बल (भौतिकी)

भौतिकी में, बल एक प्रभाव है जो किसी वस्तु की गति को बदल सकता है। बल एक द्रव्यमान वाली वस्तु को अपना वेग बदलने के लिए प्रेरित कर सकता है (उदाहरण के लिए, आराम की स्थिति से आगे बढ़ना), यानी तेजी लाने के लिए। बल को सहज रूप से धक्का या खिंचाव के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है। बल में परिमाण और दिशा दोनों होते हैं, जो इसे एक सदिश राशि बनाता है। इसे न्यूटन (N) के SI मात्रक में मापा जाता है। बल का प्रतिनिधित्व प्रतीक F (पूर्व में P) द्वारा किया जाता है।

न्यूटन के दूसरे नियम के मूल रूप में कहा गया है कि किसी वस्तु पर लगने वाला शुद्ध बल उस दर के बराबर होता है जिस पर समय के साथ उसका संवेग बदलता है। यदि वस्तु का द्रव्यमान स्थिर है, तो इस नियम का तात्पर्य है कि किसी वस्तु का त्वरण वस्तु पर लगने वाले शुद्ध बल के समानुपाती होता है, शुद्ध बल की दिशा में होता है, और वस्तु के द्रव्यमान के व्युत्क्रमानुपाती होता है।

बल से संबंधित अवधारणाओं में शामिल हैं: जोर, जो किसी वस्तु के वेग को बढ़ाता है, ड्रैग, जो किसी वस्तु के वेग को कम करता है, और बलाघूर्ण, जो किसी वस्तु की घूर्णन गति में परिवर्तन उत्पन्न करता है। एक विस्तारित शरीर में, प्रत्येक भाग आमतौर पर आसन्न भागों पर बल लगाता है, शरीर के माध्यम से ऐसे बलों का वितरण आंतरिक यांत्रिक तनाव है। इस तरह के आंतरिक यांत्रिक तनाव उस शरीर के त्वरण का कारण नहीं बनते हैं क्योंकि बल एक दूसरे को संतुलित करते हैं। दबाव, शरीर के एक क्षेत्र पर लागू कई छोटी ताकतों का वितरण, एक साधारण प्रकार का तनाव है जो असंतुलित होने पर शरीर में तेजी ला सकता है। तनाव आमतौर पर ठोस पदार्थों के विरूपण का कारण बनता है, या तरल पदार्थ में प्रवाहित होता है।

अवधारणा का विकास
प्राचीन काल में दार्शनिकों ने स्थिर और गतिशील वस्तुओं और सरल मशीनों के अध्ययन में बल की अवधारणा का उपयोग किया, लेकिन अरस्तू और आर्किमिडीज जैसे विचारकों ने बल को समझने में मूलभूत त्रुटियों को बरकरार रखा था। आंशिक रूप से यह घर्षण के कभी-कभी गैर-स्पष्ट बल की अपूर्ण समझ और प्राकृतिक गति की प्रकृति के परिणामस्वरूप अपर्याप्त दृष्टिकोण के कारण था। मौलिक त्रुटि यह विश्वास था कि गति को बनाए रखने के लिए एक बल, यहां तक ​​कि एक स्थिर वेग पर भी  की आवश्यकता होती है। गति और बल के बारे में पिछली अधिकांश गलतफहमियों को अंततः गैलीलियो गैलीली और सर आइजैक न्यूटन द्वारा ठीक किया गया था। अपनी गणितीय अंतर्दृष्टि के साथ, सर आइजैक न्यूटन ने गति के ऐसे नियम तैयार किए जिनमें लगभग तीन सौ वर्षों तक सुधार नहीं किया गया था। 20वीं शताब्दी की शुरुआत तक, आइंस्टीन ने सापेक्षता का एक सिद्धांत विकसित किया, जिसने प्रकाश की गति के निकट बढ़ते हुए गति के साथ वस्तुओं पर बलों की कार्रवाई की सही भविष्यवाणी की, और गुरुत्वाकर्षण और जड़ता द्वारा उत्पन्न बलों में अंतर्दृष्टि भी प्रदान किया था।

क्वांटम यांत्रिकी और प्रौद्योगिकी में आधुनिक अंतर्दृष्टि के साथ जो प्रकाश की गति के करीब कणों को तेज कर सकते हैं, कण भौतिकी ने परमाणुओं से छोटे कणों के बीच बलों का वर्णन करने के लिए एक मानक मॉडल तैयार किया है। मानक मॉडल भविष्यवाणी करता है कि एक्सचेंज किए गए कण जिन्हें गेज बोसॉन कहा जाता है, वे मौलिक साधन हैं जिनके द्वारा बल उत्सर्जित और अवशोषित होते हैं। केवल चार मुख्य इंटरैक्शन ज्ञात हैं: घटती ताकत के क्रम में, वे हैं: मजबूत, विद्युत चुम्बकीय, कमजोर और गुरुत्वाकर्षण। 1970 और 1980 के दशक के दौरान किए गए उच्च-ऊर्जा कण भौतिकी अवलोकनों ने पुष्टि की कि कमजोर और विद्युत चुम्बकीय बल एक अधिक मौलिक इलेक्ट्रोवीक इंटरैक्शन की अभिव्यक्ति हैं।

 पूर्व-न्यूटनियन अवधारणाएं 

प्राचीन काल से बल की अवधारणा को प्रत्येक सरल मशीन के कामकाज के अभिन्न अंग के रूप में मान्यता दी गई है। एक साधारण मशीन द्वारा दिए गए यांत्रिक लाभ के लिए कम बल का उपयोग करने की अनुमति दी जाती है, जो उस बल के बदले में समान मात्रा में काम करने के लिए अधिक दूरी पर कार्य करता है। बलों की विशेषताओं का विश्लेषण अंततः आर्किमिडीज के काम में परिणत हुआ, जो विशेष रूप से तरल पदार्थों में निहित उत्प्लावक बलों के उपचार को तैयार करने के लिए प्रसिद्ध था।

अरस्तू ने अरिस्टोटेलियन ब्रह्मांड विज्ञान के एक अभिन्न अंग के रूप में बल की अवधारणा की दार्शनिक चर्चा प्रदान की थी। अरस्तू के विचार में, स्थलीय क्षेत्र में चार तत्व होते हैं जो विभिन्न "प्राकृतिक स्थानों" पर आराम करते हैं। अरस्तू का मानना ​​था कि पृथ्वी पर गतिहीन वस्तुएं, जो ज्यादातर पृथ्वी और पानी के तत्वों से बनी हैं, जमीन पर अपने प्राकृतिक स्थान पर हैं और अगर उन्हें अकेला छोड़ दिया जाए तो वे उसी तरह बनी रहेंगी। उन्होंने अपने "प्राकृतिक स्थान" (जैसे, भारी पिंडों के गिरने के लिए) को खोजने के लिए वस्तुओं की सहज प्रवृत्ति के बीच अंतर किया, जिसके कारण "प्राकृतिक गति" और अप्राकृतिक या मजबूर गति हुई, जिसके लिए एक बल के निरंतर आवेदन की आवश्यकता थी। स्तुओं के चलने के दैनिक अनुभव पर आधारित यह सिद्धांत, जैसे कि एक गाड़ी को गतिमान रखने के लिए आवश्यक बल के निरंतर अनुप्रयोग में, प्रक्षेप्य के व्यवहार के लिए लेखांकन में वैचारिक परेशानी, जैसे कि तीरों की उड़ान थी। जिस स्थान पर तीरंदाज प्रक्षेप्य को ले जाता है वह उड़ान की शुरुआत में था, और जब प्रक्षेप्य हवा के माध्यम से चला गया, तो कोई भी स्पष्ट कुशल कारण उस पर कार्य नहीं करता था। अरस्तू इस समस्या से अवगत थे और उन्होंने प्रस्तावित किया कि प्रक्षेप्य के मार्ग से विस्थापित हवा प्रक्षेप्य को उसके लक्ष्य तक ले जाती है। यह स्पष्टीकरण सामान्य रूप से स्थान परिवर्तन के लिए हवा की तरह सातत्य की मांग करता है।

6 वीं शताब्दी में जॉन फिलोपोनस द्वारा पहली बार मध्यकालीन विज्ञान में अरिस्टोटेलियन भौतिकी को आलोचना का सामना करना पड़ा था।

17 वीं शताब्दी के गैलीलियो गैलीली के काम तक अरिस्टोटेलियन भौतिकी की कमियों को पूरी तरह से ठीक नहीं किया जाएगा, जो देर से मध्ययुगीन विचार से प्रभावित था कि मजबूर गति में वस्तुओं ने प्रोत्साहन की एक सहज शक्ति ले ली थी। गैलीलियो ने एक प्रयोग का निर्माण किया जिसमें गति के अरिस्टोटेलियन सिद्धांत को खारिज करने के लिए पत्थर और तोप के गोले दोनों को एक झुकाव के नीचे घुमाया गया था। उन्होंने दिखाया कि पिंडों को गुरुत्वाकर्षण द्वारा उस हद तक त्वरित किया गया था जो उनके द्रव्यमान से स्वतंत्र था और तर्क दिया कि जब तक बल द्वारा कार्य नहीं किया जाता है, तब तक वस्तुएं अपना वेग बनाए रखती हैं, उदाहरण के लिए घर्षण था।

17वीं शताब्दी की शुरुआत में, न्यूटन के प्रिंसिपिया से पहले, शब्द "बल"(vis) कई भौतिक और गैर-भौतिक घटनाओं के लिए लागू किया गया था, उदाहरण के लिए, एक बिंदु के त्वरण के लिए। एक बिंदु द्रव्यमान और उसके वेग के वर्ग के गुणनफल को लाइबनिज़ द्वारा विवा (जीवित बल) नाम दिया गया था। बल की आधुनिक अवधारणा न्यूटन के विज़ मोट्रिक्स (त्वरक बल) से मेल खाती है।

 न्यूटनियन यांत्रिकी 

सर आइजैक न्यूटन ने जड़ता और बल की अवधारणाओं का उपयोग करते हुए सभी वस्तुओं की गति का वर्णन किया, और ऐसा करने में उन्होंने पाया कि वे कुछ संरक्षण कानूनों का पालन करते हैं। 1687 में, न्यूटन ने अपनी थीसिस फिलॉसॉफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथेमेटिका प्रकाशित की थी। इस काम में न्यूटन ने गति के तीन नियम निर्धारित किए कि आज तक जिस तरह से भौतिकी में बलों का वर्णन किया जाता है।

 प्रथम कानून  न्यूटन के गति के पहले नियम में कहा गया है कि जब तक बाहरी शुद्ध बल (परिणामी बल) द्वारा कार्य नहीं किया जाता है, तब तक वस्तुएं निरंतर वेग की स्थिति में चलती रहती हैं। यह कानून गैलीलियो की अंतर्दृष्टि का विस्तार है कि निरंतर वेग शुद्ध बल की कमी से जुड़ा था (नीचे इसका अधिक विस्तृत विवरण देखें)। न्यूटन ने प्रस्तावित किया कि द्रव्यमान वाली प्रत्येक वस्तु में एक जन्मजात जड़ता होती है जो "आराम की प्राकृतिक अवस्था" के अरिस्टोटेलियन विचार के स्थान पर मौलिक संतुलन "प्राकृतिक अवस्था" के रूप में कार्य करती है। अर्थात्, न्यूटन का अनुभवजन्य पहला नियम सहज ज्ञान युक्त अरिस्टोटेलियन विश्वास का खंडन करता है कि किसी वस्तु को निरंतर वेग से गतिमान रखने के लिए एक शुद्ध बल की आवश्यकता होती है। आराम को गैर-शून्य स्थिर वेग से भौतिक रूप से अप्रभेद्य बनाकर, न्यूटन का पहला नियम सीधे जड़ता को सापेक्ष वेग की अवधारणा से जोड़ता है। विशेष रूप से, उन प्रणालियों में जहां वस्तुएं विभिन्न वेगों के साथ आगे बढ़ रही हैं, यह निर्धारित करना असंभव है कि कौन सी वस्तु "गति में" है और कौन सी वस्तु "आराम पर" है। भौतिकी के नियम संदर्भ के प्रत्येक जड़त्वीय फ्रेम में समान हैं, अर्थात, एक गैलिलियन परिवर्तन से संबंधित सभी फ्रेमों में हैं।

उदाहरण के लिए, एक गतिमान वाहन में स्थिर वेग से यात्रा करते समय, भौतिकी के नियम उसकी गति के परिणामस्वरूप नहीं बदलते हैं। यदि वाहन के भीतर सवार कोई व्यक्ति गेंद को सीधे ऊपर फेंकता है, तो वह व्यक्ति इसे लंबवत रूप से ऊपर उठता हुआ और लंबवत रूप से गिरता हुआ देखेगा और वाहन की गति की दिशा में बल नहीं लगाना होगा। एक अन्य व्यक्ति, गतिमान वाहन को पास से गुजरते हुए देखता है, गेंद को वाहन की गति के समान दिशा में एक घुमावदार परवलयिक पथ का अनुसरण करता है। यह गेंद की जड़ता है जो वाहन की गति की दिशा में अपने निरंतर वेग से जुड़ी होती है जो सुनिश्चित करती है कि गेंद ऊपर फेंके जाने और वापस नीचे गिरने पर भी आगे बढ़ती रहे। कार में बैठे व्यक्ति के दृष्टिकोण से, वाहन और उसके अंदर सब कुछ आराम पर है: यह बाहरी दुनिया है जो वाहन की विपरीत दिशा में निरंतर गति से आगे बढ़ रही है। चूंकि ऐसा कोई प्रयोग नहीं है जो यह भेद कर सके कि यह वाहन है जो आराम कर रहा है या बाहरी दुनिया आराम पर है, दोनों स्थितियों को शारीरिक रूप से अप्रभेद्य माना जाता है। जड़ता इसलिए स्थिर वेग गति के लिए उतनी ही अच्छी तरह से लागू होती है जितनी कि यह आराम करने के लिए करती है।

 दूसरा कानून 

न्यूटन के दूसरे नियम का एक आधुनिक कथन एक सदिश समीकरण है

जहां $$ \vec{p}$$ सिस्टम की गति है, और $$ \vec{F}$$  नेट है (सदिश राशि) बल। यदि कोई पिंड संतुलन में है, तो परिभाषा के अनुसार शून्य शुद्ध बल है (फिर भी संतुलित बल मौजूद हो सकते हैं)। इसके विपरीत, दूसरा नियम कहता है कि यदि किसी वस्तु पर असंतुलित बल कार्य कर रहा है, तो समय के साथ वस्तु का संवेग बदल जाएगा।

गति की परिभाषा से,$$\vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}\left(m\vec{v}\right)}{\mathrm{d}t},$$जहां m द्रव्यमान है और $$ \vec{v}$$ वेग है।

यदि न्यूटन का दूसरा नियम स्थिर द्रव्यमान वाले निकाय पर लागू होता है, m को व्युत्पन्न संकारक के बाहर ले जाया जा सकता है। समीकरण तब बन जाता है$$\vec{F} = m\frac{\mathrm{d}\vec{v}}{\mathrm{d}t}.$$त्वरण की परिभाषा को प्रतिस्थापित करके, न्यूटन के दूसरे कानून का बीजीय संस्करण व्युत्पन्न है:न्यूटन ने कभी भी ऊपर दिए गए कम रूप में सूत्र को स्पष्ट रूप से नहीं बताया है।

न्यूटन का दूसरा नियम बल के त्वरण की प्रत्यक्ष आनुपातिकता और द्रव्यमान के त्वरण की व्युत्क्रम आनुपातिकता पर जोर देता है। गतिज माप के माध्यम से त्वरण को परिभाषित किया जा सकता है। हालाँकि, उन्नत भौतिकी में संदर्भ फ्रेम विश्लेषण के माध्यम से किनेमेटिक्स का अच्छी तरह से वर्णन किया गया है, फिर भी गहरे प्रश्न हैं जो द्रव्यमान की उचित परिभाषा क्या है। सामान्य सापेक्षता अंतरिक्ष-समय और द्रव्यमान के बीच एक समानता प्रदान करती है, लेकिन क्वांटम गुरुत्व के एक सुसंगत सिद्धांत की कमी के कारण, यह स्पष्ट नहीं है कि यह संबंध सूक्ष्मदर्शी पर कैसे प्रासंगिक है या नहीं। कुछ औचित्य के साथ, कानून को समानता के रूप में लिखकर न्यूटन के दूसरे कानून को द्रव्यमान की मात्रात्मक परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है, बल और द्रव्यमान की सापेक्ष इकाइयाँ तब स्थिर होती हैं।

कुछ पाठ्यपुस्तकें बल की परिभाषा के रूप में न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग करती हैं,  लेकिन यह अन्य पाठ्यपुस्तकों में नापसंद किया गया है।   उल्लेखनीय भौतिक विज्ञानी, दार्शनिक और गणितज्ञ जिन्होंने बल की अवधारणा की अधिक स्पष्ट परिभाषा की मांग की है, उनमें अर्नस्ट मच और वाल्टर नोल शामिल हैं।

न्यूटन के दूसरे नियम का उपयोग बलों की ताकत को मापने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ग्रहों के द्रव्यमान और उनकी कक्षाओं के त्वरण का ज्ञान वैज्ञानिकों को ग्रहों पर गुरुत्वाकर्षण बलों की गणना करने की अनुमति देता है।

तीसरा कानून
जब भी एक पिंड दूसरे पर बल लगाता है, तो बाद वाला एक साथ पहले पर समान और विपरीत बल लगाता है। सदिश रूप में, यदि $$\vec{F}_{1,2}$$ बॉडी 2 पर बॉडी 1 का बल है और 2 और $$\vec{F}_{2,1}$$ बॉडी 2 की बॉडी 1 पर, फिर$$\vec{F}_{1,2}=-\vec{F}_{2,1}.$$इस कानून को कभी-कभी क्रिया-प्रतिक्रिया कानून के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसमें $$ \vec{F}_{1,2}$$ एक्शन कहा जाता है। और $$ -\vec{F}_{2,1}$$ प्रतिक्रिया ।

न्यूटन का तीसरा नियम उन स्थितियों में समरूपता लागू करने का परिणाम है जहां विभिन्न वस्तुओं की उपस्थिति के लिए बलों को जिम्मेदार ठहराया जा सकता है। तीसरे नियम का अर्थ है कि सभी बल विभिन्न निकायों के बीच परस्पर क्रिया हैं, और इस प्रकार एक दिशाहीन बल या बल जैसी कोई चीज नहीं है जो केवल एक शरीर पर कार्य करती है।

ऑब्जेक्ट 1 और ऑब्जेक्ट 2 से बनी एक प्रणाली में, सिस्टम पर उनकी पारस्परिक बातचीत के कारण शुद्ध बल शून्य है:$$\vec{F}_{1,2}+\vec{F}_{2,1}=0.$$आम तौर पर, कणों की एक बंद प्रणाली में, सभी आंतरिक बल संतुलित होते हैं। कण एक -दूसरे के संबंध में तेजी ला सकते हैं लेकिन सिस्टम के द्रव्यमान का केंद्र तेजी नहीं बनाएगा।यदि कोई बाहरी बल सिस्टम पर कार्य करता है, तो यह सिस्टम के द्रव्यमान द्वारा विभाजित बाहरी बल के परिमाण के अनुपात में द्रव्यमान के केंद्र को तेज कर देगा।

न्यूटन के दूसरे और तीसरे कानूनों को मिलाकर, यह दिखाना संभव है कि एक प्रणाली की रैखिक गति संरक्षित है। दो कणों की एक प्रणाली में, अगर $$ \vec{p}_1$$ ऑब्जेक्ट 1 और की गति है $$ \vec{p}_{2}$$ ऑब्जेक्ट 2 की गति, फिर$$\frac{\mathrm{d}\vec{p}_1}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\vec{p}_2}{\mathrm{d}t}= \vec{F}_{1,2} + \vec{F}_{2,1} = 0.$$इसी तरह के तर्कों का उपयोग करते हुए, इसे एक प्रणाली में कणों की मनमानी संख्या के साथ सामान्यीकृत किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, जब तक सभी बल वस्तुओं के द्रव्यमान के साथ परस्पर क्रिया के कारण होते हैं, तब तक एक प्रणाली को परिभाषित करना संभव है जैसे कि शुद्ध गति न कभी खोती है और न ही प्राप्त होती है।

 सापेक्षता का विशेष सिद्धांत 

पेक्षता के विशेष सिद्धांत में, द्रव्यमान और ऊर्जा समतुल्य हैं (जैसा कि किसी वस्तु को गति देने के लिए आवश्यक कार्य की गणना करके देखा जा सकता है)। जब किसी वस्तु का वेग बढ़ता है, तो उसकी ऊर्जा भी बढ़ जाती है और इसलिए उसका द्रव्यमान समतुल्य (जड़त्व) हो जाता है। इस प्रकार इसे कम वेग की तुलना में उतनी ही मात्रा में तेज करने के लिए अधिक बल की आवश्यकता होती है। न्यूटन का दूसरा नियम $$\vec{F} = \frac{\mathrm{d}\vec{p}}{\mathrm{d}t}$$ मान्य रहता है क्योंकि यह एक गणितीय परिभाषा है। लेकिन सापेक्षतावादी गति को संरक्षित करने के लिए, इसे फिर से परिभाषित किया जाना चाहिए: $$ \vec{p} = \frac{m_0\vec{v}}{\sqrt{1 - v^2/c^2}},$$ जहाँ $$m_0$$ बाकी द्रव्यमान है और $$c$$ प्रकाश की गति।

निरंतर गैर-शून्य आराम द्रव्यमान के साथ एक कण के लिए बल और त्वरण से संबंधित सापेक्ष अभिव्यक्ति $$m$$ में चल रहा है $$x$$ दिशा है: $$\vec{F} = \left(\gamma^3 m a_x, \gamma m a_y, \gamma m a_z\right),$$ जहाँ

लोरेंट्ज़ कारक कहा जाता है।

सापेक्षता के प्रारंभिक इतिहास में, व्यंजकों $$\gamma^3 m$$ तथा $$\gamma m$$ m को अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ द्रव्यमान कहा जाता था। सापेक्षतावादी बल एक निरंतर त्वरण उत्पन्न नहीं करता है, लेकिन जैसे-जैसे वस्तु प्रकाश की गति के करीब पहुंचती है, एक लगातार घटती त्वरण उत्पन्न होती है। ध्यान दें कि $$ \gamma$$ असीमित रूप से एक अनंत मान तक पहुंचता है और एक गैर-शून्य आराम द्रव्यमान वाले ऑब्जेक्ट के लिए अपरिभाषित होता है क्योंकि यह प्रकाश की गति के करीब पहुंचता है, और

यदि $$v$$ की तुलना में बहुत छोटा है $$c$$, फिर $$\gamma$$ 1 और के बहुत करीब है $$F = m a$$निकट सन्निकटन है। हालांकि, सापेक्षता में उपयोग के लिए, कोई भी के रूप को पुनर्स्थापित कर सकता है$$F^\mu = mA^\mu $$चार-सदिशों के उपयोग के माध्यम से। सापेक्षता में यह संबंध सही है जब $$F^\mu$$ चार-बल है, $$m$$ अपरिवर्तनीय द्रव्यमान है, और $$A^\mu$$ चार-त्वरण है।

 विवरण  चूंकि बलों को धक्का या खींचने के रूप में माना जाता है, इसलिए यह बलों का वर्णन करने के लिए एक सहज समझ प्रदान कर सकता है। अन्य भौतिक अवधारणाओं (जैसे तापमान) के साथ, बलों की सहज समझ को सटीक परिचालन परिभाषाओं का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है जो प्रत्यक्ष टिप्पणियों के अनुरूप होते हैं और एक मानक माप पैमाने की तुलना में होते हैं। प्रयोग के माध्यम से, यह निर्धारित किया जाता है कि बलों के प्रयोगशाला माप न्यूटनियन यांत्रिकी द्वारा प्रस्तावित बल की अवधारणात्मक परिभाषा के अनुरूप हैं।

बल एक विशेष दिशा में कार्य करते हैं और आकार इस पर निर्भर करते हैं कि धक्का या खिंचाव कितना मजबूत है। इन विशेषताओं के कारण, बलों को "सदिश मात्रा" के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। इसका मतलब यह है कि बल भौतिक मात्राओं की तुलना में गणितीय नियमों के एक अलग सेट का पालन करते हैं जिनमें दिशा नहीं होती है (दिखाए गए स्केलर मात्रा)। उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करते समय कि क्या होता है जब दो बल एक ही वस्तु पर कार्य करते हैं, परिणाम की गणना करने के लिए दोनों बलों के परिमाण और दिशा दोनों को जानना आवश्यक है। यदि इन दोनों सूचनाओं के टुकड़े प्रत्येक बल के लिए ज्ञात नहीं हैं, तो स्थिति अस्पष्ट है। उदाहरण के लिए, यदि आप जानते हैं कि दो लोग एक ही रस्सी पर बल के ज्ञात परिमाण के साथ खींच रहे हैं, लेकिन आप यह नहीं जानते हैं कि कोई भी व्यक्ति किस दिशा में खींच रहा है, तो यह निर्धारित करना असंभव है कि रस्सी का त्वरण क्या होगा। रस्साकशी के रूप में दो लोग एक दूसरे के खिलाफ खींच रहे हो सकते हैं या दो लोग एक ही दिशा में खींच रहे हो सकते हैं। इस सरल एक-आयामी उदाहरण में, बलों की दिशा को जाने बिना यह तय करना असंभव है कि क्या शुद्ध बल दो बल परिमाणों को जोड़ने या एक को दूसरे से घटाने का परिणाम है। सदिशों के साथ बलों को जोड़ने से ऐसी समस्याओं से बचा जा सकता है।

ऐतिहासिक रूप से, बलों को पहले स्थैतिक संतुलन की स्थितियों में मात्रात्मक रूप से जांचा गया था जहां कई बलों ने एक दूसरे को रद्द कर दिया था। इस तरह के प्रयोग महत्वपूर्ण गुणों को प्रदर्शित करते हैं कि बल योगात्मक सदिश राशियाँ हैं: उनके पास परिमाण और दिशा होती है। जब दो बल एक बिंदु कण पर कार्य करते हैं, परिणामी बल, परिणामी (जिसे शुद्ध बल भी कहा जाता है), वेक्टर जोड़ के समानांतर चतुर्भुज नियम का पालन करके निर्धारित किया जा सकता है: एक समांतर चतुर्भुज के पक्षों द्वारा दर्शाए गए दो वैक्टरों का जोड़, एक समतुल्य देता है परिणामी सदिश जो परिमाण और दिशा में समांतर चतुर्भुज के अनुप्रस्थ के बराबर है। परिणामी का परिमाण दो बलों के परिमाण के अंतर से उनके योग में भिन्न होता है, जो उनकी कार्रवाई की रेखाओं के बीच के कोण पर निर्भर करता है। हालांकि, यदि बल एक विस्तारित शरीर पर कार्य कर रहे हैं, तो शरीर की गति पर उनके प्रभावों को ध्यान में रखते हुए उनके आवेदन की संबंधित पंक्तियों को भी निर्दिष्ट किया जाना चाहिए।

सिस्टम पर काम करने वाले बलों का ट्रैक रखने के लिए फ्री-बॉडी आरेखों का उपयोग सुविधाजनक तरीके के रूप में किया जा सकता है। आदर्श रूप से, इन आरेखों को संरक्षित बल वैक्टर के कोणों और सापेक्ष परिमाण के साथ तैयार किया जाता है ताकि शुद्ध बल निर्धारित करने के लिए ग्राफिकल वेक्टर जोड़ किया जा सकता है।

साथ ही जोड़ा जा रहा है, बलों को एक दूसरे के समकोण पर स्वतंत्र घटकों में भी हल किया जा सकता है। उत्तर-पूर्व की ओर इशारा करते हुए एक क्षैतिज बल को दो बलों में विभाजित किया जा सकता है, एक उत्तर की ओर इशारा करता है, और दूसरा पूर्व की ओर इशारा करता है। वेक्टर जोड़ का उपयोग करके इन घटक बलों का योग करने से मूल बल प्राप्त होता है। बल वैक्टर को आधार वैक्टर के एक सेट के घटकों में हल करना अक्सर परिमाण और दिशाओं का उपयोग करने की तुलना में बलों का वर्णन करने का एक अधिक गणितीय रूप से स्वच्छ तरीका है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि ओर्थोगोनल घटकों के लिए, सदिश योग के घटक अलग-अलग वैक्टर के घटकों के अदिश जोड़ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं। ओर्थोगोनल घटक एक दूसरे से स्वतंत्र होते हैं क्योंकि नब्बे डिग्री पर कार्य करने वाले बलों का दूसरे के परिमाण या दिशा पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। ऑर्थोगोनल बेस वैक्टर का एक सेट चुनना अक्सर यह विचार करके किया जाता है कि कौन सा सेट बेस वैक्टर गणित को सबसे सुविधाजनक बना देगा। एक आधार सदिश का चयन करना जो कि बलों में से एक के समान दिशा में है, वांछनीय है, क्योंकि उस बल में केवल एक गैर-शून्य घटक होगा। ऑर्थोगोनल बल वैक्टर त्रि-आयामी हो सकते हैं, जिसमें तीसरा घटक अन्य दो के समकोण पर होता है।

 संतुलन 

जब किसी वस्तु पर कार्य करने वाले सभी बल संतुलित होते हैं, तो वस्तु को संतुलन की स्थिति में कहा जाता है। इसलिए, संतुलन तब होता है जब एक बिंदु कण पर कार्य करने वाला परिणामी बल शून्य होता है (अर्थात सभी बलों का सदिश योग शून्य होता है)। एक विस्तारित शरीर के साथ काम करते समय, यह भी आवश्यक है कि शुद्ध टोक़ शून्य होन चाहिए।

संतुलन दो प्रकार के होते हैं: स्थिर संतुलन और गतिशील संतुलन।

स्थैतिक
शास्त्रीय यांत्रिकी के आविष्कार से पहले स्थिर संतुलन को अच्छी तरह से समझा गया था। जो वस्तुएँ विरामावस्था में होती हैं उन पर शून्य शुद्ध बल कार्य करता है।

स्थैतिक संतुलन का सबसे सरल मामला तब होता है जब दो बल परिमाण में समान होते हैं लेकिन दिशा में विपरीत होते हैं। उदाहरण के लिए, एक समतल सतह पर एक वस्तु को गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा पृथ्वी के केंद्र की ओर नीचे की ओर खींचा (आकर्षित) किया जाता है। उसी समय, सतह द्वारा एक बल लगाया जाता है जो समान उर्ध्व बल (सामान्य बल कहलाता है) के साथ नीचे की ओर बल का प्रतिरोध करता है। स्थिति शून्य शुद्ध बल उत्पन्न करती है और इसलिए कोई त्वरण नहीं होता है।

घर्षण सतह पर टिकी हुई वस्तु के खिलाफ धक्का देने से ऐसी स्थिति उत्पन्न हो सकती है जहां वस्तु हिलती नहीं है क्योंकि वस्तु और टेबल की सतह के बीच उत्पन्न स्थैतिक घर्षण द्वारा लागू बल का विरोध किया जाता है। बिना गति वाली स्थिति के लिए, स्थैतिक घर्षण बल लागू बल को बिल्कुल संतुलित करता है जिसके परिणामस्वरूप कोई त्वरण नहीं होता है। सतह और वस्तु के बीच संपर्क की विशेषताओं द्वारा निर्धारित ऊपरी सीमा तक लागू बल की प्रतिक्रिया में स्थैतिक घर्षण बढ़ता या घटता है।

दो बलों के बीच एक स्थिर संतुलन बलों को मापने का सबसे सामान्य तरीका है, साधारण उपकरणों जैसे कि तराजू और वसंत संतुलन का उपयोग करना है। उदाहरण के लिए, एक ऊर्ध्वाधर वसंत पैमाने पर निलंबित एक वस्तु "वसंत प्रतिक्रिया बल" द्वारा लागू बल द्वारा संतुलित वस्तु पर अभिनय करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल का अनुभव करती है, जो वस्तु के वजन के बराबर होती है। ऐसे उपकरणों का उपयोग करते हुए, कुछ मात्रात्मक बल कानूनों की खोज की गई: गुरुत्वाकर्षण बल निरंतर घनत्व की वस्तुओं के लिए मात्रा के समानुपाती होता है (मानक भार को परिभाषित करने के लिए सहस्राब्दी के लिए व्यापक रूप से शोषण किया जाता है), उत्प्लावकता के लिए आर्किमिडीज का सिद्धांत, आर्किमिडीज का लीवर का विश्लेषण, गैस के दबाव के लिए बॉयल का नियम, और स्प्रिंग्स के लिए हुक का नियम है। आइजैक न्यूटन द्वारा गति के अपने तीन नियमों की व्याख्या करने से पहले इन सभी को सूत्रबद्ध और प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित किया गया था।

 गतिशील  गतिशील संतुलन का वर्णन सबसे पहले गैलीलियो ने किया था जिन्होंने देखा कि अरिस्टोटेलियन भौतिकी की कुछ मान्यताओं का अवलोकन और तर्क द्वारा खंडन किया गया था। गैलीलियो ने महसूस किया कि सरल वेग जोड़ की मांग है कि "पूर्ण विश्राम फ्रेम" की अवधारणा मौजूद नहीं थी। गैलीलियो ने निष्कर्ष निकाला कि एक स्थिर वेग में गति पूरी तरह से आराम के बराबर थी। यह अरस्तू की आराम की "प्राकृतिक अवस्था" की धारणा के विपरीत था, जिसमें द्रव्यमान वाली वस्तुएं स्वाभाविक रूप से पहुंचती थीं। सरल प्रयोगों से पता चला कि गैलीलियो की स्थिर वेग और विराम की तुल्यता की समझ सही थी। उदाहरण के लिए, यदि एक नाविक एक स्थिर वेग से चलते हुए जहाज के कौवे के घोंसले से एक तोप का गोला गिराता है, तो अरिस्टोटेलियन भौतिकी में तोप का गोला सीधे नीचे गिर जाएगा, जबकि जहाज उसके नीचे चला जाता है। इस प्रकार, एक अरिस्टोटेलियन ब्रह्मांड में, गिरने वाला तोप का गोला एक चलती जहाज के मस्तूल के पैर के पीछे उतरता है। हालाँकि, जब यह प्रयोग वास्तव में किया जाता है, तो तोप का गोला हमेशा मस्तूल के पैर में गिरता है, जैसे कि तोप का गोला जहाज से अलग होने के बावजूद उसके साथ यात्रा करना जानता है। चूंकि तोप के गोले पर कोई आगे की ओर क्षैतिज बल नहीं लगाया जा रहा है, इसलिए केवल निष्कर्ष बचा है कि तोप का गोला नाव के गिरने के समान वेग के साथ आगे बढ़ना जारी रखता है। इस प्रकार, तोप के गोले को निरंतर आगे के वेग से गतिमान रखने के लिए किसी बल की आवश्यकता नहीं होती है।

इसके अलावा, निरंतर वेग पर यात्रा करने वाली कोई भी वस्तु शून्य शुद्ध बल (परिणामी बल) के अधीन होनी चाहिए।यह गतिशील संतुलन की परिभाषा है: जब एक वस्तु संतुलन पर सभी बल लेकिन यह अभी भी एक निरंतर वेग पर चलता है।

गतिशील संतुलन का एक साधारण मामला गतिज घर्षण के साथ एक सतह पर निरंतर वेग गति में होता है। ऐसी स्थिति में गति की दिशा में एक बल लगाया जाता है जबकि गतिज घर्षण बल लागू बल का बिल्कुल विरोध करता है। इसका परिणाम शून्य शुद्ध बल होता है, लेकिन चूंकि वस्तु शून्य-शून्य वेग से शुरू होती है, इसलिए यह गैर-शून्य वेग के साथ चलती रहती है। अरस्तू ने इस गति को लागू बल के कारण होने की गलत व्याख्या की। हालांकि, जब गतिज घर्षण को ध्यान में रखा जाता है तो यह स्पष्ट होता है कि कोई शुद्ध बल नहीं है जिससे निरंतर वेग गति है।

 क्वांटम यांत्रिकी में बल 

धारणा "बल" क्वांटम यांत्रिकी में अपना अर्थ रखती है, हालांकि अब शास्त्रीय चर के बजाय ऑपरेटरों के साथ काम कर रहा है और हालांकि भौतिकी को अब न्यूटनियन समीकरणों के बजाय श्रोडिंगर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है। इसका परिणाम यह होता है कि माप के परिणाम अब कभी-कभी "मात्राबद्ध" होते हैं, अर्थात वे असतत भागों में दिखाई देते हैं। बेशक, "बलों" के संदर्भ में कल्पना करना मुश्किल है। हालाँकि, संभावित $F$ या क्षेत्र, जिनसे आमतौर पर बल प्राप्त किए जा सकते हैं, को शास्त्रीय स्थिति चर के समान माना जाता है, अर्थात, $$V(x,y,z)\to {\hat V}(\hat x,\hat y,\hat z)$$।

यह केवल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के ढांचे में भिन्न हो जाता है, जहां इन क्षेत्रों को भी परिमाणित किया जाता है।

हालांकि, पहले से ही क्वांटम यांत्रिकी में एक "चेतावनी" है, अर्थात् एक दूसरे पर अभिनय करने वाले कणों में न केवल स्थानिक चर होता है, बल्कि एक असतत आंतरिक कोणीय गति-जैसे चर भी होता है जिसे "स्पिन" कहा जाता है, और पाउली बहिष्करण है अंतरिक्ष और स्पिन चर से संबंधित सिद्धांत। स्पिन के मूल्य के आधार पर, समान कण दो अलग-अलग वर्गों, फ़र्मियन और बोसॉन में विभाजित हो जाते हैं। यदि दो समान फ़र्मियन (जैसे इलेक्ट्रॉनों) में एक सममित स्पिन फ़ंक्शन (जैसे समानांतर स्पिन) होता है, तो स्थानिक चर को एंटीसिमेट्रिक होना चाहिए (अर्थात वे एक दूसरे को उनके स्थानों से बाहर निकालते हैं जैसे कि एक प्रतिकारक बल था), और इसके विपरीत, यानी एंटीपैरेलल के लिए स्पिन स्थिति चर सममित होना चाहिए (यानी स्पष्ट बल आकर्षक होना चाहिए)। इस प्रकार दो फ़र्मियन के मामले में स्थानिक और स्पिन चर के बीच एक सख्ती से नकारात्मक सहसंबंध होता है, जबकि दो बोसॉन (जैसे विद्युत चुम्बकीय तरंगों का क्वांटा, फोटॉन) के लिए सहसंबंध सख्ती से सकारात्मक होता है।

इस प्रकार धारणा बल पहले से ही इसके अर्थ का हिस्सा खो देता है।

फेनमैन आरेख
आधुनिक कण भौतिकी में, बलों और कणों के त्वरण को गति-वाहक गेज बोसॉन के आदान-प्रदान के गणितीय उप-उत्पाद के रूप में समझाया गया है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और सामान्य सापेक्षता के विकास के साथ, यह महसूस किया गया कि बल संवेग के संरक्षण से उत्पन्न होने वाली एक निरर्थक अवधारणा है (क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में आभासी कणों की सापेक्षता में 4-गति और गति)। संवेग का संरक्षण सीधे अंतरिक्ष की समरूपता या समरूपता से प्राप्त किया जा सकता है और इसलिए इसे आमतौर पर बल की अवधारणा से अधिक मौलिक माना जाता है। इस प्रकार वर्तमान में ज्ञात मौलिक बलों को "मौलिक अंतःक्रियाओं" के रूप में अधिक सटीक रूप से माना जाता है। जब कण ए आभासी कण बी का उत्सर्जन (निर्माण) या अवशोषित (विनाश) करता है, तो एक गति संरक्षण के परिणामस्वरूप कण ए बनाने की पुनरावृत्ति होती है। कणों के बीच प्रतिकर्षण या आकर्षण की छाप ए 'बी द्वारा आदान-प्रदान। यह विवरण मौलिक बातचीत से उत्पन्न होने वाली सभी ताकतों पर लागू होता है। जबकि परिष्कृत गणितीय विवरणों की भविष्यवाणी करने के लिए, पूर्ण विवरण में, इस तरह की बातचीत के सटीक परिणाम की आवश्यकता होती है, फेनमैन आरेखों के उपयोग के माध्यम से इस तरह की बातचीत का वर्णन करने के लिए एक अवधारणात्मक रूप से सरल तरीका है। फेनमैन आरेख में, प्रत्येक पदार्थ कण को ​​समय के माध्यम से यात्रा करने वाली सीधी रेखा (विश्व रेखा देखें) के रूप में दर्शाया जाता है, जो सामान्य रूप से ऊपर या आरेख में दाईं ओर बढ़ता है। फेनमैन आरेख के माध्यम से प्रसार की दिशा को छोड़कर पदार्थ और विरोधी पदार्थ कण समान हैं। कणों की विश्व रेखाएं अंतःक्रियात्मक शिखरों पर प्रतिच्छेद करती हैं, और फेनमैन आरेख कण विश्व रेखाओं की दिशा में एक संबद्ध तात्कालिक परिवर्तन के साथ शीर्ष पर होने वाली बातचीत से उत्पन्न होने वाले किसी भी बल का प्रतिनिधित्व करता है। गेज बोसॉन शीर्ष से दूर लहरदार रेखाओं के रूप में उत्सर्जित होते हैं और आभासी कण विनिमय के मामले में, आसन्न शीर्ष पर अवशोषित होते हैं।

फेनमैन आरेखों की उपयोगिता यह है कि अन्य प्रकार की भौतिक घटनाएं जो मौलिक अंतःक्रियाओं की सामान्य तस्वीर का हिस्सा हैं, लेकिन वैचारिक रूप से बलों से अलग हैं, उन्हें भी उन्हीं नियमों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक फेनमैन आरेख संक्षिप्त विवरण में वर्णन कर सकता है कि कैसे एक न्यूट्रॉन एक इलेक्ट्रॉन, प्रोटॉन और न्यूट्रिनो में विघटित हो जाता है, एक ही गेज बोसॉन द्वारा मध्यस्थता की गई बातचीत जो कमजोर परमाणु बल के लिए जिम्मेदार है

मौलिक बल
ब्रह्मांड की सभी ज्ञात शक्तियों को चार मूलभूत अंतःक्रियाओं में वर्गीकृत किया गया है। मजबूत और कमजोर बल केवल बहुत कम दूरी पर कार्य करते हैं, और उप-परमाणु कणों के बीच बातचीत के लिए जिम्मेदार होते हैं, जिसमें न्यूक्लियॉन और यौगिक नाभिक शामिल हैं। विद्युत आवेशों के बीच विद्युत चुम्बकीय बल कार्य करता है, और गुरुत्वाकर्षण बल द्रव्यमान के बीच कार्य करता है। प्रकृति की अन्य सभी शक्तियाँ इन चार मूलभूत अंतःक्रियाओं से उत्पन्न होती हैं। उदाहरण के लिए, घर्षण दो सतहों के परमाणुओं और पाउली अपवर्जन सिद्धांत के बीच अभिनय करने वाले विद्युत चुम्बकीय बल की अभिव्यक्ति है,, जो परमाणुओं को एक दूसरे से गुजरने की अनुमति नहीं देता है। इसी तरह, हुक के नियम द्वारा प्रतिरूपित स्प्रिंग्स में बल विद्युत चुम्बकीय बलों और पाउली अपवर्जन सिद्धांत का परिणाम हैं जो किसी वस्तु को उसकी संतुलन स्थिति में वापस लाने के लिए एक साथ कार्य करते हैं। केन्द्रापसारक बल त्वरण बल हैं जो संदर्भ के घूर्णन फ्रेम के त्वरण से उत्पन्न होते हैं।

बलों के मौलिक सिद्धांत विभिन्न विचारों के एकीकरण से विकसित हुए। उदाहरण के लिए, सर आइजैक न्यूटन ने गुरुत्वाकर्षण के अपने सार्वभौमिक सिद्धांत के साथ, पृथ्वी (चंद्रमा) और सूर्य के चारों ओर आकाशीय पिंडों के गिरने के लिए जिम्मेदार बल के साथ पृथ्वी की सतह के पास गिरने वाली वस्तुओं के लिए जिम्मेदार बल को एकीकृत किया। ग्रह)। माइकल फैराडे और जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने प्रदर्शित किया कि विद्युत और चुंबकीय बल विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांत के माध्यम से एकीकृत थे। 20वीं शताब्दी में, क्वांटम यांत्रिकी के विकास ने एक आधुनिक समझ को जन्म दिया कि पहले तीन मूलभूत बल (गुरुत्वाकर्षण को छोड़कर सभी) पदार्थ (फर्मियन) की अभिव्यक्तियाँ हैं, जो गेज बोसॉन नामक आभासी कणों का आदान-प्रदान करके परस्पर क्रिया करते हैं। कण भौतिकी का यह मानक मॉडल बलों और नेतृत्व वाले वैज्ञानिकों के बीच एक समानता मानता है जो इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत में कमजोर और विद्युत चुम्बकीय बलों के एकीकरण की भविष्यवाणी करता है, जिसे बाद में अवलोकन द्वारा पुष्टि की गई थी। मानक मॉडल का पूरा सूत्रीकरण एक अभी तक देखे नहीं गए हिग्स तंत्र की भविष्यवाणी करता है, लेकिन न्यूट्रिनो दोलनों जैसे अवलोकनों से पता चलता है कि मानक मॉडल अधूरा है। एक ग्रैंड यूनिफाइड थ्योरी जो मजबूत बल के साथ इलेक्ट्रोवेक इंटरैक्शन के संयोजन की अनुमति देता है, को उम्मीदवार सिद्धांतों जैसे कि सुपरसिमेट्री के साथ भौतिकी में कुछ बकाया अनसुलझी समस्याओं को समायोजित करने के लिए प्रस्तावित किया जाता है। भौतिक विज्ञानी अभी भी आत्म-संगत एकीकरण मॉडल विकसित करने का प्रयास कर रहे हैं जो सभी चार मौलिक अंतःक्रियाओं को हर चीज के सिद्धांत में जोड़ देगा। आइंस्टीन ने इस प्रयास में कोशिश की और असफल रहे, लेकिन वर्तमान में इस प्रश्न का उत्तर देने का सबसे लोकप्रिय तरीका स्ट्रिंग थ्योरी है।

गुरुत्वाकर्षण
जिसे हम अब गुरुत्वाकर्षण कहते हैं, उसे आइजैक न्यूटन के काम तक एक सार्वभौमिक बल के रूप में पहचाना नहीं गया था। न्यूटन से पहले, वस्तुओं के पृथ्वी की ओर गिरने की प्रवृत्ति को आकाशीय पिंडों की गति से संबंधित नहीं समझा जाता था। गैलीलियो ने गिरने वाली वस्तुओं की विशेषताओं का वर्णन करने में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई थी, यह निर्धारित करके कि मुक्त गिरने में प्रत्येक वस्तु का त्वरण स्थिर था और वस्तु के द्रव्यमान से स्वतंत्र था। आज, पृथ्वी की सतह की ओर गुरुत्वाकर्षण के कारण होने वाले इस त्वरण को आमतौर पर $$ \vec{g}$$ के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है और इसका परिमाण लगभग 9.81 मीटर प्रति सेकंड वर्ग है। (यह माप समुद्र तल से लिया गया है और स्थान के आधार पर भिन्न हो सकता है), और यह पृथ्वी के केंद्र की ओर इशारा करता है। इस अवलोकन का अर्थ है कि पृथ्वी की सतह पर किसी वस्तु पर गुरुत्वाकर्षण बल सीधे वस्तु के द्रव्यमान के समानुपाती होता है। इस प्रकार एक वस्तु जिसका द्रव्यमान $$m$$ है, एक बल का अनुभव करेगी: मुक्त रूप से गिरने वाली वस्तु के लिए यह बल निर्विरोध होता है और वस्तु पर लगने वाला कुल बल उसका भार होता है। उन वस्तुओं के लिए जो फ्री-फॉल में नहीं हैं, गुरुत्वाकर्षण बल का विरोध उनके समर्थन द्वारा लागू प्रतिक्रिया बलों द्वारा किया जाता है। उदाहरण के लिए, जमीन पर खड़ा एक व्यक्ति शून्य शुद्ध बल का अनुभव करता है, क्योंकि एक सामान्य बल (एक प्रतिक्रिया बल) उस व्यक्ति पर ऊपर की ओर जमीन द्वारा लगाया जाता है जो उसके वजन को संतुलित करता है जो नीचे की ओर निर्देशित होता है। गुरुत्वाकर्षण सिद्धांत में न्यूटन का योगदान स्वर्गीय पिंडों की गति को एकजुट करना था, जिसे अरस्तू ने पृथ्वी पर गिरने वाली गति के साथ, निरंतर गति की प्राकृतिक अवस्था में माना था। उन्होंने गुरुत्वाकर्षण के एक नियम का प्रस्ताव रखा जो उन खगोलीय गतियों के लिए जिम्मेदार हो सकता है जिनका वर्णन पहले केप्लर के ग्रह गति के नियमों का उपयोग करके किया गया था।

न्यूटन ने महसूस किया कि गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव को अलग-अलग तरीकों से बड़ी दूरी पर देखा जा सकता है। विशेष रूप से, न्यूटन ने निर्धारित किया कि पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा के त्वरण को गुरुत्वाकर्षण के समान बल के लिए जिम्मेदार ठहराया जा सकता है यदि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण व्युत्क्रम वर्ग कानून के रूप में कम हो जाता है। इसके अलावा, न्यूटन ने महसूस किया कि गुरुत्वाकर्षण के कारण एक पिंड का त्वरण दूसरे आकर्षित करने वाले पिंड के द्रव्यमान के समानुपाती होता है। इन विचारों को मिलाकर एक सूत्र मिलता है जो द्रव्यमान ($$ m_\oplus$$) और त्रिज्या ($$ R_\oplus$$) पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण त्वरण के लिए:

जहां सदिश दिशा $$\hat{r}$$,द्वारा दी गई है, पृथ्वी के केंद्र से बाहर की ओर निर्देशित इकाई वेक्टर है।

इस समीकरण में, गुरुत्वाकर्षण की सापेक्ष शक्ति का वर्णन करने के लिए एक आयामी स्थिरांक $$G$$ का उपयोग किया जाता है। इस स्थिरांक को न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक के रूप में जाना जाता है, हालांकि न्यूटन के जीवनकाल में इसका मूल्य अज्ञात था। 1798 तक हेनरी कैवेंडिश एक मरोड़ संतुलन का उपयोग करके $$G$$ का पहला माप करने में सक्षम था, यह प्रेस में व्यापक रूप से पृथ्वी के द्रव्यमान के माप के रूप में रिपोर्ट किया गया था क्योंकि $$G$$ को जानने से उपरोक्त समीकरण को देखते हुए पृथ्वी के द्रव्यमान को हल करने की अनुमति मिल सकती है। हालाँकि, न्यूटन ने महसूस किया कि चूंकि सभी खगोलीय पिंड गति के समान नियमों का पालन करते हैं, इसलिए उनके गुरुत्वाकर्षण के नियम को सार्वभौमिक होना चाहिए। संक्षेप में कहा गया है, न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम में कहा गया है कि द्रव्यमान की एक गोलाकार वस्तु पर बल $$m_1$$द्रव्यमान के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव के कारण $$m_2$$ है

जहाँ $$r$$ दो वस्तुओं के द्रव्यमान केंद्रों के बीच की दूरी है और $$\hat{r}$$ केंद्र से दूर दिशा में इंगित इकाई वेक्टर है पहली वस्तु दूसरी वस्तु के केंद्र की ओर।

यह सूत्र इतना शक्तिशाली था कि 20वीं शताब्दी तक सौर मंडल के भीतर गति के बाद के सभी विवरणों के आधार के रूप में खड़ा हुआ। उस समय के दौरान, किसी ग्रह, चंद्रमा, धूमकेतु या क्षुद्रग्रह पर कई पिंडों के प्रभाव के कारण कक्षाओं के विचलन की गणना करने के लिए गड़बड़ी विश्लेषण के परिष्कृत तरीकों का आविष्कार किया गया था। औपचारिकता इतनी सटीक थी कि गणितज्ञों को नेप्च्यून ग्रह के प्रेक्षण से पहले उसके अस्तित्व की भविष्यवाणी करने की अनुमति दे दी थी। हालाँकि, बुध की कक्षा न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम की भविष्यवाणी से मेल नहीं खाती थी। कुछ खगोल भौतिकीविदों ने एक अन्य ग्रह (वाल्कन) के अस्तित्व की भविष्यवाणी की थी जो विसंगतियों की व्याख्या करेगा, हालांकि ऐसा कोई ग्रह नहीं मिला। जब अल्बर्ट आइंस्टीन ने सामान्य सापेक्षता (जीआर) के अपने सिद्धांत को तैयार किया, तो उन्होंने अपना ध्यान बुध की कक्षा की समस्या की ओर लगाया और पाया कि उनके सिद्धांत ने एक सुधार जोड़ा, जो विसंगति के लिए जिम्मेदार हो सकता है। यह पहली बार था जब न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांत को अचूक दिखाया गया था।

तब से, सामान्य सापेक्षता को उस सिद्धांत के रूप में स्वीकार किया गया है जो गुरुत्वाकर्षण की सबसे अच्छी व्याख्या करता है। जीआर में, गुरुत्वाकर्षण को एक बल के रूप में नहीं देखा जाता है, बल्कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों में स्वतंत्र रूप से घूमने वाली वस्तुएं घुमावदार अंतरिक्ष-समय के माध्यम से सीधी रेखाओं में अपनी जड़ता के तहत यात्रा करती हैं - जिसे दो अंतरिक्ष-समय की घटनाओं के बीच सबसे कम अंतरिक्ष-समय पथ के रूप में परिभाषित किया जाता है। वस्तु के दृष्टिकोण से, सभी गति ऐसी होती है जैसे कि कोई गुरुत्वाकर्षण नहीं था। वैश्विक अर्थों में गति का अवलोकन करने पर ही अंतरिक्ष-समय की वक्रता देखी जा सकती है और बल का अनुमान वस्तु के घुमावदार पथ से लगाया जाता है। इस प्रकार, अंतरिक्ष-समय में सीधी रेखा पथ को अंतरिक्ष में एक घुमावदार रेखा के रूप में देखा जाता है, और इसे वस्तु का बैलिस्टिक प्रक्षेपवक्र कहा जाता है। उदाहरण के लिए, जमीन से फेंका गया बास्केटबॉल एक परवलय में चलता है, क्योंकि यह एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में होता है। इसका अंतरिक्ष-समय प्रक्षेपवक्र लगभग एक सीधी रेखा है, थोड़ा घुमावदार है (कुछ प्रकाश-वर्ष के क्रम की वक्रता त्रिज्या के साथ)। वस्तु के बदलते संवेग का समय व्युत्पन्न जिसे हम "गुरुत्वाकर्षण बल" कहते हैं।

 विद्युत चुम्बकीय 

स्थिर वैद्युत बल को पहली बार 1784 में कूलम्ब द्वारा दो आवेशों के बीच आंतरिक रूप से मौजूद एक बल के रूप में वर्णित किया गया था। प्रतिकारक (आंतरिक ध्रुवता थी), आवेशित वस्तुओं के द्रव्यमान से स्वतंत्र था, और सुपरपोजिशन सिद्धांत का पालन करता था। कूलम्ब का नियम इन सभी प्रेक्षणों को एक संक्षिप्त कथन में एकीकृत करता है।

बाद के गणितज्ञों और भौतिकविदों ने अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर विद्युत आवेश पर स्थिर वैद्युत बल को निर्धारित करने के लिए विद्युत क्षेत्र की रचना को उपयोगी पाया। विद्युत क्षेत्र अंतरिक्ष में कहीं भी एक काल्पनिक "टेस्ट चार्ज" का उपयोग करने और फिर स्थिर वैद्युत बल को निर्धारित करने के लिए कूलम्ब के नियम का उपयोग करने पर आधारित था। इस प्रकार अंतरिक्ष में कहीं भी विद्युत क्षेत्र को परिभाषित किया गया है $$\vec{E} = {\vec{F} \over{q}}$$ जहाँ $$q$$ काल्पनिक परीक्षण आवेश का परिमाण है।

इस बीच, दो विद्युत धाराओं के बीच मौजूद चुंबकत्व के लोरेंत्ज़ बल की खोज की गई। इसमें कूलम्ब के नियम के समान गणितीय चरित्र है, लेकिन धाराएं समान धाराएं आकर्षित करती हैं और विपरीत धाराएं पीछे हटती हैं। विद्युत क्षेत्र के समान, अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर विद्युत प्रवाह पर चुंबकीय बल को निर्धारित करने के लिए चुंबकीय क्षेत्र का उपयोग किया जा सकता है। इस मामले में, चुंबकीय क्षेत्र का परिमाण निर्धारित किया गया था

जहाँ $$I$$ काल्पनिक परीक्षण धारा का परिमाण है और $$ \ell$$ काल्पनिक तार की लंबाई है जिससे होकर परीक्षण धारा प्रवाहित होती है। चुंबकीय क्षेत्र सभी चुम्बकों पर एक बल लगाता है, उदाहरण के लिए, वे जो परकार में उपयोग किए जाते हैं। तथ्य यह है कि पृथ्वी का चुंबकीय क्षेत्र पृथ्वी की धुरी के उन्मुखीकरण के साथ निकटता से जुड़ा हुआ है, सुई पर खींचे जाने वाले चुंबकीय बल के कारण कम्पास चुंबक उन्मुख हो जाते हैं।

विद्युत धारा की परिभाषा को विद्युत आवेश के परिवर्तन की समय दर के रूप में संयोजित करके, सदिश गुणन का एक नियम जिसे लोरेंत्ज़ का नियम कहा जाता है, चुंबकीय क्षेत्र में गतिमान आवेश पर लगने वाले बल का वर्णन करता है। बिजली और चुंबकत्व के बीच संबंध एक एकीकृत विद्युत चुम्बकीय बल के वर्णन की अनुमति देता है जो एक चार्ज पर कार्य करता है। इस बल को स्थिरवैद्युत बल (विद्युत क्षेत्र के कारण) और चुंबकीय बल (चुंबकीय क्षेत्र के कारण) के योग के रूप में लिखा जा सकता है। पूरी तरह से कहा, यह कानून है:जहाँ $$ \vec{F}$$ विद्युत चुम्बकीय बल है, $$q$$ कण के आवेश का परिमाण है, $$ \vec{E}$$ विद्युत क्षेत्र है, $$ \vec{v}$$ कण का वेग है जो चुंबकीय क्षेत्र के साथ पार किया जाता है ($$ \vec{B}$$)।

विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों की उत्पत्ति को 1864 तक पूरी तरह से समझाया नहीं गया था जब जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने कई पूर्व सिद्धांतों को 20 स्केलर समीकरणों के एक सेट में एकीकृत किया था, जिसे बाद में ओलिवर हेविसाइड और जोशिया विलार्ड गिब्स द्वारा 4 वेक्टर समीकरणों में सुधार किया गया था। इन "मैक्सवेल समीकरणों" ने खेतों के स्रोतों को पूरी तरह से स्थिर और गतिमान आवेशों के रूप में और स्वयं क्षेत्रों की बातचीत वर्णित किया है। इसने मैक्सवेल को यह पता लगाने के लिए प्रेरित किया कि विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र एक तरंग के माध्यम से "स्व-उत्पन्न" हो सकते हैं जो उस गति से यात्रा करते हैं जिसकी गणना उन्होंने प्रकाश की गति के रूप में की थी। इस अंतर्दृष्टि ने प्रकाशिकी के साथ विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत के नवजात क्षेत्रों को एकजुट किया और सीधे विद्युत चुम्बकीय वर्णक्रम के पूर्ण विवरण का नेतृत्व किया है।

हालांकि, दो अवलोकनों के साथ विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत को समेटने का प्रयास, फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव, और पराबैंगनी तबाही का कोई न होना, परेशानी भरा साबित हुआ। प्रमुख सैद्धांतिक भौतिकविदों के काम के माध्यम से, क्वांटम यांत्रिकी का उपयोग करके विद्युत चुंबकत्व का एक नया सिद्धांत विकसित किया गया था। विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत के इस अंतिम संशोधन ने अंततः क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स (या QED) को जन्म दिया, जो सभी विद्युत चुम्बकीय घटनाओं को पूरी तरह से तरंग-कणों द्वारा मध्यस्थता के रूप में वर्णित करता है जिन्हें फोटॉन के रूप में जाना जाता है। QED में, फोटॉन मौलिक विनिमय कण हैं, जो विद्युत चुम्बकीय बल सहित विद्युत चुंबकत्व से संबंधित सभी इंटरैक्शन का वर्णन करते हैं।

 मजबूत परमाणु 

दो "परमाणु बल" हैं, जिन्हें आज आमतौर पर कण भौतिकी के क्वांटम सिद्धांतों में होने वाली बातचीत के रूप में वर्णित किया जाता है। मजबूत परमाणु बल परमाणु नाभिक की संरचनात्मक अखंडता के लिए जिम्मेदार बल है जबकि कमजोर परमाणु बल कुछ न्यूक्लियॉन के लेप्टान और अन्य प्रकार के हैड्रोन में क्षय के लिए जिम्मेदार है।

क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (क्यूसीडी) के सिद्धांत द्वारा विस्तृत रूप से मजबूत बल को आज क्वार्क और ग्लून्स के बीच बातचीत का प्रतिनिधित्व करने के लिए समझा जाता है। मजबूत बल ग्लून्स द्वारा मध्यस्थता वाला मौलिक बल है, जो क्वार्क, एंटीक्वार्क और स्वयं ग्लून्स पर कार्य करता है। (उपयुक्त नाम) मजबूत बातचीत चार मौलिक ताकतों में से "सबसे मजबूत" है।

प्रबल बल केवल प्राथमिक कणों पर सीधे कार्य करता है। हालांकि, परमाणु बल के रूप में हैड्रोन (परमाणु नाभिक में न्यूक्लियंस के बीच कार्य करने वाले बल का सबसे अच्छा ज्ञात उदाहरण) के बीच बल का एक अवशिष्ट देखा जाता है। यहां मजबूत बल परोक्ष रूप से कार्य करता है, ग्लून्स के रूप में प्रेषित होता है, जो आभासी पीआई और आरएचओ मेसन का हिस्सा होता है, जो शास्त्रीय रूप से परमाणु बल को प्रसारित करता है (अधिक के लिए इस विषय को देखें)। मुक्त क्वार्क की कई खोजों की विफलता से पता चला है कि प्रभावित प्राथमिक कण प्रत्यक्ष रूप से देखने योग्य नहीं हैं। इस घटना को रंग कारावास कहा जाता है।

कमजोर परमाणु
कमजोर बल W और Z बोसोन के भारी आदान-प्रदान के कारण होता है। चूंकि कमजोर बल की मध्यस्थता दो प्रकार के बोसॉन द्वारा की जाती है, इसे दो प्रकार के इंटरैक्शन या "वर्टिस" में विभाजित किया जा सकता है - चार्ज करंट, जिसमें विद्युत रूप से चार्ज W+ और W− बोसॉन शामिल होते हैं, और न्यूट्रल करंट, जिसमें विद्युत रूप से न्यूट्रल Z0 बोसॉन शामिल होते हैं। कमजोर अंतःक्रिया का सबसे परिचित प्रभाव बीटा क्षय (परमाणु नाभिक में न्यूट्रॉन का) और संबंधित रेडियोधर्मिता है। यह एक प्रकार का चार्ज-करंट इंटरैक्शन है। शब्द "कमजोर" इस ​​तथ्य से निकला है कि क्षेत्र की ताकत मजबूत बल की तुलना में लगभग 1013 गुना कम है। फिर भी, यह कम दूरी पर गुरुत्वाकर्षण से अधिक मजबूत है। एक सुसंगत इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत भी विकसित किया गया है, जो दर्शाता है कि विद्युत चुम्बकीय बल और कमजोर बल लगभग 1015 केल्विन से अधिक तापमान पर अप्रभेद्य हैं। आधुनिक कण त्वरक में इस तरह के तापमान की जांच की गई है और बिग बैंग के शुरुआती क्षणों में ब्रह्मांड की स्थितियों को दिखाते हैं।

गैर-मौलिक बल
कुछ बल मौलिक शक्तियों के परिणाम हैं। ऐसी स्थितियों में, आदर्श मॉडल का उपयोग भौतिक अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

सामान्य बल


सामान्य बल निकट संपर्क में परमाणुओं के बीच परस्पर क्रिया के प्रतिकारक बलों के कारण होता है। जब उनके इलेक्ट्रॉन बादल ओवरलैप करते हैं, तो पाउली प्रतिकर्षण (इलेक्ट्रॉनों की फर्मोनिक प्रकृति के कारण) का अनुसरण करता है जिसके परिणामस्वरूप बल दो वस्तुओं के बीच सतह इंटरफेस के लिए सामान्य दिशा में कार्य करता है। सामान्य बल, उदाहरण के लिए, इसके लिए जिम्मेदार है तालिकाओं और फर्शों की संरचनात्मक अखंडता के साथ-साथ जब भी कोई बाहरी बल किसी ठोस वस्तु पर दबाव डालता है तो प्रतिक्रिया करता है। क्रिया में सामान्य बल का एक उदाहरण एक स्थिर सतह से टकराने वाली वस्तु पर प्रभाव बल है।

 घर्षण 

घर्षण एक सतही बल है जो सापेक्ष गति का विरोध करता है। घर्षण बल का सीधा संबंध उस सामान्य बल से होता है जो दो ठोस वस्तुओं को संपर्क के बिंदु पर अलग रखने का कार्य करता है। घर्षण बलों के दो व्यापक वर्गीकरण हैं: स्थैतिक घर्षण और गतिज घर्षण।

स्थैतिक घर्षण बल ($$F_{\mathrm{sf}}$$) स्थिर घर्षण के गुणांक द्वारा निर्दिष्ट सीमा तक सतह संपर्क के समानांतर किसी वस्तु पर लागू बलों का बिल्कुल विरोध करेगा। ($$\mu_{\mathrm{sf}}$$) सामान्य बल($$F_N$$) से गुणा किया जाता है। दूसरे शब्दों में, स्थैतिक घर्षण बल का परिमाण असमानता को संतुष्ट करता है: $$0 \le F_{\mathrm{sf}} \le \mu_{\mathrm{sf}} F_\mathrm{N}.$$ काइनेटिक घर्षण बल ($$F_{\mathrm{kf}}$$) लागू बल और वस्तु की गति दोनों से स्वतंत्र है। इस प्रकार, बल का परिमाण बराबर होता है: $$F_{\mathrm{kf}} = \mu_{\mathrm{kf}} F_\mathrm{N},$$ जहाँ $$\mu_{\mathrm{kf}}$$ गतिज घर्षण का गुणांक है। अधिकांश सतह इंटरफेस के लिए, गतिज घर्षण का गुणांक स्थैतिक घर्षण के गुणांक से कम होता है।

तनाव
तनाव बलों को आदर्श तारों का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है जो बड़े पैमाने पर, घर्षण रहित, अटूट और अस्थिर होते हैं। उन्हें आदर्श पुली के साथ जोड़ा जा सकता है, जो आदर्श तारों को भौतिक दिशा बदलने की अनुमति देता है। आदर्श तार क्रिया-प्रतिक्रिया जोड़े में तनाव बलों को तुरंत संचारित करते हैं ताकि यदि दो वस्तुएं एक आदर्श स्ट्रिंग से जुड़ी हों, तो पहली वस्तु द्वारा स्ट्रिंग के साथ निर्देशित कोई भी बल दूसरी वस्तु द्वारा विपरीत दिशा में स्ट्रिंग के साथ निर्देशित बल के साथ होता है। चल पुली का उपयोग करने वाले सेट-अप के उपयोग के माध्यम से एक ही स्ट्रिंग को एक ही वस्तु से कई बार जोड़कर, लोड पर तनाव बल को गुणा किया जा सकता है। लोड पर कार्य करने वाली प्रत्येक स्ट्रिंग के लिए, स्ट्रिंग में तनाव बल का एक अन्य कारक लोड पर कार्य करता है। हालाँकि, भले ही ऐसी मशीनें बल में वृद्धि की अनुमति देती हैं, फिर भी स्ट्रिंग की लंबाई में एक समान वृद्धि होती है जिसे लोड को स्थानांतरित करने के लिए विस्थापित किया जाना चाहिए। इन अग्रानुक्रम प्रभावों का परिणाम अंततः यांत्रिक ऊर्जा के संरक्षण में होता है क्योंकि लोड पर किया गया कार्य समान होता है चाहे मशीन कितनी भी जटिल क्यों न हो

 प्रत्यास्थ बल 

लोचदार बल एक वसंत को उसकी प्राकृतिक लंबाई में वापस करने के लिए कार्य करता है। एक आदर्श स्प्रिंग को द्रव्यमान रहित, घर्षण रहित, अटूट और असीम रूप से फैलने योग्य माना जाता है। ऐसे स्प्रिंग्स बल लगाते हैं जो सिकुड़ने पर धक्का देते हैं, या विस्तारित होने पर खींचे जाते हैं, जो स्प्रिंग के संतुलन की स्थिति से विस्थापन के अनुपात में होता है। इस रैखिक संबंध का वर्णन रॉबर्ट हुक ने 1676 में किया था, जिसके लिए हुक के नियम का नाम दिया गया है। यदि $$\Delta x$$ विस्थापन है, तो एक आदर्श स्प्रिंग द्वारा लगाया गया बल बराबर होता है:जहाँ $$k$$ वसंत स्थिरांक (या बल स्थिर) है, जो विशेष रूप से वसंत के लिए है।माइनस साइन इन लोड के विरोध में कार्य करने के लिए बल की प्रवृत्ति के लिए हस्ताक्षर करता है।

 सातत्यक यांत्रिकी 

न्यूटन के नियम और सामान्य रूप से न्यूटनियन यांत्रिकी को सबसे पहले यह वर्णन करने के लिए विकसित किया गया था कि बल त्रि-आयामी वस्तुओं के बजाय आदर्श बिंदु कणों को कैसे प्रभावित करते हैं। हालाँकि, वास्तविक जीवन में, पदार्थ की विस्तारित संरचना होती है और किसी वस्तु के एक भाग पर कार्य करने वाले बल किसी वस्तु के अन्य भागों को प्रभावित कर सकते हैं। उन स्थितियों के लिए जहां किसी वस्तु में परमाणुओं को एक साथ पकड़े हुए जाली प्रवाह, अनुबंध, विस्तार, या अन्यथा आकार बदलने में सक्षम है, सातत्य यांत्रिकी के सिद्धांत उस तरह का वर्णन करते हैं जिस तरह से बल सामग्री को प्रभावित करते हैं। उदाहरण के लिए, विस्तारित तरल पदार्थों में, दबाव में अंतर के परिणामस्वरूप दबाव ढाल के साथ बलों को निर्देशित किया जाता है:$$\frac{\vec{F}}{V} = - \vec{\nabla} P$$जहां $$V$$ द्रव में वस्तु का आयतन है और $$P$$ वह अदिश फलन है जो अंतरिक्ष में सभी स्थानों पर दबाव का वर्णन करता है। दबाव प्रवणता और अंतर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों में निलंबित तरल पदार्थ, वायुमंडलीय विज्ञान में हवाओं और वायुगतिकी और उड़ान से जुड़े लिफ्ट के लिए उत्प्लावक बल का परिणाम है।

गतिशील दबाव से जुड़े ऐसे बल का एक विशिष्ट उदाहरण द्रव प्रतिरोध है: एक शरीर बल जो चिपचिपाहट के कारण द्रव के माध्यम से किसी वस्तु की गति का विरोध करता है। तथाकथित "स्टोक्स ड्रैग" के लिए बल लगभग वेग के समानुपाती होता है, लेकिन दिशा में विपरीत होता है:जहाँ:
 * $$b$$ एक स्थिरांक है जो द्रव के गुणों और वस्तु के आयामों पर निर्भर करता है (आमतौर पर क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र), और
 * $$ \vec{v}$$ वस्तु का वेग है।

अधिक औपचारिक रूप से, कॉन्टिनम मैकेनिक्स में बलों को पूरी तरह से एक तनाव -टेंसर द्वारा वर्णित किया जाता है, जिनके रूप में लगभग परिभाषित किया गया है जहाँ $$A$$ उस आयतन के लिए प्रासंगिक क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र है जिसके लिए स्ट्रेस-टेन्सर की गणना की जा रही है। इस औपचारिकता में उन बलों से जुड़े दबाव शब्द शामिल हैं जो क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र (टेंसर के मैट्रिक्स विकर्ण) के साथ-साथ क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र (ऑफ-विकर्ण तत्वों) के समानांतर कार्य करने वाली ताकतों से जुड़े कतरनी शर्तों के लिए सामान्य कार्य करते हैं। तनाव टेंसर उन बलों के लिए जिम्मेदार है जो तन्यता तनाव और संपीड़न सहित सभी उपभेदों (विरूपण) का कारण बनते हैं।

 काल्पनिक बल 

ऐसे बल हैं जो फ्रेम पर निर्भर हैं, जिसका अर्थ है कि वे गैर-न्यूटोनियन (अर्थात गैर-जड़त्वीय) संदर्भ फ्रेम को अपनाने के कारण प्रकट होते हैं। इस तरह के बलों में केन्द्रापसारक बल और कोरिओलिस बल शामिल हैं। इन बलों को काल्पनिक माना जाता है क्योंकि वे संदर्भ के फ्रेम में मौजूद नहीं हैं जो गति नहीं कर रहे हैं। [3] [4] चूंकि ये ताकतें वास्तविक नहीं हैं, इसलिए इन्हें "छद्म ताकतें" भी कहा जाता है।

सामान्य सापेक्षता में, गुरुत्वाकर्षण एक काल्पनिक बल बन जाता है जो उन स्थितियों में उत्पन्न होता है जहां स्पेसटाइम एक सपाट ज्यामिति से विचलित होता है। एक विस्तार के रूप में, कलुजा-क्लेन सिद्धांत और स्ट्रिंग सिद्धांत क्रमशः विद्युत चुंबकत्व और अन्य मौलिक बलों को अलग-अलग स्केल किए गए आयामों की वक्रता के रूप में वर्णित करते हैं, जिसका अंततः यह अर्थ होगा कि सभी बल काल्पनिक हैं।

घूर्णन और बलाघूर्ण


बल जो विस्तारित वस्तुओं को घुमाने का कारण बनते हैं, वे टॉर्क से जुड़े होते हैं। गणितीय रूप से, एक बल के टोक़ $$ \vec{F}$$ को क्रॉस-उत्पाद के रूप में एक मनमाना संदर्भ बिंदु के सापेक्ष परिभाषित किया गया है:जहां $$ \vec{r}$$ संदर्भ बिंदु के सापेक्ष बल अनुप्रयोग बिंदु की स्थिति वेक्टर है।

टोक़ उसी तरह बल के रोटेशन के बराबर है जिस तरह कोण स्थिति के लिए घूर्णी समतुल्य है, वेग के लिए कोणीय वेग और गति के लिए कोणीय गति है। न्यूटन के गति के पहले नियम के परिणामस्वरूप, घूर्णी जड़ता मौजूद है जो यह सुनिश्चित करती है कि सभी निकाय अपने कोणीय गति को बनाए रखें जब तक कि असंतुलित टोक़ द्वारा कार्य नहीं किया जाता है। इसी तरह, न्यूटन के गति के दूसरे नियम का उपयोग कठोर शरीर के तात्कालिक कोणीय त्वरण के लिए एक समान समीकरण प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है:$$\vec{\tau} = I\vec{\alpha}$$जहां
 * $$I$$ शरीर की जड़ता का क्षण है
 * $$ \vec{\alpha}$$ शरीर का कोणीय त्वरण है।

यह जड़ता के क्षण के लिए एक परिभाषा प्रदान करता है, जो द्रव्यमान के लिए घूर्णी समतुल्य है। यांत्रिकी के अधिक उन्नत उपचारों में, जहां एक समय अंतराल पर रोटेशन का वर्णन किया गया है, जड़ता के क्षण को टेंसर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जब ठीक से विश्लेषण किया जाता है, तो पूर्वता और पोषण सहित घूर्णन की विशेषताओं को पूरी तरह से निर्धारित करता है।

समान रूप से, न्यूटन के दूसरे कानून का विभेदक रूप टोक़ की एक वैकल्पिक परिभाषा प्रदान करता है: $$\vec{\tau} = \frac{\mathrm{d}\vec{L}}{\mathrm{dt}},$$ जहां $$ \vec{L}$$ कण की कोणीय गति है।

न्यूटन के गति के तीसरे नियम के लिए आवश्यक है कि सभी वस्तुएँ जो बलाघूर्ण करती हैं, वे स्वयं समान और विपरीत बलाघूर्णों का अनुभव करती हैं, और इसलिए सीधे तौर पर बंद प्रणालियों के लिए कोणीय संवेग के संरक्षण का भी तात्पर्य है जो आंतरिक बलाघूर्णों की क्रिया के माध्यम से घूर्णन और क्रांतियों का अनुभव करते हैं।

केन्द्राभिमुख बल
वृत्ताकार गति में गति करने वाली वस्तु के लिए, वस्तु पर लगने वाला असंतुलित बल बराबर होता है:

जहाँ $$m$$ वस्तु का द्रव्यमान है, $$v$$ वस्तु का वेग है और $$r$$ वृत्ताकार पथ के केंद्र की दूरी है और $$ \hat{r}$$ एक इकाई वेक्टर है जो केंद्र से बाहर की ओर रेडियल दिशा की ओर इशारा करता है। इसका मतलब यह है कि किसी भी वस्तु द्वारा महसूस किया गया असंतुलित अभिकेंद्र बल हमेशा वक्र पथ के केंद्र की ओर निर्देशित होता है। इस तरह के बल किसी वस्तु की गति से जुड़े वेग वेक्टर के लंबवत कार्य करते हैं, और इसलिए वस्तु की गति (वेग का परिमाण) नहीं बदलते हैं, लेकिन केवल वेग वेक्टर की दिशा बदलते हैं। किसी वस्तु को गति देने वाले असंतुलित बल को पथ के लंबवत घटक में और पथ के स्पर्शरेखा वाले घटक में हल किया जा सकता है। यह दोनों स्पर्शरेखा बल उत्पन्न करता है, जो वस्तु को धीमा या तेज करके गति प्रदान करता है, और रेडियल (सेंट्रिपेटल) बल, जो इसकी दिशा बदलता है।

 गतिज समाकलन 

गतिज चरों के संबंध में एकीकरण करके कई भौतिक अवधारणाओं को परिभाषित करने के लिए बलों का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समय के संबंध में एकीकरण आवेग की परिभाषा देता है: $$\vec{J}=\int_{t_1}^{t_2}{\vec{F} \, \mathrm{d}t},$$ जो न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार संवेग में परिवर्तन के बराबर होना चाहिए (आवेग गति प्रमेय की उपज)।

इसी तरह, स्थिति के संबंध में एकीकरण एक बल द्वारा किए गए कार्य की परिभाषा देता है:[ जो गतिज ऊर्जा में परिवर्तन के बराबर है (कार्य ऊर्जा प्रमेय प्राप्त करना)।

पावर P, कार्य W के परिवर्तन dW/dt की दर है, क्योंकि प्रक्षेपवक्र एक स्थिति परिवर्तन $$ d\vec{x}$$ एक समय अंतराल में dt: $$ \mathrm{d}W = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}\vec{x}} \cdot \mathrm{d}\vec{x} = \vec{F} \cdot \mathrm{d}\vec{x},$$ इसलिए $$P = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}W}{\mathrm{d}\vec{x}} \cdot \frac{\mathrm{d}\vec{x}}{\mathrm{d}t} = \vec{F} \cdot \vec{v}, $$ साथ वेग।

संभावित ऊर्जा
बल के बजाय, सुविधा के लिए अक्सर संभावित ऊर्जा क्षेत्र की गणितीय रूप से संबंधित अवधारणा का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, किसी वस्तु पर कार्य करने वाले गुरुत्वाकर्षण बल को उस वस्तु के स्थान पर मौजूद गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की क्रिया के रूप में देखा जा सकता है। गणितीय रूप से ऊर्जा की परिभाषा (कार्य की परिभाषा के माध्यम से) को पुन: स्थापित करते हुए, एक संभावित अदिश क्षेत्र $$U(\vec{r})$$ को इस रूप में परिभाषित किया गया है वह क्षेत्र जिसकी प्रवणता प्रत्येक बिंदु पर उत्पन्न बल के बराबर और विपरीत है: $$\vec{F}=-\vec{\nabla} U.$$ बलों को रूढ़िवादी या गैर-रूढ़िवादी के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। रूढ़िवादी ताकतें एक क्षमता के ढाल के बराबर होती हैं जबकि गैर-रूढ़िवादी ताकतें नहीं होती हैं।

 रूढ़िवादी बल  रूढ़िवादी बल जो एक बंद प्रणाली पर कार्य करता है, उसमें एक संबद्ध यांत्रिक कार्य होता है जो ऊर्जा को केवल गतिज या संभावित रूपों के बीच परिवर्तित करने की अनुमति देता है। इसका मतलब यह है कि एक बंद प्रणाली के लिए, जब भी कोई रूढ़िवादी बल सिस्टम पर कार्य करता है, तो शुद्ध यांत्रिक ऊर्जा संरक्षित होती है। इसलिए, बल सीधे अंतरिक्ष में दो अलग-अलग स्थानों के बीच संभावित ऊर्जा के अंतर से संबंधित है, और इसे संभावित क्षेत्र का एक आर्टिफैक्ट माना जा सकता है जिस तरह से पानी के प्रवाह की दिशा और मात्रा किसी क्षेत्र की ऊंचाई के समोच्च मानचित्र की एक कलाकृति के रूप में माना जा सकता है।

रूढ़िवादी बलों में गुरुत्वाकर्षण, विद्युत चुम्बकीय बल और हुक का नियम शामिल है। स्प्रिंग फोर्स।इनमें से प्रत्येक बल में ऐसे मॉडल होते हैं जो अक्सर रेडियल वेक्टर के रूप में दी जाने वाली स्थिति पर निर्भर होते हैं $$ \vec{r}$$ गोलाकार सममित क्षमता से निकलना। इस अनुसरण के उदाहरण:

गुरुत्वाकर्षण के लिए: $$\vec{F}_g = - \frac{G m_1 m_2}{r^2} \hat{r}$$ जहाँ $$G$$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, और $$m_n$$ वस्तु का द्रव्यमान है n।

स्थिर वैद्युत बलों के लिए:

जहाँ $$\varepsilon_{0}$$ मुक्त स्थान की विद्युत पारगम्यता है, और $$q_n$$ ऑब्जेक्ट का इलेक्ट्रिक चार्ज है। वसंत बल के लिए: $$\vec{F}_s = - k r \hat{r}$$ जहाँ $$k$$ वसंत स्थिरांक है।

गैर-रूढ़िवादी बल
कुछ भौतिक परिदृश्यों के लिए, संभावित ढाल के कारण बलों को मॉडल करना असंभव है। यह अक्सर मैक्रोफिजिकल विचारों के कारण होता है जो माइक्रोस्टेट्स के मैक्रोस्कोपिक सांख्यिकीय औसत से उत्पन्न होने वाली ताकतों को उत्पन्न करते हैं। उदाहरण के लिए, घर्षण परमाणुओं के बीच कई इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता के ग्रेडिएंट के कारण होता है, लेकिन एक बल मॉडल के रूप में प्रकट होता है जो किसी भी मैक्रोस्केल स्थिति वेक्टर से स्वतंत्र होता है। घर्षण के अलावा अन्य गैर-रूढ़िवादी ताकतों में अन्य संपर्क बल, तनाव, संपीड़न और ड्रैग शामिल हैं। हालांकि, किसी भी पर्याप्त विस्तृत विवरण के लिए, ये सभी बल रूढ़िवादी लोगों के परिणाम हैं क्योंकि इनमें से प्रत्येक मैक्रोस्कोपिक बल सूक्ष्म क्षमता के ग्रेडिएंट के शुद्ध परिणाम हैं।

मैक्रोस्कोपिक गैर-रूढ़िवादी ताकतों और सूक्ष्म रूढ़िवादी ताकतों के बीच संबंध को सांख्यिकीय यांत्रिकी के साथ विस्तृत उपचार द्वारा वर्णित किया गया है। मैक्रोस्कोपिक बंद प्रणालियों में, गैर-रूढ़िवादी बल सिस्टम की आंतरिक ऊर्जा को बदलने के लिए कार्य करते हैं, और अक्सर गर्मी के हस्तांतरण से जुड़े होते हैं। ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम के अनुसार, गैर-रूढ़िवादी बल अनिवार्य रूप से बंद प्रणालियों के भीतर ऊर्जा परिवर्तन को क्रम से अधिक यादृच्छिक परिस्थितियों में एंट्रोपी बढ़ने के रूप में परिणाम देते हैं।

 माप की इकाइयाँ 

बल की SI इकाई न्यूटन (प्रतीक N) है, जो एक किलोग्राम द्रव्यमान को एक मीटर प्रति सेकंड वर्ग, या $F = ma$ की दर से गति देने के लिए आवश्यक बल है। संबंधित सीजीएस इकाई डायन है, एक ग्राम द्रव्यमान को एक सेंटीमीटर प्रति सेकंड वर्ग, या $P = mf$ द्वारा त्वरित करने के लिए आवश्यक बल। इस प्रकार एक न्यूटन 100,000 डायन के बराबर होता है।

बल की गुरुत्वाकर्षण फुट-पाउंड-सेकंड अंग्रेजी इकाई पाउंड-बल (lbf) है, जिसे $V(x, y, z)$ के मानक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में पाउंड-द्रव्यमान पर गुरुत्वाकर्षण द्वारा लगाए गए बल के रूप में परिभाषित किया गया है। पाउंड-बल द्रव्यमान की एक वैकल्पिक इकाई प्रदान करता है: एक स्लग वह द्रव्यमान होता है जो एक पाउंड-बल द्वारा कार्य करने पर प्रति सेकंड एक फुट से तेज हो जाएगा।

एक अलग फुट-पाउंड-सेकंड सिस्टम में बल की एक वैकल्पिक इकाई, निरपेक्ष एफपीएस प्रणाली, पाउंडल है, जिसे एक फुट प्रति सेकंड वर्ग की दर से एक पाउंड द्रव्यमान को तेज करने के लिए आवश्यक बल के रूप में परिभाषित किया गया है। स्लग और पाउंडल की इकाइयाँ न्यूटन के दूसरे नियम में आनुपातिकता की निरंतरता से बचने के लिए डिज़ाइन की गई हैं।

पाउंड-बल का एक मीट्रिक समकक्ष होता है, जो आमतौर पर न्यूटन की तुलना में कम उपयोग किया जाता है: किलोग्राम-बल (kgf) (कभी-कभी किलोपोंड), एक किलोग्राम द्रव्यमान पर मानक गुरुत्वाकर्षण द्वारा लगाया जाने वाला बल है। किलोग्राम-बल की ओर जाता है द्रव्यमान की एक वैकल्पिक, लेकिन शायद ही कभी इस्तेमाल की जाने वाली इकाई: मीट्रिक स्लग (कभी-कभी मग या hyl) वह द्रव्यमान होता है जो 1 kgf के बल के अधीन होने पर $kg·m·s^{−2}$पर त्वरित होता है। किलोग्राम-बल आधुनिक एसआई प्रणाली का हिस्सा नहीं है, और आमतौर पर इसे पदावनत किया जाता है, हालाँकि यह अभी भी कुछ उद्देश्यों के लिए उपयोग को देखता है जैसे कि विमान का वजन, जेट थ्रस्ट, साइकिल स्पोक टेंशन, टॉर्क रिंच सेटिंग्स और इंजन आउटपुट टॉर्क को व्यक्त करना। बल की अन्य रहस्यमय इकाइयों में शामिल हैं Sthène जो 1000 N के बराबर है, और kip, जो 1000 lbf के बराबर है। टन-फोर्स भी देखें।

बल माप
फोर्स गेज, स्प्रिंग स्केल, लोड सेल देखें

बाहरी संबंध

 * Video lecture on Newton's three laws by Walter Lewin from MIT OpenCourseWare
 * A Java simulation on vector addition of forces
 * Force demonstrated as any influence on an object that changes the object's shape or motion (video)

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