क्वांटेल

गणित में, क्वांटल कुछ आंशिक रूप से क्रमबद्ध बीजगणितीय संरचनाएं हैं जो लोकेल (बिंदु मुक्त टोपोलॉजी) के साथ-साथ रिंग थ्योरी और कार्यात्मक विश्लेषण (सी * - बीजगणित, वॉन न्यूमैन बीजगणित) से आदर्शों के विभिन्न बहुगुणक जालों को सामान्य करती हैं। क्वांटलस को कभी-कभी पूर्ण अवशिष्ट अर्धसमूह के रूप में जाना जाता है।

सिंहावलोकन
क्वांटेल सहयोगी बाइनरी ऑपरेशन के साथ एक पूर्ण जालक क्यू है: Q × Q → Q, इसका गुणन कहा जाता है, वितरण गुण को संतुष्ट करता है


 * $$x*\left(\bigvee_{i\in I}{y_i}\right) = \bigvee_{i\in I}(x*y_i)$$

और


 * $$\left(\bigvee_{i\in I}{y_i}\right)*{x}=\bigvee_{i\in I}(y_i*x)$$

Q में सभी x, yi, i में I (यहाँ I कोई इंडेक्स सेट है)। क्वांटले यूनिटल है अगर इसकी गुणा के लिए एक पहचान तत्व e है:


 * $$x*e = x = e*x$$

Q में सभी x के लिए। इस मामले में, क्वांटेल स्वाभाविक रूप से इसके गुणन के संबंध में एक मोनोइड है।

यूनिटल क्वांटले को पूरी तरह से अर्ध-जालक में शामिल होने की श्रेणी में मोनॉयड के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

यूनिटल क्वांटले जुड़ने और गुणन के तहत आदर्श सेमिरींग है।

इकाई मात्रा जिसमें पहचान अंतर्निहित जालक का शीर्ष अवयव है, को सख्ती से दो तरफा (या केवल अभिन्न) कहा जाता है।

विनिमेय क्वांटेल एक क्वांटेल है जिसका गुणन कम्यूटेटिव है। मिल ऑपरेशन द्वारा दिए गए गुणा के साथ एक फ्रेम, सख्ती से दो तरफा कम्यूटेटिव क्वांटले का एक विशिष्ट उदाहरण है। एक और सरल उदाहरण इसके सामान्य गुणन के साथ इकाई अंतराल द्वारा प्रदान किया जाता है।

इडम्पोटेंट क्वांटले एक क्वांटले है जिसका गुणन इडम्पोटेंट है। एक फ्रेम सख्ती से दो तरफा क्वांटले के रूप में एक समान है।

समावेशी क्वांटाले एक जटिलता के साथ एक क्वांटेल है


 * $$(xy)^\circ = y^\circ x^\circ$$

जो जुड़ता रहता है:


 * $$\biggl(\bigvee_{i\in I}{x_i}\biggr)^\circ =\bigvee_{i\in I}(x_i^\circ).$$

क्वांटेल समरूपता मानचित्र f : Q1 → Q2 है जो Q1 में सभी x, y, xi और i में सभी के लिए जुड़ने और गुणन को संरक्षित करता है:


 * $$f(xy) = f(x)f(y),$$
 * $$f\left(\bigvee_{i \in I}{x_i}\right) = \bigvee_{i \in I} f(x_i).$$

यह भी देखें

 * संबंधपरक बीजगणित

संदर्भ

 * 
 * J. Paseka, J. Rosicky, Quantales, in: B. Coecke, D. Moore, A. Wilce, (Eds.), Current Research in Operational Quantum Logic: Algebras, Categories and Languages, Fund. Theories Phys., vol. 111, Kluwer Academic Publishers, 2000, pp. 245–262.
 * M. Piazza, M. Castellan, Quantales and structural rules. Journal of Logic and Computation, 6 (1996), 709–724.
 * K. Rosenthal, Quantales and Their Applications, Pitman Research Notes in Mathematics Series 234, Longman Scientific & Technical, 1990.