रचना बीजगणित

गणित में, एक रचना बीजगणित $A$ एक क्षेत्र पर (गणित) $K$ एक क्षेत्र के ऊपर एक गैर-सहयोगी बीजगणित बीजगणित है $K$ एक साथ पतित रूप द्विघात रूप के साथ $N$ जो संतुष्ट करता है
 * $$N(xy) = N(x)N(y)$$

सभी के लिए $x$ और $y$ में $A$.

एक रचना बीजगणित में एक संयुग्मन (गणित) शामिल होता है जिसे संयुग्मन कहा जाता है: $$x \mapsto x^*.$$ द्विघात रूप $$N(x) = x x^*$$ बीजगणित का आदर्श कहा जाता है।

एक रचना बीजगणित (ए, ∗, एन) या तो एक विभाजन बीजगणित या एक विभाजित बीजगणित है, जो ए में गैर-शून्य वी के अस्तित्व पर निर्भर करता है, जैसे कि N(v) = 0, एक अशक्त वेक्टर कहा जाता है। जब x एक शून्य सदिश नहीं है, तो x का गुणक प्रतिलोम है $\frac{x^*}{N(x)}$. जब एक गैर-शून्य अशक्त वेक्टर होता है, N एक समदैशिक द्विघात रूप होता है, और बीजगणित विभाजित होता है।

संरचना प्रमेय
एक क्षेत्र पर प्रत्येक इकाई बीजगणित रचना बीजगणित $K$ केली-डिक्सन निर्माण के बार-बार आवेदन से शुरू करके प्राप्त किया जा सकता है $K$ (यदि विशेषता (बीजगणित)। $K$ से भिन्न $2$) या एक 2-आयामी रचना सबलजेब्रा (यदि $char(K) = 2$). रचना बीजगणित के संभावित आयाम हैं $1$, $2$, $4$, और $8$.
 * एक आयामी रचना बीजगणित तभी अस्तित्व में आता है जब $char(K) ≠ 2$.
 * आयाम 1 और 2 के संघटन बीजगणित क्रमविनिमेय और साहचर्य हैं।
 * आयाम 2 के संघटन बीजगणित या तो द्विघात क्षेत्र विस्तार हैं $K$ या आइसोमॉर्फिक टू $K ⊕ K$.
 * आयाम 4 के संघटन बीजगणित को चतुष्कोणीय बीजगणित कहा जाता है। वे साहचर्य हैं लेकिन क्रमविनिमेय नहीं हैं।
 * आयाम 8 के संयोजन बीजगणित को ऑक्टोनियन बीजगणित कहा जाता है। वे न तो साहचर्य हैं और न ही क्रमविनिमेय।

सुसंगत शब्दावली के लिए, आयाम 1 के बीजगणित को अनारियन कहा गया है, और वे आयाम 2 बिनेरियन हैं।

उदाहरण और उपयोग
जब मैदान $K$ को सम्मिश्र संख्याएँ माना जाता है $C$ और द्विघात रूप $z^{2}$, फिर चार रचना बीजगणित समाप्त $C$ हैं $C itself$, द्विजटिल संख्याएं, द्विचतुर्भुज (आइसोमॉर्फिक टू द 2 ×  2 जटिल मैट्रिक्स रिंग $M(2, C)$), और bioctonion $C ⊗ O$, जिन्हें जटिल ऑक्टोनियन भी कहा जाता है।

मैट्रिक्स रिंग $M(2, C)$ लंबे समय से रुचि का विषय रहा है, सबसे पहले द्विभाजित के रूप में विलियम रोवन हैमिल्टन (1853), बाद में आइसोमॉर्फिक मैट्रिक्स रूप में और विशेष रूप से पाउली बीजगणित के रूप में।

वर्ग (बीजगणित) $N(x) = x^{2}$ वास्तविक संख्या क्षेत्र पर मौलिक रचना बीजगणित बनाता है। जब मैदान $K$ को वास्तविक संख्या के रूप में लिया जाता है $R$, तो बस छह अन्य वास्तविक रचना बीजगणित हैं। दो, चार और आठ आयामों में विभाजन बीजगणित और विभाजित बीजगणित दोनों होते हैं:
 * द्विभाजक: द्विघात रूप वाली सम्मिश्र संख्याएँ $x^{2} + y^{2}$ और विभाजन-जटिल संख्या द्विघात रूप के साथ $x^{2} − y^{2}$,
 * चतुर्भुज और विभाजन-चतुर्भुज,
 * ऑक्टोनियन और विभाजन-octonion

प्रत्येक संघटन बीजगणित का एक संबद्ध द्विरेखीय रूप B(x,y) होता है जो मानदंड N और एक ध्रुवीकरण पहचान के साथ निर्मित होता है:
 * $$B(x,y) \ = \ [N(x + y) - N(x) - N(y)]/2 .$$

इतिहास
कई प्रारंभिक लेखकों द्वारा वर्गों के योगों की संरचना का उल्लेख किया गया था। डायोफैंटस को दो वर्गों के योग से जुड़ी पहचान के बारे में पता था, जिसे अब ब्रह्मगुप्त-फाइबोनैचि पहचान कहा जाता है, जिसे गुणा करने पर जटिल संख्याओं के यूक्लिडियन मानदंडों की विशेशता के रूप में भी व्यक्त किया जाता है। लियोनहार्ड यूलर ने 1748 में चार-वर्ग की पहचान पर चर्चा की, और इसने डब्ल्यू.आर. हैमिल्टन को चतुष्कोणों के अपने चार-आयामी बीजगणित का निर्माण करने के लिए प्रेरित किया। 1848 में टेसरीन का वर्णन किया गया था जो द्विजटिल संख्याओं पर पहला प्रकाश डालती है।

1818 के आस-पास में डेनिश विद्वान फर्डिनेंड डेगेन ने डेगेन की आठ-वर्ग पहचान प्रदर्शित की, जो बाद में अष्टकैक (ऑक्टोनियन) बीजगणित के तत्वों के मानदंडों से जुड़ा था:
 * ऐतिहासिक रूप से, पहला गैर-सहयोगी बीजगणित, केली संख्या... रचना की अनुमति देने वाले द्विघात रूपों की संख्या-सैद्धांतिक समस्या के संदर्भ में उत्पन्न हुआ ... यह संख्या-सैद्धांतिक प्रश्न कुछ बीजगणितीय प्रणालियों, रचना बीजगणित से संबंधित प्रश्न में परिवर्तित हो सकता है...

1919 में लियोनार्ड डिक्सन ने हुरविट्ज़ समस्या के अध्ययन को उस तिथि तक के प्रयासों के सर्वेक्षण के साथ आगे बढ़ाया, और केली नंबर प्राप्त करने के लिए चतुष्कोणों को दोगुना करने की विधि का प्रदर्शन किया। उन्होंने एक नई काल्पनिक इकाई $e$ का प्रारंभ किया, और चतुष्कोणों $q$ और $Q$ के लिए केली संख्या $q + Qe$ लिखते हैं। $q′$ द्वारा चतुर्भुज संयुग्म को दर्शाते हुए, दो केली नंबरों का गुणनफल है:
 * $$(q + Qe)(r + Re) = (qr - R'Q) + (Rq + Q r')e .$$

केली संख्या का संयुग्मी $q' – Qe$ है, और द्विघात रूप $qq′ + QQ′$ है, जो संख्या को उसके संयुग्म से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। दोहरीकरण विधि को केली-डिक्सन निर्माण कहा जाने लगा है।

1923 में सकारात्मक निश्चित रूपों वाले वास्तविक बीजगणित के वस्तुस्थिति को हुरविट्ज़ के प्रमेय (रचना बीजगणित) द्वारा सीमांकित किया गया था।

1931 में मैक्स ज़ोर्न ने विभाजन-ऑक्टोनियंस उत्पन्न करने के लिए डिक्सन निर्माण में गुणन नियम में गामा (γ) प्रस्तावित किया। एड्रियन अल्बर्ट ने भी 1942 में गामा का उपयोग किया जब उन्होंने दिखाया कि डिक्सन दोहरीकरण को किसी भी क्षेत्र (गणित) में वर्ग फलन (बीजगणित) के साथ उनके द्विघात रूपों के साथ द्विचरता, क्वाटरनियन और ऑक्टोनियन बीजगणित बनाने के लिए अनुप्रयुक्त किया जा सकता है। नाथन जैकबसन ने 1958 में रचना बीजगणित के स्वसमाकृतिकता का वर्णन किया।

$R$ और $C$ पर शास्त्रीय रचना बीजगणित इकाई बीजगणित हैं। एच.पी.पीटरसन (पीटरसन बीजगणित) और सुसुमु ओकुबो (ओकुबो बीजगणित) और अन्य लोगों द्वारा गुणनात्मक पहचान के बिना संरचना बीजगणित पाए गए।

यह भी देखें

 * फ्रायडेंथल मैजिक स्क्वायर
 * फिस्टर रूप
 * परीक्षण