श्रृंखला नियम (संभावना)

प्रायिकता सिद्धांत में, श्रृंखला नियम (जिसे सामान्य गुणनफल नियम भी कहा जाता है ) यह वर्णन करता है कि सशर्त प्रायिकताओं का उपयोग करके, आवश्यक रूप से स्वतंत्र न होते हुए भी, घटनाओं या क्रमशः यादृच्छिक चर के संयुक्त वितरण के प्रतिच्छेदन की संभावना की गणना कैसे करें। नियम का उपयोग विशेष रूप से असतत प्रसंभाव्यता प्रक्रिया के संदर्भ में और अनुप्रयोगों में किया जाता है, उदाहरण के लिए बायेसियन नेटवर्क का अध्ययन, जो सशर्त प्रायिकताओं के संदर्भ में प्रायिकता वितरण का वर्णन करता है।

दो घटनाएँ
दो घटनाओं $$A$$ और $$B$$ के लिए, श्रृंखला नियम यह बताता है कि


 * $$\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(B \mid A) \mathbb P(A)$$,

जहां $$\mathbb P(A \mid B)$$ दिए गए $$B$$ में से $$A$$ सप्रतिबंधप्रायिकता को दर्शाता है।

उदाहरण
एक कलश A में 1 काली गेंद और 2 सफेद गेंदें हैं और दूसरे कलश B में 1 काली गेंद और 3 सफेद गेंदें हैं। मान लीजिए कि हम यादृच्छिक रूप से एक कलश चुनते हैं और फिर उस कलश से एक गेंद चुनते हैं। मान लीजिए कि घटना $$A$$ कलश चुन रही है, अर्थात $$\mathbb P(A) = \mathbb P(\overline{A}) = 1/2$$, कहाँ $$\overline A$$ $$A$$ की पूरक घटना है। मान लीजिए कि घटना $$B$$ वह संभावना है जब हम एक सफेद गेंद चुनते हैं। सफ़ेद गेंद चुनने की संभावना, यह देखते हुए कि हमने पहला कलश चुना है, जो $$\mathbb P(B|A) = 2/3.$$ है। प्रतिच्छेदन $$A \cap B$$ फिर पहले कलश और उसमें से एक सफेद गेंद को चुनने का वर्णन करता है। प्रायिकता की गणना श्रृंखला नियम द्वारा निम्नानुसार की जा सकती है,


 * $$\mathbb P(A \cap B) = \mathbb P(B \mid A) \mathbb P(A) = \frac 23 \cdot \frac 12 = \frac 13.$$

निश्चित रूप से अनेक घटनाएँ
उन घटनाओं के लिए $$A_1,\ldots,A_n$$ जिनके प्रतिच्छेदन की प्रायिकता शून्य नहीं है, तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा


 * $$\begin{align}

\mathbb P\left(A_1 \cap A_2 \cap \ldots \cap A_n\right) &= \mathbb P\left(A_n \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \mathbb P\left(A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \\ &= \mathbb P\left(A_n \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \mathbb P\left(A_{n-1} \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-2}\right) \mathbb P\left(A_1 \cap \ldots \cap A_{n-2}\right) \\ &= \mathbb P\left(A_n \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-1}\right) \mathbb P\left(A_{n-1} \mid A_1 \cap \ldots \cap A_{n-2}\right) \cdot \ldots \cdot \mathbb P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \mathbb P(A_2 \mid A_1) \mathbb P(A_1)\\ &= \mathbb P(A_1) \mathbb P(A_2 \mid A_1) \mathbb P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) \cdot \ldots \cdot \mathbb P(A_n \mid A_1 \cap \dots \cap A_{n-1})\\ &= \prod_{k=1}^n \mathbb P(A_k \mid A_1 \cap \dots \cap A_{k-1})\\ &= \prod_{k=1}^n \mathbb P\left(A_k \,\Bigg|\, \bigcap_{j=1}^{k-1} A_j\right). \end{align}$$

उदाहरण 1
$$n=4$$ के लिए, अर्थात चार घटनाएं हैं, तो श्रृंखला नियम के अनुसार वह इस प्रकार होगा


 * $$\begin{align}

\mathbb P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4) &= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \cap A_2 \cap A_1) \\ &= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \mid A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_2 \cap A_1) \\ &= \mathbb P(A_4 \mid A_3 \cap A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_3 \mid A_2 \cap A_1)\mathbb P(A_2 \mid A_1)\mathbb P(A_1) \end{align}$$

उदाहरण 2
हम 52 पत्तों वाले स्काट के डेक से यादृच्छिक रूप से बिना प्रतिस्थापन के 4 पत्ते निकालते हैं। इसकी क्या प्रायिकता है कि हमने 4 इक्के चुने हैं?

सबसे पहले, हम सेट करते हैं $A_n := \left\{ \text{draw an ace in the } n^{\text{th}} \text{ try} \right\}$. जाहिर है, हमें निम्नलिखित संभावनाएँ मिलती हैं


 * $$\mathbb P(A_1) = \frac 4{52},

\qquad \mathbb P(A_2 \mid A_1) = \frac 3{51}, \qquad \mathbb P(A_3 \mid A_1 \cap A_2) = \frac 2{50}, \qquad \mathbb P(A_4 \mid A_1 \cap A_2 \cap A_3) = \frac 1{49}$$.

श्रृंखला नियम लागू करना,


 * $$\mathbb P(A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap A_4)

= \frac 4{52} \cdot \frac 3{51} \cdot \frac 2{50} \cdot \frac 1{49}$$.

प्रमेय का कथन और उपपत्ति
होने देना $$(\Omega, \mathcal A, \mathbb P)$$ एक प्रायिकता स्थान बनें। याद रखें कि a की सशर्त प्रायिकता $$A \in \mathcal A$$ दिया गया $$B \in \mathcal A$$ परिभाषित किया जाता है



\begin{align} \mathbb P(A \mid B) := \begin{cases} \frac{\mathbb P(A \cap B)}{\mathbb P(B)}, & \mathbb P(B) > 0,\\ 0 & \mathbb P(B) = 0. \end{cases} \end{align} $$ तब हमारे पास निम्नलिखित प्रमेय है।$$

$$

दो यादृच्छिक चर
दो असतत यादृच्छिक चर के लिए $$X,Y$$, हम घटनाओं का उपयोग करते हैं$$A := \{X = x\}$$और $$B := \{Y = y\}$$उपरोक्त परिभाषा में, और संयुक्त वितरण को इस प्रकार खोजें


 * $$\mathbb P(X = x,Y = y) = \mathbb P(X = x\mid Y = y) \mathbb P(Y = y),$$

या


 * $$\mathbb P_{(X,Y)}(x,y) = \mathbb P_{X \mid Y}(x\mid y) \mathbb P_Y(y),$$

कहाँ $$\mathbb P_X(x) := \mathbb P(X = x)$$की प्रायिकता वितरण है $$X$$ और $$\mathbb P_{X \mid Y}(x\mid y)$$ की सशर्त प्रायिकता वितरण $$X$$ दिया गया $$Y$$.

अंततः अनेक यादृच्छिक चर
होने देना $$X_1, \ldots, X_n$$ यादृच्छिक चर हो और $$x_1, \dots, x_n \in \mathbb R$$. सशर्त प्रायिकता की परिभाषा के अनुसार,


 * $$\mathbb P\left(X_n=x_n, \ldots, X_1=x_1\right) = \mathbb P\left(X_n=x_n | X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots , X_1=x_1\right) \mathbb P\left(X_{n-1}=x_{n-1}, \ldots , X_1=x_1\right)$$

और श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए, जहां हम सेट करते हैं $$A_k := \{X_k = x_k\}$$, हम संयुक्त वितरण को इस प्रकार पा सकते हैं


 * $$\begin{align}

\mathbb P\left(X_1 = x_1, \ldots X_n = x_n\right) &= \mathbb P\left(X_1 = x_1 \mid X_2 = x_2, \ldots, X_n = x_n\right) \mathbb P\left(X_2 = x_2, \ldots, X_n = x_n\right) \\ &= \mathbb P(X_1 = x_1) \mathbb P(X_2 = x_2 \mid X_1 = x_1) \mathbb P(X_3 = x_3 \mid X_1 = x_1, X_2 = x_2) \cdot \ldots \\ &\qquad \cdot \mathbb P(X_n = x_n \mid X_1 = x_1, \dots, X_{n-1} = x_{n-1})\\ \end{align}$$

उदाहरण
के लिए $$n=3$$, यानी तीन यादृच्छिक चर पर विचार करना। फिर, श्रृंखला नियम पढ़ता है


 * $$\begin{align}

\mathbb P_{(X_1,X_2,X_3)}(x_1,x_2,x_3) &= \mathbb P(X_1=x_1, X_2 = x_2, X_3 = x_3)\\ &= \mathbb P(X_3=x_3 \mid X_2 = x_2, X_1 = x_1) \mathbb P(X_2 = x_2, X_1 = x_1) \\ &= \mathbb P(X_3=x_3 \mid X_2 = x_2, X_1 = x_1) \mathbb P(X_2 = x_2 \mid X_1 = x_1) \mathbb P(X_1 = x_1) \\ &= \mathbb P_{X_3\mid X_2, X_1}(x_3 \mid x_2, x_1) \mathbb P_{X_2\mid X_1}(x_2 \mid x_1) \mathbb P_{X_1}(x_1). \end{align}$$

ग्रन्थसूची

 * , p. 496.
 * , p. 496.
 * , p. 496.