परिमेय संख्या

गणित में, परिमेय संख्या एक संख्या है जिसे भागफल या भिन्न (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $p⁄q$ दो पूर्णांक ों का, एक अंश $p$ और एक गैर-शून्य  भाजक  $q$. उदाहरण के लिए, $−3⁄7$ एक परिमेय संख्या है, जैसा कि प्रत्येक पूर्णांक है (उदा. $5 = 5⁄1$). सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय (गणित), जिसे परिमेय भी कहा जाता है, तर्क का क्षेत्र या परिमेय संख्याओं के क्षेत्र को आमतौर पर बोल्डफेस द्वारा दर्शाया जाता है $Q$, या ब्लैकबोर्ड बोल्ड $$\mathbb{Q}.$$ परिमेय संख्या एक वास्तविक संख्या होती है। वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय होती हैं वे हैं जिनका दशमलव प्रसार या तो संख्यात्मक अंक ों की एक सीमित संख्या के बाद समाप्त होता है (उदाहरण: $3⁄4 = 0.75$), या अंततः दशमलव को अंकों के समान परिमित अनु क्रम  को बार-बार दोहराना शुरू कर देता है (उदाहरण: $9⁄44 = 0.20454545...$). यह कथन न केवल दशमलव में, बल्कि हर दूसरे पूर्णांक मूलांक में भी सत्य है, जैसे कि द्विआधारी अंक प्रणाली और हेक्साडेसिमल वाले (देखें )

एक वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं है, अपरिमेय संख्या कहलाती है। अपरिमेय संख्याओं में शामिल हैं $√2$, $\pi$, $e$, तथा $φ$. चूँकि परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय समुच्चय है, और वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बेशुमार समुच्चय है, लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय होती हैं।

परिमेय संख्याओं को q ≠ 0 के साथ पूर्णांकों (p, q) के युग्मों के तुल्यता वर्ग के रूप में औपचारिक रूप से परिभाषित किया जा सकता है, तुल्यता संबंध को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
 * $$\left( p_1, q_1 \right) \sim \left( p_2, q_2 \right) \iff p_1 q_2 = p_2 q_1.$$

अंश p/q वर्ग(पी, क्यू) को दर्शाता है. परिमेय संख्याएं जोड़ और गुणा के साथ मिलकर एक फ़ील्ड (गणित) बनाती हैं जिसमें पूर्णांक होते हैं, और पूर्णांक वाले किसी भी क्षेत्र में समाहित होते हैं। दूसरे शब्दों में, परिमेय संख्याओं का क्षेत्र एक अभाज्य क्षेत्र होता है, और एक क्षेत्र में विशेषता शून्य होती है यदि और केवल यदि इसमें उपक्षेत्र के रूप में परिमेय संख्याएँ हों। का परिमित  क्षेत्र विस्तार $Q$ बीजगणितीय संख्या क्षेत्र कहलाते हैं, और का बीजगणितीय समापन $Q$ बीजगणितीय संख्याओं का क्षेत्र है। गणितीय विश्लेषण में, परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का एक सघन समुच्चय बनाती हैं। कॉची अनुक्रम ों,  डेडेकाइंड कट, या अनंत दशमलव ( वास्तविक संख्याओं का निर्माण देखें) का उपयोग करके, वास्तविक संख्याओं को पूर्णता (मीट्रिक स्पेस) से बनाया जा सकता है।

शब्दावली
सेट के संदर्भ में तर्कसंगत शब्द $Q$ इस तथ्य को संदर्भित करता है कि एक परिमेय संख्या दो पूर्णांकों के अनुपात  का प्रतिनिधित्व करती है। गणित में, परिमेय का उपयोग अक्सर परिमेय संख्या को संक्षिप्त करने वाली संज्ञा के रूप में किया जाता है। विशेषण परिमेय का कभी-कभी अर्थ होता है कि गुणांक परिमेय संख्याएँ हैं। उदाहरण के लिए, एक परिमेय बिंदु परिमेय निर्देशांक वाला एक बिंदु है (अर्थात, एक ऐसा बिंदु जिसके निर्देशांक परिमेय संख्याएं हैं); एक परिमेय मैट्रिक्स परिमेय संख्याओं का एक  मैट्रिक्स (गणित)  है; एक तर्कसंगत  बहुपद  तर्कसंगत गुणांक के साथ एक बहुपद हो सकता है, हालांकि  तर्कसंगत अंश  और  तर्कसंगत कार्य  के बीच भ्रम से बचने के लिए तर्कसंगत पर बहुपद शब्द को आम तौर पर पसंद किया जाता है (एक बहुपद एक तर्कसंगत अभिव्यक्ति है और एक तर्कसंगत कार्य को परिभाषित करता है, भले ही इसके गुणांक न हों परिमेय संख्या)। हालाँकि, एक परिमेय वक्र परिमेय पर परिभाषित वक्र नहीं है, बल्कि एक वक्र है जिसे परिमेय कार्यों द्वारा पैरामीटर किया जा सकता है।

व्युत्पत्ति
यद्यपि आजकल परिमेय संख्याओं को अनुपातों के रूप में परिभाषित किया जाता है, परिमेय शब्द अनुपात की रूपात्मक व्युत्पत्ति  नहीं है। इसके विपरीत, यह अनुपात है जो तर्कसंगत से प्राप्त होता है: इसके आधुनिक अर्थ के साथ अनुपात का पहला उपयोग अंग्रेजी में लगभग 1660 में प्रमाणित किया गया था, जबकि क्वालिफाइंग नंबरों के लिए परिमेय का उपयोग लगभग एक सदी पहले, 1570 में हुआ था। परिमेय का यह अर्थ अपरिमेय के गणितीय अर्थ से आया है, जिसे पहली बार 1551 में इस्तेमाल किया गया था, और इसका उपयोग यूक्लिड के अनुवादों में किया गया था (उनके अजीबोगरीब उपयोग के बाद) ἄλογος) .  यह असामान्य इतिहास इस तथ्य से उत्पन्न हुआ है कि  ग्रीक गणित  ने खुद को उन [तर्कहीन] लंबाई को संख्याओं के रूप में सोचने से मना कर विधर्म से परहेज किया। तो ऐसी लंबाई तर्कहीन थी, अतार्किक के अर्थ में, जिसके बारे में बात नहीं की जानी चाहिए (ἄλογος यूनानी में)। यह व्युत्पत्ति काल्पनिक संख्या और वास्तविक संख्या के समान है।

अपरिवर्तनीय अंश
प्रत्येक परिमेय संख्या को अपरिमेय भिन्न के रूप में अद्वितीय तरीके से व्यक्त किया जा सकता है $a⁄b$, कहाँ पे $a$ तथा $b$ सहअभाज्य पूर्णांक  हैं और $b > 0$. इसे अक्सर परिमेय संख्या का विहित रूप कहा जाता है।

एक परिमेय संख्या से प्रारंभ करना $a⁄b$, इसका विहित रूप विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है $a$ तथा $b$ उनके सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा, और, यदि $b < 0$, परिणामी अंश और हर का चिह्न बदलना।

पूर्णांकों का एम्बेडिंग
कोई पूर्णांक $n$ परिमेय संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $n⁄1$, जो एक परिमेय संख्या के रूप में इसका विहित रूप है।

समानता

 * $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$ अगर और केवल अगर $$ad = bc$$

यदि दोनों भिन्न विहित रूप में हैं, तो:
 * $$\frac{a}{b} = \frac{c}{d}$$ अगर और केवल अगर $$a = c$$ तथा $$b = d$$

आदेश देना
यदि दोनों हर सकारात्मक हैं (विशेषकर यदि दोनों भिन्न विहित रूप में हैं):
 * $$\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$$ अगर और केवल अगर $$ad < bc.$$

दूसरी ओर, यदि दोनों में से कोई एक ऋणात्मक है, तो ऋणात्मक हर वाली प्रत्येक भिन्न को पहले एक सकारात्मक हर के साथ एक समान रूप में परिवर्तित किया जाना चाहिए - इसके अंश और हर दोनों के संकेतों को बदलकर।

जोड़
दो भिन्नों को इस प्रकार जोड़ा जाता है:
 * $$\frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{ad+bc}{bd}.$$

यदि दोनों भिन्न विहित रूप में हैं, तो परिणाम विहित रूप में है यदि और केवल यदि $b$ तथा $d$ सहअभाज्य पूर्णांक हैं।

घटाव

 * $$\frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{ad-bc}{bd}.$$

यदि दोनों भिन्न विहित रूप में हैं, तो परिणाम विहित रूप में है यदि और केवल यदि $b$ तथा $d$ सहअभाज्य पूर्णांक हैं।

गुणन
गुणन का नियम है:
 * $$\frac{a}{b} \cdot\frac{c}{d} = \frac{ac}{bd}.$$

जहां परिणाम एक कम करने योग्य अंश  हो सकता है - भले ही दोनों मूल अंश विहित रूप में हों।

उलटा
प्रत्येक परिमेय संख्या $a⁄b$ एक योज्य प्रतिलोम है, जिसे अक्सर इसके विपरीत कहा जाता है,
 * $$ - \left( \frac{a}{b} \right) = \frac{-a}{b}.$$

यदि $a⁄b$ विहित रूप में है, इसके विपरीत के लिए भी यही सच है।

एक शून्येतर परिमेय संख्या $a⁄b$ का एक गुणनात्मक प्रतिलोम है, जिसे इसका व्युत्क्रम भी कहा जाता है,
 * $$ \left(\frac{a}{b}\right)^{-1} = \frac{b}{a}. $$

यदि $a⁄b$ विहित रूप में है, तो इसके व्युत्क्रम का विहित रूप या तो है $b⁄a$ या $−b⁄−a$, के संकेत पर निर्भर करता है $a$.

डिवीजन
यदि $b$, $c$, तथा $d$ शून्येतर हैं, विभाजन नियम है
 * $$\frac{\frac{a}{b}} {\frac{c}{d}} = \frac{ad}{bc}.$$

इस प्रकार, विभाजित $a⁄b$ द्वारा $c⁄d$ गुणा करने के बराबर है $a⁄b$ के गुणक प्रतिलोम द्वारा $c⁄d$:
 * $$\frac{ad}{bc} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c}.$$

पूर्णांक शक्ति का घातांक
यदि $n$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, तो
 * $$\left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}.$$

परिणाम विहित रूप में है यदि वही सत्य है $a⁄b$. विशेष रूप से,
 * $$\left(\frac{a}{b}\right)^0 = 1.$$

यदि $a ≠ 0$, फिर
 * $$\left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \frac{b^n}{a^n}.$$

यदि $a⁄b$ विहित रूप में है, परिणाम का विहित रूप है $b^{n}⁄a^{n}$ यदि $a > 0$ या $n$ सम है। अन्यथा, परिणाम का विहित रूप है $−b^{n}⁄−a^{n}$.

निरंतर भिन्न प्रतिनिधित्व
एक परिमित निरंतर भिन्न एक व्यंजक है जैसे
 * $$a_0 + \cfrac{1}{a_1 + \cfrac{1}{a_2 + \cfrac{1}{ \ddots + \cfrac{1}{a_n} }}},$$

कहाँ पे $a_{n}$ पूर्णांक हैं। प्रत्येक परिमेय संख्या $a⁄b$ को एक परिमित निरंतर भिन्न के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसके गुणांक $a_{n}$ यूक्लिडियन एल्गोरिथम  को लागू करके निर्धारित किया जा सकता है $(a, b)$.

अन्य अभ्यावेदन
एक ही तर्कसंगत मूल्य का प्रतिनिधित्व करने के विभिन्न तरीके हैं।
 * सामान्य अंश : $8⁄3$
 * मिश्रित अंक : $2 2⁄3$
 * विनकुलम (प्रतीक) का उपयोग करके दशमलव को दोहराना: $2.\overline{6}$
 * कोष्ठक का उपयोग करके दशमलव को दोहराना: $2.(6)$
 * पारंपरिक टाइपोग्राफी का उपयोग करते हुए निरंतर अंश : $2 + 1⁄1 + 1⁄2$
 * संक्षिप्त अंकन में निरंतर अंश: $[2; 1, 2]$
 * मिस्र का अंश : $2 + 1⁄2 + 1⁄6$
 * अंकगणित की मौलिक प्रमेय#एक धनात्मक पूर्णांक का विहित निरूपण: $2^{3} × 3^{−1}$
 * उद्धरण संकेतन : $3'6$

औपचारिक निर्माण
परिमेय संख्याओं को पूर्णांकों के क्रमित युग्म ों के तुल्यता वर्गों के रूप में बनाया जा सकता है।

अधिक सटीक रूप से, चलो $(Z × (Z \ {0}))$ जोड़े का सेट बनें $(m, n)$ पूर्णांकों का जैसे $n ≠ 0$. इस सेट पर एक तुल्यता संबंध परिभाषित किया गया है
 * $$\left(m_1, n_1 \right) \sim \left(m_2, n_2 \right) \iff m_1 n_2 = m_2 n_1.$$

जोड़ और गुणा को निम्नलिखित नियमों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$\left(m_1, n_1\right) + \left(m_2, n_2\right) \equiv \left(m_1n_2 + n_1m_2, n_1n_2\right),$$
 * $$\left(m_1, n_1\right) \times \left(m_2, n_2\right) \equiv \left(m_1m_2, n_1n_2\right).$$

यह तुल्यता संबंध एक सर्वांगसम संबंध है, जिसका अर्थ है कि यह ऊपर परिभाषित जोड़ और गुणा के साथ संगत है; परिमेय संख्याओं का समुच्चय $Q$ इस तुल्यता संबंध द्वारा निर्धारित भागफल के रूप में परिभाषित किया गया है, $(Z × (Z \ {0})) / ~$, उपरोक्त संक्रियाओं से प्रेरित जोड़ और गुणा से सुसज्जित है। (यह निर्माण किसी भी अभिन्न डोमेन के साथ किया जा सकता है और इसके भिन्न क्षेत्र का उत्पादन करता है।)

एक जोड़ी का तुल्यता वर्ग $(m, n)$ निरूपित है $m⁄n$. दो जोड़े $(m_{1}, n_{1})$ तथा $(m_{2}, n_{2})$ एक ही तुल्यता वर्ग से संबंधित हैं (जो कि समतुल्य हैं) यदि और केवल यदि $m_{1}n_{2} = m_{2}n_{1}$. इस का मतलब है कि $m_{1}⁄n_{1} = m_{2}⁄n_{2}$ अगर और केवल $m_{1}n_{2} = m_{2}n_{1}$.

हर तुल्यता वर्ग $m⁄n$ अपरिमित रूप से अनेक युग्मों द्वारा निरूपित किया जा सकता है, क्योंकि
 * $$\cdots = \frac{-2m}{-2n} = \frac{-m}{-n} = \frac{m}{n} = \frac{2m}{2n} = \cdots.$$

प्रत्येक तुल्यता वर्ग में एक अद्वितीय प्रतिनिधि (गणित)  होता है। विहित प्रतिनिधि अद्वितीय जोड़ी है $(m, n)$ तुल्यता वर्ग में ऐसा है कि $m$ तथा $n$  सह अभाज्य  हैं, और $n > 0$. इसे परिमेय संख्या का अपरिमेय भिन्न कहते हैं।

पूर्णांकों को पूर्णांक की पहचान करने वाली परिमेय संख्या माना जा सकता है $n$ परिमेय संख्या के साथ $n⁄1$.

एक कुल क्रम को परिमेय संख्याओं पर परिभाषित किया जा सकता है, जो पूर्णांकों के प्राकृतिक क्रम का विस्तार करता है। किसी के पास
 * $$\frac{m_1}{n_1} \le \frac{m_2}{n_2}$$

यदि
 * $$(n_1n_2 > 0 \quad \text{and} \quad m_1n_2 \le n_1m_2)\qquad \text{or}\qquad (n_1n_2 < 0 \quad \text{and} \quad m_1n_2 \ge n_1m_2).$$

गुण
सेट $Q$ सभी परिमेय संख्याओं का, ऊपर दिखाए गए जोड़ और गुणन संक्रियाओं के साथ, एक फ़ील्ड (गणित) बनाता है।

$Q$ पहचान के अलावा कोई फील्ड ऑटोमोर्फिज्म  नहीं है। ऊपर परिभाषित आदेश के साथ, $Q$ एक आदेशित क्षेत्र  है जिसका स्वयं के अलावा कोई उपक्षेत्र नहीं है, और सबसे छोटा आदेशित क्षेत्र है, इस अर्थ में कि प्रत्येक आदेशित क्षेत्र में एक अद्वितीय उपक्षेत्र समरूपता है $Q$.

$Q$ एक प्रमुख क्षेत्र है, जो एक ऐसा क्षेत्र है जिसमें स्वयं के अलावा कोई उपक्षेत्र नहीं है। परिमेय विशेषता (बीजगणित)  शून्य वाला सबसे छोटा क्षेत्र है। विशेषता शून्य के प्रत्येक क्षेत्र में एक अद्वितीय उपक्षेत्र समरूपी समाहित होता है $Q$.

$Q$ पूर्णांकों के भिन्नों का क्षेत्र है $Z$. का बीजगणितीय समापन $Q$, यानी परिमेय बहुपदों की जड़ों का क्षेत्र, बीजीय संख्याओं का क्षेत्र है। परिमेय एक सघन क्रमित समुच्चय हैं: किन्हीं दो परिमेय के बीच, एक और बैठता है, और इसलिए, असीम रूप से कई अन्य। उदाहरण के लिए, किन्हीं दो भिन्नों के लिए जैसे कि
 * $$\frac{a}{b} < \frac{c}{d}$$

(कहाँ पे $$b,d$$ सकारात्मक हैं), हमारे पास है
 * $$\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + d} < \frac{c}{d}.$$

कोई भी पूर्णतः क्रमित समुच्चय जो गणनीय, सघन (उपरोक्त अर्थ में) है, और जिसमें कोई कम से कम या सबसे बड़ा तत्व नहीं है, परिमेय संख्याओं के लिए क्रम समरूपता  है।

गणनीयता
सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय  है, जैसा कि दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। एक परिमेय संख्या के रूप में दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, एक  कार्तीय समन्वय प्रणाली  के रूप में एक वर्ग जाली पर किसी भी बिंदु पर दो पूर्णांक निर्दिष्ट करना संभव है, जैसे कि कोई भी ग्रिड बिंदु एक तर्कसंगत संख्या से मेल खाता है। हालाँकि, यह विधि अतिरेक का एक रूप प्रदर्शित करती है, क्योंकि कई अलग-अलग ग्रिड बिंदु एक ही परिमेय संख्या के अनुरूप होंगे; इन्हें दिए गए ग्राफ़िक पर लाल रंग में हाइलाइट किया गया है। एक स्पष्ट उदाहरण नीचे दाईं ओर तिरछे जाने वाली रेखा में देखा जा सकता है; ऐसे अनुपात हमेशा 1 के बराबर होंगे, क्योंकि किसी भी भाग को शून्य से विभाजित किया गया गैर-शून्य संख्या हमेशा एक के बराबर होगी।

ऐसी अतिरेक के बिना सभी परिमेय संख्याएँ उत्पन्न करना संभव है: उदाहरणों में कैल्किन-विल्फ़ ट्री और स्टर्न-ब्रोकॉट ट्री शामिल हैं।

चूँकि सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय गणनीय होता है, और सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय (साथ ही अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय) अगणनीय होता है, परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक शून्य समुच्चय होता है, अर्थात लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय होती हैं, Lebesgue उपाय के अर्थ में।

वास्तविक संख्या और टोपोलॉजिकल गुण
परिमेय वास्तविक संख्याओं का एक सघन समुच्चय है, प्रत्येक वास्तविक संख्या में परिमेय संख्याएँ मनमाने ढंग से करीब होती हैं। एक संबंधित संपत्ति यह है कि परिमेय संख्याएं एकमात्र संख्या हैं जिनमें परिमित सेट  विस्तार निरंतर भिन्न के रूप में होते हैं। वास्तविक संख्याओं की सामान्य टोपोलॉजी  में, परिमेय न तो एक  खुला सेट  होता है और न ही एक  बंद सेट । अपने आदेश के आधार पर, परिमेय एक आदेश टोपोलॉजी  ले जाते हैं। परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याओं के उप-स्थान के रूप में, एक उप-स्थान टोपोलॉजी भी ले जाती हैं। परिमेय संख्याएं निरपेक्ष अंतर मीट्रिक का उपयोग करके एक  मीट्रिक स्थान  बनाती हैं $d(x, y) = |x − y|$, और यह एक तीसरी टोपोलॉजी उत्पन्न करता है $Q$. सभी तीन टोपोलॉजी संयोग करते हैं और परिमेय को एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र में बदल देते हैं। परिमेय संख्याएँ उस स्थान का एक महत्वपूर्ण उदाहरण हैं जो स्थानीय रूप से संकुचित नहीं है। परिमेय को टोपोलॉजिकल प्रॉपर्टी  से अलग-अलग बिंदुओं के बिना अद्वितीय गणनीय टोपोलॉजिकल संपत्ति के रूप में चित्रित किया जाता है। अंतरिक्ष भी  पूरी तरह से डिस्कनेक्ट किया गया स्थान  है। परिमेय संख्याएँ  पूर्णता (टोपोलॉजी)  नहीं बनाती हैं; वास्तविक संख्याएँ की पूर्ति कर रही हैं $Q$ मीट्रिक के तहत $d(x, y) = |x − y|$ के ऊपर।

$p$-एडिक नंबर
ऊपर उल्लिखित निरपेक्ष मान मीट्रिक के अलावा, अन्य मीट्रिक भी हैं जो Q को एक टोपोलॉजिकल फ़ील्ड में बदल देते हैं:

मान लीजिए $p$ एक अभाज्य संख्या है और किसी भी शून्येतर पूर्णांक $p$ के लिए, मान लीजिए $|a|_{p} = p^{−n}$, जहां p−n, p को a को भाजक करने की उच्चतम घात है।

इसके अलावा सेट $|0|_{p} = 0$. किसी भी परिमेय संख्या के लिए $a⁄b$, हमलोग तैयार हैं $|a⁄b|_{p} = |a|_{p}⁄|b|_{p}$.

फिर $d_{p}(x, y) = |x − y|_{p}$ एक मीट्रिक स्थान को परिभाषित करता है $Q$. मीट्रिक स्थान $(Q, d_{p})$ पूर्ण नहीं है, और इसकी पूर्णता p-adic संख्या है|$a$-एडिक नंबर फील्ड $Q_{p}$. ओस्ट्रोवस्की की प्रमेय में कहा गया है कि परिमेय संख्याओं पर कोई भी गैर-तुच्छ निरपेक्ष मान (बीजगणित)  $Q$ या तो सामान्य वास्तविक निरपेक्ष मान या एक p-adic संख्या के बराबर है|$p$-एडिक निरपेक्ष मूल्य।

यह भी देखें

 * डायडिक तर्कसंगत
 * तैरनेवाला स्थल
 * फोर्ड सर्कल
 * गाऊसी तर्कसंगत
 * अंकगणित और डायोफैंटाइन ज्यामिति की शब्दावली#N|भोली ऊंचाई—सबसे कम अवधि में एक परिमेय संख्या की ऊंचाई
 * निवेन की प्रमेय
 * तर्कसंगत डेटा प्रकार
 * दिव्य अनुपात: सार्वभौमिक ज्यामिति के लिए तर्कसंगत त्रिकोणमिति

बाहरी संबंध

 * "Rational Number" From MathWorld – A Wolfram Web Resource
 * "Rational Number" From MathWorld – A Wolfram Web Resource