तीन आयामों में घूर्णन औपचारिकताएँ

ज्यामिति में, तीन आयामों (वेक्टर स्थान) में एक घूर्णन (गणित) को गणितीय परिवर्तन (ज्यामिति) के रूप में व्यक्त करने के लिए विभिन्न औपचारिकताएँ मौजूद हैं। भौतिकी में, यह अवधारणा शास्त्रीय यांत्रिकी पर लागू होती है जहां घूर्णी (या कोणीय) गतिकी विशुद्ध रूप से घूर्णी गति (भौतिकी) के मात्रा विवरण का विज्ञान है। किसी दिए गए क्षण में किसी वस्तु के अभिविन्यास (ज्यामिति) को उन्हीं उपकरणों के साथ वर्णित किया जाता है, क्योंकि इसे अंतरिक्ष में पिछले प्लेसमेंट से वास्तव में देखे गए रोटेशन के बजाय अंतरिक्ष में एक संदर्भ प्लेसमेंट से एक काल्पनिक रोटेशन के रूप में परिभाषित किया जाता है।

यूलर के घूर्णन प्रमेय के अनुसार, एक कठोर पिंड (या एक निश्चित मूल (गणित) के साथ त्रि-आयामी समन्वय प्रणाली) के घूर्णन को कुछ अक्ष के बारे में एकल घूर्णन द्वारा वर्णित किया गया है। इस तरह के घूर्णन को न्यूनतम तीन वास्तविक संख्या मापदंडों द्वारा विशिष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है। हालाँकि, विभिन्न कारणों से, इसे प्रस्तुत करने के कई तरीके हैं। इनमें से कई अभ्यावेदन आवश्यक न्यूनतम तीन मापदंडों से अधिक का उपयोग करते हैं, हालांकि उनमें से प्रत्येक में अभी भी स्वतंत्रता की केवल तीन डिग्री (यांत्रिकी) है।

एक उदाहरण जहां रोटेशन प्रतिनिधित्व का उपयोग किया जाता है वह कंप्यूटर दृष्टि में है, जहां एक स्वचालन पर्यवेक्षक को एक लक्ष्य को ट्रैक करने की आवश्यकता होती है। तीन लम्बवत् आधारों वाले एक कठोर पिंड पर विचार करें इसके शरीर पर स्थिर (ऑब्जेक्ट के स्थानीय कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के तीन अक्षों का प्रतिनिधित्व करता है)। मूल समस्या इन तीन इकाई वैक्टरों के अभिविन्यास को निर्दिष्ट करना है, और इसलिए पर्यवेक्षक की समन्वय प्रणाली के संबंध में कठोर निकाय को अंतरिक्ष में एक संदर्भ प्लेसमेंट के रूप में माना जाता है।

घूर्णन और गति
रोटेशन की औपचारिकताएं स्टेबलाइजर (समूह सिद्धांत) के साथ यूक्लिडियन स्थान  की उचित ( अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) |ओरिएंटेशन-संरक्षण) गतियों पर केंद्रित होती हैं, जिसे रोटेशन संदर्भित करता है। यद्यपि एक निश्चित बिंदु के साथ भौतिक गतियाँ एक महत्वपूर्ण मामला है (जैसे कि द्रव्यमान के केंद्र के फ्रेम में वर्णित गतियाँ, या जोड़ की गतियाँ (यांत्रिकी)), यह दृष्टिकोण सभी गतियों के बारे में ज्ञान पैदा करता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष की कोई भी उचित गति मूल के चारों ओर एक घूर्णन और एक अनुवाद (ज्यामिति) में विघटित हो जाती है। उनकी कार्य संरचना का क्रम चाहे जो भी हो, शुद्ध घूर्णन घटक नहीं बदलेगा, जो विशिष्ट रूप से पूर्ण गति द्वारा निर्धारित होता है।

कोई शुद्ध घुमाव को यूक्लिडियन संरचना से सुसज्जित वेक्टर स्थान में रैखिक मानचित्रों के रूप में भी समझ सकता है, न कि संबंधित एफ़िन स्थान के बिंदु (ज्यामिति) के मानचित्रों के रूप में। दूसरे शब्दों में, एक रोटेशन औपचारिकता एक गति के केवल घूर्णी भाग को पकड़ती है, जिसमें स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है, और अनुवादात्मक भाग को अनदेखा करती है, जिसमें अन्य तीन शामिल होते हैं।

कंप्यूटर में संख्याओं के रूप में रोटेशन का प्रतिनिधित्व करते समय, कुछ लोग चतुर्धातुक प्रतिनिधित्व या अक्ष+कोण प्रतिनिधित्व पसंद करते हैं, क्योंकि वे जिम्बल लॉक से बचते हैं जो यूलर रोटेशन के साथ हो सकता है।

रोटेशन मैट्रिक्स
इकाई सदिशों के उपर्युक्त त्रय को आधार (रैखिक बीजगणित) भी कहा जाता है। इस आधार के वैक्टरों के वास्तविक समन्वय स्थान (घटकों) को इसकी वर्तमान (घूर्णित) स्थिति में, संदर्भ (गैर-घूर्णित) समन्वय अक्षों के संदर्भ में निर्दिष्ट करना, रोटेशन का पूरी तरह से वर्णन करेगा। तीन इकाई सदिश, $û$, $v̂$ और $ŵ$, जो घुमाए गए आधार का निर्माण करता है, प्रत्येक में 3 निर्देशांक होते हैं, जिससे कुल 9 पैरामीटर प्राप्त होते हैं।

इन मापदंडों को a के तत्वों के रूप में लिखा जा सकता है 3 × 3 आव्यूह $A$, जिसे रोटेशन मैट्रिक्स कहा जाता है। आमतौर पर, इनमें से प्रत्येक वेक्टर के निर्देशांक मैट्रिक्स के एक कॉलम के साथ व्यवस्थित होते हैं (हालांकि, सावधान रहें कि रोटेशन मैट्रिक्स की एक वैकल्पिक परिभाषा मौजूद है और व्यापक रूप से उपयोग की जाती है, जहां ऊपर परिभाषित वैक्टर के निर्देशांक पंक्तियों द्वारा व्यवस्थित किए जाते हैं) ) $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix}  \hat{\mathbf{u}}_x & \hat{\mathbf{v}}_x & \hat{\mathbf{w}}_x \\   \hat{\mathbf{u}}_y & \hat{\mathbf{v}}_y & \hat{\mathbf{w}}_y \\   \hat{\mathbf{u}}_z & \hat{\mathbf{v}}_z & \hat{\mathbf{w}}_z \\ \end{bmatrix}$$ रोटेशन मैट्रिक्स के सभी तत्व स्वतंत्र नहीं हैं - जैसा कि यूलर के रोटेशन प्रमेय का निर्देश है, रोटेशन मैट्रिक्स में स्वतंत्रता की केवल तीन डिग्री हैं।

रोटेशन मैट्रिक्स में निम्नलिखित गुण हैं:
 * $A$ एक वास्तविक, ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, इसलिए इसकी प्रत्येक पंक्ति या स्तंभ एक इकाई वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है।
 * के eigenvalues $A$ हैं $$\left\{1, e^{\pm i\theta} \right\} = \{1,\ \cos\theta+i\sin\theta,\ \cos\theta-i\sin\theta\}$$ कहाँ $i$ संपत्ति के साथ मानक काल्पनिक इकाई है $i^{2} = −1$
 * का निर्धारक $A$ +1 है, जो इसके eigenvalues ​​​​के उत्पाद के बराबर है।
 * का ट्रेस (रैखिक बीजगणित)। $A$ है $1 + 2 cos θ$, इसके eigenvalues ​​​​के योग के बराबर।

कोना $θ$ जो आइजेनवैल्यू अभिव्यक्ति में दिखाई देता है वह यूलर अक्ष के कोण और कोण प्रतिनिधित्व से मेल खाता है। 1 के eigenvalue के अनुरूप eigenvector यूलर अक्ष के साथ है, क्योंकि अक्ष एकमात्र (गैर-शून्य) वेक्टर है जो रोटेशन मैट्रिक्स के साथ बाएं-गुणा (घूर्णन) करने पर अपरिवर्तित रहता है।

उपरोक्त गुण समतुल्य हैं $$\begin{align} |\hat{\mathbf u}| = |\hat{\mathbf v}| = |\hat{\mathbf w}| &= 1\\ \hat{\mathbf u} \cdot \hat{\mathbf v} &= 0\\ \hat{\mathbf u} \times \hat{\mathbf v} &= \hat{\mathbf w} \,, \end{align}$$ जो यह बताने का एक और तरीका है $(û, v̂, ŵ)$ एक 3डी ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाएं। इन कथनों में कुल 6 स्थितियाँ शामिल हैं (क्रॉस उत्पाद में 3 शामिल हैं), आवश्यकतानुसार, रोटेशन मैट्रिक्स को केवल 3 डिग्री की स्वतंत्रता के साथ छोड़ दिया गया है।

मैट्रिक्स द्वारा दर्शाए गए दो क्रमिक घुमाव $A_{1}$ और $A_{2}$ किसी समूह के तत्वों के रूप में आसानी से संयोजित हो जाते हैं, $$\mathbf{A}_\text{total} = \mathbf{A}_2\mathbf{A}_1$$ (क्रम पर ध्यान दें, क्योंकि घुमाए जाने वाले वेक्टर को दाईं ओर से गुणा किया जाता है)।

जिस आसानी से वैक्टर को रोटेशन मैट्रिक्स का उपयोग करके घुमाया जा सकता है, साथ ही क्रमिक रोटेशन के संयोजन में आसानी, रोटेशन मैट्रिक्स को रोटेशन का प्रतिनिधित्व करने का एक उपयोगी और लोकप्रिय तरीका बनाती है, भले ही यह अन्य अभ्यावेदन की तुलना में कम संक्षिप्त हो।

यूलर अक्ष और कोण (रोटेशन वेक्टर)


यूलर के घूर्णन प्रमेय से हम जानते हैं कि किसी भी घूर्णन को किसी अक्ष के चारों ओर एकल घूर्णन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अक्ष इकाई सदिश (चिह्न को छोड़कर अद्वितीय) है जो घूर्णन द्वारा अपरिवर्तित रहता है। कोण का परिमाण भी अद्वितीय है, इसका चिह्न घूर्णन अक्ष के चिह्न से निर्धारित होता है।

अक्ष को त्रि-आयामी इकाई वेक्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है $$\hat{\mathbf{e}} = \begin{bmatrix} e_x \\ e_y \\ e_z \end{bmatrix}$$ और एक अदिश द्वारा कोण $θ$.

चूंकि अक्ष सामान्यीकृत है, इसमें स्वतंत्रता की केवल दो डिग्री (यांत्रिकी) हैं। कोण इस घूर्णन प्रतिनिधित्व में स्वतंत्रता की तीसरी डिग्री जोड़ता है।

कोई व्यक्ति घूर्णन को घूर्णन वेक्टर, या यूलर वेक्टर के रूप में व्यक्त करना चाह सकता है, एक गैर-सामान्यीकृत त्रि-आयामी वेक्टर जिसकी दिशा अक्ष निर्दिष्ट करती है, और जिसकी लंबाई होती है $θ$, $$\mathbf{r} = \theta \hat{\mathbf{e}}\,.$$ रोटेशन वेक्टर कुछ संदर्भों में उपयोगी है, क्योंकि यह केवल तीन अदिश (गणित) मानों (इसके घटकों) के साथ त्रि-आयामी रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है, जो स्वतंत्रता की तीन डिग्री का प्रतिनिधित्व करता है। यह तीन यूलर कोणों के अनुक्रमों पर आधारित अभ्यावेदन के लिए भी सत्य है (नीचे देखें)।

यदि घूर्णन कोण $θ$ शून्य है, अक्ष विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। दो क्रमिक घुमावों का संयोजन, जिनमें से प्रत्येक को यूलर अक्ष और कोण द्वारा दर्शाया गया है, सीधा नहीं है, और वास्तव में वेक्टर जोड़ के नियम को संतुष्ट नहीं करता है, जो दर्शाता है कि परिमित घुमाव वास्तव में वेक्टर नहीं हैं। रोटेशन मैट्रिक्स या क्वाटरनियन नोटेशन को नियोजित करना, उत्पाद की गणना करना और फिर यूलर अक्ष और कोण में परिवर्तित करना सबसे अच्छा है।

यूलर घूर्णन


यूलर ROTATION  के पीछे का विचार समन्वय प्रणाली के पूर्ण रोटेशन को तीन सरल संवैधानिक घुमावों में विभाजित करना है, जिन्हें  अग्रगमन, न्यूटेशन और रोटेशन कहा जाता है, उनमें से प्रत्येक यूलर कोण में से एक पर वृद्धि है। ध्यान दें कि बाहरी मैट्रिक्स संदर्भ फ्रेम के अक्षों में से एक के चारों ओर घूर्णन का प्रतिनिधित्व करेगा, और आंतरिक मैट्रिक्स चलती फ्रेम अक्षों में से एक के चारों ओर घूर्णन का प्रतिनिधित्व करेगा। मध्य मैट्रिक्स एक मध्यवर्ती अक्ष के चारों ओर एक घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है जिसे नोड्स की रेखा कहा जाता है।

हालाँकि, यूलर कोणों की परिभाषा अद्वितीय नहीं है और साहित्य में कई अलग-अलग परंपराओं का उपयोग किया जाता है। ये परंपराएँ उन अक्षों पर निर्भर करती हैं जिनके बारे में घूर्णन किया जाता है, और उनका अनुक्रम (क्योंकि घूर्णन क्रमविनिमेयता नहीं हैं)।

उपयोग किए जा रहे सम्मेलन को आम तौर पर उन अक्षों को निर्दिष्ट करके इंगित किया जाता है जिनके बारे में लगातार घुमाव (बनाए जाने से पहले) होते हैं, उन्हें सूचकांक द्वारा संदर्भित किया जाता है (1, 2, 3) या पत्र (X, Y, Z). इंजीनियरिंग और रोबोटिक्स समुदाय आमतौर पर 3-1-3 यूलर कोणों का उपयोग करते हैं। ध्यान दें कि स्वतंत्र घूर्णन की रचना करने के बाद, वे अब अपनी धुरी पर नहीं घूमते हैं। सबसे बाहरी मैट्रिक्स अन्य दो को घुमाता है, दूसरे रोटेशन मैट्रिक्स को नोड्स की रेखा पर छोड़ देता है, और तीसरा शरीर के साथ चलते हुए फ्रेम में होता है। वहाँ हैं 3 × 3 × 3 = 27 केवल तीन बुनियादी घुमावों का संभावित संयोजन {{nowrap|1=3 × 2 × 2 = 12}उनमें से } का उपयोग यूलर कोण के रूप में मनमाने ढंग से 3डी घुमावों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। ये 12 संयोजन एक ही अक्ष (जैसे XXY) के चारों ओर लगातार घूमने से बचते हैं, जिससे प्रतिनिधित्व की जा सकने वाली स्वतंत्रता की डिग्री कम हो जाएगी।

इसलिए, यूलर कोणों को कभी भी बाहरी फ्रेम के संदर्भ में, या सह-गतिशील घुमाए गए बॉडी फ्रेम के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जाता है, बल्कि मिश्रण में व्यक्त किया जाता है। इस समस्या से बचने के लिए अन्य सम्मेलनों (उदाहरण के लिए, रोटेशन मैट्रिक्स या चतुर्भुज और स्थानिक घूर्णन) का उपयोग किया जाता है।

विमानन में विमान के उन्मुखीकरण को आमतौर पर यूलर कोण#आंतरिक घुमाव यूलर कोण#टैट.ई2.80.93ब्रायन कोण|टाइट-ब्रायन कोण के रूप में व्यक्त किया जाता है। $z-y′-x″$ कन्वेंशन, जिन्हें कोर्स (नेविगेशन)#एयरक्राफ्ट हेडिंग|हेडिंग, एलिवेशन (बैलिस्टिक्स)|एलिवेशन, और बैंक्ड टर्न|बैंक (या पर्यायवाची रूप से, यॉ (रोटेशन)|' कहा जाता है। 'यॉ, पिचिंग मोमेंट|पिच, और रोल'')।

चतुर्भुज
चतुर्भुज, जो एक चार-आयामी वेक्टर स्थान बनाते हैं, इस लेख में उल्लिखित अन्य अभ्यावेदन की तुलना में कई फायदों के कारण घूर्णन का प्रतिनिधित्व करने में बहुत उपयोगी साबित हुए हैं।

घूर्णन का एक चतुर्भुज प्रतिनिधित्व एक छंद (सामान्यीकृत चतुर्भुज) के रूप में लिखा गया है: $$\hat{\mathbf{q}} =q_i\mathbf{i}+q_j\mathbf{j}+q_k\mathbf{k}+q_r = \begin{bmatrix} q_i \\ q_j \\ q_k \\ q_r \end{bmatrix}$$ उपरोक्त परिभाषा (वर्ट्ज़ 1980) और (मार्कले 2003) में प्रयुक्त सम्मेलन के बाद चतुर्भुज को एक सरणी के रूप में संग्रहीत करती है। एक वैकल्पिक परिभाषा, उदाहरण के लिए (कॉटसियास 1999) और (श्मिट 2001) में प्रयुक्त, अदिश शब्द को पहले चतुर्भुज तत्व के रूप में परिभाषित करती है, अन्य तत्वों को एक स्थान से नीचे स्थानांतरित कर दिया जाता है।

यूलर अक्ष के संदर्भ में $$\hat{\mathbf{e}} = \begin{bmatrix} e_x \\ e_y \\ e_z \end{bmatrix}$$ और कोण $θ$ इस छंद के घटकों को इस प्रकार व्यक्त किया गया है: $$\begin{align} q_i &= e_x\sin\frac{\theta}{2}\\ q_j &= e_y\sin\frac{\theta}{2}\\ q_k &= e_z\sin\frac{\theta}{2}\\ q_r &= \cos\frac{\theta}{2} \end{align}$$ निरीक्षण से पता चलता है कि चतुर्भुज पैरामीट्रिजेशन निम्नलिखित बाधा का पालन करता है: $$q_i^2 + q_j^2 + q_k^2 + q_r^2 = 1$$ अंतिम पद (हमारी परिभाषा में) को अक्सर अदिश पद कहा जाता है, जिसकी उत्पत्ति चतुष्कोणों में होती है, जब इसे जटिल संख्याओं के गणितीय विस्तार के रूप में समझा जाता है, जिसे इस प्रकार लिखा जाता है $$a + b i + c j + d k \qquad \text{with } a, b, c, d \in \R$$ और कहाँ ${i, j, k}$ हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याएँ संतोषजनक हैं $$ \begin{array}{ccccccc} i^2 &=& j^2 &=& k^2 &=& -1\\ ij &=& -ji &=& k&&\\ jk &=& -kj &=& i&&\\ ki &=& -ik &=& j&& \end{array} $$ क्वाटरनियन गुणन, जिसका उपयोग फ़ंक्शन संरचना रोटेशन को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है, जटिल संख्याओं के गुणन के समान ही किया जाता है, सिवाय इसके कि तत्वों के क्रम को ध्यान में रखा जाना चाहिए, क्योंकि गुणन क्रमविनिमेय नहीं है। मैट्रिक्स नोटेशन में हम चतुर्भुज गुणन को इस प्रकार लिख सकते हैं $$ \tilde{\mathbf{q}}\otimes\mathbf{q} = \begin{bmatrix} \;\;\, q_r & \;\;\, q_k & -q_j & \;\;\, q_i\\ -q_k & \;\;\, q_r & \;\;\, q_i & \;\;\, q_j\\ \;\;\, q_j & -q_i & \;\;\, q_r & \;\;\, q_k\\ -q_i & -q_j & -q_k & \;\;\, q_r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \tilde{q}_i\\ \tilde{q}_j\\ \tilde{q}_k\\ \tilde{q}_r \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \;\;\, \tilde{q}_r & -\tilde{q}_k & \;\;\, \tilde{q}_j & \;\;\, \tilde{q}_i\\ \;\;\, \tilde{q}_k & \;\;\, \tilde{q}_r & -\tilde{q}_i & \;\;\, \tilde{q}_j\\ -\tilde{q}_j & \;\;\, \tilde{q}_i & \;\;\, \tilde{q}_r & \;\;\, \tilde{q}_k\\ -\tilde{q}_i & -\tilde{q}_j & -\tilde{q}_k & \;\;\, \tilde{q}_r \end{bmatrix} \begin{bmatrix} q_i\\ q_j\\ q_k\\ q_r \end{bmatrix} $$ इसलिए लगातार दो चतुर्भुज घूर्णनों का संयोजन करना घूर्णन मैट्रिक्स का उपयोग करने जितना ही सरल है। ठीक उसी प्रकार जैसे दो क्रमिक घूर्णन मैट्रिक्स, $A_{1}$ के बाद $A_{2}$, के रूप में संयुक्त हैं $$\mathbf{A}_3 = \mathbf{A}_2\mathbf{A}_1,$$ हम इसे समान रूप से संक्षिप्त तरीके से चतुर्भुज मापदंडों के साथ प्रस्तुत कर सकते हैं: $$\mathbf{q}_3 = \mathbf{q}_2 \otimes \mathbf{q}_1$$ निम्नलिखित गुणों के कारण क्वाटरनियंस एक बहुत लोकप्रिय पैरामीट्रिज़ेशन है:
 * मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व की तुलना में अधिक कॉम्पैक्ट और राउंड-ऑफ त्रुटियों के प्रति कम संवेदनशील
 * क्वाटर्नियन तत्व इकाई क्षेत्र में लगातार बदलते रहते हैं $ℝ^{4}$, (द्वारा चिह्नित $S^{3}$) जैसे-जैसे अभिविन्यास बदलता है, असंततता के वर्गीकरण से बचा जाता है (त्रि-आयामी मानकीकरण में निहित)
 * चतुर्भुज मापदंडों के संदर्भ में रोटेशन मैट्रिक्स की अभिव्यक्ति में कोई त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन शामिल नहीं है
 * चतुर्धातु उत्पाद का उपयोग करके चतुष्कोण के रूप में दर्शाए गए दो अलग-अलग घुमावों को संयोजित करना सरल है

रोटेशन मैट्रिक्स की तरह, चतुर्भुज को कभी-कभी राउंडिंग त्रुटियों के कारण पुन: सामान्यीकृत किया जाना चाहिए, यह सुनिश्चित करने के लिए कि वे वैध रोटेशन के अनुरूप हैं। हालाँकि, एक चतुर्भुज को फिर से सामान्य करने की कम्प्यूटेशनल लागत सामान्य बनाने की तुलना में बहुत कम है 3 × 3 आव्यूह।

चतुर्भुज तीन आयामों में घूर्णन के स्पिनोरियल चरित्र को भी पकड़ते हैं। ढीले तारों या बैंडों द्वारा अपने (निश्चित) परिवेश से जुड़ी त्रि-आयामी वस्तु के लिए, प्रारंभिक उलझे हुए राज्य से कुछ निश्चित अक्ष के बारे में दो पूर्ण मोड़ के बाद तारों या बैंड को सुलझाया जा सकता है। बीजगणितीय रूप से, इस तरह के घूर्णन का वर्णन करने वाला चतुर्भुज एक अदिश +1 (प्रारंभ में), (स्केलर + स्यूडोवेक्टर) मानों के माध्यम से अदिश -1 (एक पूर्ण मोड़ पर), (स्केलर + स्यूडोवेक्टर) मानों के माध्यम से वापस अदिश +1 (पर) में बदल जाता है दो पूर्ण मोड़)। यह चक्र हर 2 मोड़ पर दोहराया जाता है। बाद $2n$ बदल जाता है (पूर्णांक $n > 0$), बिना किसी मध्यवर्ती सुलझाए प्रयास के, तारों/बैंडों को आंशिक रूप से वापस सुलझाया जा सकता है $2(n − 1)$ 2 मोड़ों से 0 मोड़ों तक सुलझाने में उपयोग की जाने वाली समान प्रक्रिया के प्रत्येक अनुप्रयोग के साथ स्थिति बदल जाती है। वही प्रक्रिया लागू कर रहे हैं $n$ समय लगेगा $2n$-उलझी हुई वस्तु वापस सुलझी हुई या 0 मोड़ वाली स्थिति में। सुलझाने की प्रक्रिया तारों/बैंडों के बारे में किसी भी घूर्णन-जनित घुमाव को भी हटा देती है। इन तथ्यों को प्रदर्शित करने के लिए सरल 3डी यांत्रिक मॉडल का उपयोग किया जा सकता है।

रोड्रिग्स वेक्टर
रोड्रिग्स वेक्टर (कभी-कभी गिब्स वेक्टर कहा जाता है, निर्देशांक को रोड्रिग्स पैरामीटर कहा जाता है) घूर्णन के अक्ष और कोण के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है: $$\mathbf{g} = \hat{\mathbf{e}}\tan\frac{\theta}{2}$$ यह प्रतिनिधित्व सूक्ति प्रक्षेपण का एक उच्च-आयामी एनालॉग है, जो 3-गोले से 3-आयामी शुद्ध-वेक्टर हाइपरप्लेन पर इकाई चतुर्भुज का मानचित्रण करता है।

इसका 180° पर असंततता है ($\pi$ रेडियन): किसी भी घूर्णन वेक्टर के रूप में $r$ के कोण की ओर झुकता है π रेडियन, इसकी स्पर्शरेखा अनंत की ओर प्रवृत्त होती है।

एक घुमाव $g$ एक रोटेशन के बाद $f$ रोड्रिग्स प्रतिनिधित्व में सरल रोटेशन संरचना रूप है

आज, इस सूत्र को सिद्ध करने का सबसे सीधा तरीका (वफादार) पाउली मैट्रिसेस#एसयू(2) में है, जहां $g = n̂ tan a$, वगैरह।

अभी उल्लिखित पाउली मैट्रिक्स व्युत्पत्ति की संयोजनात्मक विशेषताएं भी नीचे समतुल्य चतुर्भुज व्युत्पत्ति के समान हैं। स्थानिक घूर्णन से जुड़े एक चतुर्भुज का निर्माण करें $R$ जैसा, $$ S = \cos\frac{\phi}{2} + \sin\frac{\phi}{2} \mathbf{S}. $$ फिर रोटेशन की संरचना $R_{B}$ साथ $R_{A}$ घूर्णन है $R_{C} = R_{B}R_{A}$, चतुर्भुजों के गुणनफल द्वारा परिभाषित घूर्णन अक्ष और कोण के साथ, $$A=\cos\frac{\alpha}{2}+ \sin\frac{\alpha}{2}\mathbf{A}\quad \text{and} \quad B=\cos\frac{\beta}{2}+ \sin\frac{\beta}{2}\mathbf{B},$$ वह है $$ C = \cos\frac{\gamma}{2}+\sin\frac{\gamma}{2}\mathbf{C} = \left(\cos\frac{\beta}{2}+\sin\frac{\beta}{2}\mathbf{B}\right) \left(\cos\frac{\alpha}{2} + \sin\frac{\alpha}{2}\mathbf{A}\right). $$ इस चतुर्भुज उत्पाद का विस्तार करें $$ \cos\frac{\gamma}{2}+\sin\frac{\gamma}{2} \mathbf{C} = \left(\cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\alpha}{2} \mathbf{B}\cdot \mathbf{A}\right) + \left(\sin\frac{\beta}{2} \cos\frac{\alpha}{2} \mathbf{B} + \sin\frac{\alpha}{2} \cos\frac{\beta}{2} \mathbf{A} + \sin\frac{\beta}{2} \sin\frac{\alpha}{2} \mathbf{B}\times \mathbf{A}\right). $$ इस समीकरण के दोनों पक्षों को पिछले समीकरण से प्राप्त पहचान से विभाजित करें, $$ \cos\frac{\gamma}{2} = \cos\frac{\beta}{2}\cos\frac{\alpha}{2} - \sin\frac{\beta}{2}\sin\frac{\alpha}{2} \mathbf{B}\cdot \mathbf{A},$$ और मूल्यांकन करें

यह दो घटक घूर्णनों की अक्षों के संदर्भ में परिभाषित समग्र घूर्णन की धुरी के लिए रोड्रिग्स का सूत्र है। उन्होंने यह सूत्र 1840 में निकाला (देखें पृष्ठ 408)। तीन घूर्णन अक्ष $A$, $B$, और $C$ एक गोलाकार त्रिभुज बनाते हैं और इस त्रिभुज की भुजाओं द्वारा निर्मित तलों के बीच के द्विफलकीय कोणों को घूर्णन कोणों द्वारा परिभाषित किया जाता है।

संशोधित रोड्रिग्स पैरामीटर (एमआरपी) को यूलर अक्ष और कोण के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $$\mathbf{p} = \hat{\mathbf{e}}\tan\frac{\theta}{4}\,.$$ इसके घटकों को उसी घूर्णन का प्रतिनिधित्व करने वाली इकाई चतुर्भुज के घटकों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $$p_{x,y,z} = \frac{q_{i,j,k}}{1 + q_r}\,.$$ संशोधित रोड्रिग्स वेक्टर एक 3-गोले से 3-आयामी शुद्ध-वेक्टर हाइपरप्लेन पर एक त्रिविम प्रक्षेपण मानचित्रण इकाई क्वाटरनियन है। विपरीत चतुर्भुज का प्रक्षेपण $−q$ एक भिन्न संशोधित रोड्रिग्स वेक्टर में परिणत होता है $p^{s}$ मूल चतुर्भुज के प्रक्षेपण की तुलना में $q$. घटकों की तुलना करने से वह प्राप्त होता है $$p^s_{x,y,z} = \frac{-q_{i,j,k}}{1-q_r} =\frac{-p_{x,y,z}}{\mathbf{p}^2}\,.$$ विशेष रूप से, यदि इनमें से एक वेक्टर इकाई 3-गोले के अंदर स्थित है, तो दूसरा बाहर स्थित होगा।

केली-क्लेन पैरामीटर
वोल्फ्राम मैथवर्ल्ड पर परिभाषा देखें।

वेक्टर परिवर्तन कानून
3डी वेक्टर का सक्रिय घुमाव $p$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक अक्ष के चारों ओर $n$ एक कोण पर $η$ को डॉट और क्रॉस उत्पादों के संदर्भ में निम्नानुसार आसानी से लिखा जा सकता है:

$$\mathbf{p}' = p_\parallel \mathbf{n} + \cos{\eta} \, \mathbf{p}_\perp + \sin{\eta} \, \mathbf{p} \wedge \mathbf{n}$$ जिसमें $$p_\parallel = \mathbf{p} \cdot \mathbf{n}$$ का अनुदैर्ध्य घटक है $p$ साथ में $n$, डॉट उत्पाद द्वारा दिया गया, $$\mathbf{p}_\perp = \mathbf{p} - (\mathbf{p} \cdot \mathbf{n}) \mathbf{n}$$ का अनुप्रस्थ घटक है $p$ इसके संबंध में $n$, और $$\mathbf{p} \wedge \mathbf{n}$$ का क्रॉस उत्पाद है $p$ साथ $n$.

उपरोक्त सूत्र दर्शाता है कि का अनुदैर्ध्य घटक $p$ अपरिवर्तित रहता है, जबकि का अनुप्रस्थ भाग $p$ को समतल में लंबवत घुमाया जाता है $n$. यह तल के अनुप्रस्थ भाग द्वारा फैला हुआ है $p$ स्वयं और दोनों के लिए लंबवत दिशा $p$ और $n$. समीकरण में घूर्णन को एक कोण पर 2D घूर्णन के रूप में सीधे पहचाना जा सकता है $η$.

निष्क्रिय घुमावों को एक ही सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है, लेकिन दोनों में से किसी एक के व्युत्क्रम चिह्न के साथ $η$ या $n$.

रोटेशन मैट्रिक्स ↔ यूलर कोण
यूलर कोण $(φ, θ, ψ)$ को रोटेशन मैट्रिक्स से निकाला जा सकता है $A$ विश्लेषणात्मक रूप में रोटेशन मैट्रिक्स का निरीक्षण करके।

रोटेशन मैट्रिक्स → यूलर कोण ($z-x-z$ बाह्य)
का उपयोग $x$-सम्मेलन, 3-1-3 यूलर कोण#बाहरी घुमाव यूलर कोण $φ$, $θ$ और $ψ$ (चारों ओर $z$-एक्सिस, $x$-अक्ष और फिर से $$ Z$$-अक्ष) इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है: $$ \begin{align} \phi  &=  \operatorname{atan2}\left(A_{31}, A_{32}\right)\\ \theta &= \arccos\left(A_{33}\right)\\ \psi  &= -\operatorname{atan2}\left(A_{13}, A_{23}\right) \end{align} $$ ध्यान दें कि $atan2(a, b)$ के बराबर है $arctan a⁄b$ जहां यह कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को भी ध्यान में रखता है#कार्टेशियन बिंदु के दो आयामों में समन्वय करता है $(b, a)$ में है; atan2 देखें।

रूपांतरण लागू करते समय, व्यक्ति को कई स्थितियों को ध्यान में रखना होगा:
 * अंतराल में सामान्यतः दो समाधान होते हैं $[−π, π]^{3}$. उपरोक्त सूत्र तभी काम करता है जब $θ$अंतराल के अंदर है $[0, π]$.
 * विशेष मामले के लिए $A_{33} = 0$, $φ$ और $ψ$ से प्राप्त होगा $A_{11}$ और $A_{12}$.
 * अंतराल के बाहर अनंत रूप से कई लेकिन अनगिनत समाधान हैं $[−π, π]^{3}$.
 * किसी दिए गए एप्लिकेशन के लिए सभी गणितीय समाधान लागू होते हैं या नहीं, यह स्थिति पर निर्भर करता है।

यूलर कोण ($z-y′-x″$ आंतरिक) → रोटेशन मैट्रिक्स
रोटेशन मैट्रिक्स $A$ 3-2-1 यूलर कोण#आंतरिक घूर्णन यूलर कोण से उत्पन्न होता है, जो अक्षों के चारों ओर घूर्णन द्वारा उत्पन्न तीन आव्यूहों को गुणा करके होता है। $$\mathbf{A} = \mathbf{A}_3\mathbf{A}_2\mathbf{A}_1 = \mathbf{A}_Z\mathbf{A}_Y\mathbf{A}_X$$ घूर्णन की कुल्हाड़ियाँ उपयोग की जा रही विशिष्ट परिपाटी पर निर्भर करती हैं। के लिए $x$-परिवर्तन घूर्णन के बारे में हैं $x$-, $y$- और $z$-कोणों के साथ अक्ष $ϕ$, $θ$ और $ψ$, व्यक्तिगत आव्यूह इस प्रकार हैं: $$\begin{align} \mathbf{A}_X &= \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\phi & -\sin\phi\\ 0 & \sin\phi & \cos\phi \end{bmatrix} \\[5px] \mathbf{A}_Y &= \begin{bmatrix} \cos\theta & 0 & \sin\theta\\ 0 & 1 & 0\\ -\sin\theta & 0 & \cos\theta \end{bmatrix} \\[5px] \mathbf{A}_Z &= \begin{bmatrix} \cos\psi & -\sin\psi & 0\\ \sin\psi & \cos\psi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \end{align}$$ यह प्रदान करता है $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} \cos\theta \cos\psi & -\cos\phi \sin\psi + \sin\phi \sin\theta \cos\psi &   \sin\phi \sin\psi + \cos\phi \sin\theta \cos\psi \\ \cos\theta\sin\psi & \cos\phi \cos\psi + \sin\phi \sin\theta \sin\psi &  - \sin\phi \cos\psi + \cos\phi \sin\theta \sin\psi \\ -\sin\theta            &  \sin\phi \cos\theta                                          &   \cos\phi \cos\theta \\ \end{bmatrix}$$ नोट: यह दाएँ हाथ के नियम | दाएँ हाथ की प्रणाली के लिए मान्य है, जो लगभग सभी इंजीनियरिंग और भौतिकी विषयों में उपयोग की जाने वाली परंपरा है।

इन दाएं हाथ के रोटेशन मैट्रिक्स की व्याख्या यह है कि वे बिंदु परिवर्तनों (सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन # निष्क्रिय परिवर्तन) के विपरीत समन्वय परिवर्तनों (सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन # निष्क्रिय परिवर्तन) को व्यक्त करते हैं। क्योंकि $A$ स्थानीय फ़्रेम से घूर्णन को व्यक्त करता है $1$ वैश्विक फ्रेम के लिए $0$ (अर्थात।, $A$ फ्रेम के अक्षों को एन्कोड करता है $1$ फ्रेम के संबंध में $0$), प्राथमिक रोटेशन मैट्रिक्स ऊपर बताए अनुसार बनाए गए हैं। क्योंकि यदि हम फ्रेम से ग्लोबल-टू-लोकल रोटेशन चाहते हैं तो व्युत्क्रम रोटेशन सिर्फ ट्रांसपोज़्ड रोटेशन है $0$ फ्रेम करने के लिए $1$, हम लिखेंगे $$\mathbf{A}^\mathsf{T} = (\mathbf{A}_Z\mathbf{A}_Y\mathbf{A}_X)^\mathsf{T} = \mathbf{A}_X^\mathsf{T}\mathbf{A}_Y^\mathsf{T}\mathbf{A}_Z^\mathsf{T}\,.$$

रोटेशन मैट्रिक्स ↔ यूलर अक्ष/कोण
यदि यूलर कोण $θ$ का गुणज नहीं है π, यूलर अक्ष $ê$ और कोण $θ$ की गणना रोटेशन मैट्रिक्स के तत्वों से की जा सकती है $A$ निम्नलिखित नुसार: $$\begin{align} \theta &= \arccos\frac{A_{11}+A_{22}+A_{33}-1}{2}\\ e_1 &= \frac{A_{32}-A_{23}}{2\sin\theta}\\ e_2 &= \frac{A_{13}-A_{31}}{2\sin\theta}\\ e_3 &= \frac{A_{21}-A_{12}}{2\sin\theta} \end{align}$$ वैकल्पिक रूप से, निम्नलिखित विधि का उपयोग किया जा सकता है:

रोटेशन मैट्रिक्स के आइगेनडेकंपोजीशन से आइगेनवैल्यू 1 और प्राप्त होता है $cos θ ± i sin θ$. यूलर अक्ष 1 के eigenvalue के अनुरूप eigenvector है, और $θ$ की गणना शेष eigenvalues ​​​​से की जा सकती है।

यूलर अक्ष को एकवचन मान अपघटन का उपयोग करके भी पाया जा सकता है क्योंकि यह मैट्रिक्स के शून्य-स्थान को फैला हुआ सामान्यीकृत वेक्टर है $I − A$.

यूलर अक्ष के अनुरूप रोटेशन मैट्रिक्स को दूसरे तरीके से परिवर्तित करने के लिए $ê$ और कोण $θ$ की गणना रोड्रिग्स के रोटेशन फार्मूले के अनुसार की जा सकती है (उचित संशोधन के साथ)।) निम्नलिखित नुसार: $$\mathbf{A} = \mathbf{I}_3\cos\theta + (1-\cos\theta)\hat{\mathbf{e}}\hat{\mathbf{e}}^\mathsf{T} + \left[\hat{\mathbf{e}}\right]_{\times} \sin\theta$$ साथ $I_{3}$ द 3 × 3 पहचान मैट्रिक्स, और $$\left[\hat{\mathbf{e}}\right]_{\times} = \begin{bmatrix} 0 & -e_3 & e_2\\ e_3 & 0 & -e_1\\ -e_2 & e_1 & 0 \end{bmatrix} $$ क्रॉस उत्पाद#मैट्रिक्स गुणन में रूपांतरण|क्रॉस-उत्पाद मैट्रिक्स है।

इसका विस्तार इस प्रकार है: $$\begin{align} A_{11} &= (1-\cos\theta) e_1^2 + \cos\theta \\ A_{12} &= (1-\cos\theta) e_1 e_2 - e_3 \sin\theta \\ A_{13} &= (1-\cos\theta) e_1 e_3 + e_2 \sin\theta \\ A_{21} &= (1-\cos\theta) e_2 e_1 + e_3 \sin\theta \\ A_{22} &= (1-\cos\theta) e_2^2 + \cos\theta \\ A_{23} &= (1-\cos\theta) e_2 e_3 - e_1 \sin\theta \\ A_{31} &= (1-\cos\theta) e_3 e_1 - e_2 \sin\theta \\ A_{32} &= (1-\cos\theta) e_3 e_2 + e_1 \sin\theta \\ A_{33} &= (1-\cos\theta) e_3^2 + \cos\theta \end{align}$$

रोटेशन मैट्रिक्स ↔ चतुर्भुज
घूर्णन मैट्रिक्स से चतुर्भुज की गणना करते समय, एक संकेत अस्पष्टता होती है $q$ और $−q$ समान घूर्णन का प्रतिनिधित्व करते हैं।

चतुर्भुज की गणना करने का एक तरीका $$\mathbf{q} = \begin{bmatrix} q_i \\ q_j \\ q_k \\ q_r \end{bmatrix} = q_i\mathbf{i}+q_j\mathbf{j}+q_k\mathbf{k}+q_r$$ रोटेशन मैट्रिक्स से $A$ इस प्रकार है: $$\begin{align} q_r &= \frac{1}{2}\sqrt{1+A_{11}+A_{22}+A_{33}}\\ q_i &= \frac{1}{4q_r}\left(A_{32}- A_{23}\right)\\ q_j &= \frac{1}{4q_r}\left(A_{13}- A_{31}\right)\\ q_k &= \frac{1}{4q_r}\left(A_{21}- A_{12}\right) \end{align}$$ गणना करने के तीन अन्य गणितीय समकक्ष तरीके हैं $q$. उन स्थितियों से बचकर संख्यात्मक अशुद्धि को कम किया जा सकता है जिनमें हर शून्य के करीब है। अन्य तीन विधियों में से एक इस प्रकार दिखती है: $$\begin{align} q_i &= \frac{1}{2}\sqrt{1 + A_{11} - A_{22} - A_{33}}\\ q_j &= \frac{1}{4q_i}\left(A_{12} + A_{21}\right)\\ q_k &= \frac{1}{4q_i}\left(A_{13} + A_{31}\right)\\ q_r &= \frac{1}{4q_i}\left(A_{32} - A_{23}\right) \end{align}$$ चतुर्भुज के अनुरूप घूर्णन मैट्रिक्स $q$ की गणना इस प्रकार की जा सकती है: $$\mathbf{A} = \left(q_r^2 - \check{\mathbf{q}}^\mathsf{T}\check{\mathbf{q}}\right)\mathbf{I}_3 + 2\check{\mathbf{q}}\check{\mathbf{q}}^\mathsf{T} + 2q_r\mathbf{\mathcal{Q}}$$ कहाँ $$\check{\mathbf{q}} = \begin{bmatrix} q_i\\q_j\\q_k\end{bmatrix} \,, \quad \mathbf{\mathcal{Q}} = \begin{bmatrix} 0 & -q_k & q_j\\ q_k & 0 & -q_i\\ -q_j & q_i & 0 \end{bmatrix}$$ जो देता है $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} 1 - 2q_j^2 - 2q_k^2 & 2\left(q_iq_j - q_kq_r\right) & 2\left(q_iq_k + q_jq_r\right)\\ 2\left(q_iq_j + q_kq_r\right) & 1 - 2q_i^2- 2 q_k^2 & 2\left(q_jq_k - q_iq_r\right)\\ 2\left(q_iq_k - q_jq_r\right) & 2\left(q_jq_k + q_iq_r\right)  & 1 - 2q_i^2 - 2q_j^2 \end{bmatrix}$$ या समकक्ष $$\mathbf{A} = \begin{bmatrix} -1 + 2q_i^2 + 2q_r^2 & 2\left(q_iq_j - q_kq_r\right)  & 2\left(q_iq_k + q_jq_r\right)\\ 2\left(q_iq_j + q_kq_r\right)  & -1 + 2q_j^2 + 2q_r^2 & 2\left(q_jq_k - q_iq_r\right)\\ 2\left(q_iq_k - q_jq_r\right)  & 2\left(q_jq_k + q_iq_r\right)   & -1 + 2q_k^2 + 2q_r^2 \end{bmatrix}$$

यूलर कोण ($z-x-z$ बाह्य) → चतुर्भुज
हम विचार करेंगे $x$-सम्मेलन 3-1-3 यूलर कोण#निम्नलिखित एल्गोरिदम के लिए बाहरी घुमाव। एल्गोरिथम की शर्तें प्रयुक्त परंपरा पर निर्भर करती हैं।

हम चतुर्भुज की गणना कर सकते हैं $$\mathbf{q} = \begin{bmatrix} q_i \\ q_j \\ q_k \\ q_r \end{bmatrix} = q_i\mathbf{i}+q_j\mathbf{j}+q_k\mathbf{k}+q_r$$ यूलर कोण से $(ϕ, θ, ψ)$ निम्नलिखित नुसार:

$$\begin{align} q_i &= \cos\frac{\phi - \psi}{2}\sin\frac{\theta}{2}\\ q_j &= \sin\frac{\phi - \psi}{2}\sin\frac{\theta}{2}\\ q_k &= \sin\frac{\phi + \psi}{2}\cos\frac{\theta}{2}\\ q_r &= \cos\frac{\phi + \psi}{2}\cos\frac{\theta}{2} \end{align}$$

यूलर कोण ($z-y′-x″$ आंतरिक) → चतुर्भुज
यॉ (रोटेशन) के समतुल्य एक चतुर्भुज ($ψ$), पिचिंग पल ($θ$) और रोल करें ($ϕ$) कोण. या यूलर कोण#आंतरिक घूर्णन यूलर कोण#टैट.ई2.80.93ब्रायन कोण|टाइट-ब्रायन कोण निम्नलिखित $z-y′-x″$सम्मेलन, द्वारा गणना की जा सकती है

$$ \begin{align} q_i &= \sin \frac{\phi}{2} \cos \frac{\theta}{2} \cos \frac{\psi}{2} - \cos \frac{\phi}{2} \sin \frac{\theta}{2} \sin \frac{\psi}{2}\\ q_j &= \cos \frac{\phi}{2} \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\psi}{2} + \sin \frac{\phi}{2} \cos \frac{\theta}{2} \sin \frac{\psi}{2}\\ q_k &= \cos \frac{\phi}{2} \cos \frac{\theta}{2} \sin \frac{\psi}{2} - \sin \frac{\phi}{2} \sin \frac{\theta}{2} \cos \frac{\psi}{2}\\ q_r &= \cos \frac{\phi}{2} \cos \frac{\theta}{2} \cos \frac{\psi}{2} + \sin \frac{\phi}{2} \sin \frac{\theta}{2} \sin \frac{\psi}{2} \end{align} $$

चतुर्भुज → यूलर कोण ($z-x-z$ बाह्य)
घूर्णन चतुर्भुज को देखते हुए $$\mathbf{q} = \begin{bmatrix} q_i \\ q_j \\ q_k \\ q_r \end{bmatrix} = q_i\mathbf{i}+q_j\mathbf{j}+q_k\mathbf{k}+q_r \,,$$ $x$-सम्मेलन 3-1-3 यूलर कोण#बाहरी घुमाव $(φ, θ, ψ)$ द्वारा गणना की जा सकती है

$$ \begin{align} \phi  &=  \operatorname{atan2}\left(\left(q_iq_k + q_jq_r\right), -\left(q_jq_k - q_iq_r\right)\right)\\ \theta &= \arccos\left(-q_i^2 - q_j^2 + q_k^2+q_r^2\right)\\ \psi  &= \operatorname{atan2}\left(\left(q_iq_k - q_jq_r\right), \left(q_jq_k + q_iq_r\right)\right) \end{align} $$

चतुर्भुज → यूलर कोण ($z-y′-x″$ आंतरिक)
घूर्णन चतुर्भुज को देखते हुए $$\mathbf{q} = \begin{bmatrix} q_i \\ q_j \\ q_k \\ q_r \end{bmatrix} = q_i\mathbf{i}+q_j\mathbf{j}+q_k\mathbf{k}+q_r \,,$$ यॉ (रोटेशन), पिचिंग मोमेंट और रोल कोण, या यूलर कोण#आंतरिक घुमाव यूलर कोण#Tait.E2.80.93ब्रायन कोण|टाइट-ब्रायन कोण निम्नलिखित $z-y′-x″$सम्मेलन, द्वारा गणना की जा सकती है

$$\begin{align} \text{roll}  &= \operatorname{atan2} \left(2\left(q_r q_i + q_j q_k\right),1 - 2\left(q_i^2 + q_j^2\right)\right) \\ \text{pitch} &= \arcsin \left(2\left(q_r q_j - q_k q_i\right)\right) \\ \text{yaw} &= \operatorname{atan2} \left(2\left(q_r q_k + q_i q_j\right),1 - 2\left(q_j^2 + q_k^2\right)\right) \end{align} $$

यूलर अक्ष-कोण ↔ चतुर्भुज
यूलर अक्ष को देखते हुए $ê$ और कोण $θ$, चतुर्भुज $$\mathbf{q} = \begin{bmatrix} q_i \\ q_j \\ q_k \\ q_r \end{bmatrix} = q_i\mathbf{i}+q_j\mathbf{j}+q_k\mathbf{k}+q_r \,,$$ द्वारा गणना की जा सकती है $$\begin{align} q_i &= \hat{e}_1\sin\frac{\theta}{2} \\ q_j &= \hat{e}_2\sin\frac{\theta}{2} \\ q_k &= \hat{e}_3\sin\frac{\theta}{2} \\ q_r &= \cos\frac{\theta}{2} \end{align}$$ घूर्णन चतुर्भुज को देखते हुए $q$, परिभाषित करना $$\check{\mathbf{q}} = \begin{bmatrix} q_i \\ q_j \\ q_k \end{bmatrix}\,.$$ फिर यूलर अक्ष $ê$ और कोण $θ$ द्वारा गणना की जा सकती है $$\begin{align} \hat{\mathbf{e}} &= \frac{\check{\mathbf{q}}}{\left\|\check{\mathbf{q}}\right\|} \\ \theta &= 2\arccos q_r \end{align}$$

रोड्रिग्स वेक्टर → रोटेशन मैट्रिक्स
चूंकि रोड्रिग्स वेक्टर की परिभाषा रोटेशन चतुर्भुज से संबंधित हो सकती है:$$ \begin{cases} g_i = \dfrac{q_i}{q_r} = e_x \tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \\ g_j = \dfrac{q_j}{q_r} = e_y \tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right)\\ g_k = \dfrac{q_k}{q_r} = e_z \tan\left(\dfrac{\theta}{2}\right) \end{cases}$$निम्नलिखित संपत्ति का उपयोग करके$$ 1 = q_r^2 + q_i^2 + q_j^2 + q_k^2 = q_r^2 \left(1 + \frac{q_i^2}{q_r^2} + \frac{q_j^2}{q_r^2} + \frac{q_k^2}{q_r^2}\right) = q_r^2 \left(1 + g_i^2 + g_j^2 + g_k^2\right)$$फैक्टरिंग द्वारा सूत्र प्राप्त किया जा सकता है $q2 r$चतुर्भुज के लिए प्राप्त अंतिम अभिव्यक्ति से:

$$\mathbf{A} = q_r^2 \begin{bmatrix} \frac{1}{q_r^2} - 2\frac{q_j^2}{q_r^2} - 2\frac{q_k^2}{q_r^2} & 2\left(\frac{q_i}{q_r}\frac{q_j}{q_r} - \frac{q_k}{q_r}\right) & 2\left(\frac{q_i}{q_r}\frac{q_k}{q_r} + \frac{q_j}{q_r}\right)\\ 2\left(\frac{q_i}{q_r}\frac{q_j}{q_r} + \frac{q_k}{q_r}\right) & \frac{1}{q_r^2} - 2\frac{q_i^2}{q_r^2} - 2 \frac{q_k^2}{q_r^2} & 2\left(\frac{q_j}{q_r}\frac{q_k}{q_r} - \frac{q_i}{q_r}\right)\\ 2\left(\frac{q_i}{q_r}\frac{q_k}{q_r} - \frac{q_j}{q_r}\right) & 2\left(\frac{q_j}{q_r}\frac{q_k}{q_r} + \frac{q_i}{q_r}\right)  & \frac{1}{q_r^2} - 2\frac{q_i^2}{q_r^2} - 2\frac{q_j^2}{q_r^2} \end{bmatrix}$$ अंतिम सूत्र की ओर अग्रसर:

$$\mathbf{A} = \frac{1}{1+g_i^2+g_j^2+g_k^2} \begin{bmatrix} 1 + g_i^2 - g_j^2 - g_k^2 & 2\left(g_i g_j - g_k\right) & 2\left(g_i g_k + g_j\right)\\ 2\left(g_i g_j + g_k\right) &1 - g_i^2 + g_j^2 - g_k^2 & 2\left(g_j g_k - g_i\right)\\ 2\left(g_i g_k - g_j\right) & 2\left(g_j g_k + g_i\right)  &1 - g_i^2 - g_j^2 + g_k^2 \end{bmatrix}$$

रोटेशन मैट्रिक्स ↔ कोणीय वेग
कोणीय वेग वेक्टर $$\boldsymbol{\omega} = \begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{bmatrix}$$ रोटेशन मैट्रिक्स के समय व्युत्पन्न से निकाला जा सकता है $dA⁄dt$ निम्नलिखित संबंध द्वारा: $$[\boldsymbol{\omega}]_\times = \begin{bmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \end{bmatrix} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t}\mathbf{A}^\mathsf{T}$$ व्युत्पत्ति Ioffe से अनुकूलित है निम्नलिखित नुसार:

किसी भी वेक्टर के लिए $W(t)$, विचार करना $r_{0}$ और इसे अलग करें: $$\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} \mathbf{r}_0 = \frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} \mathbf{A}^\mathsf{T}(t) \mathrm{r}(t)$$ किसी वेक्टर का व्युत्पन्न उसके सिरे का वेग वेक्टर होता है। तब से $r(t) = A(t)r_{0}$ एक रोटेशन मैट्रिक्स है, परिभाषा के अनुसार लंबाई $A$ हमेशा की लंबाई के बराबर होता है $r(t)$, और इसलिए यह समय के साथ नहीं बदलता है। इस प्रकार, जब $r_{0}$ घूमता है, इसकी नोक एक वृत्त के अनुदिश गति करती है, और इसकी नोक का रैखिक वेग वृत्त के स्पर्शरेखीय है; यानी, हमेशा लंबवत $r(t)$. इस विशिष्ट मामले में, रैखिक वेग वेक्टर और कोणीय वेग वेक्टर के बीच संबंध है $$\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \boldsymbol{\omega}(t)\times \mathbf{r}(t) = [\boldsymbol{\omega}]_\times \mathbf{r}(t)$$ (परिपत्र गति और क्रॉस उत्पाद#मैट्रिक्स गुणन में रूपांतरण देखें)।

उपर्युक्त समीकरणों के सकर्मक संबंध द्वारा, $$\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} \mathbf{A}^\mathsf{T}(t) \mathbf{r}(t) = [\boldsymbol{\omega}]_\times \mathbf{r}(t)$$ जो ये दर्शाता हे $$\frac{\mathrm{d}\mathbf{A}}{\mathrm{d}t} \mathbf{A}^\mathsf{T}(t) = [\boldsymbol{\omega}]_\times$$

चतुर्भुज ↔ कोणीय वेग
कोणीय वेग वेक्टर $$\boldsymbol{\omega} = \begin{bmatrix} \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{bmatrix}$$ चतुर्भुज के व्युत्पन्न से प्राप्त किया जा सकता है $r(t)$ निम्नलिखित नुसार: $$ \begin{bmatrix} 0 \\  \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{bmatrix} = 2 \frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{\mathrm{d}t}\tilde{\mathbf{q}} $$ कहाँ $dq⁄dt$ का संयुग्म (विपरीत) है $q̃$.

इसके विपरीत, चतुर्भुज का व्युत्पन्न है $$ \frac{\mathrm{d}\mathbf{q}}{\mathrm{d}t} = \frac{1}{2}\begin{bmatrix} 0 \\  \omega_x \\ \omega_y \\ \omega_z \end{bmatrix}\mathbf{q} \,. $$

ज्यामितीय बीजगणित में रोटर्स
ज्यामितीय बीजगणित (जीए) की औपचारिकता चतुर्भुज विधि का विस्तार और व्याख्या प्रदान करती है। सेंट्रल टू जीए वैक्टर का ज्यामितीय उत्पाद है, जो पारंपरिक आंतरिक उत्पाद और क्रॉस उत्पादों का विस्तार है $$\mathbf{ab} = \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$$ जहां प्रतीक $q$ बाहरी बीजगणित को दर्शाता है। वैक्टर का यह उत्पाद $∧$, और $a$ दो पद उत्पन्न करता है: आंतरिक उत्पाद से एक अदिश भाग और पच्चर उत्पाद से एक द्विवेक्टर भाग। यह बायवेक्टर विमान के लंबवत वर्णन करता है कि वैक्टर का क्रॉस उत्पाद क्या लौटाएगा।

जीए में bivector  में वैक्टर की तुलना में कुछ असामान्य गुण होते हैं। ज्यामितीय उत्पाद के तहत, बायवेक्टर का एक नकारात्मक वर्ग होता है: बायवेक्टर $b$ वर्णन करें $xy$-विमान। इसका वर्ग है $x̂ŷ$. क्योंकि इकाई आधार वैक्टर एक दूसरे के लिए ओर्थोगोनल होते हैं, ज्यामितीय उत्पाद एंटीसिमेट्रिक बाहरी उत्पाद में कम हो जाता है - $(x̂ŷ)^{2} = x̂ŷx̂ŷ$ और $x̂$ को -1 के कारक की कीमत पर स्वतंत्र रूप से स्वैप किया जा सकता है। वर्ग कम हो जाता है $ŷ$ चूँकि आधार सदिश स्वयं वर्गाकार होकर +1 हो जाता है।

यह परिणाम आम तौर पर सभी बायवेक्टर के लिए लागू होता है, और परिणामस्वरूप बायवेक्टर काल्पनिक इकाई के समान भूमिका निभाता है। ज्यामितीय बीजगणित इसके द्वारा दिए गए क्वाटरनियन, रोटर के एनालॉग में बायवेक्टर का उपयोग करता है $$\mathbf{R} = \exp\left(\frac{-\hat\mathbf{B}\theta}{2}\right) = \cos \frac{\theta}{2} - \hat\mathbf{B} \sin \frac{\theta}{2}\,,$$ कहाँ $−x̂x̂ŷŷ = −1$ एक इकाई बायवेक्टर है जो घूर्णन के तल का वर्णन करता है। क्योंकि $B̂$ वर्ग से −1 तक, शक्ति श्रृंखला का विस्तार $B̂$ त्रिकोणमितीय फलन उत्पन्न करता है। घूर्णन सूत्र जो एक वेक्टर को मैप करता है $R$ एक घुमाए गए वेक्टर के लिए $a$ तब है $$\mathbf{b} = \mathbf{R a R}^\dagger$$ कहाँ $$\mathbf{R}^\dagger = \exp\left(\frac{1}{2}\hat\mathbf{B} \theta\right) = \cos \frac{\theta}{2} + \hat\mathbf{B} \sin \frac{\theta}{2}$$ का उल्टा है $$\scriptstyle R$$ (वैक्टरों के क्रम को उलटते हुए $$ B$$ इसके चिन्ह को बदलने के बराबर है)।

उदाहरण। अक्ष के चारों ओर एक घूर्णन $$\hat \mathbf{v} = \frac{1}{\sqrt 3}\left(\hat \mathbf{x} + \hat \mathbf{y} + \hat \mathbf{z}\right)$$ परिवर्तित करके पूरा किया जा सकता है $b$ इसके दोहरे द्विभाजक के लिए, $$\hat \mathbf{B} = \hat \mathbf{x} \hat \mathbf{y} \hat \mathbf{z} \hat \mathbf{v} = \mathbf{i} \hat \mathbf{v} \,,$$ कहाँ $v̂$ इकाई आयतन तत्व है, जो त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एकमात्र ट्राइवेक्टर (स्यूडोस्केलर) है। परिणाम है $$\hat \mathbf{B} = \frac{1}{\sqrt 3}\left(\hat \mathbf{y} \hat \mathbf{z} + \hat \mathbf{z} \hat \mathbf{x} + \hat \mathbf{x} \hat \mathbf{y}\right) \,.$$ हालाँकि, त्रि-आयामी स्थान में, अभिव्यक्ति को छोड़ना अक्सर आसान होता है $i = x̂ŷẑ$, इस तथ्य का उपयोग करते हुए $B̂ = iv̂$ सभी वस्तुओं के साथ 3डी में आवागमन करता है और −1 के वर्ग में भी। का एक चक्कर $i$ इस तल में एक कोण द्वारा सदिश $θ$ तब है

$$\hat \mathbf{x}' = \mathbf{R} \hat \mathbf{x} \mathbf{R}^\dagger = e^{-i\hat \mathbf{v} \frac{\theta}{2}} \hat \mathbf{x} e^{i \hat \mathbf{v} \frac{\theta}{2}} = \hat \mathbf{x} \cos^2 \frac{\theta}{2} + \mathbf{i} \left(\hat \mathbf{x} \hat \mathbf{v} - \hat \mathbf{v} \hat \mathbf{x}\right) \cos \frac{\theta}{2} \sin \frac{\theta}{2} + \hat \mathbf{v} \hat \mathbf{x} \hat \mathbf{v} \sin^2 \frac{\theta}{2}$$ उसे पहचानते हुए $$\mathbf{i} (\hat \mathbf{x} \hat \mathbf{v} - \hat \mathbf{v} \hat \mathbf{x}) = 2\mathbf{i} (\hat \mathbf{x} \wedge \hat \mathbf{v})$$ ओर वो $x̂$ का प्रतिबिम्ब है $−v̂x̂v̂$ लंबवत तल के बारे में $x̂$ रोटेशन ऑपरेशन को एक ज्यामितीय व्याख्या देता है: रोटेशन उन घटकों को संरक्षित करता है जो समानांतर हैं  $v̂$ और केवल उन्हीं को बदलता है जो लंबवत हैं। फिर शर्तों की गणना की जाती है: $$\begin{align} \hat \mathbf{v} \hat \mathbf{x} \hat \mathbf{v}   &= \frac{1}{3} \left(-\hat \mathbf{x} + 2 \hat \mathbf{y} + 2 \hat \mathbf{z}\right) \\ 2\mathbf{i} \hat \mathbf{x} \wedge \hat \mathbf{v} &= 2\mathbf{i} \frac{1}{\sqrt 3} \left(\hat \mathbf{x} \hat \mathbf{y} + \hat \mathbf{x} \hat \mathbf{z}\right) = \frac{2}{\sqrt 3} \left(\hat \mathbf{y} - \hat \mathbf{z}\right) \end{align}$$ घूर्णन का परिणाम तब होता है $$\hat \mathbf{x}' = \hat \mathbf{x} \left(\cos^2 \frac{\theta}{2} - \frac{1}{3} \sin^2 \frac{\theta}{2}\right) + \frac{2}{3} \hat \mathbf{y} \sin \frac{\theta}{2} \left(\sin \frac{\theta}{2} + \sqrt{3} \cos \frac{\theta}{2}\right)  + \frac{2}{3} \hat \mathbf{z} \sin \frac{\theta}{2} \left(\sin \frac{\theta}{2} - \sqrt{3} \cos \frac{\theta}{2}\right) $$ इस परिणाम की एक सरल जांच कोण है $v̂$. इस तरह के रोटेशन को मैप करना चाहिए $θ = 2⁄3π$ को $x̂$. दरअसल, रोटेशन कम हो जाता है $$\begin{align} \hat \mathbf{x}' &= \hat \mathbf{x}\left(\frac{1}{4} - \frac{1}{3} \frac{3}{4}\right) + \frac{2}{3} \hat \mathbf{y} \frac{\sqrt 3}{2} \left(\frac{\sqrt 3}{2} + \sqrt{3}\frac{1}{2}\right) + \frac{2}{3} \hat \mathbf{z} \frac{\sqrt 3}{2} \left(\frac{\sqrt 3}{2} - \sqrt{3}\frac{1}{2}\right) \\ &= 0 \hat \mathbf{x} + \hat \mathbf{y} + 0 \hat \mathbf{z} = \hat \mathbf{y} \end{align}$$ बिल्कुल उम्मीद के मुताबिक. यह रोटेशन फॉर्मूला न केवल वैक्टर के लिए बल्कि किसी भी मल्टीवेक्टर के लिए मान्य है। इसके अलावा, जब यूलर कोणों का उपयोग किया जाता है, तो ऑपरेशन की जटिलता बहुत कम हो जाती है। मिश्रित घुमाव रोटर्स को गुणा करने से आते हैं, इसलिए यूलर कोण से कुल रोटर होता है $$\mathbf{R} = \mathbf{R}_{\gamma'} \mathbf{R}_{\beta'} \mathbf{R}_\alpha = \exp\left(\frac{-\mathbf{i} \hat \mathbf{z}' \gamma}{2}\right) \exp\left(\frac{-\mathbf{i} \hat \mathbf{x}' \beta}{2}\right) \exp\left(\frac{-\mathbf{i} \hat \mathbf{z} \alpha}{2}\right)$$ लेकिन $$\begin{align} \hat \mathbf{x}' &= \mathbf{R}_\alpha \hat \mathbf{x} \mathbf{R}_\alpha^\dagger \quad \text{and} \\ \hat \mathbf{z}' &= \mathbf{R}_{\beta'} \hat \mathbf{z} \mathbf{R}_{\beta'}^\dagger \,. \end{align}$$ ये रोटर घातांक से इस प्रकार वापस आते हैं: $$\mathbf{R}_{\beta'} = \cos \frac{\beta}{2} - \mathbf{i} \mathbf{R}_\alpha \hat \mathbf{x} \mathbf{R}_\alpha^\dagger \sin \frac{\beta}{2} = \mathbf{R}_\alpha \mathbf{R}_\beta \mathbf{R}_\alpha^\dagger$$ कहाँ $ŷ$ मूल निर्देशांक में घूर्णन को संदर्भित करता है। इसी प्रकार के लिए $γ$ घूर्णन, $$\mathbf{R}_{\gamma'} = \mathbf{R}_{\beta'} \mathbf{R}_\gamma \mathbf{R}_{\beta'}^\dagger = \mathbf{R}_\alpha \mathbf{R}_\beta \mathbf{R}_\alpha^\dagger \mathbf{R}_\gamma \mathbf{R}_\alpha \mathbf{R}_\beta^\dagger \mathbf{R}_\alpha^\dagger \,.$$ नोट किया कि $R_{β}$ और $R_{γ}$ कम्यूट (एक ही विमान में घुमाव को कम्यूट करना होगा), और कुल रोटर बन जाता है $$\mathbf{R} = \mathbf{R}_\alpha \mathbf{R}_\beta \mathbf{R}_\gamma$$ इस प्रकार, यूलर कोणों के मिश्रित घुमाव मूल निश्चित फ्रेम में समतुल्य घुमावों की एक श्रृंखला बन जाते हैं।

जबकि ज्यामितीय बीजगणित में रोटर्स तीन आयामों में चतुर्भुज के लगभग समान रूप से काम करते हैं, इस औपचारिकता की शक्ति इसकी व्यापकता है: यह विधि किसी भी संख्या में आयाम वाले स्थानों में उपयुक्त और मान्य है। 3डी में, घूर्णन में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती हैं, प्रत्येक रैखिक रूप से स्वतंत्र विमान (बाइवेक्टर) के लिए एक डिग्री जिसमें रोटेशन हो सकता है। यह ज्ञात है कि चतुर्भुज के जोड़े का उपयोग 4डी में घूर्णन उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, जिससे छह डिग्री की स्वतंत्रता प्राप्त होती है, और ज्यामितीय बीजगणित दृष्टिकोण इस परिणाम को सत्यापित करता है: 4D में, छह रैखिक रूप से स्वतंत्र बायवेक्टर होते हैं जिनका उपयोग घूर्णन के जनरेटर के रूप में किया जा सकता है।

कोण-कोण-कोण
घूर्णन को एक अक्ष और एक कोण के रूप में प्रतिरूपित किया जा सकता है; जैसा कि जाइरोस्कोप से दर्शाया गया है जिसमें रोटर के माध्यम से एक अक्ष है, और रोटर के घूमने से उस अक्ष के चारों ओर घूमने की मात्रा प्रदर्शित होती है; इस घूर्णन को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है angle ∗ (axis) जहां अक्ष एक इकाई वेक्टर है जो रोटर अक्ष की दिशा निर्दिष्ट करता है। मूल से, किसी भी दिशा में, एक ही घूर्णन अक्ष है, जिसमें कोण का पैमाना मूल से दूरी के बराबर है। अंतरिक्ष में किसी भी अन्य बिंदु से, इसी प्रकार मूल के बजाय प्रारंभिक बिंदु द्वारा दर्शाए गए अभिविन्यास के सापेक्ष लागू समान दिशा वेक्टर समान अक्षों के आसपास समान परिवर्तन लागू करता है जो यूनिट वेक्टर निर्दिष्ट करता है। वह angle ∗ axis प्रत्येक बिंदु को स्केल करने से कोण-कोण-कोण संकेतन में एक अद्वितीय समन्वय मिलता है। दो निर्देशांकों के बीच का अंतर तुरंत घूर्णन की एकल धुरी और दो अभिविन्यासों के बीच कोण उत्पन्न करता है।

चतुर्भुज का प्राकृतिक लॉग रोटेशन के 3 अक्षों के चारों ओर 3 कोणों द्वारा घुमावदार स्थान का प्रतिनिधित्व करता है, और चाप-लंबाई में व्यक्त किया जाता है; यूलर कोणों के समान, लेकिन क्रम स्वतंत्र। घुमावों के योग की एक झूठ उत्पाद सूत्र परिभाषा है, जो यह है कि वे श्रृंखला में लागू प्रत्येक घुमाव के अनंत चरणों का योग हैं; इसका तात्पर्य यह होगा कि घूर्णन एक ही क्षण में लागू किए गए सभी घुमावों का परिणाम है, न कि बाद में लागू किए गए घुमावों की एक श्रृंखला का।

घूर्णन की कुल्हाड़ियाँ मानक कार्टेशियन के साथ संरेखित होती हैं $R_{α}$ कुल्हाड़ियाँ. इन घुमावों को बस जोड़ा और घटाया जा सकता है, खासकर जब घुमाए जा रहे फ्रेम आईके श्रृंखलाओं की तरह एक-दूसरे से जुड़े होते हैं। एक ही संदर्भ फ्रेम में मौजूद दो वस्तुओं के बीच अंतर केवल उनके झुकाव को घटाकर पाया जाता है। जो घुमाव बाहरी स्रोतों से लागू होते हैं, या वर्तमान घुमाव के सापेक्ष स्रोतों से होते हैं, उन्हें अभी भी गुणन की आवश्यकता होती है, रोड्रिग्ज फॉर्मूला का अनुप्रयोग प्रदान किया जाता है।

प्रत्येक धुरी समन्वय से घूर्णन अन्य सभी धुरी के साथ-साथ निर्दिष्ट अक्ष पर लंबवत घूमने का प्रतिनिधित्व करता है। यद्यपि मापों को कोणों में माना जा सकता है, प्रतिनिधित्व वास्तव में वक्र की चाप-लंबाई है; एक कोण एक बिंदु के चारों ओर घूमने का तात्पर्य है, जहां वक्रता एक जड़त्वीय दिशा में वर्तमान बिंदु पर लगाया गया डेल्टा है।

बस एक अवलोकनात्मक टिप्पणी: लॉग चतुर्भुज में वलय, या घूर्णन के सप्तक होते हैं; यह 4 से अधिक घूर्णन के लिए हैπसंबंधित वक्र हैं। इस सीमा के करीब आने वाली चीज़ों की वक्रताएं अव्यवस्थित रूप से कक्षाओं में छलांग लगाती हुई प्रतीत होती हैं।

'मानव पठनीय' कोणों के लिए 1-मानदंड का उपयोग कोणों को अधिक 'उपयुक्त' दिखने के लिए पुन: स्केल करने के लिए किया जा सकता है:

$$\mathbf{Q} = \begin{bmatrix} X \\ Y \\ Z \end{bmatrix}$$ अन्य संबंधित मूल्य तुरंत व्युत्पन्न हैं: $$\begin{align} \|\mathbf{V}\|\text{ or }\|\mathbf{V}\|_2 &= \sqrt{XX+YY+ZZ}\\[6pt] \|\mathbf{V}\|_1 &= |X|+|Y|+|Z| \end{align}$$ घूर्णन का कुल कोण: $$ \theta = \|\mathbf{V}\| $$ घूर्णन की धुरी: $$\text{Axis}(\ln \mathbf{Q}) = \begin{bmatrix} \frac{X} \theta \\ \frac{Y} \theta \\ \frac{Z} \theta \end{bmatrix}$$

चतुर्भुज प्रतिनिधित्व
$$\mathbf{q} = \begin{bmatrix} \cos \frac \theta {2} \\ \sin \frac \theta {2} {\frac {X} {\|\mathbf{Q}\|}}\\ \sin \frac\theta{2} {\frac {Y} {\|\mathbf{Q}\|}}\\ \sin\frac\theta{2} {\frac {Z} {\|\mathbf{Q}\|}} \end{bmatrix}$$

आधार मैट्रिक्स गणना
इसे वैक्टरों को घुमाने से बनाया गया था $x, y, z$, $(1,0,0)$, $(0,1,0)$, और स्थिरांक को कम करना।

एक इनपुट दिया गया $(0,0,1)$, $$\begin{matrix} q_r = \cos\theta \\ q_i = \sin\theta \cdot \frac{X}{\|\mathbf{Q}\|}\\ q_j = \sin\theta \cdot \frac{Y}{\|\mathbf{Q}\|}\\ q_k = \sin\theta \cdot \frac{Z}{\|\mathbf{Q}\|} \end{matrix}$$ जिनका उपयोग परिणामी मैट्रिक्स की गणना करने के लिए किया जाता है $$\begin{bmatrix} 1 - 2 q_j^2 - 2 q_k^2 & 2(q_i q_j - q_k q_r) & 2(q_i q_k + q_j q_r)\\ 2(q_i q_j + q_k q_r) & 1 - 2 q_i^2 - 2q_k^2 & 2(q_j q_k - q_i q_r)\\ 2(q_i q_k - q_j q_r) & 2(q_j q_k + q_i q_r) & 1 - 2 q_i^2 - 2 q_j^2 \end{bmatrix}$$

वैकल्पिक आधार गणना
वैकल्पिक रूप से इसका उपयोग किया जा सकता है. दिया गया $Q = [X, Y, Z]$, कोण-अक्ष में परिवर्तित करें $A = [X, Y, Z]$, और $θ = \|A\|$.

कुछ आंशिक अभिव्यक्तियों की गणना करें:$$\begin{matrix} x_y = xy(1-\cos \theta) & w_x = x\sin \theta & x_x = xx(1-\cos \theta) \\ y_z = yz(1-\cos \theta) & w_y = y\sin \theta & y_y = yy(1-\cos \theta) \\ x_z = xz(1-\cos \theta) & w_z = z\sin \theta & z_z = zz(1-\cos \theta) \end{matrix}$$ परिणामी मैट्रिक्स की गणना करें: $$\begin{bmatrix} \cos \theta+x_x & x_y + w_z      & w_y + x_z \\ w_z + x_y     & \cos \theta+y_y & y_z - w_x \\ x_z - w_y     & w_x + y_z       & \cos \theta+z_z \end{bmatrix} $$ विस्तारित: $$ \begin{bmatrix} \cos \theta+x^2 (1-\cos \theta)  & xy(1-\cos \theta) - z\sin \theta & y\sin \theta + xz(1-\cos \theta) \\ z\sin \theta + xy(1-\cos \theta) & \cos \theta+y^2 (1-\cos \theta) & yz(1-\cos \theta) - x\sin \theta \\ xz(1-\cos \theta) - y\sin \theta & x\sin \theta + yz(1-\cos \theta) & \cos \theta+z^{2}(1-\cos \theta) \end{bmatrix} $$

वेक्टर घूर्णन
वेक्टर घुमाएँ $[x, y, z] = A⁄\|A\|$अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व#रोटेशन वेक्टर के आसपास $v = (X, Y, Z)$.

घूर्णन का कोण होगा $Q = (X, Y, Z)$.

कोण की कोज्या की गणना वेक्टर के घूमने से गुणा करें, साथ ही कोण की ज्या की गणना घूर्णन अक्ष से गुणा करें, साथ ही कोण की एक ऋण कोज्या की गणना वेक्टर के डॉट उत्पाद से गुणा करें और घूर्णन अक्ष की कोज्या घूर्णन अक्ष से गुणा करें। $$ \mathbf{v}' = \cos(\theta) \mathbf{v} + \sin(\theta) \left( \frac \mathbf{Q} {\|\mathbf{Q}\|} \times \mathbf{v} \right) + (1-\cos(\theta) ) \left( \frac \mathbf{Q} {\|\mathbf{Q}\|} \cdot \mathbf{v} \right) \frac \mathbf{Q} {\|\mathbf{Q}\|} $$ कुछ टिप्पणियाँ: डॉट उत्पाद में घुमाए जा रहे वेक्टर और घूर्णन की धुरी के बीच के कोण की कोज्या और लंबाई की लंबाई शामिल होती है। $θ = \|Q\|$; क्रॉस उत्पाद में घुमाए जा रहे वेक्टर और घूर्णन की धुरी के बीच के कोण की ज्या शामिल है।

एक रोटेशन वेक्टर घुमाएँ
चतुर्भुज और स्थानिक घूर्णन का उपयोग करना#स्थानिक घूर्णन की संरचना|किसी दिए गए घूर्णन वेक्टर के लिए रोड्रिग्स का समग्र घूर्णन सूत्र $v$, और एक अन्य घूर्णन वेक्टर $Q = (X, Y, Z)$ फ़्रेम को चारों ओर घुमाने के लिए।

प्रारंभिक घूर्णन सदिशों से, कोण और अक्ष निकालें: $$\begin{align} \theta &= \frac {\|\mathbf{Q}\|} {2} \\[6pt] \gamma &= \frac {\|\mathbf{A}\|} {2} \end{align}$$ वर्तमान फ्रेम के लिए रोटेशन की सामान्यीकृत धुरी: $$\hat\mathbf{Q} = \frac {\mathbf{Q}} {\|\mathbf{Q}\|}$$ फ़्रेम को चारों ओर घुमाने के लिए रोटेशन की सामान्यीकृत धुरी: $$\hat\mathbf{A} = \frac {\mathbf{A}} {\|\mathbf{A}\|}$$ घूर्णन का परिणाम कोण कोण है $$ \alpha = 2 \arccos \left( \cos(\theta) \cos(\gamma) + \sin(\theta) \sin(\gamma) \hat\mathbf{Q} \cdot \hat\mathbf{A} \right)$$ या $$ \alpha = 2 \arccos \left( {\cos( \theta - \gamma )} ( 1 - \hat\mathbf{Q} \cdot \hat\mathbf{A} ) + {\cos ( \theta + \gamma) } (1 + \hat\mathbf{Q} \cdot \hat\mathbf{A}) \right) $$ परिणामी, घूर्णन की असामान्य अक्ष: $$ \mathbf{r} = \sin\gamma \cos\theta \hat\mathbf{A} + \sin\theta \cos\gamma \hat\mathbf{Q} + \sin\theta \sin\gamma \hat\mathbf{A} \times \hat\mathbf{Q}$$ या $$ r = \left( \hat\mathbf{A} \times \hat\mathbf{Q} \right) \bigl( {\cos ({\theta} - \gamma)}-{ \cos ({ \theta} + \gamma)} \bigr) + \hat\mathbf{A} \bigl({\sin (\theta + \gamma)}+{\sin ( \theta - \gamma)}\bigr) + \hat\mathbf{Q} \bigl({\sin (\theta + \gamma)}-{\sin ({ \theta} - \gamma)}\bigr) $$ रोड्रिग्स रोटेशन फॉर्मूला से यह पता चलेगा कि उपरोक्त परिणामी कोण के पाप का उपयोग वेक्टर को सामान्य करने के लिए किया जा सकता है, हालांकि यह बड़ी सीमाओं के लिए विफल रहता है; इसलिए किसी भी अन्य वेक्टर की तरह परिणाम अक्ष को सामान्य करें। $$ \hat\mathbf{R} = \frac \mathbf{r} {\|\mathbf{r}\|} $$ और अंतिम फ्रेम रोटेशन समन्वय: $$ \mathbf{R} = \alpha \hat\mathbf{R} $$

एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना
एक घूर्णन सदिश $A = (X′, Y′, Z′)$ तीन अक्षों का प्रतिनिधित्व करता है; इनका उपयोग रोटेशन वेक्टर को घुमाने के लिए उपरोक्त विधि का उपयोग करके रोटेशन को घुमाने के लिए शॉर्टहैंड के रूप में किया जा सकता है। इन अभिव्यक्तियों को कोड अंशों के रूप में सर्वोत्तम रूप से दर्शाया गया है।

अन्य अभिव्यक्तियों में प्रयुक्त कुछ स्थिरांक सेट करें। $$\begin{align} n_x &= \frac{Q_x}{\|\mathbf{Q}\|} \\ n_y &= \frac{Q_y}{\|\mathbf{Q}\|} \\ n_z &= \frac{Q_z}{\|\mathbf{Q}\|} \\ \text{angle} &= \|\mathbf{Q}\| \\ s &= \sin(\text{angle}) \\ c_1 &= \cos(\text{angle}) \\ c &= 1 - c_1 \end{align}$$ उपरोक्त मानों का उपयोग करना: $$\text{x-axis} = \left[x = c n_x^2 + c_1, \; y = c n_x n_y + s n_z, \; z = c n_x n_z - s n_y\right]$$ या $$\text{y-axis} = \left[x = c n_y n_x - s n_z, \; y = c n_y^2 + c_1, \; z = c n_y n_z + s n_x\right]$$ या $$\text{z-axis} = \left[x = c n_z n_x + s n_y, \; y = c n_z n_y - s n_x, \; z = c n_z^2 + c_1\right]$$

आधार मैट्रिक्स से रूपांतरण
मैट्रिक्स के निर्धारक की गणना करें: $$d = \frac{ \left( \text{basis}_{\text{right}_X} + \text{basis}_{\text{up}_Y} + \text{basis}_{\text{forward}_Z} \right) - 1 }{2}$$ घूर्णन के कोण में कनवर्ट करें: $$\begin{align} \theta &= 2 \arccos d \\[6pt] yz &= \text{basis}_{\text{up}_Z} - \text{basis}_{\text{forward}_Y} \\[6pt] xz &= \text{basis}_{\text{forward}_X} - \text{basis}_{\text{right}_Z} \\[6pt] xy &= \text{basis}_{\text{right}_Y} - \text{basis}_{\text{up}_X} \end{align}$$ सामान्य कारक की गणना करें: $$\begin{align} \text{normal} &= \frac 1 \sqrt{yz ^2 + xz^2 + xy^2 } \\[6pt] \mathbf{n} &= \begin{bmatrix} yz \cdot \text{normal}\\ xz \cdot \text{normal}\\ xy \cdot \text{normal} \end{bmatrix} \end{align}$$ परिणामी कोण-कोण-कोण है $Q$.

सामान्य वेक्टर से रूपांतरण ($n ⋅ θ$)
एक घूर्णन के रूप में सामान्य का प्रतिनिधित्व, यह मानता है कि $Y$ अक्ष वेक्टर $Y$ ऊपर की ओर इशारा कर रहा है. यदि किसी अन्य अक्ष को प्राथमिक माना जाता है, तो निर्देशांक को आसानी से बदला जा सकता है।

यह सामान्य की दिशा में एक सामान्यीकृत इनपुट वेक्टर मानता है $$\mathbf{N} = \begin{bmatrix} \text{normal}_X \\ \text{normal}_Y \\ \text{normal}_Z \end{bmatrix}$$ कोण केवल का योग है $x$- और $z$-निर्देशांक (या $y$ और $x$ अगर $Z$ ऊपर है, या $y$ और $z$ अगर $X$ ऊपर है): $$ \text{angle} = |N_x| + |N_z|$$ यदि कोण 0 है, तो कार्य पूरा हो गया है, परिणाम के साथ $(0,1,0)$ $$ r = \frac{1}{\text{angle}}$$ कुछ अस्थायी मूल्य; ये मान बाद में संदर्भित केवल आंशिक हैं: $$ \mathbf{t} = \begin{bmatrix} N_x \cdot r\\ N_y\\ N_z \cdot r \end{bmatrix}$$ पर प्रक्षेपित सामान्य का उपयोग करें $Y$ घूमने के कोण के रूप में अक्ष: $$\begin{align} \text{target}_\text{angle} &= \arccos t_Y \\[6pt] \text{result} &= \begin{bmatrix} t_Z \cdot \text{target}_\text{angle}\\ 0\\  -t_X \cdot \text{target}_\text{angle} \end{bmatrix}\end{align}$$

आधार का उपयोग करके सामान्य रूप से संरेखित करें
घुमावों की डिफ़ॉल्ट स्पर्शरेखा और बिटस्पर्शरेखा जिसमें केवल उनका सामान्य सेट होता है, जिसके परिणामस्वरूप स्पर्शरेखा और द्वि-स्पर्शरेखा अनियमित होती है। वैकल्पिक रूप से एक आधार मैट्रिक्स बनाएं, और उपर्युक्त विधि का उपयोग करके आधार से परिवर्तित करें। उपरोक्त के सामान्य और परिवर्तित करने के लिए मैट्रिक्स की गणना करें $$\text{normal}_\text{twist} = {\sqrt { t_Z^2+t_X^2 }}$$ $$\begin{bmatrix} \left(N_y \cdot \frac {-t_X }{ \text{normal}_\text{twist} }\right)&N_x&\frac {t_Z}{\text{normal}_\text{twist}} \\ \left(N_z \cdot \frac {t_Z}{\text{normal}_\text{twist}}\right)-\left(N_x \cdot \frac {-t_X }{ \text{normal}_\text{twist} } \right)&N_y&0\\ \left(-N_y \cdot \frac {t_Z}{\text{normal}_\text{twist}} \right)&N_z&\frac {-t_X }{ \text{normal}_\text{twist} } \end{bmatrix}$$ और फिर निम्नानुसार चतुर्धातुक रूपांतरण लॉग करने के लिए आधार का उपयोग करें।

सामान्य रूप से सीधे संरेखित करें
या यह लॉग क्वाटरनियन के परिणाम की सीधी गणना है; उपरोक्त परिणाम वेक्टर की गणना करें और फिर... $$ \begin{align} t_{X_n} &= t_X\cdot \text{normal}_\text{twist} \\[4pt] t_{Z_n} &= t_Z\cdot \text{normal}_\text{twist} \\[4pt] s &= \sin( \text{target}_\text{angle} ) \\[4pt] c &= 1- \cos( \text{target}_\text{angle} ) \end{align}$$ यह कोण है $$\text{angle} = \arccos\left( \frac{\left( t_Y + 1 \right) \left( 1 - t_{X_n} \right) }{ 2 } - 1 \right);$$ इन आंशिक उत्पादों का उपयोग नीचे किया गया है: $$\begin{align} yz &= s \cdot n_X \\[4pt] xz &= \left( 2 - c \cdot \left(n_X^2 + n_Z^2\right) \right) \cdot t_{Z_n}\\[4pt] xy &= s \cdot n_X \cdot t_{Z_n} + s \cdot n_Z \cdot \left(1-t_{X_n}\right) \end{align}$$ सामान्यीकृत रोटेशन वेक्टर (रोटेशन की धुरी) की गणना करें: $$n = \begin{bmatrix} \frac{yz}{\sqrt{yz^2 + xz^2 + xy^2}}\\ \frac{xz}{\sqrt{yz^2 + xz^2 + xy^2}}\\ \frac{xy}{\sqrt{yz^2 + xz^2 + xy^2}} \end{bmatrix} $$ और अंत में परिणामी लॉग क्वाटरनियन की गणना करें। $$ \text{final}_\text{result} = \text{angle} \cdot {n}$$

अक्ष-कोण से रूपांतरण
यह इनपुट अक्ष मानता है $(0,0,0)$ सामान्यीकृत है. यदि शून्य घूर्णन है, तो परिणाम के साथ $a = [X, Y, Z]$ $$\theta = \text{angle} \quad ; \quad \text{result} = \theta * \mathbf{a}$$

यह भी देखें

 * यूलर फ़िल्टर
 * अभिविन्यास (ज्यामिति)
 * एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमना
 * त्रि-आयामी रोटेशन ऑपरेटर

बाहरी संबंध

 * EuclideanSpace has a wealth of information on rotation representation
 * Q36. How do I generate a rotation matrix from Euler angles? and Q37. How do I convert a rotation matrix to Euler angles? — The Matrix and Quaternions FAQ
 * Imaginary numbers are not Real – the Geometric Algebra of Spacetime – Section "Rotations and Geometric Algebra" derives and applies the rotor description of rotations
 * Starlino's DCM Tutorial – Direction cosine matrix theory tutorial and applications. Space orientation estimation algorithm using accelerometer, gyroscope and magnetometer IMU devices. Using complimentary filter (popular alternative to Kalman filter) with DCM matrix.