अभिलाक्षणिक प्रतिबाधा

एक समान संचरण रेखा  की विशेषता प्रतिबाधा या वृद्धि प्रतिबाधा सामान्यतः Z0 लिखा जाता है विभव के विपुलता और रेखा के साथ फैलने वाली एकल तरंग की धारा का अनुपात है; अर्थात्, एक दिशा में एक तरंग दूसरी दिशा में प्रतिबिंबों की अनुपस्थिति में चलती है वैकल्पिक रूप से इसे संचार    रेखा के इनपुट प्रतिबाधा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जब इसकी लंबाई अनंत हो।  विशेषता प्रतिबाधा संचरण  रेखा की ज्यामिति और सामग्री द्वारा निर्धारित की जाती है और यह  समान रेखा के लिए, इसकी लंबाई पर निर्भर नहीं होती है।

दोषरहित संचरण रेखा की विशेषता प्रतिबाधा विशुद्ध रूप से वास्तविक संख्या है, जिसमें कोई विद्युत प्रतिक्रिया घटक नहीं है। ऐसी रेखा के एक छोर पर एक स्रोत द्वारा आपूर्ति की गई ऊर्जा  रेखा  के माध्यम से ही  रेखा में अपव्यय के बिना प्रेषित होती है। परिमित लंबाई दोष रहित या हानिपूर्ण की एक संचरण रेखा जो एक छोर पर विशेषता प्रतिबाधा के बराबर विद्युत प्रतिबाधा के साथ समाप्त होती है, स्रोत को असीमित रूप से लंबी संचरण  रेखा की तरह दिखाई देती है और कोई प्रतिबिंब नहीं बनाती है।

संचार रेखा प्रारूप
विशेषता प्रतिबाधा $$Z(\omega)$$ किसी दिए गए कोणीय आवृत्ति पर एक अनंत संचरण रेखा की $$\omega$$  रेखा     के साथ यात्रा करने वाली समान आवृत्ति की शुद्ध ज्यावक्रीय तरंग के विभव और विद्युत का अनुपात है। यह संबंध परिमित संचरण रेखाओ  के लिए भी होता है जब तक कि तरंग रेखा के अंत तक नहीं पहुंच जाती। सामान्यतः एक लहर विपरीत दिशा में रेखा के साथ वापस परावर्तित होती है। जब परावर्तित तरंग स्रोत तक पहुँचती है, तो यह फिर से परिलक्षित होती है, संचरित तरंग में जुड़ जाती है और इनपुट पर विभव और   विद्युत के अनुपात को बदल देती है, जिससे विभव - विद्युत अनुपात विशेषता प्रतिबाधा के बराबर नहीं रह जाता है। परावर्तित ऊर्जा सहित इस नए अनुपात को इनपुट प्रतिबाधा कहा जाता है।

एक अनंत रेखा का इनपुट प्रतिबाधा अभिलाक्षणिक प्रतिबाधा के बराबर होता है क्योंकि प्रेषित तरंग कभी भी अंत से वापस परावर्तित नहीं होती है। समतुल्य रूप से रेखा की विशेषता प्रतिबाधा वह प्रतिबाधा है, जो अपने आउटपुट पर रेखा की यादृच्छिक लंबाई को समाप्त करते समय, समान मूल्य का एक इनपुट प्रतिबाधा उत्पन्न करती है। ऐसा इसलिए है क्योंकि अपनी विशिष्ट प्रतिबाधा में समाप्त होने वाली रेखा पर कोई प्रतिबिंब नहीं होता है। टेलीग्राफर के समीकरणों के आधार पर संचार रेखा प्रारूप को लागू करना, जैसा कि नीचे दिया गया है, संचार रेखा की विशेषता प्रतिबाधा के लिए सामान्य अभिव्यक्ति है:


 * $$Z_\text{o} = \sqrt{ \frac{R + j\omega L}{G + j\omega C}\ }$$

जहां
 * $$R$$ विद्युत प्रतिरोध प्रति इकाई लंबाई है, दो कंडक्टरों को श्रृंखला में मानते हुए,
 * $$L$$ प्रति इकाई लंबाई अधिष्ठापन है,
 * $$G$$ परावैद्युत प्रति इकाई लंबाई का विद्युत चालकता है,
 * $$C$$ प्रति इकाई लंबाई समाई है,
 * $$j$$ काल्पनिक इकाई है, और
 * $$\omega$$ कोणीय आवृत्ति है।

यह अभिव्यक्ति अनुमति देकर डीसी तक फैली हुई है $$\omega$$ 0 की ओर रुख करें।

परिमित संचरण रेखा पर ऊर्जा के उछाल में प्रतिबाधा दिखाई देगी इसलिए $$Z_\text{o}$$ किसी भी प्रतिबिंब के लौटने से पहले वृद्धि प्रतिबाधा विशिष्ट प्रतिबाधा का एक वैकल्पिक नाम है। यद्यपि एक अनंत रेखा मानी जाती है, क्योंकि सभी मात्राएँ प्रति इकाई लंबाई हैं, सभी इकाइयों के "प्रति लंबाई" भाग रद्द हो जाते हैं, और विशेषता प्रतिबाधा संचरण रेखा की लंबाई से स्वतंत्र होती है।

रेखा पर विभव और विद्युत फेजर विशिष्ट प्रतिबाधा द्वारा संबंधित हैं:


 * $$\frac{V_{(+)}}{I_{(+)}} = Z_\text{o} = -\frac{V_{(-)}}{I_{(-)}}$$

जहां सबस्क्रिप्ट (+) और (-) आगे (+) और पीछे (-) यात्रा करने वाली तरंगों के लिए अलग-अलग स्थिरांक को चिह्नित करते हैं।

टेलीग्राफर समीकरण का उपयोग करना
समय और स्थान पर विभव और विद्युत प्रवाह की निर्भरता का वर्णन करने वाले विभेदक समीकरण रैखिक हैं, ताकि समाधानों का एक रैखिक संयोजन फिर से एक समाधान हो। इसका अर्थ यह है कि हम समय पर निर्भरता के साथ समाधानों पर विचार कर सकते हैं $$\ e^{j \omega t}\ $$ऐसा करना कार्यात्मक रूप से कुछ निश्चित कोणीय आवृत्ति पर विभव और विद्युत विपुलता के लिए फूरियर श्रृंखला को हल करने के बराबर है $$\ \omega\ .$$ ऐसा करने से गुणांकों के लिए एक साधारण अंतर समीकरण छोड़कर, समय की निर्भरता को कारक बना देता है, जो चरणबद्ध होगा,मात्र स्थिति पर निर्भर करता है। इसके अतिरिक्त  , मापदंडों को आवृत्ति-निर्भर होने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

होने देना


 * $$\ V(x,t) \equiv V(x)\ e^{+j \omega t}\ $$

और


 * $$\ I(x,t) \equiv I(x)\ e^{+j \omega t}\ $$

के लिए सकारात्मक दिशा लें $$V$$ और $$I$$ पाश में दक्षिणावर्त होने के लिए

हम पाते हैं


 * $$\ \mathrm{d}V = -(R + j \omega L)\ I\ \mathrm{d}x = -Z'\ I\ \mathrm{d}x\ $$

और


 * $$\ \mathrm{d}I = -(G + j \omega C)\ V\ \mathrm{d}x = -Y'\ V\ \mathrm{d}x\ $$

या


 * $$\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} = -Z'\ I\qquad$$ और $$\qquad\frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}x} = -Y'\ V$$

जहा


 * $$Z' \equiv R + j \omega L \qquad$$ और $$\qquad Y' \equiv G + j \omega C ~.$$

इन दो प्रथम-क्रम समीकरणों को परिणामों के साथ आसानी से एक दूसरे भेदभाव से अलग किया जाता है:


 * $$\frac{\mathrm{d}^2V}{\mathrm{d}x^2} = Z' Y'\ V $$

और


 * $$\frac{\mathrm{d}^2 I}{\mathrm{d}x^2} = Z' Y'\ I $$

ध्यान दें कि दोनों $$V$$ और $$I$$ समान समीकरण को संतुष्ट करें।

तब से $$\ Z' Y'\ $$ से स्वतंत्र है $$x$$ और $$t$$, इसे एक स्थिरांक द्वारा दर्शाया जा सकता है (ऋण चिह्न बाद में सुविधा के लिए सम्मिलित किया गया है। वह है-


 * $$-k^2 \equiv Z'\ Y'\ $$

इसलिए


 * $$ j \ k = \pm \sqrt{Z'\ Y'\ }$$

उपरोक्त समीकरण को हम इस प्रकार लिख सकते हैं


 * $$\ k = \pm \omega \sqrt{ \left(L - j R/\omega\right)\left(C - j G/\omega\right)\ } = \pm \omega\sqrt{L\ C\ } \sqrt{ \left(1 - j \frac{R}{\omega L}\right)\left(1 - j \frac{G}{\omega C}\right)\ }$$

जो सामान्य तौर पर किसी भी संचार रेखा के लिए सही है। और विशिष्ट संचरण रेखाओ के लिए, जो कम हानि प्रतिरोध वाले तार से सावधानी से निर्मित होते हैं $$\ R\ $$ और छोटे इन्सुलेशन रिसाव चालन $$\ G\ $$; आगे, उच्च आवृत्तियों के लिए उपयोग किया जाता है, आगमनात्मक प्रतिक्रिया $$\ \omega L\ $$ और कैपेसिटिव प्रवेश $$\ \omega C\ $$ दोनों बड़े होंगे, इसलिए स्थिर $$\ k\ $$ वास्तविक संख्या होने के बहुत निकट है:


 * $$k \approx \pm \omega \sqrt{L C\ } ~.$$

इस परिभाषा के साथ $$\ k\ ,$$ स्थिति- या $$\ x\ $$-आश्रित भाग के रूप में दिखाई देगा समीकरण के घातीय समाधान में, समय-निर्भर भाग के समान  तो समाधान पढ़ता है


 * $$V(x) = v_{(+)}\ e^{-j k x} + v_{(-)} e^{+j k x}$$

कहाँ $$\ v_{(+)}\ $$ और $$\ v_{(-)}\ $$ अग्रगामी (+) और पश्च गतिमान (-) तरंगों के लिए समाकलन स्थिरांक हैं, जैसा कि पिछले अनुभाग में बताया गया है। जब हम समय-निर्भर भाग को पुनर्संयोजित करते हैं तो हमें पूर्ण समाधान प्राप्त होता है:


 * $$\ V(x,t) ~ = ~ V(x)\ e^{+j \omega t} ~ = ~ v_{(+)}\ e^{-j k x + j \omega t} + v_{(-)} e^{+j k x + j \omega t}\ .$$

चूंकि के लिए समीकरण $$I$$ एक ही रूप है, इसका एक ही रूप का समाधान है:


 * $$\ I(x) = i_{(+)}\ e^{-j k x} + i_{(-)}\ e^{+j k x}\ ,$$

जहा $$\ i_{(+)}\ $$ और $$\ i_{(-)}\ $$ फिर से एकीकरण के स्थिर हैं।

उपरोक्त समीकरण के लिए तरंग समाधान हैं $$V$$ और $$I$$. संगत होने के लिए, उन्हें अभी भी मूल अंतर समीकरणों को पूरा करना होगा, जिनमें से एक


 * $$\ \frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}x} = -Z'\ I\ .$$

के लिए समाधानों को प्रतिस्थापित करना $$V$$ और $$I$$ उपरोक्त समीकरण में, हम प्राप्त करते हैं


 * $$\ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\left[ v_{(+)}\ e^{-j k x} + v_{(-)}\ e^{+j k x} \right] = -(R + j\omega L)\left[\ i_{(+)}\ e^{-j k x} + i_{(-)}\ e^{+j k x} \right]\ $$

या


 * $$\ -j k\ v_{(+)}\ e^{-j k x} + j k\ v_{(-)}\ e^{+j k x} = -(R + j\omega L)\ i_{(+)}\ e^{-j k x} - (R + j\omega L)\ i_{(-)}\ e^{+j k x}\ $$

की विशिष्ट शक्तियों को अलग करना $$e$$ और समान शक्तियों के संयोजन से, हम देखते हैं कि उपरोक्त समीकरण के सभी संभावित मूल्यों के लिए धारण करने के क्रम में $$\ x\ $$ हमारे पास यह होना चाहिए:


 * के गुणांक के लिए $$\ e^{-j k x} \quad \text{ : } \quad -j\ k\ v_{(+)} = -(R + j\omega L)\ i_{(+)}\ $$
 * के गुणांक के लिए $$\ e^{+j k x} \quad \text{ : } \quad +j\ k \ v_{(-)} = -(R + j \omega L)\ i_{(-)}\ $$

तब से $$\ j k = \sqrt{ (R + j\omega L) (G + j\omega C)\ }\ $$
 * $$\ +\frac{v_{(+)}}{i_{(+)}} = \frac{R + j\omega L}{j k} = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j \omega C}\ } \equiv Z_\text{o}\ $$
 * $$\ -\frac{v_{(-)}}{i_{(-)}} = \frac{R + j\omega L}{j k} = \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G + j \omega C}\ } \equiv Z_\text{o}\ $$

इसलिए, वैध समाधानों की आवश्यकता है


 * $$\ v_{(+)} = +Z_\text{o}\ i_{(+)} \quad \text{ and } \quad v_{(-)} = -Z_\text{o}\ i_{(-)}\ $$

यह देखा जा सकता है कि स्थिर $$Z_\text{o}$$, उपरोक्त समीकरणों में परिभाषित प्रतिबाधा के आयाम विद्युत  में विभव का अनुपात है और यह  रेखा और प्रचालन आवृत्ति के प्राथमिक स्थिरांक का एक कार्य है। इसे संचार रेखा की "विशेषता प्रतिबाधा" कहा जाता है, और इसे पारंपरिक रूप से निरूपित किया जाता है.


 * $$\ Z_\text{o} \quad = \quad \sqrt{\frac{R + j\omega L}{G+ j\omega C}\ } \quad = \quad \sqrt{\ \frac{\ L\ }{C}\ } \sqrt{\frac{\ 1 - j \left(\frac{R}{\omega L}\right)\ }{\ 1 - j \left(\frac{G}{\omega C}\right)\ }\ }\ $$

जो सामान्यतः किसी भी संचार रेखा के लिए होता है। अच्छी तरह से काम करने वाली संचार रेखाओ के लिए, दोनों के साथ $$\ R\ $$ और $$\ G\ $$ बहुत छोटे, या साथ $$\ \omega\ $$ बहुत उच्च, या उपरोक्त सभी, हम प्राप्त करते हैं


 * $$\ Z_\text{o} \approx \sqrt{\frac L C \ }\ $$

इसलिए विशेषता प्रतिबाधा सामन्यतः वास्तविक संख्या होने के बहुत निकट होती है। निर्माता इस स्थिति को अनुमानित करने के लिए आवृत्तियों की एक विस्तृत श्रृंखला पर बहुत बारीकी से व्यावसायिक केबल बनाते हैं।

वैकल्पिक दृष्टिकोण
हम टिम हीली द्वारा पोस्ट किए गए दृष्टिकोण का अनुसरण करते हैं। रेखा को अंतर संबन्धी  सेगमेंट की एक श्रृंखला द्वारा अंतर सीरीज़ के साथ तैयार किया गया है $$\ \left( R\ \mathrm{d}x, L\ \mathrm{d}x \right)\ $$ और शंट $$\ \left(C\ \mathrm{d}x, G\ \mathrm{d}x \right)\ $$ तत्व जैसा कि ऊपर की आकृति में दिखाया गया है। विशेषता प्रतिबाधा को  रेखा की अर्ध-अनंत लंबाई के इनपुट विभव के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।$$\ Z_\mathrm{o}\ .$$ हम इसे प्रतिबाधा कहते हैं अर्थात्, बायीं ओर की रेखा में देखने वाला प्रतिबाधा है $$\ Z_\mathrm{o}\ .$$ लेकिन, निश्चित रूप से, अगर हम  रेखा  एक अंतर लंबाई नीचे जाते हैं $$\mathrm{d}x\ ,$$ रेखा में प्रतिबाधा अभी भी है $$\ Z_\mathrm{o}\ .$$ इसलिए हम कह सकते हैं कि सबसे बाईं ओर की रेखा में देखने वाला प्रतिबाधा बराबर है $$\ Z_\mathrm{o}\ $$के साथ समानांतर में $$\ C\ \mathrm{d}x\ $$ और $$\ G\ \mathrm{d}x\ ,$$ जिनमें से सभी श्रृंखला में हैं $$\ R\ \mathrm{d}x\ $$ और $$\ L\ \mathrm{d}x\ .$$ इस तरह:


 * $$\ Z_\mathrm{o} = (R + j \omega L)\ \mathrm{d}x + \frac{1}{~ (G + j \omega C)\ \mathrm{d}x + \frac{1}{\ Z_\mathrm{o}\ } ~}\ $$
 * $$\ Z_\mathrm{o} = (R + j \omega L)\ \mathrm{d}x + \frac{\ Z_\mathrm{o}\ }{Z_\mathrm{o}\ (G + j \omega C)\ \mathrm{d}x + 1\ }\ $$
 * $$\ Z_\mathrm{o} + Z_\mathrm{o}^2\ (G + j \omega C)\ \mathrm{d}x = (R + j \omega L)\ \mathrm{d}x + Z_\mathrm{o}\ (G + j \omega C)\ \mathrm{d}x\ (R + j \omega L)\ \mathrm{d}x + Z_\mathrm{o}\ $$

जोड़ा गया $$\ Z_\mathrm{o}\ $$ शर्तें रद्द, छोड़कर


 * $$\ Z_\mathrm{o}^2\ (G + j \omega C)\ \mathrm{d}x = (R + j \omega L)\ \mathrm{d}x + Z_\mathrm{o}\ (G + j \omega C)\ (R + j \omega L)\ (\mathrm{d}x)^2\ $$पद उच्चतम शेष क्रम हैं। के सामान्य कारक को विभाजित करना

पहली-शक्ति $$\ \mathrm{d}x\ $$ पद उच्चतम शेष क्रम को सामान्य कारक को फ़ैक्टर द्वारा विभाजित करना

Hence: कारक द्वारा विभाजित करना $$\ (G + j \omega C)\ ,$$ हम पाते हैं
 * $$\ Z_\mathrm{o}^2 = \frac{ (R + j \omega L) }{\ (G + j \omega C)\ } + Z_\mathrm{o}\ (R + j \omega L)\ (\mathrm{d}x)\ .$$

जिन कारकों की तुलना में $$\ \mathrm{d}x\ $$ विभाजित किया गया, अंतिम पद, जिसमें अभी भी शेष कारक है $$\ \mathrm{d}x\ ,$$ दूसरे के संबंध में अतिसूक्ष्म है, अब परिमित पद, इसलिए हम इसे छोड़ सकते हैं। $$\ Z_\mathrm{o} = \pm \sqrt{\frac{\ R + j\omega L\ }{G + j\omega C}\ }\ .$$

संकेत को उलटना वर्गमूल पर लागू होने पर धारा के प्रवाह की दिशा को उलटने का प्रभाव पड़ता है।

दोषरहित रेखा
दोषरहित रेखाओ का विश्लेषण वास्तविक संचरण रेखाओ के लिए एक उपयुक्त सन्निकटन प्रदान करता है जो  प्रारूप संचार  रेखाओ  में माने जाने वाले गणित को सरल करता है। एक दोषरहित  रेखा को एक संचार रेखा के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें कोई  रेखा प्रतिरोध नहीं होता है और कोई  परावैद्युत हानि नहीं होता है। इसका अर्थ यह होगा कि कंडक्टर पूर्ण कंडक्टर की तरह कार्य करते हैं और परावैद्युत एक पूर्ण परावैद्युत की तरह कार्य करता है। एक दोषरहित रेखा के लिए, आर और जी दोनों शून्य हैं, इसलिए ऊपर व्युत्पन्न विशेषता प्रतिबाधा के लिए समीकरण कम हो जाता है:


 * $$Z_\text{o} = \sqrt{\frac{L}{C}~}~.$$

विशेष रूप से, $$Z_\text{o}$$ आवृत्ति पर अधिक निर्भर नहीं करता है। उपरोक्त अभिव्यक्ति पूरी तरह से वास्तविक है, क्योंकि काल्पनिक शब्द जे को रद्द कर दिया गया है, जिसका अर्थ है $$Z_\text{o}$$ विशुद्ध रूप से प्रतिरोधक है। एक दोषरहित रेखा के लिए समाप्त हो गया $$Z_\text{o}$$, रेखा के पार विद्युत का कोई नुकसान नहीं होता है, और इसलिए रेखा के साथ विभव समान रहता है। दोषरहित  रेखा प्रारूप कई व्यावहारिक मामलों के लिए एक उपयोगी सन्निकटन है, जैसे कम-हानि वाली संचार  रेखाओ और उच्च आवृत्ति वाली संचार रेखा इन दोनों मामलों के लिए, $R$ और $G$ से बहुत छोटे हैं $ωL$ और $ωC$, क्रमशः, और इस प्रकार अनदेखा किया जा सकता है।

लंबी रेखा संचरण समीकरणों के समाधान में विभव और विद्युत की घटना और परावर्तित भाग सम्मिलित हैं। $$V = \frac{V_{r} + I_{r}Z_{c}}{2} e^{\gamma x} + \frac{V_{r} - I_{r}Z_{c}}{2} e^{-\gamma x}$$$$I = \frac{V_{r}/Z_{c} + I_{r}}{2} e^{\gamma x} - \frac{V_{r}/Z_{c} - I_{r}}{2} e^{-\gamma x}$$ जब रेखा को इसकी विशेषता प्रतिबाधा के साथ समाप्त किया जाता है, तो इन समीकरणों के प्रतिबिंबित भाग 0 तक कम हो जाते हैं और संचार  रेखा के साथ विभव   और   विद्युत के समाधान पूरी तरह से घटना होते हैं। तरंग के प्रतिबिंब के बिना,  रेखा  द्वारा आपूर्ति किया जा रहा भार प्रभावी रूप से  रेखा में मिल जाता है जिससे यह एक अनंत रेखा प्रतीत होती है। एक दोषरहित रेखा में इसका तात्पर्य है कि संचरण  रेखा के साथ हर जगह विभव और विद्युत समान रहता है। उनका परिमाण रेखा की लंबाई के साथ स्थिर रहता है और केवल एक चरण कोण द्वारा घुमाया जाता है।

सर्ज प्रतिबाधा भार
विद्युत शक्ति संचरण में, एक संचार रेखा की विशेषता प्रतिबाधा वृद्धि प्रतिबाधा भार एसआईएल या प्राकृतिक भार के रूप में व्यक्त की जाती है, जो कि विद्युत भार, पर प्रतिक्रियाशील शक्ति न तो उत्पन्न होती है और न ही अवशोषित होती है:


 * $$\mathit{SIL}=\frac{{V_\mathrm{LL}}^2}{Z_0}$$

जिसमें $$V_\mathrm{LL}$$ वोल्ट में रूट माध्य वर्ग एसी विभव रेखा  है।

इसके एसआईएल के नीचे लोड किया गया, लोड पर विभव प्रणाली विभव से अधिक होगा। इसके ऊपर, भार विभव दब जाता है। फेरेंटी प्रभाव बहुत हल्के भार संचार  रेखा के दूरस्थ छोर की ओर विभव लाभ का वर्णन करता है।  भूमिगत केबल  सामान्यतः बहुत कम विशेषता प्रतिबाधा होती है, जिसके परिणामस्वरूप एक एसआईएल होता है जो सामान्यतः केबल की ऊष्मीय सीमा से अधिक होता है।

व्यावहारिक उदाहरण
आरएफ और माइक्रोवेव अनुप्रयोगों के लिए समाक्षीय केबलों की विशेषता प्रतिबाधा को सामान्यतः 50 Ω चुना जाता है। वीडियो अनुप्रयोगों के लिए कोक्स सामान्यतः  इसके कम हानी के लिए 75 Ω है।

यह भी देखें

 * पुनरावृत्त प्रतिबाधा, विशिष्ट प्रतिबाधा इसका एक सीमित मामला है
 * पुनरावृत्त प्रतिबाधा, विशिष्ट प्रतिबाधा इसका एक सीमित मामला है
 * पुनरावृत्त प्रतिबाधा, विशिष्ट प्रतिबाधा इसका एक सीमित मामला है

स्रोत








बाहरी संबंध
Leitungstheorie