आठ-शीर्ष प्रारूप

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, आठ-शीर्ष प्रारूप आइस-टाइप प्रारूप का सामान्यीकरण है, इस पर सदरलैंड और फैन एंड वू, द्वारा वर्णन किया गया और शून्य-क्षेत्र स्तिथि में रॉडने बैक्सटर द्वारा समाधान किया गया।

विवरण
आइस-टाइप के प्रारूप के जैसे, आठ-शीर्ष प्रारूप वर्गाकार लैटिस प्रारूप है, जहां प्रत्येक स्तिथि शीर्ष पर एरो का विन्यास है। अनुमत शीर्षों में शीर्ष की ओर प्रदर्शित करने वाले एरो की संख्या सम है; इनमें आइस-टाइप के प्रारूप (1-6), सिंक और स्रोत (7, 8) से गुण में मिले छह सम्मिलित हैं।

हम विचार करते हैं $$N\times N$$ लैटिस, के साथ $$N^2$$ शीर्ष और $$2N^2$$ किनारों आवधिक सीमा नियमों को प्रारम्भ करने के लिए आवश्यक है कि अवस्था 7 और 8 समान रूप से बार-बार घटित हों, जैसा कि अवस्था 5 और 6 में होता है, और इस प्रकार इसे समान ऊर्जा के रूप में लिया जा सकता है। शून्य-क्षेत्र स्तिथि के लिए अवस्थाओं के दो अन्य युग्मों के लिए भी यही सत्य है। प्रत्येक शीर्ष $$j$$ संबद्ध ऊर्जा है $$\epsilon_j$$ और बोल्ट्ज़मान भार $$w_j=e^{-\frac{\epsilon_j}{kT}}$$, लैटिस पर विभाजन फलन को इस प्रकार देता है:

Z=\sum \exp\left(-\frac{\sum_j n_j\epsilon_j}{kT}\right) $$ जहां लैटिस में शीर्षों के सभी अनुमत विन्यासों का योग है। इस सामान्य रूप में विभाजन फलन अनसाल्व्ड रहता है।

शून्य-क्षेत्र स्तिथि में समाधान
प्रारूप का शून्य-क्षेत्र स्तिथि भौतिक रूप से बाहरी विद्युत क्षेत्रों की अनुपस्थिति से संयुग्मित होता है। इसलिए, सभी एरो के रिवर्ज होने पर भी प्रारूप अपरिवर्तित रहता है; परिणामस्वरूप अवस्थाएँ 1, 2, 3 और 4, जोड़े के रूप में घटित होने चाहिए। शीर्षों को स्वेछानुसार भार प्रदान किया जा सकता है:

\begin{align} w_1=w_2&=a\\ w_3=w_4&=b\\ w_5=w_6&=c\\ w_7=w_8&=d. \end{align} $$ समाधान इस अवलोकन पर आधारित है कि स्थानांतरण आव्यूह पंक्तियाँ इन चार बोल्ट्ज़मान भारों के निश्चित पैरामीट्रिजेशन के लिए परिवर्तित होती हैं। यह छह-शीर्ष प्रारूप के लिए वैकल्पिक समाधान के संशोधन के रूप में आया; यह अण्डाकार थीटा फलन का उपयोग करता है।

कम्यूटिंग स्थानांतरण आव्यूह
प्रमाण इस तथ्य पर निर्भर करता है कि जब $$ \Delta'=\Delta$$ और $$ \Gamma'=\Gamma$$, मात्राओं के लिए है:

\begin{align} \Delta&=\frac{a^2+b^2-c^2-d^2}{2(ab+cd)}\\ \Gamma&=\frac{ab-cd}{ab+cd} \end{align} $$ स्थानांतरण आव्यूह $$ T$$ और $$T'$$(भार से जुड़ा हुआ $$a$$, $$b$$, $$c$$, $$d$$ और $$a'$$, $$b'$$, $$c'$$, $$d'$$) का आवागमन करना। स्टार-त्रिकोण संबंध का उपयोग करते हुए, बैक्सटर ने इस स्थिति को दिए गए भारों के पैरामीट्रिजेशन के समान के रूप में पुन: तैयार किया:

a:b:c:d=\operatorname{snh}(\eta-u):\operatorname{snh} (\eta +u):\operatorname{snh} (2\eta): k\operatorname{snh} (2\eta)\operatorname{snh} (\eta-u)\operatorname{snh} (\eta+u) $$ निश्चित मापांक के लिए $$k$$, $$\eta$$ और परिवर्तनशील $$u$$ यहाँ snh, sn का अतिशयोक्तिपूर्ण एनालॉग है, जो कि दिया गया है:

\begin{align} \operatorname {snh} (u) &=-i\operatorname {sn} (iu) = i\operatorname {sn} (-iu) \\ \text{where } \operatorname {sn} (u)&= \frac{H(u)}{k^{1/2}\Theta(u)} \end{align} $$ $$H(u)$$ और $$\Theta(u)$$ मापांक के थीटा फलन हैं $$k$$ संबद्ध स्थानांतरण आव्यूह $$T$$ इस प्रकार का कार्य $$u$$ है; सभी के लिए $$u$$, $$v$$ है:

T(u)T(v)=T(v)T(u). $$

आव्यूह फलन $$Q(u)$$

समाधान का अन्य महत्वपूर्ण भाग अविलक्षण आव्यूह-मान फलन का अस्तित्व $$Q$$ है, जैसे कि सभी जटिल के लिए $$u$$ आव्यूह $$Q(u), Q(u')$$ एक-दूसरे और स्थानांतरण आव्यूह के साथ आवागमन करते हैं, और संतुष्ट होते हैं:

जहाँ

\begin{align} \zeta(u)&=[c^{-1}H(2\eta)\Theta(u-\eta)\Theta(u+\eta)]^N\\ \phi(u)&=[\Theta(0)H(u)\Theta(u)]^N. \end{align} $$ ऐसे फलन के अस्तित्व और रूपान्तरण संबंधों को छह-शीर्ष प्रारूप के समान विधि से, शीर्ष के माध्यम से जोड़ी प्रसार और थीटा कार्यों की आवधिकता संबंधों पर विचार करके प्रदर्शित किया जाता है।

स्पष्ट समाधान
($$)में आव्यूहों का रूपान्तरण उन्हें विकर्णित आव्यूह होने की अनुमति देता है, और इस प्रकार आईजेनवैल्यूज ​​​​पाया जा सकता है। विभाजन फलन की गणना अधिकतम आईजेनवैल्यूज से की जाती है, जिसके परिणामस्वरूप प्रति साइट थर्मोडायनामिक मुक्त ऊर्जा प्राप्त होती है:

\begin{align} f=\epsilon_5-2kT\sum_{n=1}^\infty \frac{\sinh^2((\tau-\lambda)n)(\cosh(n\lambda)-\cosh(n\alpha))}{n\sinh(2n\tau)\cosh(n\lambda)} \end{align} $$ के लिए,

\begin{align} \tau&=\frac{\pi K'}{2K}\\ \lambda&=\frac{\pi \eta}{iK}\\ \alpha&=\frac{\pi u}{iK} \end{align} $$ जहाँ $$K$$ और $$K'$$ मॉड्यूलि के पूर्ण अण्डाकार अभिन्न अंग हैं $$k$$ और $$k'$$ आठ शीर्ष प्रारूप को भी क्वैसिक्रिस्टल में समाधान किया गया था।

आइज़िंग प्रारूप के साथ समतुल्यता
आठ-शीर्ष प्रारूप और आइसिंग प्रारूप के मध्य 2-स्पिन और 4-स्पिन निकटतम अत:खंड इंटरैक्शन के मध्य प्राकृतिक पत्राचार है। इस प्रारूप की अवस्थाएँ स्पिन $$\sigma=\pm 1$$ हैं वर्गाकार लैटिस के फलकों पर आठ-शीर्ष प्रारूप में 'किनारों' का एनालॉग आसन्न फेसेस पर स्पिन के उत्पाद हैं:

\begin{align} \alpha_{ij}&=\sigma_{ij}\sigma_{i,j+1}\\ \mu_{ij}&=\sigma_{ij}\sigma_{i+1,j}. \end{align} $$



इस प्रारूप के लिए ऊर्जा का सबसे सामान्य रूप है:

\begin{align} \epsilon&=-\sum_{ij}(J_h\mu_{ij}+J_v\alpha_{ij}+J\alpha_{ij}\mu_{ij}+J'\alpha_{i+1,j}\mu_{ij}+J''\alpha_{ij}\alpha_{i+1,j}) \end{align} $$ जहाँ $$J_h$$, $$J_v$$, $$J$$, $$J'$$ क्षैतिज, ऊर्ध्वाधर और दो विकर्ण 2-स्पिन इंटरैक्शन का वर्णन करता है, और $$J''$$ शीर्ष पर चार फेसेस के मध्य 4-स्पिन इंटरैक्शन का वर्णन करता है; योग पूर्ण लैटिस से अधिक है।



हम आठ-शीर्ष प्रारूप में क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर स्पिन (किनारों पर एरो) $$\mu$$ को दर्शाते हैं, क्रमशः $$\alpha$$, ऊपर और दाएं को सकारात्मक दिशाओं के रूप में परिभाषित करता है। शीर्ष स्थिति पर प्रतिबंध यह है कि शीर्ष पर चार किनारों का गुणनफल 1 है; यह स्वचालित रूप से आइसिंग 'किनारों' के लिए मान्य है। प्रत्येक $$\sigma$$ कॉन्फ़िगरेशन तब अद्वितीय से संयुग्मित होता है। $$\mu$$, $$\alpha$$ कॉन्फ़िगरेशन जबकि प्रत्येक $$\mu$$, $$\alpha$$ कॉन्फ़िगरेशन दो विकल्प प्रदान करता है। $$\sigma$$ विन्यास है।

प्रत्येक शीर्ष के लिए बोल्ट्ज़मान भार का समीकरण सामान्य रूपों $$j$$, के मध्य निम्नलिखित संबंध $$\epsilon_j$$ और $$J_h$$, $$J_v$$, $$J$$, $$J'$$, $$J''$$ लैटिस प्रारूप के मध्य पत्राचार को परिभाषित किया जाता है:

\begin{align} \epsilon_1&=-J_h-J_v-J-J'-J,\quad \epsilon_2=J_h+J_v-J-J'-J\\ \epsilon_3&=-J_h+J_v+J+J'-J,\quad \epsilon_4=J_h-J_v+J+J'-J\\ \epsilon_5&=\epsilon_6=J-J'+J''\\ \epsilon_7&=\epsilon_8=-J+J'+J''. \end{align} $$ यह इस प्रकार है कि आठ-शीर्ष प्रारूप के शून्य-क्षेत्र स्तिथि में, संबंधित आइसिंग प्रारूप में क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर इंटरैक्शन विलुप्त हो जाते हैं।

ये संबंध समतुल्यता प्रदान करते हैं $$Z_I=2Z_{8V}$$ आठ-शीर्ष प्रारूप के विभाजन कार्यों और 2,4-स्पिन आइसिंग प्रारूप के मध्य परिणामस्वरूप किसी भी प्रारूप में समाधान तुरंत दूसरे प्रारूप में समाधान की ओर ले जाएगा।

यह भी देखें

 * छह-शीर्ष प्रारूप
 * स्थानांतरण-आव्यूह विधि
 * आइज़िंग प्रारूप