श्रेणीबद्ध वलय

गणित में, विशेष रूप से अमूर्त बीजगणित में, श्रेणीबद्ध वलय एक ऐसा वलय होता है जिसमें अंतर्निहित योगात्मक समूह एबेलियन समूहों $$R_i$$ ऐसा कि $$R_i R_j \subseteq R_{i+j}$$का प्रत्यक्ष योग होता है। सूचकांक समूह सामान्यतः अतिरक्त-नकारात्मक पूर्णांक का समूह या पूर्णांकों का समूह होता है, लेकिन कोई भी मोनोइड हो सकता है। प्रत्यक्ष योग अपघटन को सामान्यतः श्रेणीकरण या श्रेणीबद्ध के रूप में जाना जाता है।

श्रेणीबद्ध मापांक को इसी तरह परिभाषित किया गया है (सटीक परिभाषा के लिए नीचे देखें)। यह श्रेणीबद्ध दिष्‍ट रिक्त स्थान का सामान्यीकरण करता है। एक श्रेणीबद्ध मापांक जो एक श्रेणीबद्ध वलय भी है, श्रेणीबद्ध बीजगणित कहलाता है। एक श्रेणीबद्ध वलय को $$\Z$$-बीजगणित श्रेणीबद्ध के रूप में भी देखा जा सकता है।

श्रेणीबद्ध वलय की परिभाषा में साहचर्यता महत्वपूर्ण नहीं है (वास्तव में इसका उपयोग बिल्कुल नहीं किया गया है); इसलिए, यह धारणा अतिरक्त-सहयोगी बीजगणित पर भी लागू होती है; उदाहरण के लिए, कोई श्रेणीबद्ध अवस्थित बीजगणित पर विचार कर सकता है।

प्रथम गुण
सामान्यतः, श्रेणीबद्ध वलय के सूचकांक समूह को अतिरक्त-नकारात्मक पूर्णांकों का समूह माना जाता है, जब तक कि स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट न किया गया हो। इस लेख में यही स्थिति है।

एक श्रेणीबद्ध वलय एक ऐसा वलय है जो प्रत्यक्ष योग में विघटित होता है
 * $$R = \bigoplus_{n=0}^\infty R_n = R_0 \oplus R_1 \oplus R_2 \oplus \cdots$$ का

योगात्मक समूह, जैसे कि
 * $$R_mR_n \subseteq R_{m+n}$$

सभी अतिरक्त-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए $$m$$ और $$n$$.

का एक अशून्य तत्व $$R_n$$ को घात $$n$$ का सजातीय कहा जाता है। प्रत्यक्ष योग की परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक अतिरक्त-शून्य तत्व $$a$$ का $$R$$ को विशिष्ट रूप से $$a=a_0+a_1+\cdots +a_n$$ योग के रूप में लिखा जा सकता है।  जहां प्रत्येक $$a_i$$ या तो 0 है या घात $$i$$ का सजातीय है, शून्येतर $$a_i$$ के सजातीय घटक $$a$$ हैं।

कुछ आधार भूत गुण हैं जैसे की
 * $$R_0$$ का एक $$R$$ उपवलय है ; विशेष रूप से, गुणात्मक पहचान $$1$$ घात शून्य का एक सजातीय तत्व है।
 * किसी के लिए $$n$$, $$R_n$$ दोतरफा $$R_0$$-मापांक है, और प्रत्यक्ष योग अपघटन का प्रत्यक्ष योग $$R_0$$-मॉड्यूल है।
 * $$R$$ एक $$R_0$$-बीजगणित सहयोगी है।

एक आदर्श (वलय सिद्धांत) $$I\subseteq R$$ सजातीय है, यदि प्रत्येक के लिए $$a \in I$$, के सजातीय घटक $$a$$ का भी संबंध $$I$$ है। (समकक्ष रूप से, यदि $$R$$ एक श्रेणीबद्ध सब मापांकहै ; देखें ।) एक सजातीय आदर्श का प्रतिच्छेदन $$I$$ साथ में $$R_n$$ एक $$R_0$$-सब मापांक का $$R_n$$ घात का $$n$$ का $$I$$ सजातीय भाग कहलाता है. एक सजातीय आदर्श उसके सजातीय भागों का प्रत्यक्ष योग है।

अगर $$I$$ में एक दोतरफा सजातीय आदर्श $$R$$ है, तब $$R/I$$ एक श्रेणीबद्ध वलय भी है, जो विघटित होता है
 * $$R/I = \bigoplus_{n=0}^\infty R_n/I_n,$$

जहाँ $$I_n$$ घात का सजातीय भाग $$n$$ का $$I$$ है।

आधार भूत उदाहरण

 * किसी भी (अतिरक्त-वर्गीकृत) वलय R को i ≠ 0 के लिए $$R_0=R$$, और $$R_i=0$$ का श्रेणीकरण दिया जा सकता है। इसे R पर क्षुद्र श्रेणीकरण' कहा जाता है।
 * बहुपद वलय $$R = k[t_1, \ldots, t_n]$$ एक बहुपद की घात द्वारा वर्गीकृत किया गया है,इसका प्रत्यक्ष योग $$R_i$$ है  यह घात I के सजातीय बहुपद से मिलकर बना है।
 * मान लीजिए कि S श्रेणीबद्ध अभिन्न डोमेन R में सभी अतिरक्त-शून्य सजातीय तत्वों का समूह है। फिर S के संबंध में R की वलय का स्थानीयकरण $$\Z$$-श्रेणीबद्ध वलय  है।
 * यदि I क्रमविनिमेय वलय R में एक आदर्श है, तो $$\bigoplus_{i = 0}^\infty H^i(X; R)$$एक श्रेणीबद्ध वलय है जिसे I के साथ R की संबद्ध श्रेणीबद्ध वलय कहा जाता है; ज्यामितीय रूप से, यह I द्वारा परिभाषित उपविविधता के साथ सामान्य शंकु की समन्वय वलय है
 * यदि I क्रमविनिमेय वलय R में एक आदर्श है, तो $$\bigoplus_{n=0}^{\infty} I^n/I^{n+1}$$ एक श्रेणीबद्ध वलय है जिसे I के साथ R का संबद्ध श्रेणीबद्ध वलय कहा जाता है; ज्यामितीय रूप से, यह I द्वारा परिभाषित उपविविधता के साथ सामान्य शंकु की समन्वय वलय है।
 * मान लीजिए कि X एक टोपोलॉजिकल स्थान है, H i(X; R) एक रिंग R में गुणांक के साथ ith कोहोमोलोजी समूह है। फिर H *(X; R), R में गुणांक के साथ X की कोहोमोलॉजी रिंग,  एक श्रेणीबद्ध वलय है जिसका अंतर्निहित एबेलियन समूह $$\bigoplus_{i = 0}^\infty H^i(X; R)$$ कप उत्पाद द्वारा दी गई गुणात्मक संरचना के साथ है ।

श्रेणीबद्ध मापांक
मापांक सिद्धांत में संबंधित विचार एक श्रेणीबद्ध मापांक है, अर्थात् एक बायां मापांक M एक श्रेणीबद्ध वलय R के ऊपर भी है
 * $$M = \bigoplus_{i\in \mathbb{N}}M_i ,$$

और
 * $$R_iM_j \subseteq M_{i+j}.$$

उदाहरण के लिए श्रेणीबद्ध दिष्‍ट स्थान एक क्षेत्र (गणित) पर श्रेणीबद्ध मापांक का उदाहरण है (क्षेत्र में क्षुद्र श्रेणीबद्ध होती है)।

उदाहरण के लिए श्रेणीबद्ध वलय अपने आप में एक श्रेणीबद्ध मापांक है। एक श्रेणीबद्ध वलय में एक आदर्श सजातीय होता है यदि और केवल तभी जब यह एक श्रेणीबद्ध उप मापांक हो। श्रेणीबद्ध मापांक का संहारक एक सजातीय आदर्श है।

उदाहरण के लिए एक क्रमविनिमेय वलय R और एक R-मापांक M में एक आदर्श I दिया गया है, प्रत्यक्ष योग $$\bigoplus_{n=0}^{\infty} I^n M/I^{n+1} M$$ संबंधित श्रेणीबद्ध वलय के ऊपर एक श्रेणीबद्ध मापांकहै $$\bigoplus_0^{\infty} I^n/I^{n+1}$$.

एक रूपवाद $$f: N \to M$$ श्रेणीबद्ध मापांक के बीच, जिसे श्रेणीबद्ध मॉर्फिज्म कहा जाता है, अंतर्निहित मापांकका एक मॉर्फिज्म है जो श्रेणीबद्ध का सम्मान करता है; अर्थात।, $$f(N_i) \subseteq M_i$$. एक श्रेणीबद्ध सबमापांकएक सबमापांकहै जो अपने आप में एक श्रेणीबद्ध मापांकहै और ऐसा है कि समूह-सैद्धांतिक समावेशन मानचित्र श्रेणीबद्ध मापांकका एक रूप है। स्पष्ट रूप से, एक श्रेणीबद्ध मापांकएन एम का एक श्रेणीबद्ध सबमापांकहै यदि और केवल यदि यह एम का एक सबमापांकहै और संतुष्ट करता है $$N_i = N \cap M_i$$. श्रेणीबद्ध मापांकके रूपवाद के कर्नेल (बीजगणित) और छवि (गणित) श्रेणीबद्ध उपमापांकहैं।

टिप्पणी: एक श्रेणीबद्ध वलय से दूसरी श्रेणीबद्ध वलय को केंद्र में पड़ी छवि के साथ एक श्रेणीबद्ध रूप देना बाद वाली वलय को एक श्रेणीबद्ध बीजगणित की संरचना देने के समान है।

एक श्रेणीबद्ध मापांक $$M$$ दिया गया, $$\ell$$-का मोड़ $$M$$ द्वारा परिभाषित श्रेणीबद्ध मापांक  $$M(\ell)_n = M_{n+\ell}$$ है। (सीएफ. बीजगणितीय ज्यामिति में सेरे का घुमाव वाला पुलिंदा।)

मान लीजिए कि एम और एन श्रेणीबद्ध मापांक हैं। अगर $$f\colon M \to N$$ मापांक का एक रूपवाद है, यदि $$f(M_n) \subseteq N_{n+d}$$ तो f को घात d कहा जाता है।. विभेदक ज्यामिति में विभेदक रूप का एक बाहरी व्युत्पन्न घात 1 वाले ऐसे रूपवाद का एक उदाहरण है।

श्रेणीबद्ध मापांक के अपरिवर्तनीय
क्रमविनिमेय श्रेणीबद्ध वलय R पर श्रेणीबद्ध मापांक M को देखते हुए, कोई औपचारिक शक्ति श्रृंखला $$P(M, t) \in \Z[\![t]\!]$$को जोड़ सकता है
 * $$P(M, t) = \sum \ell(M_n) t^n$$

(मानते हुए $$\ell(M_n)$$ परिमित हैं।) इसे एम की हिल्बर्ट-पोंकारे श्रृंखला कहा जाता है।

एक श्रेणीबद्ध मापांक को परिमित रूप से उत्पन्न कहा जाता है यदि अंतर्निहित मापांक परिमित रूप से उत्पन्न मापांक है। जनित्र को सजातीय माना जा सकता है (जनित्र को उनके सजातीय भागों से प्रतिस्थापित करके।)

मान लीजिए R एक बहुपद वलय है $$k[x_0, \dots, x_n]$$, k एक क्षेत्र, और M इसके ऊपर एक अंतिम रूप से उत्पन्न श्रेणीबद्ध मापांक है। फिर फ़ंक्शन $$n \mapsto \dim_k M_n$$ को M का हिल्बर्ट फलन कहा जाता है। यह फलन बड़े n के लिए पूर्णांक-मान वाले बहुपद से मेल खाता है जिसे M का हिल्बर्ट बहुपद कहा जाता है।

श्रेणीबद्ध बीजगणित
एक वलय R के ऊपर एक बीजगणित A एक श्रेणीबद्ध बीजगणित है यदि इसे एक वलय के रूप में वर्गीकृत किया गया है।

सामान्य मामले में जहां वलय R को वर्गीकृत नहीं किया जाता है (विशेष रूप से यदि R एक क्षेत्र है), तो इसे क्षुद्र श्रेणीबद्ध दी जाती है (R का प्रत्येक तत्व 0 घात का है)। इस प्रकार, $$R\subseteq A_0$$ और वर्गीकृत टुकड़े $$A_i$$ R-मापांक हैं.

ऐसे मामले में जहां वलय R भी एक वर्गीकृत वलय है, तो किसी को इसकी आवश्यकता होती है
 * $$R_iA_j \subseteq A_{i+j}$$

दूसरे शब्दों में, हमें आवश्यकता है कि A, R के ऊपर एक श्रेणीबद्ध बायां मापांक हो।

गणित में श्रेणीबद्ध बीजगणित के उदाहरण सामान्य हैं:


 * बहुपद वलय. घात n के सजातीय तत्व बिल्कुल घात n के सजातीय बहुपद हैं।
 * टेंसर बीजगणित $$T^{\bullet} V$$ एक सदिश समष्टि V के। घात n के सजातीय तत्व क्रम n के टेन्सर $T^{n} V$ हैं।
 * बाहरी बीजगणित $$\textstyle\bigwedge\nolimits^{\bullet} V$$ और सममित बीजगणित $$S^{\bullet} V$$ श्रेणीबद्ध बीजगणित भी हैं।
 * कोहोमोलोजी वलय $$H^{\bullet} $$ किसी भी कोहोमोलॉजी सिद्धांत को भी वर्गीकृत किया जाता है, जो कि कोहोमोलॉजी समूहों का प्रत्यक्ष योग $$H^n$$ है।

श्रेणीबद्ध बीजगणित का उपयोग क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति, समजात बीजगणित और बीजगणितीय टोपोलॉजी में बहुत अधिक किया जाता है। एक उदाहरण सजातीय बहुपदों और प्रक्षेप्य किस्मों (cf. सजातीय समन्वय वलय) के बीच घनिष्ठ संबंध है।

जी-श्रेणीबद्ध वलय और बीजगणित
उपरोक्त परिभाषाओं को इंडेक्स समूह के रूप में किसी भी मोनॉइड G का उपयोग करके वर्गीकृत वलयों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। 'G-श्रेणीबद्ध वलय' R एक सीधा योग अपघटन वाला वलय है
 * $$R = \bigoplus_{i\in G}R_i $$

ऐसा है कि
 * $$ R_i R_j \subseteq R_{i \cdot j}. $$

R के तत्व जो $$R_i$$ के अंदर स्थित हैं, कुछ के लिए $$i \in G$$ को श्रेणी I का सजातीय कहा जाता है।

श्रेणीबद्ध वलय की पहले से परिभाषित धारणा अब एक जैसी हो गई है $$\N$$-श्रेणीबद्ध वलय, जहाँ $$\N$$  जोड़ के अंतर्गत प्राकृतिक संख्याओं का मोनोइड है। अनुक्रमणिका समूह को प्रतिस्थापित करके श्रेणीबद्ध मापांक और बीजगणित की परिभाषाओं को $$\N$$ किसी भी मोनोइड G के साथ इस तरह बढ़ाया जा सकता है ।

टिप्पणियां:
 * यदि हमें यह आवश्यक नहीं है कि वलय में एक पहचान तत्व हो, तो अर्धसमूह मोनोइड्स का स्थान ले सकते हैं।

उदाहरण:
 * एक समूह स्वाभाविक रूप से संबंधित समूह वलय को श्रेणी करता है; इसी तरह, मोनोइड वलय को संबंधित मोनॉइड द्वारा वर्गीकृत किया जाता है।
 * एक (साहचर्य) सुपर बीजगणित के लिए एक और शब्द $$\Z_2$$-वर्गीकृत बीजगणित है। उदाहरणों में क्लिफ़ोर्ड बीजगणित सम्मिलत हैं। यहां सजातीय तत्व या तो घात 0 (सम) या 1 (विषम) के हैं।

प्रतिसंक्रामकता
कुछ श्रेणीबद्ध वलय (या बीजगणित) एक प्रतिसंक्रामकता संरचना से संपन्न होते हैं। इस धारणा के लिए ग्रेडेशन के मोनॉइड के एडिटिव मोनॉइड $$\Z/2\Z$$ में एक समरूपता दो तत्वों वाला क्षेत्र की आवश्यकता होती है।विशेष रूप से, एक हस्ताक्षरित मोनॉइड में $$(\Gamma, \varepsilon)$$ जोड़ी होती है जहाँ  $$\Gamma$$ एक मोनोइड है और $$\varepsilon \colon \Gamma \to\Z/2\Z$$ योगात्मक मोनोइड्स का एक समरूपता है। एक प्रतिसंक्रामक $$\Gamma$$-श्रेणीबद्ध वलय एक वलय A  है जिसे Γ के संबंध में इस प्रकार वर्गीकृत किया गया है:
 * $$xy=(-1)^{\varepsilon (\deg x) \varepsilon (\deg y)}yx ,$$

सभी सजातीय तत्वों x और y के लिए है।

उदाहरण

 * एक बाहरी बीजगणित एक प्रतिसंक्रामकता बीजगणित का एक उदाहरण है, जिसे संरचना के संबंध में वर्गीकृत किया गया है $$(\Z, \varepsilon)$$ जहाँ $$\varepsilon \colon \Z \to\Z/2\Z$$ भागफल मानचित्र है।
 * एक सुपरकम्यूटेटिव बीजगणित (जिसे कभी-कभी स्क्यू-कम्यूटेटिव एसोसिएटिव वलय भी कहा जाता है) एक प्रतिसंक्रामकता के समान ही है $$(\Z, \varepsilon)$$-श्रेणीबद्ध बीजगणित, कहाँ $$\varepsilon$$ की योगात्मक संरचना का पहचान $\Z/2\Z$ मानचित्र है।

श्रेणीबद्ध मोनॉइड
स्वाभाविक रूप से, $$R_n$$ द्वारा उत्पन्न, योज्य भाग का उपयोग किए बिना श्रेणीबद्ध मोनॉइड श्रेणीबद्ध वलय $$\bigoplus_{n\in \mathbb N_0}R_n$$ का उपसमूह है। अर्थात् श्रेणीबद्ध मोनॉइड $$\bigcup_{n\in\mathbb N_0}R_n$$ के तत्वों का समुच्चय है.

औपचारिक रूप से, श्रेणीबद्ध मोनॉइड $$(M,\cdot)$$ मोनोइड एक श्रेणीकरण फ़ंक्शन के साथ $$\phi:M\to\mathbb N_0$$ है.जो कि $$\phi(m\cdot m')=\phi(m)+\phi(m')$$है। ध्यान दें कि $$1_M$$ का श्रेणीकरण आवश्यक रूप से 0 है। कुछ लेखक इसके अलावा यह भी अनुरोध करते हैं कि $$\phi(m)\ne 0$$ जब m पहचान नहीं है।

यह मानते हुए कि अतिरक्त-पहचान तत्वों के श्रेणीकरण अतिरक्त-शून्य हैं, श्रेणीकरण n के तत्वों की संख्या अधिकतम $$g^n$$ है, जहां G मोनॉयड के जनरेटिंग सेट की कार्डिनैलिटी है। इसलिए श्रेणीकरण n या उससे कम के तत्वों की संख्या अधिकतम $$n+1$$ (के लिए $$g=1$$) या $$\frac{g^{n+1}-1}{g-1}$$ है। अन्यथा वास्तव में, ऐसा प्रत्येक तत्व G के अधिकतम n तत्वों का गुणनफल $$\frac{g^{n+1}-1}{g-1}$$ ऐसे उत्पाद उपस्थित हैं. इसी प्रकार, पहचान तत्व को दो अतिरक्त-पहचान तत्वों के उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। अर्थात्, ऐसे श्रेणीबद्ध मोनॉइड में कोई इकाई विभाजक नहीं होता है।

श्रेणीबद्ध मोनॉइड द्वारा अनुक्रमित पावर श्रृंखला
यह धारणा शक्ति श्रृंखला वलय की धारणा को विस्तारित करने की अनुमति देती है। अनुक्रमणिका परिवार होने के बजाय $$\mathbb N$$, अनुक्रमण परिवार कोई भी श्रेणीबद्ध मोनॉइड हो सकता है, यह मानते हुए कि प्रत्येक पूर्णांक n के लिए घात n के तत्वों की संख्या सीमित है।

अधिक औपचारिक रूप से, आइए $$(K,+_K,\times_K)$$ एक मनमाना मोटी हो जाओ बनें और $$(R,\cdot,\phi)$$ एक श्रेणीबद्ध मोनॉइड। तब $$K\langle\langle R\rangle\rangle$$ R द्वारा अनुक्रमित K में गुणांकों के साथ शक्ति श्रृंखला के सेमीवलय को दर्शाता है। इसके तत्व R से K तक कार्य हैं। दो तत्वों का योग $$s,s'\in K\langle\langle R\rangle\rangle$$ बिंदुवार परिभाषित किया गया है, यह फ़ंक्शन भेज रहा है $$m\in R$$ को $$s(m)+_Ks'(m)$$, और उत्पाद भेजने वाला फ़ंक्शन है $$m\in R$$ अनंत राशि तक $$\sum_{p,q \in R \atop p \cdot q=m}s(p)\times_K s'(q)$$. इस योग को सही ढंग से परिभाषित किया गया है (अर्थात, परिमित) क्योंकि, प्रत्येक m के लिए, जोड़े की केवल एक सीमित संख्या होती है (p, q) ऐसा है कि pq = m.

उदाहरण
औपचारिक भाषा सिद्धांत में, वर्णमाला A दिए जाने पर, A के ऊपर शब्दों के मुक्त मोनोइड को एक श्रेणीबद्ध मोनोइड के रूप में माना जा सकता है, जहां किसी शब्द का श्रेणीकरण उसकी लंबाई है।

यह भी देखें

 * एसोसिएटेड श्रेणीबद्ध वलय
 * विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित
 * फ़िल्टर्ड बीजगणित, एक सामान्यीकरण
 * श्रेणीबद्ध (गणित)
 * श्रेणीबद्ध श्रेणी
 * श्रेणीबद्ध दिष्‍ट स्थान
 * टेंसर बीजगणित
 * विभेदक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल