उच्चावचन क्षय प्रमेय

उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय (FDT) या उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध (FDR) विस्तृत संतुलन का पालन करने वाली प्रणालियों के व्यवहार की भविष्यवाणी करने के लिए सांख्यिकीय भौतिकी में एक शक्तिशाली उपकरण है। यह देखते हुए कि एक प्रणाली विस्तृत संतुलन का पालन करती है, प्रमेय एक प्रमाण है कि एक भौतिक चर में थर्मल उतार-चढ़ाव एक ही भौतिक चर के प्रवेश या विद्युत प्रतिबाधा (उनके सामान्य अर्थों में, न केवल विद्युत चुम्बकीय शब्दों में) द्वारा परिमाणित प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करता है। (जैसे वोल्टेज, तापमान अंतर, आदि), और इसके विपरीत। उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय शास्त्रीय भौतिकी और क्वांटम यांत्रिकी प्रणालियों दोनों पर लागू होता है।

उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय 1951 में हर्बर्ट कैलन और थिओडोर ए वेल्टन द्वारा सिद्ध किया गया था और रोगो कुबो  द्वारा विस्तारित। सामान्य प्रमेय के पूर्ववृत्त हैं, जिसमें अल्बर्ट आइंस्टीन की एक प्रकार कि गति की व्याख्या भी शामिल है विद्युत प्रतिरोधों में जॉनसन-न्याक्विस्ट शोर के 1928 में अपने एनस मिराबिलिस और हैरी निक्विस्ट के स्पष्टीकरण के दौरान।

गुणात्मक अवलोकन और उदाहरण
उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय कहता है कि जब कोई प्रक्रिया होती है जो ऊर्जा को नष्ट कर देती है, इसे गर्मी में बदल देती है (जैसे, घर्षण), तो थर्मल उतार-चढ़ाव से संबंधित एक रिवर्स प्रक्रिया होती है। कुछ उदाहरणों पर विचार करने से इसे सबसे अच्छी तरह समझा जा सकता है:


 * खींचें (भौतिकी) और ब्राउनियन गति
 * यदि कोई वस्तु किसी द्रव के माध्यम से आगे बढ़ रही है, तो वह ड्रैग (भौतिकी) (वायु प्रतिरोध या द्रव प्रतिरोध) का अनुभव करती है। ड्रैग गतिज ऊर्जा को नष्ट कर देता है, इसे गर्मी में बदल देता है। संगत उतार-चढ़ाव ब्राउनियन गति है। एक द्रव में एक वस्तु स्थिर नहीं बैठती है, बल्कि एक छोटे और तेजी से बदलते वेग के साथ चलती है, क्योंकि द्रव में अणु इससे टकराते हैं। ब्राउनियन गति ऊष्मा ऊर्जा को गतिज ऊर्जा में परिवर्तित करती है - ड्रैग के विपरीत।
 * विद्युत प्रतिरोध और चालन और जॉनसन शोर
 * यदि विद्युत धारा एक तार लूप के माध्यम से उसमें एक प्रतिरोधक के साथ चल रही है, तो प्रतिरोध के कारण धारा तेजी से शून्य हो जाएगी। प्रतिरोध विद्युत ऊर्जा को नष्ट कर देता है, इसे गर्मी (जूल हीटिंग) में बदल देता है। संबंधित उतार-चढ़ाव जॉनसन शोर है। इसमें एक रोकनेवाला के साथ एक वायर लूप में वास्तव में शून्य करंट नहीं होता है, इसमें एक छोटा और तेजी से उतार-चढ़ाव वाला करंट होता है, जो अवरोध में इलेक्ट्रॉनों और परमाणुओं के थर्मल उतार-चढ़ाव के कारण होता है। जॉनसन शोर ऊष्मा ऊर्जा को विद्युत ऊर्जा में परिवर्तित करता है - प्रतिरोध का उल्टा।
 * अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) और थर्मल विकिरण
 * जब प्रकाश किसी वस्तु से टकराता है, तो प्रकाश का कुछ अंश अवशोषित हो जाता है, जिससे वस्तु अधिक गर्म हो जाती है। इस प्रकार, प्रकाश अवशोषण प्रकाश ऊर्जा को ऊष्मा में बदल देता है। संबंधित उतार-चढ़ाव थर्मल विकिरण है (उदाहरण के लिए, लाल गर्म वस्तु की चमक)। ऊष्मीय विकिरण ऊष्मा ऊर्जा को प्रकाश ऊर्जा में बदल देता है - प्रकाश अवशोषण के विपरीत। दरअसल, थर्मल रेडिएशन का किरचॉफ का नियम इस बात की पुष्टि करता है कि कोई वस्तु जितनी प्रभावी रूप से प्रकाश को अवशोषित करती है, उतने ही अधिक थर्मल विकिरण का उत्सर्जन करती है।

विस्तार से उदाहरण
उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय सांख्यिकीय ऊष्मप्रवैगिकी का एक सामान्य परिणाम है जो एक प्रणाली में उतार-चढ़ाव के बीच के संबंध को निर्धारित करता है जो विस्तृत संतुलन का पालन करता है और लागू गड़बड़ी के लिए प्रणाली की प्रतिक्रिया करता है।

ब्राउनियन गति
उदाहरण के लिए, अल्बर्ट आइंस्टीन ने ब्राउनियन गति पर अपने 1905 के पेपर में उल्लेख किया कि ब्राउनियन गति में एक कण की अनियमित गति का कारण बनने वाले समान यादृच्छिक बल भी द्रव के माध्यम से कण को ​​​​खींचने का कारण बनेंगे। दूसरे शब्दों में, विश्राम की स्थिति में कण के उतार-चढ़ाव का वही मूल होता है, जो विघटनकारी घर्षण बल के विरुद्ध काम करता है, यदि कोई किसी विशेष दिशा में सिस्टम को परेशान करने की कोशिश करता है।

इस अवलोकन से आइंस्टीन आइंस्टीन-स्मोलुचोव्स्की संबंध को प्राप्त करने के लिए सांख्यिकीय यांत्रिकी का उपयोग करने में सक्षम थे


 * $$ D = {\mu \, k_{\rm B} T} $$

जो फ़िक के प्रसार डी के नियम और कण गतिशीलता μ को जोड़ता है, कण के टर्मिनल वेग बहाव वेग का एक लागू बल के अनुपात में। कB बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है, और T पूर्ण तापमान है।

एक रोकनेवाला में थर्मल शोर
1928 में, जॉन बर्ट्रेंड जॉनसन|जॉन बी. जॉनसन ने खोज की और हैरी निक्विस्ट ने जॉनसन-निक्विस्ट शोर की व्याख्या की। बिना लागू करंट के, माध्य-स्क्वायर वोल्टेज प्रतिरोध पर निर्भर करता है $$R$$, $$k_{\rm B}T$$, और बैंडविड्थ $$\Delta\nu$$ जिस पर वोल्टेज मापा जाता है:
 * $$ \langle V^2 \rangle \approx 4Rk_{\rm B}T\,\Delta\nu. $$

इस अवलोकन को उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय के लेंस के माध्यम से समझा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक प्रतिरोध के साथ एक रोकनेवाला युक्त एक साधारण सर्किट लें $$R$$ और एक छोटे समाई के साथ एक संधारित्र $$C$$. किरचॉफ के सर्किट नियम|किरचॉफ के नियम से लाभ होता है


 * $$V=-R\frac{dQ}{dt}+\frac{Q}{C}$$

और इसलिए इस सर्किट के लिए प्रतिक्रिया कार्य है


 * $$\chi(\omega)\equiv\frac{Q(\omega)}{V(\omega)}=\frac{1}{\frac{1}{C}-i\omega R}$$

कम-आवृत्ति सीमा में $$\omega\ll (RC)^{-1}$$, इसका काल्पनिक हिस्सा सरल है


 * $$\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]\approx \omega RC^2$$

जिसे तब पावर स्पेक्ट्रल डेंसिटी फंक्शन से जोड़ा जा सकता है $$S_V(\omega)$$ उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय के माध्यम से वोल्टेज का


 * $$S_V(\omega)=\frac{S_Q(\omega)}{C^2}\approx \frac{2k_{\rm B}T}{C^2\omega}\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]=2Rk_{\rm B}T$$

जॉनसन-निक्विस्ट वोल्टेज शोर $$\langle V^2 \rangle$$ एक छोटी आवृत्ति बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) के भीतर देखा गया था $$\Delta \nu=\Delta\omega/(2\pi)$$ आसपास केंद्रित $$\omega=\pm \omega_0$$. इस तरह


 * $$\langle V^2 \rangle\approx S_V(\omega)\times 2\Delta \nu\approx 4Rk_{\rm B}T\Delta \nu$$

सामान्य सूत्रीकरण
उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय को कई तरह से तैयार किया जा सकता है; एक विशेष रूप से उपयोगी रूप निम्नलिखित है:.

होने देना $$x(t)$$ हैमिल्टनियन यांत्रिकी के साथ एक गतिशील प्रणाली का अवलोकनीय होना $$H_0(x)$$ थर्मल उतार-चढ़ाव के अधीन। देखने योग्य $$x(t)$$ इसके औसत मूल्य के आसपास उतार-चढ़ाव होगा $$\langle x\rangle_0$$ एक शक्ति स्पेक्ट्रम की विशेषता वाले उतार-चढ़ाव के साथ $$S_x(\omega) = \langle \hat{x}(\omega)\hat{x}^*(\omega) \rangle$$. मान लीजिए कि हम समय-परिवर्तनशील, स्थानिक रूप से स्थिर क्षेत्र पर स्विच कर सकते हैं $$f(t)$$ जो हैमिल्टन को बदल देता है को $$H(x)=H_0(x)-f(t)x$$. अवलोकनीय की प्रतिक्रिया $$x(t)$$ एक समय-निर्भर क्षेत्र के लिए $$f(t)$$ है रैखिक प्रतिक्रिया समारोह या रैखिक प्रतिक्रिया समारोह द्वारा पहले आदेश की विशेषता $$\chi(t)$$ प्रणाली में


 * $$ \langle x(t) \rangle = \langle x \rangle_0 + \int_{-\infty}^{t} \! f(\tau) \chi(t-\tau)\,d\tau, $$

जहां गड़बड़ी रुद्धोष्म रूप से (बहुत धीरे-धीरे) चालू होती है $$\tau =-\infty$$.

उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय दो तरफा शक्ति स्पेक्ट्रम (अर्थात सकारात्मक और नकारात्मक दोनों आवृत्तियों) से संबंधित है $$x$$ फूरियर रूपांतरण के काल्पनिक भाग के लिए $$\hat{\chi}(\omega)$$ संवेदनशीलता की $$\chi(t)$$: $$S_x(\omega) = -\frac{2 k_\mathrm{B} T}{\omega} \operatorname{Im}\hat{\chi}(\omega).$$ जो फूरियर ट्रांसफॉर्म कन्वेंशन के तहत है $$f(\omega)=\int_{-\infty}^\infty f(t) e^{-i\omega t}\, dt$$. बाएं हाथ की ओर उतार-चढ़ाव का वर्णन करता है $$x$$, दाहिने हाथ की ओर एक ऑसिलेटरी क्षेत्र द्वारा पंप किए जाने पर सिस्टम द्वारा छोड़ी गई ऊर्जा से निकटता से संबंधित है $$f(t) = F \sin(\omega t + \phi)$$.

यह प्रमेय का शास्त्रीय रूप है; क्वांटम उतार-चढ़ाव को प्रतिस्थापित करके ध्यान में रखा जाता है $$2 k_\mathrm{B} T / \omega$$ साथ $$\hbar \, \coth(\hbar\omega / 2k_\mathrm{B}T)$$ (जिसकी सीमा $$\hbar\to 0$$ है $$2 k_\mathrm{B} T/\omega$$). क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत से एक पहचान, एलएसजेड कमी के माध्यम से एक प्रमाण पाया जा सकता है।

उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय को अंतरिक्ष-निर्भर क्षेत्रों के मामले में, कई चर या क्वांटम-यांत्रिकी सेटिंग के मामले में सीधे तरीके से सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक विशेष मामला जिसमें उतार-चढ़ाव वाली मात्रा ही ऊर्जा है, आवृत्ति-निर्भर विशिष्ट गर्मी के लिए उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय है।

शास्त्रीय संस्करण
हम ऊपर दिए गए रूप में उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय को उसी संकेतन का उपयोग करके प्राप्त करते हैं। निम्नलिखित परीक्षण मामले पर विचार करें: फ़ील्ड f अनंत समय से चालू है और t=0 पर बंद है


 * $$ f(t)=f_0 \theta(-t), $$

कहाँ $$ \theta(t)$$ हेविसाइड फ़ंक्शन है। हम की अपेक्षा मूल्य व्यक्त कर सकते हैं $$x$$ प्रायिकता वितरण W(x, 0) और संक्रमण संभाव्यता द्वारा $$ P(x',t | x,0) $$
 * $$ \langle x(t) \rangle = \int dx' \int dx \, x' P(x',t|x,0) W(x,0) . $$

प्रायिकता बंटन फलन W(x, 0) एक संतुलन बंटन है और इसलिए हैमिल्टनियन के लिए बोल्ट्जमैन वितरण द्वारा दिया गया $$ H(x) = H_0(x) - x f_0 $$
 * $$ W(x,0)= \frac{\exp(-\beta H(x))}{\int dx' \, \exp(-\beta H(x'))} \,, $$

कहाँ $$\beta^{-1} = k_{\rm B}T$$. कमजोर मैदान के लिए $$ \beta x f_0 \ll 1 $$, हम दाईं ओर विस्तार कर सकते हैं


 * $$ W(x,0) \approx W_0(x) [1+\beta f_0 (x(0)-\langle x \rangle_0)], $$

यहाँ $$ W_0(x) $$ क्षेत्र की अनुपस्थिति में संतुलन वितरण है। इस सन्निकटन को सूत्र में रखने पर $$ \langle x(t) \rangle $$ पैदावार

जहां ए (टी) क्षेत्र की अनुपस्थिति में एक्स का ऑटो-सहसंबंध समारोह है:


 * $$ A(t)=\langle [x(t)-\langle x \rangle_0][ x(0)-\langle x \rangle_0] \rangle_0. $$

ध्यान दें कि एक क्षेत्र की अनुपस्थिति में समय-शिफ्ट के तहत सिस्टम अपरिवर्तनीय है। हम फिर से लिख सकते हैं $$ \langle x(t) \rangle - \langle x \rangle_0 $$ संवेदनशीलता का उपयोग करना सिस्टम का और इसलिए उपरोक्त समीकरण (*) के साथ खोजें


 * $$ f_0 \int_0^{\infty} d\tau \, \chi(\tau) \theta(\tau-t) = \beta f_0 A(t) $$

फलस्वरूप,

आवृत्ति निर्भरता के बारे में एक बयान देने के लिए, समीकरण (**) के फूरियर रूपांतरण को लेना आवश्यक है। भागों द्वारा एकीकृत करके, यह दिखाना संभव है
 * $$ -\hat\chi(\omega) = i\omega\beta \int_0^\infty e^{-i\omega t} A(t)\, dt -\beta A(0).$$

तब से $$A(t)$$ वास्तविक और सममित है, यह इस प्रकार है
 * $$ 2 \operatorname{Im}[\hat\chi(\omega)] = -\omega\beta \hat A(\omega).$$

अंत में, स्थिर प्रक्रियाओं के लिए, वीनर-खिनचिन प्रमेय कहता है कि दो तरफा पावर स्पेक्ट्रम ऑटो-सहसंबंध समारोह के फूरियर रूपांतरण के बराबर है:
 * $$ S_x(\omega) = \hat{A}(\omega).$$

इसलिए, यह इस प्रकार है
 * $$ S_x(\omega) = -\frac{2k_\text{B} T}{\omega} \operatorname{Im}[\hat\chi(\omega)].$$

क्वांटम संस्करण
उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय ब्याज के अवलोकन योग्य के सहसंबंध समारोह से संबंधित है $$\langle \hat{x}(t)\hat{x}(0)\rangle$$ (उतार-चढ़ाव का एक उपाय) प्रतिक्रिया समारोह के काल्पनिक भाग के लिए $$\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]=\left[\chi(\omega)-\chi^*(\omega)\right]/2i$$ आवृत्ति डोमेन में (अपव्यय का एक उपाय)। इन राशियों के बीच एक लिंक तथाकथित कुबो सूत्र के माध्यम से पाया जा सकता है
 * $$\chi(t-t')=\frac{i}{\hbar}\theta(t-t')\langle [\hat{x}(t),\hat{x}(t')] \rangle$$

जो बाद में, रैखिक प्रतिक्रिया समारोह सिद्धांत की धारणाओं के तहत, अवलोकन योग्य के समेकन औसत के विकास के समय से $$\langle\hat{x}(t)\rangle$$ एक परेशान करने वाले स्रोत की उपस्थिति में। एक बार फूरियर रूपांतरित हो जाने के बाद, कुबो सूत्र प्रतिक्रिया समारोह के काल्पनिक भाग को लिखने की अनुमति देता है


 * $$\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]=\frac{1}{2\hbar}\int_{-\infty}^{+\infty}\langle \hat{x}(t)\hat{x}(0)-\hat{x}(0)\hat{x}(t)\rangle e^{i\omega t}dt.$$

विहित पहनावा में, दूसरे पद को फिर से व्यक्त किया जा सकता है


 * $$\langle \hat{x}(0) \hat{x}(t)\rangle=\text{Tr } e^{-\beta \hat{H}}\hat{x}(0)\hat{x}(t)=\text{Tr } \hat{x}(t) e^{-\beta \hat{H}}\hat{x}(0)=\text{Tr } e^{-\beta \hat{H}}\underbrace{e^{\beta \hat{H}}\hat{x}(t) e^{-\beta \hat{H}}}_{\hat{x}(t-i\hbar\beta)}\hat{x}(0)=\langle \hat{x}(t-i\hbar\beta) \hat{x}(0)\rangle$$

जहां दूसरी समानता में हमने पुन: स्थान दिया $$\hat{x}(t)$$ ट्रेस की चक्रीय संपत्ति का उपयोग करना। अगला, तीसरी समानता में, हमने डाला $$e^{-\beta \hat{H}}e^{\beta \hat{H}}$$ ट्रेस के बगल में और व्याख्या की $$e^{-\beta\hat{H}}$$ एक समय विकास ऑपरेटर के रूप में $$e^{-\frac{i}{\hbar}\hat{H}\Delta t}$$ काल्पनिक समय अंतराल के साथ $$\Delta t=-i\hbar\beta$$. काल्पनिक समय बदलाव एक में बदल जाता है $$e^{-\beta\hbar\omega}$$ फूरियर रूपांतरण के बाद का कारक


 * $$\int_{-\infty}^{+\infty}\langle \hat{x}(t-i\hbar\beta)\hat{x}(0)\rangle e^{i\omega t}dt=e^{-\beta\hbar\omega}\int_{-\infty}^{+\infty}\langle \hat{x}(t)\hat{x}(0)\rangle e^{i\omega t}dt$$

और इस प्रकार के लिए अभिव्यक्ति $$\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]$$ क्वांटम उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध के रूप में आसानी से फिर से लिखा जा सकता है
 * $$S_{x}(\omega)=2\hbar\left[n_{\rm BE}(\omega)+1\right]\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]$$

जहां बिजली वर्णक्रमीय घनत्व $$S_{x}(\omega)$$ ऑटो-सहसंबंध का फूरियर रूपांतरण है $$\langle \hat{x}(t) \hat{x}(0)\rangle$$ और $$n_{\rm BE}(\omega)=\left(e^{\beta\hbar\omega}-1\right)^{-1}$$ बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी है। बोस-आइंस्टीन वितरण समारोह। वही हिसाब भी निकलता है


 * $$S_{x}(-\omega)=e^{-\beta\hbar\omega}S_{x}(\omega) = 2\hbar\left[n_{\rm BE}(\omega)\right]\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]\neq S_{x}(+\omega)$$

इस प्रकार, शास्त्रीय मामले में जो प्राप्त हुआ है, उससे अलग, क्वांटम सीमा में शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व बिल्कुल आवृत्ति-सममित नहीं है। लगातार, $$\langle \hat{x}(t)\hat{x}(0)\rangle$$ ऑपरेटरों के कम्यूटेशन नियमों से उत्पन्न होने वाला एक काल्पनिक हिस्सा है। अतिरिक्त$$+1$$शब्द की अभिव्यक्ति में $$S_x(\omega)$$ सकारात्मक आवृत्तियों पर सहज उत्सर्जन से जुड़ा हुआ भी माना जा सकता है। एक अक्सर उद्धृत परिणाम सममित शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व भी है


 * $$\frac{S_x(\omega)+S_x(-\omega)}{2}=2\hbar\left[n_{\rm BE}(\omega)+\frac{1}{2}\right]\text{Im}\left[\chi(\omega)\right]=\hbar\coth\left(\frac{\hbar\omega}{2k_BT}\right)\text{Im}\left[\chi(\omega)\right].$$

$$+1/2$$क्वांटम उतार-चढ़ाव से जुड़ा हुआ माना जा सकता है, या शून्य-बिंदु ऊर्जा से। अवलोकनीय की शून्य-बिंदु गति $$\hat{x}$$. पर्याप्त उच्च तापमान पर, $$n_{\rm BE}\approx (\beta\hbar\omega)^{-1}\gg 1$$, यानी क्वांटम योगदान नगण्य है, और हम शास्त्रीय संस्करण को पुनर्प्राप्त करते हैं।

ग्लासी सिस्टम में उल्लंघन
जबकि उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय विस्तृत संतुलन का पालन करने वाली प्रणालियों की प्रतिक्रिया के बीच एक सामान्य संबंध प्रदान करता है, जब विस्तृत संतुलन का उल्लंघन होता है तो उतार-चढ़ाव की तुलना अपव्यय अधिक जटिल होती है। तथाकथित कांच के तापमान के नीचे $$T_{\rm g}$$, स्पिन ग्लास संतुलित नहीं होते हैं, और धीरे-धीरे उनकी संतुलन स्थिति तक पहुंचते हैं। संतुलन के लिए यह धीमा दृष्टिकोण विस्तृत संतुलन के उल्लंघन का पर्याय है। इस प्रकार इन प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए बड़े समय-मानों की आवश्यकता होती है, जबकि वे धीरे-धीरे संतुलन की ओर बढ़ते हैं।

ग्लासी सिस्टम, विशेष रूप से स्पिन चश्मा, Ref में उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध के उल्लंघन का अध्ययन करने के लिए। सुपरकंप्यूटर का उपयोग करके त्रि-आयामी एडवर्ड्स-एंडरसन मॉडल द्वारा वर्णित मैक्रोस्कोपिक सिस्टम (यानी उनकी सहसंबंध लंबाई की तुलना में बड़ी) के संख्यात्मक सिमुलेशन का प्रदर्शन किया। उनके सिमुलेशन में, सिस्टम को शुरू में उच्च तापमान पर तैयार किया जाता है, तेजी से एक तापमान पर ठंडा किया जाता है $$T=0.64 T_{\rm g}$$ कांच के तापमान के नीचे $$T_g$$, और बहुत लंबे समय के लिए संतुलन के लिए छोड़ दिया $$t_{\rm w}$$ एक चुंबकीय क्षेत्र के तहत $$H$$. फिर, बाद में $$t + t_{\rm w}$$, दो गतिशील वेधशालाओं की जांच की जाती है, अर्थात् प्रतिक्रिया कार्य $$\chi(t+t_{\rm w},t_{\rm w})\equiv\left.\frac{\partial m(t+t_{\rm w})}{\partial H}\right|_{H=0}$$ और स्पिन-टेम्पोरल सहसंबंध समारोह $$C(t+t_{\rm w},t_{\rm w})\equiv \frac{1}{V}\left.\sum_{x}\langle S_x(t_{\rm w}) S_x(t+t_{\rm w})\rangle\right|_{H=0}$$ कहाँ $$S_x=\pm 1$$ नोड पर रहने वाला स्पिन है $$x$$ मात्रा के घन जाली का $$V$$, और $m(t)\equiv \frac{1}{V} \sum_{x} \langle S_{x}(t) \rangle$ चुंबकीयकरण घनत्व है। इस प्रणाली में उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध इन अवलोकनों के संदर्भ में लिखा जा सकता है $$T\chi(t+t_{\rm w}, t_{\rm w})=1-C(t+t_{\rm w}, t_{\rm w})$$ उनके परिणाम इस अपेक्षा की पुष्टि करते हैं कि जैसे-जैसे सिस्टम को लंबे समय के लिए संतुलित करने के लिए छोड़ दिया जाता है, उतार-चढ़ाव-अपव्यय संबंध संतुष्ट होने के करीब होता है।

1990 के दशक के मध्य में, स्पिन ग्लास मॉडल की गतिशीलता के अध्ययन में उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय का एक सामान्यीकरण खोजा गया था। जो स्पर्शोन्मुख गैर-स्थिर अवस्थाओं के लिए है, जहां संतुलन संबंध में दिखाई देने वाला तापमान समय के पैमाने पर गैर-तुच्छ निर्भरता के साथ एक प्रभावी तापमान द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यह संबंध ग्लासी सिस्टम में उन मॉडलों से परे रखने का प्रस्ताव है जिनके लिए इसे शुरू में पाया गया था।

यह भी देखें

 * गैर-संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी
 * हरा-कुबो संबंध
 * ऑनसेगर पारस्परिक संबंध
 * समविभाजन प्रमेय
 * बोल्ट्जमैन वितरण
 * अपव्यय प्रणाली

अग्रिम पठन

 * Audio recording of a lecture by Prof. E. W. Carlson of Purdue University
 * Kubo's famous text: Fluctuation-dissipation theorem