प्लेट स्पंदन

प्लेटों का कंपन यांत्रिक कंपन की अधिक सामान्य समस्या का एक विशेष स्थिति है। प्लेटों की गति को नियंत्रित करने वाले समीकरण सामान्य त्रि-आयामी वस्तुओं की तुलना में सरल होते हैं क्योंकि प्लेट के आयामों में से अन्य दूसरे की तुलना में बहुत छोटा होता है। इससे पता चलता है कि एक द्वि-आयामी प्लेट सिद्धांत प्लेट जैसी वस्तु की वास्तविक त्रि-आयामी गति के लिए एक उत्कृष्ट सन्निकटन देगा, और वास्तव में यह सत्य पाया गया है। प्लेटों की गति का वर्णन करने के लिए कई सिद्धांत विकसित किए गए हैं। सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला किरचॉफ-लव प्लेट सिद्धांत है। किरचॉफ-लव थ्योरी और उफ्लायंड-माइंडलिन। बाद के सिद्धांत पर एलीशाकॉफ द्वारा विस्तार से चर्चा की गई है। इन सिद्धांतों द्वारा भविष्यवाणी किए गए संचालन समीकरणों के समाधान हमें मुक्त और विवश दोनों स्थितियों में प्लेट जैसी वस्तुओं के व्यवहार में अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकते हैं।। यह भी संम्मिलित है

तरंगों का प्रसार और प्लेटों में खड़ी तरंगों और कंपन मोड का अध्ययन। लीसा द्वारा पुस्तकों में प्लेट कंपन के विषय पर विचार किया गया है, गोंटकेविच, राव, सोएडेल, यू, गोर्मन  और राव।

किरचॉफ-लव प्लेट्स
किरचॉफ-लव प्लेट की गतिकी के लिए संचालन समीकरण हैं

\begin{align} N_{\alpha\beta,\beta} & = J_1~\ddot{u}_\alpha \\ M_{\alpha\beta,\alpha\beta} + q(x,t) & = J_1~\ddot{w} - J_3~\ddot{w}_{,\alpha\alpha} \end{align} $$ जहाँ $$u_\alpha$$ प्लेट की मध्य सतह के सतह में विस्थापन हैं, $$w$$ प्लेट की मध्य-सतह का अनुप्रस्थ (सतह से बाहर) विस्थापन है, $$q$$ एक किर्यान्वित अनुप्रस्थ भार की ओर संकेत करता है $$x_3$$ (ऊपर की ओर), और परिणामी बलों और क्षणों को इस रूप में परिभाषित किया गया है

N_{\alpha\beta} := \int_{-h}^h \sigma_{\alpha\beta}~dx_3 \quad \text{and} \quad M_{\alpha\beta} := \int_{-h}^h x_3~\sigma_{\alpha\beta}~dx_3 \,. $$ ध्यान दें कि प्लेट की मोटाई है $$2h$$ और परिणामी को सतह में तनावों के भारित औसत के रूप में परिभाषित किया गया है $$\sigma_{\alpha\beta}$$. संचालन समीकरणों में व्युत्पन्न को इस रूप में परिभाषित किया गया है

\dot{u}_i := \frac{\partial u_i}{\partial t} ~; \ddot{u}_i := \frac{\partial^2 u_i}{\partial t^2} ~; u_{i,\alpha} := \frac{\partial u_i}{\partial x_\alpha} ~; u_{i,\alpha\beta} := \frac{\partial^2 u_i}{\partial x_\alpha \partial x_\beta} $$ जहां लैटिन सूचकांक 1 से 3 तक जाते हैं जबकि ग्रीक सूचकांक 1 से 2 तक जाते हैं। दोहराए गए सूचकांकों पर योग निहित है। $$x_3$$ h> निर्देशांक सतह से बाहर है जबकि निर्देशांक $$x_1$$ और $$x_2$$ सतह में हैं।

मोटाई की समान रूप से मोटी प्लेट के लिए $$2h$$ और सजातीय द्रव्यमान घनत्व $$\rho$$

J_1 := \int_{-h}^h \rho~dx_3 = 2\rho h \quad \text{and} \quad J_3 := \int_{-h}^h x_3^2~\rho~dx_3 = \frac{2}{3}\rho h^3 \,. $$

आइसोट्रोपिक किरचॉफ-लव प्लेट्स
एक आइसोटोपिक और सजातीय प्लेट के लिए, तनाव-खिंचाव संबंध हैं

\begin{bmatrix}\sigma_{11} \\ \sigma_{22} \\ \sigma_{12} \end{bmatrix} = \cfrac{E}{1-\nu^2} \begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix} \begin{bmatrix}\varepsilon_{11} \\ \varepsilon_{22} \\ \varepsilon_{12} \end{bmatrix} \,. $$ जहाँ $$\varepsilon_{\alpha\beta}$$ सतह में तनाव हैं और $$\nu$$ सामग्री का पिज़ोन अनुपात है। तनाव-विस्थापन संबंध हैं

किरचॉफ-लव प्लेट्स के लिए है

\varepsilon_{\alpha\beta} = \frac{1}{2}(u_{\alpha,\beta}+u_{\beta,\alpha}) - x_3\,w_{,\alpha\beta} \,. $$ इसलिए, इन तनावों के अनुरूप परिणामी क्षण हैं

\begin{bmatrix}M_{11} \\ M_{22} \\ M_{12} \end{bmatrix} = -\cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)}~\begin{bmatrix} 1 & \nu & 0 \\ \nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1-\nu \end{bmatrix} \begin{bmatrix} w_{,11} \\ w_{,22} \\ w_{,12} \end{bmatrix} $$ अगर हम सतह में विस्थापन को उपेक्षित करते हैं $$u_{\alpha\beta}$$, संचालक समीकरण कम हो जाते हैं

D\nabla^2\nabla^2 w = q(x,t) - 2\rho h\ddot{w} \, $$
 * जहाँ $$D$$ प्लेट की मोड़ने वाली कठोरता है। मोटाई की एक समान प्लेट के लिए $$2h$$,

D := \cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)} \,. $$ उपरोक्त समीकरण को वैकल्पिक संकेतन में भी लिखा जा सकता है:

\mu \Delta\Delta w - \hat{q} + \rho w_{tt}= 0\,. $$ ठोस यांत्रिकी में, प्लेट को अधिकांशत द्वि-आयामी प्रत्यास्थ संरचना के रूप में तैयार किया जाता है, जिसकी संभावित ऊर्जा इस बात पर निर्भर करती है कि यह एक प्लानर कॉन्फ़िगरेशन से कैसे मुड़ा हुआ है, बल्कि इसे कैसे फैलाया जाता है (जो कि ड्रमहेड जैसी झिल्ली के लिए स्थिति है) ). ऐसी स्थितियों में, एक कंपन प्लेट को एक वृत्ताकार ड्रम के कंपन के अनुरूप बनाया जा सकता है। हालाँकि, अपनी संतुलन स्थिति से एक प्लेट के ऊर्ध्वाधर विस्थापन w के लिए परिणामी आंशिक अंतर समीकरण चौथा क्रम है, जिसमें दूसरे क्रम के अतिरिक्त w के लाप्लासियन का वर्ग संम्मिलित है, और इसका गुणात्मक व्यवहार है मूल रूप से वृत्ताकार झिल्ली ड्रम से अलग है।

आइसोट्रोपिक प्लेटों का मुक्त कंपन
मुक्त कंपन के लिए, बाहरी बल q शून्य है, और एक आइसोटोपिक प्लेट के संचालन समीकरण को कम कर देता है

D\nabla^2\nabla^2 w = - 2\rho h\ddot{w} $$ या

\mu \Delta\Delta w + \rho w_{tt}= 0\,. $$ प्लेट की वक्रता पर विचार करके इस संबंध को वैकल्पिक विधि से प्राप्त किया जा सकता है। एक प्लेट की संभावित ऊर्जा घनत्व प्लेट के विकृत होने के विधि पर निर्भर करती है, और इसी तरह प्लेट की औसत वक्रता और गॉसियन वक्रता पर निर्भर करती है। छोटी विकृतियों के लिए, माध्य वक्रता w के संदर्भ में व्यक्त की जाती है, गतिज संतुलन से प्लेट का ऊर्ध्वाधर विस्थापन, Δw के रूप में, w का लाप्लासियन, और गॉसियन वक्रता मोंज-एम्पीयर ऑपरेटर wxxwyy−w$2 xy$ है। अतः प्लेट Ω की कुल स्थितिज ऊर्जा का रूप होता है
 * $$U = \int_\Omega [(\Delta w)^2 +(1-\mu)(w_{xx}w_{yy}-w_{xy}^2)]\,dx\,dy$$

एक समग्र अनावश्यक सामान्यीकरण स्थिरांक के अतिरिक्त। यहाँ μ सामग्री के गुणों के आधार पर एक स्थिरांक है।

गतिज ऊर्जा प्रपत्र के एक अभिन्न द्वारा दी गई है
 * $$T = \frac{\rho}{2}\int_\Omega w_t^2\, dx\, dy.$$

हैमिल्टन के सिद्धांत का प्रमाण है कि w कुल ऊर्जा T+U की विविधताओं के कलन के संबंध में एक स्थिर बिंदु है। परिणामी आंशिक अंतर समीकरण है
 * $$\rho w_{tt} + \mu \Delta\Delta w = 0.\,$$

वृत्तीय प्लेटें
स्वतंत्र रूप से कंपन करने वाली वृत्ताकार प्लेटों के लिए, $$ w = w(r,t)$$, और बेलनाकार निर्देशांक में लाप्लासियन का रूप है

\nabla^2 w \equiv \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r \frac{\partial w}{\partial r}\right) \,. $$ इसलिए, मोटाई की एक वृत्ताकार प्लेट के मुक्त कंपन के लिए संचालन समीकरण $$2h$$ है

\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left[r \frac{\partial }{\partial r}\left\{\frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r \frac{\partial w}{\partial r}\right)\right\}\right] = -\frac{2\rho h}{D}\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}\,. $$ विस्तारित,

\frac{\partial^4 w}{\partial r^4} + \frac{2}{r} \frac{\partial^3 w}{\partial r^3} - \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 w}{\partial r^2} + \frac{1}{r^3} \frac{\partial w}{\partial r} = -\frac{2\rho h}{D}\frac{\partial^2 w}{\partial t^2}\,. $$ इस समीकरण को हल करने के लिए हम चरों के पृथक्करण के विचार का उपयोग करते हैं और रूप का हल मान लेते हैं

w(r,t) = W(r)F(t) \,. $$ इस ग्रहण किए गए समाधान को संचालन समीकरण में प्लग करना हमें देता है

\frac{1}{\beta W}\left[\frac{d^4 W}{dr^4} + \frac{2}{r}\frac{d^3 W}{dr^3} - \frac{1}{r^2}\frac{d^2W}{dr^2} + \frac{1}{r^3} \frac{d W}{dr}\right] = -\frac{1}{F}\cfrac{d^2 F}{d t^2} = \omega^2 $$ जहाँ $$\omega^2$$ एक स्थिर और है $$\beta := 2\rho h/D$$. दाहिने पक्ष के समीकरण का हल है

F(t) = \text{Re}[ A e^{i\omega t} + B e^{-i\omega t}] \,. $$ बाएँ पक्ष के समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

\frac{d^4 W}{dr^4} + \frac{2}{r}\frac{d^3 W}{dr^3} - \frac{1}{r^2}\frac{d^2W}{dr^2} + \frac{1}{r^3} \cfrac{d W}{d r} = \lambda^4 W $$ जहाँ $$\lambda^4 := \beta\omega^2$$. इस ईगेनवैल्यू समस्या का सामान्य समाधान है

प्लेटों के लिए उपयुक्त रूप है

W(r) = C_1 J_0(\lambda r) + C_2 I_0(\lambda r) $$ जहाँ $$J_0$$ पहली तरह का ऑर्डर 0 बेसेल फ़ंक्शन है और $$I_0$$ पहली तरह का ऑर्डर 0 संशोधित बेसेल फ़ंक्शन है। स्थिरांक $$C_1$$ और $$C_2$$ सीमा शर्तों से निर्धारित होते हैं। त्रिज्या की प्लेट के लिए $$a$$ एक दबी हुई परिधि के साथ, सीमा की स्थितियाँ हैं

W(r) = 0 \quad \text{and} \quad \cfrac{d W}{d r} = 0 \quad \text{at} \quad r = a \,. $$ इन सीमा स्थितियों से हम पाते हैं कि

J_0(\lambda a)I_1(\lambda a) + I_0(\lambda a)J_1(\lambda a) = 0 \,. $$ हम इस समीकरण को हल कर सकते हैं $$\lambda_n$$ (और वहाँ जड़ों की एक अनंत संख्या है) और उसमें से मॉडल फ़्रीक्वेंसी का पता लगाएं $$\omega_n = \lambda_n^2/\sqrt{\beta}$$. विस्थापन को हम रूप में भी व्यक्त कर सकते हैं

w(r,t) = \sum_{n=1}^\infty C_n\left[J_0(\lambda_n r) - \frac{J_0(\lambda_n a)}{I_0(\lambda_n a)}I_0(\lambda_n r)\right] [A_n e^{i\omega_n t} + B_n e^{-i\omega_n t}] \,. $$ किसी दी गई आवृत्ति के लिए $$\omega_n$$ उपरोक्त समीकरण में योग के अंदर पहला पद मोड आकार देता है। हम मान ज्ञात कर सकते हैं

का $$C_n$$ पर उपयुक्त सीमा स्थिति का उपयोग करना $$r = 0$$ और गुणांक $$A_n$$ और $$B_n$$ फूरियर घटकों की ओर्थोगोनैलिटी का लाभ उठाकर प्रारंभिक स्थितियों से।

आयताकार प्लेटें
एक आयताकार प्लेट पर विचार करें जिसका आयाम है $$a\times b$$ में $$(x_1,x_2)$$-सतह और मोटाई $$2h$$ में $$x_3$$-दिशा। हम प्लेट के मुक्त कंपन मोड को खोजने का प्रयास करते हैं।

आकार के विस्थापन क्षेत्र को मान लें

w(x_1,x_2,t) = W(x_1,x_2) F(t) \,. $$ तब,

\nabla^2\nabla^2 w = w_{,1111} + 2w_{,1212} + w_{,2222} = \left[\frac{\partial^4 W}{\partial x_1^4} + 2\frac{\partial^4 W}{\partial x_1^2 \partial x_2^2} + \frac{\partial^4W}{\partial x_2^4}\right] F(t) $$ और

\ddot{w} = W(x_1,x_2)\frac{d^2F}{dt^2} \,. $$ इन्हें संचालन समीकरण में प्लग करना देता है

\frac{D}{2\rho h W}\left[\frac{\partial^4 W}{\partial x_1^4} + 2\frac{\partial^4 W}{\partial x_1^2 \partial x_2^2} + \frac{\partial^4W}{\partial x_2^4}\right] = -\frac{1}{F}\frac{d^2F}{dt^2} = \omega^2 $$ जहाँ $$\omega^2$$ एक नियतांक है क्योंकि बायाँ पक्ष स्वतंत्र है $$t$$ जबकि दांया पक्ष से स्वतंत्र है $$x_1,x_2$$. दायें पक्ष की ओर से, हमारे पास है

F(t) = A e^{i\omega t} + B e^{-i\omega t} \,. $$ बाएं पक्ष की ओर से,

\frac{\partial^4 W}{\partial x_1^4} + 2\frac{\partial^4 W}{\partial x_1^2 \partial x_2^2} + \frac{\partial^4W}{\partial x_2^4} = \frac{2\rho h \omega^2}{D} W =: \lambda^4 W $$ जहाँ

\lambda^2 = \omega\sqrt{\frac{2\rho h}{D}} \,. $$ चूंकि उपरोक्त समीकरण एक बिहार्मोनिक ईगेनवैल्यू समस्या है, इसलिए हम फूरियर विस्तार की तलाश करते हैं

आकार के समाधान

W_{mn}(x_1,x_2) = \sin\frac{m\pi x_1}{a}\sin\frac{n\pi x_2}{b} \,. $$ हम जांच कर सकते हैं और देख सकते हैं कि यह समाधान केवल समर्थित किनारों के साथ एक स्वतंत्र रूप से कंपन आयताकार प्लेट के लिए सीमा शर्तों को पूरा करता है:

\begin{align} w(x_1,x_2,t) = 0 & \quad \text{at}\quad x_1 = 0, a \quad \text{and} \quad x_2 = 0, b \\ M_{11} = D\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2} + \nu\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2}\right) = 0 & \quad \text{at}\quad x_1 = 0, a \\ M_{22} = D\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x_2^2} + \nu\frac{\partial^2 w}{\partial x_1^2}\right) = 0 & \quad \text{at}\quad x_2 = 0, b \,. \end{align} $$ समाधान को बिहार्मोनिक समीकरण में प्लग करने से हमें मिलता है

\lambda^2 = \pi^2\left(\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2}\right) \,. $$ के लिए पिछली अभिव्यक्ति के साथ तुलना $$\lambda^2$$ दर्शाता है है कि हमारे पास अनंत संख्या में समाधान हो सकते हैं

\omega_{mn} = \left(\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2}\right)\sqrt{\frac{D\pi^4}{2\rho h}} \,. $$ इसलिए प्लेट समीकरण का सामान्य हल है

w(x_1,x_2,t) = \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \sin\frac{m\pi x_1}{a}\sin\frac{n\pi x_2}{b} \left( A_{mn} e^{i\omega_{mn} t} + B_{mn} e^{-i\omega_{mn} t}\right) \,. $$ के मान ज्ञात करना $$A_{mn}$$ और $$B_{mn}$$ हम प्रारंभिक स्थितियों और फूरियर घटकों की रूढ़िवादिता का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि

w(x_1,x_2,0) = \varphi(x_1,x_2) \quad \text{on} \quad x_1 \in [0,a] \quad \text{and} \quad \frac{\partial w}{\partial t}(x_1,x_2,0) = \psi(x_1,x_2)\quad \text{on} \quad x_2 \in [0,b] $$ हम पाते हैं,

\begin{align} A_{mn} & = \frac{4}{ab}\int_0^a \int_0^b \varphi(x_1,x_2) \sin\frac{m\pi x_1}{a}\sin\frac{n\pi x_2}{b} dx_1 dx_2 \\ B_{mn} & = \frac{4}{ab\omega_{mn}}\int_0^a \int_0^b \psi(x_1,x_2) \sin\frac{m\pi x_1}{a}\sin\frac{n\pi x_2}{b} dx_1 dx_2\,. \end{align} $$

यह भी देखें

 * झुकना
 * प्लेटों का मुड़ना
 * अर्न्स्ट श्लाडनी#च्लादनी आंकड़े
 * इनफिनिटिमल स्ट्रेन थ्योरी
 * किरचॉफ-लव प्लेट थ्योरी
 * रैखिक लोच
 * माइंडलिन-रीस्नर प्लेट सिद्धांत
 * प्लेट सिद्धांत
 * तनाव (यांत्रिकी)
 * तनाव के परिणाम
 * संरचनात्मक ध्वनिकी

श्रेणी:सातत्य यांत्रिकी

श्रेणी:यांत्रिक कंपन