रिक्त समुच्चय

गणित में, रिक्त समुच्चय अद्वितीय समुच्चय है जिसमें कोई अवयव नहीं है; इसका आकार या प्रमुखता  (एक समुच्चय में अवयवों की गिनती)  0  है। कुछ स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत यह सुनिश्चित करते हैं कि रिक्त समुच्चय के एक स्वयंसिद्ध को सम्मलित करके रिक्त समुच्चय मौजूद है, जबकि अन्य सिद्धांतों में, इसके अस्तित्व का अनुमान लगाया जा सकता है। समुच्चय के कई संभावित गुण रिक्त समुच्चय के लिए रिक्त रूप से सत्य हैं।

रिक्त समुच्चय के अतिरिक्त कोई भी समुच्चय अरिक्त कहलाता है।

कुछ पाठ्यपुस्तकों और लोकप्रियकरणों में, रिक्त समुच्चय को नल समुच्चय के रूप में संदर्भित किया जाता है। यद्यपि,  शून्य समुच्चय  माप सिद्धांत  के संदर्भ में एक अलग धारणा है, जिसमें यह माप शून्य के एक समुच्चय का वर्णन करता है (जो आवश्यक रूप से रिक्त नहीं है)। रिक्त समुच्चय को शून्य समुच्चय भी कहा जा सकता है।

नोटेशन
रिक्त समुच्चय के लिए सामान्य संकेतन में {} ,$$\emptyset$$, और ∅ सम्मलित है। बाद के दो प्रतीकों को 1939 में बॉरबाकी समूह (विशेष रूप से आंद्रे वेइल) द्वारा पेश किया गया था, जो डेनिश वर्तनी  और  नॉर्वेजियन ऑर्थोग्राफी  वर्णमाला के अक्षर Ø से प्रेरित था। अतीत में, 0 को कभी-कभी रिक्त समुच्चय के प्रतीक के रूप में इस्तेमाल किया जाता था, लेकिन अब इसे संकेतन का अनुचित उपयोग माना जाता है। प्रतीक ∅ यूनिकोड  बिंदु U+2205 पर उपलब्ध है। इसे  HTML  में कोडित किया जा सकता है जैसे &empty; और &#8709;. इसे LaTeX  में  कोडित किया जा सकता है जैसे : \varnothing. प्रतीक $$\emptyset$$ LaTeX में \emptyset.के रूप में कोडित है।

डेनिश और नॉर्वेजियन जैसी भाषाओं में लिखते समय, जहां रिक्त समुच्चय वर्ण को वर्णानुक्रमिक अक्षर Ø (भाषाविज्ञान में प्रतीक का उपयोग करते समय) के साथ भ्रमित किया जा सकता है, इसके अतिरिक्त, यूनिकोड वर्ण U+29B0 उलटे रिक्त समुच्चय का उपयोग किया जा सकता है।

गुण
मानक स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत में, विस्तार के सिद्धांत द्वारा, दो समुच्चय समान होते हैं यदि उनके पास समान अवयव होते हैं। फलस्वरूप बिना किसी अवयव के केवल एक समुच्चय हो सकता है, इसलिए रिक्त समुच्चय के अतिरिक्त रिक्त समुच्चय का उपयोग किया जाता है।

रिक्त समुच्चय में निम्नलिखित गुण होते हैं: किसी समुच्चयAके लिए: किसी भी संपत्ति (दर्शन)  के लिए पी:
 * इसका एकमात्र उपसमुच्चय रिक्त समुच्चय ही है:
 * $$\forall A: A \subseteq \varnothing \Rightarrow A = \varnothing $$
 * रिक्त समुच्चय का सत्ता स्थापित  वह समुच्चय होता है जिसमें केवल रिक्त समुच्चय होता है:
 * $$2^{\varnothing } = \{\varnothing\}$$
 * रिक्त समुच्चय के अवयवों की संख्या (अर्थात, इसकी कार्डिनैलिटी) शून्य है:
 * $$\mathrm{|}\varnothing\mathrm{|} = 0$$
 * रिक्त समुच्चय $$A,$$ का सबसमुच्चय  है:
 * $$\forall A: \varnothing \subseteq A$$
 * रिक्त समुच्चय के साथAका संघ (समुच्चय सिद्धांत) $$A,$$ है:
 * $$\forall A: A \cup \varnothing = A$$
 * रिक्त समुच्चय के साथ A का समुच्चय सिद्धांत रिक्त समुच्चय है:
 * $$\forall A: A \cap \varnothing = \varnothing $$
 * ए और रिक्त समुच्चय का कार्टेशियन उत्पाद रिक्त समुच्चय है:
 * $$\forall A: A \times \varnothing = \varnothing $$
 * $$\varnothing$$ के प्रत्येक अवयव के लिए, गुण पी धारण करती है (रिक्त सत्य)।
 * $$\varnothing$$ का कोई अवयव नहीं है जिसके लिए गुण पी धारण रखती है।

इसके विपरीत, यदि कुछ गुण पी और कुछ समुच्चय V के लिए, निम्नलिखित दो कथन धारण करते हैं: फिर $$V = \varnothing.$$ उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार, रिक्त समुच्चय किसी समुच्चय A का उपसमुच्चय होता है। $$\varnothing$$ का प्रत्येक अवयव x A से संबंधित है। वास्तव में, यदि यह सत्य नहीं होता कि $$\varnothing$$ का प्रत्येक अवयव A में है, तो $$\varnothing$$ का कम से कम एक अवयव ऐसा होगा जो A में मौजूद नहीं है।। चूंकि $$\varnothing$$ का कोई भी अवयव नहीं है, इसलिए $$\varnothing$$ का कोई अवयव ऐसा नहीं है जो A में न हो।। कोई भी कथन जो $$\varnothing$$ के प्रत्येक अवयव के लिए शुरू होता है कोई ठोस दावा नहीं कर रहा है; यह एक रिक्त सच है। यह अधिकांशतः व्याख्या की जाती है क्योंकि रिक्त समुच्चय के अवयवों के बारे में सब कुछ सच है।
 * V के प्रत्येक अवयव के लिए गुण पी धारण रखती है
 * V का कोई अवयव नहीं है जिसके लिए गुण पी धारण करता है

प्राकृतिक संख्याओं की सामान्य समुच्चय-सैद्धांतिक परिभाषा में, शून्य को रिक्त समुच्चय द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है।

रिक्त समुच्चय पर संचालन
परिमित समुच्चय के अवयवों के योग  की बात करते समय, एक अनिवार्य रूप से इस परिपाटी की ओर अग्रसर होता है कि रिक्त समुच्चय के अवयवों का योग शून्य है। इसका कारण यह है कि शून्य योग का तत्समक अवयव है। इसी तरह, रिक्त समुच्चय के अवयवों के गुणन को  1 (संख्या)  माना जाना चाहिए ( रिक्त उत्पाद देखें), क्योंकि गुणन के लिए एक  पहचान अवयव है।

एक गड़बड़ी   निश्चित बिंदु (गणित)  के बिना एक समुच्चय का क्रमचय है। रिक्त समुच्चय को स्वयं का विक्षोभ माना जा सकता है, क्योंकि इसमें केवल एक क्रमचय ($$0!=1$$), और यह स्पष्ट रूप से सच है कि कोई भी अवयव (रिक्त समुच्चय का) नहीं पाया जा सकता है जो अपनी मूल स्थिति को स्थायी रखता है।

विस्तारित वास्तविक संख्या
चूंकि रिक्त समुच्चय में कोई सदस्य नहीं होता है, जब इसे किसी ऑर्डर किए गए समुच्चय के सबसमुच्चय के रूप में माना जाता है, तो उस समुच्चय का प्रत्येक सदस्य रिक्त समुच्चय के लिए ऊपरी बाउंड और निचला बाउंड होगा। उदाहरण के लिए, जब वास्तविक संख्याओं के सबसमुच्चय के रूप में माना जाता है, इसके सामान्य क्रम के साथ, वास्तविक संख्या रेखा  द्वारा दर्शाया जाता है, प्रत्येक वास्तविक संख्या रिक्त समुच्चय के लिए ऊपरी और निचली सीमा दोनों होती है। जब वास्तविक संख्याओं (अर्थात् $$-\infty\!\,,$$ निरूपित) में दो संख्याओं या बिंदुओं को जोड़कर गठित  विस्तारित वास्तविक  का एक उपसमुच्चय माना जाता है $$-\infty\!\,,$$ जिसे हर दूसरे विस्तारित वास्तविक संख्या से कम के रूप में परिभाषित किया गया है, और  $+\infty\!\,,$, निरूपित किया गया है $$+\infty\!\,,$$ जिसे हर दूसरे विस्तारित वास्तविक संख्या से अधिक के रूप में परिभाषित किया गया है), हमारे पास है: $$\sup\varnothing=\min(\{-\infty, +\infty \} \cup \mathbb{R})=-\infty,$$ तथा $$\inf\varnothing=\max(\{-\infty, +\infty \} \cup \mathbb{R})=+\infty.$$ अर्थात्, रिक्त समुच्चय की सबसे छोटी ऊपरी सीमा (ऊपर या सर्वोच्च) $$-\infty\!\,,$$ है, जबकि सबसे बड़ी निचली सीमा (inf या infimum ) सकारात्मक अनंत है। उपरोक्त के अनुरूप, विस्तारित वास्तविक के क्षेत्र में, $$-\infty\!\,,$$ अधिकतम और सर्वोच्च ऑपरेटरों के लिए पहचान अवयव है, जबकि सकारात्मक अनंत न्यूनतम और न्यूनतम ऑपरेटरों के लिए पहचान अवयव है।

टोपोलॉजी
किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस  एक्स में, रिक्त समुच्चय परिभाषा के अनुसार  खुला समुच्चय है, जैसा कि एक्स है। चूंकि एक खुले समुच्चय का  पूरक (समुच्चय सिद्धांत)  बंद समुच्चय है और रिक्त समुच्चय और एक्स एक दूसरे के पूरक हैं, रिक्त समुच्चय भी है बंद, इसे एक  क्लोपेन समुच्चय बनाते हैं। इसके अलावा, रिक्त समुच्चय इस तथ्य से  कॉम्पैक्ट समुच्चय है कि हर  परिमित समुच्चय कॉम्पैक्ट है।

रिक्त समुच्चय का क्लोजर (गणित) रिक्त है। इसे अशक्त  संघ (समुच्चय सिद्धांत) के संरक्षण के रूप में जाना जाता है।

श्रेणी सिद्धांत
यदि $$A$$ एक समुच्चय है, तो ठीक एक फ़ंक्शन मौजूद है (गणित) $$f$$ से $$\varnothing$$ प्रति $$A,$$ रिक्त समारोह । फलस्वरूप, रिक्त समुच्चय समुच्चय और कार्यों के  श्रेणी सिद्धांत  की अद्वितीय प्रारंभिक वस्तु  है।

रिक्त समुच्चय को एक टोपोलॉजिकल स्पेस में बदल दिया जा सकता है, जिसे रिक्त स्थान कहा जाता है, मात्र एक तरह से:रिक्त समुच्चय को ओपन समुच्चय के रूप में परिभाषित करके। यह रिक्त टोपोलॉजिकल स्पेस सतत कार्य (टोपोलॉजी)  के साथ  टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी  में अद्वितीय प्रारंभिक वस्तु है। वास्तव में, यह एक  सख्त प्रारंभिक वस्तु  है: मात्र रिक्त समुच्चय में रिक्त समुच्चय के लिए एक फ़ंक्शन होता है।

सिद्धांत समुच्चय करें
वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल में, 0 को रिक्त समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है, और एक ऑर्डिनल के उत्तराधिकारी को परिभाषित किया गया है $$S(\alpha)=\alpha\cup\{\alpha\}$$. इस प्रकार, हमारे पास है $$0=\varnothing$$, $$1 = 0\cup\{0\}=\{\varnothing\}$$, $$2=1\cup\{1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$$, और इसी तरह। वॉन न्यूमैन निर्माण, अनंत के स्वयंसिद्ध के साथ, जो कम से कम एक अनंत समुच्चय के अस्तित्व की गारंटी देता है, का उपयोग प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के निर्माण के लिए किया जा सकता है, $$\N_0$$, जैसे कि अंकगणित के पीनो स्वयंसिद्ध  संतुष्ट हैं।

स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत
ज़र्मेलो समुच्चय सिद्धांत में, रिक्त समुच्चय के अस्तित्व को रिक्त समुच्चय के स्वयंसिद्ध द्वारा आश्वासन दिया जाता है, और इसकी विशिष्टता विस्तार के स्वयंसिद्ध से होती है। हालाँकि, रिक्त समुच्चय के स्वयंसिद्ध को कम से कम दो तरीकों से अनावश्यक दिखाया जा सकता है:
 * मानक प्रथम-क्रम तर्क का तात्पर्य केवल तार्किक स्वयंसिद्ध  से है, कि  मौजूद है, और समुच्चय सिद्धांत की भाषा में, वह  वस्तु एक समुच्चय होनी चाहिए। अब रिक्त समुच्चय का अस्तित्व पृथक्करण के अभिगृहीत से सरलता से अनुसरण करता है।
 * यहां तक ​​​​कि मुक्त तर्क  का उपयोग करना (जिसका तार्किक रूप से यह अर्थ नहीं है कि कुछ मौजूद है), पहले से ही एक स्वयंसिद्ध है जो कम से कम एक समुच्चय के अस्तित्व को दर्शाता है, अर्थात् अनंत का स्वयंसिद्ध।

दार्शनिक मुद्दे
जबकि रिक्त समुच्चय एक मानक और व्यापक रूप से स्वीकृत गणितीय अवधारणा है, यह एक सत्तामूलक  जिज्ञासा बनी हुई है, जिसका अर्थ और उपयोगिता दार्शनिकों और तर्कशास्त्रियों द्वारा बहस की जाती है।

रिक्त समुच्चय  के समान नहीं है ; बल्कि, यह   के साथ एक समुच्चय है,एक सेट हमेशा   होता है. एक समुच्चय को बैग के रूप में देखने से इस समस्या को दूर किया जा सकता है - एक रिक्त बैग निस्संदेह अभी भी मौजूद है। डार्लिंग (2004) बताते हैं कि रिक्त समुच्चय कुछ भी नहीं है, बल्कि चार भुजाओं वाले सभी त्रिकोणों का समुच्चय है, सभी संख्याओं का समुच्चय जो नौ से बड़ा है लेकिन आठ से छोटा है, और शतरंज में सभी शुरुआती चालों का सेट जिसमें एक राजा शामिल होता है।

लोकप्रिय न्यायवाक्य
 * शाश्वत सुख से बढ़कर कुछ नहीं; एक हैम सैंडविच कुछ नहीं से बेहतर है; इसलिए, एक हैम सैंडविच हमेशा की खुशी से बेहतर है

अधिकांशतः शून्य की अवधारणा और रिक्त समुच्चय के बीच दार्शनिक संबंध को प्रदर्शित करने के लिए प्रयोग किया जाता है। डार्लिंग लिखते हैं कि बयानों को फिर से लिखकर विरोधाभास देखा जा सकता है शाश्वत खुशी से बेहतर कुछ भी नहीं है और [A] हैम सैंडविच गणितीय स्वर में कुछ नहीं से बेहतर है। डार्लिंग के अनुसार, पूर्व उन सभी चीजों के समुच्चय के बराबर है जो शाश्वत सुख से बेहतर हैं $$\varnothing$$और बाद वाला समुच्चय {हैम सैंडविच} समुच्चय से बेहतर है $$\varnothing$$. पहला समुच्चय के अवयवों की तुलना करता है, जबकि दूसरा समुच्चय की तुलना स्वयं करता है।

जोनाथन लोव का तर्क है कि जबकि रिक्त समुच्चय:
 * निस्संदेह गणित के इतिहास में एक महत्वपूर्ण मील का पत्थर था, हमें यह नहीं मान लेना चाहिए कि गणना में इसकी उपयोगिता वास्तव में किसी वस्तु को दर्शाने पर निर्भर है।

यह भी मामला है कि:
 * रिक्त समुच्चय के बारे में हमें केवल इतना बताया जाता है कि यह (1) एक समुच्चय है, (2) कोई सदस्य नहीं है, और (3) कोई सदस्य न होने के कारण समुच्चयों में अद्वितीय है। हालाँकि, ऐसी बहुत सी चीज़ें हैं जिनका 'कोई सदस्य नहीं है', समुच्चय-सैद्धांतिक अर्थों में - अर्थात्, सभी गैर-समुच्चय। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इन चीजों का कोई सदस्य क्यों नहीं है, क्योंकि वे समुच्चय नहीं हैं। जो स्पष्ट नहीं है वह कैसे हो सकता है, विशिष्ट रूप से समुच्चय के बीच,A जिसका कोई सदस्य नहीं है। हम केवल शर्त से ऐसी सत्ता को अस्तित्व में नहीं ला सकते।

जॉर्ज बूलोस ने तर्क दिया कि समुच्चय सिद्धांत द्वारा अब तक जो कुछ भी प्राप्त किया गया है, वह आसानी से व्यक्तियों पर  बहुवचन परिमाणीकरण  द्वारा आसानी से प्राप्त किया जा सकता है,सदस्यों के रूप में अन्य संस्थाओं वाले एकल संस्थाओं के रूप में समुच्चय को संशोधित किए बिना।

अग्रिम पठन

 * Halmos, पीaul, Naive Set Theory. पीrinceton, NJ: D. Van Nostrand Comपीany, 1960. Reपीrinted by Sपीringer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Sपीringer-Verlag edition). Reपीrinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (पीaपीerback edition).