आव्यूह अवकल समीकरण

एक अंतर समीकरण  एक या कई चर के अज्ञात फ़ंक्शन के लिए एक गणितीय समीकरण है जो फ़ंक्शन के मूल्यों और इसके विभिन्न आदेशों के डेरिवेटिव से संबंधित है। एक मैट्रिक्स डिफरेंशियल इक्वेशन में एक से अधिक फंक्शन होते हैं जो वेक्टर फॉर्म में स्टैक्ड होते हैं, जिसमें मैट्रिक्स उनके डेरिवेटिव से संबंधित होता है।

उदाहरण के लिए, प्रथम-क्रम मैट्रिक्स साधारण अंतर समीकरण  है
 * $$\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{A}(t)\mathbf{x}(t)$$

कहां $$\mathbf{x}(t)$$ एक $$n \times 1$$ एक अंतर्निहित चर के कार्यों का वेक्टर $$t$$, $$\mathbf{\dot{x}}(t)$$ इन कार्यों के पहले डेरिवेटिव का वेक्टर है, और $$\mathbf{A}(t)$$ एक $$n \times n$$ गुणांक का मैट्रिक्स।

मामले में जहां $$\mathbf{A}$$ स्थिर है और n रैखिक रूप से स्वतंत्र   आइजन्वेक्टर  हैं, इस अंतर समीकरण का निम्नलिखित सामान्य समाधान है,
 * $$\mathbf{x}(t) = c_1 e^{\lambda_1 t} \mathbf{u}_1 + c_2 e^{\lambda_2 t} \mathbf{u}_2 + \cdots + c_n e^{\lambda_n t} \mathbf{u}_n ~,$$

कहां λ1, λ2, …, λn ए के eigenvalue s ​​​​हैं; u1, u2, …, un ए के संबंधित eigenvectors हैं; और c1, c2, …, cn स्थिरांक हैं।

अधिक सामान्यतः, यदि $$\mathbf{A}(t)$$ अपने अभिन्न अंग के साथ आवागमन करता है $$\int_a^t \mathbf{A}(s)ds$$ तो मैग्नस विस्तार  अग्रणी क्रम में कम हो जाता है, और अंतर समीकरण का सामान्य समाधान होता है
 * $$\mathbf{x}(t)=e^{\int_a^t \mathbf{A}(s) ds} \mathbf{c} ~,$$

कहां $$ \mathbf{c} $$ एक $$ n \times 1 $$ निरंतर वेक्टर।

केली-हैमिल्टन प्रमेय और वैंडरमोंड मैट्रिक्स  | वंडरमोंड-प्रकार मैट्रिक्स के उपयोग से, यह औपचारिक  मैट्रिक्स घातीय  समाधान एक सरल रूप में कम किया जा सकता है। नीचे, यह समाधान Putzer के एल्गोरिथम के संदर्भ में प्रदर्शित किया गया है।

मैट्रिक्स सिस्टम की स्थिरता और स्थिर स्थिति
मैट्रिक्स समीकरण
 * $$\mathbf{\dot{x}}(t) = \mathbf{Ax}(t) + \mathbf{b}$$ n × 1 पैरामीटर के साथ निरंतर वेक्टर 'बी' स्थिरता सिद्धांत  है अगर और केवल अगर निरंतर मैट्रिक्स 'ए' के ​​सभी eigenvalues ​​​​में एक नकारात्मक वास्तविक हिस्सा है।

वह स्थिर स्थिति 'x*' जिससे स्थिर होने पर यह अभिसरण करता है, सेटिंग द्वारा पाया जाता है
 * $$\mathbf{\dot{x}}^* (t)=\mathbf{0}~,$$

इस प्रकार उपज
 * $$\mathbf{x}^* = -\mathbf{A}^{-1}\mathbf{b}~,$$

A को व्युत्क्रमणीय मानते हुए।

इस प्रकार, मूल समीकरण को सजातीय अवस्था से विचलन के संदर्भ में सजातीय रूप में लिखा जा सकता है,
 * $$ \mathbf{\dot{x}}(t)=\mathbf{A}[\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*]~.$$

इसे व्यक्त करने का एक समतुल्य तरीका यह है कि x * असमघात समीकरण का एक विशेष हल है, जबकि सभी समाधान रूप में हैं
 * $$\mathbf{x}_h+\mathbf{x}^*  ~,$$ साथ $$\mathbf{x}_h$$ सजातीय समीकरण (बी = 0) का समाधान।

दो-राज्य-चर मामले की स्थिरता
N = 2 मामले में (दो राज्य चर के साथ), स्थिरता की स्थिति है कि संक्रमण मैट्रिक्स A के दो eigenvalues ​​​​में से प्रत्येक का एक नकारात्मक वास्तविक भाग है, शर्तों के बराबर है कि A का ट्रेस (गणित)  नकारात्मक हो और इसका निर्धारक ( गणित) सकारात्मक रहें।

मैट्रिक्स रूप में समाधान
का औपचारिक समाधान $$\mathbf{\dot{x}}(t)=\mathbf{A}[\mathbf{x}(t)-\mathbf{x}^*]$$ मैट्रिक्स घातीय रूप है
 * $$\mathbf{x}(t)=\mathbf{x}^*+e^{\mathbf{A}t}[\mathbf{x}(0)-\mathbf{x}^*] ~,$$ कई तकनीकों का उपयोग करके मूल्यांकन किया गया।

कंप्यूटिंग के लिए पुत्जर एल्गोरिथम $e^{At}$
eigenvalues ​​​​के साथ एक मैट्रिक्स ए दिया $$\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n$$,
 * $$e^{\mathbf{A}t} = \sum_{j=0}^{n-1}r_{j+1}{\left(t\right)}\mathbf{P}_{j}$$

कहां
 * $$\mathbf{P}_0 = \mathbf{I}$$
 * $$\mathbf{P}_j = \prod_{k=1}^{j}\left(\mathbf{A}-\lambda_k \mathbf{I}\right)= \mathbf{P}_{j-1} \left(\mathbf{A}-\lambda_j \mathbf{I}\right), \qquad j=1,2,\dots,n-1$$
 * $$\dot{r}_1 = \lambda_1 r_1$$
 * $$r_1{\left(0\right)}=1$$
 * $$\dot{r}_{j} = \lambda_j r_j + r_{j-1}, \qquad j=2,3,\dots,n$$
 * $$r_j{\left(0\right)}=0, \qquad  j=2,3,\dots,n$$

के लिए समीकरण $$r_i (t)$$ साधारण प्रथम कोटि के विषम ODE हैं।

ध्यान दें कि एल्गोरिदम की आवश्यकता नहीं है कि मैट्रिक्स ए विकर्ण मैट्रिक्स  हो और आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले जॉर्डन कैनोलिक रूपों की जटिलताओं को छोड़ दें।

एक मैट्रिक्स साधारण अंतर समीकरण
का विखंडित उदाहरण

दो कार्यों x(t) और y(t) में एक प्रथम-क्रम सजातीय मैट्रिक्स साधारण अंतर समीकरण, जब मैट्रिक्स रूप से बाहर निकाला जाता है, तो इसका निम्न रूप होता है:


 * $$\frac{dx}{dt}=a_1x+b_1y,\quad\frac{dy}{dt}=a_2x+b_2y$$

कहां $$a_1$$, $$a_2$$, $$b_1$$, और $$b_2$$ कोई मनमाना स्केलर हो सकता है।

उच्च क्रम मैट्रिक्स ओडीई के पास अधिक जटिल रूप हो सकता है।

विघटित मैट्रिक्स साधारण अंतर समीकरणों को हल करना
उपरोक्त समीकरणों को हल करने और इस विशेष क्रम और रूप के आवश्यक कार्यों को खोजने की प्रक्रिया में 3 मुख्य चरण होते हैं। इनमें से प्रत्येक चरण का संक्षिप्त विवरण नीचे सूचीबद्ध है:


 * eigenvalues का पता लगाना
 * egenvectors ढूँढना
 * आवश्यक कार्यों का पता लगाना

इस तरह के सामान्य अंतर समीकरणों को हल करने में अंतिम, तीसरा, चरण आमतौर पर पिछले दो चरणों में गणना किए गए मानों को एक विशेष सामान्य रूप समीकरण में प्लगिंग के माध्यम से किया जाता है, जिसका उल्लेख इस लेख में बाद में किया गया है।

एक मैट्रिक्स ODE
का हल उदाहरण

ऊपर दिए गए तीन चरणों के अनुसार एक मैट्रिक्स ODE को हल करने के लिए, प्रक्रिया में सरल मैट्रिसेस का उपयोग करते हुए, हम एक फ़ंक्शन पाते हैं $x$ और एक समारोह $y$ दोनों एकल स्वतंत्र चर के संदर्भ में $t$, पहले क्रम के निम्नलिखित सजातीय रैखिक अंतर समीकरण  में,
 * $$\frac{dx}{dt}=3x-4y,\quad\frac{dy}{dt}=4x-7y~.$$

इस विशेष सामान्य अंतर समीकरण प्रणाली को हल करने के लिए, समाधान प्रक्रिया में किसी बिंदु पर, हमें दो प्रारंभिक स्थितियों (प्रारंभिक बिंदु पर दो राज्य चर के अनुरूप) के एक सेट की आवश्यकता होगी। इस मामले में, हम चुनते हैं $x(0) = y(0) = 1$.

पहला कदम
पहला चरण, जिसका पहले ही ऊपर उल्लेख किया जा चुका है, में A के eigenvalues ​​का पता लगा रहा है
 * $$\begin{bmatrix} x'\\y' \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix}~.$$

उपरोक्त सदिशों में से किसी एक में देखे गए व्युत्पन्न संकेतन x' आदि को लाग्रेंज के संकेतन के रूप में जाना जाता है (पहली बार जोसेफ लुइस लाग्रेंज  द्वारा प्रस्तुत किया गया। यह पिछले समीकरण में प्रयुक्त व्युत्पन्न संकेतन dx/dt के बराबर है, जिसे लाइबनिज के संकेतन के रूप में जाना जाता है, सम्मान करते हुए  गॉटफ्रीड लीबनिज  का नाम।)

एक बार ऊपर प्रदर्शित मैट्रिक्स (गणित)  फॉर्म 'ए' में दो चर के गुणांक लिखे जाने के बाद, आइगेनवैल्यू का मूल्यांकन किया जा सकता है। उस अंत तक, एक मैट्रिक्स (गणित) के निर्धारक को ढूंढता है जो एक पहचान मैट्रिक्स के दौरान बनता है, $$I_n$$, कुछ स्थिर से गुणा  $λ$, उपरोक्त गुणांक मैट्रिक्स से घटाया जाता है ताकि इसकी  विशेषता बहुपद  प्राप्त हो सके,
 * $$\det\left(\begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix} - \lambda\begin{bmatrix} 1 & 0\\0 & 1 \end{bmatrix}\right)~,$$

और इसके शून्य के लिए हल करें।

मैट्रिक्स जोड़ पैदावार के और सरलीकरण और बुनियादी नियमों को लागू करना
 * $$\det\begin{bmatrix} 3-\lambda & -4\\4 & -7-\lambda \end{bmatrix}~.$$

एकल 2×2 मैट्रिक्स के निर्धारक को खोजने के नियमों को लागू करने से निम्नलिखित प्राथमिक द्विघात समीकरण  प्राप्त होता है,
 * $$\det\begin{bmatrix} 3-\lambda & -4\\4 & -7-\lambda \end{bmatrix} = 0$$
 * $$-21 - 3\lambda + 7\lambda + \lambda^2 + 16 = 0 \,\!$$

उपरोक्त का एक सरल संस्करण प्राप्त करने के लिए इसे और कम किया जा सकता है,
 * $$\lambda^2 + 4\lambda - 5 = 0 ~.$$

अब दो मूल ज्ञात करना, $$\lambda_1$$ और $$\lambda_2$$ दिए गए द्विघात समीकरण का गुणन खंडन विधि लागू करने से प्राप्त होता है
 * $$\lambda^2 + 5\lambda - \lambda - 5 = 0$$
 * $$\lambda (\lambda + 5) - 1 (\lambda + 5) = 0$$
 * $$(\lambda - 1)(\lambda + 5) = 0$$
 * $$\lambda = 1, -5 ~.$$

मूल्य $$\lambda_1 = 1$$ और $$\lambda_2 = -5$$, ऊपर परिकलित A के आवश्यक eigenvalues ​​​​हैं। कुछ मामलों में, अन्य मैट्रिक्स ओडीई का कहना है, ईगेनवेल्यूज जटिल संख्याएं हो सकती हैं, इस मामले में हल करने की प्रक्रिया के अगले चरण के साथ-साथ अंतिम रूप और समाधान नाटकीय रूप से बदल सकते हैं।

दूसरा चरण
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, इस कदम में मूल रूप से प्रदान की गई जानकारी से ए के ईजेनवेक्टरों को खोजना शामिल है।

गणना किए गए प्रत्येक eigenvalues ​​​​के लिए, हमारे पास एक अलग eigenvector है। पहले eigenvalue के लिए, जो है $$\lambda_1 = 1$$, अपने पास
 * $$\begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} \alpha\\\beta \end{bmatrix} = 1\begin{bmatrix} \alpha\\\beta \end{bmatrix}. $$

मूल आव्यूह गुणन नियम लागू करके उपरोक्त व्यंजक को सरल करने पर प्राप्त होता है
 * $$3\alpha - 4\beta = \alpha$$
 * $$\alpha = 2\beta~.$$

ये सभी गणनाएँ केवल अंतिम अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए की गई हैं, जो हमारे मामले में है $α = 2β$. अब कुछ मनमाना मूल्य लेना, संभवतः, एक छोटा महत्वहीन मूल्य, जिसके साथ काम करना बहुत आसान है, दोनों के लिए $α$ या $β$ (ज्यादातर मामलों में, यह वास्तव में कोई फर्क नहीं पड़ता), हम इसे प्रतिस्थापित करते हैं $α = 2β$. ऐसा करने से एक साधारण सदिश उत्पन्न होता है, जो कि इस विशेष eigenvalue के लिए आवश्यक eigenvector है। हमारे मामले में, हम चुनते हैं $α = 2$, जो बदले में यह निर्धारित करता है $β = 1$ और, मानक सदिश संकेतन का उपयोग करते हुए, हमारा सदिश जैसा दिखता है
 * $$\mathbf{\hat{v}}_1 = \begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix}. $$

हमारे द्वारा गणना की गई दूसरी आइगेनवेल्यू का उपयोग करके उसी ऑपरेशन को करना, जो है $$\lambda = -5$$, हम अपना दूसरा ईजेनवेक्टर प्राप्त करते हैं। इस यूक्लिडियन सदिश को निकालने की प्रक्रिया नहीं दिखाई गई है, लेकिन अंतिम परिणाम है
 * $$\mathbf{\hat{v}}_2 = \begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}. $$

तीसरा चरण
यह अंतिम चरण उन आवश्यक कार्यों को ढूंढता है जो मूल रूप से हमें दिए गए डेरिवेटिव के पीछे 'छिपे हुए' हैं। दो कार्य हैं, क्योंकि हमारे अवकल समीकरण दो चरों से संबंधित हैं।

वह समीकरण जिसमें वह सभी जानकारी शामिल है जो हमें पहले मिली थी, उसका निम्न रूप है:
 * $$\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = Ae^{\lambda_1t}\mathbf{\hat{v}}_1 + Be^{\lambda_2t}\mathbf{\hat{v}}_2. $$

eigenvalues ​​​​और eigenvectors पैदावार के मूल्यों को प्रतिस्थापित करना
 * $$\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = Ae^{t}\begin{bmatrix} 2\\1 \end{bmatrix} + Be^{-5t}\begin{bmatrix} 1\\2 \end{bmatrix}. $$

आगे सरलीकरण लागू करना,
 * $$\begin{bmatrix} x\\y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1\\1 & 2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} Ae^{t}\\Be^{-5t} \end{bmatrix}. $$

आगे सरल करना और कार्यों के लिए समीकरण लिखना $x$ और $y$ अलग से,
 * $$x = 2Ae^{t} + Be^{-5t} $$
 * $$y = Ae^{t} + 2Be^{-5t}.$$

उपरोक्त समीकरण, वास्तव में, मांगे गए सामान्य कार्य हैं, लेकिन वे अपने सामान्य रूप में हैं (अनिर्दिष्ट मूल्यों के साथ) $A$ और $B$), जबकि हम वास्तव में उनके सटीक रूप और समाधान खोजना चाहते हैं। तो अब हम समस्या की दी गई प्रारंभिक स्थितियों पर विचार करते हैं (दिए गए प्रारंभिक शर्तों सहित समस्या तथाकथित प्रारंभिक मूल्य समस्या  है)। मान लीजिए हमें दिया गया है $$x(0) = y(0) = 1$$, जो हमारे साधारण अंतर समीकरण के लिए शुरुआती बिंदु की भूमिका निभाता है; इन शर्तों का अनुप्रयोग स्थिरांक निर्दिष्ट करता है, $A$ और $B$. जैसा कि हम से देखते हैं $$x(0) = y(0) = 1$$ शर्तें, जब $t = 0$, उपरोक्त समीकरणों के बाएँ पक्ष 1 के बराबर हैं। इस प्रकार हम रैखिक समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली का निर्माण कर सकते हैं,
 * $$1 = 2A + B $$
 * $$1 = A + 2B~.$$

इन समीकरणों को हल करने पर, हम पाते हैं कि दोनों स्थिरांक $A$ और $B$ बराबर 1/3। इसलिए इन मूल्यों को इन दो कार्यों के सामान्य रूप में प्रतिस्थापित करना उनके सटीक रूपों को निर्दिष्ट करता है, $$x = \tfrac{2}{3}e^{t} + \tfrac{1}{3}e^{-5t} $$ $$y = \tfrac{1}{3}e^{t} + \tfrac{2}{3}e^{-5t}~,$$ दो कार्यों की मांग की।

मैट्रिक्स घातांक का उपयोग करना
उपरोक्त समस्या को मैट्रिक्स एक्सपोनेंशियल के सीधे आवेदन के साथ हल किया जा सकता था। यानी हम ऐसा कह सकते हैं

$$\begin{bmatrix} x(t)\\y(t) \end{bmatrix} = \exp \left(\begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix} t\right) \begin{bmatrix} x_0(t)\\y_0(t) \end{bmatrix} $$ यह देखते हुए (जिसे MATLAB 's जैसे किसी भी उपयुक्त उपकरण का उपयोग करके गणना की जा सकती है   उपकरण, या  मैट्रिक्स विकर्णकरण  करके और संपत्ति का लाभ उठाकर कि एक विकर्ण मैट्रिक्स का मैट्रिक्स घातांक इसके तत्वों के तत्व-वार घातांक के समान है)

$$\exp \left(\begin{bmatrix} 3 & -4\\4 & -7 \end{bmatrix} t\right) = \begin{bmatrix} 4 e^t/3 - e^{-5t}/3 & 2e^{-5t}/3 - 2e^t/3\\2e^t/3 - 2e^{-5t}/3 & 4e^{-5t}/3 - e^t/3 \end{bmatrix} $$ अंतिम परिणाम है

$$\begin{bmatrix} x(t)\\y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 e^t/3 - e^{-5t}/3 & 2e^{-5t}/3 - 2e^t/3\\2e^t/3 - 2e^{-5t}/3 & 4e^{-5t}/3 - e^t/3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1\\1 \end{bmatrix} $$

$$\begin{bmatrix} x(t)\\y(t) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} e^{-5t}/3 + 2e^t/3\\ e^t/3 + 2e^{-5t}/3 \end{bmatrix} $$ यह पहले दिखाए गए ईजेनवेक्टर दृष्टिकोण के समान है।

यह भी देखें

 * साधारण अवकल समीकरण#गैर-सजातीय समीकरण
 * मैट्रिक्स [[ अंतर समीकरण ]]
 * न्यूटन का शीतलन का नियम
 * फाइबोनैचि संख्या
 * अंतर समीकरण
 * तरंग समीकरण
 * स्वायत्त प्रणाली (गणित)