क्रमगुणित

गणित में, एक गैर-नकारात्मक का भाज्य integer $n$, लक्षित by $n!$, से कम या बराबर सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल (गणित) है to $n$. तथ्यात्मक of $n$ के उत्पाद के बराबर भी है $$n$$ अगले छोटे भाज्य के साथ: $$ \begin{align} n! &= n \times  (n-1)  \times (n-2)  \times  (n-3) \times \cdots \times  3 \times  2 \times  1 \\ &= n\times(n-1)!\\ \end{align}$$ उदाहरण के लिए, $$5! = 5\times 4! = 5 \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 120. $$ 0 का मान! एक खाली उत्पाद के लिए सम्मेलन के अनुसार 1 है। कई प्राचीन संस्कृतियों में फैक्टोरियल की खोज की गई है, विशेष रूप से भारतीय गणित में जैन साहित्य के विहित कार्यों में, और यहूदी रहस्यवादियों द्वारा तल्मूडिक पुस्तक सेफ़र येत्ज़ीराह में। फैक्टोरियल ऑपरेशन गणित के कई क्षेत्रों में सामने आया है, विशेष रूप से साहचर्य में, जहां इसका सबसे बुनियादी उपयोग संभावित विशिष्ट अनुक्रमों - क्रमपरिवर्तन - की गणना करता है। $$n$$ विशिष्ट वस्तुएं: वहां are $n!$. गणितीय विश्लेषण में, घातीय फलन और अन्य कार्यों के लिए शक्ति श्रृंखला में भाज्य का उपयोग किया जाता है, और उनके पास बीजगणित, संख्या सिद्धांत, संभाव्यता सिद्धांत और कंप्यूटर विज्ञान में भी अनुप्रयोग होते हैं।

18वीं सदी के अंत और 19वीं सदी की शुरुआत में फैक्टोरियल फ़ंक्शन का अधिकांश गणित विकसित किया गया था। स्टर्लिंग का सन्निकटन बड़ी संख्या के भाज्य के लिए एक सटीक सन्निकटन प्रदान करता है, यह दर्शाता है कि यह घातीय वृद्धि की तुलना में अधिक तेज़ी से बढ़ता है। लेजेंड्रे का सूत्र भाज्यों के अभाज्य गुणनखंडन में अभाज्य संख्याओं के घातांकों का वर्णन करता है, और इसका उपयोग भाज्यों के अनुगामी शून्यों को गिनने के लिए किया जा सकता है। डेनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर ने ऋणात्मक पूर्णांक, (ऑफ़सेट) गामा समारोह को छोड़कर, जटिल संख्याओं के निरंतर फ़ंक्शन के लिए फैक्टोरियल फ़ंक्शन को लगाना किया।

कई अन्य उल्लेखनीय कार्य और संख्या क्रम फैक्टोरियल से निकटता से संबंधित हैं, जिनमें द्विपद गुणांक, डबल फैक्टोरियल, फैक्टोरियल गिर रहा है, मौलिक और सबफैक्टोरियल शामिल हैं। फैक्टोरियल फ़ंक्शन के कार्यान्वयन आमतौर पर विभिन्न कंप्यूटर प्रोग्रामिंग शैलियों के उदाहरण के रूप में उपयोग किए जाते हैं, और वैज्ञानिक कैलकुलेटर और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग सॉफ़्टवेयर लाइब्रेरी में शामिल होते हैं। हालांकि उत्पाद सूत्र या पुनरावृत्ति का उपयोग करके सीधे बड़े फैक्टोरियल की गणना करना कुशल नहीं है, तेज एल्गोरिदम ज्ञात हैं, समान संख्या वाले अंकों के लिए तेजी से गुणन एल्गोरिदम के लिए एक स्थिर कारक के भीतर मिलान करने का समय।

इतिहास
तथ्यात्मकता की अवधारणा कई संस्कृतियों में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न हुई है: 15वीं शताब्दी के अंत से, फैक्टोरियल पश्चिमी गणितज्ञों द्वारा अध्ययन का विषय बन गया। 1494 के ग्रंथ में, इतालवी गणितज्ञ लुका पैसिओली ने डाइनिंग टेबल व्यवस्था की समस्या के संबंध में 11! तक फैक्टोरियल की गणना की। क्रिस्टोफर की ने जोहान्स डी सैक्रोबोस्को के काम पर 1603 की टिप्पणी में फैक्टोरियल्स पर चर्चा की, और 1640 के दशक में, फ्रांसीसी पोलीमैथ समुद्री मर्सेन ने क्लैवियस के काम के आधार पर फैक्टोरियल्स की बड़ी (लेकिन पूरी तरह से सही नहीं) तालिकाएँ प्रकाशित कीं। अपने गुणांकों के लिए फैक्टोरियल के पारस्परिक के साथ घातीय कार्य के लिए शक्ति श्रृंखला, पहली बार 1676 में आइजैक न्यूटन द्वारा गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज को एक पत्र में तैयार की गई थी। फैक्टोरियल्स पर प्रारंभिक यूरोपीय गणित के अन्य महत्वपूर्ण कार्यों में जॉन वालिस द्वारा 1685 के ग्रंथ में व्यापक कवरेज शामिल है, बड़े मूल्यों के लिए उनके अनुमानित मूल्यों का एक अध्ययन $$n$$ 1721 में अब्राहम डी मोइवरे द्वारा, जेम्स स्टर्लिंग (गणितज्ञ) से डी मोइवर को 1729 का एक पत्र जिसमें कहा गया था कि स्टर्लिंग के सन्निकटन के रूप में जाना जाता है, और एक ही समय में डैनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर द्वारा गामा के लिए फैक्टोरियल फ़ंक्शन के निरंतर विस्तार को तैयार करना समारोह। एड्रियन मैरी लीजेंड्रे ने संख्या सिद्धांत पर 1808 के पाठ में, प्रमुख शक्तियों में फैक्टोरियल के पूर्णांक गुणनखंडन में एक्सपोनेंट्स का वर्णन करते हुए लीजेंड्रे के सूत्र को शामिल किया। अंकन $$n!$$ फैक्टोरियल के लिए 1808 में फ्रांसीसी गणितज्ञ क्रिश्चियन क्रैम्प द्वारा पेश किया गया था। कई अन्य संकेतन भी इस्तेमाल किए गए हैं। एक और बाद का अंकन, जिसमें फैक्टोरियल का तर्क एक बॉक्स के बाईं ओर और नीचे की ओर आधा-संलग्न था, ब्रिटेन और अमेरिका में कुछ समय के लिए लोकप्रिय था, लेकिन उपयोग से बाहर हो गया, शायद इसलिए कि इसे टाइप करना मुश्किल है। फैक्टोरियल (मूल रूप से फ्रेंच: फैक्टोरिएल) शब्द का पहली बार इस्तेमाल 1800 में लुइस फ्रांकोइस एंटोनी अर्बोगैस्ट द्वारा किया गया था, फा डि ब्रूनो के फार्मूले पर पहले काम में, लेकिन अंकगणितीय प्रगति के उत्पादों की अधिक सामान्य अवधारणा का जिक्र करते हुए। यह नाम जिन कारकों को संदर्भित करता है, वे फैक्टोरियल के लिए उत्पाद सूत्र की शर्तें हैं।
 * भारतीय गणित में, क्रमगुणों के सबसे पुराने ज्ञात विवरणों में से एक अनुयोगद्वार-सूत्र से आता है, जैन साहित्य के विहित कार्यों में से एक, जिसे 300 ईसा पूर्व से 400 सीई तक अलग-अलग तिथियां सौंपी गई हैं। यह अन्य (मिश्रित) ऑर्डर से वस्तुओं के एक सेट के सॉर्ट किए गए और उलटे क्रम को अलग करता है, फैक्टोरियल के लिए सामान्य उत्पाद सूत्र से दो घटाकर मिश्रित ऑर्डर की संख्या का मूल्यांकन करता है। क्रमचय के लिए गुणनफल नियम का वर्णन 6वीं शताब्दी के सीई जैन भिक्षु जिनभद्र ने भी किया था। हिंदू विद्वान कम से कम 1150 से तथ्यात्मक सूत्रों का उपयोग कर रहे हैं, जब भास्कर द्वितीय ने अपनी कृति लीलावती में तथ्यात्मक सूत्रों का उल्लेख किया था, इस समस्या के संबंध में कि विष्णु अपनी चार विशिष्ट वस्तुओं (एक रेखावृत्त, सुदर्शन चक्र, कौमोदकी और पवित्र कमल) को कितने तरीकों से धारण कर सकते हैं। धार्मिक कला में) अपने चार हाथों में, और दस हाथ वाले भगवान के लिए एक समान समस्या।
 * मध्य पूर्व के गणित में, तल्मूड (200 से 500 ईसवी) से सृजन की हिब्रू रहस्यवादी पुस्तक सेफ़र यतिज़िराह, 7 तक के क्रमगुणों को सूचीबद्ध करती है! हिब्रू वर्णमाला से बनने वाले शब्दों की संख्या की जांच के हिस्से के रूप में। इसी तरह के कारणों के लिए 8वीं शताब्दी के अरब व्याकरणविद अल-खलील इब्न अहमद अल-फ़राहिदी द्वारा फैक्टोरियल का भी अध्ययन किया गया था। अरब गणितज्ञ इब्न अल-हेथम (जिसे अल्हज़ेन के नाम से भी जाना जाता है, c.-965 - c.-1040) सबसे पहले विल्सन के प्रमेय को सूत्रबद्ध करने वाले थे, जो भाज्य संख्याओं को अभाज्य संख्याओं से जोड़ते थे।
 * यूरोप में, हालांकि ग्रीक गणित में कुछ कॉम्बिनेटरिक्स शामिल थे, और प्लेटो ने एक आदर्श समुदाय की आबादी के रूप में प्रसिद्ध रूप से 5040 (एक फैक्टोरियल) का इस्तेमाल किया था, आंशिक रूप से इसकी विभाज्यता के गुणों के कारण, फैक्टोरियल के प्राचीन ग्रीक अध्ययन का कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं है। इसके बजाय, यूरोप में फैक्टोरियल्स पर पहला काम यहूदी विद्वानों द्वारा किया गया था, जैसे कि शब्बीथाई डोनोलो, सेफ़र यतिज़िरह मार्ग की खोज। 1677 में, ब्रिटिश लेखक फैबियन स्टेडमैन रिंगिंग बदलें को बदलने के लिए फैक्टोरियल्स के अनुप्रयोग का वर्णन किया, एक संगीत कला जिसमें कई ट्यून्ड घंटियों की रिंगिंग शामिल है।

परिभाषा
किसी धनात्मक पूर्णांक का क्रमगुणन फलन $$n$$ से अधिक नहीं सभी सकारात्मक पूर्णांकों के उत्पाद द्वारा परिभाषित किया गया है $$n$$ $$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n.$$ इसे अधिक संक्षेप में गुणन#कैपिटल पाई नोटेशन के रूप में लिखा जा सकता है $$n! = \prod_{i = 1}^n i.$$ यदि यह उत्पाद सूत्र अंतिम शब्द को छोड़कर सभी को रखने के लिए बदल दिया जाता है, तो यह उसी रूप के उत्पाद को परिभाषित करेगा, एक छोटे भाज्य के लिए। यह एक पुनरावृत्ति संबंध की ओर ले जाता है, जिसके अनुसार फैक्टोरियल फ़ंक्शन के प्रत्येक मान को पिछले मान को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है by $n$: $$ n! = n\cdot (n-1)!.$$ उदाहरण के लिए, $5! = 5\cdot 4!=5\cdot 24=120$.

शून्य का भाज्य
तथ्यात्मक of $0$ is $1$, या प्रतीकों में, $0!=1$. इस परिभाषा के लिए कई प्रेरणाएँ हैं:
 * के लिए $n=0$, की परिभाषा $$n!$$ एक उत्पाद के रूप में बिना किसी संख्या के उत्पाद शामिल है, और इसलिए व्यापक सम्मेलन का एक उदाहरण है कि खाली उत्पाद, बिना किसी कारक का उत्पाद गुणक पहचान के बराबर है।
 * शून्य वस्तुओं का वास्तव में एक क्रमचय है: कुछ भी नहीं करने के लिए, केवल पुनर्व्यवस्था कुछ भी नहीं करना है।
 * यह कन्वेंशन कॉम्बिनेटरिक्स में कई पहचानों को उनके मापदंडों के सभी मान्य विकल्पों के लिए मान्य बनाता है। उदाहरण के लिए, सभी को चुनने के तरीकों की संख्या $$n$$ के एक सेट से तत्व $$n$$ है $\tbinom{n}{n} = \tfrac{n!}{n!0!} = 1,$ एक द्विपद गुणांक पहचान जो केवल मान्य होगी with $0!=1$.
 * साथ $0!=1$, फैक्टोरियल के लिए पुनरावृत्ति संबंध वैध रहता है at $n=1$. इसलिए, इस परिपाटी के साथ, फैक्टोरियल की एक पुनरावर्ती संगणना में बेस केस (प्रत्यावर्तन) के रूप में शून्य के लिए केवल मान होना चाहिए, संगणना को सरल बनाना और अतिरिक्त विशेष मामलों की आवश्यकता से बचना।
 * स्थापना $$0!=1$$ कई सूत्रों की कॉम्पैक्ट अभिव्यक्ति की अनुमति देता है, जैसे घातीय कार्य, एक शक्ति श्रृंखला के रूप में: $ e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}.$
 * यह विकल्प गामा फ़ंक्शन से मेल खाता है $0! = \Gamma(0+1) = 1$, और गामा फलन का एक सतत फलन होने के लिए यह मान होना चाहिए।

अनुप्रयोग
फैक्टोरियल फ़ंक्शन के शुरुआती उपयोगों में गिनती के क्रमपरिवर्तन शामिल हैं: हैं $$n!$$ व्यवस्था करने के विभिन्न तरीके $$n$$ एक क्रम में अलग-अलग वस्तुएं। कॉम्बिनेटरिक्स में कई फ़ार्मुलों में फैक्टोरियल अधिक व्यापक रूप से दिखाई देते हैं, वस्तुओं के विभिन्न क्रमों के लिए खाते में। उदाहरण के लिए द्विपद गुणांक $$\tbinom{n}{k}$$ गिनती करो $k$-element संयोजन (के सबसेट $k$ elements) के साथ एक सेट से $n$ elements, और सूत्र का उपयोग करके फैक्टोरियल से गणना की जा सकती है $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$ प्रथम प्रकार की स्टर्लिंग संख्याएँ भाज्यों का योग करती हैं, और क्रमपरिवर्तनों की गिनती करती हैं of $n$ चक्रों की समान संख्या वाले उपसमुच्चय में समूहीकृत। एक अन्य संयोजी अनुप्रयोग अपंगताओं की गिनती में है, क्रमपरिवर्तन जो किसी भी तत्व को उसकी मूल स्थिति में नहीं छोड़ते हैं; की अव्यवस्थाओं की संख्या $$n$$ आइटम गोलाई है to $n!/e$.

बीजगणित में, फैक्टोरियल्स द्विपद प्रमेय के माध्यम से उत्पन्न होते हैं, जो राशियों की शक्तियों का विस्तार करने के लिए द्विपद गुणांक का उपयोग करता है। वे बहुपदों के कुछ परिवारों को एक दूसरे से संबंधित करने के लिए उपयोग किए जाने वाले गुणांकों में भी होते हैं, उदाहरण के लिए सममित बहुपदों के लिए न्यूटन की पहचान में। क्रमपरिवर्तन की गणना में उनका उपयोग बीजगणितीय रूप से भी बहाल किया जा सकता है: भाज्य परिमित सममित समूहों के समूह का क्रम है। कलन में, उच्च डेरिवेटिव की श्रृंखला के लिए फै डी ब्रूनो के सूत्र में फैक्टोरियल होते हैं। गणितीय विश्लेषण में, फैक्टोरियल अक्सर शक्ति श्रृंखला के denominators में दिखाई देते हैं, विशेष रूप से घातीय कार्य के लिए श्रृंखला में, $$e^x=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!},$$ और अन्य टेलर श्रृंखला के गुणांकों में (विशेष रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के), जहां वे के कारकों को रद्द करते हैं $$n!$$ से आ रहा है $n$th derivative of $x^n$. पावर सीरीज़ में फैक्टोरियल्स का यह उपयोग विश्लेषणात्मक संयोजन को घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन के माध्यम से जोड़ता है, जो कि संयोजन वर्ग के साथ होता है $$n_i$$ घटक size $i$ शक्ति श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया गया है $$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i n_i}{i!}.$$ संख्या सिद्धांत में, फैक्टोरियल की सबसे प्रमुख संपत्ति की विभाज्यता है $$n!$$ सभी सकारात्मक पूर्णांकों द्वारा ऊपर to $n$, लीजेंड्रे के सूत्र द्वारा प्रमुख कारकों के लिए अधिक सटीक रूप से वर्णित। यह इस प्रकार है कि मनमाने ढंग से बड़ी अभाज्य संख्याएँ संख्याओं के प्रमुख गुणनखंडों के रूप में पाई जा सकती हैं $$n!\pm 1$$, यूक्लिड के प्रमेय के प्रमाण के लिए अग्रणी है कि अभाज्य संख्याओं की संख्या अनंत है। कब $$n!\pm 1$$ स्वयं प्रधान है, इसे भाज्य अभाज्य कहा जाता है; संबंधित, ब्रोकार्ड की समस्या, जिसे श्रीनिवास रामानुजन ने भी प्रस्तुत किया है, प्रपत्र की वर्ग संख्याओं के अस्तित्व से संबंधित है $n!+1$. इसके विपरीत, संख्याएँ $$n!+2,n!+3,\dots n!+n$$ मनमाने ढंग से बड़े प्रमुख अंतर के अस्तित्व को साबित करते हुए सभी को समग्र होना चाहिए। के किसी भी अंतराल में प्राइम के अस्तित्व पर बर्ट्रेंड के अभिधारणा का एक प्राथमिक प्रमाण form $[n,2n]$, पॉल एर्डोस के पहले परिणामों में से एक, फैक्टोरियल के विभाज्यता गुणों पर आधारित था। भाज्य संख्या प्रणाली संख्याओं के लिए एक मिश्रित मूलांक संकेतन है जिसमें प्रत्येक अंक के स्थान मान भाज्य होते हैं। संभाव्यता सिद्धांत में क्रमगुणित का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए पॉसों वितरण में और यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन की संभावनाओं में। कंप्यूटर विज्ञान में, क्रमपरिवर्तन पर ब्रूट-फोर्स खोजों के विश्लेषण से परे, की निचली सीमा में भाज्य उत्पन्न होते हैं $$\log_2 n!=n\log_2n-O(n)$$ तुलना के एक सेट को सॉर्ट करने के लिए आवश्यक तुलनाओं की संख्या पर $$n$$ सामान, और श्रृंखलित हैश तालिकाओं के विश्लेषण में, जहां प्रति सेल चाबियों के वितरण को प्वासों वितरण द्वारा सटीक रूप से अनुमानित किया जा सकता है। इसके अलावा, फैक्टोरियल स्वाभाविक रूप से क्वांटम यांत्रिकी और सांख्यिकीय भौतिकी के सूत्रों में दिखाई देते हैं, जहां अक्सर कणों के एक सेट के सभी संभावित क्रमपरिवर्तनों पर विचार किया जाता है। सांख्यिकीय यांत्रिकी में, एन्ट्रापी की गणना जैसे कि बोल्ट्जमैन का एंट्रॉपी फॉर्मूला या सैकुर-टेट्रोड समीकरण को गिब्स विरोधाभास से बचने के लिए प्रत्येक प्रकार के समान कणों की संख्या के भाज्य द्वारा विभाजित करके माइक्रोस्टेट (सांख्यिकीय यांत्रिकी) की गिनती को सही करना चाहिए। क्वांटम भौतिकी अंतर्निहित कारण प्रदान करती है कि ये सुधार क्यों आवश्यक हैं।

विकास और सन्निकटन


एक समारोह के रूप में of $n$, फैक्टोरियल में एक्सपोनेंशियल ग्रोथ की तुलना में तेज है, लेकिन दोहरा घातीय कार्य की तुलना में धीरे-धीरे बढ़ता है। इसकी विकास दर समान है to $n^n$, लेकिन एक घातीय कारक द्वारा धीमा। इस परिणाम तक पहुँचने का एक तरीका फैक्टोरियल का प्राकृतिक लघुगणक लेना है, जो इसके उत्पाद सूत्र को एक योग में बदल देता है, और फिर एक अभिन्न द्वारा योग का अनुमान लगाता है: $$\ln n! = \sum_{x=1}^n \ln x \approx \int_1^n\ln x\, dx=n\ln n-n+1.$$ परिणाम को एक्सपोनेंट करना (और नगण्य को अनदेखा करना $$+1$$ टर्म) अनुमानित है $$n!$$ जैसा $(n/e)^n$. ट्रैपेज़ॉइड नियम का उपयोग करते हुए, अधिक ध्यान से ऊपर और नीचे दोनों को एक इंटीग्रल से जोड़ना, यह दर्शाता है कि इस अनुमान के लिए आनुपातिक सुधार कारक की आवश्यकता है to $\sqrt n$. इस सुधार के लिए आनुपातिकता का स्थिरांक वालिस उत्पाद से पाया जा सकता है, जो व्यक्त करता है $$\pi$$ फैक्टोरियल और दो की शक्तियों के सीमित अनुपात के रूप में। इन सुधारों का परिणाम स्टर्लिंग का सन्निकटन है: $$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\,.$$ यहां ही $$\sim$$ प्रतीक का अर्थ है कि, जैसा $$n$$ अनंत तक जाता है, बाएँ और दाएँ पक्षों के बीच का अनुपात सीमा (गणित) में एक के करीब पहुँचता है। स्टर्लिंग का सूत्र एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला में पहला शब्द प्रदान करता है जो अधिक संख्या में पदों पर ले जाने पर और भी सटीक हो जाता है: $$ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2} - \frac{139}{51840n^3} -\frac{571}{2488320n^4}+ \cdots \right).$$ एक वैकल्पिक संस्करण सुधार शर्तों में केवल विषम घातांक का उपयोग करता है: $$ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \exp\left(\frac{1}{12n} - \frac{1}{360n^3} + \frac{1}{1260n^5} -\frac{1}{1680n^7}+ \cdots \right).$$ श्रीनिवास रामानुजन, बिल गोस्पर और अन्य लोगों द्वारा इन सूत्रों के कई अन्य रूपों को भी विकसित किया गया है।

तुलना छँटाई का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले फैक्टोरियल के द्विआधारी लघुगणक का स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करके बहुत सटीक अनुमान लगाया जा सकता है। नीचे दिए गए सूत्र में $$O(1)$$ टर्म बिग ओ नोटेशन को आमंत्रित करता है। $$\log_2 n! = n\log_2 n-(\log_2 e)n + \frac12\log_2 n + O(1).$$

विभाज्यता और अंक
फैक्टोरियल के लिए उत्पाद सूत्र का तात्पर्य है $$n!$$ पर होने वाली सभी अभाज्य संख्याओं से विभाज्य है most $n$, और कोई बड़ी अभाज्य संख्या नहीं। इसकी विभाज्यता के बारे में अधिक सटीक जानकारी लीजेंड्रे के सूत्र द्वारा दी गई है, जो प्रत्येक अभाज्य का प्रतिपादक देता है $$p$$ के प्रधान गुणनखंड में $$n!$$ जैसा $$\sum_{i=1}^\infty \left \lfloor \frac n {p^i} \right \rfloor=\frac{n - s_p(n)}{p - 1}.$$ यहां $$s_p(n)$$ के योग को दर्शाता है base-$p$ अंक of $n$, और इस सूत्र द्वारा दिए गए प्रतिपादक की व्याख्या उन्नत गणित में पी-एडिक वैल्यूएशन के रूप में भी की जा सकती है$5,040$भाज्य का -adic मूल्यांकन। द्विपद गुणांकों के उत्पाद सूत्र के लिए लीजेंड्रे के सूत्र को लागू करने से कम्मर प्रमेय उत्पन्न होता है, द्विपद गुणांक के गुणनखंड में प्रत्येक अभाज्य के घातांक पर एक समान परिणाम। फैक्टोरियल के प्रमुख कारकों को अलग-अलग तरीकों से प्रमुख शक्तियों में समूहीकृत करने से फैक्टोरियल के गुणक विभाजन उत्पन्न होते हैं। लीजेंड्रे के फार्मूले का विशेष मामला $$p=5$$ भाज्य के दशमलव निरूपण में अनुगामी शून्य # क्रमगुणित की संख्या देता है। इस सूत्र के अनुसार के आधार-5 अंकों को घटाकर शून्यों की संख्या प्राप्त की जा सकती है $$n$$ से $$n$$, और परिणाम को चार से विभाजित करना। लीजेंड्रे के सूत्र का अर्थ है कि अभाज्य का प्रतिपादक $$p=2$$ के घातांक से सदैव बड़ा होता है $p=5$, इसलिए इन अनुगामी शून्यों में से एक का उत्पादन करने के लिए पांच के प्रत्येक कारक को दो के एक कारक के साथ जोड़ा जा सकता है। फैक्टोरियल के प्रमुख अंक बेनफोर्ड के कानून के अनुसार वितरित किए जाते हैं। अंकों का प्रत्येक अनुक्रम, किसी भी आधार में, उस आधार में किसी भाज्य संख्या के आरंभिक अंकों का क्रम होता है। फैक्टोरियल्स की विभाज्यता पर एक और परिणाम, विल्सन के प्रमेय में कहा गया है कि $$(n-1)!+1$$ से विभाज्य है $$n$$ अगर और केवल अगर $$n$$ एक अभाज्य संख्या है। किसी दिए गए के लिए integer $x$, केम्पनर समारोह कार्य $$x$$ सबसे छोटा दिया जाता है $$n$$ जिसके लिए $$x$$ विभाजित $n!$. लगभग सभी संख्याओं के लिए (शून्य स्पर्शोन्मुख घनत्व वाले अपवादों के एक उपसमुच्चय को छोड़कर), यह सबसे बड़े अभाज्य गुणक के साथ मेल खाता है of $x$. दो फैक्टोरियल का उत्पाद, $m!\cdot n!$, हमेशा समान रूप से विभाजित करता है $(m+n)!$. असीम रूप से कई फैक्टोरियल हैं जो अन्य फैक्टोरियल के उत्पाद के बराबर हैं: यदि $$n$$ तब स्वयं फैक्टोरियल का कोई उत्पाद है $$n!$$ उसी उत्पाद को एक और भाज्य से गुणा करने के बराबर है, $(n-1)!$. फैक्टोरियल के एकमात्र ज्ञात उदाहरण जो अन्य फैक्टोरियल के उत्पाद हैं लेकिन इस तुच्छ रूप के नहीं हैं $9!=7!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 2!$, $10!=7!\cdot 6!=7!\cdot 5!\cdot 3!$, और $16!=14!\cdot 5!\cdot 2!$. यह एबीसी अनुमान से अनुसरण करेगा$40,320$ अनुमान है कि केवल बहुत से गैर-तुच्छ उदाहरण हैं। एक आदिम भाग और डिग्री की सामग्री के मूल्यों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक $$d$$ पूर्णांकों पर समान रूप से विभाजित होता है $d!$.

सतत इंटरपोलेशन और गैर-पूर्णांक सामान्यीकरण


फैक्टोरियल को निरंतर कार्य करने के लिए असीमित रूप से कई तरीके हैं। इनमें से सबसे अधिक व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है गामा फ़ंक्शन का उपयोग करता है, जिसे अभिन्न के रूप में सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया जा सकता है $$ \Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx.$$ परिणामी फ़ंक्शन एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक के भाज्य से संबंधित है $$n$$ समीकरण द्वारा $$ n!=\Gamma(n+1),$$ जिसका उपयोग गैर-पूर्णांक तर्कों के लिए भाज्य की परिभाषा के रूप में किया जा सकता है। हर कीमत पर $$x$$ जिसके लिए दोनों $$\Gamma(x)$$ और $$\Gamma(x-1)$$ परिभाषित हैं, गामा फ़ंक्शन कार्यात्मक समीकरण का पालन करता है $$ \Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1),$$ फैक्टोरियल के लिए पुनरावृत्ति संबंध को सामान्य बनाना। समान समाकल किसी सम्मिश्र संख्या के लिए अधिक सामान्य रूप से अभिसरित होता है $$z$$ जिसका वास्तविक भाग धनात्मक होता है। इसे यूलर के परावर्तन सूत्र को हल करके बाकी जटिल तल में गैर-पूर्णांक बिंदुओं तक बढ़ाया जा सकता है $$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}.$$ हालाँकि, इस सूत्र का उपयोग पूर्णांकों पर नहीं किया जा सकता है, क्योंकि उनके लिए, $$\sin\pi z$$ अवधि शून्य से एक विभाजन का उत्पादन करेगी। इस विस्तार प्रक्रिया का परिणाम एक विश्लेषणात्मक कार्य है, गामा फ़ंक्शन के अभिन्न सूत्र की विश्लेषणात्मक निरंतरता। गैर-सकारात्मक पूर्णांकों को छोड़कर जहां इसमें शून्य और ध्रुव होते हैं, सभी सम्मिश्र संख्याओं में इसका शून्येतर मान होता है। तदनुसार, यह ऋणात्मक पूर्णांकों के अलावा अन्य सभी सम्मिश्र संख्याओं पर क्रमगुणन की परिभाषा प्रदान करता है। गामा फलन की एक संपत्ति, इसे भाज्य के अन्य निरंतर प्रक्षेपों से अलग करती है, बोह्र-मोलेरुप प्रमेय द्वारा दी गई है, जिसमें कहा गया है कि गामा फलन (एक द्वारा ऑफसेट) सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर एकमात्र लॉग-उत्तल कार्य है जो फैक्टोरियल्स को प्रक्षेपित करता है और समान कार्यात्मक समीकरण का पालन करता है। हेल्मुट विलैंड्ट के एक संबंधित अद्वितीयता प्रमेय में कहा गया है कि जटिल गामा फ़ंक्शन और इसके स्केलर गुणक सकारात्मक जटिल अर्ध-विमान पर एकमात्र होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन हैं जो कार्यात्मक समीकरण का पालन करते हैं और 1 और 2 के बीच वास्तविक भाग के साथ जटिल संख्याओं के लिए बंधे रहते हैं। अन्य जटिल कार्य जो तथ्यात्मक मूल्यों को प्रक्षेपित करते हैं, उनमें हैडमार्ड का गामा फ़ंक्शन शामिल है, जो गैर-सकारात्मक पूर्णांकों सहित सभी जटिल संख्याओं पर एक संपूर्ण कार्य है। पी-एडिक नंबर में |$362,880$-ऐडिक नंबर, फैक्टोरियल फ़ंक्शन को सीधे इंटरपोलेट करना संभव नहीं है, क्योंकि बड़े पूर्णांक के फैक्टोरियल (एक सघन उपसमुच्चय) $3,628,800$-adics) लीजेंड्रे के फॉर्मूले के अनुसार शून्य में परिवर्तित हो जाते हैं, किसी भी निरंतर कार्य को मजबूर कर देते हैं जो उनके मूल्यों के करीब हर जगह शून्य हो जाता है। इसके बजाय, पी-एडिक गामा फ़ंक्शन |$39,916,800$-एडिक गामा फ़ंक्शन फैक्टोरियल के एक संशोधित रूप का एक निरंतर प्रक्षेप प्रदान करता है, जो फैक्टोरियल में उन कारकों को छोड़ देता है जो विभाज्य हैं $479,001,600$. डिगामा समारोह गामा फ़ंक्शन का लॉगरिदमिक व्युत्पन्न है। जिस तरह गामा फ़ंक्शन फैक्टोरियल्स का एक निरंतर प्रक्षेप प्रदान करता है, एक के द्वारा ऑफसेट होता है, उसी तरह डिगामा फ़ंक्शन हार्मोनिक संख्याओं का एक निरंतर प्रक्षेप प्रदान करता है, जो यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक द्वारा ऑफसेट होता है।

संगणना
फैक्टोरियल फ़ंक्शन वैज्ञानिक कैलकुलेटर में एक सामान्य विशेषता है। यह वैज्ञानिक प्रोग्रामिंग पुस्तकालयों जैसे कि पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) गणितीय कार्य मॉड्यूल में भी शामिल है और बूस्ट (सी++ लाइब्रेरी)|बूस्ट सी++ लाइब्रेरी। यदि दक्षता एक चिंता का विषय नहीं है, तो फैक्टोरियल की गणना तुच्छ है: बस क्रमिक रूप से एक चर को आरंभिक रूप से गुणा करें to $1$ ऊपर पूर्णांकों द्वारा to $n$. इस संगणना की सरलता इसे विभिन्न कंप्यूटर प्रोग्रामिंग शैलियों और विधियों के उपयोग में एक सामान्य उदाहरण बनाती है। की गणना $$n!$$ पुनरावृति का उपयोग करके स्यूडोकोड में व्यक्त किया जा सकता है जैसा फैक्टोरियल परिभाषित करें (एन): च:= 1 i := 1, 2, 3, ..., n के लिए: च := च × मैं वापसी च या पुनरावर्तन (कंप्यूटर विज्ञान) का उपयोग करना इसके पुनरावृत्ति संबंध के आधार पर फैक्टोरियल परिभाषित करें (एन): अगर एन = 0 वापसी 1 वापसी n × भाज्य (n − 1) इसकी गणना के लिए उपयुक्त अन्य विधियों में memoization, गतिशील प्रोग्रामिंग, और कार्यात्मक प्रोग्रामिंग। इन एल्गोरिदम की कम्प्यूटेशनल जटिलता का विश्लेषण गणना के यूनिट-कॉस्ट रैंडम-एक्सेस मशीन मॉडल का उपयोग करके किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन में निरंतर समय लगता है और प्रत्येक संख्या स्टोरेज स्पेस की निरंतर मात्रा का उपयोग करती है। इस मॉडल में, ये विधियाँ गणना कर सकती हैं $$n!$$ समय के भीतर $O(n)$, और पुनरावृत्त संस्करण स्थान का उपयोग करता है $O(1)$. जब तक पूंछ पुनरावर्तन के लिए अनुकूलित नहीं किया जाता है, पुनरावर्ती संस्करण अपने कॉल स्टैक को संग्रहीत करने के लिए रैखिक स्थान लेता है। हालाँकि, गणना का यह मॉडल तभी उपयुक्त है जब $$n$$ अनुमति देने के लिए काफी छोटा है $$n!$$ एक मशीन शब्द में फिट होने के लिए। मान 12! और 20! सबसे बड़े फैक्टोरियल हैं जिन्हें क्रमशः 32-बिट कंप्यूटिंग | 32-बिट में संग्रहीत किया जा सकता है और 64-बिट कंप्यूटिंग | 64-बिट पूर्णांक (कंप्यूटर विज्ञान)। तैरनेवाला स्थल बड़े फैक्टोरियल्स का प्रतिनिधित्व कर सकता है, लेकिन लगभग सटीक रूप से, और अभी भी इससे बड़े फैक्टोरियल्स के लिए अतिप्रवाह होगा $170!$. बड़े फैक्टोरियल की सटीक गणना में फैक्टोरियल # ग्रोथ_एंड_प्रॉक्सिमेशन और पूर्णांक अतिप्रवाह के कारण मनमाने ढंग से सटीक अंकगणित शामिल है। परिणाम में अंकों या बिट्स की संख्या के कार्य के रूप में गणना के समय का विश्लेषण किया जा सकता है। स्टर्लिंग के सूत्र से, $$n!$$ है $$b = O(n\log n)$$ बिट्स। शॉनहेज-स्ट्रैसन एल्गोरिथम एक उत्पादन कर सकता है $b$-bit समय में उत्पाद $O(b\log b\log\log b)$, और तेज गुणन एल्गोरिदम में समय लगता है $$O(b\log b)$$ जाने जाते हैं। हालांकि, फैक्टोरियल की गणना में एकल गुणन के बजाय बार-बार उत्पाद शामिल होते हैं, इसलिए ये समय सीमाएं सीधे लागू नहीं होती हैं। इस सेटिंग में, कंप्यूटिंग $$n!$$ 1 से संख्याओं का गुणा करके to $n$ क्रम में अक्षम है, क्योंकि इसमें शामिल है $$n$$ गुणन, जिसका एक निरंतर अंश समय लेता है $$O(n\log^2 n)$$ प्रत्येक, कुल समय दे रहा है $O(n^2\log^2 n)$. गुणा-और-जीत एल्गोरिदम के रूप में गुणा करने का एक बेहतर तरीका है जो अनुक्रम को गुणा करता है $$i$$ संख्याओं को इसके दो क्रमों में विभाजित करके $$i/2$$ संख्याएँ, प्रत्येक अनुक्रम को गुणा करती हैं, और परिणामों को एक अंतिम गुणन के साथ जोड़ती हैं। फैक्टोरियल के इस दृष्टिकोण में कुल समय लगता है $O(n\log^3 n)$: एक लघुगणक फैक्टोरियल में बिट्स की संख्या से आता है, दूसरा गुणन एल्गोरिथ्म से आता है, और तीसरा फूट डालो और जीतो से आता है। कंप्यूटिंग द्वारा और भी बेहतर दक्षता प्राप्त की जाती है $S_{n}$ इसके प्रधान गुणनखंड से, इस सिद्धांत पर आधारित है कि वर्ग करके घातांक एक उत्पाद में घातांक का विस्तार करने की तुलना में तेज़ है। अर्नोल्ड शॉनहेज द्वारा इसके लिए एक एल्गोरिदम प्राइम अप की सूची ढूंढकर शुरू होता है to $n$, उदाहरण के लिए एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करके, और प्रत्येक अभाज्य के लिए प्रतिपादक की गणना करने के लिए लीजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करता है। फिर यह पुनरावर्ती एल्गोरिथम का उपयोग करते हुए, इन घातांकों के साथ प्रमुख शक्तियों के उत्पाद की गणना करता है: तक सभी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल $$n$$ एक $$O(n)$$-बिट संख्या, अभाज्य संख्या प्रमेय द्वारा, तो पहले चरण के लिए समय है $$O(n\log^2 n)$$, जिसमें एक लघुगणक फूट डालो और जीतो से आता है और दूसरा गुणा एल्गोरिथम से आता है। एल्गोरिथ्म के पुनरावर्ती कॉल में, प्रधान संख्या प्रमेय को फिर से यह साबित करने के लिए लागू किया जा सकता है कि संबंधित उत्पादों में बिट्स की संख्या पुनरावर्तन के प्रत्येक स्तर पर एक स्थिर कारक से घट जाती है, इसलिए पुनरावर्तन के सभी स्तरों पर इन चरणों के लिए कुल समय एक ज्यामितीय श्रृंखला में जोड़ता है to $O(n\log^2 n)$. दूसरे चरण में वर्ग करने और तीसरे चरण में गुणा करने का समय फिर से है $O(n\log^2 n)$, क्योंकि प्रत्येक एक संख्या का एकल गुणन है $$O(n\log n)$$ बिट्स। फिर से, पुनरावर्तन के प्रत्येक स्तर पर शामिल संख्याओं में कई बिट्स के रूप में एक निरंतर अंश होता है (क्योंकि अन्यथा बार-बार उन्हें चुकता करने से अंतिम परिणाम बहुत बड़ा होगा) इसलिए फिर से पुनरावर्ती कॉल में इन चरणों के लिए समय की मात्रा एक ज्यामितीय श्रृंखला में जोड़ती है to $O(n\log^2 n)$. नतीजतन, पूरा एल्गोरिदम लेता है time $O(n\log^2 n)$, इसके परिणाम में बिट्स की समान संख्या के साथ एकल गुणन के समानुपाती।
 * उन अभाज्य संख्याओं के गुणनफल की गणना करने के लिए विभाजित करें और जीतें जिनका घातांक विषम हैं
 * सभी घातांकों को दो से विभाजित करें (एक पूर्णांक तक नीचे की ओर), इन छोटे घातांकों के साथ प्रमुख शक्तियों के उत्पाद की पुनरावर्ती गणना करें, और परिणाम का वर्ग करें
 * पिछले दो चरणों के परिणामों को एक साथ गुणा करें

संबंधित अनुक्रम और कार्य
कई अन्य पूर्णांक क्रम फैक्टोरियल के समान या उससे संबंधित हैं:

वैकल्पिक योग फैक्टोरियल
 * प्रत्यावर्ती भाज्य पहले के प्रत्यावर्ती योग का निरपेक्ष मान है $$n$$ फैक्टोरियल, $\sum_{i = 1}^n (-1)^{n - i}i!$. इनका मुख्य रूप से उनकी आदिमता के संबंध में अध्ययन किया गया है; उनमें से बहुत से ही प्रधान हो सकते हैं, लेकिन इस रूप के अभाज्यों की पूरी सूची ज्ञात नहीं है।


 * भार्गव फैक्टोरियल
 * भार्गव फैक्टोरियल, मंजुल भार्गव द्वारा परिभाषित पूर्णांक अनुक्रमों का एक परिवार है, जिसमें फैक्टोरियल्स के समान संख्या-सैद्धांतिक गुण हैं, जिसमें फैक्टोरियल्स स्वयं एक विशेष मामले के रूप में शामिल हैं। डबल फैक्टोरियल
 * कुछ विषम धनात्मक तक सभी विषम पूर्णांकों का गुणनफल integer $n$ डबल फैक्टोरियल कहा जाता है of $n$, और द्वारा दर्शाया गया $n!!$. वह है, $$(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1) = \frac{(2k)!}{2^k k!}.$$ उदाहरण के लिए, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945. त्रिकोणमितीय कार्यों के इंटीग्रल की सूची में डबल फैक्टोरियल का उपयोग किया जाता है, अर्ध-पूर्णांक पर गामा फ़ंक्शन और एन-बॉल की मात्रा के भावों में, और जड़ वाला बाइनरी ट्री और सही मिलान की गिनती में।
 * घातीय भाज्य
 * जिस प्रकार त्रिभुजाकार संख्याओं से संख्याओं का योग होता है $$1$$ to $n$, और फैक्टोरियल उनके उत्पाद को लेते हैं, घातीय भाज्य एक्सपोनेंटियेट्स। घातीय क्रमगुणन को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है as $a_0 = 1,\ a_n = n^{a_{n - 1}}$.|undefined उदाहरण के लिए, 4 का चरघातांकी भाज्य है $$4^{3^{2^{1}}}=262144.$$ ये संख्याएँ नियमित फैक्टोरियल्स की तुलना में बहुत अधिक तेज़ी से बढ़ती हैं।

फैक्टोरियल गिरना
 * नोटेशन $$(x)_{n}$$ या $$x^{\underline n}$$ कभी-कभी के उत्पाद का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है $$n$$ और तक की गिनती के पूर्णांक including $x$, के बराबर $x!/(x-n)!$. इसे गिरते और बढ़ते फैक्टोरियल या बैकवर्ड फैक्टोरियल के रूप में भी जाना जाता है, और $$(x)_{n}$$ नोटेशन इस अ पोछाम्मेर सिंबल. गिरने वाले भाज्य विभिन्न अनुक्रमों की संख्या की गणना करते हैं $$n$$ अलग-अलग आइटम जिन्हें एक ब्रह्मांड से खींचा जा सकता है $$x$$ सामान। वे बहुपद के उच्च डेरिवेटिव में गुणांक के रूप में होते हैं, और यादृच्छिक चर के भाज्य क्षणों में।

hyperactorial्स
 * का हाइपरफैक्टोरियल $$n$$ उत्पाद है $$1^1\cdot 2^2\cdots n^n$$. ये संख्याएँ हर्मिट बहुपदों के विभेदकों का निर्माण करती हैं। उन्हें कश्मीर समारोह द्वारा लगातार प्रक्षेपित किया जा सकता है, और स्टर्लिंग के सूत्र के अनुरूपों का पालन करें और विल्सन की प्रमेय।


 * जॉर्डन-पोल्या नंबर
 * जॉर्डन-पोल्या नंबर फैक्टोरियल के उत्पाद हैं, जो दोहराव की अनुमति देते हैं। प्रत्येक पेड़ (ग्राफ सिद्धांत) में एक समरूपता समूह होता है जिसकी समरूपता की संख्या जॉर्डन-पोल्या संख्या होती है, और प्रत्येक जॉर्डन-पोल्या संख्या किसी पेड़ की समरूपता की गणना करती है।

प्राथमिक
 * आदिम $$n\#$$ कम या बराबर अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है to $n$; यह निर्माण उन्हें फैक्टोरियल्स के लिए कुछ समान विभाज्यता गुण देता है, लेकिन फैक्टोरियल के विपरीत वे free हैं। फैक्टोरियल प्राइम्स की तरह $n!\pm 1$, शोधकर्ताओं ने प्राथमिक अभाज्यताओं का अध्ययन किया है $n\#\pm 1$.

सबफैक्टोरियल
 * सबफैक्टोरियल एक सेट के विचलन की संख्या पैदा करता है $$n$$ वस्तुओं। इसे कभी-कभी निरूपित किया जाता है $$!n$$, और निकटतम पूर्णांक के बराबर है to $n!/e$.

superactorial
 * का सुपरफैक्टोरियल $$n$$ पहले का उत्पाद है $$n$$ भाज्य। बार्न्स जी-फंक्शन द्वारा सुपरफैक्टोरियल्स को लगातार प्रक्षेपित किया जाता है।

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