प्रमात्रा क्षेत्र सिद्धान्त

सैद्धांतिक भौतिकी में, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) एक सैद्धांतिक रूपरेखा है जो शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत, विशेष सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी को जोड़ता है। क्यूएफटी का उपयोग कण भौतिकी में उप-परमाणु कणों के भौतिक प्रतिरूप और संघनित पदार्थ भौतिकी में क्वासिपार्टिकल्स के प्रतिरूप के निर्माण के लिए किया जाता है।

क्यूएफटी कणों को उनके अंतर्निहित क्वांटम क्षेत्रों के उत्तेजित अवस्थाओं (जिसे क्वांटम भी कहा जाता है) के रूप में मानता है, जो कणों की तुलना में अधिक मौलिक हैं। कण की गति का समीकरण लग्रांजी के न्यूनीकरण से निर्धारित होता है, कण से जुड़े क्षेत्रों का एक कार्यात्मक होता है। कणों के मध्य अन्योन्यक्रियाओं का वर्णन उनके संबंधित क्वांटम क्षेत्रों से जुड़े लग्रांजी में अंतःक्रियात्मक शब्दों द्वारा किया जाता है। क्वांटम यांत्रिकी में प्रक्षोभ सिद्धांत के अनुसार प्रत्येक अन्योन्यक्रिया को फेनमैन आरेखों द्वारा दृष्टिगत रूप से दर्शाया जा सकता है।

इतिहास
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत 20वीं शताब्दी के अधिकांश समय में फैले सैद्धांतिक भौतिकविदों की पीढ़ियों के काम से प्रकट हुई है। इसका विकास 1920 के दशक में प्रकाश और अतिसूक्ष्म परमाणु के मध्य अन्योन्यक्रिया के विवरण के साथ प्रारम्भ हुआ, जिसकी परिणति पहले क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत-क्वांटम विद्युतगतिक में हुआ है। एक प्रमुख विक्षोभकारी गणनाओं में विभिन्न अनन्तताओं की उपस्थिति और दृढ़ता के साथ जल्द ही एक बड़ी सैद्धांतिक बाधा का पालन किया गया, एक समस्या केवल 1950 के दशक में पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया के आविष्कार के साथ हल हो गई। एक दूसरी बड़ी बाधा क्यूएफटी की कमजोर और प्रबल अन्योन्यक्रियाओं का वर्णन करने में स्पष्ट अक्षमता के साथ आई, उस बिंदु पर जहां कुछ सिद्धांतकारों ने क्षेत्र सैद्धांतिक दृष्टिकोण को छोड़ने का आह्वान किया था। 1970 के दशक में गेज सिद्धांत के विकास और मानक प्रतिरूप के पूरा होने से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का पुनर्जागरण हुआ था।

सैद्धांतिक पृष्ठभूमि
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत, क्वांटम यांत्रिकी और विशेष सापेक्षता के संयोजन से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का परिणाम होता है। इन सैद्धांतिक अग्रदूतों का संक्षिप्त विवरण इस प्रकार है।

पूर्वतर सफल शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत वह है जो न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम से निर्गत, उनके 1687 के ग्रंथ फिलोसोफी नेचुरलिस प्रिंसिपिया मैथमैटिका से क्षेत्रों की अवधारणा की पूर्ण अनुपस्थिति के होने पर भी है। न्यूटन द्वारा वर्णित गुरुत्वाकर्षण बल एक  दूरी पर क्रिया है  - दूर की वस्तुओं पर इसका प्रभाव तात्कालिक होता है, चाहे दूरी कोई भी हो। हालांकि, रिचर्ड बेंटले के साथ पत्रों के आदान-प्रदान में, न्यूटन ने कहा कि  यह अकल्पनीय है कि निर्जीव पाशविक पदार्थ, किसी अन्य सामग्री की मध्यस्थता के बिना, जो कि भौतिक नहीं है, परस्पर संपर्क के बिना अन्य विषय को संचालित और प्रभावित करना चाहिए।  18वीं शताब्दी तक गणितीय भौतिकविदों ने क्षेत्रों के आधार पर गुरुत्वाकर्षण का एक सुविधाजनक विवरण खोजा था - एक संख्यात्मक मात्रा (गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के प्रकरण में एक सदिश) जो समष्टि में हर बिंदु को नियुक्त किया गया था जो उस बिंदु पर किसी भी कण पर गुरुत्वाकर्षण की क्रिया का संकेत देती है। हालाँकि, इसे केवल एक गणितीय ट्रिक माना गया था।

19वीं शताब्दी में विद्युत चुंबकत्व के विकास के साथ क्षेत्रों ने अपना अस्तित्व ग्रहण करना प्रारम्भ कर दिया। माइकल फैराडे ने 1845 में अंग्रेजी शब्द  क्षेत्र  बनाया। उन्होंने भौतिक प्रभावों वाले क्षेत्रों को समष्टि के गुणों के रूप में प्रस्तावित किया (हालांकि यह पदार्थ से रहित हो)। उन्होंने "एक दूरी पर क्रिया" के प्रति तर्क दिया, और प्रस्तावित किया कि वस्तुओं के मध्य अन्योन्यक्रिया समष्टि-भरने वाली "बल की रेखाओं" के माध्यम से होती है। क्षेत्र का यह विवरण आज तक बना हुआ है।

शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व का सिद्धांत 1864 में मैक्सवेल के समीकरणों के साथ पूरा हुआ, जिसमें विद्युत क्षेत्र, चुंबकीय क्षेत्र, विद्युत प्रवाह और विद्युत आवेश के मध्य संबंध का वर्णन किया गया था। मैक्सवेल के समीकरणों ने विद्युत चुम्बकीय तरंगों के अस्तित्व को निहित किया, एक ऐसी परिघटना जिससे विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र एक स्थानिक बिंदु से दूसरे स्थान पर परिमित गति से फैलते हैं, जो प्रकाश की गति बन जाती है। इस प्रकार क्रिया-पर-एक-दूरी निर्णायक रूप से खंडित कर दी गयी थी।

शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व की बहुत सफलता के द्वेष, यह परमाणु स्पेक्ट्रम में असतत रेखाओं के लिए और न ही विभिन्न तरंग दैर्ध्य में कृष्णिका विकिरण के लिए जिम्मेदार नहीं था। कृष्णिका विकिरण के मैक्स प्लैंक के अध्ययन ने क्वांटम यांत्रिकी के प्रारंभ को चिह्नित किया था। उन्होंने परमाणुओं का उपचार किया, जो विद्युत चुम्बकीय विकिरण को अवशोषित और उत्सर्जित करते हैं, महत्वपूर्ण गुण के साथ छोटे दोलक के रूप कि उनकी ऊर्जा निरंतर, मूल्यों के अलावा केवल असतत श्रृंखला पर ले सकती है। इन्हें क्वांटम सरल आवर्ती दोलक के रूप में जाना जाता है। ऊर्जा को असतत मूल्यों तक सीमित करने की इस प्रक्रिया को परिमाणीकरण कहा जाता है। इस विचार पर निर्माण करते हुए, अल्बर्ट आइंस्टीन ने 1905 में प्रकाश विद्युत प्रभाव के लिए एक स्पष्टीकरण का प्रस्ताव किया कि प्रकाश ऊर्जा के विभिन्न वेष्टक से बना होता है जिन्हें फोटॉन (प्रकाश की मात्रा) कहा जाता है। इसका तात्पर्य यह था कि शास्त्रीय विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में तरंगें होते हुए भी विद्युत चुम्बकीय विकिरण कणों के रूप में उपस्तिथ होते हैं।

1913 में, नील्स बोह्र ने परमाणु संरचना का बोह्र प्रतिरूप प्रस्तावित किया, जिसमें परमाणुओं के अंतर्गत अतिसूक्ष्म परमाणु निरंतर ऊर्जा के अलावा केवल असतत की एक श्रृंखला को ही ले सकते हैं। यह परिमाणीकरण का एक और उदाहरण है। बोहर प्रतिरूप ने परमाणु वर्णक्रमीय रेखाओं की असतत प्रकृति की सफलतापूर्वक व्याख्या की है। 1924 में, लुई डी ब्रोगली ने तरंग-कण द्वैत की परिकल्पना प्रस्तावित की कि सूक्ष्म कण विभिन्न परिस्थितियों में तरंग-समान और कण-समान दोनों गुण प्रदर्शित करते हैं। इन प्रकीर्ण विचारों को विलयन करते हुए, एक सुसंगत अनुशासन, क्वांटम यांत्रिकी, 1925 और 1926 के मध्य मैक्स प्लैंक, लुइस डी ब्रोगली, वर्नर हाइजेनबर्ग, मैक्स बोर्न, इरविन श्रोडिंगर, पॉल डिराका और वोल्फगैंग पॉली हत्वपूर्ण योगदान के साथ निरूपित किया गया था।

उसी वर्ष प्रकाश वैद्युत प्रभाव पर अपने काग़ज़ के रूप में, आइंस्टीन ने मैक्सवेल के विद्युत चुंबकत्व पर निर्मित विशेष सापेक्षता के अपने सिद्धांत को प्रकाशित किया। लोरेंत्ज़ रूपांतरण नामक नए नियम, पर्यवेक्षक के वेग में परिवर्तन के अंतर्गत एक परिघटना परिवर्तन के समय और स्थान निर्देशांक के लिए दिए गए थे, और समय और स्थान के मध्य का अंतर धुंधला हो गया था। यह प्रस्तावित किया गया था कि विभिन्न वेगों पर पर्यवेक्षकों के लिए सभी भौतिक नियम समान होने चाहिए, अर्थात भौतिक नियम लोरेंत्ज़ परिअंतर्गत के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं।

दो कठिनाइयाँ शेष रहीं थी। प्रेक्षणात्मक रूप से, श्रोडिंगर समीकरण अंतर्निहित क्वांटम यांत्रिकी परमाणुओं से विकिरण के उत्प्रेरित उत्सर्जन की व्याख्या कर सकता है, जहां एक बाहरी विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया के अंतर्गत एक नया फोटॉन उत्सर्जित करता है, लेकिन यह सहज उत्सर्जन की व्याख्या करने में असमर्थ था, जहां एक अतिसूक्ष्म परमाणु ऊर्जा में कमी करता है और बाहरी विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की क्रिया के बिना भी एक फोटॉन उत्सर्जित करता है। सैद्धांतिक रूप से, श्रोडिंगर समीकरण फोटॉन का वर्णन नहीं कर सकता था और विशेष सापेक्षता के सिद्धांतों के साथ असंगत था - यह रैखिक संचालकों के लिए स्थानिक निर्देशांक को बढ़ावा देते हुए समय को एक सामान्य संख्या के रूप में मानता है।

क्वांटम विद्युत् गतिकी
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत स्वाभाविक रूप से विद्युत चुम्बकीय अंतःक्रियाओं के अध्ययन के साथ प्रारम्भ हुआ, क्योंकि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र 1920 के दशक तक एकमात्र ज्ञात शास्त्रीय क्षेत्र था।

1925-1926 में बॉर्न, हाइजेनबर्ग और पास्कल जॉर्डन के कार्यों के माध्यम से, मुक्त विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र (जिसका पदार्थ के साथ कोई अंतःक्रिया नहीं है) का एक क्वांटम सिद्धांत विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को क्वांटम सरल आवर्ती दोलक के एक समुच्चय के रूप में मानकर विहित परिमाणीकरण के माध्यम से विकसित किया गया था।हालांकि, अंतःक्रियाओं के बहिष्करण के साथ, ऐसा सिद्धांत अभी तक वास्तविक दुनिया के बारे में मात्रात्मक पूर्वानुमान करने में अभी तक अक्षम था।

अपने मौलिक 1927 के काग़ज़ में विकिरण के उत्सर्जन और अवशोषण का क्वांटम सिद्धांत, डिराक ने क्वांटम विद्युतगतिक (क्यूईडी) शब्द सृष्ट, एक सिद्धांत जो मुक्त विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का वर्णन करने वाले शब्दों को विद्युत प्रवाह घनत्व और विद्युत चुम्बकीय चर के मध्य एक अतिरिक्त अंतःक्रियात्मक शब्द जोड़ता है। प्रथम-क्रम प्रक्षोभ सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) का उपयोग करते हुए, उन्होंने सहज उत्सर्जन की परिघटना को सफलतापूर्वक समझाया है। क्वांटम यांत्रिकी में अनिश्चितता सिद्धांत के अनुसार, क्वांटम सरल आवर्ती दोलक स्थिर नहीं रह सकते हैं, लेकिन उनके पास गैर-शून्य न्यूनतम ऊर्जा होती है और उन्हें हमेशा निम्नतम ऊर्जा अवस्था (जमीन की स्थिति) में भी दोलन करना चाहिए। इसलिए, एक पूर्ण निर्वात में भी, शून्य-बिंदु ऊर्जा वाला एक दोलनशील विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र बना रहता है। यह निर्वात में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों का यह क्वांटम उतार-चढ़ाव है जो परमाणुओं में अतिसूक्ष्म परमाणु द्वारा विकिरण के सहज उत्सर्जन को  उत्तेजित  करता है। डिराक का सिद्धांत परमाणुओं द्वारा विकिरण के उत्सर्जन और अवशोषण दोनों की व्याख्या करने में अत्यधिक सफल रहा; दूसरे क्रम के प्रक्षोभ सिद्धांत को उपयोजित करके, यह फोटॉनों के प्रकीर्णन, प्रतिध्वनि प्रतिदीप्ति और गैर-सापेक्ष कॉम्पटन प्रकीर्णन के लिए जिम्मेदार था। तब भी, उच्च-क्रम प्रक्षोभ सिद्धांत का अनुप्रयोग गणनाओं में समस्याग्रस्त अनन्तताओं से ग्रस्त था।

1928 में, डिराक ने एक तरंग समीकरण लिखा जिसमें सापेक्षतावादी अतिसूक्ष्म परमाणु का वर्णन करता है - डायराक समीकरण का वर्णन करता है। इसके निम्नलिखित महत्वपूर्ण परिणाम थे: एक अतिसूक्ष्म परमाणु का चक्रण 1/2 होता है; अतिसूक्ष्म परमाणु g-कारक 2 है; इससे हाइड्रोजन परमाणु की सूक्ष्म संरचना के लिए सही सोमरफेल्ड सूत्र प्राप्त हुआ; और इसका उपयोग आपेक्षिकीय कॉम्पटन प्रकीर्णन के लिए क्लेन-निशिना सूत्र प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। यद्यपि परिणाम उपयोगी थे, सिद्धांत ने स्पष्ट रूप से नकारात्मक ऊर्जा अवस्था के अस्तित्व को भी निहित किया, जिससे परमाणु अस्थिर हो जाएंगे, क्योंकि वे हमेशा विकिरण के उत्सर्जन से कम ऊर्जा वाले अवस्था में क्षय हो सकते हैं।

उस समय प्रचलित दृष्टिकोण यह था कि दुनिया दो बहुत अलग अवयवों से बनी थी: भौतिक कण (जैसे अतिसूक्ष्म परमाणु) और क्वांटम क्षेत्र (जैसे फोटॉन)। भौतिक कणों को शाश्वत माना जाता था, उनकी भौतिक अवस्था को समष्टि के किसी भी क्षेत्र या वेग की सीमा में प्रत्येक कण को ​​खोजने की संभावनाओं द्वारा वर्णित किया गया था। दूसरी ओर, फोटॉनों को केवल अंतर्निहित परिमाणित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की उत्तेजित अवस्थाओं के रूप में माना जाता था, और इसे स्वतंत्र रूप से बनाया या नष्ट किया जा सकता था। यह 1928 और 1930 के मध्य था कि जॉर्डन, यूजीन विग्नर, हाइजेनबर्ग, पॉली और एनरिको फर्मी ने पता लगाया कि भौतिक कणों को क्वांटम क्षेत्रों के उत्साहित अवस्था के रूप में भी देखा जा सकता है। जिस तरह फोटॉन परिमाणित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की उत्तेजित अवस्थाएँ हैं, उसी प्रकार प्रत्येक प्रकार के कण का अपना संबंधित क्वांटम क्षेत्र होता है: एक अतिसूक्ष्म परमाणु क्षेत्र, एक प्रोटॉन क्षेत्र, आदि। पर्याप्त ऊर्जा मिलने पर अब भौतिक कणों का निर्माण संभव होगा। इस विचार पर निर्माण करते हुए, फर्मी ने 1932 में बीटा क्षय के लिए एक स्पष्टीकरण प्रस्तावित किया जिसे फर्मी की अन्योन्यक्रिया के रूप में जाना जाता है। परमाणु नाभिक में प्रति अतिसूक्ष्म परमाणु नहीं होते हैं, लेकिन क्षय की प्रक्रिया में, आसपास के अतिसूक्ष्म परमाणु क्षेत्र से एक अतिसूक्ष्म परमाणु का निर्माण होता है, जो एक उत्तेजित परमाणु के विकिरण संबंधी क्षय में आसपास के विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र से निर्मित फोटॉन के अनुरूप होते है।

यह 1929 में डिराक और अन्य लोगों द्वारा महसूस किया गया था कि डीरेक समीकरण द्वारा निहित नकारात्मक ऊर्जा अवस्था को अतिसूक्ष्म परमाणु के समान द्रव्यमान वाले लेकिन विपरीत विद्युत आवेश वाले कणों के अस्तित्व को मानकर हटाया जा सकता है। इसने न केवल परमाणुओं की स्थिरता सुनिश्चित की, बल्कि यह प्रतिद्रव्य के अस्तित्व का पहला प्रस्ताव भी था। वास्तव में, 1932 में अंतरिक्ष किरणों में कार्ल डेविड एंडरसन द्वारा पॉज़िट्रॉन के प्रमाण की खोज की गई थी। पर्याप्त ऊर्जा के साथ, जैसे कि एक फोटॉन को अवशोषित करके, एक अतिसूक्ष्म परमाणु-पॉज़िट्रॉन जोड़ी बनाई जा सकती है, एक प्रक्रिया जिसे जोड़ी उत्पादन कहा जाता है; एक फोटॉन के उत्सर्जन के साथ विपरीत प्रक्रिया, विलोपन भी हो सकता है। इससे पता चला कि अन्योन्यक्रिया के समय कण संख्या को तय करने की आवश्यकता नहीं है। हालांकि, ऐतिहासिक रूप से, पॉज़िट्रॉन को पहले एक नए प्रकार के कण के अलावा एक अनंत अतिसूक्ष्म परमाणु समुद्र में "छिद्र" के रूप में माना जाता था, और इस सिद्धांत को डिराक छिद्र सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया गया था। क्यूएफटी ने अपनी औपचारिकता में स्वाभाविक रूप से प्रतिकण को सम्मलित किया।

अनन्तताएँ और पुनर्सामान्यीकरण
रॉबर्ट ओपेनहाइमर ने 1930 में दिखाया कि क्यूईडी में उच्च-क्रम की प्रक्षोभ गणना हमेशा अनंत मात्रा में होती है, जैसे कि अतिसूक्ष्म परमाणु स्व-ऊर्जा और अतिसूक्ष्म परमाणु और फोटॉन क्षेत्रों की निर्वात शून्य-बिंदु ऊर्जा, यह सुझाव देते हुए कि उस समय के अभिकलनीय प्रकार अत्यधिक उच्च गति वाले फोटॉन से जुड़े अन्योन्यक्रिया से ठीक से संबोधित नहीं कर सकते थे। यह 20 साल बाद तक नहीं था कि इस तरह की अनंतता को दूर करने के लिए एक व्यवस्थित दृष्टिकोण विकसित किया गया था।

1934 और 1938 के मध्य अर्न्स्ट स्टुकेलबर्ग द्वारा पत्रों की एक श्रृंखला प्रकाशित की गई थी जिसने क्यूएफटी के सापेक्षिक रूप से अपरिवर्तनीय सूत्रीकरण की स्थापना की थी। 1947 में, स्टुकेलबर्ग ने भी स्वतंत्र रूप से एक पूर्ण पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया विकसित की थी। दुर्भाग्य से, ऐसी उपलब्धियों को सैद्धांतिक समुदाय द्वारा समझा और पहचाना नहीं गया था।

इन अनंतताओं का सामना करते हुए, जॉन आर्चीबाल्ड व्हीलर और हाइजेनबर्ग ने क्रमशः 1937 और 1943 में, तथाकथित S-आव्यूह सिद्धांत के साथ समस्याग्रस्त क्यूएफटी को प्रतिस्थापित करने का प्रस्ताव रखा क्योंकि सूक्ष्म अंतःक्रियाओं के विशिष्ट विवरण अवलोकनों के लिए दुर्गम हैं, इस सिद्धांत को अन्योन्यक्रिया की सूक्ष्मता से संबंधित होने के अलावा केवल एक अन्योन्यक्रिया में अवलोकन योग्य वस्तुओं (जैसे परमाणु की ऊर्जा) की एक छोटी संख्या के मध्य संबंधों का वर्णन करने का प्रयास करना चाहिए। 1945 में, रिचर्ड फेनमैन और व्हीलर ने साहसपूर्वक क्यूएफटी को पूरी तरह से छोड़ने का सुझाव दिया और कण अंतःक्रियाओं के तंत्र के रूप में क्रिया-पर-दूरी पर क्रिया प्रस्तावित की है।

1947 में, विलिस लैम्ब और रॉबर्ट रदरफोर्ड ने हाइड्रोजन परमाणु के 2S1/2 और 2P1/2 ऊर्जा स्तरों में सूक्ष्म अंतर को मापा, जिसे लैम्ब सृति भी कहा जाता है। फोटॉनों के योगदान की उपेक्षा करके, जिनकी ऊर्जा अतिसूक्ष्म परमाणु द्रव्यमान से अधिक है, हंस बेथे ने लैम्ब सृति के संख्यात्मक मूल्य का सफलतापूर्वक अनुमान लगाया है। इसके बाद, नॉर्मन माइल्स क्रोलो, लैम्ब, जेम्स ब्रूस फ्रेंच, और विक्टर वीसकोफ ने फिर से एक दृष्टिकोण का उपयोग करके इस मूल्य की पुष्टि की जिसमें अनन्तता को परिमित मात्रा में परिणाम देने के लिए अन्य अनन्तताओं को निरसित कर दिया था। हालाँकि, यह विधि अनाड़ी और अविश्वसनीय थी और इसे अन्य गणनाओं के लिए सामान्यीकृत नहीं किया जा सकता था।

अंततः 1950 के आसपास सफलता मिली जब जूलियन श्विंगर, रिचर्ड फेनमैन, फ्रीमैन डायसन और शिनिचिरो टोमोनागा द्वारा अनन्तताओं को खत्म करने के लिए एक अधिक मजबूत विधि विकसित की गई थी। मुख्य विचार द्रव्यमान और आवेश के परिकलित मानों को प्रतिस्थापित करना है, हालांकि वे अनंत अपने परिमित मापा मूल्यों से हो सकते हैं। इस व्यवस्थित अभिकलनीय प्रक्रिया को पुनर्सामान्यीकरण के रूप में जाना जाता है और इसे प्रक्षोभ सिद्धांत में स्वेच्छ क्रम पर उपयोजित किया जा सकता है। जैसा कि टोमोनागा ने अपने नोबेल व्याख्यान में कहा:"क्योंकि क्षेत्र प्रतिक्रियाओं के कारण संशोधित द्रव्यमान और आवेश के वे भाग [अनंत हो जाते हैं], सिद्धांत द्वारा उनकी गणना करना असंभव है। हालाँकि, प्रयोगों में देखा गया द्रव्यमान और आवेश मूल द्रव्यमान और आवेश नहीं हैं, लेकिन क्षेत्र प्रतिक्रियाओं द्वारा संशोधित द्रव्यमान और आवेश होते हैं, और वे परिमित होते हैं। दूसरी ओर, सिद्धांत में दिखाई देने वाले द्रव्यमान और आवेश... क्षेत्र प्रतिक्रियाओं द्वारा संशोधित मान हैं। क्योंकि यह ऐसा है, और विशेष रूप से क्योंकि सिद्धांत संशोधित द्रव्यमान और आवेश की गणना करने में असमर्थ है, इसलिए हम उनके लिए प्रायोगिक मूल्यों को परिघटनात्मक रूप से प्रतिस्थापित करने की प्रक्रिया अपना सकते हैं ... इस प्रक्रिया को द्रव्यमान और आवेश का पुनर्सामान्यीकरण कहा जाता है... लंबी, श्रमसाध्य गणनाओं के बाद, श्विंगर की तुलना में कम कुशल, हमने एक परिणाम प्राप्त किया... जो अमेरिकियों के साथ समझौता था।"

पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया को उपयोजित करके, अंततः अतिसूक्ष्म परमाणु के विषम चुंबकीय क्षण (2 से अतिसूक्ष्म परमाणु g-कारक (भौतिकी) का विचलन) और निर्वात ध्रुवीकरण की व्याख्या करने के लिए गणना की गई हैं। ये परिणाम प्रयोगात्मक माप के साथ एक उल्लेखनीय डिग्री के लिए सहमत हुए, इस प्रकार "अनन्तताओं के विरुद्ध संग्राम" के अंत को चिह्नित करते हैं।

उसी समय, फेनमैन ने क्वांटम यांत्रिकी और फेनमैन आरेखों का पथ समाकल सूत्रीकरण प्रस्तावित किया। उत्तरार्द्ध का उपयोग दृष्टिगत और सहज रूप से व्यवस्थित करने के लिए किया जा सकता है और विस्तार में शब्दों की गणना करने में सहायता करने के लिए किया जा सकता है। प्रत्येक आरेख को एक अंतःक्रिया में कणों के पथ के रूप में व्याख्या की जा सकती है, प्रत्येक त्रिभुज और रेखा के साथ एक समान गणितीय अभिव्यक्ति होती है, और इन अभिव्यक्तियों का उत्पाद आरेख द्वारा दर्शाए गए अन्योन्यक्रिया के प्रकीर्णन का आयाम देता है।

यह पुनर्मूल्यांकन प्रक्रिया और फेनमैन आरेखों के आविष्कार के साथ था कि क्यूएफटी अंततः एक पूर्ण सैद्धांतिक संरचना के रूप में उभरा है।

गैर-सामान्यीकरण
QED की भारी सफलता को देखते हुए, कई सिद्धांतकारों का मानना ​​​​था कि 1949 के बाद के कुछ वर्षों में, क्यूएफटी जल्द ही सभी सूक्ष्म परिघटनाओं की समझ प्रदान कर सकता है, न कि केवल फोटॉन, अतिसूक्ष्म परमाणु और पॉज़िट्रॉन के मध्य की अन्योन्यक्रिया प्रदान कर सकता है। इस आशावाद के विपरीत, क्यूएफटी ने अवसाद की एक और अवधि में प्रवेश किया जो लगभग दो दशकों तक चला था।

पहली बाधा पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया की सीमित प्रयोज्यता थी। QED में उत्तेजित करने वाली गणनाओं में, भौतिक मात्राओं की एक छोटी (परिमित) संख्या (अर्थात् अतिसूक्ष्म परमाणु का द्रव्यमान और आवेश) को पुनर्परिभाषित करके सभी अनंत मात्राओं को समाप्त किया जा सकता है। डायसन ने 1949 में प्रमाणित किया कि यह केवल सिद्धांतों के एक छोटे वर्ग के लिए संभव है जिसे "असामान्यीकरण योग्य सिद्धांत" कहा जाता है, जिसका QED एक उदाहरण है। हालांकि, अधिकांश सिद्धांत, प्रभावहीन अन्योन्यक्रिया के फर्मी सिद्धांत सहित, "गैर-सामान्यीकृत" हैं। पहले क्रम के अतिरिक्त इन सिद्धांतों में किसी भी उत्तेजित करने वाली गणना का परिणाम अनन्तता में होगा जो भौतिक मात्राओं की सीमित संख्या को फिर से परिभाषित करके अलग नहीं किया जा सकता हैं।

दूसरी बड़ी समस्या फेनमैन आरेख पद्धति की सीमित वैधता से उत्पन्न हुई, जो कि प्रक्षोभ सिद्धांत में एक श्रृंखला विस्तार पर आधारित है। श्रृंखला को अभिसरण करने के लिए और निम्न-क्रम की गणना के लिए एक अच्छा सन्निकटन होने के लिए, युग्मन स्थिरांक, जिसमें श्रृंखला का विस्तार किया जाता है, पर्याप्त रूप से छोटी संख्या होनी चाहिए। QED में युग्मन स्थिरांक सूक्ष्म-संरचना स्थिरांक $α ≈ 1/137$ है, जो इतना सूक्ष्म है कि यथार्थवादी गणनाओं में केवल सबसे सरल, निम्नतम क्रम, फेनमैन आरेखों पर विचार करने की आवश्यकता है। इसके विपरीत, प्रबल अन्योन्यक्रिया में युग्मन स्थिरांक लगभग एक के क्रम का होता है, जो जटिल, उच्च क्रम, फेनमैन आरेख सरल लोगों के समान ही महत्वपूर्ण हैं। इस प्रकार प्रतिकूल क्यूएफटी विधियों का उपयोग करके प्रबल अन्योन्यक्रिया के लिए विश्वसनीय मात्रात्मक भविष्यवाणियों को प्राप्त करने की कोई पद्धति नहीं थी।

इन कठिनाइयों के साथ, कई सिद्धांतकार क्यूएफटी से दूर होने लगे हैं। कुछ ने समरूपता (भौतिकी) सिद्धांतों और संरक्षण नियमों पर ध्यान केंद्रित किया, जबकि अन्य ने व्हीलर और हाइजेनबर्ग के पुराने S-आव्यूह सिद्धांत का चयन किया है। निर्देशक सिद्धांतों के रूप में क्यूएफटी का उपयोग अनुमानिक रूप से किया गया था, लेकिन मात्रात्मक गणनाओं के आधार के रूप में नहीं किया गया था।

हालांकि, श्विंगर ने एक अलग रास्ता अपना लिया है। एक दशक से अधिक समय तक वे और उनके छात्र क्षेत्र सिद्धांत के लगभग एकमात्र प्रतिपादक थे, लेकिन 1966 में उन्होंने एक नई विधि के साथ अनंत की समस्या का समाधान खोजा, जिसे उन्होंने स्रोत सिद्धांत कहा था। पायन भौतिकी में विकास, जिसमें नए दृष्टिकोण को सबसे अधिक सफलतापूर्वक उपयोजित किया गया था, उन्हें गणितीय सरलता और अवधारणात्मक स्पष्टता के भव्य लाभों के बारे में आश्वस्त किया जो इसके उपयोग से प्रदान किया गया था।

स्रोत सिद्धांत में कोई भिन्नता नहीं है, और कोई पुनर्सामान्यीकरण नहीं है। इसे क्षेत्र सिद्धांत का गणनात्मक उपकरण माना जा सकता है, लेकिन यह अधिक सामान्य है। स्रोत सिद्धांत का उपयोग करते हुए, श्विंगर अतिसूक्ष्म परमाणु के विषम चुंबकीय क्षण की गणना करने में सक्षम थे, जो उन्होंने 1947 में किया था, लेकिन इस बार अनंत मात्राओं के बारे में कोई 'विचलित करने वाली टिप्पणी' नहीं की थी। श्विंगर ने गुरुत्वाकर्षण के अपने क्यूएफटी सिद्धांत के लिए स्रोत सिद्धांत को भी उपयोजित किया, और आइंस्टीन के सभी चार उत्कृष्ट परिणामों को पुन: प्रस्तावित करने में सक्षम था: गुरुत्वाकर्षण अभिरक्त विस्थापन, गुरुत्वाकर्षण द्वारा प्रकाश का विक्षेपण और धीमा होना, और बुध का उपसौर पुरस्‍सरण था। भौतिक विज्ञान समुदाय द्वारा स्रोत सिद्धांत की उपेक्षा श्विंगर के लिए एक बड़ी निराशा थी:"दूसरों द्वारा इन तथ्यों की मुल्यांकन की कमी निराशाजनक थी, लेकिन समझने योग्य थी। -जे श्विंगर"

मानक-प्रतिरूप
1954 में, यांग चेन-निंग और रॉबर्ट मिल्स ने QED की स्थानीय समरूपता को सामान्यीकृत किया, जिससे गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत (जिसे यांग-मिल्स सिद्धांतों के रूप में भी जाना जाता है) का निर्माण हुआ, जो अधिक जटिल स्थानीय समरूपता समूहों पर आधारित हैं। क्यूईडी में, (विद्युत रूप से) आवेशित कण फोटॉन के आदान-प्रदान के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं, जबकि गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत में, एक नए प्रकार के  आवेश  वाले कण द्रव्यमान रहित गेज बोसोन के आदान-प्रदान के माध्यम से परस्पर क्रिया करते हैं। फोटॉन के विपरीत, ये गेज बोसॉन स्वयं आवेश करते हैं।

शेल्डन ग्लासो ने एक गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत विकसित किया जो 1960 में विद्युत चुम्बकीय और प्रभावहीन अंतःक्रियाओं को एकीकृत करता है। 1964 में, अब्दुस सलाम और जॉन क्लाइव वार्ड एक अलग रास्ते से एक ही सिद्धांत पर पहुंचे थे। यह सिद्धांत, फिर भी, गैर-असामान्यीकरण योग्य था।

पीटर हिग्स, रॉबर्ट ब्रौट, फ्रांकोइस एंगलर्ट, गेराल्ड गुरलनिक, कार्ल हेगन और टॉम किबल ने अपने प्रसिद्ध भौतिक समीक्षा पत्रों में प्रस्तावित किया कि यांग-मिल्स सिद्धांतों में गेज समरूपता को सहज समरूपता विभंजन नामक एक तंत्र द्वारा तोड़ा जा सकता है, जिसके माध्यम से मूल रूप से द्रव्यमान रहित गेज बोसोन द्रव्यमान प्राप्त कर सकते हैं।

सहज समरूपता तोड़ने के विचार के साथ ग्लासो, सलाम और वार्ड के पहले के सिद्धांत को जोड़कर, स्टीवन वेनबर्ग ने 1967 में सभी लेप्टानों और हिग्स बोसोन के प्रभावों के मध्य विद्युत अन्योन्यक्रिया का वर्णन करने वाला एक सिद्धांत लिखा गया था। उनके सिद्धांत को पहले ज्यादातर उपेक्षित कर दिया गया था, जब तक इसे 1971 में जेरार्ड टी हूफ्ट के प्रमाण द्वारा प्रकाश में नहीं लाया गया था कि गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत पुन: सामान्य करने योग्य हैं। वेनबर्ग और सलाम के विद्युत् दुर्बल सिद्धांत को 1970 में ग्लासो, ज़ोइन इलियोपोलोस और लुसियानो माईनी द्वारा लेप्टन से क्वार्क तक विस्तारित किया गया था, जिसने इसकी पूर्णता को चिह्नित किया।

हेरोल्ड फ्रिट्ज्चो, मरे गेल-मन्न और हेनरिक ल्यूटवाइलर ने 1971 में खोज की कि प्रबल अंतःक्रिया से जुड़ी कुछ परिघटनाओं को गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत द्वारा भी समझाया जा सकता है। क्वांटम क्रोविधाायनामिक्स (क्यूसीडी) का जन्म हुआ था। 1973 में, डेविड ग्रॉस, फ्रैंक विल्ज़ेक और ह्यूग डेविड पोलित्ज़र ने दिखाया कि गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत '' उपगामितः रूप से मुक्त" हैं, जिसका अर्थ है कि पुनर्सामान्यीकरण के अंतर्गत, प्रबल अंतःक्रिया का युग्मन स्थिरांक कम हो जाता है क्योंकि अंतःक्रियात्मक ऊर्जा बढ़ जाती है। (इसी तरह की खोज पहले भी कई बार की गई थी, लेकिन उन्हें बहुत ज़्यादा उपेक्षित कर दिया गया था।)  इसलिए, कम से कम उच्च-ऊर्जा अंतःक्रियाओं में, QCD में युग्मन स्थिरांक पर्याप्त रूप से सूक्ष्म हो जाता है ताकि एक प्रक्षोभ श्रृंखला विस्तार को प्रमाणिक किया जा सके, जिससे प्रबल अन्योन्यक्रिया के लिए मात्रात्मक पूर्वानुमान संभव हो जाता हैं।

इन सैद्धांतिक सफलताओं ने क्यूएफटी में एक पुनर्जागरण लाया है। पूर्ण सिद्धांत, जिसमें विद्युत् सिद्धांत और क्रोमोगतिक सम्मलित हैं, आज प्राथमिक कणों के मानक प्रतिरूप के रूप में जाना जाता है। मानक प्रतिरूप गुरुत्वाकर्षण को छोड़कर सभी मूलभूत अंतःक्रियाओं का सफलतापूर्वक वर्णन करता है, और इसकी कई भविष्यवाणियों को बाद के दशकों में उल्लेखनीय प्रयोगात्मक पुष्टि के साथ पूरा किया गया है। हिग्स बोसोन, सहज समरूपता तोड़ने के तंत्र के लिए केंद्रीय, अंततः 2012 में सीईआरएन में पाया गया था, जो मानक प्रतिरूप के सभी घटकों के अस्तित्व के पूर्ण सत्यापन को चिह्नित करता है।

अन्य विकास
1970 के दशक में गैर-एबेलियन गेज सिद्धांतों में गैर-उत्तेजित विधियों का विकास देखा गया था। 'टी हूफ्ट-पोल्याकोव मोनोपोल' 'टी हूफ्ट और अलेक्जेंडर मार्कोविच पॉलाकोव द्वारा सैद्धांतिक रूप से खोजा गया था, होल्गर बेच नीलसन और पॉल ओलेसेन द्वारा प्रवाह नालिका, और पॉलाकोव और सहलेखकों द्वारा इंस्टेंटन द्वारा खोजा गया था। प्रक्षोभ सिद्धांत के माध्यम से ये वस्तुएं अगम्य योग्य नहीं हैं।

अति सममिति भी इसी अवधि में दिखाई दी है। चार आयामों में पहला अति सममित क्यूएफटी 1970 में यूरी गोल्फैंड और एवगेनी लिक्टमैन द्वारा बनाया गया था, लेकिन लोहपट के कारण उनका परिणाम व्यापक अभिरुचि संग्रह करने में विफल रहा था। 1973 में जूलियस वेस और ब्रूनो ज़ुमिनो के काम के बाद ही सैद्धांतिक समुदाय में प्रारंभ हुई थी।

चार मूलभूत अंतःक्रियाओं में, गुरुत्वाकर्षण ही एकमात्र ऐसा है जिसमें एक सुसंगत क्यूएफटी विवरण का अभाव है। क्वांटम गुरुत्व के सिद्धांत के विभिन्न प्रयासों से स्ट्रिंग सिद्धांत का विकास हुआ, स्वयं एक प्रकार का द्वि-आयामी क्यूएफटी अनुरूप समरूपता के साथ है। जोएल शेर्क और जॉन श्वार्ज ने पहली बार 1974 में प्रस्तावित किया था कि स्ट्रिंग सिद्धांत गुरुत्वाकर्षण का क्वांटम सिद्धांत हो सकता है।

संघनित-पदार्थ-भौतिकी
यद्यपि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत प्राथमिक कणों के मध्य अन्योन्यक्रिया के अध्ययन से उत्पन्न हुआ, इसे अन्य भौतिक प्रणालियों पर सफलतापूर्वक उपयोजित किया गया है, विशेष रूप से संघनित पदार्थ भौतिकी में बहुपिंडी प्रणालियों के लिए हैं।

ऐतिहासिक रूप से, सहज समरूपता तोड़ने का हिग्स तंत्र प्राथमिक कणों के लिए योइचिरो नंबू के अतिसंवाहक सिद्धांत के आवेदन का परिणाम था, जबकि पदार्थ में दूसरे क्रम के चरण संक्रमण के अध्ययन से पुनर्सामान्यीकरण की अवधारणा सामने आई थी।

फोटॉन की प्रारंभ के जल्द बाद, आइंस्टीन ने एक मणिभ में स्पंदन पर परिमाणीकरण प्रक्रिया का प्रदर्शन किया, जिससे पहला क्वासिपार्टिकल-फोनन हो गया था। लेव लैंडौ ने दावा किया कि कई संघनित पदार्थ प्रणालियों में कम-ऊर्जा उत्तेजनाओं को क्वासिपार्टिकल्स के एक समुच्चय के मध्य अन्योन्यक्रिया के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। क्यूएफटी की फेनमैन आरेख विधि संघनित पदार्थ प्रणालियों में विभिन्न परिघटनाओं के विश्लेषण के लिए स्वाभाविक रूप से उपयुक्त थी।

गेज सिद्धांत का उपयोग अतिसंवाहक्स में चुंबकीय प्रवाह के परिमाणीकरण, क्वांटम हॉल प्रभाव में प्रतिरोधकता, साथ ही एसी जोसेफसन प्रभाव में आवृत्ति और वोल्टेज के मध्य संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है।

सिद्धांत
सरलता के लिए निम्नलिखित वर्गों में प्राकृतिक इकाइयों का उपयोग किया जाता है, जिसमें कम प्लैंक स्थिरांक $ħ$ और प्रकाश की गति $c$ दोनों एक पर समुच्चय किया गया है।

शास्त्रीय क्षेत्र
एक शास्त्रीय क्षेत्र (भौतिकी) स्थानिक और समय निर्देशांक का एक फलन (गणित) है। उदाहरणों में न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण $g(x, t)$ में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व में विद्युत क्षेत्र $E(x, t)$ और चुंबकीय क्षेत्र $B(x, t)$ सम्मलित हैं। शास्त्रीय क्षेत्र को एक संख्यात्मक मात्रा के रूप में माना जा सकता है जो समष्टि में प्रत्येक बिंदु को निर्दिष्ट किया जाता है जो समय के साथ बदलता है। इसमें अपरिमित रूप से कई डिग्री की स्वतंत्रता (यांत्रिकी) होती है।

क्वांटम यांत्रिक गुणों को प्रदर्शित करने वाली कई परिघटनाओं को केवल शास्त्रीय क्षेत्रों द्वारा नहीं समझाया जा सकता है। प्रकाशवैद्युत प्रभाव जैसी परिघटनाएँ स्थानिक रूप से निरंतर क्षेत्र के अलावा असतत कणों (फोटॉन) द्वारा सबसे अच्छी तरह से व्यक्त की जाती है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का लक्ष्य क्षेत्रों की संशोधित अवधारणा का उपयोग करके विभिन्न क्वांटम यांत्रिक परिघटनाओं का वर्णन करना है।

विहित परिमाणीकरण और पथ अत्यावश्यक क्यूएफटी के दो सामान्य निरूपण हैं। क्यूएफटी के मूल सिद्धांतों को प्रेरित करने के लिए, शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत का अवलोकन इस प्रकार है।

सबसे सरल शास्त्रीय क्षेत्र एक वास्तविक अदिश क्षेत्र है - समष्टि में हर बिंदु पर एक वास्तविक संख्या जो समय के साथ बदलता है। इसे $ϕ(x, t)$ के रूप में दर्शाया जाता है, जहां $x$ स्थिति सदिश है, और $t$ समय है। मान लीजिए क्षेत्र का लग्रांजी (क्षेत्र सिद्धांत), $$L$$, है
 * $$L = \int d^3x\,\mathcal{L} = \int d^3x\,\left[\frac 12 \dot\phi^2 - \frac 12 (\nabla\phi)^2 - \frac 12 m^2\phi^2\right],$$

जहां $$\mathcal{L}$$ लैग्रैन्जियन घनत्व है, $$\dot\phi$$ क्षेत्र का समय-व्युत्पन्न है, $∇$ प्रवणता संकारक है, और $m$ एक वास्तविक प्राचल (क्षेत्र का द्रव्यमान) है। लैग्रेंजियन पर यूलर-लैग्रेंज समीकरण को उपयोजित करता है:
 * $$\frac{\partial}{\partial t} \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial\phi/\partial t)}\right] + \sum_{i=1}^3 \frac{\partial}{\partial x^i} \left[\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial(\partial\phi/\partial x^i)}\right] - \frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\phi} = 0,$$

हम क्षेत्र के लिए गति के समीकरण प्राप्त करते हैं, जो समय और स्थान में परिवर्तन के प्रकार का वर्णन करते हैं:
 * $$\left(\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 + m^2\right)\phi = 0.$$

इसे क्लेन-गॉर्डन समीकरण के रूप में जाना जाता है।

क्लेन-गॉर्डन समीकरण एक तरंग समीकरण है, इसलिए इसके समाधान को सामान्य विधा के योग के रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है (फुरियर रूपांतरण के माध्यम से प्राप्त) इस प्रकार है:
 * $$\phi(\mathbf{x}, t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\left(a_{\mathbf{p}} e^{-i\omega_{\mathbf{p}}t + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + a_{\mathbf{p}}^* e^{i\omega_{\mathbf{p}}t - i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right),$$

जहां $a$ सम्मिश्र संख्या है (सम्मेलन द्वारा सामान्यीकृत), $$ सम्मिश्र संयुग्मन को दर्शाता है, और $ω_{p}$ सामान्य विधा की आवृत्ति है:
 * $$\omega_{\mathbf{p}} = \sqrt{|\mathbf{p}|^2 + m^2}.$$

इस प्रकार एकल $p$ के अनुरूप प्रत्येक सामान्य विधा को आवृत्ति $ω_{p}$ के साथ एक शास्त्रीय सरल आवर्ती दोलक के रूप में देखा जा सकता है।

विहित परिमाणीकरण
उपरोक्त शास्त्रीय क्षेत्र के लिए क्वांटम प्रचालक क्षेत्र के लिए परिमाणीकरण प्रक्रिया एक शास्त्रीय सरल आवर्ती दोलक को क्वांटम सरल आवर्ती दोलक के प्रचार के समान है।

शास्त्रीय सरल आवर्ती दोलक के विस्थापन का वर्णन किसके द्वारा किया जाता है
 * $$x(t) = \frac{1}{\sqrt{2\omega}} a e^{-i\omega t} + \frac{1}{\sqrt{2\omega}} a^* e^{i\omega t},$$

जहाँ $a$ एक सम्मिश्र संख्या है (सम्मेलन द्वारा सामान्यीकृत), और $ω$ दोलक की आवृत्ति है। ध्यान दें कि $x$ संतुलन की स्थिति से स्पष्ट सरल आवर्ती गति में एक कण का विस्थापन है, क्वांटम क्षेत्र के स्थानिक लेबल $x$ के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

क्वांटम सरल आवर्ती दोलक के लिए, $x(t)$ एक रैखिक प्रचालक $$\hat x(t)$$ को पदोन्नत किया जाता है:
 * $$\hat x(t) = \frac{1}{\sqrt{2\omega}} \hat a e^{-i\omega t} + \frac{1}{\sqrt{2\omega}} \hat a^\dagger e^{i\omega t}.$$

सम्मिश्र संख्याएँ $a$ तथा $a^{*}$ क्रमशः विलोपन प्रचालक $\hat a$ और निर्माण प्रचालक $$\hat a^\dagger$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जहां $†$ हर्मिटियन संयुग्मन को दर्शाता है। दोनों के मध्य रूपांतरण संबंध है।
 * $$\left[\hat a, \hat a^\dagger\right] = 1.$$

स्पष्ट सरल आवर्ती दोलक के हैमिल्टनियन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$\hat H = \hbar\omega \hat{a}^\dagger \hat{a} +\frac{1}{2}\hbar\omega.$$

निर्वात अवस्था $$|0\rang$$, जो निम्नतम ऊर्जा अवस्था द्वारा परिभाषित किया गया है।
 * $$\hat a|0\rang = 0$$

और इसकी ऊर्जा $$\frac12\hbar\omega$$ है कोई इसे आसानी से $$[\hat H, \hat{a}^\dagger]=\hbar\omega$$ जांच सकती है, जिसका अर्थ है कि $$\hat{a}^\dagger$$ स्पष्ट सरल आवर्ती दोलक की ऊर्जा को $$\hbar\omega$$ से बढ़ा देता है। उदाहरण के लिए, अवस्था $$\hat{a}^\dagger|0\rang$$ ऊर्जा $$3\hbar\omega/2$$ का एक प्रतिरूप है। एकल सरल आवर्ती दोलक की कोई भी ऊर्जा अभिलक्षणिक अवस्था $$|0\rang$$ से प्राप्त की जा सकती है, जो क्रमिक रूप से निर्माण प्रचालक $$\hat a^\dagger$$ को उपयोजित करती है: व्यवस्था के किसी भी स्थिति को अवस्था के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
 * $$|n\rang \propto \left(\hat a^\dagger\right)^n|0\rang.$$

एक समान प्रक्रिया को वास्तविक अदिश क्षेत्र $ϕ$ पर उपयोजित किया जा सकता है, इसे क्वांटम क्षेत्र प्रचालक $$\hat\phi$$ में बढ़ावा देकर, जबकि विलोपन प्रचालक $$\hat a_{\mathbf{p}}$$, निर्माण प्रचालक $$\hat a_{\mathbf{p}}^\dagger$$ और कोणीय आवृत्ति $$w_\mathbf {p}$$अब एक विशेष $p$ के लिए हैं:
 * $$\hat \phi(\mathbf{x}, t) = \int \frac{d^3p}{(2\pi)^3} \frac{1}{\sqrt{2\omega_{\mathbf{p}}}}\left(\hat a_{\mathbf{p}} e^{-i\omega_{\mathbf{p}}t + i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}} + \hat a_{\mathbf{p}}^\dagger e^{i\omega_{\mathbf{p}}t - i\mathbf{p}\cdot\mathbf{x}}\right).$$

उनके रूपांतरण संबंध हैं:
 * $$\left[\hat a_{\mathbf p}, \hat a_{\mathbf q}^\dagger\right] = (2\pi)^3\delta(\mathbf{p} - \mathbf{q}),\quad \left[\hat a_{\mathbf p}, \hat a_{\mathbf q}\right] = \left[\hat a_{\mathbf p}^\dagger, \hat a_{\mathbf q}^\dagger\right] = 0,$$

जहाँ $δ$ डायराक डेल्टा फलन है। निर्वात अवस्था $$|0\rang$$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\hat a_{\mathbf p}|0\rang = 0,\quad \text{for all }\mathbf p.$$

क्षेत्र के किसी भी क्वांटम अवस्था $$|0\rang$$ से क्रमिक रूप से निर्माण प्रचालक $$\hat a_{\mathbf{p}}^\dagger$$ (या ऐसे अवस्था के रैखिक संयोजन द्वारा), उपयोजित करके प्राप्त की जा सकती है, उदा।
 * $$\left(\hat a_{\mathbf{p}_3}^\dagger\right)^3 \hat a_{\mathbf{p}_2}^\dagger \left(\hat a_{\mathbf{p}_1}^\dagger\right)^2 |0\rang.$$

जबकि एकल क्वांटम सरल आवर्ती दोलक के अवस्था समष्टि में एक दोलनशील कण के सभी असतत ऊर्जा अवस्था होते हैं, क्वांटम क्षेत्र के अवस्था समष्टि में कणों की एक स्वेच्छाचारी संख्या के असतत ऊर्जा स्तर होते हैं। बाद के समष्टि को फॉक समष्टि के रूप में जाना जाता है, जो इस तथ्य के लिए जिम्मेदार हो सकता है कि कण संख्याएं क्वांटम व्यवस्था में निश्चित नहीं होती है। एक कण के अलावा एक स्वेच्छ संख्या को परिमाणित करने की प्रक्रिया को प्रायः दूसरा परिमाणीकरण भी कहा जाता है।

पूर्वगामी प्रक्रिया गैर-सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग है और इसका उपयोग (सम्मिश्र) अदिश क्षेत्र, डिराक क्षेत्र, सदिश क्षेत्र (जैसे विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र), और यहां तक ​​कि स्ट्रिंग को परिमाणित करने के लिए किया जा सकता है। हालांकि, सृजन और विलोपन प्रचालकों को केवल सबसे सरल सिद्धांतों में अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है जिसमें कोई अंतःक्रिया नहीं है (तथाकथित मुक्त सिद्धांत)। वास्तविक अदिश क्षेत्र के प्रकरण में, इन प्रचालकों का अस्तित्व गति के शास्त्रीय समीकरणों के समाधान के सामान्य विधा के योग में अपघटन का परिणाम था। किसी भी यथार्थवादी अंतःक्रियात्मक सिद्धांत पर गणना करने के लिए, प्रक्षोभ सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) आवश्यक होता है।

प्रकृति में किसी भी क्वांटम क्षेत्र के लग्रांगियन में मुक्त सिद्धांत अवधि के अतिरिक्त अन्योन्यक्रिया शब्द सम्मलित होते है। उदाहरण के लिए, वास्तविक अदिश क्षेत्र के लैग्रैंजियन के लिए एक चतुर्थक अंतःक्रियात्मक शब्द प्रस्तावित किया जा सकता है:
 * $$\mathcal{L} = \frac 12 (\partial_\mu\phi)\left(\partial^\mu\phi\right) - \frac 12 m^2\phi^2 - \frac{\lambda}{4!}\phi^4,$$

जहाँ $μ$ एक समष्टि काल सूचकांक है, $$\partial_0 = \partial/\partial t,\ \partial_1 = \partial/\partial x^1$$, आदि। आइंस्टीन संकेतन के बाद सूचकांक $μ$ पर योग को छोड़ दिया गया है। यदि प्राचल $λ$ पर्याप्त रूप से सूक्ष्म है, तो उपरोक्त लैग्रैन्जियन द्वारा वर्णित अंतःक्रियात्मक सिद्धांत को मुक्त सिद्धांत से एक सूक्ष्म प्रक्षोभ माना जा सकता है।

पथ समाकल
क्यूएफटी का पथ समाकल सूत्रीकरण प्रचालकों और अवस्था समष्टि की स्थापना के अलावा एक निश्चित अंतःक्रिया प्रक्रिया के प्रकीर्णन के आयाम की प्रत्यक्ष गणना से संबंधित है। एक व्यवस्था के लिए कुछ प्रारंभिक अवस्था से विकसित होने की प्रायिकता आयाम की गणना करने के लिए $$|\phi_I\rang$$ समय $t = 0$ पर किसी अंतिम अवस्था $$|\phi_F\rang$$ पर $t = T$, कुल समय $T$ को $N$ छोटे अंतराल में विभाजित किया गया है। समग्र आयाम प्रत्येक अंतराल के अंतर्गत विकास के आयाम का उत्पाद है, जो सभी मध्यवर्ती अवस्था में एकीकृत है। $H$ को हैमिल्टनियन (यानी समय विकास का जनित्र) होने दें, फिर
 * $$\lang \phi_F|e^{-iHT}|\phi_I\rang = \int d\phi_1\int d\phi_2\cdots\int d\phi_{N-1}\,\lang \phi_F|e^{-iHT/N}|\phi_{N-1}\rang\cdots\lang \phi_2|e^{-iHT/N}|\phi_1\rang\lang \phi_1|e^{-iHT/N}|\phi_I\rang.$$

सीमा $N → ∞$ लेते हुए, समाकल का उपरोक्त उत्पाद फेनमैन पथ समाकल बन जाता है:
 * $$\lang \phi_F|e^{-iHT}|\phi_I\rang = \int \mathcal{D}\phi(t)\,\exp\left\{i\int_0^T dt\,L\right\},$$

जहाँ $L$ लग्रांजी है जिसमें स्थानिक और समय निर्देशांक के संबंध में $ϕ$ और इसके व्युत्पन्न सम्मलित हैं, जो हैमिल्टनियन $H$ से लीजेंड्रे परिवर्तन के माध्यम से प्राप्त किया गया है। पथ समाकल की प्रारंभिक और अंतिम प्रतिबंध क्रमशः हैं
 * $$\phi(0) = \phi_I,\quad \phi(T) = \phi_F.$$

दूसरे शब्दों में, समग्र आयाम प्रारंभिक और अंतिम अवस्था के मध्य हर संभव पथ के आयाम का योग है, जहां एक पथ का आयाम समाकल में घातांक द्वारा दिया जाता है।

दो बिंदु सहसंबंध फलन
गणना में, प्रायः अभिव्यक्ति का सामना करना पड़ता है जैसे$$\lang 0|T\{\phi(x)\phi(y)\}|0\rang \quad \text{or} \quad \lang \Omega |T\{\phi(x)\phi(y)\}|\Omega \rang$$ क्रमशः स्वतंत्र या अंतःक्रियात्मक सिद्धांत में सामना करना पड़ता है। यहां, $$x$$ तथा $$y$$ स्थिति चार-सदिश हैं, $$T$$ समय क्रमण प्रचालक है जो अपने संकार्य को फेरबदल करता है इसलिए समय-घटक $$x^0$$ तथा $$y^0$$ दाएं से बाएं बढ़ते हैं, और $$|\Omega\rang$$ अंतःक्रियात्मक सिद्धांत की मूल अवस्था (निर्वात अवस्था) है, जो मुक्त मूल अवस्था $$| 0 \rang$$ से भिन्न है। यह व्यंजक $y$ से $x$ तक प्रचारित करने के लिए क्षेत्र के प्रायिकता आयाम का प्रतिनिधित्व करता है, और कई नामों से जाता है, जैसे दो-बिंदु प्रचारक, दो-बिंदु सहसंबंध फलन, दो-बिंदु ग्रीन फलन या संक्षिप्त के लिए दो-बिंदु फलन है। नि: शुल्क दो-बिंदु फलन, जिसे फेनमैन प्रचारक के रूप में भी जाना जाता है, वास्तविक अदिश क्षेत्र के लिए विहित परिमाणीकरण या पथ समाकल द्वारा पाया जा सकता है
 * $$\lang 0|T\{\phi(x)\phi(y)\} |0\rang \equiv D_F(x-y) = \lim_{\epsilon\to 0} \int\frac{d^4p}{(2\pi)^4} \frac{i}{p_\mu p^\mu - m^2 + i\epsilon} e^{-ip_\mu (x^\mu - y^\mu)}.$$

एक अंतःक्रियात्मक सिद्धांत में, जहां लैग्रेंजियन या हैमिल्टन में शब्द $$L_I(t)$$ या $$H_I(t)$$ सम्मलित हैं जो अन्योन्यक्रिया का वर्णन करते हैं, दो-बिंदु फलन को परिभाषित करना अधिक कठिन होता है। हालांकि, विहित परिमाणीकरण निरूपण और पथ समाकल निरूपण दोनों के माध्यम से, इसे मुक्त दो-बिंदु फलन की अनंत उत्तेजिती श्रृंखला के माध्यम से व्यक्त करना संभव है।

विहित परिमाणीकरण में, दो-बिंदु सहसंबंध फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$\lang\Omega|T\{\phi(x)\phi(y)\}|\Omega\rang = \lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)} \frac{\left\lang 0\left|T\left\{\phi_I(x)\phi_I(y)\exp\left[-i\int_{-T}^T dt\, H_I(t)\right]\right\}\right|0\right\rang}{\left\lang 0\left|T\left\{\exp\left[-i\int_{-T}^T dt\, H_I(t)\right]\right\}\right|0\right\rang},$$

जहाँ $ε$ एक अतिसूक्ष्म संख्या है और $ϕ_{I}$ मुक्त सिद्धांत के अंतर्गत क्षेत्र प्रचालक है। यहां, घातीय को इसकी शक्ति श्रृंखला विस्तार के रूप में समझा जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, $$\phi^4$$-सिद्धांत में, हैमिल्टनियन का अंतःक्रियात्मक शब्द $H_I(t) = \int d^3 x\,\frac{\lambda}{4!}\phi_I(x)^4$ है, और $$\lambda$$ के संदर्भ में दो-बिंदु सहसंयोजक का विस्तार हो जाता है$$\lang\Omega|T\{\phi(x)\phi(y)\}|\Omega\rang = \frac{ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i \lambda)^n}{(4 !)^n n !} \int d^4 z_1 \cdots \int d^4 z_n \lang 0|T\{\phi_I(x)\phi_I(y)\phi_I(z_1)^4\cdots\phi_I(z_n)^4\}|0\rang}{ \displaystyle \sum_{n=0}^\infty \frac{(-i \lambda)^n}{(4 !)^n n !} \int d^4 z_1 \cdots \int d^4 z_n \lang 0|T\{                 \phi_I(z_1)^4\cdots\phi_I(z_n)^4\}|0\rang }.$$यह प्रक्षोभ विस्तार मात्रा $$\lang 0 | \cdots | 0 \rang$$ के संदर्भ में परस्पर क्रिया करने वाले दो-बिंदु फलन को व्यक्त करता है जिसका मूल्यांकन मुक्त सिद्धांत में किया जाता है।

पथ समाकल सूत्रीकरण में, दो-बिंदु सहसंबंध फलन लिखा जा सकता है
 * $$\lang\Omega|T\{\phi(x)\phi(y)\}|\Omega\rang = \lim_{T\to\infty(1-i\epsilon)} \frac{\int\mathcal{D}\phi\,\phi(x)\phi(y)\exp\left[i\int_{-T}^T d^4z\,\mathcal{L}\right]}{\int\mathcal{D}\phi\,\exp\left[i\int_{-T}^T d^4z\,\mathcal{L}\right]},$$

जहाँ $$\mathcal{L}$$ लैग्रैन्जियन घनत्व है। पूर्व अनुच्छेद की तरह, घातांक को $λ$ में एक श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है, मुक्त सिद्धांत में दो-बिंदु फलन को मात्रा में अंतःक्रियात्मक करने को कम करता है।

विक का प्रमेय मुक्त सिद्धांत में किसी भी $n$-बिंदु सहसंबंध फलन को दो-बिंदु सहसंबंध फलन के उत्पादों के योग तक कम करता है। उदाहरण के लिए,
 * $$\begin{align}

\lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\phi(x_3)\phi(x_4)\}|0\rang &= \lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_2)\}|0\rang \lang 0|T\{\phi(x_3)\phi(x_4)\}|0\rang\\ &+ \lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_3)\}|0\rang \lang 0|T\{\phi(x_2)\phi(x_4)\}|0\rang\\ &+ \lang 0|T\{\phi(x_1)\phi(x_4)\}|0\rang \lang 0|T\{\phi(x_2)\phi(x_3)\}|0\rang. \end{align}$$ अंतःक्रियात्मक सहसंबंध फलन को मुक्त सहसंबंध फलन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए (उत्तेजित) अंतःक्रियात्मक सिद्धांत में सभी भौतिक मात्राओं की गणना करने के लिए केवल बाद की आवश्यकता का मूल्यांकन किया जाना चाहिए। यह फेनमैन प्रचारक को क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में सबसे महत्वपूर्ण मात्राओं में से एक बनाता है।

फेनमैन आरेख
अंतःक्रियात्मक सिद्धांत में सहसंबंध फलन को एक प्रक्षोभ श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है। श्रृंखला में प्रत्येक शब्द मुक्त सिद्धांत में फेनमैन प्रचारकों का एक उत्पाद है और इसे फेनमैन आरेख द्वारा दृष्टिगत रूप से दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $λ^{1}$ सिद्धांत में दो-बिंदु सहसंबंध फलन में $ϕ^{4}$ शब्द है
 * $$\frac{-i\lambda}{4!}\int d^4z\,\lang 0|T\{\phi(x)\phi(y)\phi(z)\phi(z)\phi(z)\phi(z)\}|0\rang.$$

विक के प्रमेय को उपयोजित करने के बाद, नियम में से एक है
 * $$12\cdot \frac{-i\lambda}{4!}\int d^4z\, D_F(x-z)D_F(y-z)D_F(z-z).$$

इसके अलावा यह शब्द फेनमैन आरेख से प्राप्त किया जा सकता है



आरेख में सम्मलित हैं


 * बाहरी कोने एक किनारे से जुड़े हुए हैं और बिन्दु द्वारा दर्शाए गए हैं (यहां $$x$$ तथा $$y$$ लेबल किए गए हैं)
 * आंतरिक कोने चार किनारों से जुड़े हुए हैं और बिन्दु द्वारा दर्शाए गए है (यहां $$z$$ लेबल किया गया है)
 * किनारों को जोड़ने वाले किनारे और रेखाओं द्वारा दर्शाए गए है।

प्रत्येक त्रिभुज समष्टि काल में इसी बिंदु $$\phi$$ क्षेत्र कारक के अनुरुप होता है, जबकि किनारे समष्टि काल बिंदुओं के मध्य प्रसारकों के अनुरूप होते है। आरेख के अनुरूप प्रक्षोभ श्रृंखला में शब्द अभिव्यक्ति को लिखकर प्राप्त किया जाता है जो तथाकथित फेनमैन नियमों से होता है:


 * 1) प्रत्येक आंतरिक त्रिभुज $$z_i$$ के लिए, एक गुणनखंड $-i \lambda \int d^4 z_i$  लिखें।
 * 2) प्रत्येक किनारे के लिए जो दो शीर्षों $$z_i$$ तथा $$z_j$$ को जोड़ता है, एक कारक $$D_F(z_i-z_j)$$ लिखिए।
 * 3) आरेख के समरूपता कारक द्वारा विभाजित करें।

समरूपता कारक $$2$$ के साथ, इन नियमों का पालन करने से ठीक ऊपर की अभिव्यक्ति प्राप्त होती है। फूरियर द्वारा प्रचारक को बदलकर, फेनमैन नियमों को स्थिति समष्टि से गति समष्टि में सुधार किया जा सकता है।

$n$-बिंदु सहसंबंध फलन को $k$-वां क्रम में गणना करने के लिए, सभी मान्य फेनमैन आरेखों को $n$ बाहरी बिंदु और $k$ या कम त्रिभुजों के साथ सूचीबद्ध करें, और फिर प्रत्येक शब्द के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए फेनमैन नियमों का उपयोग करें। सटीक होने के लिए,
 * $$\lang\Omega|T\{\phi(x_1)\cdots\phi(x_n)\}|\Omega\rang$$

$n$ बाहरी बिंदु के साथ सभी जुड़े आरेखों (अभिव्यक्तियों के अनुरूप) के योग के समान है। (जुड़े हुए आरेख वे होते हैं जिनमें प्रत्येक त्रिभुज रेखाओं के माध्यम से एक बाहरी बिंदु से जुड़ा होता है। जो घटक बाहरी रेखाओं से पूरी तरह से अलग हो जाते हैं उन्हें कभी-कभी  निर्वात बुलबुले  कहा जाता है।) ऊपर विचार $ϕ^{4}$ अन्योन्यक्रिया सिद्धांत में, प्रत्येक त्रिभुज के चार पैर होने चाहिए।

यथार्थवादी अनुप्रयोगों में, एक निश्चित अंतःक्रिया के प्रकीर्णन आयाम या एक कण की क्षय दर की गणना S-आव्यूह से की जा सकती है, जिसे स्वयं फेनमैन आरेख विधि का उपयोग करके पाया जा सकता है।

 लूप  रहित फेनमैन आरेख ट्री-स्तरीय आरेख कहा जाता है, जो निम्नतम-क्रम की अंतःक्रिया प्रक्रियाओं का वर्णन करते हैं; जिनमें $n$ लूप होते हैं उन्हें $n$-लूप आरेख के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो अंतःक्रिया के लिए उच्च-क्रम योगदान, या विकिरण सुधार का वर्णन करते हैं। जिन रेखाओं के अंत बिंदु त्रिभुज होते हैं, उन्हें आभासी कणों के प्रसार के रूप में माना जा सकता है।

पुनर्सामान्यीकरण
ट्री-स्तरीय आरेखों का सीधे मूल्यांकन करने के लिए फेनमैन नियमों का उपयोग किया जा सकता है। हालांकि, लूप आरेखों की नैवे गणना जैसे कि ऊपर दिखाया गया है, परिणामस्वरूप भिन्न संवेग अभिन्न होंगे, जिसका अर्थ यह प्रतीत होता है कि उत्तेजित विस्तार में लगभग सभी शब्द अनंत हैं। इस तरह की अनन्तता को दूर करने के लिए पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया एक व्यवस्थित प्रक्रिया है।

लग्रांजी में दिखाई देने वाले प्राचल, जैसे द्रव्यमान $m$ और युग्मन स्थिरांक $λ$, कोई भौतिक अर्थ नहीं है - $m$, $λ$, और क्षेत्र की शक्ति $ϕ$ प्रयोगात्मक रूप से मापने योग्य मात्रा नहीं हैं और इन्हें क्रमशः अनावृत द्रव्यमान, अनावृत युग्मन स्थिरांक और अनावृत क्षेत्र के रूप में संदर्भित किया जाता है। भौतिक द्रव्यमान और युग्मन स्थिरांक को कुछ अंतःक्रियात्मक प्रक्रिया में मापा जाता है और सामान्यतः अनावृत मात्रा से भिन्न होते हैं। इस अंतःक्रियात्मक प्रक्रिया से भौतिक मात्राओं की गणना करते समय, विभिन्न संवेग समाकल के प्रक्षेत्र को कुछ संवेग अंतक $Λ$ से नीचे सीमित कर सकता है, भौतिक मात्राओं के लिए व्यंजक प्राप्त कर सकते हैं, और फिर सीमा $Λ → ∞$ लें सकते हैं। यह नियमितीकरण (भौतिकी) का एक उदाहरण है, क्यूएफटी में अपसरण का विवेचन करने के लिए विधियों का एक वर्ग, जिसमें $Λ$ नियामक है।

ऊपर वर्णित दृष्टिकोण को अनावृत प्रक्षोभ सिद्धांत कहा जाता है, क्योंकि गणना में केवल अनावृत मात्रा जैसे द्रव्यमान और युग्मन स्थिरांक सम्मलित होते हैं। एक अलग दृष्टिकोण, जिसे पुनर्सामान्यीकृत प्रक्षोभ सिद्धांत कहा जाता है, आरंभ से ही भौतिक रूप से सार्थक मात्रा का उपयोग करना है। $ϕ^{4}$ सिद्धांत के प्रकरण में, क्षेत्र शक्ति को पहले पुनर्परिभाषित किया जाता है:
 * $$\phi = Z^{1/2}\phi_r,$$

जहाँ $ϕ$ अनावृत क्षेत्र है, $ϕ_{r}$ पुनर्निर्मित क्षेत्र है, और $Z$ निर्धारित किया जाने वाला एक स्थिरांक है। लैग्रैन्जियन घनत्व बन जाता है:
 * $$\mathcal{L} = \frac 12 (\partial_\mu\phi_r)(\partial^\mu\phi_r) - \frac 12 m_r^2\phi_r^2 - \frac{\lambda_r}{4!}\phi_r^4 + \frac 12 \delta_Z (\partial_\mu\phi_r)(\partial^\mu\phi_r) - \frac 12 \delta_m\phi_r^2 - \frac{\delta_\lambda}{4!}\phi_r^4,$$

जहाँ $m_{r}$ तथा $λ_{r}$ प्रयोगात्मक रूप से मापने योग्य, पुनर्सामान्यीकृत, द्रव्यमान और युग्मन स्थिरांक हैं, और
 * $$\delta_Z = Z-1,\quad \delta_m = m^2Z - m_r^2,\quad \delta_\lambda = \lambda Z^2 - \lambda_r$$

निर्धारित किए जाने वाले स्थिरांक हैं। पहले तीन शब्द $ϕ^{4}$ लग्रांजी घनत्व हैं जो पुनर्सामान्यीकृत मात्राओं के संदर्भ में लिखे गए हैं, जबकि बाद के तीन शब्दों को प्रतिपद कहा जाता है। लैग्रैन्जियन में अब अधिक शब्द हैं, इसलिए फेनमैन आरेखों में अतिरिक्त तत्व सम्मलित होने चाहिए, प्रत्येक अपने स्वयं के फेनमैन नियमों के साथ हैं। प्रक्रिया को निम्नानुसार रेखांकित किया गया है। पहले एक नियमितीकरण योजना का चयन करें (जैसे कि ऊपर प्रस्तावित किया गया अंतक नियमितीकरण या आयामी नियमितीकरण); नियामक $Λ$ को बुलाता है। फेनमैन आरेखों की गणना करें, जिसमें भिन्न शब्द $Λ$ पर निर्भर होते है। फिर, $δ_{Z}$, $δ_{m}$, तथा $δ_{λ}$ को इस तरह परिभाषित करें कि जब सीमा $Λ → ∞$ ग्रहण की जाती है तो भिन्न नियम के लिए फेनमैन आरेख सामान्य फेनमैन आरेखों में भिन्न नियम को बिल्कुल रद्द कर दिया जाता है। इस प्रकार सार्थक परिमित मात्राएँ प्राप्त होती हैं।

पुनर्सामान्यीकरणीय योग्य सिद्धांतों में एक परिमित परिणाम प्राप्त करने के लिए सभी अनन्तताओं को समाप्त करना केवल संभव है, जबकि गैर-सामान्यीकरण सिद्धांतों में अनन्तताओं को कुछ मापदंडों की पुनर्परिभाषा द्वारा अलग नहीं किया जा सकता है। प्राथमिक कणों का मानक प्रतिरूप एक सामान्यीकरण योग्य क्यूएफटी है, जबकि क्वांटम गुरुत्व गैर-असामान्य है।

पुनर्वितरण समूह
केनेथ विल्सन द्वारा विकसित पुनर्सामान्यीकरण समूह, एक गणितीय उपकरण है जिसका उपयोग विभिन्न मापक पर व्यवस्था को देखे जाने पर भौतिक मापदंडों (लग्रैन्जियन में गुणांक) में परिवर्तन का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। जिस तरह से प्रत्येक प्राचल मापन के साथ बदलता है उसका वर्णन उसके β फलन द्वारा किया जाता है।सहसंबंध फलन, जो मात्रात्मक भौतिक भविष्यवाणियों को रेखांकित करते हैं, कैलन-सिमानज़िक समीकरण के अनुसार मापन के साथ बदलते हैं।

एक उदाहरण के रूप में, QED में युग्मन स्थिरांक, अर्थात् मूल आवेश $e$, में निम्नलिखित β फलन है:
 * $$\beta(e) \equiv \frac{1}{\Lambda}\frac{de}{d\Lambda} = \frac{e^3}{12\pi^2} + O\mathord\left(e^5\right),$$

जहाँ $Λ$ वह ऊर्जा मापक है जिसके अंतर्गत $e$ का मापन किया जाता है। इस विभेदक समीकरण का तात्पर्य है कि माप बढ़ने पर प्रेक्षित प्राथमिक आवेश बढ़ता जाता है। पुनर्सामान्यीकृत युग्मन स्थिरांक, जो ऊर्जा माप के साथ परिवर्तित होता है, संचालन युग्मन स्थिरांक भी कहलाता है।

समरूपता समूह $SU(3)$ पर आधारित एक गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत, क्वांटम क्रोमो गतिकी में युग्मन स्थिरांक $g$ का निम्नलिखित β फलन है:
 * $$\beta(g) \equiv \frac{1}{\Lambda}\frac{dg}{d\Lambda} = \frac{g^3}{16\pi^2}\left(-11 + \frac 23 N_f\right) + O\mathord\left(g^5\right),$$

जहाँ $N_{f}$ क्वार्क अनुमान की संख्या है। ऐसे प्रकरण में जहां $N_{f} ≤ 16$ (मानक प्रतिरूप $N_{f} = 6$ है), ऊर्जा मापन में वृद्धि के साथ युग्मन स्थिरांक $g$ घटता है। इसलिए, जबकि प्रबल अन्योन्यक्रिया कम ऊर्जा पर प्रबल होती है, यह ऐसी परिघटना जिसे अनंतस्पर्शी स्वतंत्रता के रूप में जाना जाता है।

अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत (सीएफटी) विशेष क्यूएफटी हैं जो अनुरूप समरूपता को स्वीकार करता हैं। वे मापन में परिवर्तन के प्रति असंवेदनशील हैं, क्योंकि उनके सभी युग्मन स्थिरांक में β फलन लुप्त हो जाता है। (विरूपण सत्य नहीं है, हालांकि - सभी β फलन के लुप्त होने से सिद्धांत के अनुरूप समरूपता का संकेत नहीं मिलता है।) उदाहरणों में स्ट्रिंग सिद्धांत और N = 4 अति सममित यांग-मिल्स सिद्धांत सम्मलित है। विल्सन के चित्र के अनुसार, प्रत्येक क्यूएफटी मूल रूप से इसकी ऊर्जा अंतक $N = 4$ के साथ है, अर्थात यह सिद्धांत अब $Λ$ से अधिक ऊर्जाओं पर मान्य नहीं है, और मापन $Λ$ से ऊपर की सभी स्वतंत्रता की डिग्री को छोड़ दिया जाता है। उदाहरण के लिए, अंतक एक संघनित पदार्थ प्रणाली में मूलकण का व्युत्क्रम हो सकता है, और प्राथमिक कण भौतिकी में यह गुरुत्वाकर्षण में क्वांटम उतार-चढ़ाव के कारण समष्टि काल की मौलिक  दानेदारता  से जोड़ा जा सकता है। कण अंतःक्रियाओं के सिद्धांतों का अंतक मापक वर्तमान प्रयोगों से बहुत आगे है। हालांकि सिद्धांत उस मापन पर बहुत जटिल हो, जब तक कि इसके युग्मन पर्याप्त रूप से कमजोर हों, इसे एक पुनर्सामान्यीकरण योग्य प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत द्वारा कम ऊर्जा पर वर्णित किया जाना चाहिए। पुनर्वितरण योग्य और गैर-पुनर्वितरण सिद्धांतों के मध्य अंतर यह है कि पूर्व उच्च ऊर्जा पर विवरण के प्रति असंवेदनशील होते हैं, जबकि बाद वाले उन पर निर्भर करते हैं। इस दृष्टिकोण के अनुसार, गैर-पुनर्नवीनीकरण योग्य सिद्धांतों को एक अधिक मौलिक सिद्धांतों को एक अधिक मौलिक सिद्धांत के कम ऊर्जा प्रभावी सिद्धांतों के रूप में देखा जाना चाहिए। इस तरह के सिद्धांत में अंतक $Λ$ को गणना से निकालने में विफलता केवल इंगित करती है कि नई भौतिक परिघटनाएं $Λ$ से ऊपर के मापन पर दिखाई देती हैं, जहां एक नया सिद्धांत आवश्यक है।

अन्य सिद्धांत
पूर्ववर्ती अनुभागों में उल्लिखित परिमाणीकरण और पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रियाओं को मुक्त सिद्धांत और वास्तविक अदिश क्षेत्र के $Λ$ सिद्धांत के लिए निष्पादित किया जाता है। इसी तरह की प्रक्रिया अन्य प्रकार के क्षेत्रों के लिए भी की जा सकती है, जिसमें जटिल संख्या अदिश क्षेत्र, सदिश क्षेत्र और डिराक क्षेत्र, साथ ही साथ अन्य प्रकार के अन्योन्यक्रिया नियम, विद्युत चुम्बकीय अन्योन्यक्रिया और युकावा अन्योन्यक्रिया सम्मलित हैं।

एक उदाहरण के रूप में, क्वांटम विद्युतगतिक में एक डिराक क्षेत्र $ϕ^{4}$ होता है जो अतिसूक्ष्म परमाणु क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है और एक सदिश क्षेत्र $ψ$ विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र (फोटॉन क्षेत्र) का प्रतिनिधित्व करता है। (इसके नाम के द्वेष, क्वांटम विद्युत चुम्बकीय  क्षेत्र  वास्तव में शास्त्रीय विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के अलावा शास्त्रीय विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता के अनुरूप है।) पूर्ण क्यूईडी लैग्रैन्जियन घनत्व है:
 * $$\mathcal{L} = \bar\psi\left(i\gamma^\mu\partial_\mu - m\right)\psi - \frac 14 F_{\mu\nu}F^{\mu\nu} - e\bar\psi\gamma^\mu\psi A_\mu,$$

जहाँ $A^{μ}$ डिराक मैट्रिसेस हैं, $$\bar\psi = \psi^\dagger\gamma^0$$, तथा $$F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu - \partial_\nu A_\mu$$ विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की शक्ति है। इस सिद्धांत में प्राचल (अनावृत) अतिसूक्ष्म परमाणु द्रव्यमान $γ^{μ}$ और (अनावृत) प्राथमिक आवेश $m$ हैं। लैग्रैन्जियन घनत्व में पहला और दूसरा नियम क्रमशः मुक्त डिराक क्षेत्र और मुक्त सदिश क्षेत्रों के अनुरूप है। अंतिम शब्द अतिसूक्ष्म परमाणु और फोटॉन क्षेत्रों के मध्य अन्योन्यक्रिया का वर्णन करता है, जिसे मुक्त सिद्धांतों से क्षोभ के रूप में माना जाता है।



ऊपर दिखाया गया QED में ट्री-स्तरीय फेनमैन आरेख का एक उदाहरण है। यह एक अतिसूक्ष्म परमाणु और एक पॉज़िट्रॉन को विलोपन करने का वर्णन करता है, एक ऑफ-शैल फोटॉन बनाता है, और फिर अतिसूक्ष्म परमाणु और पॉज़िट्रॉन की एक नई जोड़ी में क्षय होता है। समय बाएं से दाएं चलता है। समय में आगे की ओर संकेत करने वाले चिह्न पॉज़िट्रॉन के प्रसार का प्रतिनिधित्व करते हैं, जबकि समय में पीछे की ओर संकेत करते हुए अतिसूक्ष्म परमाणु के प्रसार का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक लहरदार रेखा एक फोटॉन के प्रसार का प्रतिनिधित्व करता है। क्यूईडी फेनमैन आरेखों में प्रत्येक त्रिभुज पर एक आवक और एक निर्गामी फ़र्मियन (पॉज़िट्रॉन/अतिसूक्ष्म परमाणु) लेग के साथ-साथ एक फोटॉन लेग भी होना चाहिए।

गेज समरूपता
यदि प्रत्येक समष्टि काल बिंदु $e$ (एक स्थानीय परिवर्तन) पर क्षेत्र में निम्न परिवर्तन किया जाता है, तो क्यूईडी लग्रांजी अपरिवर्तित, या अपरिवर्तनीय रहता है:
 * $$\psi(x) \to e^{i\alpha(x)}\psi(x),\quad A_\mu(x) \to A_\mu(x) + ie^{-1} e^{-i\alpha(x)}\partial_\mu e^{i\alpha(x)},$$

जहाँ $x$ समष्टि काल निर्देशांक का कोई फलन है। यदि एक सिद्धांत का लैग्रेंजियन (या अधिक सटीक क्रिया) एक निश्चित स्थानीय परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, तो परिवर्तन को सिद्धांत के गेज समरूपता के रूप में संदर्भित किया जाता है। गेज समरूपता प्रत्येक समष्टि काल बिंदु पर एक समूह बनाता है। क्यूईडी के प्रकरण में, दो विभिन्न स्थानीय समरूपता परिवर्तनों का क्रमिक अनुप्रयोग $$e^{i\alpha(x)}$$ तथा $$e^{i\alpha'(x)}$$ अभी तक एक और समरूपता परिवर्तन $$e^{i[\alpha(x)+\alpha'(x)]}$$ है। किसी भी $α(x)$ के लिए, $$e^{i\alpha(x)}$$ $α(x)$ समूह का एक तत्व है, इस प्रकार क्यूईडी को $U(1)$ गेज समरूपता कहा जाता है। फोटॉन क्षेत्र $U(1)$ को $A_{μ}$ गेज बोसॉन के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

$U(1)$ एक एबेलियन समूह है, जिसका अर्थ है कि इसके तत्वों को उपयोजित करने के क्रम को ध्यान दिए बिना परिणाम समान है। गैर-एबेलियन गेज सिद्धांतों (जिसे यांग-मिल्स सिद्धांतों के रूप में भी जाना जाता है) को जन्म देते हुए गैर-एबेलियन समूहों पर क्यूएफटी भी बनाया जा सकता है। क्वांटम क्रोमो गतिकी, जो प्रबल अन्योन्यक्रिया का वर्णन करता है, एक $U(1)$ गेज समरूपता के साथ एक गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत है। इसमें तीन डायराक क्षेत्र ψi, i = 1,2,3 a क्वार्क क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करने के साथ-साथ आठ सदिश क्षेत्र $SU(3)$ ग्लूऑन क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं, जो $A^{a,μ}, a = 1,...,8$ गेज बोसॉन हैं। क्यूसीडी लैग्रैन्जियन घनत्व है:
 * $$\mathcal{L} = i\bar\psi^i \gamma^\mu (D_\mu)^{ij} \psi^j - \frac 14 F_{\mu\nu}^aF^{a,\mu\nu} - m\bar\psi^i \psi^i,$$

जहाँ $SU(3)$ गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न है:
 * $$D_\mu = \partial_\mu - igA_\mu^a t^a,$$

जहाँ $D_{μ}$ युग्मन स्थिरांक है, $g$ मूल निरूपण में $t^{a}$ के आठ जनक हैं ($SU(3)$ आव्यूह),
 * $$F_{\mu\nu}^a = \partial_\mu A_\nu^a - \partial_\nu A_\mu^a + gf^{abc}A_\mu^b A_\nu^c,$$

तथा $3×3$ $f^{abc}$ की संरचना स्थिरांक हैं। दोहराए गए सूचकांक $SU(3)$ को निम्नलिखित आइंस्टीन संकेतन पर निहित रूप से अभिव्यक्त किया गया है। परिवर्तन के अंतर्गत यह लग्रांगियन अपरिवर्तनीय है:
 * $$\psi^i(x) \to U^{ij}(x)\psi^j(x),\quad A_\mu^a(x) t^a \to U(x)\left[A_\mu^a(x) t^a + ig^{-1} \partial_\mu\right]U^\dagger(x),$$

जहाँ $i,j,a$ हर समष्टि काल बिंदु $U(x)$ पर $x$ का एक तत्व है:
 * $$U(x) = e^{i\alpha(x)^a t^a}.$$

समरूपता की पूर्ववर्ती चर्चा लैग्रेंजियन के स्तर पर है। दूसरे शब्दों में, ये शास्त्रीय समरूपताएँ हैं। परिमाणीकरण के बाद, कुछ सिद्धांत अब अपनी शास्त्रीय समरूपता प्रदर्शित नहीं करेंगे, इस परिघटना को अनियमितता कहा जाता है। उदाहरण के लिए, पथ में समाकल सूत्रीकरण में, क्षेत्रो के एक निश्चित स्थानीय परिवर्तन के अंतर्गत, लैग्रैन्जियन घनत्व $$\mathcal{L}[\phi,\partial_\mu\phi]$$ के अपरिवर्तनीय होने के द्वेष, पथ समाकल का माप $\int\mathcal D\phi$  परिवर्तन हो सकता है। प्रकृति का वर्णन करने वाले सिद्धांत के अनुरूप होने के लिए, इसकी गेज समरूपता में कोई असंगति नहीं होनी चाहिए। प्राथमिक कणों का मानक प्रतिरूप समूह $SU(3)$ पर आधारित एक गेज सिद्धांत है, जिसमें सभी विसंगतियां बिल्कुल रद्द हो जाती हैं।

सामान्य सापेक्षता की सैद्धांतिक आधार, तुल्यता सिद्धांत को गेज समरूपता के एक रूप में भी समझा जा सकता है, जो सामान्य सापेक्षता को लोरेंत्ज़ समूह पर आधारित एक गेज सिद्धांत बनाता है।

नोएदर के प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक निरंतर समरूपता, अर्थात समरूपता परिवर्तन में प्राचल असतत के अलावा निरंतर होने के कारण, एक संबंधित संरक्षण नियम की ओर जाता है। उदाहरण के लिए, क्यूईडी की $SU(3) × SU(2) × U(1)$ की समरूपता का तात्पर्य आवेश संरक्षण से है।

गेज-रूपांतरण विशिष्ट क्वांटम अवस्था से संबंधित नहीं है। अपेक्षाकृत, यह एक ही क्वांटम अवस्था के दो समकक्ष गणितीय विवरणों से संबंधित है। एक उदाहरण के रूप में, फोटॉन क्षेत्र $U(1)$, एक चार-सदिश होने के कारण, स्वतंत्रता की चार स्पष्ट डिग्री है, लेकिन फोटॉन की वास्तविक स्थिति को ध्रुवीकरण के अनुरूप स्वतंत्रता की दो डिग्री द्वारा वर्णित किया जाता है। स्वतंत्रता के शेष दो कोटियों को  अनावश्यक  कहा जाता है - स्पष्ट रूप से $A^{μ}$ लिखने के विभिन्न प्रकार एक दूसरे से एक गेज परिवर्तन से संबंधित हो सकते हैं और वास्तव में फोटॉन क्षेत्र की एक ही अवस्था का वर्णन करते हैं। इस अर्थ में, गेज निश्चरता एक "वास्तविक" समरूपता नहीं है, सामन्यतः चयन किये गए गणितीय विवरण के "अतिरेक" का प्रतिबिंब है।

पथ समाकल निरूपण में गेज अतिरेक के लिए गणना में, तथाकथित फद्दीव-पोपोव गेज स्थिरीकरण प्रक्रिया को करना चाहिए। गैर-एबेलियन गेज सिद्धांतों में, ऐसी प्रक्रिया  आवांछित प्रतिबिम्ब  नामक नए क्षेत्रों का परिचय देती है। आवांछित प्रतिबिम्ब क्षेत्रों के अनुरूप कण आवांछित प्रतिबिम्ब कण कहलाते हैं, जिन्हें बाहरी रूप से नहीं पहचाना जा सकता है। फडदेव-पोपोव प्रक्रिया का एक अधिक कठोर सामान्यीकरण BRST परिमाणीकरण द्वारा दिया गया है।

स्वतःस्फूर्त समरूपता-भंजन
स्वतःस्फूर्त समरूपता भंजन एक ऐसा तंत्र है जिसके द्वारा लैग्रेंजियन की समरूपता का इसके द्वारा वर्णित प्रणाली द्वारा अतिक्रमण किया जाता है।

तंत्र को स्पष्ट करने के लिए, एक रैखिक सिग्मा प्रतिरूप पर विचार करें जिसमें $A^{μ}$ वास्तविक अदिश क्षेत्र सम्मलित है, जो लैग्रैन्जियन घनत्व द्वारा वर्णित है:
 * $$\mathcal{L} = \frac 12 \left(\partial_\mu\phi^i\right)\left(\partial^\mu\phi^i\right) + \frac 12 \mu^2 \phi^i\phi^i - \frac{\lambda}{4} \left(\phi^i\phi^i\right)^2,$$

जहाँ $N$ और $μ$ वास्तविक प्राचल हैं। सिद्धांत $λ$ वैश्विक समरूपता स्वीकार करता है:
 * $$\phi^i \to R^{ij}\phi^j,\quad R\in\mathrm{O}(N).$$

शास्त्रीय सिद्धांत की निम्नतम ऊर्जा अवस्था (मूल अवस्था या निमूल र्वात अवस्था) कोई भी समान क्षेत्र $O(N)$ संतोषजनक है
 * $$\phi_0^i \phi_0^i = \frac{\mu^2}{\lambda}.$$

व्यापकता के क्षति के बिना, मूल स्थिति को $ϕ_{0}$-वें दिशा में रहने दें:
 * $$\phi_0^i = \left(0,\cdots,0,\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}}\right).$$

मूल $N$ क्षेत्र को फिर से लिखा जा सकता है:
 * $$\phi^i(x) = \left(\pi^1(x),\cdots,\pi^{N-1}(x),\frac{\mu}{\sqrt{\lambda}} + \sigma(x)\right),$$

और मूल लग्रांगियन घनत्व इस प्रकार है:
 * $$\mathcal{L} = \frac 12 \left(\partial_\mu\pi^k\right)\left(\partial^\mu\pi^k\right) + \frac 12 \left(\partial_\mu\sigma\right)\left(\partial^\mu\sigma\right) - \frac 12 \left(2\mu^2\right)\sigma^2 - \sqrt{\lambda}\mu\sigma^3 - \sqrt{\lambda}\mu\pi^k\pi^k\sigma - \frac{\lambda}{2} \pi^k\pi^k\sigma^2 - \frac{\lambda}{4}\left(\pi^k\pi^k\right)^2,$$

जहाँ $N$ मूल $k = 1, ..., N − 1$ वैश्विक समरूपता अब व्यक्त नहीं होती है, स्वतःस्फूर्त समरूपता $O(N)$ को छोड़कर अब व्यक्त नहीं होती है। स्वतःस्फूर्त समरूपता को तोड़ने से पहले बड़ी समरूपता को प्रच्छन्न या अनायास विच्छिन्न कहा जाता है।

गोल्डस्टोन के प्रमेय में कहा गया है कि स्वतःस्फूर्त समरूपता के विच्छिन्न के अंतर्गत, हर विच्छिन्न हुई निरंतर वैश्विक समरूपता गोल्डस्टोन बोसॉन नामक द्रव्यमान रहित क्षेत्र की ओर ले जाता है। उपरोक्त उदाहरण में, $O(N − 1)$ में $O(N)$ निरंतर समरूपता (इसके लाई बीजगणित का आयाम) है, जबकि $N(N − 1)/2$ में $O(N − 1)$ है। खंडित सममितियों की संख्या उनका अंतर है, $(N − 1)(N − 2)/2$, जो $N − 1$ द्रव्यमान रहित क्षेत्र $N − 1$ से संबंधित है।

दूसरी ओर, जब एक गेज (वैश्विक के विपरीत) समरूपता अनायास खंडित हो जाती है, तो परिणामस्वरूप गोल्डस्टोन बोसॉन को गेज बोसॉन के लिए स्वतंत्रता की एक अतिरिक्त डिग्री स्वतंत्रता बनकर संबंधित गेज बोसॉन द्वारा खाया जाता है। गोल्डस्टोन बोसॉन तुल्यता प्रमेय कहता है कि उच्च ऊर्जा पर, अनुदैर्ध्य रूप से ध्रुवीकृत विशाल गेज बोसॉन के उत्सर्जन या अवशोषण के लिए आयाम गोल्डस्टोन बोसॉन के उत्सर्जन या अवशोषण के आयाम के समान हो जाता है जिसे गेज बोसॉन द्वारा खाया गया था।

लौहचुम्बकत्व के क्यूएफटी में, सहज समरूपता तोड़ने से कम तापमान पर चुंबकीय द्विध्रुव के संरेखण की व्याख्या की जा सकती है। प्राथमिक कणों के मानक प्रतिरूप में, W और Z बोसॉन, जो अन्यथा गेज समरूपता के परिणामस्वरूप द्रव्यमान रहित होते हैं, हिग्स बोसोन के स्वतःस्फूर्त समरूपता को तोड़ने के माध्यम से द्रव्यमान प्राप्त करते हैं, एक प्रक्रिया जिसे हिग्स तंत्र कहा जाता है।

अति सममिति
प्रकृति में सभी प्रयोगात्मक रूप से ज्ञात समरूपताएं बोसॉन को बोसॉन और फर्मियन को फर्मियन से संबंधित करती हैं। सिद्धांतकारों ने एक प्रकार की समरूपता के अस्तित्व की परिकल्पना की है, जिसे अति सममिति कहा जाता है, जो बोसॉन और फ़र्मियन से संबंधित है।

मानक प्रतिरूप पोंकारे समरूपता का पालन करता है, जिसके जनित्र समष्टि काल अनुवाद $π^{k}$ लोरेंत्ज़ रूपांतरण $P^{μ}$ है। इन जनित्र के अतिरिक्त, (3+1)-आयामों में अति सममिति में अतिरिक्त जनित्र $J_{μν}$ सम्मलित हैं, जिन्हें अति प्रभरण कहा जाता है, जो स्वयं वेइल फर्मियन के रूप में रूपांतरित होते हैं। इन सभी जनित्र द्वारा उत्पन्न समरूपता समूह को अति-पोंकारे समूह के रूप में जाना जाता है। सामान्यतः अति सममिति जनित्र $Q_{α}$ के एक से अधिक समुच्चय हो सकते हैं, जो संबंधित $Q_{α}^{I}, I = 1, ..., N$ अति सममिति, $N = 1$ अति सममिति, और इसी तरह उत्पन्न करते हैं।   अति सममिति का निर्माण अन्य आयामों में भी किया जा सकता है, विशेष रूप से सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत में इसके अनुप्रयोग के लिए (1+1) आयामों में किया जा सकता है।

अति-पोंकारे समूह की क्रिया के अंतर्गत एक अति सममित सिद्धांत का लैग्रैंगियन को अपरिवर्तनीय होना चाहिए। ऐसे सिद्धांतों के उदाहरणों में सम्मलित हैं: न्यूनतम अति सममित मानक प्रतिरूप (एमएसएसएम),     N = 4 अति सममित यांग-मिल्स सिद्धांत, अति सममित सिद्धांत, में सम्मलित हैं। अति सममित सिद्धांत में, प्रत्येक फ़र्मियन में एक बोसोनिक अतिसहयोगी और इसके विपरीत होता है।

यदि अति सममिति को स्थानीय समरूपता में बढ़ावा दिया जाता है, तो परिणामी गेज सिद्धांत सामान्य सापेक्षता का विस्तार है जिसे अतिगुरुत्व कहा जाता है।

अति सममिति भौतिकी में कई उचित समस्याओं का एक संभावित समाधान है। उदाहरण के लिए, मानक प्रतिरूप की पदानुक्रम समस्या - क्यों हिग्स बोसोन के द्रव्यमान को विकिरण के रूप में ठीक नहीं किया जाता है (पुनर्सामान्यीकरण के अंतर्गत) बहुत उच्च मापन पर जैसे कि भव्य एकीकृत मापक या प्लैंक मापक - हिग्स क्षेत्र और उसके अतिसहयोगी, हिग्सिनो को जोड़कर समाधान किया जा सकता है। फेनमैन आरेखों में हिग्स बोसोन लूप के कारण विकिरणी संशोधन संबंधित हिग्सिनो लूप द्वारा रद्द कर दिए जाते हैं। अति सममिति मानक प्रतिरूप में सभी गेज युग्मन स्थिरांक के भव्य एकीकरण के साथ-साथ गहरे द्रव्य की प्रकृति का भी उत्तर देती है।

फिर भी, 2018 तक, प्रयोग अभी तक अति सममित कणों के अस्तित्व के लिए प्रमाण प्रदान नहीं कर पाए हैं। यदि अति सममिति प्रकृति की एक सच्ची समरूपता थी, तो यह एक खंडित समरूपता होनी चाहिए, और समरूपता को तोड़ने की ऊर्जा वर्तमान प्रयोगों द्वारा प्राप्त की जाने वाली ऊर्जा से अधिक होनी चाहिए।

अन्य समष्टि काल
$N = 2$ सिद्धांत, क्यूईडी, क्यूसीडी, साथ ही साथ संपूर्ण मानक प्रतिरूप सभी एक (3+1)-आयामी मिंकोव्स्की समष्टि (3 स्थानिक और 1 समय आयाम) को उस पृष्ठभूमि के रूप में मानते हैं जिस पर क्वांटम क्षेत्र परिभाषित हैं। हालाँकि, क्यूएफटी एक प्राथमिकता आयामों की संख्या और न ही समष्टि काल की ज्यामिति पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाता है।

संघनित पदार्थ भौतिकी में, क्यूएफटी का उपयोग (2+1)-आयामी अतिसूक्ष्म परमाणु गैसों का वर्णन करने के लिए किया जाता है। उच्च-ऊर्जा भौतिकी में, स्ट्रिंग सिद्धांत (1+1)-आयामी क्यूएफटी का एक प्रकार है, जबकि कलुजा-क्लेन सिद्धांत अतिरिक्त आयामों में गुरुत्वाकर्षण का उपयोग कम आयामों में गेज सिद्धांतों का उत्पादन करने के लिए करता है।

मिंकोव्स्की समष्टि में, समतल मापीय $ϕ^{4}$ का उपयोग लग्रांजी में समष्टि काल सूचकांक को बढ़ाने और कम करने के लिए किया जाता है, उदा।
 * $$A_\mu A^\mu = \eta_{\mu\nu} A^\mu A^\nu,\quad \partial_\mu\phi \partial^\mu\phi = \eta^{\mu\nu}\partial_\mu\phi \partial_\nu\phi,$$

जहाँ $η_{μν}$ $η^{μν}$ संतोषजनक $η_{μν}$ का व्युत्क्रम है। दूसरी ओर वक्र समष्टि काल में QFTs के लिए, एक सामान्य मापक (जैसे कि कृष्ण द्रव्य का वर्णन करने वाला श्वार्जस्चिल्ड मापक) का उपयोग किया जाता है:
 * $$A_\mu A^\mu = g_{\mu\nu} A^\mu A^\nu,\quad \partial_\mu\phi \partial^\mu\phi = g^{\mu\nu}\partial_\mu\phi \partial_\nu\phi,$$

जहाँ $η^{μρ}η_{ρν} = δ^{μ}_{ν}$ $g^{μν}$ का व्युत्क्रम है। एक वास्तविक अदिश क्षेत्र के लिए, एक सामान्य समष्टि काल पृष्ठभूमि में लैग्रैन्जियन घनत्व है
 * $$\mathcal{L} = \sqrt{|g|}\left(\frac 12 g^{\mu\nu} \nabla_\mu\phi \nabla_\nu\phi - \frac 12 m^2\phi^2\right),$$

जहाँ $g_{μν}$, और $g = det(g_{μν})$ सहपरिवर्ती व्युत्पन्न को दर्शाता है। क्यूएफटी का लैग्रेंजियन, इसलिए इसके गणनात्मक परिणाम और भौतिक पूर्वानुमान, समष्टि काल पृष्ठभूमि की ज्यामिति पर निर्भर करता हैं।

सांस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
क्यूएफटी के सहसंबंध फलन और भौतिक पूर्वानुमान समष्टि काल मापक $∇_{μ}$ पर निर्भर करता हैं। क्यूएफटी के एक विशेष वर्ग के लिए जिसे सांस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (टीक्यूएफटी) कहा जाता है, सभी सहसंबंध फलन समष्टि काल मापक में निरंतर परिवर्तन से स्वतंत्र होते हैं। वक्र समष्टि काल में क्यूएफटी सामान्यतः समष्टि काल वर्ग की ज्यामिति (स्थानीय संरचना) के अनुसार बदलते हैं, जबकि टीक्यूएफटी समष्टि काल भिन्नरूपता के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होते हैं लेकिन समष्टि काल की सांस्थिति (वैश्विक संरचना) के प्रति संवेदनशील होते हैं। इसका अर्थ यह है कि टीक्यूएफटी के सभी गणनात्मक परिणाम अंतर्निहित समष्टि काल के सांस्थितिक निश्चर हैं। चेर्न-साइमन्स सिद्धांत टीक्यूएफटी का एक उदाहरण है और इसका उपयोग क्वांटम गुरुत्व के प्रतिरूप के निर्माण के लिए किया गया है। टीक्यूएफटी के अनुप्रयोगों में भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव और सांस्थितिक क्वांटम कंप्यूटर सम्मलित हैं।  भिन्नात्मक कणों (किसी भी रूप में जाना जाता है) का विश्व रेखा प्रक्षेपवक्र समष्टि काल में एक शृंखला विन्यास बना सकता है, जो भौतिकी में किसी भी व्यक्ति के गुंफन आंकड़ों को गणित में शृंखला विन्यास से संबंधित करता है। सांस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (TQFTs) सांस्थितिक क्वांटम विषय के सीमांत अनुसंधान के लिए उपयोजित होते हैं, जिसमें 2 + 1 समष्टि काल आयामों में चेर्न-सीमन्स-विटन गेज सिद्धांत, 3 + 1 समष्टि काल आयामों और उससे आगे के अन्य नए विदेशी टीक्यूएफटी सम्मलित हैं।

उत्तेजित और गैर-उत्तेजित प्रकार
प्रक्षोभ सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) का उपयोग करते हुए, एक छोटे से अंतःक्रियात्मक शब्द के कुल प्रभाव को अन्योन्यक्रिया में भाग लेने वाले आभासी कणों की संख्या में एक श्रृंखला विस्तार द्वारा क्रमबद्ध क्रम से अनुमानित किया जा सकता है। विस्तार में प्रत्येक शब्द को आभासी कणों के माध्यम से एक दूसरे के साथ अन्योन्यक्रिया करने के लिए (भौतिक) कणों के लिए एक संभावित प्रकार के रूप में समझा जा सकता है, जिसे फेनमैन आरेख का उपयोग करके व्यक्त किया गया है। QED में दो अतिसूक्ष्म परमाणु के मध्य विद्युत चुम्बकीय बल एक आभासी फोटॉन के प्रसार द्वारा (उत्तेजित सिद्धांत में पहले क्रम में) का प्रतिनिधित्व करता है। इसी तरह, W और Z बोसॉन दुर्बल अन्योन्यक्रिया करते हैं, जबकि ग्लून्स प्रबल अन्योन्यक्रिया करते हैं। विभिन्न आभासी कणों के आदान-प्रदान से जुड़े मध्यवर्ती अवस्था के योग के रूप में एक अन्योन्यक्रिया की व्याख्या केवल प्रक्षोभ सिद्धांत के संरचना में समझ में आती है। इसके विपरीत, क्यूएफटी में गैर-उत्तेजित करने वाले प्रकार बिना किसी श्रृंखला विस्तार के अंतःक्रियात्मक लैग्रैंगियन को संपूर्ण मानते हैं। अन्योन्यक्रिया करने वाले कणों के अलावा, इन विधियों ने 'टी हूफ्ट-पोल्याकोव एकध्रुवी, प्रांत सीमा, प्रवाह नालिका और इंस्टेंटन जैसी अवधारणाओं को जन्म दिया है। क्यूएफटी के उदाहरण जो पूरी तरह से गैर-उत्तेजित करने योग्य हैं, उनमें अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत और थिरिंग प्रतिरूप सम्मलित है।।

गणितीय कठोरता
कण भौतिकी और संघनित पदार्थ भौतिकी में अपनी भारी सफलता के द्वेष, क्यूएफटी में स्वयं एक औपचारिक गणितीय आधार का अभाव है। उदाहरण के लिए, हाग के प्रमेय के अनुसार, क्यूएफटी के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित अंतःक्रियात्मक चित्र उपस्तिथ नहीं है, जिसका अर्थ है कि क्यूएफटी का प्रक्षोभ सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी), जो संपूर्ण फेनमैन आरेख पद्धति के अंतर्गत आता है, मूल रूप से अनिश्चित है।

हालांकि, उत्तेजित क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत, जिसके लिए केवल यह आवश्यक है कि मात्राएं बिना किसी अभिसरण आवश्यकताओं के औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में गणना योग्य हों, एक कठोर गणितीय उपचार दिया जा सकता है। विशेष रूप से, केविन कॉस्टेलो का एकविषय आलेख पुन: सामान्यीकरण और प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत प्रक्षोभ संबंधी पुनर्सामान्यीकरण का एक कठोर सूत्रीकरण प्रदान करता है जो कडानोफ़, विल्सन औरपोलचिन्स्की के दोनों प्रभावी-क्षेत्र सिद्धांत दृष्टिकोणों को जोड़ता है, साथ में बैटालिन-विलकोविस्की दृष्टिकोण के साथ गेज सिद्धांतों को परिमाणित करता है। इसके अलावा, उत्तेजित पथ-अभिन्न विधियों, सामान्यतः परिमित-आयामी एकीकरण सिद्धांत से प्रेरित औपचारिक अभिकलनीय विधियों के रूप में समझा जाता है, उनके परिमित-आयामी अनुरूपों से एक ध्वनि गणितीय व्याख्या दी जा सकती है।

1950 के दशक से, सैद्धांतिक भौतिकविदों और गणितज्ञों ने गणितीय रूप से कठोर प्रकार से सापेक्षतावादी क्यूएफटी के ठोस प्रतिरूप के अस्तित्व को स्थापित करने और उनके गुणों का अध्ययन करने के लिए सभी क्यूएफटी को स्वयंसिद्धों के एक समूह में व्यवस्थित करने का प्रयास किया है। अध्ययन की इस पंक्ति को रचनात्मक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत कहा जाता है, जो गणितीय भौतिकी का एक उपक्षेत्र है, जिसके परिणामस्वरूप  सीपीटी प्रमेय, स्पिन-सांख्यिकी प्रमेय और गोल्डस्टोन प्रमेय जैसे परिणाम सामने आए हैं, और दो और तीन समष्टि काल आयामों में कई परस्पर क्रिया QFTs के गणितीय रूप से कठोर निर्माण के लिए, उदा. स्वेच्छाचारी बहुपद अंतःक्रियाओं के साथ द्वि-आयामी अदिश क्षेत्र सिद्धांत, चतुर्थक अंतःक्रिया के साथ त्रि-आयामी अदिश क्षेत्र सिद्धांत, आदि।

सामान्य क्यूएफटी की तुलना में, सांस्थितिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और अनुकोण क्षेत्र सिद्धांत गणितीय रूप से उन्नत समर्थित हैं - दोनों को कोबर्डिज्म के प्रतिनिधित्व (गणित) के संरचना में वर्गीकृत किया जा सकता है।

बीजगणितीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत क्यूएफटी के स्वयंसिद्धीकरण के लिए एक और दृष्टिकोण है, जिसमें मूलभूत वस्तुएं स्थानीय संचालक और उनके मध्य बीजगणितीय संबंध हैं। इस दृष्टिकोण का अनुसरण करने वाली स्वयंसिद्ध प्रणालियों में वाइटमैन अभिगृहीत और हाग-कैस्टलर अभिगृहीत सम्मलित हैं। वाइटमैन के सिद्धांतों को संतुष्ट करने वाले सिद्धांतों का निर्माण करने का एक प्रकार ओस्टरवाल्डर-श्रेडर स्वयंसिद्धों का उपयोग करना है, जो विश्लेषणात्मक निरंतरता (विक रोटेशन) द्वारा एक काल्पनिक समय सिद्धांत से प्राप्त किए जाने वाले वास्तविक समय सिद्धांत के लिए आवश्यक और पर्याप्त प्रतिबंध प्रदान करते हैं।

यांग-मिल्स अस्तित्व और द्रव्यमान अंतराल, मिलेनियम पुरस्कार समस्याओं में से एक, उपरोक्त सिद्धांतों द्वारा निर्धारित यांग-मिल्स सिद्धांतों के अच्छी तरह से परिभाषित अस्तित्व से संबंधित है। समस्या का पूरा विवरण इस प्रकार है। "Prove that for any compact simple gauge group $g_{μν}$, a non-trivial quantum Yang–Mills theory exists on $\mathbb{R}^4$ and has a mass gap $G$. Existence includes establishing axiomatic properties at least as strong as those cited in, and."

यह भी देखें

 * अब्राहम-लोरेंत्ज़ बल
 * विज्ञापन/सीएफटी पत्राचार
 * स्वयंसिद्ध क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * क्वांटम यांत्रिकी का परिचय
 * क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में सामान्य समाकल
 * अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत
 * रचनात्मक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * डिराक का समीकरण
 * आकृति गुणक (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)
 * फेनमैन आरेख
 * हरा-कुबो संबंध
 * ग्रीन फलन (बहुपिंडी सिद्धांत)
 * समूह क्षेत्र सिद्धांत
 * जाली क्षेत्र सिद्धांत
 * क्वांटम क्षेत्र सिद्धांतों की सूची
 * स्थानीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * गैर विनिमेय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * एक क्षेत्र का परिमाणीकरण
 * क्वांटम विद्युत् गतिकी
 * वक्र समष्टि काल में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * क्वांटम क्रोमो गतिकी
 * क्वांटम फ्लेवर गतिकी
 * क्वांटम हैड्रो गतिकी
 * क्वांटम द्रव गतिकी
 * क्वांटम तुच्छता
 * श्रोडिंगर के समीकरण और क्वांटम यांत्रिकी के पथ अभिन्न सूत्रीकरण के मध्य संबंध
 * स्ट्रिंग सिद्धांत और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के मध्य संबंध
 * श्विंगर-डायसन समीकरण
 * स्थैतिक बल और आभासी-कण विनिमय
 * क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता
 * श्रोडिंगर समीकरण के लिए सैद्धांतिक और प्रायोगिक औचित्य
 * सामयिक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * वार्ड-ताकाहाशी पहचान
 * व्हीलर-फेनमैन अवशोषक सिद्धांत
 * विग्नर का वर्गीकरण
 * विग्नेर का प्रमेय

संदर्भ

 * Bibliography

अग्रिम पठन

 * General readers


 * Introductory texts


 * Lancaster, T., & Blundell, S. J. (2014). Quantum field theory for the gifted amateur. OUP Oxford. ISBN 9780199699339
 * Lancaster, T., & Blundell, S. J. (2014). Quantum field theory for the gifted amateur. OUP Oxford. ISBN 9780199699339
 * Lancaster, T., & Blundell, S. J. (2014). Quantum field theory for the gifted amateur. OUP Oxford. ISBN 9780199699339
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 * Advanced texts



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 * बीजीय क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
 * मिलेनियम पुरस्कार की समस्याएं

बाहरी संबंध



 * Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Quantum Field Theory", by Meinard Kuhlmann.
 * Siegel, Warren, 2005. Fields..
 * Quantum Field Theory by P. J. Mulders
 * Quantum Field Theory by P. J. Mulders