बाह्य बीजगणित

गणित में, बाहरी बीजगणित, या ग्रासमैन बीजगणित, जिसका नाम हरमन ग्रासमैन के नाम पर रखा गया है, एक बीजगणित है जो बाहरी उत्पाद या वेज उत्पाद को इसके गुणा के रूप में उपयोग करता है। गणित में, सदिशों का बाहरी उत्पाद या वेज उत्पाद एक बीजगणितीय निर्माण है जिसका उपयोग ज्यामिति में क्षेत्रों, आयतनों और उनके उच्च-आयामी अनुरूपों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। दो सदिशों $$ u $$ और $$ v $$ के बाहरी उत्पाद को $$ u \wedge v $$ से निरूपित किया जाता है जिसे बाइवेक्टर कहा जाता है और एक अंतरिक्ष में रहता है जिसे बाहरी वर्ग कहा जाता है, एक वेक्टर स्थान जो वैक्टर के मूल स्थान से अलग होता है। $$ u \wedge v $$ के परिमाण की व्याख्या $$ u $$ और $$ v $$ भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के रूप में की जा सकती है, जिसकी गणना दो सदिशों के क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके तीन आयामों में भी की जा सकती है। अधिक आम तौर पर, एक ही अभिविन्यास और क्षेत्र के साथ सभी समांतर समतल सतहों में उनके उन्मुख क्षेत्र के माप के रूप में एक ही द्विभाजक होता है। क्रॉस उत्पाद की तरह, बाहरी उत्पाद एंटीकोम्यूटिव है, जिसका अर्थ है कि $$ u \wedge v = -(v \wedge u) $$ सभी वैक्टर $$ u $$ और $$ v $$ के लिए है, लेकिन क्रॉस उत्पाद के विपरीत, बाहरी उत्पाद सहयोगी है।

जब इस तरह से देखा जाता है, तो दो सदिशों के बाहरी उत्पाद को 2-ब्लेड कहा जाता है। अधिक आम तौर पर, वैक्टर के किसी भी संख्या के बाहरी उत्पाद को परिभाषित किया जा सकता है और कभी-कभी इसे के-ब्लेड कहा जाता है। यह k-th बाहरी शक्ति के रूप में ज्ञात स्थान में रहता है। परिणामी k-ब्लेड का परिमाण k-आयामी समांतरोटोप का उन्मुख हाइपरवोल्यूम है जिसके किनारे दिए गए वैक्टर हैं, ठीक उसी तरह जैसे तीन आयामों में वैक्टर के स्केलर ट्रिपल उत्पाद का परिमाण उन वैक्टर द्वारा उत्पन्न समानांतर चतुर्भुज का आयतन देता है।

बाहरी बीजगणित एक बीजगणितीय सेटिंग प्रदान करता है जिसमें ज्यामितीय प्रश्नों का उत्तर दिया जाता है। उदाहरण के लिए, ब्लेड की एक ठोस ज्यामितीय व्याख्या होती है, और बाहरी बीजगणित में वस्तुओं को स्पष्ट नियमों के एक सेट के अनुसार हेरफेर किया जा सकता है। बाहरी बीजगणित में ऐसे ऑब्जेक्ट होते हैं जो न केवल k-ब्लेड होते हैं, बल्कि k-ब्लेड के योग होते हैं; ऐसी राशि को k-वेक्टर कहा जाता है। k-ब्लेड, क्योंकि वे सदिशों के सरल गुणनफल हैं, बीजगणित के सरल तत्व कहलाते हैं। किसी भी k-वेक्टर की रैंक को उन सरल तत्वों की सबसे छोटी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिनका यह योग है। बाहरी उत्पाद पूर्ण बाहरी बीजगणित तक फैला हुआ है, जिससे बीजगणित के किसी भी दो तत्वों को गुणा करना समझ में आता है। इस उत्पाद से लैस, बाहरी बीजगणित एक साहचर्य बीजगणित है, जिसका अर्थ है कि $$ \alpha \wedge (\beta \wedge \gamma) = (\alpha \wedge \beta) \wedge \gamma $$ किसी भी तत्व के लिए $$ \alpha, \beta, \gamma $$। k-वैक्टर की डिग्री k है, जिसका अर्थ है कि वे k वैक्टर के उत्पादों का योग हैं। जब अलग-अलग डिग्री के तत्वों को गुणा किया जाता है, तो डिग्रियां बहुपदों के गुणा की तरह जुड़ जाती हैं। इसका मतलब यह है कि बाहरी बीजगणित एक श्रेणीबद्ध बीजगणित है।

बाहरी बीजगणित की परिभाषा रिक्त स्थान के लिए समझ में आती है न केवल ज्यामितीय वैक्टरों की, बल्कि अन्य वेक्टर-जैसी वस्तुओं जैसे वेक्टर फ़ील्ड या फ़ंक्शंस के लिए। पूर्ण सामान्यता में, बाहरी बीजगणित को एक कम्यूटेटिव रिंग पर मॉड्यूल के लिए और अमूर्त बीजगणित में रुचि के अन्य संरचनाओं के लिए परिभाषित किया जा सकता है। यह इन अधिक सामान्य निर्माणों में से एक है जहां बाहरी बीजगणित अपने सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक पाता है, जहां यह भिन्न रूपों के बीजगणित के रूप में प्रकट होता है जो कि उन क्षेत्रों में मौलिक है जो विभेदक ज्यामिति का उपयोग करते हैं। बाहरी बीजगणित में कई बीजगणितीय गुण भी होते हैं जो इसे बीजगणित में ही एक सुविधाजनक उपकरण बनाते हैं। एक सदिश स्थान के लिए बाहरी बीजगणित का जुड़ाव सदिश स्थानों पर एक प्रकार का फंक्टर है, जिसका अर्थ है कि यह एक निश्चित तरीके से सदिश स्थानों के रैखिक परिवर्तनों के साथ संगत है। बाहरी बीजगणित एक बायलजेब्रा का एक उदाहरण है, जिसका अर्थ है कि इसकी दोहरी जगह में भी एक उत्पाद है, और यह दोहरी उत्पाद बाहरी उत्पाद के साथ संगत है। यह दोहरी बीजगणित वैकल्पिक रूप से बहु-रेखीय रूपों का बीजगणित है, और बाहरी बीजगणित और इसके दोहरे के बीच की जोड़ी आंतरिक उत्पाद द्वारा दी गई है।

प्रेरक उदाहरण
पहले दो उदाहरण एक मीट्रिक टेंसर फ़ील्ड और एक अभिविन्यास मानते हैं; तीसरा उदाहरण या तो नहीं मानता।

विमान में क्षेत्र
कार्तीय तल $$ \mathbb R^2 $$ एक वास्तविक सदिश स्थान है जो इकाई सदिशों की एक जोड़ी से युक्त आधार से सुसज्जित है



{\mathbf e}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad {\mathbf e}_2 = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}, $$ अभिविन्यास के साथ $$ \mathbf e_1 \times \mathbf e_2 $$ और मीट्रिक के साथ $$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}. $$ मान लीजिए


 * $$\mathbf{v} = \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}

= a \mathbf{e}_1 + b \mathbf{e}_2, \quad \mathbf{w} = \begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix} = c \mathbf{e}_1 + d \mathbf{e}_2 $$ घटकों में लिखे $$\R^2,$$ में दिए गए वैक्टरों की एक जोड़ी है। एक अद्वितीय समांतर चतुर्भुज है जिसकी दो भुजाएँ v और w हैं। इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल मानक निर्धारक सूत्र द्वारा दिया गया है:



\text{Area} = \Bigl| \det \begin{bmatrix} \mathbf{v} & \mathbf{w} \end{bmatrix} \Bigr| = \Biggl| \det \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \Biggr| = \left| ad - bc \right|. $$ अब v और w के बाह्य गुणनफल पर विचार करें:


 * $$\begin{align}

\mathbf{v} \wedge \mathbf{w} &= (a\mathbf{e}_1 + b\mathbf{e}_2) \wedge (c\mathbf{e}_1 + d\mathbf{e}_2) \\ &= ac\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_1 + ad\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 + bc\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1 + bd\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_2 \\ &= \left( ad - bc \right)\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \end{align}$$ जहां पहला चरण बाहरी उत्पाद के लिए वितरण नियम का उपयोग करता है, और अंतिम चरण इस तथ्य का उपयोग करता है कि बाहरी उत्पाद वैकल्पिक है, और विशेष रूप से $$\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1 = -(\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2)$$। (तथ्य यह है कि बाहरी उत्पाद वैकल्पिक रूप से भी $$ \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_2 = 0$$ को बल देता है) ध्यान दें कि इस अंतिम अभिव्यक्ति में गुणांक वास्तव में मैट्रिक्स [v w] का निर्धारक है। तथ्य यह है कि यह सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है इसका सहज अर्थ है कि v और w एक वामावर्त या दक्षिणावर्त अर्थ में उन्मुख हो सकते हैं क्योंकि वे समानांतर चतुर्भुज के कोने को परिभाषित करते हैं। इस तरह के क्षेत्र को समांतर चतुर्भुज का हस्ताक्षरित क्षेत्र कहा जाता है: हस्ताक्षरित क्षेत्र का निरपेक्ष मान साधारण क्षेत्र है, और चिन्ह इसके अभिविन्यास को निर्धारित करता है।

तथ्य यह है कि यह गुणांक हस्ताक्षरित क्षेत्र है, कोई दुर्घटना नहीं है। वास्तव में, यह देखना अपेक्षाकृत आसान है कि बाहरी उत्पाद को हस्ताक्षरित क्षेत्र से संबंधित होना चाहिए यदि कोई इस क्षेत्र को बीजगणितीय निर्माण के रूप में स्वयंसिद्ध करने की कोशिश करता है। विस्तार से, यदि A(v, w) समांतर चतुर्भुज के हस्ताक्षरित क्षेत्र को दर्शाता है जिसमें वैक्टर v और w की जोड़ी दो आसन्न भुजाएँ बनाती है, तो A को निम्नलिखित गुणों को पूरा करना चाहिए: पिछले संपत्ति के अपवाद के साथ, दो वैक्टरों का बाहरी उत्पाद क्षेत्र के समान गुणों को पूरा करता है। एक निश्चित अर्थ में, बाहरी उत्पाद एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की तुलना समानांतर विमान में किसी भी चुने हुए समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की अनुमति देकर अंतिम संपत्ति को सामान्य करता है (यहाँ, भुजाओं वाला e1 और e2)। दूसरे शब्दों में, बाहरी उत्पाद क्षेत्र का एक आधार-स्वतंत्र सूत्रीकरण प्रदान करता है।
 * 1) A(rv, sw) = rsA(v, w) किसी भी वास्तविक संख्या r और s के लिए, क्योंकि दोनों पक्षों में से किसी एक को फिर से स्केल करने से क्षेत्रफल में समान मात्रा (और किसी एक पक्ष की दिशा उलटने से समांतर चतुर्भुज का अभिविन्यास उलट जाता है) की वृद्धि होती है।
 * 2) A(v, v) = 0, क्योंकि v (अर्थात, एक रेखा खंड) द्वारा निर्धारित पतित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल शून्य है।
 * A(w, v) = −A(v, w), v और w की भूमिकाओं को परस्पर क्रिया करने के बाद से समांतर चतुर्भुज के अभिविन्यास को उलट देता है।
 * 1) किसी भी वास्तविक संख्या r के लिए A(v + rw, w) = A(v, w), चूँकि v में w का एक गुणक जोड़ने से समांतर चतुर्भुज का न तो आधार और न ही ऊँचाई प्रभावित होती है और इसके परिणामस्वरूप इसका क्षेत्रफल सुरक्षित रहता है।
 * 2) A(e1, e2) = 1, चूंकि इकाई वर्ग का क्षेत्रफल एक है।

क्रॉस और ट्रिपल उत्पाद
एक बिलिनियर स्केलर उत्पाद के साथ 3-आयामी उन्मुख वेक्टर अंतरिक्ष में वैक्टर के लिए, बाहरी बीजगणित क्रॉस उत्पाद और ट्रिपल उत्पाद से निकटता से संबंधित है। मानक आधार (e1, e2, e3) का उपयोग करके, सदिशों के एक युग्म का बाह्य गुणनफल



\mathbf{u} = u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 + u_3 \mathbf{e}_3 $$ और



\mathbf{v} = v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2 + v_3 \mathbf{e}_3 $$ है



\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3) + (u_3 v_1 - u_1 v_3) (\mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_1) , $$ जहां (e1 ∧ e2, e2 ∧ e3, e3 ∧ e1) त्रि-आयामी अंतरिक्ष $ \bigwedge\nolimits^2\left(\mathbb R^3\right). $ के लिए आधार है। उपरोक्त गुणांक वही हैं जो किसी दिए गए अभिविन्यास के साथ तीन आयामों में वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद की सामान्य परिभाषा में हैं, केवल अंतर यह है कि बाहरी उत्पाद एक सामान्य वेक्टर नहीं है, बल्कि इसके बजाय एक 2-वेक्टर है, और यह कि बाहरी उत्पाद अभिविन्यास के विकल्प पर निर्भर नहीं करता है।

एक तीसरा सदिश लाना



\mathbf{w} = w_1 \mathbf{e}_1 + w_2 \mathbf{e}_2 + w_3 \mathbf{e}_3, $$ तीन सदिशों का बाह्य गुणनफल है



\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3) $$ जहाँ e1 ∧ e2 ∧ e3 एक-आयामी स्थान $ \bigwedge\nolimits^3\left(\mathbb R^3\right) $ के लिए आधार सदिश है। अदिश गुणांक तीन सदिशों का त्रिगुणात्मक गुणनफल है।

तीन आयामी यूक्लिडियन वेक्टर अंतरिक्ष में क्रॉस उत्पाद और ट्रिपल उत्पाद हॉज स्टार द्वंद्व के माध्यम से ज्यामितीय और बीजगणितीय दोनों व्याख्याओं को स्वीकार करते हैं। क्रॉस उत्पाद u × v को एक वेक्टर के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जो यू और वी दोनों के लिए लंबवत है और जिसका परिमाण दो वैक्टरों द्वारा निर्धारित समांतरोग्राम के क्षेत्र के बराबर है। इसे सदिश के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है जिसमें कॉलम यू और वी के साथ मैट्रिक्स के नाबालिग शामिल हैं। यू, वी, और डब्ल्यू के ट्रिपल उत्पाद एक ज्यामितीय उन्मुख मात्रा का प्रतिनिधित्व करने वाला एक हस्ताक्षरित स्केलर है। बीजगणितीय रूप से, यह कॉलम यू, वी, और डब्ल्यू के साथ मैट्रिक्स का निर्धारक है। तीन आयामों में बाहरी उत्पाद समान व्याख्याओं की अनुमति देता है: यह भी, उन्मुख रेखाओं, क्षेत्रों, मात्राओं, आदि के साथ पहचाना जा सकता है, जो एक, दो या अधिक वैक्टरों द्वारा फैलाए जाते हैं। बाहरी उत्पाद इन ज्यामितीय धारणाओं को सभी वेक्टर रिक्त स्थान और किसी भी आयाम के लिए सामान्य करता है, यहां तक ​​कि स्केलर उत्पाद की अनुपस्थिति में भी।

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र
आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांतों में, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को आम तौर पर 4-स्थान में अंतर 2-रूप $$ F = dA $$ के रूप में या समकक्ष वैकल्पिक टेंसर क्षेत्र $$ F_{ij} = A_{[i,j]} = A_{[i;j]}, $$ विद्युत चुम्बकीय टेंसर के रूप में दिया जाता है। फिर $$ dF = ddA = 0 $$ या समतुल्य बियांची पहचान $$ F_{[ij,k]} = F_{[ij;k]} = 0 $$। इसमें से किसी को भी मीट्रिक की आवश्यकता नहीं है।

लोरेंत्ज़ मीट्रिक और एक ओरिएंटेशन जोड़ने से हॉज स्टार ऑपरेटर $$ \star $$ मिलता है और इस प्रकार $$ J = {\star}d{\star}F $$ या समकक्ष टेन्सर डाइवर्जेंस $$ J^i = F^{ij}_{,j} = F^{ij}_{;j} $$ को परिभाषित करना संभव हो जाता है जहाँ $$ F^{ij} = g^{ik}g^{jl}F_{kl} $$।

औपचारिक परिभाषाएँ और बीजगणितीय गुण
क्षेत्र $K$ पर सदिश स्थान $V$ का बाहरी बीजगणित $ \bigwedge(V) $ को टेंसर बीजगणित $T(V)$ के भागफल बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है, जो दो तरफा आदर्श $I$ द्वारा उत्पन्न $x ⊗ x$ के लिए $x ∈ V$ (यानी सभी टेंसर जिन्हें $V$ में वेक्टर के टेन्सर उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है) के सभी तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है। आदर्श I में फॉर्म $$ x \otimes y + y \otimes x = (x + y) \otimes (x + y) - x \otimes x - y \otimes y $$ के तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श जे शामिल है और यदि $$ \operatorname{char}(K) \ne 2 $$ (यदि $$ \operatorname{char}(K) = 2, $$ ये आदर्श शून्य वेक्टर स्थान को छोड़कर अलग हैं) तो ये आदर्श मेल खाते हैं।

इसलिए,


 * $$ {\textstyle\bigwedge}(V) = T(V)/I $$

एक साहचर्य बीजगणित है। इसके गुणन को बाह्य उत्पाद कहा जाता है, और इसे $∧$ से दर्शाया जाता है। इसका मतलब यह है कि $ \bigwedge(V) $ का गुणनफल $T(V)$ के टेन्सर गुणनफल $⊗$ से प्रेरित है।

$T^{0} = K$, $T^{1} = V$, और $$ \left(T^0(V) \oplus T^1(V)\right) \cap I = \{ 0 \}, $$ के रूप में, $T(V)$ में $K$ और $V$ का समावेश $K$ और $V$ के इंजेक्शन को $ \bigwedge(V) $  में प्रेरित करता है। इन इंजेक्शनों को आमतौर पर समावेशन के रूप में माना जाता है, और इन्हें प्राकृतिक अंतःस्थापन, प्राकृतिक इंजेक्शन या प्राकृतिक समावेशन कहा जाता है। प्राकृतिक के स्थान पर आमतौर पर विहित शब्द का भी प्रयोग किया जाता है।

वैकल्पिक उत्पाद
बाहरी उत्पाद $$ V, $$ के तत्वों पर बारी-बारी से निर्माण द्वारा है, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त निर्माण द्वारा सभी $ x \wedge x = 0 $ के लिए $$ x \in V $$। यह इस प्रकार है कि यह उत्पाद $$ V, $$ के तत्वों पर भी विरोधी है, यह मानने के लिए कि $$ x, y \in V, $$

0 = (x + y) \wedge (x + y) = x \wedge x + x \wedge y + y \wedge x + y \wedge y = x \wedge y + y \wedge x $$ इसलिए


 * $$ x \wedge y = -(y \wedge x). $$

अधिक व्यापक रूप से, यदि σ पूर्णांक [1, ..., k], और x1, x2, ..., xk, V के अवयव हैं, का एक क्रमचय है, तो यह अनुसरण करता है कि



x_{\sigma(1)} \wedge x_{\sigma(2)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(k)} = \operatorname{sgn}(\sigma)x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_k, $$ जहां sgn(σ) क्रमचय σ का हस्ताक्षर है।

विशेष रूप से, यदि xi = xj कुछ i ≠ j के लिए, तो वैकल्पिक संपत्ति का निम्नलिखित सामान्यीकरण भी मान्य है:


 * $$ x_{1} \wedge x_{2} \wedge \cdots \wedge x_{k} = 0. $$

बाहरी उत्पाद की वितरणात्मक संपत्ति के साथ, एक और सामान्यीकरण यह है कि यदि और केवल यदि $$ \{ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k} \} $$ सदिशों का रैखिक रूप से निर्भर सेट है, तो


 * $$ x_{1} \wedge x_{2} \wedge \cdots \wedge x_{k} = 0. $$

बाहरी शक्ति
V की k वीं बाहरी शक्ति, $ \bigwedge\nolimits^k(V), $ को निरूपित करती है, $ \bigwedge(V) $  की सदिश उप-समष्टि है जो प्रपत्र के तत्वों द्वारा फैली हुई है



x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_k,\quad x_i \in V, i=1,2,\ldots, k. $$ यदि $ \alpha \in \bigwedge\nolimits^k(V), $ है, तो α को k-सदिश कहा जाता है। यदि, इसके अलावा, α को V के k तत्वों के बाहरी उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो α को डीकंपोज़ेबल कहा जाता है। हालांकि डीकंपोज़ेबल के-वैक्टर $ \bigwedge\nolimits^k(V), $  तक फैले हुए हैं, लेकिन $ \bigwedge\nolimits^k(V) $  का प्रत्येक तत्व डीकंपोज़ेबल नहीं है। उदाहरण के लिए, $$ \mathbb R^4, $$ में निम्नलिखित 2-वेक्टर डीकंपोजेबल नहीं है:


 * $$ \alpha = e_1 \wedge e_2 + e_3 \wedge e_4. $$

(यह एक सहानुभूतिपूर्ण रूप है, क्योंकि α ∧ α ≠ 0 है। )

आधार और आयाम
यदि $V$ की विमा $n$ है और ${ e_{1}, …, e_{n} }$ $V$ का बेसिस है, तो समुच्चय



\{\,e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge \cdots \wedge e_{i_k} ~ \big| 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n \,\} $$ $ \bigwedge\nolimits^k(V) $ के लिए बेसिस है। कारण निम्न है: प्रपत्र के किसी भी बाहरी उत्पाद को दिया गया


 * $$ v_1 \wedge \cdots \wedge v_k, $$

प्रत्येक सदिश $v_{j}$ को आधार सदिशों $e_{i}$ के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है; बाहरी उत्पाद की बिलिनियरिटी का उपयोग करके, इसे उन आधार वैक्टरों के बाहरी उत्पादों के रैखिक संयोजन तक विस्तारित किया जा सकता है। कोई भी बाहरी उत्पाद जिसमें एक ही आधार वेक्टर एक से अधिक बार प्रकट होता है, शून्य होता है; कोई भी बाहरी उत्पाद जिसमें आधार वैक्टर उचित क्रम में प्रकट नहीं होते हैं, को फिर से व्यवस्थित किया जा सकता है, जब भी दो आधार वैक्टर स्थान बदलते हैं, तो चिन्ह बदल सकते हैं। सामान्य तौर पर, आधार $k$-वैक्टर के परिणामी गुणांक की गणना मैट्रिक्स के अवयस्क के रूप में की जा सकती है जो आधार $e_{i}$ के संदर्भ में वैक्टर $v_{j}$ का वर्णन करता है।

आधार तत्वों की गणना करके, $ \bigwedge\nolimits^k(V) $ का आयाम एक द्विपद गुणांक के बराबर है:


 * $$ \dim {\textstyle\bigwedge}^k(V) = \binom{n}{k}\,. $$

जहां $n$ सदिशों का आयाम है और $k$ उत्पाद में सदिशों की संख्या है। असाधारण मामलों के लिए भी द्विपद गुणांक सही परिणाम उत्पन्न करता है; विशेष रूप से, $k > n$ के लिए $ \bigwedge\nolimits^k(V) = \{ 0 \} $ ।

बाह्य बीजगणित के किसी भी तत्व को k-वैक्टरों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, सदिश स्थान के रूप में बाहरी बीजगणित एक सीधा योग है



{\textstyle\bigwedge}(V) = {\textstyle\bigwedge}^0(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^1(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^2(V) \oplus \cdots \oplus {\textstyle\bigwedge}^n(V) $$ (जहां सम्मेलन $ \bigwedge\nolimits^0(V) = K, $ $V$, और $ \bigwedge\nolimits^1(V) = V $  के नीचे का क्षेत्र), और इसलिए इसका आयाम द्विपद गुणांक के योग के बराबर है, जो कि 2n है।

एक के-वेक्टर की रैंक
यदि $ \alpha \in \bigwedge\nolimits^k(V) $ है, तो α को अपघटन योग्य k-वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करना संभव है:


 * $$ \alpha = \alpha^{(1)} + \alpha^{(2)} + \cdots + \alpha^{(s)} $$

जहां प्रत्येक α(i) विघटित होता है, कहते हैं



\alpha^{(i)} = \alpha^{(i)}_1 \wedge \cdots \wedge \alpha^{(i)}_k,\quad i = 1,2,\ldots, s. $$ K-वेक्टर α का रैंक α के इस तरह के विस्तार में विघटन योग्य के-वैक्टर की न्यूनतम संख्या है। यह टेंसर रैंक की धारणा के समान ही है।

2-वैक्टरों के अध्ययन में रैंक विशेष रूप से महत्वपूर्ण है । 2-वेक्टर α की रैंक को एक आधार में α के गुणांकों के मैट्रिक्स के आधे रैंक के साथ पहचाना जा सकता है। इस प्रकार यदि ई वी के लिए एक आधार है, तो α को अद्वितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है


 * $$ \alpha = \sum_{i,j}a_{ij}e_i \wedge e_j $$

जहाँ aij = −aji (गुणांकों का आव्यूह तिरछा सममित है)। इसलिए आव्यूह aij की कोटि सम है, और α के रूप की कोटि से दोगुनी है।

विशेषता 0 में, 2-वेक्टर α का रैंक p है यदि और केवल यदि



\underset{p}{\underbrace{\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha}} \neq 0 \ $$ और $$ \ \underset{p+1}{\underbrace{\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha}} = 0. $$

ग्रेडेड संरचना
पी-वेक्टर के साथ के-वेक्टर का बाहरी उत्पाद एक (के + पी) -वेक्टर है, जो एक बार फिर बिलिनियरिटी का आह्वान करता है। एक परिणाम के रूप में, पिछले अनुभाग का प्रत्यक्ष योग अपघटन



{\textstyle\bigwedge}(V) = {\textstyle\bigwedge}^{\!0}(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!1}(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!2}(V) \oplus \cdots \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!n}(V) $$ बाहरी बीजगणित को एक वर्गीकृत बीजगणित की अतिरिक्त संरचना देता है, अर्थात



{\textstyle\bigwedge}^k(V) \wedge {\textstyle\bigwedge}^p(V) \sub {\textstyle\bigwedge}^{k+p}(V). $$ इसके अतिरिक्त, यदि $K$ आधार क्षेत्र है, तो हमारे पास है



{\textstyle\bigwedge}^{\!0}(V) = K $$ और $$ {\textstyle\bigwedge}^{\!1}(V) = V. $$ बाहरी उत्पाद को एंटीकोम्यूटेटिव श्रेणीबद्ध किया गया है, जिसका अर्थ है कि यदि $ \alpha \in \bigwedge\nolimits^k(V) $ और $ \beta \in \bigwedge\nolimits^p(V), $  हैं, तो


 * $$ \alpha \wedge \beta = (-1)^{kp}\beta \wedge \alpha. $$

बाहरी बीजगणित पर श्रेणीबद्ध संरचना का अध्ययन करने के अलावा, बाहरी बीजगणित पर अतिरिक्त वर्गीकृत संरचनाओं का अध्ययन करता है, जैसे कि एक वर्गीकृत मॉड्यूल के बाहरी बीजगणित पर (एक मॉड्यूल जो पहले से ही अपने स्वयं के उन्नयन को वहन करता है)।

सार्वभौमिक संपत्ति
मान लीजिए $V$ क्षेत्र $K$ पर एक सदिश स्थान है। अनौपचारिक रूप से, $ \bigwedge(V) $ में गुणा प्रतीकों में हेरफेर करके और एक वितरण कानून, एक सहयोगी कानून लागू करके और $v ∈ V$ के लिए पहचान $$ v \wedge v = 0 $$ का उपयोग करके किया जाता है। औपचारिक रूप से, $ \bigwedge(V) $  "सबसे सामान्य" बीजगणित है जिसमें ये नियम गुणन के लिए धारण करते हैं, इस अर्थ में कि $V$ पर वैकल्पिक गुणन के साथ $V$ वाले किसी भी एकात्मक साहचर्य $K$-बीजगणित में $ \bigwedge(V) $  की एक समरूप छवि होनी चाहिए। दूसरे शब्दों में, बाहरी बीजगणित में निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण होते हैं:  किसी भी यूनिटल सहयोगी के-बीजगणित $A$ और किसी भी $K$-रेखीय मानचित्र $$ j : V \to A $$ को देखते हुए $V$ में प्रत्येक $v$ के लिए $$ j(v)j(v) = 0 $$, तो ठीक एक इकाई बीजगणित समाकारिता $ f : \bigwedge(V)\to A $ मौजूद है जैसे कि $j(v) = f(i(v))$ $V$ में सभी $v$ के लिए (यहाँ $i$ $ \bigwedge(V), $  में $V$ का स्वाभाविक समावेश है, ऊपर देखें)।

सबसे सामान्य बीजगणित का निर्माण करने के लिए जिसमें $V$ शामिल है और जिसका गुणन $V$ पर वैकल्पिक है, सबसे सामान्य साहचर्य बीजगणित के साथ शुरू करना स्वाभाविक है जिसमें $V$, टेंसर बीजगणित $T(V)$ शामिल है, और फिर एक उपयुक्त भागफल लेकर वैकल्पिक संपत्ति को लागू करें। इस प्रकार हम $V$ में $v$ के लिए $v ⊗ v$ के रूप के सभी तत्वों द्वारा उत्पन्न $T(V)$ में दो-तरफा आदर्श $I$ लेते हैं, और $ \bigwedge(V) $ को भागफल के रूप में परिभाषित करते हैं।


 * $$ {\textstyle\bigwedge}(V) = T(V)/I\ $$

(और $∧$ को $ \bigwedge(V) $ में गुणन के प्रतीक के रूप में उपयोग करें)। इसके बाद यह दिखाना सीधा है कि $ \bigwedge(V) $  में $V$ है और उपरोक्त सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है।

इस निर्माण के परिणामस्वरूप, एक सदिश स्थान $V$ को इसके बाहरी बीजगणित $ \bigwedge(V) $ को असाइन करने का संचालन सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी से बीजगणित की श्रेणी का एक फ़ंक्टर है।

पहले $ \bigwedge(V) $ को परिभाषित करने और फिर बाहरी शक्तियों $ \bigwedge\nolimits^k(V) $  को कुछ उप-स्थानों के रूप में पहचानने के बजाय, वैकल्पिक रूप से पहले रिक्त स्थान $ \bigwedge\nolimits^k(V) $  को परिभाषित किया जा सकता है और फिर बीजगणित $ \bigwedge(V) $  बनाने के लिए उन्हें जोड़ा जा सकता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग अक्सर विभेदक ज्यामिति में किया जाता है और अगले भाग में वर्णित किया जाता है।

सामान्यीकरण
एक क्रमविनिमेय वलय R और एक R-मॉड्यूल M को देखते हुए, हम बाहरी बीजगणित $ \bigwedge(M) $ को ठीक ऊपर की तरह परिभाषित कर सकते हैं, जैसा कि टेन्सर बीजगणित T(M) के उपयुक्त भागफल के रूप में है। यह समान सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करेगा। $ \bigwedge(M) $  के कई गुणों के लिए यह भी आवश्यक है कि M एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल हो। जहां परिमित आयामीता का उपयोग किया जाता है, गुणों के लिए आगे की आवश्यकता होती है कि M सूक्ष्म रूप से उत्पन्न और प्रक्षेपी हो। सबसे आम स्थितियों के लिए सामान्यीकरण  में पाया जा सकता है।

ज्यामिति और टोपोलॉजी में वेक्टर बंडलों के बाहरी बीजगणित पर अक्सर विचार किया जाता है। सेरे-स्वान प्रमेय द्वारा परिमित-आयामी वेक्टर बंडलों के बाहरी बीजगणित के बीजगणितीय गुणों और सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के बाहरी बीजगणित के बीच कोई आवश्यक अंतर नहीं हैं। अधिक सामान्य बाहरी बीजगणित को मॉड्यूल के ढेरों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

बारी -बारी से टेंसर बीजगणित
यदि K विशेषता 0 का एक क्षेत्र है, तो K पर एक सदिश स्थान V के बाहरी बीजगणित को एंटीसिमेट्रिक टेंसरों से युक्त T(V) के सदिश उपस्थान के साथ कैनोनिक रूप से पहचाना जा सकता है। याद रखें कि बाह्य बीजगणित, x ⊗ x के रूप के तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श I द्वारा T(V) का भागफल है।

मान लीजिए Tr(V) डिग्री r के सजातीय टेन्सरों का स्थान है। यह डीकंपोज़ेबल टेंसरों द्वारा फैला हुआ है


 * $$ v_1 \otimes \cdots \otimes v_r,\quad v_i \in V. $$

एक डीकंपोज़ेबल टेन्सर के एंटीसिमेट्रिज़ेशन (या कभी-कभी तिरछा-सममितीकरण) द्वारा परिभाषित किया गया है



\operatorname{Alt}(v_1 \otimes \cdots \otimes v_r) = \frac{1}{r!}\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_r} \operatorname{sgn}(\sigma) v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(r)} $$ जहां प्रतीक {1, ..., r} पर क्रमपरिवर्तन के सममित समूह पर योग लिया जाता है। यह पूर्ण टेन्सर बीजगणित T(V) पर रैखिकता और एकरूपता द्वारा एक ऑपरेशन तक फैला हुआ है, जिसे Alt द्वारा भी निरूपित किया जाता है। छवि Alt(T(V)) वैकल्पिक टेन्सर बीजगणित है, जिसे A(V) के रूप में दर्शाया गया है। यह T(V) की एक सदिश उपसमष्टि है, और यह T(V) से एक श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि की संरचना को इनहेरिट करती है। यह एक सहयोगी श्रेणीबद्ध उत्पाद $$ \widehat{\otimes} $$ द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$ t~\widehat{\otimes}~s = \operatorname{Alt}(t \otimes s). $$

यद्यपि यह उत्पाद टेंसर उत्पाद से अलग है, ऑल्ट का कर्नेल ठीक आदर्श I है (फिर से, यह मानते हुए कि K में विशेषता 0 है), और एक कैनोनिकल समरूपता है


 * $$ A(V)\cong {\textstyle\bigwedge}(V). $$

सूचकांक संकेतन
मान लीजिए कि V का परिमित आयाम n है, और V का एक आधार e1, ..., en दिया गया है। तब किसी भी प्रत्यावर्ती टेंसर t ∈ Ar(V) ⊂ Tr(V) को इंडेक्स नोटेशन में इस प्रकार लिखा जा सकता है



t = t^{i_1i_2\cdots i_r}\, {\mathbf e}_{i_1} \otimes {\mathbf e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes {\mathbf e}_{i_r}, $$ जहां ti1⋅⋅⋅ir अपने सूचकांकों में पूरी तरह से विरोधी सममित है।

रैंक r और p के दो वैकल्पिक टेंसरों t और s का बाहरी उत्पाद द्वारा दिया गया है



t~\widehat{\otimes}~s = \frac{1}{(r+p)!}\sum_{\sigma \in {\mathfrak S}_{r+p}}\operatorname{sgn}(\sigma)t^{i_{\sigma(1)} \cdots i_{\sigma(r)}} s^{i_{\sigma(r+1)} \cdots i_{\sigma(r+p)}} {\mathbf e}_{i_1} \otimes {\mathbf e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes {\mathbf e}_{i_{r+p}}. $$ इस टेन्सर के घटक टेन्सर उत्पाद s ⊗ t के घटकों के ठीक तिरछे भाग हैं, जो सूचकांकों पर वर्ग कोष्ठक द्वारा निरूपित हैं:



(t~\widehat{\otimes}~s)^{i_1\cdots i_{r+p}} = t^{[i_1\cdots i_r}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}. $$ इंटीरियर प्रोडक्ट को इंडेक्स नोटेशन में भी इस तरह से वर्णित किया जा सकता है। मान लीजिए कि $$ t = t^{i_0i_1\cdots i_{r-1}} $$कोटि r का एक असममित टेंसर है। फिर, α ∈ V∗ के लिए, iαt रैंक r − 1 का एक वैकल्पिक टेन्सर है, जो निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:



(i_\alpha t)^{i_1\cdots i_{r-1}} = r\sum_{j=0}^n\alpha_j t^{ji_1\cdots i_{r-1}}. $$ जहाँ n, V का आयाम है।

अल्टरनेटिंग ऑपरेटर
दो वेक्टर रिक्त स्थान V और और एक प्राकृतिक संख्या के को देखते हुए, Vk  से X  तक एक वैकल्पिक ऑपरेटर एक बहु-रैखिक मानचित्र है


 * $$ f\colon V^k \to X $$

इस प्रकार कि जब भी v1, ..., vk V में रैखिक रूप से आश्रित सदिश हों, तब


 * $$ f(v_1,\ldots, v_k) = 0. $$

वो नक्शा


 * $$ w\colon V^k \to {\textstyle\bigwedge}^{\!k}(V) $$

जो $$ V $$ से $$ k $$ सदिशों से जुड़ा है, उनका बाहरी उत्पाद, यानी उनका संबंधित $$ k $$-वेक्टर भी वैकल्पिक है। वास्तव में, यह मानचित्र $$ V^k $$ पर परिभाषित "सबसे सामान्य" प्रत्यावर्ती संचालिका है; किसी भी अन्य वैकल्पिक ऑपरेटर $$ f : V^k \rightarrow X, $$ को देखते हुए, $$ f = \phi \circ w $$ के साथ एक अद्वितीय रैखिक नक्शा $$ \phi : \wedge^{k}(V) \rightarrow X $$ मौजूद है। यह सार्वभौमिक संपत्ति अंतरिक्ष $$ \wedge^{k}(V) $$ की विशेषता है और इसकी परिभाषा के रूप में काम कर सकती है।

अल्टरनेटिंग मल्टीलिनियर फॉर्म
उपरोक्त चर्चा मामले के लिए विशेषज्ञ है जब X = K, आधार क्षेत्र। इस मामले में एक वैकल्पिक मल्टीलाइनर फ़ंक्शन


 * $$ f : V^k \to K\ $$

एक वैकल्पिक बहुरेखीय रूप कहा जाता है। सभी वैकल्पिक बहुरेखीय रूपों का सेट एक वेक्टर स्थान है, क्योंकि ऐसे दो मानचित्रों का योग, या एक स्केलर के साथ ऐसे मानचित्र का उत्पाद, फिर से वैकल्पिक है। बाहरी शक्ति की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा, V पर डिग्री k के वैकल्पिक रूपों का स्थान स्वाभाविक रूप से दोहरी वेक्टर अंतरिक्ष $ \bigl(\bigwedge\nolimits^k(V)\bigr)^* $ के साथ आइसोमोर्फिक है। यदि V परिमित-आयामी है, तो बाद वाला स्वाभाविक रूप से आइसोमॉर्फिक है $ \bigwedge\nolimits^k\left(V^*\right) $  तक। विशेष रूप से, यदि वी एन-आयामी है, तो वीके से केके तक वैकल्पिक मानचित्रों के स्थान का आयाम द्विपद गुणांक $ \binom{n}{k} $  है।

इस तरह की पहचान के तहत, बाहरी उत्पाद एक ठोस रूप लेता है: यह दो दिए गए लोगों से एक नया विरोधी सममित नक्शा तैयार करता है। मान लीजिए ω : Vk → K और η : Vm → K दो विरोधी सममित मानचित्र हैं। बहुरेखीय नक्शों के टेंसर गुणनफलों की तरह, उनके बाहरी गुणनफल के चरों की संख्या उनके चरों की संख्याओं का योग होती है। बहुरेखीय रूपों के साथ बाहरी शक्ति के तत्वों की पहचान के विकल्प के आधार पर, बाहरी उत्पाद को इस रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$ \omega \wedge \eta = \operatorname{Alt}(\omega \otimes \eta) $$

या के रूप में



\omega \wedge \eta = \frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega \otimes \eta), $$ जहां, यदि आधार फ़ील्ड K की विशेषता 0 है, तो एक बहु-मानचित्र के वैकल्पिक alt को इसके चर के सभी क्रमों पर हस्ताक्षर-समायोजित मूल्यों के औसत के रूप में परिभाषित किया गया है:



\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k) = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma \in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\, \omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}). $$ जब क्षेत्र (गणित) k में एक क्षेत्र की विशेषता  होती है, तो किसी भी फैक्टरियल्स या किसी भी स्थिरांक के बिना दूसरी अभिव्यक्ति का एक समान संस्करण अच्छी तरह से परिभाषित होता है:



{\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m})} = \sum_{\sigma \in \mathrm{Sh}_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\, \omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)})\, \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}), $$ यहां कहां Shk,m ⊂ Sk+m (p, q) शफल का सबसेट है। {1, 2, ..., k + m} ऐसा है कि σ(1) < σ(2) < ⋯ < σ(k), और σ(k + 1) < σ(k + 2) < ⋯ < σ(k + m)।

आंतरिक उत्पाद
मान लीजिए कि v परिमित आयामी है।अगर वी∗ वेक्टर स्पेस V के लिए दोहरी स्थान को दर्शाता है, फिर प्रत्येक के लिए α ∈ V∗, बीजगणित पर एक व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित)  को परिभाषित करना संभव है $ \bigwedge(V), $

i_\alpha:{\textstyle\bigwedge}^k V \rightarrow {\textstyle\bigwedge}^{k-1}V. $$ इस व्युत्पत्ति को  α , या कभी -कभी सम्मिलन ऑपरेटर, या  α  द्वारा संकुचन के साथ आंतरिक उत्पाद कहा जाता है।

मान लीजिए $ w \in \bigwedge\nolimits^k V. $ फिर डब्ल्यू  वी  का एक बहुपक्षीय मानचित्रण है∗ से k, इसलिए इसे K- फोल्ड कार्टेशियन उत्पाद पर इसके मूल्यों द्वारा परिभाषित किया गया है V∗ × V∗ × ... × V∗।अगर आप1, यू2, ..., यूk−1 हैं k − 1 वी के तत्व∗, फिर परिभाषित करें



(i_\alpha {\mathbf w})(u_1,u_2,\ldots,u_{k-1}) = {\mathbf w}(\alpha,u_1,u_2,\ldots, u_{k-1}). $$ इसके अतिरिक्त, चलो iαf = 0 जब भी f एक शुद्ध स्केलर होता है (यानी, से संबंधित $ \bigwedge\nolimits^0 V $ )।

स्वयंसिद्ध लक्षण वर्णन और गुण
आंतरिक उत्पाद निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

i_\alpha:{\textstyle\bigwedge}^k V\rightarrow {\textstyle\bigwedge}^{k-1}V. $$ (रिवाज के अनुसार, $ \bigwedge\nolimits^{-1}V=\{0\}. $ ) i_\alpha (a \wedge b) = (i_\alpha a) \wedge b + (-1)^{\deg a}a \wedge (i_\alpha b). $$ ये तीन गुण आंतरिक उत्पाद को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त हैं और साथ ही इसे सामान्य अनंत-आयामी मामले में परिभाषित करते हैं।
 * 1) प्रत्येक k और प्रत्येक के लिए α ∈ V∗, $$
 * 1) यदि v v का एक तत्व है ($ = \bigwedge\nolimits^1 V $ ), तब iαv = α(v) v के तत्वों और v के तत्वों के बीच दोहरी जोड़ी है∗।
 * 2) प्रत्येक के लिए α ∈ V∗, मैंα डिग्री −1 की एक ग्रेडेड व्युत्पत्ति है:$$

आंतरिक उत्पाद के आगे के गुणों में शामिल हैं:
 * $$ i_\alpha\circ i_\alpha = 0. $$
 * $$ i_\alpha\circ i_\beta = -i_\beta\circ i_\alpha. $$

हॉज द्वैत
मान लीजिए कि v में परिमित आयाम n है।तब आंतरिक उत्पाद वेक्टर रिक्त स्थान के एक विहित आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है



{\textstyle\bigwedge}^k(V^*) \otimes {\textstyle\bigwedge}^n(V) \to {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V) $$ पुनरावर्ती परिभाषा द्वारा


 * $$ i_{\alpha \wedge \beta} = i_\beta \circ i_\alpha. $$

ज्यामितीय सेटिंग में, शीर्ष बाहरी शक्ति का एक गैर-शून्य तत्व $ \bigwedge\nolimits^n(V) $ (जो एक आयामी वेक्टर स्पेस है) को कभी-कभी  खंड रूप  (या ओरिएंटेशन फॉर्म कहा जाता है, हालांकि यह शब्द कभी-कभी अस्पष्टता का कारण बन सकता है)।नाम अभिविन्यास फॉर्म इस तथ्य से आता है कि पसंदीदा शीर्ष तत्व का एक विकल्प पूरे बाहरी बीजगणित के एक अभिविन्यास को निर्धारित करता है, क्योंकि यह वेक्टर अंतरिक्ष के एक आदेशित आधार को ठीक करने के लिए समान है।पसंदीदा वॉल्यूम फॉर्म   'के सापेक्ष, आइसोमोर्फिज्म द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया है



{\textstyle\bigwedge}^k(V^*) \to {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V)
 * \alpha \mapsto i_\alpha\sigma.

$$ यदि, वॉल्यूम फॉर्म के अलावा, वेक्टर स्पेस V V के साथ V की पहचान करने वाले एक आंतरिक उत्पाद से लैस है∗, फिर परिणामी आइसोमोर्फिज्म को हॉज स्टार ऑपरेटर कहा जाता है, जो एक तत्व को अपने हॉज दोहरे के लिए मानचित्र करता है:



\star : {\textstyle\bigwedge}^k(V) \rightarrow {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V). $$ की रचना $$ \star $$ अपने आप के साथ नक्शे $ \bigwedge\nolimits^k(V) $ → $ \bigwedge\nolimits^k(V) $ और हमेशा पहचान मानचित्र का एक स्केलर मल्टीपल होता है।अधिकांश अनुप्रयोगों में, वॉल्यूम फॉर्म इस अर्थ में आंतरिक उत्पाद के साथ संगत है कि यह इस मामले में वी के एक ऑर्थोनॉर्मल आधार का एक बाहरी उत्पाद है,
 * $$ \star \circ \star : {\textstyle\bigwedge}^k(V) \to {\textstyle\bigwedge}^k(V) = (-1)^{k(n-k) + q}\mathrm{id} $$

जहां आईडी पहचान मैपिंग है, और आंतरिक उत्पाद में मीट्रिक हस्ताक्षर  हैं (p, q) - पी प्लसस और क्यू माइनस।

आंतरिक उत्पाद
V के लिए एक परिमित-आयामी स्थान, एक आंतरिक उत्पाद (या एक छद्म-यूक्लिडियन स्थान  | Pseudo-Euclidean Inner Product) V पर V के साथ V के एक आइसोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है∗, और इसलिए भी एक आइसोमोर्फिज्म $ \bigwedge\nolimits^k V $  साथ $ \bigl(\bigwedge\nolimits^k V\bigr)^*. $ इन दो स्थानों के बीच की जोड़ी भी एक आंतरिक उत्पाद का रूप लेती है।विघटित के-वैक्टर पर,



\left\langle v_1 \wedge \cdots \wedge v_k, w_1 \wedge \cdots \wedge w_k\right\rangle = \det\bigl(\langle v_i,w_j\rangle\bigr), $$ आंतरिक उत्पादों के मैट्रिक्स के निर्धारक।विशेष मामले में vi = wi, आंतरिक उत्पाद K-vector का वर्ग मानदंड है, जो ग्रामियन मैट्रिक्स  के निर्धारक द्वारा दिया गया है (⟨vi, vj⟩)।यह तब एक गैर-पतनशील आंतरिक उत्पाद के लिए बिलिनियरली (या जटिल मामले में sesquilinearly) विस्तारित किया जाता है $ \bigwedge\nolimits^k V. $  अगर ईi, i = 1, 2, ..., n, V का एक orthonormal आधार, फिर प्रपत्र के वैक्टर


 * $$ e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_k},\quad i_1 < \cdots < i_k, $$

के लिए एक orthonormal आधार का गठन करें $ \bigwedge\nolimits^k(V) $, कॉची -बनेट फॉर्मूला के बराबर एक बयान।

आंतरिक उत्पाद के संबंध में, बाहरी गुणा और आंतरिक उत्पाद पारस्परिक रूप से आसन्न हैं।विशेष तौर पर $ v \in \bigwedge\nolimits^{k-1}(V), $ $ w \in \bigwedge\nolimits^{k}(V), $  और $ x \in V, $

\langle x \wedge \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle \mathbf{v}, i_{x^\flat}\mathbf{w}\rangle $$ कहां x♭ ∈ V∗ संगीत आइसोमोर्फिज्म है, रैखिक कार्यात्मक द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$ x^\flat(y) = \langle x, y\rangle $$

सबके लिए y ∈ V।यह संपत्ति पूरी तरह से बाहरी बीजगणित पर आंतरिक उत्पाद की विशेषता है।

वास्तव में, अधिक आम तौर पर के लिए $ v \in \bigwedge\nolimits^{k-l}(V), $ $ w \in \bigwedge\nolimits^{k}(V), $  और $ x \in \bigwedge\nolimits^{l}(V), $  उपरोक्त आसन्न गुणों का पुनरावृत्ति देता है



\langle \mathbf{x} \wedge \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle \mathbf{v}, i_{\mathbf{x}^\flat}\mathbf{w}\rangle $$ कहाँ हैं $ x^\flat \in \bigwedge\nolimits^l\left(V^*\right) \simeq \bigl(\bigwedge\nolimits^l(V)\bigr)^* $ द्वारा परिभाषित दोहरी एल-वेक्टर है



\mathbf{x}^\flat(\mathbf{y}) = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle $$ सबके लिए $ y \in \bigwedge\nolimits^l(V). $

Bialgebra संरचना
वर्गीकृत बीजगणित के ग्रेडेड दोहरे के बीच एक पत्राचार है $ \bigwedge(V) $ और V. बाहरी बीजगणित (साथ ही सममित बीजगणित) पर वैकल्पिक रूप से बहुपक्षीय रूपों को एक Bialgebra संरचना विरासत में मिली है, और, वास्तव में, Tensor बीजगणित से एक HOPF बीजगणित संरचना।विषय के विस्तृत उपचार के लिए टेंसर अल्जेब्रास पर लेख देखें।

ऊपर परिभाषित बहुपक्षीय रूपों के बाहरी उत्पाद पर परिभाषित एक नक़ली  के लिए दोहरी है $ \bigwedge(V), $  एक  कोयला  की संरचना देना।कॉपरोडक्ट एक रैखिक फ़ंक्शन है Δ : $ \bigwedge(V) $ → $ \bigwedge(V) $  ⊗ $ \bigwedge(V) $ जो द्वारा दिया गया है


 * $$ \Delta(v) = 1 \otimes v + v \otimes 1 $$

तत्वों पर v। v।प्रतीक 1 क्षेत्र के इकाई तत्व के लिए खड़ा है। K ⊂ $ \bigwedge(V) $, ताकि उपरोक्त वास्तव में झूठ बोलें $ \bigwedge(V) $ ⊗ $ \bigwedge(V) $. कॉपरोडक्ट की यह परिभाषा पूर्ण स्थान पर उठा दी गई है $ \bigwedge(V) $ (रैखिक) होमोमोर्फिज्म द्वारा। इस समरूपता का सही रूप वह नहीं है जो किसी को भी लिख सकता है, लेकिन कोलजबरा लेख में ध्यान से परिभाषित किया जाना चाहिए।इस मामले में, एक को प्राप्त होता है

\Delta(v \wedge w) = 1 \otimes (v \wedge w) + v \otimes w - w \otimes v + (v \wedge w) \otimes 1. $$ विस्तार से इसका विस्तार करते हुए, एक विघटित तत्वों पर निम्नलिखित अभिव्यक्ति प्राप्त करता है:



\Delta(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k) = \sum_{p=0}^k \; \sum_{\sigma \in Sh(p+1,k-p)} \; \operatorname{sgn}(\sigma) (x_{\sigma(0)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(p)}) \otimes (x_{\sigma(p+1)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(k)}). $$ जहां दूसरा सारांश सभी (पी, क्यू) फेरबदल पर ले लिया गया है |(p+1, k−p)-शफ़ल्स।उपरोक्त एक उल्लेखनीय चाल के साथ लिखा गया है, क्षेत्र तत्व 1 का ट्रैक रखने के लिए: ट्रिक लिखने के लिए है $$ x_0 = 1, $$ और यह फेरबदल पर योग के विस्तार के दौरान विभिन्न स्थानों में फेरबदल किया जाता है।फेरबदल एक सह-वृद्धि के पहले स्वयंसिद्ध से सीधे अनुसरण करता है: तत्वों का सापेक्ष क्रम $$ x_k $$ राइफल फेरबदल में संरक्षित है: राइफल फेरबदल केवल आदेशित अनुक्रम को दो क्रमबद्ध अनुक्रमों में विभाजित करता है, एक बाईं ओर, और एक दाईं ओर।

निरीक्षण करें कि कॉप्रोडक्ट बीजगणित की ग्रेडिंग को संरक्षित करता है।पूर्ण स्थान तक विस्तार $ \bigwedge(V), $ किसी के पास



\Delta:{\textstyle\bigwedge}^k(V) \to \bigoplus_{p=0}^k {\textstyle\bigwedge}^p(V) \otimes {\textstyle\bigwedge}^{k-p}(V) $$ इस खंड में उपयोग किए जाने वाले टेंसर प्रतीक को कुछ सावधानी के साथ समझा जाना चाहिए: यह वैकल्पिक उत्पाद की परिभाषा में उपयोग किए जा रहे एक के रूप में एक ही टेंसर प्रतीक नहीं है।सहज रूप से, यह शायद एक और, लेकिन अलग, टेंसर उत्पाद के रूप में सोचना सबसे आसान है: यह अभी भी (द्वि-) रैखिक है, जैसा कि टेंसर उत्पाद होना चाहिए, लेकिन यह वह उत्पाद है जो एक Bialgebra की परिभाषा के लिए उपयुक्त है, किऑब्जेक्ट बनाने के लिए है $ \bigwedge(V) $ ⊗ $ \bigwedge(V) $. किसी भी तरह के शक को समानता को इंगित करके हिलाया जा सकता है (1 ⊗ v) ∧ (1 ⊗ w) = 1 ⊗ (v ∧ w) और (v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗ w) = v ⊗ w, जो टेंसर और वेज प्रतीकों को शामिल करने वाले भोले जोड़ -तोड़ के विपरीत, कोयला की परिभाषा से पालन करते हैं।यह अंतर टेंसर बीजगणित पर लेख में अधिक विस्तार से विकसित किया गया है।यहां, एक समस्या बहुत कम है, जिसमें वैकल्पिक उत्पाद ∧ स्पष्ट रूप से Bialgebra में गुणा से मेल खाता है, जो कि Bialgebra की परिभाषा में उपयोग के लिए प्रतीक को मुक्त छोड़ देता है।व्यवहार में, यह कोई विशेष समस्या प्रस्तुत नहीं करता है, जब तक कि एक अपवाद के साथ, वेज प्रतीक द्वारा ⊗ के वैकल्पिक रकम को बदलने के घातक जाल से बचता है।एक से एक वैकल्पिक उत्पाद का निर्माण कर सकता है, इस समझ के साथ कि यह एक अलग स्थान पर काम करता है।तुरंत नीचे, एक उदाहरण दिया गया है: दोहरी जगह के लिए वैकल्पिक उत्पाद कोपोडक्ट के संदर्भ में दिया जा सकता है।यहाँ Bialgebra का निर्माण टेंसर बीजगणित लेख में निर्माण को लगभग बिल्कुल समानता देता है, सिवाय बाहरी बीजगणित के लिए वैकल्पिक संकेतों को सही ढंग से ट्रैक करने की आवश्यकता को छोड़कर।

कॉपरोडक्ट के संदर्भ में, दोहरे स्थान पर बाहरी उत्पाद सिर्फ कॉपरोडक्ट का ग्रेडेड ड्यूल है:



(\alpha \wedge \beta)(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k) = (\alpha \otimes \beta)\left(\Delta(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k)\right) $$ जहां दाहिने हाथ की तरफ टेंसर उत्पाद बहुपक्षीय रैखिक मानचित्रों का है (असंगत सजातीय डिग्री के तत्वों पर शून्य द्वारा विस्तारित: अधिक सटीक रूप से, α ∧ β = ε ∘ (α ⊗ β) ∘ Δ, जहां ε परामर्श है, जैसा कि वर्तमान में परिभाषित किया गया है)।

'Counit' समरूपता है ε : $ \bigwedge(V) $ → K यह अपने तर्क के 0-ग्रेडेड घटक को लौटाता है।बाहरी उत्पाद के साथ, कॉप्रोडक्ट और काउंसिट, बाहरी बीजगणित पर एक Bialgebra की संरचना को परिभाषित करते हैं।

द्वारा सजातीय तत्वों पर परिभाषित एक एंटीपोड के साथ $$ S(x) = (-1)^{\binom{\text{deg}\, x\, + 1}{2}}x, $$ बाहरी बीजगणित एक हॉपफ बीजगणित है। <!- यह इस बारे में कुछ कहने लायक हो सकता है, लेकिन पहले से ही ऊपर गुजरने में उल्लेख किया गया है।

फंक्शनलिटी
मान लीजिए कि v और w वेक्टर रिक्त स्थान की एक जोड़ी हैं और f : V → W एक रैखिक मानचित्र है।फिर, सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा, ग्रेडेड अल्जेब्रा का एक अद्वितीय समरूपता मौजूद है



{\textstyle\bigwedge}(f)
 * {\textstyle\bigwedge}(V)\rightarrow {\textstyle\bigwedge}(W)

$$ ऐसा है कि



{\textstyle\bigwedge}(f)\left|_{{\textstyle\bigwedge}^1(V)}\right. = f : V={\textstyle\bigwedge}^1(V)\rightarrow W={\textstyle\bigwedge}^1(W). $$ विशेष रूप से, $ \bigwedge\left(f\right) $ सजातीय डिग्री को संरक्षित करता है।के-ग्रेडेड घटक $ \bigwedge\left(f\right) $  द्वारा विघटित तत्वों पर दिया जाता है



{\textstyle\bigwedge}(f)(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k) = f(x_1) \wedge \cdots \wedge f(x_k). $$ होने देना



{\textstyle\bigwedge}^k(f) = {\textstyle\bigwedge} (f)\left|_{{\textstyle\bigwedge}^k(V)}\right.
 * {\textstyle\bigwedge}^k(V) \rightarrow {\textstyle\bigwedge}^k(W).

$$ परिवर्तन के घटक $ \bigwedge\nolimits^k\left(f\right) $ वी और डब्ल्यू के आधार के सापेक्ष मैट्रिक्स है k × k एफ के नाबालिग।विशेष रूप से, अगर V = W और v परिमित आयाम n का है, फिर $ \bigwedge\nolimits^n\left(f\right) $  एक-आयामी वेक्टर स्पेस की मैपिंग है $ \bigwedge\nolimits^n(V) $  अपने आप को, और इसलिए एक स्केलर द्वारा दिया जाता है: एफ का निर्धारक।

सटीकता
यदि $$ 0 \to U \to V \to W \to 0 $$ वेक्टर रिक्त स्थान का एक छोटा सटीक अनुक्रम है, फिर



0 \to {\textstyle\bigwedge}^1(U) \wedge {\textstyle\bigwedge}(V) \to {\textstyle\bigwedge}(V) \to {\textstyle\bigwedge}(W) \to 0 $$ ग्रेडेड वेक्टर रिक्त स्थान का एक सटीक अनुक्रम है, जैसा है



0 \to \bigwedge(U) \to \bigwedge(V). $

प्रत्यक्ष रकम
विशेष रूप से, एक प्रत्यक्ष राशि का बाहरी बीजगणित बाहरी बीजगणित के टेंसर उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है:



{\textstyle\bigwedge}(V \oplus W) \cong {\textstyle\bigwedge}(V) \otimes {\textstyle\bigwedge}(W). $$ यह एक वर्गीकृत आइसोमोर्फिज्म है;अर्थात।,



{\textstyle\bigwedge}^k(V \oplus W) \cong \bigoplus_{p+q=k} {\textstyle\bigwedge}^p(V) \otimes {\textstyle\bigwedge}^q(W). $$ अधिक सामान्यता में, वेक्टर रिक्त स्थान के एक छोटे से सटीक अनुक्रम के लिए $ 0 \to U \mathrel{\overset{f}\to} V \mathrel{\overset{g}\to} W \to 0, $ एक प्राकृतिक निस्पंदन ( गणित ) है



0 = F^0 \subseteq F^1 \subseteq \cdots \subseteq F^k \subseteq F^{k+1} = {\textstyle\bigwedge}^k(V) $$ कहां $$ F^p $$ के लिए $$ p \geq 1 $$ फॉर्म के तत्वों द्वारा फैलाया जाता है $$ u_1 \wedge \ldots \wedge u_{k + 1-p} \wedge v_1 \wedge \ldots v_{p - 1} $$ के लिए $$ u_i \in U $$ और $$ v_i \in V. $$ इसी उद्धरण एक प्राकृतिक आइसोमोर्फिज्म को स्वीकार करते हैं



F^{p+1}/F^p \cong {\textstyle\bigwedge}^{k-p}(U) \otimes {\textstyle\bigwedge}^p(W) $$ के द्वारा दिया गया $$ u_1 \wedge \ldots \wedge u_{k + 1 -p} \wedge v_1 \wedge \ldots \wedge v_{p - 1} \mapsto u_1 \wedge \ldots \wedge u_{k+1-p} \otimes g(v_1) \wedge \ldots \wedge g(v_{p - 1}). $$ विशेष रूप से, यदि यू 1-आयामी है तो



0 \to U \otimes {\textstyle\bigwedge}^{k-1}(W) \to {\textstyle\bigwedge}^k(V) \to {\textstyle\bigwedge}^k(W) \to 0 $$ सटीक है, और यदि डब्ल्यू 1-आयामी है तो



0 \to {\textstyle\bigwedge}^k(U) \to {\textstyle\bigwedge}^k(V) \to {\textstyle\bigwedge}^{k-1}(U) \otimes W \to 0 $$ सटीक है।

रैखिक बीजगणित
रैखिक बीजगणित के अनुप्रयोगों में, बाहरी उत्पाद एक मैट्रिक्स (गणित) के निर्धारक और मामूली (मैट्रिक्स) का वर्णन करने के लिए एक अमूर्त बीजगणितीय तरीके प्रदान करता है।उदाहरण के लिए, यह अच्छी तरह से ज्ञात है कि एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक समानांतरोटोप की मात्रा के बराबर है, जिसके पक्ष मैट्रिक्स के स्तंभ हैं (एक संकेत के साथ ओरिएंटेशन को ट्रैक करने के लिए)।इससे पता चलता है कि निर्धारक को स्तंभ वैक्टर के बाहरी उत्पाद के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।इसी तरह, k × k एक मैट्रिक्स के नाबालिगों को एक समय में चुने गए कॉलम वैक्टर के बाहरी उत्पादों को देखकर परिभाषित किया जा सकता है।इन विचारों को न केवल मैट्रिसेस तक बल्कि रैखिक परिवर्तनों के लिए भी बढ़ाया जा सकता है: एक रैखिक परिवर्तन का निर्धारक वह कारक है जिसके द्वारा यह किसी भी दिए गए संदर्भ समानांतरता के उन्मुख मात्रा को बढ़ाता है।इसलिए एक रैखिक परिवर्तन के निर्धारक को शीर्ष बाहरी शक्ति में परिवर्तन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।कम बाहरी शक्तियों पर एक परिवर्तन की कार्रवाई परिवर्तन के नाबालिगों के बारे में बात करने के लिए एक वेक्टर अंतरिक्ष-स्वतंत्र तरीके का आधार देती है।

तकनीकी विवरण: परिभाषाएँ
होने देना $$ V $$ क्षेत्र पर एक एन-आयामी वेक्टर स्थान हो $$ K $$ आधार के साथ $$ \{e_1, \ldots, e_n\}. $$ {\textstyle\bigwedge}^k A(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k) = Av_1 \wedge \cdots \wedge Av_k $$ और सभी टेंसरों के लिए रैखिक रूप से परिभाषा का विस्तार करें।अधिक आम तौर पर, हम परिभाषित कर सकते हैं $ \bigwedge^p A^k \in \operatorname{End}\bigl(\bigwedge^p V\bigr), (p \geq k) $ द्वारा सरल टेंसर्स पर $$\begin{align} &\left({\textstyle\bigwedge}^p A^k \right)(v_1 \wedge \cdots \wedge v_p) \\[10mu] &\qquad= \sum_{0 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq p} v_1 \wedge \cdots \wedge Av_{i_1} \wedge \cdots \wedge Av_{i_k} \wedge \cdots \wedge v_p \end{align}$$ यानी K घटक चुनें, जिस पर A कार्य करेगा, फिर विभिन्न विकल्पों से प्राप्त सभी परिणामों को समेटें।यदि $$ p < k, $$ परिभाषित करना $ \bigwedge^p A^k = 0. $ तब से $ \bigwedge^n V $  आधार के साथ 1-आयामी है $$ e_1 \wedge \cdots \wedge e_n, $$ हम पहचान सकते हैं $ \bigwedge^n A^k $  अद्वितीय संख्या के साथ $$ \kappa \in K $$ संतुष्टि देने वाला $$ {\textstyle\bigwedge}^n A^k (e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = \kappa (e_1 \wedge \cdots \wedge e_n). $$
 * के लिए $$ A \in \operatorname{End}(V), $$ परिभाषित करना $ \bigwedge^k A \in \operatorname{End}\bigl(\bigwedge^k V\bigr) $ द्वारा सरल टेंसर्स पर $$
 * के लिए $$ \varphi \in \operatorname{End}\bigl({\textstyle\bigwedge}^p V\bigr), $$ बाहरी ट्रांसपोज़ को परिभाषित करें $ \varphi^\mathrm{T} \in \operatorname{End}\bigl(\bigwedge^{n-p} V\bigr) $ अद्वितीय ऑपरेटर संतुष्ट होना $ (\varphi^\mathrm{T}\omega_{n-p}) \wedge \omega_p = \omega_{n-p} \wedge (\varphi \omega_p) $  किसी के लिए $ \omega_p \in {\textstyle\bigwedge}^p V$  और $ \omega_{n-p} \in {\textstyle\bigwedge}^{n-p}V. $
 * के लिए $$ A \in \operatorname{End}(V), $$ परिभाषित करना $ \det A = \bigwedge^n A^n,$ $ \operatorname{Tr}(A) = \bigwedge^n A^1, $  $ \operatorname{adj} A = \bigl(\bigwedge^{n-1} A^{n-1}\bigr)^\mathrm{T}. $  ये पिछली परिभाषाओं के बराबर हैं।

मूल गुण
निर्धारक, ट्रेस और आसन्न की अन्य परिभाषाओं से प्राप्त सभी परिणाम इस परिभाषा से प्राप्त किए जा सकते हैं (क्योंकि ये परिभाषाएँ समकक्ष हैं)।यहां इन नई परिभाषाओं से संबंधित कुछ बुनियादी गुण हैं:

\psi:\operatorname{End}\bigl({\textstyle\bigwedge}^k V\bigr) \cong \operatorname{End}\bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-k} V\bigr) \\ A \mapsto A^\mathrm{T} \end{cases}$$ हालांकि, के बीच कोई विहित आइसोमोर्फिज्म नहीं है $ \bigwedge^k V $ और $ \bigwedge^{n-k} V. $ k \leq n-1, p \leq k, A \in \operatorname{End}(V), $$ $$ \sum_{q=0}^p \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-k} A^{p-q} \bigr)^\mathrm{T} \bigl({\textstyle\bigwedge}^k A^q \bigr) = \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^p \bigr) \operatorname{Id} \in \operatorname{End}(V). $$ विशेष रूप से, $$ \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{p-1} \bigr)^\mathrm{T} A + \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^p \bigr)^\mathrm{T} = \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^p \bigr) \operatorname{Id} $$ और इसलिए $$ (\operatorname{adj} A)A = \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-1} \bigr)^\mathrm{T} A = \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^n \bigr) \operatorname{Id} =(\det A)\operatorname{Id}. $$ \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^p \bigr)^\mathrm{T} = \sum_{q=0}^p \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^{p-q} \bigr)(-A)^q = \sum_{q=0}^p \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^{p-q} A \bigr)(-A)^q. $$ विशेष रूप से, $$ \operatorname{adj} A = \sum_{q=0}^{n-1} \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^{n-q-1} \bigr)(-A)^q. $$ \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^k \operatorname{adj} A \bigr) = {\textstyle\bigwedge}^n (\operatorname{adj} A)^k = (\det A)^{k-1} \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} \bigr) = (\det A)^{k-1} \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-k} A \bigr). $$ \operatorname{Tr}\! \Bigl( \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^k \bigr)^\mathrm{T} \Bigr) = (n-k) {\textstyle\bigwedge}^n A^p = (n-k) \operatorname{Tr}\left({\textstyle\bigwedge}^p A \right). $$ \operatorname{ch}_A(t) = \sum_{k=0}^n \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^k A \bigr)(-t)^{n-k} = \sum_{k=0}^n \left({\textstyle\bigwedge}^n A^k \right)(-t)^{n-k}. $$ इसी तरह, $$ \operatorname{ch}_{\operatorname{adj} A}(t) = \sum_{k=0}^n \left({\textstyle\bigwedge}^n(\operatorname{adj} A)^k \right)(-t)^{n-k} = \sum_{k=0}^n (\det A)^{k-1} \left({\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} \right)(-t)^{n-k} $$
 * $$ (\cdot)^\mathrm{T} $$ है $$ K $$-लाइनर।
 * $$ (AB)^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}. $$
 * हमारे पास एक विहित आइसोमोर्फिज्म है $$\begin{cases}
 * $ \operatorname{Tr} \bigl(\bigwedge^k A \bigr) = \bigwedge^n A^k. $ की ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ $ \bigwedge^k A $  हैं $$ k \times k $$-मिनर्स $$ A. $$
 * सबके लिए $$
 * विशेषता बहुपद $$ \operatorname{ch}_A(t) $$ का $$ A \in \operatorname{End}(V) $$ द्वारा दिया जा सकता है $$

लीवरियर का एल्गोरिथ्म
$ \bigwedge^n A^k $ के गुणांक हैं $$ (-t)^{n-k} $$ विशेषता बहुपद में शब्द।वे भी के भावों में दिखाई देते हैं $ \bigl(\bigwedge^{n-1} A^p\bigr)^\mathrm{T} $  और $ \bigwedge^n (\operatorname{adj} A)^k. $ लीवरियर का एल्गोरिथ्म कंप्यूटिंग का एक किफायती तरीका है $ \bigwedge^n A^k $  और $ \bigwedge^{n-1} A^k \colon$
 * सेट $ \bigwedge^{n-1} A^0 = 1; $
 * के लिए $$ k = n-1, n-2, \ldots, 1, 0, $$

{\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} = \frac{1}{n-k} \operatorname{Tr}(A \circ {\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-k-1}); $$

{\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-k} = {\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} \cdot \operatorname{Id} - A \circ {\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-k-1}. $$

भौतिकी
भौतिकी में, कई मात्राओं को स्वाभाविक रूप से वैकल्पिक ऑपरेटरों द्वारा दर्शाया जाता है।उदाहरण के लिए, यदि चार-आयामी स्पेसटाइम में एक चार्ज कण की गति वेग और त्वरण वैक्टर द्वारा वर्णित की जाती है, तो वेग वेक्टर के सामान्यीकरण के लिए आवश्यक है कि विद्युत चुम्बकीय बल वेग पर एक वैकल्पिक ऑपरेटर होना चाहिए।इसकी छह डिग्री स्वतंत्रता की पहचान विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के साथ की जाती है।

रैखिक ज्यामिति
डिकम्पोज़ेबल के-वैक्टर की ज्यामितीय व्याख्याएं हैं: bivector $u ∧ v$ वैक्टर द्वारा फैले हुए विमान का प्रतिनिधित्व करता है, एक संख्या के साथ भारित, पक्ष यू और वी के साथ उन्मुख समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र द्वारा दिया गया। $u ∧ v ∧ w$ किनारों यू, वी, और डब्ल्यू के साथ उन्मुख समानांतर की मात्रा द्वारा भारित 3-स्पेस का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रोजेक्टिव ज्यामिति
डीकंपोज़ेबल के-वैक्टर इन $ \bigwedge\nolimits^k V $ V के भारित k- आयामी रैखिक उप-समूहों के अनुरूप, विशेष रूप से, V के k- आयामी उप-समूहों के  ग्रासमैनियन, ने GR को निरूपित कियाk(V), स्वाभाविक रूप से  प्रोजेक्टिव स्पेस  की एक बीजीय किस्म के साथ पहचाना जा सकता है $ P\bigl(\bigwedge\nolimits^k V\bigr). $ इसे Plücker एम्बेडिंग कहा जाता है।

अंतर ज्यामिति
बाहरी बीजगणित में अंतर ज्यामिति में उल्लेखनीय अनुप्रयोग हैं, जहां इसका उपयोग अंतर रूपों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। विभेदक रूप गणितीय वस्तुएं हैं जो वैक्टर की लंबाई, समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रों, और समानांतरपिप्ड#समानांतरी के संस्करणों का मूल्यांकन करती हैं।कैलकुलस से सतह का [[ अभिन्न  अंग ]]।एक अलग -अलग कई गुना के बिंदु पर एक अंतर फॉर्म बिंदु पर  स्पर्शरेखा स्थान  पर एक वैकल्पिक बहुपक्षीय रूप है।समान रूप से, डिग्री k का एक विभेदक रूप स्पर्शरेखा अंतरिक्ष के k-th बाहरी शक्ति पर एक  रैखिक कार्यात्मक  है।परिणामस्वरूप, बहु -उत्पाद रूपों का बाहरी उत्पाद विभेदक रूपों के लिए एक प्राकृतिक बाहरी उत्पाद को परिभाषित करता है।विभेदक रूप अंतर ज्यामिति के विभिन्न क्षेत्रों में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं।

एक अंतर (गणित) #Differentials के रूप में कार्यों के रोगाणु रोगाणु (गणित)  के संदर्भ में अंतर रूपों को परिभाषित करते हैं।

विशेष रूप से, बाहरी व्युत्पन्न  एक विभेदक वर्गीकृत बीजगणित की संरचना को कई गुना पर विभेदक रूपों के बाहरी बीजगणित देता है। विविध ्स के बीच चिकनी मैपिंग के साथ पुलबैक (डिफरेंशियल ज्यामिति) के साथ बाहरी व्युत्पन्न आवागमन करता है, और इसलिए यह एक प्राकृतिक परिवर्तन अंतर ऑपरेटर है।बाहरी व्युत्पन्न के बाहरी बीजगणित, बाहरी व्युत्पन्न से सुसज्जित, एक  कोचेन कॉम्प्लेक्स  है, जिसके कोहोमोलॉजी को अंतर्निहित कई गुना के  एक शॉवर के रूप में डी रहीम  कहा जाता है और अलग -अलग मैनिफोल्ड के बीजगणितीय टोपोलॉजी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, बाहरी बीजगणित वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी में दो मौलिक शूर फंक्टर  में से एक है, दूसरा सममित बीजगणित है।साथ में, इन निर्माणों का उपयोग  सामान्य रैखिक समूह  के ireducible प्रतिनिधित्व को उत्पन्न करने के लिए किया जाता है; मौलिक प्रतिनिधित्व  देखें।

सुपरस्पेस
जटिल संख्याओं पर बाहरी बीजगणित एक सुपरराल्जबरा  का कट्टरपंथी उदाहरण है, जो  फर्मियन  और  अध्याय  से संबंधित भौतिक सिद्धांतों में एक मौलिक भूमिका निभाता है।बाहरी बीजगणित के एक एकल तत्व को एक सुपरनर कहा जाता है या  ग्रासमैन नंबर ।बाहरी बीजगणित ही केवल एक आयामी  अधीन करना  है: यह बाहरी बीजगणित में सभी बिंदुओं का सेट है।इस स्थान पर टोपोलॉजी अनिवार्य रूप से  कमजोर टोपोलॉजी  है,  खुले सेट   सिलेंडर सेट  हैं।एक $n$-डिमेंशनल सुपरस्पेस सिर्फ है $n$बाहरी बीजगणितों का गुफा उत्पाद।

झूठ बीजगणित होमोलॉजी
चलो एक क्षेत्र k पर एक झूठ बीजगणित हो, तो एल के बाहरी बीजगणित पर एक श्रृंखला परिसर की संरचना को परिभाषित करना संभव है। यह एक के-रैखिक मानचित्रण है



\partial : {\textstyle\bigwedge}^{p+1}L \to {\textstyle\bigwedge}^p L $$ द्वारा विघटित तत्वों पर परिभाषित किया गया



\partial (x_1 \wedge \cdots \wedge x_{p+1}) = \frac{1}{p+1}\sum_{j<\ell}(-1)^{j+\ell+1}[x_j,x_\ell] \wedge x_1 \wedge \cdots \wedge \hat{x}_j \wedge \cdots \wedge \hat{x}_\ell \wedge \cdots \wedge x_{p+1}. $$ जैकोबी पहचान है अगर और केवल अगर ∂∂ = 0, और इसलिए यह एक एंटीकोम्यूटेटिव नॉनसोसिएटिव बीजगणित एल के लिए एक झूठ बीजगणित होने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है।इसके अलावा, उस मामले में $ \bigwedge L $ सीमा ऑपरेटर के साथ एक चेन कॉम्प्लेक्स है।इस परिसर से जुड़ा होमोलॉजी सिद्धांत  झूठ बीजगणित होमोलॉजी  है।

होमोलॉजिकल बीजगणित
बाहरी बीजगणित जटिल शर्ट  के निर्माण में मुख्य घटक है, जो होमोलॉजिकल बीजगणित में एक मौलिक वस्तु है।

इतिहास
बाहरी बीजगणित को पहली बार हर्मन ग्रासमैन द्वारा 1844 में ऑसडेनुंग्सलेह्रे के कंबल शब्द, या विस्तार के सिद्धांत के तहत पेश किया गया था। यह आम तौर पर विस्तारित मात्रा के एक बीजीय (या स्वयंसिद्ध) सिद्धांत के लिए संदर्भित किया गया था और वेक्टर अंतरिक्ष की आधुनिक धारणा के लिए शुरुआती अग्रदूतों में से एक था।Adhémar Jean Claude Barré de Saint-Venant | सेंट-वेन्ट ने बाहरी कैलकुलस के समान विचार भी प्रकाशित किए, जिसके लिए उन्होंने ग्रासमैन पर प्राथमिकता का दावा किया। बीजगणित स्वयं नियमों, या स्वयंसिद्धों के एक सेट से बनाया गया था, जो केली और सिल्वेस्टर के मल्टीवेक्टर के सिद्धांत के औपचारिक पहलुओं को कैप्चर करता है।यह इस प्रकार एक कैलकुलस था, बहुत कुछ प्रस्तावित पथरी की तरह, विशेष रूप से ज्यामितीय शब्दों में औपचारिक तर्क के कार्य पर केंद्रित है। विशेष रूप से, इस नए विकास ने आयाम के एक स्वयंसिद्ध लक्षण वर्णन के लिए अनुमति दी, एक संपत्ति जो पहले केवल समन्वय दृष्टिकोण से जांच की गई थी।

वैक्टर और बहुवक्षीय  के इस नए सिद्धांत का आयात 19 वीं शताब्दी के गणितज्ञों के मध्य में खो गया था, 1888 में Giuseppe पीनो द्वारा पूरी तरह से vetted होने तक। मीनो का काम भी सदी के मोड़ तक कुछ हद तक अस्पष्ट रहा, जब इस विषय को फ्रांसीसी ज्यामिति स्कूल के सदस्यों द्वारा एकीकृत किया गया था (विशेष रूप से हेनरी पोइंकेरे, élie कार्टन, और गैस्टन डारबॉक्स )विभेदक रूपों की पथरी के लिए विचार।

थोड़ी देर बाद, अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड, मीनो और ग्रासमैन के विचारों से उधार लेते हुए, ने अपने सार्वभौमिक बीजगणित को पेश किया।इसके बाद एक फर्म तार्किक पायदान पर एक बीजीय प्रणाली की स्वयंसिद्ध धारणा को रखकर अमूर्त बीजगणित के 20 वीं शताब्दी के विकास के लिए मार्ग प्रशस्त किया।

यह भी देखें

 * बारी -बारी से बीजगणित
 * बाहरी कैलकुलस पहचान
 * क्लिफोर्ड बीजगणित, एक नॉनज़ेरो द्विघात रूप  का उपयोग करके बाहरी बीजगणित का एक सामान्यीकरण
 * ज्यामितीय बीजगणित
 * कोसज़ुल कॉम्प्लेक्स
 * बहुस्तरीय बीजगणित
 * सममित बीजगणित, सममित एनालॉग
 * टेंसर बीजगणित
 * वेइल बीजगणित, एक सहानुभूतिपूर्ण रूप से सममित बीजगणित का एक क्वांटम समूह

गणितीय संदर्भ

 * बारी -बारी से टेंसर्स और वैकल्पिक रूपों का उपचार, साथ ही इस लेख में अपनाए गए परिप्रेक्ष्य से हॉज द्वैत की विस्तृत चर्चा शामिल है।
 * यह लेख के लिए मुख्य गणितीय संदर्भ है।यह एक कम्यूटेटिव रिंग पर एक मॉड्यूल के बाहरी बीजगणित का परिचय देता है (हालांकि यह लेख मुख्य रूप से उस मामले में माहिर है जब रिंग एक क्षेत्र है), जिसमें सार्वभौमिक संपत्ति, फंक्शनलिटी, द्वैत और बायलजबरा संरचना की चर्चा शामिल है।§Iii.7 और §iii.11 देखें।
 * इस पुस्तक में आंशिक अंतर समीकरण ों में समस्याओं के लिए बाहरी बीजगणित के अनुप्रयोग शामिल हैं।रैंक और संबंधित अवधारणाएं शुरुआती अध्यायों में विकसित की जाती हैं।
 * अध्याय XVI सेक्शन 6-10 बाहरी बीजगणित का अधिक प्राथमिक खाता देते हैं, जिसमें द्वंद्व, निर्धारक और नाबालिगों और वैकल्पिक रूप शामिल हैं।
 * बाहरी बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।
 * इस पुस्तक में आंशिक अंतर समीकरण ों में समस्याओं के लिए बाहरी बीजगणित के अनुप्रयोग शामिल हैं।रैंक और संबंधित अवधारणाएं शुरुआती अध्यायों में विकसित की जाती हैं।
 * अध्याय XVI सेक्शन 6-10 बाहरी बीजगणित का अधिक प्राथमिक खाता देते हैं, जिसमें द्वंद्व, निर्धारक और नाबालिगों और वैकल्पिक रूप शामिल हैं।
 * बाहरी बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।
 * बाहरी बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।
 * बाहरी बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।

ऐतिहासिक संदर्भ

 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ
 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ
 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ
 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ

अन्य संदर्भ और आगे पढ़ना

 * बाहरी बीजगणित, और ज्यामितीय बीजगणित का एक परिचय, अनुप्रयोगों पर ध्यान देने के साथ।एक इतिहास अनुभाग और ग्रंथ सूची भी शामिल है।
 * बाहरी बीजगणित के अनुप्रयोगों को अंतर रूपों में शामिल किया गया है, विशेष रूप से अभिन्न और स्टोक्स के प्रमेय पर केंद्रित है।अंकन $ \bigwedge\nolimits^k V $ इस पाठ में वी पर के-फॉर्म्स को वैकल्पिक करने के स्थान का उपयोग करने के लिए उपयोग किया जाता है;यानी, स्पिवक के लिए $ \bigwedge\nolimits^k V $  यह लेख क्या होगा $ \bigwedge\nolimits^k V^*. $  स्पिवक ने एडेंडम 4 में इस पर चर्चा की।
 * हस्ताक्षरित क्षेत्रों, संस्करणों और उच्च-आयामी संस्करणों के रूप में निर्धारकों के स्वयंसिद्धता का एक प्राथमिक उपचार शामिल है।
 * बहुभिन्नरूपी पथरी में यह पाठ्यपुस्तक कॉलेजों के लिए कैलकुलस अनुक्रम में अंतर रूपों के बाहरी बीजगणित का परिचय देती है।
 * बाहरी उत्पादों का उपयोग करके बुनियादी परिमित-आयामी रैखिक बीजगणित में समन्वय-मुक्त दृष्टिकोण का परिचय।
 * अध्याय 10: बाहरी उत्पाद और बाहरी बीजगणित
 * [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/burali-forti_-_grassman_and_proj._geom..pdfबाहरी बीजगणित के आवेदन पर सेसरे ब्यूरली-फ़ॉर्टी द्वारा प्रोजेक्टिव ज्यामिति के लिए नोट्स
 * C. Burali-forti, विभेदक ज्यामिति के बाद परिचय,एच। ग्रासमैन की विधि बाहरी बीजगणित के ज्यामितीय अनुप्रयोगों पर एक प्रारंभिक पुस्तक का एक अंग्रेजी अनुवाद
 * यांत्रिकी, विस्तार के सिद्धांत के सिद्धांतों के अनुसार एक ग्रासमैन के कागजों के एक अंग्रेजी अनुवादबाहरी बीजगणित के अनुप्रयोगों पर
 * बाहरी उत्पादों का उपयोग करके बुनियादी परिमित-आयामी रैखिक बीजगणित में समन्वय-मुक्त दृष्टिकोण का परिचय।
 * अध्याय 10: बाहरी उत्पाद और बाहरी बीजगणित
 * [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/burali-forti_-_grassman_and_proj._geom..pdfबाहरी बीजगणित के आवेदन पर सेसरे ब्यूरली-फ़ॉर्टी द्वारा प्रोजेक्टिव ज्यामिति के लिए नोट्स
 * C. Burali-forti, विभेदक ज्यामिति के बाद परिचय,एच। ग्रासमैन की विधि बाहरी बीजगणित के ज्यामितीय अनुप्रयोगों पर एक प्रारंभिक पुस्तक का एक अंग्रेजी अनुवाद
 * यांत्रिकी, विस्तार के सिद्धांत के सिद्धांतों के अनुसार एक ग्रासमैन के कागजों के एक अंग्रेजी अनुवादबाहरी बीजगणित के अनुप्रयोगों पर
 * C. Burali-forti, विभेदक ज्यामिति के बाद परिचय,एच। ग्रासमैन की विधि बाहरी बीजगणित के ज्यामितीय अनुप्रयोगों पर एक प्रारंभिक पुस्तक का एक अंग्रेजी अनुवाद
 * यांत्रिकी, विस्तार के सिद्धांत के सिद्धांतों के अनुसार एक ग्रासमैन के कागजों के एक अंग्रेजी अनुवादबाहरी बीजगणित के अनुप्रयोगों पर

श्रेणी: बीजगणित श्रेणी: बहुपक्षीय बीजगणित श्रेणी: विभेदक रूप