फ़िबिनरी संख्या

गणित में, फ़िबिनरी संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जिनके द्विआधारी प्रतिनिधित्व में लगातार दो संख्याएँ नहीं होती हैं। अर्थात्, वे दो की विशिष्ट और गैर-क्रमिक घात का योग हैं।

बाइनरी और फाइबोनैचि संख्याओं से संबंध
फ़िबिनरी संख्याओं को उनका नाम मार्क लेब्रून द्वारा दिया गया था, क्योंकि वे बाइनरी संख्याओं और फाइबोनैचि संख्याओं के कुछ गुणों को जोड़ते हैं:
 * दो की किसी भी घात से कम फ़िबिनरी संख्याओं की संख्या एक फाइबोनैचि संख्या है। उदाहरण के लिए, 32 से कम 13 फ़िबिनरी संख्याएँ हैं, संख्याएँ 0, 1, 2, 4, 5, 8, 9, 10, 16, 17, 18, 20 और 21।
 * फ़िबिनरी संख्याओं को परिभाषित करने के लिए बाइनरी में उपयोग की जाने वाली कोई भी दो लगातार संख्या न होने की स्थिति, गैर-लगातार फाइबोनैचि संख्याओं के योग के रूप में किसी भी संख्या के ज़ेकेंडोर्फ प्रतिनिधित्व में उपयोग की जाने वाली समान स्थिति है।
 * $$n$$वें>वें फ़िबिनरी नंबर (0 को 0वें नंबर के रूप में गिनना) को व्यक्त करके गणना की जा सकती है $$n$$ इसके ज़ेकेंडॉर्फ प्रतिनिधित्व में, और परिणामी बाइनरी अनुक्रम को किसी संख्या के बाइनरी प्रतिनिधित्व के रूप में फिर से व्याख्या करना। उदाहरण के लिए, 19 का ज़ेकेंडोर्फ प्रतिनिधित्व 101001 है (जहाँ 1 विस्तार में प्रयुक्त फाइबोनैचि संख्याओं की स्थिति को चिह्नित करता है) ), बाइनरी अनुक्रम 101001, जिसे बाइनरी संख्या के रूप में व्याख्या किया गया है, दर्शाता है, और 19वीं फ़िबिनरी संख्या 41 है।
 * $$n$$वें>वें फ़िबिनरी नंबर (फिर से, 0 को 0 के रूप में गिनना) समता (गणित) या समता (गणित) है यदि और केवल यदि $$n$$फाइबोनैचि शब्द में वां मान क्रमशः 0 या 1 है।

गुण
क्योंकि लगातार दो न होने का गुण एक नियमित भाषा को परिभाषित करता है, फ़िबिनरी संख्याओं के द्विआधारी प्रतिनिधित्व को एक परिमित ऑटोमेटन द्वारा पहचाना जा सकता है, जिसका अर्थ है कि फ़िबिनरी संख्याएँ एक स्वचालित अनुक्रम|2-स्वचालित सेट बनाती हैं।

फ़िबिनरी संख्याओं में मोजर-डी ब्रुइज़न अनुक्रम, चार की विशिष्ट शक्तियों का योग शामिल है। जिस प्रकार ज़ेकेंडोर्फ अभ्यावेदन को बाइनरी के रूप में पुनर्व्याख्या करके फ़िबिनरी संख्याओं का निर्माण किया जा सकता है, उसी प्रकार बाइनरी अभ्यावेदन को चतुर्धातुक के रूप में पुनर्व्याख्या करके मोजर-डी ब्रुइज़ अनुक्रम का निर्माण किया जा सकता है।

एक संख्या $$n$$ यदि और केवल यदि द्विपद गुणांक है तो यह एक फ़िबिनरी संख्या है $$\tbinom{3n}{n}$$ अजीब है।संबंधित, $$n$$ फ़िबिनरी है यदि और केवल यदि केंद्रीय स्टर्लिंग संख्याएँ दूसरे प्रकार की हों $$\textstyle \left\{{2n\atop n}\right\}$$ अजीब है।

प्रत्येक फ़िबिनरी संख्या $$f_i$$ दो रूपों में से एक लेता है $$2f_j$$ या $$4f_j+1$$, कहाँ $$f_j$$ एक अन्य फ़िबिनरी संख्या है। तदनुसार, वह घात श्रृंखला जिसके घातांक फ़िबिनरी संख्याएँ हैं, $$B(x)=1+x+x^2+x^4+x^5+x^8+\cdots,$$ कार्यात्मक समीकरण का पालन करता है $$B(x)=xB(x^4)+B(x^2).$$

पूर्णांक विभाजनों की संख्या के लिए स्पर्शोन्मुख सूत्र प्रदान करें जिसमें सभी भाग फ़िबिनरी हैं।

यदि एक हाइपरक्यूब ग्राफ $$Q_d$$ आयाम का $$d$$ 0 से पूर्णांकों द्वारा अनुक्रमित किया जाता है $$2^d-1$$, ताकि दो शीर्ष (ग्राफ़ सिद्धांत) आसन्न हों जब उनके सूचकांकों में हैमिंग दूरी एक के साथ द्विआधारी प्रतिनिधित्व होता है, तो फ़ाइबिनरी संख्याओं द्वारा अनुक्रमित शीर्षों का उपसमुच्चय इसके प्रेरित सबग्राफ के रूप में एक फाइबोनैचि घन बनाता है।

प्रत्येक संख्या में एक फ़िबिनरी गुणज होता है। उदाहरण के लिए, 15 फ़िबिनरी नहीं है, लेकिन इसे 11 से गुणा करने पर 165 (10100101) प्राप्त होता है2), जो है।