क्वांटाइल फलन

संभाव्यता और सांख्यिकी में, एक यादृच्छिक चर के संभाव्यता वितरण से जुड़ा मात्रा  फ़ंक्शन, यादृच्छिक चर के मान को निर्दिष्ट करता है जैसे कि चर के उस मान से कम या उसके बराबर होने की संभावना दी गई संभावना के बराबर होती है। सहजता से, क्वांटाइल फ़ंक्शन एक संभाव्यता इनपुट पर और नीचे एक सीमा के साथ संबद्ध होता है, संभावना है कि कुछ संभाव्यता वितरण के लिए उस सीमा में एक यादृच्छिक चर का एहसास होता है। इसे शतमक फलन, प्रतिशत-बिंदु फलन या व्युत्क्रम संचयी बंटन फलन भी कहा जाता है।

सख्ती से मोनोटोनिक वितरण समारोह
एक सतत और सख्ती से मोनोटोनिक संचयी वितरण समारोह के संदर्भ में $$ F_X\colon \mathbb{R} \to [0,1]$$ एक यादृच्छिक चर एक्स, क्वांटाइल फ़ंक्शन $$Q\colon [0, 1] \to \mathbb{R}$$ एक थ्रेसहोल्ड वैल्यू x देता है जिसके नीचे दिए गए c.d.f से रैंडम ड्रॉ होता है। 100*p प्रतिशत समय गिर जाएगा। डिस्ट्रीब्यूशन फंक्शन एफ के संदर्भ में, क्वांटाइल फंक्शन क्यू वैल्यू एक्स को इस तरह लौटाता है


 * $$F_X(x) := \Pr(X \le x) = p\,,$$

जिसे c.d.f के व्युत्क्रम के रूप में लिखा जा सकता है।


 * $$Q(p) =F_X^{-1}(p)\,.$$



सामान्य वितरण समारोह
वितरण कार्यों के सामान्य मामले में जो कड़ाई से मोनोटोनिक नहीं हैं और इसलिए एक व्युत्क्रम सीडीएफ की अनुमति नहीं देते हैं, क्वांटाइल एक (संभावित रूप से) एक वितरण समारोह एफ का निर्धारित मूल्य है, जो अंतराल द्वारा दिया गया है।
 * $$Q(p)\,=\,\left[\sup\left\{x \colon F(x) < p\right\}, \sup\left\{x \colon F(x) \le p\right\}\right] $$

निम्नतम मान को चुनना अक्सर मानक होता है, जिसे समान रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है (F के दाएं-निरंतरता का उपयोग करके)


 * $$Q(p)\,=\,\inf\left\{ x\in \mathbb{R} : p \le F(x) \right\} \,.$$

यहां हम इस तथ्य पर कब्जा करते हैं कि क्वांटाइल फ़ंक्शन उन सभी मानों में से x का न्यूनतम मान लौटाता है, जिनका c.d.f मान p से अधिक है, जो विशेष मामले में पिछले संभाव्यता कथन के बराबर है कि वितरण निरंतर है। ध्यान दें कि निम्नतम और उच्चतम को न्यूनतम फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, क्योंकि वितरण फ़ंक्शन सही-निरंतर और कमजोर नीरस रूप से बढ़ रहा है।

गाल्वा कनेक्शन को संतुष्ट करने वाला क्वांटाइल अद्वितीय कार्य है


 * $$Q(p) \le x$$ अगर और केवल अगर $$ p \le F(x) $$

यदि फलन F निरंतर है और सख्ती से नीरस रूप से बढ़ रहा है, तो असमानताओं को समानता से बदला जा सकता है, और हमारे पास है:


 * $$Q = F^{-1}$$

सामान्य तौर पर, भले ही वितरण फ़ंक्शन F एक व्युत्क्रम_फ़ंक्शन # लेफ्ट_एंड_राइट_इनवर्सेस रखने में विफल हो सकता है, क्वांटाइल फ़ंक्शन Q, वितरण फ़ंक्शन के लिए लगभग सुनिश्चित बाएं व्युत्क्रम के रूप में व्यवहार करता है, इस अर्थ में कि


 * $$Q(F(X))=X$$ लगभग निश्चित रूप से।

सरल उदाहरण
उदाहरण के लिए, एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन|एक्सपोनेंशियल(λ) (यानी तीव्रता λ और अपेक्षित मान (माध्य) 1/λ) का संचयी वितरण फ़ंक्शन है


 * $$F(x;\lambda) = \begin{cases}

1-e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases}$$ एक्सपोनेंशियल (λ) के लिए क्वांटाइल फ़ंक्शन क्यू के मान को ढूंढकर प्राप्त किया जाता है $$1-e^{-\lambda Q} =p $$:


 * $$Q(p;\lambda) = \frac{-\ln(1-p)}{\lambda}, \!$$

0 ≤ p < 1 के लिए। इसलिए चतुर्थक हैं:


 * पहला चतुर्थक (पी = 1/4): $$-\ln(3/4)/\lambda\,$$
 * मंझला (पी = 2/4): $$-\ln(1/2)/\lambda\,$$
 * तीसरा चतुर्थक (पी = 3/4) : $$-\ln(1/4)/\lambda.\,$$

अनुप्रयोग
मात्रात्मक कार्यों का उपयोग सांख्यिकीय अनुप्रयोगों और मोंटे कार्लो विधियों दोनों में किया जाता है।

क्वांटाइल फ़ंक्शन प्रायिकता वितरण निर्धारित करने का एक तरीका है, और यह प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) या प्रायिकता द्रव्यमान फ़ंक्शन, संचयी वितरण फ़ंक्शन (सीडीएफ) और विशेषता फ़ंक्शन (संभाव्यता सिद्धांत) का एक विकल्प है। प्रायिकता वितरण का क्वांटाइल फ़ंक्शन, Q, इसके संचयी वितरण फ़ंक्शन F का व्युत्क्रम फ़ंक्शन है। क्वांटाइल फ़ंक्शन का व्युत्पन्न, अर्थात् 'क्वांटाइल डेंसिटी फ़ंक्शन', प्रायिकता वितरण निर्धारित करने का एक और तरीका है। यह क्वांटाइल फंक्शन से बनी पीडीएफ का व्युत्क्रम है।

सांख्यिकीय अनुप्रयोगों के लिए, उपयोगकर्ताओं को प्रमुख प्रतिशत अंक जानने की आवश्यकता होती है{{citation needed|date=December 2022}किसी दिए गए वितरण का }। उदाहरण के लिए, उन्हें माध्यिका और 25% और 75% चतुर्थक की आवश्यकता होती है जैसा कि ऊपर दिए गए उदाहरण में है या अन्य अनुप्रयोगों के लिए 5%, 95%, 2.5%, 97.5% स्तर जैसे किसी अवलोकन के सांख्यिकीय महत्व का आकलन करना जिसका वितरण ज्ञात है; मात्रात्मक प्रविष्टि देखें। कंप्यूटरों के लोकप्रिय होने से पहले, पुस्तकों के लिए सांख्यिकीय तालिकाओं के साथ परिशिष्ट होना असामान्य नहीं था जो क्वांटाइल फ़ंक्शन का नमूना लेते थे। गिलक्रिस्ट द्वारा मात्रात्मक कार्यों के सांख्यिकीय अनुप्रयोगों पर व्यापक रूप से चर्चा की गई है। मोंटे-कार्लो सिमुलेशन विभिन्न प्रकार के सिमुलेशन गणनाओं में उपयोग के लिए गैर-समान यादृच्छिक या छद्म यादृच्छिक संख्या उत्पन्न करने के लिए मात्रात्मक कार्यों को नियोजित करते हैं। किसी दिए गए वितरण से एक नमूना एक समान वितरण से नमूने के लिए अपने क्वांटाइल फ़ंक्शन को लागू करके सैद्धांतिक रूप से प्राप्त किया जा सकता है। सिमुलेशन विधियों की मांग, उदाहरण के लिए आधुनिक कम्प्यूटेशनल वित्त में, मात्रात्मक कार्यों के आधार पर विधियों पर ध्यान केंद्रित कर रहे हैं, क्योंकि वे कोपुला (सांख्यिकी) या अर्ध-मोंटे-कार्लो विधियों के आधार पर बहुभिन्नरूपी विश्लेषण तकनीकों के साथ अच्छी तरह से काम करते हैं। और वित्त में मोंटे कार्लो के तरीके।

गणना
मात्रात्मक कार्यों के मूल्यांकन में अक्सर संख्यात्मक तरीके शामिल होते हैं, जैसे ऊपर घातीय वितरण, जो उन कुछ वितरणों में से एक है जहां एक बंद-रूप अभिव्यक्ति पाई जा सकती है (अन्य में समान वितरण (निरंतर), वीबुल वितरण, तुकी लैम्ब्डा शामिल हैं। वितरण (जिसमें लॉजिस्टिक वितरण शामिल है) और लॉग-लॉजिस्टिक वितरण | लॉग-लॉजिस्टिक)। जब सीडीएफ के पास एक बंद-रूप अभिव्यक्ति होती है, तो सीडीएफ को उलटने के लिए द्विभाजन विधि जैसे संख्यात्मक रूट-खोज एल्गोरिदम का हमेशा उपयोग किया जा सकता है। मात्रात्मक कार्यों का मूल्यांकन करने के लिए अन्य एल्गोरिदम पुस्तकों की संख्यात्मक व्यंजनों श्रृंखला में दिए गए हैं। सामान्य वितरण के लिए एल्गोरिदम कई सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर पैकेजों में निर्मित होते हैं।

मात्रात्मक कार्यों को गैर-रैखिक सामान्य और आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है। सामान्य वितरण, छात्र टी-वितरण, बीटा वितरण और गामा वितरण वितरण के मामलों के लिए साधारण अंतर समीकरण दिए गए हैं और हल किए गए हैं।

सामान्य वितरण
सामान्य वितरण शायद सबसे महत्वपूर्ण मामला है। क्योंकि सामान्य वितरण एक स्थान-स्तरीय परिवार है, मनमाना मापदंडों के लिए इसका क्वांटाइल फ़ंक्शन मानक सामान्य वितरण के क्वांटाइल फ़ंक्शन के सरल परिवर्तन से प्राप्त किया जा सकता है, जिसे प्रोबिट फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है। दुर्भाग्य से, इस फ़ंक्शन में बुनियादी बीजगणितीय कार्यों का उपयोग करके कोई बंद-रूप प्रतिनिधित्व नहीं है; नतीजतन, अनुमानित प्रतिनिधित्व आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं। विचुरा द्वारा पूरी तरह से समग्र तर्कसंगत और बहुपद सन्निकटन दिए गए हैं और एकलम। शॉ द्वारा गैर-समग्र तर्कसंगत सन्निकटन विकसित किए गए हैं।

सामान्य क्वांटाइल के लिए साधारण अंतर समीकरण
सामान्य मात्रा, डब्ल्यू (पी) के लिए एक गैर-रैखिक सामान्य अंतर समीकरण दिया जा सकता है। यह है


 * $$\frac{d^2 w}{d p^2} = w \left(\frac{d w}{d p}\right)^2 $$

केंद्र (प्रारंभिक) शर्तों के साथ


 * $$w\left(1/2\right) = 0,\, $$
 * $$w'\left(1/2\right) = \sqrt{2\pi}.\, $$

इस समीकरण को शास्त्रीय शक्ति श्रृंखला दृष्टिकोण सहित कई तरीकों से हल किया जा सकता है। इससे मनमाने ढंग से उच्च सटीकता के समाधान विकसित किए जा सकते हैं (स्टाइनब्रेचर और शॉ, 2008 देखें)।

छात्र का टी-वितरण
यह ऐतिहासिक रूप से अधिक जटिल मामलों में से एक रहा है, क्योंकि एक पैरामीटर, ν, स्वतंत्रता की डिग्री की उपस्थिति, तर्कसंगत और अन्य अनुमानों के उपयोग को अजीब बनाती है। सरल सूत्र मौजूद होते हैं जब ν = 1, 2, 4 और ν सम होने पर समस्या को बहुपद के समाधान में कम किया जा सकता है। अन्य मामलों में मात्रात्मक कार्यों को शक्ति श्रृंखला के रूप में विकसित किया जा सकता है। साधारण मामले इस प्रकार हैं:

ν = 1 (कॉची बंटन)


 * $$Q(p) = \tan (\pi(p-1/2)) \!$$

एन = 2
 * $$Q(p) = 2(p-1/2)\sqrt{\frac{2}{\alpha}}\!$$

एन = 4
 * $$Q(p) = \operatorname{sign}(p-1/2)\,2\,\sqrt{q-1}\!$$

कहाँ


 * $$q = \frac{\cos \left( \frac{1}{3} \arccos \left( \sqrt{\alpha} \, \right) \right)}{\sqrt{\alpha}}\!$$

और


 * $$\alpha = 4p(1-p).\!$$

उपरोक्त में साइन फ़ंक्शन सकारात्मक तर्कों के लिए +1, नकारात्मक तर्कों के लिए -1 और शून्य पर शून्य है। इसे त्रिकोणमितीय साइन फ़ंक्शन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

क्वांटाइल मिश्रण
मिश्रण वितरण के अनुरूप वितरण को मात्रात्मक मिश्रण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 * $$Q(p)=\sum_{i=1}^{m}a_i Q_i(p)$$,

कहाँ $$Q_i(p)$$, $$i=1,\ldots,m$$ मात्रात्मक कार्य हैं और $$a_i$$, $$i=1,\ldots,m$$ मॉडल पैरामीटर हैं। पैरामीटर $$a_i$$ चुना जाना चाहिए ताकि $$Q(p)$$ एक मात्रात्मक कार्य है। दो चार-पैरामीट्रिक क्वांटाइल मिश्रण, सामान्य-बहुपद क्वांटाइल मिश्रण और कॉची-बहुपद क्वांटाइल मिश्रण, कारवानन द्वारा प्रस्तुत किए जाते हैं।

मात्रात्मक कार्यों के लिए गैर-रैखिक अंतर समीकरण
सामान्य वितरण के लिए दिया गया गैर-रैखिक साधारण अंतर समीकरण किसी भी क्वांटाइल फ़ंक्शन के लिए उपलब्ध एक विशेष मामला है जिसका दूसरा व्युत्पन्न मौजूद है। सामान्य रूप से क्वांटाइल, क्यू(पी) के लिए समीकरण दिया जा सकता है। यह है


 * $$\frac{d^2 Q}{d p^2} = H(Q) \left(\frac{d Q}{d p}\right)^2 $$

उपयुक्त सीमा स्थितियों द्वारा संवर्धित, जहाँ


 * $$ H(x) = -\frac{f'(x)}{f(x)} = -\frac{d}{d x} \ln f(x) $$

और ƒ(x) प्रायिकता घनत्व फलन है। इस समीकरण के रूप, और सामान्य, छात्र, गामा और बीटा वितरण के मामलों के लिए श्रृंखला और स्पर्शोन्मुख समाधानों द्वारा इसका शास्त्रीय विश्लेषण स्टाइनब्रेचर और शॉ (2008) द्वारा स्पष्ट किया गया है। इस तरह के समाधान सटीक बेंचमार्क प्रदान करते हैं, और छात्र के मामले में, मोंटे कार्लो के लाइव उपयोग के लिए उपयुक्त श्रृंखला।

यह भी देखें

 * उलटा नमूना बदलना
 * फ़ीसदी
 * संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन
 * क्वांटाइल
 * रैंक-आकार वितरण

अग्रिम पठन

 * Abernathy, Roger W. and Smith, Robert P. (1993) *"Applying series expansion to the inverse beta distribution to find percentiles of the F-distribution", ACM Trans. Math. Softw., 9 (4), 478–480
 * Refinement of the Normal Quantile
 * New Methods for Managing "Student's" T Distribution
 * ACM Algorithm 396: Student's t-Quantiles

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