ऑन शेल और ऑफ शेल

भौतिक विज्ञान में, विशेष रूप से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, एक भौतिक प्रणाली के विन्यास जो गति के शास्त्रीय समीकरणों को संतुष्ट करते हैं, उन्हें सामूहिक खोल पर या केवल अधिक बार खोल पर कहा जाता है; जबकि जो नहीं होते हैं उन्हें ऑफ द मास शेल या ऑफ शेल कहा जाता है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, आभासी कणों को खोल कहा जाता है क्योंकि वे ऊर्जा-संवेग संबंध को संतुष्ट नहीं करते हैं; वास्तविक विनिमय कण इस संबंध को संतुष्ट करते हैं और उन्हें खोल (द्रव्यमान खोल) कहा जाता है।  उदाहरण के लिए शास्त्रीय यांत्रिकी में, क्रिया (भौतिकी) के सूत्रीकरण में, चर सिद्धांत के चरम समाधान शेल पर होते हैं और यूलर-लग्रेंज समीकरण ऑन-शेल समीकरण देते हैं। भौतिक क्रिया और संरक्षण कानूनों की अलग-अलग समरूपता के बारे में नोएदर का प्रमेय एक अन्य ऑन-शैल प्रमेय है।

मास खोल
मास शेल द्रव्यमान hyperboloid  का एक पर्याय है, जिसका अर्थ है ऊर्जा-संवेग स्थान में हाइपरबोलॉइड समीकरण के समाधान का वर्णन करता है:


 * $$E^2 - |\vec{p} \,|^2 c^2 = m_0^2 c^4$$,

ऊर्जा-संवेग संबंध | द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र जो ऊर्जा देता है $$E$$ गति के संदर्भ में $$\vec{p}$$ और बाकी द्रव्यमान $$m_0$$ एक कण का। द्रव्यमान खोल के लिए समीकरण भी अक्सर चार-संवेग के संदर्भ में लिखा जाता है; आइंस्टीन संकेतन में मीट्रिक हस्ताक्षर (+,−,−,−) और इकाइयों के साथ जहां प्रकाश की गति $$c = 1$$, जैसा $$p^\mu p_\mu \equiv p^2 = m^2$$. साहित्य में भी सामना हो सकता है $$p^\mu p_\mu = - m^2$$ यदि प्रयुक्त मीट्रिक हस्ताक्षर (−,+,+,+) है।

एक बदले हुए आभासी कण का चार-संवेग $$X$$ है $$q_\mu$$, द्रव्यमान के साथ $$q^2 = m_X^2$$. चार गति $$q_\mu$$ आभासी कण आने वाले और बाहर जाने वाले कणों के चार-संवेगों के बीच का अंतर है।

फेनमैन आरेख में आंतरिक प्रचारकों के अनुरूप आभासी कणों को आम तौर पर खोल से बाहर होने की अनुमति दी जाती है, लेकिन इस प्रक्रिया के लिए आयाम कम हो जाएगा कि वे कितनी दूर खोल हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि $$q^2$$-प्रचारक की निर्भरता आने वाले और बाहर जाने वाले कणों के चार-क्षण द्वारा निर्धारित की जाती है। प्रचारक के पास आम तौर पर बड़े खोल पर गणितीय विलक्षणता होती है। प्रचारक की बात करते समय, के लिए नकारात्मक मान $$E$$ जो समीकरण को संतुष्ट करते हैं उन्हें खोल पर माना जाता है, हालांकि शास्त्रीय सिद्धांत एक कण की ऊर्जा के लिए नकारात्मक मूल्यों की अनुमति नहीं देता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रचारक एक अभिव्यक्ति में उन मामलों को शामिल करता है जिनमें कण एक दिशा में ऊर्जा वहन करता है, और जिसमें उसका प्रतिकण दूसरी दिशा में ऊर्जा वहन करता है; नकारात्मक और सकारात्मक ऑन-शेल $$E$$ तो बस सकारात्मक ऊर्जा के विपरीत प्रवाह का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अदिश क्षेत्र
एक उदाहरण डी-डायमेंशनल मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में एक स्केलर क्षेत्र सिद्धांत पर विचार करने से आता है। द्वारा दिए गए एक Lagrangian घनत्व पर विचार करें $$\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)$$. क्रिया (भौतिकी) # क्रिया (कार्यात्मक)


 * $$S = \int d^D x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)$$

इस क्रिया के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण विविधताओं के कलन#यूलर द्वारा पाया जा सकता है। E2.80.93 लैग्रेंज समीकरण, और है:


 * $$\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}$$

अब, एक अतिसूक्ष्म स्पेसटाइम अनुवाद (गणित) पर विचार करें $$x^\mu \rightarrow x^\mu +\alpha^\mu$$. Lagrangian घनत्व $$\mathcal{L}$$ एक अदिश राशि है, और इसलिए यह असीम रूप से रूपांतरित होगा $$\delta \mathcal{L} = \alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L}$$ असीम परिवर्तन के तहत। दूसरी ओर, टेलर के विस्तार से, हमारे पास सामान्य रूप से है


 * $$\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta( \partial_\mu \phi) $$

के लिए प्रतिस्थापन $$\delta \mathcal{L}$$ और यह ध्यान में रखते हुए $$\delta( \partial_\mu \phi) = \partial_\mu ( \delta \phi)$$ (चूंकि स्पेसटाइम में प्रत्येक बिंदु पर विविधताएं स्वतंत्र हैं):


 * $$\alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \alpha^\mu \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \alpha^\mu \partial_\mu \partial_\nu \phi $$

चूंकि इसे स्वतंत्र अनुवादों के लिए धारण करना है $$\alpha^\mu = (\epsilon, 0,...,0), (0,\epsilon, ...,0), ...$$, हम द्वारा विभाजित कर सकते हैं $$\alpha^\mu$$ और लिखा:


 * $$ \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi $$

यह समीकरण का एक उदाहरण है जो शेल को बंद रखता है, क्योंकि यह किसी भी फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन के लिए सही है, भले ही यह गति के समीकरणों का सम्मान करता हो (इस मामले में, ऊपर दिए गए यूलर-लैग्रेंज समीकरण)। हालाँकि, हम केवल यूलर-लैग्रेंज समीकरण को प्रतिस्थापित करके शेल समीकरण पर प्राप्त कर सकते हैं:


 * $$ \partial_\mu \mathcal{L} = \partial_\nu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi $$

हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:


 * $$ \partial_\nu \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \phi -\delta^\nu_\mu \mathcal{L} \right) = 0 $$

और अगर हम मात्रा को कोष्ठक में परिभाषित करते हैं $$T^\nu{}_\mu$$, अपने पास:


 * $$\partial_\nu T^\nu{}_\mu = 0$$

यह नोथेर के प्रमेय का एक उदाहरण है। यहां, संरक्षित मात्रा तनाव-ऊर्जा टेंसर है, जो केवल खोल पर संरक्षित होती है, यानी गति के समीकरण संतुष्ट होते हैं।