एफ़िन अवकल ज्योमेट्री

एफ़िन विभेदक ज्यामिति  एक प्रकार की डिफरेंशियल ज्योमेट्री है जो वॉल्यूम-संरक्षण एफ़िन परिवर्तनों के अपरिवर्तनीयों का अध्ययन करती है। एफ़िन डिफरेंशियल ज्योमेट्री नाम फ़ेलिक्स क्लेन के एर्लांगेन कार्यक्रम से लिया गया है। एफ़िन और  रीमैनियन ज्यामिति  डिफरेंशियल ज्योमेट्री के बीच बुनियादी अंतर यह है कि एफ़िन डिफरेंशियल ज्योमेट्री एक मीट्रिक टेंसर के बजाय वॉल्यूम फॉर्म से सुसज्जित मैनिफोल्ड्स का अध्ययन करती है।

प्रारंभिक
यहां हम सबसे सरल मामले पर विचार करते हैं, यानी संहिताकरण  एक के कई गुना। होने देना M &sub; Rn+1 एक एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड हो, और मान लीजिए कि ξ एक वेक्टर फ़ील्ड है $R^{n+1}$ ट्रांसवर्सेलिटी (गणित) को $M$ ऐसा है कि TpRn+1 = TpM ⊕ Span(ξ) सभी के लिए p ∈ M, जहां ⊕ सदिश स्थानों के प्रत्यक्ष योग को दर्शाता है और रैखिक विस्तार को दर्शाता है।

एक स्मूथ मैनिफोल्ड के लिए, मान लीजिए N, मान लीजिए Ψ(N) N के ऊपर स्मूथ वेक्टर फ़ील्ड्स के मॉड्यूल (गणित) को दर्शाता है। मान लीजिए D : Ψ(Rn+1)×Ψ(Rn+1) → Ψ(Rn+1) R पर मानक सहसंयोजक व्युत्पन्न होn+1कहां D(X, Y) = DXY. हम D को विघटित कर सकते हैंXY एक घटक में M के स्पर्शरेखा स्थान और एक अनुप्रस्थ घटक, ξ के समानांतर (ज्यामिति)। यह कार्ल फ्रेडरिक गॉस का समीकरण देता है: DXY = ∇XY + h(X,Y)ξ, कहाँ ∇ : Ψ(M)×Ψ(M) → Ψ(M) एम और पर प्रेरित कनेक्शन (गणित) है h : Ψ(M)×Ψ(M) → R एक द्विरेखीय रूप है। ध्यान दें कि ∇ और h अनुप्रस्थ सदिश क्षेत्र ξ की पसंद पर निर्भर करते हैं। हम केवल उन हाइपरसतहों पर विचार करते हैं जिनके लिए h गैर-विक्षिप्त है। यह ऊनविम पृष्ठ  एम की एक संपत्ति है और अनुप्रस्थ वेक्टर फ़ील्ड ξ की पसंद पर निर्भर नहीं करती है। यदि h गैर-पतित है तो हम कहते हैं कि M गैर-पतित है। समतल में वक्रों के मामले में, गैर-पतित वक्र वे होते हैं जिनमें विभक्ति बिंदु नहीं होते हैं। 3-स्पेस में सतहों के मामले में, गैर-क्षतिग्रस्त सतहें वे सतहें होती हैं जो परवलयिक बिंदु के बिना होती हैं # सतहों पर बिंदुओं का वर्गीकरण।

हम कुछ स्पर्शरेखा दिशा में ξ के व्युत्पन्न पर भी विचार कर सकते हैं, मान लीजिए एक्स। यह मात्रा, डीXξ, को M के स्पर्शरेखा वाले एक घटक और ξ के समानांतर एक अनुप्रस्थ घटक में विघटित किया जा सकता है। यह जूलियस वेनगार्टन समीकरण देता है: DXξ = &minus;SX + τ(X)ξ. प्रकार-(1,1)- टेन्सर S : Ψ(M) → Ψ(M) को एफ़िन शेप ऑपरेटर,  विभेदक रूप |डिफ़रेंशियल वन-फ़ॉर्म कहा जाता है τ : Ψ(M) → R अनुप्रस्थ संसर्ग रूप कहलाता है। पुनः, S और τ दोनों अनुप्रस्थ सदिश क्षेत्र ξ की पसंद पर निर्भर करते हैं।

प्रथम प्रेरित आयतन प्रपत्र
होने देना Ω : Ψ(Rn+1)n+1 → R आर पर परिभाषित एक वॉल्यूम फॉर्म बनेंn+1. हम एम द्वारा दिए गए वॉल्यूम फॉर्म को प्रेरित कर सकते हैं ω : Ψ(M)n → R द्वारा दिए गए ω(X1,...,Xn) := Ω(X1,...,Xn,ξ). यह एक प्राकृतिक परिभाषा है: विभेदक ज्यामिति में जहां ξ सतह सामान्य है तो एक्स द्वारा फैलाया गया मानक यूक्लिडियन आयतन1,...,एक्सn सदैव ω(X) के बराबर होता है1,...,एक्सn). ध्यान दें कि ω अनुप्रस्थ वेक्टर क्षेत्र ξ की पसंद पर निर्भर करता है।

दूसरा प्रेरित आयतन रूप
स्पर्शरेखा सदिशों के लिए X1,...,एक्सn होने देना H := (hi,j) हो n × n matrix द्वारा दिए गए hi,j := h(Xi,Xj). हम एम द्वारा दिए गए दूसरे वॉल्यूम फॉर्म को परिभाषित करते हैं ν : Ψ(M)n → R, कहाँ det(H) फिर, यह एक स्वाभाविक परिभाषा है। यदि एम = 'आर'n और h यूक्लिडियन अदिश गुणनफल है तो ν(X1,...,एक्सn) हमेशा वेक्टर X द्वारा फैलाया गया मानक यूक्लिडियन आयतन होता है1,...,एक्सn. चूँकि h अनुप्रस्थ सदिश क्षेत्र ξ की पसंद पर निर्भर करता है, इसका मतलब यह है कि ν भी ऐसा करता है।

दो प्राकृतिक स्थितियाँ
हम दो प्राकृतिक शर्तें थोपते हैं। पहला यह है कि प्रेरित संबंध ∇ और प्रेरित आयतन रूप ω संगत हो, यानी ∇ω ≡ 0. इसका मतलब यह है कि ∇Xω = 0 सभी के लिए X ∈ Ψ(M). दूसरे शब्दों में, यदि हम सदिशों X को समानांतर रूप से परिवहन करते हैं1,...,एक्सn एम में कुछ वक्र के साथ, संबंध ∇ के संबंध में, फिर एक्स द्वारा फैलाया गया आयतन1,...,एक्सn, वॉल्यूम फॉर्म ω के संबंध में, परिवर्तन नहीं होता है। सीधी गणना पता चलता है कि ∇Xω = τ(X)ω इसलिए ∇Xω = 0 सभी के लिए X ∈ Ψ(M) यदि, और केवल यदि, τ ≡ 0, यानी। DXξ ∈ Ψ(M) सभी के लिए X ∈ Ψ(M). इसका मतलब यह है कि D के संबंध में स्पर्शरेखा दिशा ω ≡ ν.

निष्कर्ष
इसे दिखाया जा सकता है साइन अप करने के लिए, अनुप्रस्थ वेक्टर फ़ील्ड का एक अनूठा विकल्प है ξ जिसके लिए दो शर्तें हैं ∇ω ≡ 0 और ω ≡ ν दोनों संतुष्ट हैं. इन दो विशेष अनुप्रस्थ वेक्टर फ़ील्ड को एफ़िन सामान्य वेक्टर फ़ील्ड कहा जाता है, या कभी-कभी विल्हेम ब्लाश्के सामान्य फ़ील्ड भी कहा जाता है। इसकी परिभाषा के लिए वॉल्यूम रूपों पर इसकी निर्भरता से हम देखते हैं कि एफ़िन सामान्य वेक्टर फ़ील्ड वॉल्यूम संरक्षित एफ़िन परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय है। ये परिवर्तन द्वारा दिए गए हैं SL(n+1,R) ⋉ Rn+1, जहां SL(n+1,'R') के विशेष रैखिक समूह को दर्शाता है (n+1) × (n+1) वास्तविक प्रविष्टियों और निर्धारक 1 के साथ आव्यूह, और ⋉ अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद को दर्शाता है। SL(n+1,R) ⋉ Rn+1 एक झूठ समूह बनाता है।

एफ़िन सामान्य रेखा
एक बिंदु पर एफ़िन सामान्य रेखा p ∈ M p से होकर गुजरने वाली और ξ के समानांतर रेखा है।

समतल वक्र
समतल में एक वक्र के लिए एफ़िन सामान्य वेक्टर फ़ील्ड की एक अच्छी ज्यामितीय व्याख्या है। होने देना I &sub; R एक खुला अंतराल हो और चलो γ : I → R2 समतल वक्र का एक सुचारू कार्य पैरामीट्रिजेशन बनें। हम मानते हैं कि γ(I) एक गैर-पतित वक्र है (नोमिज़ू और सासाकी के अर्थ में) ), यानी बिना विभक्ति बिंदुओं के है। एक बिंदु पर विचार करें p = γ(t0) समतल वक्र पर। चूँकि γ(I) विभक्ति बिंदुओं के बिना है, इसलिए यह इस प्रकार है कि γ(t0) एक विभक्ति बिंदु नहीं है और इसलिए वक्र स्थानीय रूप से उत्तल होगा, यानी सभी बिंदु γ(t) के साथ t0 &minus; ε < t < t0 + ε, पर्याप्त रूप से छोटे ε के लिए, γ(t) पर γ(I) की स्पर्शरेखा रेखा के एक ही तरफ स्थित होगा0).

γ(t) पर γ(I) की स्पर्शरेखा रेखा पर विचार करें0), और वक्र के टुकड़े वाली स्पर्शरेखा रेखा के किनारे पर निकट-समानांतर रेखाओं पर विचार करें P := {γ(t) ∈ R2 : t0 &minus; ε < t < t0 + ε}. स्पर्श रेखा के पर्याप्त निकट समानांतर रेखाओं के लिए वे P को ठीक दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करेंगी। प्रत्येक समानांतर रेखा पर हम इन दो प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखा खंड के मध्य बिंदु को चिह्नित करते हैं। प्रत्येक समानांतर रेखा के लिए हमें एक मध्यबिंदु मिलता है, और इसलिए मध्यबिंदुओं का लोकस (गणित) पी से शुरू होने वाले एक वक्र का पता लगाता है। जैसे ही हम p के पास पहुंचते हैं, मध्यबिंदु के स्थान पर सीमित स्पर्शरेखा रेखा बिल्कुल सामान्य रेखा होती है, अर्थात वह रेखा जिसमें γ(t) पर γ(I) का सामान्य वेक्टर होता है।0). ध्यान दें कि यह एक एफ़िन अपरिवर्तनीय निर्माण है क्योंकि समानता और मध्यबिंदु एफ़िन परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय हैं।

पैरामीट्रिसेशन द्वारा दिए गए परवलय पर विचार करें γ(t) = (t + 2t2,t2). इसका समीकरण है x2 + 4y2 &minus; 4xy &minus; y = 0. γ(0) पर स्पर्श रेखा का समीकरण है y = 0 और इसलिए समानांतर रेखाएं दी गई हैं y = k पर्याप्त रूप से छोटे के लिए k ≥ 0. रेखा y = k वक्र को पर काटता है x = 2k ± $1/2$. मध्यबिंदु का बिन्दुपथ किसके द्वारा दिया गया है? {(2k,k) : k ≥ 0}. ये एक रेखाखंड बनाते हैं, और इसलिए इस रेखाखंड की सीमित स्पर्शरेखा रेखा, जैसा कि हम γ(0) की ओर देखते हैं, बस इस रेखाखंड वाली रेखा है, अर्थात रेखा x = 2y. उस स्थिति में γ(0) पर वक्र की सामान्य रेखा का समीकरण होता है x = 2y. वास्तव में, प्रत्यक्ष गणना से पता चलता है कि γ(0), अर्थात् ξ(0) पर एफ़िन सामान्य वेक्टर, द्वारा दिया जाता है ξ(0) = 2$\sqrt{k}$·(2,1). चित्र में लाल वक्र वक्र γ है, काली रेखाएं स्पर्शरेखा रेखा और कुछ निकटवर्ती स्पर्शरेखा रेखाएं हैं, काले बिंदु प्रदर्शित रेखाओं पर मध्यबिंदु हैं, और नीली रेखा मध्यबिंदुओं का स्थान है।

3-स्थान में सतहें
3-स्पेस में चिकनी सतहों के अण्डाकार बिंदुओं पर एफ़िन सामान्य रेखा खोजने के लिए एक समान एनालॉग मौजूद है। इस बार कोई स्पर्शरेखा तल के समानांतर तल लेता है। ये, स्पर्शरेखा तल के पर्याप्त निकट वाले तलों के लिए, उत्तल समतल वक्र बनाने के लिए सतह को काटते हैं। प्रत्येक उत्तल समतल वक्र का एक द्रव्यमान केंद्र होता है। द्रव्यमान के केंद्रों का स्थान 3-स्थान में एक वक्र का पता लगाता है। जैसे ही कोई मूल सतह बिंदु की ओर जाता है, इस स्थान की सीमित स्पर्शरेखा रेखा एफ़िन सामान्य रेखा होती है, अर्थात वह रेखा जिसमें एफ़िन सामान्य वेक्टर होता है।

यह भी देखें

 * वक्रों की ज्यामिति को ठीक करें
 * एफ़िन फोकल सेट
 * एफ़िन क्षेत्र