Σ- बीजगणित

गणितीय विश्लेषण और प्रायिकता सिद्धांत में, एक सेट X पर एक σ-बीजगणित (भी σ-क्षेत्र) पूरक (सेट सिद्धांत) के तहत X क्लोजर (गणित) के सबसेट का एक गैर-रिक्त संग्रह है। काउंटेबल यूनियन (सेट थ्योरी), और काउंटेबल इंटरसेक्शन (सेट थ्योरी)। जोड़ी $$(X, \Sigma)$$ मापने योग्य स्थान कहा जाता है।

σ-एलजेब्रा बीजगणित सेट करें का एक सबसेट है; उत्तरार्द्ध के तत्वों को केवल बहुत से उपसमुच्चय के संघ या चौराहे के तहत बंद करने की आवश्यकता है, जो एक कमजोर स्थिति है। σ-अलजेब्रस का मुख्य उपयोग माप (गणित) की परिभाषा में है; विशेष रूप से, उन उपसमुच्चयों का संग्रह जिसके लिए एक दिया गया माप परिभाषित किया गया है, अनिवार्य रूप से एक σ-बीजगणित है। यह अवधारणा गणितीय विश्लेषण में Lebesgue एकीकरण की नींव के रूप में और संभाव्यता सिद्धांत में महत्वपूर्ण है, जहां इसे उन घटनाओं के संग्रह के रूप में व्याख्या किया जाता है जिन्हें संभावनाएं सौंपी जा सकती हैं। साथ ही, संभाव्यता में, सशर्त अपेक्षा की परिभाषा में σ-अलजेब्रा महत्वपूर्ण हैं।

आँकड़ों में, (उप) σ-अलजेब्रा पर्याप्त आँकड़ों की औपचारिक गणितीय परिभाषा के लिए आवश्यक हैं, खासकर जब आंकड़ा एक कार्य या एक यादृच्छिक प्रक्रिया है और सशर्त संभाव्यता वितरण की धारणा लागू नहीं होती है।

अगर $$X = \{a, b, c, d\}$$ एक संभव σ-बीजगणित पर $$X$$ है $$\Sigma = \{\varnothing, \{a, b\}, \{c, d\}, \{a, b, c, d\}\},$$ कहाँ $$\varnothing$$ खाली सेट है। सामान्य तौर पर, एक परिमित बीजगणित हमेशा σ-बीजगणित होता है।

अगर $$\{A_1, A_2, A_3, \ldots\},$$ के एक सेट का एक गणनीय विभाजन है $$X$$ तो विभाजन में सेट के सभी संघों का संग्रह (खाली सेट सहित) एक σ-बीजगणित है।

एक अधिक उपयोगी उदाहरण सभी खुले अंतरालों के साथ शुरू करके और सभी गणनीय संघों, गणनीय चौराहों और सापेक्ष पूरक में जोड़कर बनाई गई वास्तविक रेखा के सबसेट का सेट है और इस प्रक्रिया को जारी रखता है (सभी गणनीय अध्यादेशों के माध्यम से ट्रांसफ़िनिटी पुनरावृत्ति द्वारा) प्रासंगिक बंद होने तक गुण प्राप्त होते हैं (एक निर्माण जिसे बोरेल पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है)।

प्रेरणा
σ-अल्जेब्रा के लिए कम से कम तीन प्रमुख प्रेरक हैं: उपायों को परिभाषित करना, सेट की सीमाओं में हेरफेर करना और सेट द्वारा विशेषता वाली आंशिक जानकारी का प्रबंधन करना।

उपाय
एक माप (गणित) पर $$X$$ एक फलन (गणित) है जो के सबसेट को एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या प्रदान करता है $$X;$$ इसे समुच्चयों के आकार या आयतन की सटीक धारणा बनाने के बारे में सोचा जा सकता है। हम चाहते हैं कि अलग-अलग सेटों के संघ का आकार उनके अलग-अलग आकारों का योग हो, यहां तक ​​कि अलग-अलग सेटों के अनंत अनुक्रम के लिए भी।

कोई आकार असाइन करना चाहता है का भाग $$X,$$ लेकिन कई प्राकृतिक परिस्थितियों में यह संभव नहीं है। उदाहरण के लिए, पसंद के स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि जब विचाराधीन आकार वास्तविक रेखा के सबसेट के लिए लंबाई की सामान्य धारणा है, तो ऐसे सेट मौजूद हैं जिनके लिए कोई आकार मौजूद नहीं है, उदाहरण के लिए, विटाली सेट। इस कारण से, इसके बजाय विशेषाधिकार प्राप्त सबसेट के एक छोटे संग्रह पर विचार किया जाता है $$X.$$ इन सबसेट को मापने योग्य सेट कहा जाएगा। वे संचालन के तहत बंद हैं जो एक औसत दर्जे के सेट के लिए अपेक्षित होगा, अर्थात, मापने योग्य सेट का पूरक एक औसत दर्जे का सेट है और मापने योग्य सेटों का गणनीय संघ एक औसत दर्जे का सेट है। इन गुणों वाले सेटों के गैर-खाली संग्रह को σ-एलजेब्रा कहा जाता है।

सेट की सीमा
माप के कई उपयोग, जैसे कि यादृच्छिक चर के अभिसरण की संभाव्यता अवधारणा, में सेट-सैद्धांतिक सीमा शामिल है। इसके लिए गणनीय यूनियनों और चौराहों के नीचे बंद करना सर्वोपरि है। सेट सीमा को σ-अल्जेब्रा पर निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

आंतरिक सीमा हमेशा बाहरी सीमा का उपसमुच्चय होती है: $$\liminf_{n\to\infty} A_n ~\subseteq~ \limsup_{n\to\infty} A_n.$$ यदि ये दोनों समुच्चय बराबर हों तो उनकी सीमा $$\lim_{n\to\infty} A_n$$ मौजूद है और इस सामान्य सेट के बराबर है: $$\lim_{n\to\infty} A_n := \liminf_{n\to\infty} A_n = \limsup_{n\to\infty} A_n.$$
 * }} या एक क्रम का $$A_1, A_2, A_3, \ldots$$ के सबसेट का $$X$$ है $$\limsup_{n\to\infty} A_n = \bigcap_{n=1}^\infty \bigcup_{m=n}^\infty A_m = \bigcap_{n=1}^\infty A_n \cup A_{n+1} \cup \cdots.$$ इसमें सभी बिंदु होते हैं $$x$$ जो कि इनमें से कई सेटों में असीम रूप से हैं (या समतुल्य रूप से, जो कॉफिनल (गणित) में हैं उनमें से कई)। वह है, $$x \in \limsup_{n\to\infty} A_n$$ अगर और केवल अगर वहाँ एक अनंत परिणाम मौजूद है $$ A_{n_1}, A_{n_2}, \ldots$$ (कहाँ $$n_1 < n_2 < \cdots$$) उन सेटों के जिनमें सभी शामिल हैं $$x;$$ अर्थात् ऐसा कि $$x \in A_{n_1} \cap A_{n_2} \cap \cdots.$$
 * }} या एक क्रम का $$A_1, A_2, A_3, \ldots$$ के सबसेट का $$X$$ है $$\liminf_{n\to\infty} A_n = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcap_{m=n}^\infty A_m = \bigcup_{n=1}^\infty A_n \cap A_{n+1} \cap \cdots.$$ इसमें वे सभी बिंदु शामिल हैं जो सभी में हैं लेकिन इनमें से बहुत से सेट हैं (या समतुल्य, जो हैं  उन सभी में)। वह है, $$x \in \liminf_{n\to\infty} A_n$$ अगर और केवल अगर कोई इंडेक्स मौजूद है $$N \in \N$$ ऐसा है कि $$A_N, A_{N+1}, \ldots$$ सभी शामिल हैं $$x;$$ अर्थात् ऐसा कि $$x \in A_N \cap A_{N+1} \cap \cdots.$$

उप σ-बीजगणित
अधिकतर संभावनाओं में, विशेष रूप से जब सशर्त उम्मीद शामिल होती है, तो एक ऐसे सेट से संबंधित होता है जो सभी संभव जानकारी का केवल एक हिस्सा दर्शाता है जिसे देखा जा सकता है। इस आंशिक जानकारी को एक छोटे σ-बीजगणित के साथ वर्णित किया जा सकता है जो मुख्य σ-बीजगणित का एक सबसेट है; इसमें केवल आंशिक जानकारी के लिए प्रासंगिक और केवल आंशिक जानकारी द्वारा निर्धारित सबसेट का संग्रह होता है। इस विचार को स्पष्ट करने के लिए एक साधारण उदाहरण पर्याप्त है।

कल्पना कीजिए कि आप और कोई अन्य व्यक्ति एक ऐसे खेल पर दांव लगा रहे हैं जिसमें एक सिक्के को बार-बार उछालना और यह देखना शामिल है कि क्या यह चित आता है ($$H$$) या पूंछ ($$T$$). चूँकि आप और आपके प्रतिद्वंदी असीमित रूप से धनवान हैं, इसलिए खेल कितने समय तक चल सकता है इसकी कोई सीमा नहीं है। इसका मतलब है कि नमूना स्थान Ω में सभी संभावित अनंत क्रम शामिल होने चाहिए $$H$$ या $$T:$$ $$\Omega = \{H, T\}^\infty = \{(x_1, x_2, x_3, \dots) : x_i \in \{H, T\}, i \geq 1\}.$$ हालाँकि, के बाद $$n$$ सिक्के के फ्लिप्स, आप अगले फ्लिप से पहले अपनी सट्टेबाजी की रणनीति को निर्धारित या संशोधित करना चाह सकते हैं। उस बिंदु पर देखी गई जानकारी को 2 के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता हैn पहले के लिए संभावनाएं $$n$$ फ़्लिप। औपचारिक रूप से, चूंकि आपको Ω के सबसेट का उपयोग करने की आवश्यकता है, इसे σ-बीजगणित के रूप में संहिताबद्ध किया गया है $$\mathcal{G}_n = \{A \times \{H, T\}^\infty : A \subseteq \{H, T\}^n\}.$$ उस पर ध्यान दें $$\mathcal{G}_1 \subseteq \mathcal{G}_2 \subseteq \mathcal{G}_3 \subseteq \cdots \subseteq \mathcal{G}_\infty,$$ कहाँ $$\mathcal{G}_\infty$$ सबसे छोटा σ-बीजगणित है जिसमें अन्य सभी शामिल हैं।

परिभाषा
होने देना $$X$$ कुछ सेट हो, और रहने दो $$P(X)$$ इसके सत्ता स्थापित का प्रतिनिधित्व करें। फिर एक उपसमुच्चय $$\Sigma \subseteq P(X)$$ σ-बीजगणित कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करता है: इन गुणों से, यह अनुसरण करता है कि σ-बीजगणित भी काउंटेबल इंटरसेक्शन (सेट थ्योरी) (डी मॉर्गन के नियमों को लागू करके) के तहत बंद है।
 * 1) $$X$$ में है $$ \Sigma,$$ और $$X$$ निम्नलिखित संदर्भ में सार्वभौमिक सेट माना जाता है।
 * 2) $$ \Sigma$$ पूरक के तहत बंद है: यदि $$A$$ में है $$ \Sigma,$$ तो इसका पूरक (सेट सिद्धांत) है, $$X \setminus A.$$
 * 3) $$ \Sigma$$ गणनीय यूनियनों के तहत बंद है: यदि $$A_1, A_2, A_3, \ldots$$ में हैं $$ \Sigma,$$ तो ऐसा है $$A = A_1 \cup A_2 \cup A_3 \cup \cdots.$$

यह भी इस प्रकार है कि खाली सेट $$\varnothing$$ में है $$ \Sigma,$$ चूंकि (1) $$X$$ में है $$ \Sigma$$ और (2) दावा करता है कि इसका पूरक, खाली सेट भी अंदर है $$ \Sigma.$$ इसके अलावा, चूंकि $$\{X, \varnothing\}$$ शर्त (3) को भी संतुष्ट करता है, यह उसका अनुसरण करता है $$\{X, \varnothing\}$$ सबसे छोटा संभव σ-बीजगणित है $$X.$$ सबसे बड़ा संभव σ-बीजगणित पर $$X$$ है $$\wp(X).$$ σ-बीजगणित के तत्वों को मापने योग्य सेट कहा जाता है। एक आदेशित जोड़ी $$(X, \Sigma),$$ कहाँ $$X$$ एक सेट है और $$ \Sigma$$ एक σ-बीजगणित ओवर है $$X,$$ मापने योग्य स्थान कहा जाता है। दो मापने योग्य रिक्त स्थान के बीच एक फ़ंक्शन को मापने योग्य फ़ंक्शन कहा जाता है यदि प्रत्येक मापने योग्य सेट की preimage मापने योग्य हो। मापने योग्य रिक्त स्थान का संग्रह एक श्रेणी (गणित) बनाता है, जिसमें आकारिकी के रूप में मापने योग्य कार्य होते हैं। माप (गणित) को σ-बीजगणित से कुछ प्रकार के कार्यों के रूप में परिभाषित किया गया है $$[0, \infty].$$ एक σ-बीजगणित एक पाई-सिस्टम | π-सिस्टम और एक डाइंकिन प्रणाली (λ-सिस्टम) दोनों है। डायनकिन के प्रमेय (नीचे) द्वारा बातचीत भी सच है।

डाइनकिन का π-λ प्रमेय
यह प्रमेय (या संबंधित मोनोटोन वर्ग प्रमेय) विशिष्ट σ-अल्जेब्रस के गुणों के बारे में कई परिणाम साबित करने के लिए एक आवश्यक उपकरण है। यह समुच्चयों के दो सरल वर्गों की प्रकृति का लाभ उठाता है, अर्थात् निम्नलिखित।
 * एक पाई-सिस्टम|π-सिस्टम $$P$$ के उपसमूहों का संग्रह है $$X$$ जो बहुत से चौराहों के नीचे बंद है, और
 * एक डाइनकिन सिस्टम (या λ-सिस्टम) $$D$$ के उपसमूहों का संग्रह है $$X$$ उसमें सम्मिलित है $$X$$ और पूरक और असंयुक्त उपसमुच्चय के गणनीय संघों के तहत बंद है।

डायनकिन का π-λ प्रमेय कहता है, अगर $$P$$ एक π-सिस्टम है और $$D$$ एक डायनकिन प्रणाली है जिसमें शामिल है $$P,$$ फिर σ-बीजगणित $$\sigma(P)$$ सिग्मा-बीजगणित#σ-बीजगणित एक मनमाने परिवार द्वारा उत्पन्न $$P$$ में निहित है $$D.$$ चूंकि कुछ π-सिस्टम अपेक्षाकृत सरल वर्ग हैं, इसलिए यह सत्यापित करना कठिन नहीं होगा कि सभी सेट अंदर हैं $$P$$ विचाराधीन संपत्ति का आनंद लें, जबकि दूसरी ओर, यह दर्शाता है कि संग्रह $$D$$ संपत्ति के साथ सभी उपसमुच्चय एक डायनकिन प्रणाली भी सीधी हो सकती है। Dynkin के π-λ प्रमेय का अर्थ है कि सभी सेट हो जाते हैं $$\sigma(P)$$ संपत्ति का आनंद लें, मनमाने सेट के लिए इसे जाँचने के कार्य से बचें $$\sigma(P).$$ π-λ प्रमेय के सबसे मौलिक उपयोगों में से एक अलग-अलग परिभाषित उपायों या इंटीग्रल की समानता दिखाना है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग यादृच्छिक चर के लिए प्रायिकता की बराबरी करने के लिए किया जाता है $$X$$ Lebesgue-Stieltjes इंटीग्रल के साथ आमतौर पर संभाव्यता की गणना के साथ जुड़ा हुआ है: $$\mathbb{P}(X\in A) = \int_A \,F(dx)$$ सभी के लिए $$A$$ बोरेल σ-बीजगणित में $$\Reals,$$ कहाँ $$F(x)$$ के लिए संचयी बंटन फलन है $$X,$$ पर परिभाषित $$\Reals,$$ जबकि $$\mathbb{P}$$ एक प्रायिकता माप है, जिसे σ-बीजगणित पर परिभाषित किया गया है $$ \Sigma$$ कुछ नमूना स्थान के सबसेट का $$\Omega.$$

σ-अलजेब्रा का संयोजन
कल्पना करना $$\textstyle\left\{\Sigma_\alpha : \alpha \in \mathcal{A}\right\}$$ एक स्थान पर σ-बीजगणित का एक संग्रह है $$X.$$ मिलना

σ-बीजगणित के संग्रह का प्रतिच्छेदन एक σ-बीजगणित है। σ-बीजगणित के रूप में इसके चरित्र पर जोर देने के लिए, इसे अक्सर निम्न द्वारा निरूपित किया जाता है: $$\bigwedge_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha.$$ सबूत का स्केच: चलो $$\Sigma^*$$ चौराहे को निरूपित करें। तब से $$X$$ हर में है $$\Sigma_\alpha, \Sigma^*$$ खाली नहीं है। हर के लिए पूरक और गणनीय यूनियनों के तहत बंद $$\Sigma_\alpha$$ का तात्पर्य वही है जिसके लिए सत्य होना चाहिए $$\Sigma^*.$$ इसलिए, $$\Sigma^*$$ एक σ-बीजगणित है।

जोड़ना

σ-बीजगणित के संग्रह का मिलन आम तौर पर σ-बीजगणित या बीजगणित भी नहीं होता है, लेकिन यह सिग्मा-बीजगणित#σ-बीजगणित एक मनमाना परिवार द्वारा उत्पन्न एक σ-बीजगणित होता है जिसे ज्वाइन (सिग्मा बीजगणित) के रूप में जाना जाता है जो आम तौर पर निरूपित किया जाता है $$\bigvee_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha = \sigma\left(\bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha\right).$$ एक π-सिस्टम जो जॉइन उत्पन्न करता है $$\mathcal{P} = \left\{\bigcap_{i=1}^n A_i : A_i \in \Sigma_{\alpha_i}, \alpha_i \in \mathcal{A},\ n \geq 1\right\}.$$ सबूत का स्केच: केस द्वारा $$n = 1,$$ यह देखा गया है कि प्रत्येक $$\Sigma_\alpha\subset\mathcal{P},$$ इसलिए $$\bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha \subseteq \mathcal{P}.$$ यह संकेत करता है $$\sigma\left(\bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha\right) \subseteq \sigma(\mathcal{P})$$ एक σ-बीजगणित सिग्मा-बीजगणित#σ-बीजगणित की परिभाषा के द्वारा एक मनमाने परिवार द्वारा सबसेट के संग्रह द्वारा उत्पन्न किया गया। वहीं दूसरी ओर, $$\mathcal{P} \subseteq \sigma\left(\bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha\right)$$ जो, Dynkin के π-λ प्रमेय द्वारा निहित है $$\sigma(\mathcal{P}) \subseteq \sigma\left(\bigcup_{\alpha \in \mathcal{A}} \Sigma_\alpha\right).$$

σ-सबस्पेस के लिए बीजगणित
कल्पना करना $$Y$$ का उपसमुच्चय है $$X$$ और जाने $$(X, \Sigma)$$ मापने योग्य स्थान हो।
 * संग्रह $$\{Y \cap B : B \in \Sigma\}$$ के सबसेट का σ-बीजगणित है $$Y.$$
 * कल्पना करना $$(Y, \Lambda)$$ मापने योग्य स्थान है। संग्रह $$\{A \subseteq X : A \cap Y \in \Lambda\}$$ के सबसेट का σ-बीजगणित है $$X.$$

σ-अंगूठी
से संबंध एक σ-बीजगणित $$ \Sigma$$ सिर्फ एक सिग्मा-रिंग|σ-रिंग है जिसमें सार्वभौमिक सेट होता है $$X.$$ एक σ-अंगूठी को σ-बीजगणित होने की आवश्यकता नहीं है, उदाहरण के लिए वास्तविक रेखा में शून्य Lebesgue माप के औसत दर्जे का उपसमुच्चय एक σ-अंगूठी है, लेकिन σ-बीजगणित नहीं है क्योंकि वास्तविक रेखा में अनंत माप है और इस प्रकार इसे प्राप्त नहीं किया जा सकता है उनका गणनीय संघ। अगर, शून्य माप के बजाय, परिमित लेबेस्गु माप के मापने योग्य सबसेट लेते हैं, तो वे सेट की अंगूठी हैं, लेकिन σ-अंगूठी नहीं हैं, क्योंकि वास्तविक रेखा उनके गणनीय संघ द्वारा प्राप्त की जा सकती है, फिर भी इसकी माप परिमित नहीं है।

टाइपोग्राफिक नोट
σ-अलजेब्रा को कभी-कभी सुलेखन कैपिटल लेटर्स, या फ़्रैक्टुर (टाइपफेस) का उपयोग करके दर्शाया जाता है। इस प्रकार $$(X, \Sigma)$$ के रूप में दर्शाया जा सकता है $$\scriptstyle(X,\,\mathcal{F})$$ या $$\scriptstyle(X,\,\mathfrak{F}).$$

वियोज्य σ-बीजगणित
एक वियोज्य $$\sigma$$-बीजगणित (या वियोज्य $$\sigma$$-फ़ील्ड) एक है $$\sigma$$-बीजगणित $$\mathcal{F}$$ मीट्रिक (गणित) के साथ मीट्रिक स्थान के रूप में माने जाने पर यह एक वियोज्य स्थान है $$\rho(A,B) = \mu(A \mathbin{\triangle} B)$$ के लिए $$A,B \in \mathcal{F}$$ और एक दी गई माप (गणित) $$\mu$$ (और साथ $$\triangle$$ सममित अंतर ऑपरेटर होने के नाते)। ध्यान दें कि कोई $$\sigma$$सेट (गणित) के एक गणनीय संग्रह द्वारा उत्पन्न बीजगणित वियोज्य है, लेकिन बातचीत की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, लेबेसेग $$\sigma$$- बीजगणित वियोज्य है (चूंकि प्रत्येक Lebesgue मापने योग्य सेट कुछ बोरेल सेट के बराबर है) लेकिन गिनती योग्य नहीं है (चूंकि इसकी कार्डिनैलिटी सातत्य से अधिक है)।

एक वियोज्य माप स्थान में एक प्राकृतिक स्यूडोमेट्रिक स्पेस होता है जो इसे अलग करने योग्य स्थान को छद्ममितीय स्थान के रूप में प्रस्तुत करता है। दो सेटों के बीच की दूरी को दो सेटों के सममित अंतर के माप के रूप में परिभाषित किया गया है। ध्यान दें कि दो अलग-अलग सेटों के सममित अंतर का माप शून्य हो सकता है; इसलिए ऊपर परिभाषित स्यूडोमेट्रिक को सही मीट्रिक होने की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, यदि सेट जिनके सममित अंतर में माप शून्य है, को एक समतुल्य वर्ग में पहचाना जाता है, परिणामी समतुल्यता वर्ग को प्रेरित मीट्रिक द्वारा ठीक से मीट्रिक किया जा सकता है। यदि माप स्थान वियोज्य है, तो यह दिखाया जा सकता है कि संबंधित मीट्रिक स्थान भी है।

सरल सेट-आधारित उदाहरण
होने देना $$X$$ कोई सेट हो।
 * केवल खाली सेट और सेट से मिलकर बना परिवार $$X,$$ न्यूनतम या तुच्छ σ-बीजगणित ओवर कहा जाता है $$X.$$
 * का पावर सेट $$X,$$ असतत σ-बीजगणित कहा जाता है।
 * संग्रह $$\{\varnothing, A, X \setminus A, X\}$$ उपसमुच्चय द्वारा उत्पन्न एक साधारण σ-बीजगणित है $$A.$$
 * के सबसेट का संग्रह $$X$$ जो गणनीय हैं या जिनके पूरक गणनीय हैं, एक σ-बीजगणित है (जो की शक्ति सेट से अलग है $$X$$ अगर और केवल अगर $$X$$ बेशुमार है)। यह सिंगलटन (गणित) द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित है $$X.$$ नोट: गणनीय में परिमित या खाली शामिल है।
 * एक सेट के गणनीय विभाजन में सेट के सभी संघों का संग्रह $$X$$ एक σ-बीजगणित है।

स्टॉपिंग टाइम सिग्मा-अलजेब्रा
एक रुकने का समय $$\tau$$ क परिभाषित कर सकते हैं $$\sigma$$-बीजगणित $$\mathcal{F}_\tau,$$ तथाकथित फिल्ट्रेशन (गणित)#स्टॉपिंग टाइम से संबंध: स्टॉपिंग टाइम सिग्मा-अलजेब्रा|स्टॉपिंग टाइम सिग्मा-एलजेब्रा, जो एक फिल्ट्रेशन (गणित) में #माप सिद्धांत यादृच्छिक समय तक जानकारी का वर्णन करता है $$\tau$$ इस अर्थ में कि, यदि फ़िल्टर किए गए संभाव्यता स्थान को एक यादृच्छिक प्रयोग के रूप में व्याख्या किया जाता है, तो प्रयोग के बारे में अधिकतम जानकारी जो मनमाने ढंग से बार-बार दोहराई जा सकती है $$\tau$$ है $$\mathcal{F}_{\tau}.$$

σ-बीजगणित एक मनमाना परिवार
द्वारा उत्पन्न

होने देना $$F$$ के उपसमूहों का एक मनमाना परिवार हो $$X.$$ फिर एक अनोखा सबसे छोटा σ-बीजगणित मौजूद है जिसमें हर सेट शामिल है $$F$$ (चाहे $$F$$ σ-बीजगणित हो भी सकता है और नहीं भी)। यह वास्तव में, युक्त सभी σ-अलजेब्रा का प्रतिच्छेदन है $$F.$$ (ऊपर σ-बीजगणित के चौराहों को देखें।) यह σ-बीजगणित निरूपित है $$\sigma(F)$$ और σ-बीजगणित द्वारा उत्पन्न कहा जाता है $$F.$$अगर $$F$$ तो खाली है $$\sigma(\varnothing) = \{\varnothing, X\}.$$ अन्यथा $$\sigma(F)$$ के सभी उपसमुच्चय होते हैं $$X$$ के तत्वों से बनाया जा सकता है $$F$$ पूरक, संघ और प्रतिच्छेदन संचालन की एक गणनीय संख्या द्वारा।

एक साधारण उदाहरण के लिए, सेट पर विचार करें $$X = \{1, 2, 3\}.$$ तब σ-बीजगणित एकल उपसमुच्चय द्वारा उत्पन्न होता है $$\{1\}$$ है $$\sigma(\{1\}) = \{\varnothing, \{1\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}\}.$$ अंकन के दुरुपयोग से, जब उपसमुच्चय के संग्रह में केवल एक तत्व होता है, $$A,$$ $$\sigma(A)$$ के स्थान पर लिखा जा सकता है $$\sigma(\{A\});$$ पूर्व उदाहरण में $$\sigma(\{1\})$$ के बजाय $$\sigma(\{\{1\}\}).$$ वास्तव में, का उपयोग करना $$\sigma\left(A_1, A_2, \ldots\right)$$ मतलब निकालना $$\sigma\left(\left\{A_1, A_2, \ldots\right\}\right)$$ भी काफी सामान्य है।

उपसमुच्चय के कई परिवार हैं जो उपयोगी σ-अल्जेब्रा उत्पन्न करते हैं। इनमें से कुछ यहाँ प्रस्तुत हैं।

σ-बीजगणित एक समारोह द्वारा उत्पन्न
अगर $$f$$ एक सेट से एक समारोह है $$X$$ एक सेट के लिए $$Y$$ और $$B$$ एक है $$\sigma$$के सबसेट का बीजगणित $$Y,$$ फिर $$\sigma$$समारोह द्वारा उत्पन्न बीजगणित $$f,$$ द्वारा चिह्नित $$\sigma (f),$$ सभी उलटी छवियों का संग्रह है $$f^{-1} (S)$$ सेट का $$S$$ में $$B.$$ वह है, $$\sigma (f) = \left\{f^{-1}(S) \, : \, S \in B\right\}. $$ एक समारोह $$f$$ एक सेट से $$X$$ एक सेट के लिए $$Y$$ σ-बीजगणित के संबंध में मापने योग्य फलन है $$ \Sigma$$ के सबसेट का $$X$$ अगर और केवल अगर $$\sigma(f)$$ का उपसमुच्चय है $$\Sigma.$$ एक सामान्य स्थिति, और यदि डिफ़ॉल्ट रूप से समझी जाती है $$B$$ स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट नहीं है, कब है $$Y$$ एक मीट्रिक स्पेस या टोपोलॉजिकल स्पेस है और $$B$$ बोरेल सेट का कलेक्शन चालू है $$Y.$$ अगर $$f$$ से एक समारोह है $$X$$ को $$\Reals^n$$ तब $$\sigma(f)$$ उपसमुच्चयों के परिवार द्वारा उत्पन्न होता है जो अंतरालों/आयतों की उलटी छवियां हैं $$\Reals^n:$$ $$\sigma(f) = \sigma\left(\left\{f^{-1}(\left[a_1, b_1\right] \times \cdots \times \left[a_n, b_n\right]) : a_i, b_i \in \Reals\right\}\right).$$ एक उपयोगी संपत्ति निम्नलिखित है। मान लीजिए $$f$$ से मापने योग्य नक्शा है $$\left(X, \Sigma_X\right)$$ को $$\left(S, \Sigma_S\right)$$ और $$g$$ से मापने योग्य नक्शा है $$\left(X, \Sigma_X\right)$$ को $$\left(T, \Sigma_T\right).$$ यदि कोई औसत दर्जे का नक्शा मौजूद है $$h$$ से $$\left(T, \Sigma_T\right)$$ को $$\left(S, \Sigma_S\right)$$ ऐसा है कि $$f(x) = h(g(x))$$ सभी के लिए $$x,$$ तब $$\sigma(f) \subseteq \sigma(g).$$ अगर $$S$$ परिमित या गणनीय रूप से अनंत है या, अधिक सामान्यतः, $$\left(S, \Sigma_S\right)$$ एक मानक बोरेल स्थान है (उदाहरण के लिए, इसके संबंधित बोरेल सेट के साथ एक वियोज्य पूर्ण मीट्रिक स्थान), तो इसका विलोम भी सत्य है। मानक बोरेल रिक्त स्थान के उदाहरणों में शामिल हैं $$\Reals^n$$ इसके बोरेल सेट के साथ और $$\Reals^\infty$$ नीचे वर्णित सिलेंडर σ-बीजगणित के साथ।

बोरेल और लेबेस्गुए σ-अलजेब्रा
एक महत्वपूर्ण उदाहरण किसी भी सामयिक स्थान पर बोरेल बीजगणित है: खुले सेटों द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित (या, समतुल्य रूप से, बंद सेटों द्वारा)। ध्यान दें कि यह σ-बीजगणित, सामान्य तौर पर, संपूर्ण शक्ति सेट नहीं है। गैर-तुच्छ उदाहरण के लिए जो बोरेल सेट नहीं है, विटाली सेट या बोरेल सेट#गैर-बोरेल सेट|गैर-बोरेल सेट देखें।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर $$\Reals^n,$$ एक और σ-बीजगणित का महत्व है: वह सभी लेबेस्ग माप सेटों का। इस σ-बीजगणित में बोरेल σ-बीजगणित की तुलना में अधिक सेट हैं $$\Reals^n$$ और अभिन्न थ्योरी में पसंद किया जाता है, क्योंकि यह एक पूर्ण माप देता है।

गुणनफल σ-बीजगणित
होने देना $$\left(X_1, \Sigma_1\right)$$ और $$\left(X_2, \Sigma_2\right)$$ दो मापने योग्य स्थान बनें। संबंधित उत्पाद स्थान के लिए σ-बीजगणित $$X_1 \times X_2$$ को गुणनफल σ-बीजगणित कहा जाता है और इसके द्वारा परिभाषित किया जाता है $$\Sigma_1 \times \Sigma_2 = \sigma\left(\left\{B_1 \times B_2 : B_1 \in \Sigma_1, B_2 \in \Sigma_2\right\}\right).$$ उसका अवलोकन करो $$\{B_1 \times B_2 : B_1 \in \Sigma_1, B_2 \in \Sigma_2\}$$ एक π-प्रणाली है।

बोरेल σ-बीजगणित के लिए $$\Reals^n$$ अर्ध-अनंत आयतों और परिमित आयतों द्वारा उत्पन्न होता है। उदाहरण के लिए, $$\mathcal{B}(\Reals^n) = \sigma \left(\left\{(-\infty, b_1] \times \cdots \times (-\infty, b_n] : b_i \in \Reals\right\}\right) = \sigma\left(\left\{\left(a_1, b_1\right] \times \cdots \times \left(a_n, b_n\right] : a_i, b_i \in \Reals\right\}\right).$$ इन दो उदाहरणों में से प्रत्येक के लिए, जनक परिवार एक π-प्रणाली है।

σ-सिलेंडर सेट द्वारा उत्पन्न बीजगणित
कल्पना करना $$X \subseteq \Reals^{\mathbb{T}} = \{f : f(t) \in \Reals,\ t \in \mathbb{T}\}$$ वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का एक सेट है। होने देना $$\mathcal{B}(\Reals)$$ के बोरेल उपसमुच्चयों को निरूपित करें $$\Reals.$$ का एक सिलेंडर सेट $$X$$ के रूप में परिभाषित एक निश्चित रूप से प्रतिबंधित सेट है $$C_{t_1,\dots,t_n}(B_1,\dots,B_n) = \left\{f \in X : f(t_i) \in B_i, 1 \leq i \leq n\right\}.$$ प्रत्येक $$\left\{C_{t_1,\dots,t_n}\left(B_1, \dots, B_n\right) : B_i \in \mathcal{B}(\Reals), 1 \leq i \leq n\right\}$$ एक π-सिस्टम है जो σ-बीजगणित उत्पन्न करता है $$\textstyle\Sigma_{t_1, \dots, t_n}.$$ फिर उपसमुच्चय का परिवार $$\mathcal{F}_X = \bigcup_{n=1}^\infty \bigcup_{t_i \in \mathbb{T},i \leq n}\Sigma_{t_1, \dots, t_n}$$ एक बीजगणित है जो बेलन σ-बीजगणित उत्पन्न करता है $$X.$$ यह σ-बीजगणित, बोरेल σ-बीजगणित का एक उप-लजेब्रा है, जिसका निर्धारण उत्पाद टोपोलॉजी द्वारा किया जाता है। $$\Reals^{\mathbb{T}}$$ तक सीमित $$X.$$ एक महत्वपूर्ण विशेष मामला है जब $$\mathbb{T}$$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है और $$X$$ वास्तविक-मूल्यवान अनुक्रमों का एक सेट है। इस मामले में, सिलेंडर सेट पर विचार करना पर्याप्त है $$C_n\left(B_1, \dots, B_n\right) = \left(B_1 \times \cdots \times B_n \times \Reals^\infty\right) \cap X = \left\{\left(x_1, x_2, \ldots, x_n,x_{n+1},\ldots\right) \in X : x_i \in B_i ,1 \leq i \leq n\right\},$$ जिसके लिए $$\Sigma_n = \sigma\left(\{C_n\left(B_1, \dots, B_n\right) : B_i \in \mathcal{B}(\Reals), 1 \leq i \leq n\}\right)$$ σ-अलजेब्रस का एक गैर-घटता क्रम है।

σ-बीजगणित यादृच्छिक चर या वेक्टर
द्वारा उत्पन्न कल्पना करना $$(\Omega, \Sigma, \mathbb{P})$$ संभावना स्थान है। अगर $$\textstyle Y:\Omega\to\Reals^n$$ बोरेल σ-बीजगणित के संबंध में मापने योग्य है $$\Reals^n$$ तब $$Y$$ एक यादृच्छिक चर कहा जाता है ($$n = 1$$) या यादृच्छिक सदिश ($$n > 1$$). σ-बीजगणित द्वारा उत्पन्न $$Y$$ है $$\sigma(Y) = \left\{Y^{-1}(A) : A \in \mathcal{B}\left(\Reals^n\right)\right\}.$$

σ-बीजगणित एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया द्वारा उत्पन्न
कल्पना करना $$(\Omega,\Sigma,\mathbb{P})$$ एक संभावना स्थान है और $$\Reals^\mathbb{T}$$ पर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का सेट है $$\mathbb{T}.$$ अगर $$\textstyle Y : \Omega\to X \subseteq \Reals^\mathbb{T}$$ बेलन σ-बीजगणित के संबंध में मापने योग्य है $$\sigma\left(\mathcal{F}_X\right)$$ (ऊपर देखें) के लिए $$X$$ तब $$Y$$ एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया या यादृच्छिक प्रक्रिया कहा जाता है। σ-बीजगणित द्वारा उत्पन्न $$Y$$ है $$\sigma(Y) = \left\{Y^{-1}(A) : A \in \sigma\left(\mathcal{F}_X\right)\right\} = \sigma\left(\left\{Y^{-1}(A) : A \in \mathcal{F}_X\right\}\right),$$ सिलेंडर सेट की उलटी छवियों द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित।

बाहरी संबंध

 * Sigma Algebra from PlanetMath.
 * Sigma Algebra from PlanetMath.