अतिनिर्धारित प्रणाली

गणित में, समीकरणों की एक प्रणाली को अतिनिर्धारित माना जाता है यदि अज्ञात से अधिक समीकरण हों।  यादृच्छिक गुणांक के साथ निर्मित होने पर एक अतिनिर्धारित प्रणाली लगभग हमेशा  असंगत समीकरण  होती है (इसका कोई समाधान नहीं होता है)। हालाँकि, कुछ मामलों में एक अतिनिर्धारित प्रणाली के समाधान होंगे, उदाहरण के लिए यदि सिस्टम में कुछ समीकरण कई बार होते हैं, या यदि कुछ समीकरण दूसरों के  रैखिक संयोजन  होते हैं।

शब्दावली को बाधा गिनती  की अवधारणा के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। प्रत्येक  चर (गणित)  को स्वतंत्रता की उपलब्ध डिग्री के रूप में देखा जा सकता है। सिस्टम में पेश किए गए प्रत्येक समीकरण को एक  बाधा (गणित)  के रूप में देखा जा सकता है जो स्वतंत्रता की एक डिग्री को प्रतिबंधित करता है। इसलिए, महत्वपूर्ण मामला तब होता है जब समीकरणों की संख्या और मुक्त चर की संख्या बराबर होती है। स्वतंत्रता की डिग्री देने वाले प्रत्येक चर के लिए, एक संगत बाधा मौजूद होती है। अतिनिर्धारित मामला तब होता है जब सिस्टम को अत्यधिक बाधित किया गया है - अर्थात, जब समीकरण अज्ञात से अधिक हो जाते हैं। इसके विपरीत, अधोरेखित प्रणाली  केस तब होता है जब सिस्टम को कम किया गया है - अर्थात, जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से कम होती है। ऐसी प्रणालियों में आमतौर पर अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

दो आयामों में एक उदाहरण
3 समीकरण ों और 2 अज्ञातों की प्रणाली पर विचार करें ($X$ और $Y$), जो अतिनिर्धारित है क्योंकि 3 > 2, और जो चित्र #1 से संबंधित है: $$\begin{align} Y&=-2X-1\\ Y&=3X-2\\ Y&=X+1. \end{align}$$ रैखिक समीकरणों की प्रत्येक जोड़ी के लिए एक समाधान है: पहले और दूसरे समीकरणों के लिए (0.2, -1.4), पहले और तीसरे के लिए (−2/3, 1/3), और दूसरे और तीसरे के लिए (1.5, 2.5) ). हालाँकि, ऐसा कोई समाधान नहीं है जो तीनों को एक साथ संतुष्ट करे। आरेख # 2 और 3 अन्य कॉन्फ़िगरेशन दिखाते हैं जो असंगत हैं क्योंकि कोई भी बिंदु सभी रेखाओं पर नहीं है। इस किस्म के निकाय सु संगत और असंगत समीकरण माने जाते हैं।

केवल मामले जहां अतिनिर्धारित प्रणाली में वास्तव में समाधान होता है, आरेख # 4, 5, और 6 में प्रदर्शित होते हैं। ये अपवाद केवल तभी हो सकते हैं जब अतिनिर्धारित प्रणाली में पर्याप्त रैखिक रूप से निर्भर  समीकरण होते हैं कि स्वतंत्र समीकरणों की संख्या संख्या से अधिक नहीं होती है अज्ञात का। रैखिक निर्भरता का अर्थ है कि अन्य समीकरणों को रैखिक रूप से जोड़कर कुछ समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, Y= X + 1 और 2Y = 2X + 2 रैखिक रूप से निर्भर समीकरण हैं क्योंकि पहले वाले को दो बार लेकर दूसरा प्राप्त किया जा सकता है।

मैट्रिक्स फॉर्म
रैखिक समीकरणों की किसी भी प्रणाली को मैट्रिक्स (गणित)  समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। समीकरणों की पिछली प्रणाली (आरेख #1 में) को निम्नानुसार लिखा जा सकता है: $$ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} $$ ध्यान दें कि गुणांक मैट्रिक्स  (समीकरणों के अनुरूप) की पंक्तियों की संख्या कॉलम (अज्ञात के अनुरूप) से अधिक है, जिसका अर्थ है कि सिस्टम अतिनिर्धारित है। इस मैट्रिक्स का  रैंक (रैखिक बीजगणित)  2 है, जो सिस्टम में निर्भर चर की संख्या से मेल खाता है। एक रेखीय प्रणाली सुसंगत है  अगर और केवल अगर  गुणांक मैट्रिक्स में इसके  संवर्धित मैट्रिक्स  के समान रैंक है (एक अतिरिक्त कॉलम के साथ गुणांक मैट्रिक्स जोड़ा गया है, वह स्तंभ स्थिरांक का स्तंभ वेक्टर है)। संवर्धित मैट्रिक्स का रैंक 3 है, इसलिए सिस्टम असंगत है। कर्नेल (रैखिक बीजगणित) 0 है, जिसका अर्थ है कि शून्य स्थान में केवल शून्य वेक्टर होता है और इस प्रकार इसका कोई आधार नहीं होता है (रैखिक बीजगणित)।

रेखीय बीजगणित में मैट्रिसेस के गुणों को निर्धारित करने के लिए पंक्ति स्थान,  स्तंभ स्थान  और शून्य स्थान की अवधारणाएँ महत्वपूर्ण हैं। उपरोक्त बाधाओं और  स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी)  की अनौपचारिक चर्चा इन अधिक औपचारिक अवधारणाओं से सीधे संबंधित है।

सजातीय मामला
सजातीय मामला (जिसमें सभी निरंतर शब्द शून्य हैं) हमेशा संगत होता है (क्योंकि एक छोटा, शून्य-शून्य समाधान होता है)। रैखिक रूप से आश्रित समीकरणों की संख्या के आधार पर दो स्थितियाँ हैं: या तो केवल तुच्छ (गणित)  समाधान है, या तुच्छ समाधान है और अन्य समाधानों का एक अनंत सेट है।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें: एलi = 0 के लिए 1 ≤ i ≤ M, और चर X1, एक्स2, ..., एक्सN, जहां प्रत्येक एलi X का भारित योग हैiएस। फिर एक्स1 = एक्स2 = ⋯ = एक्सN = 0 हमेशा एक हल होता है। जब एम <एन सिस्टम कम निर्धारित होता है और हमेशा आगे के समाधानों की अनंतता होती है। वास्तव में समाधान के स्थान का आयाम हमेशा कम से कम N-M होता है।

एम ≥ एन के लिए, सभी मानों के 0 होने के अलावा कोई समाधान नहीं हो सकता है। अन्य समाधानों की अनंतता केवल तभी होगी जब समीकरणों की प्रणाली में पर्याप्त निर्भरताएं (रैखिक रूप से निर्भर समीकरण) हों कि स्वतंत्र समीकरणों की संख्या अधिक से अधिक एन हो - 1. लेकिन एम ≥ एन के साथ स्वतंत्र समीकरणों की संख्या एन जितनी अधिक हो सकती है, इस मामले में तुच्छ समाधान केवल एक ही है।

गैर-सजातीय मामला
रैखिक समीकरणों की प्रणालियों में, एलi= सीi 1 ≤ i ≤ M के लिए, चर X में1, एक्स2, ..., एक्सN समीकरण कभी-कभी रैखिक रूप से निर्भर होते हैं; वास्तव में रैखिक रूप से स्वतंत्र  समीकरणों की संख्या N+1 से अधिक नहीं हो सकती। हमारे पास एन अज्ञात और एम समीकरणों (एम> एन) के साथ एक अतिनिर्धारित प्रणाली के लिए निम्नलिखित संभावित मामले हैं।
 * एम = एन+1 और सभी एम समीकरण रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इस मामले का कोई हल नहीं निकल रहा है। उदाहरण: x = 1, x = 2।
 * एम> एन लेकिन केवल के समीकरण (के <एम और के ≤ एन + 1) रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। इसके तीन संभावित उप-मामले मौजूद हैं:
 * के = एन+1। इस मामले से कोई समाधान नहीं निकलता है। उदाहरण: 2x = 2, x = 1, x = 2।
 * के = एन। यह मामला या तो एक समाधान या कोई समाधान नहीं देता है, बाद वाला तब होता है जब एक समीकरण के गुणांक वेक्टर को अन्य समीकरणों के गुणांक वैक्टरों के भारित योग द्वारा दोहराया जा सकता है लेकिन वह भारित योग निरंतर पर लागू होता है अन्य समीकरणों के पद एक समीकरण के अचर पद की प्रतिकृति नहीं बनाते। एक हल वाला उदाहरण: 2x = 2, x = 1. बिना हल वाला उदाहरण: 2x + 2y = 2, x + y = 1, x + y = 3।
 * के <एन। यह मामला या तो असीम रूप से कई समाधान या कोई समाधान नहीं देता है, जैसा कि पिछले उप-केस में होता है। अपरिमित रूप से अनेक हलों वाला उदाहरण: 3x + 3y = 3, 2x + 2y = 2, x + y = 1. उदाहरण जिसका कोई हल नहीं है: 3x + 3y + 3z = 3, 2x + 2y + 2z = 2, x + y + z = 1, x + y + z = 4।

गॉसियन विलोपन का उपयोग करके सिस्टम के गुणांकों के संवर्धित मैट्रिक्स को पंक्ति सोपानक रूप में डालकर इन परिणामों को समझना आसान हो सकता है। यह पंक्ति सोपानक रूप समीकरणों की एक प्रणाली का संवर्धित मैट्रिक्स है जो दिए गए सिस्टम के बराबर है (इसका बिल्कुल समान समाधान है)। मूल प्रणाली में स्वतंत्र समीकरणों की संख्या सोपानक रूप में गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या है। सिस्टम असंगत है (कोई समाधान नहीं) अगर और केवल अगर सोपानक रूप में अंतिम गैर-शून्य पंक्ति में केवल एक गैर-शून्य प्रविष्टि है जो अंतिम कॉलम में है (समीकरण 0 = c दे रहा है जहां c एक गैर-शून्य स्थिरांक है). अन्यथा, वास्तव में एक समाधान होता है जब सोपानक रूप में गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है, और असीम रूप से कई समाधान होते हैं जब गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या चर की संख्या से कम होती है।

इसे दूसरे तरीके से रखते हुए, रोचे-कैपेली प्रमेय के अनुसार, समीकरणों की कोई भी प्रणाली (अतिनिर्धारित या अन्यथा) असंगत है यदि संवर्धित मैट्रिक्स का रैंक (रैखिक बीजगणित) गुणांक मैट्रिक्स के रैंक से अधिक है। यदि, दूसरी ओर, इन दो आव्यूहों की कोटि समान हैं, तो तंत्र में कम से कम एक हल होना चाहिए। समाधान अद्वितीय है अगर और केवल अगर रैंक चर की संख्या के बराबर है। अन्यथा सामान्य समाधान में k मुक्त पैरामीटर हैं जहाँ k चर और रैंक की संख्या के बीच का अंतर है; इसलिए ऐसे मामले में अनंत समाधान होते हैं।

सटीक समाधान
मैट्रिक्स (गणित) का उपयोग करके सभी सटीक समाधान प्राप्त किए जा सकते हैं, या यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी मौजूद नहीं है। रैखिक समीकरणों की प्रणाली#मैट्रिक्स समाधान देखें।

अनुमानित समाधान
अतिनिर्धारित प्रणालियों के अनुमानित समाधान खोजने के लिए साधारण कम से कम वर्गों की विधि का उपयोग किया जा सकता है। सिस्टम के लिए $$A \mathbf x = \mathbf b,$$ कम से कम वर्ग सूत्र समस्या से प्राप्त किया जाता है $$\min_{\mathbf x}\lVert A \mathbf x - \mathbf b \rVert,$$ जिसका समाधान सामान्य समीकरण ों के साथ लिखा जा सकता है, $$\mathbf x = \left(A^{\mathsf{T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf{T}}\mathbf b,$$ कहां $$\mathsf{T}$$ एक मैट्रिक्स स्थानान्तरण ़ इंगित करता है, बशर्ते $$\left(A^{\mathsf{T}}A\right)^{-1}$$ मौजूद है (अर्थात, बशर्ते A के पास पूर्ण  मैट्रिक्स रैंक  हो)। इस सूत्र के साथ एक अनुमानित समाधान पाया जाता है जब कोई सटीक समाधान मौजूद नहीं होता है, और जब कोई मौजूद होता है तो यह एक सटीक समाधान देता है। हालांकि, कम से कम वर्गों की समस्या को हल करने के लिए ए के क्यूआर कारककरण का उपयोग करके अच्छी संख्यात्मक सटीकता प्राप्त करने के लिए प्राथमिकता दी जाती है।

सामान्य उपयोग में
अवधारणा को समीकरणों की अधिक सामान्य प्रणालियों पर भी लागू किया जा सकता है, जैसे कि बहुपद समीकरणों की प्रणाली  या  आंशिक अंतर समीकरण । बहुपद समीकरणों की प्रणालियों के मामले में, ऐसा हो सकता है कि एक अतिनिर्धारित प्रणाली का समाधान हो, लेकिन यह कि कोई एक समीकरण दूसरों का परिणाम नहीं है और किसी भी समीकरण को हटाते समय, नई प्रणाली में अधिक समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, $$(x-1)(x-2)=0, (x-1)(x-3)=0$$ का एक ही समाधान है $$x=1,$$ लेकिन प्रत्येक समीकरण के अपने आप में दो समाधान होते हैं।

यह भी देखें

 * अनिर्धारित प्रणाली
 * रूचे-कैपेली प्रमेय|रूचे-कैपेली (या, रॉचे-फ्रोबेनियस) प्रमेय
 * अखंडता की स्थिति
 * कम से कम दो गुना
 * संगति प्रमाण
 * संकुचित संवेदन
 * मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स