पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम

गणित में, पुनरावृत्त फलन प्रणाली (आईएफएस) आंशिक के निर्माण की एक विधि है; परिणामी आंशिक अक्सर स्व-समान होते हैं। आईएफएस आंशिक, आंशिक ज्यामिति की तुलना में समुच्चय सिद्धांत से अधिक संबंधित हैं। इन्हें 1981 में पेश किया गया था।

आईएफएस आंशिक, जैसा कि इन्हें सामान्यतः कहा जाता है, किसी भी संख्या में आयाम के हो सकते हैं, लेकिन सामान्यतः इनकी गणना और 2डी में तैयार की जाती है। आंशिक स्वयं की कई प्रतियों के मिलन से बना है, प्रत्येक प्रतिलिपि एक फलन (इसलिए "फलन प्रणाली") द्वारा रूपांतरित होती है। विहित उदाहरण सीरपिंस्की त्रिकोण है। फलन सामान्यतः संकुचन मानचित्रण होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे बिंदुओं को एक साथ लाते हैं और आकृतियों को छोटा बनाते हैं। इसलिए, एक आईएफएस आंशिक का आकार स्वयं की कई संभवतः-अतिव्यापी छोटी प्रतियों से बना होता है, जिनमें से प्रत्येक भी स्वयं की प्रतियों से बना होता है, विज्ञापन अनंत तक। यह इसकी स्व-समान आंशिक प्रकृति का स्रोत है।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, एक पुनरावृत्त फलन प्रणाली पूर्ण आव्यूह समष्टि पर संकुचन मैपिंग का एक सीमित समुच्चय है। प्रतीकात्मक रूप से,
 * $$\{f_i:X\to X\mid i=1,2,\dots,N\},\ N\in\mathbb{N}$$

एक पुनरावृत्त फलन प्रणाली है यदि प्रत्येक $$f_i$$ संपूर्ण आव्यूह समष्टि $$X$$ पर एक संकुचन है।

गुण
हचिंसन ने दिखाया कि, आव्यूह स्पेस $$\mathbb{R}^n$$ या अधिक सामान्यतः पूर्ण आव्यूह स्पेस $$X$$ के लिए फलनों की ऐसी प्रणाली में एक अद्वितीय गैर-रिक्त सघन समष्टि(कॉम्पैक्ट) (बंद और घिरा हुआ) निश्चित समुच्चय S होता है। एक निश्चित समुच्चय के निर्माण का एक तरीका प्रारंभिक गैर-रिक्त बंद और बंधे हुए समुच्चय S0 से शुरू करना और Fi की क्रियाओं को दोहराना है, Sn+1 को Fi के अंतर्गत $$\lim_{n \rightarrow \infty} S_n$$ की छवियों का संघ माना जाता है; तब S को सीमा S_{n}} का समापन (टोपोलॉजी) मान लिया जाता है। प्रतीकात्मक रूप से, अद्वितीय निश्चित (गैर-रिक्त कॉम्पैक्ट) समुच्चय $$S\subseteq X$$ में संपत्ति है
 * $$S = \overline{\bigcup_{i=1}^N f_i(S)}.$$

इस प्रकार समुच्चय S, $$A\subseteq X$$ के माध्यम से परिभाषित हचिंसन संक्रियक $$F: 2^X\to 2^X$$ का निश्चित समुच्चय है
 * $$F(A)=\overline{\bigcup_{i=1}^N f_i(A)}.$$

एस का अस्तित्व और विशिष्टता संकुचन मानचित्रण सिद्धांत का परिणाम है, जैसा कि तथ्य है
 * $$\lim_{n\to\infty}F^{n}(A)=S$$

$$X$$ में किसी भी गैर-रिक्त कॉम्पैक्ट समुच्चय $$A$$ के लिए। (संविदात्मक आईएफएस के लिए यह अभिसरण किसी भी गैर-रिक्त बंद सीमा वाले समुच्चय $$A$$ के लिए भी होता है)। मनमाने ढंग से एस के करीब यादृच्छिक तत्व नीचे वर्णित "अराजकता खेल" द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं।

हाल ही में यह दिखाया गया था कि गैर-संकुचित प्रकार के आईएफएस (अर्थात उन मानचित्रों से बने होते हैं जो एक्स में किसी भी टोपोलॉजिकली समतुल्य आव्यूह के संबंध में संकुचन नहीं हैं) आकर्षित करने वाले परिणाम दे सकते हैं। ये प्रक्षेप्य समष्टिों में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं, हालाँकि वृत्त पर शास्त्रीय अपरिमेय घुमाव को भी अनुकूलित किया जा सकता है।

फ़ंक्शंस $$f_i$$ का संग्रह संरचना के अंतर्गत एक मोनोइड उत्पन्न करता है। यदि ऐसे केवल दो फलन हैं, तो मोनॉइड को एक बाइनरी ट्री के रूप में देखा जा सकता है, जहां पेड़ के प्रत्येक नोड पर, एक या दूसरे फलन के साथ रचना की जा सकती है (यानी बाईं या दाईं शाखा लें)। सामान्यतः, यदि k फलन हैं, तो कोई मोनॉइड को पूर्ण k-ary वृक्ष के रूप में देख सकता है, जिसे केली वृक्ष के रूप में भी जाना जाता है।

निर्माण
कभी-कभी प्रत्येक फलन $$f_i$$ को एक रैखिक, या अधिक सामान्यतः एक एफ़िन परिवर्तन, और इसलिए एक आव्यूह द्वारा दर्शाया जाना आवश्यक होता है। हालाँकि, आईएफएस को गैर-रेखीय फलनों से भी बनाया जा सकता है, जिसमें प्रक्षेप्य परिवर्तन और रैखिक परिवर्तन सम्मिलित हैं। आंशिक लौ गैर-रेखीय फलनों वाले आईएफएस का एक उदाहरण है।

आईएफएस आंशिक की गणना करने के लिए सबसे आम एल्गोरिदम को "कैओस गेम" कहा जाता है। इसमें विमान में एक यादृच्छिक बिंदु को चुनना, फिर अगले बिंदु को प्राप्त करने के लिए बिंदु को बदलने के लिए फलन प्रणाली से यादृच्छिक रूप से चुने गए फलनों में से एक को पुनरावृत्त करना सम्मिलित है। एक वैकल्पिक एल्गोरिदम किसी दिए गए अधिकतम लंबाई तक फलनों के प्रत्येक संभावित अनुक्रम को उत्पन्न करना है, और फिर फलनों के इन अनुक्रमों में से प्रत्येक को प्रारंभिक बिंदु या आकार पर प्रयुक्त करने के परिणामों को प्लॉट करना है।

इनमें से प्रत्येक एल्गोरिदम एक वैश्विक निर्माण प्रदान करता है जो पूरे आंशिक में वितरित अंक उत्पन्न करता है। यदि आंशिक का एक छोटा सा क्षेत्र खींचा जा रहा है, तो इनमें से कई बिंदु स्क्रीन की सीमाओं से बाहर हो जाएंगे। इससे इस तरीके से तैयार किए गए आईएफएस निर्माण में ज़ूम करना अव्यावहारिक हो जाता है।

हालाँकि आईएफएस के सिद्धांत के अनुसार प्रत्येक फलन को संविदात्मक होना आवश्यक है, व्यवहार में आईएफएस को प्रयुक्त करने वाले सॉफ़्टवेयर को केवल यह आवश्यक है कि संपूर्ण प्रणाली औसतन संविदात्मक हो।

विभाजित पुनरावृत्त फलन प्रणाली
पीआईएफएस (विभाजित पुनरावृत्त फलन प्रणाली), जिसे स्थानीय पुनरावृत्त फलन प्रणाली भी कहा जाता है, आश्चर्यजनक रूप से अच्छी छवि संपीड़न देता है, यहां तक ​​​​कि उन तस्वीरों के लिए भी जिनमें सरल आईएफएस आंशिक द्वारा दिखाए गए स्व-समान संरचना के प्रकार प्रतीत नहीं होते हैं।

उलटा समस्या
आईएफएस या Pआईएफएस मापदंडों के एक समुच्चय से एक छवि उत्पन्न करने के लिए बहुत तेज़ एल्गोरिदम सम्मिलित हैं। यह तेज़ है और इसे कैसे बनाया गया इसका विवरण संग्रहीत करने, उस विवरण को गंतव्य डिवाइस पर प्रसारित करने और छवि में प्रत्येक पिक्सेल के रंग को संग्रहीत करने और प्रसारित करने की तुलना में उस छवि को गंतव्य डिवाइस पर नए सिरे से पुन: उत्पन्न करने के लिए बहुत कम संग्रहण समष्टि की आवश्यकता होती है।

उलटा समस्या अधिक कठिन है: कुछ मूल मनमानी डिजिटल छवि जैसे डिजिटल फोटोग्राफ को देखते हुए, आईएफएस पैरामीटर का एक समुच्चय ढूंढने का प्रयास करें, जो पुनरावृत्ति द्वारा मूल्यांकन किए जाने पर, मूल के समान एक और छवि उत्पन्न करता है। 1989 में, अरनॉड जैक्विन ने केवल पीआईएफएस का उपयोग करके व्युत्क्रम समस्या के एक प्रतिबंधित रूप का समाधान प्रस्तुत किया; व्युत्क्रम समस्या का सामान्य रूप अनसुलझा है।

1995 तक, सभी आंशिक संपीड़न सॉफ़्टवेयर जैक्विन के दृष्टिकोण पर आधारित हैं।

उदाहरण
आरेख दो एफ़िन फ़ंक्शंस से आईएफएस पर निर्माण दिखाता है। फलन को द्वि-इकाई वर्ग पर उनके प्रभाव द्वारा दर्शाया जाता है (फलन उल्लिखित वर्ग को छायांकित वर्ग में बदल देता है)। दो फलनों का संयोजन हचिंसन संक्रियक बनाता है। संक्रियक के तीन पुनरावृत्तियों को दिखाया गया है, और फिर अंतिम छवि निश्चित बिंदु, अंतिम आंशिक की है।

आंशिक के शुरुआती उदाहरण जो आईएफएस द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं उनमें कैंटर समुच्चय सम्मिलित है, जिसे पहली बार 1884 में वर्णित किया गया था और डी राम कर्व्स, एक प्रकार का स्व-समान वक्र जिसे 1957 में गेर्जेस डी. रहम रैम द्वारा वर्णित किया गया था।

इतिहास
आईएफएस की वर्तमान स्वरूप में कल्पना 1981 में जॉन ई. हचिंसन द्वारा की गई थी और माइकल बार्न्सले की पुस्तक आंशिक एवरीव्हेयर द्वारा लोकप्रिय हुआ।

"आईएफएस कुछ पौधों, पत्तियों और फ़र्न के लिए मॉडल प्रदान करते हैं, आत्म-समानता के आधार पर जो अक्सर प्रकृति में शाखाओं वाली संरचनाओं में होती है।"

- माइकल बार्न्सले

यह भी देखें

 * जटिल-आधार प्रणाली
 * कोलाज प्रमेय
 * विश्लेषणात्मक फलनों की अनंत रचनाएँ
 * एल-प्रणाली
 * आंशिक संपीड़न

संदर्भ

 * For an historical overview, and the generalization :
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 * For an historical overview, and the generalization :
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बाहरी संबंध

 * A Primer on the Elementary Theory of Infinite Compositions of Complex Functions