पाइथागोरस प्रमेय

गणित में, पाइथागोरस प्रमेय या पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज की तीन भुजाओं के बीच यूक्लिडियन ज्यामिति में एक मूलभूत संबंध है। इसमें कहा गया है कि वर्ग का क्षेत्रफल जिसकी भुजा कर्ण (समकोण के विपरीत भुजा) है, अन्य दो भुजाओं के वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर है। इस प्रमेय को पक्षों की लंबाई a, b और कर्ण c से संबंधित एक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है, जिसे अधिकांशतः पायथागॉरियन समीकरण कहा जाता है। गणित में, पाइथागोरस प्रमेय या पाइथागोरस प्रमेय एक समकोण त्रिभुज की तीन भुजाओं के बीच यूक्लिडियन ज्यामिति में एक मूलभूत संबंध है। इसमें कहा गया है कि वर्ग का क्षेत्रफल जिसकी भुजा कर्ण (समकोण के विपरीत भुजा) है, अन्य दो भुजाओं के वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर है। इस प्रमेय को पक्षों की लंबाई a, b और कर्ण c से संबंधित एक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है, जिसे अधिकांशतः पायथागॉरियन समीकरण कहा जाता है। 
 * $$a^2 + b^2 = c^2 ,$$

प्रमेय का नाम प्राचीन ग्रीस के दार्शनिक पाइथागोरस के नाम पर रखा गया है, जिनका जन्म लगभग 570 ईसा पूर्व हुआ था। प्रमेय कई अलग-अलग विधि से कई बार गणितीय प्रमाण रहा है - संभवतः किसी भी गणितीय प्रमेय के लिए सबसे अधिक। प्रमाण विविध हैं, जिनमें ज्यामितीय प्रमाण और बीजगणितीय प्रमाण दोनों सम्मिलित  हैं, जिनमें से कुछ हजारों साल पहले के हैं।

जब यूक्लिडियन अंतरिक्ष को विश्लेषणात्मक ज्यामिति में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली द्वारा दर्शाया जाता है, तो यूक्लिडियन दूरी पायथागॉरियन संबंध को संतुष्ट करती है: दो बिंदुओं के बीच की वर्ग दूरी बिंदुओं के बीच प्रत्येक समन्वय में अंतर के वर्गों के योग के बराबर होती है।

प्रमेय विभिन्न विधि से सामान्यीकरण हो सकता है उच्च-आयामी रिक्त स्थान के लिए, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए, वस्तुओं के लिए जो सही त्रिभुज नहीं हैं, और उन वस्तुओं के लिए जो त्रिभुज नहीं हैं, लेकिन एन-आयामी | एन-आयामी ठोस हैं। पाइथागोरस प्रमेय ने गणितीय विक्षनरी के प्रतीक के रूप में गणित के बाहर रुचि को आकर्षित किया है: गूढ़ता # अंग्रेजी, अचंभा, या बौद्धिक शक्ति; साहित्य, नाटकों, संगीत, गीतों, टिकटों और कार्टूनों में लोकप्रिय संदर्भ प्रचुर मात्रा में हैं।

प्रमेय के अन्य रूप
यदि c कर्ण की लंबाई को दर्शाता है और a और b समकोण त्रिभुज के दो पैरों की लंबाई को दर्शाता है, तो पायथागॉरियन प्रमेय को पायथागॉरियन समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$a^2 + b^2 = c^2 .$$

यदि समकोण त्रिभुज की केवल भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो लेकिन कर्ण की नहीं, तो कर्ण की लंबाई की गणना समीकरण से की जा सकती है
 * $$ c = \sqrt{a^2 + b^2}. $$

यदि कर्ण और एक पैर की लंबाई ज्ञात हो, तो दूसरे पैर की लंबाई की गणना इस प्रकार की जा सकती है
 * $$a = \sqrt{c^2 - b^2} $$

या
 * $$b = \sqrt{c^2 - a^2}. $$

इस प्रमेय का एक सामान्यीकरण कोसाइन का नियम है, जो किसी भी त्रिकोण के किसी भी पक्ष की लंबाई की गणना करने की अनुमति देता है, अन्य दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच का कोण। यदि अन्य पक्षों के बीच का कोण एक समकोण है, तो कोसाइन का नियम पाइथागोरस समीकरण में कम हो जाता है।

पुनर्व्यवस्था प्रमाण
एक पुनर्व्यवस्था प्रमाण में, दो वर्गों का उपयोग किया जाता है जिनकी भुजाओं का माप होता है $$a + b$$ और जिसमें चार समकोण त्रिभुज हैं जिनकी भुजाएँ a, b और c हैं, जिनमें कर्ण c है। दाईं ओर के वर्ग में, त्रिकोणों को इस तरह रखा जाता है कि वर्ग के कोने त्रिभुजों में समकोण के कोनों के अनुरूप होते हैं, केंद्र में एक वर्ग बनाते हैं जिसकी भुजाएँ लंबाई  c  होती हैं। प्रत्येक बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल है $$(a+b)^2$$ साथ ही $$2ab + c^2$$, साथ $$2ab$$ चार त्रिभुजों के कुल क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करता है। बाईं ओर बड़े वर्ग के अन्दर , चार त्रिकोणों को दो समान आयत बनाने के लिए ले जाया जाता है, जिनकी लंबाई a और b होती है। इन आयतों ने अपनी नई स्थिति में अब दो नए वर्गों को चित्रित किया है, जिनमें से एक की लंबाई a है, जो नीचे-बाएँ कोने में बनता है, और एक और वर्ग जिसकी भुजा लंबाई b है, जो शीर्ष-दाएँ कोने में बनता है। इस नई स्थिति में, इस बाईं ओर अब क्षेत्रफल का एक वर्ग है  $$(a+b)^2$$ साथ ही  $$2ab + a^2 + b^2 $$क्यू.ई.डी.|। चूंकि दोनों वर्गों का क्षेत्रफल है $$(a+b)^2$$ यह इस प्रकार है कि वर्ग क्षेत्र का अन्य माप भी एक दूसरे के बराबर है जैसे कि $$2ab + c^2$$ = $$2ab + a^2 + b^2 $$. समीकरण के दोनों ओर से चार त्रिभुजों के क्षेत्रफल को हटा देने पर जो बचता है वह है $$a^2 + b^2 = c^2 .$$

एक अन्य प्रमाण  में दूसरे बॉक्स में आयतों को भी इस तरह रखा जा सकता है कि दोनों में एक कोना हो जो वर्ग के लगातार कोनों के अनुरूप हो। इस तरह वे दो बॉक्स भी बनाते हैं, इस बार लगातार कोनों में, क्षेत्रों के साथ  $$ a^2 $$ तथा $$ b^2 $$जो फिर से क्षेत्रफल के साथ एक दूसरे वर्ग की ओर ले जाएगा $$2ab + a^2 + b^2 $$.

अंग्रेजी गणितज्ञ थॉमस हीथ (क्लासिकिस्ट) ने यूक्लिड|यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों में प्रस्ताव I.47 पर अपनी टिप्पणी में यह प्रमाण दिया है, और जर्मन गणितज्ञों कार्ल एंटोन Bretschneider और हरमन हैंकेल के प्रस्तावों का उल्लेख करते हैं कि पाइथागोरस इस प्रमाण को जानते होंगे। हीथ स्वयं पाइथागोरस के प्रमाण के लिए एक अलग प्रस्ताव का समर्थन करते हैं, लेकिन अपनी चर्चा की प्रारंभिक  से ही स्वीकार करते हैं कि पाइथागोरस के बाद की पहली पांच शताब्दियों से संबंधित यूनानी साहित्य में इस या किसी अन्य विशेष महान ज्यामितीय खोज को निर्दिष्ट करने वाला कोई बयान नहीं है। चूंकि की विद्वता ने गणित के निर्माता के रूप में पाइथागोरस की किसी भी प्रकार की भूमिका पर बढ़ते हुए संदेह को बढ़ा दिया है, चुकी इस बारे में बहस जारी है।

बीजगणितीय प्रमाण
आरेख के निचले भाग में दिखाए गए अनुसार, पक्ष सी के साथ एक वर्ग के चारों ओर सममित रूप से व्यवस्थित एक ही त्रिभुज की चार प्रतियों का उपयोग करके प्रमेय को बीजगणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है। इसका परिणाम पक्ष के साथ एक बड़े वर्ग में होता है a + b और क्षेत्र (a + b)2. चार त्रिकोण और वर्ग भुजा c का क्षेत्रफल बड़े वर्ग के समान होना चाहिए,
 * $$(b+a)^2 = c^2 + 4\frac{ab}{2} = c^2+2ab,$$

दे रही है


 * $$c^2 = (b+a)^2 - 2ab = b^2+2ab+a^2-2ab = a^2 + b^2.$$

इसी तरह का एक प्रमाण  एक समकोण त्रिकोण की चार प्रतियों का उपयोग करता है जिसमें भुजाएँ a, b और c होती हैं, जो एक वर्ग के अंदर भुजा c के साथ व्यवस्थित होती हैं, जैसा कि आरेख के शीर्ष आधे भाग में है। त्रिकोण क्षेत्र के समान हैं $$\tfrac12ab$$, जबकि छोटे वर्ग की भुजा है b − a और क्षेत्र (b − a)2. इसलिए बड़े वर्ग का क्षेत्रफल है
 * $$(b-a)^2+4\frac{ab}{2} = (b-a)^2+2ab = b^2-2ab+a^2+2ab = a^2+b^2. $$

लेकिन यह भुजा c और क्षेत्रफल c वाला एक वर्ग है2, इसलिए


 * $$c^2 = a^2 + b^2. $$

प्रमेय के अन्य प्रमाण
इस प्रमेय के किसी भी अन्य की तुलना में अधिक ज्ञात प्रमाण हो सकते हैं (नियम  (सिद्धांत) # द्विघात पारस्परिकता के अन्य क्षेत्र उस भेद के लिए एक अन्य उम्मेदवार हैं); पुस्तक द पाइथागोरियन प्रस्ताव में 370 प्रमाण हैं।

समरूप त्रिभुजों का प्रयोग करके प्रमाण
यह प्रमाण तीन समरूपता (ज्यामिति) त्रिभुजों की भुजाओं की आनुपातिकता (गणित) पर आधारित है, अर्थात इस तथ्य पर कि त्रिभुजों के आकार की देखभाल किए बिना समरूप त्रिभुजों की किन्हीं दो संगत भुजाओं का अनुपात समान है।

मान लीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका समकोण C पर स्थित है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। बिंदु C से ऊँचाई (त्रिकोण) बनाएँ, और H को भुजा AB के साथ इसका प्रतिच्छेदन कहें। बिंदु H, कर्ण c की लंबाई को भागों d और e में विभाजित करता है। नया त्रिभुज, ACH, त्रिभुज ABC के लिए समानता (ज्यामिति) है, क्योंकि दोनों में एक समकोण है (ऊँचाई की परिभाषा के अनुसार), और वे A पर कोण साझा करते हैं, जिसका अर्थ है कि तीसरा कोण दोनों त्रिभुजों में समान होगा साथ ही, आकृति में θ के रूप में चिह्नित। इसी तरह के तर्क से, त्रिभुज CBH भी ABC के समान है। त्रिभुजों की समानता के प्रमाण के लिए त्रिभुज अभिधारणा की आवश्यकता होती है: एक त्रिभुज में कोणों का योग दो समकोण होता है, और समानांतर अभिधारणा के बराबर होता है। त्रिभुजों की समानता संगत भुजाओं के अनुपातों की समानता की ओर ले जाती है:
 * $$ \frac{BC}{AB}=\frac{BH}{BC} \text{ and }\frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}.$$

पहला परिणाम कोण θ के कोज्या के बराबर है, जबकि दूसरा परिणाम उनकी साइन के बराबर है।

इन अनुपातों को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$BC^2=AB\times BH\text{ and } AC^2=AB\times AH. $$

इन दो समानताओं को सारांशित करने का परिणाम है
 * $$BC^2+AC^2=AB\times BH+AB\times AH=AB(AH+BH)=AB^2 ,$$

जो, सरलीकरण के बाद, पाइथागोरस प्रमेय को प्रदर्शित करता है:
 * $$BC^2+AC^2=AB^2.$$

इतिहास में इस प्रमाण की भूमिका बहुत अटकलों का विषय है। अंतर्निहित प्रश्न यह है कि यूक्लिड ने इस प्रमाण का उपयोग क्यों नहीं किया, बल्कि दूसरे का आविष्कार किया। एक अनुमान यह है कि समान त्रिभुजों के प्रमाण में अनुपात का एक सिद्धांत सम्मिलित  है, एक विषय जिस पर बाद में तत्वों में चर्चा नहीं की गई थी, और यह कि अनुपात के सिद्धांत को उस समय और विकास की आवश्यकता थी।

यूक्लिड का प्रमाण
बाह्यरेखा में, यहाँ बताया गया है कि यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों में प्रमाण कैसे आगे बढ़ता है। बड़े वर्ग को बाएँ और दाएँ आयत में विभाजित किया गया है। एक त्रिभुज की रचना की गई है जिसका क्षेत्रफल बाएँ आयत का आधा है। फिर एक अन्य त्रिभुज का निर्माण किया जाता है जिसमें बाईं ओर के वर्ग का आधा क्षेत्रफल होता है। इन दो त्रिभुजों को सर्वांगसमता (ज्यामिति) के रूप में दिखाया गया है, जिससे यह सिद्ध होता है कि इस वर्ग का क्षेत्रफल बाएँ आयत के समान है। यह तर्क सही आयत और शेष वर्ग के लिए एक समान संस्करण के बाद आता है। कर्ण पर वर्ग को सुधारने के लिए दो आयतों को एक साथ रखने पर, इसका क्षेत्रफल अन्य दो वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है। विवरण का पालन करें।

A, B, C को एक समकोण त्रिभुज का वर्टेक्स (ज्यामिति) होने दें, A पर एक समकोण के साथ। कर्ण पर वर्ग में कर्ण के विपरीत A से एक लंब गिराएँ। वह रेखा वर्ग को कर्ण पर दो आयतों में विभाजित करती है, जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल पैरों पर दो वर्गों में से एक के समान होता है।

औपचारिक प्रमाण के लिए, हमें चार प्रारंभिक प्रमेयिका (गणित) की आवश्यकता होती है:
 * 1) यदि दो त्रिभुजों में एक की दो भुजाएँ एक दूसरे की दो भुजाओं के बराबर हों, प्रत्येक प्रत्येक के बराबर हो, और उन भुजाओं द्वारा सम्मिलित   कोण बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं (भुजा कोण भुजा|भुजा-कोण-भुजा)।
 * 2) एक त्रिभुज का क्षेत्रफल एक ही आधार पर और समान ऊँचाई वाले किसी समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
 * 3) एक आयत का क्षेत्रफल दो आसन्न भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है।
 * 4) एक वर्ग का क्षेत्रफल उसके दो पक्षों के उत्पाद के बराबर है (3 से अनुसरण करता है)।

इसके बाद, प्रत्येक शीर्ष वर्ग एक त्रिभुज से संबंधित होता है, जो दूसरे त्रिभुज से संबंधित होता है, जो निचले वर्ग को बनाने वाले दो आयतों में से एक होता है।

प्रमाण इस प्रकार है:
 * 1) माना ACB समकोण CAB वाला एक समकोण त्रिभुज है।
 * 2) प्रत्येक भुजा पर BC, AB, और CA, वर्ग बनाए गए हैं, CBDE, BAGF, और ACIH, इसी क्रम में। वर्गों के निर्माण के लिए यूक्लिड में तत्काल पूर्ववर्ती प्रमेयों की आवश्यकता होती है, और यह समांतर अभिधारणा पर निर्भर करता है।
 * 3) A से BD और CE के समानांतर एक रेखा खींचिए। यह क्रमशः BC और DE को क्रमशः K और L पर प्रतिच्छेद करेगी।
 * 4) CF और AD को मिलाकर त्रिभुज BCF और BDA बनाएं।
 * 5) कोण CAB और BAG दोनों समकोण हैं; इसलिए C, A, और G रेखा (ज्यामिति)#संरेख बिंदु हैं।
 * 6) कोण CBD और FBA दोनों समकोण हैं; इसलिए कोण ABD कोण FBC के बराबर है, क्योंकि दोनों एक समकोण और कोण ABC का योग हैं।
 * 7) चूँकि AB, FB के बराबर है, BD, BC के बराबर है और कोण ABD, कोण FBC के बराबर है, त्रिभुज ABD, त्रिभुज FBC के सर्वांगसम होना चाहिए।
 * 8) चूँकि A-K-L एक सीधी रेखा है, जो BD के समानांतर है, तो आयत BDLK का क्षेत्रफल त्रिभुज ABD से दोगुना है क्योंकि वे आधार BD को साझा करते हैं और समान ऊँचाई BK रखते हैं, यानी, उनके सामान्य आधार के लिए सामान्य रेखा, समानांतर रेखाओं BD को जोड़ती है और अल। (प्रमेयिका 2)
 * 9) चूंकि C, A और G के साथ समरेख है, और यह रेखा FB के समानांतर है, तो वर्ग BAGF का क्षेत्रफल त्रिभुज FBC से दोगुना होना चाहिए।
 * 10) इसलिए, आयत BDLK का क्षेत्रफल वर्ग BAGF = AB के बराबर होना चाहिए 2।
 * 11) आकृति के दूसरी ओर चरण 3 से 10 को प्रयुक्त   करके, यह इसी तरह दिखाया जा सकता है कि आयत CKLE का क्षेत्रफल वर्ग ACIH = AC के समान होना चाहिए 2।
 * 12) इन दोनों परिणामों को जोड़ने पर AB2 + ac2 = BD × BK + KL × KC
 * 13) चूँकि BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
 * 14) इसलिए, AB + AC2 = EP2, क्योंकि CBDE एक वर्ग है।

यह प्रमाण, जो यूक्लिड के तत्वों में पुस्तक 1 ​​में प्रस्ताव 47 के रूप में प्रकट होता है, दर्शाता है कि कर्ण पर वर्ग का क्षेत्रफल अन्य दो वर्गों के क्षेत्रफल का योग है।

यह त्रिकोणों की समानता के प्रमाण से काफी अलग है, जिसे पाइथागोरस द्वारा उपयोग किए जाने वाले प्रमाण के रूप में माना जाता है।

विच्छेदन और पुनर्व्यवस्था द्वारा प्रमाण
पुनर्व्यवस्था द्वारा एक और मध्य एनीमेशन द्वारा दिया गया है। क्षेत्रफल c के साथ एक बड़ा वर्ग बनता है2,AB और C भुजाओं वाले चार समान समकोण त्रिभुजों से, एक छोटे केंद्रीय वर्ग के चारों ओर फिट किया गया। फिर त्रिभुजों को घुमाकर भुजाओं a और b से दो आयत बनाए जाते हैं। इन आयतों के साथ छोटे वर्ग को मिलाने से क्षेत्रफल के दो वर्ग बनते हैं2 और B, जिसका क्षेत्रफल प्रारंभिक बड़े वर्ग के समान होना चाहिए। तीसरी, सबसे दाहिनी छवि भी एक प्रमाण देती है। ऊपरी दो वर्गों को नीले और हरे रंग के छायांकन द्वारा दिखाए गए टुकड़ों में विभाजित किया गया है, जब पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है, तो कर्ण पर निचले वर्ग में फिट होने के लिए बनाया जा सकता है - या इसके विपरीत बड़े वर्ग को टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है जो अन्य दो को भरते हैं. एक आकृति को टुकड़ों में काटने और दूसरी आकृति प्राप्त करने के लिए उन्हें पुनर्व्यवस्थित करने की इस विधि को विच्छेदन समस्या कहा जाता है। इससे पता चलता है कि बड़े वर्ग का क्षेत्रफल दो छोटे वर्ग के क्षेत्रफल के बराबर है।

पुनर्व्यवस्था के बिना विच्छेदन द्वारा आइंस्टीन का प्रमाण
अल्बर्ट आइंस्टीन ने विच्छेदन द्वारा एक प्रमाण दिया जिसमें टुकड़ों को स्थानांतरित करने की आवश्यकता नहीं है। कर्ण पर एक वर्ग और पैरों पर दो वर्गों का उपयोग करने के अतिरिक्त, कोई भी अन्य आकार का उपयोग कर सकता है जिसमें कर्ण सम्मिलित   है, और दो समानता (ज्यामिति) आकार जिनमें प्रत्येक में कर्ण के अतिरिक्त   दो पैरों में से एक सम्मिलित   है (#समान आंकड़े देखें) तीन पक्ष)। आइंस्टाइन के प्रमाण में कर्ण को सम्मिलित   करने वाली आकृति ही समकोण त्रिभुज है। विच्छेदन में त्रिभुज के समकोण के शीर्ष से कर्ण तक एक लंब गिराना सम्मिलित   है, इस प्रकार पूरे त्रिभुज को दो भागों में विभाजित किया जाता है। उन दो भागों का आकार मूल समकोण त्रिभुज के समान है, और उनके कर्ण के रूप में मूल त्रिभुज के पैर हैं, और उनके क्षेत्रों का योग मूल त्रिभुज का है। चूँकि एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का उसके कर्ण के वर्ग से अनुपात समान त्रिभुजों के लिए समान होता है, इसलिए तीन त्रिभुजों के क्षेत्रों के बीच का संबंध बड़े त्रिभुज की भुजाओं के वर्गों के लिए भी प्रयुक्त   होता है।

क्षेत्र-संरक्षण कतरनी द्वारा प्रमाण
जैसा कि संलग्न एनीमेशन में दिखाया गया है, क्षेत्र-संरक्षण शीयर_मैपिंग और अनुवाद समकोण के निकटवर्ती पक्षों के वर्गों को कर्ण पर वर्ग में बदल सकते हैं, एक साथ इसे ठीक से पूरा कर सकते हैं। प्रत्येक अपरूपण आधार और ऊंचाई को अपरिवर्तित छोड़ देता है, इस प्रकार क्षेत्र को भी अपरिवर्तित छोड़ देता है। अनुवाद भी क्षेत्र को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, क्योंकि वे आकार बिल्कुल नहीं बदलते हैं। प्रत्येक वर्ग को पहले एक समांतर चतुर्भुज में और फिर एक आयत में शियर किया जाता है जिसे कर्ण पर वर्ग के एक खंड में अनुवादित किया जा सकता है।

बीजगणितीय प्रमाण
भविष्य के अमेरिकी राष्ट्रपति जेम्स ए. गारफील्ड (तब एक अमेरिकी प्रतिनिधि) द्वारा एक संबंधित प्रमाण प्रकाशित किया गया था (आरेख देखें)। एक वर्ग के अतिरिक्त   यह एक चतुर्भुज का उपयोग करता है, जो उपरोक्त प्रमाणों के दूसरे में वर्ग से आंतरिक वर्ग के एक विकर्ण के साथ समद्विभाजित करके बनाया जा सकता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। समलम्ब # क्षेत्र की गणना वर्ग के आधे क्षेत्र के रूप में की जा सकती है, अर्थात


 * $$\frac{1}{2}(b+a)^2.$$

आंतरिक वर्ग समान रूप से आधा है, और केवल दो त्रिभुज हैं, इसलिए उपरोक्त के कारक को छोड़कर प्रमाण  आगे बढ़ता है $$\frac{1}{2}$$, जिसे परिणाम देने के लिए दो से गुणा करके हटा दिया जाता है।

अंतरों का उपयोग करके प्रमाण
पाइथागोरस प्रमेय तक यह अध्ययन करके पहुँचा जा सकता है कि कैसे एक पक्ष में परिवर्तन कर्ण में परिवर्तन उत्पन्न करता है और कलन का उपयोग करता है। 



त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है, जैसा कि आरेख के ऊपरी भाग में दिखाया गया है, जिसमें BC कर्ण है। उसी समय त्रिकोण की लंबाई को दिखाया गया है, जैसा कि दिखाया गया है, लंबाई y के कर्ण के साथ, लंबाई x की भुजा AC और लंबाई a की भुजा AB, जैसा कि निचले आरेख भाग में देखा गया है।

यदि साइड AC को D की ओर थोड़ा बढ़ा कर x को एक छोटी राशि dx से बढ़ाया जाता है, तो y भी dy से बढ़ता है। ये एक त्रिभुज, CDE की दो भुजाएँ बनाते हैं, जो (E के साथ इसलिए CE कर्ण के लंबवत है) लगभग ABC के समान एक समकोण त्रिभुज है। इसलिए, उनके पक्षों का अनुपात समान होना चाहिए, अर्थात:


 * $$ \frac{dy}{dx}=\frac xy.$$

इस रूप में फिर से लिखा जा सकता है $$y \, dy=x \, dx$$, जो एक अंतर समीकरण है जिसे प्रत्यक्ष एकीकरण द्वारा हल किया जा सकता है:
 * $$\int y \, dy=\int x \, dx\,,$$

दे रही है
 * $$y^2=x^2+C.$$

समीकरण देने के लिए x = 0, y = a से स्थिरांक निकाला जा सकता है
 * $$y^2 = x^2 + a^2.$$

यह एक औपचारिक की तुलना में एक सहज प्रमाण अधिक है: यदि dx और dy के स्थान पर उचित सीमा का उपयोग किया जाता है तो इसे और अधिक कठोर बनाया जा सकता है।

बातचीत
प्रमेय#प्रमेय का विलोम भी सत्य है: "लंबाई a, b, और c की भुजाओं वाला त्रिभुज दिया है, यदि a2 + b2 = c2, तो भुजाओं a और b के बीच का कोण समकोण होता है।"

किन्हीं तीन धनात्मक वास्तविक संख्याओं a, b, और c के लिए ऐसा है a2 + b2 = c2, त्रिभुज असमानता के परिणामस्वरूप a, b और c भुजाओं वाला एक त्रिभुज उपस्थित  है #विपरीत।

यह आक्षेप यूक्लिड के तत्वों (पुस्तक I, प्रस्ताव 48) में प्रकट होता है: यदि एक त्रिभुज में किसी एक भुजा का वर्ग त्रिभुज की शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, तो शेष दो भुजाओं द्वारा निहित कोण त्रिकोण सही है। यह कोसाइन के नियम  का उपयोग करके या निम्नानुसार सिद्ध किया जा सकता है:

मान लीजिए कि ABC भुजाओं की लंबाई a, b और c के साथ एक त्रिभुज है a2 + b2 = c2. लंबाई a और b की भुजाओं के साथ समकोण वाले एक दूसरे त्रिभुज की रचना करें। पाइथागोरस प्रमेय के अनुसार, इस त्रिभुज के कर्ण की लंबाई c = है $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$, पहले त्रिभुज के कर्ण के समान। चूँकि दोनों त्रिभुजों की भुजाएँ समान लंबाई a, b और c हैं, इसलिए त्रिभुज सर्वांगसमता (ज्यामिति) हैं और उनके समान कोण होने चाहिए। इसलिए, मूल त्रिभुज में लंबाई a और b की भुजाओं के बीच का कोण एक समकोण है।

इसके विपरीत का उपरोक्त प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय का ही उपयोग करता है। पाइथागोरस प्रमेय को ग्रहण किए बिना भी विलोम सिद्ध किया जा सकता है।

पायथागॉरियन प्रमेय का विलोम का एक परिणाम यह निर्धारित करने का एक सरल साधन है कि एक त्रिभुज सही, अधिक, या तीव्र है, जैसा कि निम्नानुसार है। मान लीजिए कि c को तीन भुजाओं में से सबसे लंबा चुना गया है और a + b > c (अन्यथा त्रिभुज असमानता के अनुसार कोई त्रिभुज नहीं है)। निम्नलिखित कथन प्रयुक्त  होते हैं:
 * यदि a2 + b2 = c2, फिर सही त्रिकोण।
 * यदि a2 + b2 > c2, फिर तीव्र त्रिभुज।
 * यदि a2 + b2 < c2, फिर तीव्र और अधिक त्रिकोण।

एड्जर डब्ल्यू. दिज्क्स्ट्रा ने न्यून, समकोण और अधिक कोण वाले त्रिकोणों के बारे में इस भाषा में इस प्रस्ताव को बताया है:


 * sgn(α + β − γ) = sgn(a2 + b2 − c2),

जहाँ α भुजा a के विपरीत कोण है, β भुजा b के विपरीत कोण है, γ भुजा c के विपरीत कोण है, और शाइन चिह्न फलन है।

पायथागॉरियन ट्रिपल
एक पायथागॉरियन ट्रिपल में तीन धनात्मक पूर्णांक a, b और c होते हैं, जैसे कि a2 + b2 = c2. दूसरे शब्दों में, एक पायथागॉरियन ट्रिपल एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है जहाँ तीनों भुजाओं की पूर्णांक लंबाई होती है। ऐसा त्रिगुण सामान्यतः  पर लिखा जाता है (a, b, c). कुछ प्रसिद्ध उदाहरण हैं (3, 4, 5) तथा (5, 12, 13). एक आदिम पाइथागोरस त्रिक वह है जिसमें a, b और c सहअभाज्य हैं (a, b और c का सबसे बड़ा समापवर्तक 1 ​​है)।

निम्नलिखित 100 से कम मान वाले आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल की एक सूची है:


 * (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

उल्टा पायथागॉरियन प्रमेय
भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज दिया है $$a,b,c$$ और ऊंचाई (त्रिकोण) $$d$$ (समकोण से एक रेखा और कर्ण के लंबवत $$c$$). पाइथागोरस प्रमेय है,
 * $$a^2+b^2 = c^2$$

जबकि व्युत्क्रम पायथागॉरियन प्रमेय दो कैथेटस से संबंधित है $$a,b$$ ऊंचाई तक $$d$$,
 * $$\frac1{a^2}+\frac1{b^2} = \frac1{d^2}$$

समीकरण को रूपांतरित किया जा सकता है,
 * $$\frac1{(xz)^2}+\frac1{(yz)^2} = \frac1{(xy)^2}$$

जहा पे $$x^2+y^2=z^2$$ किसी भी अशून्य वास्तविक संख्या के लिए $$x,y,z$$. अगर $$a,b,d$$ पूर्णांक होना है, सबसे छोटा समाधान $$a>b>d$$ तब है
 * $$\frac1{20^2}+\frac1{15^2} = \frac1{12^2}$$

सबसे छोटे पायथागॉरियन ट्रिपल का उपयोग करना $$3,4,5$$. पारस्परिक पायथागॉरियन प्रमेय ऑप्टिक समीकरण का एक विशेष स्थितियों  है
 * $$\frac1{p}+\frac1{q} = \frac1{r}$$

जहाँ हर वर्ग हैं और एक षट्कोणीय त्रिभुज के लिए भी जिसकी भुजाएँ हैं $$p,q,r$$ वर्ग संख्याएँ हैं।

अतुलनीय लंबाई
पाइथागोरस प्रमेय के परिणामों में से एक यह है कि रेखा खंड जिनकी लंबाई कमनीयता (गणित) है (इसलिए जिसका अनुपात एक परिमेय संख्या नहीं है) को कम्पास और स्ट्रेटएज निर्माणों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। पाइथागोरस प्रमेय अतुलनीय लंबाई के निर्माण को सक्षम बनाता है क्योंकि त्रिभुज का कर्ण वर्गमूल संचालन द्वारा भुजाओं से संबंधित होता है।

दाईं ओर का आंकड़ा दिखाता है कि रेखा खंडों का निर्माण कैसे किया जाता है जिनकी लंबाई किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के वर्गमूल के अनुपात में होती है। प्रत्येक त्रिभुज की एक भुजा (लेबल 1 ) होती है जो मापन के लिए चुनी गई इकाई होती है। प्रत्येक समकोण त्रिभुज में, पाइथागोरस प्रमेय इस इकाई के संदर्भ में कर्ण की लंबाई स्थापित करता है। यदि एक कर्ण एक सकारात्मक पूर्णांक के वर्गमूल से इकाई से संबंधित है जो एक पूर्ण वर्ग नहीं है, तो यह इकाई के साथ असंगत लंबाई का प्राप्ति है, जैसे कि, ,. अधिक विवरण के लिए, द्विघात अपरिमेय देखें।

अतुलनीय लंबाई पाइथागोरस स्कूल की संख्या की अवधारणा के साथ केवल पूर्ण संख्या के रूप में विरोध करती है। पायथागॉरियन स्कूल ने एक सामान्य सबयूनिट के पूर्णांक गुणकों की तुलना करके अनुपातों से निपटा। एक किंवदंती के अनुसार, हिपपासस (470 ईसा पूर्व) तर्कहीन या अतुलनीय के अस्तित्व को ज्ञात करने के लिए समुद्र में डूब गया था।

जटिल संख्या
किसी भी जटिल संख्या के लिए
 * $$z = x + iy,$$

निरपेक्ष मान या मापांक द्वारा दिया जाता है
 * $$r = |z|=\sqrt{x^2 + y^2}.$$

तो तीन राशियाँ, r, x और y पाइथागोरस समीकरण द्वारा संबंधित हैं,
 * $$r^2 = x^2 + y^2.$$

ध्यान दें कि r को धनात्मक संख्या या शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है लेकिन x और y ऋणात्मक होने के साथ-साथ धनात्मक भी हो सकते हैं। ज्यामितीय रूप से r शून्य से z की दूरी या जटिल तल में मूल O है।

इसे दो बिंदुओं, z के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है1 और Z कहो। द्वारा आवश्यक दूरी दी गई है
 * $$|z_1 - z_2|=\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2},$$

तो फिर से वे पाइथागोरियन समीकरण के एक संस्करण से संबंधित हैं,
 * $$|z_1 - z_2|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2.$$

यूक्लिडियन दूरी
कार्तीय निर्देशांक में दूरी सूत्र पाइथागोरस प्रमेय से लिया गया है। यदि (x1, y1) तथा (x2, y2) समतल में बिंदु हैं, तो उनके बीच की दूरी, जिसे यूक्लिडियन दूरी भी कहा जाता है, द्वारा दिया जाता है


 * $$ \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}. $$

अधिक सामान्यतः  यूक्लिडियन अंतरिक्ष में|यूक्लिडियन एन-स्पेस, दो बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी, $$A\,=\,(a_1,a_2,\dots,a_n)$$ तथा $$B\,=\,(b_1,b_2,\dots,b_n)$$, पाइथागोरस प्रमेय के सामान्यीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.$$

यदि यूक्लिडियन दूरी के अतिरिक्त, इस मान के वर्ग (यूक्लिडियन दूरी का वर्ग, या SED) का उपयोग किया जाता है, तो परिणामी समीकरण वर्गमूल से बचा जाता है और निर्देशांक के SED का योग होता है:


 * $$(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2 = \sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2.$$

वर्गाकार रूप दोनों बिंदुओं का एक चिकना, उत्तल कार्य है, और व्यापक रूप से अनुकूलन सिद्धांत और सांख्यिकी में उपयोग किया जाता है, जो कम से कम वर्गों का आधार बनता है।

अन्य समन्वय प्रणालियों में यूक्लिडियन दूरी
यदि कार्तीय निर्देशांकों का उपयोग नहीं किया जाता है, उदाहरण के लिए, यदि ध्रुवीय निर्देशांकों का उपयोग दो आयामों में किया जाता है या, अधिक सामान्य शब्दों में, यदि वक्रीय निर्देशांकों का उपयोग किया जाता है, तो यूक्लिडियन दूरी को व्यक्त करने वाले सूत्र पाइथागोरस प्रमेय की तुलना में अधिक जटिल होते हैं, लेकिन इससे व्युत्पन्न किया जा सकता है यह। एक विशिष्ट उदाहरण जहां दो बिंदुओं के बीच की सीधी-रेखा की दूरी वक्रीय निर्देशांक में परिवर्तित हो जाती है, भौतिकी में लीजेंड्रे बहुपद#अनुप्रयोगों ऑफ लीजेंड्रे बहुपदों में पाया जा सकता है। पाइथागोरस के प्रमेय का उपयोग करके सूत्रों को कार्तीय निर्देशांकों के वक्रीय निर्देशांक से संबंधित समीकरणों के साथ खोजा जा सकता है। उदाहरण के लिए, ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) के रूप में पेश किया जा सकता है:


 * $$ x = r \cos \theta, \ y = r \sin \theta.$$

फिर स्थानों के साथ दो बिंदु (r1, θ1) तथा (r2, θ2) दूरी s द्वारा अलग किए गए हैं:


 * $$s^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 = (r_1 \cos \theta_1 -r_2 \cos \theta_2 )^2 + (r_1 \sin \theta_1 -r_2 \sin \theta_2)^2.$$

वर्गों और संयोजन शर्तों को निष्पादित करते हुए, कार्तीय निर्देशांक में दूरी के लिए पायथागॉरियन सूत्र ध्रुवीय निर्देशांक में अलगाव का उत्पादन करता है:
 * $$\begin{align}s^2 &= r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \left( \cos \theta_1 \cos \theta_2 +\sin \theta_1 \sin \theta_2 \right)\\

&= r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos \left( \theta_1 - \theta_2\right)\\ &=r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos \Delta \theta, \end{align}$$ त्रिकोणमितीय पहचानों की त्रिकोणमितीय सूची का उपयोग करना#उत्पाद-से-योग और योग-से-उत्पाद पहचान|उत्पाद-से-योग सूत्र। यह सूत्र कोसाइन का नियम है, जिसे कभी-कभी सामान्यीकृत पाइथागोरस प्रमेय कहा जाता है। इस परिणाम से, उस स्थितियों  के लिए जहां दो स्थानों की त्रिज्या समकोण पर है, संलग्न कोण  और पाइथागोरस प्रमेय के संगत रूप को पुनः प्राप्त किया गया है: $$s^2 = r_1^2 + r_2^2.$$ पायथागॉरियन प्रमेय, समकोण त्रिभुजों के लिए मान्य है, इसलिए कोसाइन के अधिक सामान्य नियम का एक विशेष स्थितियों में  है, जो स्वेच्छ त्रिभुजों के लिए मान्य है।

पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान
पक्षों AB और कर्ण सी के साथ एक समकोण त्रिभुज में, त्रिकोणमिति भुजा ए और कर्ण के बीच कोण θ की साइन और कोज्या निर्धारित करती है:
 * $$\sin \theta = \frac{b}{c}, \quad \cos \theta = \frac{a}{c}.$$

इससे यह इस प्रकार है:


 * $$ {\cos}^2 \theta + {\sin}^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1,$$

जहां अंतिम चरण पाइथागोरस प्रमेय प्रयुक्त  होता है। साइन और कोसाइन के बीच के इस संबंध को कभी-कभी मौलिक पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान कहा जाता है। समान त्रिभुजों में, त्रिभुजों के आकार की परवाह किए बिना भुजाओं के अनुपात समान होते हैं, और कोणों पर निर्भर करते हैं। नतीजतन, आकृति में, इकाई आकार के कर्ण के साथ त्रिकोण में आकार sin θ के विपरीत पक्ष और कर्ण की इकाइयों में आकार cos θ के आसन्न पक्ष हैं।

क्रॉस उत्पाद से संबंध
पायथागॉरियन प्रमेय एक समान विधियों  से क्रॉस उत्पाद और डॉट उत्पाद से संबंधित है:
 * $$ \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2 + (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = \|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2.$$

इसे क्रॉस उत्पाद और डॉट उत्पाद की परिभाषाओं से देखा जा सकता है


 * $$\begin{align} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= ab \mathbf{n} \sin{\theta} \\

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= ab \cos{\theta}, \end{align}$$ n के साथ a और b दोनों के लिए सामान्य एक इकाई वेक्टर। संबंध इन परिभाषाओं और पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान से अनुसरण करता है।

इसका उपयोग क्रॉस उत्पाद को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है। पुनर्व्यवस्थित करने पर निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है


 * $$ \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2.$$

इसे क्रॉस उत्पाद पर एक शर्त के रूप में माना जा सकता है और इसलिए इसकी परिभाषा का हिस्सा, उदाहरण के लिए सात-आयामी क्रॉस उत्पाद में।

तीन पक्षों पर समान आंकड़े
पायथागॉरियन प्रमेय तीन पक्षों पर वर्गों के क्षेत्रों से परे किसी भी समान आंकड़े का सामान्यीकरण करता है। यह 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में चिओस के हिप्पोक्रेट्स द्वारा जाना जाता था, और यूक्लिड द्वारा अपने यूक्लिड के तत्वों में सम्मिलित  किया गया था: जबकि यूक्लिड का प्रमाण केवल प्रयुक्त   होता है उत्तल बहुभुज, प्रमेय अवतल बहुभुजों पर भी प्रयुक्त   होता है और यहां तक ​​कि समान आकृतियों पर भी प्रयुक्त   होता है जिनकी घुमावदार सीमाएं होती हैं (लेकिन फिर भी किसी आकृति की सीमा का भाग मूल त्रिभुज की भुजा होता है)।

इस सामान्यीकरण के पीछे मूल विचार यह है कि एक समतल आकृति का क्षेत्रफल किसी रैखिक आयाम के वर्ग के समानुपाती (गणित) है, और विशेष रूप से किसी भी भुजा की लंबाई के वर्ग के समानुपाती होता है। इस प्रकार, यदि A, B और C क्षेत्रों के समान आंकड़े A, B और C की समान लंबाई वाले पक्षों पर खड़े होते हैं तो:


 * $$\frac{A}{a^2} = \frac{B}{b^2} = \frac{C}{c^2}\, ,$$
 * $$\Rightarrow A + B = \frac{a^2}{c^2}C + \frac{b^2}{c^2}C\, .$$

लेकिन, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, a2 + बी2 = सी2, इसलिए A + B = C।

इसके विपरीत, यदि हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किए बिना तीन समान आकृतियों के लिए A + B = C सिद्ध कर सकते हैं, तो हम प्रमेय की उपपत्ति बनाने के लिए पीछे की ओर कार्य कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्रारंभिक ी केंद्र त्रिकोण को दोहराया जा सकता है और उसके कर्ण पर त्रिकोण सी के रूप में प्रयोग   किया जा सकता है, और दो समान समकोण त्रिकोण (A और B) अन्य दो पक्षों पर निर्मित होते हैं, जो केंद्रीय त्रिकोण को उसके ऊंचाई (त्रिकोण) से विभाजित करके बनाया जाता है। दो छोटे त्रिकोणों के क्षेत्रों का योग इसलिए तीसरे का है, इस प्रकार A + B = C और उपरोक्त तर्क को उलटने से पायथागॉरियन प्रमेय a2 +B2 = C 2। (यह भी देखें पुनर्व्यवस्था के बिना विच्छेदन द्वारा #आइंस्टीन का प्रमाण| पुनर्व्यवस्था के बिना विच्छेदन द्वारा आइंस्टीन का प्रमाण)

कोसाइन का नियम
पायथागॉरियन प्रमेय किसी भी त्रिकोण में भुजाओं की लंबाई से संबंधित अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष स्थितियों  है, कोसाइन का नियम:
 * $$a^2+b^2-2ab\cos{\theta}=c^2, $$

जहा पे $$\theta$$ भुजाओं के बीच का कोण है $$a$$ तथा $$b$$.

कब $$\theta$$ है $$\frac{\pi}{2}$$ रेडियन या 90°, फिर $$\cos{\theta} = 0$$, और सूत्र सामान्य पाइथागोरस प्रमेय तक कम हो जाता है।

मनमाना त्रिकोण
पक्षों a, b, c के एक सामान्य त्रिभुज के किसी भी चयनित कोण पर, एक समद्विबाहु त्रिभुज को इस प्रकार अंकित करें कि इसके आधार θ पर समान कोण चयनित कोण के समान हों। मान लीजिए कि चयनित कोण θ c लेबल वाली भुजा के विपरीत है। समद्विबाहु त्रिभुज को अंकित करने से त्रिभुज CAD बनता है जिसमें कोण θ विपरीत भुजा b और भुजा r के साथ c होता है। एक दूसरा त्रिभुज कोण θ के विपरीत भुजा a और लंबाई s के साथ c के साथ बनाया गया है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। थाबित इब्न क़ुर्रा ने कहा कि तीन त्रिभुजों की भुजाएँ इस प्रकार संबंधित थीं:
 * $$ a^2 +b^2 =c(r+s) \ . $$

जैसे ही कोण θ निकट आता है π/2, समद्विबाहु त्रिभुज का आधार संकरा होता है, और लंबाई r और s कम और कम ओवरलैप करते हैं। जब θ = π/2, ADB एक समकोण त्रिभुज बन जाता है, r + s = c, और मूल पायथागॉरियन प्रमेय लौट  आ जाता है।

एक प्रमाण यह देखता है कि त्रिभुज ABC में त्रिभुज CAD के समान कोण हैं, लेकिन विपरीत क्रम में हैं। (दो त्रिभुज शीर्ष A पर कोण साझा करते हैं, दोनों में कोण θ होता है, और इसलिए त्रिभुज अभिधारणा द्वारा समान तीसरा कोण भी होता है।) नतीजतन, ABC निचले पैनल में त्रिभुज DAC, CAD के प्रतिबिंब के समान है। θ के विपरीत और सन्निकट भुजाओं का अनुपात लेने पर,
 * $$\frac{c}{b} = \frac{b}{r} \ .$$

इसी प्रकार, दूसरे त्रिभुज के प्रतिबिंब के लिए,
 * $$\frac{c}{a} = \frac{a}{s} \ . $$

समाशोधन भिन्न और इन दो संबंधों को जोड़ना:
 * $$ cs + cr = a^2 +b^2 \, $$

आवश्यक परिणाम।

कोण होने पर प्रमेय मान्य रहता है $$ \theta $$ अधिक है इसलिए लंबाई r और s गैर-अतिव्यापी हैं।

समांतर चतुर्भुजों का प्रयोग करते हुए सामान्य त्रिभुज
पप्पस का क्षेत्र प्रमेय एक और सामान्यीकरण है, जो उन त्रिकोणों पर प्रयुक्त  होता है जो समकोण त्रिकोण नहीं हैं, वर्गों के स्थान पर तीन पक्षों पर समांतर चतुर्भुज का उपयोग करते हुए (वर्ग निश्चित रूप से एक विशेष स्थितियों   है)। ऊपरी आकृति दर्शाती है कि एक विषमबाहु त्रिभुज के लिए, सबसे लंबी भुजा के समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं के समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का योग होता है, बशर्ते दीर्घ भुजा पर समांतर चतुर्भुज का निर्माण संकेत के अनुसार किया गया हो (आयामों को चिन्हित किया गया हो) तीर समान हैं, और निचले समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ निर्धारित करते हैं)। समांतर चतुर्भुजों के साथ वर्गों का यह प्रतिस्थापन मूल पाइथागोरस प्रमेय के साथ एक स्पष्ट समानता रखता है, और इसे 4 ईसवी में अलेक्जेंड्रिया के पप्पस द्वारा एक सामान्यीकरण माना गया था निचला आंकड़ा प्रमाण के तत्वों को दर्शाता है। आकृति के बाईं ओर ध्यान दें। बाएँ हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल वही है जो निचले समांतर चतुर्भुज के बाएँ, नीले भाग का है क्योंकि दोनों का आधार b और ऊँचाई h समान है।  चुकी , बाएँ हरे समांतर चतुर्भुज का भी वही क्षेत्रफल होता है जो ऊपरी आकृति के बाएँ हरे समांतर चतुर्भुज का होता है, क्योंकि उनका आधार समान होता है (त्रिकोण के ऊपरी बाएँ भाग) और त्रिभुज के उस तरफ सामान्य ऊँचाई समान होती है। आकृति के दाईं ओर के तर्क को दोहराते हुए, नीचे के समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दो हरे समांतर चतुर्भुजों के योग के बराबर होता है।

ठोस ज्यामिति
ठोस ज्यामिति के संदर्भ में, पाइथागोरस प्रमेय को तीन आयामों पर निम्नानुसार प्रयुक्त  किया जा सकता है। चित्र में दर्शाए अनुसार एक आयताकार ठोस पर विचार करें। पाइथागोरस प्रमेय से विकर्ण BD की लंबाई इस प्रकार पाई जाती है:


 * $$ \overline{BD}^{\,2} = \overline{BC}^{\,2} + \overline{CD}^{\,2} \ ,$$

जहाँ ये तीन भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। क्षैतिज विकर्ण BD और ऊर्ध्वाधर किनारे AB का उपयोग करते हुए, विकर्ण AD की लंबाई को पाइथागोरस प्रमेय के एक दूसरे अनुप्रयोग द्वारा इस प्रकार पाया जाता है:


 * $$ \overline{AD}^{\,2} = \overline{AB}^{\,2} + \overline{BD}^{\,2} \ ,$$

या, यह सब एक चरण में करना:
 * $$ \overline{AD}^{\,2} = \overline{AB}^{\,2} + \overline{BC}^{\,2} + \overline{CD}^{\,2} \ .$$

यह परिणाम सदिश v (विकर्ण AD) के परिमाण के लिए उसके लांबिक घटकों {v के संदर्भ में त्रि-आयामी व्यंजक है।k} (तीन परस्पर लम्बवत् भुजाएँ):


 * $$\|\mathbf{v}\|^2 = \sum_{k=1}^3 \|\mathbf{v}_k\|^2.$$

इस एक-चरण सूत्रीकरण को पाइथागोरस प्रमेय के उच्च आयामों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। चुकी , यह परिणाम वास्तव में मूल पाइथागोरस प्रमेय का बार-बार किया जाने वाला अनुप्रयोग है, जो ऑर्थोगोनल विमानों के अनुक्रम में समकोण त्रिभुजों के उत्तराधिकार के लिए है।

पाइथागोरस प्रमेय का तीन आयामों के लिए पर्याप्त सामान्यीकरण डी गुआ का प्रमेय है, जिसका नाम जीन पॉल डी गुआ डी मॉलोज़ के नाम पर रखा गया है: यदि एक चतुर्पाश्वीय में समकोण कोण है (एक घन (ज्यामिति) के कोने की तरह), तो क्षेत्र का वर्ग समकोण कोने के विपरीत फलक का भाग अन्य तीन फलकों के क्षेत्रफलों के वर्गों का योग होता है। इस परिणाम को n-विम पायथागॉरियन प्रमेय के रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है:

"माना $x_1, x_2, \ldots,x_n $ Rn में ओर्थोगोनल सदिश हैं। कोने $0,x_1,\ldots, x_n$ के साथ n-आकार सरल S पर विचार करें। ((n − 1)-विमीय सिंप्लेक्स को शीर्षों के साथ $x_1,\ldots,x_n$ के बारे में सोचें, जिसमें एस के 'कर्ण' के रूप में मूल सम्मिलित नहीं है। और शेष (n - 1)S के 'पैर' के रूप में आयामी चेहरे।) फिर S के कर्ण के आयतन का वर्ग योग है एन पैरों के आयतन के वर्गों का।"

इस कथन को चित्र में चतुष्फलक द्वारा तीन आयामों में चित्रित किया गया है। कर्ण आकृति के पीछे टेट्राहेड्रॉन का आधार है, और पैर अग्रभूमि में शीर्ष से निकलने वाली तीन भुजाएँ हैं। जैसे-जैसे शीर्ष से आधार की गहराई बढ़ती है, टाँगों का क्षेत्रफल बढ़ता जाता है, जबकि आधार का क्षेत्रफल स्थिर रहता है। प्रमेय बताता है कि जब यह गहराई एक सही शीर्ष बनाने वाले मान पर होती है, तो पाइथागोरस प्रमेय का सामान्यीकरण प्रयुक्त  होता है। एक अलग शब्दांकन में: "एक n-आयताकार n-आकार सरल दिया गया है, (n - 1)-का वर्ग पहलू का विरोध करता है दायां शीर्ष (n − 1)-शेष पहलुओं की सामग्री के वर्गों के योग के बराबर होगा।"

आंतरिक उत्पाद स्थान
पायथागॉरियन प्रमेय को आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो परिचित 2-आयामी और 3-आयामी यूक्लिडियन रिक्त स्थान के सामान्यीकरण हैं। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन (गणित) को एक सदिश स्थान के रूप में माना जा सकता है जिसमें कार्यात्मक विश्लेषण के रूप में एक आंतरिक उत्पाद स्थान में असीम रूप से कई घटक होते हैं। रेफरी नाम = लिन>



एक आंतरिक उत्पाद स्थान में, लंबवतता की अवधारणा को ओर्थोगोनलिटी की अवधारणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है: दो वैक्टर v और w ऑर्थोगोनल हैं यदि उनका आंतरिक उत्पाद $$ \langle \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle $$ शून्य है। आंतरिक उत्पाद स्थान # परिभाषा वैक्टर के डॉट उत्पाद का सामान्यीकरण है। डॉट उत्पाद को मानक आंतरिक उत्पाद या यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद कहा जाता है। चुकी , अन्य आंतरिक उत्पाद संभव हैं।

लंबाई की अवधारणा को मानक सदिश समष्टि ||v|| की अवधारणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है एक वेक्टर वी की, इस रूप में परिभाषित:
 * $$\lVert \mathbf{v} \rVert \equiv \sqrt{\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle} \, .$$

एक आंतरिक-उत्पाद स्थान में, पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि किसी भी दो ऑर्थोगोनल वैक्टर v और w के लिए हमारे पास है
 * $$\left\| \mathbf{v} + \mathbf{w} \right\|^2 = \left\| \mathbf{v} \right\|^2 + \left\| \mathbf{w} \right\|^2 .$$

यहाँ सदिश v और w यूक्लिडियन सदिश#जोड़ और घटाव v + w द्वारा दिए गए कर्ण के साथ एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के समान हैं। पायथागॉरियन प्रमेय का यह रूप आंतरिक उत्पाद स्थान # परिभाषा का परिणाम है:
 * $$\begin{align}

\left\| \mathbf{v} + \mathbf{w} \right\|^2 &= \langle \mathbf{ v+w},\ \mathbf{ v+w}\rangle \\[3mu] &= \langle \mathbf{ v},\ \mathbf{ v}\rangle +\langle \mathbf{ w},\ \mathbf{ w}\rangle +\langle\mathbf{ v,\ w }\rangle + \langle\mathbf{ w,\ v }\rangle \\[3mu] &= \left\| \mathbf{v}\right\|^2 + \left\| \mathbf{w}\right\|^2, \end{align}$$ जहा पे $$\langle\mathbf{ v,\ w }\rangle = \langle\mathbf{ w,\ v }\rangle = 0$$ रूढ़िवादिता के कारण।

गैर-ऑर्थोगोनल वैक्टर के लिए एक आंतरिक उत्पाद स्थान में पाइथागोरस प्रमेय का एक और सामान्यीकरण समांतर चतुर्भुज समानता # नॉर्मड वेक्टर रिक्त स्थान है जो समांतर चतुर्भुज नियम  को संतुष्ट करता है:


 * $$2\|\mathbf v\|^2 +2 \|\mathbf w\|^2 = \|\mathbf {v + w} \|^2 +\| \mathbf{v-w}\|^2 \, $$

जो कहता है कि समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग का दुगुना विकर्णों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है। कोई भी मानदंड जो इस समानता को संतुष्ट करता है, वास्तव में एक आंतरिक उत्पाद के अनुरूप एक मानदंड है।

पायथागॉरियन पहचान को दो से अधिक ऑर्थोगोनल वैक्टरों की रकम तक बढ़ाया जा सकता है। अगर वि1, में2, ..., मेंn एक आंतरिक-उत्पाद स्थान में जोड़ीदार-ऑर्थोगोनल वैक्टर हैं, फिर इन वैक्टरों के क्रमिक जोड़े के लिए पाइथागोरस प्रमेय का अनुप्रयोग (जैसा कि #ठोस ज्यामिति पर अनुभाग में 3-आयामों के लिए वर्णित है) समीकरण में परिणाम देता है
 * $$\left\|\sum_{k=1}^n\mathbf{v}_k\right\|^2=\sum_{k=1}^n\|\mathbf{v}_k\|^2$$

एन-आकार स्पेस में एम-आकार   ऑब्जेक्ट्स के सेट
पायथागॉरियन प्रमेय का एक अन्य सामान्यीकरण किसी भी संख्या में आयामों में वस्तुओं के लेबेस्ग-मापने योग्य सेट पर प्रयुक्त  होता है। विशेष रूप से, एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक या अधिक समानांतर एम-आयामी फ्लैट (ज्यामिति) में वस्तुओं के एक एम-आयामी सेट के माप का वर्ग, के ओर्थोगोनालिटी अनुमानों के उपायों के वर्गों के योग के बराबर है। ऑब्जेक्ट (ओं) को सभी एम-आयामी समन्वय उप-स्थानों पर।

गणितीय शब्दों में:
 * $$\mu^2_{ms} = \sum_{i=1}^{x}\mathbf{\mu^2}_{mp_i}$$

जहा पे:
 * $$\mu_m$$ M-आयामों में एक माप है (एक आयाम में एक लंबाई, दो आयामों में एक क्षेत्र, तीन आयामों में एक आयतन, आदि)।
 * $$s$$ N-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक या एक से अधिक समानांतर एम-आयामी फ्लैटों में एक या अधिक गैर-अतिव्यापी एम-आयामी वस्तुओं का एक सेट है।
 * $$\mu_{ms}$$ M-आयामी वस्तुओं के समुच्चय का कुल माप (योग) है।
 * $$p$$ ओर्थोगोनल कोऑर्डिनेट सबस्पेस पर मूल सेट के एम-आकार  प्रक्षेपण का प्रतिनिधित्व करता है।
 * $$\mu_{mp_i}$$ M-आकार  सेट प्रक्षेपण   का M-आकार   कोऑर्डिनेट सबस्पेस पर माप है $$i$$. क्योंकि ऑब्जेक्ट प्रक्षेपण   एक समन्वयित उप-स्थान पर ओवरलैप कर सकते हैं, सेट में प्रत्येक ऑब्जेक्ट प्रक्षेपण का माप व्यक्तिगत रूप से गणना किया जाना चाहिए, फिर दिए गए समन्वय उप-स्थान पर अनुमानों के सेट के लिए कुल माप प्रदान करने के लिए सभी अनुमानों के उपायों को एक साथ जोड़ा गया।
 * $$x$$ N-आयामी अंतरिक्ष में ऑर्थोगोनल, M-आयामी समन्वय उप-स्थानों की संख्या है ($R^{n}$) जिस पर m-आयामी वस्तुओं को प्रक्षेपित किया जाता है (m ≤ n): $$x = \binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति
पायथागॉरियन प्रमेय यूक्लिडियन ज्यामिति की ज्यामिति की नींव से लिया गया है, और वास्तव में, यदि पायथागॉरियन प्रमेय किसी समकोण त्रिभुज के लिए विफल हो जाता है, तो जिस तल में यह त्रिभुज समाहित है वह यूक्लिडियन नहीं हो सकता है। अधिक सटीक रूप से, पाइथागोरस प्रमेय समानांतर अभिधारणा#समतुल्य गुण|यूक्लिड के समानांतर (पांचवें) अभिधारणा द्वारा निहित है, और निहित है। इस प्रकार, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में समकोण त्रिभुज

पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट नहीं करते। उदाहरण के लिए, गोलीय ज्यामिति में, समकोण त्रिभुज की सभी तीन भुजाएँ (कहते हैं a, b, और c) इकाई गोले के एक अष्टांश को परिबद्ध करने वाली लंबाई के बराबर होती हैं π/2, और इसके सभी कोण समकोण हैं, जो पायथागॉरियन प्रमेय का उल्लंघन करता है क्योंकि $$ a^2 + b^2 = 2 c^2 > c^2 $$.

यहाँ गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के दो स्थितियों  पर विचार किया जाता है - गोलाकार ज्यामिति और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति; प्रत्येक स्थितियों   में, गैर-समकोण त्रिभुजों के लिए यूक्लिडियन स्थितियों   की तरह, पाइथागोरस प्रमेय को प्रतिस्थापित करने का परिणाम कोसाइन के उपयुक्त नियम से आता है।

चुकी, पाइथागोरस प्रमेय अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति और दीर्घवृत्तीय ज्यामिति में सही रहता है, यदि त्रिभुज के सही होने की शर्त को इस शर्त से बदल दिया जाता है कि दो कोणों का योग तीसरे के बराबर होता है, मान लीजिए A+B = C. पक्ष फिर निम्नानुसार संबंधित हैं : व्यास a और b वाले वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग व्यास c वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

गोलाकार ज्यामिति
त्रिज्या R के किसी भी सम गोलाकार त्रिभुज के लिए (उदाहरण के लिए, यदि आकृति में γ एक समकोण है), भुजाओं a, b, c के साथ, भुजाओं के बीच संबंध का रूप लेता है:
 * $$ \cos \left(\frac{c}{R}\right) = \cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right).$$

यह समीकरण कोसाइन के गोलाकार नियम  के एक विशेष स्थितियों   के रूप में प्राप्त किया जा सकता है जो सभी गोलाकार त्रिकोणों पर प्रयुक्त   होता है:


 * $$ \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right) +\sin\left(\frac{a}{R}\right) \sin\left(\frac{b}{R}\right) \cos \gamma \ .$$

बिग ओ नोटेशन में शेष अवधि के साथ एक स्पर्शोन्मुख विस्तार के रूप में कोसाइन फ़ंक्शन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला को व्यक्त करके,


 * $$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \text{ as } x \to 0\ ,$$

यह दिखाया जा सकता है कि जैसे-जैसे त्रिज्या R अनंत की ओर अग्रसर होती है और तर्क a/R, b/R, और c/R शून्य की ओर प्रवृत्त होते हैं, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच गोलाकार संबंध पाइथागोरस प्रमेय के यूक्लिडियन रूप की ओर अग्रसर होता है। प्रत्येक कोसाइन के लिए स्पर्शोन्मुख विस्तार को एक समकोण त्रिकोण पैदावार के लिए गोलाकार संबंध में प्रतिस्थापित करना


 * $$1-\frac{1}{2}\left(\frac{c}{R}\right)^2 + O\left(\frac{1}{R^4}\right) = \left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{a}{R}\right)^2 + O\left(\frac{1}{R^4}\right) \right]\left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{b}{R}\right)^2 + O\left(\frac{1}{R^4}\right) \right] \text{ as }R\to\infty\ .$$

स्थिरांक A4, B4, औरC4 को बड़े O शेष पदों में अवशोषित कर लिया गया है क्योंकि वे त्रिज्या R से स्वतंत्र हैं। इस स्पर्शोन्मुख संबंध को कोष्ठक की मात्राओं को गुणा करके, लोगों को रद्द करके, -2 से गुणा करके, और सभी को एकत्रित करके और सरल बनाया जा सकता है। त्रुटि शर्तें एक साथ:


 * $$\left(\frac{c}{R}\right)^2 = \left(\frac{a}{R}\right)^2 + \left(\frac{b}{R}\right)^2 + O\left(\frac{1}{R^4}\right)\text{ as }R\to\infty\ .$$

R से गुणा करने के बाद2, यूक्लिडियन पायथागॉरियन संबंध c2 =A2 + B2 सीमा में पुनर्प्राप्त किया जाता है क्योंकि त्रिज्या R अनंत तक पहुंचता है (चूंकि शेष शब्द शून्य हो जाता है):


 * $$c^2= a^2 + b^2 + O\left(\frac{1}{R^2}\right)\text{ as }R\to\infty\ .$$

छोटे समकोण त्रिभुजों (A B << R) के लिए, कोसाइन को महत्व के हानि  से बचने के लिए समाप्त किया जा सकता है, दे रहा है
 * $$ \sin^2 \frac{c}{2R} = \sin^2 \frac{a}{2R} + \sin^2 \frac{b}{2R} - 2 \sin^2 \frac{a}{2R} \sin^2 \frac{b}{2R} \,.$$

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति
एकसमान गाऊसी वक्रता -1/R के साथ अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति स्थान में2, पैरों a, b, और कर्ण c वाले एक सम अतिपरवलयिक त्रिभुज के लिए, भुजाओं के बीच का संबंध इस रूप में होता है:
 * $$ \cosh \frac{c}{R} = \cosh \frac{a}{R} \, \cosh \frac{b}{R} $$

जहां धन अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य है। यह सूत्र कोसाइन के अतिपरवलयिक नियम का एक विशेष रूप है जो सभी अतिपरवलयिक त्रिभुजों पर प्रयुक्त  होता है:
 * $$\cosh \frac{c}{R} = \cosh \frac{a}{R} \ \cosh \frac{b}{R} - \sinh \frac{a}{R} \ \sinh \frac{b}{R} \ \cos \gamma \, $$

γ भुजा c के विपरीत शीर्ष पर कोण के साथ।

अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला का उपयोग करके, cosh x ≈ 1 + x2/2, यह दिखाया जा सकता है कि एक अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिभुज बहुत छोटा हो जाता है (अर्थात, a, b, और c सभी शून्य की ओर बढ़ते हैं), समकोण त्रिभुज के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण संबंध पाइथागोरस प्रमेय के रूप में पहुंचता है।

छोटे समकोण त्रिभुजों (a, b << R) के लिए, महत्व की हानि से बचने के लिए अतिपरवलयिक कोसाइन को समाप्त किया जा सकता है, जिससे
 * $$ \sinh^2 \frac{c}{2R} = \sinh^2 \frac{a}{2R} + \sinh^2 \frac{b}{2R} + 2 \sinh^2 \frac{a}{2R} \sinh^2 \frac{b}{2R} \,.$$

बहुत छोटे त्रिकोण
किसी भी समान वक्रता K (धनात्मक, शून्य या ऋणात्मक) के लिए, बहुत छोटे समकोण त्रिभुजों में (|K|a2, << 1) कर्ण c के साथ, यह दिखाया जा सकता है
 * $$ c^2 = a^2 + b^2 - \frac{K}{3} a^2 b^2 - \frac{K^2}{45} a^2 b^2 (a^2 + b^2) - \frac{2 K^3}{945} a^2 b^2 (a^2 - b^2)^2 + O (K^4 c^{10}) \,.$$

विभेदक ज्यामिति
पाइथागोरस प्रमेय अवकल ज्यामिति में देखे गए अवकल (गणित) त्रिभुजों पर प्रयुक्त  होता है। तीन आयामी अंतरिक्ष में, दो असीम रूप से अलग किए गए बिंदुओं के बीच की दूरी संतुष्ट करती है


 * $$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2,$$

ds के साथ दूरी का तत्व और (dx, dy, dz) दो बिंदुओं को अलग करने वाले वेक्टर के घटक। ऐसी जगह को यूक्लिडियन स्पेस कहा जाता है। चुकी, रिमेंनियन ज्यामिति में, इस अभिव्यक्ति का एक सामान्यीकरण सामान्य निर्देशांक (न केवल कार्टेशियन) और सामान्य रिक्त स्थान (केवल यूक्लिडियन नहीं) के लिए उपयोगी है:
 * $$ds^2 = \sum_{i,j}^n g_{ij}\, dx_i\, dx_j $$

जिसे मेट्रिक टेन्सर#आर्कलेंथ और लाइन एलिमेंट कहा जाता है। (कभी-कभी, भाषा के दुरुपयोग से, एक ही शब्द गुणांक के सेट पर प्रयुक्त  होता है gij।) यह स्थिति का एक कार्य हो सकता है, और अधिकांशतः घुमावदार स्थान का वर्णन करता है। एक साधारण उदाहरण यूक्लिडियन (सपाट) स्थान है जिसे वक्रीय निर्देशांक में व्यक्त किया गया है। उदाहरण के लिए, ध्रुवीय निर्देशांक में:


 * $$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 \ . $$

इतिहास
इस बात पर बहस है कि पायथागॉरियन प्रमेय एक बार खोजा गया था या कई बार कई स्थानों पर, और पहली खोज की तारीख अनिश्चित है, जैसा कि पहले प्रमाण  की तारीख है। मेसोपोटामिया गणित के इतिहासकारों ने निष्कर्ष निकाला है कि पाइथागोरस के जन्म से एक हजार साल पहले, पहले बेबीलोनियन राजवंश (20वीं से 16वीं शताब्दी ईसा पूर्व) के समय   पाइथागोरस के शासन का व्यापक उपयोग हुआ था।    प्रमेय के इतिहास को चार भागों में विभाजित किया जा सकता है: पाइथागोरस के त्रिगुणों का ज्ञान, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंधों का ज्ञान, आसन्न कोणों के बीच संबंधों का ज्ञान, और कुछ निगमनात्मक प्रणाली के अन्दर   प्रमेय के प्रमाण।

2000 और 1786 ईसा पूर्व के बीच लिखे गए, मिस्र के मध्य साम्राज्य के मिस्र बर्लिन पपीरस 6619 में एक समस्या सम्मिलित  है जिसका समाधान पायथागॉरियन ट्रिपल 6:8:10 है, लेकिन समस्या में त्रिकोण का उल्लेख नहीं है। हम्बुराबी द ग्रेट के शासनकाल के समय   1790 और 1750 ईसा पूर्व के बीच लिखी गई मेसोपोटामिया की गोली प्लिमपटन 322 में पायथागॉरियन ट्रिपल से संबंधित कई प्रविष्टियां सम्मिलित   हैं।

भारत में, बौधायन शुलब सूत्र, जिसकी तिथियां 8वीं और 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बीच विभिन्न रूप से दी गई हैं, समद्विबाहु त्रिभुज समद्विबाहु समकोण त्रिभुज के विशेष स्थितियों  में और सामान्य स्थितियों   में, पाइथागोरस के त्रिक की एक सूची और पाइथागोरस प्रमेय का एक कथन सम्मिलित   है, जैसा कि आपस्तम्ब शुलब सूत्र (सी. 600 ईसा पूर्व) करता है।

बीजान्टिन साम्राज्य नवप्लेटोवाद दार्शनिक और गणितज्ञ बंद किया हुआ, पांचवीं शताब्दी ईस्वी में लिखते हुए, दो अंकगणितीय नियम बताते हैं, उनमें से एक प्लेटो को जिम्मेदार ठहराया, दूसरा पाइथागोरस को। विशेष पायथागॉरियन त्रिक उत्पन्न करने के लिए। पाइथागोरस के लिए जिम्मेदार नियम (c. 570) एक समता (गणित) से शुरू होता है और पैर और कर्ण के साथ एक इकाई से भिन्न एक ट्रिपल पैदा करता है; प्लेटो (428/427 या 424/423 - 348/347 बीसी) के लिए जिम्मेदार नियम एक सम संख्या से शुरू होता है और पैर और कर्ण के साथ दो इकाइयों के अंतर के साथ एक ट्रिपल बनाता है। टी. एल. हीथ|थॉमस एल. हीथ (1861-1940) के अनुसार, पाइथागोरस के लिए प्रमेय का कोई विशिष्ट श्रेय पाइथागोरस के जीवित रहने के बाद की पांच शताब्दियों के जीवित ग्रीक साहित्य में उपस्थित  नहीं है। चुकी , जब प्लूटार्क और सिसरौ जैसे लेखकों ने प्रमेय को पाइथागोरस के लिए जिम्मेदार ठहराया, तो उन्होंने ऐसा इस तरह से किया जिससे पता चलता है कि विशेषता व्यापक रूप से ज्ञात और निस्संदेह थी।  कुंआरियां कर्ट वॉन फ्रिट्ज ने लिखा है, क्या यह सूत्र व्यक्तिगत रूप से पाइथागोरस के लिए सही रूप से जिम्मेदार है, लेकिन कोई सुरक्षित रूप से यह मान सकता है कि यह पाइथागोरसवाद की सबसे पुरानी अवधि से संबंधित है। लगभग 300 ईसा पूर्व, यूक्लिड के तत्वों में, प्रमेय का सबसे पुराना प्रचलित गणित प्रस्तुत किया गया है।

बहुत पहले ज्ञात सामग्री के साथ, लेकिन लगभग पहली शताब्दी ईसा पूर्व से जीवित ग्रंथों में, चीन पाठ झोउबी सुंजिंग (周髀算经), (सूक्ति का अंकगणितीय क्लासिक (आंकड़ा) और स्वर्ग के परिपत्र पथ) एक तर्क देता है (3, 4, 5) त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय के लिए - चीन में इसे 'गौगु प्रमेय' (勾股定理) कहा जाता है। हान राजवंश (202 ईसा पूर्व से 220 एडी) के समय , पाइथागोरस के त्रिक गणितीय कला पर नौ अध्यायों में दिखाई देते हैं, साथ में समकोण त्रिभुजों का उल्लेख। कुछ का मानना ​​है कि प्रमेय सबसे पहले चीन में उत्पन्न हुआ, जहां इसे वैकल्पिक रूप से शांग गाओ प्रमेय (शांग गाओ प्रमेय) के रूप में जाना जाता है, झोउ के ड्यूक के नाम पर रखा गया|ड्यूक ऑफ झोउ के खगोलशास्त्री और गणितज्ञ के नाम पर, जिनके तर्कों का अधिकांश भाग झोउबी सुंजिंग में था। रेफरी नाम = वू>



यह भी देखें

 * चतुर्भुज में जोड़
 * डल्करनॉन में
 * ब्रिटिश ध्वज प्रमेय
 * फर्मेट की अंतिम प्रमेय
 * उलटा पाइथागोरस प्रमेय
 * केप्लर त्रिकोण
 * लीनियर अलजेब्रा
 * त्रिकोण विषयों की सूची
 * एलपी स्पेस|एल पी  स्थान
 * गैर-कर्ण संख्या
 * समांतर चतुर्भुज कानून
 * पारसेवल की पहचान
 * टॉलेमी की प्रमेय
 * पाइथागोरस अपेक्षा
 * पायथागॉरियन टाइलिंग
 * तर्कसंगत त्रिकोणमिति#पाइथागोरस प्रमेय|पाइथागोरस प्रमेय में तर्कसंगत त्रिकोणमिति
 * थेल्स प्रमेय

उद्धृत कार्य

 * पर ऑनलाइन टेक्स्ट
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 * यह हाई-स्कूल ज्यामिति पाठ इस WP लेख में कई विषयों को शामिल करता है।
 * 1940 के दूसरे संस्करण के पूर्ण पाठ के लिए देखें मूल रूप से 1940 में प्रकाशित और गणित के राष्ट्रीय शिक्षक परिषद द्वारा 1968 में पुनर्मुद्रित, ISBN 0-87353-036-5.
 * रॉबसन, एलेनोर और जैकलीन स्टेडल, एड।, द ऑक्सफोर्ड हैंडबुक ऑफ द हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिक्स, ऑक्सफोर्ड: ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, 2009। पीपी। vii + 918। ISBN 978-0-19-921312-2.
 * भी ISBN 3-540-96981-0.
 * रॉबसन, एलेनोर और जैकलीन स्टेडल, एड।, द ऑक्सफोर्ड हैंडबुक ऑफ द हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिक्स, ऑक्सफोर्ड: ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, 2009। पीपी। vii + 918। ISBN 978-0-19-921312-2.
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