बटरवर्थ फ़िल्टर

बटरवर्थ फ़िल्टर एक प्रकार का फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) है जिसे आवृत्ति प्रतिक्रिया  के लिए डिज़ाइन किया गया है जो  पासबैंड  में जितना संभव हो उतना सपाट है। इसे मैक्सिममली फ्लैट परिमाण फिल्टर के रूप में भी जाना जाता है। इसका वर्णन पहली बार 1930 में ब्रिटिश इंजीनियर और भौतिक विज्ञानी  स्टीफन बटरवर्थ  ने अपने पेपर ऑन द थ्योरी ऑफ फिल्टर एम्पलीफायरों में किया था।

मूल कागज
असंभव गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए बटरवर्थ की प्रतिष्ठा थी। उस समय, छवि पैरामीटर फ़िल्टर  की सीमाओं के कारण  फिल्टर डिजाइन  के लिए काफी मात्रा में डिज़ाइनर अनुभव की आवश्यकता होती थी। इसके प्रकाशन के बाद 30 से अधिक वर्षों तक फ़िल्टर आम उपयोग में नहीं था। बटरवर्थ ने कहा कि: ""An ideal electrical filter should not only completely reject the unwanted frequencies but should also have uniform sensitivity for the wanted frequencies"."

इस तरह के एक आदर्श फ़िल्टर को प्राप्त नहीं किया जा सकता है, लेकिन बटरवर्थ ने दिखाया कि सही मूल्यों के फिल्टर तत्वों की बढ़ती संख्या के साथ क्रमिक रूप से करीब अनुमान प्राप्त किए गए थे। उस समय, फिल्टर ने पासबैंड में पर्याप्त तरंग उत्पन्न की, और घटक मूल्यों का चुनाव अत्यधिक संवादात्मक था। बटरवर्थ ने दिखाया कि एक लो पास फिल्टर  तैयार किया जा सकता है जिसकी कटऑफ आवृत्ति 1 रेडियन प्रति सेकेंड के लिए सामान्यीकृत थी और जिसकी आवृत्ति प्रतिक्रिया ( लाभ (इलेक्ट्रॉनिक्स) ) थी


 * $$G(\omega) = {\frac{1} \sqrt{1+{\omega}^{2n}}},$$

कहाँ पे $$\omega$$ रेडियन प्रति सेकंड में कोणीय आवृत्ति  है और $$n$$ फ़िल्टर में  ध्रुव (जटिल विश्लेषण)  की संख्या है—एक निष्क्रिय फ़िल्टर में प्रतिक्रियाशील तत्वों की संख्या के बराबर। यदि $$\omega$$= 1, पासबैंड में इस प्रकार के फिल्टर की आयाम प्रतिक्रिया 1/√20.7071, जो आधी शक्ति या −3  डेसिबल  है। बटरवर्थ ने केवल अपने पेपर में समान संख्या में डंडे वाले फिल्टरों का अध्ययन किया। हो सकता है कि वह इस बात से अनजान रहे हों कि इस तरह के फिल्टर को विषम संख्या में डंडे के साथ डिजाइन किया जा सकता है। उन्होंने  वेक्यूम - ट्यूब   एम्पलीफायर ों द्वारा अलग किए गए 2-पोल फिल्टर से अपने उच्च-क्रम के फिल्टर बनाए। 2-, 4-, 6-, 8-, और 10-पोल फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया की उनकी साजिश को उनके मूल ग्राफ में ए, बी, सी, डी और ई के रूप में दिखाया गया है।

बटरवर्थ ने दो-पोल और चार-पोल फिल्टर के समीकरणों को हल किया, यह दिखाते हुए कि वैक्यूम ट्यूब एम्पलीफायरों द्वारा अलग किए जाने पर बाद वाले को कैसे कैस्केड किया जा सकता है और इसलिए प्रारंभ करनेवाला  नुकसान के बावजूद उच्च-क्रम फिल्टर के निर्माण को सक्षम करता है। 1930 में,  Molypermalloy Powder Core  जैसी कम-नुकसान वाली कोर सामग्री की खोज नहीं की गई थी और एयर-कोरेड ऑडियो इंडक्टर्स बल्कि हानिपूर्ण थे। बटरवर्थ ने पाया कि इंडक्टर्स के घुमावदार प्रतिरोध की भरपाई के लिए फिल्टर के घटक मूल्यों को समायोजित करना संभव था।

उन्होंने प्लग-इन टर्मिनलों के साथ 1.25″ व्यास और 3″ लंबाई के कुंडल रूपों का उपयोग किया। एसोसिएटेड कैपेसिटर और रेसिस्टर्स घाव कॉइल फॉर्म के अंदर समाहित थे। कॉइल प्लेट लोड रेसिस्टर का हिस्सा बनता है। प्रति वैक्यूम ट्यूब में दो पोल का इस्तेमाल किया गया था और आरसी कपलिंग का इस्तेमाल निम्नलिखित ट्यूब के ग्रिड में किया गया था।

बटरवर्थ ने यह भी दिखाया कि उच्च पास फिल्टर  देने के लिए मूल निम्न-पास फ़िल्टर को संशोधित किया जा सकता है | कम-पास, उच्च-पास फ़िल्टर | उच्च-पास,  बंदपास छननी  | बैंड-पास और  बैंड-स्टॉप फ़िल्टर  | बैंड-स्टॉप कार्यक्षमता।

अवलोकन
बटरवर्थ फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया पासबैंड में अधिकतम फ्लैट (यानी कोई लहर (फिल्टर) नहीं है) है और बंद करो बंद करो  में शून्य की ओर लुढ़क जाती है। जब एक लॉगरिदमिक बोड प्लॉट पर देखा जाता है, तो प्रतिक्रिया नकारात्मक अनंत की ओर रैखिक रूप से ढलान करती है। एक प्रथम-क्रम फ़िल्टर की प्रतिक्रिया −6 dB प्रति ऑक्टेव (इलेक्ट्रॉनिक्स)  (−20 dB प्रति  दशक (लॉग स्केल) ) पर लुढ़क जाती है (सभी प्रथम-क्रम के लोपास फ़िल्टर में समान सामान्यीकृत आवृत्ति प्रतिक्रिया होती है)। एक दूसरे क्रम का फिल्टर −12 dB प्रति सप्तक पर घटता है, तीसरा क्रम −18 dB पर और इसी तरह। बटरवर्थ फिल्टर में के साथ एक मोनोटोनिक रूप से बदलते परिमाण फ़ंक्शन होते हैं, अन्य फ़िल्टर प्रकारों के विपरीत, जिनमें पासबैंड और/या स्टॉपबैंड में गैर-मोनोटोनिक तरंग होती है।

चेबीशेव फ़िल्टर टाइप I/टाइप II फ़िल्टर या अण्डाकार फ़िल्टर की तुलना में, बटरवर्थ फ़िल्टर का  धड़ल्ले से बोलना  धीमा होता है, और इस प्रकार एक विशेष स्टॉपबैंड विनिर्देश को लागू करने के लिए एक उच्च क्रम की आवश्यकता होगी, लेकिन बटरवर्थ फ़िल्टर में अधिक रैखिक चरण प्रतिक्रिया होती है। चेबीशेव टाइप I/टाइप II और  अण्डाकार फिल्टर  की तुलना में पासबैंड प्राप्त कर सकते हैं।

उदाहरण
तीसरे क्रम के लो-पास बटरवर्थ फ़िल्टर डिज़ाइन का स्थानांतरण फ़ंक्शन, जो दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है, इस तरह दिखता है:


 * $$\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{R_4}{s^3(L_1 C_2 L_3) + s^2(L_1 C_2 R_4) + s(L_1 + L_3) + R_4}$$

बटरवर्थ फ़िल्टर का एक सरल उदाहरण दायीं ओर की आकृति में दिखाया गया तीसरा-क्रम वाला लो-पास डिज़ाइन है, जिसमें $$C_2$$= 4/3 एफ, $$R_4$$= 1, $$L_1$$= 3/2 एच, और $$L_3$$= 1/2 एच. कैपेसिटर का विद्युत प्रतिबाधा  लेना $$C$$ होना $$1/(Cs)$$ और प्रेरकों की प्रतिबाधा $$L$$ होना $$Ls$$, कहाँ पे $s= \sigma + j\omega$ जटिल आवृत्ति है, सर्किट समीकरण इस डिवाइस के लिए स्थानांतरण फ़ंक्शन उत्पन्न करते हैं:
 * $$H(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{1}{1+2s+2s^2+s^3}.$$

आवृत्ति प्रतिक्रिया का परिमाण (लाभ) $$G(\omega)$$ द्वारा दिया गया है
 * $$G(\omega)=|H(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+\omega^6}},$$

से प्राप्त
 * $$G^2(\omega)=|H(j\omega)|^2=H(j\omega)\cdot H^*(j\omega)=\frac{1}{1+\omega^6},$$

और चरण (लहरें)  द्वारा दिया जाता है


 * $$\Phi(\omega)=\arg(H(j\omega)).\!$$

समूह विलंब को कोणीय आवृत्ति के संबंध में चरण के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है और विभिन्न आवृत्तियों के लिए चरण अंतर द्वारा शुरू किए गए संकेत में विकृति का एक उपाय है। इस फ़िल्टर के लाभ और विलंब को बाईं ओर के ग्राफ़ में प्लॉट किया गया है। यह देखा जा सकता है कि पासबैंड या स्टॉप बैंड में लाभ वक्र में कोई तरंग नहीं है।

स्थानांतरण फ़ंक्शन के निरपेक्ष मान का लॉग $$H(s)$$ दाईं ओर दूसरे ग्राफ में जटिल आवृत्ति स्थान में प्लॉट किया गया है। फ़ंक्शन को जटिल आवृत्ति विमान के बाएं आधे हिस्से में तीन ध्रुवों द्वारा परिभाषित किया गया है। इन्हें एक इकाई वृत्त पर व्यवस्थित किया गया है, जो वास्तविक के सममित है $$s$$ एक्सिस। सर्कल को पूरा करने के लिए गेन फंक्शन में दाहिने आधे तल पर तीन और पोल होंगे।

प्रत्येक प्रारंभ करनेवाला को एक संधारित्र के साथ और प्रत्येक संधारित्र को एक प्रारंभ करनेवाला के साथ बदलकर, एक उच्च-पास बटरवर्थ फ़िल्टर प्राप्त किया जाता है।

गुंजयमान सर्किट बनाने के लिए प्रत्येक संधारित्र के साथ श्रृंखला में एक संधारित्र और प्रत्येक संधारित्र के समानांतर एक प्रारंभ करनेवाला रखकर एक बैंड-पास बटरवर्थ फ़िल्टर प्राप्त किया जाता है। ब्याज की आवृत्ति पर पुराने घटक के साथ प्रतिध्वनित होने के लिए प्रत्येक नए घटक के मूल्य का चयन किया जाना चाहिए।

एक बैंड-स्टॉप बटरवर्थ फ़िल्टर प्रत्येक प्रारंभ करनेवाला के साथ एक संधारित्र को समानांतर में रखकर और प्रत्येक संधारित्र के साथ श्रृंखला में एक प्रारंभ करनेवाला को गुंजयमान सर्किट बनाने के लिए प्राप्त किया जाता है। प्रत्येक नए घटक के मूल्य को उस आवृत्ति पर पुराने घटक के साथ प्रतिध्वनित करने के लिए चुना जाना चाहिए जिसे अस्वीकार किया जाना है।

स्थानांतरण समारोह
सभी फ़िल्टरों की तरह, विशिष्ट प्रोटोटाइप फिल्टर  कम-पास फ़िल्टर होता है, जिसे उच्च-पास फ़िल्टर में संशोधित किया जा सकता है, या  बैंड-पास  और  बैंड-स्टॉप  फ़िल्टर बनाने के लिए श्रृंखला में रखा जा सकता है, और इनके उच्च क्रम संस्करण।

लाभ $$G(\omega)$$ का $$n$$वें-ऑर्डर बटरवर्थ लो-पास फिल्टर ट्रांसफर फंक्शन के संदर्भ में दिया गया है $$H(s)$$ जैसा
 * $$G^2(\omega)=\left |H(j\omega)\right|^2 = \frac {{G_0}^2}{1+\left(\frac{j\omega}{j\omega_c}\right)^{2n}}$$

कहाँ पे $$n$$ फिल्टर का क्रम है, $$\omega_c$$ कटऑफ फ़्रीक्वेंसी है (लगभग −3 dB फ़्रीक्वेंसी), और $$G_0$$ डीसी लाभ (शून्य आवृत्ति पर लाभ) है।

यह देखा जा सकता है कि जैसे $$n$$ अनंत तक पहुँचता है, लाभ एक आयत फलन बन जाता है और आवृत्तियाँ नीचे हो जाती हैं $$\omega_c$$ लाभ के साथ पारित किया जाएगा $$G_0$$, जबकि आवृत्ति ऊपर $$\omega_c$$ दबा दिया जाएगा। के छोटे मानों के लिए $$n$$कटऑफ कम शार्प होगी।

हम स्थानांतरण समारोह का निर्धारण करना चाहते हैं $$H(s)$$ कहाँ पे $$s=\sigma+j\omega$$ ( लाप्लास ट्रांसफॉर्म से)। इसलिये $$\left|H(s)\right|^2 = H(s)\overline{H(s)}$$ और, लाप्लास की एक सामान्य संपत्ति के रूप में बदल जाती है $$s=j\omega$$, $$H(-j\omega) = \overline{H(j\omega)}$$, अगर हम चुनते हैं $$H(s)$$ ऐसा है कि:


 * $$H(s)H(-s) = \frac {{G_0}^2}{1+\left (\frac{-s^2}{\omega_c^2}\right)^n},$$

फिर, साथ $$s=j\omega$$, हमारे पास बटरवर्थ फ़िल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया है। $$n$$ h> इस व्यंजक के ध्रुव त्रिज्या के एक वृत्त पर होते हैं $$\omega_c$$ समान दूरी वाले बिंदुओं पर, और ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के चारों ओर सममित। स्थिरता के लिए, स्थानांतरण समारोह, $$H(s)$$, इसलिए चुना जाता है कि इसमें. के ऋणात्मक वास्तविक अर्ध-तल में केवल ध्रुव होते हैं $$s$$. $$k$$वें>-वें पोल ​​द्वारा निर्दिष्ट किया गया है


 * $$-\frac{s_k^2}{\omega_c^2} = (-1)^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{j(2k-1)\pi}{n}}

\qquad k = 1,2,3,\ldots, n$$ और इसलिए


 * $$s_k = \omega_c e^{\frac{j(2k+n-1)\pi}{2n}}\qquad k = 1,2,3,\ldots, n.$$

ट्रांसफर (या सिस्टम) फ़ंक्शन को इन ध्रुवों के रूप में लिखा जा सकता है:


 * $$H(s)=G_0\prod_{k=1}^n \frac{\omega_c}{s-s_k}$$.

कहाँ पे $$\textstyle{\prod}$$ उत्पाद है (गणित) # अनुक्रम ऑपरेटर का उत्पाद। भाजक एक बटरवर्थ बहुपद है $$s$$.

सामान्यीकृत बटरवर्थ बहुपद
बटरवर्थ बहुपदों को ऊपर के रूप में जटिल रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन आमतौर पर वास्तविक गुणांक के साथ जटिल संयुग्म वाले ध्रुव जोड़े को गुणा करके लिखा जाता है, जैसे कि $$s_1$$ तथा $$s_n$$. बहुपदों को सेट करके सामान्यीकृत किया जाता है $$\omega_c=1$$. सामान्यीकृत बटरवर्थ बहुपदों में तब सामान्य उत्पाद रूप होता है


 * $$B_n(s)=\prod_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right]\qquad n = \text{even}$$
 * $$B_n(s)=(s+1)\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right]\qquad n = \text{odd}.$$

बटरवर्थ बहुपदों के क्रम 1 से 10 तक के गुणनखंडों को निम्न तालिका (दशमलव के छह स्थानों तक) में दिखाया गया है।

<केंद्र>

बटरवर्थ बहुपदों के क्रम 1 से 6 के गुणनखंडों को निम्नलिखित तालिका (सटीक) में दिखाया गया है।

<केंद्र>

जहां ग्रीक अक्षर फी (अक्षर) ($\varphi$ या $$\phi$$) सुनहरे अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है। यह एक अपरिमेय संख्या  है जो  द्विघात समीकरण  का हल है $$x^2 - x - 1 = 0,$$ के मान के साथ

$$n$$वें>वें बटरवर्थ बहुपद को योग के रूप में भी लिखा जा सकता है


 * $$B_n(s)=\sum_{k=0}^n a_k s^k\,,$$

इसके गुणांकों के साथ $$a_k$$ रिकर्सन फॉर्मूला द्वारा दिया गया


 * $$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{\cos(k\gamma)}{\sin((k+1)\gamma)}$$

और उत्पाद सूत्र द्वारा


 * $$a_k=\prod_{\mu=1}^k\frac{\cos((\mu-1)\gamma)}{\sin(\mu\gamma)}\,,$$

कहाँ पे


 * $$a_0=1\qquad \text{and}\qquad\gamma=\frac{\pi}{2n}\,.$$

आगे, $$a_k=a_{n-k}$$. गोल गुणांक $$a_k$$ पहले 10 बटरवर्थ बहुपद के लिए $$B_n(s)$$ हैं:

<केंद्र>

सामान्यीकृत बटरवर्थ बहुपद का उपयोग किसी भी कम-पास फ़िल्टर कट-ऑफ आवृत्ति के लिए स्थानांतरण फ़ंक्शन को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है $$\omega_c$$, निम्नलिखित नुसार


 * $$H(s) = \frac{G_0}{B_n(a)}$$, कहाँ पे $$a = \frac{s}{\omega_c}.$$

अन्य बैंडफॉर्म में परिवर्तन भी संभव है, प्रोटोटाइप फ़िल्टर देखें।

अधिकतम समतलता
यह मानते हुए $$\omega_c=1$$ तथा $$G_0=1$$, आवृत्ति के संबंध में लाभ का व्युत्पन्न दिखाया जा सकता है


 * $$\frac{dG}{d\omega}=-nG^3\omega^{2n-1}$$

जो सभी के लिए नीरस रूप से घट रहा है $$\omega$$ लाभ के बाद से $$G$$ हमेशा सकारात्मक होता है। इसलिए बटरवर्थ फिल्टर के गेन फंक्शन में कोई रिपल नहीं है। लाभ की श्रृंखला विस्तार द्वारा दिया गया है


 * $$G(\omega)=1 - \frac{1}{2}\omega^{2n}+\frac{3}{8}\omega^{4n}+\ldots$$

दूसरे शब्दों में, लाभ के सभी डेरिवेटिव 2. तक लेकिन इसमें शामिल नहीं हैं$$n$$-वें व्युत्पन्न शून्य पर हैं $$\omega=0$$, जिसके परिणामस्वरूप अधिकतम समतलता होती है। यदि मोनोटोनिक होने की आवश्यकता केवल पासबैंड तक ही सीमित है और स्टॉपबैंड में तरंगों की अनुमति है, तो उसी क्रम के फ़िल्टर को डिज़ाइन करना संभव है, जैसे कि उलटा चेबीशेव फ़िल्टर, जो अधिकतम फ्लैट की तुलना में पासबैंड में चापलूसी है। बटरवर्थ।

उच्च आवृत्ति रोल-ऑफ
फिर से मान लेना $$\omega_c=1$$, बड़े के लिए लाभ के लघुगणक का ढलान $$\omega$$ है


 * $$\lim_{\omega\rightarrow\infty}\frac{d\log(G)}{d\log(\omega)}=-n.$$

डेसिबल में, उच्च-आवृत्ति रोल-ऑफ इसलिए 20. है$$n$$डीबी/दशक, या 6$$n$$dB/ऑक्टेव (20 का गुणक प्रयोग किया जाता है क्योंकि शक्ति वोल्टेज लाभ के वर्ग के समानुपाती होती है; 20 लॉग नियम  देखें।)

फ़िल्टर कार्यान्वयन और डिज़ाइन
रैखिक एनालॉग फ़िल्टर को लागू करने के लिए कई अलग-अलग इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर टोपोलॉजी  उपलब्ध हैं। निष्क्रिय बोध के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला टोपोलॉजी काउर टोपोलॉजी है, और सक्रिय बोध के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला टोपोलॉजी सैलेन-की टोपोलॉजी है।

काउर टोपोलॉजी
काउर टोपोलॉजी (इलेक्ट्रॉनिक्स) एक रैखिक एनालॉग फिल्टर को लागू करने के लिए निष्क्रिय घटकों (शंट कैपेसिटर और श्रृंखला इंडक्टर्स) का उपयोग करता है। दिए गए स्थानांतरण फ़ंक्शन वाले बटरवर्थ फ़िल्टर को काउर 1-फ़ॉर्म का उपयोग करके महसूस किया जा सकता है। k-वें तत्व द्वारा दिया गया है
 * $$C_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]\qquad k = \text{odd}$$
 * $$L_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]\qquad k = \text{even}.$$

यदि वांछित हो तो फ़िल्टर एक श्रृंखला प्रारंभ करनेवाला के साथ शुरू हो सकता है, जिस स्थिति में Lkk विषम हैं और Ckकश्मीर भी हैं। इन सूत्रों को दोनों L. बनाकर उपयोगी रूप से जोड़ा जा सकता हैkऔर सीkजी के बराबरk. यानी जीks द्वारा विभाजित immitance है।


 * $$g_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]\qquad k = 1,2,3, \ldots, n.$$

ये सूत्र दोगुने टर्मिनेटेड फ़िल्टर पर लागू होते हैं (अर्थात स्रोत और लोड प्रतिबाधा दोनों एकता के बराबर हैं) के साथc = 1. इस प्रोटोटाइप फिल्टर को प्रतिबाधा और आवृत्ति के अन्य मूल्यों के लिए बढ़ाया जा सकता है। एकल टर्मिनेटेड फ़िल्टर के लिए (अर्थात, एक आदर्श वोल्टेज या वर्तमान स्रोत द्वारा संचालित) तत्व मान द्वारा दिया जाता है


 * $$g_j = \frac{a_j a_{j-1}}{c_{j-1} g_{j-1}}\qquad j = 2,3, \ldots, n$$

कहाँ पे


 * $$g_1 = a_1$$

तथा


 * $$a_j = \sin \left [\frac {(2j-1)}{2n} \pi \right ]\qquad j = 1,2,3, \ldots, n$$
 * $$c_j = \cos^2 \left [\frac{j}{2n} \pi \right ]\qquad j = 1,2,3, \ldots, n.$$

वोल्टेज संचालित फिल्टर एक श्रृंखला तत्व से शुरू होना चाहिए और वर्तमान संचालित फिल्टर एक शंट तत्व से शुरू होना चाहिए। ये फॉर्म डिप्लेक्सर ्स और  बहुसंकेतक ्स के डिजाइन में उपयोगी हैं।

सालेन-कुंजी टोपोलॉजी
सालेन-की टोपोलॉजी एक लीनियर एनालॉग फिल्टर को लागू करने के लिए सक्रिय और निष्क्रिय घटकों (नॉनइनवर्टिंग बफ़र्स, आमतौर पर ऑप एम्प्स, रेसिस्टर्स और कैपेसिटर) का उपयोग करती है। प्रत्येक सालेन-कुंजी चरण ध्रुवों की एक संयुग्मी जोड़ी को लागू करता है; श्रृंखला में सभी चरणों को कैस्केडिंग करके समग्र फ़िल्टर लागू किया जाता है। यदि कोई वास्तविक ध्रुव है (उस मामले में जहां $$n$$ विषम है), इसे अलग से लागू किया जाना चाहिए, आमतौर पर आरसी सर्किट  के रूप में, और सक्रिय चरणों के साथ कैस्केड किया जाना चाहिए।

दूसरे क्रम के सैलेन-की सर्किट के लिए दाईं ओर दिखाया गया है कि ट्रांसफर फ़ंक्शन किसके द्वारा दिया गया है


 * $$H(s)=\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\frac{1}{1+C_2(R_1+R_2)s+C_1C_2R_1R_2s^2}.$$

हम चाहते हैं कि हर बटरवर्थ बहुपद में द्विघात पदों में से एक हो। ऐसा मानते हुए $$\omega_c=1$$, इसका मतलब यह होगा कि


 * $$C_1C_2R_1R_2=1\,$$

तथा


 * $$C_2(R_1+R_2)=-2\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n} \pi\right).$$

यह दो अपरिभाषित घटक मान छोड़ देता है जिन्हें इच्छानुसार चुना जा सकता है।

सैलन के साथ बटरवर्थ लोपास फिल्टर- तीसरे और चौथे क्रम की कुंजी टोपोलॉजी, केवल एक ऑप amp का उपयोग करते हुए, ह्यूल्समैन द्वारा वर्णित किया गया है, और आगे एकल-एम्पलीफायर बटरवर्थ फिल्टर भी उच्च क्रम के जुरीसिक एट अल द्वारा दिए गए हैं।

डिजिटल कार्यान्वयन
बटरवर्थ और अन्य फिल्टर के डिजिटल कार्यान्वयन अक्सर द्विरेखीय परिवर्तन  विधि या  मिलान जेड-ट्रांसफॉर्म विधि  पर आधारित होते हैं, एक एनालॉग फिल्टर डिज़ाइन को अलग करने के लिए दो अलग-अलग तरीके। बटरवर्थ जैसे ऑल-पोल फिल्टर के मामले में, मिलान जेड-ट्रांसफॉर्म विधि आवेग इनवेरिएंस विधि के बराबर है। उच्च ऑर्डर के लिए, डिजिटल फ़िल्टर क्वांटिज़ेशन त्रुटियों के प्रति संवेदनशील होते हैं, इसलिए उन्हें अक्सर कैस्केड  डिजिटल बाइकैड फ़िल्टर  के रूप में गणना की जाती है, साथ ही विषम ऑर्डर के लिए एक प्रथम-आदेश या तीसरा-आदेश अनुभाग।

अन्य रैखिक फिल्टर के साथ तुलना
बटरवर्थ फिल्टर के गुण हैं:
 * पासबैंड और स्टॉपबैंड दोनों में मोनोटोनिक फ़ंक्शन  आवृत्ति प्रतिक्रिया
 * कटऑफ आवृत्ति के आसपास त्वरित रोल-ऑफ, जो बढ़ते क्रम के साथ बेहतर होता है
 * कदम प्रतिक्रिया में काफी ओवरशूट (संकेत)  और  बजना (संकेत), जो बढ़ते क्रम के साथ खराब हो जाता है
 * थोड़ा गैर-रैखिक चरण प्रतिक्रिया
 * समूह विलंब काफी हद तक आवृत्ति-निर्भर

यहाँ एक छवि है जो अन्य सामान्य फ़िल्टर प्रकारों के बगल में असतत-समय बटरवर्थ फ़िल्टर का लाभ दिखा रही है। ये सभी फिल्टर पांचवें क्रम के हैं।

बटरवर्थ फिल्टर चेबीशेव फिल्टर या एलिप्टिक फिल्टर की तुलना में कटऑफ आवृत्ति के आसपास अधिक धीरे-धीरे लुढ़कता है, लेकिन बिना लहर के।

संदर्भ
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