बानाच समष्टि

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, एक बैनाच स्पेस (उच्चारण ) एक पूर्ण मीट्रिक स्थान मानक सदिश स्थान है। इस प्रकार, एक बैनाच स्पेस एक मीट्रिक (गणित) के साथ एक सदिश स्थान है जो नॉर्म (गणित) की गणना और वैक्टर के बीच की दूरी की अनुमति देता है और इस अर्थ में पूर्ण है कि वैक्टर का एक कॉची अनुक्रम हमेशा एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा में अभिसरण करता है अनुक्रम जो अंतरिक्ष के भीतर है।

बानाच रिक्त स्थान का नाम पोलिश गणितज्ञ स्टीफन बानाच के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस अवधारणा को पेश किया और 1920-1922 में हंस हैन (गणितज्ञ) और एडुआर्ड हेली के साथ व्यवस्थित रूप से इसका अध्ययन किया। मौरिस रेने फ्रेचेट शब्द बनच स्पेस का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे और बदले में बनच ने फ्रेचेट स्पेस शब्द गढ़ा। बानाच रिक्त स्थान मूल रूप से डेविड हिल्बर्ट, मौरिस रेने फ्रेचेट | फ्रेचेट, और फ्रिगियस रिज्ज़ द्वारा शताब्दी में पहले कार्य स्थान के अध्ययन से बाहर हो गए थे। कार्यात्मक विश्लेषण में बनच स्थान एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। विश्लेषण के अन्य क्षेत्रों (गणित) में, अध्ययन के तहत रिक्त स्थान अक्सर बनच स्थान होते हैं।

परिभाषा
एक बनच स्पेस एक पूर्ण मीट्रिक स्पेस नॉर्म्ड स्पेस है $$(X, \| \cdot \|).$$ एक आदर्श स्थान एक जोड़ी है $$(X, \| \cdot \|)$$ एक सदिश स्थल से मिलकर $$X$$ एक अदिश क्षेत्र पर $$\mathbb{K}$$ (कहाँ $$\mathbb{K}$$ सामान्यतः है $$\R$$ या $$\Complex$$) एक प्रतिष्ठित के साथ सामान्य (गणित) $$\| \cdot \| : X \to \R.$$ सभी मानदंडों की तरह, यह मानदंड अनुवाद अपरिवर्तनीय को प्रेरित करता है मीट्रिक (गणित), जिसे कैनोनिकल या नॉर्म प्रेरित मीट्रिक कहा जाता है|(मानदंड) प्रेरित मीट्रिक, द्वारा परिभाषित $$d(x, y) := \|y - x\| = \|x - y\|$$ सभी वैक्टर के लिए $$x, y \in X.$$ यह बनाता है $$X$$ एक मीट्रिक अंतरिक्ष में $$(X, d).$$ एक क्रम $$x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$$ कहा जाता है या  $(X, d)$ या  अगर हर असली के लिए $$r > 0,$$ कुछ सूचकांक मौजूद है $$N$$ ऐसा है कि $$d\left(x_n, x_m\right) = \left\|x_n - x_m\right\| < r$$ जब कभी भी $$m$$ और $$n$$ से अधिक हैं $$N.$$ विहित मीट्रिक $$d$$ ए कहा जाता है अगर जोड़ी $$(X, d)$$ एक है, जो परिभाषा के अनुसार हर के लिए है $d$-Cauchy sequence $$x_{\bull} = \left(x_n\right)_{n=1}^{\infty}$$ में $$(X, d),$$ कुछ मौजूद है $$x \in X$$ ऐसा है कि $$\lim_{n \to \infty} \left\|x_n - x\right\| = 0$$ कहाँ क्योंकि $$\left\|x_n - x\right\| = d\left(x_n, x\right),$$ इस क्रम का अभिसरण $$x$$ समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है: $$\lim_{n \to \infty} x_n = x \; \text{ in } (X, d).$$ परिभाषा के अनुसार, आदर्श स्थान $$(X, \| \cdot \|)$$ एक है यदि मानक प्रेरित मीट्रिक $$d$$ एक पूर्ण मीट्रिक है, या अलग तरह से कहा जाए, यदि $$(X, d)$$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है। नियम $$\| \cdot \|$$ एक आदर्श स्थान का $$(X, \| \cdot \|)$$ ए कहा जाता है अगर $$(X, \| \cdot \|)$$ एक बनच स्थान है।

एल-अर्ध-आंतरिक उत्पाद

किसी भी सामान्य स्थान के लिए $$(X, \| \cdot \|),$$ एक एल-सेमी-इनर उत्पाद मौजूद है $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ पर $$X$$ ऐसा है कि $\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}$ सभी के लिए $$x \in X$$; सामान्य तौर पर, असीम रूप से कई एल-सेमी-इनर उत्पाद हो सकते हैं जो इस शर्त को पूरा करते हैं। एल-सेमी-इनर उत्पाद आंतरिक उत्पादों का एक सामान्यीकरण है, जो मूल रूप से हिल्बर्ट रिक्त स्थान को अन्य सभी बानाच स्थानों से अलग करते हैं। इससे पता चलता है कि सभी मानक स्थान (और इसलिए सभी बनच स्थान) को (पूर्व-) हिल्बर्ट रिक्त स्थान के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है।

श्रृंखला के संदर्भ में विशेषता

सदिश अंतरिक्ष संरचना हमें कॉशी अनुक्रमों के व्यवहार को अभिसरण श्रृंखला (गणित)#सामान्यीकरण के व्यवहार से संबंधित करने की अनुमति देती है। एक आदर्श स्थान $$X$$ एक Banach स्थान है यदि और केवल यदि प्रत्येक निरपेक्ष अभिसरण श्रृंखला में $$X$$ में विलीन हो जाता है $$X,$$ $$\sum_{n=1}^{\infty} \|v_n\| < \infty \quad \text{ implies that } \quad \sum_{n=1}^{\infty} v_n\ \ \text{ converges in } \ \ X.$$

टोपोलॉजी
विहित मीट्रिक $$d$$ एक आदर्श स्थान का $$(X, \|\cdot\|)$$ सामान्य मीट्रिक टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $$\tau_d$$ पर $$X,$$ जिसे विहित या मानक प्रेरित टोपोलॉजी कहा जाता है। जब तक अन्यथा इंगित नहीं किया जाता है, तब तक प्रत्येक मानक स्थान स्वचालित रूप से इस हॉसडॉर्फ स्पेस टोपोलॉजी को ले जाने के लिए मान लिया जाता है। इस टोपोलॉजी के साथ, प्रत्येक बनच स्थान एक बायर स्थान है, हालांकि ऐसे मानक स्थान मौजूद हैं जो बेयर हैं लेकिन बनच नहीं हैं। नियम $$\|\,\cdot\,\| : \left(X, \tau_d\right) \to \R$$ टोपोलॉजी के संबंध में हमेशा एक सतत कार्य होता है जो इसे प्रेरित करता है।

त्रिज्या की खुली और बंद गेंदें $$r > 0$$ एक बिंदु पर केंद्रित $$x \in X$$ क्रमशः समुच्चय हैं $$B_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| < r\} \qquad \text{ and } \qquad C_r(x) := \{z \in X : \|z - x\| \leq r\}.$$ ऐसी कोई भी गेंद एक उत्तल सेट और बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस) है $$X,$$ लेकिन एक कॉम्पैक्ट जगह  बॉल/नेबरहुड (टोपोलॉजी) मौजूद है अगर और केवल तभी $$X$$ एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष है। विशेष रूप से, कोई अनंत-आयामी आदर्श स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान नहीं हो सकता है या मोंटेल स्पेस | हेइन-बोरेल संपत्ति हो सकती है। अगर $$x_0$$ एक वेक्टर है और $$s \neq 0$$ तब एक अदिश राशि है $$x_0 + s B_r(x) = B_{|s| r}\left(x_0 + s x\right) \qquad \text{ and } \qquad x_0 + s C_r(x) = C_{|s| r}\left(x_0 + s x\right).$$ का उपयोग करते हुए $$s := 1$$ दिखाता है कि यह मानक-प्रेरित टोपोलॉजी अनुवाद अपरिवर्तनीय टोपोलॉजी है, जिसका अर्थ है कि किसी के लिए $$x \in X$$ और $$S \subseteq X,$$ सबसेट $$S$$ खुला सेट (क्रमशः, बंद सेट) में है $$X$$ अगर और केवल अगर यह इसके अनुवाद के लिए सही है $$x + S := \{x + s : s \in S\}.$$ नतीजतन, मानक प्रेरित टोपोलॉजी मूल रूप से किसी भी पड़ोस व्यवस्था द्वारा मूल रूप से निर्धारित की जाती है। मूल में कुछ आम पड़ोस के ठिकानों में शामिल हैं: $$\left\{B_r(0) : r > 0\right\}, \qquad \left\{C_r(0) : r > 0\right\}, \qquad \left\{B_{r_n}(0) : n \in \N\right\}, \qquad \text{ or } \qquad \left\{C_{r_n}(0) : n \in \N\right\}$$ कहाँ $$\left(r_n\right)_{n=1}^{\infty}$$ सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का एक क्रम है जो अभिसरण करता है $$0$$ में $$\R$$ (जैसे कि $$r_n := 1/n$$ या $$r_n := 1/2^n$$ उदाहरण के लिए)। तो उदाहरण के लिए, प्रत्येक खुला उपसमुच्चय $$U$$ का $$X$$ एक संघ के रूप में लिखा जा सकता है $$U = \bigcup_{x \in I} B_{r_x}(x) = \bigcup_{x \in I} x + B_{r_x}(0) = \bigcup_{x \in I} x + r_x B_1(0)$$ कुछ सबसेट द्वारा अनुक्रमित $$I \subseteq U,$$ जहां हर $$r_x$$ स्वरूप का है $$r_x = \tfrac{1}{n_x}$$ कुछ पूर्णांक के लिए $$n_x > 0$$ (बंद गेंद का उपयोग खुली गेंद के बजाय भी किया जा सकता है, हालांकि इंडेक्सिंग सेट $$I$$ और त्रिज्या $$r_x$$ बदलने की आवश्यकता हो सकती है)। इसके अतिरिक्त, $$I$$ गणनीय सेट  होने के लिए हमेशा चुना जा सकता है यदि $$X$$ एक है, जिसका परिभाषा के अनुसार मतलब है $$X$$ कुछ गणनीय घने सेट शामिल हैं। एंडरसन-केडेक प्रमेय कहता है कि प्रत्येक अनंत-आयामी वियोज्य फ्रेचेट स्थान उत्पाद स्थान के लिए होमोमोर्फिज्म है $\prod_{i \in \N} \R$ की अनगिनत प्रतियाँ $$\R$$ (इस होमियोमॉर्फिज़्म को एक रेखीय नक्शा नहीं होना चाहिए)। चूँकि प्रत्येक बनच स्थान एक फ्रेचेट स्थान है, यह सभी अनंत-आयामी वियोज्य बनच स्थानों के लिए भी सही है, जिसमें वियोज्य हिल्बर्ट स्थान L2-अंतरिक्ष भी शामिल है।$$\ell$$2 अनुक्रम स्थान $$\ell^2(\N)$$ अपने सामान्य मानदंड के साथ $$\|\cdot\|_2,$$ जहां (परिमित-आयामी रिक्त स्थान के विपरीत) $$\ell^2(\N)$$ इसकी इकाई क्षेत्र|इकाई के लिए होमोमोर्फिज्म भी है  $$\left\{x \in \ell^2(\N) : \|x\|_2 = 1\right\}.$$ एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है $$S$$ का $$\ell^2(\N)$$ जिसका उत्तल पतवार $$\operatorname{co}(S)$$ है बंद और इस प्रकार भी  कॉम्पैक्ट (यह फुटनोट देखेंLet $$H$$ be the separable Hilbert space $\ell^2(\N)$ of square-summable sequences with the usual norm $$\|\cdot\|_2$$ and let $$e_n = (0, \ldots, 0, 1, 0, \ldots)$$ be the standard orthonormal basis (that is $$1$$ at the $$n^{\text{th}}$$-coordinate). The closed set $$S = \{0\} \cup \left\{\tfrac{1}{n} e_n : n = 1, 2, \ldots\right\}$$ is compact (because it is sequentially compact) but its convex hull $$\operatorname{co} S$$ is  a closed set because $$h := \sum_{n=1}^{\infty} \tfrac{1}{2^n} \tfrac{1}{n} e_n$$ belongs to the closure of $$\operatorname{co} S$$ in $$H$$ but $$h \not\in\operatorname{co} S$$ (since every sequence $$\left(z_n\right)_{n=1}^\infty \in \operatorname{co} S$$ is a finite convex combination of elements of $$S$$ and so $$z_n = 0$$ for all but finitely many coordinates, which is not true of $$h$$). However, like in all complete Hausdorff locally convex spaces, the convex hull $$K := \overline{\operatorname{co}} S$$ of this compact subset is compact. The vector subspace $$X := \operatorname{span} S = \operatorname{span} \left\{e_1, e_2, \ldots\right\}$$ is a pre-Hilbert space when endowed with the substructure that the Hilbert space $$H$$ induces on it but $$X$$ is not complete and $$h \not\in C := K \cap X$$ (since $$h \not\in X$$). The closed convex hull of $$S$$ in $$X$$ (here, "closed" means with respect to $$X,$$ and not to $$H$$ as before) is equal to $$K \cap X,$$ which is not compact (because it is not a complete subset). This shows that in a Hausdorff locally convex space that is not complete, the closed convex hull of compact subset might to be compact (although it will be precompact/totally bounded). एक उदाहरण के लिए)। हालाँकि, सभी बनच स्थानों की तरह, बंद उत्तल हल | उन्नतोत्तर पेटा $$\overline{\operatorname{co}} S$$ इसका (और हर दूसरा) कॉम्पैक्ट सबसेट कॉम्पैक्ट होगा। लेकिन अगर एक मानक स्थान पूर्ण नहीं है तो यह सामान्य रूप से होता है ने गारंटी दी $$\overline{\operatorname{co}} S$$ जब भी कॉम्पैक्ट होगा $$S$$ है; एक उदाहरण के पूर्व-हिल्बर्ट अंतरिक्ष|प्री-हिल्बर्ट वेक्टर सबस्पेस में भी पाया जा सकता है $$\ell^2(\N).$$ यह आदर्श-प्रेरित टोपोलॉजी भी बनाती है $$\left(X, \tau_d\right)$$ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) के रूप में जाना जाता है, जो परिभाषा के अनुसार एक टोपोलॉजी के साथ संपन्न एक वेक्टर स्पेस है जो अतिरिक्त और स्केलर गुणन के संचालन को निरंतर बनाता है। इस बात पर जोर दिया जाता है कि TVS $$\left(X, \tau_d\right)$$ है  एक निश्चित प्रकार की टोपोलॉजी के साथ एक सदिश स्थान; यानी जब टीवीएस के रूप में माना जाता है, तो यह है  के साथ जुड़े  विशेष मानदंड या मीट्रिक (जिनमें से दोनों भुलक्कड़ हैं)। यह हॉसडॉर्फ टीवीएस $$\left(X, \tau_d\right)$$ स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस भी है क्योंकि मूल पर केंद्रित सभी खुली गेंदों का सेट मूल रूप से उत्तल संतुलित सेट खुले सेट से मिलकर एक पड़ोस का आधार बनाता है। यह टीवीएस भी है, जो परिभाषा के अनुसार किसी भी टीवीएस को संदर्भित करता है जिसका टोपोलॉजी कुछ (संभवतः अज्ञात) नॉर्म (गणित) से प्रेरित है। नॉर्मेबल टीवीएस कोल्मोगोरोव की नॉर्मबिलिटी कसौटी हौसडॉर्फ है और एक बाउंडेड सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस) होने के कारण मूल के उत्तल सेट पड़ोस।

पूर्ण मेट्रिजेबल वेक्टर टोपोलॉजी की तुलना

ओपन मैपिंग प्रमेय (कार्यात्मक विश्लेषण) का तात्पर्य है कि यदि $$\tau \text{ and } \tau_2$$ टोपोलॉजी चालू हैं $$X$$ जो दोनों बनाते हैं $$(X, \tau)$$ और $$\left(X, \tau_2\right)$$ एफ-स्पेस में (उदाहरण के लिए, बानाच या फ्रेचेट स्पेस) और यदि एक टोपोलॉजी दूसरे की तुलना में टोपोलॉजी की तुलना है तो उन्हें समान होना चाहिए (अर्थात, यदि $$\tau \subseteq \tau_2 \text{ or } \tau_2 \subseteq \tau \text{ then } \tau = \tau_2$$). तो उदाहरण के लिए, अगर $$(X, p) \text{ and } (X, q)$$ टोपोलॉजी के साथ बनच स्थान हैं $$\tau_p \text{ and } \tau_q$$ और यदि इन स्थानों में से एक में कुछ खुली गेंद है जो कि अन्य स्थान का भी एक खुला उपसमुच्चय है (या समकक्ष, यदि इनमें से एक $$p : \left(X, \tau_q\right) \to \R$$ या $$q : \left(X, \tau_p\right) \to \R$$ निरंतर है) तो उनकी टोपोलॉजी समान हैं और उनके समतुल्य मानदंड हैं।

पूर्णता
पूर्ण मानदंड और समकक्ष मानदंड

दो मानदंड, $$p$$ और $$q,$$ सदिश स्थान पर मानक (गणित) # समतुल्य मानदंड कहा जाता है अगर वे एक ही टोपोलॉजी प्रेरित करते हैं; ऐसा तब होता है जब और केवल तभी होता है जब धनात्मक वास्तविक संख्याएं मौजूद हों $$c, C > 0$$ ऐसा है कि $c q(x) \leq p(x) \leq C q(x)$ सभी के लिए $$ x \in X.$$ अगर $$p$$ और $$q$$ सदिश स्थान पर दो समान मानदंड हैं $$X$$ तब $$(X, p)$$ एक Banach स्थान है अगर और केवल अगर $$(X, q)$$ एक बनच स्थान है। इस फ़ुटनोट को बानाच स्थान पर एक सतत मानदंड के उदाहरण के लिए देखें उस बनच स्पेस के दिए गए मानदंड के बराबर। परिमित-आयामी सदिश स्थान पर सभी मानदंड समतुल्य हैं और प्रत्येक परिमित-आयामी आदर्श स्थान एक बनच स्थान है। पूर्ण मानदंड बनाम पूर्ण मेट्रिक्स

एक मीट्रिक $$D$$ एक वेक्टर स्थान पर $$X$$ पर एक मानदंड से प्रेरित है $$X$$ अगर और केवल अगर $$D$$ अनुवाद अपरिवर्तनीय है और, जिसका अर्थ है कि $$D(sx, sy) = |s| D(x, y)$$ सभी स्केलर्स के लिए $$s$$ और सभी $$x, y \in X,$$ किस मामले में समारोह $$\|x\| := D(x, 0)$$ पर मानदंड परिभाषित करता है $$X$$ और विहित मीट्रिक द्वारा प्रेरित $$\|\cdot\|$$ के बराबर है $$D.$$ लगता है कि $$(X, \|\cdot\|)$$ एक आदर्श स्थान है और वह $$\tau$$ मानक टोपोलॉजी पर प्रेरित है $$X.$$ लगता है कि $$D$$ है मीट्रिक (गणित) पर $$X$$ ऐसा है कि टोपोलॉजी कि $$D$$ प्रवृत्त करता है $$X$$ के बराबर है $$\tau.$$ अगर $$D$$ अनुवाद अपरिवर्तनीय है तब $$(X, \|\cdot\|)$$ एक Banach स्थान है अगर और केवल अगर $$(X, D)$$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है। अगर $$D$$ है अनुवाद अपरिवर्तनीय, तो इसके लिए संभव हो सकता है $$(X, \|\cdot\|)$$ एक बनच स्थान होने के लिए लेकिन के लिए $$(X, D)$$ को  एक पूर्ण मीट्रिक स्थान हो (यह फुटनोट देखें एक उदाहरण के लिए)। इसके विपरीत, क्ले का एक प्रमेय,  जो सभी मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस पर भी लागू होता है, इसका तात्पर्य है कि अगर मौजूद है  पूर्ण मीट्रिक $$D$$ पर $$X$$ जो आदर्श टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $$\tau$$ पर $$X,$$ तब $$(X, \|\cdot\|)$$ एक बनच स्थान है।

एक फ्रेचेट स्पेस स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है जिसका टोपोलॉजी कुछ ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट पूर्ण मीट्रिक द्वारा प्रेरित होता है। हर बनच स्पेस एक फ्रेचेट स्पेस है लेकिन इसके विपरीत नहीं; वास्तव में, वहाँ भी फ्रेचेट स्थान मौजूद हैं, जिस पर कोई मानदंड एक सतत कार्य नहीं है (जैसे कि वास्तविक अनुक्रमों का स्थान $\R^{\N} = \prod_{i \in \N} \R$ उत्पाद टोपोलॉजी के साथ)। हालांकि, हर फ्रेचेट स्पेस की टोपोलॉजी वास्तविक-मूल्यवान (आवश्यक रूप से निरंतर) नक्शों के कुछ काउंटेबल सेट परिवार से प्रेरित होती है, जिन्हें सेमिनोर्म कहा जाता है, जो नॉर्म (गणित) के सामान्यीकरण हैं। एक फ्रेचेट स्पेस के लिए एक टोपोलॉजी होना भी संभव है जो एक गणनीय परिवार द्वारा प्रेरित है (ऐसे मानदंड आवश्यक रूप से निरंतर होंगे) लेकिन एक बनच / सामान्य स्थान नहीं होने के कारण इसकी टोपोलॉजी को किसी के द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है मानदंड। ऐसी जगह का एक उदाहरण फ्रेचेट स्पेस है $$C^{\infty}(K),$$ जिसकी परिभाषा लेख में परीक्षण कार्यों और वितरण के रिक्त स्थान पर पाई जा सकती है।

पूर्ण मानदंड बनाम पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस

मीट्रिक पूर्णता के अलावा पूर्णता की एक और धारणा है और वह एक पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) या टीवीएस-पूर्णता की धारणा है, जो समान स्थान के सिद्धांत का उपयोग करती है। विशेष रूप से, टीवीएस-पूर्णता की धारणा एक अद्वितीय अनुवाद-अपरिवर्तनीय एकरूपता (टोपोलॉजी) का उपयोग करती है, जिसे पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस#कैनोनिकल एकरूपता कहा जाता है, जो निर्भर करता है वेक्टर घटाव और टोपोलॉजी पर $$\tau$$ सदिश स्थान के साथ संपन्न है, और इसलिए विशेष रूप से, टीवीएस पूर्णता की यह धारणा टोपोलॉजी को प्रेरित करने वाले किसी भी मानक से स्वतंत्र है $$\tau$$ (और यहां तक ​​कि टीवीएस पर भी लागू होता है  यहां तक ​​कि मेट्रिजेबल)। हर बनच स्पेस एक संपूर्ण टीवीएस है। इसके अलावा, एक आदर्श स्थान एक बनच स्थान है (अर्थात, इसका मानक-प्रेरित मीट्रिक पूर्ण है) अगर और केवल अगर यह एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के रूप में पूर्ण है। अगर $$(X, \tau)$$ एक मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है (जैसे कि कोई मानक प्रेरित टोपोलॉजी, उदाहरण के लिए), फिर $$(X, \tau)$$ एक पूर्ण TVS है यदि और केवल यदि यह a पूर्ण टीवीएस, जिसका अर्थ है कि यह प्रत्येक कॉची की जाँच करने के लिए पर्याप्त है  में $$(X, \tau)$$ में विलीन हो जाता है $$(X, \tau)$$ किसी बिंदु पर $$X$$ (अर्थात्, मनमानी कॉची नेट (गणित) की अधिक सामान्य धारणा पर विचार करने की कोई आवश्यकता नहीं है)।

अगर $$(X, \tau)$$ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है जिसकी टोपोलॉजी प्रेरित होती है (संभवत: अज्ञात) मानदंड (ऐसे रिक्त स्थान कहलाते हैं ), तब $$(X, \tau)$$ एक पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है अगर और केवल अगर $$X$$ एक मानदंड सौंपा जा सकता है (गणित) $$\|\cdot\|$$ जो प्रेरित करता है $$X$$ टोपोलॉजी $$\tau$$ और बनाता भी है $$(X, \|\cdot\|)$$ एक बनच अंतरिक्ष में। हॉउसडॉर्फ स्पेस स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस $$X$$ सामान्य स्थान है अगर और केवल अगर इसकी मजबूत दोहरी जगह $$X^{\prime}_b$$ सामान्य है, किस स्थिति में $$X^{\prime}_b$$ एक बनच स्थान है ($$X^{\prime}_b$$ के मजबूत दोहरे स्थान को दर्शाता है $$X,$$ जिसका टोपोलॉजी निरंतर दोहरे स्थान पर दोहरे मानक-प्रेरित टोपोलॉजी का सामान्यीकरण है $$X^{\prime}$$; यह फुटनोट देखें अधिक जानकारी के लिए)। अगर $$X$$ स्थानीय रूप से उत्तल TVS, तब एक मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस है $$X$$ सामान्य है अगर और केवल अगर $$X^{\prime}_b$$ एक फ्रेचेट-उरीसोहन स्थान है। इससे पता चलता है कि स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस की श्रेणी में, बानाच रिक्त स्थान वास्तव में वे पूर्ण स्थान हैं जो मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस दोनों हैं और मेट्रिज़ेबल मजबूत दोहरी रिक्त स्थान हैं।

समापन
प्रत्येक आदर्श स्थान आइसोमेट्री के सघन वेक्टर उप-स्थान में सन्निहित हो सकता है बनच स्पेस, जहां इस बैनच स्पेस को कंप्लीशन (मीट्रिक स्पेस) कहा जाता है मानदंड स्थान का। यह हॉसडॉर्फ समापन आइसोमेट्री आइसोमोर्फिज्म तक अद्वितीय है।

अधिक सटीक रूप से, प्रत्येक मानक स्थान के लिए $$X,$$ वहाँ एक Banach स्थान मौजूद है $$Y$$ और एक मानचित्रण $$T : X \to Y$$ ऐसा है कि $$T$$ एक आइसोमेट्री है और $$T(X)$$ में घना है $$Y.$$ अगर $$Z$$ एक और बनच स्पेस है जैसे कि एक आइसोमेट्रिक आइसोमोर्फिज्म है $$X$$ के सघन उपसमुच्चय पर $$Z,$$ तब $$Z$$ isometrically isomorphic है $$Y.$$ यह बनच स्थान $$Y$$ हौसडॉर्फ कम्प्लीट मेट्रिक स्पेस#कंप्लीशन| है मानदंड स्थान का $$X.$$ के लिए अंतर्निहित मीट्रिक स्थान $$Y$$ की मीट्रिक पूर्णता के समान है $$X,$$ से विस्तारित वेक्टर अंतरिक्ष संचालन के साथ $$X$$ को $$Y.$$ का पूरा होना $$X$$ कभी-कभी द्वारा दर्शाया जाता है $$\widehat{X}.$$

रैखिक संकारक, समरूपता
अगर $$X$$ और $$Y$$ एक ही जमीनी क्षेत्र में मानक स्थान हैं $$\mathbb{K},$$ सभी सतत कार्य (टोपोलॉजी) रैखिक परिवर्तन का सेट$$\mathbb{K}$$-रैखिक नक्शे $$T : X \to Y$$ द्वारा निरूपित किया जाता है $$B(X, Y).$$ अनंत-आयामी स्थानों में, सभी रेखीय मानचित्र निरंतर नहीं होते हैं। एक आदर्श स्थान से एक रेखीय मानचित्रण $$X$$ किसी अन्य नॉर्म्ड स्पेस के लिए निरंतर है अगर और केवल अगर यह बंद इकाई क्षेत्र  पर परिबद्ध ऑपरेटर है $$X.$$ इस प्रकार, वेक्टर अंतरिक्ष $$B(X, Y)$$ ऑपरेटर मानदंड दिया जा सकता है $$\|T\| = \sup \left\{\|Tx\|_Y \mid x\in X,\ \|x\|_X \leq 1 \right\}.$$ के लिए $$Y$$ एक बनच स्थान, अंतरिक्ष $$B(X, Y)$$ इस मानदंड के संबंध में एक बानाच स्थान है। स्पष्ट संदर्भों में, कभी-कभी होम स्पेस को दो बनच रिक्त स्थान के बीच केवल छोटे मानचित्रों तक सीमित करना सुविधाजनक होता है; उस स्थिति में अंतरिक्ष $$B(X,Y)$$ एक प्राकृतिक द्विभाजक के रूप में फिर से प्रकट होता है। अगर $$X$$ एक बनच स्थान है, अंतरिक्ष $$B(X) = B(X, X)$$ एक इकाई बनच बीजगणित बनाता है; गुणन संक्रिया रेखीय नक्शों के संघटन द्वारा दी जाती है।

अगर $$X$$ और $$Y$$ आदर्श स्थान हैं, यदि एक रेखीय आक्षेप मौजूद है तो वे समरूपी आदर्श स्थान हैं $$T : X \to Y$$ ऐसा है कि $$T$$ और इसका उलटा $$T^{-1}$$ निरंतर हैं। यदि दो में से एक स्थान $$X$$ या $$Y$$ पूर्ण है (या प्रतिवर्त स्थान, वियोज्य स्थान, आदि) तो अन्य स्थान भी है। दो आदर्श स्थान $$X$$ और $$Y$$ आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक हैं यदि इसके अलावा, $$T$$ एक आइसोमेट्री है, यानी $$\|T(x)\| = \|x\|$$ हरएक के लिए $$x$$ में $$X.$$ बनच-मजूर दूरी $$d(X, Y)$$ दो आइसोमॉर्फिक लेकिन आइसोमेट्रिक स्पेस के बीच नहीं $$X$$ और $$Y$$ माप देता है कि दो स्थान कितने हैं $$X$$ और $$Y$$ अलग होना।

सतत और परिबद्ध रेखीय फलन और सेमिनॉर्म्स
प्रत्येक निरंतर रैखिक संकारक एक परिबद्ध रैखिक संकारक होता है और यदि केवल आदर्श स्थानों के साथ व्यवहार किया जाता है तो इसका विलोम भी सत्य होता है। अर्थात्, दो आदर्श स्थानों के बीच एक रैखिक संकारक परिबद्ध रैखिक संकारक है यदि और केवल यदि यह एक सतत कार्य है। तो विशेष रूप से, क्योंकि अदिश क्षेत्र (जो है $$\R$$ या $$\Complex$$) एक आदर्श स्थान है, एक मानक स्थान पर एक रैखिक कार्यात्मक एक परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक है यदि और केवल अगर यह एक सतत रैखिक कार्यात्मक है। यह निरंतरता से संबंधित परिणामों (जैसे नीचे दिए गए) को बनच स्थानों पर लागू करने की अनुमति देता है। यद्यपि सीमाबद्धता मानक स्थानों के बीच रैखिक मानचित्रों के लिए निरंतरता के समान है, मुख्य रूप से बनच रिक्त स्थान के साथ व्यवहार करते समय बाध्य शब्द का अधिक उपयोग किया जाता है।

अगर $$f : X \to \R$$ एक उप-योगात्मक कार्य है (जैसे कि एक आदर्श, एक उप-रैखिक कार्य, या वास्तविक रैखिक कार्यात्मक), फिर $$f$$ एक बिंदु पर निरंतरता है अगर और केवल अगर $$f$$ सभी पर समान रूप से निरंतर है $$X$$; और अगर इसके अलावा $$f(0) = 0$$ तब $$f$$ निरंतर है अगर और केवल अगर इसका पूर्ण मूल्य $$|f| : X \to [0, \infty)$$ निरंतर है, जो होता है अगर और केवल अगर $$\{x \in X : |f(x)| < 1\}$$ का खुला उपसमुच्चय है $$X.$$ और हन-बनाक प्रमेय, एक रैखिक कार्यात्मक को लागू करने के लिए बहुत महत्वपूर्ण है $$f$$ निरंतर है यदि और केवल यदि यह इसके वास्तविक भाग के लिए सत्य है $$\operatorname{Re} f$$ और इसके अलावा, $$\|\operatorname{Re} f\| = \|f\|$$ और एक रैखिक कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भाग | वास्तविक भाग $$\operatorname{Re} f$$ पूर्णतः निर्धारित करता है $$f,$$ यही कारण है कि हैन-बनाक प्रमेय को अक्सर केवल वास्तविक रैखिक कार्यात्मकताओं के लिए ही कहा जाता है। इसके अलावा, एक रैखिक कार्यात्मक $$f$$ पर $$X$$ निरंतर है अगर और केवल अगर सेमिनॉर्म $$|f|$$ निरंतर है, जो तभी होता है जब निरंतर सेमिनॉर्म मौजूद होता है $$p : X \to \R$$ ऐसा है कि $$|f| \leq p$$; यह अंतिम कथन रैखिक कार्यात्मक को शामिल करता है $$f$$ और सेमिनोर्म $$p$$ हैन-बनाक प्रमेय के कई संस्करणों में इसका सामना करना पड़ता है।

बुनियादी धारणाएं
कार्टेशियन उत्पाद $$X \times Y$$ दो नॉर्म्ड रिक्त स्थान कैनोनिक रूप से एक मानदंड से सुसज्जित नहीं हैं। हालाँकि, कई समान मानदंड आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं, जैसे कि $$\|(x, y)\|_1 = \|x\| + \|y\|, \qquad \|(x, y)\|_\infty = \max (\|x\|, \|y\|)$$ जो (क्रमशः) बानाच रिक्त स्थान और लघु मानचित्र (ऊपर चर्चा की गई) की श्रेणी में प्रतिउत्पाद और उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) के अनुरूप हैं। परिमित (सह) उत्पादों के लिए, ये मानदंड आइसोमॉर्फिक आदर्श स्थान और उत्पाद को जन्म देते हैं $$X \times Y$$ (या प्रत्यक्ष योग $$X \oplus Y$$) पूर्ण है यदि और केवल यदि दो कारक पूर्ण हैं।

अगर $$M$$ एक आदर्श स्थान का एक बंद सेट रैखिक उपसमष्टि है $$X,$$ भागफल स्थान पर एक प्राकृतिक मानदंड है $$X / M,$$ $$\|x + M\| = \inf\limits_{m \in M} \|x + m\|.$$ भागफल $$X / M$$ एक बनच स्थान है जब $$X$$ तैयार है। भागफल मानचित्र से $$X$$ पर $$X / M,$$ भेजना $$x \in X$$ इसकी कक्षा के लिए $$x + M,$$ रैखिक है, आच्छादक है और इसका मानक है $$1,$$ सिवाय कब $$M = X,$$ जिस स्थिति में भागफल रिक्त स्थान होता है।

बंद रैखिक उप-स्थान $$M$$ का $$X$$ की पूरक उपसमष्टि कहा जाता है $$X$$ अगर $$M$$ एक प्रक्षेपण परिबद्ध रैखिक प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) के एक समारोह की सीमा है $$P : X \to M.$$ इस मामले में अंतरिक्ष $$X$$ के प्रत्यक्ष योग के लिए आइसोमोर्फिक है $$M$$ और $$\ker P,$$ प्रक्षेपण की गिरी $$P.$$ लगता है कि $$X$$ और $$Y$$ बनच स्थान हैं और वह $$T \in B(X, Y).$$ का एक विहित गुणनखंड मौजूद है $$T$$ जैसा $$T = T_1 \circ \pi, \ \ \ T : X \ \overset{\pi}{\longrightarrow}\ X / ker(T) \ \overset{T_1}{\longrightarrow} \ Y$$ जहां पहला नक्शा $$\pi$$ भागफल मानचित्र है, और दूसरा मानचित्र है $$T_1$$ हर वर्ग भेजता है $$x + \ker T$$ छवि के भागफल में $$T(x)$$ में $$Y.,$$ यह अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि एक ही वर्ग के सभी तत्वों की एक ही छवि होती है। मानचित्रण $$T_1$$ से एक रैखिक आक्षेप है $$X / \ker T$$ सीमा पर $$T(X),$$ जिनके व्युत्क्रम को बाध्य करने की आवश्यकता नहीं है।

शास्त्रीय स्थान
बुनियादी उदाहरण बानाच रिक्त स्थान में शामिल हैं: एलपी रिक्त स्थान $$L^p$$ और उनके विशेष मामले, अनुक्रम स्थान (गणित) $$\ell^p$$ जिसमें प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित अदिश अनुक्रम शामिल हैं $$\N$$; उनमें से, अंतरिक्ष $$\ell^1$$ निरपेक्ष अभिसरण अनुक्रम और स्थान $$\ell^2$$ वर्ग योग्‍य अनुक्रम; अंतरिक्ष $$c_0$$ शून्य और स्थान की ओर जाने वाले अनुक्रमों की $$\ell^{\infty}$$ बंधे हुए अनुक्रमों की; अंतरिक्ष $$C(K)$$ कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस पर निरंतर स्केलर फ़ंक्शंस $$K,$$ अधिकतम मानदंड से लैस, $$\|f\|_{C(K)} = \max \{ |f(x)| : x \in K \}, \quad f \in C(K).$$ बनच-मजूर प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बनच स्थान कुछ के एक उप-स्थान के लिए आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है। $$C(K).$$ प्रत्येक वियोज्य बनच स्थान के लिए $$X,$$ एक बंद उप-स्थान है $$M$$ का $$\ell^1$$ ऐसा है कि $$X := \ell^1 / M.$$ कोई भी हिल्बर्ट स्पेस बनच स्पेस के उदाहरण के रूप में कार्य करता है। एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष $$H$$ पर $$\mathbb{K} = \Reals, \Complex$$ प्रपत्र के एक मानक के लिए पूर्ण है $$\|x\|_H = \sqrt{\langle x, x \rangle},$$ कहाँ $$\langle \cdot, \cdot \rangle : H \times H \to \mathbb{K}$$ आंतरिक उत्पाद स्थान है, इसके पहले तर्क में रैखिक है जो निम्नलिखित को संतुष्ट करता है: $$\begin{align} \langle y, x \rangle &= \overline{\langle x, y \rangle}, \quad \text{ for all } x, y \in H \\ \langle x, x \rangle & \geq 0, \quad \text{ for all } x \in H \\ \langle x,x \rangle = 0 \text{ if and only if } x &= 0. \end{align}$$ उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष $$L^2$$ एक हिल्बर्ट स्थान है।

हार्डी स्पेस, सोबोलेव स्पेस, बनच स्पेस के उदाहरण हैं जो इससे संबंधित हैं $$L^p$$ रिक्त स्थान और अतिरिक्त संरचना है। वे विश्लेषण की विभिन्न शाखाओं, हार्मोनिक विश्लेषण और दूसरों के बीच आंशिक अंतर समीकरणों में महत्वपूर्ण हैं।

बनच बीजगणित
एक Banach बीजगणित एक Banach स्थान है $$A$$ ऊपर $$\mathbb{K} = \R$$ या $$\Complex,$$ साथ में एक क्षेत्र के ऊपर बीजगणित की एक संरचना|बीजगणित खत्म $$\mathbb{K}$$, जैसे कि उत्पाद का नक्शा $$A \times A \ni (a, b) \mapsto ab \in A$$ निरंतर है। एक समकक्ष मानदंड $$A$$ पाया जा सकता है ताकि $$\|ab\| \leq \|a\| \|b\|$$ सभी के लिए $$a, b \in A.$$

उदाहरण

 * द बनच स्पेस $$C(K)$$ बिंदुवार गुणनफल के साथ, एक बैनाच बीजगणित है।
 * डिस्क बीजगणित $$A(\mathbf{D})$$ ओपन यूनिट डिस्क में होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के कार्य होते हैं $$D \subseteq \Complex$$ और इसके क्लोजर (टोपोलॉजी) पर निरंतर: $$\overline{\mathbf{D}}.$$ अधिकतम मानदंड से लैस $$\overline{\mathbf{D}},$$ डिस्क बीजगणित $$A(\mathbf{D})$$ का एक बंद सबलजेब्रा है $$C\left(\overline{\mathbf{D}}\right).$$
 * वीनर बीजगणित $$A(\mathbf{T})$$ यूनिट सर्कल पर कार्यों का बीजगणित है $$\mathbf{T}$$ बिल्कुल अभिसरण फूरियर श्रृंखला के साथ। किसी फ़ंक्शन को जोड़ने वाले मानचित्र के माध्यम से $$\mathbf{T}$$ इसके फूरियर गुणांकों के अनुक्रम के अनुसार, यह बीजगणित बनच बीजगणित के लिए समरूप है $$\ell^1(Z),$$ जहां उत्पाद अनुक्रमों का कनवल्शन# असतत कनवल्शन है।
 * हर बनच स्थान के लिए $$X,$$ अंतरिक्ष $$B(X)$$ परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों की $$X,$$ उत्पाद के रूप में नक्शों की संरचना के साथ, एक बनच बीजगणित है।
 * ए सी*-बीजगणित एक जटिल बानाच बीजगणित है $$A$$ एक एंटीलाइनर नक्शा इनवोल्यूशन (गणित) के साथ $$a \mapsto a^*$$ ऐसा है कि $$\left\|a^* a\right\| = \|a\|^2.$$ अंतरिक्ष $$B(H)$$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर परिबद्ध रैखिक ऑपरेटरों की संख्या $$H$$ C*-बीजगणित का एक मूलभूत उदाहरण है। गेलफैंड-नैमार्क प्रमेय कहता है कि प्रत्येक सी*-बीजगणित कुछ के सी*-सबलजेब्रा के लिए आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है। $$B(H).$$ अंतरिक्ष $$C(K)$$ कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस पर जटिल निरंतर कार्यों का $$K$$ क्रमविनिमेय C*-बीजगणित का एक उदाहरण है, जहां हर क्रिया के साथ जुड़ाव जुड़ा हुआ है $$f$$ इसका जटिल संयुग्म $$\overline{f}.$$

दोहरी जगह
अगर $$X$$ एक आदर्श स्थान है और $$\mathbb{K}$$ अंतर्निहित क्षेत्र (गणित) (या तो वास्तविक संख्या या जटिल संख्या), दोहरी स्थान#सतत दोहरी जगह निरंतर रैखिक मानचित्रों का स्थान है $$X$$ में $$\mathbb{K},$$ या निरंतर रैखिक कार्य। निरंतर दोहरे के लिए अंकन है $$X^{\prime} = B(X, \mathbb{K})$$ इस आलेख में। तब से $$\mathbb{K}$$ एक बैनाच स्पेस है (मानक के रूप में पूर्ण मूल्य का उपयोग करके), दोहरी $$X^{\prime}$$ प्रत्येक मानक स्थान के लिए एक बनच स्थान है $$X.$$ निरंतर रैखिक क्रियाओं के अस्तित्व को सिद्ध करने का मुख्य उपकरण हैन-बनाक प्रमेय है।

$$

विशेष रूप से, कार्यात्मक के मानदंड को बढ़ाए बिना, एक आदर्श स्थान के उप-स्थान पर प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक को लगातार पूरे स्थान तक बढ़ाया जा सकता है। एक महत्वपूर्ण विशेष मामला निम्नलिखित है: प्रत्येक सदिश के लिए $$x$$ एक आदर्श स्थान में $$X,$$ वहाँ एक सतत रैखिक कार्यात्मक मौजूद है $$f$$ पर $$X$$ ऐसा है कि $$f(x) = \|x\|_X, \quad \|f\|_{X^{\prime}} \leq 1.$$ कब $$x$$ के बराबर नहीं है $$\mathbf{0}$$ वेक्टर, कार्यात्मक $$f$$ मानक एक होना चाहिए, और इसके लिए एक मानक कार्यात्मक कहा जाता है $$x.$$ हैन-बनाक पृथक्करण प्रमेय कहता है कि दो असंयुक्त गैर-रिक्त उत्तल सेट एक वास्तविक बानाच अंतरिक्ष में, उनमें से एक खुला है, एक बंद एफ़िन स्पेस hyperplane  द्वारा अलग किया जा सकता है। खुला उत्तल सेट हाइपरप्लेन के एक तरफ सख्ती से स्थित है, दूसरा उत्तल सेट दूसरी तरफ स्थित है लेकिन हाइपरप्लेन को छू सकता है। उपसमुच्चय $$S$$ एक बनच अंतरिक्ष में $$X$$ कुल है अगर की रैखिक अवधि $$S$$ सघन रूप से स्थापित है $$X.$$ उपसमुच्चय $$S$$ में कुल है $$X$$ अगर और केवल अगर एकमात्र निरंतर रैखिक कार्यात्मक जो गायब हो जाता है $$S$$ है $$\mathbf{0}$$ कार्यात्मक: यह तुल्यता हन-बनाक प्रमेय से आती है।

अगर $$X$$ दो बंद रैखिक उपसमष्टियों का प्रत्यक्ष योग है $$M$$ और $$N,$$ फिर द्वैत $$X^{\prime}$$ का $$X$$ के द्वैत के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है $$M$$ और $$N.$$ अगर $$M$$ में एक बंद रैखिक उपसमष्टि है $$X,$$ कोई जोड़ सकता है $$M$$ दोहरे में, $$M^{bot} = \left\{ x^{\prime} \in X : x^{\prime}(m) = 0, \ \text{ for all } m \in M \right\}.$$ ऑर्थोगोनल $$M^{\bot}$$ द्वैत की एक बंद रेखीय उपसमष्टि है। का द्वैत $$M$$ isometrically isomorphic है $$X' / M^{\bot}.$$ का द्वैत $$X / M$$ isometrically isomorphic है $$M^{\bot}.$$ एक वियोज्य बनच स्थान के दोहरे को वियोज्य होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन:

$$

कब $$X'$$ वियोज्य है, समग्रता के लिए उपरोक्त मानदंड का उपयोग गणना योग्य कुल उपसमुच्चय के अस्तित्व को साबित करने के लिए किया जा सकता है $$X.$$

कमजोर टोपोलॉजी
बनच स्थान पर कमजोर टोपोलॉजी $$X$$ पर टोपोलॉजी की तुलना है $$X$$ जिसके लिए सभी तत्व $$x^{\prime}$$ निरंतर दोहरी जगह में $$X^{\prime}$$ निरंतर हैं। मानक टोपोलॉजी इसलिए कमजोर टोपोलॉजी की तुलना में टोपोलॉजी की तुलना है। यह हैन-बनाक पृथक्करण प्रमेय से अनुसरण करता है कि कमजोर टोपोलॉजी हौसडॉर्फ अंतरिक्ष है, और यह कि बनच स्थान का एक मानक-बंद उत्तल सेट भी कमजोर रूप से बंद है। दो बनच स्थानों के बीच एक मानक-निरंतर रेखीय नक्शा $$X$$ और $$Y$$ भी कमजोर रूप से निरंतर है, अर्थात कमजोर टोपोलॉजी से निरंतर है $$X$$ उसके वहां के लिए $$Y.$$ अगर $$X$$ अनंत-आयामी है, ऐसे रैखिक मानचित्र मौजूद हैं जो निरंतर नहीं हैं। अंतरिक्ष $$X^*$$ से सभी रैखिक मानचित्रों का $$X$$ अंतर्निहित क्षेत्र के लिए $$\mathbb{K}$$ (यह स्थान $$X^*$$ इसे अलग करने के लिए इसे दोहरी जगह#बीजगणितीय दोहरी जगह कहा जाता है $$X^{\prime}$$ एक टोपोलॉजी को भी प्रेरित करता है $$X$$ जो कमजोर टोपोलॉजी की तुलना में बेहतर टोपोलॉजी है, और कार्यात्मक विश्लेषण में बहुत कम प्रयोग किया जाता है।

दोहरे स्थान पर $$X^{\prime},$$ की कमजोर टोपोलॉजी की तुलना में कमजोर टोपोलॉजी है $$X^{\prime},$$ कमजोर टोपोलॉजी कहा जाता है|कमजोर* टोपोलॉजी। यह सबसे मोटे टोपोलॉजी है $$X^{\prime}$$ जिसके लिए सभी मूल्यांकन मानचित्र $$x^{\prime} \in X^{\prime} \mapsto x^{\prime}(x),$$ कहाँ $$x$$ से अधिक है $$X,$$ निरंतर हैं। इसका महत्व बनच-अलाग्लू प्रमेय से आता है।

$$

कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के अनंत उत्पादों के बारे में टायकोनॉफ़ के प्रमेय का उपयोग करके बानाच-अलाग्लु प्रमेय को सिद्ध किया जा सकता है। कब $$X$$ वियोज्य है, यूनिट बॉल $$B^{\prime}$$ दोहरे का कमजोर * टोपोलॉजी में मेट्रिजेबल स्पेस कॉम्पैक्ट है।

दोहरे स्थान के उदाहरण
का द्वैत $$c_0$$ isometrically isomorphic है $$\ell^1$$: प्रत्येक परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक के लिए $$f$$ पर $$c_0,$$ एक अनूठा तत्व है $$y = \left\{ y_n \right\} \in \ell^1$$ ऐसा है कि $$f(x) = \sum_{n \in \N} x_n y_n, \qquad x = \{x_n\} \in c_0, \ \ \text{and} \ \ \|f\|_{(c_0)'} = \|y\|_{\ell_1}. $$ का द्वैत $$\ell^1$$ isometrically isomorphic है $$\ell^{\infty}$$. एलपी स्पेस का दोहरा # एलपी स्पेस का गुण $$L^p([0, 1])$$ isometrically isomorphic है $$L^q([0, 1])$$ कब $$1 \leq p < \infty$$ और $$\frac{1}{p} + \frac{1}{q} = 1.$$ हर वेक्टर के लिए $$y$$ एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष में $$H,$$ मानचित्रण $$x \in H \to f_y(x) = \langle x, y \rangle$$ एक सतत रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है $$f_y$$ पर $$H.$$रिज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय कहता है कि प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक पर $$H$$ स्वरूप का है $$f_y$$ विशिष्ट रूप से परिभाषित वेक्टर के लिए $$y$$ में $$H.$$ मानचित्रण $$y \in H \to f_y$$ एक एंटीलीनियर मैप आइसोमेट्रिक बायजेक्शन है $$H$$ इसके दोहरे पर $$H'.$$ जब स्केलर वास्तविक होते हैं, तो यह मानचित्र एक सममितीय समाकृतिकता है।

कब $$K$$ एक कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस है, डुअल $$M(K)$$ का $$C(K)$$ बॉरबाकी के अर्थ में रेडॉन उपायों का स्थान है। उपसमुच्चय $$P(K)$$ का $$M(K)$$ द्रव्यमान 1 (संभाव्यता उपाय) के गैर-नकारात्मक उपायों से मिलकर यूनिट बॉल का एक उत्तल w*-बंद उपसमुच्चय है $$M(K).$$ के चरम बिंदु $$P(K)$$ डिराक उपाय चालू हैं $$K.$$ डिराक का सेट चालू है $$K,$$ डब्ल्यू * - टोपोलॉजी से लैस, होमोमोर्फिज्म है $$K.$$

$$

परिणाम आमिर द्वारा बढ़ाया गया है और कैम्बरन मामले में जब गुणक बनच-मजूर कॉम्पेक्टम | बनच-मजूर के बीच की दूरी $$C(K)$$ और $$C(L)$$ है $$< 2.$$ दूरी होने पर प्रमेय अब सत्य नहीं है $$ = 2.$$ क्रमविनिमेय बनच बीजगणित में $$C(K),$$ द बनच बीजगणित#आदर्श और चरित्र सटीक रूप से डायराक उपायों की गुठली हैं $$K,$$ $$I_x = \ker \delta_x = \{f \in C(K) : f(x) = 0\}, \quad x \in K.$$ अधिक आम तौर पर, गेलफैंड-मजूर प्रमेय द्वारा, एक यूनिटल कम्यूटेटिव बनच बीजगणित के अधिकतम आदर्शों को इसके बनच बीजगणित # आदर्शों और पात्रों के साथ पहचाना जा सकता है - न केवल सेट के रूप में बल्कि टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के रूप में: हल-कर्नेल टोपोलॉजी के साथ पूर्व और w*-टोपोलॉजी के साथ बाद वाला। इस पहचान में, अधिकतम आदर्श स्थान को दोहरी गेंद में इकाई गेंद के w*-कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है $$A'.$$

$$

प्रत्येक इकाई क्रमविनिमेय बनच बीजगणित का रूप नहीं है $$C(K)$$ कुछ कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस के लिए $$K.$$ हालाँकि, यह कथन यदि एक स्थान पर है $$C(K)$$ क्रमविनिमेय C*-अल्जेब्रा की छोटी श्रेणी में। इज़राइल गेलफैंड | गेलफैंड का गेलफैंड प्रतिनिधित्व क्रमविनिमेय C*-बीजगणित के लिए बताता है कि प्रत्येक क्रमविनिमेय इकाई C*-बीजगणित $$A$$ isometrically isomorphic to a $$C(K)$$ अंतरिक्ष। हॉउसडॉर्फ कॉम्पैक्ट स्पेस $$K$$ यहाँ फिर से अधिकतम आदर्श स्थान है, जिसे C*-बीजगणित का स्पेक्ट्रम भी कहा जाता है# के उदाहरण $$A$$ सी*-बीजगणित संदर्भ में।

द्विभाषी
अगर $$X$$ एक आदर्श स्थान है, (निरंतर) दोहरा $$X''$$ द्वैत का $$X'$$ कहा जाता है, या का $$X.$$ प्रत्येक सामान्य स्थान के लिए $$X,$$ एक प्राकृतिक मानचित्र है, $$\begin{cases} F_X : X \to X'' \\ F_X(x) (f) = f(x) & \text{ for all } x \in X, \text{ and for all } f \in X' \end{cases}$$ यह परिभाषित करता है $$F_X(x)$$ एक सतत रैखिक कार्यात्मक के रूप में $$X^{\prime},$$ वह है, का एक तत्व $$X^{\prime\prime}.$$ वो नक्शा $$F_X : x \to F_X(x)$$ से एक रेखीय मानचित्र है $$X$$ को $$X^{\prime\prime}.$$ बनच स्थान # दोहरे स्थान के अस्तित्व के परिणामस्वरूप $$f$$ हरएक के लिए $$x \in X,$$ यह नक्शा $$F_X$$ isometric है, इस प्रकार इंजेक्शन।

उदाहरण के लिए, की दोहरी $$X = c_0$$ से पहचाना जाता है $$\ell^1,$$ और की दोहरी $$\ell^1$$ से पहचाना जाता है $$\ell^{\infty},$$ परिबद्ध अदिश अनुक्रमों का स्थान। इन पहचान के तहत $$F_X$$ से समावेशन मानचित्र है $$c_0$$ को $$\ell^{\infty}.$$ यह वास्तव में सममितीय है, लेकिन आच्छादक नहीं है।

अगर $$F_X$$ आच्छादन है, तो आदर्श स्थान $$X$$ रिफ्लेक्सिव कहा जाता है (बनच स्पेस # रिफ्लेक्सिविटी देखें)। एक आदर्श स्थान के दोहरे होने के नाते, बिडुअल $$X''$$ पूर्ण है, इसलिए, प्रत्येक रिफ्लेक्सिव नॉर्म्ड स्पेस एक बनच स्पेस है।

आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग का उपयोग करना $$F_X,$$ यह एक आदर्श स्थान पर विचार करने के लिए प्रथागत है $$X$$ इसकी बोली के सबसेट के रूप में। कब $$X$$ एक बनच स्थान है, इसे एक बंद रेखीय उप-स्थान के रूप में देखा जाता है $$X^{\prime\prime}.$$ अगर $$X$$ रिफ्लेक्सिव नहीं है, की यूनिट बॉल $$X$$ की इकाई गेंद का एक उचित उपसमुच्चय है $$X^{\prime\prime}.$$ गोल्डस्टाइन प्रमेय में कहा गया है कि एक मानक स्थान की इकाई गेंद बोली की इकाई गेंद में कमजोर*-सघन होती है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक के लिए $$x''$$ बिडुअल में, एक नेट मौजूद है (गणित) $$\left(x_i\right)_{i \in I}$$ में $$X$$ ताकि $$\sup_{i \in I} \left\|x_i\right\| \leq \|x\|, \ \ x(f) = \lim_i f\left(x_i\right), \quad f \in X'.$$ दोहरी होने पर नेट को कमजोर *-अभिसरण अनुक्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $$X'$$ वियोज्य है। दूसरी ओर, की बोली के तत्व $$\ell^1$$ जो अंदर नहीं हैं $$\ell^1$$ कमजोर नहीं हो सकता* - की सीमा में $$\ell^1,$$ तब से $$\ell^1$$ बानाच स्पेस है # अनुक्रमों का कमजोर अभिसरण।

बनच के प्रमेय
बनच की किताब के समय तक वापस जाने वाले बनच रिक्त स्थान के बारे में मुख्य सामान्य परिणाम यहां दिए गए हैं और बायर श्रेणी प्रमेय से संबंधित हैं। इस प्रमेय के अनुसार, एक पूर्ण मीट्रिक स्थान (जैसे कि एक बैनच स्पेस, एक फ्रेचेट स्पेस या एक एफ-स्पेस) खाली इंटीरियर (टोपोलॉजी) के साथ गिने-चुने कई बंद उपसमुच्चयों के संघ के बराबर नहीं हो सकता है। इसलिए, एक Banach स्थान गिनती के कई बंद उप-स्थानों का संघ नहीं हो सकता है, जब तक कि यह पहले से ही उनमें से एक के बराबर न हो; एक गणनीय हामेल आधार वाला एक बनच स्थान परिमित-आयामी है।

$$

बनच-स्टाइनहॉस प्रमेय बनच स्थानों तक सीमित नहीं है। इसे उदाहरण के लिए उस मामले में बढ़ाया जा सकता है जहां $$X$$ एक फ्रेचेट स्पेस है, बशर्ते निष्कर्ष को निम्नानुसार संशोधित किया जाए: एक ही परिकल्पना के तहत, एक पड़ोस मौजूद है $$U$$ का $$\mathbf{0}$$ में $$X$$ ऐसा है कि सभी $$T$$ में $$F$$ समान रूप से बंधे हुए हैं $$U,$$ $$\sup_{T \in F} \sup_{x \in U} \; \|T(x)\|_Y < \infty.$$

$$

$$

$$

यह परिणाम पूर्ववर्ती बनच समरूपता प्रमेय और बंधे हुए रैखिक मानचित्रों के विहित गुणनखंड का प्रत्यक्ष परिणाम है।

$$

यह बानाच के समरूपता प्रमेय का एक और परिणाम है, जो निरंतर आक्षेप पर लागू होता है $$M_1 \oplus \cdots \oplus M_n$$ पर $$X$$ भेजना $$m_1, \cdots, m_n$$ राशि के लिए $$m_1 + \cdots + m_n.$$

$$

रिफ्लेक्सिविटी
आदर्श स्थान $$X$$ प्राकृतिक मानचित्र होने पर रिफ्लेक्सिव स्पेस कहा जाता है $$\begin{cases} F_X : X \to X'' \\ F_X(x) (f) = f(x) & \text{ for all } x \in X, \text{ and for all } f \in X'\end{cases}$$ विशेषण है। रिफ्लेक्सिव नॉर्म्ड स्पेस बनच स्पेस हैं।

$$

यह हैन-बनाक प्रमेय का परिणाम है। इसके अलावा, ओपन मैपिंग प्रमेय द्वारा, यदि बनच स्पेस से एक परिबद्ध रैखिक ऑपरेटर है $$X$$ बनच अंतरिक्ष पर $$Y,$$ तब $$Y$$ प्रतिवर्त है।

$$

$$

दरअसल, अगर दोहरी $$Y^{\prime}$$ एक बनच स्थान का $$Y$$ वियोज्य है, तो $$Y$$ वियोज्य है। अगर $$X$$ प्रतिवर्त और वियोज्य है, फिर का दोहरा $$X^{\prime}$$ वियोज्य है, इसलिए $$X^{\prime}$$ वियोज्य है।

$$

हिल्बर्ट स्पेस रिफ्लेक्सिव हैं। $$L^p$$ h> स्पेस रिफ्लेक्सिव होते हैं जब $$1 < p < \infty.$$ अधिक आम तौर पर, मिलमैन-पेटिस प्रमेय द्वारा समान रूप से उत्तल रिक्त स्थान प्रतिवर्ती होते हैं। रिक्त स्थान $$c_0, \ell^1, L^1([0, 1]), C([0, 1])$$ परावर्तक नहीं हैं। गैर-रिफ्लेक्सिव रिक्त स्थान के इन उदाहरणों में $$X,$$ बोली $$X$$ से बहुत बड़ा है $$X.$$ अर्थात्, प्राकृतिक आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग के तहत $$X$$ में $$X$$ हन-बनच प्रमेय द्वारा दिया गया भागफल $$X^{\prime\prime} / X$$ अनंत-आयामी है, और अविभाज्य भी है। हालाँकि, रॉबर्ट सी। जेम्स ने एक उदाहरण का निर्माण किया है एक गैर-रिफ्लेक्सिव स्पेस, जिसे आमतौर पर जेम्स स्पेस कहा जाता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $$J,$$ ऐसा भागफल $$J^{\prime\prime} / J$$ एक आयामी है। इसके अलावा, यह स्थान $$J$$ isometrically isomorphic to its Bidual है।

$$

कब $$X$$ स्वतुल्य है, यह इस प्रकार है कि सभी बंद और परिबद्ध उत्तल सेट $$X$$ कमजोर रूप से संकुचित हैं। एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष में $$H,$$ यूनिट बॉल की कमजोर सघनता का उपयोग अक्सर निम्नलिखित तरीके से किया जाता है: प्रत्येक बंधे हुए क्रम में $$H$$ कमजोर रूप से अभिसारी परिणाम हैं।

यूनिट बॉल की कमजोर कॉम्पैक्टनेस कुछ अनंत-आयामी अनुकूलन के लिए रिफ्लेक्सिव रिक्त स्थान में समाधान खोजने के लिए एक उपकरण प्रदान करती है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक उत्तल इकाई गेंद पर निरंतर कार्य करता है $$B$$ एक रिफ्लेक्सिव स्पेस किसी बिंदु पर न्यूनतम हो जाता है $$B.$$ पूर्ववर्ती परिणाम के एक विशेष मामले के रूप में, कब $$X$$ एक रिफ्लेक्सिव स्पेस ओवर है $$\R,$$ हर निरंतर रैखिक कार्यात्मक $$f$$ में $$X^{\prime}$$ अधिकतम प्राप्त करता है $$\|f\|$$ की यूनिट बॉल पर $$X.$$ निम्नलिखित जेम्स प्रमेय|रॉबर्ट सी. जेम्स का प्रमेय एक विलोम कथन प्रदान करता है।

$$

प्रमेय को कमजोर रूप से सघन उत्तल सेटों का लक्षण वर्णन देने के लिए बढ़ाया जा सकता है।

हर नॉन-रिफ्लेक्सिव बनच स्पेस पर $$X,$$ निरंतर रेखीय कार्य मौजूद हैं जो मानक-प्राप्ति नहीं कर रहे हैं। हालांकि, बिशप बचाओ -रॉबर्ट फेल्प्स प्रमेय बताता है कि आदर्श-प्राप्त करने वाले कार्यात्मक दोहरे में मानक सघन हैं $$X^{\prime}$$ का $$X.$$

अनुक्रमों के कमजोर अभिसरण
एक क्रम $$\left\{ x_n \right\}$$ एक बनच अंतरिक्ष में $$X$$ वेक्टर के लिए कमजोर रूप से अभिसरण है $$x \in X$$ अगर $$\left\{ f\left(x_n\right) \right\}$$ में विलीन हो जाता है $$f(x)$$ प्रत्येक निरंतर रैखिक कार्यात्मक के लिए $$f$$ दोहरे में $$X^{\prime}.$$ क्रम $$\left\{ x_n \right\}$$ एक कमजोर कॉची अनुक्रम है अगर $$\left\{ f\left(x_n\right) \right\}$$ एक स्केलर सीमा में अभिसरण करता है $$L(f),,$$ हरएक के लिए $$f$$ में $$X^{\prime}.$$ एक क्रम $$\left\{ f_n \right\}$$ दोहरे में $$X^{\prime}$$ दुर्बल रूप से* एक कार्यात्मक के लिए अभिसरण है $$f \in X^{\prime}$$ अगर $$f_n(x)$$ में विलीन हो जाता है $$f(x)$$ हरएक के लिए $$x$$ में $$X.$$ यूनिफ़ॉर्म बाउंडेडनेस सिद्धांत | बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय के परिणामस्वरूप कमजोर कॉची अनुक्रम, कमजोर रूप से अभिसरण और कमजोर रूप से अभिसरण अनुक्रम मानदंड से बंधे हुए हैं।

जब क्रम $$\left\{ x_n \right\}$$ में $$X$$ एक कमजोर कॉशी अनुक्रम है, सीमा $$L$$ उपरोक्त दोहरी पर एक बाध्य रैखिक कार्यात्मक परिभाषित करता है $$X^{\prime},$$ वह है, एक तत्व $$L$$ की बोली का $$X,$$ और $$L$$ की सीमा है $$\left\{ x_n \right\}$$ कमजोर * में - बिडुअल की टोपोलॉजी। द बनच स्पेस $$X$$ कमजोर रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण होता है यदि प्रत्येक कमजोर कॉची अनुक्रम में कमजोर रूप से अभिसरण होता है $$X.$$ यह पूर्ववर्ती चर्चा से अनुसरण करता है कि रिफ्लेक्सिव स्पेस कमजोर रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण होते हैं।

$$

हिल्बर्ट स्पेस में एक ऑर्थोनॉर्मल अनुक्रम एक कमजोर रूप से अभिसरण अनुक्रम का एक सरल उदाहरण है, जिसकी सीमा के बराबर है $$\mathbf{0}$$ वेक्टर। शाउडर आधार # के उदाहरण $$\ell^p$$ के लिए $$1 < p < \infty,$$ या का $$c_0,$$ एक कमजोर अशक्त अनुक्रम का एक और उदाहरण है, जो कि एक ऐसा क्रम है जो कमजोर रूप से अभिसरण करता है $$\mathbf{0}.$$ बानाच स्थान में प्रत्येक कमजोर अशक्त अनुक्रम के लिए, दिए गए अनुक्रम से वैक्टरों के उत्तल संयोजनों का एक क्रम मौजूद है जो मानक-अभिसरण है $$\mathbf{0}.$$ इकाई वेक्टर आधार $$\ell^1$$ कमजोर कॉची नहीं है। कमजोर कॉची क्रम में $$\ell^1$$ कमजोर रूप से अभिसरण हैं, चूंकि $$L^1$$-स्पेस कमजोर रूप से क्रमिक रूप से पूर्ण हैं। वास्तव में, कमजोर रूप से अभिसारी अनुक्रम $$\ell^1$$ मानक अभिसरण हैं। इस का मतलब है कि $$\ell^1$$ शूर की संपत्ति को संतुष्ट करता है।

परिणाम शामिल हैं $$\ell^1$$ आधार
कमजोर कॉची अनुक्रम और $$\ell^1$$ आधार H. P. रोसेन्थल के निम्नलिखित गहरे परिणाम में स्थापित द्विभाजन के विपरीत मामले हैं।

$$

इस परिणाम का पूरक ओडेल और रोसेन्थल (1975) के कारण है।

$$

गोल्डस्टाइन प्रमेय द्वारा, यूनिट बॉल का प्रत्येक तत्व $$B^{\prime\prime}$$ का $$X^{\prime\prime}$$ कमजोर है*- की यूनिट बॉल में नेट की सीमा $$X.$$ कब $$X$$ शामिल नहीं है $$\ell^1,$$ का हर तत्व $$B^{\prime\prime}$$ कमजोर है* - एक की सीमा की यूनिट बॉल में $$X.$$ जब बनच अंतरिक्ष $$X$$ वियोज्य है, दोहरी की इकाई गेंद $$X^{\prime},$$ कमजोर *-टोपोलॉजी से लैस, एक मेट्रिजेबल कॉम्पैक्ट स्पेस है $$K,$$ और हर तत्व $$x^{\prime\prime}$$ बोली में $$X^{\prime\prime}$$ एक बंधे हुए कार्य को परिभाषित करता है $$K$$: $$x' \in K \mapsto x(x'), \quad \left |x(x')\right| \leq \left \|x''\right \|.$$ यह कार्य कॉम्पैक्ट टोपोलॉजी के लिए निरंतर है $$K$$ अगर और केवल अगर $$x^{\prime\prime}$$ वास्तव में है $$X,$$ का उपसमुच्चय माना जाता है $$X^{\prime\prime}.$$ बाकी पैराग्राफ के लिए अतिरिक्त मान लें कि $$X$$ शामिल नहीं है $$\ell^1.$$ ओडेल और रोसेन्थल के पूर्ववर्ती परिणाम से, समारोह $$x^{\prime\prime}$$ बिन्दुवार अभिसरण चालू है $$K$$ एक क्रम का $$\left\{x_n\right\} \subseteq X$$ निरंतर कार्यों पर $$K,$$ इसलिए यह एक बाहरी समारोह है $$K.$$ बिडुअल की यूनिट बॉल पहले बायर वर्ग का बिंदुवार कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है $$K.$$

अनुक्रम, कमजोर और कमजोर * कॉम्पैक्टनेस
कब $$X$$ वियोज्य है, दोहरी की इकाई गेंद कमजोर है * - बनच-अलाग्लु प्रमेय द्वारा कॉम्पैक्ट और कमजोर * टोपोलॉजी के लिए मेट्रिजेबल, इसलिए दोहरे में प्रत्येक बंधे हुए क्रम में कमजोर रूप से अभिसारी अनुक्रम होते हैं। यह वियोज्य रिफ्लेक्सिव रिक्त स्थान पर लागू होता है, लेकिन इस मामले में अधिक सत्य है, जैसा कि नीचे बताया गया है।

बनच स्पेस की कमजोर टोपोलॉजी $$X$$ मेट्रिजेबल है अगर और केवल अगर $$X$$ परिमित-आयामी है। यदि द्वि $$X'$$ वियोज्य है, यूनिट बॉल की कमजोर टोपोलॉजी $$X$$ मेट्रिजेबल है। यह विशेष रूप से अलग करने योग्य रिफ्लेक्सिव बैनच रिक्त स्थान पर लागू होता है। हालांकि यूनिट बॉल की कमजोर टोपोलॉजी सामान्य रूप से मेट्रिजेबल नहीं है, लेकिन अनुक्रमों का उपयोग करके कमजोर कॉम्पैक्टनेस को चिह्नित किया जा सकता है।

$$

एक बनच स्थान $$X$$ रिफ्लेक्सिव है अगर और केवल अगर प्रत्येक बंधे अनुक्रम में $$X$$ एक कमजोर अभिसारी परिणाम है। एक कमजोर कॉम्पैक्ट सबसेट $$A$$ में $$\ell^1$$ नॉर्म-कॉम्पैक्ट है। दरअसल, हर क्रम में $$A$$ Eberlein-Smulian द्वारा कमजोर रूप से अभिसारी परिणाम हैं, जो कि Schur संपत्ति द्वारा मानक अभिसरण हैं $$\ell^1.$$

कंपकंपी के आधार
बनच क्षेत्र में एक कंपकंपी का आधार $$X$$ एक क्रम है $$\left\{ e_n \right\}_{n \geq 0}$$ वैक्टर में $$X$$ संपत्ति के साथ कि हर वेक्टर के लिए $$x \in X,$$ वहां है परिभाषित स्केलर $$\left\{ x_n \right\}_{n \geq 0}$$ इस पर निर्भर करते हुए $$x,$$ ऐसा है कि $$x = \sum_{n=0}^{\infty} x_n e_n, \quad \textit{i.e.,} \quad x = \lim_n P_n(x), \ P_n(x) := \sum_{k=0}^n x_k e_k.$$ स्कॉडर आधार के साथ बैनच रिक्त स्थान आवश्यक रूप से वियोज्य स्थान हैं, क्योंकि तर्कसंगत गुणांक (कहते हैं) के साथ परिमित रैखिक संयोजनों का गणनीय सेट घना है।

यह बानाच-स्टाइनहॉस प्रमेय से आता है जो कि रैखिक मानचित्रण है $$\left\{P_n\right\}$$ समान रूप से कुछ स्थिरांक से बंधे होते हैं $$C.$$ होने देना $$\left\{ e_n^* \right\}$$ उन समन्वय कार्यों को निरूपित करें जो प्रत्येक को असाइन करते हैं $$x$$ में $$X$$ समन्वय $$x_n$$ का $$x$$ उपरोक्त विस्तार में। उन्हें बायोरथोगोनल फंक्शंस कहा जाता है। जब आधार वैक्टर का मानदंड होता है $$1,$$ समन्वय कार्य करता है $$\left\{e_n^*\right\}$$ आदर्श है $$\,\leq 2 C$$ के दोहरे में $$X.$$ अधिकांश शास्त्रीय वियोज्य स्थानों में स्पष्ट आधार होते हैं। उसकी तरंगिका $$\left\{ h_n \right\}$$ का आधार है $$L^p([0, 1]), 1 \leq p < \infty.$$ द स्कॉडर बेसिस#उदाहरण एक आधार है $$L^p(\mathbf{T})$$ कब $$1 < p < \infty.$$ इकाई अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार तरंगिका # हार प्रणाली अंतरिक्ष में एक आधार है $$C([0, 1]).$$ डिस्क बीजगणित का सवाल है $$A(\mathbf{D})$$ एक आधार है 1974 में Bočkarev द्वारा दिखाए जाने तक चालीस से अधिक वर्षों तक खुला रहा $$A(\mathbf{D})$$ यूनिट अंतराल और संबंधित प्रणालियों पर हार वेवलेट #हार प्रणाली से निर्मित आधार को स्वीकार करता है। चूंकि प्रत्येक वेक्टर $$x$$ एक बनच अंतरिक्ष में $$X$$ आधार के साथ की सीमा है $$P_n(x),$$ साथ $$P_n$$ परिमित रैंक और समान रूप से घिरा, स्थान $$X$$ सन्निकटन संपत्ति को संतुष्ट करता है। सन्निकटन संपत्ति को विफल करने वाले स्थान के प्रति एंफ्लो द्वारा पहला उदाहरण एक ही समय में एक अलग-अलग बानाच स्थान का पहला उदाहरण था, जो कि स्कॉडर आधार के बिना था। रॉबर्ट सी. जेम्स ने बैनाच स्थानों में एक आधार के साथ रिफ्लेक्सिविटी की विशेषता बताई: अंतरिक्ष $$X$$ एक Schauder आधार के साथ रिफ्लेक्सिव है अगर और केवल अगर आधार Schauder आधार#Schauder आधार और द्वैत दोनों है। इस मामले में, बायोऑर्थोगोनल कार्यात्मकता दोहरे के आधार का निर्माण करती है $$X.$$

टेंसर उत्पाद
होने देना $$X$$ और $$Y$$ दो हो $$\mathbb{K}$$-वेक्टर रिक्त स्थान। टेंसर उत्पाद $$X \otimes Y$$ का $$X$$ और $$Y$$ एक है $$\mathbb{K}$$-सदिश स्थल $$Z$$ बिलिनियर मैपिंग के साथ $$T : X \times Y \to Z$$ जिसके पास निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति है:


 * अगर $$T_1 : X \times Y \to Z_1$$ क्या कोई बिलिनियर मैपिंग ए में है $$\mathbb{K}$$-सदिश स्थल $$Z_1,$$ तो वहाँ एक अद्वितीय रेखीय मानचित्रण मौजूद है $$f : Z \to Z_1$$ ऐसा है कि $$T_1 = f \circ T.$$

नीचे की छवि $$T$$ एक जोड़े का $$(x, y)$$ में $$X \times Y$$ द्वारा निरूपित किया जाता है $$x \otimes y,$$ और एक साधारण टेन्सर कहा जाता है। हर तत्व $$z$$ में $$X \otimes Y$$ ऐसे सरल टेंसरों का परिमित योग है।

ऐसे विभिन्न मानदंड हैं जिन्हें अंतर्निहित वेक्टर रिक्त स्थान के टेंसर उत्पाद पर रखा जा सकता है, दूसरों के बीच टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पाद#क्रॉस मानदंड और बैनच स्पेस के टेंसर उत्पाद और टोपोलॉजिकल टेंसर उत्पाद#अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा पेश किए गए बैनाच स्पेस के क्रॉस मानदंड और टेंसर उत्पाद |ए. 1955 में ग्रोथेंडिक। सामान्य तौर पर, पूर्ण रिक्त स्थान का टेन्सर उत्पाद फिर से पूर्ण नहीं होता है। बनच रिक्त स्थान के साथ काम करते समय, यह कहने की प्रथा है कि प्रक्षेपी टेंसर उत्पाद दो बनच स्थानों में से $$X$$ और $$Y$$ है $$X \widehat{\otimes}_\pi Y$$ बीजगणितीय टेंसर उत्पाद का $$X \otimes Y$$ प्रोजेक्टिव टेंसर मानदंड से लैस है, और इसी तरह इंजेक्शन टेंसर उत्पाद के लिए $$X \widehat{\otimes}_\varepsilon Y.$$ ग्रोथेंडिक ने विशेष रूप से साबित किया

$$\begin{align} C(K) \widehat{\otimes}_\varepsilon Y &\simeq C(K, Y), \\ L^1([0, 1]) \widehat{\otimes}_\pi Y &\simeq L^1([0, 1], Y), \end{align}$$ कहाँ $$K$$ एक कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस है, $$C(K, Y)$$ से निरंतर कार्यों की Banach अंतरिक्ष $$K$$ को $$Y$$ और $$L^1([0, 1], Y)$$ Bochner-मापने योग्य और पूर्णांक कार्यों का स्थान $$[0, 1]$$ को $$Y,$$ और जहां समरूपताएं सममितीय हैं। उपरोक्त दो समाकृतिकता टेंसर भेजने वाले मानचित्र के संबंधित विस्तार हैं $$f \otimes y$$ वेक्टर-वैल्यू फ़ंक्शन के लिए $$s \in K \to f(s) y \in Y.$$

टेंसर उत्पाद और सन्निकटन गुण
होने देना $$X$$ बनच स्थान बनो। टेंसर उत्पाद $$X' \widehat \otimes_\varepsilon X$$ में बंद होने के साथ आइसोमेट्रिक रूप से पहचाना जाता है $$B(X)$$ परिमित रैंक ऑपरेटरों के सेट का। कब $$X$$ सन्निकटन संपत्ति है, यह क्लोजर कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के स्थान के साथ मेल खाता है $$X.$$ प्रत्येक बनच स्थान के लिए $$Y,$$ एक प्राकृतिक मानदंड है $$1$$ रैखिक नक्शा $$Y \widehat\otimes_\pi X \to Y \widehat\otimes_\varepsilon X$$ बीजगणितीय टेन्सर उत्पाद के पहचान मानचित्र को विस्तारित करके प्राप्त किया गया। ग्रोथेंडिक ने सन्निकटन संपत्ति को इस सवाल से संबंधित किया कि क्या यह नक्शा एक-से-एक कब है $$Y$$ का द्वैत है $$X.$$ सटीक रूप से, प्रत्येक बनच स्थान के लिए $$X,$$ वो नक्शा $$X' \widehat \otimes_\pi X \ \longrightarrow X' \widehat \otimes_\varepsilon X$$ एक-से-एक है अगर और केवल अगर $$X$$ सन्निकटन गुण है। ग्रोथेंडिक ने अनुमान लगाया था $$X \widehat{\otimes}_\pi Y$$ और $$X \widehat{\otimes}_\varepsilon Y$$ जब भी अलग होना चाहिए $$X$$ और $$Y$$ अनंत-आयामी बनच स्थान हैं। यह 1983 में गाइल्स पिसिएर द्वारा अस्वीकृत किया गया था। पिसिएर ने एक अनंत-आयामी बनच अंतरिक्ष का निर्माण किया $$X$$ ऐसा है कि $$X \widehat{\otimes}_\pi X$$ और $$X \widehat{\otimes}_\varepsilon X$$ बराबर हैं। इसके अलावा, Per Enflo|Enflo के उदाहरण के रूप में, यह स्थान $$X$$ एक हाथ से बनाया गया स्थान है जो सन्निकटन गुण रखने में विफल रहता है। दूसरी ओर, सज़ांकोव्स्की ने सिद्ध किया कि शास्त्रीय स्थान $$B\left(\ell^2\right)$$ सन्निकटन गुण नहीं है।

बानाच स्थानों के बीच हिल्बर्ट अंतरिक्ष की विशेषताएं
बनच स्थान के मानक के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त $$X$$ एक आंतरिक उत्पाद से जुड़ा होना समांतर चतुर्भुज पहचान है:

$$

यह इस प्रकार है, उदाहरण के लिए, कि Lp स्थान $$L^p([0, 1])$$ हिल्बर्ट स्पेस तभी है जब $$p = 2.$$ यदि यह पहचान संतुष्ट होती है, तो संबंधित आंतरिक उत्पाद ध्रुवीकरण पहचान द्वारा दिया जाता है। वास्तविक अदिशों के मामले में, यह देता है: $$\langle x, y\rangle = \tfrac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 \right).$$ जटिल स्केलर्स के लिए, इनर प्रोडक्ट स्पेस को परिभाषित करना ताकि हो सके $$\Complex$$-रैखिक में $$x,$$ एंटीलाइनर मानचित्र में $$y,$$ ध्रुवीकरण पहचान देता है: $$\langle x,y\rangle = \tfrac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i \left(\|x+iy\|^2 - \|x-iy\|^2\right)\right).$$ यह देखने के लिए कि समांतर चतुर्भुज कानून पर्याप्त है, कोई वास्तविक मामले में देखता है कि $$\langle x, y \rangle$$ सममित है, और जटिल मामले में, कि यह हर्मिटियन समरूपता गुण को संतुष्ट करता है और $$\langle i x, y \rangle = i \langle x, y \rangle.$$ समांतर चतुर्भुज कानून का तात्पर्य है $$\langle x, y \rangle$$ में योगात्मक है $$x.$$ यह इस प्रकार है कि यह परिमेय पर रैखिक है, इस प्रकार निरंतरता से रैखिक है।

हिल्बर्ट रिक्त स्थान के लिए आइसोमोर्फिक (आइसोमेट्रिक के बजाय) रिक्त स्थान के कई लक्षण उपलब्ध हैं। समांतर चतुर्भुज कानून को दो से अधिक सदिशों तक बढ़ाया जा सकता है, और एक स्थिर के साथ दो तरफा असमानता की शुरूआत से कमजोर हो सकता है $$c \geq 1$$: Kwapień ने साबित कर दिया कि अगर $$c^{-2} \sum_{k=1}^n \left\|x_k\right\|^2 \leq \operatorname{Ave}_{\pm} \left\|\sum_{k=1}^n \pm x_k\right\|^2 \leq c^2 \sum_{k=1}^n \left\|x_k\right\|^2$$ प्रत्येक पूर्णांक के लिए $$n$$ और वैक्टर के सभी परिवार$$\left\{ x_1, \ldots, x_n \right\} \subseteq X,$$ फिर बनच स्थान $$X$$ हिल्बर्ट स्पेस के लिए आइसोमोर्फिक है। यहाँ, $$\operatorname{Ave}_{\pm}$$ से अधिक औसत दर्शाता है $$2^n$$ संकेतों के संभावित विकल्प $$\pm 1.$$ उसी लेख में, Kwapień ने साबित किया कि फूरियर रूपांतरण के लिए बैनच-वैल्यू पारसेवल के प्रमेय की वैधता बनच स्पेस आइसोमॉर्फिक को हिल्बर्ट स्पेस की विशेषता बताती है।

लिंडेनस्ट्रॉस और ज़फ़रीरी ने साबित किया कि एक बनच स्थान जिसमें प्रत्येक बंद रैखिक उप-स्थान पूरक है (अर्थात, एक परिबद्ध रैखिक प्रक्षेपण की सीमा है) एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए आइसोमोर्फिक है। प्रमाण उच्च-आयामी केंद्रीय सममित उत्तल पिंडों के यूक्लिडियन वर्गों के बारे में ड्वोरेट्स्की के प्रमेय पर आधारित है। दूसरे शब्दों में, Dvoretzky के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक पूर्णांक के लिए $$n,$$ किसी भी परिमित-आयामी आदर्श स्थान की तुलना में पर्याप्त रूप से बड़े आयाम के साथ $$n,$$ से लगभग सममितीय उपस्थान समाहित करता है $$n$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष।

अगला परिणाम तथाकथित का समाधान देता है. एक अनंत-आयामी बनच स्थान $$X$$ सजातीय कहा जाता है अगर यह अपने सभी अनंत-आयामी बंद उप-स्थानों के लिए आइसोमोर्फिक है। एक बैनच स्पेस आइसोमॉर्फिक टू $$\ell^2$$ सजातीय है, और बनच ने बातचीत के लिए कहा।

$$

एक अनंत-आयामी बैनच स्थान आनुवंशिक रूप से अपघटनीय है, जब इसका कोई उपस्थान दो अनंत-आयामी बैनच रिक्त स्थान के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप नहीं हो सकता है। टिमोथी गोवर्स द्विभाजन प्रमेय दावा करता है कि हर अनंत-आयामी Banach अंतरिक्ष $$X$$ शामिल है, या तो एक उप-स्थान $$Y$$ Schauder आधार के साथ # बिना शर्त, या वंशानुगत रूप से अविभाज्य उप-स्थान $$Z,$$ खास तरीके से, $$Z$$ अपने बंद हाइपरप्लेन के लिए आइसोमोर्फिक नहीं है। अगर $$X$$ सजातीय है, इसलिए इसका बिना शर्त आधार होना चाहिए। इसके बाद कोमोरोव्स्की और निकोल टोम्ज़ाक-जेगेर्मन द्वारा प्राप्त आंशिक समाधान से अनुसरण किया जाता है | वह $$X$$ के लिए आइसोमॉर्फिक है $$\ell^2.$$

मीट्रिक वर्गीकरण
अगर $$T : X \to Y$$ बनच स्थान से एक आइसोमेट्री है $$X$$ बनच अंतरिक्ष पर $$Y$$ (जहां दोनों $$X$$ और $$Y$$ सदिश स्थान समाप्त हो गए हैं $$\R$$), तो मजूर-उलम प्रमेय कहता है कि $$T$$ एक affine परिवर्तन होना चाहिए। विशेष रूप से, अगर $$T(0_X) = 0_Y,$$ यह है $$T$$ के शून्य को मैप करता है $$X$$ के शून्य तक $$Y,$$ तब $$T$$ रैखिक होना चाहिए। इस परिणाम का अर्थ है कि बनच रिक्त स्थान में मीट्रिक, और अधिक सामान्य रूप से आदर्श स्थान में, उनकी रैखिक संरचना को पूरी तरह से कैप्चर करता है।

सांस्थितिक वर्गीकरण
परिमित आयामी Banach रिक्त स्थान स्थलीय रिक्त स्थान के रूप में होमोमॉर्फिक हैं, यदि और केवल यदि उनके पास वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान के समान आयाम हैं।

एंडरसन-केडेक प्रमेय (1965-66) साबित करता है कि कोई भी दो अनंत-आयामी वियोज्य स्थान Banach रिक्त स्थान सामयिक स्थान के रूप में होमियोमॉर्फिक हैं। कैडेक के प्रमेय को टोरुनज़िक द्वारा बढ़ाया गया था, जो साबित हुआ कि कोई भी दो बनच स्थान होमोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान सेट-सैद्धांतिक टोपोलॉजी#कार्डिनल फ़ंक्शंस हैं, तो घने उपसमुच्चय की न्यूनतम कार्डिनैलिटी।

निरंतर कार्यों के स्थान
जब दो कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ रिक्त स्थान $$K_1$$ और $$K_2$$ होमोमोर्फिज्म हैं, बनच स्थान $$C\left(K_1\right)$$ और $$C\left(K_2\right)$$ सममितीय हैं। इसके विपरीत कब $$K_1$$ के लिए होमियोमॉर्फिक नहीं है $$K_2,$$ (गुणक) बनच-मजूर के बीच की दूरी $$C\left(K_1\right)$$ और $$C\left(K_2\right)$$ से अधिक या बराबर होना चाहिए $$2,$$ बानाच स्थान के ऊपर देखें # दोहरे स्थान के उदाहरण। यद्यपि बेशुमार कॉम्पैक्ट मीट्रिक रिक्त स्थान में अलग-अलग होमियोमॉर्फी प्रकार हो सकते हैं, मिलुटिन के कारण निम्नलिखित परिणाम होते हैं:

$$

काउंटेबल सेट कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ स्पेस के लिए स्थिति अलग है। हर गिनती अनंत कॉम्पैक्ट $$K$$ क्रमिक संख्याओं के कुछ बंद अंतराल के लिए होमोमोर्फिक है $$\langle 1, \alpha \rangle = \{ \gamma \ :\ 1 \leq \gamma \leq \alpha\}$$ आदेश टोपोलॉजी से लैस है, जहां $$\alpha$$ एक गणनीय अनंत क्रमसूचक है। द बनच स्पेस $$C(K)$$ तो isometric है $α = ω$. कब $$\alpha, \beta$$ दो अनगिनत अनंत अध्यादेश हैं, और मान रहे हैं $$\alpha \leq \beta,$$ रिक्त स्थान $C(⟨1, α⟩)$ और $C(⟨1, α⟩)$ आइसोमॉर्फिक हैं अगर और केवल अगर $C(⟨1, β⟩)$. उदाहरण के लिए, बनच रिक्त स्थान $$C(\langle 1, \omega\rangle), \ C(\langle 1, \omega^{\omega} \rangle), \ C(\langle 1, \omega^{\omega^2}\rangle), \ C(\langle 1, \omega^{\omega^3} \rangle), \cdots, C(\langle 1, \omega^{\omega^\omega} \rangle), \cdots$$ परस्पर गैर-समरूपी हैं।

डेरिवेटिव्स
एक डेरिवेटिव की कई अवधारणाओं को बानाच स्पेस पर परिभाषित किया जा सकता है। विवरण के लिए फ्रेचेट डेरिवेटिव और व्युत्पन्न केक  पर लेख देखें। फ़्रेचेट डेरिवेटिव बानाच रिक्त स्थान के कुल व्युत्पन्न की अवधारणा के विस्तार के लिए अनुमति देता है। गेटॉक्स व्युत्पन्न स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान के लिए एक दिशात्मक व्युत्पन्न के विस्तार की अनुमति देता है। गैटॉक्स डिफरेंशियलिटी की तुलना में फ्रेचेट डिफरेंशियलिटी एक मजबूत स्थिति है। अर्ध-व्युत्पन्न दिशात्मक व्युत्पत्ति का एक और सामान्यीकरण है जो गेटॉक्स विभेदीकरण की तुलना में एक मजबूत स्थिति का तात्पर्य है, लेकिन फ्रेचेट भिन्नता की तुलना में कमजोर स्थिति है।

सामान्यीकरण
कार्यात्मक विश्लेषण में कई महत्वपूर्ण स्थान, उदाहरण के लिए सभी असीम रूप से अलग-अलग कार्यों का स्थान $$\R \to \R,$$ या सभी वितरण (गणित) का स्थान $$\R,$$ पूर्ण हैं लेकिन मानक सदिश स्थान नहीं हैं और इसलिए बनच स्थान नहीं हैं। फ्रेचेट स्पेस में अभी भी एक पूर्ण मेट्रिक स्पेस है, जबकि वामो-अंतरिक्ष  पूर्ण यूनिफॉर्म स्पेस वेक्टर स्पेस हैं जो फ्रेचेट स्पेस की सीमा के रूप में उत्पन्न होते हैं।