षट्भुज

ज्यामिति में, एक षट्भुज (प्राचीन ग्रीक ἕξ से हेक्स, जिसका अर्थ है छह होता हैं, और γωνία, गोनिया, जिसका अर्थ कोना, कोण होता हैं ) या सेक्सगोन (लैटिन सेक्स से, जिसका अर्थ है "छह") एक छह-पक्षीय बहुभुज या 6-गॉन है। जो घन की रूपरेखा तैयार करता है। किसी भी साधारण बहुभुज (गैर-स्व-प्रतिच्छेदी) षट्भुज के आंतरिक कोणों का योग 720° होता है।

नियमित षट्कोण
एक नियमित बहुभुज षट्भुज में श्लाफली प्रतीक {6}[2] है और इसे ट्रंकेशन (ज्यामिति) समबाहु त्रिभुज, t{3} के रूप में भी बनाया जा सकता है, जो दो प्रकार के किनारों को वैकल्पिक करता है।

एक नियमित षट्भुज को एक षट्भुज के रूप में परिभाषित किया जाता है जो समबाहु बहुभुज और समभुज बहुभुज दोनों है। यह द्विकेंद्रित बहुभुज है, जिसका अर्थ है कि यह चक्रीय बहुभुज (एक परिबद्ध वृत्त है) और स्पर्शरेखा बहुभुज (एक उत्कीर्ण वृत्त है) दोनों है।

भुजाओं की सामान्य लंबाई परिबद्ध वृत्त या परिवृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है, जो अंतःत्रिज्या (अंकित चित्र की त्रिज्या) के $$\tfrac{2}{\sqrt{3}}$$ के बराबर होती है। सभी आंतरिक कोण 120 डिग्री (कोण) हैं। एक नियमित षट्भुज में छह घूर्णी समरूपताएँ (छह क्रम की घूर्णी समरूपता) और छह प्रतिबिंब समरूपताएँ (समरूपता की छह पंक्तियाँ) होती हैं, जो डायहेड्रल समूह D6 बनाती हैं। एक नियमित षट्भुज के सबसे लंबे विकर्ण, जो बिल्कुल विपरीत शीर्षों को जोड़ते हैं, एक भुजा की लंबाई से दोगुने होते हैं। इससे यह देखा जा सकता है कि नियमित षट्भुज के केंद्र में एक शीर्ष के साथ एक त्रिकोण और षट्भुज के साथ एक तरफ साझा करना समबाहु त्रिभुज है, और यह कि नियमित षट्भुज को छह समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है।

वर्ग (ज्यामिति) और समबाहु त्रिभुजों की तरह, नियमित षट्भुज बिना किसी अंतराल के एक साथ फिट होते हैं ताकि तल को टाइल किया जा सके (प्रत्येक शीर्ष पर तीन षट्भुज मिलते हैं), और इसलिए वर्ग के निर्माण के लिए उपयोगी होते हैं। मधुमक्खी के छत्ते (मधुमक्खी पालन) के छत्ते की कोशिकाएं इस कारण से षट्भुज होती हैं और क्योंकि आकार स्थान और निर्माण सामग्री का कुशल उपयोग करता है। एक नियमित त्रिकोणीय जाली का वोरोनोई आरेख षट्भुज का छत्ते का छज्जा है। यह आमतौर पर समबाहु बहुभुज नहीं माना जाता है, चूंकि यह समबाहु है।

पैरामीटर
अधिकतम व्यास (जो षट्भुज के लंबे विकर्ण से मेल खाता है), D, अधिकतम त्रिज्या या परित्रिज्या, R का दोगुना है, जो पार्श्व लंबाई, t के बराबर है। न्यूनतम व्यास या अंकित सर्कल का व्यास (समानांतर पक्षों का पृथक्करण, समतल से समतल दूरी, छोटा विकर्ण या ऊंचाई जब समतल आधार पर विराम कर रहा हो), D, न्यूनतम त्रिज्या या अंतःत्रिज्या, R से दोगुना है। अधिकतम और न्यूनतम एक ही कारक से संबंधित हैं:
 * $$\frac{1}{2}d = r = \cos(30^\circ) R = \frac{\sqrt{3}}{2} R = \frac{\sqrt{3}}{2} t$$ और, इसी तरह, $$d = \frac{\sqrt{3}}{2} D.$$

एक नियमित षट्भुज का क्षेत्रफल
 * $$\begin{align}

A &= \frac{3\sqrt{3}}{2}R^2 = 3Rr          = 2\sqrt{3} r^2 \\[3pt] &= \frac{3\sqrt{3}}{8}D^2 = \frac{3}{4}Dd = \frac{\sqrt{3}}{2} d^2 \\[3pt] &\approx 2.598 R^2 \approx 3.464 r^2\\ &\approx 0.6495 D^2 \approx 0.866 d^2. \end{align}$$ किसी भी नियमित बहुभुज के लिए, क्षेत्रफल को अंतःत्रिज्या a और परिमाप p के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। नियमित षट्भुज के लिए इन्हें a = r, और p$${} = 6R = 4r\sqrt{3}$$ द्वारा दिया जाता है, इसलिए
 * $$\begin{align}

A &= \frac{ap}{2} \\ &= \frac{r \cdot 4r\sqrt{3}}{2} = 2r^2\sqrt{3} \\ &\approx 3.464 r^2. \end{align}$$ नियमित षट्भुज अपने परिबद्ध वृत्त के अंश $$\tfrac{3\sqrt{3}}{2\pi} \approx 0.8270$$ को घेरता है।

यदि एक नियमित षट्भुज में क्रमिक शीर्ष A, B, C, D, E, F हैं और यदि P, B और C के बीच परिवृत्त पर कोई बिंदु है, तो PE + PF = PA + PB + PC + PD है।

यह परिधि के अंतःत्रिज्या के अनुपात से अनुसरण करता है कि एक नियमित षट्भुज की ऊंचाई-से-चौड़ाई का अनुपात 1:1.1547005 है; अर्थात्, 1.0000000 के लंबे विकर्ण वाले एक षट्भुज की समानांतर भुजाओं के बीच 0.8660254 की दूरी होगी।

विमान में बिंदु
परिधि $$R$$ के साथ एक नियमित षट्भुज के तल में एक स्वैच्छिक बिंदु के लिए, जिसकी नियमित षट्भुज के केंद्रक से दूरी और इसके छह शीर्षों क्रमशः $$L$$ तथा $$d_i$$ हैं, हमारे पास है
 * $$ d_1^2 + d_4^2 = d_2^2 + d_5^2 = d_3^2+ d_6^2= 2\left(R^2 + L^2\right), $$
 * $$ d_1^2 + d_3^2+ d_5^2 = d_2^2 + d_4^2+ d_6^2 = 3\left(R^2 + L^2\right), $$
 * $$ d_1^4 + d_3^4+ d_5^4 = d_2^4 + d_4^4+ d_6^4 = 3\left(\left(R^2 + L^2\right)^2 + 2 R^2 L^2\right). $$

यदि $$d_i$$ एक नियमित षट्भुज के शीर्ष से उसके परिवृत्त पर किसी बिंदु तक की दूरी है, तब


 * $$\left(\sum_{i=1}^6 d_i^2\right)^2 = 4 \sum_{i=1}^6 d_i^4 .$$

समरूपता
नियमित षट्भुज में D6 समरूपता है। 16 उपसमूह हैं। समरूपता तक 8 हैं: स्वयं (D6), 2 डायहेड्रल: (D3, D2), 4 चक्रीय समूह: (Z6, Z3, Z2, Z1) और नगण्य (E)

ये सममितियाँ एक नियमित षट्भुज की नौ अलग-अलग समरूपताओं को व्यक्त करती हैं। जॉन हॉर्टन कॉनवे इन्हें एक पत्र और समूह आदेश द्वारा लेबल करते हैं। r12 पूर्ण समरूपता है, और a1 कोई समरूपता नहीं है। p6, तीन दर्पणों द्वारा निर्मित एक समकोणीय आकृति षट्भुज लंबे और छोटे किनारों को वैकल्पिक कर सकता है, और d6, एक आइसोटॉक्सल आंकड़ा षट्भुज जो समान किनारों की लंबाई के साथ निर्मित होता है, लेकिन दो अलग-अलग आंतरिक कोणों को बारी-बारी से बनाता है। ये दो रूप एक दूसरे के दोहरे बहुभुज हैं और नियमित षट्भुज के समरूपता क्रम के आधे हैं। i4 रूप नियमित षट्भुज चपटा या एक समरूपता दिशा के साथ फैला हुआ है। इसे बढ़ाव (ज्यामिति) विषमकोण के रूप में देखा जा सकता है, जबकि d2 और p2 को क्षैतिज और लंबवत लम्बी पतंग (ज्यामिति) के रूप में देखा जा सकता है। g2 षट्भुज, विपरीत पक्षों के समानांतर के साथ षट्भुज समांतर चतुर्भुज भी कहलाते हैं।

प्रत्येक उपसमूह समरूपता अनियमित रूपों के लिए स्वतंत्रता की एक या अधिक डिग्री की अनुमति देती है। केवल g6 उपसमूह के पास स्वतंत्रता की कोई डिग्री नहीं है, लेकिन इसे निर्देशित किनारों के रूप में देखा जा सकता है।

समरूपता g2, i4, और r12 के षट्भुज, जैसे समांतर चतुर्भुज अनुवाद द्वारा यूक्लिडियन विमान को चतुष्कोणी कर सकते हैं। अन्य षट्भुज आकार समतल को विभिन्न झुकावों के साथ टाइल कर सकते हैं।

A2 और G2 समूह
डायनकिन आरेख द्वारा दर्शाए गए सरल झूठ समूह A2 की 6 जड़ें एक नियमित षट्भुज पैटर्न में हैं। दो साधारण जड़ों के बीच 120° का कोण होता है।

डायनकिन आरेख ZZZ द्वारा दर्शाए गए असाधारण लाई समूह G2 की 12 जड़ें भी एक षट्भुजल पैटर्न में हैं। दो लम्बाई की दो साधारण जड़ों के बीच 150° का कोण होता है।

डायनकिन आरेख द्वारा दर्शाए गए असाधारण झूठ समूह G2 (गणित) की 12 जड़ें भी एक षट्भुजल पैटर्न में हैं। दो लम्बाई की दो साधारण जड़ों के बीच 150° का कोण होता है।

विच्छेदन
कॉक्सेटर का कहना है कि प्रत्येक ज़ोनोगोन (एक 2m-गॉन जिसकी विपरीत भुजाएँ समानांतर और समान लंबाई की हैं) को $1/2$m(m − 1) समांतर चतुर्भुज में विभाजित किया जा सकता है। विशेष रूप से यह समान रूप से कई भुजाओं वाले नियमित बहुभुजों के लिए सही है, इस मामले में समांतर चतुर्भुज सभी समचतुर्भुज होते हैं। एक नियमित षट्भुज का यह अपघटन एक घन के पेट्री बहुभुज प्रक्षेपण पर आधारित है, जिसमें 3 से 6 वर्ग फलक हैं। घन के अन्य समांतर चतुर्भुज और प्रक्षेपी दिशाओं को आयताकार घनाभ के अंदर विच्छेदित किया जाता है।

संबंधित बहुभुज और टाइलिंग
एक नियमित षट्भुज में श्लाफली प्रतीक {6} है। एक नियमित षट्भुज नियमित षट्कोणीय खपरैल का एक हिस्सा है, {6,3}, जिसमें प्रत्येक शीर्ष के चारों ओर तीन षट्कोणीय फलक हैं।

श्लाफली प्रतीक t{3} के साथ एक नियमित षट्भुज को एक ट्रंकेशन (ज्यामिति) समबाहु त्रिभुज के रूप में भी बनाया जा सकता है। किनारों के दो प्रकार (रंगों) के साथ देखा गया, इस रूप में केवल D 3 समरूपता हैं।

एक ट्रंकेशन (ज्यामिति) षट्भुज, टी {6}, एक बारहकोना, {12} है, जो किनारों के दो प्रकार (रंग) को बदलता है। एक वैकल्पिक (ज्यामिति) षट्भुज, h{6}, एक समबाहु त्रिभुज, {3} है। एक नियमित षट्भुज अपने किनारों पर समबाहु त्रिभुजों के साथ एक षट्भुज बना सकता है। एक केंद्र बिंदु जोड़कर एक नियमित षट्भुज को छह समबाहु त्रिभुजों में विभाजित किया जा सकता है। यह पैटर्न नियमित त्रिकोणीय टाइलिंग के अंदर दोहराता है।

एक नियमित षट्भुज को इसके चारों ओर वैकल्पिक वर्गों और समबाहु त्रिभुजों को जोड़कर एक नियमित डोडेकैगन में विस्तारित किया जा सकता है। यह पैटर्न रॉमबिट्रीषट्भुजल टाइलिंग के अंदर दोहराता है।

स्व-क्रॉसिंग षट्भुज
नियमित षट्भुज की शीर्ष व्यवस्था के साथ छह स्व-क्रॉसिंग बहुभुज हैं:

षट्भुज संरचनाएं
मधुमक्खियों के छत्ते से लेकर जायंट्स कॉजवे तक, षट्भुज पैटर्न अपनी दक्षता के कारण प्रकृति में प्रचलित हैं। एक षट्भुज ग्रिड में प्रत्येक पंक्ति उतनी ही छोटी होती है जितनी संभवतः हो सकती है यदि एक बड़े क्षेत्र को सबसे कम षट्भुज से भरा जाना है। इसका अर्थ यह है कि छत्ते को बनाने के लिए कम मोम की आवश्यकता होती है और संपीड़न (भौतिकी) के अनुसार अधिक शक्ति हासिल होती है।

समानांतर विपरीत किनारों वाले अनियमित षट्भुज को समानांतर कहा जाता है और अनुवाद द्वारा विमान को टाइल भी कर सकते हैं। तीन आयामों में, समांतर विपरीत फलकों वाले षट्भुज प्रिज्म को समांतरहेड्रॉन कहा जाता है और ये अनुवाद द्वारा 3-स्पेस को चतुष्कोणी कर सकते हैं।

षट्भुज द्वारा टेसलेशन
नियमित षट्भुज के अतिरिक्त, जो विमान के एक अद्वितीय टेसलेशन को निर्धारित करता है, कोई भी अनियमित षट्भुज जो कॉनवे मानदंड को पूरा करता है, विमान को टाइल करेगा।

षट्कोण एक शंकु खंड में अंकित हुआ है

पास्कल की प्रमेय (जिसे हेक्साग्राममम मिस्टिकम प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है) में कहा गया है कि यदि एक स्वैच्छिक षट्भुज किसी शंकु खंड में अंकित हुआ है, और विपरीत विस्तारित पक्ष के जोड़े को तब तक बढ़ाया जाता है, जब तक कि वे तीन प्रतिच्छेद बिंदुओं को पूरा नहीं करते हैं, तब तक पास्कल रेखा विन्यास सीधी रेखा पर आ जाएगी।

चक्रीय षट्भुज
लेमोइन षट्भुज एक चक्रीय बहुभुज षट्भुज है (एक वृत्त में अंकित हुआ) जिसमें एक त्रिभुज के किनारों के छह चौराहों और तीन रेखाओं द्वारा दिए गए शीर्ष होते हैं जो किनारों के समानांतर होते हैं जो इसके सिम्मेडियन बिंदु से गुजरते हैं।

यदि एक चक्रीय षट्भुज की क्रमिक भुजाएँ a, b, c, d, e, f हैं, तो तीन मुख्य विकर्ण एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं यदि और केवल यदि हो।

यदि, एक चक्रीय षट्भुज के प्रत्येक पक्ष के लिए, आसन्न भुजाओं को उनके प्रतिच्छेद तक बढ़ाया जाता है, जो दी गई भुजा के बाहर एक त्रिभुज बनाती है, तो विपरीत त्रिभुजों के परिकेंद्रों को जोड़ने वाले खंड समवर्ती रेखाएँ हैं।

यदि एक षट्भुज में छह बिंदुओं (तीन त्रिभुज शिखरों सहित) पर एक तीव्र त्रिभुज के परिवृत्त पर शीर्ष होते हैं, जहाँ त्रिभुज की विस्तारित ऊँचाई परिवृत्त से मिलती है, तो षट्भुज का क्षेत्रफल त्रिभुज के क्षेत्रफल का दोगुना होता है।

षट्कोण एक शंकु खंड के लिए स्पर्शरेखा

बता दें कि ABCDEF एक शंक्वाकार खंड की छह स्पर्शरेखा रेखाओं से बना एक षट्भुज है। फिर ब्रायनचोन के प्रमेय में कहा गया है कि तीन मुख्य विकर्ण AD, BE और CF एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं।

एक षट्भुज में जो स्पर्शरेखा बहुभुज है और जिसकी लगातार भुजाएँ a, b, c, d, e, और f हैं,
 * $$a + c + e = b + d + f.$$

एक स्वैच्छिक षट्भुज की भुजाओं पर समबाहु त्रिभुज

यदि किसी षट्भुज के प्रत्येक पक्ष पर बाह्य रूप से एक समबाहु त्रिभुज का निर्माण किया जाता है, तो विपरीत त्रिभुजों के केन्द्रक को जोड़ने वाले खंडों के मध्य बिंदु एक अन्य समबाहु त्रिभुज बनाते हैं।

तिरछा षट्कोण
एक तिरछा षट्भुज एक तिरछा बहुभुज है जिसमें छह शीर्ष और किनारे होते हैं लेकिन एक ही तल पर मौजूद नहीं होते हैं। ऐसे षट्भुज का आंतरिक भाग आमतौर पर परिभाषित नहीं होता है। एक  तिरछा ज़िग-ज़ैग षट्भुज  में दो समानांतर विमानों के बीच बारी-बारी से वर्टिकल होते हैं।

एक नियमित तिरछा षट्भुज समान किनारे की लंबाई के साथ शीर्ष-संक्रमणीय होता है। तीन आयामों में यह एक ज़िग-ज़ैग तिरछा षट्भुज होगा और समान D3d, [2+,6] समरूपता, क्रम 12 के साथ त्रिकोणीय प्रतिपक्षी के कोने और पार्श्व किनारों में देखा जा सकता है।

क्यूब और अष्टफलक (त्रिकोणीय एंटीप्रिज्म के समान) पेट्री बहुभुज के रूप में नियमित तिरछे षट्भुज होते हैं।

पेट्री बहुभुज
इन तिरछे ऑर्थोगोनल अनुमानों में दिखाए गए इन उच्च आयामी नियमित पॉलीटॉप, समान और दोहरे पॉलीहेड्रा और पॉलीटोप्स के लिए नियमित तिरछा षट्भुज पेट्री बहुभुज है:

उत्तल समबाहु षट्भुज
एक षट्भुज का मुख्य विकर्ण एक ऐसा विकर्ण है जो षट्भुज को चतुर्भुजों में विभाजित करता है। उभयनिष्ठ भुजा a वाले किसी उत्तल समबाहु बहुभुज षट्भुज (सभी भुजाओं के बराबर) में मौजूद होता है एक प्रमुख विकर्ण d1 ऐसा है कि


 * $$\frac{d_1}{a} \leq 2$$

और एक मुख्य विकर्ण d2 ऐसा है कि


 * $$\frac{d_2}{a} > \sqrt{3}.$$

षट्भुज के साथ पॉलीहेड्रा
केवल नियमित षट्भुज से बना कोई प्लेटोनिक ठोस नहीं है, क्योंकि षट्भुज टेसेलेट, परिणाम को मोड़ने की अनुमति नहीं देता है। कुछ षट्कोणीय फलकों वाले आर्किमिडीयन ठोस, ट्रंकेटेड टेट्राहेड्रोन, कटा हुआ टेट्राहेड्रॉन, काटे गए आईकोसाइडोडेकाहेड्रॉन (सॉकर बॉल और फुलरीन फेम के), ट्रंकेटेड क्यूबोक्टाहेड्रोन और ट्रंकेटेड आईकोसिडोडेकेड्रोन हैं। इन षट्भुज को तथा  के कॉक्सेटर आरेखों  के साथ, काटे गए त्रिकोण माना जा सकता है

गोल्डबर्ग पॉलीहेड्रॉन जी (2,0) जैसे फैले हुए या चपटे षट्भुज के साथ अन्य समरूपता पॉलीहेड्रा हैं: नियमित षट्भुज के साथ 9 जॉनसन ठोस भी हैं:

यह भी देखें

 * 24-कोशिका: एक चार-आयामी स्थान | चार-आयामी आकृति, जिसमें षट्भुज की तरह, ऑर्थोप्लेक्स पहलू होते हैं, स्व-द्वैत होते हैं और यूक्लिडियन स्थान को टेसेलेट करते हैं
 * षट्भुज क्रिस्टल प्रणाली
 * षट्भुज संख्या
 * षट्भुज टाइलिंग: एक विमान में षट्भुज की एक नियमित टाइलिंग
 * षट्कोण: एक नियमित षट्भुज के अंदर छह तरफा तारा
 * यूनिकर्सल हेक्साग्राम: एकल पथ, छह-पक्षीय तारा, एक षट्भुज के अंदर
 * मधुकोश अनुमान
 * हवानाह: सार बोर्ड गेम छह-तरफा षट्भुज ग्रिड पर खेला जाता है

बाहरी संबंध



 * Definition and properties of a hexagon with interactive animation and construction with compass and straightedge.
 * An Introduction to Hexagonal Geometry on Hexnet a website devoted to hexagon mathematics.
 * Hexagons are the Bestagons an animated youtube video about hexagons