त्रिकोणीय श्रेणी

गणित में, एक त्रिकोणीय श्रेणी एक श्रेणी (गणित) है जिसमें एक अनुवाद फ़ैक्टर की अतिरिक्त संरचना और सटीक त्रिकोणों का एक वर्ग होता है। प्रमुख उदाहरण एबेलियन श्रेणी की व्युत्पन्न श्रेणी के साथ-साथ स्थिर होमोटोपी श्रेणी हैं। सटीक त्रिकोण एक एबेलियन श्रेणी में लघु सटीक अनुक्रमों के साथ-साथ टोपोलॉजी में फ़िब्रेशन अनुक्रम और cofiber को सामान्यीकृत करते हैं।

समरूप बीजगणित का अधिकांश भाग त्रिभुजित श्रेणियों की भाषा द्वारा स्पष्ट और विस्तारित किया गया है, एक महत्वपूर्ण उदाहरण शेफ कोहोलॉजी का सिद्धांत है। 1960 के दशक में, त्रिकोणीय श्रेणियों का एक विशिष्ट उपयोग एक स्थान X पर ढेरों के गुणों का विस्तार करने के लिए था, जो X पर ढेरों की व्युत्पन्न श्रेणी की वस्तुओं के रूप में देखा जाता था। हाल ही में, त्रिकोणीय श्रेणियां अपने आप में रुचि की वस्तु बन गई हैं। विभिन्न उत्पत्तियों की त्रिकोणीय श्रेणियों के बीच कई तुल्यताएँ सिद्ध या अनुमानित की गई हैं। उदाहरण के लिए, समरूप दर्पण समरूपता अनुमान भविष्यवाणी करता है कि कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड की व्युत्पन्न श्रेणी अपने दर्पण सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड के फुकाया श्रेणी के बराबर है।

इतिहास
डाइटर पप्पे (1962) और जीन लुइस वेर्डियर (1963) द्वारा त्रिकोणीय श्रेणियों को स्वतंत्र रूप से पेश किया गया था, हालांकि पप्पे के स्वयंसिद्ध कम पूर्ण थे (ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध (टीआर 4) की कमी)। पप्पे स्थिर होमोटॉपी श्रेणी से प्रेरित था। वेर्डियर का प्रमुख उदाहरण एक एबेलियन श्रेणी की व्युत्पन्न श्रेणी थी, जिसे उन्होंने अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक के विचारों को विकसित करते हुए भी परिभाषित किया। व्युत्पन्न श्रेणियों के शुरुआती अनुप्रयोगों में सुसंगत द्वैत और वर्डीयर द्वैत शामिल थे, जो पॉइंकेयर द्वैत को एकवचन स्थानों तक विस्तारित करता है।

परिभाषा
एक श्रेणी 'डी' पर एक बदलाव या अनुवाद फ़ंक्टर एक योगात्मक ऑटोमोर्फिज़्म है (या कुछ लेखकों के लिए, श्रेणियों का एक ऑटो-तुल्यता) $$\Sigma$$ डी से डी तक। लिखना आम बात है $$X[n] =\Sigma^n X$$ पूर्णांक n के लिए।

एक 'त्रिभुज' (X, Y, Z, u, v, w) तीन वस्तुओं X, Y, और Z से बना है, साथ में आकारिकी के साथ $$u\colon X\to Y$$, $$v\colon Y \to Z$$ और $$w\colon Z\to X[1]$$. त्रिभुजों को आम तौर पर बिना तराशे हुए रूप में लिखा जाता है:
 * $$X \xrightarrow{{} \atop u} Y \xrightarrow{{} \atop v} Z \xrightarrow {{} \atop w} X[1],$$

या
 * $$X \xrightarrow{{} \atop u} Y \xrightarrow{{} \atop v} Z \xrightarrow {{} \atop w} $$

छोटे के लिए।

एक त्रिकोणीय श्रेणी एक योगात्मक श्रेणी 'डी' है जिसमें एक अनुवाद फ़ैक्टर और त्रिभुजों का एक वर्ग होता है, जिसे सटीक त्रिकोण कहा जाता है (या विशिष्ट त्रिकोण), निम्नलिखित गुणों (टीआर 1), (टीआर 2), (टीआर 3) और (टीआर 4) को संतुष्ट करते हैं। (ये स्वयंसिद्ध पूरी तरह से स्वतंत्र नहीं हैं, क्योंकि (TR 3) दूसरों से प्राप्त किए जा सकते हैं। )

टीआर 1

 * प्रत्येक वस्तु X के लिए, निम्न त्रिभुज सटीक है:
 * $$X \overset{\text{id}}{\to} X \to 0 \to X[1]$$


 * हर रूपवाद के लिए $$u\colon X\to Y$$, एक वस्तु Z है (जिसे आकारिकी u का 'शंकु' या 'कोफाइबर' कहा जाता है) एक सटीक त्रिकोण में फ़िट हो रहा है
 * $$X \xrightarrow{{} \atop u} Y \to Z \to X[1]$$
 * शंकु नाम शृंखला परिसरों के मानचित्र के मानचित्रण शंकु (होमोलॉजिकल बीजगणित) से आता है, जो बदले में टोपोलॉजी में मानचित्रण शंकु (टोपोलॉजी) से प्रेरित था। यह अन्य स्वयंसिद्धों से अनुसरण करता है कि एक सटीक त्रिकोण (और विशेष रूप से वस्तु Z) रूपवाद द्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है $$X\to Y$$, हालांकि हमेशा एक अद्वितीय समरूपता तक नहीं।


 * हर त्रिकोण एक सटीक त्रिकोण के लिए समरूप है। इसका मतलब है कि अगर
 * $$X \xrightarrow{{} \atop u} Y \xrightarrow{{} \atop v} Z \xrightarrow{{} \atop w} X[1]$$
 * एक सटीक त्रिकोण है, और $$f\colon X\to X'$$, $$g\colon Y\to Y'$$, और $$h\colon Z\to Z'$$ समरूपता हैं, तो
 * $$X' \xrightarrow{guf^{-1}} Y'\xrightarrow{hvg^{-1}} Z' \xrightarrow {f[1]wh^{-1}} X'[1]$$
 * भी एक सटीक त्रिभुज है।

टीआर 2
अगर
 * $$X \xrightarrow{{} \atop u} Y \xrightarrow{{} \atop v} Z \xrightarrow {{} \atop w} X[1]$$

एक सटीक त्रिभुज है, तो दो घुमाए गए त्रिभुज भी हैं
 * $$Y \xrightarrow{{} \atop v} Z \xrightarrow{{} \atop w} X[1] \xrightarrow{-u[1]} Y[1]$$

और
 * $$Z[-1] \xrightarrow{-w[-1]} X \xrightarrow{{} \atop u} Y \xrightarrow{{} \atop v} Z.\ $$

अंतिम त्रिकोण को ध्यान में रखते हुए, वस्तु Z[−1] को रूपवाद का 'फाइबर' कहा जाता है $$X\to Y$$.

दूसरे घुमाए गए त्रिभुज का अधिक जटिल रूप होता है जब $$[1]$$ और $$[-1]$$ समरूपतावाद नहीं हैं, बल्कि श्रेणियों के केवल परस्पर व्युत्क्रम तुल्यता हैं, क्योंकि $$-w[-1]$$ से रूपवाद है $$Z[-1]$$ को $$(X[1])[-1]$$, और एक morphism प्राप्त करने के लिए $$[X]$$ व्यक्ति को प्राकृतिक परिवर्तन के साथ रचना करनी चाहिए $$(X[1])[-1] \xrightarrow{} X$$. यह संभावित स्वयंसिद्धों के बारे में जटिल प्रश्नों की ओर ले जाता है, जिन्हें प्राकृतिक परिवर्तन करने पर लागू करना पड़ता है $$[1]$$ और $$[-1]$$ उलटा समकक्षों की एक जोड़ी में। इस मुद्दे के कारण, धारणा है कि $$[1]$$ और $$[-1]$$ त्रिकोणीय श्रेणी की परिभाषा में पारस्परिक रूप से उलटा समरूपता सामान्य विकल्प है।

टीआर 3
दो सटीक त्रिभुजों और प्रत्येक त्रिभुज में पहले morphisms के बीच एक नक्शा दिया गया है, वहाँ दो त्रिभुजों में से प्रत्येक में तीसरी वस्तुओं के बीच एक morphism मौजूद है जो क्रमविनिमेय आरेख बनाता है। यही है, निम्नलिखित आरेख में (जहां दो पंक्तियां सटीक त्रिभुज हैं और f और g morphisms हैं जैसे कि gu = u'f), वहां एक नक्शा एच मौजूद है (जरूरी नहीं कि अद्वितीय) सभी वर्गों को कम्यूट करता है:
 * [[Image:Axiom TR3.svg|300px]]

टीआर 4: अष्टफलकीय स्वयंसिद्ध
होने देना $$u\colon X\to Y$$ और $$v\colon Y\to Z$$ morphisms बनें, और रचित morphism पर विचार करें $$vu\colon X\to Z$$. टीआर 1 के अनुसार इन तीन रूपों में से प्रत्येक के लिए सटीक त्रिकोण बनाएं। ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध कहता है (मोटे तौर पर) कि तीन मानचित्रण शंकु एक सटीक त्रिभुज के कोने में बनाए जा सकते हैं ताकि सब कुछ बदल जाए।

अधिक औपचारिक रूप से, सटीक त्रिभुज दिए गए हैं
 * $$X \xrightarrow{u\,} Y \xrightarrow{j} Z' \xrightarrow {k} X[1]$$
 * $$Y \xrightarrow{v\,} Z \xrightarrow{l} X' \xrightarrow {i} Y[1]$$
 * $$X \xrightarrow{{} \atop vu} Z \xrightarrow{m} Y' \xrightarrow {n} X[1]$$,

एक सटीक त्रिकोण मौजूद है
 * $$Z' \xrightarrow{f} Y' \xrightarrow{g} X' \xrightarrow {h} Z'[1]$$

ऐसा है कि
 * $$l=gm,\quad k=nf,\quad h=j[1]i,\quad ig=u[1]n,\quad fj=mv.$$

इस अभिगृहीत को अष्टफलकीय अभिगृहीत कहा जाता है क्योंकि सभी वस्तुओं और आकारिकी को आरेखित करने से एक अष्टफलकीय का कंकाल मिलता है, जिसके चार फलक सटीक त्रिभुज हैं। यहाँ प्रस्तुतीकरण वेर्डियर का अपना है, और अष्टफलकीय रेखाचित्र के साथ पूरा होता हुआ दिखाई देता है. निम्नलिखित आरेख में, यू और वी दिए गए आकारिकी हैं, और प्राथमिक अक्षर विभिन्न मानचित्रों के शंकु हैं (चयनित ताकि प्रत्येक सटीक त्रिकोण में एक्स, वाई, और जेड अक्षर हो)। विभिन्न तीरों को [1] के साथ चिह्नित किया गया है यह इंगित करने के लिए कि वे 1 डिग्री के हैं; उदा. Z' से X तक का नक्शा वास्तव में Z' से X [1] तक है। ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध तब एक सटीक त्रिभुज बनाने वाले नक्शे f और g के अस्तित्व पर जोर देता है, और ताकि f और g अन्य चेहरों में कम्यूटेटिव त्रिकोण बनाते हैं जिनमें वे शामिल हैं:
 * [[Image:Axiom TR4 (polyhedron).svg|250px]]में दो अलग-अलग तस्वीरें सामने आई हैं ( पहले वाले को भी पेश करें)। पहला उपरोक्त ऑक्टाहेड्रोन के ऊपरी और निचले पिरामिड को प्रस्तुत करता है और दावा करता है कि एक निचला पिरामिड दिया गया है, कोई ऊपरी पिरामिड में भर सकता है ताकि Y से Y' और Y' से Y तक के दो रास्ते बराबर हों (यह स्थिति छोड़ दिया गया है, शायद ग़लती से, हार्टशोर्न की प्रस्तुति से)। चिन्हित + त्रिभुज क्रमविनिमेय हैं और जो चिन्हित d सटीक हैं:
 * [[Image:Axiom TR4 (caps).svg|550px]]दूसरा आरेख एक अधिक नवीन प्रस्तुति है। सटीक त्रिकोणों को रैखिक रूप से प्रस्तुत किया जाता है, और आरेख इस तथ्य पर जोर देता है कि ऑक्टाहेड्रोन में चार त्रिकोण त्रिभुजों के नक्शों की एक श्रृंखला से जुड़े होते हैं, जहां तीन त्रिकोण (अर्थात्, जो X से Y तक, Y से Z तक आकारिकी को पूरा करते हैं, और X से Z तक) दिए गए हैं और चौथे के अस्तित्व का दावा किया गया है। एक पहले दो के बीच से एक्स के बारे में घूमता है, तीसरे से जेड के बारे में घूमता है, और चौथे से एक्स के बारे में घूमता है। इस आरेख में सभी बाड़े क्रमविनिमेय हैं (त्रिकोण और वर्ग दोनों) लेकिन अन्य क्रमविनिमेय वर्ग, Y' से Y तक दो पथों की समानता को व्यक्त करते हुए, स्पष्ट नहीं है। किनारे की ओर इशारा करते हुए सभी तीर डिग्री 1 हैं:
 * [[Image:Axiom TR4 (BBD).svg|300px]]यह अंतिम चित्र अष्टफलकीय स्वयंसिद्ध की एक उपयोगी सहज व्याख्या को भी दर्शाता है। त्रिभुजित श्रेणियों में, त्रिभुज सटीक अनुक्रम की भूमिका निभाते हैं, और इसलिए इन वस्तुओं को भागफल के रूप में सोचना विचारोत्तेजक है, $$Z' = Y/X$$ और $$Y' = Z/X$$. उन शब्दों में, अंतिम त्रिभुज का अस्तित्व एक ओर व्यक्त करता है
 * $$X' = Z/Y\ $$ (त्रिकोण को देखते हुए $$Y \to Z \to X' \to$$), और
 * $$X' = Y'/Z'$$ (त्रिकोण को देखते हुए $$Z' \to Y' \to X' \to$$).

इन्हें एक साथ रखने पर, अष्टफलकीय अभिगृहीत तीसरे तुल्याकारिता प्रमेय का दावा करता है:
 * $$(Z/X)/(Y/X)\cong Z/Y.$$

यदि त्रिकोणीय श्रेणी एबेलियन श्रेणी ए की व्युत्पन्न श्रेणी डी (ए) है, और एक्स, वाई, जेड ए की वस्तुएं हैं जिन्हें डिग्री 0 में केंद्रित परिसरों के रूप में देखा जाता है, और नक्शे $$X\to Y$$ और $$Y\to Z$$ ए में मोनोमोर्फिज़्म हैं, तो डी (ए) में इन आकारिकी के शंकु वास्तव में ए में ऊपर दिए गए उद्धरणों के लिए आइसोमोर्फिक हैं।

आखिरकार, 4 पंक्तियों और 4 स्तंभों वाले द्वि-आयामी क्रमविनिमेय आरेख का उपयोग करके अष्टफलकीय स्वयंसिद्ध बनाता है।  अष्टफलकीय अभिगृहीत का सामान्यीकरण भी देते हैं।

गुण
त्रिकोणीय श्रेणी डी के लिए स्वयंसिद्धों के कुछ सरल परिणाम यहां दिए गए हैं।


 * एक सटीक त्रिभुज दिया गया है
 * $$X \xrightarrow{{} \atop u} Y \xrightarrow{{} \atop v} Z \xrightarrow {{} \atop w} X[1]$$
 * डी में, किन्हीं दो क्रमिक आकारिकी का संघटन शून्य होता है। यानी, वीयू = 0, डब्ल्यूवी = 0, यू [1] डब्ल्यू = 0, और इसी तरह।


 * एक morphism दिया $$u\colon X\to Y$$, टीआर 1 एक सटीक त्रिभुज को पूरा करने वाले शंकु जेड के अस्तित्व की गारंटी देता है। यू के कोई भी दो शंकु तुल्याकारी हैं, लेकिन तुल्याकारिता हमेशा विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होती है।


 * डी में प्रत्येक एकरूपता प्रत्यक्ष योग का समावेश है, $$X\to X\oplus Y$$, और प्रत्येक उपरूपवाद एक प्रक्षेपण है $$X\oplus Y\to X$$. एक संबंधित बिंदु यह है कि त्रिकोणीय श्रेणी में आकारिकी के लिए इंजेक्शन या प्रक्षेप्यता के बारे में बात नहीं करनी चाहिए। हर रूपवाद $$X\to Y$$ यह एक समरूपता नहीं है जिसमें एक गैर-शून्य कोकर्नेल Z है (जिसका अर्थ है कि एक सटीक त्रिभुज है $$X\to Y\to Z\to X[1]$$) और एक शून्येतर कर्नेल भी, अर्थात् Z[-1]।

शंकु निर्माण की गैर-कार्यक्षमता
त्रिकोणीय श्रेणियों के साथ तकनीकी जटिलताओं में से एक तथ्य यह है कि शंकु निर्माण क्रियात्मक नहीं है। उदाहरण के लिए, एक अंगूठी दी $$R$$ और विशिष्ट त्रिभुजों का आंशिक नक्शा <ब्लॉककोट>$$\begin{matrix} R &\to& 0 & \to & R[+1] & \to \\ \downarrow & & \downarrow & & &  \\ 0 & \to & R[+1] &\to & R[+1] & \to \end{matrix}$$ में $$D^b(R)$$, दो मानचित्र हैं जो इस आरेख को पूरा करते हैं। यह आइडेंटिटी मैप या ज़ीरो मैप <ब्लॉककोट> हो सकता है$$\begin{align} \text{id}:&R[+1] \to R[+1] \\ 0:&R[+1] \to R[+1] \end{align}$$ दोनों ही क्रमविनिमेय हैं। तथ्य यह है कि दो नक्शे मौजूद हैं, इस तथ्य की छाया है कि त्रिकोणीय श्रेणी एक उपकरण है जो होमोटॉपी कोलिमिट को एन्कोड करता है। इस समस्या का एक समाधान अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा प्रस्तावित किया गया था जहां न केवल व्युत्पन्न श्रेणी पर विचार किया जाता है, बल्कि इस श्रेणी पर आरेखों की व्युत्पन्न श्रेणी भी मानी जाती है। ऐसी वस्तु को व्युत्पन्न कहा जाता है।

उदाहरण
1. Vector spaces over a field k form an elementary triangulated category in which X[1] = X for all X. An exact triangle is a sequence $X \to Y \to Z \to X \to Y$ of k-linear maps (writing the same map $X\to Y$ twice) which is exact at X, Y and Z.

2. If A is an additive category (for example, an abelian category), define the homotopy category $K(A)$ to have as objects the chain complexes in A, and as morphisms the homotopy classes of morphisms of complexes. Then $K(A)$ is a triangulated category. The shift X[1] is the complex X moved one step to the left (and with differentials multiplied by −1). An exact triangle in $K(A)$ is a triangle which is isomorphic in $K(A)$ to the triangle $X\to Y\to\text{cone}(f)\to X[1]$ associated to some map $f\colon X\to Y$ of chain complexes. (Here $\text{cone}(f)$ denotes the mapping cone of a chain map.)

3. The derived category D(A) of an abelian category A is a triangulated category. It is constructed from the category of complexes C(A) by localizing with respect to all quasi-isomorphisms. That is, formally adjoin an inverse morphism for every quasi-isomorphism. The objects of D(A) are unchanged; that is, they are chain complexes. An exact triangle in D(A) is a triangle which is isomorphic in D(A) to the triangle $X\to Y\to\text{cone}(f)\to X[1]$ associated to some map $f\colon X\to Y$ of chain complexes.

A key motivation for the derived category is that derived functors on A can be viewed as functors on the derived category. Some natural subcategories of D(A) are also triangulated categories, for example the subcategory of complexes X whose cohomology objects $H^i(X)$ in A vanish for i sufficiently negative, sufficiently positive, or both, called $D^+(A),D^-(A),D^{\text{b}}(A)$, respectively.
 * In topology, the stable homotopy category $h\cal{S}$ is a triangulated category. The objects are spectra, the shift X[1] is the suspension $\Sigma X$ (or equivalently the delooping $\Omega^{-1}X$), and the exact triangles are the cofiber sequences. A distinctive feature of the stable homotopy category (compared to the unstable homotopy category) is that fiber sequences are the same as cofiber sequences. In fact, in any triangulated category, exact triangles can be viewed as fiber sequences and also as cofiber sequences.
 * In modular representation theory of a finite group G, the stable module category StMod(kG) is a triangulated category. Its objects are the representations of G over a field k, and the morphisms are the usual ones modulo those that factor via projective (or equivalently injective) kG-modules. More generally, the stable module category is defined for any Frobenius algebra in place of kG.
 * undefined

क्या बेहतर स्वयंसिद्ध हैं?
कुछ विशेषज्ञों को संदेह है पृष्ठ 190 (देखें, उदाहरण के लिए, ) कि त्रिकोणीय श्रेणियां वास्तव में सही अवधारणा नहीं हैं। आवश्यक कारण यह है कि आकृतिवाद का शंकु केवल गैर-अद्वितीय समरूपता तक अद्वितीय है। विशेष रूप से, आकृतिवाद का शंकु सामान्य रूप से आकारिकी पर क्रियात्मक रूप से निर्भर नहीं करता है (उदाहरण के लिए स्वयंसिद्ध (TR 3) में गैर-विशिष्टता पर ध्यान दें)। यह गैर-विशिष्टता त्रुटियों का एक संभावित स्रोत है। हालाँकि, स्वयंसिद्ध व्यवहार में पर्याप्त रूप से काम करते हैं, और उनके अध्ययन के लिए समर्पित साहित्य का एक बड़ा हिस्सा है।

व्युत्पन्न
एक वैकल्पिक प्रस्ताव 80 के दशक में ग्रोथेंडिक द्वारा पीछा करने वाले ढेर में प्रस्तावित डेरिवेटिव का सिद्धांत है पृष्ठ 191, और बाद में 90 के दशक में इस विषय पर उनकी पांडुलिपि में विकसित हुआ। अनिवार्य रूप से, ये आरेख श्रेणियों द्वारा दी गई होमोटॉपी श्रेणियों की एक प्रणाली है $$I \to M$$ कमजोर तुल्यता वाले वर्ग के लिए $$(M, W)$$. ये श्रेणियां तब आरेखों के morphisms से संबंधित हैं $$I \to J$$. इस औपचारिकता का लाभ होमोटॉपी सीमाओं और कोलिमिट्स को पुनर्प्राप्त करने में सक्षम होने का है, जो शंकु निर्माण को प्रतिस्थापित करता है।

स्थिर ∞-श्रेणियां
निर्मित एक अन्य विकल्प स्थिर ∞-श्रेणी|स्थिर ∞-श्रेणियों का सिद्धांत है। एक स्थिर ∞-श्रेणी की होमोटॉपी श्रेणी कैनोनिक रूप से त्रिकोणीय है, और इसके अलावा मानचित्रण शंकु अनिवार्य रूप से अद्वितीय (एक सटीक समस्थानिक अर्थ में) बन जाते हैं। इसके अलावा, एक स्थिर ∞-श्रेणी स्वाभाविक रूप से अपनी होमोटॉपी श्रेणी के लिए अनुकूलता के पूरे पदानुक्रम को कूटबद्ध करती है, जिसके निचले भाग में ऑक्टाहेड्रल स्वयंसिद्ध बैठता है। इस प्रकार, एक स्थिर ∞-श्रेणी का डेटा देने के लिए इसकी होमोटोपी श्रेणी के त्रिकोणासन के डेटा देने की तुलना में अधिक मजबूत है। अभ्यास में उत्पन्न होने वाली लगभग सभी त्रिकोणीय श्रेणियां स्थिर ∞-श्रेणियों से आती हैं। त्रिकोणीय श्रेणियों का एक समान (लेकिन अधिक विशेष) संवर्धन डीजी-श्रेणी की धारणा है।

कुछ मायनों में, स्थिर ∞-श्रेणियाँ या डीजी-श्रेणियाँ त्रिकोणीय श्रेणियों से बेहतर काम करती हैं। एक उदाहरण त्रिकोणीय श्रेणियों के बीच एक सटीक फ़ैक्टर की धारणा है, जिसकी चर्चा नीचे की गई है। एक क्षेत्र के ऊपर एक चिकनी योजना प्रक्षेपी किस्म एक्स के लिए, सुसंगत ढेरों की सीमाबद्ध व्युत्पन्न श्रेणी $$\text{D}^{\text{b}}(X)$$ एक डीजी-श्रेणी से एक प्राकृतिक तरीके से आता है। किस्मों एक्स और वाई के लिए, एक्स के डीजी-श्रेणी से लेकर वाई तक के प्रत्येक फंक्शनल पर ढेरों के एक परिसर से आता है $$X\times Y$$ फूरियर-मुकाई रूपांतरण द्वारा। इसके विपरीत, से एक सटीक फ़ैक्टर का एक उदाहरण है $$\text{D}^{\text{b}}(X)$$ को $$\text{D}^{\text{b}}(Y)$$ जो ढेरों के एक परिसर से नहीं आता है $$X\times Y$$. इस उदाहरण को देखते हुए, त्रिकोणीय श्रेणियों के बीच आकारिकी की सही धारणा एक ऐसी प्रतीत होती है जो अंतर्निहित डीजी-श्रेणियों (या स्थिर ∞-श्रेणियों) के आकारिकी से आती है।

त्रिकोणीय श्रेणियों पर स्थिर ∞-श्रेणियों या डीजी-श्रेणियों का एक अन्य लाभ बीजगणितीय के-सिद्धांत में प्रकट होता है। एक स्थिर ∞-श्रेणी या डीजी-श्रेणी सी के बीजगणितीय के-सिद्धांत को परिभाषित कर सकता है, एबेलियन समूहों का अनुक्रम दे सकता है $$K_i(C)$$ पूर्णांकों के लिए i. समूह $$K_0(C)$$ सी से जुड़ी त्रिकोणीय श्रेणी के संदर्भ में एक सरल विवरण है। लेकिन एक उदाहरण से पता चलता है कि डीजी-श्रेणी के उच्च के-समूह हमेशा संबंधित त्रिकोणीय श्रेणी द्वारा निर्धारित नहीं होते हैं। इस प्रकार एक त्रिकोणीय श्रेणी में एक अच्छी तरह से परिभाषित है $$K_0$$ समूह, लेकिन सामान्य रूप से उच्च के-समूह नहीं। दूसरी ओर, त्रिकोणीय श्रेणियों का सिद्धांत स्थिर ∞-श्रेणियों या डीजी-श्रेणियों के सिद्धांत से सरल है, और कई अनुप्रयोगों में त्रिकोणीय संरचना पर्याप्त है। एक उदाहरण बलोच-काटो अनुमान का प्रमाण है, जहां त्रिकोणीय श्रेणियों के स्तर पर कई संगणनाएं की गई थीं, और ∞-श्रेणियों या डीजी-श्रेणियों की अतिरिक्त संरचना की आवश्यकता नहीं थी।

त्रिकोणीय श्रेणियों में कोहोलॉजी
त्रिकोणीय श्रेणियां कोहोलॉजी की धारणा को स्वीकार करती हैं, और प्रत्येक त्रिकोणीय श्रेणी में कोहोलॉजिकल फ़ैक्टरों की एक बड़ी आपूर्ति होती है। त्रिकोणीय श्रेणी डी से एबेलियन श्रेणी ए के लिए एक कोहोलॉजिकल फंक्‍टर एफ ऐसा फन्‍क्‍टर है जो प्रत्‍येक सटीक त्रिकोण के लिए है
 * $$X \to Y \to Z \to X[1],\ $$

क्रम $$F(X)\to F(Y)\to F(Z)$$ ए में सटीक है। चूंकि एक सटीक त्रिकोण दोनों दिशाओं में सटीक त्रिकोणों का एक अनंत अनुक्रम निर्धारित करता है,
 * $$\cdots\to Z[-1]\to X\to Y \to Z \to X[1] \to\cdots,\ $$

एक cohomological functor F वास्तव में एबेलियन श्रेणी A में एक लंबा सटीक अनुक्रम देता है:
 * $$\cdots\to F(Z[-1])\to F(X)\to F(Y)\to F(Z)\to F(X[1])\to\cdots.\ $$

एक प्रमुख उदाहरण है: त्रिकोणीय श्रेणी डी में प्रत्येक वस्तु बी के लिए, functors $$\operatorname{Hom}(B, \text{-})$$ और $$\operatorname{Hom}(\text{-}, B)$$ कोहोलॉजिकल हैं, एबेलियन समूहों की श्रेणी में मूल्यों के साथ। (सटीक होने के लिए, बाद वाला एक विरोधाभासी फ़ैक्टर है, जिसे डी की विपरीत श्रेणी पर एक फ़ैक्टर के रूप में माना जा सकता है।) यानी, एक सटीक त्रिकोण $$X\to Y\to Z\to X[1]$$ एबेलियन समूहों के दो लंबे सटीक अनुक्रम निर्धारित करें:
 * $$\cdots \to \operatorname{Hom}(B,X[i])\to \operatorname{Hom}(B,Y[i])\to \operatorname{Hom}(B,Z[i])\to \operatorname{Hom}(B,X[i+1])\to\cdots$$

और
 * $$\cdots\to\operatorname{Hom}(Z,B[i])\to\operatorname{Hom}(Y,B[i])\to\operatorname{Hom}(X,B[i])\to\operatorname{Hom}(Z,B[i+1])\to\cdots.$$

विशेष त्रिकोणीय श्रेणियों के लिए, इन सटीक अनुक्रमों से शीफ कोहोलॉजी, समूह कोहोलॉजी और गणित के अन्य क्षेत्रों में कई महत्वपूर्ण सटीक अनुक्रम मिलते हैं।

कोई नोटेशन का भी उपयोग कर सकता है
 * $$\operatorname{Ext}^i(B,X)=\operatorname{Hom}(B,X[i])$$

पूर्णांक i के लिए, एबेलियन श्रेणी में Ext functor का सामान्यीकरण। इस संकेतन में, ऊपर दिया गया पहला सटीक क्रम लिखा जाएगा:
 * $$\cdots \to \operatorname{Ext}^i(B,X) \to \operatorname{Ext}^i(B,Y) \to \operatorname{Ext}^i(B,Z) \to \operatorname{Ext}^{i+1}(B,X)\to\cdots.\ $$

एक एबेलियन श्रेणी ए के लिए, व्युत्पन्न श्रेणी डी (ए) पर एक कोहोलॉजिकल फ़ैक्टर का एक और मूल उदाहरण वस्तु को एक जटिल एक्स भेजता है $$H^0(X)$$ ए में। यानी एक सटीक त्रिकोण $$X\to Y\to Z\to X[1]$$ डी (ए) में ए में एक लंबा सटीक अनुक्रम निर्धारित करता है:
 * $$\cdots\to H^i(X)\to H^i(Y)\to H^i(Z)\to H^{i+1}(X)\to\cdots,$$

उसका उपयोग करना $$H^0(X[i])\cong H^i(X)$$.

सटीक कारक और समकक्ष
त्रिकोणीय श्रेणी D से त्रिकोणीय श्रेणी E तक एक सटीक फ़ंक्टर (जिसे त्रिकोणीय फ़ंक्टर भी कहा जाता है) एक योगात्मक फ़ंक्टर है $$F\colon D\to E$$ जो, ढीले ढंग से बोलना, अनुवाद के साथ संचार करता है और सटीक त्रिकोणों को सटीक त्रिकोणों में भेजता है। अधिक विस्तार से, एक सटीक फ़ैक्टर प्राकृतिक परिवर्तन के साथ आता है $$\eta\colon F\Sigma\to \Sigma F$$ (जहां पहले $$\Sigma$$ डी और दूसरे के अनुवाद फ़ैक्टर को दर्शाता है $$\Sigma$$ ई के अनुवाद फ़ैक्टर को दर्शाता है), जैसे कि जब भी
 * $$X \xrightarrow{{} \atop u} Y \xrightarrow{{} \atop v} Z \xrightarrow {{} \atop w} X[1]$$ डी में एक सटीक त्रिकोण है,
 * $$F(X) \xrightarrow{F(u)} F(Y) \xrightarrow{F(v)} F(Z) \xrightarrow {\eta_X F(w)} F(X)[1]$$ ई में एक सटीक त्रिकोण है।

त्रिकोणीय श्रेणियों का एक 'समतुल्य' एक सटीक फ़ंक्टर है $$F\colon D\to E$$ वह भी श्रेणियों की एक समानता है। इस मामले में, एक सटीक फ़ैक्टर है $$G\colon E\to D$$ जैसे कि FG और GF स्वाभाविक रूप से संबंधित पहचान फ़ैक्टरों के लिए आइसोमोर्फिक हैं।

सघन रूप से उत्पन्न त्रिकोणीय श्रेणियां
डी को एक त्रिकोणीय श्रेणी होने दें, जैसे कि मनमाना सेट (जरूरी नहीं कि परिमित) द्वारा अनुक्रमित प्रत्यक्ष योग डी में मौजूद हों। डी में एक वस्तु एक्स को 'कॉम्पैक्ट' कहा जाता है, यदि मज़ेदार $$\text{Hom}_D(X,\text{-})$$ सीधे रकम के साथ यात्रा करता है। स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ है कि वस्तुओं के प्रत्येक परिवार के लिए $$Y_i$$ डी में एक सेट एस द्वारा अनुक्रमित, एबेलियन समूहों का प्राकृतिक समरूपता $$\oplus_{i\in S}\mathrm{Hom}_D(X,Y_i)\to\mathrm{Hom}_D(X,\oplus_{i\in S}Y_i)$$ एक समरूपता है। यह श्रेणी सिद्धांत में एक कॉम्पैक्ट ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) की सामान्य धारणा से अलग है, जिसमें केवल उत्पाद के बजाय सभी कोलिमिट शामिल हैं।

उदाहरण के लिए, स्थिर होमोटॉपी श्रेणी में एक कॉम्पैक्ट वस्तु $$h\cal{S}$$ परिमित स्पेक्ट्रम है। एक अंगूठी की व्युत्पन्न श्रेणी में एक कॉम्पैक्ट वस्तु, या एक योजना के अर्ध-सुसंगत शीफ|अर्ध-सुसंगत व्युत्पन्न श्रेणी में, एक आदर्श परिसर है। एक क्षेत्र पर एक चिकनी प्रक्षेप्य किस्म एक्स के मामले में, सही परिसरों की श्रेणी Perf (X) को सुसंगत ढेरों की बंधी हुई व्युत्पन्न श्रेणी के रूप में भी देखा जा सकता है, $$D^{\text{b}}_{\text{coh}}(X)$$.

एक त्रिकोणीय श्रेणी डी 'कॉम्पैक्टली जेनरेट' है यदि
 * डी में मनमाना (जरूरी नहीं कि परिमित) सीधा योग हो;
 * D में कॉम्पैक्ट ऑब्जेक्ट्स का एक सेट S है जैसे कि D में प्रत्येक नॉनज़रो ऑब्जेक्ट X के लिए, S में नॉनज़रो मैप के साथ एक ऑब्जेक्ट Y है $$Y[n]\to X$$ कुछ पूर्णांक n के लिए।

कई स्वाभाविक रूप से होने वाली बड़ी त्रिकोणीय श्रेणियां कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न होती हैं: अम्नोन नीमन ने ब्राउन प्रतिनिधित्व क्षमता प्रमेय को किसी भी सघन रूप से उत्पन्न त्रिकोणीय श्रेणी के लिए सामान्यीकृत किया, जो इस प्रकार है। बता दें कि D एक सघन रूप से उत्पन्न त्रिकोणीय श्रेणी है, $$H\colon D^{\text{op}}\to\text{Ab}$$ एक cohomological functor जो उत्पादों के लिए उत्पाद लेता है। तब एच प्रतिनिधित्व योग्य है। (अर्थात्, D की एक वस्तु W ऐसी है कि $$H(X)\cong\text{Hom}(X,W)$$ सभी एक्स के लिए।) दूसरे संस्करण के लिए, डी को एक कॉम्पैक्ट रूप से जेनरेट की गई त्रिभुज श्रेणी, टी किसी भी त्रिकोणीय श्रेणी होने दें। यदि एक सटीक फ़ैक्टर $$F\colon D\to T$$ कोप्रोडक्ट्स को कोप्रोडक्ट्स भेजता है, तो एफ के पास एक सहायक कारक है।
 * एक रिंग आर पर मॉड्यूल की व्युत्पन्न श्रेणी एक वस्तु, आर-मॉड्यूल आर द्वारा कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न होती है।
 * अर्ध-कॉम्पैक्ट आकारिकी की अर्ध-सुसंगत व्युत्पन्न श्रेणी|क्वैसी-कॉम्पैक्ट अर्ध-पृथक योजना एक वस्तु द्वारा सघन रूप से उत्पन्न होती है।
 * स्थिर होमोटॉपी श्रेणी एक वस्तु, गोलाकार स्पेक्ट्रम द्वारा सघन रूप से उत्पन्न होती है $$S^0$$.

त्रिकोणीय श्रेणियों के बीच विभिन्न प्रकार्यों को परिभाषित करने के लिए ब्राउन प्रतिनिधित्व क्षमता प्रमेय का उपयोग किया जा सकता है। विशेष रूप से, नीमन ने असाधारण उलटा छवि फ़ैक्टर के निर्माण को सरल और सामान्य बनाने के लिए इसका इस्तेमाल किया $$f^!$$ योजना (गणित) के आकारिकी f के लिए, सुसंगत द्वैत सिद्धांत की केंद्रीय विशेषता।

टी-संरचना
प्रत्येक एबेलियन श्रेणी ए के लिए, व्युत्पन्न श्रेणी डी (ए) एक त्रिकोणीय श्रेणी है, जिसमें ए पूर्ण उपश्रेणी के रूप में होता है (डिग्री शून्य में केंद्रित परिसर)। अलग-अलग एबेलियन श्रेणियों में समान व्युत्पन्न श्रेणियां हो सकती हैं, इसलिए ए को डी (ए) से त्रिकोणीय श्रेणी के रूप में पुनर्निर्माण करना हमेशा संभव नहीं होता है।

सिकंदर मैं बेटा हो, जोसेफ बर्नस्टीन और पियरे डेलिग्ने ने त्रिकोणीय श्रेणी डी पर टी-संरचना की धारणा से इस स्थिति का वर्णन किया। डी पर एक टी-संरचना डी के अंदर एक एबेलियन श्रेणी निर्धारित करती है, और डी पर अलग-अलग टी-संरचनाएं अलग-अलग एबेलियन श्रेणियां उत्पन्न कर सकती हैं।

स्थानीयकरण और मोटी उपश्रेणियाँ
बता दें कि डी एक त्रिकोणीय श्रेणी है जिसमें मनमाने प्रत्यक्ष योग हैं। डी का एक 'स्थानीयकरण उपश्रेणी' एक पूर्ण रूप से पूर्ण उपश्रेणी त्रिकोणीय उपश्रेणी है जो मनमाने प्रत्यक्ष रकम के तहत बंद है। नाम की व्याख्या करने के लिए: यदि एक सघन रूप से उत्पन्न त्रिकोणीय श्रेणी डी का स्थानीयकरण उपश्रेणी S वस्तुओं के एक सेट द्वारा उत्पन्न होता है, तो एक Bousfield स्थानीयकरण फ़ैक्टर है $$L\colon D\to D$$ कर्नेल एस के साथ (अर्थात, D में प्रत्येक वस्तु X के लिए एक सटीक त्रिभुज है $$Y\to X\to LX\to Y[1]$$ अर्ध-ऑर्थोगोनल अपघटन # स्वीकार्य उपश्रेणी में एस और एलएक्स में वाई के साथ $$S^{\perp}$$.) उदाहरण के लिए, इस निर्माण में एक प्राइम नंबर पर एक स्पेक्ट्रम के एक टोपोलॉजिकल स्पेस का स्थानीयकरण शामिल है, या एक स्पेस पर ढेरों के एक जटिल से एक खुले उपसमुच्चय पर प्रतिबंध है।

छोटी त्रिकोणीय श्रेणियों के लिए एक समानांतर धारणा अधिक प्रासंगिक है: त्रिकोणीय श्रेणी सी की एक मोटी उपश्रेणी एक सख्ती से पूर्ण त्रिकोणीय उपश्रेणी है जो प्रत्यक्ष योग के तहत बंद है। (यदि सी छद्म-अबेलियन श्रेणी है। इडेम्पोटेंट-पूर्ण, एक उपश्रेणी मोटी है अगर और केवल अगर यह इडेमपोटेंट-पूर्ण भी है।) एक स्थानीयकरण उपश्रेणी मोटी है। इसलिए यदि S त्रिकोणीय श्रेणी D की एक स्थानीयकरण उपश्रेणी है, तो उपश्रेणी के साथ S का प्रतिच्छेदन $$D^{\text{c}}$$ कॉम्पैक्ट ऑब्जेक्ट्स की एक मोटी उपश्रेणी है $$D^{\text{c}}$$.

उदाहरण के लिए, डेविनेट्ज-माइकल जे. हॉपकिंस-स्मिथ ने मोरवा के-सिद्धांत के संदर्भ में परिमित स्पेक्ट्रा की त्रिकोणीय श्रेणी की सभी मोटी उपश्रेणियों का वर्णन किया। संपूर्ण स्थिर होमोटॉपी श्रेणी के स्थानीयकरण उपश्रेणियों को वर्गीकृत नहीं किया गया है।

यह भी देखें

 * फूरियर-मुकाई रूपांतरण
 * छह ऑपरेशन
 * विकृत शीफ
 * डी-मॉड्यूल
 * बेइलिनसन-बर्नस्टीन स्थानीयकरण
 * मॉड्यूल स्पेक्ट्रम
 * सेमीऑर्थोगोनल अपघटन
 * ब्रिजलैंड स्थिरता की स्थिति

संदर्भ
Some textbook introductions to triangulated categories are:

A concise summary with applications is: Some more advanced references are:

बाहरी संबंध

 * J. Peter May, The axioms for triangulated categories