कर्नेल घनत्व अनुमान

सांख्यिकी में, कर्नेल घनत्व आकलन (केडीई) प्रायिकता घनत्व आकलन के लिए कर्नेल समरेखण का अनुप्रयोग है, अर्थात, एक गैर-पैरामीट्रिक सांख्यिकी विधि  कर्नेल (सांख्यिकी) के आधार पर एक यादृच्छिक चर के प्रायिकता घनत्व फलन का आकलन लगाने के लिए  भार फलन के रूप में केडीई एक मौलिक डेटा समरेखण समस्या का उत्तर देता है | जहां एक परिमित डेटा सांख्यिकीय नमूने के आधार पर सांख्यिकीय जनसंख्या के बारे में आकलन लगाया जाता है।  अर्थमिति जैसे कुछ क्षेत्रों में इसे एमानुL परजेन और मरे रोसेनब्लैट के बाद पारजेन-रोसेनब्लैट विंडो विधि भी कहा जाता है | जिन्हें सामान्यतः स्वतंत्र रूप से इसके वर्तमान रूप में बनाने का श्रेय दिया जाता है।  कर्नेल घनत्व आकलन के प्रसिद्ध अनुप्रयोगों में से एक वर्ग-सशर्त सीमांत वितरण का आकलन लगाने में है | नैव बेयस वर्गीकारक का उपयोग करते समय डेटा की सीमांत संभाव्यता घनत्व फलन है | जो इसकी पूर्वानुमान स्पष्टता में सुधार कर सकता है।

परिभाषा
माना (x1, x2, ..., xn) किसी भी बिंदु x पर एक अज्ञात घनत्व के साथ कुछ अविभाज्य वितरण से खींचे गए स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर नमूने हैं। हम इस फलन ƒ के आकार का अनुमान लगाने में रुचि रखते हैं। इसका कर्नेल घनत्व आकलनकर्ता है |

\widehat{f}_h(x) = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n K_h (x - x_i) = \frac{1}{nh} \sum_{i=1}^n K\Big(\frac{x-x_i}{h}\Big), $$ जहाँ K कर्नेल (सांख्यिकी) है | गैर-पैरामीट्रिक सांख्यिकी में एक गैर-नकारात्मक कार्य और h > 0 एक  कर्नेल मापदंड है | जिसे बैंडविड्थ कहा जाता है। सबस्क्रिप्ट h वाले कर्नेल को स्केल्ड कर्नेल कहा जाता है और इसे  परिभाषित किया जाता है | सहज रूप से कोई h को उतना ही छोटा चुनना चाहता है | जितना डेटा अनुमति देता है | चूँकि, आकलनकर्ता के पूर्वाग्रह और इसके विचरण के बीच सदैव एक समझौता होता है। बैंडविड्थ पर नीचे और अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

कर्नेल (सांख्यिकी) की एक श्रृंखला सामान्य उपयोग में कर्नेल फलन सामान्यतः उपयोग किए जाते हैं | त्रिकोणीय, द्विभाजित, ट्राइवेट, एपेनेक्निकोव, सामान्य, और अन्य एपेनेक्निकोव कर्नेल औसत वर्ग त्रुटि अर्थ में इष्टतम है | चूँकि पहले सूचीबद्ध कर्नेल के लिए दक्षता का हानि छोटा है। इसके सुविधाजनक गणितीय गुणों के कारण, सामान्य कर्नेल का अधिकांशतः उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ है | जहां ϕ मानक सामान्य घनत्व फलन है।

कर्नेल घनत्व आकलन का निर्माण घनत्व आकलन के बाहर के क्षेत्रों में व्याख्या पाता है। उदाहरण के लिए, ऊष्मप्रवैगिकी में, यह उत्पन्न होने वाली ऊष्मा की मात्रा के समान है | जब ऊष्मा कर्नेल (ऊष्मा समीकरण का मूल समाधान) प्रत्येक डेटा बिंदु स्थानों xi पर रखी जाती है | मैनिफोल्ड सीखने (जैसे प्रसार मानचित्र) के लिए बिंदु बादलों पर असतत लाप्लास ऑपरेटर के निर्माण के लिए इसी तरह के विधियों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण
कर्नेल घनत्व आकलन हिस्टोग्राम से निकटता से संबंधित हैं | किन्तु एक उपयुक्त कर्नेल का उपयोग करके चिकनाई या निरंतरता जैसे गुणों से संपन्न किया जा सकता है। इन 6 डेटा बिंदुओं पर आधारित नीचे दिया गया आरेख इस संबंध को दर्शाता है |

हिस्टोग्राम के लिए, सबसे पहले, क्षैतिज अक्ष को उप-अंतराल या डिब्बे में विभाजित किया जाता है | जो डेटा की सीमा को कवर करता है | इस स्थिति में, प्रत्येक चौड़ाई 2 के छह डिब्बे जब भी कोई डेटा बिंदु इस अंतराल के अंदर आता है | ऊंचाई 1 का एक बॉक्स /12 वहां रखा गया है। यदि एक ही बिन में एक से अधिक डेटा पॉइंट गिरते हैं, तो बॉक्स एक दूसरे के ऊपर ढेर हो जाते हैं।

कर्नेल घनत्व आकलन के लिए, 2.25 प्रसरण वाले सामान्य कर्नेल (लाल धराशायी रेखाओं द्वारा संकेत) प्रत्येक डेटा बिंदु xi पर रखे जाते हैं | कर्नेल घनत्व आकलन (ठोस नीला वक्र) बनाने के लिए कर्नेल का योग किया जाता है। कर्नेल घनत्व आकलन की चिकनाई (हिस्टोग्राम की असततता की तुलना में) दर्शाती है कि कैसे कर्नेल घनत्व आकलन निरंतर यादृच्छिक चर के लिए वास्तविक अंतर्निहित घनत्व में तेज़ी से अभिसरण करता है।



बैंडविड्थ चयन
कर्नेल की बैंडविड्थ (कंप्यूटिंग) एक मुक्त मापदंड है | जो परिणामी आकलन पर एक शक्तिशाली प्रभाव प्रदर्शित करता है। इसके प्रभाव को स्पष्ट करने के लिए, हम मानक सामान्य वितरण (क्षैतिज अक्ष पर गलीचा भूखंड में नीले स्पाइक्स पर प्लॉट किए गए) से एक सिम्युलेटेड रैंडम नंबर जनरेटर लेते हैं। धूसर वक्र वास्तविक घनत्व है (औसत 0 और विचरण 1 के साथ एक सामान्य घनत्व)। इसकी तुलना में, लाल वक्र कम चिकना है | क्योंकि इसमें बैंडविड्थ h = 0.05 का उपयोग करने से उत्पन्न होने वाले बहुत से नकली डेटा आर्टिफैक्ट हैं | जो बहुत छोटा है। बैंडविड्थ h = 2 का उपयोग करने के बाद से हरे रंग की वक्र बहुत अधिक अंतर्निहित संरचना को अस्पष्ट करती है। h = 0.337 की बैंडविड्थ के साथ काले वक्र को इष्टतम रूप से चिकना माना जाता है | क्योंकि इसका घनत्व आकलन वास्तविक घनत्व के निकट है। विकट स्थिति का सामना करना पड़ता है $$h \to 0$$ (कोई समरेखण नहीं), जहां आकलन विश्लेषित नमूनों के निर्देशांक पर केंद्रित एन डिराक डेल्टा फलन का योग है। दूसरी चरम सीमा में $$h \to \infty$$ आकलन उपयोग किए गए कर्नेल के आकार को बरकरार रखता है | जो नमूनों के माध्य (पूरी तरह से चिकनी) पर केंद्रित होता है।

इस मापदंड का चयन करने के लिए उपयोग किया जाने वाला सबसे सामान्य इष्टतमता मानदंड अपेक्षित L2 है | कठिन परिस्थिति कार्य, जिसे माध्य एकीकृत चुकता त्रुटि भी कहा जाता है |


 * $$\operatorname{MISE} (h) = \operatorname{E}\!\left[\, \int (\hat{f}_h(x) - f(x))^2 \, dx \right]$$

ƒ और K पर अशक्त मान्यताओं के अनुसार, (ƒ सामान्यतः अज्ञात, वास्तविक घनत्व फलन है),


 * $$\operatorname{MISE}(h) = \operatorname{AMISE}(h) + \mathcal{o}((nh)^{-1} + h^4)$$

जहां oi नोटेशन है, और एन नमूना आकार (ऊपर के रूप में) एमिस स्पर्शोन्मुख एमआईएसई है। दो प्रमुख शब्द,


 * $$\operatorname{AMISE}(h) = \frac{R(K)}{nh} + \frac{1}{4} m_2(K)^2 h^4 R(f'')$$

जहाँ $$R(g) = \int g(x)^2 \, dx$$ फलन जी के लिए, $$m_2(K) = \int x^2 K(x) \, dx$$ और $$f''$$ का दूसरा व्युत्पन्न है $$f$$ और $$K$$ कर्नेल है। इस एमिस का न्यूनतम इस अवकल समीकरण का हल है |


 * $$ \frac{\partial}{\partial h} \operatorname{AMISE}(h) = -\frac{R(K)}{nh^2} + m_2(K)^2 h^3 R(f'') = 0 $$

या


 * $$h_{\operatorname{AMISE}} = \frac{ R(K)^{1/5}}{m_2(K)^{2/5}R(f'')^{1/5} } n^{-1/5} = C n^{-1/5}$$

न तो एमिस और न ही hएमिस सूत्रों का सीधे उपयोग किया जा सकता है | क्योंकि वे अज्ञात घनत्व फलन को सम्मिलित करते हैं | $$f$$ या इसका दूसरा व्युत्पन्न $$f''$$. उस कठिनाई को दूर करने के लिए, बैंडविड्थ का चयन करने के लिए विभिन्न प्रकार की स्वचालित, डेटा-आधारित विधियाँ विकसित की गई हैं। उनकी प्रभावशीलता की तुलना करने के लिए कई समीक्षा अध्ययन किए गए हैं,      सामान्य सहमति के साथ कि प्लग-इन चयनकर्ता  और क्रॉस-सत्यापन (सांख्यिकी) चयनकर्ता   डेटा समुच्चय की एक विस्तृत श्रृंखला में सबसे उपयोगी हैं।

एमिस में एएमआईएसई के रूप में समान स्पर्शोन्मुख क्रम n−1/5 वाले किसी भी बैंडविड्थ h को प्रतिस्थापित करने से एमिस (h) = O(n-4/5) मिलता है | जहाँ O बड़ा o अंकन है। यह दिखाया जा सकता है कि अशक्त धारणाओं के अनुसार एक गैर-पैरामीट्रिक अनुमानक उपस्थित नहीं हो सकता है | जो कर्नेल अनुमानक की तुलना में तेज गति से अभिसरण करता है। ध्यान दें कि n−4/5 दर पैरामीट्रिक विधियों की विशिष्ट n−1 अभिसरण दर से धीमी है।

यदि बैंडविड्थ को निश्चित नहीं रखा गया है | किन्तु आकलन (बैलून आकलनकर्ता) या नमूने (बिंदुवार आकलनकर्ता) के स्थान के आधार पर भिन्न होता है, तो यह एक विशेष रूप से शक्तिशाली विधि का उत्पादन करता है | जिसे चर कर्नेल घनत्व आकलन कहा जाता है।

हेवी-टेल्ड डिस्ट्रीब्यूशन के कर्नेल घनत्व आकलन के लिए बैंडविड्थ चयन अपेक्षाकृत कठिन है।

सामान्य बैंडविड्थ आकलनकर्ता
यदि गॉसियन आधार फलन का उपयोग लगभग एकतरफा डेटा के लिए किया जाता है, और अंतर्निहित घनत्व का आकलन गॉसियन है, तो h के लिए इष्टतम विकल्प (अर्थात, बैंडविड्थ जो औसत एकीकृत चुकता त्रुटि को कम करता है) है |
 * $$h = \left(\frac{4\hat{\sigma}^5}{3n}\right)^{\frac{1}{5}} \approx 1.06 \, \hat{\sigma}\, n^{-1/5},$$

एक $$h$$ मूल्य को और अधिक शक्तिशाली माना जाता है | जब यह लंबी-टेल वाले और तिरछे वितरण के लिए या बिमोडल मिश्रण वितरण के लिए फिट में सुधार करता है। यह अधिकांशतः अनुभभार्य रूप से मानक विचलन को बदलकर किया जाता है | $$\hat{\sigma}$$ मापदंड द्वारा $$A$$ नीचे है |


 * $$A = \min\left(\hat{\sigma}, \frac{IQR}{1.34}\right)$$ जहाँ अन्तःचतुर्थक श्रेणी इंटरक्वेर्टाइल स्तर है।

मॉडल में सुधार करने वाला एक और संशोधन कारक को 1.06 से 0.9 तक कम करना है। तब अंतिम सूत्र होगा |


 * $$h = 0.9\, \min\left(\hat{\sigma}, \frac{IQR}{1.34}\right)\, n^{-\frac{1}{5}}$$

जहाँ $$n$$ नमूना आकार है।

इस सन्निकटन को सामान्य वितरण सन्निकटन, गॉसियन सन्निकटन या बर्नार्ड सिल्वरमैन के अंगूठे का नियम कहा जाता है। जबकि अंगूठे के इस नियम की गणना करना सरल है | इसे सावधानी के साथ प्रयोग किया जाना चाहिए | क्योंकि घनत्व सामान्य होने के निकट नहीं होने पर यह व्यापक रूप से गलत आकलन लगा सकता है।

उदाहरण के लिए, बिमॉडल गॉसियन मिश्रण मॉडल का आकलन करते समय होता है |
 * $$\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(x-10)^2}+\frac{1}{2\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{1}{2}(x+10)^2}$$

200 बिंदुओं के एक नमूने से, दाईं ओर का आंकड़ा सही घनत्व और दो कर्नेल घनत्व आकलन दिखाता है | एक रूल ऑफ़ थंब बैंडविड्थ का उपयोग करके, और दूसरा समीकरण-समीकरण बैंडविड्थ का उपयोग करके रूल-ऑफ-थंब बैंडविड्थ पर आधारित आकलन अधिक सीमा तक ओवरस्मूथ किया गया है।

विशेषता फलन घनत्व आकलनकर्ता से संबंध दिया गया नमूना (x1, x2, ..., xn), विशिष्ट कार्य (संभावना सिद्धांत) का आकलन लगाना स्वाभाविक है | जैसा

\widehat\varphi(t) = \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n e^{itx_j} $$ विशेषता फलन को जानने के बाद, फूरियर रूपांतरण सूत्र के माध्यम से संबंधित प्रायिकता घनत्व फलन को खोजना संभव है। इस व्युत्क्रम सूत्र को प्रयुक्त करने में एक कठिनाई यह है कि यह आकलन के बाद से एक अपसारी अभिन्न की ओर जाता है |  बड़े t के लिए अविश्वसनीय है। इस समस्या को दरकिनार करने के लिए, आकलनकर्ता  एक  फलन से गुणा किया जाता है |, जो मूल बिंदु पर 1 के समान है और फिर अनंत पर 0 तक गिर जाता है। "बैंडविड्थ मापदंड" h नियंत्रित करता है कि हम कितनी तेजी से फलन  को कम करने की प्रयास करते हैं | विशेष रूप से जब h छोटा होता है, तब ψh (t) t की एक बड़ी श्रृंखला के लिए लगभग एक होगा, जिसका अर्थ है कि  t के सबसे महत्वपूर्ण क्षेत्र में व्यावहारिक रूप से अपरिवर्तित रहता है।

फलन ψ{{nowrap|ψ(t) = 1{−1 ≤ t ≤ 1}} के लिए सबसे सामान्य विकल्प या तो एकसमान फलन है | जिसका प्रभावी अर्थ उलटा सूत्र में एकीकरण के अंतराल को छोटा करना है | [−1/h, 1/h], या गाऊसी फलन {{nowrap|ψ(t) {{=}} e−$\pi$t 2 }}. एक बार फलन ψ चुने जाने के बाद, व्युत्क्रम सूत्र प्रयुक्त किया जा सकता है |
 * $$\begin{align}

\widehat{f}(x) &= \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \widehat\varphi(t)\psi_h(t) e^{-itx} \, dt               = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{1}{n} \sum_{j=1}^n e^{it(x_j-x)} \psi(ht) \, dt \\[5pt] &= \frac{1}{nh} \sum_{j=1}^n \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-i(ht)\frac{x-x_j}{h}} \psi(ht) \, d(ht) = \frac{1}{nh} \sum_{j=1}^n K\Big(\frac{x-x_j}{h}\Big), \end{align}$$ जहां K डंपिंग फलन ψ का फूरियर रूपांतरण है। इस प्रकार कर्नेल घनत्व आकलनकर्ता विशेषता फलन घनत्व आकलनकर्ता के साथ मेल खाता है।

ज्यामितीय और सामयिक विशेषताएं
हम (वैश्विक) मोड की परिभाषा को स्थानीय अर्थ में बढ़ा सकते हैं और स्थानीय मोड को परिभाषित कर सकते हैं:


 * $$M = \{ x:g(x)=0, \lambda_1(x)<0 \}$$

अर्थात्, $$M$$ उन बिंदुओं का संग्रह है जिनके लिए घनत्व फलन स्थानीय रूप से अधिकतम होता है। का एक प्राकृतिक आकलनकर्ता $$M$$ केडीई का एक प्लग-इन है, जहाँ $$g(x)$$ और $$\lambda_1(x) $$ केडीई संस्करण हैं $$g(x)$$ और $$\lambda_1(x)$$. हल्के आकलनों के अनुसार, $$M_c$$ का एक सतत आकलनकर्ता है $$M$$. ध्यान दें कि कोई औसत बदलाव L्गोरिदम का उपयोग कर सकता है  आकलनकर्ता की गणना करने के लिए $$M_c$$ संख्यात्मक रूप से।

सांख्यिकीय कार्यान्वयन
कर्नेल घनत्व आकलनकर्ताों के सॉफ्टवेयर कार्यान्वयन की गैर-विस्तृत सूची में सम्मिलित हैं: कर्नेल प्रतिगमन, कर्नेल के कार्यान्वयन के साथ एक मुफ़्त MATLAB टूलबॉक्स घनत्व का आकलन, खतरे के कार्य का कर्नेल आकलन और कई अन्य इन पृष्ठों पर उपलब्ध है ( यह टूलबॉक्स किताब का एक हिस्सा है ).
 * एनालिटिका (सॉफ्टवेयर) रिलीज 4.4 में, पीडीएफ परिणामों के लिए समरेखण विकल्प केडीई का उपयोग करता है, और एक्सप्रेशंस से यह बिल्ट-इन के माध्यम से उपलब्ध है  फलन।
 * C (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज)/C++ में, FIGTree एक लाइब्रेरी है जिसका उपयोग सामान्य कर्नेल का उपयोग करके कर्नेल घनत्व आकलनों की गणना करने के लिए किया जा सकता है। MATLAB इंटरफ़ेस उपलब्ध है।
 * C++ में, libagf परिवर्तनीय कर्नेल घनत्व आकलन के लिए एक पुस्तकालय है।
 * C++ में, mlpack एक पुस्तकालय है जो कई अलग-अलग कर्नेल का उपयोग करके केडीई की गणना कर सकता है। यह तेजी से संगणना के लिए त्रुटि सहिष्णुता समुच्चय करने की अनुमति देता है। पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) और आर (प्रोग्रामिंग भाषा) इंटरफेस उपलब्ध हैं।
 * सी शार्प (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) में | सी# और एफ शार्प (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) | एफ#, Math.NET न्यूमेरिक्स संख्यात्मक संगणना के लिए एक ओपन सोर्स लाइब्रेरी है जिसमें सम्मिलित है .Statistics/KernelDensity.htm कर्नेल घनत्व आकलन
 * क्राइमस्टैट में, कर्नेल घनत्व आकलन पांच अलग-अलग कर्नेल कार्यों का उपयोग करके कार्यान्वित किया जाता है - सामान्य, समान, क्वार्टिक, नकारात्मक घातीय और त्रिकोणीय। एकल और दोहरे कर्नेल घनत्व आकलन रूtन दोनों उपलब्ध हैं। कर्नेल घनत्व आकलन का उपयोग हेड बैंग रूtन को प्रक्षेपित करने में भी किया जाता है, द्वि-आयामी जर्नी-टू-क्राइम डेंसिt फलन का आकलन लगाने में, और त्रि-आयामी बायेसियन जर्नी-टू-क्राइम आकलन लगाने में।
 * ईLकेआई में, कर्नेल घनत्व कार्य पैकेज में पाए जा सकते हैं
 * पर्यावरण प्रणाली अनुसंधान संस्थान के उत्पादों में, कर्नेल घनत्व मानचित्रण को स्थानिक विश्लेषक टूलबॉक्स से प्रबंधित किया जाता है और क्वार्टिक (बायवेट) कर्नेल का उपयोग करता है।
 * Microsoft Excel में, रॉयल सोसाइt ऑफ केमिस्ट्री ने उनके के आधार पर कर्नेल घनत्व आकलन चलाने के लिए एक ऐड-इन बनाया है। विश्लेषणात्मक तरीके समिति तकनीकी संक्षेप 4।
 * gnuplot में, कर्नेल घनत्व आकलन किसके द्वारा कार्यान्वित किया जाता है  विकल्प, डेटा फ़ाइल में प्रत्येक बिंदु के लिए भार और बैंडविड्थ हो सकता है, या बैंडविड्थ को स्वचालित रूप से समुच्चय किया जा सकता है सिल्वरमैन के अंगूठे के नियम के अनुसार (ऊपर देखें)।
 * हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा) में, कर्नेल घनत्व सांख्यिकी पैकेज में कार्यान्वित किया जाता है।
 * इगोर प्रो में, कर्नेल घनत्व आकलन किसके द्वारा कार्यान्वित किया जाता है  ऑपरेशन (इगोर प्रो 7.00 में जोड़ा गया)। बैंडविड्थ उपयोगकर्ता निर्दिष्ट या सिल्वरमैन, स्कॉट या बोमन और Azzalini के माध्यम से आकलन लगाया जा सकता है। कर्नेल प्रकार हैं: एपेनेक्निकोव, द्वि-भार, त्रि-भार, त्रिकोणीय, गाऊसी और आयताकार।
 * जावा (प्रोग्रामिंग भाषा) में, वीका (मशीन लर्निंग) पैकेज दूसरों के बीच weka.estimators.KernelEstimator प्रदान करता है।
 * जावास्क्रिप्ट में, विज़ुअलाइज़ेशन पैकेज D3js|D3.js अपने Science.stats पैकेज में एक KDE पैकेज प्रदान करता है।
 * जेएमपी (सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर) में, ग्राफ बिल्डर प्लेटफॉर्म द्विभाजित घनत्व के लिए समोच्च भूखंड और उच्च घनत्व क्षेत्र (hडीआर), और अविभाजित घनत्व के लिए वायलिन भूखंड और hडीआर प्रदान करने के लिए कर्नेल घनत्व आकलन का उपयोग करता है। स्लाइडर्स उपयोगकर्ता को बैंडविड्थ बदलने की अनुमति देते हैं। Bivariate और univariate कर्नेल घनत्व आकलन भी क्रमशः फ़िट Y द्वारा X और वितरण प्लेटफ़ॉर्म द्वारा प्रदान किए जाते हैं।
 * जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा) में, कर्नेल घनत्व आकलन KernelDensity.jl पैकेज में कार्यान्वित किया जाता है।
 * MATLAB में, कर्नेल घनत्व आकलन के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है  फलन (सांख्यिकी टूलबॉक्स)। MATLAB की 2018a रिलीज़ के अनुसार, बैंडविड्थ और कर्नेल स्मूथ दोनों को निर्दिष्ट किया जा सकता है, जिसमें कर्नेल घनत्व की सीमा निर्दिष्ट करने जैसे अन्य विकल्प सम्मिलित हैं। वैकल्पिक रूप से, एक मुफ्त MATLAB सॉफ़्टवेयर पैकेज जो एक स्वचालित बैंडविड्थ चयन पद्धति को प्रयुक्त करता है MATLAB सेंट्रल फाइल एक्सचेंज के लिए उपलब्ध है
 * 1-आयामी डेटा
 * 2-आयामी डेटा
 * n-आयामी डेटा
 * गणित में, संख्यात्मक कर्नेल घनत्व आकलन फलन द्वारा कार्यान्वित किया जाता है और सांकेतिक आकलन फलन का उपयोग कर कार्यान्वित किया जाता है  दोनों ही डेटा-संचालित बैंडविथ प्रदान करते हैं।
 * मिनिटैब में, रॉयल सोसाइt ऑफ केमिस्ट्री ने अपनी एनालिटिकल मेथड्स कमेt टेक्निकल ब्रीफ 4 के आधार पर कर्नेल घनत्व आकलन चलाने के लिए एक मैक्रो बनाया है।
 * एनएजी न्यूमेरिकल लाइब्रेरी में, कर्नेल घनत्व आकलन के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है  दिनचर्या (फोरट्रान दोनों में उपलब्ध है और सी लाइब्रेरी के संस्करण)।
 * Nuklei में, C++ कर्नेल घनत्व विधियाँ विशेष यूक्लिडियन समूह के डेटा पर ध्यान केंद्रित करती हैं $$SE(3)$$.
 * जीएनयू ऑक्टेव में, कर्नेल घनत्व आकलन किसके द्वारा कार्यान्वित किया जाता है  विकल्प (अर्थमिति पैकेज)।
 * उत्पत्ति (डेटा विश्लेषण सॉफ़्टवेयर) में, इसके उपयोगकर्ता इंटरफ़ेस से 2डी कर्नेल घनत्व प्लॉट बनाया जा सकता है, और दो फलन, 1D के लिए Ksघनत्व और 2D के लिए Ks2घनत्व इसके से उपयोग किए जा सकते हैं /ltwiki/index.php?title=Category:LabTalk_Programming LabTalk], Python (प्रोग्रामिंग भाषा), या C (प्रोग्रामिंग भाषा) कोड।
 * पर्ल में, कार्यान्वयन सांख्यिकी-कर्नेल आकलन मॉड्यूल में पाया जा सकता है।
 * PHP में, कार्यान्वयन MathPHP लाइब्रेरी में पाया जा सकता है।
 * पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) में, कई कार्यान्वयन उपस्थित हैं: pyqt_fit.kde मॉड्यूल में P/PyQt-Fit/PyQt-Fit-1.3.4.tar.gz PyQt-Fit पैकेज], SciPy, राज्य मॉडल ( और  ), और scikit-सीखें  (तुलना देखें ). KDEpy भारित डेटा का समर्थन करता है और इसका FFT कार्यान्वयन अन्य कार्यान्वयनों की तुलना में बहुत अधिक तेज़ है। सामान्यतः उपयोग की जाने वाली पांडा लाइब्रेरी  प्लॉट विधि के माध्यम से केडीई प्लॉटिंग के लिए समर्थन प्रदान करती है । भारित और सहसंबद्ध MCMC नमूनों के लिए getdist पैकेज 1D और 2D वितरण के लिए अनुकूलित बैंडविड्थ, सीमा सुधार और उच्च-क्रम विधियों का समर्थन करता है। कर्नेल घनत्व आकलन के लिए एक नया उपयोग किया जाने वाला पैकेज सीबॉर्न है . केडीई का एक जीपीयू कार्यान्वयन भी उपस्थित है।
 * R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) में इसके द्वारा इम्प्लीमेंट किया जाता है  आधार वितरण में, और   फलन का उपयोग सांख्यिकी पैकेज में किया जाता है, यह फलन सिल्वरमैन की पुस्तक में अनुकूलित सूत्र का उपयोग करता है।   KernSmooth लाइब्रेरी में,    DataVisualizations लाइब्रेरी में (पेरेटो वितरण घनत्व आकलन के लिए),   ks लाइब्रेरी में,   और   evmix लाइब्रेरी में (बाउंडेड सपोर्ट के लिए बाउंड्री करेक्टेड कर्नेल डेंसिt एस्tमेशन के लिए बाद में),   np लाइब्रेरी (संख्यात्मक और श्रेणीबद्ध चर) में,   sm लाइब्रेरी में। के क्रियान्वयन के लिए   फलन, जिसे किसी पैकेज या लाइब्रेरी को स्थापित करने की आवश्यकता नहीं है, kde.R देखें। btb लाइब्रेरी, शहरी विश्लेषण के लिए समर्पित, कर्नेल घनत्व आकलन को प्रयुक्त करता है.
 * एसएएस (सॉफ्टवेयर) में,  अविभाजित और द्विभाजित कर्नेल घनत्व का आकलन लगाने के लिए उपयोग किया जा सकता है।
 * अपाचे स्पार्क में,  कक्षा * था में, इसे किसके द्वारा कार्यान्वित किया जाता है  ; उदाहरण के लिए  . वैकल्पिक रूप से एक मुफ़्त स्टाटा मॉड्यूल केडीईएनएस उपलब्ध है उपयोगकर्ता को 1D या 2D घनत्व कार्यों का आकलन लगाने की अनुमति देता है।
 * स्विफ्ट (प्रोग्रामिंग भाषा) में इसके द्वारा क्रियान्वित किया जाता है  ओपन-सोर्स स्टैटिस्टिक्स लाइब्रेरी SwiftStats में।

यह भी देखें

 * कर्नेल (सांख्यिकी)
 * कर्नेल कर्नेल
 * कर्नेल प्रतिगमन
 * घनत्व का आकलन (अन्य उदाहरणों की प्रस्तुति के साथ)
 * मीन-शिफ्ट
 * स्केल स्पेस: त्रिक {(x, h, KDE बैंडविड्थ h के साथ x पर मूल्यांकित: सभी x, h > 0} डेटा का स्केल स्पेस प्रतिनिधित्व बनाते हैं।
 * बहुभिन्नरूपी कर्नेल घनत्व आकलन
 * परिवर्तनीय कर्नेल घनत्व आकलन
 * सिर/टेल टूटना। सिर/टेल टूटना

अग्रिम पठन

 * Härdle, Müller, Sperlich, Werwatz, Nonparametric and Semiparametric Methods, Springer-Verlag Berlin Heidelberg 2004, pp.&thinsp;39–83

बाहरी संबंध

 * Introduction to kernel density estimation A short tutorial which motivates kernel density estimators as an improvement over histograms.
 * Kernel Bandwidth Optimization A free online tool that generates an optimized kernel density estimate.
 * Free Online Software (Calculator) computes the Kernel Density Estimation for a data series according to the following Kernels: Gaussian, एपेनेक्निकोव, Rectangular, Triangular, Biweight, Cosine, and Optcosine.
 * Kernel Density Estimation Applet An online interactive example of kernel density estimation. Requires .NET 3.0 or later.