सजातीय उपसमष्‍टि

गणित में, एक सजातीय स्थान एक ज्यामितीय संरचना है जो केवल  समानांतर (ज्यामिति)  से संबंधित गुणों और समानांतर  रेखा खंडो के लिए लंबाई के अनुपात को ध्यान में रखते हुए,  यूक्लिडियन स्थान  के कुछ गुणों को इस तरह से सामान्यीकृत करती है कि ये दूरी और कोणों की माप की अवधारणाओं से स्वतंत्र हैं।

एक सजातीय स्थान में, कोई विशिष्ट बिंदु नहीं है जो मूल बिंदु के रूप में कार्य करता है। इसलिए, किसी भी सदिश का एक निश्चित मूल बिंदु नहीं है और कोई भी सदिश एक बिंदु से विशिष्ट रूप से संबद्ध नहीं हो सकता है। एक सघन स्थान में, स्थान के दो बिंदुओं के बीच विस्थापन वैक्टर, जिसे  अनुवाद (ज्यामिति)  सदिश या केवल अनुवाद भी कहा जाता है। इस प्रकार, अनुवाद वेक्टर त्रिविम क्षेत्र के दो बिंदुओं को घटाने की और संकेत करता है, लेकिन अंतरिक्ष के दो बिंदुओं को जोड़ने का कोई मतलब नहीं है। इसी तरह, यह एक विस्थापन वेक्टर को एक एफ़िन क्षेत्र के बिंदु पर जोड़ने के लिए समझ में आता है, जिसके परिणामस्वरूप उस वेक्टर द्वारा शुरुआती बिंदु से अनुवादित एक नया बिंदु होता है।

किसी सदिश स्थान को एक सजातीय स्थान के रूप में देखा जा सकता है; यह शून्य वेक्टर  की विशेष भूमिका को भूलने जैसा है। इस विषय में, सदिश स्थान के तत्वों को या तो सजातीय स्थान के बिंदुओं के रूप में या विस्थापन वैक्टर या अनुवाद के रूप में देखा जा सकता है। जब शून्य वेक्टर को  एक बिंदु के रूप में माना जाता है, तो इसे मूल बिंदु कहा जाता है। एक सदिश स्थान के एक रेखीय उप-स्थान के तत्वों में एक निश्चित सदिश जोड़ने से एक सजातीय उप-स्थान उत्पन्न होता है। सामान्यतः कहा जाता है कि यह  रैखिक उपक्षेत्र  अनुवाद वेक्टर द्वारा रैखिक उप-स्थान (मूल बिंदु से दूर) अनुवाद करके प्राप्त किया गया है। परिमित आयामों में, इस तरह के एक सजातीय उप-स्थान असजातीय प्रणाली रैखिक प्रणाली का समाधान समुच्चय है। उस सजातीय स्थान के लिए विस्थापन वैक्टर संबंधित सजातीय रैखिक प्रणाली के समाधान हैं, जो एक रैखिक उप-स्थान है। इसके विपरीत, रेखीय उपसमष्टि में सदैव सदिश समष्टि का उद्गम होता है।

सजातीय स्थान के आयाम को, इसके अनुवाद के आयाम ( सदिश स्थल ) के रूप में परिभाषित किया गया है। इकाई आयाम का एक सजातीय स्थान एक 'सजातीय रेखा' है। आयाम 2 का एक सजातीय स्थान एक "सजातीय तल" है। $n – 1$ आयाम का एक सजातीय उप-स्थान, एक सजातीय स्थान या सदिश क्षेत्र में $n$ आयाम का एक सजातीय हाइपरप्लेन है।

अनौपचारिक विवरण
सामान्य औपचारिक परिभाषा की तुलना में निम्नलिखित लक्षण वर्णन (गणित)  को समझना आसान हो सकता है: एक एफ़िन क्षेत्र वह होता है जो एक वेक्टर क्षेत्र के बाद छोड़ दिया जाता है जो भूल जाता है कि कौन सा बिंदु मूल है (या, फ्रांसीसी गणितज्ञ  मार्सेल बर्गर  के शब्दों में, एक एफ़िन क्षेत्र एक वेक्टर क्षेत्र से ज्यादा कुछ नहीं है, जिसकी उत्पत्ति हम रैखिक मानचित्रों में अनुवाद (ज्यामिति) जोड़कर भूलने की कोशिश करते हैं ). कल्पना कीजिए कि ऐलिस जानता है कि एक निश्चित बिंदु वास्तविक मूल है, लेकिन बॉब का मानना ​​​​है कि एक और बिंदु-इसे कहते हैं $p$- मूल है। दो वैक्टर, $a$ तथा $b$, जोड़े जाने हैं। बॉब बिंदु से एक तीर खींचता है $p$ बात करने के लिए $a$ और बिंदु से एक और तीर $p$ बात करने के लिए $b$, और बॉब जो सोचता है उसे खोजने के लिए समांतर चतुर्भुज को पूरा करता है $a + b$, लेकिन ऐलिस जानता है कि उसने वास्तव में गणना की है

इसी तरह, ऐलिस और बॉब  के किसी भी  रैखिक संयोजन  का मूल्यांकन कर सकते हैं $p + (a − p) + (b − p)$ तथा $a$, या वैक्टर के किसी भी परिमित सेट के, और आम तौर पर अलग-अलग उत्तर प्राप्त करेंगे। हालांकि, यदि एक रैखिक संयोजन में गुणांकों का योग 1 है, तो ऐलिस और बॉब एक ​​ही उत्तर पर पहुंचेंगे।

अगर ऐलिस यात्रा करता है

तो बॉब इसी तरह यात्रा कर सकता है

इस शर्त के तहत, सभी गुणांकों के लिए $b$, ऐलिस और बॉब अलग-अलग उत्पत्ति का उपयोग करने के बावजूद समान रैखिक संयोजन के साथ एक ही बिंदु का वर्णन करते हैं।

जबकि केवल ऐलिस रेखीय संरचना को जानता है, ऐलिस और बॉब दोनों ही संबधित संरचना को जानते हैं—i.e. affine संयोजनों के मान, रैखिक संयोजनों के रूप में परिभाषित किए गए हैं जिनमें गुणांकों का योग 1 है। affine संरचना वाला एक सेट एक affine स्थान है।

परिभाषा
एक एफ़िन क्षेत्र एक सेट है $λa + (1 − λ)b$ एक साथ एक वेक्टर अंतरिक्ष के साथ $$\overrightarrow{A}$$, और योगात्मक समूह की एक सकर्मक और मुक्त समूह क्रिया (गणित) $$\overrightarrow{A}$$ मंच पर $p + λ(a − p) + (1 − λ)(b − p) = λa + (1 − λ)b$. एफ़िन क्षेत्र के तत्व $λ + (1 − λ) = 1$ बिंदु कहलाते हैं। वेक्टर अंतरिक्ष $$\overrightarrow{A}$$ एफ़िन क्षेत्र से जुड़ा हुआ कहा जाता है, और इसके तत्वों को वैक्टर, अनुवाद, या कभी-कभी मुक्त वैक्टर कहा जाता है।

स्पष्ट रूप से, उपरोक्त परिभाषा का अर्थ है कि क्रिया एक मानचित्रण है, जिसे आम तौर पर एक जोड़ के रूप में दर्शाया जाता है,

\begin{align} A \times \overrightarrow{A} &\to A \\ (a,v)\; &\mapsto a + v, \end{align} $$ जिसके निम्नलिखित गुण हों।
 * 1) सही पहचान:
 * $$\forall a \in A,\; a+0 = a$$, कहाँ पे $A$ में शून्य वेक्टर है $$\overrightarrow{A}$$
 * 1) सहयोगिता:
 * $$\forall v,w \in \overrightarrow{A}, \forall a \in A,\; (a + v) + w = a + (v + w)$$ (यहाँ अंतिम $A$ में जोड़ है $$\overrightarrow{A}$$)
 * नि: शुल्क और सकर्मक क्रिया:
 * हरएक के लिए $$a \in A$$, मैपिंग $$\overrightarrow A \to A \colon v \mapsto a + v$$ एक आपत्ति है।

पहले दो गुण केवल एक (दाएं) समूह क्रिया के गुणों को परिभाषित कर रहे हैं। तीसरी संपत्ति मुक्त और सकर्मक क्रियाओं की विशेषता है, सकर्मकता से आने वाला चरित्र, और फिर क्रिया मुक्त होने से द्विभाजन  चरित्र का अनुसरण करता है। एक चौथी संपत्ति है जो ऊपर 1, 2 से आती है:
 * 1) एक-से-एक अनुवाद (ज्यामिति) का अस्तित्व
 * सभी के लिए $$v \in \overrightarrow A$$, मैपिंग $$A \to A \colon a \mapsto a + v$$ एक आपत्ति है।

संपत्ति 3 अक्सर निम्नलिखित समकक्ष रूप में प्रयोग किया जाता है। परिभाषा को व्यक्त करने का एक और तरीका यह है कि एक एफ़िन क्षेत्र एक वेक्टर क्षेत्र के योजक समूह की कार्रवाई के लिए एक प्रमुख सजातीय स्थान  है। सजातीय रिक्त स्थान परिभाषा के अनुसार एक सकर्मक समूह क्रिया के साथ संपन्न होते हैं, और एक प्रमुख सजातीय स्थान के लिए ऐसी सकर्मक क्रिया परिभाषा मुक्त होती है।
 * 1) घटाव:
 * हरएक के लिए $A$ में $A$, एक अद्वितीय मौजूद है $$v\in\overrightarrow A$$, निरूपित $0$, ऐसा है कि $$b = a + v$$.

घटाव और वील के अभिगृहीत
समूह क्रिया के गुण किसी दिए गए क्रमित युग्म के लिए घटाव की परिभाषा की अनुमति देते हैं $+$ अंकों में $A$, का सदिश उत्पन्न करना $$\overrightarrow{A}$$. यह वेक्टर, निरूपित $$b - a$$ या $$\overrightarrow{ab}$$, में अद्वितीय वेक्टर के रूप में परिभाषित किया गया है $$\overrightarrow{A}$$ ऐसा है कि
 * $$a + (b - a) = b.$$

अस्तित्व क्रिया की परिवर्तनशीलता से अनुगमन करता है, और अद्वितीयता अनुगमन करती है क्योंकि क्रिया मुक्त है।

इस घटाव में निम्नलिखित दो गुण हैं, जिन्हें हरमन वेयलो  के स्वयंसिद्ध कहा जाता है: यूक्लिडियन ज्यामिति में, दूसरे वेइल के अभिगृहीत को सामान्यतः समांतर चतुर्भुज नियम कहा जाता है।
 * 1) $$\forall a \in A,\; \forall v\in \overrightarrow{A}$$, एक अनूठा बिंदु है $$b \in A$$ ऐसा है कि $$b - a = v.$$
 * 2) $$\forall a,b,c \in A,\; (c - b) + (b - a)  = c - a.$$

Affine रिक्त स्थान को समान रूप से बिंदु सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $a, b$, एक वेक्टर अंतरिक्ष के साथ $$\overrightarrow{A}$$, और वेइल के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाला घटाव। इस विषय में, एक बिंदु के लिए एक वेक्टर के अलावा पहले वेइल के स्वयंसिद्धों से परिभाषित किया गया है।

Affine उप-स्थान और समानता
एक affine उप-स्थान (जिसे कुछ संदर्भों में, एक रैखिक विविधता, एक फ्लैट (ज्यामिति), या वास्तविक संख्या ओं पर, एक रैखिक कई गुना भी कहा जाता है)  $b – a$ एक affine स्थान की $(b, a)$ का उपसमुच्चय है $A$ ऐसा है कि, एक बिंदु दिया $$a \in B$$, वैक्टर का सेट $$\overrightarrow{B} = \{b - a \mid b \in B\}$$ का एक रैखिक उप-समष्टि है $$\overrightarrow{A}$$. यह संपत्ति, जो की पसंद पर निर्भर नहीं करती है $B$, इसका आशय है $A$ एक एफाइन क्षेत्र है, जिसमें $$\overrightarrow{B}$$ इसके संबद्ध वेक्टर स्थान के रूप में।

के affine उप-स्थान $A$ के उपसमुच्चय हैं $a$ फॉर्म का
 * $$a + V = \{a + w: w \in V\},$$

कहाँ पे $B$ का एक बिंदु है $A$, तथा $A$ की एक रेखीय उपसमष्टि $$\overrightarrow{A}$$.

एक एफ़िन उप-स्थान से जुड़े रैखिक उप-स्थान को अक्सर इसका कहा जाता है, और एक ही दिशा साझा करने वाले दो उपस्थानों को समानांतर कहा जाता है।

इसका तात्पर्य Playfair के स्वयंसिद्ध के निम्नलिखित सामान्यीकरण से है: एक दिशा दी गई है $a$, किसी भी बिंदु के लिए $A$ का $V$ दिशा का एक और केवल एक ही उपक्षेत्र है $V$, जिससे होकर गुजरता है $a$, अर्थात् उप-स्थान $A$.

हर अनुवाद $$A \to A: a \mapsto a + v$$ किसी भी affine सबक्षेत्र को समानांतर सबक्षेत्र में मैप करता है।

समानांतर शब्द का प्रयोग दो सजातीय उप-स्थानों के लिए भी किया जाता है जैसे कि एक की दिशा दूसरे की दिशा में शामिल होती है।

एफ़िन नक्शा
दो एफ़िन रिक्त स्थान दिए गए $V$ तथा $a$ जिनके संबद्ध सदिश स्थान हैं $$\overrightarrow{A}$$ तथा $$\overrightarrow{B}$$, affine map या affine homomorphism से $a + V$ प्रति $A$ एक नक्शा है
 * $$f: A \to B$$

ऐसा है कि

\begin{align} \overrightarrow{f}: \overrightarrow{A} &\to \overrightarrow{B}\\ b - a &\mapsto f(b) - f(a) \end{align} $$ एक सुपरिभाषित रैखिक मानचित्र है। द्वारा $$f$$ अच्छी तरह से परिभाषित होने का मतलब है $B$ तात्पर्य $A$.

इसका तात्पर्य है कि, एक बिंदु के लिए $$a \in A$$ और एक वेक्टर $$v \in \overrightarrow{A}$$, किसी के पास
 * $$f(a + v) = f(a) + \overrightarrow{f}(v).$$

इसलिए, चूंकि किसी दिए गए के लिए $b$ में $A$, $B$ एक अद्वितीय के लिए $v$, $b – a = d – c$ पूरी तरह से एक बिंदु और संबंधित रैखिक मानचित्र पर इसके मूल्य द्वारा परिभाषित किया गया है $$\overrightarrow{f}$$.

एंडोमोर्फिज्म
एक सघन स्थान का एक सजातीय परिवर्तन या एंडोमोर्फिज्म $$A$$ उस स्थान से अपने आप में एक सम्बद्ध मानचित्र है। उदाहरणों का एक महत्वपूर्ण परिवार अनुवाद है: एक वेक्टर दिया गया $$\overrightarrow{v}$$, अनुवाद मानचित्र $$T_{\overrightarrow{v}}: A\rightarrow A$$ जो भेजता है $$a\mapsto a + \overrightarrow{v}$$ हरएक के लिए $$a$$ में $$A$$ एक affine नक्शा है। उदाहरणों का एक अन्य महत्वपूर्ण परिवार एक मूल पर केंद्रित रेखीय मानचित्र हैं: एक बिंदु दिया गया $$b$$ और एक रेखीय नक्शा $$M$$, कोई एक affine नक्शा परिभाषित कर सकता है $$L_{M,b}:A\rightarrow A$$ द्वारा $$L_{M,b}(a) = b + M(a-b)$$ हरएक के लिए $$a $$ में $$A$$.

उत्पत्ति का चुनाव करने के बाद $$b$$, किसी भी एफ़िन मानचित्र को विशिष्ट रूप से अनुवाद के संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है और एक रेखीय मानचित्र केंद्रित किया जा सकता है $$b$$.

वेक्टर रिक्त स्थान affine रिक्त स्थान के रूप में
प्रत्येक सदिश स्थान $f(b) – f(a) = f(d) – f(c)$ अपने आप में एक आत्मीय स्थान के रूप में माना जा सकता है। इसका मतलब है कि का हर तत्व $b = a + v$ बिंदु या वेक्टर के रूप में माना जा सकता है। इस संबंध स्थान को कभी-कभी निरूपित किया जाता है $f$ के तत्वों की दोहरी भूमिका पर बल देने के लिए $V$. जब एक बिंदु के रूप में माना जाता है, तो शून्य वेक्टर को सामान्यतः निरूपित किया जाता है $V$ (या $(V, V)$, जब अंक के लिए अपर-केस अक्षरों का उपयोग किया जाता है) और इसे मूल कहा जाता है।

यदि $V$ उसी सदिश समष्टि पर एक और परिबद्ध स्थान है (अर्थात $$V = \overrightarrow{A}$$) किसी भी बिंदु का चुनाव $o$ में $O$ एक अद्वितीय affine isomorphism को परिभाषित करता है, जो की पहचान है $A$ और नक्शे $a$ प्रति $A$. दूसरे शब्दों में, मूल का चुनाव $V$ में $a$ हमें पहचानने की अनुमति देता है $o$ तथा $a$ एक विहित समरूपता   तक । इस गुण का प्रतिरूप यह है कि affine space $A$ वेक्टर स्थान के साथ पहचाना जा सकता है $A$ जिसमें मूल स्थान को भुला दिया गया है।

यूक्लिडियन रिक्त स्थान की परिभाषा
यूक्लिडियन रिक्त स्थान (एक-आयामी रेखा, दो-आयामी विमान, और त्रि-आयामी अंतरिक्ष सहित सामान्यतः प्राथमिक ज्यामिति में अध्ययन किया जाता है, साथ ही साथ उच्च-आयामी अनुरूप) एफ़िन रिक्त स्थान हैं।

वास्तव में, अधिकांश आधुनिक परिभाषाओं में, एक यूक्लिडियन स्थान को एक परिबद्ध स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि संबंधित वेक्टर स्थान परिमित आयाम का एक वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थान  है, जो कि एक  सकारात्मक-निश्चित द्विघात रूप  के साथ वास्तविक पर एक वेक्टर स्थान है। $(V, V)$. दो वैक्टर का आंतरिक उत्पाद $x$ तथा $y$ सममित द्विरेखीय रूप  का मान है
 * $$x \cdot y = \frac 12 (q(x + y) - q(x) - q(y)).$$

दो बिंदुओं के बीच सामान्य यूक्लिडियन दूरी  $A$ तथा $B$ है
 * $$d(A, B) = \sqrt{q(B - A)}.$$

सिंथेटिक ज्यामिति के माध्यम से यूक्लिडियन रिक्त स्थान की पुरानी परिभाषा में, सदिशों को समतुल्यता (ज्यामिति) के तहत बिंदुओं के आदेशित जोड़े के समतुल्य वर्गों के रूप में परिभाषित किया गया है (जोड़े $A$ तथा $V$ समसामयिक हैं यदि अंक $q(x)$ (इस क्रम में) एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं)। यह सत्यापित करना सीधा है कि वेक्टर एक वेक्टर स्थान बनाते हैं, यूक्लिडियन दूरी का वर्ग वैक्टर के स्थान पर एक द्विघात रूप है, और यूक्लिडियन रिक्त स्थान की दो परिभाषाएँ समान हैं।

एफ़िन गुण
यूक्लिडियन ज्यामिति में, सामान्य वाक्यांश एफ़िन संपत्ति एक ऐसी संपत्ति को संदर्भित करती है जिसे एफ़िन रिक्त स्थान में साबित किया जा सकता है, अर्थात, इसे द्विघात रूप और इसके संबंधित आंतरिक उत्पाद का उपयोग किए बिना साबित किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक एफ़िन संपत्ति एक ऐसी संपत्ति है जिसमें लंबाई और कोण शामिल नहीं होते हैं। विशिष्ट उदाहरण समानांतर (ज्यामिति), और स्पर्शरेखा  की परिभाषा हैं। एक गैर-उदाहरण एक  सामान्य (ज्यामिति)  की परिभाषा है।

समान रूप से, एक affine संपत्ति एक संपत्ति है जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष के affine परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है।

एफ़िन संयोजन और बैरीसेंटर
होने देना $(A, B)$ का संग्रह हो $(C, D)$ एक एफ़िन क्षेत्र में अंक, और $$\lambda_1, \dots, \lambda_n$$ होना $A, B, D, C$ जमीनी क्षेत्र के तत्व।

मान लो कि $$\lambda_1 + \dots + \lambda_n = 0$$. किन्हीं दो बिंदुओं के लिए $a_{1}, ..., a_{n}$ तथा $n$ किसी के पास
 * $$\lambda_1 \overrightarrow{oa_1} + \dots + \lambda_n \overrightarrow{oa_n} = \lambda_1 \overrightarrow{o'a_1} + \dots + \lambda_n \overrightarrow{o'a_n}.$$

इस प्रकार, यह योग मूल के चुनाव से स्वतंत्र है, और परिणामी वेक्टर को निरूपित किया जा सकता है
 * $$\lambda_1 a_1 + \dots + \lambda_n a_n .$$

कब $$n = 2, \lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1$$, एक अंक के घटाव की परिभाषा को पुनः प्राप्त करता है।

अब मान लीजिए कि इसके बजाय क्षेत्र (गणित)  तत्व संतुष्ट करते हैं $$\lambda_1 + \dots + \lambda_n = 1$$. मूल के कुछ विकल्प के लिए $n$, द्वारा निरूपित करें $$g$$ अद्वितीय बिंदु ऐसा है
 * $$\lambda_1 \overrightarrow{oa_1} + \dots + \lambda_n \overrightarrow{oa_n} = \overrightarrow{og}.$$

कोई यह दिखा सकता है कि $$g$$ की पसंद से स्वतंत्र है $o$. इसलिए, यदि
 * $$\lambda_1 + \dots + \lambda_n = 1,$$

कोई लिख सकता है
 * $$g = \lambda_1 a_1 + \dots + \lambda_n a_n.$$

बिंदु $$g$$ का केन्द्रक  कहा जाता है $$a_i$$ वजन के लिए $$\lambda_i$$. एक यह भी कहता है $$g$$ का एक एफ़िन संयोजन है $$a_i$$ गुणांक के साथ $$\lambda_i$$.

उदाहरण

 * जब बच्चों को सवालों के जवाब मिल जाते हैं जैसे $o'$ या $o$ किसी संख्या रेखा  पर दाएँ या बाएँ गिनकर, वे संख्या रेखा को एक आयामी सजातीय स्थान के रूप में मान रहे हैं।
 * ऊर्जाओं का स्थान के लिए एक परिबद्ध स्थान है $$\mathbb{R}$$, चूंकि पूर्ण ऊर्जा के बारे में बात करना अक्सर अर्थपूर्ण नहीं होता है, लेकिन ऊर्जा अंतरों के बारे में बात करना सार्थक होता है। परिभाषित होने पर निर्वात ऊर्जा  एक विहित मूल को चुनती है।
 * भौतिक स्थान को अक्सर एक संबधित स्थान के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है $$\mathbb{R}^3$$ गैर-सापेक्षतावादी सेटिंग्स में और $$\mathbb{R}^{1,3}$$ सापेक्षतावादी सेटिंग में। उन्हें सदिश स्थान से अलग करने के लिए इन्हें कभी-कभी यूक्लिडियन स्थान कहा जाता है $$\text{E}(3)$$ तथा $$\text{E}(1,3)$$.
 * उप-स्थान का कोई सह समुच्चय  $V$ सदिश स्थान का उस उप-स्थान पर एक सजातीय स्थान है।
 * यदि $T$ एक मैट्रिक्स (गणित)  है और $o$ इसके  स्तंभ स्थान  में निहित है, समीकरण के समाधान का सेट $4 + 3$ के समाधान के उप-स्थान पर एक परिबद्ध स्थान है $4 − 2$.
 * एक अमानवीय रैखिक अवकल समीकरण के समाधान संगत समरूप रैखिक समीकरण के समाधानों पर एक परिबद्ध स्थान बनाते हैं।
 * उपरोक्त सभी का सामान्यीकरण, यदि $b$ एक रैखिक नक्शा है और $Tx = b$ इसकी छवि में निहित है, समाधान का सेट $Tx = 0$ समीकरण के लिए $T : V → W$ के कर्नेल का एक कोसेट है $T$, और इसलिए एक एफ़िन क्षेत्र ओवर है $y$.
 * एक सदिश उप-समष्टि के (रैखिक) पूरक उप-स्थान का स्थान $x ∈ V$ एक वेक्टर अंतरिक्ष में $Tx = y$ एक affine स्थान है, over $Ker T$. यानी अगर $V$ वेक्टर रिक्त स्थान का एक छोटा सटीक अनुक्रम है, तो सटीक अनुक्रम के सभी विभाजित सटीक अनुक्रम का स्थान स्वाभाविक रूप से एक एफ़िन क्षेत्र की संरचना को ऊपर ले जाता है $W$.
 * कनेक्शन का स्थान (गणित) ( वेक्टर बंडल से देखा गया $$E\xrightarrow{\pi}M$$, कहाँ पे $$M$$ एक  चिकना कई गुना  है) के वेक्टर क्षेत्र के लिए एक एफ़िन क्षेत्र है $$\text{End}(E)$$ मूल्यवान 1-रूप। कनेक्शन का स्थान (प्रमुख बंडल से देखा गया $$P\xrightarrow{\pi}M$$) के सदिश समष्टि के लिए एक परिबद्ध स्थान है $$\text{ad}(P)$$-मूल्यवान 1-रूप, जहां $$\text{ad}(P)$$  संबंधित वेक्टर बंडल  आसन्न बंडल है।

एफ़िन स्पैन और बेस
किसी उपसमुच्चय के लिए $Hom(W/V, V)$ एक affine स्थान की $0 → V → W → X → 0$, इसमें सबसे छोटा एफ़िन सबक्षेत्र होता है जिसमें यह शामिल होता है, जिसे एफ़िन स्पैन कहा जाता है $Hom(X, V)$. यह युक्त सभी affine उप-स्थानों का प्रतिच्छेदन है $X$, और इसकी दिशा उन affine उप-स्थानों की दिशाओं का प्रतिच्छेदन है जिनमें शामिल हैं $A$.

की एफ़िन अवधि $X$ के बिंदुओं के सभी (परिमित) affine संयोजनों का समुच्चय है $X$, और इसकी दिशा की रैखिक अवधि  है $X$ के लिये $X$ तथा $X$ में $x − y$. यदि कोई एक विशेष बिंदु चुनता है $x$, के संबंध अवधि की दिशा $y$ की रैखिक अवधि भी है $X$ के लिये $x_{0}$ में $X$.

एक यह भी कहता है कि एफ़िन की अवधि $x – x_{0}$ द्वारा उत्पन्न होता है $x$ और कि $X$ इसके एफ़ाइन स्पैन का जनरेटिंग सेट है।

एक सेट $X$ एक संबधित स्थान के बिन्दुओं का होना कहा जाता हैaffinely independentया, बस, स्वतंत्र, अगर किसी सख्त उपसमुच्चय  का संबंध अवधि $X$ एफ़िन अवधि का एक सख्त उपसमुच्चय है $X$. एकया बैरीसेंट्रिक फ्रेम (देखें, नीचे) एक एफ़िन क्षेत्र का एक जनरेटिंग सेट है जो स्वतंत्र भी है (जो कि न्यूनतम जनरेटिंग सेट है)।

याद रखें कि एक एफ़िन क्षेत्र का आयाम इसके संबंधित वेक्टर क्षेत्र का आयाम है। परिमित आयाम के एक संबधित स्थान का आधार $X$ के स्वतंत्र उपसमुच्चय हैं $X$ तत्व, या, समकक्ष, के उत्पन्न करने वाले सबसेट $X$ तत्व समान रूप से, $n$ किसी संबधित स्थान का एक संबधित आधार है यदि और केवल यदि $n + 1$ संबद्ध सदिश समष्टि का एक रेखीय आधार है।

निर्देशांक
दो दृढ़ता से संबंधित प्रकार के समन्वय प्रणालियां हैं जिन्हें एफ़िन रिक्त स्थान पर परिभाषित किया जा सकता है।

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक
होने देना $n + 1$ आयाम का एक एफाइन क्षेत्र बनें ${x_{0}, ..., x_{n}}|undefined$ एक क्षेत्र के ऊपर (गणित) ${x_{1} − x_{0}, ..., x_{n} − x_{0}}|undefined$, तथा $$\{x_0, \dots, x_n\}$$ का एक affine आधार हो $A$. एक संबंध आधार के गुणों का अर्थ है कि प्रत्येक के लिए $n$ में $k$ एक अनूठा है $A$-टुपल $$(\lambda_0, \dots, \lambda_n)$$ के तत्वों की $x$ ऐसा है कि
 * $$\lambda_0 + \dots + \lambda_n = 1$$

तथा
 * $$x = \lambda_0 x_0 + \dots + \lambda_n x_n.$$

$$\lambda_i$$ h> के बैरसेंट्रिक निर्देशांक कहलाते हैं $A$ एफ़िन के आधार पर $$\{x_0, \dots, x_n\}$$. अगर $(n + 1)$ वजन (या द्रव्यमान) वाले निकायों के रूप में देखा जाता है $$\lambda_i$$, बिंदु $k$ इस प्रकार का केन्द्रक है $x$, और यह बेरिकेंट्रिक निर्देशांक शब्द की उत्पत्ति की व्याख्या करता है।

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक एफ़िन क्षेत्र के बीच एक एफ़िन समरूपता को परिभाषित करते हैं $x_{i}$ और के affine उप-स्थान $x$ समीकरण द्वारा परिभाषित $$\lambda_0 + \dots + \lambda_n = 1$$.

अनंत आयाम के एफ़िन रिक्त स्थान के लिए, वही परिभाषा लागू होती है, केवल परिमित राशियों का उपयोग करते हुए। इसका मतलब है कि प्रत्येक बिंदु के लिए, निर्देशांक की केवल एक सीमित संख्या गैर-शून्य है।

Affine निर्देशांक
एक एफ़िन क्षेत्र के एक एफ़िन फ्रेम में एक बिंदु होता है, जिसे 'मूल' कहा जाता है, और संबंधित वेक्टर क्षेत्र का एक रैखिक आधार होता है। अधिक सटीक, एक एफ़िन क्षेत्र के लिए $x_{i}$ संबद्ध वेक्टर स्थान के साथ $$\overrightarrow{A}$$, मूल $A$ का है $k^{n + 1}$, और रैखिक आधार एक आधार है $A$ का $$\overrightarrow{A}$$ (संकेतन की सरलता के लिए, हम केवल परिमित आयाम के विषय पर विचार करते हैं, सामान्य मामला समान है)।

प्रत्येक बिंदु के लिए $o$ का $A$, एक अनूठा क्रम है $$\lambda_1, \dots, \lambda_n$$ जमीनी क्षेत्र के तत्वों की जैसे कि
 * $$p = o + \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n,$$

या समकक्ष
 * $$\overrightarrow{op} = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n.$$

$$\lambda_i$$ h> के affine निर्देशांक कहलाते हैं $(v_{1}, ..., v_{n})$ affine फ्रेम के ऊपर $p$.

उदाहरण: यूक्लिडियन ज्यामिति में, कार्टेशियन निर्देशांक एक ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम के सापेक्ष एफ़िन निर्देशांक होते हैं, जो कि एक एफ़िन फ्रेम है $A$ ऐसा है कि $p$ n ऑर्थोनॉर्मल आधार है।

बेरिसेंट्रिक और एफाइन निर्देशांक के बीच संबंध
बैरीसेंट्रिक निर्देशांक और एफ़िन निर्देशांक दृढ़ता से संबंधित हैं, और इन्हें समकक्ष माना जा सकता है।

वास्तव में, एक बैरीसेंट्रिक फ्रेम दिया गया है
 * $$(x_0, \dots, x_n),$$

एक तुरंत एफ़िन फ्रेम को कम करता है
 * $$(x_0, \overrightarrow{x_0 x_1}, \dots, \overrightarrow{x_0 x_n}) = \left(x_0, x_1 - x_0, \dots, x_n - x_0\right),$$

और अगर
 * $$\left(\lambda_0, \lambda_1, \dots, \lambda_n\right)$$

बैरसेंट्रिक फ्रेम के ऊपर एक बिंदु के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक हैं, तो एफ़िन फ्रेम पर एक ही बिंदु के एफ़िन निर्देशांक हैं
 * $$\left(\lambda_1, \dots, \lambda_n\right).$$

इसके विपरीत यदि
 * $$\left(o, v_1, \dots, v_n\right)$$

एक affine फ्रेम है, तो
 * $$\left(o, o + v_1, \dots, o + v_n\right)$$

एक बेरिकेंट्रिक फ्रेम है। यदि
 * $$\left(\lambda_1, \dots, \lambda_n\right)$$

affine फ्रेम के ऊपर एक बिंदु के affine निर्देशांक हैं, तो इसके barycentric निर्देशांक barycentric फ्रेम पर हैं
 * $$\left(1 - \lambda_1 - \dots - \lambda_n, \lambda_1, \dots, \lambda_n\right).$$

इसलिए, बैरीसेंट्रिक और एफाइन निर्देशांक लगभग बराबर हैं। अधिकांश अनुप्रयोगों में, एफ़िन निर्देशांक को प्राथमिकता दी जाती है, क्योंकि स्वतंत्र निर्देशांक कम होते हैं। हालांकि, ऐसी स्थितियों में जहां अध्ययन की गई समस्या के महत्वपूर्ण बिंदु आत्मीयता से स्वतंत्र हैं, बेरिसेंट्रिक निर्देशांक सरल गणना का कारण बन सकते हैं, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है।

त्रिभुज का उदाहरण
एक गैर-सपाट त्रिभुज के शीर्ष यूक्लिडियन विमान  का एक परिबद्ध आधार बनाते हैं। बैरीसेंट्रिक निर्देशांक त्रिभुज के तत्वों के आसान लक्षण वर्णन की अनुमति देता है जिसमें कोण या दूरी शामिल नहीं होती है:

शिखर बेरिएन्ट्रिक निर्देशांक के बिंदु हैं $(o, v_{1}, ..., v_{n})$, $(o, v_{1}, ..., v_{n})$ तथा  $(v_{1}, ..., v_{n})$. किनारों का समर्थन करने वाली रेखाएँ वे बिंदु हैं जिनका शून्य समन्वय है। किनारे स्वयं वे बिंदु होते हैं जिनमें एक शून्य निर्देशांक और दो गैर-नकारात्मक निर्देशांक होते हैं। त्रिभुज का अभ्यंतर वे बिंदु होते हैं जिनके सभी निर्देशांक धनात्मक होते हैं। माध्यिका (ज्यामिति)  वे बिंदु हैं जिनके दो समान निर्देशांक हैं, और केन्द्रक निर्देशांक का बिंदु है $(1, 0, 0)$.

छवि और फाइबर
होने देना
 * $$f \colon E \to F$$

एक समरूप समरूपता हो, के साथ
 * $$\overrightarrow {f} \colon \overrightarrow{E} \to \overrightarrow{F}$$

संबद्ध रैखिक मानचित्र के रूप में।

की छवि $(0, 1, 0)$ affine उप-स्थान है $(0, 0, 1)$ का $F$, जो है $$\overrightarrow{f}(\overrightarrow{E})$$ संबंधित वेक्टर क्षेत्र के रूप में। चूंकि एफ़िन क्षेत्र में  शून्य तत्व  नहीं होता है, इसलिए एफ़िन होमोमोर्फिज्म में कर्नेल (बीजगणित) नहीं होता है। हालांकि, किसी भी बिंदु के लिए $(1⁄3, 1⁄3, 1⁄3)$ का $f$, उलटी छवि $f(E)$ की एक उप-स्थान है $x$, दिशा का $$\overrightarrow{f}^{-1}(x)$$. इस affine उप-स्थान को का तंतु (गणित) कहा जाता है $f(E)$.

प्रोजेक्शन
एक महत्वपूर्ण उदाहरण एक एफ़िन सबक्षेत्र पर कुछ दिशा के समानांतर प्रक्षेपण है। इस उदाहरण का महत्व इस तथ्य में निहित है कि यूक्लिडियन रिक्त स्थान एफ़िन रिक्त स्थान हैं, और इस प्रकार के अनुमान यूक्लिडियन ज्यामिति में मौलिक हैं।

अधिक सटीक रूप से, एक एफ़िन क्षेत्र दिया गया $f^{–1}(x)$ संबद्ध वेक्टर स्थान के साथ $$\overrightarrow{E}$$, होने देना $E$ दिशा का एक एफाइन सबक्षेत्र बनें $$\overrightarrow{F}$$, तथा $x$ की पूरक उपसमष्टि हो $$\overrightarrow{F}$$ में $$\overrightarrow{E}$$ (इसका अर्थ है कि का प्रत्येक सदिश $$\overrightarrow{E}$$ के एक तत्व के योग के रूप में एक अद्वितीय तरीके से विघटित किया जा सकता है $$\overrightarrow{F}$$ और का एक तत्व $E$). हर बिंदु के लिए $F$ का $D$, इसके प्रक्षेपण के लिए $D$ इसे समानांतर $x$ अद्वितीय बिंदु है $E$ में $F$ ऐसा है कि
 * $$p(x) - x \in D.$$

यह एक सजातीय समरूपता है जिसका संबद्ध रेखीय मानचित्र है $$\overrightarrow{p}$$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\overrightarrow{p}(x - y) = p(x) - p(y),$$

के लिये $x$ तथा $y$ में $E$.

इस प्रक्षेपण की छवि है $D$, और इसके तंतु दिशा के उप-स्थान हैं  $p(x)$.

भागफल स्थान
हालांकि एफ़िन रिक्त स्थान के लिए कर्नेल परिभाषित नहीं हैं, भागफल रिक्त स्थान परिभाषित किए गए हैं। यह इस तथ्य का परिणाम है कि एक समान समरूपता के एक ही फाइबर से संबंधित एक तुल्यता संबंध है।

होने देना $F$ एक एफाइन क्षेत्र बनें, और  $F$ संबद्ध सदिश समष्टि की एक रेखीय उपसमष्टि हो $$\overrightarrow{E}$$. भागफल $D$ का  $E$ द्वारा  $D$ के तुल्यता संबंध द्वारा भागफल है  $E/D$  तुल्यता संबंध  से ऐसा है कि $x$ तथा $y$ बराबर हैं अगर
 * $$x - y \in D.$$

यह भागफल एक सजातीय स्थान है, जिसमें है $$\overrightarrow{E}/D$$ संबंधित वेक्टर क्षेत्र के रूप में।

प्रत्येक सजातीय समरूपता के लिए $$E \to F$$, छवि के भागफल के लिए आइसोमॉर्फिक है $E$ संबद्ध रेखीय मानचित्र के कर्नेल द्वारा। यह एफ़िन रिक्त स्थान के लिए  पहला समरूपता प्रमेय  है।

स्वयंसिद्ध
एफ़िन रिक्त स्थान सामान्यतः निर्देशांक, या समकक्ष वेक्टर रिक्त स्थान का उपयोग करके विश्लेषणात्मक ज्यामिति  द्वारा अध्ययन किया जाता है। स्वयंसिद्धों को लिखकर उनका सिंथेटिक ज्यामिति के रूप में भी अध्ययन किया जा सकता है, हालांकि यह दृष्टिकोण बहुत कम आम है। एफ़िन क्षेत्र के लिए स्वयंसिद्धों की कई अलग-अलग प्रणालियाँ हैं।

आदेशित ज्यामिति के साथ-साथ डेसर्ग्यूज़ के प्रमेय के एक एफ़िन रूप और एक स्वयंसिद्ध के रूप में वास्तविक पर एफ़िन ज्यामिति के विशेष विषय को स्वयंसिद्ध करता है, जिसमें कहा गया है कि एक विमान में किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से अधिकतम एक पंक्ति होती है जो किसी दी गई रेखा से नहीं मिलती है।

एफ़िन विमान निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं : (जिसमें दो रेखाएँ समांतर कहलाती हैं यदि वे समान हों या जुदा): साथ ही साथ खेतों (या विभाजन के छल्ले) पर एफ़िन विमान, इन सिद्धांतों को संतुष्ट करने वाले कई गैर-डेसर्ग्यूशियन विमान भी हैं। उच्च-आयामी एफ़िन रिक्त स्थान के लिए सिद्धांत देता है।
 * कोई भी दो अलग-अलग बिंदु एक अनूठी रेखा पर स्थित होते हैं।
 * एक बिंदु और रेखा को देखते हुए एक अनूठी रेखा होती है जिसमें बिंदु होता है और रेखा के समानांतर होता है
 * तीन असंरेख बिन्दु होते हैं।

विशुद्ध रूप से स्वयंसिद्ध affine ज्यामिति, affine रिक्त स्थान की तुलना में अधिक सामान्य है और एक Affine ज्यामिति में इसका इलाज किया जाता है।

प्रोजेक्टिव क्षेत्र से संबंध
Affine रिक्त स्थान प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान में समाहित हैं। उदाहरण के लिए, किसी प्रक्षेपी समूह  से एक रेखा और उस पर के सभी बिंदुओं को हटाकर एक संबंद्ध तल प्राप्त किया जा सकता है, और इसके विपरीत किसी प्रक्षेपी तल का उपयोग बंद (गणित) के रूप में अनंत पर एक रेखा जोड़कर प्रक्षेपी तल के निर्माण के लिए किया जा सकता है जिसका अंक समांतर रेखाओं के समतुल्य वर्गों के अनुरूप हैं। समान निर्माण उच्च आयामों में होते हैं।

इसके अलावा, प्रक्षेप्य स्थान  के ट्रांसफॉर्मेशन जो एफाइन क्षेत्र को संरक्षित करते हैं (समतुल्य रूप से, जो  हाइपरप्लेन अनंत पर  इनवेरिएंट (गणित)#इनवेरिएंट सेट पर छोड़ते हैं) एफ़िन क्षेत्र के ट्रांसफॉर्मेशन देते हैं। इसके विपरीत, कोई भी एफ़िन रैखिक परिवर्तन विशिष्ट रूप से प्रोजेक्टिव रैखिक परिवर्तन तक फैलता है, इसलिए एफ़िन समूह प्रोजेक्टिव समूह का एक  उपसमूह  है। उदाहरण के लिए, मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन (जटिल  प्रक्षेप्य विमान, या  रीमैन क्षेत्र  के परिवर्तन) एफ़िन (जटिल विमान के परिवर्तन) हैं और केवल अगर वे  अनंत पर बिंदु  को ठीक करते हैं।

affine बीजीय ज्यामिति
बीजगणितीय ज्यामिति में, एक एफ़िन किस्म (या, अधिक सामान्यतः, एक एफ़िन बीजगणितीय सेट) को एक एफ़िन क्षेत्र के सबसेट के रूप में परिभाषित किया जाता है जो कि एफ़िन क्षेत्र पर तथाकथित बहुपद कार्यों के एक सेट के सामान्य शून्य का सेट होता है। एफ़िन क्षेत्र पर एक बहुपद फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए, किसी को एक  एफाइन फ्रेम  चुनना होता है। फिर, एक बहुपद फलन एक ऐसा फलन होता है कि किसी भी बिंदु का प्रतिबिंब बिंदु के निर्देशांकों के कुछ बहुभिन्नरूपी बहुपद फलन का मान होता है। एफ़िन निर्देशांक के परिवर्तन के रूप में निर्देशांक के रैखिक कार्यों (अधिक सटीक एफ़िन फ़ंक्शंस) द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, यह परिभाषा निर्देशांक की एक विशेष पसंद से स्वतंत्र है।

affine की एक प्रणाली का चुनाव एक affine स्थान के लिए निर्देशांक करता है $$\mathbb{A}_k^n$$ आयाम का $D$ एक क्षेत्र के ऊपर (गणित) $E$ के बीच एक affine समरूपता को प्रेरित करता है $$\mathbb{A}_k^n$$ और एफ़िन समन्वय स्थान $E$. यह बताता है कि क्यों, सरलीकरण के लिए, कई पाठ्यपुस्तकें लिखती हैं $$\mathbb{A}_k^n = k^n$$, और affine बीजगणितीय किस्मों को बहुपद कार्यों के सामान्य शून्य के रूप में पेश करते हैं $n$. चूंकि संपूर्ण एफ़िन क्षेत्र शून्य बहुपद  के सामान्य शून्य का सेट है, एफ़िन क्षेत्र एफ़िन बीजीय किस्में हैं।

बहुपद कार्यों की अंगूठी
ऊपर दी गई परिभाषा के अनुसार, एक एफ़िन क्षेत्र के एफ़िन फ्रेम का चुनाव $$\mathbb{A}_k^n$$ किसी को बहुपद कार्यों की पहचान करने की अनुमति देता है $$\mathbb{A}_k^n$$ बहुपद के साथ $k$ चर, ith चर उस फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है जो एक बिंदु को इसके लिए मैप करता है $k^{n}$वें समन्वय। यह इस प्रकार है कि बहुपद कार्यों का सेट खत्म हो गया है $$\mathbb{A}_k^n$$ एक क्षेत्र के ऊपर एक बीजगणित है|$k^{n}$-बीजगणित, निरूपित $$k\left[\mathbb{A}_k^n\right]$$, जो बहुपद वलय के लिए समरूप है $$k\left[X_1, \dots, X_n\right]$$.

जब कोई निर्देशांक बदलता है, तो के बीच समरूपता $$k\left[\mathbb{A}_k^n\right]$$ तथा $$k[X_1, \dots, X_n]$$ तदनुसार बदलता है, और यह एक ऑटोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है $$k\left[X_1, \dots, X_n\right]$$, जो प्रत्येक अनिश्चित को एक डिग्री के बहुपद के लिए मैप करता है। यह इस प्रकार है कि कुल डिग्री  एक  निस्पंदन (गणित)  को परिभाषित करता है $$k\left[\mathbb A_k^n\right]$$, जो निर्देशांक की पसंद से स्वतंत्र है। कुल डिग्री भी एक  वर्गीकृत अंगूठी  को परिभाषित करता है, लेकिन यह निर्देशांक की पसंद पर निर्भर करता है, क्योंकि एफ़िन निर्देशांक में परिवर्तन गैर- सजातीय बहुपद ों पर अनिश्चित मानचित्र कर सकता है।

जारिस्की टोपोलॉजी
वास्तविक या जटिल संख्याओं जैसे टोपोलॉजिकल क्षेत्रों पर एफ़िन रिक्त स्थान, एक प्राकृतिक टोपोलॉजी (संरचना)  है। ज़ारिस्की टोपोलॉजी, जिसे किसी भी क्षेत्र में एफ़िन रिक्त स्थान के लिए परिभाषित किया गया है, किसी भी विषय में टोपोलॉजिकल विधियों का उपयोग करने की अनुमति देता है। ज़ारिस्की टोपोलॉजी एक एफ़िन क्षेत्र पर अद्वितीय टोपोलॉजी है जिसका  बंद सेट  एफ़िन बीजगणितीय सेट हैं (जो एफ़िन सेट पर बहुपद कार्यों के सामान्य शून्य के सेट हैं)। जैसा कि एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र में, बहुपद कार्य निरंतर होते हैं, प्रत्येक ज़रिस्की बंद सेट सामान्य टोपोलॉजी के लिए बंद होता है, यदि कोई हो। दूसरे शब्दों में, एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र में, ज़ारिस्की टोपोलॉजी प्राकृतिक टोपोलॉजी की तुलना में  मोटे टोपोलॉजी  है।

बहुपद कार्यों की अंगूठी के प्रमुख आदर्शों (जो कि अंगूठी का स्पेक्ट्रम है) के सेट में एक एफ़िन क्षेत्र से एक प्राकृतिक इंजेक्शन फ़ंक्शन होता है। जब affine निर्देशांक चुने जाते हैं, तो यह फ़ंक्शन निर्देशांक के बिंदु को मैप करता है $$\left(a_1, \dots, a_n\right)$$ अधिकतम आदर्श  के लिए $$\left\langle X_1 - a_1, \dots, X_n - a_n\right\rangle$$. यह फ़ंक्शन फ़ंक्शन की छवि पर एफ़िन स्थान का एक होमियोमोर्फिज्म  (एफ़िन क्षेत्र की ज़ारिस्की टोपोलॉजी और बहुपद कार्यों की अंगूठी के स्पेक्ट्रम के लिए) है।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र का मामला बीजगणितीय ज्यामिति में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, क्योंकि, इस विषय में, उपरोक्त होमोमोर्फिज्म एफ़िन क्षेत्र और फ़ंक्शंस की अंगूठी के सभी अधिकतम आदर्शों के सेट के बीच एक नक्शा है (यह हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट्ज़ है)।

यह ग्रोथेंडिक  के  योजना सिद्धांत  का प्रारंभिक विचार है, जिसमें बीजगणितीय किस्मों का अध्ययन करने के लिए, बिंदुओं के रूप में विचार करने के लिए, न केवल एफ़िन क्षेत्र के बिंदु, बल्कि स्पेक्ट्रम के सभी प्रमुख आदर्श भी शामिल हैं। यह बीजीय किस्मों को उसी तरह एक साथ चिपकाने की अनुमति देता है, जैसे कि  विविध  के लिए,  चार्ट (टोपोलॉजी)  को मैनिफोल्ड बनाने के लिए एक साथ चिपकाया जाता है।

सह-समरूपता
सभी affine किस्मों की तरह, एक affine स्थान पर स्थानीय डेटा को हमेशा विश्व स्तर पर एक साथ पैच किया जा सकता है: affine स्थान का सह-विज्ञान तुच्छ है। ज्यादा ठीक, $$H^i\left(\mathbb{A}_k^n,\mathbf{F}\right) = 0$$ सभी सुसंगत ढेरों F और पूर्णांकों के लिए $$i > 0$$. इस संपत्ति का आनंद अन्य सभी एफ़िन किस्मों द्वारा भी लिया जाता है। लेकिन एफ़िन क्षेत्र पर सभी ईटेल कोहोलॉजी समूह तुच्छ हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक पंक्ति बंडल तुच्छ है। अधिक आम तौर पर, क्विलेन-सुस्लिन प्रमेय का तात्पर्य है कि प्रत्येक बीजगणितीय सदिश बंडल एक सजातीय स्थान पर तुच्छ है।

यह भी देखें

 * बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली
 * बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली
 * बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली
 * बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली
 * बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली

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