श्रेणी बीजगणित

श्रेणी सिद्धांत में, गणित का क्षेत्र, श्रेणी बीजगणित साहचर्य बीजगणित है, जिसे किसी भी स्थानीय रूप से परिमित श्रेणी और एकता के साथ क्रमविनिमेय वलय के लिए परिभाषित किया गया है। श्रेणी बीजगणित समूह बीजगणित और घटना बीजगणित की धारणाओं को सामान्यीकृत करते हैं, जैसे श्रेणियां समूहों और आंशिक रूप से क्रमित समुच्चयों की धारणाओं को सामान्यीकृत करती हैं।

परिभाषा
यदि दी गई श्रेणी परिमित है (इसमें परिमित रूप से कई वस्तुएँ और रूपवाद हैं), तो श्रेणी बीजगणित की निम्नलिखित दो परिभाषाएँ सहमत हैं।

समूह बीजगणित-शैली परिभाषा
समूह (गणित) G और क्रमविनिमेय वलय R को देखते हुए, कोई RG का निर्माण कर सकता है, जिसे समूह बीजगणित के रूप में जाना जाता है; यह R-मॉड्यूल है जो गुणन से सुसज्जित है। समूह एकल वस्तु वाली श्रेणी के समान होता है जिसमें सभी रूपवाद समरूपता होते हैं (जहां समूह के तत्व श्रेणी के रूपवाद के अनुरूप होते हैं), इसलिए निम्नलिखित निर्माण समूह बीजगणित की परिभाषा को समूहों से श्रेणियों में सामान्यीकृत करता है।

मान लीजिए C श्रेणी है और R एकता के साथ क्रमविनिमेय वलय है। RC (या R[C]) को समुच्चय के साथ मुक्त R-मॉड्यूल के रूप में $$\operatorname{Hom}C$$ को परिभाषित करें। इसके आधार के रूप में C के आकारिकी का दूसरे शब्दों में, RC में फॉर्म के औपचारिक रैखिक संयोजन (जो परिमित योग होते हैं)$$\sum a_i f_i$$ होते हैं, जहां fi ,C, के रूप हैं, और ai वलय R के तत्व हैं। श्रेणी में कंपोजिशन ऑपरेशन का उपयोग करके RC पर गुणन ऑपरेशन को निम्नानुसार परिभाषित करें:
 * $$\sum a_i f_i \sum b_j g_j = \sum a_i b_j f_i g_j$$

जहाँ $$f_i g_j=0$$ यदि उनकी रचना परिभाषित नहीं है। यह RC पर बाइनरी ऑपरेशन को परिभाषित करता है, और इसके अतिरिक्त RC को वलय R के ऊपर सहयोगी बीजगणित बनाता है। इस बीजगणित को C की श्रेणी बीजगणित कहा जाता है।

भिन्न दृष्टिकोण से, मुक्त मॉड्यूल RC के एलिमेंट्स को C से R के आकारिकी के कार्यों के रूप में भी माना जा सकता है जो कि अंतिम रूप से समर्थित हैं। फिर गुणन का वर्णन कनवल्शन द्वारा किया जाता है: यदि $$a, b \in RC$$ (C के आकारिकी पर कार्यात्मक के रूप में सोचा जाता है), तो उनके उत्पाद को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$(a * b)(h) := \sum_{fg=h} a(f)b(g).$$

उत्तरार्द्ध योग सीमित है क्योंकि फलन सीमित रूप से समर्थित हैं, और इसलिए $$a * b \in RC$$ है।

घटना बीजगणित-शैली परिभाषा
घटना बीजगणित के लिए उपयोग की जाने वाली परिभाषा मानती है कि श्रेणी C स्थानीय रूप से परिमित है (नीचे देखें), उपरोक्त परिभाषा से दोहरी है, और भिन्न वस्तु को परिभाषित करती है। यह समूहों के लिए उपयोगी धारणा नहीं है, क्योंकि समूह जो श्रेणी के रूप में स्थानीय रूप से परिमित है, वह परिमित समूह है।

'स्थानीय रूप से परिमित श्रेणी' वह है जहां प्रत्येक रूपवाद को दो गैर-पहचान रूपकों की संरचना के रूप में केवल सीमित रूप से कई प्रकार से लिखा जा सकता है (परिमित होम-सेट अर्थ के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए)। श्रेणी बीजगणित (इस अर्थ में) को ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है, किन्तु सभी गुणांकों को गैर-शून्य होने की अनुमति दी गई है।

औपचारिक योग के संदर्भ में, तत्व सभी औपचारिक योग हैं;
 * $$\sum_{f_i \in \operatorname{Hom}C} a_i f_i,$$

जहां पर कोई प्रतिबंध नहीं है $$a_i$$ (वे सभी गैर-शून्य हो सकते हैं)।

फ़ंक्शंस के संदर्भ में, तत्व C से R के आकारिकी से कोई भी फ़ंक्शंस हैं, और गुणन को कनवल्शन के रूप में परिभाषित किया गया है। स्थानीय परिमितता धारणा के कारण कनवल्शन में योग सदैव सीमित होता है।

दोहरा
श्रेणी बीजगणित का मॉड्यूल दोहरा (परिभाषा के समूह बीजगणित अर्थ में) C से R के आकारिकी से सभी मानचित्रों का स्थान है, जिसे F(C) दर्शाया गया है, और इसमें प्राकृतिक कोलजेब्रा संरचना है। इस प्रकार स्थानीय रूप से परिमित श्रेणी के लिए,  श्रेणी बीजगणित (समूह बीजगणित अर्थ में) का द्वैत श्रेणी बीजगणित (घटना बीजगणित अर्थ में) है, और इसमें बीजगणित और कोलजेब्रा संरचना दोनों हैं।

उदाहरण

 * यदि C समूह (गणित) है (एकल वस्तु वाले समूह के रूप में सोचा जाता है), तो RC समूह बीजगणित है।
 * यदि C मोनॉइड है (एकल वस्तु वाली श्रेणी के रूप में सोचा जाता है), तो RC मोनॉइड वलय है।
 * यदि C आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया समुच्चय है, तो (उचित परिभाषा का उपयोग करके), RC घटना बीजगणित है।
 * जबकि आंशिक आदेश केवल ऊपरी या निचले त्रिकोणीय आव्यूह को घटना बीजगणित के रूप में देखने की अनुमति देते हैं, श्रेणी बीजगणित की अवधारणा भी R के आव्यूह वलय को सम्मिलित करती है। वास्तव में, यदि C, n बिंदुओं पर पूर्व आदेश है जहां प्रत्येक बिंदु का एक दूसरे से संबंध होता है (पूर्ण ग्राफ), तो RC आव्यूह वलय $$ R^{n \times n} $$ है।
 * यदि C भिन्न श्रेणी है, तो RC को कार्यों की रिंग के रूप में देखा जा सकता है $$C \rightarrow R$$ बिंदुवार जोड़ और गुणा के साथ, या समकक्ष C पर अनुक्रमित R की प्रतियों का प्रत्यक्ष उत्पाद है। अनंत C की स्थिति में, किसी को समूह बीजगणित-शैली और घटना बीजगणित-शैली को भिन्न करने की आवश्यकता होती है, क्योंकि पूर्व में, कोई केवल अनुमति देता है औपचारिक रैखिक संयोजन में सीमित रूप से कई शब्दों के लिए, जिसके परिणामस्वरूप RC, R की प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के अतिरिक्त होता है।
 * क्वीवेर Q का पथ बीजगणित, Q पर मुक्त श्रेणी का श्रेणी बीजगणित है।

संदर्भ

 * Haigh, John. On the Möbius Algebra and the Grothendieck Ring of a Finite Category J. London Math. Soc (2), 21 (1980) 81–92.

अग्रिम पठन

 * http://www.math.umn.edu/~webb/Publications/CategoryAlgebras.pdf Standard text.