तीन आयामी स्थान



बिंदु)।यह शब्द आयाम का अनौपचारिक अर्थ है।

गणित में, का एक टपल $n$ संख्याओं को एक स्थान के कार्टेशियन निर्देशांक के रूप में समझा जा सकता है $n$-डिमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस।इन का सेट $n$-ट्यूल्स को आमतौर पर निरूपित किया जाता है $$\R^n,$$ और की पहचान की जा सकती है $n$-डिमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस। कब $n = 3$, इस स्थान को कहा जाता है तीन-आयामी यूक्लिडियन स्पेस (या बस यूक्लिडियन स्पेस जब संदर्भ स्पष्ट है)। यह भौतिक ब्रह्मांड के एक मॉडल के रूप में कार्य करता है (जब सापेक्षता सिद्धांत पर विचार नहीं किया जाता है), जिसमें सभी ज्ञात मामले मौजूद हैं।जबकि यह स्थान दुनिया को मॉडल करने के लिए सबसे सम्मोहक और उपयोगी तरीका बना हुआ है, जैसा कि यह अनुभवी है, यह तीन आयामों में विभिन्न प्रकार के रिक्त स्थान का केवल एक उदाहरण है जिसे 3-मैनीफोल्ड्स कहा जाता है।इस शास्त्रीय उदाहरण में, जब तीन मान अलग-अलग दिशाओं (निर्देशांक) में माप को संदर्भित करते हैं, तो किसी भी तीन दिशाओं को चुना जा सकता है, बशर्ते कि इन दिशाओं में वैक्टर सभी एक ही द्वि-आयामी स्थान में नहीं हैं। 2-स्पेस (विमान)।इसके अलावा, इस मामले में, इन तीन मूल्यों को शब्दों की चौड़ाई/चौड़ाई, ऊंचाई/गहराई और लंबाई से चुने गए तीन संयोजन द्वारा लेबल किया जा सकता है।

समन्वय प्रणाली
गणित में, विश्लेषणात्मक ज्यामिति (जिसे कार्टेशियन ज्यामिति भी कहा जाता है) तीन निर्देशांक के माध्यम से तीन-आयामी स्थान में हर बिंदु का वर्णन करता है।तीन समन्वय कुल्हाड़ियों को दिया जाता है, प्रत्येक दो के लिए अन्य दो मूल में, जिस बिंदु पर वे पार करते हैं।वे आमतौर पर लेबल किए जाते हैं $x, y$, तथा $z$।इन कुल्हाड़ियों के सापेक्ष, तीन-आयामी स्थान में किसी भी बिंदु की स्थिति वास्तविक संख्याओं के एक आदेशित ट्रिपल द्वारा दी जाती है, प्रत्येक संख्या दी गई धुरी के साथ मापी गई उत्पत्ति से उस बिंदु की दूरी देता है, जो उस की दूरी के बराबर हैअन्य दो अक्षों द्वारा निर्धारित विमान से बिंदु। त्रि-आयामी स्थान में एक बिंदु के स्थान का वर्णन करने के अन्य लोकप्रिय तरीकों में बेलनाकार निर्देशांक और गोलाकार निर्देशांक शामिल हैं, हालांकि संभावित तरीकों की एक अनंत संख्या हैं।अधिक के लिए, यूक्लिडियन स्थान देखें।

नीचे उपर्युक्त प्रणालियों की छवियां हैं।

लाइनें और विमान
दो अलग -अलग बिंदु हमेशा एक (सीधे) लाइन निर्धारित करते हैं। तीन अलग -अलग बिंदु या तो कोलेनियर हैं या एक अद्वितीय विमान निर्धारित करते हैं। दूसरी ओर, चार अलग -अलग बिंदु या तो कोलिनियर, कोपलानर हो सकते हैं, या पूरे स्थान को निर्धारित कर सकते हैं।

दो अलग -अलग लाइनें या तो प्रतिच्छेद कर सकती हैं, समानांतर हो सकती हैं या तिरछी हो सकती हैं। दो समानांतर लाइनें, या दो इंटरसेक्टिंग लाइनें, एक अद्वितीय विमान में झूठ बोलती हैं, इसलिए तिरछी लाइनें ऐसी रेखाएँ हैं जो मिलती नहीं हैं और एक आम विमान में झूठ नहीं बोलती हैं।

दो अलग -अलग विमान या तो एक सामान्य रेखा में मिल सकते हैं या समानांतर हैं (यानी, मिलते नहीं हैं)। तीन अलग -अलग विमान, जिनमें से कोई जोड़ी समानांतर नहीं है, या तो एक सामान्य रेखा में मिल सकती है, एक अद्वितीय सामान्य बिंदु में मिल सकती है, या कोई बात नहीं है। अंतिम मामले में, विमानों की प्रत्येक जोड़ी के चौराहे की तीन पंक्तियाँ पारस्परिक रूप से समानांतर होती हैं।

एक लाइन किसी दिए गए विमान में झूठ बोल सकती है, उस विमान को एक अद्वितीय बिंदु में काट सकती है, या विमान के समानांतर हो सकती है। अंतिम मामले में, विमान में लाइनें होंगी जो दी गई रेखा के समानांतर हैं।

एक हाइपरप्लेन पूर्ण स्थान के आयाम से कम एक आयाम का एक उप -समूह है। एक तीन आयामी स्थान के हाइपरप्लेन दो-आयामी उप-समूह हैं, यानी विमान। कार्टेशियन निर्देशांक के संदर्भ में, एक हाइपरप्लेन के बिंदु एक एकल रैखिक समीकरण को संतुष्ट करते हैं, इसलिए इस 3-स्पेस में विमानों को रैखिक समीकरणों द्वारा वर्णित किया गया है। एक पंक्ति को स्वतंत्र रैखिक समीकरणों की एक जोड़ी द्वारा वर्णित किया जा सकता है - प्रत्येक एक विमान का प्रतिनिधित्व करता है जो इस लाइन को एक सामान्य चौराहे के रूप में रखता है।

वरिग्नन के प्रमेय में कहा गया है कि ℝ में किसी भी चतुर्भुज के मध्य बिंदु3 एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं, और इसलिए कोपलानर हैं।

गोले और गेंदें
3-स्पेस में एक क्षेत्र (जिसे 2-स्पेयर भी कहा जाता है क्योंकि यह एक 2-आयामी वस्तु है) में एक निश्चित दूरी पर 3-स्पेस में सभी बिंदुओं के सेट होते हैं $r$ एक केंद्रीय बिंदु से $P$।क्षेत्र द्वारा संलग्न ठोस को एक गेंद कहा जाता है (या, अधिक सटीक रूप से 3-गेंद)।गेंद की मात्रा द्वारा दी गई है


 * $$V = \frac{4}{3}\pi r^{3}$$।

एक अन्य प्रकार का गोला 4-गेंद से उत्पन्न होता है, जिसकी त्रि-आयामी सतह 3-स्पेयर है: यूक्लिडियन अंतरिक्ष की उत्पत्ति के बराबर अंक $ℝ^{4}$।यदि किसी बिंदु को निर्देशांक है, $P(x, y, z, w)$, फिर $x^{2} + y^{2} + z^{2} + w^{2} = 1$ मूल में केंद्रित यूनिट 3-स्पेयर पर उन बिंदुओं की विशेषता है।

पॉलीटोप्स
तीन आयामों में, नौ नियमित पॉलीटोप्स हैं: पांच उत्तल प्लेटोनिक सॉलिड्स और चार नॉनकॉनवेक्स केप्लर-पॉइंसोट पॉलीहेड्रा।

क्रांति की सतह
एक अक्ष के रूप में एक विमान में एक निश्चित रेखा के बारे में एक विमान वक्र को घूमने से उत्पन्न एक सतह को क्रांति की सतह कहा जाता है।विमान वक्र को सतह का जेनट्रिक्स कहा जाता है।सतह का एक खंड, जो सतह को एक विमान के साथ जोड़कर बनाया गया है जो अक्ष के लिए लंबवत (ऑर्थोगोनल) है, एक सर्कल है।

सरल उदाहरण तब होते हैं जब Generatrix एक लाइन होती है।यदि Generatrix लाइन अक्ष रेखा को काटती है, तो क्रांति की सतह चौराहे के बिंदु को शीर्ष (शीर्ष) के साथ एक सही गोलाकार शंकु है।हालांकि, यदि जेनट्रिक्स और अक्ष समानांतर हैं, तो क्रांति की सतह एक गोलाकार सिलेंडर है।

क्वाड्रिक सतहों
शंकु वर्गों के साथ सादृश्य में, उन बिंदुओं का सेट जिनके कार्टेशियन निर्देशांक दूसरी डिग्री के सामान्य समीकरण को संतुष्ट करते हैं, अर्थात्,
 * $$Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Fxy + Gyz + Hxz + Jx + Ky + Lz + M = 0,$$

कहाँ पे $A, B, C, F, G, H, J, K, L$ तथा $M$ वास्तविक संख्याएं हैं और सभी नहीं हैं $A, B, C, F, G$ तथा $H$ शून्य हैं, एक चतुष्कोणीय सतह कहा जाता है। छह प्रकार के गैर-नियुक्त चतुष्कोण सतह हैं:
 * 1) दीर्घवृत्त
 * 2) एक शीट का हाइपरबोलॉइड
 * 3) दो चादरों का हाइपरबोलॉइड
 * 4) अण्डाकार शंकु
 * 5) अण्डाकार पैराबोलॉइड
 * 6) हाइपरबोलिक परबोलॉइड

पतित क्वाड्रिक सतहों को खाली सेट, एक एकल बिंदु, एक एकल लाइन, एक एकल विमान, विमानों की एक जोड़ी या एक द्विघात सिलेंडर (एक विमान में एक गैर-संघनित शंकु खंड से युक्त एक सतह है $\pi$ और की सभी पंक्तियाँ $ℝ^{3}$ कॉमिक के माध्यम से जो सामान्य हैं π)। अण्डाकार शंकु को कभी -कभी पतित चतुष्कोणीय सतहों के रूप में अच्छी तरह से माना जाता है।

एक शीट और हाइपरबोलिक पैराबोलॉइड दोनों हाइपरबोलॉइड पर शासित सतह हैं, जिसका अर्थ है कि उन्हें सीधी रेखाओं के परिवार से बनाया जा सकता है।वास्तव में, प्रत्येक में लाइनें उत्पन्न करने वाले दो परिवार हैं, प्रत्येक परिवार के सदस्य असंतुष्ट हैं और प्रत्येक सदस्य एक परिवार को केवल एक अपवाद के साथ, दूसरे परिवार के प्रत्येक सदस्य के साथ। प्रत्येक परिवार को एक रेगुलस कहा जाता है।

रैखिक बीजगणित में
त्रि-आयामी स्थान देखने का एक और तरीका रैखिक बीजगणित में पाया जाता है, जहां स्वतंत्रता का विचार महत्वपूर्ण है।अंतरिक्ष में तीन आयाम होते हैं क्योंकि एक बॉक्स की लंबाई इसकी चौड़ाई या चौड़ाई से स्वतंत्र होती है।रैखिक बीजगणित की तकनीकी भाषा में, अंतरिक्ष तीन आयामी है क्योंकि अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को तीन स्वतंत्र वैक्टर के रैखिक संयोजन द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

डॉट उत्पाद, कोण, और लंबाई
एक वेक्टर को एक तीर के रूप में चित्रित किया जा सकता है।वेक्टर की परिमाण इसकी लंबाई है, और इसकी दिशा तीर बिंदुओं की दिशा है।में एक वेक्टर $ℝ^{3}$ वास्तविक संख्याओं के एक आदेशित ट्रिपल द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।इन नंबरों को वेक्टर के घटक कहा जाता है।

दो वैक्टर का डॉट उत्पाद $A = [A_{1}, A_{2}, A_{3}]$ तथा $B = [B_{1}, B_{2}, B_{3}]$ की तरह परिभाषित किया गया है:
 * $$\mathbf{A}\cdot \mathbf{B} = A_1B_1 + A_2B_2 + A_3B_3.$$

एक वेक्टर का परिमाण $A$ द्वारा निरूपित किया गया है $||A||$।एक वेक्टर का डॉट उत्पाद $A = [A_{1}, A_{2}, A_{3}]$ अपने आप के साथ
 * $$\mathbf A\cdot\mathbf A = \|\mathbf A\|^2 = A_1^2 + A_2^2 + A_3^2,$$

जो देता है
 * $$ \|\mathbf A\| = \sqrt{\mathbf A\cdot\mathbf A} = \sqrt{A_1^2 + A_2^2 + A_3^2},$$

वेक्टर की यूक्लिडियन लंबाई के लिए सूत्र।

वैक्टर के घटकों के संदर्भ के बिना, दो गैर-शून्य यूक्लिडियन वैक्टर के डॉट उत्पाद $A$ तथा $B$ द्वारा दिया गया है
 * $$\mathbf A\cdot\mathbf B = \|\mathbf A\|\,\|\mathbf B\|\cos\theta,$$

कहाँ पे $θ$ के बीच का कोण है $A$ तथा $B$।

क्रॉस प्रोडक्ट
क्रॉस उत्पाद या वेक्टर उत्पाद तीन-आयामी स्थान में दो वैक्टर पर एक बाइनरी ऑपरेशन है और इसे प्रतीक × द्वारा निरूपित किया जाता है।क्रॉस उत्पाद ए × बी वैक्टर ए और बी का एक वेक्टर है जो दोनों के लिए लंबवत है और इसलिए विमान के लिए सामान्य है।इसमें गणित, भौतिकी और इंजीनियरिंग में कई अनुप्रयोग हैं।

अंतरिक्ष और उत्पाद एक क्षेत्र पर एक बीजगणित बनाते हैं, जो न तो कम्यूटेटिव है और न ही साहचर्य है, लेकिन एक झूठ बीजगणित है जिसमें क्रॉस उत्पाद झूठ ब्रैकेट है।

कोई  n  आयामों में उत्पाद ले सकता है n − 1 वैक्टर उन सभी के लिए एक वेक्टर लंबवत उत्पादन करने के लिए।लेकिन अगर उत्पाद वेक्टर परिणामों के साथ गैर-तुच्छ बाइनरी उत्पादों तक सीमित है, तो यह केवल तीन और सात-आयामी क्रॉस उत्पाद में मौजूद है। सात आयाम।

ढाल, विचलन और कर्ल
एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, ढाल द्वारा दिया जाता है


 * $$\nabla f = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf{i} +

\frac{\partial f}{\partial y} \mathbf{j} + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf{k}$$ एक निरंतर अलग-अलग वेक्टर फ़ील्ड f =  u  i +  v  j +  w  k का विचलन स्केलर-मूल्यवान फ़ंक्शन के बराबर है:


 * $$\operatorname{div}\,\mathbf{F} = \nabla\cdot\mathbf{F}

=\frac{\partial U}{\partial x} +\frac{\partial V}{\partial y} +\frac{\partial W}{\partial z }. $$ कार्टेशियन निर्देशांक में विस्तारित (गोलाकार और बेलनाकार समन्वय अभ्यावेदन के लिए बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में डेल देखें), कर्ल × × एफ है, एफ के लिए [ एफ  से बना है।x, एफy, एफz]:


 * $$\begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ \\

{\frac{\partial}{\partial x}} & {\frac{\partial}{\partial y}} & {\frac{\partial}{\partial z}} \\ \\ F_x & F_y & F_z \end{vmatrix}$$ जहां मैं, j, और k क्रमशः  x -,  y -और  z -कुल्हाड़ियों के लिए यूनिट वैक्टर हैं।यह निम्नानुसार फैलता है:
 * $$\left(\frac{\partial F_z}{\partial y} - \frac{\partial F_y}{\partial z}\right) \mathbf{i} + \left(\frac{\partial F_x}{\partial z} - \frac{\partial F_z}{\partial x}\right) \mathbf{j} + \left(\frac{\partial F_y}{\partial x} - \frac{\partial F_x}{\partial y}\right) \mathbf{k}$$

लाइन इंटीग्रल, सरफेस इंटीग्रल, और वॉल्यूम इंटीग्रल्स
कुछ स्केलर फील्ड के लिए f: u ⊆ 'r'n → 'r', एक टुकड़े -टुकड़े चिकनी वक्र c ⊂ u के साथ अभिन्न रेखा के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$\int\limits_C f\, ds = \int_a^b f(\mathbf{r}(t)) |\mathbf{r}'(t)|\, dt.$$

जहां r: [a, b] →  C  वक्र  c  का एक मनमाना द्विध्रुवीय पैरामीराइजेशन है, जैसे कि r ( a ) और r ( b ) के समापन बिंदु देते हैं सी  और $$a < b$$।

एक वेक्टर फ़ील्ड f के लिए:  u  'rn → 'r'n, एक टुकड़े -टुकड़े चिकनी वक्र c ⊂ u के साथ अभिन्न रेखा, 'r' की दिशा में, के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\int\limits_C \mathbf{F}(\mathbf{r})\cdot\,d\mathbf{r} = \int_a^b \mathbf{F}(\mathbf{r}(t))\cdot\mathbf{r}'(t)\,dt.$$

जहां · डॉट उत्पाद है और आर: [ए, बी] →  सी  वक्र  सी  का एक उपनिवेशात्मक पैरामीराइजेशन है जैसे कि आर ( ए ) और आर ( बी             ')  C '' के समापन बिंदु दें।

एक सतह अभिन्न सतहों पर एकीकरण के लिए कई इंटीग्रल का एक सामान्यीकरण है।इसे लाइन इंटीग्रल के डबल इंटीग्रल एनालॉग के रूप में सोचा जा सकता है।सतह के अभिन्न के लिए एक स्पष्ट सूत्र खोजने के लिए, हमें एक गोले पर अक्षांश और देशांतर की तरह, 's' 'पर वक्रता के निर्देशांक की एक प्रणाली पर विचार करके,' 's' 'की सतह को पैरामीटर बनाने की आवश्यकता है।इस तरह के एक पैरामीटर को x ( s ,  t ) होने दें, जहाँ ( s ,  t ) विमान में कुछ क्षेत्र  t  में भिन्न होता है।फिर, सतह अभिन्न द्वारा दिया जाता है



\iint_{S} f \,\mathrm dS = \iint_{T} f(\mathbf{x}(s, t)) \left\|{\partial \mathbf{x} \over \partial s}\times {\partial \mathbf{x} \over \partial t}\right\| \mathrm ds\, \mathrm dt $$ जहां दाईं ओर सलाखों के बीच की अभिव्यक्ति x ( s ,  t ) के आंशिक डेरिवेटिव के क्रॉस उत्पाद का परिमाण है, और इसे सतह तत्व के रूप में जाना जाता है। S  पर एक वेक्टर फ़ील्ड V को देखते हुए, यह एक फ़ंक्शन है जो प्रत्येक X को 'S' 'A वेक्टर V (x) में असाइन करता है, सतह के अभिन्न को सतह की परिभाषा के अनुसार घटक-वार को परिभाषित किया जा सकता हैएक स्केलर क्षेत्र का अभिन्न अंग;परिणाम एक वेक्टर है।

एक वॉल्यूम इंटीग्रल एक 3-आयामी डोमेन पर एक अभिन्न को संदर्भित करता है।

इसका मतलब R में एक क्षेत्र  D  के भीतर एक ट्रिपल इंटीग्रल भी हो सकता हैएक फ़ंक्शन का 3 $$f(x,y,z),$$ और आमतौर पर इस के रूप में लिखा जाता है:


 * $$\iiint\limits_D f(x,y,z)\,dx\,dy\,dz.$$

लाइन इंटीग्रल्स का मौलिक प्रमेय
लाइन इंटीग्रल्स के मौलिक प्रमेय का कहना है कि एक ढाल क्षेत्र के माध्यम से एक लाइन इंटीग्रल का मूल्यांकन वक्र के समापन बिंदु पर मूल स्केलर फ़ील्ड का मूल्यांकन करके किया जा सकता है।

होने देना $$ \varphi : U \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$$।फिर


 * $$ \varphi\left(\mathbf{q}\right)-\varphi\left(\mathbf{p}\right) = \int_{\gamma[\mathbf{p},\,\mathbf{q}]} \nabla\varphi(\mathbf{r})\cdot d\mathbf{r}. $$

स्टोक्स 'प्रमेय
Stokes 'प्रमेय एक वेक्टर फ़ील्ड f के कर्ल की सतह के अभिन्न अंग से संबंधित है, जो कि Euclidean तीन-अंतरिक्ष में अपनी सीमा के ऊपर वेक्टर क्षेत्र के अभिन्न अंग में है: σσ:


 * $$ \iint_{\Sigma} \nabla \times \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{\Sigma} = \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d} \mathbf{r}. $$

विचलन प्रमेय
मान लीजिए $V$ का एक सबसेट है $$\mathbb{R}^n$$ (के मामले में $n = 3, V$ 3 डी स्पेस में एक वॉल्यूम का प्रतिनिधित्व करता है) जो कॉम्पैक्ट है और इसमें एक टुकड़ा चिकनी सीमा है $S$ (के साथ भी संकेत दिया $∂V = S&thinsp;$)।यदि $F$ एक पड़ोस पर परिभाषित एक निरंतर अलग -अलग वेक्टर क्षेत्र है $V$, तब विचलन प्रमेय कहता है: बाईं ओर वॉल्यूम पर एक वॉल्यूम इंटीग्रल है $V$, दाईं ओर वॉल्यूम की सीमा पर सतह अभिन्न है $V$।बंद कई गुना $∂V$ आम तौर पर की सीमा है $V$ बाहरी-बिंदु वाले मानदंडों द्वारा उन्मुख, और $n$ सीमा के बाहरी इंगित इकाई सामान्य क्षेत्र है $∂V$।($dS$ के लिए एक शॉर्टहैंड के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है $ndS$।)

टोपोलॉजी में
त्रि-आयामी स्थान में कई टोपोलॉजिकल गुण होते हैं जो इसे अन्य आयाम संख्याओं के रिक्त स्थान से अलग करते हैं।उदाहरण के लिए, स्ट्रिंग के एक टुकड़े में एक गाँठ बाँधने के लिए कम से कम तीन आयामों की आवश्यकता होती है। विभेदक ज्यामिति में जेनेरिक थ्री-डायमेंशनल स्पेस 3-मैनीफोल्ड हैं, जो स्थानीय रूप से मिलते-जुलते हैं $${\mathbb{R}}^3$$।

परिमित ज्यामिति में
आयाम के कई विचारों को परिमित ज्यामिति के साथ परीक्षण किया जा सकता है।सबसे सरल उदाहरण पीजी (3,2) है, जिसमें फैनो विमान इसके 2-आयामी उप-समूह के रूप में हैं।यह गैलोइस ज्यामिति का एक उदाहरण है, जो परिमित क्षेत्रों का उपयोग करके प्रोजेक्टिव ज्यामिति का एक अध्ययन है।इस प्रकार, किसी भी गैलोइस फील्ड जीएफ (क्यू) के लिए, तीन आयामों का एक प्रोजेक्टिव स्पेस पीजी (3, क्यू) है।उदाहरण के लिए, पीजी (3, क्यू) में कोई भी तीन तिरछा लाइनें बिल्कुल एक रेगुलस में निहित हैं।

यह भी देखें

 * आयामी विश्लेषण
 * एक बिंदु से एक विमान की दूरी
 * चार-आयामी स्थान
 * त्रि-आयामी ग्राफ
 * घन ज्यामिति
 * द्वि-आयामी स्थान
 * द्वि-आयामी स्थान

संदर्भ

 * Arfken, George B. and Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.
 * Arfken, George B. and Hans J. Weber. Mathematical Methods For Physicists, Academic Press; 6 edition (June 21, 2005). ISBN 978-0-12-059876-2.

बाहरी संबंध

 * Elementary Linear Algebra - Chapter 8: Three-dimensional Geometry Keith Matthews from University of Queensland, 1991
 * Elementary Linear Algebra - Chapter 8: Three-dimensional Geometry Keith Matthews from University of Queensland, 1991
 * Elementary Linear Algebra - Chapter 8: Three-dimensional Geometry Keith Matthews from University of Queensland, 1991

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