गोलीय निर्देशांक पद्धति



गणित में, एक गोलाकार समन्वय प्रणाली त्रि-आयामी अंतरिक्ष के लिए एक समन्वय प्रणाली होती है जहां एक बिंदु की स्थिति तीन संख्याओं द्वारा निर्दिष्ट होती है: एक निश्चित मूल से उस बिंदु की रेडियल दूरी, एक निश्चित चरम दिशा से मापा गया उसका ध्रुवीय कोण, और एक संदर्भ तल पर इसके ओर्थोगोनल प्रक्षेपण का अज़ीमुथल कोण जो मूल से होकर गुजरता है और उस तल पर एक निश्चित संदर्भ दिशा से मापा जाता है, जो चरम पर ओर्थोगोनल है। इसे ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली के त्रिविमीय संस्करण के रूप में देखा जा सकता है।

रेडियल दूरी को रेडियस या रेडियल कोऑर्डिनेट भी कहा जाता है। ध्रुवीय कोण को कोलैटिट्यूड, जेनिथ कोण, सामान्य कोण या झुकाव कोण कहा जा सकता है।

जब त्रिज्या स्थिर होती है, तो दो कोणीय निर्देशांक गोले पर एक समन्वय प्रणाली बनाते हैं जिसे कभी-कभी गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक कहा जाता है।

प्रतीकों का उपयोग और निर्देशांकों का क्रम स्रोतों और विषयों के बीच भिन्न है। यह लेख आईएसओ कन्वेंशन का उपयोग करेगा जो अक्सर भौतिकी में सामने आता है: $$(r,\theta,\varphi)$$ रेडियल दूरी, ध्रुवीय कोण और अज़ीमुथल कोण देता है। इसके विपरीत, कई गणित की किताबों में, $$(\rho,\theta,\varphi)$$ या $$(r,\theta,\varphi)$$ रेडियल दूरी, अज़ीमुथल कोण और ध्रुवीय कोण देता है, θ और φ के अर्थों को बदलते हुए। अन्य परंपराओं का भी उपयोग किया जाता है, जैसे z-अक्ष से त्रिज्या के लिए r, इसलिए प्रतीकों के अर्थ की जांच करने के लिए बहुत सावधानी बरतने की आवश्यकता है।

भौगोलिक समन्वय प्रणालियों के सम्मेलनों के अनुसार, स्थिति अक्षांश, देशांतर और ऊंचाई (ऊंचाई) द्वारा मापी जाती है। विभिन्न मौलिक विमानों पर आधारित और विभिन्न निर्देशांकों के लिए अलग-अलग शर्तों के साथ कई खगोलीय समन्वय प्रणालियां हैं। गणित में उपयोग की जाने वाली गोलाकार समन्वय प्रणाली सामान्य रूप से डिग्री के बजाय रेडियन का उपयोग करती है और क्षैतिज समन्वय प्रणाली की तरह उत्तर (0°) से पूर्व (+90°) तक दक्षिणावर्त के बजाय x-अक्ष से y-अक्ष तक दिगंशीय कोण वामावर्त मापती है। ध्रुवीय कोण को अक्सर संदर्भ तल से धनात्मक Z अक्ष की ओर मापे गए उन्नयन कोण से बदल दिया जाता है, ताकि शून्य का उन्नयन कोण क्षितिज पर हो; अवनति कोण, उन्नयन कोण का ऋणात्मक होता है।

गोलीय निर्देशांक प्रणाली द्वि-आयामी ध्रुवीय निर्देशांक प्रणाली का सामान्यीकरण करती है। इसे उच्च-आयामी स्थानों तक भी बढ़ाया जा सकता है और फिर इसे हाइपरस्फेरिकल कोऑर्डिनेट सिस्टम के रूप में जाना जाता है।

परिभाषा
गोलाकार समन्वय प्रणाली को परिभाषित करने के लिए, किसी को दो ओर्थोगोनल दिशाओं, चरम और अज़ीमुथ संदर्भ, और अंतरिक्ष में एक मूल बिंदु चुनना होगा। ये विकल्प एक संदर्भ विमान का निर्धारण करते हैं जिसमें मूल होता है और शीर्षस्थ के लिए लंबवत होता है। बिंदु $r$ के गोलीय निर्देशांक इस प्रकार परिभाषित किए जाते हैं:


 * रेडियस या रेडियल दूरी मूल बिंदु से यूक्लिडियन दूरी  है $θ$ प्रति $φ$.
 * दिगंश (या दिगंश कोण) दिगंश संदर्भ दिशा से रेखा खंड के ओर्थोगोनल प्रक्षेपण के लिए मापा गया हस्ताक्षरित कोण है $ρ$ संदर्भ विमान पर।
 * झुकाव (या ध्रुवीय कोण) चरम दिशा और रेखा खंड के बीच का कोण है $r$.

अज़ीमुथ का चिन्ह यह चुनकर निर्धारित किया जाता है कि आंचल के चारों ओर मुड़ने का सकारात्मक भाव क्या है। यह विकल्प मनमाना है, और समन्वय प्रणाली की परिभाषा का हिस्सा है।

ऊंचाई कोण 90 डिग्री है ($r$ रेडियंस) झुकाव कोण घटाएं।

यदि झुकाव शून्य या 180 डिग्री ($\pi$ रेडियन) है, तो अज़ीमुथ मनमाना है। यदि त्रिज्या शून्य है, तो अज़ीमुथ और झुकाव दोनों मनमाना हैं।

रैखिक बीजगणित में, मूल $θ$ से बिंदु $φ$ तक के वेक्टर को अक्सर P का स्थिति वेक्टर कहा जाता है।

कन्वेंशन
तीन निर्देशांकों का प्रतिनिधित्व करने के लिए, और जिस क्रम में उन्हें लिखा जाना चाहिए, उसके लिए कई अलग-अलग परंपराएं मौजूद हैं। रेडियल दूरी, झुकाव (या ऊंचाई), और दिगंश, क्रमशः, को निरूपित करने के लिए $$(r,\theta,\varphi)$$ का उपयोग, भौतिकी में सामान्य अभ्यास है, और आईएसओ मानक 80000-2: 2019 और इससे पहले आईएसओ 31-11 (1992) में निर्दिष्ट है।

हालांकि, कुछ लेखक (गणितज्ञों सहित) रेडियल दूरी के लिए ρ का उपयोग करते हैं, झुकाव (या ऊंचाई) के लिए φ और दिगंश के लिए θ, और जेड-अक्ष से त्रिज्या के लिए r, जो "सामान्य ध्रुवीय निर्देशांक संकेतन का तार्किक विस्तार प्रदान करता है"। कुछ लेखक झुकाव (या ऊंचाई) से पहले अज़ीमुथ को भी सूचीबद्ध कर सकते हैं। इन विकल्पों के कुछ संयोजनों के परिणामस्वरूप एक बाएं हाथ की समन्वय प्रणाली होती है। मानक सम्मेलन $$(r,\theta,\varphi)$$ द्वि-आयामी ध्रुवीय निर्देशांक और त्रि-आयामी बेलनाकार निर्देशांक के लिए सामान्य संकेतन के साथ संघर्ष करता है, जहां अक्सर दिगंश के लिए $θ$ का उपयोग किया जाता है।

कोणों को आमतौर पर डिग्री (डिग्री) या रेडियन (रेडियन) में मापा जाता है, जहां 360° = 2π रेड। डिग्री भूगोल, खगोल विज्ञान और इंजीनियरिंग में सबसे आम हैं, जबकि रेडियन आमतौर पर गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में उपयोग किए जाते हैं। रेडियल दूरी की इकाई आमतौर पर संदर्भ से निर्धारित होती है।

जब प्रणाली का उपयोग भौतिक तीन-स्थान के लिए किया जाता है, तो यह एज़िमथ कोणों के लिए सकारात्मक चिह्न का उपयोग करने के लिए प्रथागत है, जो संदर्भ विमान पर संदर्भ दिशा से विपरीत दिशा में मापा जाता है, जैसा कि विमान के चरम पक्ष से देखा जाता है। इस सम्मेलन का उपयोग विशेष रूप से भौगोलिक निर्देशांक के लिए किया जाता है, जहां "जेनिथ" दिशा उत्तर है और सकारात्मक दिगंश (देशांतर) कोण कुछ प्रमुख मध्याह्न रेखा से पूर्व की ओर मापा जाता है।


 * {| class="wikitable" style="text-align:center"

! निर्देशांक !! संबंधित स्थानीय भौगोलिक दिशाएँ (Z, X, Y) ! दायां/बायां हाथ
 * + प्रमुख संधियाँ
 * $(r, θ, φ)$ || $(r, θ, φ)$ || दायां
 * $(r, θ_{inc}, φ_{az,right})$|| $(U, S, E)$ || दायां
 * $(r, φ_{az,right}, θ_{el})$|| $(U, E, N)$ || बायां
 * }
 * नोट: ईस्टिंग ($φ$), नॉर्थिंग ($ρ$), ऊपर की ओर ($r$). स्थानीय दिगंश कोण मापा जाएगा, उदाहरण के लिए, वामावर्त  से $r$ प्रति $P$ के मामले में $(r, θ_{el}, φ_{az,right})$.
 * $(U, N, E)$|| $(U, S, E)$ || बायां
 * }
 * नोट: ईस्टिंग ($r$), नॉर्थिंग ($θ$), ऊपर की ओर ($φ$). स्थानीय दिगंश कोण मापा जाएगा, उदाहरण के लिए, वामावर्त  से $P$ प्रति $O$ के मामले में $r ≥ 0,$.

अद्वितीय निर्देशांक
कोई भी गोलीय निर्देशांक त्रिक $$(r,\theta,\varphi)$$ त्रि-आयामी स्थान के एक बिंदु को निर्दिष्ट करता है। दूसरी ओर, प्रत्येक बिंदु के अपरिमित रूप से अनेक समान गोलाकार निर्देशांक होते हैं। कोणों को बदले बिना, और इसलिए बिंदु को बदले बिना, किसी भी संख्या में पूर्ण घुमावों को या तो कोणीय माप में जोड़ या घटा सकते हैं। कई संदर्भों में, ऋणात्मक रेडियल दूरी की अनुमति देना भी सुविधाजनक है, इस परिपाटी के साथ कि $$(-r,-\theta,\varphi{+}180^\circ)$$ किसी भी $P$, $OP$, तथा $OP$ के लिए $$(r,\theta,\varphi)$$ के बराबर है। साथ ही, $$(r,-\theta,\varphi)$$ $$(r,\theta,\varphi{+}180^\circ)$$के बराबर है।

यदि प्रत्येक बिंदु के लिए गोलाकार निर्देशांक के एक अद्वितीय सेट को परिभाषित करना आवश्यक है, तो उनकी सीमाओं को प्रतिबंधित करना होगा। एक सामान्य विकल्प है



हालांकि, दिगंश $\pi⁄2$ अक्सर [0, 360°) के बजाय रेडियन में अंतराल (−180°, +180°], या (−π, +π] तक ही सीमित है। यह भौगोलिक देशांतर के लिए मानक सम्मेलन है।

$O$ के लिए, झुकाव के लिए सीमा [0°, 180°] ऊंचाई के लिए [−90°, +90°] के समतुल्य है। भूगोल में अक्षांश ऊँचाई है।

इन प्रतिबंधों के साथ भी, यदि $P$ 0° या 180° है (ऊँचाई 90° या -90° है) तो अज़ीमुथ कोण मनमाना है; और यदि $θ$ शून्य है, दिगंश और झुकाव/ऊंचाई दोनों मनमानी हैं। निर्देशांकों को अद्वितीय बनाने के लिए, कोई भी सम्मेलन का उपयोग कर सकता है कि इन मामलों में मनमाने निर्देशांक शून्य हैं।

प्लॉटिंग
अपने गोलाकार निर्देशांक $0° ≤ θ ≤ 180° (\pi rad),$ से एक बिंदु को प्लॉट करने के लिए, जहां $E$ झुकाव है, चरम दिशा में मूल से $N$ इकाइयों को ले जाएं, दिगंश संदर्भ दिशा की ओर मूल के बारे में $U$ से घुमाएँ, और उचित दिशा में चरम बिंदु के बारे में $S$ से घुमाएँ।

अनुप्रयोग
जिस प्रकार द्वि-आयामी कार्तीय निर्देशांक प्रणाली तल पर उपयोगी होती है, उसी प्रकार एक द्वि-आयामी गोलाकार निर्देशांक प्रणाली एक गोले की सतह पर उपयोगी होती है। इस प्रणाली में, गोले को एक इकाई क्षेत्र के रूप में लिया जाता है, इसलिए त्रिज्या एकता है और आम तौर पर इसकी उपेक्षा की जा सकती है। रोटेशन मैट्रिक्स जैसी वस्तुओं के साथ व्यवहार करते समय यह सरलीकरण भी बहुत उपयोगी हो सकता है।

गोलाकार निर्देशांक उन प्रणालियों का विश्लेषण करने में उपयोगी होते हैं जिनमें एक बिंदु के बारे में कुछ हद तक समरूपता होती है, जैसे कि एक गोले के अंदर वॉल्यूम इंटीग्रल, एक केंद्रित द्रव्यमान या चार्ज के आसपास संभावित ऊर्जा क्षेत्र, या ग्रह के वातावरण में वैश्विक मौसम सिमुलेशन। एक गोले का कार्तीय समीकरण $0° ≤ φ < 360° (2\pi rad).$ गोलाकार निर्देशांक में सरल समीकरण $(r, θ, φ)$ है।

कई भौतिक समस्याओं में उत्पन्न होने वाले दो महत्वपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण, लाप्लास का समीकरण और हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण, गोलीय निर्देशांक में चरों को अलग करने की अनुमति देते हैं। इस तरह के समीकरणों के समाधान के कोणीय भाग गोलाकार हार्मोनिक्स का रूप लेते हैं।

एक अन्य अनुप्रयोग एर्गोनोमिक डिज़ाइन है, जहाँ $E$ एक स्थिर व्यक्ति की बांह की लंबाई है और कोण हाथ की दिशा का वर्णन करते हैं, क्योंकि यह बाहर तक पहुँचता है।

लाउडस्पीकर के आउटपुट पैटर्न के तीन आयामी मॉडलिंग का उपयोग उनके प्रदर्शन का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। आवृत्तियों के विस्तृत चयन पर कई ध्रुवीय भूखंडों की आवश्यकता होती है, क्योंकि आवृत्ति के साथ पैटर्न बहुत बदल जाता है। ध्रुवीय भूखंड यह दिखाने में मदद करते हैं कि कई लाउडस्पीकर कम आवृत्तियों पर सर्वदिशात्मकता की ओर जाते हैं।

खिलाड़ी की स्थिति के आसपास कैमरे को घुमाने के लिए गोलाकार समन्वय प्रणाली का उपयोग आमतौर पर 3डी गेम के विकास में भी किया जाता है

भूगोल में
पहले सन्निकटन के लिए, भौगोलिक समन्वय प्रणाली झुकाव के बजाय $x^{2} + y^{2} + z^{2} = c^{2}$ की सीमा में, भूमध्य रेखा तल के उत्तर में डिग्री कोण (अक्षांश) का उपयोग करती है। अक्षांश या तो भूकेन्द्रिक अक्षांश है, जिसे पृथ्वी के केंद्र में मापा जाता है और $r = c$ या भौगोलिक अक्षांश द्वारा विभिन्न रूप से निर्दिष्ट किया जाता है, जिसे पर्यवेक्षक के स्थानीय ऊर्ध्वाधर द्वारा मापा जाता है, और सामान्यतः नामित $r$। ध्रुवीय कोण, जो 90° माइनस लेटिट्यूड है और 0 से 180° के बीच होता है, भूगोल में कोलेटीट्यूड कहलाता है।

दिगंश कोण (देशांतर), जिसे आमतौर पर $θ$ द्वारा दर्शाया जाता है, को कुछ पारंपरिक संदर्भ भूमध्य रेखा (आमतौर पर IERS संदर्भ भूमध्य रेखा) से पूर्व या पश्चिम में डिग्री में मापा जाता है, इसलिए इसका डोमेन $−90° ≤ φ ≤ 90°$ है। पृथ्वी या अन्य ठोस खगोलीय पिंड पर स्थितियों के लिए, संदर्भ तल को आमतौर पर घूर्णन के अक्ष के लम्बवत् समतल माना जाता है।

रेडियल दूरी के बजाय, भूगोलवेत्ता आमतौर पर कुछ संदर्भ सतह (ऊर्ध्वाधर डेटाम) के ऊपर या नीचे की ऊंचाई का उपयोग करते हैं, जो कि औसत समुद्र स्तर हो सकता है। रेडियल दूरी $φ$ की गणना पृथ्वी की त्रिज्या को जोड़कर ऊंचाई से की जा सकती है, जो लगभग 6,360 ± है।

हालाँकि, आधुनिक भौगोलिक समन्वय प्रणाली काफी जटिल हैं, और इन सरल सूत्रों द्वारा निहित स्थिति कई किलोमीटर तक गलत हो सकती है। अक्षांश, देशांतर और ऊंचाई के सटीक मानक अर्थ वर्तमान में वर्ल्ड जियोडेटिक सिस्टम (WGS) द्वारा परिभाषित किए गए हैं, और ध्रुवों पर पृथ्वी के चपटेपन (लगभग 21 km) और कई अन्य विवरणों को ध्यान में रखते हैं।

ग्रहों की समन्वय प्रणालियाँ भौगोलिक समन्वय प्रणाली के अनुरूप सूत्रीकरण का उपयोग करती हैं।

खगोल विज्ञान में
विभिन्न मौलिक विमानों से उन्नयन कोण को मापने के लिए खगोलीय समन्वय प्रणालियों की एक श्रृंखला का उपयोग किया जाता है। ये संदर्भ तल पर्यवेक्षक का क्षितिज, आकाशीय भूमध्य रेखा (पृथ्वी के घूर्णन द्वारा परिभाषित), क्रांतिवृत्त का तल (सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की कक्षा द्वारा परिभाषित किया गया), पृथ्वी टर्मिनेटर का तल (सूर्य के लिए तात्कालिक दिशा के लिए सामान्य), और गेलेक्टिक भूमध्य रेखा (आकाशगंगा के घूर्णन द्वारा परिभाषित) हैं)।

समन्वय प्रणाली रूपांतरण
चूंकि गोलाकार समन्वय प्रणाली कई त्रि-आयामी समन्वय प्रणालियों में से एक है, गोलाकार समन्वय प्रणाली और अन्य के बीच निर्देशांक परिवर्तित करने के लिए समीकरण मौजूद हैं।

कार्टेशियन निर्देशांक
आईएसओ सम्मेलन में एक बिंदु के गोलाकार निर्देशांक (अर्थात भौतिकी के लिए: त्रिज्या $φ$, झुकाव  $θ$, दिगंश  $θ$) अपने कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से प्राप्त किया जा सकता है $ψ, q, φ′, φ_{c}, φ_{g}$ सूत्रों द्वारा


 * $$\begin{align}

r &= \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} \\ \theta &= \arccos\frac{z}{\sqrt{x^2 + y^2 + z^2}} = \arccos\frac{z}{r}=\arctan\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{z} \\ \varphi &= \begin{cases} \arctan(\frac{y}{x}) &\text{if } x > 0, \\ \arctan(\frac{y}{x}) + \pi &\text{if } x < 0 \text{ and } y \geq 0, \\ \arctan(\frac{y}{x}) - \pi &\text{if } x < 0 \text{ and } y < 0, \\ +\frac{\pi}{2} &\text{if } x = 0 \text{ and } y > 0, \\ -\frac{\pi}{2} &\text{if } x = 0 \text{ and } y < 0, \\ \text{undefined} &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0. \end{cases} \end{align}$$ $−180° ≤ λ ≤ 180°$ के सही चतुर्थांश को ध्यान में रखते हुए, $(x, y, z)$ में दर्शाई गई प्रतिलोम स्पर्शरेखा को उपयुक्त रूप से परिभाषित किया जाना चाहिए। Atan2 पर आलेख देखें।

वैकल्पिक रूप से, रूपांतरण को ध्रुवीय रूपांतरणों के लिए दो अनुक्रमिक आयताकार के रूप में माना जा सकता है: कार्टेशियन $r$ विमान में पहला $(x, y)$ से $φ = arctan y⁄x$ तक, जहाँ $θ$, $r$-तल पर $θ$ का प्रक्षेपण है, और कार्तीय $φ$-तल में दूसरा $(x, y)$ से $(R, φ)$ तक का प्रक्षेपण है। $r$ और $φ$ के लिए सही चतुर्भुज तलीय आयताकार से ध्रुवीय रूपांतरणों की शुद्धता से निहित हैं।

ये सूत्र मानते हैं कि दो प्रणालियों की उत्पत्ति समान है, गोलाकार संदर्भ विमान कार्टेशियन $λ$ विमान है, कि $r$ $r$ दिशा से झुकाव है, और अज़ीमुथ कोणों को कार्टेशियन $θ$ अक्ष से मापा जाता है (ताकि $φ$ अक्ष में $(z, R)$ हो)। यदि आंचल से झुकाव के बजाय संदर्भ विमान से ऊंचाई को मापता है, तो ऊपर का चाप एक आर्कसिन बन जाता है, और नीचे का $(r, θ)$ और $φ = +90°$ स्विच हो जाता है।

इसके विपरीत, कार्टेशियन निर्देशांक को गोलाकार निर्देशांक (त्रिज्या $xy$, झुकाव $R$, दिगंश $xy$) से प्राप्त किया जा सकता है, जहां $cos θ$, $sin θ$, $r ∈ [0, ∞)$, द्वारा
 * $$\begin{align}

x &= r \sin\theta \, \cos\varphi, \\ y &= r \sin\theta \, \sin\varphi, \\ z &= r \cos\theta. \end{align}$$

बेलनाकार निर्देशांक
बेलनाकार समन्वय प्रणाली (अक्षीय त्रिज्या ρ, दिगंश φ, उन्नयन z) सूत्रों द्वारा गोलाकार निर्देशांक (केंद्रीय त्रिज्या r, झुकाव θ, दिगंश φ) में परिवर्तित किया जा सकता है


 * $$\begin{align}

r &= \sqrt{\rho^2 + z^2}, \\ \theta &= \arctan\frac{\rho}{z} = \arccos\frac{z}{\sqrt{\rho^2 + z^2}}, \\ \varphi &= \varphi. \end{align}$$ इसके विपरीत, गोलाकार निर्देशांक को सूत्रों द्वारा बेलनाकार निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है


 * $$\begin{align}

\rho &= r \sin \theta, \\ \varphi &= \varphi, \\ z &= r \cos \theta. \end{align}$$ ये सूत्र मानते हैं कि दो प्रणालियों का एक ही मूल और एक ही संदर्भ विमान है, दिगंश कोण को मापें $r$ एक ही अर्थ में एक ही धुरी से, और वह गोलाकार कोण $zR$ बेलनाकार से झुकाव है $φ$ एक्सिस।

सामान्यीकरण
गोलाकार निर्देशांक के एक संशोधित संस्करण का उपयोग करके कार्तीय निर्देशांक में दीर्घवृत्त से निपटना भी संभव है।

P को स्तर सेट द्वारा निर्दिष्ट एक दीर्घवृत्ताभ होने दें


 * $$ax^2 + by^2 + cz^2 = d.$$

आईएसओ सम्मेलन में पी में एक बिंदु के संशोधित गोलाकार निर्देशांक (अर्थात भौतिकी के लिए: त्रिज्या $θ$, झुकाव $xy$, दिगंश $θ$) अपने कार्टेशियन समन्वय प्रणाली से प्राप्त किया जा सकता है $θ ∈ [0, \pi]$ सूत्रों द्वारा


 * $$\begin{align}

x &= \frac{1}{\sqrt{a}} r \sin\theta \, \cos\varphi, \\ y &= \frac{1}{\sqrt{b}} r \sin\theta \, \sin\varphi, \\ z &= \frac{1}{\sqrt{c}} r \cos\theta, \\ r^{2} &= ax^2 + by^2 + cz^2. \end{align}$$ एक अपरिमेय आयतन तत्व किसके द्वारा दिया जाता है



\mathrm{d}V = \left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}\right| \, dr\,d\theta\,d\varphi = \frac{1}{\sqrt{abc}} r^2 \sin \theta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi = \frac{1}{\sqrt{abc}} r^2 \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\Omega. $$ वर्गमूल कारक निर्धारक की संपत्ति से आता है जो एक स्थिरांक को एक स्तंभ से बाहर निकालने की अनुमति देता है:



\begin{vmatrix} ka & b & c \\ kd & e & f \\ kg & h & i \end{vmatrix} = k \begin{vmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{vmatrix}. $$

गोलाकार निर्देशांक में एकीकरण और विभेदन
निम्नलिखित समीकरण (इयानगा 1977) यह मानते हैं कि कोलैटिट्यूड $z$ से झुकाव है $x$ (ध्रुवीय) अक्ष (अस्पष्ट के बाद से $y$, $r$, तथा $θ$ पारस्परिक रूप से सामान्य हैं), जैसा कि भौतिकी सम्मेलन में चर्चा की गई है।

से एक अत्यल्प विस्थापन के लिए रेखा तत्व  $φ ∈ [0, 2\pi)$ प्रति $(x, y, z)$ है $$ \mathrm{d}\mathbf{r} = \mathrm{d}r\,\hat{\mathbf r} + r\,\mathrm{d}\theta \,\hat{\boldsymbol\theta } + r \sin{\theta} \, \mathrm{d}\varphi\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\varphi}},$$ कहाँ पे $$\begin{align} \hat{\mathbf r} &= \sin \theta \cos \varphi \,\hat{\mathbf x} + \sin \theta \sin \varphi \,\hat{\mathbf y} + \cos \theta \,\hat{\mathbf z}, \\ \hat{\boldsymbol\theta} &= \cos \theta \cos \varphi \,\hat{\mathbf x} + \cos \theta \sin \varphi \,\hat{\mathbf y} - \sin \theta \,\hat{\mathbf z}, \\ \hat{\boldsymbol\varphi} &= - \sin \varphi \,\hat{\mathbf x} + \cos \varphi \,\hat{\mathbf y} \end{align}$$ बढ़ने की दिशा में स्थानीय ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर  हैं $φ$, $φ$, तथा $θ$, क्रमश, तथा $(r, θ, φ)$, $(r + dr, θ + dθ, φ + dφ)$, तथा $x̂$ कार्टेशियन निर्देशांक में इकाई वैक्टर हैं। इस दाहिने हाथ के समन्वय ट्रिपल के लिए रैखिक परिवर्तन एक रोटेशन मैट्रिक्स है, $$R = \begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi&\sin\theta\sin\varphi& \cos\theta\\ \cos\theta\cos\varphi&\cos\theta\sin\varphi&-\sin\theta\\ -\sin\varphi&\cos\varphi  &0 \end{pmatrix}. $$ यह गोलाकार से कार्तीय में परिवर्तन देता है, इसके विपरीत इसके व्युत्क्रम द्वारा दिया जाता है। नोट: मैट्रिक्स एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स  है, यानी इसका व्युत्क्रम केवल इसका स्थानान्तरण है।

कार्तीय इकाई वैक्टर इस प्रकार गोलाकार इकाई वैक्टर से संबंधित हैं: $$\begin{bmatrix}\mathbf{\hat x} \\ \mathbf{\hat y} \\ \mathbf{\hat z} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \sin\theta\cos\varphi & \cos\theta\cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\theta\sin\varphi & \cos\theta\sin\varphi & \cos\varphi \\ \cos\theta        & -\sin\theta        & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \boldsymbol{\hat{r}} \\ \boldsymbol{\hat\theta} \\ \boldsymbol{\hat\varphi} \end{bmatrix}$$ अवकल रेखा तत्व को सिद्ध करने के सूत्र का सामान्य रूप है $$\mathrm{d}\mathbf{r} = \sum_i \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i} \,\mathrm{d}x_i = \sum_i \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}\right| \frac{\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}}{\left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}\right|} \, \mathrm{d}x_i = \sum_i \left|\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x_i}\right| \,\mathrm{d}x_i \, \hat{\boldsymbol{x}}_i, $$ अर्थात् में परिवर्तन $$\mathbf r$$ व्यक्तिगत निर्देशांक में परिवर्तन के अनुरूप अलग-अलग परिवर्तनों में विघटित हो जाता है।

इसे वर्तमान मामले में लागू करने के लिए, किसी को यह गणना करने की आवश्यकता है कि कैसे $$\mathbf r$$ प्रत्येक निर्देशांक के साथ परिवर्तन। इस्तेमाल किए गए सम्मेलनों में, $$\mathbf{r} = \begin{bmatrix} r \sin\theta \, \cos\varphi \\ r \sin\theta \, \sin\varphi \\ r \cos\theta \end{bmatrix}.$$ इस प्रकार, $$ \frac{\partial\mathbf r}{\partial r} = \begin{bmatrix} \sin\theta \, \cos\varphi \\ \sin\theta \, \sin\varphi \\ \cos\theta \end{bmatrix}, \quad \frac{\partial\mathbf r}{\partial \theta} = \begin{bmatrix} r \cos\theta \, \cos\varphi \\ r \cos\theta \, \sin\varphi \\ -r \sin\theta \end{bmatrix}, \quad \frac{\partial\mathbf r}{\partial \varphi} = \begin{bmatrix} -r \sin\theta \, \sin\varphi \\ r \sin\theta \, \cos\varphi \\ 0 \end{bmatrix}. $$ वांछित गुणांक इन वैक्टरों के परिमाण हैं: $$ \left|\frac{\partial\mathbf r}{\partial r}\right| = 1, \quad \left|\frac{\partial\mathbf r}{\partial \theta}\right| = r, \quad \left|\frac{\partial\mathbf r}{\partial \varphi}\right| = r \sin\theta. $$ सतह अभिन्न  से फैला हुआ है $z$ प्रति $ŷ$ तथा $r$ प्रति $ẑ$ (स्थिर) त्रिज्या पर एक गोलाकार सतह पर $θ$ तब है $$ \mathrm{d}S_r = \left\|\frac{\partial {\mathbf r}}{\partial \theta} \times \frac{\partial {\mathbf r}}{\partial \varphi}\right\| \mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi = \left|r {\hat \boldsymbol\theta} \times r \sin \theta {\boldsymbol\hat \varphi} \right|= r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi ~. $$ इस प्रकार अंतर ठोस कोण  है $$\mathrm{d}\Omega = \frac{\mathrm{d}S_r}{r^2} = \sin\theta \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi.$$ ध्रुवीय कोण की सतह में सतह तत्व $φ$ स्थिर (शीर्ष मूल के साथ एक शंकु) है $$\mathrm{d}S_\theta = r \sin\theta \,\mathrm{d}\varphi \,\mathrm{d}r.$$ दिगंश की सतह में सतह तत्व $θ$ स्थिर (एक लंबवत आधा विमान) है $$\mathrm{d}S_\varphi = r \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta.$$ से फैले हुए मात्रा तत्व  $z$ प्रति $θ + dθ$, $x$ प्रति $φ + dφ$, तथा $y$ प्रति $r + dr$ आंशिक डेरिवेटिव के  जैकबियन मैट्रिक्स  के निर्धारक द्वारा निर्दिष्ट किया गया है, $$ J =\frac{\partial(x,y,z)}{\partial(r,\theta,\varphi)} =\begin{pmatrix} \sin\theta\cos\varphi&r\cos\theta\cos\varphi&-r\sin\theta\sin\varphi\\ \sin\theta \sin\varphi&r\cos\theta\sin\varphi&r\sin\theta\cos\varphi\\ \cos\theta&-r\sin\theta&0 \end{pmatrix}, $$ यानी $$ \mathrm{d}V = \left|\frac{\partial(x, y, z)}{\partial(r, \theta, \varphi)}\right| \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi= r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi = r^2 \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\Omega ~. $$ इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक समारोह $θ + dθ$ में हर बिंदु पर एकीकृत किया जा सकता है $φ + dφ$ एकाधिक अभिन्न#गोलाकार निर्देशांक द्वारा $$\int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^\pi \int\limits_0^\infty f(r, \theta, \varphi) r^2 \sin\theta \,\mathrm{d}r \,\mathrm{d}\theta \,\mathrm{d}\varphi ~.$$ इस प्रणाली में का  ऑपरेटर  ढाल,  विचलन ,  कर्ल (गणित)  और (स्केलर) लाप्लासियन के लिए निम्नलिखित भावों की ओर जाता है, $$\begin{align} \nabla f = {} &{\partial f \over \partial r}\hat{\mathbf r} + {1 \over r}{\partial f \over \partial \theta}\hat{\boldsymbol\theta} + {1 \over r\sin\theta}{\partial f \over \partial \varphi}\hat{\boldsymbol\varphi}, \\[8pt] \nabla\cdot \mathbf{A} = {} & \frac{1}{r^2}{\partial \over \partial r}\left( r^2 A_r \right) + \frac{1}{r \sin\theta}{\partial \over \partial\theta} \left( \sin\theta A_\theta \right) + \frac{1}{r \sin \theta} {\partial A_\varphi \over \partial \varphi}, \\[8pt] \nabla \times \mathbf{A} = {} & \frac{1}{r\sin\theta}\left({\partial \over \partial \theta} \left( A_\varphi\sin\theta \right)   - {\partial A_\theta \over \partial \varphi}\right) \hat{\mathbf r} \\[8pt] & {} + \frac 1 r \left({1 \over \sin\theta}{\partial A_r \over \partial \varphi}   - {\partial \over \partial r} \left( r A_\varphi \right) \right) \hat{\boldsymbol\theta} \\[8pt] & {} + \frac 1 r \left({\partial \over \partial r} \left( r A_\theta \right)   - {\partial A_r \over \partial \theta}\right) \hat{\boldsymbol\varphi}, \\[8pt] \nabla^2 f = {} & {1 \over r^2}{\partial \over \partial r} \left(r^2 {\partial f \over \partial r}\right) + {1 \over r^2 \sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(\sin\theta {\partial f \over \partial \theta}\right) + {1 \over r^2 \sin^2\theta}{\partial^2 f \over \partial \varphi^2} \\[8pt] = {} & \left(\frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{2}{r} \frac{\partial}{\partial r}\right)f + {1 \over r^2 \sin\theta}{\partial \over \partial \theta} \left(\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta}\right)f + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta}\frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}f ~. \end{align}$$ इसके अलावा, कार्तीय निर्देशांक में व्युत्क्रम जैकोबियन है $$J^{-1} = \begin{pmatrix} \dfrac{x}{r}&\dfrac{y}{r}&\dfrac{z}{r}\\\\ \dfrac{xz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}&\dfrac{yz}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}&\dfrac{-(x^2+y^2)}{r^2\sqrt{x^2+y^2}}\\\\ \dfrac{-y}{x^2+y^2}&\dfrac{x}{x^2+y^2}&0 \end{pmatrix}.$$ गोलाकार निर्देशांक प्रणाली में मीट्रिक टेंसर  है $$g = J^T J $$.

गोलाकार निर्देशांक में दूरी
गोलीय निर्देशांकों में, दो बिंदुओं के साथ दिया गया है $z$ दिगंशीय निर्देशांक होने के नाते
 * $$\begin{align}

{\mathbf r} &= (r,\theta,\varphi), \\ {\mathbf r'} &= (r',\theta',\varphi') \end{align}$$ दो बिन्दुओं के बीच की दूरी को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\begin{align}

{\mathbf D} &= \sqrt{r^2+r'^2-2rr'(\sin{\theta}\sin{\theta'}\cos{(\varphi-\varphi')} + \cos{\theta}\cos{\theta'})} \end{align}$$

किनेमेटिक्स
गोलाकार निर्देशांक में, एक बिंदु या कण की स्थिति (हालांकि टपल  के रूप में बेहतर लिखा जाता है$$(r,\theta, \varphi)$$) के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\mathbf{r} = r \mathbf{\hat r} .$$

इसका वेग तब है : $$\mathbf{v} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} = \dot{r} \mathbf{\hat r} + r\,\dot\theta\,\hat{\boldsymbol\theta } + r\,\dot\varphi \sin\theta\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\varphi}}$$ और इसका त्वरण है : $$ \begin{align} \mathbf{a} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t} = {} & \left( \ddot{r} - r\,\dot\theta^2 - r\,\dot\varphi^2\sin^2\theta \right)\mathbf{\hat r} \\ & {} + \left( r\,\ddot\theta + 2\dot{r}\,\dot\theta - r\,\dot\varphi^2\sin\theta\cos\theta \right) \hat{\boldsymbol\theta } \\ & {} + \left( r\ddot\varphi\,\sin\theta + 2\dot{r}\,\dot\varphi\,\sin\theta + 2 r\,\dot\theta\,\dot\varphi\,\cos\theta \right) \hat{\boldsymbol\varphi} \end{align} $$ कोणीय संवेग#Orbital_angular_momentum_in_three_dimensions है
 * $$ \mathbf{L} =

\mathbf{r} \times \mathbf{p} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v} = m r^2 (- \dot\varphi \sin\theta\,\mathbf{\hat{\boldsymbol\theta}} + \dot\theta\,\hat{\boldsymbol\varphi }) $$ कहाँ पे $$m$$ द्रव्यमान है। स्थिरांक के मामले में $r$ वरना $f(r, θ, φ)$, यह पोलर कोऑर्डिनेट सिस्टम#वेक्टर कैलकुलस को कम कर देता है।

संबंधित Angular_momentum_operator#Orbital_angular_momentum_in_spherical_coordinates फिर उपरोक्त के चरण-स्थान सुधार से अनुसरण करते हैं,
 * $$ \mathbf{L}= -i\hbar ~\mathbf{r} \times \nabla =i \hbar \left(\frac{\hat{\boldsymbol{\theta}}}{\sin(\theta)} \frac{\partial}{\partial\phi} - \hat{\boldsymbol{\phi}} \frac{\partial}{\partial\theta}\right). $$

टॉर्क के रूप में दिया गया है : $$ \mathbf{\tau} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \mathbf{r} \times \mathbf{F} = -m \left(2r\dot{r}\dot{\varphi}\sin\theta + r^2\ddot{\varphi}\sin{\theta} + 2r^2\dot{\theta}\dot{\varphi}\cos{\theta} \right)\hat{\boldsymbol\theta} + m \left(r^2\ddot{\theta} + 2r\dot{r}\dot{\theta} - r^2\dot{\varphi}^2\sin\theta\cos\theta \right) \hat{\boldsymbol\varphi} $$ गतिज ऊर्जा के रूप में दिया जाता है : $$ E_k = \frac{1}{2}m \left[ \left(\dot{r}^2\right) + \left(r\dot{\theta}\right)^2 + \left(r\dot{\varphi}\sin\theta\right)^2 \right] $$

बाहरी संबंध

 * MathWorld description of spherical coordinates
 * Coordinate Converter &mdash; converts between polar, Cartesian and spherical coordinates
 * Coordinate Converter &mdash; converts between polar, Cartesian and spherical coordinates

फाई: कोऑर्डिनेशन