उत्पाद क्रम

गणित में, आंशिक क्रम दिया गया है $$\preceq$$ और $$\sqsubseteq$$ एक सेट पर $$A$$ और $$B$$, क्रमशः, उत्पाद क्रम (निर्देशांकवार क्रम भी कहा जाता है  या घटकवार क्रम ) आंशिक आदेश है $$\leq$$ कार्टेशियन उत्पाद पर $$A \times B.$$ दो जोड़े दिए गए $$\left(a_1, b_1\right)$$ और $$\left(a_2, b_2\right)$$ में $$A \times B,$$ इसकी घोषणा करें $$\left(a_1, b_1\right) \leq \left(a_2, b_2\right)$$ अगर $$a_1 \preceq a_2$$ और $$b_1 \sqsubseteq b_2.$$ एक और संभावित ऑर्डर जारी है $$A \times B$$ शब्दकोषीय क्रम है, जो कुल क्रम है। हालाँकि दो कुल ऑर्डर का उत्पाद ऑर्डर सामान्य रूप से कुल नहीं है; उदाहरण के लिए, जोड़े $$(0, 1)$$ और $$(1, 0)$$ ऑर्डर देने के उत्पाद क्रम में अतुलनीय हैं $$0 < 1$$ खुद के साथ. दो कुल ऑर्डरों का शब्दकोषीय संयोजन उनके उत्पाद क्रम का एक रैखिक विस्तार है, और इस प्रकार उत्पाद क्रम शब्दकोषीय क्रम का एक उपसंबंध है। उत्पाद क्रम वाला कार्टेशियन उत्पाद मोनोटोन फ़ंक्शन के साथ आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट की श्रेणी (गणित) में श्रेणीबद्ध उत्पाद है।

उत्पाद क्रम मनमाना (संभवतः अनंत) कार्टेशियन उत्पादों के लिए सामान्यीकृत होता है। कल्पना करना $$A \neq \varnothing$$ एक सेट है और हर एक के लिए $$a \in A,$$ $$\left(I_a, \leq\right)$$ एक पूर्व-आदेशित सेट है. फिर पर $$\prod_{a \in A} I_a$$ किसी के लिए घोषणा करके परिभाषित किया गया है $$i_{\bull} = \left(i_a\right)_{a \in A}$$ और $$j_{\bull} = \left(j_a\right)_{a \in A}$$ में $$\prod_{a \in A} I_a,$$ वह


 * $$i_{\bull} \leq j_{\bull}$$ अगर और केवल अगर $$i_a \leq j_a$$ हरएक के लिए $$a \in A.$$ यदि प्रत्येक $$\left(I_a, \leq\right)$$ यदि यह आंशिक ऑर्डर है तो उत्पाद का प्रीऑर्डर भी आंशिक है।

इसके अलावा, एक सेट दिया गया $$A,$$ कार्टेशियन उत्पाद पर उत्पाद क्रम $$\prod_{a \in A} \{0, 1\}$$ के उपसमूहों के समावेशन क्रम से पहचाना जा सकता है $$A.$$ यह धारणा अग्रिम-आदेशों पर भी समान रूप से लागू होती है। उत्पाद क्रम कई समृद्ध श्रेणियों में श्रेणीबद्ध उत्पाद भी है, जिसमें जाली (आदेश)  और बूलियन बीजगणित शामिल हैं।

यह भी देखें

 * प्रत्यक्ष उत्पाद#द्विआधारी संबंधों का प्रत्यक्ष उत्पाद
 * आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट#उदाहरण
 * स्टार उत्पाद, आंशिक ऑर्डर के संयोजन का एक अलग तरीका
 * कुल ऑर्डर#पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट के कार्टेशियन उत्पाद पर ऑर्डर
 * आंशिक आदेशों का सामान्य योग

श्रेणी:आदेश सिद्धांत