यूक्लिडियन स्पेस

यूक्लिडियन अंतरिक्ष ज्यामिति  का मौलिक स्थान है, जिसका उद्देश्य  भौतिक स्थान  का प्रतिनिधित्व करना है। मूल रूप से, यूक्लिड के तत्वों|यूक्लिड के तत्वों में, यह  यूक्लिडियन ज्यामिति  का  त्रि-आयामी स्थान  था, लेकिन आधुनिक में गणित किसी भी सकारात्मक पूर्णांक  आयाम (गणित)  के यूक्लिडियन रिक्त स्थान हैं, त्रि-आयामी अंतरिक्ष और  [[ यूक्लिड ियन विमान ]] (आयाम दो) सहित। क्वालीफायर यूक्लिडियन का उपयोग यूक्लिडियन रिक्त स्थान को अन्य रिक्त स्थान से अलग करने के लिए किया जाता है जिसे बाद में भौतिकी और आधुनिक गणित में माना जाता था।

ज्यामिति का प्राचीन इतिहास#ग्रीक ज्यामिति ने भौतिक स्थान की मॉडलिंग के लिए यूक्लिडियन स्थान की शुरुआत की। उनके काम को ग्रीक गणित  गणितज्ञ यूक्लिड ने अपने एलिमेंट्स में एकत्र किया था,  गणितीय प्रमाण  के महान नवाचार के साथ अंतरिक्ष के सभी गुणों को  प्रमेय ों के रूप में, कुछ मौलिक गुणों से शुरू करके, जिन्हें अभिधारणा कहा जाता है, जिन्हें या तो स्पष्ट माना जाता था (उदाहरण के लिए, दो बिंदुओं से होकर गुजरने वाली एक  सीधी रेखा  है), या प्रतीत होता है सिद्ध करना असंभव ( समानांतर अभिधारणा )।

19वीं शताब्दी के अंत में गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति  की शुरुआत के बाद,  स्वयंसिद्ध सिद्धांत  के माध्यम से यूक्लिडियन रिक्त स्थान को परिभाषित करने के लिए पुराने अभिधारणाओं को फिर से औपचारिक रूप दिया गया। वेक्टर रिक्त स्थान और रैखिक बीजगणित के माध्यम से यूक्लिडियन रिक्त स्थान की एक अन्य परिभाषा को स्वयंसिद्ध परिभाषा के समतुल्य दिखाया गया है। यह वह परिभाषा है जो आधुनिक गणित में अधिक सामान्यतः उपयोग की जाती है, और इस लेख में विस्तृत है। सभी परिभाषाओं में, यूक्लिडियन रिक्त स्थान में बिंदु होते हैं, जिन्हें केवल उन गुणों द्वारा परिभाषित किया जाता है जो उनके पास यूक्लिडियन स्थान बनाने के लिए होना चाहिए।

प्रत्येक आयाम में अनिवार्य रूप से केवल एक यूक्लिडियन स्थान होता है; अर्थात्, किसी दिए गए आयाम के सभी यूक्लिडियन स्थान समरूपता हैं। इसलिए, कई मामलों में, एक विशिष्ट यूक्लिडियन स्थान के साथ काम करना संभव है, जो आम तौर पर वास्तविक एन-स्पेस है। $n$-अंतरिक्ष $$\R^n,$$ डॉट उत्पाद  से लैस है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष से एक समरूपता $$\R^n$$ प्रत्येक बिंदु के साथ एक टपल संबद्ध करता है|$n$ वास्तविक संख्या ओं का समूह जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उस बिंदु का पता लगाते हैं और उस बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक कहलाते हैं।

परिभाषा का इतिहास
यूक्लिडियन अंतरिक्ष को ग्रीक गणित द्वारा हमारे भौतिक स्थान के एक अमूर्त के रूप में पेश किया गया था। यूक्लिड के तत्वों में दिखाई देने वाला उनका महान नवाचार, यूक्लिड के तत्व कुछ बहुत ही बुनियादी गुणों से शुरू करके सभी ज्यामिति का निर्माण और प्रमाण (गणित) करना था, जो भौतिक दुनिया से सारगर्भित हैं, और अधिक बुनियादी की कमी के कारण गणितीय रूप से सिद्ध नहीं किया जा सकता है। औजार। इन गुणों को आधुनिक भाषा में अभिधारणा या अभिगृहीत कहा जाता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष को परिभाषित करने का यह तरीका अभी भी सिंथेटिक ज्यामिति  के नाम से उपयोग में है।

1637 में, रेने डेसकार्टेस ने कार्टेशियन निर्देशांक पेश किए और दिखाया कि यह ज्यामितीय समस्याओं को संख्याओं के साथ बीजीय गणनाओं को कम करने की अनुमति देता है। बीजगणित  से बीजगणित में यह कमी दृष्टिकोण में एक बड़ा बदलाव था, क्योंकि तब तक वास्तविक संख्याओं को लंबाई और दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता था।

यूक्लिडियन ज्यामिति 19वीं शताब्दी तक तीन से अधिक आयाम वाले स्थानों में लागू नहीं की गई थी। लुडविग श्लाफली ने आयाम के रिक्त स्थान के लिए यूक्लिडियन ज्यामिति को सामान्यीकृत किया $n$, सिंथेटिक और बीजगणितीय दोनों तरीकों का उपयोग करते हुए, और सभी नियमित polytope ्स ( प्लेटोनिक ठोस  के उच्च-आयामी एनालॉग्स) की खोज की जो कि किसी भी आयाम के यूक्लिडियन रिक्त स्थान में मौजूद हैं। डेसकार्टेस के दृष्टिकोण के व्यापक उपयोग के बावजूद, जिसे विश्लेषणात्मक ज्यामिति  कहा जाता था, यूक्लिडियन अंतरिक्ष की परिभाषा 19 वीं शताब्दी के अंत तक अपरिवर्तित रही। अमूर्त वेक्टर रिक्त स्थान की शुरूआत ने यूक्लिडियन रिक्त स्थान को पूरी तरह से बीजगणितीय परिभाषा के साथ परिभाषित करने में उनके उपयोग की अनुमति दी। इस नई परिभाषा को ज्यामितीय अभिगृहीतों के संदर्भ में शास्त्रीय परिभाषा के समतुल्य दिखाया गया है। यह बीजीय परिभाषा है जो अब यूक्लिडियन रिक्त स्थान को पेश करने के लिए सबसे अधिक बार उपयोग की जाती है।

आधुनिक परिभाषा की प्रेरणा
यूक्लिडियन विमान के बारे में सोचने का एक तरीका बिंदु (ज्यामिति)  के एक  सेट (गणित)  के रूप में है जो कुछ संबंधों को संतुष्ट करता है, जो दूरी और कोणों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विमान पर दो मौलिक संचालन (जिन्हें  गति (ज्यामिति)  कहा जाता है) हैं। एक  अनुवाद (ज्यामिति)  है, जिसका अर्थ है विमान का स्थानांतरण ताकि प्रत्येक बिंदु एक ही दिशा में और समान दूरी से स्थानांतरित हो। दूसरा विमान में एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घूर्णन (गणित) है, जिसमें विमान के सभी बिंदु एक ही कोण से उस निश्चित बिंदु के चारों ओर घूमते हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति के मूल सिद्धांतों में से एक यह है कि दो आंकड़े (आमतौर पर विमान के  सबसेट  के रूप में माना जाता है) को समतुल्य ( सर्वांगसमता (ज्यामिति) ) माना जाना चाहिए, यदि एक को अनुवाद, घुमाव और  प्रतिबिंब (गणित)  के कुछ अनुक्रमों द्वारा दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है (देखें #यूक्लिडियन समूह)।

यह सब गणितीय रूप से सटीक बनाने के लिए, सिद्धांत को स्पष्ट रूप से परिभाषित करना चाहिए कि यूक्लिडियन स्थान क्या है, और दूरी, कोण, अनुवाद और रोटेशन की संबंधित धारणाएं। यहां तक ​​​​कि जब भौतिकी सिद्धांतों में उपयोग किया जाता है, तो यूक्लिडियन अंतरिक्ष वास्तविक भौतिक स्थानों, संदर्भ के विशिष्ट फ्रेम, माप उपकरणों आदि से अलग एक अमूर्तता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष की एक विशुद्ध रूप से गणितीय परिभाषा भी लंबाई और अन्य आयामी विश्लेषण  की इकाई के सवालों की अनदेखी करती है: गणितीय अंतरिक्ष में दूरी एक  संख्या  है, इंच या मीटर में व्यक्त कुछ नहीं।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष को गणितीय रूप से परिभाषित करने का मानक तरीका, जैसा कि इस लेख के शेष भाग में किया गया है, उन बिंदुओं के एक समूह के रूप में है, जिन पर एक वास्तविक वेक्टर अंतरिक्ष समूह क्रिया (गणित), अनुवाद का स्थान जो एक  आंतरिक उत्पाद स्थान  से सुसज्जित है।. अनुवाद की क्रिया अंतरिक्ष को एक समृद्ध स्थान बनाती है, और यह रेखाओं, विमानों, उप-स्थानों, आयाम और समानता (ज्यामिति)  को परिभाषित करने की अनुमति देती है। आंतरिक उत्पाद दूरी और कोणों को परिभाषित करने की अनुमति देता है।

सेट $$\R^n$$ का $n$-डॉट उत्पाद से सुसज्जित वास्तविक संख्याओं के टुपल्स आयाम का एक यूक्लिडियन स्थान है $n$. इसके विपरीत, मूल नामक एक बिंदु का चुनाव और अनुवाद के स्थान का एक अलौकिक आधार आयाम के यूक्लिडियन स्थान के बीच एक समरूपता को परिभाषित करने के बराबर है। $n$ तथा $$\R^n$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के रूप में देखा गया।

यह इस प्रकार है कि यूक्लिडियन स्थान के बारे में जो कुछ भी कहा जा सकता है, उसके बारे में भी कहा जा सकता है $$\R^n.$$ इसलिए, कई लेखक, विशेष रूप से प्रारंभिक स्तर पर, कॉल करते हैं $$\R^n$$ आयाम का मानक यूक्लिडियन स्थान $n$, या बस आयाम का यूक्लिडियन स्थान $n$.

यूक्लिडियन रिक्त स्थान की ऐसी अमूर्त परिभाषा को पेश करने और इसके बजाय इसके साथ काम करने का एक कारण $$\R^n$$ यह है कि समन्वय-मुक्त और मूल-मुक्त तरीके से काम करना अक्सर बेहतर होता है (अर्थात, पसंदीदा आधार और पसंदीदा मूल को चुने बिना)। दूसरा कारण यह है कि भौतिक संसार में न तो कोई उत्पत्ति है और न ही कोई आधार।

तकनीकी परिभाषा
एEuclidean vector spaceवास्तविक संख्याओं पर एक परिमित-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान है।

एक यूक्लिडियन स्पेस वास्तविक संख्या पर एक एफाइन स्पेस है, जैसे संबंधित वेक्टर स्पेस एक यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस है। यूक्लिडियन रिक्त स्थान को यूक्लिडियन सदिश स्थान से अलग करने के लिए कभी-कभी 'यूक्लिडियन एफ़िन स्थान' कहा जाता है। यदि $E$ एक यूक्लिडियन स्पेस है, इससे जुड़े वेक्टर स्पेस (यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस) को अक्सर निरूपित किया जाता है $$\overrightarrow E.$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष का आयाम इसके संबंधित वेक्टर अंतरिक्ष का आयाम (वेक्टर स्थान)  है।

के तत्व $E$ बिंदु कहलाते हैं और आमतौर पर बड़े अक्षरों द्वारा निरूपित किए जाते हैं। के तत्व $$\overrightarrow E$$ यूक्लिडियन सदिश या मुक्त सदिश कहलाते हैं। उन्हें अनुवाद भी कहा जाता है, हालांकि, ठीक से बोलना, एक अनुवाद (ज्यामिति) यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर एक यूक्लिडियन वेक्टर  की  समूह क्रिया  के परिणामस्वरूप  ज्यामितीय परिवर्तन  है।

एक अनुवाद की क्रिया $v$ एक बिंदु पर $P$ एक बिंदु प्रदान करता है जिसे निरूपित किया जाता है $P + v$. यह क्रिया संतुष्ट करती है

$$P+(v+w)= (P+v)+w.$$ नोट: दूसरा $+$ बाईं ओर एक सदिश जोड़ है; अन्य सभी $+$ एक बिंदु पर एक वेक्टर की कार्रवाई को निरूपित करें। यह अंकन अस्पष्ट नहीं है, जैसा कि, के दो अर्थों के बीच अंतर करने के लिए $+$, यह इसके वामपंथी तर्क की प्रकृति को देखने के लिए पर्याप्त है।

तथ्य यह है कि कार्रवाई मुक्त और सकर्मक है इसका मतलब है कि प्रत्येक जोड़ी बिंदुओं के लिए $(P, Q)$ बिल्कुल एक सदिश है $v$ ऐसा है कि $P + v = Q$. यह वेक्टर $v$ निरूपित किया जाता है $Q − P$ या $$\overrightarrow {PQ}.$$ जैसा कि पहले बताया गया है, यूक्लिडियन रिक्त स्थान के कुछ मूल गुण परिशोधित स्थान की संरचना का परिणाम हैं। में वर्णित हैं और उसके उपखंड। आंतरिक उत्पाद से उत्पन्न गुणों को समझाया गया है  और इसके उपखंड।

प्रोटोटाइपिकल उदाहरण
किसी भी सदिश समष्टि के लिए, योग सदिश समष्टि पर ही स्वतंत्र रूप से और संक्रमणीय रूप से कार्य करता है। इस प्रकार एक यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस को एक यूक्लिडियन स्पेस के रूप में देखा जा सकता है जो स्वयं को संबंधित वेक्टर स्पेस के रूप में रखता है।

यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस का एक विशिष्ट मामला है $$\R^n$$ एक आंतरिक उत्पाद के रूप में डॉट उत्पाद से लैस वेक्टर स्पेस के रूप में देखा जाता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के इस विशेष उदाहरण का महत्व इस तथ्य में निहित है कि प्रत्येक यूक्लिडियन स्थान इसके लिए समरूपता है। अधिक सटीक रूप से, एक यूक्लिडियन स्थान दिया गया $E$ आयाम का $n$, एक बिंदु का चुनाव, जिसे मूल कहा जाता है और का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार $$\overrightarrow E$$ यूक्लिडियन रिक्त स्थान के एक समरूपता को परिभाषित करता है $E$ प्रति $$\R^n.$$ आयाम के प्रत्येक यूक्लिडियन स्थान के रूप में $n$ इसके लिए आइसोमॉर्फिक है, यूक्लिडियन स्पेस $$\R^n$$ कभी-कभी आयाम का मानक यूक्लिडियन स्थान कहा जाता है $n$.

Affine संरचना
यूक्लिडियन रिक्त स्थान के कुछ मूल गुण केवल इस तथ्य पर निर्भर करते हैं कि एक यूक्लिडियन स्थान एक सजातीय स्थान है। उन्हें affine संपत्ति  कहा जाता है और इसमें रेखाओं, उप-स्थानों और समानता की अवधारणाएं शामिल होती हैं, जो अगले उपखंडों में विस्तृत हैं।

उप-स्थान
होने देना $E$ एक यूक्लिडियन स्थान हो और $$\overrightarrow E$$ इसके संबंधित वेक्टर स्पेस।

एक फ्लैट, यूक्लिडियन उप-स्थान या एफ़िन उप-स्थान $E$ एक उपसमुच्चय है $F$ का $E$ ऐसा है कि

$$\overrightarrow F = \left\{\overrightarrow {PQ}\mid P\in F, Q\in F \right\}$$ के संबद्ध सदिश समष्टि के रूप में $F$ का एक रैखिक उप-स्थान (वेक्टर उप-स्थान) है $$\overrightarrow E.$$ एक यूक्लिडियन उपक्षेत्र $F$ के साथ एक यूक्लिडियन स्थान है $$\overrightarrow F$$ संबंधित वेक्टर स्पेस के रूप में। यह रैखिक उप-स्थान $$\overrightarrow F$$ की दिशा भी कहा जाता है $F$.

यदि $P$ का एक बिंदु है $F$ फिर

$$F = \left\{P+v \mid v\in \overrightarrow F \right\}.$$ इसके विपरीत यदि $P$ का एक बिंदु है $E$ तथा $$\overrightarrow V$$ का एक रैखिक उप-समष्टि है $$\overrightarrow E,$$ फिर

$$P + V = \left\{P + v \mid v\in V \right\}$$ दिशा का एक यूक्लिडियन उप-स्थान है $$\overrightarrow V$$. (इस उप-समष्टि का संबद्ध सदिश समष्टि है $$\overrightarrow V$$।)

एक यूक्लिडियन वेक्टर अंतरिक्ष $$\overrightarrow E$$ (अर्थात, एक यूक्लिडियन स्थान जो इसके बराबर है $$\overrightarrow E$$) में दो प्रकार के उप-स्थान होते हैं: इसके यूक्लिडियन उप-स्थान और इसके रैखिक उप-स्थान। रैखिक उप-स्थान यूक्लिडियन उप-स्थान हैं और एक यूक्लिडियन उप-स्थान एक रैखिक उप-स्थान है यदि और केवल यदि इसमें शून्य वेक्टर है।

रेखाएं और खंड
यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, एक रेखा एक आयाम का यूक्लिडियन उप-स्थान है। चूँकि आयाम एक का सदिश स्थान किसी भी अशून्य वेक्टर द्वारा फैला हुआ है, एक रेखा रूप का एक सेट है

$$\left\{P + \lambda \overrightarrow{PQ} \mid \lambda \in \R \right\},$$ कहाँ पे $P$ तथा $Q$ रेखा के एक भाग के रूप में यूक्लिडियन अंतरिक्ष के दो अलग-अलग बिंदु हैं।

यह इस प्रकार है कि ठीक एक रेखा है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है। इसका तात्पर्य है कि दो अलग-अलग रेखाएँ अधिकतम एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

से गुजरने वाली रेखा का अधिक सममित निरूपण $P$ तथा $Q$ है

$$\left\{O + (1-\lambda)\overrightarrow{OP} + \lambda \overrightarrow{OQ} \mid \lambda \in \R \right\},$$ कहाँ पे $O$ एक मनमाना बिंदु है (रेखा पर आवश्यक नहीं)।

यूक्लिडियन वेक्टर अंतरिक्ष में, आमतौर पर शून्य वेक्टर चुना जाता है $O$; यह पिछले सूत्र को सरल बनाने की अनुमति देता है

$$\left\{(1-\lambda) P + \lambda Q \mid \lambda \in \R\right\}.$$ एक मानक सम्मेलन प्रत्येक यूक्लिडियन अंतरिक्ष में इस सूत्र का उपयोग करने की अनुमति देता है, देखें.

रेखा खंड, या बस खंड, बिंदुओं को मिलाते हुए $P$ तथा $Q$ बिंदुओं का उपसमुच्चय इस प्रकार है कि $0 ≤ 𝜆 ≤ 1$ पिछले सूत्रों में। यह दर्शाया गया है $PQ$ या $QP$; वह है

$$PQ = QP = \left\{P+\lambda \overrightarrow{PQ} \mid 0 \le \lambda \le 1\right\}.$$

समानांतरवाद
दो उप-स्थान $S$ तथा $T$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में समान आयाम समानांतर होते हैं यदि उनकी दिशा समान होती है। समान रूप से, वे समानांतर हैं, यदि कोई अनुवाद है $v$ वेक्टर जो एक दूसरे को मैप करता है:

$$T= S+v.$$ एक बिंदु दिया गया $P$ और एक उप-स्थान $S$, वास्तव में एक उप-स्थान मौजूद है जिसमें शामिल है $P$ और के समानांतर है $S$, जो है $$P + \overrightarrow S.$$ मामले में जहां $S$ एक रेखा है (आयाम एक की उपसमष्टि), यह गुण Playfair का स्वयंसिद्ध है।

यह इस प्रकार है कि एक यूक्लिडियन विमान में, दो रेखाएँ या तो एक बिंदु पर मिलती हैं या समानांतर होती हैं।

समांतर उप-स्थानों की अवधारणा को विभिन्न आयामों के उप-स्थानों तक विस्तारित किया गया है: दो उप-स्थान समानांतर हैं यदि उनमें से एक की दिशा दूसरे की दिशा में निहित है।

मीट्रिक संरचना
वेक्टर अंतरिक्ष $$\overrightarrow E$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष से संबंधित $E$ एक आंतरिक उत्पाद स्थान है। इसका तात्पर्य एक सममित द्विरेखीय रूप  है

$$\begin{align} \overrightarrow E \times \overrightarrow E &\to \R\\ (x,y)&\mapsto \langle x,y \rangle \end{align}$$ यह सकारात्मक निश्चित है (अर्थात $$\langle x,x \rangle$$ के लिए सदैव सकारात्मक रहता है $x ≠ 0$).

यूक्लिडियन स्पेस के आंतरिक उत्पाद को अक्सर डॉट उत्पाद कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है $x ⋅ y$. यह विशेष रूप से मामला है जब एक कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को चुना गया है, इस मामले में, दो वैक्टरों का आंतरिक उत्पाद उनके समन्वय वैक्टर का डॉट उत्पाद है। इस कारण से, और ऐतिहासिक कारणों से, यूक्लिडियन रिक्त स्थान के आंतरिक उत्पाद के लिए ब्रैकेट नोटेशन की तुलना में डॉट नोटेशन का अधिक सामान्यतः उपयोग किया जाता है। यह लेख इस प्रयोग का पालन करेगा; वह है $$\langle x,y \rangle$$ अंकित किया जाएगा $x ⋅ y$ इस लेख के शेष भाग में।

वेक्टर का यूक्लिडियन मानदंड $x$ है

$$\|x\| = \sqrt {x \cdot x}.$$ आंतरिक उत्पाद और मानदंड यूक्लिडियन ज्यामिति के मीट्रिक स्थान  और  टोपोलॉजी  गुणों को व्यक्त करने और साबित करने की अनुमति देता है। अगला उपखंड सबसे मौलिक लोगों का वर्णन करता है। इन उपखंडों में, $E$ मनमाने ढंग से यूक्लिडियन स्थान को दर्शाता है, और $$\overrightarrow E$$ अनुवाद के अपने वेक्टर स्थान को दर्शाता है।

दूरी और लंबाई
यूक्लिडियन अंतरिक्ष के दो बिंदुओं के बीच की दूरी (अधिक सटीक रूप से यूक्लिडियन दूरी) अनुवाद वेक्टर का आदर्श है जो एक बिंदु को दूसरे में मैप करता है; वह है

$$d(P,Q) = \Bigl\|\overrightarrow {PQ}\vphantom{\frac|{}}\Bigr\|.$$ एक खंड की लंबाई $PQ$ दूरी है $d(P, Q)$ इसके समापन बिंदुओं के बीच। इसे अक्सर निरूपित किया जाता है $$|PQ|$$.

दूरी एक मीट्रिक (गणित)  है, क्योंकि यह सकारात्मक निश्चित, सममित है, और त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है

$$d(P,Q)\le d(P,R) + d(R, Q).$$ इसके अलावा, समानता सच है अगर और केवल अगर $R$ खंड के अंतर्गत आता है $PQ$. इस असमानता का अर्थ है कि त्रिभुज के किसी किनारे की लंबाई अन्य किनारों की लंबाई के योग से छोटी है। यह त्रिभुज असमानता शब्द की उत्पत्ति है।

यूक्लिडियन दूरी के साथ, प्रत्येक यूक्लिडियन स्थान एक पूर्ण मीट्रिक स्थान  है।

ऑर्थोगोनैलिटी
दो अशून्य वैक्टर $u$ तथा $v$ का $$\overrightarrow E$$ लंबवत या ऑर्थोगोनल हैं यदि उनका आंतरिक उत्पाद शून्य है:

$$ u \cdot v =0$$ की दो रैखिक उपसमष्टियाँ $$\overrightarrow E$$ ऑर्थोगोनल हैं यदि पहले वाले का प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर दूसरे के प्रत्येक गैर-शून्य वेक्टर के लंबवत है। इसका तात्पर्य यह है कि रैखिक उपसमष्टि का प्रतिच्छेदन शून्य सदिश तक कम हो जाता है।

दो रेखाएं, और अधिक आम तौर पर दो यूक्लिडियन उप-स्थान ओर्थोगोनल हैं यदि उनकी दिशा ओर्थोगोनल है। दो ओर्थोगोनल रेखाएँ जो प्रतिच्छेद करती हैं, लंब कहलाती हैं।

दो खंड $AB$ तथा $AC$ जो एक सामान्य समापन बिंदु साझा करते हैं वे लंबवत होते हैं या एक समकोण  बनाते हैं यदि वैक्टर $$\overrightarrow {AB}$$ तथा $$\overrightarrow {AC}$$ ओर्थोगोनल हैं।

यदि $AB$ तथा $AC$ एक समकोण बनाते हैं, एक है

$$|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2.$$ यह पाइथागोरस प्रमेय  है। इस संदर्भ में इसका प्रमाण आसान है, जैसा कि आंतरिक उत्पाद के संदर्भ में इसे व्यक्त करते हुए, आंतरिक उत्पाद की समरूपता और समरूपता का उपयोग करते हुए:

$$\begin{align} &=\left(\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AC}\right ) \cdot \left(\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AC}\right)\\ &=\overrightarrow {BA}\cdot \overrightarrow {BA}+ \overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {AC} -2 \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}\\ &=\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {AC}\\ &=|AB|^2 + |AC|^2. \end{align}$$
 * BC|^2 &= \overrightarrow {BC}\cdot \overrightarrow {BC}\\

कोण
(गैर-उन्मुख) कोण $θ$ दो अशून्य वैक्टर के बीच $x$ तथा $y$ में $$\overrightarrow E$$ है

$$\theta = \arccos\left(\frac{x\cdot y}{\left\|x\right\| \left\|y\right\|}\right)$$ कहाँ पे $arccos$ कोटिकोज्या  फ़ंक्शन का मुख्य मान है। कॉची-श्वार्ज असमानता द्वारा, चापकोसाइन का तर्क अंतराल में है $[−1, 1]$. इसलिए $θ$ वास्तविक है, और $0 ≤ θ ≤ π$ (या $0 ≤ θ ≤ 180$ यदि कोणों को डिग्री में मापा जाता है)।

यूक्लिडियन रेखा में कोण उपयोगी नहीं होते, क्योंकि वे केवल 0 या. हो सकते हैं $\pi$.

एक अभिविन्यास (वेक्टर स्थान)  यूक्लिडियन प्लेन में, कोई भी दो वैक्टरों के उन्मुख कोण को परिभाषित कर सकता है। दो सदिशों का उन्मुख कोण $x$ तथा $y$ तब के उन्मुख कोण के विपरीत है $y$ तथा $x$. इस मामले में, दो वैक्टर के कोण में कोई भी मान हो सकता है मॉड्यूलर अंकगणित  एक पूर्णांक गुणक $2π$. विशेष रूप से, प्रतिवर्त कोण $π < θ < 2π$ ऋणात्मक कोण के बराबर होता है $−π < θ − 2π < 0$.

दो सदिशों के कोण में परिवर्तन नहीं होता है यदि वे धनात्मक संख्याओं द्वारा अदिश गुणन हैं। अधिक सटीक, अगर $x$ तथा $y$ दो वैक्टर हैं, और $λ$ तथा $μ$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो

$$\operatorname{angle}(\lambda x, \mu y)= \begin{cases} \operatorname{angle}(x, y) \qquad\qquad \text{if } \lambda \text{ and } \mu \text{ have the same sign}\\ \pi - \operatorname{angle}(x, y)\qquad \text{otherwise}. \end{cases}$$ यदि $A$, $B$, तथा $C$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में तीन बिंदु हैं, खंडों का कोण $AB$ तथा $AC$ सदिशों का कोण है $$\overrightarrow {AB}$$ तथा $$\overrightarrow {AC}.$$ चूँकि धनात्मक संख्याओं द्वारा सदिशों का गुणन कोण नहीं बदलता है, प्रारंभिक बिंदु के साथ दो अर्ध-रेखाओं का कोण $A$ परिभाषित किया जा सकता है: यह खंडों का कोण है $AB$ तथा $AC$, कहाँ पे $B$ तथा $C$ मनमाना बिंदु हैं, प्रत्येक अर्ध-रेखा पर एक। हालांकि यह कम उपयोग किया जाता है, इसी तरह खंडों या अर्ध-रेखाओं के कोण को परिभाषित किया जा सकता है जो प्रारंभिक बिंदुओं को साझा नहीं करते हैं।

दो रेखाओं के कोण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। यदि $θ$ दो खण्डों का कोण है, प्रत्येक रेखा पर एक, किन्हीं दो अन्य खण्डों का कोण, प्रत्येक रेखा पर एक, या तो है $θ$ या $π − θ$. इन कोणों में से एक अंतराल (गणित)  में है $[0, π/2]$, और दूसरा अंदर है $[π/2, π]$. दो रेखाओं का गैर-उन्मुख कोण अंतराल में एक है $[0, π/2]$. एक उन्मुख यूक्लिडियन विमान में, दो रेखाओं का उन्मुख कोण अंतराल से संबंधित होता है $[−π/2, π/2]$.

कार्तीय निर्देशांक
प्रत्येक यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार होता है (वास्तव में, एक से अधिक आयाम में असीम रूप से कई, और एक आयाम में दो), जो कि एक आधार (वेक्टर स्पेस) है। $$(e_1, \dots, e_n) $$ इकाई वेक्टर  की ($$\|e_i\| = 1$$) जो जोड़ीदार ओर्थोगोनल हैं ($$e_i\cdot e_j = 0$$ के लिये $i ≠ j$). अधिक सटीक रूप से, किसी भी आधार (वेक्टर स्थान) को देखते हुए $$(b_1, \dots, b_n),$$ ग्राम-श्मिट प्रक्रिया एक सामान्य आधार की गणना करती है जैसे कि, प्रत्येक के लिए $i$, के रैखिक फैलाव $$(e_1, \dots, e_i)$$ तथा $$(b_1, \dots, b_i)$$ बराबर हैं। यूक्लिडियन स्पेस को देखते हुए $E$, एक कार्टेशियन फ्रेम डेटा का एक सेट है जिसमें ऑर्थोनॉर्मल आधार होता है $$\overrightarrow E,$$ और का एक बिंदु $E$, जिसे मूल कहा जाता है और अक्सर निरूपित किया जाता है $O$. एक कार्टेशियन फ्रेम $$(O, e_1, \dots, e_n)$$ दोनों के लिए कार्तीय निर्देशांक परिभाषित करने की अनुमति देता है $E$ तथा $$\overrightarrow E$$ इस अनुसार।

एक वेक्टर के कार्टेशियन निर्देशांक $v$ के गुणांक हैं $v$ आधार पर $$e_1, \dots, e_n.$$ चूंकि आधार लम्बवत है, इसलिए $i$वें गुणांक डॉट उत्पाद है $$v\cdot e_i.$$ एक बिंदु के कार्तीय निर्देशांक $P$ का $E$ सदिश के कार्तीय निर्देशांक हैं $$\overrightarrow {OP}.$$

अन्य निर्देशांक


जैसा कि यूक्लिडियन स्पेस एक एफ़िन स्पेस है, कोई उस पर एक एफाइन फ्रेम  पर विचार कर सकता है, जो यूक्लिडियन फ्रेम के समान है, सिवाय इसके कि आधार को ऑर्थोनॉर्मल होने की आवश्यकता नहीं है। यह affine निर्देशांक को परिभाषित करता है, कभी-कभी इस बात पर बल देने के लिए तिरछा निर्देशांक कहा जाता है कि आधार वैक्टर जोड़ीदार ऑर्थोगोनल नहीं हैं।

आयाम के यूक्लिडियन स्थान का एक सजातीय आधार $n$ का एक सेट है $n + 1$ ऐसे बिंदु जो हाइपरप्लेन में समाहित नहीं होते हैं। एक एफ़िन आधार प्रत्येक बिंदु के लिए बैरीसेंट्रिक निर्देशांक  परिभाषित करता है।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर कई अन्य निर्देशांक प्रणालियों को परिभाषित किया जा सकता है $E$ आयाम का $n$, इस अनुसार। होने देना $f$ एक सघन उपसमुच्चय  के खुले उपसमुच्चय से एक  समरूपता  (या, अधिक बार, एक  डिफियोमोर्फिज्म ) बनें $E$ के एक खुले उपसमुच्चय के लिए $$\R^n.$$ एक बिंदु के निर्देशांक $x$ का $E$ के घटक हैं $f(x)$. ध्रुवीय समन्वय प्रणाली (आयाम 2) और  गोलाकार समन्वय प्रणाली  और  बेलनाकार समन्वय प्रणाली  समन्वय प्रणाली (आयाम 3) को इस तरह परिभाषित किया गया है।

उन बिंदुओं के लिए जो. के डोमेन से बाहर हैं $f$, निर्देशांक को कभी-कभी पड़ोसी बिंदुओं के निर्देशांक की सीमा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन ये निर्देशांक विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं हो सकते हैं, और बिंदु के पड़ोस में निरंतर नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, गोलाकार समन्वय प्रणाली के लिए, देशांतर को ध्रुव पर परिभाषित नहीं किया गया है, और यथानुपात  पर, देशांतर -180° से +180° तक लगातार गुजरता है।

निर्देशांक को परिभाषित करने का यह तरीका आसानी से अन्य गणितीय संरचनाओं तक और विशेष रूप से कई गुना तक फैला हुआ है।

आइसोमेट्री
दो मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच एक आइसोमेट्री एक आक्षेप है जो दूरी को संरक्षित करता है, वह है

$$d(f(x), f(y))= d(x,y).$$ यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस के मामले में, एक आइसोमेट्री जो मूल को मूल से मैप करती है, मानक को संरक्षित करती है

$$\|f(x)\| = \|x\|,$$ चूँकि सदिश का मान शून्य सदिश से इसकी दूरी है। यह आंतरिक उत्पाद को भी संरक्षित करता है

$$f(x)\cdot f(y)=x\cdot y,$$ जबसे

$$x \cdot y=\frac 1 2 \left(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\right).$$ यूक्लिडियन सदिश स्थानों की एक समरूपता एक रेखीय समरूपता है। एक आइसोमेट्री $$f\colon E\to F$$ यूक्लिडियन रिक्त स्थान एक आइसोमेट्री को परिभाषित करता है $$\overrightarrow f \colon \overrightarrow E \to \overrightarrow F$$ संबंधित यूक्लिडियन वेक्टर रिक्त स्थान। इसका तात्पर्य है कि दो आइसोमेट्रिक यूक्लिडियन रिक्त स्थान समान आयाम वाले हैं। इसके विपरीत यदि $f$ तथा $E$ यूक्लिडियन रिक्त स्थान हैं, $O ∈ E$, $O ∈ F$, तथा $$\overrightarrow f\colon \overrightarrow E\to \overrightarrow F$$ एक आइसोमेट्री है, फिर नक्शा $$f\colon E\to F$$ द्वारा परिभाषित

$$f(P)=O' + \overrightarrow f\left(\overrightarrow{OP}\right)$$ यूक्लिडियन रिक्त स्थान का एक आइसोमेट्री है।

यह पूर्ववर्ती परिणामों से अनुसरण करता है कि यूक्लिडियन रिक्त स्थान की एक आइसोमेट्री लाइनों को लाइनों में मैप करती है, और अधिक सामान्यतः यूक्लिडियन उप-स्थानों को समान आयाम के यूक्लिडियन उप-स्थानों के लिए, और यह कि इन उप-स्थानों पर आइसोमेट्री का प्रतिबंध इन उप-स्थानों के आइसोमेट्री हैं।

प्रोटोटाइपिक उदाहरणों के साथ आइसोमेट्री
यदि $F$ एक यूक्लिडियन स्पेस है, इससे जुड़ा वेक्टर स्पेस $$\overrightarrow E$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष के रूप में माना जा सकता है। हर बिंदु $O ∈ E$ यूक्लिडियन रिक्त स्थान की एक आइसोमेट्री को परिभाषित करता है

$$P\mapsto \overrightarrow {OP},$$ कौन सा नक्शा $E$ शून्य वेक्टर के लिए और संबद्ध रैखिक मानचित्र के रूप में पहचान है। उलटा आइसोमेट्री नक्शा है

$$v\mapsto O+v.$$ एक यूक्लिडियन फ्रेम $O$ मानचित्र को परिभाषित करने की अनुमति देता है

$$\begin{align} E&\to \R^n\\ P&\mapsto \left(e_1\cdot \overrightarrow {OP}, \dots, e_n\cdot\overrightarrow {OP}\right), \end{align}$$ जो यूक्लिडियन रिक्त स्थान का एक आइसोमेट्री है। उलटा आइसोमेट्री है

$$\begin{align} \R^n&\to E \\ (x_1\dots, x_n)&\mapsto \left(O+x_1e_1+ \dots + x_ne_n\right). \end{align}$$ इसका मतलब यह है कि, एक तुल्याकारिता तक, दिए गए आयाम का ठीक एक यूक्लिडियन स्थान होता है।

यह उचित ठहराता है कि कई लेखक बात करते हैं $$\R^n$$ आयाम के यूक्लिडियन स्थान के रूप में $(O, e_1, \dots, e_n)$.

यूक्लिडियन समूह
यूक्लिडियन अंतरिक्ष से स्वयं पर एक आइसोमेट्री को यूक्लिडियन आइसोमेट्री, यूक्लिडियन परिवर्तन या कठोर परिवर्तन कहा जाता है। एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष के कठोर परिवर्तन एक समूह (फ़ंक्शन रचना के तहत) बनाते हैं, जिसे यूक्लिडियन समूह कहा जाता है और अक्सर निरूपित किया जाता है $E(n)$ का $ISO(n)$.

सबसे सरल यूक्लिडियन परिवर्तन अनुवाद (गणित)  हैं

$$P \to P+v.$$ वे वैक्टर के साथ विशेषण पत्राचार में हैं। अनुवाद के स्थान को यूक्लिडियन स्थान से जुड़ा सदिश स्थान कहने का यह एक कारण है। अनुवाद यूक्लिडियन समूह का एक सामान्य उपसमूह  बनाते हैं।

एक यूक्लिडियन आइसोमेट्री $n$ एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष का $f$ एक रैखिक आइसोमेट्री को परिभाषित करता है $$\overrightarrow f$$ संबंधित वेक्टर अंतरिक्ष (रैखिक आइसोमेट्री द्वारा, इसका मतलब एक आइसोमेट्री है जो एक रैखिक मानचित्र भी है) निम्नलिखित तरीके से: $Q – P$ वेक्टर $$\overrightarrow {PQ}$$, यदि $E$ का एक मनमाना बिंदु है $O$, किसी के पास

$$\overrightarrow f(\overrightarrow {OP})= f(P)-f(O).$$ यह सिद्ध करना सरल है कि यह एक रैखिक मानचित्र है जो के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है $E$ नक्शा $$f \to \overrightarrow f$$ यूक्लिडियन समूह से रैखिक आइसोमेट्री के समूह पर एक समूह समरूपता  है, जिसे ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है। इस समरूपता का मूल अनुवाद समूह है, जो दर्शाता है कि यह यूक्लिडियन समूह का एक सामान्य उपसमूह है।

एक दिए गए बिंदु को ठीक करने वाली आइसोमेट्री $O.$ के संबंध में यूक्लिडियन समूह के स्टेबलाइजर उपसमूह  का निर्माण करें $P$. उपरोक्त समूह समरूपता के इस स्टेबलाइजर पर प्रतिबंध एक समरूपता है। तो समरूपताएं जो किसी दिए गए बिंदु को ठीक करती हैं, ऑर्थोगोनल समूह के लिए एक समूह आइसोमॉर्फिक बनाती हैं।

होने देना $P$ एक बिंदु बनो, $P$ एक आइसोमेट्री, और $f$ अनुवाद जो मैप करता है $t$ प्रति $f(P)$. आइसोमेट्री $$g=t^{-1}\circ f$$ फिक्स $P$. इसलिए $$f= t\circ g,$$ और यूक्लिडियन समूह अनुवाद समूह और ऑर्थोगोनल समूह का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद  है।

विशेष ऑर्थोगोनल समूह ओर्थोगोनल समूह का सामान्य उपसमूह है जो अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) को संरक्षित करता है। यह ऑर्थोगोनल समूह के दो  सूचकांक (समूह सिद्धांत)  का एक उपसमूह है। समरूपता समूह द्वारा इसका उलटा प्रतिबिम्ब $$f \to \overrightarrow f$$ यूक्लिडियन समूह के सूचकांक दो का एक सामान्य उपसमूह है, जिसे विशेष यूक्लिडियन समूह या विस्थापन समूह कहा जाता है। इसके तत्वों को कठोर गति या विस्थापन कहते हैं।

कठोर गति में पहचान कार्य, अनुवाद, घुमाव (कठोर गति जो कम से कम एक बिंदु तय करती है), और पेंच अक्ष  भी शामिल हैं।

कठोर परिवर्तनों के विशिष्ट उदाहरण जो कठोर गति नहीं हैं वे प्रतिबिंब (गणित) हैं, जो कठोर परिवर्तन हैं जो एक हाइपरप्लेन को ठीक करते हैं और पहचान नहीं हैं। वे कुछ यूक्लिडियन फ्रेम पर एक समन्वय के संकेत को बदलने में शामिल परिवर्तन भी हैं।

जैसा कि विशेष यूक्लिडियन समूह यूक्लिडियन समूह के सूचकांक दो का एक उपसमूह है, एक प्रतिबिंब दिया गया है $P$, प्रत्येक कठोर परिवर्तन जो कठोर गति नहीं है, का उत्पाद है $r$ और एक कठोर गति। सरकना प्रतिबिंब  एक कठोर परिवर्तन का एक उदाहरण है जो कठोर गति या प्रतिबिंब नहीं है।

इस खंड में जिन सभी समूहों पर विचार किया गया है, वे झूठ समूह  और बीजगणितीय समूह हैं।

टोपोलॉजी
यूक्लिडियन दूरी एक यूक्लिडियन स्थान को एक मीट्रिक स्थान बनाती है, और इस प्रकार एक स्थलीय स्थान बनाती है। इस टोपोलॉजी को यूक्लिडियन टोपोलॉजी  कहा जाता है। के मामले में $$\mathbb R^n,$$ यह टोपोलॉजी  उत्पाद टोपोलॉजी  भी है।

खुले सेट वे उपसमुच्चय होते हैं जिनमें उनके प्रत्येक बिंदु के चारों ओर एक खुली गेंद  होती है। दूसरे शब्दों में, खुली गेंदें एक  आधार (टोपोलॉजी)  बनाती हैं।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष का सामयिक आयाम इसके आयाम के बराबर है। इसका तात्पर्य है कि विभिन्न आयामों के यूक्लिडियन स्थान होमोमोर्फिक  नहीं हैं। इसके अलावा, डोमेन के निश्चरता के प्रमेय का दावा है कि एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक उपसमुच्चय खुला है (उप-स्थान टोपोलॉजी के लिए) अगर और केवल अगर यह समान आयाम के यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक खुले उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक है।

यूक्लिडियन स्थान पूर्ण मीट्रिक  और  स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट  हैं। यही है, यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक बंद उपसमुच्चय कॉम्पैक्ट होता है यदि यह बाध्य सेट होता है (यानी, एक गेंद में निहित होता है)। विशेष रूप से, बंद गेंदें कॉम्पैक्ट होती हैं।

स्वयंसिद्ध परिभाषाएँ
इस आलेख में वर्णित यूक्लिडियन रिक्त स्थान की परिभाषा मौलिक रूप से यूक्लिड की परिभाषा से भिन्न है। वास्तव में, यूक्लिड ने औपचारिक रूप से अंतरिक्ष को परिभाषित नहीं किया, क्योंकि यह भौतिक दुनिया के वर्णन के रूप में सोचा गया था जो मानव मन से स्वतंत्र रूप से मौजूद है। एक औपचारिक परिभाषा की आवश्यकता केवल 19वीं शताब्दी के अंत में गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की शुरूआत के साथ दिखाई दी।

दो अलग-अलग तरीकों का इस्तेमाल किया गया है। फेलिक्स क्लेन  ने ज्यामिति को उनकी सममितियों के माध्यम से परिभाषित करने का सुझाव दिया। इस आलेख में दी गई यूक्लिडियन रिक्त स्थान की प्रस्तुति अनिवार्य रूप से उनके एरलांगेन कार्यक्रम से जारी की गई है, जिसमें अनुवाद और आइसोमेट्री के समूहों पर जोर दिया गया है।

दूसरी ओर, डेविड हिल्बर्ट  ने यूक्लिड की अभिधारणाओं से प्रेरित हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों का एक सेट प्रस्तावित किया। वे सिंथेटिक ज्यामिति से संबंधित हैं, क्योंकि उनमें वास्तविक संख्याओं की कोई परिभाषा शामिल नहीं है। बाद में जी.डी. बिरखॉफ और अल्फ्रेड टार्स्की  ने स्वयंसिद्धों के सरल सेट प्रस्तावित किए, जो वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते हैं (देखें बिरखॉफ के स्वयंसिद्ध और टार्स्की के स्वयंसिद्ध)।

ज्यामितीय बीजगणित (पुस्तक) में,  एमिल आर्टिन  ने साबित किया है कि यूक्लिडियन अंतरिक्ष की ये सभी परिभाषाएँ समतुल्य हैं। यह साबित करना आसान है कि यूक्लिडियन रिक्त स्थान की सभी परिभाषाएं हिल्बर्ट के सिद्धांतों को संतुष्ट करती हैं, और यह कि वास्तविक संख्याएं शामिल हैं (उपरोक्त परिभाषा सहित) समकक्ष हैं। आर्टिन के प्रमाण का कठिन हिस्सा निम्नलिखित है। हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों में, सर्वांगसमता (ज्यामिति) खंडों पर एक  तुल्यता संबंध  है। इस प्रकार एक खंड की लंबाई को उसके तुल्यता वर्ग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार यह सिद्ध करना आवश्यक है कि यह लंबाई गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं की विशेषता वाले गुणों को संतुष्ट करती है। आर्टिन ने इसे हिल्बर्ट के समकक्ष स्वयंसिद्धों के साथ साबित किया।

उपयोग
ग्रीक गणित के बाद से, यूक्लिडियन अंतरिक्ष का उपयोग भौतिक दुनिया में आकृतियों के मॉडलिंग के लिए किया जाता है। इस प्रकार यह भौतिकी, यांत्रिकी  और  खगोल   विज्ञान  जैसे कई विज्ञानों में उपयोग किया जाता है। यह सभी तकनीकी क्षेत्रों में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है जो  आकार, आकृति, स्थान और स्थिति से संबंधित हैं, जैसे कि  वास्तुकला , भूगणित, स्थलाकृति,  पथ प्रदर्शन ,  औद्योगिक डिजाइन  या तकनीकी ड्राइंग।

तीन से अधिक आयामों का स्थान भौतिकी के कई आधुनिक सिद्धांतों में पाया जाता है; उच्च आयाम  देखें। वे भौतिक प्रणालियों के  विन्यास स्थान (भौतिकी)  में भी होते हैं।

यूक्लिडियन ज्यामिति के अलावा, गणित के अन्य क्षेत्रों में भी यूक्लिडियन रिक्त स्थान का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। अलग-अलग मैनिफोल्ड्स के स्पर्शरेखा स्थान  यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस हैं। अधिक आम तौर पर, मैनिफोल्ड एक ऐसा स्थान होता है जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन रिक्त स्थान द्वारा अनुमानित होता है। अधिकांश गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति को मैनिफोल्ड द्वारा मॉडल किया जा सकता है, और उच्च आयाम के यूक्लिडियन स्थान में  एम्बेडिंग  किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक  अण्डाकार स्थान  को एक दीर्घवृत्त द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में गणितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करना आम है जो कि एक ज्यामितीय प्रकृति की प्राथमिकता नहीं है। कई के बीच एक उदाहरण  ग्राफ (असतत गणित)  का सामान्य प्रतिनिधित्व है।

अन्य ज्यामितीय स्थान
19वीं शताब्दी के अंत में, गैर-यूक्लिडियन ज्यामितीयों की शुरूआत के बाद से, कई प्रकार के रिक्त स्थान पर विचार किया गया है, जिसके बारे में यूक्लिडियन रिक्त स्थान के समान ही ज्यामितीय तर्क कर सकते हैं। सामान्य तौर पर, वे यूक्लिडियन रिक्त स्थान के साथ कुछ गुण साझा करते हैं, लेकिन ऐसे गुण भी हो सकते हैं जो अजीब लग सकते हैं। इनमें से कुछ स्थान अपनी परिभाषा के लिए यूक्लिडियन ज्यामिति का उपयोग करते हैं, या उच्च आयाम के यूक्लिडियन स्थान के उप-स्थान के रूप में तैयार किए जा सकते हैं। जब ऐसी जगह को ज्यामितीय सिद्धांतों द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में अंतरिक्ष को एम्बेड करना इसकी परिभाषा की स्थिरता साबित करने का एक मानक तरीका है, या यह साबित करने के लिए अधिक सटीक रूप से साबित करने के लिए कि इसका सिद्धांत सुसंगत है, यदि यूक्लिडियन ज्यामिति सुसंगत है (जिसे सिद्ध नहीं किया जा सकता है) ).

एफ़िन स्पेस
एक यूक्लिडियन स्पेस एक मैट्रिक (गणित) से लैस एक एफाइन स्पेस है। गणित में Affine रिक्त स्थान के कई अन्य उपयोग हैं। विशेष रूप से, जैसा कि वे किसी भी क्षेत्र (गणित)  पर परिभाषित हैं, वे अन्य संदर्भों में ज्यामिति करने की अनुमति देते हैं।

जैसे ही गैर-रैखिक प्रश्नों पर विचार किया जाता है, यह आम तौर पर यूक्लिडियन रिक्त स्थान के विस्तार के रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर परिबद्ध स्थानों पर विचार करने के लिए उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, एक वृत्त और एक रेखा (ज्यामिति)  में हमेशा दो प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं (संभवतः अलग नहीं) जटिल संबंध स्थान में। इसलिए, बीजगणितीय ज्योमेट्री का अधिकांश भाग बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड्स पर जटिल एफ़िन स्पेस और एफ़िन स्पेस में बनाया गया है। इन सजातीय स्थानों में  बीजगणितीय ज्यामिति  में जिन आकृतियों का अध्ययन किया जाता है, उन्हें सजातीय बीजगणितीय विविधता कहा जाता है।

परिमेय संख्या ओं पर एफ़िन रिक्त स्थान और अधिक सामान्यतः बीजगणितीय संख्या क्षेत्र ों पर (बीजीय) ज्यामिति और  संख्या सिद्धांत  के बीच एक लिंक प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए,  फ़र्मेट वक्र  अंतिम प्रमेय को कहा जा सकता है कि दो से अधिक डिग्री के फर्मेट वक्र में परिमेय के ऊपर संबंध विमान में कोई बिंदु नहीं है।

परिमित क्षेत्र ों में परिमित स्थानों में ज्यामिति का भी व्यापक अध्ययन किया गया है। उदाहरण के लिए, क्रिप्टोग्राफी  में परिमित क्षेत्रों पर  अण्डाकार वक्र ों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

प्रोजेक्टिव स्पेस
मूल रूप से, प्रक्षेपी रिक्त स्थान को यूक्लिडियन रिक्त स्थान में अनंत बिंदुओं को जोड़कर पेश किया गया है, और अधिक आम तौर पर रिक्त स्थान को परिशोधित करने के लिए, यह दावा करने के लिए कि दो समतलीय  रेखाएं ठीक एक बिंदु पर मिलती हैं। यूक्लिडियन और एफाइन स्पेस के साथ प्रोजेक्टिव स्पेस शेयर  समदैशिक  होने का गुण है, यानी स्पेस का कोई गुण नहीं है जो दो बिंदुओं या दो रेखाओं के बीच अंतर करने की अनुमति देता है। इसलिए, एक अधिक आइसोट्रोपिक परिभाषा का आमतौर पर उपयोग किया जाता है, जिसमें एक प्रक्षेपी स्थान को परिभाषित करने के रूप में एक वेक्टर अंतरिक्ष में  वेक्टर लाइन ों के सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है।

एफ़िन रिक्त स्थान के लिए, प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान किसी भी क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित होते हैं, और बीजगणितीय ज्यामिति के मूलभूत स्थान होते हैं।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति
गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति आमतौर पर ज्यामितीय रिक्त स्थान को संदर्भित करती है जहां समानांतर अभिधारणा गलत होती है। इनमें अंडाकार ज्यामिति शामिल है, जहां त्रिभुज के कोणों का योग 180 डिग्री से अधिक होता है, और हाइपरबॉलिक ज्यामिति, जहां यह योग 180 डिग्री से कम होता है। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में उनका परिचय, और यह प्रमाण कि उनका सिद्धांत संगति है (यदि यूक्लिडियन ज्यामिति विरोधाभासी नहीं है) उन विरोधाभासों में से एक है जो 20वीं शताब्दी की शुरुआत के गणित में मूलभूत संकट  के मूल में हैं, और गणित में स्वयंसिद्ध सिद्धांत के व्यवस्थितकरण को प्रेरित किया।

घुमावदार स्थान
मैनिफोल्ड एक ऐसा स्थान है जो प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक यूक्लिडियन स्थान जैसा दिखता है। तकनीकी शब्दों में, मैनिफोल्ड एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, जैसे कि प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस है जो यूक्लिडियन स्पेस के एक खुले उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक है। मैनिफोल्ड्स को इस समानता की बढ़ती हुई डिग्री को टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड ्स, डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स,  चिकना कई गुना  और  विश्लेषणात्मक कई गुना  में वर्गीकृत किया जा सकता है। हालाँकि, इनमें से कोई भी समानता दूरियों और कोणों का सम्मान नहीं करती है, यहाँ तक कि लगभग भी।

कई गुना बिंदुओं पर स्पर्शरेखा रिक्त स्थान पर एक चिकनी कार्य यूक्लिडियन मीट्रिक प्रदान करके दूरियों और कोणों को एक चिकनी कई गुना पर परिभाषित किया जा सकता है (ये स्पर्शरेखा रिक्त स्थान इस प्रकार यूक्लिडियन वेक्टर रिक्त स्थान हैं)। इसका परिणाम रीमैनियन मैनिफोल्ड  में होता है। आम तौर पर, सीधी रेखाएं रिमेंनियन मैनिफोल्ड में मौजूद नहीं होती हैं, लेकिन उनकी भूमिका  भूगणित ्स द्वारा निभाई जाती है, जो दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा रास्ता है। यह दूरियों को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जो कि जियोडेसिक्स के साथ मापी जाती हैं, और जियोडेसिक्स के बीच के कोण, जो उनके चौराहे पर स्पर्शरेखा स्थान में उनके स्पर्शरेखा के कोण हैं। तो, रीमैनियन मैनिफोल्ड्स स्थानीय रूप से एक यूक्लिडियन स्थान की तरह व्यवहार करते हैं जो मुड़ा हुआ है।

यूक्लिडियन रिक्त स्थान तुच्छ रूप से रीमैनियन मैनिफोल्ड हैं। इस कूप को दर्शाने वाला एक उदाहरण गोले की सतह है। इस मामले में, जियोडेसिक्स महान घेरा  हैं, जिन्हें नेविगेशन के संदर्भ में  ऑर्थोड्रोम  कहा जाता है। अधिक आम तौर पर, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के रिक्त स्थान को रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के रूप में महसूस किया जा सकता है।

छद्म-यूक्लिडियन स्थान
एक वास्तविक सदिश स्थान का एक आंतरिक उत्पाद एक सकारात्मक निश्चित द्विरेखीय रूप  है, और इसलिए एक बिलिनियर रूप #व्युत्पन्न  द्विघात रूप  द्वारा विशेषता है। एक  छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष  एक गैर-पतित द्विघात रूप (जो  अनिश्चित द्विघात रूप  हो सकता है) से सुसज्जित वास्तविक सदिश स्थान के साथ एक सजातीय स्थान है।

इस तरह के अंतरिक्ष का एक मौलिक उदाहरण मिंकोस्की अंतरिक्ष है, जो अल्बर्ट आइंस्टीन  की  विशेष सापेक्षता  का अंतरिक्ष-समय है। यह एक चार आयामी स्थान है, जहाँ मीट्रिक को द्विघात रूप से परिभाषित किया जाता है

$$x^2+y^2+z^2-t^2,$$ जहां अंतिम समन्वय (टी) अस्थायी है, और अन्य तीन (एक्स, वाई, जेड) स्थानिक हैं।

गुरुत्वाकर्षण को ध्यान में रखने के लिए,  सामान्य सापेक्षता  एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड का उपयोग करती है जिसमें मिन्कोस्की रिक्त स्थान को स्पर्शरेखा स्थान के रूप में रखा गया है। एक बिंदु पर इस कई गुना के रीमैनियन कई गुना वक्रता इस बिंदु पर  गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र  के मूल्य का एक कार्य है।

यह भी देखें

 * हिल्बर्ट अंतरिक्ष, अनंत आयाम का सामान्यीकरण, कार्यात्मक विश्लेषण  में उपयोग किया जाता है

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