शूर बहुपद

गणित में, शूर बहुपद, जिसका नाम ईसाई स्कूर के नाम पर रखा गया है, n चरों में कुछ सममित बहुपद हैं, जो पूर्णांक विभाजनों द्वारा अनुक्रमित हैं, जो प्राथमिक सममित बहुपदों और पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों का सामान्यीकरण करते हैं। प्रतिनिधित्व सिद्धांत में वे सामान्य रेखीय समूहों के बहुपद अलघुकरणीय अभ्यावेदन के पात्र हैं। शूर बहुपद सभी सममित बहुपदों के स्थान के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं। शूर बहुपदों के किसी भी गुणनफल को शूर बहुपदों के रैखिक संयोजन के रूप में गैर-ऋणात्मक समाकल गुणांकों के साथ लिखा जा सकता है; इन गुणांकों के मूल्यों को लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम द्वारा संयुक्त रूप से दिया गया है। अधिक सामान्यतः, स्कू शूर बहुपद विभाजन के जोड़े से जुड़े होते हैं और शूर बहुपदों के समान गुण होते हैं।

परिभाषा (जैकोबी का द्विवार्षिक सूत्र)
शूर बहुपदों को पूर्णांक विभाजनों द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। एक विभाजन $λ = (λ_{1}, λ_{2}, &hellip;,λ_{n})$ दिया गया, जहाँ $λ_{1} ≥ λ_{2} ≥ &hellip; ≥ λ_{n}$, और प्रत्येक $λ_{j}$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, निम्न कार्य करता है $$ a_{(\lambda_1+n-1, \lambda_2+n-2, \dots, \lambda_n)} (x_1, x_2, \dots , x_n) = \det \left[ \begin{matrix} x_1^{\lambda_1+n-1} & x_2^{\lambda_1+n-1} & \dots & x_n^{\lambda_1+n-1} \\ x_1^{\lambda_2+n-2} & x_2^{\lambda_2+n-2} & \dots & x_n^{\lambda_2+n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ x_1^{\lambda_n} & x_2^{\lambda_n} & \dots & x_n^{\lambda_n} \end{matrix} \right] $$ निर्धारक के गुणों द्वारा बहुपदों को वैकल्पिक कर रहे हैं। एक बहुपद वैकल्पिक है यदि यह चर के किसी भी स्थानान्तरण (गणित) के तहत संकेत बदलता है।

चूंकि वे वैकल्पिक हैं, वे सभी वांडरमोंडे निर्धारक द्वारा विभाज्य हैं $$ a_{(n-1, n-2, \dots, 0)} (x_1, x_2, \dots , x_n) = \det \left[ \begin{matrix} x_1^{n-1} & x_2^{n-1} & \dots & x_n^{n-1} \\ x_1^{n-2} & x_2^{n-2} & \dots & x_n^{n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 1 & 1 & \dots & 1 \end{matrix} \right] = \prod_{1 \leq j < k \leq n} (x_j-x_k). $$ शूर बहुपदों को अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है $$ s_{\lambda} (x_1, x_2, \dots, x_n) = \frac{ a_{(\lambda_1+n-1, \lambda_2+n-2, \dots, \lambda_n+0)} (x_1, x_2, \dots , x_n)} {a_{(n-1, n-2, \dots, 0)} (x_1, x_2, \dots , x_n) }. $$ इसे जैकोबी के द्विअर्थी सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह वेइल वर्ण सूत्र की एक विशेष स्तिथि है।

यह एक सममित कार्य है क्योंकि अंश और भाजक दोनों वैकल्पिक हैं, और एक बहुपद है क्योंकि सभी वैकल्पिक बहुपद वैंडरमोंड निर्धारक द्वारा विभाज्य हैं।

गुण
श्रेणी $d$ शूर बहुपद में $n$ चर सजातीय घात $d$ के स्थान के लिए सममित बहुपद $n$ चर एक रेखीय आधार हैं। एक विभाजन $λ = (λ_{1}, λ_{2}, ..., λ_{n})$ के लिए, शूर बहुपद एकपदी का योग निम्न है,
 * $$ s_\lambda(x_1,x_2,\ldots,x_n)=\sum_T x^T = \sum_T x_1^{t_1}\cdots x_n^{t_n} $$

जहां योग सभी अर्धमानक युवा झांकी पर $T$ का आकार $λ$ है। प्रतिपादक $t_{1}, ..., t_{n}$ $T$ का भार देता है, दूसरे शब्दों में प्रत्येक $t_{i}$ संख्या की घटनाओं की गणना $i$ में $T$ करता है। यह लिंडस्ट्रॉम-गेसेल-वियनॉट लेम्मा (जैसा कि उस पृष्ठ पर उल्लिखित है) का उपयोग करके पहले गियाम्बेली सूत्र की परिभाषा के बराबर दिखाया जा सकता है।

शूर बहुपदों को एकपद सममित बहुपद $m_{μ}$ के रैखिक संयोजनों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, गैर-नकारात्मक पूर्णांक गुणांक $K_{λμ}$ के साथ निम्न संख्या घन कहा जाता है,


 * $$s_\lambda= \sum_\mu K_{\lambda\mu}m_\mu.\ $$

कोस्तका संख्या $K_{λμ}$ आकार λ और वजन μ के अर्ध-मानक युवा झांकी की संख्या द्वारा दिए गए हैं।

जैकोबी-ट्रुडी सर्वसमिका
पहला जैकोबी-ट्रूडी सूत्र शूर बहुपद को पूर्ण सजातीय सममित बहुपदों के संदर्भ में एक निर्धारक के रूप में व्यक्त करता है,


 * $$ s_{\lambda} = \det(h_{\lambda_{i} + j - i})_{i,j = 1}^{l(\lambda)} =

\det\left[ \begin{matrix} h_{\lambda_1} & h_{\lambda_1 + 1} & \dots & h_{\lambda_1 + n - 1} \\ h_{\lambda_2-1} & h_{\lambda_2} & \dots & h_{\lambda_2+n-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ h_{\lambda_n-n+1} & h_{\lambda_n-n+2} & \dots & h_{\lambda_n} \end{matrix} \right],$$ जहाँ $h_{i} := s_{(i)}$.

दूसरा जैकोबी-ट्रुडी सूत्र शूर बहुपद को प्रारंभिक सममित बहुपदों के संदर्भ में एक निर्धारक के रूप में व्यक्त करता है,


 * $$ s_{\lambda} = \det(e_{\lambda'_{i} + j - i})_{i,j = 1}^{l(\lambda')} =

\det\left[ \begin{matrix} e_{\lambda'_1} & e_{\lambda'_1 + 1} & \dots & e_{\lambda'_1 + l - 1} \\ e_{\lambda'_2-1} & e_{\lambda'_2} & \dots & e_{\lambda'_2+ l-2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ e_{\lambda'_l-l+1} & e_{\lambda'_l-l+2} & \dots & e_{\lambda'_l} \end{matrix} \right],$$ जहाँ $e_{i} := s_{(1^{i})}$ और $λ '$ $λ$ के संयुग्मी विभाजन है.

दोनों सर्वसमिकाओं में, नकारात्मक पादांक वाले कार्यों को शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है।

गियाम्बेली सर्वसमिका
एक अन्य निर्धारक सर्वसमिका गियाम्बेली का सूत्र है, जो नवोदित आरेख के भीतर निहित हुक विभाजनों के संदर्भ में मनमाने ढंग से विभाजन के लिए शूर फलन को व्यक्त करता है। फ्रोबेनियस के अंकन में, विभाजन को निरूपित किया गया है
 * $$ (a_1, \ldots, a_r\mid b_1, \ldots, b_r)$$

जहां, स्थिति में प्रत्येक विकर्ण तत्व के लिए $ii$, $a_{i}$ एक ही पंक्ति में दाईं ओर बक्सों की संख्या को दर्शाता है और $b_{i}$ एक ही पंक्ति (क्रमशः हाथ और पैर की लंबाई) में इसके नीचे के बक्सों की संख्या को दर्शाता है।

'गियाम्बेली सर्वसमिका' निर्धारक के रूप में इस विभाजन के अनुरूप शूर फलन को व्यक्त करता है
 * $$ s_{ (a_1, \ldots, a_r\mid b_1, \ldots, b_r)} = \det ( s_{(a_i \mid b_j)}) $$

उनमें से हुक विभाजन के लिए व्यक्त करता है।

कॉची सर्वसमिका
शूर कार्यों के लिए कॉची सर्वसमिका (अब असीम रूप से कई चर में), और इसकी दोहरी स्थिति निम्न है
 * $$\sum_\lambda s_\lambda(x) s_{\lambda}(y) = \sum_\lambda m_\lambda(x) h_{\lambda}(y)= \prod_{i,j} (1-x_i y_j)^{-1},$$

और
 * $$\sum_\lambda s_\lambda(x) s_{\lambda'}(y) = \sum_\lambda m_\lambda(x) e_{\lambda}(y) = \prod_{i,j} (1+x_i y_j),$$

जहां सभी विभाजन λ पर योग लिया जाता है, और $$h_{\lambda}(x)$$, $$e_{\lambda}(x)$$ क्रमशः पूर्ण सममित कार्यों और प्राथमिक सममित कार्यों को निरूपित करता है। यदि शूर बहुपदों के उत्पादों पर $$n$$ चर $$(x_1, \dots, x_n)$$योग लिया जाता है, योग में केवल लंबाई $$ \ell(\lambda) \le n $$ के विभाजन सम्मिलित हैं अन्यथा शूर बहुपद गायब हो जाते हैं।

सममित कार्यों के अन्य परिवारों के लिए इन सर्वसमिकाों के कई सामान्यीकरण हैं। उदाहरण के लिए, मैकडोनाल्ड बहुपद, शुबर्ट बहुपद और ग्रोथेंडिक बहुपद कॉची जैसी सर्वसमिका स्वीकार करते हैं।

आगे की सर्वसमिका
शूर बहुपद की गणना हॉल-लिटिलवुड बहुपद के लिए सूत्र की विशेषज्ञता के माध्यम से भी की जा सकती है,


 * $$ s_{\lambda}(x_1,\dotsc,x_n) = \sum_{w \in S_n / S^{\lambda}_n} w\left( x^\lambda  \prod_{\lambda_i > \lambda_j}

\frac{x_i}{x_i-x_j} \right)$$ जहाँ $$S^{\lambda}_n$$ क्रमपरिवर्तन का उपसमूह है जैसे कि $$\lambda_{w(i)}=\lambda_i$$ सभी के लिए i, और w सूचकांकों की अनुमति देकर चर पर कार्य करता है।

मुरनाघन-नाकायमा नियम
मर्नाघन-नाकायामा नियम शूर बहुपद के संदर्भ में एक शूर बहुपद के साथ एक शक्ति-योग सममित समारोह का एक उत्पाद व्यक्त करता है:


 * $$p_r \cdot s_\lambda = \sum_{\mu} (-1)^{ht(\mu/\lambda)+1}s_\mu$$

जहां योग सभी विभाजन μ पर है जैसे कि μ/λ आकार r का रिम-हुक है और ht(μ/λ) आरेख μ/λ में पंक्तियों की संख्या है।

लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम और पियरी का सूत्र
लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक तीन पूर्णांक विभाजनों पर निर्भर करते हैं, कहते हैं $$\lambda,\mu,\nu$$, जिसका कि $$\lambda$$ और $$\mu$$ गुणा किए जा रहे शूर कार्यों का वर्णन करें, और $$\nu$$ शूर फलन देता है जिसका यह रैखिक संयोजन में गुणांक है; दूसरे शब्दों में वे गुणांक हैं $$c_{\lambda,\mu}^\nu$$ ऐसा है कि
 * $$s_\lambda s_\mu=\sum_\nu c_{\lambda,\mu}^\nu s_\nu.$$

लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम कहता है कि $$c_{\lambda,\mu}^\nu$$ तिरछी झांकी की लिटिलवुड-रिचर्डसन झांकी की संख्या $$\nu/\lambda$$ और वजन का $$\mu$$ के बराबर है।

पियरी का सूत्र लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम की एक विशेष स्तिथि है, जो शूर बहुपदों के संदर्भ में उत्पाद $$h_r s_{\lambda}$$ को व्यक्त करता है। दोहरा संस्करण शूर बहुपद $$e_r s_{\lambda}$$ के संदर्भ में व्यक्त करता है।

विशेषज्ञता
शूर बहुपद का मूल्यांकन $s_{λ}$ में $(1, 1, ..., 1)$ आकार की अर्ध-मानक युवा झाँकी की संख्या $λ$ में प्रविष्टियों के साथ $1, 2, ..., n$ देता है।

उदाहरण के लिए, वेइल वर्ण सूत्र का उपयोग करके $$s_\lambda(1,1,\dots,1) = \prod_{1\leq i < j \leq n} \frac{\lambda_i - \lambda_j + j-i}{j-i}.$$ इस सूत्र में, $λ$, यंग डायग्राम की प्रत्येक पंक्ति की चौड़ाई को इंगित करने वाला टपल, शून्य के साथ तब तक विस्तारित होता है जब तक कि इसकी लंबाई $n$ न हो। $λ_{i}$ तत्वों का योग $d$ है। हुक लंबाई सूत्र भी देखें जो निश्चित λ के लिए समान मात्रा की गणना करता है।

उदाहरण
निम्नलिखित विस्तारित उदाहरण से इन विचारों को स्पष्ट करने में मदद मिलेगी। स्थिति n = 3, d = 4 पर विचार करें। फेरर्स आरेखों या किसी अन्य विधि का उपयोग करके, हम पाते हैं कि अधिकतम तीन भागों में 4 के केवल चार विभाजन हैं। अपने पास


 * $$ s_{(2,1,1)} (x_1, x_2, x_3) = \frac{1}{\Delta} \;

\det \left[ \begin{matrix} x_1^4 & x_2^4 & x_3^4 \\ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 \\ x_1 & x_2 & x_3 \end{matrix} \right] = x_1 \, x_2 \, x_3 \, (x_1 + x_2 + x_3) $$
 * $$ s_{(2,2,0)} (x_1, x_2, x_3) = \frac{1}{\Delta} \;

\det \left[ \begin{matrix} x_1^4 & x_2^4 & x_3^4 \\ x_1^3 & x_2^3 & x_3^3 \\ 1 & 1 & 1 \end{matrix} \right]= x_1^2 \, x_2^2 + x_1^2 \, x_3^2 + x_2^2 \, x_3^2 + x_1^2 \, x_2 \, x_3 + x_1 \, x_2^2 \, x_3 + x_1 \, x_2 \, x_3^2 $$ और इतने पर, जहाँ $$ \Delta $$ वैंडरमोंड निर्धारक $$ a_{(2,1,0)}(x_1,x_2,x_3) $$ है। संक्षेप:

प्रत्येक सजातीय घात-तीन चर में चार सममित बहुपद इन चार शूर बहुपदों के एक अद्वितीय रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं, और इस संयोजन को एक उचित उन्मूलन क्रम के लिए ग्रोबनेर आधार का उपयोग करके फिर से पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए,
 * 1) $$ s_{(2,1,1)} = e_1 \, e_3$$
 * 2) $$ s_{(2,2,0)} = e_2^2 - e_1 \, e_3$$
 * 3) $$ s_{(3,1,0)} = e_1^2 \, e_2 - e_2^2 - e_1 \, e_3$$
 * 4) $$ s_{(4,0,0)} = e_1^4 - 3 \, e_1^2 \, e_2 + 2 \, e_1 \, e_3 + e_2^2.$$


 * $$\phi(x_1, x_2, x_3) = x_1^4 + x_2^4 + x_3^4$$

स्पष्ट रूप से एक सममित बहुपद है जो घात चार का सजातीय है, और हमारे पास है


 * $$\phi = s_{(2,1,1)} - s_{(3,1,0)} + s_{(4,0,0)}.\,\!$$

प्रतिनिधित्व सिद्धांत से संबंध
शूर बहुपद सममित समूहों, सामान्य रैखिक समूहों और एकात्मक समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में पाए जाते हैं। वेइल चरित्र सूत्र का अर्थ है कि शूर बहुपद सामान्य रैखिक समूहों के परिमित-आयामी अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के वर्ण हैं, और शूर के काम को अन्य सघन और अर्धसूत्रीय झूठ समूहों में सामान्य बनाने में मदद करता है।

इस संबंध के लिए कई अभिव्यक्तियाँ उत्पन्न होती हैं, जिनमें से एक सबसे महत्वपूर्ण शूर कार्यों का विस्तार है&lambda; सममित शक्ति कार्यों के संदर्भ में $$p_k=\sum_i x_i^k$$. अगर हम χ लिखते हैं$&lambda; &rho;$ विभाजन λ द्वारा अनुक्रमित सममित समूह के प्रतिनिधित्व के चरित्र के लिए विभाजन ρ द्वारा अनुक्रमित चक्र प्रकार के तत्वों पर मूल्यांकन किया गया, फिर
 * $$s_\lambda = \sum_{\nu} \frac{\chi^\lambda_\nu}{z_\nu} p_\nu = \sum_{\rho=(1^{r_1},2^{r_2},3^{r_3},\dots)}\chi^\lambda_\rho \prod_k \frac{p^{r_k}_k}{r_k! k^{r_k} },$$

जहां ρ = (1r1, 2 r2, 3 r3, ...) का अर्थ है कि विभाजन ρ में r हैk लंबाई के हिस्से k।

इसका एक प्रमाण आर. स्टेनली के एन्युमरेटिव कॉम्बिनेटरिक्स वॉल्यूम 2, कोरोलरी 7.17.5 में पाया जा सकता है।

पूर्णांक χ$&lambda; &rho;$ मुर्नाघन-नाकायमा नियम का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

शूर सकारात्मकता
प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ संबंध के कारण, एक सममित कार्य जो शूर कार्यों में सकारात्मक रूप से फैलता है, के होते हैं विशेष रुचि। उदाहरण के लिए, तिरछा शूर कार्य सामान्य शूर कार्यों में सकारात्मक रूप से विस्तारित होता है, और गुणांक लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक हैं।

इसका एक विशेष मामला पूर्ण सजातीय सममित कार्यों का विस्तार हैλ शूर कार्यों में। यह अपघटन दर्शाता है कि कैसे एक क्रमचय मॉड्यूल अप्रासंगिक अभ्यावेदन में विघटित हो जाता है।

शुर सकारात्मकता सिद्ध करने की विधियाँ
किसी दिए गए सममित समारोह एफ की शूर सकारात्मकता साबित करने के लिए कई दृष्टिकोण हैं। यदि एफ को संयोजन तरीके से वर्णित किया गया है, तो अर्ध-मानक युवा झांकी के साथ एक आक्षेप का उत्पादन करने के लिए एक सीधा दृष्टिकोण है। एडेलमैन-ग्रीन पत्राचार और रॉबिन्सन-शेंस्टेड-नुथ पत्राचार ऐसे पूर्वाग्रहों के उदाहरण हैं।

अधिक संरचना वाला एक आक्षेप तथाकथित क्रिस्टल_बेस का उपयोग करके एक प्रमाण है। इस पद्धति को अंतर्निहित संयोजी वस्तुओं पर स्थानीय नियमों के साथ वर्णित एक निश्चित ग्राफ संरचना को परिभाषित करने के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

इसी तरह का विचार द्वैत तुल्यता की धारणा है। यह दृष्टिकोण एक ग्राफ़ संरचना का भी उपयोग करता है, लेकिन मूलभूत क्वासिमेट्रिक आधार में विस्तार का प्रतिनिधित्व करने वाली वस्तुओं पर। यह आरएसके-पत्राचार से निकटता से संबंधित है।

तिरछा शूर कार्य
तिरछा शूर कार्य करता है&lambda;/&mu; दो विभाजन λ और μ पर निर्भर करता है, और संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है
 * $$\langle s_{\lambda/\mu},s_\nu\rangle = \langle s_{\lambda},s_\mu s_\nu\rangle. $$

यहां, आंतरिक उत्पाद हॉल आंतरिक उत्पाद है, जिसके लिए शूर बहुपद एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं।

साधारण शूर बहुपदों के समान, इनकी गणना करने के कई तरीके हैं। संबंधित जैकोबी-ट्रुडी सर्वसमिका हैं
 * $$s_{\lambda/\mu} = \det(h_{\lambda_i - \mu_j -i + j})_{i,j = 1}^{l(\lambda)}$$
 * $$s_{\lambda'/\mu'} = \det(e_{\lambda_i - \mu_j -i + j})_{i,j = 1}^{l(\lambda)}$$

तिरछा शूर बहुपदों की एक मिश्रित व्याख्या भी है, अर्थात् यह तिरछी आकृति के सभी अर्ध-मानक युवा झांकी (या स्तंभ-सख्त झांकी) का योग है $$\lambda/\mu$$.

तिरछा शूर बहुपद शूर बहुपद में सकारात्मक रूप से फैलता है। गुणांक के लिए एक नियम है लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम द्वारा दिया गया।

डबल शूर बहुपद
डबल शूर बहुपद स्थानांतरित शूर बहुपदों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। ये बहुपद भी फैक्टोरियल शूर बहुपदों से निकटता से संबंधित हैं। एक विभाजन दिया $λ$, और एक क्रम $a_{1}, a_{2},&hellip;$ कोई दोहरे शूर बहुपद को परिभाषित कर सकता है $s_{λ}(x || a)$ जैसा $$s_\lambda(x||a) = \sum_T \prod_{\alpha \in \lambda}(x_{T(\alpha)} - a_{T(\alpha)-c(\alpha)})$$ जहां योग सभी अर्ध-मानक युवा झांकी के ऊपर ले जाया जाता है $T$ आकार का $λ$, और पूर्णांक प्रविष्टियाँ में $1, &hellip;, n$. यहाँ $T(α)$ बॉक्स में मान को दर्शाता है $α$ में $T$ और $c(α)$ बॉक्स की सामग्री है।

लिटिलवुड-रिचर्डसन गुणांक (अनुक्रम ए के आधार पर) के लिए एक संयोजी नियम एआई मोलेव द्वारा दिया गया था। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि शिफ्ट किए गए शूर बहुपदों में गैर-नकारात्मक लिटलवुड-रिचर्डसन गुणांक हैं।

स्थानांतरित शूर बहुपद $s^{*}_{λ}(y)$ विशेषज्ञता द्वारा डबल शूर बहुपद से प्राप्त किया जा सकता है $a_{i} = −i$ और $y_{i} = x_{i} + i$.

डबल शूर बहुपद दोहरे शुबर्ट बहुपद के विशेष मामले हैं।

क्रमगुणित शूर बहुपद
फैक्टोरियल शूर बहुपदों को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है। एक विभाजन λ दिया गया है, और एक दोगुना अनंत अनुक्रम …, ए−1, ए0, ए1, … कोई फैक्टोरियल शूर बहुपद एस को परिभाषित कर सकता हैλ(एक्स | ए) के रूप में $$s_\lambda(x|a) = \sum_T \prod_{\alpha \in \lambda}(x_{T(\alpha)} - a_{T(\alpha)+c(\alpha)})$$ जहां आकार λ, और पूर्णांक प्रविष्टियों के सभी अर्ध-मानक युवा टेबलॉक्स टी पर योग लिया जाता है 1 में, …, एन। यहाँ T(α) बॉक्स α में T के मान को दर्शाता है और c(α) सामग्री है बॉक्स का।

एक निर्धारक सूत्र भी है, $$ s_\lambda(x|a) = \frac{\det[(x_j|a)^{\lambda_i+n-i}]_{i,j = 1}^{l(\lambda)}}{\prod_{i = (वाई - ए1) ... (वाई - एk). यह स्पष्ट है कि अगर हम जाने देते हैं $a_{i} = 0$ मैं सभी के लिए, हम सामान्य शूर बहुपद एस पुनर्प्राप्त करते हैंλ.

n वेरिएबल्स में डबल शूर बहुपद और फैक्टोरियल शूर बहुपद सर्वसमिका के माध्यम से संबंधित हैं एसλ(x||ए) = एसλ(एक्स | यू) जहां एn−i+1 = यूi.

अन्य सामान्यीकरण
शूर बहुपदों के कई सामान्यीकरण हैं:


 * हॉल-लिटिलवुड बहुपद
 * स्थानांतरित शूर बहुपद
 * ध्वजांकित शूर बहुपद
 * शुबर्ट बहुपद
 * स्टेनली सममित कार्य (स्थिर शुबर्ट बहुपद के रूप में भी जाना जाता है)
 * प्रमुख बहुपद (जिन्हें Demazure वर्णों के रूप में भी जाना जाता है)
 * अर्ध-सममित शूर बहुपद
 * पंक्ति-सख्त शूर बहुपद
 * जैक बहुपद
 * मॉड्यूलर शूर बहुपद
 * लूप शूर कार्य करता है
 * मैकडोनाल्ड बहुपद
 * सहानुभूतिपूर्ण और ऑर्थोगोनल समूह के लिए शूर बहुपद।
 * के-शूर कार्य करता है
 * ग्रोथेंडिक बहुपद (के-सिद्धांत| शूर बहुपदों का के-सैद्धांतिक अनुरूप)
 * एलएलटी बहुपद

यह भी देखें

 * मैं काम कर रहा हूं
 * लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम, जहां शूर बहुपदों से जुड़ी कुछ सर्वसमिकाएं मिलती हैं।