एडियाबेटिक प्रमेय

एडियाबेटिक प्रमेय क्वांटम यांत्रिकी में एक अवधारणा है। मैक्स बोर्न और व्लादिमीर फॉक (1928) के कारण इसका मूल रूप इस प्रकार बताया गया था:
 * एक भौतिक प्रणाली अपनी तात्कालिक आइजेन अवस्था में बनी रहती है यदि एक दिया गया पिर्तुर्बशन सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) उस पर धीरे-धीरे पर्याप्त रूप से कार्य कर रहा है और यदि आइजेनवैल्यू और हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के स्पेक्ट्रम के शेष भागों के बीच एक अंतर है।

सरल शब्दों में, एक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली धीरे-धीरे बदलती बाहरी परिस्थितियों के अधीन अपने कार्यात्मक रूप को अपनाता है, किन्तु जब तेजी से बदलती परिस्थितियों के अधीन होता है तो कार्यात्मक रूप को अनुकूलित करने के लिए अपर्याप्त समय होता है, इसलिए स्थानिक संभाव्यता घनत्व अपरिवर्तित रहता है।

डायबेटिक विरुद्ध ऐडियाबैटिक प्रक्रियाएं
किसी प्रारंभिक समय में $$t_0$$ क्वांटम-यांत्रिक प्रणाली में हैमिल्टनियन $$\hat{H}(t_0)$$ द्वारा दी गई ऊर्जा होती है; प्रणाली $$\hat{H}(t_0)$$ लेबल वाले $$\psi(x,t_0)$$ के आइजनस्टेट में है। बदलती स्थितियां हैमिल्टनियन को निरंतर विधि से संशोधित करती हैं, जिसके परिणामस्वरूप कुछ समय बाद $$t_1$$ पर अंतिम हैमिल्टनियन $$\hat{H}(t_1)$$ होता है। अंतिम स्थिति $$\psi(x,t_1)$$ तक पहुंचने के लिए प्रणाली समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण के अनुसार विकसित होगा। एडियाबेटिक प्रमेय कहता है कि प्रणाली में संशोधन समय $$\tau = t_1 - t_0$$ पर गंभीर रूप से निर्भर करता है जिस समय संशोधन होता है।

वास्तव में ऐडियाबैटिक प्रक्रिया के लिए हमें $$\tau \to \infty$$ की आवश्यकता होती है; इस स्थिति में अंतिम स्थिति $$\psi(x,t_1)$$ एक संशोधित कॉन्फ़िगरेशन के साथ अंतिम हैमिल्टनियन $$\hat{H}(t_1) $$ का एक आइजेन अवस्था होगा,


 * $$|\psi(x,t_1)|^2 \neq |\psi(x,t_0)|^2 .$$

जिस सीमा तक दिया गया परिवर्तन एक ऐडियाबैटिक प्रक्रिया का अनुमान लगाता है, वह दोनों के बीच $$\psi(x,t_0)$$ ऊर्जा पृथक्करण पर निर्भर करता है और समय-स्वतंत्र हैमिल्टनियन, $$\tau_{int} = 2\pi\hbar/E_0$$ के लिए $$\psi(x,t_0)$$ के विकास के विशिष्ट समय-पैमाने पर अंतराल $$\tau$$ का अनुपात, जहां $$E_0$$, $$\psi(x,t_0)$$ की ऊर्जा है

इसके विपरीत, सीमा में $$\tau \to 0$$ हमारे पास असीम रूप से तेज़, या डायबेटिक मार्ग है; अवस्था का विन्यास अपरिवर्तित रहता है:


 * $$|\psi(x,t_1)|^2 = |\psi(x,t_0)|^2 .$$

ऊपर दी गई बोर्न एंड फॉक की मूल परिभाषा में सम्मिलित तथाकथित अंतराल की स्थिति एक आवश्यकता को संदर्भित करती है जो एक ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम $$\hat{H}$$ असतत गणित और पतित ऊर्जा स्तर है, जैसे कि अवस्थाओं (कोई भी आसानी से स्थापित कर सकता है कि $$\hat{H}(t_1)$$ का कौन सा आइजेन अवस्था $$\psi(t_0)$$ से मेल खाती है) के क्रम में कोई अस्पष्टता नहीं है। 1999 में जे.ई. एव्रोन और ए. एल्गार्ट ने ऐडियाबैटिक प्रमेय को बिना किसी अंतराल के स्थितियों के अनुकूल बनाने के लिए इसे फिर से तैयार किया गया था।

ऊष्मप्रवैगिकी में ऐडियाबैटिक अवधारणा के साथ तुलना
ऐडियाबैटिक शब्द पारंपरिक रूप से ऊष्मप्रवैगिकी में प्रणाली और पर्यावरण (एडियाबेटिक प्रक्रिया देखें) के बीच ऊष्मा के आदान-प्रदान के बिना प्रक्रियाओं का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है, अधिक स्पष्ट रूप से ये प्रक्रियाएँ सामान्यतः ऊष्मा विनिमय के समय से अधिक तेज़ होती हैं। (उदाहरण के लिए, एक दबाव तरंग ऊष्मा की लहर के संबंध में ऐडियाबैटिक है, जो ऐडियाबैटिक नहीं है।) ऊष्मप्रवैगिकी के संदर्भ में ऐडियाबैटिक अधिकांश तेज प्रक्रिया के लिए एक पर्याय के रूप में प्रयोग किया जाता है।

पारंपरिक यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी परिभाषा एक अर्धस्थैतिक प्रक्रिया की ऊष्मप्रवैगिकी अवधारणा के अतिरिक्त निकट है, जो ऐसी प्रक्रियाएं हैं जो लगभग सदैव संतुलन में होती हैं (अर्थात् जो आंतरिक ऊर्जा विनिमय इंटरैक्शन समय के पैमाने की तुलना में धीमी हैं, अर्थात् "सामान्य" वायुमंडलीय ताप तरंग अर्ध-स्थैतिक है और एक दबाव तरंग नहीं है)। यांत्रिकी के संदर्भ में एडियाबेटिक को अधिकांश धीमी प्रक्रिया के पर्याय के रूप में प्रयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए क्वांटम दुनिया में एडियाबेटिक का अर्थ है कि इलेक्ट्रॉनों और फोटॉन की बातचीत का समय स्तर इलेक्ट्रॉनों और फोटॉन प्रसार के औसत समय के पैमाने के संबंध में बहुत तेज या लगभग तात्कालिक है। इसलिए, हम इलेक्ट्रॉनों और फोटॉनों के निरंतर प्रसार के एक टुकड़े के रूप में बातचीत को मॉडल कर सकते हैं (अर्थात् संतुलन पर अवस्था) प्लस अवस्थाओं के बीच एक क्वांटम कूद (अर्थात् तात्कालिक)।

इस अनुमानी संदर्भ में एडियाबेटिक प्रमेय अनिवार्य रूप से बताता है कि क्वांटम जम्प को प्राथमिकता से टाला जाता है और प्रणाली अवस्था और क्वांटम संख्याओं को संरक्षित करने की प्रयास करता है।

एडियाबेटिक की क्वांटम मैकेनिकल अवधारणा स्थिरोष्म अपरिवर्तनीय से संबंधित है, यह अधिकांश पुराने क्वांटम सिद्धांत में प्रयोग किया जाता है और ऊष्मा विनिमय के साथ इसका कोई सीधा संबंध नहीं है।

सरल लोलक
एक उदाहरण के रूप में, एक लंबवत विमान में दोलन करने वाले लोलक पर विचार करें। यदि समर्थन को स्थानांतरित किया जाता है, तो लोलक के दोलन का विधि बदल जाएगा। यदि समर्थन पर्याप्त रूप से धीरे-धीरे चलता है, तो समर्थन के सापेक्ष लोलक की गति अपरिवर्तित रहेगी। बाहरी परिस्थितियों में क्रमिक परिवर्तन प्रणाली को अनुकूल बनाने की अनुमति देता है, जैसे कि यह अपने प्रारंभिक स्वरूप को बनाए रखता है। विस्तृत पारंपरिक उदाहरण एडियाबेटिक अपरिवर्तनीय पारंपरिक मैकेनिक्स - एक्शन वेरिएबल्स पेज और यहां पर उपलब्ध है।

क्वांटम हार्मोनिक दोलक
एक लोलक की पारंपरिक भौतिकी प्रकृति में ऐडियाबैटिक प्रमेय के प्रभावों का पूर्ण विवरण सम्मिलित नहीं है। एक और उदाहरण के रूप में एक क्वांटम हार्मोनिक दोलक पर विचार करें क्योंकि स्प्रिंग स्थिरांक $$k$$ बढ़ जाती है। पारंपरिक रूप से यह स्प्रिंग की कठोरता को बढ़ाने के बराबर है; क्वांटम-यंत्रवत् प्रभाव प्रणाली हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) में संभावित ऊर्जा वक्र का संकुचन है।

यदि $$k$$ को ऐडियाबैटिक रूप से $\left(\frac{dk}{dt} \to 0\right)$ तक बढ़ाया जाता है तो $$t$$ समय पर वर्तमान हैमिल्टनियन का $$\hat{H}(t)$$ के तात्कालिक आइगेन अवस्था $$\psi(t)$$ में होगा, जो $$\hat{H}(0)$$ के प्रारंभिक ईजेनस्टेट के अनुरूप होगा। एक क्वांटम संख्या द्वारा वर्णित क्वांटम हार्मोनिक दोलक जैसी प्रणाली के विशेष स्थिति के लिए, इसका अर्थ है कि क्वांटम संख्या अपरिवर्तित रहेगी। चित्र 1 दिखाता है कि कैसे एक हार्मोनिक दोलक, प्रारंभ में अपनी जमीनी अवस्था में, $$n = 0$$, जमीनी अवस्था में रहता है क्योंकि संभावित ऊर्जा वक्र धीरे-धीरे बदलती परिस्थितियों के अनुकूल अवस्था के कार्यात्मक रूप को संकुचित करता है।

तेजी से बढ़े हुए स्प्रिंग स्थिरांक के लिए, प्रणाली एक डायबेटिक प्रक्रिया $\left(\frac{dk}{dt} \to \infty\right)$ से निकलती है जिसमें प्रणाली के पास अपने कार्यात्मक रूप को बदलती परिस्थितियों के अनुकूल बनाने का समय नहीं है। जबकि अंतिम अवस्था को प्रारंभिक अवस्था $$\left(|\psi(t)|^2 = |\psi(0)|^2\right)$$ के समान दिखनी चाहिए लुप्त होते समय अवधि में होने वाली प्रक्रिया के लिए, नए हैमिल्टनियन का कोई आइजेन अवस्था नहीं है, $$\hat{H}(t)$$, जो प्रारंभिक अवस्था जैसा दिखता है। अंतिम अवस्था के कई अलग-अलग आइजेन अवस्था अवस्थाओं के एक रैखिक सुपरपोजिशन से बना है $$\hat{H}(t)$$ जो प्रारंभिक अवस्था के रूप को पुन: प्रस्तुत करने का योग है।

वक्र क्रॉसिंग से बचा
अधिक व्यापक रूप से लागू उदाहरण के लिए, बाहरी चुंबकीय क्षेत्र के अधीन 2-ऊर्जा स्तर के परमाणु पर विचार करें। अवस्थाओं, लेबल किया गया $$|1\rangle$$ और $$|2\rangle$$ ब्रा-केट संकेतन का उपयोग करते हुए, परमाणु अज़ीमुथल क्वांटम संख्या के रूप में सोचा जा सकता है | कोणीय-संवेग अवस्थाएँ, प्रत्येक एक विशेष ज्यामिति के साथ। जिन कारणों से यह स्पष्ट हो जाएगा कि इन अवस्थाओं को अब से डायबिटिक अवस्थाओं के रूप में संदर्भित किया जाएगा। प्रणाली वेवफंक्शन को डायबिटिक अवस्थाओं के एक रैखिक संयोजन के रूप में दर्शाया जा सकता है:


 * $$|\Psi\rangle = c_1(t)|1\rangle + c_2(t)|2\rangle.$$

अनुपस्थित क्षेत्र के साथ, डायबिटिक अवस्थाओं का ऊर्जावान पृथक्करण बराबर है $$\hbar\omega_0$$; अवस्था की ऊर्जा $$|1\rangle$$ बढ़ते चुंबकीय क्षेत्र (एक निम्न-क्षेत्र-खोज अवस्था) के साथ बढ़ता है, जबकि अवस्था की ऊर्जा $$|2\rangle$$ बढ़ते चुंबकीय क्षेत्र के साथ घटता है (एक उच्च क्षेत्र की मांग वाला अवस्था)। चुंबकीय-क्षेत्र की निर्भरता को रैखिक मानते हुए, लागू क्षेत्र के साथ प्रणाली के लिए हैमिल्टनियन मैट्रिक्स लिखा जा सकता है


 * $$\mathbf{H} = \begin{pmatrix}

\mu B(t)-\hbar\omega_0/2 & a \\ a^* & \hbar\omega_0/2-\mu B(t) \end{pmatrix}$$ जहाँ $$\mu$$ परमाणु का चुंबकीय क्षण है, जिसे दो डायबेटिक अवस्थाओं के लिए समान माना जाता है, और $$a$$ दो अवस्थाओं के बीच कुछ समय-स्वतंत्र कोणीय गति युग्मन है। विकर्ण तत्व डायबिटिक अवस्थाओं ($$E_1(t)$$ और $$E_2(t)$$) की ऊर्जा हैं, चूंकि, $$\mathbf{H}$$ एक विकर्ण मैट्रिक्स नहीं है, यह स्पष्ट है कि ये अवस्था नए हैमिल्टनियन के आइजेन अवस्था नहीं हैं जिसमें चुंबकीय क्षेत्र का योगदान सम्मिलित है।

मैट्रिक्स के आइजेनवैक्टर $$\mathbf{H}$$ प्रणाली के आइजेन अवस्था हैं, जिन्हें हम लेबल करेंगे $$|\phi_1(t)\rangle$$ और $$|\phi_2(t)\rangle$$इसी आइजनवैल्यूज ​​​​के साथ $$\begin{align} \varepsilon_1(t) &= -\frac{1}{2}\sqrt{4a^2 + (\hbar\omega_0 - 2\mu B(t))^2} \\[4pt] \varepsilon_2(t) &= +\frac{1}{2}\sqrt{4a^2 + (\hbar\omega_0 - 2\mu B(t))^2}. \end{align}$$ यह जानना महत्वपूर्ण है कि आइजनवैल्यूज $$\varepsilon_1(t)$$ और $$\varepsilon_2(t)$$ प्रणाली ऊर्जा के किसी भी व्यक्तिगत माप के लिए केवल अनुमत आउटपुट हैं, जबकि डायबेटिक ऊर्जा $$E_1(t)$$ और $$E_2(t)$$ डायबिटिक अवस्थाओं $$|1\rangle$$ और $$|2\rangle$$ में प्रणाली की ऊर्जा के लिए अपेक्षित मानों के अनुरूप हैं।

चित्र 2 चुंबकीय क्षेत्र के मान पर डायबेटिक और एडियाबेटिक ऊर्जा की निर्भरता को दर्शाता है; ध्यान दें कि गैर-शून्य युग्मन के लिए हैमिल्टन के आइजनवैल्यूs ​​​​डीजेनरेट ऊर्जा स्तर नहीं हो सकते हैं, और इस प्रकार हमारे पास क्रॉसिंग से बचा जाता है। यदि कोई परमाणु प्रारंभ में अवस्था में है $$|\phi_2(t_0)\rangle$$ शून्य चुंबकीय क्षेत्र में (लाल वक्र पर, सबसे बाईं ओर), चुंबकीय क्षेत्र में ऐडियाबैटिक वृद्धि $\left(\frac{dB}{dt} \to 0\right)$ यह सुनिश्चित करेगा कि प्रणाली हैमिल्टनियन के एक देश में बना रहे $$|\phi_2(t)\rangle$$ पूरी प्रक्रिया के समय (लाल वक्र का अनुसरण करता है)। चुंबकीय क्षेत्र में डायबेटिक वृद्धि $\left(\frac{dB}{dt}\to \infty\right)$  यह सुनिश्चित करेगा कि प्रणाली डायबेटिक पथ (बिंदीदार नीली रेखा) का अनुसरण करता है, जैसे कि प्रणाली अवस्था $$|\phi_1(t_1)\rangle$$ में संक्रमण से गुजरता है। परिमित चुंबकीय क्षेत्र के लिए कई दरें $\left(0 < \frac{dB}{dt} < \infty\right)$  दोनों में से किसी एक में प्रणाली को खोजने की एक सीमित संभावना होगी। इन संभावनाओं की गणना करने के तरीकों के लिए ऐडियाबैटिक मार्ग संभावनाओं की गणना करना देखें।

परमाणुओं या अणुओं की आबादी में ऊर्जा-अवस्था वितरण के नियंत्रण के लिए परमाणु भौतिकी और आणविक भौतिकी में ये परिणाम अत्यंत महत्वपूर्ण हैं।

गणितीय कथन
धीरे-धीरे बदलते हैमिल्टनियन के तहत $$H(t)$$ तात्कालिक eigenstates के साथ $$| n(t) \rangle$$ और इसी ऊर्जा $$E_n(t)$$, एक क्वांटम प्रणाली प्रारंभिक अवस्था से विकसित होती है $$| \psi(0) \rangle = \sum_n c_n(0) | n(0) \rangle$$ अंतिम अवस्था तक $$| \psi(t) \rangle = \sum_n c_n(t) | n(t) \rangle ,$$ जहां गुणांक वेरिएबलण के परिवर्तन से निकलते हैं $$c_n(t) = c_n(0) e^{i \theta_n(t)} e^{i \gamma_n(t)}$$ गतिशील वेरिएबलण के साथ $$\theta_m(t) = \frac{-1}{\hbar} \int_0^t E_m(t') dt'$$ और ज्यामितीय वेरिएबलण $$\gamma_m(t) = i \int_0^t \langle m(t') | \dot{m}(t') \rangle dt' .$$ विशेष रूप से, $$|c_n(t)|^2 = |c_n(0)|^2$$, इसलिए यदि प्रणाली $$H(0)$$ की आइजेन अवस्था अवस्था में प्रारंभ होता है, तो यह विकास के समय केवल वेरिएबलण के परिवर्तन के साथ $$H(t)$$ के ईजेनस्टेट में रहता है।

प्रमाण

 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"

!आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी में सकुराई This proof is partly inspired by one given by Sakurai in Modern Quantum Mechanics. The instantaneous eigenstates $$| n(t) \rangle$$ and energies $$E_n(t)$$, by assumption, satisfy the time-independent Schrödinger equation $$H(t) | n(t) \rangle = E_n(t) | n(t) \rangle$$ at all times $$t$$. Thus, they constitute a basis that can be used to expand the state $$| \psi(t) \rangle = \sum_n c_n(t) | n(t) \rangle$$ at any time $$t$$. The evolution of the system is governed by the time-dependent Schrödinger equation $$i \hbar |\dot{\psi}(t) \rangle = H(t) | \psi(t) \rangle,$$ where $$\dot{} = d / dt$$ (see ). Insert the expansion of $$| \psi(t) \rangle$$, use $$H(t) | n(t) \rangle = E_n(t) | n(t) \rangle$$, differentiate with the product rule, take the inner product with $$| m(t) \rangle$$ and use orthonormality of the eigenstates to obtain $$i \hbar \dot{c}_m(t) + i \hbar \sum_n c_n(t) \langle m(t) | \dot{n}(t) \rangle = c_m(t) E_m(t) .$$

This coupled first-order differential equation is exact and expresses the time-evolution of the coefficients in terms of inner products $$\langle m(t) | \dot{n} (t) \rangle$$ between the eigenstates and the time-differentiated eigenstates. But it is possible to re-express the inner products for $$m \neq n$$ in terms of matrix elements of the time-differentiated Hamiltonian $$\dot{H}(t)$$. To do so, differentiate both sides of the time-independent Schrödinger equation with respect to time using the product rule to get $$\dot{H}(t)|n(t)\rangle + H(t)|\dot{n}(t)\rangle = \dot{E}_n(t) |n(t)\rangle + E_n(t) |\dot{n}(t)\rangle .$$

Again take the inner product with $$| m(t) \rangle$$ and use $$\langle m(t) | H(t) = E_m(t) \langle m(t) |$$ and orthonormality to find $$\langle m(t) | \dot{n}(t) \rangle = - \frac{\langle m(t) | \dot{H}(t) | n(t) \rangle}{E_m(t) - E_n(t)} \qquad (m \neq n).$$

Insert this into the differential equation for the coefficients to obtain $$\dot{c}_m(t) + \left(\frac{i}{\hbar} E_m(t) + \langle m(t) | \dot{m}(t) \rangle \right) c_m(t) = \sum_{n \neq m} \frac{\langle m(t) | \dot{H} | n(t) \rangle}{E_m(t) - E_n(t)} c_n(t).$$

This differential equation describes the time-evolution of the coefficients, but now in terms of matrix elements of $$\dot{H}(t)$$. To arrive at the adiabatic theorem, neglect the right hand side. This is valid if the rate of change of the Hamiltonian $$\dot{H}(t)$$ is small and there is a finite gap $$E_m(t) - E_n(t) \neq 0$$ between the energies. This is known as the adiabatic approximation. Under the adiabatic approximation, $$\dot{c}_m(t) = i \left(-\frac{E_m(t)}{\hbar} + i \langle m(t) | \dot{m}(t) \rangle \right) c_m(t)$$ which integrates precisely to the adiabatic theorem $$c_m(t) = c_m(0) e^{i \theta_m(t)} e^{i \gamma_m(t)}$$ with the phases defined in the statement of the theorem.

The dynamical phase $$\theta_m(t)$$ is real because it involves an integral over a real energy. To see that the geometric phase $$\gamma_m(t)$$ is purely imaginary, differentiate the normalization $$\langle m(t) | m(t) \rangle = 1$$ of the eigenstates and use the product rule to find that

$$0 = \frac{d}{dt} \Bigl ( \langle m(t) | m(t) \rangle \Bigr ) = \langle \dot{m}(t) | m(t) \rangle + \langle m(t)) | \dot{m}(t) \rangle = \langle m(t)) | \dot{m}(t) \rangle^* + \langle m(t)) | \dot{m}(t) \rangle = 2 \, \operatorname{Re} \Bigl ( \langle m(t)) | \dot{m}(t) \rangle \Bigr ) . $$

Thus, $$\langle m(t)) | \dot{m}(t) \rangle $$ is purely imaginary, so the geometric phase $$\gamma_m(t) $$ is purely real.
 * }
 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"

!एडियाबेटिक सन्निकटन

Proof with the details of the adiabatic approximation We are going to formulate the statement of the theorem as follows:


 * For a slowly varying Hamiltonian $$\hat{H}$$ in the time range T the solution of the schroedinger equation $$\Psi(t)$$ with initial conditions $$\Psi(0) = \psi_{n}(0)$$
 * where $$\psi_{n}(t)$$ is the eigenvector of the instantaneous Schroedinger equation $$\hat{H}(t)\psi_{n}(t)=E_{n}(t)\psi_{n}(t)$$ can be approximated as: $$\left\| {\Psi(t)-\psi_\text{adiabatic}(t)} \right\| \approx O(\frac{1}{T})$$ where the adiabatic approximation is: $$ |\psi_\text{adiabatic}(t)\rangle = e^{i\theta_{n}(t)}e^{i\gamma_{n}(t)}|\psi_n(t)\rangle$$ and $$\theta_{n}(t) = - \frac{1}{\hbar} \int_{0}^{t}E_{n}(t') dt'$$ $$\gamma_{n}(t) = \int_{0}^{t}\nu_{n}(t')dt'$$ also called Berry phase $$\nu_{n}(t) = i \langle\psi_{n}(t) | \dot{\psi}_{n}(t)\rangle$$

And now we are going to prove the theorem.

Consider the time-dependent Schrödinger equation $$i \hbar{\partial \over \partial t} |\psi(t)\rangle = \hat{H}(\tfrac{t}{T}) |\psi(t)\rangle$$ with Hamiltonian $$\hat{H}(t).$$ We would like to know the relation between an initial state $$|\psi(0)\rangle$$ and its final state $$|\psi(T)\rangle$$ at $$t = T$$ in the adiabatic limit $$T \to \infty.$$

First redefine time as $$\lambda = \tfrac{t}{T} \in [0,1]$$: $$i \hbar{\partial \over \partial \lambda} |\psi(\lambda)\rangle = T \hat{H}(\lambda) |\psi(\lambda)\rangle.$$ At every point in time $$\hat{H}(\lambda)$$ can be diagonalized $$\hat H(\lambda)|\psi_n(\lambda)\rangle = E_n(\lambda)|\psi_n(\lambda)\rangle$$ with आइजनवैल्यूs $$E_n$$ and eigenvectors $$|\psi_n(\lambda)\rangle$$. Since the eigenvectors form a complete basis at any time we can expand $$|\psi(\lambda)\rangle$$ as: $$ |\psi(\lambda)\rangle = \sum_n c_n(\lambda)|\psi_n(\lambda)\rangle e^{iT\theta_n(\lambda)},$$ where $$\theta_n(\lambda) = -\frac{1}{\hbar}\int_0^\lambda E_n(\lambda')d\lambda'.$$ The phase $$\theta_n(t)$$ is called the dynamic phase factor. By substitution into the Schrödinger equation, another equation for the variation of the coefficients can be obtained: $$i \hbar \sum_n (\dot{c}_n|\psi_n\rangle + c_n|\dot{\psi}_n\rangle + i c_n|\psi_n\rangle T\dot{\theta}_n)e^{iT\theta_n} = \sum_n c_n T E_n|\psi_n\rangle e^{iT\theta_n}.$$ The term $$\dot{\theta}_n$$ gives $$-E_n/\hbar$$, and so the third term of left side cancels out with the right side, leaving $$\sum_n \dot{c}_n|\psi_n\rangle e^{iT\theta_n} = -\sum_n c_n|\dot{\psi}_n\rangle e^{iT\theta_n}.$$

Now taking the inner product with an arbitrary eigenfunction $$\langle\psi_m|$$, the $$\langle\psi_m|\psi_n\rangle$$ on the left gives $$\delta_{nm}$$, which is 1 only for m = n and otherwise vanishes. The remaining part gives $$\dot{c}_m = -\sum_n c_n\langle\psi_m|\dot{\psi}_n\rangle e^{iT(\theta_n-\theta_m)}.$$

For $$T \to \infty$$ the $$e^{iT(\theta_n-\theta_m)}$$ will oscillate faster and faster and intuitively will eventually suppress nearly all terms on the right side. The only exceptions are when $$\theta_n-\theta_m$$ has a critical point, i.e. $$E_n(\lambda) = E_m(\lambda)$$. This is trivially true for $$m = n$$. Since the adiabatic theorem assumes a gap between the eigenenergies at any time this cannot hold for $$m \neq n$$. Therefore, only the $$m = n$$ term will remain in the limit $$T \to \infty$$.

In order to show this more rigorously we first need to remove the $$m = n$$ term. This can be done by defining $$d_m(\lambda) = c_m(\lambda) e^{\int_0^\lambda\langle\psi_m|\dot{\psi}_m\rangle d\lambda} = c_m(\lambda) e^{-i\gamma_m(\lambda)}.$$

We obtain: $$\dot{d}_m = -\sum_{n\neq m} d_n\langle\psi_m|\dot{\psi}_n\rangle e^{iT(\theta_n-\theta_m)-i(\gamma_m-\gamma_n)}.$$ This equation can be integrated: $$\begin{align} d_m(1)-d_m(0) &= -\int_0^1 \sum_{n\neq m} d_n\langle\psi_m|\dot{\psi}_n\rangle e^{iT(\theta_n-\theta_m)-i(\gamma_m-\gamma_n)} d\lambda\\ &= -\int_0^1 \sum_{n\neq m} (d_n-d_n(0))\langle\psi_m|\dot{\psi}_n\rangle e^{iT(\theta_n-\theta_m)-i(\gamma_m-\gamma_n)} d\lambda - \int_0^1 \sum_{n\neq m} d_n(0)\langle\psi_m|\dot{\psi}_n\rangle e^{iT(\theta_n-\theta_m)-i(\gamma_m-\gamma_n)}d\lambda \end{align}$$ or written in vector notation $$\vec{d}(1)-\vec{d}(0) = -\int_0^1 \hat{A}(T, \lambda) (\vec{d}(\lambda)-\vec{d}(0)) d\lambda - \vec{\alpha}(T).$$ Here $$\hat{A}(T, \lambda)$$ is a matrix and $$\alpha_m(T) = \int_0^1 \sum_{n\neq m} d_n(0)\langle\psi_m|\dot{\psi}_n\rangle e^{iT(\theta_n-\theta_m)- i(\gamma_m-\gamma_n)}d\lambda$$ is basically a Fourier transform. It follows from the Riemann-Lebesgue lemma that $$\vec{\alpha}(T) \to 0 $$ as $$T \to \infty$$. As last step take the norm on both sides of the above equation: $$\Vert\vec{d}(1)- \vec{d}(0)\Vert \leq \Vert\vec{\alpha}(T)\Vert + \int_0^1 \Vert\hat{A}(T, \lambda)\Vert \Vert\vec{d}(\lambda)-\vec{d}(0)\Vert d\lambda$$ and apply Grönwall's inequality to obtain $$\Vert\vec{d}(1)-\vec{d}(0)\Vert \leq \Vert\vec{\alpha}(T)\Vert e^{\int_0^1 \Vert\hat{A}(T, \lambda)\Vert d\lambda}.$$ Since $$\vec{\alpha}(T) \to 0$$ it follows $$\Vert\vec{d}(1)-\vec{d}(0)\Vert \to 0$$ for $$T \to \infty$$. This concludes the proof of the adiabatic theorem.

In the adiabatic limit the eigenstates of the Hamiltonian evolve independently of each other. If the system is prepared in an eigenstate $$|\psi(0)\rangle = |\psi_n(0)\rangle$$ its time evolution is given by: $$|\psi(\lambda)\rangle = |\psi_n(\lambda)\rangle e^{iT\theta_n(\lambda)}e^{i \gamma_n(\lambda)}.$$

So, for an adiabatic process, a system starting from nth eigenstate also remains in that nth eigenstate like it does for the time-independent processes, only picking up a couple of phase factors. The new phase factor $$\gamma_n(t)$$ can be canceled out by an appropriate choice of gauge for the eigenfunctions. However, if the adiabatic evolution is cyclic, then $$\gamma_n(t)$$ becomes a gauge-invariant physical quantity, known as the Berry phase.
 * }
 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"

!पैरामीटर स्पेस में सामान्य प्रमाण

Let's start from a parametric Hamiltonian $$H(\vec{R}(t))$$, where the parameters are slowly varying in time, the definition of slow here is defined essentially by the distance in energy by the eigenstates (through the uncertainty principle, we can define a timescale that shall be always much lower than the time scale considered).

This way we clearly also identify that while slowly varying the eigenstates remains clearly separated in energy (e.g. also when we generalize this to the case of bands as in the TKNN formula the bands shall remain clearly separated). Given they do not intersect the states are ordered and in this sense this is also one of the meanings of the name topological order.

We do have the instantaneous Schrödinger equation: $$H(\vec{R}(t))| \psi_m(t)\rangle = E_m(t)| \psi_m(t)\rangle $$ And instantaneous eigenstates: $$\langle\psi_m(t)|\psi_n(t)\rangle = \delta_{mn}$$ The generic solution: $$\Psi(t) = \sum a_n(t)|\psi_n(t)\rangle$$ plugging in the full Schrödinger equation and multiplying by a generic eigenvector: $$\langle \psi_m(t)|i\hbar\partial_t|\Psi(t)\rangle = \langle \psi_m(t)|H(\vec{R}(t))|\Psi(t)\rangle $$ $$\dot{a}_m + \sum_n\langle \psi_m(t)|\partial_{\vec{R}} |\psi_n(t)\rangle\dot{\vec{R}}a_n = -\frac{i}{\hbar}E_m(t)a_m $$ And if we introduce the adiabatic approximation: $$ | \langle \psi_m(t)|\partial_{\vec{R}} |\psi_n(t)\rangle\dot{\vec{R}}a_n | \ll |a_m|$$ for each $$m\ne n$$ We have $$\dot{a}_m = - \langle \psi_m(t)|\partial_{\vec{R}} |\psi_m(t)\rangle\dot{\vec{R}}a_m -\frac{i}{\hbar}E_m(t)a_m$$ and $$a_m(t) = e^{-\frac{i}{\hbar} \int_{t_0}^t E_m(t')dt'} e^{i\gamma_m(t)}a_m(t_0)$$ where $$\gamma_m(t) = i \int_{t_0}^t \langle \psi_m(t)|\partial_{\vec{R}} |\psi_m(t)\rangle\dot{\vec{R}}dt' = i \int_C \langle \psi_m(\vec{R})|\partial_{\vec{R}} |\psi_m(\vec{R})\rangle d\vec{R} $$ And C is the path in the parameter space,

This is the same as the statement of the theorem but in terms of the coefficients of the total wave function and its initial state.

Now this is slightly more general than the other proofs given we consider a generic set of parameters, and we see that the Berry phase acts as a local geometric quantity in the parameter space. Finally integrals of local geometric quantities can give topological invariants as in the case of the Gauss-Bonnet theorem. In fact if the path C is closed then the Berry phase persists to Gauge transformation and becomes a physical quantity.
 * }

उदाहरण अनुप्रयोग
अधिकांश एक ठोस क्रिस्टल को स्वतंत्र वैलेंस इलेक्ट्रॉनों के एक सेट के रूप में तैयार किया जाता है, जो आयनों की एक कठोर जाली द्वारा उत्पन्न पूरी तरह से आवधिक क्षमता में चलती है। एडियाबेटिक प्रमेय के साथ हम इसके अतिरिक्त बोर्न-ओपेनहाइमर सन्निकटन के रूप में क्रिस्टल में वैलेंस इलेक्ट्रॉनों की गति और आयनों की थर्मल गति को भी सम्मिलित कर सकते हैं।

यह कई परिघटनाओं के सीमा में व्याख्या करता है:
 * ऊष्मप्रवैगिकी: विशिष्ट ऊष्मा, तापीय विस्तार, पिघलने की तापमान निर्भरता
 * परिवहन घटनाएं: विद्युत चालकों की विद्युत प्रतिरोधकता की तापमान निर्भरता, इन्सुलेटर (बिजली) में विद्युत चालकता की तापमान निर्भरता, कम तापमान अतिचालकता के कुछ गुण
 * प्रकाशिकी: आयनिक क्रिस्टल, ब्रिलौइन प्रसार, रमन प्रसार के लिए  अवरक्त में ऑप्टिक अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण)

डायबेटिक बनाम एडियाबेटिक पैसेज के लिए स्थितियां प्राप्त करना
अब हम और अधिक कठोर विश्लेषण करेंगे। ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करते हुए, समय $$t$$ पर प्रणाली के स्टेट वेक्टर को लिखा जा सकता है


 * $$|\psi(t)\rangle = \sum_n c^A_n(t)e^{-iE_nt/\hbar}|\phi_n\rangle ,$$

जहां स्थानिक वेवफंक्शन पहले की ओर संकेत किया गया है, स्थिति ऑपरेटर के आइजेनस्टेट्स पर अवस्था वेक्टर का प्रक्षेपण है


 * $$\psi(x,t) = \langle x|\psi(t)\rangle .$$

सीमित मामलों की जांच करना शिक्षाप्रद है, जिसमें $$\tau$$ बहुत बड़ा (एडियाबेटिक, या क्रमिक परिवर्तन) और बहुत छोटा (डायबिटिक, या अचानक परिवर्तन) है।

एक प्रणाली हैमिल्टनियन पर विचार करें जो प्रारंभिक मूल्य $$\hat{H}_0$$, से समय $$t_0$$, पर अंतिम मूल्य $$\hat{H}_1$$, से समय $$t_1$$पर निरंतर परिवर्तन से गुजर रहा है, जहाँ $$\tau = t_1 - t_0$$ है। प्रणाली के विकास को श्रोडिंगर चित्र में टाइम-इवोल्यूशन ऑपरेटर द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जिसे अभिन्न समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\hat{U}(t,t_0) = 1 - \frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^t\hat{H}(t')\hat{U}(t',t_0)dt' ,$$

जो श्रोडिंगर समीकरण के बराबर है।


 * $$i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\hat{U}(t,t_0) = \hat{H}(t)\hat{U}(t,t_0),$$

साथ ही प्रारंभिक स्थिति $$\hat{U}(t_0,t_0) = 1$$. प्रणाली तरंग क्रिया के ज्ञान को देखते हुए $$t_0$$, बाद के समय तक प्रणाली का विकास $$t$$ का प्रयोग कर प्राप्त किया जा सकता है


 * $$|\psi(t)\rangle = \hat{U}(t,t_0)|\psi(t_0)\rangle.$$

किसी दी गई प्रक्रिया की ऐडियाबैटिकता निर्धारित करने की समस्या $$\tau$$ पर $$\hat{U}(t_1,t_0)$$ की निर्भरता स्थापित करने के बराबर है।

किसी दी गई प्रक्रिया के लिए ऐडियाबैटिक सन्निकटन की वैधता निर्धारित करने के लिए, कोई भी उस स्थिति के अतिरिक्त किसी अन्य अवस्था में प्रणाली को खोजने की संभावना की गणना कर सकता है जिसमें यह प्रारंभ हुआ था। ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करना और परिभाषा $$|0\rangle \equiv |\psi(t_0)\rangle$$ का उपयोग करना, हमारे पास है:


 * $$\zeta = \langle 0|\hat{U}^\dagger(t_1,t_0)\hat{U}(t_1,t_0)|0\rangle - \langle 0|\hat{U}^\dagger(t_1,t_0)|0\rangle\langle 0 | \hat{U}(t_1,t_0) | 0 \rangle.$$

हम $$\hat{U}(t_1,t_0)$$ का विस्तार कर सकते हैं
 * $$\hat{U}(t_1,t_0) = 1 + {1 \over i\hbar} \int_{t_0}^{t_1}\hat{H}(t)dt + {1 \over (i\hbar)^2} \int_{t_0}^{t_1}dt' \int_{t_0}^{t'}dt \hat{H}(t')\hat{H}(t) + \cdots.$$

पर्टुरबेटिव सिद्धांत में हम केवल पहले दो शब्दों को ले सकते हैं और उन्हें $$\zeta$$ के लिए हमारे समीकरण में स्थानापन्न कर सकते हैं, यह पहचानते हुए


 * $${1 \over \tau}\int_{t_0}^{t_1}\hat{H}(t)dt \equiv \bar{H}$$

प्रणाली हैमिल्टनियन है, अंतराल पर औसत $$t_0 \to t_1$$, अपने पास:


 * $$\zeta = \langle 0|(1 + \tfrac{i}{\hbar}\tau\bar{H})(1 - \tfrac{i}{\hbar}\tau\bar{H})|0\rangle - \langle 0|(1 + \tfrac{i}{\hbar}\tau\bar{H})|0\rangle \langle 0|(1 - \tfrac{i}{\hbar}\tau\bar{H})|0\rangle .$$

उत्पादों का विस्तार करने और उपयुक्त रद्दीकरण करने के बाद, हमारे पास ये बचे हैं:


 * $$\zeta = \frac{\tau^2}{\hbar^2}\left(\langle 0|\bar{H}^2|0\rangle - \langle 0|\bar{H}|0\rangle\langle 0|\bar{H}|0\rangle\right) ,$$

दे रही है


 * $$\zeta = \frac{\tau^2\Delta\bar{H}^2}{\hbar^2} ,$$

जहाँ $$\Delta\bar{H}$$ ब्याज के अंतराल पर हैमिल्टनियन औसत प्रणाली का मूल माध्य वर्ग विचलन है।

अचानक सन्निकटन तब मान्य होता है जब $$\zeta \ll 1$$ (जिस अवस्था में प्रणाली को प्रारंभ किया गया है, उसके अतिरिक्त किसी अन्य अवस्था में खोजने की संभावना शून्य के निकट पहुंचती है), इस प्रकार वैधता की स्थिति दी जाती है


 * $$\tau \ll {\hbar \over \Delta\bar{H}} ,$$

जो हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत#ऊर्जा-समय अनिश्चितता सिद्धांत|हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत का समय-ऊर्जा रूप का एक कथन है।

डायबेटिक मार्ग
सीमा में $$\tau \to 0$$ हमारे पास असीम रूप से तेज़, या डायबेटिक मार्ग है:


 * $$\lim_{\tau \to 0}\hat{U}(t_1,t_0) = 1 .$$

प्रणाली का कार्यात्मक रूप अपरिवर्तित रहता है:


 * $$|\langle x|\psi(t_1)\rangle|^2 = \left|\langle x|\psi(t_0)\rangle\right|^2 .$$

इसे कभी-कभी अचानक सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए प्रक्रिया के लिए सन्निकटन की वैधता की संभावना की विशेषता हो सकती है कि प्रणाली की स्थिति अपरिवर्तित बनी हुई है:


 * $$P_D = 1 - \zeta.$$

ऐडियाबैटिक मार्ग
सीमा में $$\tau \to \infty$$ हमारे पास असीम रूप से धीमा, या ऐडियाबैटिक मार्ग है। प्रणाली विकसित होती है, बदलती परिस्थितियों के लिए अपने स्वरूप को अपनाती है,


 * $$|\langle x|\psi(t_1)\rangle|^2 \neq |\langle x|\psi(t_0)\rangle|^2 .$$

यदि प्रणाली प्रारंभ प्रारंभिक रूप से एक अवधि $$\tau$$, के बाद $$\hat{H}(t_0)$$ के ईजेनस्टेट में है तो यह $$\hat{H}(t_1)$$ के संबंधित ईजेनस्टेट में पारित हो जाएगा।

इसे एडियाबेटिक सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। किसी दिए गए प्रक्रिया के लिए सन्निकटन की वैधता इस संभावना से निर्धारित की जा सकती है कि प्रणाली की अंतिम स्थिति प्रारंभिक अवस्था से अलग है:


 * $$P_A = \zeta .$$

लैंडौ-जेनर फॉर्मूला
1932 में ऐडियाबैटिक संक्रमण संभावनाओं की गणना की समस्या का एक विश्लेषणात्मक समाधान लेव लैंडौ और क्लेरेंस जेनर द्वारा अलग से प्रकाशित किया गया था। एक रैखिक रूप से बदलते पर्टुरबेटिव के विशेष स्थिति के लिए जिसमें समय-भिन्न घटक प्रासंगिक अवस्थाओं को जोड़े नहीं करता है (इसलिए डायबेटिक हैमिल्टनियन मैट्रिक्स में युग्मन समय से स्वतंत्र है)।

इस दृष्टिकोण में योग्यता का प्रमुख आंकड़ा लैंडौ-जेनर वेग है: $$v_\text{LZ} = {\frac{\partial}{\partial t}|E_2 - E_1| \over \frac{\partial}{\partial q}|E_2 - E_1|} \approx \frac{dq}{dt} ,$$ जहाँ $$q$$ पर्टुरबेटिव वेरिएबल (विद्युत या चुंबकीय क्षेत्र, आणविक बंधन-लंबाई, या प्रणाली के लिए कोई अन्य पर्टुरबेटिव) है, और $$E_1$$ और $$E_2$$ दो डायबिटिक (क्रॉसिंग) अवस्थाओं की ऊर्जाएँ हैं। एक बड़े $$v_\text{LZ}$$ के परिणामस्वरूप एक बड़ी डायबिटिक संक्रमण संभावना और इसके विपरीत होता है।

लैंडौ-जेनर सूत्र का प्रयोग करके प्रायिकता, $$P_{\rm D}$$, एक डायबेटिक संक्रमण द्वारा दिया जाता है

$$\begin{align} P_{\rm D} &= e^{-2\pi\Gamma}\\ \Gamma &= {a^2/\hbar \over \left|\frac{\partial}{\partial t}(E_2 - E_1)\right|} = {a^2/\hbar \over \left|\frac{dq}{dt}\frac{\partial}{\partial q}(E_2 - E_1)\right|}\\ &= {a^2 \over \hbar|\alpha|}\\ \end{align}$$

संख्यात्मक दृष्टिकोण
डायबिटिक अवस्थाओं के बीच पर्टुरबेटिव वेरिएबल या समय-निर्भर युग्मन में एक गैर-रैखिक परिवर्तन से जुड़े संक्रमण के लिए, प्रणाली डायनेमिक्स के लिए गति के समीकरणों को विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। संख्यात्मक साधारण अंतर समीकरणों की विस्तृत विविधता में से एक का उपयोग करके डायबेटिक संक्रमण की संभावना अभी भी प्राप्त की जा सकती है।

समाधान किए जाने वाले समीकरणों को समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण से प्राप्त किया जा सकता है:

$$i\hbar\dot{\underline{c}}^A(t) = \mathbf{H}_A(t)\underline{c}^A(t) ,$$ जहाँ $$\underline{c}^A(t)$$ ऐडियाबैटिक स्थिति आयाम युक्त एक कॉलम वेक्टर है, $$\mathbf{H}_A(t)$$ समय पर निर्भर ऐडियाबैटिक हैमिल्टनियन है, और ओवरडॉट एक समय व्युत्पन्न का प्रतिनिधित्व करता है।

संक्रमण के बाद अवस्था के आयामों के मूल्यों के साथ उपयोग की जाने वाली प्रारंभिक स्थितियों की तुलना डायबेटिक संक्रमण संभावना प्राप्त कर सकती है। विशेष रूप से, दो-अवस्था प्रणाली के लिए: $$P_D = |c^A_2(t_1)|^2$$ उस प्रणाली के लिए जो $$|c^A_1(t_0)|^2 = 1$$ से प्रारंभ हुई थी।

यह भी देखें

 * लैंडौ-जेनर फॉर्मूला
 * बेरी वेरिएबलण
 * क्वांटम सरऊष्मा, शाफ़्ट, और पंपिंग
 * एडियाबेटिक क्वांटम मोटर
 * जन्म-ओपेनहाइमर सन्निकटन
 * डायबेटिक रोगी
 * आइजेनस्टेट थर्मलाइजेशन परिकल्पना