त्रिभुज का क्षेत्रफल

किसी भी त्रिभुज के क्षेत्रफल की गणना करना प्राथमिक कठिनाई है। जिसको अनेक अलग-अलग स्थितियों में प्रायः करना पड़ता है। सबसे अच्छा ज्ञात और सरल सूत्र $$T=bh/2,$$ है। जहाँ b त्रिभुज के आधार की लंबाई है और h त्रिभुज की ऊँचाई है। आधार शब्द किसी भी पक्ष को प्रदर्शित कर सकता है और ऊंचाई आधार के विपरीत शीर्ष से आधार वाली रेखा पर लंबवत की लंबाई को प्रदर्शित करता है। 499 सीई में आर्यभट्ट ने आर्यभटीय (धारा 2.6) में इस सिद्धांत का सचित्र उपयोग किया। चूंकि इस सूत्र का प्रयोग तभी होता है। जब ऊँचाई को सरलता से पाया जा सकता है। जो सदैव ऐसा नहीं होता है। उदाहरण के लिए त्रिकोणीय क्षेत्र के भूमि सर्वेक्षणकर्ता को प्रत्येक पक्ष की लंबाई को मापना अपेक्षाकृत सरल प्रतीत हो सकता है। किन्तु 'ऊंचाई' का निर्माण करना अपेक्षाकृत कठिन होता है। त्रिभुज के विषय में जो ज्ञात है। उसके आधार पर अभ्यास में विभिन्न विधियों का उपयोग किया जा सकता है। त्रिभुज के क्षेत्र के लिए प्रायः उपयोग किए जाने वाले अन्य सूत्र त्रिकोणमिति, भुजाओं की लंबाई (हीरो सूत्र), सदिश, निर्देशांक, रेखा समाकल, पिक प्रमेय या अन्य गुणों का उपयोग करते हैं।

त्रिकोणमिति का प्रयोग
त्रिकोणमिति के प्रयोग से त्रिभुज की ऊँचाई ज्ञात की जा सकती है।

दाईं ओर की छवि में लेबल का उपयोग करते हुए ऊँचाई है। इसे सूत्र में प्रतिस्थापित करना $$T=\tfrac12 bh$$ ऊपर व्युत्पन्न, त्रिकोण के क्षेत्र के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * SAS (साइड-एंगल-साइड) को जानना
 * $$T = \tfrac12 ab\sin \gamma = \tfrac12 bc\sin \alpha = \tfrac12 ca\sin \beta$$

जहाँ α A पर आंतरिक कोण है, B पर आंतरिक कोण है, $$\gamma$$ C पर आंतरिक कोण है और c रेखा 'AB' है।

इसके अतिरिक्त चूँकि sin α = sin (π - α) = sin (β + $$\gamma$$) और इसी प्रकार अन्य दो कोणों के लिए:
 * $$T = \tfrac12 ab\sin (\alpha+\beta) = \tfrac12 bc\sin (\beta+\gamma) = \tfrac12 ca\sin (\gamma+\alpha).$$


 * AAS (कोण-कोण-पक्ष) को जानना:
 * $$T = \frac {b^{2}(\sin \alpha)(\sin (\alpha + \beta))}{2\sin \beta},$$

और समान रूप से यदि ज्ञात पक्ष a या c है।


 * ASA (एंगल-साइड-एंगल) जानना:


 * $$T = \frac{a^{2}}{2(\cot \beta + \cot \gamma)} = \frac{a^{2} (\sin \beta)(\sin \gamma)}{2\sin(\beta + \gamma)},$$

और समान रूप से यदि ज्ञात पक्ष b या c है।

भुजाओं की लंबाई का उपयोग करना (हीरो का सूत्र)
त्रिभुज का आकार भुजाओं की लंबाई से निर्धारित होता है। इसलिए क्षेत्र को पक्षों की लंबाई से भी प्राप्त किया जा सकता है। हीरो के सूत्र द्वारा:
 * $$T = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$$

जहाँ $s= \tfrac12(a+b+c)$ अर्द्धपरिधि है या त्रिभुज की परिधि का आधा है।

हीरो के सूत्र को लिखने के तीन अन्य समकक्ष प्रकार हैं।
 * $$T = \tfrac14 \sqrt{(a^2+b^2+c^2)^2-2(a^4+b^4+c^4)}$$
 * $$T = \tfrac14 \sqrt{2(a^2b^2+a^2c^2+b^2c^2)-(a^4+b^4+c^4)}$$
 * $$T = \tfrac14 \sqrt{(a+b-c) (a-b+c) (-a+b+c) (a+b+c)}.$$

हीरो के सूत्र से मिलान करने वाले सूत्र
तीन सूत्रों की संरचना हीरो के सूत्र के समान है। किन्तु विभिन्न चरों के संदर्भ में व्यक्त की जाती है। सबसे पहले भुजाओं a, b, और c की माध्यिकाओं को क्रमशः ma, mb और mc के रूप में प्रदर्शित करते हुए और उनका अर्ध-योग (ma + mb + mc)/2 के रूप में हमारे पास है।
 * $$T = \tfrac43 \sqrt{\sigma (\sigma - m_a)(\sigma - m_b)(\sigma - m_c)}.$$
 * और भुजाओं a, b और c से ऊँचाई को क्रमशः h के रूप में प्रदर्शित करते हुए ha, hb और hc, और ऊँचाई के व्युत्क्रम के अर्ध-योग को दर्शाते हुए $$H = (h_a^{-1} + h_b^{-1} + h_c^{-1})/2$$ अपने पास

$$T^{-1} = 4 \sqrt{H(H-h_a^{-1})(H-h_b^{-1})(H-h_c^{-1})}.$$

और कोणों की ज्या के अर्ध-योग को व्यक्त करते हुए, अपने पास
 * $$T = D^{2} \sqrt{S(S-\sin \alpha)(S-\sin \beta)(S-\sin \gamma)}$$

जहाँ D परिवृत्त का व्यास है: $$D=\tfrac{a}{\sin \alpha} = \tfrac{b}{\sin \beta} = \tfrac{c}{\sin \gamma}.$$

सदिशों का प्रयोग
त्रिभुज ABC का क्षेत्रफल समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा है:
 * $$\tfrac12|\mathbf{AB}\times\mathbf{AC}|.$$
 * त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सन्निहित समांतर चतुर्भुज क्षेत्र की गणना वेक्टर (ज्यामितीय) का उपयोग करके की जा सकती है। माना सदिश AB और AC क्रमशः A से B और A से C की ओर निर्देशित करते हैं। तब समांतर चतुर्भुज ABDC का क्षेत्रफल है
 * $$|\mathbf{AB}\times\mathbf{AC}|,$$

जो सदिश AB और AC के क्रॉस उत्पाद का परिमाण है।

त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल को बिंदु उत्पादों के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।
 * $$\tfrac12 \sqrt{(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AB})(\mathbf{AC} \cdot \mathbf{AC}) -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2} =\tfrac12 \sqrt{ |\mathbf{AB}|^2 |\mathbf{AC}|^2 -(\mathbf{AB} \cdot \mathbf{AC})^2}.\,$$

द्वि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वेक्टर AB को यूक्लिडियन वेक्टर के रूप में व्यक्त करना कार्टेशियन अंतरिक्ष में (x1,y1) और AC (x2,y2), इसे पुनः इस रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$\tfrac12|x_1 y_2 - x_2 y_1|.$$

निर्देशांक का उपयोग करना
यदि शीर्ष A कार्तीय निर्देशांक प्रणाली के मूल (0, 0) पर स्थित है और अन्य दो शीर्षों के निर्देशांक और  दिए गए हैं। तब क्षेत्र की गणना निर्धारक के निरपेक्ष मान के 1/2 गुणा के रूप में की जा सकती है।
 * $$T = \tfrac12\left|\det\begin{pmatrix}x_B & x_C \\ y_B & y_C \end{pmatrix}\right| = \tfrac12 |x_B y_C - x_C y_B|.$$

तीन सामान्य शीर्षों के लिए यह समीकरण है:
 * $$T = \tfrac12 \left| \det\begin{pmatrix}x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1\end{pmatrix} \right| = \tfrac12 \big| x_A y_B - x_A y_C + x_B y_C - x_B y_A + x_C y_A - x_C y_B \big|,$$

जिसे इस रूप में लिखा जा सकता है।
 * $$T = \tfrac12 \big| (x_A - x_C) (y_B - y_A) - (x_A - x_B) (y_C - y_A) \big|.$$

यदि बिंदुओं को क्रमिक रूप से वामावर्त दिशा में लेबल किया जाता है। जिससे उपरोक्त निर्धारक भाव धनात्मक होते हैं और निरपेक्ष मान चिह्नों को छोड़ा जा सकता है। उपरोक्त सूत्र को जूते के फीते के सूत्र या सर्वेक्षक के सूत्र के रूप में जानते हैं।

यदि हम सम्मिश्र समतल में शीर्षों की जानकारी प्राप्त करते हैं और उन्हें वामावर्त अनुक्रम, , और , में निरूपित करते हैं और उनके जटिल संयुग्मों को $$\bar a$$, $$\bar b$$, और $$\bar c$$ में निरूपित करें। जिससे सूत्र-
 * $$T=\frac{i}{4}\begin{vmatrix}a & \bar a & 1 \\ b & \bar b & 1 \\ c & \bar c & 1 \end{vmatrix}$$

शू-लेस के सूत्र के बराबर है।

तीन आयामों में सामान्य त्रिभुज का क्षेत्रफल, और ) तीन प्रमुख तलों (अर्थात् x = 0, y = 0 और z = 0) पर संबंधित अनुमानों के क्षेत्रों का पायथागॉरियन योग है:
 * $$T = \tfrac12 \sqrt{\begin{vmatrix} x_A & x_B & x_C \\ y_A & y_B & y_C \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}^2 +

\begin{vmatrix} y_A & y_B & y_C \\ z_A & z_B & z_C \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}^2 + \begin{vmatrix} z_A & z_B & z_C \\ x_A & x_B & x_C \\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix}^2 }.$$

लाइन इंटीग्रल का उपयोग करना
किसी भी बंद वक्र के अन्दर का क्षेत्र जैसे कि एक त्रिकोण बीजगणितीय वक्र के चारों ओर लाइन इंटीग्रल द्वारा दिया जाता है या वक्र पर एक बिंदु की उन्मुख सीधी रेखा L से हस्ताक्षरित दूरी होती है। उन्मुख के रूप में L के दाईं ओर के बिंदु हैं और L से ऋणात्मक दूरी पर लिया जाता है। जबकि समाकलन के लिए भार को चाप की लंबाई के अतिरिक्त L ​​के समानांतर चाप की लंबाई का घटक माना जाता है।

यह विधि बहुभुज के क्षेत्रफल की गणना के लिए उपयुक्त है। L को x-अक्ष के रूप में लेते हुए क्रमिक शीर्षों के बीच की रेखा समाकल(xi,yi) और (xi+1,yi+1) औसत ऊंचाई के आधार गुणा द्वारा दिया जाता है अर्थात् (xi+1 − xi)(yi + yi+1)/2. क्षेत्र का चिन्ह ट्रैवर्सल की दिशा का समग्र संकेतक है। जिसमें श्रणात्मक क्षेत्र वामावर्त ट्रैवर्सल का संकेत भेजता है। त्रिभुज का क्षेत्रफल तीन भुजाओं वाले बहुभुज के स्थितियों के रूप में समाप्त हो जाता है।

जबकि लाइन इंटीग्रल विधि में अन्य समन्वय-आधारित विधियों के साथ एक समन्वय प्रणाली का विकल्प होता है और दूसरों के विपरीत यह त्रिकोण के शीर्ष को आधार के रूप में या आधार के रूप में कोई विकल्प नहीं बनाता है। इसके अतिरिक्त L द्वारा परिभाषित समन्वय प्रणाली का चयन सामान्य तीन के अतिरिक्त केवल दो डिग्री की स्वतंत्रता के लिए प्रतिबद्ध है क्योंकि भार एक स्थानीय दूरी है (जैसे xi+1 − xi उपरोक्त में) जहां से विधि को L के लिए सामान्य अक्ष चुनने की आवश्यकता नहीं होती है।

जब ध्रुवीय निर्देशांक में काम कर रहे हों। तो लाइन एकीकरण का उपयोग करने के लिए कार्टेशियन निर्देशांक में परिवर्तित करना आवश्यक नहीं है क्योंकि (ri,θi) और (ri+1,θi+1) लाइन लगातार कोने (r) के बीच अभिन्न अंग है और iri+1sin(θi+1 − θi)/2 एक बहुभुज के द्वारा सीधे दिया जाता है। यह θ के अन्य सभी मानों के लिए मान्य है। यह θ के सभी मानों के लिए मान्य है तथा संख्यात्मक स्पष्टता में कुछ कमी के साथ |θ| π से अधिक परिमाण के कई क्रम हैं। इस सूत्रीकरण के साथ श्रणात्मक क्षेत्र दक्षिणावर्त ट्रैवर्सल को इंगित करता है। जिसे ध्रुवीय और कार्टेशियन निर्देशांक मिलाते समय ध्यान में रखा जाना चाहिए। जिस प्रकार y-अक्ष (x = 0) का चुनाव कार्तीय निर्देशांकों में रेखा एकीकरण के लिए अनावश्यक है। उसी प्रकार शून्य शीर्ष (θ = 0) का चयन यहाँ पर अनावश्यक है।

पिक के प्रमेय का उपयोग करना
किसी भी जाली ग्राफ के क्षेत्र को खोजने के लिए तन्त्र के लिए पिक प्रमेय देखें (समान दूरी पर लंबवत और क्षैतिज रूप से आसन्न जाली बिंदुओं के साथ एक ग्रिड पर खींचा गया है और जाली बिंदुओं पर शिखर के साथ)।

प्रमेय कहता है:
 * $$T = I + \tfrac12 B - 1$$

जहाँ $$I$$ आंतरिक जाली बिंदुओं की संख्या है और B बहुभुज की सीमा पर स्थित जाली बिंदुओं की संख्या है।

अन्य क्षेत्र सूत्र
कई अन्य क्षेत्र सूत्र उपस्थित हैं। जैसे-
 * $$T = r \cdot s,$$

जहाँ r अंतःत्रिज्या है और s अर्द्धपरिधि है। (यह सूत्र सभी स्पर्शरेखीय बहुभुजों पर निर्धारित होता है) और


 * $$T=r_a(s-a)=r_b(s-b)=r_c(s-c)$$

जहाँ $$r_a, \, r_b,\, r_c$$ बाह्यवृत्तों की त्रिज्याएँ क्रमशः भुजाओं a, b, c को स्पर्श करती हैं।

हमें दिया गया है-


 * $$T = \tfrac12 D^{2}(\sin \alpha)(\sin \beta)(\sin \gamma)$$

और
 * $$T = \frac{abc}{2D} = \frac{abc}{4R}$$

परिधि D के लिए और
 * $$T = \tfrac14(\tan \alpha)(b^{2}+c^{2}-a^{2})$$

कोण α ≠ 90° के लिए।

क्षेत्र के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है
 * $$T = \sqrt{rr_ar_br_c}.$$

1885 में बेकर ने त्रिभुज के लिए सौ से अधिक विशिष्ट क्षेत्रफल सूत्रों का संग्रह दिया। इसमे सम्मिलित है:
 * $$T = \tfrac12\sqrt[3]{abch_ah_bh_c},$$
 * $$T = \tfrac12 \sqrt{abh_ah_b},$$
 * $$T = \frac{a+b}{2(h_a^{-1} + h_b^{-1})},$$
 * $$T = \frac{Rh_bh_c}{a}$$

परिधि के लिए (परिवृत्त की त्रिज्या) R और
 * $$T = \frac{h_ah_b}{2 \sin \gamma}.$$

क्षेत्र पर ऊपरी सीमा
परिमाप p वाले किसी त्रिभुज का क्षेत्रफल T संतुष्ट करता है-


 * $$T\le \tfrac{p^2}{12\sqrt{3}},$$

समता धारण के साथ यदि और केवल यदि त्रिभुज समबाहु है।

क्षेत्र T पर अन्य ऊपरी सीमाएँ द्वारा दी गई हैं


 * $$4\sqrt{3}T \leq a^2+b^2+c^2$$

और


 * $$4\sqrt{3}T \leq \frac{9abc}{a+b+c}, $$

दोनों फिर से धारण करते हैं। यदि और केवल यदि त्रिभुज समबाहु है।

क्षेत्र को द्विभाजित करना
अपरिमित रूप से कई समद्विभाजक, क्षेत्रफल द्विभाजक और परिधि समद्विभाजक हैं। उनमें से तीन माध्यिकाएँ हैं। जो कि एकमात्र क्षेत्र द्विभाजक हैं। जो केन्द्रक से होकर जाते हैं। तीन अन्य क्षेत्र समद्विभाजक त्रिभुज की भुजाओं के समानांतर हैं।

त्रिभुज से होकर जाने वाली कोई भी रेखा त्रिभुज के अंत:केंद्र से होकर जाती है। जो त्रिभुज के क्षेत्रफल और परिधि दोनों को आधे में विभाजित करती है। किसी दिए गए त्रिभुज के लिए इनमें से एक, दो या तीन हो सकते हैं।

यह भी देखें

 * एक वृत्त का क्षेत्रफल
 * त्रिभुजों की सर्वांगसमता