बॉर्न श्रृंखला

जन्म श्रृंखला अंतःक्रियात्मक क्षमता की शक्तियों में क्वांटम प्रकीर्णन सिद्धांत में विभिन्न प्रकीर्णन मात्राओं का विस्तार है $$ V $$ (अधिक सटीक रूप से की शक्तियों में $$ G_0 V, $$ कहाँ $$ G_0 $$ मुक्त कण ग्रीन का कार्य है | ग्रीन का ऑपरेटर)। यह बॉर्न सन्निकटन से निकटता से संबंधित है, जो कि बॉर्न सीरीज़ का पहला ऑर्डर टर्म है। श्रृंखला को औपचारिक रूप से प्रतिस्थापन द्वारा युग्मन स्थिरांक को प्रस्तुत करने वाली शक्ति श्रृंखला के रूप में समझा जा सकता है $$ V \to \lambda V $$. अभिसरण की गति और जन्म श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या ऑपरेटर के eigenvalues ​​​​से संबंधित हैं $$ G_0 V $$. सामान्य तौर पर बोर्न श्रृंखला के पहले कुछ पद कमजोर अंतःक्रिया के लिए विस्तारित मात्रा के अच्छे सन्निकटन हैं $$ V $$ और बड़ी टक्कर ऊर्जा।

बिखरने वाले राज्यों के लिए पैदा हुई श्रृंखला
बिखरने वाले राज्यों के लिए जन्म श्रृंखला पढ़ता है
 * $$ |\psi\rangle = |\phi \rangle + G_0(E) V |\phi\rangle + [G_0(E) V]^2 |\phi\rangle + [G_0(E) V]^3 |\phi\rangle + \dots $$

यह Lippmann-Schwinger समीकरण को दोहराकर प्राप्त किया जा सकता है
 * $$ |\psi\rangle = |\phi \rangle + G_0(E) V |\psi\rangle. $$

ध्यान दें कि ग्रीन का कार्य | ग्रीन का ऑपरेटर $$ G_0 $$ एक मुक्त कण के लिए मंद/उन्नत या मंद के लिए स्थायी तरंग ऑपरेटर हो सकता है $$ |\psi^{(+)}\rangle $$ विकसित $$ |\psi^{(-)}\rangle $$ या स्थायी तरंग प्रकीर्णन अवस्थाएँ $$ |\psi^{(P)}\rangle $$. पूर्ण प्रकीर्णन विलयन को बदलकर प्रथम पुनरावृत्ति प्राप्त की जाती है $$ |\psi\rangle $$ मुक्त कण तरंग समारोह के साथ $$ |\phi\rangle $$ लिपमैन-श्विंगर समीकरण के दाहिने हाथ की ओर और यह फर्स्ट बोर्न सन्निकटन देता है। दूसरा पुनरावृत्ति दाहिने हाथ की ओर पहले जन्मे सन्निकटन को प्रतिस्थापित करता है और परिणाम को दूसरा जन्म सन्निकटन कहा जाता है। आम तौर पर एन-वें बोर्न सन्निकटन श्रृंखला के एन-शर्तों को ध्यान में रखता है। सेकंड बोर्न सन्निकटन का उपयोग कभी-कभी किया जाता है, जब फर्स्ट बोर्न सन्निकटन गायब हो जाता है, लेकिन उच्च शब्दों का उपयोग शायद ही कभी किया जाता है। बोर्न श्रृंखला को औपचारिक रूप से ऑपरेटर के बराबर सामान्य अनुपात के साथ ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है $$ G_0 V $$, लिपमैन-श्विंगर समीकरण को फॉर्म में औपचारिक समाधान देते हुए
 * $$ |\psi\rangle = [I - G_0(E) V]^{-1} |\phi \rangle = [V - VG_0(E) V]^{-1} V |\phi \rangle . $$

टी-मैट्रिक्स
के लिए पैदा हुई श्रृंखला बोर्न श्रृंखला को अन्य बिखरने वाली मात्राओं के लिए भी लिखा जा सकता है जैसे टी-मैट्रिक्स विधि | टी-मैट्रिक्स जो बिखरने वाले आयाम से निकटता से संबंधित है। टी-मैट्रिक्स के लिए लिपमैन-श्विंगर समीकरण को दोहराते हुए हमें मिलता है
 * $$ T(E) = V + V G_0(E) V + V [G_0(E) V]^2 + V [G_0(E) V]^3  + \dots $$

टी-मैट्रिक्स के लिए $$ G_0 $$ केवल मंदबुद्धि ग्रीन के कार्य के लिए खड़ा है | ग्रीन का ऑपरेटर $$ G_0^{(+)}(E) $$. स्टैंडिंग वेव ग्रीन का ऑपरेटर इसके बजाय के-मैट्रिक्स देगा।

फुल ग्रीन के ऑपरेटर
के लिए पैदा हुई श्रृंखला ग्रीन के फलन के लिए लिपमान-श्विंगर समीकरण|ग्रीन के संचालक को रिज़ॉल्वेंट औपचारिकता कहा जाता है,
 * $$ G(E) = G_0(E) + G_0(E) V G(E). $$

पुनरावृत्ति द्वारा इसका समाधान पूर्ण ग्रीन के ऑपरेटर के लिए बोर्न श्रृंखला की ओर जाता है $$ G(E)=(E-H+i\epsilon)^{-1} $$
 * $$ G(E) = G_0(E) + G_0(E) V G_0(E) + [G_0(E) V]^2 G_0(E) + [G_0(E) V]^3 G_0(E) + \dots $$