माध्य मान प्रमेय

गणित में, माध्य मान प्रमेय (या लैग्रेंज प्रमेय) विस्तीर्णता से बताता है कि दो अंतबिंदुओं के बीच दिए गए समतल चाप के लिए, न्यूनतम एक बिंदु होता है जिस पर चाप की स्पर्शरेखा उसके अंतबिंदु के माध्यम से दूसरे के समानांतर होती है। वास्तविक विश्लेषण में यह सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक है। इस प्रमेय का उपयोग अंतराल के बिंदुओं पर डेरिवेटिव के बारे में स्थानीय परिकल्पना से प्रारम्भ करके अंतराल पर किसी फलन के बारे में कथनों को सिद्ध करने के लिए किया जाता है।

अधिक सटीक रूप से, प्रमेय बताता है कि यदि $$f$$ संवृत अंतराल $$[a, b]$$ पर एक सतत फलन है और विवृत अंतराल $$(a,b)$$ पर अवकलनीय है, तो $$(a,b)$$ में एक बिंदु $$c$$ उपस्थित है जैसे कि स्पर्शरेखा $$c$$ पर अंतिम बिंदुओं $$\big(a, f(a)\big)$$और $$\big(b, f(b)\big)$$ से गुजरने वाली व्युत्क्रम कोटिज्या रेखा के समानांतर है, अर्थात
 * $$f'(c)=\frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$

इतिहास
ज्या के व्युत्क्रम प्रक्षेप के लिए इस प्रमेय का एक विशेष स्थिति सबसे पहले भारत में केरल स्कूल ऑफ एस्ट्रोनॉमी एंड मैथमेटिक्स के परमेश्वर (1380-1460) ने गोविंदास्वामी और भास्कर द्वितीय पर अपनी टिप्पणियों में वर्णित किया था। 1691 में मिशेल रोले द्वारा प्रमेय का एक प्रतिबंधित रूप सिद्ध किया गया था; परिणाम वह था जिसे अब रोले के प्रमेय के रूप में जाना जाता है, और यह कैलकुलस की तकनीक के बिना, केवल बहुपदों के लिए सिद्ध हुआ था। अपने आधुनिक रूप में माध्य मान प्रमेय को 1823 में ऑगस्टिन लुई कॉची द्वारा बताया और सिद्ध किया गया था। तब से इस प्रमेय के कई रूप सिद्ध किये जा चुके हैं।

औपचारिक कथन
मान लीजिए $$f:[a,b]\to\R$$ संवृत अंतराल पर सतत फलन है $[a,b]$, और विवृत अंतराल $(a,b)$, पर अवकलनीय है, जहां $a < b$.। फिर ($$(a,b)$$ में कुछ $$c$$ उपस्तिथ है जैसे


 * $$f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

माध्य मान प्रमेय रोले के प्रमेय का सामान्यीकरण है, जो मानता है $$f(a)=f(b)$$, ताकि ऊपर का दाहिना भाग शून्य हो।

माध्य मान प्रमेय अभी भी थोड़ी अधिक सामान्य सेटिंग में मान्य है। बस यही मानने की जरूरत है $$f:[a,b]\to\R$$ सतत फलन प्रयुक्त है $$[a,b]$$, और वह हर किसी के लिए $$x$$ में $$(a,b)$$ किसी फलन की सीमा


 * $$\lim_{h\to 0}\frac{f(x+h)-f(x)}{h}$$

एक सीमित संख्या या बराबर के रूप में उपस्थित है $$\infty$$ या $$-\infty$$. यदि परिमित है, तो वह सीमा $$f'(x)$$ बराबर होती है। एक उदाहरण जहां प्रमेय का यह संस्करण प्रयुक्त होता है वह वास्तविक-मान घन मूल फलन $$x \mapsto x^{1/3}$$ मैपिंग द्वारा दिया गया है, जिसका व्युत्पन्न मूल में अनंत की ओर प्रवृत्त होता है।

जैसा कि कहा गया है, प्रमेय गलत है यदि एक भिन्न फलन वास्तविक-मान के अतिरिक्त जटिल-मान है। उदाहरण के लिए, परिभाषित करें $$f(x) = e^{xi}$$ सभी वास्तविक $x$. के लिए तब
 * $$f(2\pi)-f(0)=0=0(2\pi-0)$$

जबकि $$f'(x)\ne 0$$ किसी भी वास्तविक $x$. के लिए

इन औपचारिक कथनों को जोसेफ-लुई लैग्रेंज के माध्य मान प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है।

प्रमाण
अभिव्यंजना $\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$ बिंदुओं को मिलाने वाली रेखा की प्रवणता प्रदान करता है $$(a,f(a))$$ और $$(b,f(b))$$, जो के ग्राफ का एक ज्या है $$f$$, जबकि $$f'(x)$$ बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा की प्रवणता प्रदान करता है $$(x,f(x))$$। इस प्रकार माध्य मान प्रमेय बताता है कि समतल वक्र की कोई भी जीवा दी गई हो, तो हम वक्र पर एक बिंदु पा सकते हैं जो जीवा के अंतिम बिंदुओं के बीच स्थित होता है, जैसे कि उस बिंदु पर वक्र की स्पर्शरेखा जीवा के समानांतर होती है। निम्नलिखित प्रमाण इस विचार को दर्शाता है।

परिभाषित करें $$g(x)=f(x)-rx$$ जहाँ $$r$$ एक स्थिरांक है। चूँकि$$f$$ $$[a,b]$$ पर सतत है और $$(a,b)$$ पर अवकलनीय है, यही बात $$g$$ के लिए भी सत्य है। अब हम $$r$$ चुनना चाहते हैं ताकि $$g$$ रोले के प्रमेय की स्थितियों को पूरा करे। अर्थात्


 * $$\begin{align}

g(a)=g(b)&\iff f(a)-ra=f(b)-rb\\ &\iff r(b-a)=f(b)-f(a) \\ &\iff r=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}. \end{align}$$ रोले के प्रमेय के अनुसार, चूँकि $$g$$ अवकलनीय है और $$g(a)=g(b)$$, $$(a,b)$$ में कुछ $$c$$ है जिसके लिए $$g'(c)=0$$ है, और यह समानता $$g(x)=f(x)-rx$$ से अनुसरण करता है।


 * $$\begin{align}

&g'(x) = f'(x) -r \\ & g'(c) = 0\\ &g'(c) = f'(c) - r = 0 \\ &\Rightarrow f'(c) = r = \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \end{align}$$

निहितार्थ
प्रमेय 1: मान लें कि f एक सतत, वास्तविक-मान फलन है, जो वास्तविक रेखा के एक यादृच्छिक अंतराल I पर परिभाषित है। यदि अंतराल I के प्रत्येक आंतरिक (टोपोलॉजी) पर f का व्युत्पन्न उपस्थित है और शून्य है, तो f आंतरिक में स्थिर फलन है।

प्रमाण: मान लें कि अंतराल I के प्रत्येक आंतरिक (टोपोलॉजी) पर f का व्युत्पन्न उपस्थित है और शून्य है। मान लीजिए (a, b) I में एक यादृच्छिक विवृत अंतराल है। माध्य मान प्रमेय द्वारा, (a, b) में एक बिंदु c उपस्थित है जैसे कि


 * $$0=f'(c)=\frac{f(b)-f(a)}{b-a}.$$

इसका अर्थ यह है कि f(a) = f(b). इस प्रकार, I के आंतरिक भाग पर f स्थिर है और इस प्रकार निरंतरता द्वारा I पर भी स्थिर है। (इस परिणाम के बहुपरिवर्तनीय संस्करण के लिए नीचे देखें।)

'टिप्पणियां:' 'प्रमेय 2:' यदि f (x) = g (x) सभी x के लिए इन फलन के डोमेन (a, b) के एक अंतराल में, तो f-g स्थिर है, अर्थात् f = g + c जहां c पर स्थिर (a, b) है।
 * अंतराल I के अंतिम बिंदुओं पर केवल f की निरंतरता की आवश्यकता है, न कि भिन्नता की। यदि I एक विवृत अंतराल है तो निरंतरता की किसी परिकल्पना को बताने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि एक बिंदु पर व्युत्पन्न का अस्तित्व इस बिंदु पर निरंतरता का अर्थ देता है। (अनुच्छेद व्युत्पन्न की निरंतरता और भिन्नता देखें।)
 * f की भिन्नता को एक तरफा भिन्नता के लिए शिथिल किया जा सकता है, अर्ध-विभेदीकरण पर लेख में इसका प्रमाण दिया गया है।

'प्रमाण:' मान लीजिए F = f - g, तो F' = f' - g' = 0 अंतराल (a, b) पर, इसलिए उपरोक्त प्रमेय 1 प्रदर्शित करता है कि F = f - g एक स्थिरांक c या f = g + c.

'प्रमेय 3:' यदि F, अंतराल I पर f का एक प्रतिअवकलज है, तो I पर f का सबसे सामान्य प्रतिअवकलज F(x) + c है जहां c एक स्थिरांक है।

'प्रमाण:' यह सीधे उपरोक्त प्रमेय 2 से अनुसरण करता है।

कॉची का माध्य मान प्रमेय
कॉची का माध्य मान प्रमेय, जिसे विस्तारित माध्य मान प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, माध्य मान प्रमेय का सामान्यीकरण है। इसमें कहा गया है: यदि फलन $$f$$ और $$g$$ दोनों संवृत अंतराल पर सतत हैं $$[a,b]$$ और विवृत अंतराल पर अवकलनीय $$(a,b)$$, तो कुछ उपस्थित है $$c \in (a,b)$$, ऐसा है कि :$$(f(b)-f(a))g'(c)=(g(b)-g(a))f'(c).$$ बेशक यदि $$g(a) \neq g(b)$$ और $$g'(c) \neq 0$$, यह इसके बराबर है:


 * $$\frac{f'(c)}{g'(c)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.$$

ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब है कि वक्र के ग्राफ़ में कुछ स्पर्शरेखा है।
 * $$\begin{cases}[a,b] \to \R^2\\t\mapsto (f(t),g(t))\end{cases}$$

जो बिंदुओं द्वारा परिभाषित रेखा के समानांतर (ज्यामिति) है $$(f(a), g(a))$$ और $$(f(b), g(b))$$. हालाँकि, कॉची का प्रमेय सभी स्तिथि में ऐसी स्पर्शरेखा के अस्तित्व का दावा नहीं करता है $$(f(a), g(a))$$ और $$(f(b), g(b))$$ अलग-अलग बिंदु हैं, क्योंकि यह केवल कुछ मान के लिए ही संतुष्ट हो सकता है $$c$$ साथ $$f'(c) = g'(c) = 0$$, दूसरे शब्दों में एक मान जिसके लिए उल्लिखित वक्र स्थिर बिंदु है; ऐसे बिंदुओं में वक्र की कोई भी स्पर्शरेखा परिभाषित होने की संभावना नहीं है। इस स्थिति का एक उदाहरण द्वारा दिया गया वक्र है।


 * $$t \mapsto \left(t^3,1-t^2\right),$$

जो अंतराल पर $$[-1,1]$$ बिंदु $$(-1, 0)$$ से $$(1, 0)$$ तक जाता है, फिर भी कभी भी क्षैतिज स्पर्शरेखा नहीं होती; हालाँकि, $$t = 0$$ पर इसका एक स्थिर बिंदु (वास्तव में एक पुच्छल) है।

कॉची के माध्य मान प्रमेय का उपयोग एल'हॉपिटल के नियम को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है। माध्य मान $$g(t) = t$$ प्रमेय कॉची के माध्य मान प्रमेय का विशेष स्थिति है।

कॉची के माध्य मान प्रमेय का प्रमाण
कॉची के माध्य मान प्रमेय का प्रमाण माध्य मान प्रमेय के प्रमाण के समान विचार पर आधारित है।

 मान लीजिए $$g(a) \neq g(b)$$. परिभाषित करना $$h(x) = f(x) - rg(x)$$, जहां $$r$$ को इस प्रकार निश्चित किया गया है कि $$h(a) = h(b)$$,अर्थात
 * $$\begin{align}h(a)=h(b)&\iff f(a)-rg(a)=f(b)-rg(b)\\ &\iff r (g(b)-g(a))=f(b)-f(a)\\ &\iff r=\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}.\end{align}$$

तब से $$f$$ और $$g$$ सतत प्रयुक्त हैं $$[a,b]$$ और पर भिन्न $$(a,b)$$, के लिए भी यही सच है $$h$$. सब मिलाकर, $$h$$ रोले के प्रमेय की स्थितियों को संतुष्ट करता है: परिणामस्वरूप, कुछ है $$c$$ में $$(a,b)$$ जिसके लिए $$h'(c) = 0$$. अब $$h$$ की परिभाषा का उपयोग कर रहे हैं :
 * $$0=h'(c)=f'(c)-rg'(c) = f'(c)- \left (\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} \right ) g'(c).$$

इसलिए:
 * $$f'(c)= \frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} g'(c),$$

जो परिणाम को दर्शाता है। यदि $$g(a) = g(b)$$, फिर, रोले के प्रमेय को प्रयुक्त करना $$g$$, यह इस प्रकार है कि वहाँ उपस्थित $$c$$ में $$(a,b)$$ जिसके लिए $$g'(c) = 0$$. इस विकल्प का उपयोग करना $$c$$, कॉची का माध्य मान प्रमेय (निरर्थक रूप से) मान्य है।



निर्धारकों के लिए सामान्यीकरण
ये मान लीजिए $$f, g,$$ और $$h$$ पर भिन्न-भिन्न फलन हैं $$(a,b)$$ जो लगातार प्रयुक्त हैं $$[a,b]$$. परिभाषित करना


 * $$ D(x) = \begin{vmatrix}

f(x) & g(x) & h(x)\\ f(a) & g(a) & h(a)\\ f(b) & g(b) & h(b) \end{vmatrix}$$ वहां उपस्थित $$c\in(a,b)$$ ऐसा है कि $$ D'(c)=0$$.

उस पर ध्यान दें
 * $$ D'(x) = \begin{vmatrix}

f'(x) & g'(x)& h'(x)\\ f(a) & g(a) & h(a)\\ f(b) & g(b)& h(b) \end{vmatrix}$$ और यदि हम $$h(x)=1$$ रखते हैं, तो हमें कॉची का माध्य मान प्रमेय प्राप्त होता है। यदि हम $$h(x)=1$$ और $$g(x)=x$$ रखते हैं तो हमें लैग्रेंज का माध्य मान प्रमेय प्राप्त होता है।

सामान्यीकरण का प्रमाण काफी सरल है: प्रत्येक $$D(a)$$ और $$D(b)$$ दो समान पंक्तियों वाले निर्धारक हैं, इसलिए $$D(a)=D(b)=0$$. रोले के प्रमेय का तात्पर्य है कि $$c\in (a,b)$$ इस प्रकार उपस्थित है कि $$D'(c)=0$$

कई चरों में माध्य मान प्रमेय
माध्य मान प्रमेय अनेक चरों के वास्तविक कार्यों का सामान्यीकरण करता है। तरकीब यह है कि एक चर का वास्तविक फलन बनाने के लिए पैरामीट्रिज़ेशन का उपयोग करें, और फिर एक-चर प्रमेय प्रयुक्त करें।

मान लीजिये $$G$$ का एक विवृत उपसमुच्चय $$\R^n$$बनें, और जाने $$f:G\to\R$$ एक भिन्न फलन हो. अंक ठीक करें $$x,y\in G$$ इस प्रकार कि बीच में रेखा खंड हो $$x, y$$ में निहित है $$G$$, और परिभाषित करें $$g(t)=f\big((1-t)x+ty\big)$$. तब से $$g$$ एक चर में एक अवकलनीय फलन है, माध्य मान प्रमेय देता है:


 * $$g(1)-g(0)=g'(c)$$

कुछ के लिए $$c$$ 0 और 1 के बीच. लेकिन तब से $$g(1)=f(y)$$ और $$g(0)=f(x)$$, कंप्यूटिंग $$g'(c)$$ स्पष्ट रूप से हमारे पास है:


 * $$f(y)-f(x)=\nabla f\big((1-c)x+cy\big)\cdot (y-x)$$

जहाँ $$\nabla$$ एक प्रवणता को दर्शाता है और $$\cdot$$ एक डॉट उत्पाद. यह एक चर (स्तिथि में) में प्रमेय का सटीक एनालॉग है $$n=1$$ यह एक चर में प्रमेय है)। कॉची-श्वार्ज़ असमानता द्वारा, समीकरण अनुमान देता है:


 * $$\Bigl|f(y)-f(x)\Bigr| \le \Bigl|\nabla f\big((1-c)x+cy\big)\Bigr|\ \Bigl|y - x\Bigr|.$$

विशेष रूप से, जब का आंशिक व्युत्पन्न $$f$$ बंधे हुए हैं, $$f$$ लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है (और इसलिए एकसमान निरंतरता)।

उपरोक्त के अनुप्रयोग के रूप में, हम इसे सिद्ध करते हैं $$f$$ यदि विवृत उपसमुच्चय स्थिर है $$G$$ जुड़ा हुआ है और प्रत्येक आंशिक व्युत्पन्न है $$f$$ 0 है. कोई बिंदु चुनें $$x_0\in G$$, और जाने $$g(x)=f(x)-f(x_0)$$. हम दिखाना चाहते हैं $$g(x)=0$$ हरएक के लिए $$x\in G$$. उसके लिए, चलो $$E=\{x\in G:g(x)=0\}$$. तब E संवृत है और शून्य नहीं है। यह भी विवृत है: हर किसी के लिए $$x\in E$$ ,


 * $$\Big|g(y)\Big|=\Big|g(y)-g(x)\Big|\le (0)\Big|y-x\Big|=0$$

हर एक के लिए $$y$$ के किसी संबंध में $$x$$. (यहाँ, यह महत्वपूर्ण है कि $$x$$ और $$y$$ एक दूसरे के काफी करीब हैं।) चूंकि $$G$$ जुड़ा हुआ है, हम $$E=G$$ निष्कर्ष निकालते हैं।

उपरोक्त तर्क समन्वय-मुक्त तरीके से दिए गए हैं; इसलिए, जब वे स्तिथि का सामान्यीकरण करते हैं $$G$$ बनच स्थान का एक उपसमुच्चय है।

सदिश-मान कार्यों के लिए माध्य मान प्रमेय
सदिश-मान फ़ंक्शंस के लिए माध्य मान प्रमेय का कोई सटीक एनालॉग नहीं है (नीचे देखें)। हालाँकि, एक असमानता है जिसे कई समान स्थितियों पर प्रयुक्त किया जा सकता है, जिन पर माध्य मान प्रमेय एक आयामी स्तिथि में प्रयुक्त होता है:

$$

प्रमेय माध्य मान प्रमेय से अनुसरण करता है। सचमुच, ले लो $$\varphi(t) = (\textbf{f}(b) - \textbf{f}(a)) \cdot \textbf{f}(t)$$. तब $$\varphi$$ वास्तविक-मान है और इस प्रकार, माध्य मान प्रमेय द्वारा,
 * $$\varphi(b) - \varphi(a) = \varphi'(c)(b-a)$$

कुछ के लिए $$c \in (a, b)$$. अब, $$\varphi(b) - \varphi(a) = |\textbf{f}(b) - \textbf{f}(a)|^2$$ और $$\varphi'(c) = (\textbf{f}(b) - \textbf{f}(a)) \cdot \textbf{f}'(c).$$ इसलिए, उपरोक्त समीकरण से, कॉची-श्वार्ज़ असमानता का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं:
 * $$|\textbf{f}(b) - \textbf{f}(a)|^2 \le |\textbf{f}(b) - \textbf{f}(a)| |\textbf{f}'(c) |(b-a).$$

यदि $$\textbf{f}(b) = \textbf{f}(a)$$, प्रमेय तुच्छ है (कोई भी c काम करता है)। अन्यथा, दोनों पक्षों को विभाजित करना $$ |\textbf{f}(b) - \textbf{f}(a)|$$ प्रमेय उत्पन्न करता है।

जीन डियूडोने ने अपने क्लासिक ग्रंथ फ़ाउंडेशन ऑफ़ मॉडर्न एनालिसिस में माध्य मान प्रमेय को त्याग दिया है और इसे माध्य असमानता (जो नीचे दिया गया है) से प्रतिस्थापित कर दिया है क्योंकि प्रमाण रचनात्मक नहीं है और कोई माध्य मान नहीं पा सकता है और अनुप्रयोगों में केवल माध्य असमानता की आवश्यकता होती है। विश्लेषण I में सर्ज लैंग माध्य मान प्रमेय का उपयोग, अभिन्न रूप में, एक त्वरित प्रतिवर्त के रूप में करता है, लेकिन इस उपयोग के लिए व्युत्पन्न की निरंतरता की आवश्यकता होती है। यदि कोई हेनस्टॉक-कुर्जवील इंटीग्रल का उपयोग करता है तो उसके पास अतिरिक्त धारणा के बिना अभिन्न रूप में औसत मान प्रमेय हो सकता है कि व्युत्पन्न सतत होना चाहिए क्योंकि प्रत्येक व्युत्पन्न हेनस्टॉक-कुर्जवील इंटीग्रेबल है।

माध्य मान समानता का कोई एनालॉग न होने का कारण निम्नलिखित है: यदि $f : U → R^{m}$ एक अवकलनीय फलन है (जहाँ $U ⊂ R^{n}$ विवृत है) और यदि $x + th$, $x, h ∈ R^{n}, t ∈ [0, 1]$ प्रश्नाधीन रेखाखंड है (अंदर पड़ा हुआ)। $U$), तो कोई उपरोक्त पैरामीट्रिजेशन प्रक्रिया को प्रत्येक घटक फलन पर प्रयुक्त कर सकता है $f_{i} (i = 1, …, m)$ f का (उपरोक्त नोटेशन समुच्चय में $y = x + h$). ऐसा करने पर व्यक्ति को अंक मिलते हैं $x + t_{i}h$ रेखा खंड पर संतोषजनक


 * $$f_i(x+h) - f_i(x) = \nabla f_i (x + t_ih) \cdot h.$$

लेकिन सामान्यतः कुछ नहीं होगा, रेखा खंड $x + t*h$


 * $$f_i(x+h) - f_i(x) = \nabla f_i (x + t^* h) \cdot h.$$

सभी के लिए $i$ इसके साथ ही। उदाहरण के लिए, परिभाषित करें:


 * $$\begin{cases}

f : [0, 2 \pi] \to \R^2 \\ f(x) = (\cos(x), \sin(x)) \end{cases}$$ तब $$f(2\pi) - f(0) = \mathbf{0} \in \R^2$$, लेकिन $$f_1'(x) = -\sin (x)$$ और $$f_2'(x) = \cos (x)$$ कभी भी एक साथ शून्य नहीं होते $$x$$ $$\left[0, 2 \pi\right]$$ तक फैली हुई है।

उपरोक्त प्रमेय का तात्पर्य निम्नलिखित है:

वास्तव में, उपरोक्त कथन कई अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त है और इसे निम्नानुसार सीधे सिद्ध किया जा सकता है। (हम लिखेंगे $$f$$ के लिए $$\textbf{f}$$ पठनीयता के लिए।) पहले मान लें $$f$$ पर भिन्न है $$a$$ बहुत। यदि $$f'$$ पर असीमित है $$(a, b)$$, साबित करने के लिए कुछ भी नहीं है। इस प्रकार, मान लीजिए $$\sup_{(a, b)} |f'| < \infty$$. मान लीजिये $$M > \sup_{(a, b)} |f'|$$ कुछ वास्तविक संख्या हो. मान लीजिये
 * $$E = \{ 0 \le t \le 1 \mid |f(a + t(b-a)) - f(a)| \le Mt(b-a) \}.$$

हम दिखाना चाहते हैं $$1 \in E$$. की निरंतरता से $$f$$, समुच्चय $$E$$ बन्द है। यह भी अरिक्त है $$0$$ उसमे है। इसलिए, समुच्चय $$E$$ सबसे बड़ा अवयव है $$s$$. यदि $$s = 1$$, तब $$1 \in E$$ और हमारा काम हो गया. इस प्रकार अन्यथा मान लीजिए. के लिए $$1 > t > s$$,
 * $$\begin{align}

&|f(a + t(b-a)) - f(a)| \\ &\le |f(a + t(b-a)) - f(a+s(b - a)) - f'(a + s(b-a))(t-s)(b-a)| + |f'(a+s(b-a))|(t-s)(b-a) \\ &+|f(a + s(b-a)) - f(a)|. \end{align} $$ मान लीजिये $$\epsilon > 0$$ ऐसा हो कि $$M - \epsilon > \sup_{(a, b)} |f'|$$. की भिन्नता से $$f$$ पर $$a + s(b-a)$$ (टिप्पणी $$s$$ हो सकता है 0), यदि $$t$$ के काफी करीब है $$s$$, पहला पद है $$\le \epsilon (t-s)(b-a)$$. दूसरा पद है $$\le (M - \epsilon) (t-s)(b-a)$$. तीसरा पद है $$\le Ms(b-a)$$. इसलिए, अनुमानों को सारांशित करने पर, हमें मिलता है: $$|f(a + t(b-a)) - f(a)| \le tM|b-a|$$, की अधिकतमता का विरोधाभास $$s$$. इस तरह, $$1 = s \in M$$ और उसका अर्थ यह निकलता है:
 * $$|f(b) - f(a)| \le M(b-a).$$

तब से $$M$$ यादृच्छिक है, तो इससे अभिकथन का तात्पर्य होता है। अंततः, यदि $$f$$ पर भिन्न नहीं है $$a$$, मान लीजिये $$a' \in (a, b)$$ और पहला स्थिति प्रयुक्त करें $$f$$ पर प्रतिबंधित $$[a', b]$$, हमें देना:
 * $$|f(b) - f(a')| \le (b-a')\sup_{(a, b)} |f'|$$

तब से $$(a', b) \subset (a, b)$$. दे $$a' \to a$$ प्रमाण समाप्त करता है. $$\square$$ कैलकुलस में बुनियादी परिणाम स्थापित करने के लिए माध्य मान असमानता के कुछ अनुप्रयोगों के लिए, यूक्लिडियन स्पेस#बेसिक धारणाओं पर कैलकुलस भी देखें।

सदिश-मान कार्यों के लिए माध्य मान प्रमेय का एक निश्चित प्रकार का सामान्यीकरण निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है: चलो $f$ एक विवृत अंतराल पर परिभाषित एक सतत भिन्न वास्तविक-मान फलन बनें $I$, और जाने $x$ साथ ही $x + h$ के अंक हो $I$. एक चर में माध्य मान प्रमेय हमें बताता है कि कुछ उपस्थित हैं $t*$ 0 और 1 के बीच ऐसा कि


 * $$f(x+h)-f(x) = f'(x + t^* h) \cdot h.$$

दूसरी ओर, हमारे पास, कलन के मूलभूत प्रमेय के बाद चरों के परिवर्तन के द्वारा,


 * $$ f(x+h)-f(x) = \int_x^{x+h} f'(u) \, du = \left (\int_0^1 f'(x+th)\,dt \right) \cdot h.$$

इस प्रकार, मान $f′(x + t*h)$ विशेष बिंदु पर $t*$ को माध्य मान से प्रतिस्थापित कर दिया गया है


 * $$\int_0^1 f'(x + t h) \, dt.$$

इस अंतिम संस्करण को सदिश मान फ़ंक्शंस के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:

$$

सिद्ध मान लीजिए कि f1, …, fm, $U ⊂ R^{n}$ के घटकों को दर्शाता है और परिभाषित करता है:


 * $$\begin{cases}

g_i : [0,1] \to \R \\ g_i(t) = f_i (x +th) \end{cases} $$ तो हमारे पास हैं



\begin{align} f_i(x+h)-f_i(x) &= g_i(1)-g_i(0) =\int_0^1 g_i'(t)\,dt \\ &= \int_0^1 \left (\sum_{j=1}^n \frac{\partial f_i}{\partial x_j} (x + t h) h_j\right) dt = \sum_{j=1}^n \left (\int_0^1 \frac{\partial f_i}{\partial x_j}(x + t h)\,dt\right) h_j. \end{align} $$ अनुरोध इस प्रकार है $f : U → R^{m}$ घटकों से युक्त मैट्रिक्स $$\tfrac{\partial f_i}{\partial x_j}$$ $$\square$$ है।

माध्य मान असमानता को उपरोक्त प्रस्ताव के परिणाम के रूप में प्राप्त किया जा सकता है (हालांकि इस धारणा के तहत व्युत्पन्न सतत हैं)।

ऐसी स्थिति जहां प्रमेय लागू नहीं किया जा सकता है
माध्य मान प्रमेय के लिए दोनों शर्तें आवश्यक हैं:


 * 1) f(x) (a,b) पर अवकलनीय है
 * 2) f(x) [a,b] पर सतत है

जहां उपरोक्त शर्तों में से कोई भी संतुष्ट नहीं है, औसत मान प्रमेय सामान्य रूप से मान्य नहीं है, और इसलिए इसे लागू नहीं किया जा सकता है।

फलन विवृत अंतराल a,b पर भिन्न होता है

पहली शर्त की आवश्यकता को प्रतिउदाहरण द्वारा देखा जा सकता है जहां फलन $$f(x)=|x| $$ [-1,1] पर अवकलनीय नहीं है।

फलन संवृत अंतराल a,b पर संतत है

दूसरी स्थिति की आवश्यकता को प्रतिउदाहरण द्वारा देखा जा सकता है जहां फलन $$f(x) = \begin{cases} 1, & \text{at }x=0 \\ 0, & \text{if }x\in( 0,1] \end{cases} $$

$$f(x) $$ मानदंड 1 को पूरा करता है क्योंकि $$f'(x)=0 $$ पर

यह मानदंड 2 नहीं है क्योंकि सभी $$(0,1) $$ के लिए $$\frac{f(1)-f(0)}{1-0}=-1 $$और $$-1\neq 0 =f'(x) $$ इसलिए $$x\in (0,1) $$ पर कोई $$c $$ उपस्थित नहीं है।



निश्चित समाकलनों के लिए पहला माध्य मान प्रमेय
माना f : [a, b] → R एक सतत फलन है। तब (a, b) में c का अस्तित्व इस प्रकार है


 * $$\int_a^b f(x) \, dx = f(c)(b - a).$$

चूँकि [a, b] पर f का माध्य मान इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \, dx,$$

हम निष्कर्ष की व्याख्या इस प्रकार कर सकते हैं कि f (a, b) में कुछ c पर अपना माध्य मान प्राप्त कर लेता है।

सामान्य तौर पर, यदि f: [a, b] → 'R' सतत है और g एक पूर्णांक फलन है जो [a, b] पर चिह्न नहीं बदलता है, तो (a, b) में c उपस्थित है जैसे कि


 * $$\int_a^b f(x) g(x) \, dx = f(c) \int_a^b g(x) \, dx.$$

सिद्ध कीजिए कि [a, b] में कुछ c है
मान लीजिए f : [a, b] → R सतत है और g [a, b] पर एक अऋणात्मक पूर्णांक फलन है। अत्यधिक मान प्रमेय के अनुसार, m और M इस प्रकार उपस्थित हैं कि [a, b], $$m\leq f(x) \leq M $$ और $$f[a,b] = [m, M]$$ में प्रत्येक x के लिए। चूँकि g ऋणात्मक नहीं है,


 * $$m \int_a^b g(x) \, dx \leq \int^b_a f(x) g(x) \, dx \leq M \int_a^b g(x) \, dx.$$

अब मान लीजिये


 * $$I = \int_a^b g(x) \, dx.$$

यदि $$I = 0$$, हम कर रहे हैं


 * $$0 \leq \int_a^b f(x) g(x)\, dx \leq 0$$

माध्य


 * $$\int_a^b f(x)g(x)\, dx=0,$$

इसलिए किसी भी c के लिए (a, b),


 * $$\int_a^b f(x)g(x)\, dx = f(c) I = 0.$$

यदि I ≠ 0, तो


 * $$m \leq \frac{1}{I} \int_a^b f(x)g(x)\,dx \leq M.$$

मध्यवर्ती मान प्रमेय के अनुसार, f अंतराल [m, M] के प्रत्येक मान को प्राप्त करता है, इसलिए [a, b] में कुछ c के लिए


 * $$f(c) = \frac1I\int^b_a f(x) g(x) \, dx,$$

वह है,


 * $$\int_a^b f(x) g(x) \, dx = f(c) \int_a^b g(x) \, dx.$$

अंततः, यदि g [a, b] पर ऋणात्मक है, तो


 * $$M \int_a^b g(x) \, dx \leq \int^b_a f(x)g(x) \, dx \leq m \int_a^b g(x) \, dx,$$

और हमें अभी भी ऊपर जैसा ही परिणाम मिलता है।

क्यूईडी

निश्चित समाकलनों के लिए दूसरा माध्य मान प्रमेय
निश्चित समाकलनों के लिए कई थोड़े अलग प्रमेय हैं जिन्हें दूसरा माध्य मान प्रमेय कहा जाता है। एक सामान्य रूप से पाया जाने वाला संस्करण इस प्रकार है:


 * यदि G : [a, b] → R एक सकारात्मक मोनोटोन फलन फलन है और φ : [a, b] → R एक पूर्णांक है फलन, तो (a, b) में एक संख्या x उपस्थित है जैसे कि
 * $$ \int_a^b G(t)\varphi(t)\,dt = G(a^+) \int_a^x \varphi(t)\,dt. $$

यहाँ $$G(a^+)$$ के लिए निश्चित निर्णय है ${\lim_{x\to a^+}G(x)}$ जिसका अस्तित्व परिस्थितियों से चलता है। ध्यान दें कि यह आवश्यक है कि अंतराल (a, b) में b सम्मिलित है। इस आवश्यकता वाला एक संस्करण नहीं है:
 * यदि G: [a, b] → 'R' एक मोनोटोन फलन है (जरूरी नहीं कि घटता और सकारात्मक) फलन और φ: [a, b] → 'R' एक पूर्णांक फलन है, तो (a, b) ऐसा कि
 * $$ \int_a^b G(t)\varphi(t)\,dt = G(a^+) \int_a^x \varphi(t)\,dt + G(b^-) \int_x^b \varphi(t)\,dt. $$

एकीकरण के लिए औसत मान प्रमेय सदिश-मान वाले फलनों के लिए विफल रहता है
यदि फलन $$G$$ एक बहुआयामी सदिश देता है, तो एकीकरण के लिए एमवीटी सत्य नहीं है, भले ही $$G$$ का डोमेन भी बहुआयामी हो।

उदाहरण के लिए, एक पर परिभाषित निम्नलिखित 2-आयामी फलन पर विचार करें $$n$$-आयामी घन:


 * $$\begin{cases}

G: [0,2\pi]^n \to \R^2 \\ G(x_1, \dots, x_n) = \left(\sin(x_1 + \cdots + x_n), \cos(x_1 + \cdots + x_n) \right) \end{cases} $$ फिर, समरूपता द्वारा यह देखना आसान है कि का माध्य मान $$G$$ इसके डोमेन पर (0,0) है:


 * $$\int_{[0,2\pi]^n} G(x_1,\dots,x_n) dx_1 \cdots dx_n = (0,0)$$

हालाँकि, इसका अर्थ यह नहीं है $$G=(0,0)$$, क्योंकि हर जगह $$|G|=1$$

माध्य मान प्रमेय का एक संभाव्य एनालॉग
मान लीजिए कि X और Y ऋणेतर यादृच्छिक चर हैं जैसे कि E[X] < E[Y] < ∞ और $$X \leq_{st} Y$$(अर्थात तब संभाव्यता घनत्व फलन वाला एक पूर्णतया सतत ऋणेतर यादृच्छिक चर Z उपस्थित होता है


 * $$ f_Z(x)={\Pr(Y>x)-\Pr(X>x)\over {\rm E}[Y]-{\rm E}[X]}\,, \qquad x\geqslant 0.$$

मान लीजिए कि g एक मापने योग्य फलन और अवकलनीय फलन है जैसे कि E[g(X)], E[g(Y)] < ∞, और इसके व्युत्पन्न g' को मापने योग्य और रीमैन अंतराल होने दें | रीमैन-अंतराल पर पूर्णांक [x, y] सभी y ≥ x ≥ 0 के लिए। फिर, E[g′(Z)] परिमित है और
 * $$ {\rm E}[g(Y)]-{\rm E}[g(X)]={\rm E}[g'(Z)]\,[{\rm E}(Y)-{\rm E}(X)].$$

जटिल चरों में माध्य मान प्रमेय
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, प्रमेय विभेदित जटिल-मान कार्यों के लिए मान्य नहीं है। इसके बजाय, प्रमेय का सामान्यीकरण इस प्रकार बताया गया है:

मान लीजिए f: Ω → 'C' विवृत उत्तल समुच्चय Ω पर एक होलोमोर्फिक फलन है, और मान लीजिए कि a और b Ω में अलग-अलग बिंदु हैं। फिर a से b तक रेखा खंड के आंतरिक भाग पर बिंदु u, v इस प्रकार उपस्थित हैं
 * $$\operatorname{Re}(f'(u)) = \operatorname{Re}\left ( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right),$$
 * $$\operatorname{Im}(f'(v)) = \operatorname{Im}\left ( \frac{f(b)-f(a)}{b-a} \right).$$

जहां Re वास्तविक भाग है और Im एक जटिल-मान फलन का काल्पनिक भाग है।

यह भी देखें: वूरहोव सूचकांक।

यह भी देखें

 * न्यूमार्क-बीटा विधि
 * माध्य मान प्रमेय (विभाजित अंतर)
 * रेसट्रैक सिद्धांत
 * स्टोलार्स्की औसत

बाहरी संबंध

 * PlanetMath: Mean-Value Theorem
 * "Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem" at the Khan Academy
 * "Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem" at the Khan Academy
 * "Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem" at the Khan Academy
 * "Mean Value Theorem: Intuition behind the Mean Value Theorem" at the Khan Academy