विभाजन फलन (गणित)

संभाव्यता सिद्धांत, सूचना सिद्धांत और गतिशील प्रणालियों में प्रयुक्त विभाजन फलन या विन्यास अभिन्न, सांख्यिकीय यांत्रिकी में विभाजन फलन की परिभाषा का एक सामान्यीकरण है। यह बोल्ट्ज़मान वितरण के लिए संभाव्यता सिद्धांत में सामान्यीकरण स्थिरांक का एक विशेष स्थितिया है। संभाव्यता सिद्धांत की कई समस्याओं में विभाजन फलन होता है, क्योंकि ऐसी स्थितियों में जहां एक प्राकृतिक समरूपता होती है, इसके संबंधित संभाव्यता माप, गिब्स माप में मार्कोव संपत्ति होती है। इसका कारण यह है कि विभाजन फलन न केवल भौतिक प्रणालियों में अनुवाद समरूपता के साथ होता है, किंतु  तंत्रिका नेटवर्क (हॉपफील्ड नेटवर्क) जैसी विभिन्न निर्धारण  में भी होता है, और जीनोमिक्स, कॉर्पस भाषाविज्ञान और कृत्रिम बुद्धि जैसे अनुप्रयोग, मार्कोव लॉजिक नेटवर्क और मार्कोव को नियोजित करते हैं।  गिब्स उपाय भी अद्वितीय उपाय है जिसमें ऊर्जा की एक निश्चित अपेक्षा मूल्य के लिए एन्ट्रॉपी (सामान्य अवधारणा) को अधिकतम करने की संपत्ति है; यह अधिकतम एन्ट्रापी विधियों और उससे प्राप्त एल्गोरिदम में विभाजन फलन की उपस्थिति को रेखांकित करता है।

विभाजन फलन कई अलग-अलग अवधारणाओं को एक साथ जोड़ता है, और इस प्रकार एक सामान्य ढांचा प्रदान करता है जिसमें कई अलग-अलग प्रकार की मात्राओं की गणना की जा सकती है। विशेष रूप से, यह दिखाता है कि फ्रेडहोम सिद्धांत के लिए एक पुल बनाने, अपेक्षा मूल्यों और ग्रीन के फलनों की गणना कैसे करें। यह सूचना सिद्धांत के लिए सूचना ज्यामिति दृष्टिकोण के लिए एक प्राकृतिक निर्धारण भी प्रदान करता है, जहां फिशर सूचना मीट्रिक को विभाजन फलन से प्राप्त सहसंबंध फलन  के रूप में समझा जा सकता है; यह एक रीमैनियन कई गुना को परिभाषित करने के लिए होता है।

जब यादृच्छिक चर के लिए निर्धारण जटिल प्रक्षेप्य स्थान या प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस पर होती है, तो फ़ुबिनी-स्टडी मेट्रिक, क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत और अधिक सामान्यतः क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के परिणामों के साथ ज्यामितीय किया जाता है। इन सिद्धांतों में, विभाजन फलन का पथ अभिन्न सूत्रीकरण में भारी सफलता के साथ शोषण किया जाता है, जिससे यहां समीक्षा किए गए सूत्रों के लगभग समान कई सूत्र बनते हैं। चूंकि, क्योंकि अंतर्निहित माप स्थान जटिल-मूल्यवान है, जैसा कि संभाव्यता सिद्धांत के वास्तविक-मूल्यवान संकेतन के विपरीत है,  i  का एक अतिरिक्त कारक कई सूत्रों में प्रकट होता है। इस कारक को ट्रैक करना परेशानी भरा है, और यहां नहीं किया गया है। यह लेख मुख्य रूप से मौलिक संभाव्यता सिद्धांत पर केंद्रित है, जहां संभावनाओं का योग कुल एक है।

परिभाषा
मान $$X_i$$ और कुछ प्रकार के संभावित फलन या हैमिल्टनियन $$H(x_1,x_2,\dots)$$ पर लेने वाले यादृच्छिक चर $$x_i$$ के एक समूह को देखते हुए विभाजन फलन को इस रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$Z(\beta) = \sum_{x_i} \exp \left(-\beta H(x_1,x_2,\dots) \right)$$

फलन H को स्थितियों $$\{X_1,X_2,\cdots\}$$ के स्थान पर एक वास्तविक-मूल्यवान फलन समझा जाता है, जबकि $$\beta$$ एक वास्तविक-मूल्यवान मुक्त पैरामीटर है (पारंपरिक रूप से, व्युत्क्रम तापमान)। $$x_i$$ के योग को योग सभी संभावित मानों के योग के रूप में समझा जाता है जो प्रत्येक यादृच्छिक चर $$X_i$$ लग सकता है। इस प्रकार, योग को एक अभिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है जब $$X_i$$ असतत के अतिरिक्त निरंतर हैं। इस प्रकार कोई लिखता है


 * $$Z(\beta) = \int \exp \left(-\beta H(x_1,x_2,\dots) \right) \, dx_1 \, dx_2 \cdots$$

लगातार बदलते रहने के स्थितियों में $$X_i$$.

जब 𝐻 एक अवलोकन योग्य है, जैसे कि एक परिमित-आयामी मैट्रिक्स (गणित) या एक अनंत-आयामी हिल्बर्ट अंतरिक्ष ऑपरेटर (गणित) या सी-स्टार बीजगणित का तत्व, तो योग को एक निशान (रैखिक बीजगणित) के रूप में व्यक्त करना आम है।, जिससे


 * $$Z(\beta) = \operatorname{tr}\left(\exp\left(-\beta H\right)\right)$$

जब 𝐻 अनंत-आयामी है, तब, उपरोक्त संकेतन के मान्य होने के लिए, तर्क को वर्ग का पता लगाना चाहिए जो कि एक रूप का है जैसे कि योग उपस्थित है और बाध्य है।

चर $$X_i$$ कि संख्या गणनीय होने की आवश्यकता नहीं है, जिस स्थिति में राशियों को फलनात्मक अभिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है। यद्यपि प्रफलनात्मक समाकलों के लिए कई संकेतन हैं, उनमें से एक सामान्य होगा


 * $$Z = \int \mathcal{D} \varphi \exp \left(- \beta H[\varphi] \right)$$

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में विभाजन फलन के स्थितियों में ऐसा ही है।

विभाजन फलन में एक सामान्य, उपयोगी संशोधन सहायक फलनों को प्रस्तुत करना है। उदाहरण के लिए, विभाजन फलन को सहसंबंध फलनों के लिए एक उत्पादक फलन के रूप में उपयोग करने की अनुमति देता है इस पर नीचे और अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

पैरामीटर β
पैरामीटर$$\beta$$ की भूमिका या अर्थ को विभिन्न प्रकार से समझा जा सकता है। मौलिक ऊष्मप्रवैगिकी में, यह एक व्युत्क्रम तापमान है। अधिक सामान्यतः, कोई कहेगा कि यह वह चर है जो यादृच्छिक चर $$X$$ के कुछ (इच्छानुसार ) फलन $$H$$ के लिए संयुग्मित चर है  यहाँ संयुग्म शब्द का प्रयोग लैग्रैंगियन यांत्रिकी में संयुग्म सामान्यीकृत निर्देशांक के अर्थ में किया जाता है, इस प्रकार, ठीक से $$\beta$$ भाषा गुणक है। इसे असामान्य रूप से सामान्यीकृत बल नहीं कहा जाता है। इन सभी अवधारणाओं में सामान्यतः यह विचार है कि एक मूल्य को स्थिर रखा जाना है, क्योंकि अन्य, कुछ जटिल विधि से जुड़े हुए हैं, उन्हें अलग-अलग करने की अनुमति है। वर्तमान स्थिति में, नियत रखा जाने वाला मान $$H$$ का अपेक्षित मान है, तथापि  कई अलग-अलग संभाव्यता वितरण ठीक इसी (निश्चित) मान को जन्म दे सकते हैं।

सामान्य स्थितियों के लिए, फलनों $$\{H_k(x_1,\cdots)\}$$ के एक समूह पर विचार किया जाता है प्रत्येक यादृच्छिक चर$$X_i$$ पर निर्भर करता है  इन फलनों को चुना जाता है क्योंकि कोई एक कारण या किसी अन्य के लिए अपनी अपेक्षा मूल्यों को स्थिर रखना चाहता है। इस तरह से अपेक्षाओं के मूल्यों को सीमित करने के लिए, भाषा गुणक की विधि प्रयुक्त होती है। सामान्य स्थितियोंमें, अधिकतम एन्ट्रापी विधियाँ उस विधि को दर्शाती हैं जिसमें यह किया जाता है।

कुछ विशिष्ट उदाहरण क्रम में हैं। बुनियादी ऊष्मप्रवैगिकी समस्याओं में, विहित पहनावा का उपयोग करते समय, केवल एक पैरामीटर $$\beta$$ का उपयोग इस तथ्य को दर्शाता है कि केवल एक अपेक्षा मूल्य है जिसे स्थिर रखा जाना चाहिए: उष्म गतिशील  मुक्त ऊर्जा (ऊर्जा के संरक्षण के कारण)। रासायनिक प्रतिक्रियाओं से संबंधित रसायन विज्ञान की समस्याओं के लिए, भव्य विहित पहनावा उपयुक्त आधार प्रदान करता है, और दो भाषा गुणक हैं। एक ऊर्जा को स्थिर रखना है, और दूसरा, उग्रता, कणों की संख्या को स्थिर रखना है (क्योंकि रासायनिक प्रतिक्रियाओं में परमाणुओं की एक निश्चित संख्या का पुनर्संयोजन सम्मिलित  है)।

सामान्य स्थितियोंके लिए, किसी के पास है


 * $$Z(\beta) = \sum_{x_i} \exp \left(-\sum_k\beta_k H_k(x_i) \right)$$

साथ $$\beta=(\beta_1, \beta_2,\cdots)$$ अंतरिक्ष में एक बिंदु।

अवलोकन योग्य $$H_k$$ के संग्रह के लिए कोई लिख सकता है


 * $$Z(\beta) = \operatorname{tr}\left[\,\exp \left(-\sum_k\beta_k H_k\right)\right]$$

जैसा कि पहले माना जाता है कि tr का तर्क अनुरेखण वर्ग है।

संबंधित गिब्स माप तब एक संभाव्यता वितरण प्रदान करता है जैसे कि प्रत्येक $$H_k$$ की अपेक्षा मान  एक स्थिर मान है। अधिक स्पष्ट रूप से एक के पास है


 * $$\frac{\partial}{\partial \beta_k} \left(- \log Z \right) = \langle H_k\rangle = \mathrm{E}\left[H_k\right]$$

कोण कोष्ठक $$\langle H_k \rangle$$ के साथ $$H_k$$ और $$\mathrm{E}[\;]$$ के अपेक्षित मूल्य को दर्शाता है हुए सामान्य वैकल्पिक संकेतन है| इस अपेक्षा मूल्य की एक स्पष्ट  परिभाषा नीचे दी गई है।

चूंकि $$\beta$$ का मूल्य  सामान्यतः वास्तविक होने के लिए लिया जाता है, सामान्यतः ऐसा होना आवश्यक नहीं है; इस पर नीचे सामान्यीकरण अनुभाग में चर्चा की गई है। $$\beta$$ के मान  अंतरिक्ष में बिंदुओं के निर्देशांक समझा जा सकता है; यह स्थान वास्तव में कई गुना है, जैसा कि नीचे स्केच किया गया है। कई गुना के रूप में इन रिक्त स्थान का अध्ययन सूचना ज्यामिति के क्षेत्र का गठन करता है।

समरूपता
संभावित फलन स्वयं सामान्यतः योग का रूप लेता है:


 * $$H(x_1,x_2,\dots) = \sum_s V(s)\,$$

जहाँ s पर योग समुच्चय के घात समुच्चय P(X) के कुछ उपसमुच्चय $$X=\lbrace x_1,x_2,\dots \rbrace$$ का योग है| उदाहरण के लिए, सांख्यिकीय यांत्रिकी में, जैसे ईज़िंग मॉडल, योग निकटतम पड़ोसियों के जोड़े से अधिक है। संभाव्यता सिद्धांत में, जैसे कि मार्कोव नेटवर्क, योग एक ग्राफ के समूह पर हो सकता है; इसलिए, ईज़िंग मॉडल और अन्य जाली मॉडल (भौतिकी) के लिए, अधिकतम गुट किनारे हैं।

तथ्य यह है कि संभावित फलन को एक योग के रूप में लिखा जा सकता है, सामान्यतः इस तथ्य को दर्शाता है कि यह एक समूह समरूपता की कार्रवाई के तहत अपरिवर्तनीय है, जैसे कि अनुवाद संबंधी आविष्कार है। ऐसी समरूपता असतत या निरंतर हो सकती है; वे यादृच्छिक चर (नीचे चर्चा की गई) के लिए सहसंबंध फलनों में अमल में लाते हैं। इस प्रकार हैमिल्टनियन में एक समरूपता सहसंबंध फलन (और इसके विपरीत) की समरूपता बन जाती है।

संभाव्यता सिद्धांत में इस समरूपता की गंभीर रूप से महत्वपूर्ण व्याख्या है: इसका तात्पर्य है कि गिब्स माप में मार्कोव संपत्ति है; अर्थात्, यह एक निश्चित विधि से यादृच्छिक चर से स्वतंत्र है, या, समतुल्य रूप से, समरूपता के समतुल्य वर्गों पर माप समान है। यह मार्कोव संपत्ति, जैसे हॉपफील्ड नेटवर्क के साथ समस्याओं में विभाजन फलन की व्यापक उपस्थिति की ओर जाता है।

एक उपाय के रूप में
अभिव्यक्ति का मूल्य
 * $$\exp \left(-\beta H(x_1,x_2,\dots) \right)$$

एक संभावना के रूप में व्याख्या की जा सकती है कि मूल्यों का एक विशिष्ट विन्यास स्थान (भौतिकी)। $$(x_1,x_2,\dots)$$ तंत्र में होता है। इस प्रकार, एक विशिष्ट विन्यास दिया $$(x_1,x_2,\dots)$$,


 * $$P(x_1,x_2,\dots) = \frac{1}{Z(\beta)} \exp \left(-\beta H(x_1,x_2,\dots) \right)$$

प्रणाली में होने वाली विन्यास $$(x_1,x_2,\dots)$$ की संभावना है, जो अब ठीक से सामान्यीकृत  है जिससे $$0\le P(x_1,x_2,\dots)\le 1$$, और इस तरह कि सभी विन्यासों का योग एक हो जाता है। इस प्रकार, विभाजन फलन को संभाव्यता स्थान पर माप (गणित) (संभाव्यता माप) प्रदान करने के लिए समझा जा सकता है; औपचारिक रूप से, इसे गिब्स उपाय कहा जाता है। यह सांख्यिकीय यांत्रिकी में भव्य विहित पहनावा और विहित पहनावा की संकीर्ण अवधारणाओं को सामान्य करता है।

कम से कम एक विन्यास उपस्थित है $$(x_1,x_2,\dots)$$ जिसके लिए संभावना अधिकतम है; इस विन्यास को पारंपरिक रूप से जमीनी अवस्था कहा जाता है। यदि विन्यास अद्वितीय है, तो जमीनी स्थिति को गैर-पतित कहा जाता है, और प्रणाली को एर्गोडिक कहा जाता है; अन्यथा जमीनी स्थिति पतित है। समरूपता के जनित्र के साथ जमीनी स्थिति हो सकती है या नहीं; यदि यात्रा करता है, तो इसे एक अपरिवर्तनीय उपाय कहा जाता है। जब यह परिवर्तन नहीं करता है, तो समरूपता अनायास टूट जाती है।

ऐसी स्थितियाँ जिनके अनुसार एक जमीनी स्थिति उपस्थित है और अद्वितीय है, करुश-कुह्न-टकर शर्तों द्वारा दी गई हैं; अधिकतम-एन्ट्रापी समस्याओं में गिब्स माप के उपयोग को सही ठहराने के लिए सामान्यतः इन स्थितियों का उपयोग किया जाता है।

सामान्यीकरण
$$\beta$$ द्वारा लिए गए मान गणितीय स्थान पर निर्भर करता है जिस पर यादृच्छिक क्षेत्र भिन्न होता है। इस प्रकार, वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक क्षेत्र एक संकेतन पर मान लेते हैं: यह कहने का ज्यामितीय विधि है कि संभावनाओं का योग कुल एक होना चाहिए। क्वांटम यांत्रिकी के लिए, यादृच्छिक चर जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस (या कॉम्प्लेक्स-वैल्यू प्रोजेक्टिव हिल्बर्ट स्पेस) पर होते हैं, जहां यादृच्छिक चर को संभाव्यता आयाम के रूप में व्याख्या किया जाता है। यहां जोर प्रोजेक्टिव शब्द पर है, क्योंकि आयाम अभी भी एक के लिए सामान्यीकृत हैं। संभावित फलन के लिए सामान्यीकरण उपयुक्त गणितीय स्थान के लिए जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक है: यह सामान्य संभावनाओं के लिए 1 है, और मैं हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए; इस प्रकार, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में,$$\beta H$$ के बजाय घातीय में $$it H$$.देखता है| क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पथ अभिन्न सूत्रीकरण में, बड़े प्रभाव के लिए विभाजन फलन का बहुत अधिक उपयोग किया जाता है। इस अंतर से हटकर, यहां प्रस्तुत किए गए सिद्धांत के लगभग समान है, और तथ्य यह है कि यह सामान्यतः सामान्य विधि के अतिरिक्त चार-आयामी अंतरिक्ष-समय पर तैयार किया जाता है।

अपेक्षा मूल्य
विभाजन फलन का उपयोग सामान्यतः यादृच्छिक चर के विभिन्न फलनों के अपेक्षित मूल्यों के लिए प्रायिकता-उत्पन्न करने वाले फलन के रूप में किया जाता है। इसलिए, उदाहरण के लिए, लेना $$\beta$$ को समायोज्य पैरामीटर के रूप में लेना, फिर $$\beta$$ के संबंध में लॉग $$\log(Z(\beta))$$ का व्युत्पन्न होता है|
 * $$\mathbf{E}[H] = \langle H \rangle = -\frac {\partial \log(Z(\beta))} {\partial \beta}$$

एच का औसत (अपेक्षा मान) देता है। भौतिकी में, इसे प्रणाली की औसत ऊर्जा कहा जाएगा।

उपरोक्त संभाव्यता माप की परिभाषा को देखते हुए, यादृच्छिक चर X के किसी भी फलन f का अपेक्षित मान अब अपेक्षित रूप से लिखा जा सकता है: इसलिए, असतत-मूल्यवान X के लिए, कोई लिखता है
 * $$\begin{align}

\langle f\rangle & = \sum_{x_i} f(x_1,x_2,\dots) P(x_1,x_2,\dots) \\ & = \frac{1}{Z(\beta)} \sum_{x_i} f(x_1,x_2,\dots) \exp \left(-\beta H(x_1,x_2,\dots) \right) \end{align} $$ उपरोक्त अंकन असतत यादृच्छिक चर की एक सीमित संख्या के लिए सख्ती से सही है, किन्तु निरंतर चर के लिए कुछ हद तक 'अनौपचारिक' होना चाहिए; उचित रूप  से, ऊपर दिए गए योगों को संभाव्यता स्थान को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अंतर्निहित सिग्मा बीजगणित के अंकन के साथ प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। उस ने कहा कि माप स्थान पर उचित रूप से तैयार किए जाने पर पहचान जारी रहती है।

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एंट्रॉपी (सामान्य अवधारणा) द्वारा दिया जाता है


 * $$\begin{align} S

& = -k_B \langle\ln P\rangle \\ & = -k_B\sum_{x_i} P(x_1,x_2,\dots) \ln P(x_1,x_2,\dots) \\ & = k_B(\beta \langle H\rangle + \log Z(\beta)) \end{align} $$ गिब्स उपाय अद्वितीय सांख्यिकीय वितरण है जो ऊर्जा की एक निश्चित अपेक्षा मूल्य के लिए एन्ट्रॉपी को अधिकतम करता है; यह अधिकतम एन्ट्रॉपी विधियों में इसके उपयोग को रेखांकित करता है।

सूचना ज्यामिति
बिन्दु $$\beta$$ को एक स्थान और विशेष रूप से कई गुना बनाने के लिए समझा जा सकता है। इस प्रकार, इस कई गुना की संरचना के बारे में पूछना उचित है; यह सूचना ज्यामिति का फलन है।

भाषा गुणक के संबंध में कई व्युत्पत्ति एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित सहप्रसरण मैट्रिक्स को जन्म देते हैं
 * $$g_{ij}(\beta) = \frac{\partial^2}{\partial \beta^i\partial \beta^j} \left(-\log Z(\beta)\right) =

\langle \left(H_i-\langle H_i\rangle\right)\left( H_j-\langle H_j\rangle\right)\rangle$$ यह मैट्रिक्स सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, इसे मीट्रिक टेन्सर के रूप में विशेष रूप से एक रीमैनियन मीट्रिक के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। भाषा गुणक के स्थान को इस तरह से एक मीट्रिक से लैस करने से यह रिमेंनियन मैनिफोल्ड में बदल जाता है। इस तरह के मैनिफोल्ड्स के अध्ययन को सूचना ज्यामिति कहा जाता है; उपरोक्त मीट्रिक फिशर सूचना मीट्रिक है। यहाँ, $$\beta$$ कई गुना पर एक समन्वय के रूप में फलन करता है। उपरोक्त परिभाषा की तुलना सरल फिशर जानकारी से करना रोचक है, जिससे यह प्रेरित है।

उपरोक्त परिभाषित करता है कि फिशर सूचना मीट्रिक को अपेक्षा मूल्य के लिए स्पष्ट रूप से प्रतिस्थापित करके आसानी से देखा जा सकता है:
 * $$\begin{align} g_{ij}(\beta)

& = \langle \left(H_i-\langle H_i\rangle\right)\left( H_j-\langle H_j\rangle\right)\rangle \\ & = \sum_{x} P(x) \left(H_i-\langle H_i\rangle\right)\left( H_j-\langle H_j\rangle\right) \\ & = \sum_{x} P(x) \left(H_i + \frac{\partial\log Z}{\partial \beta_i}\right) \left(H_j + \frac{\partial\log Z}{\partial \beta_j}\right) \\ & = \sum_{x} P(x) \frac{\partial \log P(x)}{\partial \beta^i} \frac{\partial \log P(x)}{\partial \beta^j} \\ \end{align} $$ जहां हमने $$P(x_1,x_2,\dots)$$ के लिए $$P(x)$$ लिखा है और योग को सभी यादृच्छिक चरों $$X_k$$ के सभी मूल्यों पर समझा जाता है .निरंतर-मूल्यवान यादृच्छिक चर के लिए, योग निश्चित रूप से अभिन्न द्वारा प्रतिस्थापित किए जाते हैं।

विचित्र रूप से, फिशर सूचना मीट्रिक को मुख्य लेख में वर्णित चर के उचित परिवर्तन के बाद फ्लैट-स्पेस यूक्लिडियन मीट्रिक के रूप में भी समझा जा सकता है। जब $$\beta$$ जटिल-मूल्यवान हैं, परिणामी मीट्रिक फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक है। जब शुद्ध अवस्थाओं के अतिरिक्त मिश्रित अवस्था (भौतिकी) के रूप में लिखा जाता है, तो इसे मेट्रिक के रूप में जाना जाता है।

सहसंबंध फलन
कृत्रिम सहायक फलनों की प्रारंभिक करके $$J_k$$ विभाजन फलन में, इसका उपयोग यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्य को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, लिखकर


 * $$\begin{align} Z(\beta,J)

& = Z(\beta,J_1,J_2,\dots) \\ & = \sum_{x_i} \exp \left(-\beta H(x_1,x_2,\dots) + \sum_n J_n x_n \right) \end{align} $$ एक तो है
 * $$\mathbf{E}[x_k] = \langle x_k \rangle = \left.

\frac{\partial}{\partial J_k} \log Z(\beta,J)\right|_{J=0} $$ की अपेक्षा मूल्य के रूप में $$x_k$$. क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पथ अभिन्न सूत्रीकरण में, इन सहायक फलनों को सामान्यतः स्रोत क्षेत्रों के रूप में संदर्भित किया जाता है।

एकाधिक भिन्नताएं यादृच्छिक चर के उर्सेल फलनों की ओर ले जाती हैं। इस प्रकार सहसंबंध फलन चर $$x_j$$ और $$x_k$$ के बीच सहसंबंध समारोह $$C(x_j,x_k)$$  द्वारा दिया गया है:


 * $$C(x_j,x_k) = \left.

\frac{\partial}{\partial J_j} \frac{\partial}{\partial J_k} \log Z(\beta,J)\right|_{J=0} $$

गाऊसी अभिन्न
उस स्थितियोंके लिए जहां 𝐻 को द्विघात रूप में लिखा जा सकता है जिसमें एक अंतर ऑपरेटर सम्मिलित होता है, जैसे कि


 * $$H = \frac{1}{2} \sum_n x_n D x_n$$

तो विभाजन फलन को गॉसियों पर एक योग या गॉसियन अभिन्न समझा जा सकता है। सहसंबंध फलन $$C(x_j,x_k)$$ अवकल संकारक के लिए ग्रीन के फलन के रूप में समझा जा सकता है (और सामान्यतः फ्रेडहोम सिद्धांत को जन्म दे रहा है)। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत निर्धारण में, ऐसे फलनों को प्रचारक कहा जाता है; उच्च कोटि के सहसंयोजकों को n-बिन्दु फलन कहा जाता है; उनके साथ काम करना एक सिद्धांत की प्रभावी क्रिया को परिभाषित करता है।

जब यादृच्छिक चर विरोधी आवागमन ग्रासमैन संख्या  होते हैं, तो विभाजन फलन को ऑपरेटर D के निर्धारक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसे बेरेज़िन अभिन्न (जिसे ग्रासमैन अभिन्न भी कहा जाता है) के रूप में लिखकर किया जाता है।

सामान्य गुण
विभाजन फलनों का उपयोग महत्वपूर्ण स्केलिंग, सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणालियों) पर चर्चा करने के लिए किया जाता है और वे पुनर्सामान्यीकरण समूह के अधीन होते हैं।

यह भी देखें

 * घातीय परिवार
 * विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी)
 * विभाजन की समस्या
 * मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्र