ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स

रैखिक बीजगणित में, एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, या ऑर्थोनॉर्मल मैट्रिक्स, एक वास्तविक स्क्वायर मैट्रिक्स  है, जिसके कॉलम और पंक्तियाँ  ऑर्थोनॉर्मलिटी   वेक्टर (गणित और भौतिकी)  हैं।

इसे व्यक्त करने का एक तरीका है $$Q^\mathrm{T} Q = Q Q^\mathrm{T} = I,$$ कहाँ पे $Q^{T}$ का स्थानान्तरण है $Q$ तथा $I$ पहचान मैट्रिक्स  है।

यह समान लक्षण वर्णन की ओर जाता है: एक मैट्रिक्स $Q$ ऑर्थोगोनल है यदि इसका स्थानान्तरण इसके व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स के बराबर है: $$Q^\mathrm{T}=Q^{-1},$$ कहाँ पे $Q^{−1}$ का विलोम है $Q$.

एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स $Q$ अनिवार्य रूप से उलटा है (उलटा के साथ $Q^{−1} = Q^{T}$), एकात्मक मैट्रिक्स  ($Q^{−1} = Q^{∗}$), कहाँ पे $Q^{∗}$ का हर्मिटियन आसन्न (संयुग्मी स्थानांतरण) है $Q$, और इसलिए  सामान्य मैट्रिक्स  ($Q^{∗}Q = QQ^{∗}$)  वास्तविक संख्या ओं पर। किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का निर्धारक या तो +1 या -1 है। एक रेखीय मानचित्र के रूप में, एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स वैक्टर के आंतरिक उत्पाद को संरक्षित करता है, और इसलिए  यूक्लिडियन अंतरिक्ष  की एक  आइसोमेट्री  के रूप में कार्य करता है, जैसे  रोटेशन (गणित),  प्रतिबिंब (गणित)  या अनुचित रोटेशन। दूसरे शब्दों में, यह एक  एकात्मक परिवर्तन  है।

के समुच्चय $n × n$ ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस एक समूह (गणित)  बनाता है, $O(n)$, ऑर्थोगोनल समूह के रूप में जाना जाता है।  उपसमूह  $SO(n)$ सारणिक +1 के साथ ओर्थोगोनल मैट्रिसेस से मिलकर बना ऑर्थोगोनल समूह कहलाता है, और इसका प्रत्येक तत्व एक विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। एक रैखिक परिवर्तन के रूप में, प्रत्येक विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स रोटेशन के रूप में कार्य करता है।

सिंहावलोकन
एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स एकात्मक मैट्रिक्स का वास्तविक विशेषज्ञता है, और इस प्रकार हमेशा एक सामान्य मैट्रिक्स होता है। यद्यपि हम यहां केवल वास्तविक आव्यूहों पर विचार करते हैं, परिभाषा का उपयोग किसी भी क्षेत्र (गणित)  से प्रविष्टियों के साथ आव्यूहों के लिए किया जा सकता है। हालांकि, ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस स्वाभाविक रूप से  डॉट उत्पाद ों से उत्पन्न होते हैं, और जटिल संख्याओं के मैट्रिसेस के लिए जो एकात्मक आवश्यकता के बजाय आगे बढ़ते हैं। ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस डॉट उत्पाद को संरक्षित करते हैं, तो, वैक्टर के लिए $u$ तथा $v$ एक में $n$-आयामी वास्तविक यूक्लिडियन स्थान $${\mathbf u} \cdot {\mathbf v} = \left(Q {\mathbf u}\right) \cdot \left(Q {\mathbf v}\right) $$ कहाँ पे $Q$ एक ओर्थोगोनल मैट्रिक्स है। आंतरिक उत्पाद कनेक्शन देखने के लिए, एक वेक्टर पर विचार करें $v$ एक में $n$-आयामी वास्तविक यूक्लिडियन स्थान। ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में लिखा गया, की लंबाई का वर्ग $v$ है $v^{T}v$. यदि एक रैखिक परिवर्तन, मैट्रिक्स रूप में $Qv$, फिर सदिश लंबाई को संरक्षित करता है $${\mathbf v}^\mathrm{T}{\mathbf v} = (Q{\mathbf v})^\mathrm{T}(Q{\mathbf v}) = {\mathbf v}^\mathrm{T} Q^\mathrm{T} Q {\mathbf v} .$$ इस प्रकार आयाम (वेक्टर स्पेस) | परिमित-आयामी रैखिक आइसोमेट्री-रोटेशन, प्रतिबिंब, और उनके संयोजन-ऑर्थोगोनल मैट्रिस का उत्पादन करते हैं। इसका विलोम भी सत्य है: ओर्थोगोनल मैट्रिसेस का अर्थ ऑर्थोगोनल ट्रांसफॉर्मेशन है। हालांकि, रैखिक बीजगणित में रिक्त स्थान के बीच ऑर्थोगोनल परिवर्तन शामिल हैं जो न तो परिमित-आयामी हो सकते हैं और न ही समान आयाम के हो सकते हैं, और इनमें कोई ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स समकक्ष नहीं है।

सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों कारणों से ऑर्थोगोनल मैट्रिसेस कई कारणों से महत्वपूर्ण हैं। $n × n$ }} ऑर्थोगोनल मैट्रिसेस मैट्रिक्स गुणन के तहत एक समूह (गणित) बनाते हैं, ऑर्थोगोनल समूह द्वारा दर्शाया गया है $O(n)$, जो—इसके उपसमूहों के साथ—गणित और भौतिक विज्ञान में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक अणु का बिंदु समूह  O(3) का एक उपसमूह है। क्योंकि ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस के फ़्लोटिंग पॉइंट संस्करणों में लाभप्रद गुण होते हैं, वे संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में कई एल्गोरिदम के लिए महत्वपूर्ण होते हैं, जैसे क्यूआर अपघटन |$QR$ अपघटन। एक अन्य उदाहरण के रूप में, उपयुक्त सामान्यीकरण के साथ असतत कोज्या परिवर्तन ( बेचा  3 संपीड़न में प्रयुक्त) एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है।

उदाहरण
नीचे छोटे ओर्थोगोनल मैट्रिसेस और संभावित व्याख्याओं के कुछ उदाहरण दिए गए हैं। \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}$$ (पहचान परिवर्तन) \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}$$ (मूल के बारे में रोटेशन) \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \\ \end{bmatrix}$$ (एक्स-अक्ष पर प्रतिबिंब) \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ (समन्वय अक्षों का क्रमचय)

निचला आयाम
सबसे सरल ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस हैं 1 × 1 मैट्रिक्स [1] और [−1], जिसे हम पहचान के रूप में व्याख्या कर सकते हैं और मूल के आर-पार वास्तविक रेखा के प्रतिबिंब के रूप में व्याख्या कर सकते हैं। 2 × 2 }} आव्यूह का रूप है $$\begin{bmatrix} p & t\\ q & u \end{bmatrix},$$ कौन सी ऑर्थोगोनैलिटी मांग तीन समीकरणों को संतुष्ट करती है $$\begin{align} 1 & = p^2+t^2, \\ 1 & = q^2+u^2, \\ 0 & = pq+tu. \end{align}$$ पहले समीकरण को ध्यान में रखते हुए, व्यापकता के नुकसान के बिना $p = cos θ$, $q = sin θ$; तो कोई $t = −q$, $u = p$ या $t = q$, $u = −p$. हम पहले मामले को रोटेशन के रूप में व्याख्या कर सकते हैं $θ$ (कहाँ पे $θ = 0$ पहचान है), और दूसरा कोण पर एक रेखा में प्रतिबिंब के रूप में $θ⁄2$.

$$ \begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \\ \end{bmatrix}\text{ (rotation), }\qquad \begin{bmatrix} \cos \theta & \sin \theta \\ \sin \theta & -\cos \theta \\ \end{bmatrix}\text{ (reflection)} $$ प्रतिबिंब मैट्रिक्स का विशेष मामला $θ = 90°$ द्वारा दिए गए 45° पर रेखा के बारे में प्रतिबिंब उत्पन्न करता है $y = x$ और इसलिए आदान-प्रदान $x$ तथा $y$; यह एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स  है, प्रत्येक कॉलम और पंक्ति में एक 1 (और अन्यथा 0) के साथ: $$\begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix}.$$ पहचान भी एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स है।

एक प्रतिबिंब अनैच्छिक मैट्रिक्स है, जिसका तात्पर्य है कि एक प्रतिबिंब मैट्रिक्स सममित मैट्रिक्स  (इसके स्थानान्तरण के बराबर) के साथ-साथ ऑर्थोगोनल भी है। दो  रोटेशन मैट्रिक्स  का उत्पाद एक रोटेशन मैट्रिक्स है, और दो प्रतिबिंब मैट्रिक्स का उत्पाद भी एक रोटेशन मैट्रिक्स है।

उच्च आयाम
आयाम के बावजूद, ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस को विशुद्ध रूप से घूर्णी या नहीं के रूप में वर्गीकृत करना हमेशा संभव होता है, लेकिन इसके लिए 3 × 3 आव्यूह और गैर-घूर्णी आव्यूह बड़े प्रतिबिंबों की तुलना में अधिक जटिल हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, $$ \begin{bmatrix} -1 & 0 & 0\\ 0 & -1 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}\text{ and } \begin{bmatrix} 0 & -1 & 0\\ 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}$$ मूल के माध्यम से एक बिंदु में एक व्युत्क्रम और क्रमशः एक अनुचित घुमाव का प्रतिनिधित्व करते हैं $z$-एक्सिस।

उच्च आयामों में घुमाव अधिक जटिल हो जाते हैं; वे अब पूरी तरह से एक कोण से चित्रित नहीं किए जा सकते हैं, और एक से अधिक प्लानर उप-स्थान को प्रभावित कर सकते हैं। ए का वर्णन करना आम बात है 3 × 3 धुरी और कोण के संदर्भ में रोटेशन मैट्रिक्स, लेकिन यह केवल तीन आयामों में काम करता है। तीन आयामों से ऊपर दो या दो से अधिक कोणों की आवश्यकता होती है, जिनमें से प्रत्येक रोटेशन के एक विमान से जुड़ा होता है।

हालांकि, हमारे पास सामान्य रूप से लागू होने वाले क्रमपरिवर्तन, प्रतिबिंब और घूर्णन के लिए प्राथमिक बिल्डिंग ब्लॉक हैं।

आदिम
सबसे प्राथमिक क्रमचय एक स्थानान्तरण है, जो दो पंक्तियों का आदान-प्रदान करके पहचान मैट्रिक्स से प्राप्त किया जाता है। कोई $n × n$ क्रमचय मैट्रिक्स को इससे अधिक के उत्पाद के रूप में बनाया जा सकता है $n − 1$ स्थानान्तरण।

एक गैर-शून्य वेक्टर से एक हाउसहोल्डर प्रतिबिंब का निर्माण किया जाता है $v$ जैसा $$Q = I - 2 \frac{{\mathbf v}{\mathbf v}^\mathrm{T}}{{\mathbf v}^\mathrm{T}{\mathbf v}} .$$ यहाँ अंश एक सममित मैट्रिक्स है जबकि भाजक एक संख्या है, का वर्ग परिमाण $v$. यह के लंबवत हाइपरप्लेन में एक प्रतिबिंब है $v$ (किसी भी सदिश घटक को समानांतर नकारना $v$). यदि $v$ एक इकाई वेक्टर है, तो $Q = I − 2vv^{T}$ पर्याप्त एक हाउसहोल्डर प्रतिबिंब का उपयोग आमतौर पर एक कॉलम के निचले हिस्से को एक साथ शून्य करने के लिए किया जाता है। आकार का कोई भी ओर्थोगोनल मैट्रिक्स n × n अधिकतम के उत्पाद के रूप में निर्मित किया जा सकता है $n$ ऐसे प्रतिबिंब।

एक गिवेंस रोटेशन  एक दो-आयामी (प्लानर) उप-स्थान पर कार्य करता है जो दो समन्वित अक्षों द्वारा फैला हुआ है, एक चुने हुए कोण से घूमता है। यह आम तौर पर एक एकल सबडायगोनल प्रविष्टि को शून्य करने के लिए उपयोग किया जाता है। आकार का कोई भी रोटेशन मैट्रिक्स $n × n$ अधिकतम के उत्पाद के रूप में निर्मित किया जा सकता है $n(n − 1)⁄2$ ऐसे घुमाव। के मामले में 3 × 3 मैट्रिसेस, ऐसे तीन घुमाव पर्याप्त हैं; और इस क्रम को ठीक करके हम सभी का वर्णन कर सकते हैं 3 × 3 उपयोग किए गए तीन कोणों के संदर्भ में रोटेशन मैट्रिसेस (हालांकि विशिष्ट रूप से नहीं), जिन्हें अक्सर  यूलर कोण  कहा जाता है।

एक जैकोबी रोटेशन  का एक गिवेंस रोटेशन के रूप में एक ही रूप है, लेकिन इसका उपयोग एक के दोनों ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियों को शून्य करने के लिए किया जाता है 2 × 2 सममित सबमैट्रिक्स।

मैट्रिक्स गुण
एक वास्तविक वर्ग मैट्रिक्स ओर्थोगोनल है अगर और केवल अगर  इसके कॉलम यूक्लिडियन स्पेस का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं $R^{n}$ साधारण यूक्लिडियन डॉट उत्पाद के साथ, जो कि केवल तभी होता है जब इसकी पंक्तियाँ एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाती हैं $R^{n}$. यह मान लेना आकर्षक हो सकता है कि ऑर्थोगोनल (ऑर्थोनॉर्मल नहीं) कॉलम वाले मैट्रिक्स को ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स कहा जाएगा, लेकिन ऐसे मैट्रिक्स में कोई विशेष रुचि नहीं है और कोई विशेष नाम नहीं है; वे केवल संतुष्ट $M^{T}M = D$, साथ $D$ एक विकर्ण मैट्रिक्स ।

किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का निर्धारक +1 या -1 है। यह निर्धारकों के बारे में बुनियादी तथ्यों से निम्नानुसार है: $$1=\det(I)=\det\left(Q^\mathrm{T}Q\right)=\det\left(Q^\mathrm{T}\right)\det(Q)=\bigl(\det(Q)\bigr)^2 .$$ इसका उलट सत्य नहीं है; ± 1 का एक निर्धारक होने से ऑर्थोगोनलिटी की कोई गारंटी नहीं है, यहां तक ​​​​कि ऑर्थोगोनल कॉलम के साथ भी, जैसा कि निम्नलिखित काउंटर उदाहरण द्वारा दिखाया गया है। $$\begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$$ क्रमचय मेट्रिसेस के साथ निर्धारक सम और विषम क्रमपरिवर्तन  से मेल खाता है, +1 या -1 होने के कारण क्रमचय की समानता सम या विषम है, क्योंकि निर्धारक पंक्तियों का एक वैकल्पिक कार्य है।

निर्धारक प्रतिबंध से मजबूत तथ्य यह है कि एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स हमेशा ईजेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर के पूर्ण सेट को प्रदर्शित करने के लिए जटिल संख्या ओं पर विकर्ण मैट्रिक्स हो सकता है, जिनमें से सभी का (जटिल) निरपेक्ष मान 1 होना चाहिए।

समूह गुण
प्रत्येक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का व्युत्क्रम फिर से ऑर्थोगोनल होता है, जैसा कि दो ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का मैट्रिक्स उत्पाद होता है। वास्तव में, सभी का सेट $n × n$ ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस एक समूह (गणित) के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। यह आयाम का एक कॉम्पैक्ट स्पेस  लाई समूह है $n(n − 1)⁄2$, ओर्थोगोनल समूह कहा जाता है और द्वारा निरूपित किया जाता है $O(n)$.

ऑर्थोगोनल मैट्रिसेस जिसका निर्धारक +1 है, एक कनेक्टेड स्पेस  बनाता है | पथ से जुड़ा  सामान्य उपसमूह  $O(n)$ एक उपसमूह 2 के सूचकांक का, विशेष ओर्थोगोनल समूह $SO(n)$ घुमावों का।  भागफल समूह  $O(n)/SO(n)$ के लिए आइसोमोर्फिक है $O(1)$, निर्धारक के अनुसार [+1] या [−1] चुनने वाले प्रक्षेपण मानचित्र के साथ। निर्धारक -1 के साथ ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस में पहचान शामिल नहीं है, और इसलिए एक उपसमूह नहीं बल्कि केवल एक सहसमुच्चय बनाते हैं; यह भी (अलग से) जुड़ा हुआ है। इस प्रकार प्रत्येक ओर्थोगोनल समूह के दो टुकड़े हो जाते हैं; और क्योंकि प्रक्षेपण नक्शा सटीक अनुक्रम, $O(n)$ का अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है $SO(n)$ द्वारा $O(1)$. व्यावहारिक रूप में, एक तुलनीय कथन यह है कि किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को एक रोटेशन मैट्रिक्स लेकर और संभवतः इसके किसी एक कॉलम को नकार कर बनाया जा सकता है, जैसा कि हमने देखा 2 × 2 मैट्रिक्स। यदि $n$ विषम है, तो सेमीडायरेक्ट उत्पाद वास्तव में समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद  है, और किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को रोटेशन मैट्रिक्स लेकर और संभवतः इसके सभी स्तंभों को नकार कर बनाया जा सकता है। यह निर्धारकों की संपत्ति से अनुसरण करता है कि एक स्तंभ को नकारना निर्धारक को नकारता है, और इस प्रकार स्तंभों की एक विषम (लेकिन सम नहीं) संख्या को नकारना निर्धारक को नकारता है।

अब विचार करें $(n + 1) × (n + 1)$ ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस जिसमें नीचे दाहिनी प्रविष्टि 1 के बराबर है। अंतिम कॉलम (और अंतिम पंक्ति) का शेष शून्य होना चाहिए, और ऐसे दो मैट्रिक्स के उत्पाद का एक ही रूप है। शेष मैट्रिक्स एक है $n × n$ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स; इस प्रकार $O(n)$ का एक उपसमूह है $O(n + 1)$ (और सभी उच्च समूहों के)।

$$\begin{bmatrix} & & & 0\\ & \mathrm{O}(n) & & \vdots\\ & & & 0\\ 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix}$$ चूंकि गृहस्थ मैट्रिक्स  के रूप में एक प्राथमिक प्रतिबिंब किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को इस विवश रूप में कम कर सकता है, ऐसे प्रतिबिंबों की एक श्रृंखला किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को पहचान में ला सकती है; इस प्रकार एक ओर्थोगोनल समूह एक  प्रतिबिंब समूह  है। अंतिम स्तंभ किसी भी इकाई वेक्टर के लिए तय किया जा सकता है, और प्रत्येक विकल्प की एक अलग प्रति देता है $O(n)$ में $O(n + 1)$; तौर पर $O(n + 1)$ इकाई गोले के ऊपर एक  फाइबर बंडल  है $S^{n}$ फाइबर के साथ $O(n)$.

इसी प्रकार, $SO(n)$ का एक उपसमूह है $SO(n + 1)$; और किसी भी विशेष ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को एक समान प्रक्रिया का उपयोग करके गिवेंस रोटेशन द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है। बंडल संरचना बनी रहती है: $SO(n) ↪ SO(n + 1) → S^{n}$. एक एकल घुमाव अंतिम कॉलम की पहली पंक्ति में एक शून्य उत्पन्न कर सकता है, और की श्रृंखला $n − 1$ घूर्णन an. के अंतिम स्तंभ की अंतिम पंक्ति को छोड़कर सभी को शून्य कर देगा $n × n$ रोटेशन मैट्रिक्स। चूंकि विमान स्थिर हैं, प्रत्येक घूर्णन में केवल एक डिग्री की स्वतंत्रता होती है, इसका कोण। प्रेरण द्वारा, $SO(n)$ इसलिए है $$(n-1) + (n-2) + \cdots + 1 = \frac{n(n-1)}{2}$$ स्वतंत्रता की डिग्री, और इसलिए करता है $O(n)$.

क्रमपरिवर्तन आव्यूह अभी भी सरल हैं; वे लाई समूह नहीं, बल्कि केवल एक परिमित समूह बनाते हैं, ऑर्डर फैक्टोरियल|$n!$ सममित समूह $S_{n}$. इसी तर्क से, $S_{n}$ का एक उपसमूह है $S_{n + 1}$. सम क्रमपरिवर्तन निर्धारक +1 के क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स के उपसमूह का उत्पादन करते हैं, क्रम $n!⁄2$ वैकल्पिक समूह ।

विहित रूप
अधिक मोटे तौर पर, किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का प्रभाव ऑर्थोगोनल द्वि-आयामी उप-स्थानों पर स्वतंत्र क्रियाओं में अलग हो जाता है। यानी अगर $Q$ विशेष ऑर्थोगोनल है तो कोई हमेशा एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स ढूंढ सकता है $P$, (घूर्णी) आधार का परिवर्तन, जो लाता है $Q$ ब्लॉक विकर्ण रूप में:

$$P^\mathrm{T}QP = \begin{bmatrix} R_1 & & \\ & \ddots & \\ & & R_k \end{bmatrix}\ (n\text{ even}), \ P^\mathrm{T}QP = \begin{bmatrix} R_1 & & & \\ & \ddots & & \\ & & R_k & \\ & & & 1 \end{bmatrix}\ (n\text{ odd}).$$ जहां मैट्रिसेस $R_{1}, ..., R_{k}$ हैं 2 × 2 रोटेशन मैट्रिसेस, और शेष प्रविष्टियों के साथ शून्य। असाधारण रूप से, एक रोटेशन ब्लॉक विकर्ण हो सकता है, $±I$. इस प्रकार, यदि आवश्यक हो तो एक कॉलम को नकारना और यह ध्यान रखना कि a 2 × 2 प्रतिबिंब एक +1 और -1 के लिए विकर्ण करता है, किसी भी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को फॉर्म में लाया जा सकता है $$P^\mathrm{T}QP = \begin{bmatrix} \begin{matrix}R_1 & & \\ & \ddots & \\ & & R_k\end{matrix} & 0 \\ 0 & \begin{matrix}\pm 1 & & \\ & \ddots & \\ & & \pm 1\end{matrix} \\ \end{bmatrix},$$ मेट्रिसेस $R_{1}, ..., R_{k}$ सम्मिश्र संख्या में इकाई वृत्त पर स्थित eigenvalues ​​​​के संयुग्म जोड़े दें; इसलिए यह अपघटन पुष्टि करता है कि सभी आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर का पूर्ण मान 1 है। यदि $n$ विषम है, कम से कम एक वास्तविक आइगेनमान है, +1 या -1; एक के लिए 3 × 3 रोटेशन, +1 से जुड़ा ईजेनवेक्टर रोटेशन अक्ष है।

लेट बीजगणित
मान लीजिए की प्रविष्टियाँ $Q$ के अलग-अलग कार्य हैं $t$, और कि $t = 0$ देता है $Q = I$. ऑर्थोगोनलिटी की स्थिति को अलग करना $$Q^\mathrm{T} Q = I $$ पैदावार $$\dot{Q}^\mathrm{T} Q + Q^\mathrm{T} \dot{Q} = 0$$ पर मूल्यांकन $t = 0$ ($Q = I$) तो तात्पर्य है $$\dot{Q}^\mathrm{T} = -\dot{Q} .$$ झूठ समूह के शब्दों में, इसका मतलब है कि एक ओर्थोगोनल मैट्रिक्स समूह के झूठ बीजगणित में तिरछा-सममित मैट्रिक्स  | तिरछा-सममित मैट्रिक्स होता है। दूसरी दिशा में जा रहे हैं, किसी भी तिरछा-सममित मैट्रिक्स का मैट्रिक्स घातीय एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स (वास्तव में, विशेष ऑर्थोगोनल) है।

उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी वस्तु भौतिकी कॉल कोणीय वेग एक अंतर रोटेशन है, इस प्रकार झूठ बीजगणित में एक वेक्टर $$\mathfrak{so}(3)$$ स्पर्शरेखा $SO(3)$. दिया गया $ω = (xθ, yθ, zθ)$, साथ $v = (x, y, z)$ एक इकाई वेक्टर होने के नाते, का सही तिरछा-सममित मैट्रिक्स रूप है $ω$ है $$ \Omega = \begin{bmatrix} 0 & -z\theta & y\theta \\ z\theta & 0 & -x\theta \\ -y\theta & x\theta & 0 \end{bmatrix} .$$ इसका घातांक अक्ष के चारों ओर घूमने के लिए ओर्थोगोनल मैट्रिक्स है $v$ कोण से $θ$; स्थापना $c = cos θ⁄2$, $s = sin θ⁄2$, $$\exp(\Omega) = \begin{bmatrix} 1 -  2s^2  +  2x^2 s^2  &  2xy s^2  -  2z sc  &  2xz s^2  +  2y sc\\ 2xy s^2 +  2z sc  &  1  -  2s^2  +  2y^2 s^2  &  2yz s^2  -  2x sc\\ 2xz s^2 -  2y sc  &  2yz s^2  +  2x sc  &  1  -  2s^2  +  2z^2 s^2 \end{bmatrix}.$$

लाभ
संख्यात्मक विश्लेषण संख्यात्मक रैखिक बीजगणित के लिए ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के कई गुणों का लाभ उठाता है, और वे स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, किसी स्थान के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार, या आधारों के ऑर्थोगोनल परिवर्तन की गणना करना अक्सर वांछनीय होता है; दोनों ओर्थोगोनल मैट्रिसेस का रूप लेते हैं। निर्धारक ±1 और परिमाण 1 के सभी eigenvalues ​​ संख्यात्मक स्थिरता  के लिए बहुत लाभ का है। एक निहितार्थ यह है कि स्थिति संख्या 1 है (जो न्यूनतम है), इसलिए ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के साथ गुणा करते समय त्रुटियों को बढ़ाया नहीं जाता है। कई एल्गोरिदम इस कारण से होमहोल्डर प्रतिबिंब और गिवेंस रोटेशन जैसे ऑर्थोगोनल मैट्रिस का उपयोग करते हैं। यह भी मददगार है कि, न केवल एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स उलटा है, बल्कि इसका उलटा सूचकांकों का आदान-प्रदान करके अनिवार्य रूप से मुक्त उपलब्ध है।

कई एल्गोरिदम की सफलता के लिए क्रमपरिवर्तन आवश्यक हैं, जिसमें पिवट तत्व # आंशिक और पूर्ण पिवोटिंग के साथ वर्कहॉर्स गॉसियन उन्मूलन शामिल है (जहां क्रमपरिवर्तन धुरी करते हैं)। हालांकि, वे शायद ही कभी स्पष्ट रूप से मैट्रिसेस के रूप में प्रकट होते हैं; उनका विशेष रूप अधिक कुशल प्रतिनिधित्व की अनुमति देता है, जैसे कि की सूची $n$ सूचकांक।

इसी तरह, हाउसहोल्डर और गिवेंस मैट्रिसेस का उपयोग करने वाले एल्गोरिदम आमतौर पर गुणन और भंडारण के विशेष तरीकों का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, एक गिवेंस रोटेशन एक मैट्रिक्स की केवल दो पंक्तियों को प्रभावित करता है जो इसे गुणा करता है, क्रम के पूर्ण मैट्रिक्स गुणन  को बदलता है $n^{3}$ बहुत अधिक कुशल आदेश के लिए $n$. जब इन प्रतिबिंबों और घुमावों का उपयोग एक मैट्रिक्स में शून्य का परिचय देता है, तो रिक्त स्थान परिवर्तन को पुन: उत्पन्न करने के लिए पर्याप्त डेटा संग्रहीत करने के लिए पर्याप्त होता है, और ऐसा मजबूती से करता है। (निम्नलिखित, हम एक रोटेशन एंगल स्टोर नहीं करते हैं, जो महंगा और खराब व्यवहार दोनों है।)

अपघटन
कई महत्वपूर्ण मैट्रिक्स अपघटन   विशेष रूप से ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस शामिल करें:

क्यूआर अपघटन |$QR$ अपघटन: $M = QR$, $Q$ ओर्थोगोनल, $R$ ऊपरी त्रिकोणीय
 * विलक्षण मान अपघटन : $M = UΣV^{T}$, $U$ तथा $V$ ओर्थोगोनल, $Σ$ विकर्ण मैट्रिक्स
 * मैट्रिक्स का ईजेनडीकम्पोज़िशन ( वर्णक्रमीय प्रमेय के अनुसार अपघटन): $S = QΛQ^{T}$, $S$ सममित, $Q$ ओर्थोगोनल, $Λ$ विकर्ण
 * ध्रुवीय अपघटन : $M = QS$, $Q$ ओर्थोगोनल, $S$ सममित सकारात्मक-अर्धपरिमित

उदाहरण
रैखिक समीकरणों की एक अतिनिर्धारित प्रणाली पर विचार करें, जैसा कि प्रयोगात्मक त्रुटियों की भरपाई के लिए भौतिक घटना के बार-बार माप के साथ हो सकता है। लिखना $Ax = b$, कहाँ पे $A$ है $m × n$, $m > n$. ए $QR$ अपघटन कम हो जाता है $A$ ऊपरी त्रिकोणीय के लिए $R$. उदाहरण के लिए, यदि $A$ है 5 × 3 फिर $R$ रूप है $$R = \begin{bmatrix} \cdot & \cdot & \cdot \\ 0 & \cdot & \cdot \\ 0 & 0 & \cdot \\ 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$ रैखिक कम से कम वर्ग (गणित) समस्या को खोजने के लिए है $x$ जो कम करता है $\|Ax − b\|$, जो प्रक्षेपित करने के बराबर है $b$ उप-स्थान के लिए के स्तंभों द्वारा फैलाया गया $A$. के स्तंभों को मानते हुए $A$ (और इसलिए $R$) स्वतंत्र हैं, प्रक्षेपण समाधान से पाया जाता है $A^{T}Ax = A^{T}b$. अब $A^{T}A$ वर्गाकार है ($n × n$) और उलटा, और बराबर भी $R^{T}R$. लेकिन शून्य की निचली पंक्तियों में $R$ उत्पाद में अतिश्योक्तिपूर्ण हैं, जो इस प्रकार पहले से ही निचले-त्रिकोणीय ऊपरी-त्रिकोणीय कारक रूप में है, जैसा कि गाऊसी उन्मूलन ( चोल्स्की अपघटन ) में है। यहां रूढ़िवादिता न केवल कम करने के लिए महत्वपूर्ण है $A^{T}A = (R^{T}Q^{T})QR$ प्रति $R^{T}R$, बल्कि संख्यात्मक समस्याओं को बढ़ाए बिना समाधान की अनुमति देने के लिए भी।

एक रैखिक प्रणाली के मामले में जो कम निर्धारित है, या अन्यथा गैर-उलटा मैट्रिक्स, एकवचन मूल्य अपघटन (एसवीडी) समान रूप से उपयोगी है। साथ $A$ के रूप में कारक $UΣV^{T}$, एक संतोषजनक समाधान मूर-पेनरोज़ छद्म उलटा  का उपयोग करता है, $VΣ^{+}U^{T}$, कहाँ पे $Σ^{+}$ केवल प्रत्येक गैर-शून्य विकर्ण प्रविष्टि को उसके व्युत्क्रम से प्रतिस्थापित करता है। समूह $x$ प्रति $VΣ^{+}U^{T}b$.

वर्ग उलटा मैट्रिक्स का मामला भी रुचि रखता है। मान लीजिए, उदाहरण के लिए, कि $A$ एक है 3 × 3 रोटेशन मैट्रिक्स जिसकी गणना कई ट्विस्ट और टर्न की संरचना के रूप में की गई है। फ़्लोटिंग पॉइंट वास्तविक संख्याओं के गणितीय आदर्श से मेल नहीं खाता है, इसलिए $A$ धीरे-धीरे अपनी वास्तविक रूढ़िवादिता को खो दिया है। एक ग्राम-श्मिट प्रक्रिया स्तंभों को ऑर्थोगोनलाइज़ेशन  कर सकती है, लेकिन यह सबसे विश्वसनीय, न ही सबसे कुशल, और न ही सबसे अपरिवर्तनीय विधि है। ध्रुवीय अपघटन एक मैट्रिक्स को एक जोड़ी में कारक बनाता है, जिनमें से एक दिए गए मैट्रिक्स के लिए अद्वितीय निकटतम ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, या यदि दिया गया मैट्रिक्स एकवचन है तो निकटतम में से एक है। (निकटता को आधार के ऑर्थोगोनल परिवर्तन के तहत किसी भी  मैट्रिक्स मानदंड  अपरिवर्तनीय द्वारा मापा जा सकता है, जैसे वर्णक्रमीय मानदंड या फ्रोबेनियस मानदंड।) निकट-ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के लिए, ऑर्थोगोनल कारक के लिए तेजी से अभिसरण न्यूटन की विधि दृष्टिकोण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। प्रति  (# CITEREFHigham1990), बार-बार मैट्रिक्स को इसके व्युत्क्रम स्थानान्तरण के साथ औसत करता है।  सुविधाजनक अभिसरण परीक्षण के साथ एक त्वरित विधि प्रकाशित की है।

उदाहरण के लिए, एक गैर-ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स पर विचार करें जिसके लिए साधारण औसत एल्गोरिथ्म सात कदम उठाता है $$\begin{bmatrix}3 & 1\\7 & 5\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}1.8125 & 0.0625\\3.4375 & 2.6875\end{bmatrix} \rightarrow \cdots \rightarrow \begin{bmatrix}0.8 & -0.6\\0.6 & 0.8\end{bmatrix}$$ और कौन सा त्वरण दो चरणों में कम हो जाता है (साथ में $γ$ = 0.353553, 0.565685).

$$\begin{bmatrix}3 & 1\\7 & 5\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}1.41421 & -1.06066\\1.06066 & 1.41421\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}0.8 & -0.6\\0.6 & 0.8\end{bmatrix}$$ ग्राम-श्मिट न्यूनतम 8.12404 के बजाय 8.28659 की फ्रोबेनियस दूरी द्वारा दिखाए गए एक अवर समाधान का उत्पादन करता है।

$$\begin{bmatrix}3 & 1\\7 & 5\end{bmatrix} \rightarrow \begin{bmatrix}0.393919 & -0.919145\\0.919145 & 0.393919\end{bmatrix}$$

यादृच्छिकीकरण
कुछ संख्यात्मक अनुप्रयोग, जैसे कि मोंटे कार्लो विधि  तरीके और उच्च-आयामी डेटा रिक्त स्थान की खोज,  समान वितरण (निरंतर)  यादृच्छिक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स की पीढ़ी की आवश्यकता होती है। इस संदर्भ में, हार माप के संदर्भ में वर्दी को परिभाषित किया गया है, जो अनिवार्य रूप से आवश्यक है कि किसी भी स्वतंत्र रूप से चुने गए ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स द्वारा गुणा किए जाने पर वितरण में परिवर्तन न हो।  सांख्यिकीय स्वतंत्रता  के साथ ऑर्थोगोनलाइज़िंग मेट्रिसेस समान रूप से वितरित रैंडम प्रविष्टियाँ समान रूप से वितरित ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस में परिणाम नहीं देती हैं, लेकिन क्यूआर अपघटन|$QR$ स्वतंत्र  सामान्य वितरण  का अपघटन यादृच्छिक प्रविष्टि करता है, जब तक कि का विकर्ण $R$ केवल सकारात्मक प्रविष्टियां शामिल हैं. इसे एक अधिक कुशल विचार के साथ बदल दिया बाद में उपसमूह एल्गोरिथ्म के रूप में सामान्यीकृत किया गया (जिस रूप में यह क्रमपरिवर्तन और घुमाव के लिए भी काम करता है)। एक उत्पन्न करने के लिए $(n + 1) × (n + 1)$ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, एक ले लो $n × n$ एक और आयाम का एक समान रूप से वितरित इकाई वेक्टर n + 1. वेक्टर से हाउसहोल्डर रिफ्लेक्शन बनाएं, फिर इसे छोटे मैट्रिक्स पर लागू करें (नीचे दाएं कोने में 1 के साथ बड़े आकार में एम्बेड किया गया)।

निकटतम ओर्थोगोनल मैट्रिक्स
ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स खोजने की समस्या $Q$ किसी दिए गए मैट्रिक्स के निकटतम $M$ ऑर्थोगोनल प्रोक्रस्ट्स समस्या  से संबंधित है। अद्वितीय समाधान प्राप्त करने के कई अलग-अलग तरीके हैं, जिनमें से सबसे सरल एकवचन मान का अपघटन ले रहा है $M$ और एकवचन मूल्यों को लोगों के साथ बदलना। एक अन्य विधि व्यक्त करती है $R$ स्पष्ट रूप से लेकिन  मैट्रिक्स वर्गमूल  के उपयोग की आवश्यकता है: $$Q = M \left(M^\mathrm{T} M\right)^{-\frac 1 2}$$ यह पुनरावृत्ति देने के लिए एक मैट्रिक्स के वर्गमूल को निकालने के लिए बेबीलोनियन विधि के साथ जोड़ा जा सकता है जो एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स को द्विघात रूप से अभिसरण करता है: $$Q_{n + 1} = 2 M \left(Q_n^{-1} M + M^\mathrm{T} Q_n\right)^{-1}$$ कहाँ पे $Q_{0} = M$.

ये पुनरावृत्तियां स्थिर हैं बशर्ते की स्थिति संख्या $M$ तीन से कम है। व्युत्क्रम के प्रथम-क्रम के सन्निकटन का उपयोग करना और उसी आरंभीकरण के परिणामस्वरूप संशोधित पुनरावृत्ति होती है:

$$N_{n} = Q_n^\mathrm{T} Q_n$$ $$P_{n} = \frac 1 2 Q_n N_{n}$$ $$Q_{n + 1} = 2 Q_n + P_n N_n - 3 P_n$$

स्पिन और पिन
एक सूक्ष्म तकनीकी समस्या ऑर्थोगोनल मैट्रिसेस के कुछ उपयोगों को प्रभावित करती है। निर्धारक +1 और -1 के साथ समूह घटक न केवल एक दूसरे से जुड़े हुए स्थान हैं, यहां तक ​​कि +1 घटक भी, $SO(n)$, केवल जुड़ा हुआ स्थान नहीं है (SO(1) को छोड़कर, जो तुच्छ है)। इस प्रकार कभी-कभी एसओ (एन), स्पिनर समूह  के  कवरिंग मैप  के साथ काम करना फायदेमंद या आवश्यक भी होता है, $Spin(n)$. वैसे ही, $O(n)$ कवरिंग ग्रुप, पिन समूह, पिन (एन) है। के लिये $n > 2$, $Spin(n)$ बस जुड़ा हुआ है और इस प्रकार के लिए सार्वभौमिक कवरिंग समूह $SO(n)$. स्पिन समूह का अब तक का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है $Spin(3)$, जो और कुछ नहीं $SU(2)$, या इकाई चतुष्कोणों का समूह।

पिन और स्पिन समूह क्लिफोर्ड बीजगणित के भीतर पाए जाते हैं, जो स्वयं ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस से बनाए जा सकते हैं।

आयताकार मैट्रिक्स
यदि $Q$ एक वर्ग मैट्रिक्स नहीं है, तो शर्तें $Q^{T}Q = I$ तथा $QQ^{T} = I$ समकक्ष नहीं हैं। स्थिति $Q^{T}Q = I$ कहता है कि Q के स्तंभ लम्बवत हैं। यह तभी हो सकता है जब $Q$ एक $m × n$ मैट्रिक्स के साथ $n ≤ m$ (रैखिक निर्भरता के कारण)। इसी प्रकार, $QQ^{T} = I$ कहते हैं कि की पंक्तियाँ $Q$ ऑर्थोनॉर्मल हैं, जिनकी आवश्यकता है $n ≥ m$.

इन मैट्रिक्स के लिए कोई मानक शब्दावली नहीं है। उन्हें अर्ध-ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, ऑर्थोनॉर्मल मैट्रिक्स, ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, और कभी-कभी ऑर्थोनॉर्मल पंक्तियों/स्तंभों के साथ बस मैट्रिक्स कहा जाता है।

मामले के लिए $n ≤ m$, ऑर्थोनॉर्मल कॉलम वाले मैट्रिस को k-फ्रेम के रूप में संदर्भित किया जा सकता है| ऑर्थोगोनल कश्मीर फ्रेम  और वे  स्टिफ़ेल कई गुना  के तत्व हैं।

यह भी देखें

 * बायोर्थोगोनल प्रणाली

संदर्भ

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बाहरी संबंध

 * Tutorial and Interactive Program on Orthogonal Matrix
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