गुडरमैनियन फलन

गणित में, गुडरमैनियन फलन एक अतिशयोक्तिपूर्ण कोण माप $\psi$ को एक वृत्ताकार कोण माप $\phi$  से संबंधित करता है जिसे $\psi$  का गुडरमैनियन कहा जाता है और $\operatorname{gd}\psi$  को निरूपित करता है। गुडरमानियन फलन वृत्तीय फलनों और अतिपरवलयिक फलनों के मध्य घनिष्ठ संबंध प्रकट करता है। यह 1760 के दशक में जोहान हेनरिक लैम्बर्ट द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और बाद में क्रिस्टोफर गुडरमैन के नाम पर रखा गया था, जिन्होंने 1830 में वृत्तीय और अतिशयोक्तिपूर्ण फलन के मध्य संबंधों का वर्णन किया था। गुडरमैनियन को कभी-कभी अतिशयोक्तिपूर्ण आयाम कहा जाता है जब प्राचल $m=1$  होने पर जैकोबी दीर्घवृत्तीय आयाम $\operatorname{am}(\psi, m)$  का एक सीमित प्रकरण होता है। वास्तविक गुडरमानियन फलन को विशेष रूप से $-\infty < \psi < \infty$ के लिए अतिपरवलयिक व्युत्क्रम कोटिज्या का अभिन्न होने के लिए परिभाषित किया गया  है।

वास्तविक व्युत्क्रम गुडमैनियन फलन को $-\tfrac12\pi < \phi < \tfrac12\pi$ के लिए व्युत्क्रम कोटिज्या के समाकलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण कोण माप $$\psi = \operatorname{gd}^{-1} \phi$$ को $$\phi$$ का एंटी-गुडरमैनियन या कभी-कभी $$\phi$$ का लैम्बर्टियन कहा जाता है, जिसे $$\psi = \operatorname{lam} \phi$$ कहा जाता है। अक्षांश $\phi$ के लिए भूगणित और नौसंचालन के संदर्भ में, $$k \operatorname{gd}^{-1} \phi$$ (स्वैच्छिक स्थिरांक $k$  द्वारा स्केल किया गया) को ऐतिहासिक रूप से $$\phi$$ (फ्रेंच: अक्षांश क्रोइसांटे) का मध्याह्न भाग कहा जाता था। यह मर्केटर प्रक्षेपण का ऊर्ध्व समन्वयीकरण है।

दो कोण माप $\phi$ और $\psi$  एक सामान्य त्रिविम प्रक्षेपणण से संबंधित हैं

और यह समरूपता $\operatorname{gd}$  और $\operatorname{gd}^{-1}$  के लिए एक वैकल्पिक परिभाषा के रूप में काम कर सकती है जो पूरे सम्मिश्र समतल में मान्य है:

वृत्तीय-अतिशयोक्तिपूर्ण सर्वसमिका
हम चर के परिवर्तन के रूप में त्रिविम प्रक्षेपणण (स्पर्शरेखा आधा-स्पर्शरेखा) का उपयोग करके अतिशयोक्तिपूर्ण व्युत्क्रम कोटिज्या के अभिन्न का मूल्यांकन कर सकते हैं:

$\phi = \operatorname{gd} \psi$ और $s = \tan \tfrac12 \phi = \tanh \tfrac12 \psi$  देकर हम $\psi$  के अतिशयोक्तिपूर्ण फलानो और $\phi$  के वृत्तीय फलानो के मध्य कई सर्वसमिका प्राप्त कर सकते है।



इन्हें सामान्यतः $$\operatorname{gd}$$ और $$\operatorname{gd}^{-1}$$के लिए $$\psi$$ और $$\phi$$ के साथ $$|\phi| < \tfrac12\pi$$ के वास्तविक मूल्यों के लिए व्यंजक के रूप में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, संख्यात्मक रूप से सद्‍व्यवहारी सूत्र

(ध्यान दें, के लिए $$|\phi| > \tfrac12\pi$$ और सम्मिश्र तर्कों के लिए, व्युत्क्रम फलनों की शाखाओं का चयन करते समय सावधानी रखनी चाहिए।)

हम $\psi$  और $\phi$  को $s\colon$  के रूप में भी व्यक्त कर सकते हैं:

यदि हम घातांक के संदर्भ में $\tan\tfrac12$ और $\tanh\tfrac12$  का विस्तार करते हैं, तो हम उसे देख सकते हैं $s,$  $$\exp \phi i,$$ और $$\exp \psi$$ सभी एक-दूसरे के मोबियस परिवर्तन हैं (विशेष रूप से, रीमैन क्षेत्र के घूर्णन):

$\psi$ और $\phi$  के वास्तविक मूल्यों के लिए $$|\phi| < \tfrac12\pi$$  के साथ, इन मोबियस परिवर्तनों को त्रिकोणमितीय फलानो के संदर्भ में कई प्रकार से लिखा जा सकता है,

ये $$|\phi| < \tfrac12\pi$$ के साथ वास्तविक तर्कों के लिए $$\operatorname{gd}$$ और $$\operatorname{gd}^{-1}$$ के लिए और व्यंजक देते हैं। उदाहरण के लिए,

सम्मिश्र मान
एक सम्मिश्र चर के फलानो के रूप में, $z \mapsto w = \operatorname{gd} z$ अनुरूप मानचित्र से अनंत पट्टी $\left|\operatorname{Im}z\right| \leq \tfrac12\pi$  को अनंत पट्टी $\left|\operatorname{Re}w\right| \leq \tfrac12\pi,$  में मानचित्र करता है, जबकि $w \mapsto z = \operatorname{gd}^{-1} w$  अनंत पट्टी $\left|\operatorname{Re}w\right| \leq \tfrac12\pi$  को अनंत पट्टी $ \left|\operatorname{Im}z\right| \leq \tfrac12\pi$  के अनुरूप मानचित्र करता हैं। पूरे सम्मिश्र समतल में प्रतिबिंबों द्वारा विश्लेषणात्मक रूप से जारी, $z \mapsto w = \operatorname{gd} z$ अवधि $2\pi i$  का एक आवर्ती फलन है जो पट्टी $-\pi< \operatorname{Re}w \leq \pi$  पर "ऊंचाई" $2\pi i$  की किसी भी अनंत पट्टी को भेजता हैं। इसी तरह, पूरे सम्मिश्र समतल तक विस्तारित, $w \mapsto z = \operatorname{gd}^{-1} w$  अवधि $2\pi$  का एक आवधिक फलन है जो "चौड़ाई" $2\pi$  की किसी भी अनंत पट्टी को पट्टी $-\pi < \operatorname{Im}z \leq \pi$  पर भेजता हैं। सम्मिश्र समतल में सभी बिंदुओं के लिए, इन फलानो को सही प्रकार से लिखा जा सकता है:

$\operatorname{gd}$ और $\operatorname{gd}^{-1}$  फलानो के लिए इन विस्तारित प्रक्षेत्र के साथ प्रतिलोम रहने के लिए, हम प्रत्येक को एक बहुविकल्पीय फलान मान सकते हैं (संभवतः  $\operatorname{Gd}$  और $\operatorname{Gd}^{-1}$, $\operatorname{gd}$  और $\operatorname{gd}^{-1}$ प्रमुख शाखा के साथ) या उनके प्रक्षेत्र और सहप्रक्षेत्र को रीमैन सतहों के रूप में मानते हैं।

अगर $u + iv = \operatorname{gd}(x + iy),$ तब वास्तविक और काल्पनिक घटक $u$  और $v$  द्वारा पाया जा सकता है:

(व्यावहारिक फलानान्वयन में, 2-तर्क चाप स्पर्शज्या का उपयोग करना सुनिश्चित करें, $u = \operatorname{atan2}(\sinh x, \cos y)$ .)

इसी तरह अगर $x + iy = \operatorname{gd}^{-1}(u + iv),$ तो घटक $x$  और $y$  को इसके द्वारा पाया जा सकता है:

इन्हें एक साथ गुणा करने से अतिरिक्त सर्वसमिका का पता चलता है

समानताएं
दो फलानो को एक-दूसरे के घूर्णन या प्रतिबिंब के रूप में माना जा सकता है, ज्या और अतिपरवलीय ज्या के मध्य $\sinh iz = i \sin z$ के समान संबंध के साथ:

फलान दोनों विषम हैं और वे सम्मिश्र संयुग्म के साथ चलते हैं। यही है, प्रक्षेत्र में वास्तविक या काल्पनिक अक्ष पर प्रतिबिंब सहप्रक्षेत्र में समान प्रतिबिंब में परिणाम देता है:

फलान आवधिक फलान हैं, अवधि $2\pi i$ और $2\pi$  के साथ:

$\pm\pi i$ द्वारा $\operatorname{gd}$  के प्रक्षेत्र में एक अनुवाद अर्ध-घुमाव घूर्णन और सहप्रक्षेत्र में अनुवाद $\pm\pi$  में से एक में होता है, और इसके विपरीत $\operatorname{gd}^{-1}\colon$ के लिए:

$\operatorname{gd}$ के प्रक्षेत्र में किसी भी रेखा $x \pm \tfrac12\pi i$  के परिणामस्वरूप एक प्रतिबिंब में सहप्रक्षेत्र में एक रेखा $\pm \tfrac12\pi + yi$  और $\operatorname{gd}^{-1}\colon$  के लिए इसके विपरीत होता है:

यह सर्वसमिका से संबंधित है

विशिष्ट मान
कुछ विशिष्ट मान (जहाँ $\infty$ अनंत पट्टी के एक छोर पर सीमा इंगित करता है):

तर्क-जोड़ सर्वसमिका
अतिशयोक्तिपूर्ण फलानो और वृत्तीय तर्क-जोड़ सर्वसमिका के संयोजन से,


 * 1) वृत्ताकार-अतिशयोक्तिपूर्ण समरूपता के साथ,

हमारे पास गुडरमानियन तर्क-जोड़ सर्वसमिका है:

आगे की तर्क-जोड़ सर्वसमिका को अन्य वृत्तीय फलानो के संदर्भ में लिखा जा सकता है, लेकिन उन्हें व्युत्क्रम फलानो में शाखाओं के चयन को चुनने में अधिक संरक्षण की आवश्यकता होती है। विशेष रूप से,

जिसका उपयोग सम्मिश्र गुडरमैनियन और व्युत्क्रम गुडरमैनियन के लिए प्रति-घटक संगणना प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

विशिष्ट प्रकरण में $z = w,$ दोगुना-तर्क सर्वसमिका हैं

टेलर श्रृंखला
टेलर श्रृंखला शून्य के पास, $|z| < \tfrac12\pi,$ के साथ सम्मिश्र मानों के लिए मान्य है

जहां संख्याएँ $E_{k}$ यूलर व्युत्क्रम कोटिज्या संख्याएँ हैं, 1, 0, -1, 0, 5, 0, -61, 0, 1385 ... (ओईआईएस में अनुक्रम, , और )। इन श्रृंखलाओं की गणना पहली बार 1671 में जेम्स ग्रेगोरी (गणितज्ञ) द्वारा की गई थी।

क्योंकि गुडरमैनियन और व्युत्क्रम गुडरमैनियन फलन अतिशयोक्तिपूर्ण व्युत्क्रम कोटिज्या और व्युत्क्रम कोटिज्या फलन के अभिन्न हैं, अंश $E_{k}$ और $|E_{k}|$  क्रमशः $ψ$ और $ϕ = gd ψ$ के लिए टेलर श्रृंखला के अंश के समान हैं,, लेकिन एक स्थान से स्थानांतरित हो गए हैं।

घटाए गए अहस्ताक्षरित अंश 1, 1, 1, 61, 277, ... हैं और घटाए गए हर 1, 6, 24, 5040, 72576, ... (ओईआईएस में अनुक्रम और ) हैं।

इतिहास
फलन और इसके व्युत्क्रम मर्केटर प्रक्षेपण से संबंधित हैं। मर्केटर प्रक्षेपण में लंबवत समन्वय को सममितीय अक्षांश कहा जाता है, और इसे प्रायः $\psi$ द्वारा निरूपित किया जाता है। गोले पर अक्षांश $\phi$  के संदर्भ में (रेडियन में व्यक्त) सममितीय अक्षांश लिखा जा सकता है।

सममितीय अक्षांश से गोलीय अक्षांश का व्युत्क्रम $\phi = \operatorname{gd} \psi$ होता है। (ध्यान दें: क्रांति के दीर्घवृत्ताभ पर, भूगणितीय अक्षांश और सममितीय अक्षांश के मध्य का संबंध थोड़ा अधिक सम्मिश्र है।)

जेरार्ड मर्केटर ने 1569 में अपना प्रसिद्ध मानचित्र आलेखित किया, लेकिन निर्माण की सटीक विधि सामने नहीं आई। 1599 में, एडवर्ड राइट (गणितज्ञ) ने त्रिकोणमितीय तालिकाओं से संख्यात्मक रूप से मर्केटर प्रक्षेपण के निर्माण के लिए एक विधि का वर्णन किया, लेकिन एक बंद सूत्र का उत्पादन नहीं किया। बंद सूत्र 1668 में जेम्स ग्रेगोरी द्वारा प्रकाशित किया गया था।

1760 के दशक में जोहान हेनरिक लैम्बर्ट द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण फलानो के रूप में एक ही समय में गुडरमैनियन फलन प्रस्तावित किया गया था। उन्होंने इसे उत्कृष्ट कोण कहा, और यह 1862 तक विभिन्न नामों से चला गया जब आर्थर केली ने सुझाव दिया कि इसे विशेष फलानो के सिद्धांत पर 1830 के दशक में क्रिस्टोफ गुडरमैन के काम के लिए श्रद्धांजलि के रूप में अपना वर्तमान नाम दिया जाए। गुडरमैन ने क्रेले के पत्रिका में लेख प्रकाशित किए थे जिन्हें बाद में एक पुस्तक में एकत्र किया गया था, जिसकी $\sinh$ और $\cosh$  को व्यापक दर्शकों के लिए उजागर किया गया था (हालांकि प्रतीकों  $\mathfrak{Sin}$  और $\mathfrak{Cos}$  द्वारा दर्शाया गया है)।

संकेतन $\operatorname{gd}$ केली द्वारा प्रस्तावित किया गया था जो $\phi = \operatorname{gd} u$  आहवाहक करके प्रारंभ होता है जैकोबी अण्डाकार फलान $\operatorname{am} u$  अपह्रासित प्रकरण में जहां दीर्घवृत्तीय मापांक $m = 1$  है, जिससे कि $\sqrt{1 + m\sin\!^2\,\phi}$  कम होकर $\cos \phi$  हो जाता है। यह व्युत्क्रम कोटिज्या फलन के समाकल का व्युत्क्रम है। केली के संकेतन का उपयोग करना,

वह तब उत्कृष्ट की परिभाषा प्राप्त करता है,

यह देखते हुए कि  यद्यपि एक काल्पनिक रूप में प्रदर्शित किया गया है, [यह] $ u$ एक वास्तविक फलान है  ।

गुडरमैनियन और इसके व्युत्क्रम का उपयोग वृत्ताकार फलानो के त्रिकोणमितीय तालिकाओं को बनाने के लिए किया गया था जो अतिशयोक्तिपूर्ण फलानो की तालिकाओं के रूप में भी फलान करते हैं। एक अतिशयोक्तिपूर्ण कोण $\psi$ दिए जाने पर, अतिशयोक्तिपूर्ण फलन पहले $\phi = \operatorname{gd} \psi$  को गुडरमेनियन तालिका में देखकर और फिर $\phi$  के उपयुक्त वृत्तीय फलन को देखकर, या  त्रिकोणमितीय तालिका के एक सहायक सीधे $$\operatorname{gd}^{-1}$$ स्तंभ में सीधे $\psi$  का पता लगाकर पाया जा सकता है।

सामान्यीकरण
गुडरमैनियन फलन को एक अतिपरवलय की एक शाखा पर बिंदुओं को अर्धवृत्त पर बिंदुओं के मानचित्रण के बारे में सोचा जा सकता है। दो शीटों के n-विमीय अतिपरवलयज की एक शीट पर बिंदुओं को इसी तरह त्रिविम प्रक्षेपण के माध्यम से n-विमीय गोलार्ध पर मानचित्र किया जा सकता है। अतिपरवलीय समष्टि का गोलार्ध प्रतिरूप अतिपरवलीय समष्टि का प्रतिनिधित्व करने के लिए ऐसे मानचित्र का उपयोग करता है।

अनुप्रयोग
*अतिपरवलयिक ज्यामिति में समानता फलन का कोण कोण#गुडर्मेनियन के कोण जोड़े का संयोजन है, $$\mathit{\Pi}(\psi) = \tfrac12\pi - \operatorname{gd} \psi.$$ अनुप्रस्थ मर्केटर प्रक्षेपण पर निरंतर अक्षांश की एक रेखा भूमध्य रेखा (प्रक्षेपणण पर) के समानांतर होती है और अक्षांश के व्युत्क्रम गुडरमैनियन के आनुपातिक राशि से विस्थापित होती है।
 * अनुप्रस्थ मर्केटर प्रक्षेपणण को परिभाषित करने के लिए गुडरमैनियन (एक सम्मिश्र तर्क के साथ) का उपयोग किया जा सकता है।
 * गुडरमैनियन उलटा पेंडुलम के गैर-आवधिक समाधान में प्रकट होता है।
 * गुडरमेनियन गतिमान कासिमिर प्रभाव के गतिमान दर्पण विलयन में प्रकट होता है।
 * यदि असीम रूप से लंबे, समदूरस्थ, समांतर, समतलीय, सीधे तारों की एक अनंत संख्या को वैकल्पिक संकेतों के साथ समान विद्युत क्षमता पर रखा जाता है, तो तारों के अनुप्रस्थ-अनुभागीय समतल में संभावित-प्रवाह वितरण सम्मिश्र गुडरमैनियन है।
 * गुडरमैनियन फलन एक सिग्मॉइड फलन है, और इस तरह कभी-कभी मशीन सीखने में सक्रियण फलन के रूप में उपयोग किया जाता है।
 * (स्केल्ड और शिफ्ट किया गया) गुडरमैनियन अतिपरवलयिक व्युत्क्रम कोटिज्या बंटन का संचयी बंटन फलन है।
 * गुडरमानियन पर आधारित एक फलन सर्पिल आकाशगंगा भुजाओं के आकार के लिए एक अच्छा मॉडल प्रदान करता है।

यह भी देखें

 * ट्रैक्ट्रिक्स
 * कैटेनरी#समान शक्ति की कैटेनरी

बाहरी संबंध

 * Penn, Michael (2020) "the Gudermannian function!" on YouTube.

संदर्भ

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