संभाव्यता वितरण के बीच संबंध

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, संभाव्यता वितरण के बीच कई संबंध होते हैं। ये संबंध निम्नलिखित समूहों में वर्गीकृत किए जा सकते हैं:
 * एक वितरण एक व्यापक पैरामीटर स्थान के साथ दूसरे का एक विशेष स्थिति है
 * रूपांतरण (एक यादृच्छिक चर का कार्य);
 * संयोजन (कई चरों का कार्य);
 * सन्निकटन (सीमा) संबंध;
 * यौगिक संबंध (बायेसियन अनुमान के लिए उपयोगी);
 * द्वैत (गणित);
 * संयुग्मी प्राथमिकताएँ।

वितरण पैरामीट्रिजेशन का विशेष मामला

 * एक पैरामीटर n = 1 और p के साथ एक द्विपद बंटन, पैरामीटर p के साथ एक बर्नौली वितरण होता है।
 * पैरामीटर n = 1 और p के साथ एक ऋणात्मक द्विपद बंटन, पैरामीटर p के साथ एक ज्यामितीय वितरण होता है।
 * आकार पैरामीटर α = 1 और दर पैरामीटर β के साथ एक गामा वितरण दर पैरामीटर β के साथ एक घातीय वितरण होता है।
 * आकार पैरामीटर α = v/2 और दर पैरामीटर β = 1/2 के साथ एक गामा वितरण स्वतंत्रता की ν डिग्री (सांख्यिकी) के साथ एक ची-वर्ग वितरण होता है।
 * स्वतंत्रता की 2 डिग्री (k = 2) के साथ एक ची-वर्ग वितरण 2 के माध्य मान (दर λ = 1/2) के साथ एक घातीय वितरण होता है।
 * आकार पैरामीटर k = 1 और दर पैरामीटर β के साथ एक वेइबुल वितरण दर पैरामीटर β के साथ एक घातीय वितरण है।
 * आकृति पैरामीटर α = β = 1 के साथ एक बीटा वितरण वास्तविक संख्या 0 से 1 पर निरंतर समान वितरण होता है।
 * पैरामीटर n और आकार पैरामीटर α = β = 1 के साथ एक बीटा-[[द्विपद वितरण]] पूर्णांक 0 से n पर एक असतत समान वितरण होता है।
 * स्वतंत्रता की एक डिग्री (v = 1) के साथ एक छात्र का टी-वितरण स्थान पैरामीटर x = 0 और स्केल पैरामीटर γ = 1 के साथ एक कॉची वितरण होता है।
 * मापदंडों c = 1 और k (और स्केल λ) के साथ एक Burr वितरण आकार k (और स्केल λ) के साथ एक लोमैक्स वितरण होता है।

एक यादृच्छिक चर का गुणक
किसी भी सकारात्मक वास्तविक निर्धारित संख्या से चर को गुणा करने से मूल वितरण का स्केलिंग होता है। कुछ स्व-उत्पादक होते हैं, जिसका अर्थ होता है कि स्केलिंग उन्हीं वितरणों के परिवार को उत्पन्न करता है, के होने पर भी पैरामीटर अलग हों:सामान्य वितरण, गामा वितरण, कॉची वितरण, घातीय वितरण, एरलांग वितरण, वीबुल वितरण, रसद वितरण, त्रुटि वितरण, शक्ति-कानून वितरण, रेले वितरण।

उदाहरण:
 * यदि X एक गामा यादृच्छिक चर है जिसके आकार और दर पैरामीटर(α, β) हैं, तो Y = aX एक गामा यादृचिक चर होगा जिसके पैरामीटर (α,β/a) होंगे।


 * यदि X एक गामा यादृचिक चर है जिसके आकार और पैमाने के पैरामीटर (k, θ) हैं, तो Y = aX एक गामा यादृचिक चर होगा जिसके पैरामीटर (के,एθ) होंगे।

एक यादृच्छिक चर का रैखिक कार्य
एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्म ax + b मूल वितरण के स्थानांतरण और माप का परिवर्तन देता है। निम्नलिखित आत्म-उत्पादक हैं: नॉर्मल वितरण, कॉशी वितरण, लॉजिस्टिक वितरण, त्रुटि वितरण, पावर वितरण, रेले वितरण।

उदाहरण:
 * यदि Z पैरामीटर के साथ एक सामान्य यादृच्छिक चर है (μ = m, σ2 = एस2), तो X = aZ + b पैरामीटर के साथ एक सामान्य यादृच्छिक चर है (μ = am + b, σ2 = ए2एस2).

एक यादृच्छिक चर का व्युत्क्रम
एक यादृच्छिक चर X के रिकिप्रोकल 1/X, निम्नलिखित स्थितियों में एक ही वितरण परिवार का सदस्य होता है:कौशी वितरण, F वितरण, लॉग रसद वितरण।

उदाहरण:
 * यदि X एक कौशी (μ, σ) यादृच्छिक चर है, तो 1/X एक कौशी (μ/C, σ/C) यादृच्छिक चर है जहाँ C = μ2 + पृ 2।
 * यदि X एक एफ है (ν1, N 2) यादृच्छिक चर तब 1/X एक F(ν) है2, N 1) अनियमित परिवर्तनशील वस्तु।

अन्य मामले
कुछ वितरण एक विशिष्ट परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय हैं।

उदाहरण:
 * यदि X एक बीटा (α, β) यादृच्छिक चर है तो (1 - X) एक बीटा (β, α) है ) यादृचिक चर होता है।
 * यदि X एक द्विपद (n, p) यादृच्छिक चर है तो (n - X) एक द्विपद (n, 1 - p) यादृच्छिक चर होता है।
 * यदि X का संचयी वितरण फलन FX,है, तो कुल संचयी बंटन का व्युत्क्रम F$X$(X) एक मानक वर्गमूल (0,1) यादृचिक चर है।
 * यदि X एक 'सामान्य' (μ, σ2) है  यादृच्छिक चर  है तो eX एक 'लॉगनॉर्मल'(μ, p2) यादृचिक चर होता है।
 * इसके विपरीत, यदि X एक असामान्य (μ, σ2) यादृच्छिक चर तो लॉग x एक सामान्य (μ, p2) यादृचिक चर होता है।


 * यदि X माध्य β के साथ एक 'चरघातांकी' यादृच्छिक चर है, तो X1/γ एक 'वीबुल' (γ, β) यादृच्छिक चर होता है।
 * एक मानक सामान्य विस्तार वाली चारणी संख्यात्मक चारणी का वर्ग एक डिग्री की मुफ्त क्षैतिज विस्तार वाली चारणी का होता है।
 * यदि X एक t-विस्तारीय सामान्य चारणी है जो ν डिग्री की है, तो X2 एक F(1,ν) विस्तारीय संख्यात्मक चारणी है।
 * यदि X एक दोहरी विस्तारीय चारणी है जिसका औसत 0 है और यांत्रिक माप λ है, तो |X| औसत λ वाली एक विस्तारीय चारणी होती है।
 * एक ज्यामितीय यादृच्छिक चर एक घातीय यादृच्छिक चर का तल और छत कार्य है।
 * एक आयताकार वितरण यादृच्छिक चर एक समान यादृच्छिक चर का तल है।
 * एक पारस्परिक वितरण यादृच्छिक चर एक समान यादृच्छिक चर का घातांक है।

चर का योग
स्वतंत्र यादृच्छिक चर के योग का वितरण उनके वितरण के संभाव्यता वितरण का रूपांतरण है। कल्पना करना $$Z$$ का योग है $$n$$ स्वतंत्र यादृच्छिक चर $$X_1, \dots, X_n$$ संभाव्यता द्रव्यमान समारोह के साथ प्रत्येक $$f_{X_i}(x)$$. तब

$$Z = \sum_{i = 1}^{n} {X_i}.$$ यदि इसका वितरण के समान परिवार से मूल चर के रूप में वितरण होता है, तो वितरण के उस परिवार को कनवल्शन के अनुसार बंद कहा जाता है।

इस प्रकार के अविभाजित वितरण के उदाहरण हैं: सामान सफलता संभावना वाली बाइनोमियल वितरण, पॉसों वितरण, नेगेटिव बाइनोमियल वितरण (सामान सफलता संभावना वाले), गामा वितरण (सामान्य दर पैरामीटर के साथ), चाइ-स्क्वेयर वितरण, कॉशी वितरण, हाइपरएक्सपोनेंशियल वितरण।

'उदाहरण:
 * यदि X 1 और  X 2  μ1 और μ2अनुकूलताओं के साथ पॉइसन यादृच्छिक चर विचारी हैं, तो X1 +  X 2  का मान μ1 + μ2 वाले पॉइसन यादृचिक चर होता है।.
 * गामा का योग (αi, b) यादृच्छिक चर में एक 'गामा' (Sai, बी) वितरण होता है।
 * यदि X1 कॉची  (μ1, σ1) यादृच्छिक चर है और X2 एक कॉची है (μ2, σ2) है, फिर  X1 +  X2 कॉची है (μ1 + μ2, σ1 + σ2) यादृचिक चर होता है।
 * यदि X1 और  X2 ν1 और  ν2डिग्री के साथ चाइ-वर्ग यादृचिक चर होते हैं तो    X1 + X2 विसंगति ν1 + ν2 डिग्री के साथ एक चाइ-वर्ग यादृचिक चर होता है।
 * यदि X1 सामान्य है (μ1, σ$2 1$) यादृच्छिक चर है और X2 सामान्य  (μ2, σ$2 2$) यादृच्छिक चर है फिर X1 +  X 2 सामान्य  (μ1 + μ2, σ$2 1$ + σ$2 2$) यादृचिक चर होता है।
 * N ची-स्क्वायर (1) रैंडम वेरिएबल्स का योग N डिग्री स्वतंत्रता वाले चाइ-वर्ग वितरण होता है।

अन्य वितरण अविनाशी वितरण के अनुसार संयोजन के लिए बंद नहीं होते हैं, किन्तु उनकी योग संयोजन के अनुसार एक ज्ञात वितरण होता है:
 * N 'बर्नौली' (p) यादृच्छिक चर का योग एक 'द्विपद' (N, p) यादृच्छिक चर होता है।
 * n ज्यामितीय यादृच्छिक चर जिनमें सफलता की संभावना p होती है, का योग पूरक बिनोमियल यादृच्छिक चर होता है जिसके पैरामीटर n और p होते हैं।
 * n घनात्मक (β) यादृच्छिक चरों का योग एक गामा (n, β) यादृच्छिक चर होता है। क्योंकि n एक पूर्णांक होता है, इसलिए गामा वितरण एक अर्लेंग वितरण भी होता है।
 * N मानक नियमित यादृच्छिक चरों के वर्गों का योग N अंकितों के साथ एक चि-वर्ग वितरण होता है।

चर का उत्पाद
स्वतंत्र यादृच्छिक चर X और Y का उत्पाद वितरण के उसी परिवार से संबंधित हो सकता है जैसे X और Y: बर्नौली वितरण और लॉग-सामान्य वितरण।

'उदाहरण: '
 * यदि X1 और  X2 पैरामीटर के साथ स्वतंत्र लॉग-सामान्य यादृच्छिक चर हैं (μ1, p$2 1$) और (μ2, p$2 2$) क्रमशः, फिर X1 X2 मापदंडों के साथ एक लॉग-सामान्य यादृच्छिक चर है (μ1 + म2, p$2 1$ + प$2 2$).

न्यूनतम और अधिकतम स्वतंत्र यादृच्छिक चर
कुछ वितरणों के लिए, कुछ स्वतंत्र यादृच्छिक चर वितरणों का न्यूनतम मान भी उनके समान परिवार का सदस्य होता है, किन्तु अलग-अलग मानों के साथ: बर्नौली वितरण, ज्यामितीय वितरण, चरम मूल्य वितरण, परेटो वितरण, रेले वितरण, वीबुल वितरण।

उदाहरण:
 * यदि X1 और  X2  स्वतंत्र रूप से व्यक्तिगत ज्यामितीय यादृच्छिक चर वे हों, जिनकी सफलता की संभावना p1 और p2 हैं, तो न्यूनतम ( X1,X2) एक ज्यामितीय यादृच्छिक चर होता है जिसकी सफलता की संभावना p = p1 + p2 - p1 p2 होती है। यदि पताने की संभावना के अभाव में व्यक्त किए गए हों, तो इस संबंध को सरल बनाया जा सकता है: q = q1 q2.
 * यदि X 1 और  X 2 स्वतंत्र रूप से व्यक्तिगत अप्रत्यक्ष यादृच्छिक चर हों जिनकी दर μ1 और μ2 हों तो न्यूनतम ( X1,  X2) एक एक्सपोनेंशियल यादृच्छिक चर होता है जिसकी दर μ = μ1 + μ2 होती है।.

इसी प्रकार, ज्यामितीय यादृच्छिक चर जैसे कुछ वितरण हैं जिनके लिए कुछ स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के सबसे अधिक मूल्य भी उसी फैमिली के होते हैं। उनमें से कुछ हैं बर्नुली वितरण, पावर लॉ वितरण।

अन्य

 * यदि X और Y स्वतंत्र 'मानक सामान्य' यादृच्छिक चर हैं, तो X/Y एक 'कॉची' (0,1) यादृच्छिक चर है।
 * यदि X1 और  X2 स्वतंत्र रूप से ची-स्क्वायर स्वतंत्र रूप से v1 और v2 हैं, तो ( X1/v1)/( X2/v2) एक F(ν1, v2) वित्तीय चरण है।
 * यदि X एक 'मानक सामान्य' यादृच्छिक चर है और U स्वतंत्रता की ν डिग्री के साथ एक स्वतंत्र 'ची-वर्ग' यादृच्छिक चर है, तो $$\frac{X}{\sqrt{(U/\nu)}} $$ विद्यार्थी का t(ν) यादृच्छिक चर है।
 * यदि X1 एक गामा  (α1, 1) यादृच्छिक मान वाली चर धारा है और X2 एक स्वतंत्र गामा  (α2, 1) मान वाली चर धारा है, तो X1/( X 1 +  X 2) बीटा (α1, α2) यादृच्छिक मान वाली चर धारा होती है। अधिक सामान्यतः, यदि X1 एक गामा  (α1, α1)यादृच्छिक मान वाली चर धारा है और X2 एक स्वतंत्र गामा  (α2, β2) यादृच्छिक मान वाली चर धारा है, तो β2 X1/(β2 X1 + β1 X2) बीटा (α1, α2) यादृच्छिक मान वाली चर धारा होती है।
 * यदि X और Y माध्य μ के साथ स्वतंत्र 'घातीय' यादृच्छिक चर हैं, तो X − Y माध्य 0 और पैमाने μ के साथ एक 'लाप्लास वितरण' यादृच्छिक चर है।
 * यदि X i स्वतंत्र बर्नौली यादृच्छिक चर हैं तो उनका समता समारोह ( XOR) पाइलिंग-अप लेम्मा  के माध्यम से वर्णित बर्नौली वैरिएबल है।

अनुमानित (सीमा) संबंध
अनुमानित या सीमा संबंध का अर्थ है
 * या तो एक असीमित संख्या के iid यादृच्छिक चर वितरण की कुछ वितरण के लिए आस पास होता है,
 * या यह कि जब कोई पैरामीटर कुछ मान के लिए आस पास होता है तो अलग वितरण तक पहुंच जाता है।

'iid यादृच्छिक चर वितरणों का संयोजन:


 * निश्चित शर्तों के अंतर्गत, एक पर्याप्त बड़ी संख्या के iid यादृच्छिक चर वितरणों के योग (अर्थात औसत) में पर्याप्त अंतर्निहितता होगी, जो अधिकतर सामान्य वितरण होता है। यह केंद्रीय सीमा प्रमेय (CLT) होता है।।

'वितरण के विशेष पैरामीट्रिकरण का विशेष मामला:'


 * X एक 'हाइपरज्यामितीय' (m, N, n) यादृच्छिक चर है। यदि n और m N की समानता में बड़े हैं, और p = m/N 0 या 1 के निकट नहीं है, तो X का अधिकतर एक 'द्विपद' (n, p) वितरण होता  है।
 * X पैरामीटर्स (n, α, β) के साथ एक 'बीटा-द्विपद' यादृच्छिक चर है। चलो p = α/(α + β) और मान लीजिए α + β बड़ा है, तो X अधिकतर एक 'द्विपद' (n, p) वितरण होता है।
 * यदि X 'द्विपद' (n, p) यादृच्छिक चर है और यदि n बड़ा है और np छोटा है तो X में अधिकतर 'पॉइसन' (np) वितरण होता है।
 * यदि X एक 'नकारात्मक द्विपद' यादृच्छिक चर है जिसमें r बड़ा है, P के पास है, और r(1 − P) = λ है, तो X का माध्य λ के साथ अधिकतर 'पॉइसन' वितरण होता है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय (सीएलटी) के परिणाम:
 * यदि X बड़े माध्य वाला एक 'प्वाइसन' यादृच्छिक चर है, तो पूर्णांक j और k के लिए, P(j ≤ X ≤ k) अधिकतर P(j − 1/2 ≤ Y ≤ k + 1/2) के समान है जहाँ Y नॉर्मल वितरण है जिसका मान और चार गुणा विस्तार X के विस्तार के समान हैं।
 * यदि X बड़ा np और n(1 − p) वाला एक 'द्विपद'(n, p) यादृच्छिक चर है, तो पूर्णांक j और k के लिए, P(j ≤ X ≤ k) अधिकतर P(j − 1/) के समान है। 2 ≤ Y ≤ k + 1/2) जहां Y एक 'सामान्य' यादृच्छिक चर है जिसका समान माध्य और X के समान प्रसरण है, अर्थात np और np(1 − p)।
 * यदि X एक 'बीटा' रैंडम वेरिएबल है जिसका पैरामीटर α और β समान और बड़ा है, तो X का अधिकतर समान माध्य और भिन्नता वाला 'सामान्य' वितरण है, i। इ। माध्य α/(α + β) और विचरण αβ/((α + β)2(α + β + 1))।
 * यदि X एक 'गामा' (α, β) यादृच्छिक चर है और आकार पैरामीटर α स्केल पैरामीटर β के सापेक्ष बड़ा है, तो X में अधिकतर समान माध्य और विचरण वाला 'सामान्य' यादृच्छिक चर होता है।
 * यदि X एक 'विद्यार्थी का t' यादृच्छिक चर है जिसमें बड़ी संख्या में स्वतंत्रता ν की डिग्री है तो X का अधिकतर 'मानक सामान्य' वितरण है।
 * यदि X एक 'F'(ν, ω) यादृच्छिक चर है जिसमें ω बड़ा है, तो νX को स्वतंत्रता की ν डिग्री के साथ एक 'ची-वर्ग' यादृच्छिक चर के रूप में वितरित किया जाता है।

यौगिक (या बायेसियन) संबंध
जब किसी वितरण के एक या एक से अधिक पैरामीटर एक से अधिक रैंडम चर की प्रकार होते हैं, तो यौगिक संभाव्यता वितरण वितरण चर के मार्जिनल वितरण होता है।

उदाहरण:


 * यदि X | N एक द्विपद (N ,p) यादृच्छिक चर है, जहां पैरामीटर N नकारात्मक-द्विपद (m, r') के साथ एक यादृच्छिक चर है ') वितरण, तो X एक ऋणात्मक द्विपद (m, r/(p + qr'')) के रूप में वितरित किया जाता है।
 * यदि X | N एक द्विपद (N ,p) यादृच्छिक चर है, जहां पैरामीटर N प्वासों(μ) वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर है, फिर X को पोइसन (μp) के रूप में वितरित किया जाता है।
 * यदि X | μ एक प्वासों(μ) यादृच्छिक चर है और पैरामीटर μ गामा(m, θ) वितरण के साथ यादृच्छिक चर है (जहाँ θ पैमाना पैरामीटर है), तो X को ऋणात्मक-द्विपद (m, θ/(1 + θ)) के रूप में वितरित किया जाता है, जिसे कभी-कभी गामा-पोइसन वितरण कहा जाता है।

कुछ वितरणों को विशेष रूप से समष्टि वितरणों के रूप में नाम दिया गया है: बीटा-द्विपद वितरण, बीटा नकारात्मक द्विपद वितरण, गामा-सामान्य वितरण होता है।

उदाहरण:


 * यदि X एक द्विपद(n,p) यादृच्छिक चर है, और पैरामीटर p बीटा(α, β) वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर है, तब X को बीटा-द्विपद(α,β,n) के रूप में वितरित किया जाता है।
 * यदि X एक नकारात्मक-द्विपद(r,p) यादृच्छिक चर है, और पैरामीटर p बीटा(α, के साथ एक यादृच्छिक चर है β) वितरण, फिर X को बीटा ऋणात्मक द्विपद वितरण(r,α,β) के रूप में वितरित किया जाता है।

यह भी देखें

 * केंद्रीय सीमा प्रमेय
 * यौगिक संभाव्यता वितरण
 * संभाव्यता वितरण के संकल्पों की सूची

बाहरी संबंध

 * Interactive graphic: Univariate Distribution Relationships
 * ProbOnto - Ontology and knowledge base of probability distributions: ProbOnto
 * Probability Distributome project includes calculators, simulators, experiments, and navigators for inter-distributional refashions and distribution meta-data.