सजातीय समूह

गणित में, एक क्षेत्र (गणित) पर किसी भी संबधित स्थान का सजातीय समूह या सामान्य सजातीय समूह $K$ आधार से अपने आप में सभी उल्टे संबंध परिवर्तनों का समूह (गणित) है।

यह एक लाइ समूह है यदि $K$ वास्तविक या जटिल क्षेत्र या चतुष्कोण है।

सामान्य रेखीय समूह से निर्माण
ठोस रूप से, एक सदिश स्थान $V$ दिया गया है, इसमें एक अंतर्निहित संबंध स्थान $A$ है, जो मूल को "भूल" कर प्राप्त किया गया है, जिसमें V अनुवाद द्वारा अभिनय करता है, और $A$ के सजातीय समूह को $GL(V)$ द्वारा $V$ के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में ठोस रूप से वर्णित किया जा सकता है। V के सामान्य रैखिक समूह:
 * $$\operatorname{Aff}(V) = V \rtimes \operatorname{GL}(V)$$

$V$ पर $GL(V)$ की क्रिया प्राकृतिक है (रैखिक परिवर्तन स्वसमाकृतिकता हैं), इसलिए यह एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद को परिभाषित करता है।

आव्यूह के संदर्भ में, कोई लिखता है:
 * $$\operatorname{Aff}(n,K) = K^n \rtimes \operatorname{GL}(n,K)$$

जहां $K^{n}$ पर $GL(n, K)$ की प्राकृतिक क्रिया सदिश का आव्यूह गुणन है।

एक बिंदु का स्थिरक
एक सजातीय स्थल $A$ के सजातीय समूह को देखते हुए,एक बिंदु $p$ का स्थिरक समान आयाम के सामान्य रैखिक समूह के लिए समरूपी है इसलिए $Aff(2, R)$ में एक बिंदु का स्थिरक $GL(2, R)$ के लिए समरूपी है। औपचारिक रूप से, यह सदिश स्थान $(A, p)$ का सामान्य रैखिक समूह है : याद रखें कि यदि कोई एक बिंदु को ठीक करता है, तो एक सजातीय स्थान एक सदिश स्थान बन जाता है।

ये सभी उपसमूह संयुग्मी हैं, जहाँ से $p$ को $q$ अनुवाद द्वारा संयुग्मन दिया जाता है (जो विशिष्ट रूप से परिभाषित है), हालांकि, कोई विशेष उपसमूह एक प्राकृतिक विकल्प नहीं है, क्योंकि कोई बिंदु विशेष नहीं है - यह अनुप्रस्थ उपसमूह के कई विकल्पों से मेल खाता है, या निम्नलिखित लघु सटीक अनुक्रम का विभाजन से मेल खाता है
 * $$1 \to V \to V \rtimes \operatorname{GL}(V) \to \operatorname{GL}(V) \to 1\,$$

इस स्तिथि में कि सजातीय समूह का निर्माण एक सदिश स्थान से प्रारम्भ करके किया गया था, वह उपसमूह जो उद्य (सदिश स्थान का) को स्थिर करता है, $GL(V)$ मूल है।

आव्यूह प्रतिनिधित्व
$GL(V)$ द्वारा $V$ के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में सजातीय समूह का प्रतिनिधित्व किया जाता है, फिर अर्ध प्रत्यक्ष उत्पाद और समूह समरूपता, तत्व $(v, M)$ जोड़े जाते हैं, जहाँ $v$ में एक सदिश है $V$ और $M$ में एक रैखिक परिवर्तन $GL(V)$ है, और गुणन द्वारा निम्न दिया जाता है
 * $$(v, M) \cdot (w, N) = (v+Mw, MN)\,.$$

इसे $(n + 1) × (n + 1)$ विभाग आव्यूह के रूप में दर्शाया जा सकता है
 * $$\left( \begin{array}{c|c} M & v\\ \hline 0 & 1 \end{array}\right) $$

जहाँ M, K पर एक n × n आव्यूह है, v एक n × 1 स्तंभ सदिश है, 0 शून्य की 1 × n पंक्ति है, और 1 1 × 1 सर्वसमिका विभाग आव्यूह है।

औपचारिक रूप से, $Aff(V)$ के एक उपसमूह $GL(V ⊕ K)$ के लिए स्वाभाविक रूप से समरूपी है, $V$ के साथ सजातीय तल के रूप में ${(v, 1) | v ∈ V }$ सन्निहित है, अर्थात् इस सजातीय तल का स्थिरक; उपरोक्त आव्यूह निरूपण इस (स्थानांतरण) की प्राप्ति है, इसके साथ $n × n$ और $1 × 1$) प्रत्यक्ष योग अपघटन के अनुरूप विभाग $V ⊕ K$ है।

एक आव्यूह समानता प्रतिनिधित्व कोई भी $(n + 1) × (n + 1)$ आव्यूह है जिसमें प्रत्येक पंक्ति में प्रविष्टियों का योग 1 होता है। उपरोक्त प्रकार से इस तरह से गुजरने के लिए समानता P $(n + 1) × (n + 1)$ तत्समक आव्यूह है जिसमें नीचे की पंक्ति को सभी की एक पंक्ति से बदल दिया गया है।

आव्यूह के इन दो वर्गों में से प्रत्येक आव्यूह गुणन के अंतर्गत बंद है।

सबसे सरल प्रतिमान अच्छी तरह से स्तिथि $n = 1$ हो सकती है, यानी ऊपरी त्रिकोणीय 2 × 2 आव्यूह एक आयाम में सजातीय समूह का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह एक दो-मापदण्ड गैर-एबेलियन लाइ समूह है, इसलिए केवल दो जनित्र (लाई बीजगणित तत्व) के साथ, $A$ और $B$, इस प्रकार हैं कि $[A, B] = B$, जहाँ
 * $$ A= \left( \begin{array}{cc} 1 & 0\\ 0 & 0 \end{array}\right), \qquad B=  \left( \begin{array}{cc} 0 & 1\\ 0 & 0 \end{array}\right)\,,$$

ताकि
 * $$ e^{aA+bB}= \left( \begin{array}{cc} e^a & \tfrac{b}{a}(e^a-1)\\ 0 & 1 \end{array}\right)\,. $$

$Aff(Fp)$ की स्वरूप तालिका
Aff(Fp) का क्रम p(p − 1 है। तब से


 * $$\begin{pmatrix} c & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} c & d \\ 0 & 1 \end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix} a & (1-a)d+bc \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\,,$$

हम जानते हैं $Aff(Fp)$ संयुग्मन वर्ग $p$ है, अर्थात्


 * $$\begin{align}

C_{id} &= \left\{\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\right\}\,, \\[6pt] C_{1} &= \left\{\begin{pmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\Bigg|b\in \mathbf{F}_p^*\right\}\,, \\[6pt] \Bigg\{C_{a} &= \left\{\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}\Bigg| b\in \mathbf{F}_p\right\}\Bigg|a\in \mathbf{F}_p\setminus\{0,1\}\Bigg\}\,. \end{align}$$ तब हम जानते हैं $Aff(Fp)$ अलघुकरणीय अभ्यावेदन $p$ है। उपरोक्त परिच्छेद द्वारा,  वहां $p − 1$ एक आयामी अभ्यावेदन है, निम्नलखित समरूपता द्वारा तय किया गया है


 * $$\rho_k:\operatorname{Aff}(\mathbf{F}_p)\to\Complex^*$$

$k = 1, 2,… p − 1$ के लिए, जहाँ


 * $$\rho_k\begin{pmatrix} a & b \\ 0 & 1 \end{pmatrix}=\exp\left(\frac{2i kj\pi}{p-1}\right)$$

और $i^{2} = −1$, $a = g$, $g$ समूह का जनित्र $F∗ p$ है। फिर $F_{p}$ के क्रम से तुलना करें, अपने पास


 * $$p(p-1)=p-1+\chi_p^2\,,$$

इस तरह $χ_{p} = p − 1$ अंतिम अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व का आयाम है। अंत में अलघुकरणीय अभ्यावेदन की लांबिक का उपयोग करके, हम वर्ण तालिका $Aff(Fp)$ को पूरा कर सकते हैं:


 * $$\begin{array}{c|cccccc}

& {\color{Blue}C_{id}} & {\color{Blue}C_1} & {\color{Blue}C_g} & {\color{Blue}C_{g^2}} & {\color{Gray}\dots} & {\color{Blue}C_{g^{p-2}}} \\ \hline {\color{Blue}\chi_1} & {\color{Gray}1} & {\color{Gray}1} & {\color{Blue}e^{\frac{2\pi i}{p-1}}} & {\color{Blue}e^{\frac{4\pi i}{p-1}}} & {\color{Gray}\dots} & {\color{Blue}e^{\frac{2\pi (p-2)i}{p-1}}} \\ {\color{Blue}\chi_2} & {\color{Gray}1} & {\color{Gray}1} & {\color{Blue}e^{\frac{4\pi i}{p-1}}} & {\color{Blue}e^{\frac{8\pi i}{p-1}}} & {\color{Gray}\dots} & {\color{Blue}e^{\frac{4\pi (p-2)i}{p-1}}} \\ {\color{Blue}\chi_3} & {\color{Gray}1} & {\color{Gray}1} & {\color{Blue}e^{\frac{6\pi i}{p-1}}} & {\color{Blue}e^{\frac{12\pi i}{p-1}}} & {\color{Gray}\dots} & {\color{Blue}e^{\frac{6\pi (p-2)i}{p-1}}} \\ {\color{Gray}\dots} & {\color{Gray}\dots} & {\color{Gray}\dots} & {\color{Gray}\dots} & {\color{Gray}\dots} & {\color{Gray}\dots} & {\color{Gray}\dots} \\ {\color{Blue}\chi_{p-1}} & {\color{Gray}1} & {\color{Gray}1} & {\color{Gray}1} & {\color{Gray}1} & {\color{Gray}\dots} & {\color{Gray}1} \\ {\color{Blue}\chi_{p}} & {\color{Gray}p-1} & {\color{Gray}-1} & {\color{Gray}0} & {\color{Gray}0} & {\color{Gray}\dots} & {\color{Gray}0} \end{array}$$

रीयल्स पर प्लानर सजातीय समूह
$$\operatorname{Aff}(2,\mathbb R)$$ के तत्व एक अच्छी तरह से चुनी गई सजातीय समन्वय प्रणाली पर एक सरल रूप ले सकता है। अधिक यथार्थतः रूप से, वास्तविक संख्या पर एक सजातीय समतल के एक सजातीय परिवर्तन को देखते हुए, एक सजातीय समन्वय प्रणाली उपस्थित होती है जिस पर इसका निम्न में से एक रूप होता है, जहां $a$, $b$, और $t$ वास्तविक संख्याएँ हैं (दिए गए नियम यह सुनिश्चित करते हैं कि परिवर्तन व्युत्क्रमणीय हैं, लेकिन वर्गों को विशिष्ट बनाने के लिए नहीं; उदाहरण के लिए, पहचान सभी वर्गों से संबंधित है)।
 * $$\begin{align}

\text{1.}&& (x, y) &\mapsto (x +a,y+b),\\[3pt] \text{2.}&& (x, y) &\mapsto (ax,by), &\qquad \text{जहाँ } ab\ne 0,\\[3pt] \text{3.}&& (x, y) &\mapsto (ax,y+b), &\qquad \text{जहाँ } a\ne 0,\\[3pt] \text{4.}&& (x, y) &\mapsto (ax+y,ay), &\qquad \text{जहाँ } a\ne 0,\\[3pt] \text{5.}&& (x, y) &\mapsto (x+y,y+a)\\[3pt] \text{6.}&& (x, y) &\mapsto (a(x\cos t + y\sin t), a(-x\sin t+y\cos t)), &\qquad \text{जहाँ } a\ne 0. \end{align}$$ स्तिथि 1 अनुवाद (गणित) से मेल खाता है।

स्तिथि 2 प्रवर्धन (ज्यामिति) से मेल खाता है जो दो अलग-अलग दिशाओं में भिन्न हो सकता है। यूक्लिडियन तल के साथ काम करते समय इन दिशाओं को लंबवत नहीं होना चाहिए, क्योंकि निर्देशांक अक्षों को लंबवत नहीं होना चाहिए।

स्तिथि 3 एक दिशा में प्रवर्धन और दूसरे में अनुवाद से मेल खाता है।

प्रकरण 4 एक फैलाव के साथ संयुक्त कतरनी मानचित्रण से मेल खाती है।

प्रकरण 5 एक फैलाव के साथ संयुक्त कतरनी मानचित्रण से मेल खाती है।

स्तिथि 6 समानता (ज्यामिति) से मेल खाता है जब समन्वय अक्ष लंबवत होते हैं।

बिना किसी निश्चित बिंदु (गणित) के संबंध परिवर्तन 1, 3 और 5 के स्तिथियों से संबंधित हैं। परिवर्तन जो तल के उन्मुखीकरण को संरक्षित नहीं करते हैं, वे स्तिथि 2 (ab <0 के साथ) या 3 (<0 के साथ) से संबंधित हैं।

प्रमाण पहले टिप्पणी करके किया जा सकता है कि यदि एक सजातीय परिवर्तन का कोई निश्चित बिंदु नहीं है, तो संबंधित रैखिक मानचित्र के आव्यूह में एक के बराबर एक आइगेनवैल्यू है, और फिर जॉर्डन सामान्य रूप प्रमेय का उपयोग कर रहा है।

सामान्य स्तिथि
सामान्य रेखीय समूह के किसी भी उपसमूह $G < GL(V)$ को देखते हुए, कोई कभी-कभी निरूपित समूह $Aff(G)$ का निर्माण निम्न रूप में कर सकता है

$Aff(G) := V ⋊ G$

अधिक सामान्यतः और संक्षेप में, सदिश समष्टि $V$ पर कोई समूह $G$ और $G$ का निरूपण निम्नलिखित रूप में दिया गया है,
 * $$\rho : G \to \operatorname{GL}(V)$$

किसी को संबद्ध एफ़िन समूह $GL(V) < Aut(V)$ मिलता है: कोई कह सकता है कि प्राप्त सजातीय समूह "सदिश प्रतिनिधित्व द्वारा समूह विस्तार" है, और ऊपर के रूप में, किसी के पास कम सटीक अनुक्रम है:
 * $$1 \to V \to V \rtimes_\rho G \to G \to 1\,.$$

विशेष सजातीय समूह
एक निश्चित आयतन रूप को संरक्षित करने वाले सभी व्युत्क्रमणीय सजातीय परिवर्तनों के उपसमुच्चय को विशेष सजातीय समूह कहा जाता है। यह समूह विशेष रेखीय समूह का सजातीय समधर्मी है। अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के संदर्भ में, विशेष सजातीय समूह में निर्धारक 1 के $V$ के साथ $R$ होते हैं, यानी, सजातीय परिवर्तन निम्न है $$x \mapsto Mx + v$$ जहाँ $M$ निर्धारक 1 का एक रैखिक परिवर्तन है और $M$ कोई निश्चित अनुवाद सदिश है।

प्रक्षेपी उपसमूह
प्रोजेक्टिविटी के ज्ञान और प्रक्षेपी ज्यामिति के प्रक्षेपीय समूह को मानते हुए, सजातीय समूह को आसानी से निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गुंटर एवाल्ड ने लिखा:
 * सेट $$\mathfrak{P}$$ के सभी प्रक्षेप्य कोलिनेशन की $V ⋊_{ρ} G$ एक समूह है जिसे हम प्रक्षेपी समूह $(M, v)$ कह सकते हैं। यदि हम हाइपरप्लेन $v$ को अनंत पर हाइपरप्लेन घोषित करके $P$ से एफ़ाइन स्पेस $P$ की ओर आगे बढ़ते हैं, तो हम $P$ का affine समूह $$\mathfrak{A}$$ $$\mathfrak{P}$$ के उपसमूह के रूप में प्राप्त करते हैं, जिसमें सभी $$\mathfrak{P}$$ के तत्व जो $ω$ स्थिर रखते हैं सम्मिलित हैं। ।
 * $$\mathfrak{A} \subset \mathfrak{P}$$

पोंकारे समूह
पोंकारे समूह लोरेंत्ज़ समूह $A$ का संबधित समूह है :
 * $$\mathbf{R}^{1,3}\rtimes \operatorname{O}(1,3)$$

सापेक्षता के सिद्धांत में यह उदाहरण बहुत महत्वपूर्ण है।

यह भी देखें

 * सजातीय कॉक्सेटर समूह - एक यूक्लिडियन आधार पर सजातीय समूह के कुछ असतत उपसमूह जो एक जाली (समूह) को संरक्षित करते हैं
 * पूर्णरूप (गणित)