पर्याप्तता

पर्याप्तता विधि ऐसी विधि है जिसे पियरे डी फर्मेट ने अपने ग्रंथ "मैक्जिमा और मिनिमा खोजने की विधि" में विकसित किया था। फ्रांस में परिचालित लैटिन ग्रंथ c. 1636 के अनुसार इनके कार्यों के मैक्सिमा और मिनिमा की गणना करने के लिए, वक्रों की स्पर्शरेखा, क्षेत्रफल, द्रव्यमान का केंद्र, कम से कम क्रिया, और कलन में अन्य समस्याएं को संलग्न किया था। एंड्रे वेइल के अनुसार, फर्मेट ने तकनीकी शब्द ऐडेक्वालिटास, एडएक्वेर आदि का परिचय दिया, जिसमें उन्होंने कहा कि उन्होंने डायोफैंटस से उधार लिया है। जैसा कि डायोफैंटस वी 11 दिखाता है, इसका अर्थ अनुमानित रूप से समानता को प्रदर्शित करता हैं, और इस प्रकार वास्तव में यह ऐसी स्थिति है कि फर्मेट ने अपने बाद के लेखों में इस शब्द वील 1973 की व्याख्या की थी। इस प्रकार डायोफैंटस ने अनुमानित समानता को संदर्भित करने के लिए παρισότης (पैरिसोटेस) शब्द को प्रदर्शित किया था। क्लॉड गैसपार्ड बाचेत डी मेजिरियाक ने डायोफैंटस के ग्रीक शब्द का लैटिन में एडैक्वैलिटस के रूप में अनुवाद किया था। इस प्रकार मैक्सिमा और मिनिमा पर फ़र्मेट के लैटिन ग्रंथों के पॉल टेनरी के फ्रेंच अनुवाद में एडेकेशन और एडेगलर शब्दों का उपयोग किया गया है।

फर्मेट की विधि
फर्मेट ने पहले कार्यों की अधिकतमता खोजने के लिए पर्याप्तता का उपयोग किया था और फिर वक्रों को स्पर्शरेखा रेखाओं को खोजने के लिए इसे अनुकूलित किया था।

$$p(x)$$ शब्द का अधिकतम पता लगाने के लिए, फर्मेट ने इसके मान को बराबर या अधिक सटीक रूप से पर्याप्त करने के लिए $$p(x)$$ और $$p(x+e)$$ और बीजगणित हल करने के बाद वह इसके कारक $$e,$$ को निरस्त कर सकते है और फिर इसमें सम्मिलित किसी भी शेष शर्तों को $$e.$$ पर छोड़ देंते हैं। इस प्रकार फर्मेट के अपने उदाहरण में इस विधि को स्पष्ट करने के लिए इसके अधिकतम मान को ज्ञात करने की समस्या पर विचार करना जरूरी हैं इसलिए $$p(x)=bx-x^2$$ (फर्मेट के शब्दों में, यह लंबाई की रेखा को $$b$$ बिंदु से $$x$$ पर विभाजित करता है, जैसे कि दो परिणामी भागों का उत्पाद अधिकतम होती हैं। फ़र्मेट ने पर्याप्त रूप से  $$bx-x^2$$ साथ $$b(x+e)-(x+e)^2=bx-x^2+be-2ex-e^2$$ का मान प्राप्त किया अर्ताथ नोटेशन $$\backsim$$ का उपयोग करके पॉल टेनरी द्वारा प्रस्तुत की गई पर्याप्तता को दर्शाने के लिए:
 * $$bx-x^2\backsim bx-x^2+be-2ex-e^2.$$

इसे निरस्त करने की शर्तें और इसके $$e$$ द्वारा विभाजित करना सम्मिलित हैं इस प्रकार फर्मेट इस निष्कर्ष पर पहुंचे
 * $$b\backsim 2x+e.$$

इन निहित शर्तों को $$e$$ द्वारा हटाया जाता हैं और फर्मेट वांछित परिणाम पर पहुंचे जिससे इसका अधिकतम मान तब $$x=b/2$$ के बराबर होता हैं।

फर्मेट ने अपने सिद्धांत का उपयोग स्नेल के अपवर्तन के नियमों की गणितीय व्युत्पत्ति सीधे सिद्धांत से किया जिससे कि प्रकाश सबसे तेज पथ को संलग्न करता हैं।

डेसकार्टेस की आलोचना
फ़र्मेट की पद्धति की उनके समकालीनों, विशेष रूप से डेसकार्टेस द्वारा अत्यधिक आलोचना की गई थी। विक्टर जे. काट्ज़ का सुझाव है कि ऐसा इसलिए है क्योंकि डेसकार्टेस ने स्वतंत्र रूप से उसी नए गणित के नियम की खोज की थी, जिसे उनकी सामान्य पद्धति के रूप में जाना जाता था, इस प्रकार डेसकार्टेस को अपनी खोज पर गर्व था। इस प्रकार काट्ज़ ने यह भी नोट किया कि फ़र्मेट की विधियों से इसके कलन में भविष्य के विकास के समीप थे, डेसकार्टेस की विधियों का विकास करने पर इसका अधिक तत्काल प्रभाव पड़ा था।

विद्वतापूर्ण विवाद
न्यूटन और लाइबनिज दोनों ने फ़र्मेट के कार्य को अवकलन कैलकुलस के पूर्ववर्ती मान के लिए संदर्भित किया हैं। फिर भी फ़र्मेट की पर्याप्तता के सटीक अर्थ के बारे में आधुनिक विद्वानों में असहमत है। फ़र्मेट की पर्याप्तता का कई विद्वानों के अध्ययनों में विश्लेषण किया गया था। 1896 में, पॉल टेनरी ने मैक्सिमा और मिनिमा पर फर्मेट के लैटिन ग्रंथों का फ्रांसीसी अनुवाद (फर्मेट, ऑवरेस, वॉल्यूम III, पीपी। 121-156) में प्रकाशित किया हैं। इस प्रकार टेनरी ने फ़र्मेट के शब्द का अनुवाद "एडेगलर" के रूप में किया और फ़र्मेट के "एडेक्वेशन" को अपनाया था। चमड़े का कारख़ाना तथा गणितीय सूत्रों में समानता के लिए भी $$\backsim$$ प्रतीक से प्रस्तुत किया था।

हेनरिक विलेटनर (1929) लिखा:"फर्मेट A को A+E से परिवर्तित कर देता है। फिर वह नई अभिव्यक्ति 'मोटे तौर पर बराबर' ('ऐंजनाहर्ट ग्लेइच') को पुराने मान पर स्थित करता है, इस प्रकार दोनों पक्षों के समान पदों को निरस्त करता है, और E की उच्चतम संभव शक्ति से विभाजित करता है। फिर इस प्रकार वह उन सभी पदों को रद्द कर देता है जिनमें E होता है और उन्हें सेट करता है दूसरे के बराबर रहते हैं। उससे आवश्यक परिणाम प्राप्त होता हैं। यह E जितना संभव हो उतना छोटा होना चाहिए, यह कहीं नहीं कहा गया है और यह शब्द एडाएक्यूलिटास द्वारा सर्वोत्तम रूप से व्यक्त किया गया है।"(विलिटनर $$\scriptstyle\sim$$ प्रतीक का उपयोग करता है )

मैक्स मिलर ने 1934 में लिखा:"उसके बाद दोनों शब्दों को लगभग बराबर रखना चाहिए, जो अधिकतम और न्यूनतम को व्यक्त करते हैं, जैसा कि डायोफैंटस (näherungsweise gleich) कहते हैं।"(मिलर $$\scriptstyle \approx$$ प्रतीक का उपयोग करता है)

जीन इटार्ड (1948) लिखा है:"कोई जानता है कि एक्सप्रेशन एडेगलर डायोफैंटस से फर्मेट द्वारा अपनाया गया है, जिसका अनुवाद ज़ाइलेंडर और बचे द्वारा किया गया है। यह अनुमानित समानता (égalité approximative) के बारे में है।"(इटार्ड $$\scriptstyle \backsim$$ प्रतीक का उपयोग करता है)

जोसेफ एरेनफ्राइड हॉफमैन (1963) लिखा:"फर्मेट h मात्रा चुनता है, जिसे पर्याप्त रूप से छोटा माना जाता है, और f(x + h) 'मुख्य रूप से बराबर' ('ungefähr gleich') को f(x) में रखता है। उनका तकनीकी शब्द एडीक्योर है।"(हॉफमैन $$\scriptstyle \approx$$ प्रतीक का उपयोग करता है)

पीर स्ट्रोमहोम (1968) लिखा: फर्मेट के दृष्टिकोण का आधार दो अभिव्यक्तियों की तुलना थी, चूंकि उनका रूप समान था, किन्तु वे बिल्कुल समान नहीं थे। इस प्रक्रिया के इस हिस्से को उन्होंने तुलना पार ऐडेक्वालिटेटेम या तुलनात्मक प्रति एडीईक्वालिटेटेम कहा था, और इसमें निहित है कि समीकरण के दोनों पक्षों के बीच अन्यथा सख्त पहचान चर के संशोधन द्वारा द्वारा नष्ट कर दी गई थी।

छोटी राशि:

$$\scriptstyle f(A){\sim}f(A+E)$$.

मेरा मानना ​​है कि यह डायोफैंटस के πἀρισον के उनके उपयोग का वास्तविक महत्व था, जो भिन्नता की लघुता पर बल देता है। 'ऐडाक्वालिटीज' का सामान्य अनुवाद 'अनुमानित समानता' प्रतीत होता है, किन्तु मैं इस बिंदु पर फ़र्मेट के विचार को प्रस्तुत करने के लिए 'छद्म-समानता' को अधिक रूचि प्रकट करता हूँ। उन्होंने आगे कहा कि M1 (विधि 1) में कभी भी कोई भिन्नता का प्रश्न E को शून्य के बराबर रखा जा रहा है। ई युक्त शब्दों को दबाने की प्रक्रिया को व्यक्त करने के लिए फर्मेट शब्द 'एलिडो', 'डेलियो' और 'एक्सुंगो' थे, और फ्रेंच में 'आई'फेस' और 'आई'ओटे' थे। हम संभवतः ही विश्वास कर सकते हैं कि समझदार व्यक्ति जो अपने अर्थ को व्यक्त करना चाहता है और शब्दों की खोज कर रहा है, वह लगातार सरल तथ्य प्रदान करने के ऐसे कुटिल तरीकों से टकराएगा कि ई शून्य होने के कारण शब्द वुलुप्त हो गए।

'क्लॉस जेन्सेन' (1969) लिखा है:"इसके अतिरिक्त, adégalité की धारणा को लागू करने में - जो फ़र्मेट की स्पर्शरेखा बनाने की सामान्य विधि का आधार है, और जिसका अर्थ है दो परिमाणों की तुलना 'जैसे कि वे बराबर थे, चूंकि वे वास्तव में नहीं हैं' (तमक्वाम एसेन्ट इक्वेलिया, लिसेट रेवेरा इक्वेलिया नॉन सिंट) - मैं आजकल अधिक सामान्य प्रतीक $\scriptstyle \approx$ का उपयोग करूंगा।" लैटिन उद्धरण टैनरी के 1891 संस्करण फ़र्मेट, खंड 1, पृष्ठ 140 से आता है।

माइकल सीन महोनी (1971) ने लिखा है:"मैक्सिमा और मिनिमा की फर्मेट की विधि, जो स्पष्ट रूप से किसी भी बहुपद P(x) पर लागू होती है, मूल रूप से विशुद्ध रूप से सीमित बीजगणितीय नींव पर आधारित है। विएत के समीकरणों के सिद्धांत, उन जड़ों और बहुपद के गुणांकों में से के बीच संबंध, जो पूरी तरह से सामान्य था, को निर्धारित करने के लिए, 'प्रतितथ्यात्मक रूप से', दो समान जड़ों की असमानता को मान लिया। इस संबंध ने तब चरम-मूल्य समाधान का नेतृत्व किया जब फर्मेट ने अपनी 'प्रतितथ्यात्मक धारणा' को हटा दिया और जड़ों को बराबर कर दिया था। डायोफैंटस से शब्द उधार लेते हुए, फ़र्मेट ने इसे 'प्रतितथ्यात्मक समानता' 'पर्याप्तता' कहा हैं।"(महोनी $$\scriptstyle\approx$$ प्रतीक का उपयोग करता है ।)

पृष्ठ संख्या 164 पर, फुटनोट 46 के अंत में, महोनी नोट करते हैं कि पर्याप्तता के अर्थों में से सीमित मामले में समानता या समानता है।

'चार्ल्स हेनरी एडवर्ड्स, जूनियर' (1979) लिखा:"उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि लंबाई के खंड को $\scriptstyle b$ के दो खंडों $\scriptstyle x$ और $\scriptstyle b-x$ में कैसे विभाजित किया जाए, जिसका उत्पाद $\scriptstyle x(b-x)=bx-x^2$ अधिकतम है, अर्थात परिमाप के साथ आयत ज्ञात करना है $\scriptstyle 2b$ जिसका अधिकतम क्षेत्र है, वह [फर्मेट] निम्नानुसार आगे बढ़ता है। इस प्रकार पहले उन्होंने $\scriptstyle x+e$स्थानापन्न किया था।" (उसने एक्स, ई के अतिरिक्त ए, ई का उपयोग किया) अज्ञात एक्स के लिए, और फिर परिणामी अभिव्यक्ति की मूल अभिव्यक्ति के साथ तुलना करने के लिए निम्नलिखित 'छद्म-समानता' लिखा:


 * $$ \scriptstyle b(x+e)-(x+e)^2=bx+be-x^2-2xe-e^2\; \sim\; bx-x^2. $$

शर्तों को रद्द करने के बाद, उन्होंने प्राप्त करने के लिए ई से विभाजित किया $$\scriptstyle b-2\,x-e\;\sim\;0.$$ अंत में उन्होंने 'छद्म-समानता' को वास्तविक समानता में परिवर्तित करते हुए ई युक्त शेष पद को त्याग दिया $$\scriptstyle x=\frac{b}{2}$$ जो x का मान देता है जो $$\scriptstyle bx-x^2$$ से अधिक मान देता है। इस प्रकार दुर्भाग्यपूर्ण फर्मेट ने ऐतिहासिक विद्वानों के बीच असहमति को रोकने के लिए पर्याप्त स्पष्टता या पूर्ण रूप से इस पद्धति के तार्किक आधार की कभी व्याख्या नहीं की, जैसा कि उनका आशय था।

कर्स्टी एंडरसन (1980) लिखा है:"अधिकतम या न्यूनतम के दो भावों को पर्याप्त बनाया गया है, जिसका अर्थ 'यथासंभव लगभग समान' है ।"(एंडरसन $$\scriptstyle\approx$$ प्रतीक का उपयोग करता है)

हर्बर्ट ब्रेजर (1994) लिखा है:"मैं अपनी परिकल्पना को सामने रखना चाहता हूं: फ़र्मेट ने शब्द adaequare का प्रयोग 'बराबर रखने के लिए' के ​​अर्थ में किया है ... गणितीय संदर्भ में, aequare और adaequare के बीच एकमात्र अंतर यह प्रतीत होता है कि उत्तरार्द्ध अधिक देता है इस तथ्य पर जोर दें कि समानता प्राप्त की जाती है।"(पृष्ठ 197एफ।)

'जॉन स्टिलवेल' (स्टिलवेल 2006 पृष्ठ. 91) ने लिखा:

फर्मेट ने 1630 के दशक में समानता का विचार पेश किया किन्तु वह अपने समय से आगे थे। उनके उत्तराधिकारी सामान्य समीकरणों की सुविधा को छोड़ने के लिए तैयार नहीं थे, समानता का सटीक उपयोग करने के अतिरिक्त समानता का उपयोग करना पसंद करते थे। इस प्रकार तथाकथित गैर-मानक विश्लेषण में, केवल बीसवीं शताब्दी में पर्याप्तता के विचार को पुनर्जीवित किया गया था।

'एनरिको गिउस्टी' (2009) मारिन मेर्सेन को फर्मेट का पत्र उद्धृत करें जहां फर्मेट ने लिखा है: अंत में समानता उत्पन्न करें (मेरी पद्धति का अनुसरण करते हुए) जो हमें समस्या का समाधान देता है।

गिउस्टी ने फुटनोट में लिखा है कि ऐसा लगता है कि यह पत्र ब्रेजर के नोटिस से बच गया है।

क्लाउस बार्नर (2011) यह दावा करता है कि फ़र्मेट दो अलग-अलग लैटिन शब्दों (एडिक्यूबिटुर) का उपयोग आजकल के सामान्य समान चिह्न, एडिक्यूबिटुर को परिवर्तित करने के लिए करता है, जब समीकरण दो स्थिरांक मुख्यतः सार्वभौमिक रूप से मान्य सूत्र, या सशर्त समीकरण के एडिक्यूबिटुर के बीच वैध पहचान की चिंता करता है। इस प्रकार जब समीकरण दो चरों के बीच संबंध का वर्णन करता है, जो स्वतंत्र नहीं हैं (और समीकरण कोई मान्य सूत्र नहीं है)। इस प्रकार पेज 36 पर, बार्नर लिखते हैं: फर्मेट ने स्पर्शरेखा की विधि के अपने सभी उदाहरणों के लिए अपनी असंगत प्रक्रिया को क्रमशः क्यों दोहराया? उसने कभी उस सेकेंट के लिए क्यों नहीं कहा, जिसके साथ वह वास्तव में कार्य करता था? जिसके बारे में मुझे नहीं पता था।

'काट्ज़, शेप्स, श्नाइडर' (2013) तर्क देते हैं कि साइक्लॉयड जैसे पारलौकिक वक्रों के लिए विधि के फ़र्मेट के अनुप्रयोग से पता चलता है कि फ़र्मेट की पर्याप्तता की विधि विशुद्ध रूप से बीजगणितीय एल्गोरिथम से परे है, और यह कि, ब्रेजर की व्याख्या के विपरीत, डायोफैंटस द्वारा उपयोग किए जाने वाले तकनीकी शब्द पैरिसोट्स और फर्मेट दोनों द्वारा उपयोग किए जाने वाले एडीएक्वालिटास अर्थ अनुमानित समानता प्रकट करता हैं। वे आधुनिक गणित में फ़र्मेट की पर्याप्तता की विधि को मानक भाग फ़ंक्शन के रूप में विकसित करते हैं जो परिमित हाइपररियल संख्या को उसके निकटतम वास्तविक संख्या में बंद कर देता है।

यह भी देखें

 * फर्मेट का सिद्धांत
 * समरूपता का भावातीत नियम

ग्रन्थसूची

 * Giusti, E. (2009) "Les méthodes des maxima et minima de Fermat", Ann. Fac. Sci. Toulouse Math. (6) 18, Fascicule Special, 59–85.
 * Stillwell, J.(2006) Yearning for the impossible. The surprising truths of mathematics, page 91, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA.
 * Weil, A., Book Review: The mathematical career of Pierre de Fermat. Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973), no. 6, 1138–1149.
 * Stillwell, J.(2006) Yearning for the impossible. The surprising truths of mathematics, page 91, A K Peters, Ltd., Wellesley, MA.
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