बेयर समष्‍टि

समुच्चय सिद्धांत में अवधारणा के लिए, बेयर-समष्‍टि (समुच्चय सिद्धांत) देखें। गणित में, सांस्थितिक समष्टि $$X$$ को बेयर-समष्‍टि कहा जाता है यदि रिक्त आंतरिक भाग (सांस्थिति) वाले संवृत समुच्चयो के गणनीय संघों में भी रिक्त आंतरिक भाग होता है। बेयर श्रेणी प्रमेय के अनुसार, सुसंहत हाउस्डोर्फ समष्‍टि और पूर्ण मीट्रिक समष्‍टि बेयर-समष्‍टि के उदाहरण हैं। बेयर-समष्‍टि के गुणों के साथ संयुक्त बेयर श्रेणी प्रमेय में विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में सांस्थिति, ज्यामिति, विश्लेषण (गणित) में कई अनुप्रयोग हैं। अधिक प्रेरणा और अनुप्रयोगों के लिए, बेयर श्रेणी प्रमेय लेख देखें। वर्तमान लेख बेयर-समष्‍टि के विशेषीकरण और आधारभूत गुणों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है।

निकोलस बोरबाकी ने रेने बेयर के सम्मान में  बेयर-समष्‍टि  शब्द प्रस्तुत किया जिन्होंने अपने 1899 थीसिस में यूक्लिडियन समष्‍टि $$\R^n$$ के संदर्भ में बेयर श्रेणी प्रमेय की जांच की।

परिभाषा
इसके बाद की परिभाषा अल्प समुच्चय (या पहली श्रेणी) समुच्चय (अर्थात्, एक समुच्चय जो कि समुच्चय का एक गणनीय संघ है, जिसका संवरक रिक्त आंतरिक भाग है) और गैर-अल्प (या दूसरी श्रेणी) समुच्चय (अर्थात्, एक समुच्चय जो समुच्चय है) की धारणाओं पर आधारित है। अल्प नहीं है)। विवरण के लिए संबंधित लेख देखें।

एक सांस्थितिक समष्‍टि $$X$$ बेयर-समष्‍टि कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी पूर्ण करता है:


 * 1) सघन (सांस्थिति) विवृत समुच्चय का प्रत्येक गणनीय प्रतिच्छेदन मूर्त है।
 * 2) रिक्त आंतरिक भाग वाले संवृत समुच्चय के प्रत्येक गणनीय संघ में रिक्त आंतरिक भाग होता है।
 * 3) प्रत्येक छोटे समुच्चय में रिक्त आंतरिक भाग होता है।
 * 4) प्रत्येक गैर-रिक्त विवृत समुच्चय गैर-सामान्य है।
 * 5) प्रत्येक सह-सामान्य समुच्चय मूर्त है।
 * 6) जब भी संवृत समुच्चयों के एक गणनीय संघ में आंतरिक बिंदु होता है, कम से कम एक संवृत समुच्चय में आंतरिक बिंदु होता है।

इन परिभाषाओं के बीच समानता के पूरक उपसमुच्चय $$X$$ के संबद्ध गुणों पर आधारित है (अर्थात, समुच्चय का $$A\subset X$$ और इसके पूरक (समुच्चय सिद्धांत) $$X\setminus A$$) जैसा कि नीचे दी गई तालिका में दिया गया है।

बेयर श्रेणी प्रमेय
बेयर श्रेणी प्रमेय एक स्थलीय समष्‍टि के लिए बेयर-समष्‍टि होने के लिए पर्याप्त स्थिति देता है।


 * (बेयर श्रेणी प्रमेय1) प्रत्येक पूर्ण मीट्रिक समष्‍टि स्यूडोमेट्रिक (छद्ममितीय) समष्‍टि एक बेयर-समष्‍टि है। विशेष रूप से, प्रत्येक पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल (दूरीकनीय) सांस्थितिक समष्‍टि एक बेयर-समष्‍टि है।
 * (बेयर श्रेणी प्रमेय2) प्रत्येक स्थानीय रूप से सुसंहत नियमित समष्‍टि एक बेयर समष्‍टि है। विशेष रूप से, प्रत्येक स्थानीय रूप से सुसंहत हाउस्डोर्फ समष्‍टि एक बेयर समष्‍टि है।

बेयर श्रेणी प्रमेय1 दर्शाता है कि निम्नलिखित बेयर-समष्‍टि हैं:
 * वास्तविक संख्याओं की $$\R$$ समष्‍टि
 * अपरिमेय संख्याओं का समष्‍टि, जो बेयर-समष्‍टि (समुच्चय सिद्धांत) के लिए $$\omega^{\omega}$$ समरूपी है |
 * प्रत्येक पोलिश समष्‍टि।

बेयर श्रेणी प्रमेय2 दर्शाता है कि निम्नलिखित बेयर समष्‍टि हैं:
 * प्रत्येक सुसंहत हाउस्डोर्फ समष्‍टि; उदाहरण के लिए, कैंटर समुच्चय (या कैंटर समष्‍टि)।
 * प्रत्येक कई गुना, तथापि वह परा-सुसंहत न हो (इसलिएमेट्रिज़ेबल नहीं), लंबी रेखा (सांस्थिति) के समान।

हालांकि यह ध्यान रखना चाहिए कि बहुत सारे रिक्त समष्‍टि हैं जो बेयर श्रेणी प्रमेय की शर्तों को संतुष्ट किए बिना बेयर-समष्‍टि हैं, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरण अनुभाग में दिखाया गया है।

गुण

 * प्रत्येक गैर-रिक्त बेयर समष्‍टि गैर-अंश है। सघन विवृत समुच्चयों के गणनीय प्रतिच्छेदनो के संदर्भ में, बेयर-समष्‍टि होना ऐसे प्रतिच्छेदनो के सघन होने के बराबर है, जबकि एक गैर-महत्वपूर्ण समष्‍टि दुर्बल स्थिति के बराबर है कि ऐसे प्रतिच्छेदन गैर-रिक्त हैं।
 * बेयर समष्‍टि का प्रत्येक विवृत उपसमष्‍टि एक बेयर-समष्‍टि है।
 * प्रत्येक सघन Gδ समुच्चय बेयर-समष्‍टि में समुच्चय एक बेयर-समष्‍टि है। परिणाम को धारण करने की आवश्यकता नहीं है यदि Gδ समुच्चय सघन नहीं है। उदाहरण अनुभाग देखें।
 * बेयर-समष्‍टि में समुच्चय किया गया प्रत्येक अपर्याप्त एक बेयर-समष्‍टि है।
 * बेयर-समष्‍टि का एक उपसमुच्चय अपर्याप्त होता है यदि और केवल यदि इसमें सघन G δ समुच्चय होता है।
 * बेयर-समष्‍टि की एक संवृत उप-समष्‍टि को बेयर नहीं होना चाहिए। उदाहरण अनुभाग देखें।
 * यदि किसी समष्‍टि में एक सघन उप-समष्टि है जो बेयर है, तो यह भी एक बेयर-समष्‍टि है।
 * एक समष्‍टि जो स्थानीय रूप से बेयर है, इस अर्थ में कि प्रत्येक बिंदु का एक प्रतिवेश है जो एक बेयर समष्‍टि है।
 * बेयर-समष्‍टि का प्रत्येक सांस्थितिक योग बेयर है।
 * दो बेयर-समष्‍टि का उत्पाद अनिवार्य रूप से बेयर नहीं है।
 * पूर्ण मीट्रिक रिक्त समष्‍टि का एकपक्षीय उत्पाद बेयर है।
 * प्रत्येक स्थानीय रूप से सुसंहत गंभीर समष्‍टि बेयर-समष्‍टि है।
 * प्रत्येक परिमित सांस्थितिक समष्‍टि एक बेयर-समष्‍टि है (क्योंकि परिमित समष्‍टि में केवल बहुत से विवृत समुच्चय होते हैं और दो विवृत सघन समुच्चयों का प्रतिच्छेदन विवृत मूर्त समुच्चय होता है ).
 * एक सांस्थितिक वेक्टर समष्‍टि बेयर-समष्‍टि है यदि और केवल यदि यह अल्पमात्रा मे है, जो तब होता है जब और केवल यदि प्रत्येक संवृत संतुलित अवशोषक उपसमुच्चय में गैर-रिक्त आंतरिक भाग होता है।

सतत मानचित्र (सांस्थिति) फलनों के अनुक्रम को देखते हुए $$f_n : X \to Y$$ बिंदुवार सीमा के साथ $$f : X \to Y.$$ यदि $$X$$ एक बेयर समष्‍टि है तो बिंदु जहां $$f$$ निरंतर नहीं है $$X$$ मे अल्प समुच्चय है और बिंदुओं का समुच्चय जहां $$f$$ निरंतर है $$X$$ में सघन है इसकी एक विशेष स्थिति एकरूपता परिबद्धता सिद्धांत है।

उदाहरण

 * रिक्त समष्टि एक बेयर समष्टि है। यह एकमात्र समष्‍टि है जो बेयर और अल्प दोनों है।
 * सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्याओं का समष्टि $$\R$$ बेयर समष्‍टि है।
 * परिमेय संख्याओं का समष्‍टि $$\Q$$ (से प्रेरित सांस्थिति के साथ $$\R$$) बेयर समष्‍टि नहीं है, क्योंकि यह अल्प है।
 * अपरिमेय संख्याओं का समष्‍टि $$\R$$ (से प्रेरित सांस्थिति के साथ ) एक बेयर-समष्‍टि है, क्योंकि यह $$\R$$ मे अल्पमात्रा है।
 * समष्‍टि $$X=[0,1]\cup([2,3]\cap\Q)$$ (से प्रेरित सांस्थिति के साथ $$\R$$) अल्पमात्रा है, लेकिन बेयर नहीं है। यह देखने के कई तरीके हैं कि यह बेयर नहीं है: उदाहरण के लिए क्योंकि उप-समुच्चय $$[0,1]$$ कमग्रे है लेकिन सघन नहीं है; या क्योंकि गैर-रिक्त उप-समुच्चय $$[2,3]\cap\Q$$ विवृत और अल्प है।
 * इसी तरह, समष्‍टि $$X=\{1\}\cup([2,3]\cap\Q)$$ बेयर नहीं है। यह तब से अल्प $$1$$ है एक पृथक बिंदु है।

निम्नलिखित बेयर-समष्‍टि के उदाहरण हैं जिनके लिए बेयर श्रेणी प्रमेय प्रयुक्त नहीं होता है, क्योंकि ये समष्‍टि स्थानीय रूप से सुसंहत नहीं हैं और पूरी तरह से मेट्रिजेबल नहीं हैं:
 * सोरगेनफ्रे रेखा।
 * सोरगेनफ्रे क्षेत्र।
 * नीमित्ज़की क्षेत्र।
 * $$\R^2$$ का उपक्षेत्र पर परिमेय के साथ विवृत ऊपरी आधे क्षेत्र से मिलकर $x$-अक्ष, अर्थात्, $$X=(\R\times(0,\infty))\cup(\Q\times\{0\}),$$ बेयर-समष्‍टि है, क्योंकि विवृत ऊपरी आधा तल अंदर सघन $$X$$ है और पूरी तरह से मेट्रिजेबल, इसलिए बेयर समष्‍टि $$X$$ स्थानीय रूप से सुसंहत नहीं है और पूरी तरह से मेट्रिजेबल नहीं है। समुच्चय $$\Q\times\{0\}$$ में संवृत $$X$$ है, लेकिन बेयर-समष्‍टि नहीं है। चूंकि एक मीट्रिक समष्‍टि में संवृत समुच्चय Gδ समुच्चय हैं। इससे यह भी पता चलता है कि सामान्य रूप से Gδ बेयर-समष्‍टि में समुच्चय को बेयर नहीं होना चाहिए।

जरिस्की सांस्थिति के साथ बीजगणितीय प्रकार बेयर-समष्‍टि हैं। उदाहरण एफ़िन समष्‍टि $$\mathbb{A}^n$$ है, $$\mathbb{C}^n$$ समुच्चय से मिलकर $n$-संरचना के साथ-साथ सम्मिश्र संख्याओं के समूह जिनके संवृत समुच्चय बहुपदों के $$f \in \mathbb{C}[x_1,\ldots,x_n]$$ लुप्यमान समुच्चय हैं।

यह भी देखें

 * बानाख-मजूर खेल
 * मंडलक समष्‍टि- सांंस्थितिक वेक्टर समष्टि का प्रकार
 * ब्लमबर्ग प्रमेय - R पर कोई भी वास्तविक फलन R के सघन उपसमुच्चय पर निरंतर प्रतिबंध को स्वीकार करता है
 * बायर का गुण - अल्प समुच्चय द्वारा एक विवृत समुच्चय का अंतर
 * वेब्ड समष्टि - समष्टि जहां विवृत प्रतिचित्रण और संवृत ग्राफ सिद्धांत धारण करते हैं

बेयर संबंध

 * Encyclopaedia of Mathematics article on Baire space
 * Encyclopaedia of Mathematics article on Baire theorem