उत्पारण सीमा चालकता

भौतिकी में परकोलेशन थ्रेसहोल्ड के पास चालकता, एक ढांकता हुआ और धातु घटक के बीच मिश्रण में होती है। विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता $$ \sigma $$ और ढांकता हुआ स्थिरांक $$ \epsilon $$ यदि धात्विक घटक का अंश अंत:स्रवण दहलीज तक पहुँच जाता है तो इस मिश्रण का एक महत्वपूर्ण व्यवहार प्रदर्शित होता है। इस परकोलेशन थ्रेसहोल्ड के पास चालकता का व्यवहार ढांकता हुआ घटक की चालकता से धातु घटक की चालकता में एक सहज परिवर्तन दिखाएगा। इस व्यवहार को दो महत्वपूर्ण घातांक एस और टी का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, जबकि थ्रेशोल्ड के दोनों ओर से संपर्क करने पर ढांकता हुआ स्थिरांक अलग हो जाएगा। इलेक्ट्रॉनिक घटकों में आवृत्ति निर्भर व्यवहार को शामिल करने के लिए, एक प्रतिरोधक-संधारित्र मॉडल (आर-सी मॉडल) का उपयोग किया जाता है।

ज्यामितीय परकोलेशन
एक ढांकता हुआ और एक धातु घटक के ऐसे मिश्रण का वर्णन करने के लिए हम बंधन-छिद्रण के मॉडल का उपयोग करते हैं। एक नियमित जाली पर, दो निकटतम पड़ोसियों के बीच का बंधन या तो संभाव्यता के साथ कब्जा किया जा सकता है $$ p $$ या संभाव्यता के साथ कब्जा नहीं किया $$ 1-p $$. एक महत्वपूर्ण मूल्य मौजूद है $$ p_c $$. व्यवसाय की संभावनाओं के लिए $$ p > p_c $$ कब्जे वाले बंधनों का एक अनंत समूह बनता है। यह मान $$ p_c $$ परकोलेशन दहलीज कहा जाता है। इस परकोलेशन थ्रेशोल्ड के पास के क्षेत्र को दो महत्वपूर्ण घातांकों द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$ \nu $$ और $$ \beta $$ ( परकोलेशन क्रिटिकल एक्सपोर्टर देखें)।

इन महत्वपूर्ण घातांकों के साथ हमारे पास सहसंबंध की लंबाई है, $$ \xi $$

$$ \xi(p) \propto (p_c - p)^{- \nu} $$ और परकोलेशन प्रायिकता, पी:

$$ P(p) \propto (p - p_c)^{\beta} $$

विद्युत परकोलेशन
विद्युत परकोलेशन के विवरण के लिए, हम बॉन्ड-परकोलेशन मॉडल के कब्जे वाले बॉन्ड की पहचान धातु के घटक के साथ करते हैं जिसमें चालकता होती है $$ \sigma_m $$. और चालकता के साथ ढांकता हुआ घटक $$ \sigma_d $$ गैर-अधिकृत बांडों से मेल खाता है। हम एक कंडक्टर-इन्सुलेटर मिश्रण और एक सुपरकंडक्टर-कंडक्टर मिश्रण के निम्नलिखित दो प्रसिद्ध मामलों पर विचार करते हैं।

कंडक्टर-इन्सुलेटर मिश्रण
कंडक्टर-इन्सुलेटर मिश्रण के मामले में हमारे पास है $$ \sigma_d = 0 $$. यह मामला व्यवहार का वर्णन करता है, यदि ऊपर से अंतःस्रवण सीमा तक संपर्क किया जाता है:

$$ \sigma_{DC}(p) \propto \sigma_m (p - p_c)^t $$ के लिए $$ p > p_c $$ पर्कोलेशन थ्रेशोल्ड के नीचे हमारे पास कोई चालकता नहीं है, क्योंकि सही इंसुलेटर और सिर्फ धातु के गुच्छे हैं। घातांक टी विद्युत परकोलेशन के लिए दो महत्वपूर्ण घातांकों में से एक है।

अतिचालक–चालक मिश्रण
सुपरकंडक्टर-कंडक्टर मिश्रण के दूसरे प्रसिद्ध मामले में हमारे पास है $$ \sigma_m = \infty $$. यह मामला अंत:स्रवण दहलीज के नीचे विवरण के लिए उपयोगी है:

$$ \sigma_{DC}(p) \propto \sigma_d (p_c - p) ^{-s} $$ के लिए $$ p < p_c $$ अब, अंतःस्रवण दहलीज के ऊपर अनंत सुपरकंडक्टिंग क्लस्टर्स के कारण चालकता अनंत हो जाती है। और हमें इलेक्ट्रिकल परकोलेशन के लिए दूसरा क्रिटिकल एक्सपोनेंट भी मिलता है।

अंतःस्रवण दहलीज के पास चालकता
परकोलेशन थ्रेसहोल्ड के आसपास के क्षेत्र में, चालकता एक स्केलिंग रूप लेती है:

$$ \sigma(p) \propto \sigma_m |\Delta p|^t \Phi_{\pm} \left(h|\Delta p|^{-s-t}\right) $$ साथ $$ \Delta p \equiv p - p_c $$ और $$ h \equiv \frac{\sigma_d}{\sigma_m} $$ परकोलेशन दहलीज पर, चालकता मूल्य तक पहुँचती है:

$$ \sigma_{DC}(p_c) \propto \sigma_m \left(\frac{\sigma_d}{\sigma_m}\right)^u $$ साथ $$ u = \frac{t}{t+s} $$

महत्वपूर्ण घातांकों के लिए मान
विभिन्न स्रोतों में 3 आयामों में महत्वपूर्ण घातांक s, t और u के लिए कुछ भिन्न मान मौजूद हैं:

ढांकता हुआ स्थिरांक = ढांकता हुआ स्थिरांक भी अंतःस्रवण सीमा के पास एक महत्वपूर्ण व्यवहार दिखाता है। हमारे पास ढांकता हुआ स्थिरांक के वास्तविक भाग के लिए:

$$ \epsilon_1(\omega=0,p) = \frac{\epsilon_d}{|p-p_c|^s} $$

आर-सी मॉडल
आरसी मॉडल के भीतर, परकोलेशन मॉडल में बांड चालकता के साथ शुद्ध प्रतिरोधों द्वारा दर्शाए जाते हैं $$ \sigma_m = 1/R $$ कब्जे वाले बंधनों के लिए और चालकता के साथ सही कैपेसिटर द्वारा $$ \sigma_d = i C \omega $$ (कहाँ $$ \omega $$ कोणीय आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है) गैर-अधिकृत बांडों के लिए। अब स्केलिंग कानून रूप लेता है:

$$ \sigma(p, \omega) \propto \frac{1}{R} |\Delta p|^t \Phi_{\pm} \left(\frac{ i \omega}{\omega_0}|\Delta p|^{-(s+t)}\right) $$ इस स्केलिंग कानून में विशुद्ध रूप से काल्पनिक स्केलिंग वैरिएबल और एक महत्वपूर्ण समय स्केल शामिल है

$$ \tau^* = \frac{1}{\omega_0}|\Delta p|^{-(s+t)} $$ जो अलग हो जाता है अगर अंतःस्रवण दहलीज को ऊपर से और साथ ही नीचे से संपर्क किया जाता है।

घने नेटवर्क के लिए चालकता
घने नेटवर्क के लिए, परकोलेशन की अवधारणा सीधे लागू नहीं होती है और नेटवर्क के ज्यामितीय गुणों के संदर्भ में प्रभावी प्रतिरोध की गणना की जाती है। यह मानते हुए कि किनारे की लंबाई << इलेक्ट्रोड रिक्ति और किनारों को समान रूप से वितरित किया जाना है, क्षमता को एक इलेक्ट्रोड से दूसरे में समान रूप से गिराने के लिए माना जा सकता है। ऐसे यादृच्छिक नेटवर्क का शीट प्रतिरोध ($$R_{sn}$$) किनारे (तार) घनत्व के संदर्भ में लिखा जा सकता है ($$N_E$$), प्रतिरोधकता ($$\rho$$), चौड़ाई ($$w$$) और मोटाई ($$t$$) किनारों (तारों) के रूप में: $$R_{sn}\,=\,\frac{\pi}{2}\frac{\rho}{w\,t\,\sqrt{N_E}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,$$

यह भी देखें

 * परकोलेशन सिद्धांत