पेरिन संख्या

गणित में, पेरिन संख्याओं को पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है


 * $P(n) = P(n − 2) + P(n − 3)$ के लिए $n > 2$,

प्रारंभिक मूल्यों के साथ

पेरिन संख्याओं का पूर्णांक अनुक्रम शुरू होता है
 * 3 (संख्या), 0 (संख्या), 2 (संख्या), 3, 2, 5 (संख्या), 5, 7 (संख्या), 10 (संख्या), 12 (संख्या), 17 (संख्या), 22 (संख्या ), 29 (संख्या), 39 (संख्या), ...

में विभिन्न अधिकतम स्वतंत्र सेटों की संख्या $P(0) = 3, P(1) = 0, P(2) = 2$-वर्टेक्स चक्र ग्राफ़ द्वारा गिना जाता है $n$वें पेरिन नंबर के लिए $n$.

इतिहास
इस क्रम का उल्लेख एडौर्ड लुकास (1876) द्वारा स्पष्ट रूप से किया गया था। 1899 में, इसी क्रम का स्पष्ट रूप से उल्लेख फ्रांकोइस ओलिवर राउल पेरिन द्वारा किया गया था। इस क्रम का सबसे व्यापक उपचार एडम्स और शैंक्स (1982) द्वारा दिया गया था।

कार्य उत्पन्न करना
पेरिन अनुक्रम का जनक कार्य है


 * $$G(P(n);x) = \frac{3-x^2}{1-x^2-x^3}.$$

मैट्रिक्स सूत्र

 * $$\begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}^{\!n}

\begin{pmatrix} 3 \\ 0 \\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} P\left(n\right) \\ P\left(n+1\right) \\ P\left(n+2\right) \end{pmatrix}$$

बिनेट जैसा सूत्र
पेरिन संख्याओं को समीकरण के बहुपद के मूल की घातों के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$x^3 - x - 1 = 0.$$

इस समीकरण के 3 मूल हैं; वास्तविक संख्या मूल p (प्लास्टिक संख्या के रूप में जाना जाता है) और दो जटिल संयुग्मी मूल q और r। इन तीन जड़ों को देखते हुए, लुकास अनुक्रम बिनेट सूत्र का पेरिन अनुक्रम एनालॉग है


 * $$P(n) = p^n + q^n + r^n.$$

चूँकि सम्मिश्र संख्या मूल q और r दोनों का निरपेक्ष मान 1 से कम है, इन मूलों की शक्तियाँ बड़े n के लिए अनुक्रम 0 की सीमा तय करती हैं। बड़े n के लिए सूत्र कम हो जाता है


 * $$P(n) \approx p^n$$

इस सूत्र का उपयोग बड़े n के लिए पेरिन अनुक्रम के मानों की त्वरित गणना करने के लिए किया जा सकता है। पेरिन अनुक्रम में क्रमिक पदों का अनुपात p, अर्थात प्लास्टिक संख्या के करीब पहुंचता है, जिसका मान लगभग 1.324718 है। यह स्थिरांक पेरिन अनुक्रम से वही संबंध रखता है जो स्वर्णिम अनुपात लुकास संख्या से करता है। इसी तरह के संबंध पी और पाडोवन अनुक्रम के बीच, सुनहरे अनुपात और फाइबोनैचि संख्याओं के बीच, और चांदी अनुपात और पेल संख्याओं के बीच भी मौजूद हैं।

गुणन सूत्र
बिनेट सूत्र से, हम G(n − 1), G(n) और G(n+ 1) के संदर्भ में G(kn) के लिए सूत्र प्राप्त कर सकते हैं; हम जानते हैं
 * $$\begin{matrix}

G(n-1) & = &p^{-1}p^n + &q^{-1}q^n +& r^{-1} r^n\\ G(n) & =& p^n+&q^n+&r^n\\ G(n+1) &=& pp^n +& qq^n +& rr^n\end{matrix}$$ जो हमें विभाजन क्षेत्र पर गुणांकों के साथ रैखिक समीकरणों की तीन प्रणालियाँ देता है $$x^3 -x -1$$; व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स द्वारा मैट्रिक्स (गणित) जिसे हम हल कर सकते हैं $$p^n, q^n, r^n$$ और फिर हम उन्हें kth घात तक बढ़ा सकते हैं और योग की गणना कर सकते हैं।

उदाहरण मैग्मा कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली कोड:

पी := बहुपद रिंग(तर्कसंगत); S := स्प्लिटिंगफ़ील्ड(x^3-x-1); P2 := बहुपद रिंग(एस); p,q,r := विस्फोट([r[1] : r in Roots(y^3-y-1)]); Mi:=मैट्रिक्स(1/पी,1/क्यू,1/आर],[1,1,1],[पी,क्यू,आर)^(-1); T := बहुपद रिंग(S,3); v1 := चेंजरिंग(एमआई,टी) *मैट्रिक्स(यू],[वी],[डब्ल्यू); [p^i*v1[1,1]^3 + q^i*v1[2,1]^3 + r^i*v1[3,1]^3 : i in [-1..1]] ;

परिणाम के साथ, यदि हमारे पास है $$u = G(n-1), v = G(n), w = G(n+1)$$, तब

\begin{matrix} 23G(2n-1) &=& 4u^2 + 3v^2 + 9w^2 + 18uv - 12uw - 4vw \\ 23G(2n) &=& - 6u^2 + 7v^2 - 2w^2 - 4uv + 18uw + 6vw\\ 23G(2n+1) &=& 9u^2 + v^2 + 3w^2 + 6uv - 4uw + 14vw \\ 23G(3n-1)& = &\left(-4u^3 + 2v^3 -w^3 + 9(uv^2+vw^2+wu^2) + 3v^2w+6uvw\right)\\ 23G(3n)& = &\left(3u^3 + 2v^3 + 3w^3 - 3(uv^2 + uw^2 + vw^2 + vu^2) + 6v^2w + 18uvw\right) \\ 23G(3n+1)& = &\left(v^3-w^3+6uv^2+9uw^2+6vw^2+9vu^2-3wu^2+6wv^2-6uvw\right) \end{matrix} $$ यहां संख्या 23 अनुक्रम के परिभाषित बहुपद के विवेचक#डिग्री 3 से उत्पन्न होती है।

यह पूर्णांक अंकगणित का उपयोग करके nवें पेरिन संख्या की गणना की अनुमति देता है $$O(\log n)$$ गुणा करता है.

पेरिन स्यूडोप्राइम्स
यह गणितीय प्रमाण है कि सभी अभाज्य संख्या p के लिए, p, P(p) को विभाजित करता है। हालाँकि, उलटा (तर्क) सत्य नहीं है: कुछ मिश्रित संख्याओं n के लिए, n अभी भी P(n) को विभाजित कर सकता है। यदि n में यह गुण है, तो इसे पेरिन स्यूडोप्राइम कहा जाता है।

पहले कुछ पेरिन स्यूडोप्राइम हैं
 * 271441, 904631, 16532714, 24658561, 27422714, 27664033, 46672291, 102690901, 130944133, 196075949, 214038533, 517697641, 545670533, 801123451, 855073301, 903136901, 970355431, ...

पेरिन स्यूडोप्राइम्स के अस्तित्व के प्रश्न पर स्वयं पेरिन ने विचार किया था, लेकिन यह ज्ञात नहीं था कि एडम्स और शैंक्स (1982) द्वारा सबसे छोटे छद्मप्राइम्स की खोज किए जाने तक वे अस्तित्व में थे या नहीं, 271441 = 5212; अगला सबसे छोटा 904631 = 7 × 13 × 9941 है। उनमें से सत्रह अरब से कम हैं; जॉन ग्रांथम ने साबित कर दिया है कि पेरिन छद्मप्राइम्स अनंत रूप से कई हैं। एडम्स और शैंक्स (1982) ने कहा कि अभाज्य संख्याएँ भी इस शर्त को पूरा करती हैं कि P(−p) = −1 mod p. ऐसे कंपोजिट जहां दोनों गुण मौजूद होते हैं, प्रतिबंधित पेरिन स्यूडोप्राइम कहलाते हैं. आगे की शर्तों को एन के छह तत्व हस्ताक्षर का उपयोग करके लागू किया जा सकता है जो तीन रूपों में से होना चाहिए (उदाहरण के लिए) और ).

जबकि पेरिन स्यूडोप्राइम दुर्लभ हैं, उनका फ़र्मेट स्यूडोप्राइम्स के साथ महत्वपूर्ण ओवरलैप है। यह लुकास स्यूडोप्राइम्स के विपरीत है जो सहसंबद्ध विरोधी हैं। बाद की स्थिति का उपयोग लोकप्रिय, कुशल और अधिक प्रभावी बैली-पीएसडब्ल्यू प्राइमलिटी परीक्षण प्राप्त करने के लिए किया जाता है, जिसमें कोई ज्ञात छद्मप्राइम नहीं होता है, और सबसे छोटा 2 से बड़ा माना जाता है।64.

पेरिन अभाज्य
पेरिन अभाज्य पेरिन संख्या है जो अभाज्य संख्या है। पहले कुछ पेरिन अभाज्य हैं:


 * 2, 3, 5, 7, 17, 29, 277, 367, 853, 14197, 43721, 1442968193, 792606555396977, 187278659180417234321, 66241160488780141071 579864797, ...

इन पेरिन अभाज्यों के लिए, सूचकांक $n > 1$ का $n$ है
 * 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 12, 20, 21, 24, 34, 38, 75, 122, 166, 236, 355, 356, 930, 1042, 1214, 1461, 1622, 4430, 5802, 9092, ...

P(n) उत्पन्न करना जहां n ऋणात्मक पूर्णांक है, मौलिकता के संबंध में समान गुण उत्पन्न करता है: यदि n ऋणात्मक है, तो P(n) अभाज्य है जब P(n) mod −n = −n − 1. निम्नलिखित अनुक्रम P का प्रतिनिधित्व करता है (n) उन सभी n के लिए जो ऋणात्मक पूर्णांक हैं:
 * −1, 1, 2, −3, 4, −2, −1, 5, −7, 6, −1, −6, 12, −13, 7, 5, −18, 25, −20, 2, 23, −43, 45, −22, −21, 66, −88, 67, −1, ...

संदर्भ






अग्रिम पठन






बाहरी संबंध

 * Zentrum für Hirnforschung Institut für Medizinische Kybernetik und Artificial Intelligence
 * —Perrin-like sequence
 * Perrin Primality Tests
 * —Perrin-like sequence
 * Perrin Primality Tests