बीजगणित प्रतिनिधित्व

अमूर्त बीजगणित में, साहचर्य बीजगणित का प्रतिनिधित्व उस बीजगणित के लिए एक मापांक (गणित) है। यहां एक साहचर्य बीजगणित एक (जरूरी नहीं कि इकाई बीजगणित) वलय है। यदि बीजगणित एकात्मक नहीं है, तो इसे मानक तरीके से बनाया जा सकता है (सहायक फ़ैक्टर पृष्ठ देखें); परिणामी इकाई वलय के लिए मापांक के बीच कोई आवश्यक अंतर नहीं है, जिसमें पहचान पहचान मानचित्रण और बीजगणित के प्रतिनिधित्व द्वारा कार्य करती है।

रेखीय जटिल संरचना
सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरणों में से एक एक रैखिक जटिल संरचना है, जो जटिल संख्या C का प्रतिनिधित्व करती है, जिसे वास्तविक संख्या R पर एक सहयोगी बीजगणित के रूप में माना जाता है। इस बीजगणित को ठोस रूप से महसूस किया जाता है $$\mathbb{C} = \mathbb{R}[x]/(x^2+1),$$ $i^{2} = −1$ जो मेल खाता है| फिर C का प्रतिनिधित्व एक वास्तविक सदिश समष्टि V है, साथ में V (एक मानचित्र) पर C की क्रिया भी है $$\mathbb{C} \to \mathrm{End}(V)$$). सीधे तौर पर, यह केवल i  की एक क्रिया है, क्योंकि यह बीजगणित उत्पन्न करता है, और पहचान आव्यूह I के साथ भ्रम से बचने के लिए i (End(V) में i की छवि) का प्रतिनिधित्व करने वाले संचालिका को J दर्शाया जाता है।

बहुपद बीजगणित
उदाहरणों का एक अन्य महत्वपूर्ण बुनियादी वर्ग बहुपद बीजगणित, मुक्त क्रमविनिमेय बीजगणित का प्रतिनिधित्व है - ये क्रमविनिमेय बीजगणित और इसके ज्यामितीय समकक्ष, बीजगणितीय ज्यामिति में अध्ययन का एक केंद्रीय उद्देश्य बनाते हैं। क्षेत्र K पर k चरों में एक बहुपद बीजगणित का प्रतिनिधित्व ठोस रूप से k कम्यूटिंग संचालिका के साथ एक K-वेक्टर स्थान है, और इसे प्रायः दर्शाया जाता है $$K[T_1,\dots,T_k],$$ जिसका अर्थ है अमूर्त बीजगणित का प्रतिनिधित्व $$K[x_1,\dots,x_k]$$ है जहाँ $$x_i \mapsto T_i.$$

ऐसे अभ्यावेदन के बारे में एक बुनियादी परिणाम यह है कि, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, निरूपित आव्यूह (गणित) एक साथ त्रिकोणीय होते हैं।

यहां तक ​​कि एक ही चर में बहुपद बीजगणित के निरूपण का मामला भी दिलचस्प है - इसे इस प्रकार दर्शाया गया है $$K[T]$$ और इसका उपयोग परिमित-आयामी वेक्टर स्थान पर एकल रैखिक संचालिका की संरचना को समझने में किया जाता है। विशेष रूप से, इस बीजगणित के लिए एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर परिमित रूप से उत्पन्न मापांक के लिए संरचना प्रमेय को लागू करने से परिणाम के रूप में आव्यूह (गणित) के विभिन्न विहित रूप, जैसे कि जॉर्डन विहित रूप, प्राप्त होते हैं।

गैर-अनुवांशिक ज्यामिति के कुछ दृष्टिकोणों में, मुक्त गैर-अनुवांशिक बीजगणित (गैर-परिवर्तनीय चर में बहुपद) एक समान भूमिका निभाता है, लेकिन विश्लेषण बहुत अधिक कठिन है।

वजन
आइगेनवैल्यूज़ एवं आइगेनवेक्टर्स को बीजगणित अभ्यावेदन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

बीजगणित निरूपण के आइजेनवैल्यू का सामान्यीकरण, एकल अदिश के सिवाय, एक आयामी प्रतिनिधित्व है $$\lambda\colon A \to R$$ (अर्थात, बीजगणित से उसके अंतर्निहित वलय तक एक बीजगणित समरूपता: एक रैखिक कार्यात्मक जो गुणक भी है)।[नोट 1] इसे वेट (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) के रूप में जाना जाता है, और एक आइजेनवेक्टर और आइजेनस्पेस के एनालॉग(अनुरूप) को वेट(प्रतिनिधित्व सिद्धांत) वेक्टर और वेट(प्रतिनिधित्व सिद्धांत) स्थान कहा जाता है।

एकल संचालिका के आइजेनवैल्यू का मामला बीजगणित से मेल खाता है $$R[T],$$ और बीजगणित का एक नक्शा $$R[T] \to R$$ यह इस बात से निर्धारित होता है कि यह जनरेटर टी को किस स्केलर पर मैप करता है। बीजगणित प्रतिनिधित्व के लिए एक भार वेक्टर एक वेक्टर होता है जैसे कि बीजगणित का कोई भी तत्व इस वेक्टर को स्वयं के गुणक में मैप करता है - एक आयामी सबमॉड्यूल (उपप्रस्तुति)। जोड़ी के रूप में $$A \times M \to M$$ द्विरेखीय मानचित्र है, जिसका गुणक A (एक बीजगणित मानचित्र A → R) का A-रैखिक कार्यात्मक है, अर्थात् भार। प्रतीकों में, एक भार वेक्टर एक वेक्टर होता है $$m \in M$$ ऐसा है कि $$am = \lambda(a)m$$ सभी तत्वों के लिए $$a \in A,$$ कुछ रैखिक कार्यात्मकता के लिए $$\lambda$$ - ध्यान दें कि बाईं ओर, गुणन बीजगणित क्रिया है, जबकि दाईं ओर, गुणन अदिश गुणन है।

क्योंकि भार एक क्रमविनिमेय वलय का मानचित्र है, मानचित्र बीजगणित के एबेलियनाइजेशन के माध्यम से कारक बनता है $$\mathcal{A}$$ - समान रूप से, यह व्युत्पन्न बीजगणित पर गायब हो जाता है - आव्यूह के संदर्भ में, यदि $$v$$ ऑपरेटरों का एक सामान्य eigenvector है $$T$$ और $$U$$, तब $$T U v = U T v$$ (क्योंकि दोनों ही मामलों में यह केवल अदिशों द्वारा गुणन है), इसलिए बीजगणित के सामान्य आइजनवेक्टर उस सेट में होने चाहिए जिस पर बीजगणित क्रमविनिमेय रूप से कार्य करता है (जो व्युत्पन्न बीजगणित द्वारा नष्ट हो जाता है)। इस प्रकार केंद्रीय रुचि मुक्त क्रमविनिमेय बीजगणित, अर्थात् बहुपद बीजगणित हैं। बहुपद बीजगणित के इस विशेष रूप से सरल और महत्वपूर्ण मामले में $$\mathbf{F}[T_1,\dots,T_k]$$ कम्यूटिंग आव्यूह के एक सेट में, इस बीजगणित का एक वजन वेक्टर आव्यूह का एक साथ eigenvector है, जबकि इस बीजगणित का वजन बस एक है $$k$$- अदिशों का समूह $$ \lambda = (\lambda_1,\dots,\lambda_k)$$ प्रत्येक आव्यूह के आइजेनवैल्यू के अनुरूप, और इसलिए ज्यामितीय रूप से एक बिंदु के अनुरूप $$k$$-अंतरिक्ष। ये भार - विशेष रूप से उनकी ज्यामिति - लाई बीजगणित के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को समझने में केंद्रीय महत्व के हैं, विशेष रूप से लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व#अर्धसरल लाई बीजगणित के परिमित-आयामी निरूपण|अर्धसरल लाई बीजगणित के परिमित-आयामी निरूपण।

इस ज्यामिति के अनुप्रयोग के रूप में, एक बीजगणित दिया गया है जो एक बहुपद बीजगणित का भागफल है $$k$$ जेनरेटर, यह ज्यामितीय रूप से बीजगणितीय विविधता से मेल खाता है $$k$$-आयामी स्थान, और भार विविधता पर पड़ना चाहिए - अर्थात, यह विविधता के लिए परिभाषित समीकरणों को संतुष्ट करता है। यह इस तथ्य को सामान्यीकृत करता है कि eigenvalues ​​​​एक चर में आव्यूह के विशेषता बहुपद को संतुष्ट करते हैं।

यह भी देखें

 * प्रतिनिधित्व सिद्धांत
 * आपस में गुँथने वाला
 * हॉपफ बीजगणित का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
 * झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व
 * शूर की लेम्मा
 * जैकबसन घनत्व प्रमेय
 * डबल कम्यूटेंट प्रमेय

संदर्भ

 * Richard S. Pierce. Associative algebras. Graduate texts in mathematics, Vol. 88, Springer-Verlag, 1982, ISBN 978-0-387-90693-5