क्वांटम तर्क

क्वांटम नींव के गणितीय तर्क और भौतिकी विश्लेषण में, क्वांटम तर्क क्वांटम यांत्रिकी की संरचना से प्रेरित प्रस्तावों के हेरफेर के लिए नियमों का एक समूह है। यह क्षेत्र अपने शुरुआती बिंदु के रूप में गैरेट बिरखॉफ और जॉन वॉन न्यूमैन का एक अवलोकन लेता है, कि शास्त्रीय यांत्रिकी में प्रायोगिक परीक्षणों की संरचना एक बूलियन बीजगणित (संरचना) बनाती है, लेकिन क्वांटम यांत्रिकी में प्रायोगिक परीक्षणों की संरचना बहुत अधिक जटिल संरचना बनाती है।

क्वांटम तर्क को आम तौर पर प्रस्तावात्मक अनुमान के लिए सही तर्क के रूप में प्रस्तावित किया गया है, विशेष रूप से दार्शनिक हिलेरी पटनम द्वारा, कम से कम अपने करियर में एक बिंदु पर। यह थीसिस पुत्नाम के 1968 के पेपर इज़ लॉजिक एम्पिरिकल में एक महत्वपूर्ण घटक था? जिसमें उन्होंने तर्कवाक्य तर्क के नियमों की ज्ञानमीमांसा की स्थिति का विश्लेषण किया। आधुनिक दार्शनिक तर्क के आधार के रूप में क्वांटम तर्क को अस्वीकार करते हैं, क्योंकि इसमें भौतिक सशर्त का अभाव है; एक सामान्य विकल्प रेखीय तर्क की प्रणाली है, जिसमें से क्वांटम तर्क एक टुकड़ा है।

गणितीय रूप से, बूलियन बीजगणित के लिए वितरण कानून को कमजोर करके क्वांटम तर्क तैयार किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक ऑर्थोकंप्लीमेंट होता है। क्वांटम-मैकेनिकल वेधशालाओं और जितना राज्य को क्वांटम संगणनाओं के लिए एक वैकल्पिक औपचारिकता (गणित) देते हुए या जाली पर कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

परिचय
क्वांटम तर्क और शास्त्रीय तर्क के बीच सबसे उल्लेखनीय अंतर प्रस्तावात्मक तर्क वितरण कानून की विफलता है: 	: पी और (क्यू या आर) = (पी और क्यू) या (पी और आर), जहाँ प्रतीक p, q और r प्रस्तावक चर हैं।

यह स्पष्ट करने के लिए कि वितरण नियम विफल क्यों होता है, एक रेखा पर गतिमान एक कण पर विचार करें और (इकाइयों की कुछ प्रणाली का उपयोग करते हुए जहां घटी हुई प्लैंक स्थिरांक 1 है) आइए
 * p = अंतराल में कण का संवेग होता है $[0, +1/6]$
 * क्यू = कण अंतराल में है $[−1, 1]$
 * आर = कण अंतराल में है $[1, 3]$

हम देख सकते हैं कि:
 * पी और (क्यू या आर) = सच

दूसरे शब्दों में, कि कण की स्थिति 0 और +1/6 के बीच संवेग का भारित जितना अध्यारोपण  है और -1 और +3 के बीच की स्थिति है।

दूसरी ओर, प्रस्ताव p और q और p और r प्रत्येक अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा अनुमत स्थिति और गति के एक साथ मूल्यों पर कड़े प्रतिबंधों का दावा करते हैं (उनमें से प्रत्येक में अनिश्चितता 1/3 है, जो कि न्यूनतम 1 से कम है /2). इसलिए ऐसे कोई राज्य नहीं हैं जो किसी भी प्रस्ताव का समर्थन कर सकें, और
 * (पी और क्यू) या (पी और आर) = झूठा

इतिहास और आधुनिक आलोचना
1932 के अपने क्लासिक ग्रंथ क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव में, जॉन वॉन न्यूमैन ने कहा कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर प्रक्षेपण (गणित) को भौतिक अवलोकनों के प्रस्ताव के रूप में देखा जा सकता है; यानी संभावित हाँ या ना वाले प्रश्न जो एक प्रेक्षक एक भौतिक प्रणाली की स्थिति के बारे में पूछ सकता है, ऐसे प्रश्न जिन्हें कुछ माप द्वारा सुलझाया जा सकता है। 1936 के पेपर में वॉन न्यूमैन और बिरखॉफ द्वारा इन क्वांटम प्रस्तावों में हेरफेर करने के सिद्धांतों को तब क्वांटम लॉजिक कहा गया था।

जॉर्ज मैके ने अपनी 1963 की पुस्तक (जिसे क्वांटम यांत्रिकी की गणितीय नींव भी कहा जाता है) में, क्वांटम तर्क को एक ऑर्थोकम्प्लिमेंटेड जाली की संरचना के रूप में स्वयंसिद्ध करने का प्रयास किया, और माना कि एक भौतिक अवलोकन योग्य को क्वांटम प्रस्ताव के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। हालांकि मैके की प्रस्तुति अभी भी मानती है कि orthocomplemented जाली एक वियोज्य अंतरिक्ष हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बंद सेट रैखिक उप-स्थानों का जाली (क्रम) है, कॉन्स्टेंटाइन पिरोन, गुंथर लुडविग और अन्य ने बाद में स्वयंसिद्धीकरण विकसित किए जो एक अंतर्निहित हिल्बर्ट स्थान नहीं मानते हैं। हंस रीचेनबैक के हाल ही में सामान्य सापेक्षता के बचाव से प्रेरित होकर, दार्शनिक हिलेरी पुतनाम ने 1968 और 1975 में दो पत्रों में मैके के काम को लोकप्रिय बनाया, जिसमें उन्होंने अपने सह-लेखक, भौतिक विज्ञानी डेविड फिंकेलस्टीन को इस विचार के लिए जिम्मेदार ठहराया कि क्वांटम मापन से जुड़ी विसंगतियां तर्क की विफलता से उत्पन्न होती हैं। पुटनाम ने क्वांटम मापन की समस्या में छिपे-चर सिद्धांत या वेवफंक्शन पतन के लिए एक संभावित विकल्प विकसित करने की आशा की, लेकिन ग्लीसन का प्रमेय इस लक्ष्य के लिए गंभीर कठिनाइयों को प्रस्तुत करता है। बाद में, पूनम ने अपने विचारों को वापस ले लिया, हालांकि बहुत कम धूमधाम से, लेकिन नुकसान हो चुका था। जबकि बिरखॉफ़ और वॉन न्यूमैन के मूल कार्य ने केवल क्वांटम यांत्रिकी की कोपेनहेगन व्याख्या से जुड़ी गणनाओं को व्यवस्थित करने का प्रयास किया था, शोधकर्ताओं का एक स्कूल अब उभर आया था, या तो यह उम्मीद कर रहा था कि क्वांटम तर्क एक व्यवहार्य छिपा-चर सिद्धांत प्रदान करेगा, या इसकी आवश्यकता को कम करेगा एक। उनका काम निष्फल साबित हुआ, और अब खराब प्रतिष्ठा में है।

अधिकांश दार्शनिक क्वांटम लॉजिक को क्लासिकल लॉजिक का अनाकर्षक प्रतियोगी मानते हैं। यह स्पष्ट नहीं है कि क्वांटम तर्क तर्क की एक प्रक्रिया का वर्णन करने के अर्थ में एक तर्क है, जो क्वांटम उपकरणों द्वारा किए गए मापों को सारांशित करने के लिए विशेष रूप से सुविधाजनक भाषा के विपरीत है। (हालांकि, दूसरों का तर्क है कि वे लॉजिक्स हैं और सभी प्रामाणिक शर्तों को पूरा करते हैं, तर्कशास्त्रियों को एक अमूर्त वस्तु को तर्क कहने की आवश्यकता होती है। ) विशेष रूप से, विज्ञान के आधुनिक दार्शनिक तर्क देते हैं कि क्वांटम तर्क भौतिक विज्ञान की समस्याओं को ठीक से हल करने के बजाय भौतिकी में अनसुलझी समस्याओं के लिए आध्यात्मिक कठिनाइयों को स्थानापन्न करने का प्रयास करता है। टिम मौडलिन लिखते हैं कि क्वांटम लॉजिक माप समस्या को हल करता है | [माप] समस्या को राज्य के लिए असंभव बनाकर हल करता है।

क्वांटम लॉजिक तर्कशास्त्रियों के बीच एक अत्यंत पैथोलॉजिकल काउंट उदाहरण के रूप में सीमित उपयोग में रहता है (दल्ला चियारा और गिउंटिनी: क्वांटम लॉजिक क्यों? सिर्फ इसलिए कि 'क्वांटम लॉजिक हैं!')। हालांकि क्वांटम तर्क के लिए केंद्रीय अंतर्दृष्टि वर्गीकरण के लिए एक अंतर्ज्ञान पंप के रूप में गणितीय लोककथा बनी हुई है, चर्चा शायद ही कभी क्वांटम तर्क का उल्लेख करती है।

बीजगणितीय संरचना
क्वांटम लॉजिक को प्रस्तावों के सिद्धांत के रूप में स्वयंसिद्ध किया जा सकता है जो निम्नलिखित पहचानों को मॉड्यूल करता है:
 * ए{{=}¬¬ए
 * ∨ क्रमविनिमेय और साहचर्य है।
 * एक अधिकतम तत्व ⊤, और ⊤ है=b∨¬b किसी भी b के लिए।
 * a∨¬(¬a∨b)=एक।

(¬ निषेध (तर्क) के लिए पारंपरिक संकेतन है, ∨ या (तर्क) के लिए संकेतन, और ∧ और (तर्क) के लिए संकेतन है।)

कुछ लेखक ऑर्थोमॉड्यूलर जाली तक सीमित हैं, जो अतिरिक्त रूप से ऑर्थोमॉड्यूलर कानून को पूरा करते हैं:
 * अगर ⊤{{=}¬(¬a∨¬b)∨¬(a∨b) फिर एक=बी।

(⊤ सच्चाई के लिए पारंपरिक संकेतन है और ⊥ धोखे के लिए पारंपरिक संकेतन है।)

वैकल्पिक फॉर्मूलेशन में प्राकृतिक कटौती के माध्यम से व्युत्पन्न प्रस्ताव शामिल हैं, गणना का पालन करें या विश्लेषणात्मक झांकी प्रणाली की विधि। अपेक्षाकृत विकसित प्रमाण सिद्धांत के बावजूद, क्वांटम तर्क को निर्णायकता (तर्क) के रूप में नहीं जाना जाता है।

क्वांटम तर्क वेधशालाओं के तर्क के रूप में
इस लेख के शेष भाग में माना गया है कि पाठक हिल्बर्ट स्पेस पर स्व-संलग्न ऑपरेटरों के वर्णक्रमीय सिद्धांत से परिचित है। हालांकि, मुख्य विचारों को परिमित-आयामी मामले में समझा जा सकता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी का तर्क
शास्त्रीय यांत्रिकी के हैमिल्टनियन यांत्रिकी योगों में तीन अवयव हैं: शास्त्रीय यांत्रिकी, वेधशालाएँ और गतिकी (यांत्रिकी)। R में गतिमान एकल कण के सरलतम मामले में3, स्थिति स्थान स्थिति-गति स्थान R है 6। एक अवलोकनीय राज्य स्थान पर कुछ वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन f है। वेधशालाओं के उदाहरण एक कण की स्थिति, संवेग या ऊर्जा हैं। शास्त्रीय प्रणालियों के लिए, मान f(x), जो कि किसी विशेष सिस्टम स्टेट x के लिए f का मान है, f की माप की प्रक्रिया द्वारा प्राप्त किया जाता है।

शास्त्रीय प्रणाली से संबंधित प्रस्ताव प्रपत्र के मूल कथनों से उत्पन्न होते हैं


 * f के मापन से कुछ वास्तविक संख्याओं a, b के लिए अंतराल [a, b] में एक मान प्राप्त होता है।

पारंपरिक अंकगणितीय संचालन और सीमा (गणित) के माध्यम से। यह शास्त्रीय प्रणालियों में प्रस्तावों के इस लक्षण वर्णन से आसानी से अनुसरण करता है कि संबंधित तर्क राज्य अंतरिक्ष के बोरेल उपसमुच्चय के बूलियन बीजगणित (संरचना) के समान है। इस प्रकार वे क्लासिकल लॉजिक प्रोपोज़िशनल लॉजिक (जैसे डी मॉर्गन के नियम) के नियमों का पालन करते हैं, जिसमें बूलियन ऑपरेटर (बूलियन बीजगणित) के अनुरूप यूनियन और इंटरसेक्शन के सेट ऑपरेशंस होते हैं और मैटेरियल इंप्लीकेशन (अनुमान का नियम) के अनुरूप उपसमुच्चय शामिल होते हैं।

वास्तव में, एक मजबूत दावा सच है: उन्हें असीमित तर्क का पालन करना चाहिए $L_{&omega;_{1},&omega;}$.

हम इन टिप्पणियों को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं: शास्त्रीय प्रणाली की प्रस्ताव प्रणाली एक विशिष्ट ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेशन ऑपरेशन के साथ एक जाली है: मिलने और जुड़ने के जाली संचालन क्रमशः चौराहा और सेट संघ हैं। ऑर्थोकंप्लिमेंटेशन ऑपरेशन पूरक सेट है। इसके अलावा, यह जाली क्रमिक रूप से पूर्ण है, इस अर्थ में कि कोई भी अनुक्रम {ईi}i जाली के तत्वों की कम से कम ऊपरी सीमा होती है, विशेष रूप से सेट-सैद्धांतिक संघ: $$ \operatorname{LUB}(\{E_i\}) = \bigcup_{i=1}^\infty E_i\text{.} $$

एक क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम की प्रस्तावित जाली
वॉन न्यूमैन द्वारा प्रस्तुत क्वांटम यांत्रिकी के हिल्बर्ट स्पेस फॉर्मूलेशन में, हिल्बर्ट स्पेस एच पर कुछ (संभवतः अबाधित) सघन रूप से परिभाषित स्व-आसन्न ऑपरेटर ए द्वारा एक भौतिक प्रेक्षण योग्य का प्रतिनिधित्व किया जाता है। ए में एक वर्णक्रमीय अपघटन है, जो एक प्रक्षेपण-मूल्यवान है उपाय ई 'आर' के बोरेल सबसेट पर परिभाषित किया गया है। विशेष रूप से, 'R' पर किसी भी बंधे हुए बोरेल फ़ंक्शन f के लिए, ऑपरेटरों के लिए f का निम्नलिखित विस्तार किया जा सकता है:


 * $$ f(A) = \int_{\mathbb{R}} f(\lambda) \, d \operatorname{E}(\lambda).$$

मामले में एफ एक अंतराल [ए, बी] का सूचक कार्य है, ऑपरेटर एफ (ए) ईजेनवेल्यू के साथ ए के सामान्यीकृत ईजेनवेक्टरों के उप-स्थान पर एक स्व-संलग्न प्रक्षेपण है $[a,b]$. उस उप-स्थान की व्याख्या शास्त्रीय प्रस्ताव के क्वांटम एनालॉग के रूप में की जा सकती है
 * A का मापन अंतराल [a, b] में एक मान देता है।

यह शास्त्रीय यांत्रिकी में प्रस्तावों के ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड जाली के लिए निम्नलिखित क्वांटम यांत्रिक प्रतिस्थापन का सुझाव देता है, अनिवार्य रूप से मैकी का स्वयंसिद्ध VII:


 * क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम के प्रस्ताव एच के बंद उप-स्थानों की जाली के अनुरूप हैं; एक प्रस्ताव वी की उपेक्षा ओर्थोगोनल पूरक वी है ⊥।

क्वांटम प्रस्तावों का स्थान Q भी क्रमिक रूप से पूर्ण है: कोई भी जोड़ीदार असंयुक्त अनुक्रम {Vi}i क्यू के तत्वों की कम से कम ऊपरी सीमा है। यहाँ W की असम्बद्धता1 और डब्ल्यू2 मतलब डब्ल्यू2 W की एक उपसमष्टि है1 ⊥। {वी की सबसे कम ऊपरी सीमाi}i बंद आंतरिक प्रत्यक्ष योग है।

मानक शब्दार्थ
क्वांटम लॉजिक का मानक शब्दार्थ यह है कि क्वांटम लॉजिक एक वियोज्य स्पेस हिल्बर्ट स्पेस या पूर्व-हिल्बर्ट अंतरिक्ष में प्रोजेक्शन ऑपरेटर्स का लॉजिक है, जहाँ एक ऑब्जर्वेबल पी egenspace से जुड़ा होता है जिसके लिए पी (जब मापा जाता है) का eigenvalue 1 होता है। वहाँ से ,
 * ¬p, p का ओर्थोगोनल पूरक है (चूँकि उन अवस्थाओं के लिए, p, P(p) = 0 के प्रेक्षण की प्रायिकता),
 * p∧q, p और q का प्रतिच्छेदन है, और
 * p∨q = ¬(¬p∧¬q) राज्यों को संदर्भित करता है कि क्वांटम सुपरपोजिशन पी और क्यू।

इस शब्दार्थ में अच्छी संपत्ति है कि प्री-हिल्बर्ट स्पेस पूरा हो गया है (यानी, हिल्बर्ट) अगर और केवल अगर प्रस्ताव ऑर्थोमॉड्यूलर कानून को संतुष्ट करते हैं, तो परिणाम सोलर प्रमेय के रूप में जाना जाता है। क्वांटम लॉजिक के ऑर्थोमॉड्यूलर सिमेंटिक्स और सिंटैक्स के कारण है, एक पूर्णता प्रमेय है और यह कटौती प्रमेय के लिए विफल रहता है। यद्यपि क्वांटम तर्क का अधिकांश विकास मानक शब्दार्थ से प्रेरित है, यह बाद वाले की विशेषता नहीं है; उस जाली से संतुष्ट अतिरिक्त गुण हैं जिन्हें क्वांटम तर्क में रखने की आवश्यकता नहीं है।

शास्त्रीय तर्क के साथ अंतर
क्यू की संरचना शास्त्रीय प्रस्ताव प्रणाली के आंशिक क्रम संरचना के साथ अंतर को तुरंत इंगित करती है। शास्त्रीय मामले में, एक प्रस्ताव p दिया गया है, समीकरण
 * ⊤=p∨q और
 * ⊥=p∧q

बिल्कुल एक समाधान है, अर्थात् पी के सेट-सैद्धांतिक पूरक। अनुमानों की जाली के मामले में उपरोक्त समीकरणों के असीमित रूप से कई समाधान हैं (पी के किसी भी बंद, बीजगणितीय पूरक इसे हल करते हैं; इसे ऑर्थोकोम्प्लीमेंट होने की आवश्यकता नहीं है)।

अधिक सामान्यतः, मूल्यांकन (तर्क) में क्वांटम तर्क में असामान्य गुण होते हैं। { ⊥, ⊤} में कुल कार्य  जाली समरूपता को स्वीकार करने वाला एक ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड लैटिस बूलियन होना चाहिए। फ़िल्टरिंग संपत्ति के साथ अधिकतम आंशिक समरूपता q का अध्ययन करना एक मानक समाधान है:
 * अगर a≤b और q(a)=⊤, फिर q(b)=⊤.

वितरण की विफलता
क्वांटम लॉजिक में एक्सप्रेशंस सिंटैक्स का उपयोग करके वेधशालाओं का वर्णन करते हैं जो क्लासिकल लॉजिक जैसा दिखता है। हालांकि, शास्त्रीय तर्क के विपरीत, वितरण कानून a ∧ (b ∨ c) = (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) विफल हो जाता है जब ऑब्जर्वेबल # क्वांटम यांत्रिकी में वेधशालाओं की असंगति, जैसे स्थिति और गति के साथ काम करते हैं। ऐसा इसलिए होता है क्योंकि माप प्रणाली को प्रभावित करता है, और यह माप कि क्या एक संयोजन धारण करता है, यह नहीं मापता है कि कौन से संयोजन सत्य हैं।

उदाहरण के लिए, एक साधारण एक-आयामी कण पर विचार करें जिसे x द्वारा दर्शाया गया है और p द्वारा संवेग है, और वेधशालाओं को परिभाषित करें:
 * ए - |पी| ≤ 1 (कुछ इकाइयों में)
 * बी - एक्स <0
 * सी - एक्स ≥ 0

अब, स्थिति और संवेग एक दूसरे के फूरियर रूपांतर हैं, और एक कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ एक वर्ग-एकीकृत गैर-शून्य समारोह का फूरियर रूपांतरण संपूर्ण कार्य है और इसलिए इसमें गैर-पृथक शून्य नहीं हैं। इसलिए, ऐसा कोई तरंग फलन नहीं है जो संवेग स्थान में सामान्यीकरण योग्य तरंग फलन है और ठीक x ≥ 0 पर गायब हो जाता है। इस प्रकार, a ∧ b और इसी तरह a ∧ c असत्य हैं, इसलिए (a ∧ b) ∨ (a ∧ c) है असत्य। हालांकि, एक ∧ (बी ∨ सी) एक के बराबर है, जो निश्चित रूप से गलत नहीं है (ऐसे राज्य हैं जिनके लिए यह एक व्यवहार्य क्वांटम माप है)। इसके अलावा: यदि कण की गतिकी के लिए प्रासंगिक हिल्बर्ट स्थान केवल संवेग को 1 से अधिक नहीं मानता है, तो एक सत्य है।

अधिक समझने के लिए, पी1 और पी2 कण तरंग फ़ंक्शन के क्रमशः x <0 और x ≥ 0 के प्रतिबंध के लिए गति हो (प्रतिबंध के बाहर तरंग फ़ंक्शन शून्य के साथ)। माना |p|↾&gt;1 |p| का प्रतिबंध हो मोमेंटा के लिए जो (पूर्ण मूल्य में)> 1 हैं।

(a ∧ b) ∨ (a ∧ c) |p वाले राज्यों के अनुरूप है1|↾&gt;1 = | प2|↾&gt;1 = 0 (यह तब भी लागू होता है जब हम p को अलग तरह से परिभाषित करते हैं ताकि ऐसी अवस्थाओं को संभव बनाया जा सके; साथ ही, a ∧ b |p के अनुरूप है1|↾&gt;1= 0 और पी2=0). एक ऑपरेटर के रूप में, पी = पी1+ प2, और अशून्य | पी1|↾&gt;1 और | प2|↾&gt;1 शून्य उत्पन्न करने के लिए हस्तक्षेप कर सकता है |p|↾&gt;1. ऐसा हस्तक्षेप क्वांटम तर्क और क्वांटम यांत्रिकी की समृद्धि की कुंजी है।

मैके वेधशाला
एक ऑर्थोकम्प्लीमेंट क्यू दिया गया है, एक मैकी ऑब्जर्वेबल φ 'आर' से क्यू के बोरेल उपसमुच्चय के ऑर्थोकोम्प्लीमेंटेड लैटिस से एक काउंटेबल योगात्मक उपाय है। प्रतीकों में, इसका मतलब है कि किसी भी अनुक्रम के लिए {एसi}i R के जोड़ीदार असंयुक्त बोरेल उपसमुच्चय का, {φ(Si)}i जोड़ीदार ऑर्थोगोनल प्रस्ताव (क्यू के तत्व) हैं और


 * $$ \varphi\left(\bigcup_{i=1}^\infty S_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \varphi(S_i). $$

समतुल्य रूप से, मैके ऑब्जर्वेबल आर पर एक प्रक्षेपण-मूल्यवान उपाय है।

प्रमेय (वर्णक्रमीय प्रमेय)। यदि  क्यू  हिल्बर्ट 'एच' के बंद उप-स्थानों की जाली है, तो मैके वेधशालाओं और 'एच' पर सघन रूप से परिभाषित स्व-संबद्ध ऑपरेटरों के बीच एक विशेषण पत्राचार है।

क्वांटम संभाव्यता उपाय
एक क्वांटम संभाव्यता माप एक फ़ंक्शन P है जिसे Q पर [0,1] में मानों के साथ परिभाषित किया गया है जैसे कि P(⊥)=0, P(⊤)=1 और यदि {Ei}i क्यू के जोड़ीदार ऑर्थोगोनल तत्वों का अनुक्रम है
 * $$ \operatorname{P}\!\left(\bigvee_{i=1}^\infty E_i\right) = \sum_{i=1}^\infty \operatorname{P}(E_i). $$

हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बंद उपस्थानों पर प्रत्येक क्वांटम प्रायिकता माप एक घनत्व मैट्रिक्स से प्रेरित होता है - ट्रेस का एक सकारात्मक संचालिका (रैखिक बीजगणित)#सामान्यीकरण 1. औपचारिक रूप से,
 * प्रमेय। मान लीजिए क्यू कम से कम 3 जटिल आयाम के एक वियोज्य हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बंद उपस्थानों की जाली है। फिर क्यू पर किसी भी क्वांटम संभाव्यता माप पी के लिए एक अद्वितीय ट्रेस क्लास ऑपरेटर एस मौजूद है जैसे कि $$\operatorname{P}(E) = \operatorname{Tr}(S E)$$ क्यू में किसी भी स्व-संलग्न प्रक्षेपण ई के लिए।

अन्य लॉजिक्स से संबंध
क्वांटम लॉजिक रैखिक तर्क में एम्बेड होता है और मॉडल तर्क  बी।

क्वांटम प्रस्तावों के किसी भी सेट के ऑर्थोकम्प्लीमेंटेड जाली को बूलियन बीजगणित में एम्बेड किया जा सकता है, जो शास्त्रीय तर्क के लिए उपयुक्त है।

सीमाएं
हालांकि क्वांटम लॉजिक के कई उपचार मानते हैं कि अंतर्निहित जाली ऑर्थोमॉड्यूलर होनी चाहिए, ऐसे लॉजिक्स कई इंटरेक्टिंग क्वांटम सिस्टम को हैंडल नहीं कर सकते हैं। फाउलिस और रान्डेल के कारण एक उदाहरण में, परिमित-आयामी हिल्बर्ट मॉडल के साथ ऑर्थोमॉड्यूलर प्रस्ताव हैं जिनकी जोड़ी कोई ऑर्थोमॉड्यूलर मॉडल स्वीकार नहीं करती है।

क्वांटम तर्क कोई उचित भौतिक सशर्त स्वीकार नहीं करता है; कोई भी तार्किक संयोजक जो एक निश्चित तकनीकी अर्थ में एकरसता की एकरसता है, प्रस्तावों के वर्ग को बूलियन बीजगणित (संरचना) में कम कर देता है। नतीजतन, क्वांटम तर्क समय बीतने का प्रतिनिधित्व करने के लिए संघर्ष करता है। एक संभावित समाधान 1970 और 1980 के दशक के अंत में व्याचेस्लाव बेलावकिन द्वारा विकसित बेलावकिन समीकरण का सिद्धांत है। हालांकि, यह ज्ञात है कि सिस्टम बीवी, रैखिक तर्क का एक गहरा निष्कर्ष टुकड़ा है जो क्वांटम तर्क के बहुत करीब है, मनमाना कारण ग्राफ को नियंत्रित कर सकता है।

यह भी देखें

 * फजी लॉजिक
 * एचपीओ औपचारिकता (अस्थायी क्वांटम तर्क के लिए एक दृष्टिकोण)
 * रैखिक तर्क
 * क्वांटम यांत्रिकी का गणितीय सूत्रीकरण
 * बहु-मूल्यवान तर्क
 * क्वांटम बायेसियनवाद
 * क्वांटम अनुभूति
 * क्वांटम प्रासंगिकता
 * क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * क्वांटम संभावना
 * अर्ध-सेट सिद्धांत
 * सोलर प्रमेय
 * वेक्टर तर्क

ऐतिहासिक कार्य

 * कालानुक्रमिक रूप से व्यवस्थित



गणितीय अध्ययन

 * एन पपनिकोलाउ, रीजनिंग फॉर्मली अबाउट क्वांटम सिस्टम्स: एन ओवरव्यू, एसीएम सिगेक्ट न्यूज, 36(3), 2005। पीपी। 51-66। आर्क्सिव cs/0508005।
 * एन पपनिकोलाउ, रीजनिंग फॉर्मली अबाउट क्वांटम सिस्टम्स: एन ओवरव्यू, एसीएम सिगेक्ट न्यूज, 36(3), 2005। पीपी। 51-66। आर्क्सिव cs/0508005।
 * एन पपनिकोलाउ, रीजनिंग फॉर्मली अबाउट क्वांटम सिस्टम्स: एन ओवरव्यू, एसीएम सिगेक्ट न्यूज, 36(3), 2005। पीपी। 51-66। आर्क्सिव cs/0508005।

क्वांटम नींव

 * डी. कोहेन, एन इंट्रोडक्शन टू हिल्बर्ट स्पेस एंड क्वांटम लॉजिक, स्प्रिंगर-वेरलाग, 1989. एलीमेंट्री एंड वेल-इलस्ट्रेटेड; उन्नत स्नातक के लिए उपयुक्त।

श्रेणी:गणितीय तर्क श्रेणी:औपचारिक तर्क की प्रणालियाँ श्रेणी:गैर-शास्त्रीय तर्क श्रेणी:क्वांटम यांत्रिकी