स्यूडोस्केलर

रैखिक बीजगणित में, एक छद्म अदिश एक राशि है जो एक अदिश के जैसा व्यवहार करती है, अतिरिक्त इसके कि यह समता व्युत्क्रम के अंतर्गत चिह्न बदलता है जबकि एक वास्तविक अदिश ऐसा नहीं करता है।

एक छद्म सदिश और एक साधारण सदिश के मध्य कोई भी अदिश गुणनफल एक छद्म अदिश होता है। छद्म अदिश का प्रोटोटाइप उदाहरण अदिश त्रिक गुणनफल है, जिसे त्रिक गुणनफल में एक सदिश के मध्य अदिश गुणनफल और दो अन्य सदिशों के मध्य सदिश गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, जहां बाद वाला एक छद्म सदिश है। एक छद्म अदिश, जब एक साधारण सदिश से गुणा किया जाता है, तो एक छद्म सदिश बन जाता है (अक्षीय सदिश ); एक समान निर्माण छद्म प्रदिश करता है।

गणितीय रूप से, एक छद्म अदिश एक सदिश समष्टि की मुख्य बाह्य घात, या क्लिफ़ोर्ड बीजगणित की मुख्य घात का एक अवयव है; छद्म अदिश (क्लिफ़ोर्ड बीजगणित) देखें। अधिक सामान्यतः, यह अवलकनीय मैनिफोल्ड के विहित बंडल का एक अवयव है।

भौतिकी में
भौतिकी में, एक छद्म अदिश एक अदिश के अनुरूप भौतिक राशि को दर्शाता है। दोनों भौतिक राशियाँ हैं जो एक एकल मान मान मानती हैं जो उचित घूर्णन के अंतर्गत निश्चर हैं। हालाँकि, समता रूपांतरण के अंतर्गत, छद्म अदिश अपने चिन्हों को फ़्लिप करते हैं जबकि अदिश ऐसा नहीं करते हैं। चूँकि एक समतल के माध्यम से परावर्तन समता रूपांतरण के साथ एक घूर्णन का संयोजन है, छद्म अदिश भी परावर्तन के अंतर्गत चिन्हों को बदलते हैं।

प्रेरणा
भौतिकी में सबसे प्रभावशाली सिद्धांतों में से एक यह है कि जब कोई इन नियमों का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली निर्देशांक पद्धति को बदलता है तो भौतिक नियम नहीं बदलते हैं। जब निर्देशांक अक्ष व्युत्क्रमित होते हैं तो एक छद्म अदिश अपने चिन्ह को उत्क्रमित कर देता है, यह बताता है कि यह भौतिक राशि का वर्णन करने के लिए सबसे अच्छी वस्तु नहीं है। 3डी-स्पेस में, छद्म सदिश द्वारा वर्णित राशियाँ अनुक्रम 2 की प्रतिसममित प्रदिश हैं, जो व्युत्क्रमण के अंतर्गत निश्चर हैं। छद्म सदिश उस राशि का एक सरल निरूपण हो सकता है, लेकिन व्युत्क्रम के अंतर्गत चिह्न के परिवर्तन से सफ़र्न है। इसी प्रकार, 3डी-स्पेस में, एक अदिश का हॉज द्विक 3-विमीय लेवी-सिविटा छद्म प्रदिश (या "क्रमचय" छद्म प्रदिश) के नियत समय के बराबर होता है; जबकि छद्म अदिश का हॉज द्विक अनुक्रम तीन का एक प्रतिसममित (स्पष्ट) प्रदिश है। लेवी-सिविटा छद्म प्रदिश अनुक्रम 3 का पूर्ण प्रकार से प्रतिसममित छद्म प्रदिश है। चूंकि छद्म अदिश का द्वैत दो "छद्म-राशियों" का गुणनफल है, परिणामी प्रदिश एक वास्तविक प्रदिश है, और अक्षों के व्युत्क्रमण पर चिन्ह नहीं बदलता है। छद्म सदिश का द्विक अनुक्रम 2 (और इसके विपर्येण) का प्रतिसममित प्रदिश है। निर्देशांक व्युत्क्रम के अंतर्गत प्रदिश एक निश्चर भौतिक राशि है, जबकि छद्म सदिश निश्चर नहीं है।

स्थिति को किसी भी विमा तक बढ़ाया जा सकता है। आम तौर पर n-विमीय दिक्स्थान में अनुक्रम r प्रदिश का हॉज द्विक अनुक्रम (n − r) और विपर्येण का एक प्रतिसममित छद्म प्रदिश होता है। विशेष रूप से, विशिष्ट आपेक्षिकता के चार-विमीय दिक्स्थान में, एक छद्म अदिश चौथे अनुक्रम के प्रदिश का द्वैत होता है और चार-विमीय लेवी-सिविटा छद्म प्रदिश के समानुपाती होता है।

उदाहरण

 * धारा-फलन $$\psi(x,y)$$ द्वि-विमीय, असंपीड्य द्रव प्रवाह के लिए $$\mathbf{v}\left(x,y\right)=\left\langle \partial_{y}\psi,-\partial_{x}\psi\right\rangle $$.
 * चुंबकीय आवेश एक छद्म अदिश है क्योंकि इसे गणितीय रूप से परिभाषित किया गया है, भले ही यह भौतिक रूप से उपस्थित हो या न हो।
 * चुंबकीय प्रवाह एक सदिश (सतह सामान्य) और छद्म सदिश (चुंबकीय क्षेत्र) के मध्य एक अदिश गुणनफल का परिणाम है।
 * कुंडलता एक प्रचव्रफण छद्म सदिश के संवेग की दिशा (एक वास्तविक सदिश) पर प्रक्षेपण (अदिश गुणनफल) है।
 * छद्म अदिश कण, अर्थात प्रचव्रफण 0 और विषम समता वाले कण, अर्थात, तरंग फलन के साथ कोई आंतरिक प्रचव्रफण वाला कण जो समता व्युत्क्रम के अंतर्गत चिन्ह बदलता है। उदाहरण छद्म अदिश मेसन हैं।

ज्यामितीय बीजगणित में
ज्यामितीय बीजगणित में एक छद्म अदिश बीजगणित का उच्चतम श्रेणी का अवयव है। उदाहरण के लिए, दो आयामों में दो लांबिक आधार सदिश $$e_1$$, $$e_2$$ हैं, और संबंधित उच्चतम श्रेणी का आधार अवयव है


 * $$e_1 e_2 = e_{12}.$$

तो एक छद्म अदिश e12 का गुणज है| अवयव e12 का वर्ग -1 है और सभी सम अवयवों के साथ विनिमय करता है - इसलिए समिश्र संख्याओं में काल्पनिक अदिश i की तरह व्यवहार करता है। ये अदिश-जैसे गुण ही हैं जो इसके नाम को उत्पन्न करते हैं।

इस समुच्चयन में, एक छद्म अदिश समता व्युत्क्रम के अंतर्गत चिह्न बदलता है, यदि


 * (e1, e2) → (u1, u2)

तब, आधार का परिवर्तन एक लांबिक रूपांतरण का निरुपण करता है


 * e1e2 → u1u2 = ±e1e2,

जहां चिह्न रूपांतरण के सारणिक पर निर्भर करता है। इस प्रकार ज्यामितीय बीजगणित में छद्म अदिश भौतिकी में छद्म अदिश के तदनरूपी होते हैं।