ट्री-डेप्थ

ग्राफ़ सिद्धांत में, किसी जुड़े हुए ग्राफ़ की ट्री-डेप्थ अप्रत्यक्ष ग्राफ $$G$$ का एक संख्यात्मक ग्राफ़ अपरिवर्तनीय है $$G$$, ग्राफ़ सिद्धांत की शब्दावली के लिए ट्रेमॉक्स ट्री की न्यूनतम ऊंचाई $$G$$ है। इस अपरिवर्तनीय और इसके निकट आपेक्षिक को साहित्य में कई अलग-अलग नामों से जाना जाता है, जिसमें शीर्ष रैंकिंग संख्या, क्रमबद्ध रंगीन संख्या और न्यूनतम उन्मूलन ट्री की ऊंचाई सम्मिलित है; यह निर्देशित ग्राफ के चक्र रैंक और नियमित भाषाओं की स्टार ऊंचाई से भी निकटता से संबंधित है। सहज रूप से, जहां एक ग्राफ की ट्री विड्थ मापती है कि वह एक ट्री (ग्राफ सिद्धांत) होने से कितनी दूर है, यह पैरामीटर मापता है कि एक ग्राफ एक तारा (ग्राफ सिद्धांत) होने से कितनी दूर है।

परिभाषाएँ
ग्राफ़ की ट्री-डेप्थ $$G$$ इसे फॉरिस्ट की न्यूनतम ऊंचाई के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (ग्राफ सिद्धांत) $$F$$ उस विशेशता के साथ जो हर किनारे पर है $$G$$ नोड्स की एक जोड़ी को जोड़ता है जिनका एक दूसरे से ऐन्सेस्टर-डेस्केंडेंट संबंध होता है $$F$$. अगर $$G$$ जुड़ा हुआ है, यह फॉरिस्ट एक ही ट्री होना चाहिए; इसका उपसमूह $$G$$ होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन अगर ऐसा है, तो $$G$$ एक ट्रेमॉक्स ट्री है।

ऐन्सेस्टर-डेस्केंडेंट जोड़ियों का समूह $$F$$ बिना प्रयास किये बिलकुल सही रूप से परिपूर्ण ग्राफ बनाता है, और $$F$$ की ऊंचाई इस ग्राफ़ में सबसे बड़े समूह क्लिक  (ग्राफ़ सिद्धांत) का आकार है। इस प्रकार, ट्री-डेप्थ को वैकल्पिक रूप से एक तुच्छ रूप से परिपूर्ण सुपरग्राफ में सबसे बड़े समूह के आकार के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$G$$, कॉर्डल ग्राफ सुपरग्राफ में सबसे बड़े क्लिक के आकार से एक कम के रूप में $$G$$ ट्रीविड्थ की परिभाषा को प्रतिबिंबित करता है।

एक अन्य परिभाषा निम्नलिखित है:

$$\operatorname{td}(G)=\begin{cases} 1, & \text{if }|G|=1;\\ 1 + \min_{v\in V} \operatorname{td}(G-v), & \text{if } G \text{ is connected and } |G| > 1;\\ \max_{i} {\rm td}(G_i), & \text{otherwise}; \end{cases}$$ जहाँ $$V$$ के शीर्षों का समुच्चय $$G$$ है और यह $$G_i$$ के जुड़े हुए घटक $$G$$ हैं। यह परिभाषा निर्देशित ग्राफ़ के चक्र रैंक की परिभाषा को प्रतिबिंबित करती है, जो अप्रत्यक्ष कनेक्टिविटी और जुड़े घटकों के स्थान पर सशक्त कनेक्टिविटी और दृढ़ता से जुड़े घटकों का उपयोग करती है।

ट्री-डेप्थ को ग्राफ़ रंग के एक रूप का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता है। किसी ग्राफ़ का केन्द्रित रंग उसके शीर्षों का रंग इस गुण के साथ होता है कि प्रत्येक जुड़े प्रेरित सबग्राफ में एक रंग होता है जो बिल्कुल एक बार दिखाई देता है। फिर, ट्री-डेप्थ दिए गए ग्राफ़ के केंद्रित रंग में रंगों की न्यूनतम संख्या है। अगर $$F$$ ऊंचाई का फॉरिस्ट है $$d$$ उस विशेशता के साथ जो हर किनारे पर है $$G$$ ऐन्सेस्टर और डेस्केंडेंट को जोड़ता है $$F$$, फिर एक केन्द्रित रंग $$G$$ का उपयोग करते हुए $$d$$ प्रत्येक शीर्ष को उसके ट्री का मूल से उसकी दूरी के आधार पर रंगकर रंग $$F$$ प्राप्त किया जा सकता है।

अंत में, कोई इसे कंकड़ खेल के रूप में, या अधिक सटीक रूप से पीछा-चोरी खेल के रूप में परिभाषित कर सकता है। अप्रत्यक्ष ग्राफ पर खेले गए निम्नलिखित खेल पर विचार करें। दो खिलाड़ी एक डाकू और एक पुलिसकर्मी हैं। डाकू के पास एक कंकड़ है जिसे वह दिए गए ग्राफ के किनारों के साथ घुमा सकता है। पुलिस के पास असीमित संख्या में कंकड़ हैं, लेकिन वह अपने द्वारा उपयोग किए जाने वाले कंकड़ की मात्रा को कम करना चाहती है। ग्राफ़ पर रखे जाने के बाद पुलिस एक कंकड़ को हिला नहीं सकती। खेल इस प्रकार आगे बढ़ता है। डाकू अपना कंकड़ डालता है। पुलिस तब घोषणा करती है कि वह एक नया पुलिस कंकड़ कहाँ रखना चाहती है। इसके बाद डाकू अपने कंकड़ को किनारों के साथ ले जा सकता है, लेकिन कब्जे वाले शीर्षों के माध्यम से नहीं। जब पुलिस खिलाड़ी डाकू कंकड़ के ऊपर एक कंकड़ रखता है तो खेल खत्म हो जाता है। दिए गए ग्राफ़ की ट्री-डेप्थ पुलिस द्वारा जीत की गारंटी के लिए आवश्यक कंकड़ की न्यूनतम संख्या है। एक स्टार (ग्राफ सिद्धांत) के लिए, दो कंकड़ पर्याप्त हैं: रणनीति यह है कि एक कंकड़ को केंद्र के शीर्ष पर रखें, डाकू को एक हाथ पर जबरदस्ती करें, और फिर शेष कंकड़ को डाकू पर रखें। पथ ग्राफ के लिए $$n$$ शीर्ष पर, पुलिस एक द्विआधारी सर्च रणनीति का उपयोग करती है, जो अधिकतम इसकी गारंटी देती है $$\lceil\log_2(n+1)\rceil$$ कंकड़ की जरूरत है।

उदाहरण
एक पूर्ण ग्राफ़ की ट्री-डेप्थ उसके शीर्षों की संख्या के बराबर होती है। क्योंकि, इस स्थिति में, यह एकमात्र संभावित फॉरिस्ट है $$F$$ जिसके लिए शीर्षों का प्रत्येक जोड़ा ऐन्सेस्टर-डेस्केंडेंट संबंध में एक ही पथ है। इसी प्रकार, एक पूर्ण द्विदलीय ग्राफ की ट्री-डेप्थ $$K_{x,y}$$ है $$\min(x,y)+1$$. क्योंकि, वे गांठें जो फॉरिस्ट की पत्तियों पर रखी जाती हैं $$F$$ कम से कम $$\min(x,y)$$ ऐन्सेस्टरों में $$F$$ होना ही चाहिए। इसे सिद्ध करने वाला एक फॉरिस्ट $$\min(x,y)+1$$ बाउंड का निर्माण द्विविभाजन के छोटे पक्ष के लिए एक पथ बनाकर किया जा सकता है, जिसमें द्विविभाजन के बड़े पक्ष पर प्रत्येक शीर्ष पर एक पत्ती बनती है $$F$$ इस पथ के निचले शीर्ष से जुड़ा हुआ है।

पथ की ट्री-डेप्थ $$n$$ शिखर $$\lceil\log_2(n+1)\rceil$$बिल्कुल सही है। एक फॉरिस्ट $$F$$ इस डेप्थ के साथ इस पथ का प्रतिनिधित्व पथ के मध्यबिंदु को मूल के रूप में रखकर बनाया जा सकता है $$F$$ और इसके दोनों ओर दो छोटे पथों के भीतर पुनरावृत्ति करना है।

ट्री आयाम और ट्री की विड्थ से संबंध
कोई $$n$$-वर्टेक्स ट्री (ग्राफ सिद्धांत) में ट्री-डेप्थ $$O(\log n)$$ है। क्योंकि, एक फॉरिस्ट में, कोई भी निरंतर शिखरों की एक स्थिर संख्या पा सकता है, जिसके हटने पर एक फॉरिस्ट बनता है जिसे अधिकतम दो छोटे उपफॉरिस्टों में विभाजित किया जा सकता है। $$2n/3$$ प्रत्येक वर्टेक्स इन दोनों उपफॉरिस्टों में से प्रत्येक को पुनरावर्ती रूप से विभाजित करके, कोई आसानी से ट्री की डेप्थ पर एक लघुगणकीय ऊपरी सीमा प्राप्त कर सकता है। ग्राफ़ के ट्री अपघटन पर लागू की गई वही तकनीक दर्शाती है कि, यदि किसी ग्राफ़ की ट्री विड्थ $$n$$-वर्टेक्स ग्राफ $$G$$ है $$t$$, फिर ट्री-डेप्थ की $$G$$ है $$O(t\log n)$$. चूंकि बाह्यतलीय ग्राफ, श्रृंखला-समानांतर ग्राफ़ और हालीन ग्राफ ़ सभी में सीमित ट्री-विड्थ होती है, इसलिए उन सभी में अधिकतम लघुगणकीय ट्री-डेप्थ भी होती है। बड़ी ट्रीडेप्थ और छोटी ट्रीविड्थ वाले विशिष्ट ग्राफ़ उत्तम बाइनरी ट्री और पथ हैं। वस्तुतः, एक स्थिरांक है $$C$$ निम्नलिखित विशेशता के साथ: यदि किसी ग्राफ़ में कम से कम ट्रीडेप्थ है $$C k^5\log^2k$$ और ट्रीविड्थ से कम $$k$$ तो इसमें ऊंचाई के साथ आदर्श बाइनरी ट्री होता है $$k$$ या लंबाई का पथ $$2^k$$ लघु के रूप में है।

दूसरी दिशा में, किसी ग्राफ़ की ट्री-विड्थ उसकी ट्री-डेप्थ के बराबर होती है। अधिक सटीक रूप से, ट्री-विड्थ अधिकतम पथ-विड्थ है, जो ट्री-डेप्थ से अधिकतम एक कम है।

लघु ग्राफ
ग्राफ़ का एक लघु (ग्राफ़ सिद्धांत) $$G$$ के सबग्राफ से एक और ग्राफ है $$G$$ इसके कुछ किनारों को अनुबंध करके बना है। ट्री-डेप्थ माइनर्स के तहत मोनोटोनिक है: ग्राफ़ का प्रत्येक माइनर $$G$$ ट्री-डेप्थ अधिकतम ट्री-डेप्थ $$G$$ के बराबर अपने आप होती है। इस प्रकार, रॉबर्टसन-सेमुर प्रमेय द्वारा, प्रत्येक निश्चित के लिए $$d$$ अधिकतम ट्री-डेप्थ वाले ग्राफ़ का सेट $$d$$ इसमें निषिद्ध ग्राफ़ लक्षण वर्णन का एक सीमित सेट है।

अगर $$\mathcal{F}$$ ग्राफ़ का एक वर्ग है जिसे लघु ग्राफ़, फिर ग्राफ़ों को लेने के अंतर्गत बंद किया जाता है $$\mathcal{F}$$ ट्री-डेप्थ है $$O(1)$$ अगर और केवल अगर $$\mathcal{F}$$ इसमें सभी पथ ग्राफ़ सम्मिलित नहीं हैं।

अधिक सटीक रूप से, एक स्थिरांक है $$c$$ ऐसा कि ट्री की डेप्थ का हर ग्राफ़ कम से कम $$k^c$$ निम्नलिखित माइनरों में से एक सम्मिलित है (प्रत्येक ट्रीडेप्थ कम से कम $$k$$):
 * $$k\times k$$ ग्रिड,
 * ऊंचाई का पूरा बाइनरी ट्री $$k$$,
 * क्रम का पथ $$2^k$$.

प्रेरित उपग्राफ
ग्राफ माइनर के तहत अच्छा व्यवहार करने के साथ-साथ, ट्री-डेप्थ का ग्राफ के प्रेरित सबग्राफ के सिद्धांत से घनिष्ठ संबंध है। ग्राफ़ के उस वर्ग के भीतर जिसमें अधिकतम ट्री-डेप्थ है $$d$$ (किसी भी निश्चित पूर्णांक के लिए $$d$$), एक प्रेरित उपसमूह होने का संबंध एक अच्छी तरह से अर्ध-क्रम बनाता है। प्रमाण का मूल विचार यह है कि यह संबंध एक अच्छी तरह से अर्ध-क्रम है, प्रेरण का उपयोग करना है $$d$$; ऊंचाई के फॉरिस्ट $$d$$ ऊंचाई के फॉरिस्टों के अनुक्रम के रूप में व्याख्या की जा सकती है $$d-1$$ (ऊंचाई में ट्री का मूलों को हटाकर बनाई गई-$$d$$ फॉरिस्ट) और हिगमैन के लेम्मा का उपयोग प्रेरण परिकल्पना के साथ एक साथ किया जा सकता है ताकि यह दिखाया जा सके कि ये अनुक्रम सुव्यवस्थित हैं।

अच्छी तरह से अर्ध-क्रम का तात्पर्य है कि ग्राफ़ की कोई भी विशेशता जो प्रेरित सबग्राफ के संबंध में मोनोटोनिक है, उसमें सीमित रूप से कई निषिद्ध प्रेरित सबग्राफ हैं, और इसलिए बंधे हुए ट्री-डेप्थ के ग्राफ़ पर बहुपद समय में परीक्षण किया जा सकता है। अधिकतम ट्री-डेप्थ वाले ग्राफ़ $$d$$ स्वयं के पास भी निषिद्ध प्रेरित उपसमूहों का एक सीमित सेट है।

अगर $$\mathcal{F}$$ सीमाबद्ध अध:पतन (ग्राफ़ सिद्धांत) वाले ग्राफ़ का एक वर्ग है, इसमें ग्राफ़ $$\mathcal{F}$$ ट्री-डेप्थ को सीमित किया गया है यदि और केवल यदि कोई पथ ग्राफ है जो ग्राफ के प्रेरित उपग्राफ के रूप में $$\mathcal{F}$$ नहीं हो सकता है।

सम्मिश्रता
ट्री-डेप्थ की गणना करना कम्प्यूटेशनल रूप से कठिन है: संबंधित निर्णय समस्या एनपी-पूर्ण है। द्विदलीय ग्राफ के लिए समस्या एनपी-पूर्ण बनी हुई है, साथ ही कॉर्डल ग्राफ़ के लिए भी है।

धनात्मक भाग पर, ट्री-डेप्थ की गणना अंतराल ग्राफ़ पर बहुपद समय में की जा सकती है, साथ ही क्रमपरिवर्तन, समलम्बाकार, वृत्ताकार-चाप, वृत्ताकार क्रमपरिवर्तन ग्राफ़ और परिबद्ध आयाम के सह तुलनीयता ग्राफ़ पर भी है। अप्रत्यक्ष ट्री के लिए, ट्री की डेप्थ की गणना रैखिक समय में की जा सकती है।

सन्निकटन अनुपात के साथ ट्री-डेप्थ के लिए एक सन्निकटन एल्गोरिदम दें $$O((\log n)^2)$$, इस तथ्य पर आधारित है कि ट्री-डेप्थ निरंतर एक ग्राफ़ की ट्री-विड्थ के लघुगणकीय कारक के भीतर होती है।

क्योंकि ग्राफ माइनर के तहत ट्री-डेप्थ मोनोटोनिक है, यह पैरामीटरयुक्त जटिलता है | फिक्स्ड-पैरामीटर ट्रैक्टेबल: समय में चलने वाले ट्री-डेप्थ की गणना के लिए एल्गोरिदम है जहाँ $$d$$ दिए गए ग्राफ़ की डेप्थ है और $$n$$ इसके शीर्षों की संख्या है। इस प्रकार, प्रत्येक निश्चित मान के लिए $$d$$, यह परीक्षण करने की समस्या कि ट्री-डेप्थ अधिकतम है या नहीं $$d$$ बहुपद समय में हल किया जा सकता है। अधिक विशेष रूप से, पर निर्भरता $$n$$ इस एल्गोरिथ्म को निम्नलिखित विधि द्वारा रैखिक बनाया जा सकता है: पहले सर्च ट्री की डेप्थ की गणना करें, और परीक्षण करें कि क्या ट्री-डेप्थ $$2^d$$ से अधिक है। यदि ऐसा है, तो ग्राफ़ की ट्री-डेप्थ इससे अधिक है $$d$$ और समस्या हल हो गई है। यदि नहीं, तो उथली डेप्थ वाले पहले सर्च ट्री का उपयोग बंधी हुई विड्थ के साथ ट्री अपघटन के निर्माण के लिए किया जा सकता है, और बंधी हुई ट्री विड्थ के ग्राफ़ के लिए मानक गतिशील प्रोग्रामिंग तकनीकों का उपयोग रैखिक समय में डेप्थ की गणना करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी संभव है कि, उन ग्राफ़ों के लिए ट्री-डेप्थ की सटीक गणना करना भी संभव है जिनकी ट्री-डेप्थ बड़ी हो सकती है, एक स्थिरांक $$O(c^n)$$ के लिए $$c$$, 2 से थोड़ा छोटा है।