अतिपरवलयकार विकास

जब एक मात्रा एक गणितीय विलक्षणता की ओर एक परिमित भिन्नता (एक परिमित-समय विलक्षणता) के तहत बढ़ती है, तो इसे अतिशयोक्तिपूर्ण विकास से गुजरना कहा जाता है। अधिक सटीक, पारस्परिक कार्य $$1/x$$ एक ग्राफ के रूप में एक अतिपरवलय है, और 0 पर एक विलक्षणता है, जिसका अर्थ है कि किसी फ़ंक्शन की सीमा के रूप में $$x \to 0$$ अनंत है: किसी भी समान ग्राफ को अतिशयोक्तिपूर्ण विकास प्रदर्शित करने के लिए कहा जाता है।

विवरण
यदि किसी फ़ंक्शन का आउटपुट इसके इनपुट के व्युत्क्रमानुपाती होता है, या किसी दिए गए मान से अंतर के व्युत्क्रमानुपाती होता है $$x_0$$, फ़ंक्शन अतिशयोक्तिपूर्ण विकास प्रदर्शित करेगा, जिसमें एक विलक्षणता होगी $$x_0$$.

वास्तविक दुनिया में अतिशयोक्तिपूर्ण विकास कुछ गैर-रैखिक सकारात्मक प्रतिक्रिया तंत्रों द्वारा बनाया गया है।

अन्य विकास के साथ तुलना
घातीय वृद्धि और रसद विकास की तरह, अतिशयोक्तिपूर्ण विकास अत्यधिक अरैखिक प्रणाली है, लेकिन महत्वपूर्ण मामलों में भिन्न है। इन कार्यों को भ्रमित किया जा सकता है, क्योंकि घातीय वृद्धि, अतिशयोक्तिपूर्ण विकास, और रसद विकास की पहली छमाही उत्तल कार्य हैं; हालाँकि उनका स्पर्शोन्मुख व्यवहार (इनपुट के रूप में व्यवहार बड़ा हो जाता है) नाटकीय रूप से भिन्न होता है:
 * रसद विकास विवश है (एक सीमित सीमा है, भले ही समय अनंत हो जाता है),
 * घातीय वृद्धि अनंत तक बढ़ती है क्योंकि समय अनंत तक जाता है (लेकिन परिमित समय के लिए हमेशा परिमित होता है),
 * अतिशयोक्तिपूर्ण विकास में परिमित समय में विलक्षणता होती है (सीमित समय में अनंत तक बढ़ती है)।

जनसंख्या
कुछ गणितीय मॉडल सुझाव देते हैं कि 1970 के दशक की शुरुआत तक दुनिया की आबादी अतिशयोक्तिपूर्ण विकास से गुज़री (देखें, उदाहरण के लिए, इंट्रोडक्शन टू सोशल मैक्रोडायनामिक्स एंड्री कोरोटेयेव एट अल द्वारा)। यह भी दिखाया गया था कि 1970 के दशक तक विश्व जनसंख्या की अतिशयोक्तिपूर्ण वृद्धि विश्व सकल घरेलू उत्पाद की द्विघात-अतिशयोक्तिपूर्ण वृद्धि के साथ थी, और इस घटना और विश्व-प्रणाली सिद्धांत दोनों का वर्णन करने वाले कई गणितीय मॉडल विकसित किए थे। अप शासन हाल के दशकों में मनाया। 1970 के दशक तक देखी गई विश्व जनसंख्या की अतिशयोक्तिपूर्ण वृद्धि और विश्व सकल घरेलू उत्पाद की द्विघात-अतिशयोक्तिपूर्ण वृद्धि को एंड्री कोरोटेव और उनके सहयोगियों द्वारा जनसांख्यिकीय विकास और तकनीकी विकास के बीच एक गैर-रैखिक दूसरे क्रम की सकारात्मक प्रतिक्रिया के लिए सहसंबद्ध किया गया है, जिसे एक श्रृंखला द्वारा वर्णित किया गया है। कार्य-कारण का कारण: तकनीकी विकास लोगों के लिए भूमि की अधिक वहन क्षमता की ओर जाता है, जो अधिक लोगों की ओर जाता है, जिससे अधिक आविष्कारक होते हैं, जो बदले में और अधिक तकनीकी विकास की ओर जाता है, और आगे भी। यह भी प्रदर्शित किया गया है कि इस प्रकार के अतिशयोक्तिपूर्ण मॉडल का उपयोग 4 बिलियन ईसा पूर्व से वर्तमान तक पृथ्वी की ग्रहों की जटिलता के समग्र विकास के सटीक तरीके से वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। अन्य मॉडल घातीय वृद्धि, रसद वृद्धि या अन्य कार्यों का सुझाव देते हैं।

क्यूइंग थ्योरी
अतिशयोक्तिपूर्ण विकास का एक और उदाहरण कतार सिद्धांत में पाया जा सकता है: यादृच्छिक रूप से आने वाले ग्राहकों का औसत प्रतीक्षा समय सर्वर के औसत लोड अनुपात के कार्य के रूप में अतिशयोक्तिपूर्ण रूप से बढ़ता है। इस मामले में विलक्षणता तब होती है जब सर्वर पर पहुंचने वाले कार्य की औसत मात्रा सर्वर की प्रसंस्करण क्षमता के बराबर होती है। यदि प्रसंस्करण की जरूरत सर्वर की क्षमता से अधिक है, तो कोई अच्छी तरह से परिभाषित औसत प्रतीक्षा समय नहीं है, क्योंकि कतार बिना किसी सीमा के बढ़ सकती है। इस विशेष उदाहरण का एक व्यावहारिक निहितार्थ यह है कि अत्यधिक भरी हुई कतार प्रणाली के लिए औसत प्रतीक्षा समय प्रसंस्करण क्षमता के प्रति अत्यंत संवेदनशील हो सकता है।

[[एंजाइम कैनेटीक्स]]
अतिशयोक्तिपूर्ण विकास का एक और व्यावहारिक उदाहरण एंजाइम कैनेटीक्स में पाया जा सकता है। जब एक एंजाइम और सब्सट्रेट (जैव रसायन) के बीच प्रतिक्रिया की दर (जिसे वेग कहा जाता है) को सब्सट्रेट की विभिन्न सांद्रता के विरुद्ध प्लॉट किया जाता है, तो कई सरल प्रणालियों के लिए एक हाइपरबोलिक प्लॉट प्राप्त होता है। जब ऐसा होता है, तो एंजाइम को एंजाइम कैनेटीक्स#Michaelis-Menten kinetics|Michaelis-Menten kinetics का पालन करने के लिए कहा जाता है।

गणितीय उदाहरण
कार्यक्रम
 * $$x(t)=\frac{1}{t_c-t}$$

समय पर एक विलक्षणता के साथ अतिशयोक्तिपूर्ण विकास प्रदर्शित करता है $t_c$: के रूप में एक समारोह की सीमा में $t \to t_c$, समारोह अनंत तक जाता है।

अधिक आम तौर पर, समारोह
 * $$x(t)=\frac{K}{t_c-t}$$

अतिशयोक्तिपूर्ण विकास प्रदर्शित करता है, जहाँ $$K$$ पैमाना कारक है।

ध्यान दें कि इस बीजगणितीय फ़ंक्शन को फ़ंक्शन के अंतर के लिए विश्लेषणात्मक समाधान माना जा सकता है:
 * $$ \frac{dx}{dt} = \frac{K}{(t_c-t)^2} = \frac{x^2}{K}$$

इसका मतलब है कि अतिशयोक्तिपूर्ण विकास के साथ चर की पूर्ण वृद्धि दर $x$ में आपके जवाब का इंतज़ार कर रहा हूँ $t$ के मान के वर्ग के समानुपाती है $x$ में आपके जवाब का इंतज़ार कर रहा हूँ $t$.

क्रमशः, द्विघात-अतिपरवलयिक फलन इस प्रकार दिखता है:
 * $$x(t)=\frac{K}{(t_c-t)^2}.$$

यह भी देखें

 * घातीय वृद्धि
 * लॉजिस्टिक ग्रोथ
 * गणितीय विलक्षणता

संदर्भ

 * Alexander V. Markov, and Andrey V. Korotayev (2007). "Phanerozoic marine biodiversity follows a hyperbolic trend". Palaeoworld. Volume 16. Issue 4. Pages 311-318].
 * Kremer, Michael. 1993. "Population Growth and Technological Change: One Million B.C. to 1990," The Quarterly Journal of Economics 108(3): 681-716.
 * Korotayev A., Malkov A., Khaltourina D. 2006. Introduction to Social Macrodynamics: Compact Macromodels of the World System Growth. Moscow: URSS. ISBN 5-484-00414-4.
 * Rein Taagepera (1979) People, skills, and resources: An interaction model for world population growth. Technological Forecasting and Social Change 13, 13-30.