लिफ्टिंग थ्योरी

गणित में, लिफ्टिंग थ्योरी को पहली बार 1931 के एक अग्रणी पेपर में जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिसमें उन्होंने अल्फ्रेड हार द्वारा उठाए गए प्रश्न का उत्तर दिया था। इस सिद्धांत को डोरोथी महरम (1958), एलेक्जेंड्रा बोलो और कैसियस इओनेस्कु-तुलसीया (1961) द्वारा आगे विकसित किया गया था। लिफ्टिंग सिद्धांत काफी हद तक इसके प्रभावशाली अनुप्रयोगों से प्रेरित था। 1969 तक इसके विकास का वर्णन इओनेस्कु तुलसीज़ के मोनोग्राफ में किया गया था। तब से लिफ्टिंग सिद्धांत का विकास जारी रहा, जिससे नए परिणाम और अनुप्रयोग प्राप्त हुए है।

परिभाषाएँ
माप रेखांतर पर लिफ्टिंग $$(X, \Sigma, \mu)$$ एक रैखिक और गुणक संचालिका है $$T : L^\infty(X, \Sigma, \mu) \to \mathcal{L}^\infty(X, \Sigma, \mu)$$ जो भागफल मानचित्र का दायाँ व्युत्क्रम फलन है $$\begin{cases} \mathcal L^\infty(X,\Sigma,\mu) \to L^\infty(X,\Sigma,\mu) \\ f \mapsto [f] \end{cases}$$ जहाँ $$\mathcal{L}^\infty(X,\Sigma,\mu)$$ सेमीनोर्म्ड Lp  मापने योग्य फलन के रेखांतर है और $$L^\infty(X, \Sigma, \mu)$$ इसका सामान्य मानक भागफल है। दूसरे शब्दों में, एक लिफ्टिंग प्रत्येक समतुल्य वर्ग परिबद्ध मापन योग्य फलन $$[f]$$ का मॉड्यूलो नगण्य फलन है - जो अब $$T([f])$$ या $$T[f]$$ या केवल $$Tf$$ - इस तरह से कि $$T[1] = 1$$ और सभी के लिए $$p \in X$$ और सभी $$r, s \in \Reals$$ से लिखा गया है। $$T(r[f]+s[g])(p) = rT[f](p) + sT[g](p),$$$$T([f]\times[g])(p) = T[f](p) \times T[g](p).$$ लिफ्टिंग का उपयोग विघटन प्रमेय का उत्पादन करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए निरंतर यादृच्छिक चर दिए गए सशर्त संभाव्यता वितरण, और किसी फलन के स्तर सेट पर लेबेसेग माप के फ़िब्रेशन है।

लिफ्टिंग का अस्तित्व
प्रमेय मान लीजिए $$(X, \Sigma, \mu)$$ पूर्ण है। तब $$(X, \Sigma, \mu)$$ यदि और केवल तभी एक लिफ्टिंग को स्वीकार किया जाता है, जब परस्पर असंबद्ध अभिन्न सेटों का संग्रह $$\Sigma$$ उपस्थित हो जिसका सम्मिलन $$X$$ है। विशेषकर, यदि $$(X, \Sigma, \mu)$$ σ-परिमिति का पूरा होना है माप या रेखांतरीय रूप से संक्षिप्त रेखांतर पर मापन $$(X, \Sigma, \mu)$$ एक आंतरिक नियमित बोरल माप के पूरा होने के लिए है।

प्रमाण में एक लिफ्टिंग को बड़े उप-σ-बीजगणित तक लिफ्टिंग का विस्तार करने में सम्मिलित है, जो डोब के मार्टिंगल अभिसरण प्रमेय को लागू करता है यदि प्रक्रिया में एक गिनती योग्य श्रृंखला है।

बहुसंख्यक लिफ्टिंग
मान लीजिए $$(X, \Sigma, \mu)$$ पूर्ण है और $$X$$ पूरी तरह से नियमित हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजी सहित है $$\tau \subseteq \Sigma$$ जैसे कि नगण्य विवृत सेटों के किसी भी संग्रह का संघ फिर से नगण्य है - यही स्थिति है $$(X, \Sigma, \mu)$$ σ-परिमित है या रेडॉन माप से आता है। तब $$\mu,$$ $$\operatorname{Supp}(\mu)$$ का आधार, इसे सबसे बड़े नगण्य विवृत उपसमुच्चय और संग्रह के पूरक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$C_b(X, \tau)$$ परिबद्ध सतत फलन  $$ \mathcal L^\infty(X, \Sigma, \mu)$$ का संबंध है। एक बहुसंख्यक लिफ्टिंग के लिए $$(X, \Sigma, \mu)$$ एक लिफ्टिंग है। $$T : L^\infty(X, \Sigma, \mu) \to \mathcal{L}^\infty(X, \Sigma, \mu)$$ ऐसे में $$T\varphi = \varphi$$ पर $$\operatorname{Supp}(\mu)$$ सभी के लिए $$\varphi$$ में $$C_b(X, \tau)$$ है। यह उसकी आवश्यकता के समान ही है $$T U \geq (U \cap \operatorname{Supp}(\mu))$$ सभी विवृत सेटों के लिए $$U$$ में $$\tau$$ है। प्रमेय यदि $$(\Sigma, \mu)$$ σ-परिमित और पूर्ण है $$\tau$$ तो इसका एक गणनीय आधार $$(X, \Sigma, \mu)$$ है तो एक बहुसंख्यक लिफ्टिंग मान लेता है।

प्रमाण, मान लीजिए $$T_0$$ के लिए एक लिफ्टिंग $$(X, \Sigma, \mu)$$ हो और $$U_1, U_2, \ldots$$ के लिए एक गणनीय आधार $$\tau$$ है। किसी भी बिंदु के लिए $$p$$ नगण्य सेट में है। $$N := \bigcup\nolimits_n \left\{p \in \operatorname{Supp}(\mu) : (T_0U_n)(p) < U_n(p)\right\}$$ मान लीजिए $$T_p$$ कोई भी अंक हो पर $$L^\infty(X, \Sigma, \mu)$$ जो अंक $$\phi \mapsto \phi(p)$$ का $$C_b(X, \tau)$$ का विस्तार करता है। क्योंकि फिर $$p$$ में $$X$$ और $$[f]$$ में $$L^\infty(X, \Sigma, \mu)$$ परिभाषित करना: $$(T[f])(p):= \begin{cases} (T_0[f])(p)& p\notin N\\ T_p[f]& p\in N. \end{cases}$$ $$T$$ वांछित बहुसंख्यक लिफ्टिंग है।

अनुप्रयोग: एक माप का विघटन
मान लीजिए $$(X, \Sigma, \mu)$$ और $$(Y, \Phi, \nu)$$ σ-परिमित माप रेखांतर हैं ($$\mu, \mu$$ धनात्मक) और $$\pi : X \to Y$$ एक मापने योग्य प्रतिचित्र का एक विघटन है। $$\mu$$ साथ में $$\pi$$ इसके संबंध में $$\nu$$एक निहत है $$Y \ni y \mapsto \lambda_y$$ धनात्मक σ-योगात्मक माप पर $$(\Sigma, \mu)$$ है ताकि


 * 1) $$\lambda_y$$ फाइबर द्वारा ले जाया जाता है $$\pi^{-1}(\{y\})$$ का $$\pi$$ ऊपर $$y$$, अर्थात, $$ \{y\} \in \Phi $$ और $$ \lambda_y\left((X\setminus \pi^{-1}(\{y\})\right) = 0 $$ लगभग सभी के लिए $$ y \in Y $$ है।
 * 2) हर एक के लिए $$\mu$$-अभिन्न फलन $$f$$ है।$$\int_X f(p)\;\mu(dp)= \int_Y \left(\int_{\pi^{-1}(\{y\})} f(p)\,\lambda_y(dp)\right) \nu(dy) \qquad (*)$$ इस अर्थ में, $$\nu$$- के लिए $$y$$ में $$Y,$$ $$f$$ लगभग सभी $$\lambda_y$$- का अभिन्न फलन है।$$y \mapsto \int_{\pi^{-1}(\{y\})} f(p)\,\lambda_y(dp) $$  $$\nu$$-अभिन्न, और प्रदर्शित समता $$(*)$$ स्थायी रखता है।

विघटन प्रमेय विभिन्न परिस्थितियों में उपस्थित है, प्रमाण अलग-अलग हैं लेकिन लगभग सभी मजबूत लिफ्टिंग का उपयोग करते हैं। यहाँ एक सामान्य परिणाम है। इसका संक्षिप्त विशिष्ट प्रमाण सामान्य देता है।

प्रमेय, मान लीजिए $$X$$ एक पोलिश रेखांतर है और $$Y$$ एक अलग करने योग्य हॉसडॉर्फ़ रेखांतर, दोनों अपने बोरेल σ-बीजगणित सहित हैं। मान लीजिए $$\mu$$ एक σ-परिमित बोरेल माप हो $$X$$ और $$\pi : X \to Y$$ a $$\Sigma, \Phi-$$मापने योग्य प्रतिचित्र, फिर एक σ-परिमित बोरेल माप उपस्थित है $$\nu$$ पर $$Y$$ और एक विघटन (*) है।

अगर $$\mu$$ परिमित है, $$\nu$$ आगे बढ़ने वाला माना जा सकता है $$\pi_* \mu,$$ और फिर $$\lambda_y$$ सम्भावनाएँ हैं।

प्रमाण, पॉलिश प्रकृति के कारण $$X$$ के सघन उपसमुच्चय का एक क्रम है $$X$$ जो परस्पर विच्छेदित हैं, जिनके मिलन का पूरक नगण्य है और जिस पर $$\pi$$ सतत है। यह अवलोकन दोनों स्थितियों में समस्या को कम करता है $$X$$ और $$Y$$ कॉम्पैक्ट, $$\pi$$ निरंतर और $$\nu = \pi_* \mu$$ है। पूर्ण $$\Phi$$ अंतर्गत $$\nu$$ और एक मजबूत लिफ्टिंग $$T$$ के लिए $$(Y, \Phi, \nu)$$ को निर्धारित करें। एक सीमा दी गई $$\mu$$-मापने योग्य फलन $$f,$$ मान लीजिए $$\lfloor f\rfloor$$ इसके अंतर्गत सशर्त अपेक्षा को निरूपित करें $$\pi,$$ अर्थात्, रैडॉन-निकोडिम प्रमेय|रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न $$\pi_*(f \mu)$$ इसके संबंध में $$\pi_* \mu.$$ फिर प्रत्येक के लिए $$y$$ में $$Y,$$ $$\lambda_y(f) := T(\lfloor f\rfloor)(y)$$ सेट करें। यह दिखाने के लिए कि यह विघटन को परिभाषित करता है, बहीखाता पद्धति और एक उपयुक्त फ़ुबिनी प्रमेय की स्थिति है। यह देखने के लिए कि लिफ्टिंग की मजबूती कैसे प्रविष्ट करती है, उस पर ध्यान दें $$\lambda_y(f \cdot \varphi \circ \pi) = \varphi(y) \lambda_y(f) \qquad \forall y\in Y, \varphi \in C_b(Y), f \in L^\infty(X, \Sigma, \mu)$$ और सबसे अधिक धनात्मक के ऊपर ले लो $$\varphi$$ में $$C_b(Y)$$ साथ $$\varphi(y) = 1;$$ यह स्पष्ट हो जाता है कि प्रमाणित $$\lambda_y$$ ऊपर फाइबर $$y$$ में निहित है।