ग्रुपॉयड

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत और समस्थेयता सिद्धांत में, एक समूह बद्ध (अक्सर कम ब्रांट समूह बद्ध या आभासी समूह) कई समान तरीकों से समूह की धारणा को सामान्यीकृत करता है। समूह बद्ध को एक रूप में देखा जा सकता है,
 * द्विचर प्रचालन की जगह एक आंशिक फलन वाला समूह,
 * 'श्रेणी' जिसमें प्रत्येक आकारिकी व्युत्क्रमणीय होती है। इस प्रकार की श्रेणी को आकारिकी पर एकल संक्रिया के साथ संवर्धित के रूप में देखा जा सकता है, जिसे समूह सिद्धांत के अनुरूप प्रतिलोम कहा जाता है। समूह बद्ध जहां केवल एक वस्तु होती है वह सामान्य समूह होता है।

आश्रित प्रकार की उपस्थिति में, सामान्य रूप से एक श्रेणी को वर्गीकृत किए गए मोनोइड के रूप में देखा जा सकता है, और इसी तरह, एक समूह बद्ध को केवल वर्गीकृत किए गए समूह के रूप में देखा जा सकता है। आकारिकी एक वस्तु से दूसरी वस्तु पर ले जाता है, और प्रकारों के एक आश्रित परिवार का निर्माण करता हैं, इस प्रकार आकारिकी को $$g:A \rightarrow B$$, $$h:B \rightarrow C$$, में वर्गीकृत किया जा सकता है। संरचना तब कुल फलन है, $$\circ : (B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow A \rightarrow C $$, ताकि $$h \circ g : A \rightarrow C $$ हो।

विशेष स्थितियों में सम्मिलित हैं,
 * सेटोइड्स, समुच्चय जो एक तुल्यता संबंध के साथ आता है,
 * जी-समुच्चय, समूह $$G$$ की क्रिया से सुसज्जित समुच्चय।

समूह बद्ध का उपयोग अक्सर ज्यामितीय वस्तुओं जैसे विविध के बारे में विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। ने ब्रांट अर्धसमूह के माध्यम से समूह बद्ध को स्पष्ट रूप से पेश किया।

परिभाषाएँ
समूह बद्ध एक बीजगणितीय संरचना $$(G,\ast)$$ है जिसमें एक अरिक्‍त समुच्च्य $$G$$ और एक द्विआधारी आंशिक फलन '$$\ast$$' सम्मिलित है जो $$G$$ पर परिभाषित है।

बीजगणितीय
एक समूह बद्ध एक समुच्चय $$G$$ है जिसमें एक एकात्मक संक्रिया $${}^{-1}:G\to G,$$ और आंशिक फलन $$*:G\times G \rightharpoonup G$$ है। यहाँ * एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है क्योंकि यह आवश्यक रूप से $$G$$ के सभी तत्वों के जोड़े के लिए परिभाषित नहीं है। सटीक शर्तें जिसके तहत $$*$$ को परिभाषित किया गया है, वे यहाँ व्यक्त नहीं की गई हैं और स्थिति के अनुसार बदलती हैं।

संक्रियाएँ $$\ast$$ और −1 में निम्नलिखित स्वयंसिद्ध गुण हैं, $$G$$ में सभी $$a$$, $$b$$, और $$c$$ के लिए ,
 * 1) साहचर्य, यदि $$a*b$$ और $$b*c$$ परिभाषित हैं, तो $$(a * b) * c$$ और $$a * (b * c)$$ परिभाषित हैं और बराबर हैं। इसके विपरीत यदि एक $$(a * b) * c$$ और $$a * (b * c)$$ परिभाषित है, तब वे दोनों परिभाषित हैं (और वे एक दूसरे के बराबर हैं), तथा $$a*b$$ और $$b*c$$ भी परिभाषित हैं।
 * 2) गुणात्मक प्रतिलोम, $$a^{-1} * a$$ और $$a*{a^{-1}}$$ हमेशा परिभाषित होते हैं।
 * 3) पहचान, यदि $$a*b$$ परिभाषित किया गया है, तो $$a*b*{b^{-1}} = a$$, और $${a^{-1}} * a * b = b$$। (पिछले दो स्वयंसिद्ध पहले से ही दिखाते हैं कि ये अभिव्यक्तिया परिभाषित और स्पष्ट हैं।)

इन स्वयंसिद्धों से दो आसान और उपयुक्त गुण निकलते हैं,
 * $$(a^{-1})^{-1} = a$$,
 * अगर $$a*b$$ परिभाषित किया गया है, तो $$(a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}$$।

श्रेणी सिद्धांत
एक समूह एक छोटी श्रेणी है जिसमें प्रत्येक आकृतिवाद एक समरूपता है, अर्थात, उलटा। अधिक स्पष्ट रूप से, एक समूह G है,
 * वस्तुओं का एक सेट G0
 * G0 में वस्तुओं x और y की प्रत्येक जोड़ी के लिए, x से y तक आकारिता (या तीर) का एक (संभवतः खाली) समुच्चय G(x,y) मौजूद है। हम f : x → y लिखते हैं, यह दर्शाने के लिए कि f, G(x,y) का एक अवयव है।
 * प्रत्येक वस्तु x के लिए, G(x,x) का एक निर्दिष्ट तत्व $$\mathrm{id}_x$$,
 * वस्तुओं x, y, और z के प्रत्येक त्रिगुण के लिए, एक फलन $$\mathrm{comp}_{x,y,z} : G(y, z)\times G(x, y) \rightarrow G(x, z): (g, f) \mapsto gf$$,
 * वस्तुओं के प्रत्येक जोड़ी के लिए x, y एक फलन है $$\mathrm{inv}: G(x, y) \rightarrow G(y, x): f \mapsto f^{-1}$$,

संतोषजनक, किसी भी f : x → y, g : y → z, और h : z → w के लिए,
 * $$f\ \mathrm{id}_x = f$$ और $$\mathrm{id}_y\ f = f$$;
 * $$(h g) f = h (g f)$$;
 * $$f f^{-1} = \mathrm{id}_y$$ और $$f^{-1} f = \mathrm{id}_x$$।

यदि f, G(x, y) का एक अवयव है तो x को f का 'स्रोत' कहा जाता है, जिसे s(f) लिखा जाता है, और y को f का 'लक्ष्य' कहा जाता है, जिसे t(f) लिखा जाता है। एक समूह G को कभी-कभी $$G_1 \rightrightarrows G_0$$ के रूप में दर्शाया जाता है, जहां $$G_1$$ सभी रूपों का समुच्चय है, और दो तीर $$G_1 \to G_0$$ स्रोत और लक्ष्य का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अधिक आम तौर पर, परिमित फाइबर उत्पादों को स्वीकार करने वाली याट्टीच्छक श्रेणी में एक समूहबद्ध वस्तु पर विचार किया जा सकता है।

परिभाषाओं की तुलना करना
बीजगणितीय और श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषाएँ समतुल्य हैं, जैसा कि अब हम दिखाते हैं। श्रेणी-सैद्धांतिक अर्थों में एक समूह को देखते हुए, G को सभी समुच्चय G (x, y) (यानी x से y तक आकारिता के समुच्चय) का असंयुक्त सम्मिलन होने दें। फिर $$\mathrm{comp}$$ और $$\mathrm{inv}$$ G पर आंशिक संचालन बन जाते हैं, तब $$\mathrm{inv}$$ वास्तव में हर जगह परिभाषित किया जाएगा। हम ∗ को $$\mathrm{comp}$$ और −1 को $$\mathrm{inv}$$ के रूप में परिभाषित करते हैं, जो बीजगणितीय अर्थ में एक समूह बद्ध देता है। G0 (और इसलिए $$\mathrm{id}$$) के स्पष्ट संदर्भ को छोड़ा जा सकता है।

इसके विपरीत, बीजगणितीय अर्थ में एक समूह बद्ध G दिया गया है, एक तुल्यता संबंध $$\sim$$ को इसके तत्वों पर $$a \sim b$$ द्वारा परिभाषित करेंयदि ∗a a−1 = b∗ b-1। मान लीजिए कि G0 $$\sim$$, अर्थात $$G_0:=G/\!\!\sim$$ के तुल्यता वर्गों का समुच्चय है।  a* a−1 को $$1_x$$ से निरूपित करें यदि $$a\in G$$ साथ $$x\in G_0$$ हो ।

अब $$G(x, y)$$ को सभी तत्वों f के समुच्चय के रूप में परिभाषित करें जिससे कि  $$1_x*f*1_y$$ का अस्तित्व हो। $$f \in G(x,y)$$ और $$g \in G(y, z),$$ दिया हुआ है, उनके योग को $$gf:=f*g \in G(x,z)$$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यह देखने के लिए कि यह अच्छी तरह से परिभाषित है, निरीक्षण करें कि $$(1_x*f)*1_y$$ और $$1_y*(g*1_z)$$ का अस्तित्व है, इसलिए $$(1_x*f*1_y)*(g*1_z)=f*g$$ का भी अस्तित्व है। x पर तत्समक आकारिकी तब $$1_x$$है, और f का श्रेणी-सैद्धांतिक व्युत्क्रम f-1 है।

ऊपर दी गई परिभाषाओं में सेट को कक्षाओं से बदला जा सकता है, जैसा कि आमतौर पर श्रेणी सिद्धांत में होता है।

शीर्ष समूह और कक्षाएँ
समूह बद्ध G को देखते हुए, शीर्ष समूह या 'समदैशिकता समूह' या G में 'वस्तु समूह' फॉर्म G (x,x) के उपसमुच्चय हैं, जहां x G की कोई वस्तु है। ऊपर दिए गए स्वयंसिद्धों से यह आसानी से पता चलता है कि ये वास्तव में समूह हैं, क्योंकि तत्वों की प्रत्येक जोड़ी रचना योग्य है और व्युत्क्रम एक ही शीर्ष समूह में हैं।

एक बिंदु $$x \in X$$ पर समूह बद्ध G की 'कक्षा' समुच्चय $$s(t^{-1}(x)) \subset X$$ द्वारा दी गई है जिसमें प्रत्येक बिंदु सम्मिलित है जो G में एक आकारिता द्वारा x से जोड़ा जा सकता है। यदि दो बिंदु $$x$$ और $$y$$ समान कक्षाओं में हैं, तो उनके शीर्ष समूह $$G(x)$$ और $$G(y)$$ तुल्याकारी हैं, यदि $$f$$ $$x$$ से $$y$$ तक कोई आकारिता है, तो तुल्याकारिता मानचित्रण$$g\to fgf^{-1}$$द्वारा दी जाती है।

कक्षाएँ समुच्चय X का एक विभाजन बनाती हैं, और एक समूह को सकर्मक कहा जाता है यदि इसकी केवल एक कक्षा होती है (समकक्ष रूप से, यदि यह एक श्रेणी के रूप में जुड़ा हुआ है)। उस स्थिति में, सभी शीर्ष समूह समरूपी होते हैं (दूसरी ओर, यह संक्रामकता के लिए पर्याप्त स्थिति नहीं है, प्रतिउदाहरणों के लिए नीचे दिया गया अनुभाग देखें)।

उपसमूह और आकारिकी
$$G \rightrightarrows X$$ का एक उपसमूह एक उपश्रेणी $$H \rightrightarrows Y$$ है वह स्वयं एक समूह है। इसे विस्तृत या पूर्ण कहा जाता है यदि यह एक उपश्रेणी के रूप में विस्तृत या पूर्ण है, क्रमशः, यदि प्रत्येक $$x,y \in Y$$ के लिए $$X = Y$$ या $$G(x,y)=H(x,y)$$ है।

एक समूह बद्ध आकारिता केवल दो (श्रेणी-सैद्धांतिक) समूह बद्ध के बीच एक प्रकार्यक है।

समूह बद्ध की विशेष प्रकार की आकारिता रुचि की हैं। समूह बद्ध के एक आकारिकी $$p: E \to B$$ को एक कंपन कहा जाता है यदि प्रत्येक वस्तु के लिए $$x$$ $$E$$ का और प्रत्येक आकारिकी $$b$$ का $$B$$ $$p(x)$$ से शुरू होता है, $$x$$ से शुरू होने वाले $$E$$ का एक आकारिकी $$e$$ ऐसा होता है जैसे कि $$p(e)=b$$। एक स्पंदन को समुपयोग आकारिता या समूह बद्ध का समुपयोग कहा जाता है यदि आगे ऐसा $$e$$ अद्वितीय हो। समूह बद्ध के समुपयोग आकारिता विशेष रूप से उपयोगी होते हैं क्योंकि उनका उपयोग समष्टि के मानचित्रों को समुपयोग करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी सच है कि किसी दिए गए समूह बद्ध $$B$$ के आकारिकी को समुपयोग करने की श्रेणी समुच्चय पर समूह बद्ध $$B$$ की क्रियाओं की श्रेणी के बराबर है।

सांस्थिति
सांस्थितिक समष्टि $$X$$ दिया गया है, मान लीजिए $$G_0$$ ,$$X$$ का समुच्चय है। बिंदु $$p$$ से बिंदु $$q$$तक के आकारिकी $$p$$ से $$q$$ तक निरंतर पथों के समतुल्य वर्ग हैं, दो पथ समतुल्य हैं यदि वे  समस्थानी हैं। इस तरह के दो रूपों की रचना पहले पहले मार्ग का अनुसरण करके की जाती है, फिर दूसरे की समरूपता तुल्यता गारंटी देती है कि यह रचना साहचर्य है। इस समूह बद्ध को $$X$$ का मौलिक समूह कहा जाता है, जिसे $$\pi_1(X)$$ (या कभी-कभी, $$\Pi_1(X)$$) द्वारा निरूपित किया जाता है। सामान्य मौलिक समूह $$\pi_1(X,x)$$ तो बिंदु $$x$$ के लिए शीर्ष समूह है।

मौलिक समूह $$\pi_1(X)$$ की कक्षाएँ $$X$$ के पथ से जुड़े घटक हैं। तदनुसार, पथ से जुड़े स्थान का मूलभूत समूह सकर्मक है, और हम ज्ञात तथ्य को पुनर्प्राप्त करते हैं कि किसी भी आधार बिंदु पर मूलभूत समूह समरूप हैं। इसके अलावा, इस स्थिति में, मौलिक समूह और मौलिक समूह श्रेणियों के बराबर हैं, (सामान्य सिद्धांत के लिए नीचे अनुभाग देखें)।

इस विचार का एक महत्वपूर्ण विस्तार मौलिक समूह $$\pi_1(X,A)$$ पर विचार करना है जहां $$A\subset X$$ आधार बिंदुओं का एक चुना हुआ समूह है। यहाँ $$\pi_1(X,A)$$ $$\pi_1(X)$$ का एक (विस्तृत) उपसमूह है ,जहाँ कोई केवल उन रास्तों पर विचार करता है जिनके अंत बिंदु $$A$$ से संबंधित हैं।  समुच्चय $$A$$ को वर्तमान स्थिति की ज्यामिति के अनुसार चुना जा सकता है।

तुल्यता संबंध
अगर $$X$$ एक समुच्चय है, अर्थात एक समतुल्य संबंध वाला समुच्चय $$\sim$$, तो इस तुल्यता संबंध का प्रतिनिधित्व करने वाला एक समूह निम्नानुसार बनाया जा सकता है: इस समूह के शीर्ष समूह हमेशा तुच्छ होते हैं; इसके अलावा, यह समूह आम तौर पर सकर्मक नहीं है और इसकी कक्षाएँ बिल्कुल तुल्यता वर्ग हैं। दो चरम उदाहरण हैं:
 * समूह बद्ध की वस्तुएं किसके तत्व हैं $$X$$;
 * किन्हीं दो तत्वों के लिए $$x$$ और $$y$$ में $$X$$, वहाँ से एक एकल morphism है $$x$$ को $$y$$ (द्वारा इंगित करें $$(y,x)$$) अगर और केवल अगर $$x\sim y$$;
 * की रचना $$(z,y)$$ और $$(y,x)$$ है $$(z,x)$$.


 * यदि हर तत्व $$X$$ के हर दूसरे तत्व के साथ संबंध है $$X$$, हम की जोड़ी Groupoid प्राप्त करते हैं $$X$$, जिसके पास संपूर्ण है $$X \times X$$ तीरों के सेट के रूप में, और जो सकर्मक है।
 * यदि हर तत्व $$X$$ केवल स्वयं के संबंध में है, एक यूनिट समूह बद्ध प्राप्त करता है, जिसमें है $$X$$ तीरों के सेट के रूप में, $$s = t = id_X$$, और जो पूरी तरह से अकर्मक है (प्रत्येक सिंगलटन $$\{x\}$$ एक कक्षा है)।

उदाहरण
जिसे कभी-कभी स्मूथ मैनिफोल्ड्स के विशेषण निमज्जन का साधारण समूह कहा जाता है।
 * अगर $$f: X_0 \to Y$$ एक चिकनी विशेषण क्रिया है, फिर चिकनी कई गुनाओं का जलमग्न (गणित)। $$X_0\times_YX_0 \subset X_0\times X_0$$ एक तुल्यता संबंध है तब से $$Y$$ के भागफल सांस्थितिकी के लिए एक सांस्थितिकी समरूपी है $$X_0$$ टोपोलॉजिकल स्पेस के विशेषण मानचित्र के तहत। अगर हम लिखते हैं, $$X_1 = X_0\times_YX_0$$ तब हमें एक समूह बद्ध <ब्लॉककोट> मिलता है$$X_1 \rightrightarrows X_0$$
 * यदि हम रिफ्लेक्सिविटी की आवश्यकता को शिथिल करते हैं और 'आंशिक तुल्यता संबंधों' पर विचार करते हैं, तो सेट के लिए कंप्यूटेशनल रियलाइजर्स पर तुल्यता की अर्ध-निर्णायक धारणाओं पर विचार करना संभव हो जाता है। यह समूह बद्ध को सिद्धांत सेट करने के लिए एक संगणनीय सन्निकटन के रूप में उपयोग करने की अनुमति देता है, जिसे प्रति मॉडल कहा जाता है। एक श्रेणी के रूप में माना जाता है, प्रति मॉडल एक कार्टेशियन बंद श्रेणी है जिसमें प्राकृतिक संख्या ऑब्जेक्ट और सबोबजेक्ट क्लासिफायरियर हैं, जो मार्टिन हाइलैंड द्वारा पेश किए गए प्रभावी टोपोस को जन्म देते हैं।

चेक समूह बद्ध
एक चेक समूह बद्ध p. 5 एक विशेष प्रकार का समूह बद्ध है जो कुछ कई गुना $$X$$ के खुले आवरण $$\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I}$$ द्वारा दिए गए तुल्यता संबंध से जुड़ा है। इसकी वस्तुएं असंयुक्त सम्मिलन

$$\mathcal{G}_0 = \coprod U_i$$ द्वारा दी गई हैं,

और इसके तीर चौराहे

$$\mathcal{G}_1 = \coprod U_{ij}$$ हैं।

स्रोत और लक्ष्य मानचित्र तब प्रेरित मानचित्र

$$\begin{align} s = \phi_j: U_{ij} \to U_j\\ t = \phi_i: U_{ij} \to U_i \end{align}$$और समावेशन मानचित्र"$\varepsilon: U_i \to U_{ii}$"द्वारा दिए गए हैं जो एक समूह की संरचना देते हैं। वास्तव में,

$$\mathcal{G}_n = \mathcal{G}_1\times_{\mathcal{G}_0} \cdots \times_{\mathcal{G}_0}\mathcal{G}_1$$

को $$n$$-पुनरावृत्त फाइबर उत्पाद के रूप में समायोजन करके इसे और बढ़ाया जा सकता है, जहां $$\mathcal{G}_n$$ संयोजन योग्य तीरों के $$n$$ टुपल्स का प्रतिनिधित्व करता है। फाइबर उत्पाद का संरचना मानचित्र स्पष्ट रूप से लक्ष्य मानचित्र है, क्योंकि $$\begin{matrix} U_{ijk} & \to & U_{ij} \\ \downarrow & & \downarrow \\ U_{ik} & \to & U_{i} \end{matrix}$$ एक कार्तीय आरेख है जहाँ $$U_i$$ के मानचित्र लक्ष्य मानचित्रित हैं। इस निर्माण को कुछ ∞-समूह बद्ध के लिए एक प्रारूप के रूप में देखा जा सकता है। इसके अलावा, इस निर्माण का एक और आर्टिफैक्ट है k- कोसायकल "$[\sigma] \in \check{H}^k(\mathcal{U},\underline{A})$" एबेलियन समूहों के कुछ निरंतर शेफ के लिए एक फलन $$\sigma:\coprod U_{i_1\cdots i_k} \to A$$ के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है जो कोहोलॉजी कक्षाओं का एक स्पष्ट प्रतिनिधित्व देता है।

समूह क्रिया
यदि समूह $$G$$ समुच्चय $$X$$ पर कार्य करता है, तो हम इस समूह क्रिया का प्रतिनिधित्व करने वाले क्रिया समूह बद्ध (या परिवर्तन समूह बद्ध ) को निम्नानुसार बना सकते हैं,
 * वस्तुएँ $$X$$ के अवयव हैं,
 * $$X$$ में किन्हीं दो तत्वों $$x$$ और $$y$$ के लिए, $$x$$ से $$y$$ तक की आकृतियाँ $$G$$ के $$g$$ तत्वों के अनुरूप हैं जैसे कि $$gx = y$$,
 * आकारिकी की संरचना $$G$$ के द्विआधारी संक्रिया की व्याख्या करती है।

अधिक स्पष्ट रूप से, क्रिया समूह बद्ध $$\mathrm{ob}(C)=X$$ और $$\mathrm{hom}(C)=G\times X$$ के साथ और स्रोत और लक्ष्य मानचित्र $$s(g,x) = x$$ और $$t(g,x) = gx$$ के साथ एक छोटी श्रेणी है। इसे अक्सर $$G \ltimes X$$ (या $$X\rtimes G$$ उचित कार्य के लिए) निरूपित किया जाता है। समूह बद्ध में गुणन (या संघटन) तब $$(h,y)(g,x) = (hg,x)$$ होता है जब इसे $$y=gx$$ प्रदान करके परिभाषित किया जाता है।

$$X$$ में $$x$$ के लिए, शीर्ष समूह में $$gx=x$$ के साथ वे$$(g,x)$$  होते हैं, जो दी गई क्रिया के लिए $$x$$ पर समस्थानिक उपसमूह है  दी गई क्रिया के लिए (यही कारण है कि शीर्ष समूहों को समदैशिक समूह भी कहा जाता है)। इसी तरह, क्रिया समूह बद्ध की कक्षाएँ समूह क्रिया की कक्षा हैं, और समूह बद्ध सकर्मक है यदि केवल समूह क्रिया सकर्मक है।

$$G$$ -समुच्चयो का वर्णन करने का एक अन्य तरीका क्रियात्मक श्रेणी $$[\mathrm{Gr},\mathrm{Set}]$$ है, जहाँ $$\mathrm{Gr}$$ एक तत्व के साथ समूह बद्ध (श्रेणी) है और समूह $$G$$ के लिए समरूपी है। वास्तव में, इस श्रेणी का प्रत्येक प्रकार्यक $$F$$ एक समुच्चय $$X=F(\mathrm{Gr})$$ को परिभाषित करता है और $$G$$ में प्रत्येक $$g$$ के लिए में  (अर्थात $$\mathrm{Gr}$$ में प्रत्येक आकारिकी के लिए) एक आक्षेप $$F_g$$ : $$X\to X$$ उत्पन्न करता है। प्रकार्यक $$F$$ की स्पष्ट संरचना हमें आश्वस्त करती है कि $$F$$ समुच्चय$$G$$ पर $$G$$-क्रिया को परिभाषित करता है। (अद्वितीय) प्रतिनिधित्व करने योग्य प्रकार्यक $$F$$ : $$\mathrm{Gr} \to \mathrm{Set}$$ $$G$$ का केली प्रतिनिधित्व है। वास्तव में, यह प्रकार्यक $$\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},-)$$ के लिए समरूपी है और इसलिए  $$\mathrm{ob}(\mathrm{Gr})$$ को समुच्चय $$\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},\mathrm{Gr})$$ में भेजता है जो परिभाषा के अनुसार समुच्चय $$G$$ और आकारिकी $$g$$ का $$\mathrm{Gr}$$ (अर्थात $$G$$ का अवयव $$g$$ ) समुच्चय $$G$$ के क्रमचय $$F_g$$ में है। हम योनेडा अंत: स्थापन से यह निष्कर्ष निकालते हैं कि $$G$$ के क्रमपरिवर्तन  के समूह का एक उपसमूह ,समूह $$G$$ समूह $$\{F_g\mid g\in G\}$$ के लिए समरूपी है ।

परिमित समुच्चय
परिमित समुच्चय $$X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$$पर  $$\mathbb{Z}/2$$ की समूह क्रिया पर विचार करें जो प्रत्येक संख्या को उसके ऋणात्मक में ले जाता है, जिसके लिए $$-2 \mapsto 2$$ और $$1 \mapsto -1$$ दिए गए है।  भागफल समूह $$[X/G]$$ इस समूह क्रिया $$\{[0],[1],[2]\}$$ से तुल्यता वर्गों का समुच्चय है, और $$[0]$$ पर $$\mathbb{Z}/2$$ की समूह क्रिया है।

गुणक विविधता
कोई भी परिमित समूह $$ G $$ जो $$ GL(n) $$ को मानचित्रित करता है, सजातीयउपसमष्‍टि $$ \mathbb{A}^n $$ पर एक समूह क्रिया देता है (चूंकि यह स्वसमाकृतिकता का समूह है)। तब, भागफल समूह$$ [\mathbb{A}^n/G] $$ के रूप का हो सकता है, जिसके मूल में स्थिरक $$ G $$ के साथ एक बिंदु होता है। इस तरह के उदाहरण ऑर्बिफोल्ड्स के सिद्धांत का आधार बनाते हैं। ऑर्बिफोल्ड्स का एक और सामान्य रूप से अध्ययन किया गया परिवार भारित प्रक्षेपी समष्टि $$\mathbb{P}(n_1,\ldots, n_k)$$ और उनमें से उप-स्थान हैं, जैसे कैलाबी-यॉ ऑर्बिफोल्ड्स।

समूह बद्ध का फाइबर उत्पाद
समूह बद्ध आकारिता के साथ समूह बद्ध का आरेख दिया गया है

\begin{align} & & X \\ & & \downarrow \\ Y &\rightarrow & Z \end{align} $$ जहाँ $$ f:X\to Z $$ और $$ g:Y\to Z $$, जिसे हम समूह बद्ध $$ X\times_ZY $$ बना सकते हैं जिनकी वस्तुएँ त्रिगुण $$ (x,\phi,y) $$ हैं, जहाँ $$ x \in \text{Ob}(X) $$, $$ y \in \text{Ob}(Y) $$, और $$ \phi: f(x) \to g(y) $$ में $$ Z $$ हैं। आकारिकी को आकारिकी की एक जोड़ी $$ (\alpha,\beta) $$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां $$ \alpha: x \to x' $$ और $$ \beta: y \to y' $$ ऐसे हैं कि त्रिगुण $$ (x,\phi,y), (x',\phi',y') $$ के लिए, $$ Z $$, $$ f(\alpha):f(x) \to f(x') $$, $$ g(\beta):g(y) \to g(y') $$ और $$ \phi,\phi' $$में क्रमविनिमेय आरेख है।

समरूप बीजगणित
एक ठोस एबेलियन श्रेणी में वस्तुओं के एक दो टर्म सम्मिश्र

C_1 \overset{d}{\rightarrow}C_0 $$ का उपयोग समूह बद्ध बनाने के लिए किया जा सकता है। इसमें वस्तुओं के रूप में समुच्चय $$C_0$$ और तीर के रूप में समुच्चय $$C_1\oplus C_0$$ है, स्रोत आकारिता केवल $$C_0$$ पर प्रक्षेपण है, जबकि लक्ष्य आकारिकी $$d$$ से बना $$C_1$$पर प्रक्षेपण और $$C_0$$पर प्रक्षेपण का जोड़ है। अर्थात् $$c_1 + c_0 \in C_1\oplus C_0$$ दिया है, और हमारे पास

t(c_1 + c_0) = d(c_1) + c_0 $$ है। बेशक, अगर एबेलियन श्रेणी एक योजना पर सुसंगत ढेरों की श्रेणी है, तो इस निर्माण का उपयोग समूह बद्ध के प्रीशेफ बनाने के लिए किया जा सकता है।

पहेलियाँ
जबकि रूबिक क्यूब जैसी पहेलियों को समूह सिद्धांत (रुबिक क्यूब समूह देखें) का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है, कुछ पहेलियों को समूह बद्ध के रूप में बेहतर रूप से तैयार किया जाता है।

पन्द्रह पहेली के परिवर्तन एक समूह बद्ध बनाते हैं (एक समूह नहीं, क्योंकि सभी चालों की रचना नहीं की जा सकती)।  यह समूह बद्ध संरूपण पर कार्य करता है।

मैथ्यू समूह बद्ध
मैथ्यू समूह बद्ध जॉन हॉर्टन कॉनवे द्वारा पेश किया गया एक समूह है जो 13 बिंदुओं पर अभिनय करता है जैसे कि एक बिंदु को ठीक करने वाले तत्व मैथ्यू समूह M12 की एक प्रति बनाते हैं।

समूहों से संबंध
यदि एक समूह बद्ध में केवल एक ही वस्तु है, तो इसके आकारिकी का समुच्चय एक समूह (बीजगणित) बनाता है। बीजगणितीय परिभाषा का प्रयोग करते हुए, इस तरह के समूह बद्ध का शाब्दिक रूप से सिर्फ एक समूह है। समूह सिद्धांत की कई अवधारणाएं समूह बद्ध के लिए ,समूह समरूपता की जगह प्रकार्यक की धारणा के साथ सामान्यीकृत होती हैं।

प्रत्येक सकर्मक / जुड़ा हुआ समूह - अर्थात, जैसा कि ऊपर बताया गया है, जिसमें कोई भी दो वस्तुएँ कम से कम एक आकारिकी द्वारा जुड़ी हुई हैं - एक क्रिया समूह $$(G, X)$$के लिए समरूपी है (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है)। सकर्मकता से, क्रिया के तहत केवल एक कक्षा होगी।

ध्यान दें कि अभी उल्लिखित समरूपता अद्वितीय नहीं है, और कोई प्राकृतिक समकक्ष विकल्प नहीं है। एक सकर्मक समूह के लिए इस तरह की एक समरूपता को चुनना अनिवार्य रूप से एक वस्तु $$x_0$$, एक समूह समरूपता $$h$$ को $$G(x_0)$$ से $$G$$ तक, और $$x_0$$ के अलावा प्रत्येक $$x$$ के लिए, $$G$$ से $$x_0$$से और $$x$$ में एक आकारिकी को चुनना है।

यदि कोई समूह बद्ध सकर्मक नहीं है, तो यह उपरोक्त प्रकार के समूह बद्ध के असंयुक्त सम्मिलन के लिए समरूपी है, जिसे इसके जुड़े हुए घटक भी कहा जाता है (संभवतः विभिन्न समूहों के साथ $$G$$ और समुच्चय $$X$$ प्रत्येक जुड़े हुए घटक के लिए)।

श्रेणी-सैद्धांतिक शब्दों में, एक समूह बद्ध का प्रत्येक जुड़ा हुआ घटक एक समूह के साथ समतुल्य (लेकिन समरूपी नहीं) हैं, जो कि एक एकल समूह है। इस प्रकार कोई भी समूह असंबद्ध समूहों के एक बहुसमूह के बराबर है। दूसरे शब्दों में, केवल समूह $$G$$ की समरूपता के बजाय समानता के लिए, किसी को समुच्चय $$X$$ निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए,


 * $$X$$ का मौलिक समूह, $$X$$ के प्रत्येक पथ से जुड़े घटक के मौलिक समूहों के संग्रह के बराबर है, लेकिन एक समरूपता के लिए प्रत्येक घटक में बिंदुओं के समुच्चय को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है,
 * तुल्यता संबंध $$\sim$$ के साथ समुच्चय $$X$$ प्रत्येक तुल्यता वर्ग के लिए तुच्छ समूह की एक प्रति के समतुल्य (एक समूह के रूप में) है, लेकिन एक तुल्याकारिता के लिए यह निर्दिष्ट करना आवश्यक है कि प्रत्येक तुल्यता वर्ग क्या है,
 * समुच्चय $$X$$, समूह $$G$$ की एक क्रिया से सुसज्जित है, क्रिया की प्रत्येक कक्षा के लिए $$G$$ की एक प्रति के बराबर (एक समूह के रूप में) है, लेकिन एक समरूपता को यह निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है कि प्रत्येक कक्षा क्या समुच्चय है।

समूहों के एक मात्र संग्रह में समूह का पतन, श्रेणी-सिद्धांत के दृष्टिकोण से भी कुछ जानकारी खो देता है, क्योंकि यह प्राकृतिक नहीं है। इस प्रकार जब समूह बद्ध अन्य संरचनाओं के संदर्भ में उत्पन्न होते हैं, जैसा कि उपरोक्त उदाहरणों में है, तो यह पूरे समूह बद्ध को बनाए रखने में मददगार हो सकता है। अन्यथा, एक समूह के संदर्भ में प्रत्येक $$G(x)$$ को देखने का एक तरीका चुनना होगा, और यह विकल्प यादृच्छिक हो सकता है। सांस्थितिकी के उदाहरण में, एक ही पथ से जुड़े घटक में प्रत्येक बिंदु $$p$$ से प्रत्येक बिंदु $$q$$ तक पथों (या पथों के समतुल्य वर्ग) का एक सुसंगत विकल्प बनाना होगा।

एक अधिक रोशन करने वाले उदाहरण के रूप में, एक अंतःरूपांतरण वाले समूह बद्ध का वर्गीकरण विशुद्ध रूप से समूह सैद्धांतिक विचारों को कम नहीं करता है। यह इस तथ्य के अनुरूप है कि एक अंतःरूपांतरण वाले सदिश समष्टि का वर्गीकरण गैर-तुच्छ है।

समूह बद्ध आकारिता समूहों की तुलना में अधिक प्रकार के होते हैं, उदाहरण के लिए, हमारे पास फ़िब्रेशन्स, आकारिता समुपयोग, सार्वभौमिक आकारिता और भागफल आकारिता हैं। इस प्रकार एक समूह $$G$$ उपसमूह $$H$$, $$G$$ में $$H$$ के सहसमुच्चयों के समुच्चय पर $$G$$ की क्रिया उत्पन्न करता है इसलिए एक आच्छादन आकारिकी $$p$$ से, मान लीजिए, $$K$$ से $$G$$ तक, जहां $$K$$ शीर्ष समूहों के साथ एक समूह बद्ध है जो $$H$$ तक समरूपी है। इस प्रकार समूह $$G$$ की प्रस्तुतियों को समूह $$K$$ की प्रस्तुतियों के लिए "उठाया" जा सकता है, और यह उपसमूह $$H$$ की प्रस्तुतियों के बारे में जानकारी प्राप्त करने का एक उपयोगी तरीका है। अधिक जानकारी के लिए, संदर्भ में हिगिंस और ब्राउन द्वारा पुस्तकें देखें।

समूह बद्ध की श्रेणी
वह श्रेणी जिसकी वस्तुएँ समूह बद्ध हैं और जिनकी आकृतियाँ समूह बद्ध आकारिता हैं, उन्हें समूह बद्ध श्रेणी या समूह बद्ध की श्रेणी कहा जाता है, और इसे जीआरपीडी द्वारा निरूपित किया जाता है।

श्रेणी जीआरपीडी, छोटी श्रेणियों की श्रेणी की तरह, कार्तीय बंद है, किसी भी समूह बद्ध $$H,K$$ के लिय हम एक समूह बद्ध $$\operatorname{GPD}(H,K)$$ का निर्माण कर सकते हैं, जिनकी वस्तुएं आकारिकी $$ H \to K $$ हैं और जिनके तीर आकारिकी के प्राकृतिक तुल्यता हैं। इस प्रकार यदि $$ H,K $$ केवल समूह बद्ध हैं, तो ऐसे तीर आकारिकी के संयुग्मन हैं। मुख्य परिणाम यह है कि किसी भी समूह के लिए $$ G,H,K $$ एक प्राकृतिक आक्षेप

$$\operatorname{Grpd}(G \times H, K) \cong \operatorname{Grpd}(G, \operatorname{GPD}(H,K))$$ है।

यह परिणाम दिलचस्प है, भले ही सभी समूह $$ G,H,K $$ समूह मात्र हैं।

जीआरपीडी का एक अन्य महत्वपूर्ण गुण यह है कि यह पूर्ण और सह पूर्ण दोनों है।

कैट से संबंध
समावेश $$i : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{Cat}$$ में बाएँ और दाएँ दोनों सन्निकट हैं,


 * $$ \hom_{\mathbf{Grpd}}(C[C^{-1}], G) \cong \hom_{\mathbf{Cat}}(C, i(G)) $$
 * $$ \hom_{\mathbf{Cat}}(i(G), C) \cong \hom_{\mathbf{Grpd}}(G, \mathrm{Core}(C)) $$

यहाँ, $$C[C^{-1}]$$ एक श्रेणी के स्थानीयकरण को दर्शाता है जो प्रत्येक आकारिता को उलट देता है, और $$\mathrm{Core}(C)$$ सभी समरूपताओं की उपश्रेणी को दर्शाता है।

एससेट से संबंध
तंत्रिका प्रकार्यक $$N : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{sSet}$$ जीआरपीडी को साधारण सेट की श्रेणी की पूर्ण उपश्रेणी के रूप में सन्निहित करता है। समूह बद्ध की तंत्रिका हमेशा कान सम्मिश्र होती है।

तंत्रिका में एक बायां जोड़ होता है
 * $$ \hom_{\mathbf{Grpd}}(\pi_1(X), G) \cong \hom_{\mathbf{sSet}}(X, N(G)) $$

जहा, $$\pi_1(X)$$ साधारण समुच्चय X के मूलभूत समूह को दर्शाता है।

जीआरपीडी में समूह बद्ध
एक अतिरिक्त संरचना जो समूह बद्ध आंतरिक से समूह बद्ध, दोहरे समूह की श्रेणी में प्राप्त की जा सकती है। क्योंकि जीआरपीडी ए 2-श्रेणी है, ये वस्तुएँ 1-श्रेणी के बजाय 2-श्रेणी बनाती हैं क्योंकि वहाँ अतिरिक्त संरचना होती है। अनिवार्य रूप से, ये समूह बद्ध $$\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_0$$ प्रकार्यक "$s,t: \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_0$"के साथ हैं और एक पहचान प्रकार्यक "$i:\mathcal{G}_0 \to\mathcal{G}_1$"द्वारा दिया गया एक अंत: स्थापन है। इन 2-समूह बद्ध के बारे में सोचने का एक तरीका यह है कि इनमें वस्तुए, आकारिकी, और वर्ग होते हैं जो लंबवत और क्षैतिज रूप से एक साथ रचना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, दिए गए वर्गों $$\begin{matrix} \bullet & \to & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \end{matrix} $$ और $$\begin{matrix} \bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \to & \bullet \end{matrix}$$को $$a$$ समान आकारिता के साथ ,उन्हें एक आरेख $$\begin{matrix} \bullet & \to & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \to & \bullet \end{matrix}$$देकर लंबवत जोड़ा जा सकता है जिसे ऊर्ध्वाधर तीरों की रचना करके दूसरे वर्ग में परिवर्तित किया जा सकता है। वर्गों के क्षैतिज बन्धन के लिए एक समान रचना नियम है।

ज्यामितीय संरचनाओं के साथ समूह बद्ध
ज्यामितीय वस्तुओं का अध्ययन करते समय, उत्पन्न होने वाले समूह बद्ध में अक्सर एक सांस्थितिकी होती है, जो उन्हें सांस्थितिक समूह बद्ध में बदल देती हैं, या यहां तक ​​​​कि कुछ अलग-अलग संरचना, उन्हें लाइ समूह बद्ध में बदल देते हैं। इन अंतिम वस्तुओं का अध्ययन उनके संबंधित लाइ बीजगणित ,लाइ समूह बद्ध और लाइ बीजगणित के बीच संबंध के अनुरूप संदर्भ में भी किया जा सकता है।

ज्यामिति से उत्पन्न होने वाले समूह बद्ध्स में अक्सर आगे की संरचनाएं होती हैं जो समूह बद्ध गुणन के साथ परस्पर क्रिया करती हैं। उदाहरण के लिए, पोइसन ज्यामिति में एक साइमलेक्टिक समूह की धारणा है, जो एक संगत सिंपलेक्टिक विधि के साथ एक लाइ समूह बद्ध है। इसी तरह, किसी के पास संगत रीमानी ज्यमिति, या सम्मिश्र संरचना आदि के साथ समूह बद्ध हो सकते हैं।

यह भी देखें

 * ∞-समूह बद्ध
 * 2-समूह
 * समस्थेयता प्रकार सिद्धांत
 * उलट श्रेणी
 * समूह बद्ध बीजगणित (बीजगणितीय समूह बद्ध के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए)
 * आर-बीजगणित

संदर्भ

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