मोनोइडल टी-नॉर्म लॉजिक

गणितीय तर्क में, मोनोइडल टी-मानदंड आधारित तर्क (या एमटीएल), बाएं-निरंतर टी-मानदंडों का तर्क, टी-मानदंड स्वानुशासित तर्क में से एक है। यह अवसंरचनात्मक तर्क के व्यापक वर्ग से संबंधित है, या अवशिष्ट जालक के तर्क से संबंधित है; यह क्रम विनिमेय बाध्य संपूर्ण रेसिड्यूएटेड जालक के तर्क को (होहले के मोनोइडल तर्क के रूप में जाना जाता है, ओनो का FLew, या अंतर्ज्ञानवादी तर्क संकुचन के बिना) प्रारंभिकता के स्वयंसिद्ध द्वारा बढ़ाता है।

प्रेरणा
स्वानुशासित तर्क में, कथनों को सत्य या असत्य मानने के स्थान पर, हम प्रत्येक कथन को उस कथन में एक संख्यात्मक विश्वास के साथ जोड़ते हैं। परिपाटी के अनुसार इकाई अंतराल पर विश्वास की सीमा $$[0,1]$$ होती है, जहां अधिकतम आत्मविश्वास $$1$$ सच्चे और न्यूनतम आत्मविश्वास की पारम्परिक अवधारणा से मेल खाती है $$0$$ असत्य की पारम्परिक अवधारणा से मेल खाता है।

टी-मानदंड वास्तविक इकाई अंतराल [0, 1] पर द्विआधारी कार्य हैं, जो स्वानुशासित तर्क में प्रायः एक तार्किक संयोजन संयोजक का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है; यदि $$a,b \in [0,1]$$ ऐसे कॉन्फिडेंस हैं जो हम क्रमशः $$A$$ और $$B$$ को बयान करते हैं, तो एक संयुक्त कथन $$A$$ और $$B$$ को दिए गए कॉन्फिडेंस $$a*b$$ की गणना करने के लिए एक टी-नॉर्म ∗* का उपयोग करता है। एक टी-मानदंड $$*$$ के गुणों को पूरा करना है
 * क्रमविनिमेयता $$ a*b = b*a $$,
 * साहचर्य $$ (a*b)*c = a*(b*c) $$,
 * दिष्टता - यदि $$ a \leqslant b $$ और $$ c \leqslant d $$ तब $$ a*c \leqslant b*d $$,
 * और 1 पहचान तत्व के रूप में $$ 1*a = a $$.

इस सूची से विशेष रूप से अनुपस्थित है, यह आइदम्पोटेंस की विशेषता $$ a*a = a $$ है; सबसे निकट यह है कि $$ a*a \leqslant 1*a = a $$। केवल A की तुलना में 'A और A' में कम आत्मविश्वास होना अजीब लग सकता है, लेकिन हम सामान्यतः एक संयुक्त 'A और B' में आत्मविश्वास A * B को A में दोनों आत्मविश्वास से कम होने की अनुमति देना चाहते हैं। और B में कॉन्फिडेंस B, और फिर दिष्टता द्वारा $$ a*b < a \leqslant b $$ समादेश करने के लिए $$ a*a \leqslant a*b < a $$ की आवश्यकता होती है। इसे रखने का दूसरा तरीका यह है कि t-मानदंड केवल विश्वासों को संख्याओं के रूप में ध्यान में रख सकता है, उन कारणों को नहीं जो उन विश्वासों को आरोपित करने के पीछे हो सकते हैं; इस प्रकार यह '$$A$$ और $$A$$ को $$A$$ और $$B$$ से अलग संसाधित नहीं कर सकता, जहां हम दोनों में समान रूप से आश्वस्त हैं'।

क्योंकि प्रतीक $$\wedge$$ जालक (आदेश) सिद्धांत में इसके उपयोग के माध्यम से निष्क्रियता विशेषता के साथ बहुत निकटता से जुड़ा हुआ है, यह संयुग्मन के लिए एक अलग प्रतीक पर परिवर्तन करने के लिए उपयोगी हो सकता है जो आवश्यक रूप से आइदम्पोटेंट नहीं है। स्वानुशासित तर्क परंपरा में इस शक्तिशाली संयोजन के लिए कभी-कभी $$\&$$ उपयोग किया जाता है, लेकिन यह लेख $$\otimes$$ शक्तिशाली संयोजन के लिए उपयोग करने की आधारभूत तर्क परंपरा का पालन करता है; इस प्रकार $$a*b$$ वह विश्वास है जो हम $$A \otimes B$$ कथन के लिए देते हैं (अभी भी '$$A$$ और $$B$$' पढ़ा जाता है, संभवतः 'और' की योग्यता के रूप में 'शक्तिशाली' या 'गुणक' के साथ)।

$$\otimes$$ औपचारिक संयोजन होना, एक अन्य संयोजकों के साथ जारी रखना चाहता है। ऐसा करने का एक तरीका यह है कि नकारात्मकता को समादेश-विपर्यायी मानचित्र $$[0,1] \longrightarrow [0,1]$$ के रूप में प्रस्तुत किया जाए, फिर डी मॉर्गन के नियमों, भौतिक निहितार्थ (अनुमान का नियम) और इसी तरह के अन्य का उपयोग करके शेष संयोजकों को परिभाषित किया जाता है। ऐसा करने में एक समस्या यह है कि परिणामी तर्क में अवांछनीय गुण हो सकते हैं: वे पारम्परिक तर्क के बहुत निकट हो सकते हैं, या यदि इसके विपरीत अपेक्षित अनुमान नियमों का समर्थन नहीं करते हैं। एक विकल्प जो विभिन्न विकल्पों के परिणामों को अधिक अनुमानित बनाता है, इसके स्थान पर भौतिक सशर्त के साथ जारी रखना है $$\to$$ दूसरे संयोजक के रूप में: यह समग्र रूप से तर्क के स्वयंसिद्धों में सबसे सामान्य संबंध है, और अधिकांश अन्य संयोजकों की तुलना में इसका तर्क के निगमनात्मक पहलुओं से घनिष्ठ संबंध है। एक आत्मविश्वास समकक्ष $$\Rightarrow$$ निहितार्थ संयोजक वास्तव में सीधे टी-मानदंड के अवशेष के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

संयुग्मन और निहितार्थ के बीच तार्किक श्रृंखला कुछ मौलिक रूप से प्रदान किया जाता है जैसे कि अनुमान नियम विधानात्मक हेतुफलानुमान $$A, A \to B \vdash B$$: से $$A$$ और $$A \to B$$ $$B$$ का अनुसरण करता है। स्वानुशासित तर्क स्तिथि में जो अधिक कड़ाई से $$A \otimes (A \to B) \vdash B$$ लिखा गया है, क्योंकि यह स्पष्ट करता है कि यहाँ आधार (ओं) के लिए हमारा विश्वास $$A \otimes (A \to B)$$ में है, न ही $$A$$ और $$A \to B$$ में अलग से है। तो यदि $$a$$ और $$b$$ में हमारे विश्वास $$A$$ और $$B$$ क्रमशः हैं, फिर $$a \Rightarrow b$$ में मांगा गया विश्वास $$A \to B$$, और $$ a * (a \Rightarrow b) $$ में संयुक्त विश्वास $$A \otimes (A \to B)$$ है। हमें निम्न की आवश्यकता है
 * $$ a * (a \mathbin{\Rightarrow} b) \leqslant b $$

हमारे आत्मविश्वास के बाद से $$b$$ के लिए $$B$$ हमारे आत्मविश्वास से कम नहीं होना चाहिए $$ a * (a \Rightarrow b) $$ बयान में $$A \otimes (A \to B)$$ किस से $$B$$ तार्किक रूप से अनुसरण करता है। यह मांगे गए विश्वास $$a \Rightarrow b$$ को सीमित करता है, और मुड़ने के लिए एक दृष्टिकोण $$\Rightarrow$$ एक द्विचर प्रचालन $$*$$ में जैसे इस सीमा का सम्मान करते हुए इसे जितना संभव हो उतना बड़ा बनाना होगा:
 * $$ a \mathbin{\Rightarrow} b \equiv  \sup \left\{ x \in [0,1] \;\big|\; a*x \leqslant b \right\} $$.$$x$$

$$x=0$$ लेने से $$ a*x = a*0 \leqslant 1*0 = 0 \leqslant b $$ मिलता है, इसलिए सर्वोच्च हमेशा एक गैर-खाली बंधित सम्मुच्चय का होता है और इस प्रकार अच्छी तरह से परिभाषित होता है। एक सामान्य टी-मानदंड के लिए $$ f_a(x) = a*x $$ में $$b$$$$ x = a \mathbin{\Rightarrow} b $$ पर विषयांतर असांतत्य होने की संभावना बनी रहती है, जिसमें मामला $$ a*x \leqslant b $$ b से सख्ती से बड़ा हो सकता है, भले ही $$ a \mathbin{\Rightarrow} b $$ को कम से कम ऊपरी सीमा के रूप में परिभाषित किया गया हो xs संतोषजनक $$ a * (a \mathbin{\Rightarrow} b) $$; इसे रोकने के लिए और उम्मीद के मुताबिक निर्माण कार्य करने के लिए, हमें आवश्यकता है कि टी-मानदंड * * बाएं-निरंतर है। बाएं-निरंतर टी-मानदंड के अवशेषों को सबसे शक्तिहीन कार्य के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो फ़ज़ी मोडस पोनेंस को वैध बनाता है, जो इसे स्वानुशासित तर्क में निहितार्थ के लिए एक उपयुक्त सत्य कार्य बनाता है।

अधिक बीजगणितीय रूप से, हम कहते हैं कि एक संक्रिया $$\Rightarrow$$ टी-नॉर्म का अवशेष $$*$$ यदि सभी $$a$$, $$b$$, और $$c$$  के लिए यह निम्न संतुष्ट करता है
 * $$a*b\le c$$ यदि और केवल यदि $$a\le (b \mathbin{\Rightarrow} c)$$

संख्यात्मक तुलनाओं की यह तुल्यता अनिवार्यताओं की तुल्यता को प्रतिबिम्बित करती है
 * $$ A \otimes B \vdash C $$ यदि और केवल यदि $$ A \vdash B \to C $$

यह अस्तित्व में है क्योंकि आधार $$A \otimes B$$ से $$C$$ के किसी भी प्रमाण को आधार $$A$$ से $$B \to C$$ के प्रमाण में परिवर्तित किया जा सकता है, एक अतिरिक्त निहितार्थ परिचय चरण करके, और इसके विपरीत आधार $$A$$ से $$B \to C$$ का कोई प्रमाण एक अतिरिक्त निहितार्थ निष्कासन कदम करके आधार $$A \otimes B$$ से $$C$$ के प्रमाण में परिवर्तित किया जा सकता है। टी-मानदंड संयोजन और इसके अवशिष्ट निहितार्थ के बीच इस संबंध के लिए टी-मानदंड की वाम-निरंतरता आवश्यक और पर्याप्त परिस्थिति है।

आगे के प्रस्तावक संयोजकों के सत्य कार्यों को टी-मानदंड और इसके अवशेषों के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए अवशिष्ट निषेध $$\neg x=(x\mathbin{\Rightarrow} 0)$$ है। इस तरह, बाएं-निरंतर टी-मानदंड, इसका अवशेष, और अतिरिक्त प्रस्तावात्मक संयोजकों के सत्य कार्य (नीचे दिए गए अनुभाग देखें) [0, 1] में जटिल तर्कवाक्य सूत्रों के सत्य मूल्यों को निर्धारित करते हैं। सूत्र जो हमेशा 1 का मूल्यांकन करते हैं, उन्हें दिए गए बाएं-निरंतर टी-मानदंड के संबंध में $$*,$$ या $$*\mbox{-}$$पुनरुक्ति (तर्क) कहा जाता है। सभी का सम्मुच्चय $$*\mbox{-}$$पुनरुक्ति को टी-नॉर्म $$*,$$ का तर्क कहा जाता है। चूंकि ये सूत्र स्वानुशासित तर्क (टी-मानदंड द्वारा निर्धारित) के नियमों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो परमाणु सूत्रों की सत्य घात की परवाह किए बिना (1 घात तक) धारण करते हैं। कुछ सूत्र सभी वाम-निरंतर टी-मानदंडों के संबंध में पुनरुत्पादन हैं: वे प्रस्तावित स्वानुशासित तर्क के सामान्य नियमों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो किसी विशेष वाम-निरंतर टी-मानदंड की पसंद से स्वतंत्र होते हैं। ये सूत्र तर्क एमटीएल बनाते हैं, जिसे इस प्रकार बाएं-निरंतर टी-मानदंडों के तर्क के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

भाषा
प्रस्तावक तर्क एमटीएल की भाषा में गणनीय कई प्रस्तावक चर और निम्नलिखित आदिम तार्किक संयोजक सम्मिलित हैं: निम्नलिखित सबसे सामान्य परिभाषित तार्किक संयोजक हैं:
 * निहितार्थ $$\rightarrow$$ (युग्मक)
 * प्रबल योग $$\otimes$$ (युग्मक)। साइन और स्वानुशासित तर्क पर साहित्य में शक्तिशाली संयोजन के लिए एक अधिक पारंपरिक संकेतन है, जबकि संकेतन $$\otimes$$ उपसंरचनात्मक तर्क की परंपरा का पालन करता है।
 * शक्तिहीन संयोग $$\wedge$$ (युग्मक), जिसे जालक संयुग्मन भी कहा जाता है (जैसा कि बीजगणितीय शब्दार्थ में मीट (गणित) के जालक (क्रम) संचालन द्वारा हमेशा महसूस किया जाता है)। बुनियादी स्वानुशासित तर्क और शक्तिशाली स्वानुशासित तर्क के विपरीत, शक्तिहीन संयोजन MTL में निश्चित नहीं है और इसे आदिम संयोजकों में सम्मिलित किया जाना है।
 * तल $$\bot$$ (शून्य - एक स्थिरांक (गणित); $$0$$ या $$\overline{0}$$ सामान्य वैकल्पिक चिह्न हैं और शून्य प्रस्तावक स्थिरांक के लिए एक सामान्य वैकल्पिक नाम है (क्योंकि अवसंरचनात्मक तर्क के स्थिरांक नीचे और शून्य एमटीएल में मेल खाते हैं)।
 * निषेध $$\neg$$ ( एकात्मक संचालन), के रूप में परिभाषित किया गया
 * $$\neg A \equiv A \rightarrow \bot$$


 * समानता $$\leftrightarrow$$ (युग्मक), के रूप में परिभाषित किया गया
 * $$A \leftrightarrow B \equiv (A \rightarrow B) \wedge (B \rightarrow A)$$
 * MTL में, परिभाषा $$(A \rightarrow B) \otimes (B \rightarrow A)$$ के समकक्ष है


 * (शक्तिहीन) संयोजन $$\vee$$ (युग्मक), जिसे जालक वियोजन भी कहा जाता है (जैसा कि बीजगणितीय शब्दार्थ में संयुक्त (गणित) के जालक (समादेश) संचालन द्वारा हमेशा महसूस किया जाता है), निम्न रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$A \vee B \equiv ((A \rightarrow B) \rightarrow B) \wedge ((B \rightarrow A) \rightarrow A)$$


 * ऊपर $$\top$$ (शून्य), जिसे एक भी कहा जाता है और इसके द्वारा $$1$$ या $$\overline{1}$$ निरूपित किया जाता है (एमटीएल में अवसंरचनात्मक तर्क के स्थिरांक शीर्ष और शून्य के रूप में मेल खाते हैं), निम्न रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$\top \equiv \bot \rightarrow \bot$$

एमटीएल के अच्छी तरह से गठित सूत्रों को सामान्य रूप से प्रस्तावपरक तर्क में परिभाषित किया गया है। कोष्ठकों को बचाने के लिए, वरीयता के निम्नलिखित क्रम का उपयोग करना सामान्य है:
 * एकाधारी अनुयोजक (सबसे बारीकी से बांधें)
 * निहितार्थ और तुल्यता के अतिरिक्त अन्य युग्मक संयोजक
 * निहितार्थ और तुल्यता (सबसे शिथिल बाँधें)

अभिगृहीत
एस्टेवा और गोडो (2001) द्वारा एमटीएल के लिए एक हिल्बर्ट-शैली की कटौती प्रणाली प्रारम्भ की गई है। इसका एकल व्युत्पत्ति नियम मॉडस पोनेन्स है:
 * $$A$$ और $$A \rightarrow B$$ से व्युत्पन्न $$B$$

इसकी सूक्ति स्कीमेता निम्नलिखित हैं:
 * $$\begin{array}{ll}

{\rm (MTL1)}\colon & (A \rightarrow B) \rightarrow ((B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C)) \\ {\rm (MTL2)}\colon & A \otimes B \rightarrow A\\ {\rm (MTL3)}\colon & A \otimes B \rightarrow B \otimes A\\ {\rm (MTL4a)}\colon & A \wedge B \rightarrow A\\ {\rm (MTL4b)}\colon & A \wedge B \rightarrow B \wedge A\\ {\rm (MTL4c)}\colon & A \otimes (A \rightarrow B) \rightarrow A \wedge B\\ {\rm (MTL5a)}\colon & (A \rightarrow (B \rightarrow C)) \rightarrow (A \otimes B \rightarrow C)\\ {\rm (MTL5b)}\colon & (A \otimes B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow (B \rightarrow C))\\ {\rm (MTL6)}\colon & ((A \rightarrow B) \rightarrow C) \rightarrow (((B \rightarrow A) \rightarrow C) \rightarrow C)\\ {\rm (MTL7)}\colon & \bot \rightarrow A \end{array}$$ बाएँ स्तंभ में दी गई अभिगृहीतों की पारंपरिक संख्या, पेट्र हाजेक के मूल स्वानुशासित तर्क बीएल के अभिगृहीतों की संख्या से ली गई है। अभिगृहीत (MTL4a)-(MTL4c) BL की विभाज्यता की अभिगृहीत (BL4) को प्रतिस्थापित करते हैं। अभिगृहीत (MTL5a) और (MTL5b) अवशिष्ट जालक के नियम को व्यक्त करते हैं और अभिगृहीत (MTL6) पूर्वरेखीयता की स्थिति से मेल खाती है। मूल स्वयंसिद्ध प्रणाली के स्वयंसिद्धों (MTL2) और (MTL3) को निरर्थक दिखाया गया था (च्वालोव्स्की, 2012) और (सिंटुला, 2005)। अन्य सभी स्वयंसिद्धों को स्वतंत्र दिखाया गया था (च्वालोवस्की, 2012)।

शब्दार्थ
अन्य प्रस्तावित टी-नॉर्म स्वानुशासित तर्क की तरह, बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) मुख्य रूप से एमटीएल के लिए उपयोग किया जाता है, जिसमें बीजगणितीय संरचना के तीन मुख्य वर्ग होते हैं जिसके संबंध में तर्क पूर्णता (तर्क) है:
 * सामान्य शब्दार्थ, सभी 'एमटीएल-बीजगणित' से बनता है - यानी, सभी बीजगणित जिसके लिए साउंडनेस प्रमेय तर्क है
 * रेखीय शब्दार्थ, सभी 'रैखिक' एमटीएल-बीजगणित से बनता है - यानी, सभी एमटीएल-बीजगणित जिसका जालक (क्रम) क्रम कुल क्रम है
 * मानक शब्दार्थ, सभी मानक MTL-बीजगणित से बनते हैं - यानी, सभी MTL-बीजगणित जिनकी जालक रिडक्ट सामान्य क्रम के साथ वास्तविक इकाई अंतराल [0, 1] है; वे विशिष्ट रूप से उस फलन द्वारा निर्धारित किए जाते हैं जो शक्तिशाली संयोजन की व्याख्या करता है, जो कि कोई भी बाएं-निरंतर टी-मानदंड हो सकता है

एमटीएल-बीजगणित
बीजगणित जिसके लिए तर्क एमटीएल ध्वनि है वह एमटीएल-बीजगणित कहा जाता है। उन्हें पूर्वरेखीय क्रम विनिमेय परिबद्ध संपूर्ण रेसिड्यूएटेड जालक के रूप में चित्रित किया जा सकता है। अधिक विस्तार से, एक बीजगणितीय संरचना $$(L,\wedge,\vee,\ast,\Rightarrow,0,1)$$ एक एमटीएल-बीजगणित है यदि
 * $$(L,\wedge,\vee,0,1)$$ शीर्ष तत्व 0 और निचला तत्व 1 के साथ एक जालक (क्रम) है
 * $$(L,\ast,1)$$ एक क्रमविनिमेयता एकाभ है
 * $$\ast$$ और $$\Rightarrow$$ गाल्वा संयोजन बनाता है, यानी, $$z*x\le y$$ यदि और केवल यदि $$z\le x\Rightarrow y$$ है, जहाँ $$\le$$ का जालक क्रम $$L$$ (अवशेष स्थिति) सभी x, y, और z के लिए $$(L,\wedge,\vee)$$है
 * $$(x\Rightarrow y)\vee(y\Rightarrow x)=1$$ L में सभी x और y के लिए है (प्रारंभिक स्थिति)

एमटीएल बीजगणित के महत्वपूर्ण उदाहरण वास्तविक इकाई अंतराल [0, 1] पर मानक एमटीएल-बीजगणित हैं। आगे के उदाहरणों में सभी बूलियन बीजगणित (संरचना) सम्मिलित हैं, सभी रैखिक हेटिंग बीजगणित (दोनों के साथ $$\ast=\wedge$$), सभी एमवी-बीजगणित, सभी बीएल (तर्क)-बीजगणित, आदि। चूंकि अवशेषों की स्थिति समान रूप से सर्वसमिकाओं द्वारा व्यक्त की जा सकती है, एमटीएल-बीजगणित एक प्रकार (सार्वभौमिक बीजगणित) बनाते हैं।

एमटीएल-बीजगणित में तर्क एमटीएल की व्याख्या
MTL के संयोजकों की व्याख्या MTL-बीजगणित में इस प्रकार की जाती है:
 * मोनोइडल संचालन $$\ast$$ द्वारा शक्तिशाली संयोजन
 * संचालन द्वारा निहितार्थ $$\Rightarrow$$ (जिसे $$\ast$$ अवशेष कहा जाता है)
 * जालक संचालन द्वारा शक्तिहीन संयोजन और शक्तिहीन संयोजन $$\wedge$$ और $$\vee,$$ क्रमशः (सामान्यतः संयोजकों के समान प्रतीकों द्वारा निरूपित किया जाता है, यदि कोई भ्रम उत्पन्न नहीं हो सकता है)
 * सत्य शून्य (ऊपर) और एक (नीचे) को स्थिरांक 0 और 1 द्वारा स्थिर करता है
 * तुल्यता संयोजक $$\Leftrightarrow$$ की व्याख्या संक्रिया द्वारा निम्न रूप में परिभाषित की जाती है
 * $$x\Leftrightarrow y \equiv (x\Rightarrow y)\wedge(y\Rightarrow x)$$
 * पूर्व-रैखिकता की स्थिति के कारण, यह परिभाषा $$\ast$$ के स्थान पर $$\wedge$$ उपयोग करने वाले के बराबर है, इस प्रकार
 * $$x\Leftrightarrow y \equiv (x\Rightarrow y)\ast(y\Rightarrow x)$$

संयोजकों की इस व्याख्या के साथ, कोई भी मूल्यांकन ev L में प्रस्तावित चर का विशिष्ट रूप से एमटीएल के सभी अच्छी तरह से गठित सूत्रों के मूल्यांकन e तक विस्तारित है, निम्नलिखित आगमनात्मक परिभाषा (जो सत्य के सिमेंटिक सिद्धांत को सामान्यीकृत करता है। टार्स्की की सत्य की स्थिति), किसी भी सूत्र A, B, और किसी भी प्रस्तावक चर p के लिए :
 * नकार की व्याख्या परिभाष्य संक्रिया $$-x \equiv x\Rightarrow 0$$ द्वारा की जाती है
 * $$\begin{array}{rcl}

e(p)                 &=& e_{\mathrm v}(p) \\ e(\bot)              &=& 0 \\ e(\top)              &=& 1 \\ e(A\otimes B)        &=& e(A) \ast e(B) \\ e(A\rightarrow B)    &=& e(A) \Rightarrow e(B) \\ e(A\wedge B)         &=& e(A) \wedge e(B) \\ e(A\vee B)           &=& e(A) \vee e(B) \\ e(A\leftrightarrow B) &=& e(A) \Leftrightarrow e(B) \\ e(\neg A)            &=& e(A) \Rightarrow 0 \end{array}$$ अनौपचारिक रूप से, सत्य मान 1 पूर्ण सत्य का प्रतिनिधित्व करता है और सत्य मान 0 पूर्ण असत्यता का प्रतिनिधित्व करता है; मध्यवर्ती सत्य मूल्य सत्य की मध्यवर्ती घात का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रकार एक सूत्र को एक मूल्यांकन e के अंतर्गत पूरी तरह से सही माना जाता है यदि e (A) = 1। एक सूत्र A को एमटीएल-बीजगणित L में मान्य कहा जाता है यदि यह L में सभी मूल्यांकनों के अंतर्गत पूरी तरह से सच है, अर्थात, यदि e ( A) = 1 सभी मूल्यांकनों के लिए L में e हैं। कुछ सूत्र (उदाहरण के लिए, p → p) किसी भी MTL-बीजगणित में मान्य हैं; इन्हें MTL का पुनरुक्ति कहा जाता है।

एमटीएल के लिए वैश्विक प्रवेश (या: वैश्विक परिणाम संबंध) की धारणा को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: सूत्रों का एक सम्मुच्चय Γ में एक सूत्र A सम्मिलित है (या: A Γ का वैश्विक परिणाम है), $$\Gamma\models A,$$ प्रतीकों में यदि किसी एमटीएल-बीजगणित में किसी भी मूल्यांकन e के लिए, जब भी e(B) = 1 सभी सूत्र B के लिए Γ में, तो भी e(A) = 1। अनौपचारिक रूप से, वैश्विक परिणाम संबंध किसी भी एमटीएल में पूर्ण सत्य के संचरण का प्रतिनिधित्व सत्य मूल्यों का बीजगणित करता है।

सामान्य सुदृढ़ता और पूर्णता प्रमेय
तर्क एमटीएल सभी एमटीएल-बीजगणित (एस्टेवा और गोडो, 2001) के वर्ग के संबंध में सुदृढ़ता प्रमेय और पूर्णता (तर्क) है:
 * एमटीएल में एक सूत्र सिद्ध होता है यदि और केवल यदि यह सभी एमटीएल-बीजगणित में मान्य है।

एमटीएल-बीजगणित की धारणा वास्तव में इतनी परिभाषित है कि एमटीएल-बीजगणित सभी बीजगणितों का वर्ग बनाते हैं जिसके लिए तर्क एमटीएल ध्वनि है। इसके अतिरिक्त, शक्तिशाली पूर्णता प्रमेय धारण करता है:
 * एक सूत्र A सूत्र के एक सम्मुच्चय के MTL में एक वैश्विक परिणाम Γ है यदि और केवल यदि A MTL में Γ से व्युत्पन्न है।

रैखिक शब्दार्थ
अन्य स्वानुशासित तर्क के लिए बीजगणित की तरह, एमटीएल-बीजगणित निम्नलिखित रैखिक उपप्रत्यक्ष अपघटन विशेषता का आनंद लेते हैं:
 * प्रत्येक एमटीएल-बीजगणित रैखिक रूप से आदेशित एमटीएल-बीजगणित का एक उप-प्रत्यक्ष उत्पाद है।

(एक उप-प्रत्यक्ष उत्पाद प्रत्यक्ष उत्पाद का एक उप-बीजगणित है जैसे कि सभी प्रक्षेपण (गणित) विशेषण कार्य हैं। एक एमटीएल-बीजगणित को रैखिक रूप से आदेश दिया जाता है यदि इसकी जालक (क्रम) कुल क्रम है।)

सभी एमटीएल-बीजगणित के रैखिक उपप्रत्यक्ष अपघटन गुण के परिणामस्वरूप, रैखिक एमटीएल-बीजगणित (एस्टेवा और गोडो, 2001) के संबंध में पूर्णता प्रमेय धारण करता है:
 * एमटीएल में एक सूत्र सिद्ध होता है यदि और केवल यदि यह सभी रैखिक एमटीएल-बीजगणित में मान्य है।
 * एक सूत्र A सूत्र के एक सम्मुच्चय से MTL में व्युत्पन्न होता है Γ यदि और केवल यदि A Γ के सभी रैखिक MTL-बीजगणित में एक वैश्विक परिणाम है।

मानक शब्दार्थ
मानक उन एमटीएल-बीजगणित कहलाते हैं जिनकी जालक कमी वास्तविक इकाई अंतराल [0, 1] है। वे वास्तविक-मूल्यवान फलन द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं जो शक्तिशाली संयोजन की व्याख्या करता है, जो कि कोई भी बाएं-निरंतर टी-मानदंड $$\ast$$ हो सकता है। मानक MTL-बीजगणित एक बाएँ-निरंतर t-मानदंड $$\ast$$ सामान्यतः $$[0,1]_{\ast}.$$ में $$[0,1]_{\ast}$$ द्वारा निर्धारित किया जाता है।

तर्क एमटीएल मानक एमटीएल-बीजगणित के संबंध में पूर्ण है; यह तथ्य मानक पूर्णता प्रमेय (जेनेई और मोंटागना, 2002) द्वारा व्यक्त किया गया है:
 * एमटीएल में एक सूत्र सिद्ध होता है यदि और केवल यदि यह सभी मानक एमटीएल-बीजगणित में मान्य है।

चूंकि एमटीएल मानक एमटीएल-बीजगणित के संबंध में पूर्ण है, जो बाएं-निरंतर टी-मानदंडों द्वारा निर्धारित किया जाता है, एमटीएल को प्रायः बाएं-निरंतर टी-मानदंडों के तर्क के रूप में संदर्भित किया जाता है (इसी तरह बीएल (तर्क) निरंतर का तर्क है टी-मानदंड)।

ग्रन्थसूची

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