बीआईबीओ स्थिरता

सिग्नल प्रोसेसिंग में, विशेष रूप से नियंत्रण सिद्धांत बाउंड-इनपुट बाउंड-आउटपुट (बीआईबीओ) स्थिरता नियंत्रण सिद्धांत का एक रूप सिग्नल (सूचना सिद्धांत) और नियंत्रण प्रणाली के लिए स्थिरता है। जो इनपुट लेती है। यदि कोई प्रणाली बीआईबीओ स्थिर है, तो आउटपुट प्रणाली के प्रत्येक इनपुट के लिए परिबद्ध समारोह होगा। जो कि बाउंड है।

परिमित मूल्य $$B > 0$$ होने पर एक संकेत बाध्य होता है। जैसे कि सिग्नल परिमाण $$B$$ कभी भी अधिक नहीं होता है। वह है-
 * असतत-समय संकेतों के लिए: $$\ |y[n]| \leq B \quad \text{for all } n \in \mathbb{Z}.$$
 * निरंतर समय संकेतों के लिए: $$\ |y(t)| \leq B \quad \text{for all } t \in \mathbb{R}.$$

निरंतर-समय आवश्यक और पर्याप्त स्थिति
सतत कार्य एलटीआई प्रणाली सिद्धांत के लिए रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली बीआईबीओ स्थिरता के लिए नियम यह है कि आवेग प्रतिक्रिया, $$ h(t)$$, अभिन्न कार्य हो, L1 मानदंड उपस्थित है।


 * $$ \int_{-\infty}^\infty \left|h(t)\right|\,\mathord{\operatorname{d}}t = \| h \|_1 < \infty$$

असतत-समय पर्याप्त स्थिति
असतत समय एलटीआई प्रणाली के लिए, बीआईबीओ स्थिरता के लिए नियम यह है कि आवेग प्रतिक्रिया इंटीग्रेबल फलन हो अर्थात इसकी $$\ell^1$$ एलपी स्पेस उपस्थित है।


 * $$\ \sum_{n=-\infty}^\infty |h[n]| = \| h \|_1 < \infty$$

पर्याप्तता का प्रमाण
आवेग प्रतिक्रिया के साथ असतत गणित समय एलटीआई प्रणाली को देखते हुए $$\ h[n]$$ इनपुट के बीच संबंध $$\ x[n]$$ और आउटपुट $$\ y[n]$$ है


 * $$\ y[n] = h[n] * x[n]$$

जहाँ $$*$$ कनवल्शन को दर्शाता है। इसके बाद यह कनवल्शन की परिभाषा के अनुसार होता है-


 * $$\ y[n] = \sum_{k=-\infty}^\infty h[k] x[n-k]$$

माना $$\| x \|_{\infty}$$ का अधिकतम मूल्य $$\ |x[n]|$$ हो, अर्थात सर्वोच्च मानदंड $$L_{\infty}$$-आदर्श है। तो-


 * $$\left|y[n]\right| = \left|\sum_{k=-\infty}^\infty h[n-k] x[k]\right|$$
 * $$\le \sum_{k=-\infty}^\infty \left|h[n-k]\right| \left|x[k]\right|$$ (त्रिकोण असमानता द्वारा)



\begin{align} & \le \sum_{k=-\infty}^\infty \left|h[n-k]\right| \| x \|_\infty \\ & = \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^\infty \left|h[n-k]\right| \\ & = \| x \|_{\infty} \sum_{k=-\infty}^\infty \left|h[k]\right| \end{align} $$ यदि $$h[n]$$ बिल्कुल योगनीय है। तब $$\sum_{k=-\infty}^{\infty}{\left|h[k]\right|} = \| h \|_1 < \infty$$ और


 * $$\| x \|_\infty \sum_{k=-\infty}^\infty \left|h[k]\right| = \| x \|_\infty \| h \|_1$$

यदि $$h[n]$$ बिल्कुल योगनीय है और $$\left|x[n]\right|$$ बंधा हुआ है। तो $$\left|y[n]\right|$$ साथ ही बाध्य है क्योंकि $$\| x \|_{\infty} \| h \|_1 < \infty.$$

निरंतर-समय के लिए प्रमाण समान तर्कों का अनुसरण करता है।

निरंतर-समय संकेत
एक परिमेय फलन और सतत फलन निरंतर-समय प्रणाली के लिए स्थिरता की नियम यह है कि लाप्लास परिवर्तन के अभिसरण के क्षेत्र (आरओसी) में जटिल तल सम्मिलित है। जब प्रणाली कारण होता है। तो आऱओसी एक ऊर्ध्वाधर रेखा के दाईं ओर खुला क्षेत्र होता है। जिसका भुज सबसे बड़े ध्रुव का वास्तविक भाग होता है या ध्रुव (जटिल विश्लेषण) जिसमें प्रणाली में किसी भी ध्रुव का सबसे बड़ा वास्तविक भाग होता है, आरओसी को परिभाषित करने वाले सबसे बड़े ध्रुव के वास्तविक भाग को अभिसरण का भुज कहा जाता है। इसलिए बीआईबीओ स्थिरता के लिए प्रणाली के सभी पोल s- प्लेन के सीधे बाएं आधे भाग में होने चाहिए।

यह स्थिरता स्थिति उपरोक्त टाइम-डोमेन स्थिति से निम्नानुसार प्राप्त की जा सकती है:



\begin{align} \int_{-\infty}^\infty \left|h(t)\right| \, dt & = \int_{-\infty}^\infty \left|h(t)\right| \left| e^{-j \omega t }\right| \, dt \\ & = \int_{-\infty}^\infty \left|h(t) (1 \cdot e)^{-j \omega t} \right| \, dt \\ & = \int_{-\infty}^\infty \left|h(t) (e^{\sigma + j \omega})^{- t} \right| \, dt \\ & = \int_{-\infty}^\infty \left|h(t) e^{-s t} \right| \, dt \end{align} $$ जहाँ $$s = \sigma + j \omega$$ और $$\operatorname{Re}(s) = \sigma = 0.$$

इसलिए अभिसरण के क्षेत्र में जटिल सतह सम्मिलित होना चाहिए।

असतत समय संकेत
एक तर्कसंगत कार्य और असतत संकेत के लिए स्थिरता के लिए नियम यह है कि z-परिणत के लाप्लास ट्रांसफॉर्म रीजन ऑफ कन्वर्जेंस (आरओसी) में यूनिट सर्कल सम्मिलित है। जब प्रणाली कॉसल प्रणाली होता है। तो आरओसी एक सर्कल के बाहर खुला क्षेत्र होता है। जिसकी त्रिज्या सबसे बड़े परिमाण के साथ ध्रुव (जटिल विश्लेषण) का परिमाण है। इसलिए बीआईबीओ स्थिरता के लिए प्रणाली के सभी ध्रुवों को z -प्लेन में यूनिट सर्कल के अंदर होना चाहिए।

यह स्थिरता की स्थिति निरंतर-समय व्युत्पत्ति के समान फैशन में प्राप्त की जा सकती है:



\begin{align} \sum_{n = -\infty}^\infty \left|h[n]\right| & = \sum_{n = -\infty}^\infty \left|h[n]\right| \left| e^{-j \omega n} \right| \\ & = \sum_{n = -\infty}^\infty \left|h[n] (1 \cdot e)^{-j \omega n} \right| \\ & =\sum_{n = -\infty}^\infty \left|h[n] (r e^{j \omega})^{-n} \right| \\ & = \sum_{n = -\infty}^\infty \left|h[n] z^{- n} \right| \end{align} $$ जहाँ $$z = r e^{j \omega}$$ और $$r = |z| = 1$$.

इसलिए लाप्लास रूपांतरण अभिसरण के क्षेत्र में यूनिट सर्कल सम्मिलित होना चाहिए।

यह भी देखें

 * एलटीआई प्रणाली सिद्धांत
 * परिमित आवेग प्रतिक्रिया (एफआईआर) फ़िल्टर
 * अनंत आवेग प्रतिक्रिया (आईआईआर) फ़िल्टर
 * न्यक्विस्ट प्लॉट
 * राउत-हर्विट्ज स्थिरता मानदंड
 * बोडे प्लॉट गेन मार्जिन और फेज मार्जिन
 * फेज मार्जिन
 * रूट लोकस
 * इनपुट-टू-स्टेट स्थिरता

अग्रिम पठन

 * Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
 * John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
 * D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
 * Proof of the necessary conditions for BIBO stability.
 * Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577