असतत मोर्स सिद्धांत

असतत मोर्स सिद्धांत रॉबिन फोरमैन द्वारा विकसित मोर्स सिद्धांत का मिश्रित रूपांतरण है। यह सिद्धांत विभिन्न विषयों में लागू गणित और कंप्यूटर विज्ञान के विभिन्न क्षेत्रों में व्यावहारिक अनुप्रयोगों, जैसे कि विन्यास स्थान, होमोलोजी संगणना, डिनोइसिंग, मेश संपीड़न,और सांस्थितिक डेटा विश्लेषण आदि में उपयोग किया जाता है।

सीडब्ल्यू परिसरों के संबंध में संकेतन
माना यदि $$X$$ सीडब्ल्यू एक शृंखला है और $$\mathcal{X}$$ उसके सेल समुच्चय को दर्शाता है। आपतन फलन $$\kappa\colon\mathcal{X} \times \mathcal{X} \to \mathbb{Z}$$ को निम्न प्रकार से परिभाषित किया जाता है: दो सेल $$\sigma$$ और $$\tau$$ में $$\mathcal{X}$$, यदि  उस संलग्न आरेख $$\kappa(\sigma,~\tau)$$ के डिग्री को दर्शाता है जो सीडब्ल्यू शृंखला की सीमा  $$\sigma$$ से  $$\tau$$ तक मान्य होती है। सीमा संकार्य $$\partial$$ एक एंडोमॉर्फिज्म है जो $$\mathcal{X}$$ द्वारा उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह का एक भाग है जिसे निम्नलिखित रूप में परिभाषित किया जाता है।


 * $$\partial(\sigma) = \sum_{\tau \in \mathcal{X}}\kappa(\sigma,\tau)\tau.$$

यह सीमा संचालकों $$\partial\circ\partial \equiv 0$$. का एक परिभाषित गुण है। अधिक स्वयंसिद्ध परिभाषाओं में $$\forall \sigma,\tau^{\prime} \in \mathcal{X}$$ परिमित रूप से मान्य होगा ।
 * $$ \sum_{\tau \in \mathcal{X}} \kappa(\sigma,\tau) \kappa(\tau,\tau^{\prime}) = 0$$

जो सीमा संकार्य की उपरोक्त परिभाषा और उस आवश्यकता का परिणाम $$\partial\circ\partial \equiv 0$$.है।

असतत मोर्स कार्य
एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान फलन $$\mu\colon\mathcal{X} \to \mathbb{R}$$ असतत मोर्स फलन है यदि यह निम्नलिखित दो गुणों को संतुष्ट करता है:


 * 1) किसी भी सेल के लिए $$\sigma \in \mathcal{X}$$, सेलों की संख्या $$\tau \in \mathcal{X}$$ की सीमा में $$\sigma$$ जो $$\mu(\sigma) \leq \mu(\tau)$$ में अधिक से अधिक एक को धारण करता है।
 * 2) किसी भी सेल के लिए $$\sigma \in \mathcal{X}$$, सेलों की संख्या $$\tau \in \mathcal{X}$$ युक्त $$\sigma$$ उनकी सीमा में जो $$\mu(\sigma) \geq \mu(\tau)$$ में अधिक से अधिक एक को धारण करता है।

इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है कि दो स्थितियों में सांख्यिकता एक निश्चित सेल $$\sigma$$ के लिए एक साथ एक नहीं हो सकती हैं उसे उपलब्ध कराया गया $$\mathcal{X}$$ एक नियमित सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स है। इस परिप्रेक्ष्य में, प्रत्येक सेल $$\sigma \in \mathcal{X}$$ अधिकतम एक असाधारण सेल $$\tau \in \mathcal{X}$$ के साथ युग्मित किया जा सकता है। जिन सेलों में कोई युग्म नहीं होते हैं, अर्थात, जिनके कार्य मान उनकी सीमा सेलों से अधिक होते हैं और उनकी सह-सीमा सेलों से कम होते हैं, उन्हें 'महत्वपूर्ण' सेल कहा जाता है। इस प्रकार, असतत मोर्स फलन सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स को तीन भिन्न-भिन्न सेल संग्रहों $$\mathcal{X} = \mathcal{A} \sqcup \mathcal{K} \sqcup \mathcal{Q}$$ में विभाजित करता है: ,जहाँ:


 * 1) $$\mathcal{A}$$ उन महत्वपूर्ण सेलों को दर्शाता है जो अयुग्मित हैं,
 * 2) $$\mathcal{K}$$ उन सेलों को दर्शाता है जो सीमा सेलों के साथ निर्मित होती हैं, और
 * 3) $$\mathcal{Q}$$ उन सेलों को दर्शाता है जो सह-सीमा सेलों के साथ निर्मित होती हैं।

निर्माण के द्वारा, $$k$$- में $$\mathcal{K}$$ आयामी सेलों और $$\mathcal{Q}$$, में $$(k-1)$$ आयामी सेलों के मध्य समुच्चय का एक आक्षेप होता है, जो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या $$\mathcal{K}$$ के लिए $$p^k\colon\mathcal{K}^k \to \mathcal{Q}^{k-1}$$ को दर्शाया जा सकता है। यह एक अतिरिक्त तकनीकी आवश्यकता है कि प्रत्येक $$K \in \mathcal{K}^k$$के लिए,$$K$$ की सीमा से संलग्न आरेख की श्रेणी $$K$$ इसके युग्मित सेल के लिए $$p^k(K) \in \mathcal{Q}$$ की अंतर्निहित रिंग में एक इकाई$$\mathcal{X}$$ है, उदाहरण के लिए, पूर्णांक पर $$\mathbb{Z}$$, मात्र $$\pm 1$$  मान स्वीकार्य हैं,  इस तकनीकी आवश्यकता  की प्रतिभूति होती है,, उदाहरण के लिए, जब मान लिया जाता है कि $$\mathcal{X}$$. $$\mathbb{Z}$$ पर एक नियमित सीडब्ल्यू संकुल है।

असतत मोर्स सिद्धांत का मौलिक परिणाम यह स्थापित करता है कि CW समकक्ष $$\mathcal{X}$$  होमोलोजी के स्तर पर महत्वपूर्ण सेलों से बना नया समकक्ष $$\mathcal{A}$$ के समान होता है।  $$\mathcal{K}$$ और $$\mathcal{Q}$$ में वर्णित सेल परिचालन योग्य सेलों के मध्य विस्तृत मार्गों का वर्णन करती हैं जिनका उपयोग सीमा संचालकों के रूप में $$\mathcal{A}$$ को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, इस निर्माण के कुछ विवरण अगले खंड में दिए गए हैं।

मोर्स कॉम्प्लेक्स
एक प्रवणता पथ युग्मित सेलों की एक अनुक्रमिक सरणी होती है।


 * $$\rho = (Q_1, K_1, Q_2, K_2, \ldots, Q_M, K_M)$$

संतोषजनक [ $$Q_m = p(K_m)$$ और $$\kappa(K_m,~Q_{m+1}) \neq 0$$. इस प्रवणता पथ के सूचकांक को पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है।


 * $$\nu(\rho) = \frac{\prod_{m=1}^{M-1}-\kappa(K_m,Q_{m+1})}{\prod_{m=1}^{M}\kappa(K_m,Q_m)}.$$

यहाँ विभाजन समझ में आता है क्योंकि युग्मित सेलों के मध्य की घटना $$\pm 1$$ होनी चाहिए। ध्यान दें कि निर्माण के द्वारा, असतत मोर्स फलन $$\mu$$ के मान $$\rho$$ के अंदर घटते होना चाहिए। पथ P दो महत्वपूर्ण सेलों $$A,A' \in \mathcal{A}$$ को जोड़ता है यदि $$\kappa(A,Q_1) \neq 0 \neq \kappa(K_M,A')$$.होता है। इस संबंध को $$A \stackrel{\rho}{\to} A'$$व्यक्त किया जा सकता है, इस संबंध की बहुलता को $$m(\rho) = \kappa(A,Q_1)\cdot\nu(\rho)\cdot\kappa(K_M,A')$$ पूर्णांक के रूप में परिभाषित किया गया है, अंत में, महत्वपूर्ण सेलों पर मोर्स सीमा संचालक $$\mathcal{A}$$ द्वारा परिभाषित किया गया है।


 * $$\Delta(A) = \kappa(A,A') + \sum_{A \stackrel{\rho}{\to} A'}m(\rho) A'$$

जहां$$A$$ से $$A$$ तक सभी प्रवणता पथ संबंधों के योग से लिया जाता है।.

मूल परिणाम
निरंतर मोर्स सिद्धांत के कई परिचित परिणाम असतत समुच्चयिंग में लागू होते हैं।

मोर्स असमानताएं
यदि $$\mathcal{X}$$ सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स से संबंधित होता है तो $$\mathcal{A}$$ एक मोर्स कॉम्प्लेक्स होगा।. $$m_q = |\mathcal{A}_q|$$संख्या $$\mathcal{A}$$ मे $$q$$-सेलों की होती है, जो $$q$$-वाँ मोर्स संख्या कहलाली है, यदि $$\mathcal{X}$$ की  q-वेत्ति संख्या को $$\beta_q$$ से दर्शाया जाता है। तो  $$N > 0$$,के लिए निम्नलिखित असमानताएँ होती है,


 * $$m_N \geq \beta_N$$, और
 * $$m_N - m_{N-1} + \dots \pm m_0 \geq \beta_N - \beta_{N-1} + \dots \pm \beta_0$$

इसके अतिरिक्त, यूलर विशेषता $$\chi(\mathcal{X})$$ को $$\mathcal{X}$$ स्वीकृत किया जाता है


 * $$\chi(\mathcal{X}) = m_0 - m_1 + \dots \pm m_{\dim \mathcal{X}}$$

असतत मोर्स होमोलॉजी और होमोटॉपी प्रकार
यदि $$\mathcal{X}$$ सीमा संचालक के साथ एक नियमित सीडब्ल्यू $$\partial$$ कॉम्प्लेक्स बनें और $$\mu\colon\mathcal{X} \to \mathbb{R}$$असतत मोर्स फलन, और $$\mathcal{A}$$ मोर्स सीमा संकार्य के साथ $$\Delta$$संबंधित मोर्स कॉम्प्लेक्स हो, तब , समरूपता समूहों का एक होमोलॉजी है,


 * $$H_*(\mathcal{X},\partial) \simeq H_*(\mathcal{A},\Delta),$$

और इसी तरह होमोटॉपी समूहों के लिए भी है

अनुप्रयोग
असतत मोर्स सिद्धांत का उपयोग आणविक आकार विश्लेषण डिजिटल छवियों / मात्राओं का कंकालकरण, कोलाहल डेटा से आरेख पुनर्निर्माण, कोलाहल बिंदुओ को अस्वीकार करने और पुरातत्व में लिथिक उपकरणों का विश्लेषण करने आदि में होता है।

यह भी देखें

 * डिजिटल मोर्स सिद्धांत
 * स्तरीकृत मोर्स सिद्धांत
 * आकार विश्लेषण (डिजिटल ज्यामिति)
 * टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स
 * असतत अंतर ज्यामिति