व्युत्पन्न श्रेणी

गणित में, एबेलियन श्रेणी ए की व्युत्पन्न श्रेणी डी(ए) समरूपी बीजगणित का निर्माण है जिसे परिशोधित करने के लिए पेश किया गया है और एक निश्चित अर्थ में व्युत्पन्न फंक्शनलर्स के सिद्धांत को सरल बनाने के लिए परिभाषित किया गया है। ए। निर्माण इस आधार पर आगे बढ़ता है कि 'डी' (ए) का ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) ए में चेन कॉम्प्लेक्स होना चाहिए, दो ऐसे चेन कॉम्प्लेक्स के साथ समाकृतिकता  माना जाता है जब एक चेन कॉम्प्लेक्स होता है # श्रृंखला मानचित्र जो श्रृंखला परिसरों के समरूपता (गणित) के स्तर पर एक समरूपता को प्रेरित करता है। हाइपरहोमोलॉजी की अवधारणा को परिष्कृत करते हुए व्युत्पन्न फ़ैक्टरों को श्रृंखला परिसरों के लिए परिभाषित किया जा सकता है। परिभाषाएँ जटिल वर्णक्रमीय अनुक्रमों द्वारा अन्यथा वर्णित सूत्रों के एक महत्वपूर्ण सरलीकरण की ओर ले जाती हैं (पूरी तरह से विश्वासपूर्वक नहीं)।

1960 के कुछ ही समय बाद अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक और उनके छात्र जीन लुइस वेर्डियर द्वारा व्युत्पन्न श्रेणी का विकास, अब 1950 के दशक में होमोलॉजिकल बीजगणित के विस्फोटक विकास में एक टर्मिनल बिंदु के रूप में प्रकट होता है, एक दशक जिसमें इसने उल्लेखनीय प्रगति की थी। वेर्डियर के मूल सिद्धांत को उनके शोध प्रबंध में लिखा गया था, जो अंततः 1996 में #refVerdier1996|एस्टरिस्क में प्रकाशित हुआ था (एक सारांश पहले ग्रोथेंडिक के सेमिनेयर डे जियोमेट्री अल्जेब्रिक|एसजीए 4½) में प्रकाशित हुआ था। स्वयंसिद्धों को एक नवीनता की आवश्यकता होती है, त्रिकोणीय श्रेणी की अवधारणा, और निर्माण एक श्रेणी के स्थानीयकरण पर आधारित होता है, एक अंगूठी के स्थानीयकरण का एक सामान्यीकरण। व्युत्पन्न औपचारिकता को विकसित करने का मूल आवेग ग्रोथेंडिक के सुसंगत द्वैत सिद्धांत के उपयुक्त सूत्रीकरण को खोजने की आवश्यकता से आया है। तब से व्युत्पन्न श्रेणियां बीजगणितीय ज्यामिति के बाहर भी अपरिहार्य हो गई हैं, उदाहरण के लिए डी-मॉड्यूल और माइक्रोलोकल विश्लेषण के सिद्धांत के निर्माण में। हाल ही में व्युत्पन्न श्रेणियां भी भौतिकी के निकट के क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हो गई हैं, जैसे कि डी-brane ्स और मिरर समरूपता (स्ट्रिंग थ्योरी)।

प्रेरणा
सुसंगत शीफ सिद्धांत में, एक गैर-एकवचन योजना (गणित) की धारणा के बिना सेरे द्वैत के साथ क्या किया जा सकता है, इसकी सीमा तक धकेलते हुए, एकल द्वैतकारी शीफ के स्थान पर ढेरों के पूरे परिसर को लेने की आवश्यकता स्पष्ट हो गई। वास्तव में कोहेन-मैकाले रिंग की स्थिति, गैर-विलक्षणता का कमजोर होना, एक एकल द्वैतकारी शीफ के अस्तित्व से मेल खाती है; और यह सामान्य मामले से बहुत दूर है। टॉप-डाउन बौद्धिक स्थिति से, हमेशा ग्रोथेंडिक द्वारा ग्रहण किया गया, इसने सुधार की आवश्यकता का संकेत दिया। इसके साथ यह विचार आया कि 'वास्तविक' टेन्सर उत्पाद और होम फ़ैक्टर वे होंगे जो व्युत्पन्न स्तर पर विद्यमान होंगे; उनके संबंध में, Tor और Ext कम्प्यूटेशनल उपकरणों की तरह बन जाते हैं।

अमूर्तता के स्तर के बावजूद, व्युत्पन्न श्रेणियां निम्नलिखित दशकों में स्वीकार की गईं, विशेष रूप से शेफ कोहोलॉजी के लिए एक सुविधाजनक सेटिंग के रूप में। शायद सबसे बड़ी प्रगति 1980 के आसपास, व्युत्पन्न शर्तों में 1 से अधिक आयामों में रीमैन-हिल्बर्ट पत्राचार का सूत्रीकरण था। मिकियो सातो स्कूल ने व्युत्पन्न श्रेणियों की भाषा को अपनाया, और डी-मॉड्यूल का बाद का इतिहास एक सिद्धांत में व्यक्त किया गया था। वे शर्तें।

होमोटॉपी सिद्धांत में एक समानांतर विकास स्पेक्ट्रम (होमोटोपी सिद्धांत) की श्रेणी थी। स्पेक्ट्रा की होमोटॉपी श्रेणी और रिंग की व्युत्पन्न श्रेणी दोनों त्रिकोणीय श्रेणी के उदाहरण हैं।

परिभाषा
होने देना $$\mathcal{A}$$ एक एबेलियन श्रेणी हो। (उदाहरणों में एक रिंग (गणित) पर मॉड्यूल (गणित) की श्रेणी और एक स्थलीय स्थान पर एबेलियन समूहों के शेफ (गणित) की श्रेणी शामिल है।) व्युत्पन्न श्रेणी $$D(\mathcal{A})$$ श्रेणी के संबंध में एक सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा परिभाषित किया गया है $$\operatorname{Kom}(\mathcal{A})$$ शृंखला परिसर की शर्तों के साथ $$\mathcal{A}$$. की वस्तुएं $$\operatorname{Kom}(\mathcal{A})$$ स्वरूप के हैं
 * $$\cdots \to

X^{-1} \xrightarrow{d^{-1}} X^0 \xrightarrow{d^0} X^1 \xrightarrow{d^1} X^2 \to \cdots,$$ जहां प्रत्येक एक्सi का एक ऑब्जेक्ट है $$\mathcal{A}$$ और प्रत्येक सम्मिश्रण $$d^{i+1} \circ d^i$$ शून्य है। कॉम्प्लेक्स का ith कोहोलॉजी समूह है $$H^i(X^\bullet) = \operatorname{ker} d^i / \operatorname{im} d^{i-1}$$. अगर $$(X^\bullet, d_X^\bullet)$$ और $$(Y^\bullet, d_Y^\bullet)$$ इस श्रेणी में दो वस्तुएँ हैं, फिर एक रूपवाद $$f^\bullet \colon (X^\bullet, d_X^\bullet) \to (Y^\bullet, d_Y^\bullet)$$ morphisms के एक परिवार के रूप में परिभाषित किया गया है $$f_i \colon X^i \to Y^i$$ ऐसा है कि $$f_{i+1} \circ d_X^i = d_Y^i \circ f_i$$. इस तरह की आकृतिवाद कोहोलॉजी समूहों पर आकारिकी को प्रेरित करता है $$H^i(f^\bullet) \colon H^i(X^\bullet) \to H^i(Y^\bullet)$$, और $$f^\bullet$$ अर्ध-समरूपता कहा जाता है यदि इनमें से प्रत्येक रूपवाद एक समरूपतावाद है $$\mathcal{A}$$.

व्युत्पन्न श्रेणी की सार्वभौमिक संपत्ति यह है कि यह अर्ध-समरूपता के संबंध में परिसरों की श्रेणी की श्रेणी का स्थानीयकरण है। विशेष रूप से, व्युत्पन्न श्रेणी $$D(\mathcal{A})$$ एक वर्ग है, साथ में एक functor है $$Q \colon \operatorname{Kom}(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})$$निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति होने: मान लीजिए $$\mathcal{C}$$ एक अन्य श्रेणी है (जरूरी नहीं कि एबेलियन) और $$F \colon \operatorname{Kom}(\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$$ एक ऐसा कारक है कि, जब भी $$f^\bullet$$ में अर्ध-समरूपता है $$\operatorname{Kom}(\mathcal{A})$$, इसकी छवि $$F(f^\bullet)$$ में एक समरूपता है $$\mathcal{C}$$; तब $$F$$ के माध्यम से कारक $$Q$$. इस सार्वभौमिक संपत्ति वाली कोई भी दो श्रेणियां समकक्ष हैं।

होमोटॉपी श्रेणी से संबंध
अगर $$f$$ और $$g$$ दो रूप हैं $$X^\bullet \to Y^\bullet$$ में $$\operatorname{Kom}(\mathcal{A})$$, फिर एक श्रृंखला होमोटॉपी या बस होमोटॉपी $$h \colon f \to g$$ रूपों का संग्रह है $$h^i \colon X^i \to Y^{i-1}$$ ऐसा है कि $$f^i - g^i = d_Y^{i-1} \circ h^i + h^{i+1} \circ d_X^i$$ हर मैं के लिए यह दिखाना सीधा है कि दो होमोटोपिक मोर्फिज़्म कोहोलॉजी समूहों पर समान आकारिकी को प्रेरित करते हैं। हम कहते हैं $$f \colon X^\bullet \to Y^\bullet$$ यदि मौजूद है तो एक श्रृंखला होमोटोपी तुल्यता है $$g \colon Y^\bullet \to X^\bullet$$ ऐसा है कि $$g \circ f$$ और $$f \circ g$$ पहचान morphisms के लिए चेन होमोटोपिक हैं $$X^\bullet$$ और $$Y^\bullet$$, क्रमश। श्रृंखला परिसरों की होमोटॉपी श्रेणी $$K(\mathcal{A})$$ समान वस्तुओं वाली श्रेणी है $$\operatorname{Kom}(\mathcal{A})$$ लेकिन जिनके morphisms श्रृंखला समरूपता के संबंध में परिसरों के morphisms के समतुल्य वर्ग हैं। एक प्राकृतिक कारक है $$\operatorname{Kom}(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{A})$$ जो वस्तुओं पर पहचान है और जो प्रत्येक आकृतिवाद को उसकी श्रृंखला होमोटोपी तुल्यता वर्ग में भेजती है। चूँकि प्रत्येक श्रृंखला होमोटॉपी तुल्यता अर्ध-समरूपता है, $$Q$$ इस कारक के माध्यम से कारक। फलस्वरूप $$D(\mathcal{A})$$ होमोटॉपी श्रेणी के स्थानीयकरण के रूप में समान रूप से देखा जा सकता है।

मॉडल श्रेणी के दृष्टिकोण से, व्युत्पन्न श्रेणी डी (ए) परिसरों की श्रेणी की सही 'होमोटोपी श्रेणी' है, जबकि के (ए) को 'भोली होमोटॉपी श्रेणी' कहा जा सकता है।

व्युत्पन्न श्रेणी का निर्माण
व्युत्पन्न श्रेणी के कई संभावित निर्माण हैं। कब $$\mathcal{A}$$ एक छोटी श्रेणी है, तो अर्ध-समरूपता के औपचारिक रूप से आसन्न व्युत्क्रमों द्वारा व्युत्पन्न श्रेणी का प्रत्यक्ष निर्माण होता है। यह जनरेटर और संबंधों द्वारा श्रेणी के सामान्य निर्माण का एक उदाहरण है। कब $$\mathcal{A}$$ एक बड़ी श्रेणी है, यह निर्माण निर्धारित सैद्धांतिक कारणों से काम नहीं करता है। यह निर्माण रूपों को पथों के समतुल्य वर्गों के रूप में बनाता है। अगर $$\mathcal{A}$$ वस्तुओं का एक उचित वर्ग है, जो सभी समरूप हैं, तो इनमें से किन्हीं दो वस्तुओं के बीच पथों का एक उचित वर्ग है। जनरेटर और संबंध निर्माण इसलिए केवल गारंटी देता है कि दो वस्तुओं के बीच morphisms एक उचित वर्ग बनाते हैं। हालांकि, एक श्रेणी में दो वस्तुओं के बीच morphisms आमतौर पर सेट होने की आवश्यकता होती है, और इसलिए यह निर्माण वास्तविक श्रेणी का उत्पादन करने में विफल रहता है।

यहां तक ​​कि जब $$\mathcal{A}$$ छोटा है, हालांकि, जनरेटर और संबंधों द्वारा निर्माण आम तौर पर एक ऐसी श्रेणी में होता है जिसकी संरचना अपारदर्शी होती है, जहां एक रहस्यमय समानता संबंध के अधीन आकारिकी मनमाने ढंग से लंबे पथ होते हैं। इस कारण से, व्युत्पन्न श्रेणी का निर्माण अधिक ठोस रूप से तब भी किया जाता है जब सेट सिद्धांत समस्या में न हो।

ये अन्य निर्माण होमोटॉपी श्रेणी से गुजरते हैं। में अर्ध-समरूपता का संग्रह $$K(\mathcal{A})$$ गुणक प्रणाली बनाता है। यह शर्तों का एक संग्रह है जो जटिल पथों को सरल पथों के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देता है। गेब्रियल-ज़िस्मान प्रमेय का तात्पर्य है कि गुणक प्रणाली में स्थानीयकरण का छतों के संदर्भ में एक सरल विवरण है। एक रूपवाद $$X^\bullet \to Y^\bullet$$ में $$D(\mathcal{A})$$ जोड़ी के रूप में वर्णित किया जा सकता है $$(s, f)$$, जहां कुछ जटिल के लिए $$Z^\bullet$$, $$s \colon Z^\bullet \to X^\bullet$$ एक अर्ध-समरूपता है और $$f \colon Z^\bullet \to Y^\bullet$$ मोर्फिज्म की एक श्रृंखला होमोटोपी तुल्यता वर्ग है। संकल्पनात्मक रूप से, यह दर्शाता है $$f \circ s^{-1}$$. दो छतें समान होती हैं यदि उनके पास एक सामान्य ओवररूफ हो।

छतों के साथ morphisms की श्रृंखलाओं को बदलने से बड़ी श्रेणियों की व्युत्पन्न श्रेणियों में शामिल सेट-सैद्धांतिक मुद्दों के समाधान को भी सक्षम बनाता है। कॉम्प्लेक्स को ठीक करें $$X^\bullet$$ और श्रेणी पर विचार करें $$I_{X^\bullet}$$ जिनकी वस्तुएँ अर्ध-समरूपता हैं $$K(\mathcal{A})$$ कोडोमेन के साथ $$X^\bullet$$ और जिनके आकारिकी क्रमविनिमेय आरेख हैं। समान रूप से, यह वस्तुओं की श्रेणी है $$X^\bullet$$ जिनके संरचना मानचित्र अर्ध-समरूपता हैं। तब गुणक प्रणाली की स्थिति का अर्थ है कि आकारिकी में $$D(\mathcal{A})$$ से $$X^\bullet$$ को $$Y^\bullet$$ हैं
 * $$\varinjlim_{I_{X^\bullet}} \operatorname{Hom}_{K(\mathcal{A})}((X')^\bullet, Y^\bullet),$$

यह मानते हुए कि यह कोलिमिट वास्तव में एक सेट है। जबकि $$I_{X^\bullet}$$ संभावित रूप से एक बड़ी श्रेणी है, कुछ मामलों में इसे एक छोटी श्रेणी द्वारा नियंत्रित किया जाता है। यह मामला है, उदाहरण के लिए, अगर $$\mathcal{A}$$ एक ग्रोथेंडिक एबेलियन श्रेणी है (जिसका अर्थ है कि यह AB5 को संतुष्ट करता है और जनरेटर का एक सेट है), आवश्यक बिंदु के साथ कि केवल परिबद्ध कार्डिनैलिटी की वस्तुएं प्रासंगिक हैं। इन मामलों में, सीमा की गणना एक छोटी उपश्रेणी पर की जा सकती है, और यह सुनिश्चित करता है कि परिणाम एक सेट है। तब $$D(\mathcal{A})$$ इन सेटों को इसके रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\operatorname{Hom}$$ सेट।

होमोटॉपी श्रेणी में आकारिकी द्वारा व्युत्पन्न श्रेणी में morphisms को बदलने के आधार पर एक अलग दृष्टिकोण है। कोडोमेन के साथ व्युत्पन्न श्रेणी में एक आकृतिवाद अंतःक्षेपी वस्तुओं के जटिल से नीचे बंधा हुआ है, होमोटोपी श्रेणी में इस परिसर के आकारिकी के समान है; यह टर्मवाइज इंजेक्शन से होता है। टर्मवाइज इंजेक्शन को एक मजबूत स्थिति से बदलकर, एक समान संपत्ति प्राप्त होती है जो असीमित परिसरों पर भी लागू होती है। एक जटिल $$I^\bullet$$ K-इंजेक्शन है अगर, हर एसाइक्लिक कॉम्प्लेक्स के लिए $$X^\bullet$$, अपने पास $$\operatorname{Hom}_{K(\mathcal{A})}(X^\bullet, I^\bullet) = 0$$. इसका सीधा परिणाम यह है कि, हर परिसर के लिए $$X^\bullet$$, आकारिकी $$X^\bullet \to I^\bullet$$ में $$K(\mathcal{A})$$ में इस तरह के morphisms के समान हैं $$D(\mathcal{A})$$. Serpé की एक प्रमेय, ग्रोथेंडिक और स्पाल्टेंस्टीन के सामान्यीकरण का काम, यह दावा करता है कि ग्रोथेंडिक एबेलियन श्रेणी में, प्रत्येक परिसर इंजेक्शन की शर्तों के साथ K-इंजेक्शन कॉम्प्लेक्स के लिए अर्ध-आइसोमॉर्फिक है, और इसके अलावा, यह क्रियात्मक है। विशेष रूप से, हम होमोटॉपी श्रेणी में के-इंजेक्शन रिजॉल्यूशन और कंप्यूटिंग मॉर्फिज्म को पास करके व्युत्पन्न श्रेणी में आकारिकी को परिभाषित कर सकते हैं। सर्पे के निर्माण की कार्यात्मकता यह सुनिश्चित करती है कि morphisms की संरचना अच्छी तरह से परिभाषित है। छतों का उपयोग कर निर्माण की तरह, यह निर्माण भी व्युत्पन्न श्रेणी के लिए उपयुक्त सेट सैद्धांतिक गुणों को सुनिश्चित करता है, क्योंकि ये गुण पहले से ही होमोटॉपी श्रेणी से संतुष्ट हैं।

व्युत्पन्न होम-सेट
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, व्युत्पन्न श्रेणी में होम सेट छतों, या घाटियों के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं $$X \rightarrow Y' \leftarrow Y$$, कहाँ $$Y \to Y'$$ एक अर्ध-समरूपता है। तत्व किस तरह दिखते हैं, इसकी बेहतर तस्वीर पाने के लिए, एक सटीक अनुक्रम पर विचार करें

0 \to \mathcal{E}_n \overset{\phi_{n,n-1}}{\rightarrow} \mathcal{E}_{n-1} \overset{\phi_{n-1,n-2}}{\rightarrow} \cdots \overset{\phi_{1,0}}{\rightarrow} \mathcal{E}_0 \to 0 $$ हम इसका उपयोग आकृतिवाद के निर्माण के लिए कर सकते हैं $$\phi: \mathcal{E}_0 \to \mathcal{E}_n[+(n-1)]$$ उपरोक्त परिसर को छोटा करके, इसे स्थानांतरित करके, और उपरोक्त स्पष्ट आकारिकी का उपयोग करके। विशेष रूप से, हमारे पास चित्र है

\begin{matrix} 0 &\to& \mathcal{E}_n &\to & 0 & \to & \cdots & \to & 0 & \to & 0\\ \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \cdots &  & \uparrow & & \uparrow \\ 0 &\to& \mathcal{E}_n& \to &\mathcal{E}_{n-1} & \to & \cdots & \to &\mathcal{E}_1 &\to &0 \\ \downarrow& & \downarrow & & \downarrow & & \cdots & & \downarrow & & \downarrow \\ 0 & \to & 0 & \to & 0 & \to & \cdots & \to & \mathcal{E}_0 &\to& 0 \end{matrix} $$ जहां निचला परिसर है $$\mathcal{E}_0$$ डिग्री में केंद्रित $$0$$, एकमात्र गैर-तुच्छ ऊपर की ओर तीर समानता आकारिकी है, और एकमात्र गैर-तुच्छ नीचे की ओर तीर है $$\phi_{1,0}:\mathcal{E}_1 \to \mathcal{E}_0$$. परिसरों का यह चित्र आकारिकी को परिभाषित करता है

\phi \in \mathbf{RHom}(\mathcal{E}_0, \mathcal{E}_n[+(n-1)]) $$ व्युत्पन्न श्रेणी में। इस अवलोकन का एक अनुप्रयोग अतियाह-श्रेणी का निर्माण है।

टिप्पणियाँ
कुछ उद्देश्यों के लिए (नीचे देखें) कोई बाउंडेड-नीचे का उपयोग करता है ($$X^n = 0$$ के लिए $$n \ll 0$$), सीमाबद्ध-ऊपर ($$X^n = 0$$ के लिए $$n \gg 0$$) या परिबद्ध ($$X^n = 0$$ के लिए $$|n| \gg 0$$) असीमित लोगों के बजाय परिसरों। संबंधित व्युत्पन्न श्रेणियों को आमतौर पर डी द्वारा निरूपित किया जाता है+(ए), डी−(ए) और डीबी(ए), क्रमशः।

यदि कोई श्रेणियों पर शास्त्रीय दृष्टिकोण अपनाता है, कि एक वस्तु से दूसरी वस्तु में आकारिकी का एक सेट (गणित) होता है (सिर्फ एक वर्ग (सेट सिद्धांत) नहीं), तो उसे इसे साबित करने के लिए एक अतिरिक्त तर्क देना होगा। यदि, उदाहरण के लिए, एबेलियन श्रेणी ए छोटा है, यानी केवल वस्तुओं का एक सेट है, तो यह समस्या कोई समस्या नहीं होगी। इसके अलावा, यदि A एक ग्रोथेंडिक श्रेणी है, तो व्युत्पन्न श्रेणी D(A) होमोटॉपी श्रेणी K(A) की पूर्ण उपश्रेणी के बराबर है, और इसलिए एक वस्तु से दूसरी वस्तु में केवल आकारिकी का एक सेट है। ग्रोथेंडिक एबेलियन श्रेणियों में एक रिंग के ऊपर मॉड्यूल की श्रेणी, एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर एबेलियन समूहों के ढेरों की श्रेणी और कई अन्य उदाहरण शामिल हैं।

व्युत्पन्न श्रेणी में मोर्फिज्म, यानी छतों की संरचना दो छतों के शीर्ष पर तीसरी छत खोजने के द्वारा पूरी की जाती है। यह जाँचा जा सकता है कि यह संभव है और एक अच्छी तरह से परिभाषित, साहचर्य रचना देता है।

चूँकि K(A) एक त्रिकोणीय श्रेणी है, इसका स्थानीयकरण D(A) भी त्रिभुजित है। पूर्णांक n और जटिल X के लिए, परिभाषित करें जटिल एक्स [एन] एक्स को एन द्वारा नीचे स्थानांतरित किया जाना चाहिए, ताकि
 * $$X[n]^{i} = X^{n+i},$$

अंतर के साथ
 * $$d_{X[n]} = (-1)^n d_X.$$

परिभाषा के अनुसार, डी (ए) में एक विशिष्ट त्रिभुज एक त्रिकोण है जो डी (ए) में त्रिभुज एक्स → वाई → शंकु (एफ) → एक्स [1] में परिसरों के कुछ मानचित्र के लिए एफ: एक्स → वाई है। यहां शंकु (एफ) एफ के मानचित्रण शंकु (होमोलॉजिकल बीजगणित) को दर्शाता है। विशेष रूप से, संक्षिप्त सटीक अनुक्रम के लिए
 * $$0 \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow 0$$

ए में, त्रिकोण एक्स → वाई → जेड → एक्स [1] डी (ए) में प्रतिष्ठित है। वेर्डियर ने समझाया कि शिफ्ट एक्स [1] की परिभाषा को एक्स [1] को आकारिकी एक्स → 0 के शंकु होने की आवश्यकता के कारण मजबूर किया गया है। ए की वस्तु को डिग्री शून्य में केंद्रित एक जटिल के रूप में देखकर, व्युत्पन्न श्रेणी डी (ए) में उपश्रेणी के रूप में ए होता है। व्युत्पन्न श्रेणी में morphisms में सभी एक्सट ऑपरेटर के बारे में जानकारी शामिल है: ए में किसी ऑब्जेक्ट एक्स और वाई के लिए और कोई पूर्णांक जे,


 * $$\text{Hom}_{D(\mathcal{A})}(X,Y[j]) = \text{Ext}^j_{\mathcal{A}}(X,Y).$$

प्रक्षेपी और इंजेक्शन संकल्प
कोई भी आसानी से दिखा सकता है कि होमोटॉपी#होमोटॉपी तुल्यता अर्ध-समरूपता है, इसलिए उपरोक्त निर्माण में दूसरा चरण छोड़ा जा सकता है। परिभाषा आमतौर पर इस तरह से दी जाती है क्योंकि यह एक विहित फ़ैक्टर के अस्तित्व को प्रकट करती है
 * $$K(\mathcal A) \rightarrow D(\mathcal A).$$

ठोस स्थितियों में, सीधे व्युत्पन्न श्रेणी में morphisms को संभालना बहुत कठिन या असंभव है। इसलिए, एक अधिक प्रबंधनीय श्रेणी की तलाश करता है जो व्युत्पन्न श्रेणी के बराबर है। शास्त्रीय रूप से, इसके दो (दोहरे) दृष्टिकोण हैं: प्रक्षेपी और अंतःक्षेपी संकल्प। दोनों ही मामलों में, उपयुक्त उपश्रेणी के लिए उपरोक्त विहित फ़ंक्टर का प्रतिबंध श्रेणियों की समानता होगी।

निम्नलिखित में हम व्युत्पन्न श्रेणी के संदर्भ में अंतःक्षेपी संकल्पों की भूमिका का वर्णन करेंगे, जो सही व्युत्पन्न फ़ैक्टरों को परिभाषित करने का आधार है, जो बदले में टोपोलॉजिकल स्पेस या अधिक उन्नत सह-समरूपता सिद्धांतों पर शीफ (गणित) के कोहोलॉजी में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। ईटेल कोहोलॉजी या समूह कोहोलॉजी की तरह।

इस तकनीक को लागू करने के लिए, किसी को यह मान लेना होगा कि प्रश्न में एबेलियन श्रेणी में पर्याप्त इंजेक्शन हैं, जिसका अर्थ है कि श्रेणी की प्रत्येक वस्तु X एक इंजेक्शन वस्तु I के लिए एक एकरूपता स्वीकार करती है। (न तो नक्शा और न ही इंजेक्शन वाली वस्तु को होना चाहिए विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट।) उदाहरण के लिए, प्रत्येक ग्रोथेंडिक श्रेणी में पर्याप्त इंजेक्शन हैं। एक्स को कुछ इंजेक्टिव ऑब्जेक्ट I में एम्बेड करना0, इस मानचित्र का cokernel कुछ अंतःक्षेपी I में1 आदि, एक एक्स के एक इंजेक्शन संकल्प का निर्माण करता है, यानी एक सटीक अनुक्रम (सामान्य अनंत में) अनुक्रम


 * $$0 \rightarrow X \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots, \, $$

जहाँ I * इंजेक्शन वाली वस्तुएँ हैं। यह विचार बंधे-नीचे परिसरों एक्स, यानी एक्स के प्रस्तावों को देने के लिए सामान्यीकृत करता हैn = 0 काफी छोटे n के लिए। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, अंतःक्षेपी संकल्प अद्वितीय रूप से परिभाषित नहीं हैं, लेकिन यह एक तथ्य है कि कोई भी दो संकल्प एक दूसरे के समतुल्य होमोटॉपी हैं, यानी होमोटोपी श्रेणी में आइसोमोर्फिक। इसके अलावा, परिसरों के morphisms विशिष्ट रूप से दो दिए गए इंजेक्शन संकल्पों के morphism तक विस्तारित होते हैं।

यह वह बिंदु है जहां होमोटॉपी श्रेणी फिर से चलन में आती है: A के ऑब्जेक्ट X को (किसी भी) इंजेक्टिव रेजोल्यूशन I * को A से मैप करना एक ऑपरेटर तक फैला हुआ है
 * $$D^+(\mathcal A) \rightarrow K^+(\mathrm{Inj}(\mathcal A))$$

बाउंड डाउन डिराइव्ड कैटेगरी से बाउंड डाउन होमोटॉपी कैटेगरी ऑफ कॉम्प्लेक्स जिसका टर्म ए में इंजेक्टिव ऑब्जेक्ट हैं।

यह देखना मुश्किल नहीं है कि यह फ़ंक्टर वास्तव में शुरुआत में उल्लिखित विहित स्थानीयकरण फ़ंक्टर के प्रतिबंध के विपरीत है। दूसरे शब्दों में, व्युत्पन्न श्रेणी में morphisms Hom (X, Y) की गणना X और Y दोनों को हल करके और होमोटॉपी श्रेणी में morphisms की गणना करके की जा सकती है, जो कम से कम सैद्धांतिक रूप से आसान है। वास्तव में, वाई को हल करने के लिए पर्याप्त है: किसी भी जटिल एक्स के लिए और इंजेक्शन के जटिल वाई के नीचे बंधे किसी भी के लिए,
 * $$\mathrm{Hom}_{D(A)}(X, Y) = \mathrm{Hom}_{K(A)}(X, Y).$$

दोहरी रूप से, यह मानते हुए कि A के पास पर्याप्त प्रक्षेप्य वस्तु है, अर्थात प्रत्येक वस्तु X के लिए एक प्रक्षेपी वस्तु P से X तक एक अधिरूपता है, व्यक्ति इंजेक्शन वाले के बजाय प्रक्षेपी संकल्पों का उपयोग कर सकता है।

इन संकल्प तकनीकों के अतिरिक्त ऐसे भी हैं जो विशेष मामलों पर लागू होते हैं, और जो सीमाबद्ध-उपरोक्त या -नीचे प्रतिबंधों के साथ समस्या से बचते हैं: तथाकथित K-इंजेक्शन और K-प्रोजेक्टिव रिजोल्यूशन का उपयोग करता है,  और (थोड़ी अलग भाषा में)  क्रमशः तथाकथित सेल-मॉड्यूल और अर्ध-मुक्त मॉड्यूल पेश किए।

अधिक आम तौर पर, परिभाषाओं को ध्यान से अपनाते हुए, एक सटीक श्रेणी की व्युत्पन्न श्रेणी को परिभाषित करना संभव है.

व्युत्पन्न फ़ैक्टर्स से संबंध
व्युत्पन्न श्रेणी व्युत्पन्न फ़ैक्टरों को परिभाषित करने और अध्ययन करने के लिए एक प्राकृतिक ढांचा है। निम्नलिखित में, F: A → B को एबेलियन श्रेणियों का एक फ़ंक्टर होने दें। दो दोहरी अवधारणाएँ हैं:
 * दाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर बाएं सटीक फ़ैक्टर से आते हैं और इंजेक्शन रिज़ॉल्यूशन के माध्यम से गणना की जाती है
 * बाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर सही सटीक फ़ैक्टर से आते हैं और प्रोजेक्टिव रेज़ोल्यूशन के माध्यम से गणना की जाती है

निम्नलिखित में हम सही व्युत्पन्न फ़ैक्टर्स का वर्णन करेंगे। तो, मान लें कि एफ सटीक छोड़ दिया गया है। विशिष्ट उदाहरण हैं F: A → Ab, जो X ↦ होम (X, A) या X ↦ होम (A, X) द्वारा कुछ निश्चित वस्तु A के लिए दिया गया है, या शेफ (गणित) या प्रत्यक्ष छवि ऑपरेटर पर वैश्विक खंड functor हैं। उनके सही व्युत्पन्न functors Ext functors|Ext हैंn(–,A), एक्सटेंशनn(ए,–), शीफ कोहोलॉजी|एचn(X, F) या उच्चतर प्रत्यक्ष छवि फ़ैक्टर|Rएनएफ&lowast; (एफ), क्रमशः।

व्युत्पन्न श्रेणी हमें सभी व्युत्पन्न फ़ैक्टर आर को एनकैप्सुलेट करने की अनुमति देती हैnF एक फ़ंक्टर में, अर्थात् तथाकथित टोटल डिराइव्ड फ़ैक्टर RF: D+(ए) → डी+(बी). यह निम्नलिखित रचना है: डी+(ए) ≅ के+(इंज (ए)) → के+(बी) → डी+(बी), जहां श्रेणियों की पहली समानता ऊपर वर्णित है। शास्त्रीय व्युत्पन्न फंक्शंस आर के माध्यम से कुल एक से संबंधित हैंएनएफ(एक्स) = एचएन(आरएफ (एक्स))। कोई कह सकता है कि आरnF चेन कॉम्प्लेक्स को भूल जाता है और केवल कोहोमोलॉजी रखता है, जबकि RF कॉम्प्लेक्स का ट्रैक रखता है।

व्युत्पन्न श्रेणियां, एक अर्थ में, इन फ़ैक्टरों का अध्ययन करने के लिए सही स्थान हैं। उदाहरण के लिए, दो कारकों की संरचना का ग्रोथेंडिक वर्णक्रमीय अनुक्रम


 * $$\mathcal A \stackrel{F}{\rightarrow} \mathcal B \stackrel{G}{\rightarrow} \mathcal C, \,$$

ऐसा है कि एफ ए से जी-एसाइक्लिक (यानी आर में इंजेक्टिव ऑब्जेक्ट्स को मैप करता हैiG(F(I)) = 0 सभी i > 0 और इंजेक्शन I के लिए), कुल व्युत्पन्न फ़ंक्टर की निम्नलिखित पहचान की अभिव्यक्ति है
 * आर (जी∘एफ) ≅ आरजी∘आरएफ।

जे.-एल। वेर्डियर ने दिखाया कि एबेलियन श्रेणी ए से जुड़े व्युत्पन्न फंक्शंस को ए के एम्बेडिंग के साथ उपयुक्त व्युत्पन्न श्रेणियों [मैक लेन] में विस्तार कर सकता है  के रूप में देखा जा सकता है।

व्युत्पन्न तुल्यता
ऐसा हो सकता है कि दो एबेलियन श्रेणियां ए और बी समकक्ष नहीं हैं, लेकिन उनकी व्युत्पन्न श्रेणियां डी (ए) और डी (बी) हैं। अक्सर यह ए और बी के बीच एक दिलचस्प संबंध है। इस तरह की समानता त्रिकोणीय श्रेणी में टी-संरचनाओं के सिद्धांत से संबंधित हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
 * होने देना $$\mathrm{Coh}(\mathbb{P}^1)$$ एक क्षेत्र (गणित) पर प्रक्षेपण रेखा  पर सुसंगत शीफ की एबेलियन श्रेणी हो। चलो के2-रेप दो शीर्षों के साथ क्रोनकर तरकश के निरूपण की एक एबेलियन श्रेणी है। वे बहुत अलग एबेलियन श्रेणियां हैं, लेकिन उनकी (सीमित) व्युत्पन्न श्रेणियां समकक्ष हैं।
 * मान लीजिए Q कोई तरकश (गणित) है और P कुछ तीरों को उलट कर Q से प्राप्त तरकश है। सामान्य तौर पर, क्यू और पी के प्रतिनिधित्व की श्रेणियां अलग-अलग होती हैं, लेकिन डीb(Q-Rep) हमेशा D के समतुल्य होता हैबी(पी-रेप)।
 * बता दें कि X एक एबेलियन किस्म है, Y इसकी दोहरी एबेलियन किस्म है। तब डीb(कोह(एक्स)) डी के बराबर हैb(कोह (वाई)) फूरियर-मुकाई के सिद्धांत द्वारा रूपांतरित होता है। सुसंगत ढेरों की समतुल्य व्युत्पन्न श्रेणियों वाली किस्मों को कभी-कभी 'फूरियर-मुकाई पार्टनर्स' कहा जाता है।

यह भी देखें

 * श्रृंखला परिसरों की होमोटॉपी श्रेणी
 * व्युत्पन्न गैर-अनुवर्ती बीजगणितीय ज्यामिति
 * सुसंगत शीफ कोहोलॉजी
 * सुसंगत द्वैत
 * व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति

संदर्भ
Four textbooks that discuss derived categories are: