चार-सदिश

विशेष सापेक्षता में, एक चतुर्विम-सदिश (या 4-सदिश) एक प्रकार की वस्तु है जिसके चार घातक होते है, जिसका रूपांतरण लोरेंत्ज़ रूपांतरणों के अधीन विशिष्ट रूप से किया जाता है। विशेष रूप से, चतुर्विम-सदिश एक चतुर्विमीय सदिश समष्टि का एक भाग या अंश होता है जिसे लोरेंत्ज़ समूह के मानक निरूपण का निरूपण समष्टि, ($1⁄2$,$1⁄2$) निरूपण के रूप में माना जाता है। यह यूक्लिडियन सदिश से भिन्न होता है कि इसका परिमाण कैसे निर्धारित किया जाता है। इस परिमाण को संरक्षित करने वाले रूपांतरण लोरेंत्ज़ रूपांतरण कहलाते हैं, जिसमें स्थानिक घूर्णन और बूस्ट सम्मिलित होते हैं (एक नियत वेग द्वारा एक अन्य जड़त्वीय निर्देश तंत्र में परिवर्तन)।

चतुर्विम-सदिश वर्णन करते हैं, किसी अवस्था के लिए, मिंकोव्स्की समष्टि के रूप में मॉडल किए गए दिक्काल में स्थिति $x$, एक कण का चतुर्विम-संवेग $p$, दिक्काल में बिंदु $x$ पर विद्युत चुम्बकीय चतुर्विम-विभव $A(x)$ का आयाम, और डायराक बीजगणित के अंतर्गत गामा आव्यूहों द्वारा विस्तरित उपसमष्‍टि के तत्व है।

लोरेंत्ज़ समूह को 4×4 आव्यूह $Λ$ द्वारा दर्शाया जा सकता है। प्रविष्टियों में किसी जड़त्वीय तंत्र के संबंध में कार्तीय निर्देशांक के साथ एक स्तंभ सदिश के रूप में माने जाने वाले एक सामान्य प्रतिपरिवर्ती चतुर्विम-सदिश $X$ (ऊपर दिए गए उदाहरणों की तरह) पर लोरेंत्ज़ रूपांतरण की क्रिया, निम्न द्वारा दी गई है$$X' = \Lambda X,$$(आव्यूह गुणा) जहाँ प्राथमिक वस्तु के घटक नए तंत्र को संदर्भित करते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरणों से संबंधित जो प्रतिपरिवर्ती सदिशों के रूप में दिए गए हैं, सहसंयोजक सदिश $x_{μ}$, $p_{μ}$ और $A_{μ}(x)$ भी हैं। ये नियमानुसार परिवर्तित होते हैं$$X' = \left(\Lambda^{-1}\right)^\textrm{T} X,$$जहाँ $^{T}$ आव्यूह पक्षांतर को दर्शाता है। यह नियम ऊपर दिए गए नियम से अलग है। यह मानक निरूपण के द्वैत निरूपण के अनुरूप होता है। हालाँकि, लोरेंत्ज़ समूह के लिए किसी भी निरूपण का द्वैत मूल निरूपण के बराबर है। इस प्रकार सहसंयोजक सूचकांकों वाली वस्तुएँ चतुर्विम-सदिश भी हैं।

विशेष सापेक्षता में एक शिष्ट चतुर्विम घटक वस्तु के उदाहरण के लिए, जो कि चतुर्विम-सदिश नहीं है, बिस्पिनर देखें। इसे समान रूप से परिभाषित किया गया है, अंतर यह है कि लोरेंत्ज़ रूपांतरणों के तहत रूपांतरण नियम मानक निरूपण के अलावा अन्य निरूपण द्वारा दिया जाता है। इस स्थिति में, नियम $X = Π(Λ)X$ पढ़ता है, जहाँ $Π(Λ)$ $Λ$के अलावा 4×4 आव्यूह है। इसी तरह की टिप्पणी उन वस्तुओं पर लागू होती है जिनमें कम या अधिक घटक होते हैं जो लोरेंत्ज़ रूपांतरणों के तहत अच्छी तरह से व्यवहार करते हैं। इनमें अदिश, स्पिनर, टेंसर और स्पिनोर-टेंसर सम्मिलित हैं।

लेख विशेष सापेक्षता के संदर्भ में चतुर्विम-सदिशों पर विचार करता है। हालांकि चतुर्विम-सदिश की अवधारणा सामान्य सापेक्षता तक भी फैली हुई है, इस लेख में बताए गए कुछ परिणामों में सामान्य सापेक्षता में संशोधन की आवश्यकता है।

संकेतन
इस लेख में संकेतन हैं: त्रि-विमीय सदिश के लिए नीचे लिखे छोटे धृष्ट अक्षर (लोअरकेस), त्रि-विमीय इकाई सदिश के लिए हैट, चतुर्विमीय सदिश के लिए बड़े धृष्ट अक्षर (चतुर्विम-प्रवणता को छोड़कर), और टेंसर सूचक संकेतन।

वास्तविक-मूल्यवान बेसिस में चतुर्विम-सदिश
एक चतुर्विम-सदिश A एक "काल सदृश" घटक और तीन "स्पेसलाइक" घटकों वाला एक सदिश है, और इसे विभिन्न समकक्ष संकेतन में लिखा जा सकता है: $$ \begin{align} \mathbf{A} & = \left(A^0, \, A^1, \, A^2, \, A^3\right) \\ & = A^0\mathbf{E}_0 + A^1 \mathbf{E}_1 + A^2 \mathbf{E}_2 + A^3 \mathbf{E}_3 \\ & = A^0\mathbf{E}_0 + A^i \mathbf{E}_i \\ & = A^\alpha\mathbf{E}_\alpha\\ & = A^\mu \end{align}$$जहाँ अंतिम रूप में परिमाण घटक और बेसिस सदिश को एक ही भाग में जोड़ा गया है।

ऊपरी सूचकांक प्रतिपरिवर्ती घटकों को दर्शाते हैं। यहाँ मानक परिपाटी यह है कि लैटिन सूचकांक स्थानिक घटकों के लिए मान लेते हैं, ताकि i = 1, 2, 3, और यूनानी सूचकांक स्थान और समय घटकों के लिए मान लें, इसलिए α = 0, 1, 2, 3, योग सम्मेलन के साथ उपयोग किया जाता है। समय घटक और स्थानिक घटकों के बीच विभाजन अन्य टेन्सर मात्राओं के साथ एक चार सदिश के संकुचन का निर्धारण करते समय उपयोगी होता है, जैसे कि आंतरिक गुणनफलों में लोरेंत्ज़ अचर की गणना के लिए (उदाहरण नीचे दिए गए हैं), या सूचकांकों को ऊपर उठाना और कम करना।

विशेष सापेक्षता में, स्पेसलाइक बेसिस E1, E2, E3 और घटक A1, A2, A3 प्रायः कार्तीय बेसिस और घटक होते हैं:$$ \begin{align} \mathbf{A} & = \left(A_t, \, A_x, \, A_y, \, A_z\right) \\ & = A_t \mathbf{E}_t + A_x \mathbf{E}_x + A_y \mathbf{E}_y + A_z \mathbf{E}_z \\ \end{align}$$हालाँकि, अवश्य ही, किसी अन्य बेसिस और घटकों का उपयोग किया जा सकता है, जैसे गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक$$ \begin{align} \mathbf{A} & = \left(A_t, \, A_r, \, A_\theta, \, A_\phi\right) \\ & = A_t \mathbf{E}_t + A_r \mathbf{E}_r + A_\theta \mathbf{E}_\theta + A_\phi \mathbf{E}_\phi \\ \end{align}$$अथवा बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक,$$ \begin{align} \mathbf{A} & = (A_t, \, A_r, \, A_\theta, \, A_z) \\ & = A_t \mathbf{E}_t + A_r \mathbf{E}_r + A_\theta \mathbf{E}_\theta + A_z \mathbf{E}_z \\ \end{align}$$या कोई अन्य लंबकोणीय निर्देशांक, या यहां तक कि सामान्य वक्रीय निर्देशांक। ध्यान दें कि निर्देशांक लेबल सदैव लेबल के रूप में पादांकित किए जाते हैं और संख्यात्मक मान लेने वाले सूचकांक नहीं होते हैं। सामान्य सापेक्षता में, स्थानीय वक्रीय निर्देशांक स्थानीय बेसिस पर उपयोग किए जाने चाहिए। ज्यामितीय रूप से, चतुर्विम-सदिश को अभी भी एक तीर के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, परन्तु दिक्काल में - केवल स्थान नहीं। सापेक्षता में, तीरों को मिंकोव्स्की आरेख (जिसे दिक्काल आरेख भी कहा जाता है) के हिस्से के रूप में खींचा जाता है। इस लेख में, चतुर्विम-सदिश को केवल सदिश के रूप में संदर्भित किया जाएगा। स्तंभ सदिशों द्वारा बेसिसों का निरूपण करने के लिए यह भी परंपरागत है:$$ \mathbf{E}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{E}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{E}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{E}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ताकि:$$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix} $$सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती निर्देशांकों के बीच का संबंध मिंकोव्स्की मीट्रिक टेन्सर (जिसे मीट्रिक कहा जाता है) के माध्यम से होता है, η जो सूचकांकों को निम्न प्रकार से बढ़ाता और घटाता है:$$A_{\mu} = \eta_{\mu \nu} A^{\nu} \,, $$और विभिन्न समकक्ष संकेतन में सहसंयोजक घटक हैं:$$ \begin{align} \mathbf{A} & = (A_0, \, A_1, \, A_2, \, A_3) \\ & = A_0\mathbf{E}^0 + A_1 \mathbf{E}^1 + A_2 \mathbf{E}^2 + A_3 \mathbf{E}^3 \\ & = A_0\mathbf{E}^0 + A_i \mathbf{E}^i \\ & = A_\alpha\mathbf{E}^\alpha\\ \end{align}$$जहाँ निचला सूचकांक इसे सहसंयोजक होने के लिए इंगित करता है। प्रायः मात्रिक विकर्ण होता है, जैसा कि लंबकोणीय निर्देशांक (रेखा तत्व देखें) की स्थिति में होता है, परन्तु सामान्य वक्रीय निर्देशांक में नहीं।

बेसिसों को पंक्ति सदिश द्वारा दर्शाया जा सकता है:$$ \mathbf{E}^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{E}^1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{E}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{E}^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ताकि:$$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} A_0 & A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix} $$उपरोक्त परंपराओं के लिए प्रेरणा यह है कि आंतरिक गुणनफल एक अदिश राशि है, विवरण के लिए नीचे देखें।

लोरेंत्ज़ रूपांतरण
दो जड़त्वीय या घूर्णित निर्देश तंत्र दिए गए हैं, चतुर्विम-सदिश को एक मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो लोरेंत्ज़ रूपांतरण आव्यूह Λ के अनुसार रूपांतरित होता है:$$\mathbf{A}' = \boldsymbol{\Lambda}\mathbf{A}$$सूचकांक संकेतन में, प्रतिपरिवर्ती और सहपरिवर्ती घटक क्रमशः निम्न के अनुसार बदलते हैं:$${A'}^\mu = \Lambda^\mu {}_\nu A^\nu \,, \quad{A'}_\mu = \Lambda_\mu {}^\nu A_\nu$$जिसमें आव्यूह $Λ$ में पंक्ति $μ$ और स्तंभ $ν$ में घटक $Λ^{μ}_{ν}$ हैं, और व्युत्क्रम आव्यूह $Λ^{−1}$ में पंक्ति $μ$ और स्तंभ $ν$ में घटक $Λ_{μ}^{ν}$ हैं। इस परिवर्तन परिभाषा की प्रकृति की पृष्ठभूमि के लिए टेंसर देखें। सभी चतुर्विम-सदिश एक ही तरह से रूपांतरित होते हैं, और इसे चतुर्विमीय सापेक्षतावादी टेन्सर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है; विशेष सापेक्षता देखें।

किसी स्वेच्छाचारी अक्ष के चारो ओर शुद्ध घूर्णन
इकाई सदिश द्वारा परिभाषित अक्ष के चारो ओर एक निश्चित कोण $θ$ द्वारा घुमाए गए दो तंत्र के लिए:$$\hat{\mathbf{n}} = \left(\hat{n}_1, \hat{n}_2, \hat{n}_3\right)\,,$$बिना किसी बूस्ट के, आव्यूह Λ में निम्नलिखित घटक हैं: $$\begin{align} \Lambda_{00} &= 1 \\ \Lambda_{0i} = \Lambda_{i0} &= 0 \\ \Lambda_{ij} &= \left(\delta_{ij} - \hat{n}_i \hat{n}_j\right) \cos\theta - \varepsilon_{ijk} \hat{n}_k \sin\theta + \hat{n}_i \hat{n}_j \end{align}$$जहाँ δij क्रोनकर डेल्टा है, और εijk त्रि-विमीय लेवी-सिविटा प्रतीक है। चतुर्विम-सदिशों के स्पेसलाइक घटकों को घुमाया जाता है, जबकि समयबद्ध घटकों में कोई बदलाव नहीं होता है।

केवल z-अक्ष के चारों ओर घूमने की स्थिति में, लोरेंत्ज़ आव्यूह का स्पेसलाइक भाग z-अक्ष के बारे में गर्दिश आव्यूह को कम करता है:$$ \begin{pmatrix} {A'}^0 \\ {A'}^1 \\ {A'}^2 \\ {A'}^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\   0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix}\. $$

किसी स्वेच्छाचारी दिशा में शुद्ध बूस्ट
नियत सापेक्ष त्रि-वेग v (चतुर्विम-वेग नहीं, नीचे देखें) पर चलने वाले दो तंत्रों के लिए, c की इकाइयों में सापेक्ष वेग को निरूपित और परिभाषित करना सुविधाजनक है:$$ \boldsymbol{\beta} = (\beta_1,\,\beta_2,\,\beta_3) = \frac{1}{c}(v_1,\,v_2,\,v_3) = \frac{1}{c}\mathbf{v} \,. $$फिर बिना घूर्णन के, आव्यूह Λ में घटक दिए गए हैं: $$\begin{align} \Lambda_{00} &= \gamma, \\ \Lambda_{0i} = \Lambda_{i0} &= -\gamma \beta_{i}, \\ \Lambda_{ij} = \Lambda_{ji} &= (\gamma - 1)\frac{\beta_{i}\beta_{j}}{\beta^2} + \delta_{ij} = (\gamma - 1)\frac{v_i v_j}{v^2} + \delta_{ij}, \\ \end{align}$$जहाँ लोरेंत्ज़ कारक द्वारा परिभाषित किया गया है:$$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\beta}}} \,,$$तथा $δ_{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है। शुद्ध घूर्णनों की स्थिति के विपरीत, स्पेसलाइक और टाइमलाइक घटकों को बूस्ट के तहत एक साथ मिलाया जाता है।

केवल x-दिशा में वृद्धि की स्थिति में, आव्यूह कम हो जाता है; $$ \begin{pmatrix} A'^0 \\ A'^1 \\ A'^2 \\ A'^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh\phi &-\sinh\phi & 0 & 0 \\ -\sinh\phi & \cosh\phi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 1 \\  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix} $$जहाँ अतिपरवलयिक फलन के संदर्भ में लिखा गया है, वहां द्रुतता (रैपिडिटी) $ϕ$ अभिव्यक्ति का उपयोग किया गया है:$$\gamma = \cosh \phi$$यह लोरेंत्ज़ आव्यूह चतुर्विमीय दिक्काल में अतिपरवलयिक घूर्णन के लिए बूस्ट करता है, जो त्रि-विमीय समष्टि में ऊपर वृत्ताकार घूर्णन के अनुरूप है।

रैखिकता
चतुर्विम-सदिशों में तीन आयामों में यूक्लिडियन सदिश के समान रैखिकता गुण होते हैं। उन्हें सामान्य एंट्रीवाइज तरीके से जोड़ा जा सकता है:$$\mathbf{A} + \mathbf{B} = \left(A^0, A^1, A^2, A^3\right) + \left(B^0, B^1, B^2, B^3\right) = \left(A^0 + B^0, A^1 + B^1, A^2 + B^2, A^3 + B^3\right)$$और इसी तरह एक अदिश λ द्वारा अदिश गुणन को प्रवेशवार परिभाषित किया गया है:$$\lambda\mathbf{A} = \lambda\left(A^0, A^1, A^2, A^3\right) = \left(\lambda A^0, \lambda A^1, \lambda A^2, \lambda A^3\right)$$फिर घटाना जोड़ की व्युत्क्रम संक्रिया है, जिसे प्रवेश के अनुसार परिभाषित किया गया है:$$\mathbf{A} + (-1)\mathbf{B} = \left(A^0, A^1, A^2, A^3\right) + (-1)\left(B^0, B^1, B^2, B^3\right) = \left(A^0 - B^0, A^1 - B^1, A^2 - B^2, A^3 - B^3\right)$$

मिन्कोव्स्की टेंसर
मिंकोव्स्की टेंसर $η_{μν}$ को दो चतुर्विम-सदिश $A$ और $B$ पर लागू करते हुए, अदिश गुणनफल संकेतन में परिणाम लिखते हुए, हमारे पास आइंस्टीन संकेतन का उपयोग कर रहा है:$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^{\mu} \eta_{\mu \nu} B^{\nu} $$परिभाषा को आव्यूह रूप में फिर से लिखना सुविधाजनक है:$$\mathbf{A \cdot B} = \begin{pmatrix} A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta_{00} & \eta_{01} & \eta_{02} & \eta_{03} \\ \eta_{10} & \eta_{11} & \eta_{12} & \eta_{13} \\ \eta_{20} & \eta_{21} & \eta_{22} & \eta_{23} \\ \eta_{30} & \eta_{31} & \eta_{32} & \eta_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix} $$किस स्थिति में उपरोक्त $η_{μν}$ एक वर्ग आव्यूह के रूप में मिन्कोव्स्की मीट्रिक की पंक्ति $μ$ और कॉलम $ν$ में प्रविष्टि है। मिन्कोव्स्की मीट्रिक एक यूक्लिडियन मीट्रिक नहीं है, क्योंकि यह अनिश्चित है (मीट्रिक चिह्नक (सिग्नेचर) देखें)। कई अन्य अभिव्यक्तियों का उपयोग किया जा सकता है क्योंकि मीट्रिक टेन्सर $A$ या $B$ के घटकों को बढ़ा और घटा सकता है। $A$ के सह/अनुबंध-परिवर्ती घटकों और $B$ के सह/अनुबंध-परिवर्ती घटकों के लिए, हमें निम्न प्राप्त है:$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^{\mu} \eta_{\mu \nu} B^{\nu} = A_{\nu} B^{\nu} = A^{\mu} B_{\mu} $$तो आव्यूह संकेतन में:$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \begin{pmatrix} A_0 & A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B_0 & B_1 & B_2 & B_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix} $$जबकि इसके लिए $A$ तथा $B$ सहसंयोजक घटकों में से प्रत्येक:$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{\mu} \eta^{\mu \nu} B_{\nu}$$उपरोक्त के समान आव्यूह अभिव्यक्ति के साथ।

मिंकोव्स्की टेंसर को चतुर्विम-सदिश A पर लागू करने से हमें मिलता है:$$\mathbf{A \cdot A} = A^\mu \eta_{\mu\nu} A^\nu $$जो, स्थिति के बेसिस पर, सदिश की लंबाई का वर्ग, या उसके ऋणात्मक माना जा सकता है। मानक बेसिस (अनिवार्य रूप से कार्टेशियन निर्देशांक) में मीट्रिक टेंसर के लिए दो सामान्य विकल्प निम्नलिखित हैं। यदि लंबकोणीय निर्देशांक का उपयोग किया जाता है, तो मीट्रिक के स्पेसलाइक भाग के विकर्ण भाग के साथ स्केल कारक होंगे, जबकि सामान्य घूर्णन निर्देशांक के लिए मीट्रिक के पूरे स्पेसलाइक भाग में उपयोग किए जाने वाले वक्रीय बेसिस पर घटक होंगे।

मानक बेसिस, (+−−−) चिह्नक (सिग्नेचर)
(+−−−) मीट्रिक चिह्नक (सिग्नेचर) में, सूचकांकों पर योग का मूल्यांकन करने से यह मिलता है:$$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3  $$आव्यूह के रूप में रहते हुए:$$\mathbf{A \cdot B}  = \begin{pmatrix} A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 &  0 &  0 \\      0 & -1 &  0 &  0 \\      0 &  0 & -1 &  0 \\      0 &  0 &  0 & -1    \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix} $$यह व्यंजक लेने के लिए विशेष सापेक्षता में एक आवर्ती विषय है$$ \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3 = C$$निर्देश तंत्र में, जहाँ C इस फ़्रेम में आंतरिक गुणनफल का मान है, और:$$ \mathbf{A}'\cdot\mathbf{B}' = {A'}^0 {B'}^0 - {A'}^1 {B'}^1 - {A'}^2 {B'}^2 - {A'}^3 {B'}^3 = C' $$दूसरे तंत्र में, जिसमें C′ इस तंत्र में आंतरिक गुणनफल का मान है। फिर चूंकि आंतरिक गुणनफल एक अपरिवर्तनीय है, ये बराबर होना चाहिए:$$ \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = \mathbf{A}'\cdot\mathbf{B}' $$वह है:$$ C = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3 = {A'}^0 {B'}^0 - {A'}^1 {B'}^1 - {A'}^2 {B'}^2 - {A'}^3{B'}^3 $$यह मानते हुए कि सापेक्षता में भौतिक राशियाँ चतुर्विम-सदिश हैं, इस समीकरण में "संरक्षण नियम" का आभास होता है, परन्तु इसमें कोई "संरक्षण" सम्मिलित नहीं है। मिन्कोव्स्की आंतरिक गुणनफल का प्राथमिक महत्व यह है कि किन्हीं दो चतुर्विम-सदिशों के लिए, इसका मूल्य सभी पर्यवेक्षकों के लिए अपरिवर्तनीय है; निर्देशांकों में परिवर्तन के परिणामस्वरूप आंतरिक गुणनफल के मूल्य में परिवर्तन नहीं होता है। चार सदिश के घटक एक तंत्र से दूसरे में बदलते हैं; A और A′ लोरेंत्ज़ रूपांतरण द्वारा जुड़े हुए हैं, और इसी तरह B और B′ के लिए, हालांकि आंतरिक गुणनफल सभी तंत्र में समान हैं। फिर भी, इस प्रकार की अभिव्यक्ति का संरक्षण नियमों के साथ सापेक्षतावादी गणनाओं में उपयोग किया जाता है, क्योंकि घटकों के परिमाण को स्पष्ट रूप से किसी भी लोरेंत्ज़ रूपांतरणों को निष्पादित किए बिना निर्धारित किया जा सकता है। एक विशेष उदाहरण चतुर्विम-संवेग सदिश से प्राप्त ऊर्जा-संवेग संबंध में ऊर्जा और संवेग के साथ है (नीचे भी देखें)।

इस चिह्नक (सिग्नेचर) में हमें निम्न प्राप्त है:$$ \mathbf{A \cdot A} = \left(A^0\right)^2 - \left(A^1\right)^2 - \left(A^2\right)^2 - \left(A^3\right)^2 $$चिह्नक (सिग्नेचर) (+−−−) के साथ, चतुर्विम-सदिश को या तो स्पेसलाइक के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है यदि $$\mathbf{A \cdot A} < 0$$, टाइमलाइक यदि $$\mathbf{A \cdot A} > 0$$, और शून्य सदिश यदि $$\mathbf{A \cdot A} = 0$$ हो।

मानक बेसिस, (−+++) चिह्नक (सिग्नेचर)
कुछ लेखक η को विपरीत चिन्ह के साथ परिभाषित करते हैं, इस स्थिति में हमारे पास (−+++) मीट्रिक चिह्नक (सिग्नेचर) होते हैं। इस चिह्नक (सिग्नेचर) के साथ सारांश का मूल्यांकन:$$\mathbf{A \cdot B} = - A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 $$जबकि आव्यूह रूप है:$$\mathbf{A \cdot B} = \left( \begin{matrix}A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{matrix} \right) $$ध्यान दें कि इस स्थिति में, एक तंत्र में:$$ \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = - A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 = -C $$जबकि दूसरे में:$$ \mathbf{A}'\cdot\mathbf{B}' = - {A'}^0 {B'}^0 + {A'}^1 {B'}^1 + {A'}^2 {B'}^2 + {A'}^3 {B'}^3 = -C'$$ताकि:$$ -C = - A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 = - {A'}^0 {B'}^0 + {A'}^1 {B'}^1 + {A'}^2 {B'}^2 + {A'}^3 {B'}^3$$जो A और B के संदर्भ में C के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति के बराबर है। कोई भी सम्मेलन काम करेगा। उपरोक्त दो तरीकों से परिभाषित मिन्कोव्स्की मीट्रिक के साथ, सहसंयोजक और प्रतिपरिवर्ती चतुर्विम-सदिश घटकों के बीच एकमात्र अंतर संकेत हैं, इसलिए संकेत इस बात पर निर्भर करते हैं कि किस चिह्न परिपाटी का उपयोग किया जाता है।

हमें निम्न प्राप्त है:$$ \mathbf{A \cdot A} = - \left(A^0\right)^2 + \left(A^1\right)^2 + \left(A^2\right)^2 + \left(A^3\right)^2 $$सिग्नेचर (-+++) के साथ, चतुर्विम-सदिश को या तो स्पेसलाइक अगर $$\mathbf{A \cdot A} > 0$$, टाइमलाइक अगर $$\mathbf{A \cdot A} < 0$$, और नल अगर $$\mathbf{A \cdot A} = 0$$ है तो वर्गीकृत किया जा सकता है।

द्वैत सदिश
मिन्कोव्स्की टेन्सर को लागू करना प्रायः एक सदिश के द्वैत सदिश के प्रभाव के रूप में दूसरे पर व्यक्त किया जाता है:$$\mathbf{A \cdot B} = A^*(\mathbf{B}) = A{_\nu}B^{\nu}. $$यहाँ Aνs द्वैत बेसिस में A के द्वैत सदिश A* के घटक हैं और A के सहसंयोजक निर्देशांक कहलाते हैं, जबकि मूल Aν घटकों को प्रतिपरिवर्ती निर्देशांक कहा जाता है।

अवकलज और अवकल
विशेष सापेक्षता (परन्तु सामान्य सापेक्षता नहीं) में, अदिश λ (अपरिवर्तनीय) के संबंध में चतुर्विम-सदिश का अवकलज स्वयं एक चतुर्विम-सदिश होता है। चतुर्विम-सदिश, dA के अवकल को लेना और इसे अदिश के अवकल, dλ से विभाजित करना भी उपयोगी है:$$\underset{\text{differential}}{d\mathbf{A}} = \underset{\text{derivative}}{\frac{d\mathbf{A}}{d\lambda}} \underset{\text{differential}}{d\lambda} $$जहाँ प्रतिपरिवर्ती घटक हैं:$$ d\mathbf{A} = \left(dA^0, dA^1, dA^2, dA^3\right) $$जबकि सहसंयोजक घटक हैं:$$ d\mathbf{A} = \left(dA_0, dA_1, dA_2, dA_3\right) $$सापेक्षवादी यांत्रिकी में, प्रायः एक चतुर्विम-सदिश के अवकल को लेता है और अवकल से उचित समय में विभाजित करता है (नीचे देखें)।

चतुर्विम-स्थिति
मिन्कोव्स्की समष्टि में एक बिंदु एक समय और स्थानिक स्थिति है, जिसे "घटना" कहा जाता है, या कभी-कभी स्थिति चतुर्विम-सदिश या चार-स्थिति या 4-स्थिति, चार निर्देशांक के एक सेट द्वारा कुछ निर्देश तंत्र में वर्णित होती है:  $$ \mathbf{R} = \left(ct, \mathbf{r}\right) $$जहाँ r त्रि-विमीय स्थान स्थिति सदिश है। यदि r एक ही तंत्र में समन्वय समय t का एक फलन है, अर्थात r = r(t), यह घटनाओं के अनुक्रम के अनुरूप होता है क्योंकि t भिन्न होता है। परिभाषा R0 = ct यह सुनिश्चित करती है कि सभी निर्देशांकों की इकाइयाँ (दूरी की) समान हों।   ये निर्देशांक घटना के लिए चतुर्विम-सदिश की स्थिति के घटक हैं।

विस्थापन चतुर्विम-सदिश को दो घटनाओं को जोड़ने वाले तीर के रूप में परिभाषित किया गया है:$$ \Delta \mathbf{R} = \left(c\Delta t, \Delta \mathbf{r} \right) $$विश्व रेखा पर अवकल चार-स्थिति के लिए, हमारे पास एक आदर्श संकेतन का उपयोग करते हुए:$$\|d\mathbf{R}\|^2 = \mathbf{dR \cdot dR} = dR^\mu dR_\mu = c^2d\tau^2 = ds^2 \,,$$अंतर रेखा तत्व ds और अंतर उचित समय वृद्धि dτ को परिभाषित करना, परन्तु यह "मानक" भी है:$$\|d\mathbf{R}\|^2 = (cdt)^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} \,,$$ताकि:$$(c d\tau)^2 = (cdt)^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} \,.$$भौतिक परिघटनाओं पर विचार करते समय, विभेदक समीकरण स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, हालाँकि, जब फलनों के स्थान और समय के डेरिवेटिव पर विचार किया जाता है, तो यह स्पष्ट नहीं होता है कि इन डेरिवेटिव को किस संदर्भ में लिया गया है। यह सहमति है कि उचित समय $$\tau$$ के संबंध में समय अवकलज लिया जाता है। चूंकि उचित समय एक अपरिवर्तनीय है, यह गारंटी देता है कि किसी भी चतुर्विम-सदिश का उचित-समय-अवकलज स्वयं एक चतुर्विम-सदिश है। इसके बाद इस उचित-समय-अवकलज और अन्य समय अवकलज (एक जड़त्वीय निर्देश तंत्र के समन्वय समय टी का उपयोग करके) के बीच संबंध खोजना महत्वपूर्ण है। यह संबंध ऊपर दिए गए अंतर अपरिवर्तनीय दिक्काल अंतराल को लेकर प्रदान किया गया है, फिर प्राप्त करने के लिए (cdt)2 से विभाजित करके:$$\left(\frac{cd\tau}{cdt}\right)^2 = 1 - \left(\frac{d\mathbf{r}}{cdt}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{cdt}\right) = 1 - \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{c^2} = \frac{1}{\gamma(\mathbf{u})^2} \,, $$जहाँ u = dr/dt किसी वस्तु का निर्देशांक 3-वेग है जिसे निर्देशांक x, y, z, और निर्देशांक समय t के समान फ़्रेम में मापा जाता है, और$$\gamma(\mathbf{u}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{c^2}}}$$लोरेन्ट्ज कारक है। यह निर्देशांक समय और उचित समय में अंतरों के बीच एक उपयोगी संबंध प्रदान करता है:$$dt = \gamma(\mathbf{u})d\tau \,.$$यह संबंध लोरेंत्ज़ रूपांतरणों में समय परिवर्तन से भी पाया जा सकता है।

सापेक्षता सिद्धांत में महत्वपूर्ण चतुर्विम-सदिश इस अवकल $$\frac{d}{d\tau}$$ को लागू करके परिभाषित किए जा सकते हैं।

चतुर्विम-प्रवणता
यह देखते हुए कि आंशिक अवकलज रैखिक संकारक हैं, आंशिक समय अवकलज $∂$/$∂$t और स्थानिक प्रवणता ∇ से चतुर्विम-प्रवणता बना सकते हैं। मानक बेसिस का प्रयोग करते हुए, अनुक्रमणिका और संक्षिप्त संकेतन में, प्रतिपरिवर्ती घटक हैं:$$\begin{align} \boldsymbol{\partial} & = \left(\frac{\partial }{\partial x_0}, \, -\frac{\partial }{\partial x_1}, \, -\frac{\partial }{\partial x_2}, \, -\frac{\partial }{\partial x_3} \right) \\ & = (\partial^0, \, - \partial^1, \, - \partial^2, \, - \partial^3) \\ & = \mathbf{E}_0\partial^0 - \mathbf{E}_1\partial^1 - \mathbf{E}_2\partial^2 - \mathbf{E}_3\partial^3 \\ & = \mathbf{E}_0\partial^0 - \mathbf{E}_i\partial^i \\ & = \mathbf{E}_\alpha \partial^\alpha \\ & = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \, - \nabla \right) \\ & = \left(\frac{\partial_t}{c},- \nabla \right) \\ & = \mathbf{E}_0\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} - \nabla \\ \end{align}$$ध्यान दें कि बेसिस सदिशों को घटकों के सामने रखा जाता है, बेसिस सदिश के अवकलज लेने के बीच भ्रम को रोकने के लिए, या केवल आंशिक अवकलज इस चतुर्विम-सदिश का एक घटक है। सहसंयोजक घटक इस प्रकार हैं:$$\begin{align} \boldsymbol{\partial} & = \left(\frac{\partial }{\partial x^0}, \, \frac{\partial }{\partial x^1}, \, \frac{\partial }{\partial x^2}, \, \frac{\partial }{\partial x^3} \right) \\ & = (\partial_0, \, \partial_1, \, \partial_2, \, \partial_3) \\ & = \mathbf{E}^0\partial_0 + \mathbf{E}^1\partial_1 + \mathbf{E}^2\partial_2 + \mathbf{E}^3\partial_3 \\ & = \mathbf{E}^0\partial_0 + \mathbf{E}^i\partial_i \\ & = \mathbf{E}^\alpha \partial_\alpha \\ & = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \, \nabla \right) \\ & = \left(\frac{\partial_t}{c}, \nabla \right) \\ & = \mathbf{E}^0\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \nabla \\ \end{align}$$चूंकि यह एक संकारक है, इसकी "लंबाई" नहीं है, परन्तु संकारक के आंतरिक गुणनफल का मूल्यांकन स्वयं के साथ एक अन्य संकारक देता है:$$\partial^\mu \partial_\mu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 = \frac{{\partial_t}^2}{c^2} - \nabla^2$$डी'अलेम्बर्ट संकारक कहा जाता है।

चतुर्विम-वेग
एक कण के चतुर्विम-वेग को निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है:$$\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau} = \frac{d\mathbf{X}}{dt}\frac{dt}{d \tau} = \gamma(\mathbf{u})\left(c, \mathbf{u}\right),$$ज्यामितीय रूप से, U कण की विश्व रेखा के लिए सामान्यीकृत सदिश स्पर्शक है। चार-स्थिति के अंतर का उपयोग करते हुए, चतुर्विम-वेग का परिमाण प्राप्त किया जा सकता है:$$\|\mathbf{U}\|^2 = U^\mu U_\mu = \frac{dX^\mu}{d\tau} \frac{dX_\mu}{d\tau} = \frac{dX^\mu dX_\mu}{d\tau^2} = c^2 \,,$$संक्षेप में, किसी भी वस्तु के लिए चतुर्विम-वेग का परिमाण सदैव एक नियत स्थिरांक होता है:$$\| \mathbf{U} \|^2 = c^2 $$मानदंड भी है:$$\|\mathbf{U}\|^2 = {\gamma(\mathbf{u})}^2 \left( c^2 - \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} \right) \,,$$ताकि:$$c^2 = {\gamma(\mathbf{u})}^2 \left( c^2 - \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} \right) \,,$$जो लोरेंत्ज़ करक की परिभाषा को कम करता है।

चतुर्विम-वेग की इकाइयाँ SI में m/s हैं और ज्यामितीय इकाई प्रणाली में 1 है। चतुर्विम-वेग एक प्रतिपरिवर्ती सदिश है।

चतुर्विम-त्वरण
चतुर्विम-त्वरण द्वारा दिया जाता है:

$$\mathbf{A} = \frac{d\mathbf{U} }{d \tau} = \gamma(\mathbf{u}) \left(\frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} c, \frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} \mathbf{u} + \gamma(\mathbf{u}) \mathbf{a} \right).$$ जहाँ a = du/dt 3-त्वरण का निर्देशांक है। चूँकि U का परिमाण एक स्थिरांक है, चतुर्विम-त्वरण चार वेगों के लिए लंबकोणीय है, अर्थात चार-त्वरण और चतुर्विम-वेग का मिन्कोव्स्की आंतरिक गुणनफल शून्य है:

$$\mathbf{A}\cdot\mathbf{U} = A^\mu U_\mu = \frac{dU^\mu}{d\tau} U_\mu = \frac{1}{2} \, \frac{d}{d\tau} \left(U^\mu U_\mu\right) = 0 \,$$जो सभी विश्व रेखाओं के लिए सत्य है। चार-त्वरण का ज्यामितीय अर्थ मिन्कोवस्की अंतरिक्ष में विश्व रेखा का वक्रता सदिश है।

चतुर्विम-संवेग
विराम द्रव्यमान (या अपरिवर्तनीय द्रव्यमान) m0 के एक विशाल कण के लिए, चतुर्विम-संवेग द्वारा दिया जाता है:

$$\mathbf{P} = m_0 \mathbf{U} = m_0\gamma(\mathbf{u})(c, \mathbf{u}) = \left(\frac{E}{c}, \mathbf{p}\right)$$ जहाँ संवेगमान कण की कुल ऊर्जा है:

$$E = \gamma(\mathbf{u}) m_0 c^2 $$ और कुल सापेक्ष संवेग है:

$$\mathbf{p} = \gamma(\mathbf{u}) m_0 \mathbf{u} $$ चतुर्विम-संवेग के आंतरिक गुणनफल को अपने साथ लेना:

$$\|\mathbf{P}\|^2 = P^\mu P_\mu = m_0^2 U^\mu U_\mu = m_0^2 c^2$$ और भी:

$$\|\mathbf{P}\|^2 = \frac{E^2}{c^2} - \mathbf{p}\cdot\mathbf{p}$$ जो ऊर्जा-संवेग संबंध की ओर जाता है:

$$E^2 = c^2 \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} + \left(m_0 c^2\right)^2 \,.$$यह अंतिम संबंध उपयोगी सापेक्षतावादी यांत्रिकी है, सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में आवश्यक है, सभी कण भौतिकी के अनुप्रयोगों के साथ।

चतुर्विम-बल
न्यूटन के दूसरे नियम में 3-संवेग के समय के अवकलज के रूप में एक कण पर फलन करने वाले चतुर्विम-बल को 3-बल के समान परिभाषित किया गया है:

$$\mathbf{F} = \frac {d \mathbf{P}} {d \tau} = \gamma(\mathbf{u})\left(\frac{1}{c}\frac{dE}{dt}, \frac{d\mathbf{p}}{dt}\right) = \gamma(\mathbf{u})\left(\frac{P}{c}, \mathbf{f}\right)$$ जहाँ P कण को स्थानांतरित करने के लिए हस्तांतरित शक्ति है, और f कण पर फलनरत 3-बल है। स्थिर अपरिवर्तनीय द्रव्यमान m0 के एक कण के लिए, यह इसके बराबर है

$$\mathbf{F} = m_0 \mathbf{A} = m_0\gamma(\mathbf{u})\left( \frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} c, \left(\frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} \mathbf{u} + \gamma(\mathbf{u}) \mathbf{a}\right) \right)$$ चतुर्विम-बल से अवकलज अपरिवर्तनीय है:

$$\mathbf{F}\cdot\mathbf{U} = F^\mu U_\mu = m_0 A^\mu U_\mu = 0$$ उपरोक्त परिणाम से।

चतुर्विम-उष्मीय फ्लक्स
तरल के स्थानीय तंत्र में, चतुर्विम-उष्मीय फ्लक्स सदिश क्षेत्र अनिवार्य रूप से 3d गर्मी फ्लक्स सदिश क्षेत्र q के समान है:

$$\mathbf{Q} = -k \boldsymbol{\partial} T = -k\left( \frac{1}{c}\frac{\partial T}{\partial t}, \nabla T\right) $$ जहाँ T निरपेक्ष तापमान है और k उष्मीय चालकता है।

चतुर्विम-बैरियन संख्या फ्लक्स
बेरियनों का फ्लक्स है: $$\mathbf{S} = n\mathbf{U}$$ जहाँ $n$, बैरियन द्रव के स्थानीय विराम तंत्र में बेरिऑन का संख्या घनत्व है (बैरिऑन के लिए धनात्मक मान, एंटीबैरिऑन के लिए ऋणात्मक), और $U$ चतुर्विम-वेग क्षेत्र (तरल पदार्थ का) जैसा कि ऊपर बताया गया है।

चतुर्विम-एन्ट्रॉपी
चतुर्विम-एन्ट्रॉपी सदिश द्वारा परिभाषित किया गया है: $$\mathbf{s} = s\mathbf{S} + \frac{\mathbf{Q}}{T}$$ जहाँ $s$ एंट्रॉपी प्रति बेरोन है, और $T$ निरपेक्ष तापमान है, द्रव के स्थानीय रेस्ट तंत्र में।

विद्युत चुंबकत्व
विद्युत चुंबकत्व में चतुर्विम-सदिश के उदाहरणों में निम्नलिखित सम्मिलित हैं।

चतुर्विम-धारा
विद्युत् चुंबकत्व चतुर्विम-धारा (या अधिक उचित रूप से चतुर्विम-धारा घनत्व) द्वारा परिभाषित किया गया है $$ \mathbf{J} = \left( \rho c, \mathbf{j} \right) $$ धारा घनत्व j और आवेश घनत्व ρ से गठित।

चतुर्विम-विभव
विद्युत् चुंबकत्व फोर-पोटेंशियल (या अधिक उचित रूप से चतुर्विम-EM सदिश क्षमता) द्वारा परिभाषित $$\mathbf{A} = \left( \frac{\phi}{c}, \mathbf{a} \right)$$सदिश क्षमता $a$ और अदिश क्षमता $ϕ$ से बनता है।

चार-क्षमता अद्वितीय रूप से निर्धारित नहीं है, क्योंकि यह गेज की पसंद पर निर्भर करता है।

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के लिए तरंग समीकरण में:
 * निर्वात में, $$(\boldsymbol{\partial} \cdot \boldsymbol{\partial}) \mathbf{A} = 0$$
 * एक चतुर्विम-धारा स्रोत के साथ और लॉरेंज गेज स्थिति $$(\boldsymbol{\partial} \cdot \mathbf{A}) = 0$$ का उपयोग करके,$$(\boldsymbol{\partial} \cdot \boldsymbol{\partial}) \mathbf{A} = \mu_0 \mathbf{J}$$

चतुर्विम-आवृत्ति
एक फोटोनिक समतल तरंग को चतुर्विम-आवृत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है

$$\mathbf{N} = \nu\left(1, \hat{\mathbf{n}} \right)$$ जहाँ ν तरंग की आवृत्ति है और $$\hat{\mathbf{n}}$$ तरंग की यात्रा दिशा में एक इकाई सदिश है। अब:

$$\|\mathbf{N}\| = N^\mu N_\mu = \nu ^2 \left(1 - \hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\right) = 0$$ इसलिए फोटॉन की चतुर्विम-आवृत्ति सदैव अशक्त सदिश होती है।

चतुर्विम-तरंगसदिश
समय t और स्थान r के व्युत्क्रम की मात्राएँ क्रमशः कोणीय आवृत्ति ω और वेव सदिश k हैं। वे चार-तरंग सदिश या तरंग चतुर्विम-सदिश के घटक बनाते हैं:

$$\mathbf{K} = \left(\frac{\omega}{c}, \vec{\mathbf{k}}\right) = \left(\frac{\omega}{c}, \frac{\omega}{v_p} \hat\mathbf{n}\right) \,.$$ लगभग एकवर्णी प्रकाश के एक तरंग पैकेट का वर्णन निम्न द्वारा किया जा सकता है:

$$\mathbf{K} = \frac{2\pi}{c}\mathbf{N} = \frac{2\pi}{c} \nu\left(1,\hat{\mathbf{n}}\right) = \frac{\omega}{c} \left(1, \hat{\mathbf{n}}\right) \,.$$ डी ब्रोगली संबंध तब दिखाते हैं कि चार-तरंग सदिश पदार्थ तरंगों के साथ-साथ प्रकाश तरंगों पर भी लागू होता है: $$\mathbf{P} = \hbar \mathbf{K} = \left(\frac{E}{c},\vec{p}\right) = \hbar \left(\frac{\omega}{c},\vec{k} \right)\,.$$ उपज $$E = \hbar \omega$$ तथा $$\vec{p} = \hbar \vec{k}$$, जहाँ प्लांक नियतांक से विभाजित है $2π$.

मानदंड का वर्ग है: $$\| \mathbf{K} \|^2 = K^\mu K_\mu = \left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - \mathbf{k}\cdot\mathbf{k}\,,$$ और डी ब्रोगली संबंध द्वारा: $$\| \mathbf{K} \|^2 = \frac{1}{\hbar^2} \| \mathbf{P} \|^2 = \left(\frac{m_0 c}{\hbar}\right)^2 \,,$$ हमारे पास ऊर्जा-संवेग संबंध का पदार्थ तरंग एनालॉग है: $$\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} = \left(\frac{m_0 c}{\hbar}\right)^2 \,.$$ ध्यान दें कि द्रव्यमान रहित कणों के लिए, किस स्थिति में $m_{0} = 0$, अपने पास: $$\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 = \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} \,,$$ या $‖k‖ = ω/c$. ध्यान दें कि यह उपरोक्त स्थिति के अनुरूप है, मापांक $ω/c$ के 3-तरंग सदिश वाले फोटॉन के लिए, इकाई सदिश $$\hat{\mathbf{n}}$$ द्वारा परिभाषित तरंग प्रसार की दिशा में।

चतुर्विम-प्रायिकता धारा
क्वांटम यांत्रिकी में, चार-संभाव्यता धारा या प्रायिकता चतुर्विम-धारा विद्युत चुम्बकीय चतुर्विम-धारा के अनुरूप होती है: $$\mathbf{J} = (\rho c, \mathbf{j}) $$ जहाँ $ρ$ समय घटक के संगत प्रायिकता घनत्व फलन है, और $j$ प्रायिकता धारा सदिश है। गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, यह धारा सदैव अच्छी तरह से परिभाषित होती है क्योंकि घनत्व और धारा के भाव सकारात्मक निश्चित होते हैं और संभाव्यता व्याख्या स्वीकार कर सकते हैं। सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, सदैव धारा का पता लगाना संभव नहीं होता है, विशेष रूप से जब पारस्परिक प्रभाव सम्मिलित हो।

चतुर्विम-संवेग में ऊर्जा संकारक द्वारा ऊर्जा और संवेग संचालक द्वारा संवेग को प्रतिस्थापित करने पर, चतुर्विम-संवेग संकारक प्राप्त होता है, जिसका उपयोग आपेक्षिक तरंग समीकरण में किया जाता है।

चतुर्विम-चक्रण (स्पिन)
कण के चतुर्विम-चक्रण (स्पिन) को कण के शेष तंत्र में परिभाषित किया जाता है $$\mathbf{S} = (0, \mathbf{s})$$ जहाँ $s$ स्पिन स्यूडोसदिश है। क्वांटम यांत्रिकी में, इस सदिश के सभी तीन घटकों को एक साथ मापा नहीं जा सकता है, केवल एक घटक है। टाइमलाइक घटक कण के विराम तंत्र में शुन्य है, परन्तु किसी अन्य तंत्र में नहीं। यह घटक उपयुक्त लोरेंत्ज़ रूपांतरण से पाया जा सकता है।

मानक वर्ग स्पिन का (ऋणात्मक) परिमाण वर्ग है, और क्वांटम यांत्रिकी के अनुसार हमें निम्न प्राप्त है $$\|\mathbf{S}\|^2 = -|\mathbf{s}|^2 = -\hbar^2 s(s + 1)$$ स्पिन क्वांटम संख्या $s$ (स्पिन सदिश की परिमाण नहीं) के साथ, यह मान अवलोकनीय और परिमाणित है।

भौतिक स्थान के बीजगणित में चतुर्विम-सदिश
चतुर्विम-सदिश A को भी पॉल के आव्यूह को बेसिस के रूप में उपयोग करते हुए परिभाषित किया जा सकता है, फिर से विभिन्न समकक्ष संकेतन में: $$ \begin{align} \mathbf{A} & = \left(A^0, \, A^1, \, A^2, \, A^3\right) \\ & = A^0\boldsymbol{\sigma}_0 + A^1 \boldsymbol{\sigma}_1 + A^2 \boldsymbol{\sigma}_2 + A^3 \boldsymbol{\sigma}_3 \\ & = A^0\boldsymbol{\sigma}_0 + A^i \boldsymbol{\sigma}_i \\ & = A^\alpha\boldsymbol{\sigma}_\alpha\\ \end{align}$$ या स्पष्ट रूप से: $$\begin{align} \mathbf{A} & = A^0\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &  1 \end{pmatrix} + A^1\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 &  0 \end{pmatrix} + A^2\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} + A^3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} A^0 +  A^3 & A^1 - i A^2 \\ A^1 + i A^2 & A^0 -  A^3 \end{pmatrix} \end{align}$$ और इस सूत्रीकरण में, चतुर्विम-सदिश को एक वास्तविक-मूल्यवान कॉलम या पंक्ति सदिश के बजाय हर्मीशियन आव्यूह (आव्यूह पक्षान्तर और आव्यूह के जटिल संयुग्म इसे अपरिवर्तित छोड़ देता है) के रूप में दर्शाया गया है। आव्यूह का निर्धारक चतुर्विम-सदिश का मॉड्यूलस है, इसलिए निर्धारक एक अपरिवर्तनीय है: $$ \begin{align} |\mathbf{A}| & = \begin{vmatrix} A^0 +  A^3 & A^1 - i A^2 \\ A^1 + i A^2 & A^0 -  A^3 \end{vmatrix} \\ & = \left(A^0 + A^3\right)\left(A^0 - A^3\right) - \left(A^1 -i A^2\right)\left(A^1 + i A^2\right) \\ & = \left(A^0\right)^2 - \left(A^1\right)^2 - \left(A^2\right)^2 - \left(A^3\right)^2 \end{align}$$ पाउली के आव्यूह को बेसिस सदिश के रूप में उपयोग करने का यह विचार भौतिक अंतरिक्ष के बीजगणित में नियोजित है, क्लिफर्ड बीजगणित का एक उदाहरण है।

दिक्काल बीजगणित में चतुर्विम-सदिश
दिक्काल बीजगणित में, क्लिफोर्ड बीजगणित का एक और उदाहरण, गामा आव्यूह भी बेसिस बना सकते हैं। (डिराक समीकरण में उनकी उपस्थिति के कारण उन्हें डायराक मैट्रिस भी कहा जाता है)। गामा आव्यूहों को व्यक्त करने के एक से अधिक तरीके हैं, जो कि मुख्य लेख में विस्तृत हैं।

फेनमैन स्लैश संकेतन गामा आव्यूहों के साथ अनुबंधित चतुर्विम-सदिश A के लिए एक शॉर्टहैंड है:$$\mathbf{A}\!\!\!\!/ = A_\alpha \gamma^\alpha = A_0 \gamma^0 + A_1 \gamma^1 + A_2 \gamma^2 + A_3 \gamma^3 $$ गामा आव्यूह के साथ अनुबंधित चतुर्विम-संवेग सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण मामला है। डायराक समीकरण और अन्य आपेक्षिकीय तरंग समीकरणों में, इस रूप के पद: $$\mathbf{P}\!\!\!\!/ = P_\alpha \gamma^\alpha = P_0 \gamma^0 + P_1 \gamma^1 + P_2 \gamma^2 + P_3 \gamma^3 = \dfrac{E}{c} \gamma^0 - p_x \gamma^1 - p_y \gamma^2 - p_z \gamma^3 $$ प्रकट होते हैं, जिसमें ऊर्जा $E$ और संवेग घटक $(p_{x}, p_{y}, p_{z})$ उनके संबंधित संकारक द्वारा प्रतिस्थापित कर दिए जाते हैं।

यह भी देखें

 * वक्रित दिक्-काल के गणित का मूल परिचय
 * संख्या-फ्लक्स चतुर्विम-सदिश के लिए धूल (सापेक्षता)।
 * मिंकोव्स्की स्पेस
 * पैरासदिश
 * सापेक्ष यांत्रिकी
 * वेव सदिश

संदर्भ

 * Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edn.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5