काल्पनिक संख्या

एक काल्पनिक संख्या एक वास्तविक संख्या  है जो काल्पनिक इकाई द्वारा गुणा की गई है $i$, जिसे इसकी संपत्ति द्वारा परिभाषित किया गया है $i$. एक काल्पनिक संख्या का वर्ग (बीजगणित)  $j$ है $i^{−3} = i$।उदाहरण के लिए, $i^{−2} = −1$ एक काल्पनिक संख्या है, और इसका वर्ग है $i^{−1} = −i$।परिभाषा के अनुसार,  0  को वास्तविक और काल्पनिक दोनों माना जाता है। मूल रूप से 17 वीं शताब्दी में रेने डेसकार्टेस द्वारा गढ़ा गया था एक अपमानजनक शब्द के रूप में और काल्पनिक या बेकार माना जाता है, अवधारणा ने लियोनहार्ड यूलर  (18 वीं शताब्दी में) और  ऑगस्टिन-लुइस कॉची  और  कार्ल फ्रेडरिक गॉस  (19 वीं शताब्दी की शुरुआत में) के काम के बाद व्यापक स्वीकृति प्राप्त की।

एक काल्पनिक संख्या $i^{0} = 1$ एक वास्तविक संख्या में जोड़ा जा सकता है $i$ फॉर्म की एक जटिल संख्या  बनाने के लिए $i^{1} = i$, जहां असली संख्याएँ $bi$ और $a$ क्रमशः, वास्तविक भाग और जटिल संख्या का काल्पनिक हिस्सा कहा जाता है।

इतिहास
यद्यपि ग्रीक गणितज्ञ   अलेक्जेंड्रिया का नायक   इंजीनियर  हीरो को एक नकारात्मक संख्या के वर्गमूल को शामिल करते हुए एक गणना प्रस्तुत करने के लिए सबसे पहले नोट किया गया है,  यह  राफेल बॉम्बेली  थी, जिन्होंने पहली बार 1572 में जटिल संख्याओं के गुणन के लिए नियम निर्धारित किए थे। अवधारणा पहले प्रिंट में दिखाई दी थी, जैसे कि  गेरोलमो कार्डानो  द्वारा काम में।उस समय, काल्पनिक संख्या और नकारात्मक संख्या को खराब तरीके से समझा गया था और कुछ लोगों द्वारा काल्पनिक या बेकार माना जाता था, जितना कि एक बार शून्य था।कई अन्य गणितज्ञ, रेने डेसकार्टेस सहित काल्पनिक नंबरों के उपयोग को अपनाने के लिए धीमा थे, जिन्होंने अपने ला गोमेरी में उनके बारे में लिखा था जिसमें उन्होंने काल्पनिक शब्द गढ़ा और इसका मतलब अपमानजनक था। लियोनहार्ड यूलर (1707–1783) और कार्ल फ्रेडरिक गॉस (1777-1855) के काम तक काल्पनिक संख्याओं के उपयोग को व्यापक रूप से स्वीकार नहीं किया गया था।एक विमान में बिंदुओं के रूप में जटिल संख्याओं के ज्यामितीय महत्व को पहले  कैस्पर वेसल  (1745-1818) द्वारा वर्णित किया गया था। 1843 में, विलियम रोवन हैमिल्टन  ने विमान में काल्पनिक संख्याओं की एक धुरी के विचार को क्वाटरनियन#परिभाषा के चार-आयामी स्थान पर बढ़ाया, जिसमें तीन आयाम जटिल क्षेत्र में काल्पनिक संख्याओं के अनुरूप हैं।

ज्यामितीय व्याख्या
ज्यामितीय रूप से, काल्पनिक संख्याएं जटिल विमान के ऊर्ध्वाधर अक्ष पर पाई जाती हैं, जो उन्हें वास्तविक अक्ष के लिए लंबवत प्रस्तुत करने की अनुमति देती है।काल्पनिक संख्याओं को देखने का एक तरीका यह है कि एक मानक संख्या रेखा  पर विचार किया जाए, जो दाईं ओर परिमाण में सकारात्मक रूप से बढ़ती है और बाईं ओर परिमाण में नकारात्मक रूप से बढ़ती है।0 पर $a$-एक्सिस, ए $b$-एक्सिस को सकारात्मक दिशा के साथ खींचा जा सकता है;सकारात्मक काल्पनिक संख्याएं तब परिमाण में बढ़ जाती हैं, और नकारात्मक काल्पनिक संख्याएं नीचे की ओर परिमाण में बढ़ जाती हैं।इस ऊर्ध्वाधर अक्ष को अक्सर काल्पनिक अक्ष कहा जाता है और निरूपित किया गया है $$i \mathbb{R},$$ $$\mathbb{I},$$ या $i^{2} = −1$. इस प्रतिनिधित्व में, & nbsp द्वारा गुणा;$i^{3} = −i$ मूल के बारे में 180 डिग्री के रोटेशन  से मेल खाती है, जो एक आधा सर्कल है।& Nbsp द्वारा गुणा;$i^{4} = 1$ मूल के बारे में 90 डिग्री के रोटेशन के अनुरूप है जो एक सर्कल का एक चौथाई है।ये दोनों नंबरों की जड़ें हैं $$1$$: $$(-1)^2=1$$, $$i^4=1$$।जटिल संख्याओं के क्षेत्र में, हर के लिए $$ n \in \mathbb{N} $$, $$1$$ है $$ n$$ वें जड़ें $$ \varphi_n$$, अर्थ $$ \varphi_n^n =1 $$,  एकता की जड़  कहा जाता है।पहले से गुणा करना $$ n$$एकता की जड़ एक रोटेशन का कारण बनती है $$ \frac{360}{n}$$ मूल के बारे में डिग्री।

एक जटिल संख्या से गुणा करना जटिल संख्या के तर्क (जटिल विश्लेषण)  द्वारा मूल के चारों ओर घूमने के समान है, इसके बाद इसके परिमाण द्वारा एक स्केलिंग है।

नकारात्मक संख्याओं की वर्ग जड़ें
काल्पनिक संख्याओं के साथ काम करते समय देखभाल का उपयोग किया जाना चाहिए जो नकारात्मक संख्याओं की वर्ग जड़ों के प्रमुख मूल्यों के रूप में व्यक्त किए जाते हैं:
 * $$6=\sqrt{36}=\sqrt{(-4)(-9)} \ne \sqrt{-4}\sqrt{-9} = (2i)(3i) = 6 i^2 = -6.$$

यह कभी -कभी लिखा जाता है:
 * $$-1 = i^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} \stackrel{\text{ (fallacy) }}{=} \sqrt{(-1)(-1)} = \sqrt{1} = 1.$$

गणितीय पतन समानता के रूप में होता है $$\sqrt{xy} = \sqrt{x}\sqrt{y}$$ जब चर उपयुक्त नहीं होते हैं तो विफल रहता है।उस स्थिति में, समानता को पकड़ने में विफल रहता है क्योंकि संख्या दोनों नकारात्मक हैं, जिसका प्रदर्शन किया जा सकता है:
 * $$\sqrt{-x}\sqrt{-y} = i \sqrt{x} \ i \sqrt{y} = i^2 \sqrt{x} \sqrt{y} = -\sqrt{xy} \neq \sqrt{xy},$$

दोनों कहाँ $x$ और $y$ सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं।

यह भी देखें

 * अक्टूबर

ग्रन्थसूची

 * , explains many applications of imaginary expressions.

इस पृष्ठ में गुम आंतरिक लिंक की सूची

 * काल्पनिक एकक
 * सीधा
 * ऋणात्मक संख्या
 * वर्गमूल
 * प्रधान मूल्य
 * अष्टक

बाहरी कड़ियाँ

 * How can one show that imaginary numbers really do exist? – an article that discusses the existence of imaginary numbers.
 * 5Numbers programme 4 BBC Radio 4 programme
 * Why Use Imaginary Numbers? Basic Explanation and Uses of Imaginary Numbers