व्युत्क्रम वितरण

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, व्युत्क्रम बंटन एक यादृच्छिक चर के व्युत्क्रम का बंटन है। व्युत्क्रम बंटन पैमाने के मापदंडों के लिए विशेष रूप से बेज़ संदर्भ में पूर्व बंटनों और उत्तर बंटनों में उत्पन्न होता है। यादृच्छिक चरों के बीजगणित में व्युत्क्रम बंटन, अनुपात बंटन वर्ग की विशेष स्थितियाँ हैं, जिसमें अंश यादृच्छिक चर में एक अपभ्रष्ट बंटन होता है।

मूल बंटन से संबंध
प्रसामान्यतः पूर्णतः धनात्मक समर्थन वाले यादृच्छिक चर X के प्रायिकता बंटन के लिए, व्युत्क्रम Y = 1 / X के बंटन को प्राप्त करना संभव है। यदि X का बंटन, घनत्व फलन f(x) और संचयी बंटन फलन F(x) के साथ सतत है, तो व्युत्क्रम के संचयी बंटन फलन, G(y) को इस प्रकार प्राप्त किया जाता है कि


 * $$ G(y) = \Pr(Y \leq y) = \Pr\left(X \geq \frac{1}{y}\right) = 1-\Pr\left(X<\frac{1}{y}\right) = 1 - F\left( \frac{ 1 }{ y } \right).$$

तब Y के घनत्व फलन को संचयी बंटन फलन के अवकलज के रूप में प्राप्त किया जाता है:


 * $$ g(y) = \frac{ 1 }{ y^2 } f\left( \frac{ 1 }{ y } \right) . $$

व्युत्क्रम बंटन
व्युत्क्रम बंटन में निम्न रूप का घनत्व फलन होता है।
 * $$f(x) \propto x^{-1} \quad \text{ for } 00 पर एकसमान वितरित किया जाता है, तो व्युत्क्रम चर Y = 1 / X में ऐसा व्युत्क्रम बंटन होता है जो (b−1,a−1) सीमा से मान ग्रहण करता है, और इस सीमा में प्रायिकता घनत्व फलन निम्न है


 * $$ g( y ) = y^{-2} \frac{ 1 }{ b-a } ,$$

और अन्य कहीं यह फलन शून्य है।

समान सीमा के भीतर व्युत्क्रम का संचयी बंटन फलन निम्न है


 * $$ G( y ) = \frac{ b - y^{-1} }{ b -  a } .$$

उदाहरण के लिए, यदि X को अंतराल (0,1) पर एकसमान वितरित किया गया है, तो Y = 1 / X में घनत्व $$ g( y ) = y^{-2} $$ और संचयी बंटन फलन $$ G( y ) = { 1 - y^{-1} }$$, जब $$y > 1 .$$ होता है।

व्युत्क्रम t बंटन
माना X, k स्वातंत्र्य कोटियों वाला t वितरित यादृच्छिक चर है। तब इसका घनत्व फलन निम्न है


 * $$ f( x ) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ k \pi } } \frac{ \Gamma\left( \frac{ k + 1 }{ 2 } \right) }{ \Gamma\left( \frac{ k }{ 2 } \right) } \frac{ 1 }{ \left( 1 + \frac{ x^2 }{ k } \right)^{ \frac{ 1 + k }{ 2 } } } .$$

Y = 1 / X का घनत्व निम्न है


 * $$ g( y ) = \frac{ 1 }{ \sqrt{ k \pi } } \frac{ \Gamma\left( \frac{ k + 1 }{ 2 } \right) }{ \Gamma\left( \frac{ k }{ 2 } \right) } \frac{ 1 }{ y^2 \left( 1 + \frac{ 1 }{ y^2 k } \right)^{ \frac{ 1 + k }{ 2 } } } .$$

k = 1 के साथ, X और 1 / X के बंटन समान हैं (X तब कैशी बंटन (0,1) है)। यदि k > 1, तो 1 / X का बंटन द्विबहुलक है।

व्युत्क्रम प्रसामान्य बंटन
यदि चर X एक प्रसामान्य बंटन $$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$$ का अनुसरण करता है, तो व्युत्क्रम Y=1/X, एक व्युत्क्रम प्रसामान्य बंटन का अनुसरण करता है:


 * $$ f(y) = \frac{1}{\sqrt{2\pi} \sigma y^2} e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{1/y-\mu}{\sigma}\right)^2} .$$

यदि चर X एक मानक प्रसामान्य बंटन $$\mathcal{N}(0, 1)$$ का अनुसरण करता है, तो Y = 1/X एक व्युत्क्रम $$\pm\tfrac{1}{\sqrt{2}}$$ पर बहुलक वाले हैवी-टेल्ड और द्विबहुलक बंटन, व्युत्क्रम मानक प्रसामान्य बंटन का अनुसरण करता है, जिसका घनत्व निम्न है

$$f(y)=\frac{e^{-\frac{1}{2y^2}}}{\sqrt{2\pi}y^2}$$

और प्रथम एवं उच्च क्रम के आघूर्णों का अस्तित्व नहीं हैं। ऐसे व्युत्क्रम बंटनों और अनुपात बंटनों के लिए, अभी भी ऐसे अंतरालों के लिए प्रायिकताएँ परिभाषित हो सकती हैं, जिनकी गणना या तो मॉन्टे कार्लो सिमुलेशन द्वारा या कुछ स्थितियों में गियरी-हिंकले रूपान्तरण का उपयोग करके की जा सकती है।

हालाँकि, विस्थापित व्युत्क्रम फलन $$1/(p-B)$$ की अधिक सामान्य स्थिति में, एक सामान्य प्रसामान्य बंटन के बाद $$B=N(\mu,\sigma)$$ के लिए, माध्य और प्रसरण सांख्यिकी एक मुख्य मान अर्थ में अस्तित्व में होते हैं, यदि ध्रुव $$p$$ और माध्य $$\mu$$ के बीच का अंतर का मान वास्तविक है। इस रूपांतरित यादृच्छिक चर (व्युत्क्रम विस्थापित प्रसामान्य बंटन) का अर्थ वास्तव में सोपानी डॉसन का फलन है:

$$\frac{\sqrt{2}}{\sigma} F \left(\frac{p-\mu}{\sqrt{2}\sigma}\right)$$.

इसके विपरीत, यदि शिफ्ट $$p-\mu$$ विशुद्ध रूप से जटिल है, मतलब मौजूद है और एक स्केल्ड फदीवा फलन है, जिसका सटीक अभिव्यक्ति काल्पनिक भाग के संकेत पर निर्भर करता है,$$\operatorname{Im}(p-\mu)$$. दोनों ही मामलों में, विचरण माध्य का एक साधारण कार्य है। इसलिए, भिन्नता को एक प्रमुख मूल्य अर्थ में माना जाना चाहिए $$p-\mu$$ वास्तविक है, जबकि यह काल्पनिक भाग मौजूद है $$p-\mu$$ शून्य नहीं है। ध्यान दें कि ये साधन और प्रसरण सटीक हैं, क्योंकि वे अनुपात के रेखीयकरण की पुनरावृत्ति नहीं करते हैं। विभिन्न ध्रुवों की एक जोड़ी के साथ दो अनुपातों का सटीक सहप्रसरण $$p_1$$ और $$p_2$$ समान रूप से उपलब्ध है। एक जटिल प्रसामान्य चर के व्युत्क्रम का मामला $$B$$, विस्थापित या नहीं, विभिन्न विशेषताओं को प्रदर्शित करता है।

व्युत्क्रम घातीय बंटन
अगर $$X$$ दर पैरामीटर के साथ एक घातीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर है $$\lambda$$, तब $$Y=1/X$$ निम्नलिखित संचयी बंटन फलन है: $$F_Y(y) = e^{-\lambda/y}$$के लिए $$y> 0$$. ध्यान दें कि इस यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान मौजूद नहीं है। व्युत्क्रम घातीय बंटन लुप्त होती वायरलेस संचार प्रणालियों के विश्लेषण में उपयोग पाता है।

व्युत्क्रम कॉची बंटन
यदि X एक कॉची वितरित (μ, σ) यादृच्छिक चर है, तो 1 / X एक कॉची (μ / C, σ / C ) यादृच्छिक चर है जहाँ C = μ2 + σ2 है।

व्युत्क्रम एफ बंटन
यदि X एक F(ν1, ν2 ) वितरित यादृच्छिक चर है तो 1 / X एक F(ν2, ν1 ) यादृच्छिक चर है।

द्विपद बंटन का व्युत्क्रम
इस बंटन के लिए कोई बंद रूप ज्ञात नहीं है। माध्य के लिए एक स्पर्शोन्मुख सन्निकटन ज्ञात है।

$$ E[ ( 1 + X )^a ] = O( ( np )^{ -a } ) + o( n^{ -a } ) $$

जहां ई [] उम्मीद ऑपरेटर है, X एक यादृच्छिक चर है, ओ और ओ  बड़े और छोटे बिग ओ नोटेशन हैं, एन नमूना आकार है, पी सफलता की संभावना है और एक चर है जो हो सकता है धनात्मक या ऋणात्मक, पूर्णांक या भिन्नात्मक हो।

त्रिकोणीय बंटन का व्युत्क्रम
निचले सीमा a, ऊपरी सीमा b और मोड c के साथ त्रिकोणीय बंटन के लिए, जहां a < b और a ≤ c ≤ b, व्युत्क्रम का मतलब द्वारा दिया जाता है

$$ \mu = \frac{2 \left( \frac{ a\, \mathrm{ln} \left(\frac{a}{c}\right) }{a-c} + \frac{ b\, \mathrm{ln}\left(\frac{c}{b}\right) }{b-c} \right)}{a-b}$$ और द्वारा भिन्नता

$$ \sigma^2 = \frac{2 \left( \frac{ \mathrm{ln} \left(\frac{c}{a}\right) }{a-c} + \frac{ \mathrm{ln} \left(\frac{b}{c}\right) }{b-c} \right)}{a-b} - \mu^2$$.

व्युत्क्रम के दोनों क्षणों को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब त्रिभुज शून्य को पार नहीं करता है, अर्थात जब a, b, और c या तो सभी धनात्मक या सभी ऋणात्मक होते हैं।

अन्य व्युत्क्रम बंटन
अन्य व्युत्क्रम बंटन में शामिल हैं
 * व्युत्क्रम-चाई-वर्ग बंटन
 * व्युत्क्रम-गामा बंटन
 * व्युत्क्रम-विशार्ट बंटन
 * व्युत्क्रम मैट्रिक्स गामा बंटन

अनुप्रयोग
पैमाने के मापदंडों के लिए बायेसियन अनुमान में पूर्व बंटन के रूप में व्युत्क्रम बंटन का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

 * हरात्मक माध्य
 * अनुपात बंटन
 * स्व-व्युत्क्रम बंटन