संपर्क गतिकी

संपर्क गतिकी एक पक्षीय संपर्कों और घर्षण के अधीन बहुनिकाय प्रणाली की गति से संबंधित है। ऐसी प्रणालियाँ अनेक बहुनिकाय डायनेमिक्स अनुप्रयोगों में सर्वव्यापी हैं। उदाहरण के लिए विचार करें
 * वाहन की गतिशीलता में पहियों और जमीन के बीच संपर्क
 * घर्षण प्रेरित दोलनों के कारण ब्रेकों की अवकंपन
 * अनेक कणों की गति, गोले जो फ़नल में गिरते हैं, मिश्रण प्रक्रियाएं (कणीय मीडिया)
 * घड़ी का काम
 * चलने वाली मशीनें
 * सीमा स्टॉप, घर्षण वाली इच्छित मशीनें।
 * शारीरिक ऊतक (त्वचा, परितारिका/लेंस, पलकें/पूर्वकाल नेत्र सतह, संयुक्त उपास्थि, संवहनी एन्डोथेलियम/रक्त कोशिकाएं, मांसपेशियां/कण्डरा, वगैरह)

निम्नलिखित में यह विचार की गई है कि एक पक्षीय संपर्क और घर्षण वाली ऐसी यांत्रिक प्रणालियों को कैसे मॉडल किया जा सकता है और संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरण द्वारा ऐसी प्रणालियों का समय विकास कैसे प्राप्त किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त कुछ उदाहरण भी दिए गए हैं.

मॉडलिंग
एक पक्षीय संपर्क और घर्षण के साथ यांत्रिक प्रणालियों के मॉडलिंग के लिए दो मुख्य दृष्टिकोण नियमित और गैर-सुचारू दृष्टिकोण हैं। निम्नलिखित में, दो दृष्टिकोणों को सरल उदाहरण का उपयोग करके प्रस्तुत किया गया है। जो की ऐसे ब्लॉक पर विचार करें जो टेबल पर फिसल सकता है या यह चिपक सकता है (चित्र 1ए देखें)। जिसमे ब्लॉक की गति को गति के समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है, जबकि घर्षण बल अज्ञात है (चित्र 1 बी देखें)। जिसमे घर्षण बल प्राप्त करने के लिए, एक अलग बल नियम निर्दिष्ट किया जाना चाहिए जो घर्षण बल को ब्लॉक के संबंधित वेग से जोड़ता है।



गैर-सुचारू दृष्टिकोण
एक अधिक परिष्कृत दृष्टिकोण गैर-सुचारू दृष्टिकोण है, जो एक पक्षीय संपर्कों और घर्षण के साथ यांत्रिक प्रणालियों को मॉडल करने के लिए स्थित- मान बल नियमों का उपयोग करता है। उस ब्लॉक पर फिर से विचार करें जो मेज पर फिसलता या चिपकता है। इसमें एसजीएन प्रकार के संबंधित स्थित -मान घर्षण नियम को चित्र 3 में दर्शाया गया है। स्लाइडिंग केस के संबंध में, घर्षण बल दिया गया है। इस प्रकार के चिपके हुए स्थिति के संबंध में, घर्षण बल को अतिरिक्त बीजगणितीय बाधा (गणित) के अनुसार निर्धारित और निर्धारित किया जाता है।

इस प्रकार से निष्कर्ष निकालने के लिए, यदि आवश्यक हो तो गैर-सुचारू दृष्टिकोण अंतर्निहित गणितीय संरचना को बदल देता है और एक पक्षीय संपर्क और घर्षण के साथ यांत्रिक प्रणालियों का उचित विवरण देता है। जो बदलती गणितीय संरचना के परिणामस्वरूप, प्रभाव बल उत्पन्न हो सकता है, और स्थिति और वेग के समय विकास को अब सुचारू नहीं माना जा सकता है। जिसके परिणामस्वरूप, अतिरिक्त प्रभाव समीकरणों और प्रभाव नियमों को परिभाषित करना होगा। जिसमे बदलती गणितीय संरचना को संभालने के लिए, स्थित- मान बल नियमों को समान्यत: भिन्नता (गणित) या समावेशन (सेट सिद्धांत) समस्याओं के रूप में लिखा जाता है। इन असमानताओं/समावेशनों का मूल्यांकन समान्यत: रैखिक (या गैर-रेखीय) रैखिक संपूरकता समस्या को हल करके, द्विघात प्रोग्रामिंग द्वारा या भिन्नता/समावेशन समस्याओं को प्रोजेक्टिव समीकरणों में परिवर्तित करके किया जाता है जिसे जैकोबी विधि या गॉस-सीडेल विधि द्वारा पुनरावृत्त रूप से हल किया जा सकता है। -सीडेल तकनीक.गैर-सुचारू दृष्टिकोण एक पक्षीय संपर्क और घर्षण के साथ यांत्रिक प्रणालियों के लिए नया मॉडलिंग दृष्टिकोण प्रदान करता है, जिसमें द्विपक्षीय बाधाओं के अधीन संपूर्ण मौलिक यांत्रिकी भी सम्मिलित है। यह दृष्टिकोण मौलिक विभेदक बीजीय समीकरण सिद्धांत से जुड़ा है और शक्तिशाली एकीकरण योजनाओं की ओर ले जाता है।

संख्यात्मक एकीकरण
इस प्रकार के नियमित मॉडलों का एकीकरण साधारण अंतर समीकरणों के लिए मानक कठोर सॉल्वरों द्वारा किया जा सकता है। चूँकि, नियमितीकरण से प्रेरित दोलन हो सकते हैं। एक पक्षीय संपर्क और घर्षण के साथ यांत्रिक प्रणालियों के गैर-सुचारू मॉडल को ध्यान में रखते हुए, इंटीग्रेटर्स के दो मुख्य वर्ग उपस्थित हैं, जो की इवेंट-ड्रिवेन और तथाकथित टाइम-स्टेपिंग इंटीग्रेटर्स है।

इवेंट-ड्रिवेन इंटीग्रेटर्स
इवेंट-ड्रिवेन इंटीग्रेटर्स गति के सुचारू भागो के बीच अंतर करते हैं जिसमें अंतर समीकरणों की अंतर्निहित संरचना नहीं बदलती है, और घटनाओं या तथाकथित स्विचिंग बिंदुओं में जहां यह संरचना बदलती है, अथार्त समय के क्षण जिस पर एक पक्षीय संपर्क बंद हो जाता है या स्टिक स्लिप संक्रमण होता है। इन स्विचिंग बिंदुओं पर, एक नई अंतर्निहित गणितीय संरचना प्राप्त करने के लिए स्थित- मान बल (और अतिरिक्त प्रभाव) नियमों का मूल्यांकन किया जाता है, जिस पर एकीकरण जारी रखा जा सकता है। इवेंट-ड्रिवेन इंटीग्रेटर्स बहुत स्पष्ट हैं किंतु अनेक संपर्कों वाले प्रणाली के लिए उपयुक्त नहीं हैं।

टाइम-स्टेपिंग इंटीग्रेटर्स
टाइम-स्टेपिंग इंटीग्रेटर्स अनेक संपर्कों के साथ यांत्रिक प्रणालियों के लिए समर्पित संख्यात्मक योजनाएं हैं। पहला टाइम-स्टेपिंग इंटीग्रेटर जे.जे. द्वारा प्रस्तुत किया गया था। जिसे मोरो. इंटीग्रेटर्स का लक्ष्य स्विचिंग बिंदुओं को हल करना नहीं है और इसलिए वे अनुप्रयोग में बहुत शक्तिशाली हैं। चूँकि इंटीग्रेटर्स संपर्क बलों के अभिन्न अंग के साथ काम करते हैं, जो न कि स्वयं बलों के साथ, विधियाँ गति और प्रभाव जैसी आवेगपूर्ण घटनाओं दोनों को संभाल सकती हैं। जो की कमी के रूप में, टाइम-स्टेपिंग इंटीग्रेटर्स की स्पष्टता को कम कर सकती है। इसे स्विचिंग बिंदुओं पर चरण-आकार परिशोधन का उपयोग करके ठीक किया जा सकता है। जो की गति के सुचारू भागों को बड़े चरण आकारों द्वारा संसाधित किया जाता है, और एकीकरण क्रम को बढ़ाने के लिए उच्च क्रम एकीकरण विधियों का उपयोग किया जा सकता है।

उदाहरण
यह खंड एक पक्षीय संपर्क और घर्षण वाले यांत्रिक प्रणालियों के कुछ उदाहरण देता है। परिणाम टाइम-स्टेपिंग इंटीग्रेटर्स का उपयोग करके एक गैर-सुचारू दृष्टिकोण द्वारा प्राप्त किए गए हैं।

कणीय पदार्थ
समय-चरण विधियाँ विशेष रूप से कणीय पदार्थो के अनुकरण के लिए उपयुक्त हैं। चित्र 4 में 1000 डिस्क के मिश्रण का अनुकरण दर्शाया गया है।



बिलियर्ड
बिलियर्ड खेल में दो टकराने वाले गोले पर विचार करें। चित्र 5ए दो टकराते हुए गोले के कुछ स्नैपशॉट दिखाता है, चित्र 5बी संबंधित प्रक्षेप पथ को दर्शाता है।



मोटरसाइकिल का पहिया
यदि किसी मोटरसाइकिल को बहुत तेज गति से चलाया जाए, तो वह व्हीली हो जाती है। चित्र 6 सिमुलेशन के कुछ स्नैपशॉट दिखाता है।



वुडपेकर खिलौने की गति
वुडपेकर खिलौना संपर्क गतिशीलता में प्रसिद्ध बेंचमार्क समस्या है। खिलौने में खंभा जो की एक आस्तीन है जिसमें एक छेद होता है जो खंभे के व्यास से थोड़ा बड़ा होता है, जो की स्प्रिंग और वुडपेकर का निकाय होता है। जो की ऑपरेशन में, वुडपेकर किसी प्रकार की पिचिंग गति करते हुए खंभे से नीचे की ओर बढ़ता है, जिसे आस्तीन द्वारा नियंत्रित किया जाता है। चित्र 7 सिमुलेशन के कुछ स्नैपशॉट दिखाता है।

एक सिमुलेशन और विज़ुअलाइज़ेशन https://github.com/gabyx/Woodpecker पर पाया जा सकता है।

यह भी देखें

 * बहुनिकाय प्रणाली
 * संपर्क यांत्रिकी: एक पक्षीय संपर्क और घर्षण वाले अनुप्रयोग है। जो स्थैतिक अनुप्रयोग (विकृत निकायों के बीच संपर्क) और गतिशील अनुप्रयोग (संपर्क गतिशीलता)।
 * कठोर कणों के बड़े संयोजनों के संपीड़न का अनुकरण करने के लिए लुबाचेव्स्की-स्टिलिंगर एल्गोरिदम है

अग्रिम पठन

 * Acary V. and Brogliato, B. Numerical Methods for Nonsmooth Dynamical Systems. Applications in Mechanics and Electronics. Springer Verlag, LNACM 35, Heidelberg, 2008.
 * Brogliato B. Nonsmooth Mechanics. Models, Dynamics and Control Communications and Control Engineering Series Springer-Verlag, London, 2016 (third Ed.)
 * Drumwright, E. and Shell, D. Modeling Contact Friction and Joint Friction in Dynamic Robotic Simulation Using the Principle of Maximum Dissipation. Springer Tracks in Advanced Robotics: Algorithmic Foundations of Robotics IX, 2010
 * Glocker, Ch. Dynamik von Starrkoerpersystemen mit Reibung und Stoessen, volume 18/182 of VDI Fortschrittsberichte Mechanik/Bruchmechanik. VDI Verlag, Düsseldorf, 1995
 * Glocker Ch. and Studer C. Formulation and preparation for Numerical Evaluation of Linear Complementarity Systems. Multibody System Dynamics 13(4):447-463, 2005
 * Jean M. The non-smooth contact dynamics method. Computer Methods in Applied mechanics and Engineering 177(3-4):235-257, 1999
 * Moreau J.J. Unilateral Contact and Dry Friction in Finite Freedom Dynamics, volume 302 of Non-smooth Mechanics and Applications, CISM Courses and Lectures. Springer, Wien, 1988
 * Pfeiffer F., Foerg M. and Ulbrich H. Numerical aspects of non-smooth multibody dynamics. Comput. Methods Appl. Mech. Engrg 195(50-51):6891-6908, 2006
 * Potra F.A., Anitescu M., Gavrea B. and Trinkle J. A linearly implicit trapezoidal method for integrating stiff multibody dynamics with contacts, joints and friction. Int. J. Numer. Meth. Engng 66(7):1079-1124, 2006
 * Stewart D.E. and Trinkle J.C. An Implicit Time-Stepping Scheme for Rigid Body Dynamics with Inelastic Collisions and Coulomb Friction. Int. J. Numer. Methods Engineering 39(15):2673-2691, 1996
 * Studer C. Augmented time-stepping integration of non-smooth dynamical systems, PhD Thesis ETH Zurich, ETH E-Collection, to appear 2008
 * Studer C. Numerics of Unilateral Contacts and Friction—Modeling and Numerical Time Integration in Non-Smooth Dynamics, Lecture Notes in Applied and Computational Mechanics, Volume 47, Springer, Berlin, Heidelberg, 2009

बाहरी संबंध

 * Multibody research group, Center of Mechanics, ETH Zurich.
 * Lehrstuhl für angewandte Mechanik TU Munich.
 * BiPoP Team, INRIA Rhone-Alpes, France,
 * Siconos software. An open-source software dedicated to the modeling and the simulation or nonsmooth dynamical systems, especially mechanical systems with contact and Coulomb's friction
 * Multibody dynamics, Rensselaer Polytechnic Institute.
 * dynamY software
 * LMGC90 software
 * MigFlow software
 * Solfec software
 * GRSFramework Granular Rigid Body Simulation Framework developed at IMES in Ch. Glocker's group (High-Performance Computing with MPI), 2016
 * Chrono, an open source multi-physics simulation engine, see also project website 2017