मुक्त समूह

गणित में मुक्त समूह एफS किसी दिए गए सेट पर S में सभी शब्द (समूह सिद्धांत) होते हैं जो S के सदस्यों से बनाए जा सकते हैं, दो शब्दों को अलग मानते हुए जब तक कि उनकी समानता समूह (गणित) # परिभाषा (जैसे st = suu) से न हो-1टी, लेकिन एस ≠ टी−1 s,t,u ∈ S के लिए)। S के सदस्यों को F का 'जनरेटर' कहा जाता हैS, और जनरेटर की संख्या मुक्त समूह की रैंक है। एक मनमाना समूह (गणित) जी मुक्त कहा जाता है अगर यह एफ के लिए समूह समाकृतिकता हैS G के कुछ उपसमुच्चय S के लिए, अर्थात्, यदि G का एक उपसमुच्चय S है जैसे कि G के प्रत्येक तत्व को S के बहुत से तत्वों और उनके व्युत्क्रमों के गुणनफल के रूप में बिल्कुल एक तरह से लिखा जा सकता है (तुच्छ विविधताओं जैसे कि st = सू-1टी)।

एक संबंधित लेकिन अलग धारणा एक मुक्त एबेलियन समूह है; दोनों धारणाएं सार्वभौमिक बीजगणित से मुक्त वस्तु के विशेष उदाहरण हैं। जैसे, मुक्त समूहों को उनके नि: शुल्क समूह#सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा परिभाषित किया गया है।

इतिहास
फ़्यूचियन समूहों (हाइपरबोलिक ज्यामिति पर आइसोमेट्री द्वारा कार्य करने वाले असतत समूह) के उदाहरण के रूप में मुक्त समूह पहले अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के अध्ययन में उत्पन्न हुए। 1882 के एक पेपर में, वाल्थर वॉन डाइक ने बताया कि इन समूहों में सबसे सरल संभव समूह प्रस्तुति है। 1924 में जैकब नीलसन (गणितज्ञ) द्वारा मुक्त समूहों का बीजगणितीय अध्ययन शुरू किया गया, जिन्होंने उन्हें अपना नाम दिया और उनके कई मूल गुण स्थापित किए।  मैक्स डेहन ने टोपोलॉजी के साथ संबंध को महसूस किया, और पूर्ण नीलसन-श्रेयर प्रमेय का पहला प्रमाण प्राप्त किया। ओटो श्रेयर ने 1927 में इस परिणाम का एक बीजगणितीय प्रमाण प्रकाशित किया, और कर्ट रिडेमिस्टर ने मिश्रित टोपोलॉजी पर अपनी 1932 की पुस्तक में मुक्त समूहों के व्यापक उपचार को शामिल किया। बाद में 1930 के दशक में, विल्हेम मैग्नस ने मुक्त समूहों की निचली केंद्रीय श्रृंखला और मुक्त लाई बीजगणित के बीच संबंध की खोज की।

उदाहरण
पूर्णांकों का समूह (Z,+) कोटि 1 से मुक्त है; एक जनरेटिंग सेट S = {1} है। पूर्णांक भी एक मुक्त एबेलियन समूह हैं, हालांकि रैंक के सभी मुक्त समूह $$\geq 2$$ गैर-आबेली हैं। दो-तत्व सेट S पर एक मुक्त समूह बनच-तर्स्की विरोधाभास के प्रमाण में होता है और वहां इसका वर्णन किया गया है।

दूसरी ओर, कोई भी गैर-तुच्छ परिमित समूह मुक्त नहीं हो सकता है, क्योंकि एक मुक्त समूह के मुक्त जनरेटिंग सेट के तत्वों में अनंत क्रम होता है।

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, मंडलियों के गुलदस्ते का मौलिक समूह (के लूप का एक सेट जिसमें केवल एक बिंदु समान होता है) के तत्वों के सेट पर मुक्त समूह होता है।

निर्माण
मुक्त समूह ''एफS'फ्री जनरेटिंग सेट' के साथ एस का निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता है। एस प्रतीकों का एक सेट है, और हम मानते हैं कि एस में प्रत्येक एस के लिए एक संबंधित उलटा प्रतीक है, एस-1, समुच्चय S में-1. माना T = S ∪ S-1, और S में एक शब्द (समूह सिद्धांत) को T के तत्वों का कोई लिखित उत्पाद होने के लिए परिभाषित करें। अर्थात्, 'स' में एक शब्द 'टी' द्वारा उत्पन्न मोनॉयड का एक तत्व है। खाली शब्द वह शब्द है जिसमें कोई प्रतीक नहीं है। उदाहरण के लिए, अगर S = {a, b, c}, तो T = {a, a-1, बी, बी-1, सी, सी-1}, और
 * $$a b^3 c^{-1} c a^{-1} c\,$$

S में एक शब्द है।

यदि S का कोई अवयव इसके व्युत्क्रम के ठीक बगल में स्थित है, तो c, c को हटाकर शब्द को सरल बनाया जा सकता है−1 जोड़ी:
 * $$a b^3 c^{-1} c a^{-1} c\;\;\longrightarrow\;\;a b^3 \, a^{-1} c.$$

एक शब्द जिसे और अधिक सरल नहीं किया जा सकता है, उसे कम कहा जाता है।

मुक्त समूह ''एफSसमूह ऑपरेशन के रूप में शब्दों के संयोजन (इसके बाद यदि आवश्यक हो तो कमी) के साथ S में सभी कम किए गए शब्दों के समूह के रूप में परिभाषित किया गया है। पहचान खाली शब्द है।

एक घटा हुआ शब्द 'चक्रीय रूप से कम' कहा जाता है यदि उसका पहला और अंतिम अक्षर एक दूसरे के विपरीत नहीं होते हैं। प्रत्येक शब्द एक चक्रीय रूप से कम किए गए शब्द के लिए संयुग्मन वर्ग है, और चक्रीय रूप से कम किए गए शब्द का एक चक्रीय रूप से कम संयुग्म शब्द में अक्षरों का एक चक्रीय क्रमपरिवर्तन है। उदाहरण के लिए बी−1abcb चक्रीय रूप से अपचयित नहीं होता है, लेकिन abc के संयुग्मी होता है, जो चक्रीय रूप से अपचयित होता है। एबीसी के केवल चक्रीय रूप से कम संयुग्म एबीसी, बीसीए और कैब हैं।

सार्वभौमिक संपत्ति
मुक्त समूह एफSसेट एस द्वारा उत्पन्न सार्वभौमिक (गणित) समूह है। इसे निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा औपचारिक रूप दिया जा सकता है: कोई भी कार्य दिया गया है $f$ S से समूह G तक, एक अद्वितीय समूह समरूपता φ: F मौजूद हैS→ G निम्नलिखित क्रमविनिमेय आरेख कम्यूट कर रहा है (जहां अनाम मैपिंग S से F में समावेशन मानचित्र को दर्शाता हैS): यानी होमोमोर्फिज्म एफS→ G कार्यों S → G के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं। एक गैर-मुक्त समूह के लिए, समूह प्रस्तुति की उपस्थिति एक समरूपता के तहत जनरेटर की संभावित छवियों को प्रतिबंधित करेगी।

यह देखने के लिए कि यह रचनात्मक परिभाषा से कैसे संबंधित है, एस से एफ तक मैपिंग के बारे में सोचेंSप्रत्येक प्रतीक को उस प्रतीक से युक्त शब्द में भेजने के रूप में। दिए गए के लिए φ की रचना करना $f$, पहले ध्यान दें कि φ खाली शब्द को G की पहचान के लिए भेजता है और इससे सहमत होना है $f$ एस के तत्वों पर। शेष शब्दों के लिए (एक से अधिक प्रतीकों से मिलकर), φ को विशिष्ट रूप से विस्तारित किया जा सकता है, क्योंकि यह एक समरूपता है, अर्थात, φ(ab) = φ(a) φ(b)।

उपरोक्त संपत्ति समरूपता तक मुक्त समूहों की विशेषता है, और कभी-कभी इसे वैकल्पिक परिभाषा के रूप में प्रयोग किया जाता है। इसे मुक्त समूहों की सार्वभौमिक संपत्ति के रूप में जाना जाता है, और उत्पन्न सेट एस को एफ के लिए 'आधार' कहा जाता हैS. मुक्त समूह का आधार विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं है।

एक सार्वभौमिक संपत्ति की विशेषता होना सार्वभौमिक बीजगणित में मुक्त वस्तुओं की मानक विशेषता है। श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, मुक्त समूह का निर्माण (मुक्त वस्तुओं के अधिकांश निर्माणों के समान) सेट की श्रेणी से समूहों की श्रेणी का एक ऑपरेटर है। यह फ़ंक्टर समूह से सेट तक भुलक्कड़ फ़ंक्टर के बगल में छोड़ दिया जाता है।

तथ्य और प्रमेय
परिभाषा से मुक्त समूहों के कुछ गुण आसानी से अनुसरण करते हैं:


 * 1) कोई भी समूह G किसी मुक्त समूह F(S) का समरूपी प्रतिबिम्ब है। बता दें कि S, G के एक समूह के जनरेटिंग सेट का एक सेट है। प्राकृतिक मानचित्र f: F(S) → G एक अधिरूपता है, जो दावे को साबित करता है। समतुल्य रूप से, G कुछ मुक्त समूह F(S) के भागफल समूह के लिए तुल्याकारी है। φ का कर्नेल G के एक समूह की प्रस्तुति में संबंधों का एक सेट है। यदि S को यहाँ परिमित चुना जा सकता है, तो G को 'परिमित रूप से उत्पन्न' कहा जाता है।
 * 2) यदि S में एक से अधिक तत्व हैं, तो F(S) एबेलियन समूह नहीं है, और वास्तव में F(S) के समूह का केंद्र तुच्छ है (अर्थात, इसमें केवल पहचान तत्व शामिल हैं)।
 * 3) दो मुक्त समूह एफ (एस) और एफ (टी) आइसोमॉर्फिक हैं यदि और केवल अगर एस और टी में समान प्रमुखता है। इस कार्डिनैलिटी को मुक्त समूह F का 'रैंक' कहा जाता है। इस प्रकार प्रत्येक कार्डिनल संख्या k के लिए, समरूपता तक, रैंक k का ठीक एक मुक्त समूह होता है।
 * 4) परिमित रैंक n> 1 के एक मुक्त समूह में क्रम 2n - 1 की एक घातीय वृद्धि वृद्धि दर (समूह सिद्धांत) है।

कुछ अन्य संबंधित परिणाम हैं:
 * 1) नीलसन-श्रेयर प्रमेय: एक मुक्त समूह का प्रत्येक उपसमूह स्वतंत्र है।
 * 2) रैंक k के एक मुक्त समूह में स्पष्ट रूप से k से कम प्रत्येक रैंक के उपसमूह होते हैं। कम स्पष्ट रूप से, कम से कम 2 रैंक के एक (नॉनबेलियन!) मुक्त समूह में सभी गणनीय सेट रैंकों के उपसमूह हैं।
 * 3) रैंक k> 1 के मुक्त समूह के कम्यूटेटर उपसमूह में अनंत रैंक है; उदाहरण के लिए एफ (ए, बी) के लिए, यह कम्यूटेटर [ए द्वारा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न होता हैमी, बीn] गैर-शून्य m और n के लिए।
 * 4) दो तत्वों में मुक्त समूह SQ सार्वभौमिक है; उपरोक्त इस प्रकार है क्योंकि किसी भी SQ सार्वभौमिक समूह में सभी गणनीय रैंकों के उपसमूह होते हैं।
 * 5) कोई भी समूह जो एक पेड़ पर समूह क्रिया (गणित), मुक्त क्रिया और उन्मुख ग्राफ को संरक्षित करता है, गणनीय रैंक का एक मुक्त समूह है (1 प्लस समूह क्रिया (गणित) ग्राफ सिद्धांत की यूलर विशेषता द्वारा दिया गया)।
 * 6) फ्री जनरेटिंग सेट के संबंध में परिमित रैंक के एक मुक्त समूह का केली ग्राफ एक ट्री (ग्राफ थ्योरी) है, जिस पर समूह स्वतंत्र रूप से कार्य करता है, अभिविन्यास को संरक्षित करता है।
 * 7) पीजे हिगिंस द्वारा नीचे दिए गए काम में दिए गए इन परिणामों के लिए groupoid दृष्टिकोण, अंतरिक्ष को कवर करना का उपयोग करके एक दृष्टिकोण से निकाला गया है। यह अधिक शक्तिशाली परिणामों की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए ग्रुस्को के प्रमेय पर, और समूहों के ग्राफ के मौलिक समूह के लिए एक सामान्य रूप। इस दृष्टिकोण में एक निर्देशित ग्राफ़ पर मुफ्त ग्रुपोइड्स का काफी उपयोग होता है।
 * 8) ग्रुस्को के प्रमेय का परिणाम यह है कि यदि n तत्वों पर मुक्त समूह F का एक उपसमुच्चय B, F उत्पन्न करता है और इसमें n तत्व हैं, तो B स्वतंत्र रूप से F उत्पन्न करता है।

फ्री एबेलियन ग्रुप
सेट एस पर मुक्त एबेलियन समूह को इसकी सार्वभौमिक संपत्ति के माध्यम से समान रूप से स्पष्ट संशोधनों के साथ परिभाषित किया गया है: एक युग्म (F, φ) पर विचार करें, जहाँ F एक आबेली समूह है और φ: S → F एक फलन है। F को 'φ के संबंध में S पर मुक्त एबेलियन समूह' कहा जाता है, यदि किसी एबेलियन समूह G और किसी फ़ंक्शन ψ: S → G के लिए, एक अद्वितीय समरूपता f: F → G मौजूद है, जैसे कि


 * f(φ(s)) = ψ(s), S में सभी s के लिए।

S पर मुक्त एबेलियन समूह को स्पष्ट रूप से मुक्त समूह F(S) मॉड्यूलो के रूप में पहचाना जा सकता है, जो इसके कम्यूटेटर, [F(S), F(S)] द्वारा उत्पन्न उपसमूह है, अर्थात। इसका abelianisation। दूसरे शब्दों में, S पर मुक्त एबेलियन समूह शब्दों का समूह है जो केवल अक्षरों के क्रम तक ही प्रतिष्ठित हैं। इसलिए एक स्वतंत्र समूह की रैंक को एक मुक्त एबेलियन समूह के रूप में इसके एबेलियनाइजेशन के रैंक के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है।

तर्स्की की समस्याएं
1945 के आसपास, अल्फ्रेड टार्स्की ने पूछा कि क्या दो या दो से अधिक जनरेटर पर मुक्त समूहों का एक ही मॉडल सिद्धांत है | प्रथम-क्रम सिद्धांत, और क्या यह सिद्धांत निर्णायकता (तर्क) है। पहले प्रश्न का उत्तर यह दिखाते हुए दिया कि किन्हीं भी दो गैर-अबेलियन मुक्त समूहों के पास एक ही प्रथम-क्रम सिद्धांत है, और  दोनों सवालों के जवाब दिए, यह दिखाते हुए कि यह सिद्धांत निर्णायक है।

नि: शुल्क संभाव्यता सिद्धांत में एक समान अनसुलझा (2011 तक) प्रश्न पूछता है कि क्या किसी भी दो गैर-अबेलियन के वॉन न्यूमैन समूह बीजगणित अंतिम रूप से उत्पन्न मुक्त समूह आइसोमोर्फिक हैं।

यह भी देखें

 * एक समूह का सेट बनाना
 * एक समूह की प्रस्तुति
 * नीलसन परिवर्तन, एक मुक्त समूह के ऑटोमोर्फिज्म समूह के तत्वों का गुणनखंड
 * मुक्त समूहों के लिए सामान्य रूप और समूहों के मुफ्त उत्पाद
 * मुफ्त उत्पाद

संदर्भ

 * W. Magnus, A. Karrass and D. Solitar, "Combinatorial Group Theory", Dover (1976).
 * P.J. Higgins, 1971, "Categories and Groupoids", van Nostrand, {New York}. Reprints in Theory and Applications of Categories, 7 (2005) pp 1–195.
 * Serre, Jean-Pierre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL2", 3rd edition, astérisque 46 (1983))
 * P.J. Higgins, The fundamental groupoid of a graph of groups, Journal of the London Mathematical Society (2) 13 (1976), no. 1, 145–149.
 * Serre, Jean-Pierre, Trees, Springer (2003) (English translation of "arbres, amalgames, SL2", 3rd edition, astérisque 46 (1983))
 * P.J. Higgins, The fundamental groupoid of a graph of groups, Journal of the London Mathematical Society (2) 13 (1976), no. 1, 145–149.