युग्‍मानूसार तुलना

युग्‍मानूसार तुलना सामान्यतः युग्म में इकाइयों की तुलना करने की कोई प्रक्रिया है जिससे कि यह तय किया जा सके कि प्रत्येक इकाई में से कौन सी इकाई प्राथमिकता है, या इसमें कुछ मात्रात्मक अनुसंधान की मात्रा अधिक है, या दोनों इकाइयां समान या नहीं हैं। युग्‍मानूसार तुलना की विधि का उपयोग प्राथमिकताओं, दृष्टिकोण, निर्वाचन प्रणाली, सामाजिक चयन, सार्वजनिक चयन, आवश्यकताओं इंजीनियरिंग और मल्टीएजेंट एआई प्रणाली के वैज्ञानिक अध्ययन में किया जाता है। मनोविज्ञान साहित्य में, इसे अधिकांशतः युग्मित तुलना के रूप में जाना जाता है। प्रमुख मनोचिकित्सक एल. एल. थर्स्टन ने पहली बार 1927 में माप के लिए युग्‍मानूसार तुलना का उपयोग करने के लिए वैज्ञानिक दृष्टिकोण पेश किया, जिसे उन्होंने तुलनात्मक निर्णय के नियम के रूप में संदर्भित किया है। थर्स्टन ने इस दृष्टिकोण को अर्न्स्ट हेनरिक वेबर और गुस्ताव फेचनर द्वारा विकसित मनोभौतिक सिद्धांत से जोड़ा है। थर्स्टन ने प्रदर्शित किया कि अंतरावधि-प्रकार के पैमाने का उपयोग करके वरीयता या महत्व जैसे आयाम के साथ वस्तुओं को व्यवस्था करने के लिए विधि का उपयोग किया जा सकता है।

गणितज्ञ अर्नेस्ट ज़र्मेलो (1929) ने सबसे पहले अधूरे टूर्नामेंटों में शतरंज श्रेणी के लिए युग्‍मानूसार तुलना के लिए मॉडल का वर्णन किया, जो एलो रेटिंग प्रणाली जैसे तरीकों के लिए आधार के रूप में कार्य करता है (भले ही कुछ समय के लिए श्रेय नहीं दिया गया) और 1952 में प्रस्तावित ब्रैडली-टेरी मॉडल के बराबर है।

अवलोकन
यदि कोई विशिष्ट या संगठन दो परस्पर भिन्न विकल्पों के बीच प्राथमिकता व्यक्त करता है, तो इस प्राथमिकता को युग्‍मानूसार तुलना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि दो विकल्प x और y हैं, तो युग्‍मानूसार तुलनाएँ निम्नलिखित हैं:

एजेंट y से अधिक x को प्राथमिकता देता है: "x > y" या "xPy"

एजेंट x से अधिक y को प्राथमिकता देता है: "y > x" या "yPx"

एजेंट दोनों विकल्पों के बीच विकल्प है: "x = y" या "xIy"

प्रायिकतात्मक मॉडल
आधुनिक मनोमितीय सिद्धांत संभाव्य मॉडल के संदर्भ में, जिसमें थर्स्टन का दृष्टिकोण (तुलनात्मक निर्णय का नियम भी कहा जाता है), ब्रैडली-टेरी-लूस (बीटीएल) मॉडल, और सामान्य प्रसंभाव्य प्रायिकतात्मक मॉडल सम्मिलित हैं, इन्हें मापन मॉडल के रूप में अधिक उपयुक्त माना जाता है। ब्रैडली-टेरी-लूस (बीटीएल) मॉडल को अधिकांशतः पैमाने की प्राथमिकताओं के लिए युग्‍मानूसार तुलना आँकड़ा के लिए लागू किया जाता है। यदि सरल तार्किक फलन का उपयोग किया जाता है तो बीटीएल मॉडल थर्स्टन के मॉडल के समान है। थर्स्टन ने मॉडल के अनुप्रयोगों में सामान्य वितरण का उपयोग किया। एक यादृच्छिक माप गुणक दिए जाने पर, सरल तार्किक फलन पूरे श्रेणी में संचयी सामान्य तोरण (सांख्यिकी) से 0.01 से कम भिन्न होता है।

बीटीएल मॉडल में, वस्तु j में वस्तु i की तुलना में अधिक विशेषता होने की संभावना है:



\Pr \{X_{ji}=1\} =\frac{e^{{\delta_j} - {\delta_i}}}{1 + e^{{\delta_j} - {\delta_i}}} = \sigma (\delta_j - \delta_i), $$ जहाँ $$\delta_i$$ पिण्ड $$i$$ का पैमाना अवस्थिति है; $$\sigma$$ तार्किक फलन (लॉगिट का प्रतिलोम) है। उदाहरण के लिए, पैमाना अवस्थिति किसी उत्पाद की कथित गुणवत्ता, या किसी वस्तु के कथित वजन का प्रतिनिधित्व कर सकता है।

माप के लिए बीटीएल मॉडल, थर्स्टोनियन मॉडल और साथ ही तीव्र मॉडल सभी बारीकी से संबंधित हैं और प्रसंभाव्य प्रायिकतात्मक के एक ही वर्ग से संबंधित हैं।

थर्स्टन ने शारीरिक उत्तेजनाओं, दृष्टिकोण, प्राथमिकताओं, विकल्पों और मूल्यों की कथित तीव्रता को मापने के दृष्टिकोण के रूप में युग्‍मानूसार तुलना की विधि का उपयोग किया। उन्होंने जनमत सर्वेक्षणों और राजनीतिक मतदान के लिए विकसित सिद्धांत के निहितार्थों का भी अध्ययन किया (थर्स्टन, 1959)।

आयरिश अनुसंधान उद्घाटन ओपिनियनX ने 2020 में संभाव्य युग्‍मानूसार तुलना उपकरण समारंभ किया, जो प्रत्येक प्रतिभागी को वोट देने के लिए समग्र सूची से बयानों के उपवर्ग का चयन करने के लिए भारित चयन कलन विधि के साथ ग्लिको-शैली बायेसियन रेटिंग प्रणाली का उपयोग करता है।

संक्रामिता (ट्रांसिटिविटी)
किसी दिए गए निर्णय एजेंट के लिए, यदि एजेंट द्वारा उपयोग की गई जानकारी, उद्देश्य और विकल्प स्थिर रहते हैं, तो सामान्यतः यह माना जाता है कि निर्णय एजेंट द्वारा उन विकल्पों पर युग्‍मानूसार तुलना सकर्मक होती है। अधिकांश लोग इस बात पर सहमत हैं कि प्रायिकतात्मक क्या है, चूंकि सकर्मकता की प्रायिकतात्मक के बारे में बहस चल रही है। किसी दिए गए निर्णय एजेंट के लिए प्रायिकतात्मक के नियम इस प्रकार हैं।


 * यदि xPy और yPz, तो xPz
 * यदि xPy और yIz, तो xPz
 * यदि xIy और yPz, तो xPz
 * यदि xIy और yIz, तो xIz

यह (xPy या xIy) से मेल खाता है जो कुल पूर्वक्रम है, P संबंधित सख्त अदृढ़ क्रम है, और I संबंधित तुल्यता संबंध है।

संभाव्य मॉडल प्रसंभाव्य प्रायिकतात्मक को भी उत्थान देते हैं, जिनमें से सभी को संस्थाओं के पैमाने के अवस्थिति के अनुमानों की त्रुटियों की सीमा के भीतर (गैर-प्रसंभाव्य) प्रायिकतात्मक को संतुष्ट करने के लिए सत्यापित किया जा सकता है। इस प्रकार, संभाव्य मॉडल लागू करने के लिए निर्णयों को नियतात्मक रूप से परिवर्तनीय होने की आवश्यकता नहीं है। चूंकि, यदि बीटीएल जैसे मॉडल को प्रभावी ढंग से लागू किया जा सकता है, तो प्रायिकतात्मक सामान्यतः बड़ी संख्या में तुलनाओं के लिए मान्य होगी।

प्रायिकतात्मक परीक्षण का उपयोग करना कोई यह जांच कर सकता है कि युग्‍मानूसार तुलनाओं के आँकड़ा समुच्चय में संयोग से अपेक्षा से अधिक उच्च स्तर की प्रायिकतात्मक है या नहीं।

सकर्मकता की अकर्मण्यता के लिए तर्क
कुछ का तर्क है कि सकर्मकता सकर्मक नहीं है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें मान लीजिए कि आपको सेब चयन हैं और आप बड़े सेब चयन करते हैं। अब मान लीजिए कि सेब A, सेब B, और सेब C सम्मिलित है जिनमें निम्नलिखित को छोड़कर समान आंतरिक विशेषताएं हैं। मान लीजिए कि B, A से बड़ा है, लेकिन इसे अत्यंत संवेदनशील पैमाने के बिना पहचाना नहीं जा सकता। इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि C, B से बड़ा है, लेकिन यह भी अत्यंत संवेदनशील पैमाने के बिना समझ में नहीं आता है। चूंकि, सेब A और C के बीच आकार में अंतर इतना बड़ा है कि आप बिना किसी संवेदनशील पैमाने के यह समझ सकते हैं कि C, A से बड़ा है। मनोभौतिकीय दृष्टि से, A और C के बीच के आकार का अंतर ध्यान देने योग्य अंतर ('जेएनडी') से ऊपर है, जबकि A और B और B और C के बीच के आकार का अंतर जेएनडी से नीचे है।

संवेदनशील पैमाने के लाभ के बिना आपका सामना जोड़े में तीन सेबों से होता है। इसलिए, जब A और B को अकेले प्रस्तुत किया जाता है, तो आप सेब A और सेब B के बीच विकल्प होते हैं; और जब B और C को अकेले प्रस्तुत किया जाता है तो आप सेब B और सेब C के बीच विकल्प होते हैं। चूंकि, जब जोड़ी A और C दिखाई जाती है, तो आप A की तुलना में C को प्राथमिकता देते हैं।

वरीयता क्रम
यदि युग्‍मानूसार तुलना वास्तव में चार उल्लिखित नियमों के संबंध में सकर्मक है, तो विकल्पों की सूची के लिए युग्‍मानूसार तुलना करें (A1, A2, A3, ..., An−1, और An) रूप ले सकते हैं:


 * A1(>XOR=)A2(>XOR=)A3(>XOR=) ... (>XOR=)An−1(>XOR=)An

उदाहरण के लिए, यदि तीन विकल्प a, b और c हैं, तो संभावित वरीयता क्रम हैं:

यदि विकल्पों की संख्या n है, और सकर्मकता की अनुमति नहीं है, तो किसी दिए गए n-मान के लिए संभावित वरीयता क्रम की संख्या n ! है। यदि सकर्मकता की अनुमति है, तो संभावित वरीयता क्रम की संख्या कुल अग्रिम आदेशों की संख्या है। इसे n के फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$a>b>c$$
 * $$a>c>b$$
 * $$b>a>c$$
 * $$b>c>a$$
 * $$c>a>b$$
 * $$c>b>a$$
 * $$a>b=c$$
 * $$b=c>a$$
 * $$b>a=c$$
 * $$a=c>b$$
 * $$c>a=b$$
 * $$a=b>c$$
 * $$a=b=c$$


 * $$\sum_{k=1}^n k! S_2(n,k),$$

जहां S2(n, k) दूसरे प्रकार का स्टर्लिंग नंबर है।

अनुप्रयोग
युग्‍मानूसार तुलनाओं का महत्वपूर्ण अनुप्रयोग व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया है, जो लोगों को जटिल निर्णयों से निपटने में मदद करने के लिए संरचित तकनीक है। यह अनुपात के पैमाने बनाने के लिए मूर्त और अमूर्त कारकों की युग्‍मानूसार तुलना का उपयोग करता है जो महत्वपूर्ण निर्णय लेने में उपयोगी होते हैं।

अन्य महत्वपूर्ण अनुप्रयोग सभी संभावित विकल्पों की संभावित रूप से सभी युग्‍मानूसार श्रेणी (पैपरिका) विधि है। इस विधि में निर्णय-निर्माता द्वारा समय में दो मानदंडों या विशेषताओं पर परिभाषित विकल्पों की बार-बार युग्‍मानूसार तुलना और श्रेणी करना और व्यापार-बंद सम्मिलित करना सम्मिलित है, और फिर, यदि निर्णय-निर्माता जारी रखना चाहता है, तो क्रमिक रूप से अधिक मानदंडों पर परिभाषित विकल्पों की युग्‍मानूसार तुलना करता है। युग्‍मानूसार श्रेणी से, निर्णय-निर्माता के लिए मानदंड का सापेक्ष महत्व, जिसे वजन के रूप में दर्शाया जाता है, निर्धारित किया जाता है।

यह भी देखें

 * विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया (एएचपी)
 * तुलनात्मक निर्णय का नियम
 * संभावित रूप से सभी संभावित विकल्पों की युग्‍मानूसार श्रेणी (पैपरिका) पद्धति
 * प्रोमेथी युग्‍मानूसार तुलना विधि
 * वरीयता (अर्थशास्त्र)
 * प्रसंभाव्य प्रायिकतात्मक
 * कॉन्डोर्सेट विधि

संदर्भ

 * Y. Chevaleyre, P.E. Dunne, U. Endriss, J. Lang, M. Lemaître, N. Maudet, J. Padget, S. Phelps, J.A. Rodríguez-Aguilar, and P. Sousa. Issues in Multiagent Resource Allocation. Informatica, 30:3–31, 2006.
 * Y. Chevaleyre, P.E. Dunne, U. Endriss, J. Lang, M. Lemaître, N. Maudet, J. Padget, S. Phelps, J.A. Rodríguez-Aguilar, and P. Sousa. Issues in Multiagent Resource Allocation. Informatica, 30:3–31, 2006.
 * Y. Chevaleyre, P.E. Dunne, U. Endriss, J. Lang, M. Lemaître, N. Maudet, J. Padget, S. Phelps, J.A. Rodríguez-Aguilar, and P. Sousa. Issues in Multiagent Resource Allocation. Informatica, 30:3–31, 2006.

अग्रिम पठन

 * Bradley, R.A. and Terry, M.E. (1952). Rank analysis of incomplete block designs, I. the method of paired comparisons. Biometrika, 39, 324–345.
 * David, H.A. (1988). The Method of Paired Comparisons. New York: Oxford University Press.
 * Luce, R.D. (1959). Individual Choice Behaviours: A Theoretical Analysis. New York: J. Wiley.
 * Thurstone, L.L. (1927). A law of comparative judgement. Psychological Review, 34, 278–286.
 * Thurstone, L.L. (1929). The Measurement of Psychological Value.  In T.V. Smith and W.K. Wright (Eds.), Essays in Philosophy by Seventeen Doctors of Philosophy of the 	University of Chicago.  Chicago: Open Court.
 * Thurstone, L.L. (1959). The Measurement of Values.  Chicago: The University of Chicago Press.
 * Zermelo, E. (1928). Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Zeitschrift 29, 1929, S. 436–460