ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत



ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत (नीदरलैंड के भौतिक विज्ञानी क्रिस्टियान ह्यूजेंस और फ्रांस के भौतिक विज्ञानी ऑगस्टिन-जीन फ्रेस्नेल के नाम पर आधारित है) में अंकित है कि तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु वृताकार तरंगिकाओं का स्रोत होता है और विभिन्न बिंदुओं से निकलने वाली द्वितीयक तरंगिकाएँ परस्पर हस्तक्षेप करती हैं। इन वृताकार तरंगिकाओं का योग नया तरंगाग्र निर्मित करता है। इस प्रकार ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत दूर-क्षेत्र सीमा और निकट-क्षेत्र विवर्तन के साथ प्रतिबिंब (भौतिकी) में दीप्त तरंग प्रसार की समस्याओं पर प्रस्तावित विश्लेषण की विधि है।

इतिहास
1678 में, ह्यूजेन्स ने प्रस्तावित किया कि दीप्त अव्यवस्था से प्रत्येक बिंदु वृताकार तरंग का स्रोत बन जाता है; इन द्वितीयक तरंगों का योग तरंग के रूप को निर्धारित करता है। उन्होंने स्वीकार किया कि द्वितीयक तरंगें मात्र अग्र दिशा में यात्रा करती हैं और सिद्धांत में यह स्पष्ट भी नहीं किया गया है। वह रैखिक और गोलाकार तरंग प्रसार की गुणात्मक व्याख्या प्रदान करने में सक्षम थे और इस सिद्धांत का उपयोग करके प्रतिबिंब और अपवर्तन के नियमों को प्राप्त करने में सक्षम थे, किन्तु रेक्टिलाइनियर प्रसार से विचलन की व्याख्या नहीं कर सके जिसमें प्रकाश का आकस्मिक मिलन एपर्चर और स्क्रीन से होता है, जिसे सामान्यतः विवर्तन प्रभाव के रूप में जाना जाता है। इस त्रुटि के समाधान का अध्ययन अंततः 1991 में डेविड ए.बी. मिलर द्वारा किया गया था। स्रोत द्विध्रुवीय होता है (ह्यूजेंस द्वारा स्वीकृत मोनोपोल नहीं है) जो परावर्तित दिशा में निरस्त हो जाता है।

1818 में, फ्रेस्नेल ने वर्णित किया कि ह्यूजेंस का सिद्धांत व्यतिकरण के सिद्धांत के साथ मिलकर प्रकाश के सरल रेखीय प्रसार और विवर्तन प्रभाव दोनों की व्याख्या कर सकता है। प्रायोगिक परिणामों के साथ सहमति प्राप्त करने के लिए वे द्वितीयक तरंगों के चरण और आयाम के संबंध में अतिरिक्त अर्बिटरी धारणाओं और ऑबलिक्विटी कारक को भी सम्मिलित करते हैं। इन धारणाओं का कोई स्पष्ट भौतिक आधार नहीं है, किन्तु वे पॉइसन स्पॉट सहित विभिन्न प्रायोगिक प्रेक्षणों से सहमत थे।

शिमोन डेनिस पोइसन फ्रांसीसी अकादमी के सदस्य थे, जिन्होंने फ्रेस्नेल के कार्य की समीक्षा की थी। उन्होंने फ्रेस्नेल के सिद्धांत का उपयोग किया जिसमें उज्ज्वल स्थान को छोटी सी डिस्क की छाया के केंद्र में प्रकट होना चाहिए और इससे यह अनुमान लगाया गया कि यह सिद्धांत अनुचित था। चूँकि, समिति के अन्य सदस्य अरगो ने प्रयोग करके अरागो स्पॉट को दर्शाया था। (लिस्ले ने इसे पचास वर्ष पूर्व अवलोकित किया था। प्रकाश के तरंग सिद्धांत की उस समय के प्रमुख कोरपसकुलर सिद्धांत पर विजय प्राप्त हुई।

ऐन्टेना (रेडियो) और इंजीनियरिंग में, वर्तमान स्रोतों को विकीर्ण करने के लिए ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत के पुनर्निर्माण को सतह तुल्यता सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।

सूक्ष्म मॉडल के रूप में ह्यूजेंस का सिद्धांत
ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत प्रकाश के तरंग प्रसार के अध्ययन करने के लिए उचित आधार प्रदान करता है। चूँकि, सिद्धांत की सीमाएँ हैं अर्थात् किरचॉफ के विवर्तन सूत्र को प्राप्त करने के लिए किए गए समान सन्निकटन और फ्रेस्नेल के कारण निकट और दूर क्षेत्र के सन्निकटन हैं। इन्हें इस तथ्य में संक्षेपित किया जा सकता है कि प्रकाश की तरंग दैर्ध्य ऑप्टिकल घटकों के आयामों की तुलना में अधिक छोटी होती हैं।

किरचॉफ का विवर्तन सूत्र तरंग समीकरण के आधार पर विवर्तन के लिए गणितीय आधार प्रदान करता है। ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल समीकरण के लिए फ्रेस्नेल द्वारा निर्मित आर्बिटरी धारणाएं इस व्युत्पत्ति में गणित से स्वचालित रूप से उभरती हैं।

सिद्धांत के संचालन का सरल उदाहरण जिसमें विवृत द्वार दो कक्षों को जोड़ता है और उनमें से एक में ध्वनि उत्पन्न होती है। दूसरे कक्ष में व्यक्ति ध्वनि सुन सकता है जो द्वार पर उत्पन्न हुई होती है। द्वार में वायु का कंपन ध्वनि का स्रोत होता है।

आधुनिक भौतिकी व्याख्याएं
सभी विशेषज्ञ इस कथन से सहमत नहीं हैं कि ह्यूजेंस का सिद्धांत वास्तविकता का त्रुटिहीन सूक्ष्म प्रतिनिधित्व है। उदाहरण के लिए, मेल्विन श्वार्ट्ज ने आर्ग्यूमेंट दिया कि ह्यूजेंस का सिद्धांत वास्तव में उचित उत्तर देता है किन्तु अनुचित कारणों से।

इसे निम्नलिखित तथ्यों में परिलक्षित किया जा सकता है-
 * फोटॉन बनाने के लिए सूक्ष्म यांत्रिकी अनिवार्य रूप से इलेक्ट्रॉनों का त्वरण है। ह्यूजेंस के मूल विश्लेषण में केवल आयाम सम्मिलित हैं। इसमें न तो चरण सम्मिलित हैं और न ही विभिन्न गति से प्रसारित तरंगें (मीडिया के भीतर विवर्तन के कारण) और इसलिए यह व्यतिकरण को ध्यान में नहीं रखता है।
 * ह्यूजेंस विश्लेषण में प्रकाश के लिए ध्रुवीकरण भी सम्मिलित नहीं है जो सदिश पोटेंशियल को दर्शाता है, जहां इसके अतिरिक्त ध्वनि तरंगों को स्केलर पोटेंशियल के साथ वर्णित किया जा सकता है और दोनों के मध्य कोई अद्वितीय और प्राकृतिक अनुवाद नहीं है।
 * ह्यूजेंस के विवरण में इस कथन की कोई व्याख्या नहीं है कि हम मात्र अग्रगामी (मंद तरंग) के प्रति पश्चगामी प्रसार वाली उन्नत तरंग का चयन क्यों करते हैं।
 * फ्रेस्नेल सन्निकटन में विभिन्न चरणों के साथ वृताकार तरंगों के योग के कारण अस्थानीय व्यवहार की अवधारणा है जो तरंगाग्र के विभिन्न बिंदुओं से आती है और अस्थानीय सिद्धांत विभिन्न वाद और सक्रिय शोध का विषय है।
 * फ्रेस्नेल सन्निकटन की व्याख्या क्वांटम संभाव्य विधि द्वारा की जा सकती है। परमाणु ऑर्बिटल्स (एलसीएओ) विधि के रैखिक संयोजन की भाँति सामान्य आधार पर सन्निकटन का अधिक प्रतिनिधित्व करता है।

ह्यूजेंस का सिद्धांत एस मैट्रिक्स में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के साथ अनिवार्य रूप से संगत है, प्रकीर्णन के केंद्र में प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत पर विचार करते हुए क्वांटम प्रकाशिकी शास्त्रीय प्रकाशिकी के साथ संगत है, अन्य व्याख्याएं अनुशय और सक्रिय शोध का विषय हैं।

फेनमैन मॉडल काल्पनिक तरंगाग्र में प्रत्येक बिंदु तरंगिका उत्पन्न करता है, और इस संभावित संदर्भ में दूरस्थ बिंदु केवल समग्र संभाव्यता आयाम में न्यूनतम योगदान दे सकते हैं।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में फोटॉन निर्माण के लिए कोई सूक्ष्म मॉडल सम्मिलित नहीं है और एकल फोटॉन की अवधारणा को भी सैद्धांतिक स्तर पर अन्वेषण में रखा गया है।

सिद्धांत की गणितीय अभिव्यक्ति
बिंदु P0 पर स्थित बिंदु स्रोत की स्तिथि पर विचार करें जो आवृत्ति f पर कंपन करता है। डिस्टर्बेंस को जटिल चर U0 द्वारा वर्णित किया जा सकता है जिसे जटिल आयाम के रूप में जाना जाता है। यह तरंग दैर्ध्य λ, तरंग संख्या के साथ वृताकार तरंग $k = 2&pi;/&lambda;$ उत्पन्न करती है। आनुपातिकता के स्थिरांक के भीतर P0 से दूरी r0 पर स्थित बिंदु Q पर प्राथमिक तरंग का जटिल आयाम है-


 * $$U(r_0) \propto \frac {U_0 e^{ikr_0}}{r_0}. $$

ध्यान दें कि आयाम निर्धारित दूरी के व्युत्क्रमानुपाती में कम होता है, और निर्धारित दूरी के k गुना के रूप में चरण परिवर्तित होता है।

ह्यूजेंस के सिद्धांत और तरंगों के सुपरपोजिशन के सिद्धांत का उपयोग करके बिंदु P पर जटिल आयाम त्रिज्या r0 के क्षेत्र पर प्रत्येक बिंदु से योगदान को जोड़कर अन्य बिंदु प्राप्त होता है। प्रयोगात्मक परिणामों के साथ निष्कर्ष के लिए फ्रेस्नेल ने अन्वेषित किया कि वृत पर द्वितीयक तरंगों से विभिन्न योगदान को स्थिर -i/λ और झुकाव कारक K(χ) से गुणा किया जाना था। प्रथम धारणा का अर्थ है कि द्वितीयक तरंगें प्राथमिक तरंग के संबंध में चरण के बाहर चक्र के चतुर्थांश पर दोलन करती हैं और द्वितीयक तरंगों का परिमाण 1: λ के प्राथमिक तरंग के अनुपात में होता है। उन्होंने यह भी माना कि χ = 0 होने पर K(χ) का अधिकतम मूल्य था और χ = π/2 होने पर शून्य के समान था जहां χ प्राथमिक तरंगाग्र और द्वितीयक तरंगाग्र के मध्य का कोण है। द्वितीयक तरंगों के योगदान के कारण 'P' पर जटिल आयाम है-
 * $$ U(P) = -\frac{i}{\lambda} U(r_0) \int_{S} \frac {e^{iks}}{s} K(\chi)\,dS $$

जहाँ S वृत की सतह का वर्णन करता है, और s 'Q' और 'P' के मध्य की दूरी है।

फ्रेस्नेल ने विभिन्न क्षेत्रों के लिए K के अनुमानित मानों के शोधन के लिए ज़ोन निर्माण विधि का उपयोग किया, जिससे उन्हें भविष्यवाणियां करने में सहायता प्राप्त हुई जो प्रयोगात्मक परिणामों के अनुरूप थीं। किरचॉफ अभिन्न प्रमेय में ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत का मूल विचार सम्मिलित है। किरचॉफ ने दर्शाया कि विभिन्न स्तिथियों में, प्रमेय को सरल रूप में अनुमानित किया जा सकता है जो फ्रेस्नेल के सूत्रीकरण के गठन के समान है।

यदि तरंग की वक्रता की त्रिज्या पर्याप्त रूप से बड़ी है, तो एकल विस्तारित वृताकार तरंग से युक्त एपर्चर प्रकाश के लिए किरचॉफ ने K(χ) के लिए निम्नलिखित अभिव्यक्ति दी है - $$~K(\chi )= \frac{1}{2}(1+\cos \chi)$$

K का अधिकतम मान χ = 0 पर है जैसा कि ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत में है, चूँकि K = π/2 पर शून्य के समान नहीं है, किन्तु χ = π पर है।

K(χ) की उपरोक्त व्युत्पत्ति ने स्वीकार किया कि विवर्तक छिद्र वक्रता के पर्याप्त बड़े त्रिज्या के साथ एकल वृताकार तरंग द्वारा प्रदीप्त होता है। चूँकि, सिद्धांत अधिक सामान्य प्रकाश के लिए है। आर्बिटरी रूप से प्रकाश को बिंदु स्रोतों के संग्रह में विघटित किया जा सकता है, और तरंग समीकरण की रैखिकता को व्यक्तिगत रूप से प्रत्येक बिंदु स्रोत पर सिद्धांत के लिए प्रस्तावित किया जा सकता है। K(χ) को सामान्यतः व्यक्त किया जा सकता है-


 * $$~K(\chi )= \cos \chi$$

इस स्तिथि में, K ऊपर वर्णित स्तिथियों को पूर्ण करता है (χ = 0 पर अधिकतम मान और χ = π/2 पर शून्य प्राप्त होता है)।

सामान्यीकृत ह्यूजेंस का सिद्धांत
विभिन्न पुस्तकों और उदाहरणों में फेनमैन द्वारा संदर्भित सामान्यीकृत ह्यूजेन्स सिद्धांत का संदर्भ है।

फेनमैन सामान्यीकृत सिद्धांत को निम्नलिखित रूप से परिभाषित करता है:

यह इस तथ्य को स्पष्ट करता है कि इस संदर्भ में सामान्यीकृत सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी की रैखिकता को दर्शाता है और तथ्य यह है कि क्वांटम यांत्रिकी समीकरण समय में प्रथम क्रम के होते हैं। अंत में मात्र इस स्तिथि में सुपरपोज़िशन सिद्धांत पूर्व रूप से प्रस्तावित होता है, अर्थात बिंदु P में तरंग फलन को P की बॉर्डर सतह पर तरंगों के सुपरपोज़िशन के रूप में विस्तारित किया जा सकता है। तरंग फलन की व्याख्या सामान्य क्वांटम यांत्रिक अर्थों में संभाव्यता घनत्व के रूप में की जा सकती है जहाँ ग्रीन के फलनों और प्रचारकों की औपचारिकता प्रस्तावित होती है। यह सामान्यीकृत सिद्धांत पदार्थ तरंगों के लिए प्रस्तावित होता है। क्रिया (भौतिकी) द्वारा दिए गए चरण कारक को स्पष्ट किया गया है और अब कोई भ्रम नहीं है कि तरंगिका के चरण मूल तरंग से पृथक क्यों हैं और अतिरिक्त फ्रेस्नेल पैरामीटर द्वारा संशोधित किए गए हैं।

ग्रीनर के अनुसार सामान्यीकृत सिद्धांत को $$t'>t $$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है-
 * $$\psi'(\mathbf{x}',t') = i \int{}{}d^3x G(\mathbf{x}',t';\mathbf{x},t)\psi(\mathbf{x},t)$$

जहाँ G सामान्य हरा फलन है जो समय के साथ तरंग फलन $$\psi$$ का प्रसार करता है। यह विवरण शास्त्रीय मॉडल के प्रारंभिक फ्रेस्नेल का सूत्र है और सामान्यीकरण करता है।

ह्यूजेंस का सिद्धांत, फेनमैन का पथ अभिन्न और आधुनिक फोटॉन तरंग फलन
ह्यूजेंस के सिद्धांत ने प्रकाश व्यतिकरण की तरंग प्रकृति की मूल व्याख्या के रूप में कार्य किया और फ्रेस्नेल और यंग द्वारा अग्र विकसित किया गया था, किन्तु 1909 में सर्वप्रथम जी.आई. टेलर द्वारा किए गए कम-तीव्रता वाले डबल-स्लिट प्रयोग जैसे सभी अवलोकनों को पूर्ण रूप से हल नहीं किया गया था। यह 1900 के प्रारम्भ और मध्य तक नहीं था कि क्वांटम सिद्धांत विशेष रूप से 1927 ब्रसेल्स सोल्वे सम्मेलन में प्रारंभिक वर्णन था जहां लुइस डी ब्रोगली ने अपनी डी ब्रोगली परिकल्पना का प्रस्ताव दिया था कि फोटॉन तरंग फलन द्वारा निर्देशित है। तरंग फलन डबल स्लिट प्रयोग में अवलोकित प्रकाश और डार्क बैंडों की भिन्न व्याख्या प्रस्तुत करता है। इस अवधारणा में, फोटॉन पथ का अनुसरण करता है जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में विभिन्न संभावित पथों में संभाव्य विकल्प है। ये संभावित पथ डार्क क्षेत्रों में पैटर्न बनाते हैं जिसमें विभिन्न नहीं फोटॉन होते हैं और उज्ज्वल क्षेत्रों में विभिन्न फोटॉन होते हैं। संभावित फोटॉन पथों का सेट रिचर्ड फेनमैन के पथ अभिन्न सिद्धांत के अनुरूप होते है, पथ फोटॉन के मूल बिंदु (परमाणु) के निकट स्लिट, स्क्रीन, ट्रैकिंग और योग चरणों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। तरंग फलन इस ज्यामिति का हल है। 1970 और 1980 में इटली और जापान में इलेक्ट्रॉनों के साथ अतिरिक्त डबल-स्लिट प्रयोगों द्वारा वेव फंक्शन दृष्टिकोण का समर्थन किया गया था।

ह्यूजेंस का सिद्धांत और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
ह्यूजेंस के सिद्धांत को अंतरिक्ष के सजातीय स्थान के परिणाम के रूप में देखा जा सकता है - अंतरिक्ष सभी स्थानों में समान है। सजातीय स्थान (या सजातीय माध्यम में) के पर्याप्त छोटे क्षेत्र में उत्पन्न कोई भी विक्षोभ उस क्षेत्र से सभी भूगर्भीय दिशाओं में विस्तृत होता है। इस विक्षोभ से उत्पन्न तरंगें अन्य क्षेत्रों आदि में विक्षोभ उत्पन्न करती हैं। सभी तरंगों के सुपरपोज़िशन सिद्धांत के परिणामस्वरूप तरंग प्रसार का अवलोकन किया गया पैटर्न होता है।

अंतरिक्ष की एकरूपता क्वांटम फील्ड थ्योरी (क्यूएफटी) के लिए वास्तविक है जहां किसी भी वस्तु का तरंग फलन अबाधित पथों के साथ विस्तृत होता है। जब पार्टीशन फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत), क्रिया (भौतिकी) के आनुपातिक चरण (तरंगों) कारक के साथ, तरंग-फलन का व्यतिकरण उचित रूप से घटनाओं की भविष्यवाणी करता है। तरंगाग्र पर प्रत्येक बिंदु द्वितीयक तरंगों के स्रोत के रूप में कार्य करता है जो प्रकाश शंकु में तरंग की समान गति से विस्तृत होता है। नया तरंगाग्र द्वितीयक तरंगिकाओं की सतह स्पर्शरेखा का निर्माण करके प्राप्त किया जा सकता है।

अन्य स्थानिक आयामों में
1900 में, जैक्स हैडमार्ड ने अवलोकित किया कि ह्यूजेंस का सिद्धांत तब विभक्त हो गया था जब स्थानिक आयामों की संख्या सम थी।  इससे उन्होंने अनुमानों का समूह विकसित किया जो अनुसंधान का सक्रिय विषय बना हुआ है।  विशेष रूप से, यह ज्ञात हुआ है कि ह्यूजेंस का सिद्धांत कॉक्सेटर समूह से प्राप्त सजातीय रिक्त स्थान के बड़े वर्ग पर आधारित है (इसलिए, उदाहरण के लिए, सरल लाई बीजगणित के वेइल समूह है)।

डी'अलेम्बर्टियन के लिए ह्यूजेंस के सिद्धांत का कथन केडीवी पदानुक्रम को उत्पन्न करता है; डायराक ऑपरेटर एकेएनएस पदानुक्रम को उत्पन्न करता है।

यह भी देखें

 * फ्राउनहोफर विवर्तन
 * किरचॉफ का विवर्तन सूत्र
 * ग्रीन का कार्य
 * ग्रीन की प्रमेय
 * ग्रीन की पहचान
 * निकट-क्षेत्र विवर्तन पैटर्न
 * डबल-स्लिट प्रयोग
 * चाकू की धार का प्रभाव
 * फर्मेट का सिद्धांत
 * फूरियर ऑप्टिक्स
 * भूतल तुल्यता सिद्धांत
 * तरंग क्षेत्र संश्लेषण
 * किरचॉफ अभिन्न प्रमेय

अग्रिम पठन

 * Stratton, Julius Adams: Electromagnetic Theory, McGraw-Hill, 1941. (Reissued by Wiley – IEEE Press, ISBN 978-0-470-13153-4).
 * B.B. Baker and E.T. Copson, The Mathematical Theory of Huygens' Principle, Oxford, 1939, 1950; AMS Chelsea, 1987.