फिन्सलर कई गुना

गणित में, विशेष रूप से विभेदक ज्यामिति, एक फिन्सलर मैनिफोल्ड एक भिन्नात्मक मैनिफोल्ड है $M$ जहां एक (संभवतः असममित मानदंड) Minkowski कार्यात्मक $F(x, −)$ प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर प्रदान किया गया है $T_{x}M$, जो किसी भी चिकने वक्र की लंबाई को परिभाषित करने में सक्षम बनाता है $γ : [a, b] → M$ जैसा


 * $$L(\gamma) = \int_a^b F\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\,\mathrm{d}t.$$

रीमैनियन कई गुना की तुलना में फिन्सलर मैनिफोल्ड्स अधिक सामान्य हैं क्योंकि स्पर्शरेखा मानदंडों को आंतरिक उत्पादों द्वारा प्रेरित करने की आवश्यकता नहीं है।

प्रत्येक फिन्सलर मैनिफोल्ड एक आंतरिक मीट्रिक क्वासिमेट्रिक स्पेस # क्वासिमेट्रिक्स बन जाता है जब दो बिंदुओं के बीच की दूरी को उनके साथ जुड़ने वाले घटता की न्यूनतम लंबाई के रूप में परिभाषित किया जाता है।

पॉल फिन्सलर के नाम पर फिन्सलर मैनिफोल्ड्स नाम दिया गया, जिन्होंने अपने शोध प्रबंध में इस ज्यामिति का अध्ययन किया था.

परिभाषा
एक फिन्सलर मैनिफोल्ड एक अलग करने योग्य मैनिफोल्ड है $M$ फिन्सलर मीट्रिक के साथ, जो एक निरंतर गैर-नकारात्मक कार्य है $F: TM → [0, +∞)$ स्पर्शरेखा बंडल पर परिभाषित किया गया है ताकि प्रत्येक बिंदु के लिए $x$ का $M$,


 * $F(v + w) ≤ F(v) + F(w)$ हर दो वैक्टर के लिए $v,w$ स्पर्शरेखा $M$ पर $x$ (उप-विषमता)।
 * $F(λv) = λF(v)$ सभी के लिए $λ ≥ 0$ (लेकिन जरूरी नहीं कि इसके लिए$λ < 0)$ (सजातीय कार्य)।
 * $F(v) > 0$ जब तक $v = 0$ (सकारात्मक-निश्चित कार्य)।

दूसरे शब्दों में, $F(x, −)$ प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक असममित मानदंड है $T_{x}M$. द फिन्सलर मेट्रिक $F$ चिकनी होने की भी आवश्यकता है, अधिक सटीक:


 * $F$ के शून्य खंड के पूरक पर सुचारू कार्य है $TM$.

उप-योगात्मकता स्वयंसिद्ध को निम्नलिखित मजबूत उत्तल स्थिति द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है:


 * प्रत्येक स्पर्शरेखा वेक्टर के लिए $v ≠ 0$, का हेसियन मैट्रिक्स $F^{2}$ पर $v$ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है।

यहाँ का हेसियन $F^{2}$ पर $v$ सममित टेन्सर द्विरेखीय रूप है


 * $$\mathbf{g}_v(X, Y) := \frac{1}{2}\left.\frac{\partial^2}{\partial s\partial t}\left[F(v + sX + tY)^2\right]\right|_{s=t=0},$$

के मूलभूत काल के रूप में भी जाना जाता है $F$ पर $v$. की प्रबल उत्तलता $F$ एक सख्त असमानता के साथ उप-विषमता का तात्पर्य है यदि $u/F(u) ≠ v/F(v)$. अगर $F$ दृढ़ता से उत्तल है, तो यह प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर मिंकोव्स्की मानदंड है।

एक Finsler मीट्रिक उत्क्रमणीय है, यदि इसके अतिरिक्त,


 * $F(−v) = F(v)$ सभी स्पर्शरेखा सदिशों के लिए v.

एक प्रतिवर्ती फिन्सलर मीट्रिक प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक मानदंड (गणित) (सामान्य अर्थ में) को परिभाषित करता है।

उदाहरण

 * परिमित आयाम के एक आदर्श सदिश स्थान के चिकने सबमनीफोल्ड (खुले उपसमुच्चय सहित) फिन्सलर मैनिफोल्ड हैं यदि सदिश स्थान का मानदंड मूल के बाहर चिकना है।
 * रीमैनियन मैनिफोल्ड्स (लेकिन स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स नहीं) फिन्सलर मैनिफोल्ड्स के विशेष मामले हैं।

रेंडर कई गुना
आसान $$(M, a)$$ एक Riemannian कई गुना हो और बी एक अंतर रूप | एम के साथ विभेदक एक-रूप
 * $$\|b\|_a := \sqrt{a^{ij}b_i b_j} < 1,$$

कहाँ $$\left(a^{ij}\right)$$ का व्युत्क्रम मैट्रिक्स है $$(a_{ij})$$ और आइंस्टीन संकेतन का उपयोग किया जाता है। तब
 * $$F(x, v) := \sqrt{a_{ij}(x)v^i v^j} + b_i(x)v^i$$

'एम' पर एक रैंडर्स मीट्रिक को परिभाषित करता है और $$(M, F)$$ एक रैंडर्स मैनिफोल्ड है, एक गैर-प्रतिवर्ती फिन्सलर मैनिफोल्ड का एक विशेष मामला। <!--

चिकनी अर्धमितीय रिक्त स्थान
चलो (एम, डी) एक क्वासिमेट्रिक हो ताकि एम भी एक अलग-अलग कई गुना हो और डी निम्नलिखित अर्थों में एम के अंतर संरचना के साथ संगत हो:
 * एम पर किसी भी बिंदु जेड के आसपास एम का एक चिकनी चार्ट (यू, φ) और एक स्थिर सी ≥ 1 मौजूद है जैसे कि हर एक्स, y ∈ यू के लिए
 * $$ \frac{1}{C}\|\phi(y) - \phi(x)\| \leq d(x, y) \leq C\|\phi(y) - \phi(x)\|.$$
 * फ़ंक्शन d: M × M → [0, ∞] विकर्ण के कुछ छिद्रित पड़ोस में सुचारू कार्य है।

तब कोई फिन्सलर फ़ंक्शन F: TM →[0, ∞] द्वारा परिभाषित कर सकता है


 * $$F(x, v) := \lim_{t \to 0+} \frac{d(\gamma(0), \gamma(t))}{t},$$

जहां γ एम में γ(0) = x और γ'(0) =v के साथ कोई वक्र है। इस तरह से प्राप्त फिन्सलर फ़ंक्शन एफ एम के प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान पर एक असममित (आमतौर पर गैर-मिन्कोव्स्की) मानदंड तक सीमित करता है। आंतरिक मीट्रिक dL: M × M → [0, ∞] मूल क्वासिमेट्रिक से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है


 * $$d_L(x, y) := \inf\left\{\ \left.\int_0^1 F\left(\gamma(t), \dot\gamma(t)\right) \, dt \ \right| \ \gamma\in C^1([0, 1], M) \, \ \gamma(0) = x \ , \ \gamma(1) = y \ \right\},$$

और वास्तव में कोई भी फिन्सलर फ़ंक्शन F: TM →  [ 0, ∞) एक आंतरिक मीट्रिक क्वासिमेट्रिक d परिभाषित करता हैL एम पर इस सूत्र द्वारा।

जियोडेसिक्स
F की लंबाई की एकरूपता के कारण


 * $$L[\gamma] := \int_a^b F\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\, dt$$

एक अलग-अलग वक्र γ: [ए, बी] → एम में एम सकारात्मक रूप से उन्मुख पैरामीट्रिजेशन (ज्यामिति) के तहत अपरिवर्तनीय है। एक स्थिर गति वक्र γ एक फिन्सलर मैनिफोल्ड का geodesic  है यदि इसके छोटे पर्याप्त खंड γ|[c,d] M में γ(c) से γ(d) तक लंबाई कम कर रहे हैं। समतुल्य रूप से, γ एक जियोडेसिक है यदि यह कार्यात्मक ऊर्जा के लिए स्थिर है


 * $$E[\gamma] := \frac{1}{2}\int_a^b F^2\left(\gamma(t), \dot{\gamma}(t)\right)\, dt$$

इस अर्थ में कि इसका कार्यात्मक व्युत्पन्न अवकलनीय वक्रों के बीच लुप्त हो जाता है γ: [a, b] &rarr; M फिक्स्ड एंडपॉइंट्स के साथ और.

फिन्सलर मैनिफोल्ड
पर कैनोनिकल स्प्रे संरचना एनर्जी फंक्शनल E[γ] के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण स्थानीय निर्देशांक (x1, ..., एक्स एन, में 1, ..., वीn) टीएम के रूप में



g_{ik}\Big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\Big)\ddot\gamma^i(t) + \left(              \frac{\partial g_{ik}}{\partial x^j}\Big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\Big) -    \frac{1}{2}\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^k}\Big(\gamma(t), \dot\gamma(t)\Big)  \right) \dot\gamma^i(t)\dot\gamma^j(t) = 0, $$ जहां के = 1, ..., एन और जीij मौलिक टेंसर का समन्वय प्रतिनिधित्व है, जिसे परिभाषित किया गया है



g_{ij}(x,v) := g_v\left(\left.\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_x, \left.\frac{\partial}{\partial x^j}\right|_x\right). $$ उत्तल फलन को मानते हुए#F का सशक्त रूप से उत्तल फलन2(x, v) v ∈ T के संबंध मेंxएम, मैट्रिक्स जीij(x, v) व्युत्क्रमणीय है और इसके व्युत्क्रम को g द्वारा निरूपित किया जाता हैआई(एक्स, वी)। तब (M, F) का जियोडेसिक है अगर और केवल अगर इसकी स्पर्शरेखा वक्र है  स्थानीय रूप से परिभाषित TM&setminus;{0} पर सदिश क्षेत्र H का अभिन्न वक्र है



\left.H\right|_{(x, v)} := \left.v^i\frac{\partial}{\partial x^i}\right|_{(x,v)}\!\! - \left.2G^i(x, v)\frac{\partial}{\partial v^i}\right|_{(x,v)}, $$ जहां स्थानीय स्प्रे गुणांक Gi द्वारा दिया गया है



G^i(x, v) := \frac{1}{4}g^{ij}(x, v)\left(2\frac{\partial g_{jk}}{\partial x^\ell}(x, v) - \frac{\partial g_{k\ell}}{\partial x^j}(x, v)\right)v^k v^\ell. $$ TM&setminus;{0} पर सदिश फ़ील्ड H, JH = V और [V, H] = H को संतुष्ट करता है, जहां J और V डबल स्पर्शरेखा बंडल हैं#स्पर्शी बंडल पर विहित टेंसर फ़ील्ड और डबल स्पर्शरेखा बंडल#कैनोनिकल टेंसर फ़ील्ड TM&setminus;{0} पर स्पर्शरेखा बंडल। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, H, M पर एक स्प्रे (गणित) है। स्प्रे H फाइबर बंडल पर एह्रेसमैन कनेक्शन को परिभाषित करता है TM&setminus;{0} → M एह्रेस्मान कनेक्शन के माध्यम से


 * $$v: T(\mathrm{T}M \setminus \{0\}) \to T(\mathrm{T}M \setminus \{0\});\quad v := \frac{1}{2}\big(I + \mathcal{L}_H J\big).$$

रीमैनियन मैनिफोल्ड केस के अनुरूप, एक संस्करण है


 * $$D_{\dot\gamma}D_{\dot\gamma}X(t) + R_{\dot\gamma}\left(\dot\gamma(t), X(t)\right) = 0$$

एह्रेसमैन कनेक्शन और डबल टेंगेंट बंडल के संदर्भ में एक सामान्य स्प्रे संरचना (एम, एच) के लिए जैकोबी समीकरण का चिकनी मैनिफोल्ड्स पर नॉनलाइनियर सहसंयोजक डेरिवेटिव।

जियोडेसिक्स की विशिष्टता और न्यूनतम गुण
हॉफ-रिनो प्रमेय के अनुसार (एम, एफ) पर हमेशा लंबाई को कम करने वाले वक्र (कम से कम पर्याप्त छोटे पड़ोस में) मौजूद होते हैं। लंबाई को कम करने वाले घटता को हमेशा जियोडेसिक्स होने के लिए सकारात्मक रूप से पुनर्मूल्यांकित किया जा सकता है, और किसी भी जियोडेसिक को ई [γ] के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए। एफ की मजबूत उत्तलता मानते हुए2 अभिन्न वक्रों की विशिष्टता द्वारा किसी भी (x, v) ∈ TM&setminus;{0} के लिए γ(0) = x और γ'(0) = v के साथ एक अद्वितीय अधिकतम जियोडेसिक γ मौजूद है।

अगर एफ2 दृढ़ता से उत्तल है, जियोडेसिक्स γ: [0, b] → M पास के वक्रों के बीच लंबाई-न्यूनतम कर रहे हैं जब तक कि पहला बिंदु γ(s) संयुग्म बिंदु γ(0) के साथ γ, और t > s के लिए हमेशा γ(0) से γ(t) के पास γ(t) से छोटे वक्र मौजूद होते हैं, जैसा कि रीमैनियन मैनिफोल्ड केस में है।

संदर्भ

 * (Reprinted by Birkhäuser (1951))
 * (Reprinted by Birkhäuser (1951))
 * (Reprinted by Birkhäuser (1951))
 * (Reprinted by Birkhäuser (1951))
 * (Reprinted by Birkhäuser (1951))

बाहरी संबंध

 * The (New) Finsler Newsletter
 * The (New) Finsler Newsletter