फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल

गणित में, फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल एक द्वि आधारी संक्रिया है जो दो आव्यूह(गणित) लेता है और एक अदिश(गणित) देता है। इसे प्रायः $$\langle \mathbf{A},\mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}$$ निरूपित किया जाता है। संक्रिया दो आव्यूहों का एक घटक-वार आंतरिक गुणनफल है जैसे कि वे सदिश हों, और एक आंतरिक गुणनफल के लिए स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। दो आव्यूहों का आयाम समान होना चाहिए - पंक्तियों और स्तंभों की समान संख्या, परन्तु वर्ग आव्यूह तक ही सीमित नहीं है।

परिभाषा
दो जटिल संख्या-मानित n × m आव्यूह 'A' और 'B' को स्पष्ट रूप से


 * $$ \mathbf {A} ={\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&\cdots &A_{1m}\\A_{21}&A_{22}&\cdots &A_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{n1}&A_{n2}&\cdots &A_{nm}\\\end{pmatrix}} \,, \quad \mathbf {B} ={\begin{pmatrix}B_{11}&B_{12}&\cdots &B_{1m}\\B_{21}&B_{22}&\cdots &B_{2m}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{n1}&B_{n2}&\cdots &B_{nm}\\\end{pmatrix}}$$

के रूप में लिखा गया है, फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल को


 * $$ \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} =\sum_{i,j}\overline{A_{ij}} B_{ij} \, = \mathrm{Tr}\left(\overline{\mathbf{A}^T} \mathbf{B}\right)

\equiv \mathrm{Tr}\left(\mathbf{A}^{\!\dagger} \mathbf{B}\right)$$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां शिरोपंक्ति जटिल संयुग्मी को दर्शाता है, और $$\dagger$$ संयुग्म संक्रमण को दर्शाता है। स्पष्ट रूप से यह राशि


 * $$\begin{align} \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = & \overline{A}_{11} B_{11} + \overline{A}_{12} B_{12} + \cdots + \overline{A}_{1m} B_{1m} \\

& + \overline{A}_{21} B_{21} + \overline{A}_{22} B_{22} + \cdots + \overline{A}_{2m} B_{2m} \\ & \vdots \\ & + \overline{A}_{n1} B_{n1} + \overline{A}_{n2} B_{n2} + \cdots + \overline{A}_{nm} B_{nm} \\ \end{align}$$ है गणना बिंदु गुणनफल के समान ही है, जो बदले में आंतरिक गुणनफल का एक उदाहरण है।

अन्य गुणनफलों से संबंध
यदि A और B प्रत्येक वास्तविक संख्या-मानित आव्यूह हैं, तो फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल हैडमार्ड गुणनफल(आव्यूह) की प्रविष्टियों का योग है। यदि आव्यूह सदिशीकृत(गणित) हैं(अर्थात, स्तंभ सदिश में परिवर्तित, $$ \mathrm{vec}(\cdot) $$ द्वारा निरूपित), तो


 * $$ \mathrm{vec}(\mathbf {A}) = {\begin{pmatrix} A_{11} \\ A_{12} \\ \vdots \\ A_{21} \\ A_{22} \\ \vdots \\ A_{nm} \end{pmatrix}},\quad \mathrm{vec}(\mathbf {B}) = {\begin{pmatrix} B_{11} \\ B_{12} \\ \vdots \\ B_{21} \\ B_{22} \\ \vdots \\ B_{nm} \end{pmatrix}} \,, $$$$ \quad \overline{\mathrm{vec}(\mathbf{A})}^T\mathrm{vec}(\mathbf {B}) = {\begin{pmatrix} \overline{A}_{11} & \overline{A}_{12} & \cdots & \overline{A}_{21} & \overline{A}_{22} & \cdots & \overline{A}_{nm} \end{pmatrix}} {\begin{pmatrix} B_{11} \\ B_{12} \\ \vdots \\ B_{21} \\ B_{22} \\ \vdots \\ B_{nm} \end{pmatrix}} $$

इसलिए


 * $$ \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = \overline{\mathrm{vec}(\mathbf{A})}^T \mathrm{vec}(\mathbf{B}) \, . $$

गुण
यह चार जटिल-मानित आव्यूहों A, B, C, D, और दो सम्मिश्र संख्याओं a और b:


 * $$\langle a\mathbf{A}, b\mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = \overline{a}b\langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} $$
 * $$\langle \mathbf{A}+\mathbf{C}, \mathbf{B} + \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F} = \langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{A}, \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{C}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} + \langle \mathbf{C}, \mathbf{D} \rangle_\mathrm{F} $$ के लिए एक अनुक्रमिक रूप है।

इसके अतिरिक्त, आव्यूह का आदान-प्रदान जटिल संयुग्मन के लिए होता है:


 * $$\langle \mathbf{B}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} = \overline{\langle \mathbf{A}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F}} $$

उसी आव्यूह के लिए,


 * $$\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} \geq 0$$,

और,
 * $$\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} = 0 \Longleftrightarrow \mathbf{A} = \mathbf{0}$$।

फ्रोबेनियस मानदंड
आंतरिक गुणनफल फ्रोबेनियस मानदंड


 * $$\|\mathbf{A}\|_\mathrm{F} = \sqrt{\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F}} \,$$ को प्रेरित करता है।

वास्तविक-मानित आव्यूह
दो वास्तविक मानित आव्यूहों के लिए, यदि


 * $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 6 \\ 1 & -1 & 2 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} 8 & -3 & 2 \\ 4 & 1 & -5 \end{pmatrix} $$

तब


 * $$\begin{align}\langle \mathbf{A} ,\mathbf{B}\rangle_\mathrm{F} & = 2\cdot 8 + 0\cdot (-3) + 6\cdot 2 + 1\cdot 4 + (-1)\cdot 1 + 2\cdot(-5) \\

& = 21 \end{align} $$

जटिल-मानित आव्यूह
दो जटिल-मानित आव्यूह के लिए, यदि


 * $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} 1+i & -2i \\ 3 & -5 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{B} = \begin{pmatrix} -2 & 3i \\ 4-3i & 6 \end{pmatrix} $$

तब


 * $$\begin{align} \langle \mathbf{A} ,\mathbf{B}\rangle_\mathrm{F} & = (1-i)\cdot (-2) + 2i\cdot 3i + 3\cdot (4-3i) + (-5)\cdot 6 \\

& = -26 -7i \end{align} $$ जबकि


 * $$\begin{align} \langle \mathbf{B} ,\mathbf{A}\rangle_\mathrm{F} & = (-2)\cdot (1+i) + (-3i)\cdot (-2i) + (4+3i)\cdot 3 + 6 \cdot (-5) \\

& = -26 + 7i \end{align} $$ स्वयं के साथ A और स्वयं के साथ B के फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल क्रमशः हैं


 * $$\langle \mathbf{A}, \mathbf{A} \rangle_\mathrm{F} = 2 + 4 + 9 + 25 = 40 $$$$\qquad \langle \mathbf{B}, \mathbf{B} \rangle_\mathrm{F} = 4 + 9 + 25 + 36 = 74 $$

यह भी देखें

 * हैडमार्ड गुणनफल(आव्यूह)
 * हिल्बर्ट-श्मिट आंतरिक गुणनफल
 * क्रोनकर गुणनफल
 * आव्यूह विश्लेषण
 * आव्यूह गुणन
 * आव्यूह मानदंड
 * हिल्बर्ट स्थान का टेंसर गुणनफल - फ्रोबेनियस आंतरिक गुणनफल एक विशेष स्थिति है जहां सदिश स्थान सामान्य यूक्लिडियन आंतरिक गुणनफल के साथ परिमित-आयामी वास्तविक या जटिल सदिश स्थान होते हैं।