लिउविल संख्या

संख्या सिद्धांत में, एक लिउविल संख्या संपत्ति के साथ एक वास्तविक संख्या $$x$$ है,जो की प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक $$n$$ के लिए $$q>1$$के साथ पूर्णांकों $$(p,q)$$ की एक जोड़ी उपथित है जैसे कि $$0 < \left|x-\frac{p}{q}\right| < \frac{1}{q^{n}} .$$

लिउविल संख्याएं लगभग परिमेय संख्या हैं, और इस प्रकार परिमेय संख्याओं के अनुक्रमों द्वारा अधिक निकटता से अनुमान लगाया जा सकता है। वे स्पष्ट रूप से वे पारलौकिक संख्याएँ हैं जिन्हें परिमेय संख्याओं द्वारा किसी भी बीजगणितीय संख्या अपरिमेय संख्या की तुलना में अधिक स्पष्टता से अनुमानित किया जा सकता है। 1844 में, जोसेफ लिउविल ने दिखाया कि सभी लिउविल नंबर ट्रान्सेंडैंटल हैं, इस प्रकार पहली बार पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व की स्थापना की थी।

यह ज्ञात है कि $\pi$ और $e$ लिउविल संख्या नहीं हैं।

लिउविल संख्याओं का अस्तित्व (लिउविल का स्थिरांक)
लिउविल नंबरों को एक स्पष्ट निर्माण द्वारा अस्तित्व में दिखाया जा सकता है।

किसी भी पूर्णांक $$b\ge 2$$ और पूर्णांकों के किसी भी अनुक्रम के लिए $$(a_1,a_2,\dots)$$ जैसे कि$$a_k\in\{0,1,2,\dots,b-1\}$$ सभी $$k$$ के लिए और $$a_k\ne 0$$ अनगिनत $$k$$ के लिए संख्या परिभाषित करें $$x = \sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}.$$ विशेष स्थिति में जब $$b=10$$, और $$a_k=1$$ सभी के लिए $$k$$, परिणामी संख्या $$x$$ लिउविल का स्थिरांक कहा जाता है:


 * L = 0.110001000000000000000001000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000...

यह $$x$$ की परिभाषा से इस प्रकार है कि इसका आधार-$$b$$ प्रतिनिधित्व है


 * $$x = \left(0.a_{1}a_{2}000a_{3}00000000000000000a_{4}0000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000a_{5}\ldots\right)_b\;$$

जहां $$n$$वाँ पद $$(n!)$$वें स्थान पर है।

चूंकि यह आधार-$$b$$ प्रतिनिधित्व गैर-दोहराव है, यह इस प्रकार है कि $$x$$ एक परिमेय संख्या नहीं है। इसलिए, किसी भी परिमेय संख्या $$p/q$$ के लिए, हमारे पास $$|x-p/q|>0$$ है।

अब, किसी पूर्णांक$$n\ge 1$$ के लिए, $$q_n$$ और $$p_n$$को निम्नानुसार परिभाषित करें: $$q_n = b^{n!}\,; \quad p_n = q_n \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b^{k!}} = \sum_{k=1}^n {a_k}{b^{n!-k!}} \; .$$ तब $$\begin{align} 0 < \left|x - \frac{p_n}{q_n}\right| & = \left|x - \frac{q_n\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b^{k!}}}{q_n}\right| = \left|x - \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b^{k!}}\right| = \left|\sum_{k=1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}} - \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b^{k!}}\right| = \left|\left(\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b^{k!}} + \sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}\right) - \sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b^{k!}}\right| = \sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}} \\[6pt] & \le \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}} < \sum_{k=(n+1)!}^\infty \frac{b-1}{b^k} = \frac{b-1}{b^{(n+1)!}} + \frac{b-1}{b^{(n+1)!+1}} + \frac{b-1}{b^{(n+1)!+2}} + ... = \frac{b-1}{b^{(n+1)!}b^{0}} + \frac{b-1}{b^{(n+1)!}b^{1}} + \frac{b-1}{b^{(n+1)!}b^{2}} + ... = \frac{b-1}{b^{(n+1)!}} \sum_{k=0}^\infty \frac{1}{b^k} \\[6pt] & = \frac{b-1}{b^{(n+1)!}}\cdot\frac{b}{b-1} = \frac{b}{b^{(n+1)!}} \le \frac{b^{n!}}{b^{(n+1)!}} = \frac{1}{b^{(n+1)! - n!}} = \frac{1}{b^{(n+1)n! - n!}} = \frac{1}{b^{n(n!) + n! - n!}} = \frac{1}{b^{(n!)n}} = \frac{1}{{q_n}^n} \end{align}$$ इसलिए, हम निष्कर्ष निकालते हैं कि ऐसा कोई भी $$x$$ एक लिउविल संख्या है।

प्रमाण पर नोट्स
\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}} < \sum_{k=(n+1)!}^\infty \frac{b-1}{b^k} \end{align}$$ श्रृंखला (गणित) को समाप्त करने के लिए इसे एक श्रृंखला में कम करने के लिए हमारी प्रेरणा से अनुसरण करता है जिसके लिए हम एक सूत्र जानते हैं। अब तक के प्रमाण में 1. में असमानता का परिचय देने का उद्देश्य अंतर्ज्ञान से आता है कि $$\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{b^{k}} = \frac{b}{b-1}$$ (ज्यामितीय श्रृंखला सूत्र); इसलिए, यदि हम से एक असमानता पा सकते हैं $$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}$$ जो अंश में (b−1) के साथ एक श्रृंखला का परिचय देता है, और यदि हम भाजक शब्द को और कम करने के लिए काम कर सकते हैं $$b^{k!}$$को $$b^{k}$$, साथ ही श्रृंखला सूचकांकों को 0 से $$\infty$$, तब हम श्रृंखला और (b−1) दोनों पदों को हटाने में सक्षम होंगे, जिससे हम रूप के एक अंश के समीप पहुंचेंगे $$\frac{1}{b^{\text{exponent}\times n}}$$, जो प्रमाण का अंतिम लक्ष्य है। हम इस प्रेरणा को यहाँ अब योग से चुनकर आगे बढ़ा रहे हैं $$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}$$ एक आंशिक योग। ध्यान दें कि, किसी भी पद के लिए $$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}$$, चूँकि b ≥ 2, तब $$\frac{b-1}{b^{k!}} < \frac{b-1}{b^{k}}$$, सभी k के लिए (जब n = 1 को छोड़कर)। इसलिए, $$\begin{align} \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}} < \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^k} \end{align}$$ (चूंकि, भले ही n=1, बाद की सभी नियम छोटी हों)। सूचकांकों में हेरफेर करने के लिए जिससे k 0 से प्रारंभ हो, हम अंदर से एक आंशिक योग का चयन करते हैं $$ \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^k} $$ (कुल मान से भी कम है क्योंकि यह एक ऐसी श्रृंखला का आंशिक योग है जिसके सभी पद धनात्मक हैं)। हम k = (n+1) से प्रारंभ करके गठित आंशिक योग का चयन करेंगे! जो k = 0 के साथ एक नई श्रृंखला लिखने के लिए हमारी प्रेरणा से अनुसरण करता है, अर्थात $$b^{(n+1)!} = b^{(n+1)!}b^0$$ यह ध्यान में रखते हुए ..
 * 1) असमानता $$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}} \le \sum_{k=n+1}^\infty \frac{b-1}{b^{k!}}$$अनुसरण करता है क्योंकि ak ∈ {0, 1, 2, …, b−1} सभी k के लिए, इसलिए अधिक से अधिक ak = b−1. । सबसे बड़ा संभव योग होगा यदि पूर्णांकों का अनुक्रम (a1, a2, …) (b−1, b−1, ...), जिससे ak = b−1. सभी k के लिए था।$$\sum_{k=n+1}^\infty \frac{a_k}{b^{k!}}$$ इस प्रकार इस सबसे बड़ी संभव राशि से कम या उसके समान होगा।
 * 2) शसक्त असमानता $$\begin{align}
 * 1) अंतिम असमानता $$\frac{b}{b^{(n+1)!}} \le \frac{b^{n!}}{b^{(n+1)!}}$$ के लिए हमने इस विशेष असमानता को चुना है (सत्य है क्योंकि b ≥ 2, जहाँ समानता का पालन होता है यदि और केवल यदि n = 1) क्योंकि हम $$\frac{b}{b^{(n+1)!}}$$को किसी रूप में बदलना चाहते हैं $$\frac{1}{b^{\text{exponent}\times n}}$$ यह विशेष असमानता हमें (n+1) को खत्म करने की अनुमति देता है! और अंश, संपत्ति का उपयोग करके कि (n+1)! – n! = (n!)n, इस प्रकार प्रतिस्थापन $$q_n = b^{n!}$$ के लिए हर को आदर्श रूप में रखना है ।

तर्कहीनता
यहां हम दिखाएंगे कि संख्या $$~ x = c / d ~,$$ जहां $c$ और $d$ पूर्णांक हैं और $$~ d > 0 ~,$$लिउविल संख्या को परिभाषित करने वाली असमानताओं को संतुष्ट नहीं कर सकते। चूँकि प्रत्येक परिमेय संख्या को $$~ c / d ~,$$ के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है, हम सिद्ध कर चुके होंगे कि कोई लिउविल संख्या परिमेय नहीं हो सकती है ।

विशेष रूप से, हम दिखाते हैं कि किसी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए इतना बड़ा कि $$~ 2^{n - 1} > d > 0~$$ समतुल्य रूप से, किसी धनात्मक पूर्णांक के लिए $$~ n > 1 + \log_2(d) ~$$, पूर्णांकों की कोई भी जोड़ी $$~(\,p,\,q\,)~$$ उपस्थित नहीं है जो एक साथ ब्रैकेटिंग असमानताओं की जोड़ी को संतुष्ट करती है


 * $$0 < \left|x - \frac{\,p\,}{q}\right| < \frac{1}{\;q^n\,}~.$$

यदि दावा सत्य है, तो वांछित निष्कर्ष अनुसरण करता है।

मान लीजिए $p$ और $q$ $$~q > 1~.$$ के साथ कोई पूर्णांक हैं तो हमारे पास है


 * $$ \left| x - \frac{\,p\,}{q} \right| = \left| \frac{\,c\,}{d} - \frac{\,p\,}{q} \right| = \frac{\,|c\,q - d\,p|\,}{ d\,q }$$

यदि $$ \left| c\,q - d\,p \right| = 0~,$$ तब हमारे पास होगा


 * $$\left| x - \frac{\,p\,}{q}\right|= \frac{\,|c\,q - d\,p|\,}{ d\,q } = 0 ~,$$

इसका अर्थ है कि पूर्णांकों की ऐसी जोड़ी $$~(\,p,\,q\,)~$$ लिउविल संख्या की परिभाषा में पहली असमानता का उल्लंघन करेगी, चाहे $n$ का कोई भी विकल्प हो। यदि, दूसरी ओर, चूँकि$$~\left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~,$$ तब, चूँकि $$c\,q - d\,p$$ एक पूर्णांक है, हम तीव्र असमानता पर जोर दे सकते हैं $$\left| c\,q - d\,p \right| \ge 1 ~.$$ इससे यह पता चलता है कि


 * $$\left| x - \frac{\,p\,}{q}\right|= \frac{\,| c\,q - d\,p |\,}{d\,q} \ge \frac{1}{\,d\,q\,}$$

अब किसी पूर्णांक के लिए $$~n > 1 + \log_2(d)~,$$ उपरोक्त अंतिम असमानता का तात्पर्य है


 * $$\left| x - \frac{\,p\,}{q} \right| \ge \frac{1}{\,d\,q\,} > \frac{1}{\,2^{n-1}q\,} \ge \frac{1}{\;q^n\,} ~.$$

इसलिए, स्थिति में $$~ \left| c\,q - d\,p \right| > 0 ~$$ पूर्णांकों की ऐसी जोड़ी $$~(\,p,\,q\,)~$$ उल्लंघन करेगी किसी धनात्मक पूर्णांक $n$ के लिए लिउविल संख्या की परिभाषा में दूसरी असमानता है ।

हम निष्कर्ष निकालते हैं कि$$~(\,p,\,q\,)~,$$ $$~ q > 1 ~,$$के साथ पूर्णांकों की कोई जोड़ी नहीं है जो इस तरह के $$~ x = c / d ~,$$ एक लिउविल संख्या के रूप में। इसलिए एक लिउविल संख्या, यदि यह उपस्थित है, तर्कसंगत नहीं हो सकती है ।

(लिउविल के स्थिरांक पर अनुभाग यह सिद्ध करता है कि एक के निर्माण को प्रदर्शित करके लिउविल संख्याएं उपस्थित हैं। इस खंड में दिए गए प्रमाण का अर्थ है कि यह संख्या अपरिमेय होनी चाहिए।)

बेशुमारता
उदाहरण के लिए, संख्या पर विचार करें


 * 3.1400010000000000000000050000....

3.14(3 शून्य)1(17 शून्य)5(95 शून्य)9(599 शून्य)2(4319 शून्य)6...

जहां स्थिति n! को छोड़कर अंक शून्य हैं जहां अंक π के दशमलव विस्तार में दशमलव बिंदु के बाद n वें अंक के समान होता है।

जैसा कि लिउविले संख्याओं (लिउविल का स्थिरांक) के अस्तित्व पर अनुभाग में दिखाया गया है, यह संख्या, साथ ही इसके गैर-शून्य अंकों के साथ समान रूप से स्थित कोई अन्य गैर-समाप्ति दशमलव, लिउविल संख्या की परिभाषा को संतुष्ट करता है। चूंकि गैर-शून्य अंकों के सभी अनुक्रमों के समूह में सातत्य की प्रमुखता होती है, वही बात सभी लिउविल संख्याओं के समूह के साथ होती है।

इसके अतिरिक्त, लिउविल संख्याएं वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का एक सघन समुच्चय बनाती हैं।

लिउविल संख्या और माप
माप सिद्धांत के दृष्टिकोण से, सभी लिउविल संख्याओं का समुच्चय $$L$$ छोटा है। अधिक स्पष्ट रूप से, इसका लेबेस्गु उपाय, $$\lambda(L)$$, शून्य है। दिया गया प्रमाण जॉन सी. ओक्सटॉबी के कुछ विचारों का अनुसरण करता है।

सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $$n>2$$ और $$q\geq2$$ तय करना:


 * $$V_{n,q}=\bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty \left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)$$

अपने पास


 * $$L\subseteq \bigcup_{q=2}^\infty V_{n,q}.$$

ध्यान दें कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $$n\geq2$$ और $$m\geq1$$, हमारे पास भी है


 * $$L\cap (-m,m)\subseteq \bigcup\limits_{q=2}^\infty V_{n,q}\cap(-m,m)\subseteq \bigcup\limits_{q=2}^\infty\bigcup\limits_{p=-mq}^{mq} \left( \frac{p}{q}-\frac{1}{q^n},\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right).$$

तब से


 * $$ \left|\left(\frac{p}{q}+\frac{1}{q^n}\right)-\left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n}\right)\right|=\frac{2}{q^n}$$

और $$n>2$$ अपने पास



\begin{align} \mu(L\cap (-m,\, m)) & \leq\sum_{q=2}^\infty\sum_{p=-mq}^{mq}\frac{2}{q^n} = \sum_{q=2}^\infty \frac{2(2mq+1)}{q^n} \\[6pt] & \leq (4m+1)\sum_{q=2}^\infty\frac{1}{q^{n-1}} \leq (4m+1) \int^\infty_1 \frac{dq}{q^{n-1}}\leq\frac{4m+1}{n-2}. \end{align} $$ अब


 * $$\lim_{n\to\infty}\frac{4m+1}{n-2}=0$$

और यह इस प्रकार है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक$$m$$, $$L\cap (-m,m)$$के लिए लेबेस्ग माप शून्य है। नतीजतन, इसलिए $$L$$ इसके विपरीत, सभी वास्तविक पारलौकिक संख्याओं के समूह का लेबेस्ग माप अनंत है (चूंकि बीजगणितीय संख्याओं का समूह एक शून्य समूह है)।

लिउविल संख्याओं के समुच्चय की संरचना
प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$, तय करना


 * $$~ U_n = \bigcup\limits_{q=2}^\infty ~ \bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty  ~ \left\{ x \in \mathbb R : 0 <  \left |x- \frac{p}{\,q\,} \right |< \frac{1}{\;q^n\,}\right\} = \bigcup\limits_{q=2}^\infty ~ \bigcup\limits_{p=-\infty}^\infty ~ \left(\frac{p}{q}-\frac{1}{q^n}~,~\frac{p}{\,q\,} + \frac{1}{\;q^n\,}\right) \setminus \left\{\frac{p}{\,q\,}\right\} ~$$

सभी लिउविल संख्याओं के समुच्चय को इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$~ L ~=~ \bigcap\limits_{n=1}^\infty U_n ~=~ \bigcap\limits_{n \in \mathbb{N}_1} ~ \bigcup\limits_{ q \geqslant 2} ~ \bigcup \limits_{ p \in \mathbb{Z} }\,\left(\,\left(\,\frac{\,p\,}{q} - \frac{1}{\;q^n\,}~,~ \frac{\,p\,}{q} + \frac{1}{\;q^n\,} \,\right) \setminus \left\{\,\frac{\,p\,}{q}\,\right\} \,\right) ~.$$

प्रत्येक $$~ U_n ~$$ एक खुला समूह है; चूंकि इसके बंद होने में सभी परिमेय $$~p / q~$$ प्रत्येक छिद्रित अंतराल से) सम्मिलित हैं, यह वास्तविक रेखा का एक सघन उपसमुच्चय भी है। चूँकि यह कई ऐसे खुले सघन समूहों का प्रतिच्छेदन है, $L$ कमएग्रे है, अर्थात यह एक सघन Gδ समुच्चय है।

तर्कहीनता माप
वास्तविक संख्या $$x$$ का लिउविल-रोथ अपरिमेयता माप (तर्कहीनता प्रतिपादक, सन्निकटन प्रतिपादक, या लिउविल-रोथ स्थिरांक) इस बात का एक माप है कि इसे परिमेय द्वारा "निकटता से" कैसे अनुमानित किया जा सकता है। लिउविल संख्याओं की परिभाषा को सामान्यीकृत करते हुए, $$q$$ की शक्ति में किसी भी $$n$$ की अनुमति देने के अतिरिक्त, हम $$\mu$$ के लिए सबसे बड़ा संभव मान पाते हैं जैसे कि $$0< \left| x- \frac{p}{q} \right| < \frac{1}{q^\mu} $$ , $$q>0$$ के साथ अनंत संख्या में कोप्राइम पूर्णांक जोड़े $$(p,q)$$ से संतुष्ट है। $$\mu$$ के इस अधिकतम मान को $$x$$ के अपरिमेयता माप के रूप में परिभाषित किया गया है।   इस ऊपरी सीमा से कम $$\mu$$ के किसी भी मान के लिए, उपरोक्त असमानता को संतुष्ट करने वाले सभी परिमेय $$p/q$$ के अनंत समूह से $$x$$का एक सन्निकटन प्राप्त होता है। इसके विपरीत, यदि $$\mu$$ ऊपरी सीमा से अधिक है, तो अधिक से अधिक सूक्ष्म रूप से कई $$(p,q)$$ $$q>0$$ हैं जो असमानता को संतुष्ट करते हैं; इस प्रकार, विपरीत असमानता $$q$$ के सभी बड़े मान के लिए प्रयुक्त होती है। दूसरे शब्दों में, एक वास्तविक संख्या $$x$$ का अपरिमेयता माप दिया गया है, जब भी एक परिमेय सन्निकटन$$x\approx p/q$$ $$p,q\in\N$$ स्पष्ट दशमलव अंक देता है, हमारे पास है


 * $$\frac{1}{10^n} \ge \left| x- \frac{p}{q} \right| \ge \frac{1}{q^{\mu+\varepsilon}} $$

किसी भी $$\varepsilon >0$$ के लिए, "सौभाग्यशाली" जोड़े $$(p,q)$$ की सीमित संख्या को छोड़कर।

डिरिचलेट के सन्निकटन प्रमेय के परिणामस्वरूप प्रत्येक अपरिमेय संख्या में अपरिमेयता माप कम से कम 2 होता है। दूसरी ओर, बोरेल-कैंटेली लेम्मा के एक अनुप्रयोग से पता चलता है कि लगभग सभी संख्याओं में 2 के समान एक अपरिमेयता माप होती है।

नीचे कुछ संख्याओं की अपरिमेयता मापों के लिए ज्ञात ऊपरी और निचली सीमाओं की तालिका दी गई है।

तर्कहीनता आधार
अपरिमेयता का आधार जे. सोंडो द्वारा लिउविल संख्याओं के लिए एक अपरिमेयता माप के रूप में पेश की गई तर्कहीनता का एक उपाय है । इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है: मान लीजिए $$\alpha $$ एक अपरिमेय संख्या है। यदि किसी $$ \varepsilon >0 $$ के गुण के साथ एक वास्तविक संख्या $$ \beta \geq 1 $$ उपस्थित है, तो एक धनात्मक पूर्णांक$$ q(\varepsilon)$$ है जैसे कि


 * $$ \left| \alpha-\frac{p}{q} \right| > \frac 1 {(\beta+\varepsilon)^q} \text{ for all integers } p,q \text{ with } q \geq q(\varepsilon) $$,

तब $$\beta$$ को $$\alpha$$ का अपरिमेय आधार कहा जाता है और इसे $$\beta(\alpha)$$ के रूप में दर्शाया जाता है।

यदि ऐसा कोई $$\beta$$ उपस्थित नहीं है, तो $$\alpha$$ को सुपर लिउविल संख्या कहा जाता है।

'उदाहरण': श्रृंखला $$\varepsilon_{2e}=1+\frac{1}{2^1}+\frac{1}{4^{2^1}}+\frac{1}{8^{4^{2^1}}}+\frac{1}{16^{8^{4^{2^1}}}}+\frac{1}{32^{16^{8^{4^{2^1}}}}}+\ldots$$ एक सुपर लिउविल संख्या है, जबकि श्रृंखला $$\tau_2 = \sum_{n=1}^\infty{\frac{1}{^{n}2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{2^{2^2}} + \frac{1}{2^{2^{2^2}}} + \frac{1}{2^{2^{2^{2^2}}}} + \ldots$$ अपरिमेयता आधार 2 के साथ एक लिउविल संख्या है। ($${^{b}a}$$ टेट्रेशन का प्रतिनिधित्व करता है।)

लिउविल नंबर और ट्रान्सेंडेंस
यह स्थापित करना कि दी गई संख्या एक लिउविल संख्या है, दी गई संख्या को सिद्ध करने के लिए एक उपयोगी उपकरण प्रदान करता है जो अनुवांशिक है। चूँकि, प्रत्येक पारलौकिक संख्या एक लिउविल संख्या नहीं है। प्रत्येक लिउविल संख्या के निरंतर अंश विस्तार की नियम अबाधित हैं; एक गिनती तर्क का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि अगणनीय रूप से कई पारलौकिक संख्याएँ होनी चाहिए जो लिउविल नहीं हैं। ई (गणितीय स्थिरांक) के स्पष्ट निरंतर अंश विस्तार का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि ई एक पारलौकिक संख्या का एक उदाहरण है जो लिउविल नहीं है। कर्ट महलर ने 1953 में सिद्ध किया कि π ऐसा ही एक और उदाहरण है।

प्रमाण पहले अपरिमेय संख्या बीजगणितीय संख्याओं की एक संपत्ति स्थापित करके आगे बढ़ता है। यह संपत्ति अनिवार्य रूप से कहती है कि अपरिमेय बीजगणितीय संख्याओं को परिमेय संख्याओं द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित नहीं किया जा सकता है, जहां बड़े भाजक के लिए अच्छी तरह से अनुमानित स्थिति अधिक कठोर हो जाती है। एक लिउविल संख्या अपरिमेय है किंतु इसमें यह गुण नहीं है, इसलिए यह बीजगणितीय नहीं हो सकता है और पारलौकिक होना चाहिए। निम्नलिखित लेम्मा (गणित) को सामान्यतः लिउविल के प्रमेय (डायोफैंटाइन सन्निकटन पर) के रूप में जाना जाता है, वहाँ कई परिणाम लिउविल के प्रमेय के रूप में जाने जाते हैं।.

नीचे, हम दिखाएंगे कि कोई लिउविल संख्या बीजगणितीय नहीं हो सकती।

लेम्मा: यदि α एक अपरिमेय संख्या है जो पूर्णांक गुणांकों के साथ डिग्री n > 0 के इरेड्यूसिबल बहुपद f की जड़ है, तो एक वास्तविक संख्या A उपथित है। 0 ऐसा है कि, सभी पूर्णांक p, q, q > 0 के साथ,


 * $$ \left| \alpha - \frac{p}{q}  \right | > \frac{A}{q^n} $$

लेम्मा का प्रमाण : M को अधिकतम मान होने दें f '(x)( f के व्युत्पन्न का निरपेक्ष मान) (गणित) [α − 1, α + 1] पर। चलो α1, α2, ..., αm f के विशिष्ट मूल हैं जो α से भिन्न हैं। कुछ मान A > 0 संतोषजनक चुनें


 * $$A< \min \left(1, \frac{1}{M}, \left| \alpha - \alpha_1 \right|, \left| \alpha - \alpha_2 \right|, \ldots, \left| \alpha-\alpha_m \right| \right) $$

अब मान लें कि लेम्मा के विपरीत कुछ पूर्णांक p, q उपथित हैं। तब


 * $$\left| \alpha - \frac{p}{q}\right| \le \frac{A}{q^n} \le A< \min\left(1, \frac{1}{M}, \left| \alpha - \alpha_1 \right|, \left|\alpha - \alpha_2 \right|, \ldots, \left| \alpha-\alpha_m \right| \right) $$

तब p/q अंतराल [α - 1, α + 1] में है; और p/q {α में नहीं है1, ए2, ..., एm}, इसलिए p/q f का मूल नहीं है; और α और p/q के बीच f का कोई मूल नहीं है।

औसत मान प्रमेय के अनुसार, p/q और α के बीच एक x0 उपस्थित है जैसे कि


 * $$f(\alpha)-f(\tfrac{p}{q}) = (\alpha - \frac{p}{q}) \cdot f'(x_0)$$

चूंकि α f का मूल है किंतु p/q नहीं है, हम देखते हैं कि |f '(x0)| > 0 और हम पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:


 * $$\left|\alpha -\frac{p}{q}\right |= \frac{\left | f(\alpha)- f(\tfrac{p}{q})\right |}{|f'(x_0)|} = \left | \frac{f(\tfrac{p}{q})}{f'(x_0)} \right |$$

अब, f रूप का है $$\sum_{i=0}^n$$ ci xi जहां प्रत्येक ci एक पूर्णांक है; इसलिए हम |f(p/q)| व्यक्त कर सकते हैं जैसा


 * $$\left|f \left (\frac{p}{q} \right) \right| = \left| \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{-i} \right| = \frac{1}{q^n} \left| \sum_{i=0}^n c_i p^i q^{n-i} \right | \ge \frac {1}{q^n} $$

अंतिम असमानता धारण करती है क्योंकि p/q f का मूल नहीं है और ci पूर्णांक हैं।

इस प्रकार हमारे पास |f(p/q)| है ≥ 1/qn. चूँकि |f'(x0)| ≤ M, M की परिभाषा से, और 1/M > A, A की परिभाषा से, हमारे पास वह है


 * $$\left | \alpha - \frac{p}{q} \right | = \left|\frac{f(\tfrac{p}{q})}{f'(x_0)}\right| \ge \frac{1}{Mq^n} > \frac{A}{q^n} \ge \left| \alpha - \frac{p}{q} \right|$$

जो एक विरोधाभास है; इसलिए, ऐसा कोई p, q उपथित नहीं है; लेम्मा सिद्ध करना।

'अभिकथन का प्रमाण:' इस लेम्मा के परिणामस्वरूप, मान लीजिए कि x एक लिउविल संख्या है; जैसा कि लेख पाठ में उल्लेख किया गया है, x तब अपरिमेय है। यदि x बीजगणितीय है, तो प्रमेयिका द्वारा, कुछ पूर्णांक n और कुछ धनात्मक वास्तविक A का अस्तित्व होता है जैसे कि सभी p, q के लिए


 * $$ \left| x - \frac{p}{q}  \right|> \frac{A}{q^{n}} $$

मान लीजिए कि r एक सकारात्मक पूर्णांक होने दें जैसे कि 1/(2r) ≤ A. यदि हम मान लें कि m = r + n, और चूँकि x एक लिउविल संख्या है, तो पूर्णांक a, b जहाँ b > 1 ऐसा उपथित है


 * $$\left|x-\frac ab\right|<\frac1{b^m}=\frac1{b^{r+n}}=\frac1{b^rb^n} \le \frac1{2^r}\frac1{b^n} \le \frac A{b^n} $$

जो लेम्मा के विपरीत है। इसलिए, यदि कोई लिउविल संख्या उपथित है, तो यह बीजगणितीय नहीं हो सकती है, और इसलिए पारलौकिक होनी चाहिए।

यह भी देखें

 * ब्रजुनो संख्या
 * डायोफैंटाइन सन्निकटन

बाहरी संबंध

 * The Beginning of Transcendental Numbers