संख्यात्मक द्वारक

प्रकाशिकी में, एक प्रकाशिक प्रणाली का संख्यातमक द्वारक (एनए) एक आयामहीन संख्या है जो कोणों की सीमा को दर्शाता है जिस पर प्रणाली प्रकाश को ग्रहण या उत्सर्जित कर सकती है। इसकी परिभाषा में अपवर्तन के सूचकांक को समाविष्ट करते हुए, एनए की विशेशता है कि यह किरण (बीम) के लिए स्थिर है क्योंकि यह एक उपकरण से दूसरे उपकरण में जाता है, परंतु अंतरापृष्ठ पर कोई अपवर्तक शक्ति न हो। प्रकाशिकी के विभिन्न क्षेत्रों के बीच शब्द की यथार्थ परिभाषा थोड़ी भिन्न होती है। संख्यात्मक द्वारक का उपयोग सामान्यतः सूक्ष्मदर्शी में एक उद्देश्य (और इसलिए इसकी प्रकाश-संग्रह करने की क्षमता और संकल्प) के स्वीकृति शंकु का वर्णन करने के लिए किया जाता है, और फाइबर प्रकाशिकी में, जिसमें यह कोणों की सीमा का वर्णन करता है जिसके अन्तर्गत प्रकाश होता है। फाइबर पर इसके साथ प्रेषित किया जाएगा।

सामान्य प्रकाशिकी
प्रकाशिकी के अधिकांश क्षेत्रों में, और विशेष रूप से सूक्ष्मदर्शी में, एक प्रकाशिक प्रणाली के संख्यात्मक द्वारक जैसे उद्देश्य लेंस  को परिभाषित किया जाता है


 * $$\mathrm{NA} = n \sin \theta,$$

कहां $P$ उस माध्यम का अपवर्तक सूचकांक  है जिसमें लेंस काम कर रहा है (1.00 हवा के लिए, 1.33 शुद्ध  पानी  के लिए, और सामान्यतः 1.52  विसर्जन तेल  के लिए;  अपवर्तक सूचकांकों की सूची  भी देखें), और $θ_{1}$ प्रकाश के अधिकतम शंकु का आधा कोण है जो लेंस में प्रवेश या बाहर निकल सकता है। सामान्य तौर पर, यह प्रणाली में वास्तविक  सीमांत किरण  का कोण है। क्योंकि अपवर्तन सूचकांक शामिल है, एक पेंसिल (प्रकाशिकी) का एनए एक अपरिवर्तनीय है क्योंकि किरणों की एक पेंसिल एक सामग्री से दूसरे में एक सपाट सतह के माध्यम से गुजरती है। इसे खोजने के लिए स्नेल के नियम को पुनर्व्यवस्थित करके आसानी से दिखाया जा सकता है $θ_{2}$ एक अंतरापृष्ठ में स्थिर है।

हवा में, लेंस का कोणीय छिद्र  इस मान से लगभग दोगुना होता है ( पैराएक्सियल सन्निकटन  के भीतर)। एनए को आम तौर पर किसी विशेष वस्तु या छवि बिंदु के संबंध में मापा जाता है और उस बिंदु को ले जाने पर अलग-अलग होगा। सूक्ष्मदर्शी में, एनए आम तौर पर ऑब्जेक्ट-स्पेस एनए को संदर्भित करता है जब तक कि अन्यथा उल्लेख नहीं किया जाता।

सूक्ष्मदर्शी में, एनए महत्वपूर्ण है क्योंकि यह एक लेंस के कोणीय संकल्प  को इंगित करता है। बेहतरीन विवरण का आकार जिसे सुलझाया जा सकता है (रिज़ॉल्यूशन) के समानुपाती होता है $n$, कहां $θ$ प्रकाश की  तरंग दैर्ध्य  है। बड़े संख्यात्मक द्वारक वाला लेंस छोटे संख्यात्मक द्वारक वाले लेंस की तुलना में बेहतर विवरण देखने में सक्षम होगा। गुणवत्ता (विवर्तन-सीमित) प्रकाशिकी मानते हुए, बड़े संख्यात्मक द्वारक वाले लेंस अधिक प्रकाश एकत्र करते हैं और आम तौर पर एक उज्जवल छवि प्रदान करेंगे, लेकिन क्षेत्र की उथली गहराई प्रदान करेंगे।

प्रकाशिक डिस्क स्वरूपों में गड्ढे के आकार को परिभाषित करने के लिए संख्यात्मक द्वारक का उपयोग किया जाता है। आवर्धन और उद्देश्य के संख्यात्मक द्वारक को बढ़ाने से कार्य दूरी कम हो जाती है, यानी सामने वाले लेंस और नमूने के बीच की दूरी।

संख्यात्मक द्वारक बनाम एफ-नंबर
फोटोग्राफी में सामान्यतः संख्यात्मक द्वारक का उपयोग नहीं किया जाता है। इसके बजाय, एक  फोटोग्राफिक लेंस  (या एक इमेजिंग मिरर) का कोणीय द्वारक  च-नंबर  द्वारा लिखित रूप में व्यक्त किया जाता है एन, जहां एन  फोकल लम्बाई  के अनुपात द्वारा दी गई एफ-संख्या है $f$ प्रवेश पुतली के व्यास के लिए $n sin θ$:


 * $$N = \frac{f}{D}.$$

जब लेंस अनंत पर केंद्रित होता है तो यह अनुपात इमेज-स्पेस न्यूमेरिकल अपर्चर से संबंधित होता है। दाईं ओर आरेख के आधार पर, लेंस का इमेज-स्पेस न्यूमेरिकल अपर्चर है:


 * $$\text{NA}_\text{i} = n \sin \theta = n \sin \left[ \arctan \left( \frac{D}{2f} \right) \right] \approx n \frac{D}{2f},$$

इस प्रकार $λ⁄2NA$, हवा में सामान्य उपयोग मानते हुए ($λ$).

संख्यात्मक द्वारक छोटा होने पर सन्निकटन होता है, लेकिन यह पता चला है कि कैमरे के लेंस जैसे अच्छी तरह से सही प्रकाशिक प्रणाली के लिए, एक अधिक विस्तृत विश्लेषण से पता चलता है कि $D$ के लगभग बराबर है $N ≈ 1⁄2NA_{i}$ बड़े संख्यात्मक छिद्रों पर भी। जैसा कि रुडोल्फ किंग्सलेक बताते हैं, यह मान लेना एक सामान्य त्रुटि है कि अनुपात [$n = 1$] वास्तव में के बराबर है $N$, और नहीं $1⁄2NA_{i}$ ... स्पर्शरेखा निश्चित रूप से सही होगी यदि प्रमुख विमान वास्तव में विमान थे। हालांकि, अब्बे साइन स्थिति  का पूरा सिद्धांत दिखाता है कि यदि एक लेंस कोमा (प्रकाशिकी) और गोलाकार विपथन के लिए ठीक किया जाता है, जैसा कि सभी अच्छे फोटोग्राफिक उद्देश्य होने चाहिए, तो दूसरा मुख्य तल त्रिज्या के गोले का एक हिस्सा बन जाता है। $f$ केंद्र बिंदु के बारे में केंद्रित। इस अर्थ में, पारंपरिक थिन-लेंस की परिभाषा और f-संख्या का चित्रण भ्रामक है, और संख्यात्मक द्वारक के संदर्भ में इसे परिभाषित करना अधिक अर्थपूर्ण हो सकता है।

काम करना (प्रभावी) $f$-संख्या
$f$ f}}-संख्या उस स्थिति में लेंस की प्रकाश-एकत्रीकरण क्षमता का वर्णन करती है जहां वस्तु की ओर सीमांत किरणें लेंस के अक्ष के समानांतर होती हैं। यह मामला सामान्यतः फ़ोटोग्राफ़ी में सामने आता है, जहाँ फ़ोटोग्राफ़ी की जा रही वस्तुएँ अक्सर कैमरे से दूर होती हैं। जब वस्तु लेंस से दूर नहीं होती है, हालांकि, छवि अब लेंस के फोकल तल में नहीं बनती है, और $f$-नंबर अब लेंस की प्रकाश-इकट्ठा करने की क्षमता या छवि-पक्ष संख्यात्मक द्वारक का यथार्थ वर्णन नहीं करता है। इस मामले में, संख्यात्मक द्वारक उस से संबंधित है जिसे कभी-कभी कामकाजी एफ-नंबर कहा जाता है। काम करना $f$-संख्या या प्रभावी $f$-संख्या ।

काम कर रहे $f$-संख्या को उपरोक्त संबंध को संशोधित करके परिभाषित किया गया है, वस्तु से छवि तक आवर्धन को ध्यान में रखते हुए:


 * $$\frac{1}{2 \text{NA}_\text{i}} = N_\text{w} = \left(1 - \frac{m}{P}\right) N, $$

कहां $D⁄2f$ कार्य है $f$-संख्या, $tan θ$ एक विशेष दूरी दूर वस्तु के लिए लेंस का आवर्धन है, $sin θ$ पुतली आवर्धन है, और NA को पहले की तरह सीमांत किरण के कोण के रूप में परिभाषित किया गया है। यहाँ आवर्धन सामान्यतः नकारात्मक है, और पुतली आवर्धन को अक्सर 1 माना जाता है - जैसा कि एलन आर। ग्रीनलीफ़ बताते हैं, रोशनी लेंस के निकास पुतली और प्लेट या फिल्म की स्थिति के बीच की दूरी के वर्ग के रूप में भिन्न होती है।. चूंकि एक्ज़िट प्यूपिल की स्थिति सामान्यतः लेंस के उपयोगकर्ता के लिए अज्ञात होती है, इसके बजाय पश्च संयुग्म फोकल दूरी का उपयोग किया जाता है; इस प्रकार पेश की गई परिणामी सैद्धांतिक त्रुटि अधिकांश प्रकार के फोटोग्राफिक लेंसों के लिए नगण्य है। फोटोग्राफी में, कारक को कभी-कभी लिखा जाता है $N_{w}$, कहां $m$ आवर्धन के पूर्ण मूल्य का प्रतिनिधित्व करता है; किसी भी मामले में, सुधार कारक 1 या अधिक है। उपरोक्त समीकरण में दो समानताएं विभिन्न लेखकों द्वारा कार्य की परिभाषा के रूप में ली गई हैं $f$-नंबर, जैसा कि उद्धृत स्रोत बताते हैं। जरूरी नहीं कि वे दोनों यथार्थ हों, लेकिन अक्सर उनके साथ ऐसा व्यवहार किया जाता है जैसे वे हैं।

इसके विपरीत, ऑब्जेक्ट-साइड न्यूमेरिकल अपर्चर संबंधित है $f$-आवर्धन के माध्यम से संख्या (दूर की वस्तु के लिए शून्य की ओर प्रवृत्त):


 * $$\frac{1}{2 \text{NA}_\text{o}} = \frac{m - P}{mP} N. $$

लेजर भौतिकी
लेज़र भौतिकी में, संख्यात्मक अपर्चर को थोड़ा अलग तरीके से परिभाषित किया जाता है। लेजर बीम फैलते ही फैल जाते हैं, लेकिन धीरे-धीरे। बीम के सबसे संकरे हिस्से से दूर, फैलाव लगभग दूरी के साथ रेखीय होता है—लेज़र बीम सुदूर क्षेत्र में प्रकाश का एक शंकु बनाता है। लेजर बीम के एनए को परिभाषित करने के लिए प्रयुक्त संबंध वही है जो प्रकाशिक प्रणाली के लिए उपयोग किया जाता है,


 * $$\text{NA} = n \sin \theta,$$

लेकिन $P$ अलग परिभाषित किया गया है। लेजर बीम में सामान्यतः नुकीले किनारे नहीं होते हैं जैसे प्रकाश का शंकु जो लेंस के छिद्र से होकर गुजरता है। इसके बजाय, बीम के केंद्र से विकिरण  धीरे-धीरे दूर हो जाता है। बीम के लिए  गॉसियन बीम  प्रोफाइल होना बहुत आम है। लेजर भौतिक विज्ञानी सामान्यतः बनाना चुनते हैं $1 + m$ बीम का विचलन: बीम अक्ष के बीच का दूर-क्षेत्र का कोण और उस अक्ष से दूरी जिस पर विकिरण कम हो जाता है $m$ ऑन-एक्सिस विकिरण का गुना। गॉसियन लेजर बीम का एनए तब इसके न्यूनतम स्थान आकार (बीम कमर) से संबंधित होता है


 * $$\text{NA} \simeq \frac{\lambda_0}{\pi w_0},$$

कहां $θ$ प्रकाश की निर्वात तरंग दैर्ध्य है, और $θ$ इसके सबसे संकरे स्थान पर बीम का व्यास है, जिसे के बीच मापा जाता है $e^{−2}$ विकिरण अंक (पूर्ण चौड़ाई पर $λ_{0}$ अधिकतम तीव्रता)। इसका मतलब यह है कि एक लेजर बीम जो एक छोटे से स्थान पर केंद्रित है, फोकस से दूर जाने पर तेजी से फैल जाएगी, जबकि एक बड़े व्यास वाली लेजर बीम बहुत लंबी दूरी पर मोटे तौर पर एक ही आकार में रह सकती है। यह भी देखें: गॉसियन बीम # बीम कमर।

फाइबर प्रकाशिकी
एक मल्टी-मोड प्रकाशिक फाइबर केवल प्रकाश का प्रसार करेगा जो फाइबर के एक निश्चित सीमा के भीतर फाइबर में प्रवेश करता है, जिसे फाइबर की  स्वीकृति शंकु  के रूप में जाना जाता है। इस शंकु के आधे कोण को  स्वीकृति कोण (प्रकाशिक फाइबर) कहा जाता है, $2w_{0}$. किसी दिए गए माध्यम में स्टेप-इंडेक्स प्रोफाइल  | स्टेप-इंडेक्स मल्टीमोड फाइबर के लिए, स्वीकृति कोण केवल कोर, क्लैडिंग और माध्यम के अपवर्तन के सूचकांकों द्वारा निर्धारित किया जाता है:
 * $$n \sin \theta_\max = \sqrt{n_\text{core}^2 - n_\text{clad}^2},$$

कहां $e^{−2}$ फाइबर के चारों ओर माध्यम का अपवर्तक सूचकांक है, $e^{−2}$ फाइबर कोर का अपवर्तक सूचकांक है, और $n_{1}$ क्लैडिंग (फाइबर प्रकाशिकी) का अपवर्तक सूचकांक है। जबकि कोर उच्च कोणों पर प्रकाश को स्वीकार करेगा, वे किरणें कोर-क्लैडिंग अंतरापृष्ठ से आंतरिक प्रतिबिंब को पूरा नहीं करेंगी, और इसलिए फाइबर के दूसरे छोर पर प्रेषित नहीं होंगी। इस सूत्र की व्युत्पत्ति नीचे दी गई है।

जब प्रकाश की किरण अपवर्तनांक वाले माध्यम से आपतित होती है $n$ सूचकांक के मूल में $n_{2}$ अधिकतम स्वीकृति कोण पर, मध्यम-कोर अंतरापृष्ठ पर स्नेल का नियम देता है
 * $$n\sin\theta_\max = n_\text{core}\sin\theta_r.\ $$

उपरोक्त आकृति की ज्यामिति से हमारे पास है:
 * $$\sin\theta_{r} = \sin\left({90^\circ} - \theta_{c}\right) = \cos\theta_{c}$$

कहां
 * $$ \theta_{c} = \arcsin \frac{n_\text{clad}}{n_\text{core}}$$

पूर्ण आंतरिक परावर्तन के लिए क्रांतिक कोण (प्रकाशिकी) है।

स्थानापन्न $θ_{max}$ के लिए $n$ स्नेल के नियम में हम पाते हैं:
 * $$\frac{n}{n_\text{core}}\sin\theta_\max = \cos\theta_{c}.$$

दोनों पक्षों को वर्ग करके
 * $$\frac{n^{2}}{n_\text{core}^{2}}\sin^{2}\theta_\max = \cos^{2}\theta_{c} = 1 - \sin^{2}\theta_{c} = 1 - \frac{n_\text{clad}^{2}}{n_\text{core}^{2}}.$$

हल करने पर, हम ऊपर बताए गए सूत्र को पाते हैं:


 * $$n \sin \theta_\max = \sqrt{n_\text{core}^2 - n_\text{clad}^2},$$

यह अन्य प्रकाशिक प्रणालियों में संख्यात्मक द्वारक (एनए) के समान रूप है, इसलिए किसी भी प्रकार के फाइबर के एनए को परिभाषित करना आम हो गया है
 * $$\mathrm{NA} = \sqrt{n_\text{core}^2 - n_\text{clad}^2},$$

कहां $n_{core}$ फाइबर के केंद्रीय अक्ष के साथ अपवर्तक सूचकांक है। ध्यान दें कि जब इस परिभाषा का उपयोग किया जाता है, तो एनए और फाइबर के स्वीकृति कोण के बीच का संबंध केवल एक सन्निकटन बन जाता है। विशेष रूप से, निर्माता अक्सर इस सूत्र के आधार पर सिंगल-मोड फाइबर  के लिए एनए उद्धृत करते हैं, भले ही सिंगल-मोड फाइबर के लिए स्वीकृति कोण काफी अलग है और अकेले अपवर्तन के सूचकांक से निर्धारित नहीं किया जा सकता है।

बाध्य अनुप्रस्थ मोड  की संख्या,  मोड वॉल्यूम,  सामान्यीकृत आवृत्ति (फाइबर प्रकाशिकी) और इस प्रकार एनए से संबंधित है।

मल्टीमोड फाइबर में, संतुलन संख्यात्मक द्वारक शब्द का प्रयोग कभी-कभी किया जाता है। यह एक फाइबर से निकलने वाली रेखा (गणित)  के चरम निकास कोण के संबंध में संख्यात्मक द्वारक को संदर्भित करता है जिसमें  संतुलन मोड वितरण  स्थापित किया गया है।

यह भी देखें

 * एफ-संख्या|$f$-संख्या
 * संख्यात्मक द्वारक लॉन्च करें
 * निर्देशित किरण, ऑप्टिक फाइबर  संदर्भ
 * स्वीकृति कोण (सौर संकेंद्रक), आगे का संदर्भ

बाहरी कड़ियाँ

 * "Microscope Objectives: Numerical Aperture and Resolution" by Mortimer Abramowitz and Michael W. Davidson, Molecular Expressions: Optical Microscopy Primer (website), Florida State University, April 22, 2004.
 * "Basic Concepts and Formulas in Microscopy: Numerical Aperture" by Michael W. Davidson, Nikon MicroscopyU (website).
 * "Numerical aperture", Encyclopedia of Laser Physics and Technology (website).
 * "Numerical Aperture and Resolution", UCLA Brain Research Institute Microscopy Core Facilities (website), 2007.