बरनौली परीक्षण

[[File:Bernoulli_trial_progression.svg|thumb|400px|विभिन्न पी के लिए बर्नौली परीक्षण बनाम एनपी के बाद प्रत्येक प्रायिकता पी की स्वतंत्र घटनाओं का अवलोकन नहीं करने की संभावना पी के ग्राफ। तीन उदाहरण दिखाए गए हैं:

'ब्लू कर्व': 6-पक्षीय पासे को 6 बार फेंकने से 33.5% संभावना होती है कि 6 (या कोई अन्य दी गई संख्या) कभी नहीं आती है; यह देखा जा सकता है कि जैसे-जैसे n बढ़ता है, 1/n-संभावना घटना की संभावना n के बाद कभी प्रकट नहीं होने की संभावना तेजी से 0 में परिवर्तित हो जाती है।

'ग्रे कर्व': एक Yahtzee (5 क्यूबिक डाइस सभी में एक ही नंबर दिखा रहा है) को फेंकने का 50-50 मौका पाने के लिए 0.69 × 1296 ~ 898 थ्रो की आवश्यकता होती है।

'ग्रीन कर्व': बिना जोकर के ताश की गड्डी से 100 (1.92 × 52) बार प्रतिस्थापन के साथ एक पत्ता खींचने से हुकुम का इक्का कम से कम एक बार निकालने का 85.7% मौका मिलता है।]]संभाव्यता और सांख्यिकी के सिद्धांत में, बर्नौली परीक्षण (या द्विपद परीक्षण) दो संभावित परिणामों, "सफलता" और "विफलता" के साथ एक यादृच्छिक प्रयोग (संभाव्यता सिद्धांत) होता है  जिसमें हर बार प्रयोग किए जाने पर सफलता की संभावना समान होती है। इसका नाम 17वीं शताब्दी के स्विस गणितज्ञ जैकब बर्नौली के नाम पर रखा गया था , जिन्होंने अपनी पुस्तक Ars Conjectandi (1713) में इनका विश्लेषण किया था। बर्नौली परीक्षण की गणितीय औपचारिकता को बर्नौली प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है। यह लेख अवधारणा के लिए एक प्रारंभिक परिचय प्रदान करता है, जबकि बर्नौली प्रक्रिया पर लेख अधिक उन्नत उपचार प्रदान करता है।

चूंकि बरनौली परीक्षण के केवल दो संभावित परिणाम हैं, इसे कुछ "हां या नहीं" प्रश्न के रूप में तैयार किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:


 * क्या फेंटी गई डेक का शीर्ष पत्ता एक इक्का है?
 * क्या नवजात शिशु लड़की थी? (मानव लिंगानुपात देखें।)

इसलिए, सफलता और असफलता दो परिणामों के लिए केवल चिन्ह होता हैं, और इसका शाब्दिक अर्थ नहीं लगाया जाना चाहिए। इस अर्थ में सफलता शब्द में निर्दिष्ट शर्तों को पूरा करने वाले परिणाम सम्मलित होते है  हैं; यह एक मूल्य निर्णय नहीं है। सामान्यतः, किसी भी घटना (संभाव्यता सिद्धांत) (परिणामों का सेट) के लिए किसी भी संभावना स्थान को देखते हुए, एक बर्नौली परीक्षण को परिभाषित कर सकता है, जो कि घटना हुई या नहीं (घटना या पूरक घटना) के अनुरूप है। बरनौली परीक्षणों के उदाहरणों में सम्मलित किया हैं:


 * सिक्का उछालना। इस संदर्भ में, अग्रभाग ("हेड्स") पारंपरिक रूप से सफलता को दर्शाता है और रिवर्स ("टेल्स") विफलता को दर्शाता है। एक निष्पक्ष सिक्के की परिभाषा के अनुसार सफलता की संभावना 0.5 है। इस स्थिति में, वास्तव में दो संभावित परिणाम हैं।
 * एक पासे को फेंकना, जहां एक छक्का "सफलता" है और बाकी सब कुछ "असफलता" है। इस स्थिति में, छह संभावित परिणाम होते हैं, और घटना एक षष्ठ है; पूरक घटना "छह से नहीं" अन्य पांच संभावित परिणामों से मेल खाती है।
 * राजनीतिक जनमत सर्वेक्षण के संचालन में, यह सुनिश्चित करने के लिए कि मतदाता आगामी जनमत संग्रह में "हाँ" मतदान करेगा या नहीं, एक मतदाता को यादृच्छिक रूप से चुनना होता है।

परिभाषा
दो संभावित परिणामों के साथ एक प्रयोग के स्वतंत्र दोहराए गए परीक्षणों को बर्नौली परीक्षण कहा जाता है। परिणामों में से एक को "सफलता" और दूसरे परिणाम को "असफलता" कहते हैं। मान लेते  $$p$$ बर्नौली परीक्षण में सफलता की संभावना हो, और $$q$$ में विफलता की संभावना हो। तब फिर सफलता की संभावना और असफलता की संभावना एक हो जाती है, क्योंकि ये पूरक घटनाएं हैं: "सफलता" और "असफलता" परस्पर अनन्य और संपूर्ण हैं। इस प्रकार, निम्नलिखित संबंध हैं:

p = 1 - q, \quad \quad q = 1 - p, \quad \quad p + q = 1.$$ वैकल्पिक रूप से, इन्हें ऑड्स (सांख्यिकी) के संदर्भ में कहा जा सकता है: अनुमान लगाया गया है की दी गई संभावना  $$p$$ की सफलता और $$q$$ विफलता के लिए विवरण हैं $$p:q$$ और इसके अनुरूप अनुपात होता हैं $$q:p.$$ कों इन्हें संख्याओं के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, इन्हें  विभाजित करके, अनुपातो को दूर करके, $$o_f$$, और इसके अनुरूप अनुपात, $$o_a$$:

\begin{align} o_f &= p/q = p/(1-p) = (1-q)/q\\ o_a &= q/p = (1-p)/p = q/(1-q). \end{align} $$ ये गुणात्मक व्युत्क्रम हैं, इसलिए वे निम्नलिखित संबंधों के साथ 1 से गुणा करते हैं:

o_f = 1/o_a, \quad o_a = 1/o_f, \quad o_f \cdot o_a = 1.$$ इस स्थिति में कि बर्नौली परीक्षण अंतिम रूप से कई समान रूप से संभावित परिणाम से एक घटना का प्रतिनिधित्व कर रहा है, जहां $$S$$ परिणामों में सफलता और हैं $$F$$ परिणामों में से विफलता के लिए संभावनाएँ हैं $$S:F$$ और इसके अनुरूप हैं $$F:S.$$ इससे संभाव्यता और अनुपात के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होते हैं:

\begin{align} p &= S/(S+F)\\ q &= F/(S+F)\\ o_f &= S/F\\ o_a &= F/S. \end{align} $$ यहां परिणामों की संख्या को विभाजित करके अनुपात की गणना की जाती है, संभावनाओं की नहीं, बल्कि अनुपात समान होता है, क्योंकि ये अनुपात केवल एक ही स्थिर कारक द्वारा दोनों शब्दों को गुणा करके भिन्न होते हैं।

बर्नोली परीक्षणों का वर्णन करने वाले यादृच्छिक चर अधिकांशतः सांकेतिक का उपयोग करके एन्कोड किए जाते हैं कि 1 = सफलता, 0 = विफलता है।

बर्नौली परीक्षण से निकटता से संबंधित एक द्विपद प्रयोग है, जिसमें एक निश्चित संख्या होती है $$n$$ सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र बर्नौली परीक्षण, प्रत्येक सफलता की संभावना के साथ $$p$$, और सफलताओं की संख्या की गणना करता है। एक द्विपद प्रयोग के अनुरूप एक यादृच्छिक चर द्वारा निरूपित किया जाता है $$B(n,p)$$, और द्विपद वितरण कहा जाता है। अनुपात ठीक है $$k$$ प्रयोग में सफलताएँ $$B(n,p)$$ द्वारा दिया गया है:
 * $$P(k)={n \choose k} p^k q^{n-k}$$

कहाँ $${n \choose k}$$ द्विपद गुणांक है।

बर्नौली परीक्षणों से नकारात्मक द्विपद वितरण भी हो सकते हैं (जो बार-बार बर्नौली परीक्षणों की एक श्रृंखला में सफलताओं की संख्या की गणना करते हैं जब तक कि विफलताओं की निर्दिष्ट संख्या दिखाई नहीं देती), साथ ही साथ कई अन्य वितरण भी हो सकते हैं।

जब कई बर्नौली परीक्षण किए जाते हैं, जिनमें से प्रत्येक की अपनी सफलता की संभावना होती है, तो इन्हें कभी-कभी पोइसन परीक्षण कहा जाता है।

उदाहरण: सिक्के उछालना
एक साधारण प्रयोग पर विचार करें जहां एक निष्पक्ष सिक्के को चार बार उछाला जाता है। प्रायिकता ज्ञात कीजिए कि वास्तव में दो उछालों का परिणाम चित आता है।

समाधान
इस प्रयोग के लिए, एक हेड को सफलता के रूप में और टेल को विफलता के रूप में परिभाषित करें। क्योंकि सिक्का निष्पक्ष माना जाता है, सफलता की संभावना होती है $$p = \tfrac{1}{2}$$. इस प्रकार, विफलता की संभावना, $$q$$, द्वारा दिया गया है
 * $$q = 1 - p = 1 - \tfrac{1}{2} = \tfrac{1}{2}$$.

ऊपर दिए गए समीकरण का उपयोग करते हुए, कुल चार उछालों में से ठीक दो उछालों की प्रायिकता जिसके परिणामस्वरूप एक चित आता है:
 * $$\begin{align}

P(2) &= {4 \choose 2} p^{2} q^{4-2} \\ &= 6 \times \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 \times \left(\tfrac{1}{2}\right)^2 \\ &= \dfrac {3}{8}. \end{align}$$

यह भी देखें

 * बरनौली योजना
 * बरनौली नमूनाकरण
 * बरनौली वितरण
 * द्विपद वितरण
 * द्विपद गुणांक
 * द्विपद अनुपात विश्वास अंतराल
 * ज़हर का नमूना
 * नमूना डिजाइन
 * सिक्का उछालना
 * जैकब बर्नौली
 * फिशर का सटीक परीक्षण
 * बॉशलू का परीक्षण