सामान्यीकृत सममित समूह

गणित में, सामान्यीकृत सममित समूह पुष्पांजलि उत्पाद है $$S(m,n) := Z_m \wr S_n$$ ऑर्डर एम के चक्रीय समूह और ऑर्डर एन के सममित समूह का।

उदाहरण

 * के लिए $$m=1,$$ सामान्यीकृत सममित समूह बिल्कुल साधारण सममित समूह है: $$S(1,n) = S_n.$$
 * के लिए $$m=2,$$ कोई क्रम 2 के चक्रीय समूह को सकारात्मक और नकारात्मक मान सकता है ($$Z_2 \cong \{\pm 1\}$$) और सामान्यीकृत सममित समूह की पहचान करें $$S(2,n)$$ हस्ताक्षरित सममित समूह के साथ।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
के तत्वों का स्वाभाविक प्रतिनिधित्व है $$S(m,n)$$ सामान्यीकृत क्रमचय मैट्रिसेस के रूप में, जहां गैर-शून्य प्रविष्टियां एकता की एम-वें जड़ें हैं: $$Z_m \cong \mu_m.$$ प्रतिनिधित्व सिद्धांत के बाद से अध्ययन किया गया है ; में संदर्भ देखें. जैसा कि सममित समूह के साथ होता है, कठफोड़वा मॉड्यूल के संदर्भ में प्रतिनिधित्व का निर्माण किया जा सकता है; देखना.

होमोलॉजी
पहला समूह समरूपता समूह (ठोस रूप से, abelianization ) है $$Z_m \times Z_2$$ (एम विषम के लिए यह आइसोमॉर्फिक है $$Z_{2m}$$): द $$Z_m$$ कारक (जो सभी संयुग्मी हैं, इसलिए एक एबेलियन समूह में समान रूप से मैप करना चाहिए, क्योंकि एक एबेलियन समूह में संयुग्मन तुच्छ है) को मैप किया जा सकता है $$Z_m$$ (ठोस रूप से, सभी का उत्पाद लेकर $$Z_m$$ मान), जबकि सममित समूह पर साइन मैप उपज देता है $$Z_2.$$ ये स्वतंत्र हैं, और समूह उत्पन्न करते हैं, इसलिए यह अपभ्रंश हैं।

दूसरा समरूपता समूह (शास्त्रीय शब्दों में, शूर गुणक) द्वारा दिया गया है :
 * $$H_2(S(2k+1,n)) = \begin{cases} 1 & n < 4\\

\mathbf{Z}/2 & n \geq 4.\end{cases}$$
 * $$H_2(S(2k+2,n)) = \begin{cases} 1 & n = 0, 1\\

\mathbf{Z}/2 & n = 2\\ (\mathbf{Z}/2)^2 & n = 3\\ (\mathbf{Z}/2)^3 & n \geq 4. \end{cases}$$ ध्यान दें कि यह n और m की समता पर निर्भर करता है: $$H_2(S(2k+1,n)) \approx H_2(S(1,n))$$ और $$H_2(S(2k+2,n)) \approx H_2(S(2,n)),$$ जो सममित समूह और हस्ताक्षरित सममित समूह के शूर गुणक हैं।