द्विअर्थी परिमेय

गणित में, एक द्विअर्थी परिमेय या द्विआधारी परिमेय एक संख्या है जिसे एक भिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसका भाजक दो की शक्ति है। उदाहरण के लिए, 1/2, 3/2, और 3/8 डाइएडिक परिमेय हैं, लेकिन 1/3 नहीं है। कंप्यूटर विज्ञान में ये संख्याएँ महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे केवल वही हैं जिनके पास सीमित बाइनरी प्रतिनिधित्व हैं। डायाडिक परिमेय में वजन और माप, संगीतमय समय हस्ताक्षर और प्रारंभिक गणित शिक्षा में भी अनुप्रयोग होते हैं। वे किसी भी वास्तविक संख्या का सटीक अनुमान लगा सकते हैं।

किन्हीं दो द्विअर्थी परिमेय संख्याओं का योग, अंतर, या गुणनफल एक अन्य द्विवैदिक परिमेय संख्या है, जिसे सरल सूत्र द्वारा दिया जाता है। हालाँकि, एक द्विअर्थी परिमेय संख्या का दूसरे द्वारा विभाजन हमेशा एक द्विअर्थी परिमेय परिणाम उत्पन्न नहीं करता है। गणितीय रूप से, इसका मतलब यह है कि डायाडिक परिमेय संख्याएँ एक वलय (गणित) बनाती हैं, जो पूर्णांकों के वलय और परिमेय संख्याओं के क्षेत्र (गणित) के बीच स्थित होता है। इस अंगूठी को निरूपित किया जा सकता है $$\Z[\tfrac12]$$.

उन्नत गणित में, डायाडिक परिमेय संख्याएं सोलेनॉइड (गणित), मिन्कोव्स्की के प्रश्न-चिह्न फ़ंक्शन, Daubechies तरंगिका, थॉम्पसन समूह|थॉम्पसन समूह, प्रुफ़र समूह|प्रूफ़र 2-समूह, असली संख्या और फ़्यूज़िबल संख्या के निर्माण के लिए केंद्रीय हैं। ये संख्याएँ परिमेय संख्याओं के लिए क्रम तुल्याकारिता|क्रम तुल्याकारिक हैं; वे p-adic संख्या | 2-adic संख्याओं के साथ-साथ वास्तविकताओं का एक सबसिस्टम बनाते हैं, और 2-adic संख्याओं के भिन्नात्मक भागों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। रिवर्स गणित में गणितीय विश्लेषण को औपचारिक रूप देने के लिए प्राकृतिक संख्याओं से लेकर डायडिक परिमेय तक के कार्यों का उपयोग किया गया है।

माप में
वजन और माप की कई पारंपरिक प्रणालियां बार-बार आधा करने के विचार पर आधारित होती हैं, जो इकाइयों की भिन्नात्मक मात्रा को मापते समय डायाडिक परिमेय पैदा करती हैं। इंच को दशमलव उपखंड का उपयोग करने के बजाय पारंपरिक रूप से डाईडिक परिमेय में उप-विभाजित किया जाता है। गैलन का आधा गैलन, चौथाई गेलन, पिंट, और  कप (इकाई)  में प्रथागत विभाजन भी डाईडिक हैं। प्राचीन मिस्रवासी मापन में युग्मक परिमेय का उपयोग करते थे, जिसमें हर 64 तक होते थे। इसी तरह, सिंधु घाटी सभ्यता से वजन की प्रणालियाँ अधिकांश भाग के लिए बार-बार रुकने पर आधारित हैं; मानवविज्ञानी हीदर एम.-एल। मिलर लिखते हैं कि हॉल्टिंग बीम बैलेंस के साथ एक अपेक्षाकृत सरल ऑपरेशन है, यही वजह है कि इस समय अवधि के इतने सारे वेट सिस्टम बाइनरी सिस्टम का उपयोग करते हैं।

कंप्यूटिंग में
डायाडिक परिमेय एक प्रकार की भिन्नात्मक संख्या के रूप में कंप्यूटर विज्ञान के लिए केंद्रीय हैं, जो कई कंप्यूटर सीधे हेरफेर कर सकते हैं। विशेष रूप से, कंप्यूटर द्वारा उपयोग किए जाने वाले डेटा प्रकार के रूप में, फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणितीय | फ़्लोटिंग-पॉइंट नंबरों को अक्सर पूर्णांक के रूप में दो की सकारात्मक या नकारात्मक शक्तियों से गुणा किया जाता है। फ्लोटिंग-पॉइंट प्रारूप में सटीक रूप से प्रदर्शित की जा सकने वाली संख्याएँ, जैसे IEEE फ़्लोटिंग पॉइंट | IEEE फ़्लोटिंग-पॉइंट डेटाटाइप्स, को इसकी प्रतिनिधित्व योग्य संख्याएँ कहा जाता है। अधिकांश फ़्लोटिंग-पॉइंट अभ्यावेदन के लिए, प्रतिनिधित्व योग्य संख्याएँ डायाडिक परिमेय का एक सबसेट हैं। निश्चित-बिंदु अंकगणितीय | निश्चित-बिंदु डेटाटाइप के लिए भी यही सच है, जो अधिकांश मामलों में दो की शक्तियों का उपयोग करता है। डाइडिक परिमेय के साथ कंप्यूटिंग की सादगी के कारण, उनका उपयोग अंतराल अंकगणित का उपयोग करके सटीक वास्तविक कंप्यूटिंग के लिए भी किया जाता है, और संगणनीय संख्याओं के कुछ सैद्धांतिक मॉडल के लिए केंद्रीय हैं।

एक निश्चित समय में, यादृच्छिक बिट्स से एक यादृच्छिक चर उत्पन्न करना तभी संभव है जब चर के बहुत सारे परिणाम हों जिनकी संभावनाएँ सभी युग्मक परिमेय संख्याएँ हैं। यादृच्छिक चरों के लिए जिनकी संभावनाएँ डाइएडिक नहीं हैं, या तो डायाडिक परिमेय द्वारा उनकी संभावनाओं का अनुमान लगाना आवश्यक है, या एक यादृच्छिक पीढ़ी प्रक्रिया का उपयोग करना है जिसका समय स्वयं यादृच्छिक और असीमित है।

संगीत में
पश्चिमी संगीत संकेतन में समय के हस्ताक्षर पारंपरिक रूप से भिन्न के समान रूप में लिखे जाते हैं (उदाहरण के लिए:, , या ), हालांकि संगीत कर्मचारियों की क्षैतिज रेखा जो ऊपर और नीचे की संख्या को अलग करती है, आमतौर पर हस्ताक्षर को अपने कर्मचारियों से अलग लिखते समय छोड़ दिया जाता है। अंशों के रूप में वे आम तौर पर युग्मक होते हैं, हालांकि टाइम सिग्नेचर#इरेशनल मीटर|नॉन-डायडिक टाइम सिग्नेचर का भी इस्तेमाल किया गया है। अंश के रूप में व्याख्या किए गए हस्ताक्षर का संख्यात्मक मान, माप की लंबाई को पूरे नोट के अंश के रूप में वर्णित करता है। इसका अंश प्रति माप बीट्स की संख्या का वर्णन करता है, और भाजक प्रत्येक बीट की लंबाई का वर्णन करता है।

गणित शिक्षा में
जीन पिअगेट के काम के आधार पर एक अंश की अवधारणा के बचपन के विकास के सिद्धांतों में, आधा करने और बार-बार आधा करने से उत्पन्न होने वाली भिन्नात्मक संख्याएँ विकसित होने वाले भिन्नों के शुरुआती रूपों में से हैं। अंशों की अवधारणा के विकास के इस चरण को एल्गोरिथम हाल्विंग कहा गया है। इन संख्याओं का जोड़ और घटाव उन चरणों में किया जा सकता है जिनमें केवल पूर्णांकों को दुगुना करना, आधा करना, जोड़ना और घटाना शामिल है। इसके विपरीत, अधिक सामान्य अंशों के जोड़ और घटाव में एक सामान्य भाजक तक पहुँचने के लिए पूर्णांक गुणन और गुणनखंड शामिल हैं। इसलिए, अधिक सामान्य अंशों की तुलना में छात्रों के लिए डाइएडिक अंशों की गणना करना आसान हो सकता है।

परिभाषाएं और अंकगणित
डाइएडिक संख्याएँ वे परिमेय संख्याएँ होती हैं जो एक पूर्णांक को दो की घात से विभाजित करने के परिणामस्वरूप प्राप्त होती हैं। एक परिमेय संख्या $$p/q$$ सरलतम शब्दों में एक द्विअर्थी तर्कसंगत है जब $$q$$ दो की शक्ति है। डायाडिक परिमेय को परिभाषित करने का एक अन्य समतुल्य तरीका यह है कि वे वास्तविक संख्याएँ हैं जिनका एक समाप्ति द्विआधारी प्रतिनिधित्व है।

निम्नलिखित सूत्रों के अनुसार, किसी भी दो डायाडिक परिमेय का जोड़, घटाव और गुणन एक और डाइडिक परिमेय पैदा करता है:
 * $$\begin{align}

\frac{a}{2^b}+\frac{c}{2^d}&=\frac{2^{d - \min(b,d)}a + 2^{b - \min(b,d)}c} {2^{\max(b,d)} } \\[6px] \frac{a}{2^b}-\frac{c}{2^d}&=\frac{2^{d - \min(b,d)}a - 2^{b - \min(b,d)}c} {2^{\max(b,d)} } \\[6px] \frac{a}{2^b}\cdot \frac{c}{2^d} &= \frac{ a c}{2^{b+d}} \end{align}$$ हालाँकि, विभाजन (गणित) का परिणाम एक द्विअर्थी परिमेय द्वारा दूसरे परिमेय होना आवश्यक नहीं है। उदाहरण के लिए, 1 और 3 दोनों द्विअर्थी परिमेय संख्याएँ हैं, लेकिन 1/3 नहीं है।

अतिरिक्त गुण
प्रत्येक पूर्णांक, और प्रत्येक आधा पूर्णांक, एक द्विअर्थी परिमेय है। वे दोनों दो की शक्ति से विभाजित एक पूर्णांक होने की परिभाषा को पूरा करते हैं: प्रत्येक पूर्णांक एक पूर्णांक है जिसे एक (दो की शून्य शक्ति) से विभाजित किया जाता है, और प्रत्येक आधा-पूर्णांक दो से विभाजित एक पूर्णांक होता है।

प्रत्येक वास्तविक संख्या को द्विअक्षीय परिमेय द्वारा मनमाने ढंग से निकटता से अनुमानित किया जा सकता है। विशेष रूप से, वास्तविक संख्या के लिए $$x$$, फॉर्म के डायाडिक परिमेय पर विचार करें $\lfloor 2^i x \rfloor / 2^i$, कहाँ $$i$$ कोई भी पूर्णांक हो सकता है और $$\lfloor\dots\rfloor$$ फर्श समारोह को दर्शाता है जो इसके तर्क को एक पूर्णांक तक नीचे ले जाता है। ये संख्या अनुमानित हैं $$x$$ नीचे से एक त्रुटि के भीतर $$1/2^i$$, जिसे चुनकर मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है $$i$$ मनमाने ढंग से बड़ा होना। वास्तविक संख्याओं के भग्न  सबसेट के लिए, यह त्रुटि सीमा इष्टतम के स्थिर कारक के भीतर है: इन संख्याओं के लिए, कोई सन्निकटन नहीं है $$n/2^i$$ एक स्थिर समय से छोटी त्रुटि के साथ $$1/2^i$$. सटीक डायाडिक सन्निकटनों के अस्तित्व को यह कहकर व्यक्त किया जा सकता है कि सभी डायाडिक परिमेय का सेट वास्तविक रेखा में सघन सेट है। अधिक दृढ़ता से, यह सेट समान रूप से सघन है, इस अर्थ में कि भाजक के साथ द्विअर्थी परिमेय $$2^i$$ वास्तविक रेखा पर समान दूरी पर हैं।

डाइएडिक परिमेय ठीक वे संख्याएँ हैं जिनमें परिमित बाइनरी संख्या होती है। उनके द्विआधारी विस्तार अद्वितीय नहीं हैं; 0 (टर्मिनल 0s को अनदेखा करते हुए) के अलावा प्रत्येक डायाडिक परिमेय का एक परिमित और एक अनंत प्रतिनिधित्व है। उदाहरण के लिए, 0.112 = 0.10111...2, 3/4 के लिए दो अलग-अलग प्रतिनिधित्व दे रहा है। डाइएडिक परिमेय संख्याएँ ही एकमात्र ऐसी संख्याएँ हैं जिनके द्विआधारी विस्तार अद्वितीय नहीं हैं।

बीजगणितीय संरचना
क्योंकि वे जोड़, घटाव और गुणा के तहत बंद हैं, लेकिन विभाजन नहीं, डायडिक परिमेय एक वलय (गणित) हैं, लेकिन क्षेत्र (गणित) नहीं हैं। डाइएडिक परिमेय के वलय को निरूपित किया जा सकता है $$\Z[\tfrac12]$$, जिसका अर्थ है कि यह तर्क 1/2 पर पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों का मूल्यांकन करके उत्पन्न किया जा सकता है। एक वलय के रूप में, द्विअर्थी परिमेय परिमेय संख्याओं का एक उपवलय और पूर्णांकों का एक overring हैं। बीजगणितीय रूप से, यह वलय दो की शक्ति के समुच्चय के संबंध में पूर्णांकों के वलय का स्थानीयकरण है।

वास्तविक संख्याओं का एक उपसमूह बनाने के साथ-साथ, द्विअंकीय परिमेय संख्याएँ p-adic संख्या|2-adic संख्याओं का एक उपसमूह बनाती हैं, संख्याओं की एक प्रणाली जिसे द्विआधारी निरूपण से परिभाषित किया जा सकता है जो बाइनरी के दाईं ओर परिमित हैं बिंदु लेकिन बाईं ओर असीम रूप से विस्तारित हो सकता है। 2-एडिक संख्याओं में सभी परिमेय संख्याएँ शामिल हैं, न कि केवल युग्मक परिमेय संख्याएँ। द्वैदिक परिमेय को 2-आदिक संख्याओं में एम्बेड करने से युग्मक परिमेय के अंकगणित में परिवर्तन नहीं होता है, लेकिन यह उन्हें वास्तविक संख्याओं के एक उपसमूह की तुलना में एक अलग सांस्थितिक संरचना प्रदान करता है। जैसा कि वे वास्तविक में करते हैं, डाइडिक परिमेय 2-एडिक संख्याओं का एक सघन उपसमुच्चय बनाते हैं, और परिमित बाइनरी विस्तार के साथ 2-एडिक संख्याओं का सेट है। प्रत्येक 2-एडिक संख्या को 2-एडिक पूर्णांक और एक डायडिक परिमेय के योग में विघटित किया जा सकता है; इस अर्थ में, डायाडिक परिमेय 2-एडिक संख्याओं के भिन्नात्मक भागों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, लेकिन यह अपघटन अद्वितीय नहीं है।

डायाडिक परिमेय मॉड्यूलो 1 का जोड़ (भागफल समूह $$\Z[\tfrac12]/\Z$$ पूर्णांकों द्वारा डायाडिक परिमेय का) Prüfer group|Prüfer 2-group बनाता है।

डायाडिक सोलनॉइड
डायाडिक परिमेय के केवल जोड़ और घटाव संचालन को ध्यान में रखते हुए उन्हें एक योज्य एबेलियन समूह की संरचना देता है। पोंट्रीगिन द्वैत दोहरे समूहों का निर्माण करके एबेलियन समूहों को समझने की एक विधि है, जिनके तत्व मूल समूह के वर्ण (गणित) हैं, समूह समरूपता जटिल संख्याओं के गुणक समूह के लिए, दोहरे समूह संचालन के रूप में बिंदुवार गुणन के साथ। इस तरह से निर्मित योज्य डाइएडिक परिमेय के दोहरे समूह को एक सांस्थितिक समूह के रूप में भी देखा जा सकता है। इसे डायाडिक सोलनॉइड कहा जाता है, और इस उत्पाद में डायाडिक परिमेय के विकर्ण आकारिकी द्वारा वास्तविक संख्याओं और 2-एडीक संख्याओं, भागफल समूह के सामयिक उत्पाद के लिए आइसोमॉर्फिक है। यह एक प्रोटोरस, एक सोलनॉइड (गणित), और एक अविघटनीय सातत्य का एक उदाहरण है।

विशिष्ट बिंदुओं के रूप में डाइएडिक परिमेय के साथ कार्य
क्योंकि वे वास्तविक संख्याओं के एक सघन उपसमुच्चय हैं, उनके संख्यात्मक क्रम के साथ रंगारंग परिमेय एक सघन क्रम बनाते हैं। कैंटर के आइसोमोर्फिज्म प्रमेय द्वारा किन्हीं भी दो असीम गणनीय घने रैखिक क्रमों के साथ, डायाडिक परिमेय परिमेय संख्याओं के लिए ऑर्डर आइसोमोर्फिज़्म | ऑर्डर-आइसोमॉर्फिक हैं। इस मामले में, मिन्कोव्स्की का प्रश्न-चिह्न फ़ंक्शन सभी परिमेय संख्याओं के समुच्चय और द्विअर्थी परिमेय संख्याओं के समुच्चय के बीच एक आदेश-संरक्षण आक्षेप प्रदान करता है।

डायाडिक परिमेय, Daubechies वेवलेट्स के विश्लेषण में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, उन बिंदुओं के सेट के रूप में जहां इन वेवलेट्स का वेवलेट#स्केलिंग फ़ंक्शन नॉन-स्मूथ है। इसी तरह, डायाडिक परिमेय हेनोन मानचित्र के पैरामीटर स्थान में स्थिर और अस्थिर बिंदुओं के बीच की सीमा में विच्छिन्नता को मापते हैं।

इकाई अंतराल से खुद तक टुकड़े-टुकड़े रैखिक फ़ंक्शन होमियोमोर्फिज्म का सेट जिसमें 2 ढलानों की शक्ति होती है और डायाडिक-तर्कसंगत ब्रेकप्वाइंट फ़ंक्शन संरचना के संचालन के तहत एक समूह बनाते हैं। यह थॉम्पसन समूह है | थॉम्पसन का समूह, अनंत का पहला ज्ञात उदाहरण है लेकिन एक समूह सरल समूह की प्रस्तुति। उसी समूह को रूटेड बाइनरी ट्री पर एक क्रिया द्वारा भी दर्शाया जा सकता है, या इकाई अंतराल के भीतर डाइएडिक परिमेय पर एक क्रिया द्वारा।

अन्य संबंधित निर्माण
उलटे गणित में, वास्तविक संख्याओं के निर्माण का एक तरीका उन्हें यूनरी अंक प्रणाली से डाइएडिक परिमेय तक कार्यों के रूप में प्रस्तुत करना है, जहां तर्क के लिए इन कार्यों में से एक का मान $$i$$ भाजक के साथ एक द्विअर्थी परिमेय है $$2^i$$ जो दी गई वास्तविक संख्या का अनुमान लगाता है। इस तरह से वास्तविक संख्याओं को परिभाषित करने से गणितीय विश्लेषण के कई बुनियादी परिणामों को संभव विश्लेषण (बीटीएफए) कहे जाने वाले दूसरे क्रम के अंकगणित के प्रतिबंधित सिद्धांत के भीतर सिद्ध किया जा सकता है।

वास्तविक संख्याएं एक पुनरावृत्त निर्माण सिद्धांत द्वारा उत्पन्न होती हैं जो सभी परिमित डाइडिक परिमेय को उत्पन्न करके शुरू होती हैं, और फिर नए और अजीब प्रकार के अनंत, अपरिमेय और अन्य संख्याओं का निर्माण करती हैं। यह संख्या प्रणाली मिश्रित खेल सिद्धांत के लिए मूलभूत है, और इस सिद्धांत में स्वाभाविक रूप से कुछ संयोजी खेलों के मूल्यों के सेट के रूप में डायाडिक परिमेय उत्पन्न होते हैं।

फ्यूसिबल संख्याएं डाइडिक परिमेय का एक उपसमुच्चय हैं, सेट का बंद होना $$\{0\}$$ ऑपरेशन के तहत $$x,y\mapsto(x+y+1)/2$$, जोड़ियों तक सीमित है $$x,y$$ साथ $$|x-y|<1$$. वे सुव्यवस्थित हैं, एप्सिलॉन संख्या (गणित) के बराबर ऑर्डर प्रकार के साथ $$\varepsilon_0$$. प्रत्येक पूर्णांक के लिए $$n$$ सबसे छोटी फ़्यूज़िबल संख्या जो से अधिक है $$n$$ रूप है $$n+1/2^k$$. का अस्तित्व $$k$$ प्रत्येक के लिए $$n$$ पीनो अंकगणित में सिद्ध नहीं किया जा सकता है, और $$k$$ के कार्य के रूप में इतनी तेजी से बढ़ता है $$n$$ उसके लिए $$n=3$$ यह (बड़ी संख्या के लिए नुथ के अप-एरो नोटेशन में) पहले से ही बड़ा है $$2\uparrow^9 16$$.

उरीसोहन के लेम्मा का सामान्य प्रमाण लेम्मा से अलग करने वाले कार्य के निर्माण के लिए डायाडिक अंशों का उपयोग करता है।