अमूर्त बीजगणित

गणित में, विशेष रूप से बीजगणित, अमूर्त बीजगणित या आधुनिक बीजगणित बीजगणितीय संरचनाओं का अध्ययन है। बीजगणितीय संरचनाओं में समूह (गणित), वलय (गणित), क्षेत्र (गणित), मॉड्यूल (गणित), सदिश स्थान, जाली (क्रम) और एक क्षेत्र पर बीजगणित शामिल हैं। अमूर्त बीजगणित शब्द 20वीं शताब्दी की शुरुआत में बीजगणित के पुराने हिस्सों से अध्ययन के इस क्षेत्र को अलग करने के लिए गढ़ा गया था, और विशेष रूप से प्राथमिक बीजगणित से, संगणना और तर्क में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए चर (गणित) का उपयोग।

बीजगणितीय संरचनाएं, उनके संबंधित समरूपताओं के साथ, श्रेणी (गणित) बनाती हैं। श्रेणी सिद्धांत एक औपचारिकता है जो विभिन्न संरचनाओं के समान गुणों और निर्माणों को व्यक्त करने के लिए एक एकीकृत तरीके की अनुमति देता है।

सार्वभौमिक बीजगणित एक संबंधित विषय है जो एकल वस्तुओं के रूप में बीजगणितीय संरचनाओं के प्रकार का अध्ययन करता है। उदाहरण के लिए, समूहों की संरचना सार्वभौमिक बीजगणित में एक एकल वस्तु है, जिसे समूहों की विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) कहा जाता है।

इतिहास
उन्नीसवीं शताब्दी से पहले, बीजगणित का अर्थ बहुपद समीकरणों के समाधान का अध्ययन था। सार बीजगणित उन्नीसवीं शताब्दी के दौरान अधिक जटिल समस्याओं और समाधान विधियों के विकास के रूप में अस्तित्व में आया। ठोस समस्याएं और उदाहरण संख्या सिद्धांत, ज्यामिति, विश्लेषण और बीजगणितीय समीकरणों के समाधान से आए हैं। अधिकांश सिद्धांत जिन्हें अब अमूर्त बीजगणित के भागों के रूप में पहचाना जाता है, गणित की विभिन्न शाखाओं से भिन्न तथ्यों के संग्रह के रूप में शुरू हुए, एक सामान्य विषय प्राप्त किया जो एक कोर के रूप में कार्य करता था जिसके चारों ओर विभिन्न परिणाम समूहित किए गए थे, और अंत में एक सामान्य सेट के आधार पर एकीकृत हो गए। अवधारणाओं की। यह एकीकरण 20वीं शताब्दी के शुरुआती दशकों में हुआ और इसके परिणामस्वरूप विभिन्न बीजगणितीय संरचनाओं जैसे समूहों, रिंगों और क्षेत्रों की औपचारिक स्वयंसिद्ध परिभाषाएँ सामने आईं। यह ऐतिहासिक विकास लोकप्रिय पाठ्यपुस्तकों में पाए जाने वाले उपचार के लगभग विपरीत है, जैसे कि वैन डेर वेर्डन का मॉडर्न बीजगणित, जो प्रत्येक अध्याय को संरचना की औपचारिक परिभाषा के साथ शुरू करते हैं और उसके बाद ठोस उदाहरणों के साथ इसका पालन करते हैं।

प्रारंभिक बीजगणित
बहुपद समीकरणों या बीजगणितीय समीकरणों के अध्ययन का एक लंबा इतिहास रहा है। 1700 ई.पू. के आसपास, बेबीलोनिया शब्द समस्याओं के रूप में निर्दिष्ट द्विघात समीकरणों को हल करने में सक्षम थे। इस शब्द समस्या चरण को आलंकारिक बीजगणित के रूप में वर्गीकृत किया गया है और 16वीं शताब्दी तक यह प्रभावी दृष्टिकोण था। मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने 830 ईस्वी में बीजगणित शब्द की उत्पत्ति की थी, लेकिन उनका काम पूरी तरह अलंकारिक बीजगणित था। पूरी तरह से प्रतीकात्मक बीजगणित फ्रांकोइस विएते के 1591 न्यू बीजगणित तक प्रकट नहीं हुआ था, और यहां तक ​​कि इसमें कुछ वर्तनी वाले शब्द थे जिन्हें डेसकार्टेस के 1637 ला जियोमेट्री में प्रतीक दिए गए थे। प्रतीकात्मक समीकरणों को हल करने के औपचारिक अध्ययन ने लियोनहार्ड यूलर को 18वीं शताब्दी के अंत में नकारात्मक संख्याओं और काल्पनिक संख्याओं जैसी निरर्थक जड़ों को स्वीकार करने के लिए प्रेरित किया। हालाँकि, यूरोपीय गणितज्ञों ने, अधिकांश भाग के लिए, 19वीं शताब्दी के मध्य तक इन अवधारणाओं का विरोध किया। जॉर्ज पीकॉक (गणितज्ञ) का 1830 का बीजगणित का ग्रंथ बीजगणित को कड़ाई से प्रतीकात्मक आधार पर रखने का पहला प्रयास था। उन्होंने पुराने अंकगणितीय बीजगणित से अलग एक नए प्रतीकात्मक बीजगणित को प्रतिष्ठित किया। जबकि अंकगणित बीजगणित में $$a - b$$ तक सीमित है $$a \geq b$$, प्रतीकात्मक बीजगणित में संचालन के सभी नियम बिना किसी प्रतिबंध के लागू होते हैं। इसका उपयोग करके मोर जैसे कानून दिखा सकता है $$(-a)(-b) = ab$$, जैसे भी हो $$a=0,c=0$$ में $$(a - b)(c - d)=ac + bd - ad - bc$$. मयूर ने अपने तर्क को सही ठहराने के लिए समकक्ष रूपों के स्थायित्व के सिद्धांत का इस्तेमाल किया, लेकिन उसका तर्क प्रेरण की समस्या से ग्रस्त था। उदाहरण के लिए, $$\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}$$ गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए मान्य है, लेकिन सामान्य सम्मिश्र संख्याओं के लिए नहीं।

प्रारंभिक समूह सिद्धांत
गणित के कई क्षेत्रों ने समूहों के अध्ययन का नेतृत्व किया। लैग्रेंज के 1770 में क्विंटिक के समाधान के अध्ययन ने एक बहुपद के गैलोज़ समूह का नेतृत्व किया। फ़र्मेट की छोटी प्रमेय के गॉस के 1801 के अध्ययन ने पूर्णांक मॉड्यूलो एन की अंगूठी, पूर्णांक मॉड्यूलो एन के गुणक समूह और चक्रीय समूहों और एबेलियन समूहों की अधिक सामान्य अवधारणाओं का नेतृत्व किया। क्लेन के 1872 एर्लांगेन कार्यक्रम ने ज्यामिति का अध्ययन किया और यूक्लिडियन समूह और प्रक्षेपी परिवर्तनों के समूह जैसे समरूपता समूहों का नेतृत्व किया। 1874 में ली ने झूठ समूहों के सिद्धांत की शुरुआत की, जिसका उद्देश्य अंतर समीकरणों के गाल्वा सिद्धांत के लिए था। 1976 में पोंकारे और क्लेन ने विश्लेषण में ऑटोमोर्फिक कार्यों पर काम के आधार पर मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन के समूह और इसके उपसमूहों जैसे कि मॉड्यूलर समूह और फुच्सियन समूह की शुरुआत की। उन्नीसवीं शताब्दी के मध्य में समूह की अमूर्त अवधारणा धीरे-धीरे उभरी। 1832 में गैल्वा ने "ग्रुप" शब्द का प्रयोग सबसे पहले किया था। रचना के तहत बंद किए गए क्रमपरिवर्तनों के संग्रह को दर्शाता है। आर्थर केली के 1854 के पेपर ऑन द थ्योरी ऑफ ग्रुप्स ने एक समूह को एक साहचर्य रचना संचालन और पहचान 1 के साथ एक सेट के रूप में परिभाषित किया, जिसे आज एक मोनोइड कहा जाता है। 1870 में क्रोनकर ने एक अमूर्त बाइनरी ऑपरेशन को परिभाषित किया जो बंद, क्रमविनिमेय, साहचर्य था, और जिसमें बाईं रद्दीकरण संपत्ति थी $$b\neq c \to a\cdot b\neq a\cdot c$$, परिमित एबेलियन समूह के लिए आधुनिक कानूनों के समान। वेबर की 1882 में एक समूह की परिभाषा एक बंद बाइनरी ऑपरेशन थी जो साहचर्य था और बाएं और दाएं रद्दीकरण था। 1882 में वाल्थर वॉन डाइक एक समूह की परिभाषा के भाग के रूप में व्युत्क्रम तत्वों की आवश्यकता वाले पहले व्यक्ति थे। एक बार इस सार समूह की अवधारणा उभरने के बाद, इस अमूर्त सेटिंग में परिणामों का सुधार किया गया। उदाहरण के लिए, साइलो के प्रमेय को 1887 में सीधे एक परिमित समूह के कानूनों से फ्रोबेनियस द्वारा पुन: प्रमाणित किया गया था, हालांकि फ्रोबेनियस ने टिप्पणी की थी कि प्रमेय क्रमपरिवर्तन समूहों पर कॉची के प्रमेय से अनुसरण करता है और तथ्य यह है कि प्रत्येक परिमित समूह एक क्रमचय समूह का एक उपसमूह है। ओटो होल्डर इस क्षेत्र में विशेष रूप से विपुल थे, 1889 में भागफल समूहों को परिभाषित करते हुए, 1893 में समूह ऑटोमोर्फिज्म, साथ ही साथ सरल समूह। उन्होंने जॉर्डन-होल्डर प्रमेय को भी पूरा किया। डेडेकिंड और मिलर ने स्वतंत्र रूप से हैमिल्टनियन समूहों की विशेषता बताई और दो तत्वों के कम्यूटेटर की धारणा पेश की। बर्नसाइड, फ्रोबेनियस और मोलियन ने उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में परिमित समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का निर्माण किया। जेए डी सेगुएर के 1904 मोनोग्राफ एलिमेंट्स ऑफ द थ्योरी ऑफ एब्स्ट्रैक्ट ग्रुप्स ने इनमें से कई परिणामों को अमूर्त, सामान्य रूप में प्रस्तुत किया, ठोस समूहों को एक परिशिष्ट में बदल दिया, हालांकि यह परिमित समूहों तक सीमित था। दोनों परिमित और अनंत अमूर्त समूहों पर पहला मोनोग्राफ ओ. के. श्मिट का 1916 का समूह का सार सिद्धांत था।

अर्ली रिंग थ्योरी
अअनुक्रमणीय वलय सिद्धांत जटिल संख्याओं के विस्तार के साथ हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याओं के साथ शुरू हुआ, विशेष रूप से 1843 में विलियम रोवन हैमिल्टन के चतुष्कोणों में। कई अन्य संख्या प्रणालियां शीघ्र ही अपनाई गईं। 1844 में, हैमिल्टन ने biquaternion प्रस्तुत किए, केली ने ऑक्टोनियन पेश किए, और ग्रासमैन ने बाहरी बीजगणित पेश किए। जेम्स कॉकल (वकील) ने 1848 में tessarine प्रस्तुत की और 1849 में coquaternion विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड ने 1873 में विभाजन-द्विभाजित की शुरुआत की। इसके अलावा केली ने 1854 में वास्तविक और जटिल संख्याओं पर समूह के छल्ले और 1855 और 1858 के दो पत्रों में वर्ग मैट्रिक्स की शुरुआत की। एक बार पर्याप्त उदाहरण हो जाने के बाद, यह उन्हें वर्गीकृत करने के लिए बना रहा। 1870 के एक मोनोग्राफ में, बेंजामिन पीयर्स ने 6 से नीचे आयाम के 150 से अधिक हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या प्रणालियों को वर्गीकृत किया, और एक साहचर्य बीजगणित की स्पष्ट परिभाषा दी। उन्होंने निरक्षर और निर्बल तत्वों को परिभाषित किया और सिद्ध किया कि किसी भी बीजगणित में एक या दूसरे तत्व होते हैं। उन्होंने पीयरस अपघटन को भी परिभाषित किया। 1878 में फ्रोबेनियस और 1881 में चार्ल्स सैंडर्स पियर्स ने स्वतंत्र रूप से साबित कर दिया कि एकमात्र परिमित-आयामी विभाजन बीजगणित $$\mathbb{R}$$ वास्तविक संख्याएँ, जटिल संख्याएँ और चतुष्कोण थे। 1880 के दशक में किलिंग और कार्टन ने दिखाया कि अर्ध-सरल लाई बीजगणित को सरल में विघटित किया जा सकता है, और सभी सरल लाई बीजगणित को वर्गीकृत किया जा सकता है। इससे प्रेरित होकर, 1890 के दशक में कार्टन, फ्रोबेनियस और मोलिन ने (स्वतंत्र रूप से) साबित किया कि एक परिमित-आयामी साहचर्य बीजगणित $$\mathbb{R}$$ या $$\mathbb{C}$$ विशिष्ट रूप से मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग में विघटित हो जाता है # नीलपोटेंट बीजगणित के बीजगणित का प्रत्यक्ष योग और एक अर्ध-सरल बीजगणित जो कुछ सरल बीजगणितों का उत्पाद है, विभाजन बीजगणित पर वर्ग मैट्रिक्स। प्रत्यक्ष योग और सरल बीजगणित जैसी अवधारणाओं को परिभाषित करने वाला कार्टन पहला था और ये अवधारणाएं काफी प्रभावशाली साबित हुईं। 1907 में वेडरबर्न ने कार्टन के परिणामों को एक मनमाने क्षेत्र में विस्तारित किया, जिसे अब वेडरबर्न प्रिंसिपल प्रमेय और आर्टिन-वेडरबर्न प्रमेय कहा जाता है। क्रमविनिमेय वलयों के लिए, कई क्षेत्रों ने मिलकर विनिमेय वलय सिद्धांत का नेतृत्व किया। 1828 और 1832 में दो पत्रों में, गॉस ने गॉसियन पूर्णांक तैयार किए और दिखाया कि वे एक अद्वितीय कारककरण डोमेन (यूएफडी) बनाते हैं और द्विपक्षीय पारस्परिकता कानून साबित करते हैं। लगभग उसी समय जैकोबी और आइज़ेंस्टीन ने आइज़ेंस्टीन पूर्णांकों के लिए एक क्यूबिक पारस्परिकता कानून साबित किया। फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के अध्ययन से बीजगणितीय पूर्णांक प्राप्त हुए। 1847 में, गेब्रियल लैम ने सोचा कि उन्होंने एफएलटी साबित कर दिया है, लेकिन उनका सबूत दोषपूर्ण था क्योंकि उन्होंने माना कि सभी साइक्लोटोमिक क्षेत्र यूएफडी थे, फिर भी जैसा कि कुमेर ने बताया, $$\mathbb{Q}(\zeta_{23}))$$ UFD नहीं था। 1846 और 1847 में कुमेर ने आदर्श संख्याएँ प्रस्तुत कीं और साइक्लोटोमिक क्षेत्रों के लिए आदर्श अभाज्य संख्याओं में अद्वितीय गुणनखंडन सिद्ध किया। डेडेकाइंड ने 1971 में यह दिखाने के लिए इसका विस्तार किया कि एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों के डोमेन में प्रत्येक शून्येतर आदर्श आदर्श आदर्शों का एक अनूठा उत्पाद है, जो डेडेकिंड डोमेन के सिद्धांत का अग्रदूत है। कुल मिलाकर, डेडेकिंड के काम ने बीजगणितीय संख्या सिद्धांत का विषय बनाया। 1850 के दशक में, रीमैन ने रीमैन सतह की मौलिक अवधारणा पेश की। रीमैन के तरीके एक धारणा पर निर्भर थे जिसे उन्होंने डिरिक्लेट का सिद्धांत कहा था, जिस पर 1870 में वीयरस्ट्रास ने सवाल उठाया था। बहुत बाद में, 1900 में, हिल्बर्ट ने विविधताओं की कलन में प्रत्यक्ष विधि विकसित करके रीमैन के दृष्टिकोण को सही ठहराया। 1860 और 1870 के दशक में, क्लेबश, गोर्डन, ब्रिल और विशेष रूप से मैक्स नोथेर|एम. नोथेर ने बीजगणितीय कार्यों और वक्रों का अध्ययन किया। विशेष रूप से, नोथेर ने बहुपद रिंग में दो बीजगणितीय वक्रों द्वारा उत्पन्न आदर्श का एक तत्व होने के लिए बहुपद के लिए आवश्यक शर्तों का अध्ययन किया। $$\mathbb{R}[x, y]$$, हालाँकि नोथेर ने इस आधुनिक भाषा का उपयोग नहीं किया। 1882 में डेडेकिंड और वेबर ने बीजगणितीय संख्या सिद्धांत पर डेडेकिंड के पहले के काम के अनुरूप, बीजगणितीय कार्य क्षेत्रों का एक सिद्धांत बनाया, जिसने रीमैन सतह की पहली कठोर परिभाषा और रीमैन-रोच प्रमेय के कठोर प्रमाण की अनुमति दी। 1880 के दशक में क्रोनेकर, 1890 में हिल्बर्ट, 1905 में लास्कर, और 1913 में मैकाले ने एमी नोथेर|ई में निहित बहुपद वलयों के आदर्शों की और जांच की। नोदर का काम। लास्कर ने लास्कर-नोथेर प्रमेय के एक विशेष मामले को साबित किया, अर्थात् बहुपद वलय में प्रत्येक आदर्श प्राथमिक आदर्शों का एक परिमित चौराहा है। मैकाले ने इस अपघटन की विशिष्टता को सिद्ध किया। कुल मिलाकर, इस काम से बीजगणितीय ज्यामिति का विकास हुआ। 1801 में गॉस ने पूर्णांकों पर द्विघात द्विघात रूपों को प्रस्तुत किया और उनके द्विघात द्विघात रूप #Equivalence को परिभाषित किया। उन्होंने आगे इन रूपों के विवेचक को परिभाषित किया, जो एक द्विआधारी रूप का एक अपरिवर्तनीय है। 1860 और 1890 के दशक के बीच अपरिवर्तनीय सिद्धांत विकसित हुआ और बीजगणित का एक प्रमुख क्षेत्र बन गया। केली, सिल्वेस्टर, गोर्डन और अन्य ने द्विआधारी द्विघात रूप और क्यूबिक फॉर्म के लिए जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक और हेसियन मैट्रिक्स पाया। 1868 में गोर्डन ने सिद्ध किया कि जटिल संख्याओं के ऊपर बाइनरी फॉर्म के इनवेरिएंट्स का ग्रेडेड बीजगणित अंतिम रूप से उत्पन्न हुआ था, अर्थात इसका एक आधार है। हिल्बर्ट ने 1885 में आक्रमणकारियों पर एक थीसिस लिखी और 1890 में दिखाया कि किसी भी डिग्री या चर की संख्या के किसी भी रूप का एक आधार होता है। उन्होंने इसे 1890 में हिल्बर्ट के आधार प्रमेय में आगे बढ़ाया। एक बार जब ये सिद्धांत विकसित हो गए थे, तब तक कई दशक हो गए थे जब तक कि एक अमूर्त अंगूठी की अवधारणा सामने नहीं आई। पहली स्वयंसिद्ध परिभाषा 1914 में अब्राहम फ्रेंकेल द्वारा दी गई थी। उनकी परिभाषा मुख्य रूप से मानक स्वयंसिद्ध थी: दो संक्रियाओं के योग के साथ एक सेट, जो एक समूह बनाता है (आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं), और गुणन, जो साहचर्य है, जोड़ पर वितरित करता है, और एक पहचान तत्व है। इसके अलावा, उनके पास मेरा मतलब संख्या है|पी-एडिक नंबरों पर काम से प्रेरित नियमित तत्वों पर दो एक्सिओम थे, जिसमें पूर्णांकों के रिंग जैसे अब-आम रिंगों को शामिल नहीं किया गया था। इनसे फ्रेंकेल को यह सिद्ध करने में मदद मिली कि योग क्रमविनिमेय था। फ्रेंकेल के काम का उद्देश्य स्टीनिट्ज़ की 1910 की खेतों की परिभाषा को रिंगों में स्थानांतरित करना था, लेकिन यह कंक्रीट सिस्टम पर मौजूदा काम से जुड़ा नहीं था। मसाज़ो सोनो की 1917 की परिभाषा वर्तमान परिभाषा के बराबर पहली थी। 1920 में, एमी नोथेर ने डब्ल्यू शमीडलर के सहयोग से आदर्श सिद्धांत के बारे में एक पेपर प्रकाशित किया जिसमें उन्होंने आदर्श (रिंग थ्योरी) को रिंग (गणित) में परिभाषित किया। अगले वर्ष उन्होंने आइडियलथोरी इन रिंगबेरेइचेन (आइडियल थ्योरी इन रिंग्स') नामक एक लैंडमार्क पेपर प्रकाशित किया, जिसमें (गणितीय) आदर्शों के संबंध में आरोही श्रृंखला स्थितियों का विश्लेषण किया गया। प्रकाशन ने नोथेरियन रिंग शब्द को जन्म दिया, और कई अन्य गणितीय वस्तुओं को नोथेरियन (बहुविकल्पी) कहा जाता है। विख्यात बीजगणित इरविंग कपलान्स्की ने इस कार्य को क्रांतिकारी कहा; परिणाम जो बहुपद के छल्ले के गुणों से अटूट रूप से जुड़े हुए प्रतीत होते हैं, उन्हें एक स्वयंसिद्ध से अनुसरण करने के लिए दिखाया गया था। नोथेर के काम से प्रेरित आर्टिन अवरोही श्रृंखला की स्थिति के साथ आया। इन परिभाषाओं ने अमूर्त वलय सिद्धांत के जन्म को चिन्हित किया।

प्रारंभिक क्षेत्र सिद्धांत
1801 में गॉस ने पूर्णांक मॉड एन पेश किया, जहां पी एक अभाज्य संख्या है। गैलोज़ ने इसे 1830 में परिमित क्षेत्रों तक विस्तारित किया $$p^n$$ तत्व। 1871 में रिचर्ड डेडेकिंड ने चार अंकगणितीय संक्रियाओं के तहत बंद वास्तविक या जटिल संख्याओं के एक सेट के लिए पेश किया, जर्मन (भाषा) शब्द कोर्पर, जिसका अर्थ है शरीर या कॉर्पस (एक व्यवस्थित रूप से बंद इकाई का सुझाव देने के लिए)। 1893 में मूर द्वारा अंग्रेजी शब्द फ़ील्ड पेश किया गया था। 1881 में लियोपोल्ड क्रोनकर ने तर्कसंगतता के एक डोमेन को परिभाषित किया, जो कि आधुनिक शब्दों में तर्कसंगत अंशों का एक क्षेत्र है। अमूर्त क्षेत्र की पहली स्पष्ट परिभाषा 1893 में हेनरिक मार्टिन वेबर के कारण थी। इसमें गुणन के लिए साहचर्य कानून का अभाव था, लेकिन परिमित क्षेत्रों और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति के क्षेत्रों को शामिल किया गया था। 1910 में स्टीनिट्ज़ ने अब तक संचित सार क्षेत्र सिद्धांत के ज्ञान को संश्लेषित किया। उन्होंने स्वयंसिद्ध रूप से क्षेत्रों को आधुनिक परिभाषा के साथ परिभाषित किया, उन्हें उनकी विशेषता (बीजगणित) द्वारा वर्गीकृत किया, और आज आमतौर पर देखे जाने वाले कई प्रमेयों को सिद्ध किया।

अन्य प्रमुख क्षेत्र

 * रैखिक समीकरणों की प्रणालियों को हल करना, जिसके कारण रैखिक बीजगणित हुआ

आधुनिक बीजगणित
19वीं सदी के अंत और 20वीं सदी की शुरुआत में गणित की पद्धति में बदलाव देखा गया। सार बीजगणित 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में आधुनिक बीजगणित के नाम से उभरा। इसका अध्ययन गणित में अधिक बौद्धिक कठोरता के अभियान का हिस्सा था। प्रारंभ में, शास्त्रीय बीजगणित की मान्यताएँ, जिन पर पूरा गणित (और प्राकृतिक विज्ञान के प्रमुख भाग) निर्भर करता है, स्वयंसिद्ध प्रणालियों का रूप ले लिया। ठोस वस्तुओं के गुणों को स्थापित करने से संतुष्ट नहीं होने पर, गणितज्ञों ने अपना ध्यान सामान्य सिद्धांत की ओर मोड़ना शुरू कर दिया। 19वीं शताब्दी में कुछ बीजगणितीय संरचनाओं की औपचारिक परिभाषाएँ सामने आने लगीं। उदाहरण के लिए, क्रमपरिवर्तन के विभिन्न समूहों के परिणाम सामान्य प्रमेयों के उदाहरणों के रूप में देखे जाने लगे जो एक सार समूह की सामान्य धारणा से संबंधित हैं। विभिन्न गणितीय वस्तुओं की संरचना और वर्गीकरण के प्रश्न सामने आए।

ये प्रक्रियाएँ पूरे गणित में घटित हो रही थीं, लेकिन बीजगणित में विशेष रूप से स्पष्ट हो गईं। समूह (गणित), वलय (गणित) और क्षेत्र (गणित) जैसी कई बुनियादी बीजगणितीय संरचनाओं के लिए आदिम संक्रियाओं और अभिगृहीतों के माध्यम से औपचारिक परिभाषा प्रस्तावित की गई थी। इसलिए समूह सिद्धांत और वलय सिद्धांत जैसी चीजों ने शुद्ध गणित में अपना स्थान ले लिया। अर्नेस्ट स्टीनिट्ज़ द्वारा सामान्य क्षेत्रों की बीजगणितीय जाँच और डेविड हिल्बर्ट, एमिल आर्टिन और एमी नोथेर द्वारा क्रमविनिमेय और फिर सामान्य वलयों की, गंभीर दु:ख, लियोपोल्ड क्रोनकर और रिचर्ड डेडेकिंड के काम पर निर्माण, जिन्होंने क्रमविनिमेय वलयों में आदर्श माना था, और समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के विषय में जॉर्ज फ्रोबेनियस और कुछ नहीं ने अमूर्त बीजगणित को परिभाषित किया। 19वीं शताब्दी की अंतिम तिमाही और 20वीं शताब्दी की पहली तिमाही के इन विकासों को बार्टेल वैन डेर वेर्डन के मॉडर्न बीजगणित में व्यवस्थित रूप से उजागर किया गया था, जो 1930-1931 में प्रकाशित दो-खंड प्रबंध था, जो गणितीय दुनिया के लिए शब्द के अर्थ को हमेशा के लिए बदल देता था। बीजगणित समीकरणों के सिद्धांत से बीजगणितीय संरचनाओं के सिद्धांत तक।

बुनियादी अवधारणाएँ
विस्तार की विभिन्न मात्राओं को अलग करके, गणितज्ञों ने विभिन्न बीजगणितीय संरचनाओं को परिभाषित किया है जिनका उपयोग गणित के कई क्षेत्रों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, अध्ययन की गई लगभग सभी प्रणालियाँ सेट (गणित) हैं, जिन पर सेट सिद्धांत के प्रमेय लागू होते हैं। वे सेट जिन पर एक निश्चित बाइनरी ऑपरेशन परिभाषित है, वे मैग्मा (बीजगणित) बनाते हैं, जिन पर मैग्मा से संबंधित अवधारणाएं, साथ ही सेट से संबंधित अवधारणाएं लागू होती हैं। हम बीजगणितीय संरचना पर अतिरिक्त अवरोध जोड़ सकते हैं, जैसे कि साहचर्य (सेमीग्रुप बनाने के लिए); पहचान, और व्युत्क्रम (समूह बनाने के लिए (गणित)); और अन्य अधिक जटिल संरचनाएं। अतिरिक्त संरचना के साथ, अधिक प्रमेय सिद्ध हो सकते हैं, लेकिन व्यापकता कम हो जाती है। बीजगणितीय वस्तुओं का पदानुक्रम (सामान्यता के संदर्भ में) संबंधित सिद्धांतों का एक पदानुक्रम बनाता है: उदाहरण के लिए, समूह सिद्धांत के प्रमेयों का उपयोग रिंग (गणित) (बीजगणितीय वस्तुओं का अध्ययन करते समय किया जा सकता है जिसमें कुछ सिद्धांतों के साथ दो द्विआधारी संचालन होते हैं) रिंग इसके एक ऑपरेशन पर एक समूह है। सामान्य तौर पर सामान्यता की मात्रा और सिद्धांत की समृद्धि के बीच एक संतुलन होता है: अधिक सामान्य संरचनाओं में आमतौर पर कम गैर-तुच्छ प्रमेय और कम अनुप्रयोग होते हैं।

एकल बाइनरी संक्रिया वाली बीजगणितीय संरचनाओं के उदाहरण हैं:
 * मेग्मा (बीजगणित)
 * quasigroup
 * मोनॉइड
 * अर्धसमूह
 * समूह (गणित)

कई परिचालनों से जुड़े उदाहरणों में शामिल हैं:


 * अंगूठी (गणित)
 * क्षेत्र (गणित)
 * मॉड्यूल (गणित)
 * सदिश स्थल
 * एक क्षेत्र पर बीजगणित
 * साहचर्य बीजगणित
 * झूठ बीजगणित
 * जाली (आदेश)
 * बूलियन बीजगणित

समूह सिद्धांत
एक समूह एक सेट है $$G$$ एक समूह उत्पाद के साथ, एक बाइनरी ऑपरेशन $$\cdot: G \times G \rightarrow G$$. समूह निम्नलिखित परिभाषित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है:

पहचान: एक तत्व मौजूद है $$e$$ ऐसा है कि, प्रत्येक तत्व के लिए $$a$$ में $$G$$, यह मानता है $$e \cdot a = a \cdot e = a$$.

उलटा: प्रत्येक तत्व के लिए $$a$$ का $$G$$, एक तत्व मौजूद है $$b$$ ताकि $$a \cdot b = b \cdot a = e$$.

साहचर्य: तत्वों के प्रत्येक त्रिक के लिए $$a,b,c$$ में $$G$$, यह मानता है $$(a \cdot b) \cdot c = a \cdot (b \cdot c)$$.

वलय सिद्धांत
एक अंगूठी एक सेट है $$R$$ एक साथ दो बाइनरी ऑपरेशंस के साथ, इसके अलावा: $$+: R \times R \rightarrow R$$ और गुणन: $$\cdot: R \times R \rightarrow R$$. इसके अतिरिक्त, $$R$$ निम्नलिखित परिभाषित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है:

योग: $$R$$ योग के अंतर्गत क्रमविनिमेय समूह है।

गुणन: $$R$$ गुणन के तहत एक मोनोइड है।

वितरणात्मक: गुणन योग के संबंध में वितरणात्मक नियम है।

अनुप्रयोग
इसकी व्यापकता के कारण, गणित और विज्ञान के कई क्षेत्रों में अमूर्त बीजगणित का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, बीजगणितीय टोपोलॉजी टोपोलॉजी का अध्ययन करने के लिए बीजगणितीय वस्तुओं का उपयोग करती है। पोंकारे अनुमान, 2003 में साबित हुआ, यह दावा करता है कि कई गुना का मौलिक समूह, जो जुड़ाव के बारे में जानकारी को एन्कोड करता है, यह निर्धारित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है कि कई गुना एक क्षेत्र है या नहीं। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत विभिन्न संख्या वलय (गणित) का अध्ययन करता है जो पूर्णांकों के समुच्चय का सामान्यीकरण करता है। बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के उपकरणों का उपयोग करते हुए, एंड्रयू विल्स ने फर्मेट के अंतिम प्रमेय को सिद्ध किया।

भौतिकी में, समरूपता संचालन का प्रतिनिधित्व करने के लिए समूहों का उपयोग किया जाता है, और समूह सिद्धांत का उपयोग अंतर समीकरणों को सरल बना सकता है। गेज सिद्धांत में, एक प्रणाली का वर्णन करने वाले समीकरणों को निकालने के लिए स्थानीय समरूपता की आवश्यकता का उपयोग किया जा सकता है। जो समूह उन समरूपताओं का वर्णन करते हैं वे झूठ समूह हैं, और झूठ समूहों और झूठ बीजगणित के अध्ययन से भौतिक प्रणाली के बारे में बहुत कुछ पता चलता है; उदाहरण के लिए, किसी सिद्धांत में बल वाहकों की संख्या लाई बीजगणित के आयाम के बराबर होती है, और यदि लाई बीजगणित नाबेलियन है तो ये बोसॉन उस बल के साथ परस्पर क्रिया करते हैं जो वे मध्यस्थता करते हैं।

यह भी देखें

 * कोडिंग सिद्धांत
 * समूह सिद्धांत
 * सार बीजगणित में प्रकाशनों की सूची

अग्रिम पठन

 * W. Keith Nicholson (2012) Introduction to Abstract Algebra, 4th edition, John Wiley & Sons ISBN 978-1-118-13535-8.
 * John R. Durbin (1992) Modern Algebra : an introduction, John Wiley & Sons
 * W. Keith Nicholson (2012) Introduction to Abstract Algebra, 4th edition, John Wiley & Sons ISBN 978-1-118-13535-8.
 * John R. Durbin (1992) Modern Algebra : an introduction, John Wiley & Sons
 * W. Keith Nicholson (2012) Introduction to Abstract Algebra, 4th edition, John Wiley & Sons ISBN 978-1-118-13535-8.
 * John R. Durbin (1992) Modern Algebra : an introduction, John Wiley & Sons
 * W. Keith Nicholson (2012) Introduction to Abstract Algebra, 4th edition, John Wiley & Sons ISBN 978-1-118-13535-8.
 * John R. Durbin (1992) Modern Algebra : an introduction, John Wiley & Sons
 * John R. Durbin (1992) Modern Algebra : an introduction, John Wiley & Sons

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बाहरी संबंध

 * Charles C. Pinter (1990) [1982] A Book  of Abstract Algebra, second edition, from University of Maryland