नियमित प्रतिनिधित्व

गणित में और मुख्य रूप से समूह अभ्यावेदन के सिद्धांत में समूह 'G' का नियमित प्रतिनिधित्व अनुवाद (समूह सिद्धांत) द्वारा स्वयं पर 'G' के समूह क्रिया (गणित) द्वारा समर्थ करने वाला रैखिक प्रतिनिधित्व है।

एक बाएं अनुवाद द्वारा दिए गए बाएं नियमित प्रतिनिधित्व λ और दाएं अनुवाद के व्युत्क्रम द्वारा दिए गए सही नियमित प्रतिनिधित्व ρ को विभाजित करता है।

परिमित समूह
परिमित समूह G के लिए बाएं नियमित प्रतिनिधित्व λ (एक क्षेत्र K पर) वेक्टर अंतरिक्ष पर रैखिक प्रतिनिधित्व है | K-वेक्टर अंतरिक्ष V स्वतंत्र रूप से G के तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है। उन्हें V के आधार (रैखिक बीजगणित) से पहचाना जा सकता है और नियमित किया जा सकता है। g ∈ G, λg दिया गया है। G द्वारा बाएं अनुवाद के आधार पर इनकी क्रिया द्वारा निर्धारित किया गया एक रैखिक मानचित्र है। अर्थात्:


 * $$\lambda_{g}:h\mapsto gh,\text{ for all }h\in G.$$

सही नियमित प्रतिनिधित्व ρ के लिए, प्रतिनिधित्व के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने के लिए व्युत्क्रम होना चाहिए। मुख्य रूप से दिया गया g ∈ G, ρg V पर रैखिक क्षेत्र g−1 द्वारा सही अनुवाद के आधार पर इसकी क्रिया द्वारा V निर्धारित किया गया है। अर्थात्

$$\rho_{g}:h\mapsto hg^{-1},\text{ for all }h\in G.\ $$

वैकल्पिक रूप से इन अभ्यावेदन को सभी कार्यों के K-वेक्टर W स्थान पर G → K द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। यह इस रूप में है कि नियमित प्रतिनिधित्व टोपोलॉजिकल समूहों जैसे लाई समूहों के लिए सामान्यीकृत होता है।

W के संदर्भ में विशिष्ट परिभाषा इस प्रकार है। एक समारोह दिया गया है- f : G → K और एक तत्व g ∈ G,
 * $$(\lambda_{g}f)(x)=f(\lambda_{g}^{-1}(x))=f({g}^{-1}x)$$

और
 * $$(\rho_{g}f)(x)=f(\rho_{g}^{-1}(x))=f(xg).$$

किसी समूह के नियमित प्रतिनिधित्व का महत्व
प्रत्येक समूह G अनुवाद द्वारा स्वयं पर कार्य करता है। यदि हम इस क्रिया को क्रम परिवर्तन प्रतिनिधित्व के रूप में स्वीकार करते हैं। तो इसे एकल कक्षा (समूह सिद्धांत) और समूह क्रिया G के पहचान उपसमूह {e} के रूप में विस्तारित कर सकते हैं। किसी दिए गए क्षेत्र के लिए G का नियमित प्रतिनिधित्व है और K पर सदिश स्थान के आधार वैक्टर के सेट के रूप में इस क्रमचय प्रतिनिधित्व को स्थापित करते बनाया गया है। रैखिक प्रतिनिधित्व का महत्व यह है कि क्रमचय प्रतिनिधित्व विघटित नहीं होता है और यह समूह क्रिया (गणित) है।छोटे अभ्यावेदन सामान्य रूप में नियमित प्रतिनिधित्व टूट जाता है। उदाहरण के लिए यदि G एक परिमित समूह है और K जटिल संख्या क्षेत्र है। जिससे नियमित प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित हो जाता है। प्रत्येक अपघटनीय प्रतिनिधित्व अपघटन में बहुलता के साथ प्रकट होता है। इन इरेड्यूसिबल्स की संख्या G के संयुग्मन वर्गों की संख्या के बराबर होता है।

उपरोक्त तथ्य को कैरेक्टर सिद्धांत द्वारा समझाया जा सकता है। यह ध्यान रखा जाये कि नियमित प्रतिनिधित्व का चरित्र χ(g) नियमित प्रतिनिधित्व V पर अभिनय करने वाले g के निश्चित बिंदुओं की संख्या है। इसका अर्थ यह है कि निश्चित बिंदुओं की संख्या χ(g) शून्य है। जब g आईडी नहीं है और |G| अन्यथा। माना V का अपघटन ⊕aiVi है। माना V में अपघटन ⊕aiVi है। जहां Vi, G और ai की संगत बहुगुणता का अलघुकरणीय निरूपण है। चरित्र सिद्धांत द्वारा बहुलता ai की गणना की जा सकती है

$$a_i= \langle \chi,\chi_i \rangle =\frac{1}{|G|}\sum \overline{\chi(g)}\chi_i(g)=\frac{1}{|G|}\chi(1)\chi_i(1)=\operatorname{dim} V_i,$$ जिसका अर्थ है कि प्रत्येक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व की बहुलता इसके आयाम को प्रदर्शित करती है।

समूह की रिंग्स पर लेख परिमित समूहों के लिए नियमित प्रतिनिधित्व को स्पष्ट रूप से वर्णिक करता है। इसके साथ ही यह भी प्रदर्शित करता है कि मॉड्यूल (गणित) के रूप में नियमित प्रतिनिधित्व को कैसे लिया जा सकता है।

मॉड्यूल सिद्धांत दृष्टिकोण
इनके निर्माण को और अधिक अमूर्त रूप से रखने के लिए समूह रिंग K[G] को स्वयं के ऊपर एक मॉड्यूल के रूप में माना जाता है। (यहाँ बाईं-क्रिया या दाईं-क्रिया का एक विकल्प है। किन्तु संकेतन के अतिरिक्त यह महत्वपूर्ण नहीं है।) यदि G परिमित है और K की विशेषता (बीजगणित) |G| विभाजित नहीं होती है। यह एक अर्धसरल रिंग है और हम इसके बाएं (दाएं) रिंग आदर्शों को देख सकते हैं। इस सिद्धांत का बहुत ही गहन रूप से अध्ययन किया गया है। यह विशेष रूप से ज्ञात है कि नियमित प्रतिनिधित्व के प्रत्यक्ष योग अपघटन में K के ऊपर G के अलघुकरणीय रैखिक निरूपण के प्रत्येक समरूपता वर्ग का एक प्रतिनिधि होता है। आप कह सकते हैं कि इस स्थिति में प्रतिनिधित्व सिद्धांत के लिए नियमित प्रतिनिधित्व व्यापक है। मॉड्यूलर स्थिति जब K की विशेषता | G | विभाजित होती है। प्रमुख रूप से कठिन होता है क्योंकि K [G] अर्ध-सरल नहीं होने के कारण प्रत्यक्ष योग के रूप में विभाजन के बिना ही एक प्रतिनिधित्व अलघुकरणीय होने में विफल हो सकता है।

परिमित चक्रीय समूहों के लिए संरचना
ऑर्डर n के G द्वारा उत्पन्न एक चक्रीय समूह C के लिए K[C] के एक तत्व का मैट्रिक्स फॉर्म के [C] पर गुणन द्वारा कार्य करता है और एक विशिष्ट रूप लेता है। जिसे मैट्रिक्स की परिक्रमा के रूप में प्रदर्शित होता है। जिसमें प्रत्येक पंक्ति में एक परिवर्तन दिखाई देता है। उपरोक्त के दाईं ओर (चक्रीय क्रम में अर्थात् बाईं ओर दिखाई देने वाले सबसे दाएं तत्व के साथ), जब प्राकृतिक आधार को संदर्भित किया जाता है।


 * 1, g, g2, ..., gn−1.

जब फ़ील्ड K में एकता का एक पूर्व n-th मूल होता है। जिससे सभी n × n परिसंचारी के लिए n रैखिक रूप से स्वतंत्र एक साथ आइजन वैक्टर लिखकर विकर्ण मैट्रिक्स को C का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। वास्तव में यदि ζ एकता तत्व का कोई n-वाँ मूल है। तो-


 * 1 + ζg + ζ2g2 + ... + ζn−1gn−1

आइजन वैल्यू के साथ गुणन द्वारा g की क्रिया के लिए एक आइजन वेक्टर है।


 * ζ−1

और इसलिए g की सभी घातों और उनके रैखिक संयोजनों का एक आइजनवेक्टर भी स्थित है।

अमूर्त परिणाम की इस स्थिति में यह स्पष्ट रूप है कि एक बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड K (जैसे कि जटिल संख्या) पर G का नियमित प्रतिनिधित्व पूर्णरूप से कम हो जाता है। किन्तु K की विशेषता (यदि यह एक अभाज्य संख्या p है) G के क्रम को विभाजित नहीं करता है। इसे मस्कके प्रमेय कहा जाता है। इस स्थिति में विशेषता पर स्थिति एक पूर्व n-वें मूल की एकता का कोई अस्तित्व सम्मिलित नहीं है। जो कि प्रमुख विशेषता p विभाजन n की स्थिति में नहीं हो सकती है।

सर्कुलेंट निर्धारक पहली बार उन्नीसवीं शताब्दी के गणित में सामने आए थे और उनके विकर्णीकरण का परिणाम तैयार किया गया था। अर्थात् सर्कुलेंट का निर्धारक ऊपर वर्णित n ईजेनवेक्टरों के लिए n आइगेनवैल्यू का उत्पाद है। समूह अभ्यावेदन पर फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस का मूल कार्य किसी भी परिमित G के लिए 'समूह निर्धारकों' के अनुरूप कारक खोजने की प्रेरणा से प्रारम्भ हुआ था। अर्थात् K[G] के तत्वों का प्रतिनिधित्व करने वाले मैट्रिक्स के निर्धारक G में G द्वारा दिए गए आधार तत्वों पर गुणन द्वारा कार्य करते हैं। जब तक G एबेलियन समूह नहीं होता है। तब तक गुणनखंड में गैर-रैखिक कारक सम्मिलित होने चाहिए। जो डिग्री G> 1 के अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व के अनुरूप हों।

टोपोलॉजिकल ग्रुप केस
एक टोपोलॉजिकल ग्रुप G के लिए उपरोक्त अर्थों में नियमित प्रतिनिधित्व को G पर कार्यों के उपयुक्त स्थान से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। जिसमें G अनुवाद द्वारा कार्य करता है। कॉम्पैक्ट स्थान केस के लिए पीटर-वेइल प्रमेय देखें। यदि G एक लाई समूह है। किन्तु कॉम्पैक्ट या एबेलियन समूह नहीं है। जिससे यह हार्मोनिक विश्लेषण की कठिन स्थिति है। स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन केस पोंट्रीगिन द्वैत सिद्धांत का भाग है।

गाल्वा सिद्धांत में सामान्य आधार
गैल्वा सिद्धांत में यह प्रदर्शित गया है कि क्षेत्र L के लिए और L के ऑटोमॉरफिज्म के परिमित समूह G, G के निश्चित क्षेत्र के में [L:K] = |G| है। वास्तव में हम यह निर्धारित कर सकते हैं: L को K[G]-मॉड्यूल के रूप में देखा जाना नियमित प्रतिनिधित्व है। यह सामान्य आधार प्रमेय की सामग्री है और एक 'सामान्य आधार' L का तत्व x है। जैसे कि G में g के लिए g(x) K पर L के लिए सदिश स्थान आधार है। ऐसा x उपस्थित है और एक K[G]-समरूपता L से K[G] तक हर एक देता है। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के दृष्टिकोण से सामान्य अभिन्न आधारों का अध्ययन करना उत्तम है। जहां हम L और K को बीजगणितीय पूर्णांकों के रिंग्स से बदलने का प्रयास करते हैं। गॉसियन पूर्णांकों की स्थितियों में पहले ही देखा जा सकता है कि ऐसे आधार उपस्थित नहीं हो सकते हैं: a + bi और a - bi कभी भी 'Z' [i] का 'Z'-मॉड्यूल आधार नहीं बना सकते हैं क्योंकि 1 पूर्णांक संयोजन नहीं हो सकता है। गाल्वा मापांक सिद्धांत में कारणों का गहनता से अध्ययन किया गया है।

अधिक सामान्य बीजगणित
समूह वलय का नियमित प्रतिनिधित्व ऐसा है कि बाएं हाथ और दाएं हाथ के नियमित प्रतिनिधित्व आइसोमोर्फिक मॉड्यूल देते हैं (और हमें अक्सर मामलों में अंतर करने की आवश्यकता नहीं होती है)। एक फ़ील्ड A पर एक बीजगणित को देखते हुए A के बीच बाएं-मॉड्यूल के रूप में और दाएं-मॉड्यूल के रूप में संबंध के बारे में पूछने का कोई अर्थ नहीं होता है। समूह की स्थिति में K[G] के आधार तत्वों G पर मैपिंग उलटा तत्व लेकर परिभाषित किया गया है। इसके विपरीत रिंग में K[G] एक समरूपता प्रदर्शित करता है। सामान्य A के लिए ऐसी संरचना को फ्रोबेनियस बीजगणित कहा जाता है। जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है कि इन्हें उन्नीसवीं शताब्दी में फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियन बीजगणित प्रस्तुत किया गया था। कोबोर्डिज्म परिकल्पना के विशेष उदाहरण द्वारा उन्हें टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से 1+1 आयामों में संबंधित प्रदर्शित किया गया है।

यह भी देखें

 * मौलिक प्रतिनिधित्व
 * क्रमचय प्रतिनिधित्व
 * अर्ध नियमित प्रतिनिधित्व