ग्रोथेंडिक समूह

गणित में, ग्रोथेंडिक समूह, या भिन्नताओं का समूह, एक क्रमविनिमेय मोनोइड $M$ का एक निश्चित  विनिमेय समूह  है। इस विनिमेय समूह का निर्माण $M$  से सबसे सार्वभौमिक तरीके से किया गया है, इस अर्थ में कि $M$ की होमोमोर्फिक छवि वाले किसी भी विनिमेय समूह $M$  के ग्रोथेंडिक समूह की एक होमोमोर्फिक समूह समरूपता छवि (गणित) होगी। ग्रोथेंडिक समूह निर्माण श्रेणी सिद्धांत में एक विशिष्ट स्थिति से अपना नाम लेता है, जिसे अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने ग्रोथेंडिक-रीमैन-रोच प्रमेय के अपने गणितीय प्रमाण में प्रस्तुत किया, जिसके परिणामस्वरूप K-सिद्धांत का विकास हुआ। यह विशिष्ट मामला एक  विनिमेय समूह  के वस्तुओं (श्रेणी सिद्धांत) के समरूपता वर्गों का मोनोइड है, जिसका प्रत्यक्ष योग इसके संचालन के रूप में है

क्रमविनिमेय मोनॉइड
का ग्रोथेंडिक समूह

प्रेरणा
क्रमविनिमेय मोनॉइड $M$ दिया है, सबसे सामान्य विनिमेय समूह $K$ जो $M$ से उत्पन्न होता है का निर्माण $M$ के सभी तत्वों के व्युत्क्रम तत्वों को प्रारंभ करके किया जाना है. ऐसा विनिमेय समूह $K$ हमेशा उपस्थित है; इसे $M$ का ग्रोथेंडिक समूह कहा जाता है. यह एक निश्चित सार्वभौमिक गुण की विशेषता है और $M$ से भी ठोस रूप से निर्मित किया जा सकता है।

यदि $M$ रद्द करने की गुण नहीं है (अर्थात, उपस्थित है $a, b$ तथा $c$ में $M$ ऐसा है कि $$a\ne b$$ तथा $$ac=bc$$), तो ग्रोथेंडिक समूह $K$ में $M$ समाहित नहीं कर सकता. विशेष रूप से, एक मोनोइड ऑपरेशन के स्थिति में गुणक रूप से निरूपित होता है जिसमें एक शून्य तत्व होता है जो प्रत्येक $$x\in M,$$ ग्रोथेंडिक समूह के लिये $$0.x=0$$  को संतुष्ट करने वाला एक शून्य तत्व होता है  तुच्छ समूह (समूह (गणित)) होना चाहिए, क्योंकि किसी के पास होना चाहिए
 * $$x=1.x=(0^{-1}.0).x = 0^{-1}.(0.x)=0^{-1}.(0.0)=(0^{-1}.0).0=1.0=0$$

प्रत्येक $x$ के लिए.

सार्वभौमिक गुण
मान लीजिए कि M एक क्रमविनिमेय मोनॉइड है। इसका ग्रोथेंडिक समूह एक विनिमेय समूह K है जिसमें एक मोनोइड होमोमोर्फिज्म $$i \colon M \to K$$ निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण को संतुष्ट करता है: किसी भी मोनोइड होमोमोर्फिज्म के लिए $$f \colon M \to A$$ M से विनिमेय समूह A तक, एक अद्वितीय समूह समरूपता है $$g \colon K \to A$$ ऐसा है कि $$f = g \circ i.$$

यह इस तथ्य को व्यक्त करता है कि कोई भी विनिमेय समूह A जिसमें M की एक होमोमोर्फिक छवि शामिल है, में के की एक होमोमोर्फिक छवि भी शामिल होगी, के "सबसे सामान्य" विनिमेय समूह है जिसमें M की एक होमोमोर्फिक छवि है।

स्पष्ट निर्माण
क्रम विनिमेय मोनॉइड M के ग्रोथेंडिक समूह के के निर्माण के लिए, एक कार्तीय उत्पाद $$M \times M$$ बनाता है. दो निर्देशांक एक सकारात्मक भाग और एक नकारात्मक भाग का प्रतिनिधित्व करने के लिए होते हैं, इसलिए $$(m_1, m_2)$$ $$m_1- m_2$$ से मेल खाता है K में।

योग पर $$M\times M$$ को निर्देशांक-वार परिभाषित किया गया है:


 * $$(m_1, m_2) + (n_1,n_2) = (m_1+n_1, m_2+n_2)$$.

अगला $$M \times M$$ पर एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है, ऐसा है कि $$(m_1, m_2)$$ के बराबर है $$(n_1, n_2)$$ यदि, M के कुछ तत्व के लिए, M1 + N2 + K = M2 + N1 + k (तत्व k आवश्यक है क्योंकि रद्दीकरण कानून सभी मोनोइड्स में नहीं होता है)। तत्व का समतुल्य वर्ग (M1, M2)[(M1, M2)] द्वारा दर्शाया गया है । एक K को तुल्यता वर्गों के समुच्चय के रूप में परिभाषित करता है। चूँकि M × M पर जोड़ संक्रिया हमारे तुल्यता संबंध के अनुकूल है, इसलिए K पर योग प्राप्त होता है, और K एक विनिमेय समूह बन जाता है। K की पहचान तत्व [(0, 0)] है, और [(M1, M2)] है [(M2, M1)]। समरूपता $$i:M\to K$$ तत्व m को [(m, 0)] भेजता है।

वैकल्पिक रूप से, M के ग्रोथेंडिक समूह K का निर्माण समूह की प्रस्तुति का उपयोग करके भी किया जा सकता है: $$(Z(M), +')$$ द्वारा उत्पन्न मुक्त विनिमेय समूह को दर्शाते हुए समुच्चय M द्वारा ग्रोथेंडिक समूह K $$Z(M)$$ का भागफल समूह है जो $$\{(x+'y)-'(x+y)\mid x,y\in M\}$$ द्वारा उत्पन्न उपसमूह द्वारा किया गया है। (यहाँ +' और -' मुक्त विनिमेय समूह में जोड़ और घटाव को दर्शाता है $$Z(M)$$ जबकि + मोनॉइड M में जोड़ को दर्शाता है।) इस निर्माण का लाभ यह है कि यह किसी भी अर्द्ध समूह M के लिए किया जा सकता है और एक समूह उत्पन करता है जो अर्द्ध समूह के लिए संबंधित सार्वभौमिक गुणों को संतुष्ट करता है, अर्थात् सबसे सामान्य और सबसे छोटा समूह जिसमें  M एंड हेयरस्प होमोमोर्फिक छवि होती है; इसे अर्द्धसमूह के समूह समापन या अर्द्ध समूह के अंशों के समूह के रूप में जाना जाता है।

गुण
श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, कोई भी सार्वभौमिक गुण निर्माण एक गुणन का निर्माण करती है; एक इस प्रकार   क्रम विनिमेय मोनोइड्स की श्रेणी (गणित) से  विनिमेय समूहों की श्रेणी में गुणन प्राप्त करता है जो क्रम विनिमेय मोनोइड M को अपने ग्रोथेंडिक समूह के को भेजता है। यह ऑपरेटर विनिमेय समूहों की श्रेणी की श्रेणी से क्रम विनिमेय मोनोइड्स की श्रेणी से भुलक्कड़ फ़ंक्टर के पास छोड़ दिया जाता है।

क्रमविनिमेय मोनॉइड M के लिए, मानचित्र i : M → K अंतःक्षेपी है यदि और केवल यदि M में रद्दीकरण गुण है, और यह विशेषण है यदि और केवल यदि M पहले से ही एक समूह है।

उदाहरण: पूर्णांक
ग्रोथेंडिक समूह का सबसे आसान उदाहरण पूर्णांकों $$\Z$$ (योगात्मक) को प्राकृतिक संख्या $$\N$$ से निर्माण है.

पहला यह देखता है कि प्राकृतिक संख्याएं (0 सहित) सामान्य जोड़ के साथ वास्तविक में $$(\N, +).$$एक क्रमविनिमेय मोनोइड बनाती हैं अब जब कोई ग्रोथेंडिक समूह निर्माण का उपयोग करता है तो वह प्राकृतिक संख्याओं के बीच औपचारिक अंतर प्राप्त करता है जैसे तत्व n - m और एक के पास समानता संबंध होता है


 * $$n - m \sim n' - m' \iff n + m' + k = n'+ m + k$$ कुछ के लिए $$k \iff n + m' = n' + m$$.

अब परिभाषित करें


 * $$\forall n \in \N: \qquad \begin{cases} n := [n - 0] \\ -n := [0 - n] \end{cases}$$

यह पूर्णांकों $$\Z$$ को परिभाषित करता है. वस्तुतः, प्राकृतिक संख्याओं से पूर्णांक प्राप्त करने के लिए यह सामान्य निर्माण है। अधिक विस्तृत विवरण के लिए पूर्णांकों के अंतर्गत "निर्माण" देखें।

उदाहरण: धनात्मक परिमेय संख्या
इसी तरह, गुणक क्रम विनिमेय मोनोइड $$(\N^*, \times)$$ (1 से शुरू) का ग्रोथेंडिक समूह समानता के साथ औपचारिक $$p/q$$ अंश होते हैं
 * $$p/q \sim p'/q' \iff pq'r = p'qr $$ कुछ के लिए $$r \iff pq' = p'q$$

जो निश्चित रूप से धनात्मक परिमेय संख्याओं से पहचाना जा सकता है।

उदाहरण: मैनिफोल्ड
का ग्रोथेंडिक समूह

ग्रोथेंडिक समूह के-सिद्धांत का मौलिक निर्माण है। समूह $$K_0(M)$$ एक क्रम विनिमेय जगह विविध M को सीधे योग द्वारा दिए गए मोनोइड ऑपरेशन के साथ M पर परिमित रैंक के सदिश बंडललो के सभी आइसोमोर्फिज्म वर्गों के क्रम विनिमेय मोनोइड के ग्रोथेंडिक समूह के रूप में परिभाषित किया गया है। यह विनिमेय समूहों के लिए कई गुना की श्रेणी से एक प्रतिपरिवर्तक फ़ैक्टर देता है। इस फ़ैक्टर का अध्ययन और टोपोलॉजिकल के-थ्योरी में विस्तारित किया गया है।

उदाहरण: रिंग का ग्रोथेंडिक समूह
शून्यवाँ बीजगणितीय K समूह $$K_0(R)$$ एक (जरूरी नहीं कि क्रमविनिमेय अंगूठी) रिंग (गणित) R मोनोइड का ग्रोथेंडिक समूह है जिसमें मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग द्वारा दिए गए मोनोइड ऑपरेशन के साथ R के ऊपर सूक्ष्मता से उत्पन्न मॉड्यूल प्रक्षेपी मॉड्यूल मॉड्यूल (गणित) के आइसोमोर्फिज्म वर्ग शामिल हैं। फिर $$K_0$$ रिंगो की श्रेणी से लेकर विनिमेय समूहों तक एक सहसंयोजक गुणन है।

पिछले दो उदाहरण संबंधित हैं: स्थिति पर विचार करें जहां $$R = C^\infty(M)$$ एक क्रम विनिमेय मैनिफोल्ड M पर जटिल संख्या-मूल्यवान सुचारू कार्यों की रिंग है। इस स्थिति में प्रक्षेपी R -मॉड्यूल M (सेरे-स्वान प्रमेय द्वारा) सदिश बंडलों के लिए दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) हैं। इस प्रकार $$K_0(R)$$ तथा $$K_0(M)$$ एक ही समूह हैं।

परिभाषा
एक अन्य निर्माण जो ग्रोथेंडिक समूह का नाम लेता है वह निम्न है: मान लें कि R किसी क्षेत्र (गणित) K या अधिक सामान्यतः एक अर्थ रिंग पर एक परिमित-आयामी बीजगणित है। फिर ग्रोथेंडिक समूह $$G_0(R)$$ को परिभाषित करें सेट द्वारा उत्पन्न विनिमेय समूह के रूप में $$\{[X] \mid X \in R\text{-mod}\}$$ अंतिम रूप से उत्पन्न R-मॉड्यूल के आइसोमोर्फिज्म वर्ग और निम्नलिखित संबंध: हर छोटे यथार्थ अनुक्रम के लिए


 * $$0 \to A \to B \to C \to 0$$

R -मॉड्यूल का, संबंध जोड़ें


 * $$[A] - [B] + [C] = 0.$$

इस परिभाषा का तात्पर्य है कि किसी भी दो सूक्ष्म रूप से उत्पन्न R-मॉड्यूल M और N के लिए, $$[M \oplus N] = [M] + [N]$$, विभाजित यथार्थ अनुक्रम लघु यथार्थ अनुक्रम के कारण


 * $$ 0 \to M \to M \oplus N \to N \to 0. $$

उदाहरण
K को एक क्षेत्र होने दें। फिर ग्रोथेंडिक समूह $$G_0(K)$$ किसी परिमित के लिए प्रतीकों $$[V]$$ द्वारा उत्पन्न एक विनिमेय समूह है किसी परिमित-विम K-सदिश समष्टि V के लिए। वास्तविक में, $$G_0(K)$$ के लिए समरूप है $$\Z$$ जिसका जनक तत्व है $$[K]$$. यहाँ, प्रतीक $$[V]$$ एक परिमित-आयामी K-सदिश अंतरिक्ष वी के रूप में परिभाषित किया गया है $$[V] = \dim_K V$$, सदिश समष्टि V का आयाम। मान लीजिए कि किसी के पास K-सदिश समष्टियों का निम्नलिखित संक्षिप्त यथार्थ क्रम है।


 * $$0 \to V \to T \to W \to 0$$

चूंकि सदिश स्पेस का कोई भी छोटा यथार्थ अनुक्रम विभाजित होता है, इसलिए यह $$T \cong V \oplus W $$ को धारण करता है. वास्तविक में, किन्हीं दो परिमित-विम सदिश समष्टियों V और W के लिए निम्नलिखित मान्य है:


 * $$\dim_K(V \oplus W) = \dim_K(V) + \dim_K(W)$$

उपरोक्त समानता इसलिए ग्रोथेंडिक समूह में प्रतीक $$[V]$$ की स्थिति को संतुष्ट करती है।


 * $$[T] = [V \oplus W] = [V] + [W]$$

ध्यान दें कि किन्हीं भी दो तुल्याकारी परिमित-विमीय K-सदिश समष्टियों का आयाम समान होता है। इसके अतिरिक्त, कोई भी दो परिमित-आयामी K-सदिश स्पेस V और W एक ही आयाम के एक दूसरे के लिए समरूप हैं। वास्तविक में, प्रत्येक परिमित n-विमीय K-सदिश समष्टि V $$K^{\oplus n}$$ के लिए तुल्याकारी है. पिछले पैराग्राफ से अवलोकन इसलिए निम्नलिखित समीकरण को सिद्ध करता है:


 * $$[V] = \left[ K^{\oplus n} \right] = n[K]$$

इसलिए, प्रत्येक प्रतीक $$[V]$$पूर्णांक गुणांक वाले $$[K]$$ तत्व द्वारा उत्पन्न होता है, जिसका अर्थ है कि $$G_0(K)$$ जनरेटर$$[K]$$ के साथ $$\Z$$ के लिए समरूप है.

अधिक सामान्यतः, $$\Z$$ को पूर्णांकों का समुच्चय मान ले। ग्रोथेंडिक समूह $$G_0(\Z)$$ प्रतीकों द्वारा उत्पन्न एक विनिमेय समूह है $$[A]$$ किसी भी अंतिम रूप से उत्पन्न विनिमेय समूह A के लिए। सबसे पहले यह टिप्पणी किया जाता है कि कोई भी परिमित विनिमेय समूह $$[G] = 0$$ संतुष्ट करता है. निम्नलिखित संक्षिप्त यथार्थ अनुक्रम धारण करता है, जहां मानचित्र $$\Z \to \Z$$ n से गुणा है।


 * $$0 \to \Z \to \Z \to \Z /n\Z \to 0$$

यथार्थ अनुक्रम का तात्पर्य है $$[\Z /n\Z] = [\Z] - [\Z] = 0$$, इसलिए प्रत्येक चक्रीय समूह का प्रतीक 0 के बराबर होता है। इसका अर्थ यह है कि प्रत्येक परिमित विनिमेय समूह G को संतुष्ट करता है परिमित विनिमेय समूहों के मौलिक प्रमेय द्वारा $$[G] = 0$$।

निरीक्षण करें कि परिमित रूप से उत्पन्न विनिमेय समूहों के मौलिक प्रमेय द्वारा, प्रत्येक विनिमेय समूह A एक आघूर्ण बल वाले उपसमूह के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है और एक आघूर्ण बल मुक्त विनिमेय समूह  $$\Z^r$$समरूप है कुछ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक r के लिए, A के विनिमेय समूह की कोटि कहलाती है और इसे  $$r = \mbox{rank}(A)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है. प्रतीक $$[A]$$ को परिभाषित कीजिए जैसा $$[A] = \mbox{rank}(A)$$. फिर ग्रोथेंडिक समूह $$G_0(\Z)$$ के लिए $$\Z$$ समरूप है जनरेटर के साथ $$[\Z].$$ यथार्थ, पिछले पैराग्राफ से किए गए अवलोकन से पता चलता है कि प्रत्येक विनिमेय ग्रुप A का अपना प्रतीक $$[A]$$ है प्रतीक के समान $$[\Z^r] = r[\Z]$$ जहाँ  $$r = \mbox{rank}(A)$$. इसके अतिरिक्त, विनिमेय समूह का रैंक ग्रोथेंडिक समूह के प्रतीक $$[A]$$ की शर्तों को पूरा करता है। मान लीजिए कि विनिमेय समूहों का निम्न संक्षिप्त यथार्थ अनुक्रम है:


 * $$0 \to A \to B \to C \to 0$$

फिर परिमेय संख्याओं $$\Q$$ के साथ टेंसर करने से निम्नलिखित समीकरण का पता चलता है।


 * $$0 \to A \otimes_\Z \Q \to B \otimes_\Z \Q \to C \otimes_\Z \Q \to 0$$

चूंकि उपरोक्त $$\Q$$-सदिश स्पेस का एक छोटा यथार्थ क्रम है, जिससे अनुक्रम विभाजित होता है। इसलिए, निम्नलिखित समीकरण है।


 * $$\dim_\Q (B \otimes_\Z \Q ) = \dim_\Q (A \otimes_\Z \Q) + \dim_\Q (C \otimes_\Z \Q )$$

दूसरी ओर, A का निम्नलिखित संबंध भी है; अधिक जानकारी के लिए, विनिमेय समूह का रैंक देखें।


 * $$\operatorname{rank}(A) = \dim_\Q (A \otimes_\Z \Q )$$

इसलिए, निम्नलिखित समीकरण धारण करता है:


 * $$[B] = \operatorname{rank}(B) = \operatorname{rank}(A) + \operatorname{rank}(C) = [A] + [C]$$

इसलिए A ने दिखाया है की $$G_0(\Z)$$ के लिए $$\Z$$ समरूप है जनरेटर के साथ $$[\Z].$$

सार्वभौम गुण
ग्रोथेंडिक समूह एक सार्वभौमिक गुण को संतुष्ट करता है। एक प्रारंभिक परिभाषा बनाता है: एक कार्य $$\chi$$ समरूपता वर्गों के समुच्चय से विनिमेय समूह तक $$X$$ योगात्मक कहा जाता है यदि, प्रत्येक यथार्थ अनुक्रम के लिए $$0 \to A \to B \to C \to 0$$, किसी के पास $$\chi(A)-\chi(B)+\chi(C)= 0.$$ फिर, किसी भी योगात्मक कार्य के लिए $$\chi: R\text{-mod} \to X$$, एक अद्वितीय समूह है समरूपता $$f:G_0(R) \to X$$ ऐसा है कि $$\chi$$ के माध्यम से कारक$$f$$ और वह नक्शा जो $$\mathcal A$$ प्रत्येक वस्तु को $$G_0(R).$$ में इसके समरूपता वर्ग का प्रतिनिधित्व करने वाले तत्व तक ले जाता है। इसका अर्थ है कि $$f$$ समीकरण को संतुष्ट करता है $$f([V])=\chi(V)$$ प्रत्येक निश्चित रूप से उत्पन्न के लिए $$R$$-मापांक $$V$$ तथा $$f$$ ऐसा करने वाला एकमात्र समूह समरूपता है।

योगात्मक कार्यों के उदाहरण प्रतिनिधित्व सिद्धांत से वर्ण सिद्धांत हैं: यदि $$R$$ एक परिमित आयामी  $$k$$-बीजगणित, तो कोई वर्ण $$\chi_V: R \to k$$ को संबद्ध कर सकता है प्रत्येक परिमित-आयामी के लिए $$R$$-मापांक $$V: \chi_V(x)$$ के ट्रेस (रैखिक बीजगणित) के रूप में परिभाषित किया गया है $$k$$-रैखिक नक्शा जो तत्व के साथ  $$x \in R$$ पर $$V$$ गुणन द्वारा दिया जाता है.

एक उपयुक्त आधार (रैखिक बीजगणित) का चयन करके और संबंधित मैट्रिक्स (गणित) को ब्लॉक त्रिकोणीय रूप में लिखकर आसानी से देखा जा सकता है कि वर्ण कार्य उपरोक्त अर्थों में योगात्मक हैं। सार्वभौमिक गुण के द्वारा यह हमें $$\chi: G_0(R)\to \mathrm{Hom}_K(R,K)$$ ऐसा है कि $$\chi([V]) = \chi_V$$ एक सार्वभौमिक वर्ण देता है.

यदि $$k=\Complex$$ तथा $$R$$ समूह की रिंग  है  $$\Complex[G]$$ एक परिमित समूह का $$G$$ तब यह वर्ण मानचित्र एक प्राकृतिक समरूपता  $$G_0(\Complex[G])$$ और वर्ण की अंगूठी $$Ch(G)$$भी देता है. परिमित समूहों के मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, $$k$$ एक क्षेत्र हो सकता है $$\overline{\mathbb{F}_p},$$ और P तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र का बीजगणितीय समापन भी हो सकता है। इस स्थिति में समान रूप से परिभाषित मानचित्र जो प्रत्येक $$k[G]$$-मॉड्यूल से जुड़ा है इसका ब्राउर वर्ण भी एक $$G_0(\overline{\mathbb{F}_p}[G])\to \mathrm{BCh}(G)$$ ब्राउर पात्रों की रिंग पर प्राकृतिक समरूपता है। इस तरह ग्रोथेंडिक समूह प्रतिनिधित्व सिद्धांत में दिखाई देते हैं।

यह सार्वभौम गुण $$G_0(R)$$ सामान्यीकृत यूलर विशेषताओं का 'सार्वभौमिक गृहीता' भी बनाता है। विशेष रूप से,  $$R\text{-mod}$$ वस्तुओं के प्रत्येक बंधे हुए परिसर के लिए
 * $$\cdots \to 0 \to 0 \to A^n \to A^{n+1} \to \cdots \to A^{m-1} \to A^m \to 0 \to 0 \to \cdots$$

कोई में एक विहित तत्व है


 * $$[A^*] = \sum_i (-1)^i [A^i] = \sum_i (-1)^i [H^i (A^*)] \in G_0(R).$$

वास्तविक में ग्रोथेंडिक समूह को मूल रूप से यूलर विशेषताओं के अध्ययन के लिए प्रस्तुत किया गया था।

यथार्थ श्रेणियों के ग्रोथेंडिक समूह
इन दो अवधारणाओं का एक सामान्य सामान्यीकरण एक यथार्थ श्रेणी $$\mathcal{A}$$ के ग्रोथेंडिक समूह द्वारा दिया गया है. सरल शब्दों में कहें, एक यथार्थ श्रेणी एक योगात्मक श्रेणी है जिसमें विशिष्ट लघु अनुक्रम A → B → C का एक वर्ग होता है। विशिष्ट अनुक्रमों को यथार्थ अनुक्रम कहा जाता है, इसलिए यह नाम इस प्रतिष्ठित वर्ग के लिए यथार्थ सिद्धांत ग्रोथेंडिक समूह के निर्माण के लिए आवश्यक नही होते है।

ग्रोथेंडिक समूह को उसी तरह से परिभाषित किया गया है जैसे पहले विनिमेय समूह को एक जनरेटर [M&hairsp;] के साथ प्रत्येक श्रेणी के (समरूपता वर्ग) वस्तु (s) के लिए $$\mathcal{A}$$ और एक संबंध


 * $$[A]-[B]+[C] = 0$$

प्रत्येक यथार्थ क्रम के लिए


 * $$A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C$$.

वैकल्पिक रूप से और समतुल्य रूप से, एक सार्वभौमिक गुण का उपयोग करके ग्रोथेंडिक समूह को परिभाषित किया जा सकता है: एक नक्शा $$\chi: \mathrm{Ob}(\mathcal{A})\to X$$ से $$\mathcal{A}$$ विनिमेय समूह में X को प्रत्येक यथार्थ अनुक्रम के लिए $$A\hookrightarrow B\twoheadrightarrow C$$ किसी के पास $$\chi(A)-\chi(B)+\chi(C)=0$$ योगात्मक कहा जाता है; एक विनिमेय समूह G एक साथ एक योगात्मक मानचित्रण के साथ $$\phi: \mathrm{Ob}(\mathcal{A})\to G$$ का ग्रोथेंडिक समूह कहा जाता है $$\mathcal{A}$$ का समूह यदि प्रत्येक योगात्मक मानचित्र $$\chi: \mathrm{Ob}(\mathcal{A})\to X$$ कारक विशिष्ट रूप से  $$\phi$$ के माध्यम से होता है.

यदि कोई "यथार्थ" की मानक व्याख्या का उपयोग करता है तो प्रत्येक विनिमेय श्रेणी एक यथार्थ श्रेणी है। यह पिछले अनुभाग में ग्रोथेंडिक समूह की धारणा देता है यदि कोई $$\mathcal{A} := R\text{-mod}$$ सूक्ष्म रूप से उत्पन्न R -मॉड्यूल की श्रेणी के रूप में $$\mathcal{A}$$. यह वास्तविक में विनिमेय है क्योंकि R को पिछले खंड में आर्टिनियन (और इसलिए नोथेरियन रिंग) माना गया था।

दूसरी ओर, प्रत्येक योजक श्रेणी भी यथार्थ होती है यदि कोई उन्हें और केवल उन अनुक्रमों को यथार्थ घोषित करता है जिनके रूप हैं $$A\hookrightarrow A\oplus B\twoheadrightarrow B$$ विहित समावेशन और प्रक्षेपण रूपवाद के साथ। यह प्रक्रिया क्रमविनिमेय मोनोइड $$(\mathrm{Iso}(\mathcal{A}),\oplus)$$ के ग्रोथेंडिक समूह का उत्पादन करती है पहले अर्थ में (यहाँ $$\mathrm{Iso}(\mathcal{A})$$ का अर्थ है "सेट"  $$\mathcal{A}$$ [ में समरूपता वर्गों के सभी मूलभूत मुद्दों की अनदेखी ]।

त्रिकोणीय श्रेणियों के ग्रोथेंडिक समूह
आगे भी सामान्यीकरण करते हुए त्रिकोणीय श्रेणियों के लिए ग्रोथेंडिक समूह को परिभाषित करना भी संभव है। निर्माण अनिवार्य रूप से समान है लेकिन संबंधों [X] − [Y] + [Z] = 0 का उपयोग करता है जब भी कोई विशिष्ट त्रिभुज X → Y → Z → X [1] हो

अन्य उदाहरण

 * एक क्षेत्र (गणित) k पर परिमित-आयामी सदिश स्पेस की विनिमेय श्रेणी में, दो सदिश स्पेस समरूप हैं यदि और केवल यदि उनके समान आयाम हैं। इस प्रकार, सदिश समष्टि V के लिए


 * $$[V] = \big[ k^{\dim(V)} \big] \in K_0 (\mathrm{Vect}_{\mathrm{fin}}).$$
 * इसके अतिरिक्त, एक यथार्थ अनुक्रम के लिए
 * $$0 \to k^l \to k^m \to k^n \to 0$$
 * M = L + N, इसलिए
 * $$\left[ k^{l+n} \right] = \left[ k^l \right] + \left[ k^n \right] = (l+n)[k].$$
 * इस प्रकार
 * $$[V] = \dim(V)[k],$$
 * तथा $$K_0(\mathrm{Vect}_{\mathrm{fin}})$$ के लिए समरूप है $$\Z$$ और द्वारा उत्पन्न होता है $$[k].$$ अंत में परिमित-आयामी सदिश स्पेस V&hairsp;* के परिबद्ध परिसर के लिए,
 * $$[V^*] = \chi(V^*)[k]$$
 * जहाँ पे $$\chi$$ द्वारा परिभाषित मानक यूलर विशेषता है
 * $$\chi(V^*)= \sum_i (-1)^i \dim V = \sum_i (-1)^i \dim H^i(V^*).$$


 * चक्राकार स्थान के लिए $$(X,\mathcal{O}_X)$$, कोई श्रेणी पर विचार कर सकता है $$\mathcal{A}$$ X के ऊपर सभी स्थानीय रूप से मुक्त शीफ का। $$K_0(X)$$ फिर इस यथार्थ श्रेणी के ग्रोथेंडिक समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है और फिर से यह एक फ़ैक्टर देता है।


 * रिंग्ड स्पेस के लिए $$(X,\mathcal{O}_X)$$, कोई श्रेणी भी परिभाषित कर सकता है $$\mathcal A$$ एक्स पर सभी सुसंगत शीफ की श्रेणी होना। इसमें विशेष मामला शामिल है (यदि रिंग्ड स्पेस एक एफ़िन योजना है) $$\mathcal{A}$$ एक नोथेरियन रिंग Rपर अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल की श्रेणी होने के नाते। दोनों ही मामलों में $$\mathcal{A}$$ एक विनिमेय श्रेणी है और एक फोर्टियोरी एक यथार्थ श्रेणी है इसलिए उपरोक्त निर्माण लागू होता है।


 * ऐसे स्थिति में जहां R किसी क्षेत्र पर परिमित-आयामी बीजगणित है, ग्रोथेंडिक समूह $$G_0(R)$$ (अंततः उत्पन्न मॉड्यूल के छोटे यथार्थ अनुक्रमों के माध्यम से परिभाषित) और $$K_0(R)$$ (परिमित रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के माध्यम से परिभाषित) मेल खाता है। वास्तविक में, दोनों समूह सरल मॉड्यूल आर-मॉड्यूल के आइसोमोर्फिज्म वर्गों द्वारा उत्पन्न मुक्त विनिमेय समूह के लिए समरूप हैं।


 * एक और ग्रोथेंडिक समूह है $$G_0$$ एक अंगूठी या एक चक्राकार स्थान जो कभी-कभी उपयोगी होता है। स्थिति में श्रेणी को रिंग वाली जगह पर सभी सुसंगत शीफ | अर्ध-सुसंगत शीवों की श्रेणी के रूप में चुना जाता है, जो एफाइन योजनाओं के स्थिति में कुछ रिंग Rपर सभी मॉड्यूल की श्रेणी को कम कर देता है। $$G_0$$ एक कारक नहीं है, लेकिन फिर भी इसमें महत्वपूर्ण जानकारी है।


 * चूँकि (परिबद्ध) व्युत्पन्न श्रेणी त्रिकोणीय है, इसलिए व्युत्पन्न श्रेणियों के लिए ग्रोथेंडिक समूह भी है। इसमें उदाहरण के लिए प्रतिनिधित्व सिद्धांत में अनुप्रयोग हैं। असीमित श्रेणी के लिए ग्रोथेंडिक समूह हालांकि गायब हो जाता है। कुछ जटिल परिमित-आयामी सकारात्मक रूप से वर्गीकृत बीजगणित की एक व्युत्पन्न श्रेणी के लिए असीमित व्युत्पन्न श्रेणी में एक उपश्रेणी होती है जिसमें परिमित-आयामी श्रेणीबद्ध मॉड्यूल की विनिमेय श्रेणी Aहोती है जिसका ग्रोथेंडिक समूह Aके ग्रोथेंडिक समूह का क्यू-एडिक पूर्णता है।

यह भी देखें

 * अंशों का क्षेत्र
 * स्थानीयकरण (क्रम विनिमेय बीजगणित)
 * टोपोलॉजिकल के-थ्योरी
 * टोपोलॉजिकल के-थ्योरी की गणना के लिए अतियाह-हिर्जेब्रूच स्पेक्ट्रल सीक्वेंस

संदर्भ

 * Michael F. Atiyah, K-Theory, (Notes taken by D.W.Anderson, Fall 1964), published in 1967, W.A. Benjamin Inc., New York.
 * The Grothendieck Group of Algebraic Vector Bundles; Calculations of Affine and Projective Space
 * Grothendieck Group of a Smooth Projective Complex Curve
 * The Grothendieck Group of Algebraic Vector Bundles; Calculations of Affine and Projective Space
 * Grothendieck Group of a Smooth Projective Complex Curve
 * Grothendieck Group of a Smooth Projective Complex Curve