द्विघात सूत्र

प्रारंभिक बीजगणित में, द्विघात सूत्र एक सूत्र है जो द्विघात समीकरण का हल प्रदान करता है। द्विघात सूत्र का उपयोग करने के बजाय एक द्विघात समीकरण को हल करने के अन्य तरीके हैं, जैसे कि गुणनखंडन (प्रत्यक्ष गुणनखंडन, समूहन, गुणनखंडन # द्विघात एसी विधि), वर्ग को पूरा करना, एक फलन का ग्राफ और अन्य।

प्रपत्र के एक सामान्य द्विघात समीकरण को देखते हुए


 * $$ax^2+bx+c=0$$

साथ $x$ एक अज्ञात का प्रतिनिधित्व करते हुए, के साथ $a$, $b$ तथा $c$ निरंतर (गणित) का प्रतिनिधित्व करते हुए, और साथ $a ≠ 0$, द्विघात सूत्र है:


 * $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ $$

जहाँ धन–ऋण चिह्न|धन–ऋण चिह्न ± इंगित करता है कि द्विघात समीकरण के दो हल हैं। अलग से लिखे जाने पर वे बन जाते हैं:


 * $$ x_1=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\quad\text{or}\quad x_2=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$$

इन दो समाधानों में से प्रत्येक को द्विघात समीकरण के फलन |मूल (या शून्य) का शून्य भी कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, ये जड़ें प्रतिनिधित्व करती हैं $x$-मान जिस पर कोई परवलय, स्पष्ट रूप से दिया गया है $y = ax^{2} + bx + c$, पार करता है $x$-एक्सिस। साथ ही एक सूत्र होने के नाते जो किसी भी पैराबोला के शून्य उत्पन्न करता है, क्वाड्रैटिक फॉर्मूला का उपयोग पैराबोला की समरूपता के अक्ष की पहचान के लिए भी किया जा सकता है, और द्विघात समीकरण में वास्तविक संख्या शून्य की संख्या होती है। अभिव्यक्ति बी2 − 4ac को विवेचक के रूप में जाना जाता है। यदि b2 − 4ac ≥ 0 तब विवेचक का वर्गमूल एक वास्तविक संख्या होगी; अन्यथा यह एक सम्मिश्र संख्या होगी। यदि a ≠ 0, b, और c तब वास्तविक संख्याएँ हैं
 * 1) अगर बी2 − 4ac > 0 तो हमारे पास समीकरण के दो भिन्न वास्तविक मूल/समाधान हैं ax + bx + c = 0.
 * 2) अगर बी2 − 4ac = 0 तो हमारे पास एक बारंबार वास्तविक समाधान है।
 * 3) अगर बी2 − 4ac < 0 तो हमारे पास दो अलग-अलग जटिल समाधान हैं, जो एक दूसरे के जटिल संयुग्म हैं।

समतुल्य फॉर्मूलेशन
द्विघात सूत्र को इस रूप में भी लिखा जा सकता है


 * $$x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\frac{b^2-4ac}{4a^2}} \ ,$$

जिसे सरल बनाया जा सकता है


 * $$x = -\frac{b}{2a} \pm \sqrt{\left(\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a}} \ .$$

सूत्र का यह संस्करण कैलकुलेटर का उपयोग करते समय जड़ों को खोजना आसान बनाता है।

मामले में जब भेदभाव करनेवाला $$b^2 - 4ac$$ ऋणात्मक है, सम्मिश्र संख्याएँ जड़ें शामिल हैं। द्विघात सूत्र को इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$x = -\frac{\ b}{2a} \pm i\sqrt{ \left | \left(\frac{\ b}{2a}\right)^2-\frac{c}{a} \right |} \ .$$

मुलर की विधि
एक कम ज्ञात द्विघात सूत्र, जिसका प्रयोग मुलर की विधि में किया जाता है और जिसे विएटा के सूत्रों से पाया जा सकता है, प्रदान करता है (मानते हुए) $a ≠ 0, c ≠ 0$) समान जड़ें समीकरण के माध्यम से:


 * $$x=\frac{-2c}{b\pm\sqrt{b^2-4ac}} = \frac{2c}{-b \mp \sqrt {b^2-4ac\ }}\ .$$

वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन पर आधारित सूत्रीकरण
द्विघात समीकरण का मानक पैरामीट्रिजेशन है
 * $$ax^2+bx+c=0\ .$$

कुछ स्रोत, विशेष रूप से पुराने स्रोत, द्विघात समीकरण के वैकल्पिक पैरामीटरीकरण का उपयोग करते हैं जैसे कि
 * $$ax^2 - 2b_1 x + c = 0$$, कहाँ पे $$b_1 = -b/2$$,

या
 * $$ax^2 + 2b_2 x + c = 0$$, कहाँ पे $$b_2 = b/2$$.

इन वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन के परिणामस्वरूप समाधान के लिए थोड़ा अलग रूप होते हैं, लेकिन जो अन्यथा मानक पैरामीट्रिजेशन के बराबर होते हैं।

सूत्र की व्युत्पत्ति
साहित्य में द्विघात सूत्र को प्राप्त करने के लिए कई अलग-अलग तरीके उपलब्ध हैं। मानक एक पूर्ण वर्ग तकनीक का एक सरल अनुप्रयोग है।   वैकल्पिक विधियाँ कभी-कभी वर्ग को पूरा करने की तुलना में सरल होती हैं, और गणित के अन्य क्षेत्रों में दिलचस्प अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकती हैं।

मानक विधि
द्वारा द्विघात समीकरण को विभाजित करें $$a$$, जिसकी अनुमति है क्योंकि $$a$$ गैर-शून्य है:


 * $$x^2 + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a}=0\ \ .$$

घटाना $c⁄a$ समीकरण के दोनों पक्षों से, उपज:
 * $$x^2 + \frac{b}{a} x= -\frac{c}{a}\ \ .$$

द्विघात समीकरण अब एक ऐसे रूप में है जिस पर वर्ग को पूर्ण करने की विधि लागू होती है। वास्तव में, समीकरण के दोनों पक्षों में एक स्थिरांक इस प्रकार जोड़ने पर कि बायां पक्ष एक पूर्ण वर्ग बन जाए, द्विघात समीकरण बन जाता है:


 * $$x^2+\frac{b}{a}x+\left( \frac{b}{2a} \right)^2 =-\frac{c}{a}+\left( \frac{b}{2a} \right)^2\ \ ,$$

जो उत्पादन करता है:


 * $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=-\frac{c}{a}+\frac{b^2}{4a^2}\ \ .$$

तदनुसार, समान भाजक रखने के लिए दायीं ओर के पदों को पुनर्व्यवस्थित करने के बाद, हम प्राप्त करते हैं:


 * $$\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \ .$$

इस प्रकार वर्ग पूरा हो गया है। हम दोनों पक्षों का वर्गमूल निकाल कर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त कर सकते हैं:


 * $$x+\frac{b}{2a}=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}\ \ .$$

किस मामले में, अलग करना $$x$$ द्विघात सूत्र देगा:


 * $$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}\ \ .$$

मामूली अंतर के साथ इस व्युत्पत्ति के कई विकल्प हैं, ज्यादातर हेरफेर से संबंधित हैं $$a$$.

छोटी विधि
वर्ग को पूरा करना कभी-कभी छोटे और सरल क्रम से भी पूरा किया जा सकता है:
 * 1) प्रत्येक पक्ष को गुणा करें$$4a$$,
 * 2) पुनर्व्यवस्थित करें।
 * 3) जोड़ें$$b^2$$वर्ग को पूरा करने के लिए दोनों तरफ।
 * 4) बायां पक्ष बहुपद का परिणाम है$$(2ax + b)^2$$.
 * 5) दोनों पक्षों का वर्गमूल निकालें।
 * 6) आइसोलेट$$x$$.

किस मामले में, द्विघात सूत्र भी निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:


 * $$\begin{align}

ax^2+bx+c &= 0 \\ 4 a^2 x^2 + 4abx + 4ac &= 0 \\ 4 a^2 x^2 + 4abx &= -4ac \\ 4 a^2 x^2 + 4abx + b^2 &= b^2 - 4ac \\ (2ax + b)^2 &= b^2 - 4ac \\ 2ax + b &= \pm \sqrt{b^2-4ac} \\\\ 2ax &= -b \pm \sqrt{b^2-4ac} \\ x &= \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac }}{2a}\ \. \end{align}$$ द्विघात सूत्र की यह व्युत्पत्ति प्राचीन है और भारत में कम से कम 1025 के रूप में जाना जाता था। मानक उपयोग में व्युत्पत्ति की तुलना में, यह वैकल्पिक व्युत्पत्ति अंतिम चरण तक अंशों और वर्ग अंशों से बचती है और इसलिए दाईं ओर एक सामान्य भाजक प्राप्त करने के लिए चरण 3 के बाद पुनर्व्यवस्था की आवश्यकता नहीं होती है।

प्रतिस्थापन द्वारा
एक अन्य तकनीक प्रतिस्थापन (बीजगणित) द्वारा समाधान है। इस तकनीक में, हम स्थानापन्न करते हैं $$x = y+m$$ प्राप्त करने के लिए द्विघात में:


 * $$a(y+m)^2 + b(y+m) + c =0\ \ .$$

परिणाम का विस्तार करना और फिर की शक्तियों को एकत्रित करना $$y$$ पैदा करता है:


 * $$ay^2 + y(2am + b) + \left(am^2+bm+c\right) = 0\ \ .$$

हमने अभी तक दूसरी शर्त नहीं लगाई है $$y$$ तथा $$m$$, तो अब हम चुनते हैं $$m$$ ताकि मध्य पद लुप्त हो जाए। वह है, $$2am + b = 0$$ या $$\textstyle m = \frac{-b}{2a}$$.


 * $$ay^2 + y(\ \ \ 0 \ \ ) + \left(am^2+bm+c\right) = 0\ \ .$$
 * $$ay^2 + \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \left(am^2+bm+c\right) = 0\ \ .$$

समीकरण के दोनों पक्षों से अचर पद को घटाना (इसे दाहिनी ओर ले जाना) और फिर से विभाजित करना $$a$$ देता है:


 * $$y^2=\frac{-\left(am^2+bm+c\right)}{a}\ \ .$$

के लिए प्रतिस्थापन $$m$$ देता है:


 * $$y^2=\frac{-\left(\frac{b^2}{4a}+\frac{-b^2}{2a}+c\right)}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}\ \ .$$

इसलिए,


 * $$y=\pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$$

पुनः व्यक्त करके $$y$$ के अनुसार $$x$$ सूत्र का उपयोग करना $$\textstyle x = y + m = y - \frac{b}{2a}$$, तब सामान्य द्विघात सूत्र प्राप्त किया जा सकता है:


 * $$x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .$$

बीजगणितीय सर्वसमिकाओं का प्रयोग करके
निम्नलिखित विधि का उपयोग कई ऐतिहासिक गणितज्ञों द्वारा किया गया था: बता दें कि मानक द्विघात समीकरण की जड़ें हैं $r_{1}$ तथा $r_{2}$. पहचान को याद करके व्युत्पत्ति शुरू होती है:


 * $$(r_1 - r_2)^2 = (r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2\ \ .$$

दोनों पक्षों का वर्गमूल निकालने पर, हम पाते हैं:


 * $$r_1 - r_2 = \pm\sqrt{(r_1 + r_2)^2 - 4r_1r_2}\ \ .$$

गुणांक के बाद से $a ≠ 0$, हम मानक समीकरण को विभाजित कर सकते हैं $a$ समान मूल वाले द्विघात बहुपद प्राप्त करने के लिए। अर्थात्,


 * $$ x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = (x - r_1)(x-r_2) = x^2 - (r_1 + r_2)x + r_1 r_2\ \ .$$

इससे हम देख सकते हैं कि मानक द्विघात समीकरण के मूलों का योग इस प्रकार दिया गया है $−b⁄a$, और उन जड़ों का गुणनफल दिया जाता है $c⁄a$.

इसलिए पहचान को फिर से लिखा जा सकता है:


 * $$r_1 - r_2 = \pm\sqrt{\left(-\frac{b}{a}\right)^2-4\frac{c}{a}} = \pm\sqrt{\frac{b^2}{a^2} - \frac{4ac}{a^2}} = \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac}}{a}\ \ .$$

अब,


 * $$r_1 = \frac{(r_1 + r_2) + (r_1 - r_2)}{2} = \frac{-\frac{b}{a} \pm \frac{\sqrt{b^2 - 4ac}}{a}}{2} = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .$$

तब से $−b⁄a$, अगर हम लेते हैं


 * $$r_1 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

तब हम प्राप्त करते हैं


 * $$r_2 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ ;$$

और अगर हम इसके बजाय लेते हैं


 * $$r_1 = \frac{-b - \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}$$

फिर हम उसकी गणना करते हैं


 * $$r_2 = \frac{-b + \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .$$

मानक आशुलिपि ± का उपयोग करके इन परिणामों को मिलाकर, हमारे पास यह है कि द्विघात समीकरण के समाधान इस प्रकार दिए गए हैं:


 * $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\ \ .$$

लैग्रेंज विलायकों द्वारा
द्विघात सूत्र निकालने का एक वैकल्पिक तरीका लैग्रेंज विलायकों की विधि के माध्यम से है, जो गैल्वा सिद्धांत का प्रारंभिक भाग है। इस विधि को क्यूबिक बहुपद और क्वार्टिक बहुपद की जड़ें देने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और गैलोज़ सिद्धांत की ओर जाता है, जो किसी को उनकी जड़ों के समरूपता समूह, गैलोइस समूह के संदर्भ में किसी भी डिग्री के बीजगणितीय समीकरणों के समाधान को समझने की अनुमति देता है।

यह दृष्टिकोण मूल समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने की तुलना में जड़ों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है। एक मोनिक द्विघात बहुपद दिया गया है


 * $$x^2+px+q\ \ ,$$

मान लें कि यह कारक है


 * $$x^2+px+q=(x-\alpha)(x-\beta)\ \ ,$$

उपज का विस्तार


 * $$x^2+px+q=x^2-(\alpha+\beta)x+\alpha \beta\ \ ,$$

कहाँ पे $c⁄a$ तथा $r2 = −r1 − b⁄a$.

चूंकि गुणन का क्रम कोई मायने नहीं रखता, कोई स्विच कर सकता है $p = −(α + β)$ तथा $q = αβ$ और के मूल्य $α$ तथा $β$ नहीं बदलेगा: कोई ऐसा कह सकता है $p$ तथा $q$ में सममित बहुपद हैं $p$ तथा $q$. वास्तव में, वे प्राथमिक सममित बहुपद हैं - कोई भी सममित बहुपद $α$ तथा $β$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $α$ तथा $β$. बहुपदों का विश्लेषण और हल करने के लिए गैलोज़ सिद्धांत दृष्टिकोण है: बहुपद के गुणांक दिए गए हैं, जो जड़ों में सममित कार्य हैं, क्या कोई समरूपता को तोड़ सकता है और जड़ों को पुनर्प्राप्त कर सकता है? इस प्रकार डिग्री के बहुपद को हल करना $α + β$ पुनर्व्यवस्थित करने के तरीकों से संबंधित है (क्रमपरिवर्तन) $αβ$ शर्तें, जिसे सममित समूह कहा जाता है $n$ पत्र, और निरूपित $n$. द्विघात बहुपद के लिए, दो पदों को पुनर्व्यवस्थित करने का एकमात्र तरीका उन्हें छोड़ देना या उन्हें अदला-बदली करना है (उन्हें स्थानान्तरण (गणित)), और इस प्रकार एक द्विघात बहुपद को हल करना सरल है।

जड़ें खोजने के लिए $n$ तथा $Sn$, उनके योग और अंतर पर विचार करें:


 * $$\begin{align}

r_1 &= \alpha + \beta\\ r_2 &= \alpha - \beta\ \. \end{align}$$ इन्हें बहुपद का लग्रेंज विलायक कहा जाता है; ध्यान दें कि इनमें से एक जड़ों के क्रम पर निर्भर करता है, जो कि मुख्य बिंदु है। उपरोक्त समीकरणों को उल्टा करके कोई भी रिज़ॉल्वेंट से जड़ों को पुनर्प्राप्त कर सकता है:


 * $$\begin{align}

\alpha &= \textstyle{\frac{1}{2}}\left(r_1+r_2\right)\\ \beta &= \textstyle{\frac{1}{2}}\left(r_1-r_2\right)\ \. \end{align}$$ इस प्रकार, विलायकों को हल करने से मूल मूल प्राप्त होते हैं।

अब $α$ में एक सममित कार्य है $β$ तथा $r1 = α + β$, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $α$ तथा $β$, और वास्तव में $p$ जैसा कि ऊपर उल्लेखित है। परंतु $q$ स्विचिंग के बाद से सममित नहीं है $r1 = −p$ तथा $r2 = α − β$ पैदावार $α$ (औपचारिक रूप से, इसे जड़ों के सममित समूह की समूह क्रिया (गणित) कहा जाता है)। तब से $β$ सममित नहीं है, इसे गुणांकों के संदर्भ में व्यक्त नहीं किया जा सकता है $−r2 = β − α$ तथा $r2$, क्योंकि ये जड़ों में सममित हैं और इस प्रकार कोई भी बहुपद अभिव्यक्ति उनमें शामिल है। जड़ों का क्रम बदलने से ही परिवर्तन होता है $p$ -1 के एक गुणक द्वारा, और इस प्रकार वर्ग $q$ जड़ों में सममित है, और इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है $r2$ तथा $r22 = (α − β)2$. समीकरण का उपयोग करना


 * $$(\alpha - \beta)^2 = (\alpha + \beta)^2 - 4\alpha\beta\ \ $$

पैदावार


 * $$r_2^2 = p^2 - 4q\ \ $$

और इस तरह


 * $$r_2 = \pm \sqrt{p^2 - 4q}\ \ $$

यदि कोई सकारात्मक जड़ लेता है, समरूपता को तोड़ता है, तो वह प्राप्त करता है:


 * $$\begin{align}

r_1 &= -p\\ r_2 &= \sqrt{p^2 - 4q} \end{align}$$ और इस तरह
 * $$\begin{align}

\alpha &= \tfrac12\left(-p+\sqrt{p^2 - 4q}\right)\\ \beta &= \tfrac12\left(-p-\sqrt{p^2 - 4q}\right)\ \. \end{align}$$ इस प्रकार जड़ें हैं
 * $$\textstyle{\frac{1}{2}}\left(-p \pm \sqrt{p^2 - 4q}\right)$$

जो द्विघात सूत्र है। स्थानापन्न $p$ द्विघात मोनिक नहीं होने पर सामान्य रूप देता है। विलायक के रूप में पहचाना जा सकता है $q$ शीर्ष होने के नाते, और $p = b⁄a, q = c⁄a$ विवेचक है (मोनिक बहुपद का)।

एक समान लेकिन अधिक जटिल विधि क्यूबिक समीकरणों के लिए काम करती है, जहां एक में तीन रिज़ॉल्वेंट होते हैं और एक द्विघात समीकरण (रिज़ॉल्विंग पॉलीनोमियल) संबंधित होता है। $r1⁄2 = −p⁄2 = −b⁄2a$ तथा $r22 = p2 − 4q$, जिसे द्विघात समीकरण द्वारा हल किया जा सकता है, और इसी तरह एक क्वार्टिक समीकरण (बहुपद 4 की डिग्री) के लिए, जिसका हल करने वाला बहुपद एक घन है, जिसे बदले में हल किया जा सकता है। क्विंटिक समीकरण के लिए एक ही विधि 24 डिग्री का बहुपद उत्पन्न करती है, जो समस्या को सरल नहीं करती है, और वास्तव में, सामान्य रूप से क्विंटिक समीकरणों के समाधान केवल जड़ों का उपयोग करके व्यक्त नहीं किए जा सकते हैं।

ऐतिहासिक विकास
द्विघात समीकरणों को हल करने की शुरुआती विधियाँ ज्यामितीय थीं। बेबीलोनियन कीलाकार गोलियों में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कम करने योग्य समस्याएं हैं। मिस्र के मध्य साम्राज्य (2050 ईसा पूर्व से 1650 ईसा पूर्व) तक के मिस्र के बर्लिन पपीरस 6619 में दो-अवधि के द्विघात समीकरण का समाधान शामिल है। ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड (लगभग 300 ईसा पूर्व) ने अपने यूक्लिड के तत्वों, एक प्रभावशाली गणितीय ग्रंथ की पुस्तक 2 में द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए ज्यामितीय तरीकों का इस्तेमाल किया। द्विघात समीकरणों के नियम चीनी गणितीय कला पर नौ अध्याय लगभग 200 ईसा पूर्व में दिखाई देते हैं। ग्रीक गणितज्ञ डायोफैंटस (लगभग 250 ईस्वी) ने अपने काम अंकगणित में यूक्लिड के ज्यामितीय बीजगणित की तुलना में अधिक पहचानने योग्य बीजगणितीय विधि के साथ द्विघात समीकरणों को हल किया। उसका हल केवल एक मूल देता है, भले ही दोनों मूल धनात्मक हों। भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त (597-668 ईस्वी) ने 628 ईस्वी में प्रकाशित अपने ग्रंथ ब्रह्मस्फुतासिद्धांत में स्पष्ट रूप से द्विघात सूत्र का वर्णन किया, लेकिन प्रतीकों के बजाय शब्दों में लिखा गया। द्विघात समीकरण का उनका समाधान $r2$ इस प्रकार था: निरपेक्ष संख्या को [वर्ग के गुणांक] के चार गुणा से गुणा करने के लिए, मध्य अवधि के [गुणांक] के वर्ग को जोड़ें; उसी का वर्गमूल, मध्य पद के [गुणांक] को घटाकर, वर्ग के दोगुने [गुणांक] से विभाजित किया जाने वाला मान होता है। यह इसके बराबर है:


 * $$x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a}\ \ .$$

श्रीधराचार्य (870-930 ईस्वी), एक भारतीय गणितज्ञ भी द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए एक समान एल्गोरिथ्म के साथ आए, हालांकि इस बात का कोई संकेत नहीं है कि उन्होंने दोनों जड़ों पर विचार किया। 9वीं शताब्दी के फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने द्विघात समीकरणों को बीजगणितीय रूप से हल किया। सभी मामलों को कवर करने वाला द्विघात सूत्र पहली बार 1594 में साइमन स्टीवन द्वारा प्राप्त किया गया था। 1637 में रेने डेसकार्टेस ने ला जियोमेट्री को प्रकाशित किया जिसमें आज हम जानते हैं कि द्विघात सूत्र के विशेष मामले हैं।

ज्यामितीय महत्व
निर्देशांक ज्यामिति के संदर्भ में, एक परवलय एक वक्र है जिसका $r3$-निर्देशांकों को द्वितीय-डिग्री बहुपद द्वारा वर्णित किया जाता है, अर्थात फॉर्म का कोई भी समीकरण:


 * $$y =p(x) = a_2x^2 + a_1x +a_0\ \ ,$$

कहाँ पे $ax^{2} + bx = c$ डिग्री 2 और के बहुपद का प्रतिनिधित्व करता है $(x, y)$ तथा $p$ निरंतर गुणांक हैं जिनकी सदस्यता उनके संबंधित शब्द की डिग्री से मेल खाती है। द्विघात सूत्र की ज्यामितीय व्याख्या यह है कि यह बिंदुओं को परिभाषित करता है $a_{0}, a_{1},$-अक्ष जहां परवलय अक्ष को पार करेगा। इसके अतिरिक्त, यदि द्विघात सूत्र को दो पदों के रूप में देखा जाता है,


 * $$x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}=-\frac{b}{2a} \pm\frac{\sqrt{b^2-4ac\ }}{2a}$$

सममिति का अक्ष रेखा के रूप में प्रकट होता है $a_{2} ≠ 0$. दूसरा शब्द, $x$, सममिति के अक्ष से शून्य के दूर होने की दूरी देता है, जहां धन चिह्न दाईं ओर की दूरी को दर्शाता है, और ऋण चिह्न बाईं ओर की दूरी को दर्शाता है।

यदि यह दूरी पद शून्य हो जाए, तो सममिति के अक्ष का मान होगा $x = −b⁄2a$ केवल शून्य का मान, अर्थात द्विघात समीकरण का केवल एक ही संभव हल है। बीजगणितीय रूप से, इसका मतलब है कि $√b2 − 4ac⁄2a$, या केवल $x$ (जहां बाईं ओर को विवेचक कहा जाता है)। यह तीन मामलों में से एक है, जहां विवेचक इंगित करता है कि परबोला में कितने शून्य होंगे। यदि विवेचक सकारात्मक है, तो दूरी गैर-शून्य होगी, और दो समाधान होंगे। हालाँकि, ऐसा भी मामला है जहाँ विवेचक शून्य से कम है, और यह इंगित करता है कि दूरी काल्पनिक होगी – या जटिल इकाई के कुछ गुणक $√b2 − 4ac = 0$, कहाँ पे $b2 − 4ac = 0$ –  और परवलय के शून्य सम्मिश्र संख्याएँ होंगी। जटिल जड़ें जटिल संयुग्म होंगी, जहां जटिल जड़ों का वास्तविक भाग समरूपता के अक्ष का मान होगा। का कोई वास्तविक मूल्य नहीं होगा $i$ जहां परवलय पार करता है $i = √−1$-एक्सिस।

आयामी विश्लेषण
यदि स्थिरांक $x$, $x$, और/या $a$ इकाई रहित नहीं हैं, तो की इकाइयाँ $b$ की इकाइयों के बराबर होना चाहिए $c$, आवश्यकता के कारण कि $x$ तथा $b⁄a$ उनकी इकाइयों पर सहमत हैं। इसके अलावा, उसी तर्क से, की इकाइयाँ $ax2$ की इकाइयों के बराबर होना चाहिए $bx$, जिसे हल किए बिना सत्यापित किया जा सकता है $c$. यह सत्यापित करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण हो सकता है कि इसे हल करने से पहले भौतिक मात्राओं की द्विघात अभिव्यक्ति को सही ढंग से स्थापित किया गया है।

यह भी देखें

 * बीजगणित का मौलिक प्रमेय
 * वीटा के सूत्र