यूनिट हाइपरबोला

ज्यामिति में, यूनिट हाइपरबोला कार्टेशियन विमान में बिंदुओं (x,y) का सेट है जो अंतर्निहित समीकरण को संतुष्ट करता है $$x^2 - y^2 = 1 .$$ अनिश्चित ऑर्थोगोनल समूहों के अध्ययन में, यूनिट हाइपरबोला वैकल्पिक रेडियल लंबाई के लिए आधार बनाता है
 * $$r = \sqrt {x^2 - y^2} .$$

जबकि यूनिट सर्कल इसके केंद्र के चारों ओर है, यूनिट हाइपरबोला को संयुग्मित हाइपरबोला की आवश्यकता होती है $$y^2 - x^2 = 1 $$ इसे विमान में पूरक करने के लिए। हाइपरबोलस की यह जोड़ी स्पर्शोन्मुख y = x और y = −x साझा करती है। जब इकाई अतिशयोक्ति  का संयुग्म उपयोग में होता है, तो वैकल्पिक रेडियल लंबाई होती है $$r = \sqrt{y^2 - x^2} .$$ यूनिट हाइपरबोला एक विशेष ओरिएंटेशन (ज्यामिति), अनुवाद (ज्यामिति), और स्केलिंग (ज्यामिति) के साथ आयताकार हाइपरबोला का एक विशेष मामला है। जैसे, इसकी विलक्षणता (गणित) के बराबर होती है $$\sqrt{2}.$$ यूनिट हाइपरबोला उन अनुप्रयोगों को ढूंढता है जहां विश्लेषणात्मक ज्यामिति के प्रयोजनों के लिए सर्कल को हाइपरबोला से बदला जाना चाहिए। एक प्रमुख उदाहरण छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष के रूप में अंतरिक्ष समय  का चित्रण है। वहां इकाई अतिपरवलय के स्पर्शोन्मुख एक प्रकाश शंकु बनाते हैं। इसके अलावा, सेंट विंसेंट के ग्रेगरी द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्रों के क्षेत्रों पर ध्यान लघुगणक समारोह और क्षेत्र क्षेत्रों द्वारा अतिपरवलय के आधुनिक पैरामीट्रिजेशन का नेतृत्व किया। जब संयुग्मी अतिपरवलय और अतिपरवलयिक कोणों की धारणाओं को समझा जाता है, तो शास्त्रीय जटिल संख्याएँ, जो इकाई वृत्त के चारों ओर निर्मित होती हैं, को इकाई अतिपरवलय के चारों ओर निर्मित संख्याओं से बदला जा सकता है।

स्पर्शोन्मुख
आम तौर पर एक वक्र के लिए स्पर्शोन्मुख रेखाएँ वक्र की ओर अभिसरित होती हैं। बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय वक्रों के सिद्धांत में स्पर्शोन्मुख के लिए एक अलग दृष्टिकोण है। सजातीय निर्देशांक का उपयोग करते हुए वक्र को पहले प्रक्षेपी विमान में व्याख्या की जाती है। तब स्पर्शोन्मुख रेखाएँ होती हैं जो अनंत पर एक बिंदु पर प्रक्षेप्य वक्र की स्पर्शरेखा होती हैं, इस प्रकार दूरी की अवधारणा और अभिसरण की किसी भी आवश्यकता को दरकिनार करती हैं। एक सामान्य ढांचे में (x, y, z) समीकरण z = 0 द्वारा निर्धारित अनंत पर रेखा के साथ सजातीय निर्देशांक हैं। उदाहरण के लिए, C. G. गिब्सन ने लिखा:
 * मानक आयताकार अतिपरवलय के लिए $$f = x^2 - y^2 -1$$ ℝ में2, संगत प्रक्षेपी वक्र है $$F = x^2 - y^2 - z^2,$$ जो बिंदु P = (1 : 1 : 0) और Q = (1 : −1 : 0) पर z = 0 से मिलता है। P और Q दोनों शून्य हैं (जटिल विश्लेषण) # F पर एक शून्य की बहुलता, स्पर्शरेखा x + y = 0, x - y = 0 के साथ; इस प्रकार हम प्राथमिक ज्यामिति के परिचित 'असिम्पटोट्स' को पुनः प्राप्त करते हैं।

मिन्कोव्स्की आरेख
मिन्कोव्स्की आरेख एक स्पेसटाइम विमान में खींचा गया है जहां स्थानिक पहलू को एक ही आयाम तक सीमित कर दिया गया है। ऐसे तल पर दूरी और समय की इकाइयाँ हैं निर्देशांक के इन पैमानों में से प्रत्येक ढलान प्लस या माइनस एक की विकर्ण रेखाओं के साथ घटनाओं के फोटॉन कनेक्शन में परिणत होता है। पांच तत्व आरेख का निर्माण करते हैं हरमन मिन्कोव्स्की ने सापेक्षता परिवर्तनों का वर्णन करने के लिए उपयोग किया: इकाई हाइपरबोला, इसके संयुग्मित हाइपरबोला, हाइपरबोला की धुरी, इकाई हाइपरबोला का व्यास और संयुग्म व्यास। कुल्हाड़ियों वाला विमान संदर्भ के एक आराम करने वाले फ्रेम को संदर्भित करता है। यूनिट हाइपरबोला का व्यास गति के साथ गति के संदर्भ के एक फ्रेम का प्रतिनिधित्व करता है जहां tanh a = y/x और (x,y) यूनिट हाइपरबोला पर व्यास का अंत बिंदु है। संयुग्म व्यास एक साथ गति के स्थानिक हाइपरप्लेन का प्रतिनिधित्व करता है, जो कि तेज़ी  ए के अनुरूप है। इस संदर्भ में इकाई अतिपरवलय एक अंशांकन अतिपरवलय है आमतौर पर सापेक्षता अध्ययन में ऊर्ध्वाधर अक्ष वाले अतिपरवलय को प्राथमिक के रूप में लिया जाता है:
 * 30 सेंटीमीटर लंबाई और नैनोसेकंड की इकाइयां, या
 * खगोलीय इकाइयाँ और 8 मिनट और 20 सेकंड का अंतराल, या
 * प्रकाश वर्ष और वर्ष।
 * समय का तीर आकृति के नीचे से ऊपर की ओर जाता है - रिचर्ड फेनमैन द्वारा अपने प्रसिद्ध आरेखों में अपनाई गई एक प्रथा। अंतरिक्ष को समय अक्ष के लंबवत विमानों द्वारा दर्शाया गया है। यहाँ और अभी बीच में एक विलक्षणता है।

वर्टिकल टाइम एक्सिस कन्वेंशन 1908 में मिंकोव्स्की से उपजा है, और एडिंगटन की द नेचर ऑफ द फिजिकल वर्ल्ड (1928) के पृष्ठ 48 पर भी चित्रित किया गया है।

पैरामीट्रिजेशन
यूनिट हाइपरबोला को पैरामीटराइज़ करने का एक सीधा तरीका हाइपरबोला xy = 1 के साथ घातीय फ़ंक्शन के साथ शुरू होता है: $$( e^t, \ e^{-t}).$$ यह हाइपरबोला मैट्रिक्स वाले एक रेखीय मानचित्रण द्वारा इकाई हाइपरबोला में परिवर्तित हो जाता है $$A = \tfrac {1}{2}\begin{pmatrix}1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}\ :$$
 * $$(e^t, \ e^{-t}) \ A = (\frac{e^t + e^{-t}}{2},\ \frac{e^t - e^{-t}}{2}) = (\cosh t,\ \sinh t).$$

यह पैरामीटर टी 'हाइपरबॉलिक कोण' है, जो अतिशयोक्तिपूर्ण समारोह के फ़ंक्शन का तर्क है।

विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड | डब्ल्यू द्वारा गतिशील के तत्व (1878) में पैरामीट्रिज्ड यूनिट हाइपरबोला की प्रारंभिक अभिव्यक्ति मिलती है। के क्लिफर्ड। उन्होंने हाइपरबोला में अर्ध-हार्मोनिक गति का वर्णन इस प्रकार किया है:
 * प्रस्ताव $$\rho = \alpha \cosh(nt + \epsilon) + \beta \sinh(nt + \epsilon)$$ अण्डाकार हार्मोनिक गति के लिए कुछ जिज्ञासु उपमाएँ हैं। ... त्वरण $$\ddot{\rho} = n^2 \rho \ ;$$इस प्रकार यह हमेशा केंद्र से दूरी के समानुपाती होता है, जैसा कि अण्डाकार हार्मोनिक गति में होता है, लेकिन केंद्र से दूर निर्देशित होता है।

एक विशेष शंकु खंड के रूप में, अतिपरवलय को एक शंकु पर अंक जोड़ने की प्रक्रिया द्वारा पैरामीट्रिज किया जा सकता है। निम्नलिखित विवरण रूसी विश्लेषकों द्वारा दिया गया था:
 * शांकव पर एक बिंदु E लगाइए। उन बिंदुओं पर विचार करें जिन पर AB के समानांतर E से खींची गई सीधी रेखा शांकव को दूसरी बार बिंदु A और B के योग के रूप में काटती है।
 * हाइपरबोला के लिए $$x^2 - y^2 = 1$$ निश्चित बिंदु E = (1,0) के साथ अंकों का योग $$(x_1,\ y_1)$$ और $$(x_2,\ y_2)$$ बिंदु है $$(x_1 x_2 + y_1 y_2,\ y_ 1 x_2 + y_2 x_1 )$$ पैरामीट्रिजेशन के तहत $$x = \cosh \ t$$ और $$y = \sinh \ t$$ यह जोड़ पैरामीटर टी के जोड़ से मेल खाता है।

जटिल विमान बीजगणित
जबकि यूनिट सर्कल जटिल संख्याओं से जुड़ा हुआ है, यूनिट हाइपरबोला स्प्लिट-कॉम्प्लेक्स नंबर प्लेन की कुंजी है जिसमें z = x + yj, जहां j शामिल है 2 = +1। फिर jz = y + xj, इसलिए समतल पर j की क्रिया निर्देशांकों की अदला-बदली करना है। विशेष रूप से, यह क्रिया यूनिट हाइपरबोला को इसके संयुग्म के साथ स्वैप करती है और हाइपरबोलस के संयुग्मित व्यास के जोड़े को स्वैप करती है।

हाइपरबॉलिक कोण पैरामीटर ए के संदर्भ में, यूनिट हाइपरबोला में अंक होते हैं
 * $$\pm(\cosh a + j \sinh a) $$, जहां जे = (0,1)।

यूनिट हाइपरबोला की दाहिनी शाखा सकारात्मक गुणांक से मेल खाती है। वास्तव में, यह शाखा j- अक्ष पर कार्य करने वाले घातीय मानचित्र (झूठे सिद्धांत) की छवि है। इस प्रकार यह शाखा वक्र है $$f(a) = \exp(aj).$$ a पर वक्र की प्रवणता अवकलज द्वारा दी गई है
 * $$f^\prime(a) = \sinh a + j \cosh a = j f(a).$$ किसी के लिए, $$f^\prime(a$$) अतिशयोक्तिपूर्ण-ऑर्थोगोनल  है $$f(a)$$. यह संबंध exp(a i) और i exp(a i) की लंबवतता के अनुरूप है जब i2 = - 1।

तब से $$ \exp(aj) \exp(bj) = \exp((a+b)j)$$, शाखा गुणन के तहत एक समूह (गणित) है।

वृत्त समूह के विपरीत, यह इकाई अतिपरवलय समूह कॉम्पैक्ट जगह नहीं है। साधारण जटिल तल के समान, एक बिंदु जो विकर्णों पर नहीं है, उसका एक ध्रुवीय अपघटन होता है#वैकल्पिक समतलीय अपघटन इकाई हाइपरबोला के पैरामीट्रिजेशन और वैकल्पिक रेडियल लंबाई का उपयोग करता है।

संदर्भ

 * F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Figure 4.33, page 70, Academic Press, ISBN 0-12-329650-1.