चार-सदिश

विशेष सापेक्षता में, एक चार-सदिश (या 4-वेक्टर) चार घटकों वाली एक वस्तु है, जो  लोरेंत्ज़ परिवर्तन ों के तहत एक विशिष्ट तरीके से रूपांतरित होती है। विशेष रूप से, चार-सदिश एक चार-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष का एक तत्व है जिसे  लोरेंत्ज़ समूह  के लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के  प्रतिनिधित्व स्थान  के रूप में माना जाता है, ($1⁄2$,$1⁄2$) प्रतिनिधित्व। यह  यूक्लिडियन वेक्टर  से भिन्न होता है कि इसका परिमाण कैसे निर्धारित किया जाता है। इस परिमाण को संरक्षित करने वाले परिवर्तन लोरेंत्ज़ परिवर्तन हैं, जिसमें रोटेशन समूह SO(3) और लोरेंत्ज़ परिवर्तन#लोरेंत्ज़ बूस्ट्स का भौतिक सूत्रीकरण शामिल है (एक स्थिर वेग से दूसरे  जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम  में परिवर्तन)। चार-वैक्टर वर्णन करते हैं, उदाहरण के लिए, स्थिति $x$ स्पेसटाइम में मिंकोव्स्की स्पेस  के रूप में मॉडलिंग की गई, एक कण का चार-संवेग $p$,  विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता  का आयाम $A(x)$ एक बिंदु पर $x$ स्पेसटाइम में, और लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत के अंदर  गामा मैट्रिसेस  द्वारा फैले उप-स्थान के तत्व#प्रेरित अभ्यावेदन।

लोरेंत्ज़ समूह को 4×4 मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है $Λ$. एक सामान्य contravariant वेक्टर चार-वेक्टर पर एक लोरेंत्ज़ परिवर्तन की कार्रवाई $X$ (उपरोक्त उदाहरणों की तरह), एक जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में कार्टेशियन निर्देशांक के साथ एक कॉलम वेक्टर के रूप में माना जाता है # प्रविष्टियों में विशेष सापेक्षता, द्वारा दी गई है

$$X' = \Lambda X,$$ (मैट्रिक्स गुणन) जहां प्राइमेड ऑब्जेक्ट के घटक नए फ्रेम को संदर्भित करते हैं। ऊपर दिए गए उदाहरणों से संबंधित जो कि कॉन्ट्रावेरिएंट वैक्टर के रूप में दिए गए हैं, संबंधित सहसंयोजक वेक्टर  भी हैं $x_{μ}$, $p_{μ}$ तथा $A_{μ}(x)$. ये नियम के अनुसार बदलते हैं

$$X' = \left(\Lambda^{-1}\right)^\textrm{T} X,$$ कहाँ पे $^{T}$ मैट्रिक्स स्थानांतरण  को दर्शाता है। यह नियम उपरोक्त नियम से भिन्न है। यह मानक प्रतिनिधित्व के दोहरे प्रतिनिधित्व से मेल खाती है। हालांकि, लोरेंत्ज़ समूह के लिए किसी भी प्रतिनिधित्व का दोहरा लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत है#मूल प्रतिनिधित्व के लिए दोहरी प्रतिनिधित्व। इस प्रकार सहसंयोजक सूचकांकों वाली वस्तुएं चार-वैक्टर भी हैं।

विशेष सापेक्षता में एक अच्छी तरह से व्यवहार किए गए चार-घटक वस्तु के उदाहरण के लिए जो चार-वेक्टर नहीं है, बिसपिनोर  देखें। यह समान रूप से परिभाषित किया गया है, अंतर यह है कि लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत परिवर्तन नियम मानक प्रतिनिधित्व के अलावा किसी अन्य प्रतिनिधित्व द्वारा दिया जाता है। इस मामले में, नियम पढ़ता है $X = Π(Λ)X$, कहाँ पे $Π(Λ)$ के अलावा एक 4×4 मैट्रिक्स है $Λ$. इसी तरह की टिप्पणियां कम या अधिक घटकों वाली वस्तुओं पर लागू होती हैं जो लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत अच्छी तरह से व्यवहार की जाती हैं। इनमें अदिश क्षेत्र,  स्पिनर ,  टेंसर क्षेत्र  और स्पिनर-टेंसर शामिल हैं।

लेख विशेष सापेक्षता के संदर्भ में चार-सदिशों पर विचार करता है। यद्यपि चार-वैक्टर की अवधारणा भी सामान्य सापेक्षता  तक फैली हुई है, इस लेख में बताए गए कुछ परिणामों में सामान्य सापेक्षता में संशोधन की आवश्यकता है।

संकेतन
इस आलेख में संकेतन हैं: त्रि-आयामी अंतरिक्ष  के लिए लोअरकेस बोल्ड | त्रि-आयामी वैक्टर, त्रि-आयामी इकाई वैक्टर के लिए टोपी,  अंतरिक्ष समय  वैक्टर के लिए पूंजी बोल्ड (चार-ढाल को छोड़कर), और  टेंसर इंडेक्स नोटेशन ।

वास्तविक-मूल्यवान आधार में चार-वैक्टर
एक चार-सदिश ए एक सदिश है जिसमें एक समयबद्ध घटक और तीन स्पैसिलिक घटक होते हैं, और इसे विभिन्न समकक्ष नोटेशन में लिखा जा सकता है:

$$ \begin{align} \mathbf{A} & = \left(A^0, \, A^1, \, A^2, \, A^3\right) \\ & = A^0\mathbf{E}_0 + A^1 \mathbf{E}_1 + A^2 \mathbf{E}_2 + A^3 \mathbf{E}_3 \\ & = A^0\mathbf{E}_0 + A^i \mathbf{E}_i \\ & = A^\alpha\mathbf{E}_\alpha\\ & = A^\mu \end{align}$$ जहां अंतिम रूप में परिमाण घटक और आधार वेक्टर  को एक ही तत्व में जोड़ा गया है।

ऊपरी सूचकांक वैक्टर घटकों के सहप्रसरण और विपरीतता को दर्शाते हैं। यहां मानक परंपरा यह है कि लैटिन सूचकांक स्थानिक घटकों के लिए मान लेते हैं, जिससे कि i = 1, 2, 3, और ग्रीक सूचकांक स्थान और समय घटकों के लिए मान लेते हैं, इसलिए α = 0, 1, 2, 3, योग के साथ प्रयोग किया जाता है सम्मेलन। समय घटक और स्थानिक घटकों के बीच विभाजन अन्य टेंसर मात्राओं के साथ एक चार वेक्टर के संकुचन का निर्धारण करने के लिए उपयोगी होता है, जैसे आंतरिक उत्पादों में लोरेंत्ज़ इनवेरिएंट की गणना के लिए (उदाहरण नीचे दिए गए हैं), या सूचकांकों को बढ़ाने और कम करने के लिए।

विशेष सापेक्षता में, स्थानिक आधार 'ई'1, तथा2, तथा3 और घटक ए1, ए2, ए3 अक्सर कार्टेशियन निर्देशांक आधार और घटक होते हैं:

$$ \begin{align} \mathbf{A} & = \left(A_t, \, A_x, \, A_y, \, A_z\right) \\ & = A_t \mathbf{E}_t + A_x \mathbf{E}_x + A_y \mathbf{E}_y + A_z \mathbf{E}_z \\ \end{align}$$ हालांकि, निश्चित रूप से, किसी अन्य आधार और घटकों का उपयोग किया जा सकता है, जैसे गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांक

$$ \begin{align} \mathbf{A} & = \left(A_t, \, A_r, \, A_\theta, \, A_\phi\right) \\ & = A_t \mathbf{E}_t + A_r \mathbf{E}_r + A_\theta \mathbf{E}_\theta + A_\phi \mathbf{E}_\phi \\ \end{align}$$ या बेलनाकार ध्रुवीय निर्देशांक ,

$$ \begin{align} \mathbf{A} & = (A_t, \, A_r, \, A_\theta, \, A_z) \\ & = A_t \mathbf{E}_t + A_r \mathbf{E}_r + A_\theta \mathbf{E}_\theta + A_z \mathbf{E}_z \\ \end{align}$$ या कोई अन्य ऑर्थोगोनल निर्देशांक, या यहां तक ​​कि सामान्य वक्रतापूर्ण निर्देशांक। ध्यान दें कि समन्वय लेबल हमेशा लेबल के रूप में सब्सक्राइब किए जाते हैं और संख्यात्मक मान लेने वाले सूचकांक नहीं होते हैं। सामान्य सापेक्षता में, स्थानीय आधार पर स्थानीय वक्रता निर्देशांक का उपयोग किया जाना चाहिए। ज्यामितीय रूप से, चार-सदिश की व्याख्या अभी भी एक तीर के रूप में की जा सकती है, लेकिन स्पेसटाइम में - न केवल अंतरिक्ष। सापेक्षता में, तीरों को मिंकोव्स्की आरेख  (जिसे स्पेसटाइम आरेख भी कहा जाता है) के भाग के रूप में खींचा जाता है। इस लेख में, चार-सदिशों को केवल वैक्टर के रूप में संदर्भित किया जाएगा।

यह स्तंभ वैक्टर द्वारा आधारों का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी प्रथागत है:

$$ \mathbf{E}_0 = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{E}_1 = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{E}_2 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{E}_3 = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ ताकि:

$$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix} $$ सहसंयोजक वेक्टर और कॉन्ट्रावेरिएंट निर्देशांक के बीच का संबंध मिंकोव्स्की मीट्रिक   मीट्रिक टेंसर  (मीट्रिक के रूप में संदर्भित) के माध्यम से होता है, जो सूचकांकों को इस प्रकार बढ़ाता और घटाता है:

$$A_{\mu} = \eta_{\mu \nu} A^{\nu} \,, $$ और विभिन्न समकक्ष संकेतन में सहसंयोजक घटक हैं:

$$ \begin{align} \mathbf{A} & = (A_0, \, A_1, \, A_2, \, A_3) \\ & = A_0\mathbf{E}^0 + A_1 \mathbf{E}^1 + A_2 \mathbf{E}^2 + A_3 \mathbf{E}^3 \\ & = A_0\mathbf{E}^0 + A_i \mathbf{E}^i \\ & = A_\alpha\mathbf{E}^\alpha\\ \end{align}$$ जहां निचला सूचकांक इसे सहप्रसरण और वैक्टर के विपरीत होने का संकेत देता है। अक्सर मीट्रिक विकर्ण होता है, जैसा कि ऑर्थोगोनल निर्देशांक (लाइन तत्व देखें) के मामले में होता है, लेकिन सामान्य वक्रतापूर्ण निर्देशांक में नहीं।

आधारों को पंक्ति वैक्टर द्वारा दर्शाया जा सकता है:

$$ \mathbf{E}^0 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{E}^1 = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{E}^2 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{E}^3 = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ ताकि: $$ \mathbf{A} = \begin{pmatrix} A_0 & A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix} $$ उपरोक्त सम्मेलनों के लिए प्रेरणा यह है कि आंतरिक उत्पाद एक अदिश राशि है, विवरण के लिए नीचे देखें।

लोरेंत्ज़ परिवर्तन
संदर्भ के दो जड़त्वीय या घुमाए गए फ्रेम को देखते हुए, चार-वेक्टर को एक मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है जो लोरेंत्ज़ रूपांतरण मैट्रिक्स के अनुसार बदलता है: $$\mathbf{A}' = \boldsymbol{\Lambda}\mathbf{A}$$ सूचकांक संकेतन में, contravariant और covariant घटक क्रमशः के अनुसार बदलते हैं: $${A'}^\mu = \Lambda^\mu {}_\nu A^\nu \,, \quad{A'}_\mu = \Lambda_\mu {}^\nu A_\nu$$ जिसमें मैट्रिक्स $Λ$ घटक हैं $Λ^{μ}_{ν}$ पंक्ति में$μ$ और कॉलम$ν$, और उलटा मैट्रिक्स  $Λ^{−1}$ घटक हैं $Λ_{μ}^{ν}$ पंक्ति में$μ$ और कॉलम$ν$.

इस परिवर्तन परिभाषा की प्रकृति पर पृष्ठभूमि के लिए, टेंसर#परिभाषा देखें। सभी चार-वैक्टर एक ही तरह से रूपांतरित होते हैं, और इसे चार-आयामी सापेक्षतावादी टेंसर के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है; विशेष सापेक्षता देखें#संदर्भ फ्रेम के बीच भौतिक मात्राओं का परिवर्तन।

एक मनमाना अक्ष के बारे में शुद्ध घुमाव
एक निश्चित कोण से घुमाए गए दो फ्रेम के लिए $θ$ इकाई वेक्टर द्वारा परिभाषित अक्ष के बारे में:

$$\hat{\mathbf{n}} = \left(\hat{n}_1, \hat{n}_2, \hat{n}_3\right)\,,$$ बिना किसी बूस्ट के, मैट्रिक्स Λ में निम्नलिखित घटक हैं:

$$\begin{align} \Lambda_{00} &= 1 \\ \Lambda_{0i} = \Lambda_{i0} &= 0 \\ \Lambda_{ij} &= \left(\delta_{ij} - \hat{n}_i \hat{n}_j\right) \cos\theta - \varepsilon_{ijk} \hat{n}_k \sin\theta + \hat{n}_i \hat{n}_j \end{align}$$ जहांij क्रोनकर डेल्टा है, औरijkत्रि-आयामी  लेवी-सिविटा प्रतीक  है। चार-सदिशों के स्थानिक घटकों को घुमाया जाता है, जबकि समय के समान घटक अपरिवर्तित रहते हैं।

केवल जेड-अक्ष के बारे में घूर्णन के मामले में, लोरेंत्ज़ मैट्रिक्स का स्पेसेलिक हिस्सा जेड-अक्ष के बारे में रोटेशन मैट्रिक्स  में कम हो जाता है:

$$ \begin{pmatrix} {A'}^0 \\ {A'}^1 \\ {A'}^2 \\ {A'}^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\   0 & \cos\theta & -\sin\theta & 0 \\ 0 & \sin\theta & \cos\theta & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix}\. $$

मनमाना दिशा में शुद्ध बूस्ट
स्थिर सापेक्ष तीन-वेग v (चार-वेग नहीं, #चार-वेग) पर गतिमान दो फ़्रेमों के लिए, 'c'' की इकाइयों में सापेक्ष वेग को निरूपित करना और परिभाषित करना सुविधाजनक है:

$$ \boldsymbol{\beta} = (\beta_1,\,\beta_2,\,\beta_3) = \frac{1}{c}(v_1,\,v_2,\,v_3) = \frac{1}{c}\mathbf{v} \,. $$ फिर बिना घुमाव के, मैट्रिक्स Λ में घटक दिए गए हैं: $$\begin{align} \Lambda_{00} &= \gamma, \\ \Lambda_{0i} = \Lambda_{i0} &= -\gamma \beta_{i}, \\ \Lambda_{ij} = \Lambda_{ji} &= (\gamma - 1)\frac{\beta_{i}\beta_{j}}{\beta^2} + \delta_{ij} = (\gamma - 1)\frac{v_i v_j}{v^2} + \delta_{ij}, \\ \end{align}$$ जहां लोरेंत्ज़ कारक  द्वारा परिभाषित किया गया है: $$\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \boldsymbol{\beta}\cdot\boldsymbol{\beta}}} \,,$$ तथा $δ_{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है। शुद्ध घुमावों के मामले के विपरीत, स्पेसलाइक और टाइमलाइक घटकों को बूस्ट के तहत एक साथ मिलाया जाता है।

केवल एक्स-दिशा में वृद्धि के मामले में, मैट्रिक्स कम हो जाता है;

$$ \begin{pmatrix} A'^0 \\ A'^1 \\ A'^2 \\ A'^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cosh\phi &-\sinh\phi & 0 & 0 \\ -\sinh\phi & \cosh\phi & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\    0 & 0 & 0 & 1 \\  \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix} $$ जहां तेजी $ϕ$ अभिव्यक्ति का उपयोग किया गया है, अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य ों के संदर्भ में लिखा गया है: $$\gamma = \cosh \phi$$ यह लोरेंत्ज़ मैट्रिक्स चार आयामी स्पेसटाइम में एक अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन होने के लिए बढ़ावा देता है, जो त्रि-आयामी अंतरिक्ष में ऊपर परिपत्र रोटेशन के अनुरूप है।

रैखिकता
चार-वैक्टर में तीन आयाम ों में यूक्लिडियन वैक्टर के समान रैखिक बीजगणित होता है। उन्हें सामान्य प्रवेश तरीके से जोड़ा जा सकता है: $$\mathbf{A} + \mathbf{B} = \left(A^0, A^1, A^2, A^3\right) + \left(B^0, B^1, B^2, B^3\right) = \left(A^0 + B^0, A^1 + B^1, A^2 + B^2, A^3 + B^3\right)$$ और इसी तरह एक अदिश (गणित)  द्वारा अदिश गुणन को प्रविष्टि के अनुसार परिभाषित किया जाता है: $$\lambda\mathbf{A} = \lambda\left(A^0, A^1, A^2, A^3\right) = \left(\lambda A^0, \lambda A^1, \lambda A^2, \lambda A^3\right)$$ फिर घटाव जोड़ का व्युत्क्रम संचालन है, जिसे प्रविष्टि के अनुसार परिभाषित किया गया है: $$\mathbf{A} + (-1)\mathbf{B} = \left(A^0, A^1, A^2, A^3\right) + (-1)\left(B^0, B^1, B^2, B^3\right) = \left(A^0 - B^0, A^1 - B^1, A^2 - B^2, A^3 - B^3\right)$$

मिन्कोव्स्की टेंसर
मिंकोव्स्की टेंसर को लागू करना $η_{μν}$ दो चार-सदिशों के लिए $A$ तथा $B$,  डॉट उत्पाद  संकेतन में परिणाम लिखना, हमारे पास  आइंस्टीन संकेतन  का उपयोग करना है: $$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^{\mu} \eta_{\mu \nu} B^{\nu} $$ मैट्रिक्स (गणित) रूप में परिभाषा को फिर से लिखना सुविधाजनक है: $$\mathbf{A \cdot B} = \begin{pmatrix} A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \eta_{00} & \eta_{01} & \eta_{02} & \eta_{03} \\ \eta_{10} & \eta_{11} & \eta_{12} & \eta_{13} \\ \eta_{20} & \eta_{21} & \eta_{22} & \eta_{23} \\ \eta_{30} & \eta_{31} & \eta_{32} & \eta_{33} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix} $$ कौनसे मामलेमें $η_{μν}$ ऊपर पंक्ति में प्रविष्टि है $μ$ और कॉलम $ν$ एक वर्ग मैट्रिक्स के रूप में मिंकोव्स्की मीट्रिक का। मिंकोव्स्की मीट्रिक यूक्लिडियन मीट्रिक  नहीं है, क्योंकि यह अनिश्चित है (मैट्रिक हस्ताक्षर देखें)। कई अन्य अभिव्यक्तियों का उपयोग किया जा सकता है क्योंकि मीट्रिक टेंसर के घटकों को बढ़ा और घटा सकता है $A$ या $B$. के कॉन्ट्रा/सह-संस्करण घटकों के लिए $A$ और के सह/विपरीत-संस्करण घटक $B$, अपने पास: $$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^{\mu} \eta_{\mu \nu} B^{\nu} = A_{\nu} B^{\nu} = A^{\mu} B_{\mu} $$ तो मैट्रिक्स नोटेशन में: $$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = \begin{pmatrix} A_0 & A_1 & A_2 & A_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} B_0 & B_1 & B_2 & B_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} A^0 \\ A^1 \\ A^2 \\ A^3 \end{pmatrix} $$ जबकि इसके लिए $A$ तथा $B$ सहसंयोजक घटकों में से प्रत्येक: $$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A_{\mu} \eta^{\mu \nu} B_{\nu}$$ उपरोक्त के समान मैट्रिक्स अभिव्यक्ति के साथ।

मिंकोव्स्की टेंसर को चार-वेक्टर ए पर लागू करने से हमें मिलता है: $$\mathbf{A \cdot A} = A^\mu \eta_{\mu\nu} A^\nu $$ जो, मामले के आधार पर, सदिश की लंबाई का वर्ग या उसका ऋणात्मक माना जा सकता है।

मिंकोव्स्की स्पेस # मानक आधार (अनिवार्य रूप से कार्टेशियन निर्देशांक) में मीट्रिक टेंसर के लिए दो सामान्य विकल्प निम्नलिखित हैं। यदि ऑर्थोगोनल निर्देशांक का उपयोग किया जाता है, तो मीट्रिक के स्पेसलाइक भाग के विकर्ण भाग के साथ-साथ स्केल कारक होंगे, जबकि सामान्य वक्रतापूर्ण निर्देशांक के लिए मीट्रिक के संपूर्ण स्पेस-लाइक भाग में उपयोग किए गए वक्रीय आधार पर निर्भर घटक होंगे।

मानक आधार, (+−−−) हस्ताक्षर
(+−−−) मीट्रिक हस्ताक्षर में, आइंस्टीन संकेतन का मूल्यांकन देता है: $$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3  $$ मैट्रिक्स फॉर्म में रहते हुए: $$\mathbf{A \cdot B} = \begin{pmatrix} A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 &  0 &  0 \\      0 & -1 &  0 &  0 \\      0 &  0 & -1 &  0 \\      0 &  0 &  0 & -1    \end{pmatrix} \begin{pmatrix} B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{pmatrix} $$ यह व्यंजक लेने के लिए विशेष सापेक्षता में एक आवर्ती विषय है $$ \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3 = C$$ संदर्भ के एक फ्रेम में, जहां सी इस फ्रेम में आंतरिक उत्पाद का मूल्य है, और: $$ \mathbf{A}'\cdot\mathbf{B}' = {A'}^0 {B'}^0 - {A'}^1 {B'}^1 - {A'}^2 {B'}^2 - {A'}^3 {B'}^3 = C' $$ दूसरे फ्रेम में, जिसमें C′ इस फ्रेम में आंतरिक उत्पाद का मान है। फिर चूंकि आंतरिक उत्पाद एक अपरिवर्तनीय है, ये बराबर होना चाहिए: $$ \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = \mathbf{A}'\cdot\mathbf{B}' $$ वह है: $$ C = A^0 B^0 - A^1 B^1 - A^2 B^2 - A^3 B^3 = {A'}^0 {B'}^0 - {A'}^1 {B'}^1 - {A'}^2 {B'}^2 - {A'}^3{B'}^3 $$ यह देखते हुए कि सापेक्षता में भौतिक मात्राएँ चार-वैक्टर हैं, इस समीकरण में एक संरक्षण कानून (भौतिकी)  का आभास होता है, लेकिन इसमें कोई संरक्षण शामिल नहीं है। Minkowski आंतरिक उत्पाद का प्राथमिक महत्व यह है कि किन्हीं दो चार-वैक्टरों के लिए, इसका मान सभी पर्यवेक्षकों के लिए  अपरिवर्तनीय (भौतिकी)  है; निर्देशांक में परिवर्तन से आंतरिक उत्पाद के मूल्य में परिवर्तन नहीं होता है। चार-सदिशों के घटक एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में बदलते हैं; A और A′ एक लोरेंत्ज़ परिवर्तन से जुड़े हुए हैं, और इसी तरह B और B′ के लिए, हालांकि आंतरिक उत्पाद सभी फ़्रेमों में समान हैं। फिर भी, इस प्रकार की अभिव्यक्ति का संरक्षण कानूनों के बराबर सापेक्ष गणनाओं में शोषण किया जाता है, क्योंकि घटकों के परिमाण को किसी भी लोरेंत्ज़ परिवर्तनों को स्पष्ट रूप से निष्पादित किए बिना निर्धारित किया जा सकता है। एक विशेष उदाहरण चार-गति वेक्टर से प्राप्त  ऊर्जा-गति संबंध  में ऊर्जा और गति के साथ है (नीचे भी देखें)।

इस हस्ताक्षर में हमारे पास है: $$ \mathbf{A \cdot A} = \left(A^0\right)^2 - \left(A^1\right)^2 - \left(A^2\right)^2 - \left(A^3\right)^2 $$ हस्ताक्षर (+−−−) के साथ, चार-वैक्टरों को मिंकोव्स्की स्पेस#कॉसल स्ट्रक्चर के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है यदि $$\mathbf{A \cdot A} < 0$$, मिंकोव्स्की स्पेस#कॉसल स्ट्रक्चर अगर $$\mathbf{A \cdot A} > 0$$, और मिंकोव्स्की स्पेस#कॉसल स्ट्रक्चर्स अगर $$\mathbf{A \cdot A} = 0$$.

मानक आधार, (−+++) हस्ताक्षर
कुछ लेखक विपरीत चिह्न के साथ η को परिभाषित करते हैं, जिस स्थिति में हमारे पास (−+++) मीट्रिक हस्ताक्षर होते हैं। इस हस्ताक्षर के साथ योग का मूल्यांकन:

$$\mathbf{A \cdot B} = - A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 $$ जबकि मैट्रिक्स फॉर्म है:

$$\mathbf{A \cdot B} = \left( \begin{matrix}A^0 & A^1 & A^2 & A^3 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix} -1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{matrix} \right) \left( \begin{matrix}B^0 \\ B^1 \\ B^2 \\ B^3 \end{matrix} \right) $$ ध्यान दें कि इस मामले में, एक फ्रेम में:

$$ \mathbf{A}\cdot\mathbf{B} = - A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 = -C $$ जबकि दूसरे में:

$$ \mathbf{A}'\cdot\mathbf{B}' = - {A'}^0 {B'}^0 + {A'}^1 {B'}^1 + {A'}^2 {B'}^2 + {A'}^3 {B'}^3 = -C'$$ ताकि:

$$ -C = - A^0 B^0 + A^1 B^1 + A^2 B^2 + A^3 B^3 = - {A'}^0 {B'}^0 + {A'}^1 {B'}^1 + {A'}^2 {B'}^2 + {A'}^3 {B'}^3$$ जो 'ए' और 'बी' के संदर्भ में सी के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति के बराबर है। कोई भी सम्मेलन काम करेगा। ऊपर दिए गए दो तरीकों में परिभाषित मिंकोव्स्की मीट्रिक के साथ, सहसंयोजक और कॉन्ट्रावेरिएंट चार-वेक्टर घटकों के बीच एकमात्र अंतर संकेत हैं, इसलिए संकेत इस बात पर निर्भर करते हैं कि किस संकेत सम्मेलन का उपयोग किया जाता है।

हमारे पास है:

$$ \mathbf{A \cdot A} = - \left(A^0\right)^2 + \left(A^1\right)^2 + \left(A^2\right)^2 + \left(A^3\right)^2 $$ हस्ताक्षर (−+++) के साथ, चार-वैक्टरों को मिंकोव्स्की स्पेस#कॉसल स्ट्रक्चर के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है यदि $$\mathbf{A \cdot A} > 0$$, मिंकोव्स्की स्पेस#कॉसल स्ट्रक्चर अगर $$\mathbf{A \cdot A} < 0$$, और मिंकोव्स्की स्पेस#कॉसल स्ट्रक्चर if $$\mathbf{A \cdot A} = 0$$.

दोहरी वैक्टर
मिंकोव्स्की टेंसर को लागू करना अक्सर दोहरे स्थान के प्रभाव के रूप में व्यक्त किया जाता है # एलाइनियर उत्पाद और एक वेक्टर के दोहरे स्थान दूसरे पर:

$$\mathbf{A \cdot B} = A^*(\mathbf{B}) = A{_\nu}B^{\nu}. $$ यहाँ Aνs दोहरे आधार में 'A' के दोहरे वेक्टर 'A'* के घटक हैं और इन्हें 'A' के सदिश निर्देशांकों का सहप्रसरण और विरोधाभास कहा जाता है, जबकि मूल Aν घटकों को सहप्रसरण कहा जाता है और सदिश निर्देशांकों का contravariance कहा जाता है।

यौगिक और डिफरेंशियल
विशेष सापेक्षता (लेकिन सामान्य सापेक्षता नहीं) में, एक अदिश (अपरिवर्तनीय) के संबंध में चार-वेक्टर का व्युत्पन्न स्वयं चार-वेक्टर है। चार-सदिश, d'A' के एक फ़ंक्शन का अंतर  लेना और इसे स्केलर के अंतर से विभाजित करना भी उपयोगी है, dλ:

$$\underset{\text{differential}}{d\mathbf{A}} = \underset{\text{derivative}}{\frac{d\mathbf{A}}{d\lambda}} \underset{\text{differential}}{d\lambda} $$ जहां contravariant घटक हैं:

$$ d\mathbf{A} = \left(dA^0, dA^1, dA^2, dA^3\right) $$ जबकि सहसंयोजक घटक हैं:

$$ d\mathbf{A} = \left(dA_0, dA_1, dA_2, dA_3\right) $$ सापेक्षवादी यांत्रिकी में, अक्सर चार-वेक्टर का अंतर लेता है और उचित समय  में अंतर से विभाजित होता है (नीचे देखें)।

चार स्थिति
मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में एक बिंदु एक समय और स्थानिक स्थिति है, जिसे एक घटना कहा जाता है, या कभी-कभी चार-सदिश या चार-स्थिति या 4-स्थिति की स्थिति, चार निर्देशांक के एक सेट द्वारा कुछ संदर्भ फ्रेम में वर्णित है:

$$ \mathbf{R} = \left(ct, \mathbf{r}\right) $$ जहां r त्रि-आयामी अंतरिक्ष स्थिति वेक्टर  है। यदि r एक ही फ्रेम में समन्वय समय t का एक कार्य है, अर्थात r = r(t), तो यह घटनाओं के अनुक्रम से मेल खाता है क्योंकि t बदलता रहता है। परिभाषा आर0 = ct सुनिश्चित करता है कि सभी निर्देशांकों की इकाइयाँ (दूरी की) समान हों।   ये निर्देशांक घटना के लिए चार-सदिश स्थिति के घटक हैं।

विस्थापन चार-वेक्टर को दो घटनाओं को जोड़ने वाले तीर के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$ \Delta \mathbf{R} = \left(c\Delta t, \Delta \mathbf{r} \right) $$ हमारे पास एक विश्व रेखा पर अंतर (अनंतिम)  चार-स्थिति के लिए, मिंकोव्स्की स्पेस # मिंकोवस्की टेंसर का उपयोग करते हुए:

$$\|d\mathbf{R}\|^2 = \mathbf{dR \cdot dR} = dR^\mu dR_\mu = c^2d\tau^2 = ds^2 \,,$$ डिफरेंशियल लाइन एलिमेंट ds और डिफरेंशियल उचित टाइम इंक्रीमेंट dτ को परिभाषित करना, लेकिन यह मानदंड भी है:

$$\|d\mathbf{R}\|^2 = (cdt)^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} \,,$$ ताकि:

$$(c d\tau)^2 = (cdt)^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} \,.$$ भौतिक घटनाओं पर विचार करते समय, अंतर समीकरण स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं; हालांकि, फ़ंक्शन के स्थान और समय डेरिवेटिव पर विचार करते समय, यह स्पष्ट नहीं है कि इन डेरिवेटिव्स को किस संदर्भ फ्रेम के संबंध में लिया जाता है। यह सहमति है कि समय व्युत्पन्न  उचित समय के संबंध में लिया जाता है $$\tau$$. चूंकि उचित समय एक अपरिवर्तनीय है, यह गारंटी देता है कि किसी भी चार-वेक्टर का उचित-समय-व्युत्पन्न स्वयं चार-वेक्टर है। इस उचित-समय-व्युत्पन्न और एक अन्य समय व्युत्पन्न (एक जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम के समन्वय समय  टी का उपयोग करके) के बीच संबंध खोजना महत्वपूर्ण है। यह संबंध उपरोक्त अंतर अपरिवर्तनीय स्पेसटाइम अंतराल को लेकर, फिर (cdt) से विभाजित करके प्रदान किया जाता है2 प्राप्त करने के लिए:

$$\left(\frac{cd\tau}{cdt}\right)^2 = 1 - \left(\frac{d\mathbf{r}}{cdt}\cdot \frac{d\mathbf{r}}{cdt}\right) = 1 - \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{c^2} = \frac{1}{\gamma(\mathbf{u})^2} \,, $$ जहां u = dr/dt निर्देशांक x, y, z के समान फ्रेम में मापी गई वस्तु का निर्देशांक 3- वेग है, और समन्वय समय t, and

$$\gamma(\mathbf{u}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{\mathbf{u}\cdot\mathbf{u}}{c^2}}}$$ लोरेंत्ज़ कारक है। यह समन्वय समय और उचित समय में अंतर के बीच एक उपयोगी संबंध प्रदान करता है:

$$dt = \gamma(\mathbf{u})d\tau \,.$$ यह संबंध लोरेंत्ज़ परिवर्तनों में समय परिवर्तन से भी पाया जा सकता है।

इस अंतर को लागू करके सापेक्षता सिद्धांत में महत्वपूर्ण चार-वैक्टर को परिभाषित किया जा सकता है $$\frac{d}{d\tau}$$.

चार-ढाल
यह देखते हुए कि आंशिक व्युत्पन्न   रैखिक ऑपरेटर  हैं, कोई आंशिक समय व्युत्पन्न से चार-ढाल बना सकता है $∂$/$∂$टी और स्थानिक  ढाल  ∇। मानक आधार का उपयोग करते हुए, सूचकांक और संक्षिप्त संकेतन में, विरोधाभासी घटक हैं:

$$\begin{align} \boldsymbol{\partial} & = \left(\frac{\partial }{\partial x_0}, \, -\frac{\partial }{\partial x_1}, \, -\frac{\partial }{\partial x_2}, \, -\frac{\partial }{\partial x_3} \right) \\ & = (\partial^0, \, - \partial^1, \, - \partial^2, \, - \partial^3) \\ & = \mathbf{E}_0\partial^0 - \mathbf{E}_1\partial^1 - \mathbf{E}_2\partial^2 - \mathbf{E}_3\partial^3 \\ & = \mathbf{E}_0\partial^0 - \mathbf{E}_i\partial^i \\ & = \mathbf{E}_\alpha \partial^\alpha \\ & = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \, - \nabla \right) \\ & = \left(\frac{\partial_t}{c},- \nabla \right) \\ & = \mathbf{E}_0\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} - \nabla \\ \end{align}$$ ध्यान दें कि आधार वैक्टर को घटकों के सामने रखा जाता है, ताकि आधार वेक्टर के व्युत्पन्न को लेने के बीच भ्रम को रोका जा सके, या केवल आंशिक व्युत्पन्न का संकेत इस चार-वेक्टर का एक घटक है। सहसंयोजक घटक हैं:

$$\begin{align} \boldsymbol{\partial} & = \left(\frac{\partial }{\partial x^0}, \, \frac{\partial }{\partial x^1}, \, \frac{\partial }{\partial x^2}, \, \frac{\partial }{\partial x^3} \right) \\ & = (\partial_0, \, \partial_1, \, \partial_2, \, \partial_3) \\ & = \mathbf{E}^0\partial_0 + \mathbf{E}^1\partial_1 + \mathbf{E}^2\partial_2 + \mathbf{E}^3\partial_3 \\ & = \mathbf{E}^0\partial_0 + \mathbf{E}^i\partial_i \\ & = \mathbf{E}^\alpha \partial_\alpha \\ & = \left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}, \, \nabla \right) \\ & = \left(\frac{\partial_t}{c}, \nabla \right) \\ & = \mathbf{E}^0\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t} + \nabla \\ \end{align}$$ चूंकि यह एक ऑपरेटर है, इसकी लंबाई नहीं है, लेकिन ऑपरेटर के आंतरिक उत्पाद का मूल्यांकन स्वयं के साथ एक और ऑपरेटर देता है:

$$\partial^\mu \partial_\mu = \frac{1}{c^2}\frac{\partial^2}{\partial t^2} - \nabla^2 = \frac{{\partial_t}^2}{c^2} - \nabla^2$$ डी'अलेम्बर्ट ऑपरेटर कहा जाता है।

चार-वेग
एक कण के चार-वेग द्वारा परिभाषित किया गया है:

$$\mathbf{U} = \frac{d\mathbf{X}}{d \tau} = \frac{d\mathbf{X}}{dt}\frac{dt}{d \tau} = \gamma(\mathbf{u})\left(c, \mathbf{u}\right),$$ ज्यामितीय रूप से, यू कण की विश्व रेखा  के लिए एक सामान्यीकृत वेक्टर स्पर्शरेखा है। चार-स्थिति के अंतर का उपयोग करके, चार-वेग का परिमाण प्राप्त किया जा सकता है:

$$\|\mathbf{U}\|^2 = U^\mu U_\mu = \frac{dX^\mu}{d\tau} \frac{dX_\mu}{d\tau} = \frac{dX^\mu dX_\mu}{d\tau^2} = c^2 \,,$$ संक्षेप में, किसी भी वस्तु के लिए चार-वेग का परिमाण हमेशा एक निश्चित स्थिरांक होता है:

$$\| \mathbf{U} \|^2 = c^2 $$ मानदंड भी है:

$$\|\mathbf{U}\|^2 = {\gamma(\mathbf{u})}^2 \left( c^2 - \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} \right) \,,$$ ताकि:

$$c^2 = {\gamma(\mathbf{u})}^2 \left( c^2 - \mathbf{u}\cdot\mathbf{u} \right) \,,$$ जो लोरेंत्ज़ कारक की परिभाषा को कम कर देता है।

चार-वेग की इकाइयाँ इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली  में m/s और  ज्यामितीय इकाई प्रणाली  में 1 हैं। चार-वेग एक विरोधाभासी वेक्टर है।

चार त्वरण
चार त्वरण द्वारा दिया जाता है:

$$\mathbf{A} = \frac{d\mathbf{U} }{d \tau} = \gamma(\mathbf{u}) \left(\frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} c, \frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} \mathbf{u} + \gamma(\mathbf{u}) \mathbf{a} \right).$$ जहाँ a = du/dt निर्देशांक 3-त्वरण है। चूंकि यू का परिमाण स्थिर है, चार त्वरण चार वेग के लिए ऑर्थोगोनल है, यानी चार-त्वरण और चार-वेग का मिंकोव्स्की आंतरिक उत्पाद शून्य है:

$$\mathbf{A}\cdot\mathbf{U} = A^\mu U_\mu = \frac{dU^\mu}{d\tau} U_\mu = \frac{1}{2} \, \frac{d}{d\tau} \left(U^\mu U_\mu\right) = 0 \,$$ जो सभी विश्व रेखाओं के लिए सत्य है। चार-त्वरण का ज्यामितीय अर्थ मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में विश्व रेखा का वक्रता वेक्टर  है।

चार गति
आराम द्रव्यमान (या  अपरिवर्तनीय द्रव्यमान ) के एक विशाल कण के लिए m0, चार गति द्वारा दिया जाता है:

$$\mathbf{P} = m_0 \mathbf{U} = m_0\gamma(\mathbf{u})(c, \mathbf{u}) = \left(\frac{E}{c}, \mathbf{p}\right)$$ जहाँ गतिमान कण की कुल ऊर्जा है:

$$E = \gamma(\mathbf{u}) m_0 c^2 $$ और कुल सापेक्ष गति  है:

$$\mathbf{p} = \gamma(\mathbf{u}) m_0 \mathbf{u} $$ चार-गति के आंतरिक उत्पाद को अपने साथ लेना:

$$\|\mathbf{P}\|^2 = P^\mu P_\mu = m_0^2 U^\mu U_\mu = m_0^2 c^2$$ और भी:

$$\|\mathbf{P}\|^2 = \frac{E^2}{c^2} - \mathbf{p}\cdot\mathbf{p}$$ जो ऊर्जा-गति संबंध की ओर जाता है:

$$E^2 = c^2 \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} + \left(m_0 c^2\right)^2 \,.$$ यह अंतिम संबंध उपयोगी सापेक्षतावादी यांत्रिकी  है, जो  सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी  और  सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत  में आवश्यक है, सभी  कण भौतिकी  के अनुप्रयोगों के साथ।

चार-बल
एक कण पर अभिनय करने वाले चार-बल को न्यूटन के दूसरे नियम में 3-गति के समय व्युत्पन्न के रूप में 3-बल के अनुरूप परिभाषित किया गया है:

$$\mathbf{F} = \frac {d \mathbf{P}} {d \tau} = \gamma(\mathbf{u})\left(\frac{1}{c}\frac{dE}{dt}, \frac{d\mathbf{p}}{dt}\right) = \gamma(\mathbf{u})\left(\frac{P}{c}, \mathbf{f}\right)$$ जहां P कण को ​​स्थानांतरित करने के लिए स्थानांतरित की गई शक्ति (भौतिकी)  है, और 'f' कण पर अभिनय करने वाला 3-बल है। स्थिर अपरिवर्तनीय द्रव्यमान के एक कण के लिए m0, यह बराबर है

$$\mathbf{F} = m_0 \mathbf{A} = m_0\gamma(\mathbf{u})\left( \frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} c, \left(\frac{d{\gamma}(\mathbf{u})}{dt} \mathbf{u} + \gamma(\mathbf{u}) \mathbf{a}\right) \right)$$ चार-बल से व्युत्पन्न एक अपरिवर्तनीय है:

$$\mathbf{F}\cdot\mathbf{U} = F^\mu U_\mu = m_0 A^\mu U_\mu = 0$$ उपरोक्त परिणाम से।

चार- गर्मी प्रवाह
चार-गर्मी प्रवाह वेक्टर क्षेत्र, तरल पदार्थ के स्थानीय फ्रेम में अनिवार्य रूप से 3 डी गर्मी प्रवाह वेक्टर क्षेत्र क्यू के समान है:

$$\mathbf{Q} = -k \boldsymbol{\partial} T = -k\left( \frac{1}{c}\frac{\partial T}{\partial t}, \nabla T\right) $$ जहाँ T निरपेक्ष तापमान  है और k तापीय चालकता है।

चार-बैरियन संख्या प्रवाह
बेरियनों का प्रवाह है: $$\mathbf{S} = n\mathbf{U}$$ कहाँ पे $n$ बेरियन तरल पदार्थ के स्थानीय आराम फ्रेम  में बेरियन की  संख्या घनत्व  है (बैरियन के लिए सकारात्मक मूल्य,  कण बैरोन के लिए नकारात्मक), और $U$ ऊपर के रूप में चार-वेग क्षेत्र (तरल पदार्थ का)।

चार-एन्ट्रॉपी
चार-एन्ट्रॉपी वेक्टर द्वारा परिभाषित किया गया है: $$\mathbf{s} = s\mathbf{S} + \frac{\mathbf{Q}}{T}$$ कहाँ पे $s$ प्रति बैरियन एन्ट्रापी है, और $T$ द्रव के स्थानीय विश्राम फ्रेम में निरपेक्ष तापमान।

विद्युत चुंबकत्व
विद्युत चुंबकत्व में चार-वैक्टर के उदाहरणों में निम्नलिखित शामिल हैं।

चार-वर्तमान
विद्युत चुम्बकीय चार-वर्तमान (या अधिक सही ढंग से चार-वर्तमान घनत्व) द्वारा परिभाषित किया गया है $$ \mathbf{J} = \left( \rho c, \mathbf{j} \right) $$ वर्तमान घनत्व j और आवेश घनत्व ρ से बनता है।

चार-संभावित
द्वारा परिभाषित विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता (या अधिक सही ढंग से एक चार-ईएम वेक्टर क्षमता) $$\mathbf{A} = \left( \frac{\phi}{c}, \mathbf{a} \right)$$ वेक्टर क्षमता से गठित $a$ और अदिश क्षमता $ϕ$.

चार-क्षमता विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं है, क्योंकि यह गेज फिक्सिंग # कूलम्ब गेज के विकल्प पर निर्भर करता है।

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के लिए तरंग समीकरण  में:
 * निर्वात में, $$(\boldsymbol{\partial} \cdot \boldsymbol{\partial}) \mathbf{A} = 0$$
 * चार-वर्तमान स्रोत के साथ और लोरेंज गेज स्थिति का उपयोग करके $$(\boldsymbol{\partial} \cdot \mathbf{A}) = 0$$, $$(\boldsymbol{\partial} \cdot \boldsymbol{\partial}) \mathbf{A} = \mu_0 \mathbf{J}$$

चार आवृत्ति
एक फोटोनिक समतल लहर  को चार-आवृत्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$$\mathbf{N} = \nu\left(1, \hat{\mathbf{n}} \right)$$ जहां तरंग की आवृत्ति है और $$\hat{\mathbf{n}}$$ लहर की यात्रा दिशा में एक इकाई वेक्टर है। अब:

$$\|\mathbf{N}\| = N^\mu N_\mu = \nu ^2 \left(1 - \hat{\mathbf{n}}\cdot\hat{\mathbf{n}}\right) = 0$$ इसलिए फोटॉन की चार-आवृत्ति हमेशा एक अशक्त वेक्टर होती है।

चार तरंगवेक्टर
समय t और स्थान 'r' के व्युत्क्रम की मात्राएँ क्रमशः कोणीय आवृत्ति  और तरंग सदिश 'k' हैं। वे चार-तरंग वेक्टर या तरंग चार-वेक्टर के घटक बनाते हैं:

$$\mathbf{K} = \left(\frac{\omega}{c}, \vec{\mathbf{k}}\right) = \left(\frac{\omega}{c}, \frac{\omega}{v_p} \hat\mathbf{n}\right) \,.$$ लगभग एकवर्णी प्रकाश के तरंग पैकेट का वर्णन इस प्रकार किया जा सकता है:

$$\mathbf{K} = \frac{2\pi}{c}\mathbf{N} = \frac{2\pi}{c} \nu\left(1,\hat{\mathbf{n}}\right) = \frac{\omega}{c} \left(1, \hat{\mathbf{n}}\right) \,.$$ डी ब्रोगली संबंध तब दिखाता है कि चार-लहर वेक्टर पदार्थ तरंगों के साथ-साथ प्रकाश तरंगों पर भी लागू होता है: $$\mathbf{P} = \hbar \mathbf{K} = \left(\frac{E}{c},\vec{p}\right) = \hbar \left(\frac{\omega}{c},\vec{k} \right)\,.$$ उपज $$E = \hbar \omega$$ तथा $$\vec{p} = \hbar \vec{k}$$, जहां प्लांक नियतांक से विभाजित है $2π$.

मानदंड का वर्ग है: $$\| \mathbf{K} \|^2 = K^\mu K_\mu = \left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - \mathbf{k}\cdot\mathbf{k}\,,$$ और डी ब्रोगली संबंध द्वारा: $$\| \mathbf{K} \|^2 = \frac{1}{\hbar^2} \| \mathbf{P} \|^2 = \left(\frac{m_0 c}{\hbar}\right)^2 \,,$$ हमारे पास ऊर्जा-गति संबंध का पदार्थ तरंग एनालॉग है: $$\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 - \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} = \left(\frac{m_0 c}{\hbar}\right)^2 \,.$$ ध्यान दें कि द्रव्यमान रहित कणों के लिए, किस स्थिति में $m_{0} = 0$, अपने पास: $$\left(\frac{\omega}{c}\right)^2 = \mathbf{k}\cdot\mathbf{k} \,,$$ या $‖k‖ = ω/c$. ध्यान दें कि यह उपरोक्त मामले के अनुरूप है; मापांक के 3-तरंग वेक्टर वाले फोटॉन के लिए $ω/c$, इकाई वेक्टर द्वारा परिभाषित तरंग प्रसार की दिशा में $$\hat{\mathbf{n}}$$.

चार-प्रायिकता वर्तमान
क्वांटम यांत्रिकी में, चार- संभाव्यता वर्तमान  या संभाव्यता चार-वर्तमान चार-वर्तमान के अनुरूप है। विद्युत चुम्बकीय चार-वर्तमान: $$\mathbf{J} = (\rho c, \mathbf{j}) $$ कहाँ पे $ρ$ समय घटक के अनुरूप प्रायिकता घनत्व फलन है, और $j$ संभाव्यता वर्तमान वेक्टर है। गैर-सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी में, यह धारा हमेशा अच्छी तरह से परिभाषित होती है क्योंकि घनत्व और धारा के लिए भाव सकारात्मक निश्चित होते हैं और एक संभाव्यता व्याख्या को स्वीकार कर सकते हैं। सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत  में, वर्तमान को खोजना हमेशा संभव नहीं होता है, खासकर जब बातचीत शामिल होती है।

चार-मोमेंटम में ऊर्जा ऑपरेटर  द्वारा एनर्जी और  पल ऑपरेटर  द्वारा मोमेंटम को बदलकर, एक  चार-गति ऑपरेटर  प्राप्त करता है, जिसका उपयोग  आपेक्षिक तरंग समीकरण  में किया जाता है।

फोर-स्पिन
एक कण के चार-स्पिन को कण के बाकी फ्रेम में परिभाषित किया जाता है $$\mathbf{S} = (0, \mathbf{s})$$ कहाँ पे $s$ स्पिन (भौतिकी)  स्यूडोवेक्टर है। क्वांटम यांत्रिकी में, इस वेक्टर के सभी तीन घटक एक साथ मापने योग्य नहीं हैं, केवल एक घटक है। कण के बाकी फ्रेम में समयबद्ध घटक शून्य है, लेकिन किसी अन्य फ्रेम में नहीं। यह घटक उपयुक्त लोरेंत्ज़ परिवर्तन से पाया जा सकता है।

मानक वर्ग स्पिन का (ऋणात्मक) परिमाण वर्ग है, और क्वांटम यांत्रिकी के अनुसार हमारे पास है $$\|\mathbf{S}\|^2 = -|\mathbf{s}|^2 = -\hbar^2 s(s + 1)$$ यह मान देखने योग्य और परिमाणित है, के साथ $s$ स्पिन क्वांटम संख्या  (स्पिन वेक्टर का परिमाण नहीं)।

भौतिक स्थान के बीजगणित में चार-सदिश
एक चार-सदिश ए को एक आधार (रैखिक बीजगणित)  के रूप में  पॉल के मैट्रिक्स  का उपयोग करने में भी परिभाषित किया जा सकता है, फिर से विभिन्न समकक्ष नोटेशन में: $$ \begin{align} \mathbf{A} & = \left(A^0, \, A^1, \, A^2, \, A^3\right) \\ & = A^0\boldsymbol{\sigma}_0 + A^1 \boldsymbol{\sigma}_1 + A^2 \boldsymbol{\sigma}_2 + A^3 \boldsymbol{\sigma}_3 \\ & = A^0\boldsymbol{\sigma}_0 + A^i \boldsymbol{\sigma}_i \\ & = A^\alpha\boldsymbol{\sigma}_\alpha\\ \end{align}$$ या स्पष्ट रूप से: $$\begin{align} \mathbf{A} & = A^0\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 &  1 \end{pmatrix} + A^1\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 &  0 \end{pmatrix} + A^2\begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} + A^3\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \\ & = \begin{pmatrix} A^0 +  A^3 & A^1 - i A^2 \\ A^1 + i A^2 & A^0 -  A^3 \end{pmatrix} \end{align}$$ और इस सूत्रीकरण में, चार-वेक्टर को एक वास्तविक-मूल्यवान स्तंभ या पंक्ति वेक्टर के बजाय एक हर्मिटियन मैट्रिक्स  (मैट्रिक्स का स्थानान्तरण और जटिल संयुग्म इसे अपरिवर्तित छोड़ देता है) के रूप में दर्शाया गया है। मैट्रिक्स का निर्धारक चार-वेक्टर का मापांक है, इसलिए निर्धारक एक अपरिवर्तनीय है: $$ \begin{align} |\mathbf{A}| & = \begin{vmatrix} A^0 +  A^3 & A^1 - i A^2 \\ A^1 + i A^2 & A^0 -  A^3 \end{vmatrix} \\ & = \left(A^0 + A^3\right)\left(A^0 - A^3\right) - \left(A^1 -i A^2\right)\left(A^1 + i A^2\right) \\ & = \left(A^0\right)^2 - \left(A^1\right)^2 - \left(A^2\right)^2 - \left(A^3\right)^2 \end{align}$$ पॉली मैट्रिसेस को आधार वैक्टर के रूप में उपयोग करने का यह विचार भौतिक स्थान के बीजगणित में कार्यरत है, जो क्लिफोर्ड बीजगणित का एक उदाहरण है।

स्पेसटाइम बीजगणित में चार-वैक्टर
स्पेसटाइम बीजगणित में, क्लिफोर्ड बीजगणित का एक और उदाहरण, गामा मैट्रिक्स भी एक आधार (रैखिक बीजगणित) बना सकता है। ( डिराक समीकरण में उनकी उपस्थिति के कारण उन्हें डिराक मैट्रिसेस भी कहा जाता है)। गामा मैट्रिक्स को व्यक्त करने के एक से अधिक तरीके हैं, जो उस मुख्य लेख में विस्तृत हैं।

फेनमैन स्लैश नोटेशन गामा मेट्रिसेस के साथ अनुबंधित चार-वेक्टर ए के लिए एक आशुलिपि है: $$\mathbf{A}\!\!\!\!/ = A_\alpha \gamma^\alpha = A_0 \gamma^0 + A_1 \gamma^1 + A_2 \gamma^2 + A_3 \gamma^3 $$ गामा मैट्रिक्स के साथ अनुबंधित चार-गति सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षतावादी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण मामला है। डिराक समीकरण और अन्य सापेक्षतावादी तरंग समीकरणों में, फॉर्म की शर्तें: $$\mathbf{P}\!\!\!\!/ = P_\alpha \gamma^\alpha = P_0 \gamma^0 + P_1 \gamma^1 + P_2 \gamma^2 + P_3 \gamma^3 = \dfrac{E}{c} \gamma^0 - p_x \gamma^1 - p_y \gamma^2 - p_z \gamma^3 $$ प्रकट होते हैं, जिसमें ऊर्जा $E$ और गति घटक $(p_{x}, p_{y}, p_{z})$ उनके संबंधित ऑपरेटर (भौतिकी)  द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

यह भी देखें

 * घुमावदार स्पेसटाइम के गणित का मूल परिचय
 * धूल (सापेक्षता) संख्या-प्रवाह चार-सदिश के लिए
 * मिंकोव्स्की स्पेस
 * पैरावेक्टर
 * सापेक्ष यांत्रिकी
 * वेव वेक्टर

संदर्भ

 * Rindler, W. Introduction to Special Relativity (2nd edn.) (1991) Clarendon Press Oxford ISBN 0-19-853952-5