फलन की सीमा

गणित में, किसी फंक्शन (फलन) की सीमा दो परस्पर संबंधित अवधारणाओं में से किसी एक को संदर्भित कर सकती है:


 * फंक्शन का कोडोमेन
 * फंक्शन के  प्रतिरूप

दो समुच्चय $X$ और $Y$ दिए जाने पर, $X$ और $Y$ के बीच एक द्विआधारी संबंध $f$ है (कुल) फ़ंक्शन ($X$ से $Y$ तक) यदि $X$ में प्रत्येक $x$ के लिए $y$ में ठीक एक $Y$ है जैसे कि $f$, $x$ से $y$ से संबंधित है। सेट $X$ और $Y$ को क्रमशः $f$  का डोमेन और कोडोमेन कहा जाता है। तब $f$ की छवि $Y$ का उपसमुच्चय होती है जिसमें $Y$ के केवल वे तत्व $y$ मिल होते हैं जैसे कि X में $f(x) = y$ के साथ कम से कम एक $x$ होता है।

शब्दावली
चूंकि "रेंज" शब्द के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं, इसलिए किसी पाठ्यपुस्तक या लेख में पहली बार इसका उपयोग करते समय इसे परिभाषित करना अच्छा अभ्यास माना जाता है। पुरानी पुस्तकें, जब वे "रेंज" शब्द का उपयोग करती हैं, तो इसका उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे अब कोडोमेन कहा जाता है। अधिक आधुनिक पुस्तकें, यदि वे "रेंज" शब्द का उपयोग करती हैं, तो आम तौर पर इसका उपयोग उस अर्थ के लिए करती हैं जिसे अब छवि कहा जाता है। किसी भी भ्रम से बचने के लिए, कई आधुनिक पुस्तकें "रेंज" शब्द का बिल्कुल भी उपयोग नहीं करती हैं।

विस्तार और उदाहरण
एक फ़ंक्शन दिया गया
 * $$f \colon X \to Y$$

किसी फ़ंक्शन के डोमेन के साथ $$X$$, की सीमा $$f$$, कभी-कभी निरूपित किया जाता है $$\operatorname{ran}(f)$$ या $$\operatorname{Range}(f)$$, कोडोमेन या लक्ष्य सेट का उल्लेख हो सकता है $$Y$$ (यानी, वह सेट जिसमें सभी आउटपुट शामिल हैं $$f$$ गिरने के लिए बाध्य है), या $$f(X)$$, के डोमेन की छवि $$f$$ अंतर्गत $$f$$ (अर्थात्, का उपसमुच्चय $$Y$$ के सभी वास्तविक आउटपुट से युक्त $$f$$). किसी फ़ंक्शन की छवि हमेशा फ़ंक्शन के कोडोमेन का एक सबसेट होती है।

दो अलग-अलग उपयोगों के उदाहरण के रूप में, फ़ंक्शन पर विचार करें $$f(x) = x^2$$ जैसा कि इसका उपयोग वास्तविक विश्लेषण में किया जाता है (अर्थात, एक फ़ंक्शन के रूप में जो एक वास्तविक संख्या को इनपुट करता है और उसके वर्ग को आउटपुट करता है)। इस मामले में, इसका कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है $$\mathbb{R}$$, लेकिन इसकी छवि गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट है $$\mathbb{R}^+$$, तब से $$x^2$$ यदि कभी नकारात्मक नहीं है $$x$$ यह सचमुच का है। इस फ़ंक्शन के लिए, यदि हम कोडोमेन के अर्थ के लिए रेंज का उपयोग करते हैं, तो यह संदर्भित करता है $$\mathbb$$; यदि हम छवि के अर्थ के लिए रेंज का उपयोग करते हैं, तो यह संदर्भित करता है $$\mathbb{R}^+$$.

कई मामलों में, छवि और कोडोमेन मेल खा सकते हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें $$f(x) = 2x$$, जो एक वास्तविक संख्या इनपुट करता है और उसका दोगुना आउटपुट देता है। इस फ़ंक्शन के लिए, कोडोमेन और छवि समान हैं (दोनों वास्तविक संख्याओं का सेट हैं), इसलिए शब्द श्रेणी स्पष्ट है।

यह भी देखें

 * आक्षेप, इंजेक्शन और प्रक्षेपण
 * आवश्यक रेंज