डंडेलिन गोले

ज्यामिति में, डंडेलिन के गोले एक या दो गोले होते हैं जो समतल (ज्यामिति) और शंकु (ज्यामिति) जो समतल को प्रतिच्छेद करते हैं दोनों के स्पर्शरेखा होते हैं। शंकु और समतल का प्रतिच्छेदन एक शंक्वाकार परिच्छेद है, और जिस बिंदु पर कोई भी गोला समतल को स्पर्श करता है, वह शंकु परिच्छेद का केंद्रबिन्दु (ज्यामिति) होता है, इसलिए डेंडेलिन के गोले को कभी-कभी केन्द्रीय क्षेत्र भी कहा जाता है। डंडेलिन के गोले की खोज 1822 में हुई थी। इसका नाम फ्रांस के गणितज्ञ जर्मिनल पियरे डंडेलिन के सम्मान में रखा गया है, यद्यपि एडोल्फ क्वेटलेट को कभी-कभी आंशिक श्रेय भी दिया जाता है।

डंडेलिन के गोले का उपयोग पेरगा के एपोलोनियस को ज्ञात दो शास्त्रीय प्रमेयों के सुरुचिपूर्ण आधुनिक प्रमाण देने के लिए किया जा सकता है। पहला प्रमेय यह है कि एक बंद शंक्वाकार परिच्छेद (यानी एक दीर्घवृत्त) बिंदुओं का बिंदुपथ (गणित) है जिससे कि दो निश्चित बिंदुओं (केंद्रबिन्दु) की दूरियों का योग स्थिर है। दूसरा प्रमेय यह है कि किसी भी शंक्वाकार परिच्छेद के लिए, एक निश्चित बिंदु (केंद्रबिन्दु) से दूरी एक निश्चित रेखा (नियंता (शंकु परिच्छेद)) से दूरी के समानुपाती होती है, समानुपाती के स्थिरांक को उत्केन्द्रता (गणित) कहा जाता है।

शंकु परिच्छेद में प्रत्येक केंद्रबिन्दु के लिए एक डंडेलिन गोला होता है। दीर्घवृत्त में शंकु के एक ही आवरण (बहुविकल्पी) को स्पर्श करने वाले दो डंडेलिन गोले होते हैं, जबकि अतिपरवलय में दो डंडेलिन क्षेत्र होते हैं जो विपरीत आवरण को छूते हैं। एक परवलय में मात्र एक डंडेलिन गोला होता है।

प्रमाण कि प्रतिच्छेदन वक्र में केंद्रबिन्दु के लिए दूरियों का निरंतर योग होता है
शीर्ष पर सर्वोच्च S के साथ शंकु का चित्रण, दृष्टांत पर विचार करें। समतल e वक्र C (नीले आतंरिक भाग वाला) में शंकु को प्रतिच्छेद करता है। निम्नलिखित प्रमाण से पता चलेगा कि वक्र C दीर्घवृत्त है।

दो भूरे डंडेलिन गोले, G1 और G2, समतल और शंकु दोनों के लिए स्पर्शरेखा रखा गया है: G1 समतल के ऊपर, G2 नीचे। प्रत्येक गोला शंकु को एक वृत्त (सफेद रंग) के साथ स्पर्श करता है, $$k_1$$ और $$k_2$$।

G1 के साथ समतल की स्पर्शरेखा के बिंदु को F1 द्वारा निरूपित करें, और इसी तरह G2 और F2 के लिए। मान लीजिए P वक्र C पर एक विशिष्ट बिंदु है।

सिद्ध करना है: जब बिंदु P प्रतिच्छेदन वक्र C के साथ चलता है तो दूरियों का योग $$ d(P,F_1) + d(P,F_2)$$ स्थिर रहता है। (यह C की दीर्घवृत्त होने की एक परिभाषा है, $$F_1$$ और $$F_2$$ इसके केंद्रबिन्दु होने के साथ।)
 * शंकु के P और शीर्ष (ज्यामिति) S से गुजरने वाली रेखा दो वृत्तों को क्रमश प्रतिच्छेद करती है: P1 और P2 बिंदुओं पर G1 और G2 को स्पर्श करते हुए।
 * जैसे ही P वक्र के चारों ओर घूमता है, P1 और P2 दो वृत्तों के साथ चलते हैं, और उनकी दूरी d(P1, P2) स्थिर रहती है।
 * P से F1 की दूरी P से P1 की दूरी के समान है, क्योंकि रेखा परिच्छेद PF1 और PP1 दोनों एक ही गोले G1 के स्पर्श रेखाएँ हैं।
 * एक सममित तर्क से, P से F2 की दूरी P से P2 की दूरी के समान है।
 * इसके परिणाम स्वरूप, हम $$ d(P,F_1) + d(P,F_2) \ =\ d(P,P_1) + d(P,P_2) \ =\ d(P_1,P_2) $$ के रूप में दूरियों के योग की गणना करते हैं, जो P के वक्र के साथ चलने पर स्थिर है।

यह पेरगा के एपोलोनियस के प्रमेय का एक अलग प्रमाण देता है।

यदि हम दीर्घवृत्त को परिभाषित करते हैं जिससे हम P के बिंदु के बिंदुपथ कि माध्यिका निकल सके जिससे कि d(F1, P) + d (F2, P) = एक स्थिरांक हो, तो उपरोक्त तर्क यह प्रमाणित करता है कि प्रतिच्छेदन वक्र C वास्तव में एक दीर्घवृत्त है। यह कि शंकु के साथ समतल का प्रतिच्छेदन F1 और F2 से होकर जाने वाली रेखा के लंब समद्विभाजक के सापेक्ष सममित है, यह विरोधाभासी हो सकता है, लेकिन यह तर्क इसे स्पष्ट करता है।

इस तर्क के अनुकूलन अतिपरवलय और परवलय के लिए शंकु के साथ समतल के प्रतिच्छेदन के रूप में काम करते हैं। एक अन्य अनुकूलन दीर्घवृत्त के लिए काम करता है जिसे समवृत्ताकार सिलेंडर (ज्यामिति) के साथ समतल के प्रतिच्छेद के रूप में संपादित किया जाता है।

केंद्रबिन्दु-नियंता गुण का प्रमाण
डंडेलिन के निर्माण का उपयोग करके शांकव परिच्छेद का नियंता पाया जा सकता है। डंडेलिन का प्रत्येक गोला शंकु को एक वृत्त पर प्रतिच्छेद करता है; इन दोनों वृत्तों को अपने-अपने तलों को परिभाषित करने दें। शंक्वाकार परिच्छेद के तल के साथ इन दो समानांतर समतलों का प्रतिच्छेद दो समानांतर रेखाएँ होंगी; ये रेखाएँ शांकव परिच्छेद की निदेशिकाएँ हैं। यद्यपि, परवलय में सिर्फ एक डंडेलिन गोला होता है, और इस प्रकार सिर्फ एक नियंता होता है।

डंडेलिन के गोले का उपयोग करके, यह प्रमाणित किया जा सकता है कि कोई भी शंक्वाकार परिच्छेद बिंदुओं का बिंदुपथ है जिसके लिए एक बिंदु (केंद्रबिन्दु) से दूरी नियंता से दूरी के समानुपाती होती है। पप्पस के अलेक्जेंड्रिया जैसे प्राचीन यूनानी गणितज्ञ इस गुण के बारे में जानते थे, लेकिन डैंडेलिन क्षेत्र इसका प्रमाण प्रदान करते हैं।

केंद्रबिन्दु-नियंता गुण को प्रमाणित करने के लिए न तो डंडेलिन और न ही क्वेटलेट ने डैंडेलिन के गोले का उपयोग किया। ऐसा करने वाले पहले व्यक्ति 1829 में पियर्स मोर्टन रहे होंगे, या शायद ह्यूग हैमिल्टन (बिशप) जिन्होंने (1758 में) टिप्पणी की थी कि गोला शंकु को एक वृत्त पर स्पर्श करता है जो समतल को परिभाषित करता है जिसका शंकु परिच्छेद के तल के साथ प्रतिच्छेदन एक नियंता है।  केंद्रबिन्दु-नियंता गुण का उपयोग यह प्रमाणित करने के लिए किया जा सकता है कि खगोलीय पिंड सूर्य के चारों ओर शंक्वाकार परिच्छेदों में घूमते हैं।

बाहरी संबंध

 * Dandelin Spheres page by Hop David
 * Math Academy page on Dandelin's spheres
 * Les théorèmes belges by Xavier Hubaut (in French).
 * Conic Section Orbits-Dandelin spheres by Egan greg
 * Conic Section Orbits-Dandelin spheres by Egan greg