पर्सिस्टन्ट होमोलॉजी (सतत सजातीय)

संकेतन के परिचय के लिए समरूपता (गणित) देखते हैं।

पर्सिस्टन्ट होमोलॉजी (सतत सजातीय) विभिन्न स्थानिक विन्यास पर किसी स्थान की संस्थितिक विशेषताओं की गणना करने की विधि है। स्थानिक पैमानों की विस्तृत श्रृंखला में अधिक निरंतर विशेषताओं का पता लगाया जाता है और प्रारूपों, ध्वनि या मापदंडों की विशेष चुने हुए कलाकृतियों के अतिरिक्त अंतर्निहित स्थान की वास्तविक विशेषताओं का प्रतिनिधित्व करने की अधिक संभावना मानी जाती है।

किसी स्थान की पर्सिस्टन्ट होमोलॉजी को खोजने के लिए, स्थान को पहले सरल परिसर के रूप में प्रस्तुत किया जाता हैं। अंतर्निहित स्थान पर एक दूरी फलन सरल परिसर के निस्पंदन (गणित) से मिलता है, जो बढ़ते उपसमुच्चय का एस्थिर अनुक्रम है। ऐसा करने क सामान्य तरीका दूरी के उपस्तरीय निस्पंदन को एक बिंदु चिन्ह तक ले जाना है, या समकक्ष रूप से, बिंदु चिन्ह पर अनुचित्रण निस्पंदन करना और सरल निस्पंदन प्राप्त करने के लिए इसकी शक्ति (गणित) के निस्पंदन का कार्य करना है जिसे सेच निस्पंदन के रूप में जाना जाता है। समान निर्माण विएटोरिस-रिप्स समिश्र के स्थिर अनुक्रम का उपयोग करता है जिसे विएटोरिस-रिप्स निस्पंदन के रूप में जाना जाता है।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, एक सरल परिसर पर वास्तविक-मूल्यवान फलन पर विचार $$f:K \rightarrow \mathbb{R}$$ करें यह शीर्षो का बढ़ते क्रम पर घटता नहीं है, इसलिए $$f(\sigma) \leq f(\tau)$$ जब कभी भी $$\sigma$$ का $$\tau$$ में $$K$$ शीर्ष है। फिर प्रत्येक $$ a \in \mathbb{R}$$ के लिए उपस्तरीय समुच्चय $$K_a=f^{-1}((-\infty, a])$$ K का उपसमुच्चय है, और मानों का क्रम $$f$$ सरल पर $$K$$ (जो व्यवहार में हमेशा सीमित होता है) उपस्तरीय परिसरों पर क्रम उत्पन्न करता है जो एक निस्पंदन को परिभाषित करता है
 * $$ \emptyset = K_0 \subseteq K_1 \subseteq \cdots \subseteq K_n = K $$

जब $$ 0\leq i \leq j \leq n$$, समावेश $$K_i \hookrightarrow K_j$$ समूह समरूपता को प्रेरित करता है $$f_p^{i,j}:H_p(K_i)\rightarrow H_p(K_j)$$ प्रत्येक आयाम के लिए सरल समरूपता समूहों पर $$p$$. $$p^\text{th}$$ h> पर्सिस्टन्ट होमोलॉजी समूह इन समरूपताओं की छवियां हैं, और $$p^\text{th}$$ बेट्टी का संख्या सतत है $$ \beta_p^{i,j}$$ जो की समूह की क्रम हैं। उन समूहों के निरंतर बेट्टी संख्या के लिए आकार फलन, पर्सिस्टन्ट होमोलॉजी का पूर्ववर्ती $$p=0$$ के साथ मिलता हैं ।

किसी क्षेत्र पर कोई निस्पंदन किया गया समिश्र $$F$$ निस्पंदन को तथाकथित विहित रूप में संरक्षित करते हुए रैखिक परिवर्तन द्वारा लाया जा सकता है, दो प्रकार के निस्पंदन किए गए परिसरों का विहित रूप से परिभाषित प्रत्यक्ष योग: निम्न अंतर के साथ एक-आयामी परिसर $$d(e_{t_i})=0$$ और निम्न समरूपता के साथ द्वि-आयामी परिसर $$d(e_{s_j+r_j})=e_{r_j}$$होता हैं।

आंशिक रूप से क्रमित किए गए समुच्चय पर सतत मापांक $$P$$ सदिश रिक्त स्थान का $$U_t$$ द्वारा अनुक्रमित $$P$$ समुच्चय है, रेखीय मानचित्र $$u_t^s: U_s \to U_t$$ के साथ जब कभी भी $$s \leq t$$, साथ $$u_t^t$$ और$$u_t^s \circ u_s^r = u^r_t$$ के लिए $$r \leq s \leq t$$ पहचान के बराबर होता हैं। समान रूप से, हम इसे प्रकार्यक $$P$$ के रूप में मान सकते हैं सदिश रिक्त स्थान (या $$R$$-मापांक (गणित)) की श्रेणी के लिए एक श्रेणी के रूप में माना जाता है। किसी क्षेत्र $$F$$ द्वारा अनुक्रमित $$\mathbb{N}$$ पर सतत मापांक का वर्गीकरण होता है: $$U \simeq \bigoplus_i x^{t_i} \cdot F[x] \oplus \left(\bigoplus_j x^{r_j} \cdot (F[x]/(x^{s_j}\cdot F[x]))\right).$$ से $$x$$ गुणा सतत मापांक में एक स्तर आगे बढ़ने के अनुरूप है। सहज रूप से, दाईं ओर के मुक्त भाग समरूपता निर्माणक के अनुरूप हैं जो निस्पंदन स्तर $$t_i$$ पर दिखाई देते हैं और कभी समाप्त नहीं होते, जबकि घुमाओं वाले भाग उन हिस्सों के अनुरूप होते हैं जो निस्पंदन स्तर $$r_j$$ पर दिखाई देते हैं और आखिरी तक $$s_j$$ निस्पंदन के चरण (या समकक्ष, निस्पंदन स्तर $$s_j+r_j$$ पर समाप्त हो जाते हैं )।

इन दो प्रमेय में से प्रत्येक हमें सतत बारकोड या सतत आरेख के साथ निस्पन्दित किए गए सरलीकृत परिसर की निरंतर समरूपता का विशिष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है। बारकोड प्रत्येक निरंतर निर्माणक को क्षैतिज रेखा के साथ दर्शाता है जो पहले निस्पंदन स्तर पर प्रारम्भ होता है जहां यह दिखाई देता है, और निस्पंदन स्तर पर समाप्त होता है जहां यह अदृश्य हो जाता है, जबकि दृढ़ता आरेख प्रत्येक निर्माणक  के लिए प्रारम्भ समय और उसके x-समन्वय के साथ बिंदु स्थापित करता है तथा y-समाप्ति समय का समन्वय करता हैं।

समान रूप से वही डेटा बारानिकोव के विहित रूप द्वारा दर्शाया गया है, जहां प्रत्येक निर्माणक को प्रारम्भ और समाप्ति मानो को जोड़ने वाले खंड द्वारा दर्शाया जाता है, प्रत्येक $$p$$ के लिए अलग-अलग रेखाओं पर स्थापित किया जाता है।

स्थिरता
पर्सिस्टन्ट होमोलॉजी निश्चित अर्थ में स्थिर है, जो ध्वनि के विरुद्ध शक्ति प्रदान करती है। गतिरोध दूरी द्वारा दिए गए दृढ़ता आरेख के स्थान पर प्राकृतिक मात्रिक है $$W_\infty(X,Y):= \inf_{\varphi: X \to Y} \sup_{x \in X} \Vert x-\varphi(x) \Vert_\infty,$$ जहाँ $$\varphi$$ द्विभाज्यो के ऊपर परिसर हैं। इनपुट निस्पंदन में छोटी समस्या से गतिरोध दूरी में इसके सतत आरेख में छोटी समस्या होती है। दृढ़ता के लिए, किसी स्थान पर निस्पंदन $$X$$ पर विचार करें एक निरंतर अनुकूल फलन के उपस्तरीय समुच्चयों द्वारा निर्धारित सरल परिसर के लिए होमोमोर्फिक $$f:X\to \mathbb{R}$$ होता हैं। मानचित्र $$D$$ $$f$$ लेता हैं, इसके सतत आरेख के लिए $$k$$वें समरूपता के संबंध में 1-लिप्सचिट्ज़ है $$\sup$$-फलनों पर मात्रिक और सतत आरेखों पर गतिरोध दुरी होती हैं। वह $$W_\infty(D(f),D(g)) \leq \lVert f-g \rVert_\infty$$ है।

गणना
परिमित निस्पंदन के सतत अंतराल की गणना के लिए विभिन्न सॉफ्टवेयर पैकेज हैं। मुख्य एल्गोरिदम ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूहों द्वारा निस्पन्दित किए गए समिश्र को उसके विहित रूप में लाने पर आधारित है।

यह भी देखें

 * टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण
 * कम्प्यूटेशनल टोपोलॉजी