बर्नसाइड समस्या

बर्नसाइड समस्या पूछती है कि क्या एक परिमित रूप से उत्पन्न समूह जिसमें प्रत्येक तत्व का परिमित क्रम (समूह सिद्धांत) है, एक परिमित समूह होना चाहिए। यह 1902 में विलियम बर्नसाइड द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जो इसे समूह सिद्धांत के सबसे पुराने प्रश्नों में से एक बनाता है और संयोजी समूह सिद्धांत के विकास में प्रभावशाली था। यह सामान्य रूप से एक नकारात्मक उत्तर के रूप में जाना जाता है, जैसा कि एवगेनी गोलोड और इगोर शफारेविच ने 1964 में एक प्रति-उदाहरण प्रदान किया था। समस्या में कई परिशोधन और वेरिएंट हैं (नीचे #बाउंड बर्नसाइड समस्या और #प्रतिबंधित बर्नसाइड समस्या देखें) जो अतिरिक्त में भिन्न हैं समूह तत्वों के आदेश पर शर्तें लगाई गई हैं, जिनमें से कुछ अभी भी खुली समस्या हैं।

संक्षिप्त इतिहास
प्रारंभिक कार्य ने सकारात्मक उत्तर की ओर इशारा किया। उदाहरण के लिए, यदि एक समूह G परिमित रूप से उत्पन्न होता है और G के प्रत्येक तत्व का क्रम 4 का भाजक है, तो G परिमित है। इसके अलावा, एआई कोस्ट्रिकिन 1958 में यह साबित करने में सक्षम थे कि दी गई संख्या में जनरेटर और दिए गए प्राइम एक्सपोनेंट वाले परिमित समूहों में से एक सबसे बड़ा मौजूद है। यह प्राइम एक्सपोनेंट के मामले में #प्रतिबंधित बर्नसाइड समस्या का समाधान प्रदान करता है। (बाद में, 1989 में, Efim Zelmanov एक मनमाने ढंग से घातांक के लिए प्रतिबंधित बर्नसाइड समस्या को हल करने में सक्षम था।) Issai Schur ने 1911 में दिखाया था कि कोई भी अंतिम रूप से उत्पन्न आवधिक समूह जो उलटा n × n जटिल मैट्रिसेस के समूह का एक उपसमूह था, परिमित था। ; उन्होंने इस प्रमेय का उपयोग जॉर्डन-शूर प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया। फिर भी, बर्नसाइड समस्या का सामान्य उत्तर नकारात्मक निकला। 1964 में, गोलोड और शफारेविच ने बर्नसाइड प्रकार के एक अनंत समूह का निर्माण किया, बिना यह मानते हुए कि सभी तत्वों में समान रूप से बंधे हुए क्रम हैं। 1968 में, पीटर नोविकोव और सर्गेई एडियन ने 4381 से बड़े सभी विषम घातांकों के लिए परिबद्ध घातांक समस्या का एक नकारात्मक समाधान प्रदान किया। 1982 में, ए. यू. ओल'शांस्की ने पर्याप्त रूप से बड़े विषम घातांक (10 से अधिक) के लिए कुछ हड़ताली प्रति उदाहरण पाए10), और ज्यामितीय विचारों के आधार पर काफी सरल प्रमाण प्रदान किया।

यहां तक ​​​​कि प्रतिपादकों के मामले को सुलझाना बहुत कठिन हो गया। 1992 में, एस. वी. इवानोव ने 2 की एक बड़ी शक्ति द्वारा विभाज्य पर्याप्त रूप से बड़े समान घातांक के लिए नकारात्मक समाधान की घोषणा की (विस्तृत प्रमाण 1994 में प्रकाशित हुए और लगभग 300 पृष्ठों पर कब्जा कर लिया)। बाद में ओल्शांस्की और इवानोव के संयुक्त कार्य ने अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के लिए बर्नसाइड समस्या के एक एनालॉग के लिए एक नकारात्मक समाधान स्थापित किया, बशर्ते प्रतिपादक पर्याप्त रूप से बड़ा हो। इसके विपरीत, जब घातांक छोटा होता है और 2, 3, 4 और 6 से भिन्न होता है, तो बहुत कम ज्ञात होता है।

सामान्य बर्नसाइड समस्या
एक समूह G को आवर्ती समूह कहा जाता है यदि प्रत्येक तत्व का परिमित क्रम हो; दूसरे शब्दों में, G में प्रत्येक g के लिए, कुछ सकारात्मक पूर्णांक n मौजूद है जैसे कि gn = 1. स्पष्ट रूप से, प्रत्येक परिमित समूह आवर्ती होता है। Prüfer group|p जैसे आसानी से परिभाषित समूह मौजूद हैं∞- समूह जो अनंत आवधिक समूह हैं; लेकिन बाद वाला समूह अंतिम रूप से उत्पन्न नहीं किया जा सकता है।

"सामान्य बर्नसाइड समस्या। यदि G एक परिमित रूप से सृजित, आवधिक समूह है, तो क्या G आवश्यक रूप से परिमित है?"

इस प्रश्न का उत्तर 1964 में एवगेनी गोलोड और इगोर शफारेविच द्वारा नकारात्मक में दिया गया था, जिन्होंने एक अनंत पी-समूह का उदाहरण दिया था। हालांकि, इस समूह के तत्वों के आदेश एक स्थिरांक से बंधे 'प्राथमिकता' नहीं हैं।

बाउंडेड बर्नसाइड समस्या
सामान्य बर्नसाइड समस्या के साथ कठिनाई का एक हिस्सा यह है कि एक समूह की संभावित संरचना के बारे में निश्चित रूप से उत्पन्न और आवधिक होने की आवश्यकताएं बहुत कम जानकारी देती हैं। इसलिए, हम जी पर अधिक आवश्यकताएं रखते हैं। एक आवधिक समूह जी पर अतिरिक्त संपत्ति के साथ विचार करें कि कम से कम पूर्णांक एन मौजूद है जैसे जी में सभी जी के लिए, जीn = 1. इस गुण वाले समूह को परिबद्ध घातांक n वाला आवधिक कहा जाता है, या केवल घातांक n वाला समूह कहा जाता है। परिबद्ध प्रतिपादक वाले समूहों के लिए बर्नसाइड समस्या पूछती है:

"'बर्नसाइड प्रॉब्लम I.' यदि G एक्सपोनेंट n वाला एक अंतिम रूप से उत्पन्न समूह है, तो क्या G आवश्यक रूप से परिमित है?"

यह पता चला है कि इस समस्या को एक विशेष परिवार में समूहों की सूक्ष्मता के बारे में एक प्रश्न के रूप में दोहराया जा सकता है। रैंक एम और एक्सपोनेंट एन का 'फ्री बर्नसाइड ग्रुप', बी (एम, एन) चिह्नित है, एम प्रतिष्ठित जेनरेटर एक्स वाला एक समूह है1, ..., एक्सmजिसमें पहचान xn = 1 सभी तत्वों x के लिए मान्य है, और इन आवश्यकताओं को पूरा करने वाला सबसे बड़ा समूह कौन सा है। अधिक सटीक रूप से, बी (एम, एन) की विशेषता संपत्ति यह है कि, किसी भी समूह जी को एम जेनरेटर जी के साथ दिया गया है1, ..., जीmऔर घातांक n का, B(m, n) से G तक एक अद्वितीय समरूपता है जो iवें जनरेटर x को मैप करता हैiबी (एम, एन) के i वें जनरेटर जी मेंiजी का। एक समूह की प्रस्तुति की भाषा में, मुफ्त बर्नसाइड समूह बी (एम, एन) में एम जेनरेटर एक्स है1, ..., एक्सmऔर संबंध xn = 1 प्रत्येक शब्द x के लिए x में1, ..., एक्सm, और किसी भी समूह जी के साथ एक्स्पोनेंट एन के एम जेनरेटर को अतिरिक्त संबंधों को लागू करके प्राप्त किया जाता है। मुक्त बर्नसाइड समूह का अस्तित्व और एक समरूपता तक इसकी विशिष्टता समूह सिद्धांत की मानक तकनीकों द्वारा स्थापित की जाती है। इस प्रकार यदि जी एक्सपोनेंट एन का कोई भी अंतिम रूप से जेनरेट किया गया समूह है, तो जी बी (एम, एन) का एक समूह समरूपता है, जहां एम जी के जेनरेटर की संख्या है। बर्नसाइड समस्या को अब निम्नानुसार बहाल किया जा सकता है:

"'बर्नसाइड प्रॉब्लम II'। किन धनात्मक पूर्णांकों के लिए m, n मुक्त बर्नसाइड समूह B(m, n) परिमित है?"

इस रूप में बर्नसाइड समस्या का पूर्ण समाधान ज्ञात नहीं है। बर्नसाइड ने अपने मूल पेपर में कुछ आसान मामलों पर विचार किया:

निम्नलिखित अतिरिक्त परिणाम ज्ञात हैं (बर्नसाइड, सनोव, मार्शल हॉल (गणितज्ञ) | एम। हॉल):
 * B(1, n) क्रम n का चक्रीय समूह है।
 * बी(एम, 2) क्रम 2 के चक्रीय समूह की एम प्रतियों के समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद है और इसलिए परिमित है।


 * B(m, 3), B(m, 4), और B(m, 6) सभी m के लिए परिमित हैं।

B(2, 5) का विशेष मामला खुला रहता है: यह ज्ञात नहीं था कि यह समूह परिमित है या नहीं।

बर्नसाइड समस्या को हल करने में सफलता 1968 में प्योत्र नोविकोव और सर्गेई एडियन द्वारा प्राप्त की गई थी। एक जटिल दहनशील तर्क का उपयोग करते हुए, उन्होंने प्रदर्शित किया कि n> 4381 के साथ प्रत्येक सम और विषम संख्या संख्या n के लिए, घातांक n के अनंत, परिमित रूप से उत्पन्न समूह मौजूद हैं।. एडियन ने बाद में ऑड एक्सपोनेंट पर बाउंड को 665 तक सुधारा। बाउंड ऑन ऑड एक्सपोनेंट में नवीनतम सुधार 101 है जिसे एडियन ने 2015 में स्वयं प्राप्त किया था। यहां तक ​​कि एक्सपोनेंट का मामला काफी अधिक कठिन निकला। केवल 1994 में सर्गेई वासिलीविच इवानोव नोविकोव-एडियन प्रमेय का एक एनालॉग साबित करने में सक्षम थे: किसी भी एम> 1 और यहां तक ​​​​कि एन ≥ 2 के लिए48, n 2 से विभाज्य9, समूह B(m, n) अनंत है; नोविकोव-एडियन प्रमेय के साथ, यह सभी m> 1 और n ≥ 2 के लिए अनंतता का अर्थ है48. यह 1996 में I. G. Lysënok द्वारा m> 1 और n ≥ 8000 में सुधार किया गया था। Novikov-Adian, Ivanov और Lysénok ने मुक्त Burnside समूहों की संरचना पर काफी अधिक सटीक परिणाम स्थापित किए। विषम घातांक के मामले में, मुक्त बर्नसाइड समूहों के सभी परिमित उपसमूहों को चक्रीय समूह के रूप में दिखाया गया था। समान घातांक मामले में, प्रत्येक परिमित उपसमूह दो डायहेड्रल समूहों के उत्पाद में समाहित है, और गैर-चक्रीय परिमित उपसमूह मौजूद हैं। इसके अलावा, समूहों के लिए शब्द समस्या और संयुग्मन समस्या की समस्या को विषम और सम घातांक n दोनों के लिए B(m, n) में प्रभावी रूप से हल करने योग्य दिखाया गया था।

बर्नसाइड समस्या के प्रतिउदाहरणों का एक प्रसिद्ध वर्ग परिमित रूप से उत्पन्न गैर-चक्रीय अनंत समूहों द्वारा बनाया गया है जिसमें प्रत्येक गैर-तुच्छ उचित उपसमूह एक परिमित चक्रीय समूह है, तथाकथित टार्स्की राक्षस समूह। ऐसे समूहों का पहला उदाहरण ए यू द्वारा बनाया गया था। Ol'shanskii ने 1979 में ज्यामितीय विधियों का उपयोग करते हुए, इस प्रकार सकारात्मक रूप से O. Yu को हल किया। श्मिट की समस्या। 1982 में ओल्शांस्की अस्तित्व स्थापित करने के लिए अपने परिणामों को मजबूत करने में सक्षम था, किसी भी पर्याप्त बड़ी अभाज्य संख्या p के लिए (कोई भी p > 10 ले सकता है)75) एक अंतिम रूप से उत्पन्न अनंत समूह का जिसमें प्रत्येक गैर-तुच्छ उचित उपसमूह ऑर्डर p का एक चक्रीय समूह है। 1996 में प्रकाशित एक पत्र में, इवानोव और ओल्शांस्की ने पर्याप्त रूप से बड़े घातांकों के लिए एक अनियंत्रित अतिपरवलयिक समूह में बर्नसाइड समस्या का एक एनालॉग हल किया।

प्रतिबंधित बर्नसाइड समस्या
1930 के दशक में तैयार किया गया, यह एक और, संबंधित, प्रश्न पूछता है:

"प्रतिबंधित बर्नसाइड समस्या। यदि यह ज्ञात है कि 'एम' जेनरेटर और एक्सपोनेंट 'एन' वाला समूह 'जी' परिमित है, तो क्या कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि 'जी' का क्रम केवल 'पर निर्भर करते हुए कुछ स्थिरांक से घिरा है' 'एम' और 'एन'? समतुल्य रूप से, क्या समूह समरूपता तक m घातांक n के जनरेटर के साथ केवल बहुत से परिमित समूह हैं?"

बर्नसाइड समस्या के इस प्रकार को कुछ सार्वभौमिक समूहों के संदर्भ में 'एम' जनरेटर और एक्सपोनेंट 'एन' के साथ भी कहा जा सकता है। समूह सिद्धांत के मूल परिणामों से, किसी भी समूह में एक उपसमूह के परिमित सूचकांक के दो उपसमूहों का प्रतिच्छेदन स्वयं परिमित सूचकांक का एक उपसमूह है। चलो M मुक्त बर्नसाइड समूह B(m, n) के सभी उपसमूहों का चौराहा है, जिसमें परिमित सूचकांक है, फिर M B(' का एक सामान्य उपसमूह है 'm, n) (अन्यथा, एक उपसमूह g'' मौजूद है−1Mg परिमित सूचकांक के साथ ऐसे तत्व हैं जो M में नहीं हैं)। इसलिए कोई समूह बी को परिभाषित कर सकता है0(एम, एन) कारक समूह बी (एम, एन) / एम होने के लिए। एम जनरेटर के साथ एक्सपोनेंट एन का प्रत्येक परिमित समूह बी की एक समरूप छवि है0(एम, एन)। प्रतिबंधित बर्नसाइड समस्या तब पूछती है कि क्या बी0(एम, एन) एक परिमित समूह है।

प्रमुख प्रतिपादक पी के मामले में, इस समस्या का व्यापक अध्ययन 1950 के दशक के दौरान ए.आई. कोस्ट्रिकिन द्वारा किया गया था, सामान्य बर्नसाइड समस्या के नकारात्मक समाधान से पहले। उसका समाधान, बी की परिमितता स्थापित करना0(एम, पी), परिमित विशेषता में ले बीजगणित में पहचान के बारे में गहरे प्रश्नों के साथ एक संबंध का उपयोग किया। मनमाना प्रतिपादक का मामला एफिम ज़ेलमानोव द्वारा पूरी तरह से सकारात्मक रूप से सुलझाया गया है, जिन्हें 1994 में उनके काम के लिए फील्ड मेडल से सम्मानित किया गया था।

ग्रन्थसूची

 * S. I. Adian (1979) The Burnside problem and identities in groups. Translated from the Russian by John Lennox and James Wiegold. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete [Results in Mathematics and Related Areas], 95. Springer-Verlag, Berlin-New York. ISBN 3-540-08728-1.
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 * A. I. Kostrikin (1990) Around Burnside. Translated from the Russian and with a preface by James Wiegold. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [Results in Mathematics and Related Areas (3)], 20. Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-50602-0.
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 * A. Yu. Ol'shanskii (1989) Geometry of defining relations in groups. Translated from the 1989 Russian original by Yu. A. Bakhturin (1991) Mathematics and its Applications (Soviet Series), 70. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers Group. ISBN 0-7923-1394-1.
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बाहरी संबंध

 * History of the Burnside problem at MacTutor History of Mathematics archive