परमाणु (माप सिद्धांत)

गणित में, अधिक यथार्थ रूप से माप सिद्धांत में, एक परमाणु एक मापनीय समुच्चय होता है जिसका धनात्मक माप होता है और इसमें छोटे धनात्मक माप का कोई समुच्चय नहीं होता है। एक माप जिसमें कोई परमाणु नहीं होता है, उसे गैर-परमाणु या परमाणु रहित कहा जाता है।

परिभाषा
एक मापनीय समष्टि $$(X, \Sigma)$$ और उस समष्टि पर माप (गणित) $$\mu$$ को देखते हुए, $$\Sigma$$ में समुच्चय $$A\subset X$$ को एक परमाणु कहा जाता है यदि $$\mu(A) > 0$$ और किसी भी मापनीय उपसमुच्चय $$B \subset A$$ के लिए $$\mu(B) < \mu(A)$$ के साथ समुच्चय $$B$$ का माप शून्य है।

यदि $$A$$ एक परमाणु है, तो $$A$$ के $$\mu$$- तुल्यता वर्ग $$[A]$$ के सभी उपसमुच्चय परमाणु हैं, और $$[A]$$ को एक परमाणु वर्ग कहा जाता है। यदि $$\mu$$ एक $$\sigma$$- परिमित माप है, तो असंख्य परमाणु वर्ग हैं।

उदाहरण

 * समुच्चय X = {1, 2, ..., 9, 10} पर विचार करें और सिग्मा-बीजगणित $$\Sigma$$ को X का घात समुच्चय मान लें। एक समुच्चय की माप $$\mu$$ को उसके गणनांक, अर्थात समुच्चय में अवयवों की संख्या के रूप में परिभाषित करें। फिर, प्रत्येक एकल (गणित) {i}, i = 1, 2, ..., 9, 10 के लिए एक परमाणु है।
 * वास्तविक रेखा पर लेबेस्ग माप पर विचार करें। इस माप में कोई परमाणु नहीं है।

परमाणु के माप
मापनीय समष्टि $$(X, \Sigma)$$ पर $$\sigma$$- परिमित माप $$ \mu $$ को परमाणु या विशुद्ध रूप से परमाणु कहा जाता है यदि धनात्मक माप के प्रत्येक मापनीय समुच्चय में एक परमाणु होता है। यह कहने के बराबर है कि शून्य समुच्चय तक परमाणुओं द्वारा गठित $$X$$ का गणनीय समुच्चय का विभाजन है। $$\sigma$$-परिमितता की धारणा आवश्यक है। अन्यथा समष्टि $$(\mathbb{R},\mathcal{P}(\Reals),\nu)$$ पर विचार करें जहां $$\nu$$ गणना माप को दर्शाता है। यह समष्टि परमाणु है, जिसमें सभी परमाणु एकल (गणित) हैं, फिर भी अंतरिक्ष को कई अलग-अलग परमाणुओं के अलग-अलग संघों में विभाजित करने में सक्षम नहीं है, $\bigcup_{n=1}^\infty A_n$ और एक शून्य समुच्चय $$N$$ चूँकि एकल का गणनीय संघ एक गणनीय समुच्चय है, और वास्तविक संख्याओं की बेशुमारता से पता चलता है कि पूरक $N = \mathbb{R} \setminus \bigcup_{n=1}^\infty A_n$  बेशुमार होना होगा, इसलिए इसकी $$\nu$$-माप अनंत होगा, यह एक अशक्त समुच्चय होने के विपरीत है। के लिए परिणाम की वैधता $$\sigma$$-परिमित समष्टि परिमित माप रिक्त समष्टि के प्रमाण से अनुसरण करते हैं, यह देखते हुए कि गणनीय संघों का गणनीय संघ फिर से एक गणनीय संघ है, और यह कि अशक्त समुच्चयों के गणनीय संघ शून्य हैं।

असतत माप
ए $$\sigma$$- परिमित परमाणु माप $$ \mu $$ असतत कहा जाता है यदि किसी परमाणु वर्ग के परमाणुओं का प्रतिच्छेदन खाली नहीं है। यह समतुल्य है यह कहने के लिए $$ \mu $$ गिने-चुने कई डायराक मापों का भारित योग है, अर्थात एक क्रम है $$ x_1,x_2,... $$ अंकों में $$ X $$, और एक क्रम $$ c_1,c_2,... $$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं (वजन) का ऐसा है कि $ \mu=\sum_{k=1}^\infty c_k\delta_{x_k} $, जिसका अर्थ है कि $ \mu(A) = \sum_{k=1}^\infty c_k\delta_{x_k}(A) $ हरएक के लिए $$ A\in\Sigma $$. हम प्रत्येक बिंदु को चुन सकते हैं $$ x_k $$ परमाणुओं का एक सामान्य बिंदु होना में $$ k $$-वाँ परमाणु वर्ग।

एक असतत माप परमाणु है लेकिन उलटा निहितार्थ विफल रहता है: लो $$X=[0,1]$$, $$\Sigma$$ $$\sigma$$गणनीय और सह-गणनीय उपसमूहों का बीजगणित, $$ \mu=0 $$ गणनीय उपसमुच्चय में और $$ \mu=1 $$ सह-गणनीय उपसमुच्चय में। फिर एक एकल परमाणु वर्ग होता है, जो सह-गणनीय उपसमुच्चय द्वारा गठित होता है। पैमाना $$ \mu$$ परमाणु है लेकिन अद्वितीय परमाणु वर्ग में परमाणुओं का प्रतिच्छेदन खाली है और $$ \mu $$ Dirac मापों के योग के रूप में नहीं रखा जा सकता है।

यदि प्रत्येक परमाणु एक एकल के बराबर है, $$ \mu $$ असतत है यदि यह परमाणु है। इस मामले में $$ x_k $$ ऊपर परमाणु एकल हैं, इसलिए वे अद्वितीय हैं। बोरेल समुच्चय के साथ प्रदान किए गए वियोज्य मीट्रिक समष्टि में कोई परिमित माप इस शर्त को पूरा करता है।

गैर-परमाणु माप
वह माप जिसमें कोई परमाणु न हो कहलाता है या ए. दूसरे शब्दों में, एक माप $$ \mu $$ किसी मापनीय समुच्चय के लिए गैर-परमाणु है $$A$$ साथ $$\mu(A) > 0$$ एक औसत दर्जे का उपसमुच्चय मौजूद है $$B$$ का $$A$$ ऐसा है कि $$\mu(A) > \mu (B) > 0.$$ कम से कम एक धनात्मक मूल्य के साथ एक गैर-परमाणु माप में एक समुच्चय के साथ शुरू होने वाले अलग-अलग मूल्यों की अनंत संख्या होती है $$A$$ साथ $$\mu(A) > 0$$ मापनीय समुच्चयों के घटते क्रम का निर्माण किया जा सकता है $$A = A_1\supset A_2 \supset A_3 \supset \cdots$$ ऐसा है कि $$\mu(A) = \mu(A_1) > \mu(A_2) > \mu(A_3) > \cdots > 0.$$ यह उन मापों के लिए सही नहीं हो सकता जिनमें परमाणु हों; ऊपर पहला उदाहरण देखें।

यह पता चला है कि गैर-परमाणु मापों में वास्तव में मूल्यों का एक सातत्य (सिद्धांत) होता है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यदि $$\mu$$ एक गैर-परमाणु माप है और $$A$$ के साथ एक मापनीय समुच्चय है $$\mu(A) > 0,$$ फिर किसी वास्तविक संख्या के लिए $$b$$ संतुष्टि देने वाला $$\mu(A) \geq b \geq 0$$ एक औसत दर्जे का उपसमुच्चय मौजूद है $$B$$ का $$A$$ ऐसा है कि $$\mu(B) = b.$$ यह सिद्धांत वैक्लाव सीरपिन्स्की के कारण है। यह निरंतर कार्यों के लिए मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय की याद दिलाता है।

गैर-परमाणु मापों पर सिएरपिन्स्की के प्रमेय के प्रमाण का रेखाचित्र। थोड़ा मजबूत बयान, जो हालांकि सबूत को आसान बनाता है, वह है यदि $$(X, \Sigma, \mu)$$ एक गैर-परमाणु माप समष्टि है और $$\mu(X) = c,$$ एक समारोह मौजूद है $$S : [0, c] \to \Sigma$$ यह समावेशन के संबंध में मोनोटोन है, और इसका दायां-विपरीत है $$\mu : \Sigma \to [0, c].$$ यही है, मापनीय समुच्चयों का एक-पैरामीटर परिवार मौजूद है $$S(t)$$ ऐसा कि सभी के लिए $$0 \leq t \leq t' \leq c$$ $$S(t) \subseteq S(t'),$$ $$\mu\left (S(t)\right)=t.$$ सबूत आसानी से ज़ोर्न के लेम्मा से अनुसरण करता है जो सभी मोनोटोन आंशिक वर्गों के समुच्चय पर लागू होता है $$\mu$$ : $$\Gamma: = \{S : D \to \Sigma\; :\; D \subseteq [0, c],\, S\; \mathrm{ monotone }, \text{ for all } t \in D\; (\mu(S(t)) = t)\},$$ रेखांकन को शामिल करने का आदेश दिया, $$\mathrm{graph}(S) \subseteq \mathrm{graph}(S').$$ यह दिखाने के लिए मानक है कि प्रत्येक श्रृंखला में $$\Gamma$$ में एक ऊपरी सीमा है $$\Gamma,$$ और इसका कोई भी अधिकतम अवयव $$\Gamma$$ डोमेन है $$[0, c],$$ दावा साबित करना।

यह भी देखें

 * परमाणु (आदेश सिद्धांत) — आदेश सिद्धांत में एक समान अवधारणा
 * डिराक डेल्टा समारोह
 * प्राथमिक घटना, जिसे परमाणु घटना के रूप में भी जाना जाता है

बाहरी संबंध

 * Atom at The Encyclopedia of Mathematics