खंडशः रैखिक फलन

गणित और सांख्यिकी में एक टुकड़ा-वार रैखिक PL या खंडित फलन एक वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान फलन होता है, जिसका फलन का ग्राफ़ सीधी रेखा खंडों से बना होता है।

परिभाषा
एक टुकड़े के अनुसार रैखिक कार्य वास्तविक संख्याओं के अंतराल (गणित) पर परिभाषित एक फलन है जैसे कि प्रत्येक पर अंतराल का एक संग्रह होता है, जिसमें फलन एक परिशोधित परिवर्तन होता है। (इस प्रकार टुकड़े-टुकड़े रैखिक को वास्तव में टुकड़े-टुकड़े करने वाले कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है।) यदि फलन का डोमेन कॉम्पैक्ट स्थान है तो ऐसे अंतरालों का एक सीमित संग्रह होना चाहिए; यदि डोमेन कॉम्पैक्ट नहीं है तो इसे या तो परिमित होना चाहिए या वास्तविक में स्थानीय रूप से परिमित संग्रह होना चाहिए।

उदाहरण
द्वारा परिभाषित फलन
 * $$f(x) =

\begin{cases} -x - 3    & \text{if }x \leq -3 \\ x + 3     & \text{if }-3 < x < 0 \\ -2x + 3   & \text{if }0 \leq x < 3 \\ 0.5x - 4.5 & \text{if }x \geq 3 \end{cases}$$ चार टुकड़ों के साथ टुकड़े-टुकड़े रैखिक है। इस फलन का ग्राफ़ दाईं ओर दिखाया गया है। चूँकि एक affine (*) फलन का ग्राफ़ एक रेखा (ज्यामिति) है, एक टुकड़ा-वार रेखीय फलन के ग्राफ़ में रेखा खंड और किरण (गणित) होते हैं। एक्स मान (उपरोक्त उदाहरण में -3, 0, और 3) जहां ढलान परिवर्तन को सामान्यतः ब्रेकपॉइंट्स, चेंजपॉइंट्स, थ्रेसहोल्ड वैल्यू या नॉट्स कहा जाता है। जैसा कि कई अनुप्रयोगों में होता है, यह कार्य भी निरंतर होता है। एक कॉम्पैक्ट अंतराल पर एक सतत टुकड़े के रैखिक कार्य का ग्राफ एक बहुभुज श्रृंखला है।

टुकड़ावार रैखिक कार्यों के अन्य उदाहरणों में निरपेक्ष मूल्य फलन, सॉटूथ वेव और फर्श फलन  सम्मिलित हैं।

(*) एक रेखीय नक्शा परिभाषा से संतुष्ट करता है $$ f(\lambda x) = \lambda f(x) $$ और इसलिए विशेष रूप से $$ f(0) = 0 $$; ऐसे फलन जिनका ग्राफ एक सीधी रेखा है, रेखीय के अतिरिक्त एफ़िन फलन हैं।

एक वक्र के लिए फिटिंग
एक ज्ञात वक्र का सन्निकटन वक्र का नमूना लेकर और बिंदुओं के बीच रैखिक रूप से प्रक्षेपित करके पाया जा सकता है। किसी दिए गए त्रुटि सहनशीलता के अधीन सबसे महत्वपूर्ण बिंदुओं की गणना करने के लिए एक एल्गोरिदम प्रकाशित किया गया है।

डेटा के लिए फिटिंग
यदि विभाजन, और फिर ब्रेकप्वाइंट पहले से ही ज्ञात हैं, तो इन विभाजनों पर रैखिक प्रतिगमन स्वतंत्र रूप से किया जा सकता है। चूंकि, उस मामले में निरंतरता को संरक्षित नहीं किया जाता है, और देखे गए डेटा के अंतर्गत कोई अद्वितीय संदर्भ मॉडल भी नहीं है। इस मामले के साथ एक स्थिर एल्गोरिथम प्राप्त किया गया है। यदि विभाजन ज्ञात नहीं हैं, तो इष्टतम पृथक्करण बिंदुओं को चुनने के लिए वर्गों के अवशिष्ट योग का उपयोग किया जा सकता है। चूंकि कुशल संगणना और सभी मॉडल पैरामीटरों (ब्रेकप्वाइंट सहित) का संयुक्त अनुमान पुनरावृत्त प्रक्रिया द्वारा प्राप्त किया जा सकता है वर्तमान में पैकेज में प्रयुक्त किया गया आर (प्रोग्रामिंग भाषा) के लिए।

निर्णय वृक्ष सीखना का एक प्रकार जिसे मॉडल का पेड़ कहा जाता है, टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्यों को सीखता है।

नोटेशन
टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्य की धारणा कई अलग-अलग संदर्भों में समझ में आती है। टुकड़ों के अनुसार रैखिक कार्यों को आयाम पर परिभाषित किया जा सकता है। एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष, या अधिक सामान्यतः किसी भी सदिश स्थान या affine अंतरिक्ष, साथ ही टुकड़ों के रैखिक मैनिफोल्ड्स और साधारण परिसरों पर (सरल मानचित्र देखें)। प्रत्येक मामले में, फलन वास्तविक संख्या-मूल्यवान हो सकता है, या यह एक सदिश स्थान, एक एफ़िन स्पेस, एक टुकड़ा-वार रैखिक कई गुना, या एक साधारण परिसर से मान ले सकता है। (इन संदर्भों में, "रैखिक" शब्द केवल रैखिक मानचित्र को संदर्भित नहीं करता है, बल्कि अधिक सामान्य संबंध परिवर्तन कार्यों के लिए है।)

एक से अधिक आयामों में, प्रत्येक टुकड़े के डोमेन को बहुभुज या polytope होने की आवश्यकता होती है। यह गारंटी देता है कि फलन का ग्राफ़ बहुभुज या पॉलीटॉपल टुकड़ों से बना होगा।

टुकड़े के अनुसार रैखिक कार्यों के महत्वपूर्ण उप-वर्गों में निरंतर कार्य टुकड़ा-वार रैखिक कार्य और उत्तल कार्य टुकड़ा-वार रैखिक कार्य सम्मिलित हैं। सामान्यतः, प्रत्येक एन-डायमेंशनल निरंतर टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्य के लिए $$f : \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$$, वहां एक है
 * $$\Pi \in \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{R}^{n+1}))$$

ऐसा है कि यदि $$f$$ उत्तल और निरंतर है, तो वहाँ एक है
 * $$f(\vec{x}) = \min_{\Sigma \in \Pi} \max_{(\vec{a}, b) \in \Sigma} \vec{a} \cdot \vec{x} + b.$$
 * $$\Sigma \in \mathcal{P}(\mathbb{R}^{n+1})$$

ऐसा है कि
 * $$f(\vec{x}) = \max_{(\vec{a},b) \in \Sigma} \vec{a} \cdot \vec{x} + b.$$

स्पलाइन (गणित) उच्च-क्रम बहुपदों के लिए टुकड़े के अनुसार रैखिक कार्यों को सामान्य करता है, जो बदले में टुकड़े-विभेदक कार्यों, पीडीआईएफएफ की श्रेणी में निहित होते हैं।

अनुप्रयोग
कृषि में मापा डेटा के टुकड़े-टुकड़े प्रतिगमन विश्लेषण का उपयोग उस सीमा का पता लगाने के लिए किया जाता है जिस पर वृद्धि कारक उपज को प्रभावित करते हैं और जिस सीमा पर फसल इन कारकों में परिवर्तन के प्रति संवेदनशील नहीं है।

बाईं ओर की छवि से पता चलता है कि उथले वाटरटेबल्स पर उपज में गिरावट आती है, जबकि गहरे (> 7 डीएम) पानी की मेज ्स पर उपज अप्रभावित रहती है। सर्वोत्तम फिट वाले दो खंडों को खोजने के लिए ग्राफ को कम से कम वर्गों की विधि का उपयोग करके बनाया गया है।

दायीं ओर के ग्राफ से पता चलता है कि फसल फसलों की नमक सहनशीलता को ECe = 8 dS/m (ECe एक संतृप्त मिट्टी के नमूने के अर्क की विद्युत चालकता है) तक मिट्टी की लवणता का उत्पादन करती है, जबकि उस मूल्य से परे फसल उत्पादन कम हो जाता है। ग्राफ को आंशिक प्रतिगमन की विधि के साथ बिना प्रभाव की सबसे लंबी सीमा का पता लगाने के लिए बनाया गया है, अर्थात जहां रेखा क्षैतिज है। दो खंडों को एक ही बिंदु पर सम्मिलित होने की आवश्यकता नहीं है। केवल दूसरे खंड के लिए कम से कम वर्गों की विधि का उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

 * टुकड़ावार निरंतर कार्य
 * रेखिक आंतरिक
 * तख़्ता प्रक्षेप
 * उष्णकटिबंधीय ज्यामिति
 * बहुभुज श्रृंखला

अग्रिम पठन

 * Apps, P., Long, N., & Rees, R. (2014). Optimal piecewise linear income taxation. Journal of Public Economic Theory, 16(4), 523–545.