मॉरिसन समीकरण

द्रव गतिकी में मोरिसन समीकरण एक अर्ध-अनुभवजन्य समीकरण है जो दोलनशील प्रवाह में एक पिंड पर इनलाइन बल के लिए होता है। इसे कभी-कभी 1950 के पेपर के सभी चार लेखकों- मॉरिसन, मॉरो पार्कर ओ'ब्रायन | ओ'ब्रायन, जॉनसन और शाफ के बाद एमओजेएस समीकरण कहा जाता है जिसमें समीकरण पेश किया गया था। मोरिसन समीकरण का उपयोग तेल प्लेटफार्मों और अन्य अपतटीय निर्माण के डिजाइन में समुद्र की सतह की लहर भार का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।

विवरण
मोरिसन समीकरण दो बल घटकों का योग है: स्थानीय प्रवाह त्वरण के साथ चरण में एक जड़ता बल और तात्कालिक प्रवाह वेग के (हस्ताक्षरित) वर्ग (बीजगणित) के आनुपातिक ड्रैग (भौतिकी) बल। जड़ता बल कार्यात्मक रूप का है जैसा कि संभावित प्रवाह सिद्धांत में पाया जाता है, जबकि ड्रैग फोर्स का रूप स्थिर प्रवाह में रखे गए शरीर के लिए पाया जाता है। मोरिसन, ओ'ब्रायन, जॉनसन और शाफ के अनुमानी दृष्टिकोण में इन दो बल घटकों, जड़ता और ड्रैग को एक दोलन प्रवाह में इनलाइन बल का वर्णन करने के लिए जोड़ा जाता है। अनुप्रस्थ बल - प्रवाह दिशा के लंबवत, भंवर बहा देने के कारण - को अलग से संबोधित किया जाना है।

मोरिसन समीकरण में दो अनुभवजन्य जल-गत्यात्मकता  गुणांक हैं- एक जड़ता गुणांक और एक ड्रैग गुणांक- जो प्रयोगात्मक डेटा से निर्धारित होते हैं। जैसा कि आयामी विश्लेषण और सर्पकाया द्वारा प्रयोगों में दिखाया गया है, ये गुणांक सामान्य रूप से केउलेगन-बढ़ई संख्या, रेनॉल्ड्स संख्या और सतह खुरदरापन पर निर्भर करते हैं। मोरिसन समीकरण के नीचे दिए गए विवरण यूनिडायरेक्शनल प्रवाह स्थितियों के साथ-साथ शरीर की गति के लिए हैं।

एक दोलन प्रवाह में निश्चित शरीर
प्रवाह वेग के साथ एक दोलनशील प्रवाह में $$u(t)$$मोरिसन समीकरण प्रवाह दिशा के समानांतर इनलाइन बल देता है:


 * $$F\, =\, \underbrace{\rho\, C_m\, V\, \dot{u}}_{F_I} + \underbrace{\frac12\, \rho\, C_d\, A\, u\, |u|}_{F_D},$$

कहाँ
 * $$F(t)$$ वस्तु पर कुल इनलाइन बल है,
 * $$\dot{u} \equiv \text{d}u/\text{d}t$$ प्रवाह त्वरण है, अर्थात प्रवाह वेग का समय व्युत्पन्न $$u(t),$$
 * जड़त्व बल $$F_I\, =\, \rho\, C_m\, V\, \dot{u}$$, फ्राउड-क्रिलोव बल का योग है $$\rho\, V\, \dot{u}$$ और हाइड्रोडायनामिक द्रव्यमान बल $$\rho\, C_a\, V\, \dot{u},$$
 * ड्रैग फोर्स $$F_D\, =\, {\scriptstyle \frac12}\, \rho\, C_d\, A\, u\, |u|$$ ड्रैग समीकरण के अनुसार,
 * $$C_m=1+C_a$$ जड़ता गुणांक है, और $$C_a $$ जोड़ा द्रव्यमान गुणांक,
 * A एक संदर्भ क्षेत्र है, उदा. प्रवाह दिशा के लंबवत शरीर का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र,
 * V शरीर का आयतन है।

उदाहरण के लिए दोलन प्रवाह में व्यास डी के एक परिपत्र सिलेंडर के लिए, संदर्भ क्षेत्र प्रति इकाई सिलेंडर लंबाई है $$A=D$$ और सिलेंडर की मात्रा प्रति यूनिट सिलेंडर लंबाई है $$V={\scriptstyle\frac{1}{4}}\pi{D^2}$$. नतीजतन, $$F(t)$$ प्रति यूनिट सिलेंडर लंबाई कुल बल है:


 * $$F\, =\, C_m\, \rho\, \frac{\pi}{4} D^2\, \dot{u}\, +\, C_d\, \frac12\, \rho\, D\, u\, |u|.$$

इनलाइन बल के अलावा, वोर्टेक्स शेडिंग के कारण प्रवाह दिशा के लंबवत दोलनशील लिफ्ट (बल) बल भी होते हैं। ये मोरिसन समीकरण द्वारा कवर नहीं किए गए हैं, जो केवल इनलाइन बलों के लिए है।

एक दोलनशील प्रवाह में शरीर का हिलना
मामले में शरीर वेग के साथ-साथ चलता है $$v(t)$$मोरिसन समीकरण बन जाता है:



F = \underbrace{\rho\, V \dot{u}}_{a} + \underbrace{\rho\, C_a V \left( \dot{u} - \dot{v} \right)}_{b} + \underbrace{\frac12 \rho\, C_d A \left( u - v \right) \left| u - v \right|}_{c}. $$ जहां कुल बल योगदान हैं: ध्यान दें कि जोड़ा द्रव्यमान गुणांक $$C_a$$ जड़ता गुणांक से संबंधित है $$C_m$$ जैसा $$C_m=1+C_a$$.
 * ए: फ्राउड-क्रिलोव बल,
 * बी: हाइड्रोडायनामिक द्रव्यमान बल,
 * सी: खीचने की क्षमता ।

सीमाएं

 * मोरिसन समीकरण एक दोलनशील प्रवाह में बल के उतार-चढ़ाव का एक अनुमानी सूत्रीकरण है। पहली धारणा यह है कि शरीर के स्थान पर प्रवाह त्वरण कमोबेश एक समान है। उदाहरण के लिए, समुद्र की सतह की लहर में एक लंबवत सिलेंडर के लिए यह आवश्यक है कि सिलेंडर का व्यास तरंग दैर्ध्य से बहुत छोटा हो। यदि शरीर का व्यास तरंग दैर्ध्य की तुलना में छोटा नहीं है, तो विवर्तन प्रभाव को ध्यान में रखना होगा।
 * दूसरा, यह माना जाता है कि स्पर्शोन्मुख रूप: जड़ता और ड्रैग बल योगदान, क्रमशः बहुत छोटे और बहुत बड़े केउलेगन-कारपेंटर नंबरों के लिए मान्य, केवल मध्यवर्ती केलगन-कारपेंटर नंबरों पर बल के उतार-चढ़ाव का वर्णन करने के लिए जोड़ा जा सकता है। हालाँकि, प्रयोगों से यह पाया गया है कि इस मध्यवर्ती शासन में- जहाँ ड्रैग और जड़ता दोनों ही महत्वपूर्ण योगदान दे रहे हैं- मोरिसन समीकरण बल इतिहास का बहुत अच्छी तरह से वर्णन करने में सक्षम नहीं है। हालांकि जड़ता और ड्रैग गुणांक को बल के सही चरम मान देने के लिए ट्यून किया जा सकता है।
 * तीसरा, जब कक्षीय प्रवाह के लिए विस्तारित किया जाता है जो गैर-एक-दिशात्मक प्रवाह का मामला है, उदाहरण के लिए तरंगों के तहत एक क्षैतिज सिलेंडर द्वारा सामना किया जाता है, मोरिसन समीकरण समय के कार्य के रूप में बलों का अच्छा प्रतिनिधित्व नहीं देता है।

अग्रिम पठन

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