बहुरेखीय मानचित्र

रेखीय बीजगणित में, एक बहुरेखीय मानचित्र कई चरों का एक फलन (गणित) होता है जो प्रत्येक चर में पृथक रूप से रेखीय फलन होता है। अधिक सटीक रूप से, एक बहु-रेखीय मानचित्र एक फ़ंक्शन है


 * $$f\colon V_1 \times \cdots \times V_n \to W\text{,}$$

कहाँ $$V_1,\ldots,V_n$$ और $$W$$ निम्नलिखित संपत्ति के साथ वेक्टर रिक्त स्थान (या मॉड्यूल (गणित) एक क्रमविनिमेय अंगूठी  पर) हैं: प्रत्येक के लिए $$i$$, यदि सभी चर लेकिन $$v_i$$ स्थिर रखा जाता है, तो $$f(v_1, \ldots,  v_i, \ldots, v_n)$$ का एक रैखिक कार्य है $$v_i$$. एक चर का एक बहुरेखीय मानचित्र एक रेखीय मानचित्र होता है, और दो चरों का एक द्विरेखीय मानचित्र होता है। आमतौर पर, k चरों के एक बहुरेखीय मानचित्र को 'k-रैखिक मानचित्र' कहा जाता है। यदि एक बहुरेखीय मानचित्र का कोडोमेन अदिशों का क्षेत्र है, तो इसे बहुरेखीय रूप कहा जाता है। बहुरेखीय मानचित्र और बहुरेखीय रूप बहुरेखीय बीजगणित में अध्ययन की मूलभूत वस्तुएँ हैं।

यदि सभी चर एक ही स्थान से संबंधित हैं, तो कोई सममित कार्य, बिलिनियर_फॉर्म # सममित,_तिरछा-सममित_और_अल्टरनेटिंग_फॉर्म और वैकल्पिक मानचित्र के-रैखिक मानचित्रों पर विचार कर सकता है। उत्तरार्द्ध संयोग करता है यदि अंतर्निहित अंगूठी (गणित) (या क्षेत्र (गणित)) में दो से अलग एक विशेषता (बीजगणित) है, अन्यथा पूर्व दो मेल खाते हैं।

उदाहरण

 * कोई भी द्विरेखीय मानचित्र बहुरेखीय मानचित्र होता है। उदाहरण के लिए, सदिश स्थान पर कोई भी आंतरिक उत्पाद एक बहुरेखीय मानचित्र है, जैसा कि सदिशों का क्रॉस उत्पाद है $$\mathbb{R}^3$$.
 * एक मैट्रिक्स का निर्धारक एक स्क्वायर मैट्रिक्स के कॉलम (या पंक्तियों) का एक वैकल्पिक रूप बहुरेखीय कार्य है।
 * अगर $$F\colon \mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$$ एक सहज कार्य है|सीk फ़ंक्शन, फिर the $$k\!$$वें का व्युत्पन्न $$F\!$$ प्रत्येक बिंदु पर $$p$$ इसके डोमेन में एक सममित कार्य के रूप में देखा जा सकता है $$k$$-रैखिक प्रकार्य $$D^k\!F\colon \mathbb{R}^m\times\cdots\times\mathbb{R}^m \to \mathbb{R}^n$$.

समन्वय प्रतिनिधित्व
होने देना


 * $$f\colon V_1 \times \cdots \times V_n \to W\text{,}$$

परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान के बीच एक बहु-रैखिक मानचित्र बनें, जहां $$V_i\!$$ आयाम है $$d_i\!$$, और $$W\!$$ आयाम है $$d\!$$. यदि हम एक आधार चुनते हैं (रैखिक बीजगणित) $$\{\textbf{e}_{i1},\ldots,\textbf{e}_{id_i}\}$$ प्रत्येक के लिए $$V_i\!$$ और एक आधार $$\{\textbf{b}_1,\ldots,\textbf{b}_d\}$$ के लिए $$W\!$$ (वैक्टर के लिए बोल्ड का उपयोग करके), तो हम स्केलर्स के संग्रह को परिभाषित कर सकते हैं $$A_{j_1\cdots j_n}^k$$ द्वारा


 * $$f(\textbf{e}_{1j_1},\ldots,\textbf{e}_{nj_n}) = A_{j_1\cdots j_n}^1\,\textbf{b}_1 + \cdots + A_{j_1\cdots j_n}^d\,\textbf{b}_d.$$

फिर स्केलर्स $$\{A_{j_1\cdots j_n}^k \mid 1\leq j_i\leq d_i, 1 \leq k \leq d\}$$ पूरी तरह से बहु-रेखीय कार्य निर्धारित करें $$f\!$$. विशेष रूप से, अगर


 * $$\textbf{v}_i = \sum_{j=1}^{d_i} v_{ij} \textbf{e}_{ij}\!$$

के लिए $$1 \leq i \leq n\!$$, तब


 * $$f(\textbf{v}_1,\ldots,\textbf{v}_n) = \sum_{j_1=1}^{d_1} \cdots \sum_{j_n=1}^{d_n} \sum_{k=1}^{d} A_{j_1\cdots j_n}^k v_{1j_1}\cdots v_{nj_n} \textbf{b}_k.$$

उदाहरण
आइए एक ट्रिलिनियर फ़ंक्शन लें


 * $$g\colon R^2 \times R^2 \times R^2 \to R, $$

कहाँ $V_{i} = R^{2}, d_{i} = 2, i = 1,2,3$, और $W = R, d = 1$.

प्रत्येक के लिए एक आधार $V_{i}$ है $$\{\textbf{e}_{i1},\ldots,\textbf{e}_{id_i}\} = \{\textbf{e}_{1}, \textbf{e}_{2}\} = \{(1,0), (0,1)\}.$$ होने देना


 * $$g(\textbf{e}_{1i},\textbf{e}_{2j},\textbf{e}_{3k}) = f(\textbf{e}_{i},\textbf{e}_{j},\textbf{e}_{k}) = A_{ijk},$$

कहाँ $$i,j,k \in \{1,2\}$$. दूसरे शब्दों में, स्थिर $$A_{i j k}$$ आधार सदिशों के आठ संभावित त्रिगुणों में से एक पर फलन मान है (चूंकि तीन में से प्रत्येक के लिए दो विकल्प हैं $$V_i$$), अर्थात्:

\{\textbf{e}_1, \textbf{e}_1, \textbf{e}_1\}, \{\textbf{e}_1, \textbf{e}_1, \textbf{e}_2\}, \{\textbf{e}_1, \textbf{e}_2, \textbf{e}_1\}, \{\textbf{e}_1, \textbf{e}_2, \textbf{e}_2\}, \{\textbf{e}_2, \textbf{e}_1, \textbf{e}_1\}, \{\textbf{e}_2, \textbf{e}_1, \textbf{e}_2\}, \{\textbf{e}_2, \textbf{e}_2, \textbf{e}_1\}, \{\textbf{e}_2, \textbf{e}_2, \textbf{e}_2\}. $$ प्रत्येक वेक्टर $$\textbf{v}_i \in V_i = R^2$$ आधार वैक्टर के एक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$\textbf{v}_i = \sum_{j=1}^{2} v_{ij} \textbf{e}_{ij} = v_{i1} \times \textbf{e}_1 + v_{i2} \times \textbf{e}_2 = v_{i1} \times (1, 0) + v_{i2} \times (0, 1).$$

तीन सदिशों के मनमाने संग्रह पर फलन मान $$\textbf{v}_i \in R^2$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$g(\textbf{v}_1,\textbf{v}_2, \textbf{v}_3) = \sum_{i=1}^{2} \sum_{j=1}^{2} \sum_{k=1}^{2} A_{i j k} v_{1i} v_{2j} v_{3k}.$$

या, विस्तारित रूप में
 * $$ \begin{align}

g((a,b),(c,d)&, (e,f)) = ace \times g(\textbf{e}_1, \textbf{e}_1, \textbf{e}_1) + acf \times g(\textbf{e}_1, \textbf{e}_1, \textbf{e}_2) \\ &+ ade \times g(\textbf{e}_1, \textbf{e}_2, \textbf{e}_1) + adf \times g(\textbf{e}_1, \textbf{e}_2, \textbf{e}_2) + bce \times g(\textbf{e}_2, \textbf{e}_1, \textbf{e}_1) + bcf \times g(\textbf{e}_2, \textbf{e}_1, \textbf{e}_2) \\ &+ bde \times g(\textbf{e}_2, \textbf{e}_2, \textbf{e}_1) + bdf \times g(\textbf{e}_2, \textbf{e}_2, \textbf{e}_2). \end{align} $$

टेंसर उत्पादों से संबंध
बहुरेखीय नक्शों के बीच स्वाभाविक रूप से एक-से-एक पत्राचार होता है


 * $$f\colon V_1 \times \cdots \times V_n \to W\text{,}$$

और रैखिक नक्शे


 * $$F\colon V_1 \otimes \cdots \otimes V_n \to W\text{,}$$

कहाँ $$V_1 \otimes \cdots \otimes V_n\!$$ के टेंसर उत्पाद को दर्शाता है $$V_1,\ldots,V_n$$. कार्यों के बीच संबंध $$f\!$$ और $$F\!$$ सूत्र द्वारा दिया गया है


 * $$f(v_1,\ldots,v_n)=F(v_1\otimes \cdots \otimes v_n).$$

n×n मेट्रिसेस
पर बहुरेखीय कार्य एक पर बहु-रेखीय कार्यों पर विचार किया जा सकता है $n&times;n$ कम्यूटेटिव रिंग पर मैट्रिक्स $K$ मैट्रिक्स की पंक्तियों (या समतुल्य रूप से कॉलम) के एक समारोह के रूप में पहचान के साथ। होने देना $A$ ऐसा मैट्रिक्स हो और $a_{i}, 1 ≤ i ≤ n$, की पंक्तियाँ हों $A$. फिर मल्टीलाइनर फ़ंक्शन $D$ के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$D(A) = D(a_{1},\ldots,a_{n}),$$

संतुष्टि देने वाला


 * $$D(a_{1},\ldots,c a_{i} + a_{i}',\ldots,a_{n}) = c D(a_{1},\ldots,a_{i},\ldots,a_{n}) + D(a_{1},\ldots,a_{i}',\ldots,a_{n}).$$

अगर हम जाने दें $$\hat{e}_j$$ प्रतिनिधित्व करते हैं j}पहचान मैट्रिक्स की }वीं पंक्ति, हम प्रत्येक पंक्ति को व्यक्त कर सकते हैं $a_{i}$ योग के रूप में


 * $$a_{i} = \sum_{j=1}^n A(i,j)\hat{e}_{j}.$$

की बहुरेखीयता का उपयोग करना $D$ हम फिर से लिखते हैं $D(A)$ जैसा



D(A) = D\left(\sum_{j=1}^n A(1,j)\hat{e}_{j}, a_2, \ldots, a_n\right) = \sum_{j=1}^n A(1,j) D(\hat{e}_{j},a_2,\ldots,a_n). $$ प्रत्येक के लिए इस प्रतिस्थापन को जारी रखना $a_{i}$ हमें मिलता है, के लिए $1 ≤ i ≤ n$,



D(A) = \sum_{1\le k_1 \le n} \ldots \sum_{1\le k_i \le n} \ldots \sum_{1\le k_n \le n} A(1,k_{1})A(2,k_{2})\dots A(n,k_{n}) D(\hat{e}_{k_{1}},\dots,\hat{e}_{k_{n}}). $$ इसलिए, $D(A)$ विशिष्ट रूप से कैसे निर्धारित किया जाता है $D$ पर कार्य करता है $$\hat{e}_{k_{1}},\dots,\hat{e}_{k_{n}}$$.

उदाहरण
2×2 मैट्रिक्स के मामले में हमें मिलता है



D(A) = A_{1,1}A_{1,2}D(\hat{e}_1,\hat{e}_1) + A_{1,1}A_{2,2}D(\hat{e}_1,\hat{e}_2) + A_{1,2}A_{2,1}D(\hat{e}_2,\hat{e}_1) + A_{1,2}A_{2,2}D(\hat{e}_2,\hat{e}_2) \, $$ कहाँ $$\hat{e}_1 = [1,0]$$ और $$\hat{e}_2 = [0,1]$$. अगर हम प्रतिबंधित करते हैं $$D$$ तब एक वैकल्पिक कार्य होना $$D(\hat{e}_1,\hat{e}_1) = D(\hat{e}_2,\hat{e}_2) = 0$$ और $$D(\hat{e}_2,\hat{e}_1) = -D(\hat{e}_1,\hat{e}_2) = -D(I)$$. दे $$D(I) = 1$$ हमें 2×2 आव्यूहों पर निर्धारक फलन प्राप्त होता है:


 * $$ D(A) = A_{1,1}A_{2,2} - A_{1,2}A_{2,1} .$$

गुण

 * एक बहुरेखीय मानचित्र का मान शून्य होता है जब उसका कोई तर्क शून्य होता है।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय रूप
 * बहुरेखीय रूप
 * सजातीय बहुपद
 * सजातीय कार्य
 * टेन्सर