हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)

गणित में, हार्मोनिक श्रृंखला सभी धनात्मक इकाई अंशों को योग करके बनाई गई अनंत श्रृंखला है $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots.$$ श्रृंखला के पहले $$n$$ पदों का योग लगभग $$\ln n + \gamma$$, होता है, जहां $$\ln$$ प्राकृतिक लघुगणक के रूप में होता है और $$\gamma\approx0.577$$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है। चूंकि लघुगणक में यादृच्छिक ढंग से बड़े मान होते हैं और हार्मोनिक श्रृंखला की कोई सीमित सीमा नहीं होती है, यह एक डाइवर्जेंट श्रृंखला है। इसका डाइवर्जन्स 14 वीं शताब्दी में निकोल ओरेसमे द्वारा अनंत श्रृंखला के कन्वर्जेन्स के लिए कॉची कान्डेन्सेशन परीक्षण के प्रीकर्सर का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है और इस प्रकार कन्वर्जेन्स के लिए अभिन्न परीक्षण के अनुसार योग को एक अभिन्न से तुलना करके इसे डाइवर्जन्स के रूप में सिद्ध किया जाता है।

हार्मोनिक श्रृंखला और इसके पार्शियल योग के अनुप्रयोगों में प्राइम्स के व्युत्क्रमों के योग का डाइवर्जन्स के रूप में सम्मलित होते है। यूलर का प्रमाण है कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ होती है, जो कूपन कलेक्टर की समस्या का विश्लेषण करता है और इस प्रकार एक पूर्ण श्रेणी प्रदान करने के लिए यादृच्छिक परीक्षणों की आवश्यकता होती है और जिससे कि प्रतिक्रियाओं का यादृच्छिक रेखांकन के घटक (ग्राफ सिद्धांत), ब्लॉक-स्टैकिंग समस्या एक तालिका के किनारे पर ब्लॉकों का ढेर ब्रैकट के रूप में उपयोग करते है और त्वरित सॉर्ट लघुगणक का औसत केस विश्लेषण होता है।

इतिहास
हार्मोनिक श्रृंखला का नाम ओवरटून या हार्मोनिक श्रृंखला (संगीत) की अवधारणा से लिया गया है एक कंपन स्ट्रिंग के ओवरटोन के तरंग दैर्ध्य $\tfrac12$, $\tfrac13$, $\tfrac14$, इत्यादि के रूप में होते है। स्ट्रिंग की मौलिक आवृत्ति पहले के बाद हार्मोनिक श्रृंखला का प्रत्येक पद निकटतम पदों का अनुकूल माध्य है, इसलिए शब्द हार्मोनिक प्रगति (गणित) के रूप में बनाते हैं और इस प्रकार हार्मोनिक माध्य और हार्मोनिक प्रगति वाक्यांश इसी तरह म्यूजिक से प्राप्त होते हैं। म्यूजिक के अतिरिक्त, हार्मोनिक अनुक्रमों की भी आर्किटेक्ट्स के बीच एक निश्चित लोकप्रियता रही है। यह विशेष रूप से बारोक काल में था, जब वास्तुकारों ने उनका उपयोग आर्किटेक्चरल ड्राइंग, फ्लोर प्लान,,एलिवेशन के अनुपात को स्थापित करने और चर्चों और महलों के आंतरिक और बाहरी दोनों वास्तुशिल्प विवरणों के बीच हार्मोनिक संबंध स्थापित करने के लिए किया था।

हार्मोनिक श्रृंखला का डाइवर्जन्स पहली बार 1350 में निकोल ओरेसमे द्वारा सिद्ध किया गया था। ओरेस्मे का काम और एक भिन्न श्रृंखला पर रिचर्ड स्वाइनहेड का समकालीन काम गणित में ज्यामितीय श्रृंखला के अतिरिक्त अनंत श्रृंखला की पहली उपस्थिति को चिह्नित करता है। चूंकि, यह उपलब्धि अस्पष्टता के रूप में होती है। और इस प्रकार अतिरिक्त प्रमाण 17वीं शताब्दी में पिएत्रो मेंगोली द्वारा प्रकाशित किए गए थे और जैकब बर्नौली द्वारा। सबूत खोजने का श्रेय अपने भाई जोहान बर्नौली को दिया था, और इसे बाद में जोहान बर्नौली के एकत्रित कार्यों के रूप में सम्मलित किया गया था।

हार्मोनिक श्रृंखला के पार्शियल योगों को हार्मोनिक संख्याओ के रूप में नामित किया गया था और डोनाल्ड नुथ द्वारा 1968 में अपना सामान्य अंकन $$H_n$$, के रूप में दिया था ।

परिभाषा और डाइवर्जन्स
हार्मोनिक श्रृंखला अनंत श्रृंखला है $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots$$ जिसमें पद सभी धनात्मक इकाई भिन्न के रूप में होती है। यह एक डाइवर्जेंट श्रृंखला है और श्रृंखला के अधिक पदों को श्रृंखला के पार्शियल योग के रूप में सम्मलित किया जाता है, इन पार्शियल योगों के मान यादृच्छिक ढंग से बड़े होते हैं, किसी भी परिमित सीमा से परे होते हैं। क्योंकि यह एक भिन्न श्रृंखला के रूप में होती है। इसे एक औपचारिक योग के रूप में व्याख्या किया जाता है, एक अमूर्त गणितीय अभिव्यक्ति जो इकाई अंशों को जोड़ती है और इस प्रकार इसके एक संख्यात्मक मान का मूल्यांकन किया जा सकता है। एस.जे. किफोविट और टीए स्टैम्प्स द्वारा 2006 के पेपर में सर्वेक्षण किए गए हार्मोनिक श्रृंखला के डाइवर्जन्स के कई भिन्न -भिन्न सबूत हैं। दो सबसे प्रसिद्ध हैं। नीचे सूचीबद्ध हैं।

तुलना परीक्षण
डाइवर्जन्स साबित करने की एक विधि जिसमे हार्मोनिक श्रृंखला की तुलना किसी अन्य डाइवर्जन्स श्रृंखला के साथ करना है, जहां प्रत्येक भाजक को दो की अगली सबसे बड़ी घात से बदल दिया जाता है, $$\begin{alignat}{8} 1 & + \frac{1}{2} && + \frac{1}{3} && + \frac{1}{4} && + \frac{1}{5} && + \frac{1}{6} && + \frac{1}{7} && + \frac{1}{8} && + \frac{1}{9} && + \cdots \\[5pt]

{} \geq 1 & + \frac{1}{2} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{4}}} && + \frac{1}{4} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{8} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{16}}} && + \cdots \\[5pt] \end{alignat}$$ समान शर्तों को समूहीकृत करने से पता चलता है कि दूसरी श्रृंखला डाइवर्जन्स करती है, क्योंकि कन्वर्जेन्स श्रृंखला का प्रत्येक समूह केवल कन्वर्जेन्स है $$\begin{align} & 1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16}\right) + \cdots \\[5pt] {} = {} & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots. \end{align}$$ चूंकि हार्मोनिक श्रृंखला की प्रत्येक अवधि दूसरी श्रृंखला की संबंधित अवधि से अधिक या बराबर होती है और शर्तें सभी धनात्मक रूप में होती हैं, यह इस प्रकार है कि हार्मोनिक श्रृंखला भी भिन्न हो जाती है और प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण द्वारा वही तर्क अधिक मजबूती से साबित करता है जिसमे प्रत्येक धनात्मक संख्या के लिए पूर्णांक $k$, होता है $$\sum_{n=1}^{2^k} \frac{1}{n} \geq 1 + \frac{k}{2}$$ यह लगभग 1350 में निकोल ओरेसमे द्वारा दिया गया मूल प्रमाण है। कॉची संक्षेपण परीक्षण इस तर्क का एक सामान्यीकरण है।

समाकलन टेस्ट
यह सिद्ध किया जा सकता है कि हार्मोनिक श्रृंखला एक अनुचित अभिन्न के साथ अपने योग की तुलना करके भिन्न हो जाती है। विशेष रूप से, दाईं ओर की आकृति में दिखाए गए आयतों की व्यवस्था पर विचार करते है। प्रत्येक आयत 1 इकाई चौड़ा है और $$\tfrac1n$$ इकाइयाँ ऊँची हैं, इसलिए यदि हार्मोनिक श्रृंखला परिवर्तित हो जाती है तो आयतों का कुल क्षेत्रफल हार्मोनिक श्रृंखला का योग होगा और इस प्रकार वक्र $$y=\tfrac1x$$ आयतों की ऊपरी सीमा के नीचे पूरी तरह से रहता है, इसलिए वक्र के नीचे का क्षेत्र आयतों के मिलन के क्षेत्रफल से कम होता है और जिससे की सीमा में $$x$$ एक से अनंत तक जो आयतों से आच्छादित है। चूंकि, वक्र के नीचे का क्षेत्र एक डाइवर्जेंट अनुचित समाकल द्वारा दिया जाता है।

$$\int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx = \infty.$$ चूँकि यह समाकल कॉनवर्जेंट नहीं होता है और जिससे कि योग भी कॉनवर्जेंट नहीं हो सकता है।

अनुक्रम में प्रत्येक आयत को अगले प्रतिस्थापित करने से आयतों का एक क्रम उत्पन्न होता है जिसकी सीमा वक्र के ऊपर होने के अतिरिक्त नीचे स्थित होता है। इससे पता चलता है कि हार्मोनिक श्रृंखला का पार्शियल योग उस राशि से अभिन्न से भिन्न होता है, जो पहले आयत के इकाई क्षेत्र से ऊपर और नीचे बंधी होती है, $$\int_1^{N+1}\frac1x\,dx<\sum_{i=1}^N\frac1i<\int_1^{N}\frac1x\,dx+1.$$ इस तर्क को सामान्यीकृत करते हुए, एक मोनोटोन घटते धनात्मक कार्य के मूल्यों का कोई भी अनंत योग का $n$ हार्मोनिक श्रृंखला की तरह पार्शियल रूप में होता है, जो संबंधित समाकलन के मूल्यों की सीमित दूरी के भीतर होती है। इसलिए योग कॉनवर्जेंट होता है यदि और केवल यदि समान फलन की समान श्रेणी पर समाकल कॉनवर्जेंट होता है। जब इस तुल्यता का उपयोग योग के कन्वर्जेन्स की जाँच करने के लिए इसे आसान समाकल से प्रतिस्थापित करके किया जाता है, तो इसे कन्वर्जेन्स के लिए समाकल परीक्षण के रूप में जाना जाता है।

पार्शियल योग
पहले को जोड़ना $$n$$ हार्मोनिक श्रृंखला की शर्तें पार्शियल योग उत्पन्न करती हैं, जिसे हार्मोनिक संख्या कहा जाता है और लक्षित $H_n$: के रूप में होते है $$H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}.$$

विकास दर
ये संख्याएँ लघुगणकीय वृद्धि के साथ बहुत धीमी गति से बढ़ती हैं जैसा कि समाकलन टेस्ट से देखा जा सकता है। यूलर मैक्लॉरिन फॉर्मूला द्वारा अधिक सटीकता से दिखाया गया है, $$H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \varepsilon_n$$ जहाँ $$\gamma\approx 0.5772$$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है और $$0\le\varepsilon_n\le 1/8n^2$$ जो 0 के रूप में पहुंचता है $$n$$ अनंत तक जाता है।

डिविज़बिलिटी
डिविज़बिलिटी को छोड़कर कोई भी हार्मोनिक संख्या पूर्णांक नहीं है $H_1=1$. इसे साबित करने की एक विधि $$H_n$$ एक पूर्णांक नहीं है और दो की उच्चतम घात पर विचार करता है $$2^k$$ से रेंज में 1 से $n$. यदि $$M$$ से संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य है 1 से $n$, तब $$H_k$$ समान भाजक वाले भिन्नों के योग के रूप में फिर से लिखा जा सकता है $$H_n=\sum_{i=1}^n \tfrac{M/i}{M}$$ जिसमें अंशों में से केवल एक, $M/2^k$, विषम है और बाकी सम हैं, और (जब $n>1$) $$M$$ स्वयं सम है। इसलिए, परिणाम एक विषम अंश और एक सम भाजक के साथ एक भिन्न रूप में होता है, जो एक पूर्णांक नहीं हो सकता। और इस प्रकार अधिक मजबूती से लगातार पूर्णांकों के किसी भी क्रम में एक अद्वितीय सदस्य होता है, जो अन्य सभी अनुक्रम सदस्यों की तुलना में दो की अधिक घात से विभाज्य होता है, जिससे यह उसी तर्क का अनुसरण करता है कि कोई भी दो हार्मोनिक संख्या एक पूर्णांक से भिन्न नहीं होती है।

एक और सबूत है कि हार्मोनिक संख्याएं पूर्णांक नहीं हैं, यह देखता है कि भाजक $$H_n$$ से विभाज्य रूप में होता है और बड़ी सभी अभाज्य संख्याएँ $$n/2$$ और यह साबित करने के लिए बर्ट्रेंड की अभिधारणा का उपयोग करता है कि अभाज्य संख्याओं का यहसमुच्चय खाली नहीं है। इसी तर्क का अधिक दृढ़ता से तात्पर्य है कि, $$H_1=1$$, $$H_2=1.5$$, और $$H_6=2.45$$, किसी भी हार्मोनिक संख्या में समाप्ति दशमलव प्रतिनिधित्व के रूप में नहीं होता है। और इस प्रकार यह अनुमान लगाया जाता है कि प्रत्येक अभाज्य संख्या हार्मोनिक संख्याओं के केवल एक परिमित उपसमुच्चय के अंशों को विभाजित करती है, लेकिन यह अप्रमाणित रूप में रहती है।

इंटरपोलेशन
डिगामा फलन को गामा फलन के लघुगणकीय अवकलज के रूप में परिभाषित किया जाता है, $$\psi(x)=\frac{d}{dx}\ln\big(\Gamma(x)\big)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.$$ जिस तरह गामा फलन फैक्टोरियल का निरंतर इंटरपोलेशन प्रदान करता है, उसी प्रकार डिगामा फलन हार्मोनिक संख्याओं का निरंतर इंटरपोलेशन प्रदान करता है, इसका अर्थ में कि $\psi(n)=H_{n-1}-\gamma$. इस समीकरण का उपयोग तर्कसंगत सूचकांकों के साथ हार्मोनिक संख्याओं की परिभाषा को विस्तारित करने के लिए इस समीकरण का उपयोग किया जा सकता है।

अनुप्रयोग
कई प्रसिद्ध गणितीय समस्याओं के समाधान में हार्मोनिक श्रृंखला और इसके पार्शियल योग के रूप में सम्मलित हैं।

क्रासिंग डिजर्ट
जीप समस्या या क्रासिंग डिजर्ट की समस्या को अलकुइन द्वारा 9वीं शताब्दी के समस्या संग्रह, प्रोपोज़िशन्स एड एक्यूएन्डोस जुवेन्स के रूप में सम्मलित किया गया है और इस प्रकार जीप के अतिरिक्त ऊंटों के संदर्भ में तैयार किए गए समस्या संग्रह के रूप में सम्मलित किया जाता है। लेकिन एक गलत समाधान के साथ समस्या पूछती है कि बेस से शुरू करके एक जीप रेगिस्तान में कितनी दूर तक यात्रा कर सकती है और वापस लौट सकती है और इस प्रकार $$n$$ ईंधन का भार कुछ ईंधन को रेगिस्तान में ले जाकर और डिपो में छोड़ कर इष्टतम समाधान में डिपो को दूरियों पर स्थापित करना सम्मलित है $$\tfrac{r}{2n}, \tfrac{r}{2(n-1)}, \tfrac{r}{2(n-2)}, \dots$$ शुरुआती बिंदु से और एक दूसरे से, जहां $$r$$ दूरी की सीमा है, जो जीप ईंधन के एक भार के साथ यात्रा कर सकती है और इस प्रकार बेस से बाहर और प्रत्येक यात्रा पर जीप एक और डिपो रखती है और रास्ते में अन्य डिपो में ईंधन भरती है और नए रखे गए डिपो में जितना हो सके उतना ईंधन भरती है, जबकि अभी भी पिछले पर लौटने के लिए पर्याप्त ईंधन छोड़ती है। डिपो और बेस इसलिए कुल दूरी पर पहुंच गया $$n$$वीं यात्रा है

जीप समस्या या रेगिस्तान-क्रॉसिंग समस्या को अलकुइन द्वारा 9वीं शताब्दी के समस्या संग्रह, प्रोपोज़िशन्स एड एक्यूएन्डोस जुवेन्स (जीप के बजाय ऊंटों के संदर्भ में तैयार) में शामिल किया गया है, लेकिन एक गलत समाधान के साथ।[22] समस्या पूछती है कि बेस से शुरू करके एक जीप रेगिस्तान में कितनी दूर तक यात्रा कर सकती है और वापस लौट सकती है

$$\frac{r}{2n}+\frac{r}{2(n-1)}+\frac{r}{2(n-2)}+\cdots=\frac{r}{2} H_n,$$

जहाँ $$H_n$$ है $n$th हार्मोनिक संख्या है। हार्मोनिक श्रृंखला के डाइवर्जन्स का अर्थ है कि पर्याप्त ईंधन के साथ किसी भी लम्बाई के क्रॉसिंग संभव हैं। उदाहरण के लिए, अलकुइन की समस्या के संस्करण के लिए, $$r=30$$: एक ऊंट 30 माप ग्रेन ले जा सकता है और एक माप खाते समय एक ल्यूका यात्रा कर सकता है, जहां एक ल्यूका दूरी की एक इकाई है 2.3 किलोमीटर (1.4 मील) सामान्यतः बराबर होती है और इस प्रकार $$n=3$$: ग्रेन के 90 उपाय हैं, तीन बार आपूर्ति करने के लिए पर्याप्त हैं। मरुस्थल पार करने की समस्या के मानक सूत्रीकरण के लिए, ऊंट के लिए यात्रा करना संभव होता है $$\tfrac{30}{2}\bigl(\tfrac13+\tfrac12+\tfrac11)=27.5$$ ल्यूका और वापसी, एक ग्रेन भंडारण डिपो को पहली यात्रा पर आधार से 5 ल्यूका और दूसरी यात्रा पर आधार से 12.5 ल्यूका रखकर करता है। चूंकि, अलकुइन इसके अतिरिक्त थोड़ा भिन्न सवाल पूछता है और इस प्रकार अंतिम वापसी यात्रा के बिना 30 ल्यूकास की दूरी पर कितना ग्रेन ले जाया जा सकता है और या तो कुछ ऊंटों को रेगिस्तान में फँसा दिया जाता है या ऊंट द्वारा खाए गए ग्रेन की मात्रा का हिसाब लगाने में विफल रहता है।

स्टैकिंग ब्लॉक
ब्लॉक-स्टैकिंग समस्या में, किसी को ढेर लगाना चाहिए $$n$$ समान आयताकार ब्लॉक, प्रति परत एक, जिससे कि वे बिना गिरे टेबल के किनारे पर यथासंभव लटके रहते है और शीर्ष ब्लॉक के साथ रखा जा सकता है $$\tfrac12$$ इसकी लंबाई अगले निचले ब्लॉक से आगे बढ़ रही है। यदि इसे इस तरह से रखा जाता है, तो अगले ब्लॉक डाउन को अधिक से अधिक रखने की आवश्यकता होती है $$\tfrac12\cdot\tfrac12$$ इसकी लंबाई अगले निचले ब्लॉक से आगे बढ़ रही है, जिससे कि शीर्ष दो ब्लॉक के द्रव्यमान का केंद्र समर्थित हो और वे गिरे नहीं होते है। तीसरे ब्लॉक को ज्यादा से ज्यादा साथ में रखने की जरूरत है $$\tfrac12\cdot\tfrac13$$ इसकी लंबाई अगले निचले ब्लॉक से आगे बढ़ रही है, और इस तरह इसे लगाना संभव है $$n$$ ब्लॉक इस तरह से विस्तार करते हैं $$\tfrac12 H_n$$ तालिका से परे लंबाई, जहाँ $$H_n$$ है $n$th हार्मोनिक संख्या के रूप में होता है । हार्मोनिक श्रृंखला के डाइवर्जन्स का अर्थ है कि ब्लॉक स्टैक का विस्तार टेबल से कितनी दूर तक हो सकता है, इसकी कोई सीमा नहीं है। प्रति परत एक ब्लॉक के साथ स्टैक के लिए कोई बेहतर समाधान संभव नहीं है, लेकिन प्रति परत एक से अधिक ब्लॉक वाले स्टैक का उपयोग करके बहुत अधिक ओवरहैंग प्राप्त किया जा सकता है।

अभाज्य संख्याओं और भाजकों की गिनती
1737 में, लियोनहार्ड यूलर ने देखा कि औपचारिक योग के रूप में, हार्मोनिक श्रृंखला एक यूलर उत्पाद के बराबर होती है, जिसमें प्रत्येक पद एक अभाज्य संख्या से आता है, $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i}=\prod_{p\in\mathbb{P}}\left(1+\frac1p+\frac1{p^2}+\cdots\right)=\prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-1/p},$$ जहाँ $$\mathbb{P}$$ अभाज्य संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है और इस प्रकार बायां समानता वितरण नियम को उत्पाद पर प्रयुक्त करने और परिणामी शर्तों को हार्मोनिक श्रृंखला में शर्तों के मुख्य कारकों के रूप में पहचानने से होता है और सही समानता एक ज्यामितीय श्रृंखला के लिए मानक सूत्र का उपयोग करती है और इस प्रकार गुणनफल योग की तरह ही डाइवर्जेंट है, लेकिन यदि यह कॉनवर्जेंट होता है तो कोई लघुगणक ले सकता है और प्राप्त कर सकता है $$\ln \prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-1/p}=\sum_{p\in\mathbb{P}}\ln\frac{1}{1-1/p}=\sum_{p\in\mathbb{P}}\left(\frac1p+\frac1{2p^2}+\frac1{3p^3}+\cdots\right)=\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac1p+K.$$ यहां, प्रत्येक लघुगणक को उसकी टेलर श्रृंखला और स्थिरांक से बदल दिया जाता है $$K$$ दाईं ओर एक से अधिक घातांक वाले शब्दों की कन्वर्जेन्स श्रृंखला का मूल्यांकन करता है। इन जोड़-तोड़ से यह पता चलता है कि इस समानता के दाहिने हाथ पर अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग भिन्न -भिन्न होना चाहिए, क्योंकि यदि यह कन्वर्जेन्स होता है तो इन चरणों को उलट दिया जा सकता है जिससे कि यह दिखाया जा सके कि हार्मोनिक श्रृंखला भी कन्वर्जेन्स करती है, जो यह नहीं करती है। यूक्लिड का प्रमेय एक तात्कालिक परिणाम है, क्योंकि एक परिमित राशि डाइवर्जन्स नहीं कर सकती है। चूंकि यूलर के काम को आधुनिक गणित के मानकों द्वारा पर्याप्त रूप से कठोर नहीं माना जाता है, इसे सीमा और त्रुटि सीमा के साथ अधिक ध्यान देकर कठोर बनाया जा सकता है। यूलर का यह निष्कर्ष कि अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रम का पार्शियल योग शब्दों की संख्या के दोहरे लघुगणक के रूप में बढ़ता है और इस प्रकार बाद के गणितज्ञों द्वारा मेर्टेंस प्रमेयों में से एक के रूप में पुष्टि की गई है, और अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रीकर्सर के रूप में देखा जा सकता है।$$\frac1n\sum_{i=1}^n\left\lfloor\frac{n}i\right\rfloor\le\frac1n\sum_{i=1}^n\frac{n}i=H_n.$$ हार्मोनिक श्रृंखला में प्रत्येक शब्द को अगले छोटे पूर्णांक गुणक में गोल करने का संचालन $$\tfrac1n$$ इस औसत को एक छोटे स्थिरांक द्वारा हार्मोनिक संख्याओं से भिन्न करने का कारण बनता है और पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट ने अधिक सटीक रूप से दिखाया कि विभाजकों की औसत संख्या है $$\ln n+2\gamma-1+O(1/\sqrt{n})$$ (बिग ओ नोटेशन में व्यक्त किया जाता है और इस प्रकार अंतिम त्रुटि अवधि को अधिक सटीक रूप से सीमित करना एक खुली समस्या बनी हुई है, जिसे डिरिचलेट की विभाजक समस्या के रूप में जाना जाता है।

कूपन एकत्रित करना
कई सामान्य खेलों या मनोरंजन में वस्तुओं के एकसमुच्चय से एक यादृच्छिक चयन को तब तक दोहराना सम्मलित होता है, जब तक कि सभी संभावित विकल्पों का चयन नहीं किया जाता है; इनमें ट्रेडिंग कार्ड का संग्रह सम्मलित है और पार्रन बिंगो का पूरा होना, जिसमें लक्ष्य चल रही घटनाओं के अनुक्रम से समय में सभी 60 संभावित सेकंड प्राप्त करना होता है। इस समस्या के अधिक गंभीर अनुप्रयोगों में गुणवत्ता नियंत्रण के लिए निर्मित उत्पाद की सभी विविधताओं का नमूना लेना सम्मलित है, और यादृच्छिक रेखांकन की कनेक्टिविटी (ग्राफ सिद्धांत) के रूप में होता है। इस रूप की स्थितियों में, एक बार $$k$$ कुल में से एकत्र की जाने वाली शेष वस्तुएँ $$n$$ समान रूप से संभावित आइटम के रूप में होती है, एक यादृच्छिक विकल्प में एक नया आइटम एकत्र करने की संभावना $$k/n$$ के रूप में होती है और एक नया आइटम एकत्र होने तक आवश्यक यादृच्छिक विकल्पों की अपेक्षित संख्या $n/k$. के सभी मूल्यों का योग $$k$$ से $$n$$ down से 1 दिखाता है कि सभी वस्तुओं को एकत्र करने के लिए आवश्यक यादृच्छिक विकल्पों की कुल अपेक्षित संख्या के रूप में होती है $nH_n$, जहाँ $$H_n$$ $n$th हार्मोनिक संख्या के रूप में है।

कलन विधि का विश्लेषण
हार्मोनिक संख्याओं का उपयोग करके वस्तुओं के एकसमुच्चय को सॉर्ट करने के लिए क्विकॉर्ट कलन विधि का विश्लेषण किया जा सकता है। जिससे कि कलन विधि एक आइटम को पिवट के रूप में चुनकर अन्य सभी के साथ तुलना करके और आइटम के दो उपसमुच्चय को पुनरावर्ती रूप से सॉर्ट करके संचालित किया जाता है, जिनकी तुलना उन्हें पिवट से पहले और पिवट के बाद करती है और इस प्रकार यदि इसकी औसत-स्थिति की समिश्र के साथ कि सभी इनपुट क्रमपरिवर्तन समान रूप से होने की संभावना है या धुरी के एक यादृच्छिक विकल्प के साथ सबसे खराब स्थिति वाले इनपुट के अपेक्षित समय विश्लेषण में सभी वस्तुओं को समान रूप से धुरी के रूप में चुने जाने की संभावना होती है, ऐसे स्थितियों के लिए, कोई भी प्रायिकता की गणना कर सकता है कि दो वस्तुओं की एक-दूसरे के साथ तुलना की जाती है और जिससे कि पुनरावर्तन के समय, अंतिम क्रमबद्ध क्रम में उन्हें भिन्न करने वाली अन्य वस्तुओं की संख्या के एक फलन के रूप में क्रियान्वित किया जाता है। यदि आइटम $$x$$ और $$y$$ से भिन्न रूप में होते है $$k$$ अन्य पदों में है, तो कलन विधि के बीच एक तुलना करता है $$x$$ और $$y$$ केवल जब पुनरावर्तन आगे बढ़ता है यह $$x$$ या $$y$$ चुनता है किसी अन्य को चुनने से पहले धुरी के रूप में $$k$$ उनके बीच आइटम के रूप में होता है। क्योंकि इनमें से प्रत्येक $$k+2$$ आइटम समान रूप से पहले चुने जाने की संभावना होती है, ऐसा प्रायिकता $$\tfrac2{k+2}$$. तुलनाओं की कुल अपेक्षित संख्या के साथ होता है, जो कलन विधि के कुल चलने के समय को नियंत्रित करती है और जिससे की गणना तब की जा सकती है, जब सभी जोड़ियों पर इन संभावनाओं को जोड़कर गणना की जा सकती है $$\sum_{i=2}^n\sum_{k=0}^{i-2}\frac2{k+2}=\sum_{i=1}^{n-1}2H_i=O(n\log n).$$ हार्मोनिक श्रृंखला का डाइवर्जन्स इस एप्लिकेशन में इस तथ्य से मेल खाता है कि, त्वरित प्रकार के लिए उपयोग किए जाने वाले तुलना क्रम में, रैखिक समय में क्रमबद्ध करना संभव नहीं है।

वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला
यह श्रृंखला, $$\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots$$ प्रत्यावर्ती हार्मोनिक श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। यह वैकल्पिक श्रृंखला परीक्षण द्वारा सशर्त कन्वर्जेन्स है, लेकिन पूर्ण कन्वर्जेन्स के रूप में नहीं होता है। इसका योग 2 का प्राकृतिक लघुगणक है।

स्पष्ट रूप से, श्रृंखला का ऐसिम्टाटिक विस्तार है

$$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} +\cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} = H_{2n} - H_n = \ln 2 - \frac{1}{2n} + O(n^{-2})$$ केवल विषम इकाई अंशों के साथ वैकल्पिक संकेतों का उपयोग करने से संबंधित श्रृंखला उत्पन्न होती है, π के लिए लीबनिज़ सूत्र के लिए है, $$\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}.$$

रीमैन जीटा फलन
रीमैन जीटा फलन वास्तविक के लिए परिभाषित किया जाता है $$x>1$$ कन्वर्जेन्स श्रृंखला द्वारा दर्शाया गया है $$\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}=\frac1{1^x}+\frac1{2^x}+\frac1{3^x}+\cdots,$$ जो $$x=1$$ के लिए हार्मोनिक श्रृंखला के रूप में होती है। इसे सभी समिश्र संख्याओं पर एक होलोमॉर्फिक फलन के विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा बढ़ाया जा सकता है जहाँ $x=1$,विस्तारित फलन में एक साधारण ध्रुव के रूप में होता है। जीटा फलन के अन्य महत्वपूर्ण मूल्यों के रूप में सम्मलित हैं $\zeta(2)=\pi^2/6$, बेसल समस्या का समाधान, एपेरी स्थिरांक $\zeta(3)$, रोजर एपेरी द्वारा एक अपरिमेय संख्या और समिश्र संख्याओं की महत्वपूर्ण रेखा द्वारा दर्शाया गया है जहाँ $\tfrac12$, रीमैन परिकल्पना द्वारा अनुमान लगाया गया कि ऋणात्मक पूर्णांकों के अतिरिक्त केवल वही मान हैं जहां फलन शून्य रूप में होता है।

यादृच्छिक हार्मोनिक श्रृंखला
यादृच्छिक हार्मोनिक श्रृंखला है $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n},$$ जहां मान $$s_n$$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के रूप में होते है, जो दो मान होते है $$+1$$ और $$-1$$ बराबर के साथ प्रायिकता $\tfrac12$. यह लगभग निश्चित रूप से कन्वर्जेन्स करता है| प्रायिकता 1 के साथ, जैसा कि कोलमोगोरोव की तीन-श्रृंखला प्रमेय या निकट से संबंधित कोलमोगोरोव की असमानता का उपयोग करके देखा जा सकता है और इस प्रकार श्रृंखला का योग एक यादृच्छिक चर है, जिसका प्रायिकता घनत्व फलन $\tfrac14$ मूल्यों के बीच के लिए $-1$ and $1$, और अधिक मूल्यों के लिए लगभग शून्य तक घट जाती है तब $3$ या $-3$. इन श्रेणियों के बीच मध्यवर्ती पर मान $\pm 2$, प्रायिकता घनत्व के रूप में होते है $$\tfrac18-\varepsilon$$ एक गैर-शून्य लेकिन बहुत कम मूल्य के लिए होते है $\varepsilon< 10^{-42}$.

डिप्लीटिड हार्मोनिक श्रृंखला
डिप्लीटिड हार्मोनिक श्रृंखला जहां वे सभी पद जिनमें अंक 9 हर में कहीं भी दिखाई देता है, वे हटा दिए जाते हैं और जिससे कि उन्हें मान में कन्वर्जेन्स करने के लिए दिखाया जा सकता है 22.92067 66192  64150  34816  .... वास्तव में, जब अंकों की किसी विशेष स्ट्रिंग वाले सभी पदों को हटा दिया जाता है, तो संख्या आधार किसी भी श्रृंखला में कॉनवर्जेंट हो जाती है।