क्वांटम एन्ट्रापी की सशक्त उप-सम्मिलितता

क्वांटम सूचना सिद्धांत में, क्वांटम एंट्रॉपी (एसएसए) की मजबूत उप-योगिता तीन उप-प्रणालियों (या स्वतंत्रता के तीन डिग्री के साथ एक क्वांटम प्रणाली) से युक्त एक बड़ी क्वांटम प्रणाली के विभिन्न क्वांटम उप-प्रणालियों के वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी के बीच संबंध है। यह आधुनिक क्वांटम सूचना सिद्धांत में एक बुनियादी प्रमेय है। यह डेरेक डब्ल्यू रॉबिन्सन|डी द्वारा अनुमान लगाया गया था। डब्ल्यू रॉबिन्सन और डी रूएल 1966 में और ऑस्कर लैनफोर्ड|ओ. ई. लैनफोर्ड III और डी. डब्ल्यू. रॉबिन्सन 1968 में और 1973 में ई.एच. द्वारा सिद्ध किया गया। लिब और मैरी बेथ रुसकाई|एम.बी. रुस्कई, विग्नेर-यानासे-डायसन अनुमान के अपने प्रमाण में लिब द्वारा प्राप्त परिणामों पर निर्माण। रेफरी नाम = L73 >

एसएसए का शास्त्रीय संस्करण शास्त्रीय संभाव्यता सिद्धांत और सूचना सिद्धांत में लंबे समय से जाना जाता है और इसकी सराहना की जाती है। शास्त्रीय मामले में इस संबंध का प्रमाण काफी आसान है, लेकिन क्वांटम सबसिस्टम का वर्णन करने वाले कम घनत्व वाले मैट्रिक्स की गैर-कम्यूटेटिविटी के कारण क्वांटम मामला मुश्किल है।

यहाँ कुछ उपयोगी संदर्भों में शामिल हैं: रेफरी> एम। नीलसन, आई. चुआंग, क्वांटम संगणना और क्वांटम सूचना, कैंब्र। यू. प्रेस, (2000) रेफरी> एम। ओह्या, डी. पेट्ज, क्वांटम एंट्रॉपी एंड इट्स यूज, स्प्रिंगर (1993) रेफरी नाम = C09> ई। कार्लेन, ट्रेस इनइक्वालिटीज एंड क्वांटम एंट्रॉपी: एन इंट्रोडक्टरी कोर्स, कंटेम्प। गणित। 529 (2009).
 * क्वांटम संगणना और क्वांटम सूचना
 * क्वांटम एंट्रॉपी और इसका उपयोग
 * ट्रेस असमानताएं और क्वांटम एंट्रॉपी: एक परिचयात्मक पाठ्यक्रम

परिभाषाएँ
निम्नलिखित में हम निम्नलिखित अंकन का उपयोग करते हैं: एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष को इसके द्वारा दर्शाया जाता है $$\mathcal{H}$$, और $$ \mathcal{B}(\mathcal{H})$$ बंधे रैखिक ऑपरेटरों को दर्शाता है $$\mathcal{H}$$. Tensor उत्पादों को सुपरस्क्रिप्ट द्वारा निरूपित किया जाता है, उदाहरण के लिए, $$\mathcal{H}^{12}=\mathcal{H}^1\otimes \mathcal{H}^2$$. निशान द्वारा निरूपित किया जाता है $${\rm Tr}$$.

घनत्व मैट्रिक्स
एक घनत्व मैट्रिक्स एक हर्मिटियन मैट्रिक्स है, सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स | ट्रेस क्लास वन का सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स। यह क्वांटम प्रणाली में जितना राज्य के वर्णन की अनुमति देता है। टेंसर उत्पाद पर घनत्व मैट्रिसेस को सुपरस्क्रिप्ट द्वारा निरूपित किया जाता है, उदाहरण के लिए, $$\rho^{12}$$ एक घनत्व मैट्रिक्स है $$\mathcal{H}^{12}$$.

एंट्रॉपी
घनत्व मैट्रिक्स की वॉन न्यूमैन वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी $$\rho$$ है
 * $$S(\rho):=-{\rm Tr}(\rho\log \rho)$$.

सापेक्ष एन्ट्रॉपी
उमेगाकी के दो घनत्व मैट्रिसेस की क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी $$\rho$$ और $$\sigma$$ है
 * $$S(\rho||\sigma)={\rm Tr}(\rho\log\rho-\rho\log\sigma)\geq 0 $$.

संयुक्त अवतलता
एक समारोह $$g$$ दो चरों में से किसी के लिए संयुक्त रूप से अवतल कहा जाता है $$ 0\leq \lambda\leq 1$$ निम्नलिखित धारण करता है

g(\lambda A_1 + (1-\lambda)A_2,\lambda B_1 + (1-\lambda)B_2 ) \geq \lambda g(A_1, B_1) + (1 -\lambda)g(A_2, B_2). $$

एन्ट्रापी की उप-विभाजन
साधारण उप-विषमता केवल दो रिक्त स्थान की चिंता करता है $$\mathcal{H}^{12}$$ और एक घनत्व मैट्रिक्स $$\rho^{12}$$. यह प्रकट करता है की
 * $$ S(\rho^{12}) \leq S(\rho^1) +S(\rho^2) $$ बेशक, यह असमानता शास्त्रीय संभाव्यता सिद्धांत में सच है, लेकिन बाद वाले में भी शामिल है

प्रमेय कि सशर्त एन्ट्रापी $$ S(\rho^{12} | \rho^1)= S(\rho^{12} )-S(\rho^1)$$ और $$ S(\rho^{12} | \rho^2)=S(\rho^{12} ) -S(\rho^2)$$ दोनों गैर-नकारात्मक हैं। हालाँकि, क्वांटम मामले में, दोनों नकारात्मक हो सकते हैं, उदा. $$ S(\rho^{12}) $$ जबकि शून्य हो सकता है $$ S(\rho^1) = S(\rho^{2}) >0$$. फिर भी, उप-विषमता ऊपरी सीमा पर है $$ S(\rho^{12}) $$ धारण करना जारी है। किसी के पास सबसे करीबी चीज को $$ S(\rho^{12})- S(\rho^1)\geq 0 $$ अरकी-लीब त्रिभुज असमानता है :  $$ S(\rho^{12}) \geq |S(\rho^1) -S(\rho^2)| $$ जो में व्युत्पन्न है श्रोडिंगर-एचजेडब्ल्यू प्रमेय नामक एक गणितीय तकनीक द्वारा उप-विषमता से।

स्ट्रॉन्ग सबएडिटिविटी (एसएसए)
मान लीजिए कि प्रणाली का हिल्बर्ट स्थान तीन स्थानों का एक टेंसर उत्पाद है: $$\mathcal{H}=\mathcal{H}^1\otimes \mathcal{H}^2\otimes \mathcal{H}^3.$$. शारीरिक रूप से, ये तीन रिक्त स्थान कर सकते हैं तीन अलग-अलग प्रणालियों के स्थान के रूप में व्याख्या की जा सकती है, या फिर तीन भागों या स्वतंत्रता की तीन डिग्री के रूप में एक भौतिक प्रणाली का।

एक घनत्व मैट्रिक्स दिया $$\rho^{123}$$ पर $$\mathcal{H}$$, हम एक घनत्व मैट्रिक्स को परिभाषित करते हैं $$\rho^{12}$$ पर $$\mathcal{H}^1\otimes \mathcal{H}^2$$ आंशिक निशान के रूप में: $$\rho^{12}={\rm Tr}_{\mathcal{H}^3} \rho^{123}$$. इसी प्रकार, हम घनत्व मेट्रिसेस को परिभाषित कर सकते हैं: $$\rho^{23}$$, $$\rho^{13}$$, $$\rho^1$$, $$\rho^2$$, $$\rho^3$$.

कथन
किसी भी त्रिपक्षीय राज्य के लिए $$\rho^{123}$$ निम्नलिखित धारण करता है
 * $$S(\rho^{123})+S(\rho^2)\leq S(\rho^{12})+S(\rho^{23})$$,

कहाँ $$ S(\rho^{12})=-{\rm Tr}_{\mathcal{H}^{12}} \rho^{12} \log \rho^{12}$$, उदाहरण के लिए।

समतुल्य रूप से, त्रिपक्षीय राज्य के लिए बयान को सशर्त क्वांटम एन्ट्रॉपी के संदर्भ में पुनर्गठित किया जा सकता है $$\rho^{ABC}$$,
 * $$S(A\mid BC)\leq S(A\mid B)$$.

इसे क्वांटम पारस्परिक सूचना के संदर्भ में भी पुनर्कथित किया जा सकता है,
 * $$I(A:BC)\geq I(A:B)$$.

ये बयान शास्त्रीय अंतर्ज्ञान के समानांतर चलते हैं, सिवाय इसके कि क्वांटम सशर्त एंट्रॉपी नकारात्मक हो सकती है, और क्वांटम पारस्परिक सूचनाएं सीमांत एंट्रॉपी के शास्त्रीय बंधन से अधिक हो सकती हैं।

कार्लेन और लिब द्वारा निम्नलिखित तरीके से मजबूत उपविभाजन असमानता में सुधार किया गया था
 * $$S(\rho^{12})+S(\rho^{23})-S(\rho^{123})-S(\rho^2) \geq 2\max\{S(\rho^1)-S(\rho^{13}),S(\rho^3)-S(\rho^{13}), 0 \} $$,

इष्टतम स्थिरांक के साथ $$2$$.

जे कीफर 1959 में एक परिधीय रूप से संबंधित उत्तलता परिणाम साबित हुआ, जो कि E.H.Lieb और M.B.Ruskai द्वारा सिद्ध किए गए एक ऑपरेटर श्वार्ज असमानता का परिणाम है।  हालांकि, ये परिणाम तुलनात्मक रूप से सरल हैं, और सबूत लिब के 1973 के उत्तल और अवतल ट्रेस कार्यात्मकताओं के पेपर के परिणामों का उपयोग नहीं करते हैं। यह वह पेपर था जिसने लिब और रुस्काई द्वारा एसएसए के प्रमाण का गणितीय आधार प्रदान किया था। हिल्बर्ट स्पेस सेटिंग से वॉन न्यूमैन बीजगणित सेटिंग तक विस्तार, जहां राज्यों को घनत्व मैट्रिसेस द्वारा नहीं दिया जाता है, द्वारा किया गया था नारनहोफर और थिरिंग . प्रमेय को कई समान कथनों को सिद्ध करके भी प्राप्त किया जा सकता है, जिनमें से कुछ का सारांश नीचे दिया गया है।

विग्नर-यानासे-डायसन अनुमान
ई.पी. विग्नेर और एम.एम. यानासे एंट्रॉपी की एक अलग परिभाषा प्रस्तावित की, जिसे फ्रीमैन डायसन द्वारा सामान्यीकृत किया गया था।

द विग्नर-यानसे-डायसन पी-तिरछी जानकारी
'द विग्नर-यानासे-डायसन $$p$$एक घनत्व मैट्रिक्स की - तिरछी जानकारी $$\rho$$. एक ऑपरेटर के संबंध में $$K$$ है
 * $$ I_p(\rho, K)=\frac{1}{2}{\rm Tr}[\rho^p, K^*][\rho^{1-p}, K],$$

कहाँ $$[A,B]=AB-BA$$ एक कम्यूटेटर है, $$ K^* $$ है का जोड़ $$K$$ और $$0\leq p\leq 1$$ निश्चित है।

पी-तिरछी जानकारी की अवतलता
यह ई.पी. विग्नेर और एम.एम. यानासे द्वारा अनुमान लगाया गया था वह $$p$$- तिरछी जानकारी घनत्व मैट्रिक्स के कार्य के रूप में अवतल है $$\rho$$ एक निश्चित के लिए $$0\leq p\leq 1$$.

कार्यकाल के बाद से $$-\tfrac{1}{2}{\rm Tr}\rho KK^*$$ अवतल है (यह रैखिक है), अनुमान अवतलता की समस्या को कम करता है $$Tr\rho^p K^*\rho^{1-p}K$$. जैसा कि उल्लेख किया गया है, यह अनुमान (सभी के लिए $$ 0 \leq p \leq 1$$) एसएसए का तात्पर्य है, और साबित हुआ था के लिए $$ p= \tfrac{1}{2}$$ में, और सभी के लिए $$ 0\leq p \leq 1 $$ में निम्नलिखित अधिक सामान्य रूप में: का कार्य दो मैट्रिक्स चर संयुक्त अवतल है $$ A$$ और $$ B,$$ कब $$0\leq r\leq 1$$ और $$p+r \leq 1$$.

यह प्रमेय एसएसए के प्रमाण का एक अनिवार्य हिस्सा है।

उनके पेपर में ई. पी. विग्नेर और एम. एम. यानासे ने भी उप-विषमता का अनुमान लगाया $$p$$- तिरछी जानकारी के लिए $$p=\tfrac{1}{2}$$, जिसे हैनसेन ने अस्वीकृत कर दिया था प्रति उदाहरण देकर।

एसएसए
के बराबर पहले दो बयान

में बताया गया था कि नीचे दिया गया पहला कथन SSA और A. Ulhmann के समतुल्य है नीचे दिए गए दूसरे कथन और एसएसए के बीच समानता को दिखाया।
 * $$ S(\rho^1)+S(\rho^3)-S(\rho^{12})-S(\rho^{23})\leq 0.$$ ध्यान दें कि सशर्त एंट्रॉपी $$S(\rho^{12}|\rho^1)$$ और $$S(\rho^{23}|\rho^3)$$ दोनों गैर-नकारात्मक होने की आवश्यकता नहीं है।
 * वो नक्शा $$ \rho^{12}\mapsto S(\rho^1)-S(\rho^{12}) $$ उत्तल है।

इन दोनों कथनों को प्रत्यक्ष रूप से सिद्ध किया गया।

सापेक्ष एन्ट्रापी का संयुक्त उत्तलता
जैसा कि लिंडब्लाड ने नोट किया है और उहल्मन, अगर, समीकरण में ($$), एक लेता है $$ K=1$$ और $$ r=1-p, A=\rho$$ और $$B=\sigma$$ और में भेद करता है $$ p$$ पर $$p=0$$, एक सापेक्ष एन्ट्रापी का संयुक्त उत्तलता प्राप्त करता है: यानी, अगर $$\rho=\sum_k\lambda_k\rho_k$$, और $$\sigma=\sum_k\lambda_k\sigma_k$$, तब

कहाँ $$\lambda_k\geq 0$$ साथ $$\sum_k\lambda_k=1$$.

{{anchor|Mono2016_10}क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी की एकरसता
पूरी तरह से सकारात्मक नक्शा ट्रेस (रैखिक बीजगणित) संरक्षण (सीपीटीपी) संचालन के तहत रिश्तेदार एंट्रॉपी मोनोटोनिक रूप से घट जाती है $$\mathcal{N}$$ घनत्व मैट्रिसेस पर,

$$S(\mathcal{N}(\rho)\|\mathcal{N}(\sigma))\leq S(\rho\|\sigma)$$.

इस असमानता को क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी की एकरसता कहा जाता है। स्टाइनस्प्रिंग गुणनखंडन प्रमेय के कारण, यह असमानता CPTP मानचित्र के एक विशेष विकल्प का परिणाम है - एक आंशिक ट्रेस मानचित्र जिसका वर्णन नीचे किया गया है।

सीपीटीपी मानचित्रों का सबसे महत्वपूर्ण और बुनियादी वर्ग आंशिक ट्रेस ऑपरेशन है $$ T:\mathcal{B}(\mathcal{H}^{12}) \rightarrow \mathcal{B}(\mathcal{H}^{1})$$, द्वारा दिए गए $$T=1_{\mathcal{H}^1}\otimes \mathrm{Tr}_{\mathcal{H}^2}$$. तब

जिसे आंशिक ट्रेस के तहत क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रॉपी की मोनोटोनिसिटी कहा जाता है।

यह देखने के लिए कि सापेक्ष एंट्रॉपी के संयुक्त उत्तलता से यह कैसे होता है, इसे देखें $$ T$$ Uhlmann के प्रतिनिधित्व के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$ T(\rho^{12} ) = N^{-1} \sum_{j=1}^N (1_{\mathcal{H}^1}\otimes U_j) \rho^{12}(1_{\mathcal{H}^1}\otimes U_j^*), $$

कुछ परिमित के लिए $$ N$$ और एकात्मक मैट्रिसेस का कुछ संग्रह $$ \mathcal{H}^2 $$ (वैकल्पिक रूप से, हार उपाय पर एकीकृत करें)। चूंकि ट्रेस (और इसलिए सापेक्ष एन्ट्रापी) एकात्मक रूप से अपरिवर्तनीय है, असमानता ($$) अब से आता है ($$). यह प्रमेय लिंडब्लैड के कारण है और उहल्मन, जिसका प्रमाण यहाँ दिया गया है।

एसएसए से प्राप्त किया जाता है ($$) साथ $$ \mathcal{H}^1 $$ द्वारा प्रतिस्थापित $$ \mathcal{H}^{12} $$ और $$ \mathcal{H}^2 $$ जगह ले ली $$ \mathcal{H}^3 $$. लेना $$ \rho = \rho^{123},$$ $$\sigma = \rho^1\otimes \rho^{23},$$ $$T= 1_{\mathcal{H}^{12}}\otimes Tr_{\mathcal{H}^3}$$. तब ($$) बन जाता है
 * $$ S(\rho^{12}||\rho^1\otimes \rho^2)\leq S(\rho^{123}||\rho^1\otimes\rho^{23}).$$

इसलिए,
 * $$S(\rho^{123}||\rho^1\otimes\rho^{23})- S(\rho^{12}||\rho^1\otimes \rho^2)=S(\rho^{12})+S(\rho^{23})-S(\rho^{123})-S(\rho^2)\geq 0, $$ जो एसएसए है। इस प्रकार,

क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी की एकरसता (जो इस प्रकार है)$$) एसएसए का तात्पर्य है।

असमानताओं के बीच संबंध
उपरोक्त सभी महत्वपूर्ण असमानताएँ एक दूसरे के समतुल्य हैं, और इन्हें सीधे सिद्ध भी किया जा सकता है। निम्नलिखित समतुल्य हैं:
 * क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रॉपी (मोनो) की एकरसता;
 * आंशिक ट्रेस (एमपीटी) के तहत क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रॉपी की एकरसता;
 * मजबूत उप-विषमता (एसएसए);
 * क्वांटम सापेक्ष एंट्रॉपी (जेसी) की संयुक्त उत्तलता;

निम्नलिखित निहितार्थ इन असमानताओं के बीच समानता को दर्शाते हैं। $$\rho_{12}\mapsto S(\rho_1)-S(\rho_{12})$$ उत्तल है। में यह देखा गया कि यह उत्तलता एमपीटी उत्पन्न करती है;
 * मोनो $$\Rightarrow $$ एमपीटी: इस प्रकार है क्योंकि एमपीटी मोनो का एक विशेष मामला है;
 * एमपीटी $$\Rightarrow $$ मोनो: लिंडब्लाड द्वारा दिखाया गया था, एक सहायक प्रणाली पर आंशिक ट्रेस के रूप में स्टोचैस्टिक मानचित्रों के प्रतिनिधित्व का उपयोग करना;
 * एमपीटी $$\Rightarrow$$ एसएसए: उपरोक्त अनुभाग में वर्णित एमपीटी में त्रि-पक्षीय राज्यों की एक विशेष पसंद लेने के बाद, क्वांटम रिश्तेदार एंट्रॉपी की मोनोटोनिसिटी;
 * एसएसए $$\Rightarrow$$ एमपीटी: चुनकर $$\rho_{123}$$ ब्लॉक विकर्ण होने के लिए, कोई दिखा सकता है कि एसएसए का तात्पर्य है कि मानचित्र
 * एमपीटी $$\Rightarrow$$ जे.सी.: जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया था, चुनकर $$\rho_{12}$$ (और इसी तरह, $$\sigma_{12}$$) ब्लॉक के साथ विकर्ण मैट्रिक्स को ब्लॉक करना $$\lambda_k\rho_k$$ (और $$\lambda_k\sigma_k$$), आंशिक ट्रेस ब्लॉक पर एक योग है ताकि $$\rho:=\rho_2=\sum_k\lambda_k\rho_k$$, इसलिए एमपीटी से जेसी प्राप्त किया जा सकता है;
 * जे.सी $$\Rightarrow$$ एसएसए: 'शुद्धिकरण प्रक्रिया' का उपयोग करते हुए, अर्की और लिब, देखा कि कोई ज्ञात से नई उपयोगी असमानताएँ प्राप्त कर सकता है। शुद्ध करके $$\rho_{123}$$ को $$\rho_{1234}$$ यह दिखाया जा सकता है कि एसएसए के बराबर है
 * $$ S(\rho_4)+S(\rho_2)\leq S(\rho_{12})+S(\rho_{14}). $$

इसके अलावा, अगर $$\rho_{124}$$ शुद्ध है तो $$S(\rho_2)=S(\rho_{14})$$ और $$S(\rho_4)=S(\rho_{12})$$, इसलिए समानता उपरोक्त असमानता में है। चूँकि घनत्व मेट्रिसेस के उत्तल सेट के चरम बिंदु शुद्ध अवस्थाएँ हैं, SSA JC से अनुसरण करता है;

देखना, चर्चा के लिए।

क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी असमानता की एकरसता में समानता
P. Hayden, R. Jozsa, D. Petz and A. Winter described the states for which the equality holds in SSA. सभी राज्यों के लिए $$\rho$$ और $$\sigma$$ हिल्बर्ट स्पेस पर $$\mathcal{H}$$ और सभी क्वांटम ऑपरेटर $$T: \mathcal{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathcal{B}(\mathcal{K})$$,
 * $$ S(T\rho||T\sigma)= S(\rho||\sigma), $$

अगर और केवल अगर कोई क्वांटम ऑपरेटर मौजूद है $$\hat{T}$$ ऐसा है कि
 * $$ \hat{T}T\sigma=\sigma,$$ और $$\hat{T}T\rho=\rho.$$

इसके अतिरिक्त, $$\hat{T}$$ सूत्र द्वारा स्पष्ट रूप से दिया जा सकता है
 * $$ \hat{T}\omega=\sigma^{1/2}T^*\Bigl((T\sigma)^{-1/2}\omega(T\sigma)^{-1/2} \Bigr)\sigma^{1/2}, $$

कहाँ $$T^*$$ का हर्मिटियन जोड़ है $$T$$.

डी. पेट्ज़ ने एक और शर्त भी रखी जब समानता क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी की एकरसता में होती है: नीचे पहला कथन। इसमें विभेद करना $$t=0$$ हमारी दूसरी शर्त है। इसके अलावा, एम.बी. रुसकई ने दूसरे कथन का एक और प्रमाण दिया।

सभी राज्यों के लिए $$\rho$$ और $$\sigma$$ पर $$\mathcal{H}$$ और सभी क्वांटम ऑपरेटर $$T: \mathcal{B}(\mathcal{H})\rightarrow \mathcal{B}(\mathcal{K})$$,
 * $$ S(T\rho||T\sigma)= S(\rho||\sigma),$$

यदि और केवल यदि निम्नलिखित समतुल्य शर्तें पूरी होती हैं: कहाँ $$T^*$$ का संलग्न मानचित्र है $$T$$.
 * $$ T^*(T(\rho)^{it}T(\sigma)^{it})=\rho^{it}\sigma^{-it}$$ सभी वास्तविक के लिए $$t$$.
 * $$ \log\rho-\log\sigma=T^*\Bigl(\log T(\rho)-\log T(\sigma) \Bigr).$$

मजबूत उप-विषमता असमानता में समानता
पैट्रिक हेडन (वैज्ञानिक)|पी. हेडन, आर. जोज़सा, डी. पेट्ज़ और एंड्रियास विंटर|ए. विंटर ने उन राज्यों का वर्णन किया जिनके लिए एसएसए में समानता है।. एक राज्य $$\rho^{ABC}$$ हिल्बर्ट स्पेस पर $$\mathcal{H}^A\otimes\mathcal{H}^B\otimes\mathcal{H}^C$$ समानता के साथ मजबूत उप-विघटन को संतुष्ट करता है अगर और केवल अगर दूसरी प्रणाली का अपघटन होता है
 * $$ \mathcal{H}^B=\bigoplus_j \mathcal{H}^{B^L_j}\otimes \mathcal{H}^{B^R_j} $$

टेंसर उत्पादों के प्रत्यक्ष योग में, जैसे कि
 * $$ \rho^{ABC}=\bigoplus_j q_j\rho^{AB^L_j}\otimes\rho^{B^R_jC},$$

राज्यों के साथ $$\rho^{AB^L_j}$$ पर $$\mathcal{H}^A\otimes\mathcal{H}^{B^L_j}$$ और $$\rho^{B^R_jC}$$ पर $$\mathcal{H}^{B^R_j}\otimes\mathcal{H}^C$$, और एक संभाव्यता वितरण $$\{q_j\}$$.

कार्लेन-लीब एक्सटेंशन
इलियट एच. लिब|ई. एच. लिब और एरिक एंडर्स कार्लेन|ई.ए. कार्लेन ने एसएसए असमानता में एक स्पष्ट त्रुटि शब्द पाया है, अर्थात्,

$$S(\rho^{12})+S(\rho^{23})-S(\rho^{123})-S(\rho^2) \geq 2\max \{0, S(\rho^1)-S(\rho^{13}), S(\rho^3)-S(\rho^{13})\}$$ अगर $$S(\rho^1)-S(\rho^{13})\leq 0$$ और $$S(\rho^3)-S(\rho^{13})\leq 0$$, जैसा कि शास्त्रीय शैनन एन्ट्रापी के मामले में हमेशा होता है, इस असमानता के बारे में कुछ नहीं कहना है। दूसरी ओर, क्वांटम एन्ट्रापी के लिए, यह बहुत संभव है कि सशर्त एन्ट्रापी संतुष्ट हों $$-S(\rho^{13}|\rho^1)=S(\rho^1)-S(\rho^{13})>0$$ या $$-S(\rho^{13}|\rho^3)=S(\rho^3)-S(\rho^{13})>0$$ (लेकिन दोनों कभी नहीं!)। फिर, इस अत्यधिक क्वांटम व्यवस्था में, यह असमानता अतिरिक्त जानकारी प्रदान करती है।

स्थिरांक 2 इष्टतम है, इस अर्थ में कि 2 से बड़े किसी भी स्थिरांक के लिए, कोई ऐसी स्थिति खोज सकता है जिसके लिए उस स्थिरांक के साथ असमानता का उल्लंघन किया जाता है।

मजबूत उप-विस्तार का संचालक विस्तार
उनके पेपर में I. किम ने निम्नलिखित असमानता को साबित करते हुए मजबूत उप-विस्तार के एक ऑपरेटर विस्तार का अध्ययन किया:

त्रि-पक्षीय स्थिति (घनत्व मैट्रिक्स) के लिए $$\rho^{123}$$ पर $$\mathcal{H}^1\otimes \mathcal{H}^2\otimes\mathcal{H}^3$$,
 * $$ Tr_{12}\Bigl(\rho^{123}(-\log(\rho^{12})-\log(\rho^{23})+\log(\rho^2)+\log(\rho^{123}))\Bigr) \geq 0.$$

इस असमानता का प्रमाण ट्रेस असमानताओं पर आधारित है #Effros की प्रमेय और इसका विस्तार|Effros की प्रमेय, जिसके लिए उपरोक्त असमानता को प्राप्त करने के लिए विशेष कार्यों और ऑपरेटरों को चुना जाता है। एम.बी. रुस्कई ने इस कार्य का विस्तार से वर्णन किया है और चर्चा करता है कि कैसे त्रि-पक्षीय और द्वि-पक्षीय मामलों में नई मैट्रिक्स असमानताओं की एक बड़ी श्रेणी को साबित करने के लिए सभी स्थानों में से एक पर आंशिक निशान लगाकर।

पुनर्प्राप्ति योग्यता के संदर्भ में मजबूत उप-विस्तार का विस्तार
2014 में मजबूत उप-विषमता का एक महत्वपूर्ण सुदृढ़ीकरण साबित हुआ था, जिसमें बाद में सुधार किया गया और। 2017 में, यह दिखाया गया था कि रिकवरी चैनल को मूल पेट्ज़ रिकवरी मैप के रूप में लिया जा सकता है। मजबूत उप-विषमता के इन सुधारों की पुनर्प्राप्ति के संदर्भ में भौतिक व्याख्या है, जिसका अर्थ है कि यदि सशर्त पारस्परिक जानकारी $$I(A;B|E)=S(AE) + S(BE) - S(E) - S(ABE)$$ एक त्रिपक्षीय क्वांटम राज्य की $$\rho_{ABE}$$ लगभग शून्य के बराबर है, तो पुनर्प्राप्ति चैनल निष्पादित करना संभव है $$\mathcal{R}_{E\to AE}$$ (सिस्टम ई से एई तक) ऐसा है $$\rho_{ABE} \approx \mathcal{R}_{E\to AE}(\rho_{BE})$$. इस प्रकार ये परिणाम ऊपर उल्लिखित सटीक समानता शर्तों को सामान्यीकृत करते हैं।

यह भी देखें

 * वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी
 * सशर्त क्वांटम एन्ट्रापी
 * क्वांटम पारस्परिक जानकारी
 * कुलबैक-लीब्लर डाइवर्जेंस