आदिम समीकरण

आदिम समीकरण गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों का एक ऐसा समूह है जिसका उपयोग वैश्विक वातावरण का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है और अधिकांश वैश्विक जलवायु मॉडल में उपयोग किया जाता है। इस प्रकार से इनमें संतुलन समीकरणों के तीन मुख्य समूह सम्मिलित हैं:


 * 1) एक निरंतरता समीकरण: द्रव्यमान के संरक्षण का प्रतिनिधित्व करता है।
 * 2) संवेग का संरक्षण: नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के रूप से मिलकर, जो इस धारणा के अंतर्गत गोले की सतह पर द्रव गतिक प्रवाह का वर्णन करता है कि ऊर्ध्वाधर गति क्षैतिज गति (हाइड्रोस्टैसिस) से बहुत छोटी है और द्रव परत की गहराई गोले की त्रिज्या की तुलना में छोटी है
 * 3) ऊर्जा का संरक्षण: प्रणाली के समग्र तापमान को ताप स्रोतों और सिंक से संबंधित करना

लाप्लास के ज्वारीय समीकरण प्राप्त करने के लिए आदिम समीकरणों को रैखिककृत किया जा सकता है, आइगेन सदिश समस्या जिससे प्रवाह की अक्षांशीय संरचना का विश्लेषणात्मक हल निर्धारित किया जा सकता है।

सामान्यतः, आदिम समीकरणों के लगभग सभी रूप पांच चर u, v, ω, T, W, और समष्टि और समय पर उनके विकास से संबंधित होते हैं।

इस प्रकार से समीकरण सबसे पहले विल्हेम बर्कनेस द्वारा लिखे गए थे।

परिभाषाएँ

 * $$u$$ क्षेत्रीय और मध्याह्न वेग है (गोले के स्पर्शरेखा पूर्व-पश्चिम दिशा में वेग)।
 * $$v$$ मेरिडियनल वेग है (गोले के स्पर्शरेखा उत्तर-दक्षिण दिशा में वेग)।
 * $$\omega$$ समदाब रेखीय निर्देशांक में ऊर्ध्वाधर वेग है।
 * $$T$$ तापमान है।
 * $$\Phi$$ भू-क्षमता है।
 * $$f$$ कोरिओलिस बल के अनुरूप शब्द है, और $$2 \Omega \sin(\phi)$$ के बराबर है, जहाँ $$\Omega$$ पृथ्वी की कोणीय घूर्णन दर ($$2 \pi/24$$ रेडियन प्रति नाक्षत्र घंटे) है, और $$\phi$$ अक्षांश है।
 * $$R$$ गैस स्थिरांक है।
 * $$p$$ दाब है।
 * $$\rho$$ घनत्व है।
 * $$c_p$$ स्थिर दाब वाली सतह पर विशिष्ट ऊष्मा है।
 * $$J$$ प्रति इकाई द्रव्यमान प्रति इकाई समय ऊष्मा प्रवाह है।
 * $$W$$ अवक्षेपणीय जल है।
 * $$\Pi$$ एक्सनर फलन है।
 * $$\theta$$ संभावित तापमान है।
 * $$\eta$$ निरपेक्ष भ्रमिलता है।

वे बल जो वायुमंडलीय गति का कारण बनते हैं
अतः वायुमंडलीय गति का कारण बनने वाले बलों में दाब प्रवणता बल, गुरुत्वाकर्षण और श्यान घर्षण सम्मिलित हैं। एक साथ मिलकर, वे ऐसे बल का निर्माण करते हैं जो हमारे वातावरण को गति प्रदान करती हैं।

इस प्रकार से दाब प्रवणता बल त्वरण का कारण बनता है जो वायु को उच्च दाब वाले क्षेत्रों से कम दाब वाले क्षेत्रों की ओर बलित करता है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$\frac{f}{m} = \frac{1}{\rho} \frac{dp}{dx}.$$

गुरुत्वाकर्षण बल वस्तुओं को प्रत्यक्षतः पृथ्वी के केंद्र की ओर लगभग 9.8 m/s2 की गति से गति देता है।

इस प्रकार से श्यान घर्षण के कारण लगने वाले बल का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है:


 * $$f_r = {f \over a} {1 \over \rho}

\mu\left(\nabla\cdot(\mu \nabla v) + \nabla(\lambda\nabla\cdot v) \right). $$ अतः न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, इन बलों (उपरोक्त समीकरणों में इन बलों के कारण त्वरण के रूप में संदर्भित) को गति के समीकरण का निर्माण करने के लिए सारांशित किया जा सकता है जो इस प्रणाली का वर्णन करता है। इस समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$\frac{dv}{dt} = - (\frac{1}{\rho}) \nabla p - g(\frac{r}{r}) + f_r$$


 * $$g = g_e. \,$$

इसलिए, समीकरणों की प्रणाली को पूर्ण करने और 6 समीकरण और 6 चर प्राप्त करने के लिए:
 * $$\frac{dv}{dt} = - (\frac{1}{\rho})\nabla p - g(\frac{r}{r}) + (\frac{1}{\rho})\left[\nabla\cdot (\mu \nabla v) + \nabla(\lambda \nabla\cdot v)\right]$$

जहां n मोल में संख्या घनत्व है, और T:=RT जूल/मोल में तापमान समतुल्य मान है।
 * $$c_{v} \frac{dT}{dt} + p \frac{d\alpha}{dt} = q + f$$
 * $$\frac{d\rho}{dt} + \rho\nabla\cdot v = 0$$
 * $$p = n T.$$

आदिम समीकरणों के रूप
इस प्रकार से आदिम समीकरणों का यथार्थ रूप चुनी गई ऊर्ध्वाधर समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है, जैसे कि दाब निर्देशांक, लॉग दाब निर्देशांक, या सिग्मा निर्देशांक आदि। अतः इसके अतिरिक्त, रेनॉल्ड्स अपघटन का उपयोग करके वेग, तापमान और भू-संभावित चर को माध्य और प्रक्षोभ घटकों में विघटित किया जा सकता है।

ऊर्ध्वाधर, कार्तीय स्पर्शरेखीय तल में दाब निर्देशांक
इस रूप में दाब को ऊर्ध्वाधर निर्देशांक के रूप में चुना जाता है और क्षैतिज निर्देशांक कार्टेशियन स्पर्शरेखा समतल (अर्थात पृथ्वी की सतह पर किसी बिंदु पर स्पर्शरेखा वाला समतल) के लिए लिखे जाते हैं। इस प्रकार से यह रूप पृथ्वी की वक्रता को ध्यान में नहीं रखता है, लेकिन इसकी सापेक्ष सरलता के कारण समीकरण तैयार करने में सम्मिलित कुछ भौतिक प्रक्रियाओं को देखने के लिए उपयोगी है।

ध्यान दें कि पूंजी D पदार्थ व्युत्पन्न भौतिक व्युत्पन्न हैं। अतः यह पाँच अज्ञात में पाँच समीकरण प्रणाली का निर्माण करते हैं।


 * अदृश्य प्रवाह (घर्षण रहित) गति समीकरण:


 * $$\frac{Du}{Dt} - f v = -\frac{\partial \Phi}{\partial x}$$
 * $$\frac{Dv}{Dt} + f u = -\frac{\partial \Phi}{\partial y}$$


 * जलस्थैतिक दाब, ऊर्ध्वाधर गति समीकरण की विशेष स्थिति जिसमें ऊर्ध्वाधर त्वरण को नगण्य माना जाता है:


 * $$0 = -\frac{\partial \Phi}{\partial p} - \frac{R T}{p}$$


 * निरंतरता समीकरण, जलस्थैतिक सन्निकटन ($$dp=-\rho\, d\Phi$$) के अंतर्गत क्षैतिज विचलन/अभिसरण को ऊर्ध्वाधर गति से जोड़ता है:


 * $$\frac{\partial u}{\partial x} + \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{\partial \omega}{\partial p} = 0$$


 * और ऊष्मागतिक ऊर्जा समीकरण, ऊष्मागतिकी के पहले नियम


 * $$\frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} + \omega \left( \frac{\partial T}{\partial p} - \frac{R T}{p c_p} \right) = \frac{J}{c_p}$$ का परिणाम है।

इस प्रकार से जब जल वाष्प पदार्थ के संरक्षण का कथन सम्मिलित किया जाता है, तो ये छह समीकरण किसी भी संख्यात्मक ऋतु भविष्यवाणी योजना का आधार बनते हैं।

सिग्मा समन्वय प्रणाली का उपयोग करते हुए आदिम समीकरण, ध्रुवीय त्रिविम प्रक्षेपण
अतः राष्ट्रीय ऋतु सेवा पुस्तिका संख्या 1 - प्रतिकृति उत्पाद के अनुसार, आदिम समीकरणों को निम्नलिखित समीकरणों में सरल बनाया जा सकता है:


 * क्षेत्रीय पवन:
 * $$\frac{\partial u}{\partial t} = \eta v - \frac{\partial \Phi}{\partial x} - c_p \theta \frac{\partial \pi}{\partial x} - z\frac{\partial u}{\partial \sigma} - \frac{\partial (\frac{u^2 + v^2}{2})}{\partial x} $$


 * मध्यम पवन:
 * $$\frac{\partial v}{\partial t} = -\eta \frac{u}{v} - \frac{\partial \Phi}{\partial y} - c_p \theta \frac{\partial \pi}{\partial y} - z \frac{\partial v}{\partial \sigma} - \frac{\partial (\frac{u^2 + v^2}{2})}{\partial y}$$


 * तापमान:
 * $$\frac{\partial T}{\partial t} = \frac{\partial T}{\partial t} + u \frac{\partial T}{\partial x} + v \frac{\partial T}{\partial y} + w \frac{\partial T}{\partial z}$$

इस प्रकार से पहला पद आने वाले सौर विकिरण और बाहर जाने वाले दीर्घतरंग विकिरण के कारण तापमान में परिवर्तन के बराबर है, जो पूरे दिन समय के साथ बदलता रहता है। दूसरा, तीसरा और चौथा पद संवहन के कारण हैं। अतः इसके अतिरिक्त, सबस्क्रिप्ट के साथ चर T उस समतल पर तापमान में परिवर्तन है। प्रत्येक T वस्तुतः भिन्न है और अपने संबंधित तल से संबंधित है। दूरी में परिवर्तन के साथ तापमान में परिवर्तन प्राप्त करने के लिए इसे ग्रिड बिंदुओं के बीच की दूरी से विभाजित किया जाता है। जब उस तल पर वायु के वेग से गुणा किया जाता है, तो इकाइयाँ केल्विन प्रति मीटर और मीटर प्रति सेकंड केल्विन प्रति सेकंड देती हैं। x, y और z दिशाओं में गति के कारण तापमान में होने वाले सभी परिवर्तनों का योग समय के साथ तापमान में कुल परिवर्तन देता है।


 * अवक्षेपित जल:
 * $$\frac{\delta W}{\partial t} = u \frac{\partial W}{\partial x} + v \frac{\partial W}{\partial y} + w \frac{\partial W}{\partial z}$$

यह समीकरण और अंकन लगभग तापमान समीकरण के जैसे ही कार्य करता है। यह समीकरण रूप बदलने वाले जल को ध्यान में रखे बिना बिंदु पर स्थान से दूसरे स्थान तक जल की गति का वर्णन करता है। इस प्रकार से किसी दिए गए प्रणाली के अंदर, समय के साथ जल में कुल परिवर्तन शून्य है। यद्यपि, सांद्रता को वायु के साथ बढ़ने की अनुमति है।


 * दाब मोटाई:
 * $$\frac{\partial}{\partial t} \frac{\partial p}{\partial \sigma} = u \frac{\partial}{\partial x} x \frac{\partial p}{\partial \sigma} + v \frac{\partial}{\partial y} y \frac{\partial p}{\partial \sigma} + w \frac{\partial}{\partial z} z \frac{\partial p}{\partial \sigma}$$

अतः इन सरलीकरणों से यह समझना बहुत सरल हो जाता है कि मॉडल में क्या हो रहा है। तापमान (संभावित तापमान), अवक्षेपण योग्य जल और एक क्षेत्र तक दाब की मोटाई जैसी वस्तुएं वायु के साथ ग्रिड पर स्थान से दूसरे स्थान पर चली जाती हैं। वायु का पूर्वानुमान थोड़ा अलग है। यह भू-क्षमता, विशिष्ट ऊष्मा, एक्सनर फलन π और सिग्मा समन्वय में परिवर्तन का उपयोग करता है।

रेखीयीकृत आदिम समीकरणों का हल
इस प्रकार से रेखीयकृत आदिम समीकरणों के विश्लेषणात्मक हल में समय और देशांतर में ज्यावक्रीय दोलन सम्मिलित होता है, जो ऊंचाई और अक्षांश से संबंधित गुणांक द्वारा संशोधित होता है।


 * $$ \begin{Bmatrix}u, v, \Phi \end{Bmatrix} = \begin{Bmatrix}\hat u, \hat v, \hat \Phi \end{Bmatrix} e^{i(s \lambda + \sigma t)} $$

जहाँ है और $$\sigma$$ क्रमशः क्षेत्रीय तरंगसंख्या और कोणीय आवृत्ति हैं। हल वायुमंडलीय तरंगों और ज्वार का प्रतिनिधित्व करता है।

अतः जब गुणांकों को उनकी ऊंचाई और अक्षांश घटकों में विभाजित किया जाता है, तो ऊंचाई निर्भरता प्रसार या अपवर्तक तरंगों (स्थितियों के आधार पर) का रूप ले लेती है, जबकि अक्षांश निर्भरता हफ़ फलन द्वारा दी जाती है।

इस प्रकार से यह विश्लेषणात्मक हल तभी संभव है जब आदिम समीकरणों को रैखिक और सरल बनाया जाए। दुर्भाग्य से इनमें से कई सरलीकरण (अर्थात कोई अपव्यय नहीं, समतापी वातावरण) वास्तविक वातावरण की स्थितियों के अनुरूप नहीं हैं। परिणामस्वरूप, संख्यात्मक हल जो इन कारकों को ध्यान में रखता है, प्रायः सामान्य परिसंचरण मॉडल और जलवायु मॉडल का उपयोग करके गणना की जाती है।

यह भी देखें

 * बैरोमीटर का सूत्र
 * जलवायु मॉडल
 * यूलर समीकरण
 * द्रव गतिविज्ञान
 * सामान्य परिसंचरण मॉडल
 * संख्यात्मक ऋतु भविष्यवाणी

संदर्भ

 * Beniston, Martin. From Turbulence to Climate: Numerical Investigations of the Atmosphere with a Hierarchy of Models. Berlin: Springer, 1998. ISBN 3-540-63495-9
 * Firth, Robert. Mesoscale and Microscale Meteorological Model Grid Construction and Accuracy. LSMSA, 2006.
 * Thompson, Philip. Numerical Weather Analysis and Prediction. New York: The Macmillan Company, 1961.
 * Pielke, Roger A. Mesoscale Meteorological Modeling. Orlando: Academic Press, Inc., 1984. ISBN 0-12-554820-6
 * U.S. Department of Commerce, National Oceanic and Atmospheric Administration, National Weather Service. National Weather Service Handbook No. 1 – Facsimile Products. Washington, DC: Department of Commerce, 1979.

बाहरी संबंध
National Weather Service – NCSU Collaborative Research and Training Site, Review of the Primitive Equations.