स्थानीय सह-समरूपता

बीजगणितीय ज्यामिति में स्थानीय सह-समरूपता सापेक्ष समरूपता का एक बीजगणितीय विश्लेषण है। अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने 1961 में हार्वर्ड सेमिनार में इसे प्रस्तुत किया था, जिसे ने लिखा था। 1961-2 में एस्केप ने इसे पुनः एसजीए-2  के रूप में लिखा गया था जिसे  के रूप में पुनः प्रकाशित किया गया था। एक बीजगणितीय विविधता के विवृत उपसमुच्चय पर परिभाषित एक फलन (सामान्यतः क्वासिकोहेरेंट शीफ का समुच्चय) को देखते हुए, स्थानीय सह-समरूपता उस फलन को एक बड़े डोमेन तक विस्तारित करने में बाधा को मापती है।

उदाहरण के लिए तर्कसंगत फलन $$1/x$$ क्षेत्र $$K$$ पर एफ़िन रेखा $$\mathbb{A}^1_K$$ को केवल $$0$$ पर परिभाषित किया गया है और इसे समग्र फलन पर विस्तारित नहीं किया जा सकता है। स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल $$H^1_{(x)}(K[x])$$ (जहाँ $$K[x]$$ का समन्वय वलय है) सह-समरूपता वर्ग $$[1/x]$$ के लुप्त न होने पर इसका पता लगाता है। इसी प्रकार से $$1/xy$$ को एफ़िन समतल में $$x$$ और $$y$$ अक्षों से दूर परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे x-अक्ष के पूरक या $$y$$-अक्ष के पूरक तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। ऐसे फलनों के योग के रूप में व्यक्त बाधा स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल $$H^2_{(x,y)}(K[x,y])$$ एक गैर-शून्य वर्ग $$[1/xy]$$ मे समुचित रूप से सम्मिलित है।

बीजगणितीय ज्यामिति के अतिरिक्त स्थानीय सह-समरूपता का अनुप्रयोग क्रमविनिमेय बीजगणित,  साहचर्य और कुछ प्रकार के आंशिक अवकल समीकरणों में किया जाता है।

परिभाषा
सिद्धांत के सबसे सामान्य ज्यामितीय रूप में फलन $$\Gamma_Y$$ को सवृत उपसमुच्चय $$Y$$ के साथ एक सांस्थितिक समष्टि $$X$$ पर एबेलियन समूहों का शीफ समुच्चय $$F$$ माना जाता है जो फलन $$\Gamma_Y$$ के लिए स्थानीय सह-समरूपता समूह बनाते हैं:


 * $$H_Y^i(X,F)$$

सिद्धांत के बीजगणितीय रूप में समष्टि $$X$$ एक क्रमविनिमेय सह-समरूपता R (इस लेख में नोथेरियन माना जाता है) का स्पेक्ट्रम $$X=\operatorname{Spec}(R)$$ है और शीफ समुच्चय $$F$$ का R-मॉड्यूल $$\tilde M$$ से संबद्ध क्वासिकोहेरेंट शीफ समुच्चय है, जिसे $$\tilde M$$ द्वारा दर्शाया गया है। सवृत उपविविधता Y को एक अनुक्रम द्वारा परिभाषित किया गया है। इस स्थिति में गुणांक $$\Gamma_Y$$, $$I$$-टोरसन गुणांक के अनुरूप है, जो एक विनाशक प्रमेय संघ है:


 * $$\Gamma_I(M) := \bigcup_{n \ge 0} (0 :_M I^n),$$

अर्थात M के तत्व जो $$I$$ की कुछ घात से नष्ट हो जाते हैं। एक व्युत्पन्न गुणांक के रूप में $$I$$ के संबंध में $$I$$th स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल श्रृंखला समूह $$\Gamma_I(E^\bullet)$$ का $$I$$th सह-समरूपता समूह $$H^i(\Gamma_I(E^\bullet))$$ है। मॉड्यूल $$\tilde M$$ के एक अंतः क्षेपक विश्लेषण $$E^\bullet$$ के $$I$$-टोरसन भाग $$E^\bullet$$ को लेने से प्राप्त किया गया है क्योंकि $$E^\bullet$$ में R-मॉड्यूल और R-मॉड्यूल समरूपताएं सम्मिलित हैं, स्थानीय सह-समरूपता समूहों में से प्रत्येक में R-मॉड्यूल की प्राकृतिक सह-समरूपताएं होती है।

$$I$$-टोरसन के भाग $$\Gamma_I(M)$$ को वैकल्पिक रूप से इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है:


 * $$\Gamma_I(M) := \varinjlim_{n \in N} \operatorname {Hom}_R(R/I^n, M),$$

और इसी कारण से R-मॉड्यूल M की स्थानीय सह-समरूपता X मॉड्यूल की प्रत्यक्ष सीमा से सहमत है:


 * $$H_I^i(M) := \varinjlim_{n \in N} \operatorname {Ext}_R^i(R/I^n, M).$$

इनमें से किसी भी परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि $$H^i_I(M)$$ अपरिवर्तित रहेगा यदि $$I$$ को समान मूलांक वाले किसी अन्य आदर्श अनुक्रम से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है। इससे यह भी पता चलता है कि स्थानीय सह-समरूपता के लिए फलन की किसी भी निर्धारित गुणांक पर निर्भर नहीं करता है। एक तथ्य जो सेच समिश्रता से संबद्ध निम्नलिखित परिभाषा में उपयुक्त हो जाता है।

कोसज़ुल और सेच समिश्रता का उपयोग
स्थानीय सह-समरूपता की व्युत्पन्न गुणांक परिभाषा के लिए मॉड्यूल $$\tilde M$$ के एक अंतःक्षेपण विश्लेषण की आवश्यकता होती है, जो इसे स्पष्ट गणनाओं में उपयोग के लिए दुर्गम बना सकता है। कुछ संदर्भों में सेच समिश्रता को अधिक व्यावहारिक माना जाता है। अयंगर एट अल. (2007), उदाहरण के लिए बताते हैं कि वे स्थानीय सह-समरूपता की सेच समिश्र परिभाषा प्रस्तुत करने से पहले "किसी दिए गए मॉड्यूल के लिए इन अंतःक्षेपण विश्लेषण प्रकार के प्रस्तावों में से किसी एक को वास्तव में उत्पन्न करने की समस्या" को अनिवार्य रूप से अस्वीकृत करते हैं और ने सेच सह-समरूपता का वर्णन "एक विविधता पर अर्ध-सुसंगत शीव्स समुच्चय के सह-समरूपता की गणना करने के लिए व्यावहारिक विधि देने के रूप में" या "गणना के लिए उपयुक्त" के रूप में वर्णित किया गया है।  सेच समिश्रता को कोसज़ुल समिश्रता,$$K^\bullet(f_1,\ldots,f_m)$$ के कोलिमिट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जहां $$f_1,\ldots, f_n$$, $$I$$ उत्पन्न करता है। स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है:


 * $$H_I^i(M) \cong \varinjlim_m H^i \left (\operatorname{Hom}_R \left (K^\bullet \left (f_1^m, \dots, f_n^m \right ), M \right ) \right )$$

कोस्ज़ुल समिश्रता में यह विशेषता होती है कि $$f_i$$ से गुणा करके श्रृंखला समिश्रता आकारिता $$\cdot f_i : K^\bullet(f_1,\ldots, f_n) \to K^\bullet(f_1,\ldots, f_n)$$ को प्रेरित किया जा सकता है जो शून्य के लिए समस्थानिक है, जिसका अर्थ है $$f_i$$ को $$H^i(K^\bullet(f_1,\ldots, f_n))$$ द्वारा नष्ट किया जा सकता है। $$\operatorname{Hom}$$ समुच्चय के कॉलिमिट में एक गैर-शून्य मानचित्र में सीमित रूप से कई कोस्ज़ुल समूहों को छोड़कर सभी के मानचित्र सम्मिलित होते हैं और जो आदर्श अनुक्रम में कुछ तत्वो द्वारा नष्ट नहीं होते हैं। कोसज़ुल समिश्रता का यह कोलिमिट नीचे दी गई सेच समिश्रता, जिसे $$\check{C}^\bullet(f_1,\ldots,f_n;M)$$ दर्शाया गया है:

$$0\to M \to \bigoplus_{i_0} M_{f_i} \to \bigoplus_{i_0 < i_1} M_{f_{i_0}f_{i_1}} \to \cdots \to M_{f_1\cdots f_n}\to 0$$

जहां $$I=(f_1,\ldots,f_n)$$ के संबंध में $$M$$ का $$I$$ स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल उपरोक्त श्रृंखला समूह $$I$$ के सह-समरूपता समूह के लिए समरूपी है:
 * $$H^i_I(M)\cong H^i(\check{C}^\bullet(f_1,\ldots,f_n;M)).$$

स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल की गणना के व्यापक नियमों पर और  द्वारा चर्चा की गई है।

मूलभूत विशेषताएँ
स्थानीय सह-समरूपता को व्युत्पन्न गुणांक के रूप में परिभाषित किया गया है और R-मॉड्यूल $$0\to M_1\to M_2\to M_3\to 0$$ के किसी भी छोटे समुचित अनुक्रम के लिए परिभाषा के अनुसार स्थानीय सह-समरूपता में एक प्राकृतिक लंबा समुचित अनुक्रम है:


 * $$\cdots\to H^i_I(M_1)\to H^i_I(M_2)\to H^i_I(M_3)\to H^{i+1}_I(M_1)\to\cdots$$
 * स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल के साथ X और विवृत समुच्चय U = X \Y के सामान्य शीफ सह-समरूपता को जोड़ने वाले शीफ सह-समरूपता का एक लंबा समुचित अनुक्रम है जो X पर परिभाषित क्वासिकोहेरेंट शीफ F के लिए इसका एक रूप है:
 * स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल के साथ X और विवृत समुच्चय U = X \Y के सामान्य शीफ सह-समरूपता को जोड़ने वाले शीफ सह-समरूपता का एक लंबा समुचित अनुक्रम है जो X पर परिभाषित क्वासिकोहेरेंट शीफ F के लिए इसका एक रूप है:


 * $$\cdots\to H^i_Y(X,F)\to H^i(X,F)\to H^i(U,F)\to H^{i+1}_Y(X,F)\to\cdots$$

समुच्चय में जहां X एक एफ़िन विविधता $$\text{Spec}(R)$$ है और Y एक आदर्श अनुक्रम का लुप्त होने वाला समुच्चय है जो सह-समरूपता समूह $$H^i(X,F)$$ के लिए समाप्त हो जाते हैं। यदि $$F=\tilde{M}$$ तो यह एक समुचित अनुक्रम $$i>0$$ की ओर प्रयुक्त होता है:


 * $$0 \to H_I^0(M) \to M \stackrel {\text{res}} \to H^0(U, \tilde M) \to H^1_I(M) \to 0,$$

जहां मध्य मानचित्रण खंडों का प्रतिबंध है। इस प्रतिबंधित मानचित्रों के लक्ष्य को n ≥ 1 के लिए आदर्श क्रम परिवर्तन भी कहा जाता है:


 * $$H^{n}(U, \tilde M) \stackrel \cong \to H^{n+1}_I(M).$$

शीफ़ सह-समरूपता के साथ उपरोक्त समरूपता के कारण स्थानीय सह-समरूपता का उपयोग विविधता $$X=\operatorname{Spec}(R)$$ पर कई सार्थक बीजगणितीय सांस्थिति निर्माणों को असंगत रूप से बीजगणितीय शब्दों में व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए X में विवृत समुच्चय U और V के एक युग्म के संबंध में मेयर-विएटोरिस अनुक्रम के स्थानीय सह-समरूपता में एक प्राकृतिक विश्लेषण है, जो क्रमशः आदर्श अनुक्रम $$I$$ और $$J$$ के युग्म के अनुरूप सवृत उप-विविधताओं के पूरक द्वारा दिया गया है। इस क्रम का स्वरूप है:


 * $$\cdots H^i_{I+J}(M)\to H^i_I(M)\oplus H^i_J(M)\to H^i_{I\cap J}(M)\to H^{i+1}_{I+J}(M)\to\cdots$$

स्थानीय सह-समरूपता के लुप्त होने का उपयोग $$\operatorname{Spec}(R)$$ में बीजगणितीय समुच्चय $$V(I)$$ को परिभाषित करने के लिए (सैद्धांतिक रूप से समुच्चय) आवश्यक कम से कम समीकरणों (अंकगणितीय स्थिति के रूप में संदर्भित) को बाध्य करने के लिए किया जा सकता है। यदि $$J$$ में $$I$$ के समान मूलांक है और $$n$$ तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, तो $$J$$ के विकासक पर सेच समिश्रता में घात $$i > n$$ में कोई पद नहीं होता है। सभी आदर्श अनुक्रम $$J$$ में जनरेटरों की न्यूनतम संख्या इस प्रकार है कि $$\sqrt{J}=\sqrt{I}$$ का अंकगणितीय स्थिरांक है, जिसे $$\operatorname{ara}(I)$$ दर्शाया गया है। चूँकि $$I$$ के संबंध में स्थानीय सह-समरूपता की गणना ऐसे किसी भी आदर्श अनुक्रम का उपयोग करके की जा सकती है। इसलिए यह $$i>\operatorname{ara}(I)$$ के लिए $$H^i_I(M)=0$$ होती है।

श्रेणीबद्ध स्थानीय सह-समरूपता और प्रक्षेप्य ज्यामिति
जब $$R$$ को $$\mathbb{N}$$ द्वारा ग्रेड किया जाता है तब $$I$$ सजातीय तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है और $$M$$ एक ग्रेडेड मॉड्यूल है, तो स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल $$H^i_I(M)$$ पर एक प्राकृतिक ग्रेडिंग होती है जो $$M$$ और $$R$$ की ग्रेडिंग के साथ संगत है। इस आलेख में व्यक्त स्थानीय सह-समरूपता के सभी आधारिक गुण श्रेणीबद्ध संरचना के अनुकूल हैं। यदि $$M$$ परिमित रूप से उत्पन्न होता है और $$I=\mathfrak{m}$$ धनात्मक घात वाले $$R$$ के तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श अनुक्रम है, तो श्रेणीबद्ध घटक $$H^i_{\mathfrak{m}}(M)_n$$, $$R$$ पर परिमित रूप से उत्पन्न होते हैं और पर्याप्त रूप से बड़े $$n$$ के लिए समाप्त हो जाते हैं।

वह स्थिति जहां $$I=\mathfrak m$$ धनात्मक घात के सभी तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श अनुक्रम है जिसे कभी-कभी असंगत आदर्श अनुक्रम कहा जाता है। प्रक्षेप्य ज्यामिति के साथ इसके संबंध के कारण विशेष रूप से यह विशेष है। इस स्थिति में एक समरूपता है:


 * $$H^{i+1}_{\mathfrak m}(M)\cong \bigoplus_{k \in \mathbf Z} H^i(\text{Proj}(R), \tilde M(k))$$

जहां $$\text{Proj}(R)$$, $$R$$ से संबद्ध प्रक्षेप्य विविधता है और $$(k)$$ सेरे ट्विस्ट को दर्शाता है। इस समरूपता को वर्गीकृत करते हुए दिया गया है:


 * $$H^{i+1}_{\mathfrak m}(M)_n \cong H^i(\text{Proj}(R), \tilde M(n))$$

यह समरूपता स्थानीय सह-समरूपता को प्रक्षेप्य विविधताओं की वैश्विक सह-समरूपता से जोड़ती है। उदाहरण के लिए कैस्टेलनुवो-ममफोर्ड नियमितता को स्थानीय सह-समरूपता का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है:


 * $$\text{reg}(M) = \text{sup}\{\text{end}(H^i_{\mathfrak{m}}(M))+i\,|\, 0\leq i\leq \text{dim}(M)\}$$

जहां $$\text{end}(N)$$ उच्चतम घात $$t$$ को दर्शाता है जैसे कि $$N_t\neq 0$$ नियमितता से संबंधित कुछ ऊपरी सीमा वाले परिणामों को सिद्ध करने के लिए स्थानीय सह-समरूपता का उपयोग किया जा सकता है।

शीर्ष स्थानीय सह-समरूपता
सेच समिश्रता का उपयोग करते हुए, यदि $$I=(f_1,\ldots,f_n)R$$ स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल $$H^n_I(M)$$ औपचारिक समूहों की छवियों द्वारा $$R$$ पर उत्पन्न होता है:


 * $$\left[\frac{m}{f_1^{t_1}\cdots f_n^{t_n}}\right]$$

तब $$m\in M$$ और $$t_1,\ldots,t_n\geq 1$$ के लिए यह भाग $$H^n_I(M)$$ के एक गैर-शून्य तत्व के अनुरूप है।  यदि और केवल यदि कोई $$k\geq 0$$ नहीं है जैसे कि $$(f_1\cdots f_t)^k m \in (f_1^{t_1+k},\ldots,f_t^{t_n+k})M$$ उदाहरण के लिए यदि $$t_i=1$$ है।

तब,
 * $$f_i\cdot \left[\frac{m}{f_1^{t_1}\cdots f_i\cdots f_n^{t_n}}\right]=0.$$


 * यदि $$K$$ एक क्षेत्र है और $$R=K[x_1,\ldots,x_n]$$ चर में $$K$$ के ऊपर एक बहुपद $$n$$ है, तो स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल $$H^n_{(x_1,\ldots,x_n)}(K[x_1,\ldots,x_n])$$ को $$K$$ के ऊपर एक सदिश समष्टि के रूप में माना जा सकता है, जिसका आधार सेच सह-समरूपता क्लासेस द्वारा दिया गया है जो $$\left[x_1^{-t_1}\cdots x_n^{-t_n}\right]$$ के लिए व्युत्क्रम एकपदी बहुपद $$t_1,\ldots,t_n\geq 1$$ है। एक $$R$$-मॉड्यूल के रूप में $$x_i$$ से गुणा करने पर $$x_i\cdot \left[x_1^{-t_1}\cdots x_i^{-1}\cdots x_n^{-t_n}\right]=0$$ स्थिति मे $$t_i$$, 1 से अपेक्षाकृत कम हो जाता है क्योंकि घात $$t_i$$ को $$R$$ के तत्वों से गुणा करके नहीं बढ़ाया जा सकता है। इसीलिए मॉड्यूल $$H^n_{(x_1,\ldots,x_n)}(K[x_1,\ldots,x_n])$$ अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल नहीं है।

H1 के उदाहरण
यदि $$H^0(U,\tilde R)$$ ज्ञात है जहाँ $$U=\operatorname{Spec}(R)-V(I)$$ तो मॉड्यूल $$H^1_I(R)$$ की गणना कभी-कभी अनुक्रम का उपयोग करके स्पष्ट रूप से की जा सकती है:


 * $$0 \to H_I^0(R) \to R \to H^0(U, \tilde R) \to H^1_I(R) \to 0.$$

निम्नलिखित उदाहरणों में $$K$$ कोई क्षेत्र है:


 * यदि $$R=K[X,Y^2,XY,Y^3]$$ और $$I=(X,Y^2)R$$, तब $$H^0(U,\tilde R)=K[X,Y]$$ और $$K$$ के ऊपर एक सदिश समष्टि के रूप में पहला स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल ($$K[X,Y]/K[X,Y^2,XY,Y^3]$$ है, जो $$Y$$ द्वारा उत्पन्न $$H^1_I(R)$$ आयामी $$K$$ सदिश समष्टि है।
 * यदि $$R=K[X,Y]/(X^2,XY)$$ और $$\mathfrak{m}=(X,Y)R$$, तब $$\Gamma_{\mathfrak{m}}(R)=xR$$ और $$H^0(U,\tilde R)=K[Y,Y^{-1}]$$, इसलिए $$H^1_{\mathfrak{m}}(R)=K[Y,Y^{-1}]/K[Y]$$ एक अनंत-आयामी $$K$$ सदिश समष्टि है जिसका आधार $$Y^{-1},Y^{-2},Y^{-3},\ldots$$ है।

मॉड्यूल की अपरिवर्तनीयता से संबंध
एक मॉड्यूल का आयाम dimR(M) (इसके समर्थन के क्रुल आयाम के रूप में परिभाषित) स्थानीय सह-समरूपता मॉड्यूल के लिए एक ऊपरी सीमा प्रदान करता है:
 * $$H_I^n(M) = 0 \text{ for all }n>\dim_R(M).$$

यदि R स्थानीय सह-समरूपता है और M परिमित रूप से उत्पन्न होता है तो यह सीमा तीव्र अर्थात $$H^n_\mathfrak{m}(M) \ne 0$$ होती है।

नियमित M-अनुक्रम की अधिकतम लंबाई के रूप में परिभाषित फलन जिसे M के ग्रेड के रूप में भी जाना जाता है यह एक तीव्र निचली सीमा प्रदान करता है अर्थात, यह सबसे छोटा पूर्णांक n है:
 * $$H^n_I(M) \ne 0.$$

ये दो सीमाएँ स्थानीय सह-समरूपता पर कोहेन-मैकाले मॉड्यूल के एक लक्षण वर्णन उत्पन्न करती हैं जो समुचित रूप से एक मॉड्यूल हैं, जहाँ $$H^n_\mathfrak{m}(M)$$ एक n को छोड़कर सभी के लिए लुप्त हो जाता है।

स्थानीय द्विविधता
स्थानीय द्विविधता प्रमेय सेरे द्विविधता का एक स्थानीय विश्लेषण है। आयाम $$d$$ के कोहेन-मैकाले स्थानीय सह-समरूपता $$R$$ के लिए जो गोरेन्स्टीन स्थानीय सह-समरूपता की एक समरूप छवि है। उदाहरण के लिए यदि $$R$$ पूर्ण है तो यह बताता है कि प्राकृतिक युग्मन है:


 * $$H^n_\mathfrak m(M) \times \operatorname{Ext}_R^{d-n}(M, \omega_R) \to H^d_\mathfrak m(\omega_R)$$

जहां $$\omega_R$$ के लिए द्विविधता मॉड्यूल $$R$$ है। मैटलिस द्विविधता गुणांक $$D(-)$$ के संदर्भ में स्थानीय द्विविधता प्रमेय को निम्नलिखित समरूपता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$H^n_\mathfrak m(M) \cong D(\operatorname{Ext}_R^{d-n}(M,\omega_R))$$

समीकरण तब सरल होता है जब $$\omega_R \cong R$$, जो इस परिकल्पना के समतुल्य है कि $$R$$ गोरेन्स्टीन है, उदाहरण के लिए यदि $$R$$ नियमित है।

अनुप्रयोग
प्रारंभिक अनुप्रयोग लेफ्शेट्ज़ प्रमेयों के विश्लेषण के लिए थे। सामान्यतः ऐसे प्रमेय बताते हैं कि कुछ फलन को छोड़कर, जिसे नियंत्रित किया जा सकता है, बीजगणितीय विविधता के समतल अनुभाग पर सजातीय या सह-समरूपता का समर्थन किया जाता है। ये परिणाम बीजगणितीय मौलिक समूह और पिकार्ड समूह पर प्रयुक्त होते हैं। अन्य प्रकार के अनुप्रयोग सह-संबद्धता प्रमेय हैं जैसे ग्रोथेंडिक की सह-संबद्धता प्रमेय (बर्टिनी प्रमेय का एक स्थानीय विश्लेषण) या और  के कारण फुल्टन-हैनसेन सह-संबद्धता प्रमेय का दायित्व है कि बीजगणितीय रूप से सवृत क्षेत्र पर Pr में दो प्रक्षेप्य विविधताओ $$ V $$ और $$ W $$ के लिए Z = V ∩ का संबद्धता आयाम (अर्थात, $$Z$$ के एक सवृत उपसमुच्चय T का न्यूनतम आयाम जिसे $$Z$$ से हटाया जाना है) पूरक Z\T से संबद्ध है:
 * c(Z) ≥ dim V + dim W - r - 1.

उदाहरण के लिए यदि $${dim V + dim W > r}$$ है तो यह $$Z$$ संबद्ध है।

बहुतलीय ज्यामिति में स्टैनली 1975 के मैकमुलेन के ऊपरी बाउंड प्रमेय के सरल रूप मे प्रमाण के एक प्रमुख घटक में यह दिखाना सम्मिलित है कि संबंधित सरल समूह की स्टेनली-रीस्नर कोहेन-मैकॉले है और होचस्टर के सूत्र के माध्यम से इस गणना में स्थानीय सह-समरूपता एक महत्वपूर्ण फलन है।

यह भी देखें

 * स्थानीय सह-समरूपता - किसी शंकु के समष्टि सांस्थितिक विश्लेषण और स्थानीय सह-समरूपता की गणना की जा सकती है।
 * फाल्टिंग्स की विनाशक प्रमेय

परिचयात्मक संदर्भ

 * हुनेके, क्रेग; टेलर, अमेलिया, स्थानीय सह-समरूपता पर व्याख्यान

संदर्भ

 * Book review by Hartshorne