अपसरण प्रमेय

सदिश कलन में, अपसरण प्रमेय, जिसे गॉस के प्रमेय या ओस्ट्रोग्रैडस्की के प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, एक प्रमेय है जो एक बंद सतह (गणित) के माध्यम से एक सदिश क्षेत्र के प्रवाह को परिबद्ध मात्रा में क्षेत्र के विचलन से संबंधित करता है।

यथार्थतः अपसरण प्रमेय बताता है कि बंद सतह पर एक सदिश क्षेत्र की सतह का अभिन्न अंग, जिसे सतह के माध्यम से प्रवाह कहा जाता है, सतह के अंदर के क्षेत्र में विचलन के आयतन अभिन्न के बराबर है। सहज रूप से, यह बताता है कि एक क्षेत्र में क्षेत्र के सभी स्रोतों का योग (घटने को प्रतिकूल स्रोत माना जाता है) क्षेत्र से असल प्रवाह देता है।

अपसरण प्रमेय भौतिकी और अभियांत्रिकी के गणित के लिए एक महत्वपूर्ण परिणाम विशेष रूप से स्थिर विद्युतिकी और द्रव गतिकी में है। इन क्षेत्रों में, यह सामान्यतः तीन आयामों में लागू होता है। हालाँकि, यह किसी भी संख्या में आयामों का सामान्यीकरण करता है। एक आयाम में, यह भागों द्वारा एकीकरण के बराबर है। दो आयामों में, यह ग्रीन के प्रमेय के बराबर है।

तरल प्रवाह का उपयोग करके स्पष्टीकरण
सदिश क्षेत्रों को प्रायः द्रव के वेग क्षेत्र, जैसे वायुरूप द्रव्य या तरल के उदाहरण का उपयोग करके चित्रित किया जाता है। गतिमान तरल का एक वेग होता है - एक गति और एक दिशा - प्रत्येक बिंदु पर, जिसे सदिश (गणित और भौतिकी) द्वारा दर्शाया जा सकता है, ताकि किसी भी समय तरल का वेग एक सदिश क्षेत्र बना सके। तरल के तत्व के अंदर एक काल्पनिक बंद सतह S पर विचार करें, जो तरल की मात्रा को घेरे हुए है। आयतन से तरल का प्रवाह इस सतह को पार करने वाले द्रव के आयतन की दर के बराबर होता है, यानी सतह पर वेग का सतही अभिन्न अंग है।

चूँकि तरल पदार्थ असंपीड्य होते हैं, एक बंद आयतन के अंदर तरल की मात्रा स्थिर होती है; यदि आयतन के अंदर कोई स्रोत या अभिगम नहीं हैं, तो S से तरल का प्रवाह शून्य है। यदि तरल चल रहा है, तो यह सतह S पर कुछ बिंदुओं पर आयतन में प्रवाहित हो सकता है और अन्य बिंदुओं पर आयतन से बाहर हो सकता है, लेकिन किसी भी क्षण अंदर और बाहर बहने वाली मात्रा बराबर होती है, इसलिए तरल का शुद्ध प्रवाह मात्रा शून्य है।

हालाँकि यदि तरल का कोई स्रोत बंद सतह के अंदर है, जैसे कि एक नलिका जिसके माध्यम से तरल पेश किया जाता है, तो अतिरिक्त तरल आसपास के तरल पर दबाव डालेगा, जिससे सभी दिशाओं में बाहरी प्रवाह होगा। यह सतह S के माध्यम से एक शुद्ध बाहरी प्रवाह का कारण होगा। S के माध्यम से बाहरी प्रवाह नलिका से S में तरल पदार्थ के प्रवाह की मात्रा दर के बराबर होता है। इसी तरह अगर S के अंदर एक अभिगम या नाली है, जैसे कि एक नलिका जो तरल को बंद कर देती है, तो तरल का बाहरी दबाव नाली के स्थान की ओर निर्देशित पूरे तरल में एक वेग पैदा करेगा। सतह S के माध्यम से अंदर की ओर तरल के प्रवाह की मात्रा दर अभिगम द्वारा हटाए गए तरल की दर के बराबर होती है।

यदि S के अंदर तरल के कई स्रोत और अभिगम हैं, तो सतह के माध्यम से प्रवाह की गणना स्रोतों द्वारा जोड़े गए तरल की मात्रा दर को जोड़कर और अभिगम द्वारा निकाले जाने वाले तरल की दर को घटाकर की जा सकती है। एक स्रोत या अभिगम के माध्यम से तरल के प्रवाह की मात्रा दर (एक प्रतिकूल संकेत दिए गए अभिगम के माध्यम से प्रवाह के साथ) नलिका मुंह पर वेग क्षेत्र के विचलन के बराबर है, इसलिए S द्वारा संलग्न मात्रा में तरल के विचलन को जोड़ना (एकीकृत करना) S के माध्यम से प्रवाह की मात्रा दर के बराबर है। यह अपसरण प्रमेय है।

अपसरण प्रमेय किसी संरक्षण नियम में नियोजित है जो बताता है कि सभी अभिगम और स्रोतों की कुल मात्रा, जो विचलन का आयतन अभिन्न है, आयतन की सीमा के पार शुद्ध प्रवाह के बराबर है।

गणितीय कथन
मान लीजिए $V$ का उपसमुच्चय $$\mathbb{R}^n$$ है (के मामले में $n = 3, V$ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है) जो संक्षिप्त जगह है और इसकी खंडशः निर्बाध सीमा $n$ है ($$\partial V = S$$ के साथ भी दर्शाया गया है )। यदि $F$ के एक प्रतिवैस (गणित) पर परिभाषित एक सतत अवकलनीय सदिश क्षेत्र $V$ है, फिर: बाईं ओर आयतन पर एक आयतन अन्तर्निहित $S$ है, दाईं ओर आयतन की सीमा पर सतह का अभिन्न अंग $V$ है। बंद विविध $$\partial V$$ बाह्य- इंगित सामान्य मूल्य (ज्यामिति) द्वारा उन्मुख है, और $$\mathbf{\hat{n}}$$ सीमा पर प्रत्येक बिंदु पर सामान्य बाहरी ओर इंगित करने वाली इकाई $$\partial V$$ है। ($$\mathrm{d} \mathbf{S}$$ के लिए आशुलिपि के रूप में $$\mathbf{n} \mathrm{d} S$$ प्रयुक्त किया जा सकता है।) ऊपर दिए गए सहज विवरण के संदर्भ में, समीकरण के बाईं ओर मात्रा $V$ में कुल स्रोतों का प्रतिनिधित्व करता है, और दाईं ओर सीमा $V$ के पार कुल प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है।

यूक्लिडियन स्थल के परिबद्ध विवृत उपसमुच्चय के लिए
हम निम्नलिखित सिद्ध करने जा रहे हैं: $V$ प्रमेय का प्रमाण। (1) पहला कदम उस मामले को कम करना है जहां $$u \in C_c^1(\mathbb{R}^n)$$ है। $$\phi \in C_c^{\infty}(O)$$ ऐसे चुनिए कि $$\overline{\Omega}$$ पर $$\phi = 1$$ है। ध्यान दें कि $$\overline{\Omega}$$  पर $$\phi u \in C_c^{1}(O) \subset C_c^1(\mathbb{R}^n)$$ तथा $$\phi u = u$$ है। इसलिए यह $$\phi u$$ के लिए प्रमेय को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त है इसलिए हम यह मान सकते हैं कि $$u \in C_c^1(\mathbb{R}^n)$$।

(2) $$x_0 \in \partial \Omega$$ को स्वच्छंद होने दें। धारणा है कि $$\overline{\Omega}$$ के पास $$C^1$$ सीमा है का अर्थ है कि $$\mathbb{R}^n$$ में $$x_0$$ का एक विवृत प्रतिवैस (नेबोरहुड) $$U$$ ऐसे है कि $$C^1$$प्रकार्य का ग्राफ $$\partial \Omega \cap U$$ है। $$\Omega \cap U$$ इस मानचित्र के एक तरफ पड़ा हुआ है। अधिक सटीक रूप से, इसका मतलब है कि $$\Omega$$ के अंतरण और क्रमावर्तन के बाद, वहाँ  $$r > 0$$ तथा $$h > 0$$ और एक $$C^1$$ प्रकार्य $$g : \mathbb{R}^{n - 1} \to \mathbb{R}$$ हैं, जैसे कि अंकन के साथ $$x' = (x_1, \dots, x_{n - 1}),$$ यह मानता है $$U = \{x \in \mathbb{R}^n : |x'| < r \text{ and } |x_n - g(x')| < h\}$$ और $$x \in U$$ के लिए , $$ \begin{align} x_n = g(x') & \implies x \in \partial \Omega, \\ -h < x_n - g(x') < 0 & \implies x \in \Omega, \\ 0 < x_n - g(x') < h & \implies x \notin \Omega. \\ \end{align} $$ क्योंकि $$\partial \Omega$$ सघन है, हम $$\partial \Omega$$ को निश्चित रूप से उपरोक्त स्वरुप के कई प्रतिवैस $$U_1, \dots, U_N$$ के साथ समाविष्ट कर सकते हैं। ध्यान दें कि $$\{\Omega, U_1, \dots, U_N\}$$ का विवृत आवरण $$\overline{\Omega} = \Omega \cup \partial \Omega$$ है। $$C^{\infty}$$का उपयोग करके इस आवरण के अधीन एकता का विभाजन, यह प्रमेय को उस मामले में साबित करने के लिए पर्याप्त है जहां या तो $$\Omega$$ में $$u$$ का सघन आधार है या कुछ $$U_j$$ में $$u$$ का सघन आधार है। यदि $$\Omega$$ में $$u$$ का सघन आधार है, तो सभी $$i \in \{1, \dots, n\}$$ के लिए, $$\int_{\Omega} u_{x_i}\,dV = \int_{\mathbb{R}^n}u_{x_i}\,dV = \int_{\mathbb{R}^{n - 1}} \int_{-\infty}^{\infty}u_{x_i}(x)\,dx_i\,dx' = 0$$ कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा, और $$\int_{\partial \Omega}u\nu_i\,dS = 0$$ जबसे $$u$$ $$\partial \Omega$$ के प्रतिवैस में गायब हो जाता है। इस प्रकार प्रमेय $$u$$ के लिए $$\Omega$$ में सघन समर्थन के साथ है। इस प्रकार हमने उस मामले को कम कर दिया है जहां $$u$$ के पास कुछ $$U_j$$ में सघन समर्थन है।

(3) तो मान लीजिए $$u$$ कुछ $$U_j$$ में सघन आधार है। अब अंतिम चरण यह दिखाना है कि प्रमेय प्रत्यक्ष संगणना द्वारा सत्य है। संकेतन को $$U = U_j$$ में बदलें, और $$U$$ का वर्णन करने के लिए प्रयुक्त (2) से संकेतन लाएँ। ध्यान दें, इसका मतलब है कि हमने $$\Omega$$ का घूर्णन और अनुवाद किया है। यह एक वैध कमी है क्योंकि प्रमेय घूर्णन और निर्देशांक के अनुवाद के तहत अपरिवर्तनीय है। क्योंकि $$u(x) = 0$$ के लिये $$|x'| \geq r$$ और $$|x_n - g(x')| \geq h$$ के लिए, हमारे पास प्रत्येक $$i \in \{1, \dots, n\}$$ के लिए हमारे पास निम्न है: $$ \begin{align} \int_{\Omega}u_{x_i}\,dV &= \int_{|x'| < r}\int_{g(x') - h}^{g(x')}u_{x_i}(x', x_n)\,dx_n\,dx' \\ &= \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{g(x')}u_{x_i}(x', x_n)\,dx_n\,dx'. \end{align} $$ $$i = n$$ के लिये हमारे पास कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा निम्न है: $$\int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{g(x')}u_{x_n}(x', x_n)\,dx_n\,dx' = \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}u(x', g(x'))\,dx'.$$ अब $$i \in \{1, \dots, n - 1\}$$ निर्धारित करें। ध्यान दें कि $$\int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{g(x')}u_{x_i}(x', x_n)\,dx_n\,dx' = \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{0}u_{x_i}(x', g(x') + s)\,ds\,dx'$$ $$v : \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R}$$ द्वारा $$v(x', s) = u(x', g(x') + s)$$ परिभाषित करें। श्रृंखला नियम द्वारा, $$v_{x_i}(x', s) = u_{x_i}(x', g(x') + s) + u_{x_n}(x', g(x') + s)g_{x_i}(x').$$ परन्तु क्योंकि $$v$$ सघन समर्थन है, हम $$dx_i$$ एकीकृत कर सकते हैं पहले यह निष्कर्ष निकालने के लिए $$\int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{0}v_{x_i}(x', s)\,ds\,dx' = 0.$$ इस प्रकार $$ \begin{align} \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{0}u_{x_i}(x', g(x') + s)\,ds\,dx' &= \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{0}-u_{x_n}(x', g(x') + s)g_{x_i}(x')\,ds\,dx' \\ &= \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}-u(x', g(x'))g_{x_i}(x')\,dx'. \end{align} $$ संक्षेप में, के साथ $$\nabla u = (u_{x_1}, \dots, u_{x_n})$$ हमारे पास $$\int_{\Omega}\nabla u\,dV = \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}\int_{-\infty}^{g(x')}\nabla u\,dV = \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}u(x', g(x'))(-\nabla g(x'), 1)\,dx'.$$ याद रखें कि लेखाचित्र $$\Gamma$$ के लिए सामान्य बाहरी इकाई $$g$$ एक बिंदु पर $$(x', g(x')) \in \Gamma$$ है $$\nu(x', g(x')) = \frac{1}{\sqrt{1 + |\nabla g(x')|^2}}(-\nabla g(x'), 1)$$ और सतह तत्व $$dS$$ $$dS = \sqrt{1 + |\nabla g(x')|^2}\,dx'$$द्वारा दिया गया है। इस प्रकार $$\int_{\Omega}\nabla u\,dV = \int_{\partial \Omega}u\nu\,dS.$$ यह प्रमाण को पूरा करता है।

सीमा के साथ सघन रीमानी विविध के लिए
हम निम्नलिखित सिद्ध करने जा रहे हैं: $S$ प्रमेय का प्रमाण। हम आइंस्टीन संकलन प्रथा का उपयोग करते हैं। एकता के विभाजन का उपयोग करके, हम यह मान सकते हैं कि $$u$$ तथा $$X$$ का एक समन्वय स्तंबक $$O \subset \overline{\Omega}$$ में सघन समर्थन है। पहले उस मामले पर विचार करें जहां स्तंबक $$\partial \Omega$$ से अलग है। फिर $$\mathbb{R}^n$$ के एक विवृत उपसमुच्चय के साथ $$O$$ पहचाना जाता है, और भागों द्वारा एकीकरण कोई सीमा शर्तों का उत्पादन नहीं करता है: $$ \begin{align} (\operatorname{grad} u, X) &= \int_{O}\langle \operatorname{grad} u, X \rangle \sqrt{g}\,dx \\ &= \int_{O}\partial_j u X^j \sqrt{g}\,dx \\ &= -\int_{O}u \partial_j(\sqrt{g}X^j)\,dx \\ &= -\int_{O} u \frac{1}{\sqrt{g}}\partial_j(\sqrt{g}X^j)\sqrt{g}\,dx \\ &= (u, -\frac{1}{\sqrt{g}}\partial_j(\sqrt{g}X^j)) \\ &= (u, -\operatorname{div} X). \end{align} $$ पिछली समानता में हमने विचलन के लिए वॉस-वेइल समन्वय सूत्र का उपयोग किया था, हालांकि पूर्ववर्ती पहचान $$-\operatorname{div}$$ को परिभाषित करने के लिए $$\operatorname{grad}$$ के औपचारिक जोड़ के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता था। अब मान लीजिए $$O$$ $$\partial \Omega$$ को काटती है। फिर $$O$$ में एक विवृत सम्मुच्चय के साथ $$\mathbb{R}_{+}^n = \{x \in \mathbb{R}^n : x_n \geq 0\}$$ पहचाना जाता है। हम शून्य $$u$$ और $$X$$ को $$\mathbb{R}_+^n$$ तक बढ़ाते हैं और निम्न प्राप्त करने के लिए भागों द्वारा एकीकरण करें $$ \begin{align} (\operatorname{grad} u, X) &= \int_{O}\langle \operatorname{grad} u, X \rangle \sqrt{g}\,dx \\ &= \int_{\mathbb{R}_+^n}\partial_j u X^j \sqrt{g}\,dx \\ &= (u, -\operatorname{div} X) - \int_{\mathbb{R}^{n - 1}}u(x', 0)X^n(x', 0)\sqrt{g(x', 0)}\,dx', \end{align} $$ जहाँ पर $$dx' = dx_1 \dots dx_{n - 1}$$। सदिश क्षेत्रों के लिए ऋज्वन प्रमेय के एक संस्करण द्वारा, हम $$O$$ चुन सकते हैं ताकि $$\frac{\partial}{\partial x_n}$$ $$\partial \Omega$$ पर आवक इकाई सामान्य $$-N$$ है। इस मामले में $$\sqrt{g(x', 0)}\,dx' = \sqrt{g_{\partial \Omega}(x')}\,dx' = dS$$ $$\partial \Omega$$ पर आयतन तत्व है और उपरोक्त सूत्र पढ़ता है: $$ (\operatorname{grad} u, X) = (u, -\operatorname{div} X) + \int_{\partial \Omega}u\langle X, N \rangle \,dS. $$ यह प्रमाण को पूरा करता है।

अनौपचारिक व्युत्पत्ति
अपसरण प्रमेय इस तथ्य से अनुसरण करता है कि यदि कोई आयतन $$ को अलग-अलग भागों में विभाजित किया जाता है, मूल आयतन का प्रवाह प्रत्येक घटक आयतन के प्रवाह के योग के बराबर होता है। यह इस तथ्य के बावजूद सच है कि नए उपखंडों में ऐसी सतहें हैं जो मूल मात्रा की सतह का हिस्सा नहीं थीं, क्योंकि ये सतहें दो उपखंडों के बीच विभाजित हैं और उनके माध्यम से प्रवाह सिर्फ एक मात्रा से दूसरी मात्रा में जाता है और जब उपखंडों में से प्रवाह को अभिव्यक्त किया जाता है तो यह रद्द हो जाता है।

आरेख देखें। एक बंद, बंधी हुई मात्रा $$ दो खण्डों $V_{1}$ तथा $V_{2}$ में एक सतह $S_{3}$ द्वारा विभक्त है। प्रवाह $Φ(V_{i})$ प्रत्येक घटक क्षेत्र $V_{i}$ से बाहर इसके दो फलक के माध्यम से प्रवाह के योग के बराबर है, इसलिए दो भागों में से प्रवाह का योग है


 * $$\Phi(V_\text{1}) + \Phi(V_\text{2}) = \Phi_\text{1} + \Phi_\text{31} + \Phi_\text{2} + \Phi_\text{32}$$

जहाँ पर $Φ_{1}$ तथा $Φ_{2}$ सतह $S_{1}$ तथा $S_{2}$ से बाहर प्रवाह हैं, $Φ_{31}$ के माध्यम से प्रवाह $S_{3}$ आयतन 1 से बाहर है, और $Φ_{32}$ के माध्यम से प्रवाह $S_{3}$ आयतन 2 ​​से बाहर है। इसका अर्थ यह है कि $S_{3}$ दोनों खंडों की सतह का हिस्सा है। सामान्य सदिश $$\mathbf{\hat n}$$ की बाहरी दिशा प्रत्येक आयतन के लिए विपरीत है, इसलिए $S_{3}$ के माध्यम से प्रवाह दूसरे से प्रवाह के प्रतिकूल के बराबर है


 * $$\Phi_\text{31} = \iint_{S_3} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S = -\iint_{S_3} \mathbf{F} \cdot (-\mathbf{\hat n}) \; \mathrm{d}S = -\Phi_\text{32}$$

इसलिए ये दो प्रवाह योग में रद्द हो जाते हैं। इसलिए
 * $$\Phi(V_\text{1}) + \Phi(V_\text{2}) = \Phi_\text{1} + \Phi_\text{2}$$

सतह $S_{1}$ तथा $S_{2}$ के मिलन के बाद से $V$ है
 * $$\Phi(V_\text{1}) + \Phi(V_\text{2}) = \Phi(V)$$

यह सिद्धांत किसी भी संख्या में विभाजित मात्रा पर लागू होता है, जैसा कि आरेख में दिखाया गया है। चूँकि प्रत्येक आंतरिक विभाजन पर समाकलित (हरी सतहें) दो आसन्न खंडों के प्रवाह में विपरीत संकेतों के साथ प्रकट होता है जिसे वे रद्द कर देते हैं, और प्रवाह में एकमात्र योगदान बाहरी सतहों पर अभिन्न अंग (ग्रे) है। चूँकि सभी घटक आयतन की बाहरी सतहें मूल सतह के बराबर होती हैं।
 * $$\Phi(V) = \sum_{V_\text{i}\subset V} \Phi(V_\text{i})$$

प्रवाह $Φ$ प्रत्येक आयतन में से सदिश क्षेत्र $F(x)$ का पृष्ठीय समाकल सतह के ऊपर है


 * $$\iint_{S(V)} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S = \sum_{V_\text{i}\subset V} \iint_{S(V_\text{i})} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S$$

लक्ष्य मूल आयतन को असीम रूप से अनेक अतिसूक्ष्म आयतनों में विभाजित करना है। चूंकि आयतन को छोटे और छोटे भागों में विभाजित किया जाता है, दाईं ओर सतह अभिन्न है, प्रत्येक उपखंड से प्रवाह, शून्य तक पहुंचता है क्योंकि सतह क्षेत्र $S(V_{i})$ शून्य के करीब पहुंच जाता है। हालाँकि, विचलन की परिभाषा से, प्रवाह से आयतन का अनुपात, $$\frac{\Phi(V_\text{i})}{|V_\text{i}|} = \frac{1}{|V_\text{i}|} \iint_{S(V_\text{i})} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S$$, नीचे कोष्ठकों में दिया गया हिस्सा सामान्य रूप से गायब नहीं होता है लेकिन जैसे ही मात्रा शून्य के करीब पहुंचती है वह विचलन $div F$ तक पहुंचता है ।


 * $$\iint_{S(V)} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S = \sum_{V_\text{i} \subset V} \left(\frac{1}{|V_\text{i}|} \iint_{S(V_\text{i})} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S\right) |V_\text{i}|$$

जब तक सदिश क्षेत्र $F(x)$ निरंतर व्युत्पादित है, ऊपर दिया गया योग उस सीमा (गणित) में भी ठहरता है जब आयतन को असीम रूप से छोटी वृद्धि में विभाजित किया जाता है


 * $$\iint_{S(V)} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S = \lim_{|V_\text{i}|\to 0}\sum_{V_\text{i}\subset V} \left(\frac{1}{|V_\text{i}|}\iint_{S(V_\text{i})} \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \; \mathrm{d}S\right) |V_\text{i}|$$

जैसे $$|V_\text{i}|$$ शून्य आयतन तक पहुँचता है, तो यह अतिसूक्ष्म $dV$ हो जाता है, कोष्ठक में भाग विचलन बन जाता है, और योग $V$ एक आयतन अभिन्न अंग बन जाता है $S$ चूंकि यह व्युत्पत्ति समन्वय मुक्त है, यह दर्शाता है कि विचलन उपयोग किए गए निर्देशांक पर निर्भर नहीं करता है।

परिणाम
विशिष्ट रूपों के साथ अपसरण प्रमेय में $F$ को प्रतिस्थापित करके, अन्य उपयोगी सर्वसमिकाएँ प्राप्त की जा सकती हैं (cf. सदिश सर्वसमिकाएँ)।
 * अदिश फ़ंक्शन $V$ और वेक्टर फ़ील्ड $F$ के लिए $$\mathbf{F}\rightarrow \mathbf{F}g$$ के साथ,


 * इसका एक विशेष मामला $$\mathbf{F} = \nabla f$$ है, इस मामले में प्रमेय ग्रीन की सर्वसमिकाओं का आधार है।
 * इसका एक विशेष मामला $$\mathbf{F} = \nabla f$$ है, इस मामले में प्रमेय ग्रीन की सर्वसमिकाओं का आधार है।


 * $$\mathbf{F}\rightarrow \mathbf{F}\times \mathbf{G}$$ के साथ दो सदिश क्षेत्र $F$ तथा $G$ के लिए, जहाँ पर $$\times$$ एक संकरीकरण उत्पाद को दर्शाता है,


 * $$\mathbf{F}\rightarrow \mathbf{F}\cdot \mathbf{G}$$ के साथ दो सदिश क्षेत्र $F$ तथा $G$ के लिए, जहाँ पर $$\cdot $$ एक बिंदु उत्पाद को दर्शाता है,
 * $$\mathbf{F}\rightarrow \mathbf{F}\cdot \mathbf{G}$$ के साथ दो सदिश क्षेत्र $&thinsp;f&thinsp;$ तथा $F$ के लिए, जहाँ पर $$\cdot $$ एक बिंदु उत्पाद को दर्शाता है,


 * साथ $$\mathbf{F}\rightarrow f\mathbf{c}$$ के साथ अदिश प्रकार्य $F$ और सदिश क्षेत्र c के लिए :
 * दाईं ओर का अंतिम पद स्थिरांक $$\mathbf{c}$$   या कोई विचलन मुक्त (परिनालिकीय) सदिश क्षेत्र के लिए लुप्‍त हो जाता है, उदा। चरण परिवर्तन या रासायनिक प्रतिक्रिया आदि जैसे स्रोतों या अभिगम के बिना असंपीड्य प्रवाह। विशेष रूप से, $$\mathbf{c}$$ को स्थिर रखना :
 * दाईं ओर का अंतिम पद स्थिरांक $$\mathbf{c}$$   या कोई विचलन मुक्त (परिनालिकीय) सदिश क्षेत्र के लिए लुप्‍त हो जाता है, उदा। चरण परिवर्तन या रासायनिक प्रतिक्रिया आदि जैसे स्रोतों या अभिगम के बिना असंपीड्य प्रवाह। विशेष रूप से, $$\mathbf{c}$$ को स्थिर रखना :
 * दाईं ओर का अंतिम पद स्थिरांक $$\mathbf{c}$$   या कोई विचलन मुक्त (परिनालिकीय) सदिश क्षेत्र के लिए लुप्‍त हो जाता है, उदा। चरण परिवर्तन या रासायनिक प्रतिक्रिया आदि जैसे स्रोतों या अभिगम के बिना असंपीड्य प्रवाह। विशेष रूप से, $$\mathbf{c}$$ को स्थिर रखना :


 * $$\mathbf{F}\rightarrow \mathbf{c}\times\mathbf{F}$$ के साथ सदिश क्षेत्र $4π⁄3$ और निरंतर सदिश C के लिए :
 * $$\mathbf{F}\rightarrow \mathbf{c}\times\mathbf{F}$$ के साथ सदिश क्षेत्र $F$ और निरंतर सदिश C के लिए :


 * दाहिने हाथ की तरफ त्रिक उत्पाद को फिर से व्यवस्थित करके और अन्तर्निहित के निरंतर सदिश को निकालकर,
 * दाहिने हाथ की तरफ त्रिक उत्पाद को फिर से व्यवस्थित करके और अन्तर्निहित के निरंतर सदिश को निकालकर,


 * अतः
 * अतः



उदाहरण
मान लीजिए हम मूल्यांकन करना चाहते हैं

जहाँ पर $$ द्वारा परिभाषित इकाई क्षेत्र है


 * $$S = \left \{ (x,y, z) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2 = 1 \right \},$$

तथा सदिश क्षेत्र $F$ है


 * $$\mathbf{F} = 2x\mathbf{i}+y^2\mathbf{j}+z^2\mathbf{k}.$$

इस अन्तर्निहित की सीधी गणना काफी कठिन है, लेकिन हम भिन्नता प्रमेय का उपयोग करके परिणाम की व्युत्पत्ति को सरल बना सकते हैं, क्योंकि भिन्नता प्रमेय कहता है कि अन्तर्निहित इसके बराबर है:


 * $$\iiint_W (\nabla \cdot \mathbf{F})\,\mathrm{d}V = 2\iiint_W (1 + y + z)\, \mathrm{d}V = 2\iiint_W \mathrm{d}V + 2\iiint_W y\, \mathrm{d}V + 2\iiint_W z\, \mathrm{d}V,$$

जहाँ पर $g$ एकांक गेंद है:


 * $$W = \left \{ (x,y, z) \in \mathbb{R}^3 \ : \ x^2+y^2+z^2\leq 1 \right \}.$$

प्रकार्य के बाद से $S$ के एक गोलार्द्ध $W$ में सकारात्मक है और दूसरे में प्रतिकूल, एक समान और विपरीत तरीके से, इसका कुल अभिन्न अंग $y$ शून्य है। $W$ के लिए भी यही सच है :


 * $$\iiint_W y\, \mathrm{d}V = \iiint_W z\, \mathrm{d}V = 0$$।

इसलिए,

क्योंकि एकांक गेंद $W$ का आयतन $(n − 1)$ है।

भौतिक नियमों के विभेदक और अभिन्न रूप
भिन्नता प्रमेय के परिणामस्वरूप, भौतिक नियमों के एक सूत्रधार को अंतर रूप (जहां एक मात्रा दूसरे का विचलन है) और एक अभिन्न रूप (जहां एक बंद सतह के माध्यम से एक मात्रा का प्रवाह दूसरे के बराबर होता है) दोनों में लिखा जा सकता है। गॉस का नियम (इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में), चुंबकत्व के लिए गॉस का नियम और गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम तीन उदाहरण हैं।

निरंतरता समीकरण
निरंतरता समीकरण अपसरण प्रमेय द्वारा एक दूसरे से संबंधित अंतर और अभिन्न रूप दोनों के साथ कानूनों के अधिक उदाहरण प्रस्तुत करते हैं। द्रव गतिशीलता, विद्युत चुंबकत्व, परिमाण यांत्रिकी, सापेक्षता सिद्धांत और कई अन्य क्षेत्रों में निरंतरता समीकरण हैं जो द्रव्यमान, संवेग, ऊर्जा, संभाव्यता या अन्य मात्राओं के संरक्षण का वर्णन करते हैं। सामान्यतः ये समीकरण बताते हैं कि संरक्षित मात्रा के प्रवाह का विचलन उस मात्रा के स्रोतों या अभिगम के वितरण के बराबर होता है। अपसरण प्रमेय में कहा गया है कि इस तरह के किसी भी निरंतरता समीकरण को अंतरीय स्वरुप (भिन्नता के संदर्भ में) और अन्तर्निहित स्वरुप (प्रवाह के संदर्भ में) में लिखा जा सकता है।

व्युत्क्रम-वर्ग नियम
किसी भी व्युत्क्रम-वर्ग नियम को इसके स्थान पर गॉस के नियम-प्रकार के रूप में लिखा जा सकता है (ऊपर वर्णित एक अंतर और अभिन्न रूप के साथ)। दो उदाहरण हैं गॉस का नियम (इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में), जो व्युत्क्रम-वर्ग कूलम्ब के नियम का अनुसरण करता है, और गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम, जो न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के व्युत्क्रम-वर्ग के नियम से अनुसरण करता है। व्युत्क्रम-वर्ग सूत्रीकरण या इसके विपरीत गॉस के नियम-प्रकार के समीकरण की व्युत्पत्ति दोनों मामलों में बिल्कुल समान है; विवरण के लिए उन लेखों में से कोई भी देखें।

इतिहास
जोसेफ-लुई लाग्रेंज ने 1760 में और फिर से 1811 में अधिक सामान्य शब्दों में, अपने विश्लेषणात्मक यांत्रिकी के दूसरे संस्करण में सतह के अभिन्न अंग की धारणा पेश की थी। द्रव यांत्रिकी पर अपने काम में लैग्रेंज ने सतह के अभिन्न अंग का इस्तेमाल किया था। उन्होंने 1762 में अपसरण प्रमेय की खोज की थी। कार्ल फ्रेडरिक गॉस भी 1813 में एक अण्डाकार गोलाकार के गुरुत्वाकर्षण आकर्षण पर काम करते समय सतह के अभिन्न अंग का उपयोग कर रहे थे, जब उन्होंने अपसरण प्रमेय के विशेष मामलों को सिद्ध किया था। उन्होंने 1833 और 1839 में अतिरिक्त विशेष मामलों को सिद्ध किया। लेकिन यह मिखाइल ओस्ट्रोग्रैडस्की थे, जिन्होंने 1826 में गर्मी के प्रवाह की जांच के हिस्से के रूप में सामान्य प्रमेय का पहला प्रमाण दिया था। Mikhail Ostragradsky presented his proof of the divergence theorem to the Paris Academy in 1826; however, his work was not published by the Academy. He returned to St. Petersburg, Russia, where in 1828–1829 he read the work that he'd done in France, to the St. Petersburg Academy, which published his work in abbreviated form in 1831.
 * His proof of the divergence theorem – "Démonstration d'un théorème du calcul intégral" (Proof of a theorem in integral calculus) – which he had read to the Paris Academy on February 13, 1826, was translated, in 1965, into Russian together with another article by him. See:   Юшкевич А.П. (Yushkevich A.P.) and Антропова В.И. (Antropov V.I.) (1965) "Неопубликованные работы М.В. Остроградского" (Unpublished works of MV Ostrogradskii), Историко-математические исследования (Istoriko-Matematicheskie Issledovaniya / Historical-Mathematical Studies), 16: 49–96; see the section titled:  "Остроградский М.В. Доказательство одной теоремы интегрального исчисления" (Ostrogradskii M. V. Dokazatelstvo odnoy teoremy integralnogo ischislenia / Ostragradsky M.V.  Proof of a theorem in integral calculus).
 * M. Ostrogradsky (presented: November 5, 1828 ; published: 1831)  "Première note sur la théorie de la chaleur" (First note on the theory of heat) Mémoires de l'Académie impériale des sciences de St. Pétersbourg, series 6, 1: 129–133; for an abbreviated version of his proof of the divergence theorem, see pages 130–131.
 * Victor J. Katz (May1979) "The history of Stokes' theorem," Mathematics Magazine, 52(3): 146–156;  for Ostragradsky's proof of the divergence theorem, see pages 147–148. 1828 में जॉर्ज ग्रीन (गणितज्ञ) द्वारा बिजली और चुंबकत्व के सिद्धांतों के गणितीय विश्लेषण के अनुप्रयोग पर एक निबंध में विशेष मामलों को सिद्ध किया गया था। तन्यता पर एक पर्चे में 1824 में सिमोन डेनिस पोइसन, और 1828 में प्लवमान पिंड पर अपने काम में पियरे फ़्रेडरिक सर्रस।

उदाहरण 1
एक क्षेत्र $$R$$ के लिए अपसरण प्रमेय के तलीय संस्करण को सत्यापित करने के लिए :


 * $$R = \left \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 \ : \ x^2 + y^2 \leq 1 \right \},$$

और सदिश क्षेत्र:


 * $$ \mathbf{F}(x,y)= 2 y\mathbf{i} + 5x \mathbf{j}.$$

$$R$$ की सीमा एकांक वृत्त $$C$$ है,, जिसे प्राचलिक रूप से दर्शाया जा सकता है:


 * $$x = \cos(s), \quad y = \sin(s)$$

ऐसे कि $$0 \leq s \leq 2\pi$$ जहाँ पर $$s$$ इकाई बिंदु से लंबाई चाप $$s = 0$$ $$C$$ में बिंदु $$P$$ पर है। फिर $$C$$ का सदिश समीकरण है।


 * $$C(s) = \cos(s)\mathbf{i} + \sin(s)\mathbf{j}.$$

$$C$$ में एक बिंदु $$P$$ पर  :


 * $$ P = (\cos(s),\, \sin(s)) \, \Rightarrow \, \mathbf{F} = 2\sin(s)\mathbf{i} + 5\cos(s)\mathbf{j}.$$

इसलिए,


 * $$\begin{align}

\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{n}\, \mathrm{d}s &= \int_0^{2\pi} (2 \sin(s) \mathbf{i} + 5 \cos(s) \mathbf{j}) \cdot (\cos(s) \mathbf{i} + \sin(s) \mathbf{j})\, \mathrm{d}s\\ &= \int_0^{2\pi} (2 \sin(s) \cos(s) + 5 \sin(s) \cos(s))\, \mathrm{d}s\\ &= 7\int_0^{2\pi} \sin(s) \cos(s)\, \mathrm{d}s\\ &= 0. \end{align}$$ इसलिये $$M = 2y$$, हम मूल्यांकन कर सकते हैं $\frac{\partial M}{\partial x} = 0$, और क्योंकि $N = 5x$, $$\frac{\partial N}{\partial y} = 0$$. इस प्रकार


 * $$\iint_R \, \mathbf{\nabla}\cdot\mathbf{F} \, \mathrm{d}A = \iint_R \left (\frac{\partial M}{\partial x} + \frac{\partial N}{\partial y} \right) \, \mathrm{d}A = 0. $$

उदाहरण 2
मान लीजिए कि हमारे द्वारा परिभाषित निम्नलिखित सदिश क्षेत्र $$ \mathbf{F}=2x^2 \textbf{i} +2y^2 \textbf{j} +2z^2\textbf{k} $$ के प्रवाह का मूल्यांकन करना चाहते हैं निम्नलिखित असमानताओं से घिरा:


 * $$\left\{0\le x \le 3\right\} \left\{-2\le y \le 2\right\} \left\{0\le z \le 2\pi\right\}$$

अपसरण प्रमेय द्वारा,

हमें अब $$\textbf{F}$$ के विचलन को निर्धारित करने की आवश्यकता है. यदि $$\mathbf{F}$$ एक त्रि-आयामी सदिश क्षेत्र है, फिर $$\textbf{F}$$ का विचलन $\nabla \cdot \textbf{F} = \left( \frac{\partial}{\partial x}\textbf{i} + \frac{\partial}{\partial y}\textbf{j} + \frac{\partial}{\partial z}\textbf{k} \right) \cdot \textbf{F}$ द्वारा दिया गया है।

इस प्रकार, हम निम्नलिखित प्रवाह अन्तर्निहित सम्मुचय कर सकते हैं

निम्नलिखित नुसार:

\begin{align} I &=\iiint_V \nabla \cdot \mathbf{F} \, \mathrm{d}V\\[6pt] &=\iiint_V \left( \frac{\partial\mathbf{F_x}}{\partial x}+\frac{\partial\mathbf{F_y}}{\partial y}+\frac{\partial\mathbf{F_z}}{\partial z} \right) \mathrm{d}V\\[6pt] &=\iiint_V (4x+4y+4z) \, \mathrm{d}V\\[6pt] &=\int_0^3 \int_{-2}^2 \int_0^{2\pi} (4x+4y+4z) \, \mathrm{d}V \end{align} $$ अब जबकि हमने समाकल स्थापित कर लिया है, हम इसका मूल्यांकन कर सकते हैं।


 * $$\begin{align}

\int_0^3 \int_{-2}^2 \int_0^{2\pi} (4x+4y+4z) \, \mathrm{d}V &=\int_{-2}^2 \int_0^{2\pi} (12y+12z+18) \, \mathrm{d}y \, \mathrm{d}z\\[6pt] &=\int_0^{2\pi} 24 (2z+3)\, \mathrm{d}z\\[6pt] &=48\pi(2\pi+3) \end{align}

$$

एकाधिक आयाम
कोई सामान्य स्टोक्स प्रमेय का उपयोग किसी क्षेत्र $z$ पर सदिश क्षेत्र $n = 2$ के अपसरण के $W$-आयामी आयतन समाकलन को U की सीमा पर $n = 1$ के $F$ -विमीय सतह समाकलन के बराबर करने के लिए कर सकता है।। :


 * $$ \underbrace{ \int \cdots \int_U }_n \nabla \cdot \mathbf{F} \, \mathrm{d}V = \underbrace{ \oint_{} \cdots \oint_{\partial U} }_{n-1} \mathbf{F} \cdot \mathbf{n} \, \mathrm{d}S $$

इस समीकरण को अपसरण प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।

जब ᙭᙭᙭᙭᙭, यह ग्रीन के प्रमेय के बराबर है।

जब ᙭᙭᙭᙭᙭, यह कलन के मौलिक प्रमेय भाग 2 तक कम हो जाता है।

प्रदिश क्षेत्र
आइंस्टीन संकेतन में प्रमेय लिखने पर:

सदिश क्षेत्र ᙭᙭᙭᙭᙭ की जगह श्रेणी के साथ-$U$ प्रदिश क्षेत्र $n$, इसे सामान्यीकृत किया जा सकता है:

जहां प्रत्येक तरफ कम से कम एक तालिका के लिए प्रदिश संकुचन होता है। प्रमेय का यह रूप अभी भी 3D में है, प्रत्येक सूचकांक मान 1, 2 और 3 लेता है। इसे उच्च (या निम्न) आयामों के लिए और भी सामान्यीकृत किया जा सकता है (उदाहरण के लिए सामान्य सापेक्षता में 4D अंतरिक्ष समय के लिए) ).

यह भी देखें

 * केल्विन-स्टोक्स प्रमेय

बाहरी संबंध

 * Differential Operators and the Divergence Theorem at MathPages
 * The Divergence (Gauss) Theorem by Nick Bykov, Wolfram Demonstrations Project.
 * – This article was originally based on the GFDL article from PlanetMath at https://web.archive.org/web/20021029094728/http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html 
 * – This article was originally based on the GFDL article from PlanetMath at https://web.archive.org/web/20021029094728/http://planetmath.org/encyclopedia/Divergence.html