सहिष्णुता संबंध

सार्वभौमिक बीजगणित और जाली सिद्धांत में, एक बीजगणितीय संरचना पर एक सहिष्णुता संबंध एक प्रतिवर्ती संबंध सममित संबंध है जो संरचना के सभी कार्यों के साथ संगत है। इस प्रकार एक सहिष्णुता एक सर्वांगसमता संबंध की तरह है, सिवाय इसके कि सकर्मक संबंध की धारणा को छोड़ दिया जाता है। एक सेट (गणित) पर, संचालन के खाली परिवार के साथ एक बीजगणितीय संरचना, सहिष्णुता संबंध केवल रिफ्लेक्सिव सममित संबंध हैं। एक सहिष्णुता संबंध रखने वाले सेट को सहिष्णुता स्थान के रूप में वर्णित किया जा सकता है। सहिष्णुता संबंध अविवेकी/अविभाज्यता परिघटनाओं के अध्ययन के लिए एक सुविधाजनक सामान्य उपकरण प्रदान करते हैं। गणित के लिए उन के महत्व को सबसे पहले हेनरी पोंकारे | पोंकारे ने पहचाना था।

परिभाषाएँ
एक बीजगणितीय संरचना पर एक सहिष्णुता संबंध $$(A,F)$$ आमतौर पर एक रिफ्लेक्सिव रिलेशन सममित संबंध के रूप में परिभाषित किया जाता है $$A$$ जो हर ऑपरेशन के अनुकूल है $$F$$. टॉलरेंस रिलेशन को एक आवरण (टोपोलॉजी)  के रूप में भी देखा जा सकता है $$A$$ जो कुछ शर्तों को पूरा करता है। दो परिभाषाएँ समतुल्य हैं, क्योंकि एक निश्चित बीजगणितीय संरचना के लिए, दो परिभाषाओं में सहिष्णुता संबंध एक-से-एक पत्राचार में हैं। एक बीजगणितीय संरचना पर सहिष्णुता संबंध $$(A,F)$$ एक बीजगणितीय जाली बनाएँ $$\operatorname{Tolr}(A)$$ समावेशन के तहत। चूँकि प्रत्येक सर्वांगसमता संबंध एक सहनशीलता संबंध है, सर्वांगसमता जालक $$\operatorname{Cong}(A)$$ सहिष्णुता जाली का एक सबसेट है $$\operatorname{Tolr}(A)$$, लेकिन $$\operatorname{Cong}(A)$$ अनिवार्य रूप से का उपवर्ग नहीं है $$\operatorname{Tolr}(A)$$.

द्विआधारी संबंधों के रूप में
एक बीजगणितीय संरचना पर एक सहिष्णुता संबंध $$(A,F)$$ एक द्विआधारी संबंध है $$\sim$$ पर $$A$$ जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता हो। सर्वांगसमता संबंध एक सहनशीलता संबंध है जो सकर्मक संबंध भी है।
 * (प्रतिवर्त संबंध) $$a\sim a$$ सभी के लिए $$a\in A$$
 * (सममित संबंध) यदि $$a\sim b$$ तब $$b\sim a$$ सभी के लिए $$a,b\in A$$
 * (संगत संबंध) प्रत्येक के लिए $$n$$-और ऑपरेशन $$f\in F$$ और $$a_1,\dots,a_n,b_1,\dots,b_n\in A$$, अगर $$a_i\sim b_i$$ प्रत्येक के लिए $$i=1,\dots,n$$ तब $$f(a_1,\dots,a_n)\sim f(b_1,\dots,b_n)$$. यानी सेट $$\{(a,b)\colon a\sim b\}$$ प्रत्यक्ष उत्पाद का एक सबलजेब्रा है $$A^2$$ दोनों में से $$A$$.

कवर के रूप में
एक बीजगणितीय संरचना पर एक सहिष्णुता संबंध $$(A,F)$$ एक आवरण (टोपोलॉजी) है $$\mathcal C$$ का $$A$$ जो निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करता है। के एक सेट का हर विभाजन $$A$$ पहली दो शर्तों को संतुष्ट करता है, लेकिन इसके विपरीत नहीं। सर्वांगसमता संबंध एक सहिष्णुता संबंध है जो एक सेट विभाजन भी बनाता है।
 * हरएक के लिए $$C\in\mathcal C$$ और $$\mathcal S\subseteq\mathcal C$$, अगर $$\textstyle C\subseteq\bigcup\mathcal S$$, तब $$\textstyle\bigcap\mathcal S\subseteq C$$.
 * विशेष रूप से, के दो अलग-अलग तत्व नहीं $$\mathcal C$$ तुलनीय हैं। (इसे देखने के लिए, लो $$\mathcal S=\{D\}$$.)
 * हरएक के लिए $$S\subseteq A$$, अगर $$S$$ में किसी भी सेट में शामिल नहीं है $$\mathcal C$$, तो एक दो-तत्व उपसमुच्चय है $$\{s,t\}\subseteq S$$ ऐसा है कि $$\{s,t\}$$ में किसी भी सेट में शामिल नहीं है $$\mathcal C$$.
 * हरएक के लिए $$n$$-और $$f\in F$$ और $$C_1,\dots,C_n\in\mathcal C$$, वहां एक है $$(f/{\sim})(C_1,\dots,C_n)\in\mathcal C$$ ऐसा है कि $$\{f(c_1,\dots,c_n)\colon c_i\in C_i\}\subseteq(f/{\sim})(C_1,\dots,C_n)$$. (इस तरह का एक $$(f/{\sim})(C_1,\dots,C_n)$$ अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है।)

दो परिभाषाओं की समानता
होने देना $$\sim$$ एक बीजगणितीय संरचना पर सहिष्णुता द्विआधारी संबंध बनें $$(A,F)$$. होने देना $$A/{\sim}$$ अधिकतम तत्व सबसेट का परिवार बनें $$C\subseteq A$$ ऐसा है कि $$c\sim d$$ हरएक के लिए $$c,d\in C$$. ग्राफ सैद्धांतिक शर्तों का उपयोग करना, $$A/{\sim}$$ ग्राफ के सभी अधिकतम समूहों का सेट है (असतत गणित) $$(A,\sim)$$. अगर $$\sim$$ एक समरूपता संबंध है, $$A/{\sim}$$ तुल्यता वर्गों का भागफल समुच्चय मात्र है। तब $$A/{\sim}$$ का आवरण (टोपोलॉजी) है $$A$$ और कवर परिभाषा में तीनों शर्तों को पूरा करता है। (अंतिम स्थिति को ज़ोर्न लेम्मा का उपयोग करके दिखाया गया है।) इसके विपरीत, मान लीजिए $$\mathcal C$$ का एक आवरण (टोपोलॉजी) हो $$A$$ और मान लीजिए $$\mathcal C$$ पर सहिष्णुता बनाता है $$A$$. एक द्विआधारी संबंध पर विचार करें $$\sim_{\mathcal C}$$ पर $$A$$ जिसके लिए $$a\sim_{\mathcal C}b$$ अगर और केवल अगर $$a,b\in C$$ कुछ के लिए $$C\in\mathcal C$$. तब $$\sim_{\mathcal C}$$ पर सहनशीलता है $$A$$ एक द्विआधारी संबंध के रूप में। वो नक्शा $${\sim}\mapsto A/{\sim}$$ सहिष्णुता के बीच द्विआधारी संबंधों और कवर (टोपोलॉजी) के रूप में एक-से-एक पत्राचार है जिसका व्युत्क्रम है $$\mathcal C\mapsto{\sim_{\mathcal C}}$$. इसलिए, दो परिभाषाएँ समकक्ष हैं। एक सहिष्णुता एक द्विआधारी संबंध के रूप में सकर्मक संबंध है अगर और केवल अगर यह एक कवर (गणित) के रूप में एक सेट का विभाजन है। इस प्रकार सर्वांगसमता संबंधों के दो लक्षण भी सहमत हैं।

सहिष्णुता संबंधों पर भागफल बीजगणित
होने देना $$(A,F)$$ एक बीजगणितीय संरचना बनें और दें $$\sim$$ एक सहिष्णुता संबंध हो $$A$$. मान लीजिए कि, प्रत्येक के लिए $$n$$-और ऑपरेशन $$f\in F$$ और $$C_1,\dots,C_n\in A/{\sim}$$, एक अनूठा है $$(f/{\sim})(C_1,\dots,C_n)\in A/{\sim}$$ ऐसा है कि
 * $$\{f(c_1,\dots,c_n)\colon c_i\in C_i\}\subseteq(f/{\sim})(C_1,\dots,C_n)$$

तब यह भागफल बीजगणित की एक प्राकृतिक परिभाषा प्रदान करता है
 * $$(A/{\sim},F/{\sim})$$

का $$(A,F)$$ ऊपर $$\sim$$. सर्वांगसमता संबंधों के मामले में, अद्वितीयता की स्थिति हमेशा सही रहती है और यहाँ परिभाषित भागफल बीजगणित सामान्य स्थिति के साथ मेल खाता है।

सर्वांगसमता संबंधों से एक मुख्य अंतर यह है कि सहिष्णुता संबंध के लिए अद्वितीयता की स्थिति विफल हो सकती है, और यदि ऐसा नहीं भी होता है, तो भागफल बीजगणित विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) को परिभाषित करने वाली पहचानों को प्राप्त नहीं कर सकता है $$(A,F)$$ से संबंधित है, इसलिए भागफल बीजगणित फिर से विविधता का सदस्य बनने में विफल हो सकता है। इसलिए, एक किस्म के लिए (सार्वभौमिक बीजगणित) $$\mathcal V$$ बीजगणितीय संरचनाओं के लिए, हम निम्नलिखित दो स्थितियों पर विचार कर सकते हैं। * (सहिष्णुता कारक) किसी के लिए $$(A,F)\in\mathcal V$$ और कोई सहिष्णुता संबंध $$\sim$$ पर $$(A,F)$$, विशिष्टता की स्थिति सत्य है, इसलिए भागफल बीजगणित $$(A/{\sim},F/{\sim})$$ परिभाषित किया गया। प्रत्येक दृढ़ता से सहन करने योग्य विविधता सहनशीलता कारक है, लेकिन इसके विपरीत नहीं।
 * (मजबूत सहिष्णुता कारक) किसी के लिए $$(A,F)\in\mathcal V$$ और कोई सहिष्णुता संबंध $$\sim$$ पर $$(A,F)$$, विशिष्टता की स्थिति सत्य है, और $$(A/{\sim},F/{\sim})\in\mathcal V$$.

सेट
एक समुच्चय (गणित) एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें कोई भी संक्रिया नहीं होती है। इस मामले में, सहिष्णुता संबंध केवल प्रतिवर्त संबंध सममित संबंध हैं और यह तुच्छ है कि विभिन्न प्रकार के सेट दृढ़ता से सहनशीलता कारक हैं।

समूह
एक समूह (गणित) पर, प्रत्येक सहिष्णुता संबंध एक सर्वांगसम संबंध है। विशेष रूप से, यह सभी बीजगणितीय संरचनाओं के लिए सत्य है जो समूह हैं जब उनके कुछ कार्यों को भुला दिया जाता है, उदा। रिंग (गणित) एस, वेक्टर रिक्त स्थान, मॉड्यूल (गणित) एस, बूलियन बीजगणित, आदि। इसलिए, समूह (गणित) s, वलय (गणित) s, सदिश स्थान, मॉड्यूल (गणित) s और बूलियन बीजगणित की किस्में भी दृढ़ता से सहन करने योग्य हैं।

जाली
एक सहिष्णुता संबंध के लिए $$\sim$$ एक जाली पर (आदेश) $$L$$, हर सेट में $$L/{\sim}$$ का उत्तल उपजाल है $$L$$. इस प्रकार, सभी के लिए $$A\in L/{\sim}$$, अपने पास
 * $$A=\mathop\uparrow A\cap\mathop\downarrow A$$

विशेष रूप से, निम्नलिखित परिणाम धारण करते हैं।
 * $$a\sim b$$ अगर और केवल अगर $$a\vee b\sim a\wedge b$$.
 * अगर $$a\sim b$$ और $$a\le c,d\le b$$, तब $$c\sim d$$.

जाली (आदेश) की विविधता दृढ़ता से सहनशीलता कारक है। यानी किसी भी जाली (आदेश) को देखते हुए $$(L,\vee_L,\wedge_L)$$ और कोई सहिष्णुता संबंध $$\sim$$ पर $$L$$, प्रत्येक के लिए $$A,B\in L/{\sim}$$ अद्वितीय मौजूद हैं $$A\vee_{L/{\sim}}B,A\wedge_{L/{\sim}}B\in L/{\sim}$$ ऐसा है कि
 * $$\{a\vee_Lb\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\vee_{L/{\sim}}B$$
 * $$\{a\wedge_Lb\colon a\in A,\;b\in B\}\subseteq A\wedge_{L/{\sim}}B$$

और भागफल बीजगणित
 * $$(L/{\sim},\vee_{L/{\sim}},\wedge_{L/{\sim}})$$

एक जाली (आदेश) फिर से है।

विशेष रूप से, हम सहिष्णुता संबंधों पर वितरणात्मक जाली और मॉड्यूलर जाली के भागफल जाली बना सकते हैं। हालाँकि, सर्वांगसमता संबंधों के विपरीत, भागफल जालकों को फिर से वितरण या मॉड्यूलर होने की आवश्यकता नहीं है। दूसरे शब्दों में, वितरणात्मक जाली और मॉड्यूलर जाली की किस्में सहनशीलता कारक हैं, लेकिन दृढ़ता से सहनशीलता कारक नहीं हैं। वास्तव में, विभिन्न प्रकार की जाली की प्रत्येक उप-किस्म सहिष्णुता कारक है, और स्वयं के अलावा केवल दृढ़ता से सहन करने योग्य उप-भिन्नता तुच्छ उप-भिन्नता (एक-तत्व जाली से मिलकर) है।  इसका कारण यह है कि प्रत्येक जाली (आदेश) दो-तत्व जाली के प्रत्यक्ष उत्पाद के उप-वर्ग के सहिष्णुता संबंध पर भागफल जाली के उप-वर्ग के लिए समरूप है।

यह भी देखें

 * निर्भरता संबंध
 * अर्धसकर्मक संबंध- सामाजिक पसंद सिद्धांत में उदासीनता को औपचारिक रूप देने के लिए एक सामान्यीकरण
 * कच्चा सेट

अग्रिम पठन

 * Gerasin, S. N., Shlyakhov, V. V., and Yakovlev, S. V. 2008. Set coverings and tolerance relations. Cybernetics and Sys. Anal. 44, 3 (May 2008), 333–340.
 * Hryniewiecki, K. 1991, Relations of Tolerance, FORMALIZED MATHEMATICS, Vol. 2, No. 1, January–February 1991.