टोपोलॉजिकल जोड़ी

गणित में, विशेष रूप से बीजगणितीय टोपोलॉजी में, एक जोड़ी $$(X,A)$$ टोपोलॉजिकल समष्टि समष्टि को शामिल करने के लिए आशुलिपि है $$i\colon A \hookrightarrow X$$. कभी-कभी $$i$$ सह-फाइब्रेशन माना जाता है। से एक रूपवाद $$(X,A)$$ को $$(X',A')$$ दो मानचित्रों द्वारा दिया गया है $$f\colon X\rightarrow X'$$ और

$$g\colon A \rightarrow A'$$ ऐसा है कि $$ i' \circ g =f \circ i $$.

रिक्त समष्टि का एक जोड़ा एक क्रमित जोड़ा है $(X, A)$ कहाँ $X$ एक टोपोलॉजिकल समष्टि है और $A$ एक उपसमष्टि (उपसमष्टि टोपोलॉजी के साथ)। रिक्त समष्टि के जोड़े का उपयोग कभी-कभी भागफल समष्टि (टोपोलॉजी) लेने की तुलना में अधिक सुविधाजनक और तकनीकी रूप से बेहतर होता है $X$ द्वारा $A$. रिक्त समष्टि के जोड़े सापेक्ष समरूपता में केंद्रीय रूप से पाए जाते हैं, होमोलॉजी सिद्धांत और कोहोमोलॉजी सिद्धांत, जहां श्रृंखला होती हैं $$A$$ जब इन्हें श्रृंखला के रूप में माना जाता है, तो इन्हें 0 के बराबर बना दिया जाता है $$X$$.

अनुमानतः, व्यक्ति प्रायः एक जोड़े के बारे में सोचता है $$(X,A)$$ भागफल समष्टि के समान होने के नाते $$X/A$$.

टोपोलॉजिकल समष्टि की श्रेणी से लेकर समष्टि के जोड़े की श्रेणी तक एक फ़नकार होता है, जो एक समष्टि भेजता है $$X$$ जोड़ी को $$(X, \varnothing)$$.

एक संबंधित अवधारणा त्रिगुण की है $(X, A, B)$, साथ $B ⊂ A ⊂ X$. होमोटॉपी सिद्धांत में ट्रिपल का उपयोग किया जाता है। प्रायः, आधार बिंदु वाले सुस्पष्ट समष्टि के लिए $x_{0}$, कोई त्रिगुण को इस प्रकार लिखता है $(X, A, B, x_{0})$, कहाँ $x_{0} ∈ B ⊂ A ⊂ X$.