प्रमुख कारकों की तालिका

तालिकाओं में 1 से 1000 तक की प्राकृतिक संख्याओं का पूर्णांक गुणनखंड होता है।

जब n अभाज्य संख्या होती है, तो अभाज्य गुणनखंड केवल n ही होता है, जिसे नीचे 'बोल्ड' में लिखा गया है।

संख्या 1 (संख्या) को इकाई (रिंग थ्योरी) कहा जाता है। इसका कोई अभाज्य गुणनखण्ड नहीं है और यह न तो अभाज्य संख्या और न ही भाज्य संख्या है।

गुण
प्राकृतिक संख्या n के कई गुणों को देखा जा सकता है या सरलता से n के अभाज्य गुणनखंड से गणना की जा सकती है। n के विभाजक n के कुछ या सभी अभाज्य गुणनखंडों के सभी गुणनफल हैं (बिना अभाज्य गुणनखंडों के रिक्त गुणनफल 1 सहित)। सभी गुणकों को 1 से बढ़ाकर और फिर उन्हें गुणा करके विभाजकों की संख्या की गणना की जा सकती है। भाजक और भाजक से संबंधित गुण भाजक की तालिका में दर्शाए गए हैं।
 * n के अभाज्य गुणनखंड p की 'बहुलता' का सबसे बड़ा घातांक m है जिसके लिए pm, n को विभाजित करता है। तालिकाएँ प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए बहुलता दिखाती हैं। यदि कोई घातांक नहीं लिखा जाता है तो बहुलता 1 होती है (क्योंकि p = p 1) अभाज्य की बहुलता जो n को विभाजित नहीं करती है उसे 0 कहा जा सकता है या अपरिभाषित माना जा सकता है।
 * Ω(n), बड़ा ओमेगा फलन (अभाज्य गुणनखंड), बहुलता के साथ गिने जाने वाले n के अभाज्य गुणनखंडों की संख्या है (इसलिए यह सभी अभाज्य गुणकों का योग है)।
 * अभाज्य संख्या में Ω(n) = 1 होती है। प्रथम: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37 कई विशेष प्रकार की अभाज्य संख्याएँ होती हैं।
 * मिश्रित संख्या में Ω(n) > 1 होता है। प्रथम: 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15, 16, 18, 20, 21 1 से ऊपर की सभी संख्याएँ या तो अभाज्य हैं या संयुक्त हैं। 1 भी नहीं है।
 * अर्द्ध अभाज्य में Ω(n) = 2 होता है (इसलिए यह समग्र है)। प्रथम: 4, 6, 9, 10, 14, 15, 21, 22, 25, 26, 33, 34.
 * k- लगभग अभाज्य (प्राकृतिक संख्या k के लिए) में Ω(n) = k होता है (इसलिए यह समग्र है यदि k > 1)।
 * सम संख्या का अभाज्य गुणनखंड 2 होता है। प्रथम: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24.
 * विषम संख्या का अभाज्य गुणनखंड 2 नहीं होता है। प्रथम: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23 सभी पूर्णांक या तो सम या विषम होते हैं।
 * वर्ग संख्या में सभी अभाज्य गुणनखंडों के लिए सम बहुलता होती है (यह कुछ a के लिए a2 के रूप का होता है) प्रथम: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144.
 * घन सभी गुणक 3 से विभाज्य हैं (यह कुछ a के लिए a3 के रूप का है) प्रथम: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728.
 * संपूर्ण शक्ति में सभी गुणकों के लिए सामान्य भाजक m > 1 होता है (यह कुछ a> 1 और m> 1 के रूप में होता है am के रूप का होता है)। प्रथम: 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 81, 100 . 1 कभी-कभी सम्मिलित होता है।
 * शक्तिशाली संख्या (जिसे स्क्वायरफुल भी कहा जाता है) में सभी अभाज्य गुणनखंड के लिए 1 से अधिक की बहुलता होती है। प्रथम: 1, 4, 8, 9, 16, 25, 27, 32, 36, 49, 64, 72.
 * अभाज्य शक्ति का केवल अभाज्य गुणनखंड होता है। प्रथम: 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 13, 16, 17, 19 1 कभी-कभी सम्मिलित होता है।
 * एकिलीस संख्या शक्तिशाली है किंतु पूर्ण शक्ति नहीं है। प्रथम: 72, 108, 200, 288, 392, 432, 500, 648, 675, 800, 864, 968.
 * वर्ग-मुक्त पूर्णांक में 1 से अधिक बहुलता वाला कोई अभाज्य गुणनखंड नहीं होता है। प्रथम: 1, 2, 3, 5, 6, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 17 ) संख्या जहां कुछ किंतु सभी अभाज्य गुणनखंड में 1 से ऊपर की बहुलता नहीं होती है, वह न तो वर्ग-मुक्त होती है और न ही वर्गाकार होती है।
 * लिउविल फलन λ(n) 1 है यदि Ω(n) सम है, और -1 है यदि Ω(n) विषम है।
 * मोबियस फ़ंक्शन μ(n) 0 है यदि n वर्ग-मुक्त नहीं है। अन्यथा μ(n) 1 है यदि Ω(n) सम है, और −1 है यदि Ω(n) विषम है।
 * स्फेनिक संख्या में Ω(n) = 3 है और यह वर्ग-मुक्त है (इसलिए यह 3 विशिष्ट अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है)। प्रथम: 30, 42, 66, 70, 78, 102, 105, 110, 114, 130, 138, 154.
 * a0(n) n को विभाजित करने वाली अभाज्य संख्याओं का योग है, जिसे बहुलता के साथ गिना जाता है। यह योगात्मक फलन है।
 * रुथ-आरोन की जोड़ी दो निरन्तर संख्याएं (x, x+1) है जिसमें a0(x) = a0(x+1) है। प्रथम (x मान द्वारा): 5, 8, 15, 77, 125, 714, 948, 1330, 1520, 1862, 2491, 3248, परिभाषा ही अभाज्य है यदि इसलिए, प्रथम (x मान द्वारा): 5, 24, 49, 77, 104, 153, 369, 492, 714, 1682, 2107, 2299
 * मौलिक x# 2 से x तक सभी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है। प्रथम: 2, 6, 30, 210, 2310, 30030, 510510, 9699690, 223092870, 6469693230, 200560490130, 7420738134810 1# = 1 कभी-कभी सम्मिलित होता है।
 * फैक्टोरियल x! 1 से x तक सभी संख्याओं का गुणनफल है। प्रथम: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, 40320, 362880, 3628800, 39916800, 479001600  0! = 1 कभी-कभी सम्मिलित होता है।
 * k-स्मूथ संख्या (प्राकृतिक संख्या k के लिए) का सबसे बड़ा अभाज्य गुणक ≤ k होता है (इसलिए यह किसी भी j > k के लिए भी j-स्मूथ है)।
 * m, n की तुलना में 'स्मूथ' है यदि m का सबसे बड़ा अभाज्य गुणनफल n के सबसे बड़े से कम है।
 * नियमित संख्या में 5 से ऊपर कोई अभाज्य गुणक नहीं होता (इसलिए यह 5-स्मूथ है)। प्रथम: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16.
 * k-शक्तिशाली संख्या में सभी pm ≤ k होते हैं जहां p बहुलता m वाला अभाज्य गुणनखंड है।
 * मितव्ययी संख्या में इसके अभाज्य गुणनखंड में अंकों की संख्या से अधिक अंक होते हैं (जब घातांक के रूप में 1 से ऊपर की बहुलताओं के साथ नीचे दी गई तालिकाओं के जैसे लिखा जाता है)। दशमलव में प्रथम: 125, 128, 243, 256, 343, 512, 625, 729, 1024, 1029, 1215, 1250.
 * एक इक्विडिजिटल संख्या में अंकों की संख्या उतनी ही होती है जितनी कि इसके अभाज्य गुणनखंड में। दशमलव में पहला: 1, 2, 3, 5, 7, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17.
 * एक असाधारण संख्या में इसके प्रमुख गुणनखंड की तुलना में कम अंक होते हैं। दशमलव में पहला: 4, 6, 8, 9, 12, 18, 20, 22, 24, 26, 28, 30.
 * एक किफायती संख्या को एक मितव्ययी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, किंतु यह भी एक संख्या के रूप में है जो या तो मितव्ययी या समअंकीय है।
 * gcd(m, n) (m और n का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक) सभी प्रमुख कारकों का उत्पाद है जो m और 'दोनों में हैं 'n (m और n'' के लिए सबसे छोटी बहुलता के साथ)।
 * m और n coprime हैं (अपेक्षाकृत प्राइम भी कहा जाता है) अगर gcd(m, n) = 1 (अर्थात् उनके पास कोई सामान्य प्रमुख कारक नहीं है)।
 * lcm(m, n) (m और n का लघुत्तम समापवर्तक) m या n' के सभी प्रमुख कारकों का गुणनफल है ' (एम या एन'' के लिए सबसे बड़ी बहुलता के साथ)।
 * gcd(m, n) × lcm(m, n) = m × n. अन्य एल्गोरिदम का उपयोग करके gcd और lcm की गणना करने की तुलना में प्रमुख कारकों को खोजना अक्सर कठिन होता है, जिन्हें ज्ञात प्रधान गुणनखंड की आवश्यकता नहीं होती है।
 * m n का विभाजक है (जिसे m n को विभाजित करता है, या n m से विभाज्य है) यदि सभी प्रमुख कारक हैं एम की कम से कम एन में उतनी ही बहुलता है।

यह भी देखें


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