क्लेन चार-समूह

गणित में, क्लेन समूह चार तत्वों वाला एक समूह (गणित) के रूप में होता है, जिसमें प्रत्येक तत्व स्व-प्रतिलोम होता है और इसे स्वयं के साथ मिलकर पहचान उत्पन्न होती है और जिसमें तीन गैर पहचान तत्वों में से किसी भी दो को बनाने से तीसरा उत्पन्न होता है। इसे एक गैर वर्ग आयत के समरूपता समूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है जिसमें तीन गैर पहचान वाले तत्व क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर प्रतिबिंब और 180 डिग्री घूर्णन के रूप में होते है और बिटवाइज़ एक्सक्लूसिव या दो बिट बाइनरी मानों पर संचालन के समूह के रूप में या अधिक सार बीजगणित के रूप में Z2 × Z2 के रूप में वर्णित किया जाता है।, ऑर्डर 2 के चक्रीय समूह सिद्धांत की दो प्रतियों के समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद होता है। इसे 1884 में फेलिक्स क्लेन द्वारा वीरग्रुप अर्थात् चार-समूह नाम दिया गया था। इसे क्लेन समूह भी कहा जाता है और इसे अधिकांशतः अक्षर V या K4 के रूप में दर्शाया जाता है।

क्लेन चार-समूह, चार तत्वों के साथ सबसे छोटा समूह होता है, जो चक्रीय समूह के रूप में नहीं है। क्रम चार का केवल एक अन्य समूह है, समूह समरूपता तक क्रम 4 का चक्रीय समूह दोनों एबेलियन समूह के रूप में होते है। सबसे छोटा गैर-अबेलियन समूह डिग्री 3 का सममित समूह है जिसका क्रम 6 है।

प्रस्तुति
क्लेन ग्रुप केली टेबल द्वारा दिया गया है, क्लेन चार-समूह को एक समूह की प्रस्तुति द्वारा भी परिभाषित किया गया है


 * $$\mathrm{V} = \left\langle a,b \mid a^2 = b^2 = (ab)^2 = e \right\rangle.$$

क्लेन समूह के सभी गैर-पहचान तत्व तत्वों का क्रम 2 होता है, इस प्रकार कोई भी दो गैर-पहचान तत्व उपरोक्त प्रस्तुति में जनरेटर के रूप में कार्य कर सकता है। क्लेन चार-समूह सबसे छोटा गैर-चक्रीय समूह के रूप में होता है। चूंकि यह एक एबेलियन समूह होता है और डायहेड्रल समूह का ऑर्डर कार्डिनैलिटी 4, अर्थात D4 के लिए आइसोमोर्फिक D2 के रूप में ज्यामितीय फलन का उपयोग करते है; क्रम 2 के समूह के अतिरिक्त यह एकमात्र डायहेड्रल समूह के रूप में है तथा जो एबेलियन कहलाते है।

क्लेन चार-समूह प्रत्यक्ष योग के लिए Z2 ⊕ Z2 समरूप रूप में होते है, जिससे कि इसे जोड़े के रूप में दर्शाया जा सके {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} घटक-वार जोड़ के अनुसार मॉड्यूलर अंकगणित या समकक्ष बिट सरणी {00, 01, 10, 11}बिटवाइज़ एक्सओआर के अनुसार; (0,0) समूह का पहचान तत्व होने के साथ होती है। क्लेन चार-समूह इस प्रकार प्राथमिक एबेलियन समूह का एक उदाहरण है | जिसे बूलियन समूह भी कहते हैं.इस प्रकार क्लैन चार समूह, दो तत्वों वाले समुच्चय के पावरसेट के सबसेट पर अर्थात चार तत्वों वाले समुच्चय के क्षेत्र पर दोनों तत्वों के समूह पर सममित अंतर के द्वारा उत्पन्न समूह के रूप में होते है। $$\{\emptyset, \{\alpha\}, \{\beta\}, \{\alpha, \beta\}\}$$; इस स्थिति में खाली समुच्चय समूह का पहचान तत्व है।

क्लेन चार-समूह का एक और संख्यात्मक निर्माण समुच्चय { 1, 3, 5, 7 }, है जिसकी ऑपरेशन गुणनफल मॉड्यूल 8 है। पूर्णांक मॉड्यूलो n का गुणक समूह यहाँ a 3, b 5 और c = ab के रूप में होता है 3 × 5 = 15 ≡ 7 (mod 8).।

क्लेन चार-समूह में 2 × 2 वास्तविक आव्यूह के रूप में एक प्रतिनिधित्व होता है जिसमें संचालन का एक आव्यूह गुणन होता है



e =\begin{pmatrix} 1 & 0\\     0 & 1    \end{pmatrix},\quad a = \begin{pmatrix} 1 & 0\\      0 & -1    \end{pmatrix},\quad b = \begin{pmatrix} -1 & 0\\      0 & 1    \end{pmatrix},\quad c = \begin{pmatrix} -1 & 0\\       0 & -1    \end{pmatrix} $$ रुबिक के क्यूब पर 4 बिंदुओं का पैटर्न तीन विधियों से बनाया जा सकता है, जो खाली छोड़े गए फेसेस की जोड़ी पर निर्भर करता है; पहचान या घर की स्थिति के साथ मिलकर ये तीन स्थितियाँ क्लेन समूह का एक उदाहरण बनाती हैं।

ज्यामिति
ज्यामितीय रूप से, दो आयामों में क्लेन चार-समूह समचतुर्भुज और आयतों का समरूपता समूह के रूप में है जो वर्गाकार (ज्यामिति) नहीं होती है, जिसमे चार तत्व पहचान, ऊर्ध्वाधर प्रतिबिंब, क्षैतिज प्रतिबिंब और 180 डिग्री घूर्णन होता है।

तीन आयामों में तीन भिन्न -भिन्न समरूपता समूह होते हैं, जो बीजगणितीय रूप से क्लेन चार-समूह V के रूप में है
 * तीन लंबवत 2-फोल्ड घूर्णन अक्षों वाला एक D2 है।
 * एक 2-फोल्ड घूर्णन अक्ष के साथ और परावर्तन का लम्बवत तल C2h = D1d होता है।
 * एक परावर्तन के तल में 2-गुना घूर्णन अक्ष के साथ और इसलिए परावर्तन के लम्बवत तल में C2v = D1h.होता है।

क्रमचय प्रतिनिधित्व
क्लेन चार-समूह में क्रमबद्ध रूप में दो के तीन तत्व विनिमेय होते हैं, V का ऑटोमोर्फिज़्म समूह इन तीन तत्वों के क्रमपरिवर्तन का समूह है।

क्लेन चार-समूह के अपने स्वयं के तत्वों के क्रमपरिवर्तन को अमूर्त रूप से चार बिंदुओं पर इसके क्रमचय प्रतिनिधित्व के रूप में सोचा जाता है
 * V = {, (1,2)(3,4), (1,3)(2,4), (1,4)(2,3)}

इस प्रतिनिधित्व में, V वैकल्पिक समूह A4 का एक सामान्य उपसमूह होता है और चार अक्षरों पर सममित समूह S4 है। वास्तव में यह S4 से S3 तक के कर्नेल बीजगणित समूह समरूपता का केंद्र है।

S4 के भीतर अन्य अभ्यावेदन हैं


 * {, (1,2), (3,4), (1,2)(3,4)}
 * {, (1,3), (2,4), (1,3)(2,4)}
 * {, (1,4), (2,3), (1,4)(2,3)}

वे S4 के सामान्य उपसमूह नहीं हैं

बीजगणित
गैलोज़ सिद्धांत के अनुसार, क्लेन चार-समूह और विशेष रूप से, इसका क्रमचय प्रतिनिधित्व का अस्तित्व लॉडोविको द्वारा स्थापित बीजगणितीय समूहों के रेडिकल के संदर्भ में क्वार्टिक समीकरणों की रुट की गणना के लिए सूत्र के अस्तित्व की व्याख्या करता है। लोदोविको फेरारी: का नक्शा S4 → S3 लैग्रेज रेज़सॉल्वैंट्स के संदर्भ में, पुनर्विलायक घन से मेल खाती है।

परिमित छल्लों के निर्माण में, चार तत्वों वाले ग्यारह छल्लों में से आठ में क्लेन चार-समूह उनके योगात्मक उपसंरचना के रूप में होता है।

यदि R× गैर-शून्य वास्तविक और R+ के गुणात्मक समूह को दर्शाता है, तो धनात्मक वास्तविक का गुणात्मक समूह, R× × R× वलय की इकाइयों का समूह R &times; R, और R+ &times; R+ का एक उपसमूह के रूप में होता है R&times; &times; R&times; वास्तव में यह पहचान घटक R&times; &times; R&times;.को दर्शाता है और भागफल समूह (R&times; &times; R&times;) / (R+ &times; R+) क्लेन चार-समूह के लिए आइसोमोर्फिक के रूप में होता है। इसी तरह से, विभाजित-जटिल संख्या स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर रिंग की इकाइयों का समूह, जब इसके पहचान घटक द्वारा विभाजित किया जाता है, तो क्लेन चार-समूह में परिणाम होता है।

ग्राफ सिद्धांत
क्लेन चार-समूह को अपने ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म के रूप में स्वीकार करने वाला सबसे सरलतम ग्राफ, हीरा ग्राफ नीचे दिखाया गया है। यह कुछ अन्य ग्राफ़ों का ऑटोमोर्फिज़्म समूह के रूप में होता है जो कम अस्तित्त्व के अर्थ में सरलतम रूप में हैं। इसमें चार शीर्ष तथा एक छोर वाला ग्राफ सम्मलित होता है, जो सरलतम रूप में रहता है लेकिन कनेक्टिविटी खो देता है तथा एक दूसरे के दो सिरों के साथ ग्राफ के दो कोने जुड़े होते हैं, लेकिन ये अपनी सरलता खो देते है।

संगीत
संगीत रचना में यह चार-समूह बारह-स्वर वाली तकनीक के क्रमपरिवर्तन का मूल समूह होता है, उदाहरण में केली तालिका लिखी जाती है।

यह भी देखें

 * चतुर्भुज समूह
 * छोटे समूहों की सूची

अग्रिम पठन

 * M. A. Armstrong (1988) Groups and Symmetry, Springer Verlag, [ page 53].
 * W. E. Barnes (1963) Introduction to Abstract Algebra, D.C. Heath & Co., page 20.