गैर-समान तर्कसंगत बी-स्पलाइन



गैर-समान तर्कसंगत आधार पट्टी (NURBS) एक गणितीय मॉडल है। जो आधार विभाजन (बी- पट्टी) का उपयोग करता है। जो अभिकलित्र आलेखिकी वक्र में और इसके सतहों के प्रतिनिधित्व के लिए उपयोग किया जाता है। यह विश्लेषणात्मक (सामान्य गणितीय सूत्रों द्वारा परिभाषित) और प्रतिरूपित आकृतियों दोनों को संभालने के लिए बहुत लचीलापन और सटीकता प्रदान करता है। यह एक प्रकार का वक्र प्रतिरूपण है, जो बहुभुज प्रतिरूपण या डिजिटल मूर्तिकला के विपरीत है। गैर-समान तर्कसंगत आधार पट्टी वक्र सामान्तया पर अभिकलित्र सहाय अभिकल्पना (CAD), निर्माण (CAM) और अभियान्त्रिकी (CAE) में उपयोग किए जाते हैं। ये कई उद्योग व्यापी मानकों का हिस्सा हैं, जैसे IGES, STEP, ACIS और PHIGS। गैर-समान तर्कसंगत आधार पट्टी सतहों को बनाने और संपादित करने के उपकरण विभिन्न 3D चित्रमुद्रण और सजीवता प्रक्रिया सामग्री यंत्रानुकरण पैकेजों में पाए जाते हैं।

ये अभिकलित्र क्रमादेश द्वारा कुशलता से देखे जा सकते हैं और आसानी से मानवीय संपर्क की अनुमति देते हैं। गैर-समान तर्कसंगत आधार पट्टी सतहें त्रि-आयामी क्षेत्र में एक सतह के लिए मानचित्रण दो मापदंडों के कार्य हैं। सतह का आकार नियंत्रण बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है। एक सघन रूप में, गैर-समान तर्कसंगत आधार पट्टी सतहें सरल ज्यामितीय आकारों का प्रतिनिधित्व कर सकती हैं। जटिल जैविक आकृतियां के लिए टी-पट्टी और उपखंड सतहें अधिक उपयुक्त होती हैं क्योंकि वे गैर-समान तर्कसंगत आधार पट्टी की सतहों की तुलना में नियंत्रण बिंदुओं की संख्या को आधा कर देते हैं।

सामान्य रूप से, NURBS वक्रों और सतहों का संपादन सहज और पूर्वानुमेय है। नियंत्रण बिंदु हमेशा या तो सीधे वक्र या सतह से जुड़े होते हैं, या फिर रबर बैंड की तरह काम करते हैं। उपयोगकर्ता अंतरापृष्ठ के प्रकार के आधार पर, NURBS घटता और सतहों का संपादन उनके नियंत्रण बिंदुओं (बेज़ियर वक्र के समान) या उच्च स्तरीय उपकरण जैसे स्पलाइन मॉडलिंग और श्रेणीबद्ध संपादन के माध्यम से हो सकता है। उपयोगकर्ता अंतरापृष्ठ के आधार पर NURBS वक्र और सतह के संपादन को उनके नियंत्रण बिन्दुओं (बेयर वक्र के सदृश) या उच्च स्तरीय उपकरणों के जरिए किया जा सकता है जैसे पट्टी मॉडलिंग और श्रेणीबद्ध संपादन के माध्यम से हो सकता है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
अभिकलित्र से पहले, विभिन्न प्रारूपण उपकरणों के साथ डिजाइनों को हाथ से कागज पर तैयार किया जाता था। सीधी रेखाओं के लिए पटरी, वृत्तों के लिए दिशा निरूपण यंत्र(ड्राफ्टिंग) और कोणों के लिए चांदा का उपयोग किया जाता था। लेकिन कई आकृतियाँ, जैसे किसी जहाज के स्वतंत्र वक्र, इन उपकरणों से नहीं बनाया जा सकता था। चूँकि इस तरह के वक्र को आलेखन बोर्ड में मुक़्त रूप से खींचा जा सकता है, जहाज़ बनाने वालों को अक्सर एक आदमकद संस्करण की आवश्यकता होती थी जो हाथ से नहीं किया जा सकता था। इस तरह के बड़े चित्र लकड़ी की लचीली पट्टियों की मदद से बनाए जाते थे, पट्टी को कई पूर्व निर्धारित बिंदुओं पर रखा गया था, जिन्हें बतख कहा जाता था बत्तखों के बीच, पट्टी सामग्री की लोच ने पट्टी को आकार लेने का कारण बना दिया जिससे बंकन की ऊर्जा कम हो गई, और इस प्रकार बाधाओं को फिट करने वाले सबसे आसान संभव आकार का निर्माण करना है। और बत्तखों को घुमाकर आकार को समायोजित किया जाता है।

1946 में, गणितज्ञों ने पट्टी आकार का अध्ययन करना शुरू किया, और भाषा के अनुसार बहुपद सूत्र का प्रवेशन किया, जिसे पट्टी (गणित) या पट्टी फलन के रूप में जाना जाता है। आई. जे. स्कोनबर्ग ने स्पलाइन पट्टियो को इसका नाम ड्राफ्ट्समैन द्वारा उपयोग किए जाने वाले यांत्रिक पट्टियो के समान होने के कारण दिया।

चूंकि अभिकलित्र को डिजाइन की प्रक्रिया में सम्मिलित किया गया, ऐसे पट्टियों के भौतिक गुणों की जांच की गई ताकि उन्हें गणितीय सटीकता के साथ प्रतिरूपित किया जा सके और जहां आवश्यक हो, पुन: प्रस्तुत किया जा सके। रेनॉल्ट अभियान्ता,पियरे बेज़ियर और सिट्रोएन के भौतिक विज्ञानी और गणितज्ञ पॉल डी कैस्टेलजौ द्वारा फ्रांस में अग्रणी कार्य किया था। उन्होंने लगभग एक दूसरे के समानांतर काम किया, लेकिन क्योंकि बेज़ियर ने अपने काम के परिणाम प्रकाशित किए, बेज़ियर वक्र का नाम उनके नाम पर रखा गया, जबकि डी कैस्टेलजौ का नाम संबंधित कलन विधि से जुड़ा है।

पहले गैर-समान तर्कसंगत आधार पट्टी (NURBS) का उपयोग केवल कार कंपनियों के मालिकाना (सीएडी) पैकेज में किया जाता था। बाद में वे मानक अभिकलित्र आलेखिकी पैकेज का हिस्सा बन गए।

रीयल-टाइम, NURBS वक्र और सतहों का पारस्परिक प्रतिपादन पहली बार 1989 में सिलिकॉन आलेखिकी वर्कस्टेशन पर व्यावसायिक रूप से उपलब्ध कराया गया था। 1993 में, पीसीएस के लिए पहला पारस्परिक NURBS मॉडेलर, जिसे NöRBS कहा जाता है, बर्लिन के तकनीकी विश्वविद्यालय के साथ सहयोग करने वाली एक छोटी सी कंपनी सीएएस बर्लिन द्वारा विकसित किया गया था।

निरंतरता
निर्माणाधीन एक सतह, के उदाहरण में एक मोटर याट का पतवार सामान्तया कई NURBS सतहों से बना होता है जिन्हें NURBS पैच (या सिर्फ पैच) के रूप में जाना जाता है। इन सतह पैचों को इस तरह से एक साथ फिट किया जाना चाहिए कि सीमाएं अदृश्य हों। यह गणितीय रूप से ज्यामितीय परमापीय की अवधारणा द्वारा व्यक्त किया गया है।

उच्च-स्तरीय उपकरण मौजूद हैं जो विभिन्न स्तरों की ज्यामितीय परमापीय बनाने और स्थापित करने के लिए NURBS की क्षमता से लाभान्वित होते हैं। ज्यामितीय परमापीय मुख्य रूप से परिणामी सतह के आकार को संदर्भित करती है; चूँकि NURBS सतहें कार्य करती हैं, मापदंडों के संबंध में सतह के व्युत्पन्न पर वाद-विवाद करना संभव होता है। इसे प्राचलिक परमापीय के रूप में जाना जाता है। और किसी दिए गए मात्रा की प्राचलिक परमापीय का तात्पर्य उस मात्रा की ज्यामितीय परमापीय से होती है
 * स्थितीय परमापीय (G0) तब भी धारण करता है जब दो वक्रों या सतहों की अंतिम स्थिति संपाती होती है। वक्र या सतहें अभी भी एक कोण पर मिल सकती हैं, जो एक तेज कोने या किनारे को जन्म देती हैं और टूटी हुई झलकियाँ का कारण बनती हैं।
 * स्पर्शरेखा परमापीय (G¹) के लिए आवश्यक है कि वक्र या सतहों के अंत सदिश समानान्तर होते है और एक ही दिशा में, तेज किनारों को अस्वीकृत करते हैं। क्योंकि स्पर्शरेखीय रूप से निरंतर किनारे पर पड़ने वाले झलकियाँ सदैव निरंतर होती हैं और स्वाभाविक प्रतीत होता है कि परमापीय का यह स्तर प्रायः पर्याप्त हो सकता है।
 * वक्रता परमापीय (G²) के लिए अंत सदिशों की समान लंबाई और लंबाई परिवर्तन की दर की आवश्यकता होती है। वक्रता-निरंतर किनारे पर गिरने वाली झलकियाँ कोई भी परिवर्तन प्रदर्शित नहीं करती हैं, जिससे दो सतहें एक जैसी दिखाई देती हैं। यह देखने में पूर्णतया समतल है। परमापीय का यह स्तर उन मॉडलों के निर्माण में बहुत उपयोगी है जिनके लिए एक निरंतर सतह बनाने के लिए कई द्वि-घन पैच की आवश्यकता होती है।

प्रथम- और द्वितीय-स्तर प्राचलिक परमापीय (C0 और C¹) स्थितीय और स्पर्शरेखा (G0 और G¹) परमापीय के समान व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए हैं। तृतीय-स्तरीय प्राचलिक परमापीय (C²), चूँकि, वक्रता परमापीय से अलग है क्योंकि इसका परमापीकरण भी निरंतर होता है। व्यवहार में, यदि समान बी-पट्टी का उपयोग किया जाता है तो C² का परमापीय प्राप्त करना आसान होता है।

Cn परमापीय की परिभाषा के लिए आवश्यक है कि सन्निकट वक्रों/सतहों का nवां व्युत्पन्न ($$d^n C(u)/du^n$$) जोड़ पर बराबर होते हैं। ध्यान दें कि वक्रों और सतहों के (आंशिक) व्युत्पन्न सदिश होते हैं जिनकी दिशा और परिमाण दोनों बराबर होते है।

झलकियाँ और प्रतिबिंब उत्तम सपाटकरण को प्रकट करते हैं, जो कि NURBS सतहों के बिना प्राप्त करना व्यावहारिक रूप से असंभव है, जिसमें कम से कम G² परमापीय होता है। इस सिद्धांत का उपयोग सतह मूल्यांकन विधियों में से एक के रूप में किया जाता है जिससे किसी सतह की एक किरण का पता लगाया जाता है या उस पर प्रतिबिंबित होने वाली सफेद धारियों वाली छवि किसी सतह या सतहों के समुच्चय पर सबसे छोटे विचलन को भी दिखाती है। यह विधि कार प्रतिमान से ली गई है, जिसमें कार की सतह पर नियॉन-लाइट छत के प्रतिबिंबों की गुणवत्ता की जांच करके सतह की गुणवत्ता का निरीक्षण किया जाता है। इस पद्धति को ज़ेबरा विश्लेषण के रूप में जाना जाता है।

तकनीकी विनिर्देश
एक NURBS वक्र को उसके क्रम, भारित नियंत्रण बिंदुओं के एक समुच्चय और एक सार  सदिश  द्वारा परिभाषित किया गया है। NURBS वक्र और सतहें बी-पट्टी और बेज़ियर वक्रों और सतहों दोनों का सामान्यीकरण हैं, प्राथमिक अंतर नियंत्रण बिंदुओं का भार है, जो NURBS वक्रो को तर्कसंगत बनाता है। (गैर-तर्कसंगत, अन्य ​​​​सरल, बी-पट्टी का एक विशेष स्थिति का सब समुच्चय  है, जहां प्रत्येक नियंत्रण बिंदु एक समरूप निर्देशांक के बजाय एक नियमित गैर-समरूप समन्वय 'डब्ल्यू' है। यह प्रत्येक नियंत्रण बिंदु पर वजन 1 होने के बराबर है, पर्याप्त बी-पट्टी प्रत्येक नियंत्रण बिंदु के 'w' भार के रूप में उपयोग करते हैं। )

नियंत्रण बिंदुओं के दो विमीय जाल का उपयोग करके, समतल पैच और गोले के वर्गों सहित NURBS सतहों को बनाया जा सकता है। इन्हें सामान्तया एस टी या यू वी नामक दो चर के साथ परमापीकरण किया जाता है। इसे NURBS प्रतिचित्रण  $$\mathbb{R}^n\to \mathbb{R}^n$$ बनाने के लिए यादृच्छिक विमा तक बढ़ाया जा सकता है।

NURBS वक्र और सतहें कई कारणों से उपयोगी हैं।
 * किसी दिए गए क्रम के लिए NURBS का समुच्चय सजातीय रूपांतरण के तहत अपरिवर्तनीय होता है। घूर्णन और परिक्रमणहीन एक समान गतिविधि जैसे संचालनों को उनके नियंत्रण बिंदुओं पर लागू करके NURBS वक्रों और सतहों पर लागू किया जा सकता है।
 * वे मानक विश्लेषणात्मक आकृतियों (जैसे, शांकव) और मुक्त-रूप आकृतियों दोनों के लिए एक सामान्य गणितीय रूप प्रदान करते हैं।
 * वे विभिन्न प्रकार की आकृतियों को डिजाइन करने के लिए लचीलापन प्रदान करते हैं।
 * वे आकृतियों को संग्रहीत करते समय स्मरण शक्ति की ज़रूरत,को कम करते हैं (सरल तरीकों की तुलना में)।
 * संख्यात्मक रूप से स्थिर और सटीक कलन विधि द्वारा उनका यथोचित शीघ्रता से मूल्यांकन किया जाता है।

यहाँ, NURBS अधिकतर एक विमीय वक्र में होता है, इसे दो सतहों या अधिक विमा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

क्रम
NURBS वक्र का क्रम पास के नियंत्रण बिंदुओं की संख्या को परिभाषित करता है जो वक्र पर किसी दिए गए बिंदु को प्रभावित करते हैं। वक्र को वक्र के क्रम से एक कोटि कम के बहुपद द्वारा गणितीय रूप से दर्शाया जाता है। इसलिए, दूसरे क्रम के वक्र को रैखिक वक्र कहा जाता है (जो रैखिक बहुपदों द्वारा दर्शाए जाते हैं), तीसरे क्रम के वक्र को द्विघात वक्र कहा जाता है, और चौथे क्रम के वक्र को घन वक्र कहा जाता है। नियंत्रण बिंदुओं की संख्या वक्र के क्रम से अधिक या उसके बराबर होनी चाहिए।

प्रयोग में, क्यूबिक वक्र सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले हैं। पांचवें और छठे क्रम के वक्र कभी-कभी उपयोगी होते हैं, विशेष रूप से निरंतर उच्च क्रम के व्युत्पन्न प्राप्त करने के लिए है, लेकिन उच्च क्रम के वक्रों का व्यावहारिक रूप से कभी उपयोग नहीं किया जाता है। क्योंकि वे आंतरिक संख्यात्मक समस्याओं का कारण बनते हैं और असमान रूप से बड़ी गणना समय की आवश्यकता होती है।

नियंत्रण बिंदु
नियंत्रण बिंदु वक्र के आकार को निर्धारित करते हैं। सामान्तया, वक्र के प्रत्येक बिंदु की गणना कई नियंत्रण बिंदुओं का भारित योग करके की जाती है। प्रत्येक बिंदु का वजन शासकीय मापदण्ड के अनुसार भिन्न होता है। कोटि डी के वक्र के लिए, मापदण्ड के क्षेत्र डी + 1 अंतराल में किसी भी नियंत्रण बिंदु का वजन केवल गैर-शून्य होता है। उन अंतरालों के भीतर, कोटि  डी के बहुपद फलन(आधार फलन) के अनुसार वजन बदलता है। और अंतराल की सीमाओं पर, आधार फलन सुचारू रूप से बहुपद की कोटि  द्वारा निर्धारित किया जाता है और समतलता शून्य करने के लिए जाना जाता है। एक उदाहरण के रूप में, कोटि का आधार फलन त्रिकोण फलन होता है। यह शून्य से 1 तक बढ़ता है, फिर शून्य पर गिर जाता है। जब यह बढ़ता है, तो पिछले नियंत्रण बिंदु का आधार फलन गिरता है। इस प्रकार, वक्र दो बिंदुओं के बीच प्रक्षेपित होता है और परिणामी वक्र एक बहुभुज होता है, जो निरंतर, लेकिन अंतराल सीमाओं या सार पर भिन्न नहीं होता है।.उच्च कोटि के बहुपदों में संगत रूप से अधिक अविच्छिन्न क्षेत्र होते हैं। ध्यान दें कि आधार फलन और निर्माण की रैखिकता के बहुपद स्वरूप के अंतराल के भीतर वक्र पूरी तरह से समतल हो जाता है, इसलिए यह केवल उन सार पर जो अनिरंतरता उत्पन्न हो सकती है।

कई अनुप्रयोगों में तथ्य यह है कि एक एकल नियंत्रण बिंदु केवल उन अंतरालों को प्रभावित करता है जहां यह सक्रिय होता है, एक अत्यधिक वांछनीय गुण है, जिसे 'स्थानीय समर्थन' के रूप में जाना जाता है। प्रतिरूपण में, यह अन्य भागों को अपरिवर्तित रखते हुए सतह के एक हिस्से को बदलने की अनुमति देता है।

अधिक नियंत्रण बिंदुओं को जोड़ने से किसी दिए गए वक्र के लिए बेहतर सन्निकटन की अनुमति मिलती है, यद्यपि वक्रों का एक निश्चित वर्ग को नियंत्रण बिंदुओं की सीमित संख्या के साथ सटीक रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। NURBS वक्र में प्रत्येक नियंत्रण बिंदु के लिए एक अदिश भार होता है। यह नियंत्रण बिंदुओं की संख्या को अनावश्यक रूप से बढ़ाए बिना वक्र के आकार पर अधिक नियंत्रण की अनुमति देता है। विशेष रूप से, यह वक्रों के समुच्चय में वृत्तो और दीर्घवृत्त जैसे शंकु वर्गों को जोड़ता है जिन्हें सटीक रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। NURBS में तर्कसंगत शब्द इन भारों को को दर्शाता है।

नियंत्रण बिंदुओं में कोई भी विमीय हो सकता है। एक-विमीय बिंदु केवल मापदण्ड के अदिश(गणित) फलन को परिभाषित करते हैं। सामान्यतया इनका उपयोग प्रतिबिंब संसाधन फलन में चमक और रंग वक्रो को समायोजित करने के लिए किया जाता है। 3डी प्रतिरूपण में त्रि-विमीय नियंत्रण बिंदुओं का बहुलता से प्रयोग किए जाते हैं, जहाँ हर प्रकार के 3 डी क्षेत्र में "बिंदु" शब्द के प्रत्येक अर्थ में उनका प्रयोग किया जाता है। समय-चालित मूल्यों के समुच्चय को नियंत्रित करने के लिए बहु-विमीय बिंदुओं का उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए  एक रोबोट भुजा की विभिन्न स्थितीय और घूर्णी समुच्चय िंग्स, NURBS सतहें का एक अनुप्रयोग हैं। प्रत्येक नियंत्रण 'बिंदु' वास्तव में वक्र को परिभाषित करते हुए नियंत्रण बिंदुओं का एक पूर्ण सदिश है। ये वक्र अपनी कोटि  और नियंत्रण बिंदुओं की संख्या साझा करते हैं, और मापदंड के क्षेत्र एक विमीय को फैलाते हैं। मापदंड क्षेत्र के दूसरे विमीय पर इन नियंत्रण सदिश को प्रक्षेपित करके, वक्रों का एक सतत समुच्चय प्राप्त किया जाता है, जो सतह को परिभाषित करता है।

सार सदिश
सार सदिश, मापदंड मानों का एक अनुक्रम होता है, जो यह निर्धारित करता है कि नियंत्रण बिंदु कहां और कैसे NURBS वक्र को प्रभावित करते हैं। सार की संख्या सदैव नियंत्रण बिंदुओं की संख्या प्लस वक्र की कोटि प्लस वन के बराबर होती है, (जैसे नियंत्रण बिंदुओं की संख्या और वक्र क्रम के बराबर होते है)। सार सदिश पहले उल्लेखित अंतराल में प्राचलिक क्षेत्र को विभाजित करता है, जिसे सामान्यतया सार अवधि के नाम से जाना जाता है। प्रत्येक बार मापदण्ड मान एक नए सार विस्तार में प्रवेश करता है, एक नया नियंत्रण बिंदु सक्रिय हो जाता है, जबकि एक पुराने नियंत्रण बिंदु को त्याग दिया जाता है। यह निम्नानुसार है कि सार सदिश में मान गैर-घटते क्रम में होना चाहिए, इसलिए (0, 0, 1, 2, 3, 3) मान्य है जबकि (0, 0, 2, 1, 3, 3) नहीं है।

क्रमिक सार का समान मूल्य हो सकता है। यह तब शून्य लंबाई के सार अवधि को परिभाषित करता है, जिसका अर्थ है कि दो नियंत्रण बिंदु एक ही समय में सक्रिय होते हैं (और निश्चित रूप से दो नियंत्रण बिंदु निष्क्रिय हो जाते हैं)। इसका परिणामी वक्र या इसके उच्च व्युत्पन्नों की परमापीय पर प्रभाव पड़ता है, उदाहरण के लिए, यह एक अन्य समतल NURBS वक्र में कोनों के निर्माण की अनुमति देता है। कई संयोगी सार को कभी-कभी एक निश्चित 'बहुलता' वाली सार  के रूप में संदर्भित किया जाता है। दो या तीन की बहुलता वाली सार को दोहरी या तिहरी सार कहा जाता है। सार की बहुलता वक्र की कोटि तक सीमित होती है, चूँकि एक उच्च बहुलता वक्र को अलग-अलग भागों में विभाजित कर देगी और यह नियंत्रण बिंदुओं को अप्रयुक्त छोड़ देगी। प्रथम-कोटि NURBS के लिए, प्रत्येक सार  को एक नियंत्रण बिंदु के साथ जोड़ा जाता है।

सार सदिश  सामान्यतः एक सार  से शुरू होता है जिसमें बहुलता क्रम के बराबर होती है। यह समझ में आता है, क्योंकि यह उन नियंत्रण बिंदुओं को सक्रिय करता है जिनका प्रभाव पहली सार की अवधि पर पड़ता है। इसी तरह, सार  सदिश  सामान्यतः उस बहुलता की सार  के साथ समाप्त होता है। ऐसे सार सदिश वाले वक्र एक नियंत्रण बिंदु पर शुरू और समाप्त होते हैं।

सार के मान निविष्‍टि मापदण्ड और संबंधित NURBS मान के बीच मानचित्रण को नियंत्रित करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि NURBS क्षेत्र के माध्यम से किसी पथ का वर्णन करती है, तो सार उस समय को नियंत्रित करती हैं जब फलन नियंत्रण बिंदुओं से आगे बढ़ता है। आकृतियों का प्रतिनिधित्व करने के प्रयोजनों के लिए, चूँकि, सार मूल्यों के बीच के अंतर का अनुपात ही महत्व रखता है, उस स्थिति में, सार  सदिश (0, 0, 1, 2, 3, 3) और (0, 0, 2, 4, 6, 6) समान वक्र उत्पन्न करते हैं। सार  मूल्यों की स्थिति मापदण्ड क्षेत्रौ के मानचित्रण को वक्र क्षेत्र पर प्रभावित करती है। एक NURBS वक्र का प्रतिपादन सामान्तया मापदण्ड रेंज के माध्यम से एक निश्चित कदम के साथ किया जाता है। सार अवधि की लंबाई बदलकर, क्षेत्रों में प्रतिरूप बिंदुओं का उपयोग किया जा सकता है,जहां वक्रता अधिक होती है। एक अन्य उपयोग उन स्थितियों में होता है जहां मापदण्ड मान का कुछ भौतिक महत्व होता है, उदाहरण के लिए यदि मापदण्ड समय है और वक्र एक रोबोट भुजा की गति का वर्णन करता है। सार  की लंबाई फिर वेग और त्वरण में तब्दील हो जाती है, जो रोबोट के भुजा या उसके पर्यावरण को नुकसान से बचाने के लिए सही पाने के लिए आवश्यक हैं। मानचित्रण में यह लचीलापन है जो NURBS में गैर-समान वाक्यांश को संदर्भित करता है।

केवल आंतरिक गणना के लिए ही आवश्यक है, सार सामान्तया प्रतिरूपण सॉफ़्टवेयर के उपयोगकर्ताओं के लिए सहायक नहीं होते हैं। इसलिए, कई प्रतिरूपण अनुप्रयोग सार को संपादन योग्य या यहां तक ​​कि दृश्यमान नहीं बनाते हैं। नियंत्रण बिंदुओं में भिन्नता को देखकर सामान्तया उचित सार  सदिश स्थापित करना संभव होता है। NURBS सॉफ़्टवेयर के नवीनतम संस्करण संस्करण (जैसे, ऑटोडेस्क माया और गैंडा 3D) सार की स्थिति के पारस्परिक  संपादन की अनुमति देते हैं, लेकिन यह नियंत्रण बिंदुओं के संपादन की तुलना में काफी कम सहज ज्ञान युक्त होते है।

आधार फलनों का निर्माण
NURBS वक्रों के निर्माण में उपयोग किए जाने वाले B-पट्टी आधार फलनों को सामान्तया $$N_{i,n}(u)$$ से चिह्नित किया जाता है, जिसमें $$i$$ के अनुरूप कार्य होता है, और $$i$$वें नियंत्रण बिंदु, और $$n$$ आधार फलन की कोटि साथ मेल खाती है। मापदण्ड निर्भरता को सदैव छोड़ दिया जाता है, इसलिए हम $$N_{i,n}$$.लिख सकते हैं इन आधार फलनों की परिभाषा $$n$$ में पुनरावर्ती है कोटि -0 फलन $$N_{i,0}$$ टुकड़े-टुकड़े में स्थिर फलन हैं। वे संबंधित सार अवधि पर एक हैं और हर जगह शून्य हैं। प्रभावी रूप से, $$N_{i,n}$$ का एक रैखिक प्रक्षेप है $$N_{i,n-1}$$ तथा $$N_{i+1,n-1}$$. बाद के दो फलन $$n$$ सार विस्तार के लिए गैर-शून्य हैं, $$n-1$$ सार विस्तार के लिए अतिव्यापन होते है। फलन $$N_{i,n}$$ की गणना



$$f_i$$ रैखिक रूप से अंतराल शून्य से एक तक बढ़ता है जहां  $$N_{i,n-1}$$ गैर-शून्य है, जबकि $$g_{i+1}$$ अंतराल पर एक से शून्य तक गिर जाता है जहां $$N_{i+1,n-1}$$ गैर-शून्य है। जैसा पहले बताया गया है, $$N_{i,1}$$ एक त्रिकोणीय फलन है, पहले पर शून्य से एक तक बढ़ते हुए दो सार विस्तार पर अशून्य, और दूसरी सार अवधि पर शून्य तक गिरना। उच्च क्रम के आधार फलन गैर-शून्य होते हैं जो कि अधिक सार फैलाव के अनुरूप होते हैं और इसके अनुरूप उच्च कोटि होती है। यदि $$u$$ मापदण्ड है, और $$k_i$$के $$i$$ वें सार है तथा इन्हे हम फलन f और g के रूप में लिख सकते हैं।


 * $$f_{i,n}(u) = {{u - k_i} \over {k_{i+n} - k_i}}$$

तथा


 * $$g_{i,n}(u) = 1 - f_{i,n}(u) = {{k_{i+n} - u} \over {k_{i+n} - k_{i}}}$$

फलन $$f$$ तथा $$g$$ धनात्मक होते हैं जब संगत निचले क्रम के आधार फलन गैर-शून्य होते हैं। n पर गणितीय आगमन से यह पता चलता है कि के सभी मानों के लिए आधार फलन $$n$$ तथा $$u$$ गैर-ऋणात्मक होते है, यह आधार फलन की गणना को संख्यात्मक रूप से स्थिर बनाता है।

फिर से प्रेरण द्वारा, यह साबित किया जा सकता है कि मापदण्ड के किसी विशेष मान के लिए आधार फलनों का योग एकात्मकता होती है। इसे आधार फलनों के एकात्मकता गुण के विभाजन के रूप में जाना जाता है।



आंकड़े सार के लिए रैखिक और द्विघात आधार फलनों को दिखाते हैं {..., 0, 1, 2, 3, 4, 4.1, 5.1, 6.1, 7.1, ...}

एक सार विस्तार अन्य की तुलना में काफी कम होता है। उस सार की अवधि पर, द्विघात आधार फलन में में शिखर अधिक विशिष्ट है, लगभग एक तक पहुँचने के विपरीत, निकटवर्ती आधार फलन अधिक तेज़ी से शून्य हो जाते हैं। ज्यामितीय व्याख्या में, इसका मतलब है कि वक्र संबंधित नियंत्रण बिंदु के करीब पहुंचता है। एक डबल सार  के स्थिति में, सार अवधि की लंबाई शून्य हो जाती है और शिखर एक तक पहुँच जाता है। आधार फलन अब उस बिंदु पर भिन्न नहीं है। यदि निकटतम नियंत्रण बिंदु समरेख नहीं हैं तो वक्र पर नुकीला कोना होगा।

एक NURBS वक्र का सामान्य रूप
आधार फलनों की परिभाषाओं का उपयोग करना $$N_{i,n}$$ पिछले अनुच्छेद से, एक NURBS वक्र निम्न रूप लेता है:


 * $$C(u) = \sum_{i=1}^{k} {\frac

{N_{i,n}(u)w_i} {\sum_{j=1}^k N_{j,n}(u)w_j}} \mathbf{P}_i = \frac {\sum_{i=1}^k {N_{i,n}(u)w_i \mathbf{P}_i}} {\sum_{i=1}^k {N_{i,n}(u)w_i}} $$ इसमें, $$k$$ नियंत्रण बिंदुओं की संख्या है $$\mathbf{P}_i$$ तथा $$w_i$$ संगत भार हैं। भाजक एक सामान्य कारक है जो एक का मूल्यांकन करता है यदि सभी भार एक हैं। और इसे आधार फलनों की एकात्मकता गुण के विभाजन के रूप में देखा जाता है। इसे इस रूप में लिखने की प्रथा है


 * $$C(u)=\sum_{i=1}^k R_{i,n}(u)\mathbf{P}_i$$

जिसमें फलन को,


 * $$R_{i,n}(u) = {N_{i,n}(u)w_i \over \sum_{j=1}^k N_{j,n}(u)w_j}$$

परिमेय आधार फलन के रूप में जाना जाता है।

एक NURBS सतह का सामान्य रूप
एक NURBS सतह को दो NURBS वक्रों के प्रदिश गुणनफल के रूप में प्राप्त किया जाता है, इस प्रकार दो स्वतंत्र मापदंडों का उपयोग किया जाता है $$u$$ तथा $$v$$ सूचकांक के साथ $$i$$ तथा $$j$$ क्रमश


 * $$S(u,v) = \sum_{i=1}^k \sum_{j=1}^l R_{i,j}(u,v) \mathbf{P}_{i,j} $$

साथ


 * $$R_{i,j}(u,v) = \frac {N_{i,n}(u) N_{j,m}(v) w_{i,j}} {\sum_{p=1}^k \sum_{q=1}^l N_{p,n}(u) N_{q,m}(v) w_{p,q}}$$

तर्कसंगत आधार फलनों के रूप में होता है।

NURBS वस्तुओं में हेरफेर करना
कई रूपांतरणों को एक NURBS वस्तु पर लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि वक्र को एक निश्चित कोटि और N नियंत्रण बिंदुओं के उपयोग से परिभाषित किया जाता है, तो वक्र को कोटि और N+1 नियंत्रण बिंदुओं का उपयोग करते हुए व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रक्रिया में कई नियंत्रण बिंदु स्थिति को बदलते हैं और सार सदिश में एक सार अन्तर्स्थापित की जाती है। पारस्परिक  डिज़ाइन के दौरान इन परिचालन का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है। नियंत्रण बिंदु जोड़ते समय, वक्र का आकार वही रहना चाहिए, जिससे आगे के समायोजन के लिए शुरुआती बिंदु बन सके। इनमें से कई संक्रिया पर नीचे चर्चा की गई है।

सार सम्मिलन
जैसा कि शब्द से पता चलता है, सार सम्मिलन सार सदिश में एक सार सम्मिलित करता है। यदि वक्र की कोटि $$n$$ है, तो $$n-1$$ नियंत्रण बिंदुओं को $$n$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है और एक नए वक्र का आकार समान रहता है।

एक सार की अधिकतम बहुलता, को कई बार अन्तर्निविष्ट किया जाता है। इसे कभी-कभी सार शोधन के रूप में संदर्भित किया जाता है और इसे एक कलां विधि द्वारा प्राप्त किया जा सकता है जो बार-बार सार सम्मिलन की तुलना में अधिक कुशल होते है।

सार हटाना
सार हटाना सार  सम्मिलन का उल्टा है। इसका उद्देश्य अधिक सघन प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए सार और संबंधित नियंत्रण बिंदुओं को हटाना है। स्पष्ट है कि वक्र की सही आकृति को बनाए रखते हुए यह सदैव संभव नहीं होता है। व्यवहार में, सटीकता में सहिष्णुता का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जाता है कि क्या सार को हटाया जा सकता है। प्रक्रिया का उपयोग एक पारस्परिक सत्र के बाद परिशोधन के लिए किया जाता है जिसमें नियंत्रण बिंदुओं को हस्तचालित रूप से या प्राप्त करने के बाद जोड़ा जा सकता है, जहां एक सीधी रूपांतरण प्रक्रिया निरर्थक नियंत्रण बिंदुओं की ओर ले जाती है

कोटि उन्नयन
किसी विशेष कोटि के NURBS वक्र को हमेशा उच्च कोटि  के NURBS वक्र द्वारा दर्शाया जा सकता है। अलग-अलग NURBS कर्व्स को जोड़ते समय इसका अक्सर उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, NURBS कर्व्स के एक समुच्चय के बीच एक NURBS सरफेस बनाते समय या आसन्न कर्व्स को एकीकृत करते समय। प्रक्रिया में, विभिन्न वक्रों को एक ही कोटि  तक लाया जाना चाहिए, आमतौर पर वक्रों के समुच्चय  की अधिकतम कोटि । प्रक्रिया को कोटि  ऊंचाई के रूप में जाना जाता है।

वक्रता
विभेदक ज्यामिति में सबसे महत्वपूर्ण गुण वक्रता है $$\kappa$$. यह स्थानीय गुणों (किनारों, कोनों, आदि) और पहले और दूसरे व्युत्पन्न के बीच संबंधों का वर्णन करता है, और इस प्रकार, सटीक वक्र आकार।  अवकलज निर्धारित करने के बाद गणना करना आसान है $$\kappa=\frac{|r'(t) \times r(t)|}{|r'(t)|^3}$$ या दूसरे व्युत्पन्न  से चाप की लम्बाई के रूप में अनुमानित $$\kappa=|r(s_o)|$$. वक्रता की सीधी गणना $$\kappa$$ इन समीकरणों के साथ उनके बहुभुज अभ्यावेदन के विरुद्ध परिचालित वक्रों का बड़ा लाभ है।

उदाहरण: एक वृत्त
गैर-तर्कसंगत स्प्लाइन या बेज़ियर वक्र एक वृत्त का अनुमान लगा सकते हैं, लेकिन वे इसका सटीक रूप से प्रतिनिधित्व नहीं कर सकते। रैशनल स्प्लाइन सटीक रूप से वृत्त सहित किसी भी शंकु खंड का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। यह प्रतिनिधित्व अद्वितीय नहीं है, लेकिन एक संभावना नीचे दिखाई देती है: क्रम तीन है, क्योंकि एक वृत्त एक द्विघात वक्र है और पट्टी का क्रम इसके टुकड़ेवार बहुपद खंडों की कोटि से एक अधिक है। सार  सदिश  है $$\{0, 0, 0, \pi/2, \pi/2, \pi, \pi, 3\pi/2, 3\pi/2, 2\pi, 2\pi, 2\pi\}\,$$. वृत्त चार चौथाई वृत्तों से बना होता है, जो दोहरे सार के साथ एक साथ बंधे होते हैं। हालांकि तीसरे क्रम में डबल समुद्री मील NURBS वक्र सामान्य रूप से पहले व्युत्पन्न में परमापीय के नुकसान का परिणाम होगा, नियंत्रण बिंदु इस तरह से स्थित होते हैं कि पहला व्युत्पन्न निरंतर होता है। वास्तव में, वक्र हर जगह असीम रूप से भिन्न होता है, जैसा कि होना चाहिए यदि यह वास्तव में एक वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है।

वक्र बिल्कुल एक वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन यह वृत्त की चाप लंबाई में बिल्कुल पैरामीट्रिज्ड नहीं है। इसका मतलब है, उदाहरण के लिए, बिंदु पर $$t$$ पर झूठ नहीं बोलता $$(\sin(t), \cos(t))$$ (प्रत्येक क्वार्टर सर्कल के प्रारंभ, मध्य और अंत बिंदु को छोड़कर, चूंकि प्रतिनिधित्व सममित है)। यह असंभव होगा, क्योंकि सर्कल का एक्स समन्वय एक सटीक तर्कसंगत बहुपद अभिव्यक्ति प्रदान करेगा $$\cos(t)$$, जो असंभव है। वृत्त अपने मापदण्ड के रूप में एक पूर्ण क्रांति करता है $$t$$ 0 से जाता है $$2\pi$$, लेकिन यह केवल इसलिए है क्योंकि सार सदिश  को मनमाने ढंग से गुणकों के रूप में चुना गया था $$\pi/2$$.

यह भी देखें

 * पट्टी (गणित)
 * बेजियर सतह
 * डी बूर का एल्गोरिदम
 * त्रिभुज जाल
 * पॉइंट क्लाउड
 * तर्कसंगत गति
 * आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण

बाहरी संबंध

 * Clear explanation of NURBS for non-experts
 * About Nonuniform Rational B-Splines – NURBS
 * TinySpline: Opensource C-library with bindings for various languages