सामान्य सापेक्षता में यथार्थ समाधान

सामान्य सापेक्षता में यथार्थ समाधान आइंस्टीन क्षेत्र के समीकरणों का समाधान है जिसकी व्युत्पत्ति सरलीकृत धारणाओं का आह्वान नहीं करती है, चूंकि उस व्युत्पत्ति के लिए प्रारंभिक बिंदु पदार्थ के पूर्ण गोलाकार आकार के समान आदर्श स्थिति हो सकता है। इस प्रकार गणितीय रूप से, यथार्थ समाधान खोजने का अर्थ सामान्य पदार्थ, जैसे तरल पदार्थ, या मौलिक क्षेत्र सिद्धांत या गैर-गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र जैसे विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के टेन्सर प्रारूपिंग स्थितियों से सुसज्जित लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड को ढूंढना है।

पृष्ठभूमि और परिभाषा
इन टेंसर क्षेत्रों को किसी भी प्रासंगिक भौतिक नियम का पालन करना चाहिए, उदाहरण के लिए, किसी भी विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को मैक्सवेल के समीकरणों को पूरा करना होगा। गणितीय भौतिकी में व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली मानक रेसिपी का पालन करते हुए, इन टेंसर क्षेत्रों को तनाव-ऊर्जा टेंसर $$T^{\alpha\beta}$$ में विशिष्ट योगदान को भी जन्म देना चाहिए। (इस प्रकार किसी क्षेत्र को लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) द्वारा वर्णित किया गया है, क्षेत्र के संबंध में भिन्नता से क्षेत्र समीकरण मिलना चाहिए और मीट्रिक के संबंध में भिन्नता से क्षेत्र के कारण तनाव-ऊर्जा योगदान मिलना चाहिए।)

अंत में, जब तनाव-ऊर्जा टेंसर में सभी योगदान जोड़ दिए जाते हैं, तो इस प्रकार परिणाम आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का समाधान होना चाहिए।
 * $$ G^{\alpha\beta} = \kappa \, T^{\alpha\beta}.$$

उपरोक्त क्षेत्र को समीकरण में, $$G^{\alpha\beta}$$ आइंस्टीन टेंसर से प्रदर्शित कर सकते हैं, जिसकी गणना मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता) से विशिष्ट रूप से की जाती है, जो लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड की परिभाषा का भाग है। चूंकि इस प्रकार आइंस्टीन टेंसर देने से रीमैन टेंसर पूर्ण रूप से निर्धारित नहीं होता है, अपितु वेइल टेंसर को अनिर्दिष्ट छोड़ देता है (इसके लिए रिक्की अपघटन देखें), आइंस्टीन समीकरण को प्रकार की संगतता स्थिति माना जा सकता है: इस प्रकार स्पेसटाइम ज्यामिति को राशि और गति के अनुरूप होना चाहिए कोई भी पदार्थ या गैर-गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, इस अर्थ में कि यहां और अब गैर-गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा-संवेग की तत्काल उपस्थिति यहां और अभी रिक्की वक्रता की आनुपातिक मात्रा का कारण बनती है। इसके अतिरिक्त, क्षेत्र समीकरणों के सहसंयोजक व्युत्पन्न लेने और बियांची पहचान को लागू करने पर, यह पाया गया है कि गैर-गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा-संवेग की उपयुक्त भिन्न मात्रा/गति, वक्रता में तरंगों को गुरुत्वाकर्षण विकिरण के रूप में प्रसारित कर सकती है, यहां तक ​​कि इस प्रकार आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में भी निर्वात क्षेत्र समीकरण, जिसमें कोई पदार्थ या गैर-गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र नहीं होता है।

परिभाषा के साथ कठिनाइयाँ
कोई भी लोरेंत्ज़ियन मैनिफ़ोल्ड कुछ दाहिने हाथ के लिए आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण का समाधान है। इसे निम्नलिखित प्रक्रिया द्वारा दर्शाया गया है:


 * कोई भी लोरेंत्ज़ियन मैनिफ़ोल्ड लें, उसके आइंस्टीन टेंसर $$G^{\alpha\beta}$$ की गणना करें, जो कि इस प्रकार विशुद्ध गणितीय संक्रिया है।
 * आइंस्टीन गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक $$\kappa$$ से विभाजित करें।
 * परिणामस्वरूप सममित द्वितीय रैंक टेंसर क्षेत्र को तनाव-ऊर्जा टेंसर $$T^{\alpha\beta}$$ को घोषित करें।

इससे पता चलता है कि सामान्य सापेक्षता का उपयोग करने के दो पूरक विधियाँ हैं:


 * कोई तनाव-ऊर्जा टेंसर के रूप को ठीक कर सकता है (मान लीजिए, कुछ भौतिक कारणों से) और इस प्रकार आइंस्टीन समीकरणों के समाधान का अध्ययन ऐसे दाहिने हाथ से कर सकता है (उदाहरण के लिए, यदि तनाव-ऊर्जा टेंसर को चुना जाता है) पूर्ण तरल पदार्थ, गोलाकार रूप से सममित समाधान स्थिर गोलाकार रूप से सममित पूर्ण तरल पदार्थ के रूप में कार्य कर सकता है)
 * वैकल्पिक रूप से, कोई स्पेसटाइम के कुछ ज्यामितीय गुणों को ठीक कर सकता है, और इस प्रकार ऐसे पदार्थ स्रोत की खोज कर सकता है जो इन गुणों को प्रदान कर सके। 2000 के दशक से ब्रह्मांड विज्ञानियों ने यही किया है: वे मानते हैं कि ब्रह्मांड सजातीय, समदैशिक और गतिमान है और यह समझने की प्रयास करते हैं कि कौन सा पदार्थ (जिसे व्याप्त ऊर्जा कहा जाता है) ऐसी संरचना का समर्थन कर सकता है।

पहले दृष्टिकोण के भीतर कथित तनाव-ऊर्जा टेंसर को उचित पदार्थ वितरण या गैर-गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से मानक विधि से उत्पन्न होना चाहिए। व्यवहारिक रूप से यह धारणा बहुत स्पष्ट है, मुख्य रूप से यदि हम स्वीकार्य गैर-गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों को केवल 1916 में ज्ञात विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र तक ही सीमित रखते हैं। अपितु इस प्रकार आदर्श रूप से हम कुछ गणितीय लक्षण वर्णन करना चाहेंगे जो कुछ विशुद्ध गणितीय परीक्षण बताए, जिसे हम किसी भी कल्पित तनाव-ऊर्जा टेंसर पर लागू कर सकते हैं, जो उचित भौतिक परिदृश्य से उत्पन्न होने वाली हर चीज को पार कर जाता है, और बाकी सभी चीजों को निरस्त कर देता है। ऐसा कोई लक्षण वर्णन ज्ञात नहीं है। इसके अतिरिक्त, हमारे पास कच्चे परीक्षण हैं जिन्हें ऊर्जा स्थितियों के रूप में जाना जाता है, जो इस प्रकार रैखिक ऑपरेटर के आइजन मान और आइजन सदिश पर प्रतिबंध लगाने के समान हैं। ये स्थितियाँ बहुत अधिक अनुमेय हैं: वे ऐसे समाधानों को स्वीकार करेंगे जिन्हें लगभग कोई भी नहीं मानता कि वे शारीरिक रूप से उचित हैं। दूसरी ओर, वे बहुत अधिक प्रतिबंधात्मक हो सकते हैं: इसके कारण कासिमिर प्रभाव द्वारा सबसे लोकप्रिय ऊर्जा स्थितियों का स्पष्ट रूप से उल्लंघन किया जाता है।

आइंस्टीन ने यथार्थ समाधान की परिभाषा के अन्य तत्व को भी पहचाना जा सकता हैं। यह लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड (अतिरिक्त मानदंडों को पूरा करना) होना चाहिए, अर्ताथ समतल मैनिफोल्ड के लिए अपितु सामान्य सापेक्षता के साथ कार्य करने में, उन समाधानों को स्वीकार करना बहुत उपयोगी प्रमाणित होता है, जो इस प्रकार हर स्थान के लिए सहज नहीं होते हैं, उदाहरणों में आदर्श तरल आंतरिक समाधान को निर्वात के बाह्य समाधान और आवेगी समतल तरंगों से मिला कर बनाए गए कई समाधान सम्मिलित हैं। पुनः इस प्रकार क्रमशः लालित्य और सुविधा के बीच रचनात्मक तनाव को संतोषजनक ढंग से हल करना कठिन प्रमाणित हुआ है।

ऐसी स्थानीय स्पेसटाइम संरचना आपत्तियों के अतिरिक्त, हमारे पास कहीं अधिक चुनौतीपूर्ण समस्या है कि बहुत सारे यथार्थ समाधान हैं, जो इस प्रकार स्थानीय रूप से अप्राप्य हैं, अपितु वैश्विक स्पेसटाइम संरचना विवृत टाइमलाइक वक्र या पृथक्करण के बिंदुओं वाली संरचनाओं (पतलून दुनिया) जैसी संदिग्ध विशेषताओं को प्रदर्शित करती है। वास्तविकता में, कुछ सबसे प्रसिद्ध यथार्थ समाधानों का विश्व स्तर पर विचित्र चरित्र है।

सही समाधानों के प्रकार
कई प्रसिद्ध यथार्थ समाधान तनाव-ऊर्जा टेंसर की इच्छित भौतिक व्याख्या के आधार पर कई प्रकारों में से से संबंधित हैं:


 * निर्वात समाधान (सामान्य सापेक्षता): $$T^{\alpha\beta} = 0$$, ये उन क्षेत्रों का वर्णन करते हैं जिनमें कोई पदार्थ या गैर-गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र उपस्थित नहीं होता है,
 * इलेक्ट्रोनिर्वात समाधान: $$T^{\alpha\beta}$$ यह पूर्ण रूप से विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र से उत्पन्न होना चाहिए जो दिए गए घुमावदार लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड पर स्रोत-मुक्त मैक्सवेल समीकरण को हल करता है, इसका अर्थ इस प्रकार यह है कि गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का एकमात्र स्रोत विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्षेत्र ऊर्जा (और संवेग) है,
 * शून्य धूल समाधान: $$T^{\alpha\beta}$$ तनाव-ऊर्जा टेंसर के अनुरूप होना चाहिए, जिसकी व्याख्या असंगत विद्युत चुम्बकीय विकिरण से उत्पन्न होने के रूप में की जा सकती है, इसके कारण बिना दिए गए लोरेंत्ज़ियन मैनिफोल्ड पर मैक्सवेल क्षेत्र समीकरणों को हल किए बिना की जाती हैं,
 * द्रव समाधान: $$T^{\alpha\beta}$$ पूर्ण रूप से तरल पदार्थ के तनाव-ऊर्जा टेंसर से उत्पन्न होना चाहिए (अधिकांशतः इसे आदर्श तरल माना जाता है), इस प्रकार गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का एकमात्र स्रोत तरल पदार्थ वाले पदार्थ की ऊर्जा, संवेग और तनाव (दबाव और तनाव) है।

तरल पदार्थ या विद्युत चुम्बकीय तरंगों जैसी अच्छी तरह से स्थापित घटनाओं के अतिरिक्त, कोई ऐसे प्रारूप पर विचार कर सकता है जिसमें गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र पूर्ण रूप से विभिन्न विदेशी काल्पनिक क्षेत्रों की क्षेत्र ऊर्जा द्वारा निर्मित होता है:


 * अदिश क्षेत्र समाधान: $$T^{\alpha\beta}$$ पूर्ण रूप से अदिश क्षेत्र (अधिकांशतः द्रव्यमान रहित अदिश क्षेत्र) से उत्पन्न होना चाहिए, इस प्रकार ये मेसन बीम के मौलिक क्षेत्र सिद्धांत उपचार में, या सर्वोत्कृष्टता (भौतिकी) के रूप में उत्पन्न हो सकते हैं,
 * लैंबडानिर्वात समाधान (मानक शब्द नहीं, बल्कि मानक अवधारणा जिसके लिए अभी तक कोई नाम उपस्थित नहीं है): $$T^{\alpha\beta}$$ पूर्ण रूप से गैर-शून्य ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक से उत्पन्न होता है।

एक संभावना जिस पर बहुत कम ध्यान दिया गया है (संभवतः इसलिए क्योंकि गणित इतना चुनौतीपूर्ण है) ठोस यांत्रिकी के प्रारूपिंग की समस्या है। इस प्रकार वर्तमान समय में, ऐसा लगता है कि इस विशिष्ट प्रकार के लिए कोई यथार्थ समाधान ज्ञात नहीं हैं।

नीचे हमने भौतिक व्याख्या के आधार पर वर्गीकरण का प्रारूप खींचा गया है। इस प्रकार रिक्की टेंसर की संभावित बीजगणितीय समरूपताओं के सेग्रे वर्गीकरण का उपयोग करके समाधान भी व्यवस्थित किए जा सकते हैं: शेष सेग्रे प्रकारों की कोई विशेष भौतिक व्याख्या नहीं है और इस प्रकार उनमें से अधिकांश तनाव-ऊर्जा टेंसर में किसी भी ज्ञात प्रकार के योगदान के अनुरूप नहीं हो सकते हैं।
 * गैर-शून्य इलेक्ट्रोनिर्वात में सेग्रे $$\{ \, (1,1)(11) \}$$ और आइसोट्रॉपी समूह SO(1,1) x SO(2) प्रकार होता है,
 * नल इलेक्ट्रोनिर्वात और नल धूल में सेग्रे $$\{ \,(2,11) \}$$ और आइसोट्रॉपी समूह E(2) प्रकार होता है,
 * यथार्थ तरल पदार्थ सेग्रे $$\{ \, 1, (111) \}$$ और आइसोट्रॉपी समूह SO(3) प्रकार के होते हैं,
 * लैम्ब्डा निर्वात में सेग्रे $$\{ \, (1, 111)\}$$ और आइसोट्रॉपी समूह SO(1,3) प्रकार होता है।

उदाहरण
निर्वात समाधान, इलेक्ट्रोनिर्वात समाधान आदि के उल्लेखनीय उदाहरण विशेष लेखों में सूचीबद्ध हैं। इस प्रकार इन समाधानों में विशिष्ट प्रकार के पदार्थ या क्षेत्र के कारण ऊर्जा-संवेग टेंसर में अधिकतम योगदान होता है। चूंकि, कुछ उल्लेखनीय यथार्थ समाधान हैं जिनमें दो या तीन योगदान सम्मिलित हैं, जिनमें सम्मिलित हैं:
 * NUT-केर-न्यूमैन-डी सिटर समाधान में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र और धनात्मक निर्वात ऊर्जा का योगदान होता है, इसके साथ ही केर निर्वात का प्रकार का निर्वात त्रुटि होती है, जो इस प्रकार तथाकथित NUT पैरामीटर द्वारा निर्दिष्ट होता है,
 * गोडेल मीट्रिक या गोडेल धूल में दबाव रहित परिपूर्ण तरल पदार्थ (धूल) और धनात्मक निर्वात ऊर्जा का योगदान होता है।

समाधान का निर्माण
आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण युग्मित, अरेखीय आंशिक अंतर समीकरणों की प्रणाली है। सामान्यतः इससे उन्हें हल करना कठिन हो जाता है। इस प्रकार किसी ने किसी प्रकार से यथार्थ समाधान प्राप्त करने के लिए कई प्रभावी विधियाँ स्थापित की गई हैं।

सबसे सरल में मीट्रिक टेंसर (सामान्य सापेक्षता) पर समरूपता की स्थिति लागू करना सम्मिलित है, जैसे स्थिर क्षेत्रीय समय (समय अनुवाद के अनुसार समरूपता) या एक्सिसमेट्री घूर्णन के कुछ अक्ष के बारे में घूर्णन के अनुसार समरूपता रहती हैं। इस प्रकार की पर्याप्त चतुर धारणाओं के साथ, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण को समीकरणों की बहुत सरल प्रणाली में कम करना अधिकांशतः संभव होता है, यहां तक ​​कि इस प्रकार एकल आंशिक अंतर समीकरण जैसा कि स्थिर अक्षीय सममित निर्वात समाधान की स्थिति में होता है, जो अर्न्स्ट द्वारा विशेषता है या साधारण अंतर समीकरणों की प्रणाली जैसा कि श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान निकालने की स्थिति में होता है।

यह अनुभवहीन दृष्टिकोण सामान्यतः सबसे अच्छा कार्य करता है, यदि कोई समन्वय आधार के अतिरिक्त सामान्य सापेक्षता में फ्रेम क्षेत्र का उपयोग करता है।

एक संबंधित विचार में वेइल टेंसर, रिक्की टेंसर, या रीमैन टेंसर पर बीजगणितीय समरूपता की स्थिति लागू करना सम्मिलित है। इन्हें अधिकांशतः वेइल टेंसर की संभावित समरूपता के पेट्रोव वर्गीकरण, या रिक्की टेंसर की संभावित समरूपता के सेग्रे वर्गीकरण के संदर्भ में कहा जाता है। जैसा कि ऊपर की चर्चा से स्पष्ट होगा, इस प्रकार ऐसे अंसात्ज़ में अधिकांशतः कुछ भौतिक सामग्री होती है, चूंकि यह उनके गणितीय रूप से स्पष्ट नहीं हो सकता है।

इस दूसरे प्रकार के समरूपता दृष्टिकोण का उपयोग अधिकांशतः न्यूमैन-पेनरोज़ औपचारिकता के साथ किया जाता है, जो इस प्रकार अधिक कुशल बहीखाता पद्धति के लिए स्पिनोरियल मात्रा का उपयोग करता है।

ऐसी समरूपता कटौती के पश्चात भी, समीकरणों की कम प्रणाली को हल करना अधिकांशतः कठिन होता है। उदाहरण के लिए अर्न्स्ट समीकरण गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरण है जो कुछ हद तक गैर-रेखीय श्रोडिंगर समीकरण (एनएलएस) जैसा दिखता है।

अपितु याद रखें कि मिन्कोवस्की स्पेसटाइम पर अनुरूप समूह मैक्सवेल समीकरणों का समरूपता समूह है। यह भी याद रखें कि ऊष्मा समीकरण का समाधान स्केलिंग एंसाट्ज़ मानकर पाया जा सकता है। ये धारणाएँ विभेदक समीकरण (या समीकरणों की प्रणाली) की बिंदु समरूपता की सोफस असत्यता की धारणा की केवल विशेष स्थिति हैं, और जैसा कि ली ने दिखाया, यह किसी भी अंतर समीकरण पर आक्रमण का अवसर प्रदान कर सकता है जिसमें गैर-तुच्छ समरूपता समूह है। यदि ये कहें कि अर्न्स्ट समीकरण और एनएलएस दोनों में गैर-तुच्छ समरूपता समूह हैं, और इस प्रकार उनकी समरूपता का लाभ उठाकर कुछ समाधान पाए जा सकते हैं। ये समरूपता समूह अधिकांशतः अनंत आयामी होते हैं, अपितु यह सदैव उपयोगी विशेषता नहीं होती है।

एमी नोएदर ने दिखाया कि ली की समरूपता की धारणा का थोड़ा अपितु गहरा सामान्यीकरण आक्रमण के और भी अधिक शक्तिशाली विधियों के परिणामस्वरूप हो सकता है। यह इस खोज से निकटता से संबंधित है कि कुछ समीकरण, जिन्हें पूर्ण रूप से एकीकृत कहा जाता है, संरक्षण नियमों के अनंत अनुक्रम का आनंद लेते हैं। उल्लेखनीय रूप से, दोनों अर्न्स्ट समीकरण (जो यथार्थ समाधानों के अध्ययन में कई तरीकों से उत्पन्न होते हैं) और एनएलएस पूर्ण रूप से एकीकृत हो जाते हैं। इसलिए वे व्युत्क्रम प्रकीर्णन परिवर्तन से मिलती-जुलती विधियों द्वारा समाधान के लिए अतिसंवेदनशील होते हैं, जो मूल रूप से कॉर्टेवेग-डी व्रीस समीकरण को हल करने के लिए विकसित किया गया था। इसके आधार पर कॉर्टेवेग-डी व्रीस (केडीवी) समीकरण, गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरण जो साॅलिटोंस के सिद्धांत में उत्पन्न होता है, और जो भी पूर्ण रूप से एकीकृत है. दुर्भाग्यवश इन विधियों से प्राप्त समाधान अधिकांशतः उतने अच्छे नहीं होते जितना कोई चाहता है। उदाहरण के लिए, जिस प्रकार से कोई एकल सॉलिटॉन समाधान से केडीवी का एकाधिक सॉलिटॉन समाधान प्राप्त करता है (जिसे ली की बिंदु समरूपता की धारणा से पाया जा सकता है) के अनुरूप, कोई एकाधिक केर ऑब्जेक्ट समाधान प्राप्त कर सकता है, अपितु दुर्भाग्यवश, इसमें कुछ विशेषताएं हैं जो इसे भौतिक रूप से अविश्वसनीय बनाती हैं।

ऐसे कई परिवर्तन भी हैं (देखें बेलिंस्की-ज़खारोव परिवर्तन) जो (उदाहरण के लिए) अन्य विधियों से पाए गए निर्वात समाधान को नए निर्वात समाधान, या इलेक्ट्रोनिर्वात समाधान, या तरल समाधान में परिवर्तित कर सकते हैं। ये कुछ आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत से ज्ञात बैक्लुंड परिवर्तनों के अनुरूप हैं, जिनमें सॉलिटन समीकरणों के कुछ प्रसिद्ध उदाहरण भी सम्मिलित हैं। यह कोई संयोग नहीं है, क्योंकि यह घटना समरूपता के संबंध में नोएथर और ली की धारणाओं से भी संबंधित है। इसके कारण दुर्भाग्यवश यहां तक ​​​​कि जब अच्छी तरह से समझे जाने वाले, विश्व स्तर पर स्वीकार्य समाधान पर लागू किया जाता है, तो ये परिवर्तन अधिकांशतः ऐसा समाधान उत्पन्न करते हैं जिसे कम समझा जाता है, और उनकी सामान्य व्याख्या अभी भी अज्ञात है।

समाधान का अस्तित्व
समाधानों के स्पष्ट छोटे परिवारों के निर्माण की कठिनाई को देखते हुए आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के सामान्य समाधान या यहां तक ​​​​कि निर्वात क्षेत्र समीकरण के सामान्य समाधान के समान कुछ प्रस्तुत करना तो दूर, गुणात्मक गुणों को खोजने का प्रयास करना बहुत ही उचित दृष्टिकोण है जो कि लागू होता है, इस प्रकार सभी समाधानों के लिए, या कम से कम सभी निर्वात समाधानों के लिए किया जाता हैं। इसके सबसे मौलिक प्रश्नों में से जो कोई पूछ सकता है वह है: क्या समाधान उपस्थित हैं, और यदि हां, तो कितने?

आरंभ करने के लिए, हमें क्षेत्र समीकरण की सामान्य सापेक्षता में उपयुक्त प्रारंभिक मूल्य समस्या को अपनाना चाहिए, जो समीकरणों की दो नई प्रणालियाँ देता है, इस प्रकार प्रारंभिक डेटा पर बाधा देता है, और दूसरा इस प्रारंभिक डेटा को में विकसित करने की प्रक्रिया देता है। फिर, कोई यह प्रमाणित कर सकता है कि समाधान कम से कम स्थानीय स्तर पर उपस्थित हैं, उन विचारों का उपयोग करके जो अन्य अंतर समीकरणों का अध्ययन करने में सामने आए विचारों से बहुत भिन्न नहीं हैं।

यह जानने के लिए कि हम आशावादी रूप से कितने समाधानों की उम्मीद कर सकते हैं, हम आइंस्टीन की बाधा गणना पद्धति का सहारा ले सकते हैं। तर्क की इस शैली से विशिष्ट निष्कर्ष यह है कि आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण का सामान्य निर्वात समाधान तीन चर के चार मनमाने कार्य और दो चर के छह मनमाने कार्य देकर निर्दिष्ट किया जा सकता है। ये फलन प्रारंभिक डेटा निर्दिष्ट करते हैं, जिससे अद्वितीय निर्वात समाधान विकसित किया जा सकता है। इसके विपरीत, अर्न्स्ट निर्वात, सभी स्थिर अक्षीय सममित निर्वात समाधानों का परिवार, दो चर के केवल दो कार्य देकर निर्दिष्ट किया जाता है, जो मनमाने ढंग से भी नहीं हैं, अपितु दो युग्मित गैर-रेखीय आंशिक अंतर समीकरणों की प्रणाली को संतुष्ट करना चाहिए। यह दे सकता है चीजों की भव्य योजना में, यथार्थ समाधानों का विशिष्ट बड़ा परिवार वास्तव में कितना छोटा है।

चूंकि, यह अपरिष्कृत विश्लेषण समाधानों के वैश्विक अस्तित्व के अधिक कठिन प्रश्न से बहुत कम है। इस प्रकार अब तक ज्ञात वैश्विक अस्तित्व के परिणाम अन्य विचार को सम्मिलित करने वाले निकले हैं।

वैश्विक स्थिरता प्रमेय
हम अनंत से कुछ विकिरण भेजकर किसी पृथक विशाल वस्तु के बाहर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को परेशान करने की कल्पना कर सकते हैं। हम पूछ सकते हैं: जब आने वाला विकिरण परिवेशीय क्षेत्र के साथ संपर्क करता है तो क्या होता है? मौलिक त्रुटि सिद्धांत के दृष्टिकोण में, हम मिन्कोव्स्की निर्वात (या और बहुत ही सरल समाधान, जैसे डी सिटर लैम्ब्डानिर्वात) से प्रारंभ कर सकते हैं, इसके लिए बहुत छोटे मीट्रिक त्रुटि प्रस्तुत कर सकते हैं, और उपयुक्त त्रुटि विस्तार में कुछ क्रम तक केवल शर्तों को बनाए रख सकते हैं। इसकी कुछ सीमा तक जैसे हमारे क्षेत्र समय की ज्यामिति के लिए प्रकार की टेलर श्रृंखला का मूल्यांकन करना सरल होता हैं। यह दृष्टिकोण अनिवार्य रूप से बाइनरी पल्सर जैसे गुरुत्वाकर्षण प्रणाली के प्रारूप के निर्माण में उपयोग किए जाने वाले न्यूटोनियन सन्निकटन के पीछे का विचार है। चूंकि, गैर-रेखीय समीकरणों के मामले में, त्रुटि विस्तार सामान्यतः दीर्घकालिक अस्तित्व और स्थिरता के प्रश्नों के लिए विश्वसनीय नहीं होते हैं।

पूर्ण क्षेत्र समीकरण अत्यधिक अरैखिक है, इसलिए हम वास्तव में यह प्रमाणित करना चाहते हैं कि मिन्कोव्स्की निर्वात छोटी त्रुटि के अनुसार स्थिर है, जिसका उपचार पूर्ण रूप से अरेखीय क्षेत्र समीकरण का उपयोग करके किया जाता है। इसके लिए कई नए विचारों के परिचय की आवश्यकता है। इसका वांछित परिणाम, कभी-कभी इस नारे द्वारा व्यक्त किया जाता है कि मिन्कोव्स्की निर्वात गैर-रेखीय रूप से स्थिर है, अंततः 1993 में दिमित्रियोस क्रिस्टोडौलू और सर्जियो क्लैगरमैन द्वारा सिद्ध किया गया था। इसके अनुरूप परिणाम डी सिटर लैम्ब्डानिर्वात (हेल्मुट फ्रेडरिक) के लैम्ब्डावैक त्रुटि और मिन्कोव्स्की निर्वात (नीना जिप्सर) के इलेक्ट्रोनिर्वात त्रुटि के लिए जाने जाते हैं। इसके विपरीत, एंटी-डी सिटर स्पेस|एंटी-डी सिटर स्पेसटाइम को कुछ शर्तों के अनुसार अस्थिर माना जाता है।

धनात्मक ऊर्जा प्रमेय
एक और मुद्दा जिसके बारे में हम चिंता कर सकते हैं वह यह है कि क्या धनात्मक द्रव्यमान-ऊर्जा घनत्व (और गति) की पृथक सांद्रता की शुद्ध द्रव्यमान-ऊर्जा सदैव अच्छी तरह से परिभाषित (और धनात्मक) शुद्ध द्रव्यमान उत्पन्न करती है। यह परिणाम, जिसे धनात्मक ऊर्जा प्रमेय के रूप में जाना जाता है, अंततः 1979 में रिचर्ड स्कोन और शिंग-तुंग याउ द्वारा सिद्ध किया गया, जिन्होंने तनाव-ऊर्जा टेंसर की प्रकृति के बारे में अतिरिक्त तकनीकी धारणा बनाई गयी थी। इसका मूल प्रमाण बहुत कठिन है, एडवर्ड विटेन ने शीघ्र ही बहुत छोटा भौतिक विज्ञानी का प्रमाण प्रस्तुत किया था, जिसे गणितज्ञों ने और अधिक कठिन तर्कों का उपयोग करके उचित ठहराया है। इस प्रकार रोजर पेनरोज़ और अन्य लोगों ने मूल धनात्मक ऊर्जा प्रमेय के वेरिएंट के लिए वैकल्पिक तर्क भी प्रस्तुत किए हैं।

यह भी देखें

 * स्पेसटाइम की सूची
 * फ़्रीडमैन-लेमैत्रे-रॉबर्टसन-वॉकर मीट्रिक
 * वेइल टेंसर की बीजगणितीय समरूपता के लिए पेट्रोव वर्गीकरण

अग्रिम पठन

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