फ्लैट टोपोलॉजी

गणित में, फ्लैट टोपोलॉजी एक ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी है जिसका उपयोग बीजगणितीय ज्यामिति में किया जाता है। इसका उपयोग फ्लैट कोहोमोलॉजी के सिद्धांत को परिभाषित करने के लिए किया जाता है; यह श्रेणी सिद्धांत विश्वसनीय रूप से फ्लैट श्रेणीक्रम) के सिद्धांत में भी एक मौलिक भूमिका निभाता है। यहां फ्लैट शब्द फ्लैट मॉड्यूल से आया है।

कई अलग-अलग फ्लैट टोपोलॉजी होती हैं, जिनमें से सबसे सामान्य एफपीपीएफ टोपोलॉजी और एफपीक्यूसी टोपोलॉजी होती हैं। एफपीपीएफ का अर्थ है फिडेलमेंट प्लेट डी प्रेजेंटेशन फ़िनी, और इस टोपोलॉजी में, एफ़िन योजनाओं का एक आवरणिंग आकारिता होता है यदि यह विश्वसनीयता से फ्लैट और परिमित प्रस्तुति का है। एफपीक्यूसी का अर्थ है फिडेलमेंट प्लेट और अर्ध-कॉम्पैक्ट, और इस टोपोलॉजी में, एफ़िन योजनाओं का एक आवरणिंग आकारिता होता है यदि यह विश्वसनीयता से फ्लैट है। दोनों श्रेणियों में, एक आवरणिंग श्रेणी को एक ऐसे श्रेणी के रूप में परिभाषित किया गया है जो ज़ारिस्की ओपन उपसमुच्चय पर एक आच्छादित होता है। एफपीक्यूसी टोपोलॉजी में, कोई भी फ्लैट और अर्ध-सघन आकारिता एक आवरण होता है। ये टोपोलॉजी वंशानुक्रम (श्रेणी सिद्धांत) समीपता से संबंधित होती हैं। "शुद्ध" विश्वसनीयता से फ्लैट टोपोलॉजी बिना किसी अतिरिक्त परिमितता की स्थिति जैसे कि अर्ध सघनता या परिमित प्रस्तुति के रूप में अधिक उपयोग नहीं की जाती है क्योंकि यह उपविहित नहीं है; दूसरे शब्दों में, प्रतिनिधित्वयोग्य कारकों को पुलिंदा करने की आवश्यकता नहीं होती है।

दुर्भाग्य से फ्लैट टोपोलॉजी के लिए शब्दावली मानकीकृत नहीं होते है। कुछ लेखक प्रीटोपोलॉजी के लिए "टोपोलॉजी" शब्द का उपयोग करते हैं, और कई अलग-अलग प्रीटोपोलॉजी हैं जिन्हें कभी-कभी एफपीपीएफ या एफपीक्यूसी (प्री) टोपोलॉजी कहा जाता है, जो कभी-कभी एक ही टोपोलॉजी देते हैं।

फ़्लैट कोहोमोलॉजी को प्रारंभ ग्रोथेंडिक ने लगभग 1960 में की थी।

बड़ी और छोटी एफपीपीएफ साइटें
मान लीजिए कि X एक एफ़िन योजना है। हम X के 'एफपीपीएफ आवरण' को आकारिकी के एक सीमित और संयुक्त रूप से विशेषण श्रेणी के रूप में परिभाषित करते हैं

(φa : Xa → X)

प्रत्येक Xa  एफ़िन और प्रत्येक φa फ़्लैट के साथ, परिमित रूप से प्रस्तुत किया गया। यह एक प्रीटोपोलॉजी उत्पन्न करता है: X यादृच्छिक रूप के लिए, हम एक श्रेणी के रूप में X के एफपीपीएफ आवरण को परिभाषित करते हैं


 * (φa : Xa → X)

जो कि आधार X के एक विवृत एफ़िन उपयोजना में बदलने के बाद एक एफपीपीएफ आवरण होता है। यह प्रीटोपोलॉजी एक टोपोलॉजी उत्पन्न करती है जिसे एफपीपीएफ टोपोलॉजी कहा जाता है। (यह उस टोपोलॉजी के समान नहीं है जो हमें तब मिलती जब हमें यादृच्छिक रूप से X और Xa के साथ प्रारंभ करते और श्रेणीों को फ्लैट, अंतिम रूप से प्रस्तुत आकारिकी के संयुक्त रूप से विशेषण वाले श्रेणी के रूप में लिया जाता है।) हम एफपीपीएफ टोपोलॉजी के साथ योजनाओं की श्रेणी के लिए एफपीपीएफ लिखते हैं।

'X' की 'छोटी एफपीपीएफ साइट' श्रेणी O(Xfppf) होती है। जिनकी वस्तुएं एक निश्चित आकारिता U → X के साथ योजनाएं U होती हैं जो कुछ आवरण श्रेणी का हिस्सा होते हैं। (इसका अर्थ यह नहीं है कि आकारिता फ्लैट, परिमित रूप से प्रस्तुत किया गया है।) आकारिता X के निश्चित मानचित्रों के साथ संगत योजनाओं के रूपवाद होते हैं। 'X' की बड़ी एफपीपीएफ साइट श्रेणी एफपीपीएफ/X होती है, अर्थात, X के लिए एक निश्चित मानचित्र वाली योजनाओं की श्रेणी, जिसे एफपीपीएफ टोपोलॉजी के साथ माना जाता है।

एफपीपीएफ फिडेलमेंट प्लेट डी प्रेजेंटेशन फ़िनी का संक्षिप्त नाम है, अर्थात, विश्वसनीयता और सीमित प्रस्तुति" होती है। फ्लैट और परिमित रूप से प्रस्तुत आकारिकी का प्रत्येक विशेषण श्रेणी इस टोपोलॉजी के लिए एक आवरण श्रेणी होता है, इसलिए यह नाम है। एफपीपीएफ प्रीटोपोलॉजी की परिभाषा एक अतिरिक्त अर्ध-परिमितता स्थिति के साथ भी दी जा सकती है; EGA IV4 में परिणाम 17.16.2 से यह पता चलता है कि यह अनुसरण टोपोलॉजी करता है।

बड़ी और छोटी एफपीक्यूसी साइटें
मान लीजिए कि X एक एफ़िन योजना है। हम X के 'एफपीक्यूसी आवरण' को प्रत्येक Xα एफ़िन और प्रत्येक uα फ्लैट के साथ आकारिकी {uα : Xα → X} का एक परिमित और संयुक्त रूप से विशेषण परिवार के रूप में परिभाषित करते हैं। यह एक प्रीटोपोलॉजी उत्पन्न करता है: X यादृच्छिक रूप से, हम X के एफपीक्यूसी आवरण को एक श्रेणी के रूप में परिभाषित करते हैं {uα : Xα → X} जो कि बेस के एक्स के विवृत एफ़िन उपयोजना में बदलने के बाद एक एफपीक्यूसी आवरण होता  है। यह प्रीटोपोलॉजी एक टोपोलॉजी उत्पन्न करती है जिसे एफपीक्यूसी टोपोलॉजी कहा जाता है। (यह उस टोपोलॉजी के समान नहीं होता है, यदि हम यादृच्छिक रूप से X और Xα के साथ प्रारंभ करते और फ्लैट आकारिकी के संयुक्त रूप से विशेषण वाले श्रेणी के रूप में लिया जाता है।) हम एफपीक्यूसी टोपोलॉजी वाली योजनाओं की श्रेणी के लिए एफपीक्यूसी लिखते हैं।

'X' की 'छोटी एफपीक्यूसी साइट' श्रेणी O(Xfpqc) जिनकी वस्तुएं एक निश्चित आकारिता U → X  के साथ स्कीम U होते हैं, जो आवरण श्रेणी का हिस्सा होते है। आकारिकी X के लिए निश्चित मानचित्रों के साथ संगत योजनाओं के आकारिता होती हैं। X की बड़ी एफपीक्यूसी साइट श्रेणी Fpqc/X है, अर्थात, X के लिए एक निश्चित मानचित्र वाली योजनाओं की श्रेणी, जिसे एफपीक्यूसी टोपोलॉजी के साथ माना जाता है।

"एफपीक्यूसी" "फिडेलमेंट प्लेट क्वासी-कॉम्पैक्ट" का संक्षिप्त रूप है, जिसका अर्थ है, विश्वसनीयता से फ्लैट और अर्ध-सघन करना होता है। फ्लैट और अर्ध-सघन आकारिकी का प्रत्येक विशेषण श्रेणी इस टोपोलॉजी के लिए एक आवरणिंग श्रेणी होती है।

फ्लैट कोहोमोलॉजी
कोहोमोलॉजी समूहों को परिभाषित करने की प्रक्रिया एक मानक होती है: कोहोमोलॉजी को एबेलियन समूहों के एक समूह के अनुभागों को लेते हुए प्रकार्यक के व्युत्पन्न अनुक्रम के रूप में परिभाषित किया गया है।

चूँकि ऐसे समूहों में कई अनुप्रयोग होते हैं, सामान्यतः उनकी गणना करना आसान नहीं होता है, सिवाय उन स्थितियों को छोड़कर जहां वे अन्य सिद्धांतों, जैसे कि ईटेल कोहोमोलॉजी, को कम कर देते हैं।

उदाहरण
निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है कि बिना किसी सीमितता की स्थिति के फ्लैट टोपोलॉजी अच्छा व्यवहार क्यों नहीं करती है। मान लीजिए कि X बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k पर एफ़िन लाइन होती है। X के प्रत्येक बंद बिंदु x के लिए हम स्थानीय रिंग R पर विचार कर सकते हैंx इस बिंदु पर, जो एक अलग मूल्यांकन रिंग है जिसके स्पेक्ट्रम में एक बंद बिंदु और एक खुला (सामान्य) बिंदु होती है। हम एक स्कीम Y प्राप्त करने के लिए उनके विवृत बिंदुओं की पहचान करके इन स्पेक्ट्रा को एक साथ चिपकाते हैं। Y से X तक एक प्राकृतिक मानचित्र है। एफ़िन लाइन X सेट Spec(R) द्वारा आवरण किया गया है) जो फ्लैट टोपोलॉजी में विवृत होता हैं, और इनमें से प्रत्येक समुच्चय में Y के लिए एक प्राकृतिक मानचित्र है, और ये मानचित्र चौराहों पर समान हैं। चूँकि उन्हें X से Y तक मानचित्र देने के लिए संयोजित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि X और Y के अंतर्निहित स्थानों में अलग-अलग टोपोलॉजी होती हैं।

यह भी देखें

 * एफपीक्यूसी आकारिता

संदर्भ

 * Éléments de géométrie algébrique, Vol. IV. 2
 * Milne, James S. (1980), Étale Cohomology, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-08238-7
 * Michael Artin and J. S. Milne, "Duality in the flat cohomology of curves", Inventiones Mathematicae, Volume 35, Number 1, December, 1976

बाहरी संबंध

 * Arithmetic Duality Theorems (PDF), online book by James Milne, explains at the level of flat cohomology duality theorems originating in the Tate–Poitou duality of Galois cohomology