क्रमित प्रारूप

गणित में, विशेषकर समुच्चय सिद्धांत में, दो क्रमित समुच्चय $X$ और $Y$ को समान ऑर्डर प्रकार कहा जाता है यदि वे आदेश समरूपी हैं, अर्थात, यदि कोई आक्षेप मौजूद है (प्रत्येक तत्व दूसरे सेट में बिल्कुल एक के साथ जुड़ता है) $$f\colon X \to Y$$ ऐसे कि दोनों $f$ और इसका व्युत्क्रम कार्य क्रम सिद्धांत (तत्वों के क्रम को संरक्षित करना) में मोनोटोनिक # मोनोटोनिकिटी है। विशेष मामले में जब $X$ पूरी तरह से व्यवस्थित है, की एकरसता $f$ इसके व्युत्क्रम की एकरसता का तात्पर्य है।

उदाहरण के लिए, पूर्णांकों के समुच्चय (गणित) और समता (गणित) पूर्णांकों के समुच्चय का क्रम प्रकार समान होता है, क्योंकि मैपिंग $$n\mapsto 2n$$ एक आक्षेप है जो व्यवस्था को सुरक्षित रखता है। लेकिन पूर्णांकों के समुच्चय और परिमेय संख्याओं के समुच्चय (मानक क्रम के साथ) में समान क्रम प्रकार नहीं होता है, क्योंकि भले ही समुच्चय समान प्रमुखता  के होते हैं (वे दोनों गणनीय समुच्चय हैं), कोई क्रम-संरक्षित विशेषण नहीं है उनके बीच मानचित्रण. इन दो ऑर्डर प्रकारों में हम दो और जोड़ सकते हैं: सकारात्मक पूर्णांकों का सेट (जिसमें सबसे कम तत्व होता है), और नकारात्मक पूर्णांकों का सेट (जिसमें सबसे बड़ा तत्व होता है)। खुला अंतराल $(0, 1)$ परिमेय का क्रम परिमेय के समरूपी है (चूँकि, उदाहरण के लिए, $$f(x) = \tfrac{2x - 1}{1 - \vert {2x - 1} \vert}$$ पूर्व से उत्तरार्द्ध तक सख्ती से बढ़ती आपत्ति है); आधे-बंद अंतराल [0,1) और (0,1] और बंद अंतराल [0,1] में निहित तर्कसंगतता, तीन अतिरिक्त ऑर्डर प्रकार के उदाहरण हैं।

चूँकि क्रम-समतुल्यता एक समतुल्य संबंध है, यह एक का विभाजन सभी क्रमबद्ध सेटों के वर्ग (सेट सिद्धांत) को समतुल्य वर्गों में सेट करता है।

अच्छी तरह से ऑर्डर का प्रकार
परिभाषा के अनुसार प्रत्येक सुव्यवस्थित सेट ठीक एक क्रमसूचक संख्या (गणित) के बराबर होता है। क्रमसूचक संख्याओं को उनकी कक्षाओं का विहित रूप माना जाता है, और इसलिए एक सुव्यवस्थित सेट के क्रम प्रकार को आमतौर पर संबंधित क्रमसूचक के साथ पहचाना जाता है। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्याओं के समुच्चय का क्रम प्रकार है $ω$.

सुव्यवस्थित सेट का ऑर्डर प्रकार $V$ को कभी-कभी इस रूप में व्यक्त किया जाता है $ord(V)$. उदाहरण के लिए, सेट पर विचार करें $V$ सम क्रमादेशों से भी कम $ω &sdot; 2 + 7$:


 * $$V = \{0,2,4,\ldots;\omega,\omega + 2,\omega + 4,\ldots;\omega\cdot 2,\omega\cdot 2 + 2, \omega\cdot 2 + 4, \omega\cdot 2 + 6\}.$$

इसका ऑर्डर प्रकार है:


 * $$\operatorname{ord}(V) = \omega\cdot 2 + 4 = \{0, 1, 2, \ldots; \omega, \omega+1, \omega+2, \ldots; \omega\cdot 2, \omega\cdot 2 + 1, \omega\cdot 2 + 2, \omega\cdot 2 + 3\},$$

क्योंकि गिनती की 2 अलग-अलग सूचियाँ हैं और अंत में क्रम से 4 हैं।

परिमेय संख्या
किसी भी गणनीय पूर्णतः क्रमबद्ध सेट को क्रम-संरक्षण तरीके से परिमेय संख्याओं में इंजेक्टिव रूप से मैप किया जा सकता है। किसी भी घने क्रम को गिनने योग्य पूरी तरह से आदेशित सेट जिसमें कोई उच्चतम और कोई निम्नतम तत्व नहीं है, उसे क्रम-संरक्षण तरीके से तर्कसंगत संख्याओं पर विशेष रूप से मैप किया जा सकता है।

संकेतन
पूर्णांक संख्या और परिमेय संख्या का क्रम प्रकार आमतौर पर दर्शाया जाता है $$\pi$$ और $$\eta$$, क्रमशः. यदि एक सेट $$S$$ ऑर्डर प्रकार है $$\sigma$$, के द्वैत (आदेश सिद्धांत) का क्रम प्रकार $$S$$ (उलटा क्रम) दर्शाया गया है $$\sigma^{*}$$.

यह भी देखें

 * सुव्यवस्थित