लंबवत और क्षैतिज बंडल

गणित में, ऊर्ध्वाधर बंडल और क्षैतिज बंडल एक फाइबर बंडल से जुड़े वेक्टर बंडल होते हैं#विभेदक फाइबर बंडल। अधिक सटीक रूप से, एक चिकनी फाइबर बंडल दिया गया $$\pi\colon E\to B$$, लंबवत बंडल $$VE$$ और क्षैतिज बंडल $$HE$$ स्पर्शरेखा बंडल के सबबंडल हैं $$TE$$ का $$E$$ जिसका व्हिटनी योग संतुष्ट करता है $$VE\oplus HE\cong TE$$. इसका मतलब है कि, प्रत्येक बिंदु पर $$e\in E$$, तंतु $$V_eE$$ और $$H_eE$$ स्पर्शरेखा स्थान की पूरक उपसमष्टियाँ बनाते हैं $$T_eE$$. ऊर्ध्वाधर बंडल में सभी वैक्टर होते हैं जो तंतुओं के स्पर्शरेखा होते हैं, जबकि क्षैतिज बंडल को पूरक उपबंडल के कुछ विकल्प की आवश्यकता होती है।

इसे सटीक बनाने के लिए, वर्टिकल स्पेस को परिभाषित करें $$V_eE$$ पर $$e\in E$$ होना $$\ker(d\pi_e)$$. यानी डिफरेंशियल $$d\pi_e\colon T_eE\to T_bB$$ (कहाँ $$b=\pi(e)$$) एक रेखीय प्रक्षेपण है जिसका कर्नेल के तंतुओं के समान आयाम होता है $$\pi$$. अगर हम लिखते हैं $$F=\pi^{-1}(b)$$, तब $$V_eE$$ में बिल्कुल सदिश होते हैं $$T_eE$$ जो स्पर्शी भी हैं $$F$$. यह नाम निम्न-आयामी उदाहरणों से प्रेरित है जैसे एक वृत्त के ऊपर तुच्छ रेखा बंडल, जिसे कभी-कभी एक क्षैतिज वृत्त के लिए लंबवत सिलेंडर के रूप में चित्रित किया जाता है। एक उपस्थान $$H_eE$$ का $$T_eE$$ क्षैतिज स्थान कहा जाता है यदि $$T_eE$$ की सदिश समष्टियों का प्रत्यक्ष योग है $$V_eE$$ और $$H_eE$$.

ऊर्ध्वाधर रिक्त स्थान V का असंयुक्त संघeE में प्रत्येक e के लिए E, TE का सबबंडल VE है; यह E का उर्ध्वाधर बंडल है। इसी तरह, क्षैतिज रिक्त स्थान प्रदान किया गया है $$H_eE$$ ई के साथ सुचारू रूप से भिन्न होते हैं, उनका असंयुक्त संघ एक क्षैतिज बंडल है। शब्दों का उपयोग और यहां जानबूझकर है: प्रत्येक लंबवत उप-स्थान अद्वितीय है, स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है $$\ker(d\pi_e)$$. तुच्छ मामलों को छोड़कर, प्रत्येक बिंदु पर अनंत संख्या में क्षैतिज उप-स्थान होते हैं। यह भी ध्यान दें कि प्रत्येक बिंदु पर क्षैतिज स्थान के मनमाने विकल्प, सामान्य रूप से, एक चिकने सदिश बंडल का निर्माण नहीं करेंगे; उन्हें उचित रूप से सुचारू तरीके से भिन्न होना चाहिए।

क्षैतिज बंडल फाइबर बंडल पर एह्रेसमैन कनेक्शन की धारणा तैयार करने का एक तरीका है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, यदि ई एक प्रमुख बंडल | प्रमुख जी-बंडल है, तो क्षैतिज बंडल को आमतौर पर जी-इनवेरिएंट होना आवश्यक है: ऐसा विकल्प एक कनेक्शन (प्रमुख बंडल)  के बराबर है। यह विशेष रूप से तब होता है जब ई कुछ वेक्टर बंडल से जुड़ा फ्रेम बंडल होता है, जो कि एक प्रिंसिपल है $$\operatorname{GL}_n$$ बंडल।

औपचारिक परिभाषा
मान लीजिए π:E→B चिकने मैनिफोल्ड B पर एक चिकना फाइबर बंडल है। ऊर्ध्वाधर बंडल स्पर्शरेखा मानचित्र dπ : TE → TB का कर्नेल (रैखिक बीजगणित) VE := ker(dπ) है। डीπ के बाद सेe प्रत्येक बिंदु ई पर विशेषण है, यह टीई का एक नियमित सबबंडल पैदा करता है। इसके अलावा, लंबवत बंडल वीई भी पूर्णांक है।

E पर एक Ehresmann कनेक्शन, TE में VE के लिए एक पूरक सबबंडल HE का विकल्प है, जिसे कनेक्शन का क्षैतिज बंडल कहा जाता है। E में प्रत्येक बिंदु e पर, दो उपसमष्टियाँ एक प्रत्यक्ष योग बनाती हैं, जैसे कि टीeई = बीeई ⊕ एचeऔर।

उदाहरण
चिकने फाइबर बंडल का एक सरल उदाहरण दो कई गुना का कार्टेशियन उत्पाद है। बंडल बी पर विचार करें1 := (M × N, pr1) बंडल प्रोजेक्शन पीआर के साथ1 : एम × एन → एम : (x, y) → x. ऊर्ध्वाधर बंडल खोजने के लिए उपरोक्त अनुच्छेद में परिभाषा को लागू करते हुए, हम पहले एम × एन में एक बिंदु (एम, एन) पर विचार करते हैं। फिर पीआर के तहत इस बिंदु की छवि1 एम है। इसी पीआर के तहत एम की प्रीइमेज1 {एम} × एन है, ताकि टी(m,n) ({एम} × एन) = {एम} × टीएन। लंबवत बंडल तब वीबी है1 = एम × टीएन, जो टी (एम × एन) का एक सबबंडल है। अगर हम अन्य प्रोजेक्शन पीआर लेते हैं2 : M × N → N : (x, y) → y फाइबर बंडल B को परिभाषित करने के लिए2 := (M × N, pr2) तो वर्टिकल बंडल VB होगा2 = टीएम × एन.

दोनों ही मामलों में, उत्पाद संरचना क्षैतिज बंडल का एक स्वाभाविक विकल्प देती है, और इसलिए एह्रेसमैन कनेक्शन: बी का क्षैतिज बंडल1 B का लंबवत बंडल है2 और इसके विपरीत।

गुण
विभेदक ज्यामिति से विभिन्न महत्वपूर्ण टेन्सर और विभेदक रूप ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज बंडलों पर विशिष्ट गुण ग्रहण करते हैं, या उनके संदर्भ में भी परिभाषित किए जा सकते हैं। इनमें से कुछ हैं:


 * एक लंबवत वेक्टर क्षेत्र एक वेक्टर फ़ील्ड है जो लंबवत बंडल में है। अर्थात्, 'ई' के प्रत्येक बिंदु 'ई' के लिए, एक सदिश चुनता है $$v_e\in V_eE$$ कहाँ $$V_eE \subset T_eE = T_e(E_{\pi(e)} )$$ ई पर ऊर्ध्वाधर वेक्टर स्थान है। * एक अवकलनीय अवकलन रूप|आर-रूप $$\alpha$$ ई पर 'क्षैतिज रूप' कहा जाता है यदि $$\alpha(v_1,...,v_r)=0$$ जब भी कम से कम एक सदिश $$v_1,..., v_r$$ लंबवत है।
 * कनेक्शन प्रपत्र क्षैतिज बंडल पर गायब हो जाता है, और केवल लंबवत बंडल पर गैर-शून्य होता है। इस तरह, क्षैतिज बंडल को परिभाषित करने के लिए कनेक्शन फॉर्म का उपयोग किया जा सकता है: क्षैतिज बंडल कनेक्शन फॉर्म का कर्नेल है।
 * सोल्डर फॉर्म या टॉटोलॉजिकल वन-फॉर्म वर्टिकल बंडल पर गायब हो जाता है और क्षैतिज बंडल पर नॉन-जीरो होता है। परिभाषा के अनुसार, सोल्डर फॉर्म पूरी तरह से क्षैतिज बंडल में अपना मान लेता है।
 * एक फ्रेम बंडल के मामले में, मरोड़ रूप ऊर्ध्वाधर बंडल पर गायब हो जाता है, और ठीक उसी हिस्से को परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है जिसे लेवी-Civita कनेक्शन में बदलने के लिए मनमाने ढंग से कनेक्शन में जोड़ा जाना चाहिए, यानी एक बनाने के लिए कनेक्शन मरोड़ रहित हो। दरअसल, अगर कोई सोल्डर फॉर्म के लिए θ लिखता है, तो टोरसन टेंसर Θ Θ = D θ (डी के साथ बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न) द्वारा दिया जाता है। किसी दिए गए कनेक्शन ω के लिए, TE पर एक अद्वितीय एक-रूप σ होता है, जिसे विरूपण टेंसर कहा जाता है, जो ऊर्ध्वाधर बंडल में लुप्त हो रहा है, और ऐसा है कि ω+σ एक अन्य कनेक्शन 1-रूप है जो मरोड़-मुक्त है। परिणामी एक रूप ω+σ लेवी-सिविता कनेक्शन के अलावा और कुछ नहीं है। कोई इसे एक परिभाषा के रूप में ले सकता है: चूंकि मरोड़ किसके द्वारा दिया जाता है $$\Theta = D\theta = d\theta + \omega \wedge \theta$$, मरोड़ का गायब होना होने के बराबर है $$d\theta = - (\omega +\sigma) \wedge \theta$$, और यह दिखाना मुश्किल नहीं है कि σ ऊर्ध्वाधर बंडल पर गायब हो जाना चाहिए, और σ प्रत्येक फाइबर पर जी-इनवेरिएंट होना चाहिए (अधिक सटीक रूप से, कि σ जी के आसन्न प्रतिनिधित्व में बदल जाता है)। ध्यान दें कि यह लेवी-सिविता कनेक्शन को किसी भी मीट्रिक टेन्सर के लिए कोई स्पष्ट संदर्भ दिए बिना परिभाषित करता है (हालांकि मीट्रिक टेंसर को सोल्डर फॉर्म का एक विशेष मामला समझा जा सकता है, क्योंकि यह आधार के स्पर्शरेखा और कोटेंगेंट बंडलों के बीच एक मैपिंग स्थापित करता है। अंतरिक्ष, यानी फ्रेम बंडल के क्षैतिज और लंबवत उप-स्थानों के बीच)।
 * ऐसे मामले में जहां E एक प्रमुख बंडल है, तो मूलभूत सदिश क्षेत्र आवश्यक रूप से लंबवत बंडल में रहना चाहिए, और किसी भी क्षैतिज बंडल में गायब हो जाना चाहिए।