व्युत्क्रम वितरण

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, व्युत्क्रम वितरण एक यादृच्छिक चर के व्युत्क्रम का वितरण है। व्युत्क्रम वितरण पैमाने के मापदंडों के लिए विशेष रूप से बेज़ संदर्भ में पूर्व वितरणों और उत्तर वितरणों में उत्पन्न होता है। यादृच्छिक चरों के बीजगणित में व्युत्क्रम वितरण, अनुपात वितरण वर्ग की विशेष स्थितियाँ हैं, जिसमें अंश यादृच्छिक चर में एक अपभ्रष्ट वितरण होता है।

मूल वितरण से संबंध
सामान्यतः पूर्णतः धनात्मक समर्थन वाले यादृच्छिक चर X के प्रायिकता वितरण के लिए, व्युत्क्रम Y = 1 / X के वितरण को प्राप्त करना संभव है। यदि X का वितरण, घनत्व फलन f(x) और संचयी वितरण फलन F(x) के साथ सतत है, तो व्युत्क्रम के संचयी वितरण फलन, G(y) को इस प्रकार प्राप्त किया जाता है कि


 * $$ G(y) = \Pr(Y \leq y) = \Pr\left(X \geq \frac{1}{y}\right) = 1-\Pr\left(X<\frac{1}{y}\right) = 1 - F\left( \frac{ 1 }{ y } \right).$$

तब Y के घनत्व फलन को संचयी वितरण फलन के अवकलज के रूप में प्राप्त किया जाता है:


 * $$ g(y) = \frac{ 1 }{ y^2 } f\left( \frac{ 1 }{ y } \right) . $$

व्युत्क्रम वितरण
व्युत्क्रम वितरण में निम्न रूप का घनत्व फलन होता है।
 * $$f(x) \propto x^{-1} \quad \text{ for } 00 पर एकसमान वितरित किया जाता है, तो व्युत्क्रम चर Y = 1 / X में ऐसा व्युत्क्रम वितरण होता है जो (b−1,a−1) सीमा से मान ग्रहण करता है, और इस सीमा में प्रायिकता घनत्व फलन निम्न है


 * $$ g( y ) = y^{-2} \frac{ 1 }{ b-a } ,$$

और अन्य कहीं यह फलन शून्य है।

समान सीमा के भीतर व्युत्क्रम का संचयी वितरण फलन निम्न है


 * $$ G( y ) = \frac{ b - y^{-1} }{ b -  a } .$$

उदाहरण के लिए, यदि X को अंतराल (0,1) पर एकसमान वितरित किया गया है, तो Y = 1 / X में घनत्व $$ g( y ) = y^{-2} $$ और संचयी वितरण फलन $$ G( y ) = { 1 - y^{-1} }$$, जब $$y > 1 .$$ होता है।

व्युत्क्रम t वितरण
माना X, k स्वातंत्र्य कोटियों वाला t वितरित यादृच्छिक चर है। तब इसका घनत्व फलन निम्न है


 * $$ f( x ) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ k \pi } } \frac{ \Gamma\left( \frac{ k + 1 }{ 2 } \right) }{ \Gamma\left( \frac{ k }{ 2 } \right) } \frac{ 1 }{ \left( 1 + \frac{ x^2 }{ k } \right)^{ \frac{ 1 + k }{ 2 } } } .$$

Y = 1 / X का घनत्व निम्न है


 * $$ g( y ) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ k \pi } } \frac{ \Gamma\left( \frac{ k + 1 }{ 2 } \right) }{ \Gamma\left( \frac{ k }{ 2 } \right) } \frac{ 1 }{ y^2 \left( 1 + \frac{ 1 }{ y^2 k } \right)^{ \frac{ 1 + k }{ 2 } } } .$$

k = 1 के साथ, X और 1 / X के वितरण समान हैं (X तब कैशी वितरण (0,1) है)। यदि k > 1, तो 1 / X का वितरण द्विबहुलक है।

व्युत्क्रम प्रसामान्य वितरण
यदि चर X एक प्रसामान्य वितरण $$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$$ का अनुसरण करता है, तो व्युत्क्रम Y=1/X, एक व्युत्क्रम प्रसामान्य वितरण का अनुसरण करता है:


 * $$ f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma y^2} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{1/y-\mu}{\sigma}\right)^2} .$$

यदि चर X एक मानक प्रसामान्य वितरण $$\mathcal{N}(0, 1)$$ का अनुसरण करता है, तो Y = 1/X एक व्युत्क्रम $$\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}$$ पर बहुलक वाले हैवी-टेल्ड और द्विबहुलक वितरण, व्युत्क्रम मानक प्रसामान्य वितरण का अनुसरण करता है, जिसका घनत्व निम्न है

$$f(y)=\frac{e^{-\frac{1}{2y^2}}}{\sqrt{2\pi}y^2}$$

और प्रथम एवं उच्च क्रम के आघूर्णों का अस्तित्व नहीं हैं। ऐसे व्युत्क्रम वितरणों और अनुपात वितरणों के लिए, अभी भी ऐसे अंतरालों के लिए प्रायिकताएँ परिभाषित हो सकती हैं, जिनकी गणना या तो मॉन्टे कार्लो सिमुलेशन द्वारा या कुछ स्थितियों में गियरी-हिंकले रूपान्तरण का उपयोग करके की जा सकती है।

हालाँकि, विस्थापित व्युत्क्रम फलन $$1/(p-B)$$ की अधिक सामान्य स्थिति में, एक सामान्य प्रसामान्य वितरण के बाद $$B=N(\mu,\sigma)$$ के लिए, माध्य और प्रसरण सांख्यिकी एक मुख्य मान अर्थ में अस्तित्व में होते हैं, यदि ध्रुव $$p$$ और माध्य $$\mu$$ के बीच का अंतर का मान वास्तविक है। इस रूपांतरित यादृच्छिक चर (व्युत्क्रम विस्थापित प्रसामान्य वितरण) का अर्थ वास्तव में सोपानी डॉसन का फलन है:

$$\frac{\sqrt{2}}{\sigma} F \left(\frac{p-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right)$$.

इसके विपरीत, यदि विस्थापन $$p-\mu$$ शुद्ध सम्मिश्र है, तो माध्य का अस्तित्व है और यह एक सोपानी फदीवा फलन है, जिसका यथार्थ व्यंजक काल्पनिक भाग के चिह्न पर निर्भर करता है। दोनों ही स्थितियों में, प्रसरण माध्य का एक साधारण फलन है। इसलिए यदि $$p-\mu$$ वास्तविक है, तो प्रसरण को एक मुख्य मान अर्थ में माना जाना चाहिए, जबकि इसका अस्तित्व होता है यदि $$p-\mu$$ का काल्पनिक भाग अशून्य है। ध्यान दें कि ये माध्य और प्रसरण यथार्थ हैं, क्योंकि ये अनुपात के रेखीयकरण की पुनरावृत्ति नहीं करते हैं। विभिन्न ध्रुवों  $$p_1$$ और $$p_2$$ के एक युग्म के साथ दो अनुपातों का यथार्थ सहप्रसरण समान रूप से उपलब्ध है। एक सम्मिश्र प्रसामान्य चर $$B$$ के व्युत्क्रम की स्थिति (विस्थापित या नहीं) विभिन्न विशेषताओं को प्रदर्शित करती है।

व्युत्क्रम चरघातांकीय वितरण
यदि $$X$$, दर पैमाने $$\lambda$$ के साथ एक घातीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर है, तब $$Y=1/X$$ में निम्नलिखित संचयी वितरण फलन है: $$F_Y(y) = e^{-\lambda/y}$$, $$y> 0$$ के लिए। ध्यान दें कि इस यादृच्छिक चर के अपेक्षित मान का अस्तित्व नहीं है। व्युत्क्रम चरघातांकीय वितरण का उपयोग मंदन तारहीन संचार प्रणालियों के विश्लेषण में देखा जा सकता है।

व्युत्क्रम कैशी वितरण
यदि X एक कैशी वितरित (μ, σ) यादृच्छिक चर है, तो 1 / X एक कैशी (μ / C, σ / C ) यादृच्छिक चर होता है जहाँ C = μ2 + σ2 है।

व्युत्क्रम F वितरण
यदि X एक F(ν1, ν2) वितरित यादृच्छिक चर है तो 1 / X एक F(ν2, ν1) यादृच्छिक चर होता है।

द्विपद वितरण का व्युत्क्रम
इस वितरण के लिए कोई संवृत रूप ज्ञात नहीं है। माध्य के लिए एक उपगामी सन्निकटन ज्ञात है।

$$ E[ ( 1 + X )^a ] = O( ( np )^{ -a } ) + o( n^{ -a } ) $$

जहाँ E[] प्रत्याशा संकारक है, X एक यादृच्छिक चर है, O और o बड़े और छोटे o क्रम के फलन हैं, n प्रतिदर्श का आकार है, p सफलता की प्रायिकता है और a एक ऐसा चर है जो धनात्मक या ऋणात्मक, पूर्णांक या भिन्नात्मक हो सकता है।

त्रिभुजाकार वितरण का व्युत्क्रम
निम्न सीमा a, उच्च सीमा b और बहुलक c, जहाँ a < b और a ≤ c ≤ b, वाले त्रिभुजाकार वितरण के लिए व्युत्क्रम का माध्य

$$ \mu = \frac{2 \left( \frac{ a\, \mathrm{ln} \left(\frac{a}{c}\right) }{a-c} + \frac{ b\, \mathrm{ln}\left(\frac{c}{b}\right) }{b-c} \right)}{a-b}$$

द्वारा और प्रसरण

$$ \sigma^2 = \frac{2 \left( \frac{ \mathrm{ln} \left(\frac{c}{a}\right) }{a-c} + \frac{ \mathrm{ln} \left(\frac{b}{c}\right) }{b-c} \right)}{a-b} - \mu^2$$.

द्वारा दिया जाता है। व्युत्क्रम के दोनों आघूर्णों को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब त्रिभुज शून्य को पार नहीं करता है, अर्थात् जब a, b, और c, या तो सभी धनात्मक या सभी ऋणात्मक होते हैं।

अन्य व्युत्क्रम वितरण
अन्य व्युत्क्रम वितरणों में निम्न सम्मिलित हैं
 * व्युत्क्रम-चाई-वर्ग वितरण
 * व्युत्क्रम-गामा वितरण
 * व्युत्क्रम-विशार्ट वितरण
 * व्युत्क्रम आव्यूह गामा वितरण

अनुप्रयोग
पैमाने के मापदंडों के लिए बेज़ निष्कर्ष में व्युत्क्रम वितरण का व्यापक रूप से उपयोग पूर्व वितरण के रूप में किया जाता है।

यह भी देखें

 * हरात्मक माध्य
 * अनुपात वितरण
 * स्व-व्युत्क्रम वितरण