वैकल्पिक तनाव के उपाय

सातत्य यांत्रिकी में, तनाव (यांत्रिकी) का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला माप कॉची तनाव टेंसर होता है, जिसे अधिकांशतः केवल तनाव टेंसर या "सत्य तनाव" कहा जाता है। चूँकि, तनाव के अनेक वैकल्पिक उपायों को परिभाषित किया जा सकता है।
 * 1) किरचॉफ तनाव ($$\boldsymbol{\tau}$$).
 * 2) नाममात्र का तनाव ($$\boldsymbol{N}$$).
 * 3) प्रथम पिओला-किरचॉफ तनाव ($$\boldsymbol{P}$$) यह तनाव टेंसर नाममात्र तनाव का स्थानान्तरण ($$\boldsymbol{P} = \boldsymbol{N}^T$$) है।
 * 4) दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव या PK2 तनाव ($$\boldsymbol{S}$$).
 * 5) जैविक तनाव ($$\boldsymbol{T}$$)

परिभाषाएँ
निम्नलिखित आकृति में दिखाई गई स्थिति पर विचार कर सकते है। इस प्रकार निम्नलिखित परिभाषाएं चित्र में दिखाए गए अंकन का उपयोग करती हैं। संदर्भ विन्यास में $$\Omega_0$$, सतह तत्व के लिए बाहरी सामान्य $$d\Gamma_0$$ के लिए $$\mathbf{N} \equiv \mathbf{n}_0$$ होता है और उस सतह पर कार्य करने वाला कर्षण (यह मानते हुए कि विरूपण से संबंधित सामान्य सदिश की भांति विकृत है) होता है $$\mathbf{t}_0$$ बल सदिश के लिए अग्रणी $$d\mathbf{f}_0$$. विकृत विन्यास में $$\Omega$$, सतह तत्व परिवर्तित हो जाता है $$d\Gamma$$ बाहरी सामान्य के साथ $$\mathbf{n}$$ और कर्षण सदिश $$\mathbf{t}$$ बल के लिए अग्रणी $$d\mathbf{f}$$. ध्यान दीजिए कि यह सतह या तब शरीर के अंदर काल्पनिक कट या वास्तविक सतह हो सकती है। इस प्रकार मात्रा $$\boldsymbol{F}$$ परिमित विकृति सिद्धांत है और विरूपण प्रवणता टेन्सर, $$J$$ इसका निर्धारक होता है।

कॉची तनाव
सामान्यतः कॉची तनाव (या सच्चा तनाव) विकृत विन्यास में क्षेत्र के तत्व पर कार्य करने वाले बल का उपाय होता है। इस प्रकार यह टेंसर सममित है और इसके माध्यम से परिभाषित किया गया है।

d\mathbf{f} = \mathbf{t}~d\Gamma = \boldsymbol{\sigma}^T\cdot\mathbf{n}~d\Gamma $$ या

\mathbf{t} = \boldsymbol{\sigma}^T\cdot\mathbf{n} $$ जहाँ $$\mathbf{t}$$ कर्षण है और $$\mathbf{n}$$ सतह के लिए सामान्य है जिस पर कर्षण कार्य करता है।

किरचॉफ तनाव
मात्रा,

\boldsymbol{\tau} = J~\boldsymbol{\sigma} $$
 * किरचॉफ तनाव टेन्सर कहा जाता है $$J$$ का निर्धारक $$\boldsymbol{F}$$ यह धातु की प्लास्टिसिटी में संख्यात्मक एल्गोरिदम में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। (जहां वहां

प्लास्टिक विरूपण के समय मात्रा में कोई परिवर्तन नहीं होता है) इसे वेटेड कॉची तनाव टेन्सर भी कह सकते हैं।

नॉमिनल तनाव/प्रथम पिओला-किरचॉफ तनाव
नाममात्र का तनाव $$\boldsymbol{N}=\boldsymbol{P}^T$$ प्रथम पिओला-किरचॉफ तनाव (पीके1 तनाव, जिसे इंजीनियरिंग तनाव भी कहा जाता है) का स्थानांतरण है $$\boldsymbol{P}$$ और इसके द्वारा परिभाषित किया गया है।

d\mathbf{f} = \mathbf{t}~d\Gamma = \boldsymbol{N}^T\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 = \boldsymbol{P}\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 $$ या

\mathbf{t}_0 =\mathbf{t}\dfrac{d{\Gamma}}{d\Gamma_0}= \boldsymbol{N}^T\cdot\mathbf{n}_0 = \boldsymbol{P}\cdot\mathbf{n}_0 $$ यह तनाव असममित है और विरूपण प्रवणता की भांति दो-बिंदु टेंसर होते है।

विषमता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि टेन्सर के रूप में, इसका सूचकांक संदर्भ विन्यास से जुड़ा होता है और विकृत विन्यास से जुड़ा होता है।

दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव
यदि हम पुलबैक (अंतर ज्यामिति) $$d\mathbf{f}$$ संदर्भ विन्यास के लिए हम विरूपण से पहले उस सतह पर कार्य करने वाले कर्षण $$d\mathbf{f}_0$$ को प्राप्त करते हैं। इस प्रकार यह मानते हुए कि यह विरूपण से संबंधित सामान्य सदिश की भांति व्यवहार करता है। अतः यह विशेष रूप से हमारे समीप होता है।

d\mathbf{f}_0 = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot d\mathbf{f} $$ या,

d\mathbf{f}_0 = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot \boldsymbol{N}^T\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot \mathbf{t}_0~d\Gamma_0 $$ PK2 तनाव ($$\boldsymbol{S}$$) सममित है और संबंध के माध्यम से परिभाषित किया गया है।

d\mathbf{f}_0 = \boldsymbol{S}^T\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot \mathbf{t}_0~d\Gamma_0 $$ इसलिए,

\boldsymbol{S}^T\cdot\mathbf{n}_0 = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot\mathbf{t}_0 $$

जैविक तनाव
सामान्यतः जैविक तनाव उपयोगी होता है जिससे कि यह परिमित विकृति सिद्धांत के लिए ऊर्जा संयुग्मन $\boldsymbol{U}$ है। इस प्रकार जैविक तनाव को टेंसर के सममित भाग के रूप में परिभाषित किया गया है $$\boldsymbol{P}^T\cdot\boldsymbol{R}$$ जहाँ $$\boldsymbol{R}$$ विरूपण प्रवणता के ध्रुवीय अपघटन से प्राप्त घूर्णन टेन्सर होता है। इसलिए, जैविक तनाव टेंसर को इस रूप में परिभाषित किया गया है।

\boldsymbol{T} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{R}^T\cdot\boldsymbol{P} + \boldsymbol{P}^T\cdot\boldsymbol{R}) ~. $$ जैविक तनाव को जौमन तनाव भी कहा जाता है।

मात्रा $$\boldsymbol{T}$$ की कोई भौतिक व्याख्या नहीं है। चूँकि, असममित जैविक तनाव की व्याख्या होती है।

\boldsymbol{R}^T~d\mathbf{f} = (\boldsymbol{P}^T\cdot\boldsymbol{R})^T\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 $$

कॉची तनाव और नाममात्र तनाव के मध्य संबंध
इस प्रकार संदर्भ और विकृत विन्यास में क्षेत्रों से संबंधित नैनसन के सूत्र से:

\mathbf{n}~d\Gamma = J~\boldsymbol{F}^{-T}\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 $$ अब,

\boldsymbol{\sigma}^T\cdot\mathbf{n}~d\Gamma = d\mathbf{f} = \boldsymbol{N}^T\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 $$ इस प्रकार,

\boldsymbol{\sigma}^T\cdot (J~\boldsymbol{F}^{-T}\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0) = \boldsymbol{N}^T\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 $$ या,

\boldsymbol{N}^T = J~(\boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma})^T = J~\boldsymbol{\sigma}^T\cdot\boldsymbol{F}^{-T} $$ या,

\boldsymbol{N} = J~\boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma} \qquad \text{and} \qquad \boldsymbol{N}^T = \boldsymbol{P} = J~\boldsymbol{\sigma}^T\cdot\boldsymbol{F}^{-T} $$ सही अंकन में,

N_{Ij} = J~F_{Ik}^{-1}~\sigma_{kj} \qquad \text{and} \qquad P_{iJ} = J~\sigma_{ki}~F^{-1}_{Jk} $$ इसलिए,

J~\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{N} = \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{P}^T~. $$ ध्यान दीजिए कि $$\boldsymbol{N}$$ और $$\boldsymbol{P}$$ (सामान्यतः) सममित नहीं हैं जिससे कि $$\boldsymbol{F}$$ (सामान्यतः) सममित नहीं होते है।

नाममात्र तनाव और दूसरे पी-के तनाव के मध्य संबंध
याद करें कि

\boldsymbol{N}^T\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 = d\mathbf{f} $$ और

d\mathbf{f} = \boldsymbol{F}\cdot d\mathbf{f}_0 = \boldsymbol{F} \cdot (\boldsymbol{S}^T \cdot \mathbf{n}_0~d\Gamma_0) $$ इसलिए,

\boldsymbol{N}^T\cdot\mathbf{n}_0 = \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{S}^T\cdot\mathbf{n}_0 $$ या (की समरूपता का उपयोग करके $$\boldsymbol{S}$$),

\boldsymbol{N} = \boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{F}^T \qquad \text{and} \qquad \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{S} $$ सही अंकन में,

N_{Ij} = S_{IK}~F^T_{jK} \qquad \text{and} \qquad P_{iJ} = F_{iK}~S_{KJ} $$ वैकल्पिक रूप से, हम लिख सकते हैं।

\boldsymbol{S} = \boldsymbol{N}\cdot\boldsymbol{F}^{-T} \qquad \text{and} \qquad \boldsymbol{S} = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{P} $$

कॉची तनाव और दूसरे P-K तनाव के मध्य संबंध
याद करें कि

\boldsymbol{N} = J~\boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma} $$ दूसरे पीके तनाव के संदर्भ में, हमारे समीप होता है।

\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{F}^T = J~\boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma} $$ इसलिए,

\boldsymbol{S} = J~\boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{F}^{-T} = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\tau}\cdot\boldsymbol{F}^{-T} $$ सही अंकन में,

S_{IJ} = F_{Ik}^{-1}~\tau_{kl}~F_{Jl}^{-1} $$ चूंकि कॉची तनाव (और इसलिए किरचॉफ तनाव) सममित है, अतः दूसरा पीके तनाव भी सममित होता है।

वैकल्पिक रूप से, हम लिख सकते हैं।

\boldsymbol{\sigma} = J^{-1}~\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{F}^T $$ या,

\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{F}^T ~. $$ स्पष्ट रूप से, पुश-फॉरवर्ड और पुल-बैक ऑपरेशंस की परिभाषा से, हमारे पास है।

\boldsymbol{S} = \varphi^{*}[\boldsymbol{\tau}] = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\tau}\cdot\boldsymbol{F}^{-T} $$ और

\boldsymbol{\tau} = \varphi_{*}[\boldsymbol{S}] = \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{F}^T~. $$ इसलिए, $$\boldsymbol{S}$$ का पुल बैक है $$\boldsymbol{\tau}$$ द्वारा $$\boldsymbol{F}$$ और $$\boldsymbol{\tau}$$ का पुश फॉरवर्ड $$\boldsymbol{S}$$ है।

रूपांतरण सूत्र का सारांश
अनुमान लगाना: $$ J=\det\left(\boldsymbol{F}\right),\quad\boldsymbol{C}=\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F}=\boldsymbol{U}^{2},\quad\boldsymbol{F}=\boldsymbol{R}\boldsymbol{U},\quad \boldsymbol{R}^T=\boldsymbol{R}^{-1},$$ $$\boldsymbol{P}=J\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{F}^{-T},\quad\boldsymbol{\tau}=J\boldsymbol{\sigma},\quad \boldsymbol{S}=J\boldsymbol{F}^{-1}\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{F}^{-T},\quad\boldsymbol{T}=\boldsymbol{R}^{T}\boldsymbol{P},\quad \boldsymbol{M}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{S}$$

यह भी देखें

 * तनाव (भौतिकी)
 * परिमित तनाव सिद्धांत
 * सातत्यक यांत्रिकी
 * हाइपरलास्टिक सामग्री
 * कॉची लोचदार सामग्री
 * गंभीर विमान विश्लेषण