हार्डी स्पेस

जटिल विश्लेषण में, हार्डी स्पेस (या हार्डी क्लास) ''Hpयूनिट डिस्क या ऊपरी आधे तल पर होलोमोर्फिक फलन के कुछ स्थान  हैं। उनका परिचय फ्रिगयेस रिज़्ज़  द्वारा किया गया था, जिन्होंने पेपर  के कारण उनका नाम जी. H. हार्डी के नाम पर रखा। वास्तविक विश्लेषण में हार्डी स्पेस वास्तविक रेखा पर वितरण (गणित) के कुछ निश्चित स्थान होते हैं, जो (वितरण के अर्थ में) जटिल संख्या हार्डी स्पेस के होलोमोर्फिक कार्यों के सीमा मान होते हैं, और एल p स्पेस से संबंधित होते हैं।'' 1 ≤ p < ∞ के लिए ये वास्तविक हार्डी स्पेस Hp, Lp के कुछ उपसमुच्चय होते हैं, जबकि p < 1 के लिए Lp स्पेस कार्यात्मक विश्लेषण के स्थान में कुछ अवांछनीय गुण उपस्थित होते हैं, और हार्डी स्पेस बहुत बेहतर व्यवहार करते हैं।

उच्च-आयामी सामान्यीकरण भी होते हैं, जिसमें जटिल मामले में ट्यूब डोमेन पर कुछ होलोमोर्फिक फलन सम्मलित होता हैं, या वास्तविक स्थतियों में Rn पर वितरण के कुछ स्थान सम्मलित होते हैं।

हार्डी स्पेस के गणितीय विश्लेषण के साथ-साथ नियंत्रण सिद्धांत (जैसे कि H∞ विधियाँ) और प्रकीर्णन सिद्धांत भी कई अनुप्रयोग होते हैं।

यूनिट डिस्क के लिए हार्डी स्पेस
खुली इकाई डिस्क पर होलोमोर्फिक फलन के रिक्त स्थान के लिए, हार्डी स्पेस H2 में फलन f सम्मलित होता है जिसका मूल माध्य वर्ग त्रिज्या r के वृत्त पर नीचे से r → 1 के रूप में घिरा रहता है।

अधिक सामान्यतः, 0 < p < ∞ के लिए हार्डी स्पेस Hp, ओपन यूनिट डिस्क पर होलोमोर्फिक फलन f का वर्ग संतोषजनक होता है


 * $$\sup_{0\leqslant r<1}\left(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\left|f \left (re^{i\theta}\right )\right|^p \; \mathrm{d}\theta\right)^\frac{1}{p}<\infty.$$

यह वर्ग Hp एक सदिश समष्टि होता है। उपरोक्त असमानता के बाईं ओर की संख्या f के लिए हार्डी स्पेस p-मानदंड होता है, जिसे $$\|f\|_{H^p}$$ द्वारा प्रदर्शित किया गया है जब  p ≥ 1, लेकिन नहीं जब 0< p <1 होता है तो यह एक मानक होता है।

अंतरिक्ष H∞ को मानक के साथ, डिस्क पर बंधे हुए होलोमोर्फिक फलन के सदिश स्थान के रूप में परिभाषित किया जाता है


 * $$\|f\|_{H^\infty} = \sup_{|z|< 1} \left|f(z)\right|.$$

0 < p ≤ q ≤ ∞ के लिए, श्रेणी Hq Hp का एक उपसमुच्चय होता है, और Hp-मानदंड p के साथ बढ़ता है (यह होल्डर की असमानता का परिणाम होता है कि संभाव्यता उपायों के लिए Lp-मानदंड बढ़ता है, अर्थात समस्त के साथ माप द्रव्यमान 1 होता है )।

यूनिट सर्कल पर हार्डी स्पेस
पूर्ववर्ती अनुभाग में परिभाषित हार्डी स्पेस को यूनिट सर्कल पर जटिल Lp स्पेस के कुछ बंद सदिश उपस्थानों के रूप में भी देखा जा सकता है। यह कनेक्शन निम्नलिखित प्रमेय द्वारा प्रदान किया जाता है : दिया गया f ∈ H p, p ≥ 1 के साथ, रेडियल सीमा निम्नलिखित होती है


 * $$\tilde f\left(e^{i\theta}\right) = \lim_{r\to 1} f\left(re^{i\theta}\right)$$

लगभग हर θ के लिए उपस्थित होती है। फलन $$\tilde f$$ Lp के यूनिट सर्कल से संबंधित होता है, जो इस प्रकार है


 * $$\|\tilde f\|_{L^p} = \|f\|_{H^p}.$$

इकाई वृत्त को T और H p('T') द्वारा Lp का सदिश उपस्थान को निरूपित करते हुए, जिसमें सभी सीमा कार्य $$\tilde f$$ सम्मलित होते हैं, जब f, Hp में भिन्न होता है, तो किसी एक के पास p ≥ 1 होता है,


 * $$g\in H^p\left(\mathbf{T}\right)\text{ if and only if } g\in L^p\left(\mathbf{T}\right)\text{ and } \hat{g}(n)=0 \text{ for all } n < 0,$$

जहां ĝ(n) यूनिट सर्कल पर अभिन्न फलन g का फूरियर गुणांक होता हैं,


 * $$\forall n \in \mathbf{Z}, \ \ \ \hat{g}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g\left(e^{i\phi}\right) e^{-in\phi} \, \mathrm{d}\phi.$$

अंतरिक्ष Hp(T) Lp(T) का एक बंद उपस्थान होता है। चूकिं Lp(T)क (1 ≤ p ≤ ∞ के लिए), तो H भी है p('टी').

स्थान Hp(T) Lp(T) का एक बंद उपस्थान है। चूँकि Lp(T) एक बनच स्पेस होता है (1 ≤ p ≤ ∞ के लिए), इसलिए यह Hp(T) भी होता है।

उपरोक्त को क्रम बदला जा सकता है। एक फलन $$\tilde f \in L^p (\mathbf T)$$ दिया गया, जो p ≥ 1 के साथ, कोई पॉइसन कर्नेल  Pr के माध्यम से यूनिट डिस्क पर एक (हार्मोनिक फलन) फलन f को पुनः प्राप्त कर सकता है:


 * $$f\left(re^{i\theta}\right)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} P_r(\theta-\phi) \tilde f\left(e^{i\phi}\right) \,\mathrm{d}\phi, \quad r < 1,$$

और f ठीक उसी समय H p से संबंधित होता है जब $$\tilde f$$ Hp(T) में होता है। मान लीजिए कि $$\tilde f$$ एचपी (टी) में होता है, अर्थात् प्रत्येक n < 0 के लिए an = 0 के साथ फूरियर गुणांक(an)n∈Z होता है, तो हार्डी स्पेस एचपी का तत्व एफ होलोमोर्फिक फलन होता ह


 * $$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n, \ \ \ |z| < 1.$$

अनुप्रयोगों में, लुप्त हो रहे नकारात्मक फूरियर गुणांक वाले उन कार्यों को सामान्यतः कारण समाधान के रूप में व्याख्या किया जाता है। इस प्रकार, स्पेस H2 को स्वाभाविक रूप से L2 स्पेस के अंदर स्थित हुआ देखा जाता है, और N द्वारा अनुक्रमित अनंत अनुक्रमों द्वारा प्रदर्शित किया जाता है; जबकि L2 में Z द्वारा अनुक्रमित द्वि-अनंत अनुक्रम सम्मलित होता हैं।

सर्कल पर वास्तविक हार्डी रिक्त स्थान से कनेक्शन
जब 1 ≤ पी < ∞, वास्तविक हार्डी स्पेस एचपी पर इस लेख में आगे चर्चा की गई है। वर्तमान संदर्भ में वर्णन करना आसान होता है। यूनिट सर्कल पर एक वास्तविक फ़ंक्शन f वास्तविक हार्डी स्पेस Hp(T) से संबंधित होता है यदि यह Hp(T) में एक फ़ंक्शन का वास्तविक भाग उपस्थितस्थ होता है, और एक जटिल फ़ंक्शन f वास्तविक हार्डी स्पेस iff Re(f) से संबंधित होता है और Im(f) स्पेस से संबंधित होता है (नीचे वास्तविक हार्डी रिक्त स्थान पर अनुभाग देखें)। इस प्रकार 1 ≤ p < ∞ के लिए, वास्तविक हार्डी स्पेस में हार्डी स्पेस सम्मलित होता है, परन्तु यह बहुत बड़ा होता है, क्योंकि फ़ंक्शन के वास्तविक और काल्पनिक भाग के बीच कोई संबंध नहीं होता है।

0 <p <1 के लिए, फूरियर गुणांक, पॉइसन इंटीग्रल, संयुग्म फलन जैसे उपकरण अब मान्य नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, फलन पर विचार करें


 * $$ F(z) = \frac{1 + z}{1 - z}, \quad |z| < 1.$$

तब F, Hp में होता है प्रत्येक 0 < p < 1 और रेडियल सीमा के लिए होता है


 * $$f(e^{i\theta}):= \lim_{r\to1} F(r e^{i\theta}) = i \, \cot(\tfrac{\theta}{2}).$$

a.e. के लिए θ और Hp(T) में उपस्थित होता है, लेकिन Re(f) लगभग हर जगह 0 होता है, इसलिए Re(f) से F को पुनर्प्राप्त करना अब संभव नहीं होता है। इस उदाहरण के परिणामस्वरूप, कोई देखता है कि 0 < p < 1 के लिए, कोई ऊपर दिए गए सरल तरीके से वास्तविक-Hp(T) (नीचे परिभाषित) को चित्रित नहीं कर सकता है, लेकिन अधिकतम कार्यों का उपयोग करके वास्तविक परिभाषा का उपयोग करना चाहिए, जो नीचे कहीं आगे दिया गया है।

समान फलन F के लिए, मान लीजिए fr(eiθ) = F(reiθ) होता है। सीमा जब r → 1 Re(fr) की, वृत्त पर वितरण के अर्थ में, z = 1 पर डिराक वितरण का एक गैर-शून्य गुणक होता है। इकाई वृत्त के एक बिंदु पर डिराक वितरण वास्तविक से संबंधित होता है- प्रत्येक पी <1 के लिए एचपी (टी) (नीचे देखें)।

आंतरिक और बाहरी कार्यों में गुणनखंडीकरण (ब्यूर्लिंग)
0 <p ≤ ∞ के लिए, H में प्रत्येक गैर-शून्य फलन fp को उत्पाद f = Gh के रूप में लिखा जा सकता है जहां G एक बाहरी फलन  है और h एक आंतरिक फलन  है, जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है. यह अर्ने बर्लिंग फ़ैक्टराइज़ेशन हार्डी स्पेस को आंतरिक और बाहरी कार्यों के स्थानों द्वारा पूरी तरह से चित्रित करने की अनुमति देता है। एक का कहना है कि G(z) यदि यह रूप लेता है तो यह एक बाहरी (बाहरी) कार्य होता है


 * $$G(z) = c\, \exp\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{i\theta}+z}{e^{i\theta}-z} \log\!\left(\varphi\!\left(e^{i\theta} \right)\right)\, \mathrm{d}\theta \right)$$


 * c| के साथ कुछ सम्मिश्र संख्या c के लिए = 1, और कुछ सकारात्मक मापनयोग्य फलन $$\varphi $$ यूनिट सर्कल पर इस प्रकार $$\log(\varphi) $$ वृत्त पर समाकलनीय होता है। विशेषकर, जब $$\varphi $$ वृत्त पर पूर्णांक होता है, G, H1 में होता है क्योंकि उपरोक्त पॉइसन कर्नेल का रूप लेता है . इसका अर्थ यह है कि


 * $$\lim_{r\to 1^-}\left|G\left (re^{i\theta} \right)\right| = \varphi \left(e^{i\theta}\right )$$

लगभग हर θ के लिए।

कोई कहता है कि h एक 'आंतरिक (आंतरिक) कार्य' है यदि और केवल यदि |h| ≤ 1 यूनिट डिस्क और सीमा पर होत है


 * $$\lim_{r\to 1^-} h(re^{i\theta})$$

लगभग सभी θ के लिए उपस्थिति होत है और इसका निरपेक्ष मान 1 ae के बराबर होत है। विशेष रूप से, h, H∞ मे होता है। आंतरिक कार्य को आगे ब्लाश्के उत्पाद से जुड़े एक रूप में सम्मलित किया जा सकता है।

फलन f, f = Gh के रूप में विघटित होता है, Hp में होता है यदि और केवल यदि φ Lp('T') से संबंधित है, जहां φ बाहरी फलन  G के प्रतिनिधित्व में सकारात्मक फलन होता है।

मान लीजिए कि G एक बाहरी फलन है जिसे वृत्त पर एक फलन φ से ऊपर प्रदर्शित किया गया है। φ को φα से प्रतिस्थापित करना, α > 0, एक परिवार (Gα) बाहरी कार्यों को गुणों के साथ प्राप्त किया जाता है:


 * G1 = G, Gα+β = Gα Gβ  and |Gα| = |G|α सर्कल पर लगभग हर जगह।

यह इस प्रकार है कि जब भी 0 < p, q, r < ∞ और 1/r = 1/p + 1/q, Hr में प्रत्येक फ़ंक्शन f को Hp में एक फ़ंक्शन और Hq में एक फ़ंक्शन के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: H1 में प्रत्येक फ़ंक्शन H2 में दो फ़ंक्शन का उत्पाद है; Hp, p < 1 में प्रत्येक फ़ंक्शन को कुछ Hq, q > 1 में कई फ़ंक्शन के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यूनिट सर्कल पर वास्तविक-परिवर्तनीय तकनीक
वास्तविक-परिवर्तनीय तकनीकें, मुख्य रूप से 'आर' पर परिभाषित वास्तविक हार्डी रिक्त स्थान के अध्ययन से जुड़ी हैंn (नीचे देखें), सर्कल के सरल ढांचे में भी उपयोग किया जाता है। इन वास्तविक स्थानों में जटिल कार्यों (या वितरण) की अनुमति देना एक आम बात है। निम्नलिखित परिभाषा वास्तविक या जटिल मामले के बीच अंतर नहीं करती है।

चलो prयूनिट सर्कल 'टी' पर पॉइसन कर्नेल को निरूपित करें। यूनिट सर्कल पर वितरण  f के लिए, सेट करें


 * $$(M f)(e^{i\theta})=\sup_{0<r<1} \left |(f * P_r) \left(e^{i\theta} \right)\right|,$$

जहां तारा वितरण f और फलन  ई के बीच कनवल्शन को इंगित करता हैiθ →  pr(θ) वृत्त पर। अर्थात्, (f * Pr)(यह हैiθ) C पर f की क्रिया का परिणाम है∞-फलन  को यूनिट सर्कल पर परिभाषित किया गया है


 * $$e^{i\varphi} \rightarrow P_r(\theta - \varphi).$$

0 < p < ∞ के लिए, वास्तविक हार्डी स्पेस Hp('T') में वितरण f इस प्रकार सम्मलितहै कि M f L में है p('टी').

फलन F को यूनिट डिस्क पर F(re) द्वारा परिभाषित किया गया हैiθ) = (f * Pr)(यह हैiθ) हार्मोनिक है, और M f F का रेडियल अधिकतम फलन  है। जब M f L से संबंधित हैp('T') और p ≥ 1, वितरण f L में एक फलन  हैp('T'), अर्थात् F का सीमा मान। p ≥ 1 के लिए, वास्तविक हार्डी स्पेस Hp('T') L का उपसमुच्चय है p('टी').

संयुग्मी फलन
इकाई वृत्त पर प्रत्येक वास्तविक त्रिकोणमितीय बहुपद u के साथ, कोई वास्तविक संयुग्म बहुपद v को इस प्रकार जोड़ता है कि u + iv इकाई डिस्क में एक होलोमोर्फिक फलन तक विस्तारित होता है,


 * $$ u(e^{i\theta}) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k \geqslant 1} a_k \cos(k \theta) + b_k \sin(k \theta) \longrightarrow v(e^{i\theta}) = \sum_{k \geqslant 1} a_k \sin(k \theta) - b_k \cos(k \theta). $$

उसकी मैपिंग u → v Lp(T) पर एक बंधे हुए रैखिक ऑपरेटर H तक फैली हुई है, जब 1 < p < ∞ (एक अदिश गुणक तक, यह यूनिट सर्कल पर हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म है), और H भी L1(T) को मैप करता है कमजोर करने के लिए-L1(T). जब 1 ≤ p < ∞, तो यूनिट सर्कल पर वास्तविक मूल्यवान पूर्णांक फ़ंक्शन f के लिए निम्नलिखित समतुल्य होता हैं:
 * फलन f कुछ फलन  g ∈ H का वास्तविक भाग है p('टी')
 * फलन f और इसका संयुग्म H(f) L से संबंधित हैं p('टी')
 * रेडियल अधिकतम फलन M f L से संबंधित है p('टी').

जब 1 < p < ∞, H(f) L से संबंधित होता हैp('T') जब f ∈ L p('टी'), इसलिए वास्तविक हार्डी स्पेस Hp('T') L से मेल खाता हैइस मामले में p('T')। p = 1 के लिए, वास्तविक हार्डी स्पेस H1(T) L का एक उचित उपसमष्टि है1(टी).

p = ∞ के मामले को वास्तविक हार्डी स्पेस की परिभाषा से बाहर रखा गया था, क्योंकि एल का अधिकतम फलन एम  f ∞फलन  हमेशा सीमित होता है, और क्योंकि यह वांछनीय नहीं है कि वास्तविक-H∞L के बराबर हो∞. हालाँकि, निम्नलिखित दो गुण वास्तविक मूल्यवान फलन f के लिए समतुल्य हैं
 * फलन f कुछ फलन  g ∈ H का वास्तविक भाग है∞(टी)
 * फलन f और इसका संयुग्म H(f) L से संबंधित है∞(टी).

0 < p <1
के लिए वास्तविक हार्डी रिक्त स्थान जब 0 < p < 1, H में एक फलन F होता है p को L की उत्तलता की कमी के कारण, वृत्त पर इसके सीमा सीमा फलन के वास्तविक भाग से पुनर्निर्मित नहीं किया जा सकता हैइस मामले में p. उत्तलता विफल हो जाती है लेकिन एक प्रकार की जटिल उत्तलता बनी रहती है, अर्थात् तथ्य यह है कि z → |z|q प्रत्येक q > 0 के लिए जटिल तल में सबहार्मोनिक फलन  # सबहार्मोनिक फलन  है। परिणामस्वरूप, यदि


 * $$ F(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n z^n, \quad |z| < 1$$

H में है p, यह दिखाया जा सकता है कि सीn= ओ(एन1/p–1). यह फूरियर श्रृंखला का अनुसरण करता है


 * $$ \sum_{n=0}^{+\infty} c_n e^{in \theta}$$

यूनिट सर्कल पर वितरण f के वितरण के अर्थ में अभिसरण होता है, और  f (रे)।iθ) =(f ∗ Pr)(θ). फलन F ∈ Hp को वृत्त पर वास्तविक वितरण Re(f) से पुनर्निर्मित किया जा सकता है, क्योंकि टेलर गुणांक cnF की गणना Re(f) के फूरियर गुणांक से की जा सकती है।

p <1 होने पर हार्डी रिक्त स्थान को संभालने के लिए सर्कल पर वितरण पर्याप्त सामान्य हैं। जो वितरण फलन नहीं हैं वे होते हैं, जैसा कि फलन   f (जेड) = (1−जेड) के साथ देखा जाता है−N (|z| <1 के लिए), जो H से संबंधित हैp जब 0 < N p < 1 (और N एक पूर्णांक ≥ 1) हो।

वृत्त पर वास्तविक वितरण वास्तविक-H से संबंधित हैp('T') यदि यह कुछ F ∈ H के वास्तविक भाग का सीमा मान हैप. एक डिराक वितरण डीx, यूनिट सर्कल के किसी भी बिंदु x पर, वास्तविक-H से संबंधित हैp('T') प्रत्येक p < 1 के लिए; व्युत्पन्न δ'x संबंधित जब p < 1/2, दूसरा व्युत्पन्न δx जब  p <1/3, इत्यादि।

ऊपरी आधे तल के लिए कठोर स्थान
डिस्क के अलावा अन्य डोमेन पर हार्डी स्पेस को परिभाषित करना संभव है, और कई अनुप्रयोगों में एक जटिल आधे-तल (आमतौर पर दायां आधा-तल या ऊपरी आधा-तल) पर हार्डी रिक्त स्थान का उपयोग किया जाता है।

हार्डी स्पेस H p('H') ऊपरी आधे तल पर 'H' को सीमित मानदंड के साथ 'H' पर होलोमोर्फिक फलन  f की जगह के रूप में परिभाषित किया गया है, मानदंड द्वारा दिया जा रहा है


 * $$\|f\|_{H^p} = \sup_{y>0} \left ( \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x+ iy)|^p\, \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}}.$$

संगत H∞(H) को दिए गए मानदंड के साथ, बंधे हुए मानदंड के कार्यों के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\|f\|_{H^\infty} = \sup_{z\in\mathbf{H}}|f(z)|.$$

हालाँकि यूनिट डिस्क डी और ऊपरी आधे-प्लेन H को मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन के माध्यम से एक दूसरे से मैप किया जा सकता है, वे विनिमेय नहीं हैं हार्डी स्पेस के लिए डोमेन के रूप में। इस अंतर में योगदान देने वाला तथ्य यह है कि इकाई वृत्त में परिमित (एक-आयामी) लेब्सेग माप होता है जबकि वास्तविक रेखा में ऐसा नहीं होता है। हालाँकि, H वर्ग|H के लिए2, किसी के पास निम्नलिखित प्रमेय है: यदि m : 'D' → 'H' मोबियस परिवर्तन को दर्शाता है


 * $$m(z)= i \cdot \frac{1+z}{1-z}.$$

फिर रैखिक संकारक M : H2(H) → H2(D) द्वारा परिभाषित


 * $$(Mf)(z):=\frac{\sqrt{\pi}}{1-z} f(m(z)).$$

हिल्बर्ट रिक्त स्थान की एक समरूपता समरूपता है।

आर के लिए वास्तविक हार्डी रिक्त स्थानn
वास्तविक सदिश समष्टि 'R' पर विश्लेषण मेंn, हार्डी स्पेस Hp (0 < p ≤ ∞ के लिए) में वितरण (गणित)#टेम्पर्ड वितरण और फूरियर रूपांतरण सम्मलितहैं f ऐसा है कि कुछ श्वार्ट्ज फलन के लिए Φ ∫Φ = 1 के साथ, अधिकतम फलन


 * $$(M_\Phi f)(x)=\sup_{t>0}|(f*\Phi_t)(x)|$$

एल में है p('आर'n), जहां ∗ कनवल्शन है और Φt&thinsp;(x) = t&thinsp;&minus;nΦ(x&thinsp;/&thinsp;t). Hp-quasinorm ||f ||Hp H के वितरण f काp को L के रूप में परिभाषित किया गया है pएम का मानदंडΦf (यह Φ की पसंद पर निर्भर करता है, लेकिन श्वार्ट्ज फलन  के विभिन्न विकल्प Φ समकक्ष मानदंड देते हैं)। Hp-quasinorm एक मानक है जब p ≥ 1, लेकिन नहीं जब p <1.

यदि 1 < p < ∞, हार्डी स्पेस Hp L के समान ही सदिश समष्टि है p, समतुल्य मानदंड के साथ। जब p = 1, हार्डी स्पेस H1L का एक उचित उपसमष्टि है1. कोई H में अनुक्रम पा सकता है1जो L में परिबद्ध हैं1लेकिन H में अनबाउंड1, उदाहरण के लिए लाइन पर


 * $$ f_k(x) = \mathbf{1}_{[0, 1]}(x - k) - \mathbf{1}_{[0, 1]}(x + k), \ \ \ k > 0.$$

एल1और H1मानदंड H पर समतुल्य नहीं हैं1, और H1एल में बंद नहीं है1. H का द्वैत1परिबद्ध माध्य दोलन के कार्यों का स्थान बीएमओ है। अंतरिक्ष बीएमओ में असीमित कार्य सम्मलितहैं (फिर से साबित होता है कि H1एल में बंद नहीं है1).

यदि p<1 तो हार्डी स्पेस Hp में ऐसे तत्व हैं जो फलन नहीं हैं, और यह दोहरा है क्रम n(1/p − 1) का सजातीय लिप्सचिट्ज़ स्थान है। जब  p <1, H p-क्वासिनोर्म कोई मानक नहीं है, क्योंकि यह सबएडिटिव नहीं है। pth शक्ति ||f ||Hpp < 1 के लिए p उप-योगात्मक है और इसलिए यह हार्डी स्पेस H पर एक मीट्रिक को परिभाषित करता हैp, जो टोपोलॉजी को परिभाषित करता है और H बनाता हैपूर्ण मीट्रिक स्थान में p।

परमाणु अपघटन
जब 0 < p ≤ 1, कॉम्पैक्ट सपोर्ट का एक घिरा मापनीय फलन   f हार्डी स्पेस H में है pयदि और केवल यदि इसके सभी क्षण


 * $$\int_{\mathbf{R}^n} f(x)x_1^{i_1}\ldots x_n^{i_n}\, \mathrm{d}x, $$

मैं किसका आदेश1+ ... +मैंnअधिकतम n(1/p − 1) है, गायब हो जाता है। उदाहरण के लिए, f का समाकलन इस क्रम में लुप्त हो जाना चाहिए कि f ∈ Hp, 0 < p ≤ 1, और जब तक p > n&thinsp;/&thinsp;(n+1)यह भी पर्याप्त है.

यदि इसके अतिरिक्त f को किसी गेंद B में समर्थन प्राप्त है और वह |B| से घिरा हुआ है−1/p तो f को 'H' कहा जाता हैp-atom' (यहाँ |B| 'R' में B के यूक्लिडियन आयतन को दर्शाता हैn). H p-एक मनमाना H का क्वासिनोर्मp-परमाणु केवल p और श्वार्ट्ज फलन Φ के आधार पर एक स्थिरांक से घिरा होता है।

जब 0 < p ≤ 1, H का कोई तत्व fp में H के अभिसरण अनंत संयोजन के रूप में 'परमाणु अपघटन' है p-परमाणु,


 * $$f = \sum c_j a_j, \ \ \ \sum |c_j|^p < \infty$$

जहां एjH हैं p-परमाणु और सीjअदिश हैं.

उदाहरण के लिए, डिराक वितरण का अंतर f = δ है1-डी0 H में अभिसरण हार तरंगिका की एक श्रृंखला के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता हैp-quasinorm जब 1/2 < p < 1 (सर्कल पर, संबंधित प्रतिनिधित्व 0 < p < 1 के लिए मान्य है, लेकिन लाइन पर, Haar फलन H से संबंधित नहीं हैंp जब p ≤ 1/2 क्योंकि उनका अधिकतम कार्य अनंत पर a x के बराबर है−2 कुछ के लिए a ≠ 0).

मार्टिंगेल Hप
मुझेn)n≥0 σ-फ़ील्ड (Σ) के बढ़ते अनुक्रम के संबंध में, कुछ संभाव्यता स्थान (Ω, Σ, P) पर मार्टिंगेल (संभावना सिद्धांत) बनेंn)n≥0. सरलता के लिए मान लें कि Σ अनुक्रम (Σ) द्वारा उत्पन्न σ-फ़ील्ड के बराबर हैn)n≥0. मार्टिंगेल के अधिकतम कार्य को परिभाषित किया गया है


 * $$ M^* = \sup_{n \ge 0} \, |M_n|.$$

माना 1 ≤ p < ∞. मार्टिंगेल (एमn)n≥0 मार्टिंगेल-H से संबंधित है pजब एम* ∈ एलप.

यदि एम* ∈ एल p, मार्टिंगेल (एमn)n≥0 एल में परिबद्ध हैप; इसलिए यह लगभग निश्चित रूप से डूब के मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय द्वारा किसी फलन f में परिवर्तित हो जाता है। इसके अलावा, एमnएल में  f में परिवर्तित हो जाता है p-प्रमुख अभिसरण प्रमेय द्वारा मानदंड; इसलिए एमnΣ पर f की सशर्त अपेक्षा के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैn. इस प्रकार मार्टिंगेल-H की पहचान करना संभव हैpL की उपसमष्टि के साथ p(Ω, Σ,  p) उन f से मिलकर बनता है जैसे कि मार्टिंगेल


 * $$M_n = \operatorname E \bigl( f | \Sigma_n \bigr)$$

मार्टिंगेल-H से संबंधित हैप.

डूब की मार्टिंगेल असमानता|डूब की अधिकतम असमानता का तात्पर्य है कि मार्टिंगेल-H pएल के साथ मेल खाता हैp(Ω, Σ, P) जब 1 < p < ∞. दिलचस्प जगह मार्टिंगेल-H है1, जिसका द्वैत मार्टिंगेल-बीएमओ है.

बर्कहोल्डर-गंडी असमानताएं (जब p>1) और बर्गेस डेविस असमानता (जब  p = 1) एल से संबंधित हैं p-मार्टिंगेल के वर्ग फलन  के अधिकतम फलन  का मानदंड


 * $$ S(f) = \left( |M_0|^2 + \sum_{n=0}^{\infty} |M_{n+1} - M_n|^2 \right)^{\frac{1}{2}}. $$

मार्टिंगेल-Hp को यह कहकर परिभाषित किया जा सकता है कि S(f)∈ Lप.

निरंतर समय पैरामीटर वाले मार्टिंगेल्स पर भी विचार किया जा सकता है। शास्त्रीय सिद्धांत के साथ सीधा संबंध जटिल वीनर प्रक्रिया (बी) के माध्यम से प्राप्त किया जाता हैt) जटिल तल में, समय t = 0 पर बिंदु z = 0 से शुरू करते हुए। मान लीजिए कि यूनिट सर्कल के हिटिंग समय को प्रदर्शित किया गया है। यूनिट डिस्क में प्रत्येक होलोमोर्फिक फलन F के लिए,


 * $$ M_t = F(B_{t \wedge \tau}) $$

एक मार्टिंगेल है, जो मार्टिंगेल-H से संबंधित है p iff f ∈ Hप.

उदाहरण: डायडिक मार्टिंगेल-H1
इस उदाहरण में, Ω = [0, 1] और Σn [0,1] से 2 के डायडिक विभाजन द्वारा उत्पन्न परिमित क्षेत्र हैnलंबाई के अंतराल 2−n, प्रत्येक n ≥ 0 के लिए। यदि [0, 1] पर एक फलन f को Haar तरंगिका (h) पर इसके विस्तार द्वारा प्रदर्शित किया जाता हैk)


 * $$ f = \sum c_k h_k,$$

फिर मार्टिंगेल-H1f के मानदंड को L द्वारा परिभाषित किया जा सकता है1वर्ग फलन का मानदंड


 * $$ \int_0^1 \Bigl( \sum |c_k h_k(x)|^2 \Bigr)^{\frac{1}{2}} \, \mathrm{d}x.$$

यह स्थान, कभी-कभी H द्वारा प्रदर्शित किया जाता है1(δ), शास्त्रीय वास्तविक H का समरू p हैवृत्त पर 1स्थान. बाल प्रणाली H के लिए कंपकं p का आधार है1(डी).