विश्लेषणात्मक मरोड़

गणित में, रीडेमिस्टर टोरसन (या आर-टोरसन, या रीडेमिस्टर-फ्रांज़ टोरसन) कर्ट रीडेमिस्टर (रीडेमिस्टर 1935) द्वारा 3-मैनिफोल्ड्स के लिए पेश किए गए मैनिफोल्ड्स का एक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट है और वोल्फगैंग फ्रांज (1935) और जॉर्जेस डी राम द्वारा उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। (1936) एनालिटिक टोरसन (या रे-सिंगर टोरसन) डेनियल बी. रे और इसाडोर एम. सिंगर (1971, 1973ए, 1973बी) द्वारा रीडेमिस्टर टोरसन के एक विश्लेषणात्मक एनालॉग के रूप में परिभाषित रीमानियन मैनिफोल्ड्स का एक अपरिवर्तनीय है। जेफ़ चीगर (1977, 1979) और वर्नर मुलर (1978) ने रे और सिंगर के अनुमान को साबित कर दिया कि रीडेमिस्टर टोरसन और विश्लेषणात्मक टोरसन कॉम्पैक्ट रीमानियन मैनिफोल्ड्स के लिए समान हैं।

रीडेमिस्टर टॉर्शन बीजगणितीय टोपोलॉजी में पहला अपरिवर्तनीय था जो बंद मैनिफ़ोल्ड के बीच अंतर कर सकता था जो समरूप समतुल्य हैं लेकिन होमोमोर्फिक नहीं हैं, और इस प्रकार इसे एक विशिष्ट क्षेत्र के रूप में ज्यामितीय टोपोलॉजी के उत्पत्ति के रूप में देखा जा सकता है। इसका उपयोग लेंस स्पेस को वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है। रिडेमिस्टर टॉर्शन का व्हाइटहेड टॉर्शन से गहरा संबंध है; देखें (मिल्नोर 1966)।

रिडेमिस्टर टॉर्शन का व्हाइटहेड टॉर्शन से गहरा संबंध है; देखें (मिल्नोर 1966)। इसने अंकगणितीय टोपोलॉजी को भी कुछ महत्वपूर्ण प्रेरणा दी है; देखें (मज़ूर)। मरोड़ पर अधिक हाल के काम के लिए किताबें (तुराएव 2002) और (निकोलेस्कु 2002, 2003) देखें।

विश्लेषणात्मक मरोड़ की परिभाषा
यदि M एक रीमैनियन मैनिफोल्ड है और E, M के ऊपर एक वेक्टर बंडल है, तो E में मानों के साथ k-फॉर्म पर कार्य करने वाला एक लाप्लासियन ऑपरेटर है। यदि k-फॉर्म पर आइगेनवैल्यू λj हैं, तो ज़ेटा फ़ंक्शन ζk को परिभाषित किया गया है


 * $$\zeta_k(s) = \sum_{\lambda_j>0}\lambda_j^{-s}$$

s बड़े के लिए, और यह विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा सभी जटिल s तक विस्तारित है। k-फॉर्म पर कार्य करने वाले लैप्लासियन का जीटा नियमित निर्धारक है


 * $$\Delta_k=\exp(-\zeta^\prime_k(0))$$

जो औपचारिक रूप से k-फॉर्म पर अभिनय करने वाले लैप्लासियन के धनात्मक आइगेनवैल्यू का गुणनफल है। विश्लेषणात्मक मरोड़ T(M,E) परिभाषित किया गया है


 * $$T(M,E) = \exp\left(\sum_k (-1)^kk \zeta^\prime_k(0)/2\right) = \prod_k\Delta_k^{-(-1)^kk/2}.$$

रीडेमिस्टर टोरसन की परिभाषा
मान लीजिये कि $$X$$ एक मौलिक समूह के साथ एक परिमित जुड़ा हुआ सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स है: $$\pi := \pi_1(X)$$$${\tilde X}$$, और $$U$$ को एक ऑर्थोगोनल परिमित होना चाहिए- आयामी $$\pi$$-प्रतिनिधित्व. मान लीजिए कि


 * $$H^\pi_n(X;U) := H_n(U \otimes_{\mathbf{Z}[\pi]} C_*({\tilde X})) = 0$$

सभी n के लिए यदि हम $$C_*({\tilde X})$$ के लिए एक सेलुलर आधार और $$U$$ के लिए एक ऑर्थोगोनल $$\mathbf{R}$$ -आधार तय करते हैं, तो $$D_* := U \otimes_{\mathbf{Z}[\pi]} C_*({\tilde X})$$ एक अनुबंधित परिमित आधारित मुक्त $$\mathbf{R}$$-जटिल श्रृंखला है। मान लीजिए कि $$\gamma_*: D_* \to D_{*+1}$$से D तक $$d_{n+1} \circ \gamma_n + \gamma_{n-1} \circ d_n = id_{D_n}$$का कोई श्रृंखला संकुचन है, यानी। सभी $$n$$ के लिए हम एक समरूपता प्राप्त करते हैं $$(d_* + \gamma_*)_\text{odd}: D_\text{odd} \to D_\text{even}$$ साथ $$D_\text{odd} := \oplus_{n \, odd} \, D_n$$, $$D_\text{even} := \oplus_{n \, \text{even}} \, D_n$$. हम रिडेमिस्टर टोरसन को परिभाषित करते हैं।


 * $$\rho(X;U) := |\det(A)|^{-1} \in \mathbf{R}^{>0}$$

जहां A का मैट्रिक्स है $$(d_* + \gamma_*)_\text{odd}$$ दिए गए आधारों के संबंध में। रिडेमिस्टर मरोड़ $$\rho(X;U)$$ के लिए सेलुलर आधार की स्वतंत्र चयन $$C_*({\tilde X})$$, के लिए ऑर्थोगोनल आधार $$U$$ और श्रृंखला $$\gamma_*$$संकुचन है। मान लीजिये $$M$$ एक कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड बनें, और मान लीजिये $$\rho\colon\pi(M)\rightarrow GL(E)$$ एक यूनिमॉड्यूलर प्रतिनिधित्व हो। $$M$$ एक सहज त्रिभुज है। वॉल्यूम के किसी भी विकल्प के लिए $$\mu\in\det H_*(M)$$, हमें एक अपरिवर्तनीय मिलता है। फिर हम धनात्मक वास्तविक संख्या $$\tau_M(\rho:\mu)$$ को $$\rho$$ और $$\mu$$ के संबंध में मैनिफोल्ड $$M$$ का रीडमीस्टर टोरसन कहते हैं।

रीडेमिस्टर टॉर्शन का संक्षिप्त इतिहास
रीडेमिस्टर टोरसन का उपयोग पहली बार 3-आयामी लेंस रिक्त स्थान को संयोजित रूप से वर्गीकृत करने के लिए किया गया था (रीडेमिस्टर 1935) रीडेमिस्टर द्वारा, और उच्च-आयामी स्थानों में फ्रांज द्वारा। वर्गीकरण में होमोटॉपी समकक्ष 3-आयामी मैनिफ़ोल्ड के उदाहरण शामिल हैं जो होमियोमोर्फिक नहीं हैं - उस समय (1935) वर्गीकरण केवल पीएल होमियोमोर्फिज्म तक था, लेकिन बाद में ई.जे. ब्रॉडी (1960) ने दिखाया कि यह वास्तव में होमोमोर्फिज्म तक का एक वर्गीकरण था।

जे.एच.सी. व्हाइटहेड ने परिमित परिसरों के बीच समरूपता तुल्यता के "टोरसन" को परिभाषित किया। यह रीडमिस्टर, फ्रांज और डी राम अवधारणा का प्रत्यक्ष सामान्यीकरण है; लेकिन यह एक अधिक अपरिवर्तनीय है। व्हाइटहेड टोरसन गैर-तुच्छ मौलिक समूहों के साथ कॉम्बिनेटरियल या अलग-अलग मैनिफोल्ड के अध्ययन के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण प्रदान करता है और "सरल होमोटॉपी प्रकार" की अवधारणा से निकटता से संबंधित है, देखें (मिल्नोर 1966)।

1960 में मिल्नोर ने मैनिफोल्ड्स के मरोड़ वाले अपरिवर्तनीयों के द्वंद्व संबंध की खोज की और दिखाया कि गांठों का (मुड़ा हुआ) अलेक्जेंडर बहुपद $$S^3$$ में इसके आसंधि पूरक का रीडमीस्टर मरोड़ है। (मिल्नोर 1962) प्रत्येक q के लिए पोनकारे द्वैत $$P_o$$ प्रेरित करता है।
 * $$P_o\colon\operatorname{det}(H_q(M))\overset{\sim}{\,\longrightarrow\,}(\operatorname{det}(H_{n-q}(M)))^{-1}$$

और फिर हम प्राप्त करते हैं
 * $$\Delta(t)=\pm t^n\Delta(1/t).$$

आसंधि पूरक के मूल समूह का प्रतिनिधित्व उनमें केंद्रीय भूमिका निभाता है। यह आसंधि सिद्धांत और मरोड़ अपरिवर्तनीयों के बीच संबंध बताता है।

चीगर-मुलर प्रमेय
मान लीजिये कि $$(M,g)$$ आयाम n का एक ओरिएंटेबल कॉम्पैक्ट रीमैन मैनिफोल्ड है और $$\rho\colon \pi(M)\rightarrow\mathop{GL}(E)$$ आयाम N के वास्तविक वेक्टर स्पेस पर $$M$$ के मौलिक समूह का प्रतिनिधित्व है।  फिर हम डी राम कॉम्प्लेक्स को परिभाषित कर सकते हैं
 * $$\Lambda^0\stackrel{d_0}{\longrightarrow}\Lambda^1\stackrel{d_1}{\longrightarrow}\cdots\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\Lambda^n$$

और $$E_q$$ की समतलता के कारण औपचारिक सहायक $$d_p$$ और $$\delta_p$$ हमेशा की तरह, हम हॉज लाप्लासियन को p-फॉर्म पर भी प्राप्त करते हैं।
 * $$\Delta_p=\delta_{p+1} d_p+d_{p-1}\delta_{p}.$$

यह मानते हुए कि $$\partial M=0$$, लाप्लासियन एक शुद्ध बिंदु स्पेक्ट्रम के साथ एक सममित सकारात्मक अर्ध-धनात्मक दीर्घवृत्त ऑपरेटर है
 * $$0\le\lambda_0\le\lambda_1\le\cdots\rightarrow\infty.$$

पहले की तरह, हम $$\Lambda^q(E)$$ पर लाप्लासियन $$\Delta_q$$ से जुड़े एक ज़ेटा फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकते हैं
 * $$\zeta_q(s;\rho)=\sum_{\lambda_j >0}\lambda_j^{-s}=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0 t^{s-1}\text{Tr}(e^{-t\Delta_q} - P_q)dt,\ \ \ \text{Re}(s)>\frac{n}{2}$$

जहां $$P$$ लाप्लासियन $$\Delta_q$$ के कर्नेल स्थान $$L^2 \Lambda(E)$$ का प्रक्षेपण $$\mathcal{H}^q(E)$$ है। इसके अलावा (सीली 1967) द्वारा यह दिखाया गया कि $$\zeta_q(s;\rho)$$$$s\in\mathbf{C}$$ के मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन तक विस्तारित है जो $$s=0$$ पर होलोमोर्फिक है।

ऑर्थोगोनल प्रतिनिधित्व के मामले में, हम विश्लेषणात्मक मरोड़ $$T_M(\rho;E)$$ को परिभाषित करते हैं
 * $$T_M(\rho;E) = \exp\biggl(\frac{1}{2}\sum^n_{q=0}(-l)^qq\frac{d}{ds}\zeta_q(s;\rho)\biggl|_{s=0}\biggr).$$

1971 में डी.बी. रे और आई.एम. सिंगर ने अनुमान लगाया कि किसी एकात्मक प्रतिनिधित्व \rho के लिए TME। रे-सिंगर का यह अनुमान अंततः चीगर (1977, 1979) और मुलर (1978) द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध हुआ। दोनों दृष्टिकोण मरोड़ के लघुगणक और उनके निशानों पर ध्यान केंद्रित करते हैं। सम-आयामी मामले की तुलना में विषम-आयामी मैनिफोल्ड के लिए यह आसान है, जिसमें अतिरिक्त तकनीकी कठिनाइयां शामिल हैं। यह चीगर-मुलर प्रमेय (कि मरोड़ की दो धारणाएं समतुल्य हैं), अतियाह-पटोदी-सिंगर प्रमेय के साथ, बाद में चेर्न-साइमन गड़बड़ी सिद्धांत के लिए आधार प्रदान किया था।

1971 में डी.बी. रे और आई.एम. सिंगर ने यह अनुमान लगाया $$T_M(\rho;E)=\tau_M(\rho;\mu)$$ किसी भी एकात्मक प्रतिनिधित्व $$\rho$$ के लिए यह रे-सिंगर अनुमान अंततः चीगर (1977, 1979) और मुलर (1978) द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध हुआ। दोनों दृष्टिकोण मरोड़ और उनके निशान के लघुगणक पर ध्यान केंद्रित करते हैं। यह सम-आयामी मामले की तुलना में विषम-आयामी मैनिफ़ोल्ड के लिए आसान है, जिसमें अतिरिक्त तकनीकी कठिनाइयाँ शामिल हैं। यह चीगर-मुलर प्रमेय (कि मरोड़ की दो धारणाएँ समतुल्य हैं), तियाह-पटोदी-सिंगर प्रमेय के साथ, बाद में चेर्न-साइमन क्षोभ सिद्धांत के लिए आधार प्रदान किया था।

अनियमित निरूपण के लिए चीगर-मुलर प्रमेय का एक प्रमाण बाद में जे. एम. बिस्मुट और वेइपिंग झांग द्वारा दिया गया था। उनके प्रमाण में विटन विरूपण का उपयोग किया जाता है।

संदर्भ

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