m \mathfrak{g}$$. इसकी सीमा सममित बीजगणित है $$S(\mathfrak{g})$$. इसका निर्माण पहले की तरह प्राकृतिकता की उसी धारणा की अपील द्वारा किया गया है। कोई ही टेंसर बीजगणित से प्रारंभ करता है, और बस भिन्न आदर्श का उपयोग करता है, वह आदर्श जो सभी तत्वों को परिवर्तित करता है:


 * $$S(\mathfrak{g}) = T(\mathfrak{g}) / (a\otimes b - b\otimes a)$$

इस प्रकार, कोई पोंकारे-बिरखॉफ़-विट प्रमेय को यह बताते हुए देख सकता है $$G(\mathfrak{g})$$ सममित बीजगणित के लिए समरूपी है $$S(\mathfrak{g})$$, सदिश समष्टि और क्रमविनिमेय बीजगणित दोनों के रूप में। $$G_m\mathfrak{g}$$ h> फ़िल्टर्ड बीजगणित भी बनाते हैं; इसकी सीमा है $$G(\mathfrak{g}).$$ यह निस्पंदन का संबद्ध श्रेणीबद्ध बीजगणित है।

उपरोक्त निर्माण, भागफल के उपयोग के कारण, यह दर्शाता है कि की सीमा $$G(\mathfrak{g})$$ के लिए समरूपी है $$U(\mathfrak{g}).$$ अधिक सामान्य सेटिंग्स में, ढीली शर्तबं के साथ, कोई ऐसा पाता है $$S(\mathfrak{g})\to G(\mathfrak{g})$$ प्रक्षेपण है, और फिर फ़िल्टर किए गए बीजगणित के संबंधित श्रेणीबद्ध बीजगणित के लिए पीबीडब्ल्यू-प्रकार के प्रमेय प्राप्त होते हैं। इस पर जोर देने के लिए, संकेतन $$\operatorname{gr}U(\mathfrak{g})$$ कभी-कभी के लिए प्रयोग किया जाता है $$G(\mathfrak{g}),$$ यह याद दिलाने के लिए कि यह फ़िल्टर किया हुआ बीजगणित है।

अन्य बीजगणित
जॉर्डन बीजगणित पर प्रयुक्त प्रमेय, सममित बीजगणित के अतिरिक्त बाहरी बीजगणित उत्पन्न करता है। संक्षेप में, निर्माण विरोधी कम्यूटेटर को शून्य कर देता है। परिणामी बीजगणित आवरण बीजगणित है, किन्तु सार्वभौमिक नहीं है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह असाधारण जॉर्डन बीजगणित को कवर करने में विफल रहता है।

वाम-अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटर
कल्पना करना $$G$$ लाई बीजगणित के साथ वास्तविक लाई समूह है $$\mathfrak{g}$$. आधुनिक दृष्टिकोण अपनाकर हम पहचान सकते हैं $$\mathfrak{g}$$ बाएं-अपरिवर्तनीय सदिश फ़ील्ड के स्थान के साथ (अर्थात, प्रथम-क्रम बाएं-अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटर)। विशेष रूप से, यदि हम प्रारंभ में सोचते हैं $$\mathfrak{g}$$ स्पर्शरेखा स्थान के रूप में $$G$$ पहचान पर, फिर प्रत्येक सदिश में $$\mathfrak{g}$$ अद्वितीय वाम-अपरिवर्तनीय विस्तार है। फिर हम संबंधित बाएं-अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्र के साथ स्पर्शरेखा स्थान में सदिश की पहचान करते हैं। अभी, दो बाएं-अपरिवर्तनीय सदिश फ़ील्ड का कम्यूटेटर (अंतर ऑपरेटर के रूप में) फिर से सदिश फ़ील्ड है और फिर से बाएं-अपरिवर्तनीय है। फिर हम ब्रैकेट ऑपरेशन को परिभाषित कर सकते हैं $$\mathfrak{g}$$ संबंधित वाम-अपरिवर्तनीय सदिश फ़ील्ड पर कम्यूटेटर के रूप में। यह परिभाषा लाई समूह के लाई बीजगणित पर ब्रैकेट संरचना की किसी भी अन्य मानक परिभाषा से सहमत है।

फिर हम इच्छानुसार क्रम के वाम-अपरिवर्तनीय अंतर संचालकों पर विचार कर सकते हैं। ऐसे हर ऑपरेटर $$A$$ बाएं-अपरिवर्तनीय सदिश फ़ील्ड के उत्पादों के रैखिक संयोजन के रूप में (गैर-विशिष्ट रूप से) व्यक्त किया जा सकता है। सभी वाम-अपरिवर्तनीय अंतर संचालकों का संग्रह चालू है $$G$$ बीजगणित बनाता है, निरूपित $$D(G)$$. ऐसा दिखाया जा सकता है $$D(G)$$ सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के समरूपी है $$U(\mathfrak{g})$$. उस स्तिथियां में $$\mathfrak{g}$$ वास्तविक लाई समूह के लाई बीजगणित के रूप में उत्पन्न होता है, कोई पोंकारे-बिरखॉफ-विट प्रमेय का विश्लेषणात्मक प्रमाण देने के लिए बाएं-अपरिवर्तनीय अंतर संचालकों का उपयोग कर सकता है। विशेष रूप से, बीजगणित $$D(G)$$ बाएं-अपरिवर्तनीय अंतर संचालकों का निर्माण उन तत्वों (बाएं-अपरिवर्तनीय सदिश फ़ील्ड) द्वारा किया जाता है जो कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं $$\mathfrak{g}$$. इस प्रकार, आवरण बीजगणित की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा, $$D(G)$$ का भागफल है $$U(\mathfrak{g})$$. इस प्रकार, यदि PBW आधार तत्व रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं $$D(G)$$-जिसे कोई विश्लेषणात्मक रूप से स्थापित कर सकता है - उन्हें निश्चित रूप से रैखिक रूप से स्वतंत्र होना चाहिए $$U(\mathfrak{g})$$. (और, इस बिंदु पर, की समरूपता $$D(G)$$ साथ $$U(\mathfrak{g})$$ स्पष्ट है।)

प्रतीकों का बीजगणित
का अंतर्निहित सदिश स्थान $$S(\mathfrak{g})$$ नई बीजगणित संरचना दी जा सकती है जिससे कि $$U(\mathfrak{g})$$ और $$S(\mathfrak{g})$$ साहचर्य बीजगणित के रूप में समरूपी हैं। इससे 'प्रतीकों के बीजगणित' की अवधारणा सामने आती है $$\star(\mathfrak{g})$$: सममित बहुपदों का स्थान, गुणनफल से संपन्न $$\star$$, जो लाई बीजगणित की बीजगणितीय संरचना को अन्यथा मानक साहचर्य बीजगणित पर रखता है। अर्थात्, जिसे पीबीडब्ल्यू प्रमेय अस्पष्ट करता है (कम्यूटेशन संबंध), प्रतीकों का बीजगणित उसे सुर्खियों में पुनर्स्थापित करता है।

बीजगणित के तत्वों को लेकर प्राप्त किया जाता है $$S(\mathfrak{g})$$ और प्रत्येक जनरेटर को बदलना $$e_i$$ अनिश्चित, आवागमनशील चर द्वारा $$t_i$$ सममित बहुपदों का स्थान प्राप्त करने के लिए $$K[t_i]$$ मैदान के ऊपर $$K$$. वास्तव में, पत्राचार तुच्छ है: कोई केवल प्रतीक को प्रतिस्थापित करता है $$t_i$$ के लिए $$e_i$$. परिणामी बहुपद को इसके संगत तत्व का प्रतीक कहा जाता है $$S(\mathfrak{g})$$. उलटा नक्शा है
 * $$w: \star(\mathfrak{g})\to U(\mathfrak{g})$$

जो प्रत्येक प्रतीक को प्रतिस्थापित करता है $$t_i$$ द्वारा $$e_i$$. बीजगणितीय संरचना उस उत्पाद की आवश्यकता के द्वारा प्राप्त की जाती है $$\star$$ समरूपता के रूप में कार्य करें, अर्थात, जिससे कि
 * $$w(p \star q) = w(p)\otimes w(q)$$

बहुपदों के लिए $$p,q\in \star(\mathfrak{g}).$$ इस निर्माण के साथ प्राथमिक उद्देश्य यही है $$w(p)\otimes w(q)$$ तुच्छ नहीं है, स्वाभाविक रूप से इसका सदस्य है $$U(\mathfrak{g})$$, जैसा कि लिखा गया है, और तत्व प्राप्त करने के लिए सबसे पहले आधार तत्वों (आवश्यकतानुसार संरचना स्थिरांक को प्रयुक्त करना) का कठिन फेरबदल करना होगा $$U(\mathfrak{g})$$ उचित रूप से क्रमबद्ध आधार पर। इस उत्पाद के लिए स्पष्ट अभिव्यक्ति दी जा सकती है: यह बेरेज़िन सूत्र है। यह अनिवार्य रूप से लाई समूह के दो तत्वों के उत्पाद के लिए बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र का अनुसरण करता है।

एक बंद रूप अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है
 * $$p(t)\star q(t)= \left. \exp\left(t_i

m^i \left(\frac{\partial}{\partial u}, \frac{\partial}{\partial v} \right) \right) p(u)q(v)\right \vert_{u=v=t}$$ कहाँ
 * $$m(A,B)=\log\left(e^Ae^B\right)-A-B$$

और $$m^i$$ बस है $$m$$ चुने हुए आधार पर.

हाइजेनबर्ग बीजगणित का सार्वभौमिक आवरण बीजगणित वेइल बीजगणित है (संबंधित मापांक कि केंद्र इकाई है); यहां ही $$\star$$ उत्पाद को मोयल उत्पाद कहा जाता है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
सार्वभौमिक आवरण बीजगणित प्रतिनिधित्व सिद्धांत को संरक्षित करता है: लाई बीजगणित का प्रतिनिधित्व $$\mathfrak{g}$$ मॉड्यूल (गणित) के ऊपर एक-से-एक विधिया से मेल करें $$U(\mathfrak{g})$$. अधिक अमूर्त शब्दों में, लाई बीजगणित के सभी प्रतिनिधित्व की एबेलियन श्रेणी $$\mathfrak{g}$$ सभी बाएँ मॉड्यूल की एबेलियन श्रेणी के लिए श्रेणियों की समरूपता है $$U(\mathfrak{g})$$.

अर्धसरल लाई बीजगणित का प्रतिनिधित्व सिद्धांत इस अवलोकन पर आधारित है कि समरूपता है, जिसे क्रोनकर गुणांक के रूप में जाना जाता है:
 * $$U(\mathfrak{g}_1\oplus\mathfrak{g}_2)\cong U(\mathfrak{g}_1)\otimes U(\mathfrak{g}_2)$$

लाई बीजगणित के लिए $$\mathfrak{g}_1, \mathfrak{g}_2$$. एम्बेडिंग को उठाने से समरूपता उत्पन्न होती है
 * $$i(\mathfrak{g}_1 \oplus \mathfrak{g}_2)

=i_1(\mathfrak{g}_1)\otimes 1 \oplus 1\otimes i_2(\mathfrak{g}_2)$$ कहाँ
 * $$i:\mathfrak{g}\to U(\mathfrak{g})$$

केवल विहित एम्बेडिंग है (क्रमशः बीजगणित और दो के लिए सबस्क्रिप्ट के साथ)। ऊपर दिए गए नुस्खे के अनुसार, यह सत्यापित करना सीधा है कि यह एम्बेडिंग ऊपर उठती है। चूँकि, ऐसा करने के कुछ उत्तम बिंदुओं की समीक्षा के लिए टेंसर अलजेब्रा पर लेख में बायलजेब्रा संरचना की चर्चा देखें: विशेष रूप से, वहां नियोजित शफ़ल उत्पाद विग्नर-राका गुणांक, अर्थात 6j-प्रतीक से मेल खाता है। और 9j-प्रतीक, आदि।

यह भी महत्वपूर्ण है कि मुक्त लाई बीजगणित का सार्वभौमिक आवरण बीजगणित मुक्त साहचर्य बीजगणित के लिए समरूपी है।

अभ्यावेदन का निर्माण सामान्यतः उच्चतम वजन के वर्मा मॉड्यूल के निर्माण से होता है।

एक विशिष्ट संदर्भ में जहां $$\mathfrak{g}$$ अनंत सूक्ष्म परिवर्तनों द्वारा कार्य कर रहा है, के तत्व $$U(\mathfrak{g})$$ सभी आदेशों के विभेदक संचालकों की तरह कार्य करें। (उदाहरण के लिए, संबंधित समूह पर बाएं-अपरिवर्तनीय अंतर संचालकों के रूप में सार्वभौमिक आवरण बीजगणित की प्राप्ति देखें, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है।)

कैसिमिर ऑपरेटर्स
बीजगणित का केंद्र $$U(\mathfrak{g})$$ है $$Z(U(\mathfrak{g}))$$ और के केंद्रीकरणकर्ता से पहचाना जा सकता है $$\mathfrak{g}$$ में $$U(\mathfrak{g}).$$ का कोई भी तत्व $$Z(U(\mathfrak{g}))$$ सभी के साथ आना-जाना चाहिए $$U(\mathfrak{g}),$$ और विशेष रूप से विहित एम्बेडिंग के साथ $$\mathfrak{g}$$ में $$U({\mathfrak {g}}).$$ इस वजह से, केंद्र सीधे तौर पर अभ्यावेदन को वर्गीकृत करने के लिए उपयोगी है $$\mathfrak{g}$$. परिमित-आयामी अर्धसरल लाई बीजगणित के लिए, कासिमिर ऑपरेटर केंद्र से विशिष्ट आधार बनाते हैं $$Z(U(\mathfrak{g}))$$. इनका निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता है।

मध्य में $$Z(U(\mathfrak{g}))$$ सभी तत्वों के रैखिक संयोजन से मेल खाता है $$z=v\otimes w \otimes \cdots \otimes u \in U(\mathfrak{g})$$ जो सभी तत्वों के साथ आवागमन करता है $$x\in \mathfrak{g};$$ अर्थात, जिसके लिए $$[z,x]=\mbox{ad}_x(z)=0.$$ अर्थात् वह के मूल में हैं $$\mbox{ad}_\mathfrak{g}.$$ इस प्रकार, उस कर्नेल की गणना के लिए विधि की आवश्यकता है। हमारे पास जो कुछ है वह आसन्न प्रतिनिधित्व की कार्रवाई है $$\mathfrak{g};$$ हमें इसकी आवश्यकता है $$U(\mathfrak{g}).$$ सबसे आसान मार्ग यह नोट करना है $$\mbox{ad}_\mathfrak{g}$$ व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित) है, और व्युत्पत्ति के स्थान को ऊपर उठाया जा सकता है $$T(\mathfrak{g})$$ और इस प्रकार $$U(\mathfrak{g}).$$ इसका तात्पर्य यह है कि यहदोनों विभेदक बीजगणित हैं।

परिभाषा से, $$\delta:\mathfrak{g}\to\mathfrak{g}$$ पर व्युत्पत्ति है $$\mathfrak{g}$$ यदि यह उत्पाद नियम का पालन करता है|लीबनिज़ का नियम:


 * $$\delta([v,w])=[\delta(v),w]+[v,\delta(w)]$$

(कब $$\mathfrak{g}$$ समूह पर बाएँ अपरिवर्तनीय सदिश फ़ील्ड का स्थान है $$G$$, लाई ब्रैकेट सदिश फ़ील्ड्स का है।) लिफ्टिंग को परिभाषित करके किया जाता है
 * $$\begin{align}\delta(v\otimes w \otimes \cdots \otimes u)

=& \, \delta(v) \otimes w \otimes \cdots \otimes u \\ &+ v\otimes \delta(w) \otimes \cdots\otimes u \\ &+ \cdots + v\otimes w \otimes \cdots \otimes \delta(u). \end{align} $$ तब से $$\mbox{ad}_x$$ किसी के लिए व्युत्पत्ति है $$x\in\mathfrak{g},$$ उपरोक्त परिभाषित करता है $$\mbox{ad}_x$$ अभिनय कर रहे $$T(\mathfrak{g})$$ और $$U(\mathfrak{g}).$$ पीबीडब्ल्यू प्रमेय से, यह स्पष्ट है कि सभी केंद्रीय तत्व आधार तत्वों में सममित समरूप बहुपदों के रैखिक संयोजन हैं $$e_a$$ लाई बीजगणित का. कासिमिर अपरिवर्तनीय दी गई, निश्चित डिग्री के अपरिवर्तनीय समरूप बहुपद हैं। अर्थात आधार दिया गया है $$e_a$$, ऑर्डर का कासिमिर ऑपरेटर $$m$$ रूप है


 * $$C_{(m)} = \kappa^{ab\cdots c}e_a\otimes e_b\otimes \cdots\otimes e_c$$

वहां हैं जहां $$m$$ टेंसर उत्पाद में शर्तें, और $$\kappa^{ab\cdots c}$$ क्रम का पूर्णतः सममित टेंसर है $$m$$ आसन्न प्रतिनिधित्व से संबंधित। वह है, $$\kappa^{ab\cdots c}$$ के तत्व के रूप में सोचा जा सकता है (होना चाहिए)। $$\left(\operatorname{ad}_\mathfrak{g}\right)^{\otimes m}.$$ याद रखें कि आसन्न प्रतिनिधित्व सीधे संरचना स्थिरांक द्वारा दिया जाता है, और इसलिए उपरोक्त समीकरणों का स्पष्ट अनुक्रमित रूप, ली बीजगणित आधार के संदर्भ में दिया जा सकता है; यह मूल रूप से इज़राइल गेलफैंड का प्रमेय है। अर्थात्, से $$[x,C_{(m)}]=0$$, यह इस प्रकार है कि


 * $$f_{ij}^{\;\; k} \kappa^{jl\cdots m}

+ f_{ij}^{\;\; l} \kappa^{kj\cdots m} + \cdots + f_{ij}^{\;\; m} \kappa^{kl\cdots j} = 0 $$ जहां संरचना स्थिरांक हैं
 * $$[e_i,e_j]=f_{ij}^{\;\; k}e_k$$

उदाहरण के तौर पर, द्विघात कासिमिर ऑपरेटर है
 * $$C_{(2)} = \kappa^{ij} e_i\otimes e_j$$

कहाँ $$\kappa^{ij}$$ संहार रूप का व्युत्क्रम आव्युह है $$\kappa_{ij}.$$ वह कासिमिर ऑपरेटर $$C_{(2)}$$ केंद्र का है $$Z(U(\mathfrak{g}))$$ इस तथ्य से पता चलता है कि संयुक्त कार्रवाई के अनुसार हत्या का रूप अपरिवर्तनीय है।

एक सरल बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित का केंद्र हरीश-चंद्र समरूपता द्वारा विस्तार से दिया गया है।

रैंक
एक परिमित-आयामी अर्धसरल लाई बीजगणित के बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र कासिमिर संचालकों की संख्या उस बीजगणित की रैंक के सामान्तर है, अर्थात शेवेल्ली आधार | कार्टन-वेइल आधार की रैंक के सामान्तर है। इसे इस प्रकार देखा जा सकता है। के लिए $d$-आयामी सदिश समष्टि $V$, याद रखें कि निर्धारक पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक टेंसर है $$V^{\otimes d}$$. आव्युह दिया गया $M$, कोई इसका लक्षण बहुपद लिख सकता है $M$ जैसा
 * $$\det(tI-M)=\sum_{n=0}^d p_nt^n$$

एक के लिए $d$-आयामी लाई बीजगणित, अर्थात, बीजगणित जिसका लाई बीजगणित का सहायक प्रतिनिधित्व है $d$-आयामी, रैखिक ऑपरेटर
 * $$\operatorname{ad}:\mathfrak{g}\to\operatorname{End}(\mathfrak{g})$$

इसका आशय है $$\operatorname{ad}_x$$ है $d$-आयामी एंडोमोर्फिज्म, और इसलिए विशेषता समीकरण है
 * $$\det(tI-\operatorname{ad}_x)=\sum_{n=0}^d p_n(x)t^n$$

तत्वों के लिए $$x\in \mathfrak{g}.$$ इस विशेषता बहुपद की गैर-शून्य जड़ें (जो सभी के लिए जड़ें हैं $x$) बीजगणित की मूल प्रणाली बनाते हैं। सामान्यतः, वहाँ ही हैं $r$ऐसी जड़ें; यह बीजगणित की श्रेणी है. इसका तात्पर्य यह है कि का उच्चतम मूल्य $n$ जिसके लिए $$p_n(x)$$ न मिटने वाला है $r.$ $$p_n(x)$$ h> डिग्री के सजातीय बहुपद हैं $d − n.$ इसे अनेक तरीकों से देखा जा सकता है: स्थिरांक दिया गया $$k\in K$$, विज्ञापन रैखिक है, इसलिए $$\operatorname{ad}_{kx}=k\,\operatorname{ad}_x.$$ उपरोक्त में प्लग और चुग करने से व्यक्ति उसे प्राप्त कर लेता है


 * $$p_n(kx)=k^{d-n}p_n(x).$$

रैखिकता से, यदि कोई आधार में विस्तार करता है,
 * $$x=\sum_{i=1}^d x_i e_i$$

तब बहुपद का रूप होता है
 * $$p_n(x)=x_ax_b\cdots x_c \kappa^{ab\cdots c}$$

वह $$\kappa$$ रैंक का टेंसर है $$m=d-n$$. रैखिकता और जोड़ की क्रमपरिवर्तनशीलता द्वारा, अर्थात $$\operatorname{ad}_{x+y}=\operatorname{ad}_{y+x},$$, कोई यह निष्कर्ष निकालता है कि यह टेंसर पूरी तरह से सममित होना चाहिए। यह टेंसर वास्तव में ऑर्डर का कासिमिर अपरिवर्तनीय है $m.$

मध्य में $$Z(\mathfrak{g})$$ उन तत्वों के अनुरूप $$z\in Z(\mathfrak{g})$$ जिसके लिए $$\operatorname{ad}_x(z)=0$$ सभी के लिए $x;$ उपरोक्त के अनुसार, यहस्पष्ट रूप से विशेषता समीकरण की जड़ों से मेल खाते हैं। कोई यह निष्कर्ष निकालता है कि जड़ें रैंक का स्थान बनाती हैं $r$ और यह कि कासिमिर अपरिवर्तनीय इस स्थान तक फैले हुए हैं। अर्थात्, कासिमिर अपरिवर्तनीय केंद्र उत्पन्न करते हैं $$Z(U(\mathfrak{g})).$$

उदाहरण: घूर्णन समूह SO(3)
रोटेशन समूह SO(3) रैंक का है, और इस प्रकार इसमें कासिमिर ऑपरेटर है। यह त्रि-आयामी है, और इस प्रकार कासिमिर ऑपरेटर का क्रम (3 − 1) = 2 होना चाहिए अर्थात द्विघात होना चाहिए। बेशक, यह लाई बीजगणित है $$A_1.$$ प्राथमिक अभ्यास के रूप में, कोई इसकी सीधे गणना कर सकता है। में संकेतन बदलना $$e_i=L_i,$$ साथ $$L_i$$ सहायक प्रतिनिधि से संबंधित, सामान्य बीजगणित तत्व है $$xL_1+yL_2+zL_3$$ और प्रत्यक्ष गणना देता है


 * $$\det\left(xL_1+yL_2+zL_3-tI\right)=-t^3-(x^2+y^2+z^2)t$$

द्विघात पद को इस प्रकार पढ़ा जा सकता है $$\kappa^{ij}=\delta^{ij}$$, और इसलिए रोटेशन समूह के लिए वर्ग कोणीय गति ऑपरेटर वह कासिमिर ऑपरेटर है। वह है,
 * $$C_{(2)} = L^2 = e_1\otimes e_1 + e_2\otimes e_2 + e_3\otimes e_3$$

और स्पष्ट गणना यह दर्शाती है
 * $$[L^2, e_k]=0$$

संरचना स्थिरांक का उपयोग करने के पश्चात्
 * $$[e_i, e_j]=\varepsilon_{ij}^{\;\;k}e_k$$

उदाहरण: छद्म-अंतर ऑपरेटर
के निर्माण के समय प्रमुख अवलोकन $$U(\mathfrak{g})$$ ऊपर यह था कि यह विभेदक बीजगणित था, इस तथ्य के आधार पर कि लाई बीजगणित पर किसी भी व्युत्पत्ति को उठाया जा सकता है $$U(\mathfrak{g})$$. इस प्रकार, किसी को छद्म-विभेदक संचालकों की अंगूठी की ओर ले जाया जाता है, जहां से कोई कासिमिर इनवेरिएंट का निर्माण कर सकता है।

यदि लाई बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ रैखिक संचालकों के स्थान पर कार्य करता है, जैसे कि फ्रेडहोम सिद्धांत में, फिर कोई संचालकों के संबंधित स्थान पर कासिमिर इनवेरिएंट का निर्माण कर सकता है। द्विघात कासिमिर ऑपरेटर अण्डाकार ऑपरेटर से मेल खाता है।

यदि ली बीजगणित विभेदक मैनिफोल्ड पर कार्य करता है, तब प्रत्येक कासिमिर ऑपरेटर कोटैंजेंट मैनिफोल्ड पर उच्च-क्रम अंतर से मेल खाता है, दूसरे क्रम का अंतर सबसे आम और सबसे महत्वपूर्ण है।

यदि बीजगणित की क्रिया आइसोमेट्री समूह है, जैसा कि मीट्रिक और समरूपता समूह SO(N) और अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूह|SO (P, Q) से संपन्न छद्म-[[रीमैनियन मैनिफोल्ड]] या छद्म-रिमैनियन मैनिफोल्ड के स्तिथियां में होगा, क्रमशः, फिर अधिक रोचक संरचनाएं प्राप्त करने के लिए ऊपरी और निचले सूचकांकों (मीट्रिक टेंसर के साथ) को अनुबंधित कर सकते हैं। द्विघात कासिमिर अपरिवर्तनीय के लिए, यह लाप्लासियन है। क्वार्टिक कासिमिर संचालक यांग-मिल्स कार्रवाई को जन्म देते हुए, तनाव-ऊर्जा टेंसर को वर्गाकार करने की अनुमति देते हैं। कोलमैन-मंडुला प्रमेय उस रूप को प्रतिबंधित करता है जो यहले सकते हैं, जब कोई सामान्य लाई बीजगणित पर विचार करता है। चूँकि, ली सुपरएलजेब्रा कोलमैन-मंडुला प्रमेय के परिसर से बचने में सक्षम हैं, और इसका उपयोग अंतरिक्ष और आंतरिक समरूपता को साथ मिलाने के लिए किया जा सकता है।

विशेष स्तिथियों में उदाहरण
यदि $$\mathfrak{g} = \mathfrak{sl}_2$$, तब इसका आधार आव्यूह है$$h = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \text{ } g = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}, \text{ } f = \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ जो मानक ब्रैकेट के अंतर्गत निम्नलिखित पहचान को संतुष्ट करता है:"$[h,g] = -2g$, $[h,f] = 2f$, और $[g,f] = - h $"यह हमें दिखाता है कि सार्वभौमिक आवरण बीजगणित की प्रस्तुति है$$U(\mathfrak{sl}_2) = \frac{\mathbb{C}\langle x,y,z\rangle}{(xy - yx + 2y, xz - zx - 2z, yz - zy + x)}$$एक गैर-कम्यूटेटिव रिंग के रूप में।

यदि $$\mathfrak{g}$$ एबेलियन है (अर्थात, ब्रैकेट सदैव है $0$), तब $$U(\mathfrak{g})$$ क्रमविनिमेय है; और यदि सदिश समष्टि का आधार (रैखिक बीजगणित)। $$\mathfrak{g}$$ तब फिर चुना गया है $$U(\mathfrak{g})$$ बहुपद बीजगणित से पहचाना जा सकता है $K$, प्रति आधार तत्व चर के साथ।

यदि $$\mathfrak{g}$$ लाई समूह के अनुरूप लाई बीजगणित है $G$, तब $$U(\mathfrak{g})$$ बाएं-अपरिवर्तनीय अंतर संचालकों (सभी आदेशों के) के बीजगणित से पहचाना जा सकता है $G$; साथ $$\mathfrak{g}$$ प्रथम-क्रम अंतर संचालकों के रूप में बाएं-अपरिवर्तनीय सदिश फ़ील्ड के रूप में इसके अंदर लाई बोल रहा है।

उपरोक्त दो स्तिथियों को जोड़ने के लिए: यदि $$\mathfrak{g}$$ सदिश स्थान है $V$ एबेलियन ले बीजगणित के रूप में, बाएं-अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटर स्थिर गुणांक ऑपरेटर हैं, जो वास्तव में पहले क्रम के आंशिक व्युत्पन्न में बहुपद बीजगणित हैं।

मध्य में $$Z(\mathfrak{g})$$ इसमें बाएँ और दाएँ-अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटर सम्मिलित हैं; इस, के स्तिथियां में $G$ क्रमविनिमेय नहीं है, अधिकांशतः प्रथम-क्रम संचालकों द्वारा उत्पन्न नहीं होता है (उदाहरण के लिए अर्ध-सरल लाई बीजगणित का कासिमिर ऑपरेटर देखें)।

लाई समूह सिद्धांत में और लक्षण वर्णन है $$U(\mathfrak{g})$$ वितरण (गणित) के दृढ़ बीजगणित के रूप में समर्थन (गणित) # वितरण का समर्थन केवल पहचान तत्व पर वितरित किया जाता है $e$ का $G$.

विभेदक संचालकों का बीजगणित $n$ बहुपद गुणांक वाले चर हाइजेनबर्ग समूह के लाई बीजगणित से प्रारंभ करके प्राप्त किए जा सकते हैं। इसके लिए वेइल बीजगणित देखें; किसी को भागफल अवश्य लेना चाहिए, जिससे कि लाई बीजगणित के केंद्रीय तत्व निर्धारित अदिश के रूप में कार्य करें।

एक परिमित-आयामी लाई बीजगणित का सार्वभौमिक आवरण बीजगणित फ़िल्टर्ड द्विघात बीजगणित है।

हॉपफ बीजगणित और क्वांटम समूह
किसी दिए गए समूह (गणित) के लिए समूह वलय का निर्माण अनेक मायनों में किसी दिए गए बीजगणित के लिए सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के निर्माण के समान है। दोनों निर्माण सार्वभौमिक हैं और प्रतिनिधित्व सिद्धांत को मॉड्यूल सिद्धांत में अनुवादित करते हैं। इसके अतिरिक्त, समूह बीजगणित और सार्वभौमिक आवरण बीजगणित दोनों में प्राकृतिक कोलजेब्रा होता है जो उन्हें हॉपफ बीजगणित में बदल देता है। इसे टेंसर बीजगणित पर लेख में त्रुटिहीन बनाया गया है: टेंसर बीजगणित पर हॉपफ बीजगणित संरचना होती है, और क्योंकि ली ब्रैकेट हॉपफ संरचना के अनुरूप है (इसके लिए स्थिरता की शर्तबं का पालन करता है), यह सार्वभौमिक आवरण बीजगणित द्वारा विरासत में मिला है.

एक लाई समूह दिया गया $G$, कोई सदिश समष्टि का निर्माण कर सकता है $C(G)$ निरंतर जटिल-मूल्यवान कार्यों पर $G$, और इसे C*-बीजगणित में बदल दें। इस बीजगणित में प्राकृतिक हॉपफ बीजगणित संरचना है: इसमें दो कार्य दिए गए हैं $$\varphi, \psi\in C(G)$$, कोई गुणन को इस प्रकार परिभाषित करता है
 * $$(\nabla(\varphi, \psi))(x)=\varphi(x)\psi(x)$$

और सहगुणन के रूप में
 * $$(\Delta(\varphi))(x\otimes y)=\varphi(xy),$$

इकाई के रूप में
 * $$\varepsilon(\varphi)=\varphi(e)$$

और एंटीपोड के रूप में
 * $$(S(\varphi))(x)=\varphi(x^{-1}).$$

अभी, गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय अनिवार्य रूप से बताता है कि प्रत्येक क्रमविनिमेय हॉपफ बीजगणित कुछ कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समूह पर निरंतर कार्यों के हॉपफ बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है। $G$—कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समूहों का सिद्धांत और क्रमविनिमेय हॉपफ बीजगणित का सिद्धांत समान हैं। लाई समूहों के लिए, इसका तात्पर्य यह है $C(G)$ समरूपी रूप से दोहरा है $$U(\mathfrak{g})$$; अधिक त्रुटिहीन रूप से, यह दोहरे स्थान के उप-स्थान के लिए समरूपी है $$U^*(\mathfrak{g}).$$ फिर इन विचारों को गैर-अनुक्रमणीय स्तिथियां तक बढ़ाया जा सकता है। अर्ध-त्रिकोणीय हॉपफ बीजगणित को परिभाषित करने से प्रारंभ होता है, और फिर संक्षेप में क्वांटम सार्वभौमिक आवरण बीजगणित, या क्वांटम समूह प्राप्त करने के लिए क्वांटम विरूपण कहा जाता है।

यह भी देखें

 * मिल्नोर-मूर प्रमेय
 * हरीश-चंद्र समरूपता

संदर्भ

 * Shlomo Sternberg (2004), Lie algebras, Harvard University.
 * Shlomo Sternberg (2004), Lie algebras, Harvard University.
 * Shlomo Sternberg (2004), Lie algebras, Harvard University.
 * Shlomo Sternberg (2004), Lie algebras, Harvard University.
 * Shlomo Sternberg (2004), Lie algebras, Harvard University.