हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता

हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता सिद्धांत बताता है कि कैसे प्रकाश की किरण और उसकी विपरीत किरण का सामना ऑप्टिकल रोमांच से मेल खाता है जैसे प्रतिबिंब, अपवर्तन, और निष्क्रिय माध्यम में अवशोषण, या इंटरफ़ेस पर। यह मूविंग नॉन-लीनियर या मैग्नेटिक मीडिया पर प्रयुक्त नहीं होता है।

उदाहरण के लिए इनकमिंग और आउटगोइंग प्रकाश को दूसरे के रिवर्सल के रूप में माना जा सकता है, द्विदिश परावर्तन वितरण समारोह (बीआरडीएफ) को प्रभावित किए बिना परिणाम यदि प्रकाश को सेंसर से मापा जाता है और वह प्रकाश बीआरडीएफ के साथ पदार्थ पर प्रतिबिंबित होता है जो हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता सिद्धांत का पालन करता है तो कोई सेंसर और प्रकाश स्रोत को स्वैप करने में सक्षम होगा और प्रवाह का माप समान रहेगा।

वैश्विक प्रकाश की कंप्यूटर ग्राफिक्स योजना में हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता सिद्धांत महत्वपूर्ण है यदि वैश्विक प्रकाश एल्गोरिथ्म प्रकाश पथों को विपरीत कर देता है (उदाहरण के लिए किरण अनुरेखण बनाम उत्कृष्ट प्रकाश पथ अनुरेखण)।

भौतिकी
स्टोक्स-हेल्महोल्ट्ज़ प्रत्यावर्तन-पारस्परिकता सिद्धांत             अत्यधिक उद्धरण स्टोक्स (1849) द्वारा और हरमन के पृष्ठ 169 पर ध्रुवीकरण के संदर्भ में कहा गया था। 1856 के हेल्महोल्ट्ज़ के हैंडबच डेर फिजियोलॉजीस्चेन ऑप्टिक जैसा कि गुस्ताव किरचॉफ और मैक्स प्लैंक द्वारा उद्धृत किया गया है।

जैसा कि 1860 में किरचॉफ द्वारा उद्धृत किया गया था, सिद्धांत का अनुवाद इस प्रकार किया गया है:

बिंदु 1 से चलने वाली प्रकाश की किरण किसी भी संख्या में अपवर्तन, परावर्तन आदि से गुजरने के बाद बिंदु 2 पर पहुंचती है। बिंदु 1 पर किन्हीं दो लंबवत तलों a1, b1 को किरण की दिशा में ले जाएं; और किरण के कंपन को दो भागों में विभाजित करें, इनमें से प्रत्येक तल में एक बिंदु 2 पर किरण में समान तल a2, b2 लें; तो निम्नलिखित प्रस्ताव प्रदर्शित किया जा सकता है। यदि जब समतल a1 में ध्रुवीकृत प्रकाश की मात्रा दी गई किरण की दिशा में 1 से आगे बढ़ती है, तो a2 में ध्रुवीकृत प्रकाश का वह भाग k 2 पर आ जाता है, तो, इसके विपरीत, यदि a2 में ध्रुवीकृत प्रकाश की मात्रा आगे बढ़ती है 2 से, a1 में ध्रुवीकृत प्रकाश k की समान मात्रा [यहां किरचॉफ के प्रकाशित पाठ को हेल्महोल्ट्ज़ के 1867 के पाठ से सहमत होने के लिए विकिपीडिया संपादक द्वारा सही किया गया है] 1 पर पहुंचेगा। ""सीधे शब्दों में कहें तो सिद्धांत कहता है कि स्रोत और अवलोकन बिंदु को देखे गए तरंग कार्य के मान को बदले बिना स्विच किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सिद्धांत गणितीय रूप से इस कथन को सिद्ध करता है, यदि मैं आपको देख सकता हूँ, तो आप मुझे देख सकते हैं। ऊष्मप्रवैगिकी के सिद्धांतों की तरह, यह सिद्धांत प्रयोगों के सही प्रदर्शन पर जांच के रूप में उपयोग करने के लिए पर्याप्त विश्वसनीय है, सामान्य स्थिति के विपरीत जिसमें प्रयोग प्रस्तावित नियम के परीक्षण हैं।

उनके मजिस्ट्रियल प्रमाण में थर्मल रेडिएशन के किरचॉफ के नियम की वैधता की या किरचॉफ का विकिरण उत्सर्जन और अवशोषण की समानता का नियम, प्लैंक स्टोक्स-हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता सिद्धांत का बार-बार और आवश्यक उपयोग करता है। जॉन विलियम स्ट्रट, तीसरे बैरन रेले ने छोटे कंपन के प्रसार की रैखिकता के परिणाम के रूप में पारस्परिकता के मूल विचार को बताया तथा रैखिक माध्यम में साइनसोइडल कंपन से युक्त प्रकाश है ।

जब किरण के मार्ग में चुंबकीय क्षेत्र होते हैं, तो सिद्धांत प्रयुक्त नहीं होता है। रैखिकता से ऑप्टिकल माध्यम का प्रस्थान भी हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता से प्रस्थान का कारण बनता है, साथ ही किरण के मार्ग में गतिमान वस्तुओं की उपस्थिति भी होती है।

हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता मूल रूप से प्रकाश को संदर्भित करती है। यह विद्युत चुंबकत्व का विशेष रूप है जिसे दूर-क्षेत्र विकिरण कहा जा सकता है। इसके लिए, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों को अलग-अलग विवरणों की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि वे दूसरे को समान रूप से खिलाते हैं। तो हेल्महोल्त्ज़ सिद्धांत पारस्परिकता (विद्युत चुंबकत्व) का अधिक सरल रूप से वर्णित विशेष स्थिति है, जो परस्पर क्रिया करने वाले विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के अलग-अलग खातों द्वारा वर्णित है। हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत मुख्य रूप से प्रकाश क्षेत्र की रैखिकता और सुपरपोज़ेबिलिटी पर निर्भर करता है, और इसमें ध्वनि जैसे गैर-विद्युत चुम्बकीय रैखिक प्रसार क्षेत्रों में निकटतम एनालॉग होते हैं। प्रकाश की विद्युत चुम्बकीय प्रकृति ज्ञात होने से पहले इसकी खोज की गई थी।

हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता प्रमेय को कई विधियों से कठोर रूप से सिद्ध किया गया है,  सामान्यतः क्वांटम मैकेनिकल टी-समरूपता या समय-विपरीत समरूपता का उपयोग करना था चूंकि ये अधिक गणितीय रूप से जटिल प्रमाण प्रमेय की सादगी से अलग हो सकते हैं, इसलिए ए.पी. पोगनी और पी.एस. टर्नर ने बोर्न श्रृंखला का उपयोग करके इसे कुछ ही चरणों में सिद्ध किया है। बिंदु A पर प्रकाश स्रोत और विभिन्न प्रकीर्णन बिंदुओं के साथ अवलोकन बिंदु O मानते हुए $$r_1, r_2, ... r$$ उनके बीच, अंतरिक्ष में परिणामी तरंग कार्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए श्रोडिंगर समीकरण का उपयोग किया जा सकता है:


 * $$(\bigtriangledown^2 + 4\pi K^2)\Psi(\mathbf{r,r_A})=-4\pi K^2V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r,r_A})+\delta(\mathbf{r-r_A})$$

ग्रीन के कार्य को प्रयुक्त करके उपरोक्त समीकरण को तरंग कार्य के लिए अभिन्न (और इस प्रकार पुनरावृत्त) रूप में हल किया जा सकता है:


 * $$\Psi(\mathbf{r,r_A})=G(\mathbf{r,r_A})-4\pi^2\int G(\mathbf{r,r'}V(\mathbf{r'}\Psi(\mathbf{r',r_A})d\mathbf{r'}$$

कहाँ
 * $$G(\mathbf{r,r'})=-\frac{\exp(2\pi iK|\mathbf{r-r'}|)}{|\mathbf{r-r'}|}$$.

अगला, यह मानने के लिए मान्य है कि बिंदु O पर प्रकीर्णन माध्यम के समाधान को बोर्न श्रृंखला द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जिससे प्रकीर्णन सिद्धांत में बोर्न सन्निकटन का उपयोग किया जा सकता है। ऐसा करने में, निम्नलिखित अभिन्न समाधान उत्पन्न करने के लिए श्रृंखला को सामान्य विधि से पुनरावृत्त किया जा सकता है:



\Psi(\mathbf{r_O,r_A})=G(\mathbf{r_O,r_A})-4\pi^2\int G(\mathbf{r_O,r_1})V(\mathbf{r_1})G(\mathbf{r_1,r_A}) d\mathbf{r_1} $$

+(-4\pi^2)^2\int d\mathbf{r_1}\int G(\mathbf{r_O,r_1})G(\mathbf{r_1,r_2})V(\mathbf{r_1})V(\mathbf{r_2})G(\mathbf{r_2,r_A})d\mathbf{r_2} $$

+ (-4\pi^2)^3\int d\mathbf{r_1}\int d\mathbf{r_2}\int G(\mathbf{r_O,r_1})G(\mathbf{r_1,r_2})G(\mathbf{r_2,r_3})V(\mathbf{r_1})V(\mathbf{r_2})V(\mathbf{r_3})G(\mathbf{r_3,r_A})d\mathbf{r_3} $$

+ ... $$ ग्रीन के कार्य के रूप को फिर से ध्यान में रखते हुए, यह स्पष्ट है कि उपरोक्त फॉर्म में $$ \mathbf{r_A} $$ और $$ \mathbf{r_O} $$को स्विच करने से परिणाम नहीं बदलेगा; कहने का तात्पर्य यह है कि $$ \Psi(\mathbf{r_A,r_O})=\Psi(\mathbf{r_O,r_A}) $$ जो कि गणितीय कथन है पारस्परिकता प्रमेय: प्रकाश स्रोत A और अवलोकन बिंदु O को स्विच करने से प्रेक्षित तरंग कार्य में परिवर्तन नहीं होता है।

अनुप्रयोग
इस पारस्परिकता सिद्धांत का सरल किंतु महत्वपूर्ण निहितार्थ यह है कि लेंस के माध्यम से दिशा में निर्देशित कोई भी प्रकाश (वस्तु से छवि तल तक) वैकल्पिक रूप से इसके संयुग्म के समान होता है, अर्थात प्रकाश ही सेट-अप के माध्यम से किंतु विपरीत दिशा में निर्देशित होता है। ऑप्टिकल घटकों की किसी भी श्रृंखला के माध्यम से केंद्रित इलेक्ट्रॉन "ध्यान" नहीं करता है कि यह किस दिशा से आता है; जब तक समान प्रकाशीय घटनाएँ घटित होती हैं, तब तक परिणामी तरंग फलन समान रहेगा। इस कारण से, इस सिद्धांत के ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी(टीईएम) के क्षेत्र में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। यह धारणा कि संयुग्मित ऑप्टिकल प्रक्रियाएं समतुल्य परिणाम उत्पन्न करती हैं, माइक्रोस्कोप उपयोगकर्ता को इलेक्ट्रॉन विवर्तन, किकुची पैटर्न, डार्क-फील्ड छवियों, और अन्य से जुड़ी तकनीकों की गहरी समझ प्राप्त करने और उनमें अधिक लचीलेपन की अनुमति देती है।

नोट करने के लिए महत्वपूर्ण चेतावनी यह है कि ऐसी स्थिति में जहां नमूने के प्रकीर्णन माध्यम के साथ परस्पर क्रिया के बाद इलेक्ट्रॉन ऊर्जा खो देते हैं समय-विपरीत समरूपता नहीं होती है। इसलिए, पारस्परिकता केवल लोचदार प्रकीर्णन की स्थितियों में ही सही मायने में प्रयुक्त होती है। कम ऊर्जा हानि के साथ अप्रत्यास्थ प्रकीर्णन के स्थिति में, यह दिखाया जा सकता है कि पारस्परिकता का उपयोग अनुमानित तीव्रता (तरंग आयाम के बजाय) के लिए किया जा सकता है। इसलिए बहुत मोटे नमूनों या उन नमूनों में जिनमें अप्रत्यास्थ प्रकीर्णन प्रभावित होता है, पहले बताए गए टीईएम अनुप्रयोगों के लिए पारस्परिकता का उपयोग करने के लाभ अब मान्य नहीं हैं। इसके अतिरिक्त यह प्रयोगात्मक रूप से प्रदर्शित किया गया है कि पारस्परिकता टीईएम में सही परिस्थितियों में प्रयुक्त होती है, किंतु सिद्धांत की अंतर्निहित भौतिकी यह तय करती है कि पारस्परिकता केवल तभी स्पष्ट हो सकती है जब किरण संचरण केवल अदिश क्षेत्रों के माध्यम से होता है, अर्थात कोई चुंबकीय क्षेत्र नहीं है इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि टीईएम में विद्युत चुम्बकीय लेंसों के चुंबकीय क्षेत्रों के कारण पारस्परिकता की विकृतियों को विशिष्ट परिचालन स्थितियों के तहत अनदेखा किया जा सकता है। चूँकि उपयोगकर्ताओं को सावधानीपूर्वक विचार किए बिना चुंबकीय इमेजिंग तकनीकों, फेरोमैग्नेटिक सामग्रियों के टीईएम, या बाहरी टीईएम स्थितियों के लिए पारस्परिकता प्रयुक्त नहीं करने के लिए सावधान रहना चाहिए। सामान्यतः समरूपता सुनिश्चित करने के लिए उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों के परिमित तत्व विश्लेषण का उपयोग करके टीईएम के लिए पोलपीस तैयार किए जाते हैं।

नमूने के विमान में चुंबकीय क्षेत्र मुक्त वातावरण बनाए रखते हुए परमाणु-मापदंड पर रिज़ॉल्यूशन प्राप्त करने के लिए टीईएम में चुंबकीय उद्देश्य लेंस प्रणाली का उपयोग किया गया है, किंतु ऐसा करने की विधि में अभी भी नमूने के ऊपर (और नीचे) बड़े चुंबकीय क्षेत्र की आवश्यकता होती है, इस प्रकार किसी भी पारस्परिकता वृद्धि प्रभाव को मना किया जा सकता है जिसकी अपेक्षा की जा सकती है। यह प्रणाली नमूना को सामने और पीछे के ऑब्जेक्टिव लेंस पोलपीस के बीच में रखकर काम करती है, जैसा कि सामान्य टीईएम में होता है, किंतु दो पोलपीस को उनके बीच नमूना विमान के संबंध में स्पष्ट दर्पण समरूपता में रखा जाता है। इस बीच उनकी उत्तेजना ध्रुवताएं पूर्ण रूप से विपरीत होती हैं जो चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती हैं जो नमूना के विमान पर लगभग पूरी तरह से समाप्त हो जाती हैं। चूँकि वे कहीं और समाप्त नहीं करते हैं, इलेक्ट्रॉन प्रक्षेपवक्र को अभी भी चुंबकीय क्षेत्र से गुजरना चाहिए।

पारस्परिकता का उपयोग टीईएम और स्कैनिंग ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी (एसटीईएम) के बीच मुख्य अंतर को समझने के लिए भी किया जा सकता है, जो सिद्धांत रूप में इलेक्ट्रॉन स्रोत और अवलोकन बिंदु की स्थिति को स्विच करके विशेषता है। यह प्रभावी रूप से टीईएम पर रिवर्सिंग टाइम के समान है जिससे इलेक्ट्रॉन विपरीत दिशा में यात्रा कर सकता है । इसलिए, उचित परिस्थितियों में (जिसमें पारस्परिकता प्रयुक्त होती है), टीईएम छवियों का ज्ञान एसटीईएम के साथ छवियों को लेने और व्याख्या करने में उपयोगी हो सकता है।

यह भी देखें

 * पारस्परिकता (विद्युत चुंबकत्व)