बोल्ट्ज़मान वितरण

सांख्यिकीय यांत्रिकी और गणित में, बोल्ट्ज़मैन वितरण (जिसे गिब्स वितरण भी कहा जाता है ) संभाव्यता वितरण या संभाव्यता माप होता है, जो सिद्धांत के अनुसार प्रदत्त स्थिति में प्रणाली के सिद्धांतिक ऊर्जा और प्रणाली के तापमान के रूप में स्थिति में प्रणाली की होने की प्रायिकता देता है। वितरण को निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जाता है:


 * $$p_i \propto \exp\left(- \frac{\varepsilon_i}{kT} \right)$$

यहाँ $\tfrac{p_i}{p_j}$ प्रणाली के स्थिति $T$ में होने की प्रायिकता है, $ε_{i} − ε_{j}$ गणनात्मक फलन है, $p_{i}$ उस स्थिति की ऊर्जा है, और वितरण का स्थिरांक $i$ बोल्ट्जमान स्थिरांक $ε_{i}$ और थर्मोडायनामिक तापमान $kT$ का उत्पाद होता है। चिन्ह $\propto$ आनुपातिकता (गणित) को दर्शाता है (इसके लिए  का वितरण देखें)।

यहां संख्यात्मक यांत्रिकी का व्यापक अर्थ है; यह परमाणुओं की 'पर्याप्त संख्या' के संग्रह या एकल परमाणु तक हो सकता है प्राकृतिक गैस भंडारण जैसी स्थूल प्रणाली के लिए होता है । इसलिए, बोल्ट्जमान वितरण को विभिन्न प्रकार की समस्याओं का समाधान करने के लिए प्रयोग किया जा सकता है। यह वितरण दिखाता है कि कम ऊर्जा वाली स्थितियों को स्थान देने की प्रायिकता हमेशा अधिक होगी।

दो स्थितियों की संभावनाओं के अनुपात को 'बोल्ट्ज़मैन अनुपात' के रूप में जाना जाता है और यह विशेष रूप से केवल स्थितियों के ऊर्जा अंतर पर निर्भर करता है:


 * $$\frac{p_i}{p_j} = \exp\left( \frac{\varepsilon_j - \varepsilon_i}{kT} \right)$$

बोल्ट्ज़मैन वितरण का नाम लुडविग बोल्ट्ज़मान के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार इसे 1868 में थर्मल संतुलन में गैसों के सांख्यिकीय यांत्रिकी के अध्ययन के समय इसे तैयार किया था। बोल्ट्जमान के सांख्यिकीय कार्य को उनके लेख "तापीय संतुलन की सांख्यिकी तांत्रिकता के बारे में द्वितीय मूलभूत सिद्धांत और थर्मल संतुलन की स्थिति के लिए प्रायिकता गणनाओं के संबंध पर" में प्रमाणित किया गया था। इस वितरण की बाद में, 1902 में जोशिया विलार्ड गिब्स द्वारा उसके आधुनिक साधारित रूप में विशेष जांच की गई।

बोल्ट्ज़मैन वितरण को मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण या मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए। बोल्ट्जमान वितरण प्रणाली की प्रायिकता देता है जो उस स्थिति की ऊर्जा के रूप में होने की प्रायिकता देती है, जबकि मैक्सवेल-बोल्ट्जमान वितरण आदर्श गैसों में कणों की गति या ऊर्जाओं की प्रायिकता देता है। चूँकि, एक-आयामी गैस में ऊर्जा का वितरण बोल्ट्ज़मैन वितरण का पालन करता है।

वितरण
बोल्ट्जमान वितरण प्रायिकता वितरण है जो निश्चित स्थिति की प्रायिकता देता है जिसकी स्थिति की ऊर्जा और उस प्रणाली के तापमान के रूप में व्यवहार की जाती है, जिस पर वितरण लागू होता है। इसे निम्नलिखित रूप में दिया जाता है: $$ p_i=\frac{1}{Q} \exp\left(- \frac{\varepsilon_i}{kT} \right) = \frac{ \exp\left(- \tfrac{\varepsilon_i}{kT} \right) }{ \displaystyle \sum_{j=1}^{M} \exp\left(- \tfrac{\varepsilon_j}{kT} \right) } $$ यहाँ: Q = \sum_{j=1}^{M} \exp\left(- \tfrac{\varepsilon_j}{kT} \right) $$ यह प्राथमिकता देता है कि सभी संभव स्थितियों की प्रायिकताओं का योग 1 होना चाहिए।
 * $exp$ गणितीय फलन है,
 * $k$ स्थिति $T$ की प्रायिकता है ,
 * $p_{i}$ स्थिति $i$ की ऊर्जा है ,
 * $ε_{i}$ बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है,
 * $i$ प्रणाली का पूर्ण तापमान है,
 * $k$ स संबंधित प्रणाली के सभी स्थितियों की संख्या है,
 * $T$ (कुछ लेखकों द्वारा $M$ दर्शाया गया है ) सामान्यीकरण विभाजक है, जो विहित विभाजन फलन है$$

बोल्ट्ज़मैन वितरण वह वितरण है जो अधिकतम एन्ट्रापी को अधिक्षेपित करता है $$S(p_1,p_2,\cdots,p_M) = -\sum_{i=1}^{M} p_i\log_2 p_i$$ सामान्यता नियमितता और शरीरिक माध्यम की औसत ऊर्जा मान के समान होने की शर्त के साथ। यह लैग्रेंज गुणक का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

यदि हमें संबंधित प्रणाली की प्रायिकताओं के ऊर्जाओं के बारे में जानकारी हो, तो हम प्रतिष्ठानिक निर्णयक के रूप में गणना कर सकते हैं। परमाणु तत्वों के लिए प्रतिष्ठानिक निर्णयक मूल्यों को एनआईएसटी परमाणु विकिरण डेटाबेस में खोजा जा सकता है।

यह वितरण दिखाता है कि ऊर्जा कम वाली स्थितियों को हमेशा ऊर्जा अधिक वाली स्थितियों की तुलना में अधिक प्रायिकता होगी। इसके अलावा, यह हमें दो स्थितियों की प्रायिकताओं के माप्यांतर को भी दे सकता है। स्थिति $Q$ और $Z$ के लिए प्रायिकता के अनुपात को निम्न रूप में दिया जाता है: $$\frac{p_i}{p_j} = \exp\left( \frac{\varepsilon_j - \varepsilon_i}{kT} \right)$$ यहाँ:
 * $i$ स्थिति $j$ की संभावना है ,
 * $p_{i}$ स्थिति $i$ की संभावना ,
 * $p_{j}$ स्थिति $j$ की ऊर्जा है ,
 * $ε_{i}$ स्थिति $i$ की ऊर्जा है.

ऊर्जा स्तरों की जनसंख्या का अनुपात भी उनकी अध:पतन (क्वांटम यांत्रिकी) को भी ध्यान में रखना जाता है ।

बोल्ट्जमान वितरण सामान्यतः कणों, जैसे अणु या अणुओं के वितरण को वर्णित करने के लिए उपयोग किया जाता है जो उनके लिए उपलब्ध बंधित स्थितियों पर होते हैं। यदि हमें बहुत सारे कणों से मिलकर बनी प्रणाली है, तो स्थिति $ε_{j}$ में कण होने की प्रायिकता, प्रायिकता होती है, जो वास्तविकता में यह प्रायिकता है कि यदि हम उस प्रणाली से यादृच्छिक कण चुनें और देखें कि वह किस स्थिति में है, तो हम पाएंगे कि वह स्थिति $j$ में है। यह प्रायिकता स्थिति $i$ में रहने वाले कणों के कुल कणों से विभाजित किए गए कणों के अंश के बराबर होती है:


 * $$p_i = \frac{N_i}{N}$$

यहाँ $i$ स्थिति $i$ में कणों की संख्या है और $N_{i}$ प्रणाली में कुल कणों की संख्या है। हम इस प्रायिकता को खोजने के लिए बोल्ट्ज़मान वितरण का उपयोग कर सकते हैं, जो कि हमने देखा है, स्थिति $i$ में निवास करने वाले कणों के अंश के समान होती है।इसलिए, ऊर्जा स्थिति के फ़ंक्शन के रूप में स्थिति $N$ में कणों के अंश को देने वाला समीकरण है: $$ \frac{N_i}{N} = \frac{ \exp\left(- \frac{\varepsilon_i}{kT} \right) }{ \displaystyle \sum_{j=1}^{M} \exp\left(- \tfrac{\varepsilon_j}{kT} \right) } $$ यह समीकरण वित्रोस्कोपी के लिए बहुत महत्वपूर्ण है। वित्रोस्कोपी में हम अणु या अणु के स्थिति से दूसरी स्थिति में संक्रमण करने वाली अणुओं की वर्णक्रमीय रेखा देखते हैं। इसके लिए, पहली स्थिति में कुछ कणों का परिवर्तन होने की संभावना होनी चाहिए। हम यह शर्त पूरी होने की जांच करके जान सकते हैं कि पहली स्थिति में कितने कण होते हैं। यदि यह उपयुक्त नहीं होता है, तो संक्रमण को संभावित रूप से तापमान के लिए गणना की गई है, वह रेखा अधिक संभावित रूप से देखी नहीं जाती है। सामान्यतः, प्राथमिक स्थिति में अधिकांश अणुओं का अंश दूसरी स्थिति में संक्रमणों की अधिक संख्या का कारण होता है। इससे मजबूत वर्णक्रमीय रेखा मिलती है। चूँकि, अनुमत या निषिद्ध संक्रमण के रूप में क्या होने वाले संक्रमण की प्रभावशीलता पर भी अन्य कारक प्रभाव डालते हैं।

मशीन लर्निंग में सामान्यतः उपयोग किया जाने वाला सामान्यीकृत घातीय फलन बोल्ट्ज़मैन वितरण से संबंधित है:



(p_1, \ldots, p_M) = \operatorname{softmax} \left[- \frac{\varepsilon_1}{kT}, \ldots, - \frac{\varepsilon_M}{kT} \right] $$

सामान्यीकृत बोल्ट्ज़मैन वितरण
कुछ लेखकों द्वारा, निम्नलिखित रूप के वितरण को "सामान्य बोल्ट्जमान वितरण" कहा जाता है:
 * $$\Pr\left(\omega\right)\propto\exp\left[\sum_{\eta=1}^{n}\frac{X_{\eta}x_{\eta}^{\left(\omega\right)}}{k_{B}T}-\frac{E^{\left(\omega\right)}}{k_{B}T}\right]$$

बोल्ट्जमान वितरण विशेष रूप से विस्तृत बोल्ट्जमान वितरण का विशेष प्रकार है। सामान्यीकृत बोल्ट्ज़मैन वितरण का उपयोग सांख्यिकीय यांत्रिकी में विहित समुदाय, बृहत् विहित समुच्चय और तापीय-बारीय समूह का वर्णन करने के लिए किया जाता है। सामान्य बोल्ट्जमान वितरण सामान्यतः अधिकतम अनुपात के सिद्धान्त से प्राप्त किया जाता है, लेकिन अन्य निर्धारण भी हो सकते हैं।

सामान्य बोल्ट्जमान वितरण के निम्नलिखित गुण होते हैं:
 * यह वितरण एकमात्र वितरण है जिसके लिए जिब्स एंट्रोपी सूत्र द्वारा परिभाषित एन्ट्रॉपी (शास्त्रीय थर्मोडायनामिक्स) में परिभाषित एन्ट्रॉपी से मेल खाती है।
 * यह वितरण एकमात्र वितरण है जो मानक थर्मोडायनामिक संबंध के अनुरूप है जहां स्थिति कार्यों को औसत द्वारा वर्णित किया जाता है।

सांख्यिकीय यांत्रिकी में
बोल्ट्जमान वितरण सांख्यिकीय मेकेनिक्स में प्रकट होता है जब बंद आवयविता वाली निर्धारित संघों को विचार किया जाता है जो ऊर्जा विनिमय के संबंध में थर्मल संतुलन में होते हैं (ऊर्जा विनिमय के संबंध में संतुलन)। सबसे सामान्य स्थिति विहित समुदाय के लिए प्रायिकता वितरण है। कुछ विशेष स्थिति (कैननिक समूह से प्राप्त किए जाने योग्य) विभिन्न दृष्टिकोण में बोल्ट्जमान वितरण दिखाते हैं:


 * विहित समुदाय (सामान्य प्रकार)
 * विहित समुदाय बंद प्रणाली के विभिन्न संभावित स्थितियों की प्रायिकता वितरण देता है जो ठण्डा बाथ के साथ थर्मल संतुलन में बंद प्रणाली के साथ निरंतर संचय हुई होती है। विहित समुदाय में प्रायिकता वितरण बोल्ट्जमान रूप में होता है।


 * उप-प्रणालियों की स्थिति की सांख्यिकीय आवृत्तियाँ (गैर-प्रभासित संग्रह का)
 * जब रुचिहीन विकारन उप-प्रणालियों के एक संग्रह के रूप में प्रणाली होता है, तो कभी-कभी एक दिए गए उप-प्रणाली की स्थिति की सांख्यिकीय आवृत्ति का पता लगाना उपयुक्त होता है। विहित समुदाय को इस तरह के संग्रह पर लागू करने पर संग्रह के अंदर गैर-प्रभासित उप-प्रणालियों के रूप में प्रत्येक उप-प्रणाली की स्थिति अन्यों के अलग-अलग होती है और भी एक विहित समुदाय द्वारा वर्णित होती है। इसके परिणामस्वरूप, उप-प्रणालियों की स्थितियों की अपेक्षित सांख्यिकीय आवृत्ति वितरण बोल्ट्जमान रूप में होती है।


 * शास्त्रीय गैसों के मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन सांख्यिकी (गैर-अंतःक्रियात्मक कणों की प्रणाली)
 * कण प्रणालियों में, कई कणों को समान जगह साझा करते हैं और नियमित रूप से एक दूसरे के साथ स्थान बदलते हैं; वे एकीकृत जगह को कणों की एकीकृत स्थिति स्थान माना जाता है। मैक्सवेल-बोल्ट्जमान सांख्यिकी गैर-प्रभासित कणों के एक शास्त्रीय गैस में स्थिति में दिए गए एकीकृत कण स्थिति में पाए जाने की प्रत्याशित संख्या वितरण प्रदान करती है। यह प्रत्याशित संख्या वितरण बोल्ट्जमान रूप में होती है।

यहां जो तथ्यों को परिवर्तित किया जाता है, वे कई तत्वों में समानताएं रखते हैं, लेकिन यह समझने में सहायक है कि जब महत्वपूर्ण मानदंडों को परिवर्तित किया जाता है, तो वे विभिन्न तरीकों में विस्तृत हो जाते हैं।
 * जब कोई प्रणाली ऊर्जा विनिमय और कण विनिमय दोनों के संबंध में थर्मोडायनामिक संतुलन में होती है, तो तत्कालिक संख्यात्मक संरचना की आवश्यकता छूट जाती है और विहित समुदाय की बजाय ग्रैंड विहित समुदाय प्राप्त होता है। दूसरी ओर,यदि संख्यात्मक संरचना और ऊर्जा दोनों निर्धारित होते हैं, तो सूक्ष्मविहित समुदाय लागू होता है।
 * यदि संग्रह के अंदर उप-प्रणालियों के बीच विक्रिया होती है, तो उप-प्रणालियों की प्रत्याशित संख्यिकीय आवृत्ति अब बोल्ट्जमान वितरण का पालन नहीं करती है, और शायद ही कोई विश्लेषणात्मक समाधान होता है। चूँकि, विहित समुदाय अभी भी पूरे संग्रह के समूहिक स्थितियों को लागू किया जा सकता है, प्रायः पूरे प्रणाली के सम्पूर्ण अवस्थाएँ को साथ में ध्यान में रखकर, जब तक पूरा सिस्टम थर्मल संतुलन में है।
 * क्वांटम गैसों में गैर-प्रभासित कणों के साथ थर्मल संतुलन में, दिए गए एकीकृत कण स्थिति में पाए जाने वाले कणों की संख्या मैक्सवेल-बोल्ट्जमान सांख्यिकियों का पालन नहीं करती है, और विहित समुदाय में क्वांटम गैसों के लिए कोई सरल बंद रूप समाधान नहीं होता है। ग्रैंड विहित समुदाय में, क्वांटम गैसों के राज्य भरने की संख्यात्मक सांख्यिकियों का विवरण फर्मी-डिराक सांख्यिकियों या बोस-ऐंस्टीन सांख्यिकियों द्वारा विवरण किया जाता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि कण क्रमशः फर्मियन या बोसॉन हैं।

गणित में
अधिक सामान्य गणितीय सेटिंग्स में, बोल्ट्ज़मैन वितरण को गिब्स माप के रूप में भी जाना जाता है। सांख्यिकी और यंत्र अधिगम में, इसे लॉग-रैखिक मॉडल के नाम से भी जाना जाता है। गहन शिक्षण में, बोल्ट्ज़मैन वितरण का उपयोग बोल्ट्ज़मान मशीन, प्रतिबंधित बोल्ट्ज़मैन मशीन, ऊर्जा आधारित मॉडल ऊर्जा-आधारित मॉडल और डीप बोल्ट्ज़मैन मशीन जैसे स्टोकेस्टिक तंत्रिका नेटवर्क के नमूना वितरण में किया जाता है। गहन शिक्षण में, बोल्ट्ज़मैन मशीन को बिना पर्यवेक्षित शिक्षण मॉडल में से माना जाता है। बोल्ट्ज़मैन मशीन के डिज़ाइन में, जैसे-जैसे नोड्स की संख्या बढ़ती है, वास्तविक समय अनुप्रयोगों में कार्यान्वयन की कठिनाई महत्वपूर्ण हो जाती है, इसलिए प्रतिबंधित बोल्ट्ज़मैन मशीन नामक अलग प्रकार की वास्तुकला प्रस्तुत की जाती है।

अर्थशास्त्र में
उत्सर्जन व्यापार में परमिट आवंटित करने के लिए बोल्ट्ज़मैन वितरण प्रारंभ किया जा सकता है। बोल्ट्ज़मैन वितरण का उपयोग करने वाली नई आवंटन विधि कई देशों के बीच उत्सर्जन परमिट के सबसे संभावित, प्राकृतिक और निष्पक्ष वितरण का वर्णन कर सकती है।

बोल्ट्ज़मैन वितरण का रूप बहुराष्ट्रीय लॉजिस्टिक प्रतिगमन मॉडल के समान है। अलग विकल्प मॉडल के रूप में, यह अर्थशास्त्र में बहुत अच्छी प्रकार से जाना जाता है क्योंकि डेनियल मैकफैडेन ने यादृच्छिक उपयोगिता अधिकतमकरण से संबंध बनाया है।

यह भी देखें

 * बोस-आइंस्टीन आँकड़े
 * फ़र्मी-डिराक आँकड़े
 * नकारात्मक तापमान
 * सामान्यीकृत घातीय फलन