मात्रा तत्व

गणित में, एक आयतन अल्पांश विभिन्न निर्देशांक प्रणालियों जैसे गोलाकार निर्देशांक प्रणाली और बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली में आयतन के संबंध में समाकल फलन (गणित) के लिए एक मध्यमान प्रदान करता है। इस प्रकार एक आयतन अल्पांश रूप का व्यंजक है
 * $$dV = \rho(u_1,u_2,u_3)\,du_1\,du_2\,du_3$$

जहां $$u_i$$ निर्देशांक हैं, ताकि किसी भी समुच्चय $$B$$  के  आयतन की गणना की जा सकती है
 * $$\operatorname{Volume}(B) = \int_B \rho(u_1,u_2,u_3)\,du_1\,du_2\,du_3.$$

उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक में $$dV = u_1^2\sin u_2\,du_1\,du_2\,du_3$$, इसलिए $$\rho = u_1^2\sin u_2$$ होता है।

आयतन अल्पांश की धारणा तीन आयामों तक सीमित नहीं है: दो आयामों में इसे प्रायः क्षेत्र तत्व के रूप में जाना जाता है, और इस सेटिंग में यह सतह के समाकल करने के लिए उपयोगी होता है। निर्देशांक के परिवर्तन के अंतर्गत, आयतन अल्पांश निर्देशांक परिवर्तन के जैकोबियन निर्धारक के निरपेक्ष मान से बदलता है (प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण # एकाधिक चर के लिए प्रतिस्थापन)। यह तथ्य आयतन तत्वों को कई गुना पर एक प्रकार के माप (गणित) के रूप में परिभाषित करने की स्वीकृति देता है। एक  उन्मुखता  अलग करने योग्य कई गुना पर, आयतन अल्पांश सामान्य रूप से आयतन फॉर्म से उत्पन्न होता है: एक टॉप डिग्री  विभेदक रूप । एक गैर-उन्मुख मैनिफोल्ड पर, आयतन अल्पांश सामान्य रूप से (स्थानीय रूप से परिभाषित) आयतन फॉर्म का पूर्ण मान होता है: यह एक घनत्व को कई गुना | 1-घनत्व पर परिभाषित करता है।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष
में आयतन अल्पांश यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, आयतन अल्पांश कार्टेशियन निर्देशांक के अंतर के उत्पाद द्वारा दिया जाता है
 * $$dV = dx\,dy\,dz.$$

प्रपत्र के विभिन्न निर्देशांक प्रणालियों में $$x=x(u_1,u_2,u_3)$$, $$y=y(u_1,u_2,u_3)$$, $$z=z(u_1,u_2,u_3)$$, निर्देशांक परिवर्तन का आयतन अल्पांश याकूबियन_मैट्रिक्स_और_निर्धारक (निर्धारक):
 * $$dV = \left|\frac{\partial (x,y,z)}{\partial (u_1,u_2,u_3)}\right|\,du_1\,du_2\,du_3.$$

उदाहरण के लिए, गोलाकार निर्देशांक (गणितीय सम्मेलन) में
 * $$\begin{align}

x&=\rho\cos\theta\sin\phi\\ y&=\rho\sin\theta\sin\phi\\ z&=\rho\cos\phi \end{align} $$ जैकबियन निर्धारक है
 * $$\left |\frac{\partial(x,y,z)}{\partial (\rho,\theta,\phi)}\right| = \rho^2\sin\phi$$

ताकि
 * $$dV = \rho^2\sin\phi\,d\rho\,d\theta\,d\phi.$$

इसे इस तथ्य के एक विशेष स्थिति के रूप में देखा जा सकता है कि अंतर रूप एक पश्च अपकर्ष के माध्यम से रूपांतरित होते हैं $$F^*$$ जैसा


 * $$ F^*(u \; dy^1 \wedge \cdots \wedge dy^n) = (u \circ F) \det \left(\frac{\partial F^j}{\partial x^i}\right) dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n $$

एक रेखीय उप-समष्टि का आयतन अल्पांश
n-विम यूक्लिडियन समष्टि 'R' की रैखिक उपसमष्टि पर विचार करें।n जो रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों के संग्रह द्वारा विस्तृत है
 * $$X_1,\dots,X_k.$$

उप-समष्टि के आयतन अल्पांश को खोजने के लिए, रैखिक बीजगणित से इस तथ्य को जानना उपयोगी है कि समांतर चतुर्भुज का आयतन $$X_i$$ के ग्रामियन आव्यूह के निर्धारक का वर्गमूल है $$X_i$$:
 * $$\sqrt{\det(X_i\cdot X_j)_{i,j=1\dots k}}.$$

उपसमष्टि में किसी भी बिंदु p को निर्देशांक दिए जा सकते हैं $$(u_1,u_2,\dots,u_k)$$ ऐसा है कि
 * $$p = u_1X_1 + \cdots + u_kX_k.$$

एक बिंदु पी पर, यदि हम पक्षों के साथ एक छोटा समांतर चतुर्भुज बनाते हैं $$du_i$$, तो उस समांतर चतुर्भुज का आयतन ग्रामियन आव्यूह के निर्धारक का वर्गमूल है
 * $$\sqrt{\det\left((du_i X_i)\cdot (du_j X_j)\right)_{i,j=1\dots k}} = \sqrt{\det(X_i\cdot X_j)_{i,j=1\dots k}}\; du_1\,du_2\,\cdots\,du_k.$$

इसलिए यह रेखीय उपसमष्टि में आयतन रूप को परिभाषित करता है।

कई गुना का आयतन अल्पांश
आयाम एन के एक उन्मुख रिमेंनियन कई गुना पर, आयतन अल्पांश यूनिट निरंतर फलन के हॉज दोहरे के बराबर मात्रा का रूप है, $$f(x) = 1$$:
 * $$\omega = \star 1 .$$

समतुल्य रूप से, आयतन अल्पांश ठीक लेवी-Civita प्रदिश है $$\epsilon$$. निर्देशांक में, $$\omega = \epsilon =\sqrt{\left|\det g\right|}\, dx^1 \wedge \cdots \wedge dx^n$$ कहाँ $$\det g$$ निर्देशांक प्रणाली में लिखे गए मीट्रिक प्रदिश g का निर्धारक है।

एक सतह का क्षेत्र तत्व
एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एम्बेडेड दो-आयामी सतह पर विचार करके आयतन अल्पांश का एक सरल उदाहरण खोजा जा सकता है। ऐसे आयतन अल्पांश को कभी-कभी क्षेत्र तत्व भी कहा जाता है। एक उपसमुच्चय पर विचार करें $$U \subset \R^2$$ और एक मानचित्रण फलन


 * $$\varphi:U\to \R^n$$

इस प्रकार एम्बेडेड सतह को परिभाषित करना $$\R^n$$. दो आयामों में, आयतन केवल क्षेत्रफल है, और आयतन अल्पांश सतह के भागों के क्षेत्रफल को निर्धारित करने का एक तरीका देता है। इस प्रकार एक आयतन अल्पांश रूप की अभिव्यक्ति है


 * $$f(u_1,u_2)\,du_1\,du_2$$

जो किसी को समाकल की गणना करके सतह पर स्थित सेट बी के क्षेत्र की गणना करने की स्वीकृति देता है


 * $$\operatorname{Area}(B) = \int_B f(u_1,u_2)\,du_1\,du_2.$$

यहाँ हम आयतन अल्पांश को सतह पर पाएंगे जो सामान्य अर्थों में क्षेत्र को परिभाषित करता है। मैपिंग का जैकबियन आव्यूह है


 * $$\lambda_{ij}=\frac{\partial \varphi_i} {\partial u_j}$$

इंडेक्स के साथ i 1 से n तक चल रहा है, और j 1 से 2 तक चल रहा है। एन-डायमेंशनल स्पेस में यूक्लिडियन मेट्रिक (गणित) एक मेट्रिक को प्रेरित करता है $$g = \lambda^T \lambda$$ सेट यू पर, आव्यूह तत्वों के साथ


 * $$g_{ij}=\sum_{k=1}^n \lambda_{ki} \lambda_{kj}

= \sum_{k=1}^n \frac{\partial \varphi_k} {\partial u_i} \frac{\partial \varphi_k} {\partial u_j}. $$ मीट्रिक का निर्धारक द्वारा दिया जाता है


 * $$\det g = \left|

\frac{\partial \varphi} {\partial u_1} \wedge \frac{\partial \varphi} {\partial u_2} \right|^2 = \det (\lambda^T \lambda)$$ एक नियमित सतह के लिए, यह निर्धारक गैर-लुप्त होता है; समतुल्य रूप से, जैकोबियन आव्यूह की रैंक 2 है।

अब U पर निर्देशांकों के परिवर्तन पर विचार करें, जो एक डिफियोमोर्फिज्म द्वारा दिया गया है


 * $$f \colon U\to U ,$$

ताकि निर्देशांक $$(u_1,u_2)$$ के रूप में दिया गया है $$(v_1,v_2)$$ द्वारा $$(u_1,u_2)= f(v_1,v_2)$$. इस परिवर्तन का जैकोबियन आव्यूह द्वारा दिया गया है


 * $$F_{ij}= \frac{\partial f_i} {\partial v_j}.$$

नए निर्देशांक में, हमारे पास है


 * $$\frac{\partial \varphi_i} {\partial v_j} =

\sum_{k=1}^2 \frac{\partial \varphi_i} {\partial u_k} \frac{\partial f_k} {\partial v_j} $$ और इसलिए मीट्रिक रूपांतरित हो जाती है


 * $$\tilde{g} = F^T g F $$

कहाँ $$\tilde{g}$$ v निर्देशांक प्रणाली में पश्च अपकर्ष मीट्रिक है। निर्धारक है


 * $$\det \tilde{g} = \det g \left( \det F \right)^2. $$

उपरोक्त निर्माण को देखते हुए, अब यह समझना सीधा होना चाहिए कि निर्देशांक के अभिविन्यास-संरक्षण परिवर्तन के अंतर्गत आयतन अल्पांश कैसे अपरिवर्तनीय है।

दो आयामों में, आयतन केवल क्षेत्र है। एक उपसमुच्चय का क्षेत्रफल $$B\subset U$$ समाकल द्वारा दिया गया है


 * $$\begin{align}

\mbox{Area}(B) &= \iint_B \sqrt{\det g}\; du_1\; du_2 \\ &= \iint_B \sqrt{\det g} \left|\det F\right| \;dv_1 \;dv_2 \\ &= \iint_B \sqrt{\det \tilde{g}} \;dv_1 \;dv_2. \end{align}$$ इस प्रकार, किसी भी निर्देशांक प्रणाली में, आयतन अल्पांश एक ही अभिव्यक्ति लेता है: आयतन अल्पांश की अभिव्यक्ति निर्देशांक के परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।

ध्यान दें कि उपरोक्त प्रस्तुति में दो आयामों के लिए कुछ विशेष नहीं था; ऊपर तुच्छ रूप से एकपक्षीय आयामों का सामान्यीकरण करता है।

उदाहरण: क्षेत्र
उदाहरण के लिए, 'R' में मूल बिंदु पर केन्द्रित r त्रिज्या वाले गोले पर विचार करें। 3। मानचित्र के साथ गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करके इसे पैरामीट्रिज किया जा सकता है
 * $$\phi(u_1,u_2) = (r \cos u_1 \sin u_2, r \sin u_1 \sin u_2, r \cos u_2).$$

तब
 * $$g = \begin{pmatrix}

r^2\sin^2u_2 & 0 \\ 0 & r^2 \end{pmatrix},$$ और क्षेत्र तत्व है
 * $$ \omega = \sqrt{\det g}\; du_1 du_2 = r^2\sin u_2\, du_1 du_2.$$

यह भी देखें

 * बेलनाकार निर्देशांक प्रणाली § रेखा और आयतन अल्पांश
 * गोलाकार निर्देशांक प्रणाली § गोलाकार निर्देशांक में समाकलन और अवकलन
 * पृष्ठीय समाकल
 * आयतन समाकल