अंतर्वेशन

संख्यात्मक विश्लेषण के गणित क्षेत्र में, अंतर्वेशन एक प्रकार का अनुमान  है, ज्ञात डेटा बिंदुओं के असंतत समुच्चय की सीमा के आधार पर नए डेटा बिंदुओं के निर्माण (खोज) की एक विधि है।

अभियांत्रिकी और विज्ञान में, प्रायः कई डेटा बिंदु होते हैं, जो  नमूनाकरण (सांख्यिकी) या  प्रयोग द्वारा प्राप्त किए जाते हैं, जो  आश्रित और स्वतंत्र चर के सीमित मूल्यों के लिए एक फलन के मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसे प्रायः अंतर्वेशनित करने की आवश्यकता होती है; अर्थात्, स्वतंत्र चर के मध्यवर्ती मान के लिए उस फलन के मान का अनुमान लगाएं।

एक निकट से संबंधित समस्या एक साधारण फलन द्वारा एक जटिल फलन का फलन सन्निकटन है। मान लीजिए कि किसी दिए गए फलन का सूत्र ज्ञात है, लेकिन कुशलता से मूल्यांकन करने के लिए बहुत जटिल है। मूल फलन से कुछ डेटा बिंदुओं को एक सरल फलन बनाने के लिए अंतर्वेशनित किया जा सकता है जो अभी भी मूल के काफी निकट है। सादगी में परिणामी लाभ अंतर्वेशन त्रुटि से होने वाले नुकसान से अधिक हो सकता है और गणना प्रक्रिया में बेहतर प्रदर्शन दे सकता है।



उदाहरण
यह तालिका अज्ञात फलन के कुछ मान देती है $$f(x)$$. अंतर्वेशन मध्यवर्ती बिंदुओं पर फलन का अनुमान लगाने का एक साधन प्रदान करता है, जैसे कि $$x=2.5.$$

हम अंतर्वेशन के कुछ कलन विधि का वर्णन करते हैं, जो इस तरह के गुणों में भिन्न हैं: सटीकता, लागत, आवश्यक डेटा बिंदुओं की संख्या, और परिणामी  इंटरपोलेंट फलन का  सुचारू कार्य ।

खंडशः निरंतर अंतर्वेशन


सबसे सरल अंतर्वेशन विधि निकटतम डेटा मान का पता लगाना है, और उसी मान को असाइन करना है। साधारण समस्याओं में, इस पद्धति का उपयोग करने की संभावना नहीं है, क्योंकि रैखिक अंतर्वेशन (नीचे देखें) लगभग उतना ही आसान है, लेकिन उच्च-आयामी  बहुभिन्नरूपी अंतर्वेशन में, यह इसकी गति और सादगी के लिए एक अनुकूल विकल्प हो सकता है।

रैखिक अंतर्वेशन


सबसे सरल तरीकों में से एक रैखिक अंतर्वेशन है (कभी-कभी लेर्प के रूप में जाना जाता है)। f(2.5) के आकलन के उपरोक्त उदाहरण पर विचार करें। चूँकि 2.5 2 और 3 के बीच में है, f(2.5) को f(2) = 0.9093 और f(3) = 0.1411 के बीच में लेना उचित है, जो 0.5252 प्राप्त करता है।

सामान्यतः रैखिक अंतर्वेशन में दो डेटा बिंदु होते हैं, मान लीजिए (xa,ya) और (xb,yb), और इंटरपोलेंट द्वारा दिया जाता है:
 * $$ y = y_a + \left( y_b-y_a \right) \frac{x-x_a}{x_b-x_a} \text{ at the point } \left( x,y \right) $$
 * $$ \frac{y-y_a}{y_b-y_a} = \frac{x-x_a}{x_b-x_a} $$
 * $$ \frac{y-y_a}{x-x_a} = \frac{y_b-y_a}{x_b-x_a} $$

यह पिछला समीकरण बताता है कि नई रेखा के बीच का ढलान $$ (x_a,y_a) $$ तथा $$ (x,y) $$ के बीच की रेखा के ढलान के समान है $$ (x_a,y_a) $$ तथा $$ (x_b,y_b) $$

रैखिक अंतर्वेशन त्वरित और आसान है, लेकिन यह बहुत सटीक नहीं है। एक और नुकसान यह है कि इंटरपोलेंट बिंदु xk पर व्युत्पन्न नहीं हैl

निम्नलिखित त्रुटि अनुमान से पता चलता है कि रैखिक अंतर्वेशन बहुत सटीक नहीं है। उस फलन को निरूपित करें जिसे हम g द्वारा अंतर्वेशनित करना चाहते हैं, और मान लें कि x, xa के बीच स्थित है और xb और वह g दो बार लगातार अवकलनीय है। तब रैखिक अंतर्वेशन त्रुटि है


 * $$ |f(x)-g(x)| \le C(x_b-x_a)^2 \quad\text{where}\quad C = \frac18 \max_{r\in[x_a,x_b]} |g''(r)|. $$

शब्दों में, त्रुटि डेटा बिंदुओं के बीच की दूरी के वर्ग के समानुपाती होती है। बहुपद अंतर्वेशन और स्प्लाइन अंतर्वेशन (नीचे वर्णित) सहित कुछ अन्य विधियों में त्रुटि डेटा बिंदुओं के बीच की दूरी की उच्च शक्तियों के समानुपाती होती है। ये विधियां चिकनी इंटरपोलेंट भी उत्पन्न करती हैं।

बहुपद अंतर्वेशन


बहुपद अंतर्वेशन रैखिक अंतर्वेशन का एक सामान्यीकरण है। ध्यान दें कि रैखिक इंटरपोलेंट एक रैखिक कार्य है। अब हम इस अंतरपोषक को एक बहुपद के उच्च घात वाले बहुपद से प्रतिस्थापित करते हैं।

ऊपर दी गई समस्या पर फिर से विचार करें। निम्नलिखित छठी डिग्री बहुपद सभी सात बिंदुओं से होकर गुजरता है:
 * $$ f(x) = -0.0001521 x^6 - 0.003130 x^5 + 0.07321 x^4 - 0.3577 x^3 + 0.2255 x^2 + 0.9038 x. $$

x = 2.5 को प्रतिस्थापित करने पर, हम पाते हैं कि f(2.5) = ~0.59678।

सामान्यतः यदि हमारे पास n डेटा बिंदु हैं, तो सभी डेटा बिंदुओं के माध्यम से जाने वाले अधिकांश n−1 पर डिग्री का एक बहुपद है। अंतर्वेशन त्रुटि डेटा बिंदुओं के बीच की दूरी n के बीच की दूरी के समानुपाती होती है। इसके अलावा, इंटरपोलेंट एक बहुपद है और इस प्रकार असीम रूप से भिन्न है। इसलिए, हम देखते हैं कि बहुपद अंतर्वेशन, रैखिक अंतर्वेशन की अधिकांश समस्याओं पर विजय प्राप्त करता है।

हालाँकि, बहुपद अंतर्वेशन के कुछ नुकसान भी हैं। रैखिक अंतर्वेशन की तुलना में इंटरपोलिंग बहुपद की गणना कम्प्यूटेशनल रूप से महंगी है (कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत देखें)। इसके अलावा, बहुपद अंतर्वेशन दोलन कलाकृतियों को प्रदर्शित कर सकता है, विशेष रूप से अंत बिंदुओं पर (देखें रनगे की घटना)।

बहुपद अंतर्वेशन रैखिक अंतर्वेशन के विपरीत, नमूनों की सीमा से बाहर स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा का अनुमान लगा सकता है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए इंटरपोलेंट का स्थानीय अधिकतम x 1.566, f(x) 1.003 और स्थानीय न्यूनतम x ≈ 4.708, f(x) −1.003 है। हालांकि, ये मैक्सिमा और मिनिमा फलन की सैद्धांतिक सीमा से अधिक हो सकते हैं; उदाहरण के लिए, एक फलन जो हमेशा घनात्मक होता है, उसमें ऋणात्मक मानों वाला एक इंटरपोलेंट हो सकता है, और जिसके व्युत्क्रम में शून्य से गलत विभाजन होता है।

अधिक सामान्यतः परिणामी वक्र का आकार, विशेष रूप से स्वतंत्र चर के बहुत उच्च या निम्न मानों के लिए, सामान्य ज्ञान के विपरीत हो सकता है; वह है, जो उस प्रायोगिक प्रणाली के बारे में जाना जाता है जिसने डेटा बिंदु उत्पन्न किए हैं। इन नुकसानों को स्प्लाइन अंतर्वेशन का उपयोग करके या चेबीशेव बहुपद पर ध्यान सीमित करके कम किया जा सकता है।

स्प्लाइन अंतर्वेशन


याद रखें कि रैखिक अंतर्वेशन प्रत्येक अंतराल के लिए एक रैखिक फलन का उपयोग करता है [xk, xk+1]. स्पलाइन अंतर्वेशन प्रत्येक अंतराल में निम्न-डिग्री बहुपद का उपयोग करता है, और बहुपद टुकड़ों को इस तरह चुनता है कि वे एक साथ आसानी से फिट हो जाएं। परिणामी फलन को स्पलाइन कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, प्राकृतिक घन स्पलाइन खंडशः घन है और दो बार लगातार भिन्न हो सकती है। इसके अलावा, इसका दूसरा व्युत्पन्न अंतिम बिंदुओं पर शून्य है। ऊपर दी गई तालिका में बिंदुओं को अंतर्वेशनित करने वाली प्राकृतिक घन रेखा किसके द्वारा दी गई है


 * $$ f(x) = \begin{cases}

-0.1522 x^3 + 0.9937 x, & \text{if } x \in [0,1], \\ -0.01258 x^3 - 0.4189 x^2 + 1.4126 x - 0.1396, & \text{if } x \in [1,2], \\ 0.1403 x^3 - 1.3359 x^2 + 3.2467 x - 1.3623, & \text{if } x \in [2,3], \\ 0.1579 x^3 - 1.4945 x^2 + 3.7225 x - 1.8381, & \text{if } x \in [3,4], \\ 0.05375 x^3 -0.2450 x^2 - 1.2756 x + 4.8259, & \text{if } x \in [4,5], \\ -0.1871 x^3 + 3.3673 x^2 - 19.3370 x + 34.9282, & \text{if } x \in [5,6]. \end{cases} $$ इस स्थिति में हमें f(2.5) = 0.5972 मिलता है।

बहुपद अंतर्वेशन की तरह, स्प्लाइन अंतर्वेशन में रैखिक अंतर्वेशन की तुलना में एक छोटी त्रुटि होती है, जबकि बहुपद अंतर्वेशन में उपयोग किए जाने वाले उच्च-डिग्री बहुपदों की तुलना में इंटरपोलेंट का मूल्यांकन करना आसान और आसान होता है। हालांकि, आधार कार्यों की वैश्विक प्रकृति खराब कंडीशनिंग की ओर ले जाती है। यह पूरी तरह से कॉम्पैक्ट सपोर्ट के स्प्लिन का उपयोग करके कम किया जाता है, जैसे कि Boost.Math में लागू किया गया है और क्रेस में चर्चा की गई है।

मिमेटिक अंतर्वेशन
क्षेत्रों के अंतर्निहित विवेक के आधार पर, विभिन्न इंटरपोलेंट की आवश्यकता हो सकती है। अन्य अंतर्वेशन विधियों के विपरीत, जो लक्ष्य बिंदुओं पर कार्यों का अनुमान लगाते हैं, मिमेटिक अंतर्वेशन फ़ील्ड के प्रकार (स्केलर, वेक्टर, छद्म-वेक्टर या छद्म-स्केलर) के आधार पर लक्ष्य रेखाओं, क्षेत्रों या वॉल्यूम पर फ़ील्ड के अभिन्न का मूल्यांकन करता है।

मिमेटिक अंतर्वेशन की एक प्रमुख विशेषता यह है कि वेक्टर कैलकुलस पहचान संतुष्ट हैं, जिसमें स्टोक्स की प्रमेय और विचलन प्रमेय सम्मिलित हैं। नतीजतन, मिमेटिक अंतर्वेशन लाइन, एरिया और वॉल्यूम इंटीग्रल को संरक्षित करता है। उदाहरण के लिए,  विद्युत क्षेत्र को अंतर्वेशनित करते समय लाइन इंटीग्रल का संरक्षण वांछनीय हो सकता है, क्योंकि लाइन इंटीग्रल एकीकरण पथ के समापन बिंदुओं पर विद्युत संभावित अंतर देता है। मिमेटिक अंतर्वेशन यह सुनिश्चित करता है कि विद्युत क्षेत्र के लाइन इंटीग्रल का अनुमान लगाने की त्रुटि एकीकरण पथ की लंबाई की परवाह किए बिना, एकीकरण पथ के अंतिम बिंदुओं पर क्षमता को अंतर्वेशनित करके प्राप्त त्रुटि के समान है।

लीनियर, द्विरैखिक और  त्रिरेखीय अंतर्वेशन को भी मिमेटिकल माना जाता है, भले ही यह फील्ड वैल्यू ही हो जो संरक्षित हैं (फील्ड का इंटीग्रल नहीं)। रैखिक अंतर्वेशन के अलावा, क्षेत्र भारित अंतर्वेशन को विकसित किए जाने वाले पहले अनुकरणीय अंतर्वेशन पद्धति में से एक माना जा सकता है।

फलन सन्निकटन
अनुमानित कार्यों के लिए अंतर्वेशन एक सामान्य तरीका है। एक फलन दिया $$f:[a,b] \to \mathbb{R}$$ अंकों के एक समुच्चय के साथ $$x_1, x_2, \dots, x_n \in [a, b]$$ कोई एक फलन बना सकता है $$s: [a,b] \to \mathbb{R}$$ ऐसा है कि $$f(x_i)=s(x_i)$$ के लिये $$i=1, 2, \dots, n$$ (वह है वह $$s$$ अंतर्वेशनित करना $$f$$ इन बिंदुओं पर)। सामान्य तौर पर, एक इंटरपोलेंट को एक अच्छा सन्निकटन नहीं होना चाहिए, लेकिन वहां अच्छी तरह से ज्ञात और प्रायः उचित स्थितियां होती हैं जहां यह होगा। उदाहरण के लिए, यदि $$f\in C^4([a,b])$$ (चार बार लगातार अवकलनीय) तो  स्प्लाइन अंतर्वेशन में त्रुटि बाउंड द्वारा दी गई है

$$\|f-s\|_\infty \leq C \|f^{(4)}\|_\infty h^4$$ कहाँ पे $$h \max_{i=1,2, \dots, n-1} |x_{i+1}-x_i|$$ तथा $$C$$

एक स्थिरांक है।

गाऊसी प्रक्रियाओं के माध्यम से
गाऊसी प्रक्रिया एक शक्तिशाली गैर-रेखीय अंतर्वेशन उपकरण है। कई लोकप्रिय अंतर्वेशन उपकरण वास्तव में विशेष गाऊसी प्रक्रियाओं के बराबर हैं। गाऊसी प्रक्रियाओं का उपयोग न केवल एक इंटरपोलेंट को फिट करने के लिए किया जा सकता है जो कि दिए गए डेटा बिंदुओं से बिल्कुल गुजरता है बल्कि प्रतिगमन के लिए भी; वह है, रव डेटा के माध्यम से एक वक्र फिट करने के लिए। भू-सांख्यिकी समुदाय में गाऊसी प्रक्रिया प्रतिगमन को युद्ध  के रूप में भी जाना जाता है।

अन्य रूप
अंतर्वेशन के एक अलग वर्ग को चुनकर अंतर्वेशन के अन्य रूपों का निर्माण किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, परिमेय अंतर्वेशन पाद सन्निकटन का उपयोग करते हुए परिमेय कार्यों द्वारा अंतर्वेशन है, और त्रिकोणमितीय अंतर्वेशन फूरियर श्रृंखला का उपयोग करके  त्रिकोणमितीय बहुपद द्वारा अंतर्वेशन है। तरंगों का उपयोग करने की एक और संभावना है।

व्हिटेकर-शैनन अंतर्वेशन सूत्र का उपयोग किया जा सकता है यदि डेटा बिंदुओं की संख्या अनंत है या यदि फलन को अंतर्वेशनित करने के लिए कॉम्पैक्ट समर्थन है।

कभी-कभी, हम न केवल उस फलन का मान जानते हैं जिसे हम कुछ बिंदुओं पर अंतर्वेशनित करना चाहते हैं, बल्कि इसके व्युत्पन्न भी हैं। इससे हर्मिट अंतर्वेशन समस्याएं होती हैं।

जब प्रत्येक डेटा बिंदु स्वयं एक फलन होता है, तो अंतर्वेशन समस्या को प्रत्येक डेटा बिंदु के बीच आंशिक संवहन  समस्या के रूप में देखना उपयोगी हो सकता है। यह विचार  परिवहन सिद्धांत (गणित)  में प्रयुक्त विस्थापन अंतर्वेशन समस्या की ओर ले जाता है।

उच्च आयामों में
बहुभिन्नरूपी अंतर्वेशन एक से अधिक चर के कार्यों का अंतर्वेशन है।

विधियों में दो आयामों में बिलिनियर अंतर्वेशन और बाइक्यूबिक अंतर्वेशन और तीन आयामों में ट्रिलिनियर अंतर्वेशन सम्मिलित हैं।

उन्हें ग्रिड या बिखरे हुए डेटा पर लागू किया जा सकता है। मिमेटिक अंतर्वेशन को सामान्यीकृत करता है $$n$$ आयामी रिक्त स्थान जहां $$n > 3$$.

डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग
डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग के क्षेत्र में, अंतर्वेशन शब्द विभिन्न डिजिटल फ़िल्टरिंग तकनीकों का उपयोग करके एक नमूना डिजिटल सिग्नल (जैसे एक नमूना ऑडियो सिग्नल) को एक उच्च नमूना दर (अपसैंपलिंग ) में परिवर्तित करने की प्रक्रिया को संदर्भित करता है (उदाहरण के लिए, कनवल्शन के साथ एक आवृत्ति-सीमित आवेग संकेत)। इस एप्लिकेशन में एक विशिष्ट आवश्यकता है कि मूल सिग्नल की हार्मोनिक सामग्री को सिग्नल की मूल नीक्वीस्ट आवृत्ति (यानी, मूल सिग्नल नमूना दर के fs / 2 से ऊपर) के ऊपर मूल सिग्नल की अलियास्ड हार्मोनिक सामग्री बनाए बिना संरक्षित किया जाए। इस विषय पर एक प्रारंभिक और काफी प्रारंभिक चर्चा राबिनर और क्रोचियर की पुस्तक मल्टीरेट डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग में पाई जा सकती है।

संबंधित अवधारणाएं
एक्सट्रपलेशन शब्द का उपयोग ज्ञात डेटा बिंदुओं की सीमा के बाहर डेटा बिंदुओं को खोजने के लिए किया जाता है।

वक्र फिटिंग की समस्याओं में, इंटरपोलेंट को डेटा बिंदुओं के माध्यम से ठीक से जाने की बाधा में ढील दी जाती है। केवल डेटा बिंदुओं तक जितना संभव हो सके (कुछ अन्य बाधाओं के भीतर) पहुंचने की आवश्यकता है। इसके लिए संभावित इंटरपोलेंट को पैरामीटर करने और त्रुटि को मापने का कोई तरीका होना आवश्यक है। सबसे सरल स्थिति में यह कम से कम वर्ग सन्निकटन की ओर जाता है।

सन्निकटन सिद्धांत अध्ययन करता है कि किसी पूर्व निर्धारित वर्ग से किसी अन्य फलन द्वारा दिए गए फलन के लिए सर्वोत्तम सन्निकटन कैसे प्राप्त किया जाए, और यह सन्निकटन कितना अच्छा है। यह स्पष्ट रूप से एक बाध्यता उत्पन्न करता है कि अंतर्वेशन अज्ञात फलन को कितनी अच्छी तरह अनुमानित कर सकता है।

सामान्यीकरण
अगर हम विचार करें $$x$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस में एक चर के रूप में, और फलन $$f(x)$$ एक बनच स्पेस  में मैपिंग, फिर समस्या को ऑपरेटरों के अंतर्वेशन के रूप में माना जाता है। ऑपरेटरों के अंतर्वेशन के बारे में  चिरसम्मत परिणाम रिज़-थोरिन प्रमेय और मार्सिंक्यूविज़ प्रमेय हैं। इसके बाद के कई अन्य परिणाम भी हैं।

यह भी देखें

 * बैरीसेंट्रिक कोऑर्डिनेट सिस्टम (गणित) | बैरीसेंट्रिक कोऑर्डिनेट - एक त्रिभुज या टेट्राहेड्रोन पर इंटरपोलिंग के लिए
 * ब्रह्मगुप्त का प्रक्षेप सूत्र
 * फ्रैक्टल कम्प्रेशन#फ्रैक्टल इंटरपोलेशन
 * प्रतिरूपण (सांख्यिकी)
 * लैग्रेंज बहुपद
 * मिसिंग डेटा
 * न्यूटन-कोट्स सूत्र
 * रेडियल आधार फ़ंक्शन इंटरपोलेशन
 * सरल तर्कसंगत सन्निकटन

बाहरी संबंध

 * Online tools for linear, quadratic, cubic spline, and polynomial interpolation with visualisation and JavaScript source code.
 * Sol Tutorials - Interpolation Tricks
 * Compactly Supported Cubic B-Spline interpolation in Boost.Math
 * Barycentric rational interpolation in Boost.Math
 * Interpolation via the Chebyshev transform in Boost.Math