असतत मूल्यांकन

गणित में, असतत मूल्यांकन एक फ़ील्ड (गणित) K पर पूर्णांक मूल्यांकन (बीजगणित) होता है; वह है, एक फ़ंक्शन (गणित):


 * $$\nu:K\to\mathbb Z\cup\{\infty\}$$

शर्तों को पूरा करना:


 * $$\nu(x\cdot y)=\nu(x)+\nu(y)$$
 * $$\nu(x+y)\geq\min\big\{\nu(x),\nu(y)\big\}$$
 * $$\nu(x)=\infty\iff x=0$$

सभी के लिए $$x,y\in K$$.

ध्यान दें कि अक्सर तुच्छ मूल्यांकन जो केवल मूल्यों पर होता है $$0,\infty$$ स्पष्ट रूप से बहिष्कृत है।

गैर-तुच्छ असतत मूल्यांकन वाले क्षेत्र को असतत मूल्यांकन क्षेत्र कहा जाता है।

असतत मूल्यांकन के छल्ले और क्षेत्रों पर मूल्यांकन
हर क्षेत्र को $$K$$ असतत मूल्यांकन के साथ $$\nu$$ हम सबरिंग को जोड़ सकते हैं


 * $$\mathcal{O}_K := \left\{ x \in K \mid \nu(x) \geq 0 \right\}$$

का $$K$$, जो असतत मूल्यांकन अंगूठी है। इसके विपरीत, मूल्यांकन $$\nu: A \rightarrow \Z\cup\{\infty\}$$ असतत मूल्यांकन रिंग पर $$A$$ भागफल क्षेत्र पर असतत मूल्यांकन के लिए एक अनूठे तरीके से बढ़ाया जा सकता है $$K=\text{Quot}(A)$$; संबद्ध असतत मूल्यांकन रिंग $$\mathcal{O}_K$$ बस है $$A$$.

उदाहरण

 * निश्चित अभाज्य संख्या के लिए $$p$$ और किसी भी तत्व के लिए $$x \in \mathbb{Q}$$ शून्य लेखन से भिन्न $$x = p^j\frac{a}{b}$$ साथ $$j, a,b \in \Z$$ ऐसा है कि $$p$$ विभाजित नहीं करता $$a,b$$. तब $$\nu(x) = j$$ असतत मूल्यांकन है $$\Q$$, जिसे पी-एडिक वैल्यूएशन कहा जाता है।
 * एक रीमैन सतह को देखते हुए $$X$$, हम क्षेत्र पर विचार कर सकते हैं $$K=M(X)$$ मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन की $$X\to\Complex\cup\{\infin\}$$. एक निश्चित बिंदु के लिए $$p\in X$$, हम असतत मूल्यांकन को परिभाषित करते हैं $$K$$ निम्नलिखित नुसार: $$\nu(f)=j$$ अगर और केवल अगर $$j$$ सबसे बड़ा पूर्णांक है जैसे कि function $$f(z)/(z-p)^j$$ पर एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है $$p$$. इसका अर्थ है: यदि $$\nu(f)=j>0$$ तब $$f$$ आदेश की जड़ है $$j$$ बिंदु पर $$p$$; अगर $$\nu(f)=j<0$$ तब $$f$$ आदेश का एक ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है $$-j$$ पर $$p$$. इसी तरह, प्रत्येक नियमित बिंदु के लिए एक बीजगणितीय वक्र के बीजगणितीय विविधता के कार्य क्षेत्र पर असतत मूल्यांकन को भी परिभाषित करता है। $$p$$ वक्र के।

असतत मूल्यांकन के छल्ले पर लेख में अधिक उदाहरण मिल सकते हैं।