असंभाव्यता

गणित, तर्कशास्त्र और गणित के दर्शन में, जो कुछ अव्यावहारिक है वह एक स्व-संदर्भ या स्व-संदर्भित परिभाषा है। समान्य रूप से कहें तो, एक परिभाषा अव्यावहारिक होती है यदि वह परिभाषित किए जा रहे समुच्चय का आह्वान करती है (उल्लेख करती है या मात्रा निर्धारित करती है), या (अधिक सामान्यतः) कोई अन्य समुच्चय जिसमें परिभाषित की जाने वाली चीज़ सम्मिलित होती है। विधेय या अव्यावहारिक होने का क्या अर्थ है इसकी कोई समान्य रूप से स्वीकृत स्पष्ट परिभाषा नहीं है। लेखकों ने अलग-अलग किंतु संबंधित परिभाषाएँ दी हैं।

अव्यावहारिकता के विपरीत विधेयात्मकता है, जिसमें अनिवार्य रूप से स्तरीकरण (गणित) (या विस्तृत) सिद्धांतों का निर्माण सम्मिलित है, जहां निम्न पर मात्रा का ठहराव होता है। स्तर कुछ नए प्रकार के चर उत्पन्न होते हैं, जो निचले से भिन्न होते हैं वे प्रकार जिनमें चर की सीमाएँ होती हैं। एक प्रोटोटाइप उदाहरण अंतर्ज्ञानवादी प्रकार का सिद्धांत है, जो प्रभाव को बनाय रखता है जिससे असंबद्धता को त्याग दिया जा सकता है।

रसेल का विरोधाभास एक अव्यवहारिक निर्माण का एक प्रसिद्ध उदाहरण है - अर्थात् सभी समुच्चय का समुच्चय (गणित) जिसमें स्वयं सम्मिलित नहीं हैं। विरोधाभास यह है कि ऐसा कोई समुच्चय अस्तित्व में नहीं हो सकता: यदि यह अस्तित्व में होगा तो यह प्रश्न पूछा जा सकता है कि क्या इसमें स्वयं सम्मिलित है या नहीं - यदि ऐसा है तो परिभाषा के अनुसार ऐसा नहीं होना चाहिए, और यदि ऐसा नहीं है तो परिभाषा के अनुसार इसे होना चाहिए।

समुच्चय $X$ की सबसे बड़ी निचली सीमा, $glb(X)$, में भी एक अव्यावहारिक है परिभाषा: $y = glb(X)$ यदि और केवल यदि $X$ के सभी तत्वों $x$ के लिए, $y$, $x$ से कम या उसके समान है, और X के सभी तत्वों से कम या उसके समान कोई भी z, y से कम या उसके समान है।  यह परिभाषा समुच्चय पर मात्रा निर्धारित करती है (संभावित रूप से अनंत, प्रश्न में क्रम के आधार पर) जिनके सदस्य $X$ की निचली सीमाएं हैं, जिनमें से एक स्वयं जीएलबी है। इसलिए विधेयवाद इस परिभाषा को अस्वीकार कर देगा।

इतिहास
विधेय और अभेद्य शब्द किसके द्वारा प्रस्तुत किए गए थे? , चूँकि तब से इसका अर्थ थोड़ा बदल गया है।

सोलोमन फ़ेफ़रमैन पूर्वानुमान की एक ऐतिहासिक समीक्षा प्रदान करते हैं, इसे वर्तमान उत्कृष्ट शोध समस्याओं से जोड़ते हैं।

दुष्चक्र सिद्धांत का सुझाव हेनरी पोंकारे (1905-6, 1908) ने दिया था। और वैध समुच्चय विनिर्देशों पर एक आवश्यकता के रूप में विरोधाभासों के इस दृष्टिकोण से बर्ट्रेंड रसेल या जो समुच्चय आवश्यकता को पूरा नहीं करते, उन्हें इम्प्रिडिकेटिव कहा जाता है।

पहला आधुनिक विरोधाभास सेसारे बुराली-फोर्टी के 1897 में ट्रांसफ़िनिट संख्याओं पर एक प्रश्न के साथ सामने आया था। और बुराली-फोर्टी विरोधाभास के रूप में जाना जाने लगा। कैंटर ने स्पष्ट रूप से अपने (कैंटर के) नैवे समुच्चय सिद्धांत में उसी विरोधाभास की खोज की थी अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत और इसे कैंटर के विरोधाभास के रूप में जाना जाता है। समस्या के बारे में रसेल की जागरूकता जून 1901 में उत्पन्न हुई फ्रेगे के गणितीय तर्क के ग्रंथ को पढ़ने के साथ, उनका 1879 शब्द लेखन; पूछा में आपत्तिजनक वाक्य निम्नलिखित है:

"दूसरी ओर, यह भी हो सकता है कि तर्क निश्चित हो और कार्य अनिश्चित हो."

दूसरे शब्दों में, दिया गया $f(a)$ फलन $f$ परिवर्तनशील है और $a$ अपरिवर्तनीय भाग है। तो फिर $f$ के स्थान पर $f(a)$ का मान क्यों न रखा जाए? रसेल ने तुरंत फ़्रीज को एक पत्र लिखकर बताया कि:

"आप कहते हैं... कि एक फ़ंक्शन भी अनिश्चित तत्व के रूप में कार्य कर सकता है। पहले मैं इस पर विश्वास करता था, लेकिन अब निम्नलिखित विरोधाभास के कारण यह दृष्टिकोण मुझे संदिग्ध लगता है। मान लीजिए कि $w$ विधेय है: एक विधेय होना जो स्वयं का विधेय नहीं हो सकता। क्या स्वयं का विधेय हो सकता है? प्रत्येक उत्तर से उसका विपरीत आता है। इसलिए हमें यह निष्कर्ष निकालना चाहिए कि $w$ एक विधेय नहीं है। इसी प्रकार उन वर्गों का कोई वर्ग (समग्रता के रूप में) नहीं है, जिनमें से प्रत्येक को समग्रता के रूप में लिया जाए, तो वे स्वयं से संबंधित नहीं होते हैं। इससे मैं यह निष्कर्ष निकालता हूं कि कुछ परिस्थितियों में एक निश्चित संग्रह समग्रता का निर्माण नहीं करता है।"

फ़्रीज ने समस्या को स्वीकार करते हुए तुरंत रसेल को उत्तर लिखा: "विरोधाभास की आपकी खोज ने मुझे सबसे बड़ा आश्चर्य और, मैं लगभग कहूँगा, घबराहट का कारण बना दिया, क्योंकि इसने उस आधार को हिला दिया है जिस पर मैंने अंकगणित का निर्माण करने का आशय किया था।"

जबकि समस्या के दोनों व्यक्तियों के लिए प्रतिकूल व्यक्तिगत परिणाम थे (दोनों के पास प्रिंटर पर काम था जिसे सुधारना पड़ा), वैन हाइजेनोर्ट का मानना ​​है कि विरोधाभास ने तर्कशास्त्रियों की दुनिया को हिलाकर रख दिया, और रम्बल आज भी अनुभव की जाती है। ... रसेल का विरोधाभास, जो समुच्चय और तत्व की नग्न धारणाओं का उपयोग करता है, तर्क के क्षेत्र में पूरी तरह से गिरता है। विरोधाभास को सबसे पहले रसेल ने गणित के सिद्धांत (1903) में प्रकाशित किया था और वहां इसकी विस्तृत चर्चा की गई है...। रसेल, छह साल की झूठी प्रारंभ के बाद, अंततः अपने 1908 के प्रकारों के सिद्धांत के साथ रिड्यूसिबिलिटी के सिद्धांत को प्रतिपादित करके स्थिति का उत्तर देंगे। यह कहता है कि कोई भी फलन उसके साथ व्यापक होता है जिसे वह विधेय फलन कहता है: एक फलन जिसमें स्पष्ट चर के प्रकार तर्कों के प्रकारों से अधिक नहीं चलते हैं। किंतु इस सिद्धांत को हर तरफ से विरोध का सामना करना पड़ा था।

अपरिभाषित रूप से परिभाषित गणितीय वस्तुओं की अस्वीकृति (प्राकृतिक संख्याओं को मौलिक रूप से समझे जाने वाले रूप में स्वीकार करते हुए) गणित के दर्शन में उस स्थिति की ओर ले जाती है जिसे विधेयवाद के रूप में जाना जाता है, जिसकी वकालत हेनरी पोंकारे और हरमन वेइल ने अपने दास कॉन्टिनम में की थी। पोंकारे और वेइल ने तर्क दिया कि अव्यावहारिक परिभाषाएँ केवल तभी समस्याग्रस्त होती हैं जब एक या अधिक अंतर्निहित समुच्चय अनंत होते हैं।

अर्नेस्ट ज़र्मेलो ने अपने 1908 में सुव्यवस्थित होने की संभावना का एक नया प्रमाण दिया एक संपूर्ण अनुभाग प्रस्तुत करता है b गैर-विधेयात्मक परिभाषा के संबंध में आपत्ति जहां उन्होंने पोंकारे के विरुद्ध तर्क दिया (1906, पृष्ठ 307) [जो बताता है कि] एक परिभाषा 'विधेयात्मक' है और तार्किक रूप से तभी स्वीकार्य है जब इसमें उन सभी वस्तुओं को सम्मिलित नहीं किया गया है जो परिभाषित धारणा पर निर्भर हैं, अथार्त, जो इसमें सम्मिलित हो सकती हैं किसी भी तरह से इसके द्वारा निर्धारित किया जाएगा. वह अव्यावहारिक परिभाषाओं के दो उदाहरण देते हैं - (i) डेडेकाइंड श्रृंखला की धारणा और (ii) "विश्लेषण में जहां भी पहले से परिभाषित "पूर्ण" संख्या Z के अधिकतम या न्यूनतम का उपयोग आगे के अनुमानों के लिए किया जाता है। ऐसा होता है, उदाहरण के लिए, सुप्रसिद्ध कॉची प्रूफ़ में ऐसा होता है...। वह अपने अनुभाग को निम्नलिखित अवलोकन के साथ समाप्त करता है: एक परिभाषा बहुत अच्छी तरह से उन धारणाओं पर निर्भर हो सकती है जो परिभाषित किए जाने के समान हैं; वास्तव में, हर परिभाषा में परिभाषाएँ और परिभाषाएँ समान धारणाएँ हैं, और पोंकारे की मांग का सख्त पालन हर परिभाषा को, इसलिए पूरे विज्ञान को, असंभव बना देगा"।

संख्याओं के पहले से परिभाषित पूर्ण समुच्चय के न्यूनतम और अधिकतम का ज़र्मेलो का उदाहरण क्लेन 1952:42-42 में फिर से दिखाई देता है जहां क्लेन अव्यवहारिक परिभाषाओं की अपनी चर्चा में कम से कम ऊपरी सीमा के उदाहरण का उपयोग करता है; क्लेन इस समस्या का समाधान नहीं करता है. अगले पैराग्राफों में उन्होंने अपने 1918 के दास कॉन्टिनम (द कॉन्टिनम) में वेइल के प्रयास पर चर्चा की जिसमें उन्होंने अव्यवहारिक परिभाषाओं को समाप्त करने की प्रयाश की और इस प्रमेय को बनाए रखने में उनकी विफलता कि एक इच्छित रिक्त समुच्चय $M$ ऊपरी सीमा वाली वास्तविक संख्याओं में न्यूनतम ऊपरी सीमा होती है (सीएफ. वेइल 1919 भी)।

रैमसे ने तर्क दिया कि "अनिवार्य" परिभाषाएँ हानिरहित हो सकती हैं: उदाहरण के लिए, "कमरे में सबसे लंबे व्यक्ति" की परिभाषा अव्यावहारिक है, क्योंकि यह उन चीज़ों के समूह पर निर्भर करती है जिनका यह एक तत्व है, अर्थात् कमरे में सभी व्यक्तियों का समूह गणित के संबंध में, एक अपरिभाषित परिभाषा का एक उदाहरण एक समुच्चय में सबसे छोटी संख्या है, जिसे औपचारिक रूप से इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $y = min(X)$ यदि और केवल यदि $X$ के सभी तत्वों $x$ के लिए, $y$, $x$से कम या उसके बराबर है, और $y$ $X$ में है।

बर्गेस (2005) फ़्रीज के तर्क, पीनो अंकगणित, दूसरे क्रम के अंकगणित और स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के संदर्भ में, कुछ सीमा तक विधेय और अव्यावहारिक सिद्धांतों पर चर्चा करता है।

यह भी देखें

 * गोडेल, एस्चर, बाख
 * अव्यावहारिक बहुरूपता
 * तर्कवाद
 * रिचर्ड का विरोधाभास

संदर्भ

 * PlanetMath article on predicativism
 * John Burgess, 2005. Fixing Frege. Princeton Univ. Press.
 * Solomon Feferman, 2005, "Predicativity" in The Oxford Handbook of Philosophy of Mathematics and Logic. Oxford University Press: 590–624.
 * Stephen C. Kleene 1952 (1971 edition), Introduction to Metamathematics, North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN 0-7204-2103-9. In particular cf. his §11 The Paradoxes (pp. 36–40) and §12 First inferences from the paradoxes IMPREDICATIVE DEFINITION (p. 42). He states that his 6 or so (famous) examples of paradoxes (antinomies) are all examples of impredicative definition, and says that Poincaré (1905–6, 1908) and Russell (1906, 1910) "enunciated the cause of the paradoxes to lie in these impredicative definitions" (p. 42), however, "parts of mathematics we want to retain, particularly analysis, also contain impredicative definitions." (ibid). Weyl in his 1918 ("Das Kontinuum") attempted to derive as much of analysis as was possible without the use of impredicative definitions, "but not the theorem that an arbitrary non-empty set M of real numbers having an upper bound has a least upper bound (CF. also Weyl 1919)" (p. 43).
 * Hans Reichenbach 1947, Elements of Symbolic Logic, Dover Publications, Inc., NY, ISBN 0-486-24004-5. Cf. his §40. The antinomies and the theory of types (pp. 218 — wherein he demonstrates how to create antinomies, including the definition of impredicable itself ("Is the definition of "impredicable" impredicable?"). He claims to show methods for eliminating the "paradoxes of syntax" ("logical paradoxes") — by use of the theory of types — and "the paradoxes of semantics" — by the use of metalanguage (his "theory of levels of language"). He attributes the suggestion of this notion to Russell and more concretely to Ramsey.
 * Jean van Heijenoort 1967, third printing 1976, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)
 * Hans Reichenbach 1947, Elements of Symbolic Logic, Dover Publications, Inc., NY, ISBN 0-486-24004-5. Cf. his §40. The antinomies and the theory of types (pp. 218 — wherein he demonstrates how to create antinomies, including the definition of impredicable itself ("Is the definition of "impredicable" impredicable?"). He claims to show methods for eliminating the "paradoxes of syntax" ("logical paradoxes") — by use of the theory of types — and "the paradoxes of semantics" — by the use of metalanguage (his "theory of levels of language"). He attributes the suggestion of this notion to Russell and more concretely to Ramsey.
 * Jean van Heijenoort 1967, third printing 1976, From Frege to Gödel: A Source Book in Mathematical Logic, 1879-1931, Harvard University Press, Cambridge MA, ISBN 0-674-32449-8 (pbk.)