स्ट्रेन-रेट टेंसर

सातत्य यांत्रिकी में, तनाव-दर टेंसर या रेट-ऑफ- तनाव टेंसर एक भौतिक मात्रा है जो एक निश्चित समय पर एक निश्चित बिंदु के पड़ोस में एक सामग्री के विरूपण (यांत्रिकी) के व्युत्पन्न का वर्णन करता है। इसे समय के संबंध में तनाव टेन्सर के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, या प्रवाह वेग के जैकबियन मैट्रिक्स (स्थिति के संबंध में व्युत्पन्न) के सममित घटक के रूप में। द्रव यांत्रिकी में इसे वेग प्रवणता के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है, यह एक माप है कि द्रव के भीतर विभिन्न बिंदुओं के बीच द्रव का वेग क्षेत्र कैसे बदलता है। हालांकि यह शब्द एक पाइप में प्रवाह की परतों के बीच वेग के अंतर को संदर्भित कर सकता है, इसका उपयोग अक्सर इसकी समन्वय प्रणाली # सामान्य समन्वय प्रणालियों के संबंध में प्रवाह के वेग के स्थानिक ढाल के अर्थ के लिए किया जाता है। अवधारणा में  magnetohydrodynamics, खनन और जल उपचार सहित भौतिकी और  अभियांत्रिकी  के विभिन्न क्षेत्रों में निहितार्थ हैं।   तनाव दर टेन्सर एक विशुद्ध रूप से गतिकी अवधारणा है जो सामग्री के  स्थूल  गति का वर्णन करता है। इसलिए, यह सामग्री की प्रकृति पर, या उस पर कार्य करने वाली ताकतों और तनावों पर निर्भर नहीं करता है; और यह किसी भी सतत यांत्रिकी पर लागू होता है, चाहे वह ठोस, [[तरल]] या गैस हो।

दूसरी ओर, superfluid को छोड़कर किसी भी तरल पदार्थ के लिए, इसके विरूपण में कोई भी क्रमिक परिवर्तन (अर्थात एक गैर-शून्य तनाव दर टेंसर) आसन्न द्रव तत्वों के बीच घर्षण के कारण, इसके इंटीरियर में चिपचिपाहट को जन्म देता है, जो उस परिवर्तन का विरोध करता है। द्रव में किसी भी बिंदु पर, इन तनावों को एक चिपचिपे तनाव टेंसर द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो लगभग हमेशा, पूरी तरह से तनाव दर टेंसर और उस बिंदु पर द्रव के कुछ आंतरिक गुणों द्वारा निर्धारित होता है। स्थिर विरूपण में देखे गए लोचदार तनाव टेंसर के अलावा ठोस पदार्थों में चिपचिपा तनाव भी होता है; जब यह अनदेखा करने के लिए बहुत बड़ा होता है, तो सामग्री को viscoelastic कहा जाता है।

आयामी विश्लेषण
आयामी विश्लेषण करके, वेग प्रवणता के आयाम निर्धारित किए जा सकते हैं। वेग के आयाम हैं $$\mathsf {M^0 L^1 T^{-1}} $$, और दूरी के आयाम हैं $$\mathsf{ M^0 L^1 T^0}$$. चूंकि वेग ढाल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\frac{\Delta \text{velocity}}{\Delta \text{distance}}$$. इसलिए, वेग ढाल के आयाम इस अनुपात के समान हैं, अर्थात, $$\mathsf{ M^0 L^0 T^{-1} }$$.

सातत्य यांत्रिकी में
3 आयामों में, ढाल $$\nabla\mathbf{v}$$ वेग का $$\mathbf{v}$$ एक दूसरे क्रम का टेन्सर  है जिसे मैट्रिक्स (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\mathbf{L}$$: $$\mathbf{L} = \nabla\mathbf{v} = \begin{bmatrix} {\frac{\partial v_x}{\partial x}} & {\frac{\partial v_x}{\partial y}} & {\frac{\partial v_x}{\partial z}} \\ {\frac{\partial v_y}{\partial x}} & {\frac{\partial v_y}{\partial y}} & {\frac{\partial v_y}{\partial z}\ } \\ {\frac{\partial v_z}{\partial x}} & {\frac{\partial v_z}{\partial y}} & {\frac{\partial v_z}{\partial z}} \end{bmatrix}$$ $$\mathbf{L}$$ एक सममित मैट्रिक्स के योग में विघटित किया जा सकता है $$\textbf{E}$$ और एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स $$\textbf{W}$$ निम्नलिखित नुसार $$\begin{align} \mathbf{E} &= \frac{1}{2} \left(\mathbf{L} + \mathbf{L}^\textsf{T}\right) \\ \mathbf{W} &= \frac{1}{2} \left(\mathbf{L} - \mathbf{L}^\textsf{T}\right) \end{align}$$ $$\textbf{E}$$ तनाव दर टेंसर कहा जाता है और खींचने और कतरनी की दर का वर्णन करता है। $$\textbf{W}$$ स्पिन टेंसर कहा जाता है और रोटेशन की दर का वर्णन करता है।

कतरनी तनाव और वेग क्षेत्र के बीच संबंध
सर आइजैक न्यूटन ने प्रस्तावित किया कि अपरूपण प्रतिबल सीधे वेग प्रवणता के समानुपाती होता है: $$\tau = \mu\frac{\partial u} {\partial y}.$$ आनुपातिकता का स्थिरांक, $$\mu$$, विस्कोसिटी#परिभाषा कहलाती है।

औपचारिक परिभाषा
एक भौतिक पिंड, ठोस या द्रव पर विचार करें, जो बह रहा है और/या अंतरिक्ष में गतिमान है। होने देना $v$ शरीर के भीतर वेग सदिश क्षेत्र हो; वह है, से एक अवकलनीय फलन फलन $R^{3} × R$ ऐसा है कि $v(p, t)$ बिंदु से गुजरने वाली सामग्री का स्थूल वेग है $p$ समय पर $t$.

वेग $v(p + r, t)$ से विस्थापित एक बिंदु पर $p$ एक छोटे वेक्टर द्वारा $r$ टेलर श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है: $$\mathbf{v}(\mathbf{p} + \mathbf{r}, t) = \mathbf{v}(\mathbf{p}, t) + (\nabla \mathbf{v})(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}) + \text{higher order terms},$$ कहाँ $∇v$ वेग क्षेत्र का ढाल, एक रेखीय मानचित्र के रूप में समझा जाता है जो एक विस्थापन सदिश लेता है $r$ वेग में इसी परिवर्तन के लिए।

संदर्भ के एक मनमाना फ्रेम में, $v(p + r)$ फ़ील्ड के जैकोबियन मैट्रिक्स से संबंधित है, अर्थात् 3 आयामों में यह 3 × 3 मैट्रिक्स है $$\left(\nabla \mathbf{v}\right)^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} \partial_1 v_1 & \partial_2 v_1 & \partial_3 v_1 \\ \partial_1 v_2 & \partial_2 v_2 & \partial_3 v_2 \\ \partial_1 v_3 & \partial_2 v_3 & \partial_3 v_3 \end{bmatrix} = \mathbf{J}.$$ कहाँ $t$ का घटक है $v(p)$ समन्वय अक्ष के समानांतर $v_{i}$ और $(∇v)(p, t)(r)$ किसी फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है $i$ अंतरिक्ष समन्वय के संबंध में $f$. ध्यान दें कि $v(p + r, t)$ का कार्य है $p$ और $x_{j}$.

इस समन्वय प्रणाली में, वेग के लिए टेलर सन्निकटन निकट है $p$ है $$v_i(\mathbf{p} + \mathbf{r}, t) = v_i(\mathbf{p}, t) + \sum_j J_{i j}(\mathbf{p}, t) r_j = v_i(\mathbf{p}, t) + \sum_j \partial_j v_i(\mathbf{p}, t) r_j;$$ या केवल $$\mathbf{v}(\mathbf{p} + \mathbf{r}, t) = \mathbf{v}(\mathbf{p}, t) + \mathbf{J}(\mathbf{p}, t) \mathbf{r}$$ अगर $∇v$ और $v$ को 3 × 1 आव्यूह के रूप में देखा जाता है।

सममित और विषम भाग
किसी भी मैट्रिक्स को एक सममित मैट्रिक्स और एक एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स के योग में विघटित किया जा सकता है। इसे सममित और एंटीसिमेट्रिक घटकों के साथ जैकोबियन मैट्रिक्स पर लागू करना $∂_{j}f$ और $J$ क्रमश: $$\begin{align} \mathbf{E} &= \frac{1}{2}\left(\mathbf{J} + \mathbf{J}^\textsf{T}\right) & \mathbf{R} &= \frac{1}{2}\left(\mathbf{J} - \mathbf{J}^\textsf{T}\right) \\ E_{ij} &= \frac{1}{2}\left(\partial_j v_i + \partial_i v_j\right) & R_{ij} &= \frac{1}{2}\left(\partial_j v_i - \partial_i v_j\right) \end{align}$$ यह अपघटन समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है, और इसलिए इसका भौतिक महत्व है। तब वेग क्षेत्र का अनुमान लगाया जा सकता है $$\mathbf{v}(\mathbf{p} + \mathbf{r}, t) \approx \mathbf{v}(\mathbf{p}, t) + \mathbf{E}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}) + \mathbf{R}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}),$$ वह है, $$\begin{align} v_i(\mathbf{p} + \mathbf{r}, t)   &= v_i(\mathbf{p}, t) + \sum_j E_{i j}(\mathbf{p}, t) r_j + \sum_j R_{i j}(\mathbf{p}, t) r_j \\ &= v_i(\mathbf{p}, t) + \frac{1}{2}\sum_j \left(\partial_j v_i(\mathbf{p}, t) + \partial_i v_j(\mathbf{p}, t)\right)r_j + \frac{1}{2}\sum_j \left(\partial_j v_i(\mathbf{p}, t) - \partial_i v_j(\mathbf{p}, t)\right)r_j \end{align}$$ एंटीसिमेट्रिक शब्द $p$ बिंदु के बारे में तरल पदार्थ के कठोर घुमाव का प्रतिनिधित्व करता है $p$. इसका कोणीय वेग $v$ है $$\vec{\omega} = \frac{1}{2} \nabla \times \mathbf{v} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \partial_2 v_3 - \partial_3 v_2 \\ \partial_3 v_1 - \partial_1 v_3 \\ \partial_1 v_2 - \partial_2 v_1 \end{bmatrix}.$$ उत्पाद $r$ सदिश क्षेत्र का घूर्णी कर्ल कहलाता है। एक कठोर घुमाव द्रव तत्वों की सापेक्ष स्थिति को नहीं बदलता है, इसलिए एंटीसिमेट्रिक शब्द $E(p, t)(r)$ वेग प्रवणता विरूपण के परिवर्तन की दर में योगदान नहीं करती है। वास्तविक तनाव दर इसलिए सममित द्वारा वर्णित है $R(p, t)(r)$ टर्म, जो स्ट्रेन रेट टेन्सर है।

कतरनी दर और संपीड़न दर
सममित शब्द $E$ (रेट-ऑफ़-स्ट्रेन टेन्सर) को इकाई टेन्सर के अदिश गुणन के योग के रूप में और भी तोड़ा जा सकता है, जो एक क्रमिक आइसोट्रोपिक विस्तार या संकुचन का प्रतिनिधित्व करता है; और एक ट्रेस (गणित) सममित टेंसर जो क्रमिक कतरनी विरूपण का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें मात्रा में कोई परिवर्तन नहीं होता है: $$\mathbf{E}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}) = \mathbf{S}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}) + \mathbf{D}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}).$$ वह है, $$E_{ij} = \underbrace{\frac{1}{3}\left(\sum_k\partial_k v_k\right) \delta_{ij}}_{\text{rate-of-expansion tensor } S_{ij}} + \underbrace{\overbrace{\frac{1}{2}\left(\partial_i v_j + \partial_j v_i\right)}^{E_{ij}}-S_{ij}}_{\text{rate-of-shear tensor } D_{ij}},$$ यहाँ $R$ क्रोनकर डेल्टा है, जैसे कि $t$ 1 है अगर $R$ और 0 अगर $p$. यह अपघटन समन्वय प्रणाली की पसंद से स्वतंत्र है, और इसलिए भौतिक रूप से महत्वपूर्ण है।

विस्तार दर टेंसर का निशान वेग क्षेत्र का विचलन है: $$\nabla \cdot \mathbf{v} = \partial_1 v_1 + \partial_2 v_2 + \partial_3 v_3;$$ वह दर है जिस पर एक निश्चित मात्रा में द्रव का आयतन उस बिंदु पर बढ़ता है।

कतरनी दर टेंसर को एक सममित 3 × 3 मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है, और एक प्रवाह का वर्णन करता है जो संपीड़न और विस्तार प्रवाह को तीन ऑर्थोगोनल अक्षों के साथ जोड़ता है, जैसे कि मात्रा में कोई परिवर्तन नहीं होता है। इस प्रकार का प्रवाह होता है, उदाहरण के लिए, जब एक रबड़  की पट्टी को सिरों पर खींचकर खींचा जाता है, या जब एक चम्मच से शहद एक चिकनी अखंड धारा के रूप में गिरता है।

द्वि-आयामी प्रवाह के लिए, का विचलन $$\vec{\omega}$$ में केवल दो शब्द हैं और मात्रा के बजाय क्षेत्र में परिवर्तन की मात्रा निर्धारित करता है। विस्तार दर अवधि में कारक 1/3 को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए $δ_{ij}$ उस मामले में।

उदाहरण
वेग प्रवणताओं का अध्ययन पथ पर निर्भर सामग्रियों के विश्लेषण और तनावों और तनावों के बाद के अध्ययन में उपयोगी है; जैसे, धातुओं का प्लास्टिक विरूपण। एक ट्यूब से बहने वाले असंतुलित अभिकारकों की निकट-दीवार वेग प्रवणता ज्वाला स्थिरता को चिह्नित करने के लिए एक प्रमुख पैरामीटर है। प्लाज्मा (भौतिकी) का वेग ढाल मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स में मौलिक समीकरणों के समाधान के लिए शर्तों को परिभाषित कर सकता है।

एक पाइप में द्रव
एक पाइप (द्रव संवहन) के माध्यम से बहने वाले द्रव के वेग क्षेत्र पर विचार करें। पाइप के संपर्क में द्रव की परत पाइप के संबंध में स्थिर रहती है। इसे फिसलने की स्थिति नहीं  कहा जाता है। यदि पाइप के केंद्र में और पाइप के किनारों पर द्रव परतों के बीच वेग का अंतर पर्याप्त रूप से छोटा है, तो तरल प्रवाह निरंतर परतों के रूप में देखा जाता है। इस प्रकार के प्रवाह को लामिनार प्रवाह कहा जाता है।

आसन्न परतों के बीच प्रवाह वेग अंतर को वेग प्रवणता के संदर्भ में मापा जा सकता है, द्वारा दिया गया $$ \Delta u / \Delta y$$. कहाँ $$\Delta u$$ दो परतों के बीच प्रवाह वेग में अंतर है और $$\Delta y$$ परतों के बीच की दूरी है।

यह भी देखें

 * तनाव टेन्सर (बहुविकल्पी)
 * , सातत्य यांत्रिकी से स्थानिक और भौतिक वेग प्रवणता