विभाजन फलन (गणित)

संभाव्यता सिद्धांत, सूचना सिद्धांत और गतिशील प्रणालियों में प्रयुक्त विभाजन फ़ंक्शन या कॉन्फ़िगरेशन इंटीग्रल, सांख्यिकीय यांत्रिकी में विभाजन फ़ंक्शन की परिभाषा का एक सामान्यीकरण है। यह बोल्ट्जमैन वितरण के लिए संभाव्यता सिद्धांत में सामान्यीकरण स्थिरांक का एक विशेष मामला है। संभाव्यता सिद्धांत की कई समस्याओं में विभाजन कार्य होता है, क्योंकि ऐसी स्थितियों में जहां एक प्राकृतिक समरूपता होती है, इसके संबंधित संभाव्यता माप, गिब्स माप में मार्कोव संपत्ति होती है। इसका मतलब यह है कि विभाजन कार्य न केवल भौतिक प्रणालियों में अनुवाद समरूपता के साथ होता है, बल्कि तंत्रिका नेटवर्क (हॉपफील्ड नेटवर्क) जैसी विभिन्न सेटिंग्स में भी होता है, और जीनोमिक्स, कॉर्पस भाषाविज्ञान और कृत्रिम बुद्धि जैसे अनुप्रयोग, मार्कोव लॉजिक नेटवर्क और मार्कोव को नियोजित करते हैं। तर्क नेटवर्क। गिब्स उपाय भी अद्वितीय उपाय है जिसमें ऊर्जा की एक निश्चित अपेक्षा मूल्य के लिए एन्ट्रॉपी (सामान्य अवधारणा) को अधिकतम करने की संपत्ति है; यह अधिकतम एन्ट्रापी विधियों और उससे प्राप्त एल्गोरिदम में विभाजन फ़ंक्शन की उपस्थिति को रेखांकित करता है।

विभाजन कार्य कई अलग-अलग अवधारणाओं को एक साथ जोड़ता है, और इस प्रकार एक सामान्य ढांचा प्रदान करता है जिसमें कई अलग-अलग प्रकार की मात्राओं की गणना की जा सकती है। विशेष रूप से, यह दिखाता है कि फ्रेडहोम सिद्धांत के लिए एक पुल बनाने, अपेक्षा मूल्यों और ग्रीन के कार्यों की गणना कैसे करें। यह सूचना सिद्धांत के लिए सूचना ज्यामिति दृष्टिकोण के लिए एक प्राकृतिक सेटिंग भी प्रदान करता है, जहां फिशर सूचना मीट्रिक को विभाजन कार्य से प्राप्त सहसंबंध समारोह के रूप में समझा जा सकता है; यह एक रीमैनियन कई गुना को परिभाषित करने के लिए होता है।

जब यादृच्छिक चर के लिए सेटिंग जटिल प्रक्षेप्य स्थान या प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस पर होती है, तो फ़ुबिनी-स्टडी मेट्रिक, क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत और अधिक आम तौर पर क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के परिणामों के साथ जियोमेट्रिज़ किया जाता है। इन सिद्धांतों में, विभाजन समारोह का पथ अभिन्न सूत्रीकरण में भारी सफलता के साथ शोषण किया जाता है, जिससे यहां समीक्षा किए गए सूत्रों के लगभग समान कई सूत्र बनते हैं। हालाँकि, क्योंकि अंतर्निहित माप स्थान जटिल-मूल्यवान है, जैसा कि संभाव्यता सिद्धांत के वास्तविक-मूल्यवान संकेतन के विपरीत है,  i  का एक अतिरिक्त कारक कई सूत्रों में प्रकट होता है। इस कारक को ट्रैक करना परेशानी भरा है, और यहां नहीं किया गया है। यह लेख मुख्य रूप से शास्त्रीय संभाव्यता सिद्धांत पर केंद्रित है, जहां संभावनाओं का योग कुल एक है।

परिभाषा
यादृच्छिक चर के एक सेट को देखते हुए $$X_i$$ मूल्यों को ग्रहण करना $$x_i$$, और किसी प्रकार की स्केलर क्षमता या हैमिल्टन समारोह $$H(x_1,x_2,\dots)$$, विभाजन समारोह के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$Z(\beta) = \sum_{x_i} \exp \left(-\beta H(x_1,x_2,\dots) \right)$$

फ़ंक्शन H को राज्यों के स्थान पर एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन समझा जाता है $$\{X_1,X_2,\cdots\}$$, जबकि $$\beta$$ एक वास्तविक-मूल्यवान मुक्त पैरामीटर है (पारंपरिक रूप से, उलटा तापमान)। से अधिक का योग $$x_i$$ प्रत्येक यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों के योग के रूप में समझा जाता है $$X_i$$ लग सकता है। इस प्रकार, योग को एक अभिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है जब $$X_i$$ असतत के बजाय निरंतर हैं। इस प्रकार, कोई लिखता है


 * $$Z(\beta) = \int \exp \left(-\beta H(x_1,x_2,\dots) \right) \, dx_1 \, dx_2 \cdots$$

लगातार बदलते रहने के मामले में $$X_i$$.

जब एच एक अवलोकन योग्य है, जैसे कि एक परिमित-आयामी मैट्रिक्स (गणित) या एक अनंत-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष ऑपरेटर (गणित) या सी-स्टार बीजगणित का तत्व, तो योग को एक निशान (रैखिक बीजगणित) के रूप में व्यक्त करना आम है।, ताकि


 * $$Z(\beta) = \operatorname{tr}\left(\exp\left(-\beta H\right)\right)$$

जब एच अनंत-आयामी है, तब, उपरोक्त संकेतन के मान्य होने के लिए, तर्क को वर्ग का पता लगाना चाहिए, अर्थात, एक ऐसे रूप का, जो योग मौजूद है और बाध्य है।

चर की संख्या $$X_i$$ गणनीय होने की आवश्यकता नहीं है, जिस स्थिति में राशियों को कार्यात्मक अभिन्नों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है। यद्यपि प्रकार्यात्मक समाकलों के लिए कई संकेतन हैं, उनमें से एक सामान्य होगा


 * $$Z = \int \mathcal{D} \varphi \exp \left(- \beta H[\varphi] \right)$$

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में विभाजन कार्य के मामले में ऐसा ही है।

विभाजन समारोह में एक सामान्य, उपयोगी संशोधन सहायक कार्यों को पेश करना है। यह अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, विभाजन फ़ंक्शन को सहसंबंध कार्यों के लिए एक जनरेटिंग फ़ंक्शन के रूप में उपयोग किया जाता है। इस पर नीचे और अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

पैरामीटर β
पैरामीटर की भूमिका या अर्थ $$\beta$$ विभिन्न प्रकार से समझा जा सकता है। शास्त्रीय ऊष्मप्रवैगिकी में, यह एक उलटा तापमान है। अधिक आम तौर पर, कोई कहेगा कि यह चर है जो कुछ (मनमाना) फ़ंक्शन के लिए संयुग्मित चर (थर्मोडायनामिक्स) है $$H$$ यादृच्छिक चर का $$X$$. यहाँ संयुग्म शब्द का प्रयोग लैग्रैंगियन यांत्रिकी में संयुग्म सामान्यीकृत निर्देशांक के अर्थ में किया जाता है, इस प्रकार, ठीक से $$\beta$$ लैग्रेंज गुणक है। इसे असामान्य रूप से सामान्यीकृत बल नहीं कहा जाता है। इन सभी अवधारणाओं में आम तौर पर यह विचार है कि एक मूल्य को स्थिर रखा जाना है, क्योंकि अन्य, कुछ जटिल तरीके से जुड़े हुए हैं, उन्हें अलग-अलग करने की अनुमति है। वर्तमान स्थिति में, नियत रखा जाने वाला मान का अपेक्षित मान है $$H$$, भले ही कई अलग-अलग संभाव्यता वितरण ठीक इसी (निश्चित) मान को जन्म दे सकते हैं।

सामान्य मामले के लिए, कार्यों के एक सेट पर विचार किया जाता है $$\{H_k(x_1,\cdots)\}$$ प्रत्येक यादृच्छिक चर पर निर्भर करता है $$X_i$$. इन कार्यों को चुना जाता है क्योंकि कोई एक कारण या किसी अन्य के लिए अपनी अपेक्षा मूल्यों को स्थिर रखना चाहता है। इस तरह से अपेक्षाओं के मूल्यों को सीमित करने के लिए, लैग्रेंज मल्टीप्लायरों की विधि लागू होती है। सामान्य मामले में, अधिकतम एन्ट्रापी विधियाँ उस तरीके को दर्शाती हैं जिसमें यह किया जाता है।

कुछ विशिष्ट उदाहरण क्रम में हैं। बुनियादी ऊष्मप्रवैगिकी समस्याओं में, विहित पहनावा का उपयोग करते समय, केवल एक पैरामीटर का उपयोग $$\beta$$ इस तथ्य को दर्शाता है कि केवल एक अपेक्षा मूल्य है जिसे स्थिर रखा जाना चाहिए: थर्मोडायनामिक मुक्त ऊर्जा (ऊर्जा के संरक्षण के कारण)। रासायनिक प्रतिक्रियाओं से संबंधित रसायन विज्ञान की समस्याओं के लिए, भव्य विहित पहनावा उपयुक्त आधार प्रदान करता है, और दो लैग्रेंज गुणक हैं। एक ऊर्जा को स्थिर रखना है, और दूसरा, उग्रता, कणों की संख्या को स्थिर रखना है (क्योंकि रासायनिक प्रतिक्रियाओं में परमाणुओं की एक निश्चित संख्या का पुनर्संयोजन शामिल है)।

सामान्य मामले के लिए, किसी के पास है


 * $$Z(\beta) = \sum_{x_i} \exp \left(-\sum_k\beta_k H_k(x_i) \right)$$

साथ $$\beta=(\beta_1, \beta_2,\cdots)$$ अंतरिक्ष में एक बिंदु।

वेधशालाओं के संग्रह के लिए $$H_k$$, कोई लिखेगा


 * $$Z(\beta) = \operatorname{tr}\left[\,\exp \left(-\sum_k\beta_k H_k\right)\right]$$

पहले की तरह, यह माना जाता है कि tr का तर्क ट्रेस क्लास है।

संबंधित गिब्स माप तब एक संभाव्यता वितरण प्रदान करता है जैसे कि प्रत्येक की अपेक्षा मान $$H_k$$ एक स्थिर मान है। अधिक सटीक, एक है


 * $$\frac{\partial}{\partial \beta_k} \left(- \log Z \right) = \langle H_k\rangle = \mathrm{E}\left[H_k\right]$$

कोण कोष्ठक के साथ $$\langle H_k \rangle$$ के अपेक्षित मूल्य को दर्शाता है $$H_k$$, और $$\mathrm{E}[\;]$$ एक सामान्य वैकल्पिक संकेतन होने के नाते। इस अपेक्षा मूल्य की एक सटीक परिभाषा नीचे दी गई है।

हालांकि का मूल्य $$\beta$$ आमतौर पर वास्तविक होने के लिए लिया जाता है, सामान्य तौर पर ऐसा होना जरूरी नहीं है; इस पर नीचे #सामान्यीकरण अनुभाग में चर्चा की गई है। के मान $$\beta$$ अंतरिक्ष में बिंदुओं के निर्देशांक समझा जा सकता है; यह स्थान वास्तव में कई गुना है, जैसा कि नीचे स्केच किया गया है। कई गुना के रूप में इन रिक्त स्थान का अध्ययन सूचना ज्यामिति के क्षेत्र का गठन करता है।

समरूपता
संभावित कार्य स्वयं आमतौर पर योग का रूप लेता है:


 * $$H(x_1,x_2,\dots) = \sum_s V(s)\,$$

जहाँ s पर योग समुच्चय के घात समुच्चय P(X) के कुछ उपसमुच्चय पर योग है $$X=\lbrace x_1,x_2,\dots \rbrace$$. उदाहरण के लिए, सांख्यिकीय यांत्रिकी में, जैसे ईज़िंग मॉडल, योग निकटतम पड़ोसियों के जोड़े से अधिक है। संभाव्यता सिद्धांत में, जैसे कि मार्कोव नेटवर्क, योग एक ग्राफ के क्लिक (ग्राफ सिद्धांत) पर हो सकता है; इसलिए, ईज़िंग मॉडल और अन्य जाली मॉडल (भौतिकी) के लिए, अधिकतम क्लिक किनारे हैं।

तथ्य यह है कि संभावित कार्य को एक योग के रूप में लिखा जा सकता है, आमतौर पर इस तथ्य को दर्शाता है कि यह एक समूह (गणित) के समूह क्रिया (गणित) के तहत अपरिवर्तनीय है, जैसे कि अनुवाद संबंधी आविष्कार। ऐसी समरूपता असतत या निरंतर हो सकती है; वे यादृच्छिक चर (नीचे चर्चा की गई) के लिए सहसंबंध कार्यों में अमल में लाते हैं। इस प्रकार हैमिल्टनियन में एक समरूपता सहसंबंध समारोह (और इसके विपरीत) की समरूपता बन जाती है।

संभाव्यता सिद्धांत में इस समरूपता की गंभीर रूप से महत्वपूर्ण व्याख्या है: इसका तात्पर्य है कि गिब्स माप में मार्कोव संपत्ति है; अर्थात्, यह एक निश्चित तरीके से यादृच्छिक चर से स्वतंत्र है, या, समतुल्य रूप से, समरूपता के समतुल्य वर्गों पर माप समान है। यह मार्कोव संपत्ति, जैसे हॉपफील्ड नेटवर्क के साथ समस्याओं में विभाजन कार्य की व्यापक उपस्थिति की ओर जाता है।

एक उपाय के रूप में
अभिव्यक्ति का मूल्य
 * $$\exp \left(-\beta H(x_1,x_2,\dots) \right)$$

एक संभावना के रूप में व्याख्या की जा सकती है कि मूल्यों का एक विशिष्ट विन्यास स्थान (भौतिकी)। $$(x_1,x_2,\dots)$$ तंत्र में होता है। इस प्रकार, एक विशिष्ट विन्यास दिया $$(x_1,x_2,\dots)$$,


 * $$P(x_1,x_2,\dots) = \frac{1}{Z(\beta)} \exp \left(-\beta H(x_1,x_2,\dots) \right)$$

कॉन्फ़िगरेशन का प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है $$(x_1,x_2,\dots)$$ सिस्टम में हो रहा है, जो अब ठीक से सामान्य हो गया है $$0\le P(x_1,x_2,\dots)\le 1$$, और इस तरह कि सभी विन्यासों का योग एक हो जाता है। इस प्रकार, विभाजन समारोह को संभाव्यता स्थान पर माप (गणित) (संभाव्यता माप) प्रदान करने के लिए समझा जा सकता है; औपचारिक रूप से, इसे गिब्स उपाय कहा जाता है। यह सांख्यिकीय यांत्रिकी में भव्य विहित पहनावा और विहित पहनावा की संकीर्ण अवधारणाओं को सामान्य करता है।

कम से कम एक कॉन्फ़िगरेशन मौजूद है $$(x_1,x_2,\dots)$$ जिसके लिए संभावना अधिकतम है; इस विन्यास को पारंपरिक रूप से जमीनी अवस्था कहा जाता है। यदि कॉन्फ़िगरेशन अद्वितीय है, तो जमीनी स्थिति को गैर-पतित कहा जाता है, और सिस्टम को एर्गोडिक कहा जाता है; अन्यथा जमीनी स्थिति पतित है। समरूपता के जनरेटर के साथ जमीनी स्थिति हो सकती है या नहीं; अगर यात्रा करता है, तो इसे एक अपरिवर्तनीय उपाय कहा जाता है। जब यह परिवर्तन नहीं करता है, तो समरूपता अनायास टूट जाती है।

ऐसी स्थितियाँ जिनके तहत एक जमीनी स्थिति मौजूद है और अद्वितीय है, करुश-कुह्न-टकर शर्तों द्वारा दी गई हैं; अधिकतम-एन्ट्रापी समस्याओं में गिब्स माप के उपयोग को सही ठहराने के लिए आमतौर पर इन स्थितियों का उपयोग किया जाता है।

सामान्यीकरण
द्वारा लिए गए मान $$\beta$$ गणितीय स्थान पर निर्भर करता है जिस पर यादृच्छिक क्षेत्र भिन्न होता है। इस प्रकार, वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक फ़ील्ड एक सिंप्लेक्स पर मान लेते हैं: यह कहने का ज्यामितीय तरीका है कि संभावनाओं का योग कुल एक होना चाहिए। क्वांटम यांत्रिकी के लिए, यादृच्छिक चर जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस (या कॉम्प्लेक्स-वैल्यू प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस) पर होते हैं, जहां रैंडम वेरिएबल्स को संभाव्यता एम्पलीट्यूड के रूप में व्याख्या किया जाता है। यहां जोर प्रोजेक्टिव शब्द पर है, क्योंकि एम्पलीट्यूड अभी भी एक के लिए सामान्यीकृत हैं। संभावित फ़ंक्शन के लिए सामान्यीकरण उपयुक्त गणितीय स्थान के लिए जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक है: यह सामान्य संभावनाओं के लिए 1 है, और मैं हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए; इस प्रकार, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, कोई देखता है $$it H$$ बजाय घातीय में $$\beta H$$. क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पथ अभिन्न सूत्रीकरण में, बड़े प्रभाव के लिए विभाजन कार्य का बहुत अधिक उपयोग किया जाता है। इस अंतर से हटकर, यहां प्रस्तुत किए गए सिद्धांत के लगभग समान है, और तथ्य यह है कि यह आमतौर पर सामान्य तरीके के बजाय चार-आयामी अंतरिक्ष-समय पर तैयार किया जाता है।

अपेक्षा मूल्य
विभाजन फ़ंक्शन का उपयोग आमतौर पर यादृच्छिक चर के विभिन्न कार्यों के अपेक्षित मूल्यों के लिए प्रायिकता-उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के रूप में किया जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, लेना $$\beta$$ एक समायोज्य पैरामीटर के रूप में, फिर व्युत्पन्न $$\log(Z(\beta))$$ इसके संबंध में $$\beta$$
 * $$\mathbf{E}[H] = \langle H \rangle = -\frac {\partial \log(Z(\beta))} {\partial \beta}$$

एच का औसत (अपेक्षा मान) देता है। भौतिकी में, इसे सिस्टम की औसत ऊर्जा कहा जाएगा।

उपरोक्त संभाव्यता माप की परिभाषा को देखते हुए, यादृच्छिक चर X के किसी भी फ़ंक्शन f का अपेक्षित मान अब अपेक्षित रूप से लिखा जा सकता है: इसलिए, असतत-मूल्यवान X के लिए, कोई लिखता है
 * $$\begin{align}

\langle f\rangle & = \sum_{x_i} f(x_1,x_2,\dots) P(x_1,x_2,\dots) \\ & = \frac{1}{Z(\beta)} \sum_{x_i} f(x_1,x_2,\dots) \exp \left(-\beta H(x_1,x_2,\dots) \right) \end{align} $$ उपरोक्त अंकन असतत यादृच्छिक चर की एक सीमित संख्या के लिए सख्ती से सही है, लेकिन निरंतर चर के लिए कुछ हद तक 'अनौपचारिक' होना चाहिए; ठीक से, ऊपर दिए गए योगों को संभाव्यता स्थान को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अंतर्निहित सिग्मा बीजगणित के अंकन के साथ प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। उस ने कहा, जब माप स्थान पर उचित रूप से तैयार किया जाता है, तो पहचान जारी रहती है।

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एंट्रॉपी (सामान्य अवधारणा) द्वारा दिया जाता है


 * $$\begin{align} S

& = -k_B \langle\ln P\rangle \\ & = -k_B\sum_{x_i} P(x_1,x_2,\dots) \ln P(x_1,x_2,\dots) \\ & = k_B(\beta \langle H\rangle + \log Z(\beta)) \end{align} $$ गिब्स उपाय अद्वितीय सांख्यिकीय वितरण है जो ऊर्जा की एक निश्चित अपेक्षा मूल्य के लिए एन्ट्रॉपी को अधिकतम करता है; यह अधिकतम एन्ट्रॉपी विधियों में इसके उपयोग को रेखांकित करता है।

सूचना ज्यामिति
बिन्दु $$\beta$$ एक स्थान बनाने के लिए समझा जा सकता है, और विशेष रूप से, कई गुना। इस प्रकार, इस कई गुना की संरचना के बारे में पूछना उचित है; यह सूचना ज्यामिति का कार्य है।

लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के संबंध में कई डेरिवेटिव एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित सहप्रसरण मैट्रिक्स को जन्म देते हैं
 * $$g_{ij}(\beta) = \frac{\partial^2}{\partial \beta^i\partial \beta^j} \left(-\log Z(\beta)\right) =

\langle \left(H_i-\langle H_i\rangle\right)\left( H_j-\langle H_j\rangle\right)\rangle$$ यह मैट्रिक्स सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, और एक मीट्रिक टेंसर के रूप में व्याख्या की जा सकती है, विशेष रूप से, एक रिमेंनियन मीट्रिक लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के स्थान को इस तरह से एक मीट्रिक से लैस करने से यह रिमेंनियन मैनिफोल्ड में बदल जाता है। इस तरह के मैनिफोल्ड्स के अध्ययन को सूचना ज्यामिति कहा जाता है; उपरोक्त मीट्रिक फिशर सूचना मीट्रिक है। यहाँ, $$\beta$$ कई गुना पर एक समन्वय के रूप में कार्य करता है। उपरोक्त परिभाषा की तुलना सरल फिशर जानकारी से करना दिलचस्प है, जिससे यह प्रेरित है।

उपरोक्त परिभाषित करता है कि फिशर सूचना मीट्रिक को अपेक्षा मूल्य के लिए स्पष्ट रूप से प्रतिस्थापित करके आसानी से देखा जा सकता है:
 * $$\begin{align} g_{ij}(\beta)

& = \langle \left(H_i-\langle H_i\rangle\right)\left( H_j-\langle H_j\rangle\right)\rangle \\ & = \sum_{x} P(x) \left(H_i-\langle H_i\rangle\right)\left( H_j-\langle H_j\rangle\right) \\ & = \sum_{x} P(x) \left(H_i + \frac{\partial\log Z}{\partial \beta_i}\right) \left(H_j + \frac{\partial\log Z}{\partial \beta_j}\right) \\ & = \sum_{x} P(x) \frac{\partial \log P(x)}{\partial \beta^i} \frac{\partial \log P(x)}{\partial \beta^j} \\ \end{align} $$ जहां हमने लिखा है $$P(x)$$ के लिए $$P(x_1,x_2,\dots)$$ और योग को सभी यादृच्छिक चरों के सभी मूल्यों पर समझा जाता है $$X_k$$. निरंतर-मूल्यवान यादृच्छिक चर के लिए, योग निश्चित रूप से इंटीग्रल द्वारा प्रतिस्थापित किए जाते हैं।

विचित्र रूप से, फिशर सूचना मीट्रिक को मुख्य लेख में वर्णित चर के उचित परिवर्तन के बाद फ्लैट-स्पेस यूक्लिडियन मीट्रिक के रूप में भी समझा जा सकता है। जब $$\beta$$ जटिल-मूल्यवान हैं, परिणामी मीट्रिक फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक है। जब शुद्ध अवस्थाओं के बजाय मिश्रित अवस्था (भौतिकी) के रूप में लिखा जाता है, तो इसे मेट्रिक के रूप में जाना जाता है।

सहसंबंध कार्य
कृत्रिम सहायक कार्यों की शुरुआत करके $$J_k$$ विभाजन समारोह में, इसका उपयोग यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्य को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, लिखकर


 * $$\begin{align} Z(\beta,J)

& = Z(\beta,J_1,J_2,\dots) \\ & = \sum_{x_i} \exp \left(-\beta H(x_1,x_2,\dots) + \sum_n J_n x_n \right) \end{align} $$ एक तो है
 * $$\mathbf{E}[x_k] = \langle x_k \rangle = \left.

\frac{\partial}{\partial J_k} \log Z(\beta,J)\right|_{J=0} $$ की अपेक्षा मूल्य के रूप में $$x_k$$. क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पथ अभिन्न सूत्रीकरण में, इन सहायक कार्यों को आमतौर पर स्रोत क्षेत्रों के रूप में संदर्भित किया जाता है।

एकाधिक भिन्नताएं यादृच्छिक चर के उर्सेल कार्यों की ओर ले जाती हैं। इस प्रकार सहसंबंध समारोह $$C(x_j,x_k)$$ चर के बीच $$x_j$$ और $$x_k$$ द्वारा दिया गया है:


 * $$C(x_j,x_k) = \left.

\frac{\partial}{\partial J_j} \frac{\partial}{\partial J_k} \log Z(\beta,J)\right|_{J=0} $$

गाऊसी इंटीग्रल
उस मामले के लिए जहां एच को द्विघात रूप में लिखा जा सकता है जिसमें एक अंतर ऑपरेटर शामिल होता है, जैसे कि


 * $$H = \frac{1}{2} \sum_n x_n D x_n$$

तो विभाजन समारोह को गॉसियों पर एक योग या गॉसियन अभिन्न समझा जा सकता है। सहसंबंध समारोह $$C(x_j,x_k)$$ डिफरेंशियल ऑपरेटर के लिए ग्रीन के कार्य के रूप में समझा जा सकता है (और आम तौर पर फ्रेडहोम सिद्धांत को जन्म दे रहा है)। क्वांटम फील्ड थ्योरी सेटिंग में, ऐसे कार्यों को प्रचारक कहा जाता है; उच्च कोटि के सहसंयोजकों को n-बिन्दु फलन कहा जाता है; उनके साथ काम करना एक सिद्धांत की प्रभावी क्रिया को परिभाषित करता है।

जब रैंडम वैरिएबल एंटी-कम्यूटिंग ग्रासमैन संख्या  होते हैं, तो विभाजन फ़ंक्शन को ऑपरेटर डी के निर्धारक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसे बेरेज़िन अभिन्न (जिसे ग्रासमैन इंटीग्रल भी कहा जाता है) के रूप में लिखकर किया जाता है।

सामान्य गुण
विभाजन कार्यों का उपयोग महत्वपूर्ण स्केलिंग, सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणालियों) पर चर्चा करने के लिए किया जाता है और वे पुनर्सामान्यीकरण समूह के अधीन होते हैं।

यह भी देखें

 * घातीय परिवार
 * विभाजन समारोह (सांख्यिकीय यांत्रिकी)
 * विभाजन की समस्या
 * मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र