श्रेणी सिद्धांत

श्रेणी सिद्धांत गणितीय संरचनाओं और उनके संबंधों का एक सामान्य सिद्धांत है जिसे 20वीं शताब्दी के मध्य में सैमुअल एलेनबर्ग और सॉन्डर्स मैक लेन ने बीजगणितीय टोपोलॉजी पर अपने मूलभूत कार्य में प्रस्तुत किया था। आजकल, श्रेणी सिद्धांत का प्रयोग गणित के लगभग सभी क्षेत्रों में और संगणक विज्ञान के कुछ क्षेत्रों में किया जाता है। विशेष रूप से, पूर्ववर्ती से नई गणितीय प्रयोजनों (ऑब्जेक्ट) के कई निर्माण, जो कई संदर्भों में समान रूप से दिखाई देते हैं, आसानी से श्रेणियों के संदर्भ में व्यक्त और एकीकृत होते हैं। उदाहरणों में भागफल रिक्त स्थान, प्रत्यक्ष उत्पाद, पूर्णता और द्वंद्व सम्मिलित हैं।

श्रेणी दो प्रकार की प्रयोजनों से बनती है: श्रेणी की प्रयोजनायें, और आकारिता (मॉरफिस्म), जो दो प्रयोजनों से संबंधित होती हैं जिन्हें स्रोत कहा जाता है और आकारिता का लक्ष्य। यह प्रायः माना जाता है कि आकारिता एक वाणाकार चिन्ह है जो अपने स्रोत को अपने लक्ष्य पर प्रतिचित्रित (मैप) करता है। आकारिता की रचना की जा सकती है यदि पहले आकारिता का लक्ष्य दूसरे के स्रोत के बराबर होता है, और आकारिता संरचना में फलन संरचना (साहचर्यता और तत्समक आकारिता का अस्तित्व) के समान गुण होते हैं। आकारिता प्रायः एक प्रकार के फलन होते है, परन्तु सदैव ऐसी स्थिति नहीं होती है। उदाहरण के लिए, एक मोनोइड को एकल प्रयोजन के साथ एक श्रेणी के रूप में प्रेक्षित किया जाता है, जिसकी आकारिता मोनोइड के तत्व हैं।

श्रेणी की दूसरी मौलिक अवधारणा अवच्छेदक (फँक्टर) की अवधारणा है, जो दो श्रेणियों $$C_1$$ और $$C_2$$ के बीच आकारिता की भूमिका निभाती है: यह $$C_1$$ के प्रयोजनों को $$C_2$$ के प्रयोजनों और $$C_1$$ की आकारिता को $$C_2$$ की आकारिता इस तरह से प्रतिचित्रित करता है कि स्रोतों को स्रोतों से प्रतिचित्रित किया जाता है और लक्ष्यों को लक्ष्य (या, एक प्रतिपरिवर्तक अवच्छेदक की स्थिति में, स्रोतों को लक्ष्य और इसके विपरीत प्रतिचित्रित किया जाता है) के लिए प्रतिचित्रित किया जाता है। तीसरी मौलिक अवधारणा एक प्राकृतिक परिवर्तन है जिसे अवच्छेदकों की आकारिता के रूप में देखा जा सकता है।

श्रेणियाँ
कोई श्रेणी C में निम्नलिखित तीन गणितीय इकाइयाँ सम्मिलित होती है: प्रत्येक आकारिता f में एक स्रोत प्रयोजन a और लक्ष्य प्रयोजन b होते है। व्यंजक f : a → b, मौखिक रूप से "f a से b तक एक आकारिता है" के रूप में कहा जाएगा। व्यंजक hom(a, b) - वैकल्पिक रूप से व्यक्त किया गया homC(a, b), mor(a, b), या C(a, b) - a से b तक सभी आकारिता के होम-क्लास को दर्शाता है। किन्हीं तीन प्रयोजनों a, b और c के लिए, हमें निम्नलिखित प्राप्त है ऐसा कि
 * वर्ग (क्लास) ob(C), जिसके तत्व प्रयोजन कहलाते है;
 * वर्ग hom(C), जिसके तत्वों को आकारिता या प्रतिचित्रण या वाणाकार चिन्ह कहा जाता है।
 * एक द्विआधारी संक्रिया ∘, जिसे आकारिता का संयोजन कहा जाता है, जैसे कि
 * ∘ : hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c).
 * f : a → b और g : b → c का संघटन g ∘ f या gf, के रूप में लिखा जाता है, जो दो स्वयंसिद्धों द्वारा नियन्त्रित है:
 * 1. साहचर्य: यदि f : a → b, g : b → c, तथा h : c → d फिर
 * h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f
 * 2. तत्समकता: प्रत्येक प्रयोजन x के लिए, आकारिता 1x : x → x का अस्तित्व होता है जिसे x के लिए तत्समक आकारिता कहा जाता है,
 * 2. तत्समकता: प्रत्येक प्रयोजन x के लिए, आकारिता 1x : x → x का अस्तित्व होता है जिसे x के लिए तत्समक आकारिता कहा जाता है,
 * प्रत्येक आकारिता के लिए f : a → b, हमें निम्नलिखित प्राप्त है
 * 1b ∘ f = f = f ∘ ida
 * स्वयंसिद्धों से यह सिद्ध किया जा सकता है कि प्रत्येक प्रयोजन के लिए बिल्कुल एक ही तत्समक आकारिता होती है।
 * कुछ लेखक प्रत्येक प्रयोजन को उसकी तत्समक आकारिता के साथ तत्समक कर, अभी-अभी दी गई परिभाषा से हटें।

आकारिता
आकारिता (जैसे fg = h) के बीच संबंध प्रायः क्रमविनिमेय आरेखों का उपयोग करके चित्रित किए जाते हैं, "बिंदु" (कोनों) प्रयोजनों का प्रतिनिधित्व करते हैं और आकारिता का प्रतिनिधित्व करने वाले "वाणाकार चिन्ह" होते हैं।

आकारिता में निम्नलिखित में से कोई भी गुण हो सकता है। आकारिता f : a → b है:
 * एकरूपता (मोनोमोर्फिज्म) (या मोनिक) यदि f ∘ g1 = f ∘ g2 का अर्थ है g1 = g2 सभी आकारिता g1, g2 : x → a के लिए।
 * अभिरूपी (एपीमॉरफिस्म) (या एपिक) यदि g1 ∘ f = g2 ∘ f का अर्थ है g1 = g2 सभी आकारिता g1, g2 : b → x के लिए।
 * द्विरूपता (बाईमॉरफिस्म) यदि f एपिक और मोनिक दोनों है।
 * समरूपता (आईसोमॉरफिस्म) यदि कोई आकारिता g : b → a उपस्थित है तो f ∘ g = 1b और g ∘ f = 1a है।
 * अंतःरूपता (एंडोमॉरफिस्म) यदि a = b। एन्ड(a) a के अंतःरूपता के वर्ग को दर्शाता है।
 * स्वसमाकृतिकता (ऑटोमोर्फिज्म) यदि f अंतःरूपी और एक समरूपी दोनों है। ऑट(a) a के स्वसमाकृतिकता के वर्ग को दर्शाता है।
 * प्रत्यावर्तन यदि f का दायाँ व्युत्क्रम उपस्थित है, अर्थात यदि आकारिता g : b → a उपस्थित है जिसमें f ∘ g = 1b है।
 * अनुभाग यदि f का बायां व्युत्क्रम उपस्थित है, अर्थात यदि कोई आकारिता g : b → a उपस्थित है जिसमें g ∘ f = 1a है।

प्रत्येक प्रत्यावर्तन अभिरूपी होता है, और प्रत्येक वर्ग एकरूपी होता है। इसके अतिरिक्त, निम्नलिखित तीन कथन समतुल्य हैं:
 * f एक एकरूपी और प्रत्यावर्तन है;
 * f एक अभिरूपी और एक सेक्शन है;
 * f एक एकरूपी है।

अवच्छेदक
अवच्छेदक श्रेणियों के बीच संरचना-संरक्षण वाले प्रतिचित्रण हैं। उन्हें सभी (छोटी) श्रेणियों की श्रेणी में आकारिता के रूप में माना जा सकता है।

श्रेणी C से श्रेणी D में A (सहसंयोजक) अवच्छेदक F, लिखित F : C → D में सम्मिलित हैं:
 * C में प्रत्येक प्रयोजन x के लिए, D में एक प्रयोजन F(x); तथा
 * प्रत्येक आकारिता के लिए C में f : x → y, D में आकारिता F(f) : F(x) → F(y),

जैसे कि निम्नलिखित दो गुण धारण करते हैं:
 * C में प्रत्येक प्रयोजन x के लिए, F(1x) = 1F(x);
 * सभी रूपों के लिए f : x → y तथा g : y → z, F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f).

प्रतिपरिवर्ती अवच्छेदक F: C → D एक सहसंयोजक अवच्छेदक की तरह है, सिवाय इसके कि यह "आकारिता को चारों ओर घुमाता है" ("सभी वाणाकार चिन्हों को उत्क्रमित देता है")। अधिक विशेष रूप से, C में प्रत्येक आकारिता f : x → y को D में एक आकारिता F(f) : F(y) → F(x) को नियत किया जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक प्रतिपरिवर्ती अवच्छेदक विपरीत श्रेणी कॉप से डी तक एक सहपरिवर्ती अवच्छेदक के रूप में कार्य करता है।

प्राकृतिक रूपांतरण
प्राकृतिक रूपांतरण दो कारकों के बीच का संबंध है। अवच्छेदक प्रायः "प्राकृतिक निर्माण" और प्राकृतिक रूपांतरणों का वर्णन करते हैं, फिर दो ऐसे निर्माणों के बीच "प्राकृतिक समरूपता" का वर्णन करते हैं। कभी-कभी दो पूरी तरह से भिन्न निर्माणों से "समान" परिणाम प्राप्त होता है; यह दो अवच्छेदकों के बीच एक प्राकृतिक समरूपता द्वारा व्यक्त किया जाता है।

यदि F और G श्रेणियों C और D के बीच (सहसंयोजक) अवच्छेदक हैं, तो F से G तक एक प्राकृतिक रूपांतरण η C में प्रत्येक प्रयोजन X को एक आकारिता ηX से जोड़ता है: D में ηX : F(X) → G(X) ऐसा है कि C में सभी आकारिता f : X → Y के लिए, हमारे पास ηY ∘ F(f) = G(f) ∘ ηX है; इसका अर्थ यह है कि निम्न आरेख क्रमविनिमेय है:

F और G को स्वाभाविक रूप से प्राकृतिक समरूपी कहा जाता है यदि F से G तक प्राकृतिक रूपांतरण उपस्थित है जैसे कि ηX C में प्रत्येक प्रयोजन X के लिए समरूपता है।

सार्वभौमिक निर्माण, सीमाएं, और सह-सीमाएँ
श्रेणी सिद्धांत की भाषा का प्रयोग करते हुए गणितीय अध्ययन के कई क्षेत्रों को वर्गीकृत किया जा सकता है। श्रेणियों में समुच्चय, समूह और टोपोलॉजी सम्मिलित हैं।

प्रत्येक श्रेणी को उन गुणों से अलग किया जाता है जो इसकी सभी प्रयोजनों में समान होते हैं, जैसे कि रिक्त समुच्चय या दो टोपोलॉजी का उत्पाद, फिर भी एक श्रेणी की परिभाषा में प्रयोजनों को परमाणु माना जाता है, अर्थात, हम यह नहीं जानते हैं कि कोई प्रयोजन A एक समुच्चय, एक टोपोलॉजी या कोई अन्य सार अवधारणा है या नहीं। इसलिए, चुनौती उन प्रयोजनों की आंतरिक संरचना का उल्लेख किए बिना विशेष प्रयोजनों को परिभाषित करना है। तत्वों को संदर्भित किए बिना रिक्त समुच्चय को परिभाषित करने के लिए, या उत्पाद टोपोलॉजी को खुले समुच्चयों का संदर्भ दिए बिना, इन प्रयोजनों को अन्य प्रयोजनों के साथ उनके संबंधों के संदर्भ में चिह्नित किया जा सकता है, जैसा कि संबंधित श्रेणियों के रूपात्मकता द्वारा दिया गया है। इस प्रकार, कार्य उन सार्वभौमिक गुणों को खोजना है जो विशिष्ट रूप से रुचि की प्रयोजनों को निर्धारित करते हैं।

कई महत्वपूर्ण निर्माणों को विशुद्ध रूप से श्रेणीबद्ध तरीके से वर्णित किया जा सकता है यदि श्रेणी सीमा को विकसित किया जा सकता है और एक कॉलिमिट की धारणा उत्पन्न करने के लिए दोहरीकरण किया जा सकता है।

समतुल्य श्रेणियाँ
यह पूछना एक स्वाभाविक प्रश्न है: किन परिस्थितियों में दो श्रेणियों को अनिवार्य रूप से एक ही माना जा सकता है, इस अर्थ में कि एक श्रेणी के प्रमेय आसानी से दूसरी श्रेणी के प्रमेय में परिवर्तित हो सकते हैं? ऐसी स्थिति का वर्णन करने के लिए जिस प्रमुख उपकरण का उपयोग किया जाता है, उसे श्रेणियों की समानता कहा जाता है, जो कि दो श्रेणियों के बीच उपयुक्त अवच्छेदक द्वारा दिया जाता है। गणित में श्रेणीबद्ध तुल्यता के कई अनुप्रयोग पाए गए हैं।

आगे की अवधारणाएं और परिणाम
श्रेणियों और अवच्छेदकों की परिभाषाएँ स्पष्ट बीजगणित की केवल मूल बातें प्रदान करती हैं; अतिरिक्त महत्वपूर्ण विषयों की सूची नीचे दी गई है। हालांकि इन सभी विषयों के बीच मजबूत अंतर्संबंध हैं, दिए गए आदेश को आगे पढ़ने के लिए एक दिशानिर्देश के रूप में माना जा सकता है।
 * अवच्छेदक श्रेणी DC में C से D तक अवच्छेदक्स के रूप में ऑब्जेक्ट हैं और इस तरह के अवच्छेदकों के प्राकृतिक रूपांतरणों के रूप में आकारिता के रूप में। योनेदा लेम्मा श्रेणी सिद्धांत के सबसे प्रसिद्ध मूल परिणामों में से एक है; यह अवच्छेदक श्रेणियों में प्रतिनिधित्व करने योग्य अवच्छेदक्स का वर्णन करता है।
 * द्वैत: श्रेणी सिद्धांत में प्रत्येक कथन, प्रमेय या परिभाषा में एक द्वैत होता है जो अनिवार्य रूप से "सभी वाणाकार चिन्हों को उत्क्रमित कर" प्राप्त होता है। यदि किसी वर्ग C में एक कथन सत्य है तो उसका द्विवचन द्विश्रेणी के Cop में सत्य है। श्रेणी सिद्धांत के स्तर पर पारदर्शी यह द्वंद्व प्रायः अनुप्रयोगों में अस्पष्ट होता है और आश्चर्यजनक संबंधों को जन्म दे सकता है।
 * अभिसम्युक्त अवच्छेदक: एक अवच्छेदक को किसी अन्य अवच्छेदक के साथ बाएँ (या दाएँ) छोड़ा जा सकता है जो विपरीत दिशा में प्रतिचित्रित करता है। इस तरह के आसन्न फलनों की एक जोड़ी आम तौर पर एक सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा परिभाषित निर्माण से उत्पन्न होती है; इसे सार्वभौमिक गुणों पर एक अधिक सारगर्भित और शक्तिशाली दृष्टिकोण के रूप में देखा जा सकता है।

उच्च-विमीय श्रेणियाँ
उपरोक्त अवधारणाओं में से कई, विशेष रूप से श्रेणियों के समतुल्यता, आसन्न अवच्छेदक जोड़े, और अवच्छेदक श्रेणियाँ, उच्च-विमीय श्रेणियों के संदर्भ में स्थित हो सकती हैं। संक्षेप में, यदि हम दो प्रयोजनों के बीच एक आकारिता को "हमें एक प्रयोजन से दूसरी प्रयोजन में ले जाने वाली प्रक्रिया" के रूप में मानते हैं, तो उच्च-विमीय श्रेणियाँ हमें "उच्च-विमीय प्रक्रियाओं" पर विचार करके इसे सामान्य रूप से सामान्य बनाने की अनुमति देती हैं।

उदाहरण के लिए, (पूर्णतः) 2-श्रेणी एक श्रेणी है जिसमें "आकारिता के बीच आकारिता" सम्मिलित है, अर्थात प्रक्रियाएं जो हमें एक आकारिता को दूसरे में बदलने की अनुमति देती हैं। फिर हम इन "द्विरूपताओं" को क्षैतिज और लंबवत दोनों तरह से "रचना" कर सकते हैं, और हमें दो संरचना नियमों से संबंधित एक 2-विमीय "विनिमय नियम" की आवश्यकता है। इस संदर्भ में, मानक उदाहरण कैट है, जो सभी (छोटी) श्रेणियों की 2-श्रेणी है, और इस उदाहरण में, आकारिता के द्विरूपता सामान्य अर्थों में आकारिता के प्राकृतिक रूपांतरण हैं। एक और बुनियादी उदाहरण एक प्रयोजन के साथ 2-श्रेणी पर विचार करना है; ये मूल रूप से मोनोइडल श्रेणियाँ हैं। द्विश्रेणियाँ 2-विमीय श्रेणियों की एक कमजोर धारणा है जिसमें आकारिता की संरचना कड़ाई से साहचर्य नहीं है, परन्तु केवल साहचर्य "एक समरूपता" तक है।

इस प्रक्रिया को सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए बढ़ाया जा सकता है और इन्हें n-श्रेणियाँ कहा जाता है। क्रमवाचक संख्या ω के अनुरूप ω-श्रेणी की भी एक धारणा है।

उच्च-विमीय श्रेणियाँ उच्च-विमीय बीजगणित के व्यापक गणितीय क्षेत्र का हिस्सा हैं, जो रोनाल्ड ब्राउन द्वारा शुरू की गई अवधारणा है। इन विचारों के संवादात्मक परिचय के लिए, जॉन बेज़, 'ए टेल ऑफ़ एन-कैटेगरीज' (1996)।

ऐतिहासिक नोट्स
जबकि समूह सिद्धांत पर 1942 के एक पेपर में सैम्युअल इलेनबर्ग और सॉन्डर्स मैक लेन द्वारा अवच्छेदक और प्राकृतिक रूपांतरणों के विशिष्ट उदाहरण दिए गए थे, इन अवधारणाओं को एक अधिक सामान्य अर्थ में, श्रेणियों की अतिरिक्त धारणा के साथ, 1945 के पेपर में उन्हीं लेखकों द्वारा प्रस्तुत किया गया था (जिन्होंने बीजीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में श्रेणी सिद्धांत के अनुप्रयोगों पर चर्चा की थी)। उनका काम सहज ज्ञान युक्त और ज्यामितीय होमोलॉजी से होमोलॉजिकल बीजगणित के संक्रमण का एक महत्वपूर्ण हिस्सा था, इलेनबर्ग और मैक लेन ने बाद में लिखा कि उनका लक्ष्य प्राकृतिक रूपांतरणों को समझना था, जिसके लिए पहले फलनों की परिभाषा की आवश्यकता थी, फिर श्रेणियाँ।

स्टानिस्लाव उलम और उनकी ओर से कुछ लेखन ने दावा किया है कि संबंधित विचार 1930 के दशक के अंत में पोलैंड में प्रचलित थे। इलेनबर्ग पोलिश थे, और उन्होंने 1930 के दशक में पोलैंड में गणित का अध्ययन किया। श्रेणी सिद्धांत भी, कुछ अर्थों में, अमूर्त प्रक्रियाओं को औपचारिक रूप देने में एमी नोथेर (मैक लेन के शिक्षकों में से एक) के काम की निरंतरता है; नोथेर ने महसूस किया कि एक प्रकार की गणितीय संरचना को समझने के लिए उस संरचना (समरूपता) को संरक्षित करने वाली प्रक्रियाओं को समझने की आवश्यकता होती है। ईलेनबर्ग और मैक लेन ने उन प्रक्रियाओं (अवच्छेदक्स) को समझने और औपचारिक बनाने के लिए श्रेणियों की शुरुआत की जो टोपोलॉजिकल संरचनाओं को बीजगणितीय संरचनाओं (टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट्स) से संबंधित करती हैं जो उनकी विशेषताएँ बताती हैं।

श्रेणी सिद्धांत मूल रूप से समरूप बीजगणित की आवश्यकता के लिए प्रस्तुत किया गया था, और आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति (योजना सिद्धांत) की आवश्यकता के लिए व्यापक रूप से विस्तारित किया गया था। श्रेणी सिद्धांत को सार्वभौमिक बीजगणित के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है, क्योंकि उत्तरार्द्ध बीजीय संरचनाओं का अध्ययन करता है, और पूर्व किसी भी प्रकार की गणितीय संरचना पर लागू होता है और विभिन्न प्रकृति की संरचनाओं के बीच संबंधों का भी अध्ययन करता है। इस कारण से, यह पूरे गणित में प्रयोग किया जाता है। गणितीय तर्क और सिमेंटिक्स (श्रेणीबद्ध सार मशीन) के लिए आवेदन बाद में आए।

गणित की नींव के रूप में टोपोई (एकवचन टोपोस) नामक कुछ श्रेणियाँ स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के विकल्प के रूप में भी काम कर सकती हैं। एक टोपोस को दो अतिरिक्त टोपोस एक्सिओम्स के साथ एक विशिष्ट प्रकार की श्रेणी के रूप में भी माना जा सकता है। श्रेणी सिद्धांत के इन मूलभूत अनुप्रयोगों को रचनात्मक गणित के आधार और औचित्य के रूप में उचित विवरण में तैयार किया गया है। टोपोस सिद्धांत सार शीफ सिद्धांत का एक रूप है, ज्यामितीय उत्पत्ति के साथ, और व्यर्थ टोपोलॉजी जैसे विचारों की ओर जाता है।

कार्यात्मक प्रोग्रामिंग और डोमेन सिद्धांत में अनुप्रयोगों के साथ, श्रेणीबद्ध तर्क अब एक अच्छी तरह से परिभाषित क्षेत्र है, जो कार्यात्मक प्रोग्रामिंग और डोमेन सिद्धांत में अनुप्रयोगों के साथ प्रकार सिद्धांत पर आधारित है, जहां कार्तीय को कलन के गैर-वाक्यविन्यास विवरण के रूप में लिया जाता है। बहुत कम से कम, श्रेणी सैद्धांतिक भाषा स्पष्ट करती है कि वास्तव में इन संबंधित क्षेत्रों में क्या समान है (कुछ सार अर्थों में)।

अन्य क्षेत्रों में भी श्रेणी सिद्धांत लागू किया गया है। उदाहरण के लिए, जॉन बेज ने भौतिकी और मोनोइडल श्रेणियों में फेनमैन आरेखों के बीच एक लिंक दिखाया है। श्रेणी सिद्धांत का एक अन्य अनुप्रयोग, अधिक विशेष रूप से: टोपोस सिद्धांत, गणितीय संगीत सिद्धांत में बनाया गया है, उदाहरण के लिए द टोपोस ऑफ़ म्यूज़िक, ज्योमेट्रिक लॉजिक ऑफ़ कॉन्सेप्ट्स, थ्योरी, एंड परफॉर्मेंस बाई गुएरिनो माज़ोला।

गणित की नींव के रूप में श्रेणियों के लिए अंडरग्रेजुएट्स को प्रस्तुत करने के हालिया प्रयासों में विलियम लॉवरे और रोजब्रुघ (2003) और लॉवरे और स्टीफन शैनुअल (1997) और मिरोस्लाव योतोव (2012) सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

 * डोमेन सिद्धांत
 * समृद्ध श्रेणी
 * श्रेणी सिद्धांत की शब्दावली
 * समूह सिद्धांत
 * उच्च श्रेणी सिद्धांत
 * उच्च आयामी बीजगणित
 * गणित में प्रकाशनों की सूची#श्रेणी सिद्धांत
 * लैम्ब्डा कैलकुलस
 * श्रेणी सिद्धांत की रूपरेखा
 * श्रेणी सिद्धांत और संबंधित गणित की समयरेखा

स्रोत

 * एमएससी के हिस्से के रूप में प्रस्तुत किए जाने वाले पाठ्यक्रम के लिए नोट्स। गणितीय तर्क में, मैनचेस्टर विश्वविद्यालय।
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बाहरी संबंध

 * Theory and Application of Categories, an electronic journal of category theory, full text, free, since 1995.
 * nLab, a wiki project on mathematics, physics and philosophy with emphasis on the n-categorical point of view.
 * The n-Category Café, essentially a colloquium on topics in category theory.
 * Category Theory, a web page of links to lecture notes and freely available books on category theory.
 * , a formal introduction to category theory.
 * , with an extensive bibliography.
 * List of academic conferences on category theory
 * — An informal introduction to higher order categories.
 * WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, आकारिता, categories, functors, natural transformations, universal properties.
 * , a channel about category theory.
 * Video archive of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.
 * Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.
 * Category Theory for the Sciences, an instruction on category theory as a tool throughout the sciences.
 * Category Theory for Programmers A book in blog form explaining category theory for computer programmers.
 * Introduction to category theory.
 * Category Theory for Programmers A book in blog form explaining category theory for computer programmers.
 * Introduction to category theory.