उरेलमेंट

समुच्चय सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, यूरेलेमेंट या यूआर-एलिमेंट एक वस्तु है जो एक समुच्चय नहीं है, लेकिन यह एक समुच्चय का तत्व हो सकता है। इसे परमाणु या व्यक्ति के रूप में भी जाना जाता है

सिद्धांत
प्रथम-क्रम सिद्धांत में उरेलमेंट के अभ्यास के कई अलग-अलग अनिवार्य समकक्ष नियम हैं। एक नियम यह है कि प्रथम क्रम के सिद्धांत में दो प्रकार,के समुच्चय और यूरेलेमेंट के साथ काम किया जाए, जिसमें a e b केवल परिभाषित हो जब b एक समुच्चय हो, इस विषय में, यदि u उरेलमेंट है तो यह कहने का कोई उद्देश्य नहीं है की यह  $$X \in U$$, यद्यपि $$U \in X$$ पूरी तरह से वैध है।

दूसरा तरीका क्रमबद्ध सिद्धांत में काम करना है, जिसमें समुच्चय और यूरेलेमेंट्स को अलग करने के लिए यूनरी रिलेशन का इस्तेमाल किया जाता है| एक-बदबूदार सिद्धांत जिसमें समुच्चय और उरेलमेंट को अलग करने के लिए उपयोग किया जाता है।चूंकि गैर-खाली समुच्चय में सदस्य होते हैं जबकि उरेलमेंटs नहीं करते हैं, Unary संबंध केवल खाली समुच्चय को उरेलमेंटs से अलग करने के लिए आवश्यक है।ध्यान दें कि इस मामले में, एक्सटेंशनलिटी के स्वयंसिद्ध को केवल उन वस्तुओं पर लागू करने के लिए तैयार किया जाना चाहिए जो उरेलमेंटs नहीं हैं।

यह स्थिति समुच्चय और वर्ग (समुच्चय सिद्धांत) के सिद्धांतों के उपचार के अनुरूप है।वास्तव में, उरेलमेंटs कुछ अर्थों में उचित वर्गों के लिए दोहरे हैं: उरेलमेंटs में सदस्य नहीं हो सकते हैं जबकि उचित वर्ग सदस्य नहीं हो सकते।अलग -अलग तरीके से, उरेलमेंटs न्यूनतम तत्व ऑब्जेक्ट हैं, जबकि उचित वर्ग सदस्यता संबंध द्वारा अधिकतम वस्तुएं हैं (जो, निश्चित रूप से, एक आदेश संबंध नहीं है, इसलिए इस सादृश्य को शाब्दिक रूप से नहीं लिया जाना है)।

समुच्चय सिद्धांत में उरेलमेंटs
1908 के Zermelo समुच्चय सिद्धांत में उरेलमेंटs शामिल थे, और इसलिए एक संस्करण है जिसे अब ZFA या ZFCA (यानी ZFA के साथ पसंद के स्वयंसिद्ध) कहा जाता है। यह जल्द ही महसूस किया गया कि इस और बारीकी से संबंधित स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के संदर्भ में, मूत्रमार्गों की आवश्यकता नहीं थी क्योंकि वे आसानी से एक समुच्चय सिद्धांत में बिना उरेलमेंटs के मॉडलिंग किए जा सकते हैं। इस प्रकार, कैनोनिकल स्वयंसिद्ध समुच्चय थ्योरी Zermelo -Fraenkel समुच्चय थ्योरी और ZFC के मानक एक्सपोज़िशन उरेलमेंटs का उल्लेख नहीं करते हैं (एक अपवाद के लिए, Suppes देखें )।Axiomatic सिस्टम#समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्धता जो कि unelements को आमंत्रित करते हैं, में Kripke -Platek Set सिद्धांत शामिल हैं, जो कि Mendelson द्वारा वर्णित वॉन न्यूमैन -बर्नेज़ -गोडेल समुच्चय सिद्धांत के साथ और वॉन न्यूमैन -बर्नेज़ -गोडेल समुच्चय सिद्धांत के साथ शामिल हैं। प्रकार के सिद्धांत में, टाइप 0 की एक वस्तु को एक उरेलमेंट कहा जा सकता है;इसलिए नाम परमाणु।

एनएफयू का उत्पादन करने के लिए सिस्टम नई नींव (एनएफ) में यूरेलमेंट जोड़ने के आश्चर्यजनक परिणाम हैं।विशेष रूप से, जेन्सेन ने साबित किया मीनो अंकगणित के सापेक्ष एनएफयू की स्थिरता;इस बीच, किसी भी चीज़ के सापेक्ष एनएफ की स्थिरता एक खुली समस्या बनी हुई है, जो कि होम्स के ZF के सापेक्ष इसकी स्थिरता के प्रमाण के लंबित सत्यापन है।इसके अलावा, एनएफयू अनंत के स्वयंसिद्ध और पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ संवर्धित होने पर समानता बनी रहती है।इस बीच, पसंद के स्वयंसिद्ध की उपेक्षा, उत्सुकता से, एक एनएफ प्रमेय है।होम्स (1998) इन तथ्यों को इस बात के प्रमाण के रूप में लेता है कि एनएफयू एनएफ की तुलना में गणित के लिए एक अधिक सफल आधार है।होम्स आगे तर्क देते हैं कि समुच्चय सिद्धांत बिना किसी आग्रह के अधिक स्वाभाविक है, क्योंकि हम किसी भी सिद्धांत या भौतिक ब्रह्मांड की वस्तुओं के रूप में ले सकते हैं। फाइनिटिस्ट समुच्चय सिद्धांत में, यूरेलमेंट्स को लक्ष्य घटना के सबसे कम स्तर के घटकों, जैसे कि भौतिक वस्तु के परमाणु घटक या किसी संगठन के सदस्यों के लिए मैप किया जाता है।

क्वीन परमाणु
एक विशेष प्रकार के समुच्चय के रूप में, समुच्चय के अलावा एक प्रकार की वस्तु के बजाय, उन पर विचार करना एक वैकल्पिक दृष्टिकोण है।परमाणु परमाणु । क्वीन परमाणु समुच्चय सिद्धांत की प्रणालियों में मौजूद नहीं हो सकते हैं जिसमें नियमितता का स्वयंसिद्ध शामिल है, लेकिन वे गैर-अच्छी तरह से स्थापित समुच्चय सिद्धांत में मौजूद हो सकते हैं।नियमितता के स्वयंसिद्ध के साथ ZF समुच्चय सिद्धांत यह साबित नहीं कर सकता है कि कोई भी गैर-कुश्ती समुच्चय मौजूद है (जब तक कि यह असंगत नहीं है, जिस स्थिति में यह विस्फोट का सिद्धांत होगा), लेकिन यह क्वीन परमाणुओं के अस्तित्व के साथ संगत है।Aczel के एंटी-फाउंडेशन Axiom का अर्थ है कि एक अद्वितीय क्वीन परमाणु है।अन्य गैर-अच्छी तरह से स्थापित सिद्धांत कई अलग-अलग क्वीन परमाणुओं को स्वीकार कर सकते हैं;स्पेक्ट्रम के विपरीत छोर पर बोफा के सुपरनॉवर्सिटी के स्वयंसिद्ध निहित हैं, जिसका अर्थ है कि अलग -अलग क्वीन परमाणु एक उचित वर्ग बनाते हैं।

क्वीन परमाणु क्वीन की नई नींव में भी दिखाई देते हैं, जो इस तरह के एक से अधिक समुच्चय की अनुमति देता है। क्वीन परमाणु एकमात्र समुच्चय हैं जिन्हें रिफ्लेक्सिव समुच्चय कहा जाता है पीटर Aczel द्वारा, हालांकि अन्य लेखक, उदा।जॉन बारवाइज और लॉरेंस मॉस, संपत्ति x & nbsp; & & nbsp; x के साथ समुच्चय के बड़े वर्ग को निरूपित करने के लिए बाद के शब्द का उपयोग करें।