पल्स-घनत्व मॉड्यूलेशन

पल्स-डेंसिटी मॉडुलन, या पीडीएम, मॉड्यूलेशन का एक रूप है जिसका उपयोग  द्विआधारी संकेत  के साथ  एनालॉग संकेत  का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। पीडीएम सिग्नल में, विशिष्ट आयाम मानों को अलग-अलग वजन के दालों के कोडवर्ड में एन्कोड नहीं किया जाता है क्योंकि वे  पल्स कोड मॉडुलेशन  (पीसीएम) में होंगे; बल्कि, दालों का सापेक्ष घनत्व एनालॉग सिग्नल के आयाम से मेल खाता है। 1-बिट DAC का आउटपुट सिग्नल के PDM एन्कोडिंग के समान है।

विवरण
पल्स-घनत्व मॉड्यूलेशन बिटस्ट्रीम में, 1 सकारात्मक ध्रुवता (+ए) की पल्स से मेल खाता है, और 0 नकारात्मक ध्रुवीयता (-ए) की पल्स से मेल खाता है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है


 * $$ x[n] = -A (-1)^{a[n]},$$

जहां x[n] द्विध्रुवी बिटस्ट्रीम (या तो −A या +A) है, और a[n] संबंधित बाइनरी बिटस्ट्रीम (या तो 0 या 1) है।

सभी 1s से युक्त एक रन अधिकतम (सकारात्मक) आयाम मान के अनुरूप होगा, सभी 0s न्यूनतम (नकारात्मक) आयाम मान के अनुरूप होंगे, और 1s और 0s को वैकल्पिक करने से शून्य आयाम मान के अनुरूप होगा। निरंतर आयाम तरंग को द्विध्रुवी पीडीएम बिटस्ट्रीम को लो पास फिल्टर करके पुनर्प्राप्त किया जाता है।

उदाहरण
त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का एक एकल आवधिक फ़ंक्शन, नमूना (सिग्नल) 100 बार और पीडीएम बिटस्ट्रीम के रूप में दर्शाया गया है:

01010110111101111111111111111111101111110110110101010010010000001000000000000000000010010101 उच्च आवृत्ति वाली साइन तरंग की दो अवधियाँ इस प्रकार दिखाई देंगी:

0101101111111111111101101010010000000000001000100110111011111111111101101010010000000000000100101 पल्स-घनत्व मॉड्यूलेशन में, 1s का उच्च घनत्व साइन तरंग के शिखर पर होता है, जबकि 1s का कम घनत्व साइन तरंग के गर्त में होता है।

एनालॉग-टू-डिजिटल रूपांतरण
एक पीडीएम बिटस्ट्रीम को 1-बिट डेल्टा-सिग्मा मॉड्यूलेशन की प्रक्रिया के माध्यम से एक एनालॉग सिग्नल से कोड किया जाता है। यह प्रक्रिया एक-बिट परिमाणीकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग)  का उपयोग करती है जो एनालॉग सिग्नल के आयाम के आधार पर 1 या 0 उत्पन्न करती है। 1 या 0 एक सिग्नल से मेल खाता है जो क्रमशः ऊपर या नीचे की ओर है। क्योंकि वास्तविक दुनिया में, एनालॉग सिग्नल शायद ही कभी एक ही दिशा में होते हैं, एक परिमाणीकरण त्रुटि होती है, 1 या 0 और इसके द्वारा दर्शाए जाने वाले वास्तविक आयाम के बीच का अंतर। यह त्रुटि ΔΣ प्रक्रिया लूप में नकारात्मक रूप से वापस फीड की जाती है। इस तरह, प्रत्येक त्रुटि क्रमिक रूप से प्रत्येक अन्य परिमाणीकरण माप और उसकी त्रुटि को प्रभावित करती है। इससे परिमाणीकरण त्रुटि को औसत करने का प्रभाव पड़ता है।

डिजिटल-से-एनालॉग रूपांतरण
डिज़िटल से एनालॉग कन्वर्टर पीडीएम सिग्नल को एनालॉग में बदलने की प्रक्रिया सरल है: किसी को केवल पीडीएम सिग्नल को कम-पास फिल्टर के माध्यम से पास करना होता है। यह काम करता है क्योंकि लो-पास फिल्टर का कार्य अनिवार्य रूप से सिग्नल को औसत करना है। दालों का औसत आयाम समय के साथ उन दालों के घनत्व से मापा जाता है, इस प्रकार एक कम-पास फ़िल्टर डिकोडिंग प्रक्रिया में आवश्यक एकमात्र कदम है।

पीडब्लूएम से संबंध
पल्स चौड़ाई उतार - चढ़ाव (पीडब्लूएम) पीडीएम का एक विशेष मामला है जहां स्विचिंग आवृत्ति तय होती है और एक नमूने के अनुरूप सभी पल्स डिजिटल सिग्नल में सन्निहित होते हैं। एनालॉग सिग्नल को डिमोड्यूलेशन करने की विधि वही रहती है, लेकिन 8-बिट्स के रिज़ॉल्यूशन के साथ 50% सिग्नल का प्रतिनिधित्व, एक पीडब्लूएम तरंग 128 घड़ी चक्रों के लिए चालू हो जाएगी और फिर शेष 128 चक्रों के लिए बंद हो जाएगी। पीडीएम और समान क्लॉक रेट के साथ सिग्नल हर दूसरे चक्र में बारी-बारी से चालू और बंद होता रहेगा। लो-पास फिल्टर द्वारा प्राप्त औसत दोनों तरंगों के लिए अधिकतम सिग्नल स्तर का 50% है, लेकिन पीडीएम सिग्नल अधिक बार स्विच होता है। 100% या 0% स्तर के लिए, वे समान हैं, सिग्नल क्रमशः स्थायी रूप से चालू या बंद है।

जीवविज्ञान से संबंध
विशेष रूप से, पशु तंत्रिका तंत्र संवेदी और अन्य जानकारी का प्रतिनिधित्व करने के तरीकों में से एक दर कोडिंग के माध्यम से होता है, जिससे संकेत का परिमाण संवेदी न्यूरॉन की फायरिंग की दर से संबंधित होता है। प्रत्यक्ष सादृश्य में, प्रत्येक तंत्रिका घटना - जिसे ऐक्शन पोटेंशिअल कहा जाता है - एक बिट (पल्स) का प्रतिनिधित्व करती है, न्यूरॉन की फायरिंग की दर पल्स घनत्व का प्रतिनिधित्व करती है।

एल्गोरिदम
पल्स-डेंसिटी मॉड्यूलेशन का निम्नलिखित डिजिटल मॉडल 1-ऑर्डर 1-बिट डेल्टा-सिग्मा मॉड्यूलेटर के डिजिटल मॉडल से प्राप्त किया जा सकता है। एक संकेत पर विचार करें $$x[n]$$ प्रथम-क्रम डेल्टा-सिग्मा मॉड्यूलेटर के इनपुट के रूप में असतत समय डोमेन में $$y[n]$$ उत्पादन। असतत आवृत्ति डोमेन में, जहां Z-परिवर्तन को आयाम समय-श्रृंखला पर लागू किया गया है $$x[n]$$ उपज $$X(z)$$, उत्पादन $$Y(z)$$ डेल्टा-सिग्मा मॉड्यूलेटर के संचालन का प्रतिनिधित्व किया जाता है


 * $$Y(z) = X(z) + E(z) \left(1 - z^{-1}\right),$$

कहाँ $$E(z)$$ डेल्टा-सिग्मा मॉड्यूलेटर की आवृत्ति-डोमेन परिमाणीकरण त्रुटि है। पदों को पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें प्राप्त होता है


 * $$Y(z) = E(z) + \left[X(z) - Y(z) z^{-1}\right] \left(\frac{1}{1 - z^{-1}}\right).$$

कारण $$1 - z^{-1}$$ एक उच्च पास फिल्टर का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए यह स्पष्ट है $$E(z)$$ आउटपुट में कम योगदान देता है $$Y(z)$$ कम आवृत्तियों पर और उच्च आवृत्तियों पर अधिक। यह डेल्टा-सिग्मा मॉड्यूलेटर के शोर को आकार देने वाले प्रभाव को प्रदर्शित करता है: परिमाणीकरण शोर को कम आवृत्तियों से उच्च-आवृत्ति रेंज में धकेल दिया जाता है।

व्युत्क्रम Z-परिवर्तन का उपयोग करके, हम इसे अलग समय डोमेन में डेल्टा-सिग्मा मॉड्यूलेटर के इनपुट और उसके आउटपुट से संबंधित एक अंतर समीकरण में परिवर्तित कर सकते हैं,


 * $$y[n] = x[n] + e[n] - e[n-1].$$

विचार करने के लिए दो अतिरिक्त बाधाएँ हैं: पहला, प्रत्येक चरण पर आउटपुट नमूना $$y[n]$$ इसलिए चुना गया है ताकि चल रही परिमाणीकरण त्रुटि को कम किया जा सके $$e[n].$$ दूसरा, $$y[n]$$ इसे एक बिट के रूप में दर्शाया गया है, जिसका अर्थ है कि यह केवल दो मान ले सकता है। हम चुनते हैं $$y[n] = \pm 1$$ सुविधा के लिए, हमें लिखने की अनुमति दें


 * $$\begin{align} y[n] &= \sgn\big(x[n] - e[n-1]\big) \\

&= \begin{cases} +1 & x[n] > e[n-1] \\ -1 & x[n] < e[n-1] \end{cases} \\ &= (x[n] - e[n-1]) + e[n]. \\ \end{align}$$ हल करने के लिए पुनर्व्यवस्थित करना $$e[n]$$ पैदावार:
 * $$ e[n] = y[n] - \big(x[n] - e[n-1]\big) = \sgn\big(x[n] - e[n-1]\big) - \big(x[n] - e[n-1]\big).$$

यह, अंततः, आउटपुट नमूने के लिए एक सूत्र देता है $$y[n]$$ इनपुट नमूने के संदर्भ में $$x[n]$$. प्रत्येक नमूने की परिमाणीकरण त्रुटि निम्नलिखित नमूने के लिए इनपुट में नकारात्मक प्रतिक्रिया है।

निम्नलिखित छद्म कोड पल्स-कोड मॉड्यूलेशन सिग्नल को पीडीएम सिग्नल में परिवर्तित करने के लिए इस एल्गोरिदम को कार्यान्वित करता है:

// नमूनों को पल्स-घनत्व मॉड्यूलेशन में एनकोड करें // प्रथम-क्रम सिग्मा-डेल्टा मॉड्यूलेटर का उपयोग करना 'फ़ंक्शन' pdm(वास्तविक[0..s] x, वास्तविक qe = 0) // प्रारंभिक रनिंग त्रुटि शून्य है 'var' int[0..s] y    'for' n 'from' 0 'to' s 'do' क्यूई := क्यूई + एक्स[एन] 'यदि' qe > 0 'तब' y[n] := 1 'अन्य' y[n] := −1 क्यूई := क्यूई - वाई[एन] 'वापसी' y, qe // रिटर्न आउटपुट और रनिंग एरर

अनुप्रयोग
पीडीएम सोनी के सुपर ऑडियो सीडी (एसएसीडी) प्रारूप में डायरेक्ट स्ट्रीम डिजिटल नाम के तहत उपयोग की जाने वाली एन्कोडिंग है।

पीडीएम कुछ एमईएमएस माइक्रोफोन का आउटपुट भी है। कुछ सिस्टम एकल डेटा तार पर पीडीएम स्टीरियो ऑडियो संचारित करते हैं। मास्टर घड़ी का उठता हुआ किनारा बाएं चैनल से थोड़ा सा इंगित करता है, जबकि मास्टर घड़ी का गिरता हुआ किनारा दाएं चैनल से थोड़ा सा इंगित करता है।

यह भी देखें

 * डेल्टा मॉड्यूलेशन
 * पल्स कोड मॉडुलेशन
 * डेल्टा-सिग्मा मॉड्यूलेशन

अग्रिम पठन

 * 1-bit A/D and D/A Converters – Discusses delta modulation, PDM (also known as Sigma-delta modulation or SDM), and relationships to Pulse-code modulation (PCM)

Pulsdichtemodulation