प्रतीकात्मक एकीकरण

गणना में, प्रतीकात्मक एकीकरण किसी दिए गए फ़ंक्शन (गणित) f(x) के प्रतिपक्षी, या अनिश्चित अभिन्न  के लिए एक सूत्र खोजने की समस्या है, अर्थात एक भिन्न कार्य को खोजने के लिए फ(x) ऐसा कि


 * $$\frac{dF}{dx} = f(x).$$

यह भी बताया गया है


 * $$F(x) = \int f(x) \, dx.$$

चर्चा
सांकेतिक शब्द का उपयोग इस समस्या को संख्यात्मक एकीकरण से अलग करने के लिए किया जाता है, जहां  एफ  के सामान्य सूत्र के बजाय किसी विशेष इनपुट या इनपुट के सेट पर  एफ  का मान मांगा जाता है।

डिजिटल कंप्यूटर के समय से बहुत पहले दोनों समस्याओं को व्यावहारिक और सैद्धांतिक महत्व के रूप में रखा गया था, लेकिन अब उन्हें आम तौर पर कंप्यूटर विज्ञान का डोमेन माना जाता है, क्योंकि वर्तमान में व्यक्तिगत उदाहरणों से निपटने के लिए कंप्यूटर का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है।

व्यंजक का व्युत्पन्न ढूँढना एक सीधी प्रक्रिया है जिसके लिए कलन विधि  बनाना आसान है। अभिन्न खोजने का उल्टा प्रश्न कहीं अधिक कठिन है। कई व्यंजक जो अपेक्षाकृत सरल होते हैं उनमें ऐसे समाकलन नहीं होते जिन्हें बंद रूप व्यंजक में व्यक्त किया जा सके। अधिक विवरण के लिए एंटीडेरिवेटिव और गैरप्राथमिक इंटीग्रल देखें।

रिस्क [[लोगारित्म]] नामक एक प्रक्रिया मौजूद है जो यह निर्धारित करने में सक्षम है कि क्या प्राथमिक फ़ंक्शन का अभिन्न अंग (चार अंकगणित का उपयोग करके फ़ंक्शन संरचना और संयोजनों के माध्यम से घातीय कार्यों, लघुगणक, गुणांक और nth जड़ों की एक परिमित संख्या से निर्मित फ़ंक्शन) प्राथमिक है और अगर है तो उसे वापस कर दें। अपने मूल रूप में, Risch एल्गोरिथम प्रत्यक्ष कार्यान्वयन के लिए उपयुक्त नहीं था, और इसके पूर्ण कार्यान्वयन में लंबा समय लगा। यह विशुद्ध रूप से पारलौकिक कार्यों के मामले में पहली बार रिड्यूस (कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली) में लागू किया गया था; विशुद्ध रूप से बीजगणितीय कार्यों के मामले को हल किया गया था और जेम्स एच। डेवनपोर्ट द्वारा रिड्यूस में लागू किया गया था; सामान्य मामला मैनुअल ब्रोंस्टीन द्वारा हल किया गया था, जिन्होंने लगभग सभी को स्वयंसिद्ध (कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली) में लागू किया था, हालांकि आज तक Risch एल्गोरिथ्म का कोई कार्यान्वयन नहीं है जो इसमें सभी विशेष मामलों और शाखाओं से निपट सकता है। हालांकि, Risch एल्गोरिथम केवल अनिश्चित इंटीग्रल पर लागू होता है, जबकि भौतिकविदों, सैद्धांतिक रसायनज्ञों और इंजीनियरों के लिए रुचि के अधिकांश इंटीग्रल निश्चित इंटीग्रल होते हैं जो अक्सर लाप्लास रूपांतरण, फूरियर रूपांतरण और मध्य परिवर्तन  से संबंधित होते हैं। एक सामान्य एल्गोरिथ्म की कमी, कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों के डेवलपर्स ने पैटर्न-मिलान और विशेष कार्यों के शोषण, विशेष रूप से अपूर्ण गामा फ़ंक्शन के आधार पर हेयुरिस्टिक (कंप्यूटर विज्ञान) को लागू किया है। यद्यपि यह दृष्टिकोण एल्गोरिथम के बजाय अनुमानी है, फिर भी व्यावहारिक इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों द्वारा सामना किए जाने वाले कई निश्चित इंटीग्रल को हल करने के लिए यह एक प्रभावी तरीका है। Macsyma जैसी पिछली प्रणालियों में एक लुक-अप तालिका के भीतर विशेष कार्यों से संबंधित कुछ निश्चित समाकलन थे। हालाँकि यह विशेष विधि, इसके मापदंडों, चर परिवर्तन, पैटर्न मिलान और अन्य जोड़-तोड़ के संबंध में विशेष कार्यों के भेदभाव को शामिल करते हुए, मेपल (सॉफ्टवेयर) के डेवलपर्स द्वारा अग्रणी थी। सिस्टम और फिर बाद में  मेथेमेटिका, एक्सिओम (कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली), एमयूपीएडी और अन्य प्रणालियों द्वारा अनुकरण किया गया।

हालिया अग्रिम
प्रतीकात्मक एकीकरण के शास्त्रीय दृष्टिकोण में मुख्य समस्या यह है कि, यदि किसी फ़ंक्शन को बंद-रूप अभिव्यक्ति में दर्शाया गया है, तो, सामान्य तौर पर, इसके प्रतिपक्षी का समान प्रतिनिधित्व नहीं होता है। दूसरे शब्दों में, कार्यों का वर्ग जिसे बंद रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, प्रतिपक्षी के तहत बंद (गणित) नहीं है।

होलोनोमिक फ़ंक्शंस फ़ंक्शंस का एक बड़ा वर्ग है, जो एंटीडिरिवेशन के तहत बंद है और इंटीग्रेशन के कंप्यूटर और कैलकुलस के कई अन्य ऑपरेशनों में एल्गोरिथम कार्यान्वयन की अनुमति देता है।

अधिक सटीक रूप से, एक होलोनोमिक फ़ंक्शन बहुपद गुणांक वाले एक सजातीय रैखिक अंतर समीकरण का समाधान है। होलोनोमिक फ़ंक्शंस जोड़ और गुणा, व्युत्पत्ति और प्रतिपक्षी के तहत बंद हैं। उनमें बीजगणितीय कार्य, घातीय कार्य, लघुगणक, उन लोगों के,  कोज्या , व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य, व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कार्य शामिल हैं। इनमें हवादार समारोह,  त्रुटि समारोह , बेसेल समारोह और सभी हाइपरज्यामितीय फंक्शन जैसे सबसे सामान्य विशेष फंक्शन भी शामिल हैं।

होलोनोमिक कार्यों की एक मौलिक संपत्ति यह है कि उनकी टेलर श्रृंखला के गुणांक किसी भी बिंदु पर बहुपद गुणांक के साथ एक रैखिक पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करते हैं, और इस पुनरावृत्ति संबंध की गणना फ़ंक्शन को परिभाषित करने वाले अवकल समीकरण से की जा सकती है। इसके विपरीत एक शक्ति श्रृंखला के गुणांकों के बीच इस तरह के एक पुनरावृत्ति संबंध को देखते हुए, यह शक्ति श्रृंखला एक होलोनोमिक फ़ंक्शन को परिभाषित करती है जिसका अंतर समीकरण एल्गोरिथम से गणना किया जा सकता है। यह पुनरावृत्ति संबंध टेलर श्रृंखला की तेजी से गणना की अनुमति देता है, और इस प्रकार किसी भी बिंदु पर फ़ंक्शन के मूल्य को मनमाने ढंग से छोटी प्रमाणित त्रुटि के साथ।

यह एल्गोरिथम को कैलकुलस के अधिकांश संचालन बनाता है, जब होलोनोमिक कार्यों तक सीमित होता है, जो उनके अंतर समीकरण और प्रारंभिक स्थितियों द्वारा दर्शाया जाता है। इसमें एंटीडेरिवेटिव और निश्चित इंटीग्रल की गणना शामिल है (यह एकीकरण के अंतराल के अंत बिंदु पर एंटीडेरिवेटिव का मूल्यांकन करने के बराबर है)। इसमें अनंत पर फ़ंक्शन के स्पर्शोन्मुख व्यवहार की गणना भी शामिल है, और इस प्रकार असीमित अंतराल पर निश्चित अभिन्न।

ये सभी ऑपरेशन मेपल (सॉफ्टवेयर) के लिए एल्गोलिब लाइब्रेरी में लागू किए गए हैं। गणितीय कार्यों का गतिशील शब्दकोश भी देखें।

उदाहरण
उदाहरण के लिए:


 * $$\int x^2\,dx = \frac{x^3}{3} + C$$

एक अनिश्चितकालीन अभिन्न के लिए एक प्रतीकात्मक परिणाम है (यहाँ C एकीकरण का एक स्थिरांक है),


 * $$\int_{-1}^1 x^2\,dx = \left[\frac{x^3}{3}\right]_{-1}^1= \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3}=\frac{2}{3}$$

एक निश्चित अभिन्न के लिए एक प्रतीकात्मक परिणाम है, और


 * $$\int_{-1}^1 x^2\,dx \approx 0.6667$$

समान निश्चित समाकल के लिए एक संख्यात्मक परिणाम है।

बाहरी संबंध

 * Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica
 * Wolfram Integrator — Free online symbolic integration with Mathematica