अवकल बीजगणित

गणित में, अवकल बीजगणित, बड़े स्तर पर गणित का वह क्षेत्र है जिसमें समाधान की गणना किए बिना अवकल समीकरण और संक्रियक के गुणों को प्राप्त करने को ध्यान में रखकर बीजगणित के रूप में अवकल समीकरणों और अवकल संक्रियक का अध्ययन सम्मिलित है, उसी तरह जैसे बहुपद बीजगणित का उपयोग किया जाता है। बीजगणितीय प्रकारों का अध्ययन, जो बहुपद समीकरणों की प्रणालियों के समाधान समूह हैं। वेइल बीजगणित और ली बीजगणित को अवकल बीजगणित से संबंधित माना जा सकता है।

विशेष रूप से, अवकल बीजगणित 1950 में जोसेफ रिट द्वारा प्रस्तुत किए गए सिद्धांत को संदर्भित करता है, जिसमें अवकल वलय, अवकल क्षेत्र और अवकल बीजगणित वलय, क्षेत्र और बीजगणित हैं जो कि कई व्युत्पत्तियों से सुसज्जित हैं।

अवकल क्षेत्र का एक प्राकृतिक उदाहरण जटिल संख्याओं पर एक चर में तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र $$\mathbb{C}(t)$$ है, जहां व्युत्पत्ति के संबंध में भेदभाव $$t$$ है। अधिक सामान्यतः प्रत्येक अवकल समीकरण को समीकरण में दिखाई देने वाले (ज्ञात) फलन द्वारा उत्पन्न अवकल क्षेत्र पर अवकल बीजगणित के एक तत्व के रूप में देखा जा सकता है।

इतिहास
जोसेफ रिट ने अवकल बीजगणित विकसित किया क्योंकि उन्होंने अवकल समीकरणों की प्रणालियों को विभिन्न विहित रूपों में कम करने के प्रयासों को एक असंतोषजनक दृष्टिकोण के रूप में देखा। यद्यपि, बीजगणितीय उन्मूलन विधियों और बीजगणितीय मैनिफोल्ड सिद्धांत की सफलता ने रिट को अवकल समीकरणों के लिए एक समान दृष्टिकोण पर विचार करने के लिए प्रेरित किया। उनके प्रयासों से प्रारंभिक बीजगणितीय अवकल समीकरणों की प्रणालियों द्वारा परिभाषित कार्यों के प्रारंभिक पेपर मैनिफोल्ड्स और 2 पुस्तकें, बीजगणितीय दृष्टिकोण और अवकल बीजगणित से अवकल समीकरण।। रिट के छात्र एलिस कल्चेन ने इस क्षेत्र को आगे बढ़ाया और अवकल बीजगणित और बीजगणितीय समूह प्रकाशित किया।

परिभाषा
व्युत्पत्ति $ \partial $   वलय पर $ \mathcal{R} $  एक फलन है  $$\partial : R \to R\,$$ ऐसा कि$$\partial(r_1 + r_2) = \partial r_1 + \partial r_2$$और
 * $$\partial(r_1 r_2) = (\partial r_1) r_2 + r_1 (\partial r_2)\quad$$ (लीबनिज़ उत्पाद नियम),

प्रत्येक $$r_1$$ और $$r_2$$ में $$R$$ के लिए

व्युत्पत्ति पूर्णांकों पर रैखिक मानचित्र है क्योंकि ये सर्वसमिकाएं संकेत $$\partial (0)=\partial (1) = 0$$ और $$\partial (-r)=-\partial (r)$$ देती हैं एक अवकल वलय एक क्रमविनिमेय वलय $$R$$ है, एक या अधिक व्युत्पत्तियों से सुसज्जित जो जोड़ीदार रूप से आवागमन करती हैं; वह है, $$\partial_1(\partial_2 (r))=\partial_2(\partial_1 (r))$$ व्युत्पत्तियों की प्रत्येक जोड़ी और प्रत्येक के लिए $$r\in R$$ है। जब केवल एक ही व्युत्पत्ति होती है तो सामान्यतः एक साधारण अवकल वलय की बात की जाती है; अन्यथा, कोई आंशिक अवकल वलय की बात करता है

अवकल क्षेत्र अवकल वलय है जो एक क्षेत्र भी है। एक अवकल बीजगणित $$A$$ एक अवकल क्षेत्र पर $$K$$ एक अवकल वलय है जिसमें सम्मिलित है $$K$$ एक सबवलय के रूप में जैसे कि प्रतिबंध $$K$$ की व्युत्पत्तियों का $$A$$ की व्युत्पत्ति के बराबर $$K.$$ (एक अधिक सामान्य परिभाषा नीचे दी गई है, जो उस स्थिति के लिए पर्याप्त है $$K$$ एक क्षेत्र नहीं है, और अनिवार्य रूप से समतुल्य है जब $$K$$ एक क्षेत्र है.)

विट बीजगणित अवकल वलय है जिसमें $$\Q$$ परिमेय संख्याओं का क्षेत्र सम्मिलित होता है। समान रूप से, यह अवकल बीजगणित $$\Q$$ है तब से $$\Q$$ इसे अवकल क्षेत्र के रूप में माना जा सकता है जिस पर प्रत्येक व्युत्पत्ति शून्य कार्य है।

एक अवकल वलय के स्थिरांक तत्व $$r$$ हैं ऐसा है कि $$\partial r=0$$ प्रत्येक व्युत्पत्ति $$\partial$$ के लिए, अवकल वलय के स्थिरांक उपवलय बनाते हैं और भिन्न क्षेत्र के स्थिरांक उपक्षेत्र बनाते हैं। स्थिरांक का यह अर्थ एक स्थिर कार्य की अवधारणा को सामान्यीकृत करता है, और इसे स्थिरांक के सामान्य अर्थ के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए।

मूल सूत्र
निम्नलिखित पहचान में, $$\delta$$ एक अवकल वलय $$R$$ की व्युत्पत्ति है
 * अगर $$r\in R$$ और $$c$$ में एक स्थिरांक है  (वह है, $$\delta c=0$$), तब
 * अगर $$r\in R$$ और $$u$$ में एक इकाई (वलय सिद्धांत) $$R$$ है तब  $$ \delta \left( \frac{r}{u} \right)= \frac{\delta (r) u - r \delta (u)}{u^{2}}$$
 * अगर $$n$$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है और $$r\in R$$ तब
 * अगर $$u_1, \ldots, u_n$$ में इकाइयाँ $$R$$ हैं, और $$n_1, \ldots, n_n$$ पूर्णांक हैं, किसी के पास लघुगणकीय व्युत्पन्न पहचान है:

उच्च क्रम व्युत्पत्तियाँ
एक व्युत्पत्ति संचालिका या उच्च क्रम व्युत्पत्ति कई व्युत्पत्तियों की संरचना है। जैसा कि एक अवकल वलय की व्युत्पत्तियों को परिवर्तित किया जाना चाहिए, व्युत्पत्तियों का क्रम तात्पर्य नहीं रखता है, और एक व्युत्पत्ति संक्रियक को इस प्रकार लिखा जा सकता हैजहाँ $$\delta_1, \ldots, \delta_n$$ विचाराधीन व्युत्पत्तियां हैं, $$e_1, \ldots, e_n$$ अतिरिक्त-ऋणात्मक पूर्णांक हैं, और किसी व्युत्पत्ति का घातांक यह दर्शाता है कि संक्रियक में यह व्युत्पत्ति कितनी बार बनाई गई है।

योग $$o=e_1+ \cdots +e_n$$ व्युत्पत्ति का क्रम कहलाता है। अगर $$o=1$$ व्युत्पत्ति संचालिका मूल व्युत्पत्तियों में से एक है। अगर $$o=0$$, एक में पहचान फलन होता है, जिसे सामान्यतः क्रम शून्य का अद्वितीय व्युत्पत्ति संक्रियक माना जाता है। इन सम्मेलनों के साथ, व्युत्पत्ति संचालक विचाराधीन व्युत्पत्ति के समूह पर एक क्रमविनिमेय मोनोइड बनाते हैं।

किसी तत्व का व्युत्पन्न $$x$$ अवकल वलय $$x$$ का व्युत्पत्ति संक्रियक का अनुप्रयोग है अर्थात्, उपरोक्त संकेतन $$\delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n}(x)$$ के साथ है, एक उचित व्युत्पन्न सकारात्मक क्रम का व्युत्पन्न है।

अवकल आदर्श
अवकल आदर्श $$I$$ अवकल वलय $$R$$ वलय का एक आदर्श है $$R$$ जो वलय की व्युत्पत्ति के तहत  बंद (स्थिर) है; वह $ \partial x\in I$  है,  प्रत्येक व्युत्पत्ति के लिए $$\partial$$ और प्रत्येक $$x\in I$$ है। अवकल आदर्श को उचित कहा जाता है यदि वह संपूर्ण वलय नहीं है। भ्रम से बचने के लिए, एक आदर्श जो अवकल आदर्श नहीं है, उसे कभी-कभी बीजगणितीय आदर्श कहा जाता है।

अवकल आदर्श का मूलांक बीजगणितीय आदर्श के रूप में उसके मूलांक के समान होता है, अर्थात, वलय तत्वों का समूह जिनकी आदर्श में शक्ति होती है। अवकल आदर्श का मूलांक भी अवकल आदर्श है। मौलिक या पूर्ण अवकल आदर्श अवकल आदर्श है जो इसके मौलिक के बराबर होता है। एक अभाज्य अवकल आदर्श एक अवकल विचारधारा है जो सामान्य अर्थों में अभाज्य आदर्श है; अर्थात्, यदि कोई उत्पाद आदर्श से संबंधित है, तो कम से कम एक कारक आदर्श से संबंधित है। एक अभाज्य अवकल आदर्श प्रायः एक मूल अवकल आदर्श होता है।

रिट की एक खोज यह है कि, यद्यपि बीजगणित का उत्कृष्ट सिद्धांत अवकल आदर्शों के लिए काम नहीं करता है, लेकिन इसका एक बड़ा हिस्सा परंपरागत अवकल आदर्शों तक बढ़ाया जा सकता है, और यह उन्हें अवकल बीजगणित में मौलिक बनाता है।

अवकल आदर्शों के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन एक अवकल आदर्श है, और मूल अवकल आदर्शों के किसी भी परिवार का प्रतिच्छेदन एक मूल अवकल आदर्श है।यह इस प्रकार है,अवकल वलय का $$S$$एक उपसमुच्चय दिया गया है, इसके द्वारा उत्पन्न तीन आदर्श होते हैं, जो क्रमशः, सभी बीजगणितीय आदर्शों, सभी अवकल आदर्शों और सभी मौलिक अवकल आदर्शों के प्रतिच्छेदन होते हैं जिनमें यह सम्मिलित होता है।

$$S$$ द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय आदर्श के तत्वों के परिमित रैखिक संयोजनों का समुच्चय $$S$$ है और सामान्यतः इसे $$(S)$$ या $$\langle S \rangle$$ इस रूप में दर्शाया जाता है

$$S$$ द्वारा उत्पन्न अवकल आदर्श के तत्वों के परिमित रैखिक संयोजनों का समुच्चय $$S$$ है और इन तत्वों के किसी भी क्रम के व्युत्पन्न; इसे सामान्यतः $$[S]$$ रूप में दर्शाया जाता है  जब $$S$$ परिमित है, $$[S]$$ सामान्यतः बीजगणितीय आदर्श के रूप में अंतिम रूप से उत्पन्र् नहीं होता है।

$$S$$ द्वारा उत्पन्न मौलिक अवकल आदर्श सामान्यतः $$\{S\}$$ के रूप में दर्शाया जाता है अन्य दो वाद की तरह इसके तत्व को चित्रित करने का कोई ज्ञात तरीका नहीं है।

अवकल बहुपद
अवकल क्षेत्र पर अवकल बहुपद $$K$$ अवकल समीकरण की अवधारणा का एक औपचारिकरण है जैसे कि समीकरण में दिखाई देने वाले ज्ञात कार्य $$K$$ संबंधित हैं और अनिश्चित अज्ञात कार्यों के प्रतीक हैं।

तो चलो $$K$$ एक अवकल क्षेत्र हो, जो विशिष्ट रूप से (लेकिन जरूरी नहीं) परिमेय भिन्नों का क्षेत्र है $$K(X)=K(x_1,\ldots ,x_n)$$ (बहुभिन्नरूपी बहुपदों के भिन्न), व्युत्पत्तियों से सुसज्जित $$\partial_i$$ ऐसा है कि $$\partial_i x_i=1$$ और $$\partial_i x_j=0$$ अगर $$i\neq j$$ (सामान्य आंशिक व्युत्पन्न)।

वलय को परिभाषित करने के लिए $ K \{ Y \}= K \{ y_1, \ldots, y_n \}$ में अवकल बहुपदों का $$Y=\{y_1,\ldots, y_n\}$$ व्युत्पत्तियों के साथ $$\partial_1, \ldots, \partial_n,$$ एक रूप के नए अनिश्चितों की अनंतता का परिचय देता है $$\Delta y_i,$$ जहाँ $$\Delta$$ क्या कोई व्युत्पत्ति संचालक क्रम से उच्चतर $1$ है। इस संकेतन के साथ, $$K \{ Y \}$$ इन सभी अनिश्चितों में प्राकृतिक व्युत्पत्तियों के साथ बहुपदों का समुच्चय है (प्रत्येक बहुपद में केवल अनिश्चितों की एक सीमित संख्या सम्मिलित होती है)। विशेषकर, यदि $$n=1,$$ के पास
 * $$K\{y\}=K\left[y, \partial y, \partial^2 y, \partial^3 y, \ldots\right].$$

यहां तक ​​कि जब $$n=1,$$ अवकल बहुपदों का एक वलय नोथेरियन वलय नहीं है। इससे बहुपद वलय के इस सामान्यीकरण का सिद्धांत कठिन हो जाता है। यद्यपि, दो तथ्य ऐसे सामान्यीकरण की अनुमति देते हैं।

सबसे पहले, अवकल बहुपद की सीमित संख्या में एक साथ अनिश्चित संख्याओं की सीमित संख्या सम्मिलित होती है। इसका तात्पर्य यह है कि बहुपदों का प्रत्येक गुण जिसमें बहुपदों की सीमित संख्या सम्मिलित होती है, अवकल बहुपदों के लिए सत्य रहता है। विशेष रूप से, सबसे बड़े सामान्य भाजक उपस्थित हैं, और अवकल बहुपदों की वलय अद्वितीय गुणनखंडन कार्यक्षेत्र है।

दूसरा तथ्य यह है कि यदि क्षेत्र $$K$$ में परिमेय संख्याओं का क्षेत्र, अवकल बहुपदों के वलय सम्मिलित हैं $$K$$ मूल अवकल आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है। यह रिट का प्रमेय इसके सामान्यीकरण से निहित है, जिसे कभी-कभी रिट-रौडेनबश आधार प्रमेय भी कहा जाता है जो दावा करता है कि यदि $$R$$ रिट बीजगणित है (वह, एक अवकल वलय है जिसमें तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र सम्मिलित है), जो परंपरागत अवकल आदर्शों पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करता है, फिर अवकल बहुपद की वलय $$R\{y\}$$ एक ही गुणधर्म को संतुष्ट करता है (प्रमेय को पुनरावृत्त रूप से लागू करके एकल चर से बहुभिन्नरूपी विषय चला जाता है)।

नोथेरियन गुणधर्म का तात्पर्य है कि, अवकल बहुपद की एक वलय में, प्रत्येक परंपरागत अवकल आदर्श परिमित रूप से उत्पन्न होता है, इस अर्थ में कि यह सबसे छोटा परंपरागत अवकल आदर्श है जिसमें बहुपद का एक सीमित समूह होता है। यह जनरेटर के ऐसे सीमित समूह द्वारा एक परंपरागत अवकल आदर्श का प्रतिनिधित्व करने और इन आदर्शों के साथ गणनाओं की अनुमति देता है। यद्यपि, बीजगणितीय विषय की कुछ सामान्य गणनाओं को बढ़ाया नहीं जा सकता है। विशेष रूप से दो मौलिक अवकल आदर्शों की समानता के मौलिक अवकल आदर्श में किसी तत्व की सदस्यता का परीक्षण करने के लिए कोई कलन विधि ज्ञात नहीं है।

नोथेरियन गुणधर्म का एक और परिणाम यह है कि एक परंपरागत अवकल आदर्श को विशिष्ट रूप से प्रधान अवकल आदर्शों की एक सीमित संख्या के प्रतिच्छेदन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसे आदर्श के आवश्यक प्रधान घटक कहा जाता है।

उन्मूलन विधियाँ
उन्मूलन विधियाँ कलन विधि हैं जो अवकल समीकरणों के समूह से व्युत्पन्न के एक निर्दिष्ट समूह को प्राथमिकता से हटा देते हैं, जो सामान्यतः  अवकल समीकरणों के समूह को उत्तम ढंग से समझने और हल करने के लिए किया जाता है।

उन्मूलन विधियों की श्रेणियों में विशेषता समूह विधियों की विधि, अवकल ग्रोबनेर आधार विधियां और परिणामी आधारित विधियां सम्मिलित हैं।

उन्मूलन कलन विधि में उपयोग किए जाने वाले सामान्य संचालन में 1) श्रेणी व्युत्पन्न, बहुपद और बहुपद समूह, 2) बहुपद के प्रमुख व्युत्पन्न, प्रारंभिक और पृथक्करण की पहचान करना, 3) बहुपद कमी, और 4) विशेष बहुपद समूह बनाना सम्मिलित हैं।

श्रेणी व्युत्पन्न
व्युत्पन्न की श्रेणी सम्पूर्ण क्रम और स्वीकार्य क्रम है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $ \forall p \in \Theta Y, \ \forall \theta_\mu \in \Theta : \theta_\mu p > p. $
 * $ \forall p,q \in \Theta Y, \ \forall \theta_\mu \in \Theta : p \ge q \Rightarrow \theta_\mu p \ge \theta_\mu q. $

प्रत्येक व्युत्पन्न में एक पूर्णांक ट्यूपल होता है, और एकपदी क्रम व्युत्पन्न के पूर्णांक ट्यूपल को श्रेणी करके व्युत्पन्न को श्रेणी करता है। पूर्णांक टपल अवकल अनिश्चित, व्युत्पन्न के बहु-सूचकांक की पहचान करता है और व्युत्पन्न के क्रम की पहचान कर सकता है। श्रेणी के प्रकारों में सम्मिलित हैं: इस उदाहरण में, पूर्णांक टुपल अवकल अनिश्चित और व्युत्पन्न के बहु-सूचकांक और शब्दकोषीय क्रम $ \ge_\text{lex}$ की पहचान करता है, व्युत्पन्न की श्रेणी निर्धारित करता है।
 * क्रमबद्ध श्रेणी : $$ \forall y_i, y_j \in Y, \ \forall \theta_\mu, \theta_\nu \in \Theta \ : \ \operatorname{ord}(\theta_\mu) \ge \operatorname{ord}(\theta_\nu) \Rightarrow \theta_\mu y_i \ge \theta_\nu y_j$$
 * उन्मूलन श्रेणी : $$\forall y_i, y_j \in Y, \ \forall \theta_\mu, \theta_\nu \in \Theta \ : \ y_i \ge y_j \Rightarrow \theta_\mu y_i \ge \theta_\nu y_j$$
 * $$\eta(\delta_1^{e_1} \circ \cdots \circ \delta_n^{e_n}(y_j))= (j, e_1, \ldots, e_n) $$.
 * $$ \eta(\theta_\mu y_j) \ge_\text{lex} \eta(\theta_\nu y_k) \Rightarrow \theta_\mu y_j \ge \theta_\nu y_k. $$

अग्रणी व्युत्पन्न, प्रारंभिक और विभाजक
यह मानक बहुपद $$ p = a_d \cdot u_p^d+ a_{d-1} \cdot u_p^{d-1} + \cdots +a_1 \cdot u_p+ a_0 $$ रूप है।.
 * अग्रणी या अग्रणी व्युत्पन्न बहुपद का सर्वोच्च श्रेणी वाला व्युत्पन्न $$u_p$$ है।.
 * गुणांक $$a_d, \ldots, a_0$$ प्रमुख व्युत्पन्न सम्मिलित नहीं $u_p$ है।
 * बहुपद की डिग्री बहुपद का अग्रणी व्युत्पन्न का सबसे बड़ा घातांक $$\deg_{u_p}(p) = d$$है।
 * प्रारंभिक गुणांक $$ I_p=a_d$$है।
 * श्रेणी बहुपद की डिग्री तक उठाया गया प्रमुख व्युत्पन्न $$u_p^d$$ है।
 * अवकल रूप से बंद क्षेत्रव्युत्पन्न $$ S_p= \frac{\partial p}{\partial u_p}$$है।

वे समूह को अलग कर देते $$S_A= \{ S_p \mid p \in A \} $$ हैं। प्रारंभिक समूह है $$I_A= \{ I_p \mid p \in A \} $$हैं। और संयुक्त समूह $H_A= S_A \cup I_A $ है।

पराभव
आंशिक रूप से छोटा ( आंशिक सामान्य रूप ) बहुपद $q$  बहुपद के संबंध में $p$  इंगित करता है कि ये बहुपद अतिरिक्त-जमीनी क्षेत्र तत्व हैं, $ p,q \in \mathcal{K} \{ Y \} \setminus \mathcal{K}$, और $$q$$ का कोई उचित व्युत्पन्न नहीं $$ u_p$$ है।

आंशिक रूप से छोटा किया गया बहुपद $q$  बहुपद के संबंध में $p$  लघु (सामान्य रूप) बहुपद बन जाता है, बहुपद  $q$  इसके संबंध में $p$  यदि$q$   में $u_p$  की डिग्री कम है तब $u_{p}$  डिग्री में $p$  है।

स्वतः कम किए गए बहुपद समूह में प्रत्येक बहुपद समूह के प्रत्येक दूसरे बहुपद के संबंध में कम हो जाता है। प्रत्येक स्वतः कम किया गया समूह परिमित है। एक स्वतः कम किया गया समूह त्रिकोणीय  है जिसका अर्थ है कि प्रत्येक बहुपद तत्व का एक अलग अग्रणी व्युत्पन्न होता है।

रिट का न्यूनीकरण कलन विधि पूर्णांकों की पहचान करता $i_{A_{k}}, s_{A_{k}}$ है  और एक अवकल बहुपद को रूपांतरित करता है $f$  निम्न या समान श्रेणी वाले शेष बहुपद के लिए बहुपद के सबसे बड़े सामान्य भाजक का उपयोग करना $ f_{red}$  स्वतः कम किए गए बहुपद $ A$  समूह के संबंध में कम हो गया है।  कलन विधि का पहला चरण निविष्ट बहुपद को आंशिक रूप से कम करता है और कलन विधि का दूसरा चरण बहुपद को पूरी तरह से कम करता है। पराभव का सूत्र
 * $$ f_\text{red} \equiv \prod_{A_k \in A} I_{A_k}^{i_{A_k}} \cdot S_{A_k}^{i_{A_k}} \cdot f, \pmod{[A]} \text{ with  } i_{A_k}, s_{A_k} \in \mathbb{N}. $$है।

श्रेणी बहुपद समूह
तय करना यदि $A$ अग्रणी व्युत्पन्न की श्रेणी है तो यह अवकल श्रृंखला  $u_{A_{1}} < \dots < u_{A_{m}} $  है और $\forall i, \ A_{i}$  के संबंध में $A_{i+1}$  कम किया गया है

स्वतः कम किए गए समूह $A$ और $B$  प्रत्येक में क्रमबद्ध बहुपद तत्व होते हैं। यह प्रक्रिया समान रूप से अनुक्रमित जोड़े की तुलना करके दो स्वचालित समूहों को श्रेणी करती है,दोनों स्वतः कम किए गए समूहों से बहुपद।
 * $$A_1 < \cdots < A_m \in A $$ और $$B_1 < \cdots < B_n \in B $$ और $$ i,j,k \in \mathbb{N}$$.
 * $$ \text{rank } A < \text{rank } B $$ अगर वहां एक है $$ k \le \operatorname{minimum}(m,n) $$ ऐसा है कि $$ A_i = B_i$$ के लिए $ 1 \le i < k $ और $$ A_k < B_k $$.
 * $$ \operatorname{rank} A < \operatorname{rank} B $$ अगर $$ n < m $$ और $$A_i = B_i$$ के लिए $$1 \le i \le n $$.
 * $$ \operatorname{rank} A = \operatorname{rank} B $$ अगर $$ n = m $$ और $$A_i = B_i$$ के लिए $$1 \le i \le n $$.

बहुपद समुच्चय
विशेषता समूह $C$ आदर्श के सभी स्वतः कम किए गए उपसमुच्चय में से सबसे कम  श्रेणी स्वतः कम किए गए उपसमुच्चय है जिनके उपसमुच्चय बहुपद $\mathcal{I}$  विभाजक आदर्श के अतिरिक्त-सदस्य हैं।.

डेल्टा बहुपद बहुपद युग्म पर लागू होता है $p,q$ जिनके अग्रणी एक समान  $\theta_{\alpha} u_{p}= \theta_{\beta} u_{q}$  व्युत्पन्न साझा करते हैं, बहुपद जोड़ी के अग्रणी व्युत्पन्न के लिए सबसे कम सामान्य व्युत्पन्न संक्रियक $\theta_{pq}$  है ,
 * $$\operatorname{\Delta - poly}(p,q)= S_{q} \cdot \frac{\theta_{pq} p}{\theta_{p}} - S_{p} \cdot \frac{\theta_{pq} q}{\theta_{q}} $$ और डेल्टा बहुपद है:

सुसंगत समुच्चय एक बहुपद समुच्चय है जो इसके डेल्टा बहुपद युग्मों को शून्य कर देता है।

नियमित व्यवस्था और नियमित आदर्श
एक नियमित प्रणाली $\Omega$ इसमें अवकल समीकरणों का एक स्वचालित और सुसंगत समूह सम्मिलित$A$   है और एक असमानता समुच्चय $H_{\Omega} \supseteq H_A$  समूह के साथ $H_\Omega $  समीकरण समूह के संबंध में कम हो गया है।

नियमित अवकल आदर्श $\mathcal{I}_\text{dif} $ और नियमित बीजगणितीय आदर्श $\mathcal{I}_\text{alg} $  आदर्श भागफल हैं जो एक नियमित प्रणाली से उत्पन्न होते हैं। लेज़ार्ड का लेम्मा बताता है कि नियमित अवकल और नियमित बीजगणितीय आदर्श परंपरागतआदर्श हैं।
 * नियमित अवकल आदर्श : $\mathcal{I}_\text{dif}=[A]:H_\Omega^\infty.$
 * नियमित बीजगणितीय आदर्श : $\mathcal{I}_\text{dif}=(A):H_\Omega^\infty.$

रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर कलन विधि
रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर कलन विधि नियमित मौलिक अवकल आदर्शों के एक सीमित प्रतिच्छेदन के रूप में मौलिक अवकल आदर्श को विघटित करता है। विशिष्ट समूहों द्वारा दर्शाए गए ये नियमित अवकल परंपरागतआदर्श आवश्यक रूप से प्रमुख आदर्श नहीं हैं और प्रतिनिधित्व आवश्यक रूप से न्यूनतम नहीं है।

सदस्यता समस्या यह निर्धारित करना है कि क्या $p$ एक अवकल बहुपद है अवकल बहुपदों के एक समूह से उत्पन्न आदर्श $S$  का एक सदस्य है. रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर कलन विधि ग्रोबनेर आधारों के समूह उत्पन्न करता है। कलन विधि यह निर्धारित करता है कि एक बहुपद आदर्श का सदस्य है यदि और केवल तभी जब आंशिक रूप से कम किया गया शेष बहुपद ग्रोबनर आधारों द्वारा उत्पन्न बीजगणितीय आदर्श का सदस्य हो।

रोसेनफेल्ड-ग्रोबनेर कलन विधि अवकल समीकरणों के समाधान के टेलर श्रृंखला विस्तार बनाने की सुविधा प्रदान करता है।

अवकल क्षेत्र
उदहारण 1: $(\operatorname{Mer}(\operatorname{f}(y), \partial_{y} )$ एकल मानक व्युत्पत्ति के साथ अवकल मेरोमोर्फिक फलन क्षेत्र है।

उदहारण 2: $(\mathbb{C} \{ y \}, (1+3 \cdot y + y^{2}) \cdot \partial_{y} ) $ व्युत्पत्ति के रूप में एक अवकल संक्रियक के साथ एक अवकल क्षेत्र है।

व्युत्पत्ति
परिभाषित करना $E^{a}(p(y))=p(y+a)$ शिफ्ट संक्रियक $E^{a}$  के रूप में $p(y)$  बहुपद के लिए है।.

एक शिफ्ट-इनवेरिएंट संक्रियक $T$ शिफ्ट संक्रियक के साथ आवागमन करता है  $E^{a} \circ T=T \circ E^{a}$ ।.

पिंचरले व्युत्पन्न, शिफ्ट-इनवेरिएंट संक्रियक की व्युत्पत्ति $T$ , है $T^{\prime} = T \circ y - y \circ T $ ।.

स्थिरांक
पूर्णांकों का वलय $$(\mathbb{Z}. \delta)$$ है, और प्रत्येक पूर्णांक एक स्थिरांक है।
 * 1 की व्युत्पत्ति शून्य है. $ \delta(1)=\delta(1 \cdot 1)=\delta(1) \cdot 1 + 1 \cdot \delta(1) = 2 \cdot \delta(1) \Rightarrow \delta(1)=0$ ।
 * $$ \delta(m+1)=\delta(m)+\delta(1)=\delta(m) \Rightarrow \delta(m+1)=\delta(m) $$ भी है।
 * $$ \delta(1)=0 \ \wedge \ \delta(m+1)= \delta(m) \Rightarrow \forall \ m \in \mathbb{Z}, \ \delta(m)=0 $$ प्रेरण द्वारा है।

परिमेय संख्याओं का क्षेत्र $$(\mathbb{Q}. \delta)$$ है, और प्रत्येक परिमेय संख्या एक स्थिरांक है।
 * प्रत्येक परिमेय संख्या पूर्णांकों का भागफल होती है।
 * $$ \forall r \in \mathbb{Q}, \ \exists \ a \in \mathbb{Z}, \ b \in \mathbb{Z}/ \{ 0 \}, \ r=\frac{a}{b} $$


 * यह मानते हुए कि पूर्णांकों की व्युत्पत्तियाँ शून्य हैं, भागफल के लिए व्युत्पत्ति सूत्र लागू करें:
 * $$ \delta (r)= \delta \left ( \frac{a}{b} \right ) = \frac{\delta(a) \cdot b - a \cdot \delta(b)}{b^{2}}=0 $$.

अवकल सबवलय
स्थिरांक, स्थिरांकों के उपवलय $(\mathbb{C}, \partial_{y}) \subset (\mathbb{C} \{ y \}, \partial_{y}) $ का निर्माण करते हैं।

अवकल आदर्श
$\exp(y)$ तत्व $ [\exp(y)] $ अवकल वलय में $(\mathbb{C} \{ y, \exp(y) \}, \partial_{y}) $ . अवकलआदर्श उत्पन्न करता है।.

एक अवकल वलय पर बीजगणित
पहचान वाली कोई भी वलय $\operatorname{\mathcal{Z}-}$ बीजगणित एक है। इस प्रकार एक अवकल वलय $\operatorname{\mathcal{Z}-}$ बीजगणित है।

अगर वलय $\mathcal{R}$ यूनिटल वलय के केंद्र $\mathcal{M}$  का एक उपवलय है, तब $\mathcal{M}$  एक $\operatorname{\mathcal{R}-}$ बीजगणित है। इस प्रकार, एक अवकल वलय अपने अवकल उपवलय पर एक बीजगणित है। यह बीजगणित की उसके उप-वलय पर प्राकृतिक संरचना है।

विशेष और सामान्य बहुपद
वलय $(\mathbb{Q} \{ y, z \}, \partial_y) $ असमानेय बहुपद हैं, $p$  (सामान्य, वर्गमुक्त) और $q$  (विशेष, आदर्श जनरेटर)हैं।
 * $ \partial_y(y)=1, \ \partial_y(z)=1+z^2, \ z=\tan(y)$ : $p(y)=1+y^2, \ \partial_y(p)=2 \cdot y,\ \gcd(p, \partial_y(p))=1$
 * $q(z)=1+z^2, \ \partial_y(q)=2 \cdot z \cdot (1+z^2),\ \gcd(q, \partial_{y}(q))=q$

श्रेणी
वलय $(\mathbb{Q} \{ y_{1}, y_{2} \}, \delta)$ व्युत्पन्न है $\delta(y_{1})=y_{1}^{\prime}$  और $\delta(y_{2})=y_{2}^{\prime}$  * प्रत्येक व्युत्पन्न को पूर्णांक टपल में मैप करें: $\eta( \delta^{(i_{2})}(y_{i_{1}}) )=(i_{1}, i_{2})$.
 * श्रेणी व्युत्पन्न और पूर्णांक टुपल्स: $ y_{2}^{\prime \prime} \ (2,2) > y_{2}^{\prime} \ (2,1) > y_{2} \ (2,0) > y_{1}^{\prime \prime} \ (1,2) > y_{1}^{\prime} \ (1,1) > y_{1} \ (1,0) $.

अग्रणी व्युत्पन्न और प्रारंभिक
अग्रणी व्युत्पन्न, और प्रारंभिक हैं:
 * $ p={\color{Blue} (y_{1}+ y_{1}^{\prime})} \cdot ({\color{Red} y_{2}^{\prime \prime}})^{2} + 3 \cdot y_{1}^{2} \cdot {\color{Red}y_{2}^{\prime \prime}} + (y_{1}^{\prime})^{2} $ : $ q={\color{Blue}(y_{1}+ 3 \cdot y_{1}^{\prime})} \cdot {\color{Red} y_{2}^{\prime \prime}} + y_{1} \cdot y_{2}^{\prime} + (y_{1}^{\prime})^{2} $  : $ r= {\color{Blue} (y_{1}+3)} \cdot ({\color{Red} y_{1}^{\prime \prime}})^{2} + y_{1}^{2} \cdot {\color{Red} y_{1}^{\prime \prime}}+ 2 \cdot y_{1} $

विभाजक

 * $ S_{p}= 2 \cdot (y_{1}+ y_{1}^{\prime}) \cdot y_{2}^{\prime \prime} + 3 \cdot y_{1}^{2}$.
 * $ S_{q}= y_{1}+ 3 \cdot y_{1}^{\prime}$
 * $ S_{r}= 2 \cdot (y_{1}+3) \cdot y_{1}^{\prime \prime} + y_{1}^{2}$

स्वचालित समूह

 * स्वचालित समूह $\{ p, r \}$  और $ \{ q, r \}$ हैं. प्रत्येक समूह एक अलग बहुपद अग्रणी व्युत्पन्न के साथ त्रिकोणीय है।
 * अतिरिक्त-स्वचालित समूह $ \{ p, q \} $ केवल आंशिक रूप से कम किया गया है $p$  इसके संबंध $q$  में ; यह समुच्चय अतिरिक्त-त्रिकोणीय है क्योंकि बहुपदों का अग्रणी अवकल समान है।

प्रतीकात्मक एकीकरण
प्रतीकात्मक एकीकरण बहुपदों और उनके व्युत्पन्न जैसे प्रत्येक्मिटमें कमी, सीज़िचोव्स्की कलन विधि, लैजार्ड-रियोबू-ट्रेजर कलन विधि, होरोविट्ज़-ओस्ट्रोग्रैडस्की कलन विधि, वर्गमुक्त गुणनखंडन और विशेष और सामान्य बहुपदों को विभाजित करने वाले गुणनखंडन से जुड़े कलन विधि का उपयोग करता है।

अवकल समीकरण
अवकल बीजगणित यह निर्धारित कर सकता है कि अवकल बहुपद समीकरणों के एक समूह का कोई समाधान है या नहीं है। कुल श्रेणी क्रम बीजगणितीय बाधाओं की पहचान कर सकती है। एक उन्मूलन श्रेणी यह निर्धारित कर सकती है कि स्वतंत्र चर का एक या चयनित समूह अवकल समीकरणों को व्यक्त कर सकता है या नहीं सकता है। त्रिकोणीय अपघटन और उन्मूलन क्रम का उपयोग करके, चरण-वार विधि में एक समय में एक अवकल अनिश्चित अवकल समीकरणों को हल करना संभव हो सकता है। एक अन्य दृष्टिकोण ज्ञात समाधान प्रपत्र के साथ अवकल समीकरणों का एक वर्ग बनाना है जो की किसी अवकल समीकरण को उसके वर्ग से मिलाने से समीकरण के समाधान की पहचान हो जाती है। समीकरणों की अवकल-बीजगणितीय प्रणाली के संख्यात्मक एकीकरण की सुविधा के लिए विधियाँ उपलब्ध हैं।

कैओस सिद्धांत के साथ अतिरिक्त-रेखीय गतिशील प्रणालियों के एक अध्ययन में, शोधकर्ताओं ने अवकल समीकरणों को एकल स्थान चर से जुड़े सामान्य अवकल समीकरणों में कम करने के लिए अवकल उन्मूलन का उपयोग किया। वे अधिकतर वाद में सफल रहे, और इससे अनुमानित समाधान विकसित करने, कैओस सिद्धांत का कुशलतापूर्वक मूल्यांकन करने और लाइपापुनोव कार्यों का निर्माण करने में मदद मिली। शोधकर्ताओं ने जैव रासायनिक प्रतिक्रियाओं के लिए कोशिका जीव विज्ञान, पूरक जैव रसायन प्रतिरूप, प्राचल अनुमान और स्थिर अवस्था अर्ध-स्थिर अवस्था सन्निकटन (QSSA) को समझने के लिए अवकल उन्मूलन लागू किया है।अवकल ग्रोबनेर आधारों का उपयोग करते हुए, शोधकर्ताओं ने अतिरिक्त-रेखीय अवकल समीकरणों के अतिरिक्त-उत्कृष्ट समरूपता गुणों की जांच की है। अन्य अनुप्रयोगों में नियंत्रण सिद्धांत, प्रतिरूप सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति सम्मिलित हैं। अवकल बीजगणित अवकल-अवकल समीकरणों पर भी लागू होता है।

चुनौतीपूर्ण समस्याएँ
रिट समस्या पूछती है कि क्या कोई कलन विधि है जो यह निर्धारित करता है कि क्या प्रमुख अवकल आदर्श में दूसरा प्रमुख अवकल आदर्श होता है जब विशेषता समूह दोनों आदर्शों की पहचान करते हैं।

कोल्चिन कैटेनरी अनुमान में कहा गया है

जैकोबी बाध्य अनुमान एक अवकल प्रकार के अपरिवर्तनीय घटक के क्रम के लिए ऊपरी सीमा की चिंता करता है। बहुपद के आदेश जैकोबी संख्या निर्धारित करते हैं, और अनुमान यह है कि जैकोबी संख्या इस सीमा को निर्धारित करती है।<!--

डिफरेंशियल ग्रेडेड वेक्टर स्पेस
ए $\operatorname{\mathbb{Z} - graded}$  श्रेणीबद्ध सदिश स्थान  $V_{\bullet} $  वेक्टर रिक्त स्थान का एक संग्रह है $V_{m}$  पूर्णांक डिग्री के साथ $|v|=m$  के लिए $ v\in V_{m}$. एक सीधा योग इस श्रेणीबद्ध वेक्टर स्थान का प्रतिनिधित्व कर सकता है:
 * $$V_{\bullet} = \bigoplus_{m \in \mathbb{Z}} V_{m}$$

एक डिफरेंशियल ग्रेडेड वेक्टर स्पेस या श्रृंखला जटिल, एक ग्रेडेड वेक्टर स्पेस है $V_{\bullet}$ विभेदक मानचित्र या सीमा मानचित्र के साथ $d_{m}: V_{m} \to V_{m-1}$  साथ $$ d_{m} \circ d_{m+1} = 0 $$.

एक श्रृंखला परिसर एक श्रेणीबद्ध वेक्टर स्थान है $V^{\bullet}$ विभेदक मानचित्र या सहसीमा मानचित्र के साथ $d_{m}: V_{m} \to V_{m+1}$ साथ $$ d_{m+1} \circ d_{m} = 0 $$.

विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित
विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित एक श्रेणीबद्ध बीजगणित है $A$ एक रेखीय व्युत्पत्ति के साथ $d: A \to A $  साथ $$d \circ d=0 $$ जो श्रेणीबद्ध लीबनिज़ उत्पाद नियम का पालन करता है।
 * ग्रेडेड लीबनिज़ उत्पाद नियम: $$\forall a,b \in A, \ d(a \cdot b)=d(a) \cdot b + (-1)^{|a|} \cdot a \cdot d(b)$$ साथ $$|a|$$ वेक्टर की डिग्री $$a$$.

झूठ बीजगणित
एक झूठ बीजगणित एक परिमित-आयामी वास्तविक या जटिल वेक्टर स्थान है $\mathcal{g}$  द्विरेखीय रूप  ब्रैकेट ऑपरेटर के साथ $[,]:\mathcal{g} \times \mathcal{g} \to \mathcal{g} $  बिलिनियर फॉर्म और जैकोबी पहचान संपत्ति के साथ। सभी के लिए $$ X, Y, Z \in \mathcal{g}$$.
 * तिरछी समरूपता: $$ [X,Y]= -[Y,X]$$
 * जैकोबी पहचान संपत्ति: $$ [X,[Y,Z]]+[Y,[Z,X]] + [Z,[X,Y]]=0 $$

आसन्न ऑपरेटर, $\operatorname{ad_{X}}(Y)=[Y,X]$ एक कम्यूटेटर है क्योंकि बाइनरी ब्रैकेट ऑपरेशन पर एडजॉइंट का प्रभाव बाइनरी उत्पाद ऑपरेशन पर व्युत्पत्ति के प्रभाव के अनुरूप होता है। यह आंतरिक व्युत्पत्ति द्वारा निर्धारित किया जाता है $X$.
 * $$ \operatorname{ad}_{X}([Y,Z]) = [\operatorname{ad}_{X}(Y),Z] + [Y,\operatorname{ad}_{X}(Z)] $$

सार्वभौमिक आवरण बीजगणित $U(\mathcal{g})$ झूठ बीजगणित का $\mathcal{g}$  पहचान के साथ एक अधिकतम साहचर्य बीजगणित है, जो लाई बीजगणित तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है $\mathcal{g}$  और ब्रैकेट ऑपरेशन द्वारा परिभाषित उत्पाद शामिल हैं। मैक्सिमल का अर्थ है कि एक रैखिक समरूपता सार्वभौमिक बीजगणित को किसी अन्य बीजगणित में मैप करती है जिसमें अन्यथा ये गुण होते हैं। एडजॉइंट ऑपरेटर लीबनिज उत्पाद नियम का पालन करते हुए एक व्युत्पत्ति है। सभी के लिए $$ X,Y,Z \in U(\mathcal{g}) $$.
 * उत्पाद में $$U(\mathcal{g})$$ : $$X \cdot Y - Y \cdot X = [X,Y]$$
 * लाइबनिज़ उत्पाद नियम: $$\operatorname{ad}_{X}( Y \cdot Z)=\operatorname{ad}_{X}(Y) \cdot Z + Y \cdot \operatorname{ad}_{X}(Z)$$

वेइल बीजगणित
वेइल बीजगणित एक बीजगणित है $A_{n}(K)$ एक अंगूठी के ऊपर $K [p_{1}, q_{1}, \dots, p_{n}, q_{n}]$  एक विशिष्ट गैर-अनुवांशिक उत्पाद के साथ:
 * $$ p_{i} \cdot q_{i} - q_{i} \cdot p_{i}=1, \ : \ i \in \{1, \dots, n \} $$.

अन्य सभी अनिश्चित उत्पाद क्रमविनिमेय हैं $i,j \in \{1, \dots, n \}$ :
 * $$ p_{i} \cdot q_{j} - q_{j} \cdot p_{i}=0 \text{ if  } i \ne j, \ p_{i} \cdot p_{j} - p_{j} \cdot p_{i}=0, \ q_{i} \cdot q_{j} - q_{j} \cdot q_{i}=0 $$.

एक वेइल बीजगणित एक क्रमविनिमेय वलय के बहुपदों की व्युत्पत्तियों का प्रतिनिधित्व कर सकता है $f \in K[y_{1}, \ldots, y_{n}]$. वेइल बीजगणित के तत्व एंडोमोर्फिज्म, तत्व हैं $p_{1}, \ldots, p_{n}$ मानक व्युत्पत्तियों के रूप में कार्य करते हैं, और मानचित्र रचनाएँ विभेदक ऑपरेटर उत्पन्न करती हैं। डी-मॉड्यूल विभेदक ऑपरेटरों को समझने के लिए एक संबंधित दृष्टिकोण है। एंडोमोर्फिज्म हैं:
 * $$ q_{j} (y_{k})= y_{j} \cdot y_{k}, \ q_{j}(c)= c \cdot y_{j} \text{ with  } c \in K, \ p_{j}(y_{j})=1, \ p_{j}(y_{k})=0 \text{  if  } j \ne k, \ p_{j}(c)= 0 \text{  with  } c \in K $$

छद्मविभेदक ऑपरेटर रिंग
साहचर्य, संभवतः गैर-अनुवांशिक वलय $A$ व्युत्पत्ति है $d: A \to A $.

छद्म-विभेदक ऑपरेटर रिंग $A((\partial^{-1}))$ एक बायां है $\operatorname{A-module}$  रिंग तत्वों से युक्त $L$ :
 * $$ a_i \in A, \ i,i_{\min} \in \mathbb{N}, \ |i_{\min}| > 0 \ : \ L= \sum_{i \ge i_{\min}}^n a_i \cdot \partial^i$$

व्युत्पन्न ऑपरेटर है $ d(a) = \partial \circ a - a \circ \partial $.

द्विपद गुणांक है $$\Bigl( {i \atop k} \Bigr)$$.

छद्म-अंतर ऑपरेटर गुणन है:
 * $$\sum_{i \ge i_{\min}}^n a_i \cdot \partial^i \cdot \sum_{j\ge j_{\min}}^m b_{i} \cdot \partial^j = \sum_{i,j;k \ge 0} \Bigl( {i \atop k} \Bigr) \cdot a_i \cdot d^k(b_j) \cdot \partial^{i+j-k}$$

चुनौतीपूर्ण समस्याएँ
रिट समस्या पूछती है कि क्या कोई एल्गोरिदम है जो यह निर्धारित करता है कि क्या एक प्रमुख अंतर आदर्श में दूसरा प्रमुख अंतर आदर्श होता है जब विशेषता सेट दोनों आदर्शों की पहचान करते हैं।

कोल्चिन कैटेनरी अनुमान में कहा गया है $d>0$ आयामी अघुलनशील अंतर बीजगणितीय विविधता $ V$  और एक मनमाना बिंदु $ p \in V$, इरेड्यूसिबल डिफरेंशियल बीजगणितीय उपवर्गों की एक लंबी अंतराल श्रृंखला से उत्पन्न होती है $ p $  अक्षर बी.

जैकोबी बाउंड समस्या एक विभेदक किस्म के अपरिवर्तनीय घटक के क्रम के लिए ऊपरी सीमा से संबंधित है। बहुपद के आदेश एक जैकोबी संख्या निर्धारित करते हैं, और अनुमान यह है कि जैकोबी संख्या इस सीमा को निर्धारित करती है।

बाहरी संबंध

 * David Marker's home page has several online surveys discussing differential fields.

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