अंकगणित का मौलिक प्रमेय

गणित में, अंकगणित के मौलिक प्रमेय को अद्वितीय गुणनखंडन प्रमेय और अभाज्य गुणनखंड प्रमेय भी कहा जाता है, और यह बताता है कि 1 से अधिक प्रत्येक पूर्णांक को कारकों के क्रम तक अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है।  उदाहरण के लिए,



1200 = 2^4 \cdot 3^1 \cdot 5^2 = (2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot 3 \cdot (5 \cdot 5) = 5 \cdot 2 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 2 = \ldots $$ प्रमेय इस उदाहरण के बारे में दो बातें कहता है: पहला यह कि 1200 को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है और दूसरा यह की कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह कैसे किया जाता है, उत्पाद में हमेशा चार 2s, एक 3s ,दो 5s और कोई अन्य अभाज्य संख्याएँ नहीं होंगी।

आवश्यकता है कि कारक प्रमुख हों: सम्पूर्ण संख्या वाले गुणनखंड अद्वितीय नहीं हो सकते हैं (उदाहरण के लिए, $$12 = 2 \cdot 6 = 3 \cdot 4$$).

यह प्रमेय मुख्य कारणों में से एक है कि क्यों 1 को अभाज्य संख्या नहीं माना जाता है: यदि 1 अभाज्य थे, तो अभाज्यों में गुणनखंड अद्वितीय नहीं होगा; उदाहरण के लिए,$$2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot 1 \cdot 1 = \ldots$$

प्रमेय अन्य बीजगणितीय संरचनाओं को सामान्यीकरण करता है जिन्हें अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र (डोमेन) कहा जाता है और इसमें प्रमुख आदर्श क्षेत्र (डोमेन), यूक्लिडियन क्षेत्र (डोमेन) और इसमें एक क्षेत्र (गणित) पर बहुपद के छल्ले शामिल होते हैं। हालाँकि, प्रमेय बीजगणितीय पूर्णांकों के लिए मान्य नहीं है। अद्वितीय गुणनखंडन की यह विफलता फर्मेट की अंतिम प्रमेय के प्रमाण की कठिनाई के कारणों में से एक है। फर्मेट के कथन और विल्स के प्रमाण के बीच 358 वर्षों के दौरान लिखे गए कई झूठे प्रमाणों की त्रुटि के पीछे बीजगणितीय पूर्णांकों के छल्ले में अद्वितीय गुणनखंड का  सहज उपयोग है।

इतिहास
मौलिक प्रमेय को यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक VII, प्रस्ताव 30, 31 और 32, और पुस्तक IX, प्रस्ताव 14 से प्राप्त किया जा सकता है।

(आधुनिक शब्दावली में: यदि एक अभाज्य संख्या p गुणनफल ab को विभाजित करता है, या तो संख्या p, a या b या दोनों को विभाजित करता है।) तो प्रस्ताव 30 को "यूक्लिड की लेम्मा" कहा जाता है, और यह अंकगणित के मूलभूत प्रमेय के प्रमाण की कुंजी है।

(आधुनिक शब्दावली में: एक से अधिक प्रत्येक पूर्णांक को किसी भी अभाज्य संख्या से समान रूप से विभाजित किया जाता है।) प्रस्ताव 31 को अनंत अवरोही द्वारा आसानी से सिद्ध किया जाता है।

प्रस्ताव 32 को प्रस्ताव 31 से लिया गया है, और यह साबित करता है कि गुणनखंड संभव है।

(आधुनिक शब्दावली में: कई अभाज्य संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य किसी अन्य अभाज्य संख्या का गुणज नहीं होता है।)पुस्तक IX, प्रस्ताव 14 को पुस्तक VII, प्रस्ताव 30 से लिया गया है, और यह आंशिक रूप से साबित करता है कि गुणनखंड  अद्वितीय है - एक बिंदु गंभीर रूप से गणितज्ञ आंद्रे वेल द्वारा नोट किया गया। दरअसल, इस प्रस्ताव में सभी घातांक एक के बराबर हैं, इसलिए सामान्य मामले के लिए कुछ नहीं कहा गया है।

जबकि यूक्लिड ने अभाज्य गुणनखण्ड के अस्तित्व की ओर पहला कदम उठाया तो कमल अल-दीन अल-फारसी ने अपनी अंतिम प्रयास में पहली बार अंकगणित का मौलिक प्रमेय बताया। गॉस का अंकगणितीय शोध को अनुच्छेद 16 मॉड्यूलर अंकगणित को नियोजित करने वाला एक प्रारंभिक आधुनिक कथन और प्रमाण है।

धनात्मक पूर्णांक
का विहित निरूपण प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n > 1 को अभाज्य घातों के गुणनफल के रूप में बिल्कुल एक तरह से दर्शाया जा सकता है

n = p_1^{n_1}p_2^{n_2} \cdots p_k^{n_k} = \prod_{i=1}^{k} p_i^{n_i}, $$ जहाँ $p_{1} < p_{2} < ... < p_{k}$ अभाज्य संख्याएँ हैं और $n_{i}$ सकारात्मक पूर्णांक हैं। यह प्रतिनिधित्व आमतौर पर सभी सकारात्मक पूर्णांकों तक बढ़ाया जाता है, जिसमें 1 भी शामिल है, सम्मेलन द्वारा कि खाली उत्पाद 1 के बराबर है (खाली उत्पाद k = 0 से मेल खाता है)।

इस प्रतिनिधित्व को n का विहित प्रतिनिधित्व या n का मानक रूप कहा जाता है।


 * 999 = 33×37,
 * 1000 = 23×5 3,
 * 1001 = 7×11×13.

कारक p0 = 1 को n के मान को बदले बिना डाला जा सकता है (उदाहरण के लिए, 1000 = 23×30×53) वास्तव में, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक को विशिष्ट रूप से सभी सकारात्मक अभाज्य संख्याओं पर लिए गए अनंत उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है|
 * $$n=2^{n_1}3^{n_2}5^{n_3}7^{n_4}\cdots=\prod_{i=1}^\infty p_i^{n_i},$$

जहां की एक परिमित संख्या $n_{i}$ धनात्मक पूर्णांक हैं, और अन्य शून्य हैं।

ऋणात्मक घातांकों की अनुमति सकारात्मक परिमेय संख्याओं के लिए एक विहित रूप प्रदान करती है।

अंकगणितीय संक्रियाएं
उत्पाद का प्रामाणिक प्रतिनिधित्व, दो संख्याओं a और b का महत्तम सामान्य भाजक(जीसीडी), और लघुतम समापवर्त्य (एलसीएम) केवल a और b के विहित निरूपण के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$\begin{alignat}{2}

a\cdot b & = 2^{a_1+b_1}3^{a_2+b_2}5^{a_3+b_3}7^{a_4+b_4}\cdots && = \prod p_i^{a_i+b_i},\\ \gcd(a,b) & = 2^{\min(a_1,b_1)}3^{\min(a_2,b_2)}5^{\min(a_3,b_3)}7^{\min(a_4,b_4)}\cdots && = \prod p_i^{\min(a_i,b_i)},\\ \operatorname{lcm}(a,b) & = 2^{\max(a_1,b_1)}3^{\max(a_2,b_2)}5^{\max(a_3,b_3)}7^{\max(a_4,b_4)}\cdots && = \prod p_i^{\max(a_i,b_i)}. \end{alignat}$$ हालाँकि, पूर्णांक गुणनखंडन, विशेष रूप से बड़ी संख्या में, कंप्यूटिंग उत्पादों, जीसीडी, या एलसीएम की तुलना में बहुत अधिक कठिन है। अतः व्यवहार में इन सूत्रों का सीमित उपयोग है।

अंकगणितीय कार्य
कई अंकगणितीय कार्यों को विहित प्रतिनिधित्व का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। विशेष रूप से, योज्य और गुणात्मक कार्यों के मूल्यों को अभाज्य संख्याओं की शक्तियों पर उनके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

प्रमाण
प्रमाण यूक्लिड के लेम्मा (तत्व VII, 30) का उपयोग करता है: यदि कोई अभाज्य दो पूर्णांकों के गुणनफल को विभाजित करता है, तो उसे इनमें से कम से कम एक पूर्णांक को विभाजित करना चाहिए।

अस्तित्व
यह दिखाया जाना चाहिए कि 1 से बड़ा प्रत्येक पूर्णांक या तो अभाज्य है या अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है। पहला, $2$ अभाज्य संख्या है। फिर, मजबूत आगमन से, मान लें कि यह 1 से अधिक और n से कम सभी संख्याओं के लिए सत्य है। यदि n अभाज्य है, तो सिद्ध करने के लिए और कुछ नहीं है।अन्यथा, पूर्णांक a और b हैं, जहाँ n = a b, और 1 <a ≤ b < n है। प्रेरण परिकल्पना के अनुसार, a = p1 p2 ⋅⋅⋅ pj और b = q1 q2 ⋅⋅⋅ qkअभाज्य संख्याओं के गुणनफल हैं। लेकिन तब n = a b = p1 p2 ⋅⋅⋅ pj q1 q2 ⋅⋅⋅ qkअभाज्य संख्याओं का गुणनफल है।

विशिष्टता
मान लीजिए, इसके विपरीत, एक पूर्णांक है जिसमें दो अलग-अलग अभाज्य गुणनखंड हैं। मान लीजिए n ऐसा सबसे छोटा पूर्णांक है और लिखिए n = p1 p2 ... pj = q1 q2 ... qk, जहाँ प्रत्येक pi और qi अभाज्य संख्याएँ हैं। हम देखते हैं कि p1, q1 q2 ... qk को विभाजित करता है, इसलिए p1 कुछ qi को यूक्लिड की प्रमेयिका से विभाजित करता है। व्यापकता में कमी के बिना, मान लें कि p1, q1 को विभाजित करता है।चूँकि p1 और q1 दोनों अभाज्य संख्याएँ हैं, इसलिए p1 = q1 इस प्रकार है,n के हमारे गुणनखंडों पर लौटते हुए, हम निष्कर्ष निकालने के लिए इन दो कारकों को रद्द कर सकते हैं कि p2 ... pj = q2 ... qk अब हमारे पास n से सख्ती से छोटे कुछ पूर्णांक के दो अलग-अलग प्रमुख गुणनखंड हैं, जो n की न्यूनतमता के विपरीत हैं।

यूक्लिड की लेम्मा के बिना विशिष्टता
यूक्लिड के लेम्मा का उपयोग किए बिना अंकगणित के मौलिक प्रमेय को भी सिद्ध किया जा सकता है। इसके बाद का प्रमाण यूक्लिडियन एल्गोरिथम के यूक्लिड के मूल संस्करण से प्रेरित है।

मान लें कि s सबसे छोटा सकारात्मक पूर्णांक है जो दो अलग-अलग तरीकों से अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है। इसका तात्पर्य यह है की s यदि  मौजूद है, तो 1 से अधिक एक संयुक्त संख्या होनी चाहिए। अब कहो



\begin{align} s &=p_1 p_2 \cdots p_m \\ &=q_1 q_2 \cdots q_n. \end{align} $$ प्रत्येक $$p_i$$ हर से अलग होना चाहिए $$q_j.$$ नहीं तो अगर कहें $$p_i=q_j,$$ तब कोई धनात्मक पूर्णांक होगा $$t=s/p_i=s/q_j$$ जो इससे छोटा है $s$ और इसके दो भिन्न प्रधान गुणनखंड हैं। कोई यह भी मान सकता है $$p_1 < q_1,$$ यदि आवश्यक हो, तो दो कारकों का आदान-प्रदान करके।

सेटिंग $$P=p_2\cdots p_m$$ और $$Q=q_2\cdots q_n,$$ किसी के पास $$s=p_1P=q_1Q.$$ इसके अलावा, चूंकि $$p_1 < q_1,$$ किसी के पास $$Q < P.$$ इसके बाद यह अनुसरण करता है
 * $$s-p_1Q = (q_1-p_1)Q = p_1(P-Q) < s.$$

जैसा कि s से कम धनात्मक पूर्णांकों को अद्वितीय अभाज्य गुणनखण्ड माना गया है, $$p_1$$के गुणनखंड में होना चाहिए या तो $$q_1-p_1$$ या $Q$. बाद वाला मामला असंभव है, क्योंकि Q, s से छोटा होने के कारण, एक अद्वितीय अभाज्य गुणनखण्ड होना चाहिए, और p1 प्रत्येक qj से भिन्न होता है पूर्व का मामला भी असंभव है यदि p1, ($$q_1-p_1$$ ) का भाजक है, तो यह q1 का भाजक भी होना चाहिए जो असंभव है क्योंकि p1 और q1 अलग-अलग अभाज्य संख्या हैं।

इसलिए, एक से अधिक विशिष्ट अभाज्य गुणनखंडों के साथ सबसे छोटा पूर्णांक मौजूद नहीं हो सकता है। प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक या तो स्वयं एक अभाज्य संख्या होनी चाहिए, जो विशिष्ट रूप से गुणनखंडित हो, या एक सम्मिश्र जो अभाज्यों में अद्वितीय रूप से भी गुणनखंड करता हो, या पूर्णांक 1 के मामले में, किसी भी अभाज्य का कारक नहीं होना चाहिए।

सामान्यीकरण
द्विवर्गीय पारस्परिकता पर गॉस के दूसरे मोनोग्राफ (1832) में प्रमेय का पहला सामान्यीकरण पाया जाता है। इस पत्र ने पेश किया जिसे अब गॉसियन पूर्णांकों का वलय कहा जाता है, सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय a + bi जहाँ a और b पूर्णांक हैं। इसे अब $$\mathbb{Z}[i].$$ द्वारा निरूपित किया जाता है| उन्होंने दिखाया कि इस वलय की चार इकाइयाँ ±1 और ±i हैं, कि गैर-शून्य, गैर-इकाई संख्याएँ दो वर्गों, अभाज्य और सम्मिश्र में आती हैं, और यह कि (ऑर्डर को छोड़कर), सम्मिश्र में अभाज्य का उत्पाद के रूप में अद्वितीय गुणनखंड होता है।

इसी तरह से 1844 में घन पारस्परिकता पर काम करते हुए गोथोल्ड ईसेनस्टीन ने एक बलय की शुरुआत की $$\mathbb{Z}[\omega]$$, जहाँ $\omega = \frac{-1 + \sqrt{-3}}{2},$    $$\omega^3 = 1$$ एकता का घनमूल है। यह आइज़ेंस्ताइन पूर्णांकों का वलय है, और उन्होंने सिद्ध किया कि इसकी छह इकाइयाँ हैं $$\pm 1, \pm\omega, \pm\omega^2$$ और इसका अद्वितीय गुणनखंड है।

हालाँकि, यह भी पता चला कि अद्वितीय गुणनखंड हमेशा नहीं होता है। जैसा की उदाहरण में दिया गया है  $$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$$. इस बलय में एक है

6 = 2 \cdot 3 = \left(1 + \sqrt{-5}\right)\left(1 - \sqrt{-5}\right). $$ इस तरह के उदाहरणों ने अभाज्य की धारणा को संशोधित किया। $$\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]$$ में यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि उपरोक्त में से किसी भी कारक को उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है, उदाहरण के लिए, 2 = ab, तो a या b में से एक एक इकाई होना चाहिए। यह अभाज्य की पारंपरिक परिभाषा है।यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि इनमें से कोई भी कारक यूक्लिड की प्रमेयिका का पालन नहीं करता है; उदाहरण के लिए, 2 न तो (1 + √−5) और न ही (1 − √−5) को विभाजित करता है, भले ही यह उनके गुणनफल 6 को विभाजित करता हो। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में 2 को अखंडनीय अवयव कहा जाता है $$\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]$$ (केवल स्वयं या एक इकाई द्वारा विभाज्य) लेकिन अभाज्य अवयव नहीं $$\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]$$ (यदि यह किसी उत्पाद को विभाजित करता है तो इसे कारकों में से एक को विभाजित करना होगा)। $$\mathbb{Z}\left[\sqrt{-5}\right]$$ का उल्लेख आवश्यक है क्योंकि 2 अभाज्य है और इसमें $$\mathbb{Z}$$ अखंडनीय है| इन परिभाषाओं का उपयोग करके यह सिद्ध किया जा सकता है कि किसी भी अविभाज्य क्षेत्र (डोमेन) में एक अभाज्य अलघुकरणीय होना चाहिए। यूक्लिड की लेम्मा प्रमेय को पूर्णांकों के वलय के रूप में फिर से परिभाषित किया जा सकता है $$\mathbb{Z}$$ एक अलघुकरणीय अभाज्य है। में भी यह सच है $$\mathbb{Z}[i]$$ और $$\mathbb{Z}[\omega],$$ लेकिन अंदर नहीं $$\mathbb{Z}[\sqrt{-5}].$$

जिन बालयो में अलघुकरणीय गुणनखंड अनिवार्य रूप से अद्वितीय होता है, उन्हें अद्वितीय गुणनखंडन क्षत्रे (डोमेन) कहा जाता है। महत्वपूर्ण उदाहरण पूर्णांकों या एक क्षेत्र पर बहुपद के छल्ले, यूक्लिडियन डोमेन और प्रमुख आदर्श क्षेत्र(डोमेन) हैं।

1843 में कुमेर ने आदर्श संख्या की अवधारणा को पेश किया, जिसे बाद में रिचर्ड डेडेकिंड ने 1876 में आदर्शों के आधुनिक सिद्धांत को रिंगों के विशेष उपसमुच्चय के रूप में  विकसित किया। गुणा को आदर्शों के लिए परिभाषित किया गया है, और जिन छल्लों में उनका अद्वितीय गुणनखंड है, उन्हें डेडेकिंड क्षेत्र (डोमेन) कहा जाता है।

अध्यादेशों के लिए अद्वितीय गुणनखंड का एक संस्करण है, हालांकि इसके लिए विशिष्टता सुनिश्चित करने के लिए कुछ अतिरिक्त शर्तों की आवश्यकता होती है।

संदर्भ
The Disquisitiones Arithmeticae has been translated from Latin into English and German. The German edition includes all of his papers on number theory: all the proofs of quadratic reciprocity, the determination of the sign of the Gauss sum, the investigations into biquadratic reciprocity, and unpublished notes.

The two monographs Gauss published on biquadratic reciprocity have consecutively numbered sections: the first contains §§ 1–23 and the second §§ 24–76. Footnotes referencing these are of the form "Gauss, BQ, § n". Footnotes referencing the Disquisitiones Arithmeticae are of the form "Gauss, DA, Art. n".

These are in Gauss's Werke, Vol II, pp. 65–92 and 93–148; German translations are pp. 511–533 and 534–586 of the German edition of the Disquisitiones.

बाहरी संबंध

 * Why isn’t the fundamental theorem of arithmetic obvious?
 * GCD and the Fundamental Theorem of Arithmetic at cut-the-knot.
 * PlanetMath: Proof of fundamental theorem of arithmetic
 * Fermat's Last Theorem Blog: Unique Factorization, a blog that covers the history of Fermat's Last Theorem from Diophantus of Alexandria to the proof by Andrew Wiles.
 * "Fundamental Theorem of Arithmetic" by Hector Zenil, Wolfram Demonstrations Project, 2007.

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