प्रभावी क्रिया

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, क्वांटम प्रभावी कार्यवाही क्वांटम सुधारों को ध्यान में रखते हुए शास्त्रीय कार्यवाही (भौतिकी) के लिए एक संशोधित अभिव्यक्ति है, जबकि यह सुनिश्चित करती है कि कम से कम कार्यवाही का सिद्धांत उपयोजित होता है, इसका अर्थ है कि प्रभावी कार्यवाही को अत्यंतता तक पहुंचाने से क्वांटम क्षेत्रों के निर्वात अपेक्षा मूल्यों के लिए गति के समीकरण प्राप्त होते हैं। प्रभावी क्रिया एक-कण अपरिवर्तनीय सहसंबंध फलन के लिए एक सहसंबंध फलन के रूप में भी कार्य करती है। प्रभावी क्रिया के संभावित घटक को प्रभावी क्षमता कहा जाता है, वास्तविक निर्वात का अपेक्षित मूल्य शास्त्रीय क्षमता के बदले इस क्षमता का न्यूनतम होता है, जो स्वाभाविक समरूपता टूटने का अध्ययन करने के लिए महत्वपूर्ण है।

इसे पहली बार 1962 में जेफरी गोल्डस्टोन और स्टीवन वेनबर्ग द्वारा प्रक्षोभ परिभाषा दी गई थी, जबकि गैर-प्रक्षोभ करने वाली परिभाषा 1963 में ब्राइस डेविट द्वारा और स्वतंत्र रूप से 1964 में जियोवन्नी जोना-लासिनियो द्वारा प्रस्तावित की गई थी।

लेख एकल अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए प्रभावी कार्यवाही का वर्णन करता है, हालांकि, एकाधिक अदिश या फर्मिओनिक क्षेत्रों के लिए समान परिणाम उपस्तिथ हैं।

कार्यात्मकता उत्पन्न करना
इन पीढ़ी के कार्यात्मकताओं में सांख्यिकीय यांत्रिकी और सूचना सिद्धांत में भी अनुप्रयोग होते हैं, जिनमें $$i$$ और संकेत सम्मेलनों के थोड़े भिन्न कारक होते हैं।

क्रिया $$S[\phi]$$ के साथ एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को विभाजन कार्यात्मकता का उपयोग करके पथ समाकल औपचारिकता में पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है



Z[J] = \int \mathcal D \phi e^{iS[\phi] + i \int d^4 x \phi(x)J(x)}. $$ क्योंकि यह शास्त्रीय बाह्य धारा $$J(x)$$ की उपस्थिति में वैक्यूम-टू-वैक्यूम परिवर्तन से अनुरुप है, इसलिए इसका मूल्यांकन सभी जुड़े और असंबद्ध किए गए फेनमैन आरेखों के योग के रूप में किया जा सकता है। यह सहसंबंध कार्यात्मकता के लिए सहसंबंध फलन भी है



\langle \hat \phi(x_1) \dots \hat \phi(x_n)\rangle = (-i)^n \frac{1}{Z[J]} \frac{\delta^n Z[J]}{\delta J(x_1) \dots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0}, $$ जहां अदिश क्षेत्र परिचालकों को $$\hat \phi(x)$$ द्वारा दर्शाया जाता है। कोई अन्य उपयोगी सहसंबंध कार्यात्मकता $$W[J] = -i\ln Z[J]$$ को परिभाषित कर सकता है जो जुड़े हुए सहसंबंध फलन को उत्पन्न करने के लिए संबंधित है।



\langle \hat \phi(x_1) \cdots \hat \phi(x_n)\rangle_{\text{con}} = (-i)^{n-1}\frac{\delta^n W[J]}{\delta J(x_1) \dots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0}, $$ जिसकी गणना सभी जुड़े हुए आरेखों के योग के रूप में की जाती है। यहां संबंधित की व्याख्या गुच्छ अपघटन के अर्थ में की गई है, जिसका अर्थ है कि सहसंबंध फलन बड़े समष्टि जैसे पृथक्करण पर शून्य तक पहुंचते हैं। सामान्य सहसंबंध फलन को हमेशा जुड़े सहसंबंध फलन के उत्पादों के योग के रूप में लिखा जा सकता है।

क्वांटम प्रभावी क्रिया को $$W[J]$$ के लैडेन्ड्रे रूपांतरण का उपयोग करके परिभाषित किया गया है।

कहाँ $$J_\phi$$ वह स्रोत फ़ील्ड है जिसके लिए अदिश फ़ील्ड में अपेक्षित मान होता है $$\phi(x)$$, जिसे अक्सर शास्त्रीय क्षेत्र कहा जाता है, को अंतर्निहित रूप से समाधान के रूप में परिभाषित किया जाता है



\phi(x) = \langle \hat \phi(x)\rangle_J = \frac{\delta W[J]}{\delta J(x)}. $$ एक अपेक्षा मूल्य के रूप में, शास्त्रीय क्षेत्र को वर्तमान की उपस्थिति में क्वांटम उतार-चढ़ाव पर भारित औसत के रूप में सोचा जा सकता है $$J(x)$$ वह अदिश क्षेत्र का स्रोत है। लीजेंड्रे परिवर्तन के संबंध में कार्यात्मक व्युत्पन्न लेना $$\phi(x)$$ पैदावार



J_\phi(x) = -\frac{\delta \Gamma[\phi]}{\delta \phi(x)}. $$ स्रोत के अभाव में $$J_\phi(x) = 0$$, उपरोक्त से पता चलता है कि क्षेत्रों का निर्वात अपेक्षा मूल्य शास्त्रीय कार्यवाही के बदले क्वांटम प्रभावी कार्यवाही को चरम पर पहुंचा देता है। यह पूर्ण क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में न्यूनतम कार्यवाही के सिद्धांत से अधिक कुछ नहीं है। क्वांटम सिद्धांत को इस संशोधन की आवश्यकता क्यों है इसका कारण पथ अभिन्न परिप्रेक्ष्य से आता है क्योंकि सभी संभावित क्षेत्र विन्यास पथ अभिन्न में योगदान करते हैं, जबकि शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत में केवल शास्त्रीय विन्यास ही योगदान देते हैं।

प्रभावी क्रिया एक-कण इरेड्यूसिबल (1PI) सहसंबंध फलन के लिए पीढ़ी कार्यात्मक भी है। 1PI आरेख जुड़े हुए ग्राफ़ हैं जिन्हें एक आंतरिक रेखा को काटकर दो टुकड़ों में नहीं काटा जा सकता है। इसलिए, हमारे पास है



\langle \hat \phi(x_1) \dots \hat \phi(x_n)\rangle_{\mathrm{1PI}} = i \frac{\delta^n \Gamma[\phi]}{\delta \phi(x_1) \dots \delta \phi(x_n)}\bigg|_{J=0}, $$ साथ $$\Gamma[\phi]$$ सभी 1PI फेनमैन आरेखों का योग होना। के बीच घनिष्ठ संबंध $$W[J]$$ और $$\Gamma[\phi]$$ इसका मतलब है कि उनके सहसंबंध फलन के बीच कई बहुत उपयोगी संबंध हैं। उदाहरण के लिए, दो-बिंदु सहसंबंध फ़ंक्शन, जो प्रचारक से कम नहीं है $$\Delta(x,y)$$, 1PI दो-बिंदु सहसंबंध फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है



\Delta(x,y) = \frac{\delta^2 W[J]}{\delta J(x)\delta J(y)} = \frac{\delta \phi(x)}{\delta J(y)} = \bigg(\frac{\delta J(y)}{\delta \phi(x)}\bigg)^{-1} = -\bigg(\frac{\delta^2 \Gamma[\phi]}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\bigg)^{-1} = -\Pi^{-1}(x,y). $$

प्रभावी कार्यवाही की गणना के लिए तरीके
प्रभावी कार्यवाही की गणना करने का एक सीधा तरीका $$\Gamma[\phi_0]$$ 1PI आरेखों के योग के रूप में गड़बड़ी, स्थानांतरित कार्यवाही से प्राप्त फेनमैन नियमों का उपयोग करके प्राप्त किए गए सभी 1PI वैक्यूम आरेखों का योग है $$S[\phi+\phi_0]$$. यह काम करता है क्योंकि कोई भी जगह जहां $$\phi_0$$ किसी भी प्रवर्तक या शीर्ष में प्रकट होना एक ऐसा स्थान है जहां कोई बाहरी होता है $$\phi$$ लाइन जोड़ी जा सकती है. यह पृष्ठभूमि फ़ील्ड विधि के समान है जिसका उपयोग प्रभावी कार्यवाही की गणना करने के लिए भी किया जा सकता है।

वैकल्पिक रूप से, वन-लूप फेनमैन आरेख | कार्यवाही के लिए एक-लूप सन्निकटन को शास्त्रीय वैक्यूम अपेक्षा मूल्य फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन के आसपास विभाजन फ़ंक्शन के विस्तार पर विचार करके पाया जा सकता है। $$\phi(x) = \phi_{\text{cl}}(x) +\delta \phi(x)$$, उपज

\Gamma[\phi_{\text{cl}}] = S[\phi_{\text{cl}}]+\frac{i}{2}\text{Tr}\bigg[\ln \frac{\delta^2 S[\phi]}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\bigg|_{\phi = \phi_{\text{cl}}} \bigg]+\cdots. $$

समरूपता
शास्त्रीय क्रिया के क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता $$S[\phi]$$ क्वांटम प्रभावी कार्यवाही की स्वचालित रूप से समरूपता नहीं हैं $$\Gamma[\phi]$$. यदि शास्त्रीय क्रिया में कुछ कार्यात्मकता के आधार पर निरंतर समरूपता होती है $$F[x,\phi]$$

\phi(x) \rightarrow \phi(x) + \epsilon F[x,\phi], $$ तो यह सीधे तौर पर बाधा डालता है



0 = \int d^4 x \langle F[x,\phi]\rangle_{J_\phi}\frac{\delta \Gamma[\phi]}{\delta \phi(x)}. $$ यह पहचान स्लावनोव-टेलर पहचान|स्लावनोव-टेलर पहचान का एक उदाहरण है। यह इस आवश्यकता के समान है कि समरूपता परिवर्तन के तहत प्रभावी कार्यवाही अपरिवर्तनीय है



\phi(x) \rightarrow \phi(x) + \epsilon \langle F[x,\phi]\rangle_{J_\phi}. $$ यह समरूपता रैखिक रूप समरूपता के महत्वपूर्ण वर्ग के लिए मूल समरूपता के समान है


 * $$F[x,\phi] = a(x)+\int d^4 y \ b(x,y)\phi(y).$$

गैर-रेखीय कार्यात्मकताओं के लिए दो समरूपताएँ आम तौर पर भिन्न होती हैं क्योंकि एक गैर-रेखीय कार्यात्मकता का औसत एक औसत की कार्यात्मकता के बराबर नहीं होता है।

उत्तलता
वॉल्यूम के साथ स्पेसटाइम के लिए $$\mathcal V_4$$, प्रभावी क्षमता को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$V(\phi) = - \Gamma[\phi]/\mathcal V_4$$. हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के साथ $$H$$, प्रभावी क्षमता $$V(\phi)$$ पर $$\phi(x)$$ हमेशा ऊर्जा घनत्व का न्यूनतम अपेक्षित मूल्य देता है $$ \langle \Omega|H|\Omega\rangle$$ राज्यों के सेट के लिए $$|\Omega\rangle$$ संतुष्टि देने वाला $$\langle\Omega| \hat \phi| \Omega\rangle = \phi(x)$$. एकाधिक अवस्थाओं पर यह परिभाषा आवश्यक है क्योंकि अनेक भिन्न अवस्थाएँ, जिनमें से प्रत्येक एक विशेष स्रोत धारा से मेल खाती है, के परिणामस्वरूप समान अपेक्षा मूल्य हो सकता है। इसे आगे दिखाया जा सकता है कि प्रभावी क्षमता आवश्यक रूप से एक उत्तल कार्य है $$V''(\phi) \geq 0$$. प्रभावी क्षमता की गड़बड़ी से गणना करने से कभी-कभी एक गैर-उत्तल परिणाम प्राप्त हो सकता है, जैसे कि एक क्षमता जिसमें दो मैक्सिमा और मिनिमा हैं। हालाँकि, वास्तविक प्रभावी क्षमता अभी भी उत्तल है, उस क्षेत्र में लगभग रैखिक हो जाती है जहाँ स्पष्ट प्रभावी क्षमता उत्तल होने में विफल रहती है। विरोधाभास अस्थिर रिक्तिका के आसपास की गणना में होता है क्योंकि गड़बड़ी सिद्धांत आवश्यक रूप से मानता है कि निर्वात स्थिर है। उदाहरण के लिए, एक स्पष्ट प्रभावी क्षमता पर विचार करें $$V_0(\phi)$$ दो स्थानीय मिनिमा के साथ जिनकी अपेक्षा मूल्य हैं $$\phi_1$$ और $$\phi_2$$ राज्यों के लिए अपेक्षा मूल्य हैं $$|\Omega_1\rangle$$ और $$|\Omega_2\rangle$$, क्रमश। फिर कोई भी $$\phi$$ के गैर-उत्तल क्षेत्र में $$V_0(\phi)$$ कुछ के लिए अधिग्रहण भी किया जा सकता है $$\lambda \in [0,1]$$ का उपयोग करते हुए



$$ हालाँकि, इस राज्य का ऊर्जा घनत्व है $$\lambda V_0(\phi_1)+ (1-\lambda)V_0(\phi_2)<V_0(\phi)$$ अर्थ $$V_0(\phi)$$ पर सही प्रभावी क्षमता नहीं हो सकती $$\phi$$ चूँकि इससे ऊर्जा घनत्व न्यूनतम नहीं हुआ। बल्कि सच्ची प्रभावी क्षमता $$V(\phi)$$ इस रैखिक निर्माण के बराबर या उससे कम है, जो उत्तलता को पुनर्स्थापित करता है।
 * \Omega\rangle \propto \sqrt \lambda |\Omega_1\rangle+\sqrt{1-\lambda}|\Omega_2\rangle.

यह भी देखें

 * पृष्ठभूमि क्षेत्र विधि
 * सहसंबंध फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)
 * पथ अभिन्न सूत्रीकरण
 * पुनर्सामान्यीकरण समूह
 * सहज समरूपता का टूटना

अग्रिम पठन

 * Das, A. : Field Theory: A Path Integral Approach, World Scientific Publishing 2006
 * Schwartz, M.D.: Quantum Field Theory and the Standard Model, Cambridge University Press 2014
 * Toms, D.J.: The Schwinger Action Principle and Effective Action, Cambridge University Press 2007
 * Weinberg, S.: The Quantum Theory of Fields: Modern Applications, Vol.II, Cambridge University Press 1996