गणितीय सौंदर्य

गणितीय सौंदर्य गणित की अमूर्तता, शुद्धता, सरलता, गहराई या क्रमबद्धता से प्राप्त सौंदर्यशास्त्रीय आनंद है। गणितज्ञ इस आनंद को सुंदर या कम से कम किसी गणित के किसी पहलू को सुंदर या किसी शैली की तरह वर्णित करके व्यक्त कर सकते हैं, (जैसे कि जी.एच. हार्डी द्वारा ली गई स्थिति) ) या, न्यूनतमता में, रचनात्मकता के रूप में गणित को वर्णित कर सकते हैं। संगीत और कविता के साथ तुलनाएँ की जाती हैं।

विधि में
गणितज्ञों  लालित्य के रूप में गणितीय प्रमाण की एक विशेष रूप से मनभावन विधि का वर्णन करते हैं। संदर्भ के आधार पर, इसका अर्थ हो सकता है:


 * एक प्रमाण जो न्यूनतम अतिरिक्त मान्यताओं या पूर्व परिणामों का उपयोग करता है।
 * एक प्रमाण जो असामान्य रूप से संक्षिप्त में है।
 * एक प्रमाण जो किसी अप्रत्याशित तरीके से परिणाम प्राप्त करता है (उदाहरण के लिए, एक दिखावटी तार्किकता या एक संग्रह थियोरम या नई और मूल्यांकनात्मक दृष्टिकोण से)।
 * एक प्रमाण जो नए और मूल अंतर्दृष्टि पर आधारित है।
 * प्रमाण की एक विधि जिसे समान समस्याओं वाले परिवार को हल करने के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है।

एक सुरुचिपूर्ण प्रमाण की खोज में, गणितज्ञ अक्सर किसी परिणाम को सिद्ध करने के लिए अलग-अलग स्वतंत्र तरीकों की तलाश करते हैं—क्योंकि जो पहला प्रमाण मिलता है, उसमें आमतौर पर सुधार किया जा सकता है। संभवतः सबसे अधिक विभिन्न प्रमाणों के लिए प्रमाणित किया गया प्रमेय पायथागोरियन सिद्धांत है, जिसके सम्बंध में सैकड़ों प्रमाण प्रकाशित किए गए हैं। एक और सिद्धांत जिसे कई विभिन्न तरीकों से प्रमाणित किया गया है, वह है द्विघात पारस्परिकता सिद्धांत है। वास्तव में, कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने इस सिद्धांत के आठ विभिन्न प्रमाण प्रकाशित किए थे, जिनमें से छह प्रमाण थे।

इसके विपरीत, ऐसे परिणाम जो तार्किक रूप से सही हैं, लेकिन श्रमसाध्य गणना, अति-विस्तृत तरीके, अत्यधिक पारंपरिक दृष्टिकोण या बड़ी संख्या में शक्तिशाली स्वयंसिद्ध या पिछले परिणाम सम्मिलित हैं, आमतौर पर सुरुचिपूर्ण नहीं माने जाते हैं, और यहां तक ​​कि उन्हें बदसूरत या अनाड़ी भी कहा जा सकता है।

परिणामों में
कुछ गणितज्ञ ऐसे गणितीय परिणामों में सुंदरता देखते हैं जो गणित के दो क्षेत्रों के बीच संबंध स्थापित करते हैं जो पहली नज़र में असंबद्ध प्रतीत होते हैं। इन परिणामों को आमतौर पर "गहन" परिणाम के रूप में वर्णित किया जाता है। हालांकि किसी परिणाम की गहनता पर सामान्य सहमति प्राप्त करना कठिन है, कुछ उदाहरण अन्य से अधिक उल्लेखनीय हैं। एक ऐसा उदाहरण है यूलर की तात्कालिकता:

$$\displaystyle e^{i \pi} +1 = 0\, .$$ यह लालित्य अभिव्यक्ति दो सबसे आम गणितीय प्रतीकों (+, =) के साथ पांच सबसे महत्वपूर्ण गणितीय स्थिरांक (e, i, π, 1, और 0) को एक साथ जोड़ती है। यूलर की पहचान यूलर के सूत्र का एक विशेष मामला है, जिसे भौतिक विज्ञानी रिचर्ड फेनमैन ने "हमारा मणि" और "गणित में सबसे अद्भुत सूत्र" कहा। आधुनिक उदाहरणों में मॉड्यूलरिटी प्रमेय सम्मिलित है, जो अण्डाकार कर्वों  और मॉड्यूलर फॉर्म  के बीच एक महत्वपूर्ण संबंध स्थापित करता है (वह फलन जिसके कारण एंड्रयू विल्स और रॉबर्ट लैंगलैंड्स को वुल्फ पुरस्कार दिया गया), और "शौकिन मूनशाइन", जो मॉन्स्टर समूह को मॉड्यूलर फलनों से जोड़ता है  स्ट्रिंग सिद्धांत  के माध्यम से (जिसके लिए रिचर्ड बोरचर्ड्स को  फील्ड मेडल  से सम्मानित किया गया था)।

गहरे परिणामों के अन्य उदाहरणों में गणितीय संरचनाओं में अप्रत्याशित अंतर्दृष्टि सम्मिलित है। उदाहरण के लिए, गॉस का प्रमेय एग्रेगियम एक गहरा प्रमेय है जो एक स्थानीय घटना (वक्रता) को एक वैश्विक घटना (क्षेत्र) से आश्चर्यजनक तरीके से जोड़ता है। विशेष रूप से, एक घुमावदार सतह पर त्रिभुज का क्षेत्रफल त्रिभुज की अधिकता के समानुपाती होता है और आनुपातिकता वक्रता होती है। एक अन्य उदाहरण कलन का मूलभूत प्रमेय है (और इसके संयुक्त रूपों में ग्रीन का थियोरेम और स्टोक्स का थियोरेम सहित)।

गहनता के विपरीत एक बेतुकापूर्ण उत्तर होता है। एक बेतुकापूर्ण सिद्धांत एक परिणाम हो सकता है जो अन्य जाने माने परिणामों से स्वतः स्पष्ट और सीधे निकाला जा सकता है, या फिर केवल विशेष वस्तुओं के एक निश्चित सेट के लिए ही लागू होता है, जैसे खाली सेट। कुछ मौकों पर, हालांकि, एक सिद्धांत का एक बयान पर्याप्त रूप से मूल्यवान हो सकता है, भले ही इसका सबूत बहुत ही स्पष्ट हो।

अपने 1940 के निबंध "ए मैथेमेटिशियन्स एपोलॉजी" में, जी.एच. हार्डी ने सुझाव दिया कि एक सुंदर प्रमाण या परिणाम में "अनिवार्यता", "अप्रत्याशितता" और "मितव्ययिता" होती है।

वर्ष 1997 में, जियान-कार्लो रोटा, सुंदरता के लिए पर्याप्त स्थिति के रूप में अप्रत्याशितता से असहमत थे और उन्होंने एक प्रति उदाहरण प्रस्तावित किया:

"गणित के कई थियोरेम, प्रकाशित होने पर, सुरुचिपूर्ण लगते हैं; इसलिए उदाहरण के रूप में, करीब बीस वर्ष पहले [1977 से] स्फेरों पर अधिक आयाम के अलग-अलग विभिन्नीकरण संरचनाओं की अस्तित्व की प्रमाणिता करने को आश्चर्यजनक माना गया था, लेकिन उस समय या अब किसी को ऐसे एक तथ्य को सुंदर कहने का विचार नहीं आया।[1]."

इसके विपरीत, मोनास्टिर्स्की ने 2001 में लिखा था: "मिलनोर के सात-आयामी स्फेरा पर विभिन्न विभिन्निकरण संरचनाओं के सुंदर निर्माण का इतिहास में पहले के समान एक ऐसा आविष्कार ढूंढना बहुत मुश्किल है... मिलनोर के मूल प्रमाण बहुत परिणामी नहीं था, लेकिन बाद में ई. ब्रिस्कॉर्न ने दिखाया कि इन विभिन्निकरण संरचनाओं को बेहद स्पष्ट और सुंदर रूप में वर्णित किया जा सकता है।." यह असहमति गणितीय सुंदरता की व्यक्तिपरक प्रकृति और गणितीय परिणामों के साथ इसके संबंध दोनों को दर्शाती है: इस मामले में, न केवल विदेशी क्षेत्रों का अस्तित्व, बल्कि उनकी एक विशेष प्राप्ति भी है।

अनुभव में
अनुभवजन्य शोध अध्ययन से अलग शुद्ध गणित में रुचि ग्रीक गणित सहित गणित के इतिहास के अनुभव का हिस्सा रही है, जिसने इसकी सुंदरता के लिए गणित किया था। आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में गणितीय भौतिकविदों द्वारा अनुभव किए जाने वाले सौन्दर्यपरक आनंद (दूसरों के बीच पॉल डिराक द्वारा) को इसकी महान गणितीय सुंदरता के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है। गणित की सुंदरता का अनुभव तब होता है जब वस्तुओं की वास्तविकता गणितीय मॉडल द्वारा प्रस्तुत की जाती है। बहुपद समीकरणों को हल करने के एकमात्र उद्देश्य के लिए 1800 के दशक की शुरुआत में समूह सिद्धांत, प्राथमिक कणों को वर्गीकृत करने का एक उपयोगी तरीका बन गया - पदार्थ के निर्माण खंड। इसी तरह, गाँठ सिद्धांत का अध्ययन स्ट्रिंग सिद्धांत और पाश क्वांटम गुरुत्वाकर्षण  में महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

कुछ लोग यह मानते हैं कि गणित की प्राप्ति के लिए, व्यक्ति को गणित के प्रति सक्रिय रूप से लगाना चाहिए।

उदाहरण के लिए, गणित मंडल स्कूल के बाद का एक समृद्ध प्रोग्राम है जहां छात्र गणित के माध्यम से खेल और गतिविधियों के माध्यम से गणित करते हैं; कुछ शिक्षक ऐसे भी हैं जो काइनेस्टेटिक लर्निंग में गणित पढ़ाकर छात्रों की व्यस्तता को प्रोत्साहित करते हैं। एक सामान्य गणित वृत्त पाठ में, छात्र अपनी खुद की गणितीय खोज करने के लिए पैटर्न खोज, अवलोकन और अन्वेषण का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, गणितीय सुंदरता दूसरी और तीसरी कक्षा के छात्रों के लिए डिज़ाइन की गई समरूपता पर मैथ सर्कल गतिविधि में उत्पन्न होती है, जहाँ छात्र कागज के एक चौकोर टुकड़े को मोड़कर और मुड़े हुए कागज़ के किनारों के साथ अपनी पसंद के डिज़ाइन काटकर अपने स्नोफ्लेक बनाते हैं। जब कागज को खोल दिया जाता है, तो एक सममित डिजाइन प्रकट होता है। दैनिक प्राथमिक विद्यालय की गणित कक्षा में, समरूपता को कलात्मक तरीके से प्रस्तुत किया जा सकता है जहाँ छात्र गणित में सौंदर्य की दृष्टि से मनभावन परिणाम देखते हैं।

कुछ शिक्षक गणित को सौन्दर्यपूर्ण तरीके से प्रस्तुत करने के लिए गणितीय जोड़तोड़ का उपयोग करना पसंद करते हैं। हेरफेर के उदाहरणों में बीजगणित टाइलें, व्यंजन की छड़ें और पैटर्न ब्लॉक सम्मिलित हैं। उदाहरण के लिए, कोई बीजगणित टाइलों का उपयोग करके वर्ग को पूरा करने की विधि सिखा सकता है। व्यंजनों की छड़ों का उपयोग अंशों को पढ़ाने के लिए किया जा सकता है, और ज्यामिति को पढ़ाने के लिए पैटर्न ब्लॉकों का उपयोग किया जा सकता है। गणितीय जोड़तोड़ का उपयोग करने से छात्रों को एक वैचारिक समझ हासिल करने में मदद मिलती है जो लिखित गणितीय सूत्रों में तुरंत नहीं देखी जा सकती है।

अनुभव में सुंदरता के एक अन्य उदाहरण में ओरिगामी का उपयोग सम्मिलित है। ओरिगेमी, कागज़ फोल्डिंग की कला में सौंदर्य संबंधी गुण और कई गणितीय कनेक्शन हैं। अनफोल्ड ओरिगेमी टुकड़ों पर क्रीज पैटर्न को देखकर कोई भी पेपर फोल्डिंग के गणित का अध्ययन कर सकता है।

साहचर्य, गिनती का अध्ययन, कलात्मक प्रतिनिधित्व है जो कुछ लोग गणितीय रूप से सुंदर मानते हैं। कुछ वैज्ञानिक विषय और वस्तुएँ जो कॉम्बिनेटोरिक्स पाठ्यक्रम में दिखाई देती हैं और विजुअल प्रतिनिधित्व करती हैं, उनमें चार रंग का सिद्धांत, युवा झांकी, पेर्मुटोहेड्रोन, ग्राफ सिद्धांत, एक सेट का विभाजन का तरीका आदि सम्मिलित हैं।

सेमिर जेकी और उनके सहयोगियों द्वारा आयोजित गए मस्तिष्क छवि प्रयोग दिखाते हैं कि गणितीय सुन्दरता का अनुभव, मस्तिष्क के माध्यमिक आँखी भाग (mOFC) के क्षेत्र A1 में गतिविधि के रूप में होता है और यह गतिविधि सुन्दरता की घोषणा की घटनाक्रम से संबंधित है। गतिविधि का स्थान संगीत या आनंद या दुख जैसी अन्य स्रोतों से सुन्दरता के अनुभव के स्थान के समान है। इसके अलावा, गणितज्ञ ऐसे स्थान पर दृढ़ता से बने रहते हैं जहां संगठित राय के विपरीत मत के प्रकाशन में गणितीय सौंदर्य के जुड़ाव को संशोधित करने से प्रतिरोधी हैं।

दर्शन में
कुछ गणितज्ञ यह राय रखते हैं कि गणित करना खोज के बल पर आविष्कार के करीब है, उदाहरण के लिए: "कोई वैज्ञानिक खोजकर्ता, कोई कवि, कोई चित्रकार, कोई संगीतकार ऐसा नहीं कहेगा जो आपसे नहीं कहेगा कि उसे तैयार मिल गया था उसका खोज या कविता या चित्र - जो उसे बाहर से मिला था, और वह उसने इसे अंतर्मन से नहीं बनाया था।"

ये गणितज्ञों यह मानते हैं कि गणित के सटीक और विशद परिणाम यूनिवर्स की आश्रयशीलता पर निर्भरता के बिना भी सत्य हो सकते है। उदाहरण के लिए, वे तर्क देंगे कि प्राकृतिक संख्याओं का सिद्धांत मौलिक रूप से मान्य है, इस तरह से जिसके लिए किसी विशिष्ट संदर्भ की आवश्यकता नहीं है। कुछ गणितज्ञों ने इस दृष्टिकोण को आगे बढ़ाया है कि गणितीय सौंदर्य सत्य है, कुछ मामलों में रहस्यवाद बन जाता है।

प्लेटो के दर्शन में दो संसार थे, एक भौतिक संसार जिसमें हम रहते हैं और दूसरा अमूर्त संसार जिसमें गणित सहित अपरिवर्तनीय सत्य समाहित था। उनका मानना ​​था कि भौतिक दुनिया अधिक परिपूर्ण अमूर्त दुनिया का एक मात्र प्रतिबिंब थी।

हंगरी के गणितज्ञ पॉल एर्डोस एक काल्पनिक किताब के बारे में बात की, जिसमें भगवान ने सभी सबसे सुंदर गणितीय प्रमाणों को लिखा है। जब एर्डोस किसी प्रमाण की विशेष प्रशंसा व्यक्त करना चाहते थे, तो वे इसे द बुक से कहते थे!

बीसवीं सदी के फ्रांसीसी दार्शनिक मुझे आँख चाहिए ने दावा किया कि सत्तामीमांसा गणित है। बादियू को यह भी मान्यता थी कि गणित, कविता और दर्शन के बीच गहरे संबंध होते हैं।

कई मामलों में,हालांकि, प्राकृतिक दार्शनिकों और अन्य वैज्ञानिकों ने, जिन्होंने गणित का व्यापक उपयोग किया है, सौंदर्य और भौतिक सत्य के बीच अनुमान लगाने की छलांग लगाई है जो गलत सिद्ध हुए हैं। उदाहरण के लिए, अपने जीवन के एक चरण में, जोहान्स केप्लर का मानना ​​था कि सौर मंडल में तत्कालीन ज्ञात ग्रहों की कक्षाओं के अनुपात को भगवान द्वारा पाँच प्लेटोनिक ठोस की एक संकेंद्रित व्यवस्था के अनुरूप व्यवस्थित किया गया है, प्रत्येक कक्षा पर स्थित है। एक बहुफलक का परिबद्ध गोला और दूसरे का खुदा हुआ गोला जैसा कि वास्तव में पांच प्लेटोनिक ठोस हैं, केपलर की परिकल्पना केवल छह ग्रहों की कक्षाओं को समायोजित कर सकती है और अरुण ग्रह की बाद की खोज से अस्वीकृत हो गई थी।

सूचना सिद्धांत में
1970 के दशक में, अब्राहम मोल्स और फ्रीडर नेक ने सुंदरता, सूचना प्रसंस्करण और सूचना सिद्धांत के बीच संबंधों का विश्लेषण किया। 1990 के दशक में, जुरगेन श्मिटहुबर ने एल्गोरिथम सूचना सिद्धांत के आधार पर पर्यवेक्षक-निर्भर व्यक्तिपरक सौंदर्य का एक गणितीय सिद्धांत तैयार किया: व्यक्तिपरक रूप से तुलनीय वस्तुओं के बीच सबसे सुंदर वस्तुओं में एल्गोरिथम सूचना सिद्धांत विवरण (यानी, कोलमोगोरोव जटिलता) है जो पर्यवेक्षक पहले से ही जानता है।   श्मिडह्युबर स्पष्ट रूप से सौंदर्य और दिलचस्पी के बीच अंतर की पहचान करते हैं। उत्तरार्द्ध व्यक्तिपरक रूप से कथित सौंदर्य के पहले व्युत्पन्न से मेल खाता है: प्रेक्षक लगातार दोहराव और समरूपता और भग्न  स्व-समानता जैसी नियमितताओं की खोज करके अवलोकनों की भविष्यवाणी और डेटा संपीड़न में सुधार करने की कोशिश करता है। जब भी पर्यवेक्षक की सीखने की प्रक्रिया (संभवतः एक भविष्य कहनेवाला कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क) बेहतर डेटा संपीड़न की ओर जाता है जैसे कि अवलोकन अनुक्रम को पहले की तुलना में कम  अंश  द्वारा वर्णित किया जा सकता है, तब आपूर्ति की अस्थायी दिलचस्पी संकुचन प्रगति के समान होती है, और पर्यवेक्षक के आंतरिक जिज्ञासा पुरस्कार के प्रति समर्पित होती है।।

संगीत
संगीत में गणित के उपयोग के उदाहरणों में इयानिस ज़ेनाकिस का स्टोकेस्टिक संगीत, टूल (बैंड) के लेटरलस (गीत) में फाइबोनैचि संख्या, जोहान सेबेस्टियन बाच का प्रतिरूप, पॉलीरिदमिक संरचनाएं (इगोर स्ट्राविंस्की की वसंत का संस्कार) सम्मिलित हैं। इलियट कार्टर का मीट्रिक मॉड्यूलेशन, अर्नोल्ड स्कोनबर्ग के साथ शुरू होने वाले क्रमवाद में क्रमचय सिद्धांत, और कार्लहेंज स्टॉकहौसेन के भजन में शेपर्ड टोन का अनुप्रयोग। वे डेविड लेविन के सैद्धांतिक लेखन में संगीत में परिवर्तन के लिए समूह सिद्धांत के अनुप्रयोग को भी सम्मिलित करते हैं।

दृश्य कला
दृश्य कलाओं में गणित के उपयोग के उदाहरणों में डिजिटल कला के लिए अव्यवस्था सिद्धांत और फ्रैक्टल ज्यामिति के अनुप्रयोग सम्मिलित हैं | कंप्यूटर जनित कला, लियोनार्डो दा विंसी के समरूपता अध्ययन, पुनर्जागरण कला के परिप्रेक्ष्य (ग्राफिकल) सिद्धांत के विकास में प्रक्षेपी ज्यामिति, ग्रिड (पेज लेआउट) कला पर  में, ऑप्टिकल ज्योमेट्री इन द अंधेरा कमरा ऑफ़ गिआम्बतिस्ता डेला पोर्टा, और मल्टीपल पर्सपेक्टिव इन एनालिटिक क्यूबिज्म एंड  भविष्यवाद  में एकाधिक परिप्रेक्ष्य सम्मिलित हैं।

पवित्र ज्यामिति अपने आप में एक क्षेत्र है, जो अनगिनत कला रूपों को जन्म देता है, जिसमें कुछ सबसे प्रसिद्ध रहस्यवादी प्रतीक और धार्मिक रूपांकन सम्मिलित हैं, और इस्लामी वास्तुकला में विशेष रूप से समृद्ध इतिहास है। यह ध्यान और चिंतन का साधन भी प्रदान करता है, उदाहरण के लिए कबला सेफिरोट (जीवन का वृक्ष) और मेटाट्रॉन क्यूब का अध्ययन; और खुद को चित्रित करने का फलन भी है।

डच ग्राफिक डिजाइनर एमसी एस्चर ने गणितीय रूप से प्रेरित वुडकट, लिथोग्राफ और मेजोटिन्ट्स बनाए। इनमें असंभव निर्माण, अनंत की खोज, वास्तुकला, दृश्य विरोधाभास और चौकोर सम्मिलित हैं।

कुछ चित्रकार और मूर्तिकार एनामॉर्फोसिस के गणितीय सिद्धांतों के साथ विकृत काम करते हैं, जिसमें दक्षिण अफ्रीकी मूर्तिकार जोंटी हर्विट्ज भी सम्मिलित हैं।

ब्रिटिश निर्माणवादी कलाकार जॉन अर्नेस्ट ने समूह सिद्धांत से प्रेरित राहतें और चित्र बनाए। एंथनी हिल (कलाकार) और पीटर लोवे (कलाकार) सहित प्रेरणा के स्रोत के रूप में निर्माणवादी और सिस्टम स्कूलों के कई अन्य ब्रिटिश कलाकार भी गणित के मॉडल और संरचनाओं को आकर्षित करते हैं। कंप्यूटर जनित कला गणितीय कलन विधि पर आधारित है।

गणितज्ञों द्वारा उद्धरण
बर्ट्रेंड रसेल ने गणितीय सौंदर्य के अपने विचार इन शब्दों में व्यक्त किए:

गणित, सही दृष्टिकोण से देखा जाए तो सत्य के अलावा उत्कृष्ट सौंदर्य को धारण करता है - एक सौंदर्य जो ठंडा और गंभीर है, जैसा कि मूर्तिकला का होता है, हमारे किसी भी कमजोर स्वभाव की आकर्षण नहीं होती है, चित्रकला या संगीत के शोभायमान सजावट के बिना, फिर भी उच्च शुद्धता वाला, जो सबसे महान कला की तरह कठोर पूर्णता को प्रदर्शित कर सकता है। असली आनंद की आत्मा, उत्कृष्टता का चिन्ह, मनुष्य से अधिक होने का अहसास, जो कि सबसे नहीं मिलता है, कविता की तरह निश्चित रूप से गणित में पाया जा सकता है। 

पॉल एर्डोस ने गणित की अक्षमता पर अपने विचार व्यक्त किए जब उन्होंने कहा, "क्यों हैं नंबर सुंदर? यह ऐसा है जैसे कि बेथोवन का नौवां सिमफ़ोनी सुंदर है। यदि आप नहीं समझते हैं कि ऐसा क्यों है, तो कोई आपको नहीं बता सकता। मेरे को मालूम है कि नंबर सुंदर हैं। यदि वे सुंदर नहीं हैं, तो कुछ नहीं है।"

यह भी देखें

 * सौंदर्य से तर्क
 * सेलुलर
 * वर्णनात्मक विज्ञान
 * प्रवाह अनुमानी
 * सुनहरा अनुपात
 * गणित और वास्तुकला
 * न्यूरोएस्थेटिक्स
 * सामान्य विज्ञान
 * गणित का दर्शन
 * सौंदर्य आनंद का प्रसंस्करण प्रवाह सिद्धांत
 * पाइथागोरसवाद
 * सब कुछ का सिद्धांत

संदर्भ

 * Aigner, Martin, and Ziegler, Gunter M. (2003), Proofs from THE BOOK, 3rd edition, Springer-Verlag.
 * Chandrasekhar, Subrahmanyan (1987), Truth and Beauty: Aesthetics and Motivations in Science, University of Chicago Press, Chicago, IL.
 * Hadamard, Jacques (1949), The Psychology of Invention in the Mathematical Field, 1st edition, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2nd edition, 1949. Reprinted, Dover Publications, New York, NY, 1954.
 * Hardy, G.H. (1940), A Mathematician's Apology, 1st published, 1940. Reprinted, C. P. Snow (foreword), 1967. Reprinted, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1992.
 * Hoffman, Paul (1992), The Man Who Loved Only Numbers, Hyperion.
 * Huntley, H.E. (1970), The Divine Proportion: A Study in Mathematical Beauty, Dover Publications, New York, NY.
 * Lang, Serge (1985). The Beauty of Doing Mathematics: Three Public Dialogues. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96149-6.
 * Loomis, Elisha Scott (1968), The Pythagorean Proposition, The National Council of Teachers of Mathematics. Contains 365 proofs of the Pythagorean Theorem.
 * Pandey, S.K. . The Humming of Mathematics: Melody of Mathematics. Independently Published, 2019. ISBN 1710134437.
 * Peitgen, H.-O., and Richter, P.H. (1986), The Beauty of Fractals, Springer-Verlag.
 * Strohmeier, John, and Westbrook, Peter (1999), Divine Harmony, The Life and Teachings of Pythagoras, Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.
 * Strohmeier, John, and Westbrook, Peter (1999), Divine Harmony, The Life and Teachings of Pythagoras, Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.
 * Strohmeier, John, and Westbrook, Peter (1999), Divine Harmony, The Life and Teachings of Pythagoras, Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.
 * Strohmeier, John, and Westbrook, Peter (1999), Divine Harmony, The Life and Teachings of Pythagoras, Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.

बाहरी संबंध

 * Mathematics, Poetry and Beauty
 * Is Mathematics Beautiful? cut-the-knot.org
 * Justin Mullins.com
 * Edna St. Vincent Millay (poet): Euclid alone has looked on beauty bare
 * Terence Tao, What is good mathematics?
 * Mathbeauty Blog
 * A Mathematical Romance Jim Holt December 5, 2013 issue of The New York Review of Books review of Love and Math: The Heart of Hidden Reality by Edward Frenkel
 * A Mathematical Romance Jim Holt December 5, 2013 issue of The New York Review of Books review of Love and Math: The Heart of Hidden Reality by Edward Frenkel