मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता)

सामान्य सापेक्षता में, मीट्रिक टेंसर (इस संदर्भ में अक्सर इसे केवल मीट्रिक के रूप में संक्षिप्त किया जाता है) अध्ययन का मूल उद्देश्य है। मीट्रिक अंतरिक्ष समय  की सभी ज्यामितीय और कारण स्पेसटाइम संरचना को कैप्चर करता है, जिसका उपयोग समय, दूरी, आयतन, वक्रता, कोण और भविष्य और अतीत के पृथक्करण जैसी धारणाओं को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

सामान्य सापेक्षता में, मीट्रिक टेंसर गुरुत्वाकर्षण के शास्त्रीय सिद्धांत में गुरुत्वाकर्षण क्षमता की भूमिका निभाता है, हालांकि संबंधित समीकरणों की भौतिक सामग्री पूरी तरह से अलग है। गुटफ्रेंड और रेन का कहना है कि सामान्य सापेक्षता में गुरुत्वाकर्षण क्षमता को मीट्रिक टेंसर द्वारा दर्शाया जाता है।

नोटेशन और परंपराएँ
यह आलेख एक मीट्रिक हस्ताक्षर के साथ काम करता है जो अधिकतर सकारात्मक है ($− + + +$); संधिपत्र पर हस्ताक्षर करें  देखें. गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक $$G$$ स्पष्ट रखा जाएगा. यह आलेख आइंस्टीन सारांश सम्मेलन को नियोजित करता है, जहां बार-बार सूचकांकों को स्वचालित रूप से सारांशित किया जाता है।

परिभाषा
गणितीय रूप से, स्पेसटाइम को चार-आयामी विभेदक मैनिफोल्ड द्वारा दर्शाया जाता है $$M$$ और मीट्रिक टेंसर को वैक्टर के सहप्रसरण और विरोधाभास के रूप में दिया जाता है, दूसरा-टेंसर डिग्री, सममित टेंसर $$M$$, परंपरागत रूप से निरूपित किया जाता है $$g$$. इसके अलावा, मीट्रिक को लोरेंत्ज़ हस्ताक्षर के साथ नॉनडिजेनरेट फॉर्म होना आवश्यक है $(− + + +)$. अनेक गुना $$M$$ ऐसी मीट्रिक से सुसज्जित एक प्रकार का लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड है।

स्पष्ट रूप से, मीट्रिक टेंसर प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक सममित द्विरेखीय रूप है $$M$$ जो एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर सहज (या अलग-अलग) तरीके से भिन्न होता है। दो स्पर्शरेखा सदिश दिए गए हैं $$u$$ और $$v$$ एक बिंदु पर $$x$$ में $$M$$, मीट्रिक का मूल्यांकन किया जा सकता है $$u$$ और $$v$$ वास्तविक संख्या देने के लिए: $$g_x(u,v) = g_x(v,u) \in \Reals.$$ यह साधारण यूक्लिडियन स्थान  के डॉट उत्पाद का सामान्यीकरण है। यूक्लिडियन स्पेस के विपरीत - जहां डॉट उत्पाद सकारात्मक निश्चित है - मीट्रिक अनिश्चित है और प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान को मिन्कोवस्की स्थान की संरचना देता है।

स्थानीय निर्देशांक और मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व
भौतिक विज्ञानी आमतौर पर स्थानीय निर्देशांक (यानी कुछ एटलस (टोपोलॉजी) पर परिभाषित निर्देशांक) में काम करते हैं $$M$$). स्थानीय निर्देशांक में $$x^\mu$$ (कहाँ $$\mu$$ एक सूचकांक है जो 0 से 3 तक चलता है) मीट्रिक को फॉर्म में लिखा जा सकता है $$g = g_{\mu\nu} dx^\mu \otimes dx^\nu .$$ कारक $$dx^\mu$$ अदिश निर्देशांक क्षेत्रों के एक-रूप ग्रेडियेंट  हैं $$x^\mu$$. इस प्रकार मीट्रिक निर्देशांक के एक-रूप ग्रेडिएंट के टेंसर उत्पादों का एक रैखिक संयोजन है। गुणांक $$g_{\mu\nu}$$ 16 वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शंस का एक सेट है (टेंसर के बाद से)। $$g$$ एक टेंसर फ़ील्ड है, जिसे स्पेसटाइम मैनिफोल्ड के सभी बिंदुओं पर परिभाषित किया गया है)। मीट्रिक सममित होने के लिए $$g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu} ,$$ 10 स्वतंत्र गुणांक दे रहे हैं।

यदि स्थानीय निर्देशांक निर्दिष्ट हैं, या संदर्भ से समझे गए हैं, तो मीट्रिक को इस प्रकार लिखा जा सकता है $4 × 4$ प्रविष्टियों के साथ सममित मैट्रिक्स $$g_{\mu\nu}$$. की अप्राप्यता $$g_{\mu \nu} $$ इसका मतलब है कि यह मैट्रिक्स गैर-एकवचन मैट्रिक्स है|गैर-एकवचन (यानी इसमें गैर-लुप्त होने वाला निर्धारक है), जबकि लोरेंत्ज़ियन हस्ताक्षर $$g$$ तात्पर्य यह है कि मैट्रिक्स में एक नकारात्मक और तीन सकारात्मक eigenvalues ​​हैं। ध्यान दें कि भौतिक विज्ञानी अक्सर इस मैट्रिक्स या निर्देशांक का उल्लेख करते हैं $$g_{\mu\nu}$$ स्वयं को मीट्रिक के रूप में (हालांकि, अमूर्त सूचकांक संकेतन देखें)।

मात्राओं के साथ $$dx^\mu$$ एक अतिसूक्ष्म समन्वय विस्थापन चार-वेक्टर के घटकों के रूप में माना जा रहा है (उपरोक्त समान नोटेशन के एक-रूपों के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए), मीट्रिक एक अतिसूक्ष्म रेखा तत्व के अपरिवर्तनीय वर्ग को निर्धारित करता है, जिसे अक्सर अंतराल के रूप में जाना जाता है। अंतराल को अक्सर दर्शाया जाता है $$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu .$$ अंतराल $$ds^2$$ कॉसल स्पेसटाइम संरचना के बारे में जानकारी प्रदान करता है। कब $$ds^2 < 0$$, अंतराल मिन्कोव्स्की स्पेस#कारण संरचना और के निरपेक्ष मान का वर्गमूल है $$ds^2$$ एक वृद्धिशील उचित समय है. किसी विशाल वस्तु द्वारा केवल समय-समान अंतरालों को ही भौतिक रूप से पार किया जा सकता है। कब $$ds^2 = 0$$, अंतराल प्रकाश जैसा है, और केवल प्रकाश की गति से चलने वाली (द्रव्यमानहीन) चीजों द्वारा ही पार किया जा सकता है। कब $$ds^2 > 0$$, अंतराल अंतरिक्ष जैसा है और का वर्गमूल है $$ds^2$$ वृद्धिशील उचित लंबाई के रूप में कार्य करता है।  अंतरिक्ष जैसे अंतरालों को पार नहीं किया जा सकता, क्योंकि वे उन घटनाओं को जोड़ते हैं जो एक दूसरे के प्रकाश शंकु के बाहर हैं। स्पेसटाइम#बुनियादी अवधारणाएं कारणात्मक रूप से तभी संबंधित हो सकती हैं जब वे एक-दूसरे के प्रकाश शंकु के भीतर हों।

मीट्रिक के घटक स्थानीय समन्वय प्रणाली की पसंद पर निर्भर करते हैं। निर्देशांक के परिवर्तन के तहत $$x^\mu \to x^{\bar \mu}$$, मीट्रिक घटक रूपांतरित होते हैं $$g_{\bar \mu \bar \nu} = \frac{\partial x^\rho}{\partial x^{\bar \mu}} \frac{\partial x^\sigma}{\partial x^{\bar \nu}} g_{\rho\sigma} = \Lambda^\rho {}_{\bar \mu} \, \Lambda^\sigma {}_{\bar \nu} \, g_{\rho \sigma} .$$

गुण
घुंघराले कलन में मीट्रिक टेंसर एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। सूचकांक संकेतन में, गुणांक $$g_{\mu\nu}$$ मीट्रिक टेंसर का $$\mathbf{g}$$ अन्य टेंसरों के सहसंयोजक और प्रतिपरिवर्ती घटकों के बीच एक लिंक प्रदान करें। एक सहसंयोजक मीट्रिक टेन्सर गुणांक में से एक के साथ टेन्सर के कॉन्ट्रावेरिएंट इंडेक्स को अनुबंधित करने से सूचकांक को कम करने का प्रभाव पड़ता है $$g_{\mu\nu}A^\nu = A_\mu$$ और इसी प्रकार एक विरोधाभासी मीट्रिक गुणांक सूचकांक को बढ़ाता है $$g^{\mu\nu}A_\nu = A^\mu.$$ सूचकांकों को बढ़ाने और घटाने की इस संपत्ति को मीट्रिक टेंसर घटकों पर लागू करने से स्वयं संपत्ति बन जाती है $$g_{\mu\nu}g^{\nu\lambda} = \delta^\lambda_\mu$$ एक विकर्ण मीट्रिक के लिए (जिसके लिए गुणांक $$g_{\mu\nu}=0, \, \forall \mu\ne\nu$$; यानी आधार वेक्टर एक-दूसरे के लिए ओर्थोगोनल हैं), इसका तात्पर्य यह है कि मीट्रिक टेंसर का दिया गया सहसंयोजक गुणांक संबंधित कॉन्ट्रावेरिएंट गुणांक का व्युत्क्रम है $$g_{00} = (g^{00})^{-1}, g_{11}=(g^{11})^{-1}$$, वगैरह।

फ्लैट स्पेसटाइम
लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड का सबसे सरल उदाहरण फ्लैट स्पेसटाइम है, जिसे इस प्रकार दिया जा सकता है $R^{4}$ निर्देशांक के साथ $$(t,x,y,z)$$ और मीट्रिक $$ds^2 = -c^2 dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2 = \eta_{\mu\nu} dx^{\mu} dx^{\nu}. $$ ध्यान दें कि ये निर्देशांक वास्तव में सभी को कवर करते हैं $R^{4}$. समतल स्थान मीट्रिक (या मिन्कोवस्की मीट्रिक) को अक्सर प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है $η$ और विशेष सापेक्षता में प्रयुक्त मीट्रिक है। उपरोक्त निर्देशांक में, का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व $η$ है $$\eta = \begin{pmatrix} -c^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ (एक वैकल्पिक सम्मेलन समन्वय की जगह लेता है $$t$$ द्वारा $$ct$$, और परिभाषित करता है $$\eta$$ के रूप में .)

गोलाकार निर्देशांक में $$(t,r,\theta,\phi)$$, समतल स्थान मीट्रिक का रूप ले लेता है $$ds^2 = -c^2 dt^2 + dr^2 + r^2 d\Omega^2 $$ कहाँ $$d\Omega^2 = d\theta^2 + \sin^2\theta\,d\phi^2$$ 2-गोले पर मानक मीट्रिक है।

ब्लैक होल मेट्रिक्स
श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक एक अनावेशित, गैर-घूर्णन ब्लैक होल का वर्णन करता है। ऐसे मेट्रिक्स भी हैं जो घूमने वाले और आवेशित ब्लैक होल का वर्णन करते हैं।

श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक
समतल स्थान मीट्रिक के अलावा सामान्य सापेक्षता में सबसे महत्वपूर्ण मीट्रिक श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक है जिसे स्थानीय निर्देशांक के एक सेट में दिया जा सकता है $$ds^2 = -\left(1 - \frac{2GM}{rc^2} \right) c^2 dt^2 + \left(1 - \frac{2GM}{rc^2} \right)^{-1} dr^2 + r^2 d\Omega^2$$ कहाँ, फिर से, $$d\Omega^2$$ 2-गोले पर मानक मीट्रिक है। यहाँ, $$G$$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है और $$M$$ द्रव्यमान के आयामों के साथ एक स्थिरांक है। इसकी व्युत्पत्ति श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान प्राप्त करके पाई जा सकती है। श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक मिन्कोव्स्की मीट्रिक के करीब पहुंचती है $$M$$ शून्य के करीब पहुंचता है (मूल को छोड़कर जहां यह अपरिभाषित है)। इसी प्रकार, जब $$r$$ अनंत तक जाता है, श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक मिन्कोव्स्की मीट्रिक के करीब पहुंचता है।

निर्देशांक के साथ $$\left(x^0, x^1, x^2, x^3\right) = (ct, r, \theta, \varphi) \,,$$ मीट्रिक को इस प्रकार लिखा जा सकता है $$g_{\mu\nu} = \begin{bmatrix} -\left(1-\frac{2GM}{rc^2}\right) & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \left(1-\frac{2GM}{r c^2}\right)^{-1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin^2 \theta \end{bmatrix}\,.$$ श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक के लिए निर्देशांक की कई अन्य प्रणालियाँ तैयार की गई हैं: एडिंगटन-फिंकेलस्टीन निर्देशांक, गुलस्ट्रैंड-पेनलेव निर्देशांक, क्रुस्कल-स्जेकेरेस निर्देशांक, और लेमेत्रे निर्देशांक।

घूर्णन और आवेशित ब्लैक होल
श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान एक ऐसी वस्तु मानता है जो अंतरिक्ष में घूम नहीं रही है और चार्ज नहीं की गई है। चार्ज का हिसाब लगाने के लिए, मीट्रिक को पहले की तरह आइंस्टीन फ़ील्ड समीकरणों के साथ-साथ घुमावदार स्पेसटाइम में मैक्सवेल के समीकरणों को भी संतुष्ट करना होगा। एक आवेशित, गैर-घूर्णन द्रव्यमान का वर्णन रीस्नर-नॉर्डस्ट्रॉम मीट्रिक द्वारा किया जाता है।

घूमते हुए ब्लैक होल का वर्णन केर मीट्रिक  और केर-न्यूमैन मेट्रिक द्वारा किया जाता है।

अन्य मेट्रिक्स
अन्य उल्लेखनीय मेट्रिक्स हैं:


 * अल्क्यूबिएरे मेट्रिक#अल्क्यूबिएरे मेट्रिक,
 * डी सिटर स्पेस द्वारा/एंटी-डी सिटर स्पेस|एंटी-डी सिटर मेट्रिक्स,
 * फ़्रीडमैन-लेमैत्रे-रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक,
 * आइसोट्रोपिक निर्देशांक,
 * लेमैत्रे-टोलमैन मीट्रिक,
 * पेरेस मीट्रिक,
 * रिंडलर निर्देशांक,
 * वेइल−लुईस−पापेपेत्रौ निर्देशांक,
 * गोडेल मीट्रिक.

उनमें से कुछ घटना क्षितिज के बिना हैं या गुरुत्वाकर्षण विलक्षणता के बिना हो सकते हैं।

आयतन
मीट्रिक $g$ एक प्राकृतिक आयतन रूप (एक संकेत तक) को प्रेरित करता है, जिसका उपयोग कई गुना के एक क्षेत्र (गणित) को एकीकृत करने के लिए किया जा सकता है। स्थानीय निर्देशांक दिए गए $$x^\mu$$ मैनिफ़ोल्ड के लिए, वॉल्यूम फॉर्म लिखा जा सकता है $$\mathrm{vol}_g = \pm\sqrt{\left|\det (g_{\mu\nu})\right|}\,dx^0 \wedge dx^1 \wedge dx^2 \wedge dx^3 $$ कहाँ $$\det(g_{\mu\nu})$$ दिए गए समन्वय प्रणाली के लिए मीट्रिक टेंसर के घटकों के मैट्रिक्स का निर्धारक है।

वक्रता
मीट्रिक $$g$$ स्पेसटाइम की वक्रता को पूरी तरह से निर्धारित करता है। रीमैनियन ज्यामिति के मौलिक प्रमेय के अनुसार, एक अद्वितीय संबंध है (गणित) $∇$ किसी भी अर्ध-रिमानियन मैनिफोल्ड पर जो मीट्रिक और मरोड़ टेंसर -मुक्त के साथ संगत है। इस कनेक्शन को लेवी-सिविटा कनेक्शन कहा जाता है। इस संबंध के क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक स्थानीय निर्देशांक में मीट्रिक के आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में दिए गए हैं $$x^\mu$$ सूत्र द्वारा $$\Gamma^\lambda {}_{\mu\nu} = \frac 1 2 g^{\lambda\rho} \left( \frac{\partial g_{\rho\mu}}{\partial x^\nu} + \frac{\partial g_{\rho\nu}}{\partial x^\mu} - \frac{\partial g_{\mu\nu}}{\partial x^\rho} \right) = \frac 1 2 g^{\lambda\rho} \left( g_{\rho\mu,\nu} + g_{\rho\nu,\mu} - g_{\mu\nu,\rho} \right) $$ (जहाँ अल्पविराम सहसंयोजक व्युत्पन्न#संकेतन को दर्शाता है)।

स्पेसटाइम की वक्रता फिर रीमैन वक्रता टेंसर द्वारा दी जाती है जिसे लेवी-सिविटा कनेक्शन ∇ के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। स्थानीय निर्देशांक में यह टेंसर इस प्रकार दिया जाता है: $${R^\rho}_{\sigma\mu\nu} = \partial_\mu\Gamma^\rho {}_{\nu\sigma} - \partial_\nu\Gamma^\rho {}_{\mu\sigma} + \Gamma^\rho {}_{\mu\lambda}\Gamma^\lambda {}_{\nu\sigma} - \Gamma^\rho {}_{\nu\lambda}\Gamma^\lambda {}_{\mu\sigma}.$$ तब वक्रता पूरी तरह से मीट्रिक के संदर्भ में व्यक्त की जा सकती है $$g$$ और इसके व्युत्पन्न।

आइंस्टीन के समीकरण
सामान्य सापेक्षता के मूल विचारों में से एक यह है कि मीट्रिक (और स्पेसटाइम की संबंधित ज्यामिति) स्पेसटाइम के पदार्थ और ऊर्जा सामग्री द्वारा निर्धारित की जाती है। आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण|आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण: $$ R_{\mu\nu} - \frac{1}{2} R g_{\mu\nu} = \frac{8\pi G}{c^4} \,T_{\mu\nu}$$ जहां रिक्की वक्रता टेंसर $$ R_{\nu \rho} \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ {R^{\mu}}_{\nu\mu \rho} $$ और अदिश वक्रता $$ R \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ g^{\mu \nu}R_{\mu \nu} $$ मीट्रिक (और संबंधित वक्रता टेंसर) को तनाव-ऊर्जा टेंसर से संबंधित करें $$T_{\mu\nu}$$. यह टेन्सर  समीकरण मीट्रिक घटकों के लिए अरेखीय आंशिक अंतर समीकरणों का एक जटिल सेट है। आइंस्टीन के क्षेत्र समीकरणों का सटीक समाधान खोजना बहुत कठिन है।

यह भी देखें

 * सामान्य सापेक्षता के विकल्प
 * घुमावदार स्पेसटाइम के गणित का बुनियादी परिचय
 * सामान्य सापेक्षता का गणित
 * रिक्की कैलकुलस

संदर्भ

 * See general relativity resources for a list of references.