आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत

आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत (एमपीटी), या माध्य-विचरण विश्लेषण, परिसंपत्तियों के पोर्टफोलियो को एकत्री करने के लिए गणितीय संरचना है जिससे किसी दिए गए विपत्ति स्तर के लिए अपेक्षित रिटर्न अधिकतम हो यह निवेश में विविधीकरण_(वित्त) का औपचारिकीकरण और विस्तार है, यह विचार कि विभिन्न प्रकार की वित्तीय संपत्तियों का मालिक होना केवल प्रकार की संपत्ति रखने की तुलना में कम विपत्ति भरा है। इसकी मुख्य अंतर्दृष्टि यह है कि किसी परिसंपत्ति के विपत्ति और रिटर्न का मूल्यांकन स्वयं नहीं किया जाना चाहिए, किन्तु यह पोर्टफोलियो के संपूर्ण विपत्ति और रिटर्न में कैसे योगदान देता है। यह विपत्ति के लिए परिसंपत्ति की कीमतों में भिन्नता का उपयोग प्रॉक्सी के रूप में करता है।

अर्थशास्त्री हैरी मार्कोविट्ज़ ने 1952 के निबंध में एमपीटी की प्रारंभ की थी। जिसके लिए उन्हें बाद में आर्थिक विज्ञान में नोबेल मेमोरियल पुरस्कार से सम्मानित किया गया मार्कोविट्ज़ मॉडल देखें गये है।

विपत्ति और अपेक्षित रिटर्न
एमपीटी मानता है कि निवेशक विपत्ति लेने से बचते हैं, जिसका अर्थ है कि समान अपेक्षित रिटर्न देने वाले दो पोर्टफोलियो दिए जाने पर, निवेशक कम विपत्ति वाले पोर्टफोलियो को पसंद करेंगे। इस प्रकार कोई निवेशक बढ़ा हुआ विपत्ति तभी उठाएगा जब उसकी भरपाई उच्च प्रत्याशित रिटर्न से होगी। इसके विपरीत, जो निवेशक अधिक अपेक्षित रिटर्न चाहता है उसे अधिक विपत्ति स्वीकार करना चाहिए। स्पष्ट व्यापार-बंद सभी निवेशकों के लिए समान नहीं होगा। अलग-अलग निवेशक व्यक्तिगत विपत्ति से बचने की विशेषताओं के आधार पर ट्रेड-ऑफ का अलग-अलग मूल्यांकन करेंगे। निहितार्थ यह है कि तर्क संगत निवेशक पोर्टफोलियो में निवेश नहीं करेगा यदि दूसरा पोर्टफोलियो अधिक अनुकूल विपत्ति-वापसी स्पेक्ट्रम के साथ उपस्थित है। विपत्ति-अपेक्षित रिटर्न प्रोफ़ाइल - अथार्त, यदि विपत्ति के उस स्तर के लिए वैकल्पिक पोर्टफोलियो उपस्थित है जिसमें उतम अपेक्षित रिटर्न है.

मॉडल के अंतर्गत:
 * पोर्टफोलियो रिटर्न घटक परिसंपत्तियों के रिटर्न का रैखिक संयोजन आनुपातिक-भारित संयोजन है।
 * पोर्टफोलियो रिटर्न अस्थिरता $$\sigma_p$$ सभी परिसंपत्ति जोड़े (i, j) के लिए घटक परिसंपत्तियों के सहसंबंध ρij का कार्य है। अस्थिरता निवेश से जुड़े विपत्ति के बारे में जानकारी देती है। जितनी अधिक अस्थिरता, उतना अधिक विपत्ति।

सामान्य रूप में:


 * अपेक्षित आय:
 * $$ \operatorname{E}(R_p) = \sum_i w_i \operatorname{E}(R_i) \quad $$
 * जहां $$R_p$$ पोर्टफोलियो पर रिटर्न है, $$ R_i $$ एसेट पर रिटर्न है और $$ w_i $$ घटक एसेट $$ i $$ का भार है (अर्थात, पोर्टफोलियो में एसेट "$$ i $$" का अनुपात, इसलिए वह $$\sum_i w_i = 1$$).


 * पोर्टफोलियो रिटर्न विचरण:
 * $$ \sigma_p^2 = \sum_i w_i^2 \sigma_{i}^2 + \sum_i \sum_{j \neq i} w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{ij} $$,
 * जहाँ $$ \sigma_{i} $$ किसी परिसंपत्ति i पर आवधिक रिटर्न का (नमूना) मानक विचलन है, और $$\rho_{ij}$$ संपत्ति i और j पर रिटर्न के मध्य सहसंबंध गुणांक है। वैकल्पिक रूप से अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$ \sigma_p^2 = \sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_i \sigma_j \rho_{ij} $$,
 * जहाँ $$ \rho_{ij} = 1 $$ के लिए $$ i = j $$, या


 * $$ \sigma_p^2 = \sum_i \sum_j w_i w_j \sigma_{ij} $$,
 * जहां $$ \sigma_{ij} = \sigma_i \sigma_j \rho_{ij} $$ दो परिसंपत्तियों पर आवधिक रिटर्न का (नमूना) सहप्रसरण है, या वैकल्पिक रूप से $$ \sigma(i,j) $$$$ \text{cov}_{ij} $$ या $$ \text{cov}(i,j) $$ के रूप में दर्शाया गया है।


 * पोर्टफोलियो रिटर्न अस्थिरता (मानक विचलन):
 * $$ \sigma_p = \sqrt {\sigma_p^2} $$

दो-परिसंपत्ति पोर्टफोलियो के लिए: w_B \operatorname{E}(R_B) = w_A \operatorname{E}(R_A) + (1 - w_A) \operatorname{E}(R_B). $$ तीन-परिसंपत्ति पोर्टफोलियो के लिए: + 2w_Aw_C \sigma_{A} \sigma_{C} \rho_{AC} + 2w_Bw_C  \sigma_{B} \sigma_{C} \rho_{BC}$$ 
 * पोर्टफोलियो रिटर्न: $$ \operatorname{E}(R_p) = w_A \operatorname{E}(R_A) +
 * पोर्टफोलियो विचरण: $$ \sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2  + w_B^2 \sigma_B^2 + 2w_Aw_B  \sigma_{A} \sigma_{B} \rho_{AB}$$
 * पोर्टफोलियो रिटर्न: $$ \operatorname{E}(R_p) = w_A \operatorname{E}(R_A) + w_B \operatorname{E}(R_B) + w_C \operatorname{E}(R_C) $$
 * पोर्टफोलियो विचरण: $$ \sigma_p^2 = w_A^2 \sigma_A^2  + w_B^2 \sigma_B^2 + w_C^2 \sigma_C^2 + 2w_Aw_B  \sigma_{A} \sigma_{B} \rho_{AB}

विविधीकरण
एक निवेशक पोर्टफोलियो विपत्ति को कम कर सकता है (विशेषकर $$\sigma_p$$) बस उन उपकरणों के संयोजन को पकड़कर जो पूरी तरह से सकारात्मक सहसंबंध नहीं हैं (पियर्सन उत्पाद-क्षण सहसंबंध गुणांक $$-1 \le \rho_{ij}< 1$$). दूसरे शब्दों में, निवेशक परिसंपत्तियों के विविधीकरण (वित्त) पोर्टफोलियो को धारण करके व्यक्तिगत परिसंपत्ति विपत्ति के प्रति अपने विपत्ति को कम कर सकते हैं। विविधीकरण कम विपत्ति के साथ समान पोर्टफोलियो अपेक्षित रिटर्न की अनुमति दे सकता है। इष्टतम निवेश पोर्टफोलियो के निर्माण के लिए माध्य-विचरण रूपरेखा सबसे पहले मार्कोविट्ज़ द्वारा प्रस्तुत की गई थी और तब से इसे अन्य अर्थशास्त्रियों और गणितज्ञों द्वारा सुदृढ़ और उत्तम बनाया गया है, जिन्होंने रूपरेखा की सीमाओं को ध्यान में रखा है।

यदि सभी परिसंपत्ति जोड़ियों में 0 का सहसंबंध है - वे पूरी तरह से असंबद्ध हैं - तो पोर्टफोलियो का रिटर्न विचरण परिसंपत्ति के रिटर्न विचरण के समय परिसंपत्ति में रखे गए अंश के वर्ग के सभी परिसंपत्तियों का योग है (और पोर्टफोलियो मानक विचलन वर्गमूल है) इस मात्रा का है

यदि सभी परिसंपत्ति जोड़ियों में 1 का सहसंबंध है - वे पूरी तरह से सकारात्मक रूप से सहसंबद्ध हैं - तो पोर्टफोलियो रिटर्न का मानक विचलन पोर्टफोलियो में रखे गए अंशों द्वारा भारित परिसंपत्ति रिटर्न के मानक विचलन का योग है। दिए गए पोर्टफोलियो भार और परिसंपत्ति रिटर्न के दिए गए मानक विचलन के लिए, सभी सहसंबंधों के 1 होने का स्थितयो पोर्टफोलियो रिटर्न का उच्चतम संभव मानक विचलन देता है।

बिना किसी विपत्ति-मुक्त परिसंपत्ति के कुशल सीमा
एमपीटी माध्य-विचरण सिद्धांत है, और यह पोर्टफोलियो के अपेक्षित (माध्य) रिटर्न की तुलना उसी पोर्टफोलियो के मानक विचलन से करता है। इमेज ऊर्ध्वाधर अक्ष पर अपेक्षित रिटर्न और क्षैतिज अक्ष (अस्थिरता) पर मानक विचलन दिखाती है। अस्थिरता को मानक विचलन द्वारा वर्णित किया गया है और यह विपत्ति के माप के रूप में कार्य करता है। रिटर्न - मानक विचलन स्थान को कभी-कभी 'अपेक्षित रिटर्न बनाम विपत्ति' का स्थान कहा जाता है। विपत्ति पूर्ण परिसंपत्तियों के हर संभावित संयोजन को इस विपत्ति-अपेक्षित रिटर्न स्थान में प्लॉट किया जा सकता है, और ऐसे सभी संभावित पोर्टफोलियो का संग्रह इस स्थान में क्षेत्र को परिभाषित करता है। इस क्षेत्र की बाईं सीमा अतिशयोक्तिपूर्ण है। और हाइपरबोलिक सीमा का ऊपरी भाग विपत्ति-मुक्त संपत्ति (कभी-कभी मार्कोविट्ज़ बुलेट कहा जाता है) की अनुपस्थिति में कुशल सीमा है। इस ऊपरी किनारे पर संयोजन पोर्टफोलियो (विपत्ति-मुक्त संपत्ति की कोई होल्डिंग सहित) का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिसके लिए अपेक्षित रिटर्न के दिए गए स्तर के लिए सबसे कम विपत्ति है। समान रूप से, कुशल सीमा पर स्थित पोर्टफोलियो दिए गए विपत्ति स्तर के लिए सर्वोत्तम संभव अपेक्षित रिटर्न प्रदान करने वाले संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है। हाइपरबोलिक सीमा के ऊपरी भाग की स्पर्श रेखा विपत्ति-मुक्त संपत्ति और पूंजी आवंटन रेखा पूंजी आवंटन रेखा (सीएएल) है।

कुशल सीमांत की गणना के लिए आव्यूह (गणित) को प्राथमिकता दी जाती है।

आव्यूह रूप में किसी दिए गए विपत्ति सहनशीलता के लिए $$q \in [0,\infty)$$, निम्नलिखित अभिव्यक्ति को न्यूनतम करके कुशल सीमा पाई जाती है:
 * $$ w^T \Sigma w - q\times R^T w$$

जहाँ उपरोक्त अनुकूलन सीमा पर उस बिंदु को खोजता है जिस पर सीमा के ढलान का व्युत्क्रम q होगा यदि मानक विचलन के अतिरिक्त पोर्टफोलियो रिटर्न विचरण क्षैतिज रूप से प्लॉट किया गया हो। अपनी संपूर्णता में सीमा q पर पैरामीट्रिक है।
 * $$w$$ पोर्टफोलियो भार का वेक्टर है और $$\sum_i w_i = 1.$$ (वजन नकारात्मक हो सकता है);
 * $$\Sigma$$ पोर्टफोलियो में परिसंपत्तियों पर रिटर्न के लिए सहप्रसरण आव्यूह है;
 * $$q \ge 0$$ विपत्ति सहनशीलता कारक है, जहां न्यूनतम विपत्ति वाले पोर्टफोलियो में 0 परिणाम होता है $$\infty$$ परिणाम स्वरूप पोर्टफोलियो अपेक्षित रिटर्न और असीमित विपत्ति दोनों के साथ सीमा से बहुत आगे निकल जाता है; और
 * $$R$$ अपेक्षित रिटर्न का वेक्टर है।
 * $$w^T \Sigma w$$ पोर्टफोलियो रिटर्न का विचरण है।
 * $$R^T w$$ पोर्टफोलियो पर अपेक्षित रिटर्न है।

हैरी मार्कोविट्ज़ ने उपरोक्त समस्या को हल करने के लिए विशिष्ट प्रक्रिया विकसित की, जिसे क्रिटिकल लाइन विधि कहा जाता है, जो अतिरिक्त रैखिक बाधाओं, परिसंपत्तियों पर ऊपरी और निचली सीमाओं को संभाल सकता है, और जो अर्ध-सकारात्मक निश्चित सहप्रसरण आव्यूह के साथ काम करने के लिए सिद्ध होता है। अनुप्रयोगों के लिए विज़ुअल बेसिक में क्रिटिकल लाइन एल्गोरिदम के कार्यान्वयन के उदाहरण उपस्थित हैं, जावास्क्रिप्ट में और कुछ अन्य भाषाओं में उपस्थित हैं।

साथ ही, मैटलैब, माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल, मेथेमेटिका और R सहित कई सॉफ़्टवेयर पैकेज, सामान्य अनुकूलन रूटीन प्रदान करते हैं जिससे संभावित चेतावनियों (खराब संख्यात्मक स्पष्टता, सहप्रसरण आव्यूह की सकारात्मक निश्चितता की आवश्यकता) के साथ उपरोक्त समस्या को हल करने के लिए इनका उपयोग करना संभव हो सकता है । .).

कुशल सीमा को निर्दिष्ट करने का वैकल्पिक तरीका अपेक्षित पोर्टफोलियो रिटर्न $$R^T w.$$ पर पैरामीट्रिक रूप से ऐसा करना है। समस्या के इस संस्करण के लिए आवश्यक है कि हम इसे कम करें


 * $$ w^T \Sigma w  $$

का विषय है


 * $$R^T w = \mu$$

पैरामीटर के लिए $$\mu$$. इस समस्या को लैग्रेंज गुणक का उपयोग करके आसानी से हल किया जा सकता है जो समीकरणों की निम्नलिखित रैखिक प्रणाली की ओर ले जाता है:


 * $$\begin{bmatrix}2\Sigma &-R & -{\bf1}\\ R^T &0 & 0 \\ {\bf1}^T &0 &0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix}w\\\lambda_1\\\lambda_2\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}0\\\mu \\ 1\end{bmatrix}$$ 

दो म्यूचुअल फंड प्रमेय
उपरोक्त विश्लेषण का प्रमुख परिणाम दो म्यूचुअल फंड पृथक्करण प्रमेय या कोई विपत्ति-मुक्त संपत्ति नहीं है। यह प्रमेय बताता है कि कुशल सीमा पर कोई भी पोर्टफोलियो सीमा पर दिए गए किन्हीं दो पोर्टफोलियो के संयोजन को धारण करके उत्पन्न किया जा सकता है बाद के दो दिए गए पोर्टफोलियो प्रमेय के नाम पर दो म्यूचुअल फंड हैं। इसलिए विपत्ति-मुक्त संपत्ति के अभाव में, निवेशक कोई भी वांछित कुशल पोर्टफोलियो प्राप्त कर सकता है, तथापि वह सब कुछ कुशल म्यूचुअल फंड की जोड़ी ही क्यों न हो यदि सीमा पर वांछित पोर्टफोलियो का स्थान दो म्यूचुअल फंड के स्थानों के मध्य है, तो दोनों म्यूचुअल फंड सकारात्मक मात्रा में रखे जाएंगे यदि वांछित पोर्टफोलियो दो म्यूचुअल फंड द्वारा फैलाई गई सीमा से बाहर है, तो म्यूचुअल फंड में से को कम बेचा जाना चाहिए (नकारात्मक मात्रा में रखा जाना चाहिए) जबकि दूसरे म्यूचुअल फंड में निवेश का आकार उपलब्ध मात्रा से अधिक होना चाहिए निवेश (अतिरिक्त को दूसरे फंड से उधार लेकर वित्त पोषित किया जा रहा है)

विपत्ति-मुक्त संपत्ति और पूंजी आवंटन रेखा
विपत्ति-मुक्त संपत्ति वह (काल्पनिक) संपत्ति है जो विपत्ति-मुक्त दर का भुगतान करती है। वास्तव में, अल्पकालिक सरकारी प्रतिभूतियों (जैसे अमेरिकी ट्रेजरी बिल) का उपयोग विपत्ति-मुक्त संपत्ति के रूप में किया जाता है क्योंकि वे ब्याज की निश्चित दर का भुगतान करते हैं और उनमें असाधारण रूप से कम डिफ़ॉल्ट (वित्त) विपत्ति होता है। विपत्ति-मुक्त परिसंपत्ति में रिटर्न में शून्य भिन्नता होती है (इसलिए विपत्ति-मुक्त होती है) यह किसी अन्य परिसंपत्ति से भी असंबद्ध है (परिभाषा के अनुसार, क्योंकि इसका विचरण शून्य है)। परिणामस्वरूप, जब इसे किसी अन्य परिसंपत्ति या परिसंपत्तियों के पोर्टफोलियो के साथ जोड़ा जाता है, तो रिटर्न में परिवर्तन रैखिक रूप से विपत्ति में परिवर्तन से संबंधित होता है क्योंकि संयोजन में अनुपात भिन्न होता है।

जब कोई विपत्ति-मुक्त संपत्ति प्रस्तुत की जाती है, तो चित्र में दिखाई गई आधी रेखा नई कुशल सीमा होती है। यह उच्चतम शार्प अनुपात के साथ शुद्ध विपत्ति भरे पोर्टफोलियो में हाइपरबोला के स्पर्श रेखा है। इसका वर्टिकल इंटरसेप्ट विपत्ति-मुक्त परिसंपत्ति में 100% हिस्सेदारी वाले पोर्टफोलियो का प्रतिनिधित्व करता है; हाइपरबोला के साथ स्पर्श रेखा ऐसे पोर्टफोलियो का प्रतिनिधित्व करती है जिसमें कोई विपत्ति-मुक्त होल्डिंग नहीं है और पोर्टफोलियो में 100% संपत्ति स्पर्श रेखा बिंदु पर होती है; उन बिंदुओं के मध्य के बिंदु ऐसे पोर्टफोलियो हैं जिनमें विपत्ति पूर्ण स्पर्श रेखा पोर्टफोलियो और विपत्ति-मुक्त संपत्ति दोनों की सकारात्मक मात्रा होती है; और स्पर्श रेखा बिंदु से परे आधी रेखा पर बिंदु ऐसे पोर्टफोलियो हैं जिनमें विपत्ति-मुक्त परिसंपत्ति की नकारात्मक होल्डिंग्स और निवेशक की प्रारंभिक पूंजी के 100% से अधिक के समान स्पर्श रेखा पोर्टफोलियो में निवेश की गई मात्रा सम्मिलित है। इस कुशल अर्ध-रेखा को पूंजी आवंटन रेखा (सीएएल) कहा जाता है, और इसका सूत्र दिखाया जा सकता है


 * $$ E(R_{C}) = R_F + \sigma_C \frac{E(R_P) - R_F}{\sigma_P}.$$

इस सूत्र में P मार्कोविट्ज़ बुलेट के स्पर्शरेखा पर विपत्ति भरी संपत्तियों का उप-पोर्टफोलियो है, F विपत्ति-मुक्त संपत्ति है, और C पोर्टफोलियो P और F का संयोजन है।

आरेख के अनुसार, पोर्टफोलियो के संभावित घटक के रूप में विपत्ति मुक्त परिसंपत्ति की प्रारंभ ने उपलब्ध विपत्ति-अपेक्षित रिटर्न संयोजनों की सीमा में सुधार किया है, क्योंकि स्पर्शरेखा पोर्टफोलियो को छोड़कर हर जगह आधी रेखा हाइपरबोला की तुलना में अधिक अपेक्षित रिटर्न देती है। हर संभव विपत्ति स्तर पर करता है। तथ्य यह है कि रैखिक कुशल लोकस पर सभी बिंदुओं को विपत्ति-मुक्त संपत्ति और स्पर्शरेखा पोर्टफोलियो की होल्डिंग्स के संयोजन से प्राप्त किया जा सकता है, जिसे म्यूचुअल फंड पृथक्करण प्रमेय या विपत्ति-मुक्त संपत्ति के रूप में जाना जाता है। जहां दो म्यूचुअल फंड को संदर्भित किया जाता है वह टैनजेंसी पोर्टफोलियो है।

संपत्ति मूल्य निर्धारण
उपरोक्त विश्लेषण व्यक्तिगत निवेशक के इष्टतम वास्तव का वर्णन करता है। परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण इस विश्लेषण पर निम्नलिखित विधि से आधारित होता है। चूँकि हर कोई विपत्ति भरी परिसंपत्तियों को एक-दूसरे के समान अनुपात में रखता है - अर्थात् स्पर्श रेखा पोर्टफोलियो द्वारा दिए गए अनुपात में - बाजार संतुलन में विपत्ति भरी परिसंपत्तियों की कीमतें, और इसलिए उनके अपेक्षित रिटर्न, समायोजित हो जाएंगे जिससे स्पर्शरेखा पोर्टफोलियो में अनुपात हों उसी अनुपात के समान जिसमें विपत्ति भरी परिसंपत्तियों की बाजार में आपूर्ति की जाती है। इस प्रकार सापेक्ष आपूर्ति सापेक्ष मांग के समान होगी। एमपीटी इस संदर्भ में सही मूल्य वाली संपत्ति के लिए आवश्यक अपेक्षित रिटर्न प्राप्त करता है।

व्यवस्थित विपत्ति और विशिष्ट विपत्ति
विशिष्ट विपत्ति व्यक्तिगत परिसंपत्तियों से जुड़ा विपत्ति है - पोर्टफोलियो के अन्दर विविधीकरण के माध्यम से इन विपत्तिों को कम किया जा सकता है (विशिष्ट विपत्ति रद्द हो जाते हैं)। विशिष्ट विपत्ति को विविधीकरणीय, अद्वितीय, अव्यवस्थित या विशिष्ट विपत्ति भी कहा जाता है। व्यवस्थित विपत्ति (ए.के.ए. पोर्टफोलियो विपत्ति या बाजार विपत्ति) सभी प्रतिभूतियों के लिए सामान्य विपत्ति को संदर्भित करता है - जैसा कि नीचे बताया गया है, लघु (वित्त) को छोड़कर, व्यवस्थित विपत्ति को दूर (एक बाजार के अन्दर) विविध नहीं किया जा सकता है। बाजार पोर्टफोलियो के अन्दर, परिसंपत्ति विशिष्ट विपत्ति को यथा संभव सीमा तक विविधीकृत किया जाएगा। इसलिए व्यवस्थित विपत्ति को बाज़ार पोर्टफोलियो के विपत्ति (मानक विचलन) के समान माना जाता है।

चूँकि कोई सुरक्षा केवल तभी खरीदी जाएगी जब वह बाजार पोर्टफोलियो की विपत्ति-अपेक्षित रिटर्न विशेषताओं में सुधार करती है, किसी सुरक्षा के विपत्ति का प्रासंगिक माप वह विपत्ति है जो वह बाजार पोर्टफोलियो में जोड़ता है, न कि उसका अलग-अलग विपत्ति इस संदर्भ में, परिसंपत्ति की अस्थिरता और बाजार पोर्टफोलियो के साथ इसका सहसंबंध ऐतिहासिक रूप से देखा जाता है और इसलिए दिया जाता है। (परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण के लिए कई दृष्टिकोण हैं जो परिसंपत्तियों के रिटर्न के क्षणों के स्टोकेस्टिक गुणों को मॉडलिंग करके परिसंपत्तियों की मूल्य तय करने का प्रयास करते हैं - इन्हें सामान्य रूप से सशर्त परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण मॉडल के रूप में जाना जाता है।)

एक बाजार के अन्दर व्यवस्थित विपत्तिों को बाजार तटस्थ पोर्टफोलियो बनाकर, पोर्टफोलियो के अन्दर लंबी और छोटी दोनों स्थितियों का उपयोग करने की रणनीति के माध्यम से प्रबंधित किया जा सकता है। इसलिए, बाज़ार तटस्थ पोर्टफोलियो व्यापक बाज़ार सूचकांकों से असंबद्ध होंगे।

पूंजीगत परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण मॉडल
संपत्ति का रिटर्न आज संपत्ति के लिए भुगतान की गई मात्रा पर निर्भर करता है। भुगतान की गई मूल्य से यह सुनिश्चित होना चाहिए कि जब परिसंपत्ति को इसमें जोड़ा जाता है तो बाजार पोर्टफोलियो की विपत्ति/रिटर्न विशेषताओं में सुधार होता है। पूंजीगत परिसंपत्ति मूल्य निर्धारण मॉडल ऐसा मॉडल है जो निवेशकों के लिए उपलब्ध विपत्ति-मुक्त दर और संपूर्ण रूप से बाजार के विपत्ति को देखते हुए, बाजार में किसी परिसंपत्ति के लिए सैद्धांतिक रूप से आवश्यक अपेक्षित रिटर्न (अथार्त, छूट दर) प्राप्त करता है। सीएपीएम सामान्यतः व्यक्त किया जाता है:


 * $$ \operatorname{E}(R_i) = R_f + \beta_i (\operatorname{E}(R_m) - R_f) $$


 * β, बीटा संपूर्ण बाजार में किसी गतिविधि के प्रति परिसंपत्ति संवेदनशीलता का माप है; बीटा सामान्यतः ऐतिहासिक डेटा पर प्रतिगमन विश्लेषण के माध्यम से पाया जाता है। बीटा का से अधिक होना संपूर्ण पोर्टफोलियो विपत्ति में परिसंपत्ति के योगदान के अर्थ में औसत से अधिक विपत्ति का संकेत देता है; से नीचे बीटा औसत से कम विपत्ति योगदान का संकेत देता है।
 * $$ (\operatorname{E}(R_m) - R_f) $$ बाजार प्रीमियम है, विपत्ति-मुक्त दर पर बाजार पोर्टफोलियो के अपेक्षित रिटर्न की अपेक्षित अतिरिक्त वापसी।

व्युत्पत्ति इस प्रकार है:



(1) जब अतिरिक्त विपत्ति भरी संपत्ति, ए, को बाजार पोर्टफोलियो में जोड़ा जाता है, तो विपत्ति और अपेक्षित रिटर्न पर वृद्धिशील प्रभाव, दो-परिसंपत्ति पोर्टफोलियो के सूत्रों के अनुसार होता है। इन परिणामों का उपयोग परिसंपत्ति-उपयुक्त छूट दर प्राप्त करने के लिए किया जाता है।


 * अद्यतन बाजार पोर्टफोलियो का विपत्ति = $$ (w_m^2 \sigma_m ^2 + [ w_a^2 \sigma_a^2  + 2 w_m w_a \rho_{am} \sigma_a \sigma_m]  ) $$
 * इसलिए, पोर्टफोलियो में विपत्ति जोड़ा गया = $$ [ w_a^2 \sigma_a^2  + 2 w_m w_a \rho_{am} \sigma_a \sigma_m]  $$
 * किन्तु चूँकि परिसंपत्ति का भार अपेक्षाकृत कम होगा, $$ w_a^2 \approx 0 $$
 * अर्थात। अतिरिक्त विपत्ति = $$ [ 2 w_m w_a \rho_{am} \sigma_a \sigma_m] \quad $$


 * बाज़ार पोर्टफ़ोलियो का अपेक्षित रिटर्न = $$ ( w_m \operatorname{E}(R_m) + [ w_a \operatorname{E}(R_a) ] ) $$
 * इसलिए अतिरिक्त अपेक्षित रिटर्न = $$ [ w_a \operatorname{E}(R_a) ] $$

(2) यदि किसी परिसंपत्ति की सही मूल्य तय की गई है, तो उसे बाजार पोर्टफोलियो में जोड़कर उसके विपत्ति-से-अपेक्षित रिटर्न अनुपात में सुधार कम से कम उस पैसे को बढ़ी हुई हिस्सेदारी पर खर्च करने के लाभ से मेल खाएगा। बाज़ार पोर्टफोलियो. धारणा यह है कि निवेशक विपत्ति-मुक्त दर, $$R_f$$ पर उधार ली गई धनराशि से संपत्ति खरीदेगा; यह तर्कसंगत है यदि $$ \operatorname{E}(R_a) > R_f $$.


 * इस प्रकार: $$ [ w_a ( \operatorname{E}(R_a) - R_f ) ] / [2 w_m w_a \rho_{am} \sigma_a \sigma_m]  =  [ w_a ( \operatorname{E}(R_m) - R_f ) ] / [2 w_m w_a \sigma_m \sigma_m  ]   $$
 * अर्थात। : $$ [\operatorname{E}(R_a) ] = R_f + [\operatorname{E}(R_m) - R_f] * [ \rho_{am} \sigma_a \sigma_m] / [ \sigma_m \sigma_m  ] $$
 * अर्थात। : $$ [\operatorname{E}(R_a) ] = R_f + [\operatorname{E}(R_m) - R_f] * [\sigma_{am}] / [ \sigma_{mm}]  $$
 * $$ [\sigma_{am}] / [ \sigma_{mm}] \quad $$ बीटा है, $$ \beta  $$ रिटर्न- परिसंपत्ति के रिटर्न और बाजार के रिटर्न के मध्य सहप्रसरण को बाजार रिटर्न के अंतर से विभाजित किया जाता है- अथार्त बाजार पोर्टफोलियो के मूल्य में उतार-चढ़ाव के प्रति परिसंपत्ति मूल्य की संवेदनशीलता (यह भी देखें) ).

यह समीकरण निम्नलिखित प्रतिगमन विश्लेषण समीकरण का उपयोग करके सांख्यिकीय रूप से अनुमान सिद्धांत हो सकता है:


 * $$\mathrm{SCL} : R_{i,t} - R_{f} = \alpha_i + \beta_i\, ( R_{M,t} - R_{f} ) + \epsilon_{i,t} \frac{}{}$$

जहां αi संपत्ति का अल्फा (वित्त), β कहा जाता हैi परिसंपत्ति का बीटा गुणांक है और एससीएल सुरक्षा विशेषता रेखा है।

$$ E(R_i) $$ की गणना सीएपीएम का उपयोग करके की जाती है, परिसंपत्ति के भविष्य के नकदी प्रवाह को परिसंपत्ति के लिए सही मूल्य स्थापित करने के लिए इस दर का उपयोग करके उनके वर्तमान मूल्य पर छूट दी जा सकती है। विपत्ति भरे स्टॉक में उच्च बीटा होगा और उच्च दर पर छूट दी जाएगी; कम संवेदनशील शेयरों में कम बीटा होगा और कम दर पर छूट दी जाएगी। सिद्धांत रूप में, किसी परिसंपत्ति की सही मूल्य तब लगाई जाती है जब उसकी देखी गई मूल्य सीएपीएम व्युत्पन्न छूट दर का उपयोग करके गणना की गई मूल्य के समान होती है। यदि देखी गई मूल्य मूल्यांकन से अधिक है, तो परिसंपत्ति का अधिक मूल्यांकन किया गया है बहुत कम मूल्य के कारण इसका मूल्यांकन कम किया गया है।

आलोचना
इसके सैद्धांतिक महत्व के के अतरिक्त, एमपीटी के आलोचक सवाल करते हैं कि क्या यह आदर्श निवेश उपकरण है, क्योंकि वित्तीय बाजारों का इसका मॉडल कई मायनों में वास्तविक दुनिया से मेल नहीं खाता है।

एमपीटी द्वारा उपयोग किए जाने वाले विपत्ति, रिटर्न और सहसंबंध उपाय अपेक्षित मूल्य पर आधारित हैं, जिसका अर्थ है कि वे भविष्य के बारे में सांख्यिकीय कथन हैं (रिटर्न का अपेक्षित मूल्य उपरोक्त समीकरणों में स्पष्ट है, और विचरण और सहप्रसरण की परिभाषाओं में निहित है). ऐसे उपाय अधिकांशतः विपत्ति और रिटर्न की वास्तविक सांख्यिकीय विशेषताओं को पकड़ नहीं पाते हैं जो अधिकांशतः अत्यधिक विषम वितरण (उदाहरण के लिए लॉग-सामान्य वितरण) का पालन करते हैं और कम अस्थिरता (वित्त) के अतिरिक्त रिटर्न की बढ़ी हुई वृद्धि को भी जन्म दे सकते हैं। वास्तव में, निवेशकों को समीकरणों में इन मूल्यों के लिए परिसंपत्ति रिटर्न और अस्थिरता के ऐतिहासिक माप के आधार पर भविष्य वाणियों को प्रतिस्थापित करना चाहिए। बहुत बार ऐसे अपेक्षित मूल्य उन नई परिस्थितियों को ध्यान में रखने में असफल होते हैं जो ऐतिहासिक डेटा उत्पन्न होने के समय वर्तमान नहीं थीं।

अधिक मौलिक रूप से, निवेशक पिछले बाजार डेटा से प्रमुख मापदंडों का अनुमान लगाने में फंस गए हैं क्योंकि एमपीटी हानि की संभावना के संदर्भ में विपत्ति को मॉडल करने का प्रयास करता है, किन्तु यह हानि क्यों हो सकता है, इसके बारे में कुछ नहीं कहता है। उपयोग किए गए विपत्ति माप प्रकृति में संभाव्यता हैं, संरचनात्मक नहीं। विपत्ति प्रबंधन के कई इंजीनियरिंग दृष्टिकोणों की तुलना में यह बड़ा अंतर है।

"विकल्प सिद्धांत और एमपीटी में परमाणु ऊर्जा [संयंत्रों] द्वारा किए गए संभाव्य जोखिम मूल्यांकन से कम से कम एक महत्वपूर्ण वैचारिक अंतर है। पीआरए वह है जिसे अर्थशास्त्री संरचनात्मक मॉडल कहते हैं। एक प्रणाली के घटकों और उनके संबंधों को मोंटे कार्लो सिमुलेशन में मॉडल किया गया है। यदि वाल्व X विफल हो जाता है, तो इससे पंप Y पर पिछला दबाव कम हो जाता है, जिससे पोत Z में प्रवाह में गिरावट आती है, इत्यादि।

किंतु ब्लैक-स्कोल्स समीकरण और एमपीटी में, मूल्य परिवर्तन की अंतर्निहित संरचना को समझाने का कोई प्रयास नहीं किया गया है। विभिन्न परिणामों को केवल संभावनाएँ दी गई हैं। और, पीआरए के विपरीत, यदि तरलता संकट जैसी किसी विशेष सिस्टम-स्तरीय घटना का कोई इतिहास नहीं है, तो इसकी संभावनाओं की गणना करने का कोई तरीका नहीं है। यदि परमाणु इंजीनियर इस तरह से जोखिम प्रबंधन करते हैं, तो वे किसी विशेष संयंत्र में मंदी की संभावनाओं की गणना तब तक नहीं कर पाएंगे जब तक कि एक ही रिएक्टर डिजाइन में कई समान घटनाएं न घटें।"

- डगलस डब्ल्यू हबर्ड, जोखिम प्रबंधन की विफलता,पी। 67, जॉन विले एंड संस, 2009।

गणितीय विपत्ति माप भी केवल उस हद तक उपयोगी होते हैं, जहां वे निवेशकों की वास्तविक चिंताओं को प्रतिबिंबित करते हैं - ऐसे चर को कम करने का कोई मतलब नहीं है जिसकी वास्तव में कोई परवाह नहीं करता है। विशेष रूप से, विचरण सममित माप है जो असामान्य रूप से उच्च रिटर्न को उतना ही विपत्ति भरा मानता है जितना कि असामान्य रूप से कम रिटर्न। हानि से बचने की मनोवैज्ञानिक घटना यह विचार है कि निवेशक लाभ की तुलना में हानि के बारे में अधिक चिंतित हैं, जिसका अर्थ है कि विपत्ति की हमारी सहज अवधारणा प्रकृति में मौलिक रूप से असममित है। कई अन्य विपत्ति उपाय (जैसे सुसंगत विपत्ति उपाय) निवेशकों की वास्तविक प्राथमिकताओं को उत्तम रूप से दर्शा सकते हैं।

आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत की भी आलोचना की गई है क्योंकि यह मानता है कि रिटर्न सामान्य वितरण का पालन करता है। पहले से ही 1960 के दशक में, बेनोइट मैंडेलब्रॉट और यूजीन प्रसिद्धि  ने इस धारणा की अपर्याप्तता दिखाई और इसके बजाय अधिक सामान्य स्थिर वितरण के उपयोग का प्रस्ताव रखा। स्टीफ़न मिटनिक और स्वेतलोज़ार राचेव ने ऐसी सेटिंग्स में इष्टतम पोर्टफोलियो प्राप्त करने के लिए रणनीतियाँ प्रस्तुत कीं।   अभी हाल ही में, नसीम निकोलस तालेब ने भी इस आधार पर आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत की आलोचना करते हुए लिखा है:"स्टॉक मार्केट क्रैश (1987 में) के बाद, उन्होंने दो सिद्धांतकारों, हैरी मार्कोविट्ज़ और विलियम शार्प को पुरस्कृत किया, जिन्होंने गॉसियन आधार पर खूबसूरती से प्लेटोनिक मॉडल बनाए, जिसे आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत कहा जाता है। बस, यदि आप उनकी गॉसियन धारणाओं को हटा देते हैं और कीमतों को स्केलेबल मानते हैं, तो आपके पास गर्म हवा रह जाती है। नोबेल समिति शार्प और मार्कोविट्ज़ मॉडल का परीक्षण कर सकती थी - वे इंटरनेट पर बेचे जाने वाले नीम-हकीम उपचारों की तरह काम करते हैं - किंतु स्टॉकहोम में किसी ने भी इसके बारे में नहीं सोचा है।"

- नसीम एन. तालेब, द ब्लैक स्वान: द इम्पैक्ट ऑफ द हाइली इम्प्रोबेबल, पी. 277, रैंडम हाउस, 2007।

विपरीत निवेश और मूल्य निवेश सामान्यत: आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत की सदस्यता नहीं लेते हैं। आपत्ति यह है कि एमपीटी कुशल-बाजार परिकल्पना पर निर्भर करता है और विपत्ति के विकल्प के रूप में शेयर की मूल्य में उतार-चढ़ाव का उपयोग करता है। सर जॉन टेम्पलटन अवधारणा के रूप में विविधीकरण में विश्वास करते थे, किन्तु उन्होंने यह भी अनुभव किया कि एमपीटी की सैद्धांतिक नींव संदिग्ध थी, और निष्कर्ष निकाला (जैसा कि जीवनी लेखक द्वारा वर्णित है): यह धारणा कि ऐतिहासिक अस्थिरता जैसे अविश्वसनीय और अप्रासंगिक सांख्यिकीय इनपुट के आधार पर पोर्टफोलियो का निर्माण किया जाता है।असफलता के लिए अभिशप्त था।

कुछ अध्ययनों ने तर्क दिया है कि सरल विविधीकरण, उपलब्ध निवेश विकल्पों के मध्य पूंजी को समान रूप से विभाजित करने से कुछ स्थितियों में एमपीटी पर लाभ हो सकता है।

एक्सटेंशन
1952 में एमपीटी की प्रारंभ के बाद से, मॉडल को उत्तम बनाने के लिए कई प्रयास किए गए हैं, खासकर अधिक यथार्थवादी मान्यताओं का उपयोग करते है।

उत्तर-आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत विपत्ति के गैर-सामान्य रूप से वितरित, असममित और मोटे-पूंछ वाले उपायों को अपनाकर एमपीटी का विस्तार करता है। इससे इनमें से कुछ समस्याओं में सहायता मिलती है, किन्तु अन्य में नहीं है।

ब्लैक-लिटरमैन मॉडल ऑप्टिमाइज़ेशन अप्रतिबंधित मार्कोविट्ज़ ऑप्टिमाइज़ेशन का विस्तार है जो विपत्ति और रिटर्न के इनपुट पर सापेक्ष और पूर्ण 'विचार' सम्मिलित करता है।

तर्कसंगत विकल्प सिद्धांत के साथ संबंध
आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत तर्कसंगत विकल्प सिद्धांत के मुख्य सिद्धांतों के साथ असंगत है, विशेष रूप से एकरसता सिद्धांत के साथ, जिसमें कहा गया है कि, यदि पोर्टफोलियो एक्स में निवेश, संभावना के साथ, पोर्टफोलियो वाई में निवेश करने की तुलना में अधिक पैसा लौटाएगा, तो तर्कसंगत निवेशक को एक्स को प्राथमिकता देनी चाहिए Y. इसके विपरीत, आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत अलग सिद्धांत पर आधारित है, जिसे विचरण विचलन कहा जाता है,

और इस आधार पर वाई में निवेश करने की सिफारिश कर सकता है कि इसमें कम भिन्नता है। मैकचेरोनी एट अल. एकरसता सिद्धांत को संतुष्ट करते हुए, विकल्प सिद्धांत का वर्णन किया गया है जो आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत के सबसे करीब संभव है। वैकल्पिक रूप से, माध्य-विचलन विश्लेषण तर्कसंगत विकल्प सिद्धांत है जो उचित विचलन विपत्ति माप द्वारा विचरण को प्रतिस्थापित करने से उत्पन्न होता है।

अन्य अनुप्रयोग
1970 के दशक में, एमपीटी की अवधारणाओं ने क्षेत्रीय विज्ञान के क्षेत्र में अपना रास्ता खोज लिया। मौलिक कार्यों की श्रृंखला में, माइकल कॉनरॉय श्रम बल में वृद्धि और परिवर्तन शीलता की जांच करने के लिए पोर्टफोलियो-सैद्धांतिक विधियों का उपयोग करके अर्थव्यवस्था में श्रम बल का मॉडल तैयार किया गया है । इसके बाद आर्थिक विकास और अस्थिरता के मध्य संबंधों पर लंबा साहित्य आया ।

वर्तमान में, सामाजिक मनोविज्ञान में आत्म-अवधारणा को मॉडल करने के लिए आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत का उपयोग किया गया है। जब आत्म-अवधारणा से युक्त आत्म-गुण अच्छी तरह से विविध पोर्टफोलियो का निर्माण करते हैं, तो व्यक्ति के स्तर पर मनोदशा और आत्म-सम्मान जैसे मनोवैज्ञानिक परिणाम अधिक स्थिर होने चाहिए, जब आत्म-अवधारणा विविध होती है। मानव विषयों से जुड़े अध्ययनों में इस भविष्यवाणी की पुष्टि की गई है।

वर्तमान में, आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत को सूचना पुनर्प्राप्ति में दस्तावेजों के मध्य अनिश्चितता और सहसंबंध को मॉडलिंग करने के लिए प्रयुक्त किया गया है। प्रश्न को देखते हुए, इसका उद्देश्य दस्तावेजों की रैंक की गई सूची की संपूर्ण प्रासंगिकता को अधिकतम करना है और साथ ही रैंक की गई सूची की संपूर्ण अनिश्चितता को कम करना है।

परियोजना पोर्टफोलियो और अन्य गैर-वित्तीय संपत्ति
कुछ विशेषज्ञ वित्तीय साधनों के अतिरिक्त परियोजनाओं और अन्य परिसंपत्तियों के पोर्टफोलियो पर एमपीटी प्रयुक्त करते हैं। जब एमपीटी को पारंपरिक वित्तीय पोर्टफोलियो के बाहर प्रयुक्त किया जाता है, तो विभिन्न प्रकार के पोर्टफोलियो के मध्य कुछ अंतरों पर विचार किया जाना चाहिए।


 * 1) वित्तीय पोर्टफोलियो में परिसंपत्तियां, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, निरंतर विभाज्य होती हैं जबकि परियोजनाओं के पोर्टफोलियो ढेलेदार होते हैं। उदाहरण के लिए, जबकि हम गणना कर सकते हैं कि 3 शेयरों के लिए इष्टतम पोर्टफोलियो स्थिति 44%, 35%, 21% है, परियोजना पोर्टफोलियो के लिए इष्टतम स्थिति हमें किसी परियोजना पर खर्च की गई मात्रा को आसानी से बदलने की अनुमति नहीं दे सकती है। परियोजनाएँ पूरी तरह से या कुछ भी नहीं हो सकती हैं या, कम से कम, तार्किक इकाइयाँ हो सकती हैं जिन्हें अलग नहीं किया जा सकता है। पोर्टफोलियो अनुकूलन पद्धति में परियोजनाओं की अलग-अलग प्रकृति को ध्यान में रखना होगा।
 * 2) वित्तीय पोर्टफोलियो की परिसंपत्तियां तरल हैं उनका किसी भी समय मूल्यांकन या पुनर्मूल्यांकन किया जा सकता है। किन्तु नई परियोजनाओं को लॉन्च करने के अवसर सीमित हो सकते हैं और सीमित समय में हो सकते हैं। जो परियोजनाएं पहले ही प्रारंभ की जा चुकी हैं, उन्हें डूबी हुई निवेश के हानि के बिना नहीं छोड़ा जा सकता है (अथार्त, आधे-अधूरे प्रोजेक्ट की वसूली/बचाव मूल्य बहुत कम या कोई नहीं है)।

इनमें से कोई भी एमपीटी और ऐसे पोर्टफोलियो के उपयोग की संभावना को अनिवार्य रूप से समाप्त नहीं करता है। वे बस गणितीय रूप से व्यक्त बाधाओं के अतिरिक्त समुच्य के साथ अनुकूलन को चलाने की आवश्यकता को इंगित करते हैं जो सामान्यत: वित्तीय पोर्टफोलियो पर प्रयुक्त नहीं होंगे।

इसके अतरिक्त आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत के कुछ सबसे सरल तत्व वस्तुतः किसी भी प्रकार के पोर्टफोलियो पर प्रयुक्त होते हैं। किसी दिए गए रिटर्न के लिए कितना विपत्ति स्वीकार्य है, इसका दस्तावेजीकरण करके किसी निवेशक की विपत्ति सहनशीलता को पकड़ने की अवधारणा को विभिन्न निर्णय विश्लेषण समस्याओं पर प्रयुक्त किया जा सकता है। एमपीटी विपत्ति के माप के रूप में ऐतिहासिक भिन्नता का उपयोग करता है, किन्तु प्रमुख परियोजनाओं जैसी परिसंपत्तियों के पोर्टफोलियो में अच्छी तरह से परिभाषित ऐतिहासिक भिन्नता नहीं होती है। इस स्थितियों में, एमपीटी निवेश सीमा को अधिक सामान्य शब्दों में व्यक्त किया जा सकता है जैसे पूंजी की निवेश से कम आरओआई की संभावना या निवेश के आधे से अधिक खोने की संभावना है। जब पूर्वानुमानों और संभावित हानि के बारे में अनिश्चितता के संदर्भ में विपत्ति डाला जाता है तो अवधारणा विभिन्न प्रकार के निवेश में स्थानांतरित हो जाती है।

यह भी देखें

 * बीटा (वित्त)
 * पूर्वाग्रह अनुपात (वित्त)
 * ब्लैक-लिटरमैन मॉडल
 * इंटरटेम्पोरल पोर्टफोलियो विकल्प
 * निवेश सिद्धांत
 * केली मानदंड
 * सीमांत सशर्त स्टोकेस्टिक प्रभुत्व
 * मार्कोवित्ज़ मॉडल
 * म्यूचुअल फंड पृथक्करण प्रमेय
 * ओमेगा अनुपात
 * उत्तर-आधुनिक पोर्टफोलियो सिद्धांत
 * सॉर्टिनो अनुपात
 * ट्रेयनोर अनुपात
 * दो-क्षण निर्णय मॉडल
 * यूनिवर्सल पोर्टफोलियो एल्गोरिदम
 * दो-क्षण निर्णय मॉडल
 * यूनिवर्सल पोर्टफोलियो एल्गोरिदम

बाहरी संबंध

 * The Most Rewarding Portfolio Construction Techniques: An Unbiased Evaluation
 * Macro-Investment Analysis, Prof. William F. Sharpe, Stanford University
 * Portfolio Optimization, Prof. Stephen P. Boyd, Stanford University
 * "New Approaches for Portfolio Optimization: Parting with the Bell Curve" — Interview with Prof. Svetlozar Rachev and Prof. Stefan Mittnik