सेमीफ़ील्ड

गणित में, एक सेमीफ़ील्ड एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें दो द्विआधारी संक्रियाएँ, जोड़ और गुणा होती हैं, जो एक फ़ील्ड (गणित) के समान होती है, लेकिन कुछ स्वयंसिद्ध आराम के साथ।

सिंहावलोकन
सेमीफ़ील्ड शब्द के दो परस्पर विरोधी अर्थ हैं, जिनमें से दोनों में एक विशेष मामले के रूप में फ़ील्ड शामिल हैं।


 * प्रक्षेपी ज्यामिति और परिमित ज्यामिति (गणित विषय वर्गीकरण 51A, 51E, 12K10) में, एक सेमीफ़ील्ड गुणक पहचान तत्व के साथ एक Division_algebra#Not_necessarily_associative_division_algebras है। अधिक सटीक रूप से, यह एक गैर-सहयोगी बीजगणित है जिसके अशून्य तत्व गुणन के तहत एक पाश (बीजगणित) बनाते हैं। दूसरे शब्दों में, एक सेमीफ़ील्ड एक सेट S है जिसमें दो ऑपरेशन + (जोड़) और · (गुणा) होते हैं, जैसे कि
 * (S,+) एक एबेलियन समूह है,
 * गुणन बाएँ और दाएँ दोनों पर वितरण गुण है,
 * वहाँ एक गुणात्मक पहचान तत्व मौजूद है, और
 * विभाजन (गणित) हमेशा संभव है: S में प्रत्येक a और प्रत्येक अशून्य b के लिए, S में अद्वितीय x और y मौजूद हैं जिसके लिए b·x = a और y·b = a.
 * विशेष रूप से ध्यान दें कि गुणन को क्रमविनिमेय गुण या साहचर्य गुण नहीं माना जाता है। एक सेमीफ़ील्ड जो साहचर्य है, एक विभाजन वलय है, और जो साहचर्य और क्रमविनिमेय दोनों है, एक क्षेत्र (गणित) है। इस परिभाषा के अनुसार एक सेमीफ़ील्ड kassifield का एक विशेष मामला है। यदि S परिमित है, तो ऊपर की परिभाषा में अंतिम अभिगृहीत को इस धारणा से प्रतिस्थापित किया जा सकता है कि कोई शून्य विभाजक नहीं हैं, ताकि a·b = 0 का अर्थ है कि a = 0 या b = 0। ध्यान दें कि साहचर्य की कमी के कारण, अंतिम अभिगृहीत इस धारणा के समतुल्य नहीं है कि प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में गुणक व्युत्क्रम होता है, जैसा कि आमतौर पर क्षेत्रों और विभाजन के छल्ले की परिभाषाओं में पाया जाता है।


 * अंगूठी सिद्धांत, कॉम्बिनेटरिक्स, कार्यात्मक विश्लेषण और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान (गणित विषय वर्गीकरण 16Y60) में, एक 'सेमीफ़ील्ड' एक मोटी हो जाओ (S,+,·) है जिसमें सभी गैर-शून्य तत्वों का गुणक व्युत्क्रम होता है। इन वस्तुओं को उचित अर्धक्षेत्र भी कहा जाता है। इस परिभाषा में भिन्नता उत्पन्न होती है यदि S में एक अवशोषित शून्य होता है जो गुणक इकाई e से भिन्न होता है, यह आवश्यक है कि गैर-शून्य तत्व उलटा हो, और a'·0 = 0·a = 0. चूंकि गुणन साहचर्य है, सेमीफ़ील्ड के (गैर-शून्य) तत्व एक समूह (गणित) बनाते हैं। हालाँकि, जोड़ी (S'',+) केवल एक अर्धसमूह है, यानी योगात्मक व्युत्क्रम मौजूद नहीं है, या, बोलचाल की भाषा में, 'कोई घटाव नहीं है'। कभी-कभी, यह नहीं माना जाता है कि गुणन साहचर्य है।

सेमीफ़ील्ड्स की प्रिमिटिविटी
एक सेमीफ़ील्ड डी को राइट (रेस्प। लेफ्ट) आदिम कहा जाता है यदि इसमें एक तत्व डब्ल्यू है जैसे कि डी * के गैर-शून्य तत्वों का सेट डब्ल्यू के सभी राइट (रेस्प। बाएं) प्रमुख शक्तियों के सेट के बराबर है।

उदाहरण
हम केवल दूसरे अर्थ में अर्धक्षेत्रों का उदाहरण देते हैं, अर्थात वितरण गुणन के साथ योज्य अर्धसमूह। इसके अलावा, हमारे उदाहरणों में योग क्रमविनिमेय है और गुणन साहचर्य है।


 * चिह्न (गणित) परिमेय संख्याएँ सामान्य जोड़ और गुणन के साथ क्रमविनिमेय अर्धक्षेत्र बनाती हैं।
 * इसे अवशोषित 0 द्वारा बढ़ाया जा सकता है।
 * सामान्य जोड़ और गुणा के साथ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ क्रमविनिमेय सेमीफ़ील्ड बनाती हैं।
 * इसे एक अवशोषित 0 द्वारा बढ़ाया जा सकता है, जिससे प्रायिकता सेमीरिंग बनती है, जो लॉग सेमीरिंग के लिए आइसोमॉर्फिक है।
 * फॉर्म एफ / जी के तर्कसंगत कार्य, जहां एफ और जी सकारात्मक गुणांक वाले एक चर में बहुपद हैं, एक कम्यूटेटिव सेमीफ़ील्ड बनाते हैं।
 * इसे 0 शामिल करने के लिए बढ़ाया जा सकता है।
 * वास्तविक संख्या 'आर' को एक अर्धक्षेत्र में देखा जा सकता है जहां दो तत्वों का योग उनकी अधिकतम और उत्पाद को उनकी सामान्य राशि के रूप में परिभाषित किया जाता है; यह सेमीफ़ील्ड अधिक संक्षिप्त रूप से निरूपित है ('आर', अधिकतम, +)। इसी तरह ('आर', मिनट, +) एक सेमीफ़ील्ड है। इन्हें [[उष्णकटिबंधीय सेमिरिंग]] कहा जाता है।
 * इसे −∞ (अवशोषित 0) द्वारा बढ़ाया जा सकता है; यह लॉग सेमीरिंग की सीमा (उष्णकटिबंधीयकरण) है क्योंकि आधार अनंत तक जाता है।
 * पिछले उदाहरण का सामान्यीकरण, अगर (A,·,≤) एक जालीदार आदेशित समूह|जाली-आदेशित समूह है तो (A,+,·) योगात्मक रूप से निष्क्रिय सेमीफ़ील्ड है, जिसमें सेमीफ़ील्ड योग को दो तत्वों के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है। इसके विपरीत, कोई भी एडिटिवली बेकार सेमीफ़ील्ड (A,+,·) एक जाली-आदेशित समूह (A,·,≤) को परिभाषित करता है, जहाँ a≤b अगर और केवल अगर a + b = b।
 * बूलियन सेमीफ़ील्ड 'बी' = {0, 1} तार्किक या द्वारा परिभाषित जोड़ के साथ, और तार्किक और द्वारा परिभाषित गुणन।

यह भी देखें

 * तलीय त्रिगुट वलय (प्रथम भाव)