प्रोजेक्टिव कनेक्शन

अंतर ज्यामिति में, एक प्रोजेक्टिव कनेक्शन एक अलग-अलग मैनिफोल्ड पर कार्टन कनेक्शन का एक प्रकार है।

एक प्रोजेक्टिव कनेक्शन की संरचना प्रक्षेपण स्थान  की ज्यामिति पर आधारित होती है, न कि एक एफ़िन कनेक्शन से संबंधित affine अंतरिक्ष के बजाय। काफी हद तक  affine कनेक्शन  की तरह, प्रोजेक्टिव कनेक्शन भी geodesics को परिभाषित करते हैं। हालाँकि, ये जियोडेसिक्स एफ़िन पैरामीटर नहीं हैं। बल्कि वे अनुमानित रूप से पैरामीट्रिज्ड हैं, जिसका अर्थ है कि उनके पसंदीदा वर्ग के पैरामीटर को भिन्नात्मक रैखिक परिवर्तनों के समूह द्वारा क्रियान्वित किया जाता है।

एफ़िन कनेक्शन की तरह, प्रोजेक्टिव कनेक्शन में मरोड़ और वक्रता जुड़ी होती है।

मॉडल ज्यामिति के रूप में प्रक्षेपी स्थान
किसी भी कार्टन कनेक्शन को परिभाषित करने में पहला कदम फ्लैट मामले पर विचार करना है: जिसमें कनेक्शन एक सजातीय स्थान पर मौरर-कार्टन फॉर्म से मेल खाता है।

प्रोजेक्टिव सेटिंग में, अंतर्निहित मैनिफोल्ड $$M$$ सजातीय स्थान का प्रक्षेप्य स्थान RP हैn जिसे हम सजातीय निर्देशांकों द्वारा प्रदर्शित करेंगे $$[x_0,\dots,x_n]$$. समरूपता समूह $$M$$ जी = पीएसएल (एन + 1, 'आर') है। बता दें कि H बिंदु का आइसोट्रॉपी समूह है $$[1,0,0,\ldots,0]$$. इस प्रकार, एम = जी/एच प्रस्तुत करता है $$M$$ एक सजातीय स्थान के रूप में।

होने देना $${\mathfrak g}$$ G का झूठा बीजगणित हो, और $${\mathfrak h}$$ एच। ध्यान दें कि $${\mathfrak g} = {\mathfrak s}{\mathfrak l}(n+1,{\mathbb R})$$. सदिश स्थान के सजातीय आधार के सापेक्ष मेट्रिसेस के रूप में, $${\mathfrak g}$$ ट्रेस-मुक्त होते हैं $$(n+1)\times(n+1)$$ आव्यूह:


 * $$\left(

\begin{matrix} \lambda&v^i\\ w_j&a_j^i \end{matrix} \right),\quad (v^i)\in {\mathbb R}^{1\times n}, (w_j)\in {\mathbb R}^{n\times 1}, (a_j^i)\in {\mathbb R}^{n\times n}, \lambda = -\sum_i a_i^i $$.

और $${\mathfrak h}$$ इन सभी मैट्रिसेस से मिलकर बनता है $$(w_j)=0$$. उपरोक्त मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व के सापेक्ष, G का मौरर-कार्टन रूप 1-रूपों की एक प्रणाली है $$(\xi, \alpha_j, \alpha_j^i, \alpha^i)$$ संरचनात्मक समीकरणों को संतुष्ट करना ( आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करके लिखा गया):
 * $$d\xi + \alpha^i \wedge \alpha_i = 0$$
 * $$d a_j+a_j \wedge \zeta+a_{j}^{k}\wedge a_{k}=0$$
 * $$d a_{j}^{i}+a^{i} \wedge a_{j}+a_{k}^{i}\wedge a_{j}^{k}=0$$
 * $$d a^{i}+\zeta \wedge a^{i}+a^{k}\wedge a_{k}^{i}=0$$

कई गुना पर प्रक्षेपी संरचनाएं
एक प्रक्षेपी संरचना कई गुना पर एक रेखीय ज्यामिति है जिसमें दो पास के बिंदु एक अद्वितीय तरीके से एक रेखा (यानी, एक अप्रतिबंधित जियोडेसिक) से जुड़े होते हैं। इसके अलावा, प्रत्येक बिंदु का एक अतिसूक्ष्म पड़ोस प्रक्षेपी फ्रेम के एक वर्ग से सुसज्जित है। कार्टन (1924) के अनुसार, यह कार्टन की एक संबधित संबंध की धारणा के अनुरूप है, जिसमें आस-पास के बिंदु इस प्रकार जुड़े होते हैं और संदर्भ का एक सघन ढांचा होता है जिसे एक से दूसरे में ले जाया जाता है (कार्टन, 1923):
 * प्रोजेक्टिव कनेक्शन के साथ एक मैनिफोल्ड (या स्पेस) एक न्यूमेरिकल मैनिफोल्ड है, जो प्रत्येक बिंदु के तत्काल आसपास के क्षेत्र में, एक प्रक्षेप्य फ्रेम की सभी विशेषताओं को प्रस्तुत करता है और एक से अधिक कानूनों के साथ संपन्न होता है, जिससे एक प्रोजेक्टिव स्पेस में कनेक्ट करना संभव हो जाता है। दो छोटे टुकड़े जो दो असीम रूप से निकट बिंदुओं को घेरते हैं। ...
 * विश्लेषणात्मक रूप से, हम कई गुना के प्रत्येक बिंदु 'ए' से जुड़े प्रोजेक्टिव स्पेस में, मनमाने ढंग से चुनेंगे, एक फ्रेम जो प्रोजेक्टिव निर्देशांक की एक प्रणाली को परिभाषित करता है। ... दो असीम रूप से करीबी बिंदुओं 'ए' और 'ए' से जुड़े प्रोजेक्टिव स्पेस के बीच का संबंध एक होमोग्राफिक परिवर्तन में विश्लेषणात्मक रूप से परिणाम देगा। ...
 * मैनिफोल्ड को एक एफ़िन कनेक्शन कहा जाएगा जब हमने परिभाषित किया है, मनमाने ढंग से, एक कानून दूसरे के संबंध में पहचान करना संभव बनाता है, जो किसी भी दो असीमित करीबी बिंदुओं 'एम' और 'एम' से जुड़े एफ़िन रिक्त स्थान को पहचानना संभव बनाता है। विविधता का; यह कानून यह कहने की अनुमति देगा कि बिंदु 'एम' से जुड़ी एफ़िन स्पेस का ऐसा बिंदु बिंदु 'एम' से जुड़े एफ़िन स्पेस के ऐसे बिंदु से मेल खाता है, कि पहली जगह का ऐसा वेक्टर समानांतर या समकक्ष है दूसरी जगह का ऐसा वेक्टर।

आधुनिक भाषा में, एन-मैनिफोल्ड एम पर एक प्रोजेक्टिव स्ट्रक्चर प्रोजेक्टिव स्पेस पर आधारित एक कार्टन ज्यामिति है, जहां बाद वाले को पीएसएल (एन + 1, 'आर') के लिए एक समान स्थान के रूप में देखा जाता है। दूसरे शब्दों में यह एक PSL(n+1,'R')-बंडल से लैस है ऐसा है कि इन आंकड़ों से प्रेरित सोल्डर फॉर्म एक आइसोमोर्फिज्म है।
 * एक PSL(n+1,'R')-कनेक्शन (कार्टन कनेक्शन)
 * प्रोजेक्टिव स्पेस में एक बिंदु के स्टेबलाइजर के लिए संरचना समूह की कमी

संदर्भ

 * Hermann, R., Appendix 1-3 in Cartan, E. Geometry of Riemannian Spaces, Math Sci Press, Massachusetts, 1983.
 * Hermann, R., Appendix 1-3 in Cartan, E. Geometry of Riemannian Spaces, Math Sci Press, Massachusetts, 1983.
 * Hermann, R., Appendix 1-3 in Cartan, E. Geometry of Riemannian Spaces, Math Sci Press, Massachusetts, 1983.