डिराक डेल्टा फलन



गणितीय भौतिकी में, डिराक डेल्टा वितरण ($δ$ वितरण), जिसे इकाई आवेग के रूप में भी जाना जाता है, वास्तविक संख्याओं पर एक सामान्यीकृत फलन या वितरण (गणित) है, जिसका मान शून्य को छोड़कर हर जगह शून्य है, और जिसका संपूर्ण वास्तविक रेखा पर समाकल समाकल एक के समान है।

इकाई आवेग की वर्तमान समझ एक रैखिकफलनक के रूप में है जो प्रत्येक सतत फलन (उदाहरण के लिए, $$f(x)$$) को उसके डोमेन $$f(0)$$) के शून्य पर मूल्य पर मानचित्र करती है, या बम्प फलन के अनुक्रम की दुर्बल सीमा के रूप में (उदाहरण के लिए, $$\delta(x) = \lim_{b \to 0} \frac{1}{|b|\sqrt{\pi}}e^{-(x/b)^2}$$), जो अधिकांश वास्तविक रेखा पर शून्य हैं, जिनके मूल में एक लंबा स्पाइक है। इस प्रकार बम्प फलन को कभी-कभी  अनुमानित  या  उदीयमान  डेल्टा वितरण कहा जाता है।

डेल्टा फलन को भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक द्वारा अवस्था सदिश के सामान्यीकरण के लिए एक उपकरण के रूप में प्रस्तावित किया गया था। संभाव्यता सिद्धांत और सिग्नल संसाधन में भी इसका उपयोग होता है। इसकी मान्यता तब तक विवादित रही जब तक लॉरेंट श्वार्ट्ज ने वितरण के सिद्धांत को विकसित नहीं किया जहां इसे फलनों पर कार्य करने वाले एक रैखिक रूप में परिभाषित किया गया है।

क्रोनकर डेल्टा फलन, जिसे सामान्यतः एक अलग डोमेन पर परिभाषित किया जाता है और 0 और 1 मान लेता है, डिराक डेल्टा फलन का अलग एनालॉग है।

प्रेरणा और समीक्षा
डिराक डेल्टा का आलेख सामान्यतः संपूर्ण x-अक्ष और धनात्मक y-अक्ष का अनुसरण करने वाला माना जाता है। डिराक डेल्टा का उपयोग एक लंबे संकीर्ण स्पाइक फलन (एक आवेग), और अन्य समान अमूर्त जैसे बिंदु आवेश, बिंदु द्रव्यमान या इलेक्ट्रॉन बिंदु को प्रतिरूप करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, बिलियर्ड गेंद पर प्रहार की गतिशीलता की गणना करने के लिए, कोई डायराक डेल्टा द्वारा प्रभाव के बल का अनुमान लगा सकता है। ऐसा करने से, कोई न केवल समीकरणों को सरल बनाता है, लेकिन कोई उपपरमाण्विक स्तरों (उदाहरण के लिए) पर सभी प्रत्यास्थ ऊर्जा हस्तांतरण के विस्तृत प्रतिरूप के बिना केवल संघट्ट के कुल आवेग पर विचार करके गेंद की गति (भौतिकी) की गणना करने में भी सक्षम होता है।

विशिष्ट रूप से, मान लीजिए कि एक बिलियर्ड गेंद आराम की स्थिति में है। समय $$t=0$$ पर यह एक अन्य गेंद से टकराता है, जिससे इसे इकाई kg⋅m⋅s−1 के साथ संवेग $P$ प्रदान होती है। संवेग का आदान-प्रदान वास्तव में तात्क्षणिक नहीं है, आणविक और उपपरमाण्विक स्तर पर प्रत्सास्थ प्रक्रियाओं द्वारा मध्यस्थ होने के कारण, लेकिन व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए उस ऊर्जा हस्तांतरण को प्रभावी रूप से तात्क्षणिक मानना ​​​​सुविधाजनक है। इसलिए बल $P δ(t)$ है; $δ(t)$ की इकाइयाँ s−1 है।

इस स्थिति को और अधिक कठोरता से प्रतिरूप करने के लिए, मान लीजिए कि इसके बदले बल को एक छोटे समय अंतराल $\Delta t = [0,T]$ पर समान रूप से वितरित किया जाता है। वह,

$$F_{\Delta t}(t) = \begin{cases} P/\Delta t& 0 0\\ 0 & t < 0.\end{cases}$$ यहाँ फलन $$F_{\Delta t}$$ को संवेग के तात्क्षणिक समष्टिांतरण के विचार के लिए उपयोगी सन्निकटन के रूप में माना जाता है।

डेल्टा फलन हमें इन सन्निकटनों की एक आदर्श सीमा बनाने की अनुमति देता है। दुर्भाग्य से, फलनों की वास्तविक सीमा (बिंदुवार अभिसरण के अर्थ में) $\lim_{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}$ हर जगह शून्य है लेकिन एक बिंदु है, जहां यह अनंत है। डिराक डेल्टा की उचित समझ बनाने के लिए, हमें इसके बदले गुण पर जोर देना चाहिए

$$\int_{-\infty}^\infty F_{\Delta t}(t)\,dt = P,$$ जो सभी $\Delta t>0$ के लिए है, उसे सीमा में बनाए रखना चाहिए। तो, समीकरण $F(t)=P\,\delta(t)=\lim_{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)$ में, यह समझा जाता है कि सीमा को हमेशा समाकल के बाहर लिया जाता है।

व्यावहारिक गणित में, जैसा कि हमने यहां किया है, डेल्टा फलन को प्रायः फलनों के अनुक्रम की एक प्रकार की सीमा (एक दुर्बल सीमा) के रूप में प्रकलित किया जाता है, जिसके प्रत्येक सदस्य के मूल में एक लंबा स्पाइक होता है: उदाहरण के लिए, गॉसियन वितरणों का एक क्रम मूल बिंदु पर केन्द्रित है और विचरण शून्य की ओर है।

डिराक डेल्टा वास्तव में एक फलन नहीं है, कम से कम वास्तविक संख्याओं में डोमेन और श्रैणी वाला सामान्य फलन नहीं है। उदाहरण के लिए, वस्तुएं $f(x) = δ(x)$ और $g(x) = 0$, $x = 0$ को छोड़कर सभी जगह समान हैं, फिर भी इनके समाकल हैं जो भिन्न हैं। लेबेस्ग एकीकरण सिद्धांत के अनुसार, यदि $f$ और $g$ ऐसे फलन हैं कि लगभग हर जगह $f = g$ है, तब $f$ पूर्णांक है यदि और केवल यदि $g$ पूर्णांक है और  $f$ और $g$ के पूर्णांक समरूप हैं। डिराक डेल्टा फलन को अपने आप में एक गणितीय वस्तु के रूप में मानने के लिए एक परिशुद्ध दृष्टिकोण के लिए माप सिद्धांत या वितरण (गणित) के सिद्धांत की आवश्यकता होती है।

इतिहास
जोसेफ फूरियर ने जिसे अब फूरियर समाकल प्रमेय कहा जाता है उसे अपने ग्रंथ थियोरी एनालिटिक डे ला चैलूर में इस रूप में प्रस्तुत किया:

$$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\ \ d\alpha \, f(\alpha) \ \int_{-\infty}^\infty dp\ \cos (px-p\alpha)\, $$ जो विधि में $δ$-फलन की प्रास्ताविक के समान है:

$$\delta(x-\alpha)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty dp\ \cos (px-p\alpha) \. $$ बाद में, ऑगस्टिन कॉची ने घातांक का उपयोग करके प्रमेय व्यक्त किया:

$$f(x)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^ \infty \ e^{ipx}\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-ip\alpha }f(\alpha)\,d \alpha \right) \,dp. $$ कॉची ने बताया कि कुछ परिस्थितियों में एकीकरण का क्रम इस परिणाम में महत्वपूर्ण है (फुबिनी के प्रमेय के विपरीत)।

जैसा कि वितरण के सिद्धांत का उपयोग करके तर्कसंगत किया गया है, कॉची समीकरण को फूरियर के मूल सूत्रीकरण के समान पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है और δ-फलन को इस प्रकार दिखाया गया है

$$\begin{align} f(x)&=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ipx}\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-ip\alpha }f(\alpha)\,d \alpha \right) \,dp \\[4pt] &=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty e^{ipx} e^{-ip\alpha } \,dp \right)f(\alpha)\,d \alpha =\int_{-\infty}^\infty \delta (x-\alpha) f(\alpha) \,d \alpha, \end{align}$$ जहां δ-फलन को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

$$\delta(x-\alpha)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ip(x-\alpha)}\,dp \. $$ घातीय रूप की परिशुद्ध व्याख्या और इसके अनुप्रयोग के लिए आवश्यक फलन f की विभिन्न सीमाएं कई सदियों तक विस्तारित है। शास्त्रीय व्याख्या की समस्याओं को इस प्रकार समझाया गया है:
 * शास्त्रीय फूरियर परिवर्तन का सबसे बड़ी कमी फलनों (मूल) का एक संकीर्ण वर्ग है जिसके लिए इसे प्रभावी रूप से गणना की जा सकती है। अर्थात्, यह आवश्यक है कि फूरियर समाकल के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए यह आवश्यक है कि ये फलन पर्याप्त तेज़ी से शून्य (अनंत के पड़ोस में) तक कम हो जाता है। उदाहरण के लिए, बहुपद जैसे सरल फलनों का फूरियर रूपांतरण शास्त्रीय अर्थ में उपस्थित नहीं है। वितरणों में शास्त्रीय फूरियर परिवर्तन के विस्तार ने उन फलनों के वर्ग को अत्याधिक विवर्धित किया जिन्हें रूपांतरित किया जा सकता था और इसने कई अवरोध को दूर किया है।

यह द्विसमानता की तुलना में पूर्णतः स्थूलतर है (अर्थात् यह एक अधिसमुच्चय है) आगे के विकास में फूरियर समाकल का सामान्यीकरण सम्मिलित है,  प्लांचरेल के पथप्रदर्शक L''2-सिद्धांत (1910) से आरंभ करते हुए, वीनर और बोचनर के फलनों को सतत रखा (1930 के आसपास) और एल. श्वार्ट्ज के वितरण के सिद्धांत (1945) में समामेलन के साथ समाप्त हुआ..., और डिराक डेल्टा फलन के औपचारिक विकास की ओर अग्रसर हुआ है।

एक असीम रूप से लंबे, इकाई आवेग डेल्टा फलन (कॉची वितरण का अनंत संस्करण) के लिए एक अत्यंत छोटा सूत्र स्पष्ट रूप से ऑगस्टिन लुई कॉची के 1827 के पाठ में दिखाई देता है। सिमोन डेनिस पॉइसन ने तरंग प्रसार के अध्ययन के संबंध में इस मुद्दे पर विचार किया जैसा कि कुछ समय बाद गुस्ताव किरचॉफ ने कुछ समय बाद किया था। किरचॉफ और हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ ने इकाई आवेग को गाऊसी की सीमा के रूप में भी प्रस्तावित किया, जो लॉर्ड केल्विन की बिंदु ताप स्रोत की धारणा के अनुरूप था। 19वीं शताब्दी के अंत में, ओलिवर हेविसाइड ने इकाई आवेग में प्रकलित करने के लिए औपचारिक फूरियर श्रृंखला का उपयोग किया था। डिराक डेल्टा फलन को पॉल डिराक ने अपने 1927 के दस्तावेज़ क्वांटम डायनेमिक्स की भौतिक व्याख्या में प्रस्तावित किया था और अपनी पाठ्यपुस्तक क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत में इसका उपयोग किया था। इसे डेल्टा फलन कहा क्योंकि उन्होंने इसे असतत क्रोनकर डेल्टा के सतत एनालॉग के रूप में उपयोग किया था।

परिभाषाएँ
डिराक डेल्टा फलन $$\delta (x)$$ को वास्तविक रेखा पर एक फलन के रूप में सोचा जा सकता है जो मूल बिंदु को छोड़कर हर जगह शून्य है, जहां यह अनंत है,

$$\delta(x) \simeq \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$$ और जो तत्समक को संतुष्ट करने के लिए भी सीमित है

$$\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1.$$ यह केवल एक अनुमानी लक्षण वर्णन है। डिराक डेल्टा पारंपरिक अर्थों में एक फलन नहीं है क्योंकि वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित किसी भी फलन में ये गुण नहीं होते हैं।

डिराक डेल्टा फलन की एक और तुल्य परिभाषा: $$\delta (x)$$ एक फलन है (एक शिथिल अर्थ में) जो संतुष्ट करता है

$$\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1, \ \int_{-\infty}^\infty \delta (x) g(x) dx = g(0) $$जहां g(x) एक सुव्यवस्थित फलन है। इस परिभाषा में दूसरी प्रतिबंध उपरोक्त पहली परिभाषा से प्राप्त की जा सकती है:$$\int_{-\infty}^\infty \delta (x) g(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\epsilon}^\epsilon \delta (x) g(x) dx = g(0)\lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\epsilon}^\epsilon \delta (x) dx = g(0). $$डिराक डेल्टा फलन को या तो वितरण के रूप में या नीचे वर्णित माप के रूप में यथार्थ रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

मापक के रूप में
डिराक डेल्टा फलन की धारणा को कठोरता से पकड़ने का एक प्रकार एक माप (गणित) को परिभाषित करना है, जिसे डिराक माप कहा जाता है, जो वास्तविक रेखा $R$ के उपसमुच्चय $A$ को एक तर्क के रूप में स्वीकार करता है, और यदि $0 ∈ A$ है तो $δ(A) = 1$ देता है, और अन्यथा $δ(A) = 0$ देता है। डेल्टा फलन को 0 पर एक आदर्श बिंदु द्रव्यमान के मॉडलिंग के रूप में संकल्पित किया गया है, तब $δ(A)$ समुच्चय $A$ में निहित द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है। कोई इस द्रव्यमान वितरण के प्रति किसी फलन के समाकल वितरण के रूप में $δ$ के प्रति समाकल एक फलन के समाकल को परिभाषित कर सकता है। औपचारिक रूप से, लेब्सग समाकल आवश्यक विश्लेषणात्मक उपकरण प्रदान करता है। माप $δ$ के संबंध में लेब्सेग समाकल

$$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(dx) = f(0)$$ सभी सतत कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित फलन $f$ को संतुष्ट करता है। माप $δ$ लेब्सेग माप के संबंध में बिल्कुल सतत नहीं है - वास्तव में, यह एक अद्वितीय माप है। परिणामस्वरूप, डेल्टा माप में कोई रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न नहीं है (लेबेस्ग माप के संबंध में) - कोई वास्तविक फलन नहीं जिसके लिए गुण धारण करती है।

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta(x)\, dx = f(0)$$ परिणामस्वरूप, बाद वाला संकेतन संकेतन का एक सुविधाजनक दुरुपयोग है, और एक मानक (रीमैन या लेबेस्ग) समाकल नहीं है।

$R$ पर संभाव्यता माप के रूप में, डेल्टा माप को इसके संचयी वितरण फलन की विशेषता है, जो इकाई सोपान फलन है।

$$H(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x\ge 0\\ 0 & \text{if } x < 0. \end{cases}$$ इसका अर्थ यह है कि $H(x)$ माप $δ$ के संबंध में संचयी संकेतक फलन $1_{(−∞, x]}$ का समाकल है; बुद्धि के लिए,

$$H(x) = \int_{\mathbf{R}}\mathbf{1}_{(-\infty,x]}(t)\,\delta(dt) = \delta(-\infty,x],$$ अनुवर्ती इस अंतराल का माप है; अधिक औपचारिक रूप से, $δ((−∞, x])$ है। इस प्रकार विशेष रूप से एक सतत फलन के प्रति डेल्टा फलन के एकीकरण को रीमैन-स्टिल्टजेस समाकल के रूप में ठीक से समझा जा सकता है:

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\delta(dx) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \,dH(x).$$ $δ$ के सभी उच्चतर क्षण (गणित) शून्य हैं। विशेष रूप से, विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) और क्षण उत्पन्न करने वाला फलन दोनों एक के समान हैं।

वितरण के रूप में
वितरण (गणित) के सिद्धांत में, एक सामान्यीकृत फलन को अपने आप में एक फलन नहीं माना जाता है, बल्कि केवल इसके बारे में माना जाता है कि यह अन्य फलन को कैसे प्रभावित करता है जब उनके प्रति एकीकृत किया जाता है। इस सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, डेल्टा फलन को ठीक से परिभाषित करने के लिए, यह कहना पर्याप्त है कि पर्याप्त रूप से अच्छे परीक्षण फलन $φ$ के प्रति डेल्टा फलन का समाकल क्या हैं। परीक्षण फलन को बम्प फलन के रूप में भी जाना जाता है। यदि डेल्टा फलन को पहले से ही एक माप के रूप में समझा जाता है, तो उस माप के प्रति एक परीक्षण फलन का लेबेस्ग समाकल आवश्यक समाकल प्रदान करता है।

परीक्षण फलन के एक विशिष्ट समष्टि कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ $R$ पर सभी सुचारू फलन सम्मिलित होते हैं जिसमें आवश्यकतानुसार कई व्युत्पन्न होते हैं। वितरण के रूप में, डिराक डेल्टा परीक्षण फलन के समष्टि पर एक रैखिक कार्यात्मक है और इसे परिभाषित किया गया है

प्रत्येक परीक्षण फलन $$ के लिए है।

$φ$ के उचित वितरण के लिए, इसे परीक्षण फलन के समष्टि पर एक उपयुक्त टोपोलॉजी में सतत होना चाहिए। सामान्य रूप में, वितरण को परिभाषित करने के लिए परीक्षण फलनों के समष्टि पर एक रैखिक कार्यात्मक $δ$ के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $S$ के लिए एक पूर्णांक $M_{N}$ और एक स्थिर $N$ होता है, जिससे प्रत्येक परीक्षण फलन $C_{N}$ के लिए असमानता होती है।

$$\left|S[\varphi]\right| \le C_N \sum_{k=0}^{M_N}\sup_{x\in [-N,N]} \left|\varphi^{(k)}(x)\right|$$ कहाँ $sup$ सर्वोच्च का प्रतिनिधित्व करता है। $φ$ वितरण के साथ, सभी $δ$ के लिए $M_{N} = 0$ के साथ ऐसी असमानता ($C_{N} = 1$ के साथ) होती है। इस प्रकार $N$ क्रम शून्य का वितरण है। इसके अलावा, यह कॉम्पैक्ट समर्थन वाला एक वितरण है (समर्थन$\{0\}$है)।

डेल्टा वितरण को कई समान प्रकार से भी परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह हेविसाइड सोपान फलन का वितरणात्मक व्युत्पन्न है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक परीक्षण फलन के लिए $δ$, एक है

$$\delta[\varphi] = -\int_{-\infty}^\infty \varphi'(x)\,H(x)\,dx.$$ सहज रूप से, यदि भागों द्वारा एकीकरण की अनुमति दी गई थी, तो बाद वाले समाकल को सरल बनाना चाहिए

$$\int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,H'(x)\,dx = \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,\delta(x)\,dx,$$ और वास्तव में, स्टिल्टजेस समाकल के लिए भागों द्वारा एकीकरण के एक रूप की अनुमति है, और उस प्रकरण में, किसी के पास

$$-\int_{-\infty}^\infty \varphi'(x)\,H(x)\, dx = \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,dH(x).$$ माप सिद्धांत के संदर्भ में, डिराक माप एकीकरण द्वारा वितरण को वृद्धि देता है। इसके विपरीत, समीकरण ($φ$) सभी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सतत फलनों के समष्टि पर एक डेनियल समाकल को परिभाषित करता है $$ जिसे रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा, कुछ रेडॉन माप के संबंध में $φ$ के लेबेस्ग समाकल के रूप में दर्शाया जा सकता है।

सामान्यतः, जब डिराक डेल्टा फलन शब्द का उपयोग किया जाता है, तो यह मापक के बदले वितरण के अर्थ में होता है, डिराक माप माप सिद्धांत में संबंधित धारणा के लिए कई शब्दों में से एक होता है। कुछ स्रोत डिराक डेल्टा वितरण शब्द का भी उपयोग कर सकते हैं।

सामान्यीकरण
डेल्टा फलन को $φ$-विमीय यूक्लिडियन समष्टि $R^{n}$ में इस तरह के माप के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$$\int_{\mathbf{R}^n} f(\mathbf{x})\,\delta(d\mathbf{x}) = f(\mathbf{0})$$ प्रत्येक सघन रूप से समर्थित सतत फलन $n$ के लिए है। एक माप के रूप में, $f$-आयामी डेल्टा फलन प्रत्येक चर में अलग-अलग 1-आयामी डेल्टा फलन का उत्पाद माप है। इस प्रकार, औपचारिक रूप से, $x = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ के साथ, किसी के पास है

डेल्टा फलन को एक-आयामी प्रकरण में ऊपर बताए अनुसार वितरण के अर्थ में भी परिभाषित किया जा सकता है। हालाँकि, इंजीनियरिंग संदर्भों में व्यापक उपयोग के बावजूद, ($n$) में सावधानी से प्रकलित किया जाना चाहिए, क्योंकि वितरण के उत्पाद को केवल अत्यन्त संकीर्ण परिस्थितियों में ही परिभाषित किया जा सकता है।

डिराक माप की धारणा किसी भी समुच्चय पर समझ में आती है। इस प्रकार यदि $$ एक समुच्चय है, $x_{0} ∈ X$ एक चिह्नित बिंदु है, और $Σ$, $$ के उपसमुच्चय का कोई सिग्मा बीजगणित है, तो समुच्चय $A ∈ Σ$ पर परिभाषित माप

$$\delta_{x_0}(A)=\begin{cases} 1 &\text{if }x_0\in A\\ 0 &\text{if }x_0\notin A \end{cases}$$ डेल्टा माप या इकाई द्रव्यमान $x_{0}$ पर केंद्रित है।

डेल्टा फलन का एक और सामान्य सामान्यीकरण एक विभेदक बहुरूपता है जहां वितरण के रूप में इसके अधिकांश गुणों का भी विभेदक संरचना के कारण पराक्रम किया जा सकता है। बिंदु $x_{0} ∈ M$ पर केन्द्रित बहुरूपता $X$ पर डेल्टा फलन को निम्नलिखित वितरण के रूप में परिभाषित किया गया है:

$X$ पर सभी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सुचारू वास्तविक-मूल्यवान फलन $M$ के लिए हैं। इस निर्माण का एक सामान्य विशेष प्रकरण वह प्रकरण है जिसमें $$ यूक्लिडियन समष्टि $R^{n}$ में एक विवृत समुच्चय हैं।

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ समष्टि $M$ पर, एक बिंदु $φ$ पर केंद्रित डिराक डेल्टा माप, कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सतत फलन $M$ पर डेनियल समाकल ($X$) से जुड़ा रेडॉन माप हैं। व्यापकता के इस स्तर पर, कैलकुलस अब संभव नहीं है, हालांकि अमूर्त विश्लेषण से लेकर विभिन्न प्रकार की तकनीकें उपलब्ध हैं। उदाहरण के लिए, मानचित्रण $$x_0\mapsto \delta_{x_0}$$अपनी अस्पष्ट टोपोलॉजी से सुसज्जित, $x$ पर परिमित रेडॉन माप के समष्टि में $φ$ का सतत अंतःस्थापन है। इसके अलावा, इस अंतःस्थापन के अंतर्गत $$ के प्रतिबिंब का अवमुख समावरक $X$ पर संभाव्यता माप के संभाव्यता माप के समष्टि में सघन हैं।

स्केलिंग और समरूपता
डेल्टा फलन गैर-शून्य स्केलर $X$ के लिए निम्नलिखित स्केलिंग गुण को संतुष्ट करता है :

$$\int_{-\infty}^\infty \delta(\alpha x)\,dx =\int_{-\infty}^\infty \delta(u)\,\frac{du}{|\alpha|} =\frac{1}{|\alpha|}$$ इसलिए

स्केलिंग गुण प्रमाण:$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx\ g(x) \delta (ax) = \frac{1}{a}\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx'\ g(\frac{x'}{a}) \delta (x') $$जहां चर $x&prime; = ax$ में परिवर्तन का उपयोग किया जाता है। यदि $X$ ऋणात्मक है, अर्थात्, $a = &minus;|a|$, तो $$\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx\ g(x) \delta (ax) = \frac{1}{-\left \vert a \right \vert}\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx'\ g(\frac{x'}{a}) \delta (x') = \frac{1}{\left \vert a \right \vert}\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx'\ g(\frac{x'}{a}) \delta (x') = \frac{1}{\left \vert a \right \vert}g(0). $$ इस प्रकार, $\delta (ax) = \frac{1}{\left \vert a \right \vert} \delta(x)$.

विशेष रूप से, डेल्टा फलन एक समान वितरण (समरूपता) है, इस अर्थ में

$$\delta(-x) = \delta(x)$$ जो घात $&minus;1$ का सजातीय है।

बीजगणितीय गुण
$X$ के साथ $α$ का वितरणात्मक उत्पाद शून्य के समान है:

$$x\,\delta(x) = 0.$$अधिक सामान्यतः, सभी धनात्मक पूर्णांक n के लिए (x−a)nE(x−a)=0 है। इसके विपरीत, यदि $xf(x) = xg(x)$, जहां $$ और $a$ वितरण हैं, तो

$$f(x) = g(x) +c \delta(x)$$ कुछ स्थिरांक $x$ के लिए है।

अनुवाद
समय-विलंबित डिराक डेल्टा का समाकल है

$$\int_{-\infty}^\infty f(t) \,\delta(t-T)\,dt = f(T).$$ इसे कभी-कभी विचालन गुण या प्रतिदर्श गुण के रूप में जाना जाता है। डेल्टा फलन के बारे में कहा जाता है कि यह t = T पर f(t) के मान को "विचालन" देता है।।

इसका तात्पर्य यह है कि किसी फलन $f(t)$ को समय-विलंबित डिराक डेल्टा $$ \delta_T(t) = \delta(t-T)$$ के साथ संयोजित करने का प्रभाव $f(t)$ को समान मात्रा में समय-विलंबित करना है:

$$\begin{align} (f * \delta_T)(t) \ &\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{-\infty}^\infty f(\tau)\, \delta(t-T-\tau) \, d\tau \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(\tau) \,\delta(\tau-(t-T)) \,d\tau \qquad \text{since}~ \delta(-x) = \delta(x)  \text{by (4)}\\ &= f(t-T). \end{align}$$ गुण स्पष्ट प्रतिबंध के अंतर्गत रखती है कि $δ$ एक संस्कारित वितरण है (नीचे फूरियर रूपांतरण की परिचर्चा देखें)। उदाहरण के लिए, एक विशेष प्रकरण के रूप में, हमारे पास तत्समक है (वितरण अर्थ में समझी गई)

$$\int_{-\infty}^\infty \delta (\xi-x) \delta(x-\eta) \,dx = \delta(\eta-\xi).$$

फलन के साथ रचना
अधिक सामान्यतः, डेल्टा वितरण एक सुचारु कार्य के साथ एक सुचारु कार्य के साथ वितरण (गणित)#संरचना हो सकता है $g(x)$ इस तरह से कि चर सूत्र का परिचित परिवर्तन कायम रहे

$$\int_{\R} \delta\bigl(g(x)\bigr) f\bigl(g(x)\bigr) \left|g'(x)\right| dx = \int_{g(\R)} \delta(u)\,f(u)\,du$$ उसे उपलब्ध कराया $f$ एक सतत् अवकलनीय फलन है $g&prime;$कहीं भी शून्य नहीं।अर्थात, वितरण को अर्थ बताने का एक अनोखा प्रकार है $$\delta\circ g$$ ताकि यह पहचान सभी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित परीक्षण फलनों के लिए बनी रहे $g$. इसलिए, को बाहर करने के लिए डोमेन को तोड़ना होगा $g&prime; = 0$ बिंदु। यह वितरण संतुष्ट करता है $δ(g(x)) = 0$ अगर $c$ कहीं भी शून्य नहीं है, और अन्यथा यदि $f$ में किसी फलन का वास्तविक मूल होता है $x_{0}$, तब

$$\delta(g(x)) = \frac{\delta(x-x_0)}{|g'(x_0)|}.$$ इसलिए यह स्वाभाविक है रचना $δ(g(x))$ लगातार भिन्न फलनों के लिए $g$ द्वारा

$$\delta(g(x)) = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}$$ जहां योग सभी जड़ों (अर्थात्, सभी अलग-अलग) पर विस्तारित होता है $f$, जिन्हें सरल जड़ माना जाता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए

$$\delta\left(x^2-\alpha^2\right) = \frac{1}{2|\alpha|} \Big[\delta\left(x+\alpha\right)+\delta\left(x-\alpha\right)\Big].$$ समाकल रूप में, सामान्यीकृत स्केलिंग गुण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(g(x)) \, dx = \sum_{i}\frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|}. $$

अनिश्चित समाकल
एक स्थिरांक के लिए $a ∈ &reals;$ और एक अच्छा व्यवहार वाला मनमाना वास्तविक-मूल्यवान फलन $y(x)$ यह सच है कि: $$\displaystyle{\int}y(x)\delta(x-a)dx = y(a)H(x-a) + \mathbf{C}$$ साथ $H(x)$ हेविसाइड स्टेप फलन है और $C$ पारंपरिक एकीकरण स्थिरांक।

एन आयामों में गुण
ए में डेल्टा वितरण $g$-आयामी समष्टि इसके बदले निम्नलिखित स्केलिंग गुण को संतुष्ट करता है, $$\delta(\alpha\mathbf{x}) = |\alpha|^{-n}\delta(\mathbf{x}) ~,$$ ताकि $g$ डिग्री का एक सजातीय कार्य वितरण है $&minus;n$.

किसी भी प्रतिबिंब (गणित) या घूर्णन (गणित) के अंतर्गत $g$, डेल्टा फलन अपरिवर्तनीय है, $$\delta(\rho \mathbf{x}) = \delta(\mathbf{x})~.$$ जैसा कि एक-चर प्रकरण में, इसकी संरचना को परिभाषित करना संभव है $g(x)$ लिप्सचिट्ज़ फलन के साथ|द्वि-लिप्सचिट्ज़ फलन $g: R^{n} → R^{n}$ विशिष्ट रूप से ताकि पहचान हो $$\int_{\R^n} \delta(g(\mathbf{x}))\, f(g(\mathbf{x}))\left|\det g'(\mathbf{x})\right| d\mathbf{x} = \int_{g(\R^n)} \delta(\mathbf{u}) f(\mathbf{u})\,d\mathbf{u}$$ सभी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित फलनों के लिए $n$.

ज्यामितीय माप सिद्धांत से कोएरिया सूत्र का उपयोग करके, एक यूक्लिडियन समष्टि से दूसरे विभिन्न आयामों में विसर्जन (गणित) के साथ डेल्टा फलन की संरचना को भी परिभाषित किया जा सकता है; परिणाम एक प्रकार का करंट (गणित) है। सतत अवकलनीय फलन के विशेष प्रकरण में $g : R^{n} → R$ ऐसा कि ढाल $δ$ कहीं भी शून्य नहीं है, निम्नलिखित पहचान कायम है $$\int_{\R^n} f(\mathbf{x}) \, \delta(g(\mathbf{x})) \,d\mathbf{x} = \int_{g^{-1}(0)}\frac{f(\mathbf{x})}{|\mathbf{\nabla}g|}\,d\sigma(\mathbf{x}) $$ जहां दाहिनी ओर का समाकल अंग समाप्त हो गया है $g^{−1}(0)$, द $(n − 1)$-आयामी सतह द्वारा परिभाषित $g(x) = 0$मिन्कोव्स्की सामग्री माप के संबंध में। इसे सरल परत समाकल के रूप में जाना जाता है।

$$\delta_S[g] = \int_S g(\mathbf{s})\,d\sigma(\mathbf{s})$$ कहाँ $ρ$ हाइपरसरफेस माप से संबंधित है $δ$. यह सामान्यीकरण सरल परत क्षमता के संभावित सिद्धांत से जुड़ा है $f$. अगर $g$ में एक डोमेन (गणितीय विश्लेषण) है $R^{n}$ चिकनी सीमा के साथ $S$, तब $R^{n}$ के सूचक फलन के सामान्य व्युत्पन्न के समान है $S$ वितरण अर्थ में,
 * अधिक सामान्यतः, यदि $g$ की एक चिकनी हाइपरसतह है $δ_{S}$, तो हम इससे जुड़ सकते हैं $S$ वह वितरण जो किसी भी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सुचारू फलन को एकीकृत करता है $σ$ ऊपर $S$:

$$-\int_{\R^n}g(\mathbf{x})\,\frac{\partial 1_D(\mathbf{x})}{\partial n}\,d\mathbf{x}=\int_S\,g(\mathbf{s})\, d\sigma(\mathbf{s}),$$ कहाँ $S$ जावक सामान्य है. प्रमाण के लिए, उदाहरण देखें। सूचक#डिराक सतह डेल्टा फलन के लाप्लासियन पर लेख।

गुणयों का सारांश
इन गुणों को समीकरणों के दोनों पक्षों को एक सुव्यवस्थित फलन द्वारा गुणा करके सिद्ध किया जा सकता है $f(x)$ और एक निश्चित एकीकरण लागू करना, यह ध्यान में रखते हुए कि डेल्टा फलन अंतिम परिणाम का हिस्सा नहीं हो सकता है, सिवाय इसके कि जब यह एक समाकल अंग के अंदर हो।


 * $$\delta(x)=\delta(-x)\,\!$$
 * $$f(x)\delta'(x)=-f'(x)\delta(x)\,\!$$ जो ये दर्शाता हे $$ x \delta'(x)=-\delta(x)\,\!$$
 * $$\delta'(x)=-\delta'(-x)\,\!$$
 * $$x^n\delta(x)=0 \qquad \forall n>0, x\in\mathbb{R}\,\!$$
 * $$(x-a)^n\delta(x-a)=0 \qquad \forall n>0\,\!$$
 * $$\delta(ax-b)=|a|^{-1}\delta(x-(b/a)) \qquad \forall a \ne 0\,\!$$
 * $$h(x)\delta(x-a)=h(a)\delta(x-a)\,\!$$
 * $$h(x)\delta'(x-a) = h(a)\delta'(x-a)-h'(a)\delta(x-a)\,$$
 * $$\delta(f(x)) = \sum_n |f'(x_n)|^{-1}\delta(x-x_n), \quad \mbox{with}\ f(x_n)=0,\ f'(x_n)\ne 0$$
 * $$\delta\left(x^2-\alpha^2\right) = \frac{1}{2|\alpha|} \Big[\delta\left(x+\alpha\right)+\delta\left(x-\alpha\right)\Big]$$
 * $$\delta(\omega) = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{i\omega t}dt$$ * $$\delta(x)$$ यह वर्ग है $$C^{-2}(\R)$$
 * $$a\in\mathbb{R}:\,\int h(x)\delta(x-a)dx = h(a)\ H(x-a) + \mathbf{C}$$ साथ $$H(x)$$ हेविसाइड स्टेप फलन और $$\mathbf{C}$$ यह एकीकरण स्थिरांक है।

गोलाकार निर्देशांक में प्रतिनिधित्व है:

$$\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) = \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{r^2\sin\theta}\delta(r-r_0) \delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)& x_0,y_0,z_0 \ne 0 \\ \displaystyle\frac{1}{2\pi r^2\sin\theta}\delta(r-r_0) \delta(\theta-\theta_0)& x_0=y_0=0,\ z_0 \ne 0 \\ \displaystyle\frac{1}{4\pi r^2}\delta(r-r_0) & x_0=y_0=z_0 = 0 \end{cases}$$

फूरियर रूपांतरण
डेल्टा फलन एक डिस्ट्रीब्यूशन (गणित)#टेम्पर्ड डिस्ट्रीब्यूशन और फूरियर ट्रांसफॉर्म है, और इसलिए इसमें एक अच्छी तरह से परिभाषित फूरियर ट्रांसफॉर्म है। औपचारिक रूप से, कोई पाता है

$$\widehat{\delta}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i x \xi} \,\delta(x)dx = 1.$$ ठीक से कहें तो, किसी वितरण के फूरियर रूपांतरण को द्वैत युग्मन के तहत फूरियर रूपांतरण की स्व-संयुक्तता को लागू करके परिभाषित किया गया है। $$\langle\cdot,\cdot\rangle$$ श्वार्ट्ज कार्य करता है के साथ टेम्पर्ड वितरण। इस प्रकार $$\widehat{\delta}$$ अद्वितीय टेम्पर्ड वितरण संतोषजनक के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\langle\widehat{\delta},\varphi\rangle = \langle\delta,\widehat{\varphi}\rangle$$ सभी श्वार्ट्ज फलनों के लिए $D$. और वास्तव में इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि $$\widehat{\delta}=1.$$ इस पहचान के परिणामस्वरूप, डेल्टा का कनवल्शन किसी अन्य टेम्पर्ड वितरण के साथ कार्य करता है $S$ सादा है $D$:

$$S*\delta = S.$$ यही कहना है $n$ टेम्पर्ड डिस्ट्रीब्यूशन पर कनवल्शन के लिए एक पहचान तत्व है, और वास्तव में, कनवल्शन के तहत कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित वितरण का समष्टि डेल्टा फलन की पहचान के साथ एक सहयोगी बीजगणित है। यह गुण सिग्नल प्रोसेसिंग में मौलिक है, क्योंकि टेम्पर्ड वितरण के साथ कनवल्शन एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली है, और रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को लागू करने से इसकी आवेग प्रतिक्रिया मापी जाती है। आवेग प्रतिक्रिया की गणना उपयुक्त सन्निकटन का चयन करके सटीकता की किसी भी वांछित डिग्री तक की जा सकती है $φ$, और एक बार यह ज्ञात हो जाए, तो यह सिस्टम को पूरी तरह से चित्रित करता है। देखना.

टेम्पर्ड वितरण का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण $f(ξ) = 1$ डेल्टा फलन है. औपचारिक रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है $$\int_{-\infty}^\infty 1 \cdot e^{2\pi i x\xi}\,d\xi = \delta(x)$$ और अधिक कठोरता से, यह तब से अनुसरण करता है $$\langle 1, \widehat{f}\rangle = f(0) = \langle\delta,f\rangle$$ सभी श्वार्ट्ज फलनों के लिए $S$.

इन शब्दों में, डेल्टा फलन फूरियर कर्नेल की ऑर्थोगोनैलिटी गुण का एक विचारोत्तेजक विवरण प्रदान करता है $R$. औपचारिक रूप से, किसी के पास है $$\int_{-\infty}^\infty e^{i 2\pi \xi_1 t} \left[e^{i 2\pi \xi_2 t}\right]^*\,dt = \int_{-\infty}^\infty e^{-i 2\pi (\xi_2 - \xi_1) t} \,dt = \delta(\xi_2 - \xi_1).$$ निःसंदेह, यह इस दावे का आशुलिपि है कि फूरियर टेम्पर्ड वितरण का रूपांतरण करता है $$f(t) = e^{i2\pi\xi_1 t}$$ है $$\widehat{f}(\xi_2) = \delta(\xi_1-\xi_2)$$ जो फिर से फूरियर परिवर्तन के आत्म-संबद्धता को लागू करके अनुसरण करता है।

फूरियर ट्रांसफॉर्म की विश्लेषणात्मक सततता से, डेल्टा फलन का लाप्लास परिवर्तन पाया जाता है $$ \int_{0}^{\infty}\delta(t-a)\,e^{-st} \, dt=e^{-sa}.$$

डिराक डेल्टा फलन के व्युत्पन्न
डिराक डेल्टा वितरण का व्युत्पन्न, दर्शाया गया $δ&prime;$ और इसे डिराक डेल्टा प्राइम या डिराक डेल्टा व्युत्पन्न भी कहा जाता है जैसा कि सूचक के लाप्लासियन में वर्णित है, इसे कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सुचारू परीक्षण फलनों पर परिभाषित किया गया है $S$ द्वारा $$\delta'[\varphi] = -\delta[\varphi']=-\varphi'(0).$$ यहां पहली समानता, यदि के लिए, भागों द्वारा एक प्रकार का एकीकरण है $δ$ तब एक सच्चा कार्य था $$\int_{-\infty}^\infty \delta'(x)\varphi(x)\,dx = \delta(x)\varphi(x)|_{-\infty}^{\infty} -\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \varphi'(x)\,dx = -\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \varphi'(x)\,dx. = -\varphi'(0)$$

$δ$-वें का व्युत्पन्न $f$ को परीक्षण फलनों पर दिए गए वितरण के समान ही परिभाषित किया गया है

$$\delta^{(k)}[\varphi] = (-1)^k \varphi^{(k)}(0).$$ इसे दूसरे व्युत्पन्न की गणना करके सिद्ध किया जा सकता है $δ^{(2)}[φ]$ पहले व्युत्पन्न, तीसरे व्युत्पन्न का उपयोग करके $δ^{(2)}[φ]$ दूसरे व्युत्पन्न इत्यादि का उपयोग करके। (भागों द्वारा एकीकरण और $\left. \frac{{{d}^{k}}\delta (x)}{d{{x}^{k}}} \right|_{-\infty }^{\infty } = 0$ सभी के लिए $k = 0, 1, 2, ...$, प्रत्येक गणना में उपयोग किया जाता है)। विशेष रूप से, $φ$ एक असीम रूप से भिन्न वितरण है।

डेल्टा फलन का पहला व्युत्पन्न अंतर भागफल की वितरण सीमा है: $$\delta'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\delta(x+h)-\delta(x)}{h}.$$ अधिक ठीक से, किसी के पास है $$\delta' = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}(\tau_h\delta - \delta)$$ कहाँ $δ$ अनुवाद ऑपरेटर है, जिसे फलन द्वारा परिभाषित किया गया है $τ_{h}φ(x) = φ(x + h)$, और वितरण पर $k}|k$ द्वारा $$(\tau_h S)[\varphi] = S[\tau_{-h}\varphi].$$ विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांत में, डेल्टा फलन का पहला व्युत्पन्न मूल बिंदु पर स्थित एक बिंदु चुंबकीय द्विध्रुव का प्रतिनिधित्व करता है। तदनुसार, इसे द्विध्रुव या इकाई द्विध्रुव कहा जाता है। डेल्टा फलन का व्युत्पन्न कई बुनियादी गुणों को संतुष्ट करता है, जिनमें सम्मिलित हैं: $$ \begin{align} \delta'(-x) &= -\delta'(x) \\ x\delta'(x) &= -\delta(x) \end{align} $$ जिसे परीक्षण फलन लागू करके और भागों द्वारा एकीकृत करके दिखाया जा सकता है।

इन गुणों में से बाद वाले को वितरणात्मक व्युत्पन्न परिभाषा, लिब्निट्ज़ के प्रमेय और आंतरिक उत्पाद की रैखिकता को लागू करके भी प्रदर्शित किया जा सकता है:

$$ \begin{align} \langle x\delta', \varphi \rangle \, &= \, \langle \delta', x\varphi \rangle \, = \, -\langle\delta,(x\varphi)'\rangle \, = \, - \langle \delta, x'\varphi + x\varphi'\rangle \, = \, - \langle \delta, x'\varphi\rangle  - \langle\delta, x\varphi'\rangle  \, =  \, - x'(0)\varphi(0) - x(0)\varphi'(0) \\ &= \, -x'(0) \langle \delta, \varphi \rangle - x(0) \langle \delta, \varphi' \rangle \, = \, -x'(0) \langle \delta,\varphi\rangle + x(0) \langle \delta', \varphi \rangle \, = \, \langle x(0)\delta' - x'(0)\delta, \varphi \rangle \\ \Longrightarrow x(t)\delta'(t) &= x(0)\delta'(t) - x'(0)\delta(t) = -x'(0)\delta(t) = -\delta(t) \end{align} $$ इसके अलावा, का कनवल्शन $δ$ कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित, सुचारू कार्य के साथ $δ$ है

$$\delta'*f = \delta*f' = f',$$ जो कनवल्शन के वितरणात्मक व्युत्पन्न के गुणों से अनुसरण करता है।

उच्च आयाम
अधिक सामान्यतः, खुले समुच्चय पर $τ_{h}$ में $S$-आयामी यूक्लिडियन समष्टि $&reals;^{n}$, डिराक डेल्टा वितरण एक बिंदु पर केंद्रित है $a ∈ U$ द्वारा परिभाषित किया गया है $$\delta_a[\varphi]=\varphi(a)$$ सभी के लिए $$\varphi \in C_c^\infty(U)$$, कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ सभी सुचारू फलनों का समष्टि $δ&prime;$. अगर $$\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$$ के साथ कोई बहु-सूचकांक है $$ |\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$$ और $$\partial^\alpha$$ संबद्ध मिश्रित आंशिक व्युत्पन्न ऑपरेटर को दर्शाता है, फिर $f$-वां व्युत्पन्न $U$ का $n$ द्वारा दिया गया है

$$\left\langle \partial^\alpha \delta_{a}, \, \varphi \right\rangle = (-1)^{| \alpha |} \left\langle \delta_{a}, \partial^{\alpha} \varphi \right\rangle = (-1)^{| \alpha |} \partial^\alpha \varphi (x) \Big|_{x = a} \quad \text{ for all } \varphi \in C_c^\infty(U).$$ वह यह है कि $U$-वें का व्युत्पन्न $α$ वह वितरण है जिसका मान किसी भी परीक्षण फलन पर होता है $∂^{α}δ_{a}$ है $δ_{a}$-वें का व्युत्पन्न $α$ पर $δ_{a}$ (उचित धनात्मक या नकारात्मक चिह्न के साथ)।

डेल्टा फलन के पहले आंशिक व्युत्पन्न को समन्वय विमानों के साथ दोहरी परत क्षमता के रूप में माना जाता है। अधिक सामान्यतः, किसी सतह पर समर्थित एक साधारण परत का सामान्य व्युत्पन्न उस सतह पर समर्थित एक दोहरी परत होती है और एक लामिना चुंबकीय मोनोपोल का प्रतिनिधित्व करती है। डेल्टा फलन के उच्च व्युत्पन्न को भौतिकी में मल्टीपोल के रूप में जाना जाता है।

उच्च व्युत्पन्न बिंदु समर्थन के साथ वितरण की पूरी संरचना के लिए बिल्डिंग ब्लॉक के रूप में स्वाभाविक रूप से गणित में प्रवेश करते हैं। अगर $φ$ क्या कोई वितरण चालू है $α$ समुच्चय पर सपोर्ट किया $\{a\}$ एक बिंदु से मिलकर, तब एक पूर्णांक होता है $φ$ और गुणांक $a$ ऐसा है कि $$S = \sum_{|\alpha|\le m} c_\alpha \partial^\alpha\delta_a.$$

डेल्टा फलन का प्रतिनिधित्व
डेल्टा फलन को फलनों के अनुक्रम की सीमा के रूप में देखा जा सकता है

$$\delta (x) = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \eta_\varepsilon(x), $$ कहाँ $η_{ε}(x)$ को कभी-कभी नवजात डेल्टा फलन भी कहा जाता है. इस सीमा का अर्थ कमजोर अर्थ में है: या तो वह

सभी सतत फलन फलन के लिए $S$ कॉम्पैक्ट समर्थन होना, या कि यह सीमा सभी सुचारु फलनों के लिए है $U$कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ। कमजोर अभिसरण के इन दो अलग-अलग तरीकों के बीच का अंतर प्रायः सूक्ष्म होता है: पहला उपायों की अस्पष्ट टोपोलॉजी में अभिसरण है, और बाद वाला वितरण (गणित) के अर्थ में अभिसरण है।

पहचान का अनुमान
सामान्यतः एक नवजात डेल्टा फलन $m$ का निर्माण निम्नलिखित तरीके से किया जा सकता है। होने देना $c_{α}$ एक बिल्कुल एकीकृत फलन बनें $R$ कुल समाकल का $1$, और परिभाषित करें $$\eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-1} \eta \left (\frac{x}{\varepsilon} \right). $$ में $$ आयाम, कोई इसके बदले स्केलिंग का उपयोग करता है $$\eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-n} \eta \left (\frac{x}{\varepsilon} \right). $$ फिर चरों का एक साधारण परिवर्तन यह दर्शाता है $f$ का भी समाकल अंग है $1$. कोई यह दिखा सकता है कि ($f$) सभी सतत कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित फलनों के लिए धारण करता है $η_{ε}$, इसलिए $η$ कमजोर रूप से अभिसरण करता है $n$ उपायों के अर्थ में. वह $η_{ε}$ इस तरह से निर्मित को पहचान के सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। यह शब्दावली समष्टि के कारण है L1(R)}पूर्णतया एकीकृत फलनों का } फलनों के कनवल्शन के संचालन के तहत बंद है: $f ∗ g ∈ L^{1}(R)$ जब कभी भी $$ और $f$ में हैं $L^{1}(R)$. हालाँकि, इसमें कोई पहचान नहीं है $L^{1}(R)$ कनवल्शन उत्पाद के लिए: कोई तत्व नहीं $η_{ε}$ ऐसा है कि $f ∗ h = f$ सभी के लिए $δ$. फिर भी, क्रम $η_{ε}$ इस अर्थ में ऐसी पहचान का अनुमान लगाता है

$$f*\eta_\varepsilon \to f \quad \text{as }\varepsilon\to 0.$$ यह सीमा माध्य अभिसरण (कन्वर्जेन्स इन) के अर्थ में रखती है $L^{1}$). पर आगे की शर्तें $f$, उदाहरण के लिए कि यह एक कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित फलन से जुड़ा एक मोलिफ़ायर है, लगभग हर जगह बिंदुवार अभिसरण सुनिश्चित करने की आवश्यकता है।

यदि प्रारंभिक $η = η_{1}$स्वयं सुचारू और सघन रूप से समर्थित है तो अनुक्रम को शांत करनेवाला कहा जाता है। मानक मोलिफ़ायर चुनकर प्राप्त किया जाता है η}उदाहरण के लिए, एक उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत बम्प फलन होना

$$\eta(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{1-|x|^2}}& \text{if } |x| < 1\\ 0                    & \text{if } |x|\geq 1. \end{cases}$$ संख्यात्मक विश्लेषण जैसी कुछ स्थितियों में, पहचान के लिए टुकड़े-टुकड़े रैखिक फलन सन्निकटन वांछनीय है। इसे लेकर प्राप्त किया जा सकता है $η = η_{1}$ एक टोपी समारोह होना। इस विकल्प के साथ $η_{1}$, किसी के पास

$$ \eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-1}\max \left (1-\left|\frac{x}{\varepsilon}\right|,0 \right) $$ जो सभी सतत और सघन रूप से समर्थित हैं, हालांकि चिकने नहीं हैं और इसलिए मोलीफ़ायर भी नहीं हैं।

संभाव्य विचार
संभाव्यता सिद्धांत के संदर्भ में, प्रारंभिक की अतिरिक्त शर्त लगाना स्वाभाविक है $η_{1}$ पहचान के सन्निकटन में धनात्मक होना चाहिए, क्योंकि ऐसा फलन तब संभाव्यता वितरण का प्रतिनिधित्व करता है। संभाव्यता वितरण के साथ कनवल्शन कभी-कभी अनुकूल होता है क्योंकि इसके परिणामस्वरूप ओवरशूट (संकेत)  या अंडरशूट नहीं होता है, क्योंकि आउटपुट इनपुट मानों का उत्तल संयोजन होता है, और इस प्रकार इनपुट फलन के अधिकतम और न्यूनतम के बीच आता है। ले रहा $η_{1}$ किसी भी संभाव्यता वितरण होना, और देना $η_{1}$जैसा कि ऊपर बताया गया है, पहचान के एक अनुमान को जन्म देगा। सामान्य रूप में यह अधिक तेजी से डेल्टा फलन में परिवर्तित हो जाता है, यदि, इसके अतिरिक्त, $g$ का अर्थ है $η_{ε}(x) = η_{1}(x/ε)/ε$ और इसमें छोटे उच्चतर क्षण हैं। उदाहरण के लिए, यदि $0$ पर एकसमान वितरण (सतत) है $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$, को आयताकार फलन के रूप में भी जाना जाता है, फिर: $$ \eta_\varepsilon(x) = \frac{1}{\varepsilon}\operatorname{rect}\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)= \begin{cases} \frac{1}{\varepsilon},&-\frac{\varepsilon}{2}<x<\frac{\varepsilon}{2}, \\ 0,                   &\text{otherwise}. \end{cases}$$ एक अन्य उदाहरण विग्नर अर्धवृत्त वितरण के साथ है $$\eta_\varepsilon(x)= \begin{cases} \frac{2}{\pi \varepsilon^2}\sqrt{\varepsilon^2 - x^2}, & -\varepsilon < x < \varepsilon, \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$$ यह सतत और सघन रूप से समर्थित है, लेकिन मोलिफ़ायर नहीं है क्योंकि यह चिकना नहीं है।

अर्धसमूह
नवजात डेल्टा फलन प्रायः कनवल्शन सेमीग्रुप के रूप में उत्पन्न होते हैं। यह आगे की बाधा के समान है जो कि कनवल्शन है $h$ साथ $f$ संतुष्ट होना चाहिए $$\eta_\varepsilon * \eta_\delta = \eta_{\varepsilon+\delta}$$ सभी के लिए $η_{1}$. कनवल्शन सेमीग्रुप्स में $ε, δ > 0$ जो एक नवजात डेल्टा फलन बनाते हैं, वे हमेशा उपरोक्त अर्थ में पहचान का एक अनुमान होते हैं, हालांकि सेमीग्रुप स्थिति अत्यन्त मजबूत प्रतिबंध है।

व्यवहार में, डेल्टा फलन का अनुमान लगाने वाले अर्धसमूह भौतिक रूप से प्रेरित अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण या परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण आंशिक अंतर समीकरणों के लिए मौलिक समाधान या ग्रीन के फलनों के रूप में उत्पन्न होते हैं। अनुप्रयुक्त गणित के संदर्भ में, अर्धसमूह एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के आउटपुट के रूप में उत्पन्न होते हैं। संक्षेप में, यदि A एक रैखिक ऑपरेटर है जो x के फलनों पर कार्य करता है, तो प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने से एक कनवल्शन सेमीग्रुप उत्पन्न होता है

$$\begin{cases} \dfrac{\partial}{\partial t}\eta(t,x) = A\eta(t,x), \quad t>0 \\[5pt] \displaystyle\lim_{t\to 0^+} \eta(t,x) = \delta(x) \end{cases}$$ जिसमें सीमा को हमेशा की तरह कमजोर अर्थ में समझा जाता है। समुच्चयिंग $L^{1}$संबंधित नवजात डेल्टा फलन देता है।

ऐसे मौलिक समाधान से उत्पन्न होने वाले भौतिक रूप से महत्वपूर्ण कनवल्शन सेमीग्रुप के कुछ उदाहरणों में निम्नलिखित सम्मिलित हैं।

गरम गिरी
हीट कर्नेल, द्वारा परिभाषित

$$\eta_\varepsilon(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\varepsilon}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2\varepsilon}}$$ समय पर एक अनंत तार में तापमान का प्रतिनिधित्व करता है $η_{ε}(x) = η(ε, x)$, यदि समय पर तार के मूल में ऊष्मा ऊर्जा की एक इकाई संग्रहीत होती है $t > 0$. यह अर्धसमूह एक-आयामी ताप समीकरण के अनुसार विकसित होता है:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.$$ संभाव्यता सिद्धांत में, $t = 0$ विचरण का एक सामान्य वितरण है $η_{ε}$ और अर्थ $η_{ε}(x)$. यह समय पर संभाव्यता घनत्व फलन का प्रतिनिधित्व करता है $0$ एक मानक एक प्रकार कि गति के बाद मूल से शुरू होने वाले कण की स्थिति का। इस संदर्भ में, अर्धसमूह स्थिति ब्राउनियन गति की मार्कोव गुण की अभिव्यक्ति है।

उच्च-आयामी यूक्लिडियन समष्टि में $t = ε$, हीट कर्नेल है $$\eta_\varepsilon = \frac{1}{(2\pi\varepsilon)^{n/2}}\mathrm{e}^{-\frac{x\cdot x}{2\varepsilon}},$$ और उसकी वही भौतिक व्याख्या है, mutatis mutandis. यह इस अर्थ में एक नवजात डेल्टा फलन का भी प्रतिनिधित्व करता है $R^{n}$ वितरण अर्थ में जैसे $η_{ε} → δ$.

पॉइसन कर्नेल
पॉइसन कर्नेल $$\eta_\varepsilon(x) = \frac{1}{\pi}\mathrm{Im}\left\{\frac{1}{x-\mathrm{i}\varepsilon}\right\}=\frac{1}{\pi} \frac{\varepsilon}{\varepsilon^2 + x^2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i} \xi x-|\varepsilon \xi|}\,d\xi$$ ऊपरी आधे तल में लाप्लास समीकरण का मूल समाधान है। यह एक अर्ध-अनंत प्लेट में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी किनारे के साथ क्षमता डेल्टा फलन पर तय होती है। पॉइसन कर्नेल आम उपयोग के फलनों में कॉची वितरण और कर्नेल (सांख्यिकी)#कर्नेल फलन से भी निकटता से संबंधित है। यह अर्धसमूह समीकरण के अनुसार विकसित होता है $$\frac{\partial u}{\partial t} = -\left (-\frac{\partial^2}{\partial x^2} \right)^{\frac{1}{2}}u(t,x)$$ जहां ऑपरेटर को सख्ती से फूरियर गुणक के रूप में परिभाषित किया गया है $$\mathcal{F}\left[\left(-\frac{\partial^2}{\partial x^2} \right)^{\frac{1}{2}}f\right](\xi) = |2\pi\xi|\mathcal{F}f(\xi).$$

ऑसिलेटरी समाकल्स
तरंग प्रसार और तरंग जैसे भौतिकी के क्षेत्रों में, सम्मिलित समीकरण अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण हैं और इसलिए अधिक एकल समाधान हो सकते हैं। परिणामस्वरूप, संबंधित कॉची समस्याओं के मौलिक समाधान के रूप में उत्पन्न होने वाले नवजात डेल्टा फलन सामान्यतः दोलन संबंधी समाकल अंग होते हैं। एक उदाहरण, जो ट्रांसोनिक गैस गतिशीलता के यूलर-ट्राइकोमी समीकरण के समाधान से आता है, पुनर्स्केल्ड हवादार कार्य है $$\varepsilon^{-1/3}\operatorname{Ai}\left (x\varepsilon^{-1/3} \right). $$ यद्यपि फूरियर रूपांतरण का उपयोग करते हुए, यह देखना आसान है कि यह कुछ अर्थों में एक अर्धसमूह उत्पन्न करता है - यह बिल्कुल एकीकृत नहीं है और इसलिए उपरोक्त मजबूत अर्थों में एक अर्धसमूह को परिभाषित नहीं किया जा सकता है। ऑसिलेटरी समाकल्स के रूप में निर्मित कई नवजात डेल्टा फलन उपायों के अर्थ के बदले केवल वितरण के अर्थ में अभिसरण करते हैं (एक उदाहरण नीचे डिरिचलेट कर्नेल है)।

एक अन्य उदाहरण तरंग समीकरण के लिए कॉची समस्या है $ε → 0$: $$ \begin{align} c^{-2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} - \Delta u &= 0\\ u=0,\quad \frac{\partial u}{\partial t} = \delta &\qquad \text{for }t=0. \end{align} $$ समाधान $η_{ε}$ मूल पर प्रारंभिक गड़बड़ी के साथ, एक अनंत लोचदार स्ट्रिंग के संतुलन से विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है।

इस प्रकार की पहचान के अन्य अनुमानों में सिनक फलन (इलेक्ट्रॉनिक्स और दूरसंचार में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला) सम्मिलित है। $$\eta_\varepsilon(x)=\frac{1}{\pi x}\sin\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{1}{\varepsilon}}^{\frac{1}{\varepsilon}} \cos(kx)\,dk $$ और बेसेल फलन $$ \eta_\varepsilon(x) =  \frac{1}{\varepsilon}J_{\frac{1}{\varepsilon}} \left(\frac{x+1}{\varepsilon}\right). $$

विमान तरंग अपघटन
रैखिक आंशिक अवकल समीकरण के अध्ययन के लिए एक दृष्टिकोण $$L[u]=f,$$ कहाँ $η$ एक विभेदक ऑपरेटर  है $R^{1+1}$, पहले एक मौलिक समाधान खोजना है, जो समीकरण का एक समाधान है $$L[u]=\delta.$$ कब $η_{ε}$ विशेष रूप से सरल है, इस समस्या को प्रायः सीधे फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके हल किया जा सकता है (जैसा कि पॉइसन कर्नेल और हीट कर्नेल के प्रकरण में पहले ही उल्लेख किया गया है)। अधिक जटिल ऑपरेटरों के लिए, पहले फॉर्म के समीकरण पर विचार करना कभी-कभी आसान होता है $$L[u]=h$$ कहाँ $η_{δ}$ एक समतल तरंग फलन है, जिसका अर्थ है कि इसका रूप है $$h = h(x\cdot\xi)$$ कुछ वेक्टर के लिए $ε$. ऐसे समीकरण को हल किया जा सकता है (यदि का गुणांक $u$ विश्लेषणात्मक कार्य हैं) कॉची-कोवालेव्स्काया प्रमेय द्वारा या (यदि के गुणांक $L$ चतुर्भुज द्वारा स्थिर हैं)। इसलिए, यदि डेल्टा फलन को समतल तरंगों में विघटित किया जा सकता है, तो कोई सिद्धांत रूप से रैखिक आंशिक अंतर समीकरणों को हल कर सकता है।

डेल्टा फलन का समतल तरंगों में इस तरह का अपघटन एक सामान्य तकनीक का हिस्सा था जिसे पहले अनिवार्य रूप से जोहान रेडॉन द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और फिर फ़्रिट्ज़ जॉन (#CITEREFJohn1955) द्वारा इस रूप में विकसित किया गया था। चुनना $L$ ताकि $R^{n}$ एक सम पूर्णांक है, और एक वास्तविक संख्या के लिए $h$, रखना $$g(s) = \operatorname{Re}\left[\frac{-s^k\log(-is)}{k!(2\pi i)^n}\right] =\begin{cases} \frac{|s|^k}{4k!(2\pi i)^{n-1}}  &n \text{ odd}\\[5pt] -\frac{|s|^k\log|s|}{k!(2\pi i)^n}&n \text{ even.} \end{cases}$$ तब $ξ$ इकाई क्षेत्र माप के संबंध में लाप्लासियन की शक्ति को समाकल अंग पर लागू करके प्राप्त किया जाता है $L$ का $n + k$ के लिए $L$ इकाई क्षेत्र में $g(x · ξ)$: $$\delta(x) = \Delta_x^{(n+k)/2} \int_{S^{n-1}} g(x\cdot\xi)\,d\omega_\xi.$$ यहां लाप्लासियन की व्याख्या एक कमजोर व्युत्पन्न के रूप में की गई है, ताकि इस समीकरण का अर्थ यह निकाला जा सके कि, किसी भी परीक्षण फलन के लिए $k$, $$\varphi(x) = \int_{\mathbf{R}^n}\varphi(y)\,dy\,\Delta_x^{\frac{n+k}{2}} \int_{S^{n-1}} g((x-y)\cdot\xi)\,d\omega_\xi.$$ परिणाम न्यूटोनियन क्षमता (पॉइसन समीकरण का मौलिक समाधान) के सूत्र से होता है। यह मूल रूप से रेडॉन परिवर्तन के व्युत्क्रम सूत्र का एक रूप है क्योंकि यह का मान पुनर्प्राप्त करता है $S^{n−1}$ हाइपरप्लेन पर इसके समाकल्स से। उदाहरण के लिए, यदि $s$ विषम है और $φ(x)$, तो दाहिनी ओर का समाकल अंग है $$ \begin{align} & c_n \Delta^{\frac{n+1}{2}}_x\iint_{S^{n-1}} \varphi(y)|(y-x) \cdot \xi| \, d\omega_\xi \, dy \\[5pt] & \qquad = c_n \Delta^{(n+1)/2}_x \int_{S^{n-1}} \, d\omega_\xi \int_{-\infty}^\infty |p| R\varphi(\xi,p+x\cdot\xi)\,dp \end{align} $$ कहाँ $k = 1$ का रैडॉन रूपांतरण है $δ$: $$R\varphi(\xi,p) = \int_{x\cdot\xi=p} f(x)\,d^{n-1}x.$$ समतल तरंग अपघटन की एक वैकल्पिक समतुल्य अभिव्यक्ति है: $$\delta(x) = \begin{cases} \frac{(n-1)!}{(2\pi i)^n}\displaystyle\int_{S^{n-1}}(x\cdot\xi)^{-n} \, d\omega_\xi & n\text{ even} \\ \frac{1}{2(2\pi i)^{n-1}}\displaystyle\int_{S^{n-1}}\delta^{(n-1)}(x\cdot\xi)\,d\omega_\xi & n\text{ odd}. \end{cases}$$

फूरियर गुठली
फूरियर श्रृंखला के अध्ययन में, एक प्रमुख प्रश्न यह निर्धारित करना है कि क्या और किस अर्थ में आवधिक फलन से जुड़ी फूरियर श्रृंखला फलन में परिवर्तित होती है। वह $dω$-किसी फलन की फूरियर श्रृंखला का आंशिक योग $ξ$ अवधि का $Rφ(ξ, p)$ को कनवल्शन (अंतराल पर) द्वारा परिभाषित किया गया है $φ$) डिरिचलेट कर्नेल के साथ: $$D_N(x) = \sum_{n=-N}^N e^{inx} = \frac{\sin\left(\left(N+\frac12\right)x\right)}{\sin(x/2)}.$$ इस प्रकार, $$s_N(f)(x) = D_N*f(x) = \sum_{n=-N}^N a_n e^{inx}$$ कहाँ $$a_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y)e^{-iny}\,dy.$$ प्राथमिक फूरियर श्रृंखला का एक मौलिक परिणाम बताता है कि डिरिचलेट कर्नेल अंतराल तक सीमित है$n$ डेल्टा फलन के गुणज की ओर प्रवृत्त होता है $2π$. इसकी व्याख्या वितरण अर्थ में की जाती है $$s_N(f)(0) = \int_{-\pi}^{\pi} D_N(x)f(x)\,dx \to 2\pi f(0)$$ प्रत्येक कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित के लिए समारोह $φ$. इस प्रकार, औपचारिक रूप से किसी के पास है $$\delta(x) = \frac1{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty e^{inx}$$ अंतराल पर $n$.

इसके बावजूद, परिणाम सभी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित नहीं है फलन: अर्थात् $N → ∞$ उपायों के अर्थ में कमजोर रूप से अभिसरण नहीं करता है। फूरियर श्रृंखला के अभिसरण की कमी के कारण अभिसरण उत्पन्न करने के लिए विभिन्न प्रकार की योग्‍यता विधियों की शुरूआत हुई है। सेसरो योग की विधि फेजर कर्नेल की ओर ले जाती है

$$F_N(x) = \frac1N\sum_{n=0}^{N-1} D_n(x) = \frac{1}{N}\left(\frac{\sin \frac{Nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)^2.$$ फेजर गुठली एक मजबूत अर्थ में डेल्टा फलन की ओर प्रवृत्त होती है

$$\int_{-\pi}^{\pi} F_N(x)f(x)\,dx \to 2\pi f(0)$$ प्रत्येक कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित के लिए समारोह $f$. निहितार्थ यह है कि किसी भी सतत फलन की फूरियर श्रृंखला प्रत्येक बिंदु पर फलन के मूल्य के लिए योग योग्य है।

हिल्बर्ट समष्टि सिद्धांत
डिराक डेल्टा वितरण हिल्बर्ट समष्टि एलपी स्पेस|एल पर एक सघन रूप से परिभाषित अनबाउंड ऑपरेटर रैखिक कार्यात्मक है2वर्ग-समाकल फलनों का। वास्तव में, सुचारु रूप से समर्थित फलन सघन रूप से समुच्चय होते हैं $D_{N}$, और ऐसे फलनों पर डेल्टा वितरण की कार्रवाई अच्छी तरह से परिभाषित है। कई अनुप्रयोगों में, के उप-समष्टिों की पहचान करना संभव है $L^{2}$ और एक मजबूत टोपोलॉजी देने के लिए जिस पर डेल्टा फलन एक बंधे हुए रैखिक कार्यात्मक को परिभाषित करता है।

सोबोलेव रिक्त समष्टि
वास्तविक रेखा पर सोबोलेव रिक्त समष्टि के लिए सोबोलेव एम्बेडिंग प्रमेय $L^{2}$ तात्पर्य यह है कि कोई भी वर्ग-समाकल फलन $[−π,π]$ ऐसा है कि

$$\|f\|_{H^1}^2 = \int_{-\infty}^\infty |\widehat{f}(\xi)|^2 (1+|\xi|^2)\,d\xi < \infty$$ स्वचालित रूप से सतत है, और विशेष रूप से संतुष्ट करता है

$$\delta[f]=|f(0)| < C \|f\|_{H^1}.$$ इस प्रकार $[−π,π]$ सोबोलेव स्पेस पर एक घिरा हुआ रैखिक कार्यात्मक है $R$. इसके तुल्य $f$ सतत दोहरे समष्टि का एक तत्व है $H^{1}$ का $H^{−1}$. अधिक सामान्यतः, में $[−π,π]$ आयाम, एक के पास है $H^{1}$ बशर्ते $δ ∈ H^{−s}(R^{n})$.

होलोमोर्फिक फलन के समष्टि
जटिल विश्लेषण में, डेल्टा फलन कॉची के समाकल सूत्र के माध्यम से प्रवेश करता है, जो दावा करता है कि यदि $f$ तो, चिकनी सीमा के साथ जटिल विमान में एक डोमेन है

$$f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta-z},\quad z\in D$$ सभी होलोमोर्फिक फलन के लिए $f$ में $δ$ जो लगातार बंद होने पर हैं $δ$. परिणामस्वरूप, डेल्टा फलन $s > n⁄2$ को होलोमोर्फिक फलन के इस वर्ग में कॉची समाकल द्वारा दर्शाया गया है:

$$\delta_z[f] = f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta-z}.$$ इसके अलावा, चलो $δ_{z}$ हार्डी स्पेस हो जिसमें क्लोजर सम्मिलित हो $H^{2}(∂D)$ सभी होलोमोर्फिक फलन में $n$ की सीमा तक सतत $D$. फिर कार्य करता है $L^{2}(∂D)$ विशिष्ट रूप से होलोमोर्फिक फलन तक विस्तारित होता है $f$, और कॉची समाकल फॉर्मूला कायम है। विशेष रूप से के लिए $H^{2}(∂D)$, डेल्टा फलन $D$ एक सतत रैखिक कार्यात्मक है $z ∈ D$. यह कई जटिल चरों में स्थिति का एक विशेष प्रकरण है, जिसमें सुचारू डोमेन के लिए $D$, स्ज़ेगो कर्नेल कॉची समाकल की भूमिका निभाता है।

पहचान के संकल्प
फलनों का एक पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल आधार समुच्चय दिया गया है $H^{2}(∂D)$ एक अलग करने योग्य हिल्बर्ट स्पेस में, उदाहरण के लिए, हिल्बर्ट स्पेस#स्पेक्ट्रल प्रमेय|कॉम्पैक्ट सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर, किसी भी वेक्टर पर एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर के सामान्यीकृत आइजन्वेक्टर $D$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$f = \sum_{n=1}^\infty \alpha_n \varphi_n. $$ गुणांक {αn} के रूप में पाए जाते हैं $$\alpha_n = \langle \varphi_n, f \rangle,$$ जिसे संकेतन द्वारा दर्शाया जा सकता है: $$\alpha_n = \varphi_n^\dagger f, $$ डिराक के ब्रा-केट नोटेशन का एक रूप। इस संकेतन को अपनाते हुए, का विस्तार $D$ डायडिक टेंसर रूप लेता है:

$$f = \sum_{n=1}^\infty \varphi_n \left ( \varphi_n^\dagger f \right). $$ दे $D$ हिल्बर्ट स्पेस पर पहचान ऑपरेटर को निरूपित करें, अभिव्यक्ति

$$I = \sum_{n=1}^\infty \varphi_n \varphi_n^\dagger, $$ इसे बोरेल फंक्शनल कैलकुलस#पहचान का संकल्प कहा जाता है। जब हिल्बर्ट समष्टि ही समष्टि है $\{φ_{n}\}$ किसी डोमेन पर वर्ग-समाकल फलनों का $δ_{z}$, मात्रा:

$$\varphi_n \varphi_n^\dagger, $$ एक समाकल ऑपरेटर है, और के लिए अभिव्यक्ति है $D$ पुनः लिखा जा सकता है

$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \int_D\, \left( \varphi_n (x) \varphi_n^*(\xi)\right) f(\xi) \, d \xi.$$ दाहिनी ओर अभिसरण होता है $f$ में $L^{2}(D)$ विवेक। इसे बिंदुवार अर्थ में रखने की आवश्यकता नहीं है, तब भी जब $f$ एक सतत कार्य है. फिर भी, संकेतन का दुरुपयोग करना और लिखना आम बात है

$$f(x) = \int \, \delta(x-\xi) f (\xi)\, d\xi, $$ जिसके परिणामस्वरूप डेल्टा फलन का प्रतिनिधित्व होता है:

$$\delta(x-\xi) = \sum_{n=1}^\infty \varphi_n (x) \varphi_n^*(\xi). $$ उपयुक्त कठोर हिल्बर्ट समष्टि के साथ $L^{2}$ कहाँ $(Φ, L^{2}(D), Φ*)$ में सभी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सुचारु कार्य सम्मिलित हैं, यह सारांश इसमें परिवर्तित हो सकता है $Φ ⊂ L^{2}(D)$, आधार के गुणों पर निर्भर करता है $Φ*$. व्यावहारिक रुचि के अधिकांश मामलों में, ऑर्थोनॉर्मल आधार एक समाकल या विभेदक ऑपरेटर से आता है, जिस स्थिति में श्रृंखला वितरण (गणित)#वितरण अर्थ में परिवर्तित हो जाती है।

इनफिनिटेसिमल डेल्टा फलन
कॉची ने एक इनफिनिटसिमल का उपयोग किया $I$ एक इकाई आवेग, असीम रूप से लंबा और संकीर्ण डायराक-प्रकार डेल्टा फलन लिखने के लिए $D$ संतुष्टि देने वाला $\int F(x)\delta_\alpha(x) \,dx = F(0)$ 1827 में कई लेखों में। कॉची ने शून्य की ओर प्रवृत्त अनुक्रम के संदर्भ में कौर्स डी'एनालिसिस (1827) में एक अतिसूक्ष्म को परिभाषित किया। अर्थात्, कॉची और लज़ारे कार्नोट की शब्दावली में ऐसा शून्य अनुक्रम एक अत्यंत छोटा अनुक्रम बन जाता है।

गैर-मानक विश्लेषण किसी को अति सूक्ष्म जीवों के साथ कठोरता से व्यवहार करने की अनुमति देता है। लेख द्वारा में हाइपररियल संख्या द्वारा प्रदान किए गए एक अनंत-समृद्ध सातत्य के संदर्भ में आधुनिक डिराक डेल्टा फलन पर एक ग्रंथ सूची सम्मिलित है। यहां डिराक डेल्टा को एक वास्तविक फलन द्वारा दिया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक वास्तविक फलन के लिए गुण होती है $f$ किसी के पास $\int F(x)\delta_\alpha(x) \, dx = F(0)$  जैसा कि फूरियर और कॉची ने अनुमान लगाया था।

डिराक कंघी
डिराक डेल्टा माप की एक तथाकथित समान पल्स ट्रेन, जिसे डिराक कंघी के रूप में जाना जाता है, या शा (सिरिलिक) वितरण के रूप में जाना जाता है, एक नमूना (सिग्नल प्रोसेसिंग) फलन बनाता है, जिसे प्रायः अंकीय संकेत प्रक्रिया  (डीएसपी) और अलग समय में उपयोग किया जाता है। संकेत विश्लेषण. डिराक कंघी को अनंत योग के रूप में दिया गया है, जिसकी सीमा वितरण अर्थ में समझी जाती है,

$$\operatorname{III}(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n),$$ जो प्रत्येक पूर्णांक पर बिंदु द्रव्यमान का एक क्रम है।

समग्र सामान्यीकरण स्थिरांक तक, डिराक कंघी अपने स्वयं के फूरियर रूपांतरण के समान है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यदि $f$ कोई श्वार्ट्ज समष्टि है, तो रैप्ड वितरण $f$ कनवल्शन द्वारा दिया गया है $$(f * \operatorname{III})(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(x-n).$$ विशेष रूप से, $$(f*\operatorname{III})^\wedge = \widehat{f}\widehat{\operatorname{III}} = \widehat{f}\operatorname{III}$$ यह बिल्कुल पॉइसन योग सूत्र है। अधिक सामान्यतः, यह सूत्र सत्य रहता है यदि $α$ तीव्र अवतरण का एक संयमित वितरण है या, समकक्ष, यदि $$\widehat{f}$$ टेम्पर्ड वितरण के क्षेत्र में एक धीरे-धीरे बढ़ने वाला, सामान्य कार्य है।

सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय
क्वांटम यांत्रिकी में महत्वपूर्ण सोखोटस्की-प्लेमेलज प्रमेय, डेल्टा फलन को वितरण से संबंधित करता है $φ_{n}$, फलन का कॉची प्रमुख मूल्य $p.v. 1⁄x$, द्वारा परिभाषित

$$\left\langle\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}, \varphi\right\rangle = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{|x|>\varepsilon} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx.$$ सोखोत्स्की का सूत्र यह बताता है

$$\lim_{\varepsilon\to 0^+} \frac{1}{x\pm i\varepsilon} = \operatorname{p.v.}\frac{1}{x} \mp i\pi\delta(x),$$ यहां सीमा को वितरण अर्थ में समझा जाता है, जो कि सभी कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित सुचारू फलनों के लिए है $δ_{α}$,

$$\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\frac{f(x)}{x\pm i\varepsilon}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{|x|>\varepsilon}\frac{f(x)}{x}\,dx.$$

क्रोनकर डेल्टा से संबंध
क्रोनकर डेल्टा $F$ द्वारा परिभाषित मात्रा है

$$\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i=j\\ 0 &i\not=j \end{cases} $$ सभी पूर्णांकों के लिए $T$, $f$. यह फलन तब सिफ्टिंग प्रॉपर्टी के निम्नलिखित एनालॉग को संतुष्ट करता है: यदि $f$ (के लिए $f$सभी पूर्णांकों के समुच्चय में) कोई अनंत अनुक्रम#दोगुना-अनंत अनुक्रम है, तो

$$\sum_{i=-\infty}^\infty a_i \delta_{ik}=a_k.$$ इसी प्रकार, किसी भी वास्तविक या जटिल मूल्य वाले सतत फलन के लिए $f$ पर $1⁄x$, डिराक डेल्टा छनाई गुण को संतुष्ट करता है

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).$$ यह क्रोनेकर डेल्टा फलन को डिराक डेल्टा फलन के एक अलग एनालॉग के रूप में प्रदर्शित करता है।

संभावना सिद्धांत
संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, डिराक डेल्टा फलन का उपयोग प्रायिकता घनत्व फलन (जो सामान्यतः बिल्कुल सतत वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है) का उपयोग करके असतत वितरण, या आंशिक रूप से असतत, आंशिक रूप से सतत वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, संभाव्यता घनत्व फलन $R$अंकों से युक्त एक पृथक वितरण का $f(x)$, संगत संभावनाओं के साथ $x = \{x_{1}, ..., x_{n}\}$, के रूप में लिखा जा सकता है

$$f(x) = \sum_{i=1}^n p_i \delta(x-x_i).$$ एक अन्य उदाहरण के रूप में, एक वितरण पर विचार करें जिसमें 6/10 समय एक मानक सामान्य वितरण लौटाता है, और 4/10 समय बिल्कुल मान 3.5 (अर्थात् आंशिक रूप से सतत, आंशिक रूप से असतत मिश्रण वितरण) लौटाता है। इस वितरण का घनत्व फलन इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$f(x) = 0.6 \, \frac {1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} + 0.4 \, \delta(x-3.5).$$ डेल्टा फलन का उपयोग यादृच्छिक चर के परिणामी संभाव्यता घनत्व फलन का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जाता है जो लगातार भिन्न फलन द्वारा परिवर्तित होता है। अगर $p_{1}, ..., p_{n}$ एक सतत अवकलनीय फलन है, तो का घनत्व $δ_{ij}$ के रूप में लिखा जा सकता है

$$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) \delta(y-g(x)) \,dx. $$ डेल्टा फलन का उपयोग प्रसार प्रक्रिया (जैसे ब्राउनियन गति) के समष्टिीय समय (गणित) को दर्शाने के लिए पूरी तरह से अलग तरीके से किया जाता है। स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का समष्टिीय समय $Y = g(X)$ द्वारा दिया गया है $$\ell(x,t) = \int_0^t \delta(x-B(s))\,ds$$ और उस समय की मात्रा को दर्शाता है जो प्रक्रिया बिंदु पर खर्च करती है $i$ प्रक्रिया की सीमा में। अधिक सटीक रूप से, एक आयाम में यह समाकल लिखा जा सकता है $$\ell(x,t) = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\frac{1}{2\varepsilon}\int_0^t \mathbf{1}_{[x-\varepsilon,x+\varepsilon]}(B(s))\,ds$$ कहाँ $$\mathbf{1}_{[x-\varepsilon,x+\varepsilon]}$$ अंतराल का सूचक कार्य है $$[x-\varepsilon,x+\varepsilon].$$

क्वांटम यांत्रिकी
क्वांटम यांत्रिकी में डेल्टा फलन समीचीन है। किसी कण का तरंग फलन समष्टि के किसी दिए गए क्षेत्र के भीतर एक कण को ​​खोजने की संभावना आयाम देता है। तरंग फलनों को हिल्बर्ट समष्टि के तत्व माना जाता है $B(t)$ वर्ग-समाकल फलनों का, और किसी दिए गए अंतराल के भीतर एक कण को ​​खोजने की कुल संभावना अंतराल पर तरंग फलन के वर्ग के परिमाण का समाकल अंग है। एक समुच्चय $L^{2}$तरंग फलनों का ऑर्थोनॉर्मल है यदि उन्हें सामान्यीकृत किया जाता है

$$\langle\varphi_n \mid \varphi_m\rangle = \delta_{nm}$$ कहाँ $j$ क्रोनकर डेल्टा है। यदि कोई तरंग कार्य करता है तो वर्ग-समाकल फलनों के समष्टि में ऑर्थोनॉर्मल तरंग फलनों का एक समुच्चय पूरा हो जाता है $\{|φ_{n}\rangle\}$ को एक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $|ψ\rangle$ जटिल गुणांक के साथ:

$$ \psi = \sum c_n \varphi_n, $$ साथ $\{|φ_{n}\rangle\}$. तरंग फलनों की पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल प्रणालियाँ स्वाभाविक रूप से क्वांटम यांत्रिकी में हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) (एक बाध्य अवस्था के) के eigenfunction के रूप में दिखाई देती हैं जो ऊर्जा के स्तर को मापती हैं, जिन्हें आइगेनवैल्यू कहा जाता है। इस प्रकरण में, eigenvalues ​​​​के समुच्चय को हैमिल्टनियन के स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है। ब्रा-केट नोटेशन में, #पहचान के संकल्प के रूप में, यह समानता पहचान के संकल्प को दर्शाती है:

$$I = \sum |\varphi_n\rangle\langle\varphi_n|.$$ यहां eigenvalues ​​​​को असतत माना जाता है, लेकिन एक अवलोकन के eigenvalues ​​​​का समुच्चय असतत के बदले सतत हो सकता है। एक उदाहरण स्थिति ऑपरेटर है, $ψ⟩$. स्थिति का स्पेक्ट्रम (एक आयाम में) संपूर्ण वास्तविक रेखा है और इसे सतत स्पेक्ट्रम कहा जाता है। हालाँकि, हैमिल्टनियन के विपरीत, स्थिति ऑपरेटर में उचित eigenfunctions का अभाव है। इस कमी को दूर करने का पारंपरिक प्रकार वितरण की अनुमति देकर उपलब्ध फलनों के वर्ग को चौड़ा करना है: अर्थात्, क्वांटम यांत्रिकी के हिल्बर्ट स्पेस को उचित रिग्ड हिल्बर्ट स्पेस के साथ प्रतिस्थापित करना है। इस संदर्भ में, स्थिति ऑपरेटर के पास बिंदुओं द्वारा लेबल किए गए ईजेन-वितरण का एक पूरा समुच्चय होता है $a_{i}$ वास्तविक रेखा का, द्वारा दिया गया

$$\varphi_y(x) = \delta(x-y).$$ स्थिति के eigenfunctions को निरूपित किया जाता है $Qψ(x) = xψ(x)$ डिराक नोटेशन में, और स्थिति आइजेनस्टेट्स के रूप में जाना जाता है।

इसी तरह के विचार संवेग संचालिका, या वास्तव में किसी अन्य स्व-सहायक अनबाउंड ऑपरेटर के आइजेनस्टेट्स पर लागू होते हैं $i$ हिल्बर्ट समष्टि पर, का स्पेक्ट्रम प्रदान किया गया $f$ सतत है और कोई विकृत स्वदेशीमान नहीं हैं। उस स्थिति में, एक समुच्चय है $φ_{y} = |y\rangle$ वास्तविक संख्याओं का (स्पेक्ट्रम), और एक संग्रह $Y$ के तत्वों द्वारा अनुक्रमित वितरण का $Ω$, ऐसा है कि

$$P\varphi_y = y\varphi_y.$$ वह है, $x$ के eigenvectors हैं $δ$. यदि eigenvectors को सामान्यीकृत किया जाता है तो

$$\langle \varphi_y,\varphi_{y'}\rangle = \delta(y-y')$$ वितरण अर्थ में, किसी भी परीक्षण फलन के लिए $y$,

$$ \psi(x) = \int_\Omega c(y) \varphi_y(x) \, dy$$ कहाँ $Ω$. अर्थात्, असतत प्रकरण की तरह, पहचान का एक समाधान है

$$I = \int_\Omega |\varphi_y\rangle\, \langle\varphi_y|\,dy$$ जहां ऑपरेटर-मूल्यवान समाकल को फिर से कमजोर अर्थ में समझा जाता है। यदि का स्पेक्ट्रम $P$ में सतत और असतत दोनों भाग होते हैं, तो पहचान के समाधान में असतत स्पेक्ट्रम पर एक योग सम्मिलित होता है सतत स्पेक्ट्रम पर एक समाकल।

डेल्टा फलन के क्वांटम यांत्रिकी में कई और विशिष्ट अनुप्रयोग भी हैं, जैसे एकल और दोहरे संभावित कुएं के लिए डेल्टा संभावित प्रतिरूप।

संरचनात्मक यांत्रिकी
डेल्टा फलन का उपयोग संरचनात्मक यांत्रिकी में संरचनाओं पर अभिनय करने वाले क्षणिक भार या बिंदु भार का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। अचानक बल आवेग से उत्तेजित एक सरल हार्मोनिक थरथरानवाला | द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली का गवर्निंग समीकरण (भौतिकी) $P$ समय पर $c(y) = ⟨ψ, φ_{y}⟩$ लिखा जा सकता है

$$m \frac{d^2 \xi}{dt^2} + k \xi = I \delta(t),$$ कहाँ $φ_{y}$ द्रव्यमान है, $φ_{y}$विक्षेपण है, और $P$ स्प्रिंग स्थिरांक है।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, यूलर-बर्नौली बीम समीकरण|यूलर-बर्नौली सिद्धांत के अनुसार, एक पतली बीम (संरचना) के स्थिर विक्षेपण को नियंत्रित करने वाला समीकरण है,

$$EI \frac{d^4 w}{dx^4} = q(x),$$ कहाँ $ψ$ बीम की झुकने वाली कठोरता है, $P$ विक्षेपण (इंजीनियरिंग) है, $I$ समष्टििक समन्वय है, और $t = 0$ भार वितरण है। यदि एक बीम को एक बिंदु बल द्वारा लोड किया जाता है $m$ पर $q(x)$, लोड वितरण लिखा है

$$q(x) = F \delta(x-x_0).$$ चूंकि डेल्टा फलन के एकीकरण के परिणामस्वरूप हेविसाइड चरण फलन होता है, यह इस प्रकार है कि एकाधिक बिंदु भार के अधीन एक पतली बीम के स्थैतिक विक्षेपण को टुकड़े-टुकड़े बहुपदों के एक समुच्चय द्वारा वर्णित किया गया है।

साथ ही, बीम पर कार्य करने वाले एक बिंदु झुकने वाले क्षण को डेल्टा फलन द्वारा वर्णित किया जा सकता है। दो विरोधी बिंदु बलों पर विचार करें $ξ$ दूरी पर $k$ अलग। फिर वे एक क्षण उत्पन्न करते हैं $x = x_{0}$ किरण पर कार्य करना। अब चलो दूरियां $EI$ किसी फलन की सीमा शून्य तक पहुंचें, जबकि $w$ स्थिर रखा गया है. भार वितरण, एक दक्षिणावर्त क्षण पर कार्य करते हुए $M = Fd$, लिखा है

$$\begin{align} q(x) &= \lim_{d \to 0} \Big( F \delta(x) - F \delta(x-d) \Big) \\[4pt] &= \lim_{d \to 0} \left( \frac{M}{d} \delta(x) - \frac{M}{d} \delta(x-d) \right) \\[4pt] &= M \lim_{d \to 0} \frac{\delta(x) - \delta(x - d)}{d}\\[4pt] &= M \delta'(x). \end{align}$$ इस प्रकार बिंदु क्षणों को डेल्टा फलन के व्युत्पन्न द्वारा दर्शाया जा सकता है। बीम समीकरण के एकीकरण से फिर से टुकड़ेवार बहुपद विक्षेपण होता है।

यह भी देखें

 * परमाणु (माप सिद्धांत)
 * सूचक का लाप्लासियन

बाहरी संबंध

 * KhanAcademy.org video lesson
 * The Dirac Delta function, a tutorial on the Dirac delta function.
 * Video Lectures – Lecture 23, a lecture by Arthur Mattuck.
 * The Dirac delta measure is a hyperfunction
 * We show the existence of a unique solution and analyze a finite element approximation when the source term is a Dirac delta measure
 * Non-Lebesgue measures on R. Lebesgue-Stieltjes measure, Dirac delta measure.
 * We show the existence of a unique solution and analyze a finite element approximation when the source term is a Dirac delta measure
 * Non-Lebesgue measures on R. Lebesgue-Stieltjes measure, Dirac delta measure.