जाइरोमैग्नेटिक अनुपात

भौतिकी में, एक कण या प्रणाली का जाइरोमैग्नेटिक अनुपात या घूर्णचुम्बकीय अनुपात जिसे कभी-कभी अन्य विषयों में मैग्नेटोग्यरिक अनुपात के रूप में भी जाना जाता है इसके कोणीय गति के चुंबकीय क्षण का अनुपात होता है और इसे प्रायः प्रतीक γ द्वारा निरूपित किया जाता है। इसकी एसआई इकाई रेडियन प्रति सेकंड प्रति टेस्ला (rad⋅s−1⋅T−1) या समकक्ष, कूलम्ब प्रति किलोग्राम (C⋅kg−1) है।

"ज्योरोमैग्नेटिक अनुपात" शब्द का प्रयोग प्रायः एक अलग लेकिन निकट से संबंधित राशि $g$-तत्व के पर्याय के रूप में किया जाता है। आयाम रहित होने में $g$-तत्व केवल घूर्णचुम्बकीय अनुपात से भिन्न होता है।

घूर्णन द्रव्यमान
समरूपता के अक्ष में घूर्णन करते हुए एक गैर-प्रवाहकीय आवेशित संरचना पर विचार करें। जिसमे भौतिकी के नियमों के अनुसार आवेश की गति के कारण चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण और इसके घूर्णन से उत्पन्न द्रव्यमान की गति के कारण कोणीय गति दोनों होती है। यह दिखाया जा सकता है कि जब तक इसका आवेश और द्रव्यमान घनत्व और प्रवाह समान रूप से, घूर्णी रूप से और सममित रूप से वितरित किया जाता है तब तक इसका घूर्णचुम्बकीय अनुपात होता है:
 * $$ \gamma = \frac{q}{2m} $$

जहाँ $${q}$$ इसका आवेश और $${m}$$ इसका द्रव्यमान है।

इस संबंध की व्युत्पत्ति इस प्रकार है। यह भौतिकी के भीतर एक असीम रूप से संकीर्ण वृत्तीय वलय मे प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त है सामान्य परिणाम के रूप में तब एक एकीकरण से होता है। मान लीजिए कि वलय की त्रिज्या $r$, क्षेत्रफल $A = πr^{2}$, द्रव्यमान $m$, आवेश $q$ और कोणीय संवेग $L = mvr$ है। फिर चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण का परिमाण है:
 * $$ \mu = I A = \frac{q v}{2 \pi r} \, \pi r^2 = \frac{q}{2m} \, m v r = \frac{q}{2m} L ~.$$

एक पृथक इलेक्ट्रॉन के लिए
पृथक इलेक्ट्रॉन का एक कोणीय संवेग होता है और चुंबकीय आघूर्ण (भौतिकी) इसके चक्रण से उत्पन्न होता है। जबकि एक इलेक्ट्रॉन के घूर्णन को कभी-कभी अक्ष में शाब्दिक घूर्णन के रूप में देखा जाता है इसे आवेश के समान वितरित द्रव्यमान के लिए उत्तरदायी नहीं माना जा सकता है। उपरोक्त इलेक्ट्रॉन संबंध धारण नहीं करते है इलेक्ट्रॉन g तत्व के पूर्ण मान से गलत परिणाम देता है जिसे $g_{e}$ कहा जाता है:$$ \gamma_\mathrm{e} = \frac{-e}{ 2 m_\mathrm{e}} \, |g_\mathrm{e}| = \frac{ g_\mathrm{e} \mu_\mathrm{B} }{ \hbar } \, ,$$

जहाँ $μ_{B}$ बोहर चुंबकत्व है।

इलेक्ट्रॉन घूर्णन के कारण घूर्णचुम्बकीय अनुपात एक इलेक्ट्रॉन की परिक्रमा के कारण दोगुना होता है।

सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी संरचना में,$$ g_\mathrm{e} = -2 \left(1 + \frac{\alpha}{\,2\pi\,} + \cdots\right)~,$$

जहाँ $$\alpha$$ संरचना स्थिरांक है। और सापेक्षतावादी परिणाम के लिए अपेक्षाकृत छोटे सुधार $g = 2$ विषम चुंबकीय द्विध्रुव आघूर्ण की क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत गणना से आते हैं। एक-इलेक्ट्रॉन साइक्लोट्रॉन में इलेक्ट्रॉन चुंबकीय क्षण को मापने के द्वारा इलेक्ट्रॉन $g$ तत्व को दशमलव स्थानों तक जाना जाता है: $$g_\mathrm{e} = -2.002\,319\,304\,362\,56(35).$$ इलेक्ट्रॉन घूर्णचुम्बकीय अनुपात है: $$ \gamma_\mathrm{e} = \mathrm{-1.760\,859\,630\,23(53) \times 10^{11} \,rad{\cdot}s^{-1}{\cdot}T^{-1}}$$$$ \frac{\gamma_\mathrm{e}}{2\pi} = \mathrm{-28\,024.951\,4242(85) \,MHz{\cdot}T^{-1}} .$$ इलेक्ट्रॉन $γ$ तत्व और $γ$ सिद्धांत के साथ उत्कृष्ट सहमति में हैं विवरण के लिए क्यूईडी का परीक्षण देखें।

घूर्णचुम्बकीय तत्व सापेक्षता के परिणाम के रूप में
चूंकि डायराक के समीकरण से 2 के बराबर एक घूर्णचुम्बकीय तत्व होता है इसलिए यह सोचना एक गलत धारणा है कि g तत्व 2 सापेक्षता का परिणाम है या नहीं है। कारक 2 श्रोडिंगर समीकरण और सापेक्षवादी क्लेन-गॉर्डन समीकरण (जो डिराक की ओर जाता है) दोनों के रैखिककरण से प्राप्त किया जा सकता है। दोनों ही स्थितियों में एक 4-घूर्णन प्राप्त होता है और दोनों रैखिककरणों के लिए g कारक 2 के बराबर भाग मे पाया जाता है इसलिए कारक 2 न्यूनतम युग्मन और समय के लिए व्युत्पन्न के समान क्रम होने के तथ्य का परिणाम है।

भौतिक घूर्णन $g$ कण जिन्हें रेखीय गेज डायराक समीकरण द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है इसके अनुसार $γ$ $e⁄4 σ^{μν }F_{μν}$ समय द्वारा विस्तारित गेज क्लेन-गॉर्डन समीकरण को संतुष्ट करते हैं:

$$ \left[\, \left( \partial^\mu \, u + i\, e\, A^\mu \right)\, \left( \partial_\mu + i\, e\, A_\mu \right) + g \, \frac{e}{\, 4\,} \, \sigma^{\mu\nu} \, F_{\mu\nu} + m^2 \,\right] \; \psi \; = \; 0 ~, \quad g \ne 2 ~. $$

जहां, $1⁄2σ^{μν}$ और $F^{μν}$ क्रमशः डायराक अंतरिक्ष में लोरेंत्ज़ समूह जनरेटर और विद्युत चुम्बकीय टेंसर के लिए स्थित हैं जबकि $A^{μ}$ विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता है। इस प्रकार के एक कण के लिए लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत के $D^{(½,1)} ⊕ D^{(1,½)}$ प्रतिनिधित्व स्थान में घूर्णन $1⁄2$ के साथ घूर्णन $g$ है इस कण को $g$ = $s$ द्वारा अभिलक्षित रूप मे दिखाया गया है और इसके फलस्वरूप यह वास्तव में एक द्विघात फ़र्मियन के रूप में व्यवहार करता है।

नाभिक के लिए
प्रोटॉन, न्यूट्रॉन और कई नाभिक परमाणु घूर्णन ले जाते हैं जो ऊपर के रूप में घूर्णचुम्बकीय अनुपात को जन्म देता है। सहजता और स्थिरता के लिए अनुपात पारंपरिक रूप से प्रोटॉन द्रव्यमान और आवेश के संदर्भ में लिखा जाता है यहां तक ​​कि न्यूट्रॉन और अन्य नाभिकों के लिए भी सूत्र है:
 * $$ \gamma_{\rm n} = \frac{e}{\, 2m_p\,} \, g_{\rm n} = g_{\rm n}\, \frac{\,\mu_\mathrm{N} \,}{\hbar}~,$$

जहाँ $$\mu_\mathrm{N}$$ परमाणु मैग्नेटन है और $$ g_{\rm n} $$ का $+$ तत्व है और $−$ तत्व में नाभिक या नाभिक के तत्व का अनुपात $$\,\frac{\gamma_n}{\, 2 \pi \, g_{\rm n}\,}\, ,$$ के बराबर $$\mu_\mathrm{N}/h$$, 7.622593285(47) मेगाहर्ट्ज/टी है। नाभिक का घूर्णचुम्बकीय अनुपात परमाणु चुंबकीय अनुनाद (एनएमआर) और चुंबकीय अनुनाद (एमआरआई) में भूमिका निभाता है। ये प्रक्रियाएं इस तथ्य पर विश्वास करती हैं कि परमाणु घूर्णन के कारण चुंबकीयकरण एक चुंबकीय क्षेत्र में लार्मर आवृत्ति नामक दर से आगे बढ़ता है जो कि चुंबकीय क्षेत्र की ऊर्जा के साथ घूर्णचुम्बकीय अनुपात का उत्पाद है। इस घटना के साथ γ का चिन्ह पूर्वसर्ग के अर्थ (दक्षिणावर्त बनाम वामावर्त) को निर्धारित करता है।

1H और 13C जैसे सबसे सामान्य नाभिकों में धनात्मक घूर्णचुम्बकीय अनुपात होते हैं। कुछ सामान्य नाभिकों के अनुमानित मान नीचे दी गई तालिका में दिए गए हैं।

लार्मर पुरस्सरण
किसी बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखे जाने पर एक स्थिर घूर्णचुम्बकीय अनुपात के साथ कोई भी मुक्त प्रणाली जैसे कि आवेशों की एक कठोर प्रणाली परमाणु नाभिक या इलेक्ट्रॉन $B$ (टेस्ला में मापा गया) जो अपने चुंबकीय क्षण के साथ संरेखित नहीं है एक आवृत्ति पर $−$ पुरस्सरण ( हेटर्स में मापा जाता है) है जो बाहरी क्षेत्र के समानुपाती होता है:
 * $$f=\frac{\gamma}{2\pi}B.$$

इस कारण से, हर्ट्ज़ प्रति टेस्ला (Hz/T) की इकाइयों में $ψμ$ के मान प्रायः $1⁄2$ के अतिरिक्त प्रयुक्त किए जाते हैं।

अनुमानी व्युत्पत्ति
इस संबंध की व्युत्पत्ति इस प्रकार है पहले हमें यह सिद्ध करना होगा कि एक चुंबकीय आघूर्ण के अधीन होने से उत्पन्न बल आघूर्ण $$\mathbf{m}$$ एक चुंबकीय क्षेत्र के लिए $$\mathbf{B}$$ है $$\, \boldsymbol{\Tau}=\mathbf{m}\times\mathbf{B}\,$$ स्थिर विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के कार्यात्मक रूप की पहचान मे चुंबकीय द्विध्रुवीय क्षण के परिमाण को समान रूप से परिभाषित करने के लिए $$m=I\pi r^2$$ को प्रेरित किया जाता है या निम्नलिखित तरीके से क्षण का अनुकरण करना p एक विद्युत द्विध्रुव का चुंबकीय द्विध्रुव को काल्पनिक चुंबकीय आवेशों के साथ कम्पास की सुई $$\pm q_{\rm m}$$ द्वारा दर्शाया जा सकता है दो ध्रुवों पर और ध्रुवों के बीच सदिश दूरी $$\mathbf{d}$$ पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में $$\, \mathbf{B} \,$$यांत्रिकी द्वारा इस सुई पर बल आघूर्ण $$\, \boldsymbol{\Tau} = q_{\rm m} (\mathbf{d}\times\mathbf{B}) \,$$होता है लेकिन जैसा कि पहले कहा गया है कि $$\hat{\mathbf{d}}$$ इकाई दूरी सदिश है। इसलिए वांछित सूत्र $$\, q_{\rm m}\mathbf{d}=I\pi r^2\hat{\mathbf{d}} = \mathbf{m} \,$$सामने आता है।

व्युत्पत्ति में हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले इलेक्ट्रॉन के मॉडल में घूर्णाक्षस्थापी के साथ एक स्पष्ट सादृश्य है। किसी भी घूर्णन पिंड के लिए कोणीय गति के परिवर्तन की दर $$\, \mathbf{J} \,$$ प्रयुक्त बल आघूर्ण $$\mathbf{T}$$ के बराबर होता है:
 * $$\frac{d\mathbf{J}}{dt}=\mathbf{T}~.$$

एक उदाहरण के रूप में घूर्णाक्षस्थापी के पुरस्सरण पर ध्यान दें कि पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण आकर्षण घूर्णाक्षस्थापी पर ऊर्ध्वाधर दिशा में एक बल या टॉर्क प्रयुक्त करता है और घूर्णाक्षस्थापी की धुरी के साथ कोणीय गति सदिश धुरी के माध्यम से एक ऊर्ध्वाधर रेखा में धीरे-धीरे घूमता है। घूर्णाक्षस्थापी के स्थान पर अक्ष के चारों ओर घूर्णन करने वाले एक गोले की कल्पना करें और घूर्णाक्षस्थापी की धुरी पर इसके केंद्र के साथ और घूर्णाक्षस्थापी की धुरी के साथ दो विपरीत दिशा वाले सदिश दोनों गोले के केंद्र में उत्पन्न हुए और ऊपर की ओर $$\mathbf{J}$$ और नीचे $$\mathbf{m}.$$ गुरुत्वाकर्षण को चुंबकीय प्रवाह घनत्व $$\, \mathbf{B} ~$$से परिवर्तित करे और $$\frac{\,\operatorname{d} \mathbf{J}\,}{\,\operatorname{d} t \,}$$ के पाइक के रैखिक वेग का $$\,\mathbf{J}\,$$ प्रतिनिधित्व करता है एक वृत्त के साथ जिसकी त्रिज्या $$\, J\sin{\phi}\, ,$$ है जहाँ $$\,\phi\,$$ के बीच का कोण $$\,\mathbf{J}\,$$ है और इसलिए घूर्णन के लंबवत घूर्णन का कोणीय वेग है:
 * $$\omega = 2\pi \,f = \frac{1}{ \, J \, \sin{\phi}\,}\,\left|\frac{\,\rm{d}\,\mathbf{J}\,}{\,\rm{d}\,t\,}\right| = \frac{\,\left| \mathbf{T} \right| \,}{\, J \, \sin{\phi}\,} = \frac{\,\left| \mathbf{m} \times \mathbf{B} \right| \,}{\, J \,\sin{\phi} \,} = \frac{\,m\,B\sin{\phi}\,}{\, J \,\sin{\phi}\,} = \frac{\, m\, B\,}{J} = \gamma\, B ~.$$

जिसके फलस्वरूप, $$f=\frac{\gamma}{\,2\pi\,}\,B~,\quad \text{q.e.d.}$$ यह संबंध दो समतुल्य शब्दों के बीच एक स्पष्ट विरोधाभास की भी व्याख्या करता है घूर्णचुम्बकीय अनुपात बनाम मैग्नेटोग्यरिक अनुपात जबकि यह एक चुंबकीय गुण (अर्थात चुंबकीय क्षण) का एक जिरिक (घूर्णी, ग्रीक से: γύρος, "मोड़") अर्थात कोणीय गति का अनुपात है यह एक ही समय में कोणीय आवृत्ति के बीच एक पुरस्सरण आवृत्ति (एक अन्य गाइरिक गुण) $3⁄2$ = 2 $\pi$ $g$ और चुंबकीय क्षेत्र अनुपात भी है। कोणीय पुरस्सरण आवृत्ति का एक महत्वपूर्ण भौतिक अर्थ यह है कि साइक्लोट्रॉन अनुनाद जब एक उच्च आवृत्ति विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को अध्यारोपित करते हैं तो एक आयनित प्लाज़्मा की अनुनाद आवृत्ति एक स्थिर परिमित चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में होती है।

यह भी देखें

 * आवेश द्रव्यमान अनुपात
 * रासायनिक सृति विस्थापन
 * लांडे g कारक
 * लार्मर समीकरण
 * प्रोटॉन घूर्णचुम्बकीय अनुपात