अंतिम मान प्रमेय

गणितीय विश्लेषण में, अंतिम मूल्य प्रमेय (एफवीटी) कई समान प्रमेयों में से एक है जिसका उपयोग आवृत्ति डोमेन अभिव्यक्तियों को समय डोमेन व्यवहार से संबंधित करने के लिए किया जाता है क्योंकि समय अनंत तक पहुंचता है। गणितीय रूप से, यदि $$f(t)$$ निरंतर समय में (एकतरफा) लाप्लास परिवर्तन होता है $$F(s)$$, तो एक अंतिम मूल्य प्रमेय उन स्थितियों को स्थापित करता है जिनके तहत
 * $$\lim_{t\to\infty}f(t) = \lim_{s\,\to\, 0}{sF(s)}$$

इसी प्रकार यदि $$f[k]$$ असतत समय में (एकतरफा) Z-परिवर्तन होता है $$F(z)$$, तो एक अंतिम मूल्य प्रमेय उन स्थितियों को स्थापित करता है जिनके तहत
 * $$\lim_{k\to\infty}f[k] = \lim_{z\to 1}{(z-1)F(z)}$$

एबेलियन अंतिम मूल्य प्रमेय समय-डोमेन व्यवहार के बारे में धारणा बनाता है $$f(t)$$ (या $$f[k]$$) की गणना करना $$\lim_{s\,\to\, 0}{sF(s)}$$. इसके विपरीत, एक टूबेरियन अंतिम मूल्य प्रमेय आवृत्ति-डोमेन व्यवहार के बारे में धारणा बनाता है $$F(s)$$ की गणना करना $$\lim_{t\to\infty}f(t)$$ (या $$\lim_{k\to\infty}f[k]$$) (एबेलियन और टूबेरियन प्रमेय देखें)।

कटौती करना $lim_{t → ∞} f(t)$
निम्नलिखित कथनों में, संकेतन '$$s \to 0$$' मतलब कि $$s$$ 0 के करीब पहुंचता है, जबकि '$$s \downarrow 0$$' मतलब कि $$s$$ सकारात्मक संख्याओं के माध्यम से 0 तक पहुंचता है।

मानक अंतिम मूल्य प्रमेय
मान लीजिए कि प्रत्येक ध्रुव $$F(s)$$ या तो खुले बाएँ आधे तल में है या मूल में है, और वह $$F(s)$$ मूल बिंदु पर अधिकतम एक ही ध्रुव होता है। तब $$sF(s) \to L \in \mathbb{R}$$ जैसा $$s \to 0$$, और $$\lim_{t\to\infty}f(t) = L$$.

व्युत्पन्न के लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करते हुए अंतिम मूल्य प्रमेय
लगता है कि $$f(t)$$ और $$f'(t)$$ दोनों में लाप्लास परिवर्तन हैं जो सभी के लिए मौजूद हैं $$s > 0$$. अगर $$\lim_{t\to\infty}f(t)$$ मौजूद है और $$\lim_{s\,\to\, 0}{sF(s)}$$ तब मौजूद है $$\lim_{t\to\infty}f(t) = \lim_{s\,\to\, 0}{sF(s)}$$.

टिप्पणी

प्रमेय को धारण करने के लिए दोनों सीमाएँ मौजूद होनी चाहिए। उदाहरण के लिए, यदि $$f(t) = \sin(t)$$ तब $$\lim_{t\to\infty}f(t)$$ मौजूद नहीं है, लेकिन $$\lim_{s\,\to\, 0}{sF(s)} = \lim_{s\,\to\, 0}{\frac{s}{s^2+1}} = 0$$.

बेहतर टूबेरियन वार्तालाप अंतिम मूल्य प्रमेय
लगता है कि $$f : (0,\infty) \to \mathbb{C} $$ बंधा हुआ और भिन्न है, और वह $$t f'(t)$$ पर भी बाध्य है $$(0,\infty)$$. अगर $$sF(s) \to L \in \mathbb{C}$$ जैसा $$s \to 0$$ तब $$\lim_{t\to\infty}f(t) = L$$.

विस्तारित अंतिम मूल्य प्रमेय
मान लीजिए कि प्रत्येक ध्रुव $$F(s)$$ या तो खुले बाएँ आधे तल में है या मूल में है। तब निम्न में से एक होता है: विशेषकर, यदि $$s = 0$$ का एक बहु ध्रुव है $$F(s)$$ तब स्थिति 2 या 3 लागू होती है ($$f(t) \to +\infty$$ या $$f(t) \to -\infty$$).
 * 1) $$sF(s) \to L \in \mathbb{R}$$ जैसा $$s \downarrow 0$$, और $$\lim_{t\to\infty}f(t) = L$$.
 * 2) $$sF(s) \to +\infty \in \mathbb{R}$$ जैसा $$s \downarrow 0$$, और $$f(t) \to +\infty$$ जैसा $$t \to \infty$$.
 * 3) $$sF(s) \to -\infty \in \mathbb{R}$$ जैसा $$s \downarrow 0$$, और $$f(t) \to -\infty$$ जैसा $$t \to \infty$$.

सामान्यीकृत अंतिम मूल्य प्रमेय
लगता है कि $$f(t)$$ लाप्लास परिवर्तनीय है. होने देना $$\lambda > -1$$. अगर $$\lim_{t\to\infty}\frac{f(t)}{t^\lambda}$$ मौजूद है और $$\lim_{s\downarrow0}{s^{\lambda+1}F(s)}$$ तब मौजूद है
 * $$\lim_{t\to\infty}\frac{f(t)}{t^\lambda} = \frac{1}{\Gamma(\lambda+1)} \lim_{s\downarrow0}{s^{\lambda+1}F(s)}$$

कहाँ $$\Gamma(x)$$ गामा फ़ंक्शन को दर्शाता है।

अनुप्रयोग
प्राप्त करने के लिए अंतिम मूल्य प्रमेय $$\lim_{t\to\infty}f(t)$$ किसी प्रणाली के नियंत्रण सिद्धांत|दीर्घकालिक स्थिरता को स्थापित करने में इसका अनुप्रयोग होता है।

एबेलियन अंतिम मूल्य प्रमेय
लगता है कि $$f : (0,\infty) \to \mathbb{C} $$ परिबद्ध एवं मापने योग्य है तथा $$\lim_{t\to\infty}f(t) = \alpha \in \mathbb{C}$$. तब $$F(s)$$ सभी के लिए मौजूद है $$s > 0$$ और $$\lim_{s\,\to\, 0^{+}}{sF(s)} = \alpha$$.

प्राथमिक प्रमाण

सुविधा के लिए मान लीजिए कि $$|f(t)|\le1$$ पर $$(0,\infty)$$, और जाने $$\alpha=\lim_{t\to\infty}f(t)$$. होने देना $$\epsilon>0$$, और चुनें $$A$$ ताकि $$|f(t)-\alpha|<\epsilon$$ सभी के लिए $$t>A$$. तब से $$s\int_0^\infty e^{-st}\,dt=1$$, हरएक के लिए $$s>0$$ हमारे पास है


 * $$sF(s)-\alpha=s\int_0^\infty(f(t)-\alpha)e^{-st}\,dt;$$

इस तरह
 * $$|sF(s)-\alpha|\le s\int_0^A|f(t)-\alpha|e^{-st}\,dt+s\int_A^\infty

\le2s\int_0^Ae^{-st}\,dt+\epsilon s\int_A^\infty e^{-st}\,dt=I+II.$$ अब प्रत्येक के लिए $$s>0$$ हमारे पास है
 * f(t)-\alpha|e^{-st}\,dt
 * $$II<\epsilon s\int_0^\infty e^{-st}\,dt=\epsilon$$.

दूसरी ओर, चूंकि $$A<\infty$$ तय हो गया है यह स्पष्ट है $$\lim_{s\to 0}I=0$$, इसलिए $$|sF(s)-\alpha| < \epsilon$$ अगर $$s>0$$ काफी छोटा है.

व्युत्पन्न के लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करते हुए अंतिम मूल्य प्रमेय
मान लीजिए कि निम्नलिखित सभी शर्तें पूरी हो गई हैं: तब
 * 1) $$f : (0,\infty) \to \mathbb{C} $$ निरंतर भिन्न है और दोनों $$f$$ और $$f'$$ एक लाप्लास परिवर्तन है
 * 2) $$f'$$ बिल्कुल अभिन्न है - अर्थात, $$ \int_{0}^{\infty} | f'(\tau) | \, d\tau $$ परिमित है
 * 3) $$\lim_{t\to\infty} f(t)$$ अस्तित्व में है और सीमित है
 * $$\lim_{s \to 0^{+}} sF(s) = \lim_{t\to\infty} f(t)$$.

टिप्पणी

प्रमाण प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय का उपयोग करता है।

किसी फ़ंक्शन के माध्य के लिए अंतिम मान प्रमेय
होने देना $$f : (0,\infty) \to \mathbb{C} $$ एक सतत और परिबद्ध फलन इस प्रकार हो कि निम्नलिखित सीमा मौजूद हो
 * $$\lim_{T\to\infty} \frac{1}{T} \int_{0}^{T} f(t) \, dt = \alpha \in \mathbb{C}$$

तब $$\lim_{s\,\to\, 0, \, s>0}{sF(s)} = \alpha$$.

आवधिक कार्यों के स्पर्शोन्मुख योग के लिए अंतिम मूल्य प्रमेय
लगता है कि $$f : [0,\infty) \to \mathbb{R} $$ में सतत एवं पूर्णतया एकीकृत है $$[0,\infty)$$. आगे मान लीजिए $$f$$ आवर्ती कार्यों के एक सीमित योग के बराबर है $$f_{\mathrm{as}}$$, वह है
 * $$| f(t) - f_{\mathrm{as}}(t) | < \phi(t)$$

कहाँ $$\phi(t)$$ में बिल्कुल एकीकृत है $$[0,\infty)$$ और अनंत पर लुप्त हो जाता है। तब
 * $$\lim_{s \to 0}sF(s) = \lim_{t \to \infty} \frac{1}{t} \int_{0}^{t} f(x) \, dx$$.

अनंत तक विचलन करने वाले फ़ंक्शन के लिए अंतिम मान प्रमेय
होने देना $$f(t) : [0,\infty) \to \mathbb{R}$$ और $$F(s)$$ का लाप्लास रूपांतरण हो $$f(t)$$. लगता है कि $$f(t)$$ निम्नलिखित सभी शर्तों को पूरा करता है: तब $$sF(s)$$ अनंत की ओर विचरण करता है $$s \to 0^{+}$$.
 * 1) $$f(t)$$ शून्य पर असीम रूप से भिन्न है
 * 2) $$f^{(k)}(t)$$ सभी गैर-नकारात्मक पूर्णांकों के लिए लाप्लास परिवर्तन है $$k$$ # $$f(t)$$ अनंत की ओर विचरण करता है $$t \to \infty$$

अनुचित रूप से पूर्णांकित कार्यों के लिए अंतिम मूल्य प्रमेय (अभिन्न के लिए एबेल का प्रमेय)
होने देना $$h : [0,\infty) \to \mathbb{R}$$ मापने योग्य हो और ऐसा हो कि (संभवतः अनुचित) अभिन्न हो $$f(x) := \int_0^x h(t)\, dt$$ के लिए एकत्रित होता है $$x\to\infty$$. तब
 * $$\int_0^\infty h(t)\, dt := \lim_{x\to\infty} f(x) = \lim_{s\downarrow 0}\int_0^\infty e^{-st}h(t)\, dt.$$

यह हाबिल के प्रमेय का एक संस्करण है।

इसे देखने के लिए उस पर ध्यान दें $$f'(t) = h(t)$$ और अंतिम मान प्रमेय को लागू करें $$f$$ भागों द्वारा एकीकरण के बाद: के लिए $$s > 0$$,



s\int_0^\infty e^{-st}f(t)\, dt = \Big[- e^{-st}f(t)\Big]_{t=o}^\infty + \int_0^\infty e^{-st} f'(t) \, dt = \int_0^\infty e^{-st} h(t) \, dt. $$ अंतिम मान प्रमेय के अनुसार, बाईं ओर अभिसरण होता है $$\lim_{x\to\infty} f(x)$$ के लिए $$s\to 0$$.

अनुचित अभिन्न का अभिसरण स्थापित करना $$\lim_{x\to\infty}f(x)$$ व्यवहार में, डिरिचलेट का परीक्षण#अनुचित समाकलन |अनुचित समाकलन के लिए डिरिचलेट का परीक्षण अक्सर सहायक होता है। एक उदाहरण डिरिचलेट इंटीग्रल है।

अनुप्रयोग
प्राप्त करने के लिए अंतिम मूल्य प्रमेय $$\lim_{s\,\to\, 0}{sF(s)}$$ क्षण (गणित) की गणना करने के लिए संभाव्यता और सांख्यिकी में अनुप्रयोग हैं। होने देना $$R(x)$$ एक सतत यादृच्छिक चर का संचयी वितरण फ़ंक्शन बनें $$X$$ और जाने $$\rho(s)$$ का लाप्लास-स्टिल्टजेस रूपांतरण हो $$R(x)$$. फिर $$n$$-वें क्षण का $$X$$ के रूप में गणना की जा सकती है
 * $$E[X^n] = (-1)^n\left.\frac{d^n\rho(s)}{ds^n}\right|_{s=0}$$

रणनीति लिखने की है
 * $$\frac{d^n\rho(s)}{ds^n} = \mathcal{F}\bigl(G_1(s), G_2(s), \dots, G_k(s), \dots\bigr)$$ कहाँ $$\mathcal{F}(\dots)$$ निरंतर है और

प्रत्येक के लिए $$k$$, $$G_k(s) = sF_k(s)$$ एक समारोह के लिए $$F_k(s)$$. प्रत्येक के लिए $$k$$, रखना $$f_k(t)$$ के व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन के रूप में $$F_k(s)$$, प्राप्त $$\lim_{t\to\infty}f_k(t)$$, और निष्कर्ष निकालने के लिए अंतिम मूल्य प्रमेय लागू करें $$\lim_{s\,\to\, 0}{G_k(s)} =\lim_{s\,\to\, 0}{sF_k(s)} = \lim_{t\to\infty}f_k(t)$$. तब
 * $$\left.\frac{d^n\rho(s)}{ds^n}\right|_{s=0} = \mathcal{F}\Bigl(\lim_{s\,\to\, 0} G_1(s), \lim_{s\,\to\, 0} G_2(s), \dots, \lim_{s\,\to\, 0} G_k(s), \dots\Bigr)$$ और इसलिए $$E[X^n]$$ प्राप्त होना।

उदाहरण जहां एफवीटी
रखता है

उदाहरण के लिए, स्थानांतरण प्रकार्य द्वारा वर्णित सिस्टम के लिए
 * $$H(s) = \frac{ 6 }{s + 2},$$

आवेग प्रतिक्रिया परिवर्तित हो जाती है
 * $$\lim_{t \to \infty} h(t) = \lim_{s \to 0} \frac{6s}{s+2} = 0.$$

अर्थात्, एक छोटे आवेग से परेशान होने के बाद सिस्टम शून्य पर लौट आता है। हालाँकि, चरण प्रतिक्रिया का लाप्लास परिवर्तन है
 * $$G(s) = \frac{1}{s} \frac{6}{s+2}$$

और इस प्रकार चरण प्रतिक्रिया अभिसरित हो जाती है
 * $$\lim_{t \to \infty} g(t) = \lim_{s \to 0} \frac{s}{s} \frac{6}{s+2} = \frac{6}{2} = 3$$

तो एक शून्य-अवस्था प्रणाली 3 के अंतिम मान तक तेजी से वृद्धि का अनुसरण करेगी।

उदाहरण जहां FVT मान्य नहीं है
स्थानांतरण फ़ंक्शन द्वारा वर्णित सिस्टम के लिए


 * $$H(s) = \frac{9}{s^2 + 9},$$

ऐसा प्रतीत होता है कि अंतिम मान प्रमेय आवेग प्रतिक्रिया का अंतिम मान 0 और चरण प्रतिक्रिया का अंतिम मान 1 होने की भविष्यवाणी करता है। हालाँकि, कोई भी समय-डोमेन सीमा मौजूद नहीं है, और इसलिए अंतिम मूल्य प्रमेय की भविष्यवाणियाँ मान्य नहीं हैं। वास्तव में, आवेग प्रतिक्रिया और चरण प्रतिक्रिया दोनों दोलन करते हैं, और (इस विशेष मामले में) अंतिम मूल्य प्रमेय उन औसत मूल्यों का वर्णन करता है जिनके आसपास प्रतिक्रियाएं दोलन करती हैं।

नियंत्रण सिद्धांत में दो जाँचें की जाती हैं जो अंतिम मूल्य प्रमेय के लिए वैध परिणामों की पुष्टि करती हैं:
 * 1) हर के सभी गैर-शून्य मूल $$H(s)$$ नकारात्मक वास्तविक भाग होने चाहिए।
 * 2) $$H(s)$$ मूल स्थान पर एक से अधिक ध्रुव नहीं होने चाहिए।

इस उदाहरण में नियम 1 संतुष्ट नहीं था, इसमें हर की जड़ें हैं $$0+j3$$ और $$0-j3$$.

अंतिम मूल्य प्रमेय
अगर $$\lim_{k\to\infty}f[k]$$ मौजूद है और $$\lim_{z\,\to\, 1}{(z-1)F(z)}$$ तब मौजूद है $$\lim_{k\to\infty}f[k] = \lim_{z\,\to\, 1}{(z-1)F(z)}$$.

सतत-समय एलटीआई सिस्टम
सिस्टम का अंतिम मूल्य
 * $$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A} \mathbf{x}(t) + \mathbf{B} \mathbf{u}(t)$$
 * $$\mathbf{y}(t) = \mathbf{C} \mathbf{x}(t)$$

एक चरण इनपुट के जवाब में $$\mathbf{u}(t)$$ आयाम के साथ $$R$$ है:


 * $$\lim_{t\to\infty}\mathbf{y}(t) = -\mathbf{CA}^{-1}\mathbf{B}R$$

नमूना-डेटा सिस्टम
उपरोक्त निरंतर-समय एलटीआई प्रणाली की नमूना-डेटा प्रणाली, एपेरियोडिक नमूनाकरण समय पर $$t_{i}, i=1,2,...$$ असतत-समय प्रणाली है
 * $${\mathbf{x}}(t_{i+1}) = \mathbf{\Phi}(h_{i}) \mathbf{x}(t_{i}) + \mathbf{\Gamma}(h_{i}) \mathbf{u}(t_{i})$$
 * $$\mathbf{y}(t_{i}) = \mathbf{C} \mathbf{x}(t_{i})$$

कहाँ $$h_{i} = t_{i+1}-t_{i}$$ और
 * $$\mathbf{\Phi}(h_{i})=e^{\mathbf{A}h_{i}}$$, $$\mathbf{\Gamma}(h_{i})=\int_0^{h_{i}} e^{\mathbf{A}s} \,ds$$

एक चरण इनपुट के जवाब में इस प्रणाली का अंतिम मूल्य $$\mathbf{u}(t)$$ आयाम के साथ $$R$$ यह इसकी मूल सतत-समय प्रणाली के अंतिम मान के समान है।

यह भी देखें

 * प्रारंभिक मूल्य प्रमेय
 * Z-परिवर्तन
 * लाप्लास परिवर्तन
 * एबेलियन और टूबेरियन प्रमेय

बाहरी संबंध
Teorema del valore iniziale
 * https://web.archive.org/web/20101225034508/http://wikis.controltheorypro.com/index.php?title=Final_Value_Theorem
 * http://fourier.eng.hmc.edu/e102/lectures/Laplace_Transform/node17.html : final value for Laplace
 * https://web.archive.org/web/20110719222313/http://www.engr.iupui.edu/~skoskie/ECE595s7/handouts/fvt_proof.pdf: final value proof for Z-transforms