होलोनोमिक आधार

गणित और गणितीय भौतिकी में, अलग-अलग गुणनफल के लिए एक समन्वय आधार या होलोनोमिक आधार $M$ आधार (रैखिक बीजगणित) सदिश क्षेत्र ${e1, ..., en}$ का एक सम्मुच्चय बहुविध के एक क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु P पर परिभाषित किया गया है
 * $$\mathbf{e}_{\alpha} = \lim_{\delta x^{\alpha} \to 0} \frac{\delta \mathbf{s}}{\delta x^{\alpha}} ,$$

जहाँ $δs$ बिंदु $P$ और एक नजदीकी बिंदु के बीच विस्थापन सदिश है। $Q$ जिसका समन्वय पृथक्करण है $P$ है $δxα$ निर्देशांक वक्र के अनुदिश $xα$ (अर्थात मैनिफ़ोल्ड पर वक्र $P$ जिसके लिए स्थानीय समन्वय प्रणाली $xα$ बदलता रहता है और अन्य सभी निर्देशांक स्थिर रहते हैं)।

ऐसे आधार और दिशात्मक व्युत्पन्न ऑपरेटरों के बीच संबंध बनाना संभव है। एक पैरामीटरयुक्त वक्र दिया गया है $C$ द्वारा परिभाषित मैनिफोल्ड पर $xα(λ)$ स्पर्शरेखा सदिश के साथ $u = uαeα$, जहाँ $uα = dxα⁄dλ$, और एक फ़ंक्शन $f(xα)$ के पड़ोस में परिभाषित किया गया है $C$, का रूपांतर $f$ साथ में $C$ के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\frac{df}{d\lambda} = \frac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\frac{\partial f}{\partial x^{\alpha}} = u^{\alpha} \frac{\partial }{\partial x^{\alpha}} f .$$

चूंकि हमारे पास वह है $u = uαeα$, पहचान अक्सर समन्वय आधार सदिश के बीच की जाती है $eα$ और आंशिक व्युत्पन्न ऑपरेटर $∂⁄∂xα$, कार्यों पर कार्य करने वाले ऑपरेटरों के रूप में वैक्टर की व्याख्या के तहत।

आधार के लिए एक स्थानीय शर्त ${e1, ..., en}$ होलोनोमिक होने का मतलब यह है कि सभी पारस्परिक झूठ व्युत्पन्न गायब हो जाते हैं:
 * $$ \left[ \mathbf{e}_{\alpha}, \mathbf{e}_{\beta} \right] = {\mathcal{L}}_{\mathbf{e}_{\alpha}} \mathbf{e}_{\beta} = 0 .$$

एक आधार जो होलोनोमिक नहीं है उसे एनहोलोनोमिक कहा जाता है, गैर-होलोनोमिक या गैर-समन्वय आधार।

एक मीट्रिक टेंसर दिया गया है $g$ अनेक गुना पर $M$, सामान्य तौर पर किसी भी खुले क्षेत्र में लम्बवत समन्वय आधार खोजना संभव नहीं है $U$ का $M$. एक स्पष्ट अपवाद तब होता है $M$ वास्तविक संख्या निर्देशांक स्थान है $Rn$ के साथ कई गुना माना जाता है $g$ यूक्लिडियन मीट्रिक होना $δij&thinsp;ei ⊗ e$ हर बिंदु पर.

यह भी देखें

 * जेट बंडल
 * टेट्राड औपचारिकता
 * घुंघराले कलन

श्रेणी:विभेदक ज्यामिति श्रेणी:गणितीय भौतिकी