गाऊसी क्यू-वितरण

गणितीय भौतिकी और संभाव्यता और सांख्यिकी में, गाऊसी क्यू-वितरण संभाव्यता वितरण का एक परिवार है जिसमें सीमित मामले (गणित) के रूप में, समान वितरण (निरंतर) और सामान्य वितरण | सामान्य (गाऊसी) वितरण शामिल है।. इसे डियाज़ और टेरुएल द्वारा पेश किया गया था। यह गॉसियन या सामान्य वितरण का q-एनालॉग है।

सामान्य वितरण के सीमित मामले को छोड़कर, वितरण शून्य के बारे में सममित है और परिबद्ध है। सीमित समान वितरण -1 से +1 की सीमा पर है।

परिभाषा
मान लीजिए कि अंतराल [0, 1) में q एक वास्तविक संख्या है। गाऊसी क्यू-वितरण की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दी गई है


 * $$s_q(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x < -\nu  \\ \frac{1}{c(q)}E_{q^2}^{\frac{-q^2x^2}{[2]_q}}  & \text{if } -\nu \leq x \leq \nu \\ 0 & \mbox{if } x >\nu. \end{cases} $$

कहाँ


 * $$\nu = \nu(q) = \frac{1}{\sqrt{1-q}} ,$$
 * $$c(q)=2(1-q)^{1/2}\sum_{m=0}^\infty \frac{(-1)^m q^{m(m+1)}}{(1-q^{2m+1})(1-q^2)_{q^2}^m} .$$

क्यू-एनालॉग [टी]q वास्तविक संख्या का $$ t $$ द्वारा दिया गया है


 * $$ [t]_q=\frac{q^t-1}{q-1}. $$

घातीय फलन का q-एनालॉग q-घातीय, E है$x q$, जो द्वारा दिया गया है


 * $$ E_q^{x}=\sum_{j=0}^{\infty}q^{j(j-1)/2}\frac{x^{j}}{[j]!}$$

जहां कारख़ाने का  का q-एनालॉग क्यू-फैक्टोरियल है, [n]q!, जो बदले में दिया गया है


 * $$ [n]_q!=[n]_q[n-1]_q\cdots [2]_q \, $$

पूर्णांक n > 2 और [1] के लिएq! = [0]q! = 1.

गाऊसी क्यू-वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है


 * $$G_q(x) = \begin{cases} 0 & \text{if } x < -\nu \\[12pt]

\displaystyle \frac{1}{c(q)}\int_{-\nu}^{x} E_{q^2}^{-q^2 t^2/[2]} \, d_qt & \text{if } -\nu \leq x \leq \nu \\[12pt] 1 & \text{if } x>\nu \end{cases}$$ जहां अभिन्न प्रतीक जैक्सन अभिन्न को दर्शाता है।

समारोह जीq द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया है


 * $$G_q(x)= \begin{cases} 0 & \text{if } x < -\nu, \\

\displaystyle \frac{1}{2} + \frac{1-q}{c(q)} \sum_{n=0}^\infty \frac{q^{n(n+1)}(q-1)^n}{(1-q^{2n+1})(1-q^2)_{q^2}^{n}}x^{2n+1} & \text{if } -\nu \leq x \leq \nu \\ 1 & \text{if}\ x > \nu \end{cases}$$ कहाँ


 * $$(a+b)_q^n=\prod_{i=0}^{n-1}(a+q^ib) .$$

क्षण
गाऊसी क्यू-वितरण के क्षण (गणित) द्वारा दिए गए हैं


 * $$\frac{1}{c(q)}\int_{-\nu}^\nu E_{q^2}^{-q^2 x^2/[2]} \, x^{2n} \, d_qx =[2n-1]!! ,$$
 * $$\frac{1}{c(q)}\int_{-\nu}^\nu E_{q^{2}}^{-q^2 x^2/[2]} \, x^{2n+1} \, d_qx=0 ,$$

जहां प्रतीक [2n −1] !! द्वारा दिए गए दोहरा भाज्य  का q-एनालॉग है


 * $$ [2n-1][2n-3]\cdots[1]= [2n-1]!!. \, $$

यह भी देखें

 * प्र-गाऊसी प्रक्रिया

संदर्भ

 * Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
 * Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
 * Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538
 * Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York: Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914, ISBN 0470274530, ISBN 978-0470274538