त्रिकोणमिति-हिन्दू

त्रिकोणमिति के विज्ञान के लिए हिंदू नाम ज्योतपट्टी-गणित या "साइन के निर्माण के लिए गणना का विज्ञान" है। यह ब्रह्मगुप्त के ब्राह्म-स्फुट-सिद्धान्त (628) में मिलता है।  हाल ही के वर्षों में नाम त्रिकोणमिति  के रूप में सामने आया।

हिंदुओं ने ज्या, कोटि-ज्या, उत्क्रम-ज्या नामक तीन त्रिकोणमितीय फलन को पेश किया और नियोजित किया। वे एक वृत्त के चाप के फलन हैं, लेकिन कोण के नहीं। यदि AP, O केंद्र वाले वृत्त का एक चाप है, तो इसका ज्या=PM, कोटि-ज्या=OM और उत्क्रम-ज्या=OA-OM =AM है। अतः उनका आधुनिक त्रिकोणमितीय फलनों से संबंध होंगे।

ज्या AP=Rsinθ, कोटि-ज्या AP=Rcosθ, उत्क्रम-ज्या AP=R-Rcosθ=Rversinθ, जहाँ R वृत्त की त्रिज्या है और θ चाप AP द्वारा केंद्र पर बनाया गया कोण है। इस प्रकार हिंदू त्रिकोणमितीय फलन के मान चुने गए त्रिज्या के साथ भिन्न होते हैं। सूर्य-सिद्धांत सबसे पुराना हिंदू ग्रंथ है, जिसमें अब उपरोक्त त्रिकोणमितीय फलन को दर्ज किया गया है।

ज्या
संस्कृत में ज्या का अर्थ है " धनुरज्जु(धनुष का जीवा) " और इसलिए चाप के लिए "चाप क जीवा " को "धनुष" (धनु, चाप) कहा जाता है। अन्य नाम हैं

जीवा, शिंजिनी, गुण, मौरवी आदि हैं। इस त्रिकोणमितीय फलन को अर्ध-ज्या ("आधा ज्या") या ज्यार्ध ("जीवा-आधा") भी कहा जाता है। इस प्रकार भास्कर द्वितीय (1150) स्पष्ट रूप से देखते हैं, "यह ज्ञात होना चाहिए उस अर्ध-ज्या को यहाँ "ज्या" कहा जाता है।

परमेश्वर (1430) की टिप्पणी:

"वृत्त का एक हिस्सा धनुष के आकार का होता है, इसलिए इसे" बो/धनुष "(धनु) कहा जाता है। इसके दो छोरों को जोड़ने वाली सीधी रेखा" धनुरज्जु धनुष-बाण "(जीवा) है; यह वास्तव में" पूर्ण -कॉर्ड” (समस्त-ज्या))। इसका आधा हिस्सा यहाँ (कहा जाता है) "हाफ-कॉर्ड/आधा ज्या" (अर्ध-ज्या) है, और आधे चाप को उस आधे राग का "धनुष" कहा जाता है। वास्तव में उस धनुष की Rसाईन/ ज्या (ज्या) और Rकोसाईन/कोटिज्या (कोटि-ज्या) हमेशा आधी-ज्या होती हैं।"

कमलाकर (1658) अधिक स्पष्ट है। "संक्षिप्तता को देखने के बाद", वह कहते हैं, "गणितज्ञों द्वारा इस (शाखा की) गणित में आधी जीवा को ज्या कहा जाता है और उसी के अनुसार उपयोग किया जाता है।" फलन ज्या को कभी-कभी क्रम-ज्या” या क्रमार्ध- के रूप में प्रतिष्ठित किया जाता है।

आधुनिक शब्द साइन हिंदू नाम से लिया गया है। संस्कृत शब्द जीवा, प्रारंभिक अरब गणितज्ञों द्वारा अपनाया गया था, लेकिन जिबा के रूप में उच्चारित किया गया था। बाद में उनकी जुबान में भ्रष्ट होकर जैब हो गया। बाद वाला शब्द अरबी कार्यों के शुरुआती लैटिन अनुवादकों जैसे क्रेमोना के गेरार्डो (सी। 1150 ईस्वी) द्वारा एक जैसे ध्वन्यात्मकता के शुद्ध अरबी शब्द के साथ भ्रमित किया गया था, लेकिन इसका अर्थ अलग-अलग "बोसोम" या "बे" था और इसे साइनस के रूप में प्रस्तुत किया गया था, जो "बोसोम" या "बे" का भी प्रतीक है।

क्रम-ज्या शब्द का पतन और रूपांतर अभी भी अधिक दिलचस्प हैं। अरबी भाषा में इसे करजा या करदजा में बदल दिया गया था। फ़िरिस्ट के अनुसार, याकूब इब्न तारिक (सी। 770 ईस्वी) के एक काम का शीर्षक "कर्दजा की मेज पर" है। इस तालिका को ब्रह्मगुप्त के ब्रह्म-स्फुता-सिद्धांत से लिया गया था। इसी संबंध में, अल-खोवारिज्मी (825) ने वेरिएंट करजा का इस्तेमाल किया। इस शब्द के लैटिन अनुवादों में हमें कई वेरिएंट मिलते हैं जैसे करदगा, करकया, गरदगा या चरदगा इन शब्दों का विदेशी भूमि में भी 3° 45' के चाप के लिए प्रतिबंधित उपयोग था, कभी-कभी 15° का।

कोटि-ज्या
संस्कृत शब्द कोटि का अर्थ है, दूसरों के बीच "धनुष का घुमावदार अंत" या "सामान्य रूप से अंत या छोर"; इसलिए त्रिकोणमिति में इसे "90 डिग्री तक एक चाप के पूरक" के रूप में दर्शाया गया है। इसलिए कोटि-जया "पूरक चाप का ज्या" है। आधुनिक शब्द कोज्या, कोटि-ज्या के साथ जुड़ा हुआ प्रतीत होता है, क्योंकि हिंदू कार्यों में, विशेष रूप से टिप्पणियों में कोटि-ज्या को अक्सर कोज्या में संक्षिप्त किया जाता है। जब ज्या साइनस बनी, कोज्या स्वाभाविक रूप से को-साइनस या को-साइनस बन गई।

उत्क्रम-ज्या
उत्क्रम का अर्थ है "उलट", "बाहर जाना" या "अधिक"। इसलिए शब्द उत्क्रम-ज्या  का शाब्दिक अर्थ है "उलट साइन"। इस फलन को क्रम-ज्या के विपरीत तथाकथित कहा जाता है, क्योंकि इसके बजाय इसके सारणीबद्ध मान उल्टे क्रम में त्रिज्या से तत्वों को घटाकर उत्तरार्द्ध के सारणीबद्ध मूल्यों से प्राप्त होते हैं। या दूसरे शब्दों में, यह उल्टे क्रम में विचार किए गए क्रम-ज्या का अधिक भाग है।

स्पर्शरेखा और छेदक
हिंदुओं ने स्पर्शरेखा और छेदक फलनों के बहुत निकट संपर्क किए और वास्तव में उन्हें खगोलीय गणनाओं में नियोजित किया, हालांकि वे स्पष्ट रूप से उन्हें अलग-अलग फलनों के रूप में नहीं पहचानते थे। सूर्य-सिद्धांत एक  केन्द्र पर सूक्ति की विषुव मध्याह्न छाया की गणना के लिए निम्नलिखित नियम से देते हैं :

"अक्षांश की ज्या ( केन्द्र की) को 12 से गुणा किया जाता है और अक्षांश के कोसाइन द्वारा विभाजित किया जाता है, विषुवतीय मध्याह्न छाया इस प्रकार देता है।"

यहां 12 एक हिंदू सूक्ति की सामान्य ऊंचाई है। ताकि

S = (ज्य ø X h) / (कोज्या ø)

जहाँ ø स्थान के अक्षांश को दर्शाता है, S विषुव मध्याह्न छाया को दर्शाता है और h सूक्ति को दर्शाता है। यह इसके बराबर है

S = h tanθ

शंकु क्षेत्र (h) और कर्ण (d) की मध्याह्न छाया(s) को खोजने के लिए, सूर्य की मध्याह्न रेखा ( z) को जानने के बाद, हमारे पास नियम इस प्रकार हैं:

s=h tan z, d=h sec z.

इसी प्रकार के नियम अन्य खगोलीय कार्यों में भी मिलते हैं। महावीर (850) के गणित-सार-संग्रह में एक सूक्ति की "छाया" शब्द का अर्थ कभी-कभी सूक्ति का ऊंचाई के लिए वास्तविक छाया का अनुपात होता है। यह अनुपात, जैसा कि अभी कहा गया है, सूर्य की आंचलिक दूरी के स्पर्शरेखा के बराबर है।

यह भी देखें
Trigonometry

बाहरी संबंध
हिंदू त्रिकोणमिति("Hindu Trigonometry")

प्राचीन भारत में त्रिकोणमिति का विकास("Evolution of trigonometry in ancient India")