फ़िल्टरिंग समस्या (स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं)

स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के सिद्धांत में, फ़िल्टरिंग अपूर्ण और संभावित ध्वनि (सिग्नल प्रोसेसिंग) अवलोकनों के समुच्चय से प्रणाली को वंहा इस प्रकार दर्शाया गया है जहाँ उसकी स्थिति (नियंत्रण) निर्धारित करने की स्थिति का वर्णन किया जाता है। जबकि मूल रूप से इंजीनियरिंग की स्तिथियों से प्रेरित होकर, फ़िल्टरिंग को सिग्नल प्रोसेसिंग से लेकर वित्त तक अनेक क्षेत्रों में अनुप्रयोग मिला था।

अधिकतम गैर-रैखिक फ़िल्टरिंग की स्थिति (यहां तक ​​कि गैर-स्थिर स्तिथियाँ के लिए भी) रुस्लान एल. स्ट्रैटोनोविच (1959) द्वारा हल की गई थी। 1960 ), हेरोल्ड जे. कुशनर का काम भी देखें और मोशे ज़काई, जिन्होंने फ़िल्टर के असामान्य नियमबद्ध नियम के लिए सरलीकृत गतिशीलता प्रस्तुत की थी ज़काई समीकरण के नाम से जाना जाता है। चूँकि, सामान्य स्तिथियाँ में समाधान अनंत-आयामी है। कुछ सन्निकटन और विशेष स्तिथियाँ अच्छी तरह से समझे जाते हैं: उदाहरण के लिए, रैखिक फ़िल्टर गॉसियन यादृच्छिक वेरिएबल के लिए अधिकतम हैं, और इन्हें विनीज़ फ़िल्टर और कलमन-बुसी फ़िल्टर के रूप में जाना जाता है। अधिक सामान्यतः, चूंकि समाधान अनंत आयामी है, इसलिए इसे सीमित मेमोरी वाले कंप्यूटर में प्रयुक्त करने के लिए सीमित आयामी सन्निकटन की आवश्यकता होती है। परिमित आयामी अनुमानित अरेखीय फ़िल्टर अनुमानों पर आधारित हो सकता है, जैसे कि विस्तारित कलमैन फ़िल्टर या अनुमानित घनत्व फ़िल्टर होते है तथा यह अधिक पद्धतिगत रूप से उन्मुख जैसे उदाहरण के लिए प्रोजेक्शन फ़िल्टर होते है, जिनमें से कुछ उप-वर्गों को अनुमानित घनत्व फ़िल्टर के साथ मेल खाते हुए दिखाया गया है। कण फिल्टर अनंत आयामी फ़िल्टरिंग स्थिति पर आक्रमण करने के लिए अन्य विकल्प हैं और अनुक्रमिक मोंटे कार्लो विधियों पर आधारित हैं।

सामान्यतः, यदि पृथक्करण सिद्धांत प्रयुक्त होता है, तो अधिकतम नियंत्रण स्थिति के समाधान के भागों के रूप में फ़िल्टरिंग भी उत्पन्न होती है। उदाहरण के लिए, कलमन फ़िल्टर रैखिक-द्विघात-गाऊसी नियंत्रण स्थिति के अधिकतम नियंत्रण समाधान का अनुमान भाग होता है।

गणितीय औपचारिकता
इस प्रकार संभाव्यता समिष्ट (Ω, Σ, P) पर विचार करें और मान लिया जाये कि समय t पर इंटरेस्ट की प्रणाली के n-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष Rn में (यादृच्छिक) स्थिति Yt यादृच्छिक वेरिएबल Yt है: तथा Ω → Rn के समाधान द्वारा दिया गया है यह इटो स्वरुप का स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण होता है

$$\mathrm{d} Y_{t} = b(t, Y_{t}) \, \mathrm{d} t + \sigma (t, Y_{t}) \, \mathrm{d} B_{t},$$

जहां B मानक p-आयामी प्रकार कि गति को दर्शाता है, b : [0, +∞)×'R'n‍→'R'n बहाव क्षेत्र है, और σ : [0, +∞)×'R'n‍→'R'n×p प्रसार क्षेत्र है। यह माना जाता है कि Rm में अवलोकन Ht (ध्यान दें कि m और n, सामान्यतः, असमान हो सकते हैं) प्रत्येक समय t के अनुसार लिया जाता है


 * $$H_{t} = c(t, Y_{t}) + \gamma (t, Y_{t}) \cdot \mbox{noise}.$$

स्टोकेस्टिक अंतर और सेटिंग की इटो व्याख्या को स्वीकारना


 * $$ Z_{t} = \int_{0}^{t} H_{s} \, \mathrm{d} s,                                                                                                                               $$

यह प्रेक्षणों Zt के लिए निम्नलिखित स्टोकेस्टिक अभिन्न प्रतिनिधित्व देता है:


 * $$\mathrm{d} Z_{t} = c(t, Y_{t}) \, \mathrm{d} t + \gamma (t, Y_{t}) \, \mathrm{d} W_{t},                                               $$

जहां W मानक r-आयामी ब्राउनियन गति को दर्शाता है, जो B और प्रारंभिक स्थिति Y0 से स्वतंत्र है, और c : [0, +∞)×'R'n‍→'R'n और γ: [0, +∞) × 'R'n‍→'R'n×r को संतुष्ट करते है,


 * $$\big| c (t, x) \big| + \big| \gamma (t, x) \big| \leq C \big( 1 + | x | \big)                                                 $$

सभी t और x और कुछ स्थिरांक C के लिए।

'फ़िल्टरिंग स्थिति ' निम्नलिखित है: 0 ≤ s ≤ t के लिए दिए गए अवलोकन Zs, उन अवलोकनों के आधार पर प्रणाली कि वास्तविक अवस्था का Yt का सबसे अच्छा अनुमान क्या है ?

"उन अवलोकनों के आधार पर" यह अभिप्राय है कि Yt अवलोकन Zs, 0 ≤ s ≤ t के द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित Gt के संबंध में मापने योग्य है। सभी Rn -मूल्यवान यादृच्छिक वेरिएबल Y के संग्रह को K = K(Z, t) द्वारा निरूपित करें जो वर्ग-अभिन्न और Gt -मापने योग्य हैं:


 * $$K = K(Z, t) = L^{2} (\Omega, G_{t}, \mathbf{P}; \mathbf{R}^{n}).$$

सर्वोत्तम अनुमान से इसका तात्पर्य यह है कि Ŷt, Yt और K में सभी उम्मीदवार के बीच माध्य-वर्ग दूरी को न्यूनतम करता है :


 * $$\mathbf{E} \left[ \big| Y_{t} - \hat{Y}_{t} \big|^{2} \right] = \inf_{Y \in K} \mathbf{E} \left[ \big| Y_{t} - Y \big|^{2} \right]. \qquad \mbox{(M)}     $$

मूल परिणाम: ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण
इस प्रकार उम्मीदवारों का समिष्ट K(Z,t) हिल्बर्ट समिष्ट है, और हिल्बर्ट रिक्त समिष्ट के सामान्य सिद्धांत का तात्पर्य है कि न्यूनतमकरण स्थिति (M) का समाधान Ŷt द्वारा दी गई है


 * $$\hat{Y}_{t} = P_{K(Z, t)} \big( Y_{t} \big),$$

जहां PK(Z,t) रैखिक उपस्थान K(Z, t) = L2(Ω, Gt, P; Rn) पर L2(Ω, Σ, P; Rn) के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण को दर्शाता है. इसके अतिरिक्त, नियमबद्ध अपेक्षाओं के बारे में यह सामान्य तथ्य है कि यदि F Σ का कोई उप-σ-बीजगणित है तो ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण


 * $$P_{K} : L^{2} (\Omega, \Sigma, \mathbf{P}; \mathbf{R}^{n}) \to L^{2} (\Omega, F, \mathbf{P}; \mathbf{R}^{n})                                         $$

वास्तव में नियमबद्ध अपेक्षा ऑपरेटर E[·|F] है, अर्थात ,


 * $$P_{K} (X) = \mathbf{E} \big[ X \big | F \big].$$

इस तरह,


 * $$\hat{Y}_{t} = P_{K(Z, t)} \big( Y_{t} \big) = \mathbf{E} \big[ Y_{t} \big | G_{t} \big].$$

यह प्रारंभिक परिणाम फ़िल्टरिंग सिद्धांत के सामान्य फुजिसाकी-कल्लियानपुर-कुनीता समीकरण का आधार है।

अधिक उन्नत परिणाम: नॉनलाइनियर फ़िल्टरिंग एसपीडीई
एक समय t पर फ़िल्टर का पूरा ज्ञान, समय t तक प्रेक्षण Z द्वारा उत्पन्न सिग्मा-फ़ील्ड Gt पर नियमबद्ध सिग्नल Yt के संभाव्यता नियम द्वारा दिया जाएगा । यदि यह संभाव्यता नियम अनौपचारिक रूप से घनत्व को स्वीकार करता है
 * $$ p_t(y)\ dy = {\bf P}(Y_t \in dy|G_t), $$

फिर कुछ नियमितता मान्यताओं के अनुसार घनत्व $$p_t(y)$$ $$dZ_t$$ द्वारा संचालित गैर-रेखीय स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरण (एसपीडीई) को संतुष्ट करता है और इसे कुशनर_समीकरण|कुशनर-स्ट्रेटोनोविच समीकरण कहा जाता है, या घनत्व का असामान्य संस्करण $$q_t(y)$$ $$p_t(y)$$ ज़काई समीकरण नामक रैखिक एसपीडीई को संतुष्ट करता है। ये समीकरण उपरोक्त प्रणाली के लिए तैयार किए जा सकते हैं, किन्तु व्याख्या को सरल बनाने के लिए कोई यह मान सकता है कि न देखे गए सिग्नल Y और आंशिक रूप से देखे गए ध्वनि सिग्नल Z समीकरणों को संतुष्ट करते हैं
 * $$\mathrm{d} Y_{t} = b(t, Y_{t}) \, \mathrm{d} t + \sigma (t, Y_{t}) \, \mathrm{d} B_{t},$$
 * $$\mathrm{d} Z_{t} = c(t, Y_{t}) \, \mathrm{d} t +  \mathrm{d} W_{t}.$$

दूसरे शब्दों में, यह मानकर प्रणाली को सरल बनाया गया है कि अवलोकन ध्वनि W समिष्ट पर निर्भर नहीं है। कोई नियतिवादी $$ dW$$ के सामने नियत समय पर निर्भर $$\gamma$$ रख सकता है किन्तु हम मानते हैं कि इसे पुनः स्केलिंग द्वारा हटा दिया गया है।

इस विशेष प्रणाली के लिए, घनत्व $$p_t$$ के लिए कुशनर-स्ट्रैटोनोविच एसपीडीई पढ़ता है

\mathrm{d} p_t = {\cal L}^*_t p_t \  dt + p_t[c(t,\cdot) - E_{p_t}(c(t,\cdot))]^T [ d Z_t - E_{p_t}(c(t,\cdot)) d t] $$ जहाँ T स्थानान्तरण को दर्शाता है, $$E_p$$ घनत्व p के संबंध में अपेक्षा को दर्शाता है  $$ E_p[f] = \int f(y) p(y) dy,                                                                                  $$ और आगे प्रसार ऑपरेटर $${\cal L}^*_t$$ है

{\cal L}_t^* f(t,y) = - \sum_i \frac{\partial}{\partial y_i} [ b_i(t,y) f(t,y) ] + \frac{1}{2} \sum_{i,j} \frac{\partial^2}{\partial y_i \partial y_j} [a_{ij}(t,y) f(t,y)] $$ जहाँ $$a=\sigma \sigma^T$$. यदि हम असामान्य घनत्व $$ q_t(y)$$ चुनते हैं, उसी प्रणाली के लिए ज़काई एसपीडीई पढ़ता है

\mathrm{d} q_t = {\cal L}^*_t q_t \  dt + q_t[c(t,\cdot)]^T  d Z_t. $$ p और q के लिए ये एसपीडीई इटो कैलकुलस रूप में लिखे गए हैं। उन्हें स्ट्रैटोनोविच कैलकुलस रूप में लिखना संभव है, जो प्रक्षेपण फिल्टर की तरह, अंतर ज्यामिति के आधार पर फ़िल्टरिंग अनुमान प्राप्त करते समय सहायक सिद्ध होता है। उदाहरण के लिए, स्ट्रैटोनोविच कैलकुलस में लिखा गया कुशनर-स्ट्रैटोनोविच समीकरण पढ़ता है
 * $$  d p_t = {\cal L}^\ast_t\, p_t\,dt

- \frac{1}{2}\, p_t\, [\vert c \vert^2 - E_{p}(\vert c \vert^2)] \,dt + p\, [c-E_{p}(c)]^T \circ dZ\. $$ किसी भी घनत्व p और q से कोई समय t तक अवलोकन Z द्वारा उत्पन्न सिग्मा-क्षेत्र पर नियमबद्ध सिग्नल Yt के सभी आँकड़ों की गणना कर सकता है, जिससे कि घनत्व फ़िल्टर का पूरा ज्ञान दे सकता है तथा Y के संबंध में विशेष रैखिक-स्थिर धारणाओं के अनुसार, जहां प्रणाली गुणांक b और c, Y के रैखिक फलन हैं तथा जिसमे $$\sigma$$ और $$\gamma$$ Y पर निर्भर नहीं हो सकता है, और सिग्नल Y के लिए प्रारंभिक नियम गॉसियन या नियतात्मक होता है, जहाँ घनत्व $$p_t(y)$$ गॉसियन है और इसे इसके माध्य और विचरण-सहप्रसरण आव्युह द्वारा चित्रित किया जा सकता है, जिसके विकास का वर्णन कलमैन फिल्टर या कलमैन-बुसी फिल्टर या कलमैन-बुसी फिल्टर द्वारा किया गया है, जो परिमित आयामी है। अधिक सामान्यतः, फ़िल्टर घनत्व का विकास अनंत-आयामी फलन समिष्ट में होता है, और इसे परिमित आयामी सन्निकटन के माध्यम से अनुमानित किया जाना चाहिए, जैसा कि ऊपर संकेत दिया गया है।

यह भी देखें

 * स्मूथिंग स्थिति, फ़िल्टरिंग स्थिति से निकटता से संबंधित है
 * फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग)
 * कलमन फ़िल्टर, प्रसिद्ध फ़िल्टरिंग एल्गोरिदम जो फ़िल्टरिंग स्थिति और स्मूथिंग स्थिति दोनों से संबंधित है
 * स्मूथिंग
 * प्रोजेक्शन फिल्टर
 * कण फिल्टर

अग्रिम पठन

 * (See Section 6.1)
 * (See Section 6.1)