प्रक्षेपवक्र

एक प्रक्षेपवक्र या उड़ान पथ वह मार्ग है जो गति (भौतिकी) में द्रव्यमान वाला एक भौतिक शरीर समय के कार्य के रूप में अंतरिक्ष के माध्यम से चलता है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक प्रक्षेपवक्र को हैमिल्टनियन यांत्रिकी द्वारा विहित निर्देशांक के माध्यम से परिभाषित किया गया है; इसलिए, एक पूर्ण प्रक्षेपवक्र को एक साथ स्थिति और संवेग द्वारा परिभाषित किया जाता है।

द्रव्यमान एक प्रक्षेप्य या उपग्रह हो सकता है। उदाहरण के लिए, यह एक कक्षा हो सकती है - एक ग्रह, क्षुद्रग्रह, या धूमकेतु का पथ, क्योंकि यह एक प्राथमिक (खगोल विज्ञान) के चारों ओर यात्रा करता है।

नियंत्रण सिद्धांत में, एक प्रक्षेपवक्र एक गतिशील प्रणाली के राज्य (नियंत्रण) का एक समय-आदेशित सेट है (उदाहरण के लिए पॉइनकेयर मानचित्र देखें)। असतत गणित में, एक प्रक्षेपवक्र एक अनुक्रम है $$(f^k(x))_{k \in \mathbb{N}}$$ मानचित्रण के पुनरावृत्त अनुप्रयोग द्वारा परिकलित मानों का $$f$$ एक तत्व को $$x$$ इसके स्रोत का।

प्रक्षेपवक्र का भौतिकी
प्रक्षेपवक्र का एक परिचित उदाहरण एक प्रक्षेप्य का मार्ग है, जैसे फेंकी गई गेंद या चट्टान। एक काफी सरलीकृत मॉडल में, वस्तु केवल एक समान गुरुत्वाकर्षण बल क्षेत्र (भौतिकी) के प्रभाव में चलती है। यह एक चट्टान के लिए एक अच्छा सन्निकटन हो सकता है जिसे छोटी दूरी के लिए फेंका जाता है, उदाहरण के लिए चंद्रमा की सतह पर। इस सरल सन्निकटन में, प्रक्षेपवक्र एक परवलय का आकार ले लेता है। आम तौर पर प्रक्षेपवक्र का निर्धारण करते समय, गैर-समान गुरुत्वाकर्षण बल और वायु प्रतिरोध (ड्रैग (भौतिकी) और वायुगतिकी) के लिए आवश्यक हो सकता है। यह बोलिस्टीक्स के अनुशासन का फोकस है।

न्यूटोनियन यांत्रिकी की उल्लेखनीय उपलब्धियों में से एक केप्लर के ग्रहों की गति के नियमों की व्युत्पत्ति थी। एक बिंदु द्रव्यमान या एक गोलाकार-सममित विस्तारित द्रव्यमान (जैसे सूर्य) के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में, एक गतिमान वस्तु का प्रक्षेपवक्र एक शंकु खंड होता है, आमतौर पर एक दीर्घवृत्त या अतिपरवलय होता है। यह ग्रहों, धूमकेतुओं, और कृत्रिम अंतरिक्ष यान की देखी गई कक्षाओं के साथ यथोचित अच्छे सन्निकटन से सहमत है, हालाँकि यदि कोई धूमकेतु सूर्य के करीब से गुजरता है, तो यह सौर हवा और विकिरण दबाव जैसे अन्य बलों से भी प्रभावित होता है, जो संशोधित करते हैं। परिक्रमा करें और धूमकेतु को अंतरिक्ष में सामग्री बाहर निकालने का कारण बनें।

न्यूटन का सिद्धांत बाद में शास्त्रीय यांत्रिकी के रूप में ज्ञात सैद्धांतिक भौतिकी की शाखा में विकसित हुआ। यह अंतर कलन के गणित को नियोजित करता है (जिसकी शुरुआत न्यूटन ने अपनी युवावस्था में की थी)। सदियों से अनगिनत वैज्ञानिकों ने इन दो विषयों के विकास में योगदान दिया है। शास्त्रीय यांत्रिकी विज्ञान के साथ-साथ प्रौद्योगिकी में तर्कसंगत विचार की शक्ति का सबसे प्रमुख प्रदर्शन बन गया। यह घटनाओं की एक विशाल श्रेणी को समझने और भविष्यवाणी करने में मदद करता है; प्रक्षेपवक्र केवल एक उदाहरण हैं।

द्रव्यमान के एक कण पर विचार करें $$m$$, एक गुरुत्वाकर्षण क्षमता में आगे बढ़ रहा है $$V$$. शारीरिक रूप से बोलना, द्रव्यमान जड़ता और क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है $$V$$ एक विशेष प्रकार की बाहरी ताकतों का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें रूढ़िवादी कहा जाता है। दिया गया $$V$$ प्रत्येक प्रासंगिक स्थिति में, संबंधित बल का अनुमान लगाने का एक तरीका है जो उस स्थिति पर कार्य करेगा, गुरुत्वाकर्षण से कहें। हालाँकि, सभी बलों को इस तरह से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

कण की गति को दूसरे क्रम के अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है


 * $$ m \frac{\mathrm{d}^2 \vec{x}(t)}{\mathrm{d}t^2} = -\nabla V(\vec{x}(t)) \text{ with } \vec{x}=(x,y,z).$$

दायीं ओर, बल के पदों में दिया गया है $$\nabla V$$, प्रक्षेपवक्र के साथ पदों पर ली गई क्षमता का ढाल। यह न्यूटन के न्यूटन के दूसरे नियम का गणितीय रूप है: ऐसी स्थितियों के लिए बल द्रव्यमान गुणा त्वरण के बराबर होता है।

समान गुरुत्वाकर्षण, न तो खींचें और न ही हवा
गैलिलियो गैलिली द्वारा अन्य बलों (जैसे एयर ड्रैग) की अनुपस्थिति में एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में प्रक्षेप्य की गति के आदर्श मामले की जांच की गई थी। एक प्रक्षेपवक्र को आकार देने में वातावरण की कार्रवाई की उपेक्षा करने के लिए यूरोप में मध्य युग के माध्यम से व्यावहारिक दिमाग वाले जांचकर्ताओं द्वारा एक व्यर्थ परिकल्पना माना जाता। फिर भी, निर्वात के अस्तित्व की आशा करके, बाद में उनके सहयोगी इवेंजलिस्ता टोरिकेली द्वारा पृथ्वी पर प्रदर्शित किया जाएगा, गैलीलियो यांत्रिकी के भविष्य के विज्ञान की शुरुआत करने में सक्षम थे। एक निकट निर्वात में, जैसा कि यह चंद्रमा पर उदाहरण के लिए निकलता है, उसका सरलीकृत परवलयिक प्रक्षेपवक्र अनिवार्य रूप से सही साबित होता है।

इसके बाद के विश्लेषण में, हम एक प्रक्षेप्य की गति के समीकरण को प्राप्त करते हैं, जैसा कि जमीन के संबंध में संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम से मापा जाता है। प्रक्षेप्य के प्रक्षेपण के बिंदु पर इसकी उत्पत्ति के साथ फ्रेम के साथ संबद्ध एक दाहिने हाथ की समन्वय प्रणाली है। $$x$$>-अक्ष जमीन पर स्पर्शरेखा है, और $$y$$अक्ष इसके लंबवत है (गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र रेखाओं के समानांतर)। होने देना $$g$$ मानक गुरुत्वाकर्षण हो। समतल भूभाग के सापेक्ष प्रारम्भिक क्षैतिज गति होने दें $$v_h = v \cos(\theta)$$ और प्रारंभिक लंबवत गति हो $$v_v = v \sin(\theta)$$. यह भी दिखाया जाएगा कि एक प्रक्षेप्य की सीमा है $$2v_h v_v/g$$, और अधिकतम ऊंचाई है $$v_v^2/2g$$. किसी दी गई प्रारंभिक गति के लिए अधिकतम सीमा $$v$$ कब प्राप्त होता है $$v_h=v_v$$, यानी प्रारंभिक कोण 45 है$$^\circ$$. यह रेंज है $$v^2/g$$, और अधिकतम सीमा पर अधिकतम ऊंचाई है $$v^2/(4g)$$.

गति के समीकरण की व्युत्पत्ति
मान लें कि प्रक्षेप्य की गति को एक मुक्त पतन फ्रेम से मापा जा रहा है जो (x,y) = (0,0) पर t = 0 पर होता है। इस फ्रेम में प्रक्षेप्य की गति का समीकरण (तुल्यता सिद्धांत द्वारा) ) होगा $$y = x \tan(\theta)$$. हमारे जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में इस फ्री-फॉल फ्रेम के निर्देशांक होंगे $$y = - gt^2/2$$. वह है, $$y = - g(x/v_h)^2/2$$.

अब वापस जड़त्वीय फ्रेम में अनुवाद करना प्रक्षेप्य का समन्वय बन जाता है $$y = x \tan(\theta)- g(x/v_h)^2/2$$ वह है:


 * $$y=-{g\sec^2\theta\over 2v_0^2}x^2+x\tan\theta,$$

(जहाँ वि0 प्रारंभिक वेग है, $$\theta$$ ऊंचाई का कोण है, और जी गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है)।

रेंज और ऊंचाई
श्रेणी, आर, वस्तु द्वारा I क्षेत्र में एक्स-अक्ष के साथ तय की जाने वाली सबसे बड़ी दूरी है। प्रारंभिक वेग, ''वीi, वह गति है जिस पर उक्त वस्तु उत्पत्ति के बिंदु से प्रक्षेपित की जाती है। 'प्रारंभिक कोण', θi, वह कोण है जिस पर उक्त वस्तु को छोड़ा जाता है। जी शून्य-माध्यम के भीतर वस्तु पर संबंधित गुरुत्वाकर्षण खिंचाव है।


 * $$R={v_i^2\sin2\theta_i\over g}$$

ऊँचाई, h, सबसे बड़ी परवलयिक ऊँचाई है जो कहा जाता है कि वस्तु अपने प्रक्षेपवक्र के भीतर पहुँचती है
 * $$h={v_i^2\sin^2\theta_i\over 2g}$$

उन्नयन कोण
ऊंचाई के कोण के संदर्भ में $$\theta$$ और प्रारंभिक गति $$v$$:


 * $$v_h=v \cos \theta,\quad v_v=v \sin \theta \;$$

के रूप में रेंज दे रहा है


 * $$R= 2 v^2 \cos(\theta) \sin(\theta) / g = v^2 \sin(2\theta) / g\,.$$

आवश्यक श्रेणी के लिए कोण खोजने के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है


 * $$ \theta = \frac 1 2 \sin^{-1} \left( \frac{g R}{ v^2 } \right) $$ (समीकरण II: प्रक्षेप्य प्रक्षेपण का कोण)

ध्यान दें कि साइन फ़ंक्शन ऐसा है जिसके दो समाधान हैं $$\theta$$ किसी दिए गए दायरे के लिए $$d_h$$. कोना $$\theta$$ डेरिवेटिव या पर विचार करके अधिकतम रेंज देना पाया जा सकता है $$R$$ इसके संबंध में $$\theta$$ और इसे शून्य पर सेट करना।


 * $${\mathrm{d}R\over \mathrm{d}\theta}={2v^2\over g} \cos(2\theta)=0$$

जिसका एक गैर-तुच्छ समाधान है $$2\theta=\pi/2=90^\circ$$, या $$\theta=45^\circ$$. अधिकतम सीमा तब है $$R_{\max} = v^2/g\,$$. इस कोण पर $$\sin(\pi/2)=1$$, इसलिए प्राप्त की गई अधिकतम ऊंचाई है $${v^2 \over 4g}$$.

किसी दिए गए गति के लिए अधिकतम ऊंचाई देने वाला कोण खोजने के लिए अधिकतम ऊंचाई के व्युत्पन्न की गणना करें $$H=v^2 \sin^2(\theta) /(2g)$$ इसके संबंध में $$\theta$$, वह है $${\mathrm{d}H\over \mathrm{d}\theta}=v^2 2\cos(\theta)\sin(\theta) /(2g)$$ जो शून्य है जब $$\theta=\pi/2=90^\circ$$. तो अधिकतम ऊंचाई $$H_\mathrm{max}={v^2\over 2g}$$ प्रक्षेप्य को सीधे ऊपर दागे जाने पर प्राप्त होता है।

वस्तुओं की परिक्रमा करना
यदि एक समान नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल के बजाय हम दो पिंडों को परस्पर गुरुत्वाकर्षण के साथ परिक्रमा करते हुए मानते हैं, तो हमें ग्रहीय गति के केप्लर के नियम प्राप्त होते हैं। इनकी व्युत्पत्ति आइजैक न्यूटन के प्रमुख कार्यों में से एक थी और इसने डिफरेंशियल कैलकुलस के विकास के लिए काफी प्रेरणा प्रदान की।

गेंदों को पकड़ना
यदि कोई प्रक्षेप्य, जैसे कि बेसबॉल या क्रिकेट बॉल, नगण्य वायु प्रतिरोध के साथ एक परवलयिक पथ में यात्रा करता है, और यदि कोई खिलाड़ी नीचे उतरते ही इसे पकड़ने के लिए तैनात किया जाता है, तो वह अपनी उड़ान के दौरान लगातार बढ़ते हुए कोण को देखता है। ऊंचाई के कोण की स्पर्शरेखा उस समय के समानुपाती होती है जब से गेंद को हवा में भेजा जाता है, आमतौर पर बल्ले से मारा जाता है। यहां तक ​​​​कि जब गेंद वास्तव में नीचे जा रही होती है, तो उसकी उड़ान के अंत के पास, खिलाड़ी द्वारा देखा गया उसका उन्नयन कोण बढ़ता रहता है। खिलाड़ी इसलिए इसे देखता है जैसे कि यह निरंतर गति से लंबवत रूप से चढ़ रहा हो। जिस स्थान से गेंद तेजी से उठती हुई प्रतीत होती है, उसे खोजने से खिलाड़ी को कैच लेने के लिए खुद को सही स्थिति में लाने में मदद मिलती है। यदि वह गेंद को हिट करने वाले बल्लेबाज के बहुत करीब है, तो यह तेजी से ऊपर उठती हुई प्रतीत होगी। यदि वह बल्लेबाज से बहुत दूर है, तो यह तेजी से धीमा और फिर नीचे उतरता हुआ प्रतीत होगा।

यह भी देखें

 * पिछाड़ी-क्रॉसिंग प्रक्षेपवक्र
 * विस्थापन (ज्यामिति)
 * गैलिलियन आक्रमण
 * कक्षा (गतिकी)
 * कक्षा (समूह सिद्धांत)
 * कक्षीय प्रक्षेपवक्र
 * ग्रहों की कक्षा
 * पोर्कचॉप प्लॉट
 * प्रक्षेप्य गति
 * एक प्रक्षेप्य की सीमा
 * कठोर शरीर
 * विश्व रेखा

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * मोशन (भौतिकी)
 * शारीरिक काया
 * की परिक्रमा
 * गणित पृथक करें
 * छोटा तारा
 * अंडाकार
 * चांद
 * रवि
 * अतिशयोक्ति
 * खींचें (भौतिकी)
 * सौर पवन
 * ताकत
 * धरती
 * खालीपन
 * संदर्भ का जड़त्वीय ढांचा
 * निर्बाध गिरावट
 * समानता सिद्धांत
 * X- अक्ष
 * उन लोगों के
 * पिछाड़ी पार प्रक्षेपवक्र
 * गैलीलियन आक्रमण

बाहरी संबंध

 * Projectile Motion Flash Applet :)
 * Trajectory calculator
 * An interactive simulation on projectile motion
 * Projectile Lab, JavaScript trajectory simulator
 * Parabolic Projectile Motion: Shooting a Harmless Tranquilizer Dart at a Falling Monkey by Roberto Castilla-Meléndez, Roxana Ramírez-Herrera, and José Luis Gómez-Muñoz, The Wolfram Demonstrations Project.
 * Trajectory, ScienceWorld.
 * Java projectile-motion simulation, with first-order air resistance.
 * Java projectile-motion simulation; targeting solutions, parabola of safety.