टोपोलॉजिकल ऑर्डर

भौतिकी में, टोपोलॉजिकल ऑर्डर (स्थलीय आदेश) पदार्थ के शून्य-तापमान चरण (जिसे क्वांटम पदार्थ भी कहा जाता है) में एक प्रकार का क्रम है। मैक्रोस्कोपिक रूप से, टोपोलॉजिकल ऑर्डर को प्रबल स्थलाकृतिक अध:पतन द्वारा परिभाषित और वर्णित किया जाता है और विकृत जमीनी अवस्थाओं के गैर-एबेलियन ज्यामितीय चरणों की मात्रा निर्धारित की। सूक्ष्मदर्शी रूप से, टोपोलॉजिकल ऑर्डर लंबी दूरी की क्वांटम इंटेंगलेमेंट के पैटर्न के अनुरूप होते हैं। अलग-अलग टोपोलॉजिकल ऑर्डर (या लंबी दूरी की उलझनों के अलग-अलग पैटर्न) वाले अवस्था चरण संक्रमण के बिना एक-दूसरे में नहीं बदल सकते।

विभिन्न टोपोलॉजिकल रूप से क्रमबद्ध अवस्थाओं में दिलचस्प गुण होते हैं, जैसे (1) टोपोलॉजिकल डिजनरेसी और फ्रैक्शनल सांख्यिकी या गैर-एबेलियन सांख्यिकी जिनका उपयोग टोपोलॉजिकल क्वांटम कंप्यूटर को साकार करने के लिए किया जा सकता है; (2) परफेक्ट कंडक्टिंग एज स्टेट्स जिनमें महत्वपूर्ण उपकरण अनुप्रयोग हो सकते हैं; (3) आकस्मिक गेज क्षेत्र और फर्मी सांख्यिकी जो प्राथमिक कणों की क्वांटम सूचना उत्पत्ति का सुझाव देते हैं; (4) टोपोलॉजिकल उलझाव एन्ट्रापी जो टोपोलॉजिकल ऑर्डर आदि की उलझाव उत्पत्ति को प्रकट करती है। स्पिन तरल पदार्थ जैसे कई भौतिक प्रणालियों के अध्ययन में टोपोलॉजिकल ऑर्डर महत्वपूर्ण है   और क्वांटम हॉल प्रभाव,  टोपोलॉजिकल क्वांटम गणना के संभावित अनुप्रयोगों के साथ-साथ दोष-सहिष्णु क्वांटम गणना है।

टोपोलॉजिकल इंसुलेटर (टोपोलॉजिकल अवरोधक) और टोपोलॉजिकल सुपरकंडक्टर्स (टोपोलॉजिकल अतिचालक) (1D से परे) में टोपोलॉजिकल ऑर्डर नहीं होता है जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, उनके उलझाव केवल कम दूरी के होते हैं।

पृष्ठभूमि
परमाणुओं से बने पदार्थ के अलग-अलग गुण हो सकते हैं और वे अलग-अलग रूपों में प्रकट हो सकते हैं, जैसे ठोस, तरल, अतिद्रव्य, आदि। पदार्थ के इन विभिन्न रूपों को अक्सर पदार्थ की अवस्थाएँ या चरण (पदार्थ) कहा जाता है। संघनित पदार्थ भौतिकी और उद्भव के सिद्धांत के अनुसार, सामग्रियों के विभिन्न गुण सामान्यतः सामग्रियों में परमाणुओं को व्यवस्थित करने के विभिन्न तरीकों से उत्पन्न होते हैं। परमाणुओं (या अन्य कणों) के उन विभिन्न संगठनों को औपचारिक रूप से सामग्रियों में चरण संक्रमण कहा जाता है।

परमाणु कई तरीकों से व्यवस्थित हो सकते हैं जिससे कई अलग-अलग क्रम और कई अलग-अलग प्रकार की सामग्रियां बनती हैं। लैंडौ स्पॉन्टेनियस समरूपता विभंजन,समरूपता-विभंजन वाला सिद्धांत इन विभिन्न आदेशों की एक सामान्य समझ प्रदान करता है। यह बताता है कि अलग-अलग क्रम वास्तव में घटक परमाणुओं के संगठन में अलग-अलग समरूपता के अनुरूप होते हैं। जैसे-जैसे कोई सामग्री एक क्रम से दूसरे क्रम में बदलती है (अर्थात, जैसे-जैसे सामग्री एक चरण संक्रमण से गुजरती है), क्या होता है कि परमाणुओं के संगठन की समरूपता बदल जाती है।

उदाहरण के लिए, किसी तरल पदार्थ में परमाणुओं का यादृच्छिक वितरण होता है, इसलिए जब हम परमाणुओं को एक मनमानी दूरी से विस्थापित करते हैं तो एक तरल वैसा ही रहता है। हम कहते हैं कि एक तरल में निरंतर अनुवाद समरूपता होती है। एक चरण संक्रमण के बाद, एक तरल क्रिस्टल में बदल सकता है। एक क्रिस्टल में, परमाणु एक नियमित सरणी (एक क्रिस्टल संरचना) में व्यवस्थित होते हैं। एक जाली केवल तभी अपरिवर्तित रहती है जब हम इसे एक विशेष दूरी (एक जाली स्थिरांक से पूर्णांक गुणा) से विस्थापित करते हैं, इसलिए एक क्रिस्टल में केवल असतत अनुवाद समरूपता होती है। तरल और क्रिस्टल के बीच चरण संक्रमण एक ऐसा संक्रमण है जो तरल की निरंतर अनुवाद समरूपता को क्रिस्टल की असतत समरूपता में कम कर देता है। समरूपता में इस तरह के परिवर्तन को समरूपता टूटना कहा जाता है। तरल पदार्थ और क्रिस्टल के बीच अंतर का सार यह है कि परमाणुओं के संगठन में दो चरणों में अलग-अलग समरूपताएं होती हैं।

लैंडौ लैंडौ सिद्धांत, समरूपता-भंग सिद्धांत एक बहुत ही सफल सिद्धांत रहा है। लंबे समय तक, भौतिकविदों का मानना ​​​​था कि लैंडौ थ्योरी ने सामग्रियों में सभी संभावित आदेशों और सभी संभावित (निरंतर) चरण संक्रमणों का वर्णन किया है।

खोज और लक्षण वर्णन
हालाँकि, 1980 के दशक के उत्तरार्ध से, यह धीरे-धीरे स्पष्ट हो गया है कि लैंडौ समरूपता-विभंजन वाला सिद्धांत सभी संभावित आदेशों का वर्णन नहीं कर सकता है। उच्च तापमान अतिचालकता को समझाने के प्रयास में दाहिनी ओर स्पिन अवस्था की प्रारम्भ की गई थी। सबसे पहले, भौतिक विज्ञानी अभी भी चिरल स्पिन स्थिति का वर्णन करने के लिए लैंडौ समरूपता-विभंजन वाले सिद्धांत का उपयोग करना चाहते थे। उन्होंने चिरल स्पिन अवस्था की पहचान एक ऐसी अवस्था के रूप में की जो समय उत्क्रमण और समता समरूपता को तोड़ती है, लेकिन स्पिन रोटेशन समरूपता को नहीं। लैंडौ के आदेशों के समरूपता को विभंजन वाले विवरण के अनुसार यह कहानी का अंत होना चाहिए। हालाँकि, यह तुरंत महसूस किया गया कि कई अलग-अलग चिरल स्पिन अवस्थाएँ हैं जिनमें बिल्कुल समान समरूपता है, इसलिए अकेले समरूपता विभिन्न चिरल स्पिन अवस्थाओं को चिह्नित करने के लिए पर्याप्त नहीं थी। इसका तात्पर्य यह है कि चिरल स्पिन अवस्थाओं में एक नए प्रकार का क्रम होता है जो सामान्य समरूपता विवरण से परे है। प्रस्तावित, नए प्रकार के ऑर्डर को टोपोलॉजिकल ऑर्डर नाम दिया गया। टोपोलॉजिकल ऑर्डर नाम चिरल स्पिन अवस्थाओं के निम्न ऊर्जा प्रभावी सिद्धांत से प्रेरित है जो टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत सिद्धांत (टीक्यूएफटी) है।  नई क्वांटम संख्याएँ, जैसे टोपोलॉजिकल डीजनरेसी (जिसे एबेलियन टोपोलॉजिकल ऑर्डर सहित, अंतराल वाली सीमाओं के साथ एक बंद स्थान या खुली जगह पर परिभाषित किया जा सकता है और गैर-एबेलियन टोपोलॉजिकल ऑर्डर ) और गैर-एबेलियन समूह | पतित जमीनी अवस्थाओं का गैर-एबेलियन ज्यामितीय चरण, चिरल स्पिन अवस्थाओं में विभिन्न टोपोलॉजिकल ऑर्डरों को चिह्नित करने और परिभाषित करने के लिए पेश किया गया था। हाल ही में, यह दिखाया गया कि टोपोलॉजिकल ऑर्डर को टोपोलॉजिकल एन्ट्रॉपी (भौतिकी में) द्वारा भी चित्रित किया जा सकता है।

लेकिन प्रयोग जल्द ही संकेत दिया गया कि चिरल स्पिन अवस्थाएं उच्च तापमान वाले अतिचालक का वर्णन नहीं करती हैं, और टोपोलॉजिकल ऑर्डर का सिद्धांत बिना किसी प्रयोगात्मक अहसास वाला सिद्धांत बन गया। हालाँकि, चिरल स्पिन अवस्थाओं और क्वांटम हॉल प्रभाव अवस्थाओं के बीच समानता किसी को विभिन्न क्वांटम हॉल अवस्थाओं का वर्णन करने के लिए टोपोलॉजिकल ऑर्डर के सिद्धांत का उपयोग करने की अनुमति देती है। चिरल स्पिन अवस्थाओं की तरह, विभिन्न क्वांटम हॉल अवस्थाओं में समान समरूपता है और लैंडौ समरूपता-विभंजन वाले विवरण के बाहर हैं। कोई यह पाता है कि विभिन्न क्वांटम हॉल अवस्थाओं में अलग-अलग आदेशों को वास्तव में टोपोलॉजिकल ऑर्डर द्वारा वर्णित किया जा सकता है, इसलिए टोपोलॉजिकल ऑर्डर में प्रयोगात्मक अहसास होता है।

क्वांटम हॉल प्रभाव (एफक्यूएच) अवस्था की खोज 1982 में की गई थी 1989 में टोपोलॉजिकल ऑर्डर की अवधारणा की प्रारम्भ से पहले है। लेकिन एफक्यूएच अवस्था प्रायोगिक रूप से खोजा गया पहला टोपोलॉजिकल ऑर्डर वाला अवस्था नहीं है। 1911 में खोजा गया  अतिचालक, प्रायोगिक रूप से खोजी गई पहली स्थलाकृतिक क्रम वाली अवस्था है; इसमें Z2 है टोपोलॉजिकल क्रम.

हालाँकि स्थलाकृतिक रूप से क्रमबद्ध अवस्थाएँ सामान्यतः दृढ़ता से परस्पर क्रिया करने वाले बोसॉन/फर्मियन सिस्टम में दिखाई देती हैं, एक सरल प्रकार का टोपोलॉजिकल क्रम भी मुक्त फर्मियन सिस्टम में दिखाई दे सकता है। इस प्रकार का टोपोलॉजिकल ऑर्डर इंटीग्रल क्वांटम हॉल स्थिति से मेल खाता है, जिसे भरे हुए ऊर्जा बैंड के चेर्न नंबर द्वारा चित्रित किया जा सकता है यदि हम एक जाली पर पूर्णांक क्वांटम हॉल स्थिति पर विचार करते हैं। सैद्धांतिक गणनाओं ने प्रस्तावित किया है कि ऐसे चेर्न संख्याओं को प्रयोगात्मक रूप से एक मुक्त फर्मियन प्रणाली के लिए मापा जा सकता है। यह भी सर्वविदित है कि ऐसी चेर्न संख्या को किनारे वाले अवस्थाओं द्वारा (शायद अप्रत्यक्ष रूप से) मापा जा सकता है।

टोपोलॉजिकल आदेशों का सबसे महत्वपूर्ण लक्षण वर्णन अंतर्निहित भिन्नात्मक उत्तेजनाएं (जैसे कि कोई भी) और उनके संलयन सांख्यिकी और ब्रेडिंग सांख्यिकी (जो बोसॉन या फरमिओन्स के क्वांटम सांख्यिकी से आगे जा सकते हैं) होंगे। वर्तमान शोध कार्यों से पता चलता है कि 3+1 आयामी स्पेसटाइम में टोपोलॉजिकल ऑर्डर के लिए लूप और स्ट्रिंग जैसी उत्तेजनाएं उपस्थित हैं, और उनके मल्टी-लूप/स्ट्रिंग-ब्रेडिंग सांख्यिकी 3+1 आयामी टोपोलॉजिकल ऑर्डर की पहचान के लिए महत्वपूर्ण हस्ताक्षर हैं।  3+1 आयामी टोपोलॉजिकल ऑर्डर के मल्टी-लूप/स्ट्रिंग-ब्रेडिंग सांख्यिकी 4 स्पेसटाइम आयामों में विशेष टोपोलॉजिकल क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत के लिंक इनवेरिएंट द्वारा कैप्चर किए जा सकते हैं।

तंत्र
2+1D टोपोलॉजिकल ऑर्डर के एक बड़े वर्ग को स्ट्रिंग-नेट संक्षेपण नामक तंत्र के माध्यम से महसूस किया जाता है। टोपोलॉजिकल ऑर्डर के इस वर्ग में गैप्ड एज हो सकता है और इसे एकात्मक संलयन श्रेणी (या मोनोइडल श्रेणी) सिद्धांत द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। यह पाता है कि स्ट्रिंग-नेट संघनन अनंत रूप से कई अलग-अलग प्रकार के टोपोलॉजिकल ऑर्डर उत्पन्न कर सकता है, जो यह संकेत दे सकता है कि खोजे जाने के लिए कई अलग-अलग नई प्रकार की सामग्रियां शेष हैं।

संघनित स्ट्रिंग की सामूहिक गतियाँ स्ट्रिंग-नेट संघनित अवस्थाओं के ऊपर उत्तेजना को जन्म देती हैं। वे उत्तेजनाएँ गेज बोसॉन बन जाती हैं। स्ट्रिंग के सिरे दोष हैं जो अन्य प्रकार की उत्तेजनाओं के अनुरूप हैं। वे उत्तेजनाएं गेज शुल्क हैं और फर्मी या भिन्नात्मक सांख्यिकी ले सकती हैं।

अन्य विस्तारित वस्तुओं जैसे झिल्ली (एम-थ्योरी) का संघनन, ब्रैन-नेट, और भग्न भी स्थलाकृतिक रूप से क्रमबद्ध चरणों की ओर ले जाते हैं और क्वांटम ग्लासनेस।

गणितीय सूत्रीकरण
हम जानते हैं कि समूह सिद्धांत समरूपता-विभंजन वाले आदेशों का गणितीय आधार है। टोपोलॉजिकल ऑर्डर का गणितीय आधार क्या है? यह पाया गया कि 2+1डी टोपोलॉजिकल ऑर्डर-एबेलियन टोपोलॉजिकल ऑर्डर-के एक उपवर्ग को K-आव्यूह दृष्टिकोण द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है।    स्ट्रिंग-नेट संक्षेपण से पता चलता है कि टेंसर श्रेणी (जैसे फ़्यूज़न श्रेणी या मोनोइडल श्रेणी) 2+1D में टोपोलॉजिकल ऑर्डर की गणितीय नींव का हिस्सा है। हाल के शोध यही सुझाव देते हैं (उल्टे टोपोलॉजिकल ऑर्डर तक जिनमें कोई भिन्नात्मक उत्तेजना नहीं है):


 * 2+1D बोसोनिक टोपोलॉजिकल ऑर्डर को एकात्मक मॉड्यूलर टेंसर श्रेणियों द्वारा वर्गीकृत किया गया है।
 * समरूपता G के साथ 2+1D बोसोनिक टोपोलॉजिकल ऑर्डर को G-क्रॉस्ड टेंसर श्रेणियों द्वारा वर्गीकृत किया गया है।
 * समरूपता G के साथ 2+1D बोसोनिक/फ़र्मीओनिक टोपोलॉजिकल ऑर्डर को सममित संलयन श्रेणी की तुलना में एकात्मक ब्रेडेड संलयन श्रेणियों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जिसमें मॉड्यूलर एक्सटेंशन होते हैं। बोसोनिक प्रणालियों के लिए सममित संलयन केटेगरी Rep(G) और फर्मिओनिक प्रणालियों के लिए sRep(G)।

उच्च आयामों में टोपोलॉजिकल क्रम n-श्रेणी सिद्धांत से संबंधित हो सकता है। क्वांटम ऑपरेटर बीजगणित टोपोलॉजिकल ऑर्डर का अध्ययन करने में एक बहुत ही महत्वपूर्ण गणितीय उपकरण है।

कुछ लोग यह भी सुझाव देते हैं कि टोपोलॉजिकल ऑर्डर को विस्तारित क्वांटम समरूपता द्वारा गणितीय रूप से वर्णित किया गया है।

अनुप्रयोग
लैंडौ समरूपता-भंग सिद्धांत द्वारा वर्णित सामग्रियों का प्रौद्योगिकी पर पर्याप्त प्रभाव पड़ा है। उदाहरण के लिए, फेरोमैग्नेटिक सामग्री जो स्पिन (भौतिकी) रोटेशन समरूपता को तोड़ती है, का उपयोग डिजिटल सूचना भंडारण के मीडिया के रूप में किया जा सकता है। लौह चुंबकीय सामग्रियों से बनी एक हार्ड ड्राइव गीगाबाइट जानकारी संग्रहीत कर सकती है। तरल क्रिस्टल जो अणुओं की घूर्णी समरूपता को तोड़ते हैं, प्रदर्शन प्रौद्योगिकी में व्यापक अनुप्रयोग पाते हैं। क्रिस्टल जो अनुवाद समरूपता को तोड़ते हैं, अच्छी तरह से परिभाषित इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना का नेतृत्व करते हैं जो बदले में हमें ट्रांजिस्टर जैसे अर्धचालक उपकरण बनाने की अनुमति देता है। विभिन्न प्रकार के टोपोलॉजिकल ऑर्डर विभिन्न प्रकार के समरूपता-विभंजन वाले ऑर्डर से भी अधिक समृद्ध हैं। यह रोमांचक, नवीन अनुप्रयोगों के लिए उनकी क्षमता का सुझाव देता है।

एक सैद्धांतिक अनुप्रयोग टोपोलॉजिकल [[ क्वांटम कम्प्यूटिंग ]] नामक तकनीक में क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए मीडिया के रूप में टोपोलॉजिकल रूप से आदेशित अवस्थाओं का उपयोग करना होगा। टोपोलॉजिकली ऑर्डर किया गया अवस्था जटिल गैर-स्थानीय क्वांटम उलझाव वाला अवस्था है। गैर-स्थानीयता का मतलब है कि टोपोलॉजिकल रूप से क्रमबद्ध स्थिति में क्वांटम उलझाव कई अलग-अलग कणों के बीच वितरित किया जाता है। परिणामस्वरूप, क्वांटम उलझनों के पैटर्न को स्थानीय गड़बड़ी से नष्ट नहीं किया जा सकता है। इससे विकृति का प्रभाव काफी हद तक कम हो जाता है। इससे पता चलता है कि यदि हम क्वांटम जानकारी को एन्कोड करने के लिए टोपोलॉजिकल रूप से आदेशित स्थिति में विभिन्न क्वांटम उलझनों का उपयोग करते हैं, तो जानकारी अधिक समय तक चल सकती है। टोपोलॉजिकल क्वांटम उलझावों द्वारा एन्कोड की गई क्वांटम जानकारी को टोपोलॉजिकल दोषों को एक-दूसरे के चारों ओर खींचकर भी हेरफेर किया जा सकता है। यह प्रक्रिया क्वांटम गणना करने के लिए एक भौतिक उपकरण प्रदान कर सकती है। इसलिए, टोपोलॉजिकली ऑर्डर किए गए अवस्था क्वांटम मेमोरी और क्वांटम गणना दोनों के लिए प्राकृतिक मीडिया प्रदान कर सकते हैं। क्वांटम मेमोरी और क्वांटम गणना की ऐसी प्राप्ति को संभावित रूप से दोष-सहिष्णु बनाया जा सकता है।

सामान्य तौर पर टोपोलॉजिकली ऑर्डर किए गए अवस्थाओं की एक विशेष संपत्ति होती है कि उनमें गैर-तुच्छ सीमा वाले अवस्था होते हैं। कई मामलों में, वे सीमाएँ सही संचालन चैनल बन जाती हैं जो गर्मी पैदा किए बिना बिजली का संचालन कर सकती हैं। यह इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों में टोपोलॉजिकल ऑर्डर का एक और संभावित अनुप्रयोग हो सकता है।

टोपोलॉजिकल ऑर्डर के समान, टोपोलॉजिकल अवरोधक अंतराल रहित सीमा अवस्था भी हैं। टोपोलॉजिकल अवरोधक की सीमा अवस्थाएं टोपोलॉजिकल अवरोधक का पता लगाने और उसके अनुप्रयोग में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं।यह अवलोकन स्वाभाविक रूप से एक प्रश्न की ओर ले जाता है: क्या टोपोलॉजिकल अवरोधक टोपोलॉजिकली ऑर्डर किए गए अवस्थाओं के उदाहरण हैं? वास्तव में टोपोलॉजिकल अवरोधक इस आलेख में परिभाषित टोपोलॉजिकल रूप से आदेशित अवस्थाओं से भिन्न हैं। टोपोलॉजिकल अवरोधक में केवल छोटी दूरी की उलझनें होती हैं और उनका कोई टोपोलॉजिकल ऑर्डर नहीं होता है, जबकि इस आलेख में परिभाषित टोपोलॉजिकल ऑर्डर लंबी दूरी की उलझाव का एक पैटर्न है। टोपोलॉजिकल ऑर्डर किसी भी गड़बड़ी के खिलाफ प्रबल है। इसमें आकस्मिक गेज सिद्धांत, आकस्मिक भिन्नात्मक आवेश और भिन्नात्मक सांख्यिकी हैं। इसके विपरीत, टोपोलॉजिकल अवरोधक केवल उन गड़बड़ी के खिलाफ प्रबल होते हैं जो समय-प्रत्यावर्तन और U(1) समरूपताएँ है। उनके अर्ध-कण उत्तेजनाओं में कोई भिन्नात्मक आवेश और भिन्नात्मक सांख्यिकी नहीं होते हैं। कड़ाई से बोलते हुए, टोपोलॉजिकल अवरोधक समरूपता-संरक्षित टोपोलॉजिकल ऑर्डर का एक उदाहरण हैl समरूपता-संरक्षित टोपोलॉजिकल (एसपीटी) ऑर्डर, जहां समरूपता-संरक्षित टोपोलॉजिकल ऑर्डर का पहला उदाहरण स्पिन-1 श्रृंखला का एकेएलटी है।    लेकिन स्पिन-2 श्रृंखला के हल्दाने चरण में कोई एसपीटी ऑर्डर नहीं है।

संभावित प्रभाव
लैंडौ स्पॉन्टेनियस समरूपता विभंजन|समरूपता-विभंजन का सिद्धांत संघनित पदार्थ भौतिकी की आधारशिला है। इसका उपयोग संघनित पदार्थ अनुसंधान के क्षेत्र को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। टोपोलॉजिकल ऑर्डर के अस्तित्व से यह संकेत मिलता है कि लैंडौ स्पॉन्टेनियस समरूपता विभंजन वाले सिद्धांत की तुलना में प्रकृति बहुत समृद्ध है। इसलिए टोपोलॉजिकल ऑर्डर संघनित पदार्थ भौतिकी में एक नई दिशा खोलता है - अत्यधिक उलझे हुए क्वांटम पदार्थ की एक नई दिशा। हमें एहसास है कि पदार्थ के क्वांटम चरण (अर्थात पदार्थ के शून्य-तापमान चरण) को दो वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: लंबी दूरी की उलझी हुई अवस्थाएँ और छोटी दूरी की उलझी हुई अवस्थाएँ। टोपोलॉजिकल ऑर्डर वह धारणा है जो लंबी दूरी की उलझी हुई अवस्थाओं का वर्णन करती है: टोपोलॉजिकल ऑर्डर = पैटर्न लंबी दूरी की उलझनें. छोटी दूरी की उलझी हुई अवस्थाएँ इस अर्थ में तुच्छ हैं कि वे सभी एक ही चरण से संबंधित हैं। हालाँकि, समरूपता की उपस्थिति में, छोटी दूरी की उलझी हुई अवस्थाएँ भी गैर-तुच्छ होती हैं और विभिन्न चरणों से संबंधित हो सकती हैं। कहा जाता है कि उन चरणों में समरूपता-संरक्षित टोपोलॉजिकल क्रम सम्मिलित होता है। एसपीटी आदेश इस धारणा को सामान्य बनाता है इंटरैक्टिंग सिस्टम (अन्योन्यकारी तंत्र) के लिए टोपोलॉजिकल अवरोधक का होता है।

कुछ लोगों का सुझाव है कि स्थानीय बोसोनिक (स्पिन) मॉडल में टोपोलॉजिकल ऑर्डर (या अधिक सटीक रूप से, स्ट्रिंग-नेट संघनन) में हमारे ब्रह्मांड में फोटॉन, इलेक्ट्रॉनों और अन्य प्राथमिक कणों के लिए एक एकीकृत उत्पत्ति प्रदान करने की क्षमता है।

यह भी देखें

 * एकेएलटी मॉडल
 * भिन्नीकरण
 * हर्बर्टस्मिथाइट
 * आदेश लागू करें
 * क्वांटम टोपोलॉजी
 * स्पिन तरल
 * स्ट्रिंग-नेट तरल
 * समरूपता-संरक्षित टोपोलॉजिकल क्रम
 * टोपोलॉजिकल त्रुटि
 * स्थलाकृतिक अध:पतन
 * भौतिकी में टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी
 * टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * टोपोलॉजिकल क्वांटम संख्या
 * टोपोलॉजिकल स्ट्रिंग सिद्धांत

एफक्यूएच अवस्थाओं का प्रारंभिक लक्षण वर्णन

 * ऑफ-विकर्ण लंबी दूरी का क्रम, तिरछा कारावास, और आंशिक क्वांटम हॉल प्रभाव, एस. एम. गिर्विन और ए. एच. मैकडोनाल्ड, भौतिक विज्ञान। रेव लेट., 58, 1252 (1987)
 * भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव के लिए प्रभावी-क्षेत्र-सिद्धांत मॉडल, एस.सी. झांग और टी.एच. हैनसन और एस. किवेलसन, भौतिक विज्ञान। रेव लेट., 62, 82 (1989)

सामयिक क्रम

 * ξएओ-गण ग्वेन, भौतिक विज्ञान। रेव. बी, 40, 7387 (1989), कॉम्पैक्टिफाइड स्पेस में चिरल स्पिन स्टेट की वैक्यूम डीजेनेरेसी
 * जिओ-गैंग वेन, कई शारीरिक प्रणालियों का क्वांटम फील्ड सिद्धांत - ध्वनि की उत्पत्ति से प्रकाश और इलेक्ट्रॉनों की उत्पत्ति तक, ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी। प्रेस, ऑक्सफ़ोर्ड, 2004।
 * जिओ-गैंग वेन, कई शारीरिक प्रणालियों का क्वांटम फील्ड सिद्धांत - ध्वनि की उत्पत्ति से प्रकाश और इलेक्ट्रॉनों की उत्पत्ति तक, ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी। प्रेस, ऑक्सफ़ोर्ड, 2004।

सामयिक क्रम की विशेषता

 * डी. एरोवास और जे. आर. श्राइफ़र और एफ. विल्जेक, भौतिक विज्ञान। रेव लेट., 53, 722 (1984), फ्रैक्शनल स्टैटिस्टिक्स एंड द क्वांटम हॉल इफ़ेक्ट

क्वांटम कंप्यूटिंग

 * चेतन नायक, स्टीवन एच. साइमन, एडी स्टर्न, माइकल फ्रीडमैन, संकर दस सरमा, http://www.arxiv.org/abs/0707.1889, 2007, नॉन-एबेलियन एनियन्स एंड टोपोलॉजिकल क्वांटम कंप्यूटेशन, रेव. मॉड। भौतिक. 80, 1083 (2008)।
 * एडी स्टर्न और बर्ट्रेंड आई. हेल्परिन, भौतिक विज्ञान। रेव. लेट., 96, 016802 (2006), नॉन-एबेलियन एनयू=5/2 क्वांटम हॉल स्टेट की जांच के लिए प्रस्तावित प्रयोग
 * एडी स्टर्न और बर्ट्रेंड आई. हेल्परिन, भौतिक विज्ञान। रेव. लेट., 96, 016802 (2006), नॉन-एबेलियन एनयू=5/2 क्वांटम हॉल स्टेट की जांच के लिए प्रस्तावित प्रयोग
 * एडी स्टर्न और बर्ट्रेंड आई. हेल्परिन, भौतिक विज्ञान। रेव. लेट., 96, 016802 (2006), नॉन-एबेलियन एनयू=5/2 क्वांटम हॉल स्टेट की जांच के लिए प्रस्तावित प्रयोग
 * एडी स्टर्न और बर्ट्रेंड आई. हेल्परिन, भौतिक विज्ञान। रेव. लेट., 96, 016802 (2006), नॉन-एबेलियन एनयू=5/2 क्वांटम हॉल स्टेट की जांच के लिए प्रस्तावित प्रयोग

प्राथमिक कणों का उद्भव

 * जिओ-गैंग वेन, भौतिक विज्ञान। रेव. डी68, 024501 (2003), स्ट्रिंग-नेट संघनन से क्वांटम क्रम और प्रकाश और द्रव्यमान रहित फर्मियन की उत्पत्ति
 * यह सभी देखें
 * झेंग-चेंग गु और जिओ-गैंग वेन, जीआर-क्यूसी/0606100, गुरुत्वाकर्षण के क्वांटम सिद्धांत के रूप में एक जाली बोसोनिक मॉडल,
 * झेंग-चेंग गु और जिओ-गैंग वेन, जीआर-क्यूसी/0606100, गुरुत्वाकर्षण के क्वांटम सिद्धांत के रूप में एक जाली बोसोनिक मॉडल,

क्वांटम ऑपरेटर बीजगणित

 * लैंड्समैन एन.पी. और रमज़ान बी., प्रोक में लाई अलजेब्रॉइड्स से जुड़े पॉइसन अलजेब्रा का परिमाणीकरण। कॉन्फ़. भौतिकी, विश्लेषण और ज्यामिति में ग्रुपोइड्स पर (बोल्डर सीओ, 1999)', संपादक जे. कामिन्कर एट अल.,159{192 कंटेम्प। गणित। 282, आमेर. गणित। सोसायटी, प्रोविडेंस आरआई, 2001, (गणित भी {ph/001005।)
 * नॉन-एबेलियन क्वांटम अलजेब्रिक टोपोलॉजी (NAQAT) 20 नवंबर (2008), 87 पृष्ठ, बैआनु, आई.सी.
 * लेविन ए. और ओल्शानेत्स्की एम., हैमिल्टनियन बीजगणित और रीमैन वक्रों पर जटिल संरचनाओं की विकृति, हेप-थ/0301078v1।
 * जिओ-गैंग वेन, योंग-शी वू और वाई. हत्सुगाई।, चिरल ऑपरेटर उत्पाद बीजगणित और एफक्यूएच ड्रॉपलेट (पीडीएफ), न्यूक्लियर के किनारे उत्तेजना। भौतिक. बी422, 476 (1994): बल्क वेव फ़ंक्शन के निर्माण, टोपोलॉजिकल ऑर्डर को चिह्नित करने और कुछ गैर-एबेलियन एफक्यूएच अवस्थाओं के लिए किनारे की स्थिति की गणना करने के लिए चिरल ऑपरेटर उत्पाद बीजगणित का उपयोग किया गया।
 * जिओ-गैंग वेन और योंग-शी वू।, चिरल ऑपरेटर उत्पाद बीजगणित कुछ एफक्यूएच अवस्थाओं में छिपा हुआ है (पीडीएफ), न्यूक्ल। भौतिक. बी419, 455 (1994): प्रदर्शित किया गया कि गैर-एबेलियन टोपोलॉजिकल ऑर्डर चिरल ऑपरेटर उत्पाद बीजगणित (अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत के बजाय) से निकटता से संबंधित हैं।
 * गैर-एबेलियन सिद्धांत।
 * आर. ब्राउन, पी.जे. हिगिंस, पी.जे. और आर. सिवेरा, नॉनबेलियन अलजेब्रिक टोपोलॉजी: फ़िल्टर्ड स्पेस, क्रॉस्ड कॉम्प्लेक्स, क्यूबिकल होमोटॉपी ग्रुपोइड्स ईएमएस ट्रैक्ट्स इन मैथमेटिक्स वॉल्यूम 15 (2011),
 * सैद्धांतिक भौतिकी में श्रेणियों और बीजीय टोपोलॉजी अनुप्रयोगों के लिए एक ग्रंथ सूची
 * क्वांटम बीजगणितीय टोपोलॉजी (QAT)
 * सैद्धांतिक भौतिकी में श्रेणियों और बीजीय टोपोलॉजी अनुप्रयोगों के लिए एक ग्रंथ सूची
 * क्वांटम बीजगणितीय टोपोलॉजी (QAT)

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