फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल

गणित में, फ्रोबेनियस इनर प्रोडक्ट एक बाइनरी ऑपरेशन है जो दो मैट्रिक्स (गणित) लेता है और एक स्केलर (गणित) देता है। इसे अक्सर निरूपित किया जाता है $$\langle \mathbf{A},\mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}$$. संक्रिया दो आव्यूहों का एक घटक-वार आंतरिक उत्पाद है जैसे कि वे सदिश हों, और एक आंतरिक उत्पाद के लिए स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। दो आव्यूहों का आयाम समान होना चाहिए - पंक्तियों और स्तंभों की समान संख्या, लेकिन वर्ग आव्यूह तक ही सीमित नहीं है।

परिभाषा
स्पष्ट रूप से लिखे गए दो जटिल संख्या-मूल्य वाले एन × एम मैट्रिक्स 'ए' और 'बी' को देखते हुए


 * $$ \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}} \,, \quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}}$$

फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद को इस रूप में परिभाषित किया गया है,


 * $$ \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} =\sum_{i,j}\overline{A_{ij}} B_{ij} \, = \mathrm{Tr}\left(\overline{\mathbf{A}^T} \mathbf{B}\right)

\equiv \mathrm{Tr}\left(\mathbf{A}^{\!\dagger} \mathbf{B}\right)$$ जहां ओवरलाइन जटिल संयुग्मी को दर्शाता है, और $$\dagger$$ संयुग्म संक्रमण को दर्शाता है। स्पष्ट रूप से यह राशि है


 * $$\begin{align} \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = & \overline{A}_{11} B_{11} + \overline{A}_{12} B_{12} + \cdots + \overline{A}_{1m} B_{1m} \\

& + \overline{A}_{21} B_{21} + \overline{A}_{22} B_{22} + \cdots + \overline{A}_{2m} B_{2m} \\ & \vdots \\ & + \overline{A}_{n1} B_{n1} + \overline{A}_{n2} B_{n2} + \cdots + \overline{A}_{nm} B_{nm} \\ \end{align}$$ गणना डॉट उत्पाद के समान ही है, जो बदले में आंतरिक उत्पाद का एक उदाहरण है।

अन्य उत्पादों से संबंध
यदि ए और बी प्रत्येक वास्तविक संख्या-मूल्य वाले मैट्रिसेस हैं, तो फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस) की प्रविष्टियों का योग है। यदि मेट्रिसेस वैश्वीकरण (गणित) हैं (अर्थात, कॉलम वैक्टर में परिवर्तित, द्वारा निरूपित$$ \mathrm{vec}(\cdot) $$), तब


 * $$ \mathrm{vec}(\mathbf {A}) = {\begin{pmatrix} A_{11} \\ A_{12} \\ \vdots \\ A_{21} \\ A_{22} \\ \vdots \\ A_{nm} \end{pmatrix}},\quad \mathrm{vec}(\mathbf {B}) = {\begin{pmatrix} B_{11} \\ B_{12} \\ \vdots \\ B_{21} \\ B_{22} \\ \vdots \\ B_{nm} \end{pmatrix}} \,, $$$$ \quad \overline{\mathrm{vec}(\mathbf{A})}^T\mathrm{vec}(\mathbf {B}) = {\begin{pmatrix} \overline{A}_{11} & \overline{A}_{12} & \cdots & \overline{A}_{21} & \overline{A}_{22} & \cdots & \overline{A}_{nm} \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} B_{11} \\ B_{12} \\ \vdots \\ B_{21} \\ B_{22} \\ \vdots \\ B_{nm} \end{pmatrix}} $$

इसलिए


 * $$ \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = \overline{\mathrm{vec}(\mathbf{A})}^T \mathrm{vec}(\mathbf{B}) \, . $$

गुण
यह चार जटिल-मूल्यवान आव्यूहों A, B, C, D, और दो सम्मिश्र संख्याओं a और b के लिए एक अनुक्रमिक रूप है:


 * $$\langle a\mathbf{A}, b\mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = \overline{a}b\langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} $$
 * $$\langle \mathbf{A}+\mathbf{C}, \mathbf{B} + \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F} = \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{A}, \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{C}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{C}, \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F} $$

इसके अलावा, मैट्रिसेस का आदान-प्रदान जटिल संयुग्मन के लिए होता है:


 * $$\langle \mathbf{B}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} = \overline{\langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}} $$

उसी मैट्रिक्स के लिए,


 * $$\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} \geq 0$$,

और,
 * $$\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} = 0 \Longleftrightarrow \mathbf{A} = \mathbf{0}$$.

फ्रोबेनियस मानदंड
आंतरिक उत्पाद फ्रोबेनियस मानदंड को प्रेरित करता है


 * $$\|\mathbf{A}\|_\mathrm{F} = \sqrt{\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F}} \,.$$

वास्तविक-मूल्यवान मेट्रिसेस
दो वास्तविक मूल्यवान आव्यूहों के लिए, यदि


 * $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 8 & -3 & 2 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix} $$

तब


 * $$\begin{align}\langle \mathbf{A} ,\mathbf{B}\rangle_\mathrm{F} & = 2\cdot 8 + 0\cdot (-3) + 6\cdot 2 + 1\cdot 4 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot(-5) \\

& = 21 \end{align} $$

जटिल-मूल्यवान मेट्रिसेस
दो जटिल-मूल्यवान मेट्रिसेस के लिए, यदि


 * $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1+i & -2i \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -2 & 3i \\ 4-3i & 6 \end{pmatrix} $$

तब


 * $$\begin{align} \langle \mathbf{A} ,\mathbf{B}\rangle_\mathrm{F} & = (1-i)\cdot (-2) + 2i\cdot 3i + 3\cdot (4-3i) + (-5)\cdot 6 \\

& = -26 -7i \end{align} $$ जबकि


 * $$\begin{align} \langle \mathbf{B} ,\mathbf{A}\rangle_\mathrm{F} & = (-2)\cdot (1+i) + (-3i)\cdot (-2i) + (4+3i)\cdot 3 + 6 \cdot (-5) \\

& = -26 + 7i \end{align} $$ स्वयं के साथ ए और स्वयं के साथ बी के फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद क्रमशः हैं


 * $$\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} = 2 + 4 + 9 + 25 = 40 $$$$\qquad \langle \mathbf{B}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = 4 + 9 + 25 + 36 = 74 $$

यह भी देखें

 * हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस)
 * हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक उत्पाद
 * क्रोनकर उत्पाद
 * मैट्रिक्स विश्लेषण
 * मैट्रिक्स गुणन
 * मैट्रिक्स मानदंड
 * हिल्बर्ट स्पेस का टेंसर उत्पाद - फ्रोबेनियस इनर प्रोडक्ट एक विशेष मामला है जहां वेक्टर स्पेस सामान्य यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद के साथ परिमित-आयामी वास्तविक या जटिल वेक्टर स्पेस होते हैं।