घनत्व आव्यूह

क्वांटम यांत्रिकी में, घनत्व आव्यूह या घनत्व संचालक (ऑपरेटर) एक आव्यूह है जो भौतिक प्रणाली की क्वांटम स्थिति का वर्णन करता है। यह बोर्न नियम का उपयोग करके इस प्रणाली पर किए गए किसी भी माप के परिणामों की संभावनाओं की गणना करने की स्वीकृति देता है। यह अधिक सामान्य स्थैतिक सदिश या तरंग फलन का सामान्यीकरण है जबकि वे केवल शुद्ध स्थितियों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं घनत्व आव्यूह भी समिश्र स्थितियों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। दो अलग-अलग स्थितियों में क्वांटम यांत्रिकी के हल उत्पन्न होते हैं पहला जब प्रणाली की तैयारी पूरी तरह से ज्ञात नहीं है और इस प्रकार किसी को संभावित तैयारियों के एक सांख्यिकीय समूह से निपटना चाहिए, और दूसरा जब कोई एक भौतिक प्रणाली का वर्णन करना चाहता है जो उनकी संयुक्त स्थिति का वर्णन किए बिना दूसरे से जटिल होता है।

घनत्व आव्यूह इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी के क्षेत्रों में महत्वपूर्ण आव्यूह हैं जिसमे क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी, विवृत क्वांटम प्रणाली, क्वांटम असंगति और क्वांटम प्रौद्योगिकी जैसी समिश्र स्थितिया सम्मिलित हैं।

परिभाषा और प्रेरणा
घनत्व आव्यूह एक रैखिक संचालक का प्रतिनिधित्व है जिसे "घनत्व संचालक" कहा जाता है। घनत्व आव्यूह अंतर्निहित समष्टि में आधार (रैखिक बीजगणित) की स्थिति से घनत्व संचालक प्राप्त किया जाता है। सामान्यतः शब्द घनत्व आव्यूह और घनत्व संचालक प्रायः एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं।

संचालक भाषा में, एक प्रणाली के लिए एक घनत्व संचालक एक धनात्मक अर्ध-निश्चित, हर्मिटियन संचालक है जो प्रणाली के हिल्बर्ट समष्टि पर अभिनय करता है। इस परिभाषा को एक ऐसी स्थिति पर विचार करके प्रेरित किया जा सकता है जहाँ एक शुद्ध स्थिति $$|\psi_j\rangle$$ होती है प्रायिकता के साथ $$p_j$$ तैयार किया गया है जिसको : के रूप में जाना जाता है। क्वांटम यांत्रिकी प्रक्षेपी माप परिणाम में मापन प्राप्त करने की प्रायिकता $$m$$ प्रक्षेपण संचालकों का उपयोग करते समय $$\Pi_m$$ द्वारा दिया गया है:
 * $$ p(m) = \sum_j p_j \langle \psi_j\mid \Pi_m \mid\psi_j\rangle = \operatorname{tr} \left[ \Pi_m \left ( \sum_j p_j |\psi_j\rangle \langle \psi_j|\right)  \right],$$

जो घनत्व संचालक बनाता है, जिसे परिभाषित किया गया है::


 * $$\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|, $$

इस प्रायिकता की स्थिति के लिए एक सुविधाजनक प्रतिनिधित्व के लिए यह जांचना आसान है कि यह संचालक धनात्मक अर्ध-निश्चित, हर्मिटियन है और इसका एक संकेत है। इसके विपरीत, यह स्पेक्ट्रम प्रमेय से अनुसरण करता है कि इन गुणों वाले प्रत्येक संकारक को इस रूप $$\textstyle \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|$$ में लिखा जा सकता है कुछ स्थितियों के लिए $$|\psi_j\rangle$$ और गुणांक $$p_j$$ जो गैर- ऋणात्मक हैं और एक के बराबर हैं। हालांकि, यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय नहीं होगा, जैसा कि श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय द्वारा प्रदर्शित किया गया है।

घनत्व संचालकों की परिभाषा के लिए एक और प्रेरणा समिश्र स्थितियों पर स्थानीय मापों पर विचार करने से आती है। माना कि $$|\Psi\rangle$$ समग्र हिल्बर्ट समष्टि में एक शुद्ध समिश्र स्थिति $$ \mathcal{H}_1\otimes\mathcal{H}_2$$ है माप परिणाम प्राप्त करने की प्रायिकता $$m$$ प्रक्षेपक को मापते समय $$\Pi_m$$ हिल्बर्ट समष्टि पर $$\mathcal{H}_1$$ द्वारा ही दिया जाता है:


 * $$ p(m) = \langle \Psi| \Pi_m \otimes I |\Psi\rangle = \operatorname{tr} \left[ \Pi_m \left ( \operatorname{tr}_2 |\Psi\rangle\langle \Psi| \right) \right],$$

जहाँ $$ \operatorname{tr}_2 $$ हिल्बर्ट समष्टि पर आंशिक संकेत $$\mathcal{H}_2$$ को दर्शाता है यह संचालक बनाता है:


 * $$\rho = \operatorname{tr}_2 |\Psi\rangle\langle \Psi| $$

इन स्थानीय मापों की प्रायिकता की गणना करने के लिए एक सुविधाजनक उपकरण है इसे कम घनत्व आव्यूह $$|\Psi\rangle$$ के रूप में जाना जाता है उप-प्रणाली 1 पर यह जांचना आसान होता है कि इस संचालक में घनत्व संचालक के सभी गुण हैं। इसके विपरीत, श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय का अर्थ है कि सभी घनत्व संचालकों को $$\operatorname{tr}_2 |\Psi\rangle\langle \Psi|$$ के रूप में लिखा जा सकता है अन्य किसी स्थिति के लिए $$|\Psi\rangle $$ के रूप मे प्रदर्शित किया जा सकता है।

शुद्ध और समिश्र स्थितियाँ
शुद्ध क्वांटम स्थिति एक ऐसी स्थिति है जिसे अन्य क्वांटम स्थितियों के संभाव्य मिश्रण या उत्तल संयोजन के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। घनत्व संचालकों की भाषा में शुद्ध स्थितियों के कई समकक्ष लक्षण होते हैं। घनत्व संचालक एक शुद्ध स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है यदि क्वांटम स्थितियों के प्रायिकतात्मक समिश्र और उनके अध्यारोपण के बीच अंतर पर महत्व देना महत्वपूर्ण है। यदि एक भौतिक प्रणाली या तो $$| \psi_1 \rangle$$ या $$| \psi_2 \rangle$$ की स्थिति में होने के लिए तैयार है तब समान प्रायिकता के साथ, इसे समिश्र स्थिति द्वारा वर्णित किया जा सकता है:
 * इसे स्थैतिक सदिश के बाहरी उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है $$|\psi\rangle$$ खुद के साथ, यानी $$ \rho = |\psi \rangle \langle \psi|.$$
 * यह एक प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) है।
 * यह निःशेष है, अर्थात् $$\rho = \rho^2.$$
 * इसमें शुद्धता (क्वांटम यांत्रिकी) होती है अर्थात, $$\operatorname{tr}(\rho^2) = 1.$$
 * $$\rho = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}, $$

जहाँ $$| \psi_1 \rangle$$ और $$| \psi_2 \rangle$$ की स्थिति के लिए लंबकोणीय और आयाम 2 माना किया जाता है। दूसरी तरफ समान प्रायिकता आयाम वाले इन दो स्थितियों की एक क्वांटम अध्यारोपण का परिणाम शुद्ध स्थिति $$| \psi \rangle = (| \psi_1 \rangle + | \psi_2 \rangle)/\sqrt{2},$$ में होता है और घनत्व आव्यूह के साथ -
 * $$|\psi\rangle\langle\psi| = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 1\end{pmatrix}.$$

प्रायिकतात्मक समिश्र के विपरीत, यह क्वांटम अध्यारोपण क्वांटम हस्तक्षेप प्रदर्शित कर सकता है।

ज्यामितीय रूप से, घनत्व संचालकों का समुच्चय एक उत्तल समुच्चय होता है और शुद्ध स्थिति उस समुच्चय के फेज बिंदु हैं। सबसे सरल स्थिति द्वि-आयामी हिल्बर्ट समष्टि है जिसे एक कक्ष के रूप में जाना जाता है। एक घन के लिए एक अपेक्षाकृत स्थिति पाउली आव्यूह के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है जो एक साथ पहचान आव्यूह के लिए एक आधार $$2 \times 2$$ प्रदान करता है स्व-संलग्न आव्यूह:
 * $$\rho = \frac{1}{2}\left(I + r_x \sigma_x + r_y \sigma_y + r_z \sigma_z\right),$$

जहां वास्तविक संख्या $$(r_x, r_y, r_z)$$ इकाई क्षेत्र के भीतर एक बिंदु के निर्देशांक हैं और

\sigma_x = \begin{pmatrix} 0&1\\     1&0    \end{pmatrix}, \quad \sigma_y = \begin{pmatrix} 0&-i\\ i&0 \end{pmatrix}, \quad \sigma_z = \begin{pmatrix} 1&0\\     0&-1    \end{pmatrix} .$$ के साथ अंक $$r_x^2 + r_y^2 + r_z^2 = 1$$ शुद्ध स्थितियों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि समिश्र स्थितियों को आंतरिक बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। इसे क्वेट स्थिति समष्टि के "बलोच स्फीयर" के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण: प्रकाश ध्रुवीकरण
[[File:vertical polarization.svg|right|thumb|200px|गरमागरम प्रकाश बल्ब(1) पूरी तरह से यादृच्छिक ध्रुवीकृत फोटॉनों का उत्सर्जन करता है(2) मिक्स्ड स्टेट डेंसिटी आव्यूह के साथ:

<डिव वर्ग = केंद्र>$$\begin{bmatrix} 0.5 & 0 \\ 0 & 0.5 \end{bmatrix}$$. वर्टिकल प्लेन पोलराइज़र से गुजरने के बाद(3), शेष फोटॉन सभी लंबवत ध्रुवीकृत हैं(4) और प्योर स्टेट डेंसिटी आव्यूह है:

<डिव वर्ग = केंद्र>$$\begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} $$ . ]]फोटॉन ध्रुवीकरण शुद्ध और समिश्र स्थितियों का एक उदाहरण है। एक व्यक्तिगत फोटॉन लंबकोणीय क्वांटम स्थितियों द्वारा वर्णित दाएं या बाएं वृत्तीय ध्रुवीकरण $$|\mathrm{R}\rangle$$ और $$|\mathrm{L}\rangle$$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है या दोनों का क्वांटम अध्यारोपण यह किसी भी स्थिति में हो सकता है $$\alpha|\mathrm{R}\rangle+\beta|\mathrm{L}\rangle$$ $$|\alpha|^2+|\beta|^2=1$$), रैखिक ध्रुवीकरण, वृत्तीय ध्रुवीकरण या दीर्घवृत्तीय ध्रुवीकरण के अनुरूप स्थिति द्वारा वर्णित लंबवत ध्रुवीकृत फोटॉन $$|\mathrm{V}\rangle = (|\mathrm{R}\rangle+|\mathrm{L}\rangle)/\sqrt{2}$$ पर विचार करें यदि हम इसे एक वृत्तीय ध्रुवीकरण से गुजारते हैं जो या तो केवल $$|\mathrm{R}\rangle$$ ध्रुवीकृत प्रकाश या केवल $$|\mathrm{L}\rangle$$ ध्रुवीकृत प्रकाश की स्वीकृति देता है दोनों स्थितियों में आधे फोटॉन अवशोषित होते हैं। इससे ऐसा लग सकता है कि आधे फोटॉन $$|\mathrm{R}\rangle$$ स्थिति में हैं और दूसरा आधा $$|\mathrm{L}\rangle$$ स्थिति में लेकिन यह सही नहीं है यदि हमारे पास $$(|\mathrm{R}\rangle+|\mathrm{L}\rangle)/\sqrt{2}$$ फोटॉन हो जाते हैं तब एक रैखिक ध्रुवीकरण के माध्यम से कोई अवशोषण नहीं होता है, लेकिन यदि हम किसी भी स्थिति को प्रतिच्छेदित करते हैं तो $$|\mathrm{R}\rangle$$ या $$|\mathrm{L}\rangle$$ आधे फोटॉन अवशोषित हो जाते हैं।

अध्रुवित प्रकाश (जैसे कि ऊष्मीय प्रकाश बल्ब से प्रकाश) को किसी भी रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है $$\alpha|\mathrm{R}\rangle+\beta|\mathrm{L}\rangle$$ (रैखिक ध्रुवीकरण या दीर्घवृत्तीय ध्रुवीकरण) ध्रुवीकृत प्रकाश के विपरीत, यह 50% तीव्रता की कमी के साथ एक ध्रुवीकरणकर्ता के माध्यम से गुजरता है जो कि ध्रुवीकरणकर्ता के उन्मुखीकरण के कारण होता है और इसे किसी तरंग प्लेट से गुजारकर ध्रुवीकृत नहीं किया जा सकता है। हालांकि, ध्रुवीकृत प्रकाश को एक सांख्यिकीय समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है, उदाहरण प्रत्येक फोटॉन के रूप में या तो $$|\mathrm{R}\rangle$$ ध्रुवीकरण या $$|\mathrm{L}\rangle$$ प्रायिकता 1/2 के साथ ध्रुवीकरण यदि प्रत्येक फोटॉन में या तो लंबवत ध्रुवीकरण $$| \mathrm{V}\rangle $$ होता है या क्षैतिज ध्रुवीकरण $$| \mathrm{H} \rangle $$ प्रायिकता 1/2 के साथ ये दो समुच्चय प्रयोगात्मक रूप से अप्रभेद्य हैं और इसलिए उन्हें एक ही समिश्र स्थिति मे माना जाता है। अध्रुवित प्रकाश के इस उदाहरण के लिए घनत्व संचालक बराबर होता है:


 * $$\rho = \frac{1}{2} |\mathrm{R}\rangle \langle \mathrm{R}| + \frac{1}{2}|\mathrm{L}\rangle \langle \mathrm{L}| = \frac{1}{2} |\mathrm{H}\rangle \langle \mathrm{H}| + \frac{1}{2}|\mathrm{V}\rangle \langle \mathrm{V}| = \frac12\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{pmatrix}.$$

अध्रुवीकृत प्रकाश उत्पन्न करने के अन्य तरीके भी हैं: फोटॉन की तैयारी में अनिश्चितता का परिचय देने की एक संभावना है उदाहरण के लिए, इसे एक सतह के साथ एक द्विअर्थी क्रिस्टल के माध्यम से पारित करना, ताकि प्रकाश किरण के अपेक्षाकृत अलग भाग अलग-अलग ध्रुवीकरण प्राप्त कर सकें। एक और संभावना जटिल स्थितियों का उपयोग कर रही है एक रेडियोधर्मी क्षय क्वांटम स्थिति में विपरीत दिशाओं में संचरण करने वाले दो फोटॉन $$(|\mathrm{R},\mathrm{L}\rangle+|\mathrm{L},\mathrm{R}\rangle)/\sqrt{2}$$ उत्सर्जित कर सकते है एक साथ दो फोटॉनों की संयुक्त स्थिति शुद्ध है, लेकिन प्रत्येक फोटॉन के लिए सामान्य रूप से घनत्व आव्यूह, संयुक्त घनत्व आव्यूह के आंशिक समीकरण को ले कर पाया जाता है कि यह पूरी तरह से समिश्र होता है।

समतुल्य पहनावा और शुद्धि
एक दिया गया घनत्व संचालक विशिष्ट रूप से यह निर्धारित नहीं करता है कि शुद्ध स्थितियों का कौन सा समूह इसे जन्म देता है; सामान्य तौर पर एक ही घनत्व आव्यूह उत्पन्न करने वाले असीम रूप से कई अलग-अलग पहनावा होते हैं। इन्हें किसी माप से नहीं पहचाना जा सकता। समतुल्य पहनावा पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है: चलो $$\{p_j,|\psi_j\rangle\}$$ एक पहनावा हो। फिर किसी जटिल आव्यूह के लिए $$U$$ ऐसा है कि $$U^\dagger U = I$$ (एक आंशिक आइसोमेट्री), पहनावा $$\{q_i,|\varphi_i\rangle\}$$ द्वारा परिभाषित


 * $$\sqrt{q_i} \left| \varphi_i \right\rangle = \sum_j U_{ij} \sqrt{p_j} \left| \psi_j  \right\rangle $$

एक ही घनत्व संचालक को जन्म देगा, और सभी समतुल्य पहनावा इस रूप में हैं।

एक निकट से संबंधित तथ्य यह है कि एक दिए गए घनत्व संचालिका के पास अनंत रूप से क्वांटम स्थिति के कई अलग-अलग शुद्धिकरण होते हैं, जो शुद्ध स्थितिएं होती हैं जो आंशिक ट्रेस लिए जाने पर घनत्व संचालिका उत्पन्न करती हैं। होने देना


 * $$\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j| $$

पहनावा द्वारा उत्पन्न घनत्व संचालक हो $$\{p_j,|\psi_j\rangle\}$$, स्थितियों के साथ $$|\psi_j\rangle$$ जरूरी नहीं कि ऑर्थोगोनल हो। फिर सभी आंशिक आइसोमेट्री के लिए $$U$$ हमारे पास वह है


 * $$ |\Psi\rangle = \sum_j \sqrt{p_j} |\psi_j \rangle U |a_j\rangle $$

का शोधन है $$\rho$$, कहाँ $$|a_j\rangle$$ एक ओर्थोगोनल आधार है, और इसके अलावा सभी शुद्धिकरण $$\rho$$ इस रूप के हैं।

माप
होने देना $$A$$ प्रणाली का एक अवलोकन योग्य हो, और मान लीजिए कि पहनावा एक समिश्र स्थिति में है, जैसे कि प्रत्येक शुद्ध स्थिति $$\textstyle |\psi_j\rangle$$ संभावना से होता है $$p_j$$. फिर संबंधित घनत्व संचालक बराबर होता है


 * $$\rho = \sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|.$$

क्वांटम यांत्रिकी में मापन की अपेक्षा मूल्य (क्वांटम यांत्रिकी) की गणना शुद्ध स्थितियों के मामले से बढ़ाकर की जा सकती है:


 * $$ \langle A \rangle = \sum_j p_j \langle \psi_j|A|\psi_j \rangle = \sum_j p_j \operatorname{tr}\left(|\psi_j \rangle \langle \psi_j|A \right) =  \operatorname{tr}\left(\sum_j p_j |\psi_j \rangle \langle \psi_j|A\right) = \operatorname{tr}(\rho A),$$

कहाँ $$\operatorname{tr}$$ ट्रेस (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है। इस प्रकार, परिचित अभिव्यक्ति $$\langle A\rangle=\langle\psi|A|\psi\rangle$$ शुद्ध स्थितियों के लिए द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है
 * $$ \langle A \rangle = \operatorname{tr}( \rho A)$$

समिश्र स्थितियों के लिए

इसके अलावा, अगर $$A$$ वर्णक्रमीय संकल्प है


 * $$A = \sum _i a_i P_i,$$

कहाँ $$P_i$$ eigenvalue के संगत eigenspace में प्रोजेक्शन संचालक है $$a_i$$, पोस्ट-माप घनत्व संचालक द्वारा दिया जाता है
 * $$\rho_i' = \frac{P_i \rho P_i}{\operatorname{tr}\left[\rho P_i\right]}$$

जब परिणाम i प्राप्त होता है। ऐसे मामले में जहां माप परिणाम ज्ञात नहीं है, पहनावा इसके बजाय वर्णित है


 * $$\; \rho ' = \sum_i P_i \rho P_i.$$

यदि कोई मानता है कि माप परिणामों की संभावनाएं प्रोजेक्टर के रैखिक कार्य हैं $$P_i$$, तो उन्हें प्रोजेक्टर के ट्रेस द्वारा घनत्व संचालक के साथ दिया जाना चाहिए। ग्लिसन के प्रमेय से पता चलता है कि आयाम 3 या बड़े हिल्बर्ट रिक्त स्थान में रैखिकता की धारणा को क्वांटम प्रासंगिकता की धारणा के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। गैर-प्रासंगिकता। पीओवीएम के लिए भी गैर-प्रासंगिकता मानकर आयाम पर यह प्रतिबंध हटाया जा सकता है, लेकिन शारीरिक रूप से असम्बद्ध के रूप में इसकी आलोचना की गई है।

एंट्रॉपी
वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी $$S$$ मिश्रण के eigenvalues ​​​​के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $$\rho$$ या घनत्व संचालक के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) और आव्यूह लघुगणक के संदर्भ में $$\rho$$. तब से $$\rho$$ एक धनात्मक अर्ध-निश्चित संचालक है, इसमें एक वर्णक्रमीय प्रमेय है जैसे कि $$\rho = \textstyle\sum_i \lambda_i |\varphi_i\rangle \langle\varphi_i|$$, कहाँ $$|\varphi_i\rangle$$ या ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर, $$\lambda_i \ge 0$$, और $$\textstyle \sum \lambda_i = 1$$. फिर घनत्व आव्यूह के साथ एक क्वांटम प्रणाली की एन्ट्रापी $$\rho$$ है


 * $$S = -\sum_i \lambda_i \ln\lambda_i = -\operatorname{tr}(\rho \ln\rho).$$

इस परिभाषा का तात्पर्य है कि किसी भी शुद्ध स्थिति की वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी शून्य है। अगर $$\rho_i$$ ऐसे राज्य हैं जिनके पास ऑर्थोगोनल सबसमष्टि पर समर्थन है, फिर इन स्थितियों के उत्तल संयोजन के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी,


 * $$\rho = \sum_i p_i \rho_i,$$

स्थितियों के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी द्वारा दिया गया है $$\rho_i$$ और प्रायिकता बंटन की शैनन एंट्रॉपी $$p_i$$:
 * $$S(\rho) = H(p_i) + \sum_i p_i S(\rho_i).$$

जब राज्य $$\rho_i$$ ऑर्थोगोनल समर्थन नहीं है, दाईं ओर का योग उत्तल संयोजन के वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी से सख्ती से अधिक है $$\rho$$.

एक घनत्व संचालक दिया गया $$\rho$$ और पिछले खंड, राज्य के रूप में एक प्रक्षेपी माप $$\rho'$$ उत्तल संयोजन द्वारा परिभाषित
 * $$\rho' = \sum_i P_i \rho P_i,$$

जिसे माप के प्रदर्शन द्वारा उत्पादित राज्य के रूप में व्याख्या की जा सकती है, लेकिन यह रिकॉर्ड नहीं किया जा सकता है कि कौन सा परिणाम हुआ, की तुलना में एक वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी बड़ा है $$\rho$$, सिवाय अगर $$\rho = \rho'$$. हालांकि के लिए संभव है $$\rho'$$ सामान्यीकृत माप, या पीओवीएम द्वारा उत्पादित, की तुलना में कम वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी है $$\rho$$.

{{anchor|The Von Neumann equation for time evolution}समय विकास के लिए वॉन न्यूमैन समीकरण
जिस तरह श्रोडिंगर समीकरण वर्णन करता है कि समय के साथ शुद्ध राज्य कैसे विकसित होते हैं, वॉन न्यूमैन समीकरण (जिसे लिउविल-वॉन न्यूमैन समीकरण भी कहा जाता है) वर्णन करता है कि समय में एक घनत्व संचालक कैसे विकसित होता है। वॉन न्यूमैन समीकरण यह तय करता है
 * $$ i \hbar \frac{\partial \rho}{\partial t} = [H, \rho]~, $$

जहां ब्रैकेट कम्यूटेटर को दर्शाता है।

यह समीकरण केवल तभी धारण करता है जब घनत्व संचालक को श्रोडिंगर चित्र में लिया जाता है, भले ही यह समीकरण हाइजेनबर्ग चित्र में गति के हाइजेनबर्ग समीकरण का अनुकरण करने के लिए पहली नज़र में लगता है, एक महत्वपूर्ण संकेत अंतर के साथ:


 * $$ i \hbar \frac{dA^{(\mathrm{H})}}{dt} = -\left[H, A^{(\mathrm{H})}\right] ~,$$

कहाँ $$A^{(\mathrm{H})}(t)$$ कुछ हाइजेनबर्ग चित्र संचालिका है; लेकिन इस तस्वीर में घनत्व आव्यूह समय-निर्भर नहीं है, और सापेक्ष संकेत यह सुनिश्चित करता है कि अपेक्षित मूल्य का व्युत्पन्न समय $$\langle A \rangle$$ श्रोडिंगर चित्र के समान ही बाहर आता है।

यदि हैमिल्टनियन समय-स्वतंत्र है, तो वॉन न्यूमैन समीकरण को उपज के लिए आसानी से हल किया जा सकता है


 * $$\rho(t) = e^{-i H t/\hbar} \rho(0) e^{i H t/\hbar}.$$

अधिक सामान्य हैमिल्टनियन के लिए, यदि $$G(t)$$ कुछ अंतराल पर वेवफंक्शन प्रचारक है, तो उसी अंतराल पर घनत्व आव्यूह का समय विकास द्वारा दिया जाता है


 * $$ \rho(t) = G(t) \rho(0) G(t)^\dagger.$$

विग्नर कार्य और शास्त्रीय उपमाएँ
घनत्व आव्यूह संचालक को चरण स्थान में भी महसूस किया जा सकता है। Wigner अर्ध-प्रायिकता वितरण #Wigner-Weyl परिवर्तन के तहत, घनत्व आव्यूह समकक्ष Wigner अर्ध-प्रायिकता वितरण में बदल जाता है,
 * $$ W(x,p) \,\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \, \frac{1}{\pi\hbar} \int_{-\infty}^\infty \psi^*(x + y) \psi(x - y) e^{2ipy/\hbar} \,dy.$$

विग्नर फ़ंक्शन के समय के विकास के लिए समीकरण, जिसे चरण समष्टि निर्माण # समय विकास के रूप में जाना जाता है, फिर उपरोक्त वॉन न्यूमैन समीकरण का विग्नर-रूपांतरण है,
 * $$\frac{\partial W(x, p, t)}{\partial t} = -\{\{W(x, p, t), H(x, p)\}\},$$

कहाँ $$H(x,p)$$ हैमिल्टनियन है, और $$\{\{\cdot,\cdot\}\}$$ मोयल ब्रैकेट है, क्वांटम कम्यूटेटर का परिवर्तन।

विग्नर फ़ंक्शन के लिए विकास समीकरण तब इसकी शास्त्रीय सीमा के अनुरूप है, लिउविल के प्रमेय (हैमिल्टनियन) # शास्त्रीय भौतिकी के लिउविल समीकरण। प्लैंक नियतांक लुप्त होने की सीमा में है $$\hbar$$, $$W(x,p,t)$$ चरण समष्टि में क्लासिकल लिउविल प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन को कम करता है।

उदाहरण अनुप्रयोग
घनत्व मेट्रिसेस क्वांटम यांत्रिकी का एक बुनियादी उपकरण है, और कम से कम कभी-कभी लगभग किसी भी प्रकार की क्वांटम-यांत्रिक गणना में दिखाई देता है। कुछ विशिष्ट उदाहरण जहां घनत्व मेट्रिसेस विशेष रूप से सहायक और सामान्य हैं, वे इस प्रकार हैं:
 * सांख्यिकीय यांत्रिकी घनत्व मेट्रिसेस का उपयोग करता है, सबसे प्रमुख रूप से इस विचार को व्यक्त करने के लिए कि एक गैर-शून्य तापमान पर एक प्रणाली तैयार की जाती है। एक कैनोनिकल समेकन का उपयोग करके घनत्व आव्यूह का निर्माण फॉर्म का परिणाम देता है $$\rho = \exp(-\beta H)/Z(\beta)$$, कहाँ $$\beta$$ उलटा तापमान है $$(k_{\rm B} T)^{-1}$$ और $$H$$ प्रणाली का हैमिल्टनियन है। सामान्यीकरण शर्त है कि का पता लगाने $$\rho$$ 1 के बराबर होना विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) को परिभाषित करता है $$Z(\beta) = \mathrm{tr} \exp(-\beta H)$$. यदि प्रणाली में शामिल कणों की संख्या स्वयं निश्चित नहीं है, तो एक भव्य विहित पहनावा लागू किया जा सकता है, जहां स्थितियों को घनत्व आव्यूह बनाने के लिए एक फॉक समष्टि से तैयार किया जाता है।
 * क्वांटम डिकॉरेन्स थ्योरी में आम तौर पर गैर-पृथक क्वांटम प्रणाली शामिल होते हैं, जो माप उपकरण सहित अन्य प्रणालियों के साथ उलझाव विकसित करते हैं। घनत्व आव्यूह प्रक्रिया का वर्णन करना और उसके परिणामों की गणना करना बहुत आसान बनाते हैं। क्वांटम डीकोहेरेंस बताती है कि क्यों एक प्रणाली एक पर्यावरण के साथ बातचीत करती है, एक शुद्ध स्थिति होने से, सुपरपोज़िशन प्रदर्शित करने से, एक समिश्र स्थिति में, शास्त्रीय विकल्पों का एक असंगत संयोजन। यह संक्रमण मौलिक रूप से प्रतिवर्ती है, क्योंकि प्रणाली और पर्यावरण की संयुक्त स्थिति अभी भी शुद्ध है, लेकिन सभी व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए अपरिवर्तनीय है, क्योंकि पर्यावरण एक बहुत बड़ी और जटिल क्वांटम प्रणाली है, और उनकी बातचीत को उलटना संभव नहीं है। इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी की शास्त्रीय सीमा की व्याख्या करने के लिए डिकॉरेन्स बहुत महत्वपूर्ण है, लेकिन वेव फंक्शन कोलैप्स की व्याख्या नहीं कर सकता है, क्योंकि सभी क्लासिकल विकल्प अभी भी समिश्र स्थिति में मौजूद हैं, और वेव फंक्शन कोलैप्स उनमें से केवल एक का चयन करता है।
 * इसी तरह, क्वांटम संगणना, क्वांटम सूचना सिद्धांत, ओपन क्वांटम प्रणाली, और अन्य क्षेत्रों में जहां राज्य की तैयारी शोर है और अव्यवस्था हो सकती है, घनत्व मेट्रिसेस का प्रायः उपयोग किया जाता है। शोर को प्रायः एक क्वांटम विध्रुवण चैनल या एक आयाम भिगोने वाले चैनल के माध्यम से तैयार किया जाता है। क्वांटम टोमोग्राफी एक ऐसी प्रक्रिया है जिसके द्वारा, क्वांटम मापन के परिणामों का प्रतिनिधित्व करने वाले डेटा का एक सेट दिया जाता है, उन माप परिणामों के अनुरूप एक घनत्व आव्यूह की गणना की जाती है।
 * परमाणु या अणु जैसे कई इलेक्ट्रॉनों के साथ एक प्रणाली का विश्लेषण करते समय, एक अपूर्ण लेकिन उपयोगी पहला सन्निकटन इलेक्ट्रॉनों को इलेक्ट्रॉनिक सहसंबंध या प्रत्येक के स्वतंत्र एकल-कण तरंग के रूप में माना जाता है। हार्ट्री-फॉक पद्धति में स्लेटर निर्धारक का निर्माण करते समय यह सामान्य शुरुआती बिंदु है। अगर वहाँ $$N$$ इलेक्ट्रॉन भरते हैं $$N$$ एकल-कण तरंग कार्य $$|\psi_i\rangle$$, फिर का संग्रह $$N$$ इलेक्ट्रॉनों को एक साथ एक घनत्व आव्यूह द्वारा चित्रित किया जा सकता है $\sum_{i=1}^N |\psi_i\rangle \langle \psi_i|$.

सी * - स्थितियों का बीजगणितीय सूत्रीकरण
अब यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि क्वांटम यांत्रिकी का वर्णन जिसमें सभी स्व-संलग्न संचालिका अवलोकनीयों का प्रतिनिधित्व करते हैं, अस्थिर है। इस कारण से, वेधशालाओं की पहचान एक अमूर्त C*-बीजगणित A के तत्वों के साथ की जाती है (जो संचालकों के बीजगणित के रूप में एक विशिष्ट प्रतिनिधित्व के बिना है) और राज्य (कार्यात्मक विश्लेषण) A पर धनात्मक रैखिक कार्यात्मक हैं। हालांकि, GNS का उपयोग करके निर्माण, हम हिल्बर्ट रिक्त स्थान को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं जो ए को संचालकों के सबलजेब्रा के रूप में महसूस करते हैं।

ज्यामितीय रूप से, सी*-बीजगणित ए पर एक शुद्ध स्थिति एक ऐसी स्थिति है जो ए पर सभी स्थितियों के सेट का एक चरम बिंदु है। जीएनएस निर्माण के गुणों से ये राज्य ए के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के अनुरूप हैं।

कॉम्पैक्ट संचालक्स K(H) के C*-बीजगणित की स्थितिएं बिल्कुल घनत्व संचालकों के अनुरूप होती हैं, और इसलिए K(H) की शुद्ध स्थितिएं क्वांटम यांत्रिकी के अर्थ में बिल्कुल शुद्ध स्थितिएं हैं।

C*-बीजगणितीय सूत्रीकरण को शास्त्रीय और क्वांटम दोनों प्रणालियों को शामिल करने के लिए देखा जा सकता है। जब प्रणाली शास्त्रीय होती है, तो वेधशालाओं का बीजगणित एबेलियन सी * -बीजगणित बन जाता है। उस स्थिति में राज्य संभाव्यता उपाय बन जाते हैं।

इतिहास
घनत्व संचालकों और आव्यूहों की औपचारिकता 1927 में जॉन वॉन न्यूमैन और रैखिक रूप से, लेकिन कम व्यवस्थित रूप से, लेव लैंडौ और बाद में 1946 में फेलिक्स बलोच द्वारा पेश की गई थी। क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम माप के सिद्धांत दोनों को विकसित करने के लिए वॉन न्यूमैन ने घनत्व आव्यूह पेश किया। नाम घनत्व आव्यूह स्वयं शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक चरण-स्थान संभाव्यता माप (स्थिति और संवेग का संभाव्यता वितरण) के शास्त्रीय पत्राचार से संबंधित है, जिसे 1932 में विग्नर द्वारा पेश किया गया था

इसके विपरीत, लेव लैंडौ को प्रेरित करने वाली प्रेरणा एक राज्य सदिश द्वारा एक समग्र क्वांटम प्रणाली के उपतंत्र का वर्णन करने की असंभवता थी।

यह भी देखें

 * परमाणु इलेक्ट्रॉन रूपांतरण
 * सघनता कार्यात्मक सिद्धांत
 * ग्रीन-कुबो संबंध
 * ग्रीन फलन (कई-शरीर सिद्धांत)
 * लिंडब्लाड समीकरण
 * विग्नर अर्ध-प्रायिकता वितरण

नोट्स और संदर्भ
श्रेणी:कार्यात्मक विश्लेषण श्रेणी:क्वांटम सूचना विज्ञान श्रेणी:सांख्यिकीय यांत्रिकी श्रेणी:लेव लैंडौ