सापेक्षवादी यूलर समीकरण

द्रव यांत्रिकी और खगोल भौतिकी में, सापेक्षतावादी यूलर समीकरण यूलर समीकरणों (द्रव गतिशीलता) का एक सामान्यीकरण है जो सामान्य सापेक्षता के प्रभावों को दर्शाता है। उनके पास उच्च-ऊर्जा खगोल भौतिकी और संख्यात्मक सापेक्षता में अनुप्रयोग हैं, जहां उनका उपयोग आमतौर पर गामा-किरण विस्फोट, अभिवृद्धि डिस्क और न्यूट्रॉन स्टार जैसी घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है, अक्सर मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स के अतिरिक्त के साथ। ध्यान दें: साहित्य के साथ निरंतरता के लिए, यह लेख प्राकृतिक इकाइयों, अर्थात् प्रकाश की गति का उपयोग करता है $$c=1$$ और आइंस्टीन संकेतन.

प्रेरणा
पृथ्वी पर देखे जाने वाले अधिकांश तरल पदार्थों के लिए, न्यूटोनियन यांत्रिकी पर आधारित पारंपरिक तरल यांत्रिकी पर्याप्त है। हालाँकि, जैसे-जैसे द्रव का वेग प्रकाश की गति के करीब पहुंचता है या मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों से गुजरता है, या दबाव ऊर्जा घनत्व के करीब पहुंचता है ($$P\sim\rho$$), ये समीकरण अब मान्य नहीं हैं। ऐसी स्थितियाँ खगोलभौतिकी अनुप्रयोगों में अक्सर घटित होती हैं। उदाहरण के लिए, गामा-किरण प्रस्फोट में प्रायः केवल गति ही प्रदर्शित होती है $$0.01%$$ प्रकाश की गति से भी कम, और न्यूट्रॉन सितारों में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र इससे भी अधिक होते हैं $$10^{11}$$ पृथ्वी से कई गुना अधिक शक्तिशाली। इन चरम परिस्थितियों में, केवल तरल पदार्थों का सापेक्षिक उपचार ही पर्याप्त होगा।

परिचय
गति के समीकरण तनाव-ऊर्जा टेंसर के निरंतरता समीकरण में निहित हैं $$T^{\mu\nu}$$:


 * $$\nabla_\mu T^{\mu\nu}=0,$$

कहाँ $$\nabla_\mu$$ सहसंयोजक व्युत्पन्न है. एक उत्तम तरल पदार्थ के लिए,


 * $$T^{\mu\nu} \, =  (e+p)u^\mu u^\nu+p g^{\mu\nu}.$$

यहाँ $$e$$ द्रव का कुल द्रव्यमान-ऊर्जा घनत्व (शेष द्रव्यमान और आंतरिक ऊर्जा घनत्व दोनों सहित) है, $$p$$ द्रव दबाव है, $$u^\mu$$ द्रव का चार-वेग है, और $$g^{\mu\nu}$$ मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता) है। उपरोक्त समीकरणों में, आमतौर पर एक संरक्षण कानून (भौतिकी) जोड़ा जाता है, आमतौर पर बेरिऑन संख्या का संरक्षण। अगर $$n$$ यह बेरिऑन का संख्या घनत्व है, यह कहा जा सकता है



\nabla_\mu (nu^\mu)=0.$$ यदि द्रव तीन-वेग शास्त्रीय यांत्रिकी है तो ये समीकरण शास्त्रीय यूलर समीकरणों में कम हो जाते हैं # प्रकाश की गति की तुलना में विशेष सापेक्षता के लिए न्यूटोनियन सन्निकटन, दबाव ऊर्जा घनत्व से बहुत कम है, और उत्तरार्द्ध बाकी द्रव्यमान घनत्व पर हावी है. इस प्रणाली को बंद करने के लिए, अवस्था का एक समीकरण, जैसे आदर्श गैस या फर्मी गैस, भी जोड़ा जाता है।

समतल स्थान में गति के समीकरण
समतल स्थान के मामले में, अर्थात् $$\nabla_{\mu} = \partial_{\mu}$$ और एक मीट्रिक हस्ताक्षर का उपयोग करना $$(-,+,+,+)$$गति के समीकरण हैं,

(e+p)u^{\mu}\partial_{\mu}u^{\nu} = -\partial^{\nu}p - u^{\nu}u^{\mu}\partial_{\mu}p $$ कहाँ $$e = \gamma \rho c^2 + \rho \epsilon$$ सिस्टम का ऊर्जा घनत्व है, साथ में $$p$$ दबाव होना, और $$u^{\mu} = \gamma(1, \frac{\mathbf{v}}{c})$$ प्रणाली का चार-वेग होना।

योगों और समीकरणों का विस्तार करते हुए, हमारे पास (का उपयोग करके) है $$\frac{d}{dt}$$ सामग्री व्युत्पन्न के रूप में)

(e+p)\frac{\gamma}{c}\frac{du^{\mu}}{dt} = -\partial^{\mu}p - \frac{\gamma}{c}\frac{dp}{dt}u^{\mu} $$ फिर, चुनना $$u^{\nu} = u^i = \frac{\gamma}{c}v_i$$ वेग के व्यवहार का निरीक्षण करने पर हम देखते हैं कि गति के समीकरण बन जाते हैं

(e+p)\frac{\gamma}{c^2}\frac{d}{dt}(\gamma v_i) = -\partial_i p -\frac{\gamma^2}{c^2}\frac{dp}{dt}v_i $$ ध्यान दें कि गैर-सापेक्षतावादी सीमा लेने पर, हमारे पास है $$\frac{1}{c^2}(e+p) = \gamma \rho + \frac{1}{c^2}\rho \epsilon + \frac{1}{c^2}p \approx \rho$$. इसका मतलब है कि तरल पदार्थ की ऊर्जा उसकी बाकी ऊर्जा पर हावी होती है।

इस सीमा में, हमारे पास है $$\gamma \rightarrow 1$$ और $$c\rightarrow \infty$$, और देख सकते हैं कि हम यूलर समीकरण लौटाते हैं $$\rho \frac{dv_i}{dt} = -\partial_i p$$.

गति के समीकरणों की व्युत्पत्ति
गति के समीकरण निर्धारित करने के लिए, हम निम्नलिखित स्थानिक प्रक्षेपण टेंसर स्थिति का लाभ उठाते हैं:

\partial_{\mu}T^{\mu\nu} + u_{\alpha}u^{\nu}\partial_{\mu}T^{\mu\alpha} = 0^{\nu} $$ ये हम देखकर साबित करते हैं $$\partial_{\mu}T^{\mu\nu} + u_{\alpha}u^{\nu}\partial_{\mu}T^{\mu\alpha}$$ और फिर प्रत्येक पक्ष को इससे गुणा करें $$u_{\nu}$$. ऐसा करने पर, और उस पर ध्यान देने पर $$u^{\mu}u_{\mu} = -1$$, अपने पास $$u_{\nu}\partial_{\mu}T^{\mu\nu} - u_{\alpha}\partial_{\mu}T^{\mu\alpha}$$. सूचकांकों को पुनः लेबल करना $$\alpha$$ जैसा $$\nu$$ दिखाता है कि दोनों पूरी तरह से रद्द हैं। यह रद्दीकरण एक स्थानिक टेंसर के साथ टेम्पोरल टेंसर के संकुचन का अपेक्षित परिणाम है।

अब, जब हम उस पर ध्यान देते हैं

T^{\mu\nu} = wu^{\mu}u^{\nu} + pg^{\mu\nu} $$ जहां हमने इसे स्पष्ट रूप से परिभाषित किया है $$w \equiv e+p$$.

हम उसका हिसाब लगा सकते हैं

\begin{align} \partial_{\mu}T^{\mu\nu} & = (\partial_{\mu}w)u^{\mu}u^{\nu} + w(\partial_{\mu}u^{\mu}) u^{\nu} + wu^{\mu}\partial_{\mu}u^{\nu} + \partial^{\nu}p \\ \partial_{\mu}T^{\mu\alpha} & = (\partial_{\mu}w)u^{\mu}u^{\alpha} + w(\partial_{\mu}u^{\mu}) u^{\alpha} + wu^{\mu}\partial_{\mu}u^{\alpha} + \partial^{\alpha}p \end{align} $$ और इस तरह

u^{\nu}u_{\alpha}\partial_{\mu}T^{\mu\alpha} = (\partial_{\mu}w)u^{\mu}u^{\nu}u^{\alpha}u_{\alpha} + w(\partial_{\mu}u^{\mu})u^{\nu} u^{\alpha}u_{\alpha} + wu^{\mu}u^{\nu} u_{\alpha}\partial_{\mu}u^{\alpha} + u^{\nu}u_{\alpha}\partial^{\alpha}p $$ फिर, आइए इस तथ्य पर ध्यान दें $$u^{\alpha}u_{\alpha} = -1$$ और $$u^{\alpha}\partial_{\nu}u_{\alpha} = 0$$. ध्यान दें कि दूसरी पहचान पहली से मिलती है। इन सरलीकरणों के अंतर्गत, हम उसे पाते हैं

u^{\nu}u_{\alpha}\partial_{\mu}T^{\mu\alpha} = -(\partial_{\mu}w)u^{\mu}u^{\nu} - w(\partial_{\mu}u^{\mu})u^{\nu} + u^{\nu}u^{\alpha}\partial_{\alpha}p $$ और इस प्रकार द्वारा $$\partial_{\mu}T^{\mu\nu} + u_{\alpha}u^{\nu}\partial_{\mu}T^{\mu\alpha} = 0$$, अपने पास

(\partial_{\mu}w)u^{\mu}u^{\nu} + w(\partial_{\mu}u^{\mu}) u^{\nu} + wu^{\mu}\partial_{\mu}u^{\nu} + \partial^{\nu}p -(\partial_{\mu}w)u^{\mu}u^{\nu} - w(\partial_{\mu}u^{\mu})u^{\nu} + u^{\nu}u^{\alpha}\partial_{\alpha}p = 0 $$ हमारे पास दो रद्दीकरण हैं, और इस प्रकार हम बचे हैं

(e+p)u^{\mu}\partial_{\mu}u^{\nu} = - \partial^{\nu}p - u^{\nu}u^{\alpha}\partial_{\alpha}p = 0 $$

यह भी देखें

 * सापेक्षिक ऊष्मा चालन
 * राज्य का समीकरण (ब्रह्मांड विज्ञान)