त्रिकोणमितीय फलनों का विभेदन

त्रिकोणमितीय कार्यों का विभेदन एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न, या एक चर के संबंध में इसके परिवर्तन की दर को खोजने की गणितीय प्रक्रिया है। उदाहरण के रूप में, sine फ़ंक्शन की विभेदी को sin'(a) = cos(a) लिखा जाता है, इसका अर्थ होता है कि एक विशेष कोण x = a पर sin(x) की दर का पता करने के लिए उस कोण के cosine का उपयोग किया जाता है।

वृत्ताकार त्रिकोणमितीय फलनों के सभी व्युत्पन्न tan(x) और cos(x) से प्राप्त किए जा सकते हैं, जो tan(x) = syn जैसे फलनों पर लागू भागफल नियम के माध्यम से पाए जा सकते हैं। (x)/cos(x). इन व्युत्पन्नों को जानकर, अंतर्निहित विभेदन का उपयोग करके व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न पाए जाते हैं।

त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलजों के प्रमाण
sin(θ)/θ की सीमा θ के 0 के पास जाते हुए, दायीं ओर का आरेख नीचे एक वृत्त दिखाता है जिसका केंद्र O है और त्रिज्या r = 1 है।यदि दो त्रिज्याएँ OA और OB θ रेडियन का एक चाप बनाते हैं। θ के 0 के पास जाने की सीमा को विचार करते हुए, हम θ को एक छोटी सकारात्मक संख्या मान सकते हैं, कहें 0 < θ < ½ π पहली चतुर्थांश में।मान लीजि

आरेख में, त्रिभुज OAB को R1, वृत्तीय क्षेत्र OAB को R2 और त्रिभुज OAC को R3 लें। त्रिभुज OAB का क्षेत्र है:


 * $$ \mathrm{Area}(R_1

) =\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |OB| \sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin\theta \, . $$ वृत्तीय क्षेत्र OAB का क्षेत्रफल है: $$\mathrm{Area}(R_2) =\tfrac{1}{2}\theta$$,जबकि त्रिभुज OAC का क्षेत्रफल निम्नलिखित है:
 * $$ \mathrm{Area}(R_3

) =\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |AC| = \tfrac{1}{2} \tan\theta \, . $$ चूँकि प्रत्येक क्षेत्र अगले क्षेत्र में समाहित होता है,इसलिए निम्नलिखित सम्बंध होता है:


 * $$\text{Area}(R_1) < \text{Area}(R_2) < \text{Area}(R_3) \implies

\tfrac{1}{2}\sin\theta < \tfrac{1}{2}\theta < \tfrac{1}{2}\tan\theta \,. $$ और इसके अलावा,क्योंकि पहले चतुर्थांश में sin θ > 0 होता है, हम ½ sin θ से विभाजन कर सकते हैं,जिससे निम्नलिखित मिलता है:
 * $$1 < \frac{\theta}{\sin\theta} < \frac{1}{\cos\theta} \implies 1 > \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos\theta \, . $$

अंतिम चरण में हमने असमानताओं को उलटते हुए,तीन सकारात्मक शब्दों का प्रतिपक्ष लिया।

हम निष्कर्ष निकालते हैं कि 0 < θ < ½ π के लिए, राशि sin(θ)/θ हमेशा 1 से छोटी होती है और हमेशा cos(θ) से अधिक होती है।इस प्रकार, जब θ को 0 के पास ले जाते हैं, तो sin(θ)/θ को एक छत 1 के स्तर पर और एक नीचे cos θ के स्तर पर "दबाया" जाता है, जो 1 की ओर बढ़ता है;इसलिए θ को सकारात्मक दिशा से 0 की ओर ले जाते हुए, sin(θ)/θ 1 की ओर प्रवृत्त होना चाहिए:"$\lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \, . $"ऐसी स्थिति के लिए जहां θ एक छोटी ऋणात्मक संख्या हो -½ π < θ < 0, तब हम उस तथ्य का उपयोग करते हैं कि sine एक विषम फलन है:


 * $$\lim_{\theta \to 0^-}\! \frac{\sin\theta}{\theta}

\ =\ \lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin(-\theta)}{-\theta} \ =\ \lim_{\theta \to 0^+}\!\frac{-\sin\theta}{-\theta} \ =\ \lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin\theta}{\theta} \ =\ 1 \, . $$

(cos(θ)-1)/θ की सीमा होगी जब θ को 0 के पास ले जाते हैं
अंतिम खंड की मदद से हम इस नई सीमा की गणना को संबंधित रूप से आसानी से कर सकते हैं।इसे एक सरल तकनीक का उपयोग करके किया जाता है। इस गणना में, θ के चिह्न का महत्व नहीं होता है।
 * $$ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos\theta - 1}{\theta}

\ =\ \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos\theta - 1}{\theta} \right)\!\! \left( \frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right) \ =\ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos^2\!\theta - 1}{\theta\,(\cos\theta + 1)}. $$ का उपयोग करते हुए cos2θ – 1 = –sin2θ, तथ्य यह है कि किसी उत्पाद की सीमा सीमाओं का उत्पाद है, और पिछले अनुभाग से सीमा परिणाम, हम पाते हैं कि:


 * $$ \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\cos\theta - 1}{\theta}

\ =\ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)} \ =\ \left( -\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right) \ =\ (-1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0 \,. $$

tan(θ)/θ की सीमा होगी जब θ को 0 के पास ले जाते हैं
Sine फलन के लिए सीमा का उपयोग करते हुए, टैंजेंट फलन विषम होने के कारण,किसी उत्पाद की सीमा सीमाओं का उत्पाद है के तथ्य का उपयोग करते हुए,हमें निम्नलिखित मिलता है:

\lim_{\theta\to 0} \frac{\tan\theta}{\theta} \ =\ \left(\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta\to 0} \frac{1}{\cos\theta}\right) \ =\ (1)(1) \ =\   1 \, . $$

ज्या फलन का व्युत्पन्न
हम सीमा परिभाषा से ज्या फलन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0} \frac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} . $$

कोण समीकरण सूत्र sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α का उपयोग करते हुए, हमें निम्नलिखित मिलता है:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta} = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta + \frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta \right). $$ sineऔर cosineफ़ंक्शन की सीमाओं का उपयोग करते हुए:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta

= (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \cos\theta \,. $$

व्युत्पन्न की परिभाषा से
हम फिर से सीमा परिभाषा से कोज्या फलन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं:


 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\cos(\theta+\delta)-\cos\theta}{\delta}. $$ कोण जोड़ सूत्र cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β का उपयोग करते हुए,हमें निम्नलिखित मिलता है:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta} = \lim_{\delta \to 0} \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta \,-\, \frac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta \right). $$ साइन और कोसाइन फ़ंक्शन की सीमाओं का उपयोग करते हुए:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= (0) \cos\theta - (1) \sin\theta = -\sin\theta \,. $$

श्रृंखला नियम से
श्रृंखला नियम से कोज्या फलन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए,पहले निम्नलिखित तीन तथ्यों का ध्यान दें:
 * $$\cos\theta = \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$
 * $$\sin\theta = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\theta = \cos\theta$$

पहला और दूसरा तथ्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की समानताएं है,और तीसरा उपरोक्त प्रमाणित है। इन तीन तथ्यों का उपयोग करके हम निम्नलिखित लिख सकते हैं,
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$

हम श्रृंखला नियम का उपयोग करके अवकलन कर सकते हैं।यदि $$f(x) = \sin x,\ \ g(\theta) =\tfrac{\pi}{2}-\theta$$, तो हमारे पास यह होगा:


 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} f\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) = f^\prime\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) \cdot g^\prime\!\left(\theta\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right) \cdot (0-1) = -\sin\theta$$.

इसलिए,हमने सिद्ध किया है कि
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = -\sin\theta$$.

व्युत्पन्न की परिभाषा से
स्पर्शज्या फलन tan θ के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, हम पहले सिद्धांतों का उपयोग करते हैं। परिभाषा के अनुसार:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\tan(\theta+\delta)-\tan\theta}{\delta} \right). $$ प्रसिद्ध कोण सूत्र tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) का उपयोग करते हुए, हमें निम्नलिखित मिलता है:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\frac{\tan\theta + \tan\delta}{1 - \tan\theta\tan\delta} - \tan\theta}{\delta} \right] = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\tan\theta + \tan\delta - \tan\theta + \tan^2\theta\tan\delta}{\delta \left( 1 - \tan\theta\tan\delta \right)} \right]. $$ इस तथ्य कि किसी उत्पाद की सीमा सीमाओं का उत्पाद है का उपयोग करते हुए:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \frac{\tan\delta}{\delta} \times \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - \tan\theta\tan\delta} \right). $$ टैंजेंट फ़ंक्शन की सीमा का उपयोग करते हुए,और यह तथ्य की tan δ को 0 के पास ले जाते हुए δ को 0 के पास ले जाते हैं:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = 1 \times \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - 0} = 1 + \tan^2\theta. $$ हम तुरंत देखते हैं कि:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = 1 + \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} = \sec^2\theta \,. $$

भागफल नियम से
स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को भागफल नियम का उपयोग करके की गणना भी कर सकता है।$$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\left(\sin\theta\right)^\prime \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot \left(\cos\theta\right)^\prime}{ \cos^2 \theta } = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} $$

पायथागॉरियन सर्वसमिकाओं द्वारा अंश को 1से सरलित किया जा सकता है, जिससे हमें निम्नलिखित मिलता है:
 * $$\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta$$

इसलिए,
 * $$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \sec^2 \theta$$

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलजों का प्रमाण
निम्नलिखित व्युत्पन्न एक चर (गणित) y को व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के बराबर सेट करके पाए जाते हैं(निम्नलिखित अवकलनी की अवकलनी के लिए हम एक चर y को सेट करके निम्नलिखित अवकलनी के लिए अवकलनी करते हैं।) जिसका हम व्युत्पन्न लेना चाहते हैं।बहिर्मुखी विभक्ति का उपयोग करके और फिर dy/dx के लिए हल करके, प्रतिलोम फलन का व्युत्पन्न y के रूप में प्राप्त किया जाता है।dy/dx को फिर से x के आधार पर प्रकट करने के लिए, हम यूनिट सर्कल पर एक संदर्भ त्रिकोण बना सकते हैं, जहां θ को y के रूप में लिया जाता है।पाइथागोरस प्रमेय और नियमित त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा का उपयोग करके,हम अंततः dy/dx को x के आधार पर व्यक्त कर सकते हैं।

प्रतिलोम ज्या फलन को अवकलनी करना
हम


 * $$y=\arcsin x\,\!$$

को लेते हैं, जहां


 * $$-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}$$

फिर


 * $$\sin y=x\,\!$$

होता है। दोनों पक्षों से $$x$$ के संबंध में व्युत्पन्न के लिए विभाजन के साथ लिया गया तथा dy/dx के लिए किया जाता है:


 * $${d \over dx}\sin y={d \over dx}x$$
 * $$\cos y \cdot {dy \over dx} = 1\,\!$$

ऊपर से स्थानांतरण $$ \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}$$ करते हुए,


 * $$\sqrt{1-\sin^2 y} \cdot {dy \over dx} =1$$

स्थानापन्न $$x=\sin y$$ ऊपर से,


 * $$\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1$$
 * $${dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

प्रतिलोम कोज्या फलन को विभेदित करना
हम जाने


 * $$y=\arccos x\,\!$$

कहाँ


 * $$0 \le y \le \pi$$

तब


 * $$\cos y=x\,\!$$

के संबंध में व्युत्पन्न लेना $$x$$ दोनों तरफ और dy/dx के लिए समाधान:


 * $${d \over dx}\cos y={d \over dx}x$$
 * $$-\sin y \cdot {dy \over dx} =1$$

स्थानापन्न $$\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}\,\!$$ ऊपर से, हमें मिलता है


 * $$-\sqrt{1-\cos^2 y} \cdot {dy \over dx} =1$$

स्थानापन्न $$x=\cos y\,\!$$ ऊपर से, हमें मिलता है


 * $$-\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1$$
 * $${dy \over dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

वैकल्पिक रूप से, एक बार व्युत्पन्न $$\arcsin x$$ स्थापित है, का व्युत्पन्न $$\arccos x$$ पहचान को अलग करके तुरंत अनुसरण करता है $$\arcsin x+\arccos x=\pi/2$$ ताकि $$(\arccos x)'=-(\arcsin x)'$$.

प्रतिलोम स्पर्शरेखा फलन को विभेदित करना
हम जाने


 * $$y=\arctan x\,\!$$

कहाँ


 * $$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

तब


 * $$\tan y=x\,\!$$

के संबंध में व्युत्पन्न लेना $$x$$ दोनों तरफ और dy/dx के लिए समाधान:


 * $${d \over dx}\tan y={d \over dx}x$$

बाईं तरफ:



{d \over dx}\tan y = \sec^2 y \cdot {dy \over dx} = (1 + \tan^2 y) {dy \over dx} $$ पायथागॉरियन पहचान का उपयोग करना

दाईं ओर:


 * $${d \over dx}x = 1$$

इसलिए,


 * $$(1+\tan^2 y){dy \over dx}=1$$

स्थानापन्न $$x=\tan y\,\!$$ ऊपर से, हमें मिलता है


 * $$(1+x^2){dy \over dx}=1$$
 * $${dy \over dx}=\frac{1}{1+x^2}$$

प्रतिलोम कोटैंजेंट फ़ंक्शन को विभेदित करना
हम जाने


 * $$y=\arccot x$$

कहाँ $$0<y<\pi$$. तब


 * $$\cot y=x$$

के संबंध में व्युत्पन्न लेना $$x$$ दोनों तरफ और dy/dx के लिए समाधान:


 * $$\frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x$$

बाईं तरफ:



{d \over dx}\cot y = -\csc^2 y \cdot {dy \over dx} = -(1 + \cot^2 y) {dy \over dx} $$ पायथागॉरियन पहचान का उपयोग करना

दाईं ओर:


 * $${d \over dx}x = 1$$

इसलिए,


 * $$-(1+\cot^2y)\frac{dy}{dx}=1$$

स्थानापन्न $$x=\cot y$$,


 * $$-(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1$$
 * $$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}$$

वैकल्पिक रूप से, के व्युत्पन्न के रूप में $$\arctan x$$ जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, फिर पहचान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है $$\arctan x+\arccot x=\dfrac{\pi}{2}$$ उसका तुरंत अनुसरण करता है$$\begin{align} \dfrac{d}{dx}\arccot x &=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x\right)\\ &=-\dfrac{1}{1+x^2} \end{align}$$

अंतर्निहित विभेदन का उपयोग करना
होने देना


 * $$ y = \arcsec x\ \mid |x| \geq 1$$

तब


 * $$ x = \sec y \mid \ y \in \left [0,\frac{\pi}{2} \right )\cup \left (\frac{\pi}{2},\pi \right]

$$
 * $$ \frac{dx}{dy} = \sec y \tan y = |x|\sqrt{x^2-1}$$

(अभिव्यक्ति में पूर्ण मान आवश्यक है क्योंकि y के अंतराल में छेदक और स्पर्शरेखा का गुणनफल हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, जबकि मूलांक $$\sqrt{x^2-1}$$ मुख्य वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, इसलिए शेष कारक भी गैर-नकारात्मक होना चाहिए, जो x के निरपेक्ष मान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।)


 * $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

श्रृंखला नियम का उपयोग करना
वैकल्पिक रूप से, आर्कसेकेंट का व्युत्पन्न श्रृंखला नियम का उपयोग करके आर्ककोसाइन के व्युत्पन्न से प्राप्त किया जा सकता है।

होने देना


 * $$ y = \arcsec x = \arccos \left(\frac{1}{x}\right) $$

कहाँ


 * $$ |x| \geq 1 $$ और $$ y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] $$

फिर, श्रृंखला नियम को लागू करना $$ \arccos \left(\frac{1}{x}\right) $$:


 * $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)

= \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} $$

अंतर्निहित विभेदन का उपयोग करना
होने देना


 * $$y = \arccsc x\ \mid |x| \geq 1$$

तब


 * $$ x = \csc y\ \mid \ y \in \left [-\frac{\pi}{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi}{2} \right]$$
 * $$ \frac{dx}{dy} = -\csc y \cot y = -|x|\sqrt{x^2-1}$$

(अभिव्यक्ति में निरपेक्ष मान आवश्यक है क्योंकि y के अंतराल में कोसेकेंट और कोटैंजेंट का गुणनफल हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, जबकि रेडिकल $$\sqrt{x^2-1}$$ मुख्य वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, इसलिए शेष कारक भी गैर-नकारात्मक होना चाहिए, जो x के निरपेक्ष मान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।)
 * $$ \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

श्रृंखला नियम का उपयोग करना
वैकल्पिक रूप से, आर्ककोसेकेंट का व्युत्पन्न श्रृंखला नियम का उपयोग करके आर्क्साइन के व्युत्पन्न से प्राप्त किया जा सकता है।

होने देना


 * $$ y = \arccsc x = \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) $$

कहाँ


 * $$ |x| \geq 1 $$ और $$ y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] $$

फिर, श्रृंखला नियम को लागू करना $$ \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) $$:


 * $$ \frac{dy}{dx} =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)

= -\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = -\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}} = -\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} $$

ग्रन्थसूची

 * Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)