मल्टीपोल विस्तार

मल्टीपोल विस्तार गणितीय श्रृंखला (गणित) है जो फलन (गणित) का प्रतिनिधित्व करता है जो कोणों पर निर्भर करता है - जो सामान्यतः त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $$\R^3$$ के लिए गोलाकार समन्वय प्रणाली (ध्रुवीय और दिगंश कोण) में उपयोग किए जाने वाले दो कोण पर निर्भर करती है। इसी प्रकार टेलर श्रृंखला के लिए, मल्टीपोल विस्तार उपयोगी होते हैं क्योंकि मूल कार्य का अच्छा सन्निकटन प्रदान करने के लिए अधिकांश केवल पहले कुछ शब्दों की आवश्यकता होती है। विस्तारित किया जा रहा कार्य वास्तविक संख्या- या जटिल संख्या-मूल्यवान हो सकता है और इसे या तो $$\R^3$$ परिभाषित किया गया है, या कुछ अन्य $n$.के लिए $$\R^n$$ पर कम बार परिभाषित किया गया है।

मल्टीपोल विस्तार का उपयोग अधिकांश विद्युत चुम्बकीय और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों के अध्ययन में किया जाता है, जहां छोटे से क्षेत्र में स्रोतों के संदर्भ में दूर के बिंदुओं पर क्षेत्र दिए जाते हैं। कोणों के साथ मल्टीपोल विस्तार को अधिकांश त्रिज्या में विस्तार के साथ जोड़ दिया जाता है। ऐसा संयोजन त्रि-आयामी अंतरिक्ष में फलन का वर्णन करने वाला विस्तार देता है।

मल्टीपोल विस्तार को उत्तरोत्तर महीन कोणीय विशेषताओं (आघूर्ण (गणित)) के साथ शब्दों के योग के रूप में व्यक्त किया गया है। पहले (शून्य-क्रम) पद को मोनोपोल (गणित) आघूर्ण कहा जाता है, दूसरे (प्रथम-क्रम) पद को द्विध्रुवीय आघूर्ण, तीसरा (द्वितीय-क्रम) चतुर्भुज आघूर्ण, चौथा (तीसरा- क्रम) कहा जाता है। शब्द को ऑक्टोपोल पल कहा जाता है, और इसी तरह। ग्रीक अंकों की सीमा को देखते हुए, उच्च क्रम के पदों को पारंपरिक रूप से ध्रुवों की संख्या में जोड़कर नामित किया जाता है - उदाहरण के लिए, 32-ध्रुव (संभवतः ही कभी डॉट्रियाकॉन्टापोल या ट्राइकोंटाडिपोल) और 64-ध्रुव (संभवतः ही कभी टेट्राहेक्साकॉन्टापोल या हेक्साकोंटाटेट्रापोल)।  मल्टीपोल आघूर्ण में सामान्यतः मूल बिंदु से दूरी के साथ-साथ कुछ कोणीय निर्भरता की घातांक (या व्युत्क्रम घात) सम्मिलित होती हैं।

सिद्धांत रूप में, मल्टीपोल विस्तार क्षमता का त्रुटिहीन विवरण प्रदान करता है, और सामान्यतः अभिसरण श्रृंखला दो स्थितियों के अनुसार होती है: (1) यदि स्रोत (जैसे शुल्क) मूल के निकट स्थानीयकृत हैं और जिस बिंदु पर संभावित देखा गया है वह दूर है मूल; या (2) उल्टा, अर्थात्, यदि स्रोत मूल से दूर स्थित हैं और क्षमता मूल के निकट देखी गई है। पहले (अधिक सामान्य) स्थिति में, श्रृंखला विस्तार के गुणांक को बाहरी मल्टीपोल आघूर्ण या केवल मल्टीपोल आघूर्ण कहा जाता है, जबकि दूसरे स्थिति में, उन्हें आंतरिक मल्टीपोल आघूर्ण कहा जाता है।

गोलाकार हार्मोनिक्स में विस्तार
सामान्यतः, श्रृंखला को गोलाकार हार्मोनिक्स के योग के रूप में लिखा जाता है। इस प्रकार, हम फलन $$f(\theta,\varphi)$$ लिख सकते हैं योग के रूप में $$f(\theta,\varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty\, \sum_{m=-\ell}^\ell\, C^m_\ell\, Y^m_\ell(\theta,\varphi)$$ जहाँ $$Y^m_\ell(\theta,\varphi)$$ मानक गोलाकार हार्मोनिक्स हैं, और $$C^m_\ell$$ निरंतर गुणांक हैं जो फलन पर निर्भर करते हैं। $$C^0_0$$ शब्द मोनोपोल $$C^{-1}_1,C^0_1,C^1_1$$ का प्रतिनिधित्व करता है; द्विध्रुव का प्रतिनिधित्व करते हैं; और इसी प्रकार । समतुल्य, श्रृंखला भी अधिकांश लिखी जाती है जैसे $$f(\theta,\varphi) = C + C_i n^i + C_{ij}n^i n^j + C_{ijk}n^i n^j n^k + C_{ijk\ell}n^i n^j n^k n^\ell + \cdots$$ जहां $$n^i$$ कोणों $$\theta$$ और $$\varphi$$ द्वारा दी गई दिशा में इकाई वेक्टर के घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, और सूचकांक आइंस्टीन योग सम्मेलन हैं। यहाँ, शब्द $$C$$ मोनोपोल है; $$C_i$$ द्विध्रुव का प्रतिनिधित्व करने वाली तीन संख्याओं का समूह है; और इसी तरह।

उपरोक्त विस्तार में, गुणांक वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या हो सकते हैं। यदि मल्टीपोल विस्तार के रूप में व्यक्त किया जा रहा कार्य वास्तविक है, चूंकि, गुणांक को कुछ गुणों को पूरा करना चाहिए। गोलाकार हार्मोनिक विस्तार में, हमारे पास होना चाहिए $$C_\ell^{-m} = (-1)^m C^{m\ast}_\ell \, .$$ बहु-वेक्टर विस्तार में, प्रत्येक गुणांक वास्तविक होना चाहिए: $$C = C^\ast;\ C_i = C_i^\ast;\ C_{ij} = C_{ij}^\ast;\ C_{ijk} = C_{ijk}^\ast;\ \ldots$$ जबकि स्केलर (गणितीय) कार्यों का विस्तार मल्टीपोल विस्तार का सबसे आम अनुप्रयोग है, उन्हें स्वैच्छिक रैंक के दसियों का वर्णन करने के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह विद्युत चुंबकत्व में सदिश क्षमता के मल्टीपोल विस्तार, या गुरुत्वाकर्षण तरंगों के वर्णन में मीट्रिक गड़बड़ी में उपयोग करता है।

तीन आयामों के कार्यों का वर्णन करने के लिए, समन्वय मूल से दूर, मल्टीपोल विस्तार के गुणांक को मूल से दूरी के कार्यों के रूप में लिखा जा सकता है, $$r$$—सबसे अधिक बार, की घातयों में लॉरेंट श्रृंखला के रूप में $$r$$. उदाहरण के लिए, विद्युत चुम्बकीय क्षमता का वर्णन करने के लिए, $$V$$, मूल के पास छोटे से क्षेत्र में स्रोत से, गुणांक के रूप में लिखा जा सकता है: $$V(r,\theta,\varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty\, \sum_{m=-l}^\ell C^m_\ell(r)\, Y^m_\ell(\theta,\varphi)= \sum_{j=1}^\infty\, \sum_{\ell=0}^\infty\, \sum_{m=-l}^\ell \frac{D^m_{\ell,j}}{r^j}\, Y^m_\ell(\theta,\varphi) .$$

अनुप्रयोग
मल्टीपोल विस्तार का व्यापक रूप से द्रव्यमान, विद्युत क्षेत्र और आवेश के चुंबकीय क्षेत्र और वर्तमान वितरण, और विद्युत चुम्बकीय तरंगों के प्रसार के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से जुड़ी समस्याओं में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उत्कृष्ट उदाहरण इलेक्ट्रॉनिक ऑर्बिटल्स के आंतरिक गुणकों के साथ उनकी अंतःक्रियात्मक ऊर्जा से परमाणु नाभिक के बाहरी मल्टीपोल आघूर्णों की गणना है। नाभिक के मल्टीपोल आघूर्ण नाभिक के भीतर आवेशों के वितरण और इस प्रकार नाभिक के आकार पर रिपोर्ट करते हैं। मल्टीपोल विस्तार का ट्रंकेशन इसके पहले गैर-शून्य शब्द तक अधिकांश सैद्धांतिक गणना के लिए उपयोगी होता है।

मल्टीपोल विस्तार संख्यात्मक सिमुलेशन में भी उपयोगी होते हैं, और लेस्ली ग्रीनगार्ड और व्लादिमीर रोखलिन (अमेरिकी वैज्ञानिक) की फास्ट मल्टीपोल विधि का आधार बनाते हैं, जो कणों के परस्पर क्रिया करने की प्रणालियों में ऊर्जा और बलों की कुशल गणना के लिए सामान्य विधि है। मूल विचार कणों को समूहों में विघटित करना है; समूह के भीतर के कण सामान्य रूप से परस्पर क्रिया करते हैं (अर्थात्, पूरी क्षमता से), जबकि कणों के समूहों के बीच ऊर्जा और बलों की गणना उनके मल्टीपोल आघूर्णों से की जाती है। फास्ट मल्टीपोल विधि की दक्षता सामान्यतः इवाल्ड योग के समान होती है, किन्तु यदि कण क्लस्टर होते हैं, तो उत्तम होता है, अर्थात् सिस्टम में बड़े घनत्व में उतार-चढ़ाव होता है।

इलेक्ट्रोस्टैटिक चार्ज वितरण के बाहर क्षमता का मल्टीपोल विस्तार

एक असतत चार्ज वितरण पर विचार करें जिसमें स्थिति वैक्टर $r_{i}$ के साथ $N$ पॉइंट चार्ज $q_{i}$ सम्मिलित है। हम चार्ज को मूल के चारों ओर क्लस्टर करने के लिए मानते हैं, जिससे सभी i: $r_{i} &lt; r_{max}$ के लिए, जहां $r_{max}$ का कुछ परिमित मान हो। आवेश वितरण के कारण विभव $V(R)$, आवेश वितरण के बाहर एक बिंदु $R$ पर, अर्थात $|R| &gt; r_{max}$ को $1/R$ की घातों में विस्तारित किया जा सकता है। इस विस्तार को बनाने के दो तरीके साहित्य में पाए जा सकते हैं: पहला कार्टेशियन निर्देशांक $x$, $y$, और $z$ में टेलर श्रृंखला है, जबकि दूसरा गोलाकार हार्मोनिक्स के संदर्भ में है जो गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक पर निर्भर करता है। कार्टेशियन दृष्टिकोण का लाभ यह है कि लीजेंड्रे फ़ंक्शंस, गोलाकार हार्मोनिक्स इत्यादि के पूर्व ज्ञान की आवश्यकता नहीं है। इसका हानि यह है कि व्युत्पत्ति अधिक जटिल हैं (वास्तव में इसका बड़ा हिस्सा $1 / |r − R|$ के लिजेंड्रे के विस्तार का निहित पुनर्वितरण है, जो 1780 के दशक में एड्रियन मैरी लीजेंड्रे द्वारा बार और सभी के लिए किया गया था)। मल्टीपोल विस्तार की सामान्य अवधि के लिए बंद अभिव्यक्ति देना भी कठिन है - सामान्यतः केवल पहले कुछ शब्दों को दीर्घवृत्त के बाद दिया जाता है।

कार्तीय निर्देशांकों में विस्तार
होने देना $$v$$ संतुष्ट करता है $$v(x) = v(-x)$$.

फिर की टेलर श्रृंखला $v(r − R)$ उत्पत्ति के आसपास $r = 0$ लिखा जा सकता है $$v(\mathbf{r}- \mathbf{R}) = v(\mathbf{R}) - \sum_{\alpha=x,y,z} r_\alpha v_\alpha(\mathbf{R}) +\frac{1}{2} \sum_{\alpha=x,y,z}\sum_{\beta=x,y,z} r_\alpha r_\beta v_{\alpha\beta}(\mathbf{R}) - \cdots + \cdots$$ साथ $$v_\alpha(\mathbf{R}) \equiv\left( \frac{\partial v(\mathbf{r}-\mathbf{R}) }{\partial r_\alpha}\right)_{\mathbf{r} = \mathbf 0} \quad\text{and} \quad v_{\alpha\beta}(\mathbf{R}) \equiv\left( \frac{\partial^2 v(\mathbf{r}-\mathbf{R}) }{\partial r_{\alpha}\partial r_{\beta}}\right)_{\mathbf{r}= \mathbf0} .$$ यदि $v(r − R)$ लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करता है $$\left(\nabla^2 v(\mathbf{r}- \mathbf{R})\right)_{\mathbf{r}=\mathbf0} = \sum_{\alpha=x,y,z} v_{\alpha\alpha}(\mathbf{R}) = 0$$ तो विस्तार को ट्रेसलेस कार्टेशियन द्वितीय रैंक टेंसर के घटकों के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है: $$\sum_{\alpha=x,y,z}\sum_{\beta=x,y,z} r_\alpha r_\beta v_{\alpha\beta}(\mathbf{R}) = \frac{1}{3} \sum_{\alpha=x,y,z}\sum_{\beta=x,y,z} (3r_\alpha r_\beta - \delta_{\alpha\beta} r^2) v_{\alpha\beta}(\mathbf{R}) ,$$ जहाँ $δ_{αβ}$ क्रोनकर डेल्टा और $r^{2} ≡ |r|^{2}$ है। ट्रेस हटाना सामान्य है, क्योंकि यह दूसरे रैंक टेंसर से घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय $r^{2}$ लेता है।

उदाहरण

अब के निम्न $v(r − R)$ रूप पर विचार करें: $$v(\mathbf{r}- \mathbf{R}) \equiv \frac{1}{|\mathbf{r}- \mathbf{R}|} .$$ फिर प्रत्यक्ष विभेदीकरण (गणित) द्वारा यह इस प्रकार है $$v(\mathbf{R}) = \frac{1}{R},\quad v_\alpha(\mathbf{R})= -\frac{R_\alpha}{R^3},\quad \hbox{and}\quad v_{\alpha\beta}(\mathbf{R}) = \frac{3R_\alpha R_\beta- \delta_{\alpha\beta}R^2}{R^5} .$$ एकध्रुव, द्विध्रुव और (ट्रेसलेस) चतुर्ध्रुव को क्रमशः परिभाषित करें, $$q_\mathrm{tot} \equiv \sum_{i=1}^N q_i, \quad P_\alpha \equiv\sum_{i=1}^N q_i r_{i\alpha} , \quad \text{and}\quad Q_{\alpha\beta} \equiv \sum_{i=1}^N q_i (3r_{i\alpha} r_{i\beta} - \delta_{\alpha\beta} r_i^2) ,$$ और हम अंत में कुल क्षमता के मल्टीपोल विस्तार के पहले कुछ शब्द प्राप्त करते हैं, जो कि अलग-अलग आवेशों के कूलम्ब क्षमता का योग है: $$\begin{align} 4\pi\varepsilon_0 V(\mathbf{R}) &\equiv \sum_{i=1}^N q_i v(\mathbf{r}_i-\mathbf{R}) \\ &= \frac{q_\mathrm{tot}}{R} + \frac{1}{R^3}\sum_{\alpha=x,y,z} P_\alpha R_\alpha + \frac{1}{2 R^5}\sum_{\alpha,\beta=x,y,z} Q_{\alpha\beta} R_\alpha R_\beta + \cdots \end{align}$$ असतत आवेश वितरण की क्षमता का यह विस्तार नीचे दिए गए वास्तविक ठोस हार्मोनिक्स के समान है। मुख्य अंतर यह है कि वर्तमान रैखिक रूप से निर्भर मात्रा के संदर्भ में है $$\sum_{\alpha} v_{\alpha\alpha} = 0 \quad \hbox{and} \quad \sum_{\alpha} Q_{\alpha\alpha} = 0 .$$ टिप्पणी: यदि आवेश वितरण में विपरीत चिह्न वाले दो आवेश होते हैं जो अतिसूक्ष्म दूरी हैं $d$ इसके अतिरिक्त, जिससे $d/R ≫ (d/R)^{2}$, यह आसानी से दिखाया गया है कि विस्तार में केवल गैर-लुप्त होने वाला शब्द है $$V(\mathbf{R}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R^3} (\mathbf{P}\cdot\mathbf{R}) ,$$ विद्युत द्विध्रुव से क्षेत्र।

गोलाकार रूप
सामर्थ $V(R)$ बिंदु पर $R$ चार्ज वितरण के बाहर, अर्थात् $|R| > r_{max}$, लाप्लास विस्तार (संभावित) द्वारा विस्तारित किया जा सकता है: $$V(\mathbf{R}) \equiv \sum_{i=1}^N \frac{q_i}{4\pi \varepsilon_0 |\mathbf{r}_i - \mathbf{R}|} =\frac{1}{4\pi \varepsilon_0} \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^{\ell} (-1)^m I^{-m}_\ell(\mathbf{R}) \sum_{i=1}^N q_i R^m_\ell(\mathbf{r}_i),$$ जहाँ $$I^{-m}_{\ell}(\mathbf{R})$$ अनियमित ठोस हार्मोनिक है (नीचे गोलाकार हार्मोनिक फलन $$R^{\ell+1}$$ द्वारा विभाजित के रूप में परिभाषित किया गया है) और $$R^m_{\ell}(\mathbf{r})$$ नियमित ठोस हार्मोनिक (गोलाकार हार्मोनिक समय $r^{ℓ}$) है। हम चार्ज वितरण के गोलाकार मल्टीपोल पल को निम्नानुसार परिभाषित करते हैं $$Q^m_\ell \equiv \sum_{i=1}^N q_i R^m_\ell(\mathbf{r}_i),\quad\ -\ell \le m \le \ell.$$ ध्यान दें कि मल्टीपोल पल पूरी तरह चार्ज वितरण (एन शुल्कों की स्थिति और परिमाण) द्वारा निर्धारित किया जाता है।

गोलाकार हार्मोनिक इकाई वेक्टर पर निर्भर करता है $$\hat{R}$$. (इकाई वेक्टर दो गोलाकार ध्रुवीय कोणों द्वारा निर्धारित किया जाता है।) इस प्रकार, परिभाषा के अनुसार, अनियमित ठोस हार्मोनिक्स को इस प्रकार लिखा जा सकता है $$I^m_{\ell}(\mathbf{R}) \equiv \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell+1}} \frac{Y^m_{\ell}(\hat{R})}{R^{\ell+1}}$$ जिससे क्षेत्र के multipole विस्तार $V(R)$ बिंदु पर $R$ बाहरी आवेश वितरण द्वारा दिया गया है

$$\begin{align} V(\mathbf{R}) & = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m=-\ell}^{\ell}(-1)^{m} I^{-m}_{\ell}(\mathbf{R}) Q^{m}_{\ell}\\ & = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\sum_{\ell=0}^{\infty}\left[\frac{4\pi}{2\ell + 1}\right]^{1/2}\;\frac{1}{R^{\ell + 1}} \sum_{m=-\ell}^{\ell}(-1)^{m} Y^{-m}_{\ell}(\hat{R}) Q^{m}_{\ell}, \qquad R > r_{\mathrm{max}} \end{align}$$यह विस्तार पूरी तरह से सामान्य है क्योंकि यह केवल पहले कुछ के लिए ही नहीं बल्कि सभी पदों के लिए एक बंद रूप देता है। यह दर्शाता है कि गोलीय बहुध्रुव आघूर्ण विभव के $1/R$ विस्तार में गुणांक के रूप में दिखाई देते हैं।

वास्तविक रूप में पहले कुछ शब्दों पर विचार करना दिलचस्पी का विषय है, जो सामान्यतः अंडरग्रेजुएट पाठ्यपुस्तकों में पाए जाने वाले एकमात्र शब्द हैं।

चूँकि m योग का योग साथ दोनों कारकों के एकात्मक परिवर्तन के अनुसार अपरिवर्तनीय है और चूंकि जटिल गोलाकार हार्मोनिक्स का वास्तविक रूप में परिवर्तन ठोस हार्मोनिक्स वास्तविक रूप से होता है, इसलिए हम वास्तविक अनियमित ठोस हार्मोनिक्स और वास्तविक मल्टीपोल आघूर्णों को स्थानापन्न कर सकते हैं। वह $ℓ =&thinsp;0$ पद बन जाता है $$V_{\ell=0}(\mathbf{R}) = \frac{q_\mathrm{tot}}{4\pi \varepsilon_0 R} \quad\hbox{with}\quad q_\mathrm{tot}\equiv\sum_{i=1}^N q_i.$$ यह वास्तव में फिर से कूलम्ब का नियम है। $ℓ =&thinsp;1$ के लिए शब्द हम प्रस्तुत करते हैं $$\mathbf{R} = (R_x, R_y, R_z),\quad \mathbf{P} = (P_x, P_y, P_z)\quad \hbox{with}\quad P_\alpha \equiv \sum_{i=1}^N q_i r_{i\alpha}, \quad \alpha=x,y,z.$$ तब $$V_{\ell=1}(\mathbf{R}) = \frac{1}{4\pi \varepsilon_0 R^3} (R_x P_x +R_y P_y + R_z P_z) = \frac{\mathbf{R} \cdot \mathbf{P} }{4\pi \varepsilon_0 R^3} = \frac{\hat\mathbf{R} \cdot \mathbf{P} }{4\pi \varepsilon_0 R^2}.$$ यह शब्द कार्तीय रूप में पाए जाने वाले शब्द के समान है।

लिखने के लिए $ℓ =&thinsp;2$ शब्द, हमें चतुष्कोणीय आघूर्ण के पांच वास्तविक घटकों और वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए आशुलिपि संकेतन प्रस्तुत करना है। प्रकार की सूचनाएं $$Q_{z^2} \equiv \sum_{i=1}^N q_i\; \frac{1}{2}(3z_i^2 - r_i^2),$$ साहित्य में पाया जा सकता है। स्पष्ट रूप से जटिल अंकन की उपयोगिता को प्रदर्शित करते हुए, वास्तविक अंकन बहुत जल्द अजीब हो जाता है।

दो गैर-अतिव्यापी चार्ज वितरणों की सहभागिता
बिन्दु आवेशों के दो समुच्चय पर विचार करें, समुच्चय ${q_{i}} |undefined$ बिंदु $A$ के आसपास और सेट ${q_{j}} |undefined$ बिंदु $B$ के आसपास क्लस्टर किया गया है। उदाहरण के लिए दो अणुओं के बारे में सोचें, और याद रखें कि परिभाषा के अनुसार अणु में इलेक्ट्रॉन (ऋणात्मक बिंदु आवेश) और परमाणु नाभिक (धनात्मक बिंदु आवेश) होते हैं। कुल इलेक्ट्रोस्टैटिक इंटरैक्शन ऊर्जा $U_{AB}$ दो वितरणों के बीच है $$U_{AB} = \sum_{i\in A} \sum_{j\in B} \frac{q_i q_j}{4\pi\varepsilon_0 r_{ij}}.$$ इस ऊर्जा को $A$ और $B$ की व्युत्क्रम दूरी में एक घात श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है। इस विस्तार को UAB के मल्टीपोल विस्तार के रूप में जाना जाता है।

इस मल्टीपोल विस्तार को प्राप्त करने के लिए, हम लिखते हैं $r_{XY} = r_{Y} − r_{X}$, जो $X$ की ओर $Y$ वेक्टर से ओर संकेत कर रहा है। ध्यान दें कि $$\mathbf{R}_{AB}+\mathbf{r}_{Bj}+\mathbf{r}_{ji}+\mathbf{r}_{iA} = 0 \quad \iff \quad \mathbf{r}_{ij} = \mathbf{R}_{AB}-\mathbf{r}_{Ai}+\mathbf{r}_{Bj} .$$ हम मानते हैं कि दो वितरण ओवरलैप नहीं होते हैं: $$ |\mathbf{R}_{AB}| > |\mathbf{r}_{Bj}-\mathbf{r}_{Ai}| \text{ for all } i,j.$$ इस शर्त के अनुसार हम लाप्लास विस्तार (संभावित) को निम्नलिखित रूप में प्रायुक्त कर सकते हैं $$\frac{1}{|\mathbf{r}_{j}-\mathbf{r}_i|} = \frac{1}{|\mathbf{R}_{AB} - (\mathbf{r}_{Ai}- \mathbf{r}_{Bj})| } = \sum_{L=0}^\infty \sum_{M=-L}^L \, (-1)^M I_L^{-M}(\mathbf{R}_{AB})\; R^M_L( \mathbf{r}_{Ai} - \mathbf{r}_{Bj}),$$ जहाँ $$I^M_L$$ और $$R^M_L$$ क्रमशः अनियमित और नियमित ठोस हार्मोनिक्स हैं। ठोस हार्मोनिक्स जोड़ प्रमेय परिमित विस्तार देता है, $$R^M_L(\mathbf{r}_{Ai}-\mathbf{r}_{Bj}) = \sum_{\ell_A=0}^L (-1)^{L-\ell_A} \binom{2L}{2\ell_A}^{1/2} \times \sum_{m_A=-\ell_A}^{\ell_A} R^{m_A}_{\ell_A}(\mathbf{r}_{Ai}) R^{M-m_A}_{L-\ell_A}(\mathbf{r}_{Bj})\; \langle \ell_A, m_A; L-\ell_A, M-m_A\mid L M \rangle, $$ जहां नुकीले कोष्ठकों के बीच की मात्रा क्लेब्स-गॉर्डन गुणांक है। आगे हमने प्रयोग किया $$R^{m}_{\ell}(-\mathbf{r}) = (-1)^{\ell} R^{m}_{\ell}(\mathbf{r}) .$$ गोलीय मल्टीपोल आघूर्ण की परिभाषा का प्रयोग#सामान्य गोलीय मल्टीपोल आघूर्ण $Q$ और समन रेंज को कुछ अलग क्रम में कवर करना (जो केवल अनंत सीमा के लिए अनुमत है $L$) अंत में देता है

$$\begin{align} U_{AB} = {} & \frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \sum_{\ell_A=0}^\infty \sum_{\ell_B=0}^\infty (-1)^{\ell_B} \binom{2\ell_A+2\ell_B}{2\ell_A}^{1/2} \\[5pt] & \times \sum_{m_A=-\ell_A}^{\ell_A} \sum_{m_B=-\ell_B}^{\ell_B}(-1)^{m_A+m_B} I_{\ell_A+\ell_B}^{-m_A-m_B}(\mathbf{R}_{AB})\; Q^{m_A}_{\ell_A} Q^{m_B}_{\ell_B}\; \langle \ell_A, m_A; \ell_B, m_B\mid \ell_A+\ell_B, m_A+m_B \rangle. \end{align}$$ यह दो गैर-अतिव्यापी आवेश वितरणों की परस्पर क्रिया ऊर्जा का मल्टीपोल विस्तार है जो RAB से एक दूरी पर हैं। तब से $$I_{\ell_A+\ell_B}^{-(m_A+m_B)}(\mathbf{R}_{AB}) \equiv \left[\frac{4\pi}{2\ell_A+2\ell_B+1}\right]^{1/2}\; \frac{Y^{-(m_A+m_B)}_{\ell_A+\ell_B}\left(\widehat{\mathbf{R}}_{AB}\right)}{R^{\ell_A+\ell_B+1}_{AB}},$$ यह विस्तार स्पष्ट रूप से $1 / R_{AB}$ की शक्तियों में है। फलन $Y^{m}_{l}$ सामान्यीकृत गोलाकार हार्मोनिक है।

आणविक आघूर्ण
सभी परमाणुओं और अणुओं (एस-राज्य परमाणुओं को छोड़कर) में या से अधिक गैर-लुप्त होने वाले स्थायी मल्टीपोल आघूर्ण होते हैं। साहित्य में विभिन्न परिभाषाएँ पाई जा सकती हैं, किन्तु गोलाकार रूप में निम्नलिखित परिभाषा का लाभ यह है कि यह सामान्य समीकरण में समाहित है। क्योंकि यह जटिल रूप में है, इसका अतिरिक्त लाभ यह है कि इसके वास्तविक समकक्ष की तुलना में गणना में हेरफेर करना आसान है।

हम चार्ज eZi के साथ N कणों (इलेक्ट्रॉनों और नाभिक) से युक्त अणु पर विचार करते हैं। (इलेक्ट्रॉनों का Z-मान -1 है, जबकि नाभिक के लिए यह परमाणु संख्या है)। कण i के गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक ri, θi, और φi और कार्तीय निर्देशांक xi, yi, और zi.हैं। (जटिल) इलेक्ट्रोस्टैटिक मल्टीपोल ऑपरेटर है $$Q^m_\ell \equiv \sum_{i=1}^N e Z_i \; R^m_{\ell}(\mathbf{r}_i),$$ जहाँ $$R^m_{\ell}(\mathbf{r}_i)$$ ठोस हार्मोनिक्स में नियमित ठोस हार्मोनिक्स फलन है | राका का सामान्यीकरण (जिसे श्मिट के अर्ध-सामान्यीकरण के रूप में भी जाना जाता है)।

यदि अणु में कुल सामान्यीकृत तरंग फलन Ψ है (इलेक्ट्रॉनों और नाभिक के निर्देशांक के आधार पर), तो आदेश का मल्टीपोल आघूर्ण $$\ell$$ उम्मीद मान (क्वांटम यांत्रिकी) | अपेक्षा (अपेक्षित) मान द्वारा अणु का दिया जाता है: $$M^m_\ell \equiv \langle \Psi \mid Q^m_\ell \mid \Psi \rangle.$$ यदि अणु में निश्चित बिंदु समूह समरूपता है, तो यह तरंग समारोह में परिलक्षित होता है: Ψ समूह (गणित) के निश्चित इरेड्यूसबल प्रतिनिधित्व λ के अनुसार रूपांतरित होता है ( Ψ में समरूपता प्रकार λ है)। इसका परिणाम यह है कि चयन नियम मल्टीपोल ऑपरेटर के अपेक्षा मान के लिए या दूसरे शब्दों में, कि समरूपता के कारण अपेक्षा मान लुप्त हो सकता है। इसका प्रसिद्ध उदाहरण यह तथ्य है कि व्युत्क्रम केंद्र वाले अणुओं में द्विध्रुव नहीं होता ( $m = −1, 0, 1$ के लिये $$ Q^m_1 $$ का अपेक्षित मान लुप्त हो जाता है) है। समरूपता के बिना अणु के लिए, कोई चयन नियम ऑपरेटिव नहीं हैं और ऐसे अणु में किसी भी क्रम के गैर-लुप्त होने वाले मल्टीपोल होंगे (यह द्विध्रुव और साथ ही साथ चतुर्ध्रुव, ऑक्टोपोल, हेक्साडेकैपोल, आदि ले जाएगा)।

नियमित ठोस हार्मोनिक्स (कोंडन-शॉर्टली चरण के साथ) के निम्नतम स्पष्ट रूप देते हैं: $$ M^0_0 = \sum_{i=1}^N e Z_i, $$ (अणु का कुल आवेश)। (जटिल) द्विध्रुवीय घटक हैं: $$ M^1_1 = - \tfrac{1}{\sqrt 2} \sum_{i=1}^N e Z_i \langle \Psi | x_i+iy_i | \Psi \rangle\quad \hbox{and} \quad M^{-1}_{1} = \tfrac{1}{\sqrt 2} \sum_{i=1}^N e Z_i \langle \Psi | x_i - iy_i | \Psi \rangle. $$ $$ M^0_1 = \sum_{i=1}^N e Z_i \langle \Psi | z_i | \Psi \rangle.$$ ध्यान दें कि एक साधारण रैखिक संयोजन से जटिल मल्टीपोल ऑपरेटरों को वास्तविक में बदल सकते हैं। वास्तविक मल्टीपोल ऑपरेटर कोसाइन प्रकार $$ C^m_\ell$$ या साइन प्रकार $$S^m_\ell$$ के होते हैं। इनमें से कुछ निम्न हैं: $$\begin{align} C^0_1 &= \sum_{i=1}^N eZ_i \; z_i \\ C^1_1 &= \sum_{i=1}^N eZ_i \;x_i \\ S^1_1 &= \sum_{i=1}^N eZ_i \;y_i \\ C^0_2 &= \frac{1}{2}\sum_{i=1}^N eZ_i\; (3z_i^2-r_i^2)\\ C^1_2 &= \sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; z_i x_i \\ C^2_2 &= \frac{1}{3}\sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; (x_i^2-y_i^2) \\ S^1_2 &= \sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; z_i y_i \\ S^2_2 &= \frac{2}{3}\sqrt{3}\sum_{i=1}^N eZ_i\; x_iy_i \end{align}$$

सम्मेलनों पर ध्यान दें
ऊपर दी गई जटिल आणविक मल्टीपोल आघूर्ण की परिभाषा इस लेख में दी गई परिभाषा का जटिल संयुग्म है, जो सामान्यीकरण को छोड़कर जैक्सन द्वारा मौलिक विद्युतगतिकी पर मानक पाठ्यपुस्तक की परिभाषा का अनुसरण करता है, इसके अतिरिक्त, जैक्सन की मौलिक परिभाषा में n-कण क्वांटम यांत्रिकी अपेक्षा मान के बराबर कण चार्ज वितरण पर अभिन्न अंग है। याद रखें कि एक-कण क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम के स्थिति में उम्मीद का मान और कुछ नहीं बल्कि चार्ज डिस्ट्रीब्यूशन (वेवफंक्शन स्क्वायर के मॉड्यूलस) पर इंटीग्रल है, जिससे इस लेख की परिभाषा जैक्सन की परिभाषा का क्वांटम मैकेनिकल एन-कण सामान्यीकरण हो.

इस लेख की परिभाषा अन्य बातों के साथ-साथ फानो और राकाह और ब्रिंक और सैचलर। से सहमत है।

उदाहरण
कई प्रकार के मल्टीपोल आघूर्ण हैं, क्योंकि कई प्रकार की क्षमताएं हैं और श्रृंखला विस्तार द्वारा क्षमता का अनुमान लगाने के कई तरीके हैं, जो समन्वय प्रणाली और चार्ज वितरण की समरूपता पर निर्भर करता है। सबसे आम विस्तार में सम्मिलित हैं:


 * A का अक्षीय मल्टीपोल आघूर्ण $1/R$ संभावना;
 * A के गोलाकार मल्टीपोल आघूर्ण $1/R$ संभावना; और
 * बेलनाकार मल्टीपोल आघूर्ण A $में&thinsp;R$ संभावना

इसके उदाहरण $1/R$ संभावितों में विद्युत क्षमता, चुंबकीय स्केलर क्षमता और बिंदु स्रोतों की गुरुत्वाकर्षण क्षमता सम्मिलित है। A का उदाहरण $में&thinsp;R$ संभावित अनंत लाइन चार्ज की विद्युत क्षमता है।

सामान्य गणितीय गुण
गणित और गणितीय भौतिकी में मल्टीपोल आघूर्ण समारोह के अपघटन के लिए ओर्थोगोनल आधार बनाते हैं, जो क्षेत्र (भौतिकी) की प्रतिक्रिया के आधार पर बिंदु स्रोतों पर आधारित होते हैं जो दूसरे के असीम रूप से निकट लाए जाते हैं। इन्हें विभिन्न ज्यामितीय आकारों में व्यवस्थित किया जा सकता है, या वितरण (गणित) के अर्थ में, दिशात्मक डेरिवेटिव के रूप में माना जा सकता है।

मल्टीपोल विस्तार भौतिक नियमों के अंतर्निहित घूर्णी समरूपता और उनके संबद्ध अंतर समीकरणों से संबंधित हैं। चाहे स्रोत की शर्तें (जैसे द्रव्यमान, आवेश या धाराएं) सममित न हों, कोई भी उन्हें घूर्णी समरूपता समूह के समूह प्रतिनिधित्व के संदर्भ में विस्तारित कर सकता है, जो गोलाकार हार्मोनिक्स और ऑर्थोगोनल कार्यों के संबंधित सेट की ओर जाता है। रेडियल निर्भरताओं के लिए संबंधित समाधान निकालने के लिए वेरिएबल्स को अलग करने की विधि का उपयोग करता है।

व्यवहार में, कई क्षेत्रों को मल्टीपोल आघूर्णों की सीमित संख्या के साथ अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है (चूंकि क्षेत्र को ठीक से पुनर्निर्माण करने के लिए अनंत संख्या की आवश्यकता हो सकती है)। विशिष्ट अनुप्रयोग अपने मोनोपोल (गणित) और द्विध्रुव शब्दों द्वारा स्थानीयकृत आवेश वितरण के क्षेत्र का अनुमान लगाना है। मल्टीपोल आघूर्ण के दिए गए क्रम के लिए बार हल की गई समस्या किसी दिए गए स्रोत के लिए अंतिम अनुमानित समाधान बनाने के लिए रैखिक संयोजन हो सकती है।

यह भी देखें

 * बार्न्स-हट सिमुलेशन
 * फास्ट मल्टीपोल विधि
 * लाप्लास विस्तार (संभावित)
 * लीजेंड्रे बहुपद
 * कण त्वरक में चौगुना चुंबक का उपयोग किया जाता है
 * ठोस हार्मोनिक्स
 * टॉरॉयडल पल