अर्बेलोस

ज्यामिति में, एक अर्बेलोस एक समतल क्षेत्र होता है जो तीन अर्धवृत्तों से घिरा होता है जिसमें तीन शीर्ष होते हैं जैसे कि प्रत्येक अर्धवृत्त का प्रत्येक कोना अन्य में से एक के साथ साझा किया जाता है, सभी एक सीधी रेखा के एक ही तरफ ("आधार रेखा") ) जिसमें उनके व्यास होते हैं।

इस आंकड़े का सबसे पहला ज्ञात संदर्भ आर्किमिडीज की नींबू की किताब में है, जहां इसके कुछ गणितीय गुणों को प्रस्ताव 4 से 8 के रूप में बताया गया है। अर्बेलोस शब्द 'शोमेकर्स नाइफ' के लिए ग्रीक है। यह आंकड़ा पप्पस श्रृंखला से निकटता से संबंधित है।

गुण
मनमाना व्यास के साथ दो अर्धवृत्त आवश्यक रूप से अवतल हैं तीसरा अर्धवृत्त व्यास के साथ  है

दो अर्धवृत्त आवश्यक रूप से अवतल होती हैं, मनमाना व्यास $a$ और $b$ के साथ; तीसरा अर्धवृत्त उत्तल होता है, जिसका वक्र $a+b.$ होता है।

क्षेत्र
अर्बेलोस का क्षेत्रफल (ज्यामिति) व्यास वाले वृत्त के क्षेत्रफल के समान होता है $\overline{HA}$.

सबूत: सबूत के लिए, बिंदुओं के माध्यम से रेखा पर आर्बेलोस को प्रतिबिंबित करें $B$ और $C$, और देखें कि दो छोटे वृत्तों (व्यास वाले $\overline{BA}$, $\overline{AC}$) को बड़े वृत्त के क्षेत्रफल से घटाया जाता है (व्यास के साथ $\overline{BC}$). चूँकि एक वृत्त का क्षेत्रफल व्यास के वर्ग के समानुपाती होता है (यूक्लिड के यूक्लिड के तत्व, पुस्तक XII, प्रस्ताव 2; हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि आनुपातिकता (गणित) है $\pi⁄4$), यह दिखाने के लिए समस्या कम हो जाती है $$2|AH|^2 = |BC|^2 - |AC|^2 - |B|^2$$. लंबाई $|BC|$ लंबाई के योग के समान है $|BA|$ और $|AC|$, इसलिए यह समीकरण बीजगणितीय रूप से उस कथन को सरल करता है $$|AH|^2 = |BA||AC|$$. इस प्रकार दावा है कि खंड की लंबाई $\overline{AH}$ खंडों की लंबाई का ज्यामितीय माध्य है $\overline{BA}$ और $\overline{AC}$. अब (चित्र देखें) त्रिभुज $BHC$, अर्धवृत्त में अंकित किया जा रहा है, बिंदु पर एक समकोण है $H$ (यूक्लिड, पुस्तक III, प्रस्ताव 31), और परिणामस्वरूप $|HA|$ वास्तव में बीच का एक समानुपातिक माध्य है $|BA|$ और $|AC|$ (यूक्लिड, पुस्तक VI, प्रस्ताव 8, पोरिज़्म)। यह प्रमाण प्राचीन यूनानी तर्क का अनुमान लगाता है; हेरोल्ड पी. बोस रोजर बी. नेल्सन के एक पेपर का हवाला देते हैं जिन्होंने इस विचार को बिना शब्दों के निम्नलिखित प्रमाण के रूप में लागू किया। रेफरी>

अर्बेलोस का क्षेत्रफल व्यास HA वाले एक वृत्त के क्षेत्रफल के समान है।

उपपत्ति: प्रमाण के लिए, अरबेलों को बिंदु B और C से होकर जाने वाली रेखा पर प्रतिबिंबित करें, और निरीक्षण करें कि दो छोटे वृत्तों (व्यास BA, AC के साथ) के क्षेत्रफलों को घटाए जाने पर arbelos के क्षेत्रफल का दुगुना शेष रह जाता है। बड़े वृत्त का क्षेत्रफल (व्यास BC के साथ)। चूँकि एक वृत्त का क्षेत्रफल व्यास के वर्ग के समानुपाती होता है (यूक्लिड के तत्व, पुस्तक XII, प्रस्ताव 2; हमें यह जानने की आवश्यकता नहीं है कि आनुपातिकता का स्थिरांक है

आयत
होने देना $D$ और $E$ वे बिंदु हों जहां खंड हों $\overline{BH}$ और $\overline{CH}$ अर्धवृत्तों को प्रतिच्छेद करें $AB$ और $AC$, क्रमश। चतुर्भुज $ADHE$ वास्तव में एक आयत है।
 * सबूत: $∠BDA$, $∠BHC$, और $∠AEC$ समकोण हैं क्योंकि वे अर्धवृत्त (थेल्स के प्रमेय द्वारा) में खुदे हुए हैं। चतुर्भुज $ADHE$ इसलिए तीन समकोण हैं, इसलिए यह एक आयत है। Q.E.D.

स्पर्शरेखा
रेखा $DE$ अर्धवृत्त की स्पर्शरेखा है $BA$ पर $D$ और अर्धवृत्त $AC$ पर $E$.
 * प्रमाण: चूंकि $∠BDA$ एक समकोण है, $∠DBA$ समान है $π⁄2$ ऋण $∠DAB$. हालाँकि, $∠DAH$ भी समान है $π⁄2$ ऋण $∠DAB$ (तब से $∠HAB$ एक समकोण है)। इसलिए त्रिकोण $DBA$ और $DAH$ समानता (ज्यामिति) हैं। इसलिए $∠DIA$ समान है $∠DOH$, कहाँ $I$ का मध्यबिंदु है $\overline{BA}$ और $O$ का मध्यबिंदु है $\overline{AH}$. लेकिन $∠AOH$ एक सीधी रेखा है, इसलिए $∠DOH$ और $∠DOA$ संपूरक कोण हैं। इसलिए का योग $∠DIA$ और $∠DOA$ पी है। $∠IAO$ समकोण है। किसी भी चतुर्भुज में कोणों का योग 2π है, इसलिए चतुर्भुज में $IDOA$, $∠IDO$ एक समकोण होना चाहिए। लेकिन $ADHE$ एक आयत है, इसलिए मध्यबिंदु $O$ का $\overline{AH}$ (आयत का विकर्ण) भी का मध्यबिंदु है $\overline{DE}$ (आयत का अन्य विकर्ण)। जैसा $I$ (के मध्य बिंदु के रूप में परिभाषित $\overline{BA}$) अर्धवृत्त का केंद्र है $BA$, और कोण $∠IDE$ तब एक समकोण है $DE$ अर्धवृत्त की स्पर्शरेखा है $BA$ पर $D$. समान तर्क से $DE$ अर्धवृत्त की स्पर्शरेखा है $AC$ पर $E$. Q.E.D.

आर्किमिडीज सर्कल
ऊँचाई $AH$ अर्बेलोस को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है, प्रत्येक एक अर्धवृत्त, एक सीधी रेखा खंड और बाहरी अर्धवृत्त के एक चाप से घिरा होता है। इन क्षेत्रों में से प्रत्येक में खुदे हुए वृत्त, जिन्हें आर्बेलोस के आर्किमिडीज़ के वृत्त के रूप में जाना जाता है, का आकार समान है।

विविधताएं और सामान्यीकरण
परबेलोस अर्बेलोस के समान एक आकृति है, जो अर्धवृत्त के बजाय परवलय खंडों का उपयोग करता है। एक सामान्यीकरण जिसमें अर्बेलोस और parbelos दोनों शामिल हैं, एफ-बेलोस है, जो एक निश्चित प्रकार के समान भिन्न कार्यों का उपयोग करता है। अतिशयोक्तिपूर्ण तल के पोनकारे अर्ध-विमान मॉडल में, एक अर्बेलोस एक आदर्श त्रिभुज का मॉडल करता है।

व्युत्पत्ति
आर्बेलोस नाम प्राचीन ग्रीक ἡ ἄρβηλος he árbēlos या ἄρβυλος árbylos से आया है, जिसका अर्थ है शूमेकर का चाकू, प्राचीन काल से लेकर आज तक जूते बनाने  द्वारा उपयोग किया जाने वाला चाकू, जिसका ब्लेड ज्यामितीय आकृति जैसा दिखता है।

यह भी देखें

 * आर्किमिडीज की चौपाइयां
 * बैंकऑफ सर्कल
 * स्कोक सर्किल
 * स्कोच लाइन
 * वू हलकों
 * पप्पस चेन
 * सालिनॉन

ग्रन्थसूची

 * American Mathematical Monthly, 120 (2013), 929-935.
 * American Mathematical Monthly, 120 (2013), 929-935.
 * American Mathematical Monthly, 120 (2013), 929-935.