बैकस्टेपिंग

नियंत्रण सिद्धांत में, बैकस्टेपिंग ऐसी तकनीक है, जिसे लगभग 1990 में पेटार वी. कोकोटोविक और अन्य सहयोगियों द्वारा विकसित किया गया है। अरेखीय प्रणाली गतिशील प्रणाली के विशेष वर्ग के लिए ल्यपुनोव स्थिरता नियंत्रण को डिजाइन करने के लिए बनाया गया हैं। ये प्रणालियाँ उन उपप्रणालियों से निर्मित होती हैं, जो अपरिवर्तनीय उपप्रणाली से निकलती हैं, जिन्हें किसी अन्य विधि का उपयोग करके स्थिर किया जा सकता है। इस प्रत्यावर्तन संरचना के कारण, डिज़ाइनर ज्ञात-स्थिर प्रणालियों पर डिज़ाइन प्रक्रिया प्रारंभ कर सकता है, और इसके लिए नए नियंत्रकों को वापस ले सकता है, जो प्रत्येक बाहरी उपप्रणाली को उत्तरोत्तर स्थिर करते हैं। अंतिम बाह्य नियंत्रण पर पहुँचने पर प्रक्रिया समाप्त हो जाती है। इसलिए इस प्रक्रिया को बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है।

बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण
बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण मुख्य रूप से सख्त प्रतिक्रिया रूप में प्रणाली की उत्पत्ति (गणित) की ल्यपुनोव स्थिरता के लिए रिकर्सन विधि प्रदान करता है। प्रपत्र की गतिशील प्रणाली पर विचार करें


 * $$\begin{align}\begin{cases}

\dot{\mathbf{x}} &= f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ \dot{z}_1 &= f_1(\mathbf{x},z_1) + g_1(\mathbf{x},z_1) z_2\\ \dot{z}_2 &= f_2(\mathbf{x},z_1,z_2) + g_2(\mathbf{x},z_1,z_2) z_3\\ \vdots\\ \dot{z}_i &= f_i(\mathbf{x},z_1, z_2, \ldots, z_{i-1}, z_i) + g_i(\mathbf{x},z_1, z_2, \ldots, z_{i-1}, z_i) z_{i+1} \quad \text{ for } 1 \leq i < k-1\\ \vdots\\ \dot{z}_{k-1} &= f_{k-1}(\mathbf{x},z_1, z_2, \ldots, z_{k-1}) + g_{k-1}(\mathbf{x},z_1, z_2, \ldots, z_{k-1}) z_k\\ \dot{z}_k &= f_k(\mathbf{x},z_1, z_2, \ldots, z_{k-1}, z_k) + g_k(\mathbf{x},z_1, z_2, \dots, z_{k-1}, z_k) u \end{cases}\end{align}$$ जहाँ
 * $$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$$ साथ $$n \geq 1$$,
 * $$z_1, z_2, \ldots, z_i, \ldots, z_{k-1}, z_k$$ अदिश (गणित) हैं,
 * $u$ सिस्टम के लिए अदिश (गणित) इनपुट है,
 * $$f_x, f_1, f_2, \ldots, f_i, \ldots, f_{k-1}, f_k$$ मूल में विलुप्त (अर्थात, $$f_i(0,0,\dots,0) = 0$$),
 * $$g_1, g_2, \ldots, g_i, \ldots, g_{k-1}, g_k$$ रुचि के क्षेत्र पर शून्येतर हैं, (अर्थात्, $$g_i(\mathbf{x},z_1,\ldots,z_k) \neq 0$$ के लिए $$1 \leq i \leq k$$)

यह भी मान लें कि उपप्रणाली
 * $$\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})$$

मूल (गणित) (अर्थात, $$ \mathbf{x} = \mathbf{0}\,$$) के लिए ल्यपुनोव स्थिरता है, इनमें से कुछ के लिए ज्ञात मान के आधार पर नियंत्रण द्वारा $$u_x(\mathbf{x})$$ मान प्राप्त होता हैं, यह मान इस प्रकार है कि $$u_x(\mathbf{0}) = 0$$ के समान हैं, यह भी माना जाता है, कि ल्यपुनोव फलन $$V_x$$ के लिए स्थिर उपप्रणाली को जाना जाता है। इस प्रकार प्राप्त होने वाला मान $x$ हैं जो इसकी उपप्रणाली को किसी अन्य विधि द्वारा स्थिर किया जाता है, और बैकस्टेपिंग इसकी स्थिरता $$\textbf{z}$$ को बढ़ाता है, जो इसके चारों ओर विवृत रहता हैं।

इस कठोर प्रतिक्रिया के लिए इन प्रणालियों में स्थिरता के चारों ओर $x$ उपप्रणाली वाले फॉर्म होते है, बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण यह निर्धारित करता है कि इसे कैसे स्थिर किया जाए $x$ उपप्रणाली $$z_1$$ का उपयोग करना होता हैं, और फिर यह निर्धारित करने के लिए आगे बढ़ता है कि अगला स्थिति $$z_2$$ कैसे बनायी जा सकती हैं, इसके आधार पर गाड़ी चलाना $$z_1$$ को स्थिर करने के लिए आवश्यक नियंत्रण के लिए $x$ का मान आवश्यक हैं, इसलिए प्रक्रिया पीछे की ओर अग्रसर रहती है, इसके आधार पर $x$ अंतिम नियंत्रण तक सख्त-प्रतिक्रिया प्रपत्र प्रणाली से बाहर $u$ बनाया गया है।
 * बैकस्टेपिंग-डिज़ाइन किया गया नियंत्रण इनपुट $u$ कि स्थिति पर सबसे तात्कालिक स्थिरीकरण $$z_n$$ का प्रभाव पड़ता है।
 * यहाँ पर $$z_n$$ स्थिति पर स्थिर नियंत्रण के समान कार्य करता है, इससे पहले यह मान $$z_{n-1}$$ के समान हैं।
 * यह प्रक्रिया निरंतर रहती है, जिससे कि इसकी प्रत्येक स्थिति $$z_i$$ काल्पनिक नियंत्रण $$z_{i+1}$$ द्वारा स्थिर किया जाता है।

पुनरावर्ती नियंत्रण डिज़ाइन अवलोकन

 * 1) यह दिया गया है कि छोटा (अर्थात, निचले क्रम का) उपप्रणाली
 * $$\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})$$
 * इस प्रकार पहले से ही कुछ नियंत्रण द्वारा मूल बिंदु $$u_x(\mathbf{x})$$ पर स्थिर कर दिया गया है, जहाँ $$u_x(\mathbf{0}) = 0$$ अर्थात $$u_x$$ को उपयोग करते हैं, इस प्रकार इस प्रणाली को स्थिर करने के लिए किसी अन्य विधि का उपयोग करना होगा। यह भी माना जाता है कि ल्यपुनोव फलन $$V_x$$ के लिए स्थिर उपप्रणाली को जाना जाता है। बैकस्टेपिंग इस उपप्रणाली की नियंत्रित स्थिरता को बड़े सिस्टम तक विस्तारित करने का तरीका प्रदान करता है।
 * 1) नियंत्रण $$u_1(\mathbf{x},z_1)$$ इस प्रकार डिज़ाइन किया गया है कि सिस्टम
 * $$\dot{z}_1 = f_1(\mathbf{x},z_1) + g_1(\mathbf{x},z_1) u_1(\mathbf{x},z_1)$$
 * इस समीकरण के आधार पर यह मान स्थिर किया जाता है, जिससे कि $$z_1$$ नियंत्रण के लिए वांछित मान $$u_x$$ का पालन करता है। नियंत्रण डिज़ाइन संवर्धित ल्यपुनोव फलन उम्मीदवार पर आधारित है,
 * $$V_1(\mathbf{x},z_1) = V_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2}( z_1 - u_x(\mathbf{x}) )^2$$
 * यह नियंत्रण $$u_1$$ बाध्य करने के $$\dot{V}_1$$ शून्य से दूरी के लिए चुना जाता है,
 * 1) नियंत्रण $$u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)$$ इस प्रकार डिज़ाइन किया गया है कि सिस्टम
 * $$\dot{z}_2 = f_2(\mathbf{x},z_1,z_2) + g_2(\mathbf{x},z_1,z_2) u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)$$
 * इसके आधार पर यह स्थिर किया जा सकता है, जिससे कि $$z_2$$ वांछित $$u_1$$ नियंत्रण का पालन करता है। इसके आधार पर नियंत्रण डिज़ाइन संवर्धित ल्यपुनोव फलन उम्मीदवार पर आधारित है
 * $$V_2(\mathbf{x},z_1,z_2) = V_1(\mathbf{x},z_1) + \frac{1}{2}( z_2 - u_1(\mathbf{x},z_1) )^2$$
 * इस नियंत्रण $$u_2$$ बाध्य करने के लिए $$\dot{V}_2$$ शून्य से मान को चुना जा सकता है,
 * 1) यह प्रक्रिया वास्तविक होने तक उपयोग किया जा सकता है, यहाँ पर $u$ का मान ज्ञात है, और
 * 2) * वास्तविक नियंत्रण $u$ स्थिर करता है, $$z_k$$ काल्पनिक नियंत्रण $$u_{k-1}$$ के लिए प्राप्त होता हैं
 * 3) * काल्पनिक नियंत्रण $$u_{k-1}$$ स्थिर $$z_{k-1}$$ काल्पनिक नियंत्रण $$u_{k-2}$$ के लिए प्राप्त होता हैं
 * 4) * काल्पनिक नियंत्रण $$u_{k-2}$$ स्थिर $$z_{k-2}$$ काल्पनिक नियंत्रण $$u_{k-3}$$ के लिए प्राप्त होता हैं
 * 5) * काल्पनिक नियंत्रण $$u_2$$ स्थिर $$z_2$$ काल्पनिक नियंत्रण $$u_1$$ के लिए उपयोग किया जाता हैं,
 * 6) * काल्पनिक नियंत्रण $$u_1$$ स्थिर $$z_1$$ काल्पनिक नियंत्रण $$u_x$$ के लिए उपयोग किया जाता हैं,
 * 7) * काल्पनिक नियंत्रण $$u_x$$ स्थिर $x$ मूल की ओर उपयोग किया जाता हैं,
 * 1) * काल्पनिक नियंत्रण $$u_x$$ स्थिर $x$ मूल की ओर उपयोग किया जाता हैं,

इस प्रक्रिया को बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है, क्योंकि यह स्थिरता के लिए कुछ आंतरिक उपप्रणाली की आवश्यकताओं के साथ प्रारंभ होती है, और प्रत्येक चरण पर स्थिरता बनाए रखते हुए धीरे-धीरे सिस्टम से पीछे हटती है। क्योंकि तब परिणामी प्रणाली के मूल में संतुलन होता है (अर्थात, जहां $$ \mathbf{x}=\mathbf{0}\,$$, $$z_1=0$$, $$z_2=0$$, ..., $$z_{k-1}=0$$, और $$z_k=0$$) वह ल्यपुनोव फलन विश्व स्तर पर स्पर्शोन्मुख रूप से स्थिर संतुलन है।
 * $$f_i$$ के लिए मूल रूप से लुप्त $$0 \leq i \leq k$$ हो जाता हैं,
 * $$g_i$$ के लिए शून्येतर $$1 \leq i \leq k$$ हैं,
 * $$u_x(\mathbf{0}) = 0$$ दिया गया नियंत्रण $$u_x$$ है,

इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग
सामान्य स्ट्रिक्ट-फीडबैक फॉर्म डायनेमिक सिस्टम के लिए बैकस्टेपिंग प्रक्रिया का वर्णन करने से पहले, स्ट्रिक्ट-फीडबैक फॉर्म सिस्टम के छोटे वर्ग के लिए दृष्टिकोण पर चर्चा करना सुविधाजनक है। ये सिस्टम इंटीग्रेटर्स की श्रृंखला को इनपुट से जोड़ते हैं।

यहाँ पर ज्ञात होने वाले फीडबैक स्थिरीकरण नियंत्रण नियम वाले सिस्टम और इसलिए स्थिरीकरण दृष्टिकोण को इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार छोटे संशोधनों के साथ, सभी सख्त-प्रतिक्रियायें फॉर्म सिस्टम को संभालने के लिए इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग दृष्टिकोण को बढ़ाया जा सकता है।

एकल-एकीकरणकर्ता संतुलन
गतिशील प्रणाली पर विचार करें,

जहाँ $$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$$ और $$z_1$$ अदिश राशि है, यह सिस्टम करने वाला का कैस्केड कनेक्शन है, इस प्रकार $x$ उपप्रणाली (अर्थात, इनपुट $$ इंटीग्रेटर और अभिन्न में प्रवेश करता है $$z_1$$ प्रविष्ट होता है $x$ उपप्रणाली)

हम मानते हैं कि $$f_x(\mathbf{0})=0$$, और यदि ऐसा है $$u_1=0$$, $$ \mathbf{x} = \mathbf{0}\,$$ और $$z_1 = 0$$, तब
 * $$\begin{cases}

\dot{\mathbf{x}} = f_x(\underbrace{\mathbf{0}}_{\mathbf{x}}) + ( g_x(\underbrace{\mathbf{0}}_{\mathbf{x}}) )(\underbrace{0}_{z_1}) = 0 + ( g_x(\mathbf{0}) )(0) = \mathbf{0} & \quad \text{ (i.e., } \mathbf{x} = \mathbf{0} \text{ is stationary)}\\ \dot{z}_1 = \overbrace{0}^{u_1} & \quad \text{ (i.e., } z_1 = 0 \text{ is stationary)} \end{cases}$$ तो मूल (गणित) $$(\mathbf{x},z_1) = (\mathbf{0},0)$$ प्रणाली का संतुलन (अर्थात, स्थिर बिंदु) है। यदि सिस्टम कभी मूल स्थिति तक पहुंचता है, तो वह उसके पश्चात सदैव के लिए वहीं रहेगा।

सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग
इस उदाहरण में बैकस्टेपिंग का उपयोग समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम को ल्यपुनोव स्थिरता के लिए किया जाता है, ($u$) मूल बिंदु पर इसके संतुलन के समीप रहता हैं। कम सटीक होने के लिए, हम नियंत्रण नियम तैयार करना चाहते हैं, इस प्रकार $$u_1(\mathbf{x},z_1)$$ पर सुनिश्चित करता है कि इस स्थिति $$(\mathbf{x}, z_1)$$ को वापस $$(\mathbf{0},0)$$ प्रणाली को कुछ प्रारंभिक स्थिति से प्रारंभ करने के बाद उपयोग होता हैं।


 * सबसे पहले, धारणा से, उपप्रणाली


 * $$\dot{\mathbf{x}} = F(\mathbf{x}) \qquad \text{where} \qquad F(\mathbf{x}) \triangleq f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})$$
 * इसके साथ $$u_x(\mathbf{0}) = 0$$ ल्यपुनोव फलन है, जहाँ $$V_x(\mathbf{x}) > 0$$ का मान इस प्रकार हैं कि


 * $$\dot{V}_x=\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x})+g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x})) \leq - W(\mathbf{x})$$
 * जहाँ $$W(\mathbf{x})$$ सकारात्मक-निश्चित कार्य है। अर्थात, हम मानते हैं कि हम पहले ही दिखा चुके हैं कि यह वर्तमान समय के लिए $x$ सरल है, इसके आधार पर उपप्रणाली ल्यपुनोव स्थिरता है, इस प्रकार स्थिर (ल्यपुनोव के अर्थ में)। मोटे तौर पर, स्थिरता की इस धारणा का अर्थ है कि:


 * कार्यक्रम $$V_x$$ की सामान्यीकृत ऊर्जा के समान है $x$ उपप्रणाली. के रूप में $x$ सिस्टम की अवस्थाएँ मूल, ऊर्जा से दूर चली जाती हैं $$V_x(\mathbf{x})$$ भी बढ़ता है.
 * समय के साथ यह दिखाकर, ऊर्जा $$V_x(\mathbf{x}(t))$$ शून्य हो जाता है, फिर $x$ स्थितिों की ओर क्षय होना चाहिए $$ \mathbf{x}=\mathbf{0}\,$$. अर्थात् उत्पत्ति $$ \mathbf{x}=\mathbf{0}\,$$ प्रणाली का स्थिर संतुलन होगा - the $x$ जैसे-जैसे समय बढ़ेगा, स्थिति लगातार मूल के करीब पहुंचेंगे।
 * यह कहते हुए कि $$W(\mathbf{x})$$ सकारात्मक निश्चित का मतलब है कि $$W(\mathbf{x}) > 0$$ को छोड़कर हर जगह $$ \mathbf{x}=\mathbf{0}\,$$, और $$W(\mathbf{0})=0$$.
 * यह कथन $$\dot{V}_x \leq -W(\mathbf{x})$$ मतलब कि $$\dot{V}_x$$ को छोड़कर सभी बिंदुओं के लिए शून्य से दूर सीमाबद्ध है $$ \mathbf{x} = \mathbf{0}\,$$. अर्थात्, जब तक प्रणाली मूल पर अपने संतुलन पर नहीं है, तब तक इसकी ऊर्जा कम होती रहेगी।
 * चूँकि ऊर्जा का सदैव क्षय होता रहता है, तो प्रणाली स्थिर होनी चाहिए; इसके प्रक्षेप पथ को मूल बिंदु तक पहुंचना चाहिए।
 * हमारा काम नियंत्रण ढूंढना है $$ जो हमारे कैस्केड बनाता है $$(\mathbf{x},z_1)$$ सिस्टम भी स्थिर. इसलिए हमें इस नई प्रणाली के लिए नया ल्यपुनोव फलन 'उम्मीदवार' ढूंढना होगा। वह उम्मीदवार नियंत्रण पर निर्भर रहेगा $u$, और नियंत्रण को सही ढंग से चुनकर, हम यह सुनिश्चित कर सकते हैं कि यह हर जगह भी क्षय हो रहा है।


 * आगे 'और' जोड़कर घटाएँ $$g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})$$ (अर्थात, हम सिस्टम को किसी भी तरह से नहीं बदलते क्योंकि हम कोई शुद्ध प्रभाव नहीं डालते हैं)। $$\dot{\mathbf{x}}$$ बड़े का हिस्सा $$(\mathbf{x},z_1)$$ सिस्टम, यह बन जाता है


 * $$\begin{cases}\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1 + \mathord{\underbrace{\left( g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) - g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) \right)}_{0}}\\\dot{z}_1 = u_1\end{cases}$$
 * जिसे हम प्राप्त करने के लिए पुनः समूहित कर सकते हैं


 * $$\begin{cases}\dot{x} = \mathord{\underbrace{\left( f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x}) \right)}_{F(\mathbf{x})}} + g_x(\mathbf{x}) \underbrace{\left( z_1 - u_x(\mathbf{x}) \right)}_{z_1 \text{ error tracking } u_x}\\\dot{z}_1 = u_1\end{cases}$$
 * तो हमारा कैस्केड सुपरसिस्टम ज्ञात-स्थिर को समाहित करता है $$\dot{\mathbf{x}} = F(\mathbf{x})$$ उपप्रणाली प्लस इंटीग्रेटर द्वारा उत्पन्न कुछ त्रुटि गड़बड़ी।


 * अब हम वेरिएबल्स को बदल सकते हैं $$(\mathbf{x}, z_1)$$ को $$(\mathbf{x}, e_1)$$ जैसे भी हो $$e_1 \triangleq z_1 - u_x(\mathbf{x})$$. इसलिए


 * $$\begin{cases}\dot{\mathbf{x}} = (f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x})) +

g_x(\mathbf{x}) e_1\\\dot{e}_1 = u_1 - \dot{u}_x\end{cases}$$
 * इसके अतिरिक्त, हम जाने देते हैं $$v_1 \triangleq u_1 - \dot{u}_x$$ जिससे कि $$u_1 = v_1 + \dot{u}_x$$ और


 * $$\begin{cases}\dot{\mathbf{x}} = (f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x}))+g_x(\mathbf{x}) e_1\\\dot{e}_1 = v_1\end{cases}$$
 * हम नए नियंत्रण के माध्यम से फीडबैक द्वारा इस त्रुटि प्रणाली को स्थिर करना चाहते हैं $$v_1$$. सिस्टम को स्थिर करके $$e_1 = 0$$, स्थिति $$z_1$$ वांछित नियंत्रण को ट्रैक करेगा $$u_x$$ जिसके परिणामस्वरूप आंतरिक स्थिरता आएगी $x$ उपप्रणाली.


 * हमारे मौजूदा ल्यपुनोव फलन से $$V_x$$, हम संवर्धित ल्यपुनोव फलन उम्मीदवार को परिभाषित करते हैं


 * $$V_1(\mathbf{x}, e_1) \triangleq V_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2} e_1^2$$
 * इसलिए


 * $$\begin{align}

\dot{V}_1 &= \dot{V}_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2}\left( 2 e_1 \dot{e}_1 \right)\\ &= \dot{V}_x(\mathbf{x}) + e_1 \dot{e}_1\\ &= \dot{V}_x(\mathbf{x}) + e_1 \overbrace{v_1}^{\dot{e}_1}\\ &= \overbrace{\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}} \underbrace{\dot{\mathbf{x}}}_{\text{(i.e., }\frac{\operatorname{d}\mathbf{x}}{\operatorname{d}t}\text{)}}}^{\dot{V}_x\text{ (i.e.,} \frac{\operatorname{d}V_x}{\operatorname{d}t}\text{)}} + e_1 v_1\\ &= \overbrace{\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}} \underbrace{\left( (f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x})u_x(\mathbf{x})) + g_x(\mathbf{x}) e_1 \right)}_{\dot{\mathbf{x}}}}^{\dot{V}_x} + e_1 v_1 \end{align}$$
 * बांटकर $$\partial V_x/\partial \mathbf{x}$$, हमने देखा कि


 * $$\dot{V}_1 = \overbrace{\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x(\mathbf{x}))}^{{} \leq -W(\mathbf{x})} + \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1 v_1 \leq -W(\mathbf{x})+ \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}} g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1 v_1$$
 * यह सुनिश्चित करने के लिए $$\dot{V}_1 \leq -W(\mathbf{x}) < 0$$ (अर्थात, सुपरसिस्टम की स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए), हम नियंत्रण नियम चुनते हैं


 * $$v_1 = -\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})- k_1 e_1$$
 * साथ $$k_1 > 0$$, इसलिए


 * $$\dot{V}_1

= -W(\mathbf{x}) + \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}} g_x(\mathbf{x}) e_1 + e_1\overbrace{\left( -\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})-k_1 e_1 \right)}^{v_1}$$
 * बांटने के बाद $$e_1$$ के माध्यम से,


 * $$\begin{align}

\dot{V}_1 & = -W(\mathbf{x}) + \mathord{\overbrace{\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}} g_x(\mathbf{x}) e_1 - e_1 \frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})}^{0}} - k_1 e_1^2\\ &= -W(\mathbf{x})-k_1 e_1^2 \leq -W(\mathbf{x})\\ &< 0 \end{align}$$
 * तो हमारे उम्मीदवार ल्यपुनोव कार्य करते हैं $$V_1$$ सच्चा ल्यपुनोव फलन है, और हमारा सिस्टम इस नियंत्रण नियम के तहत स्थिर है $$v_1$$ (जो नियंत्रण नियम से मेल खाता है $$u_1$$ क्योंकि $$v_1 \triangleq u_1 - \dot{u}_x$$). मूल समन्वय प्रणाली से चर का उपयोग करते हुए, समतुल्य ल्यपुनोव फलन


 * जैसा कि नीचे चर्चा की गई है, इस ल्यपुनोव फलन का फिर से उपयोग किया जाएगा जब इस प्रक्रिया को मल्टीपल-इंटीग्रेटर समस्या पर पुनरावृत्त रूप से लागू किया जाएगा।


 * नियंत्रण की हमारी पसंद $$v_1$$ अंततः हमारे सभी मूल स्थिति चर पर निर्भर करता है। विशेष रूप से, वास्तविक फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण नियम


 * स्थिति $y$ और $$z_1$$ और कार्य $$f_x$$ और $$g_x$$ सिस्टम से आओ. कार्यक्रम $$u_x$$ हमारे ज्ञात-स्थिर से आता है $$\dot{\mathbf{x}}=F(\mathbf{x})$$ उपप्रणाली. लाभ पैरामीटर $$k_1 > 0$$ अभिसरण दर या हमारे सिस्टम को प्रभावित करता है। इस नियंत्रण नियम के तहत, हमारी प्रणाली मूल में ल्यपुनोव स्थिरता है $$(\mathbf{x},z_1)=(\mathbf{0},0)$$.


 * याद करें कि $$u_1$$ समीकरण में ($u$) इंटीग्रेटर के इनपुट को चलाता है जो उपप्रणाली से जुड़ा होता है जो नियंत्रण नियम द्वारा फीडबैक-स्थिर होता है $$u_x$$. आश्चर्य की बात नहीं, नियंत्रण $$u_1$$ $$\dot{u}_x$$ वह शब्द जिसे स्थिरीकरण नियंत्रण नियम का पालन करने के लिए एकीकृत किया जाएगा $$\dot{u}_x$$ साथ ही कुछ ऑफसेट भी। अन्य शर्तें उस ऑफसेट और किसी अन्य गड़बड़ी प्रभाव को हटाने के लिए डंपिंग प्रदान करती हैं जिसे इंटीग्रेटर द्वारा बढ़ाया जाएगा।

इसलिए क्योंकि यह सिस्टम फीडबैक द्वारा स्थिर है $$u_1(\mathbf{x}, z_1)$$ और इसमें ल्यपुनोव फलन है $$V_1(\mathbf{x},z_1)$$ साथ $$\dot{V}_1(\mathbf{x}, z_1) \leq -W(\mathbf{x}) < 0$$, इसका उपयोग किसी अन्य सिंगल-इंटीग्रेटर कैस्केड सिस्टम में ऊपरी उपप्रणाली के रूप में किया जा सकता है।

प्रेरक उदाहरण: दो-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग
सामान्य मल्टीपल-इंटीग्रेटर केस के लिए पुनरावर्ती प्रक्रिया पर चर्चा करने से पहले, दो-इंटीग्रेटर मामले में मौजूद रिकर्सन का अध्ययन करना शिक्षाप्रद है। अर्थात् गतिशील प्रणाली पर विचार करें

जहाँ $$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$$ और $$z_1$$ और $$z_2$$ अदिश हैं. यह सिस्टम समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम का कैस्केड कनेक्शन है ($$) दूसरे इंटीग्रेटर के साथ (अर्थात, इनपुट $$u_2$$ इंटीग्रेटर के माध्यम से प्रवेश करता है, और उस इंटीग्रेटर का आउटपुट समीकरण में सिस्टम में प्रवेश करता है ($$) इसके द्वारा $$u_1$$ इनपुट).

जैसे भी हो फिर समीकरण में दो-इंटीग्रेटर प्रणाली ($$) एकल-एकीकरणकर्ता प्रणाली बन जाती है
 * $$\mathbf{y} \triangleq \begin{bmatrix} \mathbf{x} \\ z_1 \end{bmatrix}\,$$,
 * $$f_y(\mathbf{y}) \triangleq \begin{bmatrix} f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1 \\ 0 \end{bmatrix}\,$$,
 * $$g_y(\mathbf{y}) \triangleq \begin{bmatrix} \mathbf{0}\\ 1 \end{bmatrix},\,$$

एकल-एकीकरणकर्ता प्रक्रिया द्वारा, नियंत्रण नियम $$u_y(\mathbf{y}) \triangleq u_1(\mathbf{x},z_1)$$ ऊपरी भाग को स्थिर करता है $$z_2$$-को-$x$ ल्यपुनोव फलन का उपयोग कर उपप्रणाली $$V_1(\mathbf{x},z_1)$$, और इसलिए समीकरण ($$) नया सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम है जो संरचनात्मक रूप से समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम के बराबर है ($$). तो स्थिर नियंत्रण $$u_2$$ उसी एकल-इंटीग्रेटर प्रक्रिया का उपयोग करके पाया जा सकता है जिसका उपयोग खोजने के लिए किया गया था $$u_1$$.

अनेक-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग
दो-इंटीग्रेटर मामले में, ऊपरी सिंगल-इंटीग्रेटर उपप्रणाली को नया सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम प्रदान करते हुए स्थिर किया गया था जिसे समान रूप से स्थिर किया जा सकता है। इस पुनरावर्ती प्रक्रिया को किसी भी सीमित संख्या में इंटीग्रेटर्स को संभालने के लिए बढ़ाया जा सकता है। इस दावे को औपचारिक रूप से गणितीय प्रेरण के साथ सिद्ध किया जा सकता है। यहां, पहले से स्थिर मल्टीपल-इंटीग्रेटर उपप्रणाली के उपप्रणाली से स्थिर मल्टीपल-इंटीग्रेटर सिस्टम बनाया गया है।


 * सबसे पहले, गतिशील प्रणाली पर विचार करें
 * $$\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) u_x$$
 * उसमें अदिश इनपुट है $$u_x$$ और आउटपुट स्थितियाँ $$\mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^{\text{T}} \in \mathbb{R}^n$$. ये मान लीजिए


 * $$f_x(\mathbf{x}) = \mathbf{0}$$ जिससे कि शून्य-इनपुट (अर्थात, $$u_x = 0$$) प्रणाली मूल बिंदु पर स्थिर बिंदु है $$ \mathbf{x} = \mathbf{0}\,$$. इस मामले में, उत्पत्ति को प्रणाली का संतुलन कहा जाता है।
 * फीडबैक नियंत्रण नियम $$u_x(\mathbf{x})$$ प्रणाली को मूल बिंदु पर संतुलन पर स्थिर करता है।
 * इस प्रणाली के अनुरूप ल्यपुनोव फलन का वर्णन किया गया है $$V_x(\mathbf{x})$$.
 * अर्थात्, यदि आउटपुट बताता है $x$ को वापस इनपुट में फीड किया जाता है $$u_x$$ नियंत्रण नियम द्वारा $$u_x(\mathbf{x})$$, फिर आउटपुट स्थिति (और ल्यपुनोव फलन) एकल गड़बड़ी के बाद मूल पर लौट आती है (उदाहरण के लिए, गैर-शून्य प्रारंभिक स्थिति या तेज गड़बड़ी के बाद)। यह उपप्रणाली फीडबैक नियंत्रण नियम द्वारा स्थिर है $$u_x$$.


 * इसके बाद, इंटीग्रेटर को इनपुट से कनेक्ट करें $$u_x$$ जिससे कि संवर्धित सिस्टम में इनपुट हो $$u_1$$ (इंटीग्रेटर के लिए) और आउटपुट स्थिति $x$. परिणामी संवर्धित गतिशील प्रणाली है
 * $$\begin{cases}

\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ \dot{z}_1 = u_1 \end{cases}$$
 * यह कैस्केड सिस्टम समीकरण के फॉर्म से मेल खाता है ($$), और इसलिए सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग प्रक्रिया समीकरण में स्थिर नियंत्रण नियम की ओर ले जाती है ($$). अर्थात, अगर हम स्थितिों को फीड बैक करते हैं $$z_1$$ और $x$ निवेश करने के लिए $$u_1$$ नियंत्रण नियम के अनुसार
 * $$u_1(\mathbf{x},z_1)=-\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})-k_1(z_1-u_x(\mathbf{x})) + \frac{\partial u_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x})+g_x(\mathbf{x})z_1)$$
 * लाभ के साथ $$k_1 > 0$$, फिर स्थिति $$z_1$$ और $x$ पर वापस आ जाएगा $$z_1 = 0$$ और $$ \mathbf{x}=\mathbf{0}\,$$ ही झंझट के बाद. यह उपप्रणाली फीडबैक नियंत्रण नियम द्वारा स्थिर है $$u_1$$, और समीकरण से संबंधित ल्यपुनोव फलन ($$) है
 * $$V_1(\mathbf{x},z_1) = V_x(\mathbf{x}) + \frac{1}{2}( z_1 - u_x(\mathbf{x}) )^2$$
 * अर्थात, फीडबैक नियंत्रण नियम के तहत $$u_1$$, ल्यपुनोव फलन $$V_1$$ जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, शून्य हो जाती है।


 * इनपुट के लिए नया इंटीग्रेटर कनेक्ट करें $$u_1$$ जिससे कि संवर्धित सिस्टम में इनपुट हो $$u_2$$ और आउटपुट स्थितियाँ $x$. परिणामी संवर्धित गतिशील प्रणाली है
 * $$\begin{cases}

\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ \dot{z}_1 = z_2\\ \dot{z}_2 = u_2 \end{cases}$$
 * जो सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम के बराबर है
 * $$\begin{cases}

\overbrace{ \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}}\\ \dot{z}_1 \end{bmatrix} }^{\triangleq \, \dot{\mathbf{x}}_1} = \overbrace{ \begin{bmatrix} f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1 \\ 0 \end{bmatrix} }^{\triangleq \, f_1(\mathbf{x}_1)} + \overbrace{ \begin{bmatrix} \mathbf{0}\\ 1\end{bmatrix} }^{\triangleq \, g_1(\mathbf{x}_1)} z_2 &\qquad \text{ ( by Lyapunov function } V_1, \text{ subsystem stabilized by } u_1(\textbf{x}_1) \text{ )}\\ \dot{z}_2 = u_2 \end{cases}$$
 * की इन परिभाषाओं का उपयोग करना $$\mathbf{x}_1$$, $$f_1$$, और $$g_1$$, इस प्रणाली को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\begin{cases}

\dot{\mathbf{x}}_1 = f_1(\mathbf{x}_1) + g_1(\mathbf{x}_1) z_2 &\qquad \text{ ( by Lyapunov function } V_1, \text{ subsystem stabilized by } u_1(\textbf{x}_1) \text{ )}\\ \dot{z}_2 = u_2 \end{cases}$$
 * यह प्रणाली समीकरण की एकल-एकीकृत संरचना से मेल खाती है।$$), और इसलिए सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग प्रक्रिया को फिर से लागू किया जा सकता है। अर्थात, अगर हम स्थितिों को फीड बैक करते हैं $$z_1$$, $$z_2$$, और $x$ निवेश करने के लिए $$u_2$$ नियंत्रण नियम के अनुसार
 * $$u_2(\mathbf{x},z_1,z_2)=-\frac{\partial V_1}{\partial \mathbf{x}_1 } g_1(\mathbf{x}_1)-k_2(z_2-u_1(\mathbf{x}_1)) + \frac{\partial u_1}{\partial \mathbf{x}_1}(f_1(\mathbf{x}_1)+g_1(\mathbf{x}_1)z_2)$$
 * लाभ के साथ $$k_2 > 0$$, फिर स्थिति $$z_1$$, $$z_2$$, और $x$ पर वापस आ जाएगा $$z_1 = 0$$, $$z_2 = 0$$, और $$ \mathbf{x}=\mathbf{0}\,$$ ही झंझट के बाद. यह उपप्रणाली फीडबैक नियंत्रण नियम द्वारा स्थिर है $$u_2$$, और संबंधित ल्यपुनोव फलन है
 * $$V_2(\mathbf{x},z_1,z_2) = V_1(\mathbf{x}_1) + \frac{1}{2}( z_2 - u_1(\mathbf{x}_1) )^2$$
 * अर्थात, फीडबैक नियंत्रण नियम के तहत $$u_2$$, ल्यपुनोव फलन $$V_2$$ जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, शून्य हो जाती है।


 * एक इंटीग्रेटर को इनपुट से कनेक्ट करें $$u_2$$ जिससे कि संवर्धित सिस्टम में इनपुट हो $$u_3$$ और आउटपुट स्थितियाँ $x$. परिणामी संवर्धित गतिशील प्रणाली है
 * $$\begin{cases}

\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ \dot{z}_1 = z_2\\ \dot{z}_2 = z_3\\ \dot{z}_3 = u_3 \end{cases}$$
 * जिसे एकल-एकीकरणकर्ता प्रणाली के रूप में पुनः समूहीकृत किया जा सकता है
 * $$\begin{cases}

\overbrace{ \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}}\\ \dot{z}_1\\ \dot{z}_2 \end{bmatrix} }^{\triangleq \, \dot{\mathbf{x}}_2} = \overbrace{ \begin{bmatrix} f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_2 \\ z_2 \\ 0\end{bmatrix} }^{\triangleq \, f_2(\mathbf{x}_2)} + \overbrace{ \begin{bmatrix} \mathbf{0}\\ 0\\ 1\end{bmatrix} }^{\triangleq \, g_2(\mathbf{x}_2)} z_3 &\qquad \text{ ( by Lyapunov function } V_2, \text{ subsystem stabilized by } u_2(\textbf{x}_2) \text{ )}\\ \dot{z}_3 = u_3 \end{cases}$$
 * की परिभाषाओं के अनुसार $$\mathbf{x}_1$$, $$f_1$$, और $$g_1$$ पिछले चरण से, इस प्रणाली का भी प्रतिनिधित्व किया जाता है
 * $$\begin{cases}

\overbrace{ \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}}_1\\ \dot{z}_2 \end{bmatrix} }^{\dot{\mathbf{x}}_2} = \overbrace{ \begin{bmatrix} f_1(\mathbf{x}_1) + g_1(\mathbf{x}_1) z_2 \\ 0\end{bmatrix} }^{f_2(\mathbf{x}_2)} + \overbrace{ \begin{bmatrix} \mathbf{0}\\ 1\end{bmatrix} }^{g_2(\mathbf{x}_2)} z_3 &\qquad \text{ ( by Lyapunov function } V_2, \text{ subsystem stabilized by } u_2(\textbf{x}_2) \text{ )}\\ \dot{z}_3 = u_3 \end{cases}$$
 * आगे, इन परिभाषाओं का उपयोग करते हुए $$\mathbf{x}_2$$, $$f_2$$, और $$g_2$$, इस प्रणाली को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\begin{cases}

\dot{\mathbf{x}}_2 = f_2(\mathbf{x}_2) + g_2(\mathbf{x}_2) z_3 &\qquad \text{ ( by Lyapunov function } V_2, \text{ subsystem stabilized by } u_2(\textbf{x}_2) \text{ )}\\ \dot{z}_3 = u_3 \end{cases}$$
 * तो पुनः समूहित प्रणाली में समीकरण की एकल-एकीकृत संरचना है ($$), और इसलिए सिंगल-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग प्रक्रिया को फिर से लागू किया जा सकता है। अर्थात, अगर हम स्थितिों को फीड बैक करते हैं $$z_1$$, $$z_2$$, $$z_3$$, और $x$ निवेश करने के लिए $$u_3$$ नियंत्रण नियम के अनुसार
 * $$u_3(\mathbf{x},z_1,z_2,z_3)=-\frac{\partial V_2}{\partial \mathbf{x}_2 } g_2(\mathbf{x}_2)-k_3(z_3-u_2(\mathbf{x}_2)) + \frac{\partial u_2}{\partial \mathbf{x}_2}(f_2(\mathbf{x}_2)+g_2(\mathbf{x}_2)z_3)$$
 * लाभ के साथ $$k_3 > 0$$, फिर स्थिति $$z_1$$, $$z_2$$, $$z_3$$, और $x$ पर वापस आ जाएगा $$z_1 = 0$$, $$z_2 = 0$$, $$z_3 = 0$$, और $$ \mathbf{x}=\mathbf{0}\,$$ ही झंझट के बाद. यह उपप्रणाली फीडबैक नियंत्रण नियम द्वारा स्थिर है $$u_3$$, और संबंधित ल्यपुनोव फलन है
 * $$V_3(\mathbf{x},z_1,z_2,z_3) = V_2(\mathbf{x}_2) + \frac{1}{2}( z_3 - u_2(\mathbf{x}_2) )^2$$
 * अर्थात, फीडबैक नियंत्रण नियम के तहत $$u_3$$, ल्यपुनोव फलन $$V_3$$ जैसे-जैसे अवस्थाएँ मूल में लौटती हैं, शून्य हो जाती है।


 * यह प्रक्रिया सिस्टम में जोड़े गए प्रत्येक इंटीग्रेटर और इसलिए फॉर्म के किसी भी सिस्टम के लिए जारी रह सकती है
 * $$\begin{cases}

\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1 &\qquad \text{ ( by Lyapunov function } V_x, \text{ subsystem stabilized by } u_x(\textbf{x}) \text{ )}\\ \dot{z}_1 = z_2\\ \dot{z}_2 = z_3\\ \vdots\\ \dot{z}_i = z_{i+1}\\ \vdots\\ \dot{z}_{k-2} = z_{k-1}\\ \dot{z}_{k-1} = z_k\\ \dot{z}_k = u \end{cases}$$
 * पुनरावर्ती संरचना है
 * $$\begin{cases}

\begin{cases} \begin{cases} \begin{cases} \begin{cases} \begin{cases} \begin{cases} \begin{cases} \dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1 &\qquad \text{ ( by Lyapunov function } V_x, \text{ subsystem stabilized by } u_x(\textbf{x}) \text{ )}\\ \dot{z}_1 = z_2 \end{cases}\\ \dot{z}_2 = z_3 \end{cases}\\ \vdots \end{cases}\\ \dot{z}_i = z_{i+1} \end{cases}\\ \vdots \end{cases}\\ \dot{z}_{k-2} = z_{k-1} \end{cases}\\ \dot{z}_{k-1} = z_k \end{cases}\\ \dot{z}_k = u \end{cases}$$
 * और एकल-इंटीग्रेटर के लिए फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण और ल्यपुनोव फलन को ढूंढकर फीडबैक को स्थिर किया जा सकता है $$(\mathbf{x},z_1)$$ उपप्रणाली (अर्थात, इनपुट के साथ $$z_2$$ और आउटपुट $x$) और उस आंतरिक उपप्रणाली से अंतिम फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण तक पुनरावृत्त होता रहता है $$ ज्ञात है। पुनरावृत्ति पर $$, समतुल्य प्रणाली है
 * $$\begin{cases}

\overbrace{ \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}}\\ \dot{z}_1\\ \dot{z}_2 \\ \vdots \\ \dot{z}_{i-2} \\ \dot{z}_{i-1} \end{bmatrix} }^{\triangleq \, \dot{\mathbf{x}}_{i-1}} = \overbrace{ \begin{bmatrix} f_{i-2}(\mathbf{x}_{i-2}) + g_{i-2}(\mathbf{x}_{i-1}) z_{i-2} \\ 0 \end{bmatrix} }^{\triangleq \, f_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1})} + \overbrace{ \begin{bmatrix} \mathbf{0}\\ 1\end{bmatrix} }^{\triangleq \, g_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1})} z_i &\quad \text{ ( by Lyap. func. } V_{i-1}, \text{ subsystem stabilized by } u_{i-1}(\textbf{x}_{i-1}) \text{ )}\\ \dot{z}_i = u_i \end{cases}$$
 * संबंधित फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण नियम है
 * $$u_i(\overbrace{\mathbf{x},z_1,z_2,\dots,z_i}^{\triangleq \, \mathbf{x}_i})=-\frac{\partial V_{i-1}}{\partial \mathbf{x}_{i-1} } g_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1}) \, - \, k_i(z_i \, - \, u_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1})) \, + \, \frac{\partial u_{i-1}}{\partial \mathbf{x}_{i-1}}(f_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1}) \, + \, g_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1})z_i)$$
 * लाभ के साथ $$k_i > 0$$. संगत ल्यपुनोव फलन है
 * $$V_i(\mathbf{x}_i) = V_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1}) + \frac{1}{2}( z_i - u_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1}) )^2$$
 * इस निर्माण से, परम नियंत्रण $$u(\mathbf{x},z_1,z_2,\ldots,z_k) = u_k(\mathbf{x}_k)$$ (अर्थात, अंतिम पुनरावृत्ति पर अंतिम नियंत्रण पाया जाता है $$i=k$$).

इसलिए, इस विशेष मल्टी-इंटीग्रेटर स्ट्रिक्ट-फीडबैक फॉर्म में किसी भी सिस्टम को सीधी प्रक्रिया का उपयोग करके फीडबैक स्थिर किया जा सकता है जिसे स्वचालित भी किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, अनुकूली नियंत्रण एल्गोरिदम के हिस्से के रूप में)।

जेनेरिक बैकस्टेपिंग
विशेष सख्त-प्रतिक्रिया फॉर्म में सिस्टम में कई-इंटीग्रेटर सिस्टम संरचना के समान पुनरावर्ती संरचना होती है। इसी तरह, उन्हें सबसे छोटे कैस्केड सिस्टम को स्थिर करके और फिर अगले कैस्केड सिस्टम पर वापस जाकर प्रक्रिया को दोहराकर स्थिर किया जाता है। इसलिए एकल-चरणीय प्रक्रिया विकसित करना महत्वपूर्ण है; उस प्रक्रिया को कई-चरणीय मामले को कवर करने के लिए पुनरावर्ती रूप से लागू किया जा सकता है। सौभाग्य से, सख्त-प्रतिक्रिया फॉर्म में कार्यों पर आवश्यकताओं के कारण, प्रत्येक एकल-चरण प्रणाली को एकल-एकीकृत प्रणाली में फीडबैक द्वारा प्रस्तुत किया जा सकता है, और उस एकल-एकीकृत प्रणाली को ऊपर चर्चा की गई विधियों का उपयोग करके स्थिर किया जा सकता है।

एकल-चरणीय प्रक्रिया
सरल सख्त-प्रतिक्रिया प्रपत्र|सख्त-प्रतिक्रिया गतिशील प्रणाली पर विचार करें

जहाँ फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण को डिज़ाइन करने के बजाय $$u_1$$ सीधे, नया नियंत्रण पेश करें $$u_{a1}$$ (बाद में डिज़ाइन किया जाएगा) और नियंत्रण नियम का उपयोग करें
 * $$\mathbf{x} = [x_1, x_2, \ldots, x_n]^{\text{T}} \in \mathbb{R}^n$$,
 * $$z_1$$ और $$u_1$$ अदिश (गणित) हैं,
 * सभी के लिए $x$ और $$z_1$$, $$g_1(\mathbf{x},z_1) \neq 0$$.
 * $$u_1( \mathbf{x}, z_1 )

= \frac{ 1 }{ g_1( \mathbf{x}, z_1 ) } \left( u_{a1} - f_1(\mathbf{x},z_1) \right)$$ जो संभव है क्योंकि $$g_1 \neq 0$$. तो समीकरण में प्रणाली ($$) है
 * $$\begin{cases}

\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ \dot{z}_1 = f_1(\mathbf{x}, z_1) + g_1(\mathbf{x}, z_1) \overbrace{\frac{ 1 }{ g_1( \mathbf{x}, z_1 ) } \left( u_{a1} - f_1(\mathbf{x},z_1) \right)}^{u_1(\mathbf{x}, z_1)} \end{cases}$$ जो सरल बनाता है
 * $$\begin{cases}

\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1\\ \dot{z}_1 = u_{a1} \end{cases}$$ यह नई $$u_{a1}$$-को-$x$ सिस्टम समीकरण में सिंगल-इंटीग्रेटर कैस्केड सिस्टम से मेल खाता है ($$). यह मानते हुए कि फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण नियम है $$u_x(\mathbf{x})$$ और ल्यपुनोव फलन $$V_x(\mathbf{x})$$ ऊपरी उपप्रणाली के लिए जाना जाता है, समीकरण से फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण नियम ($$) है
 * $$u_{a1}(\mathbf{x},z_1)=-\frac{\partial V_x}{\partial \mathbf{x}}g_x(\mathbf{x})-k_1(z_1-u_x(\mathbf{x})) + \frac{\partial u_x}{\partial \mathbf{x}}(f_x(\mathbf{x})+g_x(\mathbf{x})z_1)$$

लाभ के साथ $$k_1 > 0$$. तो अंतिम फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण नियम है

लाभ के साथ $$k_1 > 0$$. समीकरण से संबंधित ल्यपुनोव फलन ($u$) है

क्योंकि इस सख्त-प्रतिक्रिया प्रणाली में प्रतिक्रिया-स्थिरीकरण नियंत्रण और संबंधित ल्यपुनोव फलन है, इसे बड़ी सख्त-प्रतिक्रिया प्रणाली के हिस्से के रूप में कैस्केड किया जा सकता है, और आसपास के प्रतिक्रिया-स्थिरीकरण नियंत्रण को खोजने के लिए इस प्रक्रिया को दोहराया जा सकता है।

बहु-चरणीय प्रक्रिया
कई-इंटीग्रेटर बैकस्टेपिंग के समान, संपूर्ण सख्त-प्रतिक्रिया प्रणाली को स्थिर करने के लिए एकल-चरण प्रक्रिया को पुनरावृत्त रूप से पूरा किया जा सकता है। प्रत्येक चरण में, अर्थात कोई सख्त-प्रतिक्रिया प्रणाली
 * 1) सबसे छोटी अस्थिर एकल-चरण सख्त-प्रतिक्रिया प्रणाली पृथक है।
 * 2) फीडबैक का उपयोग सिस्टम को सिंगल-इंटीग्रेटर सिस्टम में बदलने के लिए किया जाता है।
 * 3) परिणामी एकल-एकीकरणकर्ता प्रणाली स्थिर हो गई है।
 * 4) स्थिर प्रणाली का उपयोग अगले चरण में ऊपरी प्रणाली के रूप में किया जाता है।
 * $$\begin{cases}

\dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1 &\qquad \text{ ( by Lyapunov function } V_x, \text{ subsystem stabilized by } u_x(\textbf{x}) \text{ )}\\ \dot{z}_1 = f_1( \mathbf{x}, z_1 ) + g_1( \mathbf{x}, z_1 ) z_2\\ \dot{z}_2 = f_2( \mathbf{x}, z_1, z_2 ) + g_2( \mathbf{x}, z_1, z_2 ) z_3\\ \vdots\\ \dot{z}_i = f_i( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots, z_i ) + g_i( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots, z_i ) z_{i+1}\\ \vdots\\ \dot{z}_{k-2} = f_{k-2}( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots z_{k-2} ) + g_{k-2}( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots, z_{k-2} ) z_{k-1}\\ \dot{z}_{k-1} = f_{k-1}( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots z_{k-2}, z_{k-1} ) + g_{k-1}( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots, z_{k-2}, z_{k-1} ) z_k\\ \dot{z}_k = f_k( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots z_{k-1}, z_k ) + g_k( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots, z_{k-1}, z_k ) u \end{cases}$$ पुनरावर्ती संरचना है
 * $$\begin{cases}

\begin{cases} \begin{cases} \begin{cases} \begin{cases} \begin{cases} \begin{cases} \begin{cases} \dot{\mathbf{x}} = f_x(\mathbf{x}) + g_x(\mathbf{x}) z_1 &\qquad \text{ ( by Lyapunov function } V_x, \text{ subsystem stabilized by } u_x(\textbf{x}) \text{ )}\\ \dot{z}_1 = f_1( \mathbf{x}, z_1 ) + g_1( \mathbf{x}, z_1 ) z_2 \end{cases}\\ \dot{z}_2 = f_2( \mathbf{x}, z_1, z_2 ) + g_2( \mathbf{x}, z_1, z_2 ) z_3 \end{cases}\\ \vdots\\ \end{cases}\\ \dot{z}_i = f_i( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots, z_i ) + g_i( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots, z_i ) z_{i+1} \end{cases}\\ \vdots \end{cases}\\ \dot{z}_{k-2} = f_{k-2}( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots z_{k-2} ) + g_{k-2}( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots, z_{k-2} ) z_{k-1} \end{cases}\\ \dot{z}_{k-1} = f_{k-1}( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots z_{k-2}, z_{k-1} ) + g_{k-1}( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots, z_{k-2}, z_{k-1} ) z_k \end{cases}\\ \dot{z}_k = f_k( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots z_{k-1}, z_k ) + g_k( \mathbf{x}, z_1, z_2, \ldots, z_{k-1}, z_k ) u \end{cases}$$ और एकल-इंटीग्रेटर के लिए फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण और ल्यपुनोव फलन को ढूंढकर फीडबैक को स्थिर किया जा सकता है $$(\mathbf{x},z_1)$$ उपप्रणाली (अर्थात, इनपुट के साथ $$z_2$$ और आउटपुट ᙭᙭᙭᙭᙭) और उस आंतरिक उपप्रणाली से अंतिम फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण तक पुनरावृत्त होता रहता है $i$ ज्ञात है। पुनरावृत्ति पर $$, समतुल्य प्रणाली है
 * $$\begin{cases}

\overbrace{ \begin{bmatrix} \dot{\mathbf{x}}\\ \dot{z}_1\\ \dot{z}_2 \\ \vdots \\ \dot{z}_{i-2} \\ \dot{z}_{i-1} \end{bmatrix} }^{\triangleq \, \dot{\mathbf{x}}_{i-1}} = \overbrace{ \begin{bmatrix} f_{i-2}(\mathbf{x}_{i-2}) + g_{i-2}(\mathbf{x}_{i-2}) z_{i-2} \\ f_{i-1}(\mathbf{x}_i) \end{bmatrix} }^{\triangleq \, f_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1})} + \overbrace{ \begin{bmatrix} \mathbf{0}\\ g_{i-1}(\mathbf{x}_i)\end{bmatrix} }^{\triangleq \, g_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1})} z_i &\quad \text{ ( by Lyap. func. } V_{i-1}, \text{ subsystem stabilized by } u_{i-1}(\textbf{x}_{i-1}) \text{ )}\\ \dot{z}_i = f_i(\mathbf{x}_i) + g_i(\mathbf{x}_i) u_i \end{cases}$$ समीकरण द्वारा ($$), संबंधित फीडबैक-स्थिरीकरण नियंत्रण नियम है
 * $$u_i(\overbrace{\mathbf{x},z_1,z_2,\dots,z_i}^{\triangleq \, \mathbf{x}_i})

= \frac{1}{g_i(\mathbf{x}_i)} \left( \overbrace{-\frac{\partial V_{i-1}}{\partial \mathbf{x}_{i-1} } g_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1}) \, - \, k_i\left( z_i \, - \, u_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1}) \right) \, + \, \frac{\partial u_{i-1}}{\partial \mathbf{x}_{i-1}}(f_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1}) \, + \, g_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1})z_i) }^{\text{Single-integrator stabilizing control } u_{a\;\!i}(\mathbf{x}_i)} \, - \, f_i( \mathbf{x}_{i-1} ) \right)$$ लाभ के साथ $$k_i > 0$$. समीकरण द्वारा ($$), संबंधित ल्यपुनोव फलन है
 * $$V_i(\mathbf{x}_i) = V_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1}) + \frac{1}{2} ( z_i - u_{i-1}(\mathbf{x}_{i-1}) )^2$$

इस निर्माण से, परम नियंत्रण $$u(\mathbf{x},z_1,z_2,\ldots,z_k) = u_k(\mathbf{x}_k)$$ (अर्थात, अंतिम पुनरावृत्ति पर अंतिम नियंत्रण पाया जाता है $$i=k$$). इसलिए, किसी भी सख्त-प्रतिक्रिया प्रणाली को सीधी प्रक्रिया का उपयोग करके प्रतिक्रिया को स्थिर किया जा सकता है जिसे स्वचालित भी किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, अनुकूली नियंत्रण एल्गोरिदम के हिस्से के रूप में)।

यह भी देखें

 * अरेखीय नियंत्रण
 * सख्त-प्रतिक्रिया प्रपत्र
 * मजबूत नियंत्रण
 * अनुकूली नियंत्रण