चार-वेग

भौतिकी में, विशेष रूप से विशेष सापेक्षता और सामान्य सापेक्षता में, चार-वेग चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में एक चार-वेक्टर है। यह गति के सापेक्षवादी समकक्ष का प्रतिनिधित्व करता है, जो अंतरिक्ष में एक त्रि-आयामी वेक्टर है।

भौतिक घटना (सापेक्षता) समय और स्थान में गणितीय बिंदुओं के अनुरूप है, उन सभी का सेट एक साथ भौतिक चार-आयामी अंतरिक्ष-समय का गणितीय मॉडल बनाता है। किसी वस्तु का इतिहास स्पेसटाइम में एक वक्र का पता लगाता है, जिसे उसकी विश्व रेखा कहा जाता है। यदि वस्तु का विशेष आपेक्षिकता में द्रव्यमान है, ताकि उसकी गति आवश्यक रूप से प्रकाश की गति से कम हो, तो विश्व रेखा वस्तु के उचित समय के अनुसार पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) हो सकती है। चार-वेग वक्र के साथ उचित समय के संबंध में चार-स्थिति के परिवर्तन की दर है। वेग, इसके विपरीत, वस्तु के (त्रि-आयामी) स्थान में स्थिति के परिवर्तन की दर है, जैसा पर्यवेक्षक द्वारा देखा गया है, पर्यवेक्षक के समय के संबंध में।

किसी वस्तु के चार-वेग के मैग्नीट्यूड_(गणित)#स्यूडो-यूक्लिडियन_स्पेस का मान, यानी मीट्रिक टेन्सर (सामान्य_सापेक्षता) लगाने से प्राप्त मात्रा $g$ चार-वेग के लिए $U$, वह है $1=\|U\|^{2} = U ⋅ U = g_{μν}U^{ν}U^{μ}$, हमेशा बराबर होता है $±c^{2}$, कहाँ $c$ प्रकाश की गति है। प्लस या माइनस साइन लागू होता है या नहीं यह मीट्रिक हस्ताक्षर  के चुनाव पर निर्भर करता है। किसी वस्तु के आराम के लिए उसका चार-वेग उस समय की दिशा के समानांतर होता है जिसके साथ समन्वय होता है $U^{0} = c$. एक चार-वेग इस प्रकार एक विश्व रेखा के लिए सामान्यीकृत भविष्य-निर्देशित समय-समान स्पर्शरेखा सदिश है, और एक प्रतिपरिवर्तक सदिश है। हालांकि यह एक सदिश है, दो चार-वेगों को जोड़ने से एक चार-वेग नहीं मिलता है: चार-वेगों का स्थान अपने आप में एक सदिश स्थान नहीं है।

वेग
त्रि-आयामी अंतरिक्ष (एक जड़त्वीय फ्रेम में) में किसी वस्तु का मार्ग तीन स्थानिक समन्वय कार्यों x के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता हैi(t) समय t का, जहाँ i एक अनुक्रमणिका अंकन है जो मान 1, 2, 3 लेता है।

तीन निर्देशांक 3डी स्थिति वेक्टर बनाते हैं, जिसे कॉलम वेक्टर के रूप में लिखा जाता है


 * $$\vec{x}(t) = \begin{bmatrix} x^1(t) \\ x^2(t) \\ x^3(t) \end{bmatrix} \,.$$

वेग के घटक $${\vec{u}}$$ (वक्र की स्पर्शरेखा) विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर हैं


 * $$\vec{u} = \begin{bmatrix}u^1 \\ u^2 \\ u^3\end{bmatrix} = {d \vec{x} \over dt} =

\begin{bmatrix} \tfrac{dx^1}{dt} \\ \tfrac{dx^2}{dt} \\ \tfrac{dx^3}{dt} \end{bmatrix}.$$ प्रत्येक घटक बस लिखा है


 * $$u^i = {dx^i \over dt}$$

सापेक्षता का सिद्धांत
आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांत में, संदर्भ के एक विशेष फ्रेम के सापेक्ष चलने वाली वस्तु का मार्ग चार समन्वय कार्यों x द्वारा परिभाषित किया गया हैμ(τ), जहां μ एक स्पेसटाइम इंडेक्स है जो टाइमलाइक घटक के लिए मान 0 लेता है, और स्पेसलाइक निर्देशांक के लिए 1, 2, 3 लेता है। शून्यांक घटक को समय निर्देशांक को c से गुणा करके परिभाषित किया जाता है,
 * $$x^{0} = ct\,,$$ प्रत्येक फ़ंक्शन एक पैरामीटर τ पर निर्भर करता है जिसे इसका उचित समय कहा जाता है। स्तंभ सदिश के रूप में,



\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x^0(\tau)\\ x^1(\tau) \\ x^2(\tau) \\ x^3(\tau) \\ \end{bmatrix}\,. $$

समय फैलाव
समय फैलाव से, निर्देशांक समय t और उचित समय τ में एक फलन के अंतर से संबंधित हैं


 * $$dt = \gamma(u) d\tau$$

जहां लोरेंत्ज़ कारक,


 * $$\gamma(u) = \frac{1}{\sqrt{1-\frac{u^2}{c^2}}}\,,$$

3डी वेलोसिटी वेक्टर के नॉर्म (गणित)#यूक्लिडियन नॉर्म यू का एक फंक्शन है $$\vec{u}$$:


 * $$u = \|\ \vec{u}\ \| = \sqrt{ \left(u^1\right)^2 + \left(u^2\right)^2 + \left(u^3\right)^2} \,.$$

चतुर्भुज की परिभाषा
चार-वेग एक समयबद्ध वक्र विश्व रेखा का स्पर्शरेखा चार-वेक्टर है। चतुर्भुज $$\mathbf{U}$$ विश्व रेखा के किसी भी बिंदु पर $$\mathbf{X}(\tau)$$ परिभाषित किया जाता है:


 * $$\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau}$$

कहाँ $$\mathbf{X}$$ चार स्थिति है और $$\tau$$ उचित समय है। किसी वस्तु के उचित समय का उपयोग करते हुए यहां परिभाषित चार-वेग द्रव्यमान रहित वस्तुओं जैसे कि प्रकाश की गति से यात्रा करने वाले फोटॉन के लिए विश्व रेखाओं के लिए मौजूद नहीं है; न ही इसे अन्य सी ह्युंग विश्व रेखाओं के लिए परिभाषित किया गया है, जहां स्पर्शरेखा वेक्टर spacelike  है।

चार-वेग के घटक
समय t और निर्देशांक समय x के बीच संबंध0 द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$x^0 = ct .$$

उचित समय τ के संबंध में इसकी व्युत्पत्ति लेते हुए, हम U पाते हैंμ वेग घटक μ = 0 के लिए:


 * $$U^0 = \frac{dx^0}{d\tau} = \frac{d(ct)}{d\tau} = c\frac{dt}{d\tau} = c \gamma(u)$$

और अन्य 3 घटकों के लिए उचित समय के लिए हमें यू मिलता हैμ μ = 1, 2, 3 के लिए वेग घटक:


 * $$U^i = \frac{dx^i}{d\tau} =

\frac{dx^i}{dt} \frac{dt}{d\tau} = \frac{dx^i}{dt} \gamma(u) = \gamma(u) u^i $$ जहाँ हमने श्रृंखला नियम और संबंधों का उपयोग किया है


 * $$u^i = {dx^i \over dt } \,,\quad \frac{dt}{d\tau} = \gamma (u)$$

इस प्रकार, हम चार-वेग के लिए पाते हैं $$\mathbf{U}$$:


 * $$\mathbf{U} = \gamma \begin{bmatrix} c\\ \vec{u} \\ \end{bmatrix}.$$

मानक चार-वेक्टर संकेतन में लिखा गया है:


 * $$\mathbf{U} = \gamma \left(c, \vec{u}\right) = \left(\gamma c, \gamma \vec{u}\right)$$

कहाँ $$\gamma c$$ लौकिक घटक है और $$\gamma \vec{u}$$ स्थानिक घटक है।

फ्लैट स्पेसटाइम के एक विशेष स्लाइस से जुड़े सिंक्रनाइज़ घड़ियों और शासकों के संदर्भ में, चार-वेग के तीन स्पेसलाइक घटक एक यात्रा वस्तु के उचित वेग को परिभाषित करते हैं। $$\gamma \vec{u} = d\vec{x}/d\tau$$ यानी वह दर जिस पर वस्तु के साथ यात्रा करने वाली घड़ियों पर प्रति यूनिट उचित समय के संदर्भ मानचित्र फ्रेम में दूरी तय की जाती है।

अधिकांश अन्य चार-वैक्टरों के विपरीत, चार-वेग में केवल 3 स्वतंत्र घटक होते हैं $$u_x, u_y, u_z$$ 4 के बजाय। $$\gamma$$ h> कारक त्रि-आयामी वेग का एक कार्य है $$\vec{u}$$.

जब कुछ लोरेंत्ज़ अदिशों को चार-वेग से गुणा किया जाता है, तो एक को नए भौतिक चार-वैक्टर मिलते हैं जिनमें 4 स्वतंत्र घटक होते हैं।

उदाहरण के लिए:
 * चार गति: $$\mathbf{P} = m_o\mathbf{U} = \gamma m_o\left(c, \vec{u}\right) = m\left(c, \vec{u}\right) = \left(mc, m\vec{u}\right) = \left(mc, \vec{p}\right) = \left(\frac{E}{c},\vec{p}\right)$$, कहाँ $$m_o$$ द्रव्यमान है
 * चार-वर्तमान | चार-वर्तमान घनत्व: $$\mathbf{J} = \rho_o\mathbf{U} = \gamma \rho_o\left(c, \vec{u}\right) = \rho\left(c, \vec{u}\right) = \left(\rho c, \rho\vec{u}\right) = \left(\rho c, \vec{j}\right)$$, कहाँ $$\rho_o$$ चार्ज घनत्व है

प्रभावी रूप से, $$\gamma$$ कारक चौथा स्वतंत्र घटक बनाने के लिए लोरेंत्ज़ स्केलर शब्द के साथ जुड़ता है
 * $$m = \gamma m_o$$ और $$\rho = \gamma \rho_o$$

परिमाण
बाकी फ्रेम में चार-स्थिति के अंतर का उपयोग करके, चार-वेग का परिमाण प्राप्त किया जा सकता है:


 * $$\|\mathbf{U}\|^2 = g_{\mu\nu}U^\mu U^\nu = g_{\mu\nu}\frac{dX^\mu}{d\tau} \frac{dX^\nu}{d\tau} = c^2 \,,$$

संक्षेप में, किसी भी वस्तु के लिए चार-वेग का परिमाण हमेशा एक निश्चित स्थिरांक होता है:


 * $$\|\mathbf{U}\|^2 = c^2 \,$$

एक गतिमान फ्रेम में, समान मानदंड है:


 * $$\|\mathbf{U}\|^2 = {\gamma(u)}^2 \left( c^2 - \vec{u}\cdot\vec{u} \right) \,,$$

ताकि:


 * $$c^2 = {\gamma(u)}^2 \left( c^2 - \vec{u}\cdot\vec{u} \right) \,,$$

जो लोरेंत्ज़ कारक की परिभाषा को कम करता है।

यह भी देखें

 * चार-त्वरण
 * चार गति
 * चार बल
 * चार-ढाल
 * भौतिक स्थान का बीजगणित
 * सर्वांगसमता (सामान्य सापेक्षता)
 * हाइपरबोलाइड मॉडल
 * शीघ्रता