अतिपरवलयिक सर्पिल

अतिपरवलयिक सर्पिल एक समतल वक्र है, जिसे समीकरण $$r=\frac{a}{\varphi}$$ द्वारा ध्रुवीय निर्देशांक में वर्णित किया जा सकता है। सामान्यतः इसे आर्कमेडीज सर्पिल (प्रसिद्ध यूनानी गणितज्ञ) के वृत्त व्युत्क्रम द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। इसलिए इसे लघुगणक सर्पिल भी कहा जाता है। अतिपरवलयिक सर्पिल सर्पिल सीढ़ी की धुरी के ऊपर के दृश्य से परिचित सर्पिल का एक प्रकार है, जिसका उपयोग पदचिह्नों के प्रारम्भिक निशानों को व्यवस्थित करने के लिए किया जाता है और कुछ सर्पिल आकाशगंगाओं और वास्तुशिल्प विलेय के आकार को मॉडलिंग करने के लिए किया जाता है। इसका पिच कोण लघुगणकीय सर्पिलों के स्थिर कोणों या आर्किमिडीयन सर्पिलों के घटते कोणों के विपरीत इसके केंद्र से दूरी के साथ बढ़ता है। जैसे-जैसे यह वक्र चौड़ा होता जाता है यह एक स्पर्शोन्मुख रेखा के करीब पहुंचता है।

दोनों निर्देशांकों के बीच वही संबंध है जो कार्तीय निर्देशांक के लिए एक अतिपरवलय का वर्णन करता है। इसे आर्किमिडीयन सर्पिल के वृत्त व्युत्क्रमण द्वारा भी उत्पन्न किया जा सकता है, और इसलिए इसे पारस्परिक सर्पिल भी कहा जाता है।

इतिहास और अनुप्रयोग
पियरे वेरिग्नन ने 1704 में वक्र का अध्ययन किया था। बाद में जोहान बर्नौली और रोजर कोट्स ने भी इस वक्र पर कार्य किया था।पियरे वेरिग्नन ने पहली बार 1704 में ध्रुवीय वक्र पर बिंदुओं के ध्रुवीय निर्देशांक के रूप में दिए गए वक्र पर बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक की पुनर्व्याख्या करके एक अन्य वक्र (इस मामले में हाइपरबोला) से प्राप्त ध्रुवीय वक्र के उदाहरण के रूप में अतिपरवलयिक सर्पिल का अध्ययन किया। वेरिग्नन और बाद में जेम्स क्लर्क मैक्सवेल इस वक्र पर एक बिंदु का पता लगाकर प्राप्त रूलेट्स में रुचि रखते थे क्योंकि यह दूसरे वक्र के साथ घूमता है उदाहरण के लिए, जब एक अतिपरवलयिक सर्पिल एक सीधी रेखा के साथ घूमता है, तो इसका केंद्र एक ट्रैक्ट्रिक्स का पता लगाता है।

आइजैक न्यूटन की खोज के संबंध में जोहान बर्नौली और रोजर कोट्स ने भी इस वक्र पर काम किया था कि व्युत्क्रम-वर्ग नियम के तहत चलने वाले पिंड, जैसे कि न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम में, शंकु खंड प्रक्षेपवक्र का पालन करते हैं। न्यूटन, बर्नौली और कोट्स इस निहितार्थ को उलटने और किसी दिए गए रूप के प्रक्षेपवक्र का उत्पादन करने के लिए आवश्यक गुरुत्वाकर्षण कानून के रूप को निर्धारित करने में रुचि रखते थे। न्यूटन ने दिखाया कि एक लघुगणकीय सर्पिल प्रक्षेपवक्र के लिए एक व्युत्क्रम-घन नियम की आवश्यकता होती है, बर्नौली ने इसे अतिपरवलयिक सर्पिल तक बढ़ाया, और कोट्स ने सर्पिलों का एक परिवार पाया, कोट्स के सर्पिल, जिसमें लघुगणक और अतिपरवलयिक सर्पिल शामिल थे, इन सभी के लिए एक व्युत्क्रम-घन नियम की आवश्यकता थी।

आर्किमिडीयन और लॉगरिदमिक सर्पिल के साथ रोटेशन की धारणा पर मनोवैज्ञानिक प्रयोगों में अतिपरवलयिक सर्पिल का उपयोग किया गया है।

कार्तीय निर्देशांक
ध्रुवीय समीकरण के साथ अतिपरवलयिक सर्पिल $$r=\frac a \varphi ,\quad \varphi \ne 0$$ कार्टेशियन निर्देशांक $φ > 0$ द्वारा दर्शाया जा सकता है। मानक ध्रुवीय-से-कार्टेशियन रूपांतरणों को लागू करके कार्टेशियन निर्देशांक में $(x = r cos φ, y = r sin φ)$ दर्शाया जा सकता है। इस वक्र के कार्टेशियन निर्देशांक के लिए एक पैरामीट्रिक समीकरण प्राप्त करना जो वर्फी को एक समन्वय के बजाय एक पैरामीटर के रूप में मानता है:
 * $$x = a \frac{\cos \varphi} \varphi, \qquad y = a \frac{\sin \varphi} \varphi ,\quad \varphi \ne 0.$$

अतिपरवलयिक सर्पिल एक पारलौकिक वक्र है, जिसका अर्थ है कि इसे इसके कार्टेशियन निर्देशांक के बहुपद समीकरण से परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

हालाँकि कोई इन निर्देशांकों में एक त्रिकोणमितीय समीकरण $rφ$ प्राप्त कर सकता है, इसके ध्रुवीय परिभाषित समीकरण को $xy$ के रूप में शुरू करके और इसके चर को कार्टेशियन-से-ध्रुवीय रूपांतरणों $(x = r cos φ, y = r sin φ)$ और $φ → ±∞$ के अनुसार प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है।

ध्रुवीय समीकरण से और $φ → ±0$ किसी को एक समीकरण द्वारा प्रतिनिधित्व मिलता है:
 * $$\frac{y}{x}=\tan\left(\frac{a}{\sqrt{x^2+y^2}}\right) . $$

अनंतस्पर्शी
अतिपरवलयिक सर्पिल एक स्पर्शोन्मुख बिंदु के रूप में मूल तक पहुंचता है।

क्योंकि
 * $$\lim_{\varphi\to 0}x = a\lim_{\varphi\to 0} \frac{\cos \varphi} \varphi =\infty,\qquad

\lim_{\varphi\to 0}y = a\lim_{\varphi\to 0} \frac{\sin \varphi} \varphi = a$$ वक्र में समीकरण $φ = a⁄r, r = √x^{2} + y^{2}$ के साथ एक स्पर्शोन्मुख रेखा है।

ध्रुवीय समीकरण
ध्रुवीय समन्वय प्रणाली#वेक्टर कैलकुलस से सूत्र प्राप्त होता है $y = a$ ध्रुवीय ढलान और उसके कोण के लिए $α$ किसी वक्र की स्पर्शरेखा और संगत ध्रुवीय वृत्त की स्पर्शरेखा के बीच।

अतिपरवलयिक सर्पिल के लिए $tan α = r′⁄r$ ध्रुवीय ढलान है
 * $$\tan\alpha=-\frac{1}{\varphi}.$$

वक्रता
ध्रुवीय समीकरण $r = a⁄φ$ वाले किसी भी वक्र की वक्रता होती है
 * $$\kappa = \frac{r^2 + 2(r')^2 - r\, r''}{\left(r^2+(r')^2\right)^\frac32} .$$

समीकरण $r = r(φ)$ और इसके व्युत्पन्न $r = a⁄φ$ और $r′ = −a⁄φ^{2}$ से एक अतिपरवलयिक सर्पिल की वक्रता प्राप्त होती है:
 * $$\kappa(\varphi) = \frac{\varphi^4}{a \left(\varphi^2 + 1\right)^\frac32}.$$



व्युत्क्रम
ध्रुवीय निर्देशांक $r″ = 2a⁄φ^{3}$ में वृत्त व्युत्क्रम का सरल विवरण है:.

इस परिवर्तन के तहत एक आर्किमिडीयन सर्पिल $(r, φ) ↦ (1⁄r, φ)$ की छवि समीकरण $r = φ⁄a$ के साथ अतिपरवलयिक सर्पिल है। दोनों वक्र इकाई वृत्त पर ध्रुवीय निर्देशांक $r = a⁄φ$ वाले बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

आर्किमिडीज़ सर्पिल का दोलन चक्र $φ = a$ मूल पर त्रिज्या है $r = φ⁄a$ (आर्किमिडीयन सर्पिल देखें) और केंद्र $ρ_{0} = 1⁄2a$. इस वृत्त का प्रतिबिम्ब रेखा है $(0, ρ_{0})$ (वृत्त व्युत्क्रम देखें)। इसलिए आर्किमिडीयन सर्पिल के व्युत्क्रम के साथ अतिपरवलयिक सर्पिल के स्पर्शोन्मुख की पूर्वछवि मूल में आर्किमिडीयन सर्पिल का दोलन वृत्त है।

हेलिक्स का केंद्रीय प्रक्षेपण
हेलिक्स की धुरी के लंबवत एक विमान पर हेलिक्स का केंद्रीय प्रक्षेपण उस दृश्य का वर्णन करता है जो सीढ़ी की धुरी पर एक दृष्टिकोण से ऊपर या नीचे देखने पर सर्पिल सीढ़ी की रेलिंग को देखेगा।इस प्रक्षेपण को गणितीय रूप से मॉडल करने के लिए, छवि विमान $y = a$ पर बिंदु $z = 0$ से केंद्रीय प्रक्षेपण पर विचार करें। यह एक बिंदु $C_{0} = (0, 0, d)$ को बिंदु $(x, y, z)$ पर मैप करेगा।

पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व के साथ हेलिक्स के इस प्रक्षेपण के तहत छवि $$(r\cos t, r\sin t, ct),\quad c\neq 0,$$ वक्र है:
 * $$\frac{dr}{d-ct}(\cos t,\sin t)$$

ध्रुवीय समीकरण के साथ $$\rho=\frac{dr}{d-ct},$$ एक अतिपरवलयिक सर्पिल का वर्णन करता है।

चाप लंबाई
के बीच एक अतिपरवलयिक सर्पिल के चाप की लंबाई $d⁄d − z(x, y)$ और $(r(φ_{1}), φ_{1})$ अभिन्न द्वारा गणना की जा सकती है:


 * $$\begin{align}

L&=\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\sqrt{\left(r^\prime(\varphi)\right)^2+r^2(\varphi)}\,d\varphi=\cdots \\ &=a \int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\frac{\sqrt{1+\varphi^2}}{\varphi^2}\,d\varphi \\ &= a\left[-\frac{\sqrt{1+\varphi^2}}{\varphi}+\ln\left(\varphi+\sqrt{1+\varphi^2}\right)\right]_{\varphi_1}^{\varphi_2}. \end{align}$$

सेक्टर क्षेत्र
समीकरण $(r(φ_{2}), φ_{2})$ के साथ एक अतिपरवलयिक सर्पिल के त्रिज्यखंड का क्षेत्रफल है:
 * $$\begin{align}

A&=\frac12\int_{\varphi_1}^{\varphi_2} r(\varphi)^2\, d\varphi\\ &=\frac12\int_{\varphi_1}^{\varphi_2}\frac{a^2}{\varphi^2}\, d\varphi\\ &= \frac{a}{2}\left(\frac{a}{\varphi_1}-\frac{a}{\varphi_2}\right)\\ &=\frac{a}{2}\bigl(r(\varphi_1)-r(\varphi_2)\bigr). \end{align}$$ अर्थात्, क्षेत्रफल अनुपात a/2 के स्थिरांक के साथ त्रिज्या में अंतर के समानुपाती होता है।

संदर्भ

 * Hans-Jochen Bartsch, Michael Sachs: Taschenbuch mathematischer Formeln für Ingenieure und Naturwissenschaftler, Carl Hanser Verlag, 2018, ISBN 3446457070, 9783446457072, S. 410.
 * Kinko Tsuji, Stefan C. Müller: Spirals and Vortices: In Culture, Nature, and Science, Springer, 2019, ISBN 3030057984, 9783030057985, S. 96.
 * Pierre Varignon: Nouvelle formation de Spirales – exemple II, Mémoires de l’Académie des sciences de l’Institut de France, 1704, pp. 94–103.
 * Friedrich Grelle: Analytische Geometrie der Ebene, Verlag F. Brecke, 1861 hyperbolische Spirale, S. 215.
 * Jakob Philipp Kulik: Lehrbuch der höhern Analysis, Band 2, In Commiss. bei Kronberger u. Rziwnatz, 1844, Spirallinien, S. 222.

बाहरी संबंध

 * Online exploration using JSXGraph (JavaScript)
 * 2dcurves "hyperbolic spiral" page
 * 2dcurves "hyperbolic spiral" page

Espiral logarítmica