बिंदु (ज्यामिति)

शास्त्रीय यूक्लिडियन ज्यामिति  में,  बिंदु एक पूर्वग धारणा जो समष्टि में यथार्थ समष्टि का प्रतिदर्श बनाती है, और इसकी कोई लंबाई, चौड़ाई या मोटाई नहीं होती है। आधुनिक गणित में, बिंदु आमतौर पर कुछ समुच्चय (गणित) के एक तत्व (गणित) को संदर्भित करता है जिसे एक समष्टि कहा जाता है।

पूर्वग धारणा होने का मतलब है कि बिंदु को पहले से परिभाषित वस्तुओं के संदर्भ में परिभाषित नहीं किया जा सकता है। अर्थात्, एक बिंदु को केवल कुछ गुणों द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिन्हें अभिगृहीत कहा जाता है, जिसे उसे संतुष्ट करना चाहिए, उदाहरण के लिए, "बिल्कुल रेखा (ज्यामिति) है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है"।

यूक्लिडियन ज्यामिति में अंक
यूक्लिडियन ज्यामिति के ढांचे के भीतर माने जाने वाले अंक, सबसे मौलिक वस्तुओं में से एक हैं। यूक्लिड ने मूल रूप से इस बिंदु को "जिसका कोई हिस्सा नहीं है" के रूप में परिभाषित किया। द्वि-आयामी यूक्लिडियन समष्टिमें, एक बिंदु को संख्याओं की एक क्रमबद्ध जोड़ी ($x$, $y$) द्वारा दर्शाया जाता है, जहां पहली संख्या रूढ़िता (आदर्श) से क्षैतिज का प्रतिनिधित्व करती है और अक्सर $x$, द्वारा निरूपित की जाती है, और दूसरी संख्या पारंपरिक रूप से ऊर्ध्वाधर का प्रतिनिधित्व करती है और इसे अक्सर $y$ द्वारा दर्शाया जाता है।इस विचार को आसानी से त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टिमें सामान्यीकृत किया जाता है, जहां एक बिंदु को एक क्रमबद्ध त्रिक ($x$, $y$, $z$) द्वारा दर्शाया जाता है, जिसमें अतिरिक्त तीसरी संख्या गहराई का प्रतिनिधित्व करती है और अक्सर $z$ द्वारा निरूपित होती है। आगे के सामान्यीकरणों को n पदों के एक क्रमबद्ध टपलेट द्वारा दर्शाया जाता है,$(a_{1}, a_{2}, … , a_{n})$ जहां $n$ उस  समष्टि का आयाम (गणित) है जिसमें बिंदु स्थित है।

यूक्लिडियन ज्यामिति के भीतर कई निर्माणों में बिंदुओं का एक अनंत संग्रह होता है जो कुछ स्वयंसिद्धों के अनुरूप होता है। यह आमतौर पर बिंदुओं के एक समुच्चय द्वारा दर्शाया जाता है, एक उदाहरण के रूप में, एक रेखा (गणित) $$\scriptstyle {L = \lbrace (a_1,a_2,...a_n)|a_1c_1 + a_2c_2 + ... a_nc_n = d \rbrace}$$, के रूप में बिंदुओं का एक अनंत समुच्चय है। जहां $c_{1}$ से $c_{n}$ और $d$ स्थिरांक हैं और $n$ समष्टि का आयाम है। इसी तरह के निर्माण मौजूद हैं जो विमान, रेखा खंड और अन्य संबंधित अवधारणाओं को परिभाषित करते हैं। रेखा खंड जिसमें केवल एक बिंदु होता है, पतित रेखाखंड कहलाता है।

बिंदुओं से संबंधित बिंदुओं और संरचनाओं को परिभाषित करने के अलावा, यूक्लिड ने बिंदुओं के बारे में एक महत्वपूर्ण विचार भी रखा, कि किन्हीं दो बिंदुओं को सीधी रेखा से जोड़ा जा सकता है। यह यूक्लिडियन ज्यामिति के आधुनिक विस्तार के तहत आसानी से पुष्टि की जाती है, और इसके परिचय पर स्थायी परिणाम थे, उस समय ज्ञात लगभग सभी ज्यामितीय अवधारणाओं के निर्माण की अनुमति देते थे। हालांकि, यूक्लिड के अंक का निर्धारण न तो पूर्ण और न ही निश्चित था, और वह कभी-कभी उन बिंदुओं के बारे में तथ्यों को ग्रहण करता था जो सीधे उनके सिद्धांतों से नहीं चलते थे, जैसे कि रेखा पर बिंदुओं का क्रम या विशिष्ट बिंदुओं का अस्तित्व। इसके बावजूद, प्रणाली के आधुनिक विस्तार इन धारणाओं को दूर करने का काम करते हैं।

बिंदु का आयाम
गणित में आयाम (गणित और भौतिकी) की कई असमान परिभाषाएँ हैं। सभी सामान्य परिभाषाओं में, एक बिंदु 0-आयामी है।

सदिश समष्टि आयाम
सदिश समष्टि का आयाम एक रैखिकतः स्वतंत्र उपसमुच्चय का अधिकतम आकार है। सदिश समष्टि में एक बिंदु होता है (जो शून्य सदिश 0 होना चाहिए), जो कोई रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय नहीं होता है। शून्य सदिश स्वयं रैखिक रूप से स्वतंत्रनहीं है, क्योंकि एक गैर तुच्छ रैखिक संयोजन है जो इसे शून्य बनाता है: $$1 \cdot \mathbf{0}=\mathbf{0}$$.

सांस्थितिक आयाम
सांस्थितिक समष्टि का सांस्थितिक आयाम $$X$$, n के न्यूनतम मान के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि प्रत्येक परिमित विवृत आवरक $$\mathcal{A}$$ का $$X$$ एक सीमित विवृत आवरक स्वीकार करता है $$\mathcal{B}$$ का $$X$$ कौन सा शोधन (टोपोलॉजी) $$\mathcal{A}$$ जिसमें n+1 से अधिक तत्वों में कोई बिंदु शामिल नहीं है। यदि ऐसा कोई न्यूनतम n मौजूद नहीं है, तो समष्टि को अनंत आवरण आयाम का कहा जाता है।

बिंदु शून्य-आयामी समष्टि है | आवरक आयाम के संबंध में शून्य-आयामी क्योंकि समष्टिके प्रत्येक विवृत आवरक में एकल खुले समुच्चय से मिलकर शोधन होता है।

हॉसडॉर्फ आयाम
मान लीजिए कि X एक मीट्रिक समष्टि है। यदि S ⊂ X  और d ∈ [0, ∞), S की d-आयामी 'हॉसडॉर्फ सामग्री' संख्याओं के समुच्चय का न्यूनतम है 0 ऐसा है कि मीट्रिक समष्टि का कुछ (अनुक्रमित) संग्रह है $$\{B(x_i,r_i):i\in I\}$$ r के साथ S को आवरण करनाi> 0 प्रत्येक के लिए मैं मैं जो संतुष्ट करता हूं $$\sum_{i\in I} r_i^d<\delta $$.

X का हॉसडॉर्फ आयाम किसके द्वारा परिभाषित किया गया है?
 * $$\operatorname{dim}_{\operatorname{H}}(X):=\inf\{d\ge 0: C_H^d(X)=0\}.$$

बिंदु में हॉसडॉर्फ आयाम 0 है क्योंकि इसे मनमाने ढंग से छोटे त्रिज्या की एक गेंद द्वारा आवरण किया जा सकता है।

बिना अंक के ज्यामिति
यद्यपि एक बिंदु की धारणा को आम तौर पर मुख्यधारा की ज्यामिति और सांस्थिति में मौलिक माना जाता है, लेकिन कुछ प्रणालियाँ हैं जो इसे छोड़ देती हैं, उदा गैर-अनुवांशिक ज्यामिति और व्यर्थ  सांस्थिति। व्यर्थ या बिंदु रहित समष्टि को समुच्चय (गणित) के रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है, लेकिन कुछ संरचना ((क्रमशः बीजगणितीय या तार्किक)) के माध्यम से जो समुच्चय पर एक प्रसिद्ध फलन समष्टि की तरह दिखता है:  निरंतर कार्य का एक बीजगणित या एक  समुच्चय का बीजगणित क्रमशः। अधिक  यथार्थ रूप से, ऐसी संरचनाएं  फलन (गणित) के प्रसिद्ध रिक्त  समष्टि को इस तरह से सामान्यीकृत करती हैं कि  सिद्धांत इस बिंदु पर एक मूल्य लेता है परिभाषित नहीं किया जा सकता है। एक और परंपरा ए.एन. व्हाइटहेड की कुछ पुस्तकों से शुरू होती है जिसमें क्षेत्र (गणित) की धारणा को समावेश या संयोजन के साथ एक आद्य के रूप में माना जाता है।

बिंदु द्रव्यमान और डिराक डेल्टा फलन
अक्सर भौतिकी और गणित में, बिंदु को गैर-शून्य द्रव्यमान या आवेशित के रूप में सोचना उपयोगी होता है (यह शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व में विशेष रूप से आम है, जहां इलेक्ट्रॉनों को गैर-शून्य आवेशित वाले बिंदुओं के रूप में आदर्शित किया जाता है)। डिराक डेल्टा फलन, या $δ$ फलन, (अनौपचारिक रूप से) वास्तविक संख्या रेखा पर एक सामान्यीकृत फलन है जो शून्य को छोड़कर हर जगह शून्य है, जिसमें संपूर्ण वास्तविक रेखा पर एक का अभिन्न अंग है।  डेल्टा फलन को कभी-कभी मूल रूप से एक असीम रूप से उच्च, असीम रूप से पतली स्पाइक के रूप में माना जाता है, जिसमें कणिश के नीचे कुल क्षेत्रफल होता है, और शारीरिक रूप से एक आदर्श बिंदु द्रव्यमान या बिंदु आवेशित का प्रतिनिधित्व करता है। यह सैद्धांतिक भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक द्वारा पेश किया गया था। संकेत प्रसंस्करण के संदर्भ में इसे अक्सर इकाई आवेग प्रतीक (या फलन) के रूप में जाना जाता है। इसका असतत समधर्मी क्रोनकर डेल्टा  फलन है जिसे आमतौर पर एक परिमित  प्रक्षेत्र पर परिभाषित किया जाता है और मान 0 और 1 लेता है।

यह भी देखें

 * संचय बिंदु
 * एफ़िन समष्टि
 * सीमा बिंदु
 * महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) गणित)
 * पुच्छ (विलक्षण)
 * ज्यामिति की नींव
 * स्थिति (ज्यामिति)
 * पॉइंट क्लाउड
 * बिंदु प्रक्रिया
 * प्वाइंट सेट पंजीकरण
 * बिंदुवार
 * वक्र का एकवचन बिंदु
 * व्हाइटहेड पॉइंट-फ्री ज्यामिति

संदर्भ

 * Clarke, Bowman, 1985, "Individuals and Points," Notre Dame Journal of Formal Logic 26: 61–75.
 * De Laguna, T., 1922, "Point, line and surface as sets of solids," The Journal of Philosophy 19: 449–61.
 * Gerla, G., 1995, "Pointless Geometries" in Buekenhout, F., Kantor, W. eds., Handbook of incidence geometry: buildings and foundations. North-Holland: 1015–31.
 * Whitehead, A. N., 1919. An Enquiry Concerning the Principles of Natural Knowledge. Cambridge Univ. Press. 2nd ed., 1925.
 * Whitehead, A. N., 1920. The Concept of Nature. Cambridge Univ. Press. 2004 paperback, Prometheus Books. Being the 1919 Tarner Lectures delivered at Trinity College.
 * Whitehead, A. N., 1979 (1929). Process and Reality. Free Press.