अर्ध-घातांकीय फलन

गणित में, अर्ध-घातांकीय फलन किसी घातांकीय फलन का कार्यात्मक वर्गमूल होता है। अर्थात फलन (गणित) $$f$$ ऐसा है कि $$f$$ स्वयं से मिलकर घातांकीय फलन में परिणत होता है:$$f\bigl(f(x)\bigr) = ab^x,$$कुछ स्थिरांक के लिए $a$ and $b$. है:

संवृत-फ़ॉर्म सूत्र की असंभवता
यदि कोई फलन$$f$$ को मानक अंकगणितीय संचालन, घातांक, लघुगणक और वास्तविक संख्या-मूल्यवान स्थिरांक का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, फिर $$f\bigl(f(x)\bigr)$$ या तो उप घातीय

या सुपर घातीय है। इस प्रकार, हार्डी $L$-फलन अर्ध-घातांकीय नहीं हो सकता है।

निर्माण
किसी भी घातीय फलन को स्व-रचना के रूप में लिखा जा सकता है $$f(f(x))$$ के अपरिमित रूप से अनेक संभावित विकल्पों के लिए $$f$$ विशेष रूप से, प्रत्येक के लिए $$A$$ विवृत अंतराल में $$(0,1)$$ और प्रत्येक निरंतर जटिलता से बढ़ते फलन के लिए $$g$$ से $$[0,A]$$ पर $$[A,1]$$ इस फलन का निरंतर जटिलता से बढ़ते फलन तक विस्तार है। वास्तविक संख्याओं पर $$f$$ जैसे कि $f\bigl(f(x)\bigr)=\exp x$.प्रोग्राम $$f$$ कार्यात्मक समीकरण का अद्वितीय समाधान है:$$ f (x) = \begin{cases} g (x) & \mbox{if } x \in [0,A], \\ \exp g^{-1} (x) & \mbox{if } x \in (A,1], \\ \exp f ( \ln x) & \mbox{if } x \in (1,\infty), \\ \ln f ( \exp x) & \mbox{if } x \in (-\infty,0). \\ \end{cases} $$सरल उदाहरण, जो $$f$$ की ओर ले जाता है प्रत्येक स्थान सतत प्रथम व्युत्पन्न होने पर $$A=\tfrac12$$ और $$g(x)=x+\tfrac12$$ होता है, जो इस प्रकार है: $$ f (x) = \begin{cases} \log_e\left(e^x +\tfrac12\right) & \mbox{if } x \le -\log_e 2, \\ e^x - \tfrac12 & \mbox{if } {-\log_e 2} \le x \le 0, \\ x +\tfrac12 & \mbox{if } 0 \le x \le \tfrac12, \\ e^{x-1/2} & \mbox{if } \tfrac12 \le x \le 1, \\ x \sqrt{e} & \mbox{if } 1 \le x \le \sqrt{e} , \\ e^{x / \sqrt{e}} & \mbox{if } \sqrt{e} \le x \le e , \\ x^{\sqrt{e}} & \mbox{if } e \le x \le e^{\sqrt{e}} , \\ e^{x^{1/\sqrt{e}}} & \mbox{if } e^{\sqrt{e}} \le x \le e^e , \ldots\\ \end{cases} $$

अनुप्रयोग
बहुपद और घातांक के मध्य मध्यवर्ती विकास दर के लिए कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में अर्ध-घातीय कार्यों का उपयोग किया जाता है।फलन $$f$$ कम से कम किसी अर्ध-घातांकीय फलन जितनी तीव्रता से बढ़ता है (इसकी संरचना स्वयं के साथ तीव्रता से बढ़ती है)। यदि यह घटता नहीं है और $$f^{-1}(x^C)=o(\log x)$$, प्रत्येक के लिए every $C>0$.है।

बाहरी संबंध

 * Does the exponential function have a (compositional) square root?
 * “Closed-form” functions with half-exponential growth