बीजगणितीय संख्या

एक बीजगणितीय संख्या एक संख्या है जो पूर्णांक (या, समतुल्य, परिमेय संख्या) गुणांक वाले एक चर में गैर-शून्य बहुपद के फलन का मूल है। उदाहरण के लिए,  स्वर्णिम अनुपात, $$(1 + \sqrt{5})/2$$, एक बीजगणितीय संख्या है, क्योंकि यह बहुपद  $x2 − x − 1$ का एक मूल है. अर्थात्, यह x के लिए एक मान है जिसके लिए बहुपद का मान शून्य हो जाता है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, सम्मिश्र संख्या $$1 + i$$ बीजगणितीय है क्योंकि यह $x4 + 4$ का एक मूल है.

सभी पूर्णांक और परिमेय संख्याएँ बीजगणितीय हैं, जैसे कि सभी पूर्णांकों के मूल हैं। वह संख्याये जो वास्तविक और सम्मिश्र संख्याएँ हो वह बीजगणितीय नहीं हैं,वह संख्याये अतिश्रेष्ट संख्याएँ कहलाती हैं जैसे कि पाई $\pi$ तथा $e$।

बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय (गणित) गणनीय रूप से अनंत है और अगणनीय सम्मिश्र संख्याओं के उपसमुच्चय के रूप में लेबेस्ग माप में माप शून्य मापता है। इस अर्थ में, लगभग सभी सम्मिश्र संख्याएँ अतिश्रेष्ठ संख्याएँ हैं।

उदाहरण

 * सभी परिमेय संख्याएँ बीजगणितीय होती हैं। कोई भी परिमेय संख्या, जिसे पूर्णांक $a$ और a (गैर-शून्य) प्राकृतिक संख्या $b$ के भागफल के रूप में व्यक्त किया जाता है, उपरोक्त परिभाषा को संतुष्ट करता है, क्योंकि $x = a⁄b$ शून्येतर बहुपद का मूल है, जिसका नाम $bx − a$ है।
 * द्विघात अपरिमेय संख्याएँ, द्विघात बहुपद $ax2 + bx + c$ का अपरिमेय समाधान पूर्णांक गुणांक $a$, $b$, तथा $c$, के साथ बीजगणितीय संख्याएँ हैं। यदि द्विघात बहुपद मोनिक ($a = 1$) है, तो मूल आगे द्विघात पूर्णांक के रूप में योग्य हैं।
 * गॉसियन पूर्णांक, सम्मिश्र संख्याएँ $a + bi$ जिसके लिए $a$ तथा $b$ दोनों पूर्णांक हैं, द्विघात पूर्णांक भी हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि $a + bi$ तथा $a - bi$ द्विघात $x2 - 2ax + a2 + b2$ के दो मूल हैं.
 * स्ट्रेटेज और कम्पास का प्रयोग करके दी गई इकाई लंबाई से एक रचनात्मक संख्या का निर्माण किया जा सकता है। इसमें सभी द्विघात अपरिमेय मूल, सभी परिमेय संख्याएँ, और सभी संख्याएँ सम्मालित हैं जो मूल अंकगणितीय संक्रियाओं और वर्गमूलों के निष्कर्षण का प्रयोग करके इनसे बनाई जा सकती हैं। (1, -1, के लिए मुख्य दिशाओं को निर्दिष्ट करके $i$, और -$i$, सम्मिश्र संख्याएँ जैसे $$3+i \sqrt{2}$$ रचनात्मक माने जाते हैं।)
 * मूल अंकगणितीय संक्रियाओं के किसी भी संयोजन का प्रयोग करके बीजगणितीय संख्याओं से निर्मित कोई भी व्यंजक और nवें मूल का निष्कर्षण एक और बीजगणितीय संख्या देता है।
 * बहुपद मूल जिन्हें मूल अंकगणितीय संक्रियाओं और $n$वें मूल निष्कर्षण (जैसे की मूल $x^{5} − x + 1$) के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है. ऐसा कई के साथ होता है लेकिन घात 5 या उच्चतर के सभी बहुपदों के साथ नहीं।
 * π के परिमेय गुणजों के त्रिकोणमितीय फलनो के मान(अपरिभाषित को छोड़कर): उदाहरण के लिए, $cos π⁄7$, $cos 3

π⁄7$, तथा $cos 5

π⁄7$  $8x^{3} − 4x^{2} − 4x + 1 = 0$ को संतुष्ट करना. यह बहुपद परिमेय पर अलघुकरणीय बहुपद है और इसलिए तीन कोसाइन संयुग्मी बीजगणितीय संख्याएँ हैं। वैसे ही, $tan 3

π⁄16$, $tan 7

π⁄16$, $tan 11

π⁄16$, तथा $tan 15

π⁄16$ अलघुकरणीय बहुपद को संतुष्ट करें $x^{4} − 4x^{3} − 6x^{2} + 4x + 1 = 0$, और इसलिए संयुग्मी बीजगणितीय पूर्णांक हैं।
 * कुछ लेकिन सभी अपरिमेय संख्याएँ बीजगणितीय नहीं होती हैं:
 * संख्या $$\sqrt{2}$$ तथा $$\frac{ \sqrt[3]{3} }{ 2 }$$ बीजगणितीय हैं क्योंकि वे क्रमश बहुपद  $x^{2} − 2$ तथा $8x^{3} − 3$, के मूल हैं।
 * स्वर्णिम अनुपात $φ$ बीजगणितीय है क्योंकि यह बहुपद $x^{2} − x − 1$ के मूल है.
 * संख्या π और e (गणितीय स्थिरांक) बीजगणितीय संख्याएं नहीं हैं (लिंडमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय देखें)।

गुण
*यदि परिमेय गुणांक वाले बहुपद को कम से कम सामान्य भाजक से गुणा किया जाता है, तो पूर्णांक गुणांक वाले परिणामी बहुपद के मूल समान होते हैं। इससे पता चलता है कि एक बीजगणितीय संख्या को पूर्णांक या परिमेय गुणांक वाले बहुपद के मूल के रूप में समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है।
 * एक बीजगणितीय संख्या दी गई है, एक बहुपद की कम से कम घात के परिमेय गुणांक के साथ एक अद्वितीय मोनिक बहुपद है जिसकी संख्या मूल के रूप में है। इस बहुपद को इसका न्यूनतम बहुपद (क्षेत्र सिद्धांत) कहा जाता है। यदि इसकी न्यूनतम बहुपद की घात $n$ है, तब बीजगणितीय संख्या को   $n$ घात वाला कहा जाता है. उदाहरण के लिए, सभी परिमेय संख्याओं की घात 1 होती है, और घात 2 की बीजगणितीय संख्या द्विघात अपरिमेय होती है।
 * वास्तविक में बीजगणितीय संख्याएँ सघन होती हैं। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि उनमें परिमेय संख्याएँ होती हैं, जो स्वयं वास्तविक में सघन होती हैं।
 * बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है, और इसलिए सम्मिश्र संख्याओं के उपसमुच्चय के रूप में इसका लेबेस्ग माप 0 है (अनिवार्य रूप से, बीजगणितीय संख्याएँ सम्मिश्र संख्याओं में कोई स्थान नहीं लेती हैं)। कहने का तात्पर्य यह है कि, "लगभग सभी" वास्तविक और सम्मिश्र संख्याएँ अतिश्रेष्ट हैं।
 * सभी बीजगणितीय संख्याएँ संगणनीय संख्याएँ हैं और इसलिए निश्चित संख्या और अंकगणितीय संख्याएँ हैं।
 * वास्तविक संख्या के लिए $a$ तथा $b$, सम्मिश्र संख्या $a + bi$ बीजगणितीय है यदि और केवल यदि दोनों $a$ तथा $b$ बीजीय है

क्षेत्र
दो बीजगणितीय संख्याओं का योग, अंतर, गुणनफल और भागफल (यदि हर अशून्य है) फिर से बीजगणितीय होता है, जैसा कि परिणामी का प्रयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है, और बीजगणितीय संख्याएँ इस प्रकार एक क्षेत्र (गणित) $$\overline{\mathbb{Q}}$$ (कभी-कभी द्वारा निरूपित किया जाता है $$\mathbb A$$, लेकिन यह सामान्यतः एडेल रिंग को दर्शाता है) बनाती हैं। एक बहुपद समीकरण का प्रत्येक मूल जिसका गुणांक बीजगणितीय संख्याएँ हैं, पुनः बीजगणितीय होता है। इसे यह कहकर दोहराया जा सकता है कि बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद है। वास्तव में, यह सबसे छोटा बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है जिसमें परिमेय सम्मालित हैं और इसलिए इसे परिमेय का बीजगणितीय समापन कहा जाता है।

वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय ही एक क्षेत्र बनाता है।

मूलक द्वारा परिभाषित संख्याएं
कोई भी संख्या परिमित सेट संख्या में जोड़, घटाव, गुणा, भाग (गणित) का प्रयोग करके पूर्णांकों से  $n$वें(संभवतः सम्मिश्र) मूल प्राप्त की जा सकती है, जहां $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक बीजगणितीय हैं। चूंकि, इसका विलोम सत्य नहीं है: बीजगणितीय संख्याएँ हैं जिन्हें इस तरह से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। ये संख्याएँ 5 या उच्चतर घात के बहुपदों के मूल हैं, गैलोज़ सिद्धांत का एक परिणाम है (क्विंटिक समीकरण और एबेल-रफ़िनी प्रमेय देखें)। उदाहरण के लिए, समीकरण:


 * $$x^5-x-1=0$$

एक अद्वितीय वास्तविक मूल है जिसे केवल मूलांक और अंकगणितीय संक्रियाओं के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

बंद रूप संख्या
बीजगणितीय संख्याएँ वे सभी संख्याएँ हैं जिन्हें परिमेय संख्याओं से प्रारंभ करते हुए बहुपदों के संदर्भ में स्पष्ट या निहित रूप से परिभाषित किया जा सकता है। कोई इसे बंद-रूप संख्याओं के लिए सामान्यीकृत कर सकता है, जिसे विभिन्न विधि से परिभाषित किया जा सकता है। सामान्यतः, वे सभी संख्याएँ जिन्हें बहुपदों, घातांकों, और लघुगणकों के संदर्भ में स्पष्ट या निहित रूप से परिभाषित किया जा सकता है,वह संख्याये प्रारंभिक संख्याएँ कहलाती हैं, और इनमें बीजगणितीय संख्याएँ, साथ ही कुछ अतिश्रेष्ट संख्याएँ सम्मालित हैं। सबसे संकीर्ण रूप से, बहुपद, घातीय, और लघुगणक के संदर्भ में स्पष्ट रूप से परिभाषित संख्याओं पर विचार किया जा सकता है - इसमें सभी बीजगणितीय संख्याएँ सम्मालित नहीं हैं, लेकिन इसमें कुछ सरल अतिश्रेष्ट संख्याएँ सम्मालित हैं जैसे $e$ या ln 2।

बीजगणितीय पूर्णांक


एक बीजगणितीय पूर्णांक एक बीजगणितीय संख्या है जो पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद की मूल है जिसमें अग्रणी गुणांक 1 (एक मोनिक बहुपद) है। बीजगणितीय पूर्णांकों $$5 + 13 \sqrt{2},$$ $$2 - 6i,$$ तथा $\frac{1}{2}(1+i\sqrt{3}).$  के उदाहरण हैं  इसलिए, बीजगणितीय पूर्णांक पूर्णांकों का एक उचित अधिसमुच्चय बनाते हैं, क्योंकि बाद वाले सभी $$k \in \mathbb{Z}$$ के लिए मोनिक बहुपदों $x − k$  की मूले हैं। इस अर्थ में, बीजगणितीय पूर्णांक बीजगणितीय संख्याओं के लिए हैं जो पूर्णांक परिमेय संख्याओं के लिए हैं।

बीजगणितीय पूर्णांकों का योग, अंतर और उत्पाद फिर से बीजगणितीय पूर्णांक होते हैं, जिसका अर्थ है कि बीजगणितीय पूर्णांक एक वलय (गणित) बनाते हैं। बीजगणितीय पूर्णांक नाम इस तथ्य से आता है कि एकमात्र परिमेय संख्याएँ जो बीजीय पूर्णांक हैं, पूर्णांक हैं, और क्योंकि किसी भी बीजगणितीय संख्या क्षेत्र में बीजगणितीय पूर्णांक कई तरह से पूर्णांकों के अनुरूप होते हैं। यदि $K$ एक संख्या क्षेत्र है, इसके पूर्णांकों का वलय $K$ में बीजगणितीय पूर्णांकों का उपवलय है, और इसे अधिकांश $O_{K}$ के रूप में दर्शाया जाता है. ये डेडेकिंड अनुक्षेत्र के आद्य उदाहरण हैं।

विशेष वर्ग

 * बीजगणितीय समाधान
 * गाऊसी पूर्णांक
 * आइज़ेंस्टीन पूर्णांक
 * द्विघात अपरिमेय संख्या
 * मौलिक इकाई (संख्या सिद्धांत)
 * एकता की मूल
 * गाऊसी काल
 * पिसोट-विजयराघवन संख्या
 * सलेम नंबर

संदर्भ

 * Hardy, G. H. and Wright, E. M. 1978, 2000 (with general index) An Introduction to the Theory of Numbers: 5th Edition, Clarendon Press, Oxford UK, ISBN 0-19-853171-0
 * Niven, Ivan 1956. Irrational Numbers, Carus Mathematical Monograph no. 11, Mathematical Association of America.
 * Ore, Øystein 1948, 1988, Number Theory and Its History, Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)
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 * Ore, Øystein 1948, 1988, Number Theory and Its History, Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)
 * Ore, Øystein 1948, 1988, Number Theory and Its History, Dover Publications, Inc. New York, ISBN 0-486-65620-9 (pbk.)