नॉन-यूक्लीडियन ज्यामिति



गणित में, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में यूक्लिडियन ज्यामिति निर्दिष्ट करने वाले सिद्धांतों से निकटता से संबंधित स्वयंसिद्धों पर आधारित दो ज्यामिति होती हैं। जैसा कि यूक्लिडियन ज्यामिति मीट्रिक ज्यामिति और एफ़ाइन ज्यामिति के चौराहे पर स्थित है, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति या तो एक विकल्प के साथ समानांतर अभिधारणा को बदलकर या मीट्रिक आवश्यकता को शिथिल करके उत्पन्न होती है। पूर्व मामले में, एक हाइपरबोलिक ज्यामिति और अण्डाकार ज्यामिति, पारंपरिक गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति प्राप्त करता है। जब मीट्रिक की आवश्यकता में ढील दी जाती है, तो प्लेनर अल्जेब्रा से जुड़े एफाइन प्लेन होते हैं, जो गतिज ज्यामिति को जन्म देते हैं जिन्हें गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति भी कहा जाता है।

मीट्रिक ज्यामितीयों के बीच आवश्यक अंतर समानांतर (ज्यामिति) रेखाओं की प्रकृति है। यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा, समानांतर अभिधारणा, प्लेफेयर की अभिधारणा के समतुल्य है, जो बताती है कि, द्वि-आयामी समतल के भीतर, किसी भी दी गई रेखा l और एक बिंदु A के लिए, जो l पर नहीं है, A से होकर जाने वाली ठीक एक रेखा है जो करती है एल को नहीं काटते। अतिपरवलयिक ज्यामिति में, इसके विपरीत, A से होकर जाने वाली अपरिमित रूप से कई रेखाएँ होती हैं जो l को नहीं काटती हैं, जबकि अण्डाकार ज्यामिति में, A से होकर जाने वाली कोई भी रेखा l को काटती है।

इन ज्यामितीयों के बीच के अंतरों का वर्णन करने का एक अन्य तरीका दो सीधी रेखाओं पर विचार करना है जो एक द्वि-आयामी विमान में अनिश्चित रूप से विस्तारित होती हैं जो दोनों एक तीसरी रेखा (एक ही विमान में) के लंबवत होती हैं:
 * यूक्लिडियन ज्यामिति में, रेखाएँ एक दूसरे से एक स्थिर दूरी पर बनी रहती हैं (जिसका अर्थ है कि किसी बिंदु पर एक रेखा के लंबवत खींची गई रेखा दूसरी रेखा को काटती है और चौराहे के बिंदुओं को मिलाने वाले रेखा खंड की लंबाई स्थिर रहती है) और ज्ञात हैं समानांतर के रूप में जाना जाता है।
 * अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में, वे एक दूसरे से "वक्र दूर" होते हैं, जैसे-जैसे सामान्य लंब के साथ चौराहे के बिंदुओं से दूरी बढ़ती जाती है; इन पंक्तियों को अक्सर अल्ट्रापरेलल्स कहा जाता है।
 * अण्डाकार ज्यामिति में, रेखाएँ एक दूसरे की ओर वक्र होती हैं और प्रतिच्छेद करती हैं।

पृष्ठदृश्य (Background)
यूक्लिडियन ज्यामिति, जिसका नाम ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड के नाम पर रखा गया है, में कुछ सबसे पुराने ज्ञात गणित सम्मिलित हैं, और इससे विचलित होने वाली ज्यामिति को व्यापक रूप से 19वीं शताब्दी तक वैध रूप में स्वीकार नहीं किया गया था।

बहस जो अंततः गैर-यूक्लिडियन ज्यामितीयों की खोज की ओर ले गई, जैसे ही यूक्लिड ने तत्वों को लिखा। तत्वों में, यूक्लिड सीमित संख्या में मान्यताओं (23 परिभाषाएँ, पाँच सामान्य धारणाएँ और पाँच अभिधारणाएँ) के साथ शुरू होता है और कार्य में अन्य सभी परिणामों (प्रस्तावों) को सिद्ध करने का प्रयास करता है। अभिधारणाओं में से सबसे कुख्यात को अक्सर "यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा" या केवल समानांतर अभिधारणा के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो यूक्लिड के मूल सूत्रीकरण में है। "यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर इस प्रकार पड़ती है कि एक ही ओर के अंतः कोण दो समकोणों से कम होते हैं, तो सरल रेखाएँ यदि अनिश्चित रूप से बढ़ायी जाती हैं, तो उस ओर मिलती हैं, जिस ओर कोणों की तुलना में कम दो समकोण होते हैं।" अन्य गणितज्ञों ने इस गुण के सरल रूपों की रचना की है। अभिधारणा के रूप के बावजूद, हालांकि, यह यूक्लिड की अन्य अभिधारणाओं की तुलना में लगातार अधिक जटिल प्रतीत होता है।


 * 1) किसी बिंदु से किसी बिंदु तक एक सीधी रेखा खींचना।
 * 2) एक सीधी रेखा में लगातार एक परिमित सीधी रेखा का निर्माण [विस्तार] करना।
 * 3) किसी भी केंद्र और दूरी [त्रिज्या] के साथ एक वृत्त का वर्णन करने के लिए।
 * 4) कि सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

कम से कम एक हजार वर्षों के लिए, जियोमीटर पांचवें अभिधारणा की विषम जटिलता से परेशान थे, और उनका मानना ​​था कि इसे अन्य चार से एक प्रमेय के रूप में सिद्ध किया जा सकता है। इब्न अल-हेथम (11वीं शताब्दी) उमर खय्याम (12वीं शताब्दी), नसीर अल-दीन अल-तुसी (13वीं शताब्दी), और जियोवन्नी गिरोलामो साचेरी (18वीं शताब्दी) सहित कई लोगों ने विरोधाभास द्वारा प्रमाण खोजने का प्रयास किया।

चतुर्भुज पर इब्न अल-हेथम, खय्याम और अल-तुसी के प्रमेय, जिसमें लैम्बर्ट चतुर्भुज और सैचेरी चतुर्भुज शामिल हैं, "अतिशयोक्तिपूर्ण और अण्डाकार ज्यामिति के पहले कुछ प्रमेय" थे। इन प्रमेयों ने अपनी वैकल्पिक अभिधारणाओं के साथ, जैसे कि प्लेफेयर की अभिगृहीत, ने बाद में गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। पांचवीं अभिधारणा को चुनौती देने के इन शुरुआती प्रयासों का इसके बाद के यूरोपीय जियोमीटरों के विकास पर काफी प्रभाव पड़ा, जिसमें विटेलो, लेवी बेन गर्सन, अलफोंसो, जॉन वालिस और सैचेरी शामिल थे। हालांकि, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति को तैयार करने की कोशिश में किए गए इन सभी शुरुआती प्रयासों ने समानांतर अवधारणा के त्रुटिपूर्ण प्रमाण प्रदान किए, जिसमें ऐसी मान्यताएं थीं जो अनिवार्य रूप से समानांतर अभिधारणा के समतुल्य थीं। हालाँकि, इन शुरुआती प्रयासों ने अतिशयोक्तिपूर्ण और अण्डाकार ज्यामिति के कुछ शुरुआती गुण प्रदान किए।

उदाहरण के लिए, खय्याम ने इसे "दार्शनिकों के सिद्धांतों" (अरस्तू) से तैयार किए गए समतुल्य अभिधारणा से प्राप्त करने का प्रयास किया: "दो अभिसारी सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। और दो अभिसरण सीधी रेखाओं के लिए उस दिशा में विचलन करना असंभव है। जिसमें वे खय्याम ने तब तीन मामलों को सही, अधिक और तीक्ष्ण माना, जो एक सच्चरी चतुर्भुज के शिखर कोण ले सकते हैं और उनके बारे में कई प्रमेयों को साबित करने के बाद, उन्होंने अपने अभिधारणा के आधार पर अधिक और तीव्र मामलों का सही ढंग से खंडन किया। और इसलिए यूक्लिड के शास्त्रीय अभिधारणा को व्युत्पन्न किया, जिसका उसे एहसास नहीं था कि वह उसकी अपनी अभिधारणा के समतुल्य है। एक अन्य उदाहरण अल-तुसी के बेटे सदर अल-दीन (कभी-कभी "छद्म-तुसी" के रूप में जाना जाता है) का है, जिन्होंने अल-तुसी के बाद के विचारों के आधार पर 1298 में इस विषय पर एक किताब लिखी थी, जिसने समानांतर अवधारणा के समकक्ष एक और परिकल्पना प्रस्तुत की थी। . "उन्होंने अनिवार्य रूप से स्वयंसिद्धों और अभिधारणाओं की यूक्लिडियन प्रणाली और तत्वों से कई प्रस्तावों के प्रमाणों को संशोधित किया। उनका काम 1594 में रोम में प्रकाशित हुआ था और यूरोपीय जियोमीटरों द्वारा अध्ययन किया गया था, जिसमें साचेरी शामिल थे।, जिन्होंने इस काम के साथ-साथ वालिस की भी आलोचना की।

Giordano Vitale ने अपनी पुस्तक यूक्लाइड रेस्टिटुओ (1680, 1686) में, सचेरी चतुर्भुज का उपयोग यह साबित करने के लिए किया कि यदि आधार AB और शिखर CD पर तीन बिंदु समान दूरी पर हैं, तो AB और CD हर जगह समान दूरी पर हैं।

1733 में प्रकाशित यूक्लिड्स एब ओमनी नेवो विन्डिकैटस (यूक्लिड फ्रीड फ्रॉम ऑल फ्लॉज़) नामक एक कार्य में, सैचेरी ने एक संभावना के रूप में जल्दी से अण्डाकार ज्यामिति को त्याग दिया (यूक्लिड के कुछ अन्य स्वयंसिद्धों को काम करने के लिए अण्डाकार ज्यामिति के लिए संशोधित किया जाना चाहिए) और एक सिद्ध करने के लिए काम करने के लिए तैयार अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में बड़ी संख्या में परिणाम।

वह अंत में उस बिंदु पर पहुंचे जहां उनका मानना ​​था कि उनके परिणामों ने अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति की असंभवता का प्रदर्शन किया। उनका दावा यूक्लिडियन पूर्वधारणाओं पर आधारित प्रतीत होता है, क्योंकि कोई तार्किक विरोधाभास मौजूद नहीं था। यूक्लिडियन ज्यामिति को साबित करने के इस प्रयास में उन्होंने इसके बजाय अनायास ही एक नई व्यवहार्य ज्यामिति की खोज की, लेकिन इसका एहसास नहीं हुआ।

1766 में जोहान हेनरिक लैम्बर्ट ने लिखा, लेकिन प्रकाशित नहीं किया, थ्योरी डेर पैरालेलिनियन जिसमें उन्होंने प्रयास किया, जैसा कि साचेरी ने किया था, पांचवीं अभिधारणा को साबित करने के लिए। उन्होंने एक आकृति के साथ काम किया जिसे अब लैम्बर्ट चतुर्भुज के रूप में जाना जाता है, एक चतुर्भुज जिसमें तीन समकोण होते हैं (इसे सैचेरी चतुर्भुज का आधा माना जा सकता है)। उन्होंने जल्दी से इस संभावना को समाप्त कर दिया कि चौथा कोण अधिक कोण है, जैसा कि सैचेरी और खय्याम के साथ हुआ था, और फिर एक तीव्र कोण की धारणा के तहत कई प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए आगे बढ़े। साचेरी के विपरीत, उन्होंने कभी महसूस नहीं किया कि वह इस धारणा के साथ एक विरोधाभास पर पहुंच गए हैं। उन्होंने गैर-यूक्लिडियन परिणाम को साबित कर दिया था कि त्रिभुज के कोणों का योग त्रिकोण के क्षेत्र में कमी के रूप में बढ़ता है, और इसने उन्हें काल्पनिक त्रिज्या के एक क्षेत्र पर तीव्र मामले के मॉडल की संभावना पर अनुमान लगाने के लिए प्रेरित किया। उन्होंने इस विचार को और आगे नहीं बढ़ाया।

इस समय यह व्यापक रूप से माना जाता था कि ब्रह्मांड यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांतों के अनुसार कार्य करता है।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज
19वीं शताब्दी की शुरुआत अंतत: गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के निर्माण में निर्णायक कदमों की साक्षी बनेगी। लगभग 1813, कार्ल फ्रेडरिक गॉस और स्वतंत्र रूप से 1818 के आसपास, कानून के जर्मन प्रोफेसर फर्डिनेंड कार्ल श्वेकार्ट ने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के मूल विचारों पर काम किया, लेकिन न तो कोई परिणाम प्रकाशित किया। श्वेकार्ट के भतीजे फ्रांज टॉरिनस ने 1825 और 1826 में दो पत्रों में अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोणमिति के महत्वपूर्ण परिणामों को प्रकाशित किया था, फिर भी अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति की आंतरिक स्थिरता को स्वीकार करते हुए, वह अभी भी यूक्लिडियन ज्यामिति की विशेष भूमिका में विश्वास करते थे।

फिर, 1829-1830 में रूसी गणितज्ञ निकोलाई इवानोविच लोबाचेव्स्की और 1832 में हंगरी के गणितज्ञ जानोस बोल्याई ने अलग से और स्वतंत्र रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति पर ग्रंथ प्रकाशित किए। नतीजतन, अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति को लोबाचेवस्कियन या बोल्याई-लोबाचेवस्कियन ज्यामिति कहा जाता है, क्योंकि दोनों गणितज्ञ, एक दूसरे से स्वतंत्र, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के मूल लेखक हैं। गॉस ने बोल्याई के पिता का उल्लेख किया, जब छोटे बोल्याई के काम को दिखाया गया, कि उन्होंने कई साल पहले ऐसी ज्यामिति विकसित की थी, हालांकि उन्होंने इसे प्रकाशित नहीं किया। जबकि लोबाचेवस्की ने समानांतर अभिधारणा को नकारते हुए एक गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का निर्माण किया, बोल्याई ने एक ज्यामिति का काम किया जहां एक पैरामीटर k के आधार पर यूक्लिडियन और हाइपरबोलिक ज्यामिति दोनों संभव हैं। बोल्याई अपने काम का अंत यह कहते हुए करते हैं कि केवल गणितीय तर्क के माध्यम से यह तय करना संभव नहीं है कि भौतिक ब्रह्मांड की ज्यामिति यूक्लिडियन है या गैर-यूक्लिडियन; यह भौतिक विज्ञान के लिए एक कार्य है।

बर्नहार्ड रीमैन ने 1854 में एक प्रसिद्ध व्याख्यान में, रीमैनियन ज्यामिति के क्षेत्र की स्थापना की, विशेष रूप से उन विचारों पर चर्चा की जिन्हें अब विविध, रीमैनियन मीट्रिक और वक्रता कहा जाता है। उन्होंने यूक्लिडियन अंतरिक्ष में यूनिट बॉल पर रिमेंनियन मीट्रिक के एक परिवार के लिए एक सूत्र देकर गैर-यूक्लिडियन ज्यामितीयों के एक अनंत परिवार का निर्माण किया। इनमें से सबसे सरल को अण्डाकार ज्यामिति कहा जाता है और समानांतर रेखाओं की कमी के कारण इसे गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति माना जाता है।

एक वक्रता टेन्सर के संदर्भ में ज्यामिति तैयार करके, रीमैन ने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति को उच्च आयामों पर लागू करने की अनुमति दी। बेल्ट्रामी (1868) नकारात्मक वक्रता वाले स्थानों पर रीमैन की ज्यामिति को लागू करने वाले पहले व्यक्ति थे।

शब्दावली (Terminology)
यह गॉस था जिसने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति शब्द गढ़ा था। वह अपने काम का जिक्र कर रहे थे, जिसे आज हम अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति कहते हैं। कई आधुनिक लेखक अभी भी गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति पर्यायवाची मानते हैं।

आर्थर केली ने नोट किया कि एक शंकु के अंदर बिंदुओं के बीच की दूरी को लघुगणक और प्रक्षेप्य क्रॉस-अनुपात समारोह के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। इस पद्धति को केली-क्लेन मीट्रिक कहा जाता है क्योंकि फेलिक्स क्लेन ने 1871 और 1873 में और बाद में पुस्तक के रूप में लेखों में गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का वर्णन करने के लिए इसका शोषण किया। केली-क्लेन मेट्रिक्स ने अतिशयोक्तिपूर्ण और अण्डाकार मीट्रिक ज्यामिति के साथ-साथ यूक्लिडियन ज्यामिति के कामकाजी मॉडल प्रदान किए।

क्लेन अतिपरवलयिक और अण्डाकार शब्दों के लिए जिम्मेदार है (अपनी प्रणाली में उन्होंने यूक्लिडियन ज्यामिति परवलयिक कहा, एक शब्द जो आम तौर पर उपयोग से बाहर हो गया था उनके प्रभाव ने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति शब्द के वर्तमान उपयोग को अतिशयोक्तिपूर्ण या अण्डाकार ज्यामिति का अर्थ दिया है।

कुछ गणितज्ञ ऐसे हैं जो ज्यामिति की सूची का विस्तार करेंगे जिन्हें विभिन्न तरीकों से गैर-यूक्लिडियन कहा जाना चाहिए।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का स्वयंसिद्ध आधार
यूक्लिडियन ज्यामिति को स्वयंसिद्ध रूप से कई तरीकों से वर्णित किया जा सकता है। दुर्भाग्य से, यूक्लिड की पांच अभिधारणाओं (सिद्धांतों) की मूल प्रणाली इनमें से एक नहीं है, क्योंकि उनके प्रमाण कई अस्थिर मान्यताओं पर निर्भर थे जिन्हें स्वयंसिद्धों के रूप में भी लिया जाना चाहिए था। हिल्बर्ट की प्रणाली में 20 अभिगृहीत शामिल हैं जो यूक्लिड के दृष्टिकोण का सबसे बारीकी से अनुसरण करते हैं और यूक्लिड के सभी प्रमाणों के लिए औचित्य प्रदान करते हैं। अन्य प्रणालियाँ, अपरिभाषित शब्दों के विभिन्न सेटों का उपयोग करके समान ज्यामिति को अलग-अलग रास्तों से प्राप्त करती हैं। हालाँकि, सभी दृष्टिकोणों में एक स्वयंसिद्ध है जो तार्किक रूप से यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा, समानांतर अभिधारणा के समतुल्य है। डेविड हिल्बर्ट Playfair स्वयंसिद्ध रूप का उपयोग करता है, जबकि गैरेट बिरखॉफ, उदाहरण के लिए, उस स्वयंसिद्ध का उपयोग करता है जो कहता है कि, "समान लेकिन सर्वांगसम त्रिभुजों की एक जोड़ी मौजूद नहीं है।" इनमें से किसी भी प्रणाली में, समानांतर अभिधारणा के समतुल्य एक अभिगृहीत को हटाना, चाहे वह किसी भी रूप में हो, और अन्य सभी अभिगृहीतों को अक्षुण्ण छोड़कर, निरपेक्ष ज्यामिति उत्पन्न करता है। जैसा कि यूक्लिड के पहले 28 प्रस्तावों (तत्वों में) को समानांतर अभिधारणा या इसके समकक्ष किसी भी चीज़ के उपयोग की आवश्यकता नहीं है, वे पूर्ण ज्यामिति में सभी सत्य कथन हैं।

एक गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति प्राप्त करने के लिए, समानांतर अवधारणा (या इसके समतुल्य) को इसके निषेध द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। Playfair के स्वयंसिद्ध रूप को नकारना, क्योंकि यह एक यौगिक कथन है (... एक और केवल एक मौजूद है ...), दो तरीकों से किया जा सकता है।


 * या तो दी गई रेखा के समानांतर बिंदु से जाने वाली एक से अधिक रेखा मौजूद होगी या दी गई रेखा के समानांतर बिंदु से कोई रेखा मौजूद नहीं होगी। पहले मामले में, समानांतर अवधारणा (या इसके समतुल्य) को जमा के साथ "एक विमान में, एक बिंदु दिया गया है और पी के माध्यम से पहुंच वाली रेखा एल नहीं है, पी के माध्यम से दो वरीयताएं मौजूद हैं, जो एल से नहीं मिलते हैं" और अन्य सभी अभिगृहीत, अतिपरवलयिक शीर्षक वाले हैं।
 * दूसरा मामला इतनी आसानी से नहीं सुलझा। केवल समानांतर अभिधारणा को इस कथन से प्रतिस्थापित करने पर, "एक समतल में, एक बिंदु P दिया गया है और एक रेखा l जो P से नहीं गुजरती है, P से होकर जाने वाली सभी रेखाएँ l से मिलती हैं", अभिगृहीतों का एक सुसंगत समुच्चय नहीं देता है। यह इस प्रकार है क्योंकि समानांतर रेखाएँ निरपेक्ष ज्यामिति में मौजूद हैं, लेकिन यह कथन कहता है कि कोई समानांतर रेखाएँ नहीं हैं। यह समस्या खय्याम, सचेरी और लैम्बर्ट के लिए (एक अलग आड़ में) जानी जाती थी और उनके अस्वीकार करने का आधार था जिसे "आंशिक कोण मामले" के रूप में जाना जाता था। सिद्धांतों का एक सुसंगत सेट प्राप्त करने के लिए जिसमें कोई समानांतर रेखा न होने के बारे में यह स्वयंसिद्ध शामिल है, कुछ अन्य स्वयंसिद्धों को ट्वीक किया जाना चाहिए। ये समायोजन प्रयुक्त स्वयंसिद्ध प्रणाली पर निर्भर करते हैं। दूसरों के बीच, इन ट्वीक में यूक्लिड की दूसरी अभिधारणा को इस कथन से संशोधित करने का प्रभाव है कि रेखा खंडों को अनिश्चित काल तक इस कथन तक बढ़ाया जा सकता है कि रेखाएँ अबाधित हैं। रीमैन की अण्डाकार ज्यामिति इस स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने वाली सबसे प्राकृतिक ज्यामिति के रूप में उभरती है।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के मॉडल
दो आयामी यूक्लिडियन ज्यामिति एक समतल विमान (गणित) की हमारी धारणा द्वारा मॉडल (सार) है।

अण्डाकार ज्यामिति
अण्डाकार ज्यामिति के लिए सबसे सरल मॉडल एक गोला है, जहाँ रेखाएँ महान वृत्त हैं (जैसे कि भूमध्य रेखा या भूमध्य रेखा (भूगोल) एक ग्लोब पर), और एक दूसरे के विपरीत बिंदु (एंटिपोडल बिंदु कहलाते हैं) की पहचान की जाती है (समान माना जाता है)। यह भी वास्तविक प्रक्षेपी विमान के मानक मॉडलों में से एक है। अंतर यह है कि अण्डाकार ज्यामिति के एक मॉडल के रूप में लंबाई और कोणों के माप की अनुमति देने वाला एक मीट्रिक पेश किया जाता है, जबकि प्रक्षेपी विमान के एक मॉडल के रूप में ऐसी कोई मीट्रिक नहीं है।

अण्डाकार मॉडल में, किसी भी रेखा के लिए $l$ और एक बिंदु A, जो चालू नहीं है $l$, A से होकर जाने वाली सभी रेखाएँ प्रतिच्छेद करेंगी $l$.

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति
लोबचेव्स्की, गॉस और बोल्याई के काम के बाद भी, यह सवाल बना रहा: क्या हाइपरबोलिक ज्यामिति के लिए ऐसा कोई मॉडल मौजूद है? . हाइपरबोलिक ज्यामिति के लिए मॉडल का उत्तर 1868 में यूजेनियो बेल्ट्रामी द्वारा दिया गया था, जिन्होंने पहली बार दिखाया था कि छद्ममंडल नामक सतह में अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान के एक हिस्से को मॉडल करने के लिए उपयुक्त वक्रता है और उसी वर्ष एक दूसरे पेपर में, छोटा मॉडल को परिभाषित किया, जो अतिपरवलयिक स्थान की संपूर्णता को मॉडल करता है, और इसका उपयोग यह दिखाने के लिए करता है कि यूक्लिडियन ज्यामिति और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति समतुल्यता थे ताकि अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति तार्किक रूप से सुसंगत हो अगर और केवल अगर यूक्लिडियन ज्यामिति थी। (उलटा निहितार्थ यूक्लिडियन ज्यामिति के राशिफल मॉडल से आता है।)

अतिपरवलयिक मॉडल में, किसी दिए गए रेखा के लिए, द्वि-आयामी विमान के भीतर $l$ और एक बिंदु A, जो चालू नहीं है $l$, A के माध्यम से अनंत सेट कई रेखाएँ हैं जो प्रतिच्छेद नहीं करती हैं $l$.

इन मॉडलों में, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की अवधारणाओं को यूक्लिडियन सेटिंग में यूक्लिडियन वस्तुओं द्वारा दर्शाया जाता है। यह एक अवधारणात्मक विकृति का परिचय देता है जिसमें गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की सीधी रेखाओं को यूक्लिडियन वक्रों द्वारा दर्शाया जाता है जो दृष्टिगत रूप से झुकते हैं। यह झुकाव गैर-यूक्लिडियन रेखाओं की संपत्ति नहीं है, केवल जिस तरह से उनका प्रतिनिधित्व किया जाता है उसका एक आर्टिफिस है।

त्रि-आयामी गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति
तीन आयामों में, ज्यामिति के आठ मॉडल होते हैं। यूक्लिडियन, अण्डाकार और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति हैं, जैसा कि द्वि-आयामी मामले में है; मिश्रित ज्यामिति जो आंशिक रूप से यूक्लिडियन और आंशिक रूप से अतिपरवलयिक या गोलाकार हैं; मिश्रित ज्यामिति के मुड़ संस्करण; और एक असामान्य ज्यामिति जो पूरी तरह से असमदिग्वर्ती होने की दशा है (अर्थात हर दिशा अलग तरह से व्यवहार करती है)।

असामान्य गुण
यूक्लिडियन और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में स्वाभाविक रूप से कई समान गुण होते हैं, अर्थात् वे जो समानता की प्रकृति पर निर्भर नहीं होते हैं। यह समानता पूर्ण ज्यामिति (जिसे तटस्थ ज्यामिति भी कहा जाता है) का विषय है। हालांकि, गुण जो एक ज्यामिति को दूसरों से अलग करते हैं, ने ऐतिहासिक रूप से सबसे अधिक ध्यान आकर्षित किया है।

सामान्य लंब के संबंध में रेखाओं के व्यवहार के अलावा, जिसका उल्लेख प्रस्तावना में किया गया है, हमारे पास निम्नलिखित भी हैं:
 * लैम्बर्ट चतुर्भुज तीन समकोणों वाला चतुर्भुज होता है। लैम्बर्ट चतुर्भुज का चौथा कोण तीव्र कोण है यदि ज्यामिति अतिशयोक्तिपूर्ण है, एक समकोण यदि ज्यामिति यूक्लिडियन है या अधिक कोण है यदि ज्यामिति दीर्घवृत्तीय है। नतीजतन, केवल यूक्लिडियन ज्यामिति में आयत मौजूद हैं (समानांतर अवधारणा के बराबर एक बयान)।
 * सैचेरी चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज होता है जिसकी दो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं, दोनों एक भुजा के लम्बवत् होती हैं जिसे आधार कहा जाता है। सैचेरी चतुर्भुज के अन्य दो कोण शिखर कोण कहलाते हैं और उनका माप समान होता है। यदि ज्यामिति अतिशयोक्तिपूर्ण है, तो साचेरी चतुर्भुज के शिखर कोण तीव्र होते हैं, यदि ज्यामिति यूक्लिडियन है तो समकोण और यदि ज्यामिति दीर्घवृत्तीय है तो अधिक कोण होते हैं।
 * किसी भी त्रिभुज के कोणों के माप का योग 180° से कम होता है यदि ज्यामिति अतिशयोक्तिपूर्ण है, 180° के बराबर है यदि ज्यामिति यूक्लिडियन है, और 180° से अधिक है यदि ज्यामिति दीर्घवृत्ताकार है। त्रिभुज का दोष संख्यात्मक मान (180° - त्रिभुज के कोणों के माप का योग) होता है। इस परिणाम को इस प्रकार भी कहा जा सकता है: अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में त्रिभुजों का दोष धनात्मक होता है, यूक्लिडियन ज्यामिति में त्रिभुजों का दोष शून्य होता है, और अण्डाकार ज्यामिति में त्रिभुजों का दोष ऋणात्मक होता है।

महत्व
Beltrami, Klein, और Poincaré द्वारा एक गैर-यूक्लिडियन विमान के मॉडल प्रस्तुत किए जाने से पहले, यूक्लिडियन ज्यामिति अंतरिक्ष के गणितीय मॉडल के रूप में चुनौतीहीन थी। इसके अलावा, चूंकि सिंथेटिक ज्यामिति में विषय का पदार्थ तर्कसंगतता का एक प्रमुख प्रदर्शन था, यूक्लिडियन दृष्टिकोण पूर्ण अधिकार का प्रतिनिधित्व करता था।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज का एक तरंग प्रभाव था जो गणित और विज्ञान की सीमाओं से बहुत आगे निकल गया। दार्शनिक इम्मैनुएल कांत के मानव ज्ञान के उपचार की ज्यामिति के लिए एक विशेष भूमिका थी। यह सिंथेटिक प्राथमिकता ज्ञान का उनका प्रमुख उदाहरण था; इंद्रियों से नहीं लिया गया है और न ही तर्क के माध्यम से निकाला गया है—अंतरिक्ष के बारे में हमारा ज्ञान एक सच्चाई थी जिसके साथ हम पैदा हुए थे। दुर्भाग्य से कांट के लिए, इस अपरिवर्तनीय सत्य ज्यामिति की उनकी अवधारणा यूक्लिडियन थी। धर्मशास्त्र भी निरपेक्ष सत्य से सापेक्ष सत्य में परिवर्तन से प्रभावित था जिस तरह से गणित अपने आसपास की दुनिया से संबंधित है, जो इस प्रतिमान बदलाव का परिणाम था। गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति विज्ञान के इतिहास में प्रतिमान बदलाव का एक उदाहरण है, जिसमें गणितज्ञों और वैज्ञानिकों ने अपने विषयों को देखने के तरीके को बदल दिया। कुछ ज्यामितिविदों ने लोबचेव्स्की को उनके काम के क्रांतिकारी चरित्र के कारण कोपरनिकस ऑफ ज्योमेट्री कहा। गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के अस्तित्व ने विक्टोरियन इंग्लैंड के बौद्धिक जीवन को कई तरह से प्रभावित किया और विशेष रूप से उन प्रमुख कारकों में से एक था जिसने यूक्लिड के तत्वों पर आधारित ज्यामिति के शिक्षण की पुन: जांच की। इस पाठ्यक्रम के मुद्दे पर उस समय काफी बहस हुई थी और चार्ल्स लुत्विज डोडसन (1832-1898) द्वारा लिखी गई एक किताब, यूक्लिड और उनके आधुनिक प्रतिद्वंद्वियों का विषय भी था, जिसे लुईस कैरोल के नाम से जाना जाता है, जो ऐलिस एडवेंचर्स इन वंडरलैंड के लेखक हैं।

समतल बीजगणित
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में एक समतल (ज्यामिति) कार्तीय निर्देशांकों के साथ वर्णित है: C = { (x,y): x, y ℝ }। बिंदु (ज्यामिति) को कभी-कभी सम्मिश्र संख्याओं से पहचाना जाता है $z = x + y ε$ जहां ई2 ∈ { -1, 0, 1}।

यूक्लिडियन विमान मामले से मेल खाता है $ε^{2} = &minus;1$ के मापांक के बाद से $z$ द्वारा दिया गया है
 * $$z z^\ast = (x + y \epsilon) (x - y \epsilon) = x^2 + y^2$$

और यह मात्रा यूक्लिडियन दूरी का वर्ग है $z$ और उत्पत्ति। उदाहरण के लिए, ${z | z z* = 1}$ इकाई वृत्त है।

प्लानर बीजगणित के लिए, अन्य मामलों में गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति उत्पन्न होती है। कब $ε^{2} = +1$, फिर $z$ एक विभाजित-जटिल संख्या है और पारंपरिक रूप से $j$ एप्सिलॉन की जगह लेता है। फिर
 * $$z z^\ast = (x + y\mathbf{j}) (x - y\mathbf{j}) = x^2 - y^2 \!$$

तथा ${z | z z* = 1}$ इकाई अतिपरवलय है।

कब $ε^{2} = 0$, फिर $z$ एक दोहरी संख्या है। गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए यह दृष्टिकोण गैर-यूक्लिडियन कोणों की व्याख्या करता है: दोहरी संख्या के विमान में ढलान के पैरामीटर और विभाजन-जटिल विमान में अतिशयोक्तिपूर्ण कोण यूक्लिडियन ज्यामिति के कोण के अनुरूप होते हैं। वास्तव में, वे प्रत्येक एक जटिल संख्या के ध्रुवीय अपघटन#वैकल्पिक समतलीय अपघटन में उत्पन्न होते हैं $z$.

किनेमेटिक ज्यामिति
1908 में हरमन मिन्कोव्स्की द्वारा पेश किए गए भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान के साथ हाइपरबोलिक ज्यामिति को गतिकी में एक आवेदन मिला। मिन्कोव्स्की ने गणितीय भौतिकी में विश्व रेखा और उचित समय जैसे शब्दों की शुरुआत की। उन्होंने महसूस किया कि घटनाओं का सबमेनिफोल्ड, भविष्य में उचित समय का एक पल, तीन आयामों का एक अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान माना जा सकता है। पहले से ही 1890 के दशक में अलेक्जेंडर मैकफर्लेन अपने अलेक्जेंडर मैकफर्लेन#एलजेब्रा ऑफ फिजिक्स और अतिशयोक्तिपूर्ण चतुष्कोण के माध्यम से इस सबमेनिफोल्ड को चार्ट कर रहे थे, हालांकि मैकफर्लेन ने कॉस्मोलॉजिकल भाषा का उपयोग नहीं किया जैसा कि मिंकोव्स्की ने 1908 में किया था। प्रासंगिक संरचना को अब हाइपरबोलिक ज्यामिति का हाइपरबोलाइड मॉडल कहा जाता है।

गैर-यूक्लिडियन प्लानर बीजगणित विमान में गतिज ज्यामिति का समर्थन करते हैं। उदाहरण के लिए, विभाजित-जटिल संख्या z = eaj तीव्रता के संदर्भ के एक फ्रेम के भविष्य में एक क्षण में एक स्पेसटाइम घटना का प्रतिनिधित्व कर सकता है। इसके अलावा, z द्वारा गुणा एक लोरेंत्ज़ बूस्ट मैपिंग को तेज़ी शून्य के साथ रैपिडिटी a के साथ करता है।

काइनेमैटिक अध्ययन दोहरी संख्याओं का उपयोग करता है $$z = x + y \epsilon, \quad \epsilon^2 = 0,$$ निरपेक्ष समय और स्थान में गति के शास्त्रीय विवरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए: समीकरण $$x^\prime = x + vt,\quad t^\prime = t$$ रैखिक बीजगणित में कतरनी मानचित्रण के बराबर हैं:
 * $$\begin{pmatrix}x' \\ t' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ t \end{pmatrix}.$$

दोहरी संख्या के साथ मानचित्रण है $$t^\prime + x^\prime \epsilon = (1 + v \epsilon)(t + x \epsilon) = t + (x + vt)\epsilon.$$ गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के रूप में विशेष आपेक्षिकता का एक अन्य दृष्टिकोण एडविन बिडवेल विल्सन|ई द्वारा विकसित किया गया था। 1912 में कला और विज्ञान की अमेरिकी अकादमी की कार्यवाही में बी. विल्सन और गिल्बर्ट एन. लुईस। उन्होंने परिसर और कटौती के सिंथेटिक ज्यामिति में विभाजन-जटिल संख्या बीजगणित में निहित विश्लेषणात्मक ज्यामिति को नया रूप दिया।

फिक्शन
गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति अक्सर विज्ञान कथा और फंतासी के कार्यों में प्रकट होती है।


 * 1895 में, एच. जी. वेल्स ने लघु कहानी द रिमार्केबल केस ऑफ़ डेविडसन आइज़ प्रकाशित की। इस कहानी की सराहना करने के लिए किसी को यह जानना चाहिए कि दीर्घवृत्त तल के एक मॉडल में एक गोले पर एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान कैसे की जाती है। कहानी में, आंधी के बीच में, हार्लो टेक्निकल कॉलेज में एक विद्युत प्रयोगशाला में काम करते समय सिडनी डेविडसन लहरों और एक उल्लेखनीय स्वच्छ स्कूनर को देखता है। कहानी के अंत में, डेविडसन ने एच. एम.एस. एंटीपोड्स द्वीप से फुलमार।
 * गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति को कभी-कभी 20वीं सदी के डरावनी [[कल्पना]] लेखक एच.पी. लवक्राफ्ट के प्रभाव से जोड़ा जाता है। उनके कार्यों में, कई अप्राकृतिक चीजें ज्यामिति के अपने स्वयं के अनूठे नियमों का पालन करती हैं: लवक्राफ्ट के Cthulhu Mythos में, R'lyeh के डूबे हुए शहर की विशेषता इसकी गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति है। यह काफी हद तक निहित है कि यह केवल एक वैकल्पिक ज्यामितीय मॉडल का उपयोग करने के बजाय इस ब्रह्मांड के प्राकृतिक नियमों का पालन न करने के एक साइड इफेक्ट के रूप में प्राप्त किया जाता है, क्योंकि इसके बारे में कहा जाता है कि यह उन लोगों को ड्राइव करने में सक्षम है जो इसे पागल मानते हैं।
 * रॉबर्ट पिर्सिग ज़ेन और मोटरसाइकिल रखरखाव की कला में मुख्य पात्र ने कई अवसरों पर रीमैनियन ज्यामिति का उल्लेख किया।
 * द ब्रदर्स करमाज़ोव में, दोस्तोवस्की अपने चरित्र इवान के माध्यम से गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति पर चर्चा करते हैं।
 * क्रिस्टोफर प्रीस्ट के उपन्यास उलटी दुनिया में घूमते हुए छद्ममंडल के रूप में एक ग्रह पर रहने के संघर्ष का वर्णन है।
 * रॉबर्ट हेनलीन की द नंबर ऑफ द बीस्ट (उपन्यास) अंतरिक्ष और समय के माध्यम से और समानांतर और काल्पनिक ब्रह्मांडों के बीच तात्कालिक परिवहन की व्याख्या करने के लिए गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति का उपयोग करता है।
 * Zeno Rogue's HyperRogue अतिशयोक्तिपूर्ण विमान पर सेट किया गया एक रॉगुलाइक गेम है, जिससे खिलाड़ी को इस ज्यामिति के कई गुणों का अनुभव करने की अनुमति मिलती है। कई यांत्रिकी, खोज और स्थान अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति की विशेषताओं पर दृढ़ता से निर्भर हैं।
 * एफएएसए के वारगेम (वीडियो गेम), भूमिका निभाने वाला खेल और फिक्शन के लिए पाखण्डी सेना साइंस फिक्शन सेटिंग में, हसिह हो की पॉलीडायमेंशनल नॉन-यूक्लिडियन ज्योमेट्री के उपयोग के माध्यम से तेज-से-प्रकाश यात्रा और संचार संभव है, जो कुछ समय में प्रकाशित हुआ था। 22वीं शताब्दी के मध्य में।
 * इयान स्टीवर्ट (गणितज्ञ) में | इयान स्टीवर्ट के फ्लैटरलैंड में नायक विक्टोरिया लाइन सभी प्रकार के गैर-यूक्लिडियन दुनिया का दौरा करती है।

यह भी देखें

 * अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान
 * लेनर्ट क्षेत्र
 * प्रोजेक्टिव ज्यामिति
 * गैर-यूक्लिडियन सतह विकास

संदर्भ

 * , (2012) Notes on hyperbolic geometry, in: Strasbourg Master class on Geometry, pp. 1–182, IRMA Lectures in Mathematics and Theoretical Physics,  Vol. 18,  Zürich: European Mathematical Society (EMS), 461 pages, ISBN 978-3-03719-105-7, 10.4171/105.
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 * Stewart, Ian (2001) Flatterland, New York: Perseus Publishing ISBN 0-7382-0675-X (softcover)
 * John Stillwell (1996) Sources of Hyperbolic Geometry, American Mathematical Society ISBN 0-8218-0529-0.
 * A. Papadopoulos et Guillaume Théret (2014) La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert, (Critical edition of Lambert's memoir with a French translation, with historical and mathematical notes and commentaries éd. Blanchard, coll. Sciences dans l'Histoire, Paris ISBN 978-2-85367-266-5
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बाहरी संबंध



 * Roberto Bonola (1912) Non-Euclidean Geometry, Open Court, Chicago.
 * MacTutor Archive article on non-Euclidean geometry
 * Non-Euclidean geometries from Encyclopedia of Math of European Mathematical Society and Springer Science+Business Media
 * Synthetic Spacetime, a digest of the axioms used, and theorems proved, by Wilson and Lewis. Archived by WebCite.
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