लेनिया

लेनिया बर्ट वांग-चाक चान द्वारा निर्मित सेलुलर ऑटोमेटन का एक वर्ग है। इसका उद्देश्य सतत ऑटोमेटन, सतत स्थानिक ऑटोमेटन के साथ कॉनवे के जीवन के खेल का एक सतत कार्य सामान्यीकरण होना है। इसके निरंतर, उच्च-रिज़ॉल्यूशन डोमेन के परिणामस्वरूप, लेनिया में उत्पन्न सम्मिश्र स्वायत्त पैटर्न (जीवनरूप या स्पेसशिप (सेलुलर ऑटोमेटन)) को अन्य सेलुलर ऑटोमेटा में दिखाई देने वाले "ज्यामितीय मेटामेरिक फजी लचीला अनुकूली और नियम-जेनेरिक" से भिन्न बताया गया है।

लेनिया ने क्योटो में जेनेटिक एंड इवोल्यूशनरी कंप्यूटेशन कॉन्फ्रेंस में 2018 वर्चुअल क्रिएचर्स प्रतियोगिता जीती, टोक्यो में एएलआईएफई 2018 में एएलआईएफईकला पुरस्कार के लिए एक सम्मानजनक उल्लेख, और इंटरनेशनल सोसाइटी फॉर आर्टिफिशियल लाइफ द्वारा 2019 का उत्कृष्ट प्रकाशन ( आईएसएएल).

पुनरावृत्तीय अद्यतन
मान लीजिए कि $$\mathcal{L} $$ एक जालक या ग्रिड है जिसमें अवस्था का एक समुच्चय है जो की $$S^\mathcal{L}$$अनेक सेलुलर ऑटोमेटा की तरह, लेनिया को पुनरावृत्त रूप से अद्यतन किया जाता है; प्रत्येक आउटपुट स्थिति पिछली स्थिति का एक शुद्ध कार्य है, जैसे कि

$$\Phi(A^0) = A^{\Delta t}, \Phi(A^{\Delta t}) = A^{2\Delta t}, \ldots, \Phi(A^t) = A^{t + \Delta t},\ldots$$ जहां $$A^0$$ प्रारंभिक स्थिति है और $$\Phi : S^\mathcal{L} \rightarrow S^\mathcal{L}$$ वैश्विक नियम है, जो प्रत्येक साइट $$\mathbf{x}\in\cal{L}$$ पर स्थानीय नियम के अनुप्रयोग का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार $$\Phi^N(A^t) = A^{t + N\Delta t}$$.

यदि प्रत्येक टाइमस्टेप पर सिमुलेशन को $$\Delta t$$ द्वारा उन्नत किया जाता है, तो समय रिज़ॉल्यूशन $$T = \frac{1}{\Delta t}$$ होता है।

स्टेट सेट
मान लीजिए कि $$S = \{0, 1, \ldots, P-1, P\}$$ अधिकतम $$P \in \Z$$ के साथ है। यह ऑटोमेटन का स्टेट समुच्चय है और प्रत्येक साइट पर पाए जाने वाले संभावित अवस्था की विशेषता बताता है। बड़ा $$P$$ सिमुलेशन में उच्च स्टेट संकल्पों के अनुरूप है। अनेक सेलुलर ऑटोमेटा न्यूनतम संभव स्टेट रिज़ॉल्यूशन का उपयोग करते हैं, अथार्त $$P = 1$$ लेनिया बहुत अधिक रिज़ॉल्यूशन की अनुमति देता है। ध्यान दें कि प्रत्येक साइट पर वास्तविक मान $$[0,P]$$ में नहीं है, किंतु $$\Delta p = \frac{1}{P}$$ का पूर्णांक गुणज है; इसलिए हमारे पास सभी के लिए $$A^t(\mathbf{x}) \in [0, 1]$$ के लिए $$\mathbf{x} \in \mathcal{L}$$ है। उदाहरण के लिए, $$P = 4$$, $$\mathbf{A}^t(\mathbf{x}) \in [0, 0.25, 0.75, 1]$$ दिया गया है।

निकट
गणितीय रूप से, गेम ऑफ लाइफ जैसे निकट को $$\R^2$$ में स्थिति सदिश के एक समुच्चय का उपयोग करके दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गेम ऑफ लाइफ द्वारा उपयोग किए जाने वाले क्लासिक मूर निकट के लिए, $$\mathcal{N} = \{-1, 0, 1\}^2$$ अथार्त प्रत्येक साइट पर केन्द्रित आकार 3 का एक वर्ग है ।

लेनिया के स्थिति में, निकट एक साइट, $$\mathcal{N} = \{\mathbf{x} \in \mathcal{L} : \lVert \mathbf{x} \rVert_2 \leq R\}$$ पर केंद्रित त्रिज्या $$R$$ की एक गेंद है, जिसमें मूल साइट भी सम्मिलित हो सकती है।

ध्यान दें कि निकट के सदिश तत्वों की पूर्ण स्थिति नहीं हैं, चूँकि किसी भी साइट के संबंध में सापेक्ष स्थिति (डेल्टा) का एक समुच्चय हैं।

स्थानीय नियम
लेनिया के भिन्न और निरंतर रूप हैं। मान लीजिए $$\mathbf{x}$$ किसी दिए गए साइट की स्थिति का प्रतिनिधित्व करने वाले $$\mathcal{L}$$ के अंदर $$\R^2$$ में एक सदिश है, और $$\mathcal{N}$$ निकटवर्ती साइटों का समुच्चय है जिससे $$\mathbf{x}$$ दोनों विविधताओं में दो चरण सम्मिलित हैं:

एक बार जब $$\mathbf{G}^t$$ की गणना हो जाती है, तो इसे चुने गए समय रिज़ॉल्यूशन $$\Delta t$$ द्वारा स्केल किया जाता है और मूल स्थिति मान में जोड़ा जाता है:$$\mathbf{A}^{t+\Delta t}(\mathbf{x}) = \text{clip}(\mathbf{A}^{t} + \Delta t \;\mathbf{G}^t(\mathbf{x}),\; 0,\; 1)$$यहां, क्लिप फलन को $$\operatorname{clip}(v,a,b):=\min(\max(u,a),b)$$ द्वारा परिभाषित किया गया है।
 * 1) संभावित वितरण $$\mathbf{K} : \mathcal{N} \rightarrow S$$ की गणना करने के लिए कनवल्शन कर्नेल $$\mathbf{U}^t(\mathbf{x})=\mathbf{K} * \mathbf{A}^t(\mathbf{x})$$ का उपयोग करना है।
 * 2) अंतिम वृद्धि वितरण $$G : [0, 1] \rightarrow [-1, 1]$$ की गणना करने के लिए ग्रोथ मैपिंग $$\mathbf{G}^t(\mathbf{x})=G(\mathbf{U}^t(\mathbf{x}))$$ का उपयोग करना है।

असतत और निरंतर लेनिया के लिए स्थानीय नियमों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:

$$\begin{align} \mathbf{U}^t(\mathbf{x}) &= \begin{cases} \sum_{\mathbf{n} \in \mathcal{N}} \mathbf{K(n)}\mathbf{A}^t(\mathbf{x}+\mathbf{n})\Delta x^2, & \text{discrete Lenia} \\ \int_{\mathbf{n} \in \mathcal{N}} \mathbf{K(n)}\mathbf{A}^t(\mathbf{x}+\mathbf{n})dx^2, & \text{continuous Lenia} \end{cases} \\ \mathbf{G}^t(\mathbf{x}) &= G(\mathbf{U}^t(\mathbf{x})) \\ \mathbf{A}^{t+\Delta t}(\mathbf{x}) &= \text{clip}(\mathbf{A}^t(\mathbf{x}) + \Delta t\;\mathbf{G}^t(\mathbf{x}),\; 0,\; 1) \end{align}$$

कर्नेल पीढ़ी
कनवल्शन कर्नेल $$\mathbf{K}$$ उत्पन्न करने के अनेक विधि हैं। अंतिम कर्नेल एक कर्नेल शेल $$K_C$$ और एक कर्नेल स्केलेटन $$K_S$$ की संरचना है।.

कर्नेल शेल $$K_C$$ के लिए, चैन अनेक फलन देता है जिन्हें रेडियल रूप से परिभाषित किया गया है। कर्नेल शेल फलन यूनिमॉडल हैं और बाधा $$K_C(0) = K_C(1) = 0 $$ (और समान्यत: $$K_C\left(\frac{1}{2}\right) = 1$$भी) के अधीन हैं। उदाहरण कर्नेल फलन में सम्मिलित हैं:

$$K_C(r) = \begin{cases} \exp\left(\alpha - \frac{\alpha}{4r(1-r)}\right), & \text{exponential}, \alpha=4 \\ (4r(1-r))^\alpha, & \text{polynomial}, \alpha=4 \\ \mathbf{1}_{\left[\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right]}(r), & \text{rectangular} \\ \ldots, & \text{etc.} \end{cases}$$ यहाँ, सूचक कार्य $$\mathbf{1}_A(r)$$ है.

एक बार कर्नेल शेल को परिभाषित करने के बाद, कर्नेल स्केलेटन $$K_S$$ का उपयोग इसका विस्तार करने और शेल को संकेंद्रित रिंगों की श्रृंखला में परिवर्तित करके कर्नेल के वास्तविक मूल्यों की गणना करने के लिए किया जाता है। प्रत्येक रिंग की ऊंचाई कर्नेल पीक सदिश $$\beta = (\beta_1, \beta_2, \ldots, \beta_B) \in [0,1]^B$$ द्वारा नियंत्रित की जाती है, जहां $$B$$ पैरामीटर सदिश की रैंक है। फिर कर्नेल स्केलेटन $$K_S$$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$$K_S(r;\beta)=\beta_{\lfloor Br \rfloor} K_C(Br \text{ mod } 1)$$ इसलिए अंतिम कर्नेल $$\mathbf{K}(\mathbf{n})$$ है

$$\mathbf{K}(\mathbf{n}) = \frac{K_S(\lVert \mathbf{n} \rVert_2)}{|K_S|}$$ ऐसा कि $$\mathbf{K}$$ को $$1$$ और $$\mathbf{K} * \mathbf{A} \in [0, 1]$$ (द्रव्यमान के संरक्षण के लिए) के तत्व योग के लिए सामान्यीकृत किया जाता है। असतत स्थिति में $$|K_S| = \textstyle \sum_{\mathcal{N}} \displaystyle K_S \, \Delta x^2$$ और निरंतर स्थिति में $$\int_{N} K_S \,dx^2$$ है।

ग्रोथ मैपिंग
ग्रोथ मैपिंग $$G : [0, 1] \rightarrow [-1,1]$$ जो एक सक्रियण फलन के अनुरूप है, कोई भी फलन हो सकता है जो यूनिमॉडल, नॉनमोनोटोनिक है, और पैरामीटर $$\mu,\sigma \in \R$$ को स्वीकार करता है। उदाहरणों में सम्मिलित है

$$G(u;\mu,\sigma) = \begin{cases} 2\exp\left(-\frac{(u-\mu)^2}{2\sigma^2}\right)-1, & \text{exponential} \\ 2\cdot\mathbf{1}_{[\mu\pm3\sigma]}(u)\left(1-\frac{(u-\mu)^2}{9\sigma^2}\right)^\alpha-1, & \text{polynomial}, \alpha=4 \\ 2\cdot\mathbf{1}_{[\mu\pm\sigma]}(u)-1, & \text{rectangular} \\ \ldots, & \text{etc.} \end{cases}$$ जहाँ $$u$$, $$\mathbf{U}^t$$से लिया गया एक संभावित मूल्य है.

जीवन का खेल
जीवन के खेल को $$R = T = P = 1$$ के साथ असतत लेनिया का एक विशेष मामला माना जा सकता है। इस स्थिति में, फलन के साथ कर्नेल आयताकार होगा$$K_C(r) = \mathbf{1}_{\left[\frac{1}{4},\frac{3}{4}\right]}(r) + \frac{1}{2}\mathbf{1}_{\left[0,\frac{1}{4}\right)}(r)$$और वृद्धि नियम भी $$\mu = 0.35, \sigma = 0.07$$ के साथ आयताकार है।

पैटर्न
कनवल्शनल कर्नेल, ग्रोथ मैपिंग और प्रारंभिक स्थिति को भिन्न -भिन्न करके, लेनिया में "जीवन" की 400 से अधिक "प्रजातियां" खोजी गई हैं, जो "स्व-संगठन, स्व-सुधार, द्विपक्षीय और रेडियल समरूपता, लोकोमोटिव गतिशीलता और कभी-कभी अराजक" प्रदर्शित करती हैं। प्रकृति" चैन ने इन पैटर्नों के लिए एक वर्गीकरण बनाया है।

संबंधित कार्य
अन्य कार्यों में सेलुलर ऑटोमेटा अपडेट नियमों और कनवल्शन के मध्य सशक्त समानता देखी गई है। वास्तव में, इन कार्यों ने सरलीकृत संवादात्मक तंत्रिका नेटवर्क का उपयोग करके सेलुलर ऑटोमेटा को पुन: प्रस्तुत करने पर ध्यान केंद्रित किया है। मोर्डविंटसेव एट अल। स्व-सुधार पैटर्न पीढ़ी के उद्भव की जांच की गई थी । गिलपिन ने पाया कि किसी भी सेलुलर ऑटोमेटन को एक दृढ़ तंत्रिका नेटवर्क के रूप में दर्शाया जा सकता है, और उपस्थित सेलुलर ऑटोमेटा को पुन: उत्पन्न करने के लिए तंत्रिका नेटवर्क को प्रशिक्षित किया जा सकता है। इस प्रकाश में, सेलुलर ऑटोमेटा को आवर्तक संकेंद्रित तंत्रिका नेटवर्क के एक विशेष स्थिति के रूप में देखा जा सकता है। लेनिया के अद्यतन नियम को एक सक्रियण फलन ("ग्रोथ मैपिंग" $$G$$) के साथ एकल-परत कनवल्शन ("संभावित क्षेत्र " $$\mathbf{K}$$ ) के रूप में भी देखा जा सकता है। चूँकि, लेनिया कहीं अधिक बड़े, स्थिर, कर्नेल का उपयोग करता है और ग्रेडिएंट डिसेंट के माध्यम से प्रशिक्षित नहीं है।

यह भी देखें

 * कॉनवे का जीवन का खेल
 * सेलुलर ऑटोमेटन
 * स्वयं प्रतिकृति
 * पैटर्न निर्माण
 * मोर्फोजेनेसिस

बाहरी संबंध

 * The Github repository for Lenia
 * Chan's website for Lenia
 * An invited seminar at Stanford given by Chan