परिमित सांस्थितिक समष्टि

गणित में, एक परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसके लिए अंतर्निहित सेट (गणित) परिमित सेट है। अर्थात्, यह एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जिसमें केवल सीमित रूप से कई तत्व होते हैं।

परिमित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का उपयोग अक्सर दिलचस्प घटनाओं के उदाहरण या प्रशंसनीय लगने वाले अनुमानों के प्रति उदाहरण प्रदान करने के लिए किया जाता है। विलियम थर्स्टन ने इस अर्थ में परिमित टोपोलॉजी के अध्ययन को एक अजीब विषय कहा है विभिन्न प्रश्नों के लिए अच्छी अंतर्दृष्टि प्रदान करें।

एक सीमित सेट पर टोपोलॉजी
होने देना $$ X $$ एक परिमित समुच्चय हो. एक टोपोलॉजी (संरचना) पर $$ X $$ एक उपसमुच्चय है $$ \tau $$ का $$ P(X)  $$ (का  सत्ता स्थापित  $$ X  $$) ऐसा है कि
 * 1) $$ \varnothing \in \tau  $$ और $$ X\in \tau  $$.
 * 2) अगर $$ U, V \in \tau  $$ तब $$ U \cup V \in \tau  $$.
 * 3) अगर $$ U, V \in \tau  $$ तब $$ U \cap V \in \tau  $$.

दूसरे शब्दों में, एक उपसमुच्चय $$ \tau $$ का $$ P(X) $$ यदि एक टोपोलॉजी है $$ \tau $$ दोनों शामिल हैं $$ \varnothing  $$ और $$  X $$ और मनमाना संघ (सेट सिद्धांत) और प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) के तहत बंद है। घटक $$ \tau  $$  खुला सेट  कहलाते हैं। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के सामान्य विवरण के लिए आवश्यक है कि एक टोपोलॉजी को खुले सेटों के मनमाने (परिमित या अनंत) संघों के तहत बंद किया जाए, लेकिन केवल सीमित रूप से कई खुले सेटों के प्रतिच्छेदन के तहत। यहाँ वह भेद अनावश्यक है। चूँकि किसी परिमित समुच्चय का घात समुच्चय परिमित होता है, इसलिए केवल परिमित रूप से अनेक खुले समुच्चय हो सकते हैं (और केवल परिमित रूप से अनेक बंद समुच्चय भी हो सकते हैं)।

एक परिमित सेट पर एक टोपोलॉजी को एक उप-आरेख के रूप में भी सोचा जा सकता है $$ (P(X), \subset) $$ जिसमें नीचे के दोनों तत्व शामिल हैं $$  \varnothing $$ और शीर्ष तत्व $$ X  $$.

0 या 1 अंक
खाली सेट ∅ पर एक अद्वितीय टोपोलॉजी है। एकमात्र खुला सेट खाली है। वास्तव में, यह ∅ का एकमात्र उपसमुच्चय है।

इसी तरह, सिंगलटन सेट {ए} पर एक अद्वितीय टोपोलॉजी है। यहां खुले सेट ∅ और {a} हैं। यह टोपोलॉजी असतत स्थान और तुच्छ टोपोलॉजी दोनों है, हालांकि कुछ मायनों में इसे असतत स्थान के रूप में सोचना बेहतर है क्योंकि यह परिमित असतत रिक्त स्थान के परिवार के साथ अधिक गुण साझा करता है।

टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी X के लिए ∅ से X तक एक अद्वितीय निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) होता है, अर्थात् खाली फ़ंक्शन। एक्स से सिंगलटन स्पेस {ए} तक एक अद्वितीय निरंतर फ़ंक्शन भी है, अर्थात् ए के लिए निरंतर फ़ंक्शन। श्रेणी सिद्धांत की भाषा में खाली स्थान टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में एक प्रारंभिक वस्तु के रूप में कार्य करता है जबकि सिंगलटन स्पेस एक टर्मिनल वस्तु  के रूप में कार्य करता है।

2 अंक
मान लीजिए कि X = {a,b} 2 तत्वों वाला एक समुच्चय है। X पर चार अलग-अलग टोपोलॉजी हैं:
 * {∅, {a,b }} (तुच्छ टोपोलॉजी)
 * {∅, {a}, {a,b }}
 * {∅, {b}, {a,b }}
 * {∅, {a}, {b}, {a,b }} (असतत टोपोलॉजी)

उपरोक्त दूसरी और तीसरी टोपोलॉजी को आसानी से होम्योमॉर्फिक के रूप में देखा जा सकता है। X से स्वयं तक का फ़ंक्शन जो a और b को स्वैप करता है, एक होमोमोर्फिज्म है। इनमें से एक के लिए एक टोपोलॉजिकल स्पेस होमोमोर्फिक को सिएरपिंस्की स्पेस कहा जाता है। तो, वास्तव में, दो-बिंदु सेट पर केवल तीन असमान टोपोलॉजी हैं: तुच्छ एक, असतत एक, और सिएरपिंस्की टोपोलॉजी।

सिएरपिंस्की स्पेस {ए,बी} पर {बी} ओपन के साथ विशेषज्ञता प्रीऑर्डर इस प्रकार दिया गया है: ए ≤ ए, बी ≤ बी, और ए ≤ बी।

3 अंक
मान लीजिए कि X = {a,b,c} तीन तत्वों वाला एक समुच्चय है। X पर 29 अलग-अलग टोपोलॉजी हैं लेकिन केवल 9 असमान टोपोलॉजी हैं:
 * {∅, {a,b,c }}
 * {∅, {c}, {a,b,c }}
 * {∅, {a,b}, {a,b,c }}
 * {∅, {c}, {a,b}, {a,b,c }}
 * {∅, {c}, {b,c}, {a,b,c }} (T0 space|T0)
 * {∅, {c}, {a,c}, {b,c}, {a,b,c }} (T0 space|T0)
 * {∅, {a}, {b}, {a,b}, {a,b,c }} (T0 space|T0)
 * {∅, {b}, {c}, {a,b}, {b,c}, {a,b,c }} (T0 space|T0)
 * {∅, {ए}, {बी}, {सी}, {ए,बी}, {ए,सी}, {बी,सी}, {ए,बी,सी }} ( टी0 स्पेस|टी0)

इनमें से अंतिम 5 सभी T0 स्पेस|T हैं0. पहला तुच्छ है, जबकि 2, 3 और 4 में बिंदु a और b स्थलीय रूप से अप्रभेद्य हैं।

4 अंक
मान लीजिए कि X = {a,b,c,d} 4 तत्वों वाला एक समुच्चय है। एक्स पर 355 अलग-अलग टोपोलॉजी हैं लेकिन केवल 33 असमान टोपोलॉजी हैं:


 * {∅, {ए, बी, सी, डी}}
 * {∅, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी }}
 * {∅, {a}, {a, b, c, d }}
 * {∅, {ए}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी }}
 * {∅, {ए, बी}, {ए, बी, सी, डी}}
 * {∅, {ए, बी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी }}
 * {∅, {ए}, {ए, बी}, {ए, बी, सी, डी }}
 * {∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {ए, बी, सी, डी }}
 * {∅, {ए, बी, सी}, {डी}, {ए, बी, सी, डी }}
 * {∅, {ए}, {ए, बी, सी}, {ए, डी}, {ए, बी, सी, डी }}
 * {∅, {ए}, {ए, बी, सी}, {डी}, {ए, डी}, {ए, बी, सी, डी }}
 * {∅, {ए}, {बी, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, डी}, {ए, बी, सी, डी }}
 * {∅, {ए, बी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, सी, डी }}
 * {∅, {ए, बी}, {सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी }}
 * {∅, {ए, बी}, {सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, सी, डी }}
 * {∅, {ए, बी}, {सी}, {ए, बी, सी}, {डी}, {ए, बी, डी}, {सी, डी}, {ए, बी, सी, डी}}
 * {∅, {बी, सी}, {ए, डी}, {ए, बी, सी, डी }}
 * {∅, {ए}, {ए, बी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, सी, डी }} (T0 स्पेस |टी0)
 * {∅, {ए}, {ए, बी}, {ए, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी }} (T0 space|T0)
 * {∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {ए, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी }} ( टी0 स्पेस|टी0)
 * {∅, {a}, {a, b}, {a, b, c}, {a, b, c, d }} (T0 space|T0)
 * {∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी }} (T0 space|T0)
 * {∅, {ए}, {ए, बी}, {सी}, {ए, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, सी, डी}} (T0 स्पेस|T0)
 * {∅, {ए}, {ए, बी}, {ए, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, सी, डी }}< /nowiki> (T0 स्पेस|T0)
 * {∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, सी, डी }} (T0 स्पेस|T0)
 * {∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {ए, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, सी, डी}} (T0 स्पेस|T0)
 * {∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {बी, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, डी}, {ए, बी, डी}, {ए, बी, c, d }} (T0 स्पेस|T0)
 * {∅, {ए}, {ए, बी}, {ए, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, डी}, {ए, बी, डी}, {ए, सी, डी}, {a, b, c, d }} (T0 space|T0)
 * {∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {ए, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, डी}, {ए, बी, डी}, {ए, सी, d}, {a, b, c, d }} (T0 space|T0)
 * {∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {सी}, {ए, सी}, {बी, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, डी}, {a, b, c, d }} (T0 space|T0)
 * {∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {सी}, {ए, सी}, {बी, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, डी}, {ए, बी, डी}, {ए, सी, डी}, {ए, बी, सी, डी}} (टी0 स्पेस|टी0)
 * {∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {सी}, {ए, सी}, {बी, सी}, {ए, बी, सी}, {ए, बी, सी, डी }} (T0 स्पेस|T0)
 * {∅, {ए}, {बी}, {ए, बी}, {सी}, {ए, सी}, {बी, सी}, {ए, बी, सी}, {डी}, {ए, डी }, {बी, डी}, {ए, बी, डी}, {सी, डी}, {ए, सी, डी}, {बी, सी, डी}, {ए, बी, सी, डी } } (T0 स्पेस|T0)

इनमें से अंतिम 16 सभी T0 स्पेस|T हैं0.

विशेषज्ञता पूर्वआदेश
एक परिमित समुच्चय

एक (आवश्यक रूप से सीमित नहीं) टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स को देखते हुए हम एक्स पर पूर्व आदेश को परिभाषित कर सकते हैं
 * x ≤ y यदि और केवल यदि x ∈ cl{y}

जहां cl{y} सिंगलटन सेट {y} के समापन (टोपोलॉजी)  को दर्शाता है। इस प्रीऑर्डर को एक्स पर विशेषज्ञता प्रीऑर्डर कहा जाता है। एक्स का प्रत्येक खुला सेट यू ≤ के संबंध में एक ऊपरी सेट होगा (यानी यदि x ∈ U और x ≤ y तो y ∈ U)। अब यदि X परिमित है, तो इसका विपरीत भी सत्य है: प्रत्येक ऊपरी सेट X में खुला है। इसलिए परिमित स्थानों के लिए,

दूसरी दिशा में जाने पर, मान लीजिए (X, ≤) एक पूर्व-आदेशित सेट है। खुले सेटों को ≤ के संबंध में ऊपरी सेट मानकर एक्स पर एक टोपोलॉजी τ को परिभाषित करें। तब संबंध ≤ (X, τ) का विशेषज्ञता पूर्वक्रम होगा। इस प्रकार परिभाषित टोपोलॉजी को ≤ द्वारा निर्धारित अलेक्जेंडर टोपोलॉजी कहा जाता है।

प्रीऑर्डर और परिमित टोपोलॉजी के बीच समानता की व्याख्या बिरखॉफ के प्रतिनिधित्व प्रमेय के एक संस्करण के रूप में की जा सकती है, जो परिमित वितरण जाली (टोपोलॉजी के खुले सेट की जाली) और आंशिक ऑर्डर (प्रीऑर्डर के समतुल्य वर्गों का आंशिक क्रम) के बीच एक समानता है। यह पत्राचार रिक्त स्थान के एक बड़े वर्ग के लिए भी काम करता है जिसे परिमित रूप से उत्पन्न स्थान कहा जाता है। अंतिम रूप से उत्पन्न स्थानों को उन स्थानों के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिनमें खुले सेटों का एक मनमाना प्रतिच्छेदन खुला है। परिमित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान परिमित रूप से उत्पन्न रिक्त स्थान का एक विशेष वर्ग है।

संक्षिप्तता और गणनीयता
प्रत्येक परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस कॉम्पैक्ट स्पेस है क्योंकि कोई भी खुला आवरण पहले से ही परिमित होना चाहिए। वास्तव में, सघन स्थानों को अक्सर परिमित स्थानों के सामान्यीकरण के रूप में सोचा जाता है क्योंकि उनमें कई गुण समान होते हैं।

प्रत्येक परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस द्वितीय-गणनीय भी है (केवल सीमित रूप से कई खुले सेट हैं) और अलग करने योग्य स्पेस (चूंकि स्पेस स्वयं गणनीय सेट है)।

पृथक्करण अभिगृहीत
यदि एक परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस T1 स्पेस|T है1(विशेष रूप से, यदि यह हॉसडॉर्फ़ स्थान है) तो वास्तव में, यह अलग होना चाहिए। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक बिंदु का पूरक (सेट सिद्धांत) बंद बिंदुओं का एक सीमित संघ है और इसलिए बंद है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक बिंदु खुला होना चाहिए।

इसलिए, कोई भी परिमित स्थलाकृतिक स्थान जो असतत नहीं है, वह T नहीं हो सकता1, हॉसडॉर्फ़, या कुछ भी मजबूत।

हालाँकि, एक गैर-असतत परिमित स्थान के लिए T0 स्थान|T होना संभव है0. सामान्य तौर पर, दो बिंदु x और y टोपोलॉजिकल रूप से अप्रभेद्य होते हैं यदि और केवल यदि x ≤ y और y ≤ x, जहां ≤ X पर विशेषज्ञता प्रीऑर्डर है। यह इस प्रकार है कि एक स्थान X, T है0 यदि और केवल यदि एक्स पर विशेषज्ञता प्रीऑर्डर ≤ आंशिक ऑर्डर है। एक सीमित सेट पर कई आंशिक ऑर्डर होते हैं। प्रत्येक एक अद्वितीय टी को परिभाषित करता है0 टोपोलॉजी.

इसी प्रकार, एक स्पेस R0 स्पेस|R है0यदि और केवल यदि विशेषज्ञता पूर्वादेश एक तुल्यता संबंध है। किसी परिमित समुच्चय X पर किसी तुल्यता संबंध को देखते हुए संबद्ध टोपोलॉजी, चूँकि विभाजन टोपोलॉजी छद्ममितियोग्य स्थान है, एक परिमित स्थान आर है0 यदि और केवल यदि यह पूरी तरह से नियमित है।

गैर-अलग-अलग परिमित स्थान सामान्य स्थान भी हो सकते हैं। किसी भी परिमित सेट पर बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी एक पूरी तरह से सामान्य स्थान टी है0 वह स्थान जो असतत है।

कनेक्टिविटी
एक परिमित स्थान एक परिमित स्थान X की कनेक्टिविटी को संबंधित ग्राफ Γ की कनेक्टिविटी (ग्राफ़ सिद्धांत) पर विचार करके समझा जा सकता है।

किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस में, यदि x ≤ y है तो x से y तक एक पथ (टोपोलॉजी) है। t > 0 के लिए कोई आसानी से f(0) = x और f(t) = y ले सकता है। यह सत्यापित करना आसान है कि f निरंतर है। यह इस प्रकार है कि एक परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस के पथ घटक संबंधित ग्राफ के ठीक (कमजोर रूप से) जुड़े घटक (ग्राफ सिद्धांत) हैं। अर्थात्, x से y तक एक टोपोलॉजिकल पथ है यदि और केवल यदि Γ के संगत शीर्षों के बीच कोई पथ (ग्राफ़ सिद्धांत) है।

प्रत्येक परिमित स्थान सेट के बाद से स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है
 * $$\mathop{\uarr}x = \{y \in X : x \leq y\}$$

x का एक पथ-जुड़ा हुआ खुला पड़ोस (टोपोलॉजी) है जो हर दूसरे पड़ोस में समाहित है। दूसरे शब्दों में, यह एकल सेट x पर एक स्थानीय आधार बनाता है।

इसलिए, एक परिमित स्थान जुड़ा हुआ स्थान है यदि और केवल तभी जब वह पथ से जुड़ा हो। जुड़े हुए घटक बिल्कुल पथ घटक हैं। ऐसा प्रत्येक घटक एक्स में क्लोपेन सेट दोनों है।

परिमित स्थानों में मजबूत कनेक्टिविटी गुण हो सकते हैं। एक परिमित स्थान X है उदाहरण के लिए, एक परिमित स्थान पर विशेष बिंदु टोपोलॉजी हाइपरकनेक्टेड है जबकि बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी अल्ट्राकनेक्टेड है। सिएरपिंस्की स्थान दोनों है।
 * हाइपरकनेक्टेड स्पेस यदि और केवल तभी जब विशेषज्ञता प्रीऑर्डर के संबंध में कोई सबसे बड़ा तत्व हो। यह एक ऐसा तत्व है जिसका समापन संपूर्ण स्थान X है।
 * अल्ट्राकनेक्टेड स्पेस यदि और केवल तभी जब विशेषज्ञता प्रीऑर्डर के संबंध में कम से कम तत्व हो। यह एक ऐसा तत्व है जिसका एकमात्र पड़ोस संपूर्ण अंतरिक्ष X है।

अतिरिक्त संरचना
एक परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस स्यूडोमेट्रिज़ेबल स्पेस है यदि और केवल यदि यह R0 स्पेस|R है0. इस मामले में, एक संभावित छद्ममिति स्थान दिया गया है
 * $$d(x,y) = \begin{cases}0 & x\equiv y \\ 1 & x\not\equiv y\end{cases}$$

जहां x ≡ y का अर्थ है x और y स्थलाकृतिक रूप से अप्रभेद्य हैं। एक परिमित स्थलाकृतिक स्थान मेट्रिज़ेबल स्थान है यदि और केवल यदि यह असतत है।

इसी तरह, एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक समान स्थान है यदि और केवल यदि यह आर है0. एक समान संरचना उपरोक्त छद्ममिति से प्रेरित छद्ममितीय एकरूपता होगी।

बीजगणितीय टोपोलॉजी
शायद आश्चर्यजनक रूप से, गैर-तुच्छ मौलिक समूहों के साथ सीमित टोपोलॉजिकल स्थान हैं। एक सरल उदाहरण छद्म वृत्त है, जो अंतरिक्ष X है जिसमें चार बिंदु हैं, जिनमें से दो खुले हैं और जिनमें से दो बंद हैं। इकाई चक्र एस से एक सतत मानचित्र है1से इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि छद्मवृत्त का मूल समूह अनंत चक्रीय समूह है।

अधिक आम तौर पर यह दिखाया गया है कि किसी भी परिमित अमूर्त सरल जटिल K के लिए, एक परिमित टोपोलॉजिकल स्पेस X होता हैK और एक कमजोर समरूपता तुल्यता f : |K| → एक्सK कहाँ |K| K का अमूर्त सरल जटिल है। यह इस प्रकार है कि |K| के समरूप समूह और एक्सK समरूपी हैं। वास्तव में, X का अंतर्निहित सेटK समावेशन आंशिक क्रम से जुड़ी टोपोलॉजी के साथ, K को ही लिया जा सकता है।

एक सीमित सेट पर टोपोलॉजी की संख्या
जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, एक परिमित सेट पर टोपोलॉजी सेट पर प्रीऑर्डर के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं, और टी0 स्पेस|टी0 टोपोलॉजी आंशिक आदेशों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं। इसलिए, एक परिमित सेट पर टोपोलॉजी की संख्या प्रीऑर्डर की संख्या और टी की संख्या के बराबर है0 टोपोलॉजी आंशिक ऑर्डर की संख्या के बराबर है।

नीचे दी गई तालिका विशिष्ट (टी) की संख्या सूचीबद्ध करती है0) n तत्वों वाले सेट पर टोपोलॉजी। यह असमान (अर्थात होमियोमोर्फिक) टोपोलॉजी की संख्या को भी सूचीबद्ध करता है।

मान लीजिए T(n) n बिंदुओं वाले सेट पर अलग-अलग टोपोलॉजी की संख्या को दर्शाता है। मनमाना n के लिए T(n) की गणना करने का कोई ज्ञात सरल सूत्र नहीं है। पूर्णांक अनुक्रमों का ऑनलाइन विश्वकोश वर्तमान में n ≤ 18 के लिए T(n) को सूचीबद्ध करता है।

विशिष्ट टी की संख्या0 n बिंदुओं वाले सेट पर टोपोलॉजी, जिसे T दर्शाया गया है0(n), सूत्र द्वारा T(n) से संबंधित है
 * $$T(n) = \sum_{k=0}^{n}S(n,k)\,T_0(k)$$

जहां S(n,k) दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्या को दर्शाता है।

यह भी देखें

 * परिमित ज्यामिति
 * परिमित मीट्रिक स्थान
 * टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स