पृथक्करणीय अवस्था

क्वांटम यांत्रिकी में, पृथक्करणीय अवस्था एक समग्र अवस्था से संबंधित क्वांटम अवस्था होती हैं जिन्हें अलग उपसमष्‍टि से संबंधित अलग अवस्था में विभाजित किया जा सकता है। एक अवस्था को जटिल कहा जाता है यदि यह अलग करने योग्य नहीं है। सामान्य रूप में, यह निर्धारित करना कि क्या कोई अवस्था अलग करने योग्य है या नहीं, और समस्या को NP-हार्ड के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

द्विदलीय प्रणालियों की पृथक्करणीयता
स्वतंत्रता की दो डिग्री वाले पहले मिश्रित अवस्थाओं पर विचार करें, जिन्हें द्विदलीय अवस्था कहा जाता है। क्वांटम यांत्रिकी के एक अभिधारणा द्वारा इन्हें टेंसर उत्पाद समष्टि $$H_1\otimes H_2$$ में सदिश के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इस परिचर्चा में हम हिल्बर्ट समष्टि $$H_1$$ और $$H_2$$ के परिमित-आयामी होने के प्रकरण पर ध्यान केंद्रित करते है।

शुद्ध अवस्था
मान लीजिए कि $$\{|{a_i}\rangle\}_{i=1}^n\subset H_1$$ और $$\{|{b_j}\rangle\}_{j=1}^m \subset H_2$$ क्रमशः $$H_1$$ और $$H_2$$, के लिए लम्बवत् आधार हैं। $$H_1 \otimes H_2$$ का आधार तब $$\{|{a_i}\rangle\otimes |{b_j}\rangle\}$$, या अधिक संक्षिप्त संकेतन $$\{|a_i b_j \rangle\}$$ में होता है। टेंसर उत्पाद की परिभाषा से, मानक 1 के किसी भी सदिश, अर्थात समग्र प्रणाली की शुद्ध अवस्था को इस प्रकार लिखा जा सकता है।

$$ जहाँ $$c_{i,j}$$ एक स्थिरांक है। अगर $$ |\psi\rangle$$ को एक साधारण टेंसर के रूप में लिखा जा सकता है, अर्थात् $$|\psi\rangle = |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle $$ के साथ $$|\psi _i \rangle $$ i-वें समष्टि में एक शुद्ध अवस्था के रूप में इसे एक उत्पाद अवस्था कहा जाता है, और, विशेष रूप से, अलग करने योग्य है अन्यथा इसे जटिल कहा जाता है। ध्यान दें कि, भले ही उत्पाद और अलग-अलग अवस्थाओं की धारणाएं शुद्ध अवस्थाओं के अनुरूप हैं, वे मिश्रित अवस्थाओं के अधिक सामान्य प्रकरण में नहीं हैं।
 * \psi\rangle = \sum_{i,j} c_{i,j} (| a_i \rangle \otimes | b_j \rangle) =\sum_{i,j} c_{i,j} | a_i b_j \rangle,

शुद्ध अवस्था तभी जटिल होती हैं जब उनकी आंशिक अवस्थाएँ शुद्ध नहीं होतीं है। इसे देखने के लिए, $$|\psi\rangle$$ के श्मिट अपघटन को इस रूप में लिखें
 * $$|\psi\rangle=\sum_{k=1}^{r_\psi} \sqrt{p_k} (|u_k\rangle\otimes|v_k\rangle),$$

जहाँ $$\sqrt{p_k}>0$$ धनात्मक वास्तविक संख्या हैं, $$r_\psi$$ $$|\psi\rangle$$ की श्मिट श्रेणी है, $$\{|u_k\rangle\}_{k=1}^{r_\psi}\subset H_1$$ और $$\{|v_k\rangle\}_{k=1}^{r_\psi}\subset H_2$$ क्रमशः $$H_1$$ और $$H_2$$ में लंबात्मक अवस्थाओं के समुच्चय हैं। अवस्था $$|\psi\rangle$$ जटिल है यदि और केवल यदि $$r_\psi>1$$ है। साथ ही आंशिक अवस्था का स्वरूप है।
 * $$\rho_A\equiv \operatorname{Tr}_B(|\psi\rangle\!\langle\psi|) = \sum_{k=1}^{r_\psi} p_k \, |u_k\rangle\!\langle u_k|.$$

इसका तात्पर्य यह है कि $$\rho_A$$ शुद्ध है --- अर्थात, इकाई-श्रेणी के साथ प्रक्षेपण है --- यदि और केवल यदि $$r_\psi=1$$, जो कि $$|\psi\rangle$$ के वियोज्य होने के समतुल्य है।

भौतिक रूप से, इसका अर्थ यह है कि उपप्रणालियों को एक निश्चित (शुद्ध) अवस्था निर्दिष्ट करना संभव नहीं है, जिसे इसके बदले शुद्ध अवस्थाओं के सांख्यिकीय समुच्चय के रूप में वर्णित किया जाना चाहिए, अर्थात घनत्व आव्यूह के रूप में भी किया जाना चाहिए। एक शुद्ध अवस्था $$\rho=|\psi\rangle\!\langle\psi|$$ इस प्रकार जटिल है यदि और केवल यदि आंशिक अवस्था $$\rho_A\equiv\operatorname{Tr}_B(\rho)$$ की वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी गैर-शून्य है।

औपचारिक रूप से, अवस्थाओं के उत्पाद को उत्पाद अवस्था में एम्बेड करना सेग्रे अंतःस्थापन द्वारा दिया जाता है। अर्थात्, क्वान्टम यांत्रिकीय शुद्ध अवस्था को तभी अलग किया जा सकता है जब वह सेग्रे अंतःस्थापन के प्रतिरूप में होता है।

उपरोक्त परिचर्चा को उस अवस्था तक बढ़ाया जा सकता है जब अवस्था समष्टि अनंत-आयामी होती है और वस्तुतः कुछ भी नहीं बदल सकता है।

मिश्रित अवस्था
मिश्रित अवस्था के प्रकरण पर विचार करें। मिश्रित प्रणाली की मिश्रित अवस्था का वर्णन $$H_1 \otimes H_2$$ पर कार्य करने वाले घनत्व आव्यूह $$\rho$$ द्वारा किया जाता है। ρ वियोज्य है यदि $$p_k\geq 0$$, $$\{ \rho_1^k \}$$ और $$\{ \rho_2^k \}$$ उपस्थित है, जो संबंधित उपप्रणालियों की मिश्रित अवस्था हैं जैसे कि



\rho=\sum_k p_k \rho_1^k \otimes \rho_2^k $$ जहां



\sum_k p_k = 1. $$ अन्यथा $$\rho$$ को जटिल अवस्था कहा जाता है। उपरोक्त अभिव्यक्ति में सामान्यता खोए बिना हम यह मान सकते हैं कि $$\{ \rho_1^k \}$$ और $$\{ \rho_2^k \}$$ सभी श्रेणी-1 अनुमान हैं, अर्थात, वे उपयुक्त उप-प्रणालियों के शुद्ध समुच्चय का प्रतिनिधित्व करते हैं। परिभाषा से स्पष्ट है कि पृथक्करणीय अवस्थाओं का वर्ग एक उत्तल समुच्चय है।

ध्यान दें कि, फिर से टेंसर उत्पाद की परिभाषा से किसी भी घनत्व आव्यूह, वास्तव में समग्र अवस्था समष्टि पर कार्य करने वाला कोई भी आव्यूह, वांछित रूप में लिखा जा सकता है, यदि हम यह आवश्यकता छोड़ देते हैं कि $$\{ \rho_1^k \}$$ और $$\{ \rho_2^k \}$$ स्वयं अवस्था और $$\; \sum_k p_k = 1$$ है। यदि ये आवश्यकताएं संतुष्ट हैं, तो हम कुल अवस्था की व्याख्या असंबद्ध उत्पाद अवस्थाओं पर संभाव्यता वितरण के रूप में कर सकते हैं।

क्वांटम चैनलों के संदर्भ में, स्थानीय क्रियाओं और शास्त्रीय संचार का उपयोग करके किसी अन्य अवस्था से एक अलग अवस्था बनाई जा सकती है जबकि एक जटिल आवस्था नहीं बनाई जा सकती है।

जब अवस्था समष्टि अनंत-आयामी होती हैं, तो घनत्व आव्यूह को ट्रेस 1 के साथ धनात्मक ट्रेस वर्ग संकारक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और एक अवस्था को अलग किया जा सकता है यदि इसे उपरोक्त विधि के अवस्थाओं द्वारा, ट्रेस मानदंड में अनुमानित किया जा सकता है।

यदि केवल अशून्य $$p_k$$ है, तो अवस्था को केवल $ \rho = \rho_1 \otimes \rho_2 $  के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और इसे केवल अलग करने योग्य या उत्पाद अवस्था कहा जाता है। उत्पाद अवस्था का एक गुण यह है कि एन्ट्रापी के संदर्भ में,


 * $$ S(\rho) = S(\rho_1) + S(\rho_2). $$

बहुपक्षीय प्रकरण का विस्तार
उपरोक्त परिचर्चा दो से अधिक उपप्रणालियों से युक्त क्वांटम प्रणाली के प्रकरण को आसानी से सामान्यीकृत करती है। मान लीजिए कि एक प्रणाली में n उपप्रणाली हैं और अवस्था समष्टि $$H = H_1 \otimes \cdots \otimes H_n$$ है। शुद्ध अवस्था $$| \psi \rangle \in H$$ यदि यह रूप लेती है तो अलग किया जा सकता है।


 * $$| \psi \rangle = | \psi_1 \rangle \otimes \cdots \otimes | \psi_n \rangle .$$

इसी प्रकार, H पर कार्य करने वाली एक मिश्रित अवस्था ρ वियोज्य है यदि यह एक अवमुख योग है।


 * $$\rho = \sum_k p_k \rho_1 ^k \otimes \cdots \otimes \rho_n ^k.$$

या, अनंत-आयामी प्रकरण में, ρ वियोज्य है यदि इसे उपरोक्त रूप के अवस्थाओं द्वारा ट्रेस मानदंड में अनुमानित किया जा सकता है।

पृथक्करणीयता मानदंड
यह तय करने की समस्या कि क्या कोई अवस्था सामान्य रूप से अलग कि जा सकती है, कभी-कभी क्वांटम सूचना सिद्धांत में पृथक्करणीयता समस्या कहलाती है। यह एक कठिन समस्या मानी जाती है। इसे कई प्रकरण में NP-हार्ड दिखाया गया है और सामान्यतः ऐसा माना जाता है। इस कठिनाई के लिए कुछ अभिमूल्यन प्राप्त की जा सकती है यदि कोई एक निश्चित आयाम के लिए प्रत्यक्ष नीच प्रवृति दृष्टिकोण को नियोजित करके समस्या का समाधान करने का प्रयास करता है। हम देखते हैं कि समस्या शीघ्र ही कम आयामों के लिए भी कठिन हो जाती है। अत: अधिक परिष्कृत सूत्रीकरण की आवश्यकता है। पृथक्करण समस्या वर्तमान अनुसंधान का विषय है।

पृथक्करण मानदंड एक आवश्यक प्रतिबंध है जिसे अवस्था को अलग होने के लिए पूरा करना है। निम्न-आयामी (2 X 2 और 2 X 3) प्रकरण में, पेरेस-होरोडेकी मानदंड वास्तव में पृथक्करण के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त प्रतिबंध है। अन्य पृथक्करण मानदंडों में श्रेणी मानदंड, न्यूनीकरण मानदंड और अनिश्चितता संबंधों पर आधारित (लेकिन इन्हीं तक सीमित नहीं) सम्मिलित हैं।     असतत चर प्रणालियों में पृथक्करण मानदंड की समीक्षा के लिए संदर्भ देखें।

सतत परिवर्तनशील प्रणालियों में, पेरेस-होरोडेकी मानदंड भी उपयोजित होते है। विशेष रूप से, साइमन ने विहित संचालक के दूसरे क्रम के क्षणों के संदर्भ में पेरेस-होरोडेकी मानदंड का एक विशेष संस्करण तैयार किया और दिखाया कि यह $$ 1\oplus1 $$ -प्रकार गॉसियन अवस्था के लिए आवश्यक और पर्याप्त है (प्रतीत होता है कि भिन्न लेकिन अनिवार्य रूप से समतुल्य दृष्टिकोण के लिए संदर्भ देखें)। बाद में यह पाया गया कि साइमन की अवस्था $$ 1\oplus n $$-प्रकार गॉसियन अवस्था के लिए भी आवश्यक और पर्याप्त है, लेकिन अब $$ 2\oplus2 $$-प्रकार गॉसियन अवस्था के लिए पर्याप्त नहीं है। साइमन की अवस्था को कैनोनिकल संचालक के उच्च क्रम के क्षणों को ध्यान में रखकर या एन्ट्रोपि माप का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जा सकता है

बीजगणितीय ज्यामिति के माध्यम से लक्षण वर्णन
क्वांटम यांत्रिकी को प्रक्षेप्य हिल्बर्ट समष्टि पर तैयार किया जा सकता है, और ऐसे दो अवस्थाओं का श्रेणीबद्ध उत्पाद सेग्रे अंतःस्थापन है। द्विदलीय प्रकरण में, एक क्वांटम अवस्था को अलग किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब यह सेग्रे अंतःस्थापन की प्रतिबिंब में निहित होते है। जॉन मैग्ने लीनास, जान मायरहेम और एरिक ओवरम ने अपने दस्तावेज़ में जटिलता के ज्यामितीय रूप में समस्या का वर्णन किया है और सामान्य अवस्था आव्यूह के उपसमुच्चय के रूप में अलग-अलग अवस्थाओं की ज्यामिति का अध्ययन किया है। इस उपसमुच्चय का पेरेज़-होरोडेकी मानदंड रखने वाले अवस्थाओं के उपसमुच्चय के साथ कुछ प्रतिच्छेदन है। इस दस्तावेज़ में, लीनास एट अल और अन्य सामान्य प्रकरण में पृथक्करण के परीक्षण के लिए एक संख्यात्मक दृष्टिकोण भी देते हैं।

पृथक्करण परीक्षण
सामान्य प्रकरण में पृथक्करण के लिए परीक्षण एक NP-हार्ड समस्या है।  लीनास एट अल और अन्य ने परीक्षण के लिए एक पुनरावृत्त, संभाव्य एल्गोरिदम तैयार किया कि क्या कोई दी गई अवस्था अलग करने योग्य है। जब एल्गोरिदम सफल होता है, तो यह दिए गए अवस्था को एक अलग करने योग्य अवस्था के रूप में स्पष्ट, यादृच्छिक, प्रतिनिधित्व देता है। अन्यथा यह दिए गए अवस्था की निकटतम वियोज्य अवस्था से दूरी बताता है जिसे वह खोज सकता है।

यह भी देखें

 * जटिलता प्रमाण

बाहरी संबंध

 * "StateSeparator" web-app