डार्सी घर्षण कारक सूत्र

द्रव गतिकी में, डार्सी घर्षण कारक सूत्र ऐसे समीकरण हैं जो डार्सी घर्षण कारक की गणना की अनुमति देते हैं, जो पाइप प्रवाह के साथ-साथ खुले-चैनल प्रवाह में घर्षण हानि के विवरण के लिए डार्सी-वेसबैक समीकरण में उपयोग की जाने वाली आयामहीन मात्रा है।

डार्सी घर्षण कारक को डार्सी-वेस्बैक घर्षण कारक, प्रतिरोध गुणांक या बस घर्षण कारक के रूप में भी जाना जाता है; परिभाषा के अनुसार यह फैनिंग घर्षण कारक से चार गुना बड़ा है।

नोटेशन
इस लेख में, निम्नलिखित सम्मेलनों और परिभाषाओं को समझना होगा:
 * रेनॉल्ड्स संख्या Re को Re = V D / ν माना जाता है, जहां V द्रव प्रवाह का औसत वेग है, D पाइप का व्यास है, और जहां ν गतिक चिपचिपाहट μ / ρ है, μ द्रव की गतिशील चिपचिपाहट है, और ρ द्रव का घनत्व है।
 * पाइप की सापेक्ष सतह खुरदरापन ε / D, जहां ε पाइप की प्रभावी खुरदरापन ऊंचाई है और D पाइप (अंदर) व्यास है।
 * एफ का मतलब डार्सी घर्षण कारक है। इसका मान प्रवाह के रेनॉल्ड्स संख्या Re और पाइप की सापेक्ष खुरदरापन ε / D पर निर्भर करता है।
 * लॉग फ़ंक्शन को आधार-10 समझा जाता है (जैसा कि इंजीनियरिंग क्षेत्रों में प्रथागत है): यदि x = लॉग(y), तो y = 10x.
 * ln फ़ंक्शन को आधार-ई समझा जाता है: यदि x = ln(y), तो y = ex.

प्रवाह व्यवस्था
कौन सा घर्षण कारक सूत्र लागू हो सकता है यह मौजूदा प्रवाह के प्रकार पर निर्भर करता है:
 * लामिना का प्रवाह
 * लैमिनर और अशांत प्रवाह के बीच संक्रमण
 * चिकनी नाली में पूरी तरह से अशांत प्रवाह
 * उबड़-खाबड़ नाली में पूरी तरह से अशांत प्रवाह
 * मुक्त सतह प्रवाह.

संक्रमण प्रवाह
संक्रमण (न तो पूरी तरह से लामिना और न ही पूरी तरह से अशांत) प्रवाह 2300 और 4000 के बीच रेनॉल्ड्स संख्या की सीमा में होता है। डार्सी घर्षण कारक का मूल्य इस प्रवाह शासन में बड़ी अनिश्चितताओं के अधीन है।

चिकनी नलिकाओं में अशांत प्रवाह
डार्सी घर्षण की गणना के लिए ब्लैसियस सहसंबंध सबसे सरल समीकरण है कारक। क्योंकि ब्लैसियस सहसंबंध में पाइप खुरदरापन के लिए कोई शब्द नहीं है, यह केवल चिकने पाइपों के लिए मान्य है। हालाँकि, ब्लैसियस सहसंबंध कभी-कभी होता है इसकी सरलता के कारण इसका उपयोग खुरदरे पाइपों में किया जाता है। ब्लैसियस सहसंबंध मान्य है रेनॉल्ड्स संख्या 100000 तक.

उबड़-खाबड़ नाली में अशांत प्रवाह
किसी न किसी नाली में पूरी तरह से अशांत प्रवाह (रेनॉल्ड्स संख्या 4000 से अधिक) के लिए डार्सी घर्षण कारक को कोलेब्रुक-व्हाइट समीकरण द्वारा मॉडल किया जा सकता है।

मुक्त सतह प्रवाह
इस आलेख के कोलब्रुक समीकरण अनुभाग में अंतिम सूत्र मुक्त सतह प्रवाह के लिए है। इस आलेख में अन्यत्र अनुमान इस प्रकार के प्रवाह के लिए लागू नहीं हैं।

सूत्र चुनना
फॉर्मूला चुनने से पहले यह जानना जरूरी है कि मूडी चार्ट पर पेपर में मूडी ने बताया कि चिकने पाइपों के लिए सटीकता लगभग ±5% और खुरदरे पाइपों के लिए ±10% है। यदि विचाराधीन प्रवाह व्यवस्था में से अधिक सूत्र लागू होते हैं, तो सूत्र का चुनाव निम्नलिखित में से या अधिक से प्रभावित हो सकता है:
 * आवश्यक सटीकता
 * गणना की गति आवश्यक
 * उपलब्ध कम्प्यूटेशनल तकनीक:
 * कैलकुलेटर (कीस्ट्रोक कम से कम करें)
 * स्प्रेडशीट (एकल-कोशिका सूत्र)
 * प्रोग्रामिंग/स्क्रिप्टिंग भाषा (सबरूटीन)।

कोलब्रुक-श्वेत समीकरण
घटनात्मक कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण (या कोलब्रुक समीकरण) डार्सी घर्षण कारक एफ को रेनॉल्ड्स संख्या रे और पाइप सापेक्ष खुरदरापन ε / डी के फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त करता है।h, चिकने और खुरदरे पाइप (सामग्री) में अशांत प्रवाह के प्रायोगिक अध्ययन के डेटा को फिट करना।

समीकरण का उपयोग (पुनरावृत्त रूप से) डार्सी-वेस्बैक समीकरण को हल करने के लिए किया जा सकता है|डार्सी-वेस्बैक घर्षण कारक एफ।

4000 से अधिक रेनॉल्ड्स संख्या पर पूरी तरह से तरल पदार्थ से भरी हुई बहने वाली नाली के लिए, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:


 * $$ \frac{1}{\sqrt{f}}= -2 \log \left( \frac { \varepsilon} {3.7 D_\mathrm{h}} + \frac {2.51} {\mathrm{Re} \sqrt{f}} \right)$$

या


 * $$ \frac{1}{\sqrt{f}}= -2 \log \left( \frac{\varepsilon}{14.8 R_\mathrm{h}} + \frac{2.51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}} \right)$$

कहाँ:


 * हाइड्रोलिक व्यास, $$D_\mathrm{h}$$ (एम, फीट) - द्रव से भरे, गोलाकार नलिकाओं के लिए, $$D_\mathrm{h}$$ = डी = आंतरिक व्यास
 * हाइड्रोलिक त्रिज्या, $$R_\mathrm{h}$$ (एम, फीट) - द्रव से भरे, गोलाकार नलिकाओं के लिए, $$R_\mathrm{h}$$ = डी/4 = (अंदर का व्यास)/4

नोट: कुछ स्रोत उपरोक्त पहले समीकरण में खुरदरापन पद के लिए हर में 3.71 के स्थिरांक का उपयोग करते हैं।

समाधान
कोलब्रुक समीकरण को इसकी अंतर्निहित प्रकृति के कारण आमतौर पर संख्यात्मक रूप से हल किया जाता है। हाल ही में, लैम्बर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन को कोलब्रुक समीकरण का स्पष्ट पुनर्रचना प्राप्त करने के लिए नियोजित किया गया है।

$$x=\frac{1}{\sqrt{f}}, b=\frac{\varepsilon}{14.8R_h},  a= \frac{2.51}{Re} $$

$$ x=-2\log(ax+b) $$

या

$$ 10^{-\frac{x}{2}}= ax+b $$

$$ p=10^{-\frac{1}{2}} $$

लाऊंगा:
 * $$ p^x = ax + b $$
 * $$ x = -\frac{W\left(-\frac{\ln p}{a}\,p^{-\frac{b}{a}}\right)}{\ln p} - \frac{b}{a} $$

तब:


 * $$ f = \frac{1}{\left(\dfrac{2W\left(\frac{\ln 10}{2a}\,10^{\frac{b}{2a}}\right)}{\ln 10} - \dfrac{b}{a}\right)^2} $$

विस्तृत रूप
इसके अलावा, कोलब्रुक समीकरण के गणितीय रूप से समतुल्य रूप हैं:
 * $$ \frac{1}{\sqrt{f}}= 1.7384\ldots -2 \log \left( \frac { 2 \varepsilon} {D_\mathrm{h}} + \frac {18.574} {\mathrm{Re} \sqrt{f}} \right)$$
 * कहाँ:
 * 1.7384... = 2 लॉग (2 × 3.7) = 2 लॉग (7.4)
 * 18.574 = 2.51 × 3.7 × 2

और
 * $$ \frac{1}{\sqrt{f}}= 1.1364\ldots + 2 \log\left (D_\mathrm{h} / \varepsilon\right) -2 \log \left( 1 + \frac { 9.287} {\mathrm{Re} (\varepsilon/D_\mathrm{h}) \sqrt{f}} \right)$$
 * या
 * $$ \frac{1}{\sqrt{f}}= 1.1364\ldots -2 \log \left( \frac {\varepsilon}{D_\mathrm{h}} + \frac {9.287} {\mathrm{Re} \sqrt{f}} \right) $$
 * कहाँ:
 * 1.1364... = 1.7384... - 2 लॉग (2) = 2 लॉग (7.4) - 2 लॉग (2) = 2 लॉग (3.7)
 * 9.287 = 18.574/2 = 2.51 × 3.7.

उपरोक्त अतिरिक्त समतुल्य प्रपत्र मानते हैं कि इस खंड के शीर्ष पर सूत्र में स्थिरांक 3.7 और 2.51 सटीक हैं। स्थिरांक संभवतः वे मान हैं जिन्हें कोलब्रुक ने अपनी वक्र फिटिंग के दौरान पूर्णांकित किया था; लेकिन कोलब्रुक के अंतर्निहित समीकरण के माध्यम से गणना किए गए घर्षण कारक के साथ स्पष्ट सूत्रों (जैसे कि इस लेख में कहीं और पाए गए) के परिणामों की तुलना (कई दशमलव स्थानों पर) करने पर उन्हें प्रभावी रूप से सटीक माना जाता है।

उपरोक्त अतिरिक्त रूपों के समान समीकरण (स्थिरांक को कम दशमलव स्थानों तक पूर्णांकित किया गया है, या समग्र पूर्णांकन त्रुटियों को कम करने के लिए शायद थोड़ा स्थानांतरित किया गया है) विभिन्न संदर्भों में पाए जा सकते हैं। यह ध्यान रखना उपयोगी हो सकता है कि वे मूलतः ही समीकरण हैं।

मुक्त सतह प्रवाह
कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण का दूसरा रूप मुक्त सतहों के लिए मौजूद है। ऐसी स्थिति उस पाइप में हो सकती है जो आंशिक रूप से तरल पदार्थ से भरा हुआ बह रहा हो। मुक्त सतह प्रवाह के लिए:
 * $$\frac{1}{\sqrt{f}} = -2 \log \left(\frac{\varepsilon}{12R_\mathrm{h}} + \frac{2.51}{\mathrm{Re}\sqrt{f}}\right).$$

उपरोक्त समीकरण केवल अशांत प्रवाह के लिए मान्य है। मुक्त सतह प्रवाह में एफ का आकलन करने के लिए और दृष्टिकोण, जो सभी प्रवाह व्यवस्थाओं (लैमिनर, संक्रमण और अशांत) के तहत मान्य है, निम्नलिखित है:

$$f=\left ( \frac{24}{Re_h} \right ) \left [ \frac{0.86e^{W(1.35Re_h)}} {Re_h} \right ]^{2(1-a)b} \left \{ \frac{1.34}{\left [ \ln{12.21\left ( \frac{R_h}{\epsilon} \right )} \right ]^2} \right \}^{(1-a)(1-b)} $$

a कहां है:

$$a= \frac{1}{1+\left ( \frac{Re_h}{678} \right )^{8.4}} $$

और बी है:

$$b=\frac{1}{1+\left ( \frac{Re_h}{150\left ( \frac{R_h}{\epsilon} \right )} \right )^{1.8}} $$

जहां रेhरेनॉल्ड्स संख्या है जहां h विशेषता हाइड्रोलिक लंबाई है (1D प्रवाह के लिए हाइड्रोलिक त्रिज्या या 2D प्रवाह के लिए पानी की गहराई) और Rhहाइड्रोलिक त्रिज्या (1डी प्रवाह के लिए) या पानी की गहराई (2डी प्रवाह के लिए) है। लैम्बर्ट डब्ल्यू फ़ंक्शन की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

$$W(1.35Re_h)=\ln{1.35Re_h}-\ln{\ln{1.35Re_h}}+\left ( \frac{\ln{\ln{1.35Re_h}}}{\ln{1.35Re_h}} \right )+ \left ( \frac{\ln{[\ln{1.35Re_h}]^2-2\ln{\ln{1.35Re_h}}}}{2[\ln{1.35Re_h}]^2} \right ) $$

समीकरण बताएं
हालैंड समीकरण 1983 में प्रोफेसर एस.ई. द्वारा प्रस्तावित किया गया था। नॉर्वेजियन यूनिवर्सिटी ऑफ साइंस एंड टेक्नोलॉजी के हालैंड। इसका उपयोग पूर्ण-प्रवाहित गोलाकार पाइप के लिए डार्सी-वेस्बैक समीकरण|डार्सी-वेस्बैक घर्षण कारक एफ को सीधे हल करने के लिए किया जाता है। यह अंतर्निहित कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण का अनुमान है, लेकिन प्रायोगिक डेटा से विसंगति डेटा की सटीकता के भीतर है।

हालैंड समीकरण व्यक्त किया गया है:
 * $$ \frac{1}{\sqrt {f}} = -1.8 \log \left[ \left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} \right)^{1.11} + \frac{6.9}{\mathrm{Re}} \right] $$

स्वामी-जैन समीकरण
स्वामी-जैन समीकरण का उपयोग पूर्ण-प्रवाहित गोलाकार पाइप के लिए डार्सी-वेस्बैक समीकरण | डार्सी-वेस्बैक घर्षण कारक एफ को सीधे हल करने के लिए किया जाता है। यह अंतर्निहित कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण का अनुमान है।
 * $$ f = \frac{0.25}{\left[\log\left (\frac{\varepsilon/D}{3.7} + \frac{5.74}{\mathrm{Re}^{0.9}}\right)\right]^2}$$

सेरघाइड्स समाधान
सेरघाइड्स के समाधान का उपयोग पूर्ण-प्रवाह वाले गोलाकार पाइप के लिए सीधे डार्सी-वेस्बैक समीकरण | डार्सी-वेस्बैक घर्षण कारक एफ को हल करने के लिए किया जाता है। यह अंतर्निहित कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण का अनुमान है। इसे स्टीफ़ेंसन विधि का उपयोग करके प्राप्त किया गया था।

समाधान में तीन मध्यवर्ती मानों की गणना करना और फिर उन मानों को अंतिम समीकरण में प्रतिस्थापित करना शामिल है।


 * $$ A = -2\log\left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} + {12\over \mathrm{Re}}\right) $$
 * $$ B = -2\log \left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + {2.51 A \over \mathrm{Re}}\right) $$
 * $$ C = -2\log \left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + {2.51 B \over \mathrm{Re}}\right) $$
 * $$ \frac{1}{\sqrt{f}} = A - \frac{(B - A)^2}{C - 2B + A} $$

सात रेनॉल्ड्स संख्याओं (2500 से 10) द्वारा दस सापेक्ष खुरदरापन मान (0.00004 से 0.05 की सीमा में) वाले 70-बिंदु मैट्रिक्स वाले परीक्षण सेट के लिए समीकरण 0.0023% के भीतर कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण से मेल खाता हुआ पाया गया।8).

गौदर-सोनाड समीकरण
डार्सी-वीसबैक समीकरण के लिए सीधे हल करने के लिए गौडर समीकरण सबसे सटीक अनुमान है | पूर्ण-प्रवाह वाले गोलाकार पाइप के लिए डार्सी-वीसबैक घर्षण कारक एफ। यह अंतर्निहित कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण का अनुमान है। समीकरण का निम्न रूप है
 * $$ a = {2 \over \ln(10)}$$
 * $$ b = \frac{\varepsilon/D}{3.7} $$
 * $$ d = {\ln(10)\mathrm{Re}\over 5.02} $$
 * $$ s = {bd + \ln(d)} $$
 * $$ q = {{s}^{s/(s+1)}} $$
 * $$ g = {bd + \ln{d \over q}} $$
 * $$ z = {\ln{q \over g}} $$
 * $$ D_{LA} = z $$
 * $$ D_{CFA} = D_{LA} \left(1 + \frac{z/2}{(g+1)^2+(z/3)(2g-1)}\right) $$
 * $$   \frac{1}{\sqrt {f}} = {a\left[ \ln\left( d / q \right) + D_{CFA} \right] } $$

ब्रिक समाधान
ब्रिक लैम्बर्ट डब्ल्यू-फ़ंक्शन के आधार पर कोलब्रुक समीकरण का अनुमान दिखाता है
 * $$ S = \ln\frac{\mathrm{Re}}{\mathrm{1.816\ln\frac{1.1\mathrm{Re}}{ \ln\left( 1+1.1\mathrm{Re} \right) }}}$$
 * $$ \frac{1}{\sqrt {f}} = -2\log \left(\frac{\varepsilon/D}{3.71} + {2.18 S \over \mathrm{Re}}\right) $$

यह समीकरण 3.15% के भीतर कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण से मेल खाता हुआ पाया गया।

ब्रिकिक-प्रैक्स समाधान
ब्रिकिक और प्रैक्स राइट पर आधारित कोलब्रुक समीकरण का अनुमान दिखाते हैं $$\omega$$-फ़ंक्शन, लैम्बर्ट डब्ल्यू-फ़ंक्शन का संज्ञेय
 * $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f}}\approx 0.8686\cdot \left[ B-C+\displaystyle\frac{1.038\cdot C}{\mathrm{0.332+}\,x}\right] \,$
 * $A\approx \displaystyle \frac{Re\cdot \epsilon/D }{8.0884}$, $B\approx \mathrm{ln}\,\left( Re\right) -0.7794$ , $C=$ $$\mathrm{ln}\,\left( x\right)$$, और $x=A+B$

यह समीकरण 0.0497% के भीतर कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण से मेल खाता हुआ पाया गया।

प्रैक्स-ब्रिक समाधान
प्रैक्स और ब्रिक राइट पर आधारित कोलब्रुक समीकरण का अनुमान दिखाते हैं $$\omega$$-फ़ंक्शन, लैम्बर्ट डब्ल्यू-फ़ंक्शन का संज्ञेय
 * $\displaystyle\frac{1}{\sqrt{f}}\approx 0.8685972\cdot \left[ B-C+\displaystyle\frac{C}{x-0.5588\cdot C+1.2079}\, \right]$
 * $A\approx \displaystyle \frac{Re\cdot \epsilon/D }{8.0897}$, $B\approx \mathrm{ln}\,\left( Re\right) -0.779626$ , $C=$ $$\mathrm{ln}\,\left( x\right)$$, और $x=A+B$

यह समीकरण 0.0012% के भीतर कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण से मेल खाता हुआ पाया गया।

नियाज़कर का समाधान
चूंकि सेरघाइड्स का समाधान अंतर्निहित कोलब्रुक-व्हाइट समीकरण के सबसे सटीक अनुमानों में से पाया गया था, नियाज़कर ने पूर्ण-प्रवाह वाले गोलाकार पाइप के लिए सीधे डार्सी-वीसबैक समीकरण | डार्सी-वीसबैक घर्षण कारक एफ को हल करने के लिए सेरघाइड्स के समाधान को संशोधित किया। <रेफ नाम = माजिद 2019 4311-4326 >

नियाज़कर का समाधान निम्नलिखित में दिखाया गया है:


 * $$ A = -2\log\left( \frac{\varepsilon/D}{3.7} + {4.5547\over \mathrm{Re^{0.8784}}}\right) $$
 * $$ B = -2\log \left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + {2.51 A \over \mathrm{Re}}\right) $$
 * $$ C = -2\log \left(\frac{\varepsilon/D}{3.7} + {2.51 B \over \mathrm{Re}}\right) $$
 * $$ \frac{1}{\sqrt{f}} = A - \frac{(B - A)^2}{C - 2B + A} $$

कोलब्रुक घर्षण कारक का अनुमान लगाने के लिए 42 अलग-अलग स्पष्ट समीकरणों के बीच साहित्य में किए गए तुलनात्मक विश्लेषण के आधार पर नियाज़कर का समाधान सबसे सटीक सहसंबंध पाया गया।

ब्लासियस सहसंबंध
चिकने पाइपों के लिए प्रारंभिक अनुमान पॉल रिचर्ड हेनरिक ब्लेज़ द्वारा डार्सी-वीस्बैक घर्षण कारक के संदर्भ में 1913 के लेख में दिए गए हैं:
 * $$f = 0.3164 \mathrm{Re}^{-{1 \over 4}}$$.

1932 में जोहान निकुराडसे ने प्रस्तावित किया कि यह द्रव वेग प्रोफ़ाइल के लिए शक्ति कानून सहसंबंध से मेल खाता है।

मिश्रा और गुप्ता ने 1979 में समतुल्य वक्र त्रिज्या, आर को ध्यान में रखते हुए घुमावदार या हेलिकली कुंडलित ट्यूबों के लिए सुधार का प्रस्ताव रखा।c:
 * $$f = 0.316 \mathrm{Re}^{-{1 \over 4}} + 0.0075\sqrt{\frac {D}{2 R_c}}$$,

साथ,
 * $$R_c = R\left[1 + \left(\frac{H}{2 \pi R} \right)^2\right]$$

जहां f इसका कार्य है:
 * पाइप व्यास, डी (एम, फीट)
 * वक्र त्रिज्या, आर (एम, फीट)
 * हेलिकॉइडल पिच, एच (एम, फीट)
 * रेनॉल्ड्स संख्या, पुनः (आयाम रहित)

के लिए मान्य:
 * दोबाराtr<रे <105
 * 6.7 <2आरc/डी <346.0
 * 0 <एच/डी <25.4

अनुमानों की तालिका
निम्नलिखित तालिका कोलब्रुक-व्हाइट संबंध के ऐतिहासिक अनुमानों को सूचीबद्ध करती है दबाव चालित प्रवाह के लिए. चर्चिल समीकरण (1977) एकमात्र समीकरण है जिसका मूल्यांकन बहुत धीमे प्रवाह (रेनॉल्ड्स संख्या <1) के लिए किया जा सकता है, लेकिन चेंग (2008), और बेलोस एट अल। (2018) समीकरण लैमिनर प्रवाह क्षेत्र (रेनॉल्ड्स संख्या <2300) में घर्षण कारक के लिए लगभग सही मान भी लौटाते हैं। अन्य सभी केवल संक्रमणकालीन और अशांत प्रवाह के लिए हैं।

अग्रिम पठन

 * Brkić, Dejan; Praks, Pavel (2019). "Accurate and efficient explicit approximations of the Colebrook flow friction equation based on the Wright ω-function". Mathematics 7 (1): article 34. https://doi.org/10.3390/math7010034. ISSN 2227-7390
 * Praks, Pavel; Brkić, Dejan (2020). "Review of new flow friction equations: Constructing Colebrook’s explicit correlations accurately". Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería 36 (3): article 41. https://doi.org/10.23967/j.rimni.2020.09.001. ISSN 1886-158X (online version) - ISSN 0213-1315 (printed version)
 * Brkić, Dejan; Praks, Pavel (2019). "Accurate and efficient explicit approximations of the Colebrook flow friction equation based on the Wright ω-function". Mathematics 7 (1): article 34. https://doi.org/10.3390/math7010034. ISSN 2227-7390
 * Praks, Pavel; Brkić, Dejan (2020). "Review of new flow friction equations: Constructing Colebrook’s explicit correlations accurately". Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería 36 (3): article 41. https://doi.org/10.23967/j.rimni.2020.09.001. ISSN 1886-158X (online version) - ISSN 0213-1315 (printed version)
 * Brkić, Dejan; Praks, Pavel (2019). "Accurate and efficient explicit approximations of the Colebrook flow friction equation based on the Wright ω-function". Mathematics 7 (1): article 34. https://doi.org/10.3390/math7010034. ISSN 2227-7390
 * Praks, Pavel; Brkić, Dejan (2020). "Review of new flow friction equations: Constructing Colebrook’s explicit correlations accurately". Revista Internacional de Métodos Numéricos para Cálculo y Diseño en Ingeniería 36 (3): article 41. https://doi.org/10.23967/j.rimni.2020.09.001. ISSN 1886-158X (online version) - ISSN 0213-1315 (printed version)

बाहरी संबंध

 * Web-based calculator of Darcy friction factors by Serghides' solution.
 * Open source pipe friction calculator.

Équation de Darcy-Weisbach Equazione di Colebrook Equações explícitas para o fator de atrito de Darcy-Weisbach