स्थिर k फ़िल्टर

लगातार k फ़िल्टर, k-प्रकार फ़िल्टर भी, एक प्रकार का इलेक्ट्रॉनिक फ़िल्टर है जिसे छवि प्रतिबाधा विधि का उपयोग करके डिज़ाइन किया गया है। वे इस पद्धति द्वारा उत्पादित मूल और सरल फ़िल्टर हैं और इसमें निष्क्रियता (इंजीनियरिंग) #निष्क्रिय फ़िल्टर घटकों के समान वर्गों की एक इलेक्ट्रॉनिक फ़िल्टर टोपोलॉजी # सीढ़ी टोपोलॉजी शामिल है। ऐतिहासिक रूप से, वे पहले फ़िल्टर हैं जो पर्याप्त संख्या में अनुभागों को जोड़ने के साथ किसी भी निर्धारित सीमा के भीतर सिंक फिल्टर आवृत्ति प्रतिक्रिया तक पहुंच सकते हैं। हालाँकि, वे एक आधुनिक डिज़ाइन के लिए एनालॉग फ़िल्टर # छवि विधि बनाम संश्लेषण हैं, उनके पीछे के सिद्धांतों को नेटवर्क संश्लेषण फ़िल्टर द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है जो फ़िल्टर प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी में अधिक सटीक हैं।

इतिहास
कॉन्स्टेंट k फिल्टर का आविष्कार जॉर्ज एशले कैंपबेल ने किया था। उन्होंने अपना काम 1922 में प्रकाशित किया, लेकिन स्पष्ट रूप से कुछ समय पहले ही फिल्टर का आविष्कार कर लिया था, अमेरिकन टेलीफोन एंड टेलीग्राफ|एटीएंडटी कंपनी में उनके सहयोगी ओटो ज़ोबेल इस समय पहले से ही डिज़ाइन में सुधार कर रहे थे। कैंपबेल के फिल्टर पहले इस्तेमाल किए गए सरल इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर#सिंगल एलिमेंट प्रकारों से कहीं बेहतर थे। कैंपबेल ने अपने फिल्टर को इलेक्ट्रिक वेव फिल्टर कहा, लेकिन बाद में इस शब्द का अर्थ कोई भी फिल्टर हो गया जो कुछ आवृत्तियों की तरंगों को पारित करता है लेकिन अन्य को नहीं। बाद में तरंग फिल्टर के कई नए रूपों का आविष्कार किया गया; एक प्रारंभिक (और महत्वपूर्ण) भिन्नता ज़ोबेल द्वारा एम-व्युत्पन्न फ़िल्टर थी जिसने उन्हें अलग करने के लिए कैंपबेल फ़िल्टर के लिए निरंतर k शब्द गढ़ा था। कैंपबेल के फिल्टर का आरएल सर्किट और उस समय के अन्य सरल फिल्टर की तुलना में बड़ा लाभ यह था कि उन्हें बैंड बंद करो  अस्वीकृति की किसी भी वांछित डिग्री या पासबैंड और स्टॉप बैंड के बीच संक्रमण की स्थिरता के लिए डिज़ाइन किया जा सकता था। वांछित प्रतिक्रिया प्राप्त होने तक केवल अधिक फ़िल्टर अनुभाग जोड़ना आवश्यक था। फिल्टर को कैंपबेल द्वारा संचरण लाइन ों पर मल्टिप्लेक्स टेलीफोन चैनलों को अलग करने के उद्देश्य से डिजाइन किया गया था, लेकिन उनका बाद का उपयोग उससे कहीं अधिक व्यापक रहा है। कैंपबेल द्वारा उपयोग की गई डिज़ाइन तकनीकों को काफी हद तक हटा दिया गया है। हालाँकि, कैंपबेल द्वारा निरंतर k के साथ उपयोग किया जाने वाला सीढ़ी नेटवर्क आज भी Tchebyscheff फ़िल्टर जैसे आधुनिक फ़िल्टर डिज़ाइन के कार्यान्वयन के साथ उपयोग में है। कैंपबेल ने  कम उत्तीर्ण,  उच्च मार्ग  और बैंड-पास फिल्टर के लिए निरंतर k डिज़ाइन दिए। बैंड-स्टॉप और मल्टीपल बैंड फिल्टर भी संभव हैं।

शब्दावली
इस आलेख में प्रयुक्त कुछ प्रतिबाधा शर्तें और अनुभाग शर्तें नीचे दिए गए चित्र में चित्रित की गई हैं। छवि सिद्धांत दो-पोर्ट नेटवर्क | दो-पोर्ट अनुभागों के एक अनंत कैस्केड के संदर्भ में मात्राओं को परिभाषित करता है, और चर्चा किए जा रहे फिल्टर के मामले में, एल-सेक्शन की एक अनंत सीढ़ी टोपोलॉजी। यहां L को इंडक्शन L के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए - इलेक्ट्रॉनिक फ़िल्टर टोपोलॉजी में, L विशिष्ट फ़िल्टर आकार को संदर्भित करता है जो उल्टे अक्षर L जैसा दिखता है।

काल्पनिक अनंत फ़िल्टर के अनुभाग प्रतिबाधा 2Z वाले श्रृंखला तत्वों और प्रवेश 2Y वाले शंट तत्वों से बने होते हैं। दो का गुणनखंड गणितीय सुविधा के लिए पेश किया गया है, क्योंकि आधे-खंडों के संदर्भ में काम करना सामान्य है जहां यह गायब हो जाता है। किसी अनुभाग के इनपुट और आउटपुट पोर्ट (सर्किट सिद्धांत) की छवि प्रतिबाधा आम तौर पर समान नहीं होगी। हालाँकि, मध्य-श्रृंखला अनुभाग के लिए (अर्थात, श्रृंखला तत्व के आधे रास्ते से अगले श्रृंखला तत्व के आधे रास्ते तक का अनुभाग) समरूपता के कारण दोनों बंदरगाहों पर समान छवि प्रतिबाधा होगी। यह छवि प्रतिबाधा निर्दिष्ट है  की वजह मध्य-श्रृंखला अनुभाग की टोपोलॉजी। इसी तरह, मध्य-शंट अनुभाग की छवि प्रतिबाधा निर्दिष्ट की जाती है   की वजह टोपोलॉजी. ऐसे का आधा  या   अनुभाग को अर्ध-अनुभाग कहा जाता है, जो एक एल-अनुभाग भी है लेकिन पूर्ण एल-अनुभाग के आधे तत्व मूल्यों के साथ। आधे-खंड की छवि प्रतिबाधा इनपुट और आउटपुट पोर्ट पर भिन्न है: श्रृंखला तत्व प्रस्तुत करने वाले पक्ष पर यह मध्य-श्रृंखला के बराबर है , लेकिन शंट तत्व प्रस्तुत करने वाले पक्ष में यह मध्य-शंट के बराबर है. इस प्रकार आधे-खंड का उपयोग करने के दो भिन्न तरीके हैं।

व्युत्पत्ति
स्थिर k फ़िल्टर का बिल्डिंग ब्लॉक आधा खंड L नेटवर्क है, जो एक श्रृंखला विद्युत प्रतिबाधा Z और एक शंट प्रवेश Y से बना है। स्थिर k में k निम्न द्वारा दिया गया मान है,
 * $$k^2=\frac{Z}{Y}$$

इस प्रकार, k में प्रतिबाधा की इकाइयाँ होंगी, अर्थात ओम। यह स्पष्ट रूप से स्पष्ट है कि k के स्थिर रहने के लिए, Y को Z की दोहरी प्रतिबाधा होनी चाहिए। k की एक भौतिक व्याख्या यह देखकर दी जा सकती है कि k, Z का सीमित मान हैi जैसे-जैसे अनुभाग का आकार (इसके घटकों के मूल्यों के संदर्भ में, जैसे प्रेरकत्व, कैपेसिटेंस इत्यादि) शून्य तक पहुंचता है, जबकि k को इसके प्रारंभिक मूल्य पर रखा जाता है। इस प्रकार, k विशेषता प्रतिबाधा, Z है0, ट्रांसमिशन लाइन का जो इन अनंत छोटे खंडों द्वारा बनाई जाएगी। यह बैंड-पास फिल्टर के मामले में, विद्युत अनुनाद पर, या कम-पास फिल्टर के मामले में ω = 0 पर अनुभाग की छवि प्रतिबाधा भी है। उदाहरण के लिए, चित्रित निम्न-पास आधा-खंड है


 * $$k = \sqrt{\frac{i\omega L}{i \omega C}} = \sqrt{\frac{L}{C}}$$.

K के समान मान को बनाए रखते हुए तत्व L और C को मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है। हालाँकि, Z और Y दोनों शून्य के करीब पहुँच रहे हैं, और छवि प्रतिबाधा के लिए सूत्रों (नीचे) से, 
 * $$\lim_{Z,Y \to 0}Z_\mathrm i=k$$.

छवि प्रतिबाधा
अनुभाग की छवि प्रतिबाधाएँ दी गई हैं
 * $${Z_\mathrm{iT}}^2=Z^2 + k^2$$

और


 * $$\frac{1}{{Z_\mathrm{i\Pi}}^2}={Y_\mathrm{i\Pi}}^2=Y^2 + \frac{1}{k^2}$$

यह देखते हुए कि फ़िल्टर में कोई प्रतिरोधी तत्व नहीं है, फ़िल्टर के पास बैंड में छवि प्रतिबाधा पूरी तरह से वास्तविक संख्या है और स्टॉप बैंड में यह पूरी तरह से काल्पनिक संख्या है। उदाहरण के लिए, चित्रित निम्न-पास आधे-अनुभाग के लिए,
 * $${Z_\mathrm{iT}}^2=-(\omega L)^2 + \frac{L}{C}$$

संक्रमण द्वारा दी गई कट-ऑफ आवृत्ति पर होता है


 * $$\omega_c=\frac{1}{\sqrt{LC}}$$

इस आवृत्ति के नीचे, छवि प्रतिबाधा वास्तविक है,


 * $$Z_\mathrm{iT}=L\sqrt{\omega_c^2-\omega^2}$$

कट-ऑफ आवृत्ति के ऊपर छवि प्रतिबाधा काल्पनिक है,


 * $$Z_\mathrm{iT}=iL\sqrt{\omega^2-\omega_c^2}$$

ट्रांसमिशन पैरामीटर


सामान्य स्थिरांक k अर्ध-खंड के लिए ट्रांसमिशन पैरामीटर इसके द्वारा दिए गए हैं
 * $$\gamma=\sinh^{-1}\frac{Z}{k}$$

और n आधे-खंडों की एक श्रृंखला के लिए


 * $$\gamma_n=n\gamma\,\!$$

कम-पास एल-आकार अनुभाग के लिए, कट-ऑफ आवृत्ति के नीचे, ट्रांसमिशन पैरामीटर दिए गए हैं


 * $$\gamma=\alpha+i\beta=0+i\sin^{-1}\frac{\omega}{\omega_c}$$

अर्थात्, पास-बैंड में ट्रांसमिशन दोषरहित होता है और केवल सिग्नल का चरण बदलता है। कट-ऑफ आवृत्ति के ऊपर, ट्रांसमिशन पैरामीटर हैं:


 * $$\gamma=\alpha+i\beta=\cosh^{-1}\frac{\omega}{\omega_c}+i\frac{\pi}{2}$$

प्रोटोटाइप परिवर्तन
छवि प्रतिबाधा, क्षीणन और चरण परिवर्तन के प्रस्तुत प्लॉट एक कम-पास प्रोटोटाइप फ़िल्टर अनुभाग के अनुरूप हैं। प्रोटोटाइप में ω की कट-ऑफ आवृत्ति हैc = 1 रेड/एस और नाममात्र प्रतिबाधा k = 1 Ω. यह इंडक्शन एल = 1 हेनरी (इकाई)  और कैपेसिटेंस सी = 1 फैराड के साथ एक फिल्टर आधे-सेक्शन द्वारा निर्मित होता है। यह प्रोटोटाइप वांछित मानों के लिए प्रोटोटाइप फ़िल्टर#प्रतिबाधा स्केलिंग और प्रोटोटाइप फ़िल्टर#फ़्रीक्वेंसी स्केलिंग हो सकता है। निम्न-पास प्रोटोटाइप को उपयुक्त प्रोटोटाइप फिल्टर#बैंडफॉर्म ट्रांसफॉर्मेशन के अनुप्रयोग द्वारा उच्च-पास, बैंड-पास या बैंड-स्टॉप प्रकारों में भी परिवर्तन (ज्यामिति) किया जा सकता है।

कैस्केडिंग अनुभाग
एक मिश्रित फिल्टर बनाने के लिए कई एल-आकार के आधे-खंडों को कैस्केड किया जा सकता है। इन संयोजनों में समान प्रतिबाधा का हमेशा सामना करना चाहिए। इसलिए दो सर्किट हैं जिन्हें दो समान एल-आकार के आधे-खंडों के साथ बनाया जा सकता है। जहां छवि प्रतिबाधा Z का एक पोर्ट हैundefined दूसरे Z का सामना करता हैundefined, अनुभाग को ए कहा जाता है  अनुभाग। कहाँ Zundefined Z का सामना करेंundefined इस प्रकार बना अनुभाग एक टी अनुभाग है। इनमें से किसी भी अनुभाग में आधे-अनुभागों को जोड़ने से एक सीढ़ी नेटवर्क बनता है जो श्रृंखला या शंट तत्वों के साथ शुरू और समाप्त हो सकता है। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि छवि विधि द्वारा अनुमानित फ़िल्टर की विशेषताएं केवल तभी सटीक होती हैं जब अनुभाग को उसकी छवि प्रतिबाधा के साथ समाप्त किया जाता है। यह आमतौर पर किसी भी छोर पर अनुभागों के लिए सच नहीं है, जो आमतौर पर एक निश्चित प्रतिरोध के साथ समाप्त होते हैं। अनुभाग फ़िल्टर के अंत से जितना दूर होगा, भविष्यवाणी उतनी ही सटीक होगी, क्योंकि समाप्ति बाधाओं के प्रभाव को हस्तक्षेप करने वाले अनुभागों द्वारा छुपाया जाता है।

यह भी देखें

 * छवि प्रतिबाधा
 * एम-व्युत्पन्न फ़िल्टर
 * मिमी'-प्रकार फ़िल्टर
 * समग्र छवि फ़िल्टर

संदर्भ

 * Bray, J., Innovation and the Communications Revolution, Institute of Electrical Engineers, 2002.
 * Matthaei, G.; Young, L.; Jones, E. M. T., Microwave Filters, Impedance-Matching Networks, and Coupling Structures McGraw-Hill 1964.
 * Zobel, O. J.,Theory and Design of Uniform and Composite Electric Wave Filters, Bell System Technical Journal, Vol. 2 (1923), pp. 1–46.

अग्रिम पठन

 * For a simpler treatment of the analysis see,