व्युत्क्रमणीय आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, ए $n$-द्वारा-$n$ वर्ग मैट्रिक्स $A$ यदि कोई मौजूद है, तो उसे व्युत्क्रमणीय (नॉनसिंगुलर या नॉनडिजेनरेट भी) कहा जाता है $n$-द्वारा-$n$ वर्ग मैट्रिक्स $B$ ऐसा है कि


 * $$\mathbf{AB} = \mathbf{BA} = \mathbf{I}_n \ $$

कहाँ पे $I_{n}$ दर्शाता है $n$-द्वारा-$n$ तत्समक आव्यूह और प्रयुक्त गुणन साधारण आव्यूह गुणन है। यदि ऐसा है, तो मैट्रिक्स $B$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है $A$, और का (गुणक) उलटा कहलाता है $A$, द्वारा चिह्नित $A^{−1}$. मैट्रिक्स उलटा मैट्रिक्स खोजने की प्रक्रिया है $B$ जो किसी दिए गए व्युत्क्रम मैट्रिक्स के लिए पूर्व समीकरण को संतुष्ट करता है $A$.

एक वर्ग आव्यूह जो व्युत्क्रमणीय नहीं है, 'एकवचन' या 'पतित' कहलाता है। एक वर्ग मैट्रिक्स एकवचन है यदि और केवल यदि इसका निर्धारक शून्य है। एकवचन मैट्रिसेस इस अर्थ में दुर्लभ हैं कि यदि किसी वर्ग मैट्रिक्स की प्रविष्टियों को संख्या रेखा या जटिल तल पर किसी परिमित क्षेत्र से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है, तो मैट्रिक्स के एकवचन होने की संभावना 0 है, अर्थात यह लगभग निश्चित रूप से होगा| लगभग कभी भी एकवचन नहीं होता। गैर वर्ग आव्यूह ($m$-द्वारा-$n$ जिसके लिए मेट्रिसेस $m ≠ n$) उलटा नहीं है। हालांकि, कुछ मामलों में ऐसे मैट्रिक्स में एक उलटा तत्व हो सकता है#मैट्रिसेस या उलटा तत्व#मैट्रिसेस। यदि $A$ है $m$-द्वारा-$n$ और रैंक (रैखिक बीजगणित)। $A$ के बराबर है $n$ ($n ≤ m$), फिर $A$ एक बायां उलटा है, एक $n$-द्वारा-$m$ आव्यूह $B$ ऐसा है कि $BA = I_{n}$. यदि $A$ रैंक है $m$ ($m ≤ n$), तो इसका एक सही उलटा है, an $n$-द्वारा-$m$ आव्यूह $B$ ऐसा है कि $AB = I_{m}$.

जबकि सबसे आम मामला वास्तविक संख्या या जटिल संख्या संख्याओं पर मैट्रिक्स का है, इन सभी परिभाषाओं को किसी भी अंगूठी (गणित) पर मैट्रिक्स के लिए दिया जा सकता है। हालाँकि, रिंग के कम्यूटेटिव होने की स्थिति में, एक वर्ग मैट्रिक्स के व्युत्क्रमणीय होने की शर्त यह है कि इसका निर्धारक रिंग में व्युत्क्रमणीय है, जो सामान्य रूप से गैर-शून्य होने की तुलना में एक सख्त आवश्यकता है। एक गैर-अनुवांशिक वलय के लिए, सामान्य निर्धारक परिभाषित नहीं है। बाएं-उलटा या दाएं-उलटा के अस्तित्व की शर्तें अधिक जटिल हैं, क्योंकि रिंगों पर रैंक की धारणा मौजूद नहीं है।

के समुच्चय $n × n$ मैट्रिक्स गुणन के संचालन के साथ व्युत्क्रमणीय मेट्रिसेस (और रिंग से प्रविष्टियां $R$) एक समूह (गणित) बनाते हैं, डिग्री का सामान्य रैखिक समूह $n$, निरूपित $GL_{n}(R)$.

उलटा मैट्रिक्स प्रमेय
होने देना $A$ एक वर्ग बनो $n$-द्वारा-$n$ एक क्षेत्र पर मैट्रिक्स (गणित) $K$ (जैसे, फ़ील्ड $\mathbb R$ वास्तविक संख्या का)। निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं (अर्थात, वे किसी दिए गए मैट्रिक्स के लिए या तो सभी सत्य हैं या सभी असत्य हैं):
 * वहां पर एक $n$-द्वारा-$n$ आव्यूह $B$ ऐसा है कि $AB = In = BA$.
 * साँचा $A$ एक बायां व्युत्क्रम है (अर्थात, एक मौजूद है $B$ ऐसा है कि $BA = I$) या एक सही व्युत्क्रम (अर्थात, एक मौजूद है $C$ ऐसा है कि $AC = I$), जिस स्थिति में बाएँ और दाएँ दोनों व्युत्क्रम मौजूद हैं और $B = C = A−1$.
 * $A$ व्युत्क्रमणीय है, अर्थात् $A$ एक व्युत्क्रम है, निरर्थक है, और अप्राप्य है।
 * $A$ पंक्ति तुल्यता है|पंक्ति-समतुल्य के लिए $n$-द्वारा-$n$ पहचान मैट्रिक्स $In$.
 * $A$ पंक्ति तुल्यता है|स्तंभ-समतुल्य $n$-द्वारा-$n$ पहचान मैट्रिक्स $In$.
 * $A$ है $n$ धुरी की स्थिति।
 * $A$ पूर्ण रैंक (रैखिक बीजगणित) है; वह है, $rank A = n$.
 * रैंक के आधार पर $A = n$, समीकरण $Ax = 0$ केवल तुच्छ समाधान है $x = 0$ और समीकरण $Ax = b$ प्रत्येक के लिए ठीक एक समाधान है $b$ में $Kn$.
 * कर्नेल (रैखिक बीजगणित)। $A$ तुच्छ है, अर्थात, इसमें एक तत्व के रूप में केवल अशक्त वेक्टर होता है, $ker(A) = {0}.$
 * के स्तंभ $A$ रैखिक स्वतंत्रता हैं।
 * के स्तंभ $A$ रैखिक अवधि $Kn$.
 * के स्तंभ $Col A = Kn$ के सदिश समष्टि का आधार बनाते हैं $Kn$.
 * रैखिक परिवर्तन मानचित्रण $A$ प्रति $x$ से एक आपत्ति है $Kn$ प्रति $Kn$.
 * का निर्धारक $Ax$ अशून्य है: $A$सामान्य तौर पर, एक कम्यूटेटिव रिंग पर एक वर्ग मैट्रिक्स उलटा होता है अगर और केवल अगर इसका निर्धारक उस रिंग में एक इकाई (रिंग थ्योरी) है।
 * संख्या 0 का आइगेन मान नहीं है $det A ≠ 0$.
 * स्थानान्तरण $\mathbf A^\top$ एक उलटा मैट्रिक्स है (इसलिए की पंक्तियाँ $A$ रैखिक स्वतंत्रता हैं, अवधि $Kn$, और एक सदिश स्थान का आधार बनाते हैं $Kn$).
 * साँचा $A$ प्राथमिक मैट्रिक्स के परिमित उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
 * साँचा $A$ प्राथमिक मैट्रिक्स के परिमित उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

अन्य गुण
इसके अलावा, निम्नलिखित गुण एक व्युत्क्रम मैट्रिक्स के लिए धारण करते हैं: $A$:

व्युत्क्रम मैट्रिक्स की पंक्तियाँ $A$ एक मैट्रिक्स का $+$ के स्तंभों के लम्बवत हैं $x$ (और इसके विपरीत स्तंभों के लिए पंक्तियों का आदान-प्रदान)। इसे देखने के लिए, मान लीजिए $A$ जहां की पंक्तियाँ $B$ के रूप में अंकित हैं $$v_i^{\mathrm{T}}$$ और के कॉलम $V$ जैसा $$u_j$$ के लिये $$1 \leq i,j \leq n.$$ फिर स्पष्ट रूप से, किन्हीं दो का डॉट उत्पाद $$v_i^{\mathrm{T}} u_j = \delta_{i,j}.$$ यह संपत्ति कुछ उदाहरणों में एक वर्ग मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के निर्माण में भी उपयोगी हो सकती है, जहां ऑर्थोगोनल वैक्टर का एक सेट (लेकिन जरूरी नहीं कि ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर) $U$ ज्ञात हैं। इस मामले में, उलटा की पंक्तियों को निर्धारित करने के लिए इस प्रारंभिक सेट में पुनरावृत्त ग्राम-श्मिट प्रक्रिया को लागू किया जा सकता है $U$.
 * $$(\mathbf A^{-1})^{-1} = \mathbf A$$
 * $$(k \mathbf A)^{-1} = k^{-1} \mathbf A^{-1}$$ शून्येतर अदिश के लिए $k$
 * $$(\mathbf{Ax})^+ = \mathbf x^+ \mathbf A^{-1}$$ यदि $UV = VU = I$ ऑर्थोनॉर्मल कॉलम हैं, जहां $V$ मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम को दर्शाता है और $U$ एक वेक्टर है
 * $$(\mathbf A^\top)^{-1} = (\mathbf A^{-1})^\top$$
 * किसी भी उलटा के लिए $n$-द्वारा-$n$ मैट्रिक्स $U$ तथा $V$, $$(\mathbf{AB})^{-1} = \mathbf B^{-1} \mathbf A^{-1}.$$ अधिक सामान्यतः, यदि $$\mathbf A_1, \dots, \mathbf A_k$$ उलटे हैं $n$-द्वारा-$n$ मैट्रिसेस, फिर $$(\mathbf A_1 \mathbf A_2 \cdots \mathbf A_{k-1} \mathbf A_k)^{-1} = \mathbf A_k^{-1} \mathbf A_{k-1}^{-1} \cdots \mathbf A_2^{-1} \mathbf A_1^{-1}.$$
 * $$\det \mathbf A^{-1} = (\det \mathbf A)^{-1}.$$

एक आव्यूह जो स्वयं का प्रतिलोम है (अर्थात, एक आव्यूह $A$ ऐसा है कि $A = A−1$ तथा $A2 = I$), एक अनैच्छिक मैट्रिक्स कहा जाता है।

इसके सहायक के संबंध में
मैट्रिक्स का एडजुगेट मैट्रिक्स $A$ का व्युत्क्रम ज्ञात करने के लिए उपयोग किया जा सकता है $A$ निम्नलिखित नुसार:

यदि $A$ एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स है, तब
 * $$A^{-1} = \frac{1}{\det(A)} \operatorname{adj}(A).$$

आइडेंटिटी मैट्रिक्स
के संबंध में यह मैट्रिक्स गुणन की साहचर्यता से अनुसरण करता है कि यदि
 * $$\mathbf{AB} = \mathbf{I} \ $$

परिमित वर्ग मैट्रिक्स के लिए $A$ तथा $B$, तब भी


 * $$\mathbf{BA} = \mathbf{I}\ $$

घनत्व
वास्तविक संख्या के क्षेत्र में, एकवचन का समुच्चय $n$-द्वारा-$n$ मैट्रिक्स, को का सबसेट माना जाता है $\mathbb R^{n \times n},$ एक शून्य समुच्चय है, अर्थात्, Lebesgue माप माप शून्य है। यह सत्य है क्योंकि एकवचन मैट्रिसेस निर्धारक फलन के मूल हैं। यह एक सतत कार्य है क्योंकि यह मैट्रिक्स की प्रविष्टियों में एक बहुपद है। इस प्रकार माप सिद्धांत की भाषा में लगभग सभी $n$-द्वारा-$n$ मैट्रिसेस उलटे हैं।

इसके अलावा, $n$-द्वारा-$n$ इनवर्टिबल मेट्रिसेस सभी के टोपोलॉजिकल स्पेस में एक घना सेट ओपन सेट है $n$-द्वारा-$n$ मैट्रिक्स समान रूप से, एकवचन आव्यूहों का समुच्चय बंद समुच्चय है और के स्थान में कहीं भी घना नहीं है $n$-द्वारा-$n$ मैट्रिक्स

हालांकि व्यवहार में, किसी को गैर-उलटा मैट्रिक्स का सामना करना पड़ सकता है। और संख्यात्मक विश्लेषण में, मैट्रिक्स जो व्युत्क्रमणीय हैं, लेकिन एक गैर-उलटा मैट्रिक्स के करीब हैं, अभी भी समस्याग्रस्त हो सकते हैं; ऐसे मैट्रिसेस को कंडीशन नंबर#मैट्रिसेस|बीमार हालत कहा जाता है।

उदाहरण
गैर-उलटा मैट्रिक्स होने के लिए n-1 के रैंक के साथ एक उदाहरण
 * $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 4\\ 2 & 4 \end{pmatrix} .$$

हम आसानी से देख सकते हैं कि इस 2*2 मैट्रिक्स की रैंक एक है, जो n-1≠n है, इसलिए यह एक गैर-उलटा मैट्रिक्स है।

निम्नलिखित 2-बाय-2 मैट्रिक्स पर विचार करें:
 * $$\mathbf{B} = \begin{pmatrix}-1 & \tfrac{3}{2} \\ 1 & -1\end{pmatrix} .$$

साँचा $$ \mathbf{B} $$ उलटा है। इसे जांचने के लिए, कोई इसकी गणना कर सकता है $ \det \mathbf{B} = -\frac{1}{2} $, जो शून्य नहीं है।

गैर-उलटा, या एकवचन, मैट्रिक्स के उदाहरण के रूप में, मैट्रिक्स पर विचार करें
 * $$\mathbf{C} = \begin{pmatrix} -1 & \tfrac{3}{2} \\ \tfrac{2}{3} & -1 \end{pmatrix} .$$

का निर्धारक $$ \mathbf{C} $$ 0 है, जो एक मैट्रिक्स के अपरिवर्तनीय होने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

गाऊसी उन्मूलन
मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करने के लिए गॉसियन उन्मूलन एक उपयोगी और आसान तरीका है। इस पद्धति का उपयोग करके एक मैट्रिक्स व्युत्क्रम की गणना करने के लिए, एक संवर्धित मैट्रिक्स पहले बनाया जाता है जिसमें बाईं ओर मैट्रिक्स होता है और दाईं ओर पहचान मैट्रिक्स होता है। फिर, गॉसियन एलिमिनेशन का उपयोग बाईं ओर को पहचान मैट्रिक्स में बदलने के लिए किया जाता है, जिससे दाईं ओर इनपुट मैट्रिक्स का उलटा हो जाता है।

उदाहरण के लिए, निम्नलिखित मैट्रिक्स लें: $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix}-1 & \tfrac{3}{2} \\ 1 & -1\end{pmatrix}. $$ इसके व्युत्क्रम की गणना करने के लिए पहला कदम संवर्धित मैट्रिक्स बनाना है $$\left(\begin{array}{cc|cc} -1 & \tfrac{3}{2} & 1 & 0 \\ 1 & -1 & 0 & 1 \end{array}\right) .$$ इस मैट्रिक्स की पहली पंक्ति को कॉल करें $$R_1$$ और दूसरी पंक्ति $$R_2$$. फिर, पंक्ति 1 को पंक्ति 2. में जोड़ें $$(R_1 + R_2 \to R_2).$$ यह प्रदान करता है $$\left(\begin{array}{cc|cc} -1 & \tfrac{3}{2} & 1 & 0 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & 1 & 1 \end{array}\right).$$ अगला, पंक्ति 2 घटाएं, पंक्ति 1 से 3 गुणा करें $$(R_1 - 3\, R_2 \to R_1),$$ कौन सी पैदावार $$\left(\begin{array}{cc|cc} -1 & 0 & -2 & -3 \\ 0 & \tfrac{1}{2} & 1 & 1 \end{array}\right).$$ अंत में, पंक्ति 1 को -1. से गुणा करें $$(-R_1 \to R_1)$$ और पंक्ति 2 बटा 2 $$(2\, R_2 \to R_2).$$ यह बाईं ओर पहचान मैट्रिक्स और दाईं ओर उलटा मैट्रिक्स उत्पन्न करता है:$$\left(\begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 2 & 2 \end{array}\right).$$ इस प्रकार, $$\mathbf{A}^{-1} = \begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 2 & 2 \end{pmatrix}.$$ इसके काम करने का कारण यह है कि गॉसियन एलिमिनेशन की प्रक्रिया को प्राथमिक मैट्रिक्स का उपयोग करके प्राथमिक पंक्ति संचालन का उपयोग करके बाएं मैट्रिक्स उत्परिवर्तन को लागू करने के अनुक्रम के रूप में देखा जा सकता है ($$\mathbf E_n$$), जैसे कि $$\mathbf E_n \mathbf E_{n-1} \cdots \mathbf E_2 \mathbf E_1 \mathbf A = \mathbf I.$$ का उपयोग करके सही-गुणन लागू करना $$\mathbf A^{-1},$$ हम पाते हैं $$ \mathbf E_n \mathbf E_{n-1} \cdots \mathbf E_2 \mathbf E_1 \mathbf I = \mathbf I \mathbf A^{-1}.$$ और दाहिनी ओर $$\mathbf I \mathbf A^{-1} = \mathbf A^{-1}, $$ जो उलटा हम चाहते हैं।

प्राप्त होना $$ \mathbf E_n \mathbf E_{n-1} \cdots \mathbf E_2 \mathbf E_1 \mathbf I,$$ हम संयोजन करके संवर्धित मैट्रिक्स बनाते हैं $A$ साथ $I$ और गाऊसी उन्मूलन लागू करना। प्राथमिक पंक्ति संचालन के समान अनुक्रम का उपयोग करके दो भागों को रूपांतरित किया जाएगा। जब बायां हिस्सा बन जाता है $I$, सही भाग लागू वही प्राथमिक पंक्ति संचालन अनुक्रम बन जाएगा $A–1$.

न्यूटन की विधि
गुणनात्मक प्रतिलोम#एल्गोरिदम के लिए प्रयुक्त न्यूटन की विधि का सामान्यीकरण सुविधाजनक हो सकता है, यदि उपयुक्त प्रारंभिक बीज खोजना सुविधाजनक हो:


 * $$X_{k+1} = 2X_k - X_k A X_k.$$

विक्टर पैन और जॉन रीफ ने काम किया है जिसमें शुरुआती बीज पैदा करने के तरीके शामिल हैं। बाइट पत्रिका ने उनके एक दृष्टिकोण को संक्षेप में प्रस्तुत किया। संबंधित मैट्रिक्स के परिवारों के साथ व्यवहार करते समय न्यूटन की विधि विशेष रूप से उपयोगी होती है जो उपरोक्त समरूपता के लिए निर्मित अनुक्रम की तरह पर्याप्त व्यवहार करती है: कभी-कभी नए व्युत्क्रम के लिए एक सन्निकटन को परिष्कृत करने के लिए एक अच्छा प्रारंभिक बिंदु पिछले मैट्रिक्स का पहले से ही प्राप्त प्रतिलोम हो सकता है जो लगभग मेल खाता है वर्तमान मैट्रिक्स, उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स वर्गमूल प्राप्त करने में प्रयुक्त व्युत्क्रम मैट्रिक्स के अनुक्रमों की जोड़ी#डेनमैन-बीवर पुनरावृत्ति द्वारा मैट्रिक्स वर्गमूल डेनमैन-बीवर पुनरावृत्ति द्वारा; इसे प्रत्येक नए मैट्रिक्स पर पुनरावृत्ति के एक से अधिक पास की आवश्यकता हो सकती है, यदि वे पर्याप्त रूप से पर्याप्त होने के लिए पर्याप्त रूप से पर्याप्त नहीं हैं। न्यूटन की विधि गॉस-जॉर्डन एल्गोरिथम में सुधार के लिए भी उपयोगी है जो राउंड-ऑफ त्रुटि के कारण छोटी त्रुटियों से दूषित हो गई है।

केली-हैमिल्टन विधि
केली-हैमिल्टन प्रमेय के व्युत्क्रम की अनुमति देता है $A$ के रूप में व्यक्त किया जाना है $det(A)$, निशान और शक्तियां $A$:
 * $$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \sum_{s=0}^{n-1} \mathbf{A}^s \sum_{k_1,k_2,\ldots,k_{n-1}} \prod_{l=1}^{n-1} \frac{(-1)^{k_l + 1}}{l^{k_l}k_l!} \operatorname{tr}\left(\mathbf{A}^l\right)^{k_l},$$

कहाँ पे $n$ का आयाम है $A$, तथा $tr(A)$ मैट्रिक्स का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है $A$ मुख्य विकर्ण के योग द्वारा दिया गया। राशि ले ली गई है $s$ और सभी के सेट $$k_l \geq 0$$ रैखिक डायोफैंटाइन समीकरण को संतुष्ट करना
 * $$s + \sum_{l=1}^{n-1} lk_l = n - 1.$$

तर्कों के पूर्ण बेल बहुपद के संदर्भ में सूत्र को फिर से लिखा जा सकता है $$t_l = - (l - 1)! \operatorname{tr}\left(A^l\right)$$ जैसा
 * $$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \sum_{s=1}^n \mathbf{A}^{s-1} \frac{(-1)^{n - 1}}{(n - s)!} B_{n-s}(t_1, t_2, \ldots, t_{n-s}).$$

आइगेनडीकंपोजीशन
यदि मैट्रिक्स $A$ eigendecompose किया जा सकता है, और यदि इसका कोई भी eigenvalues ​​शून्य नहीं है, तो $A$ व्युत्क्रमणीय है और इसका व्युत्क्रम द्वारा दिया जाता है
 * $$\mathbf{A}^{-1} = \mathbf{Q}\mathbf{\Lambda}^{-1}\mathbf{Q}^{-1},$$

कहाँ पे $Q$ वर्ग है $(N × N)$ मैट्रिक्स जिसका $i$-वां स्तंभ eigenvector है $$q_i$$ का $A$, तथा $Λ$ विकर्ण मैट्रिक्स है जिसके विकर्ण तत्व संबंधित eigenvalues ​​​​हैं, अर्थात, $$\Lambda_{ii} = \lambda_i.$$ यदि $A$ सममित है, $Q$ एक ओर्थोगोनल मैट्रिक्स होने की गारंटी है, इसलिए $$\mathbf{Q}^{-1} = \mathbf{Q}^\top .$$ इसके अलावा, क्योंकि $Λ$ एक विकर्ण मैट्रिक्स है, इसके व्युत्क्रम की गणना करना आसान है:
 * $$\left[\Lambda^{-1}\right]_{ii} = \frac{1}{\lambda_i}.$$

चोल्स्की अपघटन
यदि मैट्रिक्स $A$ सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स है, तो इसका व्युत्क्रम इस रूप में प्राप्त किया जा सकता है
 * $$\mathbf{A}^{-1} = \left(\mathbf{L}^*\right)^{-1} \mathbf{L}^{-1}, $$

कहाँ पे $L$ का निचला त्रिकोणीय चोल्स्की अपघटन है $A$, तथा $L*$ के संयुग्मी स्थानान्तरण को दर्शाता है $L$.

विश्लेषणात्मक समाधान
सहायक मैट्रिक्स के रूप में जाना जाने वाला सहकारकों के मैट्रिक्स का स्थानान्तरण लिखना, छोटे मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की गणना करने का एक कुशल तरीका भी हो सकता है, लेकिन यह पुनरावर्ती विधि बड़े मैट्रिक्स के लिए अक्षम है। व्युत्क्रम निर्धारित करने के लिए, हम कॉफ़ैक्टर्स के एक मैट्रिक्स की गणना करते हैं:


 * $$\mathbf{A}^{-1} = {1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\mathbf{C}^\mathrm{T} =

{1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}} \begin{pmatrix} \mathbf{C}_{11} & \mathbf{C}_{21} & \cdots & \mathbf{C}_{n1} \\ \mathbf{C}_{12} & \mathbf{C}_{22} & \cdots & \mathbf{C}_{n2} \\ \vdots &         \vdots & \ddots &          \vdots \\ \mathbf{C}_{1n} & \mathbf{C}_{2n} & \cdots & \mathbf{C}_{nn} \\ \end{pmatrix} $$ ताकि
 * $$\left(\mathbf{A}^{-1}\right)_{ij} =

{1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}^{\mathrm{T}}\right)_{ij} = {1 \over \begin{vmatrix}\mathbf{A}\end{vmatrix}}\left(\mathbf{C}_{ji}\right) $$ कहाँ पे $|A|$ का निर्धारक है $A$, $C$ सहकारकों का मैट्रिक्स है, और $C^{T}$ मैट्रिक्स ट्रांज़ोज़ का प्रतिनिधित्व करता है।

2 × 2 आव्यूहों का व्युत्क्रम
ऊपर सूचीबद्ध कॉफ़ैक्टर समीकरण के लिए निम्न परिणाम प्राप्त होता है 2 × 2 मैट्रिक्स। इन मैट्रिसेस का व्युत्क्रम निम्नानुसार किया जा सकता है:
 * $$\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}

a & b \\ c & d \\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf{A}} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix} = \frac{1}{ad - bc} \begin{bmatrix} \,\,\,d & \!\!-b \\ -c & \,a \\ \end{bmatrix}. $$ ऐसा इसलिए संभव है $1/(ad − bc)$ प्रश्न में मैट्रिक्स के निर्धारक का पारस्परिक है, और उसी रणनीति का उपयोग अन्य मैट्रिक्स आकारों के लिए किया जा सकता है।

केली-हैमिल्टन विधि देता है
 * $$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det \mathbf{A}} \left[ \left( \operatorname{tr}\mathbf{A} \right) \mathbf{I} - \mathbf{A} \right] .$$

3 × 3 आव्यूहों का व्युत्क्रम
एक कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल 3 × 3 मैट्रिक्स उलटा द्वारा दिया जाता है
 * $$\mathbf{A}^{-1} = \begin{bmatrix}

a & b & c\\ d & e & f \\ g & h & i\\ \end{bmatrix}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix} \, A & \, B & \,C \\ \, D & \, E & \, F \\ \, G & \, H & \, I\\ \end{bmatrix}^\mathrm{T} = \frac{1}{\det(\mathbf{A})} \begin{bmatrix} \, A & \, D & \,G \\ \, B & \, E & \,H \\ \, C & \,F & \, I\\ \end{bmatrix} $$ (जहां अदिश $A$ मैट्रिक्स के साथ भ्रमित नहीं होना है $A$).

यदि निर्धारक गैर-शून्य है, तो मैट्रिक्स उलटा है, ऊपर दाईं ओर मध्यस्थ मैट्रिक्स के तत्व दिए गए हैं
 * $$\begin{alignat}{6}

A &={}& (ei - fh), &\quad& D &={}& -(bi - ch), &\quad& G &={}&  (bf - ce), \\ B &={}& -(di - fg), &\quad& E &={}& (ai - cg), &\quad& H &={}& -(af - cd), \\ C &={}& (dh - eg), &\quad& F &={}& -(ah - bg), &\quad& I &={}&  (ae - bd). \\ \end{alignat}$$ का निर्धारक $A$ सारस के नियम को निम्नानुसार लागू करके गणना की जा सकती है:
 * $$\det(\mathbf{A}) = aA + bB + cC.$$

केली-हैमिल्टन अपघटन देता है
 * $$\mathbf{A}^{-1} =

\frac{1}{\det (\mathbf{A})}\left( \frac{1}{2}\left[ (\operatorname{tr}\mathbf{A})^{2} - \operatorname{tr}\mathbf{A}^{2}\right] \mathbf{I} - \mathbf{A}\operatorname{tr}\mathbf{A} + \mathbf{A}^{2}\right). $$

सामान्य 3 × 3 व्युत्क्रम को क्रॉस उत्पाद और ट्रिपल उत्पाद के संदर्भ में संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है। अगर एक मैट्रिक्स $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_0 & \mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2\end{bmatrix}$$ (तीन कॉलम वैक्टर से मिलकर, $$\mathbf{x}_0$$, $$\mathbf{x}_1$$, तथा $$\mathbf{x}_2$$) व्युत्क्रमणीय है, इसका व्युत्क्रम किसके द्वारा दिया जाता है
 * $$\mathbf{A}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf A)}\begin{bmatrix}

{(\mathbf{x_1}\times\mathbf{x_2})}^\mathrm{T} \\ {(\mathbf{x_2}\times\mathbf{x_0})}^\mathrm{T} \\ {(\mathbf{x_0}\times\mathbf{x_1})}^\mathrm{T} \end{bmatrix}.$$ का निर्धारक $A$, $det(A)$, के ट्रिपल उत्पाद के बराबर है $x0$, $x1$, तथा $x2$—पंक्तियों या स्तंभों द्वारा गठित समांतर चतुर्भुज का आयतन:
 * $$\det(\mathbf{A}) = \mathbf{x}_0\cdot(\mathbf{x}_1\times\mathbf{x}_2).$$

क्रॉस- और ट्रिपल-उत्पाद गुणों का उपयोग करके सूत्र की शुद्धता की जाँच की जा सकती है और यह ध्यान में रखते हुए कि समूहों के लिए, बाएँ और दाएँ व्युत्क्रम हमेशा मेल खाते हैं। सहज रूप से, क्रॉस उत्पादों के कारण, की प्रत्येक पंक्ति $A–1$ के गैर-संगत दो स्तंभों के लिए ओर्थोगोनल है $A$ (ऑफ-विकर्ण शर्तों के कारण $$\mathbf{I} = \mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}$$ शून्य हो)। द्वारा विभाजित करना
 * $$\det(\mathbf{A}) = \mathbf{x}_0\cdot(\mathbf{x}_1\times\mathbf{x}_2)$$

के विकर्ण तत्वों का कारण बनता है $I = A–1A$ एकता होना। उदाहरण के लिए, पहला विकर्ण है:
 * $$1 = \frac{1}{\mathbf{x_0}\cdot(\mathbf{x}_1\times\mathbf{x}_2)} \mathbf{x_0}\cdot(\mathbf{x}_1\times\mathbf{x}_2).$$

4 × 4 आव्यूहों का व्युत्क्रम
बढ़ते आयाम के साथ, के व्युत्क्रम के लिए व्यंजक $A$ जटिल हो जाओ। के लिये $n = 4$, केली-हैमिल्टन विधि एक ऐसी अभिव्यक्ति की ओर ले जाती है जो अभी भी ट्रैक्टेबल है:
 * $$\mathbf{A}^{-1} =

\frac{1}{\det(\mathbf{A})}\left(   \frac{1}{6}\left[ (\operatorname{tr}\mathbf{A})^{3} - 3\operatorname{tr}\mathbf{A}\operatorname{tr}\mathbf{A}^{2} + 2\operatorname{tr}\mathbf{A}^{3}\right] \mathbf{I} -    \frac{1}{2}\mathbf{A}\left[(\operatorname{tr}\mathbf{A})^{2} - \operatorname{tr}\mathbf{A}^{2}\right] + \mathbf{A}^{2}\operatorname{tr}\mathbf{A} -    \mathbf{A}^{3}  \right). $$

ब्लॉकवार उलटा
निम्नलिखित विश्लेषणात्मक व्युत्क्रम सूत्र का उपयोग करके मेट्रिसेस को ब्लॉकवार उलटा भी किया जा सकता है:

कहाँ पे $A$, $B$, $C$ तथा $D$ ब्लॉक मैट्रिक्स हैं | मनमाने आकार के मैट्रिक्स उप-ब्लॉक। ($A$ वर्गाकार होना चाहिए, ताकि इसे उल्टा किया जा सके। आगे, $A$ तथा $D – CA–1B$ निरर्थक होना चाहिए। ) यह रणनीति विशेष रूप से लाभप्रद है अगर $A$ विकर्ण है और $D – CA–1B$ (शूर का पूरक $A$) एक छोटा मैट्रिक्स है, क्योंकि वे केवल ऐसे मैट्रिक्स हैं जिन्हें व्युत्क्रम की आवश्यकता होती है।

इस तकनीक का कई बार आविष्कार किया गया था और यह हंस बोल्ट्ज़ (1923) के कारण है, जिन्होंने इसका उपयोग जियोडेसी मेट्रिसेस के व्युत्क्रमण के लिए किया, और तेदुस्ज़ बानाचिविज़ (1937), जिन्होंने इसे सामान्यीकृत किया और इसकी शुद्धता को साबित किया।

अशक्तता प्रमेय कहता है कि की अशक्तता $A$ व्युत्क्रम मैट्रिक्स के निचले दाएं उप-ब्लॉक की शून्यता के बराबर होती है, और यह कि की शून्यता $B$ व्युत्क्रम मैट्रिक्स के ऊपरी दाएँ भाग में उप-ब्लॉक की शून्यता के बराबर है।

उलटा प्रक्रिया जिसके कारण समीकरण ($$) पर संचालित मैट्रिक्स ब्लॉक संचालन किया $C$ तथा $D$ पहला। इसके बजाय, अगर $A$ तथा $B$ पहले संचालित होते हैं, और प्रदान किए जाते हैं $D$ तथा $A – BD–1C$ एकवचन हैं, परिणाम है

समीकरण समीकरण ($$) तथा ($$) फलस्वरूप होता है

जहां समीकरण ($$) वुडबरी मैट्रिक्स पहचान है, जो द्विपद व्युत्क्रम प्रमेय के बराबर है।

यदि $A$ तथा $D$ दोनों व्युत्क्रमणीय हैं, तो उपरोक्त दो ब्लॉक मैट्रिक्स व्युत्क्रमों को सरल गुणन प्रदान करने के लिए जोड़ा जा सकता है

वेनस्टाइन-एरोन्ज़जन पहचान के अनुसार, ब्लॉक-विकर्ण मैट्रिक्स में दो मेट्रिसेस में से एक वास्तव में उलटा होता है जब दूसरा होता है।

एक के एक खंडवार उलटा होने के बाद से $n × n$ मैट्रिक्स को दो आधे आकार के मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की आवश्यकता होती है और दो आधे आकार के मैट्रिक्स के बीच 6 गुणन, यह दिखाया जा सकता है कि एक विभाजन और जीत एल्गोरिथ्म जो एक मैट्रिक्स को उलटने के लिए ब्लॉकवाइज़ इनवर्जन का उपयोग करता है, मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिथ्म के समान समय जटिलता के साथ चलता है। आंतरिक रूप से उपयोग किया जाता है। मैट्रिक्स गुणन की कम्प्यूटेशनल जटिलता से पता चलता है कि एक जटिलता के साथ मैट्रिक्स गुणन एल्गोरिदम मौजूद हैं $O(n^{2.3727})$ संचालन, जबकि सबसे अच्छा सिद्ध निचली सीमा है $Ω(n2 log n)$. ऊपरी दाएं ब्लॉक मैट्रिक्स होने पर यह सूत्र महत्वपूर्ण रूप से सरल हो जाता है $B$ शून्य मैट्रिक्स है। यह सूत्रीकरण तब उपयोगी होता है जब मैट्रिसेस $A$ तथा $D$ अपेक्षाकृत सरल व्युत्क्रम सूत्र हैं (या मूर-पेनरोस उस मामले में उलटा है जहां ब्लॉक सभी वर्ग नहीं हैं। इस विशेष मामले में, ऊपर पूर्ण व्यापकता में कहा गया ब्लॉक मैट्रिक्स उलटा सूत्र बन जाता है


 * $$\begin{bmatrix} \mathbf{A} & \mathbf{0} \\ \mathbf{C} & \mathbf{D} \end{bmatrix}^{-1} =

\begin{bmatrix} \mathbf{A}^{-1} & \mathbf{0} \\ -\mathbf{D}^{-1}\mathbf{CA}^{-1} & \mathbf{D}^{-1} \end{bmatrix}.$$

न्यूमैन श्रृंखला द्वारा
यदि एक मैट्रिक्स $A$ संपत्ति है कि
 * $$\lim_{n \to \infty} (\mathbf I - \mathbf A)^n = 0$$

फिर $A$ एकवचन है और इसका व्युत्क्रम न्यूमैन श्रृंखला द्वारा व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$\mathbf A^{-1} = \sum_{n = 0}^\infty (\mathbf I - \mathbf A)^n.$$

योग को कम करने से एक अनुमानित उलटा होता है जो एक पूर्व शर्त के रूप में उपयोगी हो सकता है। ध्यान दें कि न्यूमैन श्रृंखला एक ज्यामितीय योग है, यह ध्यान में रखते हुए एक छोटी श्रृंखला को घातीय रूप से त्वरित किया जा सकता है। ऐसे में संतोष होता है
 * $$\sum_{n=0}^{2^L-1} (\mathbf I - \mathbf A)^n = \prod_{l=0}^{L-1}\left(\mathbf I + (\mathbf I - \mathbf A)^{2^l}\right)$$.

इसलिए केवल $2L – 2$ गणना करने के लिए मैट्रिक्स गुणन की आवश्यकता होती है $2L$ राशि की शर्तें।

अधिक सामान्यतः, यदि $A$ उलटा मैट्रिक्स के पास है $X$ इस अर्थ में कि
 * $$\lim_{n \to \infty} \left(\mathbf I - \mathbf X^{-1} \mathbf A\right)^n = 0 \mathrm{or} \lim_{n \to \infty} \left(\mathbf I - \mathbf A \mathbf X^{-1}\right)^n = 0$$

फिर $A$ निरर्थक है और इसका व्युत्क्रम है
 * $$\mathbf A^{-1} = \sum_{n = 0}^\infty \left(\mathbf X^{-1} (\mathbf X - \mathbf A)\right)^n \mathbf X^{-1}~.$$

अगर ऐसा भी है कि $A − X$ रैंक (रैखिक बीजगणित) 1 है तो यह सरल करता है
 * $$\mathbf A^{-1} = \mathbf X^{-1} - \frac{\mathbf X^{-1} (\mathbf A - \mathbf X) \mathbf X^{-1}}{1 + \operatorname{tr}\left(\mathbf X^{-1} (\mathbf A - \mathbf X)\right)}~.$$

पी-एडिक सन्निकटन
यदि $A$ पूर्णांक या परिमेय संख्या गुणांक वाला एक मैट्रिक्स है और हम मनमाने-सटीक अंकगणित में एक समाधान की तलाश करते हैं।$$-adic सन्निकटन विधि एक सटीक समाधान में परिवर्तित हो जाती है $O(n4 log2 n)$मानक मानते हुए $O(n3)$ आव्यूह गुणन का प्रयोग किया जाता है। विधि हल करने पर निर्भर करती है $$ डिक्सन की विधि के माध्यम से रैखिक प्रणाली $$-एडिक सन्निकटन (प्रत्येक में $O(n3 log2 n)$) और ऐसे सॉफ्टवेयर में उपलब्ध है जो मनमाना-सटीक मैट्रिक्स संचालन में विशेष है, उदाहरण के लिए, IML में।

पारस्परिक आधार वैक्टर विधि
दिया गया $n × n$ वर्ग मैट्रिक्स $$\mathbf{X} = \left[ x^{ij} \right] $$, $$ 1 \leq i,j \leq n $$, साथ $$ पंक्तियों के रूप में व्याख्या की गई $p$ वैक्टर $$\mathbf{x}_{i} = x^{ij} \mathbf{e}_{j}$$ (आइंस्टीन योग ग्रहण किया गया) जहां $$\mathbf{e}_{j}$$ यूक्लिडियन स्पेस का एक मानक ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं $$\mathbb{R}^{n}$$ ($$\mathbf{e}_{i} = \mathbf{e}^{i}, \mathbf{e}_{i} \cdot \mathbf{e}^{j} = \delta_i^j$$), फिर क्लिफोर्ड बीजगणित (या ज्यामितीय बीजगणित) का उपयोग करके हम पारस्परिक (कभी-कभी ज्यामितीय बीजगणित # दोहरा आधार कहा जाता है) कॉलम वैक्टर की गणना करते हैं:
 * $$\mathbf{x}^{i} = x_{ji} \mathbf{e}^{j} = (-1)^{i-1} (\mathbf{x}_{1} \wedge\cdots\wedge _{i} \wedge\cdots\wedge\mathbf{x}_{n}) \cdot (\mathbf{x}_{1} \wedge\ \mathbf{x}_{2} \wedge\cdots\wedge\mathbf{x}_{n})^{-1} $$ उलटा मैट्रिक्स के कॉलम के रूप में $$\mathbf{X}^{-1} = [x_{ji}].$$ ध्यान दें, जगह$$_{i}$$दर्शाता है कि$$\mathbf{x}_{i}$$उपरोक्त अभिव्यक्ति में उस स्थान से हटा दिया गया है $$\mathbf{x}^{i}$$. हमारे पास तब है $$\mathbf{X}\mathbf{X}^{-1} = \left[ \mathbf{x}_{i} \cdot \mathbf{x}^{j} \right] = \left[ \delta_{i}^{j} \right] = \mathbf{I}_{n} $$, कहाँ पे $$\delta_{i}^{j}$$ क्रोनकर डेल्टा है। हमारे पास भी है $$\mathbf{X}^{-1}\mathbf{X} = \left[\left(\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{x}^{k}\right)\left(\mathbf{e}^{j}\cdot\mathbf{x}_{k}\right)\right] = \left[\mathbf{e}_{i}\cdot\mathbf{e}^{j}\right] = \left[\delta_{i}^{j}\right] = \mathbf{I}_{n}$$, जैसी ज़रूरत। यदि वैक्टर $$\mathbf{x}_{i}$$ तब रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं हैं $$(\mathbf{x}_{1} \wedge \mathbf{x}_{2} \wedge\cdots\wedge\mathbf{x}_{n}) = 0$$ और मैट्रिक्स $$\mathbf{X}$$ उलटा नहीं है (कोई व्युत्क्रम नहीं है)।

मैट्रिक्स व्युत्क्रम का व्युत्पन्न
मान लीजिए कि व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स A एक पैरामीटर t पर निर्भर करता है। फिर 'टी' के संबंध में ए के व्युत्क्रम का व्युत्पन्न द्वारा दिया जाता है
 * $$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^{-1}}{\mathrm{d}t} = - \mathbf{A}^{-1} \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} \mathbf{A}^{-1}. $$

ए के व्युत्क्रम के व्युत्पन्न के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए, मैट्रिक्स व्युत्क्रम की परिभाषा में अंतर किया जा सकता है $$\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A}=\mathbf{I}$$ और फिर A के व्युत्क्रम के लिए हल करें:

\frac{\mathrm{d}(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{A})}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^{-1}}{\mathrm{d}t}\mathbf{A} + \mathbf{A}^{-1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{I}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{0}. $$ घटाने $$\mathbf{A}^{-1}\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}$$ ऊपर के दोनों ओर से और दाईं ओर से गुणा करके $$\mathbf{A}^{-1}$$ व्युत्क्रम के व्युत्पन्न के लिए सही अभिव्यक्ति देता है:
 * $$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}^{-1}}{\mathrm{d}t} = - \mathbf{A}^{-1} \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} \mathbf{A}^{-1}. $$

इसी प्रकार, यदि $$\varepsilon$$ तब एक छोटी संख्या है
 * $$\left(\mathbf{A} + \varepsilon\mathbf{X}\right)^{-1}

= \mathbf{A}^{-1} - \varepsilon \mathbf{A}^{-1} \mathbf{X} \mathbf{A}^{-1} + \mathcal{O}(\varepsilon^2)\,. $$ अधिक सामान्यतः, यदि



\frac { \mathrm{d}f(\mathbf{A})}{ \mathrm{d}t} = \sum_i g_i (\mathbf{A}) \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}h_i (\mathbf{A}), $$ फिर,


 * $$ f (\mathbf{A} + \varepsilon\mathbf{X}) = f (\mathbf{A}) + \varepsilon\sum_i g_i (\mathbf{A}) \mathbf{X} h_i (\mathbf{A}) + \mathcal{O}\left(\varepsilon^2\right).$$

एक धनात्मक पूर्णांक दिया गया है $$n$$,



\begin{align} \frac{ \mathrm{d}\mathbf{A}^{n}}{ \mathrm{d}t} &= \sum_{i=1}^n \mathbf{A}^{i-1}\frac{ \mathrm{d}\mathbf{A}}{ \mathrm{d}t}\mathbf{A}^{n-i},\\ \frac{ \mathrm{d}\mathbf{A}^{-n}}{ \mathrm{d}t} &= -\sum_{i=1}^n \mathbf{A}^{-i}\frac{ \mathrm{d}\mathbf{A}}{ \mathrm{d}t}\mathbf{A}^{-(n+1-i)}. \end{align} $$ इसलिए,



\begin{align} (\mathbf{A} + \varepsilon \mathbf{X})^{n} &= \mathbf{A}^{n} + \varepsilon \sum_{i=1}^n \mathbf{A}^{i-1}\mathbf{X}\mathbf{A}^{n-i} + \mathcal{O}\left(\varepsilon^2\right),\\ (\mathbf{A} + \varepsilon \mathbf{X})^{-n} &= \mathbf{A}^{-n} - \varepsilon \sum_{i=1}^n \mathbf{A}^{-i}\mathbf{X}\mathbf{A}^{-(n+1-i)} + \mathcal{O}\left(\varepsilon^2\right). \end{align} $$

सामान्यीकृत उलटा
व्युत्क्रम मैट्रिक्स के कुछ गुण सामान्यीकृत व्युत्क्रम (उदाहरण के लिए, मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम) द्वारा साझा किए जाते हैं, जिसे किसी भी एम-बाय-एन मैट्रिक्स के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

अनुप्रयोग
अधिकांश व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए, रेखीय समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए मैट्रिक्स को उल्टा करना आवश्यक नहीं है; हालाँकि, एक अद्वितीय समाधान के लिए, यह आवश्यक है कि शामिल मैट्रिक्स उलटा हो।

एलयू अपघटन जैसी अपघटन तकनीकें व्युत्क्रम की तुलना में बहुत तेज हैं, और रैखिक प्रणालियों के विशेष वर्गों के लिए विभिन्न तेज एल्गोरिदम भी विकसित किए गए हैं।

रिग्रेशन/न्यूनतम वर्ग
हालांकि अज्ञात के वेक्टर का अनुमान लगाने के लिए एक स्पष्ट व्युत्क्रम आवश्यक नहीं है, यह उनकी सटीकता का अनुमान लगाने का सबसे आसान तरीका है, जो एक मैट्रिक्स व्युत्क्रम (अज्ञात के वेक्टर के पश्च सहसंयोजक मैट्रिक्स) के विकर्ण में पाया जाता है। हालांकि, कई मामलों में मैट्रिक्स व्युत्क्रम की केवल विकर्ण प्रविष्टियों की गणना करने के लिए तेज़ एल्गोरिदम को जाना जाता है।

रीयल-टाइम सिमुलेशन में मैट्रिक्स व्युत्क्रम
मैट्रिक्स उलटा कंप्यूटर ग्राफिक्स में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, विशेष रूप से 3डी ग्राफिक्स रेंडरिंग और 3डी सिमुलेशन में। उदाहरणों में स्क्रीन-टू-वर्ल्ड रे कास्टिंग, वर्ल्ड-टू-सबस्पेस-टू-वर्ल्ड ऑब्जेक्ट ट्रांसफॉर्मेशन और भौतिक सिमुलेशन शामिल हैं।

MIMO वायरलेस संचार
में मैट्रिक्स व्युत्क्रम वायरलेस संचार में MIMO (मल्टीपल-इनपुट, मल्टीपल-आउटपुट) तकनीक में मैट्रिक्स उलटा भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। MIMO सिस्टम में N ट्रांसमिट और M रिसीव एंटेना होते हैं। एक ही आवृत्ति बैंड पर कब्जा करने वाले अद्वितीय संकेत, एन ट्रांसमिट एंटेना के माध्यम से भेजे जाते हैं और एम प्राप्त एंटेना के माध्यम से प्राप्त होते हैं। प्रत्येक प्राप्त ऐन्टेना पर आने वाला संकेत एन ट्रांसमिटेड सिग्नल का एक रैखिक संयोजन होगा जो एक एन × एम ट्रांसमिशन मैट्रिक्स 'एच' बनाता है। संचरित जानकारी को समझने में सक्षम होने के लिए रिसीवर के लिए मैट्रिक्स 'एच' उलटा होना महत्वपूर्ण है।

यह भी देखें
• Binomial inverse theorem

• LU decomposition

• Matrix decomposition

• Matrix square root

• Minor (linear algebra)

• Partial inverse of a matrix

• Pseudoinverse

• Rybicki Press algorithm

• Singular value decomposition

• Woodbury matrix identity

बाहरी संबंध

 * Moore-Penrose Inverse Matrix
 * Moore-Penrose Inverse Matrix
 * Moore-Penrose Inverse Matrix