प्राकृतिक संख्या ऑब्जेक्ट

श्रेणी सिद्धांत में, एक प्राकृतिक संख्या वस्तु (एनएनओ) प्राकृतिक संख्याओं के समान रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान) गणितीय संरचना से संपन्न एक वस्तु है। टर्मिनल ऑब्जेक्ट 1 के साथ श्रेणी (गणित) E में अधिक शुद्ध रूप से, एक NNO N इस प्रकार दिया जाता है::


 * 1) एक व्यापक तत्व z : 1 → N, और
 * 2) एक तीर s : N → N,

ऐसा कि E के किसी भी ऑब्जेक्ट A के लिए, व्यापक तत्व q: 1 → A और तीर f: A → A, एक अद्वितीय तीर u: N → A उपस्थित है जैसे:

अन्य शब्दों में, निम्नलिखित चित्र में त्रिभुज और वर्ग परिवर्तित होते हैं।
 * 1) u ∘ z = q, और
 * 2) u ∘ s = f ∘ u.



युग्म (q, f) को कभी-कभी पुनरावर्ती परिभाषा के रूप में दिए गए यू के लिए पुनरावर्ती (रिकर्शन) डेटा कहा जाता है:


 * 1) ⊢ u (z) = q
 * 2) y ∈E N ⊢ u (s y) = f (u (y))

उपरोक्त परिभाषा NNO की सार्वभौमिक गुण है जिसका अर्थ है कि उन्हें कैनानिकल समाकारिकता तक परिभाषित किया गया है। यदि उपरोक्त परिभाषित तीर u का केवल अस्तित्व होना है अर्थात विशिष्टता की आवश्यकता नहीं है, तो N को अशक्त NNO कहा जाता है।

समतुल्य परिभाषाएँ
कार्टेशियन बंद श्रेणी (सीसीसी) या टोपोस में एनएनओ को कभी-कभी निम्नलिखित समकक्ष तरीके से परिभाषित किया जाता है (लॉवर के कारण): तीरों की प्रत्येक जोड़ी के लिए जी: ए → बी और एफ: बी → बी, एक अद्वितीय एच: एन × ए है → बी इस प्रकार है कि निम्नलिखित आरेख में वर्ग कम्यूट होते हैं।



यही निर्माण कार्टेशियन श्रेणियों में अशक्त NNO को परिभाषित करता है जो कार्टेशियन संवृत नहीं हैं।

टर्मिनल ऑब्जेक्ट 1 और बाइनरी कॉप्रोडक्ट्स (+ द्वारा चिह्नित) वाली श्रेणी में एक NNO को एंडोफन्क्टर के प्रारंभिक बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो ऑब्जेक्ट्स पर $X ↦ 1 + X$ और तीरों पर $f ↦ id_{1} + f$ द्वारा कार्य करता है।

गुण

 * प्रत्येक NNO फॉर्म के आरेख (श्रेणी सिद्धांत) की श्रेणी की प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है


 * यदि कार्टेशियन संवृत श्रेणी में अशक्त एनएनओ है तो इसके प्रत्येक भाग में भी अशक्त एनएनओ है।
 * एनएनओ का उपयोग विश्लेषण के अमानक मॉडल के समान प्रकार के सिद्धांत के अमानक मॉडल के लिए किया जा सकता है। ऐसी श्रेणियों (या टोपोई) में "अपरिमित रूप से अनेक" अमानक प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं।(सदैव की तरह अमानक एनएनओ प्राप्त करने के सरल तरीके हैं; उदाहरण के लिए यदि z = s z है तो उस स्थिति में श्रेणी या टोपोस E नगण्य है।)
 * पीटर फ्रायड ने प्रदर्शित किया कि z और s, NNO के लिए एक कॉप्रोडक्ट् आरेख का निर्माण करते हैं; इसके अतिरिक्त, !N : N → 1, s और 1N का एक सहतुल्यकारक है, अर्थात, N के व्यापक तत्वों के प्रत्येक युग्म s के माध्यम से जुड़ा हुए है; इसके अतिरिक्त तथ्यों के यह युग्म सभी NNO की विशेषता का वर्णन करती है।

उदाहरण

 * सेट में, सेट की श्रेणी, मानक प्राकृतिक संख्याएँ एक एनएनओ हैं। सेट में एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट एक सिंगलटन (गणित) है, और सिंगलटन में से एक फ़ंक्शन सेट के एक एकल तत्व (सेट सिद्धांत) को चुनता है। प्राकृतिक संख्याएँ 𝐍 एक NNO हैं जहाँ z एक सिंगलटन से 𝐍 तक एक फ़ंक्शन है जिसकी छवि (गणित) शून्य है, और s उत्तराधिकारी कार्य है। (हम वास्तव में अनुमति दे सकते हैं z 𝐍 के किसी भी तत्व को चुनने के लिए, और परिणामी एनएनओ इस के लिए समरूपी होगा।) कोई यह साबित कर सकता है कि परिभाषा में आरेख गणितीय प्रेरण का उपयोग करके बदलता है।
 * मार्टिन-लोफ प्रकार सिद्धांत के प्रकारों की श्रेणी में (वस्तुओं के रूप में प्रकार और तीरों के रूप में कार्यों के साथ), मानक प्राकृतिक संख्या प्रकार 'नैट' एक एनएनओ है। यह दिखाने के लिए कि उपयुक्त आरेख आवागमन करता है, कोई 'nat' के लिए पुनरावर्तक का उपयोग कर सकता है।
 * ये मान लीजिए $$ \mathcal{E} $$ टर्मिनल ऑब्जेक्ट के साथ ग्रोथेंडिक टोपोस है $$ \top $$ ओर वो $$ \mathcal{E} \simeq \mathbf{Shv}(\mathfrak{C},J) $$ कुछ ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के लिए $$ J $$ श्रेणी पर $$ \mathfrak{C} $$. तो अगर $$ \Gamma_{\mathbb{N}} $$ निरंतर प्रीशीफ चालू है $$ \mathfrak{C} $$, फिर एनएनओ में $$ \mathcal{E} $$ का शीफ़ीकरण है $$ \Gamma_{\mathbb{N}} $$ और फॉर्म लेने के लिए दिखाया जा सकता है $$ \mathbb{N}_{\mathcal{E}} \cong \left(\Gamma_{\mathbb{N}}\right)^{++} \cong \coprod_{n \in \mathbb{N}} \top. $$

यह भी देखें

 * पीनो के अंकगणित के सिद्धांत
 * श्रेणीकृत गणितीय तर्क

बाहरी संबंध

 * Lecture notes from Robert Harper which discuss NNOs in Section 2.2: https://www.cs.cmu.edu/~rwh/courses/hott/notes/notes_week3.pdf
 * A blog post by Clive Newstead on the n-Category Cafe: https://golem.ph.utexas.edu/category/2014/01/an_elementary_theory_of_the_ca.html
 * Notes on datatypes as algebras for endofunctors by computer scientist Philip Wadler: http://homepages.inf.ed.ac.uk/wadler/papers/free-rectypes/free-rectypes.txt
 * Notes on the nLab: https://ncatlab.org/nlab/show/ETCS