रैखिक अवकल समीकरण

गणित में, रैखिक अवकल समीकरण वह अवकल समीकरण है जो अज्ञात फलन और उसके व्युत्पन्नों को एक रैखिक बहुपद द्वारा परिभाषित करता है, रैखिक समीकरण को हम इस प्रकार प्रदर्शित करते हैं-
 * $$a_0(x)y + a_1(x)y' + a_2(x)y'' \cdots + a_n(x)y^{(n)} = b(x)$$

यहाँ $a_{0}(x)$, ..., $a_{n}(x)$ और $b(x)$ भिन्न भिन्न तरह से कार्य करते हैं एवम इन्हें रैखिक होने की आवश्यकता नहीं है, इसी प्रकार $y′, ..., y^{(n)}$ चर (वैरियेबल) $x$ के अज्ञात फलन $y$ के क्रमिक अवकलज होते हैं।

ऐसा समीकरण एक साधारण अवकल समीकरण (ODE) कहलाता है। एक रैखिक अवकल समीकरण एक आंशिक रैखिक अवकल समीकरण (PDE) भी हो सकता है, यदि अज्ञात फलन कई वैरियेबल और डेरिवेटिव पर निर्भर करता है तो ऐसे समीकरण में केवल आंशिक व्युत्पन्न दिखाई देगा।

रैखिक अवकल समीकरण या रैखिक समीकरणों की प्रणाली जैसे कि संबंधित सजातीय समीकरणों में नियत गुणांक समकोणांतर (क्वार्डिनेचर) द्वारा हल किये जाते हैं, इस प्रकार प्राप्त होने वाले निष्कर्ष को विरोधी व्युत्पन्न (एंटीडेरीवेटिव) के रूप में व्यक्त किया जाता है। यह क्रम रैखिक समीकरण के लिए भी सही है जिसमें गैर-स्थिर गुणांक होते हैं। गैर-स्थिर गुणांक वाले दो या उच्च समीकरण को क्रमशः सामान्य रूप से द्विघात समीकरण द्वारा हल नहीं किया जा सकता। इस प्रकार आर्डर 2 वाले समीकरण के लिए, कोवासिक की एल्गोरिथ्म तय करती है कि क्या इंटीग्रल के संदर्भ में समाधान हैं या नहीं और यदि कोई हल होता है तो यह फिर उसकी गणना करता हैं।

बहुपद गुणांकों वाले समांगी रैखिक अवकल समीकरणों के हलों को होलोनोमिक फलन कहते हैं। एक कक्षा का यह फलन विभिन्न एकीकरण उत्पादों एवम् आंशिक व्युत्पन्न के लिए स्थिर मान देते है। और इसमें कई सामान्य फलन और विशेष फलन होते हैं जैसे घातांक फलन, लघुगणक, ज्या (साइन), कोज्या (कोसाइन), व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन, त्रुटि फलन, बेसेल फलन, हाइपरजोमेट्रिक फलन इत्यादि। परिभाषित अवकल समीकरण और प्रारंभिक स्थितियों द्वारा उनका प्रतिनिधित्व एल्गोरिदमिक कैलकुस के अधिकांश संचालन की अनुमति देता है, जैसे कि विरोधी व्युत्पन्न (ऐंटीडेरिवेटिव) की गणना, सीमा (गणित), स्पर्शोन्मुख विस्तार, और किसी भी सटीकता के लिए संख्यात्मक मूल्यांकन, एक प्रमाणित त्रुटि के साथ बाध्य रहता है।

मूल शब्दावली
रैखिक अवकल समीकरण में प्रकट होने वाली व्युत्पत्ति का उच्चतम क्रम समीकरण के क्रम के समान होता है। फलन $b(x)$, जो अज्ञात फलन उसके अवकलजों पर निर्भर नहीं करते हैं, ऐसे समीकरण को स्थिर पद (बीजीय समीकरणों के सादृश्य द्वारा) कहा जाता है। एक अचर फलन होने पर भी ऐसे पद स्थिर पद कहलाते है। यदि अचर पद शून्य फलन है, तब अवकल समीकरण को समांगी कहा जाता है, क्योंकि यह अज्ञात फलन और उसके व्युत्पन्नों में एक समांगी बहुपद है। एक रेखीय अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करके प्राप्त समीकरण, शून्य फलन द्वारा अचर पद संबंधित समांगी समीकरण है। एक अवकल समीकरण में नियत गुणांक होते हैं यदि संबंधित सजातीय समीकरण में केवल स्थिर फलन गुणांक के रूप में प्रकट होते हैं।

अवकल समीकरण का मान ऐसा फलन है जो समीकरण को संतुष्ट करता है। एक समांगी रैखिक अवकल समीकरण का मान एक सदिश समष्टि बनाता हैं। सामान्य स्थिति में, इस सदिश स्थान का एक परिमित आयाम होता है, जो समीकरण के क्रम के बराबर होता है। एक रेखीय अवकल समीकरण के सभी मान किसी विशेष मान में संबंधित समांगी समीकरण के किसी भी मान को जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं।

रैखिक अवकल प्रचालक
ऑर्डर $i$ का एक बुनियादी अंतर ऑपरेटर मैपिंग कहलाता है जो किसी भी फ़ंक्शन को इसके $i$वें व्युत्पन्न के लिए मैप करता है, या कई वैरिएबल्स होने की स्थिति में यदि हम बात करें तो $i$ ऑर्डर के आंशिक डेरिवेटिव के लिए यह आमतौर पर इस प्रकार निरूपित किया जाता है-
 * $$\frac{d^i}{dx^i}$$

अविभाज्य फलन के की स्थिति में,
 * $$\frac{\partial^{i_1+\cdots +i_n}}{\partial x_1^{i_1}\cdots \partial x_n^{i_n}}$$

$n$ चर के फलन की स्थिति में मूल अवकल प्रचालकों में ऑर्डर 0 का व्युत्पन्न होना शामिल रहता है, जो मानचित्रण की पहचान के लिए उपयोगी होता है।

एक रैखिक अवकल प्रचालक (संक्षिप्त, इस लेख में, रैखिक प्रचालक या, बस, प्रचालक के रूप में) बुनियादी अवकल प्रचालकों का एक रैखिक संयोजन है, और यह गुणांक के रूप में अलग-अलग कार्यों के साथ सम्मलित होता है। अविभाज्य अवस्था में, एक रैखिक संचालिका को इस प्रकार प्रकट किया जा सकता हैं-
 * $$a_0(x)+a_1(x)\frac{d}{dx} + \cdots +a_n(x)\frac{d^n}{dx^n},$$

जहाँ पर $a_{0}(x), ..., a_{n}(x)$ अलग-अलग फलन हैं, और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $n$ प्रचालक एक आदेश स्वरूप है (यदि $a_{n}(x)$ शून्य फलन नहीं है)।

मान लीजिए $L$ एक रैखिक अवकलन संकारक है। फलन $f$ के लिए $L$ के अनुप्रयोग को आमतौर पर $Lf$  या $Lf(X)$ के रूप में दर्शाया जाता है, यदि किसी वैरियेबल को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है (इसे गुणन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए) तब एक रैखिक अवकल प्रचालक एक रैखिक प्रचालक के रूप में होता है, चूंकि यह फलन के मान को एक अदिश राशि द्वारा मैप करता है।

चूंकि दो रैखिक प्रचालकों का योग एक रैखिक प्रचालक को प्रदर्शित करता है, साथ ही एक अवकलनीय फलन द्वारा रैखिक संचालिका का गुणनफल (बाईं ओर), रैखिक अवकल प्रचालक वास्तविक संख्याओं या जटिल संख्याओं पर एक सदिश (वेक्टर) स्थान बनाते हैं (विचार किए गए कार्यों की प्रकृति के आधार पर)। वे अवकलनीय कार्यों के वलय के ऊपर एक मुक्त प्रतिरूप भी बनाते हैं।

प्रचालकों की भाषा अलग-अलग समीकरणों के लिए एक सुगठित लेखन की अनुमति देती है: यदि
 * $$L=a_0(x)+a_1(x)\frac{d}{dx} + \cdots +a_n(x)\frac{d^n}{dx^n},$$

एक रैखिक अवकल प्रचालक है, तो समीकरण
 * $$a_0(x)y +a_1(x)y' + a_2(x)y'' +\cdots +a_n(x)y^{(n)}=b(x)$$

हम इस समीकरण को इस तरह से भी लिख सकते हैं
 * $$Ly=b(x).$$

इस तरह के संकेतन के और भी कई रूप हो सकते हैं; विशेष रूप से वैरियेबल के अन्तर में यह $y$ में स्पष्ट रूप से दिखाई दे सकता है या नहीं और यह दाहिने हाथ और समीकरण में भी दिखाई दे सकता है, जैसे $Ly(x) = b(x)$ या $Ly = b$.

एक रैखिक अवकल प्रचालक का कर्नेल एक रैखिक मानचित्रण के रूप में इसका कर्नेल (रैखिक बीजगणित) होता है, जो कि (सजातीय) अवकल समीकरण के समाधान का सदिश (वेक्टर) स्थान है $Ly = 0$.

ऑर्डर $n$ के एक साधारण व्युत्पन्न प्रचालक के मामले में, कैराथेओडोरी के अस्तित्व प्रमेय का तात्पर्य है कि, बहुत हल्की परिस्थितियों में, $L$ का कर्नेल आयाम $n$ का एक सदिश समष्टि है, और यह समीकरण के हल $Ly(x) = b(x)$ का प्रतिरूप है
 * $$S_0(x) + c_1S_1(x) + \cdots +c_nS_n(x),$$

जहाँ पर $c_{1}, ..., c_{n}$ अपने आप उत्पन्न हुई संख्या हैं। आमतौर पर, कैराथियोडोरी के प्रमेय की परिकल्पना एक अंतराल $I$ में संतुष्ट होती है, यदि $I$ कार्य $b, a_{0}, ..., a_{n}$ में नियत हैं, और एक $k$ धनात्मक वास्तविक संख्या है और यह इस प्रकार है कि $|a_{n}(x)| > k$ जहाँ इसका मान $I$ में प्रत्येक $x$ के लिए।

नियत गुणांक के साथ समघात समीकरण
एक समघात रैखिक अवकल समीकरण में नियत गुणांक होते हैं अगर इसका रूप कुछ इस प्रकार हो-
 * $$a_0y + a_1y' + a_2y'' + \cdots + a_n y^{(n)} = 0$$

जहाँ पर $a_{1}, ..., a_{n}$ (वास्तविक या जटिल) संख्याएँ हैं। दूसरे शब्दों में, इसमें नियत गुणांक होते हैं यदि इसे नियत गुणांक वाले रैखिक प्रचालक द्वारा परिभाषित किया जाता है।

नियत गुणांक वाले इन अवकल समीकरणों का अध्ययन लियोनहार्ड यूलर के समय का है, जिन्होंने घातीय फलन $e^{x}$ की शुरुआत की थी, जो समीकरण का अनूठा हल है $f′ = f$ यह इस प्रकार है कि $f(0) = 1$. एवं यह इस प्रकार है कि $n$वें व्युत्पन्न $e^{cx}$है $c^{n}e^{cx}$, और यह सजातीय रैखिक अवकल समीकरणों को आसानी से हल करने की अनुमति देता है।

मान लीजिए
 * $$a_0y + a_1y' + a_2y'' + \cdots + a_ny^{(n)} = 0$$

अचर गुणांकों वाला एक समांगी रैखिक अवकल समीकरण है (अर्थात $a_{0}, ..., a_{n}$ वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं)।

इस समीकरण के समाधान खोजना जिसका रूप $e^{αx}$ है स्थिरांक $α$ खोजने के बराबर है इस प्रकार समीकरण कुछ इस प्रकार होगा
 * $$a_0e^{\alpha x} + a_1\alpha e^{\alpha x} + a_2\alpha^2 e^{\alpha x}+\cdots + a_n\alpha^n e^{\alpha x} = 0.$$

फैक्टरिंग आउट $e^{αx}$ (जो कभी शून्य नहीं होता), दर्शाता है कि $α$ विशेषता बहुपद का मूल होना चाहिए
 * $$a_0 + a_1t + a_2t^2 + \cdots + a_nt^n$$

विभेदक समीकरण, जो कि विशेषता समीकरण (कैलकुलस) के बाईं ओर है
 * $$a_0 + a_1t + a_2t^2 + \cdots + a_nt^n = 0.$$

जब ये जड़ें सभी अलग जड़ें हों, तो व्यक्ति के पास $n$ अलग-अलग समाधान हो सकते हैं जो आवश्यक रूप से वास्तविक नहीं होते हैं, भले ही समीकरण के गुणांक वास्तविक हों या ना हों। इन समाधानों के मूल्यों के लिए वेंडरमोंडे निर्धारक पर विचार करे, इन समाधानों को रैखिक रूप से स्वतंत्र दिखाया जा सकता है $x = 0, ..., n – 1$. साथ में वे व्युत्पन्न समीकरण (यानी व्युत्पन्न प्रचालक का कर्नेल) के हल के रुप में सदिश स्थान का मौलिक रुप (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं। उस मामले में जहां विशेषता बहुपद में केवल साधारण जड़ें होते हैं, पूर्ववर्ती समाधान सदिश स्थान का पूरा आधार प्रदान करता है। एकाधिक जड़ों के मामले में, आधार रखने के लिए अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान की आवश्यकता होती है। इसका प्रतिरूप कुछ इस प्रकार होतो है
 * $$x^ke^{\alpha x},$$

जहाँ पर $i$ एक ऋणात्मक पूर्णांक है, $k$ गुणन के अभिलक्षणिक बहुपद $α$ का मूल है, तथा $−i$. यह सिद्ध करने के लिए कि ये फलन समाधान हैं, कोई टिप्पणी कर सकता है कि यदि $m$ गुणन के अभिलक्षणिक बहुपद $α$ का मूल है, अभिलक्षणिक बहुपद का गुणनखंड इस प्रकार किया जा सकता है $1$. इस प्रकार, समीकरण के अवकल प्रचालक को लागू करना जो पहले एम बार प्रचालक $ \frac{d}{dx} - \alpha $, को लागू करने के बराबर है, और फिर वह संकारक जिसके पास विशेषता बहुपद $m$ है। शिफ्ट प्रमेय प्रमेय द्वारा,
 * $$\left(\frac{d}{dx}-\alpha\right)\left(x^ke^{\alpha x}\right)= kx^{k-1}e^{\alpha x},$$

और इस प्रकार $k < m$ का आवेदन $ \frac{d}{dx} - \alpha $. एक के बाद शून्य हो जाता है।

जैसे, बीजगणित के मूल प्रमेय के अनुसार, बहुपद के मूलों की बहुपदों का योग बहुपद की घात के बराबर होते है, उपरोक्त समाधानों की संख्या अवकल समीकरण के क्रम के बराबर होती है, और ये समाधान समाधानों के सदिश समष्टि का आधार बनाते हैं।

सामान्य स्थिति में जहां समीकरण के गुणांक वास्तविक होते हैं, वास्तविक-मूल्यवान फलन वाले समाधानों का आधार होना आम तौर पर अधिक सुविधाजनक होता है। ऐसा आधार पूर्ववर्ती आधार से यह टिप्पणी करके प्राप्त किया जा सकता है कि, यदि $P(t)(t − α)^{m}$ विशेषता बहुपद का मूल है, तो $k + 1$ एक ही बहुलता की जड़ भी है। इस प्रकार यूलर के सूत्र का उपयोग करके और $$x^ke^{(a+ib)x}$$ तथा $$x^ke^{(a-ib)x}$$ द्वारा $$x^ke^{ax} \cos(bx)$$ तथा $$x^ke^{ax} \sin(bx)$$ प्रतिस्थापित करके वास्तविक आधार प्राप्त किया जाता है।

दूसरे क्रम की स्थिति
दूसरे क्रम का एक समांगी रैखिक अवकल समीकरण लिखा जा सकता है
 * $$y'' + ay' + by = 0,$$

और इसका अभिलक्षणिक बहुपद है
 * $$r^2 + ar + b.$$

यदि $P$ तथा $a$ वास्तविक संख्या हैं, विभेदक के आधार पर समाधान के लिए तीन मामले हैं $a + ib$. तीनों मामलों में, सामान्य समाधान दो मनमानी स्थिरांक पर निर्भर करता है $a – ib$ तथा $D = a^{2} − 4b$.


 * यदि $c_{1}$, अभिलक्षणिक बहुपद के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं $b$, तथा $α$. इस मामले में, सामान्य समाधान है
 * $$c_1 e^{\alpha x} + c_2 e^{\beta x}.$$


 * यदि $c_{2}$, अभिलक्षणिक बहुपद का दोहरा मूल होता है $D > 0$, और सामान्य समाधान है
 * $$(c_1 + c_2 x) e^{-ax/2}.$$


 * यदि $D = 0$, विशेषता बहुपद में दो जटिल संयुग्म जड़ें होती हैं $−a/2$, और सामान्य समाधान है
 * $$c_1 e^{(\alpha + \beta i)x} + c_2 e^{(\alpha - \beta i)x},$$
 * जिसे यूलर के सूत्र का उपयोग करके वास्तविक रूप में फिर से लिखा जा सकता है:
 * $$ e^{\alpha x} (c_1\cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x)).$$

समाधान ढूँढना $D < 0$ संतुष्टि देने वाला $α ± βi$ तथा $y(x)$, उपरोक्त सामान्य समाधान के मानों को $y(0) = d_{1}$ पर और उसके व्युत्पन्न को क्रमशः $y′(0) = d_{2}$ और $0$ के बराबर करता है। इसका परिणाम दो अज्ञात $d_{1}$ और $d_{2}$ में दो रैखिक समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली में होता है। इस प्रणाली को हल करने से तथाकथित कौची समस्या का समाधान मिलता है, जिसमें डीईक्यू (DEQ) और उसके व्युत्पन्न के समाधान के लिए $c_{1}$ पर मान निर्दिष्ट हैं।

नियत गुणांक के साथ गैर-सजातीय समीकरण
अचर गुणांकों के साथ क्रम $β$ का एक गैर-सजातीय समीकरण लिखा जा सकता है
 * $$y^{(n)}(x) + a_1 y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_{n-1} y'(x)+ a_ny(x) = f(x),$$

जहाँ पर $c_{2}$ वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं, $n$ $f$ का दिया गया कार्य है, तथा $x$ अज्ञात कार्य है (सादगी के लिए,$0$निम्नलिखित में छोड़ा जाएगा)।

ऐसे समीकरण को हल करने की कई विधियाँ होती हैं। सर्वोत्तम विधि फलन की प्रकृति पर निर्भर करती है $y$ जो समीकरण को गैर-सजातीय बनाता है। यदि $f$ घातीय और ज्यावक्रीय कार्यों का एक रैखिक संयोजन है, तो घातीय प्रतिक्रिया सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। यदि, अधिक सामान्यतः, $f$ प्रपत्र के कार्यों का एक रैखिक संयोजन है $a_{1}, ..., a_{n}$, $(x)$, तथा $x^{n}e^{ax}$, जहाँ पर $f$ एक ऋणात्मक पूर्णांक है, और $n$ एक स्थिरांक (जो प्रत्येक पद में समान होना आवश्यक नहीं है), तो अनिर्धारित गुणांकों की विधि का उपयोग किया जा सकता है। और भी अधिक सामान्य, एनीहिलेटर विधि तब लागू होती है जब $a$ एक सजातीय रैखिक अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है, आमतौर पर, एक होलोनोमिक फलन।

सबसे सामान्य विधि स्थिरांक की भिन्नता है, जिसे यहां प्रस्तुत किया गया है।

संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान
 * $$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} y'+ a_ny = 0$$

है
 * $$y=u_1y_1+\cdots+ u_ny_n,$$

जहाँ पर $x^{n} cos(ax)$ समाधानों के सदिश समष्टि का आधार है और $x^{n} sin(ax)$ मनमानी स्थिरांक हैं। स्थिरांक की भिन्नता की विधि का नाम निम्नलिखित विचार से लिया गया है। विचार करने के बजाय $(y_{1}, ..., y_{n})$ स्थिरांक के रूप में, उन्हें अज्ञात कार्यों के रूप में माना जा सकता है जिन्हें बनाने के लिए निर्धारित किया जाना है $f$ गैर-सजातीय समीकरण का एक समाधान है। इस उद्देश्य के लिए, कोई बाधाओं को जोड़ता है
 * $$\begin{align}

0 &= u'_1y_1 + u'_2y_2 + \cdots+u'_ny_n \\ 0 &= u'_1y'_1 + u'_2y'_2 + \cdots + u'_n y'_n \\ &\;\;\vdots \\ 0 &= u'_1y^{(n-2)}_1+u'_2y^{(n-2)}_2 + \cdots + u'_n y^{(n-2)}_n, \end{align}$$ जिसका अर्थ है (उत्पाद नियम और गणितीय प्रेरण द्वारा)
 * $$y^{(i)} = u_1 y_1^{(i)} + \cdots + u_n y_n^{(i)}$$

के लिये $u_{1}, ..., u_{n}$, तथा
 * $$y^{(n)} = u_1 y_1^{(n)} + \cdots + u_n y_n^{(n)} +u'_1y_1^{(n-1)}+u'_2y_2^{(n-1)}+\cdots+u'_ny_n^{(n-1)}.$$

मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना $y$ और इन अभिव्यक्तियों द्वारा इसके व्युत्पन्न, और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि $u_{1}, ..., u_{n}$ मूल सजातीय समीकरण के समाधान हैं, जो इस प्रकार हैं
 * $$f=u'_1y_1^{(n-1)} + \cdots + u'_ny_n^{(n-1)}.$$

यह समीकरण और ऊपर वाले के साथ $i = 1, ..., n – 1$ बाएं हाथ के रूप में एक प्रणाली बनाते हैं $y$ में रैखिक समीकरण $y_{1}, ..., y_{n}$ जिनके गुणांक ज्ञात फलन हैं ($n$, द $0$, और उनके व्युत्पन्न)। इस प्रणाली को रैखिक बीजगणित की किसी भी विधि द्वारा हल किया जा सकता है। विरोधीव्युत्पन्न्स की गणना देता है $u′_{1}, ..., u′_{n}$, और फिर $yi$.

जैसा कि विरोधीव्युत्पन्न को एक स्थिरांक के योग तक परिभाषित किया जाता है, कोई फिर से पाता है कि गैर-सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान एक मनमाना समाधान का योग है और संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान।

चर गुणांक के साथ प्रथम-क्रम समीकरण
के गुणांक को विभाजित करने के बाद क्रम 1 के एक रैखिक साधारण अवकल समीकरण का सामान्य रूप $u_{1}, ..., u_{n}$, है:
 * $$y'(x) = f(x) y(x) + g(x).$$

यदि समीकरण सजातीय है, अर्थात $y = u_{1}y_{1} + ⋯ + u_{n}y_{n}$, तो हम फिर से लिख सकते है और इसे एकीकृत कर सकते है:
 * $$\frac{y'}{y}= f, \qquad \log y = k +F, $$

जहाँ पर $f$ एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक है और $$F=\textstyle\int f\,dx$$ $k$ का कोई व्युत्पन्न है। अत: समांगी समीकरण का व्यापक हल कुछ इस प्रकार होगा
 * $$y=ce^F,$$

जहाँ पर $y′(x)$ एक मनमाना स्थिरांक है।

सामान्य गैर-सजातीय समीकरण के लिए, कोई इसे गुणन प्रतिलोम से गुणा कर सकता है $g(x) = 0$ सजातीय समीकरण के समाधान के लिए। इस प्रकार समीकरण कुछ ऐसा होगा
 * $$y'e^{-F}-yfe^{-F}= ge^{-F}.$$

जैसे $f$ उत्पाद नियम समीकरण को फिर से लिखने की अनुमति देता है
 * $$\frac{d}{dx}\left(ye^{-F}\right)= ge^{-F}.$$

इस प्रकार, सामान्य समाधान है
 * $$y=ce^F + e^F\int ge^{-F}dx,$$

जहाँ पर $-fe^{-F} = \tfrac{d}{dx} \left(e^{-F}\right),$ एकीकरण का एक स्थिरांक है, और $c$ $F$ का कोई व्युत्पन्न है (एकीकरण की निरंतरता को बदलने के लिए एंटीव्युत्पन्न मात्रा में परिवर्तन)।

उदाहरण
समीकरण हल करने पर
 * $$y'(x) + \frac{y(x)}{x} = 3x.$$

संबंधित सजातीय समीकरण $$y'(x) + \frac{y(x)}{x} = 0$$ देता है
 * $$\frac{y'}{y}=-\frac{1}{x},$$

वह है
 * $$y=\frac{c}{x}.$$

मूल समीकरण को इनमें से किसी एक हल से भाग देने पर प्राप्त होता है
 * $$xy'+y=3x^2.$$

वह है
 * $$(xy)'=3x^2,$$ :$$xy=x^3 +c,$$

तथा
 * $$y(x)=x^2+c/x.$$

प्रारंभिक स्थिति के लिए
 * $$y(1)=\alpha,$$

एक विशेष समाधान मिलता है
 * $$y(x)=x^2+\frac{\alpha-1}{x}.$$

रैखिक अवकल समीकरणों की प्रणाली
रैखिक अवकल समीकरणों की प्रणाली में कई रैखिक अवकल समीकरण होते हैं जिनमें कई अज्ञात कार्य शामिल होते हैं। सामान्य तौर पर एक अध्ययन को प्रणाली तक सीमित रखता है जैसे कि अज्ञात कार्यों की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर होती है।

एक मनमाना रैखिक साधारण अवकल समीकरण और इस तरह के समीकरणों की एक प्रणाली को सभी के लिए चर जोड़कर रैखिक अवकल समीकरणों के पहले क्रम प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है लेकिन उच्चतम क्रम व्युत्पन्न। यानी अगर $f$ एक समीकरण में दिखाई देते हैं, कोई उन्हें नए अज्ञात कार्यों $y', y'', \ldots, y^{(k)}$ से बदल सकता है, जो समीकरणों $y_1, \ldots, y_k$ तथा $y'=y_1$ के लिये $c = e^{k}$ को संतुष्ट करना चाहिए।

पहले क्रम की एक रैखिक प्रणाली, जिसमें है $y_i'=y_{i+1},$ अज्ञात कार्य हैं और $n$ अवकल समीकरणों को सामान्यतः अज्ञात फलनों के व्युत्पन्नों के लिए हल किया जा सकता है। यदि ऐसा नहीं है तो यह समीकरणों की एक अंतर-बीजगणितीय प्रणाली है | विभेदक-बीजगणितीय प्रणाली, और यह एक अलग सिद्धांत है। इसलिए, यहां जिन प्रणालियों पर विचार किया गया है, इसका रूप है
 * $$\begin{align}y_1'(x) &= b_1(x) +a_{1,1}(x)y_1+\cdots+a_{1,n}(x)y_n\\

\vdots&\\ y_n'(x) &= b_n(x) +a_{n,1}(x)y_1+\cdots+a_{n,n}(x)y_n,\end{align}$$ जहाँ पर $n$ और $b_n$, $a_{i,j}$ के कार्य हैं, आव्यहु (मैट्रिक्स) सूचक में, यह प्रणाली लिखी जा सकती है (छोड़कर$e^{−F}$)
 * $$\mathbf{y}' = A\mathbf{y}+\mathbf{b}.$$

हल करने की विधि एकल प्रथम क्रम रैखिक अवकल समीकरणों के समान है, लेकिन आव्यहु गुणन की गैर-क्रम विनिमेयीकरण नियम से उपजी जटिलताओं के साथ।

मान लीजिए
 * $$\mathbf{u}' = A\mathbf{u}.$$

उपरोक्त आव्यहु समीकरण से जुड़े सजातीय समीकरण बनें।

इसके समाधान आयाम का एक सदिश स्थान बनाते हैं $x$, और इसलिए कार्यों के एकवर्ग आव्यहु, $n$ के स्तंभ हैं जिसका सारणिक शून्य फलन नहीं है। यदि $y′ − fy = g$, या $U(x)$ स्थिरांक का एक आव्यहु है, या, अधिक सामान्यतः, यदि $A$ इसके विरोधीव्युत्पन्न के साथ आवागमन करता है $A$, तो कोई चुन सकता है $\textstyle B=\int Adx$ के आव्यहु घातांक के बराबर $U$. वास्तव में, इन मामलों में, एक है
 * $$\frac{d}{dx}\exp(B) = A\exp (B).$$

सामान्य स्थिति में सजातीय समीकरण के लिए कोई बंद-रूप समाधान नहीं होता है, और किसी को या तो एक संख्यात्मक विधि, या मैग्नस विस्तार  जैसे सन्निकटन विधि का उपयोग करना पड़ता है।

आव्यहु $B$ को जानना, गैर-सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान है
 * $$\mathbf{y}(x) = U(x)\mathbf{y_0} + U(x)\int U^{-1}(x)\mathbf{b}(x)\,dx,$$

जहां स्तंभ आव्यहु $$\mathbf{y_0}$$ एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक है।

यदि प्रारंभिक शर्तें इस प्रकार दी गई हैं:
 * $$\mathbf y(x_0)=\mathbf y_0,$$

इन प्रारंभिक शर्तों को संतुष्ट करने वाला समाधान है
 * $$\mathbf{y}(x) = U(x)U^{-1}(x_0)\mathbf{y_0} + U(x)\int_{x_0}^x U^{-1}(t)\mathbf{b}(t)\,dt.$$

परिवर्तनीय गुणांक के साथ उच्च क्रम
चर गुणांक वाले कोटि के एक रेखीय साधारण समीकरण को द्विघात द्वारा हल किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि समाधानों को इंटीग्रल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

कम से कम दो आदेश के मामले में ऐसा नहीं है। यह पिकार्ड वेसियट सिद्धांत का मुख्य परिणाम है जिसे एमिल पिकार्ड और अर्नेस्ट वेसियोट ने शुरू किया था, और जिनके हाल के घटनाक्रमों को डिफरेंशियल गैलोइस थ्योरी कहा जाता है।

चतुर्भुज द्वारा हल करने की असंभवता की तुलना एबेल रफिनी प्रमेय से की जा सकती है, जिसमें कहा गया है कि कम से कम पांच डिग्री के बीजीय समीकरण को आम तौर पर मौलिकता द्वारा हल नहीं किया जा सकता है। यह सादृश्य प्रमाण विधियों तक फैला हुआ है और विभेदक गैलोइस सिद्धांत के संप्रदाय को प्रेरित करता है।

इसी तरह बीजगणितीय मामले के लिए, सिद्धांत निर्णय लेने की अनुमति देता है कौन से समीकरणों को चतुर्भुज द्वारा हल किया जा सकता है, और यदि संभव हो तो उनका समाधान करें। हालाँकि, दोनों सिद्धांतों के लिए, आवश्यक संगणनाएँ अत्यंत कठिन हैं, सबसे शक्तिशाली कंप्यूटर के साथ भी।

कॉची-यूलर समीकरण
कॉची-यूलर समीकरण चर गुणांक वाले किसी भी क्रम के समीकरणों के उदाहरण हैं,जिसे स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है। ये फॉर्म के समीकरण हैं
 * $$x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0,$$ कहाँ पे $U$ स्थिर गुणांक हैं।

होलोनोमिक फलन
एक होलोनोमिक फलन, जिसे डी (D) परिमित फलन भी कहा जाता है, और यह एक ऐसा फलन है जो बहुपद गुणांकों वाले सजातीय रैखिक अवकल समीकरण का हल है।

आमतौर पर गणित में जिन कार्यों पर विचार किया जाता है, वे होलोनोमिक या होलोनोमिक फलन के भागफल होते हैं। वास्तव में, होलोनोमिक कार्यों में बहुपद, बीजगणितीय कार्य, लघुगणक, घातीय कार्य, ज्या, कोज्या, हाइपरबॉलिक ज्या, हाइपरबॉलिक कोज्या, उलटा त्रिकोणमितीय और उलटा हाइपरबॉलिक फलन शामिल हैं और कई विशेष कार्य जैसे बेसेल फलन और हाइपरजोमेट्रिक फलन।

होलोनोमिक फलन में कई बंद संपत्ति गुण होते हैं; विशेष रूप से, योग, उत्पाद, व्युत्पन्न और होलोनोमिक कार्यों के अभिन्न अंग होलोनोमिक हैं। इसके अलावा, ये बंद गुण प्रभावी हैं, इस अर्थ में कि इनमें से किसी भी प्रचालक के परिणाम के अवकल समीकरण की गणना के लिए कलन विधि हैं, इनपुट के अवकल समीकरणों को जानते हुए। [3] होलोनोमिक फलन की अवधारणा की उपयोगिता ज़िलबर्गर के प्रमेय का परिणाम है, जो इस प्रकार है।

एक होलोनोमिक अनुक्रम संख्याओं का एक क्रम है जो बहुपद गुणांकों के साथ पुनरावृत्ति संबंध द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। एक होलोनोमिक फलन के एक बिंदु पर टेलर श्रृंखला के गुणांक एक होलोनोमिक अनुक्रम बनाते हैं। इसके विपरीत, यदि किसी घात श्रेणी के गुणांकों का क्रम समरूप है, तब श्रृंखला एक होलोनोमिक फलन को परिभाषित करती है (भले ही अभिसरण की त्रिज्या शून्य हो)। दोनों रूपांतरणों के लिए कुशल एल्गोरिदम हैं, यह अवकल समीकरण से पुनरावृत्ति संबंध की गणना के लिए इसके विपरीत है।

यह इस प्रकार है कि, यदि कोई अपने परिभाषित अवकल समीकरणों और प्रारंभिक स्थितियों द्वारा होलोनोमिक कार्यों का प्रतिनिधित्व करता है, तो इन कार्यों पर अधिकांश कैलकुस संचालन स्वचालित रूप से किया जा सकता है,

जैसे कि व्युत्पन्न, अनिश्चित और निश्चित अभिन्न, टेलर श्रृंखला की तेज गणना (इसके गुणांक पर पुनरावृत्ति संबंध के लिए धन्यवाद), अनुमान त्रुटि के प्रमाणित सीमा के साथ उच्च परिशुद्धता का मूल्यांकन, सीमाएं, विलक्षणताओं का स्थानीयकरण, अनंत और निकट पर स्पर्शोन्मुख व्यवहार विलक्षणता, पहचान का प्रमाण, आदि।

यह भी देखें

 * नियत चुकौती बंधक साधारण समय अवकल समीकरण| नियत चुकौती बंधक
 * फुरियर रूपांतरण
 * लाप्लास स्थानांतरण
 * रैखिक अवकल समीकरण
 * मापदंडों की विविधता

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 * त्रिनाम
 * समाकलित डोमेन
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 * लोगारित्म
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 * उलटा अतिपरवलयिक कार्य
 * बिजली की श्रृंखला
 * अनिश्चितकालीन अभिन्न
 * विलक्षणता (गणित)
 * समाकलन परिभाषित करें

बाहरी संबंध

 * http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm
 * Dynamic Dictionary of Mathematical Function. Automatic and interactive study of many holonomic functions.