सातत्य (समुच्चय सिद्धांत)

समुच्चय सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, सातत्य का अर्थ वास्तविक संख्याएं, या संबंधित (अनंत) गणनांक संख्या है, जिसे $$\mathfrak{c}$$ के द्वारा दर्शाया जाता है। जॉर्ज कैंटर ने सिद्ध किया कि गणनांक $$\mathfrak{c}$$ सबसे छोटी अनंतता, अर्थात् $$\aleph_0$$से बड़ी है। उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि $$\mathfrak{c}$$ $$ 2^{\aleph_0}\!$$ के बराबर है, जो प्राकृतिक संख्याओं के घात समुच्चय की प्रमुखता है।

सातत्य की प्रमुखता वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का आकार है। सातत्य परिकल्पना को कभी-कभी यह कहकर कहा जाता है कि सातत्य और प्राकृतिक संख्याओं $$\aleph_0$$, या वैकल्पिक रूप से, $$\mathfrak{c} = \aleph_1$$के बीच कोई प्रमुखता नहीं है।

रेखीय सातत्य
रेमंड वाइल्डर (1965) के अनुसार, चार अभिगृहीत हैं जो एक समुच्चय C और संबंध < को एक रैखिक सातत्य में बनाते हैं: ये अभिगृहीत वास्तविक संख्या रेखा के क्रम प्रकार को दर्शाते हैं।
 * C को < के संबंध में आदेशित किया जाता है।
 * यदि [A,B] C का कट है, तो या तो A में अंतिम अवयव है या B में पहला अवयव है। (डेडेकाइंड कट की तुलना करें)
 * C का एक गैर-रिक्त, गणनीय उपसमुच्चय S उपस्थित है, जैसे कि, यदि x, y ∈ C ऐसा है कि x < y, तो z ∈ S उपस्थित है जैसे कि x < z < y। (पृथक्करण स्वयंसिद्ध)
 * C में कोई पहला अवयव और कोई अंतिम अवयव नहीं है। (असीमितता स्वयंसिद्ध)
 * C का कोई पहला अवयव और कोई अंतिम अवयव नहीं है। (बंधा हुआ समुच्चय)

यह भी देखें

 * अलेफ़ नल
 * सुस्लिन की समस्या
 * अपरिमेय संख्या

ग्रन्थसूची

 * Raymond L. Wilder (1965) The Foundations of Mathematics, 2nd ed., page 150, John Wiley & Sons.