अर्धसंक्रमणीय संबंध

क्वासिट्रांसिटिविटी की गणितीय धारणा संक्रमणीय संबंध का एक कमजोर संस्करण है जिसका उपयोग सामाजिक विकल्प सिद्धांत और सूक्ष्मअर्थशास्त्र में किया जाता है। अनौपचारिक रूप से, एक संबंध अर्धसंक्रमणीय होता है यदि यह कुछ मूल्यों के लिए सममित संबंध है और अन्यत्र संक्रमणीय है। की अवधारणा प्रस्तुत की गई थी एरो प्रमेय के परिणामों का अध्ययन करना।

औपचारिक परिभाषा
एक समुच्चय (गणित)


 * $$(a\operatorname{T}b) \wedge \neg(b\operatorname{T}a) \wedge (b\operatorname{T}c) \wedge \neg(c\operatorname{T}b) \Rightarrow (a\operatorname{T}c) \wedge \neg(c\operatorname{T}a).$$

यदि संबंध भी एंटीसिमेट्रिक संबंध है, तो T सकर्मक है।

वैकल्पिक रूप से, किसी संबंध टी के लिए, असममित संबंध या सख्त भाग पी को परिभाषित करें:
 * $$(a\operatorname{P}b) \Leftrightarrow (a\operatorname{T}b) \wedge \neg(b\operatorname{T}a).$$

तब T अर्धसंक्रमणीय है यदि और केवल यदि P सकर्मक है।

उदाहरण
कुछ आर्थिक संदर्भों में प्राथमिकताओं को अर्धसंक्रमणीय (संक्रमणीय के बजाय) माना जाता है। क्लासिक उदाहरण एक व्यक्ति है जो 7 और 8 ग्राम चीनी के बीच उदासीन है और 8 और 9 ग्राम चीनी के बीच उदासीन है, लेकिन जो 7 की तुलना में 9 ग्राम चीनी पसंद करता है। इसी प्रकार, उपयोगिता सिद्धांत में सोराइट्स विरोधाभास#रिज़ॉल्यूशन को क्वासिट्रांसिटिविटी के कुछ संबंधों की अनुमानित परिवर्तनशीलता को कमजोर करके हल किया जा सकता है।

गुण

 * एक संबंध R अर्धसंक्रमणीय है यदि, और केवल यदि, यह एक सममित संबंध J और एक संक्रमणीय संबंध P का असंयुक्त संघ है। J और P किसी दिए गए R द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं होते हैं; हालाँकि, केवल-यदि भाग से पी न्यूनतम है।
 * परिणामस्वरूप, प्रत्येक सममित संबंध अर्धसंक्रमणीय है, और इसी प्रकार प्रत्येक सकर्मक संबंध भी है। इसके अलावा, एक एंटीसिमेट्रिक और क्वासिट्रांसिटिव संबंध हमेशा सकर्मक होता है।
 * उपरोक्त चीनी उदाहरण से संबंध, {(7,7), (7,8), (7,9), (8,7), (8,8), (8,9), (9,8 ), (9,9)}, अर्धसंक्रमणीय है, लेकिन सकर्मक नहीं।
 * एक अर्धसंक्रमणीय संबंध को चक्रीय संबंध होने की आवश्यकता नहीं है: प्रत्येक गैर-रिक्त सेट ए के लिए, सार्वभौमिक संबंध एकार्टेसियन उत्पाद|×ए चक्रीय और अर्धसंक्रमणीय दोनों है।
 * कोई संबंध अर्धसंक्रमणीय है यदि, और केवल तभी, यदि उसका पूरक संबंध है।
 * इसी प्रकार, कोई संबंध अर्धसंक्रमणीय होता है यदि, और केवल तभी, यदि उसका विपरीत संबंध हो।

यह भी देखें

 * अकर्मण्यता
 * प्रतिवर्ती संबंध