अकर्मण्यता

गणित में, अकर्मण्यता (कभी-कभी गैर-संक्रमणीयता कहा जाता है) द्विआधारी संबंधों की एक संपत्ति है जो संक्रमणीय संबंध नहीं हैं। इसमें कोई भी ऐसा संबंध शामिल हो सकता है जो सकर्मक नहीं है, या गणितीय शब्दजाल#प्रतिपरिवर्तनशीलता से अधिक मजबूत है, जो एक ऐसे संबंध का वर्णन करता है जो कभी भी सकर्मक नहीं होता है।

अकर्मण्यता
कोई संबंध सकर्मक होता है यदि, जब भी वह किसी A को किसी B से, और उस B को किसी C से जोड़ता है, तो वह उस A को उस C से भी जोड़ता है। कुछ लेखक संबंध कहते हैं यदि यह सकर्मक नहीं है, अर्थात, (यदि प्रश्न में संबंध का नाम दिया गया है $$R$$) $$\lnot\left(\forall a, b, c: a R b \land b R c \implies a R c\right).$$ यह कथन समतुल्य है $$\exists a,b,c : a R b \land b R c \land \lnot(a R c).$$ उदाहरण के लिए, पूर्णांकों पर संबंध R पर इस प्रकार विचार करें कि a R b यदि और केवल यदि a, b का गुणज या b का विभाजक है। यह संबंध अकर्मक है, उदाहरण के लिए, 2 R 6 (2, 6 का भाजक है) और 6 R 3 (6, 3 का गुणज है), लेकिन 2 न तो गुणज है और न ही 3 का भाजक है। इसका मतलब यह नहीं है कि रिश्ता है (नीचे देखें); उदाहरण के लिए, 2 आर 6, 6 आर 12, और 2 आर 12 भी।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, खाद्य श्रृंखला में, भेड़िये हिरण को खाते हैं, और हिरण घास को खाते हैं, लेकिन भेड़िये घास को नहीं खाते हैं। इस प्रकार इस अर्थ में, जीवन रूपों के बीच संबंध अकर्मक है।

एक अन्य उदाहरण जिसमें प्राथमिकता लूप शामिल नहीं है, फ़्रीमासोंरी में उत्पन्न होता है: कुछ उदाहरणों में लॉज ए लॉज बी को पहचानता है, और लॉज बी लॉज सी को पहचानता है, लेकिन लॉज ए लॉज सी को नहीं पहचानता है। इस प्रकार मेसोनिक लॉज के बीच मान्यता संबंध अकर्मक है।

एंटीट्रांसिटिविटी
अक्सर शब्द का उपयोग एंटीट्रांसिटिविटी के गणितीय शब्दजाल#मजबूत को संदर्भित करने के लिए किया जाता है।

उपरोक्त उदाहरण में, संबंध सकर्मक नहीं है, लेकिन इसमें अभी भी कुछ सकर्मकता शामिल है: उदाहरण के लिए, मनुष्य खरगोशों को खाते हैं, खरगोश गाजर को खाते हैं, और मनुष्य भी गाजर को खाते हैं।

एक रिश्ता है यदि ऐसा कभी नहीं होता, यानी। $$\forall a, b, c: a R b \land b R c \implies \lnot (a R c).$$ कई लेखक इस शब्द का प्रयोग करते हैं मतलब निकालना. उदाहरण के लिए, पूर्णांकों पर संबंध R, जैसे कि a R b यदि और केवल यदि a + b विषम है, तो अकर्मक है। यदि a R b और b R c है, तो या तो a और c दोनों विषम हैं और b सम है, या इसके विपरीत। किसी भी स्थिति में, a + c सम है।

प्रतिसंक्रमणीय संबंध का दूसरा उदाहरण: नॉकआउट टूर्नामेंट में पराजित संबंध। यदि खिलाड़ी A ने खिलाड़ी B को हराया है और खिलाड़ी B ने खिलाड़ी C को हराया है, तो A कभी भी C से नहीं खेल सकता है, और इसलिए, A ने C को नहीं हराया है।

स्थानान्तरण (तर्क)तर्क) द्वारा, निम्नलिखित में से प्रत्येक सूत्र आर की एंटीट्रांसिटिविटी के बराबर है: $$\begin{align} &\forall a, b, c: a R b \land a R c \implies \lnot (b R c) \\[3pt]  &\forall a, b, c: a R c \land b R c \implies \lnot (a R b) \end{align}$$

गुण

 * एक प्रतिसंक्रमणीय संबंध सदैव अकर्मक संबंध होता है।
 * ≥4 तत्वों के एक सेट पर एक एंटीट्रांसिटिव संबंध कभी भी कॉन्नेक्स संबंध नहीं होता है। 3-तत्व सेट पर, चित्रित चक्र में दोनों गुण हैं।
 * एक अकर्मक और वाम-अनूठा संबंध|बाएं- (या दायां-अद्वितीय संबंध|दाएं-) अद्वितीय संबंध हमेशा संक्रमण-विरोधी होता है। पूर्व का एक उदाहरण माँ का रिश्ता है। यदि A, B की माँ है और B, C की माँ है, तो A, C की माँ नहीं हो सकती।
 * यदि कोई संबंध R प्रतिसंक्रमणीय है, तो R का प्रत्येक उपसमुच्चय भी प्रतिसंक्रमणीय है।

चक्र
शब्द का उपयोग अक्सर उन परिदृश्यों के बारे में बात करते समय किया जाता है जिसमें एक संबंध विकल्पों के जोड़े के बीच सापेक्ष प्राथमिकताओं का वर्णन करता है, और कई विकल्पों का वजन करने से वरीयता का एक लूप उत्पन्न होता है:


 * A को B से अधिक प्राथमिकता दी जाती है
 * B को C से अधिक प्राथमिकता दी जाती है
 * C को A से अधिक प्राथमिकता दी जाती है

रॉक कागज कैंची; अकर्मक पासा; और पेनी का खेल इसके उदाहरण हैं। प्रतिस्पर्धी प्रजातियों के वास्तविक जुझारू संबंध, व्यक्तिगत जानवरों की रणनीतियाँ, और बैटलबॉट्स शो में रिमोट-नियंत्रित वाहनों की लड़ाई (रोबोट डार्विनवाद) चक्रीय भी हो सकता है.

यह मानते हुए कि किसी भी विकल्प को प्राथमिकता नहीं दी गई है यानी संबंध अपरिवर्तनीय है, लूप के साथ वरीयता संबंध सकर्मक नहीं है। यदि ऐसा है, तो लूप में प्रत्येक विकल्प को प्रत्येक विकल्प के लिए प्राथमिकता दी जाती है, जिसमें स्वयं भी शामिल है। इसे ए, बी और सी के बीच लूप के इस उदाहरण के लिए चित्रित किया जा सकता है। मान लें कि संबंध सकर्मक है। फिर, चूँकि A को B से प्राथमिकता दी जाती है और B को C से प्राथमिकता दी जाती है, इसलिए A को भी C से प्राथमिकता दी जाती है। लेकिन फिर, चूँकि C को A से प्राथमिकता दी जाती है, इसलिए A को भी A से प्राथमिकता दी जाती है।

इसलिए ऐसी वरीयता पाश (या ) को एक के रूप में जाना जाता है.

ध्यान दें कि किसी द्विआधारी संबंध के सकर्मक न होने के लिए एक चक्र न तो आवश्यक है और न ही पर्याप्त है। उदाहरण के लिए, एक तुल्यता संबंध में चक्र होते हैं लेकिन यह परिवर्तनशील होता है। अब, मान लीजिए कि रिश्ता एक दुश्मन है और मान लीजिए कि यह रिश्ता सममित है और इस शर्त को पूरा करता है कि किसी भी देश के लिए, देश के दुश्मन का कोई भी दुश्मन खुद देश का दुश्मन नहीं है। यह एक प्रतिसंक्रमणीय संबंध का उदाहरण है जिसका कोई चक्र नहीं है। विशेषकर, प्रतिसंक्रमणीय होने के कारण संबंध सकर्मक नहीं है।

चट्टान, कागज, कैंची का खेल इसका उदाहरण है। चट्टान, कागज और कैंची का संबंध हार है, और खेल के मानक नियम ऐसे हैं कि चट्टान कैंची को हरा देती है, कैंची कागज को हरा देती है, और कागज चट्टान को हरा देता है। इसके अलावा, यह भी सच है कि कैंची चट्टान को नहीं हराती, कागज कैंची को नहीं हराता, और चट्टान कागज को नहीं हराती। अंतत: यह भी सत्य है कि कोई भी विकल्प स्वयं को पराजित नहीं करता। इस जानकारी को एक तालिका में दर्शाया जा सकता है: संबंध का पहला तर्क एक पंक्ति है और दूसरा एक स्तंभ है। एक इंगित करता है कि संबंध कायम है, शून्य इंगित करता है कि यह कायम नहीं है। अब, ध्यान दें कि सेट {रॉक, कैंची, पेपर} से (प्रतिस्थापन के साथ) निकाले गए तत्वों x और y की किसी भी जोड़ी के लिए निम्नलिखित कथन सत्य है: यदि x, y को हराता है, और y, z को हराता है, तो x, z को नहीं हराता है। अत: संबंध प्रतिसंक्रमणीय है।

इस प्रकार, द्विआधारी संबंध के प्रतिसंक्रमणीय होने के लिए एक चक्र न तो आवश्यक है और न ही पर्याप्त है।

प्राथमिकताओं में घटित होना

 * खेल सिद्धांत के संभाव्य परिणामों में, और  कोंडोरसेट मतदान  पद्धति में बहुमत नियम के तहत अकर्मण्यता हो सकती है, जिसमें वजन की तुलना करने पर कई उम्मीदवारों की रैंकिंग वरीयता का एक लूप उत्पन्न कर सकती है (वोटिंग विरोधाभास देखें)।
 * अकर्मक पासा यह दर्शाता है कि संबंधdie [sic] X, पासे Y की तुलना में अधिक संख्या में रोल करता है, आधे से अधिक समय के लिए संक्रमणीय होने की आवश्यकता नहीं है।
 * मनोविज्ञान में, किसी व्यक्ति की मूल्य प्रणाली (या प्राथमिकताएं, या स्वाद (समाजशास्त्र)) में अक्सर अकर्मण्यता होती है, जो संभावित रूप से अनसुलझे संघर्षों का कारण बनती है।
 * अनुरूप रूप से, अर्थशास्त्र में उपभोक्ता की प्राथमिकता (अर्थशास्त्र) में अकर्मण्यता हो सकती है। इससे उपभोक्ता का व्यवहार ऐसा हो सकता है जो सही तर्कसंगतता#अर्थशास्त्र के अनुरूप नहीं है। अर्थशास्त्रियों और दार्शनिकों ने सवाल किया है कि क्या परिवर्तनशीलता का उल्लंघन अनिवार्य रूप से 'तर्कहीन व्यवहार' को जन्म देगा (देखें आनंद (1993))।

संभावना
यह सुझाव दिया गया है कि जब बड़ी संख्या में मतदाता भाग लेते हैं तो कॉन्डोर्सेट विधि अकर्मक लूप को समाप्त कर देती है क्योंकि मतदाताओं के लिए समग्र मूल्यांकन मानदंड संतुलित हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, मतदाता माप की कई अलग-अलग इकाइयों पर उम्मीदवारों को पसंद कर सकते हैं जैसे कि सामाजिक चेतना के क्रम में या सबसे अधिक वित्तीय रूप से रूढ़िवादी के आधार पर।

ऐसे मामलों में अकर्मण्यता उम्मीदवारों के आकलन में लोगों की संख्या और उनकी माप की इकाइयों के वजन के व्यापक समीकरण तक कम हो जाती है।

जैसे कि:


 * 30% सामाजिक चेतना और राजकोषीय रूढ़िवाद के बीच 60/40 के महत्व के पक्ष में हैं
 * 50% सामाजिक चेतना और राजकोषीय रूढ़िवाद के बीच 50/50 का अंतर रखने के पक्ष में हैं
 * 20% सामाजिक चेतना और राजकोषीय रूढ़िवाद के बीच 40/60 का अंतर रखने के पक्ष में हैं

हालाँकि प्रत्येक मतदाता माप की इकाइयों का समान रूप से आकलन नहीं कर सकता है, फिर प्रवृत्ति एक एकल संभाव्यता वेक्टर बन जाती है जिस पर आम सहमति उम्मीदवार मानदंडों का एक पसंदीदा संतुलन है।

अग्रिम पठन

 * Bar-Hillel, M., & Margalit, A. (1988). How vicious are cycles of intransitive choice? Theory and Decision, 24(2), 119-145.
 * Bar-Hillel, M., & Margalit, A. (1988). How vicious are cycles of intransitive choice? Theory and Decision, 24(2), 119-145.