बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड

गणित में, एक फ़ील्ड k पर n वेरिएबल्स का एक बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड (प्रायः फ़ंक्शन फ़ील्ड के रूप में संक्षिप्त) एक परिमित रूप से उत्पन्न फ़ील्ड विस्तार K/k होता है,  जिसमें k के ऊपर ट्रान्सेंडेंस डिग्री n होती है। समान रूप से, k के ऊपर n चरों के एक बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड को k के ऊपर n चरों में परिमेय फंक्शन्स के फ़ील्ड K = k(x1,...,xn) के एक परिमित फ़ील्ड विस्तार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

उदाहरण
उदाहरण के रूप में, बहुपद वलय k [X,Y] में अपरिवर्तनीय बहुपद Y2 − X3 द्वारा उत्पन्न आदर्श पर विचार करें और भागफल वलय k [X,Y]/(Y2 − X3) के अंशों का क्षेत्र बनाएं।यह k पर एक वेरिएबल का फ़ंक्शन फ़ील्ड है; इसे $$k(X)(\sqrt{X^3})$$ ($$k(X)$$ पर डिग्री 2 के साथ)   या $$k(Y)(\sqrt[3]{Y^2})$$ ($$k(Y)$$ पर डिग्री 3 के साथ ) के रूप में भी लिखा जा सकता है। हम देखते हैं कि बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड की डिग्री एक अच्छी तरह से परिभाषित धारणा नहीं है।

श्रेणी संरचना
k के ऊपर बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड एक श्रेणी बनाते हैं; फ़ंक्शन फ़ील्ड K से L तक की मोर्फिज्म वलय समरूपताएँ f : K → L हैं जिनमें k में सभी a के लिए f(a) = a है। ये सभी मोर्फिज्म अंतःक्षेपक हैं। यदि K, n वेरिएबल्स के k के ऊपर एक फ़ंक्शन फ़ील्ड है, और L, m वेरिएबल्स में एक फ़ंक्शन फ़ील्ड है, और n > m, तो K से L तक कोई मोर्फिज्म नहीं है।

बहुरूपता, वक्रों और रीमैन सतहों से उत्पन्न होने वाले कार्य क्षेत्र
k के ऊपर आयाम n की एक बीजगणितीय विविधता का फ़ंक्शन फ़ील्ड, k के ऊपर n चर का एक बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड है। दो किस्में द्विवार्षिक रूप से समतुल्य हैं यदि और केवल यदि उनके कार्य क्षेत्र आइसोमोर्फिक हैं। (लेकिन ध्यान दें कि गैर-आइसोमोर्फिक विविधताओं का एक ही कार्य क्षेत्र हो सकता है!) प्रत्येक बहुरूपता को उसके कार्य क्षेत्र को निर्दिष्ट करने से k से अधिक किस्मों की श्रेणी (मोर्फिज्म के रूप में तर्कसंगत मानचित्रण के साथ) और k के ऊपर बीजगणित कार्य क्षेत्र की श्रेणी के बीच एक द्वंद्व (कॉन्ट्रावेरिएंट तुल्यता) उत्पन्न होता है। k से अधिक बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड की श्रेणी। (यहां मानी गई किस्मों को योजना अर्थ में लिया जाना चाहिए; उन्हें किसी भी k-तर्कसंगत बिंदु की आवश्यकता नहीं है, जैसे वक्र $X^{2} + Y^{2} + 1 = 0$ को वास्तविक संख्या पर परिभाषित किया गया है, जो कि $k = R$ के साथ है।)

स्थिति n = 1 (योजना के अर्थ में अलघुकरणीय बीजगणितीय वक्र) विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, क्योंकि k के ऊपर एक चर का प्रत्येक फ़ंक्शन फ़ील्ड K के ऊपर एक विशिष्ट रूप से परिभाषित नियमित (यानी गैर-एकवचन) प्रक्षेप्य अप्रासंगिक बीजगणितीय वक्र के कार्य क्षेत्र के रूप में उत्पन्न होता है। वास्तव में, फ़ंक्शन फ़ील्ड नियमित प्रोजेक्टिव इरेड्यूसेबल बीजगणितीय वक्रों की श्रेणी (मोर्फिज्म के रूप में प्रमुख नियमित मानचित्र के साथ) और k पर एक चर के फ़ंक्शन फ़ील्ड की श्रेणी के बीच एक द्वंद्व उत्पन्न करता है।

कनेक्टेड रीमैन सतह X पर परिभाषित मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन का फ़ील्ड M(X) जटिल संख्या C पर एक चर का फ़ंक्शन फ़ील्ड है। वास्तव में, एम कॉम्पैक्ट कनेक्टेड रीमैन सतहों की श्रेणी (मॉर्फिज्म के रूप में गैर-स्थिर ̩होलोमार्फिक मानचित्रों के साथ) और C पर एक चर के फ़ंक्शन फ़ील्ड के बीच एक द्वंद्व (कॉन्ट्रावेरिएंट तुल्यता) उत्पन्न करता है। ̩R पर एक चर में कॉम्पैक्ट कनेक्टेड क्लेन सतहों और फ़ंक्शन फ़ील्ड के बीच एक समान पत्राचार मौजूद है।

संख्या फ़ील्ड और परिमित फ़ील्ड
फ़ंक्शन फ़ील्ड सादृश्य बताता है कि संख्या फ़ील्ड पर लगभग सभी प्रमेयों में एक परिमित फ़ील्ड पर एक चर के फ़ंक्शन फ़ील्ड पर एक समकक्ष होता है, और इन समकक्षों को प्रमाणित करना प्रायः आसान होता है। (उदाहरण के लिए, परिमित क्षेत्र पर अपरिवर्तनीय बहुपदों के लिए एनालॉग देखें।) इस सादृश्य के संदर्भ में, परिमित क्षेत्रों पर संख्या क्षेत्र और फ़ंक्शन फ़ील्ड दोनों को प्रायः  वैश्विक क्षेत्र  कहा जाता है।

एक परिमित क्षेत्र पर फ़ंक्शन फ़ील्ड के अध्ययन में क्रिप्टोग्राफी और त्रुटि सुधार कोड में अनुप्रयोग होते हैं। उदाहरण के लिए, एक परिमित क्षेत्र (सार्वजनिक कुंजी क्रिप्टोग्राफी के लिए एक महत्वपूर्ण गणितीय उपकरण) पर एक अण्डाकार वक्र का फ़ंक्शन फ़ील्ड एक बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड है।

परिमेय संख्याओं के क्षेत्र में फ़ंक्शन फ़ील्ड व्युत्क्रम गैलोज़ समस्याओं को हल करने में भी महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

स्थिरांकों का क्षेत्र
k के ऊपर किसी भी बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड K को देखते हुए, हम K के तत्वों के सेट पर विचार कर सकते हैं जो k के ऊपर बीजगणितीय हैं। ये तत्व एक क्षेत्र बनाते हैं, जिसे बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड के स्थिरांक के क्षेत्र के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, C(x) R पर एक वेरिएबल का फ़ंक्शन फ़ील्ड है; इसके स्थिरांक का क्षेत्र C है।

मूल्यांकन और स्थान
बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड का अध्ययन करने के लिए मुख्य स्रोत निरपेक्ष मान, मूल्यांकन, स्थान और उनकी पूर्णताएँ हैं।

एक चर के बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड K/k को देखते हुए, हम K/k के मूल्यांकन रिंग की धारणा को परिभाषित करते हैं: यह K का एक सबरिंग O है जिसमें k सम्मिलित है और k और K से अलग है, और ऐसा है कि किसी भी x के लिए K हमारे पास x ∈ O या x-1 ∈ O है। ऐसी प्रत्येक मूल्यांकन रिंग एक अलग मूल्यांकन रिंग है और इसके अधिकतम आदर्श को K/k का स्थान कहा जाता है।

K/k का असतत मूल्यांकन एक विशेषण फलन है v : K → 'Z'∪{∞} जैसे कि v(x) = ∞ iff x = 0, v(xy) = v(x) + v(y) और v(x + y) ≥ min(v(x),v(y)) सभी x, y ∈ K के लिए, और v(a) = 0 सभी a ∈ k \ {0} के लिए है।

K/k के मूल्यांकन वलय के सेट, K/k के स्थानों के सेट और K/k के अलग-अलग मूल्यांकन के सेट के बीच प्राकृतिक विशेषण पत्राचार हैं। इन सेटों को एक प्राकृतिक टोपोलॉजी संरचना दी जा सकती है: K/k का ज़ारिस्की-रीमैन स्थान है।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय किस्म का कार्य क्षेत्र
 * फ़ंक्शन फ़ील्ड (योजना सिद्धांत)
 * बीजीय फलन
 * ड्रिनफेल्ड मॉड्यूल