अल्ट्राकनेक्टेड स्पेस

गणित में, टोपोलॉजिकल समिष्ट को अल्ट्राकनेक्टेड कहा जाता है यदि कोई भी दो गैर-रिक्त विवृत समुच्चय असंयुक्त (समुच्चय) नहीं हैं। सामान्यतः, समिष्ट अल्ट्राकनेक्टेड होता है यदि और केवल तभी जब दो अलग-अलग बिंदुओं के विवृत होने पर सदैव गैर-सामान्य प्रतिच्छेदन होता है। इसलिए, कोई T1 समिष्ट नहीं है | इस प्रकार T1 से अधिक बिंदुओं वाला समिष्ट अल्ट्राकनेक्टेड होता है।

गुण
प्रत्येक अल्ट्राकनेक्टेड समिष्ट $$X$$ पथ कनेक्टेड है (किन्तु आवश्यक नहीं कि आर्क कनेक्टेड हो)। इस प्रकार यदि $$a$$ और $$b$$ $$X$$ के दो बिंदु हैं और $$p$$ $$\operatorname{cl}\{a\}\cap\operatorname{cl}\{b\}$$ द्वारा परिभाषित प्रतिच्छेदन $$f:[0,1]\to X$$ पर बिंदु है, यदि $$f(t)=a$$ और $$f(1/2)=p$$, $$f(t)=b$$ और $$1/2 < t \le 1$$ के बीच एक सतत पथ $$a$$ और $$b$$ है

प्रत्येक अल्ट्राकनेक्टेड समिष्ट सामान्य समिष्ट, सीमा बिंदु सघन और स्यूडोकॉम्पैक्ट समिष्ट है।

उदाहरण
निम्नलिखित अल्ट्राकनेक्टेड टोपोलॉजिकल समिष्ट के उदाहरण हैं। ==यह भी देखें                                                                                                                                                                                               ==
 * अविवेकी टोपोलॉजी वाला समुच्चय।
 * सिएरपिंस्की समिष्ट।
 * बहिष्कृत बिंदु टोपोलॉजी वाला समुच्चय।
 * वास्तविक रेखा पर सही क्रम टोपोलॉजी।
 * हाइपरकनेक्टेड समिष्ट

संदर्भ

 * Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).
 * Lynn Arthur Steen and J. Arthur Seebach, Jr., Counterexamples in Topology. Springer-Verlag, New York, 1978. Reprinted by Dover Publications, New York, 1995. ISBN 0-486-68735-X (Dover edition).