इलेक्ट्रॉन परिवहन के लिए मोंटे कार्लो विधियाँ

इलेक्ट्रॉन परिवहन के लिए मोंटे कार्लो विधि अर्धचिरसम्मत परिवहन प्रतिरूपण का अर्धचिरसम्मत भौतिकी मोंटे कार्लो विधि (एमसी) दृष्टिकोण है। यह मानते हुए कि वाहक गति में बिखरने वाले तंत्रों द्वारा बाधित मुक्त उड़ानें सम्मिलित हैं, एक कंप्यूटर का उपयोग कणों के प्रक्षेप पथ को अनुकरण करने के लिए किया जाता है क्योंकि वे  चिरसम्मत यांत्रिकी का उपयोग करके विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में युक्ति के पार जाते हैं। प्रकीर्णन की घटनाओं और पार्टिकल फ्लाइट की अवधि यादृच्छिक संख्याओं के उपयोग के माध्यम से निर्धारित की जाती है।

बोल्ट्जमैन परिवहन समीकरण
बोल्ट्ज़मैन परिवहन समीकरण मॉडल अर्धचालकों में परिवहन के विश्लेषण में उपयोग किया जाने वाला मुख्य उपकरण रहा है। बीटीई समीकरण द्वारा दिया गया है:



\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{1}{\hbar} \nabla_k E(k) \nabla_r f + \frac{qF(r)}{\hbar} \nabla_k f = \left[\frac{\partial f}{\partial t}\right]_\mathrm{collision} $$

v = \frac{1}{\hbar} \nabla_k E(k) $$

वितरण फलन (भौतिकी), f, विमाहीन फलन है जिसका उपयोग रूचि के सभी अवलोकनीय पदार्थों को निकालने के लिए किया जाता है और वास्तविक और k स्थान दोनों में इलेक्ट्रॉन वितरण का पूर्ण चित्रण देता है| इसके अतिरिक्त, यह स्थिति r और समय t पर ऊर्जा k पर कण वृति की संभावना को भौतिक रूप से दर्शाता है। इसके अतिरिक्त, सात-विमीय अभिन्न अवकल समीकरण (चरण स्थान में छह विमीय और समय में एक) होने के कारण बीटीई का समाधान जटिल है और इसे बहुत विशेष प्रतिबंधों के अंतर्गत बंद विश्लेषणात्मक रूप में हल किया जा सकता है। संख्यात्मक रूप से, बीटीई का समाधान या तो नियतात्मक विधि या प्रसंभाव्य विधि का उपयोग करके नियोजित किया जाता है। नियतात्मक विधि समाधान जालक-आधारित संख्यात्मक विधि जैसे गोलाकार प्रसंवादी दृष्टिकोण पर आधारित है, यद्यपि की मोंटे कार्लो बीटीई को हल करने के लिए उपयोग किया जाने वाला प्रसंभाव्य दृष्टिकोण है।

मोंटे कार्लो विधि
अर्धचिरसम्मत मोंटे कार्लो विधि एक सांख्यिकीय विधि है जिसका उपयोग बोल्ट्जमैन परिवहन समीकरण का निश्चित समाधान प्राप्त करने के लिए किया जाता है जिसमें जटिल बैंड संरचना और प्रकीर्णन की प्रक्रियाएं सम्मिलित हैं। यह दृष्टिकोण इस कारण से अर्धचिरसम्मत है कि प्रकीर्णन वाले तंत्र को फर्मी गोल्डन रूल का उपयोग करके यांत्रिक रूप से क्वांटम का विवेचना किया जाता है, जबकि प्रकीर्णन की घटनाओं के बीच परिवहन को प्राचीन कण धारणा का उपयोग करके माना जाता है। मोंटे कार्लो प्रतिरूप संक्षेप में प्रत्येक मुक्त उड़ान पर कण प्रक्षेपवक्र को नियंत्रित करता है और प्रसंभाव्य रूप से संबंधित प्रकीर्णित होने वाले तंत्र को चुनता है। अर्धचिरसम्मत मोंटे कार्लो के दो बड़े फायदे प्रकीर्णन के अंदर के भीतर विभिन्न अलग-अलग प्रकीर्णन वाले तंत्रों का निश्चित क्वांटम यांत्रिक उपचार प्रदान करने की क्षमता है, और ऊर्जा या k-स्थान में वाहक वितरण के रूप के विषय में धारणा की अनुपस्थिति है। एक इलेक्ट्रॉन की गति का वर्णन करने वाला अर्धचिरसम्मत समीकरण है


 * $$ \frac{dr}{dt} = \frac{1}{\hbar} \nabla_k E(k) $$
 * $$ \frac{dk}{dt} = \frac{qF(r)}{\hbar} $$

जहां F विद्युत क्षेत्र है, E(k) ऊर्जा प्रसार संबंध है, और k संवेग तरंग सदिश है। उपरोक्त समीकरण को हल करने के लिए, किसी को बैंड संरचना (E(k)) का गहन ज्ञान होना आवश्यक हैं। E(k) संबंध बताता है कि कण प्रतिरूप के अंदर कैसे चलता है, इसके अतिरिक्त परिवहन के लिए आवश्यक उपयोगी सुचना जैसे कि अवस्थावों का घनत्व (डीओएस) और कण वेग को चित्रित करता है। अर्ध-अनुभवजन्य छद्मसंभाव्य विधि का उपयोग करके पूर्ण-बैंड E(k) संबंध प्राप्त किया जा सकता है।

हाइड्रोडायनामिक और बहाव प्रसार विधि
बहाव-प्रसार समीकरण (DD) और द्रवगतिकी (HD) प्रतिरूप दोनों को लंबे चैनल उपकरणों के लिए मान्य सरलीकृत सन्निकटन का उपयोग करके बोल्ट्जमैन ट्रांसपोर्ट समीकरण (बीटीई) के क्षणों से प्राप्त किया जा सकता है। DD योजना सबसे प्राचीन दृष्टिकोण है और साधारण तौर पर बहाव और प्रसार घटकों पर विचार करते हुए वाहकों के लिए पॉइसन समीकरण और निरंतरता समीकरणों को हल करती है। इस दृष्टिकोण में, चार्ज पारगमन समय को ऊर्जा विश्रांति समय की तुलना में बहुत बड़ा माना जाता है। दूसरी तरफ, HD पद्धति बीटीई के क्षणों से प्राप्त ऊर्जा संतुलन समीकरणों के साथ DD योजना को हल करती हैं। इस प्रकार, कोई वाहक उष्मीय और वेग अधिकर्ष प्रभाव जैसे भौतिक विवरणों को अधिकृत और गणना कर सकता है। कहने की आवश्यक्ता नहीं है कि, HD अनुरूपण में एक निश्चित विवेकीकरण विधि की आवश्यकता होती है, क्योंकि अधिनियन्त्रण समीकरण दृढ़ता से युग्मित होते हैं और DD योजना की तुलना में बड़ी संख्या में चर को हल करना पड़ता हैं।

अर्धचिरसम्मत प्रतिरूपो की तुलना
अर्धचिरसम्मत प्रतिरूपो की निश्चितत्ता की तुलना बीटीई के आधार पर की जाती है, यह जांच करके कि वे ट्रांजिस्टर संरचनाओं में प्रमुख लघु चैनल प्रभाव (एससीई) प्राचीन वेग अधिकर्ष समस्या को हल कैसे करते हैं। अनिवार्य रूप से, वेग अधिकर्ष स्केल किए गए उपकरणों का अस्थानीय प्रभाव है, जो धारा परिचालन और अन्तरचालकता में प्रयोगात्मक रूप से देखी गई वृद्धि से संबंधित है। जैसे-जैसे चैनल की लंबाई छोटी होती जाती है, उच्च क्षेत्र क्षेत्र में वेग संतृप्त नहीं रह जाता है, अपितु यह अनुमानित संतृप्ति वेग से अधिक हो जाता है। इस घटना का कारण यह है कि वाहक पारगमन समय ऊर्जा विश्राम समय के बराबर हो जाता है, और इसलिए मोबाइल वाहक के पास लघु चैनल उपकरणों में प्रकीर्णन से क्रियान्वित विद्युत क्षेत्र के साथ संतुलन तक पहुंचने के लिए पर्याप्त समय नहीं होता है। DD और HD प्रतिरूप के साथ अनुरूपण परिणामों (इलिनोइस टूल: एमओसीए) का सारांश बगल के चित्र में दिखाया गया है। चित्र (a) में, उस स्थिति को दिखाया गया है जब क्षेत्र पूरे चैनल क्षेत्र में वेग अधिकर्ष प्रभाव उत्त्पन्न करने के लिए पर्याप्त ऊंचा नहीं है। ध्यान दें कि ऐसी सीमा पर, DD मॉडल का डेटा अनाधिकर्ष क्षेत्र में MC प्रतिरूप के लिए अच्छी तरह से उपयुक्त है, लेकिन HD प्रतिरूप उस क्षेत्र में वेग को अधिक महत्व देता है। वेग अधिकर्ष केवल MC डेटा में निकास संधि के पास देखा जाता है और HD मॉडल उस क्षेत्र में अच्छी तरह से उपयुक्त होता है। MC डेटा से, यह देखा जा सकता है कि उच्च-क्षेत्र क्षेत्र में वेग अधिकर्ष प्रभाव अचानक होता है, जो HD मॉडल में सही से सम्मलित नहीं है। उच्च क्षेत्र की स्थितियों के लिए जैसा कि चित्र (b) में दिखाया गया है, वेग का अधिकर्ष प्रभाव लगभग पूरे चैनल पर होता है और HD परिणाम और MC परिणाम चैनल क्षेत्र में बहुत निकट होते हैं।

बैंड संरचना
बैंड संरचना ऊर्जा (E) और तरंग सदिश (k) के बीच संबंध का वर्णन करती है। बैंड संरचना का उपयोग विद्युत क्षेत्र की क्रिया, प्रकीर्णन की दर और टक्कर के बाद अंतिम स्थिति के अंतर्गत वाहक की गति की गणना करने के लिए किया जाता है। सिलिकॉन बैंड संरचना और उसके ब्रिलौइन क्षेत्र को नीचे दिए गए चित्र में दिखाया गया है, लेकिन कोई विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति नहीं है जो पूरे ब्रिलौइन क्षेत्र को संतुष्ट करती हो। कुछ सन्निकटन का उपयोग करके, बैंड संरचना के लिए दो विश्लेषणात्मक प्रतिरूप, अर्थात् परवलयिक और अपरवलयिक प्रणाली हैं।



परवलयिक बैंड संरचना
बैंड संरचना की अवधारणा के लिए, परवलयिक ऊर्जा बैंड को साधारण तौर पर सरलता के लिए माना जाता है। कम से कम जब संतुलन के समीप होता हैं, E(k) संबंध के न्यूनतम के समीप, तब इलेक्ट्रान रहते हैं। फिर E(k) संबंध को टेलर श्रृंखला में इस प्रकार बढ़ाया जा सकता है


 * $$ E(k) = E(0) + \left. \frac{\partial E(k)}{\partial k} \right|_{\mathrm{k=0}}

\cdot k + \frac{1}{2} \frac{\partial^2 E(k)}{\partial k^2} \cdot k^2 $$ क्योंकि पहला व्युत्पन्न बैंड न्यूनतम पर समाप्त हो जाता है, इसलिए E(k) का अनुप्रवण k = 0 पर शून्य है। इस प्रकार,


 * $$ E(k) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*} $$

जिससे प्रभावी द्रव्यमान प्रदीश की परिभाषा प्राप्त होती है


 * $$ \frac{1}{m^*} = \frac{1}{\hbar^2} \frac{\partial^2 E(k)}{\partial k^2} $$

यह अभिव्यक्ति उन अर्धचालकों के लिए सत्य है जिनमें समदैशिक प्रभावी द्रव्यमान, उदाहरण के लिए GaAs होता है। सिलिकॉन की स्थिति में, चालन बैंड न्यूनतम k = 0 पर नहीं होता है और प्रभावी द्रव्यमान न्यूनतम के क्रिस्टललेखीय अभिविन्यास पर निर्भर करता है


 * $$ E(k) = \frac{\hbar^2}{2} \left(\frac{k^2_l}{m^*_l} + \frac{2k^2_t}{m^*_t}\right) $$

जहाँ $$m^*_l, m^*_t $$ क्रमशः अनुदैर्ध्य और अनुप्रस्थ प्रभावी द्रव्यमान का वर्णन करते हैं।

गैर-परवलयिक बैंड संरचना
उच्च कार्यान्वित क्षेत्रों के लिए, वाहक न्यूनतम से ऊपर रहते हैं और प्रसार संबंध, E(k), ऊपर वर्णित सरल परवलयिक अभिव्यक्ति को संतुष्ट नहीं करता है। इस गैरपरवलयिकता का वर्णन साधारण तौर पर किया जाता है


 * $$ E(1+\alpha E) = \frac{\hbar^2 k^2}{2m^*} $$

जहाँ $$\alpha$$ द्वारा दिया गया गैरपरवलयिकता का गुणांक है


 * $$ \alpha = \frac{(1-m^* / m_0)^2}{E_g} $$

जहाँ $$m_0$$ निर्वात में इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान है, और Eg ऊर्जा अंतर है।

पूर्ण बैंड संरचना
कई अनुप्रयोगों के लिए, अपरवलयिक बैंड संरचना उचित सन्निकटन प्रदान करती है। यद्यपि की, बहुत उच्च क्षेत्र परिवहन के स्थितियों में, जिसके लिए पूर्ण बैंड संरचना के अच्छा भौतिक प्रतिरुप की आवश्यकता होती है। पूर्ण बैंड दृष्टिकोण के लिए, E(k) की संख्यात्मक रूप से उत्पन्न तालिका का उपयोग किया जाता है। मोंटे कार्लो अनुरूपण के लिए पूर्ण बैंड दृष्टिकोण का उपयोग पहली बार अर्बाना-शैंपेन में इलिनोइस विश्वविद्यालय में कार्ल हेस द्वारा किया गया था। यह दृष्टिकोण कोहेन और बर्गस्ट्रेसर [18] द्वारा सुझाई गई अनुभवजन्य छद्मसंभाव्य विधि पर आधारित है। पूर्ण बैंड दृष्टिकोण सांगणनात्मक रूप से महंगा है, यद्यपि की, सांगणनात्मक शक्ति की प्रगति के बाद, इसे अधिक सामान्य दृष्टिकोण के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

एक-कण मोंटे कार्लो
इस प्रकार के अनुरूपण के लिए, एक वाहक को अंतःक्षेपित किया जाता है और डोमेन में गति को नियंत्रित किया जाता है, जब तक कि यह संपर्क के माध्यम से बाहर नहीं निकल जाता हैं। फिर एक अन्य वाहक को अंतःक्षेपित किया जाता है और प्रक्षेप पथों के समूह को अनुकरण करने के लिए प्रक्रिया को दोहराया जाता है। यह दृष्टिकोण अधिकतर थोक गुणों का अध्ययन करने, जैसे क्षेत्र के कार्य के रूप में स्थिर अवस्था बहाव वेग के लिए उपयोगी है।

एन्सेम्बल मोंटे कार्लो
एकल वाहक के अतिरिक्त, एक ही समय में वाहकों का एक बड़ा समूह तैयार किया जाता है। यह प्रक्रिया स्पष्ट रूप से उच्च-गणना के लिए एक अच्छा पदानवेशी है, क्योंकि कोई समानांतरीकरण और वैश्वीकरण कार्यान्वित कर सकता है। साथ ही, अब सामूहिक औसतों को सीधे निष्पादित करना संभव है। यह दृष्टिकोण क्षणिक अनुरूपण के लिए उपयुक्त है।

स्वसंगत समूहन मोंटे कार्लो
यह विधि मोंटे कार्लो प्रक्रिया को पॉइसन के समीकरण से जोड़ती है, और युक्ति अनुरूपण के लिए सबसे उपयुक्त है। साधारण तौर पर, वाहकों की गति के कारण, आवेश के आंतरिक पुनर्वितरण को प्रतिबिंबित करने के लिए, आंतरिक क्षेत्र को अद्यतन करने के लिए पॉइसन के समीकरण को निश्चित अंतराल पर हल किया जाता है।

यादृच्छिक फ्लाइट चयन
प्रायिकता यह है कि इलेक्ट्रॉन अपनी अगली टक्कर t के आसपास dt के समय प्रभावित होगा, इस प्रकार दी गई है


 * $$ p(t) \, dt = P[k(t)] \exp[-\int^t_0 P[k(t')] \, dt' ] \, dt $$

जहां P[k(t)]dt प्रायिकता है कि अवस्था k में एक इलेक्ट्रॉन समय dt के समय टकराव से प्रभावित है। घातांक पर अभिन्न की जटिलता के कारण, उपरोक्त समीकरण के वितरण के साथ प्रसंभाव्य मुक्त फ्लाइट उत्पन्न करना अव्यावहारिक है। इस कठिनाई को दूर करने के लिए, लोग एक काल्पनिक "स्व-प्रकीर्णित" योजना का उपयोग करते हैं। ऐसा करने से, माना की $$\Gamma$$, इस  स्व-प्रकीर्णन  सहित कुल प्रकीर्णन दर स्थिर और बराबर होती है। यादृच्छिक चयन द्वारा, यदि स्व-प्रकीर्णन का चयन किया जाता है, तो टक्कर के बाद k' k के समान होता है और वाहक बिना किसी गलती के अपनी उड़ान बनाये रखता है। एक स्थिरांक का परिचय $$P(k) = \tau_0^{-1}$$, उपरोक्त समीकरण कम हो जाता है


 * $$ p(t) = \frac{1}{\tau_0} \exp(-t/ \tau_0). $$

प्रसंभाव्य मुक्त फ्लाइट उत्पन्न करने के लिए यादृच्छिक संख्या r का उपयोग, जिसकी अवधि तब दी जाती हैं $$ t_r = - \tau_0 \ln(r) $$, बहुत सरलता से किया जा सकता है। स्व-प्रकीर्णन के लिए उपयोग किए गए कंप्यूटर समय की भरपाई मुक्त-फ्लाइट अवधि की गणना के सरलीकरण से की जाती है। निःशुल्क फ्लाइट समय गणना की गति को बढ़ाने के लिए, स्व-प्रकीर्णन घटनाओं को कम करने के लिए "निरंतर तकनीक", और "खंडशः तकनीक" जैसी कई योजनाओं का उपयोग किया जाता है।

ठोस अवस्था भौतिकी में सामान्य पृष्ठभूमि
अर्धचालक उपकरणों के महत्वपूर्ण आवेश परिवहन गुण जैसे ओम के नियम से विचलन और वाहक गतिशीलता की संतृप्ति प्रकीर्णन वाले तंत्र का प्रत्यक्ष परिणाम है। इस प्रकार अर्धचालक उपकरण अनुरूपण के लिए ऐसे तंत्रों की भौतिकी को पकड़ना बहुत महत्वपूर्ण है। इस सीमा में अर्धचालक मोंटे कार्लो अनुरूपण, आसानी और सटीकता के लिए एक बहुत शक्तिशाली उपकरण है जिसके साथ प्रकीर्णन वाले तंत्र की लगभग संपूर्ण श्रृंखला को सम्मिलित किया जा सकता है। मुक्त फ्लाइट की अवधि प्रकीर्णन दरों से निर्धारित की जाती है। प्रत्येक उड़ान के अंत में, प्रकीर्णित हुए वाहक की अंतिम ऊर्जा, या समकक्ष, इसकी नई गति और प्रकीर्णन के कोण को निर्धारित करने के लिए उपयुक्त प्रकीर्णन वाले तंत्र को चुना जाता हैं। इस अर्थ में, दो व्यापक प्रकार के प्रकीर्णन वाले तंत्रों को अलग किया जाएगा जो स्वाभाविक रूप से दो पिंडों के बीच टकराव का प्राचीन गतिज सिद्धांत प्राप्त होता हैं :

प्रत्यास्थ प्रकीर्णन, जहां प्रकीर्णन के बाद कण की ऊर्जा संरक्षित रहती है। इसलिए प्रत्यास्थ प्रकीर्णन केवल कण की गति की दिशा को बदल देता हैं। अशुद्धता प्रकीर्णन और सतह प्रकीर्णन, उचित अनुमान के साथ, प्रत्यास्थ प्रकीर्णन प्रक्रियाओं के दो अच्छे उदाहरण हैं।

अप्रत्यास्थ प्रकीर्णन, जहां ऊर्जा प्रकीर्णित हुए कण और प्रकीर्णन केंद्र के बीच स्थानांतरित होती है। इलेक्ट्रॉनफोनन पारस्परिक प्रभाव अनिवार्य रूप से अप्रत्यास्थ होते हैं क्योंकि निश्चित ऊर्जा का एक फोनन या तो प्रकीर्णित हुए कण द्वारा उत्सर्जित या अवशोषित होता है। अधिक गणितीय विवरणों में प्रकीर्णन तंत्र को चिह्नित करने से पहले, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि अर्धचालक मोंटे कार्लो अनुरूपण चलाते समय, किसी को मुख्य रूप से निम्नलिखित प्रकार की प्रकीर्णन घटनाओं से निपटना पड़ता है:

ध्वनिक फ़ोनन: आवेश वाहक क्रिस्टल जालक में परमाणुओं के कंपन के ध्वनिक मोड के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान करता है। ध्वनिक फोनन मुख्य रूप से क्रिस्टल जालक के उष्मीय उत्तेजना से उत्पन्न होते हैं।

ध्रुवीय प्रकाशिकी: चार्ज वाहक क्रिस्टल जालक के ध्रुवीय प्रकाशिक प्रणाली में से एक के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान करता है। ये प्रणाली सहसंयोजक अर्धचालकों में उपस्थित नहीं हैं। जब सबसे छोटी इकाई सेल में एक से अधिक परमाणु होते हैं, तो विभिन्न प्रकार के परमाणुओं के एक-दूसरे के विरुद्ध कंपन से प्रकाशिक फोनन उत्पन्न होते हैं, और साधारण तौर पर प्रकाश से उत्तेजित होते हैं।

अध्रुवीय प्रकाशिकी: ऊर्जा का आदान-प्रदान प्रकाशिक प्रणाली से होता है। अध्रुवीय प्रकाशिकी फ़ोनों को साधारण तौर पर सहसंयोजक अर्धचालकों और GaAs की L-उपत्यक्ता में माना जाना होता हैं।

समतुल्य अन्तःउपत्यक्ता: फ़ोनन के साथ अंतःक्रिया के कारण, आवेश वाहक प्रारंभिक अवस्था से अंतिम अवस्था में स्थानांतरित होता है जो अलग-अलग लेकिन समतुल्य उपत्यक्ता से संबंधित होता है। साधारण तौर पर, इस प्रकार का प्रकीर्णन तंत्र एक इलेक्ट्रॉन के एक X-उपत्यक्ता से दूसरे X-उपत्यक्ता में, या एक L-उपत्यक्ता से दूसरे L-उपत्यक्ता में पारगमन का वर्णन करता है।

असमतुल्य अंतरालीय फ़ोनन: इसमें विभिन्न प्रकार की उपत्यक्ता के बीच आवेश वाहक का पारगमन सम्मिलित होता है।

दाबवैद्युत फोनन: कम तापमान के लिए होता हैं।

आयनित अशुद्धता: क्रिस्टल जालक में आयनित अशुद्धता के साथ कूलम्ब की परस्पर क्रिया के कारण बैलिस्टिक प्रक्षेपवक्र से एक कण के विचलन को दर्शाता है। क्योंकि एक इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान किसी अशुद्धता की तुलना में अपेक्षाकृत छोटा होता है, प्रारंभिक और अंतिम अवस्था के बीच गति के मापांक के अंतर के साथ कूलम्ब अनुप्रस्थ काट तेजी से घटता है। इसलिए, अशुद्धता प्रकीर्णन की घटनाओं को ज्यादातर अन्तःउपत्यक्ता प्रकीर्णन, अन्तरबैंड प्रकीर्णन और, कुछ हद तक, अन्तरबैंड प्रकीर्णन के लिए माना जाता है।

कैरियर-कैरियर: (इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन, होल-होल और इलेक्ट्रॉन- होल परस्पर क्रिया)। जब वाहक सांद्रता अधिक होती है, तो इस प्रकार का प्रकीर्णन आवेश वाहकों के बीच स्थिर वैद्युत संपर्क को दर्शाता है। किसी संयोजन अनुरूपण में कणों की बढ़ती संख्या के साथ यह समस्या बहुत तेजी से संगणनात्मक रूप से गहन हो जाती है। इस सीमा में, कण-कण-कण-मेष (P3M) एल्गोरिदम, जो किसी कण की उसके आसपास की आवेशित गैस के साथ छोटी दूरी और लंबी दूरी की परस्पर क्रिया को अलग करता है, अर्धचालक मोंटे कार्लो अनुरूपण में परस्पर क्रिया बातचीत को सम्मिलित करने में कुशल सिद्ध हुआ है। बहुत बार, वाहकों का आवेशित क्लाउड-इन-सेल विधि का उपयोग करके ग्रिड को सौंपा जाता है, जहां किसी दिए गए कण के आवेश का भाग एक निश्चित वजन कारक के साथ निकटतम ग्रिड बिंदुओं की दी गई संख्या को सौंपा जाता है।

प्लास्मोन: किसी दिए गए कण पर आवेश वाहकों के सामूहिक दोलन के प्रभाव को दर्शाता है।

मोंटे कार्लो में प्रकीर्णन तंत्र का समावेश
मोंटे कार्लो अनुरूपण में प्रकीर्णन को सम्मिलित करने के लिए सांगणनात्मक रूप से कुशल दृष्टिकोण में तालिकाओं में व्यक्तिगत तंत्र की प्रकीर्णन की दरों को संग्रहीत करना सम्मिलित है। एक निश्चित कण स्थिति के लिए अलग-अलग प्रकीर्णन की दर को देखते हुए, कोई व्यक्ति मुक्त फ्लाइट के अंत में यादृच्छिक रूप से प्रकीर्णन की प्रक्रिया का चयन कर सकता है। ये प्रकीर्णन की दरें प्रायः बोर्न सन्निकटन का उपयोग करके प्राप्त की जाती हैं, जिसमें एक प्रकीर्णन की घटना सम्मिलित वाहक के दो गति अवस्थाओं के बीच एक संक्रमण मात्र है। जैसा कि खंड II-I में चर्चा की गई है, एक वाहक की उसके आसपास के वातावरण (फोनन, इलेक्ट्रॉन, छिद्र, प्लास्मों, अशुद्धियाँ, ...) के साथ परस्पर क्रिया से उत्पन्न होने वाली क्वांटम कई-पिंड की समस्या को दो-पिंड की समस्या में कम किया जा सकता है। क्वासिपार्टिकल सन्निकटन, जो रूचि के वाहक को बाकी क्रिस्टल से अलग करता है। इन सन्निकटनों के अंदर, फ़र्मी का स्वर्ण नियम, पहले क्रम में, एक अवस्था से प्रकीर्णित $$ |k \rangle$$ एक अवस्था के लिए $$ |k' \rangle$$ वाले तंत्र के लिए प्रति इकाई समय में प्रसार की प्रायिकता देता है :


 * $$ S(k,k') = \frac{2\pi}{\hbar}

\left | \langle k|H'|k' \rangle \right |^2 \cdot \delta(E - E') $$ जहां H' टकराव का प्रतिनिधित्व करने वाला क्षोभ हैमिल्टनियन है और E और E' क्रमशः वाहक और इलेक्ट्रॉन और फोनन गैस दोनों से गठित प्रणाली की प्रारंभिक और अंतिम ऊर्जा हैं। डिराक $$\delta$$-फलन का अर्थ ऊर्जा संरक्षण है। इसके अतिरिक्त, शब्द $$\langle k|H'|k' \rangle$$, जिसे साधारण तौर पर आव्यूह अवयव के रूप में जाना जाता है, गणितीय रूप से वाहक के प्रारंभिक और अंतिम तरंग फलन के आंतरिक उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है:
 * $$ \langle k|H'|k' \rangle = \frac{1}{Vol} \int_\mathrm{Vol}

\psi_k (r) H' \psi^*_{k'} (r) \, dr $$ क्रिस्टल जालक में, तरंग फलन $$\psi_k (r)$$ और $$\psi_{k'} (r)$$ बस बलोच तरंगें हैं। जब यह संभव होता है, तो आव्यूह अवयव की विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति साधारण तौर पर फूरियर द्वारा हैमिल्टनियन यांत्रिकी#गणितीय औपचारिकता H' का विस्तार करते हुए पाई जाती है, जैसा कि अशुद्धता प्रकीर्णन या ध्वनिक फ़ोनन प्रकीर्णन की स्थिति में होता है । तरंग सदिश q और आवृत्ति के एक फोनन के कारण ऊर्जा अवस्था E से ऊर्जा अवस्था E' में संक्रमण के महत्वपूर्ण स्थिति में $$\omega_q$$, ऊर्जा और संवेग परिवर्तन है:


 * $$ E' - E = E(k') - E(k) \pm \hbar \omega_q \, $$
 * $$k' - k \pm q = \begin{cases} 0 & \text{ } \\ R & \text{Umklapp-process} \end{cases} $$

जहाँ R एक व्युत्क्रम जालक सदिश है। उमक्लैप प्रक्रियाएं (या U-प्रक्रियाएं) प्रकीर्णन के बाद कण की गति को बदल देती हैं और इसलिए अर्धचालक क्रिस्टल में चालन को सीमित कर रही हैं। भौतिक रूप से, U-प्रक्रियाएँ तब घटित होती हैं जब कण का अंतिम संवेग पहले ब्रिलोइन क्षेत्र से बाहर की ओर इंगित करता है। एक बार जब किसी को अवस्था k से अवस्था k' तक प्रति इकाई समय में प्रकीर्णन की संभावना का पता चल जाता है, तो किसी दिए गए प्रकीर्णन की प्रक्रिया के लिए प्रकीर्णन की दर निर्धारित करना रुचिकर होता है। प्रकीर्णन की दर पारस्परिक स्थान में अवस्था k से किसी अन्य अवस्था में प्रकीर्णन के लिए प्रति इकाई समय की प्रायिकता देती है। अत: प्रकीर्णन दर है


 * $$ \lambda (k) = \sum_{k'} S(k,k')$$

जिसका उपयोग मुक्त फ्लाइट समय और प्रकीर्णन प्रक्रिया को निर्धारित करने के लिए आसानी से किया जा सकता है जैसा कि धारा 3-3 में चर्चा की गई है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह प्रकीर्णन की दर सामग्री की बैंड संरचना पर निर्भर होती हैं (निर्भरता आव्यूह अवयवों से उत्पन्न होती है)।

प्रकीर्णन प्रणाली और प्रकीर्णित प्रक्षेपवक्र का चयन
एक मुक्त फ्लाइट के अंत में, प्रकीर्णन प्रणाली और कोण को यादृच्छिक रूप से चुना जाना होता हैं। प्रकीर्णन तंत्र को निर्धारित करने के लिए, सभी प्रकीर्णन दरों $$ \lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_n$$पर विचार करना होता हैं अनुरूपण के लिए प्रासंगिक तंत्र के साथ-साथ प्रकीर्णन के समय कुल प्रकीर्णन की दर $$ \lambda_{tot} (t_{sc}) = \sum_i \lambda_i $$ होता हैं। एक प्रकीर्णन तंत्र का चयन करने से एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्या 0 < r < 1 उत्पन्न होती है और निम्नलिखित नियमों का संदर्भ मिलता है



\begin{align} r & < \frac{\lambda_1}{\lambda_\mathrm{tot}} \rightarrow \text{scattering-mechanism-}1 \\ r & < \frac{\lambda_1 + \lambda_2}{\lambda_\mathrm{tot}} \rightarrow \text{scattering-mechanism-}2 \\ & {} \ \vdots \\ r & < \frac{\sum_{i=0}^n \lambda_i}{\lambda_\mathrm{tot}} \rightarrow \text{scattering-mechanism-}n \end{align} $$ प्रकीर्णन तंत्र को चुनने के लिए सांगणनात्मक रूप से कुशल दृष्टिकोण में "शून्य" प्रकीर्णन तंत्र को जोड़ना सम्मिलित है जिससे की $$\lambda_\mathrm{tot}$$ समय के साथ स्थिर रहता है। यदि कोई कण इस तंत्र के अनुसार प्रकीर्णित हुआ है, तो प्रकीर्णन के बाद यह अपने बैलिस्टिक प्रक्षेपवक्र को बनाए रखता हैं। एक नया प्रक्षेप पथ चुनने के लिए, पहले प्रकीर्ण के बाद कण की ऊर्जा (या गति) प्राप्त करनी होती हैं।


 * $$ E(k') = E(k) \pm \hbar \omega_q \pm \Delta E_C \, $$

जहां शब्द $$\hbar \omega_q$$ फोनन उत्सर्जन या अवशोषण और शब्द के लिए जिम्मेदार है $$ \Delta E_C $$ अंतर-उपत्यक्ता प्रकीर्णन के लिए अशून्य है। अंतिम ऊर्जा (और बैंड संरचना) सीधे नए संवेग k' का मापांक उत्पन्न करती है। इस बिंदु पर किसी को बिखरे हुए कण के लिए केवल एक नई दिशा (या कोण) चुनने की आवश्यकता होती है। फ़ोनन प्रकीर्णन और परवलयिक प्रसार संबंध जैसे कुछ सरल स्थितियों में, प्रकीर्णन कोण यादृच्छिक होता है और त्रिज्या k' के गोले पर समान रूप से वितरित होता है। गोलाकार निर्देशांकों का उपयोग करते हुए, कोण चुनने की प्रक्रिया दो कोणों $$\theta$$और $$\psi$$ को यादृच्छिक रूप से चुनने के बराबर है। यदि कोण $$p(\theta, \psi)$$ को वितरण के साथ वितरित किया जाता है, तो कोणों के एक समान वितरण के लिए, गोले का एक बिंदु चुनने की संभावना है।


 * $$ p(\theta, \psi) \, d \theta d \psi = \frac{\sin \theta \, d \theta \, d \psi}{4 \pi} $$

इस स्थितियों में, दो चरों को अलग करना संभव है। समाकलन पहले $$\psi$$ फिर $$\theta$$ से होता हैं, प्राप्त होता हैं
 * $$ p(\theta) = \frac{\sin \theta}{2}$$
 * $$ p(\psi) = \frac{1}{2 \pi}$$

फिर दो यादृच्छिक संख्याएँ 0 <r उत्पन्न करके, समान स्थिति में, दो गोलाकार कोणों को चुना जा सकता है r1, r2 <1 जैसे की


 * $$ r_1 = \int_0^\psi p(\psi ') \, d \psi ' = \frac{\psi}{2 \pi} $$
 * $$ r_2 = \int_0^\theta p(\theta ') \, d \theta ' = \frac{1 - \cos \theta}{2} $$

मोंटे कार्लो सिमुलेशन के लिए क्वांटम सुधार
अर्धचालक उपकरणों को कम करने की वर्त्तमान प्रवृत्ति ने भौतिकविदों को युक्ति व्यवहार की गहन समझ प्राप्त करने के लिए क्वांटम मैयांत्रिक कथन को सम्मिलित करने के लिए विवश किया है। नैनो-स्केल उपकरणों के व्यवहार का अनुकरण करने के लिए पूर्ण क्वांटम यांत्रिकी प्रतिरूप के उपयोग की आवश्यकता होती है, ज्यादातर उन स्थितियों के लिए जब क्वांटम प्रभावों को उपेक्षित नहीं किया जा सकता है। यद्यपि की, अर्ध-श्रेणीय ढांचे के अंदर क्वांटम सुधारों को नियोजित करके, आधुनिक MOSFET जैसे व्यावहारिक उपकरणों के स्थितियों में इस जटिलता से बचा जा सकता है। फिर युक्ति विशेषताओं का अनुकरण करने के लिए अर्ध-श्रेणीय मोंटे कार्लो प्रतिरूप को नियोजित किया जा सकता है। क्वांटम सुधारों को मोंटे कार्लो अनुरूपक में केवल एक क्वांटम संभावित शब्द प्रदर्शित करके सम्मलित किया जा सकता है जो अनुरूपक कणों द्वारा देखी गई प्राचीन विद्युतस्थैतिक क्षमता पर लगाया जाता है। बगल में दिया गया चित्र इस तकनीक की आवश्यक विशेषताओं को सचित्र रूप से दर्शाता है। कार्यान्वयन के लिए उपलब्ध विभिन्न क्वांटम दृष्टिकोणों का वर्णन निम्नलिखित उपखंडों में किया गया है।

विग्नर-आधारित सुधार
विग्नर चालन समीकरण विग्नर-आधारित क्वांटम सुधार का आधार बनता है।


 * $$ \frac{\partial f}{\partial t} + r \cdot \nabla_r f

- \frac{1}{\hbar} \nabla_r V \cdot \nabla_k f + \sum_{\alpha = 1}^{\infty} \frac{(-1)^{\alpha +1}}{\hbar 4^{\alpha} (2 \alpha +1)!} \times (\nabla_r \nabla_k)^{2 \alpha +1} V f = \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_c $$ जहां, k क्रिस्टल गति है, V प्राचीन क्षमता है, RHS पर पद टकराव का प्रभाव है, LHS पर चौथा पद अस्थानीय क्वांटम यांत्रिक प्रभावों का प्रतिनिधित्व करता है। मानक बोल्ट्ज़मैन चालन समीकरण तब प्राप्त होता है जब LHS पर अस्थानीय शब्द धीमी स्थानिक विविधताओं की सीमा में समाप्त हो जाते हैं। सरलीकृत ($$\alpha=0$$ के लिए) तब क्वांटम सही बीटीइ बन जाता है,


 * $$ \frac{\partial f}{\partial t} + r \cdot \nabla_r f

- \frac{1}{\hbar} \nabla_r V \cdot \nabla_k f = \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_c $$ जहां क्वांटम क्षमता $$V_{\omega}$$ शब्द में निहित है (एक त्रुटि होनी चाहिए: $$V_{\omega}$$ कभी उल्लेख नहीं किया गया था)।

प्रभावी संभावित सुधार
क्वांटम सुधार की यह विधि 1965 में फेनमैन और हिब्स द्वारा विकसित की गई थी। इस विधि में किसी कण के प्राचीन पथ के चारों ओर क्वांटम उतार-चढ़ाव के पथ अभिन्न अंग में योगदान की गणना करके प्रभावी क्षमता प्राप्त की जाती है। यह गणना पहले क्रम की परीक्षण क्षमता का उपयोग करके परिवर्तनीय विधि द्वारा की जाती है। तब प्रत्येक पथ पर औसत बिंदु में प्रभावी प्राचीन क्षमता बन जाती है


 * $$ V_\mathrm{eff} (x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi a}} \int^\infty_{- \infty} V(x')

e^{-\frac{(x'-x)^2}{2a^2}} dx' $$
 * $$ a^2 = \frac{\hbar^2}{12m^*k_BT} $$

श्रोडिंगर-आधारित सुधार
इस दृष्टिकोण में एक अनुरूपण में श्रोडिंगर समीकरण का आवधिक समाधान सम्मिलित है जिसमें इनपुट आत्मनिर्भर विद्युतस्थैतिक क्षमता है। क्वांटम क्षमता की गणना के लिए विद्युतस्थैतिक संभावित समाधान से संबंधित निश्चित ऊर्जा स्तर और तरंग कार्यों को नियोजित किया जाता है। इस विधि के आधार पर प्राप्त क्वांटम सुधार को निम्नलिखित समीकरण द्वारा देखा जा सकता है


 * $$ V_\mathrm{schr}(z) = -k_BT \cdot \log(n_q(z)) - V_p(z) + V_0 $$

जहां Vschr क्वांटम सुधार क्षमता है, z इंटरफ़ेस की लंबवत दिशा है, nq श्रोडिंगर समीकरण से क्वांटम घनत्व है जो अभिसरण मोंटे कार्लो एकाग्रता के बराबर है, Vp पॉइसन समाधान से क्षमता है, V0 क्वांटम क्षेत्र से इतनी दूर यादृच्छिक संदर्भ क्षमता है कि अर्ध-श्रेणीय व्यवहार के क्षेत्र में सुधार शून्य हो जाता है। यद्यपि की क्वांटम सुधार के लिए उपर्युक्त संभावनाएं उनकी गणना की विधि और उनकी मुलभुत मान्यताओं में भिन्न हैं, फिर भी जब मोंटे कार्लो अनुरूपण में उन्हें सम्मिलित करने की बात आती है तो वे सभी एक ही तरह से सम्मिलित हो जाते हैं।

यह भी देखें

 * अर्ध-मोंटे कार्लो विधि
 * अर्धचालक उपकरण
 * फोटॉन परिवहन के लिए मोंटे कार्लो विधि
 * विद्युतीय बैंड संरचना
 * क्वांटम विशेषताओं की विधि
 * क्वांटम मोंटे कार्लो
 * क्वासी-मोंटे कार्लो विधि