प्राथमिक वर्ग

मॉडल सिद्धांत में, गणितीय तर्क की शाखा, प्राथमिक कक्षा (या स्वयंसिद्ध कक्षा) कक्षा (समुच्चय सिद्धांत) है जिसमें निश्चित प्रथम-क्रम सिद्धांत को संतुष्ट करने वाली सभी संरचनाएं सम्मिलित होती हैंं।

परिभाषा
किसी हस्ताक्षर (तर्क) σ की संरचनाओं के कक्षा (समुच्चय सिद्धांत) K को  'प्राथमिक कक्षा' कहा जाता है यदि हस्ताक्षर σ का प्रथम-क्रम सिद्धांत T है, जैसे कि K में T के सभी मॉडल सम्मिलित हैं, अर्थात, सभी σ-संरचनाएं जो T को संतुष्ट करती हैं। यदि T एकल प्रथम-क्रम वाक्य वाले सिद्धांत के रूप में चुना जा सकता है, तब K को  'मूलभूत प्राथमिक कक्षा' कहा जाता है।

अधिक आम तौर पर, K छद्म-प्राथमिक कक्षा है यदि हस्ताक्षर का प्रथम-क्रम सिद्धांत T है जो σ का विस्तार करता है, जैसे कि K में सभी σ-संरचनाएँ सम्मिलित हैं जो T के मॉडल के σ में कम हो जाती हैं। अन्य में शब्द, σ-संरचनाओं का कक्षा K छद्म-प्राथमिक है यदि और केवल यदि कोई प्राथमिक कक्षा K ' है जैसे कि K में K' में संरचनाओं के σ में त्रुटिहीन रूप से कटौती सम्मिलित है।

स्पष्ट कारणों से, प्रारंभिक कक्षाओं को  'प्रथम-क्रम तर्क में स्वयंसिद्ध'  भी कहा जाता है, और मूलभूत प्रारंभिक कक्षाओं को  'प्रथम-क्रम तर्क में अंतिम रूप से स्वयंसिद्ध'  भी कहा जाता है। इस प्रकार यह परिभाषाएँ स्पष्ट रूप से अन्य तर्कों तक फैली हुई हैं, किन्तु चूँकि प्रथम-क्रम का मामला वर्तमान तक का सबसे महत्वपूर्ण है,  'स्वयंसिद्ध' इस स्थितियों को स्पष्ट रूप से संदर्भित करता है जब कोई अन्य तर्क निर्दिष्ट नहीं किया जाता है।

विरोधाभासी और वैकल्पिक शब्दावली
जबकि उपरोक्त आजकल "अनंत" मॉडल सिद्धांत में मानक शब्दावली है‚ थोड़ी भिन्न पिछली परिभाषाएँ अभी भी परिमित मॉडल सिद्धांत में उपयोग में हैं, इस प्रकार जहां प्राथमिक कक्षा को Δ-प्राथमिक कक्षा कहा जा सकता है, और शब्द प्राथमिक कक्षा और प्रथम-क्रम स्वयंसिद्ध कक्षा शब्द मूलभूत प्राथमिक कक्षाों (एबिंगहॉस) के लिए आरक्षित हैं और अन्य. 1994, एबिंगहॉस और फ़्लम 2005) हैं। इस प्रकार होजेस प्राथमिक कक्षाओं को स्वयंसिद्ध कक्षाएं कहते हैं, और वह मूलभूत प्राथमिक कक्षाओं को निश्चित कक्षाओं के रूप में संदर्भित करते हैं। इस प्रकार वह संबंधित समानार्थक शब्द EC $$_\Delta$$ कक्षाऔर EC कक्षा (हॉजेस, 1993) का भी उपयोग करता है।

इस भिन्न शब्दावली के अच्छे कारण हैं। सामान्य मॉडल सिद्धांत में हस्ताक्षर पर विचार किया जाता है वे अधिकांशतः अनंत होते हैं, जबकि प्रथम-क्रम वाक्य (गणितीय तर्क) में केवल सीमित रूप से अनेक प्रतीक होते हैं। इसलिए, मूलभूत प्रारंभिक कक्षाएं अनंत मॉडल सिद्धांत में असामान्य हैं। दूसरी ओर, परिमित मॉडल सिद्धांत लगभग विशेष रूप से परिमित हस्ताक्षरों से संबंधित है। इस प्रकार यह देखना आसान है कि प्रत्येक परिमित हस्ताक्षरों से संबंधित है। यह देखना आसान है कि प्रत्येक परिमित हस्ताक्षर σ के लिए और समरूपता के अनुसार बंद σ-संरचनाओं के प्रत्येक कक्षा K के लिए प्राथमिक कक्षा है $$K'$$ σ-संरचनाओं की ऐसी कि K और $$K'$$ बिल्कुल समान परिमित संरचनाएँ सम्मिलित हैं। इसलिए, प्रारंभिक कक्षाएं परिमित मॉडल सिद्धांतकारों के लिए बहुत रोचक नहीं हैं।

धारणाओं के मध्य आसान संबंध
स्पष्ट रूप से प्रत्येक मूलभूत प्राथमिक कक्षा एक छद्म-प्राथमिक कक्षा हैं‚ और प्रत्येक प्रारंभिक कक्षा छद्म-प्राथमिक कक्षा है। इस प्रकार इसके अतिरिक्त, कॉम्पैक्टनेस प्रमेय के आसान परिणाम के रूप में, σ-संरचनाओं का कक्षा मूलभूत प्राथमिक है यदि और केवल यदि यह प्राथमिक है और इसका पूरक भी प्राथमिक है।

एक मूलभूत प्रारंभिक कक्षा
मान लीजिए कि σ हस्ताक्षर है जिसमें केवल एकात्मक कार्य प्रतीक f सम्मिलित है। इस प्रकार σ-संरचनाओं का कक्षा K जिसमें f इंजेक्शन है (गणित)|वन-टू-वन मूलभूत प्राथमिक कक्षा है। यह सिद्धांत टी द्वारा प्रमाणित है, जिसमें केवल वाक्य सम्मिलित है
 * $$\forall x\forall y( (f(x)=f(y)) \to (x=y) )$$.

एक प्राथमिक, मूलभूत छद्मप्राथमिक कक्षा जो मूलभूत प्राथमिक नहीं है
मान लीजिए σ एक इच्छानुसार हस्ताक्षर है। सभी अनंत σ-संरचनाओं का कक्षा K प्राथमिक है। इसे देखने के लिए वाक्यों पर विचार करें


 * $$\rho_2={}$$ $$\exist x_1\exist x_2(x_1 \not =x_2)$$,


 * $$\rho_3={}$$ $$\exist x_1\exist x_2\exist x_3((x_1 \not =x_2) \land (x_1 \not =x_3) \land (x_2 \not =x_3))$$,

और इसी तरह। (तब वाक्य $$\rho_n$$ कहता है कि कम से कम n तत्व हैं।) अनंत σ-संरचनाएं त्रुटिहीन रूप से सिद्धांत के मॉडल हैं


 * $$T_\infty=\{\rho_2, \rho_3, \rho_4, \dots\}$$.

किन्तु K मूलभूत प्रारंभिक कक्षा नहीं है। अन्यथा अनंत σ-संरचनाएँ बिल्कुल वही होंगी जो निश्चित प्रथम-क्रम वाक्य τ को संतुष्ट करती हैं। किन्तु फिर समुच्चय

$$\{\neg\tau, \rho_2, \rho_3, \rho_4, \dots\}$$ असंगत होगा‚ सघनता प्रमेय द्वारा, कुछ प्राकृत संख्या n समुच्चय के लिए $$\{\neg\tau, \rho_2, \rho_3, \rho_4, \dots, \rho_n\}$$ असंगत होगा‚ किन्तु यह बेतुका है, क्योंकि यह सिद्धांत $$n+1$$ या अधिक तत्वों वाली किसी भी परिमित σ-संरचना से संतुष्ट है

यद्यपि, हस्ताक्षर σ' = σ में मूलभूत प्राथमिक कक्षा K ' है $$\cup$$ {f}, जहां f यूनरी फलन प्रतीक है, जैसे कि K में K ' में σ'-संरचनाओं के σ में कटौती सम्मिलित है। इस प्रकार K ' एकल वाक्य द्वारा स्वयंसिद्ध है $$(\forall x\forall y(f(x) = f(y) \rightarrow x=y) \land \exists y\neg\exists x(y = f(x))),$$, जो व्यक्त करता है कि f विशेषण है किन्तु विशेषण नहीं है। इसलिए, K प्राथमिक है और जिसे मूलभूत छद्म-प्राथमिक कहा जा सकता है, किन्तु मूलभूत प्राथमिक नहीं।

छद्म-प्राथमिक कक्षा जो गैर-प्राथमिक है
अंत में, हस्ताक्षर σ पर विचार करें जिसमें एकल एकल संबंध प्रतीक P सम्मिलित है। प्रत्येक σ-संरचना को दो उपसमूहों में विभाजित किया गया है: वह तत्व जिनके लिए P धारण करता है, और बाकी मान लीजिए कि K सभी σ-संरचनाओं का कक्षा है जिसके लिए इन दो उपसमुच्चयों की प्रमुखता समान है, अर्थात, उनके मध्य आक्षेप है। इस प्रकार यह कक्षा प्राथमिक नहीं है, क्योंकि σ-संरचना जिसमें P और उसके पूरक दोनों की प्राप्ति का समुच्चय गणनीय रूप से अनंत है, σ-संरचना के समान प्रथम-क्रम वाक्यों को त्रुटिहीन रूप से संतुष्ट करता है जिसमें समुच्चयों में से गणनीय रूप से अनंत है और अन्य बेशुमार है.

वर्तमान हस्ताक्षर पर विचार करें $$\sigma'$$, जिसमें यूनरी फलन प्रतीक f के साथ P भी सम्मिलित है। होने देना $$K'$$ सभी का कक्षा हो $$\sigma'$$-संरचनाएँ ऐसी हैं कि f आक्षेप है और P, x के लिए धारण करता है यदि P, f(x) के लिए धारण नहीं करता है। $$K'$$ स्पष्ट रूप से प्रारंभिक कक्षा है, और इसलिए K छद्म-प्राथमिक कक्षा का उदाहरण है जो प्राथमिक नहीं है।

गैर-छद्म-प्राथमिक कक्षा
मान लीजिए σ इच्छानुसार हस्ताक्षर है। सभी परिमित σ-संरचनाओं का कक्षा K प्राथमिक नहीं है, क्योंकि (जैसा कि ऊपर दिखाया गया है) इसका पूरक प्राथमिक है किन्तु मूलभूत प्राथमिक नहीं है। इस प्रकार चूँकि यह σ का विस्तार करने वाले प्रत्येक हस्ताक्षर के लिए भी सत्य है, K छद्म-प्राथमिक कक्षा भी नहीं है।

यह उदाहरण कहीं अधिक अभिव्यंजक दूसरे-क्रम तर्क के विपरीत प्रथम-क्रम तर्क में निहित अभिव्यंजक शक्ति की सीमाओं को प्रदर्शित करता है। इस प्रकार यद्यपि, द्वितीय-क्रम तर्क, प्रथम-क्रम तर्क के अनेक वांछनीय गुणों, जैसे पूर्णता और सघनता प्रमेय, को बनाए रखने में विफल रहता है।