मोनोइडल श्रेणी

गणित में, एक मोनोइडल श्रेणी (या टेन्सर श्रेणी) एक श्रेणी (गणित) है $$\mathbf C$$ एक द्विभाजक से लैस
 * $$\otimes : \mathbf{C} \times \mathbf{C} \to \mathbf{C}$$

यह एक प्राकृतिक समरूपता के लिए साहचर्य है, और एक वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) I जो ⊗ के लिए एक बाईं पहचान और सही पहचान दोनों है, फिर से एक प्राकृतिक समरूपता तक। संबंधित प्राकृतिक समरूपता कुछ सुसंगत स्थितियों के अधीन हैं, जो यह सुनिश्चित करती हैं कि सभी प्रासंगिक आरेख (श्रेणी सिद्धांत) क्रमविनिमेय आरेख हैं।

साधारण टेन्सर उत्पाद सदिश स्थान, एबेलियन समूह, मॉड्यूल (गणित)|आर-मॉड्यूल, या बीजगणित (रिंग सिद्धांत)|आर-बीजगणित को मोनोइडल श्रेणियों में बनाता है। मोनोइडल श्रेणियों को इन और अन्य उदाहरणों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। प्रत्येक (छोटी श्रेणी) मोनोइडल श्रेणी को एक अंतर्निहित मोनोइड के वर्गीकरण के रूप में भी देखा जा सकता है, अर्थात् मोनोइड जिसके तत्व श्रेणी की वस्तुओं के समरूपता वर्ग हैं और जिसका बाइनरी ऑपरेशन श्रेणी के टेंसर उत्पाद द्वारा दिया जाता है।

एक भिन्न अनुप्रयोग, जिसमें से मोनोइडल श्रेणियों को एक अमूर्त माना जा सकता है, एक प्रकार कंस्ट्रक्टर टाइप करें के तहत बंद किए गए डेटा प्रकारों की एक प्रणाली है जो दो प्रकार लेती है और एक समग्र प्रकार का निर्माण करती है; प्रकार वस्तुएं हैं और $$\otimes$$ कुल निर्माता है। समरूपता तक की संबद्धता तब व्यक्त करने का एक तरीका है कि एक ही डेटा को एकत्र करने के विभिन्न तरीके- जैसे कि $$((a,b),c)$$ और $$(a,(b,c))$$-समान जानकारी को स्टोर करें भले ही कुल मूल्यों को समान न हो। कुल प्रकार जोड़ (प्रकार योग) या गुणन (प्रकार उत्पाद) के संचालन के अनुरूप हो सकता है। प्रकार के उत्पाद के लिए, पहचान वस्तु इकाई है $$$$, इसलिए प्रकार का केवल एक निवासी है, और यही कारण है कि इसके साथ एक उत्पाद हमेशा दूसरे ऑपरेंड के लिए आइसोमोर्फिक होता है। प्रकार योग के लिए, पहचान वस्तु शून्य प्रकार है, जो कोई जानकारी संग्रहीत नहीं करता है और एक निवासी को संबोधित करना असंभव है। मोनोइडल श्रेणी की अवधारणा यह नहीं मानती है कि ऐसे कुल प्रकारों के मूल्यों को अलग किया जा सकता है; इसके विपरीत, यह एक ढांचा प्रदान करता है जो शास्त्रीय और क्वांटम सूचना सिद्धांत को एकीकृत करता है। श्रेणी सिद्धांत में, मोनोइडल श्रेणियों का उपयोग मोनॉइड वस्तु  की अवधारणा को परिभाषित करने और श्रेणी की वस्तुओं पर संबंधित कार्रवाई के लिए किया जा सकता है। उनका उपयोग एक समृद्ध श्रेणी की परिभाषा में भी किया जाता है।

मोनोइडल श्रेणियों में उचित श्रेणी सिद्धांत के बाहर कई अनुप्रयोग हैं। वे अंतर्ज्ञानवादी तर्क रैखिक तर्क के गुणात्मक खंड के लिए मॉडल को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं। वे संघनित पदार्थ भौतिकी में सामयिक क्रम के लिए गणितीय आधार भी बनाते हैं। लट मोनोइडल श्रेणी में क्वांटम सूचना, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और स्ट्रिंग सिद्धांत में अनुप्रयोग हैं।

औपचारिक परिभाषा
एक monoidal श्रेणी एक श्रेणी है $$\mathbf C$$ एक monoidal संरचना से लैस। एक monoidal संरचना में निम्न शामिल हैं:
 * एक द्विभाजक $$\otimes \colon \mathbf C\times\mathbf C\to\mathbf C$$ मोनोइडल उत्पाद कहा जाता है, या टेंसर उत्पाद,
 * एक वस्तु $$I$$ मोनोइडल यूनिट कहा जाता है, इकाई वस्तु, या पहचान वस्तु,
 * तीन प्राकृतिक समरूपताएं कुछ सुसंगत स्थितियों के अधीन हैं जो इस तथ्य को व्यक्त करती हैं कि टेन्सर ऑपरेशन:
 * साहचर्य है: एक प्राकृतिक (तीन तर्कों में से प्रत्येक में $$A$$, $$B$$, $$C$$) समरूपता $$\alpha$$, घटकों के साथ सहयोगी कहा जाता है $$\alpha_{A,B,C} \colon A\otimes (B\otimes C) \cong (A\otimes B)\otimes C$$,
 * है $$I$$ बाएँ और दाएँ पहचान के रूप में: दो प्राकृतिक समरूपताएँ हैं $$\lambda$$ और $$\rho$$घटकों के साथ क्रमशः बाएं और दाएं यूनिटर कहा जाता है $$\lambda_A \colon I\otimes A\cong A$$ और $$\rho_A \colon A\otimes I\cong A$$.

ध्यान दें कि कैसे याद करने का एक अच्छा तरीका है $$ \lambda $$ और $$\rho$$ अधिनियम अनुप्रास द्वारा है; लैम्ब्डा, $$\lambda$$, बाईं ओर की पहचान को रद्द कर देता है, जबकि Rho, $$\rho$$, दाईं ओर की पहचान को रद्द करता है।

इन प्राकृतिक परिवर्तनों के लिए सुसंगतता की शर्तें हैं:
 * सभी के लिए $$A$$, $$B$$, $$C$$ और $$D$$ में $$\mathbf C$$, पेंटागन आरेख (श्रेणी सिद्धांत)


 * Pentagonal diagram for monoidal categories.svg: क्रमविनिमेय आरेख;


 * सभी के लिए $$A$$ और $$B$$ में $$\mathbf C$$, त्रिभुज आरेख

एक सख्त मोनोइडल श्रेणी वह है जिसके लिए प्राकृतिक समरूपता α, λ और ρ पहचान हैं। प्रत्येक मोनोइडल श्रेणी एक सख्त मोनोइडल श्रेणी के लिए श्रेणियों की मोनोइडली तुल्यता है।

उदाहरण

 * परिमित उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) के साथ किसी भी श्रेणी को उत्पाद के साथ मोनोइडल उत्पाद और टर्मिनल वस्तु  को इकाई के रूप में माना जा सकता है। ऐसी श्रेणी को कभी-कभी कार्तीय मोनोइडल श्रेणी कहा जाता है। उदाहरण के लिए:
 * सेट, कार्टेशियन उत्पाद के साथ सेट की श्रेणी, इकाई के रूप में सेवारत कोई विशेष एक-तत्व सेट।
 * कैट, उत्पाद श्रेणी के साथ छोटी श्रेणियों की श्रेणी, जहां एक वस्तु वाली श्रेणी और केवल उसका पहचान मानचित्र इकाई है।
 * द्वय रूप से, परिमित सह-उत्पादों वाली कोई भी श्रेणी मोनोइडल उत्पाद के रूप में सह-उत्पाद और इकाई के रूप में प्रारंभिक वस्तु के साथ मोनोइडल है। ऐसी मोनोइडल श्रेणी को कार्टेशियन मोनोइडल श्रेणी जाता है
 * आर-मॉड, एक क्रमविनिमेय रिंग आर पर मॉड्यूल की श्रेणी, मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद के साथ एक मोनोइडल श्रेणी है ⊗R यूनिट के रूप में सेवा करने वाले मोनोइडल उत्पाद और रिंग आर (स्वयं पर एक मॉड्यूल के रूप में माना जाता है) के रूप में सेवारत। विशेष मामलों के रूप में किसी के पास है:
 * 'के-वेक्ट', एक क्षेत्र (गणित) के पर वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी, इकाई के रूप में कार्यरत एक-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष के साथ।
 * 'एबी', एबेलियन समूहों की श्रेणी, इकाई के रूप में कार्यरत पूर्णांक 'जेड' के समूह के साथ।
 * किसी भी क्रमविनिमेय वलय R के लिए, R-algebra|R-algebras की श्रेणी monoidal है जिसमें algebras का टेन्सर उत्पाद उत्पाद के रूप में और R इकाई के रूप में है।
 * पॉइंटेड स्पेस की श्रेणी (उदाहरण के लिए कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न स्पेस तक सीमित) उत्पाद के रूप में सेवारत स्मैश उत्पाद के साथ मोनोइडल है और यूनिट के रूप में सेवारत 0-गोले (एक दो-बिंदु असतत स्थान) है।
 * श्रेणी 'सी' पर सभी endofunctor ्स की श्रेणी उत्पाद के रूप में फ़ैक्टरों की संरचना और इकाई के रूप में पहचान फ़ैक्टर के साथ एक सख्त मोनोइडल श्रेणी है।
 * किसी भी श्रेणी 'ई' की तरह, उपश्रेणी # एंबेडिंग किसी दिए गए ऑब्जेक्ट द्वारा फैली हुई एक मोनोइड है, यह मामला है कि किसी भी 2-श्रेणी 'ई' के लिए, और ओबी ('ई') में कोई ऑब्जेक्ट 'सी', {'सी'} द्वारा फैला 'ई' की पूर्ण 2-उपश्रेणी एक मोनोइडल श्रेणी है। मामले में 'ई' = 'बिल्ली', हमें एंडोफंक्टर का उदाहरण ऊपर मिलता है।
 * अर्ध-जाली | बाउंड-एव मीट सेमीलैटिस सख्त सममित मोनोइडल श्रेणी हैंतोड़ उत्पाद मीट है और आइडेंटिटी टॉप एलिमेंट है।
 * कोई साधारण मोनोइड $$(M,\cdot,1)$$ ऑब्जेक्ट सेट के साथ एक छोटा मोनोइडल वर्ग है $$M$$, आकारिकी के लिए केवल तत्समक, $$\cdot$$ टेंसरप्रोडक्ट के रूप में और $$1$$ इसकी पहचान वस्तु के रूप में। इसके विपरीत, एक मोनोइडल श्रेणी के आइसोमोर्फिज्म वर्गों (यदि ऐसी कोई बात समझ में आती है) का सेट एक मोनोइड w.r.t है। टेंसर उत्पाद।
 * कोई क्रमविनिमेय मोनॉइड $$(M, \cdot, 1)$$ एकल वस्तु के साथ एक मोनोइडल श्रेणी के रूप में महसूस किया जा सकता है। याद रखें कि एक एकल वस्तु वाली श्रेणी एक साधारण मोनोइड के समान है। एकमैन-हिल्टन तर्क द्वारा, एक और मोनोइडल उत्पाद जोड़ना $$M$$ उत्पाद को क्रमविनिमेय होने की आवश्यकता है।

मोनॉयडल प्रीऑर्डर
मोनोइडल प्रीऑर्डर्स, जिन्हें प्रीऑर्डरेड मोनोइड्स के रूप में भी जाना जाता है, मोनोइडल श्रेणियों के विशेष मामले हैं। इस प्रकार की संरचना अर्ध-थू प्रणाली के सिद्धांत में आती है, लेकिन यह शुद्ध गणित में भी प्रचुर मात्रा में है। उदाहरण के लिए, सेट $$\mathbb{N}$$ प्राकृतिक संख्याओं में एक मोनोइड # उदाहरण (+ और 0 का उपयोग करके) और एक प्रीऑर्डर # उदाहरण (≤ का उपयोग करके) दोनों होते हैं, जो मूल रूप से एक मोनोइडल प्रीऑर्डर बनाते हैं $$m\leq n$$ और $$m'\leq n'$$ तात्पर्य $$m+m'\leq n+n'$$. अब हम सामान्य मामला प्रस्तुत करते हैं।

यह सर्वविदित है कि एक पूर्व आदेश को श्रेणी सी के रूप में माना जा सकता है, जैसे कि प्रत्येक दो वस्तुओं के लिए $$c, c'\in\mathrm{Ob}(\mathbf{C})$$, अधिकतम एक रूपवाद मौजूद है $$c\to c'$$ सी में। यदि सी से सी तक आकारिकी होती है, तो हम लिख सकते हैं $$c\leq c'$$, लेकिन वर्तमान खंड में हम इस तथ्य को तीर के रूप में व्यक्त करना अधिक सुविधाजनक पाते हैं $$c\to c'$$. क्योंकि कम से कम एक ऐसी आकृति है, हमें इसे कोई नाम देने की आवश्यकता नहीं है, जैसे कि $$f\colon c\to c'$$. एक ऑर्डर के प्रतिवर्त संबंध  और सकर्मक संबंध प्रॉपर्टीज को क्रमशः आइडेंटिटी मॉर्फिज्म और सी में कंपोजीशन फॉर्मूला द्वारा हिसाब किया जाता है। हम लिखते हैं $$c\cong c'$$ आईएफएफ $$c\leq c'$$ और $$c'\leq c$$, यानी यदि वे सी में आइसोमोर्फिक हैं। ध्यान दें कि आंशिक क्रम में, कोई भी दो आइसोमोर्फिक ऑब्जेक्ट वास्तव में बराबर हैं।

आगे बढ़ते हुए, मान लीजिए कि हम प्रीऑर्डर सी में एक मोनोइडल संरचना जोड़ना चाहते हैं। ऐसा करने का मतलब है कि हमें चुनना होगा इस प्रकार किन्हीं दो वस्तुओं के लिए $$c_1, c_2$$ हमारे पास एक वस्तु है $$c_1\cdot c_2$$. हमें चुनना चाहिए $$I$$ और $$\cdot$$ समरूपता तक साहचर्य और एकात्मक होना। इसका मतलब है कि हमारे पास होना चाहिए:
 * एक वस्तु $$I\in\mathbf{C}$$, मोनोइडल यूनिट कहा जाता है, और
 * एक फंक्‍टर $$\mathbf{C}\times\mathbf{C}\to\mathbf{C}$$, जिसे हम केवल डॉट द्वारा निरूपित करेंगे$$\;\cdot\;$$, मोनोइडल गुणन कहा जाता है।
 * $$(c_1\cdot c_2)\cdot c_3 \cong c_1\cdot (c_2\cdot c_3)$$ और $$I\cdot c \cong c\cong c\cdot I$$.

इसके अलावा, तथ्य यह है कि · को एक फ़ैक्टर होना आवश्यक है- वर्तमान मामले में, जहां सी एक प्रीऑर्डर है-निम्नलिखित से अधिक कुछ नहीं:
 * अगर $$c_1\to c_1'$$ और $$c_2\to c_2'$$ तब $$(c_1\cdot c_2)\to (c_1'\cdot c_2')$$.

मोनोइडल श्रेणियों के लिए अतिरिक्त समेकन की स्थिति इस मामले में खाली है क्योंकि प्रत्येक आरेख एक प्रीऑर्डर में यात्रा करता है।

ध्यान दें कि यदि C एक आंशिक क्रम है, तो उपरोक्त विवरण और भी सरल हो जाता है, क्योंकि साहचर्य और इकाई समरूपता समानता बन जाती है। एक और सरलीकरण तब होता है जब हम मानते हैं कि वस्तुओं का सेट जनरेटिंग सेट पर मुक्त मोनोइड है $$\Sigma$$. इस मामले में हम लिख सकते हैं $$\mathrm{Ob}(\mathbf{C})=\Sigma^*$$, जहां * क्लेन स्टार को दर्शाता है और मोनोइडल यूनिट I खाली स्ट्रिंग के लिए खड़ा है। यदि हम morphisms (≤ के बारे में तथ्य) उत्पन्न करने के एक सेट आर के साथ शुरू करते हैं, तो हम अर्ध-थू सिस्टम की सामान्य धारणा को पुनर्प्राप्त करते हैं, जहां आर को पुनर्लेखन नियम कहा जाता है।

हमारे उदाहरण पर लौटने के लिए, 'N' को वह श्रेणी मान लें जिसकी वस्तुएँ प्राकृतिक संख्याएँ 0, 1, 2, ... हैं, एक आकारिकी के साथ $$i\to j$$ अगर $$i\leq j$$ सामान्य क्रम में (और i से j अन्यथा कोई आकारिकी नहीं), और 0 द्वारा दी गई मोनोइडल इकाई के साथ एक मोनोइडल संरचना और सामान्य जोड़ द्वारा दिए गए मोनोइडल गुणन, $$i\cdot j := i+j$$. फिर N एक मोनोइडल प्रीऑर्डर है; वास्तव में यह एक एकल वस्तु 1 द्वारा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न होता है, और एक आकारिकी 0 ≤ 1, जहां फिर से 0 मोनोइडल इकाई है।

गुण और संबंधित धारणाएँ
यह तीन परिभाषित सुसंगतता स्थितियों से अनुसरण करता है कि आरेखों का एक बड़ा वर्ग (अर्थात आरेख जिनके आकारिकी का उपयोग करके बनाया गया है $$\alpha$$, $$\lambda$$, $$\rho$$, सर्वसमिकाएं और टेन्सर उत्पाद) आवागमन: यह सॉन्डर्स मैक लेन | मैक लेन की सुसंगतता प्रमेय है। यह कभी-कभी गलत तरीके से कहा जाता है कि ऐसे सभी आरेख चलते हैं।

मोनोइडल श्रेणी में मोनोइड वस्तु की एक सामान्य धारणा है, जो अमूर्त बीजगणित से मोनोइड की सामान्य धारणा को सामान्यीकृत करती है। साधारण मोनोइड्स कार्तीय मोनोइडल श्रेणी 'सेट' में सटीक रूप से मोनोइड ऑब्जेक्ट हैं। इसके अलावा, किसी भी (छोटी) सख्त मोनोइडल श्रेणी को 'कैट' श्रेणियों की श्रेणी में एक मोनोइड ऑब्जेक्ट के रूप में देखा जा सकता है (कार्टेशियन उत्पाद द्वारा प्रेरित मोनोइडल संरचना से लैस)।

मोनोइडल फ़ैक्टर मोनोइडल श्रेणियों के बीच फ़ैक्टर हैं जो टेंसर उत्पाद को संरक्षित करते हैं और मोनोइडल प्राकृतिक परिवर्तन प्राकृतिक परिवर्तन हैं, उन फ़ंक्शंस के बीच, जो टेंसर उत्पाद के अनुकूल हैं।

प्रत्येक मोनोइडल श्रेणी को श्रेणी 'बी' (∗, ∗) के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें केवल एक वस्तु के साथ 'बी' श्रेणी होती है, जिसे ∗ दर्शाया जाता है।

एक मोनोइडल श्रेणी 'एम' में एक श्रेणी 'सी' समृद्ध श्रेणी की अवधारणा 'सी' में वस्तुओं के जोड़े के बीच आकारिकी के एक सेट की धारणा को हर दो वस्तुओं के बीच एक 'एम'-वस्तु के आकारिकी की धारणा के साथ बदल देती है। 'सी'।

मुक्त सख्त मोनोइडल श्रेणी
प्रत्येक श्रेणी सी के लिए, नि: शुल्क श्रेणी सख्त मोनोइडल श्रेणी Σ(सी) का निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता है: यह ऑपरेशन Σ मैपिंग श्रेणी सी से Σ (सी) को कैट पर सख्त 2-मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) तक बढ़ाया जा सकता है।
 * इसकी वस्तुएं सूचियां हैं (परिमित अनुक्रम) ए1, ..., एn सी की वस्तुओं की;
 * दो वस्तुओं ए के बीच तीर हैं1, ..., एm और बी1, ..., बीn केवल अगर एम = एन, और फिर तीर तीर एफ की सूचियां (सीमित अनुक्रम) हैं1: ए1 → बी1, ..., एफn: एn → बीn सी का;
 * दो वस्तुओं 'ए' का टेंसर उत्पाद1, ..., एn और बी1, ..., बीm संयोजन ए है1, ..., एn, बी1, ..., बीm दो सूचियों का, और, इसी तरह, दो आकारिकी का टेन्सर गुणनफल सूचियों के संयोजन द्वारा दिया जाता है। पहचान वस्तु खाली सूची है।

विशेषज्ञता

 * यदि, एक मोनोइडल श्रेणी में, $$A\otimes B$$ और $$B\otimes A$$ स्वाभाविक रूप से आइसोमॉर्फिक हैं जो सुसंगतता की स्थिति के अनुकूल हैं, हम एक लट मोनोइडल श्रेणी की बात करते हैं। इसके अलावा, यदि यह प्राकृतिक तुल्याकारिता अपनी ही व्युत्क्रम है, तो हमारे पास एक सममित मोनोइडल श्रेणी है।
 * एक बंद monoidal श्रेणी एक monoidal श्रेणी है जहाँ functor $$X \mapsto X \otimes A$$ एक सहायक कारक है, जिसे आंतरिक होम-फ़ंक्टर कहा जाता है $$X \mapsto \mathrm{Hom}_{\mathbf C}(A, X)$$. उदाहरणों में कार्टेशियन बंद श्रेणी जैसे सेट, सेट की श्रेणी, और कॉम्पैक्ट बंद श्रेणी जैसे FdVect, परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी शामिल है।
 * स्वायत्त श्रेणी (या कॉम्पैक्ट बंद श्रेणी या कठोर श्रेणी) मोनोइडल श्रेणियां हैं जिनमें अच्छे गुणों वाले दोहरे मौजूद हैं; वे FdVect के विचार को अमूर्त करते हैं।
 * डैगर सममित मोनोइडल श्रेणी, एक अतिरिक्त डैगर फंक्टर से सुसज्जित, FdHilb, परिमित-आयामी हिल्बर्ट रिक्त स्थान के विचार को अमूर्त करता है। इनमें डैगर कॉम्पैक्ट श्रेणी शामिल है।
 * तन्नाकियन श्रेणी एक क्षेत्र में समृद्ध मोनोइडल श्रेणियां हैं, जो रैखिक बीजगणितीय समूहों की प्रतिनिधित्व श्रेणियों के समान हैं।

यह भी देखें

 * कंकाल (श्रेणी सिद्धांत)
 * गोलाकार श्रेणी
 * मोनोइडल श्रेणी की कार्रवाई