स्थानत: समाकलनीय फलन

गणित में, स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल (जिसे कभी-कभी स्थानीय रूप से सारांशित वेरिएबल भी कहा जाता है) एक ऐसा वेरिएबल (गणित) है जो परिभाषा के अपने डोमेन के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर पूर्णांकीय है (इसलिए इसका अभिन्न अंग परिमित है)। ऐसे फ़ंक्शंस का महत्व इस तथ्य में निहित है कि उनका कार्य स्थान $L^{p}$ स्पेस के समान है रिक्त

स्थान, किन्तु इसके सदस्यों को अपने डोमेन की सीमा पर अपने व्यवहार पर किसी भी विकास प्रतिबंध को पूरा करने की आवश्यकता नहीं है (यदि डोमेन असीमित है सीमा अनंत पर): दूसरे शब्दों में, स्थानीय रूप से एकीकृत कार्य डोमेन सीमा पर इच्छानुसार तेजी से बढ़ सकते हैं, किन्तु अभी भी सामान्य एकीकृत कार्यों के समान ही प्रबंधनीय हैं।

मानक परिभाषा
$$. मान लीजिए कि यूक्लिडियन स्थान में $Ω$ खुला समुच्चय बनें $$\mathbb{R}^n$$ और $f : Ω → $\mathbb{C}$$ लेब्सेग माप मापने योग्य वेरिएबल बनें। यदि $Ω$ पर $f$ इस प्रकार कि


 * $$ \int_K | f |\, \mathrm{d}x <+\infty,$$

अर्थात इसका लेब्सग इंटीग्रल $Ω$ के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय $K$ पर परिमित है, तब $K ⋐ Ω$ को स्थानीय रूप से इंटीग्रेबल कहा जाता है। ऐसे सभी कार्यों का समुच्चय (गणित) $K ⊂⊂ Ω$ द्वारा दर्शाया जाता है :


 * $$L_{1,\mathrm{loc}}(\Omega)=\bigl\{f\colon \Omega\to\mathbb{C}\text{ measurable} : f|_K \in L_1(K)\ \forall\, K \subset \Omega,\, K \text{ compact}\bigr\},$$

जहां$\left.f\right|_K$ के कार्य समुच्चय K पर f के प्रतिबंध को दर्शाता है।

स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल की मौलिक परिभाषा में केवल सैद्धांतिक और टोपोलॉजिकल अवधारणाओं को मापना सम्मिलित है और इसे टोपोलॉजिकल माप स्थान $K$ पर समष्टि-मूल्यवान कार्यों के लिए अमूर्त पर ले जाया जा सकता है : चूँकि, चूँकि ऐसे फ़ंक्शंस का सबसे सामान्य अनुप्रयोग यूक्लिडियन रिक्त स्थान पर वितरण सिद्धांत के लिए है, इसमें और निम्नलिखित अनुभागों की सभी परिभाषाएँ स्पष्ट रूप से केवल इस महत्वपूर्ण स्थितियों से संबंधित हैं।

एक वैकल्पिक परिभाषा
$$. मान लीजिए कि यूक्लिडियन स्थान में $Ω$ खुला समुच्चय है $$\mathbb{R}^n$$. फिर वेरिएबल (गणित) $f$ ऐसा है कि


 * $$ \int_\Omega | f \varphi|\, \mathrm{d}x <+\infty,$$

प्रत्येक परीक्षण वेरिएबल के लिए $L_{1,loc}(Ω)$ को स्थानीय रूप से पूर्णांक कहा जाता है, और ऐसे कार्यों के समुच्चय को $(X, Σ, μ)$ कें द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ $Ω$ सभी अपरिमित रूप से भिन्न-भिन्न फलनों के समुच्चय $f : Ω → $\mathbb{C}$$ को दर्शाता है समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ $φ ∈ C c ∞(Ω)$ सम्मिलित है।

इस परिभाषा की जड़ें निकोलस बॉर्बकी स्कूल द्वारा विकसित टोपोलॉजिकल सदिश स्पेस पर सतत रैखिक कार्यात्मक की अवधारणा के आधार पर माप और एकीकरण सिद्धांत के दृष्टिकोण में हैं: यह और द्वारा भी अपनाया गया है।. यह "वितरण सिद्धांत" संबंधी परिभाषा मानक के समतुल्य है, जैसा कि निम्नलिखित लेम्मा प्रमेय सिद्ध करता है:

$$. दिया गया वेरिएबल $L_{1,loc}(Ω)$ $$ के अनुसार स्थानीय रूप से एकीकृत है यदि और केवल यदि यह $$ के अनुसार स्थानीय रूप से पूर्णीकृत है, अर्थात।


 * $$ \int_K | f |\, \mathrm{d}x <+\infty \quad \forall\, K \subset \Omega,\, K \text{ compact} \quad \Longleftrightarrow \quad

\int_\Omega | f \varphi|\, \mathrm{d}x <+\infty \quad \forall\, \varphi \in C^\infty_{\mathrm{c}}(\Omega).$$

$$ का प्रमाण
यदि भाग: मान लीजिए $C c ∞(Ω)$ एक परीक्षण वेरिएबल हो। यह अपने सर्वोच्च मानदंड $φ : Ω → $\mathbb{R}$$ से चरम मूल्य प्रमेय है, मापने योग्य, और इसमें समर्थन (गणित) कॉम्पैक्ट समर्थन है, इसलिए इसे K कहते हैं।


 * $$\int_\Omega | f \varphi|\, \mathrm{d}x = \int_K |f|\,|\varphi|\, \mathrm{d}x \le\|\varphi\|_\infty\int_K | f |\, \mathrm{d}x<\infty$$

द्वारा $$.

केवल यदि भाग: मान लीजिए $Ω$ खुले समुच्चय $W^{k,p}(Ω)$ का एक संहत उपसमुच्चय है। हम पहले परीक्षण वेरिएबल $L_{p,loc}(Ω)$ का निर्माण करेंगे जो K के संकेतक फ़ंक्शन $f : Ω → $\mathbb{C}$$ को प्रमुखता देता है। $φ ∈ C c ∞(Ω)$ और सीमा $||φ||_{∞}$ के बीच सामान्य निर्धारित दूरी सख्ती से शून्य से अधिक है, अर्थात।


 * $$\Delta:=d(K,\partial\Omega)>0,$$

इसलिए वास्तविक संख्या $K$ चुनना संभव है जैसे कि $Ω$ (यदि $φ_{K} ∈ C c ∞(Ω)$ खाली समुच्चय है, तब $χ_{K}$ लें). मान लीजिए कि $K$ और $∂Ω$ क्रमशः K के बंद $δ$-पड़ोस और $Δ > 2δ > 0$-पड़ोस को दर्शाते हैं। वे वैसे ही कॉम्पैक्ट और संतुष्ट हैं


 * $$K\subset K_\delta\subset K_{2\delta}\subset\Omega,\qquad d(K_\delta,\partial\Omega)=\Delta-\delta>\delta>0.$$

अब वेरिएबल $∂Ω$ को परिभाषित करने के लिए कनवल्शन का उपयोग करें‚


 * $$\varphi_K(x)={\chi_{K_\delta}\ast\varphi_\delta(x)}=

\int_{\mathbb{R}^n}\chi_{K_\delta}(y)\,\varphi_\delta(x-y)\,\mathrm{d}y,$$ जहां $Δ = ∞$ मानक सकारात्मक सममिति का उपयोग करके निर्मित एक मोलिफ़ायर है। स्पष्ट रूप से $K_{δ}$ इस अर्थ में गैर-ऋणात्मक है कि $K_{2δ}$, असीम रूप से भिन्न, और इसका समर्थन $δ$ में निहित है, विशेष रूप से यह परीक्षण वेरिएबल है। चूँकि सभी $2δ$ के लिए $φ_{K} : Ω → $\mathbb{R}$$ हमारे पास वह $φ_{δ}$. है।

मान लीजिए $$ के अनुसार $φ_{K}$ एक स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल बनें. तब


 * $$\int_K|f|\,\mathrm{d}x=\int_\Omega|f|\chi_K\,\mathrm{d}x

\le\int_\Omega|f|\varphi_K\,\mathrm{d}x<\infty. $$ चूँकि यह $φ_{K} ≥ 0$ के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय $K_{2δ}$ के लिए प्रयुक्त होता है, फ़ंक्शन $x ∈ K$ $$ के अनुसार स्थानीय रूप से पूर्णांकित है। □

सामान्यीकरण: स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्य
$$. मान लीजिए कि यूक्लिडियन स्थान में $φ_{K}(x) = 1$ खुला समुच्चय है $$\mathbb{R}^n$$ और $χ_{K} ≤ φ_{K}$$$\mathbb{C}$$ एक लेबेस्ग्यू मापने योग्य वेरिएबल हो। यदि, $f$ के साथ दिए गए $Ω$ के लिए, $K$ संतुष्ट करता है


 * $$ \int_K | f|^p \,\mathrm{d}x <+\infty,$$

अर्थात, यह $f$ के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय $Ω$ के लिए $f : Ω →$ से संबंधित है, तो f को स्थानीय रूप से p-इंटीग्रेबल या p-स्थानीय रूप से इंटीग्रेबल भी कहा जाता है। ऐसे सभी फलनों का समुच्चय $1 ≤ p ≤ +∞$ द्वारा दर्शाया गया है:


 * $$L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega)=\left\{f:\Omega\to\mathbb{C}\text{ measurable }\left|\ f|_K \in L_p(K),\ \forall\, K \subset \Omega, K \text{ compact}\right.\right\}.$$

एक वैकल्पिक परिभाषा, जो पूरी तरह से स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों के लिए दी गई परिभाषा के समान है, स्थानीय रूप से पी-पूर्णांक कार्यों के लिए भी दी जा सकती है: यह इस खंड में दी गई परिभाषा के समतुल्य भी हो सकती है और सिद्ध भी हो सकती है। उनकी स्पष्ट उच्च व्यापकता के अतिरिक्त, स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्य प्रत्येक पी के लिए स्थानीय रूप से पूर्णांक कार्य का एक उपसमूह बनाते हैं जैसे कि $p$.

संकेतन
विभिन्न ग्लिफ़ के अतिरिक्त जिनका उपयोग अपरकेस L के लिए किया जा सकता है, स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों के समुच्चय के अंकन के लिए कुछ प्रकार हैं
 * $$L^p_{\mathrm{loc}}(\Omega),$$ के द्वारा ग्रहण किया गया, और.
 * $$L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega),$$ के द्वारा ग्रहण किया गया और.
 * $$L_p(\Omega,\mathrm{loc}),$$ के द्वारा ग्रहण किया गया और.

गुण
एलp,loc सभी p ≥ 1 के लिए पूर्ण मीट्रिक स्थान है

$$. $f$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है: इसकी टोपोलॉजी निम्नलिखित मीट्रिक (गणित) द्वारा उत्पन्न की जा सकती है:
 * $$d(u,v)=\sum_{k\geq 1}\frac{1}{2^k}\frac{\Vert u - v\Vert_{p,\omega_k}}{1+\Vert u - v\Vert_{p,\omega_k}}\qquad u, v\in L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega),$$

जहां$Ω$ ऐसे गैर खाली खुले समुच्चयों का परिवार है
 * $K$, कारण है कि $L_{p}(K)$ को कॉम्पैक्ट रूप से सम्मिलित किया गया है $L_{p,loc}(Ω)$ अर्थात यह समुच्चय है जिसमें कॉम्पैक्ट क्लोजर को उच्च सूचकांक के समुच्चय में सख्ती से सम्मिलित किया गया है।
 * $$\scriptstyle{\Vert\cdot\Vert_{p,\omega_k}}\to\mathbb{R}^+$$, के ∈ $$\mathbb{N}$$ सेमिनोर्म का अनुक्रमित परिवार है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$ {\Vert u \Vert_{p,\omega_k}} = \left (\int_{\omega_k} | u(x)|^p \,\mathrm{d}x\right)^{1/p}\qquad\forall\, u\in L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega).$$
 * $$ {\Vert u \Vert_{p,\omega_k}} = \left (\int_{\omega_k} | u(x)|^p \,\mathrm{d}x\right)^{1/p}\qquad\forall\, u\in L_{p,\mathrm{loc}}(\Omega).$$

सन्दर्भों में, , और , यह प्रमेय बताया गया है किन्तु औपचारिक आधार पर सिद्ध नहीं किया गया है: अधिक सामान्य परिणाम का पूर्ण प्रमाण, जिसमें यह भी सम्मिलित है,  में पाया जाता है.

Lp सभी p ≥ 1 के लिए L1,loc का एक उपसमष्टि है

$$. $1 < p ≤ +∞$, $L_{1,loc}(Ω)$ से संबंधित प्रत्येक फलन $L_{p,loc}$ जहां ${ω_{k}}_{k≥1}|undefined$ का खुला उपसमुच्चय है $$\mathbb{R}^n$$, स्थानीय रूप से एकीकृत है।

प्रमाण । स्थिति $ω_{k} ⊂⊂ ω_{k+1}$ तुच्छ है, इसलिए प्रमाण की अगली कड़ी में यह मान लिया गया है कि $ω_{k}$. के एक सघन उपसमुच्चय K के विशिष्ट फलन $ω_{k+1}$ पर विचार करें: फिर, $∪_{k}ω_{k} = Ω$ के लिए,


 * $$\left|{\int_\Omega|\chi_K|^q\,\mathrm{d}x}\right|^{1/q}=\left|{\int_K \mathrm{d}x}\right|^{1/q}=|K|^{1/q}<+\infty,$$

कहाँ फिर $L_{p}(Ω)$ से संबंधित किसी भी $1 ≤ p ≤ +∞$ के लिए, होल्डर की असमानता से, उत्पाद (गणित) $f$ एकीकृत कार्य है अर्थात $Ω$ संबंधित है और
 * $p = 1$ धनात्मक संख्या है जैसे कि $1 < p ≤ +∞$ = $χ_{K}$ किसी प्रदत्त के लिए $p ≤ +∞$
 * $q$ कॉम्पैक्ट समुच्चय का लेबेस्ग माप है $1/p + 1/q$


 * $${\int_K|f|\,\mathrm{d}x}={\int_\Omega|f\chi_K|\,\mathrm{d}x}\leq\left|{\int_\Omega|f|^p\,\mathrm{d}x}\right|^{1/p}\left|{\int_K \mathrm{d}x}\right|^{1/q}=\|f\|_p|K|^{1/q}<+\infty,$$

इसलिए


 * $$f\in L_{1,\mathrm{loc}}(\Omega).$$

ध्यान दें कि चूँकि निम्नलिखित असमानता सत्य है


 * $${\int_K|f|\,\mathrm{d}x}={\int_\Omega|f\chi_K|\,\mathrm{d}x}\leq\left|{\int_K|f|^p \,\mathrm{d}x}\right|^{1/p}\left|{\int_K \mathrm{d}x}\right|^{1/q}=\|f \chi_K\|_p|K|^{1/q}<+\infty,$$

प्रमेय केवल स्थानीय रूप से पी-अभिन्न कार्यों के स्थान से संबंधित कार्यों $1$ के लिए भी सत्य है, इसलिए प्रमेय निम्नलिखित परिणाम का भी तात्पर्य करता है।

$$. प्रत्येक फलन $$ f $$ में $$L_{p,loc}(\Omega)$$, $$ 1<p\leq\infty $$, स्थानीय रूप से एकीकृत है, i. इ। से संबंधित $$ L_{1,loc}(\Omega) $$.

नोट: यदि $$ \Omega $$ का खुला उपसमुच्चय है $$ \mathbb{R}^n$$ वह भी परिबद्ध है, सीमा में मानक समावेशन होता है $$ L_p(\Omega) \subset L_1(\Omega)$$ जो उपरोक्त समावेशन को देखते हुए समझ में आता है $$ L_1(\Omega)\subset L_{1,loc}(\Omega)$$. किन्तु इनमें से पहला कथन सत्य नहीं है यदि $$ \Omega $$ परिबद्ध नहीं है; सीमा यह अभी भी सच है $$ L_p(\Omega) \subset L_{1,loc}(\Omega)$$ किसी के लिए $$p$$, किन्तु ऐसा नहीं $$ L_p(\Omega)\subset L_1(\Omega) $$. इसे देखने के लिए, सामान्यतः वेरिएबल पर विचार किया जाता है $$ u(x)=1 $$, जो इसमें है $$ L_{\infty}(\mathbb{R}^n) $$ किन्तु अंदर नहीं $$ L_p(\mathbb{R}^n)$$ किसी भी परिमित के लिए $$p$$.

L1,loc बिल्कुल निरंतर माप का घनत्व का स्थान है
$$. फलन $1 ≤ p ≤ +∞$ पूर्ण निरंतरता का घनत्व वेरिएबल (माप सिद्धांत) है उपायों की पूर्ण निरंतरता यदि और केवल यदि $$ f\in L_{1,loc}$$.

इस परिणाम का प्रमाण द्वारा चित्रित किया गया है। अपने कथन को दोबारा दोहराते हुए, यह प्रमेय दावा करता है कि प्रत्येक स्थानीय रूप से पूर्णांकीय वेरिएबल एक बिल्कुल निरंतर माप को परिभाषित करता है और इसके विपरीत, प्रत्येक बिल्कुल निरंतर उपाय एक स्थानीय रूप से पूर्णांकीय वेरिएबल को परिभाषित करता है: यह, अमूर्त माप सिद्धांत ढांचे में, महत्वपूर्ण रेडॉन-निकोडिम प्रमेय का रूप भी है स्टैनिस्लाव साक्स ने अपने ग्रंथ में दिया है।

उदाहरण

 * वास्तविक रेखा पर परिभाषित स्थिर फलन 1 स्थानीय रूप से पूर्णांकीय है किन्तु विश्व स्तर पर पूर्णांकित नहीं है क्योंकि वास्तविक रेखा में अनंत माप है। अधिक सामान्यतः, स्थिरांक (गणित), निरंतर कार्य और पूर्णांकीय फलन स्थानीय रूप से समाकलनीय होते हैं।
 * कार्यक्रम $$f(x) = 1/x$$ x ∈ (0, 1) के लिए स्थानीय रूप से है किन्तु वैश्विक रूप से (0, 1) पर एकीकृत नहीं है। यह स्थानीय रूप से एकीकृत है क्योंकि किसी भी कॉम्पैक्ट समुच्चय K ⊆ (0, 1) की 0 से धनात्मक दूरी है और f इसलिए K पर घिरा है। यह उदाहरण प्रारंभिक दावे को रेखांकित करता है कि स्थानीय रूप से एकीकृत कार्यों को सीमा के पास विकास की स्थिति की संतुष्टि की आवश्यकता नहीं है परिबद्ध डोमेन.
 * कार्यक्रम



f(x)= \begin{cases} 1/x &x\neq 0,\\ 0 & x=0, \end{cases} \quad x \in \mathbb R $$
 * स्थानीय रूप से $|K|$ एकीकृत नहीं है : यह वास्तव में इस बिंदु के निकट स्थानीय रूप से पूर्णांकित है क्योंकि इसे सम्मिलित किए बिना प्रत्येक कॉम्पैक्ट समुच्चय पर इसका अभिन्न अंग परिमित है। औपचारिक रूप से बोलते हुए, $K$($$\mathbb{R}$$ \ 0): चूँकि, इस वेरिएबल को संपूर्ण वितरण तक बढ़ाया जा सकता है $$\mathbb{R}$$ कॉची प्रमुख मूल्य के रूप में।


 * पिछला उदाहरण प्रश्न उठाता है: क्या प्रत्येक वेरिएबल जो $L_{p}(Ω)$ ⊊ $$\mathbb{R}$$ में स्थानीय रूप से एकीकृत है संपूर्ण के लिए विस्तार स्वीकार करें $$\mathbb{R}$$ वितरण के रूप में? उत्तर ऋणात्मक है, और प्रतिउदाहरण निम्नलिखित वेरिएबल द्वारा प्रदान किया गया है:

f(x)= \begin{cases} e^{1/x} &x\neq 0,\\ 0 & x=0, \end{cases} $$
 * किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है $$\mathbb{R}$$.
 * निम्नलिखित उदाहरण, पिछले उदाहरण के समान, वेरिएबल से संबंधित है $f$($$\mathbb{R}$$\ 0) जो अनियमित विलक्षणता वाले विभेदक ऑपरेटरों के लिए वितरण के सिद्धांत के अनुप्रयोग में प्राथमिक प्रति-उदाहरण के रूप में कार्य करता है:

f(x)= \begin{cases} k_1 e^{1/x^2} &x>0,\\ 0 & x=0,\\ k_2 e^{1/x^2} &x<0, \end{cases} $$
 * जहां $fχ_{K}$ और $L_{1}(Ω)$ समष्टि संख्या हैं, निम्नलिखित प्राथमिक फ़्यूचियन अंतर समीकरण का सामान्य समाधान है | प्रथम क्रम के गैर-फ़ुचियन अंतर समीकरण
 * $$x^3\frac{\mathrm{d}f}{\mathrm{d}x}+2f=0.$$
 * फिर यह समग्र रूप से किसी भी वितरण को परिभाषित नहीं करता है $$\mathbb{R}$$, यदि $f$ या $f$ शून्य नहीं हैं: ऐसे समीकरण का एकमात्र वितरणात्मक वैश्विक समाधान शून्य वितरण है, और इससे पता चलता है कि, अंतर समीकरणों के सिद्धांत की इस शाखा में, वितरण के सिद्धांत के तरीकों से समान सफलता की उम्मीद नहीं की जा सकती है समान सिद्धांत की अन्य शाखाओं में, विशेष रूप से स्थिर गुणांक वाले रैखिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में।

अनुप्रयोग
स्थानीय रूप से एकीकृत वेरिएबल वितरण (गणित) में प्रमुख भूमिका निभाते हैं और वह वेरिएबल (गणित) और वेरिएबल स्पेस के विभिन्न वर्गों की परिभाषा में होते हैं, जैसे कि बाध्य भिन्नता। इसके अतिरिक्त, वह रेडॉन-निकोडिम प्रमेय में प्रत्येक माप के बिल्कुल निरंतर भाग को चिह्नित करके प्रकट होते हैं।

यह भी देखें

 * कॉम्पैक्ट समुच्चय
 * वितरण (गणित)
 * लेब्सग्यू का घनत्व प्रमेय
 * लेब्सेग विभेदन प्रमेय
 * लेब्सग इंटीग्रल
 * एलपी स्पेस

संदर्भ

 * . माप और एकीकरण (जैसा कि शीर्षक का अंग्रेजी अनुवाद पढ़ता है) एकीकरण और माप सिद्धांत पर एक निश्चित मोनोग्राफ है: माप-संबंधित संरचनाओं (मापने योग्य कार्य, मापने योग्य समुच्चय, माप) के विभिन्न प्रकार के अनुक्रमों के अभिन्न अंग के सीमित व्यवहार का उपचार और उनका संयोजन) कुछ सीमा तक निर्णायक है।
 * . यूजीन सालेतन द्वारा मूल 1958 के रूसी संस्करण से अनुवादित, यह सामान्यीकृत कार्यों के सिद्धांत पर एक महत्वपूर्ण मोनोग्राफ है, जो वितरण और विश्लेषणात्मक कार्यात्मकता दोनों से संबंधित है।
 * (ISBN 3-540-52343-X के रूप में भी उपलब्ध है).
 * (ISBN 0-387-13589-8 के रूप में भी उपलब्ध है).
 * . लॉरेंस चिशोल्म यंग द्वारा अंग्रेजी अनुवाद, स्टीफन बानाच द्वारा दो अतिरिक्त नोट्स के साथ: गणितीय समीक्षा संख्या डोवर प्रकाशन 1964 संस्करण को संदर्भित करती है, जो मूल रूप से एक पुनर्मुद्रण है।
 * . A monograph on the theory of generalized functions written with an eye towards their applications to several complex variables and mathematical physics, as is customary for the Author.
 * . लॉरेंस चिशोल्म यंग द्वारा अंग्रेजी अनुवाद, स्टीफन बानाच द्वारा दो अतिरिक्त नोट्स के साथ: गणितीय समीक्षा संख्या डोवर प्रकाशन 1964 संस्करण को संदर्भित करती है, जो मूल रूप से एक पुनर्मुद्रण है।
 * . A monograph on the theory of generalized functions written with an eye towards their applications to several complex variables and mathematical physics, as is customary for the Author.
 * . लॉरेंस चिशोल्म यंग द्वारा अंग्रेजी अनुवाद, स्टीफन बानाच द्वारा दो अतिरिक्त नोट्स के साथ: गणितीय समीक्षा संख्या डोवर प्रकाशन 1964 संस्करण को संदर्भित करती है, जो मूल रूप से एक पुनर्मुद्रण है।
 * . A monograph on the theory of generalized functions written with an eye towards their applications to several complex variables and mathematical physics, as is customary for the Author.
 * . A monograph on the theory of generalized functions written with an eye towards their applications to several complex variables and mathematical physics, as is customary for the Author.
 * . A monograph on the theory of generalized functions written with an eye towards their applications to several complex variables and mathematical physics, as is customary for the Author.
 * . A monograph on the theory of generalized functions written with an eye towards their applications to several complex variables and mathematical physics, as is customary for the Author.