समतल मैनिफोल्ड

गणित में, रीमैनियन मैनिफोल्ड को समतल कहा जाता है यदि इसका रीमैन वक्रता टेंसर प्रत्येक समिष्ट शून्य है। सहज रूप से, समतल मैनिफ़ोल्ड वह है जो समिष्टय रूप से दूरियों और कोणों के संदर्भ में यूक्लिडियन समिष्ट जैसा दिखता है, उदाहरण के लिए त्रिभुज के आंतरिक कोणों का योग 180° होता है।

संपूर्ण समिष्ट फ्लैट मैनिफोल्ड का सार्वभौमिक आवरण यूक्लिडियन समिष्ट है। इस प्रकार इसका उपयोग प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है

कि सभी सघन समिष्ट फ्लैट मैनिफोल्ड्स को टोरी द्वारा सीमित रूप से कवर किया गया है; त्रि-आयामी स्थिति पहले सिद्ध किया गया था.

उदाहरण
निम्नलिखित मैनिफोल्ड्स को फ्लैट मीट्रिक के साथ संपन्न किया जा सकता है। ध्यान दें कि यह उनका 'मानक' मीट्रिक नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, 2-आयामी टोरस पर फ्लैट मीट्रिक इसके सामान्य एम्बेडिंग से प्रेरित मीट्रिक $$\mathbb{R}^3$$ नहीं है).

आयाम 1
प्रत्येक एक-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड समतल है। इसके विपरीत, यह देखते हुए कि प्रत्येक जुड़ा हुआ एक-आयामी स्मूथ मैनिफोल्ड किसी $$\mathbb{R}$$ या $$S^1,$$ से भिन्न होता है यह देखना सीधा है कि प्रत्येक जुड़ा हुआ एक-आयामी रीमानियन मैनिफोल्ड निम्नलिखित में से किसी के लिए सममितीय है (प्रत्येक अपनी मानक रीमानियन संरचना के साथ होता है): केवल प्रथम और अंतिम ही पूर्ण हैं। यदि किसी में रीमैनियन मैनिफोल्ड्स-विथ-बाउंड्री सम्मिलित है, तो अर्ध-विवृत और बंद अंतरालों को भी सम्मिलित किया जाना चाहिए।
 * वास्तविक पंक्ति
 * विवृत अंतराल $$(0,x)$$ कुछ संख्या के लिए $$x>0$$
 * विवृत अंतराल $$(0,\infty)$$
 * वृत्त $$\{(x,y)\in \mathbb{R}^2:x^2+y^2=r^2\}$$ त्रिज्या का $$r,$$ कुछ संख्या $$r>0.$$ के लिए

इस स्थित में पूर्ण विवरण की सरलता इस तथ्य पर आधारित हो सकती है कि प्रत्येक एक-आयामी रीमैनियन मैनिफोल्ड में चिकनी इकाई-लंबाई सदिश क्षेत्र होता है, और उपरोक्त मॉडल उदाहरणों में से से आइसोमेट्री अभिन्न वक्र पर विचार करके प्रदान की जाती है।

पाँच संभावनाएँ, भिन्नरूपता तक
यदि $$(M,g)$$ सहज द्वि-आयामी जुड़ा हुआ पूर्ण फ्लैट रीमानियन मैनिफोल्ड है $$M$$ से भिन्न होना चाहिए इस प्रकार $$\mathbb{R}^2,$$ $$S^1\times\mathbb{R},$$ $$S^1\times S^1,$$ मोबियस पट्टी, या क्लेन बोतल ध्यान दें कि केवल कॉम्पैक्ट संभावनाएँ हैं $$S^1\times S^1$$ और क्लेन बोतल है, जबकि एकमात्र उन्मुख $$\mathbb{R}^2,$$ $$S^1\times \mathbb{R},$$ और $$S^1\times S^1.$$ संभावनाएँ हैं

इन समिष्टों पर विशिष्ट पूर्ण फ्लैट रीमानियन मेट्रिक्स का वर्णन करने के लिए अधिक प्रयास करना पड़ता है। उदाहरण के लिए, के दो कारक $$S^1\times S^1$$ उनकी त्रिज्याएँ कोई भी दो वास्तविक संख्याएँ हो सकती हैं। ये मेट्रिक्स उनकी दो त्रिज्याओं के अनुपात से दूसरे से भिन्न होते हैं, इसलिए इस समिष्टमें असीमित रूप से कई अलग-अलग फ्लैट उत्पाद मेट्रिक्स होते हैं इस प्रकार जो स्केल फैक्टर तक आइसोमेट्रिक नहीं होते हैं। पांच संभावनाओं के बारे में समान रूप से बात करने के लिए, और विशेष रूप से मोबियस स्ट्रिप और क्लेन बोतल के साथ अमूर्त मैनिफोल्ड के रूप में ठोस रूप से काम करने के लिए, समूह क्रियाओं की भाषा का उपयोग करना उपयोगी है।

पांच संभावनाएं, आइसोमेट्री तक
दिया गया $$(x_0,y_0)\in\mathbb{R}^2,$$ माना $$T_{(x_0,y_0)}$$ अनुवाद को निरूपित करें $$\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$$ द्वारा दिए गए $$(x,y)\mapsto(x+x_0,y+y_0).$$ माना $$R$$ प्रतिबिंब को निरूपित करें $$\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$$ द्वारा दिए गए थे$$(x,y)\mapsto(x,-y).$$ दो सकारात्मक संख्याएँ दी गई हैं $$a,b,$$ के निम्नलिखित उपसमूहों पर विचार करें $$\operatorname{Isom}(\mathbb{R}^2),$$ के आइसोमेट्री का समूह $$\mathbb{R}^2$$ अपने मानक मीट्रिक के साथ होता है। ये सभी $$\mathbb{R}^2,$$ समूह स्वतंत्र रूप से और उचित रूप से असंतत रूप से कार्य कर रहे हैं और इसलिए विभिन्न कोसेट समिष्ट $$\mathbb{R}^2/G$$ सभी में स्वाभाविक रूप से द्वि-आयामी पूर्ण फ्लैट रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की संरचना होती है। उनमें से कोई भी दूसरे के लिए आइसोमेट्रिक नहीं है, और रीमैनियन मैनिफोल्ड से जुड़ा कोई भी दो-आयामी पूर्ण फ्लैट उनमें से के लिए आइसोमेट्रिक है।
 * $$G_{e}=\{T_{(0,0)}\}$$
 * $$G_{\text{cyl}}(a)=\{T_{(an,0)}:n\in\mathbb{Z}\}$$
 * $$G_{\text{tor}}(a,b)=\{T_{(na,mb)}:m,n\in\mathbb{Z}\}$$ बशर्ते $$a<b.$$
 * $$G_{\text{Moeb}}(a)=\{T_{(2na,0)}:n\in\mathbb{Z}\}\cup\{T_{((2n+1)a,0)}\circ R:n\in\mathbb{Z}\}$$
 * $$G_{\text{KB}}(b)=\{T_{(2na,bm)}:n,m\in\mathbb{Z}\}\cup\{T_{((2n+1)a,bm)}\circ R:n,m\in\mathbb{Z}\}$$

कक्षीय
ऑर्बिफोल्ड्स पर लेख में सूचीबद्ध फ्लैट मीट्रिक (टोरस और क्लेन बोतल सहित) के साथ 17 कॉम्पैक्ट 2-आयामी ऑर्बिफोल्ड हैं, जो 17 वॉलपेपर समूह के अनुरूप हैं।

टिप्पणियाँ
ध्यान दें कि डोनट के रूप में टोरस का मानक 'चित्र' इसे समतल मीट्रिक के साथ प्रस्तुत नहीं करता है, क्योंकि केंद्र से सबसे दूर के बिंदुओं में सकारात्मक वक्रता होती है जबकि केंद्र के निकटतम बिंदुओं में नकारात्मक वक्रता होती है। कुइपर के नैश एम्बेडिंग प्रमेय के सूत्रीकरण के अनुसार $$C^1$$ है एम्बेडिंग $$S^1\times S^1\to\mathbb{R}^3$$ जो उपस्थित किसी भी फ्लैट उत्पाद मेट्रिक्स $$S^1\times S^1,$$ को प्रेरित करता है किन्तु इन्हें सरलता से देखा नहीं जा सकता है। तब से $$S^1$$ के एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड $$\mathbb{R}^2,$$ के रूप में प्रस्तुत किया गया है किसी भी (फ्लैट) उत्पाद संरचना पर $$S^1\times S^1$$ स्वाभाविक रूप से उपमानों $$\mathbb{R}^2\times\mathbb{R}^2=\mathbb{R}^4.$$ के रूप में प्रस्तुत किए जाते हैं इसी तरह, क्लेन बोतल के मानक त्रि-आयामी विज़ुअलाइज़ेशन फ्लैट मीट्रिक प्रस्तुत नहीं करते हैं। मोबियस पट्टी का मानक निर्माण, कागज की पट्टी के सिरों को साथ जोड़कर, वास्तव में इसे समतल मीट्रिक देता है, किन्तु यह पूर्ण नहीं है।

आयाम 3
6 ओरिएंटेबल और 4 नॉन-ओरिएंटेबल कॉम्पैक्ट फ्लैट 3-मैनिफोल्ड हैं, जो सभी सीफर्ट फाइबर समिष्ट हैं; वे भागफल समूह $$\mathbb{R}^3$$ हैं 10 टोशन-मुक्त समूह द्वारा टोशन-मुक्त क्रिस्टलोग्राफिक समूह इसमें 4 ओरिएंटेबल और 4 नॉन-ओरिएंटेबल नॉन-कॉम्पैक्ट समिष्ट भी हैं।

समायोज्य
10 ओरिएंटेबल फ्लैट 3-मैनिफोल्ड्स $$\mathbb{R}^3$$ हैं:,.
 * 1) 3-टोरस $$T^3$$, घन के विपरीत फलकों को चिपकाकर बनाया गया है।
 * 2) एक जोड़ी पर 1/2 मोड़ के साथ घन के विपरीत फेस को चिपकाकर बनाया गया मैनिफोल्ड।
 * 3) एक जोड़ी पर 1/4 मोड़ के साथ घन के विपरीत फेस को चिपकाकर बनाया गया मैनिफोल्ड।
 * 4)  षट्कोणीय प्रिज्म के विपरीत फेस को हेक्सागोनल फेस पर 1/3 मोड़ के साथ चिपकाकर बनाया गया मैनिफोल्ड।
 * 5) हेक्सागोनल प्रिज्म के विपरीत फेस को हेक्सागोनल फेस पर 1/6 मोड़ के साथ चिपकाकर बनाया गया मैनिफोल्ड।
 * 6) हंट्ज़स्चे-वेंड्ट मैनिफोल्ड।
 * 7) मैनिफोल्ड $$S^1 \times \mathbb{R}^2$$ इसे साथ चिपके हुए दो समानांतर विमानों के बीच की समिष्ट के रूप में बनाया गया है।
 * 8) मैनिफोल्ड $$T^2 \times \mathbb{R}$$ अनंत वर्गाकार चिमनी की विपरीत दीवारों को चिपकाकर बनाया गया।
 * 9) एक जोड़ी पर 1/2 मोड़ के साथ अनंत वर्गाकार चिमनी की विपरीत दीवारों को चिपकाकर बनाई गई मैनिफोल्ड।

गैर-उन्मुख
8 गैर-संचालनीय 3-मैनिफोल्ड्स हैं:
 * 1) एक वृत्त और क्लेन बोतल $$S^1 \times K$$ का कार्टेशियन उत्पाद,.
 * 2) उपरोक्त के समान मैनिफोल्ड, किन्तु सरकना विमान के समानांतर दिशा में ट्रांसलेशनल रूप से ऑफसेट; इस दिशा में आगे बढ़ते हुए मैनिफोल्ड के विपरीत दिशा में लौट आता है।
 * 3) दो लंबवत ग्लाइड विमानों में बिंदु को प्रतिबिंबित करने और तीसरी दिशा में अनुवाद करने से बना मैनिफोल्ड।
 * 4) उपरोक्त के समान मैनिफोल्ड, किन्तु ग्लाइड विमान के समानांतर दिशा में ट्रांसलेशनल रूप से ऑफसेट; इस दिशा में आगे बढ़ते हुए मैनिफोल्ड के विपरीत दिशा में लौट आता है।
 * 5) एक वृत्त और (अनबाउंड) मोबियस पट्टी का कार्टेशियन उत्पाद।
 * 6) मैनिफोल्ड $$K \times \mathbb{R}$$ बिंदु को अक्ष के अनुदिश अनुवादित करके और इसे लंबवत ग्लाइड विमान में प्रतिबिंबित करके बनाया गया है।
 * 7) एक अक्ष के अनुदिश बिंदु का अनुवाद करके और इसे समानांतर ग्लाइड विमान में प्रतिबिंबित करके बनाया गया मैनिफोल्ड।
 * 8) दो लंबवत ग्लाइड विमानों पर बिंदु को प्रतिबिंबित करके बनाया गया मैनिफोल्ड।

उच्च आयाम

 * यूक्लिडियन समिष्ट
 * टोरी
 * फ्लैट मैनिफोल्ड के उत्पाद
 * स्वतंत्र रूप से कार्य करने वाले समूहों द्वारा फ्लैट मैनिफ़ोल्ड के भागफल।

==अनुकूलता से संबंध                                                                                                                                                                                            ==

अनुभागीय वक्रता गैर-सकारात्मक अनुभागीय वक्रता वाले सभी बंद मैनिफोल्ड्स के बीच, फ्लैट मैनिफोल्ड्स को ठीक से उत्तरदायी समूह मौलिक समूह के साथ चित्रित किया जाता है।

यह एडम्स-हंस वर्नर बॉलमैन प्रमेय (1998) का परिणाम है, जो इस लक्षण वर्णन को समूह क्रिया (गणित) की अधिक सामान्य सेटिंग में स्थापित करता है इस प्रकार हडामर्ड रिक्त समिष्टके सममिति के क्रिया समूहों के प्रकार यह समिष्ट समूह बीबरबैक के प्रमेय का दूरगामी सामान्यीकरण प्रदान करता है।

एडम्स-बॉलमैन प्रमेय में विसंगति की धारणा आवश्यक है: अन्यथा, वर्गीकरण में सममित समिष्ट, ब्रुहट-टिट्स भवन और बास-सेरे सिद्धांत या कैप्रैस के अविवेकी बीबरबैक प्रमेय को देखते हुए बास-सेरे ट्री सम्मिलित होने चाहिए- निकोलस मोनोड.

यह भी देखें

 * समिष्ट रूप
 * क्रिस्टलोग्राफिक समूह
 * रिक्की-फ्लैट मैनिफोल्ड
 * अनुरूप रूप से समतल मैनिफोल्ड
 * एफ़िन मैनिफ़ोल्ड

==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                                        ==

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