नॉन-यूनिफार्म सैंपलिंग

नॉन-यूनिफार्म सैंपलिंग एक ऐसे सैंपलिंग सिद्धांत की एक शाखा है जिसमें नाइक्विस्ट-शैनन सिद्धांत से संबंधित परिणाम सम्मिलित होते हैं। नॉन-यूनिफार्म सैंपलिंग लैग्रेंज इंटरपोलशन और सैंपलिंग सिद्धांत के बीच के संबंध पर आधारित है। नॉन-यूनिफार्म सैंपलिंग व्हिटेकर शैनन-कोटेलनिकोव (डब्ल्यूएसके) सिद्धांत का सामान्यीकरण है।

शैनन के सैंपलिंग सिद्धांत को नॉन-यूनिफार्म सैंपलिंग की स्थिति में सामान्यीकृत किया जा सकता है जो कि एक निश्चित समय में समान दूरी पर लिए गए सैंपलिंग सिद्धांत हैं। नॉन-यूनिफार्म सैंपलिंग के लिए शैनन सैंपलिंग सिद्धांत बताता है कि एक बैंडविड्थ सिग्नल से उसके सैंपलिंग को पूरी तरह से पुनर्निर्मित किया जा सकता है यदि औसत सैंपलिंग दर नाइक्विस्ट स्थिति को संतुष्ट करती है। हालांकि एक समान रूप से दूरी वाले सैंपलिंग सिद्धांत के परिणामस्वरूप सरल पुनर्निर्मित एल्गोरिथ्म हो सकती है। सामान्यतः यह पुनर्निर्माण के लिए एक आवश्यक शर्त नहीं है।

नॉन-बेसबैंड और नॉन-यूनिफार्म सैंपलिंग के लिए सामान्य सिद्धांत 1967 में हेनरी लैंडौ द्वारा विकसित किया गया था। उन्होंने सिद्ध किया कि औसत सैंपलिंग दर (समान या अन्य) निश्चित बैंडविड्थ से दोगुना होनी चाहिए, यह मानते हुए कि यह पहले से ज्ञात है कि स्पेक्ट्रम के किस भाग पर इसे अधिकृत किया गया था। 1990 के दशक के उत्तरार्ध में इस कार्य को आंशिक रूप से उन सिग्नलों को अधिकृत करने के लिए विकसित किया गया था जिनके लिए व्याप्त बैंडविड्थ की मात्रा ज्ञात थी, लेकिन स्पेक्ट्रम का वास्तविक व्याप्त भाग अज्ञात था। 2000 के दशक में कंप्रेस्ड-सेंसिंग का उपयोग करके एक संपूर्ण सिद्धांत विकसित किया गया था। (नीचे नाइक्विस्ट का अनुभाग देखें) विशेष रूप से सिग्नल प्रोसेसिंग भाषा का उपयोग करते हुए सिद्धांत का वर्णन 2009 के पेपर में किया गया था। इसके अतिरिक्त वे प्रदर्शित करते हैं कि यदि आवृत्ति सिग्नल अज्ञात हैं, तो कम से कम दो बार नाइक्विस्ट मानदंड का सैंपलिंग लेना आवश्यक है। दूसरे शब्दों में स्पेक्ट्रम की स्थिति न जानने के लिए आपको कम से कम 2 का नाइक्विस्ट मानदंड लेना आवश्यक होता है। ध्यान दें कि न्यूनतम सैंपलिंग आवश्यकताएँ आवश्यक रूप से संख्यात्मक स्थिरता का दायित्व नहीं करती हैं।

लैग्रेंज इंटरपोलशन
किसी दिए गए फंक्शन के लिए डिग्री n का एक इंटरपोलशन बनाना संभव है जिसका मान n + 1 बिंदुओं पर फंक्शन के साथ समान हो।

माना कि n + 1 का इंटरपोलशन $$z_0, z_1, \ldots, z_n$$ है और n + 1 का मान $$w_0, w_1, \ldots, w_n$$ है। इस प्रकार एक अद्वितीय इंटरपोलशन $$p_n(z)$$सम्मिलित है:


 * $$p_n(z_i) = w_i, \text{ where }i = 0, 1, \ldots, n.$$

इसके अतिरिक्त लैग्रेंज इंटरपोलशन के सैंपलिंग इंटरपोलशनों का उपयोग करके $$p_n(z)$$ के प्रतिनिधित्व को सरल बनाना संभव है:


 * $$I_k(z) = \frac{(z-z_0)(z-z_1)\cdots(z-z_{k-1})(z-z_{k+1})\cdots(z-z_n)}{(z_k-z_0)(z_k-z_1)\cdots(z_k-z_{k-1})(z_k-z_{k+1})\cdots(z_k-z_n)}$$

उपरोक्त समीकरण से:



I_k(z_j) = \delta_{k,j} = \begin{cases} 0, & \text{if }k\ne j \\ 1, & \text{if }k = j \end{cases} $$ जिसके परिणामस्वरूप


 * $$p_n(z) = \sum_{k=0}^n w_kI_k(z)$$, $$p_n(z_j) = w_j, j = 0, 1, \ldots, n$$

लैग्रेंज इंटरपोलशन को अधिक उपयोगी बनाने के लिए:


 * $$G_n(z) = (z-z_0)(z-z_1)\cdots(z-z_n)$$

इस प्रकार लैग्रेंज इंटरपोलशन का सूत्र है:


 * $$p_n(z) = \sum_{k=0}^n w_k\frac{G_n(z)}{(z-z_k)G'_n(z_k)}$$

ध्यान दें कि यदि $$f(z_j)=p_n(z_j), j=0, 1, \ldots, n,$$ हैं तब उपरोक्त सूत्र बन जाता है:


 * $$f(z) = \sum_{k=0}^n f(z_k)\frac{G_n(z)}{(z-z_k)G'_n(z_k)}$$

व्हिटेकर शैनन-कोटेलनिकोव (डब्लूएसके) सिद्धांत
व्हिटेकर ने लैग्रेंज इंटरपोलशन को इंटरपोलशनों से संपूर्ण फंक्शनों तक विस्तारित करने का प्रयास किया है उन्होंने दिखाया कि संपूर्ण फंक्शन का निर्माण करना संभव है:
 * $$C_f(z) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(a+nW)\frac{\sin[\pi(z-a-nW)/W]}{[\pi(z-a-nW)/W]}$$

जिसका मान बिंदु $$z_n = a + nW$$ पर $$f(z)$$ के साथ समान है।

इसके अतिरिक्त $$C_f(z)$$ को पिछले समीकरण में अंतिम समीकरण के समान रूप में लिखा जा सकता है:


 * $$C_f(z) = \sum_{n=-\infty}^{\infty}f(z_n)\frac{G(z)}{G'(z_n)(z-z_n)},\text{ where }G(z)=\sin[\pi(z-z_n)/W]\text{ and }z_n=a+nW$$

जब a = 0 और W = 1, तो उपरोक्त समीकरण लगभग व्हिटेकर शैनन-कोटेलनिकोव सिद्धान्त के समान हो जाता है:

यदि किसी फंक्शन f को निम्न के रूप में दर्शाया जा सकता है:
 * $$f(t) = \int_{-\sigma}^\sigma e^{jxt}g(x)\, dx \qquad (t\in \mathbb{R}), \qquad \forall g\in L^2(-\sigma,\sigma),$$

इसके अतिरिक्त f को इसके सैंपलिंग से निम्नानुसार पुनर्निर्मित किया जा सकता है:


 * $$f(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty f\left(\frac{k\pi}{\sigma}\right)\frac{\sin(\sigma t-k\pi)}{\sigma t-k\pi} \qquad (t\in \mathbb{R})$$

नॉन-यूनिफार्म सैंपलिंग
एक अनुक्रम के लिए $$\{t_k\}_{k\in \mathbb{Z}}$$ संतुष्टि हो सकता है यदि:
 * $$D=\sup_{k\in\mathbb{Z}}|t_k-k|<\frac{1}{4},$$

तब
 * $$f(t) = \sum_{k=-\infty}^\infty f(t_k)\frac{G(t)}{G'(t_k)(t-t_k)},\qquad \forall{}f\in B^2_\pi,\qquad (t\in \mathbb{R}),$$

जहाँ, उपरोक्त को पैली वीनर-लेविंसन सिद्धांत कहा जाता है जो कि व्हिटेकर शैनन-कोटेलनिकोव सिद्धांत को यूनिफार्म सैंपलिंग से नॉन-यूनिफार्म सैंपलिंग तक सामान्यीकृत करता है। ये दोनों सिद्धांत क्रमशः उन सैंपलिंग से एक सीमित सिग्नल को पुनर्निर्मित कर सकते हैं।
 * $$\textstyle G(t)=(t-t_0)\prod_{k=1}^\infty \left(1-\frac{t}{t_k}\right)\left(1-\frac{t}{t_{-k}}\right),$$
 * $$B^2_\sigma$$ बर्नस्टीन फंक्शन है।
 * $$f(t)$$ कॉम्पैक्ट (सघन) समूह पर समान रूप से निर्भर है।

संदर्भ

 * F. Marvasti, Nonuniform sampling: Theory and Practice. Plenum Publishers Co., 2001, pp. 123–140.