सम्मिश्र-अभिविन्यस्त सह समरूपता सिद्धांत

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, एक जटिल-उन्मुख सह-समरूपता सिद्धांत एक गुणात्मक सह-समरूपता सिद्धांत ई है जैसे कि प्रतिबंध मानचित्र $$E^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty) \to E^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1)$$ विशेषण है. का एक तत्व $$E^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty)$$ यह कम किए गए सिद्धांत के विहित जनरेटर तक सीमित है $$\widetilde{E}^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1)$$ जटिल अभिविन्यास कहा जाता है। यह धारणा औपचारिक समूह कानूनों के सह-समरूपता से संबंधित क्विलेन के काम के केंद्र में है। यदि ई एक सम-वर्गीकृत सिद्धांत अर्थ है $$\pi_3 E = \pi_5 E = \cdots$$, तो E जटिल-उन्मुख है। यह अतियाह-हिर्ज़ेब्रुच वर्णक्रमीय अनुक्रम से अनुसरण करता है।

उदाहरण:
 * किसी भी गुणांक वलय R के साथ एक सामान्य सह-समरूपता जटिल उन्मुख है, जैसे $$\operatorname{H}^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty; R) \simeq \operatorname{H}^2(\mathbb{C}\mathbf{P}^1;R)$$.
 * कॉम्प्लेक्स के-सिद्धांत, जिसे केयू कहा जाता है, जटिल-उन्मुख है, क्योंकि यह सम-वर्गीकृत है। (बॉट आवधिकता प्रमेय)
 * जटिल सह-बॉर्डिज्म, जिसका स्पेक्ट्रम एमयू द्वारा दर्शाया गया है, जटिल-उन्मुख है।

एक जटिल अभिविन्यास, इसे t कहें, एक औपचारिक समूह कानून को इस प्रकार जन्म देता है: मान लीजिए कि m गुणन है
 * $$\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty \times \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty \to \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty, ([x], [y]) \mapsto [xy]$$

कहाँ $$[x]$$ अंतर्निहित सदिश स्थान में x से होकर गुजरने वाली एक रेखा को दर्शाता है $$\mathbb{C}[t]$$ का $$\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty$$. यह यूनिवर्सल लाइन बंडल ओवर के टेंसर उत्पाद को वर्गीकृत करने वाला मानचित्र है $$ \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty $$. देखना
 * $$E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty) = \varprojlim E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^n) = \varprojlim R[t]/(t^{n+1}) = R[\![t]\!], \quad R =\pi_* E $$,

होने देना $$f = m^*(t)$$ m के अनुदिश t का पुलबैक बनें। वो में रहता है
 * $$E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^\infty \times \mathbb{C}\mathbf{P}^\infty) = \varprojlim E^*(\mathbb{C}\mathbf{P}^n \times \mathbb{C}\mathbf{P}^m) = \varprojlim R[x,y]/(x^{n+1},y^{m+1}) = R[\![x, y]\!]$$

और कोई लाइन बंडलों के टेंसर उत्पाद के गुणों का उपयोग करके दिखा सकता है, यह एक औपचारिक समूह कानून है (उदाहरण के लिए, साहचर्य को संतुष्ट करता है)।

यह भी देखें

 * क्रोमैटिक होमोटॉपी सिद्धांत

संदर्भ

 * M. Hopkins, Complex oriented cohomology theory and the language of stacks
 * J. Lurie, Chromatic Homotopy Theory (252x)