संख्या

एक संख्या एक गणितीय वस्तु है जिसका उपयोग गिनती, माप और नाममात्र संख्या के लिए किया जाता है।मूल उदाहरण प्राकृतिक संख्या 1, 2, 3, 4, और आगे हैं। संख्या शब्दों के साथ भाषा में संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।अधिक सार्वभौमिक रूप से, व्यक्तिगत संख्याओं को प्रतीकों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिन्हें अंक कहा जाता है;उदाहरण के लिए, 5 एक अंक है जो 5 का प्रतिनिधित्व करता है। जैसा कि केवल अपेक्षाकृत कम संख्या में प्रतीकों को याद किया जा सकता है, बुनियादी अंक आमतौर पर एक अंक प्रणाली में व्यवस्थित होते हैं, जो किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक संगठित तरीका है।सबसे आम अंक प्रणाली हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली है, जो दस मौलिक संख्यात्मक प्रतीकों के संयोजन का उपयोग करके किसी भी संख्या के प्रतिनिधित्व के लिए अनुमति देती है, जिसे संख्यात्मक अंक कहा जाता है। गिनती और मापने में उनके उपयोग के अलावा, अंकों का उपयोग अक्सर लेबल के लिए (टेलीफोन नंबर के साथ) के लिए किया जाता है, ऑर्डर करने के लिए ( क्रमिक संख्या  के साथ), और कोड के लिए (जैसा कि आईएसबीएन के साथ)।सामान्य उपयोग में, एक अंक स्पष्ट रूप से उस संख्या से अलग नहीं है जो यह प्रतिनिधित्व करता है।

गणित में, 0 (0) को शामिल करने के लिए सदियों से एक संख्या की धारणा को बढ़ाया गया है, नकारात्मक संख्या, तर्कसंगत संख्या जैसे कि एक आधा $$\left(\tfrac{1}{2}\right)$$, वास्तविक संख्या जैसे कि 2 का वर्गमूल $$\left(\sqrt{2}\right)$$ और पीआई |$\pi$, और जटिल संख्या जो एक काल्पनिक इकाई के साथ वास्तविक संख्याओं का विस्तार करते हैं | वर्गमूल का रूट $−1$(और इसके गुणकों को जोड़कर या घटाने से वास्तविक संख्या के साथ इसके संयोजन)। संख्याओं के साथ गणना अंकगणितीय संचालन के साथ की जाती है, सबसे परिचित होने के अलावा, घटाव, गुणन, विभाजन (गणित), और घातांक।उनके अध्ययन या उपयोग को अंकगणित कहा जाता है, एक शब्द जो संख्या सिद्धांत, संख्याओं के गुणों के अध्ययन का भी उल्लेख कर सकता है।

उनके व्यावहारिक उपयोगों के अलावा, संख्याओं का दुनिया भर में सांस्कृतिक महत्व है। उदाहरण के लिए, पश्चिमी समाज में, 13 (संख्या) को अक्सर अशुभ माना जाता है, और एक मिलियन एक सटीक मात्रा के बजाय बहुत अधिक संकेत दे सकता है। यद्यपि इसे अब छद्म विज्ञान के रूप में माना जाता है, संख्या के एक रहस्यमय महत्व में विश्वास, जिसे अंक विज्ञान के रूप में जाना जाता है, प्राचीन और मध्ययुगीन विचार को अनुमति दी जाती है। न्यूमेरोलॉजी ने ग्रीक गणित के विकास को बहुत प्रभावित किया, संख्या सिद्धांत में कई समस्याओं की जांच को उत्तेजित किया जो आज भी रुचि के हैं।

19 वीं शताब्दी के दौरान, गणितज्ञों ने कई अलग -अलग अमूर्तता विकसित करना शुरू कर दिया, जो संख्याओं के कुछ गुणों को साझा करते हैं, और अवधारणा को विस्तारित करने के रूप में देखा जा सकता है।पहले हाइपरकम्प्लेक्स संख्या थे, जिसमें जटिल संख्या प्रणाली के विभिन्न एक्सटेंशन या संशोधन शामिल थे।आधुनिक गणित में, संख्या प्रणालियों को अधिक सामान्य बीजगणितीय संरचनाओं जैसे रिंग (गणित) और क्षेत्र (गणित) के महत्वपूर्ण विशेष उदाहरण माना जाता है, और शब्द संख्या का अनुप्रयोग मौलिक महत्व के बिना, सम्मेलन का मामला है।

अंक
संख्याओं को अंकों से अलग किया जाना चाहिए, संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीकों।मिस्रियों ने पहले सिफर्ड अंक प्रणाली का आविष्कार किया, और यूनानियों ने इओनियन और डोरिक अक्षर पर अपनी गिनती संख्याओं को मैप करने के बाद यूनानियों को आविष्कार किया। रोमन अंकों, एक प्रणाली, जो रोमन वर्णमाला से अक्षरों के संयोजन का उपयोग करती थी, 14 वीं शताब्दी के अंत में श्रेष्ठ हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली के प्रसार तक यूरोप में प्रमुख रही, और हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करने के लिए सबसे आम प्रणाली बनी हुई हैआज दुनिया में संख्या। सिस्टम की प्रभावशीलता की कुंजी शून्य के लिए प्रतीक था, जिसे प्राचीन भारतीय गणित द्वारा 500 ईस्वी के आसपास विकसित किया गया था।

संख्याओं का पहला उपयोग
हड्डियों और अन्य कलाकृतियों की खोज उनमें कटौती के साथ की गई है कि कई लोगों का मानना है कि टैली के निशान हैं। इन टैली के निशान का उपयोग बीते समय की गिनती के लिए किया जा सकता है, जैसे कि दिन की संख्या, चंद्र चक्र या मात्रा के रिकॉर्ड रखने, जैसे कि जानवरों की।

एक टैली सिस्टम में जगह मूल्य (आधुनिक दशमलव संकेतन में) की कोई अवधारणा नहीं है, जो बड़ी संख्या के अपने प्रतिनिधित्व को सीमित करता है।बहरहाल, टैली सिस्टम को पहले प्रकार का अमूर्त अंक प्रणाली माना जाता है।

स्थान मूल्य के साथ पहली ज्ञात प्रणाली माप की प्राचीन मेसोपोटामियन इकाइयाँ थीं। मेसोपोटामियन बेस & nbsp; 60 सिस्टम (c. 3400& nbsp; bc) और सबसे पहले ज्ञात आधार & nbsp; 10 सिस्टम की तारीखों को 3100 & nbsp; मिस्र में bc।

शून्य
628 ईस्वी के लिए शून्य तिथियों का पहला ज्ञात प्रलेखित उपयोग, और भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त के मुख्य कार्य ब्रोहमस्फुसिद्धान्टा में दिखाई दिया।उन्होंने एक संख्या के रूप में & nbsp; 0 का इलाज किया और इसे शामिल करने वाले संचालन पर चर्चा की, जिसमें शून्य द्वारा विभाजन भी शामिल है।इस समय तक (7 वीं & nbsp; सेंचुरी) अवधारणा स्पष्ट रूप से कंबोडिया तक खमेर अंकों के रूप में पहुंच गई थी, और प्रलेखन ने बाद में चीन और इस्लामी दुनिया में फैलने के विचार को दिखाया।

ब्रह्मगुप्त की ब्रहमस्फुसिधान्ता पहली पुस्तक है जो शून्य का उल्लेख एक संख्या के रूप में करती है, इसलिए ब्रह्मगुप्त को आमतौर पर शून्य की अवधारणा को बनाने के लिए पहला माना जाता है।उन्होंने नकारात्मक और सकारात्मक संख्याओं के साथ शून्य का उपयोग करने के नियम दिए, जैसे कि शून्य प्लस एक सकारात्मक संख्या एक सकारात्मक संख्या है, और एक नकारात्मक संख्या प्लस शून्य नकारात्मक संख्या है।Brāhmasphuṭasiddhantta शून्य को अपने आप में एक संख्या के रूप में इलाज करने के लिए जल्द से जल्द ज्ञात पाठ है, बजाय एक दूसरे नंबर का प्रतिनिधित्व करने में केवल एक प्लेसहोल्डर अंक के रूप में, जैसा कि बेबीलोनियों द्वारा किया गया था या मात्रा की कमी के लिए एक प्रतीक के रूप में, जैसा कि टॉलेमी द्वारा किया गया था औररोम वासी।

एक संख्या के रूप में 0 के उपयोग को जगह-मूल्य प्रणालियों में एक प्लेसहोल्डर अंक के रूप में इसके उपयोग से अलग किया जाना चाहिए।कई प्राचीन ग्रंथों का उपयोग & nbsp; 0।बेबीलोन और मिस्र के ग्रंथों ने इसका इस्तेमाल किया।मिस्रियों ने शून्य & nbsp; डबल-एंट्री बहीखाता प्रणाली  में संतुलन को निरूपित करने के लिए एनएफआर शब्द का उपयोग किया।भारतीय ग्रंथों ने एक संस्कृत शब्द का इस्तेमाल किया Shunye या shunya शून्य की अवधारणा का उल्लेख करने के लिए।गणित के ग्रंथों में यह शब्द अक्सर संख्या शून्य को संदर्भित करता है। इसी तरह की नस में, Pānini (5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व) ने अष्टाध्यायी में NULL (शून्य) ऑपरेटर का उपयोग किया, जो संस्कृत भाषा के लिए एक औपचारिक व्याकरण का एक प्रारंभिक उदाहरण (पिंगला भी देखें)।

ब्रह्मगुप्त से पहले शून्य के अन्य उपयोग हैं, हालांकि दस्तावेज उतना पूरा नहीं है जितना कि यह ब्रोहमस्फुसिदहन्टा में है।

रिकॉर्ड बताते हैं कि प्राचीन ग्रीस & nbsp की स्थिति के बारे में अनिश्चित लग रहा था; 0 एक संख्या के रूप में: उन्होंने खुद से पूछा कि 'कुछ भी नहीं' कुछ कैसे हो सकता है?दिलचस्प दार्शनिक के लिए अग्रणी और, मध्ययुगीन काल तक, & nbsp; 0 और खालीपन  की प्रकृति और अस्तित्व के बारे में धार्मिक तर्क।एले के ज़ेनो के ज़ेनो के विरोधाभास & nbsp; 0 की अनिश्चित व्याख्या पर निर्भर करते हैं।(प्राचीन यूनानियों ने यह भी सवाल किया कि क्या & nbsp; एक संख्या थी।)

दक्षिण-मध्य मेक्सिको के स्वर्गीय ऑल्मेक  लोगों ने नई दुनिया में शून्य, एक शेल  ग्लाइफ ़ के लिए एक प्रतीक का उपयोग करना शुरू कर दिया, संभवतः द्वारा 4th century BC लेकिन निश्चित रूप से 40 & nbsp; bc द्वारा, जो माया अंकों और माया कैलेंडर का एक अभिन्न अंग बन गया।माया अंकगणित का उपयोग किया गया आधार & nbsp; 4 और आधार & nbsp; 5 आधार के रूप में लिखा गया था & nbsp; 20।1961 में जॉर्ज आई। सैंचेज़ ने एक आधार & nbsp; 4, बेस & nbsp; 5 फिंगर एबाकस की सूचना दी। 130 ईस्वी तक, टॉलेमी, हिप्पार्चस और बेबीलोनियों से प्रभावित, & nbsp के लिए एक प्रतीक का उपयोग कर रहा था; 0 (एक लंबे ओवरबार के साथ एक छोटा सा सर्कल) एक साठवाँ अंक प्रणाली के भीतर अन्यथा अल्फाबेटिक ग्रीक अंकों का उपयोग कर रहा था।क्योंकि यह अकेले इस्तेमाल किया गया था, न कि केवल एक प्लेसहोल्डर के रूप में, यह ग्रीक अंक#हेलेनिस्टिक ज़ीरो पुरानी दुनिया में एक सच्चे शून्य का पहला प्रलेखित उपयोग था।बाद के बीजान्टिन साम्राज्य में उनके सिंटैक्सिस मैथेमेटिका (अल्मागेस्ट) की पांडुलिपियों में, हेलेनिस्टिक शून्य ने ग्रीक वर्णमाला ऑमिक्रॉन (अन्यथा अर्थ और nbsp; 70) में रूपांतरित किया था।

एक और सच्चे शून्य का उपयोग रोमन अंकों के साथ टेबल में किया गया था। nulla मतलब कुछ भी नहीं, एक प्रतीक के रूप में नहीं।जब विभाजन का उत्पादन किया गया & nbsp; 0 एक शेष के रूप में, nihil, यह भी कुछ भी नहीं, इस्तेमाल किया गया था।इन मध्ययुगीन शून्य का उपयोग भविष्य के सभी मध्ययुगीन कम्प्यूटस (ईस्टर के कैलकुलेटर) द्वारा किया गया था।उनके प्रारंभिक, एन का एक अलग उपयोग, बेडे या एक सहयोगी द्वारा रोमन अंकों की एक तालिका में 725, एक सच्चे शून्य प्रतीक के बारे में उपयोग किया गया था।

नकारात्मक संख्या
नकारात्मक संख्याओं की अमूर्त अवधारणा को चीन में 100-50 ईसा पूर्व की शुरुआत में मान्यता दी गई थी।गणितीय कला पर नौ अध्यायों में आंकड़े के क्षेत्रों को खोजने के तरीके हैं;लाल छड़ का उपयोग सकारात्मक गुणांक को निरूपित करने के लिए किया गया था, नकारात्मक के लिए काला। एक पश्चिमी कार्य में पहला संदर्भ ग्रीस में 3 & nbsp; सेंचुरी ईस्वी में था।डायोफेंटस ने समीकरण के समकक्ष संदर्भित किया 4x + 20 = 0 (समाधान नकारात्मक है) अंकगणित में, यह कहते हुए कि समीकरण ने एक बेतुका परिणाम दिया।

600 के दशक के दौरान, ऋण का प्रतिनिधित्व करने के लिए भारत में नकारात्मक संख्या का उपयोग किया गया था।डायोफेंटस के पिछले संदर्भ पर 628 में ब्राहमस्फुसिद्दान्टा में भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त द्वारा अधिक स्पष्ट रूप से चर्चा की गई थी, जिन्होंने आज के उपयोग में रहने वाले सामान्य रूप से द्विघात फार्मूले का उत्पादन करने के लिए नकारात्मक संख्याओं का उपयोग किया था।हालाँकि, भारत में 12 वीं & nbsp; सदी में, भस्कारा II द्विघात समीकरणों के लिए नकारात्मक जड़ें देता है, लेकिन कहता है कि नकारात्मक मूल्य इस मामले में नहीं लिया जाना है, क्योंकि यह अपर्याप्त है;लोग नकारात्मक जड़ों को मंजूरी नहीं देते हैं।

अधिकांश भाग के लिए, यूरोपीय गणितज्ञों ने 17 वीं & nbsp; सेंचुरी तक नकारात्मक संख्याओं की अवधारणा का विरोध किया, हालांकि फाइबोनैचि ने वित्तीय समस्याओं में नकारात्मक समाधान की अनुमति दी, जहां उन्हें ऋण के रूप में व्याख्या की जा सकती है (अध्याय & nbsp; 13 द बुक ऑफ द एबाकस, 1202) और बाद में नुकसान के रूप में (में Flos)।रेने डेसकार्टेस ने उन्हें झूठी जड़ें कही क्योंकि वे बीजगणितीय बहुपदों में फसली थीं, फिर भी उन्हें सच्ची जड़ों और झूठी जड़ों को भी स्वैप करने का एक तरीका मिला।इसी समय, चीनी इसी सकारात्मक संख्या के अंक के दाहिने-सबसे गैर-शून्य अंक के माध्यम से एक विकर्ण स्ट्रोक को खींचकर नकारात्मक संख्याओं का संकेत दे रहे थे। एक यूरोपीय काम में नकारात्मक संख्याओं का पहला उपयोग निकोलस चौक्वेट द्वारा 15 वीं & nbsp; सेंचुरी के दौरान था।उन्होंने उन्हें घातांक के रूप में इस्तेमाल किया, लेकिन उन्हें बेतुका संख्या के रूप में संदर्भित किया।

हाल ही में 18 वीं शताब्दी के रूप में, इस धारणा पर समीकरणों द्वारा लौटे किसी भी नकारात्मक परिणाम को अनदेखा करना आम बात थी कि वे अर्थहीन थे।

तर्कसंगत संख्याएँ
यह संभावना है कि भिन्नात्मक संख्याओं की अवधारणा प्रागैतिहासिक समय की तारीख है।प्राचीन मिस्रियों ने अपने मिस्र के अंश संकेतन का इस्तेमाल गणितीय ग्रंथों में तर्कसंगत संख्याओं के लिए किया, जैसे कि Rhind गणितीय पेपिरस और काहुन पपीरस।शास्त्रीय ग्रीक और भारतीय गणितज्ञों ने संख्या सिद्धांत के सामान्य अध्ययन के हिस्से के रूप में तर्कसंगत संख्याओं के सिद्धांत का अध्ययन किया। इनमें से सबसे प्रसिद्ध यूक्लिड के तत्व हैं। Euclid के तत्व, लगभग 300 & nbsp; bc के लिए डेटिंग।भारतीय ग्रंथों में से, सबसे प्रासंगिक स्टैनंगा सूत्र है, जो गणित के एक सामान्य अध्ययन के हिस्से के रूप में संख्या सिद्धांत को भी शामिल करता है।

दशमलव अंशों की अवधारणा दशमलव स्थान-मूल्य संकेतन के साथ निकटता से जुड़ी हुई है;लगता है कि दोनों मिलकर विकसित हुए हैं।उदाहरण के लिए, नीलन का सूत्र के लिए यह आम है कि अनुकरणीय आई या 2 के वर्गमूल के लिए दशमलव-अंश सन्निकटन की गणना शामिल करें। इसी तरह, बेबीलोनियन गणित के ग्रंथों ने महान आवृत्ति के साथ सेक्सजैमिमल (बेस एंड एनबीएसपी; 60) अंशों का उपयोग किया।

तर्कहीन संख्या
800 और 500 & nbsp; ईसा पूर्व के बीच रचित भारतीय गणित सुलबा सूत्रों में तर्कहीन संख्याओं का सबसे पहले ज्ञात उपयोग था। तर्कहीन संख्याओं के पहले अस्तित्व के प्रमाण आमतौर पर पाइथागोरस के लिए जिम्मेदार होते हैं, विशेष रूप से पाइथागोरसिज़्म हिपपासस के लिए, जिन्होंने वर्गमूल की अतार्किकता का एक (सबसे अधिक संभावना ज्यामितीय) प्रमाण का उत्पादन किया। कहानी यह है कि हिप्पासस ने हिप्पासस की खोज की, जब कोशिश की जा रही है जब कोशिश की जा रही है तो कोशिश की जा रही है कि जब तक हिप्पस ने तर्कहीन संख्याओं की खोज की, जब कोशिश की जा रही है तो कोशिश की जा रही है कि जब हिप्पस ने तर्कहीन संख्याओं की खोज की, तो कोशिश की जा रहीएक अंश के रूप में 2 के वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करें।हालांकि, पाइथागोरस संख्याओं की निरपेक्षता में विश्वास करते थे, और तर्कहीन संख्या के अस्तित्व को स्वीकार नहीं कर सकते थे।वह तर्क के माध्यम से अपने अस्तित्व को नापसंद नहीं कर सकता था, लेकिन वह तर्कहीन संख्या को स्वीकार नहीं कर सकता था, और इसलिए, कथित तौर पर और अक्सर रिपोर्ट किया गया, उसने हिप्पासस को डूबने की सजा सुनाई, इस विस्मयादिबोधक समाचार को फैलाने के लिए। 16 वीं शताब्दी ने नकारात्मक संख्या अभिन्न और अंश (गणित) संख्याओं की अंतिम यूरोपीय स्वीकृति लाई।17 वीं & nbsp द्वारा;सेंचुरी, गणितज्ञों ने आमतौर पर आधुनिक संकेतन के साथ दशमलव अंशों का इस्तेमाल किया।हालांकि, यह 19 वीं शताब्दी तक नहीं था कि गणितज्ञों ने तर्कहीनों को बीजगणितीय और पारलौकिक भागों में अलग कर दिया, और एक बार फिर अतार्किक के वैज्ञानिक अध्ययन को शुरू किया।यह यूक्लिड के बाद से लगभग निष्क्रिय रहा था।1872 में, कार्ल वीमर स्ट्रैस  के सिद्धांतों का प्रकाशन (उनके शिष्य ई। कोसाक द्वारा), एडुआर्ड हाइन, जॉर्ज कैंटर, और रिचर्ड डेडेकिंड के बारे में लाया गया था।1869 में, चार्ल्स मेरे ने हेइन के रूप में प्रस्थान के एक ही बिंदु को लिया था, लेकिन सिद्धांत को आम तौर पर वर्ष 1872 में संदर्भित किया जाता है। वेयरस्ट्रास की विधि पूरी तरह से साल्वटोर पिंचरेल (1880) द्वारा निर्धारित की गई थी, और डेडेकिंड कट लेखक के बाद के काम के माध्यम से अतिरिक्त प्रमुखता मिली है।(1888) और पॉल टैनरी (1894) द्वारा समर्थन।Weierstrass, Cantor, और Heine ने अनंत श्रृंखला पर अपने सिद्धांतों को आधार बनाया, जबकि Dedekind ने वास्तविक संख्याओं की प्रणाली में एक Dedecind कट के विचार पर पाया।इस विषय को बाद में वेयरस्ट्रास, लियोपोल्ड क्रोनकर के हाथों में योगदान मिला है, और méray।

क्विंटिक समीकरण और उच्च डिग्री समीकरणों की जड़ों की खोज एक महत्वपूर्ण विकास था, एबेल -रफिनी प्रमेय (पाओलो रफिनी (गणितज्ञ) 1799, नील्स हेनरिक एबेल 1824) ने दिखाया कि वे एनटीएच रूट (केवल अंकगणित संचालन से जुड़े सूत्र (सूत्रों को हल नहीं किया जा सकता है)और जड़ें)।इसलिए बीजगणितीय संख्याओं के व्यापक सेट (बहुपद समीकरणों के सभी समाधान) पर विचार करना आवश्यक था।Évariste Galois (1832) ने Galois सिद्धांत के क्षेत्र को जन्म देने वाले समूह सिद्धांत से बहुपद समीकरणों को जोड़ा।

निरंतर अंश, निकटता से संबंधित संख्या से संबंधित (और कैटाल्डी, 1613 के कारण), यूलर के हाथों ध्यान आकर्षित किया, और 19 वीं & nbsp; शताब्दी के उद्घाटन में जोसेफ लुइस लैग्रेंज के लेखन के माध्यम से प्रमुखता में लाया गया था।अन्य उल्लेखनीय योगदान Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), और Günther (1872) द्वारा किए गए हैं।रामस पहले विषय को निर्धारकों के साथ जोड़ा, जिसके परिणामस्वरूप, हेइन के बाद के योगदान के साथ, अगस्त फर्डिनेंड मोबियस | मोबियस, और गुंथर, के सिद्धांत में Kettenbruchdeterminanten।

ट्रांसेंडेंटल नंबर और रियल
पारलौकिक संख्याओं का अस्तित्व पहली बार जोसेफ लिउविले (1844, 1851) द्वारा स्थापित किया गया था।1873 में चार्ल्स हरमाइट ने साबित किया कि ई ट्रान्सेंडैंटल है और फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन ने 1882 में साबित किया कि and ट्रान्सेंडैंटल है।अंत में, कैंटर के पहले बधाई देने वाले सबूत से पता चला कि सभी वास्तविक संख्याओं का सेट बेशुमार है, लेकिन सभी बीजीय संख्याओं का सेट गिनने योग्य है, इसलिए ट्रांसेंडेंटल नंबरों की एक बेशुमार अनंत संख्या है।

अनंत और infinitesimals
गणितीय अनंत का सबसे पहले ज्ञात अवधारणा यजुर विदाई, एक प्राचीन भारतीय स्क्रिप्ट में दिखाई देती है, जो एक बिंदु पर बताती है, यदि आप अनंत से एक हिस्सा निकालते हैं या अनंत में एक हिस्सा जोड़ते हैं, तो भी क्या रहता अनंतता जैन गणितज्ञों के बीच दार्शनिक अध्ययन का एक लोकप्रिय विषय था।400 & nbsp; bc।वे पांच प्रकार के अनंत के बीच प्रतिष्ठित होते हैं: एक और दो दिशाओं में अनंत, क्षेत्र में अनंत, अनंत हर जगह, और अनंत सदा।प्रतीक $$\text{∞}$$ अक्सर एक अनंत मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है।

अरस्तू ने गणितीय अनंत की पारंपरिक पश्चिमी धारणा को परिभाषित किया।उन्होंने वास्तविक अनंत और संभावित अनंत के बीच प्रतिष्ठित किया - आम सहमति यह है कि केवल बाद वाले का सही मूल्य था।गैलीलियो गैलीली के दो नए विज्ञानों ने द्विभाजन के विचार पर चर्चा की। अनंत सेटों के बीच एक-से-एक पत्राचार।लेकिन सिद्धांत में अगली प्रमुख अग्रिम जॉर्ज कैंटर द्वारा किया गया था;1895 में उन्होंने अपने नए सेट सिद्धांत के बारे में एक पुस्तक प्रकाशित की, जो अन्य चीजों के साथ -साथ, ट्रांसफ़िनाइट संख्या  और कंटीनम परिकल्पना को तैयार कर रही थी।

1960 के दशक में, अब्राहम रॉबिन्सन ने दिखाया कि असीम रूप से बड़ी और अनंत संख्याओं को सख्ती से परिभाषित किया जा सकता है और इसका उपयोग गैर -मानक विश्लेषण के क्षेत्र को विकसित करने के लिए किया जा सकता है।हाइपररेल नंबरों की प्रणाली अनंत और अनंत संख्याओं के बारे में विचारों के इलाज की एक कठोर विधि का प्रतिनिधित्व करती है, जो कि आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लिबनिज़ द्वारा अनंत पथरी के आविष्कार के बाद से गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और इंजीनियरों द्वारा लापरवाही से उपयोग की गई थी।

इन्फिनिटी का एक आधुनिक ज्यामितीय संस्करण प्रोजेक्टिव ज्यामिति द्वारा दिया गया है, जो प्रत्येक स्थानिक दिशा के लिए एक, इन्फिनिटी में आदर्श बिंदुओं का परिचय देता है।किसी दिए गए दिशा में समानांतर लाइनों के प्रत्येक परिवार को संबंधित आदर्श बिंदु में परिवर्तित करने के लिए पोस्ट किया जाता है।यह परिप्रेक्ष्य (ग्राफिकल) ड्राइंग में गायब होने के विचार से निकटता से संबंधित है।

जटिल संख्या
नकारात्मक संख्याओं की चौकोर जड़ों के लिए जल्द से जल्द क्षणभंगुर संदर्भ गणितज्ञ और अलेक्जेंड्रिया के आविष्कारक बगुले के काम में हुआ 1st century AD, जब उन्होंने एक पिरामिड के एक असंभव टुकड़ा  की मात्रा पर विचार किया।जब 16 वीं & nbsp; सेंचुरी ने तीसरे और चौथे डिग्री के बहुपदों की जड़ों के लिए फार्मूले को बंद कर दिया, तो निकोलो फोंटाना टार्टग्लिया और गेरोलमो कार्डानो जैसे इतालवी गणितज्ञों द्वारा खोजे गए।यह जल्द ही महसूस किया गया कि ये सूत्र, भले ही कोई केवल वास्तविक समाधानों में रुचि रखता था, कभी -कभी नकारात्मक संख्याओं की चौकोर जड़ों के हेरफेर की आवश्यकता होती है।

यह दोगुना अस्थिर था क्योंकि वे उस समय भी नकारात्मक संख्याओं पर विचार नहीं करते थे।जब रेने डेसकार्टेस ने 1637 में इन मात्राओं के लिए काल्पनिक शब्द गढ़ा, तो उन्होंने इसे अपमानजनक माना।(जटिल संख्याओं की वास्तविकता की चर्चा के लिए काल्पनिक संख्या देखें।) भ्रम का एक और स्रोत यह था कि समीकरण
 * $$\left ( \sqrt{-1}\right )^2 =\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1$$

बीजीय पहचान के साथ असंगत रूप से असंगत लग रहा था
 * $$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab},$$

जो सकारात्मक वास्तविक संख्याओं ए और बी के लिए मान्य है, और इसका उपयोग जटिल संख्या गणनाओं में भी किया गया था, जिसमें से एक, बी पॉजिटिव और दूसरे नकारात्मक के साथ।इस पहचान का गलत उपयोग, और संबंधित पहचान
 * $$\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{1}{a}}$$

मामले में जब ए और बी दोनों नकारात्मक भी बेडविल्ड यूलर होते हैं। इस कठिनाई ने अंततः उसे विशेष प्रतीक के उपयोग के सम्मेलन के लिए प्रेरित किया $$\sqrt{-1}$$ इस गलती से बचाने के लिए।

18 वीं शताब्दी में अब्राहम डे मोइवर और लियोनहार्ड यूलर का काम देखा गया।डी मोइवर का सूत्र (1730) कहता है:
 * $$(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta $$

जबकि यूलर के जटिल विश्लेषण का सूत्र (1748) ने हमें दिया:
 * $$\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta }. $$

जब तक कैस्पर वेसल ने 1799 में ज्यामितीय व्याख्या का वर्णन किया, तब तक जटिल संख्याओं के अस्तित्व को पूरी तरह से स्वीकार नहीं किया गया था। कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने कई वर्षों बाद इसे फिर से खोजा और इसे लोकप्रिय बनाया, और परिणामस्वरूप जटिल संख्याओं के सिद्धांत को एक उल्लेखनीय विस्तार मिला।जटिल संख्याओं के ग्राफिक प्रतिनिधित्व का विचार, हालांकि, जॉन वालिस के डी अल्जेबरा ट्रैक्टेटस में 1685 के रूप में शुरू हुआ था।

उसी वर्ष, गॉस ने बीजगणित के मौलिक प्रमेय के पहले आम तौर पर स्वीकृत प्रमाण प्रदान किए, जिसमें दिखाया गया कि जटिल संख्याओं में प्रत्येक बहुपद उस दायरे में समाधानों का एक पूरा सेट है।गॉस ने रूप की जटिल संख्या का अध्ययन किया a + bi, जहां ए और बी पूर्णांक हैं (जिसे अब गॉसियन इंटेगर कहा जाता है) या तर्कसंगत संख्याएं।उनके छात्र, गोटथोल्ड ईसेनस्टीन, ने प्रकार का अध्ययन किया a + bω, जहां are की एक जटिल जड़ है x3 − 1 = 0 (अब ईसेनस्टीन पूर्णांक कहा जाता है)।अन्य ऐसी कक्षाएं (जिसे साइक्लोटोमिक क्षेत्र कहा जाता है) एकता की जड़ों से प्राप्त होता है xk − 1 = 0 के के उच्च मूल्यों के लिए।यह सामान्यीकरण काफी हद तक अर्नस्ट कुमेर के कारण है, जिन्होंने आदर्श संख्याओं का भी आविष्कार किया था, जो 1893 में फेलिक्स क्लेन द्वारा ज्यामितीय संस्थाओं के रूप में व्यक्त किए गए थे।

1850 में विक्टर अलेक्जेंड्रे पुइज़क्स ने डंडे और शाखा बिंदुओं के बीच अंतर करने का प्रमुख कदम उठाया, और गणितीय विलक्षणता की अवधारणा को पेश किया। यह अंततः विस्तारित जटिल विमान की अवधारणा का कारण बना।

प्राइम नंबर
पूरे रिकॉर्ड किए गए इतिहास में अभाज्य संख्या ों का अध्ययन किया गया है। यूक्लिड ने तत्वों की एक पुस्तक को प्राइम्स के सिद्धांत के लिए समर्पित किया;इसमें उन्होंने अंकगणित के प्राइम्स और मौलिक प्रमेय की अनंतता को साबित किया, और दो नंबरों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक को खोजने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म प्रस्तुत किया।

240 ईसा पूर्व में, एरेटोस्थेनेज ने प्राइम नंबरों को जल्दी से अलग करने के लिए एराटोस्टेनीज़ की छलनी का उपयोग किया।लेकिन यूरोप में प्राइम्स के सिद्धांत का सबसे और विकास पुनर्जागरण और बाद के युगों के लिए है। 1796 में, एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने प्रधान संख्या प्रमेय का अनुमान लगाया, जिसमें प्राइम्स के स्पर्शोन्मुख वितरण का वर्णन किया गया।प्राइम्स के वितरण से संबंधित अन्य परिणामों में यूलर का प्रमाण शामिल है कि प्राइम्स के पारस्परिकता का योग, और गोल्डबैक अनुमान है, जो दावा करता है कि कोई भी पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या भी दो प्राइमों का योग है।फिर भी प्रमुख संख्याओं के वितरण से संबंधित एक और अनुमान 1859 में बर्नहार्ड रीमैन द्वारा तैयार किए गए रीमैन परिकल्पना है।।

मुख्य वर्गीकरण
संख्याओं को सेट (गणित) में वर्गीकृत किया जा सकता है, जिसे नंबर सेट या नंबर सिस्टम कहा जाता है, जैसे कि प्राकृतिक संख्या और वास्तविक संख्या।मुख्य संख्या प्रणालियाँ इस प्रकार हैं: इनमें से प्रत्येक नंबर सिस्टम अगले एक का सबसेट है।इसलिए, उदाहरण के लिए, एक तर्कसंगत संख्या भी एक वास्तविक संख्या है, और प्रत्येक वास्तविक संख्या भी एक जटिल संख्या है।यह प्रतीकात्मक रूप से व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$।

निम्नलिखित आरेख में संख्या सेट की एक अधिक संपूर्ण सूची दिखाई देती है।

प्राकृतिक संख्या
सबसे परिचित संख्याएं प्राकृतिक संख्याएं हैं (कभी -कभी पूरी संख्या या गिनती संख्याएं कहली जाती हैं): 1, 2, 3, और इसी तरह।परंपरागत रूप से, प्राकृतिक संख्याओं का अनुक्रम & nbsp; 1 (0 को प्राचीन यूनानियों के लिए एक संख्या भी नहीं माना गया था।) हालांकि, 19 वीं & nbsp; सदी में, सेट थ्योरी और अन्य गणितज्ञों में & nbsp; 0 (खाली सेट की प्रमुखता, अर्थात्, अर्थात्, अर्थात्, यानी, यानी, यानी, यानी।0 & nbsp; तत्व, जहां & nbsp; 0 इस प्रकार प्राकृतिक संख्याओं के सेट में सबसे छोटा  बुनियादी संख्या  है)।  आज, विभिन्न गणितज्ञ दोनों सेटों का वर्णन करने के लिए शब्द का उपयोग करते हैं, जिसमें & nbsp; 0 या नहीं।सभी प्राकृतिक संख्याओं के सेट के लिए गणितीय प्रतीक n है, यह भी लिखा गया है $$\mathbb{N}$$, और कभी - कभी $$\mathbb{N}_0$$ या $$\mathbb{N}_1$$ जब यह इंगित करना आवश्यक है कि सेट क्रमशः 0 या 1 से शुरू होना चाहिए या नहीं।

आधार 10 अंक प्रणाली में, गणितीय संचालन के लिए आज लगभग सार्वभौमिक उपयोग में, प्राकृतिक संख्याओं के लिए प्रतीकों को दस संख्यात्मक अंक का उपयोग करके लिखा जाता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, और 9. सूत्र शून्य सहित अद्वितीय संख्यात्मक अंकों की संख्या है, जो एक अंक प्रणाली संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग करता है (दशमलव प्रणाली के लिए, रेडिक्स 10 है)।इस आधार & nbsp; 10 प्रणाली में, एक प्राकृतिक संख्या के सबसे सही अंक में & nbsp; 1 का एक स्थान मूल्य होता है, और हर दूसरे अंक का एक स्थान मूल्य दस गुना होता है जो कि अंक के स्थान मूल्य का अधिकार होता है।

सेट सिद्धांत में, जो आधुनिक गणित के लिए एक स्वयंसिद्ध आधार के रूप में कार्य करने में सक्षम है, प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व समकक्ष सेटों के वर्गों द्वारा किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, संख्या & nbsp; 3 को उन सभी सेटों के वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है जिनके पास बिल्कुल तीन तत्व हैं।वैकल्पिक रूप से, मीनो अंकगणित में, संख्या & nbsp; 3 को SSS0 के रूप में दर्शाया गया है, जहां S उत्तराधिकारी फ़ंक्शन है (यानी, & nbsp; 3 & nbsp; 0) का तीसरा उत्तराधिकारी है।कई अलग -अलग अभ्यावेदन संभव हैं;औपचारिक रूप से और nbsp का प्रतिनिधित्व करने के लिए आवश्यक सभी को तीन बार प्रतीकों के एक निश्चित प्रतीक या पैटर्न को दर्शाने के लिए है।

पूर्णांक
एक सकारात्मक पूर्णांक की नकारात्मक संख्या को एक संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जो & nbsp; 0 का उत्पादन करता है जब इसे संबंधित सकारात्मक पूर्णांक में जोड़ा जाता है।नकारात्मक संख्या आमतौर पर एक नकारात्मक संकेत (एक घटाव का चिन्ह ) के साथ लिखी जाती है।एक उदाहरण के रूप में, & nbsp; 7 का नकारात्मक लिखा गया है & nbsp; −7, और 7 + (−7) = 0।जब नकारात्मक संख्याओं के सेट (गणित) को प्राकृतिक संख्याओं के सेट (nbsp; 0 सहित) के सेट के साथ जोड़ा जाता है, तो परिणाम को पूर्णांक के सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है, z भी ब्लैकबोर्ड बोल्ड लिखा गया है।$$\mathbb{Z}$$।यहाँ पत्र z आता है ।पूर्णांक का सेट संचालन और गुणा के साथ एक अंगूठी (गणित) बनाता है। प्राकृतिक संख्याएं पूर्णांक का एक सबसेट बनाती हैं।चूंकि प्राकृतिक संख्याओं में शून्य को शामिल करने या नहीं करने के लिए कोई सामान्य मानक नहीं है, इसलिए शून्य के बिना प्राकृतिक संख्याओं को आमतौर पर सकारात्मक पूर्णांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, और शून्य के साथ प्राकृतिक संख्याओं को गैर-नकारात्मक पूर्णांक के रूप में संदर्भित किया जाता है।

तर्कसंगत संख्या
एक तर्कसंगत संख्या एक संख्या है जिसे एक पूर्णांक अंश और एक सकारात्मक पूर्णांक भाजक के साथ एक अंश (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।नकारात्मक भाजक की अनुमति है, लेकिन आमतौर पर बचा जाता है, क्योंकि प्रत्येक तर्कसंगत संख्या सकारात्मक भाजक के साथ एक अंश के बराबर होती है।अंशों को दो पूर्णांक के रूप में लिखा जाता है, अंश और भाजक, उनके बीच एक विभाजन बार के साथ।अंश $a⁄b$ एन समान भागों में विभाजित एक पूरे के एम भागों का प्रतिनिधित्व करता है।दो अलग -अलग अंश एक ही तर्कसंगत संख्या के अनुरूप हो सकते हैं;उदाहरण के लिए $m⁄n$ और $1⁄2$ समान हैं, अर्थात:
 * $${1 \over 2} = {2 \over 4}.$$

सामान्य रूप में,
 * $${a \over b} = {c \over d}$$ अगर और केवल अगर $${ a \times d} = {c \times b}.$$

यदि m का निरपेक्ष मान n से अधिक है (सकारात्मक माना जाता है), तो अंश का निरपेक्ष मूल्य & nbsp; 1 से अधिक है।अंशों से अधिक, कम से कम, या & nbsp; 1 के बराबर हो सकता है और सकारात्मक, नकारात्मक, या & nbsp; 0 भी हो सकता है।सभी तर्कसंगत नंबरों के सेट में पूर्णांक शामिल हैं क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक को भाजक & nbsp; 1 के साथ एक अंश के रूप में लिखा जा सकता है।उदाहरण के लिए & nbsp; −7 लिखा जा सकता है & nbsp;$2⁄4$।तर्कसंगत संख्याओं के लिए प्रतीक Q है ( भागफल  के लिए), भी लिखा गया ब्लैकबोर्ड बोल्ड |$$\mathbb{Q}$$।

वास्तविक संख्या
वास्तविक संख्याओं के लिए प्रतीक r है, यह भी लिखा गया है $$\mathbb{R}.$$ वे सभी मापने की संख्या शामिल करते हैं।प्रत्येक वास्तविक संख्या संख्या रेखा पर एक बिंदु से मेल खाती है।निम्नलिखित पैराग्राफ मुख्य रूप से सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर ध्यान केंद्रित करेगा।नकारात्मक वास्तविक संख्याओं का उपचार अंकगणित के सामान्य नियमों के अनुसार है और उनका निरूपण केवल एक माइनस साइन द्वारा संबंधित सकारात्मक अंक को उपसर्ग कर रहा है, उदा।−123.456।

अधिकांश वास्तविक संख्याओं को केवल दशमलव अंकों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जिसमें एक दशमलव बिंदु को अंक के दाईं ओर रखा जाता है, जिसमें स्थान मूल्य & nbsp; 1।दशमलव बिंदु के दाईं ओर प्रत्येक अंक में उसके बाईं ओर अंक के स्थान मूल्य का एक-दसवां हिस्सा है।उदाहरण के लिए, 123.456 प्रतिनिधित्व करता है $−7⁄1$, या, शब्दों में, एक सौ, दो दसियों, तीन, चार दसवें, पांच सौवें और छह हजारवें हिस्से।एक वास्तविक संख्या को दशमलव अंकों की एक परिमित संख्या द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, यदि यह तर्कसंगत है और इसके भिन्नात्मक भाग में एक भाजक है, जिसके प्रमुख कारक 2 या 5 या दोनों हैं, क्योंकि ये 10 के प्रमुख कारक हैं, दशमलव प्रणाली का आधार।इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक आधा 0.5 है, एक पांचवां 0.2 है, एक-दसवां 0.1 है, और एक पचासवां 0.02 है।दशमलव के रूप में अन्य वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दशमलव बिंदु के दाईं ओर अंकों के अनंत अनुक्रम की आवश्यकता होगी।यदि अंकों का यह अनंत अनुक्रम एक पैटर्न का अनुसरण करता है, तो इसे एक दीर्घवृत्त या एक अन्य संकेतन के साथ लिखा जा सकता है जो दोहराए जाने वाले पैटर्न को इंगित करता है।इस तरह के दशमलव को दोहराव दशमलव कहा जाता है।इस प्रकार $123456⁄1000$ 0.333 के रूप में लिखा जा सकता है ..., एक दीर्घवृत्त के साथ यह इंगित करने के लिए कि पैटर्न जारी है।फॉरएवर रिपीटिंग 3 एस को भी 0 के रूप में लिखा जाता है।$1⁄3$. यह पता चला है कि ये दोहराए जाने वाले दशमलव (अनुगामी शून्य सहित) वास्तव में तर्कसंगत संख्याओं को दर्शाते हैं, अर्थात, सभी तर्कसंगत संख्या भी वास्तविक संख्याएं हैं, लेकिन यह मामला नहीं है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या तर्कसंगत है।एक वास्तविक संख्या जो तर्कसंगत नहीं है उसे तर्कहीन संख्या कहा जाता है।एक प्रसिद्ध तर्कहीन वास्तविक संख्या पाई है |π, इसके व्यास के किसी भी वृत्त की परिधि का अनुपात।जब पाई के रूप में लिखा जाता है
 * $$\pi = 3.14159265358979\dots,$$

जैसा कि कभी -कभी होता है, एलिप्सिस का मतलब यह नहीं है कि दशमलव दोहराते हैं (वे नहीं करते हैं), बल्कि यह कि उनके लिए कोई अंत नहीं है।यह साबित कर दिया गया है कि पीआई तर्कहीन है |π तर्कहीन है।एक और प्रसिद्ध संख्या, जो एक तर्कहीन वास्तविक संख्या साबित हुई है, वह है
 * $$\sqrt{2} = 1.41421356237\dots,$$

2 का वर्गमूल, अर्थात्, अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक संख्या जिसका वर्ग है। 2. इन दोनों नंबरों को ट्रिलियन के लिए (कंप्यूटर द्वारा) अनुमानित किया गया है अंकों का।

न केवल ये प्रमुख उदाहरण हैं, बल्कि लगभग सभी वास्तविक संख्या तर्कहीन हैं और इसलिए उनका कोई दोहराव नहीं है और इसलिए कोई भी दशमलव अंक नहीं है।वे केवल दशमलव अंकों द्वारा अनुमानित किए जा सकते हैं, गोलाई  या  काट-छांट  वास्तविक संख्याओं को दर्शाते हैं।कोई भी गोल या छंटनी की गई संख्या आवश्यक रूप से एक तर्कसंगत संख्या है, जिसमें से केवल कई हैं।सभी माप, उनकी प्रकृति, सन्निकटन, और हमेशा त्रुटि का एक मार्जिन होते हैं।इस प्रकार 123.456 को किसी भी वास्तविक संख्या का अधिक से अधिक या बराबर माना जाता है $\overline{3}$ और सख्ती से कम से कम $1234555⁄10000$ (3 दशमलव के लिए राउंडिंग), या किसी भी वास्तविक संख्या से अधिक या बराबर $1234565⁄10000$ और सख्ती से कम से कम $123456⁄1000$ (3. दशमलव के बाद ट्रंकेशन)।अंक जो माप से अधिक सटीकता का सुझाव देते हैं, उन्हें हटा दिया जाना चाहिए।शेष अंकों को तब महत्वपूर्ण अंक कहा जाता है।उदाहरण के लिए, एक शासक के साथ माप शायद ही कभी कम से कम 0.001 मीटर की त्रुटि के मार्जिन के बिना किया जा सकता है।यदि एक आयत के किनारों को 1.23 & nbsp; m और 4.56 & nbsp; m के रूप में मापा जाता है, तो गुणन आयत के लिए एक क्षेत्र देता है 5.614591 m2 और 5.603011 m2।चूंकि दशमलव स्थान के संरक्षण के बाद दूसरा अंक भी नहीं है, इसलिए निम्नलिखित अंक महत्वपूर्ण नहीं हैं।इसलिए, परिणाम आमतौर पर 5.61 तक गोल होता है।

जिस तरह एक ही अंश को एक से अधिक तरीकों से लिखा जा सकता है, उसी वास्तविक संख्या में एक से अधिक दशमलव प्रतिनिधित्व हो सकता है।उदाहरण के लिए, 0.999 ..., 1.0, 1.00, 1.000, ..., सभी प्राकृतिक संख्या & nbsp; 1 का प्रतिनिधित्व करते हैं।किसी दिए गए वास्तविक संख्या में केवल निम्नलिखित दशमलव अभ्यावेदन होते हैं: दशमलव स्थानों की कुछ परिमित संख्या के लिए एक सन्निकटन, एक सन्निकटन जिसमें एक पैटर्न स्थापित किया जाता है जो असीमित संख्या में दशमलव स्थानों या केवल कई दशमलव स्थानों के साथ एक सटीक मूल्य के लिए जारी रहता है।इस अंतिम मामले में, अंतिम गैर-शून्य अंक को अंक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसके बाद 9 की असीमित संख्या में असीमित संख्या में, या अंतिम गैर-शून्य अंक के बाद असीमित संख्या में शून्य हो सकते हैं।इस प्रकार सटीक वास्तविक संख्या 3.74 भी 3.73999999999 ... और 3.7400000000000 भी लिखी जा सकती है।9 की असीमित संख्या के साथ अंक को 9 से कम सबसे सही अंक द्वारा बढ़ाकर फिर से लिखा जा सकता है, और सभी 9 को उस अंक के दाईं ओर 0 के दाईं ओर बदल दिया जा सकता है।अंत में, दशमलव स्थान के दाईं ओर 0 के असीमित अनुक्रम को गिराया जा सकता है।उदाहरण के लिए, 6.8499999999999 ... = 6.85 और 6.85000000000000 ... = 6.85।अंत में, यदि एक अंक में सभी अंक 0 हैं, तो संख्या 0 है, और यदि एक अंक में सभी अंक 9 के एक संयुक्त स्ट्रिंग हैं,दशमलव स्थान के बाईं ओर 9s की स्ट्रिंग तक।उदाहरण के लिए, 99.999 ... = 100।

वास्तविक संख्याओं में एक महत्वपूर्ण लेकिन उच्च तकनीकी संपत्ति भी है जिसे सबसे कम ऊपरी संपत्ति कहा जाता है।

यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी आदेशित फ़ील्ड, जो वास्तविक संख्याओं की पूर्णता भी है, वास्तविक संख्याओं के लिए आइसोमोर्फिक है।वास्तविक संख्या, हालांकि, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र नहीं हैं, क्योंकि वे बीजगणितीय समीकरण के लिए एक समाधान (जिसे अक्सर माइनस एक का वर्गमूल एक वर्ग रूट कहा जाता है) शामिल नहीं करता है $$ x^2+1=0$$।

जटिल संख्या
अमूर्तता के एक बड़े स्तर पर चलते हुए, वास्तविक संख्याओं को जटिल संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है।संख्याओं का यह सेट ऐतिहासिक रूप से क्यूबिक फ़ंक्शन और द्विघात फ़ंक्शन बहुपद की जड़ों के लिए बंद सूत्र खोजने की कोशिश से उत्पन्न हुआ।इसने नकारात्मक संख्याओं की चौकोर जड़ों को शामिल किया, और अंततः एक नई संख्या की परिभाषा को शामिल किया: & nbsp का एक वर्गमूल; −1, काल्पनिक इकाई द्वारा निरूपित, लियोनहार्ड यूलर द्वारा सौंपा गया एक प्रतीक, और काल्पनिक इकाई कहा जाता है।जटिल संख्याओं में फॉर्म की सभी संख्याएँ होती हैं
 * $$\,a + b i$$

जहां ए और बी वास्तविक संख्या हैं।इस वजह से, जटिल संख्या जटिल विमान पर बिंदुओं के अनुरूप है, दो वास्तविक आयामों का एक वेक्टर स्थान।अभिव्यक्ति में a + bi, वास्तविक संख्या A को वास्तविक भाग कहा जाता है और b को काल्पनिक भाग कहा जाता है।यदि एक जटिल संख्या का वास्तविक हिस्सा & nbsp; 0 है, तो संख्या को एक काल्पनिक संख्या कहा जाता है या इसे विशुद्ध रूप से काल्पनिक कहा जाता है;यदि काल्पनिक हिस्सा & nbsp; 0 है, तो संख्या एक वास्तविक संख्या है।इस प्रकार वास्तविक संख्याएं जटिल संख्याओं का एक सबसेट हैं।यदि एक जटिल संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भाग दोनों पूर्णांक हैं, तो संख्या को गॉसियन पूर्णांक कहा जाता है।जटिल संख्याओं के लिए प्रतीक 'C' या है $$\mathbb{C}$$।

बीजगणित के मौलिक प्रमेय का दावा है कि जटिल संख्या एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र का निर्माण करती है, जिसका अर्थ है कि जटिल गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद में जटिल संख्याओं में एक फ़ंक्शन का शून्य होता है।रियल की तरह, जटिल संख्या एक क्षेत्र (गणित) बनाती है, जो पूर्ण स्थान है, लेकिन वास्तविक संख्याओं के विपरीत, यह कुल आदेश नहीं है।यही है, यह कहने के लिए कोई सुसंगत अर्थ नहीं है कि मैं & nbsp; 1 से अधिक है, और न ही यह कहने में कोई अर्थ है कि मैं & nbsp से कम है। 1।तकनीकी शब्दों में, जटिल संख्याओं में कुल आदेश की कमी होती है जो कि ऑर्डर किए गए फ़ील्ड है।

सम और विषम संख्या
एक भी संख्या एक पूर्णांक है जो दो से समान रूप से विभाज्य है, जो कि यूक्लिडियन प्रभाग  है;एक विषम संख्या एक पूर्णांक है जो भी नहीं है।(पुराने जमाने का शब्द समान रूप से विभाज्य है, अब लगभग हमेशा विभाजन के लिए छोटा हो जाता है।) किसी भी विषम संख्या  n  का निर्माण सूत्र द्वारा किया जा सकता है  एक उपयुक्त पूर्णांक k के लिए।प्रारंभ स्थल  पहले गैर-नकारात्मक विषम संख्या {1, 3, 5, 7, ...} हैं।किसी भी नंबर एम का रूप है  जहां k फिर से एक पूर्णांक है।इसी तरह, पहले गैर-नकारात्मक समग्र संख्याएँ {0, 2, 4, 6, ...} हैं।

प्राइम नंबर
एक प्राइम नंबर, जिसे अक्सर सिर्फ प्राइम के लिए छोटा किया जाता है, 1 से अधिक एक पूर्णांक है जो दो छोटे सकारात्मक पूर्णांक का उत्पाद नहीं है।पहले कुछ प्राइम नंबर 2, 3, 5, 7, और 11. हैं। प्राइम नंबरों को उत्पन्न करने के लिए विषम और यहां तक कि संख्याओं के लिए ऐसा कोई सरल सूत्र नहीं है।प्राइम्स का व्यापक रूप से 2000 से अधिक वर्षों के लिए अध्ययन किया गया है और कई सवालों का नेतृत्व किया है, जिनमें से केवल कुछ का जवाब दिया गया है।इन सवालों का अध्ययन संख्या सिद्धांत से संबंधित है।गोल्डबैक का अनुमान अभी भी अनुत्तरित प्रश्न का एक उदाहरण है: क्या हर भी संख्या दो प्राइम्स का योग है?

एक ने इस सवाल का जवाब दिया, कि क्या एक से अधिक पूर्णांक एक से अधिक प्राइम्स का एक उत्पाद है, केवल एक ही तरीके से, प्राइम्स के पुनर्व्यवस्था को छोड़कर, पुष्टि की गई थी;इस सिद्ध दावे को अंकगणित का मौलिक प्रमेय कहा जाता है।यूक्लिड के तत्वों में एक प्रमाण दिखाई देता है।

पूर्णांक के अन्य वर्ग
प्राकृतिक संख्याओं के कई सबसेट विशिष्ट अध्ययनों का विषय रहे हैं और उन्हें नाम दिया गया है, अक्सर पहले गणितज्ञ के बाद जिसने उनका अध्ययन किया है।पूर्णांक के ऐसे सेटों का उदाहरण फाइबोनैचि संख्या और सही संख्याएं हैं।अधिक उदाहरणों के लिए, पूर्णांक अनुक्रम देखें।

बीजगणितीय, तर्कहीन और पारलौकिक संख्याएँ
बीजगणितीय संख्या वे हैं जो पूर्णांक गुणांक के साथ एक बहुपद समीकरण का समाधान हैं।वास्तविक संख्या जो तर्कसंगत संख्या नहीं हैं, उन्हें तर्कहीन संख्या कहा जाता है।जटिल संख्या जो बीजगणितीय नहीं हैं, उन्हें पारलौकिक संख्या कहा जाता है।बीजगणितीय संख्या जो पूर्णांक गुणांक के साथ एक मोनिक बहुपद समीकरण के समाधान हैं, को बीजगणितीय पूर्णांक कहा जाता है।

निर्माण योग्य संख्या
स्ट्रेटेज और कम्पास निर्माण की शास्त्रीय समस्याओं से प्रेरित, निर्माण योग्य संख्याएं वे जटिल संख्याएँ हैं जिनके वास्तविक और काल्पनिक भागों का निर्माण स्ट्रेटेज और कम्पास का उपयोग करके किया जा सकता है, जो कि यूनिट लंबाई के दिए गए खंड से शुरू होकर, एक परिमित संख्या में।

कम्प्यूटेबल नंबर
एक कम्प्यूटेबल नंबर, जिसे  पुनरावर्ती संख्या  के रूप में भी जाना जाता है, एक वास्तविक संख्या है, जैसे कि एक कलन विधि  मौजूद है, जो इनपुट के रूप में एक सकारात्मक नंबर  एन  दिया गया है, कम्प्यूटेबल के पहले  एन  अंकों का उत्पादन करता हैसंख्या का दशमलव प्रतिनिधित्व।समतुल्य परिभाषाएँ μ- पुनरावर्ती कार्यों, ट्यूरिंग मशीनों या λ-Calculus का उपयोग करके दी जा सकती हैं।कम्प्यूटेबल नंबर सभी सामान्य अंकगणितीय संचालन के लिए स्थिर हैं, जिसमें एक बहुपद की जड़ों की गणना शामिल है, और इस प्रकार एक वास्तविक बंद क्षेत्र बनाता है जिसमें वास्तविक बीजगणितीय संख्याएं होती हैं।

कम्प्यूटेबल नंबरों को वास्तविक संख्याओं के रूप में देखा जा सकता है जो कि कंप्यूटर में बिल्कुल दर्शाया जा सकता है: एक कम्प्यूटेबल नंबर को इसके पहले अंकों और आगे के अंकों की गणना के लिए एक प्रोग्राम द्वारा दर्शाया जाता है।हालांकि, कम्प्यूटेबल नंबरों का उपयोग शायद ही कभी व्यवहार में किया जाता है।एक कारण यह है कि दो कम्प्यूटेबल नंबरों की समानता का परीक्षण करने के लिए कोई एल्गोरिथ्म नहीं है।अधिक सटीक रूप से, कोई भी एल्गोरिथ्म मौजूद नहीं हो सकता है जो किसी भी कम्प्यूटेबल नंबर को इनपुट के रूप में लेता है, और हर मामले में निर्णय लेता है कि यह संख्या शून्य के बराबर है या नहीं।

कम्प्यूटेबल नंबरों के सेट में प्राकृतिक संख्याओं के समान कार्डिनलिटी होती है।इसलिए, लगभग सभी वास्तविक संख्याएं गैर-कंप्यूटर हैं।हालांकि, स्पष्ट रूप से एक वास्तविक संख्या का उत्पादन करना बहुत मुश्किल है जो कम्प्यूटेशनल नहीं है।

पी-एडिक नंबर
पी-एडिक नंबरों में दशमलव बिंदु के बाईं ओर असीम रूप से लंबे समय तक विस्तार हो सकता है, उसी तरह से कि वास्तविक संख्याओं में दाईं ओर असीम रूप से लंबे समय तक विस्तार हो सकता है।परिणाम जो परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि अंकों के लिए रेडिक्स का उपयोग क्या किया जाता है: कोई भी आधार संभव है, लेकिन एक प्राइम नंबर बेस सबसे अच्छा गणितीय गुण प्रदान करता है।पी-एडिक नंबरों के सेट में तर्कसंगत संख्याएं होती हैं, लेकिन जटिल संख्याओं में निहित नहीं है।

एक परिमित क्षेत्र और बीजगणितीय संख्याओं पर एक बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड के तत्वों में कई समान गुण होते हैं (फ़ंक्शन फ़ील्ड सादृश्य देखें)।इसलिए, उन्हें अक्सर संख्या सिद्धांतकारों द्वारा संख्या के रूप में माना जाता है।पी-एडिक नंबर इस सादृश्य में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

हाइपरकम्प्लेक्स नंबर
कुछ संख्या प्रणालियाँ जो जटिल संख्याओं में शामिल नहीं हैं, उन्हें वास्तविक संख्याओं से इस तरह से बनाया जा सकता है जो जटिल संख्याओं के निर्माण को सामान्य करता है।उन्हें कभी -कभी हाइपरकम्प्लेक्स नंबर कहा जाता है।वे सर विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा पेश किए गए चतुर्भुज एच को शामिल करते हैं, जिसमें गुणन विनिमेय  नहीं है,  अष्टक ्स, जिसमें गुणन कम्यूटेटिव नहीं होने के अलावा साहचर्य नहीं है, और  धब्बा ्स, जिसमें गुणा वैकल्पिक बीजगणित नहीं है, न तो साहचर्य, न तो साहचर्य,न ही कम्यूटेटिव।

ट्रांसफ़िनाइट नंबर
अनंत सेट (गणित) से निपटने के लिए, प्राकृतिक संख्याओं को क्रमिक संख्याओं और कार्डिनल नंबरों के लिए सामान्यीकृत किया गया है।पूर्व सेट का आदेश देता है, जबकि बाद वाला अपना आकार देता है।परिमित सेटों के लिए, ऑर्डिनल और कार्डिनल दोनों नंबरों को प्राकृतिक संख्याओं के साथ पहचाना जाता है।अनंत मामले में, कई क्रमसूचक संख्या एक ही कार्डिनल नंबर के अनुरूप होते हैं।

नॉन -स्टैंडर्ड नंबर
गैर-मानक विश्लेषण में हाइपरल संख्या का उपयोग किया जाता है।हाइपररेल, या नॉन -स्टैंडर्ड रियल (आमतौर पर *आर के रूप में निरूपित), एक आदेशित क्षेत्र को दर्शाता है जो वास्तविक संख्याओं आर के आदेशित क्षेत्र का एक उचित क्षेत्र विस्तार है और स्थानांतरण सिद्धांत को संतुष्ट करता है।यह सिद्धांत सही प्रथम-क्रम तर्क की अनुमति देता है। आर के बारे में प्रथम-क्रम के बयानों को *आर के बारे में सच्चे प्रथम-क्रम के बयानों के रूप में पुन: व्याख्या करने के लिए।

सुपररियल नंबर और वास्तविक संख्याएं वास्तविक संख्याओं का विस्तार करती हैं, जो कि छोटी संख्या और असीम रूप से बड़ी संख्या को जोड़कर, लेकिन अभी भी फ़ील्ड (गणित) बनाती हैं।

यह भी देखें

 * ठोस संख्या
 * संख्याओं की सूची
 * संख्याओं के प्रकारों की सूची
 * जटिल आंकड़े
 * संख्यात्मक अनुभूति
 * परिमाण का क्रम
 * सबटाइज़िंग और गिनती
 * सबटाइज़िंग और गिनती
 * सबटाइज़िंग और गिनती
 * सबटाइज़िंग और गिनती
 * सबटाइज़िंग और गिनती
 * सबटाइज़िंग और गिनती
 * सबटाइज़िंग और गिनती

संदर्भ

 * Tobias Dantzig, Number, the language of science; a critical survey written for the cultured non-mathematician, New York, The Macmillan Company, 1930.
 * Erich Friedman, What's special about this number? 
 * Steven Galovich, Introduction to Mathematical Structures, Harcourt Brace Javanovich, 1989, ISBN 0-15-543468-3.
 * Paul Halmos, Naive Set Theory, Springer, 1974, ISBN 0-387-90092-6.
 * Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1990. ISBN 978-0195061352
 * Alfred North Whitehead and Bertrand Russell, Principia Mathematica to *56, Cambridge University Press, 1910.
 * Leo Cory, A Brief History of Numbers, Oxford University Press, 2015, ISBN 978-0-19-870259-7.

बाहरी कड़ियाँ

 * Online Encyclopedia of Integer Sequences
 * Online Encyclopedia of Integer Sequences
 * Online Encyclopedia of Integer Sequences
 * Online Encyclopedia of Integer Sequences
 * Online Encyclopedia of Integer Sequences
 * Online Encyclopedia of Integer Sequences