अनंत समुच्चय

समुच्चय सिद्धांत में, एक अनंत समुच्चय एक समुच्चय (गणित) है जो एक परिमित समुच्चय नहीं है। अनंत समुच्चय गणनीय समुच्चय या बेशुमार समुच्चय हो सकते हैं।

गुण
प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय (जिसका अस्तित्व अनंत के सिद्धांत द्वारा प्रतिपादित होता है) अनंत है। यह एकमात्र ऐसा समुच्चय है जिसके लिए स्वयंसिद्धों द्वारा सीधे तौर पर अनंत होने की आवश्यकता होती है। किसी भी अन्य अनंत सबसेट का अस्तित्व ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (जेडएफसी) में साबित किया जा सकता है, लेकिन केवल यह दिखाकर कि यह प्राकृतिक संख्याओं के अस्तित्व का अनुसरण करता है।

एक समुच्चय अनंत है यदि और केवल यदि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए, समुच्चय में एक उपसमुच्चय हो जिसकी प्रमुखता वह प्राकृतिक संख्या हो।

यदि पसंद का सिद्धांत मान्य है, तो एक सेट अनंत है यदि और केवल यदि इसमें एक गणनीय अनंत उपसमुच्चय शामिल है।

यदि समुच्चय का कोई समुच्चय अनंत है या उसमें कोई अनंत तत्व है, तो उसका संघ अनंत है। अनंत समुच्चय का घात समुच्चय अनंत होता है। अनंत समुच्चय का कोई भी उपसमुच्चय अनंत होता है। यदि एक अनंत समुच्चय को अनेक परिमित उपसमुच्चयों में विभाजित किया जाता है, तो उनमें से कम से कम एक अनंत होना चाहिए। कोई भी सेट जिसे अनंत सेट पर मैप किया जा सकता है वह अनंत है। एक अनंत समुच्चय और एक अरिक्त समुच्चय का कार्तीय गुणनफल अनंत होता है। अनंत संख्या में सेटों का कार्टेशियन उत्पाद, प्रत्येक में कम से कम दो तत्व होते हैं, या तो खाली या अनंत होता है; यदि चयन का सिद्धांत कायम रहता है, तो यह अनंत है।

यदि एक अनंत समुच्चय एक सुव्यवस्थित समुच्चय है, तो इसमें एक अरिक्त, अतुच्छ उपसमुच्चय होना चाहिए जिसमें कोई सबसे बड़ा तत्व न हो।

ZF में, एक सेट अनंत है यदि और केवल यदि उसके सत्ता स्थापित  का पावर सेट एक डेडेकाइंड-अनंत सेट है, जिसमें स्वयं के बराबर एक उचित उपसमुच्चय होता है। यदि पसंद का सिद्धांत भी सत्य है, तो अनंत सेट वास्तव में डेडेकाइंड-अनंत सेट हैं।

यदि एक अनंत समुच्चय एक सुव्यवस्थित समुच्चय है, तो इसमें कई सुव्यवस्थित समुच्चय हैं जो गैर-समरूपी हैं।

डेविड बर्टन द्वारा अपनी पुस्तक द हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिक्स: एन इंट्रोडक्शन में चर्चा किए गए महत्वपूर्ण विचारों में किसी सेट के तत्वों या भागों को कैसे परिभाषित किया जाए, सेट में अद्वितीय तत्वों को कैसे परिभाषित किया जाए और अनंत को कैसे साबित किया जाए। बर्टन गणनीय और बेशुमार सेटों सहित विभिन्न प्रकार के अनंत के प्रमाणों पर भी चर्चा करता है। अनंत और परिमित सेटों की तुलना करते समय उपयोग किए जाने वाले विषयों में क्रमबद्ध सेट, कार्डिनैलिटी, समतुल्यता, समन्वय विमान, सार्वभौमिक सेट, मानचित्रण, उपसमुच्चय, निरंतरता और ट्रान्सेंडैंटल संख्या सिद्धांत शामिल हैं।  जॉर्ज कैंटर|कैंटर के निर्धारित विचार त्रिकोणमिति और अपरिमेय संख्याओं से प्रभावित थे। बर्टन, पाउला, नारली और रॉजर द्वारा उल्लिखित अनंत सेट सिद्धांत के अन्य प्रमुख विचारों में वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं जैसे कि पाई|$\pi$, पूर्णांक, और यूलर की संख्या। बर्टन और रोजर्स दोनों अनंत सेटों की व्याख्या करने के लिए परिमित सेटों का उपयोग करते हैं, जैसे कि मैपिंग, प्रेरण द्वारा प्रमाण, या विरोधाभास द्वारा प्रमाण। वृक्ष (सेट सिद्धांत) का उपयोग अनंत सेटों को समझने के लिए भी किया जा सकता है। बर्टन अनंत समुच्चयों के प्रमाणों पर भी चर्चा करता है जिसमें संघ और उपसमुच्चय जैसे विचार शामिल हैं।

गणित का इतिहास: एक परिचय के अध्याय 12 में, बर्टन ने इस बात पर जोर दिया है कि कैसे अर्नेस्ट ज़र्मेलो, डेडेकाइंड, गैलीलियो, लियोपोल्ड क्रोनकर, कैंटर और बर्नार्ड बोलजानो जैसे गणितज्ञों ने अनंत सेट सिद्धांत की जांच की और उसे प्रभावित किया। इनमें से कई गणितज्ञों ने या तो अनंत पर बहस की या अन्यथा अनंत सेट के विचारों को जोड़ा। संभावित ऐतिहासिक प्रभाव, जैसे कि 1800 के दशक में प्रशिया के इतिहास के परिणामस्वरूप, कैंटर के अनंत सेटों के सिद्धांत सहित, विद्वानों के गणितीय ज्ञान में वृद्धि हुई।

अनंत समुच्चय सिद्धांत का एक संभावित अनुप्रयोग आनुवंशिकी और जीव विज्ञान में है।

गणनीय अनंत समुच्चय
सभी पूर्णांकों का समुच्चय, {..., -1, 0, 1, 2, ...} एक गणनीय अनंत समुच्चय है। सभी सम पूर्णांकों का समुच्चय भी एक गणनीय अनंत समुच्चय है, भले ही वह पूर्णांकों का उचित उपसमुच्चय हो। सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय एक गणनीय अनंत समुच्चय है क्योंकि पूर्णांकों के समुच्चय पर एक आपत्ति होती है।

बेशुमार अनंत सेट
सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय एक बेशुमार अनंत समुच्चय है। सभी अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय भी एक बेशुमार अनंत समुच्चय है।

यह भी देखें

 * अलेफ़ संख्या
 * बुनियादी संख्या
 * क्रमसूचक संख्या

बाहरी संबंध

 * A Crash Course in the Mathematics Of Infinite Sets