नौ-बिंदु चक्र



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ध्यान दें कि लंबकेन्द्र और परिकेन्द्र त्रिभुज के बाहर होने पर भी निर्माण कार्य करता है।]]ज्यामिति में, नौ-बिंदु वाला वृत्त एक वृत्त होता है जिसे किसी दिए गए त्रिभुज के लिए बनाया जा सकता है। इसका नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि यह त्रिभुज से परिभाषित नौ महत्वपूर्ण चक्रीय बिंदुओं से होकर गुजरता है। ये नौ बिंदु (ज्यामिति) हैं:

1822 में कार्ल फेउरबैक ने पाया कि किसी भी त्रिभुज का नौ-बिंदु वाला वृत्त बाहरी रूप से उस त्रिभुज के तीन बहिर्वृत्तों को स्पर्श करता है और आंतरिक रूप से उसके अंतःवृत्त को स्पर्श

नौ-बिंदु वाले वृत्त को फ्यूअरबैक के वृत्त (कार्ल विल्हेम फेउरबैक के बाद), यूलर के वृत्त (लियोनहार्ड यूलर के बाद), टेरक्वेम के वृत्त (ओलरी टेरक्यूम के बाद), छह-बिंदु वाले वृत्त, बारह-बिंदु वाले वृत्त $n$-बिंदु के रूप में भी जाना जाता है। वृत्त मध्यवृत्त वृत्त, मध्य वृत्त या परिवृत्त-मध्यवृत्त है। इसका केंद्र त्रिभुज का नौ-बिंदु केंद्र है।
 * त्रिभुज की प्रत्येक भुजा का मध्य बिंदु
 * प्रत्येक ऊंचाई का लंबवत (त्रिकोण)
 * त्रिभुज के प्रत्येक शीर्ष (ज्यामिति) से लंबकेन्द्र तक रेखा खंड का मध्यबिंदु (जहाँ तीन उन्नतांश मिलते हैं; ये रेखाखंड अपनी-अपनी ऊँचाई पर स्थित होते हैं)।

नौ महत्वपूर्ण बिंदु


ऊपर दिया गया आरेख नौ-बिंदु वाले वृत्त के नौ महत्वपूर्ण बिंदुओं को दर्शाता है। बिंदु $D, E, F$ त्रिभुज की तीनों भुजाओं के मध्य बिंदु हैं। बिंदु $G, H, I$ त्रिभुज की ऊँचाई के लंबवत हैं। बिंदु $J, K, L$ प्रत्येक ऊँचाई के शीर्ष (ज्यामिति) प्रतिच्छेदन (बिंदु $A, B, C$) और त्रिभुज का लंबकेन्द्र (बिंदु $S$)के बीच रेखा खंडों के मध्य बिंदु हैं

एक तीव्र त्रिकोण के लिए, छह बिंदु (मध्यबिंदु और ऊंचाई लंबवत) त्रिभुज पर ही स्थित होते हैं; अधिक कोण वाले त्रिभुज के लिए दो शीर्षलंबों के लंबवत त्रिकोण के बाहर होते हैं, किन्तु ये लंबवत अभी भी नौ-बिंदु वाले वृत्त से संबंधित हैं।

आविष्कार
यद्यपि उन्हें इसकी आविष्कार का श्रेय दिया जाता है, कार्ल विल्हेम फेउरबैक ने पूरी तरह से नौ-बिंदु वाले वृत्त की आविष्कार नहीं की, किन्तु छह-बिंदु वाले वृत्त की आविष्कार की, जो त्रिभुज के तीनों पक्षों के मध्यबिंदुओं के महत्व और उस की ऊंचाई के चरणों को पहचानता है। त्रिकोण। (चित्र 1 देखें, बिंदु $D, E, F, G, H, I$.) (पहले की तारीख में, चार्ल्स ब्रायनचोन और जीन-विक्टर पोंसेलेट ने उसी प्रमेय को कहा और सिद्ध किया था।) किन्तु जल्द ही फेउरबैक के बाद, गणितज्ञ ओलरी टेरक्यूम ने खुद को वृत्त के अस्तित्व को सिद्ध कर दिया। वह त्रिभुज के शीर्षों और लंबकेन्द्र के बीच के तीन मध्यबिंदुओं के अतिरिक्त महत्व को पहचानने वाले पहले व्यक्ति थे। (चित्र 1 देखें, बिंदु $J, K, L$.) इस प्रकार, टेरक्वेम नौ-बिंदु वृत्त नाम का उपयोग करने वाला पहला व्यक्ति था।

स्पर्शरेखा वृत्त
1822 में कार्ल फेउरबैक ने पाया कि किसी भी त्रिभुज का नौ-बिंदु वाला वृत्त बाहरी रूप से उस त्रिभुज के तीन बहिर्वृत्तों को स्पर्श करता है और आंतरिक रूप से उसके अंतःवृत्त को स्पर्श करता है; इस परिणाम को फायरबैक प्रमेय के रूप में जाना जाता है। उन्होंने सिद्ध किया कि:"वह वृत्त जो किसी त्रिभुज की ऊंचाई के पादों से होकर गुजरता है, उन चारों वृत्तों को स्पर्श करता है जो बदले में त्रिभुज की तीनों भुजाओं को स्पर्श करते हैं"

वह त्रिभुज केंद्र जिस पर अंतर्वृत्त और नौ-बिंदु वृत्त स्पर्श करते हैं, उसे फेउरबैक बिंदु कहा जाता है।

नौ-बिंदु वृत्त के अन्य गुण

चित्र तीन
 * किसी त्रिभुज के परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या उस त्रिभुज के नौ-बिंदु वाले वृत्त की त्रिज्या की दोगुनी होती है।

चित्रा 4
 * एक नौ-बिंदु वाला वृत्त संगत त्रिभुज के लंबकेंद्र से उसके परिवृत्त पर किसी बिंदु तक जाने वाले रेखा खंड को द्विभाजित करता है।


 * बीच में N}नौ-बिंदु वाले वृत्त का } ऑर्थोसेंटर से खंड को द्विभाजित करता है $H$ परिबद्ध चक्र के लिए $O$ (ऑर्थोसेंटर को दोनों सर्किलों के लिए होमोथेटिक केंद्र का केंद्र बनाते हुए):


 * $$\overline{ON} = \overline{NH}.$$


 * नौ सूत्री केंद्र $N$ केन्द्रक से यूलर रेखा के साथ-साथ एक-चौथाई है $G$ ऑर्थोसेंटर के लिए $H$:


 * $$\overline{HN} = 3\overline{NG}.$$

एक संदर्भ त्रिभुज का नौ-बिंदु चक्र संदर्भ त्रिभुज के औसत दर्जे का त्रिभुज (संदर्भ त्रिभुज के किनारों के मध्यबिंदुओं पर कोने के साथ) और इसके ओर्थिक त्रिभुज (संदर्भ त्रिभुज की ऊंचाई के पैरों पर कोने के साथ) दोनों का परिधि है।.
 * होने देना $ω$ चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण त्रिभुज का नौ-बिंदु वाला वृत्त हो। चक्रीय चतुर्भुज के द्विमाध्यकों के प्रतिच्छेदन बिंदु नौ-बिंदु वृत्त के अंतर्गत आता है।
 * त्रिभुज के शीर्षों से गुजरने वाले सभी आयताकार अतिपरवलयों का केंद्र इसके नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित होता है। उदाहरणों में फ्रेडरिक विल्हेम अगस्त लुडविग कीपर्ट, वैक्लेव जेराबेक|जेराबेक और फेउरबैक के प्रसिद्ध आयताकार अतिपरवलय शामिल हैं। इस तथ्य को फायरबैक शांकव प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

* यदि चार बिंदुओं की ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली $ABCD$ दिया गया है, तो उस प्रणाली के तीन अलग-अलग बिंदुओं के किसी भी संयोजन से बने चार त्रिकोण सभी एक ही नौ-बिंदु वाले वृत्त को साझा करते हैं। यह समरूपता का  परिणाम है: एक शीर्ष से सटे एक त्रिभुज की भुजाएँ जो दूसरे त्रिभुज का लंबकेंद्र है, उस दूसरे त्रिभुज के खंड हैं। एक तीसरा मध्यबिंदु उनके आम पक्ष पर स्थित है। (समान 'मिडपॉइंट्स' अलग-अलग नौ-पॉइंट वृत्त को परिभाषित करते हैं, वे वृत्त समवर्ती होने चाहिए।)
 * नतीजतन, इन चार त्रिकोणों में समान त्रिज्या वाले परिवृत्त हैं। होने देना $ABCD$ सामान्य नौ-बिंदु केंद्र का प्रतिनिधित्व करते हैं और $T$ ऑर्थोसेन्ट्रिक सिस्टम के विमान में मनमाना बिंदु हो। तब


 * $$\overline{NA}^2 + \overline{NB}^2 + \overline{NC}^2 + \overline{NH}^2 = 3R^2$$ :कहाँ $ABCD$ सामान्य परित्रिज्या है; और अगर


 * $$\overline{PA}^2 + \overline{PB}^2 + \overline{PC}^2 + \overline{PH}^2 = K^2,$$
 * कहाँ $A, B, C, H$ को स्थिर रखा जाता है, तो का ठिकाना $N$ पर केंद्रित एक वृत्त है $P$ त्रिज्या के साथ $$\tfrac{1}{2} \sqrt{K^2-3R^2}.$$ जैसा $R$ पहुँचता है $K$ का ठिकाना $P$ संगत स्थिरांक के लिए $N$, पर गिर जाता है $P$ नौ सूत्री केंद्र। इसके अलावा नौ-बिंदु वृत्त का ठिकाना है $N$ ऐसा है कि


 * $$\overline{PA}^2 + \overline{PB}^2 + \overline{PC}^2 + \overline{PH}^2 = 4R^2.$$


 * एक त्रिकोण के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त के केंद्र एक ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली बनाते हैं। उस ओर्थोसेंट्रिक प्रणाली के लिए बनाया गया नौ-बिंदु चक्र मूल त्रिकोण का परिवृत्त है। ऑर्थोसेन्ट्रिक प्रणाली में ऊंचाई के लंबवत मूल त्रिभुज के शिखर हैं।
 * यदि चार मनमाना बिंदु $△EFG$ दिए गए हैं जो ऑर्थोसेन्ट्रिक सिस्टम नहीं बनाते हैं, फिर नौ-पॉइंट वृत्त $△EFG$ एक बिंदु पर सहमत, के पोंसलेट बिंदु $P$. इन नौ-बिंदु मंडलियों के शेष छह चौराहे बिंदु प्रत्येक चार त्रिभुजों के मध्यबिंदुओं के साथ मिलते हैं। उल्लेखनीय रूप से, इन चार मनमाने बिंदुओं के केंद्र में केंद्रित एक अद्वितीय नौ-बिंदु शंकु मौजूद है, जो इन नौ-बिंदु मंडलियों के सभी सात बिंदुओं के चौराहे से गुजरता है। इसके अलावा, ऊपर वर्णित फेउरबैक शांकव प्रमेय के कारण, चार नौ-बिंदु हलकों के सामान्य चौराहे बिंदु पर केंद्रित एक अद्वितीय आयताकार परिधि मौजूद है, जो चार मूल मनमाने बिंदुओं के साथ-साथ चार त्रिकोणों के ऑर्थोसेंटर से होकर गुजरता है।
 * यदि चार बिंदु $A, B, C, D$ दिए गए हैं जो एक चक्रीय चतुर्भुज बनाते हैं, फिर नौ-बिंदु मंडल $△ABC, △BCD, △CDA, △DAB$ चक्रीय चतुर्भुज#एंटीसेंटर और चक्रीय चतुर्भुज की संरेखता पर सहमति। चक्रीय चतुर्भुज के परिवृत्त की आधी त्रिज्या के साथ नौ-बिंदु वृत्त सर्वांगसम हैं। नौ-बिंदु मंडल चार जॉनसन हलकों का सेट बनाते हैं। नतीजतन, चार नौ-बिंदु केंद्र चक्रीय होते हैं और चक्रीय चतुर्भुज के एंटीसेंटर पर केंद्रित चार नौ-बिंदु हलकों के अनुरूप एक चक्र पर स्थित होते हैं। इसके अलावा, चार नौ-पोंट केंद्रों से बनने वाला चक्रीय चतुर्भुज संदर्भ चक्रीय चतुर्भुज के संदर्भ में होमोथेटिक परिवर्तन है $K$ -½ के गुणक और इसके होमोथेटिक केंद्र द्वारा $N$ परिकेन्द्र को जोड़ने वाली रेखा पर स्थित है $P$ एंटीसेंटर के लिए $A, B, C, D$ कहाँ


 * $$\overline{ON} = 2\overline{NM}.$$


 * परिधि से गुजरने वाली रेखाओं का ऑर्थोपोल नौ-बिंदु वाले वृत्त पर स्थित होता है।
 * त्रिभुज का परिवृत्त, उसका नौ-बिंदु वाला वृत्त, उसका ध्रुवीय वृत्त (ज्यामिति), और उसके स्पर्शरेखा त्रिभुज का परिवृत्त समाक्षीय वृत्त हैं।
 * किपर्ट हाइपरबोला के केंद्र के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक हैं


 * $$\frac{(b^2 -c^2)^2}{a} : \frac{(c^2-a^2)^2}{b} : \frac{(a^2-b^2)^2}{c}$$


 * जेरेबेक अतिपरवलय के केंद्र के लिए त्रिरेखीय निर्देशांक हैं


 * $$\cos(A)\sin^2(B-C) : \cos(B)\sin^2(C-A) : \cos(C)\sin^2(A-B)$$


 * दे रहा है $A, B, C, D$ त्रिरेखीय निर्देशांक में एक चर बिंदु हो, नौ-बिंदु वृत्त के लिए एक समीकरण है


 * $$x^2\sin 2A + y^2\sin 2B + z^2\sin 2C-2(yz\sin A + zx\sin B + xy\sin C) = 0.$$

सामान्यीकरण
वृत्त एक शंकु खंड का उदाहरण है और नौ-बिंदु वृत्त सामान्य नौ-बिंदु शंकु का एक उदाहरण है जिसे एक त्रिभुज के संबंध में बनाया गया है $△ABC, △BCD, △CDA, △DAB$ और चौथा बिंदु $ABCD$, जहां विशेष रूप से नौ-बिंदु वृत्त उदाहरण उत्पन्न होता है $N$ का ऑर्थोसेंटर है $x : y : z$. त्रिभुज के शीर्ष और $O$ पूर्ण चतुर्भुज और तीन विकर्ण बिंदु निर्धारित करें जहां चतुर्भुज के विपरीत पक्ष प्रतिच्छेद करते हैं। चतुर्भुज में छः किनारे होते हैं; नौ-बिंदु शंकु इनके मध्यबिंदुओं को काटता है और इसमें विकर्ण बिंदु भी शामिल हैं। शंकु  दीर्घवृत्त है जब $M$ का आंतरिक है $△ABC$ या त्रिकोण के साथ लंबवत कोण साझा करने वाले क्षेत्र में, किन्तु नौ-बिंदु हाइपरबोला तब होता है जब $P$ तीन आसन्न क्षेत्रों में से एक में है, और अतिपरवलय आयताकार होता है जब P के परिवृत्त पर स्थित होता है $△ABC$.

यह भी देखें

 * हार्ट वृत्त, वृत्ताकार त्रिकोणों के लिए संबंधित निर्माण
 * लेस्टर की प्रमेय
 * पॉन्सलेट पॉइंट
 * सिंथेटिक ज्यामिति

बाहरी संबंध

 * "A Javascript demonstration of the nine point circle" at rykap.com
 * Encyclopedia of Triangles Centers by Clark Kimberling. The nine-point center is indexed as X(5), the फेउरबैक point, as X(11), the center of the Kiepert hyperbola as X(115), and the center of the Jeřábek hyperbola as X(125).
 * History about the nine-point circle based on J.S. MacKay's article from 1892: History of the Nine Point Circle
 * Nine Point Circle in Java at cut-the-knot
 * Feuerbach's Theorem: a Proof at cut-the-knot
 * Special lines and circles in a triangle by Walter Fendt
 * Interactive Nine Point Circle applet from the Wolfram Demonstrations Project
 * Nine-point conic and Euler line generalization at Dynamic Geometry Sketches Generalizes nine-point circle to a nine-point conic with an associated generalization of the Euler line.
 * N J Wildberger. Chromogeometry. Discusses the nine-point circle with regard to three different quadratic forms (blue, red, green).
 * Nine-point conic and Euler line generalization at Dynamic Geometry Sketches Generalizes nine-point circle to a nine-point conic with an associated generalization of the Euler line.
 * N J Wildberger. Chromogeometry. Discusses the nine-point circle with regard to three different quadratic forms (blue, red, green).