वृत्त

{सामान्य ज्यामिति}} एक वृत्त एक आकृति है जिसमें एक समतल में सभी बिंदु होते हैं जो किसी दिए गए बिंदु से एक निश्चित दूरी पर होते हैं,केंद्र।समान रूप से, यह एक बिंदु द्वारा पता लगाया गया वक्र है जो एक विमान में चलता है ताकि किसी दिए गए बिंदु से इसकी दूरी स्थिर हो। वृत्त और केंद्र के किसी भी बिंदु के बीच की दूरी को त्रिज्या कहा जाता है। आमतौर पर, त्रिज्या को एक सकारात्मक संख्या की आवश्यकता होती है। के साथ एक वृत्त $$r=0$$ पतित मामला है। यह लेख [[ यूक्लिडियन ज्यामिति  ]] में मंडलियों के बारे में है, और, विशेष रूप से, यूक्लिडियन विमान, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है।

विशेष रूप से, एक सर्कल एक साधारण बंद वक्र है जो विमान को दो क्षेत्रों में विभाजित करता है: एक आंतरिक और एक बाहरी। रोजमर्रा के उपयोग में, वृत्त शब्द का प्रयोग या तो आकृति की सीमा या उसके आंतरिक भाग सहित संपूर्ण आकृति को संदर्भित करने के लिए किया जा सकता है; सख्त तकनीकी उपयोग में, वृत्त केवल सीमा है और संपूर्ण आकृति को डिस्क कहा जाता है।

एक वृत्त को एक विशेष प्रकार के दीर्घवृत्त के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो नाभियाँ संपाती होती हैं, विलक्षणता 0 होती है, और अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु कुल्हाड़ियाँ समान होती हैं; या दो-आयामी आकार, जो कि विविधताओं के कैलकुलस का उपयोग करते हुए, प्रति इकाई परिधि वर्ग में सबसे अधिक क्षेत्र को घेरता है।

टोपोलॉजिकल परिभाषा
टोपोलॉजी के क्षेत्र में, एक सर्कल ज्यामितीय अवधारणा तक ही सीमित नहीं है, बल्कि इसके सभी होमोमोर्फिज्म तक सीमित है। दो टोपोलॉजिकल सर्कल समतुल्य हैं यदि एक को R. के विरूपण के माध्यम से दूसरे में परिवर्तित किया जा सकता है3अपने आप पर (एक परिवेश समस्थानिक के रूप में जाना जाता है)।

शब्दावली
सभी निर्दिष्ट क्षेत्रों को खुला माना जा सकता है, अर्थात्, उनकी सीमाएँ शामिल नहीं हैं, या उनकी संबंधित सीमाओं सहित, बंद हैं।
 * एनलस: एक अंगूठी के आकार की वस्तु, दो संकेंद्रित वृत्तों से घिरा क्षेत्र।
 * चाप: वृत्त का कोई भी जुड़ा हुआ भाग। एक चाप और एक केंद्र के दो अंत बिंदुओं को निर्दिष्ट करना दो चापों के लिए अनुमति देता है जो एक साथ एक पूर्ण चक्र बनाते हैं।
 * केंद्र: वृत्त के सभी बिंदुओं से समान दूरी पर स्थित बिंदु।
 * जीवा: एक रेखा खंड जिसका समापन बिंदु वृत्त पर स्थित होता है, इस प्रकार एक वृत्त को दो खंडों में विभाजित करता है।
 * परिधि: सर्कल के साथ एक सर्किट की लंबाई, या सर्कल के चारों ओर की दूरी।
 * व्यास: एक रेखा खंड जिसका अंत बिंदु वृत्त पर स्थित होता है और जो केंद्र से होकर गुजरता है; या ऐसे रेखाखंड की लंबाई। यह वृत्त पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की सबसे बड़ी दूरी है। यह एक जीवा का एक विशेष मामला है, अर्थात् किसी दिए गए वृत्त के लिए सबसे लंबी जीवा, और इसकी लंबाई त्रिज्या की लंबाई से दोगुनी है।
 * डिस्क: एक वृत्त से घिरा विमान का क्षेत्र।
 * लेंस: दो अतिव्यापी डिस्क के लिए सामान्य क्षेत्र (प्रतिच्छेदन)।
 * पासेंट: एक समतलीय सीधी रेखा जिसका वृत्त के साथ कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है।
 * त्रिज्या: वृत्त पर किसी एक बिंदु के साथ वृत्त के केंद्र को मिलाने वाला एक रेखा खंड; या ऐसे खंड की लंबाई, जो व्यास से आधी (लंबाई) हो।
 * सेक्टर: एक क्षेत्र जो समान लंबाई के दो त्रिज्याओं से घिरा होता है और एक सामान्य केंद्र और दो संभावित चापों में से कोई एक, इस केंद्र और त्रिज्या के अंत बिंदुओं द्वारा निर्धारित किया जाता है।
 * खंड: जीवा से घिरा एक क्षेत्र और जीवा के अंतिम बिंदुओं को जोड़ने वाले चापों में से एक। जीवा की लंबाई संभावित चापों के व्यास पर एक निचली सीमा लगाती है। कभी-कभी खंड शब्द का प्रयोग केवल उन क्षेत्रों के लिए किया जाता है जिनमें उस वृत्त का केंद्र नहीं होता जिससे उनका चाप संबंधित होता है।
 * सेकेंट: एक विस्तारित जीवा, एक समतलीय सीधी रेखा, एक वृत्त को दो बिंदुओं में प्रतिच्छेद करती है।
 * अर्धवृत्त: एक व्यास के अंतिम बिंदुओं द्वारा निर्धारित दो संभावित चापों में से एक, इसके मध्य बिंदु को केंद्र के रूप में लेते हुए। गैर-तकनीकी सामान्य उपयोग में इसका मतलब व्यास और उसके एक चाप से घिरे दो आयामी क्षेत्र का आंतरिक भाग हो सकता है, जिसे तकनीकी रूप से अर्ध-डिस्क कहा जाता है। एक अर्ध-डिस्क एक खंड का एक विशेष मामला है, अर्थात् सबसे बड़ा।
 * स्पर्शरेखा: एक समतलीय सीधी रेखा जिसमें वृत्त के साथ एक ही बिंदु उभयनिष्ठ होता है (इस बिंदु पर वृत्त को स्पर्श करता है)।

इतिहास
13वीं शताब्दी की इस पांडुलिपि में ई कंपास ईश्वर के निर्माण कार्य का प्रतीक है। प्रभामंडल के गोलाकार आकार पर भी ध्यान दें। सर्कल शब्द ग्रीक κίρκος/κύκλος (किर्कोस/कुक्लोस) से निकला है, जो स्वयं होमरिक ग्रीक κρίκος (क्रिकोस) का एक मेटाथिसिस है, जिसका अर्थ है घेरा या अंगूठी। सर्कस और विकट:सर्किट|सर्किट शब्दों की उत्पत्ति निकट से संबंधित हैं। r500.jpg|right|thumb|200px|एक पुराने अरबी खगोलीय चित्र में मंडलियां। दर्ज इतिहास की शुरुआत से पहले से सर्कल को जाना जाता है। प्राकृतिक वृत्त देखे गए होंगे, जैसे कि चंद्रमा, सूर्य और रेत पर हवा में उड़ने वाला एक छोटा पौधे का डंठल, जो रेत में एक वृत्त का आकार बनाता है। चक्र पहिया का आधार है, जो संबंधित आविष्कारों जैसे कि गियर के साथ, आधुनिक मशीनरी को बहुत संभव बनाता है। गणित में, वृत्त के अध्ययन ने ज्यामिति, खगोल विज्ञान और कलन के विकास को प्रेरित करने में मदद की है।

प्रारंभिक विज्ञान, विशेष रूप से ज्यामिति और [[ ज्योतिष और खगोल विज्ञान  ]], अधिकांश मध्ययुगीन विद्वानों के लिए परमात्मा से जुड़ा था, और कई लोगों का मानना ​​​​था कि आंतरिक रूप से दिव्य या परिपूर्ण कुछ था जो मंडलियों में पाया जा सकता था।

सर्कल के इतिहास में कुछ हाइलाइट्स हैं:
 * 1700 ईसा पूर्व - रिंद पपीरस एक गोलाकार क्षेत्र के क्षेत्र को खोजने के लिए एक विधि देता है। परिणाम से मेल खाती है $256⁄81$ (3.16049...) के अनुमानित मूल्य के रूप में$\pi$.
 * 300 ईसा पूर्व - यूक्लिड के तत्व ों की पुस्तक 3 | यूक्लिड के तत्व वृत्तों के गुणों से संबंधित हैं।
 * प्लेटो के सातवें पत्र में वृत्त की विस्तृत परिभाषा और व्याख्या है। प्लेटो संपूर्ण वृत्त की व्याख्या करता है, और यह किसी भी चित्र, शब्द, परिभाषा या व्याख्या से कैसे भिन्न है।
 * 1880 सीई - लिंडमैन ने साबित किया कि π पारलौकिक है, प्रभावी रूप से वृत्त का वर्ग करने की सहस्राब्दी पुरानी समस्या का समाधान कर रहा है।

परिधि
एक वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात है π (पीआई), एक अपरिमेय स्थिरांक लगभग 3.141592654 के बराबर। इस प्रकार परिधि C त्रिज्या r और व्यास d से संबंधित है:
 * $$C = 2\pi r = \pi d.\,$$

संलग्न क्षेत्र


जैसा कि आर्किमिडीज ने सिद्ध किया है, एक वृत्त के अपने मापन में, एक वृत्त द्वारा घेरा गया क्षेत्रफल उस त्रिभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है जिसके आधार पर वृत्त की परिधि की लंबाई होती है और जिसकी ऊँचाई वृत्त की त्रिज्या के बराबर होती है, जो आता है π त्रिज्या वर्ग से गुणा करें:
 * $$\mathrm{Area} = \pi r^2.\,$$

समान रूप से, व्यास को d से निरूपित करते हुए,
 * $$\mathrm{Area} = \frac{\pi d^2}{4} \approx 0{.}7854d^2,$$

यानी परिचालित वर्ग का लगभग 79% (जिसकी भुजा लंबाई d की है)।

वृत्त एक समतल वक्र है जो किसी चाप की लंबाई के लिए अधिकतम क्षेत्रफल को घेरता है। यह वृत्त को विविधताओं के कलन में एक समस्या से संबंधित करता है, अर्थात् आइसोपेरिमेट्रिक असमानता।

कार्तीय निर्देशांक
एक x-y कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में, केंद्र निर्देशांक (a, b) और त्रिज्या r वाला वृत्त सभी बिंदुओं (x, y) का समुच्चय इस प्रकार है कि
 * एक वृत्त का समीकरण
 * $$(x - a)^2 + (y - b)^2 = r^2.$$

वृत्त के समीकरण के रूप में जाना जाने वाला यह समीकरण, वृत्त के किसी भी बिंदु पर लागू पाइथागोरस प्रमेय  का अनुसरण करता है: जैसा कि आसन्न आरेख में दिखाया गया है, त्रिज्या एक  समकोण  त्रिभुज का कर्ण है जिसकी अन्य भुजाएँ लंबाई की हैं |x -ए| और |y - b|। यदि वृत्त मूल बिंदु (0, 0) पर केंद्रित है, तो समीकरण सरल हो जाता है
 * $$x^2 + y^2 = r^2.$$

समीकरण को पैरामीट्रिक रूप में त्रिकोण मितीय कार्यों साइन और कोसाइन का उपयोग करके लिखा जा सकता है:
 * पैरामीट्रिक फॉर्म
 * $$x = a + r\,\cos t,$$
 * $$y = b + r\,\sin t,$$

जहाँ t 0 से 2. की सीमा में एक पैरामीट्रिक चर हैπ, ज्यामितीय रूप से उस कोण के रूप में व्याख्या की जाती है जिसे किरण (a, b) से (x, y) तक धनात्मक x अक्ष के साथ बनाती है।

वृत्त का एक वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन है
 * $$x = a + r \frac{1 - t^2}{1 + t^2},$$
 * $$y = b + r \frac{2t}{1 + t^2}.$$

इस पैरामीटरकरण में, t से r के अनुपात को ज्यामितीय रूप से x अक्ष के समानांतर केंद्र से गुजरने वाली रेखा के स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण के रूप में व्याख्या किया जा सकता है (स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन देखें)। हालाँकि, यह पैरामीटरकरण केवल तभी काम करता है जब t को न केवल सभी वास्तविकों के माध्यम से बल्कि अनंत पर एक बिंदु तक परास के लिए बनाया जाता है; अन्यथा, वृत्त के सबसे बाएं बिंदु को छोड़ दिया जाएगा।

तीन बिंदुओं द्वारा निर्धारित वृत्त का समीकरण $$(x_1, y_1), (x_2, y_2), (x_3, y_3)$$ नॉट ऑन ए लाइन वृत्त समीकरण के 3-बिंदु रूप के रूपांतरण से प्राप्त होता है:
 * 3-बिंदु प्रपत्र
 * $$\frac{({\color{green}x} - x_1)({\color{green}x} - x_2) + ({\color{red}y} - y_1)({\color{red}y} - y_2)}

{({\color{red}y} - y_1)({\color{green}x} - x_2) - ({\color{red}y} - y_2)({\color{green}x} - x_1)} = \frac{(x_3 - x_1)(x_3 - x_2) + (y_3 - y_1)(y_3 - y_2)} {(y_3 - y_1)(x_3 - x_2) - (y_3 - y_2)(x_3 - x_1)}.$$ सजातीय रूप सजातीय निर्देशांक में, वृत्त के समीकरण वाले प्रत्येक शंकु खंड का रूप होता है
 * $$x^2 + y^2 - 2axz - 2byz + cz^2 = 0.$$

यह सिद्ध किया जा सकता है कि एक शंकु खंड एक वृत्त होता है, जब इसमें बिंदु I(1: i: 0) और J(1: −i: 0) होते हैं (जब जटिल प्रक्षेप्य तल तक बढ़ाया जाता है)। इन बिंदुओं को अनंत पर वृत्ताकार बिंदु  कहा जाता है।

ध्रुवीय निर्देशांक
ध्रुवीय निर्देशांक में, एक वृत्त का समीकरण होता है
 * $$r^2 - 2 r r_0 \cos(\theta - \phi) + r_0^2 = a^2,$$

जहाँ a वृत्त की त्रिज्या है, $$(r, \theta)$$ वृत्त पर एक सामान्य बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक हैं, और $$(r_0, \phi)$$ वृत्त के केंद्र के ध्रुवीय निर्देशांक हैं (अर्थात, r0 is the distance from the origin to the centre of the circle, and φ is the anticlockwise angle from the positive x axis to the line connecting the origin to the centre of the circle). For a circle centred on the origin, i.e., this reduces to simply. When, या जब मूल वृत्त पर स्थित होता है, तो समीकरण बन जाता है
 * $$r = 2 a\cos(\theta - \phi).$$

सामान्य स्थिति में, समीकरण को r के लिए हल किया जा सकता है, जिससे
 * $$r = r_0 \cos(\theta - \phi) \pm \sqrt{a^2 - r_0^2 \sin^2(\theta - \phi)}.$$

ध्यान दें कि ± चिह्न के बिना, समीकरण कुछ मामलों में केवल आधे वृत्त का वर्णन करेगा।

जटिल विमान
सम्मिश्र तल में, एक वृत्त जिसका केंद्र c और त्रिज्या r है, का समीकरण है


 * $$|z - c| = r.$$

पैरामीट्रिक रूप में, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$z = re^{it} + c.$$

थोड़ा सामान्यीकृत समीकरण
 * $$pz\overline{z} + gz + \overline{gz} = q$$

वास्तविक p, q और सम्मिश्र g के लिए कभी-कभी एक सामान्यीकृत वृत्त कहा जाता है। यह एक वृत्त के लिए उपरोक्त समीकरण बन जाता है $$p = 1,\ g = -\overline{c},\ q = r^2 - |c|^2$$, जबसे $$|z - c|^2 = z\overline{z} - \overline{c}z - c\overline{z} + c\overline{c}$$. सभी सामान्यीकृत वृत्त वास्तव में वृत्त नहीं होते हैं: एक सामान्यीकृत वृत्त या तो एक (सत्य) वृत्त या एक रेखा होता है।

स्पर्श रेखाएं
वृत्त पर एक बिंदु P से होकर जाने वाली स्पर्श रेखा, P से जाने वाले व्यास के लंबवत होती है। यदि and the circle has centre (a, b) and radius r, then the tangent line is perpendicular to the line from (a, b) to (x1, y1), so it has the form (x1 − a)x + (y1 – b)y = c. Evaluating at (x1, y1 c का मान निर्धारित करता है, और परिणाम यह है कि स्पर्शरेखा का समीकरण है
 * $$(x_1 - a)x + (y_1 - b)y = (x_1 - a)x_1 + (y_1 - b)y_1,$$

या
 * $$(x_1 - a)(x - a) + (y_1 - b)(y - b) = r^2.$$

यदि y1 ≠ b, तो इस रेखा का ढाल है
 * $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1 - a}{y_1 - b}.$$

यह निहित भेदभाव का उपयोग करके भी पाया जा सकता है।

जब वृत्त का केंद्र मूल बिंदु पर होता है, तो स्पर्श रेखा का समीकरण बन जाता है
 * $$x_1 x + y_1 y = r^2,$$

और इसका ढाल है
 * $$\frac{dy}{dx} = -\frac{x_1}{y_1}.$$

गुण

 * वृत्त एक दी गई परिधि की लंबाई के लिए सबसे बड़े क्षेत्रफल वाला आकार है (आइसोपेरिमेट्रिक असमानता देखें)।
 * सर्कल एक अत्यधिक सममित आकार है: केंद्र के माध्यम से प्रत्येक रेखा प्रतिबिंब समरूपता की एक रेखा बनाती है, और इसमें प्रत्येक कोण के लिए केंद्र के चारों ओर घूर्णन समरूपता होती है। इसका समरूपता समूह  ओर्थोगोनल समूह O(2,R) है। अकेले घूमने का समूह वृत्त समूह 'T' है।
 * सभी मंडल समान हैं।
 * एक वृत्त की परिधि और त्रिज्या समानुपाती होती है।
 * संलग्न क्षेत्र और इसकी त्रिज्या का वर्ग आनुपातिक हैं।
 * आनुपातिकता के स्थिरांक 2 . हैंπ तथा π क्रमश।
 * वह वृत्त जो मूल बिन्दु पर केन्द्रित होता है जिसकी त्रिज्या 1 होती है, इकाई वृत्त कहलाता है।
 * इकाई क्षेत्र के एक महान वृत्त के रूप में माना जाता है, यह रीमैनियन सर्कल बन जाता है।
 * किन्हीं तीन बिंदुओं से होकर, सभी एक ही रेखा पर नहीं, एक अद्वितीय वृत्त होता है। कार्तीय निर्देशांक में, दिए गए तीन बिंदुओं के निर्देशांक के संदर्भ में वृत्त के केंद्र और त्रिज्या के निर्देशांक के लिए स्पष्ट सूत्र देना संभव है। वृत्ताकार देखें।

तार

 * जीवाएँ वृत्त के केंद्र से समान दूरी पर होती हैं यदि और केवल यदि वे लंबाई में बराबर हों।
 * एक जीवा का लम्ब समद्विभाजक वृत्त के केंद्र से होकर गुजरता है; लंबवत द्विभाजक की विशिष्टता से उत्पन्न समकक्ष कथन हैं:
 * वृत्त के केंद्र से एक लंब रेखा जीवा को समद्विभाजित करती है।
 * केंद्र के माध्यम से एक जीवा को समद्विभाजित करने वाला रेखा खंड जीवा पर लंबवत होता है।
 * यदि एक वृत्त का एक केंद्रीय कोण  और एक  खुदा हुआ कोण  एक ही जीवा द्वारा और जीवा के एक ही तरफ अंतरित किया जाता है, तो केंद्रीय कोण खुदा हुआ कोण का दोगुना होता है।
 * यदि एक ही जीवा पर और जीवा के एक ही तरफ दो कोण खुदे हों, तो वे बराबर होते हैं।
 * यदि दो कोण एक ही जीवा पर और जीवा की सम्मुख भुजाओं पर अंकित हों, तो वे संपूरक होते हैं।
 * [[ [[ चक्रीय चतुर्भुज ]] ]] के लिए,  [[ बाहरी कोण  ]] आंतरिक विपरीत कोण के बराबर होता है।
 * व्यास द्वारा अंतरित एक उत्कीर्ण कोण एक समकोण होता है (थेल्स प्रमेय देखें)।
 * व्यास वृत्त की सबसे लंबी जीवा है।
 * उन सभी वृत्तों में जिनमें जीवा AB समान है, न्यूनतम त्रिज्या वाला वृत्त व्यास AB वाला वृत्त है।
 * यदि किन्हीं दो जीवाओं का प्रतिच्छेदन एक जीवा को लंबाई a और b में विभाजित करता है और दूसरी जीवा को लंबाई c और d में विभाजित करता है, तो.
 * यदि किन्हीं दो लंबवत जीवाओं का प्रतिच्छेदन एक जीवा को लंबाई a और b में विभाजित करता है और दूसरी जीवा को लंबाई c और d में विभाजित करता है, तो a2 + b2 + c2 + d2 व्यास के वर्ग के बराबर है। * किसी दिए गए बिंदु पर समकोण पर प्रतिच्छेद करने वाली किन्हीं दो जीवाओं की वर्ग लंबाई का योग एक ही बिंदु पर प्रतिच्छेद करने वाली अन्य दो जीवाओं के बराबर होता है और 8r द्वारा दिया जाता है2 − 4p2 जहाँ r वृत्त की त्रिज्या है, और p केंद्र बिंदु से प्रतिच्छेदन बिंदु तक की दूरी है। * वृत्त पर एक बिंदु से किसी दिए गए जीवा की दूरी वृत्त के व्यास के गुणा के बराबर होती है, उस बिंदु से जीवा के सिरों तक की दूरी के गुणनफल के बराबर होती है।

स्पर्शरेखा

 * वृत्त पर स्थित त्रिज्या के अंतिम बिंदु से होकर त्रिज्या पर लंबवत खींची गई रेखा वृत्त की स्पर्श रेखा होती है।
 * वृत्त के संपर्क बिंदु से स्पर्श रेखा पर लंबवत खींची गई रेखा वृत्त के केंद्र से होकर गुजरती है।
 * वृत्त के बाहर किसी भी बिंदु से वृत्त पर दो स्पर्श रेखाएँ हमेशा खींची जा सकती हैं, और ये स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होती हैं।
 * यदि A पर एक स्पर्श रेखा और B पर एक स्पर्शरेखा बाहरी बिंदु P पर प्रतिच्छेद करती है, तो केंद्र को O के रूप में दर्शाते हुए कोण BOA और BPA संपूरक होते हैं।
 * यदि AD वृत्त की A पर स्पर्श रेखा है और यदि AQ वृत्त की जीवा है, तो ∠DAQ = $1⁄2$चाप (एक्यू)।

प्रमेय



 * जीवा प्रमेय कहता है कि यदि दो जीवाएँ, CD और EB, A पर प्रतिच्छेद करती हैं, तो AC × AD = एबी × एई।
 * यदि दो छेदक, AE और AD, भी वृत्त को क्रमशः B और C पर काटते हैं, तो AC × AD = AB × AE (जीवा प्रमेय का उपफल)।
 * {एंकर|टेंजेंट-सेकेंट प्रमेय}}एक स्पर्शरेखा को एक छेदक का सीमित मामला माना जा सकता है जिसके सिरे संपाती हों। यदि बाहरी बिंदु A से स्पर्श रेखा F पर वृत्त से मिलती है और बाहरी बिंदु A से एक छेदक क्रमशः C और D पर वृत्त से मिलता है, तो (स्पर्शरेखा-पृथक प्रमेय)।
 * एक जीवा और उसके किसी एक अंतिम बिंदु पर स्पर्श रेखा के बीच का कोण, वृत्त के केंद्र पर जीवा के विपरीत दिशा (स्पर्शरेखा जीवा कोण) पर अंतरित कोण के आधे के बराबर होता है।
 * यदि जीवा द्वारा केन्द्र पर अंतरित कोण 90° है, तो {अब्रैप|ℓ = r √2}}, जहां जीवा की लंबाई है, और r वृत्त की त्रिज्या है।
 * यदि वृत्त में दायीं ओर दिखाए गए अनुसार दो छेदक अंकित हैं, तो कोण A की माप संलग्न चापों के मापों के अंतर के आधे के बराबर है ($$\overset{\frown}{DE}$$ तथा $$\overset{\frown}{BC}$$) वह है, $$2\angle{CAB} = \angle{DOE} - \angle{BOC}$$, जहाँ O वृत्त का केंद्र है (सेकेन्ट-सेकेन्ट प्रमेय)।

खुदा हुआ कोण
एक खुदा हुआ कोण (उदाहरण चित्र में नीले और हरे रंग के कोण हैं) ठीक उसी केंद्रीय कोण (लाल) का आधा है। इसलिए, एक ही चाप (गुलाबी) को अंतरित करने वाले सभी खुदे हुए कोण बराबर होते हैं। चाप (भूरा) पर अंकित कोण पूरक हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक खुदा हुआ कोण जो व्यास को घटाता है वह एक समकोण होता है (चूंकि केंद्रीय कोण 180° होता है)।

=== तीर धनु (जिसे छंद के रूप में भी जाना जाता है) एक रेखा खंड है जो उस जीवा के मध्य बिंदु और वृत्त के चाप के बीच एक जीवा के लंबवत खींचा जाता है।

एक जीवा की लंबाई y और धनु की लंबाई x को देखते हुए, पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग अद्वितीय वृत्त की त्रिज्या की गणना के लिए किया जा सकता है जो दो पंक्तियों के आसपास फिट होगा:
 * $$r = \frac{y^2}{8x} + \frac{x}{2}.$$

इस परिणाम का एक और प्रमाण, जो ऊपर दिए गए केवल दो राग गुणों पर निर्भर करता है, इस प्रकार है। लंबाई y की एक जीवा और लंबाई x के धनु के साथ, चूंकि धनु जीवा के मध्य बिंदु को काटता है, हम जानते हैं कि यह वृत्त के व्यास का एक भाग है। चूँकि व्यास त्रिज्या से दोगुना है, व्यास का लुप्त भाग है (2r − x) लंबाई में। इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि एक जीवा का एक भाग दूसरे भाग से गुणा करता है, उसी उत्पाद के बराबर होता है जो एक जीवा के साथ पहली जीवा को प्रतिच्छेद करता है, हम पाते हैं कि (2r − x)x = (और / 2)2. r को हल करने पर हमें वांछित परिणाम प्राप्त होता है।

कम्पास और सीधा निर्माण
कई कंपास-और-सीधे निर्माण होते हैं जिसके परिणामस्वरूप मंडलियां होती हैं।

वृत्त का केंद्र और वृत्त पर एक बिंदु दिया गया निर्माण सबसे सरल और सबसे बुनियादी है। कम्पास के स्थिर पैर को केंद्र बिंदु पर, चल पैर को वृत्त पर बिंदु पर रखें और कम्पास को घुमाएं।

दिए गए व्यास के साथ निर्माण

 * मध्य बिंदु का निर्माण करें $O(2)$ व्यास का।
 * केंद्र के साथ वृत्त का निर्माण करें $πR^{2}$ व्यास के किसी एक अंतिम बिंदु से गुजरते हुए (यह दूसरे समापन बिंदु से भी गुजरेगा)।



त्रिभुज (नीला) की भुजाओं के लंब समद्विभाजक (लाल) ज्ञात करके बिंदु A, B और C से होकर एक वृत्त का निर्माण करें। केंद्र को खोजने के लिए तीन में से केवल दो समद्विभाजक की आवश्यकता होती है।

तीन असंरेखीय बिंदुओं के माध्यम से निर्माण

 * बिंदुओं को नाम दें $C = 2πR$, $M$ तथा $M$,
 * खंड के लंबवत द्विभाजक का निर्माण करें $P$.
 * खंड के लंबवत द्विभाजक का निर्माण करें $Q$.
 * इन दो लंब समद्विभाजकों के प्रतिच्छेदन बिंदु को चिह्नित करें $R$. (वे मिलते हैं क्योंकि बिंदु संरेख नहीं हैं)।
 * केंद्र के साथ वृत्त का निर्माण करें $\overline{PQ}$ किसी एक बिंदु से गुजरना $\overline{PR}$, $M$ या $M$ (यह अन्य दो बिंदुओं से भी गुजरेगा)।

अपोलोनियस का चक्र
'1/d2}} लगातार पेर्गा के अपोलोनियस ने दिखाया कि एक सर्कल को एक विमान में बिंदुओं के सेट के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जिसमें दो निश्चित फोकस, ए और बी के लिए दूरी का एक स्थिर अनुपात (1 के अलावा अन्य) होता है। (बिन्दुओं का समुच्चय जहाँ दूरियाँ समान हों, खंड AB का लम्ब समद्विभाजक है, एक रेखा।) उस वृत्त को कभी-कभी दो बिंदुओं के बारे में खींचा हुआ कहा जाता है।

प्रमाण दो भागों में है। सबसे पहले, किसी को यह साबित करना होगा कि दो फोकस ए और बी और दूरियों के अनुपात को देखते हुए, दूरी के अनुपात को संतुष्ट करने वाला कोई भी बिंदु पी एक विशेष सर्कल पर गिरना चाहिए। मान लें कि C एक और बिंदु है, जो अनुपात को संतुष्ट करता है और खंड AB पर स्थित है। कोण द्विभाजक प्रमेय  द्वारा रेखा खंड PC  आंतरिक कोण  APB को समद्विभाजित करेगा, क्योंकि खंड समान हैं:
 * $$\frac{AP}{BP} = \frac{AC}{BC}.$$

समान रूप से, AB विस्तारित पर किसी बिंदु D के माध्यम से एक रेखा खंड PD, संगत बाहरी कोण BPQ को समद्विभाजित करता है, जहां Q AP पर विस्तारित होता है। चूँकि आंतरिक और बाह्य कोणों का योग 180 डिग्री है, कोण CPD ठीक 90 डिग्री है; यानी एक समकोण। बिंदु P का समुच्चय इस प्रकार है कि कोण CPD एक समकोण है, एक वृत्त बनाता है, जिसमें से CD एक व्यास है।

दूसरा, देखें इस बात के प्रमाण के लिए कि संकेतित वृत्त का प्रत्येक बिंदु दिए गए अनुपात को संतुष्ट करता है।

क्रॉस-अनुपात
मंडलियों की एक निकट संबंधी संपत्ति में जटिल विमान में बिंदुओं के क्रॉस-अनुपात की ज्यामिति शामिल होती है। यदि ए, बी, और सी ऊपर के रूप में हैं, तो इन तीन बिंदुओं के लिए अपोलोनियस का चक्र अंक पी का संग्रह है जिसके लिए क्रॉस-अनुपात का पूर्ण मूल्य एक के बराबर है:
 * $$\big|[A, B; C, P]\big| = 1.$$

दूसरे तरीके से कहा गया है, P अपोलोनियस के वृत्त पर एक बिंदु है यदि और केवल यदि क्रॉस-अनुपात [A, B; C, P] जटिल तल में इकाई वृत्त पर है।

सामान्यीकृत मंडल
यदि C खंड AB का मध्यबिंदु है, तो बिंदु P का संग्रह अपोलोनियस की स्थिति को संतुष्ट करता है
 * $$\frac{|AP|}{|BP|} = \frac{|AC|}{|BC|}$$

एक वृत्त नहीं है, बल्कि एक रेखा है।

इस प्रकार, यदि A, B, और C को समतल में अलग-अलग बिंदु दिए गए हैं, तो उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करने वाले बिंदुओं P का स्थान सामान्यीकृत वृत्त कहलाता है। यह या तो एक वास्तविक वृत्त या एक रेखा हो सकती है। इस अर्थ में एक रेखा अनंत त्रिज्या का एक सामान्यीकृत वृत्त है।

अन्य आंकड़ों के बारे में शिलालेख या परिधि
प्रत्येक त्रिभुज में एक अद्वितीय वृत्त, जिसे अंतःवृत्त कहा जाता है, को इस प्रकार अंकित किया जा सकता है कि वह त्रिभुज की तीनों भुजाओं में से प्रत्येक की स्पर्शरेखा हो।

प्रत्येक त्रिभुज के बारे में एक अद्वितीय वृत्त, जिसे परिवृत्त  कहा जाता है, को इस प्रकार परिबद्ध किया जा सकता है कि वह त्रिभुज के तीनों शीर्षों में से प्रत्येक से होकर जाए।

एक [[ [[ स्पर्शरेखा बहुभुज  ]] ]], जैसे कि एक  [[ [[ [[ स्पर्शरेखा चतुर्भुज  ]] ]] ]], कोई भी  उत्तल बहुभुज  है जिसके भीतर एक वृत्त अंकित किया जा सकता है जो बहुभुज के प्रत्येक पक्ष के स्पर्शरेखा है। प्रत्येक  नियमित बहुभुज  और प्रत्येक त्रिभुज एक स्पर्शरेखा बहुभुज है।

एक [[ चक्रीय बहुभुज  ]] कोई भी उत्तल बहुभुज है जिसके चारों ओर एक वृत्त परिबद्ध किया जा सकता है, जो प्रत्येक शीर्ष से होकर गुजरता है। एक अच्छी तरह से अध्ययन किया गया उदाहरण चक्रीय चतुर्भुज है। प्रत्येक नियमित बहुभुज और प्रत्येक त्रिभुज एक चक्रीय बहुभुज है। एक बहुभुज जो चक्रीय और स्पर्शरेखा दोनों है, द्विकेन्द्रीय बहुभुज कहलाता है।

एक हाइपोसाइक्लोइड एक वक्र है जो किसी दिए गए सर्कल में एक छोटे सर्कल पर एक निश्चित बिंदु को ट्रेस करके अंकित किया जाता है जो दिए गए सर्कल के भीतर और स्पर्शरेखा पर लुढ़कता है।

अन्य आंकड़ों का सीमित मामला
सर्कल को विभिन्न अन्य आंकड़ों में से प्रत्येक के सीमित मामले के रूप में देखा जा सकता है:
 * एक कार्तीय अंडाकार  बिंदुओं का एक समूह होता है जैसे कि इसके किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं (foci) तक की दूरी का भारित योग एक स्थिरांक होता है। एक दीर्घवृत्त वह मामला है जिसमें भार बराबर होते हैं। एक वृत्त एक दीर्घवृत्त है जिसमें शून्य की एक विलक्षणता होती है, जिसका अर्थ है कि दो केंद्र वृत्त के केंद्र के रूप में एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं। एक वृत्त भी एक कार्टेशियन अंडाकार का एक अलग विशेष मामला है जिसमें एक भार शून्य है।
 * एक सुपरेलिप्स में फॉर्म का समीकरण होता है $$\left|\frac{x}{a}\right|^n\! + \left|\frac{y}{b}\right|^n\! = 1$$ सकारात्मक ए, बी, और एन के लिए। एक सुपरसर्कल है । एक वृत्त एक सुपरसर्कल का विशेष मामला है जिसमें.
 * एक कैसिनी अंडाकार  बिंदुओं का एक समूह है जैसे कि इसके किसी भी बिंदु से दो निश्चित बिंदुओं तक की दूरी का गुणनफल एक स्थिर होता है। जब दो निश्चित बिंदु मेल खाते हैं, तो एक वृत्त का परिणाम होता है।
 * स्थिर चौड़ाई का वक्र एक ऐसी आकृति है जिसकी चौड़ाई, दो अलग-अलग समानांतर रेखाओं के बीच लंबवत दूरी के रूप में परिभाषित होती है, प्रत्येक एक बिंदु में अपनी सीमा को काटती है, उन दो समानांतर रेखाओं की दिशा की परवाह किए बिना समान होती है। वृत्त इस प्रकार की आकृति का सबसे सरल उदाहरण है।

अन्य पी-मानदंडों में
इकाई वृत्तों के s (सुपरइलिप्स भी देखें) भिन्न में $P$-मानदंड (मूल से यूनिट सर्कल तक प्रत्येक वेक्टर की लंबाई एक होती है, लंबाई की गणना इसी के लंबाई-सूत्र के साथ की जाती है $Q$) एक वृत्त को एक बिंदु से एक निश्चित दूरी वाले बिंदुओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित करते हुए, विभिन्न आकृतियों को दूरी की विभिन्न परिभाषाओं के तहत वृत्त माना जा सकता है। p-मानदंड|p-मानदंड में, दूरी द्वारा निर्धारित की जाती है
 * $$ \left\| x \right\| _p = \left( |x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb + |x_n|^p \right) ^{1/p} .$$

यूक्लिडियन ज्यामिति में, p = 2, परिचित दे रहा है
 * $$ \left\| x \right\| _2 = \sqrt{ |x_1|^2 + |x_2|^2 + \dotsb + |x_n|^2 } .$$

टैक्सीकैब ज्यामिति में, p = 1. टैक्सीकैब वृत्त ऐसे वर्ग होते हैं जिनकी भुजाएँ निर्देशांक अक्षों से 45° के कोण पर उन्मुख होती हैं। जबकि प्रत्येक पक्ष की लंबाई होगी $$\sqrt{2}r$$ यूक्लिडियन मीट्रिक  का उपयोग करते हुए, जहां r वृत्त की त्रिज्या है, टैक्सीकैब ज्यामिति में इसकी लंबाई 2r है। इस प्रकार, एक वृत्त की परिधि 8r है। इस प्रकार, एक ज्यामितीय एनालॉग का मान to $$\pi $$ इस ज्यामिति में 4 है। टैक्सीकैब ज्यामिति में इकाई वृत्त का सूत्र है $$|x| + |y| = 1$$ कार्टेशियन निर्देशांक में और


 * $$r = \frac{1}{| \sin \theta| + |\cos\theta|}$$

ध्रुवीय निर्देशांक में।

त्रिज्या 1 का एक चक्र (इस दूरी का उपयोग करके) इसके केंद्र का वॉन न्यूमैन पड़ोस है।

चेबीशेव दूरी (L .) के लिए त्रिज्या r का एक वृत्त∞ metric]]) on a plane is also a square with side length 2r parallel to the coordinate axes, so planar Chebyshev distance can be viewed as equivalent by rotation and scaling to planar taxicab distance. However, this equivalence between L1 and L∞मेट्रिक्स उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत नहीं होते हैं।

अचर योग का स्थान
के परिमित समुच्चय पर विचार कीजिए $$n$$ विमान में अंक। बिंदुओं का स्थान इस प्रकार है कि दिए गए बिंदुओं से दूरियों के वर्गों का योग स्थिर होता है, जिसका केंद्र दिए गए बिंदुओं के केंद्रक पर होता है। दूरियों की उच्च शक्तियों के लिए एक सामान्यीकरण प्राप्त किया जाता है यदि $$n$$ नियमित बहुभुज के शीर्षों को इंगित करता है $$P_n$$ लिए गए हैं। बिंदुओं का स्थान ऐसा है कि का योग $$(2m)$$-दूरियों की शक्ति $$d_i$$ परिधि के साथ दिए गए नियमित बहुभुज के शीर्षों तक $$R$$ स्थिर है एक वृत्त है, यदि


 * $$\sum_{i=1}^n d_i^{2m}> nR^{2m}$$, कहाँ पे $$m$$=1,2,…, $$n$$-1;

जिसका केंद्र का केन्द्रक है $$P_n$$. समबाहु त्रिभुज के मामले में, दूसरी और चौथी शक्तियों के निरंतर योगों का स्थान वृत्त होता है, जबकि वर्ग के लिए, लोकी दूसरी, चौथी और छठी शक्तियों के निरंतर योग के लिए वृत्त होते हैं। नियमित पंचकोण के लिए दूरियों की आठवीं शक्तियों का निरंतर योग जोड़ा जाएगा और आगे भी।

वृत्त का वर्ग करना
वृत्त को चौकोर करना समस्या है, जो प्राचीन ज्यामिति द्वारा प्रस्तावित है, कम्पास और स्ट्रेटेज के साथ केवल एक सीमित संख्या में चरणों का उपयोग करके दिए गए वृत्त के समान क्षेत्र के साथ एक वर्ग का निर्माण करना।

1882 में, लिंडमैन-वीयरस्ट्रैस प्रमेय के परिणामस्वरूप, कार्य असंभव साबित हुआ, जो साबित करता है कि पाई (π) एक बीजीय अपरिमेय संख्या  के बजाय एक अनुवांशिक संख्या है; अर्थात् यह परिमेय गुणांक वाले किसी बहुपद का मूल नहीं है। असंभवता के बावजूद, यह विषय छद्म गणित के प्रति उत्साही लोगों के लिए रुचि का बना हुआ है।

कला और प्रतीकवाद में महत्व
प्राचीनतम ज्ञात सभ्यताओं के समय से - जैसे कि असीरियन और प्राचीन मिस्रवासी, सिंधु घाटी में और चीन में पीली नदी के किनारे, और प्राचीन ग्रीस और रोम की पश्चिमी सभ्यताओं से शास्त्रीय पुरातनता के दौरान - सर्कल का सीधे इस्तेमाल किया गया है या अप्रत्यक्ष रूप से दृश्य कला में कलाकार के संदेश को व्यक्त करने और कुछ विचारों को व्यक्त करने के लिए। हालाँकि, विश्वदृष्टि (विश्वास और संस्कृति) में अंतर का कलाकारों की धारणाओं पर बहुत प्रभाव पड़ा। जबकि कुछ ने अपनी लोकतांत्रिक अभिव्यक्ति को प्रदर्शित करने के लिए सर्कल की परिधि पर जोर दिया, अन्य ने ब्रह्मांडीय एकता की अवधारणा के प्रतीक के लिए इसके केंद्र पर ध्यान केंद्रित किया। रहस्यमय सिद्धांतों में, चक्र मुख्य रूप से अस्तित्व की अनंत और चक्रीय प्रकृति का प्रतीक है, लेकिन धार्मिक परंपराओं में यह स्वर्गीय निकायों और दिव्य आत्माओं का प्रतिनिधित्व करता है। सर्कल कई पवित्र और आध्यात्मिक अवधारणाओं को दर्शाता है, जिसमें एकता, अनंत, पूर्णता, ब्रह्मांड, देवत्व, संतुलन, स्थिरता और पूर्णता शामिल हैं। इस तरह की अवधारणाओं को दुनिया भर की संस्कृतियों में प्रतीकों के उपयोग के माध्यम से व्यक्त किया गया है, उदाहरण के लिए, एक कम्पास, एक प्रभामंडल, वेसिका पिसिस और इसके डेरिवेटिव (मछली, आंख, ऑरियोल, मैंडोरला, आदि), ऑरोबोरोस, धर्म पहिया, ए इंद्रधनुष, मंडल, गुलाब की खिड़कियां और बहुत कुछ।

यह भी देखें

 * एफ़िन क्षेत्र
 * एपीरोगोन
 * सर्कल फिटिंग
 * एक घेरे में उलटा
 * सर्कल विषयों की सूची
 * वृत्त
 * तीन बिंदु एक वृत्त निर्धारित करते हैं
 * कुल्हाड़ियों का अनुवाद

Specially named circles

 * Apollonian circles
 * Archimedean circle
 * Archimedes' twin circles
 * Bankoff circle
 * Carlyle circle
 * Chromatic circle
 * Circle of antisimilitude
 * Ford circle
 * Geodesic circle
 * Johnson circles
 * Schoch circles
 * Woo circles

Of a triangle

 * Apollonius circle of the excircles
 * Brocard circle
 * Excircle
 * Incircle
 * Lemoine circle
 * Lester circle
 * Malfatti circles
 * Mandart circle
 * Nine-point circle
 * Orthocentroidal circle
 * Parry circle
 * Polar circle (geometry)
 * Spieker circle
 * Van Lamoen circle

Of certain quadrilaterals

 * Eight-point circle of an orthodiagonal quadrilaterमैं

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