असोसिएहेड्रोन

गणित में, एक एसोसिएहेड्रॉन Kn एक (n - 2)-आयामी उत्तल बहुशीर्ष होते है, जिसमें प्रत्येक शीर्ष n अक्षरों की एक शृंखला में सही ढंग से खोलने और बंद करने वाले कोष्ठकों को सम्मिलित करने के नियमों के समान होते है,और किनारे साहचर्य नियम के एकल आवेदन के अनुरूप होते हैं। एक असोसिएहेड्रन के शीर्ष पर्यायत्रिकों के समरूप नियमित बहुभुज के (n + 1) सिरों के त्रिकोणीकरण को संबोधित करते हैं, तथा सिरा उन ढालों को संबोधित करते हैं जिनमें एक एकल सिरा त्रिकोणीकरण से हटाया जाता है और उसे एक विभिन्न सिरे द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। जिम स्टाशेफ के कार्य के बाद एसोसियाहेड्रा को स्टैशेफ बहुतलीय भी कहा जाता है, जिन्होंने 1960 के दशक की प्रारंभ में उन्हें पुनः खोजा था। तथा  उनसे पहले, दोव तमारी ने उन पर कार्य किया था।

उदाहरण
एक आयामी असोसिएहेड्रन K₃ तीन चिह्नों की ((xy)z) और (x(yz)) दो कोष्ठक या वर्ग के दो त्रिकोणीकरणों को प्रतिष्ठित करता है। यह अपने आप में एक रेखाखंड है।

द्वि-आयामी एसोसिएहेड्रोन K4 चार प्रतीकों के पाँच कोष्ठकों का प्रतिनिधित्व करता है, यह स्वयं एक पंचभुज है और एकपद श्रेणी के पंचभुज आरेख से संबंधित होता है।

त्रिआयामी असोसिएहेड्रन K₅ एक नौ-आयामी बहुभुज है जिसमें नौ चेहरे होते हैं (तीन अलग-अलग चतुर्भुज और छह पंचभुज) और चौदह शीर्ष होते हैं,और इसका द्विपरावर्तक त्रिकोणीय नामक संक्षेत्र होता है।

बोध
प्रारंभ में जिम स्टाशेफ ने इन वस्तुओं को कर्विलिनियर बहुतलीय के रूप में माना। इसके बाद, उन्हें कई अलग-अलग विधियों से उत्तल बहुतलीय के रूप में निर्देशांक दिए गए; एक सर्वेक्षण के लिए सेबलोस, सैंटोस और ज़िग्लर (2015) का परिचय देखें।  असोसिएशेड्रन को एक त्रिकोण या नियमित बहुभुज का द्वितीयक बहुतलीय रूप में प्रतिष्ठित किया जा सकता है। इस निर्माण में, n + 1 भुजों वाले नियमित बहुभुज की प्रत्येक त्रिकोणीकरण (n + 1)-आयामी यूक्लिडीयन स्थान में एक बिंदु के समान होता है, जिसका i-वाला संयोजक बिंदु से संबंधित त्रिकोणों का कुल क्षेत्रफल होता है। उदाहरण के रूप में, यूनिट वर्गाकार के दो त्रिकोणीकरण इस तरीके से उत्पन्न करते हैं, जिनके संयोजक (1, 1/2, 1, 1/2) और (1/2, 1, 1/2, 1) होते हैं।. इन दो बिंदुओं का उत्तल हल एसोसिएहेड्रोन K₃ की प्राप्ति है. यद्यपि यह 4-आयामी स्थान में रहता है, यह उस स्थान के भीतर एक रेखा खंड बनाता है। इसी तरह, असोसिएशेड्रन K4 को यहां एक नियमित पंचभुज के रूप में पांच-आयामी यूक्लिडीयन अंतरिक्ष में प्रतिष्ठित किया जा सकता है, जिसके शिखर संयोजक (1, 2 + φ, 1, 1 + φ, 1 + φ) के चक्रीय प्रतिवर्तन हैं, जहां φ स्वर्णिम अनुपात को दर्शाता है।. नियमित षट्कोण के भीतर संभावित त्रिकोणों के क्षेत्रफल एक-दूसरे के पूर्णांक गुणक होते हैं, इसलिए इस निर्माण का उपयोग करके त्रिआयामी असोसिएशेड्रन K5 को पूर्णांक संयोजक छः आयामों में दिए जा सकते हैं। यद्यपि यह निर्माण असंख्यातांकों को संयोजक के रूप में उत्पन्न करता है।।

क्योंकि K5 एक पॉलिहेड्रन है जिसमें केवल वही शिखर संयोजक होते हैं जहां 3 किनारों की जोड़ी एक साथ होती है, इसलिए एक हाइड्रोकार्बन की मौजूदगी संभव है जिसका रासायनिक संरचना K5 की संरेखा द्वारा प्रतिष्ठित की जाती है।यह "असोसिएहेड्रेन" C14H14 का SMILES नोटेशन होगा: C12-C3-C4-C1-C5-C6-C2-C7-C3-C8-C4-C5-C6-C78। इसके किनारे लगभग बराबर लंबाई के होंगे, लेकिन प्रत्येक फलक के शिखर संयोजक आवश्यकतानुसार समतली नहीं होंगे।

वास्तव में, K5 एक निकट-हिट जॉनसन ठोस है: यह ऐसा दिखता है कि इसे वर्गों और नियमित पंचभुजों से बनाना संभव हो सकता है, लेकिन यह ऐसा नहीं है। या तो शिखर संयोजक थोड़े से बाहरी समतली के पास होंगे, या फलकों को थोड़ा-सा अनियमितता के दिशा में विकृत किया जाना होगा।

के-फलकों की संख्या
अनुक्रम का n (Kn+1) के असोसिएशेड्रन के (n − k) आयामी फलकों की संख्या को "गणितीय त्रिकोणी" [ (n, k) द्वारा दी जाती है, जो दाहिने ओर दिखाई जाती है।

Kn+1 में शीर्षों की संख्या n-वें समुच्चयों की संख्या त्रिकोण में दायां विकर्ण है।

Kn+1 (n≥2) में त्रिकोणीय संख्या से एक कम होकर (त्रिकोणी के दूसरे स्तंभ में) फलकों की संख्या होती है, क्योंकि प्रत्येक फलक n वस्तुओं के समूहों के रूप में तमारी जाल Tn का निर्माण करने वाले n के उपसमूह के समरूप होता है, केवल पहले और अंतिम तत्व को सम्मिलित करने वाले 2-उपसमूह को छोड़कर।।

सभी आयामों के फलकों की संख्या (सहित असोसिएशेड्रन स्वयं को भी एक फलक के रूप में, लेकिन खाली समुच्चय को सम्मिलित नहीं करते हुए) एक श्रेडर-हिपार्कस संख्या होती है।

व्यास
1980 के दशक में, घुमाव दूरी की समस्या से संबंधितता में, डेनियल स्लीटर, रॉबर्ट टार्जन, और विलियम थर्स्टन ने प्रमाणित किया कि असोसिएशेड्रन Kn + 2 का व्यास अनंत संख्या के लिए न्यूनतम 2n - 4 होता है और सभी "पर्याप्त बड़े" मानों के लिए n होता है।। उन्होंने प्रमाणित किया कि n के लिए यह ऊपरी सीमा वही होती है जब n अधिक बड़ा होता है, और यह अनुमान लगाया गया था कि "अधिक बड़ा" का अर्थ "9 से तीव्र रूप से अधिक" होता है। यह अनुमान 2012 में लियोनेल पोर्निन द्वारा प्रमाणित किया गया था ।

प्रकीर्णन आयाम
2017 में, मिज़ेरा और अरकानी-हमीद एट अल ने दिखाया कि द्वि-आसन्न क्यूबिक स्केलर सिद्धांत के लिए स्कैटरिंग एम्पलीट्यूड के सिद्धांत में एसोसिएड्रॉन एक केंद्रीय भूमिका निभाता है।विशेष रूप से, प्रचलित गतिकी के अंतर्गत एक असोसिएशेड्रन उपस्थित होता है, और ट्री स्तर के प्रचलित आयाम द्वितीय असोसिएशेड्रन का आयतन होता है। असोसिएशेड्रन शृंखला सिद्धांत में खुले और बंद शृंखला के प्रचलित आयाम के मध्य संबंधों की व्याख्या में भी सहायता करता है।।

यह भी देखें

 * साइक्लोहेड्रॉन, एक पॉलीटॉप जिसकी परिभाषा कोष्ठकों को चक्रीय क्रम में चारों ओर लपेटने की अनुमति देती है।
 * फ्लिप ग्राफ, एन-कंकाल का एक सामान्यीकरण एसोसिएहेड्रोन का 1-कंकाल।
 * पैरामुटोहेड्रोन,एक कोष्ठक जिसे क्रमविनिमेयता से उसी तरह से परिभाषित किया जाता है जैसे कि एसोसिएटिविटी से एसोसिएशनहेड्रोन की परिभाषा द्वारा ।
 * परमुटोएसोसियाहेड्रोन, एक कोष्ठक जिसके शीर्ष कोष्ठक क्रमपरिवर्तन हैं।
 * तामरी जाली, एक जाली (क्रम) जिसका ग्राफ एसोसिएहेड्रोन का कंकाल है।

बाहरी संबंध

 * Strange Associations - AMS column about Associahedra
 * Ziegler's Lecture on the Associahedron. Notes from a lecture by Günter Ziegler at the Autonomous University of Barcelona, 2009.
 * Lecture on Associahedra and Cyclohedra. MSRI lecture notes.
 * Lecture on Associahedra and Cyclohedra. MSRI lecture notes.