कम द्रव्यमान

भौतिकी में, न्यूटोनियन यांत्रिकी की दो-पिंड की समस्या में दिखाई देने वाला प्रभावी द्रव्यमान#जड़त्वीय द्रव्यमान कम किया हुआ द्रव्यमान है। यह एक मात्रा है जो दो-पिंड की समस्या को हल करने की स्वीकृति देती है जैसे कि यह एक-पिंड की समस्या थी। हालाँकि, ध्यान दें कि गुरुत्वाकर्षण बल का निर्धारण करने वाला द्रव्यमान कम नहीं होता है। गणना में, एक द्रव्यमान  को समानीत द्रव्यमान से बदला जा सकता है, यदि इसकी भरपाई दूसरे द्रव्यमान को दोनों द्रव्यमानों के योग से करके की जाती है। घटे हुए द्रव्यमान को प्रायः द्वारा निरूपित किया जाता है $$ \mu $$ (म्यू (अक्षर)), हालांकि मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर को भी निरूपित किया जाता है $$ \mu $$ (जैसे म्यू (अक्षर) #भौतिकी और अभियांत्रिकी)। इसमें द्रव्यमान का आयामी विश्लेषण और SI इकाई किग्रा है।

समीकरण
दो पिंड दिए गए हैं, एक का द्रव्यमान m है1 और दूसरा द्रव्यमान m के साथ2, अज्ञात के रूप में दूसरे के संबंध में एक पिंड की स्थिति के साथ समतुल्य एक-पिंड समस्या, द्रव्यमान के एकल पिंड की है
 * $$\mu = \cfrac{1}{\cfrac{1}{m_1}+\cfrac{1}{m_2}} = \cfrac{m_1 m_2}{m_1 + m_2},\!\,$$

जहां इस द्रव्यमान पर बल दो पिंडों के बीच बल द्वारा दिया जाता है।

गुण
समानीत द्रव्यमान हमेशा प्रत्येक पिंड के द्रव्यमान से कम या उसके समान होता है:


 * $$\mu \leq m_1, \quad \mu \leq m_2 \!\,$$

और पारस्परिक योज्य संपत्ति है:


 * $$\frac{1}{\mu} = \frac{1}{m_1} + \frac{1}{m_2} \,\!$$

जो पुनर्व्यवस्था द्वारा अनुकूल माध्य के आधे के समान है।

विशेष स्थिति में कि $$m_1 = m_2$$:


 * $${\mu} = \frac{m_1}{2} = \frac{m_2}{2}\,\!$$

अगर $$m_1 \gg m_2$$, तब $$\mu \approx m_2$$.

व्युत्पत्ति
समीकरण निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है।

न्यूटोनियन यांत्रिकी
न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करते हुए, एक पिंड (कण 2) द्वारा दूसरे पिंड (कण 1) पर लगाया गया बल है:
 * $$\mathbf{F}_{12} = m_1 \mathbf{a}_1$$

कण 1 द्वारा कण 2 पर लगाया गया बल है:
 * $$\mathbf{F}_{21} = m_2 \mathbf{a}_2$$

न्यूटन के तीसरे नियम के अनुसार, कण 2 कण 1 पर जो बल लगाता है वह कण 1 द्वारा कण 2 पर लगाए गए बल के समान और विपरीत होता है:


 * $$\mathbf{F}_{12} = - \mathbf{F}_{21}$$

इसलिए:
 * $$m_1 \mathbf{a}_1 = - m_2 \mathbf{a}_2 \;\; \Rightarrow \;\; \mathbf{a}_2=-{m_1 \over m_2} \mathbf{a}_1$$

सापेक्ष त्वरण एrel दो निकायों के बीच द्वारा दिया गया है:


 * $$\mathbf{a}_{\rm rel} := \mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2 = \left(1+\frac{m_1}{m_2}\right) \mathbf{a}_1 = \frac{m_2+m_1}{m_1 m_2} m_1 \mathbf{a}_1 = \frac{\mathbf{F}_{12}}{\mu}$$

ध्यान दें कि (चूंकि व्युत्पन्न एक रैखिक परिचालक है) सापेक्ष त्वरण $$\mathbf{a}_{\rm rel}$$ पृथक्करण के त्वरण के समान है $$\mathbf{x}_{\rm rel}$$ दो कणों के बीच।


 * $$\mathbf{a}_{\rm rel} = \mathbf{a}_1-\mathbf{a}_2 = \frac{d^2\mathbf{x}_1}{dt^2} - \frac{d^2\mathbf{x}_2}{dt^2} = \frac{d^2}{dt^2}(\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}_2) = \frac{d^2\mathbf{x}_{\rm rel}}{dt^2}$$

यह प्रणाली के विवरण को एक बल के लिए सरल करता है (चूंकि $$\mathbf{F}_{12} = - \mathbf{F}_{21}$$), एक समन्वय $$\mathbf{x}_{\rm rel}$$, और एक द्रव्यमान $$\mu$$. इस प्रकार हमने अपनी समस्या को स्वतंत्रता की एक डिग्री तक कम कर दिया है, और हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि कण 1 कण 2 की स्थिति के संबंध में समानीत द्रव्यमान के समान द्रव्यमान के एक कण के रूप में चलता है, $$\mu$$.

लैग्रैंजियन यांत्रिकी
वैकल्पिक रूप से, द्वि-निकाय समस्या का लैग्रैंजियन विवरण एक लैग्रैन्जियन यांत्रिकी देता है


 * $$ \mathcal{L} = {1 \over 2} m_1 \mathbf{\dot{r}}_1^2 + {1 \over 2} m_2 \mathbf{\dot{r}}_2^2 - V(| \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 | ) \!\,$$

जहाँ $${\mathbf{r}}_{i}$$ द्रव्यमान का स्थिति सदिश है $$m_{i}$$ (कण का$$i$$). स्थितिज ऊर्जा V एक फलन है क्योंकि यह केवल कणों के बीच निरपेक्ष दूरी पर निर्भर है। अगर हम परिभाषित करते हैं
 * $$\mathbf{r} = \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 $$

और द्रव्यमान का केंद्र इस संदर्भ फ्रेम में हमारे मूल के साथ अनुरूप है, अर्थात
 * $$ m_1 \mathbf{r}_1 + m_2 \mathbf{r}_2 = 0 $$,

तब
 * $$ \mathbf{r}_1 = \frac{m_2 \mathbf{r}}{m_1 + m_2}, \; \mathbf{r}_2 = -\frac{m_1 \mathbf{r}}{m_1 + m_2}.$$

फिर ऊपर प्रतिस्थापित करने से एक नया लैग्रैंजियन मिलता है


 * $$ \mathcal{L} = {1 \over 2}\mu \mathbf{\dot{r}}^2 - V(r), $$

जहाँ


 * $$\mu = \frac{m_1 m_2}{m_1 + m_2} $$

समानीत द्रव्यमान है। इस प्रकार हमने दो पिंड की समस्या को एक पिंड की समस्या बना दिया है।

अनुप्रयोग
समानीत द्रव्यमान का उपयोग दो-पिंड की समस्याओं में किया जा सकता है, जहां उत्कृष्ट यांत्रिकी लागू होती है।

एक रेखा में दो बिन्दु द्रव्यमानों का जड़त्व आघूर्ण
एक प्रणाली में दो बिंदु द्रव्यमान के साथ $$m_1$$ और $$m_2$$ जैसे कि वे सह-रेखीय हैं, दो दूरियाँ $$r_1$$ और $$r_2$$ घूर्णन अक्ष के साथ पाया जा सकता है $$r_1 = R \frac{m_2 }{m_1+m_2}$$ $$r_2 = R \frac{m_1 }{m_1+m_2}$$ जहाँ $$ R$$ दोनों दूरियों का योग है $$R = r_1 + r_2 $$.

यह द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर घूमने के लिए है।

इस अक्ष के चारों ओर जड़ता के क्षण को सरल बनाया जा सकता है $$ I = m_1 r_1^2 + m_2 r_2^2 = R^2 \frac{m_1 m_2^2}{(m_1+m_2)^2} + R^2 \frac{m_1^2 m_2}{(m_1+m_2)^2} = \mu R^2.$$

कणों का टकराव
पुनर्स्थापना ई के गुणांक के साथ टकराव में, गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\Delta K = \frac{1}{2}\mu v^2_{\rm rel}(e^2-1)$$,

जहां विrel टक्कर से पहले पिंडों का सापेक्ष वेग है।

परमाणु भौतिकी में विशिष्ट अनुप्रयोगों के लिए, जहां एक कण का द्रव्यमान दूसरे की तुलना में बहुत बड़ा होता है, समानीत द्रव्यमान को प्रणाली के छोटे द्रव्यमान के रूप में अनुमानित किया जा सकता है। समानीत द्रव्यमान सूत्र की सीमा जब एक द्रव्यमान अनंत तक जाता है तो छोटा द्रव्यमान होता है, इस प्रकार गणना को आसान बनाने के लिए इस सन्निकटन का उपयोग किया जाता है, खासकर जब बड़े कण का सटीक द्रव्यमान ज्ञात नहीं होता है।

उनके गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के तहत दो विशाल पिंडों की गति
गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा के स्थिति में
 * $$V(| \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 | ) = - \frac{G m_1 m_2}{| \mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2 |} \, ,$$

हम पाते हैं कि दूसरे पिंड के संबंध में पहले पिंड की स्थिति उसी अंतर समीकरण द्वारा नियंत्रित होती है, जैसे कि समानीत द्रव्यमान वाले पिंड की स्थिति, दो द्रव्यमानों के योग के समान द्रव्यमान वाले पिंड की परिक्रमा करती है, क्योंकि


 * $$m_1 m_2 = (m_1+m_2) \mu\!\,$$

गैर-सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी
इलेक्ट्रॉन पर विचार करें (द्रव्यमान me) और प्रोटॉन (द्रव्यमान mp) हाइड्रोजन परमाणु में। वे द्रव्यमान के एक सामान्य केंद्र, दो निकाय की समस्या के बारे में एक दूसरे की परिक्रमा करते हैं। इलेक्ट्रॉन की गति का विश्लेषण करने के लिए, एक-निकाय समस्या, समानीत द्रव्यमान इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान को प्रतिस्थापित करता है


 * $$m_e \rightarrow \frac{m_em_p}{m_e+m_p} $$

और प्रोटॉन द्रव्यमान दो द्रव्यमानों का योग बन जाता है


 * $$m_p \rightarrow m_e + m_p $$

इस विचार का उपयोग हाइड्रोजन परमाणु के लिए श्रोडिंगर समीकरण स्थापित करने के लिए किया जाता है।

अन्य उपयोग
समानीत द्रव्यमान भी सामान्य रूप से बीजगणितीय शब्द के रूप में अधिक संदर्भित हो सकता है
 * $$x^* = {1 \over {1 \over x_1} + {1 \over x_2}} = {x_1 x_2 \over x_1 + x_2}\!\,$$

जो प्रपत्र के समीकरण को सरल करता है


 * $$\ {1\over x^*} = \sum_{i=1}^n {1\over x_i} = {1\over x_1} + {1\over x_2} + \cdots+ {1\over x_n}.\!\,$$

समानीत द्रव्यमान सामान्य रूप से समानांतर में दो प्रणाली तत्वों के बीच संबंध के रूप में उपयोग किया जाता है, जैसे प्रतिरोधक या ये विद्युतीय, ऊष्मीय, द्रवचालित या यांत्रिक प्रक्षेत्र में हों। नमनीय मापांक के लिए किरण के अनुप्रस्थ कंपन में एक समान अभिव्यक्ति दिखाई देती है। यह संबंध तत्वों के भौतिक गुणों के साथ-साथ उन्हें जोड़ने वाले निरंतरता समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यह भी देखें

 * केंद्र-की-गति फ्रेम
 * संवेग संरक्षण
 * समीकरण की परिभाषा (भौतिकी)
 * लयबद्ध दोलक
 * चर्प द्रव्यमान, न्यूटन के बाद के विस्तार में इस्तेमाल किया जाने वाला एक सापेक्षिक समकक्ष

बाहरी संबंध

 * Reduced Mass on HyperPhysics