द्विभाजन

गणित में, एक आक्षेप, जिसे विशेषण फलन, एक-से-एक पत्राचार, या उलटा फलन के रूप में भी जाना जाता है, दो समुच्चय (गणित) के तत्वों के बीच एक फलन (गणित) होता है, जहाँ एक समुच्चय का प्रत्येक तत्व ठीक-ठीक जोड़ा जाता है। दूसरे सम्मुच्चय का एक तत्व, और दूसरे सम्मुच्चय का प्रत्येक तत्व पहले सम्मुच्चय के ठीक एक तत्व के साथ जोड़ा जाता है। कोई अयुग्मित तत्व नहीं हैं। गणितीय शब्दों में, एक विशेषण कार्य f: X → Y एक अंतःक्षेपक फलन और विशेषण फलन एक सम्मुच्चय X से एक सम्मुच्चय Y पर (प्रत्यक्षर) प्रतिचित्रण है। वन-टू-वन समतुल्यता को वन-टू-वन फलन (एक अंतःक्षेपण फलन; आंकड़े देखें) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

समुच्चय X से समुच्चय Y तक एक आक्षेप में Y से X तक एक व्युत्क्रम कार्य होता है। यदि X और Y परिमित समुच्चय हैं, तो एक आक्षेप के अस्तित्व का अर्थ है कि उनके पास तत्वों की संख्या समान है। अनंत सम्मुच्चय ों के लिए, चित्र अधिक जटिल है, जो मुख्य संख्या की अवधारणा को आगे बढ़ाता है - अनंत सम्मुच्चयों के विभिन्न आकारों को अलग करने का एक तरीका है।

एक सम्मुच्चय से स्वयं के लिए एक विशेषण फलन को क्रमचय भी कहा जाता है, और सम्मुच्चय के सभी क्रम परिवर्तन ों का सम्मुच्चय सममित समूह बनाता है।

समरूपता, होमियोमोर्फिज्म,  डिफियोमोर्फिज्म, क्रमचय समूह और प्रक्षेपी मानचित्र की परिभाषाओं सहित गणित के कई क्षेत्रों के लिए विशेषण कार्य आवश्यक हैं।

परिभाषा
X और Y के बीच एक जोड़ी के लिए (जहां Y को X से अलग नहीं होना चाहिए) एक आक्षेप होने के लिए, चार गुण होने चाहिए:
 * 1) X के प्रत्येक तत्व को Y के कम से कम एक तत्व के साथ जोड़ा जाना चाहिए,
 * 2) X के किसी भी तत्व को Y के एक से अधिक तत्वों के साथ जोड़ा नहीं जा सकता है,
 * 3) Y के प्रत्येक तत्व को X के कम से कम एक तत्व के साथ जोड़ा जाना चाहिए, और
 * 4) Y के किसी भी तत्व को X के एक से अधिक तत्वों के साथ जोड़ा नहीं जा सकता है।

संतोषजनक गुण (1) और (2) का अर्थ है कि एक युग्मन एक फलन (गणित) है जो फलन X के कार्यछेत्र के साथ है। गुणों (1) और (2) को एक कथन के रूप में लिखा हुआ देखना अधिक सामान्य है: X का प्रत्येक तत्व Y के ठीक एक तत्व के साथ जोड़ा जाता है। गुण (3) को संतुष्ट करने वाले कार्यों को Y सुरजेक्टिव कहा जाता है और उन्हें विशेषण फलन (या विशेषण फलन) कहा जाता है। कार्य जो विशेषता (4) को संतुष्ट करते हैं, उन्हें एक-से-एक कार्य कहा जाता है और उन्हें अंतःक्रियात्मक कार्य (या अंतःक्षेपी कार्य) कहा जाता है। इस शब्दावली के साथ, एक द्विभाजन एक कार्य है जो एक अनुमान और अंतः क्षेपण दोनों है, या दूसरे शब्दों का उपयोग करते हुए, एक आपत्ति एक कार्य है जो एक-से-एक और सुरजेक्टिव दोनों है। आपत्तियों को कभी-कभी पूंछ के साथ दो-सिर वाले दाहिनी ओर तीर द्वारा दर्शाया जाता है, जैसा कि f : X ⤖ Y में है। यह प्रतीक दाहिनी ओर दो सिरों वाले तीर का संयोजन है , कभी-कभी अनुमानों को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है, और दाहिनी ओर एक कांटेदार पूंछ वाला तीर , कभी-कभी अंतः क्षेपण को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

बेसबॉल या क्रिकेट टीम की पँक्तिबद्ध बल्लेबाजी
बल्लेबाजी क्रम बेसबॉल या क्रिकेट टीम के बल्लेबाजी पंक्ति पर विचार करें (या किसी भी खेल टीम के सभी खिलाड़ियों की सूची जहां प्रत्येक खिलाड़ी पंक्ति में एक विशिष्ट स्थान रखता है)। सम्मुच्चय X टीम के खिलाड़ी होंगे (बेसबॉल के मामले में आकार नौ का) और सम्मुच्चय Y बल्लेबाजी क्रम (पहला, दूसरा, तीसरा, आदि) में स्थान होगा। जोड़ी किस खिलाड़ी द्वारा दी गई है इस क्रम में किस स्थिति में है। विशेषता (1) संतुष्ट है क्योंकि प्रत्येक खिलाड़ी सूची में कहीं है। विशेषता (2) संतुष्ट है क्योंकि कोई खिलाड़ी क्रम में दो (या अधिक) स्थिति में बल्लेबाजी नहीं करता है। विशेषता (3) का कहना है कि क्रम में प्रत्येक स्थिति के लिए, उस स्थिति में कुछ खिलाड़ी बल्लेबाजी कर रहे हैं और विशेषता (4) बताती है कि दो या दो से अधिक खिलाड़ी कभी भी सूची में एक ही स्थान पर बल्लेबाजी नहीं कर रहे हैं।

सीट और कक्षा के छात्र
एक कक्षा में एक निश्चित संख्या में सीटें होती हैं। छात्रों का एक समूह कमरे में प्रवेश करता है और प्रशिक्षक उन्हें बैठने के लिए कहता है। कमरे के चारों ओर एक त्वरित दृष्टि के बाद, प्रशिक्षक ने घोषणा की कि छात्रों के सम्मुच्चय और सीटों के सम्मुच्चय के बीच एक आपत्ति है, जहाँ प्रत्येक छात्र को उस सीट के साथ जोड़ा जाता है जिसमें वे बैठे हैं। इस निष्कर्ष पर पहुँचने के लिए प्रशिक्षक ने क्या देखा कि था: प्रशिक्षक यह निष्कर्ष निकालने में सक्षम था कि किसी भी सम्मुच्चय की गिनती किए बिना उतनी ही सीटें थीं जितनी कि छात्र थे।
 * 1) हर छात्र एक सीट पर था (कोई खड़ा नहीं था),
 * 2) एक से ज्यादा सीट पर कोई छात्र नहीं था,
 * 3) हर सीट पर कोई न कोई बैठा हुआ था (कोई खाली सीट नहीं थी), और
 * 4) किसी भी सीट पर एक से अधिक छात्र नहीं थे।

अधिक गणितीय उदाहरण

 * किसी भी समुच्चय X के लिए, पहचान फलन '1'X: X → X, '1'X(X) = X विशेषण है।
 * फलन f: 'R' → 'R', f(x) = 2x + 1 विशेषण है, क्योंकि प्रत्येक y के लिए एक अद्वितीय x = (y − 1)/2 ऐसा है कि f(x) = y। सामान्यतः, वास्तविक पर कोई भी रैखिक कार्य, f: 'R' → 'R', f(x) = ax + b (जहाँ a शून्य नहीं है) एक आक्षेप है। प्रत्येक वास्तविक संख्या y को वास्तविक संख्या x = (y - b)/a से (या उसके साथ युग्मित) प्राप्त किया जाता है।
 * फलन f: 'R' → (−π/2, π/2), f(x) = arctan(x) द्वारा प्रदत्त आच्छादक है, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या x को अंतराल में ठीक एक कोण y के साथ ( −π/2, π/2) ताकि tan(y) = x (यानी, y = arctan(x)) जोड़ा जाता है। यदि सहकार्यक्षेत्र (−π/2, π/2) को π/2 के एक पूर्णांक गुणक को शामिल करने के लिए बड़ा किया गया था, तो यह फलन अब आच्छादित (आच्छादक) नहीं होगा, क्योंकि कोई वास्तविक संख्या नहीं है जिसे इसके साथ जोड़ा जा सके इस आर्कटन फलन द्वारा π/2 का गुणक।
 * चरघातांकी फलन, g: 'R' → 'R', g(x) = ex, आच्छादक नहीं है: उदाहरण के लिए, 'R' में ऐसा कोई x नहीं है कि g(x) = −1, यह दर्शाता है कि g आच्छादक नहीं है (प्रत्याक्षेप)। हालाँकि, यदि सहकार्यक्षेत्र धनात्मक वास्तविक संख्याओं $$\R^+ \equiv \left(0, \infty\right)$$ तक सीमित है, तो G विशेषण होगा; इसका व्युत्क्रम (नीचे देखें) प्राकृतिक लघुगणक फलन ln है।
 * फलन h: R → R+, h(x) = x2 विशेषण नहीं है: उदाहरण के लिए, h(−1) = h(1) = 1, यह दर्शाता है कि h एक-से-एक (अंतःक्षेपक) नहीं है। हालाँकि, यदि किसी फलन का कार्यछेत्र $$\R^+_0 \equiv \left[0, \infty\right)$$ प्रतिबंधित है, तो h विशेषण होगा; इसका व्युत्क्रम धनात्मक वर्गमूल फलन है।
 * कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोडर प्रमेय द्वारा, कोई भी दो सम्मुच्चय X और Y, और दो अंतःक्षेपी फलन f: X → Y और g: Y → X दिए जाने पर, एक विशेषण फलन h: X → Y उपस्थित है।

व्युत्क्रम
कार्यछेत्र X के साथ एक आक्षेप f (फलन (गणित) में f: X → Y द्वारा दर्शाया गया) Y से प्रारम्भ होकर X तक जाने वाले एक विपरीत संबंध को भी परिभाषित करता है (तीरों को चारों ओर घुमाकर)। किसी स्वेच्छ फलन के लिए तीरों को इधर-उधर घुमाने की प्रक्रिया, सामान्य रूप से, फलन नहीं देती है, लेकिन एक आक्षेपण के गुण (3) और (4) कहते हैं कि यह व्युत्क्रम संबंध कार्यछेत्र Y के साथ एक फलन है। इसके अतिरिक्त, गुण (1) ) और (2) तब कहते हैं कि यह प्रतिलोम फलन एक अनुमान है और एक अंतः क्षेपण है, अर्थात, प्रतिलोम फलन उपस्थित है और एक विशेषण भी है। जिन कार्यों में प्रतिलोम फलन होता है उन्हें व्युत्क्रमणीय कार्य कहा जाता है। एक फलन व्युत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि यह एक आक्षेप है।

संक्षिप्त गणितीय संकेतन में कहा गया है, एक फलन f: X → Y विशेषण है यदि और केवल यदि यह स्थिति को संतुष्ट करता है
 * Y में प्रत्येक Y के लिए X में Y = F (X) के साथ एक अद्वितीय X है।

बेसबॉल बल्लेबाजी पंक्ति उदाहरण के साथ जारी रखते हुए, जिस फलन को परिभाषित किया जा रहा है वह निविष्ट के रूप में खिलाड़ियों में से एक का नाम लेता है और उस खिलाड़ी की बल्लेबाजी क्रम में स्थिति को प्रक्षेपण करता है। चूँकि यह फलन एक आक्षेप है, इसका एक व्युत्क्रम फलन है जो बल्लेबाजी क्रम में एक स्थिति को निविष्ट के रूप में लेता है और उस स्थिति में बल्लेबाजी करने वाले खिलाड़ी को प्रक्षेपण देता है।

रचना
फलन रचना $$g \,\circ\, f$$ दो आक्षेप f: X → Y और g: Y → Z का एक आक्षेप है, जिसका व्युत्क्रम इस प्रकार दिया जाता है कि $$g \,\circ\, f$$ $$(g \,\circ\, f)^{-1} \;=\; (f^{-1}) \,\circ\, (g^{-1})$$ है।

इसके विपरीत, यदि रचना $$g \, \circ\, f$$ दो कार्यों में से एक विशेषण है, यह केवल इस प्रकार है कि f अंतःक्रियात्मक कार्य है और g विशेषण कार्य है।



गणनांक
यदि X और Y सीमित सम्मुच्चय हैं, तो दो सम्मुच्चय X और Y के बीच एक आक्षेप उपस्थित है यदि और केवल अगर X और Y में तत्वों की संख्या समान है। वास्तव में, स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत में, इसे तत्वों की समान संख्या (विषुमानता) की परिभाषा के रूप में लिया जाता है, और अनंत सम्मुच्चयों के लिए इस परिभाषा को सामान्यीकृत करने से गणनांक संख्या की अवधारणा होती है, जो अनंत सम्मुच्चयों के विभिन्न आकारों को अलग करने का एक तरीका है।

गुण

 * फलन f: 'R' → 'R' एक विशेषण है यदि और केवल यदि किसी फलन का आरेख प्रत्येक क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर रेखा से ठीक एक बार मिलता है।
 * यदि X एक समुच्चय है, तो X से स्वयं के लिए विशेषण कार्य, कार्यात्मक संरचना (∘) के संचालन के साथ मिलकर एक समूह (बीजगणित)  बनाते हैं, X का सममित समूह, जिसे S(X) द्वारा विभिन्न रूप से S(X), SX, or X! (X factorial) द्वारा निरूपित किया जाता है।
 * द्विभाजन सम्मुच्चय के गणनांक को संरक्षित करते हैं: गणनांक वाले कार्यछेत्र के एक उपसमुच्चय A के लिए |A| और गणनांक के साथ सहकार्यक्षेत्र का उपसमुच्चय B |B|, एक में निम्नलिखित समानताएं हैं:
 * f(A)| = |A| and |f−1(B)| = |B|।
 * यदि X और Y समान गणनांक के साथ परिमित सम्मुच्चय हैं, और F: X → Y, तो निम्नलिखित समतुल्य हैं:
 * f एक आक्षेप है।
 * f एक अनुमान है।
 * f एक अंतः क्षेपण (गणित) है।
 * एक परिमित समुच्चय S के लिए, तत्वों के संभावित कुल क्रमों के समुच्चय और S से S तक के आक्षेपों के समुच्चय के बीच एक आक्षेप है। कहने का तात्पर्य यह है कि, S के तत्वों के क्रमचयों की संख्या उस समुच्चय के कुल क्रमों की संख्या के समान है—अर्थात्, n!।

श्रेणी सिद्धांत
श्रेणी (गणित) और सम्मुच्चय कार्यों के सम्मुच्चय की श्रेणी सिद्धांत श्रेणी में द्विभाजन सटीक रूप से समरूपता हैं। हालांकि, अधिक जटिल श्रेणियों के लिए आक्षेप हमेशा समरूपता नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, समूह (गणित) के समूहों की श्रेणी में, आकारिकी को समरूपता होना चाहिए क्योंकि उन्हें समूह संरचना को संरक्षित करना चाहिए, इसलिए समरूपता समूह समरूपताएं हैं जो विशेषण समरूपताएं हैं।

आंशिक कार्य ों के लिए सामान्यीकरण
एक-से-एक पत्राचार की धारणा आंशिक कार्यों के लिए सामान्यीकृत होती है, जहां उन्हें आंशिक द्विभाजन कहा जाता है, हालांकि आंशिक आक्षेप केवल अंतः क्षेपण के लिए आवश्यक हैं। इस छूट का कारण यह है कि एक (उचित) आंशिक कार्य पहले से ही अपने कार्यछेत्र के एक हिस्से के लिए अपरिभाषित है; इस प्रकार इसके व्युत्क्रम को कुल कार्य करने के लिए बाध्य करने का कोई अनिवार्य कारण नहीं है, अर्थात इसके कार्यछेत्र पर हर जगह परिभाषित किया गया है। किसी दिए गए आधार सम्मुच्चय पर सभी आंशिक आक्षेपों के सम्मुच्चय को सममित व्युत्क्रम अर्धसमूह कहा जाता है।

समान धारणा को परिभाषित करने का एक अन्य तरीका यह कहना है कि A से B तक एक आंशिक आक्षेप कोई भी संबंध R है (जो एक आंशिक फलन बन जाता है) इस गुण के साथ कि R एक आक्षेप f:A′→B′ का आलेख है, जहाँ A', A का उपसमुच्चय है और B', B का उपसमुच्चय है।

जब आंशिक आक्षेप एक ही सम्मुच्चय पर होता है, तो इसे कभी-कभी एक-से-एक आंशिक परिवर्तन (फलन) कहा जाता है। एक उदाहरण मोबियस परिवर्तन है जिसे विस्तारित सम्मिश्र समतल के पूरा होने के स्थान पर सम्मिश्र समतल पर परिभाषित किया गया है।

यह भी देखें

 * X-ग्रोथेंडिक प्रमेय
 * आपत्ति, अंतः क्षेपण और प्रक्षेपण
 * विशेषण संख्या
 * विशेषण प्रमाण
 * श्रेणी सिद्धांत
 * बहुविकल्पी फलन

संदर्भ
This topic is a basic concept in set theory and can be found in any text which includes an introduction to set theory. Almost all texts that deal with an introduction to writing proofs will include a section on set theory, so the topic may be found in any of these:



बाहरी कड़ियाँ

 * Earliest Uses of Some of the Words of Mathematics: entry on Injection, Surjection and Bijection has the history of Injection and related terms.
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