चाउ समूह

बीजगणितीय ज्यामिति में, किसी भी  क्षेत्र  पर एक बीजगणितीय प्रजाति (किस्म) के चाउ समूह   द्वारा वी-लियांग चाउ के नाम पर एक स्थलीय स्थान  समरूपता  के बीजगणित ज्यामितीय मे अनुरूप होते हैं। चाउ समूह के तत्व उप-किस्मों (तथाकथित  बीजगणितीय चक्र) से उसी तरह से बनते हैं, जैसे कि सरल या सेलुलर होमोलॉजी समूह उप-परिसरों से बनते हैं। जब विविधता समतल होती है, तो चाउ समूहों की कोहोलॉजी समूहों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। पॉइनकेयर द्वैत की तुलना मे एक गुणन होता है, जिसे प्रतिच्छेदन उत्पाद कहा जाता है। चाउ समूह एक बीजगणितीय विविधता के बारे में समृद्ध जानकारी रखते हैं, और वे सामान्य रूप से गणना करने के लिए समान रूप से जटिल होते हैं।

तार्किक तुल्यता और चाउ समूह
निम्नलिखित के लिए, $$k$$ पर परिमित प्रकार की एक अभिन्न योजना होने के लिए $$k$$. क्षेत्र पर विविधता को परिभाषित करता है, तथा किसी भी योजना  $$X$$ के लिए $$k$$ पर परिमित प्रकार $$X$$ पर बीजगणितीय चक्र का अर्थ  पूर्णांक  गुणांक के साथ $$X$$ की उप-किस्मों का एक परिमित  रैखिक संयोजन  है। और नीचे उप-किस्मों को $$X$$ में विवृत समझा जाता है, जब तक कुछ और ना बताया जाये कि, एक  प्राकृतिक संख्या  के लिए $$i$$, समूह $$Z_i(X)$$ का $$i$$-आयामी चक्र या $$i$$-चक्र, संक्षेप में प्रारम्भ $$X$$ के समुच्चय पर  मुक्त एबेलियन समूह  है, $$i$$ की आयामी उपकिस्म $$X$$ होती है।

एक प्रकार के लिए $$W$$ आयाम का $$i+1$$ और बीजीय क़िस्म का कोई भी कार्य क्षेत्र $$f$$ पर $$W$$ जो समान रूप से शून्य का विभाजक नहीं है, बीजगणितीय ज्यामिति $$f$$ होता है $$i$$-चक्र
 * $$(f) = \sum_Z \operatorname{ord}_Z (f) Z,$$

जहां योग सभी $$i$$-आयामी उप-वर्गों $$Z$$ का $$W$$ और पूर्णांक $$\operatorname{ord}_Z(f)$$ के साथ $$Z$$ के लुप्त होने के क्रम को दर्शाता है। इस प्रकार $$\operatorname{ord}_Z(f)$$ ऋणात्मक है, यदि $$f$$  के पास $$Z$$ लुप्त होने के क्रम की परिभाषा के लिए $$W$$ अद्वितीय मे कुछ संरक्षण की आवश्यकता होती है।

एक योजना के लिए $$X$$ परिमित प्रकार का $$k$$, समूह $$i$$-चक्र तार्किक रूप से शून्य के बराबर का उपसमूह होता है,जो $$Z_i(X)$$ चक्रों द्वारा उत्पन्न $$(f)$$ सभी के लिए $$(i+1)$$-आयामी उप-किस्मों मे  $$W$$ का $$X$$ और सभी गैर-शून्य तार्किक कार्य $$f$$ पर $$W$$. चाउ समूह $$CH_i(X)$$ का $$i$$-आयामी चक्र प्रारम्भ $$X$$ का भागफल समूह  है,जो  $$Z_i(X)$$ चक्रों के उपसमूह द्वारा तार्किक रूप से शून्य के बराबर होता है। कभी-कभी कोई $$[Z]$$ चाउ समूह में एक उपप्रकार $$Z$$  के वर्ग के लिए लिखता है, और यदि दो उप-किस्मों  $$Z$$  और $$W$$ में डिस्प्लेस्टाइल $$[Z] = [W]$$ तो $$Z$$ तथा $$W$$  को तार्किक रूप से समकक्ष कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, जब $$X$$ विभिन्न प्रकार के आयाम $$n$$ है, तो चाउ समूह $$CH_{n-1}(X)$$ का भाजक वर्ग समूह  है। जब $$X$$, $$k$$, पर समतल होता है, तो यह $$X$$ पर  लाइन बंडलों  के पिकार्ड समूह के लिए आइसोमोर्फिक होता है।

प्रक्षेपीय स्थान पर तार्किक तुल्यता
हाइपरसर्फेस द्वारा परिभाषित तार्किक रूप से समतुल्य चक्र प्रक्षेपण स्थान पर निर्माण करना सरल होता है, क्योंकि वे सभी एक ही सदिश बंडल के लुप्त होने वाले बिंदुपथ के रूप में निर्मित किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, $$d$$  डिग्री के दो सजातीय बहुपद दिए गए हैं, इसलिए $$f,g \in H^0(\mathbb{P}^n, \mathcal O(d))$$ हम हाइपरसर्फ्स के एक परिवार का निर्माण कर सकते हैं जिसे परिभाषित किया गया है $$sf + tg$$ का वैनिशिंग लोकस योजनाबद्ध रूप से, इसे इस रूप में बनाया जा सकता है।

$$ X = \text{Proj}\left( \frac{\mathbb{C}[s,t][x_0,\ldots,x_n]}{(sf + tg)}\right) \hookrightarrow \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^n $$

प्रक्षेपण का उपयोग करके $$\pi_1: X \to \mathbb{P}^1$$ हम एक बिंदु पर फाइबर को देख सकते हैं $$[s_0:t_0]$$ प्रक्षेपण हाइपरसफेस द्वारा परिभाषित किया गया है। $$s_0 f + t_0 g$$. इसका उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि डिग्री के प्रत्येक हाइपरसफेस का चक्र वर्ग तार्किक रूप से $$d$$ के समतुल्य है। $$d[\mathbb{P}^{n-1}]$$, चूँकि $$sf + tx_0^d$$ का उपयोग तार्किक तुल्यता स्थापित करने के लिए किया जा सकता है। ध्यान दें कि   $$x_0^d=0$$  है तथा $$\mathbb{P}^{n-1}$$  बिन्दुपथ और इसकी बहुलता $$d$$, है  जो इसके चक्र वर्ग का गुणांक होता है।

एक वक्र पर चक्रों की तार्किक तुल्यता
अगर हम दो अलग लाइन बंडलो को लेते हैं, तो $$L, L' \in\operatorname{Pic}(C)$$ एक समतल प्रक्षेपी वक्र के $$C$$, फिर दोनों लाइन बंडलों के $$CH(C)$$ एक सामान्य खंड का लुप्त बिन्दुपथ गैर-समतुल्य चक्र वर्गों को परिभाषित करता है, ऐसा इसलिए होता है क्योंकि समतल किस्मों के लिए $$\operatorname{Div}(C) \cong \operatorname{Pic}(C)$$ समतल किस्मों के लिए, इसलिए भाजक वर्ग $$s \in H^0(C, L)$$ तथा $$s' \in H^0(C, L')$$ असमान वर्गों को परिभाषित करता है।

चाउ वलय
जब योजना $$X$$ क्षेत्र के  $$k$$ पर समतल होती है, तो चाउ समूह एक वलय बनाते हैं, न कि केवल एक ग्रेडेड एबेलियन समूह। अर्थात्, जब  $$X$$, $$k$$,पर समतल होता  है,$$CH^i(X)$$ को चाऊ समूह के रूप में परिभाषित करता है, $$i$$ चक्र $$X$$ पर जब $$X$$ कई तरह के आयाम $$n$$ होता है,  इसका साधारण सा अर्थ यह होता है कि, $$CH^i(X) = CH_{n-i}(X)$$।) फिर समूह $$CH^*(X)$$ उत्पाद के साथ एक विनिमेय  वर्गीकृत वलय बनाएं।
 * $$CH^i(X) \times CH^j(X) \rightarrow CH^{i+j}(X).$$

उत्पाद बीजगणितीय चक्रों को काटने से उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, यदि $$Y$$ तथा $$Z$$ समतल उप-किस्म हैं। तो $$X$$ अनुप्रस्थ  का $$i$$ तथा $$j$$ क्रमशः और यदि $$Y$$ तथा $$Z$$ का प्रतिच्छेदन करते हैं, फिर $$CH^{i+j}(X)$$ मे उत्पाद $$[Y][Z]$$ प्रतिच्छेदन  $$Y\cap Z$$ के अपरिवर्तनीय घटकों का योग है, जिसमें सभी का आयाम $$i+j$$  होता है।

सामान्य रूप से विभिन्न स्थितियों में प्रतिच्छेदन सिद्धांत  एक स्पष्ट चक्र का निर्माण करता है, जो चाउ वलय में उत्पाद $$[Y][Z]$$ का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, यदि $$Y$$ तथा $$Z$$ पूरक आयाम की उप-किस्मयां हैं, जिसका अर्थ है कि उनके आयाम के आयामों का योग $$X$$ आयाम के बराबर है। जिनके प्रतिच्छेदन का आयाम शून्य होता है, तो $$[Y][Z]$$ प्रतिच्छेदन संख्या कहे जाने वाले गुणांक वाले प्रतिच्छेदन बिंदुओं के योग के बराबर होता है। किसी भी उप-किस्म के लिए $$Y$$ तथा $$Z$$ एक समतल योजना $$X$$ के ऊपर $$k$$, प्रतिच्छेदन आयाम पर कोई धारणा नहीं होने के कारण  विलियम फुल्टन (गणितज्ञ)  और  रॉबर्ट मैकफर्सन (गणितज्ञ)  का प्रतिच्छेदन सिद्धांत चाउ समूहों के एक विहित तत्व का निर्माण करता है, जिसकी प्रतिरूप $$X$$ के चाउ समूहों में उत्पाद $$Y\cap Z$$  है। $$[Y][Z]$$.

प्रक्षेप्य स्थान
प्रक्षेपण स्थान की चाउ वलय $$\mathbb P^n$$ किसी भी क्षेत्र पर $$k$$ वलय है।


 * $$CH^*(\mathbb P^n) \cong \mathbf Z[H]/(H^{n + 1}),$$

जहाँ $$H$$ एक अधिसमतल (एकल रैखिक फलन का शून्य स्थान)का वर्ग है। इसके अतिरिक्त किसी भी उप-किस्म $$Y$$ एक प्रक्षेपी किस्म की डिग्री  $$d$$ और आयाम  $$a$$ प्रक्षेपण स्थान में तार्किक रूप से $$dH^a$$ के समकक्ष है। यह इस प्रकार है कि, किन्हीं दो उप-किस्मों के लिए $$Y$$ तथा $$Z$$ में पूरक आयाम का $$\mathbb P^n$$ और डिग्री $$a$$, $$b$$, क्रमशः चाउ वलय में उनका उत्पाद सरल होता है।


 * $$[Y] \cdot [Z] = a\, b\, H^n$$

जहाँ $$H^n$$, $$k$$ तार्किक बिंदु $$\mathbb P^n$$ का एक वर्ग है। उदाहरण के लिए, यदि $$Y$$ तथा $$Z$$ अनुप्रस्थ रूप से प्रतिच्छेदन करते हैं यह उसका अनुसरण करता है कि, $$Y\cap Z$$ डिग्री का एक शून्य चक्र $$ab$$ है।  यदि आधार क्षेत्र $$k$$ बीजगणितीय रूप से विवृत क्षेत्र है, तो इसका अर्थ है कि बिल्कुल $$ab$$ प्रतिच्छेदन के बिंदु है। यह बेज़ाउट के प्रमेय का एक संस्करण है,जो  गणनात्मक ज्यामिति  का एक उत्कृष्ट परिणाम होता है।

प्रक्षेपण बंडल सूत्र
एक सदिश बंडल $$E \to X$$ रैंक का $$r$$ एक समतल उचित योजना $$X$$ पर एक क्षेत्र के ऊपर, संबंधित प्रक्षेप्यबंडल की चाउ वलय  $$\mathbb{P}(E)$$ की गणना $$X$$ के चाउ वलय और $$E$$  के चेर्न वर्ग का उपयोग करके की जा सकती है। यदि हम  $$\zeta = c_1(\mathcal O_{\mathbb{P}(E)}(1))$$ तथा $$c_1,\ldots, c_r$$ की चेर्न वर्ग $$E$$ वलयों की एक समरूपता होती है।

CH^\bullet(\mathbb{P}(E)) \cong \frac{CH^\bullet(X)[\zeta]}{\zeta^r + c_1\zeta^{r-1} + c_2\zeta^{r-2} + \cdots + c_r} $$

हिरजेब्रूच सतह
उदाहरण के लिए, एक हिरजेब्रुक सतह के चाउ वलय को प्रक्षेपण बंडल सूत्र का उपयोग करके सरलता से गणना की जा सकती है। याद करें कि इसे $$F_a = \mathbb{P}(\mathcal{O}\oplus\mathcal{O}(a))$$ ऊपर $$\mathbb{P}^1$$ फिर, इस सदिश बंडल का एकमात्र गैर-तुच्छ चेर्न वर्ग $$c_1 = aH$$ है। इसका तात्पर्य है कि, चाउ वलय समरूपी होता है।

CH^\bullet(F_a) \cong \frac{CH^\bullet(\mathbb{P}^1)[\zeta]}{(\zeta^2 + aH\zeta)} \cong \frac{\mathbf Z[H,\zeta]}{(H^2, \zeta^2+aH\zeta)} $$

टिप्पणी
अन्य बीजगणितीय किस्मों के लिए, चाउ समूहों में समृद्ध व्यवहार हो सकता है। उदाहरण के लिए, मान लें कि $$X$$ क्षेत्र $$k$$ पर एक दीर्घवृत्तीय वक्र है। फिर $$X$$ पर शून्य-चक्रों का चाउ समूह एक सटीक क्रम  में सुव्यवस्थित हो जाता है।


 * $$ 0 \rightarrow X(k) \rightarrow CH_0(X) \rightarrow \mathbf{Z} \rightarrow 0.$$

इस प्रकार दीर्घवृत्तीय वक्र का चाउ समूह $$X$$ के $$X(k)$$ तार्किक बिंदुओं के समूह  $$X(k)$$  से निकटता से संबंधित है। जब $$k$$ एक  संख्या क्षेत्र  होता है, $$X(k)$$ को $$X$$ का मोर्डेल-वेइल समूह कहा जाता है, और संख्या सिद्धांत की कुछ गहरी समस्याएं अनुकूल हैं इस समूह को समझने के लिए, जब $$k$$ सम्मिश्र संख्याएँ होती हैं, तो दीर्घवृत्तीय वक्र का उदाहरण दिखायी देता है कि, चाउ समूह  अगणनीय  विनिमेय समूह हो सकते हैं।

क्रियात्मकता
$$f: X\to Y$$ योजनाओं के लिए $$k$$ से अधिक के उचित आकारिकी के लिए, एक होमोमोर्फिज्म समरूपता है।  $$f_*: CH_i(X)\to CH_i(Y)$$ प्रत्येक पूर्णांक के लिए $$i$$. उदाहरण के लिए, पूरी विविधता के लिए $$X$$ ऊपर $$k$$, यह एक समरूपता प्रदान करता है $$CH_0(X)\to \mathbf Z$$, जो $$X$$ में एक विवृत बिंदु को $$k$$. से ऊपर की डिग्री तक ले जाता है। $$X$$ में एक विवृत बिंदु का रूप $$\operatorname{Spec}(E)$$ एक परिमित विस्तार क्षेत्र $$E$$ के लिए है $$k$$, और इसकी डिग्री का अर्थ $$k$$ पर  क्षेत्र की डिग्री  $$E$$ है।

आयाम $$r$$ (संभवत: खाली) के तंतुओं के साथ $$k$$ से अधिक योजनाओं के समतल आकारिकी $$f: X\to Y$$ के लिए, गाइसिन समरूपता  $$f^*: CH_i(Y)\to CH_{i+r}(X)$$ होती है।

चाउ समूहों के लिए एक प्रमुख कम्प्यूटेशनल उपकरण स्थानीयकरण अनुक्रम होता है, जो निम्नानुसार एक योजना $$X$$ के लिए एक क्षेत्र $$k$$  और $$X$$ की एक विवृत उपयोजना $$Z$$ पर एक सटीक अनुक्रम है।
 * $$CH_i(Z) \rightarrow CH_i(X) \rightarrow CH_i(X-Z) \rightarrow 0,$$

जहां पहला समरूपी उचित आकारिकी $$Z\to X$$ से जुड़ा पुशफॉरवर्ड है ,और दूसरी समरूपता समतल आकारिता $$X - Z \to X$$ के संबंध में पुलबैक है। चाउ समूह, (बोरेल-मूर) प्रेरक होमोलॉजी समूह,या  उच्च चाउ समूह  के रूप में भी जाना जाता है, इसके सामान्यीकरण का उपयोग करके स्थानीयकरण अनुक्रम को बाईं ओर बढ़ाया जा सकता है।

किसी भी आकारिता के लिए $$f: X\to Y$$ सुचारू योजनाओं की समाप्ति $$k$$, एक पुलबैक समरूपता है $$f^*: CH^i(Y)\to CH^i(X)$$, जो वास्तव में एक $$CH^*(Y)\to CH^*(X)$$.वलय समरूपी होता है।

समतल पुलबैक के उदाहरण
ध्यान दें कि ब्लोअप का उपयोग करके गैर-उदाहरणों का निर्माण किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम $$\mathbb{A}^2$$ में उत्पत्ति के विस्फोट को लेते हैं। तो मूल पर फाइबर $$\mathbb{P}^1$$.के लिए समरूप होता है।

वक्रों का शाखित आवरण
वक्रों के शाखित आवरण पर विचार करें
 * $$f: \operatorname{Spec}\left( \frac{\mathbb{C}[x,y]}{(f(x) - g(x,y))} \right) \to \mathbb{A}^1_x$$

चूंकि जब भी आकारिकी विस्तृत होती है, $$f(\alpha) = 0$$ हमें एक गुणनखंड मिलता है
 * $$g(\alpha,y) = (y - a_1)^{e_1}\cdots(y-a_k)^{e_k}$$

जहां $$e_i>1$$. में से एक, इसका तात्पर्य यह है कि बिंदु $$\{\alpha_1,\ldots,\alpha_k \} = f^{-1}(\alpha)$$ बहुलता है $$e_1,\ldots,e_k$$ क्रमश। बिंदु का समतल पुलबैक $$\alpha$$ होता है।
 * $$f^*[\alpha] = e_1[\alpha] + \cdots + e_k[\alpha_k]$$

किस्मों का समतल परिवार
एक समतल सहलक्षणीय किस्मों पर विचार करना
 * $$X \to S$$

और एक उप प्रकार $$S' \subset S$$. फिर, कार्तीय वर्ग का उपयोग करना

\begin{matrix} S'\times_{S} X & \to & X \\ \downarrow & & \downarrow \\ S' & \to & S \end{matrix} $$ हम देखते हैं, कि प्रतिरूप $$S'\times_{S} X$$ की एक उप-किस्म है $$X$$. इसलिए, हमारे पास है
 * $$f^*[S'] = [S'\times_S X]$$

चक्र मानचित्र
चाउ समूह से लेकर अधिक संगणनीय सिद्धांतों तक कई समरूपता (चक्र मानचित्र के रूप में जाना जाता है) हैं।

सबसे पहले, एक योजना X के लिए जटिल संख्याओं पर, चाउ समूहों से बोरेल-मूर समरूपता के लिए एक समरूपता है।
 * $$\mathit{CH}_i(X) \rightarrow H_{2i}^{BM}(X,\mathbf{Z}).$$

2 का गुणक प्रकट होता है, क्योंकि X की i-आयामी उप-किस्म का वास्तविक आयाम 2i होता है। जब x सम्मिश्र संख्याओं पर सहज होता है, तो इस चक्र मानचित्र को एक समरूपता के रूप में पॉइंकेयर द्वैत का उपयोग करके फिर से लिखा जा सकता है।
 * $$\mathit{CH}^j(X) \rightarrow H^{2j}(X,\mathbf{Z}).$$

इस स्थिति में (C पर X सहज), ये होमोमोर्फिज्म चाउ वलय से कोहोलॉजी वलय तक वलय होमोमोर्फिज्म बनाते हैं। सहज रूप से, यह इसलिए है क्योंकि चाउ वलय और कोहोलॉजी वलय दोनों में उत्पाद चक्रों के प्रतिच्छेदन का वर्णन करते हैं।

एक समतल जटिल प्रक्षेपी विविधता के लिए, चाउ वलय से सामान्य कोहोलॉजी कारकों के चक्र मानचित्र को एक समृद्ध सिद्धांत, डेलिग्ने कोहोलॉजी के माध्यम से। इसमें एबेल-जैकोबी मानचित्र सम्मिलित है, जो चक्रों से समरूप से शून्य से  मध्यवर्ती जैकोबियन  के बराबर होता है। तथा  घातीय अनुक्रम  से पता चलता है कि, CH1(X) समरूप रूप से डेलिग्न कोहोलॉजी के लिए मैप करता है, लेकिन वह j > 1 के साथ CHj(X) के लिए विफल रहता है।

एक यादृच्छिक क्षेत्र k पर एक योजना X के लिए, चाउ समूहों से (बोरेल-मूर) एटेल कोहोलॉजी के लिए एक समान चक्र मानचित्र है। जब X, k पर समतल होता है, तो इस समरूपता को चाउ वलय से इटेल कोहोलॉजी तक वलय होमोमोर्फिज्म से पहचाना जा सकता है।

के(K)-सिद्धांत से संबंध
एक बीजगणितीय सदिश बंडल  E एक क्षेत्र पर एक समतल योजना X पर CHi(X) में  चेर्न वर्ग  ci(E) है, जिसमें टोपोलॉजी के समान औपचारिक गुण हैं। चर्न वर्ग सदिश बंडलों और चाउ समूहों के बीच घनिष्ठ संबंध प्रदान करते हैं। अर्थात, K0(X) को X पर वेक्टर बंडलों का  ग्रोथेंडिक समूह  होने दें। ग्रोथेंडिक-रीमैन-रोच प्रमेय के हिस्से के रूप में, अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक  ने दिखाया कि चेर्न चरित्र एक समरूपता देता है।
 * $$K_0(X)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{Q} \cong \prod_i \mathit{CH}^i(X)\otimes_{\mathbf{Z}}\mathbf{Q}.$$

बीजगणितीय चक्रों पर किसी अन्य पर्याप्त तुल्यता संबंध  की तुलना में यह तुल्याकारिता तार्किक तुल्यता के महत्व को दर्शाती है।

अनुमान
बीजगणितीय ज्यामिति और संख्या सिद्धांत में कुछ गहरे अनुमान चाउ समूहों को समझने के प्रयास हैं। उदाहरण के लिए-


 * मोर्डेल-वील प्रमेय का अर्थ है कि विभाजक वर्ग समूह CHn-1(X) किसी संख्या क्षेत्र पर आयाम n के किसी भी किस्म X के लिए परिमित रूप से उत्पन्न होता है। यह एक संवृत समस्या है, कि क्या सभी चाउ समूह एक संख्या क्षेत्र में प्रत्येक किस्म के लिए सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होते हैं। एल-फलन के मानों पर बलोच-काटो  अनुमान पूर्वाकलन करता है, कि ये समूह सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होते हैं। इसके अतिरिक्त चक्रों के समूह का रैंक मॉडुलो होमोलॉजिकल तुल्यता, और चक्रों के समूह का भी सामान्य रूप से शून्य के बराबर है, निश्चित पूर्णांक बिंदुओं पर दी गई विविधता के एल-फलन के लुप्त होने के क्रम के बराबर होना चाहिए। बीजगणितीय k-सिद्धांत में  बास अनुमान  से इन रैंकों की परिमितता का भी पालन होगा।
 * एक समतल जटिल प्रक्षेपी विविधता x के लिए, हॉज अनुमान चाउ समूहों से एकवचन कोहोलॉजी के लिए चक्र मानचित्र की छवि (तर्कों Q के साथ  टेंसर उत्पाद) की पूर्वाकलन करता है। एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न क्षेत्र (जैसे एक परिमित क्षेत्र  या संख्या क्षेत्र) पर एक समतल प्रक्षेप्य विविधता के लिए, टेट अनुमान  चाउ समूहों से  एल-एडिक कोहोलॉजी  के चक्र मानचित्र की छवि (Ql के साथ तन्यता) का पूर्वाकलन करता है।
 * किसी भी क्षेत्र पर समतल प्रक्षेपी किस्म x के लिए, बलोच-बेइलिन्सन अनुमान मजबूत गुणों के साथ x के चाउ समूहों (तार्किक के साथ तन्यता) पर एक निस्पंदन की पूर्वाकलन करता है। अनुमान x के अद्वितीय या ईटेल कोहोलॉजी और x के चाउ समूहों के बीच एक तंग संबंध का संकेत देता है।


 * उदाहरण के लिए, X को एक समतल जटिल प्रक्षेप्य सतह होने दें। एक्स मैप्स पर शून्य-चक्र का चाउ समूह डिग्री होमोमोर्फिज्म द्वारा पूर्णांकों पर K को कर्नेल होने दें। यदि ज्यामितीय जीनस h0(X, Ω2) शून्य नहीं होता है, तो डेविड ममफोर्ड  ने दिखाया कि, K अनंत-आयामी होते है, X पर शून्य-चक्रों के किसी परिमित-आयामी सहलक्षणीय का प्रतिरूप नहीं होता है। तथा बलोच-बेइलिनसन अनुमान एक संतोषजनक बातचीत का अर्थ होगा कि, ज्यामितीय जीनस शून्य के साथ समतल जटिल प्रक्षेपी सतह x के लिए, k परिमित-आयामी होना चाहिए एवं  अधिक सटीक रूप से इसे x के अल्बनीज किस्म के जटिल बिंदुओं के समूह के लिए आइसोमोर्फिक रूप से छायाचित्र करना चाहिए।

द्विचर सिद्धांत
विलियन फुल्टन और मैकफ़र्सन ने संक्रियात्मक चाउ वलय को परिभाषित करके चाउ वलय को अद्वितीय किस्मों तक बढ़ाया और सामान्य रूप से योजनाओं के किसी भी आकारिता से जुड़े एक द्विपरिवर्ती सिद्धांत को परिभाषित किया। द्विपरिवर्तक सिद्धांत सहसंयोजक और प्रतिपरिवर्ती कार्यकर्ताओं  की एक जोड़ी होती है, जो एक मानचित्र को क्रमशः एक  समूह  और एक वलय प्रदान करता है। यह एक  कोहोलॉजी सिद्धांत  को सामान्यीकृत करता है, जो कि एक विरोधाभासी कार्यकर्ता होता है, तथा अंतरिक्ष वलय अर्थात् एक सह-विज्ञान की वलय प्रदान करता है। बिवेरिएंट नाम इस तथ्य को यह संदर्भित करता है कि सिद्धांत में सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती दोनों प्रकार के कारक सम्मिलित हैं।

यह एक अर्थ में चाउ वलय का अद्वितीय किस्मों के लिए सबसे प्रारंभिक विस्तार है। अन्य सिद्धांत जैसे मोटिविक कोहोलॉजी मैप टू संक्रियात्मक चाउ वलय आदि।

अन्य प्रकार
बिंदुगणितीय चाउ समूह Q से अधिक किस्मों के चाउ समूहों का एक समामेलन होता है, जिसमें एक घटक एन्कोडिंग अरकेलोव-सैद्धांतिक जानकारी है, जो कि संबंधित जटिल मैनिफोल्ड पर अंतर रूप होता है।

एक क्षेत्र पर परिमित प्रकार की योजनाओं के चाउ समूह का सिद्धांत सरलता पूर्वक बीजगणितीय रिक्त स्थान तक फैला हुआ है। इस विस्तार का मुख्य लाभ यह है कि बाद की श्रेणी में भागफल बनाना सरल होता है और इस प्रकार बीजगणितीय रिक्त स्थान के समतुल्य चाउ समूहों  पर विचार करना अधिक स्वाभाविक है। एक बहुत अधिक दुर्जेय विस्तार एक स्टैक का चाउ समूह है, जिसका निर्माण केवल कुछ विशेष स्थिति में किया गया है और विशेष रूप से एक  आभासी मौलिक वर्ग  की समझ बनाने के लिए इसकी आवश्यकता होती है।

इतिहास
19वीं शताब्दी के दौरान विभाजकों की तार्किक तुल्यता को रेखीय तुल्यता के रूप में जाना जाता है। एवं इसका विभिन्न रूपों में अध्ययन किया गया, जिससे संख्या सिद्धांत में आदर्श वर्ग समूह  और बीजगणितीय वक्रों के सिद्धांत में जैकोबियन विविधता का मार्ग प्रशस्त हुआ। उच्च-कोडिमेंशन चक्रों के लिए, 1930 के दशक में  फ्रांसेस्को सेवेरी  द्वारा तार्किक तुल्यता प्रस्तुत की गई थी। 1956 में, वेई-लियांग चाउ ने एक प्रभावशाली प्रमाण दिया कि, चाउ के मूविंग लेम्मा का उपयोग करते हुए प्रतिच्छेदन उत्पाद एक समतल अर्ध-प्रक्षेपी विविधता के लिए चक्र सापेक्ष तार्किक तुल्यता पर अच्छी तरह से परिभाषित है। 1970 के दशक में प्रारम्भ करते हुए, फुल्टन और मैकफर्सन ने चाउ समूहों के लिए वर्तमान मानक आधार दिया, जहाँ भी संभव अद्वितीय किस्मों के साथ काम करना उनके सिद्धांत में, समतल किस्मों के लिए प्रतिच्छेदन उत्पाद का निर्माण सामान्य शंकु के विरूपण द्वारा किया जाता है।

यह भी देखें

 * प्रतिच्छेदन सिद्धांत
 * ग्रोथेंडिक-रिमेंन-रोच प्रमेय
 * हॉज अनुमान
 * मकसद (बीजगणितीय ज्यामिति)

उन्नत
वर्ग:बीजगणितीय ज्यामिति श्रेणी:प्रतिच्छेदन सिद्धांत श्रेणी:बीजीय ज्यामिति के टोपोलॉजिकल तरीके श्रेणी:चीनी गणितीय खोजें|झोउ, वेइलियांग