एनालॉग फिल्टर

एनालॉग फिल्टर इलेक्ट्रानिक्स में इस्तेमाल होने वाले सिग्नल प्रोसेसिंग का एक बुनियादी निर्माण खंड है। उनके कई अनुप्रयोगों में बास, मिड-रेंज और ट्वीटर ध्वनि-विस्तारक यंत्र के लिए आवेदन से पहले एक ऑडियो सिग्नल को अलग करना है; एक ही चैनल पर कई टेलीफोन वार्तालापों का संयोजन और बाद में पृथक्करण; रेडियो रिसीवर में चुने हुए रेडियो स्टेशन का चयन और दूसरों की अस्वीकृति।

निष्क्रिय रैखिक इलेक्ट्रॉनिक एनालॉग फिल्टर वे फिल्टर होते हैं जिन्हें रैखिक अंतर समीकरण (रैखिक) के साथ वर्णित किया जा सकता है; वे संधारित्र, इंडक्टर्स और, कभी-कभी, अवरोध (निष्क्रिय) से बने होते हैं और लगातार बदलते एनालॉग सिग्नल पर काम करने के लिए डिज़ाइन किए जाते हैं। कई रैखिक फिल्टर हैं जो कार्यान्वयन (डिजिटल फिल्टर) में एनालॉग नहीं हैं, और कई इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर हैं जिनमें एक निष्क्रिय टोपोलॉजी नहीं हो सकती है - दोनों में इस आलेख में वर्णित फिल्टर का एक ही स्थानांतरण कार्य हो सकता है। एनालॉग फिल्टर का उपयोग अक्सर तरंग फ़िल्टरिंग अनुप्रयोगों में किया जाता है, अर्थात, जहां विशेष आवृत्ति घटकों को पारित करना होता है और दूसरों को एनालॉग (निरंतर-समय) संकेतों से अस्वीकार करना होता है।

इलेक्ट्रॉनिक्स के विकास में एनालॉग फिल्टर ने एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है। विशेष रूप से दूरसंचार के क्षेत्र में, कई तकनीकी सफलताओं में फिल्टर महत्वपूर्ण महत्व के हैं और दूरसंचार कंपनियों के लिए भारी लाभ का स्रोत रहे हैं। इसलिए इसमें कोई आश्चर्य नहीं होना चाहिए कि फिल्टर का प्रारंभिक विकास ट्रांसमिशन लाइनों के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़ा था। ट्रांसमिशन लाइन सिद्धांत ने फिल्टर सिद्धांत को जन्म दिया, जिसने शुरू में एक बहुत ही समान रूप लिया, और फिल्टर का मुख्य अनुप्रयोग दूरसंचार ट्रांसमिशन लाइनों पर उपयोग के लिए था। हालाँकि, नेटवर्क संश्लेषण तकनीकों के आगमन ने डिज़ाइनर के नियंत्रण के स्तर को बहुत बढ़ा दिया।

आज, डिजिटल डोमेन में फ़िल्टरिंग करना अक्सर पसंद किया जाता है, जहां जटिल एल्गोरिदम को लागू करना बहुत आसान होता है, लेकिन एनालॉग फिल्टर अभी भी एप्लिकेशन ढूंढते हैं, विशेष रूप से निम्न-क्रम के सरल फ़िल्टरिंग कार्यों के लिए और अक्सर उच्च आवृत्तियों पर अभी भी आदर्श होते हैं जहां डिजिटल तकनीक अभी भी अव्यवहारिक है, या कम से कम, कम लागत प्रभावी है। जहां भी संभव हो, और विशेष रूप से कम आवृत्तियों पर, एनालॉग फिल्टर अब एक फिल्टर टोपोलॉजी में कार्यान्वित किए जाते हैं जो निष्क्रिय टोपोलॉजी द्वारा आवश्यक घाव घटकों (यानी इंडक्टर्स, ट्रांसफार्मर, आदि) से बचने के लिए सक्रिय है।

यांत्रिक घटकों का उपयोग करके रैखिक एनालॉग यांत्रिक फिल्टर को डिजाइन करना संभव है जो यांत्रिक कंपन या ध्वनिक तरंगों को फ़िल्टर करते हैं। जबकि यांत्रिकी में ऐसे उपकरणों के लिए कुछ ही अनुप्रयोग हैं, उनका उपयोग इलेक्ट्रॉनिक्स में किया जा सकता है, जिसमें ट्रांसड्यूसरको विद्युत डोमेन में और उससे परिवर्तित किया जा सकता है। वास्तव में, फिल्टर के लिए शुरुआती विचारों में से कुछ ध्वनिक अनुनादक थे क्योंकि उस समय इलेक्ट्रॉनिक्स प्रौद्योगिकी को खराब समझा गया था। सिद्धांत रूप में, इस तरह के फिल्टर का डिजाइन पूरी तरह से यांत्रिक मात्रा के इलेक्ट्रॉनिक समकक्षों के संदर्भ में प्राप्त किया जा सकता है, गतिज ऊर्जा, संभावित ऊर्जा और गर्मी ऊर्जा के साथ क्रमशः इंडक्टर्स, कैपेसिटर और प्रतिरोधकों में ऊर्जा के अनुरूप।

ऐतिहासिक अवलोकन
निष्क्रिय एनालॉग फ़िल्टर के विकास के इतिहास में तीन मुख्य चरण हैं:

इस पूरे लेख में आर, एल, और सी अक्षर क्रमशः प्रतिरोध, अधिष्ठापन और समाई का प्रतिनिधित्व करने के लिए उनके सामान्य अर्थों के साथ उपयोग किए जाते हैं। विशेष रूप से उनका उपयोग संयोजनों में किया जाता है, जैसे कि एलसी, उदाहरण के लिए, एक नेटवर्क जिसमें केवल इंडक्टर्स और कैपेसिटर होते हैं। Z का उपयोग विद्युत प्रतिबाधा के लिए किया जाता है, RLC तत्वों के किसी भी 2-टर्मिनल संयोजन और कुछ खंडों में D का उपयोग शायद ही कभी देखी गई मात्रा इलास्टेंस के लिए किया जाता है, जो कि समाई का व्युत्क्रम है।
 * 1) साधारण फिल्टर। विद्युत प्रतिक्रिया की आवृत्ति निर्भरता को कैपेसिटर और इंडक्टर्स के लिए बहुत पहले से ही जाना जाता था। अनुनाद घटना भी एक प्रारंभिक तारीख से परिचित थी और इन घटकों के साथ सरल, एकल-शाखा फिल्टर का उत्पादन करना संभव था। हालाँकि 1880 के दशक में उन्हें टेलीग्राफी पर लागू करने के प्रयास किए गए थे, लेकिन ये डिज़ाइन सफल आवृत्ति-विभाजन बहुसंकेतन के लिए अपर्याप्त साबित हुए। नेटवर्क विश्लेषण अभी तक इतना शक्तिशाली नहीं था कि अधिक जटिल फिल्टर के लिए सिद्धांत प्रदान कर सके और सिग्नल की आवृत्ति डोमेन प्रकृति को समझने में सामान्य विफलता से प्रगति में बाधा उत्पन्न हुई।
 * 2) छवि फ़िल्टर। छवि फ़िल्टर सिद्धांत ट्रांसमिशन लाइन सिद्धांत से विकसित हुआ और डिजाइन ट्रांसमिशन लाइन विश्लेषण के समान तरीके से आगे बढ़ा। पहली बार ऐसे फिल्टर तैयार किए जा सकते हैं जिनमें सटीक रूप से नियंत्रित करने योग्य पासबैंड और अन्य पैरामीटर हों। ये विकास 1920 के दशक में हुए थे और इन डिज़ाइनों के लिए निर्मित फ़िल्टर अभी भी 1980 के दशक में व्यापक उपयोग में थे, केवल एनालॉग दूरसंचार के उपयोग में गिरावट के रूप में गिरावट आई है। इंटरसिटी और अंतरराष्ट्रीय लाइनों पर उपयोग के लिए आवृत्ति डिवीजन मल्टीप्लेक्सिंग का आर्थिक रूप से महत्वपूर्ण विकास उनका तत्काल आवेदन था।
 * 3) नेटवर्क सिंथेसिस फ़िल्टर। नेटवर्क संश्लेषण के गणितीय आधार 1930 और 1940 के दशक में निर्धारित किए गए थे। द्वितीय विश्व युद्ध के बाद, नेटवर्क सिंथेसिस फिल्टर डिजाइन का प्राथमिक उपकरण बन गया। नेटवर्क संश्लेषण ने फ़िल्टर डिज़ाइन को एक दृढ़ गणितीय नींव पर रखा, इसे छवि डिज़ाइन की गणितीय रूप से मैला तकनीकों से मुक्त किया और भौतिक रेखाओं के साथ संबंध को विच्छेदित किया। नेटवर्क संश्लेषण का सार यह है कि यह एक ऐसा डिज़ाइन तैयार करता है जो (कम से कम आदर्श घटकों के साथ लागू होने पर) मूल रूप से ब्लैक बॉक्स शर्तों में निर्दिष्ट प्रतिक्रिया को सटीक रूप से पुन: उत्पन्न करेगा।

अनुनाद
प्रारंभिक फिल्टर संकेतों को फिल्टर करने के लिए अनुनाद की घटना का उपयोग करते थे। यद्यपि विद्युत अनुनाद की जांच बहुत प्रारंभिक चरण से शोधकर्ताओं द्वारा की गई थी, यह पहले विद्युत इंजीनियरों द्वारा व्यापक रूप से समझ में नहीं आया था। नतीजतन, ध्वनिक अनुनाद की अधिक परिचित अवधारणा (जिसे बदले में, और भी परिचित यांत्रिक अनुनाद के संदर्भ में समझाया जा सकता है) ने विद्युत अनुनाद से पहले फ़िल्टर डिज़ाइन में अपना रास्ता खोज लिया। अनुनाद का उपयोग फ़िल्टरिंग प्रभाव को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है क्योंकि गुंजयमान उपकरण गुंजयमान आवृत्ति पर या उसके निकट आवृत्तियों पर प्रतिक्रिया करेगा, लेकिन अनुनाद से दूर आवृत्तियों का जवाब नहीं देगा। इसलिए प्रतिध्वनि से दूर आवृत्तियों को डिवाइस के आउटपुट से फ़िल्टर किया जाता है।

विद्युत अनुनाद
1746 में आविष्कार किए गए लेडेन जार के साथ प्रयोगों में अनुनाद को जल्दी ही देखा गया था। लेडेन जार अपनी क्षमता के कारण बिजली स्टोर करता है, और वास्तव में, कैपेसिटर का प्रारंभिक रूप है। जब इलेक्ट्रोड के बीच एक चिंगारी को कूदने की अनुमति देकर एक लेडेन जार को छुट्टी दे दी जाती है, तो निर्वहन दोलनशील होता है। यह 1826 तक संदेहास्पद नहीं था, जब फ़्रांस में फेलिक्स सेवरी और बाद में (1842) अमेरिका में जोसेफ हेनरी ने नोट किया कि डिस्चार्ज के पास रखी गई एक स्टील की सुई हमेशा एक ही दिशा में चुम्बकित नहीं होती है। उन दोनों ने स्वतंत्र रूप से यह निष्कर्ष निकाला कि समय के साथ एक क्षणिक दोलन समाप्त हो रहा था।

हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ ने 1847 में ऊर्जा के संरक्षण पर अपने महत्वपूर्ण कार्य को प्रकाशित किया जिसके हिस्से में उन्होंने उन सिद्धांतों का उपयोग यह समझाने के लिए किया कि दोलन क्यों मर जाता है, कि यह सर्किट का प्रतिरोध है जो प्रत्येक क्रमिक चक्र पर दोलन की ऊर्जा को समाप्त कर देता है। हेल्महोल्ट्ज़ ने यह भी नोट किया कि विलियम हाइड वोलास्टोन के इलेक्ट्रोलिसिस प्रयोगों से दोलन के प्रमाण थे। वोलास्टन बिजली के झटके से पानी को विघटित करने का प्रयास कर रहा था, लेकिन उसने पाया कि दोनों इलेक्ट्रोड में हाइड्रोजन और ऑक्सीजन दोनों मौजूद थे। सामान्य इलेक्ट्रोलिसिस में वे अलग हो जाते हैं, प्रत्येक इलेक्ट्रोड के लिए एक।

हेल्महोल्ट्ज़ ने समझाया कि दोलन क्यों क्षीण हो गया लेकिन उन्होंने यह नहीं बताया कि यह पहली जगह क्यों हुआ। यह सर विलियम थॉमसन (लॉर्ड केल्विन) पर छोड़ दिया गया था, जिन्होंने 1853 में, यह माना था कि सर्किट में इंडक्शन के साथ-साथ जार की कैपेसिटेंस और लोड का प्रतिरोध भी मौजूद था। इसने घटना के लिए भौतिक आधार स्थापित किया - जार द्वारा आपूर्ति की गई ऊर्जा आंशिक रूप से भार में समाप्त हो गई थी, लेकिन आंशिक रूप से प्रारंभ करनेवाला के चुंबकीय क्षेत्र में भी संग्रहीत थी।

अब तक, जांच अचानक उत्तेजना के परिणामस्वरूप एक गुंजयमान सर्किट के क्षणिक दोलन की प्राकृतिक आवृत्ति पर हुई थी। फ़िल्टर सिद्धांत के दृष्टिकोण से अधिक महत्वपूर्ण एक बाहरी एसी सिग्नल द्वारा संचालित होने पर एक गुंजयमान सर्किट का व्यवहार होता है: सर्किट की प्रतिक्रिया में अचानक शिखर होता है जब ड्राइविंग सिग्नल आवृत्ति सर्किट की अनुनाद आवृत्ति पर होती है। जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने 1868 में सर विलियम ग्रोव से डायनामोज पर प्रयोगों के संबंध में इस घटना के बारे में सुना, और 1866 में हेनरी वाइल्ड के पहले के काम से भी अवगत थे। मैक्सवेल ने अनुनाद को गणितीय रूप से, के एक सेट के साथ समझाया। डिफरेंशियल इक्वेशन, काफी हद तक उसी शब्दों में जिसका आज एक आरएलसी सर्किट वर्णित है।

हेनरिक हर्ट्ज़ (1887) ने दो गुंजयमान सर्किटों का निर्माण करके प्रयोगात्मक रूप से अनुनाद घटना का प्रदर्शन किया, जिनमें से एक जनरेटर द्वारा संचालित था और दूसरा ट्यून करने योग्य था और केवल पहले विद्युत चुम्बकीय रूप से (यानी, कोई सर्किट कनेक्शन नहीं) के साथ जोड़ा गया था। हर्ट्ज़ ने दिखाया कि दूसरे सर्किट की प्रतिक्रिया अधिकतम थी जब वह पहले के अनुरूप थी। इस पत्र में हर्ट्ज़ द्वारा निर्मित चित्र विद्युत अनुनाद प्रतिक्रिया के पहले प्रकाशित प्लॉट थे।

ध्वनिक प्रतिध्वनि
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, यह ध्वनिक अनुनाद था जिसने फ़िल्टरिंग अनुप्रयोगों को प्रेरित किया, इनमें से पहला एक टेलीग्राफ सिस्टम है जिसे "हार्मोनिक टेलीग्राफ" के रूप में जाना जाता है। संस्करण एलीशा ग्रे, एलेक्ज़ेंडर ग्राहम बेल (1870), अर्नेस्ट मर्केडियर और अन्य के कारण हैं। इसका उद्देश्य एक ही लाइन पर कई टेलीग्राफ संदेशों को एक साथ प्रसारित करना था और आवृत्ति विभाजन बहुसंकेतन (FDM) के प्रारंभिक रूप का प्रतिनिधित्व करता है। FDM को प्रत्येक व्यक्तिगत संचार चैनल के लिए अलग-अलग आवृत्तियों पर भेजने के लिए भेजने की आवश्यकता होती है। यह व्यक्तिगत ट्यून किए गए रेज़ोनेटर की मांग करता है, साथ ही फ़िल्टर प्राप्त करने वाले छोर पर संकेतों को अलग करने के लिए। हार्मोनिक टेलीग्राफ ने ट्रांसमिटिंग एंड पर इलेक्ट्रोमैग्नेटिक रूप से संचालित ट्यूनेड रीड्स के साथ इसे हासिल किया जो प्राप्त करने वाले अंत में समान रीड्स को कंपन करेगा। ट्रांसमीटर के समान गुंजयमान आवृत्ति के साथ केवल रीड प्राप्त करने वाले छोर पर किसी भी सराहनीय सीमा तक कंपन करेगा।

संयोग से, हार्मोनिक टेलीग्राफ ने बेल को सीधे टेलीफोन के विचार का सुझाव दिया। रीड्स को ट्रांसड्यूसर के रूप में देखा जा सकता है जो ध्वनि को विद्युत सिग्नल से और उससे परिवर्तित करते हैं। यह हार्मोनिक टेलीग्राफ के इस दृष्टिकोण से इस विचार की ओर कोई बड़ी छलांग नहीं है कि भाषण को विद्युत संकेत में और उससे परिवर्तित किया जा सकता है।

प्रारंभिक बहुसंकेतन
1890 के दशक तक विद्युत अनुनाद अधिक व्यापक रूप से समझ में आ गया था और यह इंजीनियर के टूलकिट का एक सामान्य हिस्सा बन गया था। 1891 में हुतिन और लेब्लांक ने रेजोनेंट सर्किट फिल्टर का उपयोग करके टेलीफोन सर्किट के लिए एक एफडीएम योजना का पेटेंट कराया। प्रतिद्वंद्वी पेटेंट 1892 में माइकल पुपिन और जॉन स्टोन स्टोन द्वारा समान विचारों के साथ दायर किए गए थे, प्राथमिकता अंततः पुपिन को प्रदान की गई थी। हालांकि, केवल साधारण रेजोनेंट सर्किट फिल्टर का उपयोग करने वाली कोई भी योजना सफलतापूर्वक बहुसंकेतन (यानी गठबंधन) टेलीग्राफ के विपरीत टेलीफोन चैनलों की व्यापक बैंडविड्थ (टेलीग्राफ के विपरीत) को या तो भाषण बैंडविड्थ के अस्वीकार्य प्रतिबंध के बिना या एक चैनल स्पेसिंग को इतना चौड़ा कर सकती है कि मल्टीप्लेक्सिंग के लाभों को अलाभकारी बना सके।

इस कठिनाई का मूल तकनीकी कारण यह है कि एक साधारण फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया प्रतिध्वनि के बिंदु से 6 डीबी / सप्तक की गिरावट के करीब पहुंचती है। इसका मतलब यह है कि यदि टेलीफोन चैनलों को एक साथ आवृत्ति स्पेक्ट्रम में निचोड़ा जाता है, तो किसी भी चैनल में आसन्न चैनलों से क्रॉसस्टॉक होगा। जो आवश्यक है वह एक अधिक परिष्कृत फिल्टर है जिसमें कम-क्यू अनुनाद सर्किट की तरह आवश्यक पासबैंड में एक फ्लैट आवृत्ति प्रतिक्रिया होती है, लेकिन वह तेजी से प्रतिक्रिया में (6 डीबी/ऑक्टेव से बहुत तेज) पासबैंड से स्टॉपबैंड में एक उच्च-क्यू अनुनाद सर्किट की तरह संक्रमण पर पड़ता है। जाहिर है, ये एक एकल गुंजयमान सर्किट के साथ पूरी की जाने वाली विरोधाभासी आवश्यकताएं हैं। इन जरूरतों का समाधान ट्रांसमिशन लाइनों के सिद्धांत में स्थापित किया गया था और परिणामस्वरूप जब तक यह सिद्धांत पूरी तरह से विकसित नहीं हो गया, तब तक आवश्यक फिल्टर उपलब्ध नहीं हुए। इस प्रारंभिक चरण में सिग्नल बैंडविड्थ का विचार, और इसलिए इससे मेल खाने के लिए फिल्टर की आवश्यकता को पूरी तरह से समझा नहीं गया था; वास्तव में, बैंडविड्थ की अवधारणा के पूरी तरह से स्थापित होने से पहले 1920 के अंत तक का समय था। प्रारंभिक रेडियो के लिए, क्यू-फैक्टर, चयनात्मकता और ट्यूनिंग की अवधारणाएं पर्याप्त थीं। ट्रांसमिशन लाइनों के विकासशील सिद्धांत के साथ यह सब बदलना था, जिस पर इमेज फिल्टर आधारित होते हैं, जैसा कि अगले भाग में बताया गया है।

सदी के मोड़ पर जैसे-जैसे टेलीफोन लाइनें उपलब्ध हुईं, टेलीग्राफ को अर्थ रिटर्न फैंटम सर्किट के साथ टेलीफोन लाइनों पर जोड़ना लोकप्रिय हो गया। टेलीग्राफ लाइन पर टेलीग्राफ क्लिक को सुनने से रोकने के लिए एक एलसी फिल्टर की आवश्यकता थी। 1920 के दशक के बाद से, टेलीफोन लाइनों, या इस उद्देश्य के लिए समर्पित संतुलित लाइनों का उपयोग ऑडियो आवृत्तियों पर FDM टेलीग्राफ के लिए किया जाता था। यूके में इन प्रणालियों में से पहला लंदन और मैनचेस्टर के बीच एक सीमेंस और हल्स्के इंस्टॉलेशन था। जीईसी और एटी एंड टी में भी एफडीएम सिस्टम थे। सिग्नल भेजने और प्राप्त करने के लिए अलग-अलग जोड़े का उपयोग किया गया था। सीमेंस और जीईसी सिस्टम में प्रत्येक दिशा में छह टेलीग्राफ चैनल थे, एटी एंड टी सिस्टम में बारह थे। इन सभी प्रणालियों ने प्रत्येक टेलीग्राफ सिग्नल के लिए एक अलग वाहक उत्पन्न करने के लिए इलेक्ट्रॉनिक ऑसिलेटर्स का उपयोग किया और प्राप्त करने वाले छोर पर मल्टीप्लेक्स सिग्नल को अलग करने के लिए बैंड-पास फिल्टर के एक बैंक की आवश्यकता थी।

ट्रांसमिशन लाइन सिद्धांत
ट्रांसमिशन लाइन का सबसे पहला मॉडल शायद जॉर्ज ओहमो (1827) द्वारा वर्णित किया गया था, जिन्होंने यह स्थापित किया कि तार में प्रतिरोध इसकी लंबाई के समानुपाती होता है। इस प्रकार ओम मॉडल में केवल प्रतिरोध शामिल था। लैटिमर क्लार्क ने नोट किया कि सिग्नल देरी से और केबल के साथ बढ़े हुए थे, विकृति का एक अवांछनीय रूप जिसे अब फैलाव कहा जाता है लेकिन फिर मंदता कहा जाता है, और माइकल फैराडे (1853) ने स्थापित किया कि यह ट्रांसमिशन लाइन में मौजूद समाई के कारण था। लॉर्ड केल्विन (1854) ने शुरुआती ट्रान्साटलांटिक केबलों पर अपने काम में आवश्यक सही गणितीय विवरण पाया; वह एक धातु बार के साथ एक ऊष्मा नाड़ी के प्रवाहकत्त्व के समान एक समीकरण पर पहुंचे। इस मॉडल में केवल प्रतिरोध और समाई शामिल है, लेकिन कैपेसिटेंस प्रभावों के प्रभुत्व वाले अंडरसी केबल्स में वह सब कुछ आवश्यक था। केल्विन का मॉडल एक केबल की टेलीग्राफ सिग्नलिंग गति पर एक सीमा की भविष्यवाणी करता है लेकिन केल्विन ने अभी भी बैंडविड्थ की अवधारणा का उपयोग नहीं किया है, सीमा को पूरी तरह से टेलीग्राफ प्रतीकों के फैलाव के संदर्भ में समझाया गया था। पारेषण लाइन का गणितीय मॉडल ओलिवर हीविसाइड के साथ अपने पूर्ण विकास तक पहुँच गया। हेविसाइड (1881) ने मॉडल में श्रृंखला अधिष्ठापन और शंट चालन की शुरुआत की जिससे सभी में चार वितरित तत्व बन गए। इस मॉडल को अब टेलीग्राफर के समीकरण के रूप में जाना जाता है और वितरित-तत्व पैरामीटर को प्राथमिक रेखा स्थिरांक कहा जाता है।

हेविसाइड (1887) के काम से यह स्पष्ट हो गया था कि टेलीग्राफ लाइनों और विशेष रूप से टेलीफोन लाइनों के प्रदर्शन को लाइन में शामिल करने से बेहतर किया जा सकता है। एटी एंड टी में जॉर्ज कैंपबेल ने लाइन के साथ अंतराल पर लोडिंग कॉइल डालकर इस विचार (1899) को लागू किया। कैंपबेल ने पाया कि पासबैंड में लाइन की विशेषताओं में वांछित सुधार के साथ-साथ एक निश्चित आवृत्ति भी थी जिसके आगे बड़े क्षीणन के बिना सिग्नल पास नहीं किए जा सकते थे। यह लोडिंग कॉइल और लाइन कैपेसिटेंस का एक लो पास फिल्टर बनाने का एक परिणाम था, एक ऐसा प्रभाव जो केवल लोडिंग कॉइल्स जैसे गांठदार घटकों को शामिल करने वाली लाइनों पर स्पष्ट होता है। इसने स्वाभाविक रूप से कैंपबेल (1910) को सीढ़ी टोपोलॉजी के साथ एक फिल्टर का उत्पादन करने के लिए प्रेरित किया, इस फिल्टर के सर्किट आरेख पर एक नज़र लोडेड ट्रांसमिशन लाइन के साथ इसके संबंध को देखने के लिए पर्याप्त है। जहां तक लोडेड लाइनों का संबंध है, कट-ऑफ घटना एक अवांछनीय दुष्प्रभाव है, लेकिन टेलीफोन एफडीएम फिल्टर के लिए यह ठीक वही है जो आवश्यक है। इस एप्लिकेशन के लिए, कैंपबेल ने क्रमशः रेज़ोनेटर और एंटी-रेज़ोनेटर के साथ इंडक्टर्स और कैपेसिटर्स को बदलकर उसी सीढ़ी टोपोलॉजी में बैंड-पास फिल्टर का उत्पादन किया। लोडेड लाइन और एफडीएम दोनों ही एटी एंड टी के लिए आर्थिक रूप से बहुत फायदेमंद थे और इससे इस बिंदु से छानने का तेजी से विकास।

छवि फिल्टर
कैंपबेल द्वारा डिजाइन किए गए फिल्टर को कुछ तरंगों को पारित करने और दूसरों को दृढ़ता से खारिज करने की उनकी संपत्ति के कारण तरंग फिल्टर का नाम दिया गया था। जिस विधि से उन्हें डिजाइन किया गया था उसे छवि पैरामीटर विधि  कहा जाता था और इस पद्धति के लिए डिज़ाइन किए गए फ़िल्टर को छवि फ़िल्टर कहा जाता है। छवि विधि में अनिवार्य रूप से एक के संचरण स्थिरांक को विकसित करना होता है। समान फिल्टर अनुभागों की अनंत श्रृंखला और फिर छवि प्रतिबाधा में वांछित परिमित संख्या में फिल्टर अनुभागों को समाप्त करना। यह ठीक उसी तरह से मेल खाता है जिस तरह से संचरण लाइन की एक सीमित लंबाई के गुण एक अनंत रेखा के सैद्धांतिक गुणों से प्राप्त होते हैं, छवि प्रतिबाधा रेखा की विशेषता प्रतिबाधा के अनुरूप होती है।

1920 से जॉन कार्सन, जो एटी एंड टी के लिए भी काम कर रहे थे, ने हेविसाइड के परिचालन गणना का उपयोग करके संकेतों को देखने का एक नया तरीका विकसित करना शुरू किया, जो कि आवृत्ति डोमेन में काम कर रहा है। इसने एटी एंड टी इंजीनियरों को उनके फिल्टर के काम करने के तरीके में एक नई अंतर्दृष्टि दी और ओटो ज़ोबेल को कई बेहतर रूपों का आविष्कार करने का नेतृत्व किया। कार्सन और ज़ोबेल ने पुराने विचारों में से कई को लगातार ध्वस्त कर दिया। उदाहरण के लिए पुराने टेलीग्राफ इंजीनियरों ने सिग्नल को एकल आवृत्ति के रूप में माना और यह विचार रेडियो के युग में भी कायम रहा और कुछ अभी भी विश्वास करते थे, कि फ़्रीक्वेंसी मॉड्यूलेशन (FM) ट्रांसमिशन को कार्सन के 1922 के पेपर के प्रकाशन तक बेसबैंड सिग्नल की तुलना में एक छोटी बैंडविड्थ के साथ प्राप्त किया जा सकता है। शोर की प्रकृति से संबंधित एक और प्रगति, कार्सन और ज़ोबेल (1923) ने शोर को एक सतत बैंडविड्थ के साथ एक यादृच्छिक प्रक्रिया के रूप में माना, एक ऐसा विचार जो अपने समय से बहुत आगे था, और इस प्रकार उस शोर की मात्रा को सीमित कर दिया, जिसे पासबैंड के बाहर आने वाले शोर स्पेक्ट्रम के उस हिस्से तक फ़िल्टर करके निकालना संभव था। यह भी, आम तौर पर पहली बार में स्वीकार नहीं किया गया था, विशेष रूप से एडविन आर्मस्ट्रांग(विडंबना यह है कि, वास्तव में वाइड-बैंड एफएम के साथ शोर को कम करने में सफल रहा) द्वारा विरोध किया जा रहा था और अंततः हैरी न्यक्विस्ट के काम के साथ तय किया गया था, जिसका थर्मल शोर पावर फॉर्मूला आज अच्छी तरह से जाना जाता है।

ओटो ज़ोबेल द्वारा छवि फिल्टर और उनके संचालन के सिद्धांत में कई सुधार किए गए। ज़ोबेल ने कैंपबेल के फ़िल्टर को बाद के प्रकारों से अलग करने के लिए निरंतर k फ़िल्टर (या k- प्रकार फ़िल्टर) शब्द गढ़ा, विशेष रूप से ज़ोबेल के एम-व्युत्पन्न फ़िल्टर (या m-प्रकार फ़िल्टर)। ज़ोबेल इन नए रूपों के साथ जिन विशेष समस्याओं को हल करने की कोशिश कर रहा था, वे अंत समाप्ति में प्रतिबाधा मिलान और रोल-ऑफ की बेहतर स्थिरता थी। ये फिल्टर सर्किट जटिलता में वृद्धि की कीमत पर हासिल किए गए थे।

छवि फ़िल्टर बनाने का एक अधिक व्यवस्थित तरीका हेंड्रिक बोडे (1930) द्वारा पेश किया गया था, और आगे पाइलटी (1937-1939) और विल्हेम काउरे (1934-1937) सहित कई अन्य जांचकर्ताओं द्वारा विकसित किया गया था। एक विशिष्ट सर्किट के व्यवहार (स्थानांतरण समारोह, क्षीणन समारोह, देरी समारोह और इतने पर) की गणना करने के बजाय, छवि प्रतिबाधा के लिए एक आवश्यकता विकसित की गई थी। छवि प्रतिबाधा को फिल्टर के ओपन-सर्किट और शॉर्ट-सर्किट प्रतिबाधाओं के रूप में $$ \scriptstyle Z_i=\sqrt{Z_oZ_s}$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है क्योंकि छवि प्रतिबाधा पासबैंड में वास्तविक होनी चाहिए और छवि सिद्धांत के अनुसार स्टॉपबैंड में काल्पनिक होनी चाहिए, इसलिए एक है आवश्यकता है कि ज़ो और जेड के ध्रुव और शून्य पासबैंड में रद्द हो जाएं और स्टॉपबैंड में मेल करें। ध्रुवों और शून्यों के इन युग्मों के जटिल तल में स्थितियों के संदर्भ में फ़िल्टर के व्यवहार को पूरी तरह से परिभाषित किया जा सकता है। कोई भी परिपथ जिसमें अपेक्षित ध्रुव और शून्य हों, को भी अपेक्षित अनुक्रिया प्राप्त होगी। काउर ने इस तकनीक से उत्पन्न होने वाले दो संबंधित प्रश्नों का अनुसरण किया: निष्क्रिय फिल्टर के रूप में ध्रुवों और शून्यों के कौन से विनिर्देश प्राप्य हैं; और क्या अहसास एक दूसरे के बराबर हैं। इस काम के परिणामों ने काउर को एक नया दृष्टिकोण विकसित करने के लिए प्रेरित किया, जिसे अब नेटवर्क संश्लेषण कहा जाता है।

फ़िल्टर डिज़ाइन का यह "पोल और ज़ीरो" दृश्य विशेष रूप से उपयोगी था जहाँ फ़िल्टर का एक बैंक, प्रत्येक अलग-अलग आवृत्तियों पर काम कर रहा था, सभी एक ही ट्रांसमिशन लाइन से जुड़े हुए हैं। पहले का दृष्टिकोण इस स्थिति से ठीक से निपटने में असमर्थ था, लेकिन ध्रुव और शून्य दृष्टिकोण संयुक्त फिल्टर के लिए एक निरंतर प्रतिबाधा निर्दिष्ट करके इसे अपना सकते थे। यह समस्या मूल रूप से एफडीएम टेलीफोनी से संबंधित थी लेकिन अब यह अक्सर लाउडस्पीकर क्रॉसओवर फिल्टर में उत्पन्न होती है।

नेटवर्क संश्लेषण फिल्टर
नेटवर्क संश्लेषण का सार एक आवश्यक फिल्टर प्रतिक्रिया के साथ शुरू करना है और एक नेटवर्क का उत्पादन करना है जो उस प्रतिक्रिया को वितरित करता है, या एक निर्दिष्ट सीमा के भीतर इसका अनुमान लगाता है। यह  नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट)  का उलटा है जो किसी दिए गए नेटवर्क से शुरू होता है और विभिन्न इलेक्ट्रिक सर्किट प्रमेयों को लागू करके नेटवर्क की प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करता है।  युक-विंग ली  (1930) के डॉक्टरेट थीसिस में इस शब्द का पहली बार इस अर्थ के साथ प्रयोग किया गया था और जाहिर तौर पर  वन्नेवर बुश  के साथ बातचीत से उत्पन्न हुआ था। पिछले तरीकों की तुलना में नेटवर्क संश्लेषण का लाभ यह है कि यह एक ऐसा समाधान प्रदान करता है जो सटीक रूप से डिज़ाइन विनिर्देश को पूरा करता है। छवि फ़िल्टर के मामले में ऐसा नहीं है, उनके डिज़ाइन में अनुभव की एक डिग्री की आवश्यकता होती है क्योंकि छवि फ़िल्टर केवल अपनी छवि प्रतिबाधा में समाप्त होने के अवास्तविक मामले में डिज़ाइन विनिर्देश को पूरा करता है, जिसके उत्पादन के लिए सटीक सर्किट की आवश्यकता होगी मांगी जा रही है. दूसरी ओर नेटवर्क संश्लेषण, टर्मिनेशन बाधाओं को केवल डिज़ाइन किए जा रहे नेटवर्क में शामिल करके उनका ख्याल रखता है। नेटवर्क संश्लेषण संभव होने से पहले नेटवर्क विश्लेषण का विकास आवश्यक था। गुस्ताव किरचॉफ  और अन्य के प्रमेय और  चार्ल्स स्टीनमेट्ज़  (फासर (साइन तरंग)) और  आर्थर केनेली  ( जटिल प्रतिबाधा ) के विचार आधार तैयार किया। एक बंदरगाह (सर्किट सिद्धांत) की अवधारणा ने भी सिद्धांत के विकास में एक भूमिका निभाई, और नेटवर्क टर्मिनलों की तुलना में अधिक उपयोगी विचार साबित हुआ।  नेटवर्क संश्लेषण के रास्ते में पहला मील का पत्थर रोनाल्ड एम. फोस्टर (1924) का एक महत्वपूर्ण पेपर था। एक प्रतिक्रिया प्रमेय, जिसमें फोस्टर एक ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा  के विचार का परिचय देता है, अर्थात वह प्रतिबाधा जो जनरेटर से जुड़ी होती है। इस प्रतिबाधा के लिए अभिव्यक्ति फ़िल्टर की प्रतिक्रिया निर्धारित करती है और इसके विपरीत, और इस अभिव्यक्ति के विस्तार से फ़िल्टर की प्राप्ति प्राप्त की जा सकती है। नेटवर्क के रूप में किसी भी मनमानी प्रतिबाधा अभिव्यक्ति को महसूस करना संभव नहीं है। फोस्टर की प्रतिक्रिया प्रमेय वास्तविकता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तों को निर्धारित करती है: कि प्रतिक्रिया को आवृत्ति के साथ बीजगणितीय रूप से बढ़ाना चाहिए और ध्रुवों और शून्यों को वैकल्पिक होना चाहिए। विल्हेम काउर ने फोस्टर (1926) के काम पर विस्तार किया और एक निर्धारित आवृत्ति फ़ंक्शन के साथ एक-बंदरगाह प्रतिबाधा की प्राप्ति की बात करने वाले पहले व्यक्ति थे। फोस्टर के काम को केवल प्रतिक्रिया (यानी, केवल एलसी-तरह के सर्किट) माना जाता है। कॉयर ने इसे किसी भी 2-तत्व प्रकार के एक-पोर्ट नेटवर्क के लिए सामान्यीकृत किया, यह पाते हुए कि उनके बीच एक समरूपता थी। उन्होंने सीढ़ी बोध भी पाया थॉमस स्टिल्टजेसो  के निरंतर अंश विस्तार का उपयोग करते हुए नेटवर्क का। यह काम वह आधार था जिस पर नेटवर्क संश्लेषण का निर्माण किया गया था, हालांकि काउर के काम का पहली बार इंजीनियरों द्वारा अधिक उपयोग नहीं किया गया था, आंशिक रूप से द्वितीय विश्व युद्ध के हस्तक्षेप के कारण, आंशिक रूप से अगले भाग में बताए गए कारणों के लिए और आंशिक रूप से क्योंकि काउर ने अपने परिणामों का उपयोग करके प्रस्तुत किया टोपोलॉजी जिसमें पारस्परिक रूप से युग्मित इंडक्टर्स और आदर्श ट्रांसफार्मर की आवश्यकता होती है। डिजाइनर जहां संभव हो वहां पारस्परिक प्रेरण और ट्रांसफार्मर की जटिलता से बचने की प्रवृत्ति रखते हैं, हालांकि ट्रांसफॉर्मर-युग्मित  डबल-ट्यून एम्पलीफायर  चयनात्मकता का त्याग किए बिना बैंडविड्थ को चौड़ा करने का एक सामान्य तरीका है।

छवि विधि बनाम संश्लेषण
बेहतर नेटवर्क संश्लेषण तकनीक उपलब्ध होने के बाद लंबे समय तक डिजाइनरों द्वारा छवि फिल्टर का उपयोग जारी रखा गया। इसका कारण केवल जड़ता हो सकता है, लेकिन यह काफी हद तक नेटवर्क संश्लेषण फिल्टर के लिए आवश्यक अधिक गणना के कारण था, जिसे अक्सर गणितीय पुनरावृत्ति प्रक्रिया की आवश्यकता होती है। छवि फ़िल्टर, अपने सरलतम रूप में, दोहराए गए, समान अनुभागों की एक श्रृंखला से मिलकर बनता है। अधिक अनुभागों को जोड़कर डिज़ाइन में सुधार किया जा सकता है और प्रारंभिक अनुभाग का निर्माण करने के लिए आवश्यक गणना एक लिफाफा डिजाइनिंग के पीछे के स्तर पर है। दूसरी ओर, नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर के मामले में, फ़िल्टर को संपूर्ण, एकल इकाई के रूप में डिज़ाइन किया गया है और अधिक अनुभाग जोड़ने के लिए (अर्थात, क्रम बढ़ाएँ) डिजाइनर के पास शुरुआत में वापस जाने और फिर से शुरू करने के अलावा कोई विकल्प नहीं होगा। संश्लेषित डिजाइनों के फायदे वास्तविक हैं, लेकिन एक कुशल छवि डिजाइनर जो हासिल कर सकता है उसकी तुलना में वे भारी नहीं हैं, और कई मामलों में समय लेने वाली गणनाओं के साथ दूर करने के लिए यह अधिक लागत प्रभावी था। यह केवल कंप्यूटिंग शक्ति की आधुनिक उपलब्धता के साथ एक मुद्दा नहीं है, लेकिन 1950 के दशक में यह अस्तित्वहीन था, 1960 और 1970 के दशक में केवल लागत पर उपलब्ध था, और अंततः 1980 के दशक तक सभी डिजाइनरों के लिए व्यापक रूप से उपलब्ध नहीं हुआ। डेस्कटॉप पर्सनल कंप्यूटर। छवि फ़िल्टर उस बिंदु तक डिज़ाइन किए जाते रहे और कई 21वीं सदी में सेवा में बने रहे। नेटवर्क संश्लेषण विधि की कम्प्यूटेशनल कठिनाई को एक प्रोटोटाइप फिल्टर  के घटक मूल्यों को सारणीबद्ध करके और फिर आवृत्ति और प्रतिबाधा को स्केल करके और बैंडफॉर्म को वास्तव में आवश्यक लोगों में परिवर्तित करके संबोधित किया गया था। इस तरह का दृष्टिकोण, या इसी तरह, पहले से ही छवि फिल्टर के साथ प्रयोग में था, उदाहरण के लिए ज़ोबेल द्वारा, लेकिन संदर्भ फ़िल्टर की अवधारणा  सिडनी डार्लिंगटन  के कारण है। डार्लिंगटन (1939), नेटवर्क संश्लेषण प्रोटोटाइप फिल्टर के लिए मूल्यों को सारणीबद्ध करने वाला पहला भी था, फिर भी इसे 1950 के दशक तक काउर-डार्लिंगटन  अण्डाकार फिल्टर  के पहली बार उपयोग में आने तक इंतजार करना पड़ा। एक बार कम्प्यूटेशनल शक्ति आसानी से उपलब्ध हो जाने के बाद, किसी भी मनमाने पैरामीटर को कम करने के लिए आसानी से फ़िल्टर डिज़ाइन करना संभव हो गया, उदाहरण के लिए समय की देरी या घटक भिन्नता के प्रति सहिष्णुता। छवि पद्धति की कठिनाइयों को अतीत में मजबूती से रखा गया था, और यहां तक ​​​​कि प्रोटोटाइप की आवश्यकता भी काफी हद तक अनावश्यक हो गई थी। इसके अलावा, सक्रिय फ़िल्टर  के आगमन ने गणना की कठिनाई को कम कर दिया क्योंकि वर्गों को अलग किया जा सकता था और पुनरावृत्ति प्रक्रियाएं तब आम तौर पर आवश्यक नहीं थीं।

वास्तविकता और तुल्यता
वास्तविकता (अर्थात, कौन से कार्य वास्तविक प्रतिबाधा नेटवर्क के रूप में प्राप्य हैं) और तुल्यता (जो नेटवर्क समान रूप से समान कार्य करते हैं) नेटवर्क संश्लेषण में दो महत्वपूर्ण प्रश्न हैं। Lagrangian यांत्रिकी के साथ एक सादृश्य के बाद, Cauer ने मैट्रिक्स समीकरण का गठन किया,


 * $$\mathbf{[A]}= s^2 \mathbf{[L]} + s \mathbf{[R]} + \mathbf{[D]} = s \mathbf{[Z]}$$

जहां [जेड], [आर], [एल] और [डी] क्रमशः विद्युत प्रतिबाधा, विद्युत प्रतिरोध, अधिष्ठापन और एक  एन  के इलास्टेंस के एनएक्सएन मैट्रिसेस हैं। -मेश विश्लेषण नेटवर्क और  एस  जटिल आवृत्ति  ऑपरेटर है $$\scriptstyle s=\sigma+i\omega$$. यहां [आर], [एल] और [डी] में एक यांत्रिक प्रणाली में क्रमशः गतिज, संभावित और अपव्यय गर्मी ऊर्जा से संबंधित ऊर्जाएं हैं और यांत्रिकी से पहले से ज्ञात परिणाम यहां लागू किए जा सकते हैं। काउर ने लैग्रेंज गुणक  की विधि द्वारा ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा का निर्धारण किया;


 * $$Z_{\mathrm{p}}(s)=\frac{\det \mathbf{[A]}}{s \, a_{11}}$$

जहाँ एक11तत्व A. का पूरक है11जिससे वन-पोर्ट को जोड़ा जाना है। स्थिरता सिद्धांत  से काउर ने पाया कि ['R'], ['L'] और ['D'] सभी को  सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स  होना चाहिए। Z के लिए सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्सp(एस) यदि आदर्श ट्रांसफार्मर को बाहर नहीं रखा जाता है तो वसूली योग्य होना चाहिए। वास्तविकता केवल टोपोलॉजी पर व्यावहारिक सीमाओं द्वारा अन्यथा प्रतिबंधित है। यह काम आंशिक रूप से  ओटो ब्राउन  (1931) के कारण भी है, जिन्होंने काउर के जर्मनी लौटने से पहले अमेरिका में काउर के साथ काम किया था। एक-बंदरगाह परिमेय की साख्यता के लिए एक प्रसिद्ध शर्त काउर (1929) के कारण प्रतिबाधा यह है कि यह s का एक कार्य होना चाहिए जो दाहिने आधे तल (σ> 0) में विश्लेषणात्मक है, दाहिने आधे तल में एक सकारात्मक वास्तविक भाग है और वास्तविक अक्ष पर वास्तविक मान लेता है। यह इन कार्यों के पोइसन अभिन्न प्रतिनिधित्व से निम्नानुसार है। ब्रुने ने इस वर्ग के कार्य के लिए  सकारात्मक-वास्तविक  शब्द गढ़ा और साबित किया कि यह एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त थी (कॉएर ने केवल इसे आवश्यक साबित किया था) और उन्होंने काम को एलसी मल्टीपोर्ट्स तक बढ़ा दिया। सिडनी डार्लिंगटन के कारण एक प्रमेय कहता है कि किसी भी सकारात्मक-वास्तविक फ़ंक्शन Z(s) को एक दोषरहित  दो बंदरगाह नेटवर्क  के रूप में महसूस किया जा सकता है।. तुल्यता के संबंध में, काउर ने पाया कि वास्तविक संबंध परिवर्तनों का समूह,


 * $$ \mathbf{[T]}^T \mathbf{[A]} \mathbf{[T]} $$
 * कहाँ पे,
 * $$ \mathbf{[T]}=\begin{bmatrix} 1 & 0 \cdots 0 \\ T_{21} & T_{22} \cdots T_{2n} \\ \cdot & \cdots \\ T_{n1} & T_{n2} \cdots T_{nn}\end{bmatrix}$$

Z. में अपरिवर्तनीय हैp(एस), यानी, सभी रूपांतरित नेटवर्क मूल के समकक्ष हैं।

सन्निकटन
नेटवर्क संश्लेषण में सन्निकटन समस्या ऐसे कार्यों को खोजने के लिए है जो मनमाने ढंग से निर्धारित सीमा के भीतर आवृत्ति के एक निर्धारित कार्य के अनुमानित वास्तविक नेटवर्क का उत्पादन करेंगे। सन्निकटन समस्या एक महत्वपूर्ण मुद्दा है क्योंकि आवश्यक आवृत्ति का आदर्श कार्य आमतौर पर तर्कसंगत नेटवर्क के साथ अस्वीकार्य होगा। उदाहरण के लिए, आदर्श निर्धारित कार्य को अक्सर पासबैंड में अस्वीकार्य दोषरहित संचरण, स्टॉपबैंड में अनंत क्षीणन और दोनों के बीच एक ऊर्ध्वाधर संक्रमण के रूप में लिया जाता है। हालांकि, आदर्श फलन को एक परिमेय फलन के साथ अनुमानित किया जा सकता है, जो बहुपद के उच्च क्रम के आदर्श के अधिक निकट होता जाता है। इस समस्या का समाधान सबसे पहले स्टीफन बटरवर्थ  (1930) ने अपने  बटरवर्थ बहुपद ों का उपयोग करके किया था। स्वतंत्र रूप से, काउर (1931) ने  चेबीशेव बहुपद ों का उपयोग किया, शुरू में छवि फिल्टर पर लागू किया गया था, न कि इस फिल्टर की अब प्रसिद्ध सीढ़ी प्राप्ति के लिए।

बटरवर्थ फ़िल्टर
बटरवर्थ फिल्टर एक महत्वपूर्ण वर्ग हैं स्टीफन बटरवर्थ (1930) के कारण फिल्टर की जो अब काउर के अण्डाकार फिल्टर के एक विशेष मामले के रूप में पहचाने जाते हैं। बटरवर्थ ने काउर के काम से स्वतंत्र रूप से इस फिल्टर की खोज की और इसे अपने संस्करण में लागू किया, जिसमें प्रत्येक खंड को वाल्व एम्पलीफायर  के साथ अगले से अलग किया गया, जिससे घटक मूल्यों की गणना आसान हो गई क्योंकि फिल्टर अनुभाग एक दूसरे के साथ बातचीत नहीं कर सकते थे और प्रत्येक अनुभाग में एक शब्द का प्रतिनिधित्व किया था। बटरवर्थ बहुपद। यह बटरवर्थ को छवि पैरामीटर सिद्धांत से विचलन करने वाले पहले और सक्रिय फ़िल्टर डिज़ाइन करने वाले पहले दोनों होने का श्रेय देता है। बाद में यह दिखाया गया कि बटरवर्थ फिल्टर को एम्पलीफायरों की आवश्यकता के बिना सीढ़ी टोपोलॉजी में लागू किया जा सकता है। संभवतः ऐसा करने वाले पहले विलियम बेनेट (1932) थे एक पेटेंट में जो आधुनिक मूल्यों के समान घटक मूल्यों के लिए सूत्र प्रस्तुत करता है। बेनेट, इस स्तर पर, हालांकि, अभी भी एक कृत्रिम संचरण लाइन के रूप में डिजाइन पर चर्चा कर रहा है और इसलिए एक छवि पैरामीटर दृष्टिकोण को अपना रहा है, जिसे अब एक नेटवर्क संश्लेषण डिजाइन माना जाएगा। वह बटरवर्थ के काम या उनके बीच संबंध के बारे में भी जागरूक नहीं दिखता है।

सम्मिलन-हानि विधि
फिल्टर को डिजाइन करने की सम्मिलन-हानि विधि, संक्षेप में, सिग्नल के क्षीणन के रूप में फ़िल्टर के लिए आवृत्ति के वांछित कार्य को निर्धारित करने के लिए है, जब फ़िल्टर को प्राप्त होने वाले स्तर के सापेक्ष टर्मिनेशन के बीच डाला जाता है, जो टर्मिनेशन से जुड़े होते हैं एक आदर्श ट्रांसफार्मर के माध्यम से एक दूसरे से पूरी तरह मेल खाते हैं। इस सिद्धांत के संस्करण सिडनी डार्लिंगटन, विल्हेम काउर और अन्य सभी कमोबेश स्वतंत्र रूप से काम करने के कारण हैं और इसे अक्सर नेटवर्क संश्लेषण के पर्याय के रूप में लिया जाता है। बटरवर्थ का फ़िल्टर कार्यान्वयन, उन शब्दों में, एक सम्मिलन-हानि फ़िल्टर है, लेकिन यह गणितीय रूप से अपेक्षाकृत छोटा है क्योंकि बटरवर्थ द्वारा उपयोग किए जाने वाले सक्रिय एम्पलीफायरों ने सुनिश्चित किया है कि प्रत्येक चरण व्यक्तिगत रूप से प्रतिरोधी भार में काम करता है। बटरवर्थ का फ़िल्टर एक गैर-तुच्छ उदाहरण बन जाता है जब इसे पूरी तरह से निष्क्रिय घटकों के साथ लागू किया जाता है। एक पहले का फ़िल्टर जो सम्मिलन-हानि पद्धति को प्रभावित करता था, वह नॉर्टन का डुअल-बैंड फ़िल्टर था जहाँ दो फ़िल्टर के इनपुट समानांतर में जुड़े होते हैं और डिज़ाइन किए जाते हैं ताकि संयुक्त इनपुट एक निरंतर प्रतिरोध प्रस्तुत करे। नॉर्टन की डिजाइन विधि, काउर के कैनोनिकल एलसी नेटवर्क और डार्लिंगटन के प्रमेय के साथ कि फिल्टर के शरीर में केवल एलसी घटकों की आवश्यकता होती है, जिसके परिणामस्वरूप सम्मिलन-हानि विधि होती है। हालांकि, सीढ़ी टोपोलॉजी काउर के विहित रूपों की तुलना में अधिक व्यावहारिक साबित हुई। डार्लिंगटन की प्रविष्टि-हानि विधि नॉर्टन द्वारा उपयोग की जाने वाली प्रक्रिया का सामान्यीकरण है। नॉर्टन के फिल्टर में यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक फिल्टर आम छोर पर एक अलग फिल्टर के बराबर है। डार्लिंगटन की विधि दोनों सिरों पर समाप्त 2-पोर्ट एलसी नेटवर्क के अधिक सरल और सामान्य मामले पर लागू होती है। प्रक्रिया में निम्नलिखित चरण होते हैं: डार्लिंगटन ने अतिरिक्त रूप से हेंड्रिक बोड द्वारा पाए गए एक परिवर्तन का उपयोग किया जिसने गैर-आदर्श घटकों का उपयोग करके फ़िल्टर की प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी की लेकिन सभी एक ही क्यू के साथ। डार्लिंगटन ने गैर-आदर्श घटकों के साथ एक निर्धारित सम्मिलन-हानि के साथ फ़िल्टर बनाने के लिए इस परिवर्तन का उल्टा उपयोग किया। इस तरह के फिल्टर में सभी आवृत्तियों पर एक आदर्श सम्मिलन-हानि प्रतिक्रिया और एक फ्लैट क्षीणन होता है।
 * 1) निर्धारित सम्मिलन-हानि फ़ंक्शन के ध्रुवों को निर्धारित करें,
 * 2) इससे जटिल ट्रांसमिशन फ़ंक्शन ढूंढें,
 * 3) इससे जटिल परावर्तन गुणांक ज्ञात करें#समाप्त प्रतिरोधों पर दूरसंचार,
 * 4) शॉर्ट-सर्किट और ओपन-सर्किट प्रतिबाधा से ड्राइविंग बिंदु प्रतिबाधा का पता लगाएं, # एक एलसी (आमतौर पर सीढ़ी) नेटवर्क में ड्राइविंग पॉइंट प्रतिबाधा का विस्तार करें।

अण्डाकार फिल्टर
एलिप्टिक फिल्टर इंसर्शन-लॉस मेथड द्वारा निर्मित फिल्टर होते हैं जो आदर्श फिल्टर रिस्पॉन्स के सन्निकटन के रूप में अपने ट्रांसफर फंक्शन में अण्डाकार तर्कसंगत कार्य ों का उपयोग करते हैं और परिणाम को चेबीशेव सन्निकटन कहा जाता है। यह वही चेबीशेव सन्निकटन तकनीक है जिसका उपयोग काउर द्वारा छवि फिल्टर पर किया जाता है, लेकिन डार्लिंगटन सम्मिलन-हानि डिजाइन पद्धति का अनुसरण करता है और थोड़ा अलग अण्डाकार कार्यों का उपयोग करता है। WWII से पहले काउर का डार्लिंगटन और बेल लैब्स के साथ कुछ संपर्क था (एक समय के लिए उन्होंने अमेरिका में काम किया था) लेकिन युद्ध के दौरान उन्होंने स्वतंत्र रूप से काम किया, कुछ मामलों में एक ही खोज की। काउर ने बेल लैब्स को चेबीशेव सन्निकटन का खुलासा किया था लेकिन उन्हें सबूत के साथ नहीं छोड़ा था।  सर्गेई अलेक्जेंडर शेलकुनॉफ  ने इसे और सभी समान तरंग समस्याओं के लिए एक सामान्यीकरण प्रदान किया। एलिप्टिक फिल्टर फिल्टर का एक सामान्य वर्ग है जो विशेष मामलों के रूप में कई अन्य महत्वपूर्ण वर्गों को शामिल करता है: काउर फिल्टर (बराबर रिपल (इलेक्ट्रिकल) # पासबैंड और स्टॉपबैंड में फ्रीक्वेंसी-डोमेन रिपल), चेबीशेव फिल्टर (केवल पासबैंड में रिपल), रिवर्स चेबीशेव फिल्टर ( केवल स्टॉपबैंड में तरंग) और बटरवर्थ फ़िल्टर (किसी भी बैंड में कोई तरंग नहीं)। आम तौर पर, सम्मिलन-हानि फ़िल्टर के लिए जहां ट्रांसमिशन शून्य और अनंत नुकसान जटिल आवृत्ति विमान की वास्तविक धुरी पर होते हैं (जो वे आमतौर पर न्यूनतम घटक गणना के लिए होते हैं), सम्मिलन-हानि फ़ंक्शन को इस प्रकार लिखा जा सकता है;


 * $$ \frac{1}{1+JF^2} $$

जहां F या तो एक सम है (जिसके परिणामस्वरूप एक एंटीमेट्रिक (विद्युत नेटवर्क)  फ़िल्टर होता है) या एक विषम (जिसके परिणामस्वरूप एक सममित फ़िल्टर होता है) आवृत्ति का कार्य होता है। F के शून्य शून्य हानि के अनुरूप हैं और F के ध्रुव संचरण शून्य के अनुरूप हैं। J पासबैंड रिपल हाइट और स्टॉपबैंड लॉस सेट करता है और इन दो डिज़ाइन आवश्यकताओं को आपस में बदला जा सकता है। एफ और जे के शून्य और ध्रुवों को मनमाने ढंग से सेट किया जा सकता है। F की प्रकृति फ़िल्टर के वर्ग को निर्धारित करती है; पासबैंड और स्टॉपबैंड में एक साथ चेबीशेव प्रतिक्रिया संभव है, जैसे कि काउर के बराबर रिपल अण्डाकार फिल्टर।
 * यदि F एक चेबीशेव सन्निकटन है तो परिणाम एक चेबीशेव फ़िल्टर है,
 * यदि F एक अधिकतम समतल सन्निकटन है तो परिणाम एक पासबैंड अधिकतम रूप से सपाट फ़िल्टर है,
 * यदि 1/F एक चेबीशेव सन्निकटन है, तो परिणाम एक रिवर्स चेबीशेव फ़िल्टर है,
 * यदि 1/F एक अधिकतम सपाट सन्निकटन है, तो परिणाम एक स्टॉपबैंड अधिकतम फ्लैट फिल्टर है,

डार्लिंगटन बताते हैं कि उन्होंने न्यू यॉर्क सिटी लाइब्रेरी कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबिक के अण्डाकार कार्यों पर मूल पेपर, 1829 में लैटिन में प्रकाशित किया था। इस पेपर में डार्लिंगटन को काउर के इमेज पैरामीटर और डार्लिंगटन के इंसर्शन-लॉस फिल्टर दोनों के चेबीशेव सन्निकटन के लिए आवश्यक सटीक अण्डाकार फ़ंक्शन ट्रांसफॉर्मेशन की फोल्डआउट टेबल को देखकर आश्चर्य हुआ।

अन्य तरीके
डार्लिंगटन युग्मित ट्यून सर्किट की टोपोलॉजी को सम्मिलन-नुकसान विधि के लिए एक अलग सन्निकटन तकनीक को शामिल करने के लिए मानता है, लेकिन नाममात्र फ्लैट पासबैंड और उच्च क्षीणन स्टॉपबैंड का भी उत्पादन करता है। इनके लिए सबसे आम टोपोलॉजी शंट एंटी-रेज़ोनेटर है जो श्रृंखला कैपेसिटर द्वारा युग्मित है, कम सामान्यतः, इंडक्टर्स द्वारा, या दो-खंड फ़िल्टर के मामले में, आपसी अधिष्ठापन द्वारा। ये सबसे उपयोगी होते हैं जहां डिजाइन की आवश्यकता बहुत सख्त नहीं होती है, अर्थात मध्यम बैंडविड्थ, रोल-ऑफ और पासबैंड रिपल।

यांत्रिक फिल्टर
1930 के आसपास एडवर्ड नॉर्टन ने फोनोग्राफ रिकॉर्डर और प्लेयर्स पर उपयोग के लिए एक मैकेनिकल फिल्टर डिजाइन किया। नॉर्टन ने फ़िल्टर को इलेक्ट्रिकल डोमेन में डिज़ाइन किया और फिर मैकेनिकल घटकों का उपयोग करके फ़िल्टर का एहसास करने के लिए यांत्रिक मात्राओं के विद्युत मात्रा के पत्राचार का उपयोग किया। द्रव्यमान अधिष्ठापन, लोच के लिए कठोरता और प्रतिरोध के लिए भिगोना से मेल खाती है। फिल्टर को अधिकतम फ्लैट आवृत्ति प्रतिक्रिया के लिए डिजाइन किया गया था।

आधुनिक डिजाइनों में विशेष रूप से नैरोबैंड फिल्टरिंग अनुप्रयोगों के लिए क्वार्ट्ज क्रिस्टल फिल्टर का उपयोग करना आम है। संकेत एक यांत्रिक ध्वनिक तरंग के रूप में मौजूद होता है जबकि यह क्रिस्टल में होता है और क्रिस्टल के टर्मिनलों पर विद्युत और यांत्रिक डोमेन के बीच ट्रांसड्यूसर द्वारा परिवर्तित किया जाता है।

वितरित-तत्व फ़िल्टर
डिस्ट्रीब्यूटेड-एलिमेंट फिल्टर्स ट्रांसमिशन लाइन की लंबाई से बने होते हैं जो कम से कम एक तरंग दैर्ध्य का एक महत्वपूर्ण अंश होते हैं। शुरुआती गैर-विद्युत फिल्टर इस प्रकार के थे। उदाहरण के लिए, विलियम हर्शेल (1738-1822) ने अलग-अलग लंबाई के दो ट्यूबों के साथ एक उपकरण का निर्माण किया, जो कुछ आवृत्तियों को कम कर देता था लेकिन अन्य नहीं। जोसेफ-लुई लैग्रेंज (1736-1813) ने समय-समय पर भार से लदी एक स्ट्रिंग पर तरंगों का अध्ययन किया। लैग्रेंज या चार्ल्स गॉडफ्रे जैसे बाद के जांचकर्ताओं द्वारा इस उपकरण का कभी भी अध्ययन या फिल्टर के रूप में उपयोग नहीं किया गया था। हालांकि, कैंपबेल ने अपनी लोडेड लाइनों पर आवश्यक लोडिंग कॉइल्स की संख्या की गणना करने के लिए सादृश्य द्वारा गॉडफ्रे के परिणामों का उपयोग किया, वह उपकरण जिसने उनके विद्युत फिल्टर विकास को जन्म दिया। लैग्रेंज, गॉडफ्रे और कैंपबेल सभी ने अपनी गणना में सरलीकृत धारणाएं बनाईं जो उनके तंत्र की वितरित प्रकृति की अनदेखी करती हैं। नतीजतन, उनके मॉडलों ने कई पासबैंड नहीं दिखाए जो सभी वितरित-तत्व फिल्टर की विशेषता हैं। पहले विद्युत फिल्टर जो वास्तव में वितरित-तत्व सिद्धांतों द्वारा डिजाइन किए गए थे, वारेन पी. मेसन के कारण हैं जो 1927 में शुरू हुए थे।

ट्रांसवर्सल फ़िल्टर
ट्रांसवर्सल फ़िल्टर आमतौर पर निष्क्रिय कार्यान्वयन से जुड़े नहीं होते हैं, लेकिन अवधारणा को 1935 के वीनर और ली पेटेंट में पाया जा सकता है जो एक फिल्टर का वर्णन करता है जिसमें ऑल-पास वर्गों का एक झरना होता है। विभिन्न अनुभागों के आउटपुट को आवश्यक फ़्रीक्वेंसी फ़ंक्शन के परिणाम के लिए आवश्यक अनुपात में अभिव्यक्त किया जाता है। यह इस सिद्धांत के अनुसार काम करता है कि कुछ आवृत्तियां विभिन्न वर्गों में एंटीफेज में या उसके करीब होंगी और जोड़े जाने पर रद्द हो जाएंगी। ये फ़िल्टर द्वारा अस्वीकार की गई आवृत्तियाँ हैं और बहुत तेज़ कट-ऑफ़ वाले फ़िल्टर उत्पन्न कर सकते हैं। इस दृष्टिकोण को कोई तत्काल अनुप्रयोग नहीं मिला, और निष्क्रिय फिल्टर में आम नहीं है। हालांकि, सिद्धांत व्यापक बैंड असतत-समय फिल्टर अनुप्रयोगों जैसे टेलीविजन, रडार और उच्च गति डेटा संचरण के लिए सक्रिय विलंब रेखा कार्यान्वयन के रूप में कई अनुप्रयोगों को ढूंढता है।

मिलान फ़िल्टर
मिलान किए गए फ़िल्टर का उद्देश्य पल्स आकार की कीमत पर सिग्नल-टू-शोर अनुपात (एस / एन) को अधिकतम करना है। पल्स आकार, कई अन्य अनुप्रयोगों के विपरीत, रडार में महत्वहीन है जबकि S/N प्रदर्शन पर प्राथमिक सीमा है। ड्वाइट नॉर्थ द्वारा द्वितीय विश्वयुद्ध के दौरान (1943 में वर्णित) फिल्टरों को पेश किया गया था और इन्हें अक्सर "नॉर्थ फिल्टर" के रूप में जाना जाता है।

नियंत्रण प्रणाली के लिए फिल्टर
नियंत्रण प्रणालियों को एक यांत्रिक प्रणाली की गति को निर्धारित चिह्न तक अधिकतम करने और साथ ही ओवरशूट और शोर प्रेरित गतियों को कम करने के लिए मानदंड के साथ अपने फीडबैक लूप में फ़िल्टर को सुचारू करने की आवश्यकता होती है। यहाँ एक प्रमुख समस्या है एक शोर पृष्ठभूमि से गाऊसी संकेतों का निष्कर्षण। इस पर एक प्रारंभिक पेपर WWII के दौरान नॉर्बर्ट वीनर द्वारा एंटी-एयरक्राफ्ट फायर कंट्रोल एनालॉग कंप्यूटरों के लिए विशिष्ट एप्लिकेशन के साथ प्रकाशित किया गया था। रूडी कलमन (कलमन फ़िल्टर) ने बाद में इसे राज्य-अंतरिक्ष चौरसाई और भविष्यवाणी के संदर्भ में सुधार किया जहां इसे रैखिक-द्विघात-गॉसियन नियंत्रण समस्या के रूप में जाना जाता है। कलामन ने राज्य-अंतरिक्ष समाधानों में रुचि शुरू की, लेकिन डार्लिंगटन के अनुसार यह दृष्टिकोण हेविसाइड और पहले के काम में भी पाया जा सकता है।

आधुनिक अभ्यास
कम आवृत्तियों पर LC फ़िल्टर अजीब हो जाते हैं; घटक, विशेष रूप से प्रेरक, महंगे, भारी, भारी और गैर-आदर्श बन जाते हैं। व्यावहारिक 1 एच इंडक्टर्स को उच्च-पारगम्यता कोर पर कई मोड़ की आवश्यकता होती है; उस सामग्री में उच्च नुकसान और स्थिरता के मुद्दे होंगे (जैसे, एक बड़ा तापमान गुणांक)। मेन फिल्टर जैसे अनुप्रयोगों के लिए, अजीबता को सहन किया जाना चाहिए। निम्न-स्तर, निम्न-आवृत्ति, अनुप्रयोगों के लिए, RC फ़िल्टर संभव हैं, लेकिन वे जटिल ध्रुवों या शून्य वाले फ़िल्टर लागू नहीं कर सकते। यदि एप्लिकेशन शक्ति का उपयोग कर सकता है, तो आरसी सक्रिय फिल्टर बनाने के लिए एम्पलीफायरों का उपयोग किया जा सकता है जिसमें जटिल ध्रुव और शून्य हो सकते हैं। 1950 के दशक में, सलेन-की सक्रिय RC फ़िल्टर वैक्यूम ट्यूब एम्पलीफायरों के साथ बनाए गए थे; इन फिल्टरों ने भारी प्रेरकों को भारी और गर्म वेक्यूम - ट्यूब से बदल दिया। ट्रांजिस्टर ने अधिक शक्ति-कुशल सक्रिय फ़िल्टर डिज़ाइन पेश किए। बाद में, सस्ते परिचालन एम्पलीफायरों ने अन्य सक्रिय आरसी फ़िल्टर डिज़ाइन टोपोलॉजी को सक्षम किया। हालांकि सक्रिय फिल्टर डिजाइन कम आवृत्तियों पर सामान्य थे, वे उच्च आवृत्तियों पर अव्यवहारिक थे जहां एम्पलीफायर आदर्श नहीं थे; एलसी (और ट्रांसमिशन लाइन) फिल्टर अभी भी रेडियो आवृत्तियों पर उपयोग किए जाते थे।

धीरे-धीरे, कम आवृत्ति वाले सक्रिय आरसी फिल्टर को स्विच-संधारित्र फ़िल्टर द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था जो निरंतर समय डोमेन के बजाय असतत समय डोमेन में संचालित होता था। इन सभी फ़िल्टर तकनीकों को उच्च प्रदर्शन फ़िल्टरिंग के लिए सटीक घटकों की आवश्यकता होती है, और अक्सर इसके लिए फ़िल्टर को ट्यून करना आवश्यक होता है। समायोज्य घटक महंगे हैं, और ट्यूनिंग करने के लिए श्रम महत्वपूर्ण हो सकता है I 7वें क्रम के अण्डाकार फिल्टर के ध्रुवों और शून्यों को ट्यून करना कोई आसान अभ्यास नहीं है। एकीकृत परिपथों ने डिजिटल गणना को सस्ता बना दिया है, इसलिए अब डिजिटल सिग्नल प्रोसेसर के साथ कम आवृत्ति फ़िल्टरिंग की जाती है। इस तरह के डिजिटल फिल्टर को अल्ट्रा-सटीक (और स्थिर) मूल्यों को लागू करने में कोई समस्या नहीं होती है, इसलिए किसी ट्यूनिंग या समायोजन की आवश्यकता नहीं होती है। डिजिटल फिल्टरों को आवारा युग्मन पथों के बारे में चिंता करने की जरूरत नहीं है और अलग-अलग फिल्टर अनुभागों को एक दूसरे से बचाते हैं। एक नकारात्मक पहलू यह है कि डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग समकक्ष एलसी फिल्टर की तुलना में अधिक बिजली की खपत कर सकता है। सस्ती डिजिटल तकनीक ने फिल्टर के एनालॉग कार्यान्वयन को काफी हद तक समाप्त कर दिया है। हालांकि, युग्मन जैसे सरल अनुप्रयोगों में उनके लिए अभी भी एक सामयिक स्थान है जहां आवृत्ति के परिष्कृत कार्यों की आवश्यकता नहीं होती है। माइक्रोवेव फ़्रीक्वेंसी पर निष्क्रिय फ़िल्टर अभी भी पसंद की तकनीक हैं।

यह भी देखें

 * ऑडियो फ़िल्टर
 * समग्र छवि फ़िल्टर
 * डिजिटल फिल्टर
 * इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर
 * रैखिक फिल्टर
 * नेटवर्क संश्लेषण फिल्टर

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ग्रन्थसूची

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अग्रिम पठन

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