उच्च श्रेणी सिद्धांत

गणित में, उच्च श्रेणी सिद्धांत उच्च क्रम पर श्रेणी सिद्धांत का भाग है, जिसका अर्थ है यह है की कुछ समानताओं को स्पष्ट तीरों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जिससे की उन समानताओं के पीछे की संरचना का स्पष्ट रूप से अध्ययन किया जा सकता है, उच्च श्रेणी के सिद्धांत को अधिकांशतः बीजगणितीय टोपोलॉजी (विशेष रूप से होमोटॉपी सिद्धांत) में लागू किया जाता है, जैसे कि उनके मौलिक समूह ∞-वर्गीकृत जहां कोई टोपोलॉजिकल समष्टि के बीजगणितीय अपरिवर्तनीय (गणित) का अध्ययन करता है।

सख्त उच्च श्रेणियां
एक सामान्य श्रेणी (गणित) में वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) और आकारिकी होती हैं, जिन्हें उच्च श्रेणी के सिद्धांत के संदर्भ में 1-रूपवाद कहा जाता है। 2-श्रेणी 1-आकारिता के बीच 2-आकारिता को सम्मलित करके इसे सामान्यीकृत करती है। इसे (n − 1)-आकारिता के बीच n-आकारिता तक जारी रखने से n-श्रेणी मिलती है।

जिस प्रकार कैट के नाम से जानी जाने वाली श्रेणी, जो कि छोटी श्रेणियों और फंकटर्स की श्रेणी है, वास्तव में 2-श्रेणी है, जिसमें इसके 2-आकारिता के रूप में प्राकृतिक परिवर्तन होते हैं, श्रेणी n-कैट की (छोटी) n-श्रेणियाँ वास्तव में (n +1)-श्रेणी होती हैं।

एक n-श्रेणी को n पर प्रेरण द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * एक 0 श्रेणी समुच्चय है,
 * An (n +-1) श्रेणी श्रेणी है जो श्रेणी n-कैट से अधिक समृद्ध श्रेणी है।

तो 1-श्रेणी सिर्फ (स्थानीय रूप से छोटी) श्रेणी है।

समुच्चय की मोनोइडल श्रेणी संरचना कार्तीय उत्पाद द्वारा टेंसर के रूप में और एकल समुच्चय को इकाई के रूप में दी गई है। वास्तव में परिमित उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) वाली किसी भी श्रेणी को मोनोइडल संरचना दी जा सकती है। N-'कैट' का पुनरावर्ती निर्माण ठीक काम करता है क्योंकि यदि श्रेणी सी में परिमित उत्पाद हैं, तो $C$-समृद्ध श्रेणियों की श्रेणी में परिमित उत्पाद भी हैं।

चूंकि यह अवधारणा कुछ उद्देश्यों के लिए बहुत सख्त है, उदाहरण के लिए, होमोटॉपी सिद्धांत, जहां "कमजोर" संरचनाएं उच्च श्रेणियों के रूप में उत्पन्न होती हैं, सख्त घनीय उच्च होमोटॉपी वर्गीकृत भी बीजगणितीय टोपोलॉजी के लिए नई नींव देने के रूप में उत्पन्न हुए हैं। समरूपता और समरूपता सिद्धांत के बीच की सीमा; नीचे दी गई पुस्तक में संदर्भित लेख नॉनबेलियन बीजगणितीय टोपोलॉजी को देखा जा सकता है।

कमजोर उच्च श्रेणियां
कमजोर n-श्रेणियों में, साहचर्य और पहचान की शर्तें अब सख्त नहीं हैं (अर्थात, वे समानता द्वारा नहीं दी जाती हैं), अपितु अगले स्तर के तुल्याकारिता तक संतुष्ट हैं। टोपोलॉजी में उदाहरण पथ (टोपोलॉजी) की संरचना है, जहां पहचान और संघ की स्थिति मात्र मानकीकरण तक होती है, और इसलिए होमोटॉपी तक, जो इस 2-श्रेणी के लिए 2-समरूपता है। ये और-आइसोआकारिता होम-समुच्चय के बीच सबसे अच्छा व्यवहार करते हैं और इसे व्यक्त करना कमजोर एन-श्रेणियों की परिभाषा में कठिनाई है। कमजोर 2-श्रेणियाँ, जिन्हें द्विश्रेणियाँ भी कहा जाता है, सबसे पहले स्पष्ट रूप से परिभाषित की गई थीं। इनमें से विशिष्टता यह है कि वस्तु के साथ द्विश्रेणी वास्तव में मोनोइडल श्रेणी है, जिससे कि द्विश्रेणियों को "कई वस्तुओं के साथ मोनोइडल श्रेणियां" कहा जा सकता है। कमजोर 3-श्रेणियाँ, जिन्हें त्रिश्रेणियाँ भी कहा जाता है, और उच्च-स्तरीय सामान्यीकरण स्पष्ट रूप से परिभाषित करने के लिए कठिन होते जा रहे हैं। कई परिभाषाएँ दी गई हैं, और यह प्रस्तुत किया कि वे कब समतुल्य हैं, और किस अर्थ में, श्रेणी सिद्धांत में अध्ययन का नवीनतम उद्देश्य बन गया है।

अर्ध-श्रेणियां
कमजोर कैन सम्मिश्र, या अर्ध-श्रेणियां, कान की स्थिति के कमजोर संस्करण को संतुष्ट करने वाले साधारण समुच्चय हैं। आंद्रे जोयल ने दिखाया कि वे उच्च श्रेणी के सिद्धांत के लिए अच्छा आधार हैं। हाल ही में, 2009 में, इस सिद्धांत को जैकब लुरी द्वारा आगे व्यवस्थित किया गया है, जो उन्हें मात्र अनंत श्रेणियां कहते हैं, चूंकि बाद वाला शब्द भी किसी भी k के लिए (अनंत, k) श्रेणियों के सभी मॉडलों के लिए सामान्य शब्द है।

सरल रूप से समृद्ध श्रेणियाँ
सरल रूप से समृद्ध श्रेणियां, या सरलीकृत श्रेणियां, सरलीकृत समुच्चयों पर समृद्ध श्रेणियां हैं। चूंकि, जब हम उन्हें (अनंत, -1) श्रेणी के लिए मॉडल के रूप में देखते हैं, तो कई स्पष्ट धारणाएं (जैसे, सीमा (श्रेणी सिद्धांत)) समृद्ध श्रेणियों के अर्थ में संबंधित धारणाओं से सहमत नहीं होती हैं। अन्य समृद्ध मॉडलों के लिए समान, जैसे स्थलाकृतिक रूप से समृद्ध श्रेणियां होती है।

स्थलाकृतिक रूप से समृद्ध श्रेणियां
टोपोलॉजिकल रूप से समृद्ध श्रेणियां (कभी-कभी मात्र टोपोलॉजिकल श्रेणियां कहलाती हैं) वे श्रेणियां हैं, उदाहरण के लिए सघन रूप से उत्पन्न हौसडॉर्फ समष्टि की श्रेणी जो टोपोलॉजिकल समष्टि की कुछ सुविधाजनक श्रेणी से समृद्ध होती हैं।

सेगल श्रेणियां
ये 1998 में हिर्शोवित्ज़ और सिम्पसन द्वारा प्रारंभ की गई उच्च श्रेणियों के मॉडल हैं, आंशिक रूप से 1974 में ग्रीम सेगल के परिणामों से प्रेरित हैं।

यह भी देखें

 * उच्च आयामी बीजगणित
 * सामान्य सार बकवास
 * वर्गीकरण
 * सुसंगतता (होमोटोपी सिद्धांत)

संदर्भ

 * Draft of a book. Alternative PDF with hyperlinks)
 * Draft of a book. Alternative PDF with hyperlinks)
 * Draft of a book. Alternative PDF with hyperlinks)


 * As PDF.
 * nLab, the collective and open wiki notebook project on higher category theory and applications in physics, mathematics and philosophy
 * Joyal's कैटlab, a wiki dedicated to polished expositions of categorical and higher categorical mathematics with proofs

बाहरी संबंध

 * The n-कैटegory Cafe — a group blog devoted to higher category theory.
 * The n-कैटegory Cafe — a group blog devoted to higher category theory.