आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण

आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण एक कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण है जो पारंपरिक एनयूआरबीएस-आधारित कंप्यूटर एडेड डिजाइन डिजाइन टूल में परिमित तत्व विश्लेषण (एफईए) को एकीकृत करने की संभावना प्रदान करता है। वर्तमान में, विकास के समय नए डिजाइनों का विश्लेषण करने के लिए सीएडी और एफईए पैकेजों के बीच डेटा को परिवर्तित करना आवश्यक है, यह एक कठिन फलन है क्योंकि दोनों कम्प्यूटेशनल ज्यामितीय दृष्टिकोण भिन्न-भिन्न हैं। आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण सीधे एफईए एप्लिकेशन में जटिल एनयूआरबीएस ज्यामिति (अधिकांश सीएडी पैकेजों का आधार) को नियोजित करता है। यह एक सामान्य डेटा सेट का उपयोग करके मॉडलों को एक ही बार में डिज़ाइन, परीक्षण और समायोजित करने की अनुमति देता है।

इस प्रणाली के अग्रदूत ऑस्टिन में टेक्सास विश्वविद्यालय में थॉमस जे.आर. ह्यूजेस और उनका समूह हैं। कुछ आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण विधियों का संदर्भ मुफ्त सॉफ्टवेयर फलनान्वयन जियोपीडीई है। इसी प्रकार, अन्य फलनान्वयन ऑनलाइन पाए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, पेटीजीए पीईटीएससी पर आधारित उच्च प्रदर्शन आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण के लिए एक विवृत संरचना है। इसके अतिरिक्त, मिगफेम और आईजीए कोड है जो मैटलैब में प्रायुक्त किया गया है और द्वि-आयामी और त्रि-आयामी फ्रैक्चर के लिए यूनिटी संवर्धन आईजीए के विभाजन का समर्थन करता है। इसके अतिरिक्त, G+Smo आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण के लिए विवृत C++ लाइब्रेरी है। विशेष रूप से, एफईएपी परिमित तत्व विश्लेषण फलन है जिसमें आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण लाइब्रेरी एफईएपी आइसोजियोमेट्रिक (संस्करण एफईएपी84 और संस्करण एफईएपी85) सम्मिलित है। आईजीए तक होने वाले घटनाक्रमों का लेखा-जोखा प्रलेखित किया गया है।

एफईए के संबंध में आईजीए के लाभ
आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण परिमित तत्व विधि के संबंध में दो मुख्य लाभ प्रस्तुत करता है:
 * कोई ज्यामितीय सन्निकटन त्रुटि नहीं है, इस तथ्य के कारण कि डोमेन (गणितीय विश्लेषण) बिल्कुल त्रुटिहीन रूप से दर्शाया गया है
 * उदाहरण के लिए कार्डियक इलेक्ट्रोफिजियोलॉजी, ध्वनिकी और इलास्टोडायनामिक्स में उत्पन्न होने वाली तरंग प्रसार समस्याओं को संख्यात्मक प्रसार और अपव्यय त्रुटियों में कमी के कारण उत्तम रूप से वर्णित किया गया है।

मेश
आईजीए के संरचना में, नियंत्रण बहुभुज मेश और भौतिक मेश दोनों की धारणाओं को परिभाषित किया गया है।

नियंत्रण मेश तथाकथित नियंत्रण बिंदुओं द्वारा बनाया जाता है और यह उनके टुकड़े-टुकड़े रैखिक प्रक्षेप द्वारा प्राप्त किया जाता है। नियंत्रण बिंदु स्वतंत्रता की डिग्री (डीओएफ) की भी भूमिका निभाते हैं।

भौतिक मेश सीधे ज्यामिति पर बिछा होता है और इसमें पैच और नॉट स्पैन होते हैं। किसी विशिष्ट भौतिक मेश में उपयोग किए जाने वाले पैच की संख्या के अनुसार, एकल-पैच या बहु-पैच दृष्टिकोण को प्रभावी रूप से नियोजित किया जाता है। पैच को संदर्भ आयत से दो आयामों में और संदर्भ घनाभ से तीन आयामों में मैप किया जाता है: इसे संपूर्ण कम्प्यूटेशनल डोमेन या उसके छोटे हिस्से के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक पैच को नॉट स्पैन में विघटित किया जा सकता है, जो क्रमशः 1डी, 2डी और 3डी में बिंदु, रेखाएं और सतह (गणित) हैं। नोट्स नॉट स्पैन के अंदर डाली जाती हैं और तत्वों को परिभाषित करती हैं। आधार फलन बहुपद की $$p$$ डिग्री और एक विशिष्ट नॉट की $$m$$ बहुलता के साथ नोट्स में $$C^{p-m}$$ हैं, और एक निश्चित नॉट और अगले या पूर्ववर्ती के बीच $$C^{\infty}$$ हैं।

नॉट वेक्टर
नॉट वेक्टर, जिसे सामान्यतः $$\Xi = \{ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_{n+p+1} \}$$ के रूप में दर्शाया जाता है, जो गैर-अवरोही बिंदुओं का एक सेट है। $$\xi_i \in \mathbb{R}$$ $$i^{th}$$ नॉट है, $$n$$ फलनों की संख्या है, $$p$$ आधार फलन क्रम को संदर्भित करता है। एक नॉट नॉट के विस्तार को तत्वों में विभाजित करती है। नॉट वेक्टर इस तथ्य के अनुसार समान या गैर-समान है कि इसकी नोट्स, एक बार उनकी बहुलता को ध्यान में नहीं रखने पर, समान दूरी पर हैं या नहीं। यदि पहली और आखिरी नोट्स $$p + 1$$ बार दिखाई देती हैं, तो नॉट वेक्टर को विवृत कहा जाता है।

आधार फलन
एक बार नॉट वेक्टर की परिभाषा प्रदान करने के बाद, इस संदर्भ में कई प्रकार के आधार फलनों को प्रस्तुत किया जा सकता है, जैसे बी-स्प्लिंस, एनयूआरबीएस और टी-स्प्लिंस।

बी-स्प्लिंस
बी-स्प्लिन को $$p = 0$$ के साथ टुकड़े-टुकड़े निरंतर फलन से पुनरावर्ती रूप से प्राप्त किया जा सकता है :

$$ N_{i, 0}(\xi) = \mathcal{I}_{[\xi_i, \xi_{i+1})}(s) \quad 1 \leq i \leq n $$

डी बूर के एल्गोरिदम का उपयोग करके, स्वैच्छिक क्रम $$p$$ के बी-स्प्लिंस उत्पन्न करना संभव है:

$$ N_{i, p}(\xi) = \frac{\xi - \xi_i}{\xi_{i+p} - \xi_i} N_{i, p - 1}(\xi) + \frac{\xi_{i+p+1} - \xi}{\xi_{i+p+1} - \xi_{i+1}} N_{i + 1, p - 1}(\xi) \quad 1 \leq i \leq n $$

एकसमान और गैर-समान नॉट वैक्टर दोनों के लिए मान्य होता है। पिछले सूत्र को ठीक से काम करने के लिए, दो शून्यों का विभाजन शून्य अर्थात $$\dfrac{0}{0} := 0$$ के बराबर होने दें।

इस प्रकार से उत्पन्न होने वाले बी-स्प्लिन में एकता और सकारात्मकता गुणों का विभाजन होता है, अर्थात:

$$ \sum_{i=1}^n N_{i, p}(\xi) = 1 \quad \forall \xi $$ $$ N_{i, p}(\xi) \geq 0 \quad \forall \xi $$

ताकि डिग्री $$p$$ के $$i^{th}$$ बी-स्प्लिंस के डेरिवेटिव या ऑर्डर $$k$$ की गणना करने के लिए, एक और पुनरावर्ती सूत्र नियोजित किया जा सके:

$$ \frac{d^k}{d^k \xi} N_{i, p}(\xi)= \frac{p!}{(p-k)!} \sum_{j=0}^k \alpha_{k, j} N_{i + j, p - k}(\xi) $$

जहाँ:

$$ \alpha_{0, 0} = 1 $$

$$ \alpha_{k, 0} = \frac{\alpha_{k - 1, 0}}{\xi_{i + p - k + 1} - \xi_{i}}, $$

$$ \alpha_{k, j} = \frac{\alpha_{k - 1, j} - \alpha_{k - 1, j - 1}}{\xi_{i + p + j - k + 1} - \xi_{i + j}} \quad j = 1, ..., k-1, $$

$$ \alpha_{k, k} = \frac{- \alpha_{k - 1, j - 1}}{\xi_{i + p + 1} - \xi_{i + k}}. $$

जब भी का हर $$\alpha_{j, j}$$ गुणांक शून्य है, संपूर्ण गुणांक भी शून्य होने के लिए बाध्य है।

बी-स्पलाइन वक्र को निम्नलिखित विधि से लिखा जा सकता है:

$$ \textbf{C}(\xi) = \sum_{i=1}^n N_{i, p}(\xi) \textbf{B}_i $$

जहाँ $$n$$ आधार फलनों की संख्या है $$N_{i, p}$$, और $$\textbf{B}_i \in \mathbb{R}^d$$$$i^{th}$$ नियंत्रण बिंदु है, उस स्थान के $$d$$ उस स्थान का आयाम जिसमें वक्र डूबा हुआ है।

द्वि-आयामी मामले का विस्तार बी-स्प्लिंस वक्रों से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। विशेष रूप से बी-स्पलाइन सतहों को इस प्रकार प्रस्तुत किया जाता है:

$$ \textbf{S}(\xi, \eta) = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m N_{i, p}(\xi) M_{j, q}(\eta) \textbf{B}_{i, j} $$

जहां $$n$$ और $$m$$ दो भिन्न-भिन्न नॉट वैक्टर $$\Xi = \{\xi_1, \xi_2, ..., \xi_{n+p+1}\}$$, $$\mathcal{H} = \{\eta_1, \eta_2, ..., \eta_{m+q+1} \}$$, $$\textbf{B}_{i, j}$$ पर परिभाषित आधार फलन $$N_{i, p}$$ और $$M_{j, q}$$ की संख्याएं हैं, जो अब नियंत्रण बिंदुओं (जिसे कंट्रोल नेट भी कहा जाता है) के एक मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अंत में, बी-स्प्लिन ठोस, जिन्हें बी-स्प्लिन आधार फलनों के तीन सेट और नियंत्रण बिंदुओं के टेंसर की आवश्यकता होती है, को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

$$ \textbf{S}(\xi, \eta, \zeta) = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m \sum_{k = 1}^l N_{i, p}(\xi) M_{j, q}(\eta) L_{k, r}(\zeta) \textbf{B}_{i, j, k} $$

एनयूआरबीएस
आईजीए आधार में फलनों को न केवल संख्यात्मक समाधान का प्रतिनिधित्व करने के लिए किन्तु कम्प्यूटेशनल डोमेन विकसित करने के लिए भी नियोजित किया जाता है। इस कारण से उनमें वे सभी गुण होने चाहिए जो ज्यामिति को त्रुटिहीन विधि से प्रस्तुत करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, बी-स्प्लिन, अपनी आंतरिक संरचना के कारण, उचित रूप से गोलाकार आकृतियाँ उत्पन्न करने में सक्षम नहीं हैं। इस समस्या से बचने के लिए, गैर-समान तर्कसंगत बी-स्प्लिंस, जिन्हें एनयूआरबीएस भी कहा जाता है, को निम्नलिखित विधि से प्रस्तुत किया गया है:

$$ R_i^p(s) = \frac{N_{i, p}(s) \omega_i}{W(s)} $$

जहाँ $$N_{i, p}$$ आयामी बी-स्पलाइन है, $$W(s) = \sum_{i = 1}^{n} N_{i, p}(s) \omega_i$$ वेट फलन के रूप में जाना जाता है, और अंत में $$\omega_i$$ $$i^{th}$$ वेट है।

बी-स्प्लिन के बारे में उपधारा में विकसित विचार के बाद, एनयूआरबीएस वक्र निम्नानुसार उत्पन्न होते हैं:

$$ \textbf{C}(s) = \sum_{i = 1}^n R_i^p(s) \textbf{B}_i $$

नियंत्रण बिंदुओं के $$\textbf{B}_i$$ $$i^{th}$$ वेक्टर के साथ।

उच्च आयामों (उदाहरण के लिए 2 और 3) के कई गुना तक एनयूआरबीएस आधार फलनों का विस्तार इस प्रकार दिया गया है:

$$ R_{i, j}^{p, q}(s, t) = \frac{N_{i, p}(s) M_{j, q}(t) \omega_{i, j}}{\sum_{a = 1}^n \sum_{b = 1}^m N_{a, p}(s) M_{b, q}(t) \omega_{a, b}} $$

$$ R_{i, j, k}^{p, q, r}(s, t, w) = \frac{N_{i, p}(s) M_{j, q}(t) L_{k, r}(w) \omega_{i, j, k}}{\sum_{a = 1}^n \sum_{b = 1}^m \sum_{c = 1}^l N_{a, p}(s) M_{b, q}(t) L_{c, r}(w) \omega_{a, b, c}} $$

एचपीके-रिफाइनमेंट
आईजीए में तीन प्रणालीें हैं जो ज्यामिति और उसके पैरामीट्रिजेशन को छुए बिना आधार फलनों के स्थान को बढ़ाने की अनुमति देती हैं।

पहले वाले को नॉट इंसर्शन (या एफईए फ्रेमवर्क में एच-रिफाइनमेंट) के रूप में जाना जाता है, जहां $$\overline{\Xi} = \{\overline{\xi_1}=\xi_1, \overline{\xi_2}, ..., \overline{\xi_{n+m+p+1}} = \xi_{n+p+1}\}$$ से प्राप्त किया जाता है $$\Xi = \{\xi_1, \xi_2, ..., \xi_{n+p+1}\}$$ अधिक नोट्स के जुड़ने से, जिसका तात्पर्य आधार फलनों और नियंत्रण बिंदुओं की संख्या दोनों में वृद्धि है।

दूसरे को डिग्री उन्नयन (या एफईए संदर्भ में p-रिफाइनमेंट) कहा जाता है, जो आधार फलनों के बहुपद क्रम को बढ़ाने की अनुमति देता है।

अंत में तीसरी विधि, जिसे के-रिफाइनमेंट (एफईए में समकक्ष के बिना) के रूप में जाना जाता है, पिछली दो प्रणालीों से प्राप्त होती है, अर्थात् $$\Xi$$ में एक अद्वितीय नॉट के सम्मिलन के साथ ऑर्डर उन्नयन को जोड़ती है।

बाहरी संबंध

 * GeoPDEs: a free software tool for आइसोजियोमेट्रिक Analysis based on Octave
 * MIG(X)FEM: a free Matlab code for आईजीए (FEM and extended FEM)
 * Petआईजीए: A framework for high-performance आइसोजियोमेट्रिक Analysis based on PETSc
 * G+Smo (Geometry plus Simulation modules): a C++ library for आइसोजियोमेट्रिक analysis, developed at RICAM, Linz
 * एफईएपी: a general purpose finite element analysis program which is designed for research and educational use, developed at University of California, Berkeley
 * Bembel: An open-source आइसोजियोमेट्रिक boundary element library for Laplace, Helmholtz, and Maxwell problems written in C++
 * T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, Y. Bazilevs: "आइसोजियोमेट्रिक analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Elsevier, 2005, 194 (39-41), pp.4135-4195.