कांस्टेंट शीफ

गणित में, टोपोलॉजिकल समिष्ट $$X$$ पर लगातार पुलिंदा (गणित) संबंधित सेट $$A$$ की शीफ (गणित) होती है, जिसके डंठल (शेफ) समान $$A$$ होती हैं। इसे $$A_X$$या आंतरवृत्ति $$\underline{A}$$ के रूप में चिह्नित किया जाता है। $$A$$ के संबंधित स्थायी पूर्वशीफ उस पूर्वशीफ को कहते हैं जो $$X$$ के प्रत्येक गैर-रिक्त खुले उपसमूह को $$A$$ का मान आवंटित करती है, और जिसके सभी सीमांकन मान अभिन्नता मान $$A$$ होते हैं। $$A\to A$$ से संबंधित स्थायी शीफ़ $$A$$ से जुड़े स्थायी प्रीशीफ़ का शीफ़ीकरण कहा जाता है। यह शीफ $$X$$ पर स्थानीय स्थिरांक $$A$$ -मान्य (स्थानीय रूप से स्थिर $$A$$-मान) फ़ंक्शनों के शीफ के समान होती है।

कुछ मामलों में, सेट $$A$$ किसी (श्रेणी सिद्धांत) $$\textbf{C}$$ (उदाहरण के लिए जब $$\textbf{C}$$ एबेलियन समूहों की श्रेणी है, या क्रमविनिमेय वलय की श्रेणी हो) में वस्तु $$A$$ से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

एबेलियन समूहों के स्थायी शीफ विशेष रूप से शीफ़ सहयोगिता मेंमें गणकों के रूप में प्रदर्शित होते हैं।

बुनियादी बातें
यदि $$X$$ टोपोलॉजिकल समिष्ट है और $$A$$ सेट है,तो स्थायी शीफ के अनुभाग $$\underline{A}$$ खुले सेट पर $$U$$ स्थायी फ़ंक्शनों $$U\to A$$ के रूप में व्याख्या की जा सकती है, जहाँ $$A$$ को असतत टोपोलॉजी के साथ दिया गया है। यदि $$U$$ समिष्ट जुड़ा हुआ है, तो ये स्थानीय रूप से स्थायी फ़ंक्शन स्थायी होते हैं। यदि $$f:X\to\{\text{pt}\}$$ एकमात्र मानचित्र (गणित) है जो एक-बिंदु समिष्ट के लिए होता है और $$A$$ को $$\{\text{pt}\}$$ पर शीफ के रूप में मान दिया जाता है , तो उलटा छवि शीफ $$f^{-1}A$$ स्थायी पूल है $$\underline{A}$$ पर $$X$$. का शीफ़ समिष्ट $$\underline{A}$$ प्रक्षेपण मानचित्र है $$A$$ (कहाँ $$X\times A\to X$$ असतत टोपोलॉजी दी गई है)।

विस्तृत उदाहरण
यहां $$X$$ दो बिंदुओं से युक्त टोपोलॉजिकल समिष्ट बनें $$p$$ और $$q$$ असतत टोपोलॉजी के साथ. $$X$$ चार खुले सेट हैं: $$\varnothing, \{p\}, \{q\}, \{p,q\}$$. के खुले सेट के पांच गैर-तुच्छ समावेशन $$X$$ चार्ट में दिखाया गया है.

पूर्वशीफ $$X$$ के चार खुले सेटों में से प्रत्येक के लिए सेट चुनता है $$X$$ और नौ समावेशन मानचित्रों में से प्रत्येक के लिए प्रतिबंध मानचित्र (पांच गैर-तुच्छ समावेशन और चार तुच्छ समावेशन)। मान के साथ स्थायी पूर्वशीफ $$\textbf{Z}$$, जिसे हम निरूपित करेंगे $$F$$, वह प्रीशीफ़ है जो सभी चार सेटों को चुनता है $$\textbf{Z}$$, पूर्णांक, और सभी प्रतिबंध मानचित्र पहचान होंगे। $$F$$ फ़नकार है, इसलिए प्रीशीफ़ है, क्योंकि यह स्थायी है। $$F$$ ग्लूइंग सिद्धांत को संतुष्ट करता है, लेकिन यह शीफ नहीं है क्योंकि यह खाली सेट पर स्थानीय पहचान सिद्धांत को विफल करता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि खाली सेट सेट के खाली परिवार द्वारा कवर किया जाता है: रिक्त रूप से, कोई भी दो खंड $$F$$ खाली परिवार में किसी भी सेट तक सीमित होने पर खाली सेट पर बराबर होते हैं। इसलिए स्थानीय पहचान स्वयंसिद्ध का तात्पर्य यह होगा कि कोई भी दो खंड $$F$$ खाली सेट पर बराबर हैं, लेकिन यह सच नहीं है।

समान पूर्वशीफ $$G$$ जो खाली सेट पर स्थानीय पहचान सिद्धांत को संतुष्ट करता है उसका निर्माण निम्नानुसार किया जाता है। यहां $$G(\varnothing)=0$$ दिया जाता है, जहां 0 एक-तत्व सेट है। सभी गैर-रिक्त सेटों पर, $$G$$ को मान $$\textbf{Z}$$ दिया जाता है। खुले सेटों के प्रत्येक समावेशन के लिए, $$G$$ उन्हें या तो 0 को एकमात्र मानचित्र लौटाता है, अगर छोटा सेट खाली है, या $$\textbf{Z}$$ पर पहचान मानचित्र लौटाता है। ध्यान दें कि खाली सेट के लिए स्थानीय पहचान सिद्धांत के परिणामस्वरूप, खाली सेट से जुड़े सभी प्रतिबंध मानचित्र उबाऊ होते हैं। यह खाली सेट के लिए स्थानीय पहचान स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने वाले किसी भी पूर्वशीफ के लिए और विशेष रूप से किसी भी शीफ के लिए सच है।

$$G$$ अलग होने वाली पूर्वशीफ है (अर्थात, स्थानीय पहचान सिद्धांत को संतुष्ट करता है), लेकिन $$F$$ के विपरीत इसमें ग्लूइंग अधिमान असफल होता है। $$\{p,q\}$$ द्वारा ढँके जाने वाले दो खुले सेट $$\{p\}$$ और $$\{q\}$$, हैं, और इन सेट्स का रिक्त प्रांसगिक है। $$\{p\}$$ या $$\{q\}$$ पर  अनुभाग $$\textbf{Z}$$ का तत्व होता है, अर्थात्, यह संख्या होती है। $$\{p\}$$ पर अनुभाग $$m$$ ऊपर  और $$\{q\}$$ पर अनुभाग $$n$$ का चयन करें, और मान रखें कि $$m\neq n$$ है, क्योंकि $$m$$ और $$n$$ ही तत्व को 0 को रेखांकित करते हैं जब $$\varnothing$$ पर, ग्लूइंग स्वयंसिद्ध को अद्वितीय अनुभाग के अस्तित्व की आवश्यकता होती है जो $$s$$ पर $$G(\{p,q\})$$ जो कि प्रतिबंधित है $$m$$ पर $$\{p\}$$ और $$n$$ पर $$\{q\}$$. लेकिन क्योंकि प्रतिबंध मानचित्र से $$\{p,q\}$$ को $$\{p\}$$ पहचान है, $$s=m$$, और इसी तरह $$s=n$$, इसलिए $$m=n$$, विरोधाभास.

$$G(\{p,q\})$$ दोनों $$\{p\}$$ और $$\{q\}$$ के बारे में जानकारी रखने के लिए बहुत छोटा है। इसे ऐसे विस्तृत किया जा सकता है कि यह ग्लूइंग अधिकार को पूरा करता है। इसके लिए,$$H(\{p,q\})=\mathbf{Z}\oplus\mathbf{Z}$$. को परिभाषित करें। यहां, $$\pi_1$$ और $$\pi_2$$ दो प्रक्षेपण चित्र हैं: $$\mathbf{Z}\oplus\mathbf{Z}\to\mathbf{Z}$$। परिभाषित करें $$H(\{p\})=\text{im}(\pi_1)=\mathbf{Z}$$ और $$H(\{q\})=\text{im}(\pi_2)=\mathbf{Z}$$। शेष खुले सेट और समावेशन के लिए, $$H$$ को$$G$$ के बराबर ठहराया जाए। $$H$$ ऐसी शीफ है जिसे $$X$$ पर स्थायी शीफ कहा जाता है  मूल्य $$\textbf{Z}$$ होता है। क्योंकि $$\textbf{Z}$$ वलय है और सभी प्रतिबंध मानचित्र वलय समरूपताएँ होते हैं, $$H$$ क्रमविनिमेय छल्लों का शीफ होती है।

यह भी देखें

 * स्थानीय रूप से स्थायी शीफ

संदर्भ

 * Section II.1 of
 * Section 2.4.6 of