आइसोट्रोपिक निर्देशांक

लोरेंट्ज़ियन कई गुना के सिद्धांत में, गोलाकार रूप से सममित स्पेसटाइम नेस्टेड गोल क्षेत्रों के एक परिवार को स्वीकार करते हैं। कई अलग-अलग प्रकार के समन्वय चार्ट हैं जो नेस्टेड क्षेत्रों के इस परिवार के अनुकूल हैं; सबसे प्रसिद्ध श्वार्जस्चिल्ड निर्देशांक है, लेकिन 'आइसोट्रोपिक चार्ट' भी अक्सर उपयोगी होता है। एक आइसोट्रोपिक चार्ट की परिभाषित विशेषता यह है कि इसका रेडियल समन्वय (जो श्वार्ज़स्चिल्ड चार्ट के रेडियल समन्वय से अलग है) परिभाषित किया गया है ताकि प्रकाश शंकु गोल दिखाई दे। इसका मतलब यह है कि (स्थानीय रूप से फ्लैट मैनिफोल्ड के तुच्छ मामले को छोड़कर), कोणीय आइसोट्रोपिक निर्देशांक नेस्टेड क्षेत्रों के भीतर दूरियों का ईमानदारी से प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, न ही रेडियल समन्वय रेडियल दूरी का ईमानदारी से प्रतिनिधित्व करते हैं। दूसरी ओर, निरंतर समय के हाइपरस्लाइस में कोणों को विरूपण के बिना दर्शाया जाता है, इसलिए चार्ट का नाम।

आइसोट्रोपिक चार्ट अक्सर सामान्य सापेक्षता जैसे गुरुत्वाकर्षण के मीट्रिक सिद्धांतों में स्थैतिक अंतरिक्ष समय गोलाकार रूप से सममित स्पेसटाइम पर लागू होते हैं, लेकिन उदाहरण के लिए, गोलाकार रूप से स्पंदित द्रव गेंद को मॉडलिंग में भी इस्तेमाल किया जा सकता है। आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के पृथक गोलाकार रूप से सममित समाधानों के लिए, बड़ी दूरी पर, आइसोट्रोपिक और श्वार्ज़स्चिल्ड समन्वय करता है मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम पर सामान्य ध्रुवीय गोलाकार चार्ट के समान हो जाते हैं।

परिभाषा
एक आइसोट्रोपिक चार्ट में (एक स्थिर गोलाकार रूप से सममित स्पेसटाइम पर), स्पेसटाइम मीट्रिक (उर्फ रेखा तत्व) रूप लेता है
 * $$g = -a(r)^2 \, dt^2 + b(r)^2 \, \left( dr^2 + r^2 \, \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 \, d\varphi^2 \right) \right), $$
 * $$-\infty < t < \infty, \, r_0 < r < r_1, \, 0 < \theta < \pi, \, -\pi < \varphi < \pi$$

संदर्भ के आधार पर, यह विचार करना उचित हो सकता है $$a, \, b$$ रेडियल निर्देशांक के अनिर्धारित कार्यों के रूप में (उदाहरण के लिए, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के एक सटीक स्थिर गोलाकार रूप से सममित समाधान प्राप्त करने में)। वैकल्पिक रूप से, हम एक विशिष्ट लोरेंट्ज़ियन स्पेसटाइम पर एक आइसोट्रोपिक समन्वय चार्ट प्राप्त करने के लिए विशिष्ट कार्यों (संभवतः कुछ मापदंडों के आधार पर) में प्लग कर सकते हैं।

वेक्टर फ़ील्ड्स को मारना
एक गोलाकार रूप से सममित स्थिर स्पेसटाइम के किलिंग वेक्टर फ़ील्ड्स का लाइ बीजगणित आइसोट्रोपिक चार्ट में वैसा ही रूप लेता है जैसा कि श्वार्ज़स्चिल्ड चार्ट में होता है। अर्थात्, यह बीजगणित टाइमलाइक तर्कहीन हत्या वेक्टर क्षेत्र द्वारा उत्पन्न होता है
 * $$ \partial_t $$

और तीन स्पेसलाइक किलिंग वेक्टर फ़ील्ड
 * $$ \partial_\varphi$$
 * $$ \sin(\varphi) \, \partial_\theta + \cot(\theta) \, \cos(\varphi) \partial_\varphi$$
 * $$ \cos(\varphi) \, \partial_\theta - \cot(\theta) \, \sin(\varphi) \partial_\varphi$$

इधर, यह कह रहे हैं $$\vec{X} = \partial_t$$ इर्रोटेशनल का अर्थ है कि संगत सर्वांगसमता (सामान्य सापेक्षता) की सर्वांगसमता (सामान्य सापेक्षता) गायब हो जाती है; इस प्रकार, यह किलिंग वेक्टर क्षेत्र सर्वांगसमता (सामान्य सापेक्षता) है। तथ्य यह है कि स्पेसटाइम एक इर्रोटेशनल टाइमलाइक किलिंग वेक्टर फील्ड को स्वीकार करता है, वास्तव में एक स्थिर स्पेसटाइम की परिभाषित विशेषता है। एक तात्कालिक परिणाम यह है कि निरंतर समय सतहों का समन्वय करता है $$t=t_0$$ (आइसोमेट्रिक) स्थानिक हाइपरस्लाइस (स्पेसलाइक हाइपरसर्फेस) का एक परिवार बनाते हैं।

श्वार्ज़स्चिल्ड चार्ट के विपरीत, आइसोट्रोपिक चार्ट इन हाइपरस्लाइस के एम्बेडिंग आरेखों के निर्माण के लिए उपयुक्त नहीं है।

स्थैतिक नेस्टेड क्षेत्रों का एक परिवार
सतहें $$t=t_0, \, r=r_0$$ गोल गोले के रूप में दिखाई देते हैं (जब हम लोकी को ध्रुवीय गोलाकार फैशन में प्लॉट करते हैं), और रेखा तत्व के रूप से, हम देखते हैं कि मीट्रिक इनमें से किसी भी सतह तक सीमित है
 * $$ g|_{t = t_0, r = r_0} = b(r_0)^2 \, r_0^2g_\Omega = b(r_0)^2 \, r_0^2 \, \left( d\theta^2 + \sin(\theta)^2 \, d\varphi^2 \right), \; 0 < \theta < \pi, -\pi < \varphi < \pi $$

कहाँ $$\Omega = (\theta, \varphi)$$ निर्देशांक हैं और $$g_\Omega$$ इकाई त्रिज्या के 2 गोले पर रीमैनियन मीट्रिक है। यही है, ये नेस्टेड समन्वय क्षेत्र वास्तव में ज्यामितीय क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं, लेकिन की उपस्थिति $$b(r_0) \, r$$ इसके बजाय $$r$$ दिखाता है कि रेडियल निर्देशांक सामान्य यूक्लिडियन अंतरिक्ष में क्षेत्रों के समान क्षेत्र के अनुरूप नहीं है। श्वार्ज़स्चिल्ड निर्देशांकों की तुलना करें, जहां रेडियल निर्देशांक नेस्टेड क्षेत्रों के संदर्भ में अपनी प्राकृतिक व्याख्या करता है।

समन्वय विलक्षणता
ठिकाना $$\varphi=-\pi, \, \pi$$ आइसोट्रोपिक चार्ट की सीमाओं को चिह्नित करें, और श्वार्ज़स्चाइल्ड चार्ट की तरह ही, हम चुपचाप मान लेते हैं कि इन दो लोकी की पहचान की गई है, ताकि हमारे कल्पित गोल क्षेत्र वास्तव में सामयिक क्षेत्र हों।

श्वार्ज़स्चिल्ड चार्ट की तरह ही, रेडियल निर्देशांक की सीमा सीमित हो सकती है यदि इस निर्देशांक के कुछ मान (मानों) के लिए मीट्रिक या इसका व्युत्क्रम ऊपर उठता है।

एक मीट्रिक Ansatz
ऊपर दिए गए रेखा तत्व, एफ, जी के साथ, आइसोटोपिक समन्वय आर के अनिर्धारित कार्यों के रूप में माना जाता है, अक्सर सामान्य सापेक्षता (या गुरुत्वाकर्षण के अन्य मीट्रिक सिद्धांत) में स्थैतिक गोलाकार रूप से सममित समाधान प्राप्त करने में मीट्रिक Ansatz के रूप में उपयोग किया जाता है।

एक उदाहरण के रूप में, हम कार्टन की बाहरी कैलकुलस विधि का उपयोग करके कनेक्शन और वक्रता की गणना करने के तरीके को स्केच करेंगे। सबसे पहले, हम सामान्य सापेक्षता में रेखा तत्व को कोफ्रेम फ़ील्ड पढ़ते हैं,
 * $$ \sigma^0 = -a(r) \, dt$$
 * $$ \sigma^1 = b(r) \, dr$$
 * $$ \sigma^2 = b(r) \, r \, d\theta$$
 * $$ \sigma^3 = b(r) \, r \, \sin(\theta) \, d\varphi$$

हम कहाँ मानते हैं $$a, \,b$$ के अनिर्धारित सुचारू कार्यों के रूप में $$r$$. (तथ्य यह है कि हमारा स्पेसटाइम इस विशेष त्रिकोणमितीय रूप वाले एक फ्रेम को स्वीकार करता है, एक स्थिर, गोलाकार सममित लोरेन्ट्ज़ियन मैनिफोल्ड में एक आइसोट्रोपिक चार्ट की धारणा की एक और समकक्ष अभिव्यक्ति है)। बाहरी डेरिवेटिव लेना और पहले कार्टन संरचनात्मक समीकरण का उपयोग करना, हम गैर-लुप्त होने वाले कनेक्शन को एक-रूप पाते हैं
 * $${\omega^0}_1 = \frac{f' \, dt}{g}$$
 * $${\omega^1}_2 = -\left( 1 + \frac{r \, b'}{b} \right) \, d\theta$$
 * $${\omega^1}_3 = -\left( 1 + \frac{r \, b'}{b} \right) \, \sin(\theta) \, d\varphi$$
 * $${\omega^2}_3 = -\cos(\theta) \, d\varphi$$

बाहरी डेरिवेटिव्स को फिर से लेना और दूसरे कार्टन संरचनात्मक समीकरण में प्लग करना, हम वक्रता को दो रूपों में पाते हैं।

यह भी देखें

 * स्थिर स्पेसटाइम,
 * गोलाकार रूप से सममित स्पेसटाइम,
 * स्थैतिक गोलाकार सममित परिपूर्ण तरल पदार्थ,
 * श्वार्ज़चाइल्ड निर्देशांक, स्थैतिक गोलाकार सममित स्पेसटाइम के लिए एक अन्य लोकप्रिय चार्ट,
 * फ़्रेम फ़ील्ड्स और कोफ़्रेम फ़ील्ड्स के बारे में अधिक जानकारी के लिए सामान्य सापेक्षता में फ़्रेम फ़ील्ड्स।