पीयूसेलियर-लिपकिन लिंकेज

1864 में आविष्कृत पीयूसेलियर-लिपकिन लिंकेज (या पीउसेलियर-लिपकिन सेल, या पीउसेलियर-लिपकिन इनवर्सर), पहला सच्चा नियोजक सीधी रेखा तंत्र था - पहला समतल लिंकेज (मैकेनिकल) जो रोटरी गति को उत्तम सीधी रेखा गति में बदलने में सक्षम था। और इसके विपरीत इसका नाम चार्ल्स-निकोलस पीयूसेलियर (1832-1913) एक फ्रांसीसी सेना अधिकारी और योम तोव लिपमैन लिपकिन (1846-1876), एक लिथुआनियाई यहूदी और प्रसिद्ध रब्बी इज़राइल सैलेंटर के बेटे के नाम पर रखा गया है। इस आविष्कार से पहले संदर्भ दिशानिर्देशों के बिना स्पष्ट सीधी-रेखा गति को परिपत्र गति में परिवर्तित करने के लिए कोई समतल विधि उपस्थित नहीं थी। 1864 में सारी शक्ति भाप के इंजनों से आती थी, जिसमें एक पिस्टन एक सीधी रेखा में एक सिलेंडर के ऊपर और नीचे चलता था। ड्राइविंग माध्यम को बनाए रखने के लिए और लीक के कारण ऊर्जा दक्षता खोने के लिए इस पिस्टन को सिलेंडर के साथ एक अच्छी मुहर रखने की जरूरत है। पिस्टन सिलेंडर की धुरी के लंबवत शेष रहकर अपनी सीधी-रेखा गति को बनाए रखते हुए ऐसा करता है। पिस्टन की सीधी-रेखा गति को वृत्ताकार गति में परिवर्तित करना महत्वपूर्ण महत्व का था। अधिकांश यदि सभी नहीं तो इन भाप इंजनों के अनुप्रयोग रोटरी थे।

पीयूसेलियर-लिपकिन लिंकेज का गणित सीधे एक वृत्त की व्युत्क्रम ज्यामिति से संबंधित है।

पहले के सारस लिंकेज
एक प्रारंभिक सीधी-रेखा तंत्र है, जिसका इतिहास अच्छी तरह से ज्ञात नहीं है जिसे सर्रस लिंकेज कहा जाता है। यह लिंकेज पीयूसेलियर-लिपकिन लिंकेज से 11 साल पहले का है और इसमें हिंगेड आयताकार प्लेटों की एक श्रृंखला होती है जिनमें से दो समानांतर रहती हैं किन्तु सामान्य रूप से एक-दूसरे को स्थानांतरित की जा सकती हैं। सारस का लिंकेज एक त्रि-आयामी वर्ग का है जिसे कभी-कभी अंतरिक्ष क्रैंक के रूप में जाना जाता है पीयूसेलियर-लिपकिन लिंकेज के विपरीत जो एक समतल तंत्र है।

ज्यामिति
उपकरण के ज्यामितीय आरेख में, निश्चित लंबाई के छह बार देखे जा सकते हैं: $\overline{OA}$, $\overline{OC}$, $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, $\overline{DA}$. इसकी लंबाई $\overline{OA}$ की लंबाई के समान है $\overline{OC}$, और की लंबाई $\overline{AB}$, $\overline{BC}$, $\overline{CD}$, और $\overline{DA}$ सभी समान हैं और एक समचतुर्भुज बनाते हैं। साथ ही, बिंदु $O$ निश्चित है। फिर, यदि बिंदु $B$ एक वृत्त के साथ चलने के लिए विवश है (उदाहरण के लिए, इसे बीच की लंबाई के साथ एक बार से जोड़कर $O$ और $B$; लाल रंग में दिखाया गया रास्ता) जो $O$ से होकर गुजरता है फिर इंगित करें $D$ को आवश्यक रूप से एक सीधी रेखा में चलना होगा (नीले रंग में दिखाया गया है)। दूसरी ओर यदि बिंदु $B$ एक रेखा के साथ जाने के लिए विवश किया गया था ($O$ से होकर नहीं), तो बिंदु $D$ को आवश्यक रूप से एक वृत्त ($O$ से गुजरते हुए) के साथ चलना होगा।

संरेखता
सबसे पहले यह सिद्ध होना चाहिए कि अंक $O$, $B$, $D$ संरेखता हैं। यह देखकर आसानी से देखा जा सकता है कि लिंकेज लाइन $OD$ के बारे में दर्पण-सममित है तो बिंदु $B$ उस रेखा पर पड़ना चाहिए।

अधिक औपचारिक रूप से, त्रिकोण $△BAD$ और $△BCD$ सर्वांगसम हैं क्योंकि भुजा $\overline{BD}$ स्वयं, पक्ष के अनुरूप है भुजा $\overline{BA}$ भुजा $\overline{BC}$ के सर्वांगसम है, और भुजा $\overline{AD}$ भुजा $\overline{CD}$ के सर्वांगसम है इसलिए, कोण $∠ABD$ और $∠CBD$ समान हैं।

अगला, त्रिकोण $△OBA$ और $△OBC$ सर्वांगसम हैं, चूँकि भुजाएँ हैं $\overline{OA}$ और $\overline{OC}$ सर्वांगसम हैं, पार्श्व $\overline{OB}$ स्वयं और भुजाओं के सर्वांगसम है $\overline{BA}$ और $\overline{BC}$ सर्वांगसम हैं। इसलिए, कोण $∠OBA$ और $∠OBC$ समान हैं।

अंत में क्योंकि वे एक पूर्ण वृत्त बनाते हैं हमारे पास है
 * $$ \angle OBA + \angle ABD + \angle DBC + \angle CBO = 360^\circ$$

किन्तु समरूपता के कारण, $∠OBA = ∠OBC$ और $∠DBA = ∠DBC$, इस प्रकार
 * $$\begin{align}

& 2 \times \angle OBA + 2 \times \angle DBA = 360^\circ \\ & \angle OBA + \angle DBA = 180^\circ \end{align}$$ इसलिए अंक $O$, $B$, और $D$ संरेख हैं।

व्युत्क्रम बिंदु
माना बिंदु $P$ रेखा $AC$ और $BD$ का प्रतिच्छेदन है। तब चूँकि $ABCD$ एक समचतुर्भुज है, $P$ रेखाखंड $\overline{BD}$ और $\overline{AC}$ दोनों का मध्यबिंदु है। इसलिए, लंबाई $\overline{BP}$ = लंबाई $\overline{PD}$ ।

त्रिकोण $△BPA$ त्रिभुज $△DPA$ के सर्वांगसम है क्योंकि भुजा $\overline{BP}$ भुजा $\overline{DP}$ के सर्वांगसम है, भुजा $\overline{AP}$ स्वयं के सर्वांगसम है और भुजा $\overline{AB}$ भुजा $\overline{AD}$ के सर्वांगसम है। इसलिए कोण $∠BPA$ = कोण $∠DPA$. किन्तु फिर $∠BPA + ∠DPA = 180°$, तब $2 × ∠BPA = 180°$, $∠BPA = 90°$, और $∠DPA = 90°$.

होने देना:
 * $$\begin{align}

& x = \ell_{BP} = \ell_{PD} \\ & y = \ell_{OB} \\ & h = \ell_{AP} \end{align}$$ तब:
 * $$\ell_{OB}\cdot \ell_{OD}=y(y+2x)=y^2+2xy $$
 * $${\ell_{OA}}^2 = (y + x)^2 + h^2$$ (पाइथागोरस प्रमेय के कारण)
 * $${\ell_{OA}}^2 = y^2 + 2xy + x^2 + h^2$$ (एक ही अभिव्यक्ति का विस्तार हुआ)
 * $${\ell_{AD}}^2 = x^2 + h^2$$ (पाइथागोरस प्रमेय)
 * $${\ell_{OA}}^2 - {\ell_{AD}}^2 = y^2 + 2xy = \ell_{OB} \cdot \ell_{OD}$$

चूँकि $\overline{OA}$ और $\overline{AD}$ दोनों निश्चित लंबाई हैं, तो $\overline{OB}$ और $\overline{OD}$ का गुणनफल एक स्थिर है:
 * $$\ell_{OB}\cdot \ell_{OD} = k^2 $$

और अंक के बाद से $O$, $B$, $D$ संरेख हैं तो केंद्र $O$ और त्रिज्या $k$ वाले वृत्त $(O,k)$ के संबंध में $D$, $B$ का व्युत्क्रम है।

व्युत्क्रम ज्यामिति
इस प्रकार व्युत्क्रम ज्यामिति के गुणों द्वारा चूँकि बिंदु $D$ द्वारा पता लगाया गया चित्र बिंदु $B$ द्वारा खींचे गए चित्र का व्युत्क्रम है, यदि $B$ व्युत्क्रम $O$ के केंद्र से गुजरने वाले एक वृत्त का पता लगाता है, तो $D$ एक सीधी रेखा का पता लगाने के लिए विवश है। किन्तु यदि $B$, $O$ से न होकर एक सीधी रेखा खींचता है, तो $D$ को $O$ से गुजरने वाले वृत्त का एक चाप बनाना चाहिए।

एक विशिष्ट चालक
पीयूसेलियर-लिपकिन लिंकेज (पीएलएल) में कई व्युत्क्रम हो सकते हैं। एक विशिष्ट उदाहरण विपरीत आकृति में दिखाया गया है, जिसमें एक रॉकर-स्लाइडर चार-बार इनपुट ड्राइवर के रूप में कार्य करता है। स्पष्ट होने के लिए, स्लाइडर इनपुट के रूप में कार्य करता है, जो बदले में पीएलएल के सही ग्राउंडेड लिंक को ड्राइव करता है, इस प्रकार संपूर्ण पीएलएल को ड्राइव करता है।

ऐतिहासिक नोट्स
जेम्स जोसेफ सिल्वेस्टर (कलेक्टेड वर्क्स, वॉल्यूम 3, पेपर 2) लिखते हैं कि जब उन्होंने लॉर्ड केल्विन को एक मॉडल दिखाया, तो उन्होंने "इसकी देखभाल की जैसे कि यह उनका अपना बच्चा हो, और जब उन्हें इससे मुक्त करने के लिए एक प्रस्ताव बनाया गया था, उत्तर दिया 'नहीं! मेरे पास लगभग पर्याप्त नहीं था - यह मेरे जीवन में अब तक की सबसे खूबसूरत चीज है।'"

सांस्कृतिक संदर्भ
इलुमिनेटेड स्ट्रट्स में लिंकेज को प्रयुक्त करने वाली एक स्मारक-मापदंड की मूर्तिकला आइंडहोवन नीदरलैंड्स में स्थायी प्रदर्शनी पर है। कलाकृति मापती है 22 x, वजन 6600 kg, और सामान्य जनता के लिए सुलभ नियंत्रण कक्ष (इंजीनियरिंग) से संचालित किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * लिंकेज (मैकेनिकल)
 * सीधी रेखा तंत्र

ग्रन्थसूची

 * — proof and discussion of Peaucellier–Lipkin linkage, mathematical and real-world mechanical models
 * (and references cited therein)
 * Hartenberg, R.S. & J. Denavit (1964) Kinematic synthesis of linkages, pp 181–5, New York: McGraw–Hill, weblink from Cornell University.
 * Hartenberg, R.S. & J. Denavit (1964) Kinematic synthesis of linkages, pp 181–5, New York: McGraw–Hill, weblink from Cornell University.

बाहरी संबंध

 * How to Draw a Straight Line, online video clips of linkages with interactive applets.
 * How to Draw a Straight Line, historical discussion of linkage design
 * Interactive Java Applet with proof.
 * Java animated Peaucellier–Lipkin linkage
 * Jewish Encyclopedia article on Lippman Lipkin and his father Israel Salanter
 * Peaucellier Apparatus features an interactive applet
 * A simulation using the Molecular Workbench software
 * A related linkage called Hart's Inversor.
 * Modified Peaucellier robotic arm linkage (Vex Team 1508 video)