वृद्धि गुणक

अंत: स्थापन का वृद्धि गुणक (अर्थात, लिप्सचिट्ज़ निरंतरता) उस कारक को मापता है जिसके द्वारा अंत: स्थापन दूरियों को विकृत करता है। मान लीजिए कि मीट्रिक स्थान $S$ किसी अन्य मीट्रिक स्थान में सन्निहित है $T$ मीटरी प्रतिचित्रण द्वारा, सतत एकैक फलन $f$  जो प्रत्येक युम्म बिंदुओं के बीच की दूरी को संरक्षित या कम करता है। फिर अंत: स्थापन $S$ में बिंदुओं के युम्म के बीच की दूरी की दो अलग-अलग धारणाओं को उदित करती है। $S$ में बिंदु $(x,y)$ की किसी भी युम्म में आंतरिक दूरी, $S$ में $x$ से $y$ की दूरी और छोटी बाहरी दूरी $T$ में $f(x)$ से ($f(y)$ तक की दूरी दोनों होती है।  युम्म का वृद्धि गुणक इन दो दूरियों $d(f(x),f(y))/d(x,y)$ के बीच का अनुपात है। संपूर्ण मानचित्रण का वृद्धि गुणक सभी बिंदुओं के युम्म के वृद्धि गुणक में सर्वोच्च है। वृद्धि गुणक को विरूपण या विस्फारण भी कहा गया है।

ज्यामितीय स्पैनर, भारित ग्राफ के सिद्धांत में वृद्धि गुणक महत्वपूर्ण है जो यूक्लिडियन समतल में बिंदुओं के समुच्चय के बीच यूक्लिडियन दूरी का अनुमान लगाता है। इस स्थिति में, सन्निहित मीट्रिक $S$ परिमित मीट्रिक स्थान है, जिसकी दूरी ग्राफ़ में सबसे छोटी पथ लंबाई है, और मीट्रिक $T$ जिसमें $S$ अंतर्निहित है वह यूक्लिडियन समष्टि है। ग्राफ़ और उसकी अंत: स्थापन तय हो जाती है, लेकिन ग्राफ़ के किनारे का वजन अलग-अलग हो सकता है, तो वृद्धि गुणक कम हो जाता है जब वजन बिल्कुल किनारे के अंतिम बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी के बराबर होता है। इस क्षेत्र में अनुसंधान ने किसी दिए गए बिंदु समुच्चय के लिए विरल ग्राफनिष्कर्ष पर ध्यान केंद्रित किया है जिनमें कम वृद्धि गुणक है।

जॉनसन-लिंडेनस्ट्रॉस लेम्मा का दावा है कि किसी भी यूक्लिडियन समष्टि में $n$ बिंदुओं के साथ किसी भी परिमित समुच्चय को विरूपण $1 + &epsilon;$ के साथ आयाम $O(log n)$ के यूक्लिडियन समष्टि में सन्निहित किया जा सकता है, किसी भी स्थिरांक $&epsilon; > 0$ के लिए, जहां निरंतर कारक $O$-नोटेशन $&epsilon;$ की विकल्प पर निर्भर करता है। यह परिणाम, और कम-विरूपण मीट्रिक अंत: स्थापन के निर्माण के संबंधित तरीके, सन्निकटन कलन विधि के सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं। इस क्षेत्र में प्रमुख अनिर्णित समस्या जीएनआरएस अनुमान है, जो (यदि सत्य है) उन ग्राफ़ों के वर्ग की विशेषता बताएगी जिनमें सीमाबद्ध-वृद्धि अंत: स्थापन है $$\ell_1$$सभी लघु-संकीर्ण ग्राफ़ वर्ग के रूप में रिक्त स्थान है।

नॉट सिद्धांत में, नॉट की विरूपण नॉट अपरिवर्तनीय है, यूक्लिडियन समष्टि में समष्टि वक्र के रूप में नॉट के किसी भी अंत: स्थापन का न्यूनतम वृद्धि गुणक है। स्नातक शोधकर्ता जॉन पार्डन ने अपने शोध के लिए 2012 मॉर्गन पुरस्कार जीता, जिसमें दिखाया गया कि टोरस नॉट की विरूपण पर कोई ऊपरी सीमा नहीं है, जो मूल रूप से मिखाइल लियोनिदोविच ग्रोमोव द्वारा प्रस्तुत समस्या को हल करता है।

वक्र-लघुता प्रवाह के अध्ययन में, जिसमें यूक्लिडियन समतल में वक्र का प्रत्येक बिंदु स्थानीय वक्रता के आनुपातिक गति के साथ, वक्र के लंबवत चलता है, ने सिद्ध किया कि किसी भी सहज संकीर्ण सिनग्ध वक्र का वृद्धि गुणक (चाप की लंबाई द्वारा मापी गई आंतरिक दूरी के साथ) एकरस रूप से बदलता है। अधिक विशेष रूप से, प्रत्येक युम्म $(x,y)$ पर जो वृद्धि गुणक का स्थानीय अधिकतम बनाता है, सिवाय इसके कि जब वक्र एक वृत्त हो वृद्धि गुणक सख्ती से घट रहा है। इस गुण का उपयोग बाद में गेज-हैमिल्टन-ग्रेसन प्रमेय के प्रमाण को सहज बनाने के लिए किया गया था, जिसके अनुसार प्रत्येक सहज संकीर्ण सिनग्ध वक्र तब तक सहज और सिनग्ध रहता है जब तक कि वह बिंदु पर संचय न जाए, ऐसा करने से पहले वृत्त के आकार में परिवर्तित हो जाता है।