बेल बहुपद

साहचर्य गणित में, एरिक टेम्पल बेल के सम्मान में नामित बेल बहुपद का उपयोग सेट विभाजन के अध्ययन में किया जाता है। वे स्टर्लिंग नंबर और बेल नंबर से संबंधित हैं। वे कई अनुप्रयोगों में भी होते हैं, जैसे कि फा डि ब्रूनो के सूत्र में।

घातीय बेल बहुपद
आंशिक या अपूर्ण घातीय बेल बहुपद बहुपदों की एक त्रिकोणीय सरणी द्वारा दिए गए हैं


 * $$B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) = \sum{n! \over j_1!j_2!\cdots j_{n-k+1}!}

\left({x_1\over 1!}\right)^{j_1}\left({x_2\over 2!}\right)^{j_2}\cdots\left({x_{n-k+1} \over (n-k+1)!}\right)^{j_{n-k+1}},$$ जहां गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के सभी अनुक्रम j1, j2, j3, ..., jn−k+1 पर योग लिया जाता है, जैसे कि ये दो शर्तें पूरी होती हैं:


 * $$j_1 + j_2 + \cdots + j_{n-k+1} = k, $$ :$$j_1 + 2 j_2 + 3 j_3 + \cdots + (n-k+1)j_{n-k+1} = n.$$

योग


 * $$B_n(x_1,\dots,x_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})$$

nवां पूर्ण चरघातांकी बेल बहुपद कहलाता है।

साधारण बेल बहुपद
इसी प्रकार, आंशिक साधारण बेल बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\hat{B}_{n,k}(x_1,x_2,\ldots,x_{n-k+1}) = \sum \frac{k!}{j_1! j_2! \cdots j_{n-k+1}!} x_1^{j_1} x_2^{j_2} \cdots x_{n-k+1}^{j_{n-k+1}}, $$

जहां योग गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के सभी अनुक्रम j1, j2, j3, ..., jn−k+1 पर चलता है जैसे कि
 * $$j_1 + j_2 + \cdots + j_{n-k+1} = k,$$
 * $$j_1 + 2 j_2 + \cdots + (n-k+1)j_{n-k+1} = n.$$

साधारण बेल बहुपदों को घातीय बेल बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$\hat{B}_{n,k}(x_1,x_2,\ldots,x_{n-k+1}) = \frac{k!}{n!}B_{n,k}(1!\cdot x_1,2!\cdot x_2,\ldots,(n-k+1)!\cdot x_{n-k+1}).$$

सामान्य तौर पर, बेल बहुपद घातीय बेल बहुपद को संदर्भित करता है, जब तक कि अन्यथा स्पष्ट रूप से न कहा गया हो।

संयुक्त अर्थ
घातीय बेल बहुपद एक सेट को विभाजित करने की विधियों से संबंधित जानकारी को कूटबद्ध करता है। उदाहरण के लिए, यदि हम एक सेट {A, B, C} पर विचार करते हैं, तो इसे दो गैर-खाली, गैर-अतिव्यापी उपसमुच्चय में विभाजित किया जा सकता है, जिसे 3 अलग-अलग विधियों से भागों या ब्लॉकों के रूप में भी जाना जाता है:


 * {{A}, {B, C}}
 * {{B}, {A, C}}
 * {{C}, {B, A}}

इस प्रकार, हम इन विभाजनों के बारे में जानकारी को एन्कोड कर सकते हैं


 * $$B_{3,2}(x_1,x_2) = 3 x_1 x_2. $$

यहाँ, B3,2 की सदस्यताएँ हमें बताता है कि हम 3 तत्वों के साथ सेट के विभाजन को 2 ब्लॉकों में विभाजित करने पर विचार कर रहे हैं। प्रत्येक xi की सबस्क्रिप्ट किसी दिए गए विभाजन में i तत्वों (या आकार i के ब्लॉक) के साथ ब्लॉक की उपस्थिति को दर्शता है। तो यहाँ, x2 दो तत्वों के साथ एक ब्लॉक की उपस्थिति को दर्शता करता है। इसी प्रकार, x1 एकल तत्व वाले ब्लॉक की उपस्थिति को दर्शता है। x का प्रतिपादकij दर्शता है कि एकल विभाजन में आकार i के ऐसे j ब्लॉक हैं। यहाँ, चूँकि दोनों x1 और x2 प्रतिपादक 1 है, यह दर्शता करता है कि दिए गए विभाजन में केवल एक ऐसा ब्लॉक है। एकपद का गुणांक दर्शता करता है कि ऐसे कितने विभाजन हैं। हमारे स्थितियों के लिए, 3 तत्वों के साथ 2 ब्लॉकों में एक सेट के 3 विभाजन हैं, जहां प्रत्येक विभाजन में तत्वों को 1 और 2 के आकार के दो ब्लॉकों में विभाजित किया गया है।

चूँकि किसी भी समुच्चय को एक ही ब्लॉक में केवल एक विधि से विभाजित किया जा सकता है, उपरोक्त व्याख्या का अर्थ होगा कि Bn,1 = xn. इसी प्रकार, चूंकि केवल एक ही विधि है कि n तत्वों वाले एक सेट को n सिंगलटन में विभाजित किया जाए, Bn,n = x1n.

अधिक जटिल उदाहरण के रूप में, विचार करें


 * $$B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2.$$

यह हमें बताता है कि यदि 6 तत्वों के एक सेट को 2 ब्लॉकों में विभाजित किया जाता है, तो हमारे पास आकार 1 और 5 के ब्लॉक के साथ 6 विभाजन, आकार 4 और 2 के ब्लॉक वाले 15 विभाजन और 3 आकार के 2 ब्लॉक वाले 10 विभाजन हो सकते हैं।

एकपदी में सबस्क्रिप्ट का योग तत्वों की कुल संख्या के बराबर है। इस प्रकार, आंशिक बेल बहुपद में दिखाई देने वाले मोनोमियल्स की संख्या उन विधियों की संख्या के बराबर होती है, जिन्हें पूर्णांक n को k धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह n के k भागों में पूर्णांक विभाजन के समान है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त उदाहरणों में, पूर्णांक 3 को केवल 2+1 के रूप में दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। इस प्रकार, B3,2 में केवल एक एकपदी है. चूंकि, पूर्णांक 6 को 5+1, 4+2 और 3+3 के रूप में दो भागों में विभाजित किया जा सकता है। इस प्रकार, B6,2 में तीन एकपदी हैं. वास्तव में, एक मोनोमियल में वेरिएबल्स के सबस्क्रिप्ट वही होते हैं जो पूर्णांक विभाजन द्वारा दिए गए होते हैं, जो विभिन्न ब्लॉकों के आकार को दर्शाते हैं। एक पूर्ण बेल बहुपद Bn में दिखाई देने वाले एकपदों की कुल संख्या इस प्रकार n के पूर्णांक विभाजनों की कुल संख्या के बराबर है।

साथ ही प्रत्येक मोनोमियल की डिग्री, जो मोनोमियल में प्रत्येक चर के घातांक का योग है, सेट में विभाजित ब्लॉकों की संख्या के बराबर है। अर्थात j1 + j2 + ... = k। इस प्रकार, एक पूर्ण बेल बहुपद Bn दिया जाने पर, हम डिग्री k वाले उन सभी एकपदों को एकत्रित करके आंशिक बेल बहुपद Bn,k को अलग कर सकते हैं।

अंत में, यदि हम ब्लॉक के आकार की उपेक्षा करते हैं और सभी xi = x डालते हैं, तो आंशिक बेल बहुपद Bn,k के गुणांकों का योग n तत्वों वाले एक सेट को k ब्लॉकों में विभाजित करने की विधियों की कुल संख्या देगा, जो दूसरी प्रकार की स्टर्लिंग संख्याओं के समान है। साथ ही, पूर्ण बेल बहुपद Bn के सभी गुणांकों का योग हमें n तत्वों के साथ एक सेट को गैर-अतिव्यापी उपसमुच्चय में विभाजित करने की विधियों की कुल संख्या देगा, जो बेल संख्या के समान है।

सामान्य तौर पर, यदि पूर्णांक n एक पूर्णांक विभाजन है जिसमें एक योग है जिसमें 1 j1 बार प्रकट होता है, 2 j2 बार प्रकट होता है, और इसी प्रकार, फिर आकार n के एक सेट के विभाजन की संख्या जो पूर्णांक n के उस विभाजन के लिए ढह जाती है जब सेट के सदस्य अप्रभेद्य हो जाते हैं, बहुपद में संबंधित गुणांक होता है।

उदाहरण
उदाहरण के लिए, हमारे पास है


 * $$B_{6,2}(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)=6x_5x_1+15x_4x_2+10x_3^2$$

क्योंकि 6 तत्वों के सेट को 2 ब्लॉक के रूप में विभाजित करने की विधियां हैं


 * 6 के सेट को 5 + 1 के रूप में विभाजित करने की 6 विधि हैं,
 * 6 के सेट को 4 + 2 के रूप में विभाजित करने की 15 विधि, और
 * 6 के सेट को 3 + 3 के रूप में विभाजित करने की 10 विधि हैं।

इसी प्रकार,


 * $$B_{6,3}(x_1,x_2,x_3,x_4)=15x_4x_1^2+60x_3x_2x_1+15x_2^3$$

क्योंकि 6 तत्वों के सेट को 3 ब्लॉक के रूप में विभाजित करने की विधियां हैं


 * 6 के सेट को 4+1+1 के रूप में विभाजित करने की 15 विधि हैं,
 * 60 6 के सेट को 3+2+1 के रूप में विभाजित करने की विधियां, और
 * 6 के सेट को 2+2+2 के रूप में विभाजित करने की 15 विधि हैं।

उत्पादक फलन
घातीय आंशिक बेल बहुपदों को इसके उत्पादक फलन के दोहरे श्रृंखला विस्तार द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

\begin{align} \Phi(t,u) &= \exp\left( u \sum_{j=1}^\infty x_j \frac{t^j}{j!} \right) = \sum_{n\geq k \geq 0} B_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}) \frac{t^n}{n!} u^k\\ &= 1 + \sum_{n=1}^\infty \frac{t^n}{n!} \sum_{k=1}^n u^k B_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}). \end{align} $$ दूसरे शब्दों में, k-वी घात के श्रृंखला विस्तार द्वारा समान मात्रा में क्या है:
 * $$ \frac{1}{k!}\left( \sum_{j=1}^\infty x_j \frac{t^j}{j!} \right)^k = \sum_{n=k}^\infty B_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}) \frac{t^n}{n!}, \qquad k = 0, 1, 2, \ldots $$

पूर्ण घातीय बेल बहुपद $$\Phi(t,1)$$ द्वारा परिभाषित किया गया है, या दूसरे शब्दों में:
 * $$ \Phi(t,1) = \exp\left( \sum_{j=1}^\infty x_j \frac{t^j}{j!} \right) = \sum_{n=0}^\infty B_n(x_1,\ldots, x_n) \frac{t^n}{n!}.$$

इस प्रकार, n-वाँ पूर्ण बेल बहुपद दिया जाता है
 * $$ B_n(x_1,\ldots, x_n) = \left. \left(\frac{\partial}{\partial t}\right)^n \exp\left( \sum_{j=1}^n x_j \frac{t^j}{j!} \right) \right|_{t=0}. $$

इसी प्रकार, साधारण आंशिक बेल बहुपद को उत्पादक फलन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है
 * $$ \hat{\Phi}(t,u) = \exp \left( u \sum_{j=1}^\infty x_j t^j \right) = \sum_{n\geq k\geq 0} \hat{B}_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}) t^n \frac{u^k}{k!}.$$

या, समतुल्य, k-वें घात के श्रृंखला विस्तार द्वारा:
 * $$\left(\sum_{j=1}^\infty x_j t^j\right)^k = \sum_{n=k}^\infty \hat{B}_{n,k}(x_1, \ldots, x_{n-k+1}) t^n. $$

बेल बहुपद उत्पादक फलन के लिए अनुक्रम उत्पन्न करने वाले कार्यों और शक्तियों, अनुक्रम उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के लघुगणक और घातांक की रचनाओं के विस्तार के लिए फ़ंक्शन परिवर्तन उत्पन्न करने वाले कार्य भी देखें। इनमें से प्रत्येक सूत्र को कॉमेट के संबंधित अनुभागों में उद्धृत किया गया है।

पुनरावृत्ति संबंध
पूर्ण बेल बहुपद को पुनरावृत्ति संबंध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 * $$ B_{n+1}(x_1, \ldots, x_{n+1}) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} B_{n-i}(x_1, \ldots, x_{n-i}) x_{i+1}$$

प्रारंभिक मूल्य के साथ $$B_0 = 1$$.

आंशिक बेल बहुपदों की भी पुनरावृत्ति संबंध द्वारा दक्षतापूर्वक गणना की जा सकती है:
 * $$ B_{n,k} = \sum_{i=1}^{n-k+1} \binom{n-1}{i-1} x_i B_{n-i,k-1},$$

जहाँ
 * $$ B_{0,0} = 1; $$
 * $$ B_{n,0} = 0 \text{ for } n \geq 1; $$
 * $$ B_{0,k} = 0 \text{ for } k \geq 1. $$

पूर्ण बेल बहुपद निम्नलिखित पुनरावृत्ति अंतर सूत्र को भी संतुष्ट करते हैं:

\begin{align} B_n(x_1, \ldots, x_n) = \frac{1}{n-1} \left[ \sum_{i=2}^n \right. & \sum_{j=1}^{i-1} (i-1) \binom{i-2}{j-1} x_j x_{i-j}\frac{\partial B_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}} \\[5pt] & \left. {} + \sum_{i=2}^n \sum_{j=1}^{i-1} \frac{x_{i+1}}{\binom i j} \frac{\partial^2 B_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})}{\partial x_j \partial x_{i-j}} \right. \\[5pt] & \left. {} + \sum_{i=2}^n x_i \frac{\partial B_{n-1}(x_1,\dots,x_{n-1})}{\partial x_{i-1}} \right]. \end{align} $$

संजात
संपूर्ण बेल बहुपदों के आंशिक अवकलज निम्न द्वारा दिए गए हैं
 * $$ \frac{\partial B_{n}}{\partial x_i} (x_1, \ldots, x_{n}) = \binom{n}{i} B_{n-i}(x_1, \ldots, x_{n-i}).$$

इसी प्रकार, आंशिक बेल बहुपदों के आंशिक डेरिवेटिव द्वारा दिए गए हैं
 * $$ \frac{\partial B_{n,k}}{\partial x_i} (x_1, \ldots, x_{n-k+1}) = \binom{n}{i} B_{n-i,k-1}(x_1, \ldots, x_{n-i-k+2}).$$

यदि बेल बहुपदों के तर्क एक आयामी कार्य हैं, तो श्रृंखला नियम का उपयोग प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है
 * $$ \frac{d}{dx} \left(B_{n,k}(a_1(x), \cdots, a_{n-k+1}(x))\right) = \sum_{i=1}^{n-k+1} \binom{n}{i} a_i'(x) B_{n-i,k-1}(a_1(x), \cdots, a_{n-i-k+2}(x)).$$

निर्धारक रूप
पूर्ण बेल बहुपद निर्धारकों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$B_n(x_1,\dots,x_n) = \det\begin{bmatrix}

x_1 & {n-1 \choose 1} x_2 & {n-1 \choose 2}x_3 & {n-1 \choose 3} x_4 & \cdots & \cdots & x_n \\ \\ -1 & x_1 & {n-2 \choose 1} x_2 & {n-2 \choose 2} x_3 & \cdots & \cdots & x_{n-1} \\  \\ 0 & -1 & x_1 & {n-3 \choose 1} x_2 & \cdots & \cdots & x_{n-2} \\ \\ 0 & 0 & -1 & x_1 & \cdots & \cdots & x_{n-3} \\  \\ 0 & 0 & 0 & -1 & \cdots & \cdots & x_{n-4} \\ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots  \\  \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -1 & x_1 \end{bmatrix}$$ और


 * $$B_n(x_1,\dots,x_n) = \det\begin{bmatrix}

\frac{x_1}{0!} & \frac{x_2}{1!} & \frac{x_3}{2!} & \frac{x_4}{3!} & \cdots & \cdots & \frac{x_n}{(n-1)!} \\ \\ -1 & \frac{x_1}{0!} & \frac{x_2}{1!} & \frac{x_3}{2!} & \cdots & \cdots & \frac{x_{n-1}}{(n-2)!} \\  \\ 0 & -2 & \frac{x_1}{0!} & \frac{x_2}{1!} & \cdots & \cdots & \frac{x_{n-2}}{(n-3)!} \\ \\ 0 & 0 & -3 & \frac{x_1}{0!} & \cdots & \cdots & \frac{x_{n-3}}{(n-4)!} \\  \\ 0 & 0 & 0 & -4 & \cdots & \cdots & \frac{x_{n-4}}{(n-5)!} \\ \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots  \\  \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & -(n-1) & \frac{x_1}{0!} \end{bmatrix}.$$

स्टर्लिंग नंबर और बेल नंबर
बेल बहुपद B का मानn,k(x1,x2,...) कारख़ाने का के अनुक्रम पर पहली प्रकार की एक अहस्ताक्षरित स्टर्लिंग संख्या के बराबर होती है:
 * $$B_{n,k}(0!,1!,\dots,(n-k)!)=c(n,k)=|s(n,k)| = \left[{n\atop k}\right].$$

इन मानों का योग फैक्टोरियल के अनुक्रम पर पूर्ण बेल बहुपद का मान देता है:
 * $$B_n(0!,1!,\dots,(n-1)!)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(0!,1!,\dots,(n-k)!) = \sum_{k=1}^n \left[{n\atop k}\right] = n!.$$

बेल बहुपद B का मानn,k(x1,x2,...) एक के अनुक्रम पर दूसरी प्रकार की स्टर्लिंग संख्या के बराबर होती है:
 * $$B_{n,k}(1,1,\dots,1)=S(n,k)=\left\{{n\atop k}\right\}.$$

इन मानों का योग एक के अनुक्रम पर पूर्ण बेल बहुपद का मान देता है:
 * $$B_n(1,1,\dots,1)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(1,1,\dots,1) = \sum_{k=1}^n \left\{{n\atop k}\right\},$$

जो nth बेल नंबर है।

व्युत्क्रम संबंध
यदि हम परिभाषित करते हैं


 * $$y_n = \sum_{k=1}^n B_{n,k}(x_1,\ldots,x_{n-k+1}),$$

तो हमारे पास उलटा संबंध है


 * $$x_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} (k-1)! B_{n,k}(y_1,\ldots,y_{n-k+1}).$$

टचर्ड बहुपद
बहुपद स्पर्श $$T_n(x) = \sum_{k=0}^n \left\{{n\atop k}\right\}\cdot x^k$$ x होने वाले सभी तर्कों पर पूर्ण बेल बहुपद के मान के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$T_n(x) = B_n(x,x,\dots,x).$$

कनवल्शन पहचान
अनुक्रमों के लिए xn, औरn, n = 1, 2, ..., कनवल्शन को परिभाषित करें:


 * $$(x \mathbin{\diamondsuit} y)_n = \sum_{j=1}^{n-1} {n \choose j} x_j y_{n-j}.$$

योग की सीमाएं 1 और n − 1 हैं, न कि 0 और n ।

मान ले $$x_n^{k\diamondsuit}\,$$ अनुक्रम का nवाँ पद हो


 * $$\displaystyle\underbrace{x\mathbin{\diamondsuit}\cdots\mathbin{\diamondsuit} x}_{k \text{ factors}}.\,$$

तब
 * $$B_{n,k}(x_1,\dots,x_{n-k+1}) = {x_n^{k\diamondsuit} \over k!}.\,$$

उदाहरण के लिए, आइए $$ B_{4,3}(x_1,x_2) $$ अपने पास गणना करें


 * $$ x = ( x_1 \, \ x_2 \ , \ x_3 \ , \ x_4 \ , \dots ) $$
 * $$ x \mathbin{\diamondsuit} x = ( 0,\ 2 x_1^2 \ ,\  6 x_1 x_2 \, \  8 x_1 x_3 + 6 x_2^2 \ , \dots ) $$
 * $$ x \mathbin{\diamondsuit} x \mathbin{\diamondsuit} x = ( 0 \ ,\ 0 \ , \ 6 x_1^3 \ , \ 36 x_1^2 x_2 \ , \dots ) $$

और इस प्रकार,


 * $$ B_{4,3}(x_1,x_2) = \frac{ ( x \mathbin{\diamondsuit} x \mathbin{\diamondsuit} x)_4 }{3!} = 6 x_1^2 x_2. $$

अन्य पहचान

 * $$B_{n,k}(1!,2!,\ldots,(n-k+1)!) = \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} = L(n,k)$$ जो ये रही संख्या देता है।
 * $$B_{n,k}(1,2,3,\ldots,n-k+1) = \binom{n}{k} k^{n-k} $$ जो महत्वपूर्ण फलन देता है।
 * $$B_{n,k}(-x_1,x_2,-x_3,\ldots,(-1)^{n-k}x_{n-k+1}) = (-1)^n B_{n,k}(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_{n-k+1})$$ और $$B_n(-x_1,x_2,-x_3,\ldots,(-1)^{n-1}x_n) = (-1)^n B_n(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n)$$.
 * संपूर्ण बेल बहुपद द्विपद प्रकार के संबंध को संतुष्ट करते हैं:
 * $$ B_n(x_1 + y_1, \ldots, x_n + y_n) = \sum_{i=0}^n {n \choose i} B_{n-i}(x_1, \ldots, x_{n-i})B_i(y_1, \ldots, y_i),$$
 * $$ B_{n, k}\Bigl(\frac{x_{q+1}}{\binom{q+1}{q}}, \frac{x_{q+2}}{\binom{q+2}{q}}, \ldots\Bigr) = \frac{n!(q!)^k}{(n+qk)!} B_{n+qk, k}(\ldots, 0, 0, x_{q+1}, x_{q+2}, \ldots).$$
 * यह कॉमटेट की पुस्तक में कारक $$(q!)^k$$ की चूक को ठीक करता है।।


 * जब $$1 \le a < n$$,
 * $$B_{n, n-a}(x_1, \ldots, x_{a+1}) = \sum_{j = a+1}^{2a}\frac{j!}{a!}\binom{n}{j}(x_1)^{n-j} B_{a, j-a}\Bigl(\frac{x_2}{2}, \frac{x_3}{3}, \ldots, \frac{x_{2(a+1)-j}}{2(a+1)-j}\Bigr).$$


 * आंशिक बेल बहुपद के विशेष स्थितियों:



\begin{align} B_{n, 1}(x_1, \ldots, x_n) = {} & x_n \\ [8pt] B_{n, 2}(x_1, \ldots, x_{n-1}) = {} & \frac{1}{2}\sum_{k = 1}^{n-1} \binom{n}{k} x_kx_{n-k} \\ [8pt] B_{n, n}(x_1) = {} & (x_1)^n \\ [8pt] B_{n, n-1}(x_1, x_2) = {} & \binom{n}{2}(x_1)^{n-2}x_2 \\ [8pt] B_{n, n-2}(x_1, x_2, x_3) = {} & \binom{n}{3}(x_1)^{n-3}x_3 + 3\binom{n}{4}(x_1)^{n-4}(x_2)^2 \\ [8pt] B_{n, n-3}(x_1, x_2, x_3, x_4) = {} & \binom{n}{4}(x_1)^{n-4}x_4 + 10\binom{n}{5}(x_1)^{n-5}x_2x_3 + 15\binom{n}{6}(x_1)^{n-6}(x_2)^3\\ [8pt] B_{n, n-4}(x_1, x_2, x_3, x_4, x_5) = {} & \binom{n}{5}(x_1)^{n-5}x_5 + 5\binom{n}{6}(x_1)^{n-6}\bigl[3x_2x_4 + 2(x_3)^2\bigr] + 105\binom{n}{7}(x_1)^{n-7}(x_2)^2x_3\\ {} & {} + 105\binom{n}{8}(x_1)^{n-8}(x_2)^4. \end{align} $$

उदाहरण
पहले कुछ पूर्ण बेल बहुपद हैं:



\begin{align} B_0 = {} & 1, \\[8pt] B_1(x_1) = {} & x_1, \\[8pt] B_2(x_1,x_2) = {} & x_1^2 + x_2, \\[8pt] B_3(x_1,x_2,x_3) = {} & x_1^3 + 3x_1 x_2 + x_3, \\[8pt] B_4(x_1,x_2,x_3,x_4) = {} & x_1^4 + 6 x_1^2 x_2 + 4 x_1 x_3 + 3 x_2^2 + x_4, \\[8pt] B_5(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5) = {} & x_1^5 + 10 x_2 x_1^3 + 15 x_2^2 x_1 + 10 x_3 x_1^2 + 10 x_3 x_2 + 5 x_4 x_1 + x_5 \\[8pt] B_6(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6) = {} & x_1^6 + 15 x_2 x_1^4 + 20 x_3 x_1^3 + 45 x_2^2 x_1^2 + 15 x_2^3 + 60 x_3 x_2 x_1 \\ & {} + 15 x_4 x_1^2 + 10 x_3^2 + 15 x_4 x_2 + 6 x_5 x_1 + x_6, \\[8pt] B_7(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,x_6,x_7) = {} & x_1^7 + 21 x_1^5 x_2 + 35 x_1^4 x_3 + 105 x_1^3 x_2^2 + 35 x_1^3 x_4 \\ & {} + 210 x_1^2 x_2 x_3 + 105 x_1 x_2^3 + 21 x_1^2 x_5 + 105 x_1 x_2 x_4 \\ & {} + 70 x_1 x_3^2 + 105 x_2^2 x_3 + 7 x_1 x_6 + 21 x_2 x_5 + 35 x_3 x_4 + x_7. \end{align}$$

ब्रूनो का सूत्र प्राप्त करें
फा डि ब्रूनो के सूत्र को बेल बहुपदों के संदर्भ में निम्नानुसार बताया जा सकता है:


 * $${d^n \over dx^n} f(g(x)) = \sum_{k=1}^n f^{(k)}(g(x)) B_{n,k} \left(g'(x),g''(x), \dots, g^{(n-k+1)}(x)\right).$$

इसी प्रकार, Faà di Bruno के सूत्र का एक घात-श्रृंखला संस्करण निम्नानुसार बेल बहुपदों का उपयोग करके कहा जा सकता है। कल्पना कीजिये


 * $$f(x)=\sum_{n=1}^\infty {a_n \over n!} x^n \qquad \text{and} \qquad g(x) = \sum_{n=1}^\infty {b_n \over n!} x^n.$$

तब


 * $$g(f(x)) = \sum_{n=1}^\infty

\frac{\sum_{k=1}^n b_k B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1})}{n!} x^n.$$ विशेष रूप से, पूर्ण बेल बहुपद औपचारिक घात श्रृंखला के घातांक में दिखाई देते हैं:


 * $$\exp\left(\sum_{i=1}^\infty {a_i \over i!} x^i \right)

= \sum_{n=0}^\infty {B_n(a_1,\dots,a_n) \over n!} x^n,$$ जो तर्कों के एक निश्चित अनुक्रम पर पूर्ण बेल बहुपदों के घातीय उत्पादक फलन का भी प्रतिनिधित्व करता है $$a_1, a_2, \dots$$.

श्रृंखला का प्रत्यावर्तन
औपचारिक घात श्रृंखला में दो कार्य एफ और जी को व्यक्त किया जाना चाहिए


 * $$f(w) = \sum_{k=0}^\infty f_k \frac{w^k}{k!}, \qquad \text{and} \qquad  g(z) = \sum_{k=0}^\infty g_k \frac{z^k}{k!},$$

ऐसा है कि g, g(f(w)) = w या f(g(z)) = z द्वारा परिभाषित f का संयोजनात्मक व्युत्क्रम है। यदि एफ0 = 0 और एफ1 ≠ 0, तो व्युत्क्रम के गुणांकों का एक स्पष्ट रूप बेल बहुपदों के रूप में दिया जा सकता है
 * $$ g_n = \frac{1}{f_1^n} \sum_{k=1}^{n-1} (-1)^k n^{\bar{k}} B_{n-1,k}(\hat{f}_1,\hat{f}_2,\ldots,\hat{f}_{n-k}), \qquad n \geq 2, $$

साथ $$ \hat{f}_k = \frac{f_{k+1}}{(k+1)f_{1}},$$ और $$n^{\bar{k}} = n(n+1)\cdots (n+k-1) $$ बढ़ती फैक्टोरियल है, और $$g_1 = \frac{1}{f_{1}}. $$

लाप्लास-प्रकार के इंटीग्रल का स्पर्शोन्मुख विस्तार
फॉर्म के इंटीग्रल पर विचार करें


 * $$I(\lambda) = \int_a^b e^{-\lambda f(x)} g(x) \, \mathrm{d}x, $$

जहां (ए, B) एक वास्तविक (परिमित या अनंत) अंतराल है, λ एक बड़ा सकारात्मक पैरामीटर है और कार्य एफ और जी निरंतर हैं। मान लीजिए f का [a,b] में एक न्यूनतम है जो x = a पर होता है। मान लें कि x → a के रूप में+,


 * $$ f(x) \sim f(a) + \sum_{k=0}^\infty a_k (x-a)^{k+\alpha}, $$
 * $$ g(x) \sim \sum_{k=0}^\infty b_k (x-a)^{k+\beta-1}, $$

α > 0, Re(β) > 0 के साथ; और यह कि f के विस्तार को शब्दवार विभेदित किया जा सकता है। फिर, लाप्लास-एर्डेली प्रमेय में कहा गया है कि इंटीग्रल I(λ) का स्पर्शोन्मुख विस्तार इसके द्वारा दिया गया है


 * $$ I(\lambda) \sim e^{-\lambda f(a)} \sum_{n=0}^\infty \Gamma \Big(\frac{n+\beta}{\alpha} \Big) \frac{c_n}{\lambda^{(n+\beta)/\alpha}} \qquad \text{as} \quad \lambda \rightarrow \infty, $$

जहां गुणांक सीna के रूप में अभिव्यक्त होते हैंnऔर Bnआंशिक साधारण बेल बहुपदों का उपयोग करते हुए, जैसा कि कैंपबेल-फ्रोमन-वॉल्स-वोज्डाइलो सूत्र द्वारा दिया गया है:


 * $$ c_n = \frac{1}{\alpha a_0^{(n+\beta)/\alpha}} \sum_{k=0}^n b_{n-k} \sum_{j=0}^k \binom{-\frac{n+\beta}{\alpha}}{j} \frac{1}{a_0^j} \hat{B}_{k,j}(a_1,a_2,\ldots,a_{k-j+1}). $$

सममित बहुपद
प्राथमिक सममित बहुपद $$e_n$$ और घात योग सममित बहुपद $$p_n$$ बेल बहुपदों का उपयोग करके एक दूसरे से संबंधित हो सकते हैं:

\begin{align} e_n & = \frac{1}{n!}\; B_{n}(p_1, -1! p_2, 2! p_3, -3! p_4, \ldots, (-1)^{n-1}(n-1)! p_n ) \\ & = \frac{(-1)^n}{n!}\; B_{n}(-p_1, -1! p_2, -2! p_3, -3! p_4, \ldots, -(n-1)! p_n ), \end{align} $$

\begin{align} p_n & = \frac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!} \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} (k-1)!\; B_{n,k}(e_1,2! e_2, 3! e_3,\ldots,(n-k+1)! e_{n-k+1}) \\ & = (-1)^n\; n\; \sum_{k=1}^n \frac{1}{k} \; \hat{B}_{n,k}(-e_1,\dots,-e_{n-k+1}). \end{align} $$ ये सूत्र किसी को अपने शून्य के बेल बहुपदों के संदर्भ में मोनिक बहुपदों के गुणांकों को व्यक्त करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, केली-हैमिल्टन प्रमेय के साथ वे अपनी घातयों के निशान के संदर्भ में एक n × n वर्ग मैट्रिक्स A के निर्धारक की अभिव्यक्ति की ओर ले जाते हैं:
 * $$ \det (A) = \frac{(-1)^{n}}{n!} B_n(s_1, s_2, \ldots, s_n), ~\qquad \text{where } s_k = - (k - 1)! \operatorname{tr}(A^k).$$

सममित समूहों का चक्र सूचकांक
सममित समूह का चक्र सूचकांक $$S_n$$ पूर्ण बेल बहुपदों के संदर्भ में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$ Z(S_n) = \frac{B_n(0!\,a_1, 1!\,a_2, \dots, (n-1)!\,a_n)}{n!}.$$

क्षण और संचयी
योग


 * $$\mu_n' = B_n(\kappa_1,\dots,\kappa_n)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(\kappa_1,\dots,\kappa_{n-k+1})$$

संभाव्यता बंटन का nवां कच्चा क्षण (गणित) है जिसके पहले n संचयी κ हैं1, ..., कn. दूसरे शब्दों में, nवाँ क्षण nवाँ पूर्ण बेल बहुपद है जिसका मूल्यांकन पहले n संचयी पर किया जाता है। इसी प्रकार, nवें संचयी को क्षणों के रूप में दिया जा सकता है


 * $$\kappa_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} (k-1)! B_{n,k}(\mu'_1,\ldots,\mu'_{n-k+1}).$$

हर्मिट बहुपद
हर्मिट बहुपदों को बेल बहुपदों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$\operatorname{He}_n(x) = B_n(x,-1,0,\ldots,0),$$

जहां xi = 0 सबके लिए i > 2; इस प्रकार हर्मिट बहुपदों के गुणांकों की एक संयुक्त व्याख्या की अनुमति देता है। इसे हर्मिट बहुपदों के जनक फलन की तुलना करके देखा जा सकता है


 * $$\exp \left(xt-\frac{t^2}{2} \right) = \sum_{n=0}^\infty \operatorname{He}_n(x) \frac {t^n}{n!}$$

बेल बहुपदों के साथ।

द्विपद प्रकार के बहुपद अनुक्रमों का प्रतिनिधित्व
किसी भी क्रम के लिए a1, a2, …, an अदिश राशि, चलो


 * $$p_n(x)=\sum_{k=1}^n B_{n,k}(a_1,\dots,a_{n-k+1}) x^k.$$

तब यह बहुपद अनुक्रम द्विपद प्रकार का होता है, अर्थात यह द्विपद सर्वसमिका को संतुष्ट करता है


 * $$p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n {n \choose k} p_k(x) p_{n-k}(y).$$
 * उदाहरण: A1 के लिए = … = an = 1, बहुपद $$p_n(x)$$ टचर्ड बहुपदों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अधिक सामान्यतः, हमारे पास यह परिणाम है:


 * प्रमेय: द्विपद प्रकार के सभी बहुपद अनुक्रम इस रूप के होते हैं।

यदि हम एक औपचारिक घात श्रृंखला को परिभाषित करते हैं


 * $$h(x)=\sum_{k=1}^\infty {a_k \over k!} x^k,$$

फिर सभी n के लिए,


 * $$h^{-1}\left( {d \over dx}\right) p_n(x) = n p_{n-1}(x).$$

सॉफ्टवेयर
बेल बहुपद प्रयुक्त होते हैं:
 * गणित के रूप में BellY
 * मेपल (सॉफ्टवेयर) IncompleteBellB के रूप में
 * सेजमैथ bell_polynomial के रूप में

यह भी देखें

 * बेल मैट्रिक्स
 * घातीय सूत्र

संदर्भ

 * (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
 * (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
 * (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
 * (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
 * (contains also elementary review of the concept Bell-polynomials)
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