वर्ग-मुक्त पूर्णांक

गणित में, एक वर्ग-मुक्त पूर्णांक (या वर्गमुक्त पूर्णांक) एक पूर्णांक होता है जो 1 के अलावा किसी भी वर्ग संख्या से विभाज्य नहीं होता है। यानी, इसके अभाज्य गुणनखंड में इसमें दिखाई देने वाले प्रत्येक अभाज्य के लिए बिल्कुल एक कारक होता है। उदाहरण के लिए, 10 = 2 ⋅ 5 वर्ग-मुक्त है, लेकिन 18 = 2 ⋅ 3 ⋅ 3 नहीं है, क्योंकि 18, 9 = 32 से विभाज्य है। सबसे छोटी धनात्मक वर्ग-मुक्त संख्याएँ हैं

1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17, 19, 21, 22, 23, 26, 29, 30, 31, 33, 34, 35, 37, 38, 39, ...(ओईआईएस में अनुक्रम A005117)

वर्ग-मुक्त गुणनखंडन
प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $$n$$ को एक अद्वितीय विधि से गुणनखंडित किया जा सकता है$$n=\prod_{i=1}^k q_i^i,$$

जहां $$q_i$$ एक से भिन्न वर्ग-मुक्त पूर्णांक होते हैं जो युग्‍मानूसार सहअभाज्य होते हैं। इसे $n$ का वर्ग-मुक्त गुणनखंडन कहा जाता है।

वर्ग-मुक्त गुणनखण्ड बनाने के लिए, आइए$$n=\prod_{j=1}^h p_j^{e_j}$$$$n$$ का अभाज्य गुणनखंडन हो, जहां $$p_j$$ विशिष्ट अभाज्य संख्याएँ हैं। फिर वर्ग-मुक्त गुणनखंड के गुणनखंडों को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है$$q_i=\prod_{j: e_j=i}p_j.$$एक पूर्णांक वर्ग-मुक्त होता है यदि और केवल यदि सभी $$i > 1$$ के लिए $$q_i=1$$ हो। एक से बड़ा पूर्णांक दूसरे पूर्णांक की $$k$$ घात है यदि और केवल यदि $$k$$ सभी i का भाजक है जैसे कि $$q_i\neq 1.$$।

पूर्णांकों के वर्ग-मुक्त गुणनखंडन का उपयोग इस तथ्य से सीमित है कि इसकी गणना अभाज्य गुणनखंडन की गणना जितनी ही कठिन है। अधिक सटीक रूप से, वर्ग-मुक्त गुणनखंड की गणना के लिए प्रत्येक ज्ञात कलन विधि अभाज्य गुणनखंड की भी गणना करता है। यह बहुपदों के मामले में एक उल्लेखनीय अंतर है जिसके लिए समान परिभाषाएँ दी जा सकती हैं, लेकिन, इस मामले में, पूर्ण गुणनखंड की तुलना में वर्ग-मुक्त गुणनखंड की गणना करना न केवल आसान है, लेकिन यह सभी मानक गुणनखंडन एल्गोरिदम का पहला चरण है।

पूर्णांकों के वर्ग-मुक्त गुणनखंड
किसी पूर्णांक का मूलांक उसका सबसे बड़ा वर्ग-मुक्त गुणनखंड होता है, अर्थात $$\textstyle \prod_{i=1}^k q_i$$पूर्ववर्ती खंड के अंकन के साथ। एक पूर्णांक वर्ग-मुक्त होता है यदि और केवल तभी जब वह उसके मूलांक के बराबर हो।

प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $$n$$ को एक अद्वितीय विधि  से एक घातीय संख्या के गुणन के रूप में दर्शाया जा सकता है (यह एक ऐसा पूर्णांक है जो प्रत्येक अभाज्य गुणनखंड के वर्ग से विभाज्य है) और एक वर्ग-मुक्त पूर्णांक, जो सहअभाज्य हैं। इस गुणनखंड में, वर्ग-मुक्त गुणनखंड $$q_1,$$ है और घातीय संख्या $$\textstyle \prod_{i=2}^k q_i^i.$$ है।

$$n$$ का वर्ग-मुक्त भाग $$q_1,$$ है, जो सबसे बड़ा वर्ग-मुक्त भाजक है $$n$$ का $$k$$, जो कि $$n/k$$ के साथ सहअभाज्य है। किसी पूर्णांक का वर्ग-मुक्त भाग सबसे बड़े वर्ग-मुक्त विभाजक से छोटा हो सकता है, जो कि $$\textstyle \prod_{i=1}^k q_i.$$ है।

किसी भी याच्छिक रूप से धनात्मक पूर्णांक $$n$$ को एक वर्ग और एक वर्ग-मुक्त पूर्णांक के गुणनफल के रूप में एक अनोखे विधि से दर्शाया जा सकता है:

$$ n=m^2 k$$

इस गुणनखंडन में, $$m$$, $$n$$ का सबसे बड़ा भाजक है, इस प्रकार कि $$m^2$$, $$n$$ का भाजक है।

संक्षेप में, तीन वर्ग-मुक्त कारक हैं जो स्वाभाविक रूप से हर पूर्णांक के साथ जुड़े होते हैं: वर्ग-मुक्त भाग, उपरोक्त कारक $$k$$, और सबसे बड़ा वर्ग-मुक्त कारक। प्रत्येक अगले का एक गुणनखंड है। सभी को अभाज्य गुणनखंडन या वर्ग-मुक्त गुणनखंडन से आसानी से घटाया जाता है। यदि

$$n=\prod_{i=1}^h p_i^{e_i}=\prod_{i=1}^k q_i^i$$

$$n$$ का अभाज्य गुणनखंडन और वर्ग-मुक्त गुणनखंडन हैं, जहां $$p_1, \ldots, p_h$$अलग-अलग अभाज्य संख्याएं हैं, तो वर्ग-मुक्त भाग है। $$\prod_{e_i=1} p_i =q_1,$$

वर्ग-मुक्त कारक जैसे भागफल एक वर्ग है $$\prod_{e_i \text{ odd}} p_i=\prod_{i \text{ odd}} q_i,$$ और सबसे बड़ा वर्ग-मुक्त गुणनखंड है $$\prod_{i=1}^h p_i=\prod_{i=1}^k q_i.$$ उदाहरण के लिए, यदि $$n=75600=2^4\cdot 3^3\cdot 5^2\cdot 7,$$ तो 1 के पास $$q_1=7,\; q_2=5,\;q_3=3,\;q_4=2.$$ है। वर्ग-रहित भाग $7$ है, वर्ग-मुक्त गुणनखंड ऐसा है कि भागफल एक वर्ग है $3 ⋅ 7 = 21$ है, और सबसे बड़ा वर्ग-मुक्त गुणनखंड $2 ⋅ 3 ⋅ 5 ⋅ 7 = 210$ है।

इनमें से किसी भी वर्ग-मुक्त कारक की गणना करने के लिए कोई एल्गोरिथ्म ज्ञात नहीं है जो पूर्ण अभाज्य गुणनखंड की गणना करने से तेज़ हो। विशेष रूप से, किसी पूर्णांक के वर्ग-मुक्त भाग की गणना करने के लिए, या यहां तक कि यह निर्धारित करने के लिए कि कोई पूर्णांक वर्ग-मुक्त है या नहीं, कोई ज्ञात बहुपद-समय एल्गोरिथ्म नहीं है। इसके विपरीत, बहुपद-समय एल्गोरिदम को प्रारंभिक परीक्षण के लिए जाना जाता है। यह पूर्णांकों के अंकगणित और अविभाज्य बहुपदों के अंकगणित के बीच एक बड़ा अंतर है, क्योंकि बहुपद-समय एल्गोरिदम को बहुपदों के वर्ग-मुक्त गुणनखंडन के लिए जाना जाता है (संक्षेप में, एक बहुपद का सबसे बड़ा वर्ग-मुक्त गुणनखंड इसका भागफल है) बहुपद और उसके औपचारिक व्युत्पन्न के सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा)।

समतुल्य लक्षण
एक धनात्मक पूर्णांक $$n$$ वर्ग-मुक्त है यदि और केवल यदि धनात्मक पूर्णांक के विहित प्रतिनिधित्व में हो $$n$$, एक से बड़े घातांक के साथ कोई भी अभाज्य गुणनखंड नहीं होता है। इसे बताने का दूसरा तरीका यह है कि प्रत्येक अभाज्य भाजक के लिए $$p$$ का $$n$$, प्रधान $$p$$ समान रूप से विभाजित नहीं होता$$n/p$$. भी $$n$$ वर्ग-मुक्त है यदि और केवल यदि प्रत्येक गुणनखंड में $$n=ab$$, कारक $$a$$ और $$b$$ सहअभाज्य हैं. इस परिभाषा का तात्कालिक परिणाम यह है कि सभी अभाज्य संख्याएँ वर्ग-मुक्त हैं।

एक धनात्मक पूर्णांक $$n$$ वर्ग-मुक्त है यदि और केवल यदि क्रम के सभी एबेलियन समूह (समूह सिद्धांत) $$n$$ समूह समरूपता हैं, जो कि मामला है यदि और केवल यदि ऐसा कोई समूह चक्रीय समूह है। यह अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों के वर्गीकरण से निम्नानुसार है।

एक पूर्णांक $$n$$ वर्ग-मुक्त है यदि और केवल यदि कारक वलय हो $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$ (मॉड्यूलर अंकगणित देखें) क्षेत्र के छल्ले (गणित) का एक उत्पाद है। यह चीनी शेषफल प्रमेय और इस तथ्य से अनुसरण करता है कि एक वलय का रूप है $$\mathbb{Z}/k\mathbb{Z}$$ एक फ़ील्ड है यदि और केवल यदि $$k$$ प्रधान है.

प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $$n$$, के सभी सकारात्मक विभाजकों का सेट $$n$$ यदि हम भाजक को क्रम संबंध के रूप में उपयोग करते हैं तो आंशिक रूप से क्रमित सेट बन जाता है। आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया यह सेट हमेशा एक वितरणात्मक जाली होता है। यह एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है यदि और केवल यदि $$n$$ वर्ग-मुक्त है.

एक धनात्मक पूर्णांक $$n$$ वर्ग-मुक्त है यदि और केवल यदि $$\mu(n)\ne 0$$, कहाँ $$\mu$$ मोबियस फ़ंक्शन को दर्शाता है।

डिरिचलेट श्रृंखला
मोबियस फ़ंक्शन का पूर्ण मान वर्ग-मुक्त पूर्णांकों के लिए संकेतक फ़ंक्शन है - अर्थात, $|&mu;(n)|$ 1 के बराबर है यदि $n$ वर्ग-मुक्त है, और यदि नहीं है तो 0। इस सूचक फ़ंक्शन की डिरिचलेट श्रृंखला है
 * $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{|\mu(n)|}{n^{s}} = \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)},$$

कहाँ $ζ(s)$ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन है। यह यूलर उत्पाद से अनुसरण करता है
 * $$ \frac{\zeta(s)}{\zeta(2s) } =\prod_p \frac{(1-p^{-2s})}{(1-p^{-s})}=\prod_p (1+p^{-s}), $$

जहां उत्पादों को अभाज्य संख्याओं पर लिया जाता है।

वितरण
मान लीजिए Q(x) 1 और x के बीच वर्ग-मुक्त पूर्णांकों की संख्या को दर्शाता है ( सूचकांक को 1 से स्थानांतरित करना)। बड़े n के लिए, n से कम धनात्मक पूर्णांकों में से 3/4, 4 से विभाज्य नहीं हैं, इन संख्याओं में से 8/9, 9 से विभाज्य नहीं हैं, इत्यादि। चूँकि ये अनुपात गुणक फलन को संतुष्ट करते हैं (यह चीनी शेषफल प्रमेय से अनुसरण करता है), हम सन्निकटन प्राप्त करते हैं:


 * $$\begin{align}Q(x) &\approx x\prod_{p\ \text{prime}} \left(1-\frac{1}{p^2}\right) = x\prod_{p\ \text{prime}} \frac{1}{(1-\frac{1}{p^2})^{-1}}\\

&\approx x\prod_{p\ \text{prime}} \frac{1}{1+\frac{1}{p^2}+\frac{1}{p^4}+\cdots} = \frac{x}{\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2}} = \frac{x}{\zeta(2)} = \frac{6x}{\pi^2}.\end{align}$$ अनुमान प्राप्त करने के लिए इस तर्क को कठोर बनाया जा सकता है (बड़ा ओ अंकन का उपयोग करके)


 * $$Q(x) = \frac{6x}{\pi^2} + O\left(\sqrt{x}\right).$$

एक प्रमाण का रेखाचित्र: उपरोक्त लक्षण वर्णन देता है
 * $$Q(x)=\sum_{n\leq x} \sum_{d^2\mid n} \mu(d)=\sum_{d\leq x} \mu(d)\sum_{n\leq x, d^2\mid n}1=\sum_{d\leq x} \mu(d)\left\lfloor\frac{x}{d^2}\right\rfloor;$$

यह देखते हुए कि अंतिम सारांश शून्य है $$d>\sqrt{x}$$, इसका परिणाम यह होता है
 * $$\begin{align}Q(x)&=\sum_{d\leq\sqrt{x}} \mu(d)\left\lfloor\frac{x}{d^2}\right\rfloor

=\sum_{d\leq\sqrt{x}} \frac{x\mu(d)}{d^2}+O\left(\sum_{d\leq\sqrt{x}} 1\right) =x\sum_{d\leq\sqrt{x}} \frac{\mu(d)}{d^2}+O(\sqrt{x})\\ &=x\sum_{d} \frac{\mu(d)}{d^2}+O\left(x\sum_{d>\sqrt{x}}\frac{1}{d^2}+\sqrt{x}\right) =\frac{x}{\zeta(2)}+O(\sqrt{x}). \end{align}$$ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के सबसे बड़े ज्ञात शून्य-मुक्त क्षेत्र का शोषण करके अर्नोल्ड वालफिज़ ने सन्निकटन में सुधार किया
 * $$Q(x) = \frac{6x}{\pi^2} + O\left(x^{1/2}\exp\left(-c\frac{(\log x)^{3/5}}{(\log\log x)^{1/5}}\right)\right),$$

कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए $c$.

रीमैन परिकल्पना के तहत, त्रुटि शब्द को कम किया जा सकता है
 * $$Q(x) = \frac{x}{\zeta(2)} + O\left(x^{17/54+\varepsilon}\right) = \frac{6}{\pi^2}x + O\left(x^{17/54+\varepsilon}\right).$$

हाल ही में (2015) त्रुटि शब्द को और भी कम कर दिया गया है
 * $$Q(x) = \frac{6}{\pi^2}x + O\left(x^{11/35+\varepsilon}\right).$$

इसलिए वर्ग-मुक्त संख्याओं का स्पर्शोन्मुख/प्राकृतिक घनत्व है


 * $$\lim_{x\to\infty} \frac{Q(x)}{x} = \frac{6}{\pi^2}\approx 0.6079$$

इसलिए 3/5 से अधिक पूर्णांक वर्ग-मुक्त हैं।

इसी तरह, यदि Q(x,n) 1 और x के बीच n-मुक्त पूर्णांकों की संख्या को दर्शाता है (उदाहरण के लिए 3-मुक्त पूर्णांक घन-मुक्त पूर्णांक हैं), तो कोई दिखा सकता है
 * $$Q(x,n) = \frac{x}{\sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^n}} + O\left(\sqrt[n]{x}\right) = \frac{x}{\zeta(n)} + O\left(\sqrt[n]{x}\right).$$

चूँकि 4 के गुणज का वर्ग गुणनखंड 4=2 होना चाहिए2, ऐसा नहीं हो सकता कि चार लगातार पूर्णांक सभी वर्ग-मुक्त हों। दूसरी ओर, अनंत रूप से कई पूर्णांक n मौजूद हैं जिनके लिए 4n +1, 4n +2, 4n +3 सभी वर्ग-मुक्त हैं। अन्यथा, यह देखते हुए कि 4n और 4n +1, 4n +2, 4n +3 में से चार में से कम से कम एक पर्याप्त रूप से बड़े n के लिए गैर-वर्ग-मुक्त हो सकता है, सभी सकारात्मक पूर्णांकों में से आधे को घटाकर कई को गैर-वर्ग-मुक्त होना चाहिए और इसलिए
 * $$Q(x) \leq \frac{x}{2}+C$$ कुछ स्थिरांक C के लिए,

उपरोक्त स्पर्शोन्मुख अनुमान के विपरीत $$Q(x)$$.

मनमानी लंबाई के लगातार गैर-वर्ग-मुक्त पूर्णांकों के अनुक्रम मौजूद हैं। वास्तव में, यदि n एक समकालिक सर्वांगसमता को संतुष्ट करता है
 * $$n\equiv -i\pmod{p_i^2} \qquad (i=1, 2, \ldots, l)$$

अलग-अलग अभाज्य संख्याओं के लिए $$p_1, p_2, \ldots, p_l$$, फिर प्रत्येक $$n+i$$ p से विभाज्य हैi2. दूसरी ओर, उपर्युक्त अनुमान $$Q(x) = 6x/\pi^2 + O\left(\sqrt{x}\right)$$ तात्पर्य यह है कि, कुछ स्थिरांक c के लिए, x और के बीच हमेशा एक वर्ग-मुक्त पूर्णांक मौजूद होता है $$x+c\sqrt{x}$$ सकारात्मक x के लिए. इसके अलावा, एक प्राथमिक तर्क हमें प्रतिस्थापित करने की अनुमति देता है $$x+c\sqrt{x}$$ द्वारा $$x+cx^{1/5}\log x.$$ एबीसी अनुमान अनुमति देगा $$x+x^{o(1)}$$.

Q(x) की तालिका, $6⁄π^{2}$x, और R(x)
तालिका दिखाती है कि कैसे $$ Q(x)$$ और $$\frac{6}{\pi^2}x$$ 10 की घात पर तुलना करें।

$$ R(x) = Q(x) -\frac{6}{\pi^2}x $$, के रूप में भी दर्शाया गया है $$ \Delta(x) $$.


 * {| class="wikitable" style="text-align: right"

! $$ x $$ ! $$ Q(x) $$ ! $$ \frac{6}{\pi^2}x$$ !$$ R(x)$$ $$ R(x) $$ अपना चिन्ह अनंत बार बदलता रहता है $$ x $$ अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है। का निरपेक्ष मान $$ R(x) $$ की तुलना में आश्चर्यजनक रूप से छोटा है $$ x $$.
 * 10
 * 7
 * 6.1
 * 0.9
 * 102
 * 61
 * 60.8
 * 0.2
 * 103
 * 608
 * 607.9
 * 0.1
 * 104
 * 6,083
 * 6,079.3
 * 3.7
 * 105
 * 60,794
 * 60,792.7
 * 1.3
 * 106
 * 607,926
 * 607,927.1
 * - 1.3
 * 107
 * 6,079,291
 * 6,079,271.0
 * 20.0
 * 108
 * 60,792,694
 * 60,792,710.2
 * - 16.2
 * 109
 * 607,927,124
 * 607,927,101.9
 * 22.1
 * 1010
 * 6,079,270,942
 * 6,079,271,018.5
 * - 76.5
 * 1011
 * 60,792,710,280
 * 60,792,710,185.4
 * 94.6
 * 1012
 * 607,927,102,274
 * 607,927,101,854.0
 * 420.0
 * 1013
 * 6,079,271,018,294
 * 6,079,271,018,540.3
 * - 246.3
 * 1014
 * 60,792,710,185,947
 * 60,792,710,185,402.7
 * 544.3
 * 1015
 * 607,927,101,854,103
 * 607,927,101,854,027.0
 * 76.0
 * }
 * 1013
 * 6,079,271,018,294
 * 6,079,271,018,540.3
 * - 246.3
 * 1014
 * 60,792,710,185,947
 * 60,792,710,185,402.7
 * 544.3
 * 1015
 * 607,927,101,854,103
 * 607,927,101,854,027.0
 * 76.0
 * }
 * 76.0
 * }
 * }

बाइनरी संख्याओं के रूप में एन्कोडिंग
यदि हम एक वर्ग-मुक्त संख्या को अनंत गुणनफल के रूप में निरूपित करते हैं


 * $$\prod_{n=0}^\infty (p_{n+1})^{a_n}, a_n \in \lbrace 0, 1 \rbrace,\text{ and }p_n\text{ is the }n\text{th prime}, $$

तो हम उन्हें ले सकते हैं $$a_n$$ और उन्हें एन्कोडिंग के साथ बाइनरी संख्या में बिट्स के रूप में उपयोग करें


 * $$\sum_{n=0}^\infty {a_n}\cdot 2^n .$$

वर्ग-मुक्त संख्या 42 में गुणनखंडन है 2 × 3 × 7, या एक अनंत उत्पाद के रूप में 21 · 31 · 50 · 71 · 110 · 130 ··· इस प्रकार संख्या 42 को बाइनरी अनुक्रम के रूप में एन्कोड किया जा सकता है  या 11 दशमलव. (बाइनरी अंक अनंत उत्पाद में क्रम से उलटे होते हैं।)

चूंकि प्रत्येक संख्या का अभाज्य गुणनखंडन अद्वितीय है, इसलिए वर्ग-मुक्त पूर्णांकों का प्रत्येक बाइनरी एन्कोडिंग भी अद्वितीय है।

इसका उलटा भी सच है। चूंकि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक में एक अद्वितीय बाइनरी प्रतिनिधित्व होता है, इसलिए इस एन्कोडिंग को उलटना संभव है ताकि उन्हें एक अद्वितीय वर्ग-मुक्त पूर्णांक में डिकोड किया जा सके।

फिर से, उदाहरण के लिए, यदि हम संख्या 42 से शुरू करते हैं, इस बार केवल एक सकारात्मक पूर्णांक के रूप में, हमारे पास इसका द्विआधारी प्रतिनिधित्व है. यह डिकोड करता है 20 · 31 · 50 · 71 · 110 · 131 = 3 × 7 × 13 = 273.

इस प्रकार वर्गमुक्त संख्याओं की बाइनरी एन्कोडिंग गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों और सकारात्मक वर्गमुक्त पूर्णांकों के सेट के बीच एक आक्षेप का वर्णन करती है।

(पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में अनुक्रम OEIS:A019565, OEIS:A048672 और OEIS:A064273 देखें।)

एर्डो का वर्गमुक्त अनुमान
केंद्रीय द्विपद गुणांक


 * $${2n \choose n}$$

n > 4 के लिए कभी भी वर्गमुक्त नहीं होता है। यह 1985 में एंड्रास सरकोजी द्वारा सभी पर्याप्त बड़े पूर्णांकों के लिए सिद्ध किया गया था, और सभी पूर्णांकों के लिए > 4 1996 में ओलिवियर रामारे और एंड्रयू ग्रानविले द्वारा।

स्क्वायरफ्री कोर
आइए हम t-free को एक धनात्मक पूर्णांक कहते हैं जिसके भाजक में कोई t-th घात नहीं है। विशेष रूप से, 2-मुक्त पूर्णांक वर्ग-मुक्त पूर्णांक होते हैं।

गुणक फलन $$\mathrm{core}_t(n)$$ प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n को उसके सबसे बड़े भाजक द्वारा n के भागफल में मैप करता है जो कि t-th घात है। वह है,
 * $$\mathrm{core}_t(p^e) = p^{e\bmod t}.$$

पूर्णांक $$\mathrm{core}_t(n)$$ टी-मुक्त है, और प्रत्येक टी-मुक्त पूर्णांक को फ़ंक्शन द्वारा स्वयं मैप किया जाता है $$\mathrm{core}_t.$$ अनुक्रम का डिरिचलेट जनरेटिंग फ़ंक्शन $$\left(\mathrm{core}_t(n) \right)_{n\in \N}$$ है
 * $$\sum_{n\ge 1}\frac{\mathrm{core}_t(n)}{n^s}

= \frac{\zeta(ts)\zeta(s-1)}{\zeta(ts-t)}$$.

यह सभी देखें (टी=2),  (t=3) और  (टी=4).