भौगोलिक दूरी

भौगोलिक दूरी या भौगोलिक दूरी पृथ्वी की सतह के साथ मापी गई दूरी है। इस लेख के सूत्र अक्षांश और देशांतर के संदर्भ में भौगोलिक निर्देशांक द्वारा परिभाषित बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करते हैं। यह दूरी जियोडेसी#जियोडेटिक समस्याओं|दूसरी (उलटा) जियोडेटिक समस्या को हल करने में एक तत्व है।

परिचय
भौगोलिक निर्देशांक के बीच की दूरी की गणना अमूर्तता के कुछ स्तर पर आधारित है; यह सटीक दूरी प्रदान नहीं करता है, जो पृथ्वी की सतह में प्रत्येक अनियमितता के लिए खाते का प्रयास करने पर अप्राप्य है। दो भौगोलिक बिंदुओं के बीच की सतह के लिए सामान्य सार हैं:


 * सपाट सतह;
 * गोलाकार सतह;
 * दीर्घवृत्ताकार सतह।

ऊपर दिए गए सभी सार ऊंचाई में परिवर्तन की उपेक्षा करते हैं। दूरियों की गणना जो आदर्श सतह के सापेक्ष ऊंचाई में परिवर्तन के कारण होती है, पर इस लेख में चर्चा नहीं की गई है।

नामकरण
दूरी, $$D,\,\!$$ दो बिंदुओं के बीच गणना की जाती है, $$P_1\,\!$$ और $$P_2\,\!$$. दो बिंदुओं के भौगोलिक निर्देशांक, (अक्षांश, देशांतर) जोड़े के रूप में हैं $$(\phi_1,\lambda_1)\,\!$$ और $$(\phi_2,\lambda_2),\,\!$$ क्रमश। दो बिंदुओं में से किसे के रूप में नामित किया गया है $$P_1\,\!$$ दूरी की गणना के लिए महत्वपूर्ण नहीं है।

मानचित्रों पर अक्षांश और देशांतर निर्देशांक आमतौर पर डिग्री (कोण) एस में व्यक्त किए जाते हैं। नीचे दिए गए सूत्रों के दिए गए रूपों में, सही परिणाम प्राप्त करने के लिए निर्दिष्ट इकाइयों में एक या अधिक मान व्यक्त किए जाने चाहिए। जहां भौगोलिक निर्देशांक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के तर्क के रूप में उपयोग किए जाते हैं, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के मान को निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि के साथ संगत किसी भी कोणीय इकाइयों में मान व्यक्त किए जा सकते हैं। कई इलेक्ट्रॉनिक कैलकुलेटर किसी भी डिग्री या कांति  में त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना की अनुमति देते हैं। कैलकुलेटर मोड को ज्यामितीय निर्देशांकों के लिए उपयोग की जाने वाली इकाइयों के साथ संगत होना चाहिए।

अक्षांश और देशांतर में अंतर को निम्नानुसार लेबल और गणना की जाती है:
 * $$\begin{align}

\Delta\phi&=\phi_2-\phi_1;\\ \Delta\lambda&=\lambda_2-\lambda_1. \end{align} \,\!$$ यह महत्वपूर्ण नहीं है कि नीचे दिए गए फ़ार्मुलों में उपयोग किए जाने पर परिणाम सकारात्मक है या नकारात्मक।

माध्य अक्षांश को निम्न प्रकार से लेबल और परिकलित किया जाता है:
 * $$\phi_m=\frac{\phi_1+\phi_2}{2}.\,\!$$

कोलैटिट्यूड को निम्नानुसार लेबल और गणना की जाती है:
 * रेडियन में व्यक्त अक्षांशों के लिए:
 * $$\theta=\frac{\pi}{2}-\phi;\,\!$$
 * डिग्री में व्यक्त अक्षांशों के लिए:
 * $$\theta=90^\circ-\phi.\,\!$$

जब तक अन्यथा निर्दिष्ट न हो, नीचे की गणना के लिए पृथ्वी की पृथ्वी त्रिज्या है:
 * $$R\,\!$$ = 6,371.009 किलोमीटर = 3,958.761 क़ानून मील = 3,440.069 समुद्री मील।

$$D_\,\!$$ = दो बिंदुओं के बीच की दूरी, जैसा कि पृथ्वी की सतह के साथ मापा जाता है और त्रिज्या के लिए उपयोग किए गए मान के समान इकाइयों में जब तक कि अन्यथा निर्दिष्ट न हो।

अक्षांश/देशांतर की विलक्षणताएं और असंततता
देशांतर में भौगोलिक ध्रुव पर गणितीय विलक्षणता है (देशांतर अपरिभाषित है) और ±180वें मध्याह्न|180° मध्याह्न पर एक विच्छिन्नता (गणित) है। साथ ही, अक्षांश वृत्त के तलीय प्रक्षेपण ध्रुवों के पास अत्यधिक वक्रित होते हैं। इसलिए, डेल्टा (पत्र)अक्षर) अक्षांश/देशांतर के लिए उपरोक्त समीकरण ($$\Delta\phi\!$$, $$\Delta\lambda\!$$) और माध्य अक्षांश ($$\phi_m\!$$) ध्रुवों या ±180° याम्योत्तर के पास की स्थितियों के लिए अपेक्षित उत्तर नहीं दे सकता है। उदाहरण पर विचार करें। का मान है $$\Delta\lambda\!$$ (पूर्व विस्थापन) जब $$\lambda_1\!$$ और $$\lambda_2\!$$ ±180° याम्योत्तर के दोनों ओर हैं, या का मान $$\phi_m\!$$ (मतलब अक्षांश) दो स्थितियों के लिए ($$\phi_1\!$$=89°, $$\lambda_1\!$$=45°) और ($$\phi_2\!$$=89°, $$\lambda_2\!$$=−135°).

यदि अक्षांश/देशांतर पर आधारित गणना पृथ्वी की सभी स्थितियों के लिए मान्य होनी चाहिए, तो यह सत्यापित किया जाना चाहिए कि विच्छिन्नता और ध्रुवों को सही ढंग से नियंत्रित किया गया है। एक अन्य समाधान अक्षांश/देशांतर के बजाय एन-वेक्टर | एन-वेक्टर का उपयोग करना है, क्योंकि इस क्षैतिज स्थिति के प्रतिनिधित्व में असंतोष या विलक्षणता नहीं है।

सपाट-सतह सूत्र
पृथ्वी की सतह के लिए समतल सन्निकटन छोटी दूरियों के लिए उपयोगी हो सकता है। इस सन्निकटन का उपयोग करके दूरी की गणना की सटीकता तेजी से गलत हो जाती है:


 * बिंदुओं के बीच की दूरी अधिक हो जाती है;
 * एक बिंदु एक भौगोलिक ध्रुव के करीब हो जाता है।

समतल में दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी एक सीधी रेखा होती है। पायथागॉरियन प्रमेय का उपयोग विमान में बिंदुओं के बीच की दूरी की गणना करने के लिए किया जाता है।

कम दूरी पर भी, भौगोलिक दूरी की गणनाओं की सटीकता, जो एक सपाट पृथ्वी को मानती है, उस विधि पर निर्भर करती है जिसके द्वारा अक्षांश और देशांतर निर्देशांक विमान पर मानचित्र प्रक्षेपण किया गया है। अक्षांश और देशांतर का प्रक्षेपण एक विमान पर निर्देशांक करता है, नक्शानवीसी  का दायरा है।

इस खंड में प्रस्तुत सूत्र सटीकता की अलग-अलग डिग्री प्रदान करते हैं।

गोलाकार पृथ्वी एक विमान के लिए अनुमानित
यह सूत्र अक्षांश के साथ याम्योत्तरों के बीच की दूरी में भिन्नता को ध्यान में रखता है:


 * $$D=R\sqrt{(\Delta\phi)^2+(\cos(\phi_m)\Delta\lambda)^2},$$
 * कहाँ:
 * $$\Delta\phi\,\!$$ और $$\Delta\lambda\,\!$$ रेडियन में हैं;
 * $$\phi_m\,\!$$ निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि के अनुकूल इकाइयों में होना चाहिए $$\cos(\phi_m).\,\!$$
 * अक्षांश या देशांतर को रेडियन में बदलने के लिए उपयोग करें
 * $$ 1^\circ = (\pi/180)\,\mathrm{radians}.$$

यह सन्निकटन बहुत तेज है और छोटी दूरियों के लिए काफी सटीक परिणाम देता है. इसके अलावा, जब दूरी के आधार पर स्थानों का आदेश दिया जाता है, जैसे कि डेटाबेस क्वेरी में, वर्गमूल की गणना करने की आवश्यकता को समाप्त करते हुए, वर्ग दूरी के आधार पर आदेश देना तेज़ होता है।

दीर्घवृत्ताकार पृथ्वी एक विमान से प्रक्षेपित
संघीय संचार आयोग दूरियों से अधिक नहीं होने के लिए निम्नलिखित सूत्र निर्धारित करता है 475 km:
 * $$D=\sqrt{(K_1\Delta\phi)^2+(K_2\Delta\lambda)^2},$$
 * कहाँ
 * $$D\,\!$$ = किलोमीटर में दूरी;
 * $$\Delta\phi\,\!$$ और $$\Delta\lambda\,\!$$ डिग्री में हैं;
 * $$\phi_m\,\!$$ निर्धारित करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि के अनुकूल इकाइयों में होना चाहिए $$\cos(\phi_m);\,\!$$
 * $$\begin{align}

K_1&=111.13209-0.56605\cos(2\phi_m)+0.00120\cos(4\phi_m);\\ K_2&=111.41513\cos(\phi_m)-0.09455\cos(3\phi_m)+0.00012\cos(5\phi_m).\end{align}\,\!$$
 * कहाँ $$K_1$$ और $$K_2$$ किलोमीटर प्रति डिग्री की इकाइयों में हैं। यह ध्यान रखना दिलचस्प हो सकता है कि:
 * $$K_1=M\frac{\pi}{180}\,\!$$ = किलोमीटर प्रति डिग्री अक्षांश अंतर;
 * $$K_2=\cos(\phi_m)N\frac{\pi}{180}\,\!$$ = किलोमीटर प्रति डिग्री देशांतर अंतर;
 * कहाँ $$M\,\!$$ और $$N\,\!$$ 'मध्याह्न' और इसके लम्बवत, या सामान्य, वक्रता की त्रिज्या (अनुप्रयोग) # वक्रता की प्रधान त्रिज्या (एफसीसी सूत्र में अभिव्यक्ति द्विपद श्रृंखला विस्तार के रूप से ली गई हैं) $$M\,\!$$ और $$N\,\!$$, क्लार्क 1866 संदर्भ दीर्घवृत्त पर सेट)।

उपरोक्त सूत्र के अधिक कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल कार्यान्वयन के लिए, कोसाइन के कई अनुप्रयोगों को एक ही आवेदन के साथ बदला जा सकता है और चेबीशेव बहुपदों के लिए पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग किया जा सकता है।

ध्रुवीय निर्देशांक समतल-पृथ्वी सूत्र

 * $$D=R\sqrt{\theta^2_1\;\boldsymbol{+}\;\theta^2_2\;\mathbf{-}\;2\theta_1\theta_2\cos(\Delta\lambda)},$$
 * जहां समांतर मान रेडियन में हैं। डिग्री में मापे गए अक्षांश के लिए, रेडियन में अक्षांश की गणना निम्नानुसार की जा सकती है: $$\theta=\frac{\pi}{180}(90^\circ-\phi).\,\!$$

गोलाकार-सतह सूत्र
यदि कोई 0.5% की संभावित त्रुटि को स्वीकार करने के लिए तैयार है, तो वह गोले पर गोलाकार त्रिकोणमिति के सूत्रों का उपयोग कर सकता है जो पृथ्वी की सतह का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है।

सतह पर दो बिंदुओं के बीच एक गोले की सतह के साथ सबसे छोटी दूरी उस महान-वृत्त के साथ होती है जिसमें दो बिंदु होते हैं।

ग्रेट-सर्कल दूरी लेख पृथ्वी के आकार के बारे में एक गोले पर एक ग्रेट-सर्कल के साथ दूरी की गणना करने का सूत्र देता है। उस लेख में गणना का एक उदाहरण शामिल है।

सुरंग की दूरी
पृथ्वी पर बिंदुओं के बीच एक सुरंग को रुचि के बिंदुओं के बीच त्रि-आयामी अंतरिक्ष के माध्यम से एक रेखा द्वारा परिभाषित किया गया है। महान वृत्त जीवा की लंबाई की गणना संबंधित इकाई क्षेत्र के लिए निम्नानुसार की जा सकती है:


 * $$\begin{align}

&\Delta{X}=\cos(\phi_2)\cos(\lambda_2) - \cos(\phi_1)\cos(\lambda_1);\\ &\Delta{Y}=\cos(\phi_2)\sin(\lambda_2) - \cos(\phi_1)\sin(\lambda_1);\\ &\Delta{Z}=\sin(\phi_2) - \sin(\phi_1);\\ &C_h=\sqrt{(\Delta{X})^2 + (\Delta{Y})^2 + (\Delta{Z})^2}.\end{align} $$ गोलाकार पृथ्वी की सतह पर बिंदुओं के बीच सुरंग की दूरी है $$D = R C_h$$. कम दूरी के लिए ($$D\ll R$$), यह द्वारा महान वृत्त दूरी को कम करके आंका जाता है $$D(D/R)^2/24$$.

दीर्घवृत्त-सतह सूत्र
एक दीर्घवृत्ताभ पृथ्वी की सतह से काफी बेहतर अनुमानित है गोला या समतल सतह करता है। सतह के साथ सबसे छोटी दूरी सतह पर दो बिंदुओं के बीच दीर्घवृत्त के साथ है geodesic. जियोडेसिक्स अच्छे से ज्यादा जटिल रास्तों का अनुसरण करता है मंडलियों और विशेष रूप से, वे आमतौर पर अपनी शुरुआत में वापस नहीं आते हैं पृथ्वी के एक चक्कर के बाद की स्थिति। यह में दर्शाया गया है दाईं ओर की आकृति जहां f को उच्चारण करने के लिए 1/50 लिया जाता है प्रभाव। पृथ्वी पर दो बिंदुओं के बीच जियोडेसिक का पता लगाना तथाकथित उलटा जियोडेटिक समस्या, कई लोगों का ध्यान केंद्रित थी 18वीं और 19वीं शताब्दी के दौरान गणितज्ञ और भूगर्भशास्त्री सदियों से प्रमुख योगदान के साथ एलेक्सिस क्लाउड क्लेराट, एड्रियन मैरी लीजेंड्रे, फ्रेडरिक बेसेल, और फ्रेडरिक रॉबर्ट हेल्मर्ट। आरएपीपी इस काम का एक अच्छा सारांश प्रदान करता है।

जियोडेसिक दूरी की गणना करने के तरीके व्यापक रूप से में उपलब्ध हैं भौगोलिक सूचना प्रणाली, सॉफ्टवेयर पुस्तकालय, स्टैंडअलोन उपयोगिताओं, और ऑनलाइन उपकरण। द्वारा सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला एल्गोरिथम है थेडियस विन्सेंटी, जो एक श्रृंखला का उपयोग करता है जो समतल करने में तीसरे क्रम के लिए सटीक है दीर्घवृत्ताभ, यानी, लगभग 0.5 मिमी; हालाँकि, एल्गोरिथ्म विफल रहता है उन बिंदुओं के लिए अभिसरण करें जो लगभग प्रतिलोभ हैं। (के लिए विवरण, विन्सेंटी के सूत्र देखें।) यह दोष में ठीक हो गया है एल्गोरिथम द्वारा दिया गया कार्नी, जो श्रृंखला को नियोजित करता है जो सपाट में छठे क्रम के लिए सटीक होता है। इसका परिणाम एक एल्गोरिथ्म में होता है जो पूर्ण दोहरी सटीकता के लिए सटीक होता है और जो पृथ्वी पर मनमाना जोड़े बिंदुओं के लिए अभिसरण करता है। यह एल्गोरिदम को जियोग्राफिकलिब में लागू किया गया है। ए पर गणना करते समय उपरोक्त सटीक विधियां संभव हैं कंप्यूटर। उनका उद्देश्य किसी भी की तर्ज पर मिलीमीटर सटीकता देना है लंबाई; यदि किसी को मिलीमीटर की आवश्यकता नहीं है तो वह सरल सूत्रों का उपयोग कर सकता है सटीकता, या यदि किसी को मिलीमीटर सटीकता की आवश्यकता है लेकिन रेखा छोटी है। रैप, बच्चू। 6, लुई पुइस्सेंट विधि का वर्णन करता है, गॉस मध्य-अक्षांश विधि और बॉरिंग विधि।

लंबी रेखाओं के लिए लैम्बर्ट का सूत्र
लैम्बर्ट के सूत्र हज़ारों किलोमीटर से अधिक 10 मीटर के क्रम पर सटीकता दें। पहले अक्षांशों को परिवर्तित करें $$ \scriptstyle \phi_1$$, $$ \scriptstyle \phi_2$$ अक्षांश के दो बिंदुओं में से#पैरामेट्रिक (या कम) अक्षांश $$ \scriptstyle \beta_1$$, $$ \scriptstyle  \beta_2$$
 * $$ \tan \beta = (1 - f) \tan \phi,$$

कहाँ $$f$$ चपटा है। फिर केंद्रीय कोण की गणना करें $$ \sigma$$ दो बिंदुओं के बीच रेडियन में $$ (\beta_1, \; \lambda_1)$$ और $$ (\beta_2 , \; \lambda_2)$$ देशांतर के साथ ग्रेट-सर्कल डिस्टेंस|ग्रेट-सर्कल डिस्टेंस मेथड (कोसाइन या हावरसाइन सूत्र का गोलाकार नियम) का उपयोग करते हुए एक गोले पर $$ \lambda_1 \; $$ और $$ \lambda_2 \; $$ गोलाकार के समान गोले पर होना।


 * $$P = \frac { \beta_1 + \beta_2 }{2} \qquad Q = \frac {\beta_2 - \beta_1}{2}$$
 * $$X = ( \sigma - \sin \sigma) \frac {\sin^2 P \cos^2 Q}{ \cos^2 \frac { \sigma}{2}} \qquad \qquad Y = ( \sigma + \sin \sigma) \frac {\cos^2 P \sin^2 Q}{ \sin^2 \frac { \sigma}{2}}$$

$\mathrm{distance} = a \bigl( \sigma - \tfrac f2 (X + Y) \bigr) $ कहाँ $$a$$ चुने हुए गोलभ की विषुवतीय त्रिज्या है।

जीआरएस 80 80 गोलाकार लैम्बर्ट का फॉर्मूला बंद है


 * 0 उत्तर 0 पश्चिम से 40 उत्तर 120 पश्चिम, 12.6 मीटर
 * 0N 0W से 40N 60W, 6.6 मीटर
 * 40N 0W से 40N 60W, 0.85 मीटर

छोटी लाइनों के लिए बॉलिंग की विधि
बॉरिंग बिंदुओं को त्रिज्या R' के एक क्षेत्र में ले जाता है, जिसमें अक्षांश और देशांतर को φ' और λ' के रूप में दर्शाया जाता है। परिभाषित करना
 * $$A = \sqrt{1 + e'^2\cos^4 \phi_1}, \quad B = \sqrt{1 + e'^2\cos^2 \phi_1},$$

जहां दूसरी उत्केन्द्रता का वर्ग है
 * $$ e'^2 = \frac{a^2 - b^2}{b^2} = \frac{f(2-f)}{(1-f)^2}.$$

गोलाकार त्रिज्या है
 * $$R' = \frac{\sqrt{1 + e'^2 }}{B^2} a.$$

(φ पर दीर्घवृत्ताभ की गाऊसी वक्रता1 1/आर' है2.) गोलाकार निर्देशांक द्वारा दिया जाता है
 * $$\begin{align}

\tan\phi_1' &= \frac{\tan\phi}B,\\ \Delta\phi' &= \frac{\Delta \phi}{B}\biggl[1 + \frac{3 e'^2 }{4 B^2}(\Delta \phi) \sin (2 \phi_1 + \tfrac23 \Delta \phi )\biggr],\\ \Delta\lambda' &= A\Delta\lambda, \end{align} $$ कहाँ $$\Delta\phi=\phi_2-\phi_1$$, $$\Delta\phi'=\phi_2'-\phi_1'$$, $$\Delta\lambda=\lambda_2-\lambda_1$$, $$\Delta\lambda'=\lambda_2'-\lambda_1'$$. गोलाकार दूरी और असर के लिए सन्निकटन देने के लिए क्षेत्र पर परिणामी समस्या को ग्रेट-सर्कल नेविगेशन के लिए तकनीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। रैप द्वारा विस्तृत सूत्र दिए गए हैं, §6.5 और बॉरिंग।

ऊंचाई सुधार
स्थलाकृतिक या जमीनी स्तर से गोलाकार या दीर्घवृत्त की सतह तक ऊंचाई में भिन्नता भी दूरी माप के पैमाने को बदल देती है। दो बिंदुओं के बीच की तिरछी दूरी s (जीवा (ज्यामिति) लंबाई) को दीर्घवृत्ताभ सतह S पर चाप की लंबाई तक कम किया जा सकता है:
 * $$S-s=-0.5(h_1+h_2)s/R-0.5(h_1-h_2)^2/s$$

जहाँ R का मूल्यांकन पृथ्वी की वक्रता की अज़ीमुथल त्रिज्या से किया जाता है और h प्रत्येक बिंदु पर दीर्घवृत्ताकार ऊँचाई हैं। समीकरण के दायीं ओर का पहला पद माध्य उन्नयन के लिए और दूसरा पद झुकाव के लिए है। उपरोक्त पृथ्वी की सामान्य खंड लंबाई को दीर्घवृत्ताभ भूगर्भीय लंबाई में और कमी करना अक्सर नगण्य होता है।

यह भी देखें

 * चाप माप
 * पृथ्वी त्रिज्या
 * गोलाकार पृथ्वी
 * ग्रेट-सर्कल दूरी
 * ग्रेट-सर्कल नेविगेशन
 * ग्राउंड नमूना दूरी
 * विन्सेंटी के सूत्र
 * मेरिडियन चाप
 * पैमाना (नक्शा)नक्शा)

बाहरी संबंध

 * An online geodesic calculator (based on GeographicLib).
 * An online geodesic bibliography.