अर्ध-सेट सिद्धांत

क्वासी-सेट सिद्धांत वस्तुओं के संग्रह से निपटने के लिए एक औपचारिक गणितीय सिद्धांत है, जिनमें से कुछ एक दूसरे से अप्रभेद्य हो सकते हैं। क्वासी-सेट सिद्धांत मुख्य रूप से इस धारणा से प्रेरित है कि क्वांटम भौतिकी में व्यवहार की जाने वाली कुछ वस्तुएँ अप्रभेद्य हैं और उनमें वैयक्तिकता नहीं है।

प्रेरणा
अमेरिकी गणितीय सोसायटी ने 1900 में प्रस्तावित हिल्बर्ट की समस्याओं के समाधान और परिणामों के मूल्यांकन के लिए 1974 की एक बैठक प्रायोजित की। उस बैठक का एक परिणाम गणितीय समस्याओं की एक नई सूची थी, जिनमें से पहली, यूरी मैनिन (1976, पी) के कारण. 36), ने प्रश्न किया कि क्या शास्त्रीय सेट सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी में अप्रभेद्य प्राथमिक कणों के संग्रह के उपचार के लिए पर्याप्त प्रतिमान था। उन्होंने सुझाव दिया कि ऐसे संग्रह सामान्य अर्थों में सेट नहीं किए जा सकते हैं, और ऐसे संग्रहों के अध्ययन के लिए एक नई भाषा की आवश्यकता होती है।

क्वैसी-सेट शब्द का उपयोग न्यूटन दा कोस्टा के 1980 के मोनोग्राफ एनसाइओ सोब्रे ओएस फंडामेंटोस दा लॉजिका (दा कोस्टा और क्राउज 1994 देखें) में एक सुझाव का अनुसरण करता है, जिसमें उन्होंने श्रोडिंगर लॉजिक्स के लिए संभावित शब्दार्थों की खोज की। इन लॉजिक्स में, पहचान की अवधारणा डोमेन की कुछ वस्तुओं तक ही सीमित है, और श्रोडिंगर के दावे में प्रेरणा है कि पहचान की अवधारणा प्राथमिक कणों (श्रोडिंगर 1952) के लिए समझ में नहीं आती है। इस प्रकार एक शब्दार्थ प्रदान करने के लिए जो तर्क को फिट करता है, दा कोस्टा ने प्रस्तुत किया कि अर्ध-सेटों का एक सिद्धांत विकसित किया जाना चाहिए, विशेष मामलों के रूप में मानक सेटों को शामिल करते हुए, फिर भी दा कोस्टा ने इस सिद्धांत को किसी भी ठोस तरीके से विकसित नहीं किया। उसी अंत तक और दा कोस्टा से स्वतंत्र रूप से, मारिया लुइसा डल्ला चियारा और डि फ्रांसिया (1993) ने क्वांटम भौतिकी की भाषा के शब्दार्थ उपचार को सक्षम करने के लिए क्वासेट्स के सिद्धांत का प्रस्ताव रखा। पहला अर्ध-सेट सिद्धांत 1990 में अपनी पीएचडी थीसिस में डी. क्राउज द्वारा प्रस्तावित किया गया था (देखें क्राउज 1992)। एक संबंधित भौतिकी सिद्धांत, समानता और असमानता के लिए मौलिक अभेद्यता को जोड़ने के तर्क के आधार पर, फ्रेडरिक पार्कर-रोड्स द्वारा पुस्तक समुच्चय सिद्धान्त ऑफ इंडिस्टिंग्यूइशेबल्स में स्वतंत्र रूप से विकसित और विस्तृत किया गया था। एफ पार्कर-रोड्स।

सिद्धांत की रूपरेखा
अब हम Krause (1992) के स्वयंसिद्ध सिद्धांत की व्याख्या करते हैं $$\mathfrak{Q}$$, पहला अर्ध-सेट सिद्धांत; तब से अन्य फॉर्मूलेशन और सुधार सामने आए हैं। विषय पर एक अद्यतन पेपर के लिए, फ्रेंच और क्रॉस (2010) देखें। क्राउज सेट थ्योरी ZFU पर बनाता है, जिसमें ZFC|Zermelo-Fraenkel सेट थ्योरी शामिल है, जिसमें दो प्रकार के मूत्रालय शामिल हैं: अर्ध-समुच्चय (क्यू-सेट) एम-परमाणुओं, एम-परमाणुओं, और इनके समुच्चय से बने एक मूल ब्रह्मांड (सेट सिद्धांत) के लिए जेडएफयू के समान ही सिद्धांतों को लागू करने से उत्पन्न संग्रह हैं। के सिद्धांत $$\mathfrak{Q}$$ विस्तार के स्वयंसिद्ध के समतुल्य शामिल हैं, लेकिन एक कमजोर रूप में, जिसे कमजोर विस्तारात्मक स्वयंसिद्ध कहा जाता है; रिक्त समुच्चय के अस्तित्व पर बल देने वाले अभिगृहीत, युग्मन की अभिगृहीत, संघ की अभिगृहीत, और शक्ति समुच्चय की अभिगृहीत; जुदाई का स्वयंसिद्ध; एक क्यू-फंक्शन के तहत एक क्यू-सेट की छवि बताते हुए एक स्वयंसिद्ध भी एक क्यू-सेट है; अनन्तता की अभिगृहीत, नियमितता की अभिगृहीत, और पसंद की अभिगृहीत के q-सेट समतुल्य। अन्य सेट-सैद्धांतिक ढांचे के आधार पर क्यू-सेट सिद्धांत निश्चित रूप से संभव हैं।
 * एम-परमाणु, जिनकी इच्छित व्याख्या प्राथमिक प्राथमिक कण हैं;
 * एम-परमाणु, स्थूल वस्तुएँ जिन पर शास्त्रीय तर्क को लागू माना जाता है।

$$\mathfrak{Q}$$ अर्ध-कार्डिनल की एक आदिम अवधारणा है, जो आठ अतिरिक्त स्वयंसिद्धों द्वारा शासित है, एक संग्रह में वस्तुओं की मात्रा के लिए सहज रूप से खड़ा है। अर्ध-सेट के अर्ध-कार्डिनल को सामान्य अर्थों में परिभाषित नहीं किया जाता है (क्रमिक संख्या के माध्यम से) क्योंकि एम-परमाणुओं को (बिल्कुल) अप्रभेद्य माना जाता है। इसके अलावा, ZFU की भाषा से की भाषा में अनुवाद को परिभाषित करना संभव है $$\mathfrak{Q}$$ ताकि इसमें ZFU की एक 'कॉपी' हो $$\mathfrak{Q}$$. इस प्रति में, सभी सामान्य गणितीय अवधारणाओं को परिभाषित किया जा सकता है, और 'समुच्चय' (वास्तव में, '$$\mathfrak{Q}$$-sets') उन q-सेटों के रूप में सामने आते हैं जिनके सकर्मक सेट में कोई m-परमाणु नहीं होते हैं।

में $$\mathfrak{Q}$$ ऐसे क्यू-सेट मौजूद हो सकते हैं, जिन्हें शुद्ध क्यू-सेट कहा जाता है, जिनके तत्व सभी एम-परमाणु हैं, और स्वयंसिद्ध हैं $$\mathfrak{Q}$$ यह कहने का आधार प्रदान करता है कि इसमें कुछ भी नहीं है $$\mathfrak{Q}$$ शुद्ध q-सेट के तत्वों को एक दूसरे से अलग करता है, कुछ शुद्ध q-सेट के लिए। सिद्धांत के भीतर, यह विचार कि x में एक से अधिक इकाई है, एक स्वयंसिद्ध द्वारा व्यक्त किया गया है जिसमें कहा गया है कि x के अर्ध-सेट की शक्ति के अर्ध-कार्डिनल में अर्ध-कार्डिनल 2 है क्यूसी (एक्स) , जहां क्यूसी (एक्स) एक्स का अर्ध-कार्डिनल है (जो कि जेडएफयू की 'प्रतिलिपि' में प्राप्त कार्डिनल है)।

इसका वास्तव में क्या मतलब है? सोडियम परमाणु के स्तर 2p पर विचार करें, जिसमें छह अविवेकी इलेक्ट्रॉन हैं। फिर भी, भौतिकविदों का तर्क है कि वास्तव में उस स्तर में छह संस्थाएं हैं, और केवल एक ही नहीं। इस प्रकार, यह कहकर कि x की शक्ति अर्ध-समुच्चय का अर्ध-कार्डिनल 2 हैqc(x) (मान लें कि उदाहरण के लिए qc(x) = 6), हम इस परिकल्पना को बाहर नहीं कर रहे हैं कि x के छह उप-सेट मौजूद हो सकते हैं जो 'सिंगलटन' हैं, हालांकि हम इनमें अंतर नहीं कर सकते उन्हें। एक्स में छह तत्व हैं या नहीं, यह कुछ ऐसा है जिसे सिद्धांत द्वारा निर्धारित नहीं किया जा सकता है (हालांकि धारणा सिद्धांत के अनुकूल है)। यदि सिद्धांत इस प्रश्न का उत्तर दे सकता है, तो x के तत्वों को वैयक्तिकृत किया जाएगा और इसलिए गिना जाएगा, बुनियादी धारणा के विपरीत कि उन्हें अलग नहीं किया जा सकता है।

दूसरे शब्दों में, हम लगातार (स्वयंसिद्ध के भीतर $$\mathfrak{Q}$$) कारण जैसे कि x में छह संस्थाएँ हैं, लेकिन x को एक संग्रह के रूप में माना जाना चाहिए, जिसके तत्वों को व्यक्तियों के रूप में नहीं देखा जा सकता है। क्वैसी-सेट सिद्धांत का उपयोग करते हुए, हम क्वांटम भौतिकी के कुछ तथ्यों को समरूपता स्थितियों को प्रस्तुत किए बिना व्यक्त कर सकते हैं (क्राउज़ एट अल। 1999, 2005)। जैसा कि सर्वविदित है, अभेद्यता को व्यक्त करने के लिए, कणों को व्यक्तियों के रूप में माना जाता है, उन्हें निर्देशांक या पर्याप्त कार्यों/वैक्टर जैसे |ψ> से जोड़कर कहा जाता है। इस प्रकार, लेबल किए गए दो क्वांटम सिस्टम दिए गए हैं |ψ1⟩ और |ψ2⟩ शुरुआत में, हमें |ψ जैसे फ़ंक्शन पर विचार करने की आवश्यकता है12⟩ = |पीएस1⟩|पीएस2⟩ ± |पीएस2⟩|पीएस1⟩ (कुछ स्थिरांक को छोड़कर), जो क्रमपरिवर्तन द्वारा क्वांटा को अप्रभेद्य रखते हैं; संयुक्त प्रणाली का संभाव्यता घनत्व कार्य इस बात पर निर्भर करता है कि कौन सा क्वांटा #1 है और कौन सा क्वांटा #2 है। (ध्यान दें कि सटीकता के लिए आवश्यक है कि हम दो क्वांटा के बारे में बात करें बिना उन्हें अलग किए, जो पारंपरिक सेट सिद्धांतों में असंभव है।) $$\mathfrak{Q}$$, हम मात्रा  की इस पहचान से दूर हो सकते हैं; विवरण के लिए, क्रॉस एट अल देखें। (1999, 2005) और फ्रेंच और क्रॉस (2006)।

क्वासी-सेट सिद्धांत हेंज पोस्ट (1963) के दावे को क्रियान्वित करने का एक तरीका है कि क्वांटा को शुरू से ही अप्रभेद्य समझा जाना चाहिए।

यह भी देखें

 * मल्टीसेट
 * क्वांटम भौतिकी
 * क्वांटम तर्क

संदर्भ

 * French, S, and Krause, D. "Remarks on the theory of quasi-sets", Studia Logica 95 (1–2), 2010, pp. 101–124.
 * Newton da Costa (1980) Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica. São Paulo: Hucitec.
 * da Costa, N. C. A. and Krause, D. (1994) "Schrödinger logics," Studia Logica 53: 533–550.
 * -- (1997) "An Intensional Schrödinger Logic," Notre Dame Journal of Formal Logic 38: 179–94.
 * Dalla Chiara, M. L. and Toraldo di Francia, G. (1993) "Individuals, kinds and names in physics" in Corsi, G. et al., eds., Bridging the gap: philosophy, mathematics, physics. Kluwer: 261-83.
 * Domenech, G. and Holik, F. (2007), 'A Discussion on Particle Number and Quantum Indistinguishability', "Foundations of Physics" vol. 37, no. 6, pp 855–878.
 * Domenech, G., Holik, F. and Krause, D., "Q-spaces and the foundations of quantum mechanics", Foundations of Physics 38 (11) Nov. 2008, 969–994.
 * Falkenburg, B.: 2007, "Particle Metaphysics: A Critical Account of Subatomic Reality", Springer.
 * French, Steven (2006) "Identity and Individuality in Quantum Theory," The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2006 Edition), Edward N. Zalta (ed.).
 * French, S. and Krause, D. (2006) Identity in Physics: A Historical, Philosophical, and Formal Analysis. Oxford Univ. Press.
 * French, S. and Rickles, D. P. (2003), 'Understanding Permutation Symmetry', in K. Brading and E. Castellani, "Symmetries in Physics: New Reflectio, Cambridge University Press, pp. 212–238.
 * Krause, Decio (1992) "On a quasi-set theory," Notre Dame Journal of Formal Logic 33: 402–11.
 * Krause, D., Sant'Anna, A. S. and Volkov, A. G. (1999) "Quasi-set theory for bosons and fermions: quantum distributions," Foundations of Physics Letters 12: 51–66.
 * Krause, D., Sant'Anna, A. S., and Sartorelli, A. (2005) "On the concept of identity in Zermelo-Fraenkel-like axioms and its relationship with quantum statistics," Logique et Analyse: 189–192, 231–260.
 * Manin, Yuri (1976) "Problems in Present Day Mathematics: Foundations," in Felix Browder, ed., Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. XXVIII. Providence RI: American Mathematical Society.
 * Post, Heinz (1963) "Individuality in physics," The Listener, 10 October 1963: 534–537. Reprinted in (1973) Vedanta for East and West: 14–22.
 * Erwin Schrödinger (1952) Science and Humanism. Cambridge Un. Press.