सम्मिश्र ज्यामिति

गणित में, जटिल ज्यामिति जटिल संख्याओं से उत्पन्न या वर्णित ज्यामिति संरचनाओं और निर्माणों का अध्ययन है। विशेष रूप से, जटिल ज्यामिति अंतरिक्ष (गणित) के अध्ययन से संबंधित है जैसे कि जटिल कई गुना और जटिल बीजगणितीय विविधता, कई जटिल चर के कार्य, और होलोमोर्फिक निर्माण जैसे होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल और सुसंगत शीफ। जटिल विश्लेषण के अधिक ज्यामितीय पहलुओं के साथ, बीजगणितीय ज्यामिति के लिए पारलौकिक विधियों का अनुप्रयोग इस श्रेणी में आता है।

सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति बीजगणितीय ज्यामिति, अंतर ज्यामिति और जटिल विश्लेषण के चौराहे पर बैठती है, और तीनों क्षेत्रों के उपकरणों का उपयोग करती है। विभिन्न क्षेत्रों की तकनीकों और विचारों के मिश्रण के कारण, जटिल ज्यामिति की समस्याएं सामान्य से अधिक सुगम या ठोस होती हैं। उदाहरण के लिए, न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम के माध्यम से जटिल मैनिफोल्ड्स और जटिल बीजगणितीय किस्मों का वर्गीकरण और मोडुली रिक्त स्थान का निर्माण क्षेत्र को विभेदक ज्यामिति से अलग करता है, जहां संभव चिकनी मैनिफोल्ड्स का वर्गीकरण काफी कठिन समस्या है। इसके अतिरिक्त, जटिल ज्यामिति की अतिरिक्त संरचना, विशेष रूप से कॉम्पैक्ट जगह  सेटिंग में, वैश्विक विश्लेषण परिणामों के लिए बड़ी सफलता के साथ सिद्ध होने की अनुमति देती है, जिसमें शिंग-तुंग यौ का कैलाबी अनुमान का प्रमाण, हिचिन-कोबायाशी पत्राचार, नॉनबेलियन हॉज पत्राचार शामिल है। और काहलर-आइंस्टीन मेट्रिक्स और निरंतर स्केलर वक्रता काहलर मेट्रिक्स के लिए अस्तित्व के परिणाम। ये परिणाम अक्सर जटिल बीजगणितीय ज्यामिति में वापस आते हैं, और उदाहरण के लिए हाल ही में फ़ानो किस्मों की के-स्थिरता का उपयोग करके फ़ानो मैनिफोल्ड्स का वर्गीकरण |

जटिल ज्यामिति में सैद्धांतिक भौतिकी के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं, जहां अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत, स्ट्रिंग सिद्धांत और दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत) को समझने में यह आवश्यक है। यह अक्सर गणित के अन्य क्षेत्रों में उदाहरणों का एक स्रोत होता है, जिसमें प्रतिनिधित्व सिद्धांत भी शामिल है, जहां बोरेल-वील-बॉट प्रमेय के लिए जटिल ज्यामिति का उपयोग करके सामान्यीकृत ध्वज किस्मों का अध्ययन किया जा सकता है, या सहानुभूति ज्यामिति में, जहां रीमैनियन में काहलर मैनिफोल्ड्स सहानुभूतिपूर्ण हैं ज्यामिति जहां जटिल मैनिफोल्ड कैलाबी-यॉ मैनिफोल्ड्स और हाइपरकाहलर मैनिफोल्ड्स जैसे विदेशी मीट्रिक संरचनाओं के उदाहरण प्रदान करते हैं, और गेज थ्योरी (गणित) में, जहां होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल अक्सर यांग-मिल्स समीकरणों जैसे भौतिकी से उत्पन्न होने वाले महत्वपूर्ण अंतर समीकरणों के समाधान स्वीकार करते हैं।. जटिल ज्यामिति अतिरिक्त रूप से शुद्ध बीजगणितीय ज्यामिति में प्रभावशाली होती है, जहाँ जटिल सेटिंग में विश्लेषणात्मक परिणाम जैसे कि काहलर मैनिफोल्ड्स का हॉज सिद्धांत बीजगणितीय विविधता और योजना (बीजीय ज्यामिति) के साथ-साथ पी-एडिक हॉज सिद्धांत, विरूपण सिद्धांत के लिए हॉज संरचनाओं की समझ को प्रेरित करता है। जटिल मैनिफोल्ड योजनाओं के विरूपण सिद्धांत की समझ को प्रेरित करता है, और जटिल मैनिफोल्ड्स के सह-समरूपता के परिणाम वेइल अनुमानों और ग्रोथेंडिक के मानक अनुमानों के निर्माण को प्रेरित करते हैं। दूसरी ओर, इनमें से कई क्षेत्रों के परिणाम और तकनीकें अक्सर जटिल ज्यामिति में वापस आती हैं, और उदाहरण के लिए स्ट्रिंग थ्योरी और मिरर समरूपता के गणित में विकास ने कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स की प्रकृति के बारे में बहुत कुछ प्रकट किया है, जो स्ट्रिंग सिद्धांतकारों की भविष्यवाणी करनी चाहिए SYZ अनुमान के माध्यम से Lagrangian fibrations की संरचना है, और symplectic manifolds के Gromov-Witten सिद्धांत के विकास ने जटिल किस्मों की गणनात्मक ज्यामिति में प्रगति की है।

हॉज अनुमान, सहस्राब्दी पुरस्कार समस्याओं में से एक, जटिल ज्यामिति में एक समस्या है।

आइडिया
मोटे तौर पर, जटिल ज्यामिति का संबंध स्पेस_ (गणित) और ज्यामिति से है, जो कुछ अर्थों में, जटिल तल पर प्रतिरूपित होते हैं। एकल चर के जटिल तल और जटिल विश्लेषण की विशेषताएँ, जैसे कि उन्मुखता की एक आंतरिक धारणा (अर्थात, जटिल तल में हर बिंदु पर 90 डिग्री वामावर्त को लगातार घुमाने में सक्षम होना), और होलोमोर्फिक_फंक्शन की कठोरता (अर्थात, जटिल ज्यामिति के अध्ययन के सभी रूपों में प्रकट होने के लिए एकल जटिल व्युत्पन्न का अस्तित्व सभी आदेशों के लिए जटिल भिन्नता का तात्पर्य है)। एक उदाहरण के रूप में, प्रत्येक जटिल मैनिफोल्ड कैनोनिक रूप से उन्मुख है, और लिउविल के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) का एक रूप | लिउविल का प्रमेय कॉम्पैक्ट स्पेस कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड या प्रोजेक्टिव विविधता जटिल बीजीय किस्मों पर आधारित है।

जटिल ज्यामिति स्वाद में भिन्न होती है जिसे वास्तविक ज्यामिति कहा जा सकता है, वास्तविक संख्या रेखा के ज्यामितीय और विश्लेषणात्मक गुणों के आधार पर रिक्त स्थान का अध्ययन। उदाहरण के लिए, जबकि स्मूथ मैनिफोल्ड्स एकता के विभाजन को स्वीकार करते हैं, स्मूथ फ़ंक्शंस का संग्रह जो कुछ खुले सेट पर समान रूप से एक के बराबर हो सकता है, और कहीं और समान रूप से शून्य हो सकता है, कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस के ऐसे संग्रह को स्वीकार नहीं करते हैं। दरअसल, यह पहचान प्रमेय की अभिव्यक्ति है, एक एकल चर के जटिल विश्लेषण में एक विशिष्ट परिणाम। कुछ अर्थों में, जटिल ज्यामिति की नवीनता को इस मौलिक अवलोकन में खोजा जा सकता है।

यह सच है कि प्रत्येक जटिल कई गुना विशेष रूप से एक वास्तविक चिकनी कई गुना है। इसका कारण जटिल विमान है $$\mathbb{C}$$ अपनी जटिल संरचना को भूल जाने के बाद, वास्तविक तल के लिए समरूपी है $$\mathbb{R}^2$$. हालांकि, जटिल ज्यामिति को विशेष रूप से अंतर ज्यामिति के एक विशेष उप-क्षेत्र के रूप में नहीं देखा जाता है, चिकनी कई गुना का अध्ययन। विशेष रूप से, जीन पियरे सेरे के बीजगणितीय ज्यामिति और [[विश्लेषणात्मक ज्यामिति]] का कहना है कि प्रत्येक प्रोजेक्टिव विविधता विश्लेषणात्मक विविधता वास्तव में एक बीजगणितीय विविधता है, और विश्लेषणात्मक विविधता पर होलोमोर्फिक डेटा का अध्ययन बीजगणितीय डेटा के अध्ययन के बराबर है।

यह तुल्यता इंगित करती है कि जटिल ज्यामिति कुछ अर्थों में विभेदक ज्यामिति की तुलना में बीजगणितीय ज्यामिति के अधिक निकट है। इसका एक और उदाहरण जो जटिल विमान की प्रकृति से जुड़ा हुआ है, वह यह है कि, एकल चर के जटिल विश्लेषण में, मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन की विशिष्टताएं आसानी से वर्णित हैं। इसके विपरीत, एक निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के संभावित एकवचन व्यवहार को चिह्नित करना अधिक कठिन है। इसके परिणामस्वरूप, जटिल ज्यामिति में विलक्षणता (गणित) रिक्त स्थान का आसानी से अध्ययन किया जा सकता है, जैसे कि एकवचन जटिल [[विश्लेषणात्मक किस्में]] या एकवचन जटिल बीजगणितीय किस्में, जबकि विभेदक ज्यामिति में एकवचन रिक्त स्थान का अध्ययन अक्सर टाला जाता है।

अभ्यास में, जटिल ज्यामिति अंतर ज्यामिति, बीजगणितीय ज्यामिति, और कई जटिल चरों में विश्लेषण के चौराहे पर बैठती है, और एक जटिल ज्यामिति जटिल रिक्त स्थान का अध्ययन करने के लिए तीनों क्षेत्रों के उपकरणों का उपयोग करती है। जटिल ज्यामिति में रुचि की विशिष्ट दिशाओं में जटिल स्थानों का वर्गीकरण प्रमेय, उनसे जुड़ी होलोमोर्फिक वस्तुओं का अध्ययन (जैसे होलोमॉर्फिक वेक्टर बंडल  और सुसंगत ढेर), और जटिल ज्यामितीय वस्तुओं और गणित और भौतिकी के अन्य क्षेत्रों के बीच अंतरंग संबंध शामिल हैं।

परिभाषाएँ
कॉम्प्लेक्स ज्योमेट्री का संबंध जटिल मैनिफोल्ड और जटिल बीजगणितीय विविधता और जटिल-विश्लेषणात्मक विविधता के अध्ययन से है। इस खंड में, इस प्रकार के रिक्त स्थान परिभाषित किए गए हैं और उनके बीच संबंध प्रस्तुत किए गए हैं।

एक जटिल मैनिफोल्ड एक टोपोलॉजिकल स्पेस है $$X$$ ऐसा है कि: ध्यान दें कि चूंकि प्रत्येक बिहोलोमोर्फिज्म एक भिन्नता है, और $$\mathbb{C}^n$$ एक वास्तविक सदिश स्थान के रूप में समरूपता है $$\mathbb{R}^{2n}$$, आयाम के हर जटिल कई गुना $$n$$ विशेष रूप से आयाम का एक सहज कई गुना है $$2n$$, जो हमेशा एक सम संख्या होती है।
 * $$X$$ हौसडॉर्फ_स्पेस और दूसरा गणनीय है।
 * $$X$$ के एक खुले उपसमुच्चय के लिए स्थानीय रूप से होमियोमॉर्फिक है $$\mathbb{C}^n$$ कुछ के लिए $$n$$. यानी हर बिंदु के लिए $$p\in X$$, एक खुला पड़ोस है $$U$$ का $$p$$ और एक होमोमोर्फिज्म $$\varphi: U \to V$$ एक खुले उपसमुच्चय के लिए $$V\subseteq \mathbb{C}^n$$. ऐसे खुले समुच्चय चार्ट कहलाते हैं।
 * अगर $$(U_1,\varphi)$$ और $$(U_2,\psi)$$ कोई भी दो अतिव्यापी चार्ट हैं जो खुले सेट पर मैप करते हैं $$V_1, V_2$$ का $$\mathbb{C}^n$$ क्रमशः, फिर संक्रमण समारोह $$\psi \circ \varphi^{-1}:\varphi(U_1\cap U_2) \to \psi(U_1\cap U_2)$$ एक biholomorphism है।

जटिल मैनिफोल्ड के विपरीत जो हमेशा चिकनी होती हैं, जटिल ज्यामिति भी संभवतः एकवचन रिक्त स्थान से संबंधित होती है। एक जटिल जटिल विश्लेषणात्मक विविधता एक उपसमुच्चय है $$X\subseteq \mathbb{C}^n$$ ऐसा है कि प्रत्येक बिंदु के बारे में $$p\in X$$, एक खुला पड़ोस है $$U$$ का $$p$$ और सूक्ष्म रूप से कई होलोमोर्फिक कार्यों का संग्रह $$f_1, \dots, f_k: U \to \mathbb{C}$$ ऐसा है कि $$X\cap U = \{z\in U \mid f_1(z) = \cdots = f_k(z) = 0\} = Z(f_1,\dots,f_k)$$. परंपरा के अनुसार हमें सेट की भी आवश्यकता होती है $$X$$ अखंडनीय बीजगणितीय सेट होना। एक बिंदु $$p\in X$$ एकवचन है यदि होलोमोर्फिक कार्यों के वेक्टर का जैकबियन मैट्रिक्स  $$(f_1,\dots,f_k)$$ में पूरी रैंक नहीं है $$p$$, और गैर-एकवचन अन्यथा। एक 'प्रक्षेपी जटिल विश्लेषणात्मक किस्म' एक सबसेट है $$X\subseteq \mathbb{CP}^n$$ जटिल प्रक्षेप्य स्थान का, उसी तरह, स्थानीय रूप से खुले उपसमुच्चय पर होलोमोर्फिक कार्यों के एक परिमित संग्रह के शून्य द्वारा दिया जाता है $$\mathbb{CP}^n$$.

इसी तरह एक जटिल जटिल बीजगणितीय विविधता को उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$X\subseteq \mathbb{C}^n$$ जिसे स्थानीय रूप से बहुत से बहुपदों के शून्य सेट के रूप में दिया जाता है $$n$$ जटिल चर। एक प्रक्षेपी जटिल बीजगणितीय विविधता को परिभाषित करने के लिए, सबसेट की आवश्यकता होती है $$X\subseteq \mathbb{CP}^n$$ स्थानीय रूप से कई सजातीय बहुपदों के शून्य सेट द्वारा दिया जाना चाहिए।

एक सामान्य जटिल बीजगणितीय या जटिल विश्लेषणात्मक विविधता को परिभाषित करने के लिए, किसी को स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान की धारणा की आवश्यकता होती है। एक 'जटिल बीजगणितीय/विश्लेषणात्मक विविधता' स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान है $$(X,\mathcal{O}_X)$$ जो स्थानीय रूप से आइसोमोर्फिक है जो स्थानीय रूप से चक्रीय स्थान के रूप में जटिल जटिल बीजगणितीय/विश्लेषणात्मक विविधता के लिए है। विश्लेषणात्मक मामले में, एक आम तौर पर अनुमति देता है $$X$$ खुले उपसमुच्चय के साथ पहचान के कारण स्थानीय रूप से उप-स्थान टोपोलॉजी के समतुल्य एक टोपोलॉजी होना $$\mathbb{C}^n$$, जबकि बीजगणितीय मामले में $$X$$ अक्सर जरिस्की टोपोलॉजी से लैस होता है। फिर से हम भी अधिवेशन द्वारा इस स्थानीय रूप से बजने वाले स्थान को अप्रासंगिक होने की आवश्यकता है।

चूंकि एकवचन बिंदु की परिभाषा स्थानीय है, इसलिए एक affine विश्लेषणात्मक/बीजीय विविधता के लिए दी गई परिभाषा किसी भी जटिल विश्लेषणात्मक या बीजगणितीय विविधता के बिंदुओं पर लागू होती है। विभिन्न प्रकार के बिंदुओं का समूह $$X$$ जो एकवचन हैं उन्हें एकवचन स्थान कहा जाता है, निरूपित किया जाता है $$X^{sing}$$, और पूरक गैर-एकवचन या चिकना स्थान है, जिसे निरूपित किया गया है $$X^{nonsing}$$. हम कहते हैं कि एक जटिल विविधता चिकनी या गैर-एकवचन है यदि इसका एकवचन स्थान खाली है। यानी, अगर यह अपने गैर-विलक्षण स्थान के बराबर है।

होलोमोर्फिक कार्यों के लिए अंतर्निहित कार्य प्रमेय द्वारा, प्रत्येक जटिल मैनिफोल्ड विशेष रूप से एक गैर-एकवचन जटिल विश्लेषणात्मक विविधता है, लेकिन सामान्य संबंध या प्रोजेक्टिव में नहीं है। सेरे के गागा प्रमेय द्वारा, प्रत्येक प्रक्षेपी जटिल विश्लेषणात्मक विविधता वास्तव में एक प्रक्षेपी जटिल बीजगणितीय विविधता है। जब एक जटिल विविधता गैर-एकवचन होती है, तो यह एक जटिल कई गुना होती है। अधिक आम तौर पर, किसी भी जटिल विविधता का गैर-विलक्षण स्थान एक जटिल कई गुना है।

काहलर कई गुना
कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स का अंतर ज्यामिति के परिप्रेक्ष्य से अध्ययन किया जा सकता है, जिससे वे अतिरिक्त ज्यामितीय संरचनाओं से लैस होते हैं जैसे कि रिमेंनियन मेट्रिक या सहानुभूतिपूर्ण रूप इस अतिरिक्त संरचना के लिए जटिल ज्यामिति के लिए प्रासंगिक होने के लिए, इसे एक उपयुक्त अर्थ में जटिल संरचना के साथ संगत होने के लिए कहना चाहिए। एक काहलर मैनिफोल्ड एक जटिल मैनिफोल्ड है जिसमें रिमेंनियन मीट्रिक और जटिल संरचना के साथ सहानुभूतिपूर्ण संरचना है। काहलर मैनिफोल्ड का प्रत्येक जटिल सबमैनीफोल्ड काहलर है, और इसलिए विशेष रूप से प्रत्येक गैर-एकवचन संबंध या प्रक्षेपी जटिल विविधता काहलर है, मानक हर्मिटियन मीट्रिक को प्रतिबंधित करने के बाद $$\mathbb{C}^n$$ या फ़ुबिनी-अध्ययन मीट्रिक ऑन $$\mathbb{CP}^n$$ क्रमश।

काहलर मैनिफोल्ड्स के अन्य महत्वपूर्ण उदाहरणों में रीमैन सतहें, K3 सतहें और कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स शामिल हैं।

स्टीन कई गुना
सेरे के गागा प्रमेय का दावा है कि प्रक्षेपी जटिल विश्लेषणात्मक किस्में वास्तव में बीजगणितीय हैं। जबकि यह एफ़िन किस्मों के लिए पूरी तरह से सच नहीं है, जटिल मैनिफोल्ड्स का एक वर्ग है जो स्टीन कई गुना कहे जाने वाले एफ़ाइन जटिल बीजगणितीय किस्मों की तरह बहुत अधिक कार्य करता है। कई गुना $$X$$ स्टीन है अगर यह होलोमोर्फिक रूप से उत्तल और होलोमोर्फिक रूप से अलग करने योग्य है (तकनीकी परिभाषाओं के लिए स्टीन मैनिफोल्ड्स पर लेख देखें)। हालांकि यह दिखाया जा सकता है कि यह इसके बराबर है $$X$$ का एक जटिल सबमनीफोल्ड होना $$\mathbb{C}^n$$ कुछ के लिए $$n$$. एक अन्य तरीका जिसमें स्टीन मैनिफोल्ड्स जटिल बीजगणितीय किस्मों के समान हैं, वह यह है कि कार्टन के प्रमेय ए और बी स्टीन मैनिफोल्ड्स के लिए हैं।

स्टीन मैनिफोल्ड्स के उदाहरणों में गैर-कॉम्पैक्ट रीमैन सतहें और गैर-एकवचन एफ़िन जटिल बीजगणितीय किस्में शामिल हैं।

हाइपर-कैहलर कई गुना
कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड्स का एक विशेष वर्ग हाइपर-काहलर मैनिफोल्ड्स है, जो रीमैनियन कई गुना हैं जो तीन अलग-अलग संगत लगभग जटिल मैनिफोल्ड को स्वीकार करते हैं # एकीकृत लगभग जटिल संरचनाएं $$I,J,K$$ जो Quaternion को संतुष्ट करता है $$I^2 = J^2 = K^2 = IJK = -\operatorname{Id}$$. इस प्रकार, हाइपर-काहलर मैनिफोल्ड तीन अलग-अलग तरीकों से काहलर मैनिफोल्ड हैं, और बाद में एक समृद्ध ज्यामितीय संरचना है।

हाइपर-कैहलर मैनिफोल्ड्स के उदाहरणों में गुरुत्वाकर्षण पल, K3 सरफेस, हिग्स बंडल मोडुली स्पेस, Quiver_(mathematics)#Quiver_Variety, और गेज सिद्धांत और रिप्रेजेंटेशन थ्योरी से उत्पन्न होने वाले कई अन्य मॉडुलि स्पेस शामिल हैं।

कैलाबी-आज कई गुना
जैसा कि उल्लेख किया गया है, कैहलर मैनिफोल्ड्स का एक विशेष वर्ग कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स द्वारा दिया गया है। ये काहलर मैनिफोल्ड्स द्वारा तुच्छ विहित बंडल के साथ दिए गए हैं $$K_X = \Lambda^n T_{1,0}^* X$$. आम तौर पर कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड की परिभाषा की भी आवश्यकता होती है $$X$$ कॉम्पैक्ट होना। इस मामले में शिंग-तुंग यौ|याउ के कैलाबी अनुमान के प्रमाण का तात्पर्य है कि $$X$$ रिक्की वक्रता गायब होने के साथ एक काहलर मीट्रिक स्वीकार करता है, और इसे कैलाबी-यॉ की समकक्ष परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है।

कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स को स्ट्रिंग थ्योरी और मिरर सिमेट्री (स्ट्रिंग थ्योरी) में उपयोग मिला है, जहां उनका उपयोग स्ट्रिंग थ्योरी के 10-आयामी मॉडल में स्पेसटाइम के अतिरिक्त 6 आयामों को मॉडल करने के लिए किया जाता है। कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स के उदाहरण अण्डाकार वक्र, K3 सतहों और जटिल एबेलियन किस्मों द्वारा दिए गए हैं।

जटिल फ़ानो किस्में
एक जटिल फ़ानो किस्म एक जटिल बीजगणितीय किस्म है जिसमें पर्याप्त लाइन बंडल एंटी-कैनोनिकल लाइन बंडल (अर्थात, $$K_X^*$$ काफी है)। फ़ानो किस्मों की जटिल बीजगणितीय ज्यामिति और विशेष रूप से बायरेशनल ज्यामिति में काफी रुचि है, जहाँ वे अक्सर न्यूनतम मॉडल कार्यक्रम में उत्पन्न होती हैं। फैनो किस्मों के मौलिक उदाहरण प्रोजेक्टिव स्पेस द्वारा दिए गए हैं $$\mathbb{CP}^n$$ कहाँ $$K=\mathcal{O}(-n-1)$$, और की चिकनी हाइपरसर्फफेस $$\mathbb{CP}^n$$ डिग्री से कम $$n+1$$.

टोरिक किस्में
टोरिक किस्में आयाम की जटिल बीजगणितीय किस्में हैं $$n$$ जिसमें एक खुला सघन उपसमुच्चय बाइहोलोमॉर्फिक होता है $$(\mathbb{C}^*)^n$$, की कार्रवाई से लैस है $$(\mathbb{C}^*)^n$$ जो खुले सघन उपसमुच्चय पर क्रिया का विस्तार करता है। एक टॉरिक किस्म को उसके टॉरिक प्रशंसक द्वारा संयोजी रूप से वर्णित किया जा सकता है, और कम से कम जब यह गैर-एकवचन होता है, तो एक पल मानचित्र पॉलीटॉप द्वारा। यह एक बहुभुज है $$\mathbb{R}^n$$ संपत्ति के साथ कि किसी भी शीर्ष को क्रिया द्वारा धनात्मक orthant के शीर्ष के मानक रूप में रखा जा सकता है $$\operatorname{GL}(n,\mathbb{Z})$$. टॉरिक किस्म को एक उपयुक्त स्थान के रूप में प्राप्त किया जा सकता है जो पॉलीटोप के ऊपर रेशेदार होता है।

कई निर्माण जो टॉरिक किस्मों पर किए जाते हैं, पल पॉलीटॉप या इसके संबंधित टॉरिक प्रशंसक के संयोजन और ज्यामिति के संदर्भ में वैकल्पिक विवरण स्वीकार करते हैं। यह टोरिक किस्मों को जटिल ज्यामिति में कई निर्माणों के लिए विशेष रूप से आकर्षक परीक्षण का मामला बनाता है। टॉरिक किस्मों के उदाहरणों में जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस और उनके ऊपर बंडल शामिल हैं।

जटिल ज्यामिति में तकनीक
होलोमोर्फिक कार्यों और जटिल मैनिफोल्ड्स की कठोरता के कारण, आमतौर पर जटिल मैनिफोल्ड्स और जटिल किस्मों का अध्ययन करने के लिए उपयोग की जाने वाली तकनीकें नियमित अंतर ज्यामिति में उपयोग की जाने वाली तकनीकों से भिन्न होती हैं, और बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग की जाने वाली तकनीकों के करीब होती हैं। उदाहरण के लिए, डिफरेंशियल ज्योमेट्री में, स्थानीय निर्माणों को लेकर और एकता के विभाजनों का उपयोग करके उन्हें विश्व स्तर पर एक साथ जोड़कर कई समस्याओं का सामना किया जाता है। एकता के विभाजन जटिल ज्यामिति में मौजूद नहीं होते हैं, और इसलिए स्थानीय डेटा को वैश्विक डेटा में कब चिपकाया जा सकता है, इसकी समस्या अधिक सूक्ष्म है। सटीक रूप से जब स्थानीय डेटा को एक साथ पैच किया जा सकता है, तो शेफ कोहोलॉजी द्वारा मापा जाता है, और शीफ_(गणित) और उनके कोहोलॉजी समूह प्रमुख उपकरण हैं।

उदाहरण के लिए, आधुनिक परिभाषाओं की शुरूआत से पहले कई जटिल चरों के विश्लेषण में प्रसिद्ध समस्याएं चचेरे भाई की समस्याएं हैं, यह पूछने पर कि वैश्विक मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन प्राप्त करने के लिए स्थानीय मेरोमोर्फिक डेटा को चिपकाया जा सकता है। इन पुरानी समस्याओं को आसानी से ढेरों और कोहोलॉजी समूहों की शुरुआत के बाद हल किया जा सकता है।

जटिल ज्यामिति में उपयोग किए जाने वाले शीशों के विशेष उदाहरणों में होलोमोर्फिक लाइन बंडल (और उनसे जुड़े विभाजक (बीजीय ज्यामिति)), होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल और सुसंगत ढेर शामिल हैं। चूंकि शीफ कॉहोलॉजी जटिल ज्यामिति में अवरोधों को मापता है, एक तकनीक जिसका उपयोग लुप्त प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है। जटिल ज्यामिति में गायब होने वाले प्रमेय के उदाहरणों में कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड्स पर लाइन बंडलों के कोहोलॉजी के लिए कोडैरा लुप्तप्राय प्रमेय, और कार्टन के प्रमेय ए और बी शामिल हैं जो जटिल जटिल किस्मों पर सुसंगत ढेरों के कोहोलॉजी के लिए हैं।

जटिल ज्यामिति भी अंतर ज्यामिति और विश्लेषण से उत्पन्न होने वाली तकनीकों का उपयोग करती है। उदाहरण के लिए, अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय का एक विशेष मामला, हिर्ज़ब्रुच-रिमैन-रोच प्रमेय, अंतर्निहित चिकने जटिल वेक्टर बंडल के विशिष्ट वर्गों के संदर्भ में एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल के होलोमोर्फिक यूलर विशेषता की गणना करता है।

जटिल ज्यामिति में वर्गीकरण
जटिल ज्यामिति में एक प्रमुख विषय वर्गीकरण प्रमेय है। जटिल मैनिफोल्ड्स और किस्मों की कठोर प्रकृति के कारण, इन स्थानों को वर्गीकृत करने की समस्या अक्सर ट्रैक्टेबल होती है। जटिल और बीजगणितीय ज्यामिति में वर्गीकरण अक्सर मोडुली रिक्त स्थान के अध्ययन के माध्यम से होता है, जो स्वयं जटिल मैनिफोल्ड या किस्में हैं जिनके बिंदु जटिल ज्यामिति में उत्पन्न होने वाली अन्य ज्यामितीय वस्तुओं को वर्गीकृत करते हैं।

रीमैन सतहें
रिमैन सतहों पर अपने मूल काम के दौरान मोडुली शब्द बर्नहार्ड रीमैन द्वारा गढ़ा गया था। कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों के लिए वर्गीकरण सिद्धांत सबसे प्रसिद्ध है। सतह_(टोपोलॉजी)#वर्गीकरण_ऑफ_बंद_सतहों के अनुसार, कॉम्पैक्ट रीमैन सतहें अलग-अलग प्रकार की गिनती योग्य संख्या में आती हैं, जिन्हें उनके जीनस (टोपोलॉजी) द्वारा मापा जाता है। $$g$$, जो एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है जो दी गई कॉम्पैक्ट रीमैन सतह में छिद्रों की संख्या की गणना करता है।

वर्गीकरण अनिवार्य रूप से एकरूपता प्रमेय से होता है, और इस प्रकार है:
 * जी = 0: $$\mathbb{CP}^1$$
 * जी = 1: जीनस 1 की संभावित कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों को वर्गीकृत करने वाला एक आयामी जटिल कई गुना है, तथाकथित अण्डाकार वक्र, मॉड्यूलर वक्र। एकरूपीकरण प्रमेय द्वारा किसी भी अण्डाकार वक्र को भागफल के रूप में लिखा जा सकता है $$\mathbb{C}/(\mathbb{Z} + \tau \mathbb{Z})$$ कहाँ $$\tau$$ सख्ती से सकारात्मक काल्पनिक भाग के साथ एक सम्मिश्र संख्या है। मॉडुलि स्पेस समूह के भागफल द्वारा दिया जाता है $$\operatorname{PSL}(2,\mathbb{Z})$$ मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन द्वारा ऊपरी आधे विमान पर कार्य करना।
 * g > 1: एक से अधिक प्रत्येक जीनस के लिए, एक मोडुली स्पेस होता है $$\mathcal{M}_g$$ जीनस जी कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों का, आयाम का $$\dim_{\mathbb{C}} \mathcal{M}_g = 3g-3$$. अण्डाकार वक्रों के मामले के समान, यह स्थान समूह की क्रिया द्वारा सीगल ऊपरी आधे स्थान के एक उपयुक्त भाग द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। $$\operatorname{Sp}(2g, \mathbb{Z})$$.

होलोमॉर्फिक लाइन बंडल
जटिल ज्यामिति का संबंध न केवल जटिल स्थानों से है, बल्कि उनसे जुड़ी अन्य होलोमोर्फिक वस्तुओं से भी है। एक जटिल किस्म पर होलोमोर्फिक लाइन बंडलों का वर्गीकरण $$X$$ पिकार्ड किस्म द्वारा दिया गया है $$\operatorname{Pic}(X)$$ का $$X$$.

जहां मामले में पिकार्ड किस्म का वर्णन आसानी से किया जा सकता है $$X$$ जीनस जी की एक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह है। अर्थात्, इस मामले में पिकार्ड किस्म जटिल एबेलियन किस्मों का एक असंयुक्त संघ है, जिनमें से प्रत्येक वक्र की जैकोबियन किस्म के लिए आइसोमोर्फिक है, डिग्री शून्य के विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) को रैखिक तुल्यता तक वर्गीकृत करता है। अंतर-ज्यामितीय शब्दों में, ये एबेलियन किस्में जटिल टोरी हैं, जटिल कई गुना अलग-अलग हैं $$(S^1)^{2g}$$, संभवतः कई अलग-अलग जटिल संरचनाओं में से एक के साथ।

टोरेली प्रमेय द्वारा, एक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह को इसकी जैकोबियन विविधता द्वारा निर्धारित किया जाता है, और यह एक कारण दर्शाता है कि जटिल रिक्त स्थान पर संरचनाओं का अध्ययन उपयोगी हो सकता है, जिसमें यह किसी को रिक्त स्थान को वर्गीकृत करने की अनुमति दे सकता है। <!---

यह भी देखें

 * बाइवेक्टर (जटिल)
 * कैलाबी-याउ कई गुना
 * कार्टन के प्रमेय ए और बी
 * जटिल विश्लेषणात्मक स्थान
 * जटिल झूठ समूह
 * जटिल पॉलीटॉप
 * जटिल प्रक्षेप्य स्थान
 * चचेरे भाई की समस्या
 * विरूपण सिद्धांत # जटिल कई गुना विकृतियां
 * एनरिक्स-कोडैरा वर्गीकरण
 * बेहूदा
 * Hartogs 'विस्तार प्रमेय
 * हर्मिटियन सममित स्थान
 * हॉज अपघटन
 * हॉफ कई गुना
 * काल्पनिक रेखा (गणित)
 * कोबायाशी मीट्रिक
 * कोबायाशी-हिचिन पत्राचार
 * काहलर कई गुना
 * डीडीबार लेम्मा|$$\partial \bar \partial$$-लेम्मा
 * नीलामी संख्या
 * जटिल और बीजगणितीय सतहों की सूची
 * दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत)
 * गुणक आदर्श
 * प्रोजेक्टिव किस्म
 * स्यूडोकोन्वेक्सिटी
 * कई जटिल चर
 * स्टीन कई गुना

संदर्भ

 * E. H. Neville (1922) Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions, Cambridge University Press.
 * E. H. Neville (1922) Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions, Cambridge University Press.
 * E. H. Neville (1922) Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions, Cambridge University Press.
 * E. H. Neville (1922) Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions, Cambridge University Press.
 * E. H. Neville (1922) Prolegomena to Analytical Geometry in Anisotropic Euclidean Space of Three Dimensions, Cambridge University Press.