दोहरा ग्राफ

रेखांकन सिद्धांत के गणित नियम में, समतल रेखांकन $G$ का द्वैत रेखांकन एक ऐसा रेखांकन है जिसमें $G$ प्रत्येक फलक (रेखांकन सिद्धांत) के लिए शीर्ष (रेखांकन सिद्धांत) होता है | द्वैत रेखांकन $G$ में फलको की प्रत्येक जोड़ी के लिए किनारा (रेखांकन सिद्धांत) होता है जो किनारे से एक दूसरे से अलग होते हैं, और स्व-पाश जब किनारे के दोनों ओर एक ही फलक दिखाई देता है। इस प्रकार,$G$ के प्रत्येक किनारा $e$  का संगत द्वैत किनारा होता है | जिसके अंतबिंदु $e$ के दोनों ओर के फलकों के संगत द्वैत शीर्ष होते हैं. द्वैत की परिभाषा रेखांकन के अंत:स्थापन की पसंद पर निर्भर करती है, इसलिए यह प्लेनर रेखांकन (रेखांकन जो पहले से ही समतल में एम्बेडेड हैं)के अतिरिक्त समतल रेखांकन (रेखांकन जो प्रयुक्त किए जा सकते हैं किंतु जिनके लिए अंत:स्थापन अभी तक ज्ञात नहीं है) है । प्लानर रेखांकन के लिए सामान्यतः, रेखांकन के प्लानर अंत:स्थापन की पसंद के आधार पर, कई द्वैत रेखांकन हो सकते हैं।

ऐतिहासिक रूप से,पहचाने जाने वाले रेखांकन द्वैत का पहला रूप प्लेटोनिक ठोस का द्वैत बहुकोणीय आकृति के जोड़े में जुड़ाव था। रेखांकन द्वैत द्वैत बहुकोणीय आकृति और द्वैत टेसलेशन की ज्यामितीय अवधारणाओं का सामयिक सामान्यीकरण है, और बदले में द्वैत मैट्रोइड की अवधारणा द्वारा सामान्य रूप से संयोजन किया जाता है। प्लैनर रेखांकन द्वैत के रूपांतरों में निर्देशित रेखांकन के लिए द्वैत का संस्करण और गैर-प्लानर द्वि-आयामी सतहों पर एम्बेडेड रेखांकन के लिए द्वैतता सम्मिलित है।

द्वैत रेखांकन की इन धारणाओं को अलग धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, रेखांकन के किनारे-से-शीर्ष द्वैत या लाइन रेखांकन है।

द्वैत (गणित) शब्द का प्रयोग किया जाता है क्योंकि द्वैत रेखांकन होने की संपत्ति सममित कार्य है, जिसका अर्थ है कि यदि $H$ जुड़े रेखांकन $G$ का द्वैत है, तब $G$ का द्वैत है $H$. रेखांकन $G$ के द्वैत पर चर्चा करते समय, रेखांकन $G$ को ही प्रारंभिक रेखांकन कहा जा सकता है। कई अन्य रेखांकन गुणों और संरचनाओं को द्वैत के अन्य प्राकृतिक गुणों और संरचनाओं में अनुवादित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, चक्र (रेखांकन सिद्धांत) कट (रेखांकन सिद्धांत) के लिए द्वैत हैं, फैले हुए पेड़ फैले हुए पेड़ों के पूरक समुच्चय के लिए द्वैत हैं, और सरल रेखांकन (बिना मल्टीग्राफ या लूप (रेखांकन सिद्धांत) | स्व-लूप)3 k के-एज-जुड़े हुए रेखांकन के लिए द्वैत हैं |

रेखांकन द्वैत अस्तव्यस्तता और जल निकासी घाटियों की संरचना की व्याख्या करने में सहायता कर सकता है। कंप्यूटर दृष्टि, कम्प्यूटेशनल ज्यामिति , जाल पीढ़ी और एकीकृत परिपथ के रचना में द्वैत रेखांकन भी प्रयुक्त किए गए हैं।

चक्र और द्विध्रुव
जॉर्डन वक्र प्रमेय द्वारा,चक्र रेखांकन का अद्वितीय प्लानर अंत:स्थापन विमान को चक्र के अंदर और बाहर केवल दो क्षेत्रों में विभाजित करता है। चूँकि,ए में $n$-चक्र, इन दोनों क्षेत्रों $n$ अलग किनारे को एक-दूसरे से अलग किया जाता है। इसलिए,$n$-चक्र का द्वैत रेखांकन  मल्टीग्राफ है जिसमें दो कोने (क्षेत्रों के लिए द्वैत) होते हैं, जो एक दूसरे से $n$ द्वैत किनारे जुड़े होते हैं। इस तरह के रेखांकन को मल्टीपल एज, लिंकेज या कभी-कभी एक द्विध्रुवीय रेखांकन कहा जाता है। इसके विपरीत, एक के लिए द्वैत $n$-किनारे का द्विध्रुव रेखांकन $n$-चक्र है ।

द्वैत बहुकोणीय आकृति
स्टीनिट्ज़ के प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक बहुफलकीय रेखांकन (त्रि-आयामी उत्तल बहुफलक के कोने और किनारों द्वारा गठित रेखांकन) प्लानर और 3-शीर्ष-जुड़े हुए रेखांकन होना चाहिए | प्रत्येक 3-शीर्ष-जुड़े हुए प्लानर रेखांकन उत्तल बहुफलक से इस तरह से आता है। प्रत्येक त्रि-आयामी उत्तल बहुफलक में द्वैत बहुफलक होता है;| द्वैत बहुफलक में मूल बहुफलक के प्रत्येक फलक के लिए शीर्ष होता है, जब भी संबंधित दो फलक किनारे को साझा करते हैं तो दो द्वैत कोने आसन्न होते हैं। जब भी दो बहुफलक द्वैत होते हैं, उनके आलेख भी द्वैत होते हैं। उदाहरण के लिए, प्लेटोनिक ठोस द्वैत जोड़े में आते हैं, ऑक्टाहेड्रॉन द्वैत घन के साथ, डोडेकाहेड्रॉन द्वैत आइकोसैहेड्रॉन के लिए, और टेट्राहेड्रॉन स्वयं के लिए द्वैत होते है। पॉलीहेड्रोन द्वैत को उच्च आयामी पॉलीटॉप के द्वैत तक भी बढ़ाया जा सकता है, किंतु ज्यामितीय द्वैत के इस विस्तार का रेखांकन-सैद्धांतिक द्वैत से स्पष्ट संबंध नहीं है।

स्व-द्वैत रेखांकन
समतल रेखांकन को स्व-द्वैत कहा जाता है यदि यह रेखांकन समरूपता अपने द्वैत रेखांकन के लिए है। पहिया रेखांकन स्व-द्वैत बहुफलक आकृति (पिरामिड (ज्यामिति)) से आने वाले सेल्फ़-द्वैत रेखांकन का अनंत वर्ग प्रदान करते हैं। चूँकि, वहाँ स्व-द्वैत रेखांकन भी उपस्थित हैं जो पॉलीहेड्रल नहीं हैं, जैसे कि दिखाया गया है। दो संक्रियाओं, एडहेसिव और एक्सप्लोशन का वर्णन कर सकेंगे, जिनका उपयोग दिए गए प्लानर रेखांकन वाले सेल्फ-द्वैत रेखांकन के निर्माण के लिए किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, दिखाए गए स्व-द्वैत रेखांकन को इसके द्वैत के साथ टेट्राहेड्रॉन के आसंजन के रूप में बनाया जा सकता है। यूलर के सूत्र से यह पता चलता है कि $n$ शीर्षों वाले प्रत्येक स्व-द्वैत रेखांकन में वास्तव में $2n − 2$ किनारे होते हैं। प्रत्येक सरल स्व-द्वैत तलीय रेखांकन में डिग्री तीन के कम से कम चार शीर्ष होते हैं, और प्रत्येक स्व-द्वैत एम्बेडिंग में कम से कम चार त्रिकोणीय चेहरे होते हैं।

गुण
रेखांकन सिद्धांत में कई प्राकृतिक और महत्वपूर्ण अवधारणाएँ अन्य समान रूप से प्राकृतिक किंतु द्वैत रेखांकन में भिन्न अवधारणाओं के अनुरूप हैं। क्योंकि जुड़े हुए समतल रेखांकन के द्वैत का रेखांकन आइसोमोर्फिज़्म है, जो कि प्राइमल रेखांकन के लिए है, इनमें से प्रत्येक जोड़ी द्विदिश है: यदि अवधारणा $X$ प्लानर रेखांकन में अवधारणा $Y$ से मेल खाता है द्वैत रेखांकन में, फिर अवधारणा $Y$ प्लानर रेखांकन में अवधारणा $X$ से मेल खाता है |

सरल रेखांकन बनाम मल्टीग्राफ
एक साधारण रेखांकन के दोहरे को सरल होने की आवश्यकता नहीं है: इसमें स्व-लूप हो सकते हैं (एक ही शीर्ष पर दोनों समापन बिंदुओं के साथ एक किनारा) या एक ही दो कोने को जोड़ने वाले कई किनारे, जैसा कि द्विध्रुव मल्टीग्राफ के दोहरे होने के उदाहरण में पहले से ही स्पष्ट था चक्र रेखांकन। कट-साइकल द्वैत के एक विशेष स्थिति के रूप में नीचे चर्चा की गई है, प्लानर रेखांकन जी के पुल दोहरे रेखांकन के सेल्फ-लूप के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं। इसी कारण से, दोहरी मल्टीग्राफ (अर्थात, लंबाई -2 चक्र) में समानांतर किनारों की एक जोड़ी प्राइमल रेखांकन में 2-किनारे वाले कटसमुच्चय से मेल खाती है (किनारों की एक जोड़ी जिसका विलोपन रेखांकन को डिस्कनेक्ट करता है)। इसलिए, एक प्लानर रेखांकन सरल है यदि और केवल यदि इसके दोहरे में 1- या 2-किनारे वाले कटसमुच्चय नहीं हैं; अर्थात यदि यह 3-एज-जुड़े हुए है। सरल प्लानर रेखांकन जिनके दोहरे सरल हैं, बिल्कुल 3-किनारे से जुड़े सरल प्लानर रेखांकन हैं। रेखांकन के इस वर्ग में सम्मिलित है, किन्तु 3-वर्टेक्स-जुड़े हुए सरल प्लानर रेखांकन के वर्ग के समान नहीं है। उदाहरण के लिए, स्व-दोहरा रेखांकन दिखाने वाला आंकड़ा 3-किनारे से जुड़ा हुआ है (और इसलिए इसका दोहरा सरल है) किन्तु 3-शीर्ष-जुड़ा हुआ नहीं है।

विशिष्टता
क्योंकि द्वैत रेखांकन विशेष अंत:स्थापन पर निर्भर करता है, प्लानर रेखांकन का द्वैत रेखांकन अद्वितीय नहीं है, इस अर्थ में कि एक ही प्लानर रेखांकन में गैर-रेखांकन आइसोमोर्फिज्म द्वैत रेखांकन हो सकते हैं। चित्र में, नीले रेखांकन आइसोमॉर्फिक हैं किंतु उनके द्वैत लाल रेखांकन नहीं हैं। ऊपरी लाल द्वैत में डिग्री 6 के साथ शीर्ष है (नीले रेखांकन के बाहरी फलक के अनुरूप) जबकि निचले लाल रेखांकन में सभी डिग्री 6 से कम हैं।

हस्लर व्हिटनी ने दिखाया कि यदि रेखांकन k-शीर्ष-जुड़े हुए रेखांकन 3-जुड़े हुए है तो अंत:स्थापन, और इस प्रकार द्वैत रेखांकन अद्वितीय है। स्टीनिट्ज़ के प्रमेय के अनुसार, ये रेखांकन वास्तव में पॉलीहेड्रल रेखांकन हैं, उत्तल बहुकोणीय आकृति के रेखांकन है। प्लेनर रेखांकन 3-शीर्ष-जुड़े हुए है यदि और केवल यदि इसका ड्यूल रेखांकन 3-शीर्ष-जुड़े हुए है। अधिक सामान्यतः, प्लानर रेखांकन में अद्वितीय अंत:स्थापन होती है, और इसलिए अद्वितीय द्वैत भी होती है, यदि और केवल यदि यह 3-शीर्ष-जुड़े हुए प्लानर रेखांकन (3-शीर्ष-जुड़े हुए रेखांकन से बना रेखांकन) का होमोमोर्फिज्म (रेखांकन सिद्धांत) है। इसके कुछ किनारों को पथों से बदलकर प्लानर रेखांकन) है। कुछ प्लानर रेखांकन के लिए जो 3-शीर्ष-जुड़े हुए नहीं हैं, जैसे कि पूर्ण द्विदलीय रेखांकन $K_{2,4}$, अंत:स्थापन अद्वितीय नहीं है, किंतु सभी अंत:स्थापन आइसोमोर्फिक हैं। जब ऐसा होता है, तदनुसार, सभी द्वैत रेखांकन तुल्याकारी होते हैं।

क्योंकि अलग-अलग अंत:स्थापन से अलग-अलग द्वैत रेखांकन हो सकते हैं, यह परीक्षण करना कि क्या रेखांकन दूसरे का द्वैत है (पहले से ही उनके अंत:स्थापन को जाने बिना) गैर-अल्गोरिथम समस्या है। द्विसंबद्ध रेखांकन के लिए, साझा आपसी द्वैत होने के तुल्यता संबंध के लिए विहित रूप बनाने के लिए रेखांकन के एसपीक्यूआर पेड़ का उपयोग करके बहुपद समय में इसे हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, चित्रण में दो लाल रेखांकन इस संबंध के अनुसार समतुल्य हैं। चूँकि, प्लानर रेखांकन के लिए जो द्विसंबद्ध नहीं हैं, यह संबंध तुल्यता संबंध नहीं है और पारस्परिक द्वैत के परीक्षण की समस्या एनपी-पूर्ण है।

कट और चक्र
इच्छानुसार जुड़े रेखांकन में कट (रेखांकन सिद्धांत) किनारों के उपसमुच्चय को दो उपसमुच्चय में परिभाषित करता है, जिसमें उपसमुच्चय में किनारा सम्मिलित होता है जब विभाजन के प्रत्येक पक्ष पर समापन बिंदु होता है। कटसमुच्चय के किनारों को हटाने से रेखांकन कम से कम दो जुड़े हुए घटकों में विभाजित हो जाता है। न्यूनतम कटसमुच्चय (जिसे बॉन्ड भी कहा जाता है) संपत्ति के साथ कटसमुच्चय है कि कटसमुच्चय का प्रत्येक उचित उपसमुच्चय स्वयं कट नहीं है। जुड़े हुए रेखांकन का न्यूनतम कटसमुच्चय अनिवार्य रूप से इसके रेखांकन को दो घटकों में अलग करता है, और इसमें किनारों का समुच्चय होता है जिसमें प्रत्येक घटक में समापन बिंदु होता है। चक्र (रेखांकन सिद्धांत) रेखांकन सिद्धांत का जुड़ा हुआ शब्दकोष है#सबग्राफ जिसमें चक्र का प्रत्येक शीर्ष चक्र के ठीक दो किनारों पर होता है।

जुड़े हुए प्लानर रेखांकन में $G$, का प्रत्येक सरल चक्र $G$ के द्वैत में न्यूनतम कटसमुच्चय से मेल खाता है $G$, और इसके विपरीत। इसे जॉर्डन वक्र प्रमेय के रूप के रूप में देखा जा सकता है: प्रत्येक सरल चक्र के फलको को अलग करता है $G$ चक्र के आंतरिक भाग में और चक्र के बाहरी भाग के फलक में, और चक्र किनारों के द्वैत ठीक वे किनारे हैं जो आंतरिक से बाहरी की ओर जाते हैं। किसी भी प्लानर रेखांकन (इसके सबसे छोटे चक्र का आकार) का गर्थ (रेखांकन सिद्धांत) इसके द्वैत रेखांकन (इसके सबसे छोटे कटसमुच्चय का आकार) के के-एज-जुड़े हुए रेखांकन के सामान होता है।

यह द्वंद्व अलग-अलग कटसमुच्चय और चक्रों से लेकर उनसे परिभाषित सदिश स्थानों तक फैला हुआ है। एक रेखांकन के चक्र स्थान को सभी सबग्राफ के वर्ग के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें प्रत्येक शीर्ष पर डिग्री (रेखांकन सिद्धांत) भी है; इसे GF(2) दो-तत्व परिमित क्षेत्र पर सदिश स्थान के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें किनारों के दो समुच्चयो का सममित अंतर सदिश अंतरिक्ष में सदिश जोड़ ऑपरेशन के रूप में कार्य करता है। इसी तरह, रेखांकन के कट स्थान को सभी कटसमुच्चय के वर्ग के रूप में परिभाषित किया गया है, उसी तरह सदिश जोड़ को भी परिभाषित किया गया है। तब किसी भी प्लानर रेखांकन का चक्र स्थान और उसके द्वैत रेखांकन का कट स्पेस सदिश स्थल के रूप में आइसोमोर्फिक होता है। इस प्रकार, प्लैनर रेखांकन (इसकी कटी हुई स्थान का आयाम (सदिश स्पेस)) का रैंक (रेखांकन सिद्धांत) इसके द्वैत (इसके चक्र स्थान के आयाम) के परिपथ रैंक के सामान है और इसके विपरीत रेखांकन का एक चक्र आधार सरल चक्रों का समुच्चय है | जो चक्र स्थान के आधार (रैखिक बीजगणित) का निर्माण करता है (इनमें से कुछ चक्रों के सममित अंतर के रूप में प्रत्येक भी-डिग्री सबग्राफ बिल्कुल तरह से बनाया जा सकता है)। रेखांकन के लिए (असतत गणित) वेटेड रेखांकन एज-वेटेड प्लैनर रेखांकन (पर्याप्त सामान्य भार के साथ कि किन्हीं भी दो चक्रों का वज़न समान नहीं होता है) रेखांकन का न्यूनतम-भार चक्र आधार द्वैत रेखांकन के गोमोरी-हू ट्री से द्वैत होता है, नेस्टेड कट्स का संग्रह जिसमें रेखांकन में प्रत्येक जोड़ी को अलग करने वाला न्यूनतम कट सम्मिलित है। न्यूनतम वजन चक्र के आधार पर प्रत्येक चक्र में किनारों का समुच्चय होता है जो कि गोमोरी-हू पेड़ में कमी के किनारों के द्वैत होते हैं। जब चक्र भार बंधे हो सकते हैं, तो न्यूनतम-वजन चक्र आधार अद्वितीय नहीं हो सकता है, किंतु इस स्थिति में यह अभी भी सही है कि द्वैत रेखांकन का गोमोरी-हू पेड़ रेखांकन के न्यूनतम वजन चक्र आधारों में से एक से मेल खाता है।

निर्देशित प्लानर रेखांकन में, सरल निर्देशित चक्र द्वैत होते हैं निर्देशित कमी (कोने के दो सबसमुच्च्य में विभाजन जैसे कि सभी किनारे एक दिशा में जाते हैं, एक उपसमुच्चय से दूसरे तक)। दृढ़ता से उन्मुख प्लानर रेखांकन (रेखांकन जिनके अंतर्निहित अप्रत्यक्ष रेखांकन जुड़े हुए हैं, और जिसमें प्रत्येक किनारे चक्र से संबंधित है) | निर्देशित अचक्रीय रेखांकन के लिए द्वैत हैं जिसमें कोई किनारा किसी चक्र से संबंधित नहीं है। इसे दूसरे विधि से रखने के लिए, जुड़े हुए प्लानर रेखांकन (रेखांकन के किनारों को दिशा-निर्देशों का असाइनमेंट जो दृढ़ता से जुड़े रेखांकन में परिणाम देता है) के शक्तिशाली ओरिएंटेशन चक्रीय अभिविन्यास (दिशाओं के असाइनमेंट जो निर्देशित एसाइक्लिक रेखांकन का निर्माण करते हैं) के लिए द्वैत हैं। उसी तरह, रचना (किनारों के समुच्चय जिसमें प्रत्येक निर्देशित कट से किनारे सम्मिलित हैं) फीडबैक आर्क समुच्चय (किनारों के समुच्चय जिसमें प्रत्येक चक्र से किनारे सम्मिलित हैं) के लिए द्वैत हैं।

फैले हुए पेड़
फैले हुए पेड़ को किनारों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो रेखांकन के सभी शीर्षों के साथ मिलकर जुड़ा हुआ और एसाइक्लिक सबग्राफ बनाता है। किंतु, कट-चक्र द्वैत द्वारा, यदि समुच्चय $S$ समतलीय रेखांकन में किनारों की $G$ चक्रीय है (कोई चक्र नहीं है), फिर किनारों का समुच्चय द्वैत है $S$ में कोई कमी नहीं है, जिससे यह पता चलता है कि द्वैत किनारों का पूरक समुच्चय (किनारों के द्वैत जो अंदर नहीं हैं $S$) जुड़े हुए सबग्राफ बनाता है। सममित रूप से, यदि $S$ जुड़ा हुआ है, तो किनारों के पूरक के लिए द्वैत $S$ एसाइक्लिक सबग्राफ बनाएं। इसलिए कब $S$ में दोनों गुण हैं - यह जुड़ा हुआ है और चक्रीय है - वही द्वैत रेखांकन में पूरक समुच्चय के लिए सही है। अर्थात प्रत्येक फैले हुए पेड़ $G$ द्वैत रेखांकन के फैले हुए पेड़ का पूरक है, और इसके विपरीत इस प्रकार, किसी भी प्लैनर रेखांकन के किनारों और इसके द्वैत को साथ (कई अलग-अलग विधियों से) दो फैले हुए पेड़ों में विभाजित किया जा सकता है, प्राइमल में और द्वैत में, जो साथ रेखांकन के सभी कोने और फलको तक फैलता है किंतु कभी नहीं दूसरे को पार करो। विशेष रूप से, न्यूनतम फैले पेड़ $G$ द्वैत रेखांकन के अधिकतम फैले हुए वृक्ष का पूरक है। चूँकि, यह सबसे छोटे पथ के पेड़ों के लिए काम नहीं करता है, यहां तक ​​​​कि लगभग भी: प्लानर रेखांकन उपस्थित हैं, जैसे कि रेखांकन में फैले हुए पेड़ की प्रत्येक जोड़ी और द्वैत रेखांकन में पूरक फैले हुए पेड़ के लिए, कम से कम दो पेड़ों में से एक की दूरी है जो इसके रेखांकन में दूरियों से काफी अधिक हैं। इंटरडिजिटिंग पेड़ों में इस प्रकार के अपघटन का उदाहरण कुछ सरल प्रकार के देखा जा सकता है, जिसमें एक ही प्रवेश द्वार होता है और इसकी दीवारों का कोई भी घटक अलग नहीं होता है। इस स्थिति में अस्तव्यस्तता की दीवारें और दीवारों के बीच की स्थान दोनों गणितीय पेड़ का रूप ले लेती हैं। यदि अस्तव्यस्तता के मुक्त स्थान को सरल कोशिकाओं (जैसे ग्रिड के वर्ग) में विभाजित किया जाता है, तो कोशिकाओं की इस प्रणाली को प्लानर रेखांकन के अंत:स्थापन के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें दीवारों की वृक्ष संरचना फैले हुए वृक्ष का निर्माण करती है। रेखांकन और मुक्त स्थान की वृक्ष संरचना द्वैत रेखांकन का फैला हुआ वृक्ष बनाती है। इंटरडिजिटेटिंग पेड़ों के समान जोड़े को जल निकासी बेसिन के अन्दर धाराओं और नदियों के पेड़ के आकार के पैटर्न और धाराओं को अलग करने वाली रिजलाइनों के द्वैत पेड़ के आकार के पैटर्न में भी देखा जा सकता है।

किनारों के इस विभाजन और उनके द्वैत दो पेड़ों में यूलर विशेषता का सरल प्रमाण होता है | यूलर का सूत्र $V − E + F = 2$ समतलीय रेखांकन के लिए $V$ कोने, $E$ किनारों, और $F$ के फलक है। कोई भी फैला हुआ पेड़ और उसका पूरक द्वैत फैला हुआ पेड़ किनारों को दो सबसमुच्च्य $V − 1$ और $F − 1$ किनारे में विभाजित करता है, और दो सबसमुच्च्य के आकार को जोड़ने से समीकरण मिलता है

जिसे यूलर का सूत्र बनाने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। डंकन सोमरविले के अनुसार, यूलर के सूत्र का यह प्रमाण कार्ल जॉर्ज क्रिश्चियन वॉन स्टॉड्ट|के. के कारण है। जी. सी. वॉन स्टॉड की जियोमेट्री डेर लेज (नूर्नबर्ग, 1847) है।

नॉनप्लानर सरफेस एंबेडिंग में फैले हुए पेड़ के पूरक द्वैत किनारों का समुच्चय द्वैत फैला हुआ पेड़ नहीं है। इसके अतिरिक्त किनारों का यह समुच्चय द्वैत फैले हुए पेड़ का अतिरिक्त किनारों के एक छोटे समुच्चय के साथ मिलन है, जिसकी संख्या उस सतह के जीनस द्वारा निर्धारित की जाती है जिस पर रेखांकन एम्बेडेड है। फैले हुए पेड़ों में पथों के संयोजन में अतिरिक्त किनारों का उपयोग सतह के मूलभूत समूह समूह के समुच्चय को उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।

अतिरिक्त गुण
कोई भी गणना सूत्र जिसमें कोने और फलक सम्मिलित हैं जो सभी प्लानर रेखांकन के लिए मान्य है, प्लानर द्वैत द्वारा समकक्ष सूत्र में परिवर्तित किया जा सकता है जिसमें कोने और फलको की भूमिका बदली गई है। यूलर का सूत्र, जो स्व-द्वैत है, उदाहरण है। फ्रैंक हैरिस द्वारा दिए गए एक अन्य में हाथ मिलाना लेम्मा सम्मिलित है, जिसके अनुसार किसी भी रेखांकन के शीर्षों की डिग्री (रेखांकन सिद्धांत) का योग किनारों की संख्या के दोगुने के सामान होता है। अपने द्वैत रूप में, यह लेम्मा बताती है कि समतल रेखांकन में, रेखांकन के फलको की संख्या का योग किनारों की संख्या के दोगुने के सामान होता है।

समतल रेखांकन का औसत दर्जे का रेखांकन रेखांकन आइसोमोर्फिज़्म है जो इसके द्वैत के औसत दर्जे का रेखांकन है। दो प्लानर रेखांकन में आइसोमॉर्फिक औसत दर्जे का रेखांकन तभी हो सकता है जब वे एक-दूसरे से द्वैत हों।

चार या अधिक शीर्षों वाला प्लानर रेखांकन अधिकतम होता है (प्लैनरिटी को संरक्षित करते समय कोई और किनारों को जोड़ा नहीं जा सकता है) यदि और केवल यदि इसका द्वैत रेखांकन 3-शीर्ष-जुड़े हुए और 3-नियमित क्यूबिक रेखांकन दोनों है।

जुड़ा समतलीय रेखांकन यूलेरियन पथ है (प्रत्येक शीर्ष पर सम डिग्री है) यदि और केवल यदि इसका द्वैत रेखांकन द्विदलीय रेखांकन है। समतलीय रेखांकन में हैमिल्टन का चक्र $G$ द्वैत रेखांकन के शीर्षों के दो सबसमुच्च्य (चक्र के आंतरिक और बाहरी) में विभाजन से मेल खाता है, जिसके प्रेरित सबग्राफ दोनों पेड़ हैं। विशेष रूप से, घन द्विदलीय बहुफलकीय रेखांकन की हेमिल्टनिसिटी पर बार्नेट का अनुमान इस अनुमान के समतुल्य है कि प्रत्येक यूलेरियन अधिकतम तलीय रेखांकन को दो प्रेरित वृक्षों में विभाजित किया जा सकता है।

यदि प्लानर रेखांकन $G$ में टुट्टे $E = (V − 1) + (F − 1)$ बहुपद है, तो इसके द्वैत रेखांकन का टुट्टे बहुपद अदला-बदली करके $x$ और $y$. प्राप्त किया जाता है इस कारण से, यदि टुट्टे बहुपद का कुछ विशेष मूल्य कुछ प्रकार की संरचनाओं के बारे में $G$ जानकारी प्रदान करता है, फिर टुट्टे बहुपद के लिए तर्कों की अदला-बदली करने से द्वैत संरचनाओं के लिए संबंधित जानकारी मिलेगी। उदाहरण के लिए, शक्तिशाली ओरिएंटेशन की संख्या $T_{G}(x,y)$ है और एसाइक्लिक ओरिएंटेशन की संख्या $T_{G}(0,2)$ है. ब्रिज के लिए (रेखांकन सिध्दांत) प्लेनर रेखांकन, रेखांकन रंग के साथ $k$ रंग कहीं नहीं-शून्य प्रवाह मोडुलो द्वैत रेखांकन पर $k$ के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए, चार रंग प्रमेय (प्रत्येक प्लानर रेखांकन के लिए 4-रंगों का अस्तित्व) को समान रूप से यह कहते हुए व्यक्त किया जा सकता है कि प्रत्येक ब्रिजलेस प्लानर रेखांकन के द्वैत में शून्य-शून्य 4-प्रवाह है। $k$-रंगों की गणना की संख्या(आसानी से परिकलित गुणक तक) टुट्टे बहुपद मान $T_{G}(2,0)$ द्वारा की जाती है और कहीं नहीं-शून्य की संख्या $k$-प्रवाहों की गणना $T_{G}(1 − k,0)$ द्वारा की जाती है.

सेंट-प्लानर रेखांकन जुड़ा हुआ प्लानर रेखांकन है जो उस रेखांकन के द्विध्रुवीय अभिविन्यास के साथ जुड़ा हुआ है, अभिविन्यास जो इसे स्रोत और एक सिंक के साथ विश्वकोश बनाता है, दोनों को एक ही फलक पर होना आवश्यक है एक दूसरे के रूप में इस तरह के रेखांकन को सिंक से वापस स्रोत तक, बाहरी फलक के माध्यम से, एक और किनारे को जोड़कर दृढ़ता से जुड़े रेखांकन में बनाया जा सकता है। इस संवर्धित प्लानर रेखांकन का दोहरापन अपने आप में एक और सेंट-प्लानर रेखांकन का संवर्द्धन है।

निर्देशित रेखांकन
निर्देशित रेखांकन समतल रेखांकन में, द्वैत रेखांकन को भी निर्देशित किया जा सकता है, प्रत्येक द्वैत किनारे को 90 ° दक्षिणावर्त घुमाकर संबंधित प्राइमल किनारे से उन्मुख किया जा सकता है। यह निर्माण निर्देशित प्लानर ग्राफों का द्वंद्व नहीं है, क्योंकि रेखांकन $G$ से प्रारंभ होता है और $G$ स्वयं द्वैत को दो बार लेने पर वापस नहीं आता है, किंतु इसके अतिरिक्त ट्रांसपोज़ रेखांकन के लिए $G$ रेखांकन आइसोमोर्फिक बनाता है रेखांकन $G$ इसके सभी किनारों को उलट कर द्वैत को चार बार लेने से मूल रेखांकन पर वापस आ जाता है।

अशक्त द्वैत
समतल रेखांकन का अशक्त द्वैत रेखांकन सिध्दांत की शब्दावली है | द्वैत रेखांकन के सबग्राफ़, जिनके शीर्ष प्रारंभिक रेखांकन के बंधे फलको के अनुरूप होते हैं। समतल रेखांकन आउटरप्लानर रेखांकन है यदि और केवल यदि इसकी अशक्त द्वैत एक पेड़ (रेखांकन सिध्दांत) है। किसी भी समतल रेखांकन के लिए $G$, होने देना $T_{G}(0,1 − k)$ नया शीर्ष जोड़कर बनने वाला समतल मल्टीग्राफ हो $v$ के असीमित फलक में $G$, और जोड़ रहा है | बाहरी फलक $v$ के प्रत्येक शीर्ष पर (कई बार, यदि कोई शीर्ष बाहरी फलक की सीमा पर कई बार प्रकट होता है); तब, $G$ (विमान) के द्वैत का $G^{+}$ अशक्त द्वैत है |.

अनंत रेखांकन और छंद
द्वैत की अवधारणा विमान में सन्निहित अनंत रेखांकन पर भी प्रयुक्त होती है क्योंकि यह रेखांकन को परिमित करती है। चूँकि, टोपोलॉजिकल जटिलताओं से बचने के लिए देखभाल की आवश्यकता होती है जैसे कि विमान के बिंदु जो न तो खुले क्षेत्र का हिस्सा हैं और न ही रेखांकन के किनारे या शीर्ष का हिस्सा हैं। जब सभी फलक रेखांकन के चक्र से घिरे क्षेत्र होते हैं, तो अनंत प्लानर रेखांकन अंत:स्थापन को विमान के टेस्सेलेशन के रूप में भी देखा जा सकता है, बंद डिस्क (चौकोर की टाइलें) द्वारा विमान का आवरण जिसके अंदरूनी (फलक) अंत:स्थापन के) खुले डिस्क से अलग हैं। प्लेनर द्वैत द्वैत टेसलेशन की धारणा को जन्म देता है, प्रत्येक टाइल के केंद्र में एक शीर्ष रखकर और आसन्न टाइलों के केंद्रों को जोड़कर टेसलेशन बनाया जाता है।

एक द्वैत टेस्सेलेशन की अवधारणा को समतल के कई क्षेत्रों में विभाजित करने के लिए भी प्रयुक्त किया जा सकता है। यह बारीकी से संबंधित है किंतु इस स्थिति में प्लानर रेखांकन द्वैत के समान नहीं है। उदाहरण के लिए, बिंदु साइटों के परिमित समुच्चय का वोरोनोई आरेख बहुभुज में समतल का एक विभाजन है जिसके अन्दर साइट किसी अन्य की तुलना में करीब है। इनपुट के उत्तल पतवार पर साइटें असीमित वोरोनोई बहुभुजों को जन्म देती हैं, जिनमें से दो पक्ष परिमित रेखा खंडों के अतिरिक्त अनंत किरणें हैं। इस आरेख का द्वैत इनपुट का डेलॉनाय त्रिभुज है,| प्लानर रेखांकन जो दो साइटों को किनारे से जोड़ता है जब भी कोई सर्कल उपस्थित होता है जिसमें वे दो साइटें होती हैं और कोई अन्य साइट नहीं होती है। इनपुट के उत्तल पतवार के किनारे भी डेलाउने त्रिभुज के किनारे हैं, किंतु वे वोरोनोई आरेख के रेखा खंडों के अतिरिक्त किरणों के अनुरूप हैं। वोरोनोई आरेख और डेलॉनाय त्रिभुजों के बीच के इस द्वैत को दो विधियों से परिमित रेखांकन के बीच द्वैत में बदला जा सकता है: वोरोनोई आरेख में अनंत पर कृत्रिम शीर्ष बिंदु जोड़कर, इसकी सभी किरणों के लिए अन्य समापन बिंदु के रूप में सेवा करने के लिए, या वोरोनोई आरेख के बंधे हुए हिस्से को डेलाउने त्रिभुज के अशक्त द्वैत के रूप में मानकर होता है। चूँकि वोरोनोई आरेख और डेलाउने त्रिभुज द्वैत हैं, विमान में उनके अंत:स्थापन में किनारों के द्वैत जोड़े के क्रॉसिंग से परे अतिरिक्त क्रॉसिंग हो सकते हैं। डेलाउने त्रिकोण का प्रत्येक शीर्ष वोरोनोई आरेख के संबंधित फलक के अन्दर स्थित है। वोरोनोई आरेख के प्रत्येक शीर्ष को डेलाउने त्रिभुज के संबंधित त्रिकोण के परिधि पर स्थित है, किंतु यह बिंदु इसके त्रिभुज के बाहर स्थित हो सकता है।

नॉनप्लानर अंत:स्थापन
द्वैत की अवधारणा को विमान के अतिरिक्त द्वि-आयामी कई गुना पर रेखांकन अंत:स्थापन तक बढ़ाया जा सकता है। परिभाषा समान है: मैनिफोल्ड में रेखांकन के पूरक (समुच्चय सिद्धांत) के प्रत्येक जुड़ा हुआ स्थान के लिए द्वैत शीर्ष है, और प्रत्येक रेखांकन किनारे के लिए द्वैत किनारा है जो किनारे के दोनों ओर दो द्वैत कोने जोड़ता है। इस अवधारणा के अधिकांश अनुप्रयोगों में, यह संपत्ति के साथ अंत:स्थापन तक ही सीमित है कि प्रत्येक फलक टोपोलॉजिकल डिस्क है; यह बाधा प्लानर रेखांकन के लिए आवश्यकता को सामान्यीकृत करती है कि रेखांकन को जोडा जाए। इस बाधा के साथ, किसी भी सतह-एम्बेडेड रेखांकन के द्वैत में एक ही सतह पर प्राकृतिक अंत:स्थापन होती है, जैसे कि द्वैत का द्वैत आइसोमॉर्फिक होता है और आइसोमोर्फिक रूप से मूल रेखांकन में एम्बेडेड होता है। उदाहरण के लिए, पूरा रेखांकन $G^{+}$ टॉरॉयडल रेखांकन है: यह प्लानर नहीं है, किंतु टोरस में प्रयुक्त किया जा सकता है, जिसमें अंत:स्थापन का प्रत्येक फलक त्रिकोण है। इस अंत:स्थापन में हीवुड रेखांकन अपने द्वैत रेखांकन के रूप में है।

समान अवधारणा उन्मुखता गैर-उन्मुख सतहों के लिए समान रूप से अच्छी तरह से काम करती है। उदाहरण के लिए, $K_{7}$ हेमी-विंशतिफलक के रूप में दस त्रिकोणीय फलको के साथ प्रक्षेपी विमान में प्रयुक्त किया जा सकता है, जिसका द्वैत पीटरसन रेखांकन है जो हेमी-द्वादशफलक के रूप में एम्बेडेड है।

यहां तक ​​​​कि प्लेनर रेखांकन में नॉनप्लानर अंत:स्थापन हो सकते हैं, उन अंत:स्थापन से प्राप्त द्वैत के साथ जो उनके प्लानर द्वैत से भिन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, घन के चार पेट्री बहुभुज (घन के दो विपरीत सिरों को हटाकर गठित हेक्सागोन) टोरस्र्स में घन के अंत:स्थापन के हेक्सागोनल फलक बनाते हैं। इस अंत:स्थापन के द्वैत रेखांकन में चार कोने हैं जो $K_{6}$ पूर्ण रेखांकन बनाते हैं | दोगुने किनारों के साथ इस द्वैत रेखांकन के टोरस अंत:स्थापन में, प्रत्येक शीर्ष पर छह किनारों की घटना, उस शीर्ष के चारों ओर चक्रीय क्रम में, तीन अन्य शीर्षों के माध्यम से दो बार चक्रित होती है। विमान में स्थिति के विपरीत, घन और उसके द्वैत का यह अंत:स्थापन अद्वितीय नहीं है; क्यूब रेखांकन में कई अन्य टोरस अंत:स्थापन हैं, जिनमें अलग-अलग द्वैत हैं।

प्लानर रेखांकन के मौलिक और द्वैत रेखांकन गुणों के बीच कई समानताएँ गैर-प्लानर द्वैत के सामान्यीकरण में विफल होती हैं, या उनके सामान्यीकरण में अतिरिक्त देखभाल की आवश्यकता होती है।

सतह-एम्बेडेड रेखांकन पर एक और ऑपरेशन पेट्री द्वैत है, जो अंत:स्थापन के पेट्री पॉलीगॉन को नए अंत:स्थापन के फलक के रूप में उपयोग करता है। सामान्य द्वैत रेखांकन के विपरीत, इसमें मूल रेखांकन के समान शीर्ष होते हैं, किंतु सामान्यतः एक अलग सतह पर स्थित होते हैं।

भूतल द्वैत और पेट्री द्वैत छह विल्सन ऑपरेशन में से दो हैं, और साथ में इन ऑपरेशनों के समूह को उत्पन्न करते हैं।

मैट्रोइड्स और बीजगणितीय द्वैत
जुड़े हुए रेखांकन का $G$ बीजगणितीय द्वैत $K_{7}$ रेखांकन है | ऐसा है कि $G$ और $K_{6}$ किनारों का एक ही समुच्चय है, किसी भी चक्र का स्थान $G$ का $K_{4}$ कट (रेखांकन सिध्दांत) है, और कोई भी कमी $G$ का चक्र $G^{*}$ है. प्रत्येक प्लानर रेखांकन में बीजगणितीय द्वैत होती है, जो सामान्य रूप से अद्वितीय नहीं होती है ( विमान अंत:स्थापन द्वारा परिभाषित कोई भी द्वैत) वास्तव में सही है, जैसा कि हस्लर व्हिटनी ने व्हिटनी की ग्रहीयता कसौटी में तय किया है:
 * जुड़ा हुआ रेखांकन $G$ समतलीय है यदि और केवल यदि इसमें बीजगणितीय द्वैत है।

इसी तथ्य को मैट्रोइड के सिद्धांत में व्यक्त किया जा सकता है। यदि $M$ रेखांकन का $G$ ग्राफिक मैट्रोइड है, फिर रेखांकन $G^{*}$ का बीजगणितीय द्वैत $G$ है यदि और केवल यदि का ग्राफिक मैट्रॉइड $G^{*}$ की द्वैत मैट्रोइड $M$ है. फिर व्हिटनी की प्लेनेटरी कसौटी को यह कहते हुए दोहराया जा सकता है कि ग्राफिक मैट्रॉइड का द्वैत मैट्रोइड $M$ अपने आप में ग्राफिक मैट्रॉइड है यदि और केवल यदि अंतर्निहित रेखांकन $G$ का $M$ तलीय है। यदि $G$ प्लानर है, द्वैत मैट्रॉइड के द्वैत रेखांकन का ग्राफिक मैट्रॉइड $G$ है. विशेष रूप से, सभी द्वैत रेखांकन, के सभी अलग-अलग प्लानर अंत:स्थापन के लिए $G$, आइसोमॉर्फिक ग्राफिक मैट्रोइड्स हैं।

नॉनप्लानर सरफेस एंबेडिंग के लिए, प्लेनर द्वैत के विपरीत, द्वैत रेखांकन सामान्यतः प्राइमल रेखांकन का बीजगणितीय द्वैत नहीं होता है। और गैर-प्लानर रेखांकन $G$ के लिए, के ग्राफिक मैट्रोइड का द्वैत मैट्रोइड $G$ अपने आप में ग्राफिक मैट्रॉइड नहीं है। चूँकि, यह अभी भी मैट्रॉइड है जिसके परिपथ में कमी के अनुरूप $G$ है , और इस अर्थ में संयोजनात्मक रूप से सामान्यीकृत बीजगणितीय द्वैत $G$ के रूप में सोचा जा सकता है.

यूलेरियन और द्विदलीय प्लानर रेखांकन के बीच के द्वंद्व को बाइनरी मैट्रोइड तक बढ़ाया जा सकता है (जिसमें प्लानर रेखांकन से प्राप्त ग्राफ़िक मैट्रोइड्स सम्मिलित हैं): बाइनरी मैट्रोइड यूलेरियन मैट्रोइड है यदि और केवल यदि इसकी द्वैत मैट्रॉइड द्विदलीय मैट्रोइड है। गर्थ और एज कनेक्टिविटी की दो द्वैत अवधारणाओं को मेट्रॉइड सिद्धांत में मेट्रॉइड द्वारा एकीकृत किया गया है: प्लानर रेखांकन के ग्राफिक मैट्रॉइड का घेरा रेखांकन के परिधि के समान है, और द्वैत मैट्रोइड (द्वैत का ग्राफिक मैट्रॉइड) रेखांकन) रेखांकन की बढ़त कनेक्टिविटी है।

अनुप्रयोग
रेखांकन सिद्धांत में इसके उपयोग के साथ, प्लानर रेखांकन के द्वंद्व में गणितीय और कम्प्यूटेशनल अध्ययन के कई अन्य क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं।

भौगोलिक सूचना प्रणालियों में, प्रवाह नेटवर्क (जैसे नेटवर्क दिखाते हैं कि जलधाराओं और नदियों की प्रणाली में पानी कैसे बहता है) जल निकासी विभाजन का वर्णन करने वाले सेलुलर नेटवर्क के लिए द्वैत हैं। इस द्वैत को उपयुक्त मापदंड के ग्रिड रेखांकन पर फैले हुए पेड़ के रूप में प्रवाह नेटवर्क को मॉडलिंग करके और द्वैत ग्रिड रेखांकन पर राइडलाइनों के पूरक फैले पेड़ के रूप में जल निकासी विभाजन को मॉडलिंग करके समझाया जा सकता है।

कंप्यूटर दृष्टि में, डिजिटल छवियों को छोटे वर्ग पिक्सेल में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक का अपना रंग होता है। वर्गों में इस उपखंड के द्वैत रेखांकन में प्रति पिक्सेल शीर्ष होता है और किनारे साझा करने वाले पिक्सेल के जोड़े के बीच किनारा होता है; यह समान रंगों के जुड़े हुए क्षेत्रों में पिक्सेल की क्लस्टरिंग सहित अनुप्रयोगों के लिए उपयोगी है।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में, वोरोनोई आरेख और डेलाउने त्रिभुज के बीच द्वंद्व का तात्पर्य है कि वोरोनोई आरेख के निर्माण के लिए किसी भी एल्गोरिदम को तुरंत डेलाउने त्रिभुज के लिए एल्गोरिदम में परिवर्तित किया जा सकता है, और इसके विपरीत इसी द्वैत का उपयोग परिमित तत्व विधि जाल निर्माण में भी किया जा सकता है। लॉयड्स एल्गोरिद्म, वोरोनोई आरेखों पर आधारित विधि है जो सतह पर बिंदुओं के समुच्चय को अधिक समान रूप से दूरी वाले स्थानों पर ले जाने के लिए उपयोग की जाती है, जिसे सामान्यतः द्वैत डेलाउने त्रिभुज द्वारा वर्णित परिमित तत्व जाल को सुचारू करने के विधि के रूप में उपयोग किया जाता है। यह विधि जाल के त्रिकोणों को अधिक समान आकार और आकार देकर जाल में सुधार करती है।

सीएमओएस परिपथ के तर्क संश्लेषण में, संश्लेषित किए जाने वाले कार्य को बूलियन बीजगणित में सूत्र के रूप में दर्शाया गया है। फिर इस सूत्र का अनुवाद दो श्रृंखला-समानांतर रेखांकन श्रृंखला-समानांतर मल्टीग्राफ में किया जाता है। इन ग्राफ़ों को परिपथ आरेख के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जिसमें रेखांकन के किनारे ट्रांजिस्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो फलन के इनपुट द्वारा गेट किए जाते हैं। परिपथ फलन की गणना करता है, और दूसरा इसके पूरक की गणना करता है। दो परिपथों में से सूत्र के संयोजनों और वियोजनों को क्रमशः रेखांकन की श्रृंखला और समानांतर रचनाओं में परिवर्तित करके प्राप्त किया जाता है। अन्य परिपथ इस निर्माण को उलट देता है, सूत्र के संयोजनों और संयोजनों को रेखांकन के समानांतर और श्रृंखला रचनाओं में परिवर्तित करता है | प्रत्येक परिपथ के इनपुट को उसके आउटपुट से जोड़ने वाले अतिरिक्त किनारे से संवर्धित ये दो परिपथ, प्लानर द्वैत रेखांकन हैं।

इतिहास
उत्तल बहुकोणीय आकृति के द्वैत को जोहान्स केप्लर ने अपनी 1619 की किताब दुनिया के हार्मोनिक्स में पहचाना था। बहुकोणीय आकृति के संदर्भ के बाहर पहचाने जाने योग्य प्लानर द्वैत रेखांकन, 1725 की प्रारंभ में, पियरे वैरिग्नन के मरणोपरांत प्रकाशित काम, नोवेल मेचैनिक ओ स्टेटिक में दिखाई दिए। यह लियोनहार्ड यूलर के 1736 में कोनिग्सबर्ग के सात पुलों पर काम करने से पहले भी था, जिसे प्रायः रेखांकन सिद्धांत पर पहला काम माना जाता है। वरिग्नन ने अकड़ पर बलों के लिए आनुपातिक किनारे की लंबाई के साथ, स्ट्रट्स के लिए द्वैत रेखांकन खींचकर स्ट्रट्स की स्थैतिक प्रणालियों पर बलों का विश्लेषण किया; यह द्वैत रेखांकन एक प्रकार का क्रेमोना आरेख है। चार रंग प्रमेय के संबंध में, 1879 में अल्फ्रेड केम्पे द्वारा मानचित्रों के द्वैत रेखांकन (क्षेत्रों में विमान के उपविभाग) का उल्लेख किया गया था, और गैर-प्लानर सतहों पर मानचित्रों तक विस्तारित किया गया था। 1891 में। 1931 में हस्लर व्हिटनी द्वारा अमूर्त प्लानर रेखांकन पर ऑपरेशन के रूप में द्वैत प्रस्तुत किया गया था।

बाहरी संबंध


Dualität (Mathematik)