घर्षण संपर्क यांत्रिकी

संपर्क यांत्रिकी  ठोस  पदार्थों के  विरूपण (यांत्रिकी)  का अध्ययन है जो एक या एक से अधिक बिंदुओं पर एक दूसरे को छूते हैं।  यह इंटरफ़ेस के लंबवत दिशा में संपीड़ित और चिपकने वाले बलों में विभाजित किया जा सकता है, और स्पर्शरेखा दिशा में घर्षण बल।घर्षण संपर्क यांत्रिकी घर्षण प्रभावों की उपस्थिति में निकायों के  विरूपण  का अध्ययन है, जबकि   घर्षण रहित संपर्क यांत्रिकी   ऐसे प्रभावों की अनुपस्थिति को मानता है।

घर्षण संपर्क यांत्रिकी विभिन्न पैमानों की एक बड़ी रेंज से संबंधित है। यह पृष्ठ मुख्य रूप से दूसरे पैमाने से संबंधित है: संपर्क पैच में और उसके आस -पास के तनावों और विकृति में बुनियादी अंतर्दृष्टि प्राप्त करना, विस्तृत तंत्र पर बहुत अधिक ध्यान दिए बिना जिसके द्वारा वे आते हैं।
 * मैक्रोस्कोपिक पैमाने पर, यह संपर्क करने वाले निकायों की गति की जांच के लिए लागू किया जाता है ( संपर्क गतिशीलता देखें)।उदाहरण के लिए, सतह पर एक रबर बॉल की उछलना संपर्क इंटरफ़ेस पर घर्षण बातचीत पर निर्भर करता है।यहां कुल बल बनाम इंडेंटेशन और लेटरल विस्थापन मुख्य चिंता का  घिसाव  है।
 * मध्यवर्ती पैमाने पर, एक स्थानीय तनाव (यांत्रिकी), विरूपण (इंजीनियरिंग) और संपर्क क्षेत्र में और संपर्क क्षेत्र में संपर्क करने वाले निकायों के विरूपण (इंजीनियरिंग) में रुचि रखता है।उदाहरण के लिए, मैक्रोस्कोपिक पैमाने पर संपर्क मॉडल को प्राप्त करने या मान्य करने के लिए, या संपर्क करने वाले निकायों की सतहों के पहनने और  थकान  (सामग्री) की जांच करने के लिए।इस पैमाने के आवेदन क्षेत्र टायर-फुटपाथ बातचीत, रेलवे व्हील-रेल इंटरैक्शन, रोलर असर विश्लेषण, आदि हैं।
 * अंत में, माइक्रोस्कोपिक और नैनो-स्केल्स में, संपर्क यांत्रिकी का उपयोग वह हर दिन लॉजी प्रसारित करता है  की हमारी समझ को बढ़ाने के लिए किया जाता है (जैसे, घर्षण की उत्पत्ति की जांच) और  परमाणु बल माइक्रोस्कोप  और  एमईएमएस  उपकरणों जैसे उन्नत उपकरणों की इंजीनियरिंग के लिए।

इतिहास
कई प्रसिद्ध वैज्ञानिकों, इंजीनियरों और गणितज्ञों ने घर्षण की हमारी समझ में योगदान दिया। इनमें लियोनार्डो दा विंसी, गिलियूम अमोनोन्स,  जॉन थियोफिलस डिसागुलायर्स ,  लियोनहार्ड यूलर  और  Coulomb के चार्ल्स-अगस्टिन  शामिल हैं।बाद में,  निकोले पावलोविच पेट्रोव ,  ओसबोर्न रेनॉल्ड्स  और  रिचर्ड स्ट्राइक  ने इस समझ को  स्नेहन  के सिद्धांतों के साथ पूरक किया।

17 वीं और 18 वीं शताब्दी में रॉबर्ट हूक,  जोसेफ लुइस लैग्रेंज  द्वारा और 19 वीं और 20 वीं शताब्दी में डी'एलबर्ट और  स्टीफन टिमोशेंको  द्वारा ठोस पदार्थों की विरूपण की जांच की गई थी।यांत्रिकी से संपर्क करने के संबंध में  हेनरिक हर्ट्ज ़ द्वारा शास्त्रीय योगदान अलग दिखना।इसके अलावा  रैखिक लोच #Boussinesq और Cerruti द्वारा इलास्टोस्टैटिक मामलों के लिए समाधान रैखिक लोच में घर्षण संपर्क समस्याओं की जांच के लिए प्राथमिक महत्व के हैं। (रैखिक रूप से) लोचदार शासन।

एक सच्चे घर्षण संपर्क समस्या के लिए शास्त्रीय परिणाम एफ। डब्ल्यू। कार्टर (1926) और एच। फ्रॉम (1927) द्वारा कागजात की चिंता करते हैं।उन्होंने स्वतंत्र रूप से एक विमान पर एक सिलेंडर के लिए या कूलोम के सूखे घर्षण कानून (नीचे देखें) का उपयोग करके स्थिर रोलिंग संपर्क में दो सिलेंडर के लिए रेंगना बनाम रेंगना बल संबंध प्रस्तुत किया। इन्हें रेलवे लोकोमोटिव ट्रैक्शन पर लागू किया जाता है, और रेलवे वाहनों के शिकार दोलन  को समझने के लिए।स्लाइडिंग के संबंध में, शास्त्रीय समाधान सी। कट्टेनो (1938) और आर.डी. माइंडलिन (1949) के कारण हैं, जिन्होंने एक विमान पर एक क्षेत्र के स्पर्शरेखा शिफ्टिंग पर विचार किया (नीचे देखें)।

1950 के दशक में, रेलवे पहियों के रोलिंग संपर्क में रुचि बढ़ी।1958 में, केनेथ एल। जॉनसन ने हर्ट्ज़ियन ज्यामिति के साथ 3 डी घर्षण समस्या के लिए एक अनुमानित दृष्टिकोण प्रस्तुत किया, जिसमें या तो पार्श्व या स्पिन रेंगना था।दूसरों के बीच उन्होंने पाया कि स्पिन रेंगना, जो संपर्क पैच के केंद्र के बारे में सममित है, रोलिंग स्थितियों में एक शुद्ध पार्श्व बल की ओर जाता है।यह संपर्क पैच में ट्रैक्शन के वितरण में सामने के अंतर के कारण है।

1967 में, जोस्ट जैक्स कल्कर  ने रोलिंग संपर्क के लिए रैखिक सिद्धांत पर अपने मील का पत्थर पीएचडी थीसिस प्रकाशित किया। यह सिद्धांत एक अनंत घर्षण गुणांक की स्थिति के लिए सटीक है, जिस स्थिति में पर्ची क्षेत्र गायब हो जाता है, और गैर-लुप्त होती क्रीपेज के लिए लगभग है।यह कूलम्ब के घर्षण कानून को मानता है, जिसे कम या ज्यादा की आवश्यकता होती है (स्क्रिपुलस रूप से) स्वच्छ सतहों की आवश्यकता होती है।यह सिद्धांत रेलवे व्हील-रेल संपर्क जैसे विशाल निकायों के लिए है।रोड-टायर इंटरैक्शन के संबंध में, एक महत्वपूर्ण योगदान  उसकी गति  द्वारा तथाकथित  मैजिक टायर फॉर्मूला  की चिंता करता है। 1970 के दशक में, कई संख्यात्मक मॉडल तैयार किए गए थे।विशेष रूप से विविधताओं की पथरी, जैसे कि डुवाट और शेर के अस्तित्व और विशिष्टता सिद्धांतों पर निर्भर हैं।समय के साथ, ये सामान्य सामग्री मॉडल और ज्यामितीयों के साथ संपर्क समस्याओं के लिए परिमित तत्व विधि में विकसित हुए, और आधे स्थान (ज्यामिति) में।पहली श्रेणी के मॉडल लॉरेन द्वारा प्रस्तुत किए गए थे और wriggers द्वारा। बाद की श्रेणी का एक उदाहरण कल्कर का संपर्क मॉडल है। अच्छी तरह से स्थापित वैरिएशनल दृष्टिकोण का एक दोष उनका बड़ा गणना समय है।इसलिए, कई अलग -अलग अनुमानित दृष्टिकोण भी तैयार किए गए थे।रोलिंग संपर्क समस्या के लिए कई प्रसिद्ध अनुमानित सिद्धांत कल्कर के फास्टसिम दृष्टिकोण, शेन-हेड्रिक-एलकिंस फॉर्मूला और पोलाच के दृष्टिकोण हैं।

व्हील/रेल संपर्क समस्या के इतिहास के बारे में अधिक जानकारी नॉथे के पेपर में प्रदान की गई है। इसके अलावा जॉनसन ने अपनी पुस्तक में संपर्क यांत्रिकी और संबंधित विषयों पर एक जबरदस्त जानकारी एकत्र की। रोलिंग संपर्क यांत्रिकी के संबंध में विभिन्न सिद्धांतों का अवलोकन कल्कर द्वारा भी प्रस्तुत किया गया है। अंत में एक CISM पाठ्यक्रम की कार्यवाही रुचि की है, जो रोलिंग संपर्क सिद्धांत के अधिक उन्नत पहलुओं का परिचय प्रदान करती है।

समस्या निर्माण
घर्षण संपर्क समस्याओं के विश्लेषण में केंद्रीय यह समझ है कि प्रत्येक शरीर की सतह पर तनाव (यांत्रिकी) स्थानिक रूप से भिन्न होते हैं।नतीजतन, निकायों के अमानवीय तनाव सिद्धांत  और विरूपण (यांत्रिकी) स्थिति के साथ भी भिन्न होते हैं।और संपर्क करने वाले निकायों के कणों की गति अलग -अलग स्थानों पर अलग हो सकती है: विरोधी निकायों के संपर्क पैच कणों के हिस्से में एक दूसरे का पालन (छड़ी) हो सकता है, जबकि संपर्क पैच के अन्य भागों में सापेक्ष आंदोलन होता है।इस स्थानीय सापेक्ष स्लाइडिंग को माइक्रो- स्लिप (वाहन की गतिशीलता)  कहा जाता है।

संपर्क क्षेत्र का यह उपखंड छड़ी ( आसंजन ) और पर्ची क्षेत्रों में खुद को प्रकट करता है।झल्लाहट में।ध्यान दें कि पहनने में केवल वह जगह होती है जहां बिजली (भौतिकी) को नष्ट कर दिया जाता है, जिसके लिए दो सतहों के बीच तनाव और स्थानीय सापेक्ष विस्थापन  (वेक्टर) (पर्ची) की आवश्यकता होती है।

संपर्क पैच का आकार और आकार ही और इसके आसंजन और पर्ची क्षेत्रों में आम तौर पर अग्रिम में अज्ञात हैं।यदि ये ज्ञात थे, तो दो निकायों में लोचदार क्षेत्रों को एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से हल किया जा सकता है और समस्या अब संपर्क समस्या नहीं होगी।

एक संपर्क समस्या में तीन अलग -अलग घटकों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।
 * 1) सबसे पहले, उनकी सतहों पर लगाए गए लोड की प्रतिक्रिया में अलग -अलग निकायों की विरूपण है।यह जनरल  सातत्यक यांत्रिकी  का विषय है।यह काफी हद तक निकायों की ज्यामिति और उनके ( संवैधानिक समीकरण ों) सामग्री विज्ञान (जैसे रैखिक लोच बनाम  प्लास्टिसिटी (भौतिकी)  प्रतिक्रिया, सजातीय बनाम स्तरित संरचना आदि) पर निर्भर करता है।
 * 2) दूसरी बात, एक दूसरे के सापेक्ष निकायों की समग्र गति है।उदाहरण के लिए, निकाय आराम (स्टैटिक्स) पर हो सकते हैं या एक -दूसरे को जल्दी से ( प्रभाव (यांत्रिकी) ) तक पहुंच सकते हैं, और एक दूसरे के ऊपर (स्लाइडिंग) या घुमाया ( रोलिंग ) को स्थानांतरित किया जा सकता है।इन समग्र गतियों का आमतौर पर  शास्त्रीय यांत्रिकी  में अध्ययन किया जाता है, उदाहरण के लिए  बहुभुज गतिशीलता  देखें।
 * 3) अंत में संपर्क इंटरफ़ेस में प्रक्रियाएं हैं: इंटरफ़ेस के लिए लंबवत दिशा में संपीड़न और आसंजन, और  स्पर्शरेखा  में घर्षण और माइक्रो-स्लिप।

अंतिम पहलू संपर्क यांत्रिकी की प्राथमिक चिंता है।यह तथाकथित  संपर्क शर्तों  के संदर्भ में वर्णित है। इंटरफ़ेस के लिए लंबवत दिशा के लिए, सामान्य संपर्क समस्या, आसंजन प्रभाव आमतौर पर छोटे होते हैं (बड़े स्थानिक तराजू पर) और निम्नलिखित स्थितियों को आमतौर पर नियोजित किया जाता है: गणितीय रूप से: $$ e_n \ge 0, p_n \ge 0, e_n\cdot p_n = 0\,\!$$।यहां $$e_n, p_n$$ ऐसे कार्य हैं जो निकायों की सतहों के साथ स्थिति के साथ भिन्न होते हैं।
 * 1) अन्तर $$e_n$$ दो सतहों के बीच शून्य (संपर्क) या कड़ाई से सकारात्मक होना चाहिए (अलगाव, $$e_n>0$$);
 * 2) सामान्य तनाव $$p_n$$ प्रत्येक शरीर पर अभिनय शून्य (पृथक्करण) या संपीड़ित है ($$p_n > 0$$ संपर्क में)।

स्पर्शरेखा दिशाओं में निम्नलिखित स्थितियों का अक्सर उपयोग किया जाता है:
 * 1) स्थानीय (स्पर्शरेखा) कतरनी तनाव $$\vec{p} = (p_x, p_y)^\mathsf{T}\,\!$$ (सामान्य दिशा को समानांतर मानते हुए $$z$$-एक्सिस) एक निश्चित स्थिति-निर्भर अधिकतम से अधिक नहीं हो सकता है, तथाकथित कर्षण बाध्य $$g$$;
 * 2) जहां स्पर्शरेखा कर्षण की भयावहता कर्षण से नीचे गिरती है $$\|\vec{p}\|<g\,\!$$, विरोधी सतह एक साथ पालन करती है और सूक्ष्म-पर्ची गायब हो जाती है, $$\vec{s} = (s_x, s_y)^\mathsf{T} = \vec{0}\,\!$$;
 * 3) माइक्रो-स्लिप वह होता है जहां स्पर्शरेखा ट्रैक्शन कर्षण में होते हैं;स्पर्शरेखा कर्षण की दिशा फिर माइक्रो-स्लिप की दिशा के विपरीत है $$\vec{p} = -g\vec{s}/\|\vec{s}\|\,\!$$।

कर्षण बाध्य का सटीक रूप तथाकथित स्थानीय घर्षण कानून है।इसके लिए कूलम्ब (वैश्विक) घर्षण कानून अक्सर स्थानीय रूप से लागू होता है: $$\|\vec{p}\|\le g = \mu p_n\,\!$$, साथ $$\mu$$ घर्षण गुणांक।उदाहरण के लिए, अधिक विस्तृत सूत्र भी संभव हैं $$\mu$$ तापमान पर निर्भर करता है $$T$$, स्थानीय स्लाइडिंग वेग $$\|\vec{s}\|$$, आदि।

एक बोलार्ड पर रस्सी, कैप्स्टन समीकरण
एक रस्सी पर विचार करें जहां समान बल (जैसे, $$F_\text{hold} = 400\,\mathrm{N}$$) दोनों पक्षों पर लगाए जाते हैं।इसके द्वारा रस्सी को थोड़ा और एक आंतरिक तनाव (भौतिकी)  फैलाया जाता है $$T$$ प्रेरित है ($$T = 400\,\mathrm{N}$$ रस्सी के साथ हर स्थिति पर)।रस्सी को एक निश्चित आइटम जैसे कि  अंटा  के चारों ओर लपेटा जाता है;यह मुड़ा हुआ है और एक संपर्क कोण पर आइटम की सतह पर संपर्क करता है (जैसे, $$180^\circ$$)।सामान्य दबाव रस्सी और बोलार्ड के बीच होता है, लेकिन अभी तक कोई घर्षण नहीं होता है।अगला बोलार्ड के एक तरफ बल को उच्च मूल्य तक बढ़ाया जाता है (जैसे, $$F_\text{load} = 600\,\mathrm{N}$$)।यह संपर्क क्षेत्र में घर्षण कतरनी तनाव का कारण बनता है।अंतिम स्थिति में बोलार्ड रस्सी पर एक घर्षण बल का अभ्यास करता है जैसे कि एक स्थिर स्थिति होती है।

इस अंतिम स्थिति में रस्सी में तनाव वितरण को कैप्स्टन समीकरण  द्वारा वर्णित किया गया है, समाधान के साथ:


 * $$\begin{align}

T(\phi) &= T_\text{hold},             & \phi &\in \left[\phi_\text{hold}, \phi_\text{intf}\right] \\ T(\phi) &= T_\text{load} e^{-\mu\phi}, & \phi &\in \left[\phi_\text{intf}, \phi_\text{load}\right] \\ \phi_\text{intf} &= \frac{1}{\mu} \log\left(\frac{T_\text{load}}{T_\text{hold}}\right) & \end{align}$$ तनाव बढ़ता है $$T_\text{hold}$$ स्लैक की तरफ ($$\phi = \phi_\text{hold}$$) को $$T_\text{load}$$ ऊँची तरफ $$\phi = \phi_\text{load}$$।जब उच्च पक्ष से देखा जाता है, तो तनाव तेजी से गिरता है, जब तक कि यह निचले लोड पर नहीं पहुंच जाता है $$\phi = \phi_\text{intf}$$।वहाँ से इस मूल्य पर स्थिर है।संक्रमण बिंदु $$\phi_\text{intf}$$ दो भार और घर्षण गुणांक के अनुपात से निर्धारित होता है।यहाँ तनाव $$T$$ न्यूटन और कोणों में हैं $$\phi$$ रेडियन में।

तनाव $$T$$ अंतिम स्थिति में रस्सी में प्रारंभिक राज्य के संबंध में वृद्धि हुई है।इसलिए, रस्सी थोड़ी बढ़ जाती है।इसका मतलब यह है कि रस्सी के सभी सतह कणों ने बोलार्ड सतह पर अपनी प्रारंभिक स्थिति नहीं रखी हो सकती है।लोडिंग प्रक्रिया के दौरान, स्लिप एरिया में बोलार्ड की सतह के साथ रस्सी थोड़ी फिसल गई $$\phi \in [\phi_\text{intf}, \phi_\text{load}]$$।यह पर्ची ठीक से बड़ी है जो अंतिम अवस्था में होती है।ध्यान दें कि अंतिम स्थिति में कोई फिसलने नहीं चल रही है;शब्द पर्ची क्षेत्र लोडिंग प्रक्रिया के दौरान होने वाली स्लिपेज को संदर्भित करता है।आगे ध्यान दें कि पर्ची क्षेत्र का स्थान प्रारंभिक अवस्था और लोडिंग प्रक्रिया पर निर्भर करता है।यदि प्रारंभिक तनाव है $$600\,\mathrm{N}$$ और तनाव कम हो गया है $$400\,\mathrm{N}$$ स्लैक की तरफ, फिर पर्ची क्षेत्र संपर्क क्षेत्र के सुस्त पक्ष में होता है।के बीच प्रारंभिक तनाव के लिए $$400$$ और $$600\,\mathrm{N}$$, बीच में एक छड़ी क्षेत्र के साथ दोनों तरफ पर्ची क्षेत्र हो सकते हैं।

एक रस्सी के लिए सामान्यीकरण एक मनमाने ढंग से ऑर्थोट्रोपिक सतह पर पड़ी
यदि एक रस्सी किसी न किसी ऑर्थोट्रोपिक सतह पर स्पर्शरेखा बलों के तहत संतुलन में बिछा रही है, तो तीन निम्नलिखित स्थितियां (उन सभी) को संतुष्ट करते हैं:

1. No separation – normal reaction $N$ is positive for all points of the rope curve:


 * $N = -k_nT > 0$, where $k_n$ is a normal curvature of the rope curve.

2. Dragging coefficient of friction $\mu_g$ and angle $\alpha$ are satisfying the following criteria for all points of the curve
 * $-\mu_g < \tan \alpha < +\mu_g$

3. Limit values of the tangential forces:

The forces at both ends of the rope $T$ and $T_0$ are satisfying the following inequality


 * $T_0 e^{-\int_s \omega \mathrm{d}s} \le T \le T_0 e^{\int_s \omega \mathrm{d}s}$

with $\omega = \mu_\tau \sqrt{ k_n^2 - \frac{k_g^2}{\mu_g^2} } = \mu_\tau k \sqrt{ \cos^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\mu_g^2}}$,

कहाँ पे $k_g$रस्सी वक्र का एक जियोडेसिक वक्रता है, $k$ एक रस्सी वक्र की वक्रता है, $\mu_\tau$स्पर्शरेखा दिशा में घर्षण का एक गुणांक है।

यदि $\omega$ तब स्थिर है $T_0 e^{-\mu_\tau k s \, \sqrt{ \cos^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\mu_g^2}}} \le T \le T_0 e^{\mu_\tau k s \, \sqrt{ \cos^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\mu_g^2}}}$।
 * undefined

यह सामान्यीकरण कोनुखोव ए द्वारा प्राप्त किया गया है,

एक विमान पर गोला, (3 डी) Cattaneo समस्या
एक ऐसे क्षेत्र पर विचार करें जो एक विमान (आधा स्थान) पर दबाया जाता है और फिर विमान की सतह पर स्थानांतरित हो जाता है।यदि क्षेत्र और विमान को कठोर निकायों के रूप में आदर्श बनाया जाता है, तो संपर्क केवल एक बिंदु में होगा, और क्षेत्र तब तक नहीं चलेगा जब तक कि लागू होने वाली स्पर्शरेखा बल अधिकतम घर्षण बल तक नहीं पहुंच जाता है।तब यह सतह पर फिसलने लगता है जब तक कि लागू बल फिर से कम नहीं हो जाता है।

वास्तव में, लोचदार प्रभावों को ध्यान में रखते हुए, स्थिति बहुत अलग है।यदि एक लोचदार गोला को एक ही सामग्री के एक लोचदार विमान पर दबाया जाता है, तो दोनों शरीर विकृत हो जाते हैं, एक गोलाकार संपर्क क्षेत्र अस्तित्व में आता है, और एक (हर्ट्जियन) सामान्य दबाव वितरण उत्पन्न होता है।क्षेत्र के केंद्र को दूर से नीचे ले जाया जाता है $$\delta_n$$ दृष्टिकोण कहा जाता है, जो कि अपरिचित सतहों के अधिकतम प्रवेश के बराबर है।त्रिज्या के क्षेत्र के लिए $$R$$ और लोचदार स्थिरांक $$E, \nu$$ यह हर्ट्जियन समाधान पढ़ता है:


 * $$\begin{align}

p_n(x, y) &= p_0 \sqrt{1 - \frac{r^2}{a^2}} & r &= \sqrt{x^2 + y^2} \le a & a &= \sqrt{R\delta_n} \\ p_0 &= \frac{2}{\pi} E^* \sqrt{\frac{\delta_n}{R}} & F_n &= \frac{4}{3} E^* \sqrt{R} \delta_n^\frac{3}{2} & E^* &= \frac{E}{2\left(1 - \nu^2\right)} \end{align}$$ अब एक स्पर्शरेखा बल पर विचार करें $$F_x$$ लागू किया जाता है कि कूलम्ब घर्षण बाध्य से कम है $$\mu F_n$$।गोले का केंद्र तब एक छोटी दूरी से बग़ल में ले जाया जाएगा $$\delta_x$$ इसे शिफ्ट कहा जाता है।एक स्थिर संतुलन प्राप्त किया जाता है जिसमें लोचदार विकृति के साथ -साथ संपर्क इंटरफ़ेस में घर्षण कतरनी तनाव होता है।इस मामले में, यदि स्पर्शरेखा बल कम हो जाता है, तो लोचदार विकृति और कतरनी तनाव कम हो जाते हैं।संपर्क पैच में स्थानीय पर्ची के कारण उत्पन्न होने वाले घर्षण नुकसान को छोड़कर, बड़े पैमाने पर अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाता है।

यह संपर्क समस्या लगभग एक विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण का उपयोग करके Cattaneo द्वारा हल की गई थी।संतुलन राज्य में तनाव वितरण में दो भाग होते हैं:


 * $$\begin{align}

p_x(x, y) &= \mu p_0 \left(\sqrt{1 - \frac{r^2}{a^2}} - \frac{c}{a}\sqrt{1 - \frac{r^2}{c^2}} \right) & 0 \le {} &r \le c \\ p_x(x, y) &= \mu p_n(x, y) & c \le {} &r \le a \\ p_x(x, y) &= 0 & a \le {} &r \end{align}$$ केंद्रीय, चिपके हुए क्षेत्र में $$0 \le r \le c$$, विमान की सतह के कण विस्थापित हो जाते हैं $$u_x = \delta_x/2$$ दाईं ओर जबकि गोले की सतह के कण विस्थापित हो जाते हैं $$u_x = -\delta_x/2$$ बांई ओर।भले ही एक पूरी चाल के रूप में गोला खत्म हो जाता है $$\delta_x$$ विमान के सापेक्ष, ये सतह कण एक दूसरे के सापेक्ष नहीं चले गए।बाहरी एनलस में $$c \le r \le r$$, सतह के कण एक दूसरे के सापेक्ष चले गए।उनके स्थानीय बदलाव के रूप में प्राप्त किया जाता है


 * $$s_x(x, y) = \delta_x + u_x^\text{sphere}(x, y) - u_x^\text{plane}(x, y)$$

यह शिफ्ट $$s_x(x, y)$$ ठीक है जैसे कि इस तथाकथित पर्ची क्षेत्र में बंधे कर्षण में कतरनी तनाव के साथ एक स्थिर संतुलन प्राप्त किया जाता है।

तो, गोले के स्पर्शरेखा लोडिंग के दौरान, आंशिक स्लाइडिंग होती है।इस प्रकार संपर्क क्षेत्र को एक पर्ची क्षेत्र में विभाजित किया जाता है जहां सतह एक दूसरे के सापेक्ष और एक छड़ी क्षेत्र के सापेक्ष चलती है जहां वे नहीं करते हैं।संतुलन की स्थिति में कोई और स्लाइडिंग नहीं चल रही है।

गतिशील स्लाइडिंग समस्याओं के लिए समाधान
एक संपर्क समस्या के समाधान में इंटरफ़ेस में राज्य होता है (जहां संपर्क है, छड़ी और पर्ची क्षेत्रों में संपर्क क्षेत्र का विभाजन, और सामान्य और कतरनी तनाव वितरण) और शरीर के अंदरूनी हिस्सों में लोचदार क्षेत्र।यह समाधान संपर्क के इतिहास पर निर्भर करता है।यह ऊपर वर्णित Cattaneo समस्या के विस्तार द्वारा देखा जा सकता है।
 * Cattaneo समस्या में, गोले को पहले विमान पर दबाया जाता है और फिर स्पर्शरेखा को स्थानांतरित कर दिया जाता है।यह ऊपर वर्णित के रूप में आंशिक पर्ची देता है।
 * यदि क्षेत्र को पहले स्पर्शरेखा को स्थानांतरित किया जाता है और फिर विमान पर दबाया जाता है, तो विरोधी सतहों के बीच कोई स्पर्शरेखा विस्थापन अंतर नहीं होता है और परिणामस्वरूप संपर्क इंटरफ़ेस में कोई स्पर्शरेखा तनाव नहीं होता है।
 * यदि सामान्य दिशा और स्पर्शरेखा शिफ्ट में दृष्टिकोण एक साथ बढ़ जाता है (तिरछा संपीड़न) तो एक स्थिति स्पर्शरेखा तनाव के साथ प्राप्त की जा सकती है लेकिन स्थानीय पर्ची के बिना।

यह दर्शाता है कि संपर्क इंटरफ़ेस में राज्य न केवल दो निकायों के सापेक्ष पदों पर निर्भर है, बल्कि उनके गति इतिहास पर भी निर्भर है।इसका एक और उदाहरण तब होता है जब क्षेत्र को अपनी मूल स्थिति में वापस स्थानांतरित कर दिया जाता है।प्रारंभ में संपर्क इंटरफ़ेस में कोई स्पर्शरेखा तनाव नहीं था।प्रारंभिक पारी के बाद माइक्रो-स्लिप हुई है।यह माइक्रो-स्लिप पूरी तरह से वापस स्थानांतरित करने से पूर्ववत नहीं है।तो अंतिम स्थिति में स्पर्शरेखा तनाव इंटरफ़ेस में रहता है, जो मूल के समान समान कॉन्फ़िगरेशन की तरह दिखता है।

गतिशील संपर्कों (प्रभावों) पर घर्षण के प्रभाव को विस्तार से माना जाता है।

रोलिंग संपर्क समस्याओं का समाधान
रोलिंग संपर्क समस्याएं गतिशील समस्याएं हैं जिनमें संपर्क करने वाले निकाय लगातार एक दूसरे के संबंध में आगे बढ़ रहे हैं।गतिशील स्लाइडिंग संपर्क समस्याओं का एक अंतर यह है कि विभिन्न सतह कणों की स्थिति में अधिक विविधता है।जबकि एक स्लाइडिंग समस्या में संपर्क पैच लगातार कम या ज्यादा समान कणों के होते हैं, एक रोलिंग संपर्क समस्या कणों में प्रवेश करते हैं और संपर्क पैच को लगातार छोड़ देते हैं।इसके अलावा, एक स्लाइडिंग समस्या में संपर्क पैच में सतह के कण सभी को हर जगह कम या ज्यादा स्पर्शरेखा शिफ्ट के अधीन होते हैं, जबकि एक रोलिंग समस्या में सतह के कणों को अलग -अलग तरीकों से तनावग्रस्त किया जाता है।संपर्क पैच में प्रवेश करते समय वे तनाव से मुक्त होते हैं, फिर विरोधी सतह के एक कण से चिपके रहते हैं, दो निकायों के बीच समग्र गति अंतर से तनाव होता है, जब तक कि स्थानीय कर्षण बाध्य नहीं हो जाता है और स्थानीय स्लिप सेट होता है। यह प्रक्रिया में हैसंपर्क क्षेत्र के विभिन्न भागों के लिए अलग -अलग चरण।

यदि निकायों की समग्र गति स्थिर है, तो एक समग्र स्थिर स्थिति प्राप्त की जा सकती है।यहां प्रत्येक सतह कण की स्थिति समय में भिन्न होती है, लेकिन समग्र वितरण स्थिर हो सकता है।यह एक समन्वय प्रणाली का उपयोग करके औपचारिक रूप से किया जाता है जो संपर्क पैच के साथ चल रहा है।

सिलेंडर एक विमान पर रोलिंग, (2 डी) कार्टर-फ्रॉम समाधान
एक सिलेंडर पर विचार करें जो स्थिर परिस्थितियों में एक विमान (आधे स्थान) पर लुढ़क रहा है, एक समय-स्वतंत्र अनुदैर्ध्य रेंगना के साथ $$\xi$$।(अपेक्षाकृत) सिलेंडर के सिरों से दूर विमान के तनाव की स्थिति होती है और समस्या 2-आयामी होती है।

यदि सिलेंडर और विमान में समान सामग्री होती है, तो सामान्य संपर्क समस्या कतरनी तनाव से अप्रभावित है।संपर्क क्षेत्र एक पट्टी है $$x \in [-a, a]$$, और दबाव (2 डी) हर्ट्ज समाधान द्वारा वर्णित है।


 * $$\begin{align}

p_n(x) &= \frac{p_0}{a} \sqrt{a^2 - x^2} & |x| &\le a & a^2 &= \frac{4 F_n R}{\pi E^*} \\ p_0 &= \frac{2 F_n}{\pi a} &&& E^* &= \frac{E}{2\left(1 - \nu^2\right)} & \end{align}$$ कतरनी तनाव के वितरण को कार्टर-फ्रॉम समाधान द्वारा वर्णित किया गया है।इसमें संपर्क क्षेत्र के अग्रणी किनारे पर एक आसंजन क्षेत्र और अनुगामी किनारे पर एक पर्ची क्षेत्र शामिल है।आसंजन क्षेत्र की लंबाई को निरूपित किया गया है $$2a'$$।इसके अलावा आसंजन समन्वय द्वारा पेश किया गया है $$x' = x + a - a'$$।एक सकारात्मक शक्ति के मामले में $$F_x > 0$$ (नकारात्मक रेंगना $$\xi < 0$$) यह है:


 * $$\begin{align}

p_x(x) &= 0 & |&x| \ge a \\ p_x(x) &= \frac{\mu p_0}{a} \left( \sqrt{a^2 - x^2} - \sqrt{a'^2 - x'^2} \right) & a - 2a' \le {} &x \le a \\ p_x(x) &= \mu p_n(x) & &x \le a - 2a' \end{align}$$ आसंजन क्षेत्र का आकार रेंगने, पहिया त्रिज्या और घर्षण गुणांक पर निर्भर करता है।


 * $$\begin{align}

a' &= a \sqrt{1 - \frac{|F_x|}{\mu F_n}}, & \mbox{for } |F_x| \le \mu F_n \\ \xi &= -\operatorname{sign}(F_x) \, \frac{\mu (a - a')}{R}, & \mbox{i.e. } |\xi| \le \frac{\mu a}{R} \\ F_x &= -\operatorname{sign}(\xi) \,\mu F_n \left( 1 - \left( 1 + \frac{R |\xi|}{\mu a}\right)^2 \right) \end{align}$$ बड़े रेंगने के लिए $$a' = 0$$ इस तरह से पूर्ण स्लाइडिंग होती है।

आधा-स्थान आधारित दृष्टिकोण
मध्यवर्ती स्थानिक पैमानों पर संपर्क समस्याओं पर विचार करते समय, छोटे पैमाने पर सामग्री की असमानता और सतह खुरदरापन को नजरअंदाज कर दिया जाता है।निकायों को चिकनी सतहों और सजातीय सामग्रियों से मिलकर माना जाता है।एक निरंतरता दृष्टिकोण लिया जाता है जहां तनाव, तनाव और विस्थापन का वर्णन (टुकड़ा) निरंतर कार्यों द्वारा किया जाता है।

हाफ-स्पेस (ज्यामिति) | आधा-स्थान दृष्टिकोण तथाकथित चिकनी धार वाली या केंद्रित संपर्क समस्याओं के लिए एक सुरुचिपूर्ण समाधान रणनीति है। हाफ-स्पेस के लिए मौलिक समाधान का उपयोग करते हुए, पूर्ण 3 डी संपर्क समस्या निकायों की बाउंडिंग सतहों के लिए 2 डी समस्या में कम हो जाती है।
 * 1) यदि एक बड़े पैमाने पर लोचदार शरीर को उसकी सतह के एक छोटे से हिस्से पर लोड किया जाता है, तो लोचदार तनाव आनुपातिक को जन्म देता है $$1/distance^2$$ और द्वारा लोचदार विस्थापन $$1/distance$$ जब कोई इस सतह क्षेत्र से दूर चला जाता है।
 * 2) यदि किसी शरीर में संपर्क क्षेत्र में या उसके आस-पास कोई तेज कोने नहीं है, तो एक सतह के लोड के लिए इसकी प्रतिक्रिया एक लोचदार आधे स्थान की प्रतिक्रिया से अच्छी तरह से अनुमानित की जा सकती है (जैसे सभी बिंदु $$(x, y, z)^\mathsf{T} \in \R^3\,\!$$ साथ $$z>0\,\!$$)।
 * 3) इलास्टिक हाफ-स्पेस समस्या को विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जाता है, रेखीय लोच# इलास्टोस्टैटिक मामलों के लिए समाधान देखें। Boussinesq-cerruti समाधान।
 * 4) इस दृष्टिकोण की रैखिकता के कारण, कई आंशिक समाधान सुपर-लगाए जा सकते हैं।

एक और सरलीकरण होता है यदि दो निकाय "ज्यामितीय और इलास्टिक रूप से एक जैसे" होते हैं।सामान्य तौर पर, एक दिशा में एक शरीर के अंदर तनाव लंबवत दिशाओं में विस्थापन को भी प्रेरित करता है।नतीजतन, संपर्क समस्या में सामान्य तनाव और स्पर्शरेखा विस्थापन और स्पर्शरेखा तनाव और सामान्य विस्थापन के बीच एक बातचीत के बीच एक बातचीत होती है।लेकिन अगर संपर्क इंटरफ़ेस में सामान्य तनाव दोनों संपर्क निकायों में समान स्पर्शरेखा विस्थापन को प्रेरित करता है, तो दो सतहों के सापेक्ष स्पर्शरेखा विस्थापन नहीं है।उस स्थिति में, सामान्य और स्पर्शरेखा संपर्क समस्याएं डिकूप हो जाती हैं।यदि यह मामला है तो दो शवों को अर्ध-समान कहा जाता है।यह उदाहरण के लिए होता है यदि शरीर संपर्क विमान के संबंध में दर्पण-सममितीय होते हैं और एक ही लोचदार स्थिरांक होते हैं।

आधे स्थान के दृष्टिकोण पर आधारित शास्त्रीय समाधान हैं:
 * 1) हर्ट्ज ने एक साधारण ज्यामिति (वक्रता के निरंतर रेडी के साथ घुमावदार सतहों) के लिए घर्षण की अनुपस्थिति में संपर्क समस्या को हल किया।
 * 2) कार्टर ने एक सिलेंडर और एक विमान के बीच रोलिंग संपर्क पर विचार किया, जैसा कि ऊपर वर्णित है।स्पर्शरेखा कर्षण के लिए एक पूर्ण विश्लेषणात्मक समाधान प्रदान किया जाता है।
 * 3) Cattaneo ने दो क्षेत्रों के संपीड़न और शिफ्टिंग पर विचार किया, जैसा कि ऊपर वर्णित है।ध्यान दें कि यह विश्लेषणात्मक समाधान अनुमानित है।वास्तव में छोटे स्पर्शरेखा ट्रैक्शन $$p_y$$ होता है जिसे नजरअंदाज कर दिया जाता है।

यह भी देखें

 * एस
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बाहरी कड़ियाँ

 * Biography of Prof.dr.ir. J.J. Kalker (Delft University of Technology).
 * Kalker's Hertzian/non-Hertzian CONTACT software.