पॉइसन योग सूत्र

गणित में, पॉइसन योग सूत्र एक समीकरण है जो किसी फलन (गणित) के आवधिक योग के फूरियर श्रृंखला गुणांक को फलन के निरंतर फूरियर परिवर्तन के मूल्यों से जोड़ता है। परिणाम स्वरुप किसी फलन का आवधिक योग मूल फलन के फूरियर रूपांतरण के अलग-अलग नमूनों द्वारा पूरी तरह से परिभाषित होता है। और इसके विपरीत किसी फलन के फूरियर रूपांतरण का आवधिक योग पूरी तरह से मूल फलन के अलग-अलग नमूनों द्वारा परिभाषित किया गया है। पॉइसन योग सूत्र की खोज शिमोन डेनिस पॉइसन ने की थी और इसे कभी-कभी पॉइसन पुनर्मूल्यांकन भी कहा जाता है।

समीकरण के रूप
फूरियर रूपांतरण $S(f) \triangleq \int_{-\infty}^{\infty} s(x)\ e^{-i2\pi fx}\, dx,$ के साथ एक एपेरियोडिक फलन $$s(x)$$ पर विचार करें जिसे वैकल्पिक रूप से $$\hat s(f)$$ और $$\mathcal{F}\{s\}(f).$$ द्वारा निर्दिष्ट किया गया है

आवधिक कार्यों पर भी विचार करें, जहां पैरामीटर $$T>0$$ और $$P>0$$ $$x$$ के समान इकाइयों में हैं। $$s_{_P}(x) \triangleq \sum_{n=-\infty}^{\infty} s(x + nP) \quad \text{and} \quad S_{1/T}(f) \triangleq \sum_{k=-\infty}^{\infty} S(f + k/T). $$ तब $$ इस सामान्यीकरण का एक विशेष स्थिति (P=1, x=0) है:

जो गुणांकों के साथ एक फूरियर श्रृंखला विस्तार है जो फलन $$S(f).$$ के नमूने हैं इसी प्रकार:

इसे महत्वपूर्ण असतत-समय फूरियर रूपांतरण के रूप में भी जाना जाता है।

$$

पोइसन योग सूत्र को छोटे स्पष्ट अनुक्रमों के साथ पोंट्रीगिन द्वैत की अनुकूलता का उपयोग करके अधिक वैचारिक रूप से सिद्ध किया जा सकता है जैसे कि $$0 \to \Z \to \R \to \R / \Z \to 0.$$

प्रयोज्यता
$$ होल्ड प्रदान किया गया $$s(x)$$ एक सतत एलपी स्थान है जो संतुष्ट करता है $$|s(x)| + |S(x)| \le C (1+|x|)^{-1-\delta}$$ कुछ $$C > 0,\delta > 0$$ और प्रत्येक $$x.$$ के लिए ध्यान दें कि ऐसा $$s(x)$$ समान रूप से निरंतर है, यह $$s$$ पर क्षय धारणा के साथ मिलकर दर्शाता है कि $$s_{_P}$$ को परिभाषित करने वाली श्रृंखला समान रूप से एक निरंतर फलन में परिवर्तित होती है। समीकरण $$ इस बात को शक्ति से मानता है कि दोनों पक्ष समान रूप से और बिल्कुल एक ही सीमा तक अभिसरित होते हैं।

$$ एक बिंदुवार अर्थ में पूरी तरह से अशक्त धारणा के तहत है कि $$s$$ में सीमित भिन्नता है और $$2 \cdot s(x)=\lim_{\varepsilon\to 0} s(x+\varepsilon) + \lim_{\varepsilon\to 0} s(x-\varepsilon).$$ $$ के दाईं ओर फूरियर श्रृंखला को सममित आंशिक योगों की (नियमित रूप से अभिसरण) सीमा के रूप में समझा जाता है।

जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, $$ बहुत कम प्रतिबंधात्मक धारणा के तहत है कि $$s(x)$$$$L^1(\mathbb{R})$$ में है, किंतु फिर इसकी व्याख्या इस अर्थ में करना आवश्यक है कि दाहिनी ओर (संभवतः भिन्न) $$s_{_P}(x).$$ की फूरियर श्रृंखला है इस स्थिति  में, कोई उस क्षेत्र का विस्तार कर सकता है जहां सिजेरो योग जैसे योगनीयता विधियों पर विचार करके समानता कायम है। इस प्रकार अभिसरण की व्याख्या करते समय $$, स्थिति $$x=0,$$ इसे कम प्रतिबंधात्मक शर्तों के तहत रखा जाता है $$s(x)$$ पूर्णांकीय है और 0  $$s_{_P}(x)$$ निरंतरता का एक बिंदु है चूँकि $$ तब भी टिकने में विफल हो सकता है जब $$s$$ और $$S$$ दोनों पूर्णांक और निरंतर हों, और योग पूरी तरह से परिवर्तित हो जाएँ।

छवियों की विधि
आंशिक अंतर समीकरणों में, पॉइसन योग सूत्र छवियों की विधि द्वारा आयताकार सीमा को अवशोषित करने के साथ गर्मी समीकरण के मौलिक समाधान के लिए एक कठोर औचित्य प्रदान करता है। यहां $$\mathbb{R}^2$$ पर हीट कर्नेल ज्ञात है, और एक आयत का ताप आवर्तीकरण लेकर निर्धारित किया जाता है। पॉइसन योग सूत्र इसी प्रकार यूक्लिडियन रिक्त स्थान पर फूरियर विश्लेषण और संबंधित आयामों के टोरी के बीच एक संबंध प्रदान करता है। एक आयाम में, परिणामी समाधान को थीटा फलन कहा जाता है।

बिजली का गतिविज्ञान में, विधि का उपयोग आवधिक ग्रीन के कार्यों की गणना में तेजी लाने के लिए भी किया जाता है।

नमूना
समय-श्रृंखला के सांख्यिकीय अध्ययन में, यदि $$s$$ समय का एक कार्य है, तो केवल समय के समान दूरी वाले बिंदुओं पर इसके मूल्यों को देखना नमूनाकरण कहलाता है। अनुप्रयोगों में, आमतौर पर फलन $$s$$ बैंडलिमिटिंग है|बैंड-लिमिटेड, जिसका अर्थ है कि कुछ कटऑफ आवृत्ति है $$f_o$$ ऐसा है कि $$S(f)$$ कटऑफ से अधिक आवृत्तियों के लिए शून्य है: $$S(f)=0$$ के लिए $$|f|>f_o.$$ बैंड-सीमित कार्यों के लिए, नमूना दर चुनना $$\tfrac{1}{T} > 2 f_o$$ आश्वासन देता है कि कोई भी जानकारी नष्ट नहीं हुई है: तब से $$S$$ इन नमूना मूल्यों से पुनर्निर्माण किया जा सकता है। फिर, फूरियर व्युत्क्रमण द्वारा, ऐसा हो सकता है $$s.$$ यह नाइक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय की ओर ले जाता है।

समय-श्रृंखला के सांख्यिकीय अध्ययन में, यदि $$s$$ समय का एक फलन है, तो समय के समान दूरी वाले बिंदुओं पर केवल इसके मानों को देखना "नमूनाकरण" कहलाता है। अनुप्रयोगों में, सामान्यतः फलन $$s$$ बैंड-सीमित होता है, जिसका अर्थ है कि कुछ कटऑफ आवृत्ति $$f_o$$ है, जैसे कि कटऑफ से अधिक आवृत्तियों के लिए $$S(f)$$ शून्य है: $$S(f)=0$$ के लिए $$|f|>f_o.$$ बैंड-सीमित कार्यों के लिए, नमूना दर$$\tfrac{1}{T} > 2 f_o$$ चुनने से यह आश्वासन मिलती है कि कोई भी जानकारी नष्ट नहीं हुई है: क्योंकि इन नमूना मूल्यों से एस का पुनर्निर्माण किया जा सकता है। फिर, फूरियर व्युत्क्रम द्वारा, एस भी हो सकता है। यह नाइक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय की ओर ले जाता है।

इवाल्ड योग
कम्प्यूटेशनल रूप से, पॉइसन योग सूत्र उपयोगी है क्योंकि वास्तविक स्थान में धीरे-धीरे परिवर्तित होने वाले योग को फूरियर स्थान में तेजी से परिवर्तित होने वाले समतुल्य योग में परिवर्तित होने की आश्वासन है। (वास्तविक स्थान में एक व्यापक कार्य फूरियर अंतरिक्ष में एक संकीर्ण कार्य बन जाता है और इसके विपरीत।) इवाल्ड योग के पीछे यह आवश्यक विचार है।

अभिन्नों का अनुमान
पॉइसन योग सूत्र तब प्राप्त त्रुटियों को सीमित करने के लिए भी उपयोगी होता है जब एक अभिन्न अंग को (रीमैन) योग द्वारा अनुमानित किया जाता है। $S(0)=\int_{-\infty}^\infty dx \, s(x)$ के अनुमान को $\delta \sum_{n=-\infty}^\infty s(n \delta)$  मानें, जहां $$ \delta \ll 1 $$ बिन का आकार है। फिर, समीकरण $$ के अनुसार यह सन्निकटन $ \sum_{k=-\infty}^\infty S(k/ \delta)$  से मेल खाता है। सन्निकटन में त्रुटि को फिर $\left| \sum_{k \ne 0} S(k/ \delta) \right| \le \sum_{k \ne 0} | S(k/ \delta)|$  के रूप में परिबद्ध किया जा सकता है। यह विशेष रूप से तब उपयोगी होता है जब $$1/\delta \gg 1 $$ होने पर $$ s(x) $$ का फूरियर रूपांतरण तेजी से क्षय हो रहा हो।

गोले में जाली बिंदु
बड़े यूक्लिडियन क्षेत्र में जाली बिंदुओं की संख्या के लिए लैंडौ के एसिम्प्टोटिक सूत्र को प्राप्त करने के लिए पॉइसन योग सूत्र का उपयोग किया जा सकता है। इसका उपयोग यह दिखाने के लिए भी किया जा सकता है कि यदि एक इंटीग्रेबल फलन $$s$$ और $$S$$ दोनों के पास कॉम्पैक्ट समर्थन $$s = 0.$$  है तो

संख्या सिद्धांत
संख्या सिद्धांत में, रीमैन ज़ेटा फलन के लिए कार्यात्मक समीकरण सहित विभिन्न प्रकार के कार्यात्मक समीकरण प्राप्त करने के लिए पॉइसन योग का भी उपयोग किया जा सकता है।

पॉइसन योग का ऐसा एक महत्वपूर्ण उपयोग थीटा फलन से संबंधित है: गॉसियन का आवधिक योग। ऊपरी आधे तल में $$ \tau$$ के लिए एक सम्मिश्र संख्या $$ q= e^{i\pi \tau } $$ रखें, और थीटा फलन को परिभाषित करें:

$$ \theta ( \tau) = \sum_n q^{n^2}. $$ $$ \theta (-1/\tau)$$ और $$ \theta (\tau)$$ के बीच का संबंध संख्या सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण सिद्ध होता है, क्योंकि इस प्रकार का संबंध मॉड्यूलर रूप के परिभाषित गुणों में से एक है। $$s(x)= e^{-\pi x^2}$$ को चुनकर और इस तथ्य का उपयोग करके कि $$S(f) = e^{-\pi f ^2},$$ कोई निष्कर्ष निकाल सकता है:

$$\theta \left({-1\over\tau}\right) = \sqrt{\tau \over i} \theta (\tau),$$ रख करके $${1/\lambda} = \sqrt{\tau/i}.$$ इससे यह पता चलता है कि $$\theta^8$$ में $$\tau \mapsto {-1/ \tau}$$ के अंतर्गत एक सरल परिवर्तन गुण है और इसका उपयोग किसी पूर्णांक को आठ पूर्ण वर्गों के योग के रूप में व्यक्त करने के विभिन्न विधि की संख्या के लिए जैकोबी के सूत्र को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।

क्षेत्र पैकिंग
कोहन और एल्कीज़ ने पॉइसन योग सूत्र का उपयोग करके गोले की पैकिंग के घनत्व पर एक ऊपरी सीमा सिद्ध की जिसके बाद आयाम 8 और 24 में इष्टतम गोले की पैकिंग का प्रमाण मिला।

अन्य

 * होने देना $$s(x) = e^{-ax}$$ के लिए $$0 \leq x$$ और $$s(x) = 0$$ के लिए $$x < 0$$ पाने के $$\coth(x) = x\sum_{n \in \Z} \frac{1}{x^2+\pi^2n^2} = \frac{1}{x}+ 2x \sum_{n \in \Z_+} \frac{1}{x^2+\pi^2n^2}.$$
 * इसका उपयोग थीटा फलन के लिए कार्यात्मक समीकरण को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।
 * पॉइसन का सारांश सूत्र रामानुजन की नोटबुक में दिखाई देता है और इसका उपयोग उनके कुछ सूत्रों को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है विशेष रूप से इसका उपयोग रामानुजन के हार्डी को लिखे पहले पत्र में से एक सूत्र को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।
 * इसका उपयोग द्विघात गॉस योग की गणना के लिए किया जा सकता है।

सामान्यीकरण
पॉइसन योग सूत्र यूक्लिडियन स्थान में इच्छानुसार आयाम रखता है। मान लीजिए $$\Lambda$$ $$\mathbb{R}^d$$ में जाली है जिसमें पूर्णांक निर्देशांक वाले बिंदु सम्मिलित हैं। $$L^1(\mathbb{R}^d)$$ में एक फलन $$s$$ के लिए, $$\Lambda$$ के तत्वों द्वारा $$s$$ के अनुवादों को जोड़कर दी गई श्रृंखला पर विचार करें।

$$\sum_{\nu\in\Lambda} s(x+\nu).$$ $$L^1(\mathbb{R}^d)$$ में $$s$$ के लिए प्रमेय, उपरोक्त श्रृंखला लगभग हर जगह बिंदुवार अभिसरण करती है, और इस प्रकार $$\Lambda.$$ पर एक आवधिक फलन $$\mathbb{P}s$$ को परिभाषित करती है जो $$L^1$$ में $$\| \mathbb{P}s \|_1 \le \| s \|_1.$$ के साथ स्थित है

इसके अतिरिक्त, $$\nu$$ में सभी$$\Lambda,$$ के लिए, $$\mathbb{P}S(\nu)$$ ($$\Lambda$$ पर फूरियर रूपांतरण) $$S(\nu)$$ के समान है ($$\mathbb{R}^d$$ पर फूरियर रूपांतरण)।

जब s अतिरिक्त रूप से निरंतर होता है, और $$s$$ और $$S$$ दोनों अनंत पर पर्याप्त तेजी से क्षय करते हैं, तो कोई डोमेन को $$\mathbb{R}^d$$ पर वापस "उलटा" कर सकता है और एक सशक्त कथन बना सकता है। अधिक स्पष्ट रूप से, यदि

$$|s(x)| + |S(x)| \le C (1+|x|)^{-d-\delta}$$ कुछ C के लिए, δ > 0, तो $$\sum_{\nu\in\Lambda} s(x+\nu) = \sum_{\nu\in\Lambda} S(\nu) e^{i 2\pi x\cdot\nu}, $$ जहां दोनों श्रृंखलाएं बिल्कुल और समान रूप से Λ पर अभिसरित होती हैं। जब d = 1 और x = 0, तो यह उपरोक्त समीकरण $$ देता है।

अधिक आम तौर पर, कथन का एक संस्करण तब मान्य होता है जब Λ को $$\mathbb{R}^d$$ में अधिक सामान्य जाली द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। दोहरी जाली Λ′ को दोहरे वेक्टर स्थान के उपसमुच्चय के रूप में या वैकल्पिक रूप से पोंट्रीगिन द्वैत द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। तब कथन यह है कि Λ के प्रत्येक बिंदु पर और Λ′ के प्रत्येक बिंदु पर डेल्टा-फलन का योग, फिर से फूरियर वितरण के रूप में रूपांतरित होता है, जो सही सामान्यीकरण के अधीन है।

इसे थीटा फलन के सिद्धांत में प्रयुक्त किया जाता है, और संख्याओं की ज्यामिति में यह एक संभावित विधि है। वास्तव में क्षेत्रों में जाली बिंदुओं की गिनती पर वर्तमान के काम में इसका नियमित रूप से उपयोग किया जाता है - जाली बिंदुओं पर एक क्षेत्र डी के संकेतक फलन का योग वास्तव में प्रश्न है, जिससे  योग सूत्र के एक समीकरण के पक्ष वही हों जो मांगे गए हैं और किसी समीकरण के पक्ष कुछ ऐसे हैं जिन पर गणितीय विश्लेषण द्वारा आक्रमण किया जा सकता है।

सेलबर्ग ट्रेस सूत्र
संख्या सिद्धांत में स्थानीय रूप से सघन एबेलियन समूह का और अधिक सामान्यीकरण आवश्यक है। गैर-कम्यूटेटिव हार्मोनिक विश्लेषण में, विचार को सेलबर्ग ट्रेस सूत्र में और भी आगे ले जाया जाता है, किंतु यह बहुत गहरा चरित्र लेता है।

संख्या सिद्धांत में हार्मोनिक विश्लेषण प्रयुक्त करने वाले गणितज्ञों की एक श्रृंखला, विशेष रूप से मार्टिन आइक्लर, एटल सेलबर्ग, रॉबर्ट लैंगलैंड्स और जेम्स आर्थर ने, एक असतत उपसमूह के साथ गैर-कम्यूटेटिव स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रिडक्टिव बीजगणितीय समूह $$ G$$ पर फूरियर रूपांतरण के लिए पोइसन योग सूत्र को सामान्यीकृत किया है। $$ \Gamma$$ इस प्रकार कि $$ G/\Gamma$$ का आयतन सीमित है। उदाहरण के लिए, $$ G$$ $$ SL_n$$ का वास्तविक बिंदु हो सकता है और $$ \Gamma$$, $$ SL_n$$ का अभिन्न बिंदु हो सकता है। इस सेटिंग में, $$ G$$ पॉइसन योग के मौलिक संस्करण में वास्तविक संख्या रेखा की भूमिका निभाता है, और $$ \Gamma$$ योग में दिखाई देने वाले पूर्णांक $$ n$$ की भूमिका निभाता है। पॉइसन सारांश के सामान्यीकृत संस्करण को सेलबर्ग ट्रेस सूत्र कहा जाता है, और इसने आर्टिन के अनुमान के कई स्थितियों और विल्स के फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण को सिद्ध करने में भूमिका निभाई है। $$ का बायाँ भाग $$ G$$ के अघुलनशील एकात्मक निरूपण का योग बन जाता है, और इसे "वर्णक्रमीय पक्ष" कहा जाता है, जबकि दाहिना भाग $$ \Gamma$$ के संयुग्मी वर्गों का योग बन जाता है, और इसे "ज्यामितीय" कहा जाता है ।"

पॉइसन योग सूत्र हार्मोनिक विश्लेषण और संख्या सिद्धांत में व्यापक विकास का आदर्श है।

संकल्प प्रमेय
पॉइसन योग सूत्र वितरण (गणित) या टेम्पर्ड वितरण पर कनवल्शन प्रमेय का एक विशेष स्थिति है। यदि दो कारकों में से एक डायराक कोंब है, तो समीकरण के एक तरफ आवधिक योग और दूसरी तरफ नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) प्राप्त होता है। डिराक डेल्टा फलन और इसके फूरियर ट्रांसफॉर्म पर प्रयुक्त फलन जो निरन्तर 1 है, यह डिराक कोंब पहचान उत्पन्न करता है।

पॉइसन योग सूत्र टेम्पर्ड वितरण पर कनवल्शन प्रमेय का एक विशेष मामला है। यदि दो कारकों में से एक डायराक कंघी है,तार 1 है, यह डिराक कंघी पहचान उत्पन्न करता है।

यह भी देखें

 * पोस्ट का व्युत्क्रम सूत्र
 * बोरोन सूत्र
 * असतत-समय फूरियर रूपांतरण
 * एल-फलन के लिए स्पष्ट सूत्र
 * एल-फलन के लिए स्पष्ट सूत्र