एबेलियन समाकलन

गणित में, नॉर्वेजियन गणितज्ञ नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर एक एबेलियन अभिन्न, फॉर्म के जटिल विमान में एक इंटीग्रल है


 * $$\int_{z_0}^z R(x,w) \, dx,$$

कहाँ $$R(x,w)$$ दो चरों का एक मनमाना तर्कसंगत कार्य है $$x$$ और $$w$$, जो समीकरण से संबंधित हैं


 * $$F(x,w)=0,$$ कहाँ $$F(x,w)$$ में एक अलघुकरणीय बहुपद है $$w$$,


 * $$F(x,w)\equiv\varphi_n(x)w^n+\cdots+\varphi_1(x)w +\varphi_0\left(x\right),$$

जिनके गुणांक $$\varphi_j(x)$$, $$j=0,1,\ldots,n$$ के तर्कसंगत कार्य हैं $$x$$. एबेलियन इंटीग्रल का मूल्य न केवल इंटीग्रेशन की सीमा पर निर्भर करता है, बल्कि उस रास्ते पर भी निर्भर करता है जिसके साथ इंटीग्रल लिया जाता है; यह इस प्रकार का एक बहुविकल्पीय कार्य है $$z$$.

एबेलियन इंटीग्रल अंडाकार इंटीग्रल के प्राकृतिक सामान्यीकरण हैं, जो तब उत्पन्न होते हैं


 * $$F(x,w)=w^2-P(x), \, $$

कहाँ $$P\left(x\right)$$ डिग्री 3 या 4 का एक बहुपद है। एबेलियन इंटीग्रल का एक और विशेष मामला हाइपरेलिप्टिक इंटीग्रल है, जहां $$P(x)$$, ऊपर दिए गए सूत्र में, 4 से अधिक डिग्री का बहुपद है।

इतिहास
एबेलियन इंटीग्रल्स का सिद्धांत एबेल द्वारा एक पेपर के साथ उत्पन्न हुआ 1841 में प्रकाशित। यह पत्र 1826 में उनके पेरिस प्रवास के दौरान लिखा गया था और उसी वर्ष अक्टूबर में ऑगस्टिन-लुई कॉची को प्रस्तुत किया गया था। यह सिद्धांत, बाद में पूरी तरह से दूसरों द्वारा विकसित, उन्नीसवीं शताब्दी के गणित की सर्वोच्च उपलब्धियों में से एक था और आधुनिक गणित के विकास पर इसका बड़ा प्रभाव पड़ा है। अधिक अमूर्त और ज्यामितीय भाषा में, यह एबेलियन किस्म की अवधारणा में निहित है, या अधिक सटीक रूप से एक बीजगणितीय वक्र को एबेलियन किस्मों में मैप किया जा सकता है। एबेलियन इंटीग्रल बाद में प्रमुख गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट की हिल्बर्ट की सोलहवीं समस्या से जुड़े थे, और उन्हें समकालीन गणित में सबसे महत्वपूर्ण चुनौतियों में से एक माना जाता है।

आधुनिक दृश्य
रीमैन सतहों के सिद्धांत में, एक एबेलियन इंटीग्रल पहली तरह के अंतर के अनिश्चित इंटीग्रल से संबंधित एक फ़ंक्शन है। मान लीजिए हमें एक रीमैन सतह दी गई है $$S$$ और उस पर एक विभेदक रूप|अंतर 1-रूप $$\omega$$ वह हर जगह होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन पर है $$S$$, और एक बिंदु तय करें $$P_0$$ पर $$S$$, जिससे एकीकृत करना है। हम मान सकते हैं


 * $$\int_{P_0}^P \omega$$

एक बहु-मूल्यवान कार्य के रूप में $$f\left(P\right)$$, या (बेहतर) चुने हुए रास्ते का एक ईमानदार कार्य $$C$$ के नाम आहरित $$S$$ से $$P_0$$ को $$P$$. तब से $$S$$ आम तौर पर कई गुना जुड़ा होगा, किसी को निर्दिष्ट करना चाहिए $$C$$, लेकिन मूल्य वास्तव में केवल समरूपता वर्ग पर निर्भर करेगा $$C$$.

के मामले में $$S$$ जीनस (गणित) 1 की एक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह, यानी एक अण्डाकार वक्र, ऐसे कार्य अण्डाकार अभिन्न हैं। तार्किक रूप से बोलना, इसलिए, एक एबेलियन इंटीग्रल एक फ़ंक्शन होना चाहिए जैसे $$f$$.

इस तरह के कार्यों को पहली बार हाइपरेलिप्टिक इंटीग्रल का अध्ययन करने के लिए पेश किया गया था, यानी, जहां मामले के लिए $$S$$ एक हाइपरेलिप्टिक वक्र है। बीजगणितीय कार्यों को शामिल करने वाले इंटीग्रल के मामले में एकीकरण के सिद्धांत में यह एक प्राकृतिक कदम है $$\sqrt{A}$$, कहाँ $$A$$ डिग्री का बहुपद है $$>4$$. सिद्धांत की पहली प्रमुख अंतर्दृष्टि हाबिल द्वारा दी गई थी; इसे बाद में जैकोबियन किस्म के संदर्भ में तैयार किया गया था $$J\left(S\right)$$. के विकल्प $$P_0$$ एक मानक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन को जन्म देता है


 * $$S\to J(S)$$

जटिल कई गुना। इसकी परिभाषित संपत्ति है कि होलोमोर्फिक 1-रूपों पर $$S\to J(S)$$, जिनमें से g स्वतंत्र हैं यदि g, S का जीनस है, S पर पहली तरह के डिफरेंशियल के आधार पर पुलबैक (अंतर ज्यामिति) ।

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