क्वार्ट्ज क्रिस्टल माइक्रोबैलेंस

क्वार्ट्ज क्रिस्टल माइक्रोबैलेंस (क्यूसीएम) (जिसे 'क्वार्ट्ज माइक्रोबैलेंस' (QMB) या 'क्वार्ट्ज क्रिस्टल नैनोबैलेंस' (QCN) के रूप में भी जाना जाता है) क्वार्ट्ज क्रिस्टल अनुनादक की आवृत्ति में परिवर्तन को मापकर प्रति इकाई क्षेत्र में बड़े स्तर पर भिन्नता को मापता है। ध्वनिक अनुनादक की सतह पर ऑक्साइड वृद्धि/क्षय के कारण छोटे द्रव्यमान को जोड़ने या विस्थापित करने से अनुनाद विक्षुब्ध होता है। क्यूसीएम का उपयोग वैक्यूम के अंतर्गत, गैस चरण ("गैस सेंसर", राजा द्वारा वर्णित प्रथम उपयोग ) और तरल वातावरण में किया जा सकता है। यह निर्वात के अंतर्गत सूक्ष्म फिल्म निक्षेपण प्रणालियों में निक्षेपण की दर का निरिक्षण के लिए उपयोगी है। तरल में यह रासायनिक बंधुता को पहचान स्थलों के साथ कार्यात्मक सतहों पर अणुओं (विशेष रूप से प्रोटीन) की आत्मीयता को निर्धारित करने में अत्यधिक प्रभावी है। बड़ी संस्थाओं में वाइरस या पॉलीमर का भी अन्वेषण किया जाता है। क्यूसीएम का उपयोग जैव अणुओं के मध्य अन्योन्यक्रियाओं के अन्वेषण के लिए भी किया गया है। आवृत्ति माप सरलता से उच्च परिशुद्धता के लिए किए जाते हैं; इसलिए, द्रव्यमान घनत्व को 1 μg/cm2 से नीचे के स्तर तक मापना सरल होता है। आवृत्ति को मापने के अतिरिक्त, अपव्यय कारक (अनुनाद बैंडविड्थ के समान) को प्रायः विश्लेषण में सहायता के लिए मापा जाता है। अपव्यय कारक प्रतिध्वनि Q−1 = w/fr (नीचे देखें) का व्युत्क्रम गुणवत्ता कारक है; यह प्रणाली में अवमंदन अनुपात की मात्रा निर्धारित करता है और प्रतिरूप के विस्कोलेस्टिक गुणों से संबंधित है।

सामान्य
क्वार्ट्ज क्रिस्टल का सदस्य है जो पीजोइलेक्ट्रिक प्रभाव का अनुभव करता है। पीजोइलेक्ट्रिक प्रभाव ने उच्च शक्ति स्रोतों, सेंसर, एक्चुएटर्स, आवृत्ति मानकों, मोटरों, आदि में अनुप्रयोगों को प्राप्त किया है, और प्रयुक्त वोल्टेज और यांत्रिक विरूपण के मध्य संबंध सर्वविदित है; यह विद्युत माध्यमों द्वारा ध्वनिक अनुनाद का अन्वेषण करने की अनुमति देता है। क्वार्ट्ज़ क्रिस्टल में प्रत्यावर्ती धारा प्रयुक्त करने पर दोलन उत्पन्न होंगे। उचित रूप से विभक्त क्रिस्टल के इलेक्ट्रोड के मध्य प्रत्यावर्ती धारा के साथ, स्थायी अपरूपण तरंग उत्पन्न होती है। क्यू कारक, जो आवृत्ति और बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) का अनुपात है, 106 जितना अधिक हो सकता है। इस प्रकार के संकीर्ण अनुनाद अत्यधिक स्थिर दोलक और अनुनाद आवृत्ति के निर्धारण में उच्च त्रुटिहीनता की ओर जाता है। क्यूसीएम संवेदन के लिए इस सरलता और त्रुटिहीनता का लाभ प्राप्त करता है। सामान्य उपकरण 4 - 6 मेगाहर्ट्ज सीमा में मूलभूत गुंजयमान आवृत्ति वाले क्रिस्टल पर 1 हर्ट्ज तक रिज़ॉल्यूशन की अनुमति देता है। क्यूसीएम के लिए विशिष्ट सेटअप में वाटर कूलिंग ट्यूब, रिटेनिंग यूनिट, माइक्रोडॉट फीड-थ्रू फ्रीक्वेंसी सेंसिंग उपकरण, दोलन स्रोत, माप और रिकॉर्डिंग उपकरण सम्मिलित हैं।

क्वार्ट्ज क्रिस्टल के दोलन की आवृत्ति आंशिक रूप से क्रिस्टल की थिकनेस पर निर्भर करती है। सामान्य संचालन के समय, अन्य सभी प्रभावित करने वाले चर स्थिर रहते हैं; इस प्रकार थिकनेस में परिवर्तन प्रत्यक्ष रूप से आवृत्ति में परिवर्तन से संबंधित होता है। जैसे-जैसे द्रव्यमान क्रिस्टल की सतह पर एकत्र होता है, थिकनेस में वृद्धि होती है; फलस्वरूप दोलन की आवृत्ति प्रारंभिक मान से घट जाती है। कुछ सरल धारणाओं के साथ, इस आवृत्ति परिवर्तन को परिमाणित किया जा सकता है और सौरब्रे समीकरण का उपयोग करके बड़े स्तर पर परिवर्तन के लिए त्रुटिहीन रूप से सहसंबद्ध किया जा सकता है। सूक्ष्म फिल्मों के गुणों को मापने के लिए अन्य तकनीकों में दीर्घवृत्त, सतह प्लासमॉन अनुनाद (एसपीआर), स्पेक्ट्रोस्कोपी, मल्टी-पैरामीट्रिक सरफेस प्लास्मोन रेजोनेंस और डुअल पोलराइजेशन इंटरफेरोमेट्री सम्मिलित हैं।

ग्रेविमेट्रिक और गैर-ग्रेविमेट्रिक क्यूसीएम
क्वार्ट्ज क्रिस्टल अनुनादकों का शास्त्रीय संवेदन अनुप्रयोग माइक्रोग्रैविमेट्री है।     कई व्यावसायिक उपकरण उपलब्ध हैं, जिनमें से कुछ को थिकनेस मॉनिटर कहा जाता है। ये उपकरण सॉरब्रे समीकरण का लाभ प्राप्त करते हैं। सूक्ष्म फिल्मों के लिए, अनुनाद आवृत्ति सामान्यतः प्लेट की कुल थिकनेस के व्युत्क्रमानुपाती होती है। उत्तरार्द्ध में तब वृद्धि हो जाती है जब फिल्म क्रिस्टल की सतह पर एकत्र हो जाती है। मोनोलेयर संवेदनशीलता सरलता से पहुँच जाती है। चूँकि, जब फिल्म की थिकनेस में वृद्धि हो जाती है तो विस्कोलेस्टिक प्रभाव चलन में आ जाते हैं। 1980 के दशक के अंत में, यह माना गया कि क्यूसीएम को तरल पदार्थों में भी संचालित किया जा सकता है, यदि बड़े अवमंदन के परिणामों को दूर करने के लिए उचित उपाय किए जाते हैं।  पुनः, विस्कोलेस्टिक प्रभाव अनुनाद गुणों में दृढ़ता से योगदान देता है।

वर्तमान में, माइक्रोवेइंग क्यूसीएम के कई उपयोगों में से है। श्यानता और अधिक सामान्य, विस्कोलेस्टिक गुणों के माप भी अधिक महत्वपूर्ण हैं। गैर-गुरुत्वाकर्षण क्यूसीएम किसी भी प्रकार से पारंपरिक क्यूसीएम का विकल्प नहीं है। ग्रेविमेट्री के अतिरिक्त अन्य प्रयोजनों के लिए क्वार्ट्ज रेज़ोनेटर का उपयोग करने वाले कई शोधकर्ता क्वार्ट्ज क्रिस्टल रेज़ोनेटर को "क्यूसीएम" कहते हैं। वास्तव में, शब्द संतुलन गैर-ग्रेविमेट्रिक अनुप्रयोगों के लिए भी समझ में आता है, यदि इसका अध्यन्न बल संतुलन के अर्थ में किया जाए। अनुनाद पर, प्रतिरूप द्वारा क्रिस्टल पर लगाए गए बल को क्रिस्टल के भीतर शियर प्रवणता से उत्पन्न होने वाले बल द्वारा संतुलित किया जाता है। यह लघु-भार सन्निकटन का सार है।

क्यूसीएम जड़त्वीय द्रव्यमान को मापता है और इसलिए उच्च गुंजयमान आवृत्ति पर संचालन करके इसे उस जड़ता में छोटे परिवर्तनों के प्रति अधिक संवेदनशील बनाया जा सकता है क्योंकि इसकी सतह पर सामग्री जोड़ी जाती है (या विस्थापित की जा सकती है)। गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान माप की संवेदनशीलता, तुलनात्मक रूप से, पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की शक्ति से सीमित है। हम सामान्य रूप से गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान को मापने (या तुलना करने) की विधि के रूप में संतुलन के संबंध में विचार करते हैं, जैसे कि किसी बल को मापा जाता है। कुछ प्रयोगों ने क्यूसीएम मापन के साथ ज्ञात करने योग्य (गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान) भार की तुलना करके क्यूसीएम और एसआई प्रणाली के मध्य संबंध प्रदर्शित किया है। क्रिस्टलीय α-क्वार्ट्ज थिकनेस-शियर अनुनादकों के लिए अब तक की सबसे महत्वपूर्ण सामग्री है। लैंगसाइट (La3Ga5SiO14, LGS) और गैलियम-ऑर्थोफॉस्फेट (GaPO4) को उच्च तापमान पर मुख्य रूप से क्वार्ट्ज के विकल्प के रूप में अन्वेषित किया जाता है। इस प्रकार के उपकरणों को क्यूसीएम भी कहा जाता है, भले ही वे क्वार्ट्ज से नहीं बने होते हैं (और उन्हें गुरुत्वाकर्षण के लिए उपयोग किया जा सकता है)।

भूतल ध्वनिक तरंग-आधारित सेंसर
क्यूसीएम सतहों पर ध्वनिक तरंगों के आधार पर संवेदन उपकरणों की विस्तृत श्रेणी का सदस्य है। संचालन के समान सिद्धांतों को साझा करने वाले उपकरण शियर क्षैतिज सतह ध्वनिक तरंग (SH-SAW) उपकरण, लव-वेव उपकरण और टॉर्सनल (यांत्रिकी) अनुनादक हैं।  भूतल ध्वनिक तरंग-आधारित उपकरण इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि क्रिस्टल सतह पर ध्वनिक तरंग की परावर्तकता आसन्न माध्यम के यांत्रिक प्रतिबाधा (प्रतिबल-से-गति अनुपात) पर निर्भर करती है। (तापमान या दबाव के लिए कुछ ध्वनिक सेंसर इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि क्रिस्टल के भीतर ध्वनि की गति तापमान और दबाव पर निर्भर करती है। ये सेंसर सतह के प्रभावों का शोषण नहीं करते हैं।) सतह-ध्वनिक तरंग आधारित संवेदन के संदर्भ में, क्यूसीएम को बल्क ध्वनिक तरंग अनुनादक (बीएडब्ल्यू-अनुनादक) या थिकनेस-शियर अनुनादक भी कहा जाता है। अनलोड किए गए बीएडब्ल्यू अनुनादक का विस्थापन पैटर्न क्रिस्टल सतह पर नोड (भौतिकी) के साथ स्थायी अपरूपण तरंग है। यह विश्लेषण को विशेष रूप से सरल और पारदर्शी बनाता है।

गुंजयमान क्रिस्टल
जब क्यूसीएम को सर्वप्रथम विकसित किया गया था, तब प्राकृतिक क्वार्टज को उसकी गुणवत्ता के लिए चयनित किया गया था और प्रयोगशाला में विभक्त किया गया था। चूँकि, वर्तमान के अधिकांश क्रिस्टल बीज क्रिस्टल का उपयोग करके विकसित किये जाते हैं। बीज क्रिस्टल विकास के लिए एंकरिंग बिंदु और टेम्पलेट के रूप में कार्य करता है। विकसित क्रिस्टल को पश्चात में बाल-सूक्ष्म डिस्क में विभक्त और पॉलिश किया जाता है जो 1-30 मेगाहर्ट्ज सीमा में थिकनेस शियर अनुनाद का समर्थन करता है। अनुप्रयोगों में एटी या एससी उन्मुख कटौती का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

विद्युत यांत्रिक कपलिंग
क्यूसीएम में सूक्ष्म पीजोइलेक्ट्रिक प्लेट होती है, जिसमें दोनों ओर इलेक्ट्रोड वाष्पित होते हैं। पीजो-प्रभाव के कारण, इलेक्ट्रोड में एसी वोल्टेज शियर विरूपण और इसके विपरीत प्रेरित करता है। विद्युत यांत्रिक युग्मन विद्युत माध्यमों द्वारा ध्वनिक अनुनाद को ज्ञात करने के लिए सरल विधि प्रदान करता है। अन्यथा इसका महत्व कम है। चूँकि, विद्युत यांत्रिक कपलिंग का पीजोइलेक्ट्रिक स्ट्रेनिंग के माध्यम से अनुनाद आवृत्ति पर थोड़ा प्रभाव हो सकता है। इस प्रभाव का उपयोग संवेदन के लिए किया जा सकता है, किन्तु सामान्यतः इससे बचा जाता है। विद्युत और परावैद्युत सीमा स्थितियों को उचित रूप से नियंत्रण में रखना आवश्यक है। ग्राउंडिंग फ्रंट इलेक्ट्रोड (प्रारूप के संपर्क में इलेक्ट्रोड) विकल्प है। π-नेटवर्क कभी-कभी उसी कारण से नियोजित होता है। π-नेटवर्क प्रतिरोधों की व्यवस्था दो इलेक्ट्रोडों को लगभग शार्ट परिपथ करती है। यह उपकरण को विद्युत क्षोभ के प्रति कम संवेदनशील बनाता है।

तरल और गैसों में अपरूपण तरंगें क्षय होती हैं
अधिकांश ध्वनिक-तरंग-आधारित सेंसर अपरूपण (अनुप्रस्थ) तरंगों का उपयोग करते हैं। तरल और गैसीय वातावरण में अपरूपण तरंगें तीव्रता से क्षय होती हैं। संपीडनात्मक (अनुदैर्ध्य) तरंगों को बल्क में विकीर्ण किया जाएगा और संभावित रूप से विरोधी सेल की दीवार से क्रिस्टल में पुनः परावर्तित किया जाएगा। अनुप्रस्थ तरंगों के साथ इस प्रकार के प्रतिबिंबों से बचा जाता है। जल में 5 मेगाहर्ट्ज-अपरूपण तरंग के प्रवेश की सीमा 250 एनएम है। यह परिमित प्रवेश गहराई क्यूसीएम सतह को विशिष्ट बनाती है। इसके अतिरिक्त, तरल पदार्थ और गैसों में अपेक्षाकृत कम शियर-ध्वनिक प्रतिबाधा होती है और इसलिए यह केवल दोलन को अशक्त कर देता है। ध्वनिक अनुनादकों के असाधारण उच्च Q-कारक उनके अशक्त युग्मन द्वारा पर्यावरण से जुड़े होते हैं।

संचालन की विधि
क्यूसीएम को संचालित करने के लिए आर्थिक विधि दोलक परिपथ का उपयोग करती हैं। दोलक परिपथ भी समय और आवृत्ति नियंत्रण अनुप्रयोगों में व्यापक रूप से कार्यरत हैं, जहां दोलक घड़ी के रूप में कार्य करता है। संचालन की अन्य विधि   प्रतिबाधा विश्लेषण, क्यूसीएम-I, रिंग-डाउन  और क्यूसीएम-डी हैं। प्रतिबाधा विश्लेषण में, ड्राइविंग आवृत्ति के कार्य के रूप में विद्युत चालकत्व नेटवर्क विश्लेषक (विद्युत) के माध्यम से निर्धारित किया जाता है। अनुनाद वक्र को चालकत्व वक्र में फिट करके, अनुनाद की आवृत्ति और बैंडविड्थ को फिट मापदंडों के रूप में प्राप्त किया जाता है। रिंग-डाउन में, एक्ससिटिंग वोल्टेज के अकस्मात संवृत हो जाने के पश्चात, इलेक्ट्रोड के मध्य वोल्टेज को मापा जाता है। अनुनादक क्षयकारी साइन तरंग का उत्सर्जन करता है, जहां अनुनाद मापदंडों को दोलन की अवधि और क्षय दर से प्राप्त किया जाता है।



एनर्जी ट्रैपिंग
क्रिस्टल धारक द्वारा कंपन ऊर्जा (दोलन को कम करना) के अपव्यय से बचने के लिए, जो रिम पर क्रिस्टल को छूता है, कंपन को क्रिस्टल प्लेटलेट के केंद्र तक ही सीमित रखा जाना चाहिए। इसे एनर्जी ट्रैपिंग के रूप में जाना जाता है।

उच्च आवृत्तियों (10 मेगाहर्ट्ज और अधिक) वाले क्रिस्टल के लिए, क्रिस्टल के आगे और पीछे के इलेक्ट्रोड सामान्यतः की-होल के आकार के होते हैं, जिससे रेज़ोनेटर रिम की तुलना में केंद्र में संगीन हो जाता है। इलेक्ट्रोड का द्रव्यमान विस्थापन क्षेत्र को क्रिस्टल डिस्क के केंद्र तक सीमित करता है। 5 या 6 मेगाहर्ट्ज के निकट कंपन आवृत्तियों के साथ क्यूसीएम क्रिस्टल में सामान्यतः समतल उत्तल आकार होता है; जो क्रिस्टल अनुनाद आवृत्ति के साथ अप्रगामी तरंग के लिए अधिक सूक्ष्म होता है।

इस प्रकार, दोनों स्थितियों में डिस्क के केंद्र में थिकनेस-शियर कंपन आयाम सबसे बड़ा होता है। इसका तात्पर्य यह है कि द्रव्यमान-संवेदनशीलता केंद्र में चरम पर होता है, इस संवेदनशीलता के साथ रिम धीरे-धीरे शून्य हो जाता है (उच्च-आवृत्ति वाले क्रिस्टल के लिए आयाम पूर्व से ही सबसे छोटे इलेक्ट्रोड की परिधि के बाहर लुप्त हो जाता है। ) द्रव्यमान-संवेदनशीलता इसीलिए क्रिस्टल सतह पर असमान होती है और यह असमानता धातु इलेक्ट्रोड के द्रव्यमान-वितरण का कार्य है।

एनर्जी ट्रैपिंग अन्यथा प्लेनर तरंगाग्र को विकृत कर देती है। समतल थिकनेस-शियर मोड से विचलन विस्थापन पैटर्न में फ्लेक्सुरल योगदान पर ध्यान देता है। यदि क्रिस्टल को निर्वात में संचालित नहीं किया जाता है, तो फ्लेक्सुरल तरंगें संपीडित तरंगों को आसन्न माध्यम में उत्सर्जित करती हैं, तब तरल वातावरण में क्रिस्टल को संचालित करते समय समस्या होती है। क्रिस्टल और कंटेनर की दीवारों (या तरल सतह) के मध्य तरल में स्थायी संपीडन तरंगें बनती हैं; ये तरंगें क्रिस्टल अनुनादक की आवृत्ति और अवमंदन दोनों को संशोधित करती हैं।

ओवरटोन
प्लानर अनुनादकों को कई ओवरटोन पर संचालित किया जा सकता है जो सामान्यतः क्रिस्टल सतहों के समानांतर नोडल तलों की संख्या से अनुक्रमित होते हैं। विषम हार्मोनिक्स विद्युत रूप से उत्तेजित हो सकते हैं क्योंकि केवल ये ही दो क्रिस्टल सतहों पर विपरीत संकेत के आवेशों को प्रेरित करते हैं। ओवरटोन को अनहार्मोनिक साइड बैंड से भिन्न किया जाना चाहिए, जिसमें अनुनादक के लंबवत नोडल तल होते हैं। n = 5 और n = 13 के मध्य ओवरटोन क्रम के लिए प्लानर वैकल्पिक रूप से सहमत होता है। निम्न हार्मोनिक्स पर ऊर्जा ट्रैपिंग अपर्याप्त है जबकि उच्च हार्मोनिक्स पर एनार्मोनिक साइड बैंड मुख्य अनुनाद के साथ हस्तक्षेप करते हैं।

गति का आयाम
पार्श्व विस्थापन का आयाम संभवतः नैनोमीटर से अधिक है। अधिक विशेष रूप से किसी के पास $$u_0=\frac 4{\left( n\pi \right) ^2}dQU_{\mathrm{el}} $$ के साथ u0 पार्श्व विस्थापन का आयाम, n ओवरटोन क्रम, d पीजोइलेक्ट्रिक प्रतिबल गुणांक, Q गुणवत्ता कारक, और विद्युत ड्राइविंग के आयाम का Uel है। एटी-कट क्वार्ट्ज़ क्रिस्टल के लिए पीजोइलेक्ट्रिक स्ट्रेन गुणांक d = 3.1·10‑12 m/V के रूप में दिया गया है। छोटे आयाम के कारण, प्रतिबल (भौतिकी) और विकृति (सामग्री विज्ञान) सामान्यतः परस्पर समानुपाती होते हैं। क्यूसीएम रैखिक ध्वनिकी की श्रेणी में कार्य करता है।

तापमान और प्रतिबल के प्रभाव
ध्वनिक अनुनादकों का अनुनाद आवृत्ति तापमान, दबाव और बंकन प्रतिबल पर निर्भर करता है। तापमान-आवृत्ति युग्मन विशेष क्रिस्टल कट को नियोजित करके कम किया जाता है। क्वार्ट्ज का व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला तापमान-क्षतिपूर्ति एटी-कट है। क्यूसीएम के संचालन में तापमान और प्रतिबल का सावधानीपूर्वक नियंत्रण आवश्यक होता है।

एटी-कट क्रिस्टल विलक्षण रूप से घुमाए गए वाई-अक्ष कट होते हैं जिसमें दोलन के समय क्रिस्टल के शीर्ष और निचले अर्ध भाग विपरीत दिशाओं (थिकनेस शियर कंपन) में चलते हैं। एटी-कट क्रिस्टल सरलता से निर्मित होता है। चूँकि, उच्च और निम्न तापमान पर इसकी सीमाएं हैं, क्योंकि यह इन तापमान चरम सीमाओं (कक्ष के तापमान के सापेक्ष, ~25 डिग्री सेल्सियस) में तापमान प्रवणता के कारण होने वाले आंतरिक प्रतिबल से सरलता से बाधित हो जाता है। ये आंतरिक प्रतिबल बिंदु क्रिस्टल में अवांछनीय आवृत्ति परिवर्तन उत्पन्न करते हैं, जिससे इसकी त्रुटिहीनता कम हो जाती है। तापमान और आवृत्ति के मध्य का संबंध घन फलन है। घन संबंध में कमरे के तापमान के निकट इन्फ्लेक्शन बिंदु होता है। परिणामस्वरूप एटी-कट क्वार्ट्ज़ क्रिस्टल कक्ष के तापमान पर या उसके निकट संचालन करते समय सबसे प्रभावी होता है। उन अनुप्रयोगों के लिए जो कक्ष के तापमान से अधिक हैं, जल की शीतलता प्रायः सहायक होती है।

प्रतिबल-क्षतिपूर्ति (एससी) क्रिस्टल डबल रोटेट कट के साथ उपलब्ध हैं जो तापमान के उतार-चढ़ाव के कारण आवृत्ति परिवर्तन को कम करता है जब प्रणाली उच्च तापमान पर कार्य कर रही होती है, और यह जल की शीतलता पर निर्भरता कम करता है। एससी-कट क्रिस्टल का इन्फ्लेक्शन बिंदु ~92°C होता है। उच्च तापमान इन्फ्लेक्शन बिंदु के अतिरिक्त, उनके निकट घन संबंध भी होता है और वे इन्फ्लेक्शन बिंदु पर तापमान विचलन से कम प्रभावित होते हैं। चूँकि, अधिक कठिन निर्माण प्रक्रिया के कारण, वे अधिक बहुमूल्य होते हैं और व्यापक रूप से उपलब्ध नहीं होते हैं।

विद्युत रासायनिक क्यूसीएम
क्यूसीएम को अन्य सतह-विश्लेषणात्मक उपकरणों के साथ जोड़ा जा सकता है। विद्युत रासायनिक क्यूसीएम (E क्यूसीएम) विशेष रूप से उन्नत है।  E क्यूसीएम का उपयोग करके, इलेक्ट्रोड के माध्यम से पारित कुल आवेश के लिए विद्युत रासायनिक प्रतिक्रिया के समय इलेक्ट्रोड सतह पर निक्षेपण द्रव्यमान का अनुपात निर्धारित करता है। इस अनुपात को धारा दक्षता कहा जाता है।

अपव्यय प्रक्रियाओं की मात्रा
क्यूसीएम-I और क्यूसीएम-D जैसे उन्नत क्यूसीएम के लिए, अनुनाद आवृत्ति, fr और बैंडविड्थ, w दोनों विश्लेषण के लिए उपलब्ध हैं। उत्तरार्द्ध उन प्रक्रियाओं की मात्रा निर्धारित करता है जो दोलन से ऊर्जा ग्रहण करती हैं। इनमें धारक द्वारा अवमंदन और इलेक्ट्रोड या क्रिस्टल के भीतर ओम के नियम की हानि सम्मिलित हो सकती हैं। बैंडविड्थ की मात्रा निर्धारित करने के लिए w के अतिरिक्त कुछ मापदंडों का उपयोग किया जाता है। Q-कारक (गुणवत्ता कारक) Q = fr/w द्वारा दिया जाता है। अपव्यय कारक D, Q-कारक D = Q−1 = w/fr का व्युत्क्रम है। हाफ-बैंड-हाफ-चौड़ाई Γ, Γ = w/2 है। Γ का उपयोग क्रिस्टल की गति को नियंत्रित करने वाले समीकरणों के जटिल सूत्रीकरण से प्रेरित है। सम्मिश्र संख्या अनुनाद आवृत्ति को fr* = fr + iΓ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां काल्पनिक भाग Γ अधिकतम बैंडविड्थ का आधा है। जटिल संकेतन का उपयोग करके, आवृत्ति Δf, और बैंडविड्थ ΔΓ, (जटिल) समीकरणों के समुच्चय के भीतर परिवर्तन का प्रबंध कर सकते हैं। अनुनादक R1 के प्रेरक प्रतिरोध का उपयोग अपव्यय के मापन के रूप में भी किया जाता है। R1 उन्नत दोलक परिपथ पर आधारित कुछ उपकरणों का आउटपुट पैरामीटर है। R1 सामान्यतः बैंडविड्थ के समानुपाती नहीं होता है (चूँकि यह बीवीडी परिपथ के अनुसार होना चाहिए)। इसके अतिरिक्त, निरपेक्ष रूप से R1 विद्युत मात्रा है और आवृत्ति नहीं है, बैंडविड्थ की तुलना में अंशांकन समस्याओं से अधिक गंभीर रूप से प्रभावित होता है।

समतुल्य परिपथ
ध्वनिक अनुनादकों की मॉडलिंग अधिकांशतः समतुल्य विद्युत परिपथों के साथ होती है। समतुल्य परिपथ बीजगणितीय रूप से सातत्य यांत्रिकी विवरण और ध्वनिक परावर्तकता के संदर्भ में वर्णन के समतुल्य हैं। वे अनुनादक के गुणों और लोड होने पर उनकी पारियों का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व प्रदान करते हैं। ये अभ्यावेदन केवल कार्टून नहीं हैं। वे लोड के अतिरिक्त प्रतिक्रिया में अनुनाद पैरामीटर की शिफ्ट की भविष्यवाणी करने के लिए उपकरण हैं।

समतुल्य परिपथ विद्युत यांत्रिक सादृश्य पर निर्मित होते हैं। उसी प्रकार जैसे प्रतिरोधों के नेटवर्क के माध्यम से धारा की भविष्यवाणी उनकी व्यवस्था और प्रयुक्त वोल्टेज से की जा सकती है, यांत्रिक तत्वों के नेटवर्क के विस्थापन की भविष्यवाणी नेटवर्क की टोपोलॉजी और प्रयुक्त बल से की जा सकती है। विद्युत-यांत्रिक सादृश्य मानचित्र वोल्टेज पर और धाराओं पर गति को बल देते हैं। बल और गति के अनुपात को यांत्रिक प्रतिबाधा कहा जाता है। नोट: यहाँ, गति का अर्थ विस्थापन के समय व्युत्पन्न से है, न कि ध्वनि की गति से है। विद्युत-ध्वनिक सादृश्य भी है, जिसके भीतर प्रतिबल (बलों के अतिरिक्त) वोल्टेज पर मैप किए जाते हैं। ध्वनिकी में, बलों को क्षेत्र के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। प्रतिबल और गति के अनुपात को ध्वनिक प्रतिबाधा (यांत्रिक प्रतिबाधा के अनुरूप) नहीं कहा जाना चाहिए क्योंकि यह शब्द घनत्व ρ और ध्वनि की गति c के साथ भौतिक गुण Zac = ρc के लिए पूर्व से ही उपयोग में है। क्रिस्टल सतह पर प्रतिबल और गति के अनुपात को भार प्रतिबाधा, ZL कहा जाता है। पर्यायवाची शब्द सतह प्रतिबाधा और ध्वनिक भार हैं। भार प्रतिबाधा सामान्य रूप से सामग्री स्थिरांक Zac = ρc = (Gρ)1/2 के समान नहीं होती है। केवल समतल तरंगों के प्रसार के लिए ZL और Zac के मान समान होते हैं।

इलेक्ट्रो-मैकेनिकल सादृश्य रोकनेवाला, एक अधिष्ठापन और एक समाई के यांत्रिक समकक्षों के लिए प्रदान करता है, जो डैशपॉट हैं (ड्रैग गुणांक द्वारा निर्धारित, ξp), बिंदु द्रव्यमान (द्रव्यमान द्वारा परिमाणित, मीp), और वसंत (उपकरण) (हुक के कानून द्वारा निर्धारित, κp). डैशपॉट के लिए, परिभाषा के अनुसार प्रतिबाधा Z हैm=एफ / (डु/डीटी)=ξm F बल और (du/dt) गति के साथ)। दोलनशील गति से गुजर रहे एक बिंदु द्रव्यमान के लिए u(t) = u0 ऍक्स्प (iωt) हमारे पास Z हैm = iωmp. वसंत Z का पालन करता हैm = श्रीमानp/(iω). पीजोइलेक्ट्रिक कपलिंग को ट्रांसफॉर्मर के रूप में दर्शाया गया है। यह एक पैरामीटर φ द्वारा विशेषता है। जबकि φ सामान्य ट्रांसफॉर्मर (घुमाव अनुपात) के लिए आयाम रहित है, इलेक्ट्रोमेकैनिकल युग्मन के मामले में इसका आयाम चार्ज/लंबाई है। ट्रांसफार्मर एक प्रतिबाधा परिवर्तक के रूप में इस अर्थ में कार्य करता है कि एक यांत्रिक प्रतिबाधा, Zm, एक विद्युत प्रतिबाधा, Z के रूप में प्रकट होता हैel, विद्युत बंदरगाहों के पार। जेडel Z द्वारा दिया गया हैel = च2 जेडm. प्लानर पीजोइलेक्ट्रिक क्रिस्टल के लिए, φ का मान φ = Ae/d होता हैq, जहां ए प्रभावी क्षेत्र है, ई पीजोइलेक्ट्रिक प्रतिबल गुणांक है (ई = 9.65·10 -2 सी/एम2 एटी-कट क्वार्ट्ज़ के लिए) और dq प्लेट की थिकनेस है। ट्रांसफार्मर को अक्सर स्पष्ट रूप से चित्रित नहीं किया जाता है। बल्कि, यांत्रिक तत्वों को सीधे विद्युत तत्वों के रूप में चित्रित किया जाता है (संधारित्र एक वसंत, आदि की जगह लेता है)।

इलेक्ट्रो-मैकेनिकल सादृश्य के अनुप्रयोग के साथ एक गड़बड़ी है, जो कि नेटवर्क को कैसे तैयार किया जाता है, के साथ करना है। जब एक स्प्रिंग डैशपॉट पर खींचती है, तो सामान्यतः दो तत्वों को श्रृंखला में खींचा जाता है। चूँकि, इलेक्ट्रो-मैकेनिकल सादृश्य को लागू करते समय, दो तत्वों को समानांतर में रखा जाना चाहिए। दो समानांतर विद्युत तत्वों के लिए धाराएँ योगात्मक होती हैं। चूँकि डैशपॉट के पीछे स्प्रिंग लगाते समय गति (= धाराएँ) जुड़ती हैं, इस असेंबली को एक समानांतर नेटवर्क द्वारा दर्शाया जाना चाहिए।

दाईं ओर का आंकड़ा बटरवर्थ-वैन डाइक (बीवीडी) समकक्ष परिपथ दिखाता है। क्रिस्टल के ध्वनिक गुण गतिक अधिष्ठापन, एल द्वारा दर्शाए जाते हैं1, प्रेरक समाई, सी1, और गतिक प्रतिरोध आर1. साथL भार प्रतिबाधा है। ध्यान दें कि भार, ZL, एक माप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। यह लोडेड और अनलोडेड स्थिति की तुलना से अनुमानित है। कुछ लेखक लोड जेड के बिना बीवीडी परिपथ का उपयोग करते हैंL. इस परिपथ को "चार तत्व नेटवर्क" भी कहा जाता है। एल के मान1, सी1, और आर1 फिर लोड की उपस्थिति में उनके मूल्य को बदलें (वे नहीं करते हैं यदि तत्व ZL स्पष्ट रूप से सम्मिलित है)।

लघु-भार सन्निकटन
बीवीडी परिपथ अनुनाद पैरामीटर की भविष्यवाणी करता है। कोई यह दिखा सकता है कि निम्न सरल संबंध तब तक धारण करता है जब तक कि आवृत्ति परिवर्तन स्वयं आवृत्ति से बहुत छोटा होता है:

$$\frac{\Delta f^{*}}{f_f}=\frac i{\pi Z_q}Z_L$$ एफf मौलिक आवृत्ति की आवृत्ति है। जेडq सामग्री की ध्वनिक प्रतिबाधा है। एटी-कट क्वार्ट्ज़ के लिए, इसका मान Z हैq = 8.8·106 किग्रा मी-2 एस -1.

क्यूसीएम-डेटा की व्याख्या के लिए छोटा-लोड सन्निकटन केंद्रीय है। यह मनमाने प्रतिरूप के लिए है और इसे औसत अर्थ में लागू किया जा सकता है। मान लें कि नमूना एक जटिल सामग्री है, जैसे कि एक  कोश पालन, एक रेत का ढेर, एक झाग, गोले या पुटिका (जीव विज्ञान) का एक संयोजन, या एक छोटी बूंद। यदि क्रिस्टल सतह पर प्रतिरूप का औसत प्रतिबल-से-गति अनुपात (लोड प्रतिबाधा, ZL) की गणना एक या दूसरे तरीके से की जा सकती है, क्यूसीएम प्रयोग का मात्रात्मक विश्लेषण पहुंच में है। अन्यथा, व्याख्या को गुणात्मक रहना होगा।

छोटे-लोड सन्निकटन की सीमा या तो तब देखी जाती है जब आवृत्ति बदलाव बड़ा होता है या जब प्रतिरूप के विस्कोलेस्टिक गुणों को प्राप्त करने के लिए Δf और Δ(w/2) की ओवरटोन-निर्भरता का विस्तार से विश्लेषण किया जाता है। अधिक सामान्य संबंध है

$$Z_L=-iZ_q\tan \left( \pi \frac{\Delta f}{f_f}\right)$$ यह समीकरण Δf में निहित कार्य है*, और संख्यात्मक रूप से हल किया जाना चाहिए। अनुमानित समाधान भी मौजूद हैं, जो छोटे भार सन्निकटन से परे जाते हैं। लघु-भार सन्निकटन एक गड़बड़ी सिद्धांत का पहला आदेश समाधान है। भार प्रतिबाधा की परिभाषा स्पष्ट रूप से मानती है कि प्रतिबल और गति आनुपातिक हैं और इसलिए अनुपात गति से स्वतंत्र है। यह धारणा उचित है जब क्रिस्टल तरल और हवा में संचालित होता है। रैखिक ध्वनिकी के नियम तब पकड़ में आते हैं। चूँकि, जब क्रिस्टल किसी खुरदरी सतह के संपर्क में होता है, तो प्रतिबल सरलता से प्रतिबल (और गति) की एक गैर-रैखिक प्रणाली बन सकता है, क्योंकि प्रतिबल एक सीमित संख्या में भार वहन करने वाली असमानताओं में फैलता है। संपर्क के बिंदुओं पर प्रतिबल अधिक होता है, और स्लिप, आंशिक स्लिप, यील्ड आदि जैसी घटनाएं शुरू हो जाती हैं। ये गैर-रैखिक ध्वनिकी का हिस्सा हैं। इस समस्या से निपटने के लिए लघु-भार समीकरण का एक सामान्यीकरण है। यदि प्रतिबल, σ(t), समय में आवधिक है और क्रिस्टल दोलन के साथ तुल्यकालिक है

$$\frac{\Delta f}{f_f}=\frac 1{\pi Z_q}\,\frac 2{\omega u_0}\left\langle \sigma \left( t\right) \cos \left( \omega t\right) \right\rangle _t$$

$$\frac{\Delta (w/2) }{f_f}=\frac 1{\pi Z_q}\,\frac 2{\omega u_0}\left\langle \sigma \left( t\right) \sin \left( \omega t\right) \right\rangle _t$$ कोणीय कोष्ठक एक समय औसत को दर्शाते हैं और σ(t) बाहरी सतह द्वारा डाला गया (छोटा) प्रतिबल है। फलन σ(t) हार्मोनिक हो भी सकता है और नहीं भी। ड्राइविंग वोल्टेज पर अनुनाद पैरामीटर की निर्भरता की जांच करके कोई भी हमेशा गैर-रैखिक व्यवहार के लिए परीक्षण कर सकता है। यदि रैखिक ध्वनिकी पकड़ में आती है, तो कोई ड्राइव स्तर-निर्भरता नहीं होती है। ध्यान दें, चूँकि, क्वार्ट्ज क्रिस्टल में एक आंतरिक ड्राइव स्तर-निर्भरता होती है, जिसे क्रिस्टल और प्रतिरूप के मध्य गैर-रैखिक बातचीत के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

अनुमान
कई प्रायोगिक विन्यासों के लिए, आवृत्ति और बैंडविड्थ के नमूना गुणों में बदलाव से संबंधित स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ हैं।   समीकरणों में निहित धारणाएँ निम्नलिखित हैं:


 * अनुनादक और सभी आवरण परतें बाद में सजातीय और अनंत हैं।
 * क्रिस्टल की विकृति तरंग सदिश के साथ एक अनुप्रस्थ समतल तरंग द्वारा दी जाती है। लहर-वेक्टर सतह के लंबवत सामान्य (थिकनेस-शियर मोड) है। न तो संपीडन तरंगें हैं न ही विस्थापन पैटर्न में फ्लेक्सुरल योगदान। अनुनादक के तल में कोई नोडल रेखाएँ नहीं होती हैं।
 * सभी प्रतिबल प्रतिबल के समानुपाती होते हैं। रैखिक विस्कोलेस्टिकity रखती है।
 * पीजोइलेक्ट्रिक कठोरता को नजरअंदाज किया जा सकता है।

अर्ध-अनंत विस्कोलेस्टिक माध्यम
अर्ध-अनंत माध्यम के लिए, किसी के पास है

$$\frac{\Delta f^{*}}{f_f}=\frac i{\pi Z_q}\,\frac \sigma {\dot{u}}=\frac i{\pi Z_q}Z_{\mathrm{ac}}=\frac i{\pi Z_q}\sqrt{\rho i\omega \eta }$$

$$=\frac 1{\pi Z_q}\,\frac{-1+i}{\sqrt{2}}\sqrt{\rho \omega \left( \eta ^{\prime }-i\eta ^{\prime \prime }\right) }=\frac i{\pi Z_q} \sqrt{\rho \left( G^{\prime }+iG^{\prime \prime }\right) }$$ η' और η क्रमशः श्यानता का वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग हैं। जेडac = ρc =(जी ρ)1/2 माध्यम का ध्वनिक प्रतिबाधा है। ρ घनत्व है, c, ध्वनि की गति है, और G = i ωη अपरूपण मापांक है। न्यूटोनियन द्रव के लिए (η' = const, η'' = 0), Δf और Δ(w/2) समान और विपरीत हैं। वे ओवरटोन क्रम के वर्गमूल के रूप में मापते हैं, n1/2. विस्कोलेस्टिक तरल पदार्थ के लिए (η' = η(ω), η''≠ 0), जटिल श्यानता के रूप में प्राप्त किया जा सकता है

$$\eta ^{\prime }=-\frac{\pi Z_q^2}{\rho _{\mathrm{Liq}}\,f}\,\frac{\Delta f\Delta \left( w/2\right) }{f_f^2}$$

$$\eta ^{\prime \prime }=\frac 12\frac{\pi Z_q^2}{\rho _{\mathrm{Liq}}\,f}\,\frac{\left( \left( \Delta \left( w/2\right) \right) ^2-\Delta f^2\right) }{f_f^2}$$ महत्वपूर्ण रूप से, क्यूसीएम केवल क्रिस्टल सतह के करीब के क्षेत्र की जांच करता है। अपरूपण तरंग तरल में क्षणभंगुर रूप से क्षय हो जाती है। पानी में प्रवेश की गहराई 5 मेगाहर्ट्ज पर लगभग 250 एनएम है। सतह खुरदरापन, सतह पर नैनो-बुलबुले, फिसलन और संपीडित तरंगें श्यानता के मापन में हस्तक्षेप कर सकती हैं। साथ ही, मेगाहर्ट्ज आवृत्तियों पर निर्धारित श्यानता कभी-कभी कम आवृत्ति श्यानता से भिन्न होती है। इस संबंध में, मरोड़ अनुनादक (लगभग 100 kHz आवृत्ति के साथ) थिकनेस-शियर अनुनादकों की तुलना में अनुप्रयोग के अधिक निकट हैं।

जड़त्वीय भार (सॉरब्रे समीकरण)
एक पतले प्रतिरूप द्वारा प्रेरित आवृत्ति बदलाव जो क्रिस्टल (जैसे एक सूक्ष्म फिल्म) के साथ कठोर रूप से जुड़ा हुआ है, सॉरब्रे समीकरण द्वारा वर्णित है। प्रतिबल जड़ता द्वारा नियंत्रित होता है, जिसका अर्थ है σ = -ω2यू0mF, जहां तुम0 दोलन और एम का आयाम हैF (औसत) द्रव्यमान प्रति इकाई क्षेत्र है। इस परिणाम को छोटे-लोड-सन्निकटन में सम्मिलित करना

$$\frac{\Delta f^{*}}{f_f}\approx \frac i{\pi Z_q}\frac{-\omega ^2u_0m_{\% \mathrm{F}}}{i\omega u_0}=-\frac{2\,f}{Z_q}m_{\mathrm{F}}$$ यदि फिल्म का घनत्व ज्ञात है, तो द्रव्यमान प्रति इकाई क्षेत्र, m से परिवर्तित किया जा सकता हैF, थिकनेस के लिए, डीF. इस प्रकार निकाली गई थिकनेस को यह दर्शाने के लिए सॉरब्रे थिकनेस भी कहा जाता है कि यह फ़्रीक्वेंसी शिफ्ट में सॉरब्रे समीकरण को लागू करके प्राप्त की गई थी। बैंडविड्थ में बदलाव शून्य है यदि सॉरब्रे समीकरण लागू होता है। इसलिए बैंडविड्थ की जांच सॉरब्रे समीकरण की प्रयोज्यता की जांच करने के बराबर है।

Sauerbrey समीकरण पहली बार 1959 में Günter Sauerbrey द्वारा प्राप्त किया गया था और उस पर एकत्र द्रव्यमान के साथ एक पीजोइलेक्ट्रिक क्रिस्टल की दोलन आवृत्ति में परिवर्तन को सहसंबंधित करता है। उन्होंने एक साथ एक ऑसिलेटर परिपथ के आवृत्ति-निर्धारण घटक के रूप में क्रिस्टल का उपयोग करके अनुनाद आवृत्ति और इसके परिवर्तनों को मापने के लिए एक विधि विकसित की। आवृत्ति को द्रव्यमान में बदलने के लिए क्वार्ट्ज क्रिस्टल माइक्रोबैलेंस प्रयोगों में प्राथमिक उपकरण के रूप में उनकी विधि का उपयोग जारी है।

क्योंकि फिल्म को थिकनेस के विस्तार के रूप में माना जाता है, सॉरेब्री का समीकरण केवल उन प्रणालियों पर लागू होता है जिनमें (ए) एकत्र द्रव्यमान में क्रिस्टल के समान ध्वनिक गुण होते हैं और (बी) आवृत्ति परिवर्तन छोटा होता है (Δf / f <0.05)।

यदि आवृत्ति में परिवर्तन 5% से अधिक है, अर्थात, Δf / f > 0.05, द्रव्यमान में परिवर्तन को निर्धारित करने के लिए Z-मैच विधि का उपयोग किया जाना चाहिए। जेड-मैच विधि का सूत्र है:

$$\tan \left( \frac{\pi \Delta f}{f_f}\right) =\frac{-Z_{\mathrm{F}}}{Z_q}\tan \left( k_{\mathrm{F}}d_{\mathrm{F}}\right)$$ कF फिल्म के अंदर वेव वेक्टर है और डीF इसकी थिकनेस। कश्मीर डालनाF = 2·π·f /cF = 2·पी·एफ·आरF / साथF साथ ही डीF = मF / पीF पैदावार

$$\Delta f=-\frac{f_f}\pi \left( \arctan \frac{Z_{\mathrm{F}}}{Z_q}\tan \left( \frac{2\pi f}{Z_{\mathrm{F}}}m_{\mathrm{F}}\right) \right)$$

विस्कोलेस्टिक फिल्म
एक विस्कोलेस्टिक फिल्म के लिए आवृत्ति बदलाव है

$$\frac{\Delta f^{*}}{f_f}=\frac{-1}{\pi Z_q}Z_{\mathrm{F}}\tan \left( k_{\mathrm{F}}d_{\mathrm{F}}\right)$$ यहाँ ज़ेडF फिल्म की ध्वनिक प्रतिबाधा है (ZF = पीFcF = (पृFGf)1/2)= (आरF/जेf)1/2), केF वेव वेक्टर है और डीF फिल्म की थिकनेस है। जेf फिल्म का विस्कोलेस्टिक अनुपालन है, ρF घनत्व है।

स्पर्शरेखा के ध्रुव (त्रिकोणमितीय फलन) (kF dF = π/2) फिल्म अनुनादों को परिभाषित करें। फिल्म अनुनाद पर, एक के पास डी हैF = λ/4. प्रयोग और सिद्धांत के मध्य समझौता अक्सर फिल्म अनुनाद के करीब खराब होता है। विशिष्ट रूप से, क्यूसीएम ध्वनि की तरंग दैर्ध्य के एक चौथाई से भी कम फिल्म की थिकनेस के लिए अच्छी तरह से काम करता है (कुछ माइक्रोमीटर के अनुरूप, फिल्म की कोमलता और ओवरटोन क्रम पर निर्भर करता है)।

ध्यान दें कि क्यूसीएम के साथ निर्धारित एक फिल्म के गुण पूरी तरह से दो मापदंडों द्वारा निर्दिष्ट होते हैं, जो इसकी ध्वनिक प्रतिबाधा, Z हैंF = पीFcF और इसका द्रव्यमान प्रति इकाई क्षेत्र, मीF = घF/पीF. तरंग संख्या kF = ω/सीF Z से बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र नहीं हैF और एमF. जब तक फिल्म के घनत्व को स्वतंत्र रूप से नहीं जाना जाता है, क्यूसीएम केवल प्रति इकाई क्षेत्र में द्रव्यमान को माप सकता है, स्वयं ज्यामितीय थिकनेस को कभी नहीं।

तरल में विस्कोलेस्टिक फिल्म
एक तरल वातावरण में डूबी फिल्म के लिए आवृत्ति बदलाव है

$$\frac{\Delta f^{*}}{f_f}=\frac{-Z_{\mathrm{F}}}{\pi Z_q}\frac{Z_{\mathrm{F}}\tan \left( k_{\mathrm{F}}d_{\mathrm{F}}\right) -iZ_{\mathrm{Liq}}}{Z_{\mathrm{F}}+iZ_{\mathrm{Liq}}\tan \left( k_{\mathrm{F}}d_{\mathrm{F}}\right) }$$ सूचकांक F और Liq फिल्म और तरल को दर्शाते हैं। यहाँ, संदर्भ अवस्था तरल में डूबा हुआ क्रिस्टल है (किन्तु फिल्म से ढका नहीं है)। सूक्ष्म फिल्मों के लिए, टेलर श्रृंखला | टेलर-डी में पहले क्रम में उपरोक्त समीकरण का विस्तार कर सकते हैंF, उपज

$$\frac{\Delta f^{*}}{f_f}=\frac{-m_{\mathrm{F}}}{\pi Z_q}\left( 1-\frac{Z_{ \mathrm{Liq}}^2}{Z_{\mathrm{F}}^2}\right)=\frac{-m_{\mathrm{F}}}{\pi Z_q}\left( 1-J_{\mathrm{F}}\frac{Z_{\mathrm{Liq}}^2}{\rho_{\mathrm{F}}}\right)$$ कोष्ठक में शब्द के अतिरिक्त, यह समीकरण सॉरब्रे समीकरण के बराबर है। कोष्ठक में शब्द एक विस्कोलेस्टिक सुधार है, इस तथ्य से निपटने के लिए कि तरल पदार्थों में, नरम परतें कठोर परतों की तुलना में एक छोटे साउरब्रे थिकनेस की ओर ले जाती हैं।

विस्कोलेस्टिक स्थिरांक की व्युत्पत्ति
आवृत्ति बदलाव सामग्री की ध्वनिक प्रतिबाधा पर निर्भर करता है; उत्तरार्द्ध बदले में सामग्री के विस्कोलेस्टिक गुणों पर निर्भर करता है। इसलिए, सिद्धांत रूप में, कोई जटिल शियर मापांक (या समकक्ष, जटिल श्यानता) प्राप्त कर सकता है। चूँकि, कुछ निश्चित चेतावनियों को ध्यान में रखा जाना चाहिए:


 * विस्कोलेस्टिक पैरामीटर सामान्यतः आवृत्ति पर निर्भर करते हैं (और इसलिए ओवरटोन क्रम पर)।
 * जड़ता और चिपचिपापन के प्रभावों को सुलझाना अक्सर मुश्किल होता है। जब तक फिल्म की थिकनेस स्वतंत्र रूप से ज्ञात नहीं होती है, तब तक अद्वितीय फिटिंग परिणाम प्राप्त करना मुश्किल होता है।
 * इलेक्ट्रोड प्रभाव महत्वपूर्ण हो सकते हैं।
 * हवा में फिल्मों के लिए, छोटे-लोड सन्निकटन को गड़बड़ी सिद्धांत से संबंधित परिणामों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जब तक कि फिल्में बहुत नरम न हों।

तरल पदार्थों में सूक्ष्म फिल्मों के लिए, फिल्म के लोचदार अनुपालन से संबंधित एक अनुमानित विश्लेषणात्मक परिणाम है, जेF' Δ(w/2) के अनुपात में; और डी। एफ। शियर अनुपालन शियर मॉड्यूलस, जी के विपरीत है। सूक्ष्म-फिल्म सीमा में, Δ(w/2) और –Δf का अनुपात फिल्म थिकनेस से स्वतंत्र है। यह फिल्म की एक आंतरिक संपत्ति है। किसी के पास

$$\frac{\Delta \left( \omega /2\right) }{-\Delta f}\approx \eta \omega J_F^{\,\prime }$$ हवा में सूक्ष्म फिल्मों के लिए एक समान विश्लेषणात्मक परिणाम है

$$\Delta \left( \omega /2\right) =\frac 8{3\rho _{\mathrm{F}}Z_q}f_f^{\,4}m_{ \mathrm{F}}^3n^3\pi ^2J^{\prime \prime }$$ यहाँ J'' चिपचिपा अपरूपण अनुपालन है।

{{anchor|Sauerbrey mass}सॉरब्रे मास की व्याख्या
तरल पदार्थों में क्यूसीएम प्रयोगों से आवृत्ति बदलाव की सही व्याख्या एक चुनौती है। प्रैक्टिशनर अक्सर अपने डेटा के लिए सॉरेब्रे समीकरण को लागू करते हैं और परिणामी क्षेत्र द्रव्यमान (द्रव्यमान प्रति इकाई क्षेत्र) को सॉरब्रे द्रव्यमान और संबंधित थिकनेस सॉरब्रे थिकनेस कहते हैं। भले ही सॉरब्रे की थिकनेस निश्चित रूप से विभिन्न प्रयोगों की तुलना करने के लिए काम कर सकती है, किन्तु इसे ज्यामितीय थिकनेस के साथ भोलेपन से पहचाना नहीं जाना चाहिए। सार्थक विचार निम्नलिखित हैं:

ए) क्यूसीएम हमेशा क्षेत्रीय द्रव्यमान घनत्व मापता है, ज्यामितीय थिकनेस कभी नहीं। क्षेत्रीय द्रव्यमान घनत्व से थिकनेस में रूपांतरण के लिए सामान्यतः एक स्वतंत्र इनपुट के रूप में भौतिक घनत्व की आवश्यकता होती है। बी) क्यूसीएम डेटा से विस्कोलेस्टिक सुधार कारक का अनुमान लगाना मुश्किल है। चूँकि, यदि सुधार कारक एकता से काफी अलग है, तो यह उम्मीद की जा सकती है कि यह बैंडविड्थ Δ(w/2) को प्रभावित करता है और यह भी कि यह ओवरटोन क्रम पर निर्भर करता है। यदि, इसके विपरीत, इस तरह के प्रभाव अनुपस्थित हैं (Δ(w/2) «Δf, सॉरेब्रे थिकनेस सभी ओवरटोन क्रम पर समान है) कोई यह मान सकता है कि (1-ZLiq2/ज़ेडF2)≈1.

ग) जटिल प्रतिरूप प्राय: पार्श्व विषमांगी होते हैं।

घ) जटिल नमूनों में अक्सर फजी इंटरफेस होते हैं। एक भुलक्कड़ इंटरफ़ेस अक्सर एक विस्कोलेस्टिक सुधार की ओर ले जाएगा और इसके परिणामस्वरूप, एक गैर-शून्य Δ(w/2) के साथ-साथ एक ओवरटोन-निर्भर सॉरब्रे द्रव्यमान भी होगा। इस तरह के प्रभावों की अनुपस्थिति में, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि फिल्म का बाहरी इंटरफ़ेस तेज है।

ई) जब विस्कोलेस्टिक सुधार, जैसा कि (बी) में चर्चा की गई है, नगण्य है, इसका मतलब यह नहीं है कि फिल्म विलायक द्वारा सूजन नहीं है। इसका मतलब केवल यह है कि (सूजी हुई) फिल्म परिवेशी तरल की तुलना में बहुत अधिक कठोर है। अकेले गीले प्रतिरूप पर लिया गया क्यूसीएम डेटा सूजन की डिग्री का अनुमान लगाने की अनुमति नहीं देता है। गीली और सूखी थिकनेस की तुलना से सूजन की मात्रा का अनुमान लगाया जा सकता है। ध्वनिक थिकनेस (सॉरब्रे अर्थ में) की ऑप्टिकल थिकनेस की तुलना करके सूजन की डिग्री भी सुलभ है, उदाहरण के लिए, सतह प्लास्मोन अनुनाद (एसपीआर) स्पेक्ट्रोस्कोपी या इलिप्सोमेट्री। फिल्म में निहित सॉल्वेंट सामान्यतः ध्वनिक थिकनेस में योगदान देता है (क्योंकि यह आंदोलन में भाग लेता है), जबकि यह ऑप्टिक थिकनेस में योगदान नहीं देता है (क्योंकि विलायक अणु की इलेक्ट्रॉनिक ध्रुवीकरण क्षमता तब नहीं बदलती जब यह फिल्म के अंदर स्थित होती है) ). सूखे और गीले द्रव्यमान में अंतर क्वार्ट्ज क्रिस्टल माइक्रोबैलेंस के साथ अपव्यय निगरानी के साथ दिखाया गया है। क्यूसीएम-D और मल्टी-पैरामीट्रिक सरफेस प्लास्मोन रेजोनेंस। नैनोसेल्यूलोज पर प्रोटीन सोखने में उदाहरण के लिए MP-SPR  और अन्य नरम सामग्री में।

बिंदु संपर्क
विस्कोलेस्टिक गुणों से संबंधित समीकरण प्लानर परत प्रणालियों को मानते हैं। एक आवृत्ति बदलाव भी प्रेरित होता है जब क्रिस्टल छोटी, भार-असर वाली विषमताओं में असतत वस्तुओं के साथ संपर्क बनाता है। इस तरह के संपर्क अक्सर किसी न किसी सतह से मिलते हैं। यह माना जाता है कि प्रतिबल-गति अनुपात को औसत प्रतिबल-गति अनुपात से बदला जा सकता है, जहां औसत प्रतिबल क्रिस्टल के सक्रिय क्षेत्र द्वारा विभाजित पार्श्व बल है।

अक्सर, बाहरी वस्तु इतनी भारी होती है कि यह जड़ता के कारण क्रिस्टल के मेगाहर्ट्ज दोलन में भाग नहीं लेती है। यह तब प्रयोगशाला फ्रेम में जगह पर रहता है। जब क्रिस्टल सतह को पार्श्व रूप से विस्थापित किया जाता है, तो संपर्क क्रिस्टल सतह पर एक प्रत्यानयन बल लगाता है। प्रतिबल संपर्कों की संख्या घनत्व, N के समानुपाती होता हैS, और उनका औसत वसंत स्थिरांक, κS. वसंत स्थिरांक जटिल हो सकता है (κS* = मिS' + आईS''), जहां काल्पनिक भाग क्रिस्टल दोलन से ऊर्जा की निकासी को निर्धारित करता है (उदाहरण के लिए विस्कोलेस्टिक प्रभाव के कारण)। ऐसी स्थिति के लिए, लघु-भार सन्निकटन भविष्यवाणी करता है

$$\frac{\Delta f^{*}}{f_f}=\frac{N_S}{\pi Z_q}\frac{\kappa _S^{*}}\omega$$ क्यूसीएम मल्टी-एस्पेरिटी कॉन्टैक्ट्स की शीयर स्टिफनेस के नॉन-डिस्ट्रक्टिव टेस्टिंग की अनुमति देता है।

यह भी देखें

 * सॉरब्रे समीकरण
 * सॉरब्रे स्थिरांक
 * सॉरब्रे परत
 * भार नापने का पैमाना
 * पीजोइलेक्ट्रिसिटी
 * सूक्ष्म फिल्म थिकनेस मॉनिटर
 * अपव्यय निगरानी के साथ क्वार्ट्ज क्रिस्टल माइक्रोबैलेंस (क्यूसीएम-डी)
 * पतला तत्व दोलनशील माइक्रोबैलेंस (TEOM)

अग्रिम पठन

 * Quartz Crystal Microbalance with Dissipation monitoring
 * What is क्यूसीएम and how does it work?
 * The Principles of क्यूसीएम-I with impedance analysis and dissipation monitoring ( क्यूसीएम-D)
 * The Principles of क्यूसीएम-I with impedance analysis and dissipation monitoring ( क्यूसीएम-D)
 * The Principles of क्यूसीएम-I with impedance analysis and dissipation monitoring ( क्यूसीएम-D)
 * The Principles of क्यूसीएम-I with impedance analysis and dissipation monitoring ( क्यूसीएम-D)

बाहरी संबंध

 * क्यूसीएम mini-FAQ