आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण

आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण एक कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण है जो पारंपरिक एनयूआरबीएस-आधारित कंप्यूटर एडेड डिजाइन डिज़ाइन टूल में परिमित तत्व विश्लेषण (एफईए) को एकीकृत करने की संभावना प्रदान करता है। वर्तमान में, विकास के दौरान नए डिजाइनों का विश्लेषण करने के लिए सीएडी और एफईए पैकेजों के बीच डेटा को परिवर्तित करना आवश्यक है, यह एक कठिन कार्य है क्योंकि दोनों कम्प्यूटेशनल ज्यामितीय दृष्टिकोण अलग-अलग हैं। आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण सीधे एफईए एप्लिकेशन में जटिल एनयूआरबीएस ज्यामिति (अधिकांश सीएडी पैकेजों का आधार) को नियोजित करता है। यह एक सामान्य डेटा सेट का उपयोग करके मॉडलों को एक ही बार में डिज़ाइन, परीक्षण और समायोजित करने की अनुमति देता है। इस तकनीक के अग्रदूत ऑस्टिन में टेक्सास विश्वविद्यालय में थॉमस जे.आर. ह्यूजेस और उनका समूह हैं। कुछ आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण विधियों का एक संदर्भ मुफ्त सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन जियोपीडीई है। इसी तरह, अन्य कार्यान्वयन ऑनलाइन पाए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, पेटीजीए पीईटीएससी पर आधारित उच्च प्रदर्शन आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण के लिए एक खुला ढांचा है। इसके अलावा, MIGFEM एक और IGA कोड है जो मैटलैब में लागू किया गया है और 2D और 3D फ्रैक्चर के लिए यूनिटी संवर्धन IGA के विभाजन का समर्थन करता है। इसके अलावा, G+Smo आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण के लिए एक खुली C++ लाइब्रेरी है। विशेष रूप से, FEAP एक परिमित तत्व विश्लेषण कार्यक्रम है जिसमें एक आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण लाइब्रेरी FEAP IsoGeometric (संस्करण FEAP84 और संस्करण FEAP85) शामिल है। आईजीए तक होने वाले घटनाक्रमों का लेखा-जोखा प्रलेखित किया गया है।

एफईए के संबंध में आईजीए के लाभ
आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण परिमित तत्व विधि के संबंध में दो मुख्य लाभ प्रस्तुत करता है:
 * कोई ज्यामितीय सन्निकटन त्रुटि नहीं है, इस तथ्य के कारण कि डोमेन (गणितीय विश्लेषण) बिल्कुल सटीक रूप से दर्शाया गया है *उदाहरण के लिए कार्डियक इलेक्ट्रोफिजियोलॉजी, ध्वनिकी और इलास्टोडायनामिक्स में उत्पन्न होने वाली तरंग प्रसार समस्याओं का बेहतर वर्णन किया गया है, संख्यात्मक फैलाव और अपव्यय त्रुटियों में कमी के कारण।

मेष
आईजीए के ढांचे में, नियंत्रण बहुभुज जाल और भौतिक जाल दोनों की धारणाओं को परिभाषित किया गया है। एक नियंत्रण जाल तथाकथित नियंत्रण बिंदुओं द्वारा बनाया जाता है और यह उनके टुकड़े-टुकड़े रैखिक प्रक्षेप द्वारा प्राप्त किया जाता है। नियंत्रण बिंदु स्वतंत्रता की डिग्री (डीओएफ) की भी भूमिका निभाते हैं।

भौतिक जाल सीधे ज्यामिति पर बिछा होता है और इसमें पैच और गाँठ स्पैन होते हैं। किसी विशिष्ट भौतिक जाल में उपयोग किए जाने वाले पैच की संख्या के अनुसार, एकल-पैच या बहु-पैच दृष्टिकोण को प्रभावी ढंग से नियोजित किया जाता है। एक पैच को एक संदर्भ आयत से दो आयामों में और एक संदर्भ घनाभ से तीन आयामों में मैप किया जाता है: इसे संपूर्ण कम्प्यूटेशनल डोमेन या उसके एक छोटे हिस्से के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक पैच को गाँठ स्पैन में विघटित किया जा सकता है, जो क्रमशः 1D, 2D और 3D में बिंदु (ज्यामिति) s, रेखा (ज्यामिति) s और सतह (गणित) s हैं। गांठें नॉट स्पैन के अंदर डाली जाती हैं और तत्वों को परिभाषित करती हैं। आधार कार्य हैं $$C^{p-m}$$ गांठों के पार, साथ $$p$$ बहुपद की डिग्री और $$m$$ एक विशिष्ट गाँठ की बहुलता, और $$C^{\infty}$$ एक निश्चित गाँठ और अगली या पिछली गाँठ के बीच।

नॉट वेक्टर
एक गाँठ वेक्टर, जिसे आम तौर पर इस रूप में दर्शाया जाता है $$\Xi = \{ \xi_1, \xi_2, ..., \xi_{n+p+1} \}$$, गैर-अवरोही बिंदुओं का एक सेट है। $$\xi_i \in \mathbb{R}$$ है $$i^{th}$$ गाँठ, $$n$$ कार्यों की संख्या है, $$p$$ आधार कार्य क्रम को संदर्भित करता है। एक गाँठ गाँठ के विस्तार को तत्वों में विभाजित करती है। एक गाँठ वेक्टर इस तथ्य के अनुसार एक समान या गैर-समान है कि इसकी गांठें, एक बार उनकी बहुलता को ध्यान में नहीं रखने पर, समान दूरी पर हैं या नहीं। यदि पहली और आखिरी गांठें दिखाई दें $$p + 1$$ कई बार, गाँठ वेक्टर को खुला कहा जाता है।

आधार कार्य
एक बार नॉट वेक्टर की परिभाषा प्रदान करने के बाद, इस संदर्भ में कई प्रकार के आधार कार्यों को पेश किया जा सकता है, जैसे बी splines, एनयूआरबीएस और टी-स्प्लिंस।

बी-स्प्लिंस
बी-स्प्लिंस को टुकड़े-टुकड़े निरंतर फ़ंक्शन से पुनरावर्ती रूप से प्राप्त किया जा सकता है $$p = 0$$:

$$ N_{i, 0}(\xi) = \mathcal{I}_{[\xi_i, \xi_{i+1})}(s) \quad 1 \leq i \leq n $$ डी बूर के एल्गोरिदम का उपयोग करके, मनमाने क्रम के बी-स्प्लिंस उत्पन्न करना संभव है $$p$$:

$$ N_{i, p}(\xi) = \frac{\xi - \xi_i}{\xi_{i+p} - \xi_i} N_{i, p - 1}(\xi) + \frac{\xi_{i+p+1} - \xi}{\xi_{i+p+1} - \xi_{i+1}} N_{i + 1, p - 1}(\xi) \quad 1 \leq i \leq n $$ एकसमान और गैर-समान गाँठ वैक्टर दोनों के लिए मान्य। पिछले सूत्र को ठीक से काम करने के लिए, दो शून्यों का विभाजन शून्य के बराबर होने दें, अर्थात। $$\dfrac{0}{0} := 0$$.

इस तरह से उत्पन्न होने वाले बी-स्प्लिन में एकता और सकारात्मकता गुणों का विभाजन होता है, अर्थात:

$$ \sum_{i=1}^n N_{i, p}(\xi) = 1 \quad \forall \xi $$ $$ N_{i, p}(\xi) \geq 0 \quad \forall \xi $$ ताकि यौगिक  या ऑर्डर की गणना की जा सके $$k$$ की $$i^{th}$$ बी-डिग्री के विभाजन $$p$$, एक अन्य पुनरावर्ती सूत्र नियोजित किया जा सकता है:

$$ \frac{d^k}{d^k \xi} N_{i, p}(\xi)= \frac{p!}{(p-k)!} \sum_{j=0}^k \alpha_{k, j} N_{i + j, p - k}(\xi) $$ कहाँ:

$$ \alpha_{0, 0} = 1 $$

$$ \alpha_{k, 0} = \frac{\alpha_{k - 1, 0}}{\xi_{i + p - k + 1} - \xi_{i}}, $$

$$ \alpha_{k, j} = \frac{\alpha_{k - 1, j} - \alpha_{k - 1, j - 1}}{\xi_{i + p + j - k + 1} - \xi_{i + j}} \quad j = 1, ..., k-1, $$

$$ \alpha_{k, k} = \frac{- \alpha_{k - 1, j - 1}}{\xi_{i + p + 1} - \xi_{i + k}}. $$ जब भी एक का हर $$\alpha_{j, j}$$ गुणांक शून्य है, संपूर्ण गुणांक भी शून्य होने के लिए बाध्य है।

एक बी-स्पलाइन वक्र को निम्नलिखित तरीके से लिखा जा सकता है:

$$ \textbf{C}(\xi) = \sum_{i=1}^n N_{i, p}(\xi) \textbf{B}_i $$ कहाँ $$n$$ आधार कार्यों की संख्या है $$N_{i, p}$$, और $$\textbf{B}_i \in \mathbb{R}^d$$ है $$i^{th}$$ नियंत्रण बिंदु, के साथ $$d$$ उस स्थान का आयाम जिसमें वक्र डूबा हुआ है।

द्वि-आयामी मामले का विस्तार बी-स्प्लिंस वक्रों से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है। विशेष रूप से बी-स्पलाइन सतहों को इस प्रकार पेश किया जाता है:

$$ \textbf{S}(\xi, \eta) = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m N_{i, p}(\xi) M_{j, q}(\eta) \textbf{B}_{i, j} $$ कहाँ $$n$$ और $$m$$ आधार कार्यों की संख्याएँ हैं $$N_{i, p}$$ और $$M_{j, q}$$ दो अलग-अलग गाँठ वैक्टर पर परिभाषित $$\Xi = \{\xi_1, \xi_2, ..., \xi_{n+p+1}\}$$, $$\mathcal{H} = \{\eta_1, \eta_2, ..., \eta_{m+q+1} \}$$, $$\textbf{B}_{i, j}$$ अब नियंत्रण बिंदुओं के एक मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करता है (जिसे नियंत्रण नेट भी कहा जाता है)।

अंत में, बी-स्प्लिन ठोस, जिन्हें बी-स्प्लिन आधार कार्यों के तीन सेट और नियंत्रण बिंदुओं के एक टेंसर की आवश्यकता होती है, को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है:

$$ \textbf{S}(\xi, \eta, \zeta) = \sum_{i = 1}^n \sum_{j = 1}^m \sum_{k = 1}^l N_{i, p}(\xi) M_{j, q}(\eta) L_{k, r}(\zeta) \textbf{B}_{i, j, k} $$

NURBS
आईजीए आधार में फ़ंक्शंस को कम्प्यूटेशनल डोमेन विकसित करने के लिए भी नियोजित किया जाता है, न कि केवल संख्यात्मक समाधान का प्रतिनिधित्व करने के लिए। इस कारण से उनमें वे सभी गुण होने चाहिए जो ज्यामिति को सटीक तरीके से प्रस्तुत करने की अनुमति देते हैं। उदाहरण के लिए, बी-स्प्लिन, अपनी आंतरिक संरचना के कारण, उचित रूप से गोलाकार आकृतियाँ उत्पन्न करने में सक्षम नहीं हैं। इस समस्या से बचने के लिए, गैर-समान तर्कसंगत बी-स्प्लिंस, जिन्हें एनयूआरबीएस भी कहा जाता है, को निम्नलिखित तरीके से पेश किया गया है:

$$ R_i^p(s) = \frac{N_{i, p}(s) \omega_i}{W(s)} $$ कहाँ $$N_{i, p}$$ एक आयामी बी-स्पलाइन है, $$W(s) = \sum_{i = 1}^{n} N_{i, p}(s) \omega_i$$ वज़न फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है, और अंत में $$\omega_i$$ है $$i^{th}$$ वज़न।

बी-स्प्लिन के बारे में उपधारा में विकसित विचार के बाद, एनयूआरबीएस वक्र निम्नानुसार उत्पन्न होते हैं:

$$ \textbf{C}(s) = \sum_{i = 1}^n R_i^p(s) \textbf{B}_i $$ साथ $$\textbf{B}_i$$ $$i^{th}$$ नियंत्रण बिंदुओं का वेक्टर.

उच्च आयामों (उदाहरण के लिए 2 और 3) के कई गुना तक एनयूआरबीएस आधार कार्यों का विस्तार इस प्रकार दिया गया है:

$$ R_{i, j}^{p, q}(s, t) = \frac{N_{i, p}(s) M_{j, q}(t) \omega_{i, j}}{\sum_{a = 1}^n \sum_{b = 1}^m N_{a, p}(s) M_{b, q}(t) \omega_{a, b}} $$

$$ R_{i, j, k}^{p, q, r}(s, t, w) = \frac{N_{i, p}(s) M_{j, q}(t) L_{k, r}(w) \omega_{i, j, k}}{\sum_{a = 1}^n \sum_{b = 1}^m \sum_{c = 1}^l N_{a, p}(s) M_{b, q}(t) L_{c, r}(w) \omega_{a, b, c}} $$

एचपीके-शोधन
आईजीए में तीन तकनीकें हैं जो ज्यामिति और उसके पैरामीट्रिजेशन को छुए बिना आधार कार्यों के स्थान को बढ़ाने की अनुमति देती हैं।

पहले वाले को नॉट इंसर्शन (या एफईए फ्रेमवर्क में एच-रिफाइनमेंट) के रूप में जाना जाता है, जहां $$\overline{\Xi} = \{\overline{\xi_1}=\xi_1, \overline{\xi_2}, ..., \overline{\xi_{n+m+p+1}} = \xi_{n+p+1}\}$$ से प्राप्त किया जाता है $$\Xi = \{\xi_1, \xi_2, ..., \xi_{n+p+1}\}$$ अधिक गांठों के जुड़ने से, जिसका तात्पर्य आधार कार्यों और नियंत्रण बिंदुओं की संख्या दोनों में वृद्धि है।

दूसरे को डिग्री उन्नयन (या एफईए संदर्भ में पी-शोधन) कहा जाता है, जो आधार कार्यों के बहुपद क्रम को बढ़ाने की अनुमति देता है।

अंत में तीसरी विधि, जिसे के-रिफाइनमेंट (एफईए में समकक्ष के बिना) के रूप में जाना जाता है, पिछली दो तकनीकों से प्राप्त होती है, यानी ऑर्डर ऊंचाई को एक अद्वितीय गाँठ के सम्मिलन के साथ जोड़ती है $$\Xi$$.

बाहरी संबंध

 * GeoPDEs: a free software tool for Isogeometric Analysis based on Octave
 * MIG(X)FEM: a free Matlab code for IGA (FEM and extended FEM)
 * PetIGA: A framework for high-performance Isogeometric Analysis based on PETSc
 * G+Smo (Geometry plus Simulation modules): a C++ library for isogeometric analysis, developed at RICAM, Linz
 * FEAP: a general purpose finite element analysis program which is designed for research and educational use, developed at University of California, Berkeley
 * Bembel: An open-source isogeometric boundary element library for Laplace, Helmholtz, and Maxwell problems written in C++
 * T.J.R. Hughes, J.A. Cottrell, Y. Bazilevs: "Isogeometric analysis: CAD, finite elements, NURBS, exact geometry and mesh refinement", Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, Elsevier, 2005, 194 (39-41), pp.4135-4195.