क्रमगुणित (फैक्टोरियल)

गणित में, एक गैर-नकारात्मक का तथ्यात्मक integer $n$, लक्षित by $n!$, सभी सकारात्मक पूर्णांक का उत्पाद है या उससे कम या बराबर है to $n$. फैक्टरियल of $n$ के उत्पाद के बराबर है $$n$$ अगले छोटे फैक्टरियल के साथ: $$ \begin{align} n! &= n \times  (n-1)  \times (n-2)  \times  (n-3) \times \cdots \times  3 \times  2 \times  1 \\ &= n\times(n-1)!\\ \end{align}$$ उदाहरण के लिए, $$5! = 5 \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 5\times 24 = 120. $$ 0 का मान!एक खाली उत्पाद के लिए सम्मेलन के अनुसार 1 है। कई प्राचीन संस्कृतियों में फैक्टरियल्स की खोज की गई है, विशेष रूप से जैन साहित्य के विहित कार्यों में भारतीय गणित में, और यहूदी मनीषियों द्वारा तल्मूडिक बुक सेफर यत्ज़िराह में।गणित के कई क्षेत्रों में फैक्टरियल ऑपरेशन का सामना करना पड़ता है, विशेष रूप से कॉम्बिनेटरिक्स में, जहां इसका सबसे बुनियादी उपयोग संभावित अलग -अलग अनुक्रमों को गिनता है - क्रमपरिवर्तन - की - $$n$$ अलग वस्तुएं: वहाँ are $n!$. गणितीय विश्लेषण में, फैक्टरियल्स का उपयोग घातीय कार्य और अन्य कार्यों के लिए पावर श्रृंखला में किया जाता है, और उनके पास बीजगणित, संख्या सिद्धांत, संभाव्यता सिद्धांत और कंप्यूटर विज्ञान में भी अनुप्रयोग हैं।

फैक्टरियल फ़ंक्शन के अधिकांश गणित को 18 वीं वीं और 19 वीं शताब्दी की शुरुआत में शुरू किया गया था। स्टर्लिंग का सन्निकटन बड़ी संख्या के फैक्टरियल को एक सटीक सन्निकटन प्रदान करता है, यह दर्शाता है कि यह घातीय वृद्धि की तुलना में अधिक तेज़ी से बढ़ता है। लीजेंड्रे का फॉर्मूला फैक्टरियल्स के एक प्रमुख कारक में प्रमुख संख्याओं के प्रतिपादकों का वर्णन करता है, और इसका उपयोग फैक्टरियल्स के अनुगामी शून्य की गिनती करने के लिए किया जा सकता है। डैनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर ने नकारात्मक पूर्णांक को छोड़कर, (ऑफसेट) गामा फ़ंक्शन को छोड़कर, जटिल संख्याओं के निरंतर कार्य के लिए फैक्टरियल फ़ंक्शन को प्रक्षेपित किया।

कई अन्य उल्लेखनीय कार्य और संख्या अनुक्रम फैक्टरियल्स से निकटता से संबंधित हैं, जिनमें द्विपद गुणांक, डबल फैक्टरियल्स, फॉलिंग फैक्टरियल्स, प्राइमोरियल और सबफैक्टोरियल शामिल हैं। फैक्टरियल फ़ंक्शन के कार्यान्वयन का उपयोग आमतौर पर विभिन्न कंप्यूटर प्रोग्रामिंग शैलियों के उदाहरण के रूप में किया जाता है, और वैज्ञानिक कैलकुलेटर और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग सॉफ्टवेयर लाइब्रेरी में शामिल होते हैं। यद्यपि उत्पाद सूत्र या पुनरावृत्ति का उपयोग करके बड़े फैक्टरियल्स की गणना करना कुशल नहीं है, तेजी से एल्गोरिदम ज्ञात हैं, एक निरंतर कारक के भीतर एक समान संख्या में अंकों के साथ संख्याओं के लिए तेजी से गुणा एल्गोरिदम के लिए समय से मेल खाते हैं।

इतिहास
फैक्टरियल्स की अवधारणा कई संस्कृतियों में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न हुई है: 15 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से, फैक्टरियल्स पश्चिमी गणितज्ञों द्वारा अध्ययन का विषय बन गए।एक 1494 ग्रंथ में, इतालवी गणितज्ञ लुका पैचियोली ने डाइनिंग टेबल की व्यवस्था की समस्या के संबंध में 11! तक की गणना की। क्रिस्टोफर क्लैवियस ने जोहान्स डे सेक्रोबोस्को के काम पर 1603 की टिप्पणी में फैक्टरियल्स पर चर्चा की, और 1640 के दशक में, फ्रांसीसी पॉलीमैथ मारिन मेर्सन ने बड़े (लेकिन पूरी तरह से सही नहीं) फैक्टरियल्स की तालिकाओं को प्रकाशित किया, 64 तक!, क्लैवियस के काम के आधार पर। घातीय फ़ंक्शन के लिए पावर सीरीज़, इसके गुणांक के लिए फैक्टरियल्स के पारस्परिकता के साथ, पहली बार 1676 में इसहाक न्यूटन द्वारा गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनीज़ को एक पत्र में तैयार किया गया था। फैक्टरियल्स पर प्रारंभिक यूरोपीय गणित के अन्य महत्वपूर्ण कार्यों में जॉन वालिस द्वारा 1685 ग्रंथ में व्यापक कवरेज शामिल है, बड़े मूल्यों के लिए उनके अनुमानित मूल्यों का एक अध्ययन $$n$$ 1721 में अब्राहम डी मोइवरे द्वारा, जेम्स स्टर्लिंग से डे मोइवरे को एक 1729 पत्र ने कहा कि स्टर्लिंग के सन्निकटन के रूप में जाना जाता है, और उसी समय डैनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर द्वारा काम करते हैं, जो गामा समारोह के लिए फैक्टरियल फंक्शन के निरंतर विस्तार को तैयार करता है। एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे में लीजेंड्रे का फॉर्मूला शामिल था, जिसमें संख्या सिद्धांत पर 1808 पाठ में, प्राइम पॉवर्स में फैक्टरियल्स के फैक्टरकरण में घातांक का वर्णन किया गया था। अंकन $$n!$$ फैक्टरियल्स के लिए 1808 में फ्रांसीसी गणितज्ञ क्रिश्चियन क्रैम्प द्वारा पेश किया गया था। कई अन्य सूचनाओं का भी उपयोग किया गया है।एक और बाद में संकेतन, जिसमें फैक्टरियल का तर्क एक बॉक्स के बाएं और नीचे के किनारों से आधा संलग्न था, ब्रिटेन और अमेरिका में कुछ समय के लिए लोकप्रिय था, लेकिन उपयोग से बाहर हो गया, शायद इसलिए कि टाइपसेट करना मुश्किल है। शब्द फैक्टरियल (मूल रूप से फ्रेंच: फैक्टरिएल) का उपयोग पहली बार 1800 में लुई फ्रांस्वा एंटोनी अर्बोगैस्ट द्वारा किया गया था, Faà di Bruno के सूत्र पर पहले काम में, लेकिन अंकगणितीय प्रगति के उत्पादों की एक अधिक सामान्य अवधारणा का उल्लेख करते हुए।इस नाम को संदर्भित करने वाले कारक फैक्टरियल के लिए उत्पाद सूत्र की शर्तें हैं।
 * भारतीय गणित में, फैक्टरियल्स के शुरुआती ज्ञात विवरणों में से एक अनुगोगदवरा-सूत्र से आता है, जैन साहित्य के विहित कार्यों में से एक, जिसे 300 ईसा पूर्व से 400 सीई से भिन्न होने की तारीखें सौंपी गई हैं। यह अन्य (मिश्रित) आदेशों से वस्तुओं के एक सेट के सॉर्ट किए गए और उलटे क्रम को अलग करता है, जो कि फैक्टरियल के लिए सामान्य उत्पाद सूत्र से दो को घटाकर मिश्रित आदेशों की संख्या का मूल्यांकन करता है।क्रमपरिवर्तन के लिए उत्पाद नियम का वर्णन 6 वीं शताब्दी के सीई जैन भिक्षु जिनभद्र द्वारा भी किया गया था। हिंदू विद्वान कम से कम 1150 के बाद से फैक्टरियल फ़ार्मुलों का उपयोग कर रहे हैं, जब भस्कारा II ने अपने काम में लाईलावती का उल्लेख किया है, इस समस्या के संबंध में कि कितने तरीकों से विष्णु अपनी चार विशिष्ट वस्तुओं (एक शंख, डिस्कस, मेस और लोटस फूल को पकड़ सकते हैं) उसके चार हाथों में, और दस-हाथ वाले भगवान के लिए एक समान समस्या।
 * मध्य पूर्व के गणित में, द हिब्रू मिस्टिक बुक ऑफ़ क्रिएशन सेफर यत्ज़िराह, तल्मूडिक अवधि (200 से 500 & nbsp; CE) से, 7 तक के फैक्टरियल्स को सूचीबद्ध करता है!हिब्रू वर्णमाला से बनने वाले शब्दों की संख्या में एक जांच के हिस्से के रूप में। 8 वीं शताब्दी के अरब ग्रामरियन अल-खलील इब्न अहमद अल-फ़ाराहिदी द्वारा इसी तरह के कारणों से फैक्टरियल्स का भी अध्ययन किया गया था। अरब गणितज्ञ इब्न अल-हयथम (जिसे अलहाज़ेन के रूप में भी जाना जाता है, सी। 965-सी। 1040) विल्सन के प्रमेय को प्राइम नंबरों से जोड़ने वाले पहले विल्सन के प्रमेय को तैयार करने वाला पहला था।
 * यूरोप में, हालांकि ग्रीक गणित में कुछ कॉम्बिनेटरिक्स शामिल थे, और प्लेटो ने एक आदर्श समुदाय की आबादी के रूप में 5040 (एक तथ्यात्मक) का उपयोग किया, इसके विभाजनकारी गुणों के कारण, भाग में, फैक्टरियल्स के प्राचीन ग्रीक अध्ययन का कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं है।इसके बजाय, यूरोप में फैक्टरियल्स पर पहला काम यहूदी विद्वानों जैसे कि शबेटाई डोननोलो द्वारा किया गया था, जो सेफर यत्ज़िरह मार्ग की खोज कर रहा था। 1677 में, ब्रिटिश लेखक फैबियन स्टैडमैन ने रिंगिंग को बदलने के लिए फैक्टरियल्स के अनुप्रयोग का वर्णन किया, एक संगीत कला जिसमें कई ट्यून की घंटियाँ शामिल थीं।

परिभाषा
एक सकारात्मक पूर्णांक का तथ्यात्मक कार्य $$n$$ उत्पाद द्वारा परिभाषित किया गया है $$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n.$$ यह उत्पाद संकेतन में अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जा सकता है $$n! = \prod_{i = 1}^n i.$$ यदि यह उत्पाद फॉर्मूला सभी को रखने के लिए बदल दिया जाता है, लेकिन अंतिम कार्यकाल, यह एक छोटे से फैक्टरियल के लिए उसी रूप के उत्पाद को परिभाषित करेगा।यह एक पुनरावृत्ति संबंध की ओर जाता है, जिसके अनुसार फैक्टरियल फ़ंक्शन के प्रत्येक मूल्य को पिछले मान को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है by $n$: $$ n! = n\cdot (n-1)!.$$ उदाहरण के लिए, $5! = 5\cdot 4!=5\cdot 24=120$.

शून्य का तथ्यात्मक
फैक्टरियल of $0$ is $1$, या प्रतीकों में, $0!=1$. इस परिभाषा के लिए कई प्रेरणाएँ हैं:
 * के लिये $n=0$, की परिभाषा $$n!$$ एक उत्पाद के रूप में कोई संख्या में कोई संख्या का उत्पाद शामिल होता है, और इसलिए व्यापक सम्मेलन का एक उदाहरण है कि खाली उत्पाद, कोई कारक का एक उत्पाद, गुणात्मक पहचान के बराबर है।
 * शून्य वस्तुओं का बिल्कुल एक क्रमपरिवर्तन है: कुछ भी नहीं करने के लिए, केवल पुनर्व्यवस्था कुछ भी नहीं करना है।
 * यह सम्मेलन उनके मापदंडों के सभी मान्य विकल्पों के लिए मान्य कॉम्बिनेटरिक्स में कई पहचान बनाता है।उदाहरण के लिए, सभी को चुनने के तरीकों की संख्या $$n$$ के एक सेट से तत्व $$n$$ है $\tbinom{n}{n} = \tfrac{n!}{n!0!} = 1,$ एक द्विपद गुणांक पहचान जो केवल मान्य होगी with $0!=1$.
 * साथ $0!=1$, फैक्टरियल के लिए पुनरावृत्ति संबंध मान्य रहता है at $n=1$. इसलिए, इस सम्मेलन के साथ, फैक्टरियल की एक पुनरावर्ती गणना को केवल आधार मामले के रूप में शून्य के लिए केवल मूल्य की आवश्यकता होती है, गणना को सरल बनाता है और अतिरिक्त विशेष मामलों की आवश्यकता से बचता है।
 * स्थापना $$0!=1$$ कई सूत्रों की कॉम्पैक्ट अभिव्यक्ति के लिए अनुमति देता है, जैसे कि घातीय फ़ंक्शन, एक बिजली श्रृंखला के रूप में: $ e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}.$
 * यह विकल्प गामा फ़ंक्शन से मेल खाता है $0! = \Gamma(0+1) = 1$, और गामा फ़ंक्शन में यह मान एक सतत कार्य होना चाहिए।

अनुप्रयोग
फैक्टरियल फ़ंक्शन के शुरुआती उपयोगों में गिनती के क्रमपरिवर्तन शामिल हैं: वहाँ हैं $$n!$$ व्यवस्था के विभिन्न तरीके $$n$$ एक अनुक्रम में अलग वस्तुएं। ऑब्जेक्ट्स के विभिन्न ऑर्डर के लिए खाते में, कॉम्बीनेटरिक्स में कई सूत्रों में फैक्टरियल अधिक व्यापक रूप से दिखाई देते हैं।उदाहरण के लिए द्विपद गुणांक $$\tbinom{n}{k}$$ गिनती करो $k$-element संयोजन) $k$ elements) के साथ एक सेट से $n$ elements, और फॉर्मूला का उपयोग करके फैक्टरियल्स से गणना की जा सकती है $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$ फैक्टरियल्स के लिए पहली तरह की राशि की स्टर्लिंग संख्या, और क्रमपरिवर्तन की गिनती of $n$ समान संख्याओं के साथ सबसेट में समूहीकृत। एक और कॉम्बीनेटरल एप्लिकेशन डेरेंजमेंट्स की गिनती में है, क्रमपरिवर्तन जो किसी भी तत्व को अपनी मूल स्थिति में नहीं छोड़ते हैं;के अपमान की संख्या $$n$$ आइटम निकटतम पूर्णांक है to $n!/e$.

बीजगणित में, फैक्टरियल द्विपद प्रमेय के माध्यम से उत्पन्न होते हैं, जो रकम की शक्तियों का विस्तार करने के लिए द्विपद गुणांक का उपयोग करता है। वे एक दूसरे से बहुपद के कुछ परिवारों से संबंधित गुणांक में भी होते हैं, उदाहरण के लिए, न्यूटन की सममित बहुपद के लिए पहचान में। गिनती के क्रम में उनके उपयोग को भी बीजगणितीय रूप से बहाल किया जा सकता है: फैक्टरियल्स परिमित सममित समूहों के आदेश हैं। कैलकुलस में, फैक्टरियल्स उच्च डेरिवेटिव को चैन करने के लिए फा डि ब्रूनो के फॉर्मूले में होते हैं। गणितीय विश्लेषण में, फैक्टरियल्स अक्सर पावर सीरीज़ के हर में दिखाई देते हैं, विशेष रूप से एक्सपोनेंशियल फंक्शन के लिए श्रृंखला में, $$e^x=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!},$$ और अन्य टेलर श्रृंखला के गुणांक में (विशेष रूप से त्रिकोणमितीय और हाइपरबोलिक कार्यों के), जहां वे कारकों को रद्द करते हैं $$n!$$ से आ रहा है $n$th derivative of $x^n$. पावर सीरीज़ में फैक्टरियल्स का यह उपयोग एक्सपोनेंशियल जनरेटिंग फ़ंक्शन के माध्यम से एनालिटिक कॉम्बीनेटरिक्स से जुड़ता है, जो एक कॉम्बिनेटरियल क्लास के लिए है $$n_i$$ के तत्व size $i$ पावर सीरीज़ के रूप में परिभाषित किया गया है $$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i n_i}{i!}.$$ संख्या सिद्धांत में, फैक्टरियल्स की सबसे मुख्य संपत्ति की विभाजन है $$n!$$ सभी सकारात्मक पूर्णांक द्वारा to $n$, लीजेंड्रे के सूत्र द्वारा प्रमुख कारकों के लिए अधिक सटीक रूप से वर्णित है।यह इस प्रकार है कि मनमाने ढंग से बड़े प्रमुख संख्याओं को संख्याओं के प्रमुख कारकों के रूप में पाया जा सकता है $$n!\pm 1$$, यूक्लिड के प्रमेय के प्रमाण के लिए अग्रणी है कि प्राइम्स की संख्या अनंत है। कब $$n!\pm 1$$ खुद प्राइम है इसे एक फैक्टरियल प्राइम कहा जाता है; संबंधित रूप से, ब्रोकार्ड की समस्या, श्रीनिवास रामानुजन द्वारा भी प्रस्तुत की गई, फॉर्म के वर्ग संख्या के अस्तित्व की चिंता करती है $n!+1$. इसके विपरीत, संख्याएँ $$n!+2,n!+3,\dots n!+n$$ मनमाने ढंग से बड़े प्रमुख अंतराल के अस्तित्व को साबित करते हुए, सभी समग्र होना चाहिए। बर्ट्रेंड के किसी भी अंतराल में एक प्राइम के अस्तित्व पर एक प्राथमिक प्रमाण का एक प्राथमिक प्रमाण form $[n,2n]$, पॉल Erdős के पहले परिणामों में से एक, फैक्टरियल्स के विभाजन गुणों पर आधारित था। फैक्टरियल नंबर सिस्टम उन संख्याओं के लिए एक मिश्रित रेडिक्स नोटेशन है जिसमें प्रत्येक अंक के स्थान मान फैक्टरियल्स हैं। Poisson वितरण में उदाहरण के लिए, संभावना सिद्धांत में बड़े पैमाने पर फैक्टरियल्स का उपयोग किया जाता है और यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन की संभावनाओं में। कंप्यूटर विज्ञान में, पारगमन पर ब्रूट-फोर्स खोजों के विश्लेषण में दिखाई देने से परे, के निचले हिस्से में फैक्टरियल्स उत्पन्न होते हैं $$\log_2 n!=n\log_2n-O(n)$$ तुलना की संख्या पर एक सेट की तुलना करने के लिए आवश्यक है $$n$$ सामान, और जंजीर हैश तालिकाओं के विश्लेषण में, जहां प्रति सेल कुंजियों के वितरण को एक पॉइसन वितरण द्वारा सटीक रूप से अनुमानित किया जा सकता है। इसके अलावा, फैक्टरियल्स स्वाभाविक रूप से क्वांटम और सांख्यिकीय भौतिकी से सूत्रों में दिखाई देते हैं, जहां एक अक्सर कणों के एक सेट के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन पर विचार करता है।सांख्यिकीय यांत्रिकी में, बोल्ट्जमैन के एन्ट्रापी फॉर्मूला या सैकुर -टेट्रोड समीकरण जैसे एन्ट्रापी की गणना गिब्स विरोधाभास से बचने के लिए प्रत्येक प्रकार के अप्रभेद्य कण की संख्या के फैक्टरियल्स द्वारा विभाजित करके माइक्रोस्टेट की गिनती को ठीक करना चाहिए।क्वांटम भौतिकी अंतर्निहित कारण प्रदान करती है कि ये सुधार क्यों आवश्यक हैं।

विकास और सन्निकटन


एक समारोह के रूप में of $n$, फैक्टरियल में घातीय वृद्धि की तुलना में तेजी से होता है, लेकिन एक दोहरे घातीय फ़ंक्शन की तुलना में अधिक धीरे -धीरे बढ़ता है। इसकी वृद्धि दर समान है to $n^n$, लेकिन एक घातीय कारक द्वारा धीमा।इस परिणाम के करीब पहुंचने का एक तरीका फैक्टरियल के प्राकृतिक लघुगणक को लेना है, जो अपने उत्पाद सूत्र को एक योग में बदल देता है, और फिर एक अभिन्न द्वारा योग का अनुमान लगाता है: $$\ln n! = \sum_{x=1}^n \ln x \approx \int_1^n\ln x\, dx=n\ln n-n+1.$$ परिणाम को बढ़ाना (और नगण्य की अनदेखी करना $$+1$$ शब्द) सन्निकट $$n!$$ जैसा $(n/e)^n$. एक अभिन्न द्वारा ऊपर और नीचे दोनों दोनों को सावधानीपूर्वक, ट्रेपज़ॉइड नियम का उपयोग करते हुए, यह दर्शाता है कि इस अनुमान को एक सुधार शब्द आनुपातिक आवश्यकता है to $\sqrt n$. इस सुधार के लिए आनुपातिकता की निरंतरता वालिस उत्पाद से पाई जा सकती है, जो व्यक्त करता है $$\pi$$ दो के फैक्टरियल्स और शक्तियों के सीमित अनुपात के रूप में।इन सुधारों का परिणाम स्टर्लिंग का अनुमान है: $$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\,.$$ यहां ही $$\sim$$ प्रतीक का अर्थ है, के रूप में $$n$$ अनंत तक जाता है, बाएं और दाएं पक्षों के बीच का अनुपात सीमा में एक के पास पहुंचता है। स्टर्लिंग का फॉर्मूला एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला में पहला कार्यकाल प्रदान करता है जो कि अधिक संख्या में शर्तों के लिए और भी अधिक सटीक हो जाता है: $$ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2} - \frac{139}{51840n^3} -\frac{571}{2488320n^4}+ \cdots \right).$$ एक वैकल्पिक संस्करण सुधार के शब्दों में केवल विषम प्रतिपादकों का उपयोग करता है: $$ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \exp\left(\frac{1}{12n} - \frac{1}{360n^3} + \frac{1}{1260n^5} -\frac{1}{1680n^7}+ \cdots \right).$$ श्रीनिवास रामानुजन, बिल गोस्पर, और अन्य लोगों द्वारा इन सूत्रों के कई अन्य रूपों को भी विकसित किया गया है।

तुलनात्मक छंटाई का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले फैक्टरियल के बाइनरी लॉगरिदम का उपयोग स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करके बहुत सटीक रूप से किया जा सकता है।नीचे सूत्र में, $$O(1)$$ टर्म बिग ओ नोटेशन को आमंत्रित करता है। $$\log_2 n! = n\log_2 n-(\log_2 e)n + \frac12\log_2 n + O(1).$$

विभाजन और अंक
फैक्टरियल के लिए उत्पाद सूत्र का अर्थ है कि $$n!$$ सभी प्रमुख संख्याओं से विभाज्य है जो पर हैं most $n$, और कोई बड़ी प्राइम नंबरों से नहीं। इसकी विभाजन के बारे में अधिक सटीक जानकारी लीजेंड्रे के सूत्र द्वारा दी गई है, जो प्रत्येक प्राइम का प्रतिपादक देता है $$p$$ के प्रमुख कारक में $$n!$$ जैसा $$\sum_{i=1}^\infty \left \lfloor \frac n {p^i} \right \rfloor=\frac{n - s_p(n)}{p - 1}.$$ यहां $$s_p(n)$$ के योग को दर्शाता है base-$p$ अंक of $n$, और इस सूत्र द्वारा दिए गए प्रतिपादक को भी उन्नत गणित में पी-एडिक वैल्यूएशन के रूप में व्याख्या किया जा सकता है$5,040$फैक्टरियल का -वैल्यूएशन। द्विपद गुणांक के लिए उत्पाद सूत्र के लिए लीजेंड्रे के सूत्र को लागू करने से कुमेर के प्रमेय का उत्पादन होता है, जो एक द्विपद गुणांक के कारक में प्रत्येक प्राइम के प्रतिपादक पर एक समान परिणाम है। के लिए लीजेंड्रे के सूत्र का विशेष मामला $$p=5$$ फैक्टरियल्स के दशमलव प्रतिनिधित्व में अनुगामी शून्य की संख्या देता है। इस सूत्र के अनुसार, आधार -5 अंकों को घटाकर शून्य की संख्या प्राप्त की जा सकती है $$n$$ से $$n$$, और परिणाम को चार से विभाजित करना। किंवदंती के सूत्र का अर्थ है कि प्राइम का घातांक $$p=2$$ हमेशा के लिए घातांक से बड़ा होता है $p=5$, तो पांच के प्रत्येक कारक को इन अनुगामी शून्य में से एक का उत्पादन करने के लिए दो के एक कारक के साथ जोड़ा जा सकता है। फैक्टरियल्स के प्रमुख अंकों को बेनफोर्ड के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है। अंकों का प्रत्येक अनुक्रम, किसी भी आधार में, उस आधार में कुछ फैक्टरियल नंबर के प्रारंभिक अंकों का अनुक्रम है। फैक्टरियल्स की विभाजन पर एक और परिणाम, विल्सन के प्रमेय ने कहा कि $$(n-1)!+1$$ द्वारा विभाज्य है $$n$$ अगर और केवल अगर $$n$$ एक प्रमुख संख्या है। किसी के लिए integer $x$, केम्पनर फ़ंक्शन $$x$$ सबसे छोटे द्वारा दिया जाता है $$n$$ जिसके लिए $$x$$ विभाजित $n!$. लगभग सभी संख्याओं के लिए (सभी लेकिन स्पर्शोन्मुख घनत्व शून्य के साथ अपवादों का एक सबसेट), यह सबसे बड़े प्राइम फैक्टर के साथ मेल खाता है of $x$. दो फैक्टरियल्स का उत्पाद, $m!\cdot n!$, हमेशा समान रूप से विभाजित होता है $(m+n)!$. असीम रूप से कई फैक्टरियल्स हैं जो अन्य फैक्टरियल्स के उत्पाद के बराबर हैं: यदि $$n$$ स्वयं फैक्टरियल्स का कोई उत्पाद है, फिर $$n!$$ एक ही उत्पाद के बराबर एक और फैक्टरियल से गुणा किया जाता है, $(n-1)!$. फैक्टरियल्स के एकमात्र ज्ञात उदाहरण जो अन्य फैक्टरियल्स के उत्पाद हैं, लेकिन इस तुच्छ रूप के नहीं हैं $9!=7!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 2!$, $10!=7!\cdot 6!=7!\cdot 5!\cdot 3!$, तथा $16!=14!\cdot 5!\cdot 2!$. यह से अनुसरण करेगा$40,320$ अनुमान है कि वहाँ केवल कई nontrivial उदाहरण हैं। डिग्री के एक आदिम बहुपद के मूल्यों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $$d$$ पूर्णांक समान रूप से विभाजित होता है $d!$.

निरंतर प्रक्षेप और गैर-पूर्णांक सामान्यीकरण


एक सतत कार्य के लिए फैक्टरियल्स का विस्तार करने के लिए असीम रूप से कई तरीके हैं। इनमें से सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है गामा फ़ंक्शन का उपयोग करता है, जिसे इंटीग्रल के रूप में सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया जा सकता है $$ \Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx.$$ परिणामी फ़ंक्शन एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक के फैक्टरियल से संबंधित है $$n$$ समीकरण द्वारा $$ n!=\Gamma(n+1),$$ जिसे गैर-पूर्णांक तर्कों के लिए फैक्टरियल की परिभाषा के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। सभी मूल्यों पर $$x$$ जिसके लिए दोनों $$\Gamma(x)$$ तथा $$\Gamma(x-1)$$ परिभाषित किया गया है, गामा फ़ंक्शन कार्यात्मक समीकरण का पालन करता है $$ \Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1),$$ फैक्टरियल्स के लिए पुनरावृत्ति संबंध को सामान्य करना। एक ही अभिन्न आमतौर पर किसी भी जटिल संख्या के लिए अधिक रूपांतरित होता है $$z$$ जिसका असली हिस्सा सकारात्मक है।यह Euler के प्रतिबिंब सूत्र के लिए हल करके जटिल विमान के बाकी हिस्सों में गैर-पूर्णांक बिंदुओं तक बढ़ाया जा सकता है $$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}.$$ हालाँकि, इस सूत्र का उपयोग पूर्णांक पर नहीं किया जा सकता है, क्योंकि, उनके लिए, $$\sin\pi z$$ शब्द शून्य से एक विभाजन का उत्पादन करेगा।इस एक्सटेंशन प्रक्रिया का परिणाम एक विश्लेषणात्मक कार्य है, गामा फ़ंक्शन के लिए अभिन्न सूत्र का विश्लेषणात्मक निरंतरता।गैर-पॉजिटिव पूर्णांक को छोड़कर, सभी जटिल संख्याओं में एक नॉनज़ेरो मान है, जहां इसमें सरल ध्रुव हैं।इसके विपरीत, यह नकारात्मक पूर्णांक के अलावा सभी जटिल संख्याओं में फैक्टरियल के लिए एक परिभाषा प्रदान करता है। गामा फ़ंक्शन की एक संपत्ति, इसे फैक्टरियल्स के अन्य निरंतर प्रक्षेपों से अलग करते हुए, बोहर-मोलरअप प्रमेय द्वारा दी गई है, जिसमें कहा गया है कि गामा फ़ंक्शन (एक के द्वारा ऑफसेट) सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर एकमात्र लॉग-कवरेक्स फ़ंक्शन है जो कि सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर है जो कि सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर है।फैक्टरियल्स को प्रक्षेपित करता है और एक ही कार्यात्मक समीकरण का पालन करता है।हेल्मुट विएलैंड्ट के एक संबंधित विशिष्टता प्रमेय में कहा गया है कि जटिल गामा फ़ंक्शन और इसके स्केलर गुणक सकारात्मक जटिल आधे-विमान पर एकमात्र होलोमोर्फिक कार्य हैं जो कार्यात्मक समीकरण का पालन करते हैं और 1 और 2 के बीच वास्तविक भाग के साथ जटिल संख्याओं के लिए बंधे रहते हैं। अन्य जटिल फ़ंक्शन जो फैक्टरियल मानों को प्रक्षेपित करते हैं, उनमें हैडामार्ड का गामा फ़ंक्शन शामिल है, जो गैर-सकारात्मक पूर्णांक सहित सभी जटिल संख्याओं पर एक संपूर्ण कार्य है। पी-एडिक नंबर में |$362,880$-एक संख्याओं, सीधे फैक्टरियल फ़ंक्शन को प्रक्षेपित करना संभव नहीं है, क्योंकि बड़े पूर्णांक (का एक घना सबसेट) के फैक्टरियल $3,628,800$-एडिक्स) लीजेंड्रे के फॉर्मूले के अनुसार शून्य में परिवर्तित हो जाता है, किसी भी निरंतर फ़ंक्शन को मजबूर करता है जो हर जगह शून्य होने के लिए उनके मूल्यों के करीब है।इसके बजाय, पी-एडिक गामा फ़ंक्शन |$39,916,800$-एक गामा फ़ंक्शन फैक्टरियल के एक संशोधित रूप का एक सतत प्रक्षेप प्रदान करता है, जो कि फैक्टरियल में कारकों को छोड़ देता है जो विभाज्य हैं $479,001,600$. डिगम्मा फ़ंक्शन गामा फ़ंक्शन का लॉगरिदमिक व्युत्पन्न है।जिस तरह गामा फ़ंक्शन फैक्टरियल्स का एक सतत प्रक्षेप प्रदान करता है, एक के द्वारा ऑफसेट, डिगम्मा फ़ंक्शन हार्मोनिक संख्याओं का एक निरंतर प्रक्षेप प्रदान करता है, यूलर -मेसचेरोनी निरंतर द्वारा ऑफसेट।

कम्प्यूटेशन
फैक्टरियल फ़ंक्शन वैज्ञानिक कैलकुलेटर में एक सामान्य विशेषता है। यह पायथन गणितीय फ़ंक्शन मॉड्यूल जैसे वैज्ञानिक प्रोग्रामिंग पुस्तकालयों में भी शामिल है और बूस्ट (C ++ लाइब्रेरी) | C ++ लाइब्रेरी को बूस्ट करें। यदि दक्षता कोई चिंता का विषय नहीं है, तो कंप्यूटिंग फैक्टरियल्स तुच्छ है: बस क्रमिक रूप से एक चर को गुणा करें to $1$ पूर्णांक द्वारा to $n$. इस संगणना की सादगी विभिन्न कंप्यूटर प्रोग्रामिंग शैलियों और विधियों के उपयोग में एक सामान्य उदाहरण बनाती है। की गणना $$n!$$ पुनरावृत्ति का उपयोग करके स्यूडोकोड में व्यक्त किया जा सकता है जैसा फैक्टरियल को परिभाषित करें (एन): f: = 1 के लिए i: = 1, 2, 3, ..., n:    f: = f × i   वापसी च या पुनरावृत्ति का उपयोग करना के रूप में इसके पुनरावृत्ति संबंध के आधार पर फैक्टरियल को परिभाषित करें (एन): अगर n = 0 रिटर्न 1 वापसी n × फैक्टरियल (n - 1) इसकी गणना के लिए उपयुक्त अन्य तरीकों में मेमोइजेशन शामिल हैं, गतिशील प्रोग्रामिंग, और कार्यात्मक प्रोग्रामिंग। इन एल्गोरिदम की कम्प्यूटेशनल जटिलता का विश्लेषण यूनिट-कॉस्ट रैंडम-एक्सेस मशीन मॉडल की गणना का उपयोग करके किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन में निरंतर समय लगता है और प्रत्येक संख्या लगातार भंडारण स्थान का उपयोग करती है।इस मॉडल में, ये विधियाँ गणना कर सकती हैं $$n!$$ समय के भीतर $O(n)$, और पुनरावृत्त संस्करण अंतरिक्ष का उपयोग करता है $O(1)$. जब तक पूंछ पुनरावर्ती के लिए अनुकूलित नहीं किया जाता है, पुनरावर्ती संस्करण अपने कॉल स्टैक को संग्रहीत करने के लिए रैखिक स्थान लेता है। हालांकि, गणना का यह मॉडल केवल तब उपयुक्त है जब $$n$$ अनुमति देने के लिए काफी छोटा है $$n!$$ एक मशीन शब्द में फिट होने के लिए। मान 12!और 20!सबसे बड़े फैक्टरियल्स हैं जिन्हें क्रमशः संग्रहीत किया जा सकता है, 32-बिट कंप्यूटिंग | 32-बिट और 64-बिट कंप्यूटिंग | 64-बिट पूर्णांक। फ़्लोटिंग पॉइंट बड़े फैक्टरियल्स का प्रतिनिधित्व कर सकता है, लेकिन लगभग बिल्कुल बजाय, और अभी भी बड़े पैमाने पर बड़े पैमाने पर ओवरफ्लो करेगा $170!$. बड़े फैक्टरियल्स की सटीक गणना में मनमानी-सटीक अंकगणित शामिल है, और इसके समय का विश्लेषण परिणाम में अंकों या बिट्स की संख्या के एक समारोह के रूप में किया जा सकता है। स्टर्लिंग के सूत्र द्वारा, $$n!$$ है $$b = O(n\log n)$$ बिट्स। Schönhage - Strassen एल्गोरिथ्म का उत्पादन कर सकते हैं $b$-bit समय में उत्पाद $O(b\log b\log\log b)$, और तेजी से गुणा एल्गोरिदम समय ले रहा है $$O(b\log b)$$ ज्ञात हैं। हालांकि, फैक्टरियल की गणना करने में एक एकल गुणन के बजाय बार -बार उत्पाद शामिल होते हैं, इसलिए ये समय सीमा सीधे लागू नहीं होती है।इस सेटिंग में, कंप्यूटिंग $$n!$$ संख्या को 1 से गुणा करके to $n$ अनुक्रम में अक्षम है, क्योंकि इसमें शामिल है $$n$$ गुणन, एक निरंतर अंश जिसमें से समय लगता है $$O(n\log^2 n)$$ प्रत्येक, कुल समय दे रहा है $O(n^2\log^2 n)$. एक बेहतर दृष्टिकोण एक डिवाइड-एंड-कॉनकोर एल्गोरिथ्म के रूप में गुणा करने के लिए है जो एक अनुक्रम को गुणा करता है $$i$$ संख्याओं को दो बाद में विभाजित करके संख्या $$i/2$$ संख्याएं, प्रत्येक बाद की संख्या को गुणा करती हैं, और परिणामों को एक अंतिम गुणन के साथ जोड़ती है।फैक्टरियल के लिए यह दृष्टिकोण कुल समय लेता है $O(n\log^3 n)$: एक लघुगणक फैक्टरियल में बिट्स की संख्या से आता है, एक दूसरा गुणन एल्गोरिथ्म से आता है, और एक तीसरा विभाजन और विजय से आता है। और भी बेहतर दक्षता कंप्यूटिंग द्वारा प्राप्त की जाती है $S_{n}$ इसके प्रमुख कारक से, इस सिद्धांत के आधार पर कि वर्ग द्वारा घातांक एक उत्पाद में एक प्रतिपादक का विस्तार करने की तुलना में तेज है। अर्नोल्ड शॉनहेज द्वारा इसके लिए एक एल्गोरिथ्म प्राइम्स की सूची को खोजकर शुरू होता है to $n$, उदाहरण के लिए, एराटोस्टेनेस की छलनी का उपयोग करते हुए, और प्रत्येक प्राइम के लिए प्रतिपादक की गणना करने के लिए लीजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करता है।फिर यह इन घातांकों के साथ प्रमुख शक्तियों के उत्पाद की गणना करता है, एक पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, निम्नानुसार है: सभी प्राइम्स के उत्पाद तक $$n$$ एक $$O(n)$$-बिट नंबर, प्राइम नंबर प्रमेय द्वारा, इसलिए पहले चरण का समय है $$O(n\log^2 n)$$, एक लघुगणक के साथ विभाजन और विजय से आ रहा है और दूसरा गुणन एल्गोरिथ्म से आ रहा है।एल्गोरिथ्म के लिए पुनरावर्ती कॉल में, प्राइम नंबर प्रमेय को फिर से यह साबित करने के लिए आमंत्रित किया जा सकता है कि इसी उत्पादों में बिट्स की संख्या पुनरावर्तन के प्रत्येक स्तर पर एक निरंतर कारक से कम हो जाती है, इसलिए पुनरावृत्ति के सभी स्तरों पर इन चरणों के लिए कुल समयएक ज्यामितीय श्रृंखला में जोड़ता है to $O(n\log^2 n)$. दूसरे चरण में स्क्वायरिंग के लिए समय और तीसरे चरण में गुणन फिर से हैं $O(n\log^2 n)$, क्योंकि प्रत्येक एक संख्या के साथ एक एकल गुणन है $$O(n\log n)$$ बिट्स।फिर से, पुनरावृत्ति के प्रत्येक स्तर पर शामिल संख्याओं में कई बिट्स के रूप में एक निरंतर अंश होता है (क्योंकि अन्यथा बार -बार उन्हें स्क्वायर करने से एक अंतिम परिणाम बहुत बड़ा होगा) इसलिए फिर से पुनरावर्ती कॉल में इन चरणों के लिए समय की मात्रा एक ज्यामितीय श्रृंखला में जोड़ते हैं to $O(n\log^2 n)$. नतीजतन, पूरे एल्गोरिथ्म लेता है time $O(n\log^2 n)$, इसके परिणाम में समान संख्या में बिट्स के साथ एक एकल गुणन के लिए आनुपातिक।
 * उन प्राइम्स के उत्पाद की गणना करने के लिए विभाजन और विजय का उपयोग करें जिनके घातांक विषम हैं
 * सभी घातांकों को दो से विभाजित करें (एक पूर्णांक के लिए नीचे की ओर), पुनरावर्ती रूप से इन छोटे घातांक के साथ प्रमुख शक्तियों के उत्पाद की गणना करें, और परिणाम को चौकोर करें
 * दो पिछले चरणों के परिणामों को एक साथ गुणा करें

संबंधित अनुक्रम और कार्य
कई अन्य पूर्णांक अनुक्रम फैक्टरियल्स के समान या संबंधित हैं:

बारी -बारी से फैक्टरियल
 * वैकल्पिक फैक्टरियल पहले के वैकल्पिक योग का निरपेक्ष मूल्य है $$n$$ फैक्टरियल्स, $\sum_{i = 1}^n (-1)^{n - i}i!$. इन्हें मुख्य रूप से उनकी आदिमता के संबंध में अध्ययन किया गया है;केवल बारीक रूप से उनमें से कई प्राइम हो सकते हैं, लेकिन इस फॉर्म के प्राइम्स की एक पूरी सूची ज्ञात नहीं है।


 * भार्गव फैक्टरियल
 * भार्गवा फैक्टरियल्स मंजुल भार्गव द्वारा परिभाषित पूर्णांक अनुक्रमों का एक परिवार है, जो फैक्टरियल्स के समान संख्या-सिद्धांतिक गुणों के साथ एक विशेष मामले के रूप में स्वयं भी शामिल हैं। ; डबल फैक्टरियल
 * कुछ विषम सकारात्मक तक सभी विषम पूर्णांक का उत्पाद integer $n$ डबल फैक्टरियल कहा जाता है of $n$, और द्वारा निरूपित किया $n!!$. वह है, $$(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1) = \frac{(2k)!}{2^k k!}.$$ उदाहरण के लिए, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945।त्रिकोणमितीय अभिन्न अंगों में डबल फैक्टरियल्स का उपयोग किया जाता है, गामा फ़ंक्शन के लिए आधे-प्रतिध्वनि पर और एन-बॉल की मात्रा के लिए अभिव्यक्तियों में। और बाइनरी पेड़ों और सही मैचों की गिनती में।
 * घातीय फैक्टरियल
 * जिस तरह त्रिकोणीय संख्याओं से संख्याओं को राशि दें $$1$$ to $n$, और फैक्टरियल्स अपने उत्पाद को लेते हैं, घातीय फैक्टरियल एक्सपोनेंटिएट्स।घातीय फैक्टरियल of $n$, लक्षित as $n\$$, पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है as $n^{(n-1)\$}$, आधार मामले के साथ $0\$=1$. उदाहरण के लिए, $$4\$= 4^{3^{2^{1}}}=262144.$$ ये संख्या नियमित रूप से फैक्टरियल्स की तुलना में बहुत अधिक तेज़ी से बढ़ती है।


 * सूचनाएँ $$(x)_{n}$$ या $$x^{\underline n}$$ कभी -कभी के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है $$n$$ पूर्णांक की गिनती और including $x$, के बराबर $x!/(x-n)!$. यह एक गिरने वाले फैक्टरियल या पिछड़े फैक्टरियल के रूप में भी जाना जाता है, और $$(x)_{n}$$ संकेतन एक पोचहैमर प्रतीक है। गिरने वाले फैक्टरियल्स के विभिन्न अनुक्रमों की संख्या की गिनती करते हैं $$n$$ अलग -अलग आइटम जो एक ब्रह्मांड से खींचे जा सकते हैं $$x$$ सामान। वे बहुपद के उच्च व्युत्पन्न में गुणांक के रूप में होते हैं, और यादृच्छिक चर के तथ्यात्मक क्षणों में।
 * सूचनाएँ $$(x)_{n}$$ या $$x^{\underline n}$$ कभी -कभी के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है $$n$$ पूर्णांक की गिनती और including $x$, के बराबर $x!/(x-n)!$. यह एक गिरने वाले फैक्टरियल या पिछड़े फैक्टरियल के रूप में भी जाना जाता है, और $$(x)_{n}$$ संकेतन एक पोचहैमर प्रतीक है। गिरने वाले फैक्टरियल्स के विभिन्न अनुक्रमों की संख्या की गिनती करते हैं $$n$$ अलग -अलग आइटम जो एक ब्रह्मांड से खींचे जा सकते हैं $$x$$ सामान। वे बहुपद के उच्च व्युत्पन्न में गुणांक के रूप में होते हैं, और यादृच्छिक चर के तथ्यात्मक क्षणों में।


 * हाइपरफैक्टोरियल
 * हाइपरफैक्टोरियल $$n$$ उत्पाद है $$1^1\cdot 2^2\cdots n^n$$।ये संख्याएँ हरमाइट बहुपद के भेदभाव करती हैं। उन्हें के-फंक्शन द्वारा लगातार प्रक्षेपित किया जा सकता है, और स्टर्लिंग के सूत्र के लिए एनालॉग्स का पालन करें और विल्सन का प्रमेय।


 * जॉर्डन -प्यूल्य नंबर
 * जॉर्डन -प्यूलिया नंबर फैक्टरियल्स के उत्पाद हैं, जो पुनरावृत्ति की अनुमति देते हैं।प्रत्येक पेड़ में एक समरूपता समूह होता है, जिसकी संख्या समरूपता की संख्या एक जॉर्डन -प्लायला संख्या होती है, और हर जॉर्डन -प्लायला नंबर कुछ पेड़ के समरूपता को गिना जाता है।


 * प्राइमोरियल
 * प्राइमोरियल $$n\#$$ क्या प्राइम नंबरों का उत्पाद कम या बराबर है to $n$; यह निर्माण उन्हें कुछ समान विभाजन गुणों को फैक्टरियल्स के लिए देता है, लेकिन फैक्टरियल्स के विपरीत वे स्क्वायरफ्री हैं। फैक्टरियल प्राइम्स के साथ $n!\pm 1$, शोधकर्ताओं ने प्राइमोरियल प्राइम्स का अध्ययन किया है $n\#\pm 1$.


 * सबफ़ेक्टोरियल
 * सबफ़ैक्टोरियल के एक सेट के विकृति की संख्या पैदा करता है $$n$$ वस्तुओं।इसे कभी -कभी निरूपित किया जाता है $$!n$$, और निकटतम पूर्णांक के बराबर है to $n!/e$.


 * सुपरफैक्टोरियल
 * के सुपरफैक्टोरियल $$n$$ पहले का उत्पाद है $$n$$ फैक्टरियल्स।सुपरफैक्टोरियल लगातार बार्न्स जी-फंक्शन द्वारा प्रक्षेपित होते हैं।

बाहरी संबंध


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