मल्टीबॉडी सिस्टम

मल्टीबॉडी सिस्टम परपस्पर संबद्ध दृढ़ या नमन्शील पिंडों के गतिशील व्यवहार का अध्ययन है, जिनमें से प्रत्येक बड़े स्थानान्तरण (भौतिकी) और घूर्णी विस्थापन से गुजरता है।

परिचय
परपस्पर संबद्ध निकायों के गतिशील व्यवहार के व्यवस्थित उपचार ने यांत्रिकी के क्षेत्र में बड़ी संख्या में महत्वपूर्ण मल्टीबॉडी औपचारिकताओं को उत्पन्न किया है। मल्टीबॉडी सिस्टम के सरलतम निकायों या तत्वों का अभिक्रियित आइजैक न्यूटन (मुक्त कण) और लियोनहार्ड यूलर (दृढ़ पिंड) द्वारा किया गया था। यूलर ने पिंडों के बीच प्रतिक्रिया बलों का परिचय दिया। बाद में, औपचारिकताओं की श्रृंखला प्राप्त की गई, केवल जोसेफ लुइस लाग्रेंज की औपचारिकताओं का उल्लेख करने के लिए न्यूनतम निर्देशांक पर आधारित और दूसरा सूत्रीकरण है जो बाधाओं का परिचय देता है।

मूल रूप से, निकायों की गति को उनके गतिज व्यवहार द्वारा वर्णित किया जाता है। विश्लेषणात्मक गतिशीलता व्यवहार लागू बलों के संतुलन और गति के परिवर्तन की दर से उत्पन्न होता है। आजकल, मल्टीबॉडी सिस्टम शब्द बड़ी संख्या में अनुसंधान के इंजीनियरिंग क्षेत्रों विशेष रूप से रोबोटिक्स और वाहन गतिशीलता से संबंधित है। एक महत्वपूर्ण विशेषता के रूप में, मल्टीबॉडी सिस्टम औपचारिकताएं सामान्यतः हजारों परपस्पर संबद्ध निकायों की स्वेच्छ गति को मॉडल, विश्लेषण, अनुकरण और अनुकूलित करने के लिए एल्गोरिदमिक, कंप्यूटर-एडेड तरीका प्रदान करती हैं।

अनुप्रयोग
जबकि यांत्रिक प्रणाली के एकल निकायों या भागों का परिमित तत्व विधियों के साथ विस्तार से अध्ययन किया जाता है, पूरे मल्टीबॉडी सिस्टम का व्यवहार सामान्यतः निम्नलिखित क्षेत्रों में मल्टीबॉडी सिस्टम विधियों के साथ किया जाता है:


 * वैमानिक और अन्तरिक्षीय अभियान्त्रिकी (हेलीकॉप्टर, लैंडिंग गियर, विभिन्न गुरुत्वाकर्षण परिस्थितियों में मशीनों का व्यवहार)
 * जैवयांत्रिकी
 * आंतरिक दहन इंजन, गियर और ट्रांसमिशन, चेन ड्राइव, बेल्ट ड्राइव
 * गतिशील अनुकरण
 * होइस्ट (डिवाइस), कन्वेयर, पेपर मिल
 * सैन्य अनुप्रयोग
 * एन-पिंड अनुकरण (बारीक मीडिया, रेत, अणु)
 * भौतिकी इंजन
 * रोबोटिक
 * वाहन सिमुलेशन (वाहन की गतिशीलता, वाहनों का तेजी से प्रोटोटाइप, स्थिरता में सुधार, पर्याप्त अनुकूलन, दक्षता में सुधार, ...)

उदाहरण
निम्न उदाहरण विशिष्ट मल्टीबॉडी सिस्टम दिखाता है। इसे सामान्यतः स्लाइडर-क्रैंक तंत्र के रूप में दर्शाया जाता है। घूर्णी ड्राइविंग बीम, कनेक्शन रॉड और स्लाइडिंग पिंड के माध्यम से घूर्णन गति को अनुवादक गति में बदलने के लिए तंत्र का उपयोग किया जाता है। वर्तमान उदाहरण में, नमन्शील पिंड का उपयोग कनेक्शन रॉड के लिए किया जाता है। स्लाइडिंग द्रव्यमान को घूर्णन की अनुमति नहीं है और निकायों को जोड़ने के लिए तीन कोरकुंचित जोड़ों का उपयोग किया जाता है। जबकि प्रत्येक पिंड में समष्टि में छह कोटि की स्वातंत्र्य होती है, गतिज स्थिति पूरे सिस्टम के लिए एक कोटि की स्वातंत्र्य की ओर ले जाती है।


 * [[Image:Example MBS.jpg|216px|स्लाइडरक्रैंक]] तंत्र की गति को निम्न जीआईएफ एनीमेशन में देखा जा सकता है


 * [[Image:slidercrank animation.gif|200px|स्लाइडररैंक-एनीमेशन]]

अवधारणा
पिंड को सामान्यतः यांत्रिक प्रणाली का दृढ़ या नमन्शील हिस्सा माना जाता है (मानव पिंड के साथ भ्रमित नहीं होना)। पिंड का उदाहरण रोबोट की भुजा, कार में पहिया या धुरा या मानव प्रकोष्ठ है। लिंक दो या दो से अधिक पिंडों, या पिंड का जमीन से जुड़ाव है। लिंक को कुछ (शुद्धगतिकीय) बाधाओं द्वारा परिभाषित किया गया है जो निकायों के सापेक्ष गति को प्रतिबंधित करता है। विशिष्ट बाधाएं हैं:


 * कार्डन ज्वाइंट या यूनिवर्सल जॉइंट; 4 शुद्धगतिकीय बाधाएं
 * प्रिज्मीय ज्वाइंट; धुरी के साथ सापेक्ष विस्थापन की अनुमति है, सापेक्ष घूर्णन को विवश करता है; तात्पर्य 5 शुद्धगतिकीय बाधाओं से है
 * कोरकुंचित ज्वाइंट; केवल सापेक्ष घुमाव की अनुमति है; तात्पर्य 5 शुद्धगतिकीय बाधाओं से है; ऊपर का उदाहरण देखें
 * गोलाकार ज्वाइंट; बिंदु में सापेक्ष विस्थापन को रोकता है, सापेक्ष घूर्णन की अनुमति है; तात्पर्य 3 शुद्धगतिकीय बाधाओं से है

मल्टीबॉडी सिस्टम में दो महत्वपूर्ण शर्तें हैं: स्वातंत्र्य कोटि और प्रतिबंध की स्थिति।

स्वातंत्र्य कोटि
स्वातंत्र्य कोटि (यांत्रिकी) स्थानांतरित करने के लिए स्वतंत्र शुद्धगतिकीय संभावनाओं की संख्या को दर्शाता है। दूसरे शब्दों में, स्वातंत्र्य कोटि समष्टि में किसी इकाई की स्थिति को पूरी तरह से परिभाषित करने के लिए आवश्यक मापदंडों की न्यूनतम संख्या है।

सामान्य स्थानिक गति के मामले में दृढ़ पिंड में स्वातंत्र्य की छह कोटि होती हैं, उनमें से तीन स्वातंत्र्य की स्थानांतरीय कोटि और स्वातंत्र्य की तीन घूर्णी कोटि होती हैं। तलीय गति के मामले में, पिंड में स्वातंत्र्य की केवल तीन कोटि होती है जिसमें केवल एक घूर्णी और दो स्थानांतरण स्वातंत्र्य होती है।

कंप्यूटर माउस का उपयोग करके तलीय गति में स्वातंत्र्य कोटि आसानी से प्रदर्शित की जा सकती है। स्वातंत्र्य कोटि हैं: बाएँ-दाएँ, आगे-पीछे और ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर घूमना।

प्रतिबंध स्थिति
प्रतिबंध स्थिति एक या एक से अधिक निकायों की स्वातंत्र्य की शुद्धगतिकीय कोटि में प्रतिबंध का तात्पर्य है। चिरसम्मत प्रतिबंध सामान्यतः बीजगणितीय समीकरण है जो दो निकायों के बीच सापेक्ष स्थानान्तरण या घूर्णन को परिभाषित करता है। इसके अतिरिक्त दो पिंडों या एक पिंड और जमीन के बीच सापेक्ष वेग को बाधित करने की संभावनाएं हैं। उदाहरण के लिए रोलिंग डिस्क है, जहां डिस्क का वह बिंदु जो जमीन से संपर्क करता है, जमीन के संबंध में हमेशा शून्य सापेक्ष वेग होता है। इस मामले में कि स्थिति प्रतिबंध बनाने के लिए वेग प्रतिबंध स्थिति को समय पर एकीकृत नहीं किया जा सकता है, इसे गैर-होलोनॉमी प्रतिबंध कहा जाता है। यह सामान्य रोलिंग प्रतिबंध का मामला है।

इसके अतिरिक्त गैर-चिरसम्मत बाधाएं भी हैं जो नए अज्ञात समन्वय को भी पेश कर सकती हैं, जैसे कि स्लाइडिंग ज्वाइंट, जहां पिंड के एक बिंदु को दूसरे पिंड की सतह के साथ चलने की अनुमति दी जाती है। संपर्क के मामले में, प्रतिबंध की स्थिति असमानताओं पर आधारित होती है और इसलिए ऐसी प्रतिबंध निकायों की स्वातंत्र्य कोटि को स्थायी रूप से प्रतिबंधित नहीं करती है।

गति के समीकरण
गति के समीकरणों का उपयोग मल्टीबॉडी सिस्टम के गतिशील व्यवहार का वर्णन करने के लिए किया जाता है। प्रत्येक मल्टीबॉडी सिस्टम सूत्रीकरण गति के समीकरणों के अलग गणितीय स्वरूप को जन्म दे सकता है जबकि भौतिकी समान है। विवश पिंडों की गति को समीकरणों के माध्यम से वर्णित किया जाता है जो मूल रूप से न्यूटन के दूसरे नियम से उत्पन्न होते हैं। समीकरण एकल निकायों की सामान्य गति के लिए प्रतिबंध स्थितियों के अतिरिक्त के साथ लिखे गए हैं। सामान्यतः गति के समीकरण न्यूटन-यूलर समीकरण के न्यूटन-यूलर समीकरण से प्राप्त किए जाते हैं।

दृढ़ पिंडों की गति का वर्णन किया जाता है


 * $$\mathbf{M(q)} \ddot{\mathbf{q}} - \mathbf{Q}_v + \mathbf{C_q}^T \mathbf{\lambda} = \mathbf{F},$$ (1)


 * $$\mathbf{C}(\mathbf{q},\dot{\mathbf{q}}) = 0$$ (2)

गति के इस प्रकार के समीकरण तथाकथित निरर्थक निर्देशांक पर आधारित होते हैं, क्योंकि समीकरण अंतर्निहित प्रणाली की स्वातंत्र्य कोटि की तुलना में अधिक निर्देशांक का उपयोग करते हैं। सामान्यीकृत निर्देशांक $$\mathbf{q}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, मास मैट्रिक्स $$\mathbf{M}(\mathbf{q})$$ द्वारा दर्शाया गया है जो सामान्यीकृत निर्देशांक पर निर्भर हो सकता है। $$\mathbf{C}$$ प्रतिबंध स्थितियों और मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व $$\mathbf{C_q}$$ करता है (कभी-कभी जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक कहा जाता है) निर्देशांक के संबंध में प्रतिबंध स्थितियों का व्युत्पन्न है। $$\mathbf{\lambda}$$ निकायों के समीकरणों के अनुसार इस मैट्रिक्स का उपयोग प्रतिबंध बलों को लागू करने के लिए किया जाता है। सदिश के घटक $$\mathbf{\lambda}$$ लैग्रेंज गुणक के रूप में भी निरूपित किया जाता है। दृढ़ पिंड में, संभावित निर्देशांकों को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है,

$$\mathbf{q} = \left[ \mathbf{u} \quad \mathbf{\Psi} \right]^T $$

जहाँ $$\mathbf{u}$$ स्थानान्तरण का प्रतिनिधित्व करता है और $$\mathbf{\Psi}$$ घुमावों का वर्णन करता है।

द्विघात वेग सदिश
दृढ़ निकायों के मामले में, तथाकथित द्विघात वेग सदिश $$\mathbf{Q}_v$$ गति के समीकरणों में कोरिओलिस और केन्द्रापसारक शब्दों का वर्णन करने के लिए प्रयोग किया जाता है। इसलिए नाम है $$\mathbf{Q}_v$$ वेगों की द्विघात शर्तों को सम्मिलित करता है और इसका परिणाम पिंड की गतिज ऊर्जा के आंशिक व्युत्पन्न के कारण होता है।

लग्रेंज गुणक
लैग्रेंज गुणक $$\lambda_i$$ प्रतिबंध की स्थिति से संबंधित है $$C_i=0$$ और सामान्यतः एक बल या क्षण का प्रतिनिधित्व करता है, जो स्वातंत्र्य की प्रतिबंध की "दिशा" में कार्य करता है। किसी पिंड की स्थितिज ऊर्जा को बदलने वाली बाह्य बल की तुलना में लैग्रेंज गुणक कोई कार्य नहीं करते हैं।

न्यूनतम निर्देशांक
गति के समीकरण (1,2) अनावश्यक निर्देशांक के माध्यम से प्रदर्शित होते हैं, जिसका अर्थ है कि निर्देशांक स्वतंत्र नहीं हैं। इसे ऊपर दिखाए गए स्लाइडर-क्रैंक तंत्र द्वारा उदाहरण दिया जा सकता है, जहां प्रत्येक निकाय में स्वातंत्र्य की छह कोटि होती है, जबकि अधिकांश निर्देशांक अन्य निकायों की गति पर निर्भर होते हैं। उदाहरण के लिए, दृढ़ निकायों के साथ स्लाइडर-क्रैंक की गति का वर्णन करने के लिए 18 निर्देशांक और 17 बाधाओं का उपयोग किया जा सकता है। हालाँकि, चूंकि स्वातंत्र्य की केवल एक कोटि है, गति के समीकरण को एक समीकरण और एक कोटि की स्वातंत्र्य के माध्यम से भी प्रदर्शित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए ड्राइविंग लिंक का कोण स्वातंत्र्य कोटि के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। बाद के सूत्रीकरण में सिस्टम की गति का वर्णन करने के लिए न्यूनतम संख्या में निर्देशांक होते हैं और इस प्रकार इसे न्यूनतम निर्देशांक सूत्रीकरण कहा जा सकता है। निरर्थक निर्देशांकों को न्यूनतम निर्देशांकों में बदलना कभी-कभी बोझिल होता है और केवल होलोनॉमी बाधाओं के मामले में और बिना शुद्धगतिकीय लूप के संभव होता है। तथाकथित पुनरावर्ती सूत्रीकरण का उल्लेख करने के लिए गति के न्यूनतम समन्वय समीकरणों की व्युत्पत्ति के लिए कई एल्गोरिदम विकसित किए गए हैं। परिणामी समीकरणों को हल करना आसान है क्योंकि प्रतिबंध स्थितियों के अभाव में, समय में गति के समीकरणों को एकीकृत करने के लिए मानक समय एकीकरण विधियों का उपयोग किया जा सकता है। जबकि घटी हुई प्रणाली को अधिक कुशलता से हल किया जा सकता है, निर्देशांक का परिवर्तन कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा हो सकता है। बहुत सामान्य मल्टीबॉडी सिस्टम सूत्रीकरण और सॉफ्टवेयर सिस्टम में, अनावश्यक निर्देशांक का उपयोग सिस्टम को उपयोगकर्ता के अनुकूल और नमन्शील बनाने के लिए किया जाता है।

नमन्शील मल्टीबॉडी
ऐसे कई मामले हैं जिनमें पिंड के नमन्शील पर विचार करना आवश्यक है। उदाहरण के लिए ऐसे स्थितियों में जहां सुनम्यता शुद्धगतिविज्ञान के साथ-साथ अनुपालन तंत्र में मौलिक भूमिका निभाता है।

नमन्शील को अलग तरीके से ध्यान में रखा जा सकता है। तीन मुख्य दृष्टिकोण हैं:
 * असतत नमन्शील मल्टीबॉडी, नमन्शील पिंड लोचदार कठोरता से जुड़े दृढ़ निकायों के एक सेट में बांटा गया है जो पिंड की प्रत्यास्थता का प्रतिनिधि है
 * मोडल संघनन, जिसमें मोड के आयाम से जुड़ी स्वातंत्र्य कोटि का समुपयोजन करके पिंड के कंपन के सीमित संख्या के माध्यम से प्रत्यास्थता का वर्णन किया जाता है
 * पूर्ण फ्लेक्स, पिंड के सभी नमन्शील को उप तत्वों में असतत पिंड द्वारा लोचदार भौतिक गुणों से जुड़े एकल विस्थापन के साथ ध्यान में रखा जाता है

यह भी देखें

 * गतिशील अनुकरण
 * मल्टीबॉडी सिमुलेशन (समाधान तकनीक)
 * भौतिकी इंजन

संदर्भ

 * J. Wittenburg, Dynamics of Systems of Rigid Bodies, Teubner, Stuttgart (1977).
 * J. Wittenburg, Dynamics of Multibody Systems, Berlin, Springer (2008).
 * K. Magnus, Dynamics of multibody systems, Springer Verlag, Berlin (1978).
 * P.E. Nikravesh, Computer-Aided Analysis of Mechanical Systems, Prentice-Hall (1988).
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 * H. Bremer and F. Pfeiffer, Elastische Mehrkörpersysteme, B. G. Teubner, Stuttgart, Germany (1992).
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 * M. Géradin, A. Cardona, Flexible multibody dynamics – A finite element approach, Wiley, New York (2001).
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बाहरी संबंध

 * http://real.uwaterloo.ca/~mbody/ Collected links of John McPhee