ट्रांसफ़िनाइट इंडक्शन

पारपरिमित आगमन सुव्यवस्थित समुच्चयों के लिए गणितीय प्रवर्तन का एक विस्तार है, उदाहरण के लिए क्रमिक संख्याओं या गणन संख्याओ के समूह के लिए इसकी शुद्धता ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत की एक प्रमेय है।

स्थितियों द्वारा प्रेरण
मान लीजिए कि $$P(\alpha)$$ सभी क्रमसंख्या $$\alpha$$ के लिए परिभाषित गुण है और मान लीजिए कि जब भी $$P(\beta)$$ सभी $$\beta < \alpha$$, के लिए सत्य है, तो $$P(\alpha)$$ भी सत्य है। तब पारपरिमित आगमन हमें बताता है कि $$P$$ सभी क्रमिक संख्याओ के लिए सत्य है।

सामान्य रूप से प्रमाण तीन स्थितियों में विभाजित किया जाता है:


 * शून्य स्थिति: सिद्ध कीजिए कि $$P(0)$$ सत्य है।
 * आनुक्रमिक स्थिति: प्रमाणित करें कि किसी भी आनुक्रमिक के लिए क्रमिक संख्याओ $$\alpha+1$$, $$P(\alpha+1)$$ (और, यदि आवश्यक हो) से अनुसरण करता है $$P(\alpha)$$ $$P(\beta)$$ सभी के लिए $$\beta < \alpha$$) है।
 * सीमा स्थिति: सिद्ध करें कि किसी भी सीमा के लिए क्रमिक संख्याओ $$\lambda$$, $$P(\lambda)$$ से अनुसरण करता है $$P(\beta)$$ तो सभी के लिए $$\beta < \lambda$$ है।

विचार किए गए क्रमसंख्या के प्रकार के अतिरिक्त सभी तीन स्थितियां समान हैं, जो कि क्रमिक संख्याओ के प्रकार के अतिरिक्त हैं। उन्हें औपचारिक रूप से अलग से विचार करने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन व्यवहार में प्रमाणित सामान्य रूप से अलग होते हैं कि अलग-अलग प्रस्तुतियों की आवश्यकता होती है। शून्य को कभी -कभी एक सीमा क्रम माना जाता है और फिर कभी -कभी सीमा क्रम के रूप में एक ही स्थिति में प्रमाणों में संशोधित किया जा सकता है।

पारपरिमित प्रत्यावर्तन
पारपरिमित प्रत्यावर्तन पारपरिमित आगमन के समान है; हालाँकि, यह प्रमाणित करने के अतिरिक्त कि सभी क्रमिक संख्याओं के लिए कुछ मान्य है, हम प्रत्येक क्रमिक संख्याओ के लिए वस्तुओं के अनुक्रम का निर्माण करते हैं।

उदाहरण के रूप में, (संभवतः अनंत-आयामी) वेक्टर समष्टि के लिए आधार (वेक्टर समष्टि) शून्य समुच्चय के साथ प्रारंभ करके और प्रत्येक क्रमिक संख्याओ α> 0 वेक्टर का चयन किया जा सकता है जो वेक्टर की अवधि में नहीं है $$\{v_{\beta}\mid\beta<\alpha\}$$ यह प्रक्रिया तब रुक जाती है जब कोई वेक्टर चयन नहीं किया जा सकता।

अधिक औपचारिक रूप से, हम पारपरिमित प्रत्यावर्तन प्रमेय को निम्नानुसार बता सकते हैं:

पारपरिमित प्रत्यावर्तन प्रमेय (संस्करण 1) एक वर्ग फलन G: V → V (जहां V सभी समुच्चय का वर्ग (निर्धारित सिद्धांत) है), एक अद्वितीय पारपरिमित अनुक्रम F: Ord → V (जहां ORD सभी क्रमिक संख्याओ का वर्ग है) सम्मिलित है जैसे कि
 * $$F(\alpha) = G(F \upharpoonright \alpha)$$ सभी क्रमिक संख्याओ α के लिए, जहां $$\upharpoonright$$ क्रमसंख्या <α के लिए प्रक्षेत्र F के प्रतिबंध को दर्शाता है।

जैसा कि प्रेरण के स्थिति में, हम विभिन्न प्रकार के क्रमिक संख्याओ को अलग -अलग संशोधित कर सकते हैं पारपरिमित पुनरावृत्ति का अन्य सूत्रीकरण निम्नलिखित है:

'पारपरिमित प्रत्यावर्तन प्रमेय (संस्करण 2)' एक समुच्चय g1 और वर्ग फलन g2, g3, को देखते हुए एक अद्वितीय फलन F: ord → V सम्मिलित हैं जैसे कि


 * F(0) = g1,
 * F(α + 1) = G2(F(α)), सभी α ∈ Ord के लिए
 * $$F(\lambda) = G_3(F \upharpoonright \lambda)$$, सभी सीमा λ ≠ 0 के लिए

ध्यान दें कि उपरोक्त गुणों को सार्थक बनाने के लिए हमें G2, G3 के प्रक्षेत्र पर्याप्त व्यापक होने की आवश्यकता है। इन गुणों को पूरा करने वाले अनुक्रम की विशिष्टता को पारपरिमित आगमन का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

अधिक सामान्य रूप से, कोई भी पूर्णतया स्थापित संबंध R पर पारपरिमित पुनरावृत्ति द्वारा वस्तुओं को परिभाषित कर सकता है। (R को संस्थापित होने की भी आवश्यकता नहीं है, यह एक उपयुक्त वर्ग हो सकता है हालांकि यह एक समुच्चय जैसा संबंध हो अर्थात किसी भी x के लिए सभी y का संग्रह हो कि yRx एक समुच्चय हो।)

विकल्प के स्वयंसिद्ध से संबंध
प्रेरण और प्रत्यावर्तन का उपयोग करने वाले प्रमाणित या निर्माण प्रायः सुव्यवस्थित संबंध बनाने के लिए विकल्प के स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हैं जिसे पारपरिमित आगमन द्वारा संशोधित किया जा सकता है। हालाँकि, यदि प्रश्न में संबंध पहले से ही सुव्यवस्थित है, तो कोई भी प्रायः विकल्प के स्वयंसिद्ध को लागू किए बिना पारपरिमित आगमन का उपयोग कर सकता है। उदाहरण के लिए, बोरल समुच्चय के बारे में कई परिणाम समुच्चय के क्रमिक संख्या श्रेणी पर पारपरिमित आगमन द्वारा प्रमाणित होते हैं; ये वर्ग पहले से ही सुव्यवस्थित हैं, इसलिए उन्हें पूर्णतया व्यवस्थित करने के लिए विकल्प के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता नहीं है।

विटाली समुच्चय का निम्नलिखित निर्माण अन्य तरीका दर्शाता है कि विकल्प के स्वयंसिद्ध को पारपरिमित आगमन द्वारा एक प्रमाण में इस्तेमाल किया जा सकता है:
 * सबसे पहले, वास्तविक संख्याओं को पूर्णतया व्यवस्थित करें (यह वह समष्टि है जहां विकल्प का स्वयंसिद्ध पूर्णतया व्यवस्थित प्रमेय के माध्यम से प्रवेश करता है), एक अनुक्रम $$ \langle r_{\alpha} | \alpha < \beta \rangle $$ देता है, जहां β सातत्य की प्रमुखता के साथ एक क्रमिक संख्या है। मान लीजिए v0 बराबर r0 है। और तब v1 बराबर rα1, जहां α1 कम से कम है जैसे कि rα1 − v0 एक परिमेय संख्या नहीं है। प्रत्येक चरण पर जारी रखें r अनुक्रम से कम से कम वास्तविक संख्या का उपयोग करें जिसमें अब तक v अनुक्रम में निर्मित किसी भी तत्व के साथ तर्कसंगत अंतर नहीं है। और इसे तब तक जारी रखें जब तक r अनुक्रम में सभी वास्तव मे समाप्त नहीं हो जाते है। अंतिम v क्रम विटाली समुच्चय की गणना करेगा।

उपरोक्त तर्क वास्तविक को पूर्णतया व्यवस्थित करने के लिए, प्रारंभ में ही विकल्प के स्वयंसिद्ध सिद्धांत का एक आवश्यक तरीके से उपयोग करता है। उस चरण के बाद, चयन के स्वयंसिद्ध का पुनः उपयोग नहीं किया जाता है।

विकल्प के स्वयंसिद्ध के अन्य उपयोग अधिक सूक्ष्म होते हैं। उदाहरण के लिए, पारपरिमित प्रत्यावर्तन द्वारा निर्माण प्रायः Aα+1, के लिए एक अद्वितीय मान निर्दिष्ट नहीं करेगा, α तक अनुक्रम दिया जाएगा लेकिन केवल एक शर्त निर्दिष्ट करेगा कि Aα+1 को पूरा करना चाहिए और तर्क देना चाहिए कि कम से कम एक समुच्चय इस शर्त को पूरा करता है। यदि प्रत्येक चरण में इस तरह के समुच्चय के अद्वितीय उदाहरण को परिभाषित करना संभव नहीं है, तो प्रत्येक चरण में इस तरह के एक का चयन करने के लिए विकल्प के स्वयंसिद्ध (के कुछ रूप) को प्रयुक्त करना आवश्यक हो सकता है। गणना योग्य लंबाई के प्रेरण और पुनरावर्तन के लिए, आधारित विकल्प का दुर्बल अभिग्रहीत पर्याप्त है। क्योंकि सिद्धांतकारों को व्यवस्थित करने के लिए जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के मॉडल हैं जो आधारित विकल्प के स्वयंसिद्ध को पूरा करते हैं, लेकिन विकल्प का पूर्ण स्वयंसिद्ध नहीं है, यह ज्ञान उपयोगी हो सकता है कि किसी विशेष प्रमाण के लिए केवल आश्रित विकल्प की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

 * गणितीय प्रेरण
 * ∈-प्रेरण
 * पारपरिमित संख्या
 * पूर्णतया स्थापित प्रेरण
 * ज़ोर्न का लेम्मा