वास्तविक मान फलन

गणित में, वास्तविक मान फलन एक ऐसा फलन (गणित) होता है जिसके मान वास्तविक संख्याएँ होते हैं। दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसा फलन है जो फलन के अपने प्रक्षेत्र के प्रत्येक इकाई एक वास्तविक संख्या निर्दिष्ट करता है।

वास्तविक चर का वास्तविक मान फलन (सामान्य रूप से वास्तविक फलन कहा जाता है) और कई वास्तविक चर के वास्तविक मान फलन गणना के अध्ययन और अधिक सामान्य रूप से वास्तविक विश्लेषण का मुख्य उद्देश्य हैं। विशेष रूप से, कई फलन समष्टि में वास्तविक मान फलन सम्मिलित होते हैं।

बीजगणितीय संरचना
मान लीजिए कि $${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$$ समुच्चय (गणित) $X$ से वास्तविक संख्या $$\mathbb R$$ तक सभी फलन का समुच्चय होता है। क्योंकि $$\mathbb R$$ एक क्षेत्र होता है (गणित), जो $${\mathcal F}(X,{\mathbb R})$$ को सदिश समष्टि में परिवर्तित किया जा सकता है और वास्तविक के ऊपर एक क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) निम्नलिखित फलनों के साथ परिवर्तित कर दिया जा सकता है:
 * $$f+g: x \mapsto f(x) + g(x)$$ - सदिश योग
 * $$\mathbf{0}: x \mapsto 0$$ - योगात्मक समरूपता
 * $$c f: x \mapsto c f(x),\quad c \in \mathbb R$$ - अदिश गुणन
 * $$f g: x \mapsto f(x)g(x)$$ - बिंदुवार गुणन

ये संक्रियाएँ $X$ से $$\mathbb R,$$ तक आंशिक फलनों तक विस्तारित होती हैं, इस प्रतिबंध के साथ कि आंशिक फलन $f + g$ और $f g$ को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब किसी फलन का प्रक्षेत्र $f$ और $g$ एक गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है; इस स्थिति में, उनका प्रक्षेत्र $f$ और $g$ के प्रक्षेत्र का प्रतिच्छेदन होता है।

इसके अतिरिक्त, चूंकि $$\mathbb R$$ एक क्रमित समुच्चय होता है, एक आंशिक क्रम होता  है $${\mathcal F}(X,{\mathbb R}),$$ पर जो $${\mathcal F}(X,{\mathbb R}) $$ आंशिक रूप से क्रमित वलय बनाता है।
 * $$\ f \le g \quad\iff\quad \forall x: f(x) \le g(x),$$

मापनीय
बोरेल समुच्चय का σ-बीजगणित वास्तविक संख्याओं पर एक महत्वपूर्ण संरचना है। यदि X का उसका σ-बीजगणित है और एक फलन f ऐसा है कि किसी भी बोरेल समुच्चय B का पूर्व छवि f −1(B) उस σ-बीजगणित से संबंधित है, तो f को मापने योग्य कहा जाता है। मापने योग्य फलन एक सदिश समष्टि और एक बीजगणित भी बनाते हैं जैसा कि ऊपर § बीजगणितीय संरचना में समझाया गया है।

इसके अतिरिक्त, X पर वास्तविक-मान फलनों का एक समुच्चय (वर्ग) वास्तव में सभी बोरेल समुच्चय (या केवल अंतराल के, यह महत्वपूर्ण नहीं है) के सभी पूर्व छवि द्वारा उत्पन्न X पर एक σ-बीजगणित को परिभाषित कर सकता है। इस तरह से (कोलमोगोरोव के) प्रायिकता सिद्धांत में σ-बीजगणित उत्पन्न होता है, जहां प्रतिदर्श समष्टि Ω पर वास्तविक-मान फलन वास्तविक-मान यादृच्छिक चर होता हैं।

सतत
वास्तविक संख्याएँ एक सांस्थितिक समष्टि और एक पूर्ण आव्यूह समष्टि बनाती हैं। सतत वास्तविक-मान फलन (जिसका तात्पर्य है कि X एक सांस्थितिक समष्टि है) सांस्थितिक समष्टि और आव्यूह समष्टि के सिद्धांतों में महत्वपूर्ण हैं। अत्यधिक मान प्रमेय बताता है कि सुसंहत समष्टि पर किसी भी वास्तविक सतत फलन के लिए वैश्विक अधिकतम और न्यूनतम सम्मिलित होता है।

आव्यूह समष्टि की अवधारणा को ही दो चरों के वास्तविक-मान फलन के साथ परिभाषित किया गया है जो आव्यूह (गणित) सतत होता है। सुसंहत हौसडॉर्फ समष्टि पर सतत फलनों की समष्टि का एक विशेष महत्व है। अभिसरण अनुक्रमों को एक विशेष सांस्थितिक समष्टि पर वास्तविक-मान सतत फलनों के रूप में भी माना जा सकता है।

जैसा कि § बीजगणितीय संरचना में ऊपर समझाया गया है, सतत फलन एक सदिश समष्टि और एक बीजगणित भी बनाते हैं, और मापने योग्य फलनों का एक उपवर्ग होता है क्योंकि किसी भी सांस्थितिक समष्टि में विवृत (या संवृत) समुच्चय द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित होता है।

निष्कोण
निष्कोण फलनों को परिभाषित करने के लिए वास्तविक संख्या को कोडोमेन के रूप में उपयोग किया जाता है। एक वास्तविक निष्कोण फलन का एक प्रक्षेत्र वास्तविक समन्वय समष्टि हो सकता है जो एक वास्तविक बहुभिन्नरूपी फलन उत्पन्न करता है, सांस्थितिक सदिश समष्टि, उनमें से एक विवृत उपसमुच्चय, या एक निष्कोण प्रसमष्टि होता है।

निष्कोण फलनों के समष्टि भी सदिश समष्टि और बीजगणित भी होते हैं जैसा कि § बीजगणितीय संरचना में ऊपर बताया गया है और सतत फलनों के समष्टि के उपसमष्टि होता हैं।

माप सिद्धांत में प्रकटन
समुच्चय पर एक माप (गणित) उपसमुच्चय के σ-बीजगणित पर एक गैर-ऋणात्मक वास्तविक मान फलन है। एक माप के साथ समुच्चय पर Lp समष्टि उपर्युक्त वास्तविक-मान मापने योग्य के फलनों से परिभाषित किए गए हैं, हालांकि वे वास्तव में भागफल समष्टि हैं। अधिक परिशुद्ध रूप से, जबकि एक उपयुक्त सारांश स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक फलन Lp समष्टि के अवयव को परिभाषित करता है, विपरीत दिशा में किसी भी f ∈ Lp(X) और x ∈ X के लिए जो एक परमाणु नहीं है, और मान f(x) अनिर्धारित है। हालांकि, वास्तविक-मान Lp समष्टि में अभी भी ऊपर वर्णित कुछ संरचना § बीजगणितीय संरचना में है। प्रत्येक Lp समष्टि एक सदिश समष्टि है और एक आंशिक क्रम होता है, और "फलन" का एक बिंदुवार गुणन सम्मिलित है जो p को परिवर्तित करता है, अर्थात्
 * $$\sdot: L^{1/\alpha} \times L^{1/\beta} \to L^{1/(\alpha+\beta)},\quad

0 \le \alpha,\beta \le 1,\quad\alpha+\beta \le 1.$$ उदाहरण के लिए, दो L2 फलनों का बिंदुवार गुणनफल L1 से संबंधित है।

अन्य उपस्थिति
अन्य संदर्भ जहां वास्तविक मान फलन और उनके विशेष गुणों का उपयोग किया जाता है, उनमें एकदिष्ट फलन (क्रमित समुच्चय पर), उत्तल फलन (वेक्टर और एफ़िन समष्टि पर), हार्मोनिक फलन और उप-हार्मोनिक फलन ( रीमैनियन प्रसमष्टि पर), विश्लेषणात्मक फलन सामान्य रूप से एक का) या अधिक वास्तविक चर, बीजगणितीय फलन (वास्तविक बीजगणितीय विविधता पर), और बहुपद (एक या अधिक वास्तविक चर) सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

 * वास्तविक विश्लेषण
 * आंशिक अवकल समीकरण, वास्तविक मान फलन का एक प्रमुख उपयोगकर्ता
 * सामान्य (गणित)
 * अदिश (गणित)

संदर्भ

 * Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.
 * Gerald Folland, Real Analysis: Modern Techniques and Their Applications, Second Edition, John Wiley & Sons, Inc., 1999, ISBN 0-471-31716-0.