तिरछा प्रक्षेपण

तिर्यक प्रक्षेपण त्रि-आयामी (3D) वस्तुओं की द्वि-आयामी (2डी) छवियों के उत्पादन के लिए उपयोग किए जाने वाले चित्रमय प्रक्षेपण का एक सरल प्रकार का तकनीकी आरेखण है।

वस्तुएं परिप्रेक्ष्य (ग्राफिकल) में नहीं हैं और इसलिए किसी वस्तु के किसी भी दृश्य के अनुरूप नहीं हैं जिसे व्यवहार में प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन तकनीक कुछ हद तक आश्वस्त और उपयोगी होती है।

तिर्यक प्रक्षेप समान्यतः तकनीकी ड्राइंग में प्रयोग किया जाता है। 18वीं शताब्दी में दुर्गों को चित्रित करने के लिए घुड़सवार प्रक्षेपण का उपयोग फ्रांसीसी सैन्य कलाकारों द्वारा किया गया था।

पहली या दूसरी शताब्दी से लेकर 18वीं शताब्दी तक चीनी कलाकारों द्वारा तिर्यक प्रक्षेपण का उपयोग लगभग सार्वभौमिक रूप से किया गया था, विशेष रूप से घरों जैसे सीधीरेखीय वस्तुओं को चित्रित करने के लिए। कंप्यूटर एडेड डिज़ाइन (CAD), कंप्यूटर गेम, कंप्यूटर जनित एनिमेशन और फिल्मों में उपयोग किए जाने वाले विशेष प्रभावों सहित कंप्यूटर ग्राफिक्स में विभिन्न ग्राफिकल प्रक्षेपण तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है।

सकन
तिर्यक प्रक्षेप एक प्रकार का समानांतर प्रक्षेपण है: तिर्यक प्रक्षेप और ऑर्थोग्राफ़िक प्रक्षेपण दोनों में, स्रोत वस्तु की समानांतर रेखाएँ अनुमानित छवि में समानांतर रेखाएँ उत्पन्न करती हैं। ऑब्लिक प्रक्षेपण में प्रोजेक्टर अनुमानित इमेज बनाने के लिए प्रक्षेपण प्लेन को एक तिरछे कोण पर काटते हैं, जैसा कि लिखने का प्रक्षेपण  में इस्तेमाल होने वाले लंबवत कोण के विपरीत होता है।
 * यह समानांतर किरणों (प्रोजेक्टर) को काटकर एक छवि पेश करता है
 * ड्राइंग सतह (प्रक्षेपण प्लेन) के साथ त्रि-आयामी स्रोत वस्तु से।

गणितीय रूप से, बिंदु का समानांतर प्रक्षेपण $$(x, y, z)$$ पर $$xy$$-प्लेन देता है $$(x+az, y+bz, 0)$$. स्थिरांक $$a$$ और $$b$$ विशिष्ट रूप से एक समानांतर प्रक्षेपण निर्दिष्ट करें। कब $$a = b = 0$$, प्रक्षेपण को ऑर्थोग्राफ़िक या ऑर्थोगोनल कहा जाता है। अन्यथा, यह तिरछा है। स्थिरांक $$a$$ और $$b$$ आवश्यक रूप से 1 से कम नहीं हैं, और इसके परिणामस्वरूप एक तिरछे प्रक्षेपण पर मापी गई लंबाई या तो बड़ी या छोटी हो सकती है, क्योंकि वे अंतरिक्ष में थीं। एक सामान्य तिरछे प्रक्षेपण में, अंतरिक्ष के क्षेत्रों को आरेखण विमान पर दीर्घवृत्त के रूप में प्रक्षेपित किया जाता है, न कि मंडलियों के रूप में जैसा कि वे एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण से प्रकट होते हैं।

ओब्लिक ड्रॉइंग भी सबसे क्रूड 3D ड्रॉइंग मेथड है लेकिन मास्टर करने में सबसे आसान है। तिरछे दृश्य का उपयोग करने का एक तरीका यह है कि आप जिस वस्तु को दो आयामों में देख रहे हैं, उसके किनारे को खींचे, यानी सपाट, और फिर दूसरी भुजाओं को 45 ° के कोण पर खींचे, लेकिन भुजाओं को पूर्ण आकार में खींचने के बजाय वे हैं केवल आधी गहराई के साथ खींचा गया 'मजबूर गहराई' - वस्तु में यथार्थवाद का एक तत्व जोड़ना। यहां तक ​​​​कि इस 'मजबूर गहराई' के साथ, तिरछे चित्र आंखों के लिए बहुत असंबद्ध लगते हैं। इस कारण से पेशेवर डिजाइनरों या इंजीनियरों द्वारा शायद ही कभी तिरछा उपयोग किया जाता है।

तिरछा सचित्र
एक तिरछे सचित्र चित्र में, अक्ष के बीच प्रदर्शित कोण, साथ ही साथ अग्रसंक्षेपण कारक (पैमाना) मनमाना होते हैं। अधिक सटीक रूप से, एक ही बिंदु से उत्पन्न होने वाले तीन समतलीय खंडों के किसी भी सेट को घन के तीन पक्षों के कुछ तिरछे परिप्रेक्ष्य के रूप में माना जा सकता है। इस परिणाम को जर्मन गणितज्ञ पोहलके द्वारा पोहलके प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जिन्होंने इसे 19वीं शताब्दी की शुरुआत में प्रकाशित किया था। परिणामी विकृतियाँ wikt बनाती हैं: तकनीक औपचारिक, कामकाजी रेखाचित्रों के लिए अनुपयुक्त है। फिर भी, प्रक्षेपण के विमान के समानांतर छवि के एक विमान को संरेखित करके विकृतियों को आंशिक रूप से दूर किया जाता है। ऐसा करने से चुने हुए तल की सही आकार की छवि बनती है। तिरछे अनुमानों की यह विशिष्ट श्रेणी, जिससे दिशाओं के साथ लंबाई होती है $$x$$ और $$y$$ संरक्षित हैं, लेकिन दिशा के साथ लंबाई $$z$$ एक कमी कारक का उपयोग करके कोण पर खींचा जाता है, औद्योगिक आरेखण के लिए बहुत अधिक उपयोग किया जाता है।
 * कैवलियर प्रक्षेपण ऐसे प्रक्षेपण का नाम है, जहां लंबाई साथ-साथ होती है $$z$$ अक्ष अनस्केल्ड रहता है।
 * कैबिनेट प्रक्षेपण, फर्नीचर चित्रों में लोकप्रिय, ऐसी तकनीक का एक उदाहरण है, जहां पीछे हटने वाली धुरी को आधे आकार में बढ़ाया जाता है (कभी-कभी दो-तिहाई मूल के बजाय)।

कैवेलियर प्रक्षेपण
घुड़सवार प्रक्षेपण (कभी-कभी घुड़सवार परिप्रेक्ष्य या उच्च दृश्य बिंदु) में वस्तु का एक बिंदु तीन निर्देशांक, x, y और z द्वारा दर्शाया जाता है। आरेखण पर, यह केवल दो निर्देशांकों, x″ और y″ द्वारा दर्शाया गया है। समतल आरेखण पर, आकृति पर दो अक्ष, x और z लंबवत हैं और इन अक्षों पर लंबाई 1:1 पैमाने के साथ खींची गई है; यह इस प्रकार डिमेट्रिक अनुमानों के समान है, हालांकि यह डिमेट्रिक प्रक्षेपण नहीं है, तीसरी धुरी के रूप में, यहां y, विकर्ण में खींचा गया है, जो x″ अक्ष के साथ एक मनमाना कोण बनाता है, समान्यतः 30 या 45 डिग्री। तीसरे अक्ष की लंबाई को छोटा नहीं किया गया है। इसे बनाना बहुत आसान है, खासकर पेन और पेपर के साथ। यह इस प्रकार प्रायः प्रयोग किया जाता है जब एक आकृति को हाथ से खींचा जाना चाहिए, उदा। ब्लैक बोर्ड पर (पाठ, मौखिक परीक्षा)।

प्रतिनिधित्व शुरू में सैन्य किलेबंदी के लिए इस्तेमाल किया गया था। फ्रेंच में, घुड़सवार (सचमुच सवार, घुड़सवार, घुड़सवार सेना  देखें) दीवारों के पीछे एक कृत्रिम पहाड़ी है जो दीवारों के ऊपर दुश्मन को देखने की अनुमति देता है। घुड़सवार परिप्रेक्ष्य इस उच्च बिंदु से चीजों को देखने का तरीका था। कुछ लोग नाम को इस तथ्य से भी समझाते हैं कि यह एक ऐसा तरीका था जिससे एक सवार अपने घोड़े की पीठ से जमीन पर एक छोटी सी वस्तु को देख सकता था।

कैबिनेट प्रक्षेपण
कैबिनेट प्रक्षेपण शब्द फर्नीचर उद्योग द्वारा चित्रण में इसके उपयोग से उपजा है। घुड़सवार परिप्रेक्ष्य की तरह, प्रक्षेपित वस्तु का एक चेहरा देखने वाले विमान के समानांतर होता है, और तीसरी धुरी को कोण पर जाने के रूप में पेश किया जाता है (समान्यतः atan(2) या लगभग ~63.4°). घुड़सवार प्रक्षेपण के विपरीत, जहां तीसरी धुरी अपनी लंबाई रखती है, कैबिनेट प्रक्षेपण के साथ पीछे हटने वाली रेखाओं की लंबाई आधे में कट जाती है।

गणितीय सूत्र
एक सूत्र के रूप में, यदि दर्शक का सामना करने वाला तल xy है, और पीछे हटने वाला अक्ष z है, तो एक बिंदु P को इस प्रकार प्रक्षेपित किया जाता है:
 * $$ P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

x + \frac12 z \cos \alpha \\ y + \frac12 z \sin \alpha \\ 0 \end{pmatrix}$$ कहाँ $$\alpha$$ उल्लिखित कोण है।

परिवर्तन मैट्रिक्स है:
 * $$ P = \begin{bmatrix}

1 & 0 & \frac12 \cos \alpha \\ 0 & 1 & \frac12 \sin \alpha \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ वैकल्पिक रूप से कोई भी शुरुआती चेहरे से प्रक्षेपित अग्रणी भुजा से एक तिहाई हटा सकता है, इस प्रकार एक ही परिणाम दे सकता है।

सैन्य प्रक्षेपण
सैन्य प्रक्षेपण में, x और z-अक्ष और y और z-अक्ष के कोण 45° पर हैं, जिसका अर्थ है कि x-अक्ष और y-अक्ष के बीच का कोण 90° है। अर्थात् xy-तल तिरछा नहीं है। हालांकि, यह 45 डिग्री से अधिक घुमाया जाता है।

उदाहरण
तकनीकी ड्राइंग और चित्रों के अतिरिक्त, वीडियो गेम (विशेष रूप से 3D गेम के आगमन से पहले वाले) भी प्रायः तिरछे प्रक्षेपण के एक रूप का उपयोग करते हैं। उदाहरणों में सिमसिटी (1989 वीडियो गेम), अंतिम सातवीं, नवीनतम ऑनलाइन,  सांसारिक , पेपरबॉय (वीडियो गेम) और हाल ही में टिबिया (वीडियो गेम) समिलित हैं।  Image:Perspective cavaliere exemple piece revolution.svg|बाईं ओर के आंकड़े ऑर्थोग्राफ़िक अनुमान हैं। दाईं ओर की आकृति 30° के कोण और के अनुपात के साथ एक तिर्यक प्रक्षेप है $1/undefined$. Image:Potting-bench-cabinet-view.png|45 डिग्री के कोण और 2/3 के अनुपात के साथ कैबिनेट प्रक्षेपण में खींची गई पोटिंग बेंच। Image:Perspective cavaliere fortification.jpg|घुड़सवार परिप्रेक्ष्य में किलेबंदी के टुकड़े (साइक्लोपीडिया, या कला और विज्ञान का एक सार्वभौमिक शब्दकोश खंड 1, 1728)। Image:Perspective cavaliere report coordonnees 90deg.svg|एक बिंदु को घुड़सवार परिप्रेक्ष्य पर रखने के लिए निर्देशांक का उपयोग कैसे किया जाता है। File:Militärperspektive.PNG|सैन्य परिप्रेक्ष्य में खींचा गया पत्थर का मेहराब। Image:Cabinet perspective 45.svg|कैबिनेट परिप्रेक्ष्य में खींचा गया पत्थर का मेहराब। File:Korean art-Donggwoldo-Changdeokgung and Changgyeonggung-Dong-A University-01.jpg| मुख्य महल, Gyeongbokgung के पूर्व में स्थित दो शाही महलों, चांगदेओकगंग और चांगग्योंगंग को दर्शाती प्रतिनिधि कोरियाई पेंटिंग। File:Xu Yang - Entrance and yard of a yamen.jpg|एक यमन का प्रवेश और यार्ड। जू यांग द्वारा सूज़ौ के बारे में स्क्रॉल का विवरण, कियानलॉन्ग सम्राट द्वारा आदेश दिया गया। 18 वीं सदी File:Plan Port-Royal-des-Champs.jpg|पोर्ट-रॉयल-डेस-चैंप्स की 18वीं शताब्दी की योजना सैन्य प्रक्षेपण में तैयार की गई File:SimCity-Indigo.gif| वीडियो गेम SimCity में सैन्य प्रक्षेपण की भिन्नता का उपयोग किया जाता है File:Arteria lusoria MRA MIP-03 - Annotated.jpg| 3 डी प्रतिपादन चुंबकीय अनुनाद एंजियोग्राफी, पथभ्रष्ट सबक्लेवियन धमनी को अलग करने के लिए एक तिरछे प्रक्षेपण में दिखाया गया है 

यह भी देखें

 * ओब्लिक मर्केटर प्रक्षेपण]]
 * ओब्लिक मर्केटर प्रक्षेपण
 * हत्सुसबुरो योशिदा
 * कला तकनीकों की सूची

अग्रिम पठन

 * Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek, Planar Geometric Projections and Viewing Transformations, ACM Computing Surveys, v.10 n.4, p. 465–502, Dec. 1978
 * Alpha et al. 1988, Atlas of Oblique Maps, A Collection of Landform Portrayals of Selected Areas of the World (US Geological Survey)
 * Alpha et al. 1988, Atlas of Oblique Maps, A Collection of Landform Portrayals of Selected Areas of the World (US Geological Survey)

बाहरी संबंध

 * Illustrator Draftsman 3 & 2 – Volume 2 Standard Practices and Theory, page 68 from https://web.archive.org/web/20100822152816/http://www.tpub.com:80/