शुद्धता (क्वांटम यांत्रिकी)

क्वांटम यांत्रिकी और विशेष रूप से क्वांटम सूचना सिद्धांत में, सामान्यीकृत कितना राज्य की शुद्धता को एक अदिश राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है $$\gamma \, \equiv \, \operatorname{tr}(\rho^2) $$ कहाँ $$\rho \,$$ राज्य का घनत्व मैट्रिक्स है और $$\operatorname{tr}$$ ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है। शुद्धता क्वांटम अवस्थाओं पर एक माप को परिभाषित करती है, जो यह जानकारी देती है कि कोई अवस्था कितनी मिश्रित क्वांटम अवस्था है।

गणितीय गुण
सामान्यीकृत क्वांटम अवस्था की शुद्धता संतुष्ट करती है $$\frac1d \leq \gamma \leq 1 \,$$, कहाँ $$d $$ हिल्बर्ट स्थान का आयाम है जिस पर राज्य को परिभाषित किया गया है। ऊपरी सीमा किसके द्वारा प्राप्त की जाती है? $$\operatorname{tr}(\rho) = 1 \,$$और $$\operatorname{tr}(\rho^2) \leq \operatorname{tr}(\rho) \,$$(ट्रेस (रैखिक बीजगणित) देखें)।

अगर $$\rho \,$$ एक प्रक्षेपण है, जो शुद्ध अवस्था को परिभाषित करता है, फिर ऊपरी सीमा संतृप्त होती है: $$\operatorname{tr}(\rho^2)= \operatorname{tr}(\rho)=1 \,$$ (प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) देखें)। निचली सीमा पूरी तरह से मिश्रित अवस्था द्वारा प्राप्त की जाती है, जिसे मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है $$\frac1d I_d \,$$.

क्वांटम अवस्था की शुद्धता को घनत्व मैट्रिक्स पर कार्य करने वाले एकात्मक मैट्रिक्स परिवर्तनों के तहत संरक्षित किया जाता है $$\rho \mapsto U\rho U^\dagger \,$$, कहाँ $U$ एक एकात्मक मैट्रिक्स है. विशेष रूप से, इसे हाइजेनबर्ग चित्र के अंतर्गत संरक्षित किया गया है $$U(t,t_0)= e^{\frac{-i}{\hbar}H(t-t_0)} \,$$, कहाँ $H$ हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) ऑपरेटर है।

भौतिक अर्थ
एक शुद्ध क्वांटम अवस्था को एकल वेक्टर के रूप में दर्शाया जा सकता है $$| \psi \rangle $$ हिल्बर्ट क्षेत्र में. घनत्व मैट्रिक्स सूत्रीकरण में, एक शुद्ध अवस्था को मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है $$\rho_\text{pure} =| \psi \rangle\langle \psi | .$$ हालाँकि, एक मिश्रित अवस्था को इस तरह प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, और इसके बजाय शुद्ध अवस्थाओं के उत्तल संयोजन द्वारा दर्शाया जाता है $$\rho_\text{mixed} = \sum_i p_i| \psi_i \rangle\langle \psi_i |, $$ जबकि $\sum_i p_i = 1 $ सामान्यीकरण के लिए. शुद्धता पैरामीटर गुणांकों से संबंधित है: यदि केवल एक गुणांक 1 के बराबर है, तो स्थिति शुद्ध है। वास्तव में, पवित्रता है $1/d$ जब अवस्था पूर्णतः मिश्रित हो, अर्थात्। $$\rho_\text{completely mixed} = \frac1d \sum_{i=1}^d | \psi_i \rangle\langle \psi_i | = \frac 1 d I_d ,$$ कहाँ $$| \psi_i \rangle $$ हैं $d$ ऑर्थोनॉर्मल वेक्टर जो हिल्बर्ट स्पेस का आधार बनाते हैं।

ज्यामितीय प्रतिनिधित्व
बलोच क्षेत्र पर, शुद्ध अवस्थाओं को गोले की सतह पर एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है, जबकि मिश्रित अवस्थाओं को एक आंतरिक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। इस प्रकार, किसी अवस्था की शुद्धता की कल्पना उस डिग्री के रूप में की जा सकती है जिस हद तक बिंदु गोले की सतह के करीब है।

उदाहरण के लिए, एकल क्वाइट की पूर्णतः मिश्रित अवस्था $\frac 1 2 I_2 \,$ गोले के केंद्र द्वारा, समरूपता द्वारा दर्शाया जाता है।

घनत्व मैट्रिक्स और बलोच क्षेत्र के बीच संबंध को देखकर शुद्धता का ग्राफिकल अंतर्ज्ञान प्राप्त किया जा सकता है, $$\rho = \tfrac{1}{2}\left(I + \mathbf{a} \cdot \boldsymbol{\sigma} \right),$$ कहाँ $$\mathbf{a}$$ वेक्टर क्वांटम स्थिति (गोले पर या उसके अंदर) का प्रतिनिधित्व करता है, और $$\boldsymbol\sigma = (\sigma_x, \sigma_y , \sigma_z )$$ पॉल के मैट्रिक्सेस का वेक्टर है।

चूँकि पाउली मैट्रिस ट्रेसलेस हैं, यह अभी भी कायम है $tr(ρ) = 1$. हालाँकि, के गुण से $$\left(\mathbf{a} \cdot \boldsymbol{\sigma}\right) \left(\mathbf{b} \cdot \boldsymbol{\sigma}\right) = \left(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b}\right) \, I + i \left( \mathbf{a} \times \mathbf{b} \right) \cdot \boldsymbol{\sigma},$$ $$\rho^2 = \tfrac{1}{2} \left[\tfrac{1}{2} \left(1 + |a|^2 \right) I + \mathbf{a} \cdot \boldsymbol{\sigma}\right],$$ इस तरह $\operatorname{tr}(\rho^2) = \frac{1}{2} (1 + |a|^2),$ जो इस तथ्य से सहमत है कि केवल गोले की सतह पर स्थितियाँ ही शुद्ध हैं (अर्थात् $$|a|=1$$).

रेखीय एन्ट्रापी
शुद्धता का रैखिक एन्ट्रापी से मामूली संबंध है $$S_L \,$$ द्वारा एक राज्य का

$$\gamma = 1-S_L \, .$$ रैखिक एन्ट्रॉपी वॉन न्यूमैन एन्ट्रापी एस का निचला सन्निकटन है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$$S \, \dot= \, -\operatorname{tr}(\rho \ln \rho) = -\langle \ln \rho \rangle \, .$$ तब रैखिक एन्ट्रापी विस्तार द्वारा प्राप्त की जाती है $ln ρ = ln (1−(1−ρ))$, एक शुद्ध अवस्था के आसपास, $ρ^{2} = ρ$; अर्थात्, गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स के संदर्भ में विस्तार करना $1−ρ$लघुगणक के लिए औपचारिक मर्केटर श्रृंखला में, $$ - \langle \ln \rho \rangle =  \langle 1- \rho  \rangle  + \frac 1 2 \langle (1- \rho )^2 \rangle + \frac 1 3 \langle (1- \rho)^3  \rangle  + \cdots,$$ और केवल अग्रणी पद को बरकरार रखना। रैखिक और वॉन न्यूमैन एन्ट्रॉपी दोनों एक राज्य के मिश्रण की डिग्री को मापते हैं, हालांकि रैखिक एन्ट्रॉपी की गणना करना आसान है, क्योंकि इसमें घनत्व मैट्रिक्स के विकर्ण मैट्रिक्स की आवश्यकता नहीं होती है। कुछ लेखक भिन्न सामान्यीकरण के साथ रैखिक एन्ट्रापी को परिभाषित करें $$S_L \, \dot= \, \tfrac{d}{d-1} (1 - \operatorname{tr}(\rho^2) ) \, ,$$ जो यह सुनिश्चित करता है कि मात्रा शून्य से इकाई तक हो।

उलझाव
2-क्विबिट शुद्ध अवस्था $$|\psi\rangle_{AB} \in H_A\otimes H_B$$ (श्मिट अपघटन का प्रयोग करके) इस प्रकार लिखा जा सकता है $|\psi \rangle _{AB} = \sum_j \lambda_j|j\rangle _A|j\rangle _B $, कहाँ $$\{|j\rangle _A\},\{|j\rangle _B\} $$ के आधार हैं $$H_A,H_B$$ क्रमशः, और $\sum_j \lambda_j^2=1, \lambda_j\geq 0 $. इसका घनत्व मैट्रिक्स है $\rho^{AB} = \sum_{i,j} \lambda_i\lambda_j|i\rangle _A \langle j| _A\otimes |i\rangle_B \langle j| _B $. यह जिस हद तक उलझा हुआ है वह इसके उप-प्रणालियों की स्थिति की शुद्धता से संबंधित है, $\rho^A = \operatorname{tr}_B(\rho_{AB}) = \sum_{j} \lambda_j^2 |j \rangle_A \langle j |_A $, और इसी तरह के लिए $$\rho^B $$ (क्वांटम ऑपरेशन के रूप में आंशिक ट्रेस#आंशिक ट्रेस देखें)। यदि यह प्रारंभिक अवस्था वियोज्य है (अर्थात् केवल एक ही है $$\lambda_j \neq 0$$), तब $$\rho^A ,\rho ^{B} $$ दोनों शुद्ध हैं. अन्यथा, यह राज्य उलझा हुआ है और $$\rho^A ,\rho ^{B} $$ दोनों मिश्रित हैं. उदाहरण के लिए, यदि $|\psi \rangle_{AB} =|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |0\rangle_B + |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B)$ जो कि अधिकतम उलझी हुई स्थिति है $$\rho^A ,\rho ^{B} $$ दोनों पूरी तरह मिश्रित हैं.

2-क्विबिट्स (शुद्ध या मिश्रित) राज्यों के लिए, श्मिट अपघटन # श्मिट रैंक और उलझाव (श्मिट गुणांक की संख्या) अधिकतम 2 है। इसका उपयोग करते हुए और पेरेस-होरोडेकी मानदंड (2-क्विबिट्स के लिए), एक राज्य उलझा हुआ है यदि इसकी आंशिक स्थानान्तरण में कम से कम एक नकारात्मक eigenvalue है। ऊपर से श्मिट गुणांक का उपयोग करते हुए, नकारात्मक eigenvalue है $$-\lambda_0 \lambda_1 $$. नकारात्मकता (क्वांटम यांत्रिकी) $$\mathcal{N}=-\lambda_0 \lambda_1 $$ इस eigenvalue का उपयोग उलझाव के माप के रूप में भी किया जाता है - राज्य अधिक उलझा हुआ है क्योंकि यह eigenvalue अधिक नकारात्मक (तक) है $-\frac 1 2 $  बेल राज्यों के लिए)। सबसिस्टम की स्थिति के लिए $$A $$ (इसी प्रकार के लिए $$B $$), यह मानता है कि: $$\rho^A = \operatorname{tr}_B(|\psi\rangle _{AB}\langle \psi |_{AB} )=\lambda_0^2|0\rangle_A \langle 0 | _A +  \lambda_1^2|1 \rangle_A \langle 1 | _A $$ और पवित्रता है $$\gamma = \lambda_0^4+\lambda_1^4 = (\lambda_0^2+\lambda_1^2)^2 - 2(\lambda_0 \lambda_1 )^2 = 1-2\mathcal{N}^2 $$.

कोई यह देख सकता है कि समग्र अवस्था जितनी अधिक उलझी हुई (अर्थात् अधिक नकारात्मक) होगी, उपप्रणाली अवस्था उतनी ही कम शुद्ध होगी।

व्युत्क्रम भागीदारी अनुपात (आईपीआर)
स्थानीयकरण के संदर्भ में, शुद्धता से निकटता से संबंधित मात्रा, तथाकथित व्युत्क्रम भागीदारी अनुपात (आईपीआर) उपयोगी साबित होता है। इसे किसी स्थान में घनत्व के वर्ग पर अभिन्न (या परिमित प्रणाली आकार के लिए योग) के रूप में परिभाषित किया गया है, उदाहरण के लिए, वास्तविक स्थान, स्थिति और गति स्थान, या यहां तक ​​कि चरण स्थान, जहां घनत्व वास्तविक स्थान का वर्ग होगा तरंग क्रिया $$|\psi(x)|^2$$, संवेग अंतरिक्ष तरंग फलन का वर्ग $$|\tilde{\psi}(k)|^2$$, या कुछ चरण स्थान घनत्व जैसे हुसिमी क्यू प्रतिनिधित्व, क्रमशः। आईपीआर का सबसे छोटा मूल्य पूरी तरह से स्थानीयकृत स्थिति से मेल खाता है, $$\psi(x)=1/\sqrt{N}$$ आकार की एक प्रणाली के लिए $$N$$, जहां आईपीआर उपज देता है $\sum_x |\psi(x)|^4=N/(N^{1/2})^4=1/N$. 1 के करीब आईपीआर का मान स्थानीयकृत राज्यों (सादृश्य में शुद्ध राज्य) के अनुरूप है, जैसा कि पूरी तरह से स्थानीयकृत राज्य के साथ देखा जा सकता है $$\psi(x)=\delta_{x,x_0}$$, जहां आईपीआर उपज देता है $\sum_x |\psi(x)|^4=1$. एक आयाम में आईपीआर स्थानीयकरण की लंबाई के व्युत्क्रम के सीधे आनुपातिक है, यानी, उस क्षेत्र का आकार जिस पर एक राज्य स्थानीयकृत है। संघनित पदार्थ भौतिकी के ढांचे में स्थानीयकृत और डेलोकलाइज्ड (विस्तारित) अवस्थाएं क्रमशः इन्सुलेटर (बिजली) और धात्विक अवस्थाओं के अनुरूप होती हैं, यदि कोई जाली पर एक इलेक्ट्रॉन की कल्पना करता है जो क्रिस्टल में स्थानांतरित होने में सक्षम नहीं है (स्थानीयकृत तरंग फ़ंक्शन, आईपीआर है) एक के करीब) या स्थानांतरित करने में सक्षम होना (विस्तारित स्थिति, आईपीआर शून्य के करीब है)।

स्थानीयकरण के संदर्भ में, तरंग फ़ंक्शन को जानना अक्सर आवश्यक नहीं होता है; स्थानीयकरण गुणों को जानना अक्सर पर्याप्त होता है। यही कारण है कि आईपीआर इस संदर्भ में उपयोगी है। आईपीआर मूल रूप से एक क्वांटम प्रणाली (तरंग फ़ंक्शन; के लिए) के बारे में पूरी जानकारी लेता है $$N$$-डायमेंशनल हिल्बर्ट स्पेस को स्टोर करना होगा $$N$$ मान, तरंग फ़ंक्शन के घटक) और इसे एक एकल संख्या में संपीड़ित करता है जिसमें तब केवल राज्य के स्थानीयकरण गुणों के बारे में कुछ जानकारी होती है। भले ही पूरी तरह से स्थानीयकृत और पूरी तरह से स्थानीयकृत स्थिति के ये दो उदाहरण केवल वास्तविक अंतरिक्ष तरंग फ़ंक्शन के लिए और वास्तविक अंतरिक्ष आईपीआर के लिए दिखाए गए थे, कोई भी स्पष्ट रूप से इस विचार को गति स्थान और यहां तक ​​कि चरण स्थान तक विस्तारित कर सकता है; आईपीआर तब विचाराधीन स्थान में स्थानीयकरण के बारे में कुछ जानकारी देता है, उदाहरण के लिए। एक समतल तरंग को वास्तविक अंतरिक्ष में दृढ़ता से स्थानीयकृत किया जाएगा, लेकिन इसका फूरियर रूपांतरण तब दृढ़ता से स्थानीयकृत होता है, इसलिए यहां वास्तविक अंतरिक्ष आईपीआर शून्य के करीब होगा और संवेग अंतरिक्ष आईपीआर एक के करीब होगा।