आदर्श त्रिकोण

अतिपरवलयिक ज्यामिति में एक आदर्श त्रिभुज एक अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिभुज होता है जिसके तीन कोने आदर्श बिंदु होते हैं। आदर्श त्रिभुजों को कभी-कभी ट्रिप्ली एसिम्प्टोटिक त्रिकोण या ट्रेबली एसिम्प्टोटिक त्रिकोण भी कहा जाता है। शीर्षों को कभी-कभी आदर्श शीर्ष कहा जाता है। सभी आदर्श त्रिभुज सर्वांगसमता (ज्यामिति) हैं।

गुण
आदर्श त्रिभुजों में निम्नलिखित गुण होते हैं:


 * सभी आदर्श त्रिभुज एक दूसरे के सर्वांगसम होते हैं।
 * एक आदर्श त्रिभुज के सभी आंतरिक कोण शून्य होते हैं।
 * एक आदर्श त्रिभुज का परिमाप अनंत होता है।
 * एक आदर्श त्रिभुज अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में सबसे बड़ा संभव त्रिभुज है।

मानक अतिशयोक्तिपूर्ण तल में (एक सतह जहां निरंतर गॉसियन वक्रता -1 है) हमारे पास निम्नलिखित गुण भी हैं:


 * किसी भी आदर्श त्रिभुज का क्षेत्रफल π होता है।

एक आदर्श त्रिकोण में दूरी
* एक आदर्श त्रिभुज के लिए उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या होती है $$r=\ln\sqrt{3} = \frac{1}{2} \ln 3 = \operatorname{artanh}\frac{1}{2} = 2 \operatorname{artanh}(2- \sqrt{3}) = $$ $$= \operatorname{arsinh}\frac{1}{3}\sqrt{3} = \operatorname{arcosh}\frac{2}{3}\sqrt{3} \approx 0.549 $$. : त्रिभुज के किसी भी बिंदु से त्रिभुज की निकटतम भुजा की दूरी ऊपर की त्रिज्या r से कम या उसके बराबर होती है, केवल अंतःवृत्त के केंद्र के लिए समानता के साथ।


 * खुदा हुआ वृत्त त्रिकोण से स्पर्शरेखा के तीन बिंदुओं पर मिलता है, जिससे एक समबाहु खुदा हुआ वृत्त बनता है#Gergonne_triangle_and_point भुजा की लंबाई के साथ $$ d = \ln\left(\frac{\sqrt 5 + 1}{\sqrt 5 - 1}\right)= 2\ln\varphi\approx 0.962$$ कहाँ $$\varphi=\frac{1+\sqrt 5}{2}$$ सुनहरा अनुपात है।


 * त्रिभुज के भीतर किसी बिंदु के चारों ओर त्रिज्या d वाला एक वृत्त त्रिभुज की कम से कम दो भुजाओं को काटेगा या काटेगा।


 * त्रिभुज की एक भुजा के किसी बिंदु से त्रिभुज की दूसरी भुजा की दूरी बराबर या उससे कम होती है $$ a = \ln\left(1+ \sqrt 2\right) \approx 0.881$$, समानता के साथ केवल ऊपर वर्णित स्पर्शरेखा के बिंदुओं के लिए।
 * a अतिपरवलयिक त्रिभुज#श्वीकार्ट त्रिभुज की ऊँचाई भी है।

यदि वक्रता -1 के बजाय हर जगह -K है, तो ऊपर के क्षेत्रों को 1/K से गुणा किया जाना चाहिए और लंबाई और दूरियों को 1/ से गुणा किया जाना चाहिए।$\sqrt{K}$.

पतली त्रिभुज स्थिति
क्योंकि अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में आदर्श त्रिभुज सबसे बड़ा संभव त्रिभुज है, ऊपर दिए गए उपाय किसी भी अतिपरवलयिक त्रिभुज के लिए अधिकतम संभव हैं, यह तथ्य δ-अतिपरवलयिक स्थान के अध्ययन में महत्वपूर्ण है।

मॉडल
अतिशयोक्तिपूर्ण तल के पोनकारे डिस्क मॉडल में, एक आदर्श त्रिभुज तीन वृत्तों से घिरा होता है जो सीमा वृत्त को समकोण पर काटते हैं।

पोनकारे अर्ध-विमान मॉडल में, एक आदर्श त्रिभुज को एक arbelos द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है, जो तीन पारस्परिक रूप से स्पर्शरेखा वाले अर्धवृत्तों के बीच की आकृति है।

अतिशयोक्तिपूर्ण तल के बेल्ट्रामी-क्लेन मॉडल में, एक आदर्श त्रिभुज को एक यूक्लिडियन त्रिभुज द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है जो सीमा चक्र द्वारा परिचालित होता है। ध्यान दें कि Beltrami-Klein मॉडल में, एक आदर्श त्रिकोण के कोने पर कोण शून्य नहीं होते हैं, क्योंकि Beltrami-Klein मॉडल, Poincare डिस्क और हाफ-प्लेन मॉडल के विपरीत, अनुरूप मानचित्र नहीं है, अर्थात यह कोणों को संरक्षित नहीं करता है।

वास्तविक आदर्श त्रिभुज समूह
वास्तविक आदर्श त्रिभुज समूह एक आदर्श त्रिभुज के किनारों के माध्यम से अतिपरवलयिक तल के प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न प्रतिबिंब समूह है। बीजगणितीय रूप से, यह तीन क्रम-दो समूहों (श्वार्ट्ज 2001) के मुक्त उत्पाद के लिए समरूप है।