वास्तविक रूप (लाई सिद्धांत)

गणित में, वास्तविक रूप (लाई सिद्धांत) की धारणा वास्तविक संख्या और समिश्र संख्या संख्याओं के क्षेत्र (बीजगणित) में परिभाषित वस्तुओं से संबंधित है। एक वास्तविक लाई बीजगणित g0 समिश्र लाई बीजगणित g का वास्तविक रूप कहा जाता है यदि g, g0 का समिश्रीकरण है:


 * $$ \mathfrak{g}\simeq\mathfrak{g}_0\otimes_{\mathbb{R}}\mathbb{C}. $$

समिश्र लाई समूहों के लिए वास्तविक रूप की धारणा को भी परिभाषित किया जा सकता है। समिश्र अर्ध-सरल लाई समूहों और लाई बीजगणित के वास्तविक रूपों को एली कार्टन द्वारा पूरी तरह से वर्गीकृत किया गया है।

लाईे समूहों और बीजगणितीय समूहों के लिए वास्तविक रूप
लाई समूहों और लाई बीजगणितीय समूहों के बीच लाईे का पत्राचार उपयोग करते हुए, लाई समूहों के लिए वास्तविक रूप की धारणा को परिभाषित किया जा सकता है। रेखीय बीजगणितीय समूहों के स्थितियों में, समिश्र और वास्तविक रूप की धारणाओं का बीजगणितीय ज्यामिति की भाषा में स्वाभाविक वर्णन है।

वर्गीकरण
जिस तरह समिश्र अर्धसरल लाई बीजगणित को डायनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है,एक अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वास्तविक रूपों को सैटेक आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है, जो समिश्र रूप के डायनकिन आरेख से कुछ शीर्षों को काला (भरा हुआ) लेबल करके प्राप्त किया जाता है, और कतिपय नियमों के अनुसार कुछ अन्य शीर्षों को युग्मों में तीरों द्वारा जोड़ता है।

यह समिश्र अर्ध-सरल लाई बीजगणित के संरचना सिद्धांत में एक बुनियादी तथ्य है कि ऐसे प्रत्येक बीजगणित के दो विशेष वास्तविक रूप हैं: एक कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप है और लाई पत्राचार के तहत एक कॉम्पैक्ट लाइ समूह से मेल खाता है (इसका सैटेक आरेख में सभी कोने काले कर दिए जाते हैं), और दूसरा विभाजित वास्तविक रूप है और लाई समूह से मेल खाता है समूह जो यथासंभव कॉम्पैक्ट होने से दूर है (इसके साटेक आरेख में कोई शीर्ष काला नहीं है और कोई तीर नहीं है)। समिश्र विशेष रैखिक समूह SL(n,C) के स्थितियों में, कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप विशेष एकात्मक समूह SU(n) और विभाजित वास्तविक रूप है वास्तविक विशेष रेखीय समूह SL(n,R) होता है। अर्ध-सरल ले बीजगणित के वास्तविक रूपों का वर्गीकरण एली कार्टन द्वारा रीमैनियन सममित रिक्त स्थान के संदर्भ में पूरा किया गया था। सामान्यतः, दो से अधिक वास्तविक रूप हो सकते हैं।

मान लीजिए कि 'g0' वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र पर एक अर्ध-सरल लाई बीजगणित है। कार्टन की मानदण्ड के अनुसार, किलिंग फॉर्म नॉनडिजेनरेट है, और विकर्ण प्रविष्टियों +1 या -1 के साथ एक उपयुक्त आधार पर विकर्ण किया जा सकता है। सिल्वेस्टर के जड़त्व के नियम से, धनात्मक प्रविष्टियों की संख्या, या जड़त्व का धनात्मक सूचकांक, द्विरेखीय रूप का एक अपरिवर्तनीय है, अर्थात यह विकर्णीय आधार के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है। यह 0 और g के आयाम के बीच की एक संख्या है जो वास्तविक लाई बीजगणित का एक महत्वपूर्ण अपरिवर्तनीय है, जिसे इसका सूचकांक कहा जाता है।

वास्तविक रूप विभाजित करें
एक परिमित-आयामी जटिल अर्धसरल लाई बीजगणित g का वास्तविक रूप g0 को विभाजित या सामान्य कहा जाता है, यदि प्रत्येक कार्टन अपघटन में g0 = k0 ⊕ p0 स्थान p0 में  g का एक अधिकतम एबेलियन सबलजेब्रा होता है,अर्थात इसका यह सबलजेब्रा परीक्षण एली कार्टन ने साबित किया कि प्रत्येक समिश्र अर्ध-सरल लाई बीजगणित g का एक विभाजित वास्तविक रूप है, जो समरूपता तक अद्वितीय है। सभी वास्तविक रूपों में इसका अधिकतम सूचकांक है।

स्प्लिट फॉर्म सैटेक आरेख से मेल खाता है जिसमें कोई शीर्ष काला नहीं होता है और कोई तीर नहीं होता है।

कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप
एक वास्तविक लाई बीजगणित g0 को कॉम्पैक्ट कहा जाता है यदि किलिंग फॉर्म नकारात्मक निश्चित है, अर्थात g0 का सूचकांक शून्य है। इस स्थिति में g0 = k0 एक कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित है। यह ज्ञात है कि लाई पत्राचार के तहत, कॉम्पैक्ट लाई बीजगणित कॉम्पैक्ट लाई समूहों के अनुरूप है।

कॉम्पैक्ट फॉर्म सैटेक आरेख से मेल खाता है जिसमें सभी कोने काले होते हैं।

सघन वास्तविक रूप का निर्माण
सामान्यतः, कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप का निर्माण अर्धसरल लाई बीजगणित के संरचना सिद्धांत का उपयोग करता है। मौलिक लाई बीजगणित के लिए एक अधिक स्पष्ट निर्माण है।

मान लीजिये g0 को आर पर मैट्रिसेस का वास्तविक लाई बीजगणित होने दें जो ट्रांसपोज़ मानचित्र के तहत बंद है,


 * $$ X\to {X}^{t}.$$

फिर g0 इसके तिरछा-सममित मैट्रिक्स भाग k0 और इसके सममित भाग p0 के प्रत्यक्ष योग में विघटित हो जाता है, यह कार्टन अपघटन होता है:


 * $$\mathfrak{g}_0=\mathfrak{k}_0\oplus\mathfrak{p}_0. $$

g का समिश्र g0 और ig0 के प्रत्यक्ष योग में विघटित होता है। मैट्रिसेस का वास्तविक वेक्टर स्थान होता है


 * $$\mathfrak{u}_0=\mathfrak{k}_0\oplus i\mathfrak{p}_0 $$

सम्मिश्र लाई बीजगणित जी का एक उप-स्थान है जो दिक्परिवर्तक के नीचे बंद होता है और इसमें तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिसेस सम्मलित होते हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि u0 g का एक वास्तविक लाई सबलजेब्रा है, कि इसका किलिंग फॉर्म नकारात्मक निश्चित होता है (इसे एक सघन लाई बीजगणित बनाता है), और यह कि u0 का समिश्रीकरण g है, इसलिए, u0 g का संक्षिप्त रूप है।

यह भी देखें

 * समिश्रता (लेट ग्रुप)