अनुमान

गणित में, अनुमान प्रस्ताव का एक ऐसा परिणाम है जिसे औपचारिक प्रमाण के बिना अस्थायी आधार पर चयनित किया जाता है।  कुछ अनुमान, जैसे कि रीमैन परिकल्पना (अभी भी अनुमान) या फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय (एंड्रयू विल्स द्वारा 1995 में सिद्ध किए जाने तक अनुमान), ने गणितीय इतिहास को आकार दिया है क्योंकि उन्हें सिद्ध करने के लिए गणित के नवीन क्षेत्रों का विकास किया गया है।

फर्मेट की अंतिम प्रमेय
इस प्रकार से संख्या सिद्धांत में, फ़र्मेट का अंतिम प्रमेय (कभी-कभी फ़र्मेट का अनुमान कहा जाता है, विशेष रूप से प्राचीन ग्रंथों में) कहता है कि कोई तीन धनात्मक संख्या पूर्णांक $$a$$,$$b$$, और $$c$$ दो से अधिक $$n$$ के किसी भी पूर्णांक मान के लिए समीकरण $$a^n + b^n = c^n$$को संतुष्ट नहीं कर सकते हैं।

अतः इस प्रमेय को प्रथमतः 1637 में अंकगणित की प्रति के लाभ में पियरे डी फर्मेट द्वारा अनुमान लगाया गया था, जहां उन्होंने अनुरोध किया था कि उनके निकट प्रमाण है जो लाभ में फिट होने के लिए बहुत बड़ा था। फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय का विल्स का प्रमाण 1994 में एंड्रयू विल्स द्वारा जारी किया गया था, और गणितज्ञों के 358 वर्षों के प्रयास के बाद औपचारिक रूप से 1995 में प्रकाशित हुआ था। इस प्रकार से अनसुलझी समस्या ने 19वीं शताब्दी में बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के विकास और 20वीं शताब्दी में मॉड्यूलरिटी प्रमेय के प्रमाण को प्रेरित किया था। यह गणित के इतिहास में सबसे उल्लेखनीय प्रमेयों में से है, और इसके प्रमाण से पूर्व यह सबसे जटिल गणितीय समस्याओं के लिए गिनीज बुक ऑफ वर्ल्ड रिकॉर्ड्स में सम्मिलित था।

चार वर्ण प्रमेय
इस प्रकार से गणित में, चार वर्ण प्रमेय, या चार वर्ण प्रतिचित्र प्रमेय, बताता है कि किसी समतल को सन्निहित क्षेत्रों में अलग करने पर, एक आकृति का निर्माण होता है जिसे प्रतिचित्र कहा जाता है, प्रतिचित्र के क्षेत्रों को रंगने के लिए चार से अधिक वर्णों की आवश्यकता नहीं होती है - इसलिए कि किसी भी दो निकटवर्ती क्षेत्रों का वर्ण एक जैसा नहीं है। दो क्षेत्रों को आसन्न कहा जाता है यदि वे सामान्य सीमा साझा करते हैं जो कोण नहीं है, जहां कोण तीन या अधिक क्षेत्रों द्वारा साझा किए गए बिंदु हैं। उदाहरण के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका के प्रतिचित्र में, यूटा और एरिजोना आसन्न हैं, परन्तु यूटा और न्यू मैक्सिको, जो मात्र एरिजोना और कोलोराडो से संबंधित चार कोण स्मारक साझा करते हैं, नहीं हैं।

अगस्त फर्डिनेंड मोबियस ने 1840 के प्रारम्भ में अपने व्याख्यानों में इस समस्या का उल्लेख किया। इस प्रकार से यह अनुमान प्रथमतः 23 अक्टूबर, 1852 को प्रस्तावित किया गया था, जब फ्रांसिस गुथरी ने इंग्लैंड की काउंटियों के प्रतिचित्र को रंगने का प्रयत्न करते हुए देखा कि मात्र चार अलग-अलग वर्णों की आवश्यकता थी। अतः पांच वर्ण प्रमेय, जिसका संक्षिप्त प्रारंभिक प्रमाण है, कहता है कि पांच वर्ण प्रतिचित्र को रंगने के लिए पर्याप्त हैं और 19वीं शताब्दी के अंत में सिद्ध हो गए थे; यद्यपि, यह सिद्ध करना कि पर्याप्त चार वर्ण अत्यधिक जटिल निकले। 1852 में चार वर्ण प्रमेय के पूर्व कथन के बाद से कई असत्य प्रमाण और असत्य प्रति उदाहरण सामने आए हैं।

चार वर्णों वाली प्रमेय अंततः 1976 में केनेथ एपल और वोल्फगैंग हेकेन द्वारा सिद्ध की गई थी। यह कंप्यूटर-सहायता प्रमाण होने वाला प्रथम प्रमुख प्रमेय था, प्रमेय कंप्यूटर प्रोग्राम की सहायता से सिद्ध हुआ। इस प्रकार से एपेल और हेकेन का दृष्टिकोण यह दिखाते हुए प्रारम्भ हुआ कि 1,936 प्रतिचित्रों का विशेष समूह है, जिनमें से प्रत्येक चार वर्ण प्रमेय के लिए छोटे आकार के प्रति उदाहरण का भाग नहीं हो सकता है (अर्थात, यदि वे प्रकट होते हैं, तो कोई छोटा प्रति-उदाहरण बना सकता है)। अतः एपेल और हेकेन ने विशेष प्रयोजन के कंप्यूटर प्रोग्राम का उपयोग यह पुष्टि करने के लिए किया कि इनमें से प्रत्येक प्रतिचित्र में यह गुण था। इसके अतिरिक्त, कोई प्रतिचित्र जो संभावित रूप से प्रति उदाहरण हो सकता है, उसमें भाग होना चाहिए जो इन 1,936 प्रतिचित्रों में से जैसा दिखता है। हाथों के विश्लेषण के सैकड़ों पृष्ठों के साथ इसे दिखाते हुए, एपेल और हेकेन ने निष्कर्ष निकाला कि कोई भी सबसे छोटा प्रति उदाहरण स्थित नहीं है क्योंकि किसी में भी इन 1,936 प्रतिचित्रों में से होना चाहिए, फिर भी सम्मिलित नहीं है। इस विरोधाभास का अर्थ है कि कोई भी प्रति उदाहरण नहीं है और इसलिए प्रमेय सत्य है। प्रारंभ में, उनके प्रमाण को गणितज्ञों द्वारा निश्चित स्वीकार नहीं किया गया था क्योंकि कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाण मानव द्वारा हाथ से जांचना संभव नहीं था। यद्यपि, प्रमाण तब से व्यापक स्वीकृति प्राप्त कर चुका है, यद्यपि संदेह अभी भी बना हुआ है।

मुख्य अनुमान
इस प्रकार से ज्यामितीय टोपोलॉजी का मुख्य अनुमान (मुख्य अनुमान के लिए जर्मन) एक ऐसा अनुमान है कि त्रिकोणीय स्थान के किसी भी दो त्रिभुज (टोपोलॉजी) में सामान्य शोधन होता है, एकल त्रिभुज जो उन दोनों का उपखंड है। यह मूल रूप से 1908 में अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़ और हेनरिक फ्रांज फ्रेडरिक टिट्ज़ द्वारा तैयार किया गया था।

इस प्रकार से यह अनुमान अब असत्य माना जाता है। गैर-कई गुना संस्करण जॉन मिल्नोर ने 1961 में रीडमिस्टर आघूर्ण बल का उपयोग करके अस्वीकृत कर दिया था।

अतः कई गुना संस्करण विमाओं m ≤ 3 में सत्य है। स्थिति m = 2 और 3 को क्रमशः 1920 और 1950 के दशक में टिबोर राडो और एडविन ई. मोइज़ द्वारा सिद्ध किया गया था।

वील अनुमान
इस प्रकार से गणित में, वेइल अनुमान द्वारा परिमित क्षेत्रों पर बीजगणितीय विविधता पर अंकों की संख्या की गणना से प्राप्त जनक फलन (स्थानीय जीटा-फलन के रूप में जाना जाता है) पर कुछ अत्यधिक प्रभावशाली प्रस्ताव थे।

q अवयवों वाले एक परिमित क्षेत्र पर एक प्रकार V तर्कसंगत बिंदुओं की एक सीमित संख्या होती है, साथ ही उस क्षेत्र वाले qk अवयवों वाले प्रत्येक परिमित क्षेत्र पर बिंदु होते हैं। जनक फलन में qk अवयवों के साथ संख्या (अनिवार्य रूप से अद्वितीय) क्षेत्र पर बिंदुओं की संख्या Nk से प्राप्त गुणांक होते हैं।

इस प्रकार से वेइल ने अनुमान लगाया कि इस प्रकार के जीटा-फलन तर्कसंगत फलन होने चाहिए, कार्यात्मक समीकरण के रूप को संतुष्ट करना चाहिए, और प्रतिबंधित स्थानों में उनके शून्य होने चाहिए। अतः पूर्व दो भागों को रीमैन जीटा फलन और रीमैन परिकल्पना पर अत्यधिक सचेत रूप से तैयार किया गया था। तर्कसंगतता को, कार्यात्मक समीकरण , द्वारा सिद्ध किया गया था, और रीमैन परिकल्पना का समधर्मी द्वारा सिद्ध किया गया था।

पोंकारे अनुमान
गणित में, पॉइंकेयर अनुमान 3-क्षेत्र के लक्षण वर्णन (गणित) के विषय में एक प्रमेय है, जो अति क्षेत्र है जो इकाई बॉल को चार-विमीय समष्टि में बांधता है। अनुमान कहता है कि: "प्रत्येक मात्र संयोजित, संवृत 3-कई गुना 3-गोले से होमोमोर्फिक है।"

इस प्रकार से अनुमान के समतुल्य रूप में होमोमोर्फिज्म की तुलना में समरूपता का स्थूलतर रूप सम्मिलित होता है जिसे समस्थेयता समतुल्य कहा जाता है: यदि 3-कई गुना समस्थेयता 3-क्षेत्र के बराबर है, तो यह आवश्यक रूप से होमोमोर्फिक है।

अतः मूल रूप से 1904 में हेनरी पोंकारे द्वारा अनुमानित, प्रमेय ऐसे स्थान से संबंधित है जो स्थानीय रूप से सामान्य त्रि-विमीय समष्टि के जैसे दिखता है परन्तु सम्बद्ध है, आकार में परिमित है, और किसी भी सीमा का अभाव है (एक संवृत कई गुना 3-कई गुना)। पोंकारे अनुमान का अनुरोध है कि यदि ऐसे स्थान में अतिरिक्त गुण है कि समष्टि में प्रत्येक पथ (टोपोलॉजी) को बिंदु पर निरंतर दृढ़ीकृत किया जा सकता है, तो यह अनिवार्य रूप से त्रि-विमीय क्षेत्र है। कुछ समय के लिए सामान्यीकृत पोंकारे अनुमान उच्च विमाओं में जाना जाता है।

गणितज्ञों द्वारा लगभग शताब्दी के प्रयास के बाद, त्वरित पेरेलमैन ने 2002 और 2003 में अरक्सीव पर उपलब्ध कराए गए तीन लेखों में अनुमान का प्रमाण प्रस्तुत किया था। इस प्रकार से समस्या को हल करने का प्रयास करने के लिए रिक्की प्रवाह का उपयोग करने के लिए रिचर्ड एस. हैमिल्टन के कार्यक्रम से प्रमाण का पालन किया गया गया था। हैमिल्टन ने बाद में मानक रिक्की प्रवाह का संशोधन प्रस्तुत किया, जिसे सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह कहा जाता है, ताकि नियंत्रित विधि से व्यवस्थित रूप से एकवचन क्षेत्रों को विकसित किया जा सके, परन्तु यह सिद्ध करने में असमर्थ था कि यह विधि तीन विमाओं में परिवर्तित हो गई है। पेरेलमैन ने प्रमाण के इस भाग को पूर्ण किया। गणितज्ञों की कई टीमों ने सत्यापित किया है कि पेरेलमैन का प्रमाण सत्य है।

इस प्रकार से सिद्ध होने से पूर्व पोंकारे अनुमान, टोपोलॉजी में सबसे महत्वपूर्ण विवृत प्रश्नों में से था।

रीमैन परिकल्पना
अतः गणित में, द्वारा प्रस्तावित रीमैन परिकल्पना का अनुमान है कि रीमैन जीटा फलन के सभी गैर-तुच्छ शून्यों का वास्तविक भाग 1/2 है। नाम का उपयोग कुछ निकट संबंधी अनुरूपताओं के लिए भी किया जाता है, जैसे परिमित क्षेत्रों पर घटता के लिए रीमैन परिकल्पना।

इस प्रकार से रीमैन परिकल्पना अभाज्य संख्याओं के वितरण के विषय में परिणाम बताती है। उपयुक्त सामान्यीकरणों के साथ, कुछ गणितज्ञ इसे शुद्ध गणित की सबसे महत्वपूर्ण अनसुलझी समस्या मानते हैं। अतः रिमेंन परिकल्पना, गोल्डबैक अनुमान के साथ, डेविड हिल्बर्ट की हिल्बर्ट की समस्याओं की सूची में हिल्बर्ट की आठवीं समस्या का भाग है; यह मिट्टी गणित संस्थान मिलेनियम पुरस्कार समस्याएं में से है।

पी बनाम एनपी समस्या
इस प्रकार से पी बनाम एनपी समस्या कंप्यूटर विज्ञान में अनसुलझी समस्याओं की प्रमुख सूची है। अनौपचारिक रूप से, यह पूछता है कि क्या प्रत्येक समस्या जिसका हल कंप्यूटर द्वारा शीघ्रता से सत्यापित किया जा सकता है, कंप्यूटर द्वारा भी शीघ्रता से हल किया जा सकता है; यह व्यापक रूप से अनुमान लगाया जाता है कि उत्तर नहीं है। अनिवार्य रूप से प्रथमतः 1956 में कर्ट गोडेल द्वारा जॉन वॉन न्यूमैन को लिखे गए लेख में इसका उल्लेख किया गया था। गोडेल ने पूछा कि क्या निश्चित एनपी-पूर्ण समस्या को द्विघात या रैखिक समय में हल किया जा सकता है। अतः P=NP समस्या का यथार्थ कथन 1971 में स्टीफन कुक द्वारा अपने मौलिक लेख "प्रमेय सिद्ध करने की प्रक्रियाओं की जटिलता" में प्रस्तुत किया गया था, और कई लोगों द्वारा इसे क्षेत्र में सबसे महत्वपूर्ण विवृत समस्या माना जाता है। क्ले मैथमैटिक्स इंस्टीट्यूट द्वारा चुने गए सात सहस्राब्दी पुरस्कार समस्याओं में से एक है, जिसके पूर्व सत्य हल के लिए यूएस $ 1,000,000 का पुरस्कार दिया जाएगा।

अन्य अनुमान

 * गोल्डबैक का अनुमान
 * जुड़वां अभाज्य अनुमान
 * कोल्लात्ज़ अनुमान
 * मैनिन अनुमान
 * मालदासेना अनुमान
 * यूलर अनुमान, 18वीं शताब्दी में यूलर द्वारा प्रस्तावित किया गया था, परन्तु जिसके लिए कई प्रतिपादकों (n = 4 से प्रारम्भ) के प्रति उदाहरण 20वीं शताब्दी के मध्य में पाए गए थे
 * दूसरा हार्डी-लिटिलवुड अनुमान अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित अनुमानों के युग्म है, जिनमें से प्रथम पूर्वोक्त जुड़वां अभाज्य अनुमान पर विस्तार करता है। अतः न तो कोई सिद्ध हुआ है और न ही असिद्ध, परन्तु यह सिद्ध हो चुका है कि दोनों साथ सत्य नहीं हो सकते (अर्थात, कम से कम असत्य होना चाहिए)। इस प्रकार से यह सिद्ध नहीं हुआ है कि कौन सा असत्य है, परन्तु यह व्यापक रूप से माना जाता है कि प्रथम अनुमान सत्य है और दूसरा असत्य है।
 * लैंगलैंड्स कार्यक्रम 'एकीकृत अनुमान' के इन विचारों का दूरगामी जाल है जो गणित के विभिन्न उपक्षेत्रों को जोड़ता है (उदाहरण के लिए संख्या सिद्धांत और लाई समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के बीच)। इनमें से कुछ अनुमान तब से सिद्ध हो चुके हैं।

प्रमाण
इस प्रकार से औपचारिक गणित सिद्ध सत्य पर आधारित है। गणित में, सार्वभौमिक रूप से परिमाणित अनुमान का समर्थन करने वाली स्थितियों की संख्या, चाहे वह कितना भी बड़ा क्यों न हो, अनुमान की सत्यता स्थापित करने के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि एकल प्रति उदाहरण अनुमान को तुरंत नीचे ला सकता है। अतः गणितीय लेखिकाएं कभी-कभी अनुसंधान समूहों के साधारण परिणामों को प्रकाशित करती हैं, जिन्होंने पूर्व की तुलना में प्रति उदाहरण के लिए खोज को आगे बढ़ाया है। उदाहरण के लिए, कोल्लात्ज़ अनुमान, जो इस बात से संबंधित है कि पूर्णांकों के कुछ अनुक्रम समाप्त होते हैं या नहीं, 1.2 × 1012 (एक ट्रिलियन से अधिक) तक सभी पूर्णांकों के लिए परीक्षण किया गया है। यद्यपि, व्यापक खोज के बाद प्रति उदाहरण खोजने में विफलता इस बात का प्रमाण नहीं है कि अनुमान सत्य है - क्योंकि अनुमान असत्य हो सकता है परन्तु बहुत बड़े न्यूनतम प्रति उदाहरण के साथ है।

फिर भी, गणितज्ञ प्रायः अनुमान को साक्ष्य द्वारा दृढ़ता से समर्थित मानते हैं, यद्यपि अभी तक सिद्ध नहीं हुआ है। वह साक्ष्य विभिन्न प्रकार के हो सकते हैं, जैसे कि उसके परिणामों का सत्यापन या ज्ञात परिणामों के साथ दृढ अंतर्संबंध हैं।

इस प्रकार से एक अनुमान को तभी सिद्ध माना जाता है जब यह दिखाया गया हो कि उसका असत्य होना तार्किक रूप से असंभव है। ऐसा करने की विभिन्न विधि हैं; अधिक विवरण के लिए गणितीय उपपत्ति की विधियाँ देखें।

अतः प्रमाण की विधि, लागू होती है जब स्थितियों की मात्र सीमित संख्या होती है जो प्रति-उदाहरण का कारण बन सकती है, पाशविक बल के रूप में जाना जाता है: इस दृष्टिकोण में, सभी संभावित स्थितियों पर विचार किया जाता है और प्रति-उदाहरण नहीं देने के लिए दिखाया जाता है। कुछ अवसरों में, स्थितियों की संख्या अत्यधिक बड़ी होती है, ऐसे में सभी स्थितियों की जांच के लिए पाशविक-बल प्रमाण के लिए व्यावहारिक स्थिति के रूप में कंप्यूटर एल्गोरिदम के उपयोग की आवश्यकता हो सकती है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, कंप्यूटर द्वारा चार वर्ण प्रमेय के 1976 और 1997 के पाशविक-बल प्रमाण की वैधता पर प्रारम्भ में संदेह किया गया था, परन्तु अंततः 2005 में प्रमेय-सिद्ध सॉफ़्टवेयर द्वारा इसकी पुष्टि की गई।

अतः जब अनुमान गणितीय प्रमाण हो गया है, तो यह अब अनुमान नहीं है यद्यपि प्रमेय है। कई महत्वपूर्ण प्रमेय एक समय अनुमान थे, जैसे कि ज्यामितिकरण अनुमान (जिसने पॉइनकेयर अनुमान को हल किया), फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय, और अन्य आदि।

खंडन
इस प्रकार से प्रति उदाहरण के माध्यम से अप्रमाणित अनुमानों को कभी-कभी असत्य अनुमानों के रूप में संदर्भित किया जाता है (cf. पोल्या अनुमान और यूलर की घातों के योग अनुमान)। उत्तरार्द्ध की स्थिति में, एन = 4 स्थिति के लिए पाया गया प्रथम प्रति उदाहरण लाखों में सम्मिलित है, यद्यपि यह बाद में पाया गया है कि न्यूनतम प्रति उदाहरण वस्तुतः छोटा है।

स्वतंत्र अनुमान
इस प्रकार से प्रत्येक अनुमान सत्य या असत्य सिद्ध नहीं होता। सातत्य परिकल्पना, जो कुछ अनंत समूहों की सापेक्ष गणनांक संख्या का पता लगाने का प्रयास करती है, अंततः समूह सिद्धांत के ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्धों के सामान्यतः स्वीकृत समूह से स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) के रूप में दिखाया गया था। इसलिए इस कथन को, या इसके निषेध को सुसंगत विधि से नवीन स्वयंसिद्ध के रूप में अपनाना संभव है (जैसा कि यूक्लिड के समानांतर अभिधारणा को ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्ध प्रणाली में या तो सत्य या असत्य के रूप में लिया जा सकता है)।

इस स्थिति में, यदि कोई प्रमाण इस कथन का उपयोग करता है, तो शोधकर्ता प्रायः नवीन प्रमाण की जांच करेंगे, जिसके लिए परिकल्पना की आवश्यकता नहीं है (उसी प्रकार यह वांछनीय है कि यूक्लिडियन ज्यामिति में कथनों को मात्र तटस्थ ज्यामिति के स्वयंसिद्धों का उपयोग करके सिद्ध किया जाए, अर्थात बिना समानांतर अभिधारणा के)। अतः व्यवहार में इसका बड़ा अपवाद चयन का स्वयंसिद्ध है, क्योंकि अधिकांश शोधकर्ता सामान्यतः चिंता नहीं करते हैं कि परिणाम की आवश्यकता है या नहीं - जब तक कि वे विशेष रूप से इस स्वयंसिद्ध का अध्ययन नहीं कर रहे हों।

सप्रतिबन्ध प्रमाण
इस प्रकार से कभी-कभी, अनुमान को परिकल्पना कहा जाता है जब इसे अन्य परिणामों के प्रमाण में धारणा के रूप में बार-बार और बार-बार उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, रिमेंन परिकल्पना संख्या सिद्धांत से अनुमान है कि - अन्य बातों के अतिरिक्त - अभाज्य संख्याओं के वितरण के विषय में भविष्यवाणियां करता है। कुछ संख्या सिद्धांतकारों को संदेह है कि रीमैन परिकल्पना सत्य है। वस्तुतः, इसके अंतिम प्रमाण की प्रत्याशा में, कुछ ने आगे के प्रमाणों को विकसित करना भी प्रारम्भ कर दिया है जो इस अनुमान की सत्यता पर निर्भर हैं। अतः इन्हें सप्रतिबन्ध प्रमाण कहा जाता है: अनुमानित अनुमान प्रमेय की परिकल्पना में कुछ समय के लिए दिखाई देते हैं।

यद्यपि, ये प्रमाण अलग हो जाएंगे यदि यह पता चला कि परिकल्पना असत्य थी, इसलिए इस प्रकार के अनुमानों की सत्यता या असत्यता को सत्यापित करने में अत्यधिक रुचि है।

अन्य विज्ञानों में
इस प्रकार से कार्ल पॉपर ने विज्ञान के दर्शनशास्त्र में अनुमान शब्द के प्रयोग का संचालन किया। अनुमान परिकल्पना से संबंधित है, जो विज्ञान में परीक्षण योग्य अनुमान को संदर्भित करता है।

यह भी देखें

 * बोल्ड परिकल्पना
 * वायदा अध्ययन
 * काल्पनिक
 * अनुमानों की सूची
 * रामानुजन मशीन

बाहरी संबंध

 * Open Problem Garden
 * Unsolved Problems web site
 * Unsolved Problems web site