कारण फ़िल्टर

सिग्नल प्रोसेसिंग में एक कारण फ़िल्टर एक रैखिक और समय-अपरिवर्तनीय कारण प्रणाली है। कारण शब्द इंगित करता है कि फ़िल्टर आउटपुट केवल पिछले और वर्तमान इनपुट पर निर्भर करता है। एक फ़िल्टर जिसका आउटपुट भविष्य के इनपुट पर भी निर्भर करता है, गैर-कारण है, जबकि एक फ़िल्टर जिसका आउटपुट केवल भविष्य के इनपुट पर निर्भर करता है, विरोधी कारण है। प्रणाली (फ़िल्टर सहित) जो 'प्राप्त करने योग्य हैं (अर्थात जो वास्तविक समय में काम करते हैं) कारणात्मक होने चाहिए क्योंकि ऐसी प्रणालियाँ आगामी के इनपुट पर कार्य नहीं कर सकती हैं। वास्तव में इसका अर्थ है कि आउटपुट नमूना जो समय $$t,$$ पर इनपुट का सबसे अच्छा प्रतिनिधित्व करता है थोड़ी देर बाद बाहर आता है। डिजिटल फिल्टर के लिए एक सामान्य डिजाइन अभ्यास एक गैर-कारण आवेग प्रतिक्रिया को छोटा और/या समय-स्थानांतरित करके एक वास्तविक फिल्टर बनाना है। यदि छोटा करना आवश्यक है तो इसे अधिकांशतः विंडो कार्य के साथ आवेग-प्रतिक्रिया के उत्पाद के रूप में पूरा किया जाता है।

एंटी-कारण फ़िल्टर का एक उदाहरण अधिकतम चरण फ़िल्टर है जिसे बीआईबीओ स्थिरता, एंटी-कारण फ़िल्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका व्युत्क्रम भी स्थिर और विरोधी कारण है।



उदाहरण
निम्नलिखित परिभाषा इनपुट डेटा $$s(x)\,$$ का स्लाइडिंग या औसत चलन है। सादगी के लिए $1⁄2$ का एक स्थिर कारक छोड़ा गया है:


 * $$f(x) = \int_{x-1}^{x+1} s(\tau)\, d\tau\ = \int_{-1}^{+1} s(x + \tau) \,d\tau\,$$

जहाँ $$x$$ एक स्थानिक समन्वय का प्रतिनिधित्व कर सकता है जैसा कि इमेज प्रोसेसिंग में होता है। किंतु यदि $$x$$ समय $$(t)\,$$ का प्रतिनिधित्व करता है तो एक सामान्य गति परिभाषित किया गया है जो गैर-कारणात्मक है (जिसे गैर-प्राप्य योग्य भी कहा जाता है), क्योंकि $$f(t)\,$$ भविष्य के इनपुट पर निर्भर करता है, जैसे कि $$s(t+1)\,$$ एक प्राप्य योग्य आउटपुट है


 * $$f(t-1) = \int_{-2}^{0} s(t + \tau)\, d\tau = \int_{0}^{+2} s(t - \tau) \, d\tau\,$$

जो गैर-प्राप्य योग्य आउटपुट का विलंबित संस्करण है।

किसी भी रेखीय फिल्टर (जैसे एक चलती औसत) को एक कार्य h(t) द्वारा वर्णित किया जा सकता है जिसे इसकी आवेग प्रतिक्रिया कहा जाता है। इसका आउटपुट कनवल्शन है



f(t) = (h*s)(t) = \int_{-\infty}^{\infty} h(\tau) s(t - \tau)\, d\tau. \, $$ उन शब्दों में कार्य-कारण की आवश्यकता होती है



f(t) = \int_{0}^{\infty} h(\tau) s(t - \tau)\, d\tau $$ और इन दो भावों की सामान्य समानता के लिए सभी t < 0 के लिए h(t) = 0 की आवश्यकता होती है।

आवृत्ति डोमेन में कारण फ़िल्टर का लक्षण वर्णन
h(t) को इसी फूरियर रूपांतरण H(ω) के साथ एक कारण फ़िल्टर होने दें। फलन को परिभाषित कीजिए



g(t) = {h(t) + h^{*}(-t) \over 2} $$ जो अकारण है। दूसरी ओर g(t) हर्मिटियन कार्य है और इसके परिणामस्वरूप इसका फूरियर रूपांतरण G(ω) वास्तविक-मूल्यवान है। अब हमारा निम्नलिखित संबंध है



h(t) = 2\, \Theta(t) \cdot g(t)\, $$ जहां Θ(t) हेविसाइड कार्य है।

इसका अर्थ है कि h(t) और g(t) के फूरियर रूपांतरण निम्नानुसार संबंधित हैं



H(\omega) = \left(\delta(\omega) - {i \over \pi \omega}\right) * G(\omega) = G(\omega) - i\cdot \widehat G(\omega) \, $$ जहाँ $$\widehat G(\omega)\,$$ आवृत्ति डोमेन (टाइम डोमेन के अतिरिक्त ) में किया गया हिल्बर्ट रूपांतरण है। का चिह्न $$\widehat G(\omega)\,$$ फूरियर रूपांतरण की परिभाषा पर निर्भर हो सकता है।

उपरोक्त समीकरण के हिल्बर्ट रूपांतरण को लेने से H और उसके हिल्बर्ट रूपांतरण के बीच यह संबंध प्राप्त होता है:



\widehat H(\omega) = i H(\omega) $$