दो आयामों में द्रव्यमान रहित मुक्त अदिश बोसॉन

द्रव्यमान रहित मुक्त अदिश बोसोन द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत का एक वर्ग है। जिसकी समरूपता का वर्णन एबेलियन एफ़िन लाई बीजगणित द्वारा किया गया है। चूंकि वे मुक्त क्षेत्र हैं अर्थात गैर-अंतःक्रियात्मक हैं, इसलिए मुक्त बोसोनिक सीएफटी को सरलता से हल किया जा सकता है।

कूलम्ब गैस औपचारिकता के माध्यम से, वे न्यूनतम मॉडल (भौतिकी) जैसे सीएफटी की बातचीत में स्पष्ट परिणाम देते हैं।

इसके अतिरिक्त, वे श्रृंखला सिद्धांत के विश्वपत्रक दृष्टिकोण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

एक मुक्त बोसोनिक सीएफटी में, विरासोरो बीजगणित का केंद्रीय प्रभार कोई भी सम्मिश्र मान ले सकता है। चूंकि, मान $$c=1$$ कभी-कभी परोक्ष रूप से मान लिया जाता है। मान लीजिये $$c=1$$ के लिए, सघनीकरण त्रिज्या के इच्छानुसार मानों के साथ सघन मुक्त बोसोनिक सीएफटी उपस्तिथ हैं।

लैग्रेंजियन सूत्रीकरण
दो आयामों में मुक्त बोसोनिक $$ \phi $$ सिद्धांत की क्रिया (भौतिकी) मुक्त बोसॉन की कार्यात्मकता है ,

S[\phi] = \frac{1}{4\pi } \int d^2x \sqrt{g} (g^{\mu \nu} \partial_\mu \phi \partial _{\nu} \phi + Q R \phi )\ , $$ जहाँ $$g_{\mu \nu} $$ द्वि-आयामी स्थान का मीट्रिक टेंसर है जिस पर सिद्धांत तैयार किया गया है, मान लीजिये $$ R $$ उस स्थान का रिक्की अदिश राशि है। पैरामीटर $$Q\in\mathbb{C}$$ पृष्ठभूमि प्रभार कहलाता है.

दो आयामों में जो विशेष है वह है मुक्त बोसोन $$ \phi $$ का अदिश आयाम विलुप्त हो जाता है. यह गैर-लुप्त होने वाले पृष्ठभूमि प्रभार की उपस्थिति की अनुमति देता है, और सिद्धांत के अनुरूप समरूपता के मूल में है।

संभाव्यता सिद्धांत में, मुक्त बोसॉन का निर्माण गाऊसी मुक्त क्षेत्र के रूप में किया जा सकता है। यह यादृच्छिक वेरिएबल के अपेक्षित मानो के रूप में सहसंबंध फलन की प्राप्ति प्रदान करता है।

एबेलियन एफ़िन लाई बीजगणित
समरूपता बीजगणित दो चिरल संरक्षित धाराओं द्वारा उत्पन्न होता है: बायीं ओर चलने वाली धारा और दाहिनी ओर चलने वाली धारा, क्रमशः

J=\partial \phi \quad \text{and} \quad \bar{J}=\bar\partial\phi $$ जो पालन करता है $$\partial\bar J = \bar \partial J = 0$$. प्रत्येक धारा एबेलियन एफ़िन लाई बीजगणित उत्पन्न करती है $$\hat{\mathfrak{u}}_1$$. बाईं ओर चलने वाली एफ़िन लाई बीजगणित की संरचना बाईं ओर चलने वाली धारा के स्व-संचालक उत्पाद विस्तार में कूटबद्‍ध की गई है,
 * $$ J(y)J(z)=\frac{-\frac12}{(y-z)^2} + O(1) $$

समान रूप से, यदि धारा को बिंदु $$z=0$$ के बारे में लॉरेंट श्रृंखला $$J(z)=\sum_{n\in\mathbb{Z}} J_nz^{-n-1}$$ के रूप में लिखा जाता है तो एबेलियन एफ़िन ली बीजगणित की विशेषता लेट ब्रैकेट है:
 * $$ [J_m,J_n] =\frac12 n\delta_{m+n,0} $$

बीजगणित का केंद्र $$J_0$$ से उत्पन्न होता है और बीजगणित आयाम 1 या 2 के पारस्परिक रूप से आने वाले उपबीजगणित का प्रत्यक्ष योग है:

\hat{\mathfrak{u}}_1 = \text{Span}(J_0) \oplus \bigoplus_{n=1}^\infty \text{Span}(J_n,J_{-n}) $$

अनुरूप समरूपता
किसी भी मान $$Q\in\mathbb{C}$$, के लिए एबेलियन एफ़िन ली बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित में जनरेटर के साथ विरासोरो बीजगणित है :

$$ \begin{align} L_n &= -\sum_{m\in{\mathbb{Z}}} J_{n-m}J_m + Q(n+1)J_n\, \qquad (n\neq 0)\ , \\ L_0 &=-2\sum_{m=1}^\infty J_{-m}J_m -J_0^2+QJ_0 \ , \end{align} $$

इस विरासोरो उपबीजगणित का केंद्रीय प्रभार है और एफ़िन लाई बीजगणित जनरेटर के साथ विरासोरो जनरेटर के विनिमय संबंध हैं$$ [L_m,J_n] = -nJ_{m+n} -\frac{Q}{2}m(m+1) \delta_{m+n,0} $$

यदि पैरामीटर $$Q$$ मुक्त बोसोन के पृष्ठभूमि प्रभार के साथ मेल खाता है, फिर क्षेत्र $$ T(z) = \sum_{n\in\mathbb{Z}} L_n z^{-n-2}$$ मुक्त बोसॉन के ऊर्जा-संवेग टेंसर के साथ मेल खाता है। इसलिए संबंधित विरासोरो बीजगणित की अनंतिम अनुरूप मानचित्रो के बीजगणित के रूप में ज्यामितीय व्याख्या है, और सिद्धांत की स्थानीय अनुरूप समरूपता को कूटबद्‍ध करता है।

अतिरिक्त समरूपता
केंद्रीय आवेश और/या संघनन की त्रिज्या के विशेष मानों के लिए, मुक्त बोसोनिक सिद्धांत न केवल उनकी $$\hat{\mathfrak{u}}_1$$ समरूपता हो सकती है, किन्तु अतिरिक्त समरूपता भी हो सकती है। विशेष रूप से, संघनन की त्रिज्या के विशेष मानों के लिए $$c=1$$ पर, गैर-एबेलियन एफ़िन लाई बीजगणित, अतिसममिति, आदि दिखाई दे सकते हैं।

प्राथमिक क्षेत्र को संबद्ध करें
एक मुक्त बोसोनिक सीएफटी में, सभी क्षेत्र या तो एफ़िन प्राथमिक क्षेत्र हैं या एफ़िन वंशज हैं। एफ़िन समरूपता के लिए धन्यवाद, एफ़िन वंशज क्षेत्रों के सहसंबंध फलन को सैद्धांतिक रूप से एफ़िन प्राथमिक क्षेत्रों के सहसंबंध फलन से निकाला जा सकता है।

परिभाषा
एक एफ़िन प्राथमिक क्षेत्र $$V_{\alpha, \bar\alpha}(z)$$ बाएँ और दाएँ के साथ $$\hat{\mathfrak{u}}_1$$-प्रभार $$\alpha,\bar\alpha$$ धाराओं के साथ इसके ओपीई द्वारा परिभाषित किया गया है,

J(y)V_{\alpha, \bar\alpha}(z) = \frac{\alpha}{y-z} V_{\alpha, \bar\alpha}(z) + O(1) \quad ,\quad \bar J(y)V_{\alpha, \bar\alpha}(z) = \frac{\bar\alpha}{\bar y-\bar z} V_{\alpha, \bar\alpha}(z) + O(1) $$ ये ओपीई संबंधों के समतुल्य हैं

J_{n>0} V_{\alpha, \bar\alpha}(z) = \bar J_{n>0} V_{\alpha, \bar\alpha}(z)=0 \quad, \quad J_0V_{\alpha, \bar\alpha}(z) = \alpha V_{\alpha, \bar\alpha}(z) \quad , \quad \bar J_0V_{\alpha, \bar\alpha}(z) = \bar\alpha V_{\alpha, \bar\alpha}(z) $$ प्रभार $$\alpha,\bar\alpha$$ इन्हें बाएँ और दाएँ गति वाले संवेग भी कहा जाता है। यदि वे मेल खाते हैं, तो एफ़िन प्राथमिक क्षेत्र को विकर्ण कहा जाता है और इस प्रकार लिखा जाता है:

$$V_\alpha(z)=V_{\alpha,\alpha}(z)$$.

मुक्त बोसॉन के सामान्य-क्रम वाले घातांक प्राथमिक क्षेत्र हैं। विशेष रूप से, क्षेत्र $$ :e^{2\alpha\phi(z)}: $$ संवेग के साथ विकर्ण एफ़िन प्राथमिक क्षेत्र $$\alpha$$ है. इस क्षेत्र और सामान्य रूप से एफ़िन प्राथमिक क्षेत्र को कभी-कभी शीर्ष संचालक कहा जाता है।

एक एफ़िन प्राथमिक क्षेत्र अनुरूप आयाम के साथ विरासोरो प्राथमिक क्षेत्र भी है

\Delta(\alpha) = \alpha(Q-\alpha) $$ दो क्षेत्र $$V_{\alpha}(z)$$ और $$V_{Q-\alpha}(z)$$ बाएँ और दाएँ अनुरूप आयाम समान हैं, चूंकि उनकी गति भिन्न है।

ओपीई और संवेग संरक्षण
एफ़िन समरूपता के कारण, मुक्त बोसोनिक सीएफटी में गति संरक्षित रहती है। फ़्यूज़न नियमों के स्तर पर, इसका अर्थ यह है कि किन्हीं दो एफ़िन प्राथमिक क्षेत्र के फ़्यूज़न में केवल एफ़िन प्राथमिक क्षेत्र दिखाई दे सकता है,

V_{\alpha_1,\bar\alpha_1} \times V_{\alpha_2,\bar\alpha_2} = V_{\alpha_1+\alpha_2,\bar\alpha_1+\bar\alpha_2} $$ एफ़िन प्राथमिक क्षेत्र के संचालक उत्पाद विस्तार इसलिए रूप लेते हैं

V_{\alpha_1,\bar\alpha_1}(z_1)V_{\alpha_2,\bar\alpha_2}(z_2) = C(\alpha_i,\bar\alpha_i) (z_1-z_2)^{-2\alpha_1\alpha_2} (\bar z_1-\bar z_2)^{-2\bar \alpha_1\bar\alpha_2}\left( V_{\alpha_1+\alpha_2,\bar\alpha_1+\bar\alpha_2}(z_2) + O(z_1-z_2)\right) $$
 * जहाँ $$C(\alpha_i,\bar \alpha_i)$$ ओपीई गुणांक और पद $$O(z_1-z_2)$$ है एफ़िन वंशज क्षेत्रों का योगदान है। ओपीई की पृष्ठभूमि प्रभार पर कोई स्पष्ट निर्भरता नहीं है।

सहसंबंध फलन
क्षेत्र पर $$N$$-बिंदु फलन के लिए एफ़िन वार्ड की पहचान के अनुसार,

\left\langle\prod_{i=1}^N V_{\alpha_i,\bar\alpha_i}(z_i)\right\rangle \neq 0 \implies \sum_{i=1}^N \alpha_i = \sum_{i=1}^N\bar \alpha_i = Q $$ इसके अतिरिक्त, एफ़िन समरूपता पूरी तरह से स्थिति पर क्षेत्र $$N$$-बिंदु फलन की निर्भरता को निर्धारित करती है,

\left\langle\prod_{i=1}^N V_{\alpha_i,\bar\alpha_i}(z_i)\right\rangle \propto \prod_{i<j} (z_i-z_j)^{-2\alpha_i\alpha_j} (\bar z_i-\bar z_j)^{-2\bar \alpha_i\bar \alpha_j} $$ सहसंबंध फलन का एकल-मानांकन गति पर बाधा उत्पन्न करता है,

\Delta(\alpha_i) -\Delta(\bar \alpha_i) \in \frac12\mathbb{Z} $$

गैर-सघन मुक्त बोसोन
एक मुक्त बोसोनिक सीएफटी को गैर-सघन कहा जाता है यदि गति निरंतर मान ले सकती है।

गैर-सघन मुक्त बोसोनिक सीएफटी के साथ $$Q\neq 0$$ गैर-महत्वपूर्ण श्रृंखला सिद्धांत का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है। इस संदर्भ में, गैर-सघन मुक्त बोसोनिक सीएफटी को रैखिक डिलेटन सिद्धांत कहा जाता है।

एक निःशुल्क बोसोनिक सीएफटी $$Q=0$$ अर्थात। $$c=1$$ आयामी लक्ष्य स्थान वाला सिग्मा मॉडल है।
 * यदि लक्ष्य स्थान यूक्लिडियन वास्तविक रेखा है, तो गति काल्पनिक $$\alpha=\bar\alpha\in i\mathbb{R}$$ है, और अनुरूप आयाम धनात्मक $$\Delta(\alpha)\geq 0$$ है.
 * यदि लक्ष्य स्थान मिन्कोव्स्की वास्तविक रेखा है, तो गति वास्तविक $$\alpha=\bar\alpha\in \mathbb{R}$$ है, और अनुरूप आयाम ऋणात्मक $$\Delta(\alpha)\leq 0$$ है.
 * यदि लक्ष्य स्थान वृत्त है, तो संवेग अलग-अलग मान लेता है, और हमारे पास सघन मुक्त बोसॉन होता है।

सघन मुक्त बोसोन
त्रिज्या $$R$$ के साथ सघन मुक्त बोसोन मुक्त बोसोनिक सीएफटी है जहां बाएँ और दाएँ संवेग मान लेते हैं

(\alpha,\bar \alpha) =\left(\frac{i}{2}\left[\frac{n}{R}+Rw\right], \frac{i}{2}\left[\frac{n}{R}-Rw\right]\right) \quad \text{with} \quad (n,w)\in\mathbb{Z}^2 $$ पूर्णांक $$n,w$$ फिर उन्हें संवेग और घुमावदार संख्या कहा जाता है। संघनन त्रिज्या के अनुमत मान $$R\in\mathbb{C}^*$$ हैं यदि $$Q=0$$ और $$R\in\frac{1}{iQ}\mathbb{Z}$$ अन्यथा।

यदि त्रिज्या $$R$$ और $$\frac{1}{R}$$ के साथ $$Q=0$$ मुक्त बोसॉन समान सीएफटी का वर्णन करता है। सिग्मा मॉडल के दृष्टिकोण से, इस तुल्यता को टी-द्वैत कहा जाता है।

यदि $$Q=0$$, सघन मुक्त बोसॉन सीएफटी किसी भी रीमैन सतह पर उपस्तिथ है। इसका विभाजन टोरस $$\frac{\mathbb{C}}{\mathbb{Z}+\tau\mathbb{Z}}$$ पर फलन करता है।

Z_R(\tau) = Z_{\frac{1}{R}}(\tau) = \frac{1}{|\eta(\tau)|^2} \sum_{n,w\in\mathbb{Z}} q^{\frac14\left[\frac{n}{R}+Rw\right]^2} \bar{q}^{\frac14\left[\frac{n}{R}-Rw\right]^2} $$ जहाँ $$q=e^{2\pi i\tau}$$, और $$\eta(\tau)$$ डेडेकाइंड एटा-फलन है। यह विभाजन फलन सिद्धांत के अनुरूप आयामों के विस्तृत श्रेणी पर विरासोरो बीजगणित या वर्णों का योग है।

जैसा कि सभी मुक्त बोसोनिक सीएफटी में होता है, एफ़िन प्राथमिक क्षेत्रों के सहसंबंध फलन में क्षेत्र की स्थिति पर निर्भरता होती है जो एफ़िन समरूपता द्वारा निर्धारित होती है। शेष स्थिर कारक ऐसे संकेत हैं जो क्षेत्र की गति और घुमावदार संख्याओं पर निर्भर करते हैं।

न्यूमैन और डिरिचलेट सीमा नियम
एबेलियन एफ़िन लाई बीजगणित के $$\mathbb{Z}_2$$ स्वचालितता $$J\to -J$$ के कारण दो प्रकार की सीमा स्थितियाँ हैं जो एफ़िन समरूपता को संरक्षित करती हैं, अर्थात्

J = \bar{J} \quad \text{or} \quad J = -\bar{J} $$ यदि सीमा रेखा $$z=\bar{z}$$ है, ये स्थितियाँ क्रमशः न्यूमैन सीमा स्थिति और मुक्त बोसॉन $$\phi$$ के लिए डिरिचलेट सीमा स्थिति से मेल खाती हैं.

सीमा अवस्था
एक सघन मुक्त बोसॉन के स्तिथियों में, प्रत्येक प्रकार की सीमा स्थिति सीमा अवस्थाओ के वर्ग की ओर ले जाती है, जो $$\theta\in \frac{\mathbb{R}}{2\pi \mathbb{Z}}$$ द्वारा पैरामीट्रिज्ड होती है, ऊपरी आधे तल $$\{\Im z > 0\}$$ पर संगत एक-बिंदु फलन करता है।

\begin{align} \left\langle V_{(n,w)}(z)\right\rangle_{\text{Dirichlet}, \theta} &= \frac{e^{in\theta}\delta_{w,0}}{|z-\bar z|^{\frac{n^2}{2R^2}}} \\ \left\langle V_{(n,w)}(z)\right\rangle_{\text{Neumann}, \theta} &= \frac{e^{iw\theta}\delta_{n,0}}{|z-\bar z|^{\frac{R^2w^2}{2}}} \end{align} $$ एक गैर-सघन मुक्त बोसॉन के स्तिथियों में, केवल न्यूमैन सीमा स्थिति होती है, जबकि डिरिचलेट सीमा स्थिति वास्तविक पैरामीटर द्वारा पैरामीट्रिज्ड होती है। संगत एक-बिंदु फलन हैं:

\begin{align} \left\langle V_{\alpha}(z)\right\rangle_{\text{Dirichlet}, \theta} &= \frac{e^{\alpha\theta}}{|z-\bar z|^{2\Delta(\alpha)} } \\ \left\langle V_{\alpha}(z)\right\rangle_{\text{Neumann}} &= \delta(i\alpha) \end{align} $$
 * यूक्लिडियन बोसॉन के लिए जहाँ $$\alpha\in i\mathbb{R}$$ और $$\theta\in\mathbb{R}$$ हैं।

अनुरूप सीमा नियम
न्यूमैन और डिरिचलेट सीमाएँ ही एकमात्र सीमाएँ हैं जो मुक्त बोसोन की एफ़िन समरूपता को संरक्षित करती हैं। चूंकि, अतिरिक्त सीमाएँ उपस्तिथ हैं जो केवल अनुरूप समरूपता को संरक्षित करती हैं।

यदि त्रिज्या अपरिमेय है, तो अतिरिक्त सीमा अवस्थाओ को संख्या $$x\in [-1,1]$$ द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जाता है, प्राथमिक क्षेत्रों $$(n,w)\neq (0,0)$$ को संबद्ध करने के एक-बिंदु फलन विलुप्त हो जाते हैं। चूंकि, विरासोरो प्राथमिक क्षेत्र जो $$(n,w)=(0,0)$$ कि एफ़िन प्राथमिक क्षेत्र के एफ़िन वंशज हैं गैर-नगण्य एक-बिंदु कार्य हैं।

यदि त्रिज्या तर्कसंगत $$R=\frac{p}{q}$$ है, अतिरिक्त सीमा अवस्थाओ को विविध $$\frac{SU(2)}{\mathbb{Z}_p\times \mathbb{Z}_q}$$ द्वारा पैरामीट्रिज्ड किया जाता है.

एकाधिक बोसॉन और कक्षीय तह
जहाँ $$N$$ द्रव्यमान रहित मुक्त अदिश बोसॉन से, समरूपता बीजगणित $$\hat{\mathfrak{u}}_1^N$$ के साथ उत्पाद सीएफटी बनाना संभव है. कुछ या सभी बोसॉन को संघटित किया जा सकता है।

विशेष रूप से, सघनीकरण $$N$$ आयामी टोरस (नेवू-श्वार्ज़ बी-क्षेत्र के साथ) पर पृष्ठभूमि चार्ज के बिना $$N$$ बोसॉन को सघन करने से सीएफटी के एक वर्ग को उत्पत्ति होती है जिसे नारायण संघनन कहा जाता है। ये सीएफटी किसी भी रीमैन सतह पर उपस्तिथ हैं, और विक्षुब्ध श्रृंखला सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

एफ़िन लाई बीजगणित $$\hat{\mathfrak{u}}_1$$ के स्वचालितता $$J\to -J$$ और $$\hat{\mathfrak{u}}_1^N$$ के अधिक सामान्य स्वचालितता के अस्तित्व के कारण मुक्त बोसोनिक सीएफटी की कक्षाएँ उपस्तिथ हैं। उदाहरण के लिए, $$\mathbb{Z}_2$$ सघन मुक्त बोसॉन की $$Q=0$$ कक्षा महत्वपूर्ण द्वि-आयामी एश्किन-टेलर मॉडल है।

कूलम्ब गैस औपचारिकता
कूलम्ब गैस औपचारिकता मुक्त बोसोनिक सीएफटी से वार्तालाप सीएफटी, या उनके कुछ सहसंबंध फलन के निर्माण की तकनीक है। विचार यह है कि फॉर्म $$\textstyle{\int} d^2z\, O(z)$$ के आवरण संचालकों का उपयोग करके क्षोभ सिद्धांत को मुफ्त सीएफटी किया जाए, जहाँ $$O(z)$$ अनुरूप आयामों $$(\Delta,\bar\Delta) = (1, 1)$$ का संबद्ध प्राथमिक क्षेत्र है. अपनी बाधित करने वाली परिभाषा के अतिरिक्त, गति संरक्षण के कारण तकनीक स्पष्ट परिणाम देती है।

पृष्ठभूमि प्रभार $$Q$$ के साथ एकल मुक्त बोसॉन के स्तिथियों में, वहाँ दो विकर्ण आवरण $$\textstyle{\int} V_b, \textstyle{\int} V_{b^{-1}}$$ जहाँ $$Q=b+b^{-1}$$, संचालक उपस्तिथ हैं. न्यूनतम मॉडलों में सहसंबंध फलन की गणना इन आवरण संचालकों का उपयोग करके की जा सकती है, जिससे डॉट्सेंको-फतेव अभिन्न को उत्पत्ति मिलती है। लिउविले क्षेत्र सिद्धांत में सहसंबंध फलन के अवशेषों की भी गणना की जा सकती है, और इससे तीन-बिंदु संरचना स्थिरांक के लिए डीओजेडजेड सूत्र की मूल व्युत्पत्ति हुई।

मान लीजिये $$N$$ मुक्त बोसॉन के स्तिथियों में, आवरण शुल्क की प्रारंभिक का उपयोग लिउविले क्षेत्र सिद्धांत अनुरूप टोडा सिद्धांत सहित गैर-नगण्य सीएफटी को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। इन गैर-नगण्य सीएफटी की समरूपता का वर्णन एबेलियन एफ़िन लाई बीजगणित के उप-बीजगणित द्वारा किया गया है। किन्तु आवरण के आधार पर, ये उप-बीजगणित डब्ल्यू-बीजगणित हो भी सकते हैं और नहीं भी।

कूलम्ब गैस औपचारिकता का उपयोग द्वि-आयामी सीएफटी जैसे q-अवस्था पॉट्स मॉडल और $$O(n)$$ नमूना में भी किया जा सकता है ।

विभिन्न सामान्यीकरण
इच्छानुसार आयामों में, अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत उपस्तिथ हैं जिन्हें अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत या मीन क्षेत्र सिद्धांत कहा जाता है। चूंकि ये दो आयामों में मुक्त बोसोनिक सीएफटी का सामान्यीकरण नहीं हैं। पूर्व में, यह अनुरूप आयाम है जो संरक्षित है (मॉड्यूलो पूर्णांक)। इस प्रकार से उत्तरार्द्ध में, यह गति है.

दो आयामों में, सामान्यीकरण में सम्मिलित हैं:
 * द्रव्यमान रहित मुक्त फर्मियन।
 * घोस्ट सीएफटी।
 * अतिसममितीय मुक्त सीएफटी।