फ्लक्स

फ्लक्स किसी भी प्रभाव का वर्णन करता है जो किसी सतह या पदार्थ के माध्यम से गुजरता है या यात्रा करता है (चाहे वह वास्तव में चलता है या नहीं)। फ्लक्स अनुप्रयुक्त गणित और वेक्टर कलन में एक अवधारणा है जिसमें भौतिकी के कई अनुप्रयोग हैं। परिवहन घटना के लिए, प्रवाह एक यूक्लिडियन वेक्टर मात्रा है, जो किसी पदार्थ या संपत्ति के प्रवाह की परिमाण और दिशा का वर्णन करता है। सदिश कलन में प्रवाह एक अदिश (भौतिकी) मात्रा है, जिसे एक सतह पर एक सदिश क्षेत्र के लंबवत घटक के सतही अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है।

शब्दावली
फ्लक्स शब्द लैटिन से आया है: फ्लक्सस का अर्थ प्रवाह है, और प्रवाह का प्रवाह है। Fluxions की विधि के रूप में, इस शब्द को आइजैक न्यूटन द्वारा अंतर कलन में पेश किया गया था।

गर्मी हस्तांतरण घटना के विश्लेषण में गर्मी प्रवाह की अवधारणा जोसेफ फूरियर का एक महत्वपूर्ण योगदान था। उनका मौलिक ग्रंथ द एनालिटिकल थ्योरी ऑफ़ हीट, फ्लक्सन को एक केंद्रीय मात्रा के रूप में परिभाषित करता है और एक स्लैब में तापमान के अंतर के संदर्भ में फ्लक्स के अब जाने-माने भावों को प्राप्त करने के लिए आगे बढ़ता है, और फिर आमतौर पर तापमान प्रवणता या तापमान के अंतर के संदर्भ में, अन्य ज्यामिति में। कोई तर्क दे सकता है, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल के काम के आधार पर, कि परिवहन परिभाषा चुंबकीय प्रवाह से पहले है। मैक्सवेल का विशिष्ट उद्धरण है: "In the case of fluxes, we have to take the integral, over a surface, of the flux through every element of the surface. The result of this operation is called the surface integral of the flux. It represents the quantity which passes through the surface."

- James Clerk Maxwell

परिवहन परिभाषा के अनुसार, प्रवाह एक सदिश हो सकता है, या यह सदिश क्षेत्र / स्थिति का कार्य हो सकता है। बाद के मामले में प्रवाह आसानी से एक सतह पर एकीकृत किया जा सकता है। इसके विपरीत, विद्युत चुंबकत्व परिभाषा के अनुसार, फ्लक्स एक सतह पर अभिन्न अंग है; दूसरी परिभाषा प्रवाह को एकीकृत करने का कोई मतलब नहीं है क्योंकि एक सतह पर दो बार एकीकृत होगा। इस प्रकार, मैक्सवेल का उद्धरण केवल तभी समझ में आता है जब फ्लक्स का उपयोग परिवहन परिभाषा के अनुसार किया जा रहा हो (और इसके अलावा एकल वेक्टर के बजाय एक वेक्टर क्षेत्र है)। यह विडंबना है क्योंकि मैक्सवेल इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म की परिभाषा के अनुसार अब हम जिसे इलेक्ट्रिक फ्लक्स और मैग्नेटिक फ्लक्स कहते हैं, उसके प्रमुख डेवलपर्स में से एक थे। उद्धरण (और परिवहन परिभाषा) के अनुसार उनके नाम विद्युत प्रवाह के सतह अभिन्न और चुंबकीय प्रवाह के सतह अभिन्न होंगे, इस मामले में विद्युत प्रवाह को विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय प्रवाह को चुंबकीय क्षेत्र के रूप में परिभाषित किया जाएगा। इसका तात्पर्य है कि मैक्सवेल ने इन क्षेत्रों की कल्पना किसी प्रकार के प्रवाह/फ्लक्स के रूप में की थी।

इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म परिभाषा के अनुसार प्रवाह को देखते हुए, संबंधित 'फ्लक्स घनत्व', यदि उस शब्द का उपयोग किया जाता है, तो एकीकृत सतह के साथ इसके व्युत्पन्न को संदर्भित करता है। पथरी के मौलिक प्रमेय द्वारा, संबंधित 'फ्लक्स घनत्व' परिवहन परिभाषा के अनुसार एक प्रवाह है। एक 'वर्तमान' जैसे विद्युत प्रवाह-चार्ज प्रति समय, 'वर्तमान घनत्व' भी परिवहन परिभाषा के अनुसार एक प्रवाह होगा - प्रति क्षेत्र प्रति समय शुल्क। फ्लक्स की परस्पर विरोधी परिभाषाओं के कारण, और गैर-तकनीकी अंग्रेजी में फ्लक्स, प्रवाह और करंट की विनिमेयता के कारण, इस पैराग्राफ में उपयोग किए जाने वाले सभी शब्दों को कभी-कभी एक दूसरे के स्थान पर और अस्पष्ट रूप से उपयोग किया जाता है। इस लेख के बाकी हिस्सों में कंक्रीट फ्लक्स का उपयोग साहित्य में उनकी व्यापक स्वीकृति के अनुसार किया जाएगा, भले ही फ्लक्स की परिभाषा इस शब्द से मेल खाती हो।

प्रति इकाई क्षेत्र प्रवाह दर के रूप में फ्लक्स
परिवहन घटना (गर्मी हस्तांतरण, द्रव्यमान हस्तांतरण और द्रव गतिशीलता) में, प्रवाह को प्रति इकाई क्षेत्र में एक संपत्ति के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें आयामी विश्लेषण [मात्रा]·[समय] होता है।−1·[क्षेत्र]-1. क्षेत्र उस सतह का है जिसके माध्यम से या उसके आर-पार संपत्ति प्रवाहित हो रही है। उदाहरण के लिए, पानी की वह मात्रा जो किसी नदी के एक खंड से होकर बहती है, प्रत्येक सेकंड को उस क्रॉस सेक्शन के क्षेत्र से विभाजित किया जाता है, या सूर्य के प्रकाश की ऊर्जा की वह मात्रा जो प्रत्येक सेकंड जमीन के एक टुकड़े पर आती है, जिसे पैच के क्षेत्र से विभाजित किया जाता है, प्रवाह के प्रकार हैं।

सामान्य गणितीय परिभाषा (परिवहन)
जटिलता के बढ़ते क्रम में यहां 3 परिभाषाएं दी गई हैं। प्रत्येक निम्नलिखित का एक विशेष मामला है। सभी मामलों में लगातार प्रतीक जे, (या जे) प्रवाह के लिए उपयोग किया जाता है, भौतिक मात्रा के लिए क्यू प्रवाहित होता है, समय के लिए टी, और क्षेत्र के लिए ए। ये पहचानकर्ता मोटे अक्षरों में तब और केवल तभी लिखे जाएंगे जब वे सदिश हों।

सबसे पहले, एक (एकल) स्केलर के रूप में फ्लक्स: $$j = \frac{I}{A},$$ कहाँ $$I = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.$$ इस मामले में जिस सतह पर फ्लक्स को मापा जा रहा है वह स्थिर है और उसका क्षेत्रफल A है। सतह को समतल माना जाता है, और प्रवाह को हर जगह स्थिति और सतह के लंबवत के संबंध में स्थिर माना जाता है।

दूसरा, एक सतह के साथ परिभाषित एक अदिश क्षेत्र के रूप में प्रवाह, यानी सतह पर बिंदुओं का एक कार्य: $$j(\mathbf{p}) = \frac{\partial I}{\partial A}(\mathbf{p}),$$ $$I(A,\mathbf{p}) = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}(A, \mathbf{p}).$$ पहले की तरह, सतह को समतल माना जाता है, और प्रवाह को हर जगह लंबवत माना जाता है। हालाँकि प्रवाह को स्थिर नहीं होना चाहिए। क्यू अब 'पी', सतह पर एक बिंदु, और ए, एक क्षेत्र का एक कार्य है। सतह के माध्यम से कुल प्रवाह को मापने के बजाय, क्यू सतह के साथ पी पर केंद्रित क्षेत्र ए के साथ डिस्क के माध्यम से प्रवाह को मापता है।

अंत में, वेक्टर क्षेत्र के रूप में प्रवाह: $$\mathbf{j}(\mathbf{p}) = \frac{\partial \mathbf{I}}{\partial A}(\mathbf{p}),$$ $$\mathbf{I}(A,\mathbf{p}) = \underset{\mathbf{\hat{n}}}{\operatorname{arg\,max}} \mathbf{\hat{n}}_{\mathbf p} \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}(A,\mathbf{p}, \mathbf{\hat{n}}).$$ इस मामले में, कोई निश्चित सतह नहीं है जिसे हम माप रहे हैं। क्यू एक बिंदु, एक क्षेत्र और एक दिशा का एक कार्य है (एक इकाई वेक्टर द्वारा दिया गया $$\mathbf{\hat{n}}$$), और उस यूनिट वेक्टर के लंबवत क्षेत्र ए की डिस्क के माध्यम से प्रवाह को मापता है। I को यूनिट वेक्टर चुनने के लिए परिभाषित किया गया है जो बिंदु के चारों ओर प्रवाह को अधिकतम करता है, क्योंकि वास्तविक प्रवाह उस डिस्क पर अधिकतम होता है जो इसके लंबवत है। यूनिट वेक्टर इस प्रकार विशिष्ट रूप से फ़ंक्शन को अधिकतम करता है जब यह प्रवाह की सही दिशा में इंगित करता है। (सख्ती से बोलना, यह अंकन का दुरुपयोग है क्योंकि आर्गmax सीधे सदिशों की तुलना नहीं कर सकता; हम वेक्टर को इसके बजाय सबसे बड़े मानदंड के साथ लेते हैं।)

गुण
ये प्रत्यक्ष परिभाषाएँ, विशेष रूप से अंतिम, बल्कि बोझिल हैं। उदाहरण के लिए, आर्ग{{nnbsp}अधिकतम निर्माण अनुभवजन्य माप के दृष्टिकोण से कृत्रिम है, जब एक वात दिग्दर्शक  या इसी तरह के एक बिंदु पर प्रवाह की दिशा को आसानी से कम कर सकते हैं। सदिश प्रवाह को सीधे परिभाषित करने के बजाय, इसके बारे में कुछ गुणों को बताना अक्सर अधिक सहज होता है। इसके अलावा, इन गुणों से फ्लक्स को वैसे भी विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है।

यदि फ्लक्स j क्षेत्र से सामान्य क्षेत्र से θ कोण पर गुजरता है $$\mathbf{\hat{n}}$$, फिर डॉट उत्पाद $$\mathbf{j} \cdot \mathbf{\hat{n}} = j\cos\theta.$$ अर्थात्, सतह से गुजरने वाले फ्लक्स का घटक (अर्थात इसके लिए सामान्य) j हैक्योंकि θ, जबकि क्षेत्र के स्पर्शरेखा से गुजरने वाले फ्लक्स का घटक j है{{nnbsp}पाप θ, लेकिन स्पर्शरेखा दिशा में क्षेत्र के माध्यम से वास्तव में कोई प्रवाह नहीं है। क्षेत्र के सामान्य प्रवाह का एकमात्र घटक कोसाइन घटक है।

सदिश फ्लक्स के लिए, सतह (गणित) S पर 'j' का सतह समाकल, सतह के माध्यम से समय की प्रति इकाई उचित प्रवाह देता है: $$\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = \iint_S \mathbf{j} \cdot \mathbf{\hat{n}}\, dA = \iint_S \mathbf{j} \cdot d\mathbf{A},$$ जहाँ A (और इसका अतिसूक्ष्म) सदिश क्षेत्र है – संयोजन $$\mathbf{A} = A \mathbf{\hat{n}}$$ क्षेत्र ए के परिमाण के माध्यम से जिसके माध्यम से संपत्ति गुजरती है और एक इकाई वेक्टर $$\mathbf{\hat{n}}$$ इलाके में सामान्य.. समीकरणों के दूसरे सेट के विपरीत, यहाँ सतह समतल होने की आवश्यकता नहीं है।

अंत में, हम समय अवधि टी पर फिर से एकीकृत कर सकते हैं1 टी के लिए2, उस समय में सतह के माध्यम से बहने वाली संपत्ति की कुल राशि प्राप्त करना (टी2- टी1): $$q = \int_{t_1}^{t_2}\iint_S \mathbf{j}\cdot d\mathbf A\, dt.$$

परिवहन प्रवाह
परिवहन परिघटना साहित्य से प्रवाह के सबसे सामान्य रूपों में से आठ को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:


 * 1) परिवहन घटना#संवेग स्थानांतरण, एक इकाई क्षेत्र में संवेग के हस्तांतरण की दर (N·s·m−2·से-1). (श्यानता|न्यूटन का श्यानता का नियम)
 * 2) ऊष्मा प्रवाह, एक इकाई क्षेत्र में ऊष्मा प्रवाह की दर (J·m−2·से-1). (ऊष्मा चालन | प्रवाहकत्त्व का फूरियर नियम) (हीट फ्लक्स की यह परिभाषा मैक्सवेल की मूल परिभाषा में फिट बैठती है।) # प्रसार प्रवाह, एक इकाई क्षेत्र में अणुओं की गति की दर (mol·m−2·से-1). (फिक का प्रसार का नियम) # वॉल्यूमेट्रिक फ्लक्स, एक इकाई क्षेत्र में आयतन प्रवाह की दर (एम3·मि−2·से-1). (डार्सी का नियम | डार्सी का भूजल प्रवाह का नियम)
 * 3) द्रव्यमान प्रवाह, एक इकाई क्षेत्र में द्रव्यमान प्रवाह की दर (किलो·मी−2·से-1). (या तो फ़िक के नियम का एक वैकल्पिक रूप जिसमें आणविक द्रव्यमान शामिल है, या डार्सी के नियम का एक वैकल्पिक रूप जिसमें घनत्व शामिल है।)
 * 4)  विकिरण प्रवाह, प्रति यूनिट क्षेत्र प्रति सेकंड स्रोत से एक निश्चित दूरी पर फोटॉन के रूप में हस्तांतरित ऊर्जा की मात्रा (J·m−2·से-1). किसी तारे के परिमाण (खगोल विज्ञान) और वर्णक्रमीय वर्ग को निर्धारित करने के लिए खगोल विज्ञान में उपयोग किया जाता है। गर्मी प्रवाह के सामान्यीकरण के रूप में भी कार्य करता है, जो विद्युत चुम्बकीय स्पेक्ट्रम तक सीमित होने पर विकिरण प्रवाह के बराबर होता है।
 * 5) [[ऊर्जा प्रवाह]], एक इकाई क्षेत्र के माध्यम से ऊर्जा के हस्तांतरण की दर (J·m−2·से-1). विकिरण प्रवाह और ऊष्मा प्रवाह ऊर्जा प्रवाह के विशिष्ट मामले हैं।
 * 6) कण प्रवाह, एक इकाई क्षेत्र के माध्यम से कणों के हस्तांतरण की दर ([कणों की संख्या] मी−2·से−1)

ये फ्लक्स अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर वैक्टर हैं, और एक निश्चित परिमाण और दिशा है। इसके अलावा, अंतरिक्ष में दिए गए बिंदु के आसपास नियंत्रण मात्रा में मात्रा की संचय दर निर्धारित करने के लिए इनमें से किसी भी प्रवाह का विचलन हो सकता है। असम्पीडित प्रवाह के लिए, आयतन प्रवाह का विचलन शून्य है।

रासायनिक प्रसार
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, रासायनिक द्रव्यमान प्रवाह # एक इज़ोटेर्माल  में एक घटक ए के मोलर प्रवाह, आइसोबैरिक प्रक्रिया को फिक के प्रसार के कानून में परिभाषित किया गया है: $$\mathbf{J}_A = -D_{AB} \nabla c_A$$ जहां नाबला प्रतीक ∇ ग्रेडियेंट  ऑपरेटर को दर्शाता है, डीABप्रसार गुणांक है (एम2·एस−1) घटक A का घटक B के माध्यम से प्रसार, cAएकाग्रता है (तिल (इकाई)/m3) घटक A का। इस फ्लक्स में mol·m की इकाइयाँ होती हैं−2·से−1, और फ्लक्स की मैक्सवेल की मूल परिभाषा में फिट बैठता है। तनु गैसों के लिए, गतिज आणविक सिद्धांत प्रसार गुणांक D को कण घनत्व n = N/V, आणविक द्रव्यमान m, टक्कर क्रॉस सेक्शन (भौतिकी) से संबंधित करता है। $$\sigma$$, और थर्मोडायनामिक तापमान टी द्वारा $$D = \frac{2}{3 n\sigma}\sqrt{\frac{kT}{\pi m}}$$ जहां दूसरा कारक माध्य मुक्त पथ है और वर्गमूल (बोल्ट्जमैन स्थिरांक k के साथ) मैक्सवेल-बोल्ट्जमान वितरण#कणों की विशिष्ट गति है।

अशांत प्रवाह में, एड़ी गति द्वारा परिवहन को व्यापक रूप से बढ़े हुए प्रसार गुणांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

क्वांटम यांत्रिकी
क्वांटम यांत्रिकी में, द्रव्यमान m के कणों की कितना राज्य ψ('r', t) में संभाव्यता आयाम के रूप में परिभाषित किया गया है $$\rho = \psi^* \psi = |\psi|^2. $$ तो एक अंतर आयतन तत्व d में एक कण को ​​​​खोजने की संभावना3आर है $$ dP = |\psi|^2 \, d^3\mathbf{r}. $$ फिर एक क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) के इकाई क्षेत्र के माध्यम से लंबवत रूप से गुजरने वाले कणों की संख्या | क्रॉस-सेक्शन प्रति यूनिट समय प्रायिकता प्रवाह है; $$\mathbf{J} = \frac{i \hbar}{2m} \left(\psi \nabla \psi^* - \psi^* \nabla \psi \right). $$ इसे कभी-कभी संभाव्यता वर्तमान या वर्तमान घनत्व के रूप में संदर्भित किया जाता है, या संभाव्यता प्रवाह घनत्व।

प्रवाह एक सतह अभिन्न
के रूप में

सामान्य गणितीय परिभाषा (सतह अभिन्न)
एक गणितीय अवधारणा के रूप में, फ्लक्स को सदिश क्षेत्रों के सतह समाकल#भूतल समाकलन द्वारा दर्शाया जाता है,
 * $$\Phi_F=\iint_A\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}$$
 * $$\Phi_F=\iint_A\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}A$$

जहाँ F एक सदिश क्षेत्र है, और dA, सतह 'A'' का सदिश क्षेत्र है, जिसे सामान्य (ज्यामिति) के रूप में निर्देशित किया जाता है। दूसरे के लिए, n सतह के लिए बाहरी नुकीली इकाई सामान्य वेक्टर है।

सतह को उन्मुख होना चाहिए, यानी दो पक्षों को अलग किया जा सकता है: सतह स्वयं पर वापस नहीं आती है। इसके अलावा, सतह को वास्तव में उन्मुख होना चाहिए, यानी हम प्रवाह के रूप में एक सम्मेलन का उपयोग करते हैं, जिस तरह से सकारात्मक गिना जाता है; पीछे की ओर बहना तब ऋणात्मक गिना जाता है।

सतह सामान्य आमतौर पर दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्देशित होती है।

इसके विपरीत, फ्लक्स को अधिक मौलिक मात्रा माना जा सकता है और वेक्टर क्षेत्र को फ्लक्स घनत्व कहा जा सकता है।

अक्सर एक सदिश क्षेत्र प्रवाह के बाद वक्रों (क्षेत्र रेखाओं) द्वारा खींचा जाता है; सदिश क्षेत्र का परिमाण तब रेखा घनत्व है, और सतह के माध्यम से प्रवाह रेखाओं की संख्या है। रेखाएँ सकारात्मक विचलन (स्रोतों) के क्षेत्रों से उत्पन्न होती हैं और नकारात्मक विचलन (सिंक) के क्षेत्रों पर समाप्त होती हैं।

छवि को दाईं ओर भी देखें: एक इकाई क्षेत्र से गुजरने वाले लाल तीरों की संख्या फ्लक्स घनत्व है, लाल तीरों को घेरने वाला वक्र सतह की सीमा को दर्शाता है, और सतह के संबंध में तीरों का उन्मुखीकरण संकेत को दर्शाता है सतह के सामान्य के साथ वेक्टर क्षेत्र का आंतरिक उत्पाद।

यदि सतह एक 3D क्षेत्र को घेरती है, तो आमतौर पर सतह इस तरह उन्मुख होती है कि प्रवाह को सकारात्मक गिना जाता है; विपरीत बहिर्वाह है।

विचलन प्रमेय बताता है कि एक बंद सतह के माध्यम से शुद्ध बहिर्वाह, दूसरे शब्दों में एक 3डी क्षेत्र से शुद्ध बहिर्वाह, क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु से स्थानीय शुद्ध बहिर्वाह को जोड़कर पाया जाता है (जो विचलन द्वारा व्यक्त किया जाता है)।

यदि सतह बंद नहीं है, तो इसकी सीमा के रूप में एक उन्मुख वक्र है। स्टोक्स के प्रमेय में कहा गया है कि सदिश क्षेत्र के कर्ल (गणित) का प्रवाह इस सीमा पर सदिश क्षेत्र का अभिन्न अंग है। इस पथ अभिन्न को परिसंचरण (द्रव गतिकी) भी कहा जाता है, विशेष रूप से द्रव गतिकी में। इस प्रकार कर्ल संचलन घनत्व है।

हम फ्लक्स और इन प्रमेयों को कई विषयों में लागू कर सकते हैं जिनमें हम धाराओं, बलों आदि को क्षेत्रों के माध्यम से लागू होते हुए देखते हैं।

विद्युत प्रवाह
एक विद्युत आवेश, जैसे कि अंतरिक्ष में एक एकल प्रोटॉन, का परिमाण कूलम्ब में परिभाषित होता है। इस तरह के आवेश के चारों ओर एक विद्युत क्षेत्र होता है। सचित्र रूप में, एक धनात्मक बिंदु आवेश से विद्युत क्षेत्र को एक बिंदु विकीर्ण क्षेत्र रेखा (कभी-कभी बल की रेखाएँ भी कहा जाता है) के रूप में देखा जा सकता है। वैचारिक रूप से, विद्युत प्रवाह को किसी दिए गए क्षेत्र से गुजरने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या के रूप में सोचा जा सकता है। गणितीय रूप से, विद्युत प्रवाह किसी दिए गए क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र के सामान्य (ज्यामिति) घटक का अभिन्न अंग है। इसलिए, विद्युत प्रवाह की इकाइयाँ, इकाइयों की MKS प्रणाली में, न्यूटन (इकाई) प्रति कूलम्ब (इकाई) गुणा मीटर वर्ग, या N m हैं2/सी. (विद्युत प्रवाह घनत्व प्रति इकाई क्षेत्र में विद्युत प्रवाह है, और एकीकरण के क्षेत्र में औसत विद्युत क्षेत्र के सामान्य (ज्यामिति) घटक की ताकत का एक उपाय है। इसकी इकाइयाँ N / C हैं, जो विद्युत क्षेत्र के समान हैं। एमकेएस इकाइयां।)

विद्युत प्रवाह के दो रूपों का उपयोग किया जाता है, एक ई-फ़ील्ड के लिए:

और एक डी-फ़ील्ड के लिए (जिसे विद्युत विस्थापन कहा जाता है):



गॉस के नियम में यह मात्रा उत्पन्न होती है - जो बताती है कि एक बंद सतह से विद्युत क्षेत्र E का प्रवाह विद्युत आवेश 'Q' के समानुपाती होता हैAसतह में संलग्न (उस चार्ज को कैसे वितरित किया जाता है) से स्वतंत्र, अभिन्न रूप है:



जहां ई0 मुक्त स्थान की पारगम्यता है।

यदि कोई आवेश के क्षेत्र में एक बिंदु आवेश के पास एक ट्यूब के लिए विद्युत क्षेत्र वेक्टर, E के प्रवाह पर विचार करता है, लेकिन इसे क्षेत्र के स्पर्शरेखा द्वारा गठित पक्षों के साथ नहीं रखता है, तो पक्षों के लिए प्रवाह शून्य है और वहाँ है ट्यूब के दोनों सिरों पर एक समान और विपरीत प्रवाह। यह एक व्युत्क्रम वर्ग क्षेत्र पर लागू गॉस के नियम का परिणाम है। ट्यूब के किसी भी क्रॉस-अनुभागीय सतह के लिए प्रवाह समान होगा। आवेश q के चारों ओर किसी भी सतह के लिए कुल प्रवाह q/ε है0. मुक्त स्थान में विद्युत विस्थापन संवैधानिक संबंध D = ε द्वारा दिया जाता है0 ई, इसलिए किसी भी बाउंडिंग सतह के लिए डी-फील्ड फ्लक्स चार्ज 'क्यू' के बराबर होता हैAइसके अंदर। यहाँ अभिव्यक्ति का प्रवाह एक गणितीय ऑपरेशन को इंगित करता है और, जैसा कि देखा जा सकता है, परिणाम आवश्यक रूप से प्रवाह नहीं है, क्योंकि वास्तव में कुछ भी विद्युत क्षेत्र रेखाओं के साथ नहीं बहता है।

चुंबकीय प्रवाह
इकाई Wb/m वाले चुंबकीय प्रवाह घनत्व (चुंबकीय क्षेत्र)।2 (टेस्ला (यूनिट)) को B द्वारा दर्शाया जाता है, और चुंबकीय प्रवाह को समान रूप से परिभाषित किया जाता है: :$$\Phi_B=\iint_A\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}$$ ऊपर एक ही अंकन के साथ। फैराडे के प्रेरण के कानून में मात्रा उत्पन्न होती है, जहां चुंबकीय प्रवाह समय-निर्भर होता है क्योंकि या तो सीमा समय-निर्भर होती है या चुंबकीय क्षेत्र समय-निर्भर होता है। अभिन्न रूप में:


 * $$- \frac{{\rm d} \Phi_B}{ {\rm d} t} =

\oint_{\partial A} \mathbf{E} \cdot d \boldsymbol{\ell}$$ जहां घ'$\ell$ बंद वक्र का एक अतिसूक्ष्म सदिश रेखा तत्व है $$\partial A$$, परिमाण (वेक्टर) के साथ अनंत रेखा तत्व की लंबाई के बराबर, और वक्र को स्पर्शरेखा द्वारा दी गई दिशा (ज्यामिति) $$\partial A$$, एकीकरण दिशा द्वारा निर्धारित चिह्न के साथ।

तार के एक लूप के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह के परिवर्तन की समय-दर उस तार में निर्मित वैद्युतवाहक बल से कम होती है। दिशा ऐसी है कि यदि धारा को तार से गुजरने दिया जाए, तो विद्युत वाहक बल एक ऐसी धारा उत्पन्न करेगा जो परिवर्तन के विपरीत चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करके स्वयं चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन का विरोध करती है। यह प्रारंभ करनेवाला ्स और कई बिजली पैदा करने वाला का आधार है।

पॉइंटिंग फ्लक्स
इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, एक निर्दिष्ट सतह पर पॉयंटिंग वेक्टर एस का प्रवाह वह दर है जिस पर विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा उस सतह से प्रवाहित होती है, जिसे पहले परिभाषित किया गया है:



एक सतह के माध्यम से पॉयंटिंग वेक्टर का प्रवाह विद्युत चुम्बकीय शक्ति (भौतिकी), या ऊर्जा प्रति यूनिट समय है, जो उस सतह से गुजरती है। यह आमतौर पर विद्युत चुम्बकीय विकिरण के विश्लेषण में प्रयोग किया जाता है, लेकिन अन्य विद्युत चुम्बकीय प्रणालियों के लिए भी इसका उपयोग होता है।

भ्रामक रूप से, पॉयंटिंग वेक्टर को कभी-कभी पावर फ्लक्स कहा जाता है, जो ऊपर दिए गए फ्लक्स के पहले उपयोग का एक उदाहरण है। इसमें वाट प्रति वर्ग मीटर (W/m2).

यह भी देखें

 * एबी परिमाण
 * विस्फोटक पंप प्रवाह संपीड़न जनरेटर
 * एड़ी सहप्रसरण प्रवाह (उर्फ, एड़ी सहसंबंध, एड़ी प्रवाह)
 * फास्ट फ्लक्स टेस्ट सुविधा
 * फ्लुएंस (कण बीम के लिए पहली तरह का प्रवाह)
 * द्रव गतिविज्ञान
 * फ्लक्स पदचिह्न
 * फ्लक्स पिनिंग
 * प्रवाह परिमाणीकरण
 * गॉस का नियम
 * व्युत्क्रम वर्ग नियम
 * जांस्की (वर्णक्रमीय प्रवाह घनत्व की गैर एसआई इकाई)
 * अव्यक्त ताप प्रवाह
 * चमकदार प्रवाह
 * चुंबकीय प्रवाह
 * चुंबकीय प्रवाह क्वांटम
 * न्यूट्रॉन प्रवाह
 * पोयंटिंग फ्लक्स
 * पोयंटिंग प्रमेय
 * दीप्तिमान प्रवाह
 * रैपिड सिंगल फ्लक्स क्वांटम
 * ध्वनि ऊर्जा प्रवाह
 * मात्रात्मक प्रवाह दरतरल पदार्थ के लिए पहली तरह का फ्लक्स)
 * अनुमापी प्रवाह दर (तरल पदार्थ के लिए दूसरे प्रकार का प्रवाह)