विश्लेषणात्मक विविधता

गणित में, एक विश्लेषणात्मक मैनिफ़ोल्ड, जिसे a के रूप में भी जाना जाता है $$C^\omega$$ मैनिफ़ोल्ड, विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन ट्रांज़िशन मानचित्रों के साथ एक अलग-अलग मैनिफ़ोल्ड है। यह शब्द आम तौर पर वास्तविक विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड को संदर्भित करता है, हालांकि जटिल मैनिफोल्ड भी विश्लेषणात्मक होते हैं। बीजगणितीय ज्यामिति में, विश्लेषणात्मक स्थान विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड्स का एक सामान्यीकरण है जैसे कि विलक्षणताओं की अनुमति है।

के लिए $$U \subseteq \R^n$$, विश्लेषणात्मक कार्यों का स्थान, $$C^{\omega}(U)$$, असीम रूप से भिन्न कार्यों से युक्त है $$f:U \to \R $$, जैसे कि टेलर श्रृंखला

$$T_f(\mathbf{x}) = \sum_{|\alpha| \geq 0}\frac{D^\alpha f(\mathbf{x_0})}{\alpha!} (\mathbf{x}-\mathbf{x_0})^\alpha$$ में एकत्रित हो जाता है $$f(\mathbf{x})$$ के एक पड़ोस में $$\mathbf{x_0}$$, सभी के लिए $$\mathbf{x_0} \in U$$. संक्रमण मानचित्रों के विश्लेषणात्मक होने की आवश्यकता उनके असीम रूप से भिन्न होने की तुलना में काफी अधिक प्रतिबंधात्मक है; विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड स्मूथनेस#डिफरेंशियलिटी वर्गों का एक उचित उपसमुच्चय है, अर्थात। $$C^\infty$$, कई गुना। विश्लेषणात्मक और स्मूथ मैनिफोल्ड्स के सिद्धांत के बीच कई समानताएं हैं, लेकिन एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड्स एकता के विश्लेषणात्मक विभाजन को स्वीकार नहीं करते हैं, जबकि स्मूथ मैनिफोल्ड्स के अध्ययन में एकता का स्मूथ विभाजन एक आवश्यक उपकरण है। परिभाषाओं और सामान्य सिद्धांत का पूर्ण विवरण वास्तविक मामले के लिए डिफरेंशियल मैनिफोल्ड पर और जटिल मामले के लिए कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड पर पाया जा सकता है।

यह भी देखें

 * जटिल कई गुना
 * विश्लेषणात्मक विविधता