स्पर्शरेखा बंडल

अंतर ज्यामिति में, भिन्न करने योग्य कई गुना $$ M $$ का स्पर्शरेखा बंडल एक बहुविध है I  $$TM$$ जो $$ M $$ सभी स्पर्शरेखा सदिश को एकत्र करता है. एक समूह के रूप में, यह $$ M $$ के स्पर्शरेखा असम्बद्ध संघ द्वारा दिया जाता है, वह है,



\begin{align} TM &= \bigsqcup_{x \in M} T_xM \\ &= \bigcup_{x \in M} \left\{x\right\} \times T_xM \\ &= \bigcup_{x \in M} \left\{(x, y) \mid y \in T_xM\right\} \\ &= \left\{ (x, y) \mid x \in M,\, y \in T_xM \right\} \end{align} $$ जहां $$ T_x M$$ स्पर्शरेखा स्थान को $$ M $$ बिंदु $$ x $$ पर दर्शाता है| इसलिए, $$ TM$$ के एक तत्व आदेशित युग्म $$ (x,v)$$ के रूप में सोचा जा सकता है, जहां $$ x $$ $$ M $$ में एक बिंदु $$ v $$ $$ M $$ $$ x $$ पर एक स्पर्शरेखा सदिश हैI

एक प्राकृतिक प्रक्षेपण है
 * $$ \pi : TM \twoheadrightarrow M $$

द्वारा परिभाषित $$ \pi(x, v) = x$$. यह प्रक्षेपण स्पर्शरेखा स्थान $$ T_xM$$ के प्रत्येक तत्व को एक बिंदु $$ x $$ पर मैप करता हैI

स्पर्शरेखा बंडल एक प्राकृतिक टोपोलॉजी (नीचे एक खंड में वर्णित) से सुसज्जित है। इस टोपोलॉजी के साथ, कई गुना स्पर्शरेखा बंडल एक वेक्टर बंडल (जो एक फाइबर बंडल है जिसके फाइबर वेक्टर रिक्त स्थान हैं) का प्रोटोटाइपिकल उदाहरण है। $$ TM$$ का एक खंड $$ M$$ पर सदिश क्षेत्र है, और $$ TM$$ दोहरे बंडल को  स्पर्शरेखा बंडल है, जो $$ M $$ परिभाषा के अनुसार, कई गुना $$ M $$ समानांतर है और केवल स्पर्शरेखा बंडल तुच्छ बंडल है। परिभाषा के अनुसार, $$M$$ को फ्रेम किया जाता है और केवल स्पर्शरेखा बंडल $$TM$$ स्थिर रूप से तुच्छ है, जिसका अर्थ है कि कुछ तुच्छ बंडल के लिए $$E$$ व्हिटनी योग $$ TM\oplus E$$ तुच्छ है। उदाहरण के लिए, n-आयामी क्षेत्र Sn सभी n के लिए बनाया गया है, लेकिन केवल n = 1, 3, 7 (बॉटल-मिल्नोर और केरवायर के परिणामों द्वारा) के लिए समानांतर है।

भूमिका
स्पर्शरेखा बंडल की मुख्य भूमिकाओं में से एक एक सुचारू कार्य के व्युत्पन्न के लिए एक डोमेन और सीमा प्रदान करना है। अर्थात्, अगर $$ f:M\rightarrow N $$ एक सहज कार्य है, साथ $$ M $$ तथा $$ N $$ सहज मैनिफोल्ड्स, इसका व्युत्पन्न एक स्मूथ फंक्शन है $$ Df:TM\rightarrow TN $$.

टोपोलॉजी और स्मूथ संरचना
स्पर्शरेखा बंडल एक प्राकृतिक टोपोलॉजी (असंबद्ध संघ टोपोलॉजी नहीं) और स्मूथ संरचना से सुसज्जित है जिससे कि इसे अपने आप में कई गुना बनाया जा सके। $$ TM$$ का आयाम $$ M$$ का दोगुने आयाम हैं I

प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान एक n -आकार सदिश स्थल है। यदि $$U$$ का एक खुला अनुबंधित स्थान उपसमुच्चय $$M$$ है , तो $$ TU\to U\times\mathbb R^n$$ एक भिन्नता है  जो प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान $$ T_xU$$ से प्रति $$ \{x\}\times\mathbb R^n$$ एक रेखीय समरूपता तक सीमित है I चूँकि  $$ TM$$ कई गुना के रूप में  उत्पाद कई गुना के लिए हमेशा भिन्न नहीं होता है $$M\times\mathbb R^n$$. जब वह $$ M\times\mathbb R^n$$स्वरूप का हो, तो स्पर्शरेखा बंडल को तुच्छ कहा जाता है। तुच्छ स्पर्शरेखा बंडल सामान्यतः 'संगत समूह संरचना' से लैस विविध के लिए होते हैं; उदाहरण के लिए, उस स्थिति में जहां विविध एक लाइ समूह है। इकाई घेरा की  स्पर्शरेखा बंडल छोटा है क्योंकि यह एक लाइ समूह है (गुणन और इसकी प्राकृतिक अंतर संरचना के अंतर्गत)। चूँकि यह सच नहीं है कि तुच्छ स्पर्शरेखा बंडलों के साथ सभी रिक्त स्थान लाइ समूह हैं; कई गुना जिनमें एक तुच्छ स्पर्शरेखा बंडल होता है, उन्हें समानांतर कहा जाता है। जिस तरह विविध स्थानीय रूप से यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर आधारित होते हैं, उसी तरह स्पर्शरेखा बंडलों को स्थानीय रूप से $$U\times\mathbb R^n$$ तैयार किया जाता है , जहां $$U$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक खुला उपसमुच्चय है।

यदि M एकस्मूथ n-डायमेंशनल मैनिफोल्ड है, तो यह चार्ट के एटलस (टोपोलॉजी) से सुसज्जित है $$(U_\alpha,\phi_\alpha)$$, जहां $$ U_\alpha$$ $$M$$ में एक खुला समूह है  तथा
 * $$\phi_\alpha: U_\alpha \to \mathbb R^n$$

डिफियोमोर्फिज्म है। $$ U_\alpha $$ पर ये स्थानीय निर्देशांक एक समरूपता को जन्म देते हैं $$ T_xM\rightarrow\mathbb R^n$$ सभी के लिए $$ x\in U_\alpha$$. फिर हम एक मानचित्र को परिभाषित कर सकते हैं


 * $$\widetilde\phi_\alpha:\pi^{-1}\left(U_\alpha\right) \to \mathbb R^{2n}$$

द्वारा
 * $$\widetilde\phi_\alpha\left(x, v^i\partial_i\right) = \left(\phi_\alpha(x), v^1, \cdots, v^n\right)$$

हम $$TM$$ पर टोपोलॉजी और स्मूथ संरचना को परिभाषित करने के लिए इन मानचित्रों का उपयोग करते हैं. $$ TM$$ का एक उपसमुच्चय $$A$$ का खुला है और केवल


 * $$\widetilde\phi_\alpha\left(A\cap \pi^{-1}\left(U_\alpha\right)\right)$$

प्रत्येक $$\mathbb R^{2n}$$ के लिए $$ \alpha.$$ में खुला है। $$TM$$  तथा $$\mathbb R^{2n}$$ये मानचित्र खुले उपसमुच्चय के बीच होमोमोर्फिज्म हैं  और इसलिए स्मूथ संरचना के लिए चार्ट $$TM$$ के रूप में कार्य करें I चार्ट ओवरलैप $$\pi^{-1}\left(U_\alpha \cap U_\beta\right)$$पर संक्रमण कार्य करता है  संबंधित समन्वय परिवर्तन के जैकबियन मैट्रिक्स से प्रेरित हैं और इसलिए खुले उपसमुच्चय $$\mathbb R^{2n}$$ के बीच सहज चित्र  हैं I

स्पर्शरेखा बंडल अधिक सामान्य निर्माण का एक उदाहरण है जिसे वेक्टर बंडल कहा जाता है (जो स्वयं एक विशिष्ट प्रकार का फाइबर बंडल है)। स्पष्ट रूप से, एक $$n$$ -आयामी $$M$$ स्पर्शरेखा बंडल को रैंक $$n$$ वेक्टर बंडल ओवर $$M$$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है,   जिनके संक्रमण कार्य जैकोबियन मैट्रिक्स और संबंधित समन्वय परिवर्तनों के निर्धारक द्वारा दिए गए हैं।

उदाहरण
सबसे सरल उदाहरण $$\mathbb R^n$$का है. इस स्थिति में स्पर्शरेखा बंडल तुच्छ है: प्रत्येक $$ T_x \mathbf \mathbb R^n $$ कैनोनिक रूप से आइसोमोर्फिक है $$ T_0 \mathbb R^n $$ मानचित्र के माध्यम से $$ \mathbb R^n \to \mathbb R^n $$ जो घटाता है $$ x $$, एक भिन्नता दे रहा है $$ T\mathbb R^n \to \mathbb R^n \times \mathbb R^n$$.

एक अन्य सरल उदाहरण इकाई घेरा है, $$ S^1 $$ (ऊपर चित्र देखें)। वृत्त का स्पर्शरेखा बंडल भी तुच्छ और समरूप है $$ S^1\times\mathbb R $$. ज्यामितीय रूप से, यह अनंत ऊँचाई का एक बेलन (ज्यामिति) है।

केवल स्पर्शरेखा बंडल जिन्हें आसानी से देखा जा सकता है वे वास्तविक रेखा के हैं $$\mathbb R $$ और इकाई घेरा $$S^1$$, दोनों तुच्छ हैं। 2-आयामी मैनिफोल्ड के लिए स्पर्शरेखा बंडल 4-आयामी है और इसलिए कल्पना करना कठिन है।

एक गैर-तुच्छ स्पर्शरेखा बंडल का एक सरल उदाहरण इकाई क्षेत्र का है $$ S^2 $$: बालों वाली गेंद प्रमेय के परिणामस्वरूप यह स्पर्शरेखा बंडल अनौपचारिक है। इसलिए, गोला समानांतर नहीं है।

वेक्टर फ़ील्ड्स
मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्शरेखा सदिश के एक सहज कार्यभार को सदिश क्षेत्र कहा जाता है। विशेष रूप से, $$ M $$ कई गुना पर एक सदिश क्षेत्र एक सहज चित्र है
 * $$V\colon M \to TM$$

जैसे कि $$V(x) = (x,V_x)$$ साथ $$V_x\in T_xM$$ प्रत्येक के लिए $$x\in M$$. फाइबर बंडलों की भाषा में, ऐसे मानचित्र को खंड (फाइबर बंडल) कहा जाता है। इसलिए $$M$$ पर सदिश क्षेत्र $$M$$ के स्पर्शरेखा बंडल का एक भाग है।

चालू सभी सदिश क्षेत्रों का सेट $$M$$ द्वारा निरूपित किया जाता है $$\Gamma(TM)$$. सदिश क्षेत्रों को बिंदुवार एक साथ जोड़ा जा सकता है


 * $$(V+W)_x = V_x + W_x$$

और $$M$$ पर सुचारू कार्यों से गुणा किया जाता है


 * $$(fV)_x = f(x)V_x$$

अन्य वेक्टर क्षेत्र प्राप्त करने के लिए। सभी सदिश क्षेत्रों का समुच्चय $$\Gamma(TM)$$ फिर M पर सुचारू कार्यों के साहचर्य बीजगणित पर एक मॉड्यूल (गणित) की संरचना को निरूपित करता है $$C^{\infty}(M)$$.

एक स्थानीय वेक्टर क्षेत्र चालू है $$M$$ स्पर्शरेखा बंडल का एक स्थानीय खंड है। अर्थात्, एक स्थानीय सदिश क्षेत्र केवल कुछ खुले समुच्चय $$U\subset M$$ पर ही परिभाषित होता है और $$U$$ के प्रत्येक बिंदु को समर्पण करता है  संबंधित स्पर्शरेखा $$M$$ स्थान में एक स्थानीय वेक्टर क्षेत्र खुले समूहे की  एक संरचना बनाता है जिसे $$M$$ वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान के शीफ (गणित) के रूप में जाना जाता है.

उपरोक्त निर्माण समान रूप से कॉटैंजेंट बंडल पर समान रूप से लागू होता है - अंतर 1-रूपों पर $$M$$ कॉटैंजेंट बंडल के ठीक खंड हैं $$\omega \in \Gamma(T^*M)$$, $$\omega: M \to T^*M$$ जो प्रत्येक  बिंदु से जुड़ा है $$x \in M$$ 1-कोवेक्टर $$\omega_x \in T^*_xM$$, जो वास्तविक संख्याओं के लिए स्पर्शरेखा सदिशों को मैप करते हैं: $$\omega_x : T_xM \to \R$$. समान रूप से, एक अंतर 1-रूप $$\omega \in \Gamma(T^*M)$$ एक सहज वेक्टर क्षेत्र को मैप करता है I$$X \in \Gamma(TM)$$ सुचारू कार्य करने के लिए $$\omega(X) \in C^{\infty}(M)$$.

उच्च-क्रम स्पर्शरेखा बंडल
स्पर्शरेखा बंडल के बाद से $$TM$$ दूसरे क्रम के स्पर्शरेखा बंडल को स्पर्शरेखा बंडल निर्माण के बार-बार आवेदन के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है:


 * $$T^2 M = T(TM).\,$$

सामान्य तौर पर, $$k$$वें क्रम स्पर्शरेखा बंडल $$T^k M$$ के रूप में पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया जा सकता है $$T\left(T^{k-1}M\right)$$.

एक सहज चित्र $$ f: M \rightarrow N$$ एक प्रेरित व्युत्पन्न है, जिसके लिए स्पर्शरेखा बंडल उपयुक्त डोमेन और श्रेणी है $$Df : TM \rightarrow TN$$. इसी तरह, उच्च-क्रम स्पर्शरेखा बंडल उच्च-क्रम डेरिवेटिव के लिए डोमेन और श्रेणी प्रदान करते हैं $$D^k f : T^k M \to T^k N$$.

एक अलग लेकिन संबंधित निर्माण कई गुना पर जेट बंडल हैं, जो जेट (गणित) से युक्त बंडल हैं।

स्पर्शरेखा बंडल पर कैनोनिकल वेक्टर क्षेत्र प्रत्येक स्पर्शरेखा बंडल पर $$TM$$, कई गुना के रूप में माना जाता है, एक विहित वेक्टर क्षेत्र को परिभाषित कर सकता है $$V:TM\rightarrow T^2M $$ प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान पर विकर्ण मानचित्र के रूप में यह संभव है क्योंकि सदिश समष्टि W का स्पर्शी स्थान स्वाभाविक रूप से एक गुणनफल है, $$TW \cong W \times W,$$ चूँकि सदिश स्थान स्वयं समतल है, और इस प्रकार एक प्राकृतिक विकर्ण मानचित्र है $$W \to TW$$ के द्वारा दिया गया $$w \mapsto (w, w)$$ इस उत्पाद संरचना के अंतर्गत है। इस उत्पाद संरचना को प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान पर लागू करने और वैश्वीकरण से विहित वेक्टर क्षेत्र प्राप्त होता है। $$M$$ अनौपचारिक रूप से, चूँकि कई गुना घुमावदार है, एक बिंदु पर प्रत्येक स्पर्शरेखा स्थान $$x$$, $$T_x M \approx \mathbb{R}^n$$, समतल है, इसलिए $$TM$$ स्पर्शरेखा बंडल कई गुना है I $$M$$ स्थानीय रूप से घुमावदार का एक उत्पाद है  और एक फ्लैट $$\mathbb{R}^n.$$ इस प्रकार स्पर्शरेखा बंडल का स्पर्शरेखा बंडल स्थानीय रूप से (उपयोग करके $$\approx$$ निर्देशांक की पसंद के लिए और $$\cong$$ प्राकृतिक पहचान के लिए):


 * $$T(TM) \approx T(M \times \mathbb{R}^n) \cong TM \times T(\mathbb{R}^n) \cong TM \times (  \mathbb{R}^n\times\mathbb{R}^n)$$

और चित्र $$TTM \to TM$$ पहले निर्देशांक पर प्रक्षेपण है:
 * $$(TM \to M) \times (\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n).$$

पहले मानचित्र को शून्य खंड के माध्यम से और दूसरे मानचित्र को विकर्ण द्वारा विभाजित करने से विहित वेक्टर क्षेत्र उत्पन्न होता है।

यदि $$(x,v)$$ के लिए स्थानीय निर्देशांक हैं $$TM$$, सदिश क्षेत्र में व्यंजक है


 * $$ V = \sum_i \left. v^i \frac{\partial}{\partial v^i} \right|_{(x,v)}.$$

अधिक संक्षेप में, $$(x, v) \mapsto (x, v, 0, v)$$ - निर्देशांक की पहली जोड़ी नहीं बदलती क्योंकि यह एक बंडल का खंड है और ये केवल आधार स्थान में बिंदु हैं: निर्देशांक की अंतिम जोड़ी ही खंड है। सदिश क्षेत्र के लिए यह व्यंजक केवल निर्भर $$v$$ पर नहीं $$x$$ करता है, क्योंकि केवल स्पर्शरेखा दिशाओं को स्वाभाविक रूप से पहचाना जा सकता है।

वैकल्पिक रूप से, अदिश गुणन फलन पर विचार करें:
 * $$\begin{cases}

\mathbb{R} \times TM \to TM \\ (t,v) \longmapsto tv \end{cases}$$ चर के संबंध में इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न $$\mathbb R$$ समय पर $$t=1$$ एक कार्य है $$ V:TM\rightarrow T^2M $$, जो विहित सदिश क्षेत्र का एक वैकल्पिक विवरण है।

इस तरह के एक सदिश क्षेत्र का अस्तित्व $$ TM $$ कोटेन्जेंट बंडल पर विहित एक रूप के अनुरूप है। कभी-कभी $$ V $$ लिउविल वेक्टर क्षेत्र या रेडियल वेक्टर क्षेत्र भी कहा जाता है। $$ V $$ का उपयोग करते हुए कोई स्पर्शरेखा बंडल को चिह्नित कर सकता है। अनिवार्य रूप से, $$ V $$ 4 स्वयंसिद्धों का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है, और यदि कई गुना एक सदिश क्षेत्र है जो इन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, तो कई गुना एक स्पर्शरेखा बंडल है और सदिश क्षेत्र उस पर विहित सदिश क्षेत्र है। उदाहरण के लिए देखें, डी लियोन एट अल।

लिफ्ट्स
$$ M $$ पर वस्तुओं को $$ TM $$  पर    वस्तुओं को उठाने  के विभिन्न उपाय हैं I उदाहरण के लिए, यदि $$ \gamma $$ में वक्र है $$ M $$, फिर $$ \gamma' $$ (की स्पर्शरेखा $$ \gamma $$) में एक वक्र है $$ TM $$. इसके विपरीत, बिना किसी धारणा के $$ M $$ (कहते हैं, एक रिमेंनियन मीट्रिक), कॉटैंजेंट बंडल में कोई समान लिफ्ट नहीं उठा सकता है

किसी फ़ंक्शन का लंबवत लिफ़्ट $$ f:M\rightarrow\mathbb R $$ कार्य है $$ f^\vee:TM\rightarrow\mathbb R $$ द्वारा परिभाषित $$f^\vee=f\circ \pi$$, कहाँ पे $$ \pi:TM\rightarrow M $$ कैनोनिकल प्रोजेक्शन है।

यह भी देखें

 * पुशफॉरवर्ड (अंतर)
 * इकाई स्पर्शरेखा बंडल
 * स्पर्शरेखा बंडल
 * फ्रेम बंडल
 * संगीत समरूपता

संदर्भ

 * . ISBN 978-0-8218-4815-9
 * John M. Lee, Introduction to Smooth Manifolds, (2003) Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-95495-3.
 * Jürgen Jost, Riemannian Geometry and Geometric Analysis, (2002) Springer-Verlag, Berlin. ISBN 3-540-42627-2
 * Ralph Abraham and Jerrold E. Marsden, Foundations of Mechanics, (1978) Benjamin-Cummings, London. ISBN 0-8053-0102-X
 * M. De León, E. Merino, J.A. Oubiña, M. Salgado, A characterization of tangent and stable tangent bundles, Annales de l'institut Henri Poincaré (A) Physique théorique, Vol. 61, no. 1, 1994, 1-15

बाहरी संबंध

 * Wolfram MathWorld: Tangent Bundle
 * PlanetMath: Tangent Bundle
 * PlanetMath: Tangent Bundle