सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण (जीआईजी) संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के साथ निरंतर संभाव्यता वितरण का एक तीन-पैरामीटर परिवार है


 * $$f(x) = \frac{(a/b)^{p/2}}{2 K_p(\sqrt{ab})} x^{(p-1)} e^{-(ax + b/x)/2},\qquad x>0,$$

जहां केpदूसरे प्रकार का एक संशोधित बेसेल फ़ंक्शन है, a > 0, b > 0 और p एक वास्तविक पैरामीटर। इसका उपयोग भू-सांख्यिकी, सांख्यिकीय भाषाविज्ञान, वित्त आदि में बड़े पैमाने पर किया जाता है। यह वितरण सबसे पहले एटियेन हाल्फेन द्वारा प्रस्तावित किया गया था।  इसे ओले बार्नडॉर्फ-नीलसन द्वारा फिर से खोजा और लोकप्रिय बनाया गया, जिन्होंने इसे सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण कहा। बेंट जोर्जेंसन के व्याख्यान नोट्स में इसके सांख्यिकीय गुणों पर चर्चा की गई है।

वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन
व्यवस्थित करके $$\theta = \sqrt{ab}$$ और $$\eta = \sqrt{b/a}$$, हम वैकल्पिक रूप से जीआईजी वितरण को इस प्रकार व्यक्त कर सकते हैं


 * $$f(x) = \frac{1}{2\eta K_p(\theta)} \left(\frac{x}{\eta}\right)^{p-1} e^{-\theta(x/\eta + \eta/x)/2}, $$

कहाँ $$\theta$$ जबकि एकाग्रता पैरामीटर है $$\eta$$ स्केलिंग पैरामीटर है.

सारांश
बार्नडॉर्फ-नील्सन और हेलग्रीन ने साबित किया कि जीआईजी वितरण अनंत विभाज्यता (संभावना) है।

एंट्रॉपी
सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण की एन्ट्रापी इस प्रकार दी गई है



\begin{align} H = \frac{1}{2} \log \left( \frac b a \right) & {} +\log \left(2 K_p\left(\sqrt{ab} \right)\right) - (p-1) \frac{\left[\frac{d}{d\nu}K_\nu\left(\sqrt{ab}\right)\right]_{\nu=p}}{K_p\left(\sqrt{a b}\right)} \\ & {} + \frac{\sqrt{a b}}{2 K_p\left(\sqrt{a b}\right)}\left( K_{p+1}\left(\sqrt{ab}\right) + K_{p-1}\left(\sqrt{a b}\right)\right) \end{align} $$ कहाँ $$\left[\frac{d}{d\nu}K_\nu\left(\sqrt{a b}\right)\right]_{\nu=p}$$ ऑर्डर के संबंध में दूसरे प्रकार के संशोधित बेसेल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न है $$\nu$$ पर मूल्यांकन किया गया $$\nu=p$$

विशेषता कार्य
यादृच्छिक चर की विशेषता $$ X\sim GIG(p, a, b) $$ के रूप में दिया गया है (विशेषता फ़ंक्शन की व्युत्पत्ति के लिए, की पूरक सामग्री देखें)। )


 * $$ E(e^{itX}) = \left(\frac{a }{a-2it }\right)^{\frac{p}{2}} \frac{K_{p}\left( \sqrt{(a-2it)b} \right)}{ K_{p}\left( \sqrt{ab} \right) }  $$ के लिए $$ t \in \mathbb{R}$$ कहाँ $$ i $$ काल्पनिक संख्या को दर्शाता है.

विशेष मामले
व्युत्क्रम गाऊसी वितरण और गामा वितरण वितरण क्रमशः p = −1/2 और b = 0 के लिए सामान्यीकृत व्युत्क्रम गाऊसी वितरण के विशेष मामले हैं। विशेष रूप से, प्रपत्र का व्युत्क्रम गाऊसी वितरण


 * $$ f(x;\mu,\lambda) = \left[\frac{\lambda}{2 \pi x^3}\right]^{1/2} \exp{ \left( \frac{-\lambda (x-\mu)^2}{2 \mu^2 x} \right)}$$

के साथ एक GIG है $$a = \lambda/\mu^2$$, $$b = \lambda$$, और $$p=-1/2$$. प्रपत्र का एक गामा वितरण



g(x;\alpha,\beta) = \beta^\alpha \frac 1 {\Gamma(\alpha)} x^{\alpha-1} e^{-\beta x} $$ के साथ एक GIG है $$a = 2 \beta$$, $$b = 0$$, और $$p = \alpha$$.

अन्य विशेष मामलों में a = 0 के लिए व्युत्क्रम-गामा वितरण शामिल है।

गौसियन के लिए पूर्व संयुग्म
सामान्य विचरण-माध्य मिश्रण में मिश्रण वितरण के रूप में कार्य करते समय जीआईजी वितरण सामान्य वितरण से पहले संयुग्मित होता है। कुछ छिपे हुए चर के लिए पूर्व वितरण मान लीजिए $$z$$, जीआईजी बनें:

P(z\mid a,b,p) = \operatorname{GIG}(z\mid a,b,p) $$ और वहाँ रहने दो $$T$$ अवलोकन किए गए डेटा बिंदु, $$X=x_1,\ldots,x_T$$, सामान्य संभावना फ़ंक्शन के साथ, वातानुकूलित $$z:$$

P(X\mid z,\alpha,\beta) = \prod_{i=1}^T N(x_i\mid\alpha+\beta z,z) $$ कहाँ $$N(x\mid\mu,v)$$ माध्य के साथ सामान्य वितरण है $$\mu$$ और विचरण $$v$$. फिर पीछे के लिए $$z$$, दिया गया डेटा भी GIG है:

P(z\mid X,a,b,p,\alpha,\beta) = \text{GIG}\left(z\mid a+T\beta^2,b+S,p-\frac T 2 \right) $$ कहाँ $$\textstyle S = \sum_{i=1}^T (x_i-\alpha)^2$$.

दरांती वितरण
सिचेल वितरण परिणाम तब आते हैं जब जीआईजी का उपयोग पॉइसन वितरण पैरामीटर के लिए मिश्रण वितरण के रूप में किया जाता है $$\lambda$$.

यह भी देखें

 * उलटा गाऊसी वितरण
 * गामा वितरण

श्रेणी:निरंतर वितरण श्रेणी:घातांकीय पारिवारिक वितरण