अंकगणितीय ज्यामिति

गणित में, अंकगणितीय ज्यामिति, संख्या सिद्धांत की समस्याओं के लिए बीजगणितीय ज्यामिति के तकनीकों का उपयोग करने की एक विधि है। अंकगणितीय ज्यामिति डायोफैंटाइन ज्यामिति पर केंद्रित है, जो बीजगणितीय विविधता के तर्कसंगत बिंदुओं का अध्ययन है। अधिक अमूर्त शब्दों में, अंकगणितीय ज्यामिति को पूर्णांकों के वलय के स्पेक्ट्रम पर परिमित प्रकार की योजनाओं के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

संक्षिप्त विवरण
अंकगणित ज्यामिति में रुचि के पारंपरिक विषय प्रमुख रूप से निम्नलिखित हैː संख्या क्षेत्र, परिमित क्षेत्र, पी-एडिक क्षेत्र, या बीजगणितीय फलन क्षेत्रों पर बहुपद समीकरणों की एक प्रणाली का समाधान समुच्चय, अर्थात वास्तविक संख्याओं के ऐसे क्षेत्र जो बीजगणितीय रूप से विवृत्त नहीं होते हैं। तर्कसंगत बिंदुओं को सीधे ऊंचाई फलनों द्वारा चित्रित किया जा सकता है इस प्रकार उनकी अंकगणितीय जटिलता को मापा जा सकता हैं।

गैर-बीजगणितीय रूप से विवृत्त क्षेत्रों पर परिभाषित बीजगणितीय रूपों की संरचना रुचि का एक केंद्रीय क्षेत्र बन गई है जो बीजगणितीय ज्यामिति के आधुनिक अमूर्त विकास के साथ उत्पन्न हुई है। परिमित क्षेत्रों में, ईटेल कोहोमोलॉजी बीजगणितीय रूपों से संबंधित सांस्थितिक गुण प्रदान करती है। पी-एडिक हॉज सिद्धांत यह जांचने के लिए उपकरण प्रदान करता है कि जटिल संख्याओं पर रूपों के कोहोमोलॉजिकल गुण पी-एडिक क्षेत्रों में विस्तारित होते हैं।

19वीं शताब्दी: प्रारंभिक अंकगणितीय ज्यामिति
19वीं शताब्दी के प्रारंभ में, कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने देखा कि यदि गैर-शून्य तर्कसंगत समाधान उपलब्ध हैं तो परिमेय संख्या गुणांक वाले सजातीय बहुपद समीकरणों के गैर-शून्य पूर्णांक समाधान भी उपलब्ध होंगे।

1850 के दशक में, लियोपोल्ड क्रोनकर ने क्रोनेकर-वेबर सिद्धांत का सूत्रबद्ध रूप तैयार किया, विभाजकता के सिद्धांत को प्रस्तुत किया, और संख्या सिद्धांत और बीजगणित के मध्य कई अन्य संबंधों को प्रदर्शित किया। इसके बाद उन्होंने अपने "लीबस्टर युगेन्दट्रौम" का अनुमान लगाया, यह एक सामान्यीकरण था जिसे बाद में हिल्बर्ट ने अपने अनुसार संशोधन करके हिल्बर्ट समस्याओं के रूप में प्रस्तुत किया, जो संख्या सिद्धांत को केवल उन चक्रों के साथ संचालित करने के लक्ष्य की रूपरेखा तैयार करता है जो बहुपद चक्रों के भागफल हैं।

20वीं सदी की शुरुआत से मध्य तक: बीजगणितीय विकास और वेइल अनुमान
1920 के दशक के उत्तरार्ध में, आंद्रे वेइल ने अपने डॉक्टरेट कार्य के साथ बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत के बीच गहरा संबंध प्रदर्शित किया, जिससे मोर्डेल-वेइल प्रमेय सामने आया, जो दर्शाता है कि एबेलियन किस्म के तर्कसंगत बिंदुओं का सेट एक अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह है। बीजगणितीय ज्यामिति की आधुनिक नींव समकालीन क्रमविनिमेय बीजगणित के आधार पर विकसित की गई थी, जिसमें 1930 और 1940 के दशक में ऑस्कर ज़ारिस्की और अन्य द्वारा मूल्यांकन सिद्धांत और आदर्श (रिंग सिद्धांत) का सिद्धांत शामिल था। 1949 में, आंद्रे वेइल ने सीमित क्षेत्रों में बीजगणितीय किस्मों के स्थानीय ज़ेटा-फ़ंक्शन के बारे में ऐतिहासिक वेइल अनुमान प्रस्तुत किए। इन अनुमानों ने बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत के बीच एक रूपरेखा पेश की जिसने 1950 और 1960 के दशक में अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक को शीफ सिद्धांत ( जीन पियरे सेरे के साथ) और बाद में योजना सिद्धांत का उपयोग करके नींव को फिर से बनाने के लिए प्रेरित किया। बर्नार्ड डवर्क ने 1960 में चार वेइल अनुमानों (स्थानीय ज़ेटा फ़ंक्शन की तर्कसंगतता) में से एक को साबित किया। ग्रोथेंडिक ने 1965 तक दो वेइल अनुमानों (माइकल आर्टिन और जीन-लुई वर्डियर के साथ) को साबित करने के लिए एटेल कोहोमोलॉजी सिद्धांत विकसित किया। वेइल अनुमानों में से अंतिम (रीमैन परिकल्पना का एक एनालॉग) अंततः 1974 में पियरे डेलिग्ने द्वारा सिद्ध किया जाएगा।

20वीं सदी के मध्य से अंत तक: मॉड्यूलरिटी, पी-एडिक तरीकों और उससे आगे का विकास
1956 और 1957 के बीच, रिच तानियामा और ग्राउंडर शिमुरा  ने अण्डाकार वक्रों को मॉड्यूलर रूपों से संबंधित मॉड्यूलरिटी प्रमेय | तानियामा-शिमुरा अनुमान (जिसे अब मॉड्यूलरिटी प्रमेय के रूप में जाना जाता है) प्रस्तुत किया।  यह संबंध अंततः 1995 में एंड्रयू विल्स द्वारा विकसित लिफ्ट (गणित) की बीजगणितीय ज्यामिति तकनीकों के माध्यम से संख्या सिद्धांत में फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के विल्स के प्रमाण को जन्म देगा। 1960 के दशक में, गोरो शिमुरा ने मॉड्यूलर वक्रों के सामान्यीकरण के रूप में शिमुरा किस्म की शुरुआत की। 1979 के बाद से, शिमुरा किस्मों ने अनुमानों के परीक्षण के लिए उदाहरणों के प्राकृतिक क्षेत्र के रूप में लैंगलैंड्स कार्यक्रम में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है। 1977 और 1978 में कागजात में, बैरी मजूर ने तर्कसंगत संख्याओं पर अण्डाकार वक्रों के संभावित मरोड़ उपसमूहों की पूरी सूची देते हुए मरोड़ अनुमान को साबित किया। मज़ूर का इस प्रमेय का पहला प्रमाण कुछ मॉड्यूलर वक्रों पर तर्कसंगत बिंदुओं के संपूर्ण विश्लेषण पर निर्भर था। 1996 में, लोइक मेरेल द्वारा मरोड़ अनुमान का प्रमाण सभी संख्या क्षेत्रों तक बढ़ाया गया था। 1983 में, गर्ड फाल्टिंग्स ने फाल्टिंग्स प्रमेय को साबित किया, यह प्रदर्शित करते हुए कि 1 से अधिक जीनस के वक्र में केवल सीमित रूप से कई तर्कसंगत बिंदु होते हैं (जहां मोर्डेल-वेइल प्रमेय केवल परिमितता के विपरीत तर्कसंगत बिंदुओं के सेट के अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह को प्रदर्शित करता है)। 2001 में, स्थानीय लैंगलैंड अनुमानों का प्रमाण#जीएलएन के लिए स्थानीय लैंगलैंड अनुमान|जीएल के लिए स्थानीय लैंगलैंड अनुमानnकुछ शिमुरा किस्मों की ज्यामिति पर आधारित था। 2010 के दशक में, पीटर स्कोल्ज़ ने गैलोज़ अभ्यावेदन और वजन-मोनोड्रोमी अनुमान के कुछ मामलों के अनुप्रयोग के साथ पी-एडिक क्षेत्रों पर अंकगणितीय ज्यामिति में उत्तम स्थान और नए कोहोमोलॉजी सिद्धांत विकसित किए।

यह भी देखें

 * अंकगणितीय गतिशीलता
 * एबेलियन किस्मों का अंकगणित
 * बिर्च और स्विनर्टन-डायर अनुमान
 * बीजगणितीय वक्रों का मापांक
 * सीगल मॉड्यूलर किस्म
 * अभिन्न बिंदुओं पर सीगल का प्रमेय
 * श्रेणी सिद्धांत
 * फ्रोबेनियोइड