अवरोही और आरोही भाज्य

गणित में, अवरोही भाज्य (कभी-कभी अवरोही भाज्य भी कहा जाता है, अवरोही अनुक्रमिक उत्पाद, या निम्न भाज्य) को बहुपद के रूप में परिभाषित किया गया है$$ \begin{align} (x)_n = x^\underline{n} &= \overbrace{x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)}^{n\text{ factors}} \\ &= \prod_{k=1}^n(x-k+1) = \prod_{k=0}^{n-1}(x-k). \end{align}$$ उभरता हुआ भाज्य (कभी-कभी पोचाम्मर फलन, पोचामर बहुपद, आरोही भाज्य, कहा जाता है) बढ़ते अनुक्रमिक उत्पाद, या ऊपरी भाज्य के रूप में परिभाषित किया गया है $$ \begin{align} x^{(n)} = x^\overline{n} &= \overbrace{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)}^{n\text{ factors}} \\ &= \prod_{k=1}^n(x+k-1) = \prod_{k=0}^{n-1}(x+k). \end{align}$$ प्रत्येक का मान 1 (एक खाली उत्पाद) माना जाता है $n = 0$. इन प्रतीकों को सामूहिक रूप से भाज्य पॉवर कहा जाता है। लियो अगस्त पोचहैमर द्वारा प्रस्तुत पोचहैमर प्रतीक, संकेतन है $(x)n$, जहाँ $n$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है। यह अलग-अलग लेखों और लेखकों द्वारा अलग-अलग परंपराओं का उपयोग करते हुए बढ़ते या अवरोही तथ्य का प्रतिनिधित्व कर सकता है। पोचहैमर ने वास्तव में स्वयं इसका उपयोग $(x)n$ किया था और अर्थ के साथ, अर्थात् द्विपद गुणांक $$\tbinom{x}{n}.$$ को निरूपित करने के लिए

इस लेख में प्रतीक $(x)n$ का उपयोग अवरोही फैक्टोरियल और प्रतीक को दर्शाने के लिए किया जाता है $x(n)$ का उपयोग बढ़ते फैक्टोरियल के लिए किया जाता है। इन सम्मेलनों का उपयोग साहचर्य में किया जाता है, चूँकि डोनाल्ड नुथ की अंडरलाइन और ओवरलाइन नोटेशन $$x^\underline{n}$$ और $$x^\overline{n}$$ तेजी से लोकप्रिय हो रहे हैं.

विशेष कार्य के सिद्धांत में (विशेष रूप से हाइपरजियोमेट्रिक फलन) और मानक संदर्भ कार्य अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन में, पोचहैमर प्रतीक $(x)n$ का उपयोग बढ़ते फैक्टोरियल को दर्शाने के लिए किया जाता है।

जब $x$ धनात्मक पूर्णांक है, $(x)n$ k-क्रमपरिवर्तन की संख्या देता है | $n$-एक से क्रमपरिवर्तन (विभिन्न तत्वों का अनुक्रम) $x$-तत्व समुच्चय, या समकक्ष आकार के समुच्चय से इंजेक्शन कार्यों की संख्या $n$ आकार के समुच्चय $x$ के लिए. बढ़ती फैक्टोरियल $(x)n$ समुच्चय के विभाजन $n$-तत्व में समुच्चय $x$ आदेशित अनुक्रम की संख्या देता है।

उदाहरण और संयुक्त व्याख्या
पहले कुछ अवरोही तथ्य इस प्रकार हैं: $$ \begin{array}{rll} (x)_0 & &= 1 \\ (x)_1 & &= x \\ (x)_2 &= x(x-1) &= x^2-x \\ (x)_3 &= x(x-1)(x-2) &= x^3-3x^2+2x \\ (x)_4 &= x(x-1)(x-2)(x-3) &= x^4-6x^3+11x^2-6x \end{array}$$ पहले कुछ उभरते तथ्य इस प्रकार हैं: $$ \begin{array}{rll} x^{(0)} & &= 1 \\ x^{(1)} & &= x \\ x^{(2)} &= x(x+1)&=x^2+x \\ x^{(3)} &= x(x+1)(x+2)&=x^3+3x^2+2x \\ x^{(4)} &= x(x+1)(x+2)(x+3)&=x^4+6x^3+11x^2+6x \end{array}$$ विस्तार में दिखाई देने वाले गुणांक पहली तरह की स्टर्लिंग संख्याएँ हैं।

जब चर $x$ धनात्मक पूर्णांक, संख्या है $x(n)$ k-क्रमपरिवर्तन की संख्या के सामान्य है $n$-के समुच्चय से क्रमपरिवर्तन $x$ आइटम, अर्थात, लंबाई की क्रमबद्ध सूची चुनने के विधियों की संख्या $n$ आकार के संग्रह से निकाले गए अलग-अलग तत्वों $x$ से मिलकर बना है. उदाहरण के लिए, $x = n = 2$ आठ व्यक्तियों की दौड़ में संभव विभिन्न पोडियमों की संख्या - स्वर्ण, रजत और कांस्य पदक संभव है। इस सन्दर्भ में अन्य नोटेशन जैसे $(2)(2) = 6$, $(x)n$, $(8)3 = 8 × 7 × 6 = 336$, या $xPn$ का प्रयोग भी कभी-कभी किया जाता है। वहीं दूसरी ओर, $xPn$ व्यवस्था करने के विधियों की संख्या है $n$ झंडे चालू $x$ ध्वजदंड, जहां सभी झंडों का उपयोग किया जाना चाहिए और प्रत्येक ध्वजस्तंभ में किसी भी संख्या में झंडे हो सकते हैं। समान रूप से, यह आकार के समुच्चय को विभाजित करने के विधियों की संख्या है $n$ (झंडे) में $x$ अलग-अलग भाग (ध्रुव), प्रत्येक भाग को निर्दिष्ट तत्वों पर रैखिक क्रम (किसी दिए गए ध्रुव पर झंडे का क्रम) के साथ किया जाता है।

गुण
बढ़ते और अवरोही फैक्टोरियल बस दूसरे से संबंधित हैं: $$ \begin{array}{rll} {(x)}_n &= {(x-n+1)}^{(n)} &= (-1)^n (-x)^{(n)},\\ x^{(n)} &= {(x+n-1)}_{n} &= (-1)^n (-x)_n. \end{array}$$ पूर्णांकों के घटते और बढ़ते फैक्टोरियल सीधे सामान्य फैक्टोरियल से संबंधित होते हैं: $$ \begin{align} n! &= 1^{(n)} = (n)_n,\\[6pt] (m)_n &= \frac{m!}{(m-n)!},\\[6pt] m^{(n)} &= \frac{(m+n-1)!}{(m-1)!}. \end{align}$$ आधे पूर्णांकों के बढ़ते भाज्य सामान्यतः दोहरे भाज्य से संबंधित हैं: $$ \begin{align} \left[\frac{1}{2}\right]^{(n)} = \frac{(2n-1)!!}{2^n},\quad \left[\frac{2m+1}{2}\right]^{(n)} = \frac{(2(n+m)-1)!!}{2^n(2m-1)!!}. \end{align}$$ द्विपद गुणांक को व्यक्त करने के लिए अवरोही और बढ़ते फैक्टोरियल का उपयोग किया जा सकता है: $$ \begin{align} \frac{(x)_n}{n!} &= \binom{x}{n},\\[6pt] \frac{x^{(n)}}{n!} &= \binom{x+n-1}{n}. \end{align}$$ इस प्रकार द्विपद गुणांकों पर कई सर्वसमिकाएँ घटते और बढ़ते हुए भाज्यों को आगे बढ़ाती हैं।

बढ़ते और अवरोही फैक्टोरियल को किसी भी यूनिटल रिंग रिंग (गणित) में अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है, और इसलिए $x$ को, उदाहरण के लिए, ऋणात्मक पूर्णांकों सहित जटिल संख्या, या जटिल गुणांकों वाला बहुपद, या कोई जटिल-मूल्यवान फलन माना जा सकता है।

अवरोही फैक्टोरियल को वास्तविक संख्या मानों तक बढ़ाया जा सकता है $x$ प्रदान किए गए गामा फलन का उपयोग करना $x$ और $Pnx$ वास्तविक संख्याएँ हैं जो ऋणात्मक पूर्णांक नहीं हैं: $$ (x)_n = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x-n+1)}\ , $$ और इसी तरह बढ़ती फैक्टोरियल भी हो सकती है: $$ x^{(n)} = \frac{\Gamma(x+n)}{\Gamma(x)}\. $$ अवरोही फैक्टोरियल सरल पॉवर कार्यों के एकाधिक व्युत्पन्न में दिखाई देते हैं: $$ \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\right)^n x^a = (a)_n \cdot x^{a-n}. $$ बढ़ती फैक्टोरियल भी हाइपरजियोमेट्रिक फलन की परिभाषा का अभिन्न अंग है: हाइपरजियोमेट्रिक फलन को इसके लिए परिभाषित किया गया है $P(x, n)$ पॉवर श्रृंखला द्वारा किया जाता है $$ {}_2F_1(a,b;c;z) = \sum_{n=0}^\infty \frac{a^{(n)} b^{(n)}}{c^{(n)}} \frac{z^n}{n!} $$ उसे उपलब्ध कराया $x(n)$. चूँकि, ध्यान दें कि हाइपरजियोमेट्रिक फलन साहित्य सामान्यतः नोटेशन $x + n$ का उपयोग करता है।

अंब्रल कैलकुलस से संबंध
अवरोही फैक्टोरियल सूत्र में होता है जो फॉरवर्ड अंतर ऑपरेटर का उपयोग करके बहुपदों $$\Delta f(x)\stackrel{\mathrm{def}}{=} f(x{+}1)-f(x),$$ का प्रतिनिधित्व करता है और जो औपचारिक रूप से टेलर के प्रमेय के समान है: $$ f(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\Delta^n f(0)}{n!} (x)_n. $$ इस सूत्र में और कई अन्य स्थानों पर, अवरोही भाज्य $|z| < 1$परिमित अंतर की गणना में भूमिका निभाता है डिफरेंशियल कैलकुलस $c ≠ 0, −1, −2, ...$ में उदाहरण के लिए समानता पर ध्यान दें $(a)n$ को $(x)n$.

एक समान परिणाम बढ़ते फैक्टोरियल और पिछड़े अंतर ऑपरेटर के लिए है।

इस प्रकार की उपमाओं के अध्ययन को अम्ब्रल कैलकुलस के रूप में जाना जाता है। ऐसे संबंधों को कवर करने वाला सामान्य सिद्धांत, जिसमें घटते और बढ़ते तथ्यात्मक कार्य सम्मिलित हैं, द्विपद प्रकार और शेफ़र अनुक्रम के सिद्धांत द्वारा दिया गया है। अवरोही और बढ़ते फैक्टोरियल द्विपद प्रकार के शेफ़र अनुक्रम हैं, जैसा कि संबंधों द्वारा दिखाया गया है:

$$ \begin{align} (a + b)_n &= \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (a)_{n-j}(b)_{j} \\[6pt] (a + b)^{(n)} &= \sum_{j=0}^n \binom{n}{j} (a)^{(n-j)}(b)^{(j)} \end{align}$$ जहां गुणांक द्विपद प्रमेय के समान हैं।

इसी प्रकार, पोचहैमर बहुपदों का जनक फलन तब अम्ब्रल घातांक के सामान्य होता है,

$$ \sum_{n=0}^\infty (x)_n  \frac{t^n}{n!} = \left(1+t\right)^x, $$ तब से

$$ \operatorname \Delta_x \left( 1 + t \right)^x = t \cdot \left( 1 + t \right)^x .$$

संबंध गुणांक और पहचान
अवरोही और बढ़ते फैक्टोरियल लाह संख्याओं के माध्यम से दूसरे से संबंधित हैं:

$$ \begin{align} (x)_n & = \sum_{k=1}^n \binom{n-1}{k-1} \frac{n!}{k!} x^{(k)} \\ & = (-1)^n (-x)^{(n)} = (x-n+1)^{(n)} \\ [6pt] x^{(n)} & = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} (n-1)_{n-k} (x)_k \\ & = (-1)^n (-x)_n = (x+n-1)_n \. \end{align} $$ निम्नलिखित सूत्र चर की अभिन्न पॉवर्स $x$ से संबंधित हैं दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं का उपयोग करके योगों के माध्यम से, तरंगित कोष्ठक $xn$ द्वारा अंकित है : $$ \begin{align} x^n & = \sum_{k=0}^{n} \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} (x)_{k} \\ & = \sum_{k=0}^n \begin{Bmatrix} n \\ k \end{Bmatrix} (-1)^{n-k} x^{(k)}. \end{align} $$ चूँकि अवरोही हुए भाज्य बहुपद वलय का आधार हैं, इसलिए उनमें से दो के गुणनफल को अवरोही हुए भाज्यों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। : $$ (x)_m (x)_n = \sum_{k=0}^m \binom{m}{k} \binom{n}{k} k! \cdot (x)_{m+n-k} \ .$$ गुणांक $$\tbinom{m}{k} \tbinom{n}{k} k! $$ संबंध गुणांक कहा जाता है, और पहचानने के विधियों की संख्या के रूप में संयुक्त व्याख्या होती है $k$ आकार के समुच्चय से प्रत्येक तत्व $m$ और $n$ आकार का समुच्चय होता है.

दो बढ़ते फैक्टोरियल के अनुपात के लिए संबंध सूत्र भी दिया गया है $$ \frac{x^{(n)}}{x^{(i)}} = (x+i)^{(n-i)} ,\quad \text{for }n \geq i .$$ इसके अतिरिक्त, हम निम्नलिखित पहचानों के माध्यम से सामान्यीकृत प्रतिपादक नियमो और ऋणात्मक बढ़ती और गिरती पॉवर्स का विस्तार कर सकते हैं:

$$ \begin{align} (x)_{m+n} & = (x)_m (x-m)_n = (x)_n (x-n)_m \\[6pt] x^{(m+n)} & = x^{(m)} (x+m)^{(n)} = x^{(n)} (x+n)^{(m)} \\[6pt] x^{(-n)} & = \frac{\Gamma(x-n)}{\Gamma(x)} = \frac{(x-n-1)!}{(x-1)!} = \frac{1}{(x-n)^{(n)}} = \frac{1}{(x-1)_n} = \frac{1}{(x-1)(x-2) \cdots (x-n)} = \frac{1}{n! \binom{x-1}{n}} = (-n)! \binom{x-n-1}{-n} \\[6pt] (x)_{-n} & = \frac{\Gamma(x+1)}{\Gamma(x+n-1)} = \frac{x!}{(x+n)!} = \frac{1}{(x+n)_n} = \frac{1}{(x+1)^{(n)}} = \frac{1}{(x+1)(x+2) \cdots (x+n)} = \frac{1}{(-n)! \binom{x+n}{-n}} = (-n)! \binom{x}{-n}. \end{align} $$ अंत में, घटते और बढ़ते फैक्टोरियल के लिए दोहराव सूत्र और गुणन सूत्र अगले संबंध प्रदान करते हैं: $$ \begin{align} (x)_{k+mn} &= x^{(k)} m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x-k-j}{m}\right)_{n}\,,& \text{for } m &\in \mathbb{N} \\[6pt] x^{(k+mn)} &= x^{(k)} m^{mn} \prod_{j=0}^{m-1} \left(\frac{x+k+j}{m}\right)^{(n)},& \text{for } m &\in \mathbb{N} \\[6pt] (ax+b)^{(n)} &= x^n \prod_{j=0}^{n-1} \left(a+\frac{b+j}{x}\right),& \text{for } x &\in \mathbb{Z}^+ \\[6pt] (2x)^{(2n)} &= 2^{2n} x^{(n)} \left(x+\frac{1}{2}\right)^{(n)}. \end{align}$$

वैकल्पिक संकेतन
बढ़ते फैक्टोरियल के लिए वैकल्पिक संकेतन $$ x^\overline{m} \equiv (x)_{+m} \equiv (x)_m = \overbrace{x(x+1)\ldots(x+m-1)}^{m \text{ factors}} \quad \text{for integer } m\ge0 $$ और अवरोही फैक्टोरियल के लिए $$ x^\underline{m} \equiv (x)_{-m} = \overbrace{x(x-1)\ldots(x-m+1)}^{m \text{ factors}} \quad \text{for integer } m \ge 0$$ क्रमशः ए. कैपेली (1893) और एल. टोस्कानो (1939) तक जाता है। ग्रैहम, क्नुथ, एंड पाताशनिक इन भावों को इस प्रकार उच्चारित $x$ करने का प्रस्ताव करें $m$ बढ़ रहा है और $x$ तक $m$ क्रमशः अवरोही है।

अवरोही फैक्टोरियल के लिए अन्य संकेतन में $Δ (x)n = n (x)n−1$, $d⁄d x xn = n xn−1$, ${ n k }$, $P(x,n)$, या $xPn$ सम्मिलित हैं (क्रमपरिवर्तन और संयोजन देखें।)

बढ़ते फैक्टोरियल के लिए वैकल्पिक संकेतन $Px,n$ कम समानीय $Pnx$ है. जब $xPn$ का उपयोग बढ़ते फैक्टोरियल, $x(n)$ अंकन को दर्शाने के लिए किया जाता है सामान्यतः सामान्य अवरोही वाले फैक्टोरियल के लिए उपयोग किया जाता है।

सामान्यीकरण
पोचहैमर प्रतीक का सामान्यीकृत संस्करण है जिसे सामान्यीकृत पोचहैमर प्रतीक कहा जाता है, जिसका उपयोग बहुभिन्नरूपी गणितीय विश्लेषण में किया जाता है।

अवरोही फैक्टोरियल का सामान्यीकरण जिसमें पूर्णांकों के अवरोही अंकगणितीय अनुक्रम पर फलन का मूल्यांकन किया जाता है और मानों को गुणा किया जाता है: $$ \bigl[f(x)\bigr]^{k/-h}=f(x)\cdot f(x-h)\cdot f(x-2h)\cdots f\bigl(x-(k-1)h\bigr),$$ जहाँ $(x)+ n$ वेतन वृद्धि है और $(x)+ n$ कारकों की संख्या है. बढ़ते फैक्टोरियल का संगत सामान्यीकरण है $$ \bigl[f(x)\bigr]^{k/h}=f(x)\cdot f(x+h)\cdot f(x+2h)\cdots f\bigl(x+(k-1)h\bigr).$$ यह अंकन बढ़ते और अवरोही फैक्टोरियल को एकीकृत करता है, जो क्रमश $(x)&minus; n$ और $&minus;h$ हैं।

किसी भी निश्चित अंकगणितीय फलन $$f: \mathbb{N} \rarr \mathbb{C}$$ के लिए और प्रतीकात्मक मापदंड $x$, $t$, प्रपत्र के संबंधित सामान्यीकृत तथ्यात्मक उत्पाद है

$$ (x)_{n,f,t} := \prod_{k=0}^{n-1} \left(x+\frac{f(k)}{t^k}\right)$$ पॉवर्स के निम्नलिखित गुणांक द्वारा परिभाषित पहली तरह की सामान्यीकृत स्टर्लिंग संख्याओं के वर्गों के दृष्टिकोण से अध्ययन किया जा सकता है $x$ के विस्तार में $k$ और फिर अगले संगत त्रिकोणीय पुनरावृत्ति संबंध द्वारा:

$$ \begin{align} \left[\begin{matrix} n \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} & = \left[x^{k-1}\right] (x)_{n,f,t} \\ & = f(n-1) t^{1-n} \left[\begin{matrix} n-1 \\ k \end{matrix} \right]_{f,t} + \left[\begin{matrix} n-1 \\ k-1 \end{matrix} \right]_{f,t} + \delta_{n,0} \delta_{k,0}. \end{align} $$ ये गुणांक पहली तरह की स्टर्लिंग संख्याओं के साथ-साथ पुनरावृत्ति संबंधों और कार्यात्मक समीकरणों से संबंधित कई $f$-हार्मोनिक संख्याएं के अनुरूप गुणों को संतुष्ट करते हैं।, $$ F_n^{(r)}(t) := \sum_{k \leq n} \frac{ t^k }{ f(k)^r }\,.$$ एक सममित सामान्यीकरण को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है $$ x^\underline\overline{m} \equiv \frac{x^\overline{m} x^\underline{m}}{x} = x^{\overline{m} + \underline{m} - 1}.$$

यह भी देखें

 * पोन्चाम्मर $k$-प्रतीक
 * वैंडरमोंडे की पहचान

बाहरी संबंध

 * — Elementary proofs
 * — Elementary proofs