ऑपरेशन (गणित)

Basic arithmetic operators.svgीय संचालन:+, plus (addition)

−, minus (subtraction)

÷, obelus (division)

×, times (multiplication)]]गणित में, ऑपरेशन एक ऐसा फलन है जो शून्य या अधिक इनपुट मान (जिन्हें "संचालन" या "तर्क" भी कहा जाता है) को एक अच्छी तरह से परिभाषित आउटपुट मान पर ले जाता है। ऑपरेंड की संख्या ऑपरेशन की एरिटी है।

सबसे अधिक अध्ययन किए जाने वाले ऑपरेशन बाइनरी ऑपरेशन हैं (यानी, एरिटी 2 के ऑपरेशंस), जैसे कि जोड़ और गुणा, और यूनरी ऑपरेशंस (यानी, 1 के ऑपरेशंस), जैसे योगज प्रतिलोम और गुणात्मक प्रतिलोम। शून्य संक्रिया, या अशक्त संक्रिया, एक नियतांक (गणित) है। मिश्रित उत्पाद arity 3 के संचालन का एक उदाहरण है, जिसे त्रिगुट संक्रिया भी कहा जाता है।

आम तौर पर, परिमित होने के लिए arity लिया जाता है। हालांकि, असीमित संचालन को कभी-कभी माना जाता है, जिस मामले में परिमित arity के "सामान्य" संक्रियाओं को परिमित संक्रियाएँ कहा जाता है।

एक आंशिक ऑपरेशन को एक ऑपरेशन के समान ही परिभाषित किया जाता है, लेकिन एक फ़ंक्शन के स्थान पर एक आंशिक फ़ंक्शन के साथ परिभाषित किया जाता है।

ऑपरेशन के प्रकार
ऑपरेशन के दो सामान्य प्रकार हैं: यूनरी ऑपरेशन और बाइनरी ऑपरेशन। एकात्मक संक्रियाओं में केवल एक मान शामिल होता है, जैसे कि निषेध और त्रिकोणमितीय कार्य। दूसरी ओर, द्विआधारी संक्रियाएं दो मान लेती हैं, और इसमें जोड़, घटाव, गुणा, भाग और घातांक शामिल होते हैं। संक्रियाओं में संख्याओं के अलावा अन्य गणितीय वस्तुएँ शामिल हो सकती हैं। True Value True और False को तर्क संचालन का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है, जैसे कि और, या, और नहीं। वेक्टर (ज्यामितीय) को जोड़ा और घटाया जा सकता है। फ़ंक्शन रचना ऑपरेशन का उपयोग करके घुमावों को जोड़ा जा सकता है, पहला घुमाव और फिर दूसरा। ऑपरेशंस ऑन सेट (गणित) में बाइनरी ऑपरेशंस यूनियन (गणित) और चौराहे (गणित) और पूरकता (गणित) के एकरी ऑपरेशन शामिल हैं।  फंक्शन पर ऑपरेशंस (गणित) में फंक्शन कंपोज़िशन और कनवल्शन शामिल हैं। किसी फ़ंक्शन के डोमेन के प्रत्येक संभावित मान के लिए संचालन को परिभाषित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या में शून्य से विभाजित नहीं किया जा सकता है या ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल लें। वे मान जिनके लिए किसी संक्रिया को परिभाषित किया जाता है, एक समुच्चय होता है जिसे उसकी परिभाषा का डोमेन या सक्रिय डोमेन कहा जाता है। जिस सेट में उत्पादित मान होते हैं उसे कोडोमेन कहा जाता है, लेकिन ऑपरेशन द्वारा प्राप्त वास्तविक मूल्यों का सेट इसकी परिभाषा, सक्रिय कोडोमेन, छवि (गणित) या फ़ंक्शन की श्रेणी का कोडोमेन है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं में, वर्गाकार संक्रिया केवल गैर-ऋणात्मक संख्याएँ उत्पन्न करती है; कोडोमेन वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है, लेकिन श्रेणी गैर-ऋणात्मक संख्या है।

संक्रियाओं में असमान वस्तुएँ शामिल हो सकती हैं: एक सदिश को एक अदिश (गणित) से गुणा करके दूसरा सदिश बनाया जा सकता है (एक संक्रिया जिसे अदिश गुणन कहा जाता है), और दो सदिशों पर आंतरिक उत्पाद संचालन एक ऐसी मात्रा उत्पन्न करता है जो अदिश है। एक ऑपरेशन में कुछ गुण हो सकते हैं या नहीं भी हो सकते हैं, उदाहरण के लिए यह साहचर्य, क्रमविनिमेय, अनुगामी, बेकार, और इसी तरह हो सकता है।

संयुक्त मूल्यों को ऑपरेंड, तर्क या इनपुट कहा जाता है, और उत्पादित मूल्य को मूल्य, परिणाम या आउटपुट कहा जाता है। संचालन में कम या दो से अधिक इनपुट हो सकते हैं (शून्य इनपुट और असीम रूप से कई इनपुट के मामले में ).

एक ऑपरेटर एक ऑपरेशन के समान है जिसमें यह प्रतीक या ऑपरेशन को निरूपित करने के लिए उपयोग की जाने वाली प्रक्रिया को संदर्भित करता है, इसलिए उनका दृष्टिकोण अलग है। उदाहरण के लिए, जब आप ऑपरेंड और परिणाम पर ध्यान केंद्रित करते हैं, तो अक्सर जोड़ या अतिरिक्त ऑपरेशन के संचालन के बारे में बात करते हैं, लेकिन प्रक्रिया पर ध्यान केंद्रित करते समय, या अधिक प्रतीकात्मक दृष्टिकोण से, अतिरिक्त ऑपरेटर (शायद ही कभी जोड़ के ऑपरेटर) पर स्विच करते हैं, कार्यक्रम +: X × X → X.

परिभाषा
एक एन-एरी ऑपरेशन ω से X1, …, Xn से Y एक फलन है (गणित) ω: X1 × … × Xn → Y. सेट X1 × … × Xn को ऑपरेशन का डोमेन कहा जाता है, सेट Y को ऑपरेशन का कोडोमेन कहा जाता है, और निश्चित गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n (ऑपरेंड की संख्या) को ऑपरेशन की arity कहा जाता है। इस प्रकार एक एकरी संक्रिया में arity एक है, और एक द्विआधारी संक्रिया में arity दो है। एरिटी शून्य का एक ऑपरेशन, जिसे शून्य ऑपरेशन कहा जाता है, कोडोमेन वाई का एक तत्व है। एक एन-आरी ऑपरेशन को एक के रूप में भी देखा जा सकता है (n + 1)-एरी परिमित संबंध जो फ़िनिटरी रिलेशन है # इसके एन इनपुट डोमेन पर परिभाषाएँ और फ़िनिटरी रिलेशन # इसके आउटपुट डोमेन पर परिभाषाएँ।

एक 'एन-आरी आंशिक ऑपरेशन' ω से X1, …, Xn से Y एक आंशिक फलन है ω: X1 × … × Xn → Y. एक एन-आरी आंशिक ऑपरेशन को एक के रूप में भी देखा जा सकता है (n + 1)-ऐरी संबंध जो इसके आउटपुट डोमेन पर अद्वितीय है।

उपरोक्त वर्णन करता है कि आम तौर पर ऑपरेंड की परिमित संख्या (मान 'एन'') का संदर्भ देते हुए, जिसे आमतौर पर एक परिमित ऑपरेशन कहा जाता है। ऐसे स्पष्ट विस्तार हैं जहां arity को अनंत क्रमिक संख्या या कार्डिनल संख्या के रूप में लिया जाता है, या ऑपरेंड को अनुक्रमणित करने वाला एक मनमाना सेट भी।

अक्सर, शब्द संचालन का उपयोग यह दर्शाता है कि फ़ंक्शन के डोमेन में कोडोमेन की शक्ति शामिल होती है (अर्थात कोडोमेन की एक या अधिक प्रतियों का कार्टेशियन उत्पाद), हालांकि यह किसी भी तरह से सार्वभौमिक नहीं है, जैसा कि डॉट उत्पाद के मामले में होता है, जहां वैक्टर को गुणा किया जाता है और परिणामस्वरूप एक स्केलर होता है। एक एन-आरी ऑपरेशन ω: Xn → X एक कहा जाता हैinternal operation. एक एन-एरी ऑपरेशन ω: Xi × S × Xn − i − 1 → X कहाँ 0 ≤ i < n स्केलर सेट या ऑपरेटर सेट S द्वारा बाहरी ऑपरेशन कहा जाता है। विशेष रूप से एक बाइनरी ऑपरेशन के लिए, ω: S × X → X S द्वारा वाम-बाह्य संक्रिया कहलाती है, और ω: X × S → X S द्वारा दाहिनी-बाह्य संक्रिया कहलाती है। एक आंतरिक ऑपरेशन का एक उदाहरण वेक्टर जोड़ है, जहां दो वैक्टर जोड़े जाते हैं और परिणामस्वरूप एक वेक्टर होता है। बाहरी संक्रिया का एक उदाहरण अदिश गुणन है, जहां एक सदिश को एक अदिश से गुणा किया जाता है और परिणाम सदिश होता है।

एक एन-एरी मल्टीफ़ंक्शन याmultioperationω एक सेट के कार्टेशियन पावर से उस सेट के सबसेट के सेट में एक मैपिंग है, औपचारिक रूप से $ω: X^{n} → \mathcal{P}(X)$.

यह भी देखें

 * परिमित संबंध
 * हाइपरऑपरेशन
 * इंफिक्स नोटेशन
 * ऑपरेटर (गणित)
 * कार्रवाई के आदेश