आव्यूह अवकल समीकरण

अवकल समीकरण एक या कई चर के अज्ञात फलन के लिए एक गणितीय समीकरण है जो फलन के मूल्यों और इसकी विभिन्न कोटियों के अवकलज से संबंधित होते है। एक आव्यूह अवकल समीकरण में एक से अधिक फलन होते हैं जो सदिश रूप में राशीकृत होते हैं, आव्यूह के साथ उनके अवकलज से संबंधित होते हैं।

उदाहरण के लिए, एक प्रथम-कोटि आव्यूह साधारण अवकल समीकरण है
 * $$\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{A}(t)\mathbf{x}(t)$$

जहां $$\mathbf{x}(t)$$ अंतर्निहित चर $$t$$ के फलनों का $$n \times 1$$ सदिश होता है, $$\mathbf{\dot{x}}(t)$$ इन फलनों के प्रथम अवकलज का सदिश है, और $$\mathbf{A}(t)$$ गुणांक का $$n \times n$$ आव्यूह है।

ऐसी स्थिति में जहाँ $$\mathbf{A}$$ नियतांक है और इसमें n एकघाततः स्वतंत्र आइगेनसदिश होता हैं, इस अवकल समीकरण का निम्नलिखित सामान्य हल है,
 * $$\mathbf{x}(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} \mathbf{u}_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} \mathbf{u}_2 + \cdots + c_n e^{\lambda_n t} \mathbf{u}_n ~,$$

जहाँ λ1, λ2, …, λn A के आइगेनमान हैं; u1, u2, …, un A के संबंधित आइगेनवेक्टर हैं; और c1, c2, …, cn स्थिरांक हैं।

अत्यधिक सामान्य रूप से, यदि $$\mathbf{A}(t)$$ अपने समाकल $$\int_a^t \mathbf{A}(s)ds$$ के साथ विनिमय करता है तो मैग्नस विस्तार अग्रणी क्रम में कम हो जाता है, और अवकल समीकरण का सामान्य हल होता है
 * $$\mathbf{x}(t)=e^{\int_a^t \mathbf{A}(s) ds} \mathbf{c} ~,$$

जहाँ $$ \mathbf{c} $$ एक $$ n \times 1 $$ एक नियत सदिश है।

कैले-हैमिल्टन प्रमेय और वैंडरमोंड-प्रकार आव्यूहों के उपयोग से, यह औपचारिक आव्यूह घातीय हल एक साधारण रूप में सरलीकृत किया जा सकता है। नीचे, यह हल पुट्ज़ेर के एल्गोरिथम के संदर्भ में प्रदर्शित किया गया है।

आव्यूह प्रणाली की स्थिरता और स्थिर अवस्था
आव्यूह समीकरण
 * $$\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{b}$$

n×1 पैरामीटर के साथ सतत सदिश b स्थिर है यदि और केवल तभी जब स्थिर आव्यूह A के सभी आइगेनमान ​​में ऋणात्मक वास्तविक भाग हो।

स्थिर स्थिति x* जिसमें स्थिर होने पर यह कन्वर्ज करता है, सेटिंग द्वारा पाया जाता है
 * $$\mathbf{\dot{x}}^* (t)=\mathbf{0}~,$$

इस प्रकार प्राप्त होता है
 * $$\mathbf{x}^* = -\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}~,$$

A को व्युत्क्रमणीय मानते हुए।

इस प्रकार, मूल समीकरण को सजातीय अवस्था से विचलन के संदर्भ में सजातीय रूप में लिखा जा सकता है,
 * $$ \mathbf{\dot{x}}(t)=\mathbf{A}[\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*]~.$$

इसे व्यक्त करने का एक समतुल्य तरीका यह है कि x* असमघात समीकरण का एक विशेष हल है, जबकि सभी हल इस रूप में हैं
 * $$\mathbf{x}_h+\mathbf{x}^*  ~,$$

$$\mathbf{x}_h$$ के साथ सजातीय समीकरण (b=0) का हल।

दो-अवस्था-चर स्थिति में स्थिरता
n = 2 स्थिति में (दो अवस्था चर के साथ), स्थिरता की स्थिति है कि परिवर्ती आव्यूह A के दो आइगेनमान ​​प्रत्येक में एक ऋणात्मक वास्तविक भाग होता है, इस स्थिति के समकक्ष होता है कि A का ट्रेस ऋणात्मक होना चाहिए और इसकी सारणिक धनात्मक होनी चाहिए।

आव्यूह रूप में समाधान
का औपचारिक समाधान $$\mathbf{\dot{x}}(t)=\mathbf{A}[\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*]$$ आव्यूह घातीय रूप है
 * $$\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}^*+e^{\mathbf{A}t}[\mathbf{x}(0)-\mathbf{x}^*] ~,$$ कई तकनीकों का उपयोग करके मूल्यांकन किया गया।

कंप्यूटिंग के लिए पुत्जर एल्गोरिथम $e^{At}$
eigenvalues ​​​​के साथ एक आव्यूह ए दिया $$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$$,
 * $$e^{\mathbf{A}t} = \sum_{j=0}^{n-1}r_{j+1}{\left(t\right)}\mathbf{P}_{j}$$

कहां
 * $$\mathbf{P}_0 = \mathbf{I}$$
 * $$\mathbf{P}_j = \prod_{k=1}^{j}\left(\mathbf{A}-\lambda_k \mathbf{I}\right)= \mathbf{P}_{j-1} \left(\mathbf{A}-\lambda_j \mathbf{I}\right), \qquad j=1,2,\dots,n-1$$
 * $$\dot{r}_1 = \lambda_1 r_1$$
 * $$r_1{\left(0\right)}=1$$
 * $$\dot{r}_{j} = \lambda_j r_j + r_{j-1}, \qquad j=2,3,\dots,n$$
 * $$r_j{\left(0\right)}=0, \qquad  j=2,3,\dots,n$$

के लिए समीकरण $$r_i (t)$$ साधारण प्रथम कोटि के विषम ODE हैं।

ध्यान दें कि एल्गोरिदम की आवश्यकता नहीं है कि आव्यूह ए विकर्ण आव्यूह हो और आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले जॉर्डन कैनोलिक रूपों की जटिलताओं को छोड़ दें।

एक आव्यूह साधारण अवकल समीकरण
का विखंडित उदाहरण

दो कार्यों x(t) और y(t) में एक प्रथम-क्रम सजातीय आव्यूह साधारण अवकल समीकरण, जब आव्यूह रूप से बाहर निकाला जाता है, तो इसका निम्न रूप होता है:


 * $$\frac{dx}{dt}=a_1x+b_1y,\quad\frac{dy}{dt}=a_2x+b_2y$$

कहां $$a_1$$, $$a_2$$, $$b_1$$, और $$b_2$$ कोई मनमाना स्केलर हो सकता है।

उच्च क्रम आव्यूह ओडीई के पास अधिक जटिल रूप हो सकता है।

विघटित आव्यूह साधारण अवकल समीकरणों को हल करना
उपरोक्त समीकरणों को हल करने और इस विशेष क्रम और रूप के आवश्यक कार्यों को खोजने की प्रक्रिया में 3 मुख्य चरण होते हैं। इनमें से प्रत्येक चरण का संक्षिप्त विवरण नीचे सूचीबद्ध है:


 * eigenvalues का पता लगाना
 * egenvectors ढूँढना
 * आवश्यक कार्यों का पता लगाना

इस तरह के सामान्य अवकल समीकरणों को हल करने में अंतिम, तीसरा, चरण आमतौर पर पिछले दो चरणों में गणना किए गए मानों को एक विशेष सामान्य रूप समीकरण में प्लगिंग के माध्यम से किया जाता है, जिसका उल्लेख इस लेख में बाद में किया गया है।

एक आव्यूह ODE
का हल उदाहरण

ऊपर दिए गए तीन चरणों के अनुसार एक आव्यूह ODE को हल करने के लिए, प्रक्रिया में सरल मैट्रिसेस का उपयोग करते हुए, हम एक फ़ंक्शन पाते हैं $x$ और एक समारोह $y$ दोनों एकल स्वतंत्र चर के संदर्भ में $t$, पहले क्रम के निम्नलिखित सजातीय रैखिक अवकल समीकरण में,
 * $$\frac{dx}{dt}=3x-4y,\quad\frac{dy}{dt}=4x-7y~.$$

इस विशेष सामान्य अवकल समीकरण प्रणाली को हल करने के लिए, समाधान प्रक्रिया में किसी बिंदु पर, हमें दो प्रारंभिक स्थितियों (प्रारंभिक बिंदु पर दो राज्य चर के अनुरूप) के एक सेट की आवश्यकता होगी। इस मामले में, हम चुनते हैं $x(0) = y(0) = 1$.

पहला कदम
पहला चरण, जिसका पहले ही ऊपर उल्लेख किया जा चुका है, में A के eigenvalues ​​का पता लगा रहा है
 * $$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}~.$$

उपरोक्त सदिशों में से किसी एक में देखे गए व्युत्पन्न संकेतन x' आदि को लाग्रेंज के संकेतन के रूप में जाना जाता है (पहली बार जोसेफ लुइस लाग्रेंज  द्वारा प्रस्तुत किया गया। यह पिछले समीकरण में प्रयुक्त व्युत्पन्न संकेतन dx/dt के बराबर है, जिसे लाइबनिज के संकेतन के रूप में जाना जाता है, सम्मान करते हुए  गॉटफ्रीड लीबनिज  का नाम।)

एक बार ऊपर प्रदर्शित आव्यूह (गणित) फॉर्म 'ए' में दो चर के गुणांक लिखे जाने के बाद, आइगेनवैल्यू का मूल्यांकन किया जा सकता है। उस अंत तक, एक आव्यूह (गणित) के निर्धारक को ढूंढता है जो एक पहचान आव्यूह के दौरान बनता है, $$I_n$$, कुछ स्थिर से गुणा  $λ$, उपरोक्त गुणांक आव्यूह से घटाया जाता है ताकि इसकी  विशेषता बहुपद  प्राप्त हो सके,
 * $$\det\left(\begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\right)~,$$

और इसके शून्य के लिए हल करें।

आव्यूह जोड़ पैदावार के और सरलीकरण और बुनियादी नियमों को लागू करना
 * $$\det\begin{bmatrix} 3-\lambda & -4\\4 & -7-\lambda \end{bmatrix}~.$$

एकल 2×2 आव्यूह के निर्धारक को खोजने के नियमों को लागू करने से निम्नलिखित प्राथमिक द्विघात समीकरण  प्राप्त होता है,
 * $$\det\begin{bmatrix} 3-\lambda & -4\\4 & -7-\lambda \end{bmatrix} = 0$$
 * $$-21 - 3\lambda + 7\lambda + \lambda^2 + 16 = 0 \,\!$$

उपरोक्त का एक सरल संस्करण प्राप्त करने के लिए इसे और कम किया जा सकता है,
 * $$\lambda^2 + 4\lambda - 5 = 0 ~.$$

अब दो मूल ज्ञात करना, $$\lambda_1$$ और $$\lambda_2$$ दिए गए द्विघात समीकरण का गुणन खंडन विधि लागू करने से प्राप्त होता है
 * $$\lambda^2 + 5\lambda - \lambda - 5 = 0$$
 * $$\lambda (\lambda + 5) - 1 (\lambda + 5) = 0$$
 * $$(\lambda - 1)(\lambda + 5) = 0$$
 * $$\lambda = 1, -5 ~.$$

मूल्य $$\lambda_1 = 1$$ और $$\lambda_2 = -5$$, ऊपर परिकलित A के आवश्यक eigenvalues ​​​​हैं। कुछ मामलों में, अन्य आव्यूह ओडीई का कहना है, ईगेनवेल्यूज जटिल संख्याएं हो सकती हैं, इस मामले में हल करने की प्रक्रिया के अगले चरण के साथ-साथ अंतिम रूप और समाधान नाटकीय रूप से बदल सकते हैं।

दूसरा चरण
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, इस कदम में मूल रूप से प्रदान की गई जानकारी से ए के ईजेनवेक्टरों को खोजना शामिल है।

गणना किए गए प्रत्येक eigenvalues ​​​​के लिए, हमारे पास एक अलग eigenvector है। पहले eigenvalue के लिए, जो है $$\lambda_1 = 1$$, अपने पास
 * $$\begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\\beta \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} \alpha\\\beta \end{bmatrix}. $$

मूल आव्यूह गुणन नियम लागू करके उपरोक्त व्यंजक को सरल करने पर प्राप्त होता है
 * $$3\alpha - 4\beta = \alpha$$
 * $$\alpha = 2\beta~.$$

ये सभी गणनाएँ केवल अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए की गई हैं, जो हमारे मामले में है $α = 2β$. अब कुछ मनमाना मूल्य लेना, संभवतः, एक छोटा महत्वहीन मूल्य, जिसके साथ काम करना बहुत आसान है, दोनों के लिए $α$ या $β$ (ज्यादातर मामलों में, यह वास्तव में कोई फर्क नहीं पड़ता), हम इसे प्रतिस्थापित करते हैं $α = 2β$. ऐसा करने से एक साधारण सदिश उत्पन्न होता है, जो कि इस विशेष eigenvalue के लिए आवश्यक eigenvector है। हमारे मामले में, हम चुनते हैं $α = 2$, जो बदले में यह निर्धारित करता है $β = 1$ और, मानक सदिश संकेतन का उपयोग करते हुए, हमारा सदिश जैसा दिखता है
 * $$\mathbf{\hat{v}}_1 = \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}. $$

हमारे द्वारा गणना की गई दूसरी आइगेनवेल्यू का उपयोग करके उसी ऑपरेशन को करना, जो है $$\lambda = -5$$, हम अपना दूसरा ईजेनवेक्टर प्राप्त करते हैं। इस यूक्लिडियन सदिश को निकालने की प्रक्रिया नहीं दिखाई गई है, लेकिन अंतिम परिणाम है
 * $$\mathbf{\hat{v}}_2 = \begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}. $$

तीसरा चरण
यह अंतिम चरण उन आवश्यक कार्यों को ढूंढता है जो मूल रूप से हमें दिए गए डेरिवेटिव के पीछे 'छिपे हुए' हैं। दो कार्य हैं, क्योंकि हमारे अवकल समीकरण दो चरों से संबंधित हैं।

वह समीकरण जिसमें वह सभी जानकारी शामिल है जो हमें पहले मिली थी, उसका निम्न रूप है:
 * $$\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = Ae^{\lambda_1t}\mathbf{\hat{v}}_1 + Be^{\lambda_2t}\mathbf{\hat{v}}_2. $$

eigenvalues ​​​​और eigenvectors पैदावार के मूल्यों को प्रतिस्थापित करना
 * $$\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = Ae^{t}\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} + Be^{-5t}\begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}. $$

आगे सरलीकरण लागू करना,
 * $$\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1\\1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} Ae^{t}\\Be^{-5t} \end{bmatrix}. $$

आगे सरल करना और कार्यों के लिए समीकरण लिखना $x$ और $y$ अलग से,
 * $$x = 2Ae^{t} + Be^{-5t} $$
 * $$y = Ae^{t} + 2Be^{-5t}.$$

उपरोक्त समीकरण, वास्तव में, मांगे गए सामान्य कार्य हैं, लेकिन वे अपने सामान्य रूप में हैं (अनिर्दिष्ट मूल्यों के साथ) $A$ और $B$), जबकि हम वास्तव में उनके सटीक रूप और समाधान खोजना चाहते हैं। तो अब हम समस्या की दी गई प्रारंभिक स्थितियों पर विचार करते हैं (दिए गए प्रारंभिक शर्तों सहित समस्या तथाकथित प्रारंभिक मूल्य समस्या  है)। मान लीजिए हमें दिया गया है $$x(0) = y(0) = 1$$, जो हमारे साधारण अवकल समीकरण के लिए शुरुआती बिंदु की भूमिका निभाता है; इन शर्तों का अनुप्रयोग स्थिरांक निर्दिष्ट करता है, $A$ और $B$. जैसा कि हम से देखते हैं $$x(0) = y(0) = 1$$ शर्तें, जब $t = 0$, उपरोक्त समीकरणों के बाएँ पक्ष 1 के बराबर हैं। इस प्रकार हम रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का निर्माण कर सकते हैं,
 * $$1 = 2A + B $$
 * $$1 = A + 2B~.$$

इन समीकरणों को हल करने पर, हम पाते हैं कि दोनों स्थिरांक $A$ और $B$ बराबर 1/3। इसलिए इन मूल्यों को इन दो कार्यों के सामान्य रूप में प्रतिस्थापित करना उनके सटीक रूपों को निर्दिष्ट करता है, $$x = \tfrac{2}{3}e^{t} + \tfrac{1}{3}e^{-5t} $$ $$y = \tfrac{1}{3}e^{t} + \tfrac{2}{3}e^{-5t}~,$$ दो कार्यों की मांग की।

आव्यूह घातांक का उपयोग करना
उपरोक्त समस्या को आव्यूह एक्सपोनेंशियल के सीधे आवेदन के साथ हल किया जा सकता था। यानी हम ऐसा कह सकते हैं

$$\begin{bmatrix} x(t)\\y(t) \end{bmatrix} = \exp \left(\begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix} t\right) \begin{bmatrix} x_0(t)\\y_0(t) \end{bmatrix} $$ यह देखते हुए (जिसे MATLAB 's जैसे किसी भी उपयुक्त उपकरण का उपयोग करके गणना की जा सकती है   उपकरण, या  आव्यूह विकर्णकरण करके और संपत्ति का लाभ उठाकर कि एक विकर्ण आव्यूह का आव्यूह घातांक इसके तत्वों के तत्व-वार घातांक के समान है)

$$\exp \left(\begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix} t\right) = \begin{bmatrix} 4 e^t/3 - e^{-5t}/3 & 2e^{-5t}/3 - 2e^t/3\\2e^t/3 - 2e^{-5t}/3 & 4e^{-5t}/3 - e^t/3 \end{bmatrix} $$ अंतिम परिणाम है

$$\begin{bmatrix} x(t)\\y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 e^t/3 - e^{-5t}/3 & 2e^{-5t}/3 - 2e^t/3\\2e^t/3 - 2e^{-5t}/3 & 4e^{-5t}/3 - e^t/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} $$

$$\begin{bmatrix} x(t)\\y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{-5t}/3 + 2e^t/3\\ e^t/3 + 2e^{-5t}/3 \end{bmatrix} $$ यह पहले दिखाए गए ईजेनवेक्टर दृष्टिकोण के समान है।

यह भी देखें

 * साधारण अवकल समीकरण#गैर-सजातीय समीकरण
 * अवकल समीकरण ]]
 * न्यूटन का शीतलन का नियम
 * फाइबोनैचि संख्या
 * अवकल समीकरण
 * तरंग समीकरण
 * स्वायत्त प्रणाली (गणित)