प्राकृतिक संख्या

गणित में, प्राकृतिक संख्याएं उन नंबरों की गिनती के लिए उपयोग की जाती हैं(जैसे मेज पर छह सिक्के हैं) और ऑर्डरिंग(जैसा कि यह देश का तीसरा सबसे बड़ा शहर है)।

गिनती के लिए उपयोग किए जाने वाले नंबरों को कार्डिनल नंबर कहा जाता है, और ऑर्डर करने के लिए उपयोग किए जाने वाले नंबरों को ऑर्डिनल नंबर कहा जाता है।प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग कभी -कभी लेबल के रूप में किया जाता है, जिसे नाममात्र संख्या के रूप में जाना जाता है, जिसमें गणितीय अर्थों में संख्याओं के गुणों में से कोई भी नहीं होता है (जैसे कि स्पोर्ट्स जर्सी नंबर)। कुछ परिभाषाएँ, जिनमें मानक आईएसओ/आईईसी 80000 शामिल हैं। आईएसओ 80000-2, प्राकृतिक संख्याओं के साथ शुरू करें $0$, गैर-नकारात्मक पूर्णांक के अनुरूप $0$, जबकि अन्य के साथ शुरू होता है $0, 1, 2, 3, ...$, सकारात्मक पूर्णांक के अनुरूप $1$  प्राकृतिक संख्याओं से शून्य को बाहर करने वाले ग्रंथ कभी -कभी प्राकृतिक संख्याओं को शून्य के साथ पूरी संख्या के रूप में संदर्भित करते हैं, जबकि अन्य लेखन में, उस शब्द का उपयोग पूर्णांक (नकारात्मक पूर्णांक सहित) के बजाय किया जाता है। प्राकृतिक संख्या एक आधार है जिसमें से कई अन्य संख्या सेट एक्सटेंशन द्वारा बनाए जा सकते हैं: पूर्णांक, (यदि अभी तक नहीं) पहचान तत्व 0 और एक योजक व्युत्क्रम ($1, 2, 3, ...$) प्रत्येक गैर -प्राकृतिक प्राकृतिक संख्या के लिए $n$;एक गुणात्मक व्युत्क्रम को शामिल करके तर्कसंगत संख्याएं ($$\tfrac 1n$$) प्रत्येक नॉनज़ेरो पूर्णांक के लिए $n$ (और पूर्णांक द्वारा इन व्युत्क्रमों का उत्पाद भी);तर्कसंगतों के साथ वास्तविक संख्याओं को शामिल करने के लिए (परिवर्तित) की सीमाओं को तर्कसंगत रूप से cauchy अनुक्रम;जटिल संख्या, वास्तविक संख्याओं को शामिल करके माइनस एक के अनसुलझे वर्गमूल (और उसके साथ भी और उत्पाद भी);और इसी तरह। एक्सटेंशन की यह श्रृंखला प्राकृतिक संख्याओं को अन्य संख्या प्रणालियों में कैनोनिक रूप से एम्बेडेड (पहचाना) बनाती है।

प्राकृतिक संख्याओं के गुण, जैसे विभाजन और प्राइम नंबरों के वितरण, संख्या सिद्धांत में अध्ययन किया जाता है।गिनती और आदेश से संबंधित समस्याओं, जैसे विभाजन और गणना, कॉम्बिनेटरिक्स में अध्ययन किया जाता है।

आम भाषा में, विशेष रूप से प्राथमिक स्कूल शिक्षा में, प्राकृतिक संख्याओं को गिनती संख्या कहा जा सकता है नकारात्मक पूर्णांक और शून्य को सहज रूप से बाहर करने के लिए, और निरंतरता से संबंधित गणितीय विषयों की सूची में गिनती की विवेकाधीनता के विपरीत। माप की निरंतरता-वास्तविक संख्याओं की एक हॉलमार्क विशेषता।

प्राचीन जड़ें
एक प्राकृतिक संख्या का प्रतिनिधित्व करने का सबसे आदिम विधि प्रत्येक ऑब्जेक्ट के लिए एक निशान नीचे रखना है।बाद में, वस्तुओं का एक सेट समानता, अतिरिक्त या कमी के लिए परीक्षण किया जा सकता है - एक निशान को बाहर निकालकर और सेट से किसी वस्तु को हटाकर।

अमूर्त में पहली बड़ी अग्रिम संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए अंकों का उपयोग था।इसने बड़ी संख्या में रिकॉर्डिंग के लिए सिस्टम को विकसित करने की अनुमति दी।प्राचीन मिस्रियों ने & nbsp; 1, 10, और & nbsp की सभी शक्तियों के लिए अलग -अलग चित्रलिपि के साथ अंकों की एक शक्तिशाली प्रणाली विकसित की। 10 से अधिक 1 & nbsp; मिलियन।कर्णक से एक पत्थर की नक्काशी, लगभग 1500 & nbsp से वापस डेटिंग; bce और अब पेरिस में लौवर में, & nbsp; 276 को 2 & nbsp; सैकड़ों, 7 & nbsp; tens, और 6 & nbsp; के रूप में चित्रित करता है;और इसी तरह संख्या & nbsp; 4,622 के लिए।बेबीलोनियों के पास एक स्थान-मूल्य प्रणाली थी जो अनिवार्य रूप से आधार साठ का उपयोग करके & nbsp; 1 और & nbsp; 10 के लिए अंकों पर आधारित थी, ताकि साठ के लिए प्रतीक एक के लिए प्रतीक के समान था-इसका मूल्य संदर्भ से निर्धारित किया जा रहा था। बहुत बाद में अग्रिम विचार का विकास था कि & nbsp; अपने स्वयं के अंक के साथ एक संख्या के रूप में माना जा सकता है।A & nbsp का उपयोग; स्थान-मूल्य संकेतन में 0 अंक (अन्य नंबरों के भीतर) 700 & nbsp; BCE द्वारा बाबुल के लोगों द्वारा वापस आ जाता है, जिन्होंने इस तरह के अंक को छोड़ दिया था जब यह संख्या में अंतिम प्रतीक होता। ओल्मेक और माया सभ्यताओं का उपयोग किया गया & nbsp; 0 के रूप में एक अलग संख्या के रूप में 0 के रूप में जल्दी 1st century BCE, लेकिन यह उपयोग मेसोअमेरिका से परे नहीं फैलता है। आधुनिक समय में एक अंक & nbsp; 0 का उपयोग 628 & nbsp; CE में भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त के साथ हुआ।हालांकि, 0 का उपयोग मध्ययुगीन कम्प्यूटस (ईस्टर की तारीख की गणना) में एक संख्या के रूप में किया गया था, जो कि 525 & nbsp में डायोनिसियस एक्सिगस के साथ शुरू होता है; सी।, एक अंक द्वारा निरूपित किए बिना (मानक रोमन अंकों का प्रतीक नहीं है & nbsp; 0; 0;)।इसके बजाय, Nulla (या जीनिटिव फॉर्म Nullae) Nullus से, लैटिन शब्द के लिए कोई भी नहीं, a & nbsp; 0 मान को निरूपित करने के लिए नियोजित किया गया था। अमूर्त के रूप में संख्याओं का पहला व्यवस्थित अध्ययन आमतौर पर ग्रीक दार्शनिकों पाइथागोरस और आर्किमिडीज को दिया जाता है।कुछ ग्रीक गणितज्ञों ने संख्या & nbsp का इलाज किया; 1 बड़ी संख्या की तुलना में अलग, कभी -कभी एक संख्या के रूप में भी नहीं। उदाहरण के लिए, यूक्लिड ने पहले एक इकाई को परिभाषित किया और फिर इकाइयों की एक भीड़ के रूप में एक संख्या, इस प्रकार, उसकी परिभाषा के अनुसार, एक इकाई एक संख्या नहीं है और कोई अद्वितीय संख्या नहीं है (जैसे, अनिश्चित काल के कई इकाइयों से कोई भी दो इकाइयाँ कई इकाइयों में एक 2 हैं)। भारत, चीन और मेसोअमेरिका में लगभग एक ही समय में स्वतंत्र अध्ययन भी हुए।

आधुनिक परिभाषाएँ
19 वीं शताब्दी के यूरोप में, प्राकृतिक संख्याओं की सटीक प्रकृति के बारे में गणितीय और दार्शनिक चर्चा हुई।एक स्कूल प्रकृतिवाद ने कहा कि प्राकृतिक संख्या मानव मानस का प्रत्यक्ष परिणाम थी।हेनरी पोइंकेरे अपने अधिवक्ताओं में से एक थे, जैसा कि लियोपोल्ड क्रोनकर थे, जिन्होंने अपने विश्वास को संक्षेप में प्रस्तुत किया था क्योंकि भगवान ने पूर्णांक बनाया था, बाकी सब मनुष्य का काम है। प्रकृतिवादियों के विरोध में, रचनाकारों ने गणित की नींव में तार्किक कठोरता में सुधार करने की आवश्यकता देखी। 1860 के दशक में, हरमन ग्रासमैन ने प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक पुनरावर्ती परिभाषा का सुझाव दिया, इस प्रकार यह बताते हुए कि वे वास्तव में स्वाभाविक नहीं थे - लेकिन परिभाषाओं का एक परिणाम।बाद में, ऐसी औपचारिक परिभाषाओं के दो वर्गों का निर्माण किया गया;बाद में अभी भी, उन्हें अधिकांश व्यावहारिक अनुप्रयोगों में समान दिखाया गया था।

प्राकृतिक संख्याओं की सेट-सैद्धांतिक परिभाषाएँ फ्रीज द्वारा शुरू की गई थीं।उन्होंने शुरू में एक प्राकृतिक संख्या को सभी सेटों के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जो एक विशेष सेट के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं।हालांकि, यह परिभाषा रसेल के विरोधाभास सहित विरोधाभासों की ओर ले गई।इस तरह के विरोधाभासों से बचने के लिए, औपचारिकता को संशोधित किया गया था ताकि एक प्राकृतिक संख्या को एक विशेष सेट के रूप में परिभाषित किया जाए, और किसी भी सेट को उस सेट के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है, जिसे तत्वों की संख्या में कहा जाता है। परिभाषाओं के दूसरे वर्ग को चार्ल्स सैंडर्स पीयरस द्वारा पेश किया गया था, रिचर्ड डेडेकिंड द्वारा परिष्कृत किया गया था, और आगे Giuseppe पीनो द्वारा खोजा गया था;इस दृष्टिकोण को अब पीनो अंकगणित कहा जाता है।यह क्रमिक संख्याओं के गुणों के एक स्वयंसिद्धता पर आधारित है: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में एक उत्तराधिकारी होता है और प्रत्येक गैर-शून्य प्राकृतिक संख्या में एक अद्वितीय पूर्ववर्ती होता है।पीनो अंकगणित सेट सिद्धांत के कई कमजोर प्रणालियों के साथ समान है।इस तरह की एक प्रणाली ZFC है जो अनंत के स्वयंसिद्धता के साथ है, जिसे इसके नकारात्मकता से बदल दिया गया है।सिद्धांत जो ZFC में साबित हो सकते हैं, लेकिन मीनो स्वयंसिद्धों का उपयोग करके साबित नहीं किया जा सकता है, इसमें गुडस्टीन का प्रमेय शामिल है। इन सभी परिभाषाओं के साथ, एक प्राकृतिक संख्या के रूप में & nbsp; 0 (खाली सेट के अनुरूप) को शामिल करना सुविधाजनक है।जिसमें & nbsp; 0 अब सेट सिद्धांतकारों के बीच सामान्य सम्मेलन है और लॉजिशियन। अन्य गणितज्ञों में भी शामिल हैं & nbsp; 0, और कंप्यूटर भाषाएं अक्सर शून्य-आधारित नंबरिंग | लूप काउंटरों और स्ट्रिंग- या एरे-एलिमेंट्स जैसी वस्तुओं की गणना करते समय शून्य से शुरू होती हैं। दूसरी ओर, कई गणितज्ञों ने पुरानी परंपरा को लेने के लिए & nbsp; 1 को पहली प्राकृतिक संख्या होने के लिए रखा है।

संकेतन
गणितज्ञ का उपयोग करें $−n$ या $$\mathbb N$$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट का उल्लेख करने के लिए। इस तरह के सेट का अस्तित्व सेट सिद्धांत में स्थापित किया गया है।पुराने ग्रंथों को भी कभी -कभी कार्यरत होता है $N$ इस सेट के लिए प्रतीक के रूप में। चूंकि अलग -अलग गुण टोकन से कस्टम रूप से जुड़े होते हैं $J$ तथा $0$ (जैसे, क्रमशः और गुणन के लिए पहचान तत्व, क्रमशः), यह जानना महत्वपूर्ण है कि प्राकृतिक संख्याओं का कौन सा संस्करण विचार के तहत मामले में नियोजित है।यह गद्य में स्पष्टीकरण द्वारा किया जा सकता है, स्पष्ट रूप से सेट को लिखकर, या सुपर-या सबस्क्रिप्ट के साथ जेनेरिक पहचानकर्ता को योग्य बनाकर, उदाहरण के लिए, इस तरह: वैकल्पिक रूप से, चूंकि प्राकृतिक संख्या स्वाभाविक रूप से पूर्णांक का एक सबसेट बनाती है (अक्सर denoted $\mathbb Z$), उन्हें क्रमशः सकारात्मक, या गैर-नकारात्मक पूर्णांक के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। इस बारे में स्पष्ट होना कि क्या 0 शामिल है या नहीं, कभी -कभी एक सबस्क्रिप्ट (या सुपरस्क्रिप्ट) 0 को पूर्व मामले में जोड़ा जाता है, और एक सुपरस्क्रिप्ट जोड़ा जाता है$1$बाद के मामले में जोड़ा गया है:
 * शून्य के बिना प्राकृतिक: $$\{1,2,...\}=\mathbb{N}^*= \mathbb N^+=\mathbb{N}_0\smallsetminus\{0\} = \mathbb{N}_1$$
 * शून्य के साथ प्राकृतिक: $$\;\{0,1,2,...\}=\mathbb{N}_0=\mathbb N^0=\mathbb{N}^*\cup\{0\}$$
 * $$\{1, 2, 3,\dots\} = \{x \in \mathbb Z : x > 0\}=\mathbb Z^+= \mathbb{Z}_{>0}$$
 * $$\{0, 1, 2,\dots\} = \{x \in \mathbb Z : x \ge 0\}=\mathbb Z^{+}_{0}=\mathbb{Z}_ {\ge 0}$$

इसके अलावा
सेट को देखते हुए $$\mathbb{N}$$ प्राकृतिक संख्या और उत्तराधिकारी कार्य $$S \colon \mathbb{N} \to \mathbb{N}$$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को अगले एक को भेजना, कोई भी प्राकृतिक संख्याओं के अलावा को पुन: सेट करके परिभाषित कर सकता है $$ तथा $a + 0 = a$ सभी के लिए $a + S(b) = S(a + b)$, $a$।फिर $b$ पहचान तत्व & nbsp; 0 के साथ एक कम्यूटेटिव मोनॉयड है।यह एक जनरेटर पर एक मुक्त मोनॉयड है।यह कम्यूटेटिव मोनॉइड रद्दीकरण संपत्ति को संतुष्ट करता है, इसलिए इसे एक समूह में एम्बेड किया जा सकता है।प्राकृतिक संख्या वाले सबसे छोटा समूह पूर्णांक है।

यदि 1 को परिभाषित किया गया है $($\mathbb{N}$, +)$, फिर $S(0)$।वह है, $b + 1 = b + S(0) = S(b + 0) = S(b)$ बस का उत्तराधिकारी है $b + 1$।

गुणन
अनुरूप रूप से, यह देखते हुए कि जोड़ को परिभाषित किया गया है, एक गुणन ऑपरेटर $$\times$$ के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है $b$ तथा $a × 0 = 0$।यह बदल जाता है $a × S(b) = (a × b) + a$ पहचान तत्व के साथ एक मुक्त कम्यूटेटिव मोनॉयड में & nbsp; 1;इस मोनॉयड के लिए एक जनरेटर सेट प्राइम नंबरों का सेट है।

जोड़ और गुणन के बीच संबंध
जोड़ और गुणन संगत हैं, जो वितरण कानून में व्यक्त किया जाता है: $($\mathbb{N}$^{*}, ×)$।इसके अलावा और गुणा के ये गुण प्राकृतिक संख्याओं को एक कम्यूटेटिव सेमीरिंग का उदाहरण देते हैं।अर्धवृत्त प्राकृतिक संख्याओं का एक बीजीय सामान्यीकरण है जहां गुणन जरूरी नहीं है।एडिटिव इनवर्स की कमी, जो इस तथ्य के बराबर है $$\mathbb{N}$$ घटाव के तहत बंद नहीं है (यानी, एक प्राकृतिक को दूसरे से घटाकर हमेशा दूसरे प्राकृतिक में परिणाम नहीं होता है), इसका मतलब है कि $$\mathbb{N}$$ एक अंगूठी नहीं है;इसके बजाय यह एक सेमीरिंग है (जिसे रिग के रूप में भी जाना जाता है)।

यदि प्राकृतिक संख्याओं को 0 को छोड़कर लिया जाता है, और 1 से शुरू होता है, तो + और × की परिभाषाएं ऊपर हैं, सिवाय इसके कि वे शुरू करते हैं $a × (b + c) = (a × b) + (a × c)$ तथा $a + 1 = S(a)$।

आदेश
इस खंड में, जैसे कि juxtaposed चर $a × 1 = a$ उत्पाद को इंगित करें $ab$, और संचालन के मानक क्रम को ग्रहण किया जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं पर कुल आदेश को देकर परिभाषित किया गया है $a × b$ यदि और केवल अगर वहाँ एक और प्राकृतिक संख्या मौजूद है $a ≤ b$ कहाँ पे $c$।यह आदेश निम्नलिखित अर्थों में अंकगणितीय संचालन के साथ संगत है: यदि $a + c = b$, $a$ तथा $b$ प्राकृतिक संख्याएं हैं और $c$, फिर $a ≤ b$ तथा $a + c ≤ b + c$।

प्राकृतिक संख्याओं की एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि वे अच्छी तरह से आदेश दिए गए हैं: प्राकृतिक संख्याओं के प्रत्येक गैर-खाली सेट में कम से कम तत्व होता है।सुव्यवस्थित सेटों के बीच रैंक एक क्रमिक संख्या द्वारा व्यक्त की जाती है;प्राकृतिक संख्याओं के लिए, इसे निरूपित किया गया है $ac ≤ bc$ (ओमेगा)।

डिवीजन
इस खंड में, जैसे कि juxtaposed चर $ω$ उत्पाद को इंगित करें $ab$, और संचालन के मानक क्रम को ग्रहण किया जाता है।

हालांकि यह सामान्य रूप से एक प्राकृतिक संख्या को दूसरे से विभाजित करना और परिणाम के रूप में एक प्राकृतिक संख्या प्राप्त करना संभव नहीं है, शेष या यूक्लिडियन डिवीजन के साथ विभाजन की प्रक्रिया एक विकल्प के रूप में उपलब्ध है: किसी भी दो प्राकृतिक संख्याओं के लिए $a × b$ तथा $a$ साथ $b$ प्राकृतिक संख्याएं हैं $b ≠ 0$ तथा $q$ ऐसा है कि
 * $$a = bq + r \text{ and } r < b. $$

जो नंबर $r$ भागफल कहा जाता है और $q$ के विभाजन के शेष को कहा जाता है $r$ द्वारा & nbsp;$a$।संख्या $b$ तथा $q$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किए जाते हैं $r$ और & nbsp;$a$।यह यूक्लिडियन डिवीजन कई अन्य गुणों (विभाजन), एल्गोरिदम (जैसे कि यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म), और संख्या सिद्धांत में विचारों के लिए महत्वपूर्ण है।

बीजीय गुण प्राकृतिक संख्याओं द्वारा संतुष्ट
इसके अलावा (+) और गुणन (×) प्राकृतिक संख्याओं पर संचालन के रूप में ऊपर परिभाषित किया गया है, कई बीजीय गुण हैं:
 * अतिरिक्त और गुणन के तहत बंद: सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए $b$ तथा $a$, दोनों $b$ तथा $a + b$ प्राकृतिक संख्याएं हैं।
 * सहयोगी: सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए $a × b$, $a$, तथा $b$, $c$ तथा $a + (b + c) = (a + b) + c$.
 * कम्यूटेटिविटी: सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए $a × (b × c) = (a × b) × c$ तथा $a$, $b$ तथा $a + b = b + a$.
 * पहचान तत्वों का अस्तित्व: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए, $a × b = b × a$ तथा $a + 0 = a$।
 * सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए अतिरिक्त से अधिक गुणन की वितरणता $a × 1 = a$, $a$, तथा $b$, $c$।
 * कोई नॉनज़ेरो ज़ीरो डिवीरर्स नहीं: अगर $a × (b + c) = (a × b) + (a × c)$ तथा $a$ ऐसे प्राकृतिक संख्याएं हैं जो कि हैं $b$, फिर $a × b = 0$ या $a = 0$ (अथवा दोनों)।

सामान्यीकरण
गिनती और ऑर्डर करने के दो उपयोगों से प्राकृतिक संख्याओं के दो महत्वपूर्ण सामान्यीकरण उत्पन्न होते हैं: कार्डिनल नंबर और ऑर्डिनल नंबर।
 * एक प्राकृतिक संख्या का उपयोग एक परिमित सेट के आकार को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है;अधिक सटीक रूप से, एक कार्डिनल नंबर एक सेट के आकार के लिए एक उपाय है, जो अनंत सेटों के लिए भी उपयुक्त है।आकार की यह अवधारणा सेटों के बीच नक्शे पर निर्भर करती है, जैसे कि दो सेटों का आकार एक ही होता है, ठीक अगर उनके बीच एक बायजमेंट मौजूद है।प्राकृतिक संख्याओं का सेट, और इसकी किसी भी द्विध्रुवीय छवि को, गिनती से अनंत और कार्डिनलिटी अलेफ नंबर#एलेफ-नल के रूप में कहा जाता है।$b = 0$)।
 * प्राकृतिक संख्याओं का उपयोग भाषाई अध्यादेश संख्या के रूप में भी किया जाता है: पहला, दूसरा, तीसरा और आगे।इस तरह से उन्हें पूरी तरह से ऑर्डर किए गए परिमित सेट के तत्वों को सौंपा जा सकता है, और किसी भी अच्छी तरह से आदेशित अनंत अनंत सेट के तत्वों को भी।इस असाइनमेंट को सामान्य रूप से अच्छी तरह से आदेशों के साथ सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो कि क्रमिक संख्या से परे एक कार्डिनलिटी से परे है।कार्डिनलिटी से अलग एक अर्थ में, एक अच्छी तरह से ऑर्डर किए गए सेट के लिए आकार की धारणा का वर्णन करने के लिए एक क्रमिक संख्या का उपयोग किया जा सकता है: यदि दो सुव्यवस्थित सेटों के बीच एक ऑर्डर आइसोमोर्फिज्म (एक ब्यूचमेंट से अधिक!) है, तो उनके पास हैएक ही क्रमिक संख्या।पहली क्रमिक संख्या जो एक प्राकृतिक संख्या नहीं है, के रूप में व्यक्त किया गया है $ℵ_{0}$;यह प्राकृतिक संख्याओं के सेट की क्रमिक संख्या भी है।

कार्डिनैलिटी का सबसे कम अध्यादेश $ω$ (अर्थात्, प्रारंभिक अध्यादेश $ℵ_{0}$) है $ℵ_{0}$ लेकिन कार्डिनल नंबर के साथ कई सुव्यवस्थित सेट $ω$ एक क्रमिक संख्या से अधिक है $ℵ_{0}$।

परिमित अच्छी तरह से ऑर्डर किए गए सेटों के लिए, ऑर्डिनल और कार्डिनल नंबरों के बीच एक-से-एक पत्राचार है;इसलिए वे दोनों एक ही प्राकृतिक संख्या, सेट के तत्वों की संख्या द्वारा व्यक्त किए जा सकते हैं।इस संख्या का उपयोग एक बड़े परिमित, या एक अनंत, अनुक्रम में एक तत्व की स्थिति का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है।

1933 में स्कोलम द्वारा पीनो अंकगणित (यानी, पहले क्रम के मीनो स्वयंसिद्ध) को संतुष्ट करने वाले अंकगणितीय को संतुष्ट करने वाले अंकगणितीय गैर-मानक मॉडल को हाइपरनाट्यूरल नंबर एक बेशुमार मॉडल है जिसका निर्माण अल्ट्रापोवर निर्माण के माध्यम से साधारण प्राकृतिक संख्याओं से किया जा सकता है।।

जॉर्जेस रीब उत्तेजक रूप से दावा करते थे कि भोले पूर्णांक नहीं भरते हैं $$\mathbb{N}$$।अन्य सामान्यीकरणों पर संख्या पर लेख में चर्चा की जाती है।

पीनो स्वयंसिद्ध
प्राकृतिक संख्याओं के कई गुण पांच मीनो स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं:
 * 1) 0 एक प्राकृतिक संख्या है।
 * 2) प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में एक उत्तराधिकारी होता है जो एक प्राकृतिक संख्या भी है।
 * 3) 0 किसी भी प्राकृतिक संख्या का उत्तराधिकारी नहीं है।
 * 4) यदि उत्तराधिकारी $$ x $$ के उत्तराधिकारी के बराबर है $$ y $$, फिर $$ x$$ बराबरी $$ y$$।
 * 5) इंडक्शन का स्वयंसिद्ध: यदि कोई कथन 0 का सत्य है, और यदि किसी संख्या के लिए उस कथन की सच्चाई उस संख्या के उत्तराधिकारी के लिए अपनी सच्चाई का तात्पर्य है, तो कथन हर प्राकृतिक संख्या के लिए सही है।

ये मीनो द्वारा प्रकाशित मूल स्वयंसिद्ध नहीं हैं, बल्कि उनके सम्मान में नामित हैं।मीनो स्वयंसिद्धों के कुछ रूपों में 0. के स्थान पर 1 होता है। साधारण अंकगणित में, उत्तराधिकारी $$ x$$ है $$ x + 1$$।Axiom स्कीमा द्वारा Axiom 5 की जगह, एक (कमजोर) प्रथम-क्रम सिद्धांत प्राप्त करता है जिसे पीनो अंकगणित कहा जाता है।

वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल
गणित के क्षेत्र में सेट थ्योरी नामक, जॉन वॉन न्यूमैन के कारण एक विशिष्ट निर्माण प्राकृतिक संख्याओं को निम्नानुसार परिभाषित करता है:
 * समूह $ω$, खाली सेट,
 * परिभाषित करना $0 ∈ ω$ हर सेट के लिए $0 = ∅$. $ω$ का उत्तराधिकारी है $0 = \{ \}$, तथा $S(a) = a ∪ \{a\}$ उत्तराधिकारी फ़ंक्शन कहा जाता है।
 * इन्फिनिटी के स्वयंसिद्ध द्वारा, एक सेट मौजूद है जिसमें 0 होता है और उत्तराधिकारी फ़ंक्शन के तहत बंद होता है।इस तरह के सेटों को प्रेरक कहा जाता है।ऐसे सभी आगमनात्मक सेटों के चौराहे को प्राकृतिक संख्याओं के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है।यह जाँच की जा सकती है कि प्राकृतिक संख्याओं का सेट मीनो स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।
 * यह निम्नानुसार है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट के बराबर है:
 * $a$, आदि।
 * $S(a)$, आदि।
 * $a$, आदि।
 * $S$, आदि।
 * $0 = \{ \}$, आदि।

इस परिभाषा के साथ, एक प्राकृतिक संख्या $1 = 0 ∪ \{0\} = \{0\} = \{\{ \}\}$ के साथ एक विशेष सेट है $2 = 1 ∪ \{1\} = \{0, 1\} = \{\{ \}, \{\{ \}\}\}$ तत्व, और $3 = 2 ∪ \{2\} = \{0, 1, 2\} = \{\{ \}, \{\{ \}\}, \{\{ \}, \{\{ \}\}\}\}$ अगर और केवल अगर $n = n−1 ∪ \{n−1\} = \{0, 1, ..., n−1\} = \{\{ \}, \{\{ \}\}, ..., \{\{ \}, \{\{ \}\}, ...\}\}$ का एक सबसेट है $n$।मानक परिभाषा, जिसे अब वॉन & nbsp की परिभाषा कहा जाता है; न्यूमैन ऑर्डिनल IS: प्रत्येक ऑर्डिनल सभी छोटे अध्यादेशों का सुव्यवस्थित सेट है।

इसके अलावा, इस परिभाषा के साथ, जैसे सूचनाओं की विभिन्न संभावित व्याख्याएं $$\mathbb{R}^n$$ ($n$-tuples बनाम मैपिंग $n ≤ m$ में $$\mathbb{R}$$) संयोग।

यहां तक कि अगर कोई अनंत के स्वयंसिद्ध को स्वीकार नहीं करता है और इसलिए यह स्वीकार नहीं कर सकता है कि सभी प्राकृतिक संख्याओं का सेट मौजूद है, तब भी इनमें से किसी एक सेट को परिभाषित करना संभव है।

ज़रमेलो ऑर्डिनल
यद्यपि मानक निर्माण उपयोगी है, यह केवल संभव निर्माण नहीं है।अर्नस्ट ज़रमेलो का निर्माण इस प्रकार है: * समूह $n$
 * परिभाषित करना $m$,
 * यह तब इस प्रकार है
 * $n$, आदि।
 * प्रत्येक प्राकृतिक संख्या तब सेट के बराबर होती है जिसमें सिर्फ प्राकृतिक संख्या होती है।यह ज़रमेलो ऑर्डिनल्स की परिभाषा है।वॉन & nbsp; Neumann के निर्माण के विपरीत, Zermelo ordinals अनंत अध्यादेशों तक विस्तार नहीं करते हैं।
 * $n$, आदि।
 * प्रत्येक प्राकृतिक संख्या तब सेट के बराबर होती है जिसमें सिर्फ प्राकृतिक संख्या होती है।यह ज़रमेलो ऑर्डिनल्स की परिभाषा है।वॉन & nbsp; Neumann के निर्माण के विपरीत, Zermelo ordinals अनंत अध्यादेशों तक विस्तार नहीं करते हैं।
 * प्रत्येक प्राकृतिक संख्या तब सेट के बराबर होती है जिसमें सिर्फ प्राकृतिक संख्या होती है।यह ज़रमेलो ऑर्डिनल्स की परिभाषा है।वॉन & nbsp; Neumann के निर्माण के विपरीत, Zermelo ordinals अनंत अध्यादेशों तक विस्तार नहीं करते हैं।

ग्रन्थसूची

 * – English translation of.
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बाहरी संबंध


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