अर्ध-अंतर्निहित यूलर विधि

गणित में, सेमी-इंप्लिसिट यूलर मेथड, जिसे सिम्पलेक्टिक यूलर, सेमी-एक्सप्लिसिट यूलर, यूलर-क्रोमर, और न्यूटन-स्टॉर्मर-वर्लेट (NSV) भी कहा जाता है, हैमिल्टन के समीकरणों को हल करने के लिए यूलर एकीकरण  का एक संशोधन है, सामान्य की एक प्रणाली शास्त्रीय यांत्रिकी में उत्पन्न होने वाले अंतर समीकरण। यह एक सहानुभूतिपूर्ण समाकलक है और इसलिए यह मानक यूलर विधि की तुलना में बेहतर परिणाम देता है।

सेटिंग
अर्ध-अंतर्निहित यूलर विधि को फॉर्म के अंतर समीकरणों की एक जोड़ी पर लागू किया जा सकता है
 * $$\begin{align}

{dx \over dt} &= f(t,v) \\ {dv \over dt} &= g(t,x), \end{align}$$ जहाँ f और g फलन दिए गए हैं। यहाँ, x और v या तो अदिश या सदिश हो सकते हैं। हैमिल्टनियन यांत्रिकी में गति के समीकरण इस रूप को लेते हैं यदि हैमिल्टनियन रूप का है


 * $$ H = T(t,v) + V(t,x). \, $$

प्रारंभिक स्थिति के साथ अंतर समीकरणों को हल किया जाना है


 * $$ x(t_0) = x_0, \qquad v(t_0) = v_0. $$

विधि
अर्ध-अंतर्निहित यूलर विधि पुनरावृति द्वारा अनुमानित असतत गणित समाधान उत्पन्न करती है
 * $$\begin{align}

v_{n+1} &= v_n + g(t_n, x_n) \, \Delta t\\[0.3em] x_{n+1} &= x_n + f(t_n, v_{n+1}) \, \Delta t \end{align}$$ जहां Δt समय कदम है और टीn= टी0 + nΔt n चरणों के बाद का समय है।

मानक यूलर विधि से अंतर यह है कि अर्ध-अंतर्निहित यूलर विधि v का उपयोग करती हैn+1 एक्स के लिए समीकरण मेंn+1, जबकि यूलर विधि v का उपयोग करती हैn.

की गणना के लिए नकारात्मक समय कदम के साथ विधि को लागू करना $$(x_n, v_n)$$ से $$(x_{n+1}, v_{n+1})$$ और पुनर्व्यवस्थित करने से अर्ध-अंतर्निहित यूलर विधि का दूसरा रूपांतर होता है
 * $$\begin{align}

x_{n+1} &= x_n + f(t_n, v_n) \, \Delta t\\[0.3ex] v_{n+1} &= v_n + g(t_n, x_{n+1}) \, \Delta t \end{align}$$ जिसके समान गुण हों।

अर्ध-अंतर्निहित यूलर मानक यूलर विधि के रूप में एक संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरण # संगति और क्रम | प्रथम-क्रम समाकलक है। इसका मतलब यह है कि यह Δt के आदेश की वैश्विक त्रुटि करता है। हालांकि, मानक विधि के विपरीत, अर्ध-अंतर्निहित यूलर विधि एक सहानुभूतिपूर्ण इंटीग्रेटर है। परिणामस्वरूप, अर्ध-अंतर्निहित यूलर विधि लगभग ऊर्जा का संरक्षण करती है (जब हैमिल्टनियन समय-स्वतंत्र होता है)। अक्सर, जब मानक यूलर विधि लागू की जाती है तो ऊर्जा प्रवाहित होती है, जिससे यह बहुत कम सटीक हो जाती है।

अर्ध-अंतर्निहित यूलर विधि के दो रूपों के बीच बारी-बारी से स्टॉर्मर-वर्लेट एकीकरण के लिए एक सरलीकरण और लीपफ्रॉग एकीकरण के लिए थोड़ा अलग सरलीकरण होता है, जिससे त्रुटि के क्रम और ऊर्जा के संरक्षण के क्रम दोनों में वृद्धि होती है।

अर्ध-अंतर्निहित विधि का स्थिरता क्षेत्र नीरनेन द्वारा प्रस्तुत किया गया था हालांकि अर्ध-अंतर्निहित यूलर को उनके पेपर में भ्रामक रूप से सममित यूलर कहा गया था। अर्ध-अंतर्निहित विधि सिम्युलेटेड सिस्टम को सही ढंग से मॉडल करती है यदि विशेषता समीकरण की जटिल जड़ें नीचे दिखाए गए सर्कल के भीतर हैं। वास्तविक जड़ों के लिए स्थिरता क्षेत्र उस वृत्त के बाहर विस्तारित होता है जिसके लिए कसौटी है $$s > - 2/\Delta t$$

जैसा कि देखा जा सकता है, अर्ध-अंतर्निहित विधि दोनों स्थिर प्रणालियों को सही ढंग से अनुकरण कर सकती है जिनकी जड़ें बाएं आधे विमान में हैं और अस्थिर प्रणाली जिनकी जड़ें दाएं आधे विमान में हैं। यह आगे (मानक) यूलर और पिछड़े यूलर पर स्पष्ट लाभ है। जब जड़ों के नकारात्मक वास्तविक भाग काल्पनिक अक्ष के निकट आ जाते हैं तो फ़ॉरवर्ड यूलर में वास्तविक प्रणाली की तुलना में कम अवमंदन होता है और बैकवर्ड यूलर प्रणाली को तब भी स्थिर दिखा सकता है जब जड़ें दाहिने आधे तल में हों।

उदाहरण
हुक के नियम को संतुष्ट करने वाली वसंत (उपकरण)उपकरण) की गति किसके द्वारा दी जाती है


 * $$\begin{align}

\frac{dx}{dt} &= v(t)\\[0.2em] \frac{dv}{dt} &= -\frac{k}{m}\,x=-\omega^2\,x. \end{align}$$ इस समीकरण के लिए अर्ध-अंतर्निहित यूलर है


 * $$\begin{align}

v_{n+1} &= v_n - \omega^2\,x_n\,\Delta t \\[0.2em] x_{n+1} &= x_n + v_{n+1} \,\Delta t. \end{align}$$ स्थानापन्न $$v_{n+1}$$ पहले समीकरण द्वारा दी गई अभिव्यक्ति के साथ दूसरे समीकरण में, पुनरावृत्ति को निम्नलिखित मैट्रिक्स रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\begin{bmatrix} x_{n+1} \\v_{n+1}\end{bmatrix} =

\begin{bmatrix} 1-\omega^2 \Delta t^2 & \Delta t \\ -\omega^2 \Delta t & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{n} \\ v_{n} \end{bmatrix},$$ और चूंकि मैट्रिक्स का निर्धारक 1 है, परिवर्तन क्षेत्र-संरक्षण है।

पुनरावृति संशोधित ऊर्जा को कार्यात्मक बनाए रखती है $$E_h(x,v)=\tfrac12\left(v^2+\omega^2\,x^2-\omega^2\Delta t\,vx\right)$$ वास्तव में, स्थिर आवधिक कक्षाओं (पर्याप्त रूप से छोटे चरण आकार के लिए) के लिए अग्रणी जो विचलन करते हैं $$O(\Delta t)$$ सटीक कक्षाओं से। सटीक परिपत्र आवृत्ति $$\omega$$ के एक कारक द्वारा संख्यात्मक सन्निकटन में वृद्धि करता है $$1+\tfrac1{24}\omega^2\Delta t^2+O(\Delta t^4)$$.