सम्पूर्ण क्रम (टोटल आर्डर)

गणित में, सम्पूर्ण क्रम (टोटल आर्डर) या रैखिक क्रम (लीनियर आर्डर) एक प्रकार का आंशिक अनुक्रम (सीक्वेंस) होता है जिसमें किसी भी दो अंशों को तुलनीय माना जाता है। अर्थात, सम्पूर्ण क्रम एक द्विआधारी संबंध $$\leq$$ होता है जो किसी समुच्चय $$X$$ पर सभी $$a, b$$ और $$X$$ के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:


 * 1) $$a \leq a$$ (स्वतुल्य)।
 * 2) यदि $$a \leq b$$ और $$b \leq c$$ तब $$a \leq c$$ (संक्रमणीय (ट्रांज़िटिव))।
 * 3) यदि $$a \leq b$$ और $$b \leq a$$ तब $$a = b$$ (प्रतिसममित (एंटीसिमेट्रिक))।
 * 4) $$a \leq b$$ या $$b \leq a$$ (दृढ़ता से जुड़ा हुआ, पूर्व में कुल कहा जाता था)।

स्वतुल्यता (1.) पहले ही संबंधितता (4.) से प्राप्त होती है, लेकिन बहुत से लेखकों द्वारा इसे स्पष्ट रूप से आवश्यक माना जाता है, ताकि आंशिक क्रमों के साथ इसकी सम्बन्धिता को दर्शाया जा सके। सम्पूर्ण क्रमों को कभी-कभी सरल, कॉननेक्स, या पूर्ण क्रम भी कहा जाता है।

सम्पूर्ण क्रम के साथ क्रमित एक समुच्चय को पूर्णतः क्रमित समुच्चय कहते हैं; सरलता से क्रमित समुच्चय, रैखिक रूप से क्रमित समुच्चय, और लोसेट भी उपयोग किए जाते हैं। शब्द श्रृंखला (चेन) कभी-कभी पूर्णतः क्रमित समुच्चय के पर्यायी शब्द के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन सामान्यतः यह किसी दिए गए आंशिक क्रमित समुच्चय के पूर्णतः क्रमित उपसमुच्चयों के प्रति संकेत करता है।

किसी दिए गए आंशिक क्रम को सम्पूर्ण क्रम में विस्तारित करना उस आंशिक क्रम का रैखिक प्रसार कहलाता है।

स्ट्रिक्ट और नॉन-स्ट्रिक्ट सम्पूर्ण क्रम
समुच्चय $$X$$ पर एक सख्त कुल क्रम $$X$$ पर स्ट्रिक्ट आंशिक क्रम है जिसमें किन्हीं दो अलग-अलग तत्वों की तुलना की जा सकती है। अर्थात्, एक सख्त कुल आदेश कुछ सेट $$X$$ पर एक द्विआधारी संबंध $$<$$ है, जो $$X$$ में सभी $$a, b$$ और $$c$$ के लिए निम्नलिखित को संतुष्ट करता है:


 * 1) $$a < a$$ नहीं (अस्वतुल्य)।
 * 2) यदि $$a < b$$ है तो $$ b < a $$ नहीं (असममित)।
 * 3) यदि $$a < b$$ और $$b < c$$ है तो $$a < c$$ (संक्रमणीय)।
 * 4) यदि $$a \neq b$$ है, अतः $$a < b$$ या $$b < a$$ (संसक्त)।

असममिता सकर्मकता और अस्वतुल्यता से परिणत होती है; इसके अतिरिक्त, अस्वतुल्यता भी असममिता से परिणत होता है।

परिसीमन उद्देश्यों के लिए, लीड में परिभाषित कुल ऑर्डर को कभी-कभी गैर-सख्त ऑर्डर कहा जाता है। प्रत्येक (गैर-सख्त) कुल आदेश $$\leq$$ के लिए एक संबद्ध संबंध $$<$$ होता है, जिसे $$\leq$$ से जुड़ा सख्त कुल आदेश कहा जाता है जिसे दो समकक्ष विधियों से परिभाषित किया जा सकता है:


 * $$a < b$$ यदि $$a \leq b$$ और $$a \neq b$$ (रिफ्लेक्सिव रिडक्शन)।
 * यदि $$b \leq a$$ नहीं तो $$a < b$$ (अर्थात $$<$$, $$\leq$$ के व्युत्क्रम का पूरक है)।

इसके विपरीत, एक सख्त कुल आदेश $$<$$ का रिफ्लेक्टिव क्लोजर एक (गैर-सख्त) कुल आदेश है।

उदाहरण

 * किसी पूर्णतः क्रमित संख्या समूह $X$ के किसी भी सबसेट के लिए, $X$ पर क्रम की प्रतिबंधितता के लिए भी वह पूर्णतः क्रमित होता है।
 * खाली सेट, $∅$, पर एकमात्र क्रम होना, एक पूर्ण क्रम है।
 * किसी भी कार्डिनल संख्या या क्रम संख्या के सेट (इससे अधिक मजबूती से, ये अच्छे क्रम हैं)।
 * यदि $X$ कोई भी सेट है और $f$ एक इंजेक्शन समारोह है जो $X$ से एक पूर्णतः क्रमित समूह के लिए जाता है, तो $f$, $X$पर एक पूर्ण क्रम को उत्पन्न करता है, जब $f(x_{1}) ≤ f(x_{2})$ हो तब और केवल तब $x_{1} ≤ x_{2}$ निर्धारित होता है।


 * पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेटों के एक परिवार के कार्टेशियन उत्पाद पर लेक्सिकोग्राफ़िक ऑर्डर, एक अच्छी तरह से ऑर्डर किए गए सेट द्वारा अनुक्रमित, स्वयं एक कुल ऑर्डर है। सामान्य "कम या बराबर" (≤) या "अधिक या बराबर" (≥) संबंधों द्वारा क्रमित किए गए वास्तविक संख्याओं का समूह पूर्णतः क्रमित है। इसलिए हर एक वास्तविक संख्याओं का उपसमूह पूर्णतः क्रमित है, जैसे प्राकृतिक संख्याएँ, पूर्णांक और रेशियों। इनमें से प्रत्येक को एक विशेष गुणधर्म (आदेश समरूपता तक) (यहां, एक पूर्ण क्रम $A$ एक गुणधर्म के लिए प्रारंभिक उदाहरण है, अगर $B$ में गुणधर्म है, तो $B$ के एक उपसमूह के लिए $A$ से आदेश समानानुक्रमिकता होती है):
 * प्राकृतिक संख्याएँ बिना किसी ऊपरी सीमा के एक प्रारंभिक गैर-रिक्त पूर्ण रूप से क्रमित सेट बनाती हैं।
 * पूर्णांक एक प्रारंभिक गैर-रिक्त पूर्णतः क्रमबद्ध सेट बनाते हैं जिसमें न तो कोई ऊपरी और न ही निचली सीमा होती है।
 * परिमेय संख्याएँ एक आरंभिक पूर्णतया क्रमबद्ध समुच्चय बनाती हैं जो वास्तविक संख्याओं में सघन होता है। इसके अलावा, प्रतिवर्ती कमी < परिमेय संख्याओं पर एक सघन क्रम है।
 * वास्तविक संख्याएँ एक प्रारंभिक असंबद्ध पूर्णतः क्रमबद्ध सेट बनाती हैं जो ऑर्डर टोपोलॉजी (नीचे परिभाषित) में जुड़ा हुआ है।
 * ऑर्डर किए गए फ़ील्ड पूरी तरह से परिभाषा के अनुसार ऑर्डर किए गए हैं। इनमें परिमेय संख्याएँ और वास्तविक संख्याएँ शामिल हैं। प्रत्येक आदेशित फ़ील्ड में एक क्रमबद्ध उपफ़ील्ड होता है जो तर्कसंगत संख्याओं के लिए समरूपी होता है। कोई भी डेडेकाइंड-पूर्ण ऑर्डर किया गया फ़ील्ड वास्तविक संख्याओं के समरूपी होता है।
 * वर्णमाला क्रम के अनुसार क्रमबद्ध किया गया है, उदाहरण के लिए, $A < B < C$ इत्यादि, एक सख्त कुल क्रम है।

चेन
शृंखला शब्द को कभी-कभी पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट के पर्याय के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन इसका उपयोग आम तौर पर आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के उपसमुच्चय को संदर्भित करने के लिए किया जाता है जो प्रेरित ऑर्डर के लिए पूरी तरह से ऑर्डर किया जाता है। आमतौर पर, आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट किसी दिए गए सेट के उपसमुच्चय का एक सेट होता है जिसे शामिल करने का आदेश दिया जाता है, और इस शब्द का उपयोग श्रृंखलाओं के सेट के गुणों को बताने के लिए किया जाता है। सेट के नेस्टेड स्तरों की यह उच्च संख्या शब्द की उपयोगिता को स्पष्ट करती है।

पूर्णतः क्रमित उपसमूहों के संदर्भ में चेन के उपयोग का एक सामान्य उदाहरण जोर्न का लेमा है, जो कहता है कि, यदि एक आंशिक क्रमित समूह $X$ में हर चेन का एक ऊपरी सीमा $X$ में होती है, तो $X$ में कम से कम एक अधिकतम तत्व होता है। जोर्न का लेमा आमतौर पर $X$ को उपसमूहों का एक सेट होने के साथ उपयोग किया जाता है; इस मामले में, ऊपरी सीमा को साबित करने के लिए समूह $X$ में चेन के तत्वों के यूनियन का उपयोग किया जाता है। यह वह तरीका है जिसे सामान्य रूप से इस्तेमाल किया जाता है ताकि प्रमाणित किया जा सके कि एक सदिश स्थल के पास हैमेल आधार होती है और एक रिंग के पास अधिकतम आदर्श होते हैं।

कुछ संदर्भों में, जिन शृंखलाओं पर विचार किया जाता है वे अपने सामान्य क्रम या उसके विपरीत क्रम के साथ प्राकृतिक संख्याओं के समरूपी क्रम वाली होती हैं। इस मामले में, एक श्रृंखला को एक मोनोटोन अनुक्रम से पहचाना जा सकता है, और इसे आरोही श्रृंखला या अवरोही श्रृंखला कहा जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि अनुक्रम बढ़ रहा है या घट रहा है।

यदि प्रत्येक अवरोही श्रृंखला अंततः स्थिर हो जाती है, तो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में अवरोही श्रृंखला की स्थिति होती है। उदाहरण के लिए, एक ऑर्डर अच्छी तरह से स्थापित होता है अगर उसमें अवरोही श्रृंखला की स्थिति हो। इसी तरह, आरोही श्रृंखला की स्थिति का अर्थ है कि प्रत्येक आरोही श्रृंखला अंततः स्थिर हो जाती है। उदाहरण के लिए, नोथेरियन अंगूठी एक ऐसी रिंग है जिसके आदर्श आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करते हैं।

अन्य संदर्भों में, केवल उन श्रृंखलाओं पर विचार किया जाता है जो परिमित समुच्चय हैं। इस मामले में, कोई एक परिमित श्रृंखला की बात करता है, जिसे अक्सर एक श्रृंखला के रूप में छोटा किया जाता है। इस मामले में, एक श्रृंखला की लंबाई श्रृंखला के लगातार तत्वों के बीच असमानताओं (या निर्धारित समावेशन) की संख्या है; अर्थात्, श्रृंखला में तत्वों में से एक को घटाकर संख्या। इस प्रकार एक सिंगलटन सेट शून्य लंबाई की एक श्रृंखला है, और एक ऑर्डर किया गया जोड़ा लंबाई एक की श्रृंखला है। किसी स्थान के आयाम को अक्सर उप-स्थानों की श्रृंखलाओं की अधिकतम लंबाई के रूप में परिभाषित या वर्णित किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक वेक्टर स्पेस का आयाम रैखिक उप-स्थानों की श्रृंखलाओं की अधिकतम लंबाई है, और एक क्रमविनिमेय वलय का क्रुल आयाम अभाज्य आदर्शों की श्रृंखलाओं की अधिकतम लंबाई है।

"चेन" का उपयोग संरचनाओं के कुछ पूरी तरह से ऑर्डर किए गए उप-समुच्चय के लिए भी किया जा सकता है जो आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट नहीं हैं। एक उदाहरण बहुपदों की नियमित श्रृंखला द्वारा दिया गया है। एक अन्य उदाहरण ग्राफ में वॉक के पर्याय के रूप में "चेन" का उपयोग है।

जालक सिद्धांत
कोई पूरी तरह से ऑर्डर किए गए सेट को एक विशेष प्रकार की जाली के रूप में परिभाषित कर सकता है, अर्थात् वह जिसमें हमारे पास है
 * $$\{a\vee b, a\wedge b\} = \{a, b\}$$ सभी a, b के लिए।

हम तब a ≤ b लिखते हैं यदि और केवल यदि $$a = a\wedge b$$। इसलिए एक पूरी तरह से व्यवस्थित सेट एक वितरणात्मक जाली है।

परिमित अच्छा आदेश
एक साधारण गणना तर्क यह सत्यापित करेगा कि किसी भी गैर-रिक्त परिमित पूर्ण रूप से आदेशित सेट (और इसलिए उसके किसी भी गैर-रिक्त उपसमुच्चय) में कम से कम तत्व है। इस प्रकार प्रत्येक परिमित कुल क्रम वास्तव में एक सुव्यवस्थित क्रम होता है। या तो प्रत्यक्ष प्रमाण द्वारा या यह देखकर कि प्रत्येक अच्छी तरह से आदेश एक क्रमसूचक के लिए आदेश आइसोमोर्फिक है, यह दिखा सकता है कि प्रत्येक परिमित कुल आदेश <द्वारा आदेशित प्राकृतिक संख्याओं के प्रारंभिक खंड के लिए आदेश आइसोमोर्फिक है। दूसरे शब्दों में, k तत्वों के साथ एक सेट पर कुल क्रम पहले k प्राकृतिक संख्याओं के साथ एक आपत्ति उत्पन्न करता है। इसलिए ऑर्डर प्रकार ω के साथ परिमित कुल ऑर्डर या अच्छे ऑर्डर को प्राकृतिक संख्याओं द्वारा इस तरह से अनुक्रमित करना आम बात है जो ऑर्डर का सम्मान करता है (या तो शून्य से शुरू होता है या एक के साथ)।

श्रेणी सिद्धांत
पूर्णतः क्रमित समूह पूर्णतः क्रमित समूहों के श्रेणी की एक पूर्ण उपश्रेणी बनाते हैं, जहां मॉर्फिज़म आदेश का सम्मान करने वाले मानचित्र होते हैं, अर्थात ऐसे मानचित्र f जो ऐसे हों जब a ≤ b तो f(a) ≤ f(b)।

दो पूर्णतया क्रमित सेटों के बीच एक विशेषण मानचित्र जो दोनों आदेशों का सम्मान करता है, इस श्रेणी में एक समरूपता है।

ऑर्डर टोपोलॉजी
किसी भी पूर्णतः क्रमित समुच्चय $X$ के लिए हम खुले अंतरालों को परिभाषित कर सकते हैं हम इन खुले अंतरालों का उपयोग करके किसी भी क्रमित समूह पर एक टोपोलॉजी, यानी क्रम टोपोलॉजी, की परिभाषा कर सकते हैं।
 * $a < x and x < b\}$, और
 * $x < b\}$, और
 * $a < x\}$, और

जब सेट पर एक से अधिक क्रम का उपयोग किया जाता है, तो एक विशेष क्रम द्वारा उत्पन्न क्रम टोपोलॉजी के बारे में बात की जाती है। उदाहरण के लिए, यदि N प्राकृतिक संख्याएँ हैं, < कम और > अधिक हैं, तो हम < द्वारा उत्पन्न N पर क्रम टोपोलॉजी और > द्वारा उत्पन्न N पर क्रम टोपोलॉजी के बारे में बात कर सकते हैं (इस मामले में वे तो एक जैसी हैं, लेकिन सामान्यतः ऐसा नहीं होगा)।

कुल ऑर्डर से प्रेरित ऑर्डर टोपोलॉजी को आनुवंशिक रूप से सामान्य दिखाया जा सकता है।

सम्पूर्णता
पूर्णतः क्रमित समूह को पूर्ण कहा जाता है अगर हर ऐसा गैर-खाली उपसमूह जिसका एक ऊपरी सीमा है, उसका न्यूनतम ऊपरी सीमा होता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं का सेट R पूर्ण है, लेकिन रेशियों का सेट Q पूर्ण नहीं है। दूसरे शब्दों में, पूर्णता के विभिन्न अवधारणाएं (जिन्हें "पूर्ण" होने से मत घोलें) प्रतिबंधों पर लागू नहीं होतीं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं पर ≤ के एक गुणधर्म है कि वास्तविक संख्याओं के एक ऊपरी सीमा वाले R के हर गैर-खाली उपसमूह S का एक न्यूनतम ऊपरी सीमा (जिसे सर्वोच्च सीमा भी कहा जाता है) R में होता है। हालांकि, रेशियों के लिए इस सर्वोच्च सीमा की वैधता आवश्यकतानुसार रेशियों में अनिवार्य रूप से रेशियों का नहीं होता है, इसलिए यही गुणधर्म रेशियों की ≤ की प्रतिबंधन पर लागू नहीं होता है। उच्चतम

X की पूर्णता के लिए ऑर्डर टोपोलॉजी की संपत्तियों से संबंधित कई परिणाम हैं:


 * यदि X पर ऑर्डर टोपोलॉजी जुड़ी हुई है, तो X पूर्ण हो गया है।
 * X को ऑर्डर टोपोलॉजी के तहत तभी जोड़ा जाता है जब यह पूर्ण हो और X में कोई गैप न हो (एक गैप X में दो बिंदुओं a और b के साथ a < b होता है, ताकि कोई भी c, a < c < b को संतुष्ट न कर सके।)
 * X पूर्ण है यदि और केवल तभी जब ऑर्डर टोपोलॉजी में बंद प्रत्येक परिबद्ध सेट कॉम्पैक्ट हो।

एक पूर्णतः क्रमित समूह (उसकी क्रम टोपोलॉजी के साथ) जो पूर्ण जाली है, संकुचित होता है। उदाहरण हैं वास्तविक संख्याओं के बंद अंतराल, जैसे इकाई अंतराल [0,1], और संख्या पंक्ति को एफेलीनी संवर्धित किया गया वास्तविक संख्या प्रणाली (विस्तारित वास्तविक संख्या पंक्ति)। इन उदाहरणों के बीच क्रम-रक्षात्मक होमियोमोर्फिज्म होते हैं।

आदेशों का योग
दो अलग-अलग पूर्ण क्रमों $$(A_1,\le_1)$$ और $$(A_2,\le_2)$$ के लिए, समूह $$A_1\cup A_2$$ पर एक प्राकृतिक क्रम $$\le_+$$ होता है, जिसे दो क्रमों का योग कहा जाता है या कभी-कभी सिर्फ $$A_1+A_2$$ कहा जाता है।
 * $$x,y\in A_1\cup A_2$$, $$x\le_+ y$$ के लिए तभी मान्य होगा जब निम्नलिखित में से कोई एक मान्य होगा:
 * $$x,y\in A_1$$ और $$x\le_1 y$$
 * $$x,y\in A_2$$ और $$x\le_2 y$$
 * $$x\in A_1$$ और $$y\in A_2$$

सहज रूप से, इसका मतलब यह है कि दूसरे सेट के तत्व पहले सेट के तत्वों के ऊपर जोड़े जाते हैं।

अधिक आम तौर पर, यदि $$(I,\le)$$ एक पूरी तरह से आदेशित सूचकांक सेट है, और प्रत्येक $$i\in I$$ के लिए संरचना $$(A_i,\le_i)$$ एक रैखिक क्रम है, जहां सेट $$A_i$$ जोड़ीदार असंयुक्त हैं, तो $$\bigcup_i A_i$$ पर प्राकृतिक कुल क्रम को परिभाषित किया गया है
 * $$x,y\in \bigcup_{i\in I} A_i$$ के लिए, $$x\le y$$ धारण करता है यदि:
 * या तो $$ x\le_i y $$ के साथ कोई $$i\in I$$ भी है
 * या $$I$$ में $$ x\in A_i$$, $$ y\in A_j$$ के साथ कुछ $$i<j$$ हैं

निर्णायकता
कुल आदेशों का प्रथम-क्रम सिद्धांत निर्णय लेने योग्य है, अर्थात यह तय करने के लिए एक एल्गोरिदम है कि सभी कुल आदेशों के लिए कौन सा प्रथम-क्रम विवरण मान्य है। S2S में व्याख्यात्मकता का उपयोग करते हुए, गणनीय कुल आदेशों का मोनैडिक दूसरे क्रम का सिद्धांत भी निर्णय लेने योग्य है।

पूर्णतः ऑर्डर किए गए सेटों के कार्टेशियन उत्पाद पर ऑर्डर
बढ़ती क्षमता के क्रम में, यानी, युग्मांकन उपसमूहों के कम होने के क्रम में, दो पूर्णतः क्रमित समूहों के कार्टेशियन उत्पाद पर संभव तीन क्रमों में से होते हैं:


 * शब्दावलीय क्रम: (a, b) ≤ (c, d) तब और तब ही जब a < c हो या (a = c और b ≤ d हो)। यह एक पूर्ण क्रम है।
 * उपयुक्तता के अनुसार (a, b) ≤ (c, d) तब और तब ही जब a ≤ c और b ≤ d हो (उत्पाद क्रम गुणधर्म योग)। यह एक आंशिक क्रम है।
 * उपयुक्तता के अनुसार (a, b) ≤ (c, d) तब और तब ही जब (a < c और b < d) या (a = c और b = d) हो (संबंधित सख्त पूर्ण क्रमों के प्रत्यक्ष गुणधर्म की अपेक्षाकालीन बंदिश)। यह भी एक आंशिक क्रम है।

इन तीनों को समान रूप से दो से अधिक सेटों के कार्टेशियन उत्पाद के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

वेक्टर समष्टि Rn पर लागू, इनमें से प्रत्येक इसे एक क्रमबद्ध सदिश समष्टि बनाता है।

आंशिक रूप से क्रमबद्ध सेटों के उदाहरण भी देखें।

आरएन के एक उपसमुच्चय पर परिभाषित एन वास्तविक चर का एक वास्तविक कार्य एक सख्त कमजोर क्रम और उस उपसमुच्चय पर एक संबंधित कुल प्रीऑर्डर को परिभाषित करता है।

संबंधित संरचनाएं
एक द्विआधारी संबंध जो एंटीसिमेट्रिक, सकर्मक और रिफ्लेक्सिव है (लेकिन जरूरी नहीं कि कुल हो) एक आंशिक क्रम है।

संगत कुल क्रम वाला समूह एक पूर्णतः क्रमबद्ध समूह होता है।

केवल कुछ गैर-तुच्छ संरचनाएं हैं जो कुल क्रम की कटौती (अंतरपरिभाषित) हैं। ओरिएंटेशन को भूलने से आपसी संबंध बन जाता है। सिरों का स्थान भूलने से चक्रीय क्रम बनता है। दोनों डेटा को भूलने से संबंध अलग हो जाता है।

यह भी देखें

 * - नीचे की ओर कुल आंशिक क्रम
 * - नीचे की ओर कुल आंशिक क्रम
 * - नीचे की ओर कुल आंशिक क्रम
 * - नीचे की ओर कुल आंशिक क्रम
 * - नीचे की ओर कुल आंशिक क्रम

संदर्भ

 * George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
 * John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4
 * George Grätzer (1971). Lattice theory: first concepts and distributive lattices. W. H. Freeman and Co. ISBN 0-7167-0442-0
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 * John G. Hocking and Gail S. Young (1961). Topology. Corrected reprint, Dover, 1988. ISBN 0-486-65676-4