अपूर्ण गामा फलन

गणित में, ऊपरी और निचले अपूर्ण गामा फ़ंक्शन विशेष प्रकार के फ़ंक्शन होते हैं जो विभिन्न गणितीय समस्याओं जैसे कि कुछ इंटीग्रल के समाधान के रूप में उत्पन्न होते हैं।

उनके संबंधित नाम उनकी अभिन्न परिभाषाओं से उपजे हैं, जिन्हें गामा फ़ंक्शन के समान परिभाषित किया गया है लेकिन अलग-अलग या अपूर्ण अभिन्न सीमाओं के साथ। गामा फ़ंक्शन को शून्य से अनंत तक के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है। यह निचले अपूर्ण गामा फ़ंक्शन के विपरीत है, जिसे शून्य से एक चर ऊपरी सीमा तक एक अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है। इसी प्रकार, ऊपरी अपूर्ण गामा फ़ंक्शन को एक चर निचली सीमा से अनंत तक एक अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है।

परिभाषा
ऊपरी अपूर्ण गामा फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$ \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\, dt ,$$ जबकि निचले अपूर्ण गामा फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$ \gamma(s,x) = \int_0^x t^{s-1}\,e^{-t}\, dt .$$ दोनों ही मामलों में $s$ एक जटिल पैरामीटर है, जैसे कि इसका वास्तविक भाग $s$ सकारात्मक है।

गुण
भागों द्वारा एकीकरण से हम पुनरावृत्ति संबंध पाते हैं $$\Gamma(s+1,x)= s\Gamma(s,x) + x^{s} e^{-x}$$ और $$ \gamma(s+1,x) =s\gamma(s,x) - x^{s} e^{-x}.$$ चूंकि साधारण गामा फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$ \Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\, dt$$ अपने पास $$ \Gamma(s) = \Gamma(s,0) = \lim_{x\to \infty} \gamma(s,x)$$ और $$ \gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s).$$

जटिल मूल्यों की निरंतरता
निचला अधूरा गामा और ऊपरी अधूरा गामा फ़ंक्शन, जैसा कि वास्तविक सकारात्मक के लिए ऊपर परिभाषित किया गया है $s$ और $x$, दोनों के संबंध में, होलोमोर्फिक फ़ंक्शन में विकसित किया जा सकता है $x$ और $s$, कॉम्प्लेक्स के लगभग सभी संयोजनों के लिए परिभाषित $x$ और $s$. जटिल विश्लेषण से पता चलता है कि वास्तविक अपूर्ण गामा फ़ंक्शंस के गुण उनके होलोमोर्फिक समकक्षों तक कैसे विस्तारित होते हैं।

होलोमॉर्फिक एक्सटेंशन
निचले अपूर्ण गामा फ़ंक्शन के लिए पुनरावृत्ति संबंध को बार-बार लागू करने से पावर श्रृंखला का विस्तार होता है:

$$\gamma(s, x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^s e^{-x} x^k}{s(s+1)\cdots(s+k)} = x^s \, \Gamma(s) \, e^{-x} \sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{\Gamma(s+k+1)}.$$ गामा फ़ंक्शन को देखते हुए#पूर्ण मान में अनुमान#गामा फ़ंक्शन की जटिल संख्याएँ|$Γ(z + k)$ कब $k → ∞$, और तथ्य यह है कि व्युत्क्रम गामा फ़ंक्शन|व्युत्क्रम $Γ(z)$ एक संपूर्ण फ़ंक्शन है, सबसे दाहिने योग में गुणांक अच्छी तरह से परिभाषित हैं, और स्थानीय रूप से सभी जटिल के लिए योग समान अभिसरण है $s$ और $x$. वेइरस्ट्रास के एक प्रमेय द्वारा, सीमित कार्य, जिसे कभी-कभी इस रूप में दर्शाया जाता है $$\gamma^*$$,[एचटीटीपी://दलमफ.निस्ट.गॉव/8.7.ी1]

$$\gamma^*(s, z) := e^{-z}\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{\Gamma(s+k+1)}$$ दोनों के संबंध में संपूर्ण कार्य है $z$ (निश्चित के लिए $s$) और $s$ (निश्चित के लिए $z$), और, इस प्रकार, होलोमोर्फिक $C × C$ हार्टोग के प्रमेय द्वारा। इसलिए, निम्नलिखित अपघटन


 * $$\gamma(s,z) = z^s \, \Gamma(s) \, \gamma^*(s,z)$$ ,

वास्तविक निचले अपूर्ण गामा फ़ंक्शन को एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के रूप में विस्तारित करता है, दोनों संयुक्त रूप से और अलग-अलग $z$ और $s$. यह के गुणों से अनुसरण करता है $$z^s$$ और गामा फ़ंक्शन|Γ-फ़ंक्शन, कि पहले दो कारक गणितीय विलक्षणता को पकड़ते हैं $$\gamma(s,z)$$ (पर $z = 0$ या $s$ एक गैर-धनात्मक पूर्णांक), जबकि अंतिम कारक इसके शून्य में योगदान देता है।

बहु-मूल्यांकन
जटिल लघुगणक $log z = log |z| + i arg z$ के गुणज तक निर्धारित होता है $2πi$ केवल, जो इसे बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन|बहु-मूल्यवान बनाता है। जटिल लघुगणक से जुड़े कार्य आम तौर पर इस संपत्ति को प्राप्त करते हैं। इनमें से एक सम्मिश्र संख्या के घातांक#nवें मूल हैं, और, चूँकि $z^{s}$ इसके अपघटन में प्रकट होता है, $γ$-फ़ंक्शन भी.

बहु-मूल्यवान कार्यों की अनिश्चितता जटिलताओं का परिचय देती है, क्योंकि यह बताया जाना चाहिए कि मूल्य का चयन कैसे किया जाए। इसे संभालने की रणनीतियाँ हैं:
 * (सबसे सामान्य तरीका) डोमेन बदलें $C$ बहु-मूल्यवान कार्यों में एक उपयुक्त मैनिफोल्ड द्वारा $C × C$ रीमैन सतह कहलाती है। हालाँकि यह बहु-मूल्यांकन को दूर करता है, किसी को इसके पीछे के सिद्धांत को जानना होगा ;
 * डोमेन को इस प्रकार प्रतिबंधित करें कि एक बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन अलग-अलग एकल-मूल्यवान शाखा बिंदु में विघटित हो जाए, जिसे व्यक्तिगत रूप से नियंत्रित किया जा सके।

इस अनुभाग में सूत्रों की सही व्याख्या करने के लिए नियमों के निम्नलिखित सेट का उपयोग किया जा सकता है। यदि अन्यथा उल्लेख नहीं किया गया है, तो निम्नलिखित मान लिया गया है:

सेक्टर
सेक्टरों में $C$ उनका शीर्ष बिंदु पर है $z = 0$ अक्सर जटिल अभिव्यक्तियों के लिए उपयुक्त डोमेन साबित होते हैं। एक सेक्टर $D$ सभी कॉम्प्लेक्स से मिलकर बना है $z$पूरा करना $z ≠ 0$ और $α − δ < arg z < α + δ$ कुछ के साथ $α$ और $0 < δ ≤ π$. अक्सर, $α$ को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है और तब निर्दिष्ट नहीं किया जाता है। अगर $δ$ दिया नहीं गया है, माना गया है $\pi$, और सेक्टर वास्तव में संपूर्ण विमान है $C$, से शुरू होने वाली आधी लाइन के अपवाद के साथ $z = 0$ और की दिशा में इशारा करते हुए $−α$, आमतौर पर ब्रांच कट#ब्रांच कट के रूप में काम करता है। नोट: कई अनुप्रयोगों और ग्रंथों में, $α$ को चुपचाप 0 मान लिया जाता है, जो सेक्टर को सकारात्मक वास्तविक अक्ष के आसपास केंद्रित करता है।

शाखाएँ
विशेष रूप से, ऐसे किसी भी सेक्टर डी पर एक एकल-मूल्यवान और होलोमोर्फिक लघुगणक मौजूद होता है, जिसका काल्पनिक भाग सीमा से बंधा होता है $(α − δ, α + δ)$. ऐसे प्रतिबंधित लघुगणक के आधार पर, $z^{s}$ और अपूर्ण गामा फ़ंक्शंस बदले में एकल-मूल्यवान, होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस में बदल जाते हैं $D$ (या $C×D$), जिसे डी पर उनके बहु-मूल्यवान समकक्षों की शाखाएँ कहा जाता है। का गुणज जोड़ना $2π$ को $α$ एक ही सेट पर सहसंबद्ध शाखाओं का एक अलग सेट उत्पन्न करता है $D$. हालाँकि, यहाँ किसी भी संदर्भ में, $α$ को स्थिर माना जाता है और इसमें शामिल सभी शाखाएँ इससे जुड़ी होती हैं। अगर $|α| < δ$, शाखाओं को प्रमुख शाखा कहा जाता है, क्योंकि वे सकारात्मक वास्तविक अक्ष पर अपने वास्तविक समकक्षों के बराबर होती हैं। ध्यान दें: कई अनुप्रयोगों और ग्रंथों में, सूत्र केवल प्रमुख शाखाओं के लिए होते हैं।

शाखाओं के बीच संबंध
जटिल पावर फ़ंक्शन और निचले अपूर्ण गामा फ़ंक्शन दोनों की विभिन्न शाखाओं के मान एक दूसरे से गुणा करके प्राप्त किए जा सकते हैं $$e^{2\pi iks}$$, के लिए $k$ एक उपयुक्त पूर्णांक.

शाखा बिंदु के निकट व्यवहार
उपरोक्त अपघटन से पता चलता है कि γ निकट व्यवहार करता है $z = 0$ स्पर्शोन्मुख रूप से पसंद: $$\gamma(s, z) \asymp z^s \, \Gamma(s) \, \gamma^*(s, 0) = z^s \, \Gamma(s)/\Gamma(s+1) = z^s/s.$$ सकारात्मक वास्तविकता के लिए $x$, $y$ और $s$, $x^{y}/y → 0$, कब $(x, y) → (0, s)$. यह सेटिंग को उचित ठहराता प्रतीत होता है $γ(s, 0) = 0$ वास्तव में $s > 0$. हालाँकि, जटिल क्षेत्र में मामले कुछ अलग हैं। केवल यदि (ए) का वास्तविक भाग $s$ सकारात्मक है, और (बी) मान $u^{v}$ को शाखाओं के एक सीमित सेट से लिया जाता है, उन्हें शून्य में परिवर्तित होने की गारंटी दी जाती है $(u, v) → (0, s)$, और ऐसा ही होता है $γ(u, v)$. के एक ही शाखा बिंदु पर $γ(b)$ स्वाभाविक रूप से पूर्ण हो जाता है, इसलिए वहाँ $γ(s, 0) = 0$ के लिए $s$ सकारात्मक वास्तविक भाग के साथ एक सतत कार्य है। यह भी ध्यान दें कि ऐसी निरंतरता किसी भी तरह से विश्लेषणात्मक निरंतरता नहीं है।

बीजगणितीय संबंध
सभी बीजगणितीय संबंध और अंतर समीकरण वास्तविक द्वारा देखे गए $γ(s, z)$ इसके होलोमोर्फिक समकक्ष को भी ध्यान में रखें। यह पहचान प्रमेय का परिणाम है, जिसमें कहा गया है कि वास्तविक अंतराल पर मान्य होलोमोर्फिक कार्यों के बीच समीकरण हर जगह लागू होते हैं। विशेष रूप से, पुनरावृत्ति संबंध और $∂γ(s, z)/∂z = z^{s−1} e^{−z}$  संबंधित शाखाओं पर संरक्षित हैं।

अभिन्न प्रतिनिधित्व
अंतिम संबंध हमें बताता है, कि, निश्चित के लिए $s$, $γ$ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का एक आदिम फ़ंक्शन है $z^{s−1} e^{−z}$. नतीजतन, किसी भी परिसर के लिए $u, v ≠ 0$,

$$\int_u^v t^{s-1}\,e^{-t}\, dt = \gamma(s,v) - \gamma(s,u)$$ धारण करता है, जब तक रेखा अभिन्न  पूरी तरह से इंटीग्रैंड की एक शाखा के डोमेन में समाहित है। यदि, इसके अतिरिक्त, का वास्तविक भाग $s$ सकारात्मक है, तो सीमा $γ(s, u) → 0$ के लिए $u → 0$ लागू होता है, अंततः जटिल अभिन्न परिभाषा पर पहुंचता है $γ$[एचटीटीपी://दलमफ.निस्ट.गॉव/8.2.ी1]

$$\gamma(s, z) = \int_0^z t^{s-1}\,e^{-t}\, dt, \, \Re(s) > 0. $$ एकीकरण का कोई भी पथ जिसमें शुरुआत में केवल 0 होता है, अन्यथा इंटीग्रैंड की एक शाखा के डोमेन तक सीमित होता है, उदाहरण के लिए, कनेक्ट करने वाली सीधी रेखा $0$ और $z$.

वास्तविक मूल्य
की एक प्रमुख शाखा के अभिन्न प्रतिनिधित्व को देखते हुए $z → +∞$, निम्नलिखित समीकरण सभी सकारात्मक वास्तविक के लिए लागू होता है $s$, $x$:[एचटीटीपी://दलमफ.निस्ट.गॉव/5.2.ी1] $$\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}\,e^{-t}\, dt = \lim_{x \to \infty} \gamma(s, x)$$

s जटिल
यह परिणाम जटिल तक फैला हुआ है $s$. पहले मान लीजिये $γ$ और $1 ≤ Re(s) ≤ 2$. तब $$|\gamma(s, b) - \gamma(s, a)| \le \int_a^b |t^{s-1}| e^{-t}\, dt = \int_a^b t^{\Re s-1} e^{-t}\, dt \le \int_a^b t e^{-t}\, dt$$ कहां $$|z^s| = |z|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}$$ बीच में प्रयोग किया गया है. चूंकि अंतिम अभिन्न अंग मनमाने ढंग से छोटा हो जाता है यदि केवल $a$ काफी बड़ा है, $1 < a < b$ के लिए समान रूप से अभिसरण होता है $γ(s, x)$ पट्टी पर $x → ∞$ एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन की ओर, जो पहचान प्रमेय के कारण Γ(s) होना चाहिए। पुनरावृत्ति संबंध में सीमा लेना $1 ≤ Re(s) ≤ 2$ और ध्यान दें, वह लिम $γ(s, x) = (s − 1) γ(s − 1, x) − x^{s − 1} e^{−x}$ के लिए $x^{n} e^{−x} = 0$ और सभी $n$, पता चलता है कि $x → ∞$ पट्टी के बाहर भी, Γ-फ़ंक्शन के पुनरावृत्ति संबंध का पालन करने वाले फ़ंक्शन की ओर अभिसरण करता है। यह इस प्रकार है

$$\Gamma(s) = \lim_{x \to \infty} \gamma(s, x)$$ सभी जटिल के लिए $s$ एक गैर-धनात्मक पूर्णांक नहीं, $x$ वास्तविक और $γ(s, x)$ प्रधान अध्यापक।

क्षेत्रवार अभिसरण
अब चलो $u$ सेक्टर से हो $γ$ कुछ निश्चित के साथ $δ$ ($|arg z| < δ < π/2$), $α = 0$ इस क्षेत्र की प्रमुख शाखा बनें, और देखें $$\Gamma(s) - \gamma(s, u) = \Gamma(s) - \gamma(s, |u|) + \gamma(s, |u|) - \gamma(s, u).$$ जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, पहला अंतर मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है, यदि $γ$ पर्याप्त रूप से बड़ा है. दूसरा अंतर निम्नलिखित अनुमान की अनुमति देता है:

$$|\gamma(s, |u|) - \gamma(s, u)| \le \int_u^{|u|} |z^{s-1} e^{-z}|\, dz = \int_u^{|u|} |z|^{\Re s - 1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z} \, dz,$$ जहां हमने के अभिन्न प्रतिनिधित्व का उपयोग किया $|u|$ और सूत्र के बारे में $γ$ ऊपर। यदि हम चाप को त्रिज्या के साथ एकीकृत करते हैं $|z^{s}|$ लगभग 0 कनेक्टिंग $u$ और $R = |u|$, तो अंतिम अभिन्न है

$$\le R \left|\arg u\right| R^{\Re s - 1}\, e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos\arg u} \le \delta\,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta}\,e^{-R\cos\delta} = M\,(R\,\cos\delta)^{\Re s}\,e^{-R\cos\delta}$$ कहाँ $|u|$ एक स्थिरांक स्वतंत्र है $u$ या $R$. फिर से के व्यवहार का जिक्र $M = δ(cos δ)^{−Re s} e^{Im sδ}$ बड़े के लिए $x$, हम देखते हैं कि अंतिम अभिव्यक्ति 0 के करीब पहुंचती है $R$की ओर बढ़ता है $x^{n} e^{−x}$. कुल मिलाकर अब हमारे पास है:

$$\Gamma(s) = \lim_{|z| \to \infty} \gamma(s, z), \quad \left|\arg z\right| < \pi/2 - \epsilon,$$ अगर $s$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है, $∞$ मनमाने ढंग से छोटा है, लेकिन निश्चित है, और $0 < ε < π/2$ इस डोमेन पर प्रमुख शाखा को दर्शाता है।

अवलोकन
$$\gamma(s, z)$$ है:
 * संपूर्ण समारोह में $z$ निश्चित, धनात्मक पूर्णांक के लिए $s$;
 * बहु-मूल्यवान होलोमोर्फिक फ़ंक्शन $z$ निश्चित के लिए $s$ एक पूर्णांक नहीं, एक शाखा बिंदु के साथ $γ$;
 * प्रत्येक शाखा पर मेरोमोर्फिक इन $s$ निश्चित के लिए $z = 0$, गैर-धनात्मक पूर्णांकों पर सरल ध्रुवों के साथ।

ऊपरी अपूर्ण गामा फ़ंक्शन
ऊपरी अपूर्ण गामा फ़ंक्शन के संबंध में, एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन एक्सटेंशन $z$ या $s$, द्वारा दिया गया है $$\Gamma(s,z) = \Gamma(s) - \gamma(s, z)$$ बिंदुओं पर $z ≠ 0$, जहां दाहिना हाथ मौजूद है। तब से $$\gamma$$ बहु-मूल्यवान है, वही बात लागू होती है $$\Gamma$$, लेकिन प्रमुख मूल्यों पर प्रतिबंध केवल एकल-मूल्य वाली प्रमुख शाखा उत्पन्न करता है $$\Gamma$$.

कब $s$ उपरोक्त समीकरण में एक गैर-धनात्मक पूर्णांक है, अंतर का कोई भी भाग परिभाषित नहीं है, और एक फ़ंक्शन की सीमा, यहां के लिए विकसित की गई है $(s, z)$, लुप्त मान भरता है। जटिल विश्लेषण होलोमोर्फिक फ़ंक्शन की गारंटी देता है, क्योंकि $$\Gamma(s,z)$$ एक निश्चित के लिए उस सीमा के पड़ोस (गणित) में बंधा हुआ कार्य साबित होता है $z$.

सीमा निर्धारित करने के लिए, की शक्ति श्रृंखला $$\gamma^*$$ पर $s → 0$ उपयोगी है। प्रतिस्थापित करते समय $$e^{-x}$$ की अभिन्न परिभाषा में इसकी शक्ति श्रृंखला द्वारा $$\gamma$$, कोई प्राप्त करता है (मान लीजिए $x$,$s$अभी के लिए सकारात्मक वास्तविकताएँ):

$$\gamma(s, x) = \int_0^x t^{s-1} e^{-t} \, dt = \int_0^x \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,\frac{t^{s+k-1}}{k!} \, dt = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,\frac{x^{s+k}}{k!(s+k)} = x^s\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-x)^k}{k!(s+k)}$$ या $$\gamma^*(s,x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-x)^k}{k!\,\Gamma(s)(s+k)}.$$ जो, संपूर्ण का एक श्रृंखलाबद्ध प्रतिनिधित्व के रूप में $$\gamma^*$$ फ़ंक्शन, सभी कॉम्प्लेक्स के लिए अभिसरण करता है $x$ (और सभी जटिल $s$ एक गैर-धनात्मक पूर्णांक नहीं)।

वास्तविक मूल्यों पर प्रतिबंध हटने के साथ, श्रृंखला विस्तार की अनुमति देती है:

$$\gamma(s, z) - \frac{1}{s} = -\frac{1}{s} + z^s\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-z)^k}{k!(s+k)} = \frac{z^s-1}{s} + z^s\, \sum_{k=1}^\infty \frac{(-z)^k}{k!(s+k)},\quad \Re(s) > -1, \,s \ne 0.$$ कब $z = 0$: $$\frac{z^s-1}{s} \to \ln(z),\quad \Gamma(s) - \frac{1}{s} = \frac{1}{s} - \gamma + O(s) - \frac{1}{s} \to -\gamma,$$ ($$\gamma$$ यहाँ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है), इसलिए, $$\Gamma(0,z) = \lim_{s \to 0}\left(\Gamma(s) - \tfrac{1}{s} - (\gamma(s, z) - \tfrac{1}{s})\right) = -\gamma-\ln(z) - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-z)^k}{k\,(k!)}$$ ऊपरी अपूर्ण गामा फ़ंक्शन के लिए सीमित फ़ंक्शन है $s → 0$, जिसे घातांकीय समाकलन के रूप में भी जाना जाता है $$E_1(z)$$. पुनरावृत्ति संबंध के माध्यम से, के मान $$\Gamma(-n, z)$$ सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $n$ इस परिणाम से प्राप्त किया जा सकता है,

$$\Gamma(-n, z) = \frac{1}{n!} \left(\frac{e^{-z}}{z^n} \sum_{k = 0}^{n - 1} (-1)^k (n - k - 1)! \, z^k + (-1)^n \Gamma(0, z)\right)$$ इसलिए ऊपरी अधूरा गामा फ़ंक्शन दोनों के संबंध में मौजूद और होलोमोर्फिक साबित होता है $z$ और $s$, सभी के लिए $s$ और $s → 0$.

$$\Gamma(s, z)$$ है:
 * संपूर्ण समारोह में $z$ निश्चित, सकारात्मक अभिन्न के लिए $s$;
 * बहु-मूल्यवान होलोमोर्फिक फ़ंक्शन $z$ निश्चित के लिए $s$ गैर शून्य और एक सकारात्मक पूर्णांक नहीं, एक शाखा बिंदु के साथ $z ≠ 0$;
 * के बराबर $$\Gamma(s)$$ के लिए $s$ सकारात्मक वास्तविक भाग के साथ और $z = 0$ (सीमा जब $$(s_i,z_i) \to (s, 0)$$), लेकिन यह एक सतत विस्तार है, विश्लेषणात्मक निरंतरता नहीं (वास्तविक नहीं है)। $z = 0$!);
 * प्रत्येक शाखा पर संपूर्ण कार्य $s$ निश्चित के लिए $s < 0$.

विशेष मूल्य

 * $$\Gamma(s+1,1) = \frac{\lfloor es! \rfloor}{e} $$ अगर $s$ एक धनात्मक पूर्णांक है,
 * $$\Gamma(s,x) = (s-1)!\, e^{-x} \sum_{k=0}^{s-1} \frac{x^k}{k!}$$ अगर $s$ एक धनात्मक पूर्णांक है,
 * $$ \Gamma(s,0) = \Gamma(s), \Re(s) > 0$$,
 * $$\Gamma(1,x) = e^{-x}$$,
 * $$\gamma(1,x) = 1 - e^{-x}$$,
 * $$\Gamma(0,x) = -\operatorname{Ei}(-x)$$ के लिए $$x>0$$,
 * $$\Gamma(s,x) = x^s \operatorname{E}_{1-s}(x)$$,
 * $$\Gamma\left(\tfrac{1}{2}, x\right) = \sqrt\pi \operatorname{erfc}\left(\sqrt x\right)$$,
 * $$\gamma\left(\tfrac{1}{2}, x\right) = \sqrt\pi \operatorname{erf}\left(\sqrt x\right)$$.

यहाँ, $$\operatorname{Ei}$$ घातीय अभिन्न है, $$\operatorname{E}_n$$ घातीय अभिन्न अंग है#अन्य कार्यों के साथ संबंध, $$\operatorname{erf}$$ त्रुटि फ़ंक्शन है, और $$\operatorname{erfc}$$ पूरक त्रुटि फ़ंक्शन है, $$\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)$$.

स्पर्शोन्मुख व्यवहार

 * $$\frac{\gamma(s,x)}{x^s} \to \frac{1}{s}$$ जैसा $$x \to 0$$,
 * $$\frac{\Gamma(s,x)}{x^s} \to -\frac{1}{s}$$ जैसा $$x \to 0$$ और $$\Re (s) < 0$$ (वास्तव में $z ≠ 0$, की त्रुटि $s$ के आदेश पर है $Γ(s, x) ~ −x^{s} / s$ अगर $O(x^{min{s + 1, 0}})|undefined$ और $s ≠ −1$ अगर $O(ln(x))$),
 * $$\Gamma(s,x) \sim \Gamma(s) - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{s+n}}{n!(s+n)}$$ एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में जहां $$x\to0^+$$ और $$s\neq 0,-1,-2,\dots$$.
 * $$\Gamma(-N,x) \sim C_N + \frac{(-1)^{N+1}}{N!} \ln x - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{n-N}}{n!(n-N)}$$ एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में जहां $$x \to 0^+$$ और $$N = 1, 2, \dots$$, कहाँ $C_N = \frac{(-1)^{N+1}}{N!} \left( \gamma - \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \right)$, कहाँ $$\gamma$$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।
 * $$\gamma(s,x) \to \Gamma(s)$$ जैसा $$x \to \infty$$,
 * $$\frac{\Gamma(s,x)}{x^{s-1} e^{-x}} \to 1$$ जैसा $$x \to \infty$$,
 * $$\Gamma(s,z) \sim z^{s-1} e^{-z} \sum_{k=0} \frac {\Gamma(s)} {\Gamma(s-k)} z^{-k}$$ एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में जहां $$|z| \to \infty$$ और $$\left|\arg z\right| < \tfrac{3}{2} \pi$$.

मूल्यांकन सूत्र
निम्न गामा फ़ंक्शन का मूल्यांकन पावर श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके किया जा सकता है: $$\gamma(s, z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^s e^{-z} z^k}{s (s+1) \dots (s+k)}=z^s e^{-z}\sum_{k=0}^\infty\dfrac{z^k}{s^{\overline{k+1}}}$$ कहाँ $$s^{\overline{k+1}}$$गिरती और बढ़ती फैक्टोरियल है।

एक वैकल्पिक विस्तार है $$\gamma(s,z)= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \frac{z^{s+k}}{s+k}= \frac{z^s}{s} M(s, s+1,-z),$$ कहाँ $s = −1$ कुमेर का संगम हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन है।

कुमेर के संगम हाइपरजियोमेट्रिक फ़ंक्शन के साथ संबंध
जब का असली हिस्सा $z$ सकारात्मक है, $$\gamma(s,z) = s^{-1} z^s e^{-z} M(1,s+1,z)$$ कहाँ $$ M(1, s+1, z) = 1 + \frac{z}{(s+1)} + \frac{z^2}{(s+1)(s+2)} + \frac{z^3}{(s+1)(s+2)(s+3)} + \cdots$$ अभिसरण की अनंत त्रिज्या है।

फिर से मिश्रित हाइपरज्यामितीय कार्यों के साथ और कुमेर की पहचान को नियोजित करते हुए, $$\begin{align} \Gamma(s,z) &= e^{-z} U(1-s,1-s,z) = \frac{z^s e^{-z}}{\Gamma(1-s)} \int_0^\infty \frac{e^{-u}}{u^s (z+u)} du \\ &= e^{-z} z^s U(1,1+s,z) = e^{-z} \int_0^\infty e^{-u} (z+u)^{s-1} du = e^{-z} z^s \int_0^\infty e^{-z u} (1+u)^{s-1} du. \end{align}$$ संख्यात्मक मानों की वास्तविक गणना के लिए, गॉस का निरंतर अंश एक उपयोगी विस्तार प्रदान करता है:

$$ \gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{s - \cfrac{s z}{s+1 + \cfrac{z}{s+2 - \cfrac{(s+1)z} {s+3 + \cfrac{2z}{s+4 - \cfrac{(s+2)z}{s+5 + \cfrac{3z}{s+6 - \ddots}}}}}}}. $$ यह निरंतर अंश सभी कॉम्प्लेक्स के लिए अभिसरण करता है $z$, केवल वही प्रदान किया गया $s$ एक ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है.

ऊपरी गामा फ़ंक्शन में निरंतर अंश होता है $$ \Gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{z+\cfrac{1-s}{1 + \cfrac{1}{z + \cfrac{2-s} {1 + \cfrac{2}{z+ \cfrac{3-s}{1+ \ddots}}}}}} $$ और $$ \Gamma(s, z)= \cfrac{z^s e^{-z}}{1+z-s+ \cfrac{s-1}{3+z-s+ \cfrac{2(s-2)}{5+z-s+ \cfrac{3(s-3)} {7+z-s+ \cfrac{4(s-4)}{9+z-s+ \ddots}}}}} $$

गुणन प्रमेय
निम्नलिखित गुणन प्रमेय सत्य है: $$\Gamma(s,z) = \frac 1 {t^s} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{\left(1-\frac 1 t \right)^i}{i!} \Gamma(s+i,t z) = \Gamma(s,t z) -(t z)^s e^{-t z} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\left(\frac 1 t-1 \right)^i}{i} L_{i-1}^{(s-i)}(t z).$$

सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन
अपूर्ण गामा फ़ंक्शन विभिन्न कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में उपलब्ध हैं।

हालाँकि, सीधे तौर पर अनुपलब्ध होने पर भी, अपूर्ण फ़ंक्शन मानों की गणना आमतौर पर स्प्रेडशीट (और कंप्यूटर बीजगणित पैकेज) में शामिल फ़ंक्शंस का उपयोग करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए, Microsoft Excel  में, इनकी गणना गामा वितरण फ़ंक्शन के साथ संयुक्त गामा फ़ंक्शन का उपयोग करके की जा सकती है। ये गामा वितरण की परिभाषा से अनुसरण करते हैं#संचयी वितरण फ़ंक्शन|गामा वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन।
 * निचला अपूर्ण कार्य: $$ \gamma(s, x) $$.
 * ऊपरी अधूरा कार्य: $$ \Gamma(s, x) $$.

पायथन में, हालांकि Scipy अपूर्ण गामा फ़ंक्शंस के कार्यान्वयन प्रदान करता है scipy.special, यह पहले तर्क के लिए नकारात्मक मानों का समर्थन नहीं करता है। ऐसे मामलों में एक समाधान लाइब्रेरी mpmath से gammainc फ़ंक्शन का उपयोग करना है।

नियमित गामा फ़ंक्शन और पॉइसन यादृच्छिक चर
दो संबंधित कार्य नियमित गामा कार्य हैं:

$$P(s,x)=\frac{\gamma(s,x)}{\Gamma(s)},$$ $$Q(s,x)=\frac{\Gamma(s,x)}{\Gamma(s)} = 1 - P(s,x).$$

$$P(s,x)$$ आकार पैरामीटर के साथ गामा वितरण के लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन है $$s$$ और स्केल पैरामीटर 1.

कब $$s$$ एक पूर्णांक है, $$Q(s, \lambda)$$ पॉइसन यादृच्छिक चर के लिए संचयी वितरण फ़ंक्शन है: यदि $$X$$ एक है $$\mathrm{Poi}(\lambda)$$ फिर यादृच्छिक चर

$$ \Pr(X 1) $$ कहाँ $$\mathfrak{N}_{\alpha}(\nu)$$ आकृति का एक मानक स्थिर गणना वितरण है $$ \alpha = 1/s < 1$$.

$$P(s,x)$$ और $$Q(s, x)$$ के रूप में क्रियान्वित किया जाता है  और   scipy में.

व्युत्पन्न
उपरोक्त अभिन्न प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हुए, ऊपरी अपूर्ण गामा फ़ंक्शन का व्युत्पन्न $$ \Gamma (s,x) $$ इसके संबंध में $x$ है $$ \frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial x} = - x^{s-1} e^{-x}$$ इसके पहले तर्क के संबंध में व्युत्पन्न $$s$$ द्वारा दिया गया है $$\frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial s} = \ln x \Gamma (s,x) + x\,T(3,s,x)$$ और दूसरा व्युत्पन्न द्वारा $$\frac{\partial^2 \Gamma (s,x) }{\partial s^2} = \ln^2 x \Gamma (s,x) + 2 x[\ln x\,T(3,s,x) + T(4,s,x) ]$$ जहां समारोह $$T(m,s,x)$$ मीजर जी-फ़ंक्शन का एक विशेष मामला है $$T(m,s,x) = G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0} \!\left( \left. \begin{matrix} 0, 0, \dots, 0 \\ s-1, -1, \dots, -1 \end{matrix} \; \right| \, x \right).$$ इस विशेष विशेष मामले में अपने स्वयं के आंतरिक समापन गुण हैं क्योंकि इसका उपयोग सभी क्रमिक डेरिवेटिव को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। सामान्य रूप में, $$\frac{\partial^m \Gamma (s,x) }{\partial s^m} = \ln^m x \Gamma (s,x) + m x\,\sum_{n=0}^{m-1} P_n^{m-1} \ln^{m-n-1} x\,T(3+n,s,x)$$ कहाँ $$ P_j^n $$ पोचहैमर प्रतीक द्वारा परिभाषित क्रमपरिवर्तन है: $$P_j^n = \binom{n}{j} j! = \frac{n!}{(n-j)!}.$$ ऐसे सभी व्युत्पन्न क्रमिक रूप से उत्पन्न किए जा सकते हैं: $$\frac{\partial T (m,s,x) }{\partial s} = \ln x ~ T(m,s,x) + (m-1) T(m+1,s,x)$$ और $$\frac{\partial T (m,s,x) }{\partial x} = -\frac{1}{x} [T(m-1,s,x) + T(m,s,x)]$$ यह फ़ंक्शन $$T(m,s,x)$$ इसके लिए मान्य श्रृंखला प्रतिनिधित्व से गणना की जा सकती है $$ |z| < 1 $$, $$T(m,s,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \left.\frac{d^{m-2} }{dt^{m-2} } \left[\Gamma (s-t) z^{t-1}\right]\right|_{t=0} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{s-1+n}}{n! (-s-n)^{m-1} }$$ इस समझ के साथ $s$ कोई ऋणात्मक पूर्णांक या शून्य नहीं है. ऐसे में व्यक्ति को एक सीमा का उपयोग करना चाहिए। के परिणाम $$ |z| \ge 1 $$ विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। इस फ़ंक्शन के कुछ विशेष मामलों को सरल बनाया जा सकता है. उदाहरण के लिए, $$T(2,s,x)=\Gamma(s,x)/x$$, $$x\,T(3,1,x) = \mathrm{E}_1(x)$$, कहाँ $$\mathrm{E}_1(x)$$ घातीय अभिन्न अंग है. ये डेरिवेटिव और फ़ंक्शन $$T(m,s,x)$$ ऊपरी अपूर्ण गामा फ़ंक्शन की अभिन्न परिभाषा के बार-बार विभेदन द्वारा कई अभिन्नों का सटीक समाधान प्रदान करें। उदाहरण के लिए, $$ \int_{x}^{\infty} \frac{t^{s-1} \ln^m t}{e^t} dt= \frac{\partial^m}{\partial s^m} \int_{x}^{\infty} \frac{t^{s-1}}{e^t} dt = \frac{\partial^m}{\partial s^m} \Gamma (s,x)$$ इस सूत्र को लाप्लास परिवर्तनों और मेलिन परिवर्तनों के एक विशाल वर्ग के लिए और अधिक बढ़ाया या सामान्यीकृत किया जा सकता है। जब कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के साथ जोड़ा जाता है, तो विशेष कार्यों का शोषण निश्चित इंटीग्रल्स को हल करने के लिए एक शक्तिशाली तरीका प्रदान करता है, विशेष रूप से व्यावहारिक इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों द्वारा सामना किए जाने वाले (अधिक विवरण के लिए प्रतीकात्मक एकीकरण देखें)।

अनिश्चित और निश्चित समाकलन
भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके निम्नलिखित अनिश्चितकालीन अभिन्न अंग आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं (दोनों मामलों में एकीकरण के स्थिरांक को छोड़ दिया गया है):

$$\int x^{b-1} \gamma(s,x) dx = \frac{1}{b} \left( x^b \gamma(s,x) - \gamma(s+b,x) \right),$$ $$\int x^{b-1} \Gamma(s,x) dx = \frac{1}{b} \left( x^b \Gamma(s,x) - \Gamma(s+b,x) \right).$$ निचले और ऊपरी अपूर्ण गामा फ़ंक्शन फूरियर रूपांतरण के माध्यम से जुड़े हुए हैं:

$$\int_{-\infty}^\infty \frac {\gamma\left(\frac s 2, z^2 \pi \right)} {(z^2 \pi)^\frac s 2} e^{-2 \pi i k z} dz = \frac {\Gamma\left(\frac {1-s} 2, k^2 \pi \right)} {(k^2 \pi)^\frac {1-s} 2}.$$ यह, उदाहरण के लिए, उपयुक्त विशेषज्ञता द्वारा अनुसरण करता है.

संदर्भ

 * §6.5.
 * G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
 * (See also www.netlib.org/toms/654).
 * G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
 * (See also www.netlib.org/toms/654).
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 * (See also www.netlib.org/toms/654).
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बाहरी संबंध

 * $$P(a,x)$$ — Regularized Lower Incomplete Gamma Function Calculator
 * $$Q(a,x)$$ — Regularized Upper Incomplete Gamma Function Calculator
 * $$\gamma(a,x)$$ — Lower Incomplete Gamma Function Calculator
 * $$\Gamma(a,x)$$ — Upper Incomplete Gamma Function Calculator
 * formulas and identities of the Incomplete Gamma Function functions.wolfram.com