रशब्रुक असमानता

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, रशब्रुक असमानता चुंबकीय निकाय के क्रांतिक घातांक से संबंधित है जो अशून्य तापमान T के लिए ऊष्मागतिकी सीमा में प्रथम-कोटि प्रावस्था संक्रमण प्रदर्शित करता है।

चूंकि हेल्महोल्ट्ज़ मुक्त ऊर्जा व्यापक मात्रा होती है, प्रति साइट मुक्त ऊर्जा के लिए सामान्यीकरण इस प्रकार दिया गया है
 * $$ f = -kT \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N}\log Z_N $$

ऊष्मागतिकी सीमा में चुंबकीयता M प्रति साइट, बाह्य चुंबकीय क्षेत्र H और तापमान T पर निर्भर करती है, जो निम्न प्रकार होती है:


 * $$ M(T,H) \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \left( \sum_i \sigma_i \right) = - \left( \frac{\partial f}{\partial H} \right)_T $$

जहां $$ \sigma_i $$ i-वें स्थान पर स्पिन है, और चुंबकीय सुग्राहिता और निरंतर तापमान और क्षेत्र पर विशिष्ट गर्मी क्रमशः द्वारा दी जाती है


 * $$ \chi_T(T,H) = \left( \frac{\partial M}{\partial H} \right)_T $$

और


 * $$ c_H = -T \left( \frac{\partial^2 f}{\partial T^2} \right)_H. $$

परिभाषाएँ
क्रांतिक घातांक $$ \alpha, \alpha', \beta, \gamma, \gamma' $$ और $$ \delta $$ को अनुक्रम पैरामीटर और प्रतिक्रिया फलन के क्रांतिक बिंदु के पास प्रतिक्रिया के माध्यम से निर्धारित किया जाता है जैसे निम्नप्रकार:


 * $$ M(t,0) \simeq (-t)^{\beta}\mbox{ for }t \uparrow 0 $$


 * $$ M(0,H) \simeq |H|^{1/ \delta} \operatorname{sign}(H)\mbox{ for }H \rightarrow 0 $$


 * $$ \chi_T(t,0) \simeq \begin{cases}

(t)^{-\gamma}, & \textrm{for} \ t \downarrow 0 \\ (-t)^{-\gamma'}, & \textrm{for} \ t \uparrow 0 \end{cases} $$


 * $$ c_H(t,0) \simeq \begin{cases}

(t)^{-\alpha} & \textrm{for} \ t \downarrow 0 \\ (-t)^{-\alpha'} & \textrm{for} \ t \uparrow 0 \end{cases} $$ जहां


 * $$ t \ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  \frac{T-T_c}{T_c}$$

तापमान को क्रांतिक बिंदु के सापेक्ष मापता है।

व्युत्पत्ति
प्रतिक्रिया फलनों के लिए मैक्सवेल संबंधों के चुंबकीय एनालॉग के लिए, संबंध


 * $$ \chi_T (c_H -c_M) = T \left( \frac{\partial M}{\partial T} \right)_H^2 $$

अनुसरण करता है, और ऊष्मागतिक स्थिरता के अनुरोध के साथ जहां $$ c_H, c_M\mbox{ and }\chi_T \geq 0 $$ हैं, उनमें निम्नलिखित होता है:


 * $$ c_H \geq \frac{T}{\chi_T} \left( \frac{\partial M}{\partial T} \right)_H^2 $$

जो, $$ H=0, t>0$$ प्रतिबाधाओं के तहत और क्रांतिक घातांक की परिभाषा देता है


 * $$ (-t)^{-\alpha'} \geq \mathrm{constant}\cdot(-t)^{\gamma'}(-t)^{2(\beta-1)} $$

जो रशब्रुक असमानता प्रदान करता है


 * $$ \alpha' + 2\beta + \gamma' \geq 2. $$

उल्लेखनीय रूप से, प्रयोगशाला में और यथार्थ रूप से हल किए गए मॉडलों में, यह असमानता वास्तव में एक समानता के रूप में स्थापित होती है।,