अपेक्षित मूल्य

संभाव्यता सिद्धांत में, अपेक्षित मूल्य (जिसे अपेक्षा, प्रत्याशा, गणितीय अपेक्षा, माध्य, औसत या प्रथम क्षण भी कहा जाता है) भारित औसत  का एक सामान्यीकरण है। अनौपचारिक रूप से, अपेक्षित मूल्य एक यादृच्छिक चर के बड़ी संख्या में स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत) चयनित प्रयोग (संभावना सिद्धांत) का अंकगणितीय माध्य है।

परिमित संख्या में परिणामों के साथ एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान सभी संभावित परिणामों का भारित औसत है। संभावित परिणामों की निरंतरता के मामले में, अपेक्षा को अभिन्न  द्वारा परिभाषित किया गया है।  माप सिद्धांत  द्वारा प्रदान की गई संभाव्यता के लिए स्वयंसिद्ध आधार में, उम्मीद  लेबेसेग एकीकरण  द्वारा दी गई है।

एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मूल्य $X$ द्वारा अक्सर दर्शाया जाता है $E(X)$, $E[X]$, या $EX$, साथ $E$ के रूप में भी अक्सर शैलीबद्ध किया जाता है $E$ या $$\mathbb{E}.$$

इतिहास
अपेक्षित मूल्य का विचार 17 वीं शताब्दी के मध्य में अंकों की तथाकथित समस्या के अध्ययन से उत्पन्न हुआ, जो दो खिलाड़ियों के बीच दांव को उचित तरीके से विभाजित करना चाहता है, जिन्हें अपने खेल को ठीक से समाप्त करने से पहले समाप्त करना होगा। खत्म। सदियों से इस समस्या पर बहस हुई थी। 1654 में फ्रांसीसी लेखक और शौकिया गणितज्ञ एंटोनी गोमबॉड | शेवेलियर डे मेरे द्वारा ब्लेस पास्कल  को पेश किए जाने पर कई परस्पर विरोधी प्रस्ताव और समाधान सुझाए गए थे। मेरे ने दावा किया कि इस समस्या को हल नहीं किया जा सकता है और यह दिखाता है कि यह कितना दोषपूर्ण है गणित तब था जब यह वास्तविक दुनिया में इसके अनुप्रयोग के लिए आया था। पास्कल, एक गणितज्ञ होने के नाते, एक बार और सभी के लिए समस्या को हल करने के लिए उकसाया और दृढ़ संकल्पित था।

उन्होंने पियरे डी फर्मेट  को पत्रों की प्रसिद्ध श्रृंखला में समस्या पर चर्चा करना शुरू किया। जल्द ही, वे दोनों स्वतंत्र रूप से एक समाधान लेकर आए। उन्होंने विभिन्न कम्प्यूटेशनल तरीकों से समस्या को हल किया, लेकिन उनके परिणाम समान थे क्योंकि उनकी संगणनाएँ एक ही मूलभूत सिद्धांत पर आधारित थीं। सिद्धांत यह है कि भविष्य के लाभ का मूल्य इसे प्राप्त करने की संभावना के सीधे आनुपातिक होना चाहिए। ऐसा लगता है कि यह सिद्धांत उन दोनों के लिए स्वाभाविक रूप से आया था। वे इस तथ्य से बहुत प्रसन्न थे कि उन्होंने अनिवार्य रूप से एक ही समाधान पाया था, और इसके बदले में उन्हें पूरी तरह से विश्वास हो गया कि उन्होंने समस्या को निर्णायक रूप से हल कर लिया है; हालाँकि, उन्होंने अपने निष्कर्षों को प्रकाशित नहीं किया। उन्होंने केवल पेरिस में परस्पर वैज्ञानिक मित्रों के एक छोटे से समूह को इसके बारे में सूचित किया। डच गणितज्ञ क्रिस्टियान ह्यूजेंस | क्रिस्टियान ह्यूजेंस की पुस्तक में, उन्होंने अंकों की समस्या पर विचार किया, और पास्कल और फर्मेट के समाधान के समान सिद्धांत के आधार पर एक समाधान प्रस्तुत किया। ह्यूजेंस ने 1657 में अपना ग्रंथ प्रकाशित किया, (देखें #CITEREFHuygens1657|Huygens (1657)) पेरिस का दौरा करने के तुरंत बाद संभाव्यता सिद्धांत पर लूडो एलेओ में डी रेशियोसिनिस। पुस्तक ने मूल समस्या (उदाहरण के लिए, तीन या अधिक खिलाड़ियों के लिए) की तुलना में अधिक जटिल परिस्थितियों में अपेक्षाओं की गणना करने के नियमों को जोड़कर अपेक्षा की अवधारणा को बढ़ाया और सिद्धांत की नींव रखने के पहले सफल प्रयास के रूप में देखा जा सकता है। संभावना का।

अपने ग्रंथ की प्रस्तावना में, ह्यूजेंस ने लिखा:

"यह भी कहा जाना चाहिए कि कुछ समय के लिए फ्रांस के कुछ बेहतरीन गणितज्ञों ने इस तरह के कैलकुलस में खुद को व्यस्त कर लिया है ताकि कोई भी मुझे पहले आविष्कार के सम्मान का श्रेय न दे। यह मेरा नहीं है। लेकिन इन विद्वानों ने, यद्यपि वे एक-दूसरे को अनेक कठिन प्रश्नों का प्रस्ताव देकर एक-दूसरे की परीक्षा लेते हैं, फिर भी उन्होंने अपनी विधियों को छिपा रखा है। इसलिए मुझे तत्वों से शुरुआत करके इस मामले की जांच और गहराई से जांच करनी पड़ी है, और इस कारण से यह पुष्टि करना मेरे लिए असंभव है कि मैंने भी उसी सिद्धांत से शुरुआत की है। लेकिन आखिरकार मैंने पाया है कि कई मामलों में मेरे जवाब उनके जवाबों से अलग नहीं हैं।

— एडवर्ड्स (2002)"

1655 में फ्रांस की अपनी यात्रा के दौरान, ह्यूजेन्स ने डी मेरे की समस्या के बारे में सीखा। एक साल बाद (1656 में) कारकावाइन के साथ अपने पत्राचार से, उन्होंने महसूस किया कि उनकी पद्धति अनिवार्य रूप से पास्कल की तरह ही थी। इसलिए, 1657 में उनकी पुस्तक के छपने से पहले ही उन्हें पास्कल की इस विषय में प्राथमिकता के बारे में पता था। उन्नीसवीं सदी के मध्य में, यादृच्छिक चर  की अपेक्षाओं के संदर्भ में व्यवस्थित रूप से सोचने वाले पहले व्यक्ति  पफन्युटी चेबीशेव  बने।

व्युत्पत्ति
न तो पास्कल और न ही ह्यूजेंस ने अपेक्षा शब्द का प्रयोग आधुनिक अर्थ में किया। विशेष रूप से, ह्यूजेंस लिखते हैं:

"किसी भी चीज को जीतने का कोई भी मौका या उम्मीद सिर्फ इतनी राशि के लायक है, जैसा कि आप एक ही मौके पर खरीद लेंगे और निष्पक्ष स्तर पर अपेक्षा करेंगे। ... अगर मैं ए या बी की उम्मीद करता हूं, और उन्हें हासिल करने का एक समान मौका है, तो मेरी उम्मीद (ए+बी)/2 है।"

सौ से अधिक वर्षों के बाद, 1814 में, पियरे-साइमन लाप्लास  ने अपना ट्रैक्ट थ्योरी एनालिटिक डेस प्रोबैबिलिट्स प्रकाशित किया, जहां अपेक्षित मूल्य की अवधारणा को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया था:

"… मौके के सिद्धांत में यह लाभ इसे प्राप्त करने की संभावना से आशा की गई राशि का उत्पाद है; यह आंशिक राशि है जिसका परिणाम तब होना चाहिए जब हम यह मानकर घटना के जोखिमों को चलाना नहीं चाहते हैं कि विभाजन को संभावनाओं के अनुपात में बनाया गया है। यह विभाजन एकमात्र न्यायसंगत है जब सभी अजीब परिस्थितियों को समाप्त कर दिया जाता है; क्योंकि संभाव्यता की एक समान डिग्री आशा की गई राशि के लिए समान अधिकार देती है। हम इस लाभ को गणितीय आशा कहेंगे."

अंकन
पत्र का उपयोग $E$ अपेक्षित मूल्य को निरूपित करने के लिए वापस विलियम एलन व्हिटवर्थ|डब्ल्यू जाता है। 1901 में ए। व्हिटवर्थ। प्रतीक तब से अंग्रेजी लेखकों के लिए लोकप्रिय हो गया है। जर्मन में, $E$ गणितीय आशा के लिए खड़ा है, स्पेनिश में गणितीय आशा के लिए, और गणितीय आशा के लिए फ्रेंच में जब E का उपयोग अपेक्षित मान को निरूपित करने के लिए किया जाता है, तो लेखक विभिन्न प्रकार की शैलीकरण का उपयोग करते हैं: अपेक्षा ऑपरेटर को शैलीबद्ध किया जा सकता है $E$ (सीधा), $E$ (इटैलिक), या $$\mathbb{E}$$ ( ब्लैकबोर्ड बोल्ड में), जबकि विभिन्न प्रकार के ब्रैकेट नोटेशन (जैसे $E(X)$, $E[X]$, तथा $EX$) सभी का उपयोग किया जाता है।

एक अन्य लोकप्रिय संकेतन है $&mu;_{X}$, जबकि $⟨X⟩$, $⟨X⟩_{av}$, तथा $$\overline{X}$$ आमतौर पर भौतिकी में उपयोग किया जाता है, तथा $M(X)$ रूसी भाषा के साहित्य में।

परिभाषा
जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, अपेक्षित मूल्य को परिभाषित करने के कई संदर्भ-आधारित तरीके हैं। सबसे सरल और मूल परिभाषा बहुत सारे संभावित परिणामों के मामले से संबंधित है, जैसे कि एक सिक्के के फ्लिप में। अनंत श्रृंखला के सिद्धांत के साथ, इसे कई संभावित परिणामों के मामले में बढ़ाया जा सकता है। यादृच्छिक चर के अलग-अलग मामले पर विचार करना भी बहुत आम है (टुकड़े-टुकड़े-) निरंतर संभाव्यता घनत्व कार्य ों द्वारा निर्धारित किया जाता है, क्योंकि ये कई प्राकृतिक संदर्भों में उत्पन्न होते हैं। इन सभी विशिष्ट परिभाषाओं को सामान्य परिभाषा के विशेष मामलों के रूप में देखा जा सकता है जो माप सिद्धांत और लेबेसेग एकीकरण के गणितीय उपकरणों पर आधारित हैं, जो इन विभिन्न संदर्भों को एक स्वयंसिद्ध आधार और सामान्य भाषा प्रदान करते हैं।

एक बहुआयामी यादृच्छिक चर, यानी एक यादृच्छिक वेक्टर  के अपेक्षित मूल्य को परिभाषित करने के लिए अपेक्षित मूल्य की कोई भी परिभाषा विस्तारित की जा सकती है $X$. इसे घटक द्वारा घटक के रूप में परिभाषित किया गया है $E[X]_{i} = E[X_{i}]$. इसी तरह, कोई यादृच्छिक मैट्रिक्स  के अपेक्षित मान को परिभाषित कर सकता है $X$ घटकों के साथ $X_{ij}$ द्वारा $E[X]_{ij} = E[X_{ij}]$.

परिमित रूप से कई परिणामों के साथ यादृच्छिक चर
एक यादृच्छिक चर पर विचार करें $X$ एक परिमित सूची के साथ $x_{1}, ..., x_{k}$ संभावित परिणामों की, जिनमें से प्रत्येक (क्रमशः) की संभावना है $p_{1}, ..., p_{k}$ होने का। की अपेक्षा $X$ की तरह परिभाषित किया गया है
 * $$\operatorname{E}[X] =x_1p_1 + x_2p_2 + \cdots + x_kp_k.$$

चूंकि संभावनाओं को संतुष्ट करना चाहिए $p_{1} + ⋅⋅⋅ + p_{k} = 1$, व्याख्या करना स्वाभाविक है $E[X]$ के भारित औसत के रूप में $x_{i}$ मान, उनकी संभावनाओं द्वारा दिए गए भार के साथ $p_{i}$.

विशेष मामले में कि सभी संभव परिणाम परिवर्तनीय हैं (अर्थात, $p_{1} = ⋅⋅⋅ = p_{k}$), भारित औसत मानक अंकगणितीय माध्य द्वारा दिया जाता है। सामान्य स्थिति में, अपेक्षित मूल्य इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि कुछ परिणाम दूसरों की तुलना में अधिक संभावित हैं।



उदाहरण

 * होने देना $$X$$ निष्पक्ष छह-पक्षीय रोल के परिणाम का प्रतिनिधित्व करते हैं . अधिक विशेष रूप से, $$X$$ पिप की संख्या (गिनती) होगी जो के शीर्ष फलक पर प्रदर्शित होगी टॉस के बाद। के लिए संभावित मान $$X$$ 1, 2, 3, 4, 5, और 6 हैं, जिनमें से सभी की समान संभावना है . की अपेक्षा $$X$$ है
 * $$\operatorname{E}[X] = 1\cdot\frac16 + 2\cdot\frac16 + 3\cdot\frac16 + 4\cdot\frac16 + 5\cdot\frac16 + 6\cdot\frac16 = 3.5.$$
 * यदि कोई रोल करता है $$n$$ बार और परिणामों के औसत (अंकगणितीय माध्य) की गणना करता है, फिर जैसा $$n$$ बढ़ता है, औसत  लगभग निश्चित रूप से  अपेक्षित मूल्य के  अभिसरण अनुक्रम  होगा, एक तथ्य जिसे बड़ी संख्या के मजबूत कानून के रूप में जाना जाता है।


 * रूले ट गेम में एक छोटी सी गेंद और एक पहिया होता है जिसके किनारे पर 38 नंबर वाली पॉकेट होती हैं। जैसे ही पहिया घूमता है, गेंद बेतरतीब ढंग से इधर-उधर उछलती है जब तक कि वह किसी एक जेब में नहीं बैठ जाती। मान लीजिए यादृच्छिक चर $$X$$ एक नंबर (सीधे ऊपर शर्त) पर $1 शर्त के (मौद्रिक) परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है। यदि बेट जीत जाती है (जो प्रायिकता के साथ होती है अमेरिकी रूले में), अदायगी $35 है; अन्यथा खिलाड़ी शर्त हार जाता है। इस तरह के दांव से अपेक्षित लाभ होगा
 * $$  \operatorname{E}[\,\text{gain from }\$1\text{ bet}\,] = -\$1 \cdot \frac{37}{38} + \$35 \cdot \frac{1}{38} = -\$\frac{1}{19}.$$
 * अर्थात्, $1 बेट से जीते जाने वाला अपेक्षित मूल्य −$ है. इस प्रकार, 190 बेट्स में, शुद्ध नुकसान लगभग $10 होगा।

कई परिणामों के साथ यादृच्छिक चर
अनौपचारिक रूप से, संभावित परिणामों के एक गणनीय सेट  के साथ एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा को समान रूप से सभी संभावित परिणामों के भारित औसत के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां भार प्रत्येक दिए गए मूल्य को साकार करने की संभावनाओं द्वारा दिया जाता है। यह कहना है
 * $$   \operatorname{E}[X] = \sum_{i=1}^\infty x_i\, p_i,$$

कहाँ पे $x_{1}, x_{2}, ...$ यादृच्छिक चर के संभावित परिणाम हैं $X$ तथा $p_{1}, p_{2}, ...$ उनकी संगत संभावनाएँ हैं। कई गैर-गणितीय पाठ्यपुस्तकों में, इसे इस संदर्भ में अपेक्षित मूल्यों की पूर्ण परिभाषा के रूप में प्रस्तुत किया गया है। हालाँकि, अनंत योग के साथ कुछ सूक्ष्मताएँ हैं, इसलिए उपरोक्त सूत्र गणितीय परिभाषा के रूप में उपयुक्त नहीं है। विशेष रूप से, गणितीय विश्लेषण  के  रीमैन श्रृंखला प्रमेय  यह दर्शाता है कि धनात्मक और ऋणात्मक जोड़ वाले कुछ अनंत राशियों का मान उस क्रम पर निर्भर करता है जिसमें सारांश दिए गए हैं। चूंकि एक यादृच्छिक चर के परिणामों में स्वाभाविक रूप से कोई क्रम नहीं दिया गया है, यह अपेक्षित मूल्य को ठीक से परिभाषित करने में कठिनाई पैदा करता है।

इस कारण से, कई गणितीय पाठ्यपुस्तकें केवल इस मामले पर विचार करती हैं कि निरपेक्ष अभिसरण के ऊपर दिया गया अनंत योग, जिसका अर्थ है कि अनंत योग योग के क्रम से स्वतंत्र एक परिमित संख्या है। वैकल्पिक मामले में कि अनंत योग पूरी तरह से अभिसरण नहीं करता है, कोई कहता है कि यादृच्छिक चर में परिमित अपेक्षा नहीं होती है।

उदाहरण
+ 2(\tfrac{c}{8}) + 3 (\tfrac{c}{24}) + \cdots \,= \, \tfrac{c}{2} + \tfrac{c}{4} + \tfrac{c}{8} + \cdots \,=\,  c \,=\,  \tfrac{1}{\ln  2}.$$
 * मान लीजिए $$x_i = i$$ तथा $$ p_i = \tfrac{c}{i2^i}$$ के लिये $$i = 1, 2, 3, \ldots,$$ कहाँ पे $$c = \tfrac{1}{\ln 2}$$ स्केलिंग कारक है जो संभावनाओं को 1 बनाता है। फिर, गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर के लिए प्रत्यक्ष परिभाषा का उपयोग करके, हमारे पास है $$\operatorname{E}[X] \,= \sum_i x_i p_i = 1(\tfrac{c}{2})

घनत्व के साथ यादृच्छिक चर
अब एक यादृच्छिक चर पर विचार करें $X$ जिसमें एक फ़ंक्शन द्वारा दिया गया प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है $f$ वास्तविक संख्या रेखा  पर। इसका मतलब है कि की संभावना $X$ किसी दिए गए खुले अंतराल में मान लेना का अभिन्न अंग द्वारा दिया जाता है $f$ उस अंतराल पर। की अपेक्षा $X$ तब अभिन्न द्वारा दिया जाता है
 * $$   \operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x f(x)\, dx.$$

इस परिभाषा का एक सामान्य और गणितीय रूप से सटीक सूत्रीकरण माप सिद्धांत और लेबेसेग एकीकरण का उपयोग करता है, और अगले खंड में बिल्कुल निरंतर यादृच्छिक चर के संबंधित सिद्धांत का वर्णन किया गया है। कई सामान्य वितरणों के घनत्व कार्य टुकड़े-टुकड़े निरंतर  होते हैं, और इस तरह के सिद्धांत को अक्सर इस प्रतिबंधित सेटिंग में विकसित किया जाता है। ऐसे कार्यों के लिए, केवल मानक  रीमैन एकीकरण  पर विचार करना पर्याप्त है। कभी-कभी निरंतर यादृच्छिक चर को घनत्व के इस विशेष वर्ग के अनुरूप परिभाषित किया जाता है, हालांकि इस शब्द का प्रयोग विभिन्न लेखकों द्वारा अलग-अलग तरीके से किया जाता है।

उपरोक्त अनगिनत-अनंत मामले के अनुरूप, एकीकरण के अनंत क्षेत्र के कारण इस अभिव्यक्ति के साथ सूक्ष्मताएं हैं। यदि वितरण किया जाए तो ऐसी सूक्ष्मताएँ ठोस रूप से देखी जा सकती हैं $X$ कॉची वितरण  द्वारा दिया गया है $Cauchy(0, &pi;)$, ताकि $f(x) = (x^{2} + &pi;^{2})^{−1}$. इस मामले में गणना करना सीधा है
 * $$\int_a^b xf(x)\,dx=\int_a^b \frac{x}{x^2+\pi^2}\,dx=\frac{1}{2}\ln\frac{b^2+\pi^2}{a^2+\pi^2}.$$

इस अभिव्यक्ति की सीमा के रूप में $a → −∞$ तथा $b → ∞$ मौजूद नहीं है: यदि सीमाएं ली जाती हैं ताकि $a = −b$, तो सीमा शून्य है, जबकि यदि बाधा है $2a = −b$ लिया जाता है, तो सीमा है $ln(2)$.

इस तरह की अस्पष्टताओं से बचने के लिए, गणितीय पाठ्यपुस्तकों में यह आवश्यक है कि दिया गया अभिन्न पूरी तरह से अभिसरण करता है $E[X]$ अन्यथा अपरिभाषित छोड़ दिया। हालांकि, नीचे दी गई माप-सैद्धांतिक धारणाओं का उपयोग व्यवस्थित परिभाषा देने के लिए किया जा सकता है $E[X]$ अधिक सामान्य यादृच्छिक चर के लिए $X$.

मनमाना वास्तविक मूल्यवान यादृच्छिक चर
अपेक्षित मूल्य की सभी परिभाषाएँ माप सिद्धांत की भाषा में व्यक्त की जा सकती हैं। सामान्य तौर पर, अगर $X$ प्रायिकता स्थान पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर है $(&Omega;, &Sigma;, P)$, फिर का अपेक्षित मूल्य $X$, द्वारा चिह्नित $E[X]$, को लेबेसेग एकीकरण के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$\operatorname{E} [X] = \int_\Omega X\,d\operatorname{P}.$$

नई अमूर्त स्थिति के बावजूद, यह परिभाषा कुछ भारित औसत के रूप में ऊपर दी गई अपेक्षित मूल्यों की सबसे सरल परिभाषा के स्वरूप में बेहद समान है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि माप सिद्धांत में, Lebesgue के अभिन्न अंग का मान $X$ के अनुमानों के भारित औसत के माध्यम से परिभाषित किया गया है $X$ जो निश्चित रूप से कई मान लेते हैं। इसके अलावा, यदि परिमित या गणनीय रूप से कई संभावित मानों के साथ एक यादृच्छिक चर दिया जाता है, तो अपेक्षा का लेबेस्ग सिद्धांत ऊपर दिए गए योग सूत्रों के समान है। हालांकि, लेबेस्ग सिद्धांत संभाव्यता घनत्व कार्यों के सिद्धांत के दायरे को स्पष्ट करता है। एक यादृच्छिक चर $X$ यदि निम्न में से कोई भी शर्त पूरी होती है तो इसे बिल्कुल निरंतर कहा जाता है:
 * एक गैर-नकारात्मक औसत दर्जे का कार्य है $f$ वास्तविक रेखा पर ऐसा है
 * $$\text{P}(X\in A)=\int_A f(x)\,dx,$$
 * किसी भी बोरेल सेट  के लिए $A$, जिसमें समाकलन Lebesgue है।

ये स्थितियाँ सभी समतुल्य हैं, हालाँकि इसे स्थापित करना तुच्छ नहीं है। इस परिभाषा में, $X$ का प्रायिकता घनत्व फलन कहलाता है $A$ (लेबेस्ग माप के सापेक्ष)। Lebesgue एकीकरण के लिए चर-के-परिवर्तन सूत्र के अनुसार, अचेतन सांख्यिकीविद् के कानून के साथ संयुक्त, यह इस प्रकार है कि
 * का संचयी वितरण समारोह $X$ नितांत सतत है।
 * किसी भी बोरेल सेट के लिए $A$ Lebesgue के साथ वास्तविक संख्याओं का माप शून्य के बराबर है, की प्रायिकता $A$ में मूल्यांकित किया जा रहा है $X$ भी शून्य के बराबर है
 * किसी भी सकारात्मक संख्या के लिए $&epsilon;$ एक सकारात्मक संख्या है $&delta;$ ऐसा है कि: अगर $A$ Lebesgue माप से कम के साथ एक बोरेल सेट है $&delta;$, तो की संभावना $f$ में मूल्यांकित किया जा रहा है $X$ से कम होता है $&epsilon;$.
 * $$\operatorname{E}[X]\equiv\int_\Omega X\,d\operatorname{P}=\int_{\mathbb{R}}xf(x)\,dx$$

किसी भी पूर्णतया सतत यादृच्छिक चर के लिए $X$. निरंतर यादृच्छिक चर की उपरोक्त चर्चा इस प्रकार सामान्य लेबेस्ग सिद्धांत का एक विशेष मामला है, इस तथ्य के कारण कि प्रत्येक टुकड़ा-सतत-निरंतर कार्य औसत दर्जे का है।

अनंत अपेक्षित मान
अपेक्षित मान जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है स्वचालित रूप से परिमित संख्याएँ हैं। हालांकि, कई मामलों में अपेक्षित मूल्यों पर विचार करने में सक्षम होना मौलिक है $±∞$. यह सहज ज्ञान युक्त है, उदाहरण के लिए, सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास के मामले में, जिसमें कोई संभावित परिणामों के साथ एक यादृच्छिक चर पर विचार करता है $x_{i} = 2^{i}$, संबद्ध संभावनाओं के साथ $p_{i} = 2^{−i}$, के लिये $i$ सभी सकारात्मक पूर्णांकों को लेकर। गणनात्मक रूप से अनेक परिणामों वाले यादृच्छिक चरों के मामले में योग सूत्र के अनुसार, एक के पास होता है $$ \operatorname{E}[X]= \sum_{i=1}^\infty x_i\,p_i =2\cdot \frac{1}{2}+4\cdot\frac{1}{4} + 8\cdot\frac{1}{8}+ 16\cdot\frac{1}{16}+ \cdots = 1 + 1 + 1 + 1 + \cdots. $$ यह कहना स्वाभाविक है कि अपेक्षित मूल्य बराबर है $+∞$.

इस तरह के विचारों में अंतर्निहित एक कठोर गणितीय सिद्धांत है, जिसे अक्सर लेबेसेग इंटीग्रल की परिभाषा के हिस्से के रूप में लिया जाता है। पहला मौलिक अवलोकन यह है कि उपरोक्त परिभाषाओं में से जो भी हो, किसी भी गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर को एक स्पष्ट अपेक्षित मूल्य दिया जा सकता है; जब भी पूर्ण अभिसरण विफल हो जाता है, तो अपेक्षित मान को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है $+∞$. दूसरा मौलिक अवलोकन यह है कि किसी भी यादृच्छिक चर को दो गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के अंतर के रूप में लिखा जा सकता है। एक यादृच्छिक चर दिया $X$, एक द्वारा सकारात्मक और नकारात्मक भाग ों को परिभाषित करता है $X^{ +} = max(X, 0)$ तथा $X^{ −} = −min(X, 0)$. ये गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर हैं, और इसे सीधे जाँचा जा सकता है $X = X^{ +} − X^{ −}$. तब से $E[X^{ +}]$ तथा $E[X^{ −}]$ फिर दोनों को या तो गैर-ऋणात्मक संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है या $+∞$, तो यह परिभाषित करना स्वाभाविक है: $$ \operatorname{E}[X] = \begin{cases} \operatorname{E}[X^+] -  \operatorname{E}[X^-] & \text{if }  \operatorname{E}[X^+] < \infty \text{ and } \operatorname{E}[X^-] < \infty;\\ +\infty & \text{if }  \operatorname{E}[X^+] = \infty \text{ and } \operatorname{E}[X^-] < \infty;\\ -\infty &  \text{if }  \operatorname{E}[X^+] < \infty \text{ and } \operatorname{E}[X^-] = \infty;\\ \text{undefined} & \text{if }  \operatorname{E}[X^+] = \infty \text{ and } \operatorname{E}[X^-] = \infty. \end{cases} $$ इस परिभाषा के अनुसार, $E[X]$ मौजूद है और परिमित है अगर और केवल अगर $E[X^{ +}]$ तथा $E[X^{ −}]$ दोनों परिमित हैं। सूत्र के कारण $|X| = X^{ +} + X^{ −}$, यह मामला है अगर और केवल अगर $E|X|$ परिमित है, और यह उपरोक्त परिभाषाओं में पूर्ण अभिसरण शर्तों के बराबर है। जैसे, वर्तमान विचार किसी भी मामले में परिमित अपेक्षित मूल्यों को परिभाषित नहीं करते हैं, जिन पर पहले विचार नहीं किया गया था; वे अनंत अपेक्षाओं के लिए ही उपयोगी हैं।
 * सेंट पीटर्सबर्ग विरोधाभास के मामले में, एक के पास है $X^{ −} = 0$ इसलिए $E[X] = +∞$ जैसी इच्छा।
 * मान लीजिए यादृच्छिक चर $X$ मान लेता है $1, −2,3, −4, ...$ संबंधित संभावनाओं के साथ $6&pi;^{−2}, 6(2&pi;)^{−2}, 6(3&pi;)^{−2}, 6(4&pi;)^{−2}, ...$. इसके बाद यह इस प्रकार है $X^{ +}$ मान लेता है $2k−1$ संभावना के साथ $6((2k−1)&pi;)^{−2}$ प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$, और मूल्य लेता है $0$ शेष संभावना के साथ। इसी प्रकार, $X^{ −}$ मान लेता है $2k$ संभावना के साथ $6(2k&pi;)^{−2}$ प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$ और मान लेता है $0$ शेष संभावना के साथ। गैर-ऋणात्मक यादृच्छिक चर के लिए परिभाषा का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि दोनों $E[X^{ +}] = ∞$ तथा $E[X^{ −}] = −∞$ ( हार्मोनिक श्रृंखला (गणित) देखें)। इसलिए, इस मामले में की उम्मीद है $X$ अपरिभाषित है।
 * इसी तरह, कॉची बंटन, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, में अपरिभाषित प्रत्याशा है।

सामान्य वितरण के अपेक्षित मूल्य
निम्न तालिका कुछ सामान्य रूप से होने वाले प्रायिकता वितरणों के अपेक्षित मान देती है। तीसरा कॉलम परिभाषा द्वारा तुरंत दिए गए रूप में और साथ ही गणना द्वारा प्राप्त सरलीकृत रूप में अपेक्षित मान देता है। इन संगणनाओं का विवरण, जो हमेशा सीधा नहीं होता, संकेतित संदर्भों में पाया जा सकता है।

गुण
नीचे दिए गए मूल गुण (और बोल्ड में उनके नाम) Lebesgue इंटीग्रल से तुरंत दोहराए जाते हैं या उनका अनुसरण करते हैं। ध्यान दें कि अक्षर a.s. लगभग निश्चित रूप से स्टैंड के लिए - लेबेस्ग इंटीग्रल  की एक केंद्रीय संपत्ति। मूल रूप से, कोई कहता है कि असमानता पसंद है $$X \geq 0 $$ लगभग निश्चित रूप से सत्य है, जब संभाव्यता माप शून्य-द्रव्यमान को पूरक घटना के रूप में प्रस्तुत करता है $$ \left\{ X < 0 \right\} $$.

\operatorname{E}[X + Y] &=  \operatorname{E}[X] + \operatorname{E}[Y], \\ \operatorname{E}[aX]   &= a \operatorname{E}[X], \end{align} $$
 * गैर-नकारात्मकता: यदि $$X \geq 0 $$ (ए.एस.), फिर $$ \operatorname{E}[ X] \geq 0$$.
 * उम्मीद की रैखिकता: अपेक्षित मान ऑपरेटर (या अपेक्षा ऑपरेटर) $$\operatorname{E}[\cdot]$$ रैखिक ऑपरेटर  इस अर्थ में है कि, किसी भी यादृच्छिक चर के लिए $$X$$ तथा $$Y$$, और एक स्थिर $$a$$, $$\begin{align}
 * जब भी दाहिना हाथ अच्छी तरह से परिभाषित होता है। गणितीय प्रेरण द्वारा, इसका मतलब है कि यादृच्छिक चर की किसी भी परिमित संख्या के योग का अपेक्षित मूल्य अलग-अलग यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्यों का योग है, और एक गुणक स्थिरांक के साथ रैखिक रूप से अपेक्षित मूल्य मापता है। प्रतीकात्मक रूप से, के लिए $$N$$ यादृच्छिक चर $$X_{i}$$ और स्थिरांक $$a_{i} (1\leq i \leq N)$$, अपने पास $ \operatorname{E}\left[\sum_{i=1}^{N}a_{i}X_{i}\right] = \sum_{i=1}^{N}a_{i}\operatorname{E}[X_{i}]

$ . यदि हम सदिश स्थान बनाने के रूप में परिमित अपेक्षित मान वाले यादृच्छिक चर के सेट के बारे में सोचते हैं, तो अपेक्षा की रैखिकता का अर्थ है कि इस सदिश स्थान पर अपेक्षित मान एक रैखिक रूप  है।
 * एकरसता: यदि $$X\leq Y$$ लगभग निश्चित रूप से|(ए.एस.), और दोनों $$\operatorname{E}[X]$$ तथा $$\operatorname{E}[Y]$$ मौजूद हैं, तो $$\operatorname{E}[X]\leq\operatorname{E}[Y]$$. सबूत रैखिकता और गैर-नकारात्मकता संपत्ति के लिए अनुसरण करता है $$Z=Y-X$$, जबसे $$Z\geq 0$$ (जैसा।)।
 * गैर अध: पतन: अगर $$\operatorname{E}[|X|]=0$$, फिर $$X=0$$ (जैसा।)।
 * यदि $$X = Y$$ लगभग निश्चित रूप से|(अ.स.), फिर $$ \operatorname{E}[ X] = \operatorname{E}[ Y]$$. दूसरे शब्दों में, यदि X और Y यादृच्छिक चर हैं जो प्रायिकता शून्य के साथ अलग-अलग मान लेते हैं, तो X की अपेक्षा Y की अपेक्षा के बराबर होगी।
 * यदि $$X=c$$ लगभग निश्चित रूप से|(a.s.) किसी वास्तविक संख्या के लिए $c$, फिर $$\operatorname{E}[X] = c$$. विशेष रूप से, एक यादृच्छिक चर के लिए $$X$$ अच्छी तरह से परिभाषित अपेक्षा के साथ, $$\operatorname{E}[\operatorname{E}[X]] = \operatorname{E}[X]$$. एक अच्छी तरह से परिभाषित अपेक्षा का अर्थ है कि एक संख्या है, या यूँ कहें कि एक स्थिरांक है जो अपेक्षित मूल्य को परिभाषित करता है। इस प्रकार इस प्रकार है कि इस स्थिरांक की अपेक्षा केवल मूल अपेक्षित मान है।
 * सूत्र के फलस्वरूप $|X| = X^{ +} + X^{ −}$ जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, त्रिभुज असमानता के साथ, यह किसी भी यादृच्छिक चर के लिए अनुसरण करता है $$X$$ अच्छी तरह से परिभाषित अपेक्षा के साथ, किसी के पास है $$ |\operatorname{E}[X]| \leq \operatorname{E}|X| $$.
 * होने देना $1_{A}$ किसी घटना के संकेतक कार्य को निरूपित करें (संभावना सिद्धांत) $A$, फिर $E[1_{A}]$ की संभावना द्वारा दिया गया है $A$. यह और कुछ नहीं बल्कि बर्नौली यादृच्छिक चर  की अपेक्षा को बताने का एक अलग तरीका है, जैसा कि ऊपर दी गई तालिका में गणना की गई है।
 * सीडीएफ के संदर्भ में सूत्र: यदि $$F(x)$$ एक यादृच्छिक चर का संचयी बंटन फलन है $X$, फिर

\operatorname{E}[X] = \int_{-\infty}^\infty x\,dF(x), $$ जहां दोनों पक्षों के मूल्यों को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है या एक साथ अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया गया है, और इंटीग्रल को Lebesgue-Stiltjes इंटीग्रल|Lebesgue-Stiltjes के अर्थ में लिया जाता है। इस प्रतिनिधित्व के लिए लागू भागों द्वारा एकीकरण  के परिणामस्वरूप $E[X]$है, यह सिद्ध किया जा सकता है $$ \operatorname{E}[X] = \int_0^\infty (1-F(x))\,dx -  \int^0_{-\infty} F(x)\,dx,$$ Lebesgue के अर्थ में लिए गए इंटीग्रल के साथ। एक विशेष मामले के रूप में, किसी भी यादृच्छिक चर के लिए $X$ गैर-नकारात्मक पूर्णांकों में मूल्यवान ${0, 1, 2, 3, ...}$, किसी के पास $$ \operatorname{E}[X]=\sum _{n=0}^\infty \operatorname{P}(X>n),$$
 * कहाँ पे $P$ अंतर्निहित संभाव्यता माप को दर्शाता है।


 * गैर-गुणात्मकता: सामान्य तौर पर, अपेक्षित मान गुणक नहीं होता है, अर्थात $$\operatorname{E}[XY]$$ के बराबर नहीं है $$\operatorname{E}[X]\cdot \operatorname{E}[Y]$$. यदि $$X$$ तथा $$Y$$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर  हैं, तो कोई यह दिखा सकता है $$\operatorname{E}[XY]=\operatorname{E}[X] \operatorname{E}[Y]$$. यदि यादृच्छिक चर निर्भर और स्वतंत्र चर हैं, तो आम तौर पर $$\operatorname{E}[XY] \neq \operatorname{E}[X] \operatorname{E}[Y]$$, हालांकि निर्भरता के विशेष मामलों में समानता हो सकती है।
 * अचेतन सांख्यिकीविद् का नियम: के मापने योग्य कार्य का अपेक्षित मूल्य $$X$$, $$g(X)$$, मान लें कि $$X$$ संभाव्यता घनत्व समारोह है $$f(x)$$, के आंतरिक उत्पाद द्वारा दिया जाता है $$f$$ तथा $$g$$: $$\operatorname{E}[g(X)] = \int_{\R} g(x) f(x)\, dx .$$ यह सूत्र बहुआयामी मामले में भी लागू होता है, जब $$g$$ कई यादृच्छिक चर का एक कार्य है, और $$f$$ क्या उनका प्रायिकता घनत्व फलन#घनत्व अनेक चरों से संबद्ध है।

असमानताएं
एकाग्रता असमानताएँ बड़े मूल्यों पर एक यादृच्छिक चर की संभावना को नियंत्रित करती हैं। मार्कोव की असमानता साबित करने के लिए सबसे प्रसिद्ध और सरल है: एक गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर के लिए $X$ और कोई सकारात्मक संख्या $a$, यह प्रकट करता है की $$ \operatorname{P}(X\geq a)\leq\frac{\operatorname{E}[X]}{a}. $$ यदि $X$ परिमित अपेक्षा के साथ कोई भी यादृच्छिक चर है, तो मार्कोव की असमानता को यादृच्छिक चर पर लागू किया जा सकता है $|X−E[X]|^{2}$ चेबिशेव की असमानता प्राप्त करने के लिए $$ \operatorname{P}(|X-\text{E}[X]|\geq a)\leq\frac{\operatorname{Var}[X]}{a^2}, $$ कहाँ पे $Var$ विचरण है। सशर्त धारणाओं के लगभग पूर्ण अभाव के लिए ये असमानताएँ महत्वपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, परिमित अपेक्षा वाले किसी भी यादृच्छिक चर के लिए, चेबिशेव असमानता का अर्थ है कि अपेक्षित मूल्य के दो मानक विचलन  के भीतर परिणाम होने की कम से कम 75% संभावना है। हालांकि, विशेष मामलों में मार्कोव और चेबिशेव असमानताएं अक्सर उपलब्ध जानकारी की तुलना में बहुत कमजोर जानकारी देती हैं। उदाहरण के लिए, एक बिना वजन वाले पासे के मामले में, चेबिशेव की असमानता कहती है कि 1 और 6 के बीच लुढ़कने की संभावना कम से कम 53% है; हकीकत में, बेशक 100% संभावनाएँ हैं। कोल्मोगोरोव असमानता चेबीशेव असमानता को यादृच्छिक चर के योग के संदर्भ में विस्तारित करती है। निम्नलिखित तीन असमानताएँ गणितीय विश्लेषण के क्षेत्र में मौलिक महत्व की हैं और संभाव्यता सिद्धांत के लिए इसके अनुप्रयोग हैं। f(\operatorname{E}(X)) \leq \operatorname{E} (f(X)). $$
 * जेन्सेन की असमानता: चलो $f: ℝ → ℝ$ एक उत्तल कार्य हो और $X$ परिमित अपेक्षा के साथ एक यादृच्छिक चर। फिर $$
 * अभिकथन का एक भाग यह है कि के सकारात्मक और नकारात्मक भाग $f(X)$ परिमित अपेक्षा है, ताकि दाहिना हाथ अच्छी तरह से परिभाषित (संभवतः अनंत) हो। की उत्तलता $f$ यह कहते हुए वाक्यांशित किया जा सकता है कि दो इनपुट के भारित औसत का आउटपुट दो आउटपुट के समान भारित औसत का अनुमान लगाता है; जेन्सेन की असमानता इसे पूरी तरह से सामान्य भारित औसत की सेटिंग तक विस्तारित करती है, जैसा कि अपेक्षा द्वारा दर्शाया गया है। विशेष मामले में कि $f(x) = |x|^{t/s}$ सकारात्मक संख्या के लिए $s &lt; t$, ल्यापुनोव असमानता प्राप्त करता है $$

\left(\operatorname{E}|X|^s\right)^{1/s}\leq\left(\operatorname{E}|X|^t\right)^{1/t}. $$ : इसे होल्डर असमानता द्वारा भी सिद्ध किया जा सकता है। माप सिद्धांत में, यह समावेशन को साबित करने के लिए विशेष रूप से उल्लेखनीय है $L^{s} ⊂ L^{t}$ एलपी स्पेस का|$L^{p} spaces$संभाव्यता रिक्त स्थान के विशेष मामले में। \operatorname{E}|XY|\leq(\operatorname{E}|X|^p)^{1/p}(\operatorname{E}|Y|^q)^{1/q}. $$
 * होल्डर की असमानता: यदि $p &gt; 1$ तथा $q &gt; 1$ संख्या संतोषजनक हैं $p^{ −1} + q^{ −1} = 1$, फिर $$
 * किसी भी यादृच्छिक चर के लिए $X$ तथा $Y$. का विशेष मामला $p = q = 2$ कॉची-श्वार्ज़ असमानता कहा जाता है, और विशेष रूप से प्रसिद्ध है।

\Bigl(\operatorname{E}|X+Y|^p\Bigr)^{1/p}\leq\Bigl(\operatorname{E}|X|^p\Bigr)^{1/p}+\Bigl(\operatorname{E}|Y|^p\Bigr)^{1/p}. $$ होल्डर और मिन्कोव्स्की असमानताओं को सामान्य माप स्थानों तक बढ़ाया जा सकता है, और अक्सर उस संदर्भ में दिया जाता है। इसके विपरीत, जेन्सेन असमानता संभाव्यता रिक्त स्थान के मामले में विशेष है।
 * मिन्कोवस्की असमानता: कोई भी संख्या दी गई हो $p ≥ 1$, किसी भी यादृच्छिक चर के लिए $X$ तथा $Y$ साथ $E|X|^{p}$ तथा $E|Y|^{p}$ दोनों परिमित हैं, यह उसी का अनुसरण करता है $E|X + Y|^{p}$ भी परिमित है और $$

यादृच्छिक चर के अभिसरण के तहत अपेक्षाएं
सामान्य तौर पर, ऐसा नहीं है $$\operatorname{E}[X_n] \to \operatorname{E}[X]$$ भले ही $$X_n\to X$$ बिंदुवार। इस प्रकार, यादृच्छिक चर पर अतिरिक्त शर्तों के बिना, सीमा और अपेक्षा का आदान-प्रदान नहीं किया जा सकता है। इसे देखने के लिए, आइए $$U$$ समान रूप से वितरित एक यादृच्छिक चर हो $$[0,1]$$. के लिये $$n\geq 1,$$ यादृच्छिक चर के अनुक्रम को परिभाषित करें


 * $$X_n = n \cdot \mathbf{1}\left\{ U \in \left(0,\tfrac{1}{n}\right)\right\},$$

साथ $${\mathbf 1}\{A\}$$ घटना का सूचक कार्य होना $$A$$. फिर, यह इस प्रकार है $$X_n \to 0$$ बिंदुवार। परंतु, $$\operatorname{E}[X_n] = n \cdot \operatorname{P}\left(U \in \left[ 0, \tfrac{1}{n}\right] \right) = n \cdot \tfrac{1}{n} = 1$$ प्रत्येक के लिए $$n$$. अत, $$ \lim_{n \to \infty} \operatorname{E}[X_n] = 1 \neq 0 = \operatorname{E}\left[ \lim_{n \to \infty} X_n \right].$$ समान रूप से, यादृच्छिक चर के सामान्य अनुक्रम के लिए $$\{ Y_n : n \geq 0\}$$, अपेक्षित मान ऑपरेटर नहीं है $$\sigma$$-योगात्मक, यानी


 * $$\operatorname{E}\left[\sum^\infty_{n=0} Y_n\right] \neq \sum^\infty_{n=0}\operatorname{E}[Y_n].$$

एक उदाहरण सेट करके आसानी से प्राप्त किया जाता है $$Y_0 = X_1$$ तथा $$Y_n = X_{n+1} - X_n$$ के लिये $$n \geq 1$$, कहाँ पे $$X_n$$ पिछले उदाहरण की तरह है।

अभिसरण के कई परिणाम सटीक स्थितियों को निर्दिष्ट करते हैं जो नीचे निर्दिष्ट अनुसार सीमाओं और अपेक्षाओं को बदलने की अनुमति देते हैं।

\operatorname{E}\left[\sum^\infty_{i=0}X_i\right] = \sum^\infty_{i=0}\operatorname{E}[X_i]. $$
 * एकरस अभिसरण प्रमेय: चलो $$\{X_n : n \geq 0\}$$ के साथ यादृच्छिक चर का एक क्रम हो $$0 \leq X_n \leq X_{n+1}$$ (ए.एस.) प्रत्येक के लिए $$ n \geq 0$$. इसके अलावा, चलो $$ X_n \to X $$ बिंदुवार। फिर, मोनोटोन अभिसरण प्रमेय कहता है कि $$\lim_n\operatorname{E}[X_n]=\operatorname{E}[X].$$ मोनोटोन अभिसरण प्रमेय का उपयोग करके, कोई दिखा सकता है कि उम्मीद वास्तव में गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर के लिए गणनीय योगात्मकता को संतुष्ट करती है। विशेष रूप से, चलो $$\{X_i\}^\infty_{i=0}$$ गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर बनें। यह #Monotone अभिसरण प्रमेय से अनुसरण करता है $$
 * फतौ की लेम्मा: आसान $$\{ X_n \geq 0 : n \geq 0\}$$ गैर-नकारात्मक यादृच्छिक चर का अनुक्रम बनें। फतौ की लेम्मा बताती है कि $$\operatorname{E}[\liminf_n X_n] \leq \liminf_n \operatorname{E}[X_n]. $$ परिणाम। होने देना $$ X_n \geq 0$$ साथ $$\operatorname{E}[X_n] \leq C $$ सभी के लिए $$ n \geq 0$$. यदि $$X_n \to X$$ (ए.एस), फिर $$\operatorname{E}[X] \leq C. $$  प्रमाण यह देखने से है $ X = \liminf_n X_n$  (ए.एस.) और फतौ की लेम्मा को लागू करना।
 * प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय : चलो $$\{X_n : n \geq 0 \}$$ यादृच्छिक चर का एक क्रम हो। यदि $$X_n\to X$$ बिंदुवार अभिसरण  (ए.एस.), $$|X_n|\leq Y \leq +\infty$$ (के रूप में और $$\operatorname{E}[Y]<\infty$$. तब प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय के अनुसार,
 * $$\operatorname{E}|X| \leq \operatorname{E}[Y] <\infty$$;
 * $$\lim_n\operatorname{E}[X_n]=\operatorname{E}[X]$$
 * $$\lim_n\operatorname{E}|X_n - X| = 0. $$
 * समान पूर्णता: कुछ मामलों में, समानता $$\lim_n\operatorname{E}[X_n]=\operatorname{E}[\lim_n X_n]$$ धारण करता है जब अनुक्रम $$\{X_n\}$$ समान रूप से समाकलनीय है।

विशेषता समारोह के साथ संबंध
संभाव्यता घनत्व समारोह $$f_X$$ एक अदिश यादृच्छिक चर का $$X$$ इसके विशिष्ट कार्य (संभावना) से संबंधित है $$\varphi_X$$ उलटा सूत्र द्वारा:
 * $$f_X(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbb{R}} e^{-itx}\varphi_X(t) \, \mathrm{d}t.$$

के अपेक्षित मूल्य के लिए $$g(X)$$ (कहाँ पे $$g:{\mathbb R}\to{\mathbb R}$$ एक मापने योग्य कार्य है), हम प्राप्त करने के लिए इस व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग कर सकते हैं


 * $$ \operatorname{E}[g(X)] = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb R} g(x)\left[ \int_{\mathbb R} e^{-itx}\varphi_X(t) \, \mathrm{d}t \right]\,\mathrm{d}x.$$

यदि $$\operatorname{E}[g(X)]$$ परिमित है, एकीकरण के क्रम को बदलते हुए, हम फ़ुबिनी प्रमेय के अनुसार प्राप्त करते हैं|फ़ुबिनी-टोनेली प्रमेय,


 * $$ \operatorname{E}[g(X)] = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbb R} G(t) \varphi_X(t) \, \mathrm{d}t,$$

कहाँ पे


 * $$G(t) = \int_{\mathbb R} g(x) e^{-itx} \, \mathrm{d}x$$

का फूरियर रूपांतरण है $$ g(x). $$ के लिए अभिव्यक्ति $$\operatorname{E}[g(X)]$$ प्लैंकेरल प्रमेय से भी सीधे अनुसरण करता है।

उपयोग और अनुप्रयोग
एक यादृच्छिक चर की अपेक्षा विभिन्न संदर्भों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। उदाहरण के लिए, निर्णय सिद्धांत  में, अधूरी जानकारी के संदर्भ में एक इष्टतम विकल्प बनाने वाले एक एजेंट को अक्सर उनके वॉन न्यूमैन-मॉर्गेनस्टर्न यूटिलिटी फ़ंक्शन के अपेक्षित मूल्य को अधिकतम करने के लिए माना जाता है। एक अलग उदाहरण के लिए, आंकड़ों में, जहां कोई उपलब्ध डेटा के आधार पर अज्ञात पैरामीटर के अनुमानों की तलाश करता है, अनुमान स्वयं एक यादृच्छिक चर है। ऐसी सेटिंग्स में, एक अच्छे अनुमानक के लिए एक वांछनीय मानदंड यह है कि यह निष्पक्ष अनुमानक है; अर्थात्, अनुमान का अपेक्षित मान अंतर्निहित पैरामीटर के वास्तविक मान के बराबर है।

किसी घटना की संभावना के बराबर एक अपेक्षित मूल्य का निर्माण करना संभव है, एक संकेतक फ़ंक्शन की अपेक्षा लेना जो एक है यदि घटना हुई है और अन्यथा शून्य है। इस संबंध का उपयोग अपेक्षित मूल्यों के गुणों को संभावनाओं के गुणों में बदलने के लिए किया जा सकता है, उदा। सांख्यिकीय आवृत्ति  द्वारा प्रायिकता का अनुमान लगाने के औचित्य के लिए बड़ी संख्या के कानून का उपयोग करना।

एक्स की शक्तियों के अपेक्षित मूल्यों को एक्स का पल (गणित)  कहा जाता है; एक्स के माध्य के बारे में क्षण की शक्तियों के अपेक्षित मूल्य हैं $X − E[X]$. कुछ यादृच्छिक चर के क्षणों का उपयोग उनके वितरण को निर्दिष्ट करने के लिए किया जा सकता है, उनके क्षण पैदा करने वाले कार्यों के माध्यम से।

अनुभवजन्य रूप से अनुमान सिद्धांत  के लिए एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मूल्य, एक बार-बार चर के अवलोकनों को मापता है और परिणामों के अंकगणितीय माध्य की गणना करता है। यदि अपेक्षित मूल्य मौजूद है, तो यह प्रक्रिया एक  अनुमानक पूर्वाग्रह  तरीके से सही अपेक्षित मूल्य का अनुमान लगाती है और इसमें त्रुटियों के वर्गों के योग को कम करने और आँकड़ों में अवशिष्ट (अवलोकन और अनुमानक के बीच वर्ग अंतर का योग) की संपत्ति है।. बड़ी संख्या का नियम दर्शाता है (काफी हल्की परिस्थितियों में) कि, जैसे-जैसे सांख्यिकीय नमूने का नमूना आकार बड़ा होता जाता है, इस अनुमानक का प्रसरण छोटा होता जाता है।

मोंटे कार्लो विधियों के माध्यम से अनुमान (संभाव्य) ब्याज की मात्रा का अनुमान लगाने के लिए सांख्यिकीय अनुमान  और मशीन सीखने की सामान्य समस्याओं सहित, इस संपत्ति का अक्सर विभिन्न प्रकार के अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है, क्योंकि अधिकांश मात्रा में ब्याज अपेक्षा के संदर्भ में लिखा जा सकता है, उदा। $$\operatorname{P}({X \in \mathcal{A}}) = \operatorname{E}[{\mathbf 1}_{\mathcal{A}}]$$, कहाँ पे $$ {\mathbf 1}_{\mathcal{A}}$$ सेट का सूचक कार्य है $$\mathcal{A}$$.

शास्त्रीय यांत्रिकी में, द्रव्यमान का केंद्र अपेक्षा के अनुरूप अवधारणा है। उदाहरण के लिए, मान लें कि X मान x के साथ असतत यादृच्छिक चर हैiऔर संगत संभावनाएँ pi. अब एक भारहीन छड़ पर विचार करें, जिस पर स्थानों x पर भार रखे गए हैंiछड़ के साथ और द्रव्यमान पीi(जिसका योग एक है)। वह बिंदु जिस पर छड़ संतुलन E[X] है।

प्रसरण के लिए कम्प्यूटेशनल सूत्र के माध्यम से प्रसरण की गणना करने के लिए अपेक्षित मानों का भी उपयोग किया जा सकता है


 * $$\operatorname{Var}(X)= \operatorname{E}[X^2] - (\operatorname{E}[X])^2.$$

अपेक्षा मूल्य का एक बहुत ही महत्वपूर्ण अनुप्रयोग क्वांटम यांत्रिकी  के क्षेत्र में है। क्वांटम मैकेनिकल ऑपरेटर का अपेक्षित मूल्य $$\hat{A}$$  कितना राज्य  वेक्टर पर काम करना $$|\psi\rangle$$ के रूप में लिखा गया है $$\langle\hat{A}\rangle = \langle\psi|A|\psi\rangle$$. में अनिश्चितता का सिद्धांत $$\hat{A}$$ सूत्र द्वारा गणना की जा सकती है $$(\Delta A)^2 = \langle\hat{A}^2\rangle - \langle \hat{A} \rangle^2 $$.

यह भी देखें

 * सेंटर ऑफ मास
 * केंद्रीय प्रवृत्ति
 * चेबिशेव की असमानता (स्थान और पैमाने के मापदंडों पर एक असमानता)
 * सशर्त अपेक्षा
 * अपेक्षा (महामारी) (सामान्य शब्द)
 * अपेक्षा मूल्य (क्वांटम यांत्रिकी)
 * कुल अपेक्षा का नियम - X दिए गए Y के सशर्त अपेक्षित मूल्य का अपेक्षित मूल्य X के अपेक्षित मूल्य के समान है।
 * पल (गणित)
 * अरेखीय अपेक्षा (अपेक्षित मूल्य का एक सामान्यीकरण)
 * नमूना माध्य
 * आबादी मतलब
 * वाल्ड का समीकरण—यादृच्छिक चरों की यादृच्छिक संख्या के अपेक्षित मान की गणना के लिए एक समीकरण

बाहरी कड़ियाँ
श्रेणी:संभाव्यता वितरण का सिद्धांत श्रेणी:जुआ शब्दावली श्रेणी:साक्ष्य युक्त लेख