नवीकरण सिद्धांत

नवीकरण सिद्धांत संभाव्यता सिद्धांत की शाखा है जो मनमाना धारण समय के लिए पॉइसन प्रक्रिया को सामान्य करता है। घातांकी रूप से वितरण  होल्डिंग समय के बजाय, नवीनीकरण प्रक्रिया में कोई भी IID (IID) होल्डिंग समय हो सकता है जिसका परिमित माध्य हो। नवीनीकरण-पुरस्कार प्रक्रिया में अतिरिक्त रूप से प्रत्येक होल्डिंग समय पर किए गए पुरस्कारों का एक यादृच्छिक क्रम होता है, जो IID हैं लेकिन होल्डिंग समय से स्वतंत्र होने की आवश्यकता नहीं है।

एक नवीकरण प्रक्रिया में बड़ी संख्या और केंद्रीय सीमा प्रमेय के मजबूत कानून के समान स्पर्शोन्मुख गुण होते हैं। नवीनीकरण समारोह $$m(t)$$ (आगमन की अपेक्षित संख्या) और इनाम समारोह $$g(t)$$ (अपेक्षित इनाम मूल्य) नवीकरण सिद्धांत में महत्वपूर्ण महत्व रखते हैं। नवीकरण समारोह एक पुनरावर्ती अभिन्न समीकरण, नवीकरण समीकरण को संतुष्ट करता है। प्रमुख नवीनीकरण समीकरण के कनवल्शन का सीमित मूल्य देता है $$m'(t)$$ एक उपयुक्त गैर-नकारात्मक कार्य के साथ। मार्कोव नवीनीकरण प्रक्रियाओं के एक विशेष मामले के रूप में नवीकरण प्रक्रियाओं के सुपरपोजिशन का अध्ययन किया जा सकता है।

अनुप्रयोगों में कारखाने में खराब हो चुकी मशीनरी को बदलने के लिए सर्वोत्तम रणनीति की गणना करना और विभिन्न बीमा पॉलिसियों के दीर्घकालिक लाभों की तुलना करना शामिल है। निरीक्षण विरोधाभास इस तथ्य से संबंधित है कि समय टी पर एक नवीकरण अंतराल का अवलोकन औसत नवीनीकरण अंतराल की तुलना में औसत मूल्य के साथ एक अंतराल देता है।

परिचय
नवीनीकरण प्रक्रिया प्वासों प्रक्रिया का एक सामान्यीकरण है। संक्षेप में, पॉइसन प्रक्रिया सकारात्मक पूर्णांकों (आमतौर पर शून्य से शुरू) पर एक निरंतर-समय की मार्कोव प्रक्रिया है, जिसमें प्रत्येक पूर्णांक पर स्वतंत्र घातीय वितरण होल्डिंग समय होता है। $$i$$ अगले पूर्णांक तक जाने से पहले, $$i+1$$. नवीनीकरण प्रक्रिया में, होल्डिंग समय का घातीय वितरण होना आवश्यक नहीं है; बल्कि, होल्डिंग समय का सकारात्मक संख्याओं पर कोई वितरण हो सकता है, जब तक कि होल्डिंग समय स्वतंत्र और समान रूप से वितरित (IID) हो और परिमित माध्य हो।

औपचारिक परिभाषा
होने देना $$(S_i)_{i \geq 1}$$ परिमित अपेक्षित मूल्य के साथ समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर सकारात्मक स्वतंत्र का अनुक्रम हो


 * $$ 0 < \operatorname{E}[S_i] < \infty. $$

हम यादृच्छिक चर का उल्लेख करते हैं $$S_i$$ के रूप में$$i$$-वें होल्डिंग समय।

प्रत्येक n > 0 के लिए परिभाषित करें:


 * $$ J_n = \sum_{i=1}^n S_i, $$

प्रत्येक $$J_n$$ के रूप में जाना जाता है$$n$$-वें कूदने का समय और अंतराल $$[J_n,J_{n+1}]$$ नवीनीकरण अंतराल कहलाते हैं।

तब $$(X_t)_{t\geq0}$$ यादृच्छिक चर द्वारा दिया जाता है


 * $$ X_t = \sum^\infty_{n=1} \operatorname{\mathbb{I}}_{\{J_n \leq t\}}=\sup \left\{\, n: J_n \leq t\, \right\}$$

कहाँ $$\operatorname{\mathbb{I}}_{\{J_n \leq t\}}$$ सूचक कार्य है
 * $$\operatorname{\mathbb{I}}_{\{J_n \leq t\}} = \begin{cases}

1, & \text{if } J_n \leq t \\ 0, & \text{otherwise} \end{cases} $$

$$(X_t)_{t\geq0}$$ समय टी द्वारा हुई छलांग की संख्या का प्रतिनिधित्व करता है, और इसे नवीनीकरण प्रक्रिया कहा जाता है।

व्याख्या
यदि कोई यादृच्छिक समय पर होने वाली घटनाओं पर विचार करता है, तो कोई होल्डिंग समय के बारे में सोच सकता है $$\{ S_i : i \geq 1 \}$$ यादृच्छिक समय के रूप में लगातार दो घटनाओं के बीच बीता। उदाहरण के लिए, यदि नवीनीकरण प्रक्रिया विभिन्न मशीनों के टूटने की संख्या को मॉडलिंग कर रही है, तो होल्डिंग समय एक मशीन के टूटने से पहले दूसरी मशीन के टूटने के बीच के समय का प्रतिनिधित्व करता है।

Poisson प्रक्रिया मार्कोव संपत्ति के साथ अद्वितीय नवीनीकरण प्रक्रिया है, के रूप में घातीय वितरण स्मृतिहीनता की संपत्ति के साथ अद्वितीय निरंतर यादृच्छिक चर है।

नवीनीकरण-इनाम प्रक्रिया
होने देना $$W_1, W_2, \ldots$$ संतोषजनक IID यादृच्छिक चर (पुरस्कार) का एक क्रम हो


 * $$\operatorname{E}|W_i| < \infty.\, $$

फिर यादृच्छिक चर


 * $$Y_t = \sum_{i=1}^{X_t}W_i $$

नवीनीकरण-पुरस्कार प्रक्रिया कहा जाता है। ध्यान दें कि के विपरीत $$S_i$$, प्रत्येक $$W_i$$ नकारात्मक मान के साथ-साथ सकारात्मक मान भी ले सकते हैं।

यादृच्छिक चर $$Y_t$$ दो अनुक्रमों पर निर्भर करता है: होल्डिंग समय $$S_1, S_2, \ldots$$ और पुरस्कार $$W_1, W_2, \ldots$$ इन दो अनुक्रमों को स्वतंत्र होने की आवश्यकता नहीं है। विशेष रूप से, $$W_i$$ एक समारोह हो सकता है का $$S_i$$.

व्याख्या
मशीन के लगातार खराबी के बीच के समय के रूप में होल्डिंग समय की उपरोक्त व्याख्या के संदर्भ में, पुरस्कार $$W_1,W_2,\ldots$$ (जो इस मामले में नकारात्मक होता है) को क्रमिक खराबी के परिणामस्वरूप होने वाली क्रमिक मरम्मत लागत के रूप में देखा जा सकता है।

एक वैकल्पिक सादृश्य यह है कि हमारे पास एक जादुई हंस है जो अंतराल पर अंडे देता है (होल्डिंग समय) के रूप में वितरित किया जाता है $$S_i$$. कभी-कभी यह यादृच्छिक वजन के सुनहरे अंडे देता है, और कभी-कभी यह जहरीले अंडे देता है (यादृच्छिक वजन का भी) जिसके लिए जिम्मेदार (और महंगा) निपटान की आवश्यकता होती है। पुरस्कार $$W_i$$ उत्तरोत्तर अंडे (i = 1,2,3,...) और $$Y_t$$ समय टी पर कुल वित्तीय पुरस्कार रिकॉर्ड करता है।

नवीनीकरण समारोह
हम नवीनीकरण फ़ंक्शन को कुछ समय तक देखी गई छलांगों की संख्या के अपेक्षित मान के रूप में परिभाषित करते हैं $$t$$:


 * $$m(t) = \operatorname{E}[X_t].\, $$

प्राथमिक नवीनीकरण प्रमेय
नवीनीकरण समारोह संतुष्ट करता है


 * $$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} m(t) = \frac 1 {\operatorname{E}[S_1]}.$$
 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"

!Proof
 * The strong law of large numbers for renewal processes implies
 * The strong law of large numbers for renewal processes implies


 * $$\lim_{t \to \infty} \frac {X_t} t = \frac{1}{\operatorname{E}[S_1]}.$$

To prove the elementary renewal theorem, it is sufficient to show that $$\left\{\frac{X_t}{t}; t \geq 0 \right\}$$ is uniformly integrable.

To do this, consider some truncated renewal process where the holding times are defined by $$\overline{S_n} = a \operatorname{\mathbb{I}}\{S_n > a\}$$ where $$a$$ is a point such that $$0 < F(a) = p < 1 $$ which exists for all non-deterministic renewal processes. This new renewal process $$ \overline{X}_t $$ is an upper bound on $$ X_t $$ and its renewals can only occur on the lattice $$ \{na; n \in \mathbb{N} \} $$. Furthermore, the number of renewals at each time is geometric with parameter $$p$$. So we have



\begin{align} \overline{X_t} &\leq \sum_{i=1}^{[at]} \operatorname{Geometric}(p) \\ \operatorname{E}\left[\,\overline{X_t}^2\,\right] &\leq C_1 t + C_2 t^2 \\ P\left(\frac{X_t}{t} > x\right) &\leq \frac{\operatorname E\left[X_t^2\right]}{t^2x^2} \leq \frac{\operatorname E\left[\overline{X_t}^2\right]}{t^2x^2} \leq \frac{C}{x^2}. \end{align} $$
 * }

नवीनीकरण इनाम प्रक्रियाओं के लिए प्राथमिक नवीनीकरण प्रमेय
हम इनाम समारोह को परिभाषित करते हैं:


 * $$g(t) = \operatorname{E}[Y_t].\, $$

इनाम समारोह संतुष्ट करता है


 * $$\lim_{t \to \infty} \frac{1}{t}g(t) = \frac{\operatorname{E}[W_1]}{\operatorname{E}[S_1]}.$$

नवीकरण समीकरण
नवीनीकरण समारोह संतुष्ट करता है


 * $$m(t) = F_S(t) + \int_0^t m(t-s) f_S(s)\, ds $$

कहाँ $$F_S$$ का संचयी बंटन फलन है $$S_1$$ और $$f_S$$ संगत प्रायिकता घनत्व फलन है।


 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"

!Proof
 * We may iterate the expectation about the first holding time:
 * We may iterate the expectation about the first holding time:


 * $$m(t) = \operatorname{E}[X_t] = \operatorname{E}[\operatorname{E}(X_t \mid S_1)]. \, $$

From the definition of the renewal process, we have


 * $$\operatorname{E}(X_t \mid S_1=s) = \operatorname{\mathbb{I}}_{\{t \geq s\}} \left( 1 + \operatorname{E}[X_{t-s}] \right). \, $$

So



\begin{align} m(t) & = \operatorname{E}[X_t] \\[12pt] & = \operatorname{E}[\operatorname{E}(X_t \mid S_1)] \\[12pt] & = \int_0^\infty \operatorname{E}(X_t \mid S_1=s) f_S(s)\, ds \\[12pt] & = \int_0^\infty \operatorname{\mathbb{I}}_{\{t \geq s\}} \left( 1 + \operatorname{E}[X_{t-s}] \right) f_S(s)\, ds \\[12pt] & = \int_0^t \left( 1 + m(t-s) \right) f_S(s)\, ds \\[12pt] & = F_S(t) + \int_0^t m(t-s) f_S(s)\, ds, \end{align}$$

as required.
 * }

प्रमुख नवीकरण प्रमेय
बता दें कि एक्स नवीनीकरण समारोह के साथ नवीनीकरण प्रक्रिया है $$m(t)$$ और अंतराल का मतलब $$\mu$$. होने देना $$g:[0,\infty) \rightarrow [0,\infty)$$ एक कार्य संतोषजनक हो:
 * $$\int_0^\infty g(t)\, dt < \infty$$
 * जी एकरस और न बढ़ने वाला है

प्रमुख नवीकरण प्रमेय बताता है कि, जैसा कि $$t\rightarrow \infty$$:
 * $$\int_0^t g(t-x)m'(x) \, dx \rightarrow \frac{1}{\mu}\int_0^\infty g(x)\, dx$$

नवीनीकरण प्रमेय
मानते हुए $$g(x)=\mathbb{I}_{[0, h]}(x)$$ किसी के लिए $$h>0$$ एक विशेष मामले के रूप में नवीकरण प्रमेय देता है:
 * $$m(t+h)-m(t)\rightarrow \frac{h}{\mu}$$ जैसा $$t\rightarrow \infty$$

परिणाम अभिन्न समीकरणों का उपयोग करके या युग्मन (संभाव्यता) तर्क द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। हालांकि प्रमुख नवीकरण प्रमेय का एक विशेष मामला है, इसका उपयोग पूर्ण प्रमेय को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, चरण कार्यों पर विचार करके और फिर चरण कार्यों के अनुक्रमों को बढ़ाकर।

स्पर्शोन्मुख गुण
नवीकरण प्रक्रियाओं और नवीकरण-पुरस्कार प्रक्रियाओं में बड़ी संख्या के मजबूत कानून के समान गुण होते हैं, जो एक ही प्रमेय से प्राप्त किए जा सकते हैं। अगर $$(X_t)_{t\geq0}$$ एक नवीनीकरण प्रक्रिया है और $$(Y_t)_{t\geq0}$$ एक नवीनीकरण-इनाम प्रक्रिया है तो:


 * $$ \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} X_t = \frac{1}{\operatorname{E}[S_1]} $$


 * $$ \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} Y_t = \frac{1}{\operatorname{E}[S_1]} \operatorname{E}[W_1]$$

लगभग निश्चित रूप से।


 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"

!Proof
 * First consider $$(X_t)_{t\geq0}$$. By definition we have:
 * First consider $$(X_t)_{t\geq0}$$. By definition we have:


 * $$J_{X_t} \leq t \leq J_{X_t+1}$$

for all $$t \geq 0$$ and so



\frac{J_{X_t}}{X_t} \leq \frac{t}{X_t} \leq \frac{J_{X_t+1}}{X_t} $$

for all t &ge; 0.

Now since $$0< \operatorname{E}[S_i] < \infty $$ we have:


 * $$X_t \to \infty$$

as $$t \to \infty$$ almost surely (with probability 1). Hence:


 * $$\frac{J_{X_t}}{X_t} = \frac{J_n}{n} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n S_i \to \operatorname{E}[S_1] $$

almost surely (using the strong law of large numbers); similarly:


 * $$\frac{J_{X_t+1}}{X_t} = \frac{J_{X_t+1}}{X_t+1}\frac{X_t+1}{X_t} = \frac{J_{n+1}}{n+1}\frac{n+1}{n} \to \operatorname{E}[S_1]\cdot 1 $$

almost surely.

Thus (since $$t/X_t$$ is sandwiched between the two terms)



\frac{1}{t} X_t \to \frac{1}{\operatorname{E}[S_1]} $$

almost surely.

Next consider $$(Y_t)_{t\geq0}$$. We have


 * $$\frac{1}{t}Y_t = \frac{X_t}{t} \frac{1}{X_t} Y_t \to \frac{1}{\operatorname{E}[S_1]}\cdot\operatorname{E}[W_1] $$

almost surely (using the first result and using the law of large numbers on $$Y_t$$). नवीनीकरण प्रक्रियाओं में अतिरिक्त रूप से केंद्रीय सीमा प्रमेय के समान गुण होते हैं:
 * }


 * $$\frac{X_t-t/\mu}{\sqrt{t\sigma^2/\mu^3}}$$

निरीक्षण विरोधाभास
नवीकरण प्रक्रियाओं की एक दिलचस्प विशेषता यह है कि यदि हम कुछ पूर्व निर्धारित समय t की प्रतीक्षा करते हैं और फिर निरीक्षण करते हैं कि t युक्त नवीकरण अंतराल कितना बड़ा है, तो हमें उम्मीद करनी चाहिए कि यह औसत आकार के नवीनीकरण अंतराल से आम तौर पर बड़ा होगा।

गणितीय रूप से 'निरीक्षण विरोधाभास' कहता है: किसी भी t > 0 के लिए t युक्त नवीकरण अंतराल पहले नवीनीकरण अंतराल की तुलना में स्टोचैस्टिक रूप से बड़ा है। अर्थात्, सभी x > 0 और सभी t > 0 के लिए:


 * $$ \operatorname{P}(S_{X_t+1} > x) \geq \operatorname{P}(S_1>x) = 1-F_S(x)$$

जहां एफS आईआईडी होल्डिंग टाइम्स एस का संचयी वितरण कार्य हैi. एक ज्वलंत उदाहरण 'बस प्रतीक्षा समय विरोधाभास' है: बस आगमन के दिए गए यादृच्छिक वितरण के लिए, बस स्टॉप पर औसत सवार बसों के औसत ऑपरेटर की तुलना में अधिक देरी देखता है।

विरोधाभास का संकल्प यह है कि समय टी पर हमारा नमूना वितरण आकार-पक्षपाती है (नमूना पूर्वाग्रह देखें), इसमें एक अंतराल चुने जाने की संभावना इसके आकार के समानुपाती होती है। हालाँकि, औसत आकार का नवीनीकरण अंतराल आकार-पक्षपाती नहीं है।


 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"

!Proof
 * Observe that the last jump-time before t is $$J_{X_t}$$; and that the renewal interval containing t is $$S_{X_t+1}$$. Then
 * Observe that the last jump-time before t is $$J_{X_t}$$; and that the renewal interval containing t is $$S_{X_t+1}$$. Then

\begin{align} \operatorname{P}(S_{X_t+1}>x) & {} = \int_0^\infty \operatorname{P}(S_{X_t+1}>x \mid J_{X_t} = s) f_{J_{X_t}}(s) \, ds \\[12pt] & {} = \int_0^\infty \operatorname{P}(S_{X_t+1}>x | S_{X_t+1}>t-s) f_{J_{X_t}}(s)\, ds \\[12pt] & {} = \int_0^\infty \frac{\operatorname{P}(S_{X_t+1}>x \,, \, S_{X_t+1}>t-s)}{\operatorname{P}(S_{X_t+1}>t-s)} f_{J_{X_t}}(s) \, ds \\[12pt] & {} = \int_0^\infty \frac{ 1-F(\max \{ x,t-s \}) }{1-F(t-s)} f_{J_{X_t}}(s) \, ds \\[12pt] & {} = \int_0^\infty \min \left\{\frac{ 1-F(x) }{1-F(t-s)},\frac{ 1-F(t-s)  }{1-F(t-s)}\right\} f_{J_{X_t}}(s) \, ds \\[12pt] & {} = \int_0^\infty \min \left\{\frac{ 1-F(x) }{1-F(t-s)},1\right\} f_{J_{X_t}}(s) \, ds \\[12pt] & {} \geq \int_0^\infty (1-F(x)) f_{J_{X_t}}(s) \, ds = 1-F(x) = \operatorname{P}(S_1>x),\\[12pt] \end{align} $$ since both $$\frac{ 1-F(x) }{1-F(t-s)}$$ and $$1$$ are greater than or equal to $$1-F(x)$$ for all values of s.
 * }

सुपरपोजिशन
जब तक नवीनीकरण प्रक्रिया एक पोइसन प्रक्रिया नहीं है, दो स्वतंत्र नवीनीकरण प्रक्रियाओं का सुपरपोजिशन (योग) नवीनीकरण प्रक्रिया नहीं है। हालांकि, ऐसी प्रक्रियाओं को मार्कोव नवीनीकरण प्रक्रिया | मार्कोव-नवीनीकरण प्रक्रियाओं नामक प्रक्रियाओं के एक बड़े वर्ग के भीतर वर्णित किया जा सकता है। हालाँकि, सुपरपोज़िशन प्रक्रिया में पहली इंटर-इवेंट समय का संचयी वितरण फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है
 * $$R(t) = 1 - \sum_{k=1}^K \frac{\alpha_k}{\sum_{l=1}^K \alpha_l} (1-R_k(t)) \prod_{j=1,j\neq k}^K \alpha_j \int_t^\infty (1-R_j(u))\,\text{d}u$$

जहां आरk(टी) और αk> 0 इंटर-इवेंट समय का सीडीएफ है और प्रक्रिया की आगमन दर k है।

उदाहरण आवेदन
एरिक उद्यमी के पास n मशीनें हैं, जिनमें से प्रत्येक का परिचालन जीवनकाल समान रूप से शून्य और दो वर्षों के बीच वितरित किया गया है। एरिक प्रत्येक मशीन को तब तक चलने दे सकता है जब तक कि वह विफल न हो जाए और प्रतिस्थापन लागत €2600; वैकल्पिक रूप से वह €200 की लागत से किसी भी समय एक मशीन को बदल सकता है जबकि यह अभी भी कार्यात्मक है।

उसकी इष्टतम प्रतिस्थापन नीति क्या है?


 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"

!Solution
 * The lifetime of the n machines can be modeled as n independent concurrent renewal-reward processes, so it is sufficient to consider the case n=1. Denote this process by $$(Y_t)_{t \geq 0}$$. The successive lifetimes S of the replacement machines are independent and identically distributed, so the optimal policy is the same for all replacement machines in the process.
 * The lifetime of the n machines can be modeled as n independent concurrent renewal-reward processes, so it is sufficient to consider the case n=1. Denote this process by $$(Y_t)_{t \geq 0}$$. The successive lifetimes S of the replacement machines are independent and identically distributed, so the optimal policy is the same for all replacement machines in the process.

If Eric decides at the start of a machine's life to replace it at time 0 < t < 2 but the machine happens to fail before that time then the lifetime S of the machine is uniformly distributed on [0, t] and thus has expectation 0.5t. So the overall expected lifetime of the machine is:



\begin{align} \operatorname{E}[S] & = \operatorname{E}[S \mid \text{fails before } t] \cdot \operatorname{P}[\text{fails before } t] + \operatorname{E}[S \mid \text{does not fail before } t] \cdot \operatorname{P}[\text{does not fail before } t] \\[6pt] & = 0.5t(\frac{t}{2}) + t(\frac{2-t}{2}) \end{align} $$

and the expected cost W per machine is:



\begin{align} \operatorname{E}[W] & = \operatorname{E}[W \mid \text{fails before } t] \cdot \operatorname{P}(\text{fails before } t) + \operatorname{E}[W \mid \text{does not fail before } t]\cdot \operatorname{P}(\text{does not fail before } t) \\[6pt] & = 2600(\frac{t}{2}) + 200(\frac{2-t}{2}) = 1200t + 200. \end{align} $$

So by the strong law of large numbers, his long-term average cost per unit time is:



\frac{1}{t} Y_t \simeq \frac{\operatorname{E}[W]}{\operatorname{E}[S]} = \frac{ 4(1200t + 200) }{ t^2 + 4t - 2t^2 } $$

then differentiating with respect to t:



\frac{\partial}{\partial t} \frac{ 4(1200t + 200) }{ t^2 + 4t - 2t^2 } = 4\frac{ (4t - t^2)(1200) - (4 - 2t)(1200t + 200) }{ (t^2 + 4t - 2t^2)^2 }, $$

this implies that the turning points satisfy:



\begin{align} 0 & = (4t - t^2)(1200) - (4 - 2t)(1200t + 200) = 4800t - 1200t^2 -4800t - 800 + 2400t^2 + 400t \\[6pt] & = -800 + 400t + 1200t^2, \end{align} $$

and thus



0 = 3t^2 + t - 2 = (3t -2)(t+1). $$

We take the only solution t in [0, 2]: t = 2/3. This is indeed a minimum (and not a maximum) since the cost per unit time tends to infinity as t tends to zero, meaning that the cost is decreasing as t increases, until the point 2/3 where it starts to increase.
 * }

यह भी देखें

 * कैम्पबेल प्रमेय (प्रायिकता)
 * यौगिक पॉइसन प्रक्रिया
 * सतत समय मार्कोव प्रक्रिया
 * लिटिल लेम्मा
 * लोटका का अभिन्न समीकरण
 * हथेली-खिन्चाइन प्रमेय
 * ज़हर प्रक्रिया
 * कतार सिद्धांत
 * अवशिष्ट समय
 * बर्बाद सिद्धांत
 * सेमी-मार्कोव प्रक्रिया