हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता

हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता सिद्धांत बताता है कि कैसे रे (प्रकाशिकी) एक किरण (ऑप्टिक्स) और इसकी रिवर्स रे मुठभेड़ ऑप्टिकल रोमांच से मेल खाती है, जैसे प्रतिबिंब, अपवर्तन, और एक निष्क्रिय माध्यम में अवशोषण, या एक इंटरफ़ेस पर। यह मूविंग, नॉन-लीनियर या मैग्नेटिक मीडिया पर लागू नहीं होता है।

उदाहरण के लिए, इनकमिंग और आउटगोइंग लाइट को एक दूसरे के रिवर्सल के रूप में माना जा सकता है, द्विदिश परावर्तन वितरण समारोह (BRDF) को प्रभावित किए बिना नतीजा। यदि प्रकाश को सेंसर से मापा जाता है और वह प्रकाश बीआरडीएफ के साथ सामग्री पर प्रतिबिंबित होता है जो हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता सिद्धांत का पालन करता है तो कोई सेंसर और प्रकाश स्रोत को स्वैप करने में सक्षम होगा और प्रवाह का माप बराबर रहेगा।

वैश्विक रोशनी की कंप्यूटर ग्राफिक्स योजना में, हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता सिद्धांत महत्वपूर्ण है यदि वैश्विक रोशनी एल्गोरिथ्म प्रकाश पथों को उलट देता है (उदाहरण के लिए रे ट्रेसिंग (ग्राफिक्स) बनाम क्लासिक लाइट पथ ट्रेसिंग)।

भौतिकी
स्टोक्स-हेल्महोल्ट्ज़ प्रत्यावर्तन-पारस्परिकता सिद्धांत <रेफरी नाम = हेल्महोल्ट्ज़ 1859/1860> हेल्महोल्ट्ज़, एच. (1859/60)। ओपन-एंडेड ट्यूबों में हवा के कंपन का सिद्धांत, शुद्ध और अनुप्रयुक्त गणित का क्रेले का जर्नल '57'(1): 1-72, पृष्ठ 29।            सर जॉर्ज स्टोक्स, प्रथम बैरोनेट (1849) द्वारा भाग में कहा गया था और पृष्ठ 169 पर ध्रुवीकरण के संदर्भ में 1856 के  हरमन हेल्महोल्ट्ज़ ़ के हैंडबच डेर फिजियोलॉजिकल ऑप्टिक्स के रूप में गुस्ताव किरचॉफ द्वारा उद्धृत और मैक्स प्लैंक द्वारा।

जैसा कि 1860 में किरचॉफ द्वारा उद्धृत किया गया था, सिद्धांत का अनुवाद इस प्रकार किया गया है:  बिंदु 1 से आगे बढ़ने वाली प्रकाश की किरण किसी भी संख्या में अपवर्तन, परावर्तन, और सी को झेलने के बाद बिंदु 2 पर पहुंचती है। बिंदु 1 पर कोई भी दो लंब समतल a दें1, बी1 किरण की दिशा में ले जाएं; और किरण के कंपन को दो भागों में विभाजित करें, इनमें से प्रत्येक विमान में एक। इसी तरह के विमान लें ए2, बी2 किरण में बिंदु 2 पर; तो निम्नलिखित प्रस्ताव का प्रदर्शन किया जा सकता है। यदि जब प्रकाश की मात्रा i समतल में ध्रुवित हो जाए तो a1 दी गई किरण की दिशा में 1 से आगे बढ़ता है, प्रकाश का वह भाग k a में ध्रुवीकृत होता है2 2 पर आता है, तो, इसके विपरीत, यदि प्रकाश की मात्रा i ध्रुवीकृत होती है2 2 से आगे बढ़ता है, प्रकाश k की समान मात्रा a में ध्रुवीकृत होती है1 [किरचॉफ का प्रकाशित पाठ यहां विकिपीडिया संपादक द्वारा हेल्महोल्ट्ज़ के 1867 के पाठ से सहमत होने के लिए सही किया गया है] 1 बजे आएगा। 

सीधे शब्दों में कहें, सिद्धांत कहता है कि स्रोत और अवलोकन बिंदु को देखे गए तरंग फ़ंक्शन के मान को बदले बिना स्विच किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सिद्धांत गणितीय रूप से इस कथन को सिद्ध करता है, यदि मैं आपको देख सकता हूँ, तो आप मुझे देख सकते हैं। ऊष्मप्रवैगिकी के सिद्धांतों की तरह, यह सिद्धांत प्रयोगों के सही प्रदर्शन पर एक जांच के रूप में उपयोग करने के लिए पर्याप्त विश्वसनीय है, सामान्य स्थिति के विपरीत जिसमें प्रयोग एक प्रस्तावित कानून के परीक्षण हैं।

उनके मजिस्ट्रियल प्रूफ में थर्मल रेडिएशन के किरचॉफ के नियम की वैधता की | किरचॉफ का विकिरण उत्सर्जन और अवशोषण की समानता का नियम, प्लैंक स्टोक्स-हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता सिद्धांत का बार-बार और आवश्यक उपयोग करता है। जॉन विलियम स्ट्रट, तीसरे बैरन रेले ने छोटे कंपन के प्रसार की रैखिकता के परिणाम के रूप में पारस्परिकता के मूल विचार को बताया, एक रैखिक माध्यम में साइनसोइडल कंपन से युक्त प्रकाश। जब किरण के मार्ग में चुंबकीय क्षेत्र होते हैं, तो सिद्धांत लागू नहीं होता है। रैखिकता से ऑप्टिकल माध्यम का प्रस्थान भी हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता से प्रस्थान का कारण बनता है, साथ ही किरण के मार्ग में गतिमान वस्तुओं की उपस्थिति भी।

हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता मूल रूप से प्रकाश को संदर्भित करती है। यह विद्युत चुंबकत्व का एक विशेष रूप है जिसे दूर-क्षेत्र विकिरण कहा जा सकता है। इसके लिए, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों को अलग-अलग विवरणों की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि वे एक दूसरे को समान रूप से खिलाते हैं। तो हेल्महोल्त्ज़ सिद्धांत पारस्परिकता (विद्युत चुंबकत्व) का एक अधिक सरल रूप से वर्णित विशेष मामला है, जो परस्पर क्रिया करने वाले विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के अलग-अलग खातों द्वारा वर्णित है। हेल्महोल्ट्ज़ सिद्धांत मुख्य रूप से प्रकाश क्षेत्र की रैखिकता और सुपरपोज़ेबिलिटी पर निर्भर करता है, और इसमें ध्वनि जैसे गैर-विद्युत चुम्बकीय रैखिक प्रसार क्षेत्रों में करीबी एनालॉग होते हैं। प्रकाश की विद्युत चुम्बकीय प्रकृति ज्ञात होने से पहले इसकी खोज की गई थी।

हेल्महोल्ट्ज़ पारस्परिकता प्रमेय को कई तरीकों से कठोर रूप से सिद्ध किया गया है,  आम तौर पर क्वांटम मैकेनिकल टी-समरूपता | समय-उलट समरूपता का उपयोग करना। चूंकि ये अधिक गणितीय रूप से जटिल प्रमाण प्रमेय की सादगी से अलग हो सकते हैं, इसलिए ए.पी. पोगनी और पी.एस. टर्नर ने जन्म श्रृंखला का उपयोग करके इसे कुछ ही चरणों में सिद्ध किया है। एक बिंदु A पर एक प्रकाश स्रोत और विभिन्न बिखरने वाले बिंदुओं के साथ एक अवलोकन बिंदु O मानते हुए $$r_1, r_2, ... r$$ उनके बीच, अंतरिक्ष में परिणामी तरंग फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करने के लिए श्रोडिंगर समीकरण का उपयोग किया जा सकता है:


 * $$(\bigtriangledown^2 + 4\pi K^2)\Psi(\mathbf{r,r_A})=-4\pi K^2V(\mathbf{r})\Psi(\mathbf{r,r_A})+\delta(\mathbf{r-r_A})$$

ग्रीन के फ़ंक्शन को लागू करके, उपरोक्त समीकरण को वेव फ़ंक्शन के लिए एक अभिन्न (और इस प्रकार पुनरावृत्त) रूप में हल किया जा सकता है:


 * $$\Psi(\mathbf{r,r_A})=G(\mathbf{r,r_A})-4\pi^2\int G(\mathbf{r,r'}V(\mathbf{r'}\Psi(\mathbf{r',r_A})d\mathbf{r'}$$

कहाँ
 * $$G(\mathbf{r,r'})=-\frac{\exp(2\pi iK|\mathbf{r-r'}|)}{|\mathbf{r-r'}|}$$.

अगला, यह मानने के लिए वैध है कि बिंदु O पर बिखरने वाले माध्यम के समाधान को एक बोर्न सीरीज़ द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जिससे स्कैटरिंग सिद्धांत में बोर्न सन्निकटन का उपयोग किया जा सकता है। ऐसा करने में, निम्नलिखित अभिन्न समाधान उत्पन्न करने के लिए श्रृंखला को सामान्य तरीके से पुनरावृत्त किया जा सकता है:



\Psi(\mathbf{r_O,r_A})=G(\mathbf{r_O,r_A})-4\pi^2\int G(\mathbf{r_O,r_1})V(\mathbf{r_1})G(\mathbf{r_1,r_A}) d\mathbf{r_1} $$

+(-4\pi^2)^2\int d\mathbf{r_1}\int G(\mathbf{r_O,r_1})G(\mathbf{r_1,r_2})V(\mathbf{r_1})V(\mathbf{r_2})G(\mathbf{r_2,r_A})d\mathbf{r_2} $$

+ (-4\pi^2)^3\int d\mathbf{r_1}\int d\mathbf{r_2}\int G(\mathbf{r_O,r_1})G(\mathbf{r_1,r_2})G(\mathbf{r_2,r_3})V(\mathbf{r_1})V(\mathbf{r_2})V(\mathbf{r_3})G(\mathbf{r_3,r_A})d\mathbf{r_3} $$

+ ... $$ ग्रीन के कार्य के रूप को फिर से देखते हुए, यह स्पष्ट है कि स्विचिंग $$ \mathbf{r_A} $$ और $$ \mathbf{r_O} $$ उपरोक्त रूप में परिणाम नहीं बदलेगा; यानी, $$ \Psi(\mathbf{r_A,r_O})=\Psi(\mathbf{r_O,r_A}) $$, जो पारस्परिकता प्रमेय का गणितीय कथन है: प्रकाश स्रोत A और अवलोकन बिंदु O को स्विच करने से प्रेक्षित तरंग फ़ंक्शन में परिवर्तन नहीं होता है।

अनुप्रयोग
इस पारस्परिकता सिद्धांत का एक सरल लेकिन महत्वपूर्ण निहितार्थ यह है कि एक लेंस के माध्यम से एक दिशा में निर्देशित कोई भी प्रकाश (वस्तु से छवि तल तक) वैकल्पिक रूप से इसके संयुग्म के बराबर होता है, अर्थात प्रकाश एक ही सेट-अप के माध्यम से लेकिन विपरीत दिशा में निर्देशित होता है। ऑप्टिकल घटकों की किसी भी श्रृंखला के माध्यम से केंद्रित एक इलेक्ट्रॉन "परवाह" नहीं करता है कि यह किस दिशा से आता है; जब तक समान प्रकाशीय घटनाएँ घटित होती हैं, तब तक परिणामी तरंग फलन समान रहेगा। इस कारण से, इस सिद्धांत के ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी | ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी (टीईएम) के क्षेत्र में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। धारणा है कि संयुग्मित ऑप्टिकल प्रक्रियाएं समान परिणाम उत्पन्न करती हैं, माइक्रोस्कोप उपयोगकर्ता को इलेक्ट्रॉन विवर्तन, किकुची पैटर्न, की तकनीक की गहरी समझ को समझने की अनुमति देता है, और इसमें काफी लचीलापन होता है। डार्क-फील्ड माइक्रोस्कोपी | डार्क-फील्ड इमेज, और दूसरे।

नोट करने के लिए एक महत्वपूर्ण चेतावनी यह है कि ऐसी स्थिति में जहां नमूने के बिखरने वाले माध्यम के साथ बातचीत के बाद इलेक्ट्रॉन ऊर्जा खो देते हैं, समय-उलट समरूपता नहीं होती है। इसलिए, पारस्परिकता केवल लोचदार बिखरने की स्थितियों में ही सही मायने में लागू होती है। कम ऊर्जा हानि के साथ अप्रत्यास्थ बिखरने के मामले में, यह दिखाया जा सकता है कि पारस्परिकता का उपयोग अनुमानित तीव्रता (तरंग आयाम के बजाय) के लिए किया जा सकता है। इसलिए बहुत मोटे नमूनों या उन नमूनों में जिनमें अप्रत्यास्थ बिखराव हावी होता है, पहले बताए गए TEM अनुप्रयोगों के लिए पारस्परिकता का उपयोग करने के लाभ अब मान्य नहीं हैं। इसके अलावा, यह प्रयोगात्मक रूप से प्रदर्शित किया गया है कि पारस्परिकता टीईएम में सही परिस्थितियों में लागू होती है, लेकिन सिद्धांत की अंतर्निहित भौतिकी यह तय करती है कि पारस्परिकता केवल तभी सटीक हो सकती है जब किरण संचरण केवल अदिश क्षेत्रों के माध्यम से होता है, अर्थात कोई चुंबकीय क्षेत्र नहीं। इसलिए हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि टीईएम में विद्युत चुम्बकीय लेंसों के चुंबकीय क्षेत्रों के कारण पारस्परिकता की विकृतियों को विशिष्ट परिचालन स्थितियों के तहत अनदेखा किया जा सकता है। हालांकि, उपयोगकर्ताओं को सावधानीपूर्वक विचार किए बिना चुंबकीय इमेजिंग तकनीकों, फेरोमैग्नेटिक सामग्रियों के टीईएम, या बाहरी टीईएम स्थितियों के लिए पारस्परिकता लागू नहीं करने के लिए सावधान रहना चाहिए। आम तौर पर, समरूपता सुनिश्चित करने के लिए उत्पन्न चुंबकीय क्षेत्रों के परिमित तत्व विश्लेषण का उपयोग करके टीईएम के लिए पोलपीस तैयार किए जाते हैं।

नमूने के विमान में एक चुंबकीय क्षेत्र मुक्त वातावरण बनाए रखते हुए परमाणु-पैमाने पर रिज़ॉल्यूशन प्राप्त करने के लिए टीईएम में चुंबकीय उद्देश्य लेंस सिस्टम का उपयोग किया गया है, लेकिन ऐसा करने की विधि में अभी भी नमूने के ऊपर (और नीचे) एक बड़े चुंबकीय क्षेत्र की आवश्यकता होती है, इस प्रकार किसी भी पारस्परिकता वृद्धि प्रभाव को नकारा जा सकता है जिसकी अपेक्षा की जा सकती है। यह प्रणाली नमूना को सामने और पीछे के ऑब्जेक्टिव लेंस पोलपीस के बीच में रखकर काम करती है, जैसा कि एक सामान्य टीईएम में होता है, लेकिन दो पोलपीस को उनके बीच नमूना विमान के संबंध में सटीक दर्पण समरूपता में रखा जाता है। इस बीच, उनकी उत्तेजना ध्रुवताएं बिल्कुल विपरीत होती हैं, जो चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करती हैं जो नमूना के विमान पर लगभग पूरी तरह से रद्द हो जाती हैं। हालांकि, चूंकि वे कहीं और रद्द नहीं करते हैं, इलेक्ट्रॉन प्रक्षेपवक्र को अभी भी चुंबकीय क्षेत्र से गुजरना चाहिए।

पारस्परिकता का उपयोग टीईएम और स्कैनिंग ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी | स्कैनिंग ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी (एसटीईएम) के बीच मुख्य अंतर को समझने के लिए भी किया जा सकता है, जो सिद्धांत रूप में इलेक्ट्रॉन स्रोत और अवलोकन बिंदु की स्थिति को स्विच करके विशेषता है। यह प्रभावी रूप से टीईएम पर रिवर्सिंग टाइम के समान है ताकि इलेक्ट्रॉन विपरीत दिशा में यात्रा कर सकें। इसलिए, उचित परिस्थितियों में (जिसमें पारस्परिकता लागू होती है), टीईएम इमेजिंग का ज्ञान एसटीईएम के साथ छवियों को लेने और व्याख्या करने में उपयोगी हो सकता है।

यह भी देखें

 * पारस्परिकता (विद्युत चुंबकत्व)