नॉन-यूक्लीडियन ज्यामिति



नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति में, यूक्लिडियन ज्यामिति निर्दिष्ट करने वाले सिद्धांतों मे निकटता से संबंधित स्वयंसिद्धों पर आधारित दो ज्यामिति होती हैं। जैसा कि यूक्लिडियन ज्यामिति, मापीय ज्यामिति और सजातीय ज्यामिति के प्रतिच्छेदन पर स्थित है, नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति एक विकल्प के साथ समानांतर अभिधारणा को परिवर्तित करके या मापीय आवश्यकता को शिथिल (relaxing) करके उत्पन्न होती है। पूर्व स्थिति में, एक अतिपरवलीय ज्यामिति और दीर्घवृत्तीय ज्यामिति से पारंपरिक नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति प्राप्त करता है। जब मापीय की आवश्यकता को तनाव मुक्त किया जाता है, तो समतलीय बीजगणित से जुड़े सजातीय समतल होते हैं, जो गतिज ज्यामिति को उत्पन्न करते हैं, जिन्हें नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति भी कहा जाता है।

मापीय ज्यामितीयों के बीच आवश्यक अंतर समानांतर (ज्यामिति) रेखाओं की प्रकृति होती है। यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा, समानांतर अभिधारणा, प्लैफेयर की अभिधारणा के समतुल्य है, जो बताती है कि, द्वि-आयामी समतल के अन्दर, किसी भी दी गई रेखा $l$ और एक बिंदु A के लिए, जो $l$ पर नहीं है, A से होकर जाने वाली ठीक एक रेखा है जो $l$ को प्रतिच्छेदित नहीं करती है। तथा $l$ अतिपरवलीय ज्यामिति में इसके विपरीत A से होकर जाने वाली अपरिमित रूप से कई रेखाएँ होती हैं, जो $l$ को नहीं प्रतिच्छेदित करती हैं, जबकि दीर्घवृत्तीय ज्यामिति में A से होकर जाने वाली कोई भी रेखा $l$ को प्रतिच्छेदित करती है।

इन ज्यामितीयों के बीच के अंतरों का वर्णन करने का एक अन्य तरीके से दो सीधी रेखाओं पर विचार करना है, जो एक द्वि-आयामी समतल में अनिश्चित रूप से विस्तारित होती हैं। तथा दोनों एक तीसरी रेखा (एक ही समतल में) के लंबवत होती हैं।
 * यूक्लिडियन ज्यामिति में रेखाएँ एक दूसरे से एक स्थिर दूरी पर बनी रहती हैं। जिसका अर्थ है कि किसी बिंदु पर एक रेखा के लंबवत खींची गई रेखा दूसरी रेखा को प्रतिच्छेदित करती है और प्रतिच्छेदन के बिंदुओं को मिलाने वाले रेखा खंड की लंबाई स्थिर रहती है। एवं यह ज्ञात हैं कि इसे समानांतर के रूप में जाना जाता है।
 * अतिपरवलीय ज्यामिति में वे एक दूसरे से वक्राकार रूप से दूर होते हैं, जैसे-जैसे सामान्य लंब के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदुओं से दूरी बढ़ती जाती है। इन रेखाओ को प्रायः अति समानांतर कहा जाता है।
 * दीर्घवृत्तीय ज्यामिति में, रेखाएँ एक दूसरे की ओर वक्र होती हैं और प्रतिच्छेद करती हैं।

पृष्ठदृश्य (Background)
यूक्लिडियन ज्यामिति, जिसका नाम ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड के नाम पर रखा गया है,इसमे कुछ सबसे पुराने ज्ञात गणित भी सम्मिलित हैं, और इससे विचलित होने वाली ज्यामिति को व्यापक रूप से 19वीं शताब्दी तक व्यापक रूप में स्वीकार नहीं किया गया था।

तर्क वाद जो अंततः नॉन-यूक्लिडियन ज्यामितीयों की खोज की ओर ले गया।, जैसे ही यूक्लिड ने तत्वों(Elements) मे लिखे यूक्लिड सीमित संख्या में मान्यताओं (23 परिभाषाएँ, पाँच सामान्य धारणाएँ और पाँच अभिधारणाएँ) के साथ प्रारम्भ होता है और फलन में अन्य सभी परिणामों (प्रस्तावों) को सिद्ध करने का प्रयास करता है। अभिधारणाओं में से सबसे कुख्यात(notorious) को प्रायः यूक्लिड की पांचवीं अभिधारणा या केवल समानांतर अभिधारणा के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो यूक्लिड के मूल सूत्रीकरण में होती है। "यदि एक सीधी रेखा दो सीधी रेखाओं पर इस प्रकार पड़ती है कि एक ही ओर के अंतः कोण दो समकोणों से कम होते हैं, तो सरल रेखाएँ यदि अनिश्चित रूप से बढ़ायी जाती हैं, तो उस ओर मिलती हैं, जिस ओर कोणों की तुलना में कम दो समकोण होते हैं।" अन्य गणितज्ञों ने इस गुण की सरल रूपों की रचना की है। अभिधारणा के रूप के अतिरिक्त, हालांकि यह यूक्लिड की अन्य अभिधारणाओं की तुलना में लगातार अधिक जटिल प्रतीत होता है।


 * 1) किसी बिंदु से किसी बिंदु तक एक सीधी रेखा को खींचना।
 * 2) एक सीधी रेखा में लगातार एक परिमित सीधी रेखा का निर्माण करना।
 * 3) किसी भी केंद्र और दूरी (त्रिज्या) के साथ एक वृत्त का वर्णन करने के लिए।
 * 4) सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

कम से कम एक हजार वर्षों के लिए जियोमीटर पांचवें अभिधारणा की विषम जटिलता से परेशान(troubled) थे, और उनका मानना ​​था। कि इसे अन्य चार से एक प्रमेय के रूप में सिद्ध किया जा सकता है। इब्न अल-हेथम 11वीं शताब्दी उमर खय्याम 12वीं शताब्दी, नसीर अल-दीन अल-तुसी 13वीं शताब्दी, और जियोवन्नी गिरोलामो साचेरी 18वीं शताब्दी सहित कई लोगों ने खंडन द्वारा प्रमाण खोजने का प्रयास किया।

चतुर्भुज पर इब्न अल-हेथम, खय्याम और अल-तुसी की प्रमेय, जिसमें लैम्बर्ट चतुर्भुज और सैचेरी चतुर्भुज सम्मिलित हैं।, अतिपरवलीय और दीर्घवृत्तीय ज्यामिति के पहले कुछ प्रमेय थे। इन प्रमेयों ने अपनी वैकल्पिक अभिधारणाओं के साथ जैसे कि प्लेफेयर के प्रमाण ने बाद में नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति के विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभायी। तथा पांचवीं अभिधारणा को चुनौती देने के इन प्रारम्भिक प्रयासों का इसके बाद के यूरोपीय जियोमीटरों के विकास पर बहुत प्रभाव पड़ा, जिसमें विटेलो, लेवी बेन गर्सन, अलफोंसो, जॉन वालिस और सैचेरी भी सम्मिलित थे। हालांकि, नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति को तैयार करने की कोशिश में किए गए इन सभी प्रारम्भिक प्रयासों ने समानांतर अवधारणा के त्रुटिपूर्ण प्रमाण प्रदान किए।, जिसमें ऐसी मान्यताएं थीं।, जो अनिवार्य रूप से समानांतर अभिधारणा के समतुल्य थीं। हालाँकि, इन प्रारम्भिक प्रयासों ने अतिपरवलीय और दीर्घवृत्तीय ज्यामिति के कुछ प्रारम्भिक गुण प्रदान किए थे।

उदाहरण के लिए खय्याम ने इसे दार्शनिकों के सिद्धांतों (अरस्तू) से तैयार किए गए, समतुल्य अभिधारणा से प्राप्त करने का प्रयास किया। तथा दो अभिसारी सीधी रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। और दो अभिसरण सीधी रेखाओं के लिए उस दिशा में विचलन करना असंभव होता है। जिसमें खय्याम ने तब तीन स्थितियों को सही अधिक और तीक्ष्ण माना, जो एक सैचेरी चतुर्भुज के शिखर कोण को ले सकते हैं। और उनके बारे में कई प्रमेयों को सिद्ध करने के बाद उन्होंने अपने अभिधारणा के आधार पर अधिक और तीव्र स्थितियों का सटीक ढंग से खंडन किया। और इसलिए यूक्लिड के सजातीय अभिधारणा को व्युत्पन्न किया, जिसका उसे एहसास नहीं था। कि वह उसकी अपनी अभिधारणा के समतुल्य है। एक अन्य उदाहरण अल-तुसी के बेटे सदर अल-दीन (कभी-कभी छद्म-तुसी के रूप में जाना जाता है।) का है, जिन्होंने अल-तुसी के बाद के विचारों के आधार पर 1298 में इस विषय पर एक पुस्तक लिखी थी।, जिसने समानांतर अवधारणा के समकक्ष एक और परिकल्पना प्रस्तुत की थी। उन्होंने अनिवार्य रूप से स्वयंसिद्धों और अभिधारणाओं की यूक्लिडियन प्रणाली और तत्वों से कई प्रस्तावों के प्रमाणों को संशोधित किया। तथा उनका कार्य 1594 में रोम में प्रकाशित हुआ था। और यूरोपीय जियोमीटरों द्वारा अध्ययन किया गया था, जिसमें साचेरी भी सम्मिलित थे।, जिन्होंने इस कार्य के साथ-साथ वालिस की भी आलोचना की।

गियोर्डानो विटाले ने अपनी पुस्तक यूक्लाइड रेस्टिटुओ (1680, 1686) में, सचेरी चतुर्भुज का उपयोग यह सिद्ध करने के लिए किया कि यदि आधार AB और शिखर CD पर तीन बिंदु समान दूरी पर हैं, तो AB और CD हर जगह समान दूरी पर हैं।

1733 में प्रकाशित यूक्लिड्स एब ओमनी नेवो विन्डिकैटस (यूक्लिड सभी दोषों से मुक्त) नामक एक कार्य में सैचेरी ने एक संभावना के रूप में जल्दी से दीर्घवृत्तीय ज्यामिति को त्याग दिया (यूक्लिड के कुछ अन्य स्वयंसिद्धों को कार्य करने के लिए दीर्घवृत्तीय ज्यामिति के लिए संशोधित किया जाना चाहिए।) और एक सिद्ध करने के लिए कार्य करने के लिए तैयार अतिपरवलीय ज्यामिति में बड़ी संख्या में परिणाम होता है।

वह अंत में उस बिंदु पर पहुंचे जहां उनका मानना ​​था कि उनके परिणामों ने अतिपरवलीय ज्यामिति की असंभवता का प्रदर्शन किया। उनका दावा यूक्लिडियन पूर्वधारणाओं पर आधारित प्रतीत होता है, क्योंकि कोई तार्किक खंडन उपस्थित नहीं था। यूक्लिडियन ज्यामिति को सिद्ध करने के इस प्रयास में उन्होंने इसके अतिरिक्त अनजाने में ही एक नई व्यवहार्य ज्यामिति की खोज की, लेकिन इसका एहसास तक नहीं हुआ था।

1766 में जोहान हेनरिक लैम्बर्ट ने लिखा, लेकिन प्रकाशित नहीं किया, थ्योरी डेर पैरालेलिनियन जिसमें उन्होंने प्रयास किया, जैसा कि साचेरी ने किया था।,कि पांचवीं अभिधारणा को सिद्ध करने के लिए उन्होंने एक आकृति के साथ कार्य किया।, जिसे अब लैम्बर्ट चतुर्भुज के रूप में जाना जाता है। एक चतुर्भुज जिसमें तीन समकोण होते हैं (इसे सैचेरी चतुर्भुज का आधा माना जा सकता है।) उन्होंने जल्दी से इस संभावना को समाप्त कर दिया कि चौथा कोण अधिक कोण है, जैसा कि सैचेरी और खय्याम के साथ हुआ था, और फिर एक गतिज कोण की धारणा के तहत कई प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए आगे बढ़े। तथा साचेरी के विपरीत उन्होंने कभी महसूस नहीं किया कि वह इस धारणा के साथ एक खंडन पर पहुंच गए हैं। उन्होंने नॉन-यूक्लिडियन परिणाम को सिद्ध कर दिया था कि त्रिभुज के कोणों का योग त्रिकोण के क्षेत्र में कमी के रूप में बढ़ता है, और इसने उन्हें काल्पनिक त्रिज्या के एक क्षेत्र पर तीव्र(acute) स्थिति के प्रारूप की संभावना पर अनुमान लगाने के लिए प्रेरित किया। तथा उन्होंने इस विचार को और आगे नहीं बढ़ाया।

इस समय यह व्यापक रूप से माना जाता था। कि ब्रह्मांड यूक्लिडियन ज्यामिति के सिद्धांतों के अनुसार यह कार्य करता है।

नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज
19वीं शताब्दी के प्रारम्भ के अंतत: नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति के निर्माण में निर्णायक कदमों(teps )का प्रमाण बनेगी। लगभग 1813 कार्ल फ्रेडरिक गॉस और स्वतंत्र रूप से 1818 के आसपास, कानून के जर्मन प्राध्यापक फर्डिनेंड कार्ल श्वेकार्ट ने नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति के मूल विचारों पर कार्य किया।, लेकिन कोई भी परिणाम प्रकाशित नही किया। श्वेकार्ट के भतीजे फ्रांज टॉरिनस ने 1825 और 1826 में दो पत्रों में अतिपरवलीय त्रिकोणमिति के महत्वपूर्ण परिणामों को प्रकाशित किया था, फिर भी अतिपरवलीय ज्यामिति की आंतरिक स्थिरता को स्वीकार करते हुए, वह अभी भी यूक्लिडियन ज्यामिति की विशेष भूमिका में विश्वास करते थे।

फिर 1829-1830 में रूसी गणितज्ञ निकोलाई इवानोविच लोबाचेव्स्की और 1832 में हंगरी के गणितज्ञ जानोस बोल्याई ने अलग से और स्वतंत्र रूप से अतिपरवलीय ज्यामिति पर ग्रंथ प्रकाशित किए। जिसके फलस्वरूप, अतिपरवलीय ज्यामिति को लोबाचेवस्कियन या बोल्याई-लोबाचेवस्कियन ज्यामिति कहा जाता है, क्योंकि दोनों गणितज्ञ, एक दूसरे से स्वतंत्र, नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति के मूल लेखक हैं। गॉस ने बोल्याई के पिता का उल्लेख किया कि जब छोटे बोल्याई के कार्य को दिखाया गया, कि उन्होंने कई साल पहले ऐसी ज्यामिति विकसित की थी, हालांकि उन्होंने इसे प्रकाशित नहीं किया। जबकि लोबाचेवस्की ने समानांतर अभिधारणा को खंडन करते हुए एक नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति का निर्माण किया, बोल्याई ने एक ज्यामिति का कार्य किया जहां एक पैरामीटर k के आधार पर यूक्लिडियन और अतिपरवलीय ज्यामिति दोनों संभव हैं। बोल्याई अपने कार्य का अंत यह कहते हुए करते हैं कि केवल गणितीय तर्क के माध्यम से यह तय करना संभव नहीं है कि भौतिक ब्रह्मांड की ज्यामिति यूक्लिडियन या नॉन-यूक्लिडियन है। यह भौतिक विज्ञान के लिए एक कार्य है।

बर्नहार्ड रीमैन ने 1854 में एक प्रसिद्ध व्याख्यान में रीमैनियन ज्यामिति के क्षेत्र की स्थापना की। तथा विशेष रूप से उन विचारों पर चर्चा की, जिन्हें अब विविध, रीमैनियन मापीय और वक्रता कहा जाता है। उन्होंने यूक्लिडियन अंतराल में यूनिट बॉल पर रिमेंनियन मापीय के एक समूह के लिए एक सूत्र देकर नॉन-यूक्लिडियन ज्यामितीयों के एक अनंत समूह का निर्माण किया। जिसमे से सबसे सरल को दीर्घवृत्तीय ज्यामिति कहा जाता है और समानांतर रेखाओं की कमी के कारण इसे नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति माना जाता है।

एक वक्रता प्रदिश(tensor) के संदर्भ में ज्यामिति तैयार करके रीमैन ने नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति को उच्च आयामों पर लागू करने की अनुमति दी। तथा बेल्ट्रामी (1868) ऋण वक्रता वाले स्थानों पर रीमैन की ज्यामिति को लागू करने वाले यह पहले व्यक्ति थे।

शब्दावली (Terminology)
यह गॉस थे, जिन्होंने नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति शब्द गढ़ा(coined) था। वह अपने कार्य का जिक्र कर रहे थे, जिसे आज हम अतिपरवलीय ज्यामिति कहते हैं। कई आधुनिक लेखक अभी भी नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति और अतिपरवलीय ज्यामिति को पर्यायवाची मानते हैं।

आर्थर केली ने विख्यात किया कि एक शंकु के अंदर बिंदुओं के बीच की दूरी को लघुगणक और प्रक्षेप्य क्रॉस-अनुपात को फलन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। इस पद्धति को केली-क्लेन मापीय कहा जाता है। क्योंकि फेलिक्स क्लेन ने 1871 और 1873 में और बाद में पुस्तक के रूप में लेखों में नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति का वर्णन करने के लिए इसका शोषण किया। केली-क्लेन(Cayley–Klein) मापीय ने अतिपरवलीय और दीर्घवृत्तीय मापीय ज्यामिति के साथ-साथ यूक्लिडियन ज्यामिति के कार्यशील प्रारूप प्रदान किए।

क्लेन अतिपरवलीय और दीर्घवृत्तीय शब्दों के लिए जिम्मेदार है। अपनी प्रणाली में उन्होंने यूक्लिडियन ज्यामिति परवलयिक कहा, एक शब्द जो सामान्य रूप से उपयोग से बाहर हो गया था। उनके प्रभाव ने नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति शब्द के वर्तमान उपयोग को अतिपरवलीय या दीर्घवृत्तीय ज्यामिति का अर्थ दिया है।

कुछ गणितज्ञ ऐसे हैं, जो ज्यामिति की सूची का विस्तार करेंगे।, जिन्हें विभिन्न तरीकों से नॉन-यूक्लिडियन कहा जाना चाहिए।

नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति का स्वयंसिद्ध आधार
यूक्लिडियन ज्यामिति को स्वयंसिद्ध रूप मे कई तरीकों से वर्णित किया जा सकता है। दुर्भाग्य से यूक्लिड की पांच अभिधारणाओं (सिद्धांतों) की मूल प्रणाली इनमें से एक नहीं है, क्योंकि उनके प्रमाण कई अस्थिर मान्यताओं पर निर्भर थे।, जिन्हें स्वयंसिद्धों के रूप में भी लिया जाना चाहिए था। हिल्बर्ट की प्रणाली में 20 प्रमाण सम्मिलित हैं। जो यूक्लिड के दृष्टिकोण का सबसे निकट से अनुसरण करते हैं। और यूक्लिड के सभी प्रमाणों के लिए औचित्य प्रदान करते हैं। तथा अन्य प्रणालियाँ, अपरिभाषित शब्दों के विभिन्न समुच्चय का उपयोग करके समान ज्यामिति को अलग-अलग तरीको से प्राप्त करती हैं। हालाँकि, सभी दृष्टिकोणों में एक स्वयंसिद्ध है, जो तार्किक रूप से यूक्लिड की पाँचवीं अभिधारणा, समानांतर अभिधारणा के समतुल्य है। डेविड हिल्बर्ट प्लैफेयर स्वयंसिद्ध रूप का उपयोग करता है, जबकि नॉनेट बिरखॉफ, उदाहरण के लिए उस स्वयंसिद्ध का उपयोग करता है, जो कहता है कि समान लेकिन सर्वांगसम त्रिभुजों की एक जोड़ी उपस्थित नहीं है। इनमें से किसी भी प्रणाली में समानांतर अभिधारणा के समतुल्य एक प्रमाण को हटाना, चाहे वह किसी भी रूप में हो और अन्य सभी प्रमाण को अक्षुण्ण छोड़कर निरपेक्ष ज्यामिति उत्पन्न करता है। जैसा कि यूक्लिड के पहले 28 प्रस्तावों (तत्वों में) को समानांतर अभिधारणा या इसके समकक्ष किसी भी वस्तु के उपयोग की आवश्यकता नहीं है, वे पूर्ण ज्यामिति में सभी सत्य कथन हैं।

एक नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति प्राप्त करने के लिए समानांतर अवधारणा या इसके समतुल्य को इसके निषेध द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। प्लैफेयर के स्वयंसिद्ध रूप को प्रतिवाद, क्योंकि यह एक यौगिक कथन है (... एक और केवल एक उपस्थित है ...) दो तरीकों से किया जा सकता है।


 * या तो दी गई रेखा के समानांतर बिंदु से जाने वाली एक से अधिक रेखा उपस्थित होगी या दी गई रेखा के समानांतर बिंदु से कोई रेखा उपस्थित नहीं होगी। पहले स्थिति में, समानांतर अवधारणा (या इसके समतुल्य) को वृत्तान्त के साथ एक समतल में एक बिंदु दिया गया है और P के माध्यम से पहुंच वाली रेखा l नहीं है, P के माध्यम से दो रेखाएँ उपस्थित हैं, जो I से नहीं मिलते हैं। और अन्य सभी प्रमाण अतिपरवलीय शीर्षक वाले होते हैं।
 * दूसरी स्थिति इतनी सरलता से नहीं सुलझी(dealt) केवल समानांतर अभिधारणा को इस कथन से प्रतिस्थापित करने पर समतल में एक बिंदु P दिया गया है और एक रेखा l जो P से नहीं गुजरती है, P से होकर जाने वाली सभी रेखाएँ l से मिलती हैं।, प्रमाण का एक सुसंगत समुच्चय नहीं देता है। यह इस प्रकार है, क्योंकि समानांतर रेखाएँ निरपेक्ष ज्यामिति में उपस्थित होती हैं लेकिन यह कथन कहता है कि कोई समानांतर रेखाएँ नहीं हैं। यह समस्या खय्याम, सचेरी और लैम्बर्ट के लिए (एक अलग तरीके में) जानी जाती थी। और उनके अस्वीकार करने का आधार था। जिसे आंशिक कोण स्थिति के रूप में जाना जाता था। सिद्धांतों का एक सुसंगत समुच्चय प्राप्त करने के लिए जिसमें कोई समानांतर रेखा न होने के बारे में यह स्वयंसिद्ध सम्मिलित है, कुछ अन्य स्वयंसिद्धों को ट्वीक किया जाना चाहिए। ये समायोजन प्रयुक्त स्वयंसिद्ध प्रणाली पर निर्भर करते हैं। दूसरों के बीच, इन ट्वीक में यूक्लिड की दूसरी अभिधारणा को इस कथन से संशोधित करने का प्रभाव है कि रेखा खंडों को अनिश्चित काल तक इस कथन तक बढ़ाया जा सकता है कि रेखाएँ अबाधित हैं। रीमैन की दीर्घवृत्तीय ज्यामिति इस स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने वाली सबसे प्राकृतिक ज्यामिति के रूप में उभरती है।

नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति के प्रारूप
दो आयामी यूक्लिडियन ज्यामिति एक समतल समतल (गणित) की हमारी धारणा द्वारा प्रारूप है।

दीर्घवृत्तीय ज्यामिति
दीर्घवृत्तीय ज्यामिति के लिए सबसे सरल प्रारूप एक वृत्त है, जहाँ रेखाएँ बृहत् वृत होती हैं। जैसे कि भूमध्य रेखा या ग्लोब पर भूमध्य रेखा और एक दूसरे के विपरीत बिंदु (प्रतिव्यासांत (एंटीपोडल) बिंदु कहलाते हैं।) की पहचान की जाती है। या समान माना जाता है। यह भी वास्तविक प्रक्षेपी समतल के मानक प्रारूपों में से एक होता है। अंतर यह है कि दीर्घवृत्तीय ज्यामिति के एक प्रारूप के रूप में लंबाई और कोणों के माप की अनुमति देने वाला एक मापीय प्रस्तुत किया जाता है, जबकि प्रक्षेपी समतल के एक प्रारूप के रूप में ऐसी कोई मापीय नहीं है।

दीर्घवृत्तीय प्रारूप में, किसी भी रेखा के लिए $l$ और एक बिंदु A, जो $l$ पर नहीं है, A से होकर जाने वाली सभी रेखाएँ $l$ को प्रतिच्छेद करेंगी.

अतिपरवलीय ज्यामिति
लोबचेव्स्की, गॉस और बोल्याई के कार्य के बाद भी, यह सवाल बना रहा कि क्या ऐसा प्रारूप अतिपरवलीय ज्यामिति के लिए उपस्थित है? अतिपरवलीय ज्यामिति के लिए प्रारूप का उत्तर 1868 में यूजेनियो बेल्ट्रामी द्वारा दिया गया था।, जिन्होंने पहली बार दिखाया कि छद्ममंडल(pseudosphere) नामक सतह में अतिपरवलीय स्थान के एक हिस्से को प्रारूपित करने के लिए उपयुक्त वक्रता होती है और उसी वर्ष एक दूसरे पेपर में, क्लेन प्रारूप को परिभाषित किया, जो अतिपरवलीय स्थान की संपूर्णता को प्रारूपित करता है, तथा इसका उपयोग यह दिखाने के लिए करता है कि यूक्लिडियन ज्यामिति और अतिपरवलीय ज्यामिति समतुल्य थे। ताकि अतिपरवलीय ज्यामिति तार्किक रूप से सुसंगत थी। यदि और केवल यूक्लिडियन ज्यामिति थी। तथा विपरीत निहितार्थ यूक्लिडियन ज्यामिति के होरोस्फीयर प्रारूप से आता है।

अतिपरवलीय प्रारूप में, किसी दी गयी रेखा के लिए, द्वि-आयामी समतल के अन्दर $l$ और एक बिंदु A, जो चालू नहीं है $l$, A के माध्यम से अनंत समुच्चय कई रेखाएँ हैं, जो $l$ को प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

इन प्रारूपों में, नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति की अवधारणाओं को यूक्लिडियन समुच्चय में यूक्लिडियन वस्तुओं द्वारा दर्शाया जाता है। यह एक अवधारणात्मक विकृति का परिचय देता है।, जिसमें नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति की सीधी रेखाओं को यूक्लिडियन वक्रों द्वारा दर्शाया जाता है, जो दृष्टिगत रूप से झुकते हैं। यह झुकना(bending) नॉन-यूक्लिडियन रेखाओं की विशेषता नहीं है, केवल जिस तरह से उनका प्रतिनिधित्व किया जाता है।

त्रि-आयामी नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति
तीन आयामों में ज्यामिति के आठ प्रारूप होते हैं। यूक्लिडियन, दीर्घवृत्तीय और अतिपरवलीय ज्यामिति हैं, जैसा कि द्वि-आयामी स्थिति में है मिश्रित ज्यामिति जो आंशिक रूप से यूक्लिडियन और आंशिक रूप से अतिपरवलीय या गोलाकार(spherical) हैं। मिश्रित ज्यामिति के विकृत संस्करण और एक असामान्य ज्यामिति जो पूरी तरह से असमदिग्वर्ती होने की स्थिति मे है। अर्थात प्रत्येक दिशा अलग तरह से व्यवहार करती है।

असामान्य गुण (Uncommon properties)
यूक्लिडियन और नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति में स्वाभाविक रूप से कई समान गुण होते हैं, अर्थात् वे जो समानता की प्रकृति पर निर्भर नहीं होते हैं। यह समानता पूर्ण ज्यामिति (जिसे तटस्थ ज्यामिति भी कहा जाता है) का विषय है। हालांकि, गुण जो एक ज्यामिति को दूसरों से अलग करते हैं, ऐतिहासिक रूप से सबसे अधिक ध्यान आकर्षित किया है।

सामान्य लंबवत के संबंध में रेखाओं के व्यवहार के अतिरिक्त, जिसका उल्लेख प्रस्तावना में किया गया है, हमारे पास निम्नलिखित भी हैं।
 * लैम्बर्ट चतुर्भुज तीन समकोणों वाला चतुर्भुज होता है। लैम्बर्ट चतुर्भुज का चौथा कोण प्रखर(cute )है यदि ज्यामिति अतिपरवलीय एक समकोण है। यदि ज्यामिति यूक्लिडियन या ज्यामिति दीर्घवृत्तीय है, तो अधिक कोण है। इसके फलस्वरूप केवल यूक्लिडियन ज्यामिति में आयत उपस्थित हैं (समानांतर अवधारणा के बराबर एक प्रमाण।)
 * सैचेरी चतुर्भुज एक ऐसा चतुर्भुज होता है, जिसकी दो भुजाएँ समान लंबाई की होती हैं, दोनों एक भुजा के लम्बवत् होती हैं, जिसे आधार कहा जाता है। सैचेरी चतुर्भुज के अन्य दो कोण शिखर कोण कहलाते हैं और उनका माप समान होता है। यदि ज्यामिति अतिपरवलीय है, तो साचेरी चतुर्भुज के शिखर कोण तीव्र होते हैं, यदि ज्यामिति यूक्लिडियन है, तो समकोण और यदि ज्यामिति दीर्घवृत्तीय है तो अधिक कोण होते हैं।
 * किसी भी त्रिभुज के कोणों का योग 180° से कम होता है यदि ज्यामिति अतिपरवलीय है, तो 180° के बराबर है यदि ज्यामिति यूक्लिडियन है, और 180° से अधिक है यदि ज्यामिति दीर्घवृत्ताकार है। त्रिभुज का दोष संख्यात्मक मान (180° - त्रिभुज के कोणों के माप का योग) होता है। इस परिणाम को इस प्रकार भी कहा जा सकता है: अतिपरवलीय ज्यामिति में त्रिभुजों का दोष धनात्मक होता है, यूक्लिडियन ज्यामिति में त्रिभुजों का दोष शून्य होता है, और दीर्घवृत्तीय ज्यामिति में त्रिभुजों का दोष ऋणात्मक होता है।

महत्व (Importance)
बेल्ट्रामी, क्लेन और पोइनकेयर(Poincaré) द्वारा एक नॉन-यूक्लिडियन समतल के प्रारूप प्रस्तुत किए जाने से पहले, यूक्लिडियन ज्यामिति स्थान के गणितीय प्रारूप के रूप में चुनौतीहीन थी। इसके अतिरिक्त, चूंकि कृत्रिम ज्यामिति में विषय का पदार्थ तर्कसंगतता का एक प्रमुख प्रदर्शन था, यूक्लिडियन दृष्टिकोण पूर्ण अधिकार का प्रतिनिधित्व करता था।

नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज का एक तरंग प्रभाव थी।, जो गणित और विज्ञान की सीमाओं से बहुत आगे निकल गयी। दार्शनिक इम्मैनुएल कांत के मानव ज्ञान के उपचार की ज्यामिति के लिए एक विशेष भूमिका थी। यह कृत्रिम प्राथमिकता ज्ञान का उनका प्रमुख उदाहरण था। न तो इंद्रियों से प्राप्त हुआ और न ही तर्क के माध्यम से कम हुआ - स्थान के बारे में हमारा ज्ञान एक सच्चाई थी। जिसके साथ हम उत्पन्न हुए थे। दुर्भाग्य से प्रतिच्छेदन के लिए, इस अपरिवर्तनीय सत्य ज्यामिति की उनकी अवधारणा यूक्लिडियन थी। धर्मशास्त्र भी निरपेक्ष सत्य से सापेक्ष सत्य में परिवर्तन से प्रभावित था। जिस तरह से गणित अपने आसपास की दुनिया से संबंधित है, जो इस प्रतिमान परिवर्तन का परिणाम था।

नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति विज्ञान के इतिहास में प्रतिमान परिवर्तन का एक उदाहरण है, जिसमें गणितज्ञों और वैज्ञानिकों ने अपने विषयों को देखने के तरीके को परिवर्तित कर दिया। कुछ ज्यामितिविदों ने लोबचेव्स्की को उनके कार्य के क्रांतिकारी चरित्र के कारण ज्यामिति का कोपरनिकस भी कहा।

नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति के अस्तित्व ने विक्टोरियन इंग्लैंड के बौद्धिक जीवन को कई तरह से प्रभावित किया। और विशेष रूप से उन प्रमुख कारकों में से एक था। जिसने यूक्लिड के तत्वों पर आधारित ज्यामिति के शिक्षण की पुनः जांच की। तथा इस पाठ्यक्रम के विवाद पर उस समय बहुत चर्चा हुई थी और यह एक पुस्तक, यूक्लिड और उनके आधुनिक प्रतिद्वंद्वियों का विषय भी था, जिसे चार्ल्स लुट्विज डोडसन (1832-1898) द्वारा लिखा गया था।, तथा जिसे एलिस इन वंडरलैंड के लेखक लुईस कैरोल के नाम से जाना जाता है।

समतल बीजगणित (Planar algebras)
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में एक समतल को कार्तीय निर्देशांकों C = { (x,y): x, y ∈ ℝ} के साथ वर्णित किया जाता है। बिंदुओं को कभी-कभी सम्मिश्र संख्याओं z = x + y ε से पहचाना जाता है।, जहां ε2 ∈ {-1, 0, 1}

यूक्लिडियन तल की स्थिति मे ε2 = -1 से मेल खाता है, क्योंकि z का मापांक इस प्रकार दिया जाता है।
 * $$z z^\ast = (x + y \epsilon) (x - y \epsilon) = x^2 + y^2$$

और यह मात्रा z और मूल बिंदु के बीच की यूक्लिडियन दूरी का वर्ग है। उदाहरण के लिए, {जेड | z z* = 1} इकाई वृत्त है।

प्लानर बीजगणित के लिए, अन्य स्थितियों में नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति उत्पन्न होती है। जब ε2 = +1, तो z एक विभाजित-जटिल संख्या है और पारंपरिक रूप से $j$ एप्सिलॉन को प्रतिस्थापित करता है। फिर
 * $$z z^\ast = (x + y\mathbf{j}) (x - y\mathbf{j}) = x^2 - y^2 \!$$

तथा ${z | z z* = 1}$ इकाई अतिपरवलय है।

जब $ε^{2} = 0$, तब $z$ एक दोहरी संख्या है।

नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए यह दृष्टिकोण नॉन-यूक्लिडियन कोणों की व्याख्या करता है। दोहरी संख्या के समतल में ढलान के पैरामीटर और विभाजन-जटिल समतल में अतिपरवलीय कोण यूक्लिडियन ज्यामिति के कोण के अनुरूप होते हैं। वास्तव में, उनमें से प्रत्येक एक जटिल संख्या z के ध्रुवीय अपघटन में उत्पन्न होता है।

किनेमेटिक ज्यामिति (Kinematic geometries)
1908 में हरमन मिन्कोव्स्की द्वारा प्रस्तुत किए गए भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान के साथ अतिपरवलीय ज्यामिति को गतिकी में एक आवेदन मिला। मिन्कोव्स्की ने गणितीय भौतिकी में विश्व रेखा और उचित समय जैसे शब्दों का प्रारम्भ किया। उन्होंने महसूस किया कि घटनाओं का सबमेनिफोल्ड, भविष्य में उचित समय का एक क्षण, तीन आयामों का एक अतिपरवलीय स्थान माना जा सकता है। पहले से ही 1890 के दशक में अलेक्जेंडर मैकफर्लेन अपने भौतिक विज्ञान के बीजगणित और अतिपरवलीय चतुष्कोण के माध्यम से इस सबमेनिफोल्ड को चार्ट कर रहे थे, हालांकि मैक्फर्लेन ने कॉस्मोलॉजिकल भाषा का उपयोग नहीं किया जैसा कि मिंकोव्स्की ने 1908 में किया था। प्रासंगिक संरचना को अब अतिपरवलीय ज्यामिति का हाइपरबोलाइड प्रारूप कहा जाता है।

नॉन-यूक्लिडियन प्लानर बीजगणित विमान में गतिज ज्यामिति का समर्थन करते हैं। उदाहरण के लिए, स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स संख्या z = eaj एक अंतरिक्ष-समय की घटना का प्रतिनिधित्व कर सकता है, जो भविष्य में रैपिडिटी के संदर्भ के एक फ्रेम के एक क्षण में होती है। इसके अलावा, z द्वारा गुणा एक लोरेंत्ज़ बूस्ट मैपिंग को तेज़ी शून्य के साथ रैपिडिटी a के साथ करता है।

काइनेमैटिक अध्ययन दोहरी संख्याओं का उपयोग करता है $$z = x + y \epsilon, \quad \epsilon^2 = 0,$$ निरपेक्ष समय और स्थान में गति के सजातीय विवरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए समीकरण $$x^\prime = x + vt,\quad t^\prime = t$$ रैखिक बीजगणित में कतरनी मानचित्रण के बराबर हैं:
 * $$\begin{pmatrix}x' \\ t' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1 & v \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x \\ t \end{pmatrix}.$$

दोहरी संख्या के साथ मानचित्रण है $$t^\prime + x^\prime \epsilon = (1 + v \epsilon)(t + x \epsilon) = t + (x + vt)\epsilon.$$

नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति के रूप में विशेष आपेक्षिकता का एक अन्य दृष्टिकोण एडविन बिडवेल विल्सन.ई द्वारा विकसित किया गया था। 1912 में कला और विज्ञान की अमेरिकी संस्थान की कार्यवाही में बी. विल्सन और गिल्बर्ट एन. लुईस उन्होंने परिसर और प्रतिच्छेदन की कृत्रिम ज्यामिति में विभाजन-जटिल संख्या बीजगणित में निहित विश्लेषणात्मक ज्यामिति को नया रूप दिया।

परिकल्पना (Fiction)
नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति प्रायः विज्ञान कथा और विचित्र संरचना(fantasy) के कार्यों में प्रकट होती है।


 * 1895 में, एचजी वेल्स ने लघु कहानी 'डेविडसन की आंखों का उल्लेखनीय स्थिति' प्रकाशित की। इस कहानी की सराहना करने के लिए किसी को यह जानना चाहिए। कि दीर्घवृत्त तल के एक प्रारूप में एक वृत्त पर प्रतिमुख बिंदुओं की पहचान कैसे की जाती है। कहानी में, एक तूफानthunderstorm) के बीच में, सिडनी डेविडसन हार्लो टेक्निकल कॉलेज में एक विद्युत प्रयोगशाला में काम करते हुए लहरें और एक उल्लेखनीय स्वच्छ स्कूनर देखता है। कहानी के अंत में, डेविडसन ने एच. एम.एस. एंटीपोड्स द्वीप से एक समुद्री पक्षी को देखता है।
 * नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति को कभी-कभी 20वीं सदी के डरावनी कल्पना को लेखक एच.पी. लवक्राफ्ट के प्रभाव से जोड़ा जाता है। उनके कार्यों में, कई अप्राकृतिक चीजें ज्यामिति के अपने स्वयं के विचित्र नियमों का पालन करती हैं। लवक्राफ्ट के कथुलु मिथोस में, R'lyeh के डूबे हुए शहर की विशेषता इसकी नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति है। यह काफी पहुच तक निहित है कि यह केवल एक वैकल्पिक ज्यामितीय प्रारूप का उपयोग करने के अतिरिक्त इस ब्रह्मांड के प्राकृतिक नियमों का पालन न करने के एक अतिरिक्त प्रभाव के रूप में प्राप्त किया जाता है, क्योंकि इसके बारे में कहा जाता है कि यह उन लोगों को नियंत्रित करने में सक्षम है जो इसे गलत मानते हैं।
 * रॉबर्ट पिर्सिग ज़ेन और मोटरसाइकिल रखरखाव की कला में मुख्य चरित्र ने कई अवसरों पर रीमैनियन ज्यामिति का उल्लेख किया।
 * द ब्रदर्स करमाज़ोव में, दोस्तोवस्की ने अपने लिपि इवान(Ivan) के माध्यम से नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति पर चर्चा की।
 * क्रिस्टोफर प्रीस्ट के उपन्यास उलटी दुनिया(Inverted World) में घूमते हुए छद्ममंडल के रूप में एक ग्रह पर रहने के संघर्ष का वर्णन है।
 * रॉबर्ट हेनलीन की जानवर की संख्या(The Number of the Beast) स्थान और समय के माध्यम से समानांतर और काल्पनिक ब्रह्मांडों के बीच तात्क्षणिक परिवहन की व्याख्या करने के लिए नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति का उपयोग करता है।
 * Zeno Rogue का HyperRogue अतिपरवलीय समतल पर समुच्चय किया गया। एक रॉगलाइक खेल है, जो खिलाड़ी को इस ज्यामिति के कई गुणों का अनुभव करने की अनुमति देता है। कई यांत्रिकी, खोज, और स्थान अतिपरवलीय ज्यामिति की विशेषताओं पर दृढ़ता से निर्भर करता हैं।
 * पाखण्डी सेना विज्ञान कथा समायोजन में FASA's के वारगेम (वीडियो गेम), भूमिका निभाने वाला खेल और परिकल्पना, तेज-से-प्रकाश यात्रा और संचार Hsieh Ho's के बहुआयामी नॉन-यूक्लिडियन ज्यामिति के उपयोग के माध्यम से संभव है, जो 22 वीं शताब्दी के मध्य में कभी प्रकाशित हुआ था।
 * इयान स्टीवर्ट (गणितज्ञ) में इयान स्टीवर्ट के फ्लैटरलैंड में नायक विक्टोरिया रेखा सभी प्रकार के नॉन-यूक्लिडियन दुनिया का जांच करती है।

यह भी देखें

 * अतिपरवलीय स्थान
 * लेनर्ट क्षेत्र
 * प्रोजेक्टिव ज्यामिति
 * नॉन-यूक्लिडियन सतह विकास

संदर्भ

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 * A. Papadopoulos et Guillaume Théret (2014) La théorie des parallèles de Johann Heinrich Lambert, (Critical edition of Lambert's memoir with a French translation, with historical and mathematical notes and commentaries éd. Blanchard, coll. Sciences dans l'Histoire, Paris ISBN 978-2-85367-266-5
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बाहरी संबंध

 * Roberto Bonola (1912) Non-Euclidean Geometry, Open Court, Chicago.
 * MacTutor Archive article on non-Euclidean geometry
 * Non-Euclidean geometries from Encyclopedia of Math of European Mathematical Society and Springer Science+Business Media
 * Synthetic Spacetime, a digest of the axioms used, and theorems proved, by Wilson and Lewis. Archived by WebCite.
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