रेडॉन माप

गणित में (विशेष रूप से माप सिद्धांत में), जोहान रेडॉन के नाम पर एक रेडॉन माप, हॉसडॉर्फ सांस्थितिक समष्टि X के बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित पर एक माप है जो सभी सघन समष्टि समुच्चयों पर परिमित है, सभी बोरेल समुच्चयों पर बाहरी नियमित है, और विवृत समुच्चय पर आंतरिक नियमित हैं। ये स्थितियाँ गारंटी देती हैं कि माप समष्टि की सांस्थिति के अनुकूल है, और गणितीय विश्लेषण और संख्या सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले अधिकांश माप वस्तुतः रेडॉन माप हैं।

प्रेरणा
एक सामान्य समस्या सांस्थितिक समष्टि पर माप की ठीक धारणा को खोजना है जो कुछ अर्थों में सांस्थिति के साथ संगत है। ऐसा करने की एक विधि सांस्थितिक समष्टि के बोरेल समुच्चय पर माप को परिभाषित करना है। सामान्यतः इसमें कई समस्याएं हैं: उदाहरण के लिए, इस प्रकार के माप में ठीक प्रकार से परिभाषित समर्थन (माप सिद्धांत) नहीं हो सकते है। सिद्धांत को मापने के लिए अन्य दृष्टिकोण स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन समष्टि हॉसडॉर्फ रिक्त समष्टि तक सीमित है, और मात्र उन मापों पर विचार करें जो सघन समर्थन के साथ संतत फलनों के समष्टि पर धनात्मक रैखिक प्रकार्यात्मकताओं के अनुरूप हैं (कुछ लेखक इसे रेडॉन माप की परिभाषा के रूप में उपयोग करते हैं)। यह बिना किसी रोग संबंधी समस्या के ठीक सिद्धांत उत्पन्न करते है, परन्तु यह उन समष्टि पर लागू नहीं होते है जो स्थानीय रूप से सघन नहीं हैं। यदि गैर-ऋणात्मक मापों पर कोई प्रतिबंध नहीं है और जटिल मापों की अनुमति है, तो रेडॉन मापों को सघन समर्थन के साथ संतत फलनों के समष्टि पर संतत दोहरे समष्टि के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि ऐसा रेडॉन माप वास्तविक है तो इसे दो धनात्मक मापों के अंतर में विघटित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, स्वैच्छिक रेडॉन माप को चार धनात्मक रेडॉन मापों में विघटित किया जा सकता है, जहां प्रकार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भाग दो धनात्मक रेडॉन मापों के अंतर हैं।

रेडॉन मापों के सिद्धांत में स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि के लिए सामान्य सिद्धांत के अधिकांश ठीक गुण हैं, परन्तु यह सभी हौसडॉर्फ सांस्थितिक रिक्त समष्टि पर लागू होते है। रेडॉन माप की परिभाषा का विचार कुछ गुणों को खोजना है जो स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि पर मापों को चिह्नित करते हैं जो धनात्मक प्रकार्यात्मकताओं के अनुरूप होते हैं, और इन गुणों का उपयोग यादृच्छिक हौसडॉर्फ समष्टि पर रेडॉन माप की परिभाषा के रूप में करते हैं।

परिभाषाएँ
हौसडॉर्फ सांस्थितिक समष्टि X के बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित पर m को माप दें।

माप m को 'आंतरिक नियमित माप' या 'दृढ़' कहा जाता है, यदि किसी विवृत समुच्चय U के लिए, m (U) U के सभी सघन उपसमुच्चय K पर m (K) का सर्वोच्च है।

माप m को 'नियमित माप' कहा जाता है, यदि किसी बोरेल समुच्चय B के लिए, m (B) सभी विवृत समुच्चय U में B युक्त m (U) से कम हो।

माप m को 'स्थानीय रूप से परिमित माप' कहा जाता है यदि X के प्रत्येक बिंदु के निकटवर्ती U है जिसके लिए m (U) परिमित है।

यदि m स्थानीय रूप से परिमित है, तो यह अनुसरण करता है कि m सघन समुच्चय पर परिमित है, और स्थानीय रूप से सघन हौसडॉर्फ रिक्त समष्टि के लिए, विपरीत भी लागू होती है। इस प्रकार, इस स्थिति में, सघन उपसमुच्चय पर स्थानीय परिमितता को समान रूप से परिमितता द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

माप m को 'रेडॉन माप' कहा जाता है यदि यह आंतरिक नियमित और स्थानीय रूप से परिमित है। कई स्थितियों में, जैसे स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि पर परिमित माप, यह बाहरी नियमितता का भी अर्थ है (रेडॉन रिक्त समष्टि भी देखें)।

(रेडॉन माप के सिद्धांत को गैर-हॉउसडॉर्फ स्थानों तक विस्तारित करना संभव है, अनिवार्य रूप से सघन शब्द को प्रत्येक समष्टि संवृत सघन द्वारा प्रतिस्थापित करके। यद्यपि, इस विस्तार के लगभग कोई अनुप्रयोग प्रतीत नहीं होते हैं।)

रेडॉन माप स्थानीय रूप से सघन समष्टि पर
जब अंतर्निहित माप समष्टि स्थानीय रूप से सघन सांस्थितिक समष्टि होता है, तो सघन समर्थन के साथ संतत फलन के समष्टि पर संतत रैखिक प्रकार्यात्मकता के संदर्भ में रेडॉन माप की परिभाषा व्यक्त की जा सकती है। यह प्रकार्यात्मक विश्लेषण, और कई अन्य लेखकों द्वारा अपनाए गए दृष्टिकोण के संदर्भ में माप और समाकलन को विकसित करना संभव बनाते है।

माप
निम्नलिखित में X स्थानीय रूप से सघन सांस्थितिक समष्टि को दर्शाता है। X पर सघन समर्थन (गणित) के साथ संतत वास्तविक-मानित फलन सदिश समष्टि $$\mathcal{K}(X)=C_C(X)$$बनाते हैं, जिसे एक प्राकृतिक स्थानीय रूप से उत्तल समष्टि सांस्थिति दी जा सकती है। वस्तुतः, $$\mathcal{K}(X)$$ सघन समष्टि समुच्चय K में निहित समर्थन के साथ संतत फलनों के रिक्त समष्टि $$\mathcal{K}(X,K)$$ का संयोजन है। प्रत्येक रिक्त समष्टि $$\mathcal{K}(X,K)$$ स्वाभाविक रूप से समान अभिसरण की सांस्थिति वहन करती है, जो इसे बनच समष्टि बनाती है। परन्तु सांस्थितिक समष्टि के संयोजन के रूप में सांस्थितिक समष्टि, समष्टि की प्रत्यक्ष सीमा की विशेष स्थिति है, समष्टि $$\mathcal{K}(X)$$ को $$\mathcal{K}(X,K)$$ द्वारा प्रेरित स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक सदिश समष्टि सांस्थिति से सुसज्जित किया जा सकता है ; यह सांस्थिति एकसमान अभिसरण की सांस्थिति से ठीक है।

यदि m, $$X$$ पर रेडॉन माप है, तो प्रतिचित्रण


 * $$ I : f \mapsto \int f(x)\, m(\mathrm d x) $$

$$\mathcal{K}(X)$$ से R तक सतत धनात्मक रेखीय प्रतिचित्र है। धनात्मकता का अर्थ है कि I (f) ≥ 0 जब भी f गैर-ऋणात्मक फलन हो। ऊपर परिभाषित प्रत्यक्ष सीमा सांस्थिति के संबंध में संततता निम्नलिखित स्थिति के बराबर है: X के प्रत्येक सघन उपसमुच्चय K के लिए एक स्थिर MK स्थित है, जैसे कि K,


 * $$ |I(f)| \leq M_K \sup_{x\in X} |f(x)| $$ में निहित समर्थन के साथ X पर प्रत्येक संतत वास्तविक-मानित फलन f के लिए।

इसके विपरीत, रिज़-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा, $$\mathcal{K}(X)$$ पर प्रत्येक धनात्मक रैखिक रूप अद्वितीय नियमित बोरेल माप के संबंध में समाकलन के रूप में उत्पन्न होते है।

वास्तविक-मानित रेडॉन माप को $$\mathcal{K}(X)$$ पर किसी भी संतत रेखीय रूप में परिभाषित किया गया है ; वे पूर्णतः दो रेडॉन मापों के अंतर हैं। यह स्थानीय रूप से उत्तल समष्टि $$\mathcal{K}(X)$$ के दोहरे समष्टि के साथ वास्तविक-मानित रेडॉन मापों की पहचान देता है। इन वास्तविक-मानित रेडॉन मापों को सांकेतिक मापों की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, sin (x) dx एक वास्तविक-मानित रेडॉन माप है, परन्तु यह विस्तारित सांकेतिक माप भी नहीं है क्योंकि इसे दो मापों के अंतर के रूप में नहीं लिखा जा सकता है जिनमें से कम से कम एक परिमित है।

कुछ लेखक $$\mathcal{K}(X)$$ पर धनात्मक रैखिक रूप होने के लिए (धनात्मक) रेडॉन मापों को परिभाषित करने के लिए पूर्ववर्ती दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं ;, या  देखें। इस अवस्था में शब्दावली का उपयोग करना सामान्य है जिसमें उपरोक्त अर्थों में रेडॉन के मापों को धनात्मक माप कहा जाता है और वास्तविक-मान वाले रेडॉन मापों को ऊपर (वास्तविक) माप कहा जाता है।

समाकलन
प्रकार्यात्मक-विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण से स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि के लिए माप सिद्धांत के निर्माण को पूरा करने के लिए, सघन रूप से समर्थित संतत फलनों से माप (समाकल) का विस्तार करना आवश्यक है। यह वास्तविक या जटिल-मानित फलनों के लिए कई चरणों में निम्नानुसार किया जा सकता है:
 * 1) कम अर्ध-धनात्मक धनात्मक (वास्तविक-मानित) फलन g के ऊपरी समाकल μ* (g) की परिभाषा, धनात्मक रूप से समर्थित संतत फलनों h ≤ g के लिए धनात्मक संख्या μ ' (h) के उच्चतम (संभवतः अनंत) के रूप में
 * 2) उच्च समाकल की परिभाषा μ* (f) यादृच्छिक धनात्मक (वास्तविक-मानित) फलन f के लिए उच्च समाकल के न्यूनतम के रूप में μ* (g) कम अर्ध-संतत फलन g ≥ f के लिए
 * 3) सदिश समष्टि F = F (X, μ) की परिभाषा X पर सभी फलनों f के समष्टि के रूप में जिसके लिए ऊपरी समाकल μ* (|f|) परिमित है; निरपेक्ष मान का ऊपरी समाकल 'F' पर अर्ध-मानक को परिभाषित करता है, और 'F' अर्ध-मानक द्वारा परिभाषित सांस्थिति के संबंध में पूर्ण समष्टि है
 * 4) संतत सघन रूप से समर्थित फलनों के समष्टि के F के भीतर संवरक (सांस्थिति) के रूप में 'समाकल फलन' के समष्टि L1 (X, μ) की परिभाषा
 * 5) संततता द्वारा विस्तार के रूप में L1 (X, μ) में फलनों के लिए 'समाकल' की परिभाषा (यह सत्यापित करने के बाद कि μ L1 (X, μ) के सांस्थिति के संबंध में संतत है)
 * 6) समुच्चय के सूचक फलन के समाकल (जब यह स्थित है) के रूप में समुच्चय के माप की परिभाषा।

यह सत्यापित करना संभव है कि ये चरण सिद्धांत के समान सिद्धांत उत्पन्न करते हैं जो X के प्रत्येक बोरेल समुच्चय को एक संख्या निर्दिष्ट करने वाले फलन के रूप में परिभाषित रेडॉन माप से प्रारम्भ होते है।

इस प्रकार्यात्मक-विश्लेषणात्मक अवस्था में 'R' पर लेबेस्ग्यू माप को कुछ विधियों से प्रस्तुत किया जा सकता है। सबसे पहले, यह संभव है कि सघन समर्थन के साथ संतत फलनों के समाकल के लिए डेनियल समाकल या रीमैन समाकल जैसे प्राथमिक समाकल पर विश्वास किया जाए, क्योंकि ये समाकल की सभी प्राथमिक परिभाषाओं के लिए समाकल हैं। प्राथमिक समाकलन द्वारा परिभाषित माप (ऊपर परिभाषित अर्थ में) यथार्थ रूप से लेबेस्ग्यू माप है। दूसरा, यदि कोई रीमैन या डेनियल समाकल या अन्य समान सिद्धांतों पर निर्भरता से बचना चाहता है, तो पहले हार मापों के सामान्य सिद्धांत को विकसित करना संभव है और लेबेस्ग्यू माप को 'R' पर हार माप λ के रूप में परिभाषित करना है जो सामान्यीकरण की स्थिति λ ([0,1]) = 1 को संतुष्ट करता है।

उदाहरण
रेडॉन मापों के सभी उदाहरण निम्नलिखित हैं:
 * यूक्लिडियन समष्टि पर लेबेस्ग्यू माप (बोरेल उपसमुच्चय तक सीमित) ;
 * किसी भी स्थानीय रूप से सघन सामयिक समूह पर हार माप;
 * किसी भी सामयिक समष्टि पर डिरैक माप;
 * बोरेल सिग्मा बीजगणित के साथ यूक्लिडियन समष्टि $$\mathbb{R}^n$$ पर गाऊसी माप;
 * किसी भी पोलिश समष्टि के बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित पर संभाव्यता माप। यह उदाहरण न मात्र पिछले उदाहरण को सामान्यीकृत करता है, बल्कि गैर-स्थानीय रूप से सघन रिक्त समष्टि पर कई मापों को सम्मिलित करता है, जैसे अंतराल [0,1] पर वास्तविक-मानित संतत फलनों के समष्टि पर वीनर माप।
 * माप $$\mathbb{R}$$ एक रेडॉन माप है यदि और मात्र यदि यह स्थानीय रूप से परिमित माप बोरेल माप है।

निम्नलिखित रेडॉन मापों के उदाहरण नहीं हैं:
 * यूक्लिडियन समष्टि पर माप की गणना एक ऐसे माप का उदाहरण है जो रेडॉन माप नहीं है, क्योंकि यह स्थानीय रूप से परिमित नहीं है।
 * क्रमिक सांस्थिति के साथ पहला अगणनीय क्रमसूचक $$\Omega$$ के बराबर क्रमिक समष्टि सघन सांस्थितिक समष्टि है। माप जो किसी भी बोरेल समुच्चय पर 1 के बराबर होते है जिसमें $$[1,\Omega)$$ का अगणनीय संवृत उपसमुच्चय होता है, और 0 अन्यथा, बोरेल है, परन्तु रेडॉन नहीं है, क्योंकि एक-बिंदु समुच्चय $$\{\Omega\}$$ का माप शून्य है, परन्तु इसके किसी भी विवृत निकटवर्ती का माप 1 है। देखें।
 * X को अंतराल [0,1] होने दें, जो आधे विवृत अंतराल $$\{ [a,b): 0\leq a< b\leq 1\}$$ के संग्रह द्वारा उत्पन्न सांस्थिति से सुसज्जित है। इस सांस्थिति को कभी-कभी सोरगेनफ्रे पंक्ति भी कहा जाता है। इस सांस्थितिक समष्टि पर, मानक लेबेस्ग्यू माप रेडॉन नहीं है क्योंकि यह आंतरिक नियमित नहीं है, क्योंकि सघन समुच्चय सबसे अधिक गणना योग्य हैं।
 * Z को $$[0,1]$$ (या कोई पोलिश समष्टि) में बर्नस्टीन समुच्चय होने दें। फिर कोई माप नहीं जो Z पर बिंदुओं पर लुप्त हो जाते है, एक रेडॉन माप है, क्योंकि Z में कोई भी सघन समुच्चय गणनीय है।
 * अगणनीय $$\kappa$$ के लिए $$(0,1)^\kappa$$ पर मानक उत्पाद माप रेडॉन माप नहीं है, क्योंकि कोई भी सघन समुच्चय अगणनीय रूप से कई संवृत अंतरालों के उत्पाद के भीतर समाहित है, जिनमें से प्रत्येक 1 से छोटा है।

हम ध्यान दें कि, सहज रूप से, रेडॉन माप गणितीय वित्त में विशेष रूप से लेवी प्रक्रियाओं के साथ काम करने के लिए उपयोगी है क्योंकि इसमें लेबेस्ग्यू माप और डिरैक माप दोनों के गुण हैं, जैसा कि लेबेस्ग्यू के विपरीत, एक बिंदु पर रेडॉन माप आवश्यक रूप से माप 0 का नहीं है।

मंद रेडॉन माप
किसी समष्टि X पर एक रेडॉन माप m दिया गया है, हम


 * $$M(B) = \inf\{ m(V) \mid V \text{ is an open set with } B \subseteq V \subseteq X \} $$ लगाकर एक और माप M (बोरेल समुच्चय पर) परिभाषित कर सकते हैं।

माप m बाहरी नियमित है, और स्थानीय रूप से परिमित है, और विवृत समुच्चय के लिए आंतरिक नियमित है। यह सघन और विवृत समुच्चय पर m के साथ मेल खाता है, और m को m से अद्वितीय आंतरिक नियमित माप के रूप में पुनर्निर्मित किया जा सकता है जो सघन समुच्चय पर m के समान है। माप m को 'मंद' कहा जाता है यदि M σ-सीमित है; इस स्थिति में माप m और M समान हैं। (यदि m σ-परिमित है तो इसका अर्थ यह नहीं है कि M σ-परिमित है, इसलिए संयमित होना σ-परिमित होने से अधिक दृढ है।)

वंशानुगत रूप से लिंडेलोफ़ समष्टि पर प्रत्येक रेडॉन माप को मंद किया जाता है।

माप m का एक उदाहरण जो σ-परिमित है परन्तु मंद नहीं है, द्वारा निम्नानुसार दिया गया है। सांस्थितिक समष्टि X ने बिंदुओं (0, y) के y-अक्ष द्वारा दिए गए वास्तविक तल के उपसमुच्चय को बिंदुओं (1/n, m/n2) के साथ m,n धनात्मक पूर्णांकों के साथ समूहित किया है। सांस्थिति इस प्रकार दी गई है। एकल अंक (1/n,m/n2) सभी विवृत समुच्चय हैं। बिंदु (0,y) के निकटवर्ती का आधार धनात्मक पूर्णांक n के लिए |v − y| ≤ |u| ≤ 1/n के साथ रूप (u, v) के X के सभी बिंदुओं से मिलकर वेजेज द्वारा दिया जाता है। यह समष्टि X स्थानीय रूप से सघन है। माप m को y-अक्ष को माप 0 देकर और बिंदु (1/n,m/n2) को माप 1/n 3 देकर दिया जाता है। यह माप आंतरिक नियमित और स्थानीय रूप से परिमित है, परन्तु बाहरी नियमित नहीं है क्योंकि y-अक्ष वाले किसी भी विवृत समुच्चय में माप अनंत है। विशेष रूप से y-अक्ष का m-माप 0 है परन्तु M-माप अनंत है।

रेडॉन समष्टि
सांस्थितिक समष्टि को रेडॉन समष्टि कहा जाता है यदि प्रत्येक परिमित बोरेल माप एक रेडॉन माप है, और प्रबल रेडॉन यदि प्रत्येक स्थानीय रूप से परिमित बोरेल माप एक रेडॉन माप है। कोई भी सुस्लिन समष्टि प्रबल रेडॉन है, और इसके अतिरिक्त प्रत्येक रेडॉन माप को मंद किया जाता है।

द्वैत
स्थानीय रूप से सघन हॉउसडॉर्फ समष्टि पर, रेडॉन माप सघन समर्थन के साथ संतत फलनों के समष्टि पर धनात्मक रैखिक प्रकार्यात्मकताओं के अनुरूप हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है क्योंकि यह संपत्ति रेडॉन माप की परिभाषा के लिए मुख्य प्रेरणा है।

मापीय समष्टि संरचना
$$X$$ पर सभी (धनात्मक) रेडॉन मापों के शंकु (रैखिक बीजगणित) $$\mathcal{M}_{+} (X)$$ को दो मापों $$m_1, m_2 \in \mathcal{M}_{+} (X)$$ के बीच रेडॉन दूरी को
 * $$\rho (m_{1}, m_{2}) := \sup \left\{ \left. \int_{X} f(x) (m_1 - m_2) (\mathrm d x) \ \right| \mathrm{continuous\,} f : X \to [-1, 1] \subset \mathbb{R} \right\}$$ के रूप में परिभाषित करके पूर्ण मापीय समष्टि की संरचना दी जा सकती है।

इस मापीय की कुछ सीमाएँ हैं। उदाहरण के लिए, $$X$$,
 * $$\mathcal{P} (X) := \{ m \in \mathcal{M}_{+} (X) \mid m (X) = 1 \},$$

पर रेडॉन संभावना मापों की समष्टि रेडॉन मापीय के संबंध में अनुक्रमिक रूप से सघन नहीं है: अर्थात, यह गारंटी नहीं है कि संभाव्यता मापों के किसी भी अनुक्रम का परिणाम होगा जो रेडॉन मापीय के संबंध में अभिसरण है, जो कुछ अनुप्रयोगों में कठिनाइयों को प्रस्तुत करता है। वहीं दूसरी ओर यदि $$X$$ सघन मापीय समष्टि है, तो वासेरस्टीन मापीय $$\mathcal{P} (X)$$ को सघन मापीय समष्टि में बदल देता है।

रेडॉन मापीय में अभिसरण का तात्पर्य मापों के मन्द अभिसरण से है:
 * $$\rho (m_{n}, m) \to 0 \Rightarrow m_{n} \rightharpoonup m,$$

परन्तु विपरीत निहितार्थ सामान्य रूप से अनुचित है। रेडॉन मापीय में मापों के अभिसरण को कभी-कभी दृढ अभिसरण के रूप में जाना जाता है, जैसा कि मन्द अभिसरण के विपरीत होते है।

संदर्भ

 * Functional-analytic development of the theory of Radon measure and integral on locally compact spaces।
 * Functional-analytic development of the theory of Radon measure and integral on locally compact spaces।


 * Haar measure; Radon measures on general Hausdorff spaces and equivalence between the definitions in terms of linear functionals and locally finite inner regular measures on the Borel sigma-algebra।
 * Haar measure; Radon measures on general Hausdorff spaces and equivalence between the definitions in terms of linear functionals and locally finite inner regular measures on the Borel sigma-algebra।


 * Contains a simplified version of Bourbaki's approach, specialised to measures defined on separable metrizable spaces।
 * Contains a simplified version of Bourbaki's approach, specialised to measures defined on separable metrizable spaces।