केंद्रीय द्विपद गुणांक

गणित में nवां 'केंद्रीय द्विपद गुणांक' विशेष द्विपद गुणांक है


 * $${2n \choose n} = \frac{(2n)!}{(n!)^2} = \prod\limits_{k=1}^{n}\frac{n+k}{k} \text{ for all }n \geq 0.$$

उन्हें केंद्रीय कहा जाता है क्योंकि वे पास्कल के त्रिभुज में सम-संख्या वाली पंक्तियों के ठीक बीच में दिखाई देते हैं। n = 0 से शुरू होने वाले पहले कुछ केंद्रीय द्विपद गुणांक हैं:


 * ,, , , , , 924, 3432, 12870, 48620, ...;

संयुक्त व्याख्याएँ और अन्य गुण
केंद्रीय द्विपद गुणांक $$\binom{2n}{n}$$ व्यवस्थाओं की संख्या है जहां दो प्रकार की वस्तुएं समान संख्या में होती हैं। उदाहरण के लिए, जब $$n=2$$, द्विपद गुणांक $$\binom{2 \cdot 2}{2}$$ 6 के बराबर है, और A की दो प्रतियों और B की दो प्रतियों की छह व्यवस्थाएँ हैं: AABB, ABAB, ABBA, BAAB, BABA, BBAA।

वही केंद्रीय द्विपद गुणांक $$\binom{2n}{n}$$ A और B से बनी लंबाई 2n के शब्दों की संख्या भी है जहां किसी भी बिंदु पर बाएं से दाएं पढ़ने पर A से अधिक B कभी नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, जब $$n=2$$, लंबाई 4 के छह शब्द हैं जिनमें प्रत्येक उपसर्ग में कम से कम में कम से कम A की B जितनी प्रतियां हैं: AAAA, AAAB, AABA, AABB, ABAA, ABAB।

2 इंच के गुणनखंडों की संख्या $$\binom{2n}{n}$$ n के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में 1s की संख्या के बराबर है। परिणामस्वरूप, 1 एकमात्र विषम केंद्रीय द्विपद गुणांक है।

कार्य उत्पन्न करना
केंद्रीय द्विपद गुणांक के लिए सामान्य जनक फलन है $$\frac{1}{\sqrt{1-4x}} = \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} x^n = 1 + 2x + 6x^2 + 20x^3 + 70x^4 + 252x^5 + \cdots.$$ इसे द्विपद श्रृंखला और संबंध का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है $$\binom{2n}{n} = (-1)^n 4^n \binom{-1/2}{n}, $$जहाँ $$\textstyle\binom{-1/2}{n}$$एक सामान्यीकृत द्विपद गुणांक है।

केंद्रीय द्विपद गुणांक में घातीय जनक कार्य होता है $$ \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n}\frac{x^n}{n!} = e^{2x} I_0(2x), $$जहां I0 पहली तरह का एक संशोधित बेसेल फलन है।

केंद्रीय द्विपद गुणांकों के वर्गों का जनक फलन पहले प्रकार के पूर्ण अण्डाकार समाकलन के संदर्भ में लिखा जा सकता है:
 * $$\sum_{n=0}^{\infty} \binom{2n}{n}^2 x^{n} = \frac{4}{\pi(1 + \sqrt{1 - 16x})} K\left(\frac{1 - \sqrt{1 - 16x}}{1 + \sqrt{1 - 16x}}\right).$$

स्पर्शोन्मुख वृद्धि
सरल सीमाएँ जो तुरंत अनुसरण करती हैं $$4^n=(1+1)^{2n}= \sum_{k=0}^{2n} \binom{2n}{k}$$ $$\frac{4^n}{2n+1} \leq {2n \choose n} \leq 4^n\text{ for all }n \geq 0 $$ है।

स्पर्शोन्मुख व्यवहार को और भी अधिक सटीक रूप से वर्णित किया जा सकता है: $$ {2n \choose n} \sim \frac{4^n}{\sqrt{\pi n}}.$$ इसे वालिस उत्पाद में हेरफेर करके या स्टर्लिंग के सूत्र के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।

संबंधित क्रम
निकट से संबंधित कैटलन संख्या Cn द्वारा दी गई है:


 * $$C_n = \frac{1}{n+1} {2n \choose n} = {2n \choose n} -

{2n \choose n+1}\text{ for all }n \geq 0.$$ केंद्रीय द्विपद गुणांकों का एक छोटा सा सामान्यीकरण उन्हें $$ \frac{\Gamma(2n+1)}{\Gamma(n+1)^2}=\frac{1}{n \Beta(n+1,n)}$$ के रूप में लेना है उपयुक्त वास्तविक संख्या n के साथ, जहाँ $$\Gamma(x)$$ गामा फलन है और $$\Beta(x,y)$$ बीटा फलन है.

केंद्रीय द्विपद गुणांक को विभाजित करने वाले दो की शक्ति गोल्ड के अनुक्रम द्वारा दी गई है, जिसका nवां तत्व पास्कल के त्रिकोण की पंक्ति n में विषम पूर्णांकों की संख्या है।

उत्पन्न फलन का वर्ग करने से प्राप्त होता है


 * $$\frac{1}{1-4x} = \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} x^n \sum_{n=0}^\infty \binom{2n}{n} x^n$$

$$x^n$$ के गुणांकों की तुलना करने देता है


 * $$\sum_{k=0}^n \binom{2k}{k}\binom{2n-2k}{n-k} = 4^n$$

उदाहरण के लिए, $$64=1(20)+2(6)+6(2)+20(1)$$.

अन्य जानकारी
केंद्रीय द्विपद गुणांक का आधा $$\textstyle\frac12{2n \choose n} = {2n-1 \choose n-1}$$ (के लिए $$n>0$$) वोल्स्टेनहोल्म के प्रमेय में देखा जाता है।

एर्दो के वर्गमुक्त अनुमान के अनुसार, 1996 में साबित हुआ, n > 4 वाला कोई भी केंद्रीय द्विपद गुणांक वर्गमुक्त नहीं है।

$$\textstyle \binom{2n}{n}$$ पास्कल त्रिभुज की nवीं पंक्ति के वर्गों का योग है:


 * $${2n \choose n}=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2$$

उदाहरण के लिए, $$\tbinom{6}{3}=20=1^2+3^2+3^2+1^2$$.

एर्दोज़ ने बर्ट्रेंड की अभिधारणा के प्रमाण में केंद्रीय द्विपद गुणांकों का बड़े स्तर पर पर उपयोग किया है।

एक और उल्लेखनीय तथ्य यह है कि 2 को विभाजित करने की शक्ति $$(n+1)\dots(2n)$$ बिलकुल $n$ है।

यह भी देखें

 * केंद्रीय त्रिपद गुणांक