हैमिंग स्पेस

सांख्यिकी और कोडिंग सिद्धांत में, एक हैमिंग स्पेस (अमेरिकी गणितज्ञ रिचर्ड हैमिंग के नाम पर) आमतौर पर सभी का सेट होता है $$2^N$$ लंबाई N की बाइनरी स्ट्रिंग्स इसका उपयोग कोडिंग सिग्नल और ट्रांसमिशन के सिद्धांत में किया जाता है।

अधिक सामान्यतः, हैमिंग स्पेस को किसी भी वर्णमाला (कंप्यूटर विज्ञान) (सेट) Q पर Q के अक्षरों के साथ एक निश्चित लंबाई N के शब्द (औपचारिक भाषा सिद्धांत) के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि Q एक परिमित क्षेत्र है, तो Q के ऊपर एक हैमिंग स्पेस, Q के ऊपर एक N-आयामी सदिश स्थल  है। विशिष्ट, बाइनरी मामले में, फ़ील्ड इस प्रकार GF(2) है (जिसे 'Z' द्वारा भी दर्शाया जाता है)2). कोडिंग सिद्धांत में, यदि Q में q तत्व हैं, तो Q के ऊपर N-आयामी हैमिंग स्पेस के किसी भी उपसमुच्चय C (आमतौर पर कम से कम दो प्रमुखता का अनुमान लगाया जाता है) को 'लंबाई N का q-ary कोड' कहा जाता है; C के तत्वों को 'कोडवर्ड' कहा जाता है।  ऐसे मामले में जहां C अपने हैमिंग स्पेस का एक रैखिक उप-स्थान है, इसे एक रैखिक कोड कहा जाता है। रैखिक कोड का एक विशिष्ट उदाहरण हैमिंग कोड है। हैमिंग स्पेस के माध्यम से परिभाषित कोड में प्रत्येक कोडवर्ड के लिए आवश्यक रूप से समान लंबाई होती है, इसलिए उन्हें ब्लॉक कोड कहा जाता है, जब उन्हें चर-लंबाई कोड से अलग करना आवश्यक होता है जो एक मोनॉइड पर अद्वितीय कारक द्वारा परिभाषित होते हैं।

हैमिंग दूरी एक हैमिंग स्पेस को एक मीट्रिक (गणित) प्रदान करती है, जो त्रुटि का पता लगाने और सुधार जैसे कोडिंग सिद्धांत की बुनियादी अवधारणाओं को परिभाषित करने के लिए आवश्यक है।

गैर-क्षेत्रीय अक्षरों पर हैमिंग रिक्त स्थान पर भी विचार किया गया है, विशेष रूप से परिमित रिंगों पर (विशेष रूप से मॉड्यूलर अंकगणित पर|Z4) वेक्टर स्पेस के बजाय मॉड्यूल (गणित) और रैखिक कोड के बजाय रिंग-लीनियर कोड (सबमॉड्यूल के साथ पहचाने गए) को जन्म दे रहा है। इस मामले में उपयोग की जाने वाली विशिष्ट मीट्रिक ली दूरी है। इनके बीच एक ग्रे आइसोमेट्री मौजूद है $$\mathbb{Z}_2^{2m}$$ (यानी जीएफ(22 मी)) हैमिंग दूरी के साथ और $$\mathbb{Z}_4^m$$ (ली दूरी के साथ इसे GR(4,m) के रूप में भी दर्शाया गया है)।