अदिश क्षेत्र सिद्धांत

सैद्धांतिक भौतिकी में, अदिश क्षेत्र सिद्धांत अदिश क्षेत्रों के एक सापेक्षिक रूप से अपरिवर्तनीय शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत या क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का उल्लेख कर सकता है। किसी भी लोरेंत्ज़ रूपांतरण के अंतर्गत एक अदिश क्षेत्र अपरिवर्तनीय है।

प्रकृति में देखा गया एकमात्र मौलिक अदिश क्वांटम क्षेत्र हिग्स क्षेत्र है। हालांकि, कई भौतिक घटनाओं के प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत विवरण में स्केलर क्वांटम क्षेत्र की विशेषता है। एक उदाहरण पिओन है, जो वास्तव में एक छद्म अदिश है।

चूँकि उनमें ध्रुवीकरण की जटिलताएँ सम्मिलित नहीं हैं, अदिश क्षेत्र प्रायः दूसरे परिमाणीकरण की सराहना करने के लिए सबसे आसान होते हैं। इस कारण से, अदिश क्षेत्र सिद्धांतों का प्रयोग प्रायः नवीन अवधारणाओं और तकनीकों की शुरुआत के उद्देश्यों के लिए किया जाता है।

नीचे नियोजित मीट्रिक हस्ताक्षर है $(0, 0)$.

शास्त्रीय अदिश क्षेत्र सिद्धांत
इस खंड के लिए एक सामान्य संदर्भ रामोंड, पियरे (2001-12-21) है। क्षेत्र सिद्धांत: ए मॉडर्न प्राइमर (द्वितीय संस्करण)। यूएसए: वेस्टव्यू प्रेस। ISBN 0-201-30450-3, अध्याय 1।

रेखीय (मुक्त) सिद्धांत
सबसे बुनियादी अदिश क्षेत्र सिद्धांत रेखीय सिद्धांत है। खेतों के फूरियर रूपांतरण के माध्यम से, यह युग्मित ऑसिलेटर्स की अनंतता के सामान्य मोड का प्रतिनिधित्व करता है जहां ऑसिलेटर इंडेक्स i की निरंतर सीमा अब x द्वारा निरूपित की जाती है। तब मुक्त आपेक्षिकीय अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए क्रिया है
 * $$\begin{align}

\mathcal{S} &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \mathcal{L} \\ &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - \frac{1}{2} m^2\phi^2\right] \\[6pt] &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi \partial_j\phi -\frac{1}{2} m^2\phi^2\right], \end{align}$$ जहां $$\mathcal{L}$$ लाग्रंगियन को घनत्व $(+, −, −, −)$ के रूप में जाना जाता है, तीन स्थानिक निर्देशांक के लिए $d^{4&minus;1}x ≡ dx ⋅ dy ⋅ dz ≡ dx^{1} ⋅ dx^{2} ⋅ dx^{3}$ क्रोनकर डेल्टा फलन है और $δ^{ij}$ $ρ$-वें समन्वय $∂_{ρ} = ∂/∂x^{ρ}$

यह एक द्विघात क्रिया का एक उदाहरण है, क्योंकि प्रत्येक पद क्षेत्र में द्विघात है, $φ$ कण द्रव्यमान के संदर्भ में इस सिद्धांत के मात्रात्मक संस्करण में, m2 के आनुपातिक शब्द को कभी-कभी इसके बाद की व्याख्या के कारण द्रव्यमान शब्द के रूप में जाना जाता है।

इस सिद्धांत के लिए गति का समीकरण उपरोक्त क्रिया को एक्सट्रीमाइज़ करके प्राप्त किया जाता है। यह φ में निम्नलिखित रूप रैखिक लेता है,


 * $$\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\partial_\nu\phi+m^2\phi=\partial^2_t\phi-\nabla^2\phi+m^2\phi=0 ~,$$

जहाँ ∇2 लाप्लास संकारक है। यह क्लेन-गॉर्डन समीकरण है, जिसकी व्याख्या क्वांटम-यांत्रिक तरंग समीकरण के अतिरिक्त शास्त्रीय क्षेत्र समीकरण के रूप में की जाती है।

अरेखीय (बातचीत) सिद्धांत
ऊपर दिए गए रैखिक सिद्धांत का सबसे सामान्य सामान्यीकरण लाग्रंगियन यांत्रिकी में एक स्केलर क्षमता $x^{ρ}$) जोड़ना है, जहां आम तौर पर, द्रव्यमान शब्द के अतिरिक्त, V $Φ$ में एक बहुपद है। इस तरह के सिद्धांत को कभी-कभी अंतःक्रियात्मक कहा जाता है, क्योंकि यूलर-लग्रेंज समीकरण अब अरैखिक है, जो आत्म-बातचीत का अर्थ है। इस तरह के सबसे सामान्य सिद्धांत के लिए क्रिया है


 * $$\begin{align}

\mathcal{S} &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \mathcal{L} \\[3pt] &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \mathrm{d}t \left[\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\partial_\nu\phi - V(\phi) \right] \\[3pt] &= \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[ \frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 - \frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2 - \sum_{n=3}^\infty \frac{1}{n!} g_n\phi^n \right] \end{align}$$ विस्तार में n कारक पेश किए गए हैं क्योंकि वे क्वांटम सिद्धांत के रिचर्ड फेनमैन विस्तार में उपयोगी हैं, जैसा कि नीचे वर्णित है।

गति का संगत यूलर-लैग्रेंज समीकरण अब है:
 * $$\eta^{\mu\nu} \partial_\mu \partial_\nu\phi + V'(\phi) = \partial^2_t \phi - \nabla^2 \phi + V'(\phi) = 0.$$

आयामी विश्लेषण और स्केलिंग
इन अदिश क्षेत्र सिद्धांतों में भौतिक राशियों में लंबाई, समय या द्रव्यमान, या तीनों के कुछ संयोजन के आयाम हो सकते हैं।

हालांकि, एक सापेक्षवादी सिद्धांत में, समय के आयामों के साथ किसी भी मात्रा $t$ को प्रकाश की गति, $c$ का उपयोग करके आसानी से लंबाई, $V(Φ)$ में परिवर्तित किया जा सकता है। इसी तरह, कोई भी लम्बाई $l$ प्लैंक स्थिरांक, $ħ$ का उपयोग करते हुए एक व्युत्क्रम द्रव्यमान,$l =ct$ के बराबर है। प्राकृतिक इकाइयों में, एक समय को लंबाई के रूप में, या या तो समय या लंबाई को व्युत्क्रम द्रव्यमान के रूप में माना जाता है।

संक्षेप में, कोई भी किसी भी भौतिक मात्रा के आयामों के बारे में सोच सकता है, जैसा कि तीनों के अतिरिक्त केवल एक स्वतंत्र आयाम के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। इसे प्रायः मात्रा का द्रव्यमान आयाम कहा जाता है। प्रत्येक मात्रा के आयामों को जानने के बाद, आयामी स्थिरता के लिए आवश्यक $ħ$ और $c$ की आवश्यक शक्तियों को पुन: स्थापित करके इस द्रव्यमान आयाम के संदर्भ में प्राकृतिक इकाइयों की अभिव्यक्ति से पारंपरिक आयामों को विशिष्ट रूप से पुनर्स्थापित करने की अनुमति मिलती है।

एक बोधगम्य आपत्ति यह है कि यह सिद्धांत शास्त्रीय है, और इसलिए यह स्पष्ट नहीं है कि प्लैंक स्थिरांक सिद्धांत का एक हिस्सा कैसे होना चाहिए। यदि वांछित है, तो वास्तव में द्रव्यमान आयामों के बिना सिद्धांत को फिर से तैयार किया जा सकता है: हालांकि, यह क्वांटम स्केलर क्षेत्र के साथ संबंध को थोड़ा अस्पष्ट करने की कीमत पर होगा। यह देखते हुए कि किसी के पास द्रव्यमान के आयाम हैं प्लैंक के स्थिरांक को क्रिया की एक अनिवार्य रूप से मनमाना निश्चित संदर्भ मात्रा के रूप में माना जाता है (जरूरी नहीं कि परिमाणीकरण से जुड़ा हो) इसलिए द्रव्यमान और व्युत्क्रम लंबाई के बीच परिवर्तित करने के लिए उपयुक्त आयामों के साथ।

स्केलिंग आयाम
क्लासिकल स्केलिंग आयाम, या मास आयाम, $Δ$, $φ$ का निर्देशांक के पुनर्विक्रय के अंतर्गत क्षेत्र के परिवर्तन का वर्णन करता है:
 * $$x\rightarrow\lambda x$$
 * $$\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~.$$

कार्रवाई की इकाइयां $ħ$ की इकाइयों के समान होती हैं, और इसलिए कार्रवाई में शून्य द्रव्यमान आयाम होता है। यह क्षेत्र $φ$ होने के स्केलिंग आयाम को ठीक करता है:
 * $$\Delta =\frac{D-2}{2}.$$

स्केल इनवेरियन
एक विशिष्ट अर्थ है जिसमें कुछ स्केलर क्षेत्र सिद्धांत स्केल-अचर हैं। जबकि उपरोक्त सभी क्रियाएं शून्य द्रव्यमान आयाम के लिए बनाई गई हैं, स्केलिंग परिवर्तन के अंतर्गत सभी क्रियाएं अपरिवर्तनीय नहीं हैं
 * $$x\rightarrow\lambda x $$
 * $$\phi\rightarrow\lambda^{-\Delta}\phi ~.$$

सभी क्रियाएं अपरिवर्तनीय नहीं होने का कारण यह है कि आम तौर पर पैरामीटर m और $ħ=lmc$ को निश्चित मात्रा के रूप में माना जाता है, जो उपरोक्त परिवर्तन के अंतर्गत पुन: स्केल नहीं किए जाते हैं। एक स्केलर क्षेत्र सिद्धांत के स्केल अचर होने की स्थिति तब काफी स्पष्ट है: कार्रवाई में दिखाई देने वाले सभी पैरामीटर आयाम रहित मात्रा में होने चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक स्केल अचर सिद्धांत सिद्धांत में बिना किसी निश्चित लंबाई के पैमाने (या समतुल्य, बड़े पैमाने पर) के बिना एक है।

$g_{n}$ दिक्-काल आयामों के साथ एक अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए, एकमात्र आयाम रहित पैरामीटर $D$ $n$ = $g_{n}$ को संतुष्ट करता है। उदाहरण के लिए, $2D⁄(D − 2)$ = 4 में, केवल $D$ क्लासिकल आयामलेस है, और इसलिए $g_{4}$ = 4 में एकमात्र क्लासिकल स्केल-अचर स्केलर क्षेत्र सिद्धांत मासलेस $φ$ सिद्धांत है।

क्लासिकल स्केल इनवेरियन, हालांकि, सामान्य रूप से क्वांटम स्केल इनवेरियन का मतलब नहीं है, क्योंकि पुनर्सामान्यीकरण समूह में सम्मिलित है - नीचे बीटा फलन की चर्चा देखें।

अनुरूप आक्रमण
एक परिवर्तन
 * $$x\rightarrow \tilde{x}(x)$$

यदि परिवर्तन संतुष्ट करता है तो अनुरूप समरूपता कहा जाता है
 * $$\frac{\partial\tilde{x^\mu}}{\partial x^\rho}\frac{\partial\tilde{x^\nu}}{\partial

x^\sigma}\eta_{\mu\nu}=\lambda^2(x)\eta_{\rho\sigma}$$ किसी समारोह के लिए $D$.

अनुरूप समूह में उपसमूहों के रूप में मीट्रिक $$\eta_{\mu\nu}$$ (पॉइनकेयर समूह) के आइसोमेट्री और ऊपर दिए गए स्केलिंग रूपांतरण (या डिलेटेशन) भी सम्मिलित हैं। वास्तव में, पिछले खंड में स्केल-अचर सिद्धांत भी अनुरूप-अपरिवर्तनीय हैं।

$φ$4 सिद्धांत
बड़े पैमाने पर $φ$4 सिद्धांत स्केलर क्षेत्र सिद्धांत में कई रोचक घटनाओं को दर्शाता है।

लाग्रंगियन घनत्व है
 * $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}(\partial_t\phi)^2 -\frac{1}{2}\delta^{ij}\partial_i\phi\partial_j\phi - \frac{1}{2}m^2\phi^2-\frac{g}{4!}\phi^4.$$

स्वतःस्फूर्त समरूपता टूटना
इस लाग्रंगियन में परिवर्तन $λ(x)$ के अंतर्गत एक ℤ₂ समरूपता है। यह स्पेसटाइम समरूपता के विपरीत आंतरिक समरूपता का एक उदाहरण है।

यदि $φ→ −φ$ धनात्मक है, तो क्षमता
 * $$V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2 +\frac{g}{4!}\phi^4$$ मूल में एक न्यूनतम है। समाधान φ=0 ℤ₂ समरूपता के अंतर्गत स्पष्ट रूप से अपरिवर्तनीय है।

इसके विपरीत यदि $m^{2}$ ऋणात्मक है, तो कोई आसानी से देख सकता है कि क्षमता
 * $$\, V(\phi)=\frac{1}{2}m^2\phi^2+\frac{g}{4!}\phi^4\!$$
 * दो मिनिमा हैं। इसे एक डबल वेल पोटेंशियल के रूप में जाना जाता है, और इस तरह के सिद्धांत में सबसे कम ऊर्जा वाले राज्य (क्वांटम क्षेत्र सैद्धांतिक भाषा में वैकुआ के रूप में जाना जाता है) कार्रवाई के ℤ₂ समरूपता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय नहीं हैं (वास्तव में यह दो वैकुआ में से प्रत्येक को मैप करता है) दूसरे में)। इस मामले में, ℤ₂ समरूपता को अनायास टूटा हुआ कहा जाता है।

गुत्थी समाधान
एक ऋणात्मक $m$2 के साथ $φ|4$4 सिद्धांत का एक किंक समाधान भी है, जो सॉलिटॉन का एक विहित उदाहरण है। ऐसा समाधान रूप का है
 * $$\phi(\vec{x}, t) = \pm\frac{m}{2\sqrt{\frac{g}{4!}}}\tanh\left[\frac{m(x - x_0)}{\sqrt{2}}\right]$$

जहाँ x स्थानिक चरों में से एक है ($φ$ को $t$ और शेष स्थानिक चरों से स्वतंत्र माना जाता है)। समाधान दोहरे कुएं की क्षमता के दो अलग-अलग रिक्तिका के बीच प्रक्षेपित करता है। अपरिमित ऊर्जा के विलयन से गुजरे बिना किंक को निरंतर विलयन में बदलना संभव नहीं है और इसी कारण से किंक को स्थिर कहा जाता है। D>2 के लिए (यानी, एक से अधिक स्थानिक आयाम वाले सिद्धांत), इस समाधान को डोमेन वॉल कहा जाता है।

गुत्थी समाधान के साथ एक अदिश क्षेत्र सिद्धांत का एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण साइन-गॉर्डन सिद्धांत है।

जटिल अदिश क्षेत्र सिद्धांत
एक जटिल अदिश क्षेत्र सिद्धांत में, अदिश क्षेत्र वास्तविक संख्याओं के अतिरिक्त जटिल संख्याओं में मान लेता है। जटिल अदिश क्षेत्र चार्ज के साथ स्पिन-0 कणों और एंटीपार्टिकल्स का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्य रूप से मानी जाने वाली क्रिया रूप लेती है
 * $$\mathcal{S}=\int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t

\mathcal{L} = \int \mathrm{d}^{D-1}x \, \mathrm{d}t \left[\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi^*\partial_\nu\phi -V(|\phi|^2)\right]$$ इसमें U(1), समतुल्य O(2) समरूपता है, जिसकी क्रिया क्षेत्र के स्थान पर घूमती है $$\phi\rightarrow e^{i\alpha}\phi$$, कुछ वास्तविक चरण कोण के लिए $α$.

जहां तक ​​वास्तविक अदिश क्षेत्र की बात है, यदि m2 ऋणात्मक है तो स्वत: सममिति का टूटना पाया जाता है। यह गोल्डस्टोन की मैक्सिकन हैट क्षमता को जन्म देता है जो $$ (\phi) $$ अक्ष के बारे में 2π रेडियन द्वारा वास्तविक स्केलर क्षेत्र की डबल-वेल क्षमता का घूर्णन है। समरूपता टूटना एक उच्च आयाम में होता है, अर्थात निर्वात का चुनाव असतत के अतिरिक्त निरंतर U(1) समरूपता को तोड़ता है। स्केलर क्षेत्र के दो घटकों को बड़े पैमाने पर मोड और द्रव्यमान रहित गोल्डस्टोन बोसोन के रूप में पुन: कॉन्फ़िगर किया गया है।

हे (एन) सिद्धांत
जटिल अदिश क्षेत्र सिद्धांत को दो वास्तविक क्षेत्रों, φ1 = Re φ और φ2 = Im φ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जो U(1) = O(2) आंतरिक समरूपता के सदिश प्रतिनिधित्व में रूपांतरित होते हैं। हालांकि इस तरह के क्षेत्र आंतरिक समरूपता के अंतर्गत एक सदिश के रूप में परिवर्तित होते हैं, फिर भी वे लोरेंत्ज़ स्केलर हैं।

यह ओ (एन) समरूपता के सदिश प्रतिनिधित्व में परिवर्तित होने वाले एन स्केलर क्षेत्रों के सिद्धांत के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। O(N)-अचर स्केलर क्षेत्र सिद्धांत के लिए लाग्रंगियन आमतौर पर फॉर्म का होता है
 * $$\mathcal{L}=\frac{1}{2}\eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi\cdot\partial_\nu\phi -V(\phi\cdot\phi)$$

उपयुक्त O(N)-अचर आंतरिक उत्पाद का उपयोग करना। सिद्धांत को जटिल सदिश क्षेत्रों के लिए भी व्यक्त किया जा सकता है, अर्थात $$\phi\in\Complex^n$$ के लिए जिस स्थिति में सममिति समूह लाई समूह SU(N) है।

गेज-क्षेत्र कपलिंग
जब स्केलर क्षेत्र सिद्धांत को यांग-मिल्स क्रिया के लिए गेज अपरिवर्तनीय तरीके से जोड़ा जाता है, तो सुपरकंडक्टर्स के गिन्ज़बर्ग-लैंडौ सिद्धांत को प्राप्त किया जाता है। उस सिद्धांत के टोपोलॉजिकल सॉलिटॉन एक सुपरकंडक्टर में भंवरों के अनुरूप हैं; मैक्सिकन टोपी की न्यूनतम क्षमता सुपरकंडक्टर के ऑर्डर पैरामीटर से मेल खाती है।

क्वांटम स्केलर क्षेत्र सिद्धांत
इस खंड के लिए एक सामान्य संदर्भ रामोंड, पियरे (2001-12-21) है। क्षेत्र सिद्धांत: ए मॉडर्न प्राइमर (द्वितीय संस्करण)। यूएसए: वेस्टव्यू प्रेस। ISBN 0-201-30450-3, च. 4

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, क्षेत्र और उनसे निर्मित सभी ऑब्जर्वेबल्स को हिल्बर्ट स्पेस पर क्वांटम संक्रियकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह हिल्बर्ट समष्टि एक निर्वात स्थिति पर बनाया गया है, और गतिशीलता एक क्वांटम हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) द्वारा नियंत्रित होती है, जो एक धनात्मक-निश्चित संक्रियक है जो निर्वात को नष्ट कर देता है। क्वांटम स्केलर क्षेत्र सिद्धांत का निर्माण विहित परिमाणीकरण लेख में विस्तृत है, जो क्षेत्रों के बीच कैनोनिकल कम्यूटेशन संबंधों पर निर्भर करता है। अनिवार्य रूप से, क्लासिकल ऑसिलेटर्स की अनन्तता को स्केलर क्षेत्र में इसके (डिकॉउल्ड) सामान्य मोड्स के रूप में पुन: व्यवस्थित किया गया है, अब मानक तरीके से परिमाणित किया गया है, इसलिए संबंधित क्वांटम संक्रियक क्षेत्र संबंधित फ़ॉक स्पेस पर कार्य करने वाले क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर्स की अनंतता का वर्णन करता है।

संक्षेप में, बुनियादी चर क्वांटम क्षेत्र $φ$ और इसकी विहित गति π हैं। ये दोनों संक्रियक-मूल्यवान क्षेत्र हर्मिटियन संक्रियक हैं। स्थानिक बिंदुओं पर $x$, $y$ और समान समय पर, उनके विहित रूपान्तरण संबंध द्वारा दिए गए हैं


 * $$\begin{align}

\left[\phi\left(\vec{x}\right), \phi\left(\vec{y}\right)\right] = \left[\pi\left(\vec{x}\right), \pi\left(\vec{y}\right)\right] &= 0,\\ \left[\phi\left(\vec{x}\right), \pi\left(\vec{y}\right)\right] &= i \delta\left(\vec{x} - \vec{y}\right), \end{align}$$ जबकि मुक्त हैमिल्टनियन (क्वांटम सिद्धांत), ऊपर के समान है,
 * $$H = \int d^3x \left[{1 \over 2}\pi^2 + {1 \over 2}(\nabla \phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2\right].$$

एक स्थानिक फूरियर परिवर्तन गति समष्टि क्षेत्रों की ओर जाता है
 * $$\begin{align}

\widetilde{\phi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\phi(\vec{x}),\\ \widetilde{\pi}(\vec{k}) &= \int d^3x e^{-i\vec{k}\cdot\vec{x}}\pi(\vec{x}) \end{align}$$ जो संहार और निर्माण संचालकों का संकल्प लेते हैं
 * $$\begin{align}

a(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) + i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right),\\ a^\dagger(\vec{k}) &= \left(E\widetilde{\phi}(\vec{k}) - i\widetilde{\pi}(\vec{k})\right), \end{align}$$ कहाँ $$E = \sqrt{k^2 + m^2}$$.

ये संक्रियक कम्यूटेशन संबंधों को पूरा करते हैं
 * $$\begin{align}

\left[a(\vec{k}_1), a(\vec{k}_2)\right] = \left[a^\dagger(\vec{k}_1), a^\dagger(\vec{k}_2)\right] &= 0,\\ \left[a(\vec{k}_1), a^\dagger(\vec{k}_2)\right] &= (2\pi)^3 2E \delta(\vec{k}_1 - \vec{k}_2). \end{align}$$ स्थिति $$| 0\rangle$$ को सभी संक्रियकों द्वारा समाप्त कर दिया जाता है जिसे नंगे वैक्यूम के रूप में पहचाना जाता है, और संवेग $k$ वाला एक कण निर्वात में $$a^\dagger(\vec{k})$$ लगाकर बनाया जाता है।

निर्माण संचालकों के सभी संभावित संयोजनों को वैक्यूम में लागू करने से संबंधित हिल्बर्ट स्पेस का निर्माण होता है: इस निर्माण को फॉक स्पेस कहा जाता है। हैमिल्टनियन द्वारा निर्वात का सत्यानाश कर दिया जाता है:
 * $$H = \int {d^3k\over (2\pi)^3}\frac{1}{2} a^\dagger(\vec{k}) a(\vec{k}), $$

जहां विक ऑर्डरिंग द्वारा शून्य-बिंदु ऊर्जा को हटा दिया गया है। (विहित परिमाणीकरण देखें।)

इंटरेक्शन हैमिल्टनियन जोड़कर इंटरैक्शन को सम्मिलित किया जा सकता है। φ4 सिद्धांत के लिए, यह एक विक आदेशित शब्द g:φ4:/4! हैमिल्टनियन के लिए, और एक्स पर एकीकृत करना। इंटरेक्शन पिक्चर में इस हैमिल्टनियन से स्कैटरिंग एम्पलीट्यूड की गणना की जा सकती है। ये डायसन श्रृंखला के माध्यम से गड़बड़ी सिद्धांत में निर्मित होते हैं, जो समय-आदेशित उत्पाद, या n-कण ग्रीन के कार्य $$\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle$$ जैसा डायसन सीरीज के लेख में बताया गया है। ग्रीन के कार्यों को श्विंगर-डायसन समीकरण के समाधान के रूप में निर्मित जनरेटिंग फलन से भी प्राप्त किया जा सकता है।

फेनमैन पथ अभिन्न
फेनमैन आरेख एक्सपेंशन फेनमैन पथ अभिन्न सूत्रीकरण से भी प्राप्त किया जा सकता है। $φ$ में बहुपदों के समय क्रमित निर्वात प्रत्याशा मूल्य, जिसे n-कण ग्रीन के कार्यों के रूप में जाना जाता है, सभी संभावित क्षेत्रों को एकीकृत करके निर्मित किया जाता है, बिना किसी बाहरी क्षेत्र के निर्वात अपेक्षा मान द्वारा सामान्य किया जाता है,


 * $$\langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1)\cdots \phi(x_n)\}|0\rangle =

\frac {\int \mathcal{D}\phi \phi(x_1) \cdots \phi(x_n) e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4\right)}} {\int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4\right)}}. $$ इन सभी ग्रीन के कार्यों को जनरेटिंग फलन में जे (एक्स) φ (एक्स) में घातांक का विस्तार करके प्राप्त किया जा सकता है

Z[J] = \int \mathcal{D}\phi e^{i\int d^4x \left({1 \over 2}\partial^\mu \phi \partial_\mu \phi - {m^2 \over 2}\phi^2 - {g \over 4!}\phi^4 + J\phi\right)} = Z[0] \sum_{n=0}^{\infty} \frac{i^n}{n!} J(x_1) \cdots J(x_n) \langle 0|\mathcal{T}\{\phi(x_1) \cdots \phi(x_n)\}|0\rangle. $$ समय को काल्पनिक बनाने के लिए एक बाती घुमाव लागू किया जा सकता है। हस्ताक्षर को (++++) में बदलना फिर फेनमैन इंटीग्रल को यूक्लिडियन समष्टि में एक सांख्यिकीय यांत्रिकी विभाजन समारोह में बदल देता है,
 * $$Z[J] = \int \mathcal{D}\phi e^{-\int d^4x \left[{1 \over 2}(\nabla\phi)^2 + {m^2 \over 2}\phi^2 + {g \over 4!}\phi^4 + J\phi\right]}.$$

आम तौर पर, यह नियत संवेग वाले कणों के प्रकीर्णन पर लागू होता है, जिस स्थिति में, फूरियर रूपांतरण उपयोगी होता है, इसके बदले देता है
 * $$\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi e^{-\int {d^4p \over (2\pi)^4} \left({1\over 2}(p^2+m^2)\tilde\phi^2-\tilde{J}\tilde\phi+{g \over 4!}{\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)}\right)}.$$

कहाँ $$\delta(x)$$ डिराक डेल्टा समारोह है।

इस कार्यात्मक अभिन्न का मूल्यांकन करने के लिए मानक चाल इसे घातीय कारकों के उत्पाद के रूप में लिखना है, योजनाबद्ध रूप से,
 * $$\tilde{Z}[\tilde{J}]=\int \mathcal{D}\tilde\phi \prod_p \left[e^{-(p^2+m^2)\tilde\phi^2/2} e^{-g/4!\int {d^4p_1 \over (2\pi)^4}{d^4p_2 \over (2\pi)^4}{d^4p_3 \over (2\pi)^4}\delta(p-p_1-p_2-p_3)\tilde\phi(p)\tilde\phi(p_1)\tilde\phi(p_2)\tilde\phi(p_3)} e^{\tilde{J}\tilde\phi}\right].$$

दूसरे दो घातीय कारकों को शक्ति श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है, और इस विस्तार के कॉम्बिनेटरिक्स को क्वार्टिक इंटरेक्शन के फेनमैन आरेखों के माध्यम से ग्राफिक रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है।

जी = 0 के साथ अभिन्न को अनंत रूप से कई प्राथमिक गॉसियन इंटीग्रल के उत्पाद के रूप में माना जा सकता है: परिणाम को फेनमैन आरेखों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसकी गणना निम्नलिखित फेनमैन नियमों का उपयोग करके की जाती है:
 * प्रत्येक क्षेत्र $~ φ$(पी) एन-पॉइंट यूक्लिडियन ग्रीन के फलन को ग्राफ़ में एक बाहरी रेखा (आधा-किनारे) द्वारा दर्शाया गया है, और गति पी के साथ जुड़ा हुआ है।
 * प्रत्येक शीर्ष को गुणक -g द्वारा दर्शाया जाता है।
 * किसी दिए गए क्रम gk पर, n बाहरी रेखाओं और k शीर्षों वाले सभी आरेख इस प्रकार निर्मित होते हैं कि प्रत्येक शीर्ष में बहने वाला संवेग शून्य होता है। प्रत्येक आंतरिक रेखा को प्रचारक 1/(q2 + m2) द्वारा दर्शाया जाता है, जहां q उस रेखा के माध्यम से बहने वाली गति है।
 * कोई भी अप्रतिबंधित क्षण सभी मूल्यों पर एकीकृत होते हैं।
 * परिणाम को एक समरूपता कारक द्वारा विभाजित किया जाता है, जो कि इसकी कनेक्टिविटी को बदले बिना ग्राफ़ की रेखाओं और शीर्षों को पुनर्व्यवस्थित करने के तरीकों की संख्या है।
 * "वैक्यूम बबल्स" वाले ग्राफ़ को सम्मिलित न करें, जो बिना किसी बाहरी रेखा के जुड़े सबग्राफ हैं।

अंतिम नियम [0] से विभाजित करने के प्रभाव को ध्यान में रखता है। मिन्कोव्स्की-स्पेस फेनमैन नियम समान हैं, सिवाय इसके कि प्रत्येक शीर्ष को −ig द्वारा दर्शाया गया है जबकि प्रत्येक आंतरिक रेखा को एक प्रचारक i/(q2−m2+iε) द्वारा दर्शाया गया है, जहां ε शब्द छोटे विक रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है जो मिन्कोव्स्की स्थान बनाने के लिए आवश्यक है। गॉसियन अभिन्न अभिसरण।

नवीनीकरण
अप्रतिबंधित संवेग पर समाकल, जिसे "लूप इंटीग्रल" कहा जाता है, फेनमैन ग्राफ में आम तौर पर अलग हो जाते हैं। इसे आम तौर पर पुनर्सामान्यीकरण द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जो लैग्रैन्जियन में अलग-अलग काउंटर-टर्म्स को इस तरह से जोड़ने की एक प्रक्रिया है कि मूल लैग्रेंजियन और काउंटर-टर्म्स से निर्मित आरेख परिमित हैं। प्रक्रिया में एक पुनर्सामान्यीकरण पैमाना पेश किया जाना चाहिए, और युग्मन स्थिरांक और द्रव्यमान इस पर निर्भर हो जाते हैं।

स्केल λ पर युग्मन स्थिरांक $g$ की निर्भरता को $λ$ बीटा फलन (भौतिकी) $m^{2}$ द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$\beta(g) = \lambda\,\frac{\partial g}{\partial \lambda} ~.$$

ऊर्जा पैमाने पर इस निर्भरता को "युग्मन पैरामीटर के चलने" के रूप में जाना जाता है, और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में इस व्यवस्थित पैमाने-निर्भरता के सिद्धांत को पुनर्संरचना समूह द्वारा वर्णित किया गया है।

बीटा-फ़ंक्शंस की गणना आमतौर पर एक सन्निकटन योजना में की जाती है, सबसे सामान्य रूप से गड़बड़ी सिद्धांत, जहां कोई यह मानता है कि युग्मन स्थिरांक छोटा है। इसके बाद कोई युग्मन पैरामीटर की शक्तियों में विस्तार कर सकता है और उच्च-क्रम शर्तों को कम कर सकता है (इसी फेनमैन ग्राफ में लूप की संख्या के कारण उच्च लूप योगदान के रूप में भी जाना जाता है)।

$φ$4 सिद्धांत के लिए एक लूप पर β-फलन (पहला पर्टुरबेटिव योगदान) है।


 * $$\beta(g) = \frac{3}{16\pi^2}g^2 + O\left(g^3\right) ~.$$

तथ्य यह है कि निम्नतम-क्रम अवधि के सामने संकेत धनात्मक है, यह बताता है कि युग्मन स्थिरांक ऊर्जा के साथ बढ़ता है। यदि यह व्यवहार बड़े युग्मों पर बना रहता है, तो यह क्वांटम तुच्छता से उत्पन्न होने वाली परिमित ऊर्जा पर लैंडौ ध्रुव की उपस्थिति का संकेत देगा। हालाँकि, प्रश्न का उत्तर केवल गैर-विक्षोभ रूप से दिया जा सकता है, क्योंकि इसमें मजबूत युग्मन सम्मिलित है।

एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को तुच्छ कहा जाता है, जब इसके बीटा फलन के माध्यम से गणना की जाने वाली रेनॉर्मलाइज़्ड कपलिंग शून्य हो जाती है, जब पराबैंगनी कटऑफ़ हटा दी जाती है। नतीजतन, प्रचारक एक मुक्त कण बन जाता है और क्षेत्र अब बातचीत नहीं कर रहा है।

एक $φ$4 अंतःक्रिया के लिए, माइकल आइज़ेनमैन ने साबित किया कि समष्टि-समय आयाम $D$ ≥ 5 के लिए सिद्धांत वास्तव में तुच्छ है। $4 d$ = 4 के लिए, तुच्छता को अभी तक सख्ती से सिद्ध किया जाना है, लेकिन जाली संगणनाओं ने इसके लिए मजबूत सबूत प्रदान किए हैं। यह तथ्य महत्वपूर्ण है क्योंकि क्वांटम तुच्छता का उपयोग हिग्स बॉसन द्रव्यमान जैसे मापदंडों को बाध्य करने या भविष्यवाणी करने के लिए भी किया जा सकता है। यह स्पर्शोन्मुख सुरक्षा परिदृश्यों में एक अनुमानित हिग्स द्रव्यमान भी पैदा कर सकता है।

यह भी देखें

 * पुनर्सामान्यीकरण
 * क्वांटम तुच्छता
 * लैंडौ पोल
 * स्केल इनवेरियन (सीएफटी विवरण)
 * स्केलर विद्युत् गतिकी

बाहरी संबंध

 * The Conceptual Basis of Quantum Field Theory Click on the link for Chap. 3 to find an extensive, simplified introduction to scalars in relativistic quantum mechanics and quantum field theory.