न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत)

क्षेत्र सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, क्षेत्र विस्तार के एक तत्व α का न्यूनतम बहुपद, मोटे तौर पर क्षेत्र में गुणांक वाले सबसे कम डिग्री का बहुपद है, जैसे कि α बहुपद का आधार है। यदि α का न्यूनतम बहुपद मौजूद है, तो यह अद्वितीय है। बहुपद में उच्चतम घात पद का गुणांक 1 होना आवश्यक है।

औपचारिक रूप से, एक न्यूनतम बहुपद को क्षेत्र विस्तार E/F और विस्तार क्षेत्र E/F के एक तत्व के सापेक्ष परिभाषित किया जाता है। किसी तत्व का न्यूनतम बहुपद, यदि वह मौजूद है, F [x] का एक सदस्य है, चर x में बहुपदों का वृत्त F में गुणांक के साथ है। E के एक तत्व α को देखते हुए, Jα को F[x] में सभी बहुपदों f(x) का समुच्चय होने दें, जैसे कि f(α) = 0. तत्व α को Jα में प्रत्येक बहुपद का मूल या शून्य कहा जाता है

अधिक विशेष रूप से, Jα F [x] से E तक वृत्त समरूपता का आधार है जो बहुपद g को तत्व α पर उनके मान g (α) में भेजता है। क्योंकि यह एक वृत्त समरूपता का आधार है, Jα बहुपद वलय F [x] का एक आदर्श है: यह बहुपद जोड़ और घटाव (इसलिए शून्य बहुपद युक्त) के साथ-साथ F के तत्वों द्वारा गुणन के तहत बंद है (जो अदिश गुणन है यदि F [x] को F पर एक सदिश स्थान माना जाता है)।

शून्य बहुपद, जिसके सभी गुणांक 0 हैं, प्रत्येक Jα में है क्योंकि सभी α और i के लिए 0αi = 0 है। यह α के विभिन्न मानों के प्रकारों में वर्गीकृत करने के लिए शून्य बहुपद को निष्फल बनाता है। यदि Jα में कोई शून्येतर बहुपद हैं, अर्थात यदि उत्तरार्द्ध शून्य आदर्श नहीं है, तो α को F पर एक बीजगणितीय तत्व कहा जाता है और Jα में कम से कम डिग्री का एक मोनिक बहुपद मौजूद है। यह E/F के सन्दर्भ में α का न्यूनतम बहुपद है। यह F पर अद्वितीय और अपरिवर्तनीय है। यदि शून्य बहुपद Jα का एकमात्र सदस्य है, तो α को F पर अनुवांशिक तत्व कहा जाता है और E/F के संबंध में कोई न्यूनतम बहुपद नहीं है।

क्षेत्र विस्तार के निर्माण और विश्लेषण के लिए न्यूनतम बहुपद उपयोगी होते हैं। जब α न्यूनतम बहुपद f(x) के साथ बीजगणितीय होता है, तो सबसे छोटा क्षेत्र जिसमें F और α दोनों सम्मिलित होते हैं, भागफल वलय F[x]/⟨f(x)⟩ के लिए समरूप होता है, जहां ⟨f(x)⟩ का आदर्श है F[x] f(x) द्वारा उत्पन्न। संयुग्मी तत्वों को परिभाषित करने के लिए न्यूनतम बहुपद का भी उपयोग किया जाता है।

परिभाषा
मान लीजिए E/F एक क्षेत्र विस्तार है, α E का एक अवयव है, और F[x] x के ऊपर F में बहुपदों का वलय है। तत्व α का एक न्यूनतम बहुपद होता है जब α F पर बीजगणितीय होता है, अर्थात, जब F[x] में कुछ शून्येतर बहुपद f(x) के लिए f(α) = 0 होता है। तब α के न्यूनतम बहुपद को F [x] में सभी बहुपदों के बीच कम से कम डिग्री के मोनिक बहुपद के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें α एक आधार के रूप में होता है।

गुण
इस पूरे खंड में, मान लीजिए कि E/F उपरोक्त के अनुसार F पर एक क्षेत्र विस्तार है, मान लीजिए α ∈ E, F पर एक बीजगणितीय तत्व है और Jα को α पर लुप्त होने वाले बहुपदों का आदर्श मान लीजिए।

विशिष्टता
α का न्यूनतम बहुपद f अद्वितीय है।

इसे सिद्ध करने के लिए, मान लीजिए कि न्यूनतम घात n > 0 के Jα में f और g एकात्मक बहुपद हैं। हमारे पास r := f−g ∈ Jα है (क्योंकि अनुवर्ती जोड़/घटाव के संकुचित कम है) और वह m := deg(r) < n (क्योंकि बहुपद एक ही डिग्री के मोनिक हैं)। यदि r शून्य नहीं है, तो r / cm (r में उच्चतम डिग्री के शून्येतर गुणांक के लिए सेमी ∈ F लिखना) डिग्री m < n का एक मोनिक बहुपद है जैसे कि r / सेमी ∈ Jα (क्योंकि उत्तरार्द्ध के संकुचित कम है गुणन/विभाजन F के शून्येतर तत्वों द्वारा), जो n के लिए न्यूनतमता की हमारी मूल धारणा के विपरीत है। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 0 = r = f - g, यानी कि f = g।

अपरिवर्तनीयता
α का न्यूनतम बहुपद f अप्रासंगिक है, अर्थात इसे दो बहुपदों g और h के दृढता से कम डिग्री के लिए f = gh के रूप में कारक नहीं बनाया जा सकता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, पहले देखें कि कोई भी गुणनखंडन f = gh का तात्पर्य है कि या तो g(α) = 0 या h(α) = 0, क्योंकि f(α) = 0 और F एक क्षेत्र है (इसलिए एक अभिन्न क्षेत्र भी है)। g और h दोनों को एफ दृढता से कम डिग्री का चयन करना तब f पर न्यूनतम आवश्यकता का खंडन करेगा, इसलिए f को अप्रासंगिक होना चाहिए।

न्यूनतम बहुपद Jα उत्पन्न करता है
α का न्यूनतम बहुपद f आदर्श Jα उत्पन्न करता है, अर्थात Jα में प्रत्येक g को F[x] में कुछ h' के लिए g=fh के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है।

यह सिद्ध करने के लिए, यह निरीक्षण करना पर्याप्त है कि F[x] एक प्रमुख आदर्श क्षेत्र है, क्योंकि F एक क्षेत्र है: इसका अर्थ है कि F[x] में प्रत्येक आदर्श से Jα, एक तत्व f द्वारा उत्पन्न होता है। शून्य आदर्श I = {0} के अपवाद के साथ, उत्पादक वस्तु f को शून्येतर होना चाहिए और यह न्यूनतम डिग्री का अद्वितीय बहुपद होना चाहिए, F में एक कारक तक (क्योंकि fg की डिग्री दृढता से उससे बड़ी है) f जब भी g शून्य से अधिक डिग्री का हो। विशेष रूप से, एक अद्वितीय मोनिक उत्पादक वस्तु f है और सभी उत्पादक वस्तु को अलघुकरणीय होना चाहिए। जब I को F पर α बीजगणितीय के लिए Jα चुना जाता है, तो मोनिक जनरेटर f α का न्यूनतम बहुपद होता है।

गाल्वा क्षेत्र विस्तार का न्यूनतम बहुपद
गाल्वा क्षेत्र विस्तार दिया गया है $$L/K$$ किसी का न्यूनतम बहुपद कोई $$\alpha \in L$$ के अंदर $$K$$ के रूप में गणना नही की जा सकती है

$$f(x) = \prod_{\sigma \in \text{Gal}(L/K)} (x - \sigma(\alpha))$$

अगर $$\alpha$$ गैलोज क्रिया में कोई स्थिरक नहीं है। चूँकि यह अप्रासंगिक है, जिसका आधार को देखकर इसका अनुमान लगाया जा सकता है $$f'$$, यह न्यूनतम बहुपद है। ध्यान दें कि उसी प्रकार का सूत्र प्रतिस्थापित करके पाया जा सकता है $$G = \text{Gal}(L/K)$$ साथ $$G/N$$ जहां $$N = \text{Stab}(\alpha)$$ का स्थिरक समूह है $$\alpha$$. उदाहरण के लिए, यदि $$\alpha \in K$$ तो इसका स्थिरक है $$G$$, इसलिए $$(x-\alpha)$$ इसका न्यूनतम बहुपद है।

क्यू ($\sqrt{2}$)
यदि F = Q ', E = 'R ', α = $\sqrt{2}$, तो α के लिए न्यूनतम बहुपद a(x) = x2 − 2 है। आधार क्षेत्र F महत्वपूर्ण है क्योंकि यह a(x) के गुणांकों की संभावनाओं को निर्धारित करता है। उदाहरण के लिए, यदि हम F = 'R' लेते हैं, तो α = $\sqrt{2}$ के लिए न्यूनतम बहुपद a(x) = x - $\sqrt{2}$ है।

क्यू ($\sqrt{d}$)
सामान्यता, वर्ग-मुक्त द्वारा दिए गए द्विघात विस्तार के लिए $$d$$, किसी तत्व के न्यूनतम बहुपद की गणना करना $$a + b\sqrt{d}$$ गाल्वा सिद्धांत का उपयोग करके पाया जा सकता है। तब

$$\begin{align} f(x) &= (x - (a+b\sqrt{d}))(x - (a - b\sqrt{d})) \\ &= x^2 - 2ax + (a^2 - b^2d) \end{align}$$

विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है $$2a \in \mathbb{Z}$$ और $$a^2 - b^2d \in \mathbb{Z}$$. यह निर्धारित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है $$\mathcal{O}_{\mathbb{Q}(\sqrt{d})}$$ मापांक अंकगणित का उपयोग करके संबंधों की एक श्रृंखला के माध्यम से।

द्विवर्गीय क्षेत्र विस्तार
यदि α = $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$, तो Q[x] में न्यूनतम बहुपद a(x) = x4 − 10x2 + 1 = (x - $\sqrt{2}$ −  $\sqrt{3}$)(x + $\sqrt{2}$ − $\sqrt{3}$)(x - $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$)(x + $\sqrt{2}$ + $\sqrt{3}$).

ध्यान दें यदि $$\alpha = \sqrt{2}$$ तब गाल्वा पर क्रिया $$\sqrt{3}$$ स्थिर $$\alpha$$. अतः भागफल समूह का प्रयोग करके न्यूनतम बहुपद ज्ञात किया जा सकता है $$\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3})/\mathbb{Q})/\text{Gal}(\mathbb{Q}(\sqrt{3})/\mathbb{Q})$$.

एकता की जड़ें
एकता के मूलों के Q[x] में न्यूनतम बहुपद चक्रीय बहुपद  हैं।

स्विनर्टन-डायर बहुपद
प्रथम n अभाज्य संख्याओं के वर्गमूलों के योग के Q[x] में न्यूनतम बहुपद समान रूप से निर्माण होता है, और इसे स्विनर्टन-डायर बहुपद कहा जाता है।

यह भी देखें

 * पूर्णांकों का वलय
 * बीजगणितीय संख्या क्षेत्र
 * न्यूनतम बहुपद का $$2\cos(2\pi/n)$$

संदर्भ

 * Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270–273. ISBN 978-0-486-47417-5
 * Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270–273. ISBN 978-0-486-47417-5
 * Pinter, Charles C. A Book of Abstract Algebra. Dover Books on Mathematics Series. Dover Publications, 2010, p. 270–273. ISBN 978-0-486-47417-5