परिमित आवेग प्रतिक्रिया

संकेत का प्रक्रमण में, एक परिमित  आवेग प्रतिक्रिया  (एफआईआर) फ़िल्टर एक फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) होता है जिसका आवेग प्रतिक्रिया (या किसी भी सीमित लंबाई इनपुट की प्रतिक्रिया) 'परिमित' अवधि की होती है, क्योंकि यह सीमित समय में शून्य हो जाती है। यह  अनंत आवेग प्रतिक्रिया  (IIR) फिल्टर के विपरीत है, जिसमें आंतरिक प्रतिक्रिया हो सकती है और अनिश्चित काल तक प्रतिक्रिया जारी रख सकती है (आमतौर पर क्षय)।

एक एन. की आवेग प्रतिक्रिया (यानी, क्रोनकर डेल्टा  इनपुट के जवाब में आउटपुट)वें-ऑर्डर असतत-समय एफआईआर फ़िल्टर ठीक रहता है $$N+1$$ नमूने (पहले गैर-शून्य तत्व से अंतिम गैर-शून्य तत्व के माध्यम से) इसके पहले शून्य पर बस जाते हैं।

एफआईआर फिल्टर असतत-समय या असतत समय और निरंतर समय  | निरंतर-समय, और डिजिटल डेटा या  एनालॉग सर्किट  हो सकते हैं।

परिभाषा


क्रम N के एक कारण फ़िल्टर  असतत-समय FIR फ़िल्टर के लिए, आउटपुट अनुक्रम का प्रत्येक मान सबसे हाल के इनपुट मानों का भारित योग होता है':'


 * $$\begin{align}

y[n] &= b_0 x[n] + b_1 x[n-1] + \cdots + b_N x[n-N] \\ &= \sum_{i=0}^N b_i\cdot x[n-i], \end{align}$$ कहाँ पे:
 * $ x[n]$ इनपुट सिग्नल है,
 * $ y[n]$ आउटपुट सिग्नल है,
 * $ N$ फ़िल्टर क्रम है; एक $ N$ वें-ऑर्डर फ़िल्टर है $ N + 1 $  दायीं ओर की शर्तें
 * $ b_i $ तत्काल के लिए आवेग प्रतिक्रिया का मूल्य है $ 0 \le i \le N $  का $ N^\text{th}$ -ऑर्डर एफआईआर फिल्टर। अगर फिल्टर एक डायरेक्ट फॉर्म एफआईआर फिल्टर है तो $ b_i $  फिल्टर का गुणांक भी है।

इस गणना को असतत घुमाव  के रूप में भी जाना जाता है। $ x[n-i]$  h> इन शब्दों में आमतौर पर कहा जाता हैs, एक डिजिटल विलंब रेखा की संरचना के आधार पर जो कई कार्यान्वयन या ब्लॉक आरेखों में गुणन कार्यों के लिए विलंबित इनपुट प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, कोई 5वें क्रम/6-टैप फ़िल्टर की बात कर सकता है।

परिभाषित के रूप में फ़िल्टर की आवेग प्रतिक्रिया एक सीमित अवधि में गैर-शून्य है। शून्य सहित, आवेग प्रतिक्रिया अनंत अनुक्रम है':'

h[n] = \sum_{i=0}^N b_i\cdot \delta[n-i] = \begin{cases} b_n & 0 \le n \le N\\ 0 & \text{otherwise}. \end{cases} $$ यदि एक एफआईआर फिल्टर गैर-कारण है, तो इसकी आवेग प्रतिक्रिया में गैर-शून्य मानों की सीमा पहले शुरू हो सकती है $$n=0$$, परिभाषित सूत्र के साथ उचित रूप से सामान्यीकृत।

गुण
एक एफआईआर फिल्टर में कई उपयोगी गुण होते हैं जो कभी-कभी इसे अनंत आवेग प्रतिक्रिया (आईआईआर) फिल्टर के लिए बेहतर बनाते हैं। एफआईआर फिल्टर:
 * कोई प्रतिक्रिया की आवश्यकता नहीं है। इसका मतलब यह है कि किसी भी राउंडिंग त्रुटि को सारांशित पुनरावृत्तियों द्वारा संयोजित नहीं किया जाता है। प्रत्येक गणना में समान सापेक्ष त्रुटि होती है। यह कार्यान्वयन को भी सरल बनाता है।
 * स्वाभाविक रूप से BIBO स्थिरता है, क्योंकि आउटपुट इनपुट मानों के परिमित गुणकों की एक सीमित संख्या का योग है, इसलिए इससे अधिक नहीं हो सकता है $ \sum |b_i|$ इनपुट में प्रदर्शित होने वाले सबसे बड़े मूल्य का गुना।
 * आसानी से गुणांक अनुक्रम सममित बनाकर रैखिक चरण  के लिए डिज़ाइन किया जा सकता है। यह गुण कभी-कभी चरण-संवेदनशील अनुप्रयोगों के लिए वांछित होता है, उदाहरण के लिए डेटा संचार,  भूकंप विज्ञान,  ऑडियो क्रॉसओवर  और  ऑडियो मास्टरिंग ।

एफआईआर फिल्टर का मुख्य नुकसान यह है कि समान तीक्ष्णता या चयनात्मकता (रेडियो)  वाले आईआईआर फिल्टर की तुलना में एक सामान्य प्रयोजन प्रोसेसर में काफी अधिक गणना शक्ति की आवश्यकता होती है, खासकर जब कम आवृत्ति (नमूना दर के सापेक्ष) कटऑफ की आवश्यकता होती है। हालांकि, कई डिजिटल सिग्नल प्रोसेसर कई अनुप्रयोगों के लिए आईआईआर के रूप में एफआईआर फिल्टर को लगभग कुशल बनाने के लिए विशेष हार्डवेयर सुविधाएं प्रदान करते हैं।

आवृत्ति प्रतिक्रिया
अनुक्रम पर फ़िल्टर का प्रभाव $$x[n]$$ कनवल्शन प्रमेय  द्वारा फ़्रीक्वेंसी डोमेन में वर्णित है:


 * $$\underbrace{\mathcal{F}\{x*h\}}_{Y(\omega)} = \underbrace{\mathcal{F}\{x\}}_{X(\omega)} \cdot \underbrace{\mathcal{F}\{h\}}_{H(\omega)}$$ तथा $$y[n] = x[n]*h[n]= \mathcal{F}^{-1}\big\{X(\omega)\cdot H(\omega)\big\},$$

जहां ऑपरेटरों $$\mathcal{F}$$ तथा $$\mathcal{F}^{-1}$$ क्रमशः असतत-समय फूरियर रूपांतरण  (DTFT) और इसके व्युत्क्रम को निरूपित करते हैं। इसलिए, जटिल-मूल्यवान, गुणक कार्य $$H(\omega)$$ फिल्टर की  आवृत्ति प्रतिक्रिया  है। इसे फूरियर श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$H_{2\pi}(\omega)\ \triangleq \sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n]\cdot \left({e^{i \omega}}\right)^{-n} = \sum_{n=0}^{N}b_n\cdot \left({e^{i \omega}}\right)^{-n},$$

जहां जोड़ा गया सबस्क्रिप्ट 2π-आवधिकता को दर्शाता है। यहां $$\omega$$ सामान्यीकृत आवृत्ति (डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग)  (रेडियन/नमूना) में आवृत्ति का प्रतिनिधित्व करता है। प्रतिस्थापन $$\omega = 2\pi f,$$ कई फिल्टर डिजाइन कार्यक्रमों द्वारा समर्थित, आवृत्ति की इकाइयों को बदलता है $$(f)$$ चक्र/नमूना और आवधिकता 1 तक। जब x[n] अनुक्रम में एक ज्ञात नमूना-दर है, $$f_s$$ नमूने/सेकंड, प्रतिस्थापन $$\omega = 2\pi f/f_s$$ आवृत्ति की इकाइयों को बदलता है $$(f)$$ चक्र/सेकंड ( हेटर्स ) और आवधिकता के लिए $$f_s.$$ मूल्य $$\omega = \pi$$ की आवृत्ति से मेल खाती है $$f = \tfrac{f_s}{2}$$ हर्ट्ज $$= \tfrac{1}{2}$$ साइकिल/नमूना, जो कि  Nyquist आवृत्ति  है।

$$H_{2\pi}(\omega)$$ असतत-time_Fourier_transform#Relationship_to_the_Z-transform|Z- फ़िल्टर आवेग प्रतिक्रिया के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है:



\widehat H(z)\ \triangleq \sum_{n=-\infty}^{\infty} h[n]\cdot z^{-n}. $$
 * $$H_{2\pi}(\omega) = \left. \widehat H(z) \, \right|_{z = e^{j \omega}} = \widehat H(e^{j \omega}).$$

फ़िल्टर डिज़ाइन
एक एफआईआर फ़िल्टर को कुछ विशिष्टताओं को पूरा करने वाले गुणांक और फ़िल्टर ऑर्डर को ढूंढकर डिज़ाइन किया गया है, जो समय डोमेन (उदाहरण के लिए एक मिलान फ़िल्टर ) और/या आवृत्ति डोमेन (सबसे आम) में हो सकता है। मिलान किए गए फ़िल्टर इनपुट सिग्नल और एक ज्ञात पल्स आकार के बीच एक क्रॉस-सहसंबंध करते हैं। एफआईआर कनवल्शन इनपुट सिग्नल और आवेग प्रतिक्रिया की एक समय-उलट प्रति के बीच एक क्रॉस-सहसंबंध है। इसलिए, मिलान किए गए फ़िल्टर की आवेग प्रतिक्रिया को ज्ञात पल्स-आकार का नमूना लेकर और फ़िल्टर के गुणांक के रूप में उन नमूनों का उल्टे क्रम में उपयोग करके डिज़ाइन किया गया है। जब एक विशेष आवृत्ति प्रतिक्रिया वांछित होती है, तो कई अलग-अलग डिज़ाइन विधियां आम होती हैं:
 * 1) विंडो डिजाइन विधि
 * 2) आवृत्ति नमूनाकरण विधि
 * 3) कम से कम एमएसई (माध्य वर्ग त्रुटि) विधि
 * 4) पार्क्स-मैकलेलन विधि (जिसे इक्विरिपल, इष्टतम या मिनिमैक्स विधि के रूप में भी जाना जाता है)।  रेमेज़ एल्गोरिथम  का उपयोग आमतौर पर गुणांक के इष्टतम समरूप सेट को खोजने के लिए किया जाता है। यहां उपयोगकर्ता एक वांछित आवृत्ति प्रतिक्रिया निर्दिष्ट करता है, इस प्रतिक्रिया से त्रुटियों के लिए एक भार समारोह, और एक फ़िल्टर ऑर्डर एन। एल्गोरिदम तब का सेट ढूंढता है $ N + 1$  गुणांक जो आदर्श से अधिकतम विचलन को कम करते हैं। सहज रूप से, यह उस फ़िल्टर को ढूंढता है जो वांछित प्रतिक्रिया के जितना करीब हो सके, केवल दिया गया है $ N + 1$  गुणांक का उपयोग किया जा सकता है। कम से कम एक पाठ के बाद से यह विधि व्यवहार में विशेष रूप से आसान है एक प्रोग्राम शामिल है जो वांछित फिल्टर और एन लेता है, और इष्टतम गुणांक देता है।
 * 5) इक्विरिपल एफआईआर फिल्टर को डीएफटी एल्गोरिदम का उपयोग करके भी डिजाइन किया जा सकता है। एल्गोरिथ्म प्रकृति में पुनरावृत्त है। प्रारंभिक फ़िल्टर डिज़ाइन के DFT की गणना FFT एल्गोरिथम का उपयोग करके की जाती है (यदि कोई प्रारंभिक अनुमान उपलब्ध नहीं है, तो h[n]=delta[n] का उपयोग किया जा सकता है)। फूरियर डोमेन, या डीएफटी डोमेन में, आवृत्ति प्रतिक्रिया वांछित चश्मे के अनुसार ठीक की जाती है, और उलटा डीएफटी की गणना की जाती है। टाइम-डोमेन में, केवल पहले एन गुणांक रखे जाते हैं (अन्य गुणांक शून्य पर सेट होते हैं)। प्रक्रिया को फिर से दोहराया जाता है: डीएफटी की गणना एक बार फिर से की जाती है, फ़्रीक्वेंसी डोमेन में सुधार लागू किया जाता है और इसी तरह।

MATLAB, GNU Octave ,  Scilab , और  SciPy  जैसे सॉफ़्टवेयर पैकेज इन विभिन्न विधियों को लागू करने के लिए सुविधाजनक तरीके प्रदान करते हैं।

विंडो डिजाइन विधि
विंडो डिज़ाइन विधि में, एक पहले एक आदर्श IIR फ़िल्टर डिज़ाइन करता है और फिर अनंत आवेग प्रतिक्रिया को एक परिमित लंबाई खिड़की समारोह  के साथ गुणा करके छोटा करता है। परिणाम एक परिमित आवेग प्रतिक्रिया फ़िल्टर है जिसकी आवृत्ति प्रतिक्रिया IIR फ़िल्टर से संशोधित होती है। समय डोमेन में  sinc समारोह  द्वारा अनंत आवेग को गुणा करने से आईआईआर की आवृत्ति प्रतिक्रिया विंडो फ़ंक्शन के फूरियर ट्रांसफॉर्म (या डीटीएफटी) के साथ दृढ़ हो जाती है। यदि खिड़की का मुख्य लोब संकीर्ण है, तो समग्र आवृत्ति प्रतिक्रिया आदर्श आईआईआर फिल्टर के करीब रहती है।

आदर्श प्रतिक्रिया अक्सर आयताकार होती है, और संबंधित IIR एक sinc फ़ंक्शन होता है। फ़्रीक्वेंसी डोमेन कनवल्शन का परिणाम यह है कि आयत के किनारों को पतला कर दिया जाता है, और पासबैंड और स्टॉपबैंड में तरंगें दिखाई देती हैं। पीछे की ओर काम करते हुए, कोई पतला क्षेत्र ( संक्रमण बैंड ) की ढलान (या चौड़ाई) और तरंगों की ऊंचाई निर्दिष्ट कर सकता है, और इस तरह उपयुक्त विंडो फ़ंक्शन के आवृत्ति-डोमेन पैरामीटर प्राप्त कर सकता है। न्यूनतम फ़िल्टर क्रम खोजने के लिए एक फ़िल्टर डिज़ाइन प्रोग्राम को पुनरावृत्त करके एक आवेग प्रतिक्रिया के लिए पिछड़े को जारी रखा जा सकता है। एक अन्य तरीका कैसर खिड़की  के पैरामीट्रिक परिवार के समाधान सेट को प्रतिबंधित करना है, जो टाइम-डोमेन और फ़्रीक्वेंसी डोमेन पैरामीटर्स के बीच क्लोज्ड फॉर्म रिलेशनशिप प्रदान करता है। सामान्य तौर पर, वह विधि न्यूनतम संभव फ़िल्टर क्रम प्राप्त नहीं करेगी, लेकिन यह स्वचालित अनुप्रयोगों के लिए विशेष रूप से सुविधाजनक है जिसके लिए गतिशील, ऑन-द-फ्लाई, फ़िल्टर डिज़ाइन की आवश्यकता होती है।

कुशल आधा बैंड फिल्टर  बनाने के लिए विंडो डिजाइन विधि भी फायदेमंद है, क्योंकि संबंधित sinc फ़ंक्शन हर दूसरे नमूना बिंदु (केंद्र एक को छोड़कर) पर शून्य है। विंडो फ़ंक्शन वाला उत्पाद शून्य को नहीं बदलता है, इसलिए अंतिम आवेग प्रतिक्रिया के लगभग आधे गुणांक शून्य हैं। प्राथमिकी गणना का एक उपयुक्त कार्यान्वयन फ़िल्टर की दक्षता को दोगुना करने के लिए उस संपत्ति का फायदा उठा सकता है।

न्यूनतम माध्य वर्ग त्रुटि (MSE) विधि
लक्ष्य:
 * एमएसई अर्थ में एफआईआर फिल्टर डिजाइन करने के लिए, हम प्राप्त फिल्टर और वांछित फिल्टर के बीच माध्य वर्ग त्रुटि को कम करते हैं।
 * $$\text{MSE}=f_s^{-1} \int_{-f_s/2}^{f_s/2} |H(f)-H_d(f)|^2\,df $$, कहाँ पे $$f_s\,$$ नमूना आवृत्ति है, $$H(f)\,$$ हमारे द्वारा प्राप्त फ़िल्टर का स्पेक्ट्रम है, और $$H_d(f)\,$$ वांछित फिल्टर का स्पेक्ट्रम है।

तरीका:
 * एक N-बिंदु प्राथमिकी फ़िल्टर दिया गया $$ h[n] $$, तथा $$r[n] = h[n+k], k = \frac{(N-1)}{2}$$.
 * चरण 1: मान लीजिए $$ h[n] $$सममित भी। फिर, असतत समय फूरियर का रूपांतरण $$r[n]$$ की तरह परिभाषित किया गया है
 * $$R(F) = e^{j2 \pi Fk}H(F) = \sum_{n=0}^k s[n] \cos (2 \pi nF) $$ :चरण 2: माध्य वर्ग त्रुटि की गणना करें।
 * $$\text{MSE}=\int_{-1/2}^{1/2} |R(F)-H_d(F)|^2\,dF $$
 * इसलिए,
 * $$\text{MSE}= \int_{-1/2}^{1/2} \sum_{n=0}^k s[n] \cos (2 \pi nF) \sum_{\tau=0}^k s[\tau] \cos (2 \pi \tau F)\,dF -2\int_{-1/2}^{1/2} \sum_{n=0}^k s[n] \cos (2 \pi nF) H_d\,dF + \int_{-1/2}^{1/2} H_d(F)^2\,dF$$ :चरण 3: एमएसई के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न करके माध्य वर्ग त्रुटि को कम करें $$s[n]$$
 * $$ \frac{\partial \text{MSE}}{\partial s[n]} = 2\sum_{\tau=0}^k s[\tau] \int_{-1/2}^{1/2} \cos (2 \pi nF) \cos (2 \pi \tau F) \,dF - 2\int_{-1/2}^{1/2} H_d(F)^2 \cos (2 \pi nF)\,dF = 0$$
 * संगठन के बाद, हमारे पास है
 * $$ s[0] = \int_{-1/2}^{1/2} H_d(F)\, dF $$
 * $$ s[n] = \int_{-1/2}^{1/2} \cos (2 \pi nF) H_d(F) \,dF, \ \text{ for } n \ne 0$$ :चरण 4: बदलें $$ s[n] $$ की प्रस्तुति पर वापस $$ h[n] $$
 * $$h[k] = s[0], h[k+n] = s[n]/2, h[k-n]=s[n]/2, \; for \; n=1,2,3, \ldots, k, \text{ where } k = (N-1)/2 $$ तथा $$ h[n] =0 \text{ for } n < 0 \text{ and } n \ge N$$

इसके अलावा, हम एक भारित फ़ंक्शन जोड़कर पासबैंड और स्टॉपबैंड के महत्व को अपनी आवश्यकताओं के अनुसार अलग-अलग मान सकते हैं, $$W(f)$$ फिर, MSE त्रुटि बन जाती है
 * $$ \text{MSE} =\int_{-1/2}^{1/2} W(F)|R(F)-H_d(F)|^2\,dF $$

चलती औसत उदाहरण
सामान्य गति फिल्टर एक बहुत ही सरल एफआईआर फिल्टर है। इसे कभी-कभी  बॉक्सकार समारोह  फ़िल्टर कहा जाता है, खासकर जब इसके बाद डेसीमेशन (सिग्नल प्रोसेसिंग) होता है। फिल्टर गुणांक, $ b_0, \ldots, b_N$, निम्नलिखित समीकरण के माध्यम से पाए जाते हैं:
 * $$b_i=\frac{1}{N+1}$$

अधिक विशिष्ट उदाहरण प्रदान करने के लिए, हम फ़िल्टर क्रम का चयन करते हैं:
 * $$N = 2$$

परिणामी फ़िल्टर की आवेग प्रतिक्रिया है:
 * $$h[n] = \frac{1}{3}\delta[n] + \frac{1}{3}\delta[n-1] + \frac{1}{3}\delta[n-2]$$

दाईं ओर ब्लॉक आरेख नीचे चर्चा किए गए दूसरे क्रम के चलती-औसत फ़िल्टर को दिखाता है। स्थानांतरण समारोह है:


 * $$H(z) = \frac{1}{3} + \frac{1}{3}z^{-1} + \frac{1}{3}z^{-2} = \frac{1}{3}\frac{z^{2} + z + 1}{z^{2}}.$$

अगला आंकड़ा संबंधित ध्रुव-शून्य आरेख दिखाता है। शून्य आवृत्ति (DC) (1, 0) से मेल खाती है, सकारात्मक आवृत्तियों को सर्कल के चारों ओर वामावर्त आगे बढ़ते हुए Nyquist आवृत्ति (-1, 0) पर। दो ध्रुव मूल बिंदु पर स्थित हैं, और दो शून्य पर स्थित हैं $ z_1 = -\frac{1}{2} + j\frac{\sqrt{3}}{2}$, $ z_2 = -\frac{1}{2} - j \frac{\sqrt{3}}{2}$.

सामान्यीकृत आवृत्ति (डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग) के संदर्भ में आवृत्ति प्रतिक्रिया ':' है

\begin{align} H\left(e^{j\omega}\right) &= \frac{1}{3} + \frac{1}{3}e^{-j\omega} + \frac{1}{3}e^{-j2\omega}\\ &= \frac{1}{3}e^{-j\omega}\left(1+2\cos(\omega)\right). \end{align} $$ परिमाण और चरण घटक $ H\left(e^{j\omega}\right)$ चित्र में प्लॉट किए गए हैं। लेकिन इस तरह के भूखंड भी आवेग प्रतिक्रिया के असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीएफटी) करके उत्पन्न किए जा सकते हैं। और समरूपता के कारण, फ़िल्टर डिज़ाइन या देखने वाला सॉफ़्टवेयर अक्सर केवल [0, ] क्षेत्र प्रदर्शित करता है। परिमाण की साजिश इंगित करती है कि चलती-औसत फ़िल्टर कम आवृत्तियों को 1 के करीब लाभ के साथ पास करता है और उच्च आवृत्तियों को क्षीण करता है, और इस प्रकार एक क्रूड  लो पास फिल्टर  है। चरण प्लॉट रैखिक है, दो आवृत्तियों पर असंतुलन को छोड़कर जहां परिमाण शून्य हो जाता है। विच्छेदन का आकार है, जो एक संकेत उत्क्रमण का प्रतिनिधित्व करता है। वे रैखिक चरण की संपत्ति को प्रभावित नहीं करते हैं, जैसा कि अंतिम आंकड़े में दिखाया गया है।

यह भी देखें

 * इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर
 * फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग)
 * अनंत आवेग प्रतिक्रिया|अनंत आवेग प्रतिक्रिया (IIR) फ़िल्टर
 * जेड-ट्रांसफॉर्म (विशेष रूप से जेड-ट्रांसफॉर्म#रैखिक निरंतर-गुणांक अंतर समीकरण|रैखिक निरंतर-गुणांक अंतर समीकरण)
 * एफआईआर स्थानांतरण समारोह
 * फ़िल्टर डिज़ाइन
 * कैस्केड इंटीग्रेटर-कंघी फिल्टर
 * कॉम्पैक्ट समर्थन

संदर्भ
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