उरेलमेंट

समुच्चय सिद्धान्त में, गणित की एक शाखा, एक urelement या ur-element (जर्मन भाषा उपसर्ग से 'उर-' ',' प्राइमर्डियल ') एक ऐसी वस्तु है जो एक सेट (गणित) नहीं है, लेकिन यह एक तत्व हो सकता है(गणित) एक सेट का।इसे परमाणु या व्यक्ति के रूप में भी जाना जाता है।

सिद्धांत
प्रथम-क्रम सिद्धांत में urelements के इलाज के लिए कई अलग-अलग लेकिन अनिवार्य रूप से समकक्ष तरीके हैं।

एक तरीका यह है कि दो प्रकार, सेट और urelements के साथ एक प्रथम-क्रम सिद्धांत में काम करना है, एक the B के साथ केवल एक सेट जब एक सेट है। इस मामले में, यदि यू एक urelement है, तो यह कहने के लिए कोई मतलब नहीं है $$X \in U$$, यद्यपि $$U \in X$$ पूरी तरह से वैध है।

एक और तरीका यह है कि एक संरचना (गणितीय तर्क) में काम करना है#कई-शोर्टेड संरचनाएं | एक-बदबूदार सिद्धांत जिसमें सेट और urelements को अलग करने के लिए उपयोग किया जाता है।चूंकि गैर-खाली सेट में सदस्य होते हैं जबकि urelements नहीं करते हैं, Unary संबंध केवल खाली सेट को urelements से अलग करने के लिए आवश्यक है।ध्यान दें कि इस मामले में, एक्सटेंशनलिटी के स्वयंसिद्ध को केवल उन वस्तुओं पर लागू करने के लिए तैयार किया जाना चाहिए जो urelements नहीं हैं।

यह स्थिति सेट और वर्ग (सेट सिद्धांत) के सिद्धांतों के उपचार के अनुरूप है।वास्तव में, urelements कुछ अर्थों में उचित वर्गों के लिए दोहरे हैं: urelements में सदस्य नहीं हो सकते हैं जबकि उचित वर्ग सदस्य नहीं हो सकते।अलग -अलग तरीके से, urelements न्यूनतम तत्व ऑब्जेक्ट हैं, जबकि उचित वर्ग सदस्यता संबंध द्वारा अधिकतम वस्तुएं हैं (जो, निश्चित रूप से, एक आदेश संबंध नहीं है, इसलिए इस सादृश्य को शाब्दिक रूप से नहीं लिया जाना है)।

सेट सिद्धांत में urelements
1908 के Zermelo सेट सिद्धांत में urelements शामिल थे, और इसलिए एक संस्करण है जिसे अब ZFA या ZFCA (यानी ZFA के साथ पसंद के स्वयंसिद्ध) कहा जाता है। यह जल्द ही महसूस किया गया कि इस और बारीकी से संबंधित स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के संदर्भ में, मूत्रमार्गों की आवश्यकता नहीं थी क्योंकि वे आसानी से एक सेट सिद्धांत में बिना urelements के मॉडलिंग किए जा सकते हैं। इस प्रकार, कैनोनिकल स्वयंसिद्ध सेट थ्योरी Zermelo -Fraenkel सेट थ्योरी और ZFC के मानक एक्सपोज़िशन urelements का उल्लेख नहीं करते हैं (एक अपवाद के लिए, Suppes देखें )।Axiomatic सिस्टम#सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धता जो कि unelements को आमंत्रित करते हैं, में Kripke -Platek Set सिद्धांत शामिल हैं, जो कि Mendelson द्वारा वर्णित वॉन न्यूमैन -बर्नेज़ -गोडेल सेट सिद्धांत के साथ और वॉन न्यूमैन -बर्नेज़ -गोडेल सेट सिद्धांत के साथ शामिल हैं। प्रकार के सिद्धांत में, टाइप 0 की एक वस्तु को एक urelement कहा जा सकता है;इसलिए नाम परमाणु।

एनएफयू का उत्पादन करने के लिए सिस्टम नई नींव (एनएफ) में यूरेलमेंट जोड़ने के आश्चर्यजनक परिणाम हैं।विशेष रूप से, जेन्सेन ने साबित किया मीनो अंकगणित के सापेक्ष एनएफयू की स्थिरता;इस बीच, किसी भी चीज़ के सापेक्ष एनएफ की स्थिरता एक खुली समस्या बनी हुई है, जो कि होम्स के ZF के सापेक्ष इसकी स्थिरता के प्रमाण के लंबित सत्यापन है।इसके अलावा, एनएफयू अनंत के स्वयंसिद्ध और पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ संवर्धित होने पर समानता बनी रहती है।इस बीच, पसंद के स्वयंसिद्ध की उपेक्षा, उत्सुकता से, एक एनएफ प्रमेय है।होम्स (1998) इन तथ्यों को इस बात के प्रमाण के रूप में लेता है कि एनएफयू एनएफ की तुलना में गणित के लिए एक अधिक सफल आधार है।होम्स आगे तर्क देते हैं कि सेट सिद्धांत बिना किसी आग्रह के अधिक स्वाभाविक है, क्योंकि हम किसी भी सिद्धांत या भौतिक ब्रह्मांड की वस्तुओं के रूप में ले सकते हैं। फाइनिटिस्ट सेट सिद्धांत में, यूरेलमेंट्स को लक्ष्य घटना के सबसे कम स्तर के घटकों, जैसे कि भौतिक वस्तु के परमाणु घटक या किसी संगठन के सदस्यों के लिए मैप किया जाता है।

क्वीन परमाणु
एक विशेष प्रकार के सेट के रूप में, सेट के अलावा एक प्रकार की वस्तु के बजाय, उन पर विचार करना एक वैकल्पिक दृष्टिकोण है।परमाणु परमाणु । क्वीन परमाणु सेट सिद्धांत की प्रणालियों में मौजूद नहीं हो सकते हैं जिसमें नियमितता का स्वयंसिद्ध शामिल है, लेकिन वे गैर-अच्छी तरह से स्थापित सेट सिद्धांत में मौजूद हो सकते हैं।नियमितता के स्वयंसिद्ध के साथ ZF सेट सिद्धांत यह साबित नहीं कर सकता है कि कोई भी गैर-कुश्ती सेट मौजूद है (जब तक कि यह असंगत नहीं है, जिस स्थिति में यह विस्फोट का सिद्धांत होगा), लेकिन यह क्वीन परमाणुओं के अस्तित्व के साथ संगत है।Aczel के एंटी-फाउंडेशन Axiom का अर्थ है कि एक अद्वितीय क्वीन परमाणु है।अन्य गैर-अच्छी तरह से स्थापित सिद्धांत कई अलग-अलग क्वीन परमाणुओं को स्वीकार कर सकते हैं;स्पेक्ट्रम के विपरीत छोर पर बोफा के सुपरनॉवर्सिटी के स्वयंसिद्ध निहित हैं, जिसका अर्थ है कि अलग -अलग क्वीन परमाणु एक उचित वर्ग बनाते हैं।

क्वीन परमाणु क्वीन की नई नींव में भी दिखाई देते हैं, जो इस तरह के एक से अधिक सेट की अनुमति देता है। क्वीन परमाणु एकमात्र सेट हैं जिन्हें रिफ्लेक्सिव सेट कहा जाता है पीटर Aczel द्वारा, हालांकि अन्य लेखक, उदा।जॉन बारवाइज और लॉरेंस मॉस, संपत्ति x & nbsp; & & nbsp; x के साथ सेट के बड़े वर्ग को निरूपित करने के लिए बाद के शब्द का उपयोग करें।