रीमैन इंटीग्रल



वास्तविकिक विश्लेषण के रूप में जानी जाने वाली गणित की शाखा में, बर्नहार्ड रीमैन द्वारा बनाई गई रीमैन इंटीग्रल, एक अंतराल (गणित) पर फलन (गणित) के इंटीग्रल की पहली कठोर परिभाषा थी। यह 1854 में गौटिंगेन विश्वविद्यालय में संकाय को प्रस्तुत किया गया था, किन्तु 1868 तक कोई पत्रिका में प्रकाशित नहीं हुआ था। कई फलनों और व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए, रीमैन इंटीग्रल का मूल्यांकन कैलकुस के मौलिक प्रमेय द्वारा किया जा सकता है या संख्यात्मक एकीकरण द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, या मोंटे कार्लो इंटीग्रेशन का उपयोग करके अनुकरण किया जा सकता है।

अवलोकन
मान लीजिए $f$  अंतराल $[a, b]$ पर गैर-ऋणात्मक वास्तविकिक-मूल्यवान फलन है, और $S$ को फलन $f$ के ग्राफ़ के नीचे और अंतराल $[a, b]$ के ऊपर समतल का क्षेत्र मान लें। शीर्ष दाईं ओर आकृति देखें। इस क्षेत्र को समुच्चय-बिल्डर संकेतन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$S = \left \{ (x, y)\,: \,a \leq x \leq b\,,\, 0 < y < f(x) \right \}.$$ हम $S$ के क्षेत्र को मापने में रुचि रखते है। एक बार जब हम इसे माप लेते हैं, तो हम क्षेत्र को सामान्य विधि से निरूपित करते है $$\int_a^b f(x)\,dx.$$ रीमैन इंटीग्रल का मूल विचार $S$ क्षेत्र के लिए बहुत ही सरल सन्निकटन का उपयोग करना है। उत्तम से उत्तम सन्निकटन लेकर हम कह सकते हैं कि सीमा में हमें वक्र के नीचे $S$ का क्षेत्रफल मिलता है।

जब f(x) ऋणात्मक मान ले सकता है, तो इंटीग्रल $f$ और $x$-अक्ष के ग्राफ़ के बीच हस्ताक्षरित क्षेत्र के बराबर होता है: अर्थात, $x$-अक्ष के ऊपर का क्षेत्र $x$-अक्ष के नीचे के क्षेत्र को घटा देता है।

अंतराल के विभाजन
अंतराल का विभाजन $[a, b]$ फॉर्म की संख्याओं का परिमित अनुक्रम है $$a = x_0 < x_1 < x_2 < \dots < x_i < \dots < x_n = b$$ प्रत्येक $[x_{i}, x_{i + 1}]$ को विभाजन का उप-अंतराल कहा जाता है। विभाजन के मेश या मानदंड को सबसे लंबे उप-अंतराल की लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात, $$\max \left(x_{i+1}-x_i\right), \quad i \in [0,n-1].$$ टैग्ड किया गया विभाजन $P(x, t)$ अंतराल का $[a, b]$ प्रत्येक उप-अंतराल के अन्दर मानक बिंदु के विकल्प के साथ विभाजन है, जो संख्या $t_{0}, ..., t_{n − 1}$ है जिसमे प्रत्येक $i$ के लिए $t_{i} ∈ [x_{i}, x_{i + 1}]$ है। टैग किए गए विभाजन का मेश सामान्य विभाजन के समान होता है।

मान लीजिए कि दो विभाजन $P(x, t)$ और $Q(y, s)$ दोनों अंतराल $[a, b]$ के विभाजन है। हम कहते हैं कि $Q(y, s)$ $P(x, t)$ का परिशोधन है यदि प्रत्येक पूर्णांक के लिए $i$, साथ $i ∈ [0, n]$, पूर्णांक $r(i)$ उपस्थित है जैसे कि $x_{i} = y_{r(i)}$ और जैसे कि कुछ $j$ के लिए $j ∈ [r(i), r(i + 1)]$ के साथ $t_{i} = s_{j}$ है। यह एक टैग किया गया विभाजन कुछ उप-अंतरालों को अलग करता है और विभाजन की शुद्धता को परिष्कृत करने के लिए आवश्यक मानक बिंदु जोड़ता है।

हम सभी टैग किए गए विभाजनों के समुच्चय को यह कहकर निर्देशित समुच्चय में बदल सकते हैं कि टैग किया गया विभाजन दूसरे से अधिक या उसके बराबर है यदि पूर्व उत्तरार्द्ध का परिशोधन है।

रीमैन योग
मान लीजिये $f$ अंतराल $[a, b]$ पर परिभाषित वास्तविकिक-मूल्यवान फलन हो। रीमैन का योग $f$ टैग किए गए विभाजन के संबंध में $x_{0}, ..., x_{n}$ के साथ साथ $t_{0}, ..., t_{n − 1}$ है $$\sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) \left(x_{i+1}-x_i\right).$$ योग में प्रत्येक शब्द किसी दिए गए बिंदु पर फलन के मान और अंतराल की लंबाई का गुणनफल है। परिणामस्वरुप, प्रत्येक शब्द ऊंचाई $f(t_{i})$ और चौड़ाई $x_{i + 1} − x_{i}$ के साथ आयत के (हस्ताक्षरित) क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है। रीमैन योग सभी आयतों का (हस्ताक्षरित) क्षेत्र है।

शुद्धता से संबंधित अवधारणाएँ निम्न और ऊपरी डार्बौक्स योग हैं। ये रीमैन सम्स के समान हैं, किन्तु टैग प्रत्येक उप-अंतराल पर $f$ के निम्नतम और उच्चतम (क्रमशः) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है: $$\begin{align} L(f, P) &= \sum_{i=0}^{n-1} \inf_{t \in [x_i, x_{i+1}]} f(t)(x_{i+1} - x_i), \\ U(f, P) &= \sum_{i=0}^{n-1} \sup_{t \in [x_i, x_{i+1}]} f(t)(x_{i+1} - x_i). \end{align}$$ यदि $f$  निरंतर है, तो टैग न किए गए विभाजन के लिए निचले और ऊपरी डार्बौक्स योग उस विभाजन के रीमैन योग के बराबर होते हैं, जहां टैग को प्रत्येक उपअंतराल पर $f$ का न्यूनतम या अधिकतम (क्रमशः) चुना जाता है। (जब $f$ उपअंतराल पर विच्छिन्न होता है, तो ऐसा कोई टैग नहीं हो सकता है जो उस उपअंतराल पर न्यूनतम या उच्चतम को प्राप्त करता हो।) डार्बौक्स इंटीग्रल, जो रीमैन इंटीग्रल के समान है लेकिन डार्बौक्स रकम पर आधारित है, रीमैन इंटीग्रल के बराबर है।

रीमैन इंटीग्रल
अस्पष्ट रूप से बोलते हुए, रीमैन इंटीग्रल फलन के रीमैन सम की सीमा है क्योंकि विभाजन उत्तम हो जाते हैं। यदि सीमा उपस्थित है तो फलन को पूर्णांक (या अधिक विशेष रूप से रीमैन-पूर्णांक) कहा जाता है। विभाजन को पर्याप्त रूप से ठीक करके रीमैन योग को रीमैन इंटीग्रल के वांछित के रूप में बनाया जा सकता है।

महत्वपूर्ण आवश्यकता यह है कि विभाजन का मेश छोटा और छोटा होना चाहिए, जिससे सीमा में यह शून्य हो। यदि ऐसा नहीं होता, तो हमें निश्चित उपअंतरालों पर फलन का अच्छा सन्निकटन नहीं मिल पाता है। वास्तविक में, यह इंटीग्रल को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है। विशिष्ट होने के लिए, हम कहते हैं कि $f$ का रीमैन इंटीग्रल $s$ के बराबर है, यदि निम्नलिखित शर्त रखती है:

सभी $ε > 0$ के लिए, $δ > 0$ उपस्थित है जैसे कि किसी भी टैग किए गए विभाजन के लिए $x_{0}, ..., x_{n}$ और $t_{0}, ..., t_{n − 1}$ जिसकी मेशी $δ$ से कम है, अपने पास है $$\left| \left( \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) \right) - s\right| < \varepsilon.$$दुर्भाग्य से, इस परिभाषा का उपयोग करना बहुत कठिन है। यह रीमैन इंटीग्रल की समतुल्य परिभाषा विकसित करने में सहायता करता हैं, जिसके साथ काम करना आसान है। हम इस परिभाषा को अब तुल्यता के प्रमाण के साथ विकसित करते हैं। हमारी नई परिभाषा कहती है कि $f$ का रीमैन इंटीग्रल $s$ के बराबर है, यदि निम्नलिखित शर्तें रखती हैं:

सभी $ε > 0$ के लिए, टैग किए गए विभाजन $y_{0}, ..., y_{m}$ और $r_{0}, ..., r_{m − 1}$ उपस्थित हैं जैसे कि किसी टैग किए गए विभाजन के लिए $x_{0}, ..., x_{n}$ और $t_{0}, ..., t_{n − 1}$ जो $y_{0}, ..., y_{m}$ और $r_{0}, ..., r_{m − 1}$ का परिशोधन है, हमारे पास है $$\left| \left( \sum_{i=0}^{n-1} f(t_i) (x_{i+1}-x_i) \right) - s\right| < \varepsilon.$$इन दोनों का अर्थ है कि अंततः, किसी भी विभाजन के संबंध में $f$ का रीमैन योग $s$ के निकट फंस जाता है। चूंकि यह सच है, चाहे हम कितनी भी मांग करें कि रकम फंसी हुई है, हम कहते हैं कि रीमैन का योग $s$ में परिवर्तित हो जाता है। ये परिभाषाएँ वास्तविक में अधिक सामान्य अवधारणा, मेश (गणित) का विशेष स्थिति है।

जैसा कि हमने पहले कहा, ये दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं। दूसरे शब्दों में, $s$ पहली परिभाषा में काम करता है यदि और केवल यदि $s$ दूसरी परिभाषा में काम करता है। यह दिखाने के लिए कि पहली परिभाषा का तात्पर्य दूसरी से है, $ε$ से प्रारंभ करें, और $δ$ चुनें जो शर्त को पूरा करता है। किसी भी टैग किए गए विभाजन को चुनें जिसका मेश $δ$ से कम हो। इसका रीमैन योग $ε$ के $s$ के अन्दर है, और इस विभाजन के किसी भी परिशोधन में मेश से भी $δ$ से कम होगा, इसलिए शोधन का रीमैन योग भी $ε$ के $s$ के अन्दर होगा।

यह दिखाने के लिए कि दूसरी परिभाषा का तात्पर्य पहले से है, डार्बौक्स इंटीग्रल का उपयोग करना सबसे आसान है। सबसे पहले, दिखाता है कि दूसरी परिभाषा डार्बौक्स इंटीग्रल की परिभाषा के बराबर है; इसके लिए डार्बौक्स इंटीग्रल लेख देखें। अब हम दिखाएंगे कि डार्बौक्स इंटीग्रेबल फलन पहली परिभाषा को संतुष्ट करता है। $ε$ का समाधान करना, और विभाजन $y_{0}, ..., y_{m}$ चुनें, जिससे इस विभाजन के संबंध में निचले और ऊपरी डार्बौक्स योग डार्बौक्स इंटीग्रल के मान $s$ के $ε/2$ के अंदर हों। मान लीजिये $$ r = 2\sup_{x \in [a, b]} |f(x)|.$$ यदि $r = 0$, तब $f$  शून्य फलन है, जो स्पष्ट रूप से डार्बौक्स और रीमैन दोनों इंटीग्रल शून्य के साथ पूर्णांक है। इसलिए, हम यह मानेंगे कि $r > 0$. यदि $m > 1$, है तो हम $δ$ ऐसा चुनते हैं $$\delta < \min \left \{\frac{\varepsilon}{2r(m-1)}, \left(y_1 - y_0\right), \left(y_2 - y_1\right), \cdots, \left(y_m - y_{m-1}\right) \right \}$$ यदि $m = 1$, तो हम $δ$ को से कम चुनते हैं। टैग किए गए विभाजन $x_{0}, ..., x_{n}$ और $t_{0}, ..., t_{n − 1}$ को $δ$ से छोटे मेश के साथ चुनें। हमें यह दिखाना होगा कि रीमैन का योग $ε$ के $s$ अन्दर है.

इसे देखने के लिए, अंतराल $[x_{i}, x_{i + 1}]$ चुनें। यदि यह अंतराल कुछ $[y_{j}, y_{j + 1}]$ के अन्दर समाहित है, तब $$ m_j < f(t_i) < M_j$$ जहाँ $m_{j}$ और $M_{j}$ क्रमशः, $[y_{j}, y_{j + 1}]$ पर f का निम्नतम और सर्वोच्च है। यदि सभी अंतरालों में यह गुण होती है, तो यह प्रमाण को समाप्त कर देगा, क्योंकि रीमैन राशि में प्रत्येक शब्द डार्बौक्स रकम में संबंधित शब्द से घिरा होगा, और हमने डार्बौक्स रकम को $s$ के पास चुना है। यह वह स्थिति है जब $m = 1$, तो उस स्थिति में उपपत्ति समाप्त हो जाती है।

इसलिए हम यह मान सकते हैं कि $m > 1$ है। इस स्थिति में, यह संभव है कि $[x_{i}, x_{i + 1}]$ में से कोई $[y_{j}, y_{j + 1}]$. में निहित नहीं है। इसके अतिरिक्त, यह $y_{0}, ..., y_{m}$. द्वारा निर्धारित दो अंतरालों में फैल सकता है। (यह तीन अंतरालों को पूरा नहीं कर सकता क्योंकि $δ$ को किसी अंतराल की लंबाई से छोटा माना जाता है।) प्रतीकों में, ऐसा हो सकता है $$y_j < x_i < y_{j+1} < x_{i+1} < y_{j+2}.$$ (हम मान सकते हैं कि सभी असमानताएँ सख्त हैं क्योंकि अन्यथा हम पिछले स्थिति में $δ$ की लंबाई पर अपनी धारणा से हैं।) यह अधिकतम $m − 1$ बार हो सकता है।

इस स्थिति को संभालने के लिए, हम विभाजन $x_{0}, ..., x_{n}$ पर $y_{j + 1}$ पर उप-विभाजित करके रीमैन योग और डार्बौक्स योग के बीच अंतर का अनुमान लगाएंगे। शब्द $f(t_{i})(x_{i + 1} − x_{i})$ रीमैन में योग दो शब्दों में विभाजित होता है:$$f\left(t_i\right)\left(x_{i+1}-x_i\right) = f\left(t_i\right)\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right)+f\left(t_i\right)\left(y_{j+1}-x_i\right).$$ मान लीजिए, सामान्यता के नुकसान के बिना, कि $t_{i} ∈ [y_{j}, y_{j + 1}]$. तब $$m_j < f(t_i) < M_j,$$ इसलिए यह शब्द $y_{j}$ के लिए डार्बौक्स योग में संबंधित शब्द से घिरा है। दूसरे टर्म को बाउंड करने के लिए, ध्यान दें $$x_{i+1}-y_{j+1} < \delta < \frac{\varepsilon}{2r(m-1)},$$ यह इस प्रकार है कि, कुछ के लिए (वास्तविक में कोई भी) $t* i ∈ [y_{j + 1}, x_{i + 1}]$, $$\left|f\left(t_i\right)-f\left(t_i^*\right)\right|\left(x_{i+1}-y_{j+1}\right) < \frac{\varepsilon}{2(m-1)}.$$ चूंकि ऐसा अधिकतम $m − 1$ बार होता है, रीमैन योग और डार्बौक्स योग के बीच की दूरी अधिकतम $ε/2$ होती है। इसलिए, रीमैन योग और $s$ के बीच की दूरी अधिक से अधिक $ε$ है।

उदाहरण
मान लीजिये $$f:[0,1]\to\R$$ ऐसा फलन है जो प्रत्येक बिंदु पर मान 1 लेता है। $[0, 1]$ पर $f$ के किसी भी रीमैन योग का मान 1 होगा, इसलिए $[0, 1]$ रीमैन पर $f$  का रीमैन इंटीग्रल 1 है।

मान लीजिये $$I_{\Q}:[0,1]\to\R$$ में परिमेय संख्याओं का सूचक फलन हो $[0, 1]$; वह है, $$I_{\Q}$$ परिमेय संख्याओं पर 1 और अपरिमेय संख्याओं पर 0 का मान लेता है। इस फलन में रीमैन इंटीग्रल नहीं है। इसे सिद्ध करने के लिए, हम दिखाएंगे कि टैग किए गए विभाजन कैसे बनाए जाते हैं, जिनके रीमैन योग स्वैच्छिक विधि से शून्य और दोनों के निकट हो जाते हैं।

प्रारंभ करने के लिए, मान लीजिये $x_{0}, ..., x_{n}$ और $t_{0}, ..., t_{n − 1}$ को टैग किया गया विभाजन (प्रत्येक $t_{i}$ के बीच है $x_{i}$ और $x_{i + 1}$) हो। $ε > 0$ को चुनें। $t_{i}$ को पहले ही चुना जा चुका है, और हम उन बिंदुओं पर $f$ का मान नहीं बदल सकते। लेकिन अगर हम विभाजन को प्रत्येक $t_{i}$ के चारों ओर छोटे-छोटे टुकड़ों में काट दें, तो हम $t_{i}$ के प्रभाव को कम कर सकते हैं। फिर, नए टैग्स को ध्यान से चुनकर, हम रीमैन योग का मान शून्य या के $ε$ के अन्दर कर सकते हैं।

हमारा पहला कदम विभाजन को काटना है। वहाँ हैं $t_{i}$ के $n$ हैं, और हम चाहते हैं कि उनका कुल प्रभाव $ε$ से कम हो। यदि हम उनमें से प्रत्येक को $ε/n$ से कम लंबाई के अंतराल तक सीमित करते हैं, तो प्रत्येक $t_{i}$ का रीमैन योग में योगदान कम से कम $0 · ε/n$ और अधिकतम $1 · ε/n$ होगा। यह कुल योग कम से कम शून्य और अधिकतम $ε$ बनाता है। तो मान लीजिये $δ$ $ε/n$ से कम धनात्मक संख्या हो। यदि ऐसा होता है कि दो $t_{i}$ दूसरे के $δ$ के अन्दर हैं, तो $δ$ छोटा चुनें। यदि ऐसा होता है कि कुछ $t_{i}$ कुछ $x_{j}$ के δ के अन्दर है, और $t_{i}$ $x_{j}$ के बराबर नहीं है, तो $δ$ छोटा चुनें। चूँकि केवल बहुत सारे $t_{i}$ और $x_{j}$ हैं, हम सदैव पर्याप्त रूप से छोटा $δ$ चुन सकते हैं।

अब हम प्रत्येक $t_{i}$ के लिए विभाजन में दो कट जोड़ते हैं। कटौती में से $t_{i} − δ/2$ पर होगा, और दूसरा $t_{i} + δ/2$ पर होगा। यदि इनमें से कोई अंतराल [0, 1] छोड़ता है, तो हम इसे छोड़ देते हैं। $t_{i}$ सबइंटरवल के अनुरूप टैग होगा $$\left [t_i - \frac{\delta}{2}, t_i + \frac{\delta}{2} \right ].$$ यदि $t_{i}$ सीधे $x_{j}$, में से किसी के ऊपर है, तो हम $t_{i}$ को दोनों अंतरालों के लिए टैग मान लेते हैं: $$\left [t_i - \frac{\delta}{2}, x_j \right ], \quad\text{and}\quad \left [x_j,t_i + \frac{\delta}{2} \right ].$$ हमें अभी भी अन्य उपअंतरालों के लिए टैग चुनना है। हम उन्हें दो अलग-अलग विधियों से चुनेंगे। पहली विधि सदैव परिमेय बिंदु चुनना है, जिससे रीमैन का योग जितना संभव हो उतना बड़ा हो। इससे रीमैन योग का मान कम से कम $1 − ε$ हो जाएगा। दूसरी विधि सदैव अपरिमेय बिंदु चुनना है, जिससे रीमैन योग जितना संभव हो उतना छोटा हो। यह रीमैन योग का मान अधिकतम $ε$ बना देगा।

चूंकि हमने मनमाना विभाजन से प्रारंभ किया और शून्य या के रूप में निकट के रूप में समाप्त हो गया, यह कहना गलत है कि हम अंततः किसी संख्या $s$ के पास फंस गए हैं, इसलिए यह फलन रीमैन पूर्णांक नहीं है। चूँकि, यह लेबेस्ग पूर्णांक है। लेबेस्ग अर्थ में इसका इंटीग्रल शून्य है, क्योंकि फलन लगभग हर जगह शून्य है। किन्तु यह ऐसा तथ्य है जो रीमैन इंटीग्रल की पहुंच से बढ़कर है।

और भी बुरे उदाहरण हैं। $$I_{\Q}$$ रीमैन पूर्णांकीय फलन के समतुल्य (अर्थात्, लगभग हर जगह समान है) है, किन्तु ऐसे गैर-रीमैन पूर्णांकीय परिबद्ध फलन हैं जो किसी भी रीमैन पूर्णांकीय फलन के समतुल्य नहीं हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिये $C$ स्मिथ-वोल्तेरा-कैंटर समुच्चय हो, और मान लीजिये $I_{C}$ को इसका सूचक फलन हो। क्योंकि $C$ जॉर्डन माप नहीं है, $I_{C}$ रीमैन पूर्णांक नहीं है। इसके अतिरिक्त $I_{C}$ के समतुल्य कोई भी फ़ंक्शन $g$ रीमैन पूर्णांक नहीं है: $g$, $I_{C}$, की तरह, घने समुच्चय पर शून्य होना चाहिए, इसलिए पिछले उदाहरण में, $g$ के किसी भी रीमैन योग में शोधन है जो किसी भी धनात्मक संख्या के लिए $ε$ के अन्दर है। किन्तु यदि रीमैन का इंटीग्रल अंग $g$ उपस्थित है, तो इसे $I_{C}$, के लेबेस्ग इंटीग्रल के बराबर होना चाहिए, जो कि $1/2$ है। इसलिए, जी रीमैन पूर्णांक नहीं है।

समान अवधारणाएँ
रीमैन इंटीग्रल को डार्बौक्स इंटीग्रल के रूप में परिभाषित करना लोकप्रिय है। ऐसा इसलिए है क्योंकि डार्बौक्स इंटीग्रल तकनीकी रूप से सरल है और क्योंकि फलन रीमैन-इंटीग्रेबल है यदि और केवल यदि यह डार्बौक्स-इंटीग्रेबल है।

कुछ कलन पुस्तकें सामान्य टैग किए गए विभाजनों का उपयोग नहीं करती हैं, किन्तु स्वयं को विशिष्ट प्रकार के टैग किए गए विभाजनों तक सीमित रखती हैं। यदि विभाजन का प्रकार बहुत अधिक सीमित है, तो कुछ गैर-इंटीग्रेबल फलन इंटीग्रलीय प्रतीत हो सकते हैं।

लोकप्रिय प्रतिबंध बाएँ और दाएँ हाथ के रीमैन योगों का उपयोग है। बाएं हाथ के रीमैन योग में, $t_{i} = x_{i}$ सभी $i$ के लिए, और दाहिनी ओर रीमैन राशि में, $t_{i} = x_{i + 1}$ सभी के $i$ लिए है. अकेले यह प्रतिबंध कोई समस्या नहीं लाता है: हम किसी भी विभाजन को इस प्रकार से परिशोधित कर सकते हैं जो इसे प्रत्येक पर उप-विभाजित करके बाएं हाथ या दाएं हाथ का योग $t_{i}$ बनाता है। अधिक औपचारिक भाषा में, सभी टैग किए गए विभाजनों के समुच्चय में सभी बाएं हाथ के रीमैन योगों का समुच्चय और सभी दाएं हाथ के रीमैन योगों का समुच्चय कोफिनल (गणित) है।

अन्य लोकप्रिय प्रतिबंध अंतराल के नियमित उपविभागों का उपयोग है। उदाहरण के लिए, द $n$वें नियमित उपखंड $[0, 1]$ अंतराल के होते हैं $$\left [0, \frac{1}{n} \right], \left [\frac{1}{n}, \frac{2}{n} \right], \ldots, \left[\frac{n-1}{n}, 1 \right].$$ दोबारा, अकेले यह प्रतिबंध कोई समस्या नहीं लगाता है, किन्तु इस तथ्य को देखने के लिए आवश्यक तर्क बाएं हाथ और दाएं हाथ के रीमैन रकम के स्थिति में अधिक कठिन है।

चूँकि, इन प्रतिबंधों का संयोजन, जिससे कोई नियमित रूप से विभाजित अंतराल पर केवल बाएं हाथ या दाएं हाथ के रीमैन रकम का उपयोग कर सके, खतरनाक है। यदि किसी फलन को पहले से ही रीमैन पूर्णांक के रूप में जाना जाता है, तो यह तकनीक इंटीग्रल का सही मान देगी। किन्तु इन शर्तों के तहत सूचक फलन करता है $$I_{\Q}$$ पर इंटीग्रल प्रतीत होगा $[0, 1]$ के बराबर इंटीग्रल के साथ: हर सबइंटरवल का हर समापन बिंदु परिमेय संख्या होगी, इसलिए फलन का सदैव परिमेय संख्याओं पर मूल्यांकन किया जाएगा, और इसलिए यह सदैव के बराबर दिखाई देगा। इस परिभाषा के साथ समस्या तब स्पष्ट हो जाती है जब हम इंटीग्रल को दो भागों में विभाजित करने का प्रयास करते हैं। निम्नलिखित समीकरण धारण करना चाहिए: $$\int_0^{\sqrt{2}-1} I_\Q(x) \,dx + \int_{\sqrt{2}-1}^1 I_\Q(x) \,dx = \int_0^1 I_\Q(x) \,dx.$$ यदि हम नियमित उपविभाजनों और बाएँ हाथ या दाएँ हाथ के रीमैन योग का उपयोग करते हैं, तो बाईं ओर के दो पद शून्य के बराबर हैं क्योंकि 0 और 1 को छोड़कर प्रत्येक समापन बिंदु अपरिमेय होगा लेकिन जैसा कि हमने देखा है कि दाईं ओर का शब्द 1 के बराबर होगा.

जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, रीमैन इंटीग्रल $$I_{\Q}$$ एकीकृत करने से इनकार करके इस समस्या से बचा जाता है। लेबेस्ग इंटीग्रल को इस तरह परिभाषित किया गया है कि ये सभी इंटीग्रल 0 हैं।

रैखिकता
रीमैन इंटीग्रल रैखिक परिवर्तन है; वह है, यदि $f$ और $g$ रीमैन-इंटीग्रेबल ऑन हैं $[a, b]$ और $α$ और $β$ तब स्थिरांक हैं $$\int_{a}^{b} (\alpha f(x) + \beta g(x))\,dx = \alpha \int_{a}^{b}f(x)\,dx + \beta \int_{a}^{b}g(x)\,dx. $$ क्योंकि किसी फलन का रीमैन इंटीग्रल संख्या है, यह रीमैन इंटीग्रल को रीमैन-इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस के सदिश स्थल  पर रैखिक रूप बनाता है।

अखंडता
कॉम्पैक्ट जगह पर  परिबद्ध फलन $[a, b]$ रीमैन इंटीग्रेबल है यदि और केवल यदि यह लगभग हर जगह निरंतर फलन (लेबेस्ग्यू माप के अर्थ में इसकी असांतत्यता के वर्गीकरण का माप शून्य है) करता है। यह  (रीमैन पूर्णांकीय फलनों के लक्षण वर्णन) है। यह 1907 में ग्यूसेप विटाली और हेनरी लेबेस्ग द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध किया गया है, और माप शून्य की धारणा का उपयोग करता है, किन्तु न तो लेबेस्ग के सामान्य माप या इंटीग्रल का उपयोग करता है।

इंटीग्रलता की स्थिति को विभिन्न विधियों से सिद्ध किया जा सकता है,  जिनमें से नीचे स्केच किया गया है।

विशेष रूप से, कोई भी समुच्चय जो कि सबसे अधिक गणनीय समुच्चय पर होता है, में लेबेसेग का माप शून्य होता है, और इस प्रकार परिबद्ध फलन (सघन अंतराल पर) केवल परिमित या गणनीय रूप से कई विच्छिन्नताओं के साथ रीमैन पूर्णांक होता है। $X_{ε}$ पर रीमैन इंटीग्रैबिलिटी के लिए और पर्याप्त मानदंड, किन्तु जिसमें माप की अवधारणा सम्मिलित नहीं है, $[a, b]$ (या $[a, b]$) प्रत्येक बिंदु पर दाएं हाथ (या बाएं हाथ) की सीमा का अस्तित्व है।

बंधे हुए समुच्चय का संकेतक फलन रीमैन-इंटीग्रेबल है यदि और केवल यदि समुच्चय जॉर्डन उपाय है। रीमैन इंटीग्रल की व्याख्या माप सिद्धांत रूप से जॉर्डन माप के संबंध में इंटीग्रल के रूप में की जा सकती है।

यदि वास्तविकिक-मूल्यवान फलन अंतराल ${X_{1/n}}|undefined$ पर मोनोटोन फलन है, तो यह रीमैन इंटेग्रेबल है, क्योंकि इसकी अनिरंतरता का समुच्चय सबसे अधिक गणना योग्य है, और इसलिए लेबेस्ग का माप शून्य है। यदि $X_{1/n}$ पर वास्तविकिक-मूल्यवान फ़ंक्शन रीमैन पूर्णांक है, तो यह लेबेसेग पूर्णांक है। अर्थात्, लेबेसेग-इंटीग्रलता की तुलना में रीमैन-इंटीग्रेबिलिटी मजबूत (अर्थात् संतुष्ट करने के लिए अधिक कठिन) स्थिति है। बातचीत पकड़ में नहीं आती; सभी लेबेस्ग-इंटीग्रलीय फलन रीमैन पूर्णांक नहीं हैं।

लेबेस्ग्यू-विटाली प्रमेय का अर्थ यह नहीं है कि सभी प्रकार की असंततताओं का बाधा पर समान भार है कि वास्तविकिक-मूल्यवान परिबद्ध फलन रीमैन पर इंटीग्रल हो सकता है। $X_{1/n}$ वास्तविक में, कुछ विच्छिन्नताओं की फलन की रीमैन इंटीग्रैबिलिटी पर बिल्कुल कोई भूमिका नहीं होती है - फलन के विच्छिन्नताएँ के वर्गीकरण का परिणाम है।

यदि $X_{1/n}$ सीमा $ε$ के साथ $[a, b]$ पर समान रूप से अभिसारी अनुक्रम है, तो सभी $X_{1/n}$ की रीमैन इंटीग्रेबिलिटी का अर्थ है $ε$ की रीमैन इंटीग्रेबिलिटी, और $$ \int_{a}^{b} f\, dx = \int_a^b{\lim_{n \to \infty}{f_n}\, dx} = \lim_{n \to \infty} \int_{a}^{b} f_n\, dx.$$ चूँकि, लेबेस्ग मोनोटोन अभिसरण प्रमेय (मोनोटोन बिंदुवार सीमा पर) रीमैन इंटीग्रल के लिए नहीं है। इस प्रकार, रीमैन एकीकरण में, इंटीग्रल चिह्न के तहत सीमा लेना लेबेसेग एकीकरण की तुलना में तार्किक रूप से उचित ठहराना कहीं अधिक कठिन है।

सामान्यीकरण
यूक्लिडियन वेक्टर अंतरिक्ष में मूल्यों के साथ फलनों के लिए रीमैन इंटीग्रल का विस्तार करना आसान है $$\R^n$$ किसी के लिए $f$. इंटीग्रल को घटक-वार परिभाषित किया गया है; दूसरे शब्दों में, यदि $X_{1/n}$ तब $$\int\mathbf{f} = \left(\int f_1,\,\dots, \int f_n\right).$$ विशेष रूप से, चूंकि सम्मिश्र संख्याएं वास्तविकिक सदिश स्थान हैं, यह जटिल मूल्यवान फलनों के एकीकरण की अनुमति देता है।

रीमैन इंटीग्रल को केवल सीमित अंतरालों पर परिभाषित किया गया है, और यह असीमित अंतरालों तक अच्छी तरह से विस्तारित नहीं होता है। सबसे सरल संभव विस्तार इस तरह के इंटीग्रल अंग को सीमा के रूप में परिभाषित करना है, दूसरे शब्दों में, अनुचित इंटीग्रल के रूप में: $$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,dx = \lim_{a \to -\infty \atop b \to \infty}\int_a^b f(x)\,dx.$$ यह परिभाषा इसके साथ कुछ सूक्ष्मताएं रखती है, जैसे तथ्य यह है कि यह कॉची प्रिंसिपल मान की गणना करने के लिए सदैव समतुल्य नहीं है $$\lim_{a\to\infty} \int_{-a}^a f(x)\,dx.$$ उदाहरण के लिए, साइन फलन $1/n$ पर विचार करें जो $1/n$ पर 0 है, $c/n$ के लिए 1, और $X_{ε}$ के लिए −1 है। सममिति द्वारा, $$\int_{-a}^a f(x)\,dx = 0$$ सदैव, $f$ का ध्यान दिये बिना. किन्तु वास्तविकिक रेखा को भरने के लिए एकीकरण के अंतराल के विस्तार के कई विधि हैं, और अन्य विधि अलग-अलग परिणाम उत्पन्न कर सकते हैं; दूसरे शब्दों में, बहुभिन्नरूपी सीमा सदैव उपस्थित नहीं होती है। हम गणना कर सकते हैं $$\begin{align} \int_{-a}^{2a} f(x)\,dx &= a, \\ \int_{-2a}^a f(x)\,dx &= -a. \end{align}$$ सामान्यतः, यह अनुचित रीमैन इंटीग्रल अपरिभाषित है। यहां तक ​​कि अंतराल के लिए वास्तविकिक रेखा तक पहुंचने का विधि मानकीकृत करना भी काम नहीं करता है क्योंकि यह परेशान करने वाले प्रतिकूल परिणामों की ओर जाता है। यदि हम सहमत हैं (उदाहरण के लिए) कि अनुचित इंटीग्रल सदैव होना चाहिए $$\lim_{a\to\infty} \int_{-a}^a f(x)\,dx,$$ फिर अनुवाद का इंटीग्रल अंग $X_{ε}$ -2 है, इसलिए यह परिभाषा बदलाव के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है, बेहद अवांछनीय गुण है। वास्तविक में, न केवल इस फलन में अनुचित रीमैन इंटीग्रल नहीं है, इसका लेबेसेग इंटीग्रल भी अपरिभाषित है (यह बराबर $X_{ε}$ है).

दुर्भाग्य से, अनुचित रीमैन इंटीग्रल पर्याप्त शक्तिशाली नहीं है। सबसे गंभीर समस्या यह है कि फलनों की सीमा के साथ अनुचित रीमैन इंटीग्रल को कम्यूट करने के लिए कोई व्यापक रूप से लागू प्रमेय नहीं हैं। फूरियर श्रृंखला जैसे अनुप्रयोगों में, फलन के सन्निकटन के इंटीग्रल का उपयोग करके फलन के इंटीग्रल को अनुमानित करने में सक्षम होना महत्वपूर्ण है। उचित रीमैन इंटीग्रल के लिए, मानक प्रमेय कहता है कि यदि $[a, b]$ कार्यों का क्रम है जो कॉम्पैक्ट समुच्चय $X_{ε}$ पर समान रूप से $n$ में परिवर्तित होता है, तो $$\lim_{n\to\infty} \int_a^b f_n(x)\,dx = \int_a^b f(x)\,dx.$$ वास्तविकिक रेखा जैसे गैर-कॉम्पैक्ट अंतराल पर, यह गलत है। उदाहरण के लिए, $X_{ε}$ पर $X_{ε}$ को $X_{ε}$ और कहीं और शून्य लें। सभी $n$ के लिए हमारे पास है: $$\int_{-\infty}^\infty f_n\,dx = 1.$$ क्रम $[a, b]$ समान रूप से शून्य फलन में परिवर्तित हो जाता है, और स्पष्ट रूप से शून्य फलन का इंटीग्रल अंग शून्य होता है। फलस्वरूप, $$\int_{-\infty}^\infty f\,dx \neq \lim_{n\to\infty}\int_{-\infty}^\infty f_n\,dx.$$ यह दर्शाता है कि असीम अंतरालों पर इंटीग्रल के लिए, फलन का एकसमान अभिसरण इतना मजबूत नहीं है कि इंटीग्रल चिह्न के माध्यम से सीमा को पारित करने की अनुमति दे सके। यह रीमैन इंटीग्रल को अनुप्रयोगों में अव्यवहारिक (चाहे रीमैन इंटीग्रल दोनों पक्षों को सही मान प्रदान करता है) बनाता है, क्योंकि सीमा और रीमैन इंटीग्रल के आदान-प्रदान के लिए कोई अन्य सामान्य मानदंड नहीं है, और इस तरह की मानदंड के बिना उनके इंटीग्रैंड्स का अनुमान लगाकर इंटीग्रल्स को अनुमानित करना कठिन है।

लेबेस्ग इंटीग्रल अंग के लिए रीमैन इंटीग्रल अंग को छोड़ना उत्तम मार्ग है। लेबेस्ग इंटीग्रल की परिभाषा स्पष्ट रूप से रीमैन इंटीग्रल का सामान्यीकरण नहीं है, किन्तु यह सिद्ध करना कठिन नहीं है कि प्रत्येक रीमैन इंटीग्रल फलन लेबेस्ग-इंटीग्रलीय है और दो इंटीग्रल के मान सहमत होते हैं जब भी वे दोनों परिभाषित होते हैं। इसके अतिरिक्त, फलन $c$ बंधे हुए अंतराल पर परिभाषित रीमैन-इंटीग्रेबल है यदि और केवल यदि यह घिरा हुआ है और बिंदुओं का समुच्चय जहां $c$ विच्छिन्न है लेबेस्गु का माप शून्य है।

इंटीग्रल जो वास्तविक में रीमैन इंटीग्रल का प्रत्यक्ष सामान्यीकरण है, हेनस्टॉक-कुर्जवील इंटीग्रल है।

रीमैन इंटीग्रल को सामान्य बनाने का अन्य विधि कारकों को बदलना है $X_{ε}$ रीमैन योग की परिभाषा में कुछ और; मोटे तौर पर बोलना, यह एकीकरण के अंतराल को लंबाई की अलग धारणा देता है। यह रिमेंन-स्टील्टजेस इंटीग्रल द्वारा लिया गया दृष्टिकोण है।

बहुभिन्नरूपी कैलकुलस में, रीमैन फ़्रॉम फ़ंक्शंस के लिए इंटीग्रल करता है $$\R^n\to\R$$ एकाधिक इंटीग्रल हैं।

एकीकरण के अन्य सिद्धांतों के साथ तुलना
रीमैन इंटीग्रल कई सैद्धांतिक उद्देश्यों के लिए अनुपयुक्त है। रीमैन एकीकरण में कुछ तकनीकी कमियों को रीमैन-स्टील्टजेस इंटीग्रल के साथ दूर किया जा सकता है, और अधिकांश लेबेसेग इंटीग्रल के साथ गायब हो जाते हैं, चूँकि बाद में अनुचित इंटीग्रल का संतोषजनक उपचार नहीं होता है। गेज इंटीग्रल लेबेस्ग इंटीग्रल का सामान्यीकरण है जो तुरंत रीमैन इंटीग्रल के निकट है।

ये अधिक सामान्य सिद्धांत अधिक दांतेदार या अत्यधिक दोलन वाले फलनों के एकीकरण की अनुमति देते हैं जिनके रीमैन इंटीग्रल उपस्थित नहीं हैं; किन्तु सिद्धांत वही मूल्य देते हैं जो रीमैन इंटीग्रल के अस्तित्व में होने पर होता है।

शैक्षिक समुच्चयिंग्स में, डार्बौक्स इंटीग्रल सरल परिभाषा प्रदान करता है जिसके साथ काम करना आसान होता है; इसका उपयोग रीमैन इंटीग्रल को पेश करने के लिए किया जा सकता है। डार्बौक्स इंटीग्रल को तब परिभाषित किया जाता है जब रीमैन इंटीग्रल होता है, और सदैव ही परिणाम देता है। इसके विपरीत, गेज इंटीग्रल रीमैन इंटीग्रल का सरल किन्तु अधिक शक्तिशाली सामान्यीकरण है और इसने कुछ शिक्षकों को इस बात की वकालत करने के लिए प्रेरित किया है कि इसे प्रारंभिक कैलकुलस पाठ्यक्रमों में रीमैन इंटीग्रल को बदलना चाहिए।

यह भी देखें

 * क्षेत्र
 * antiderivative
 * लेबेस्ग एकीकरण

संदर्भ

 * Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. ISBN 0-486-63519-8.