स्ट्रिंग कंपन

एक तार (संगीत) में कंपन एक तरंग है। ध्वनिक अनुनाद # एक तार की अनुनाद एक कंपन स्ट्रिंग को निरंतर आवृत्ति, यानी निरंतर पिच (संगीत) के साथ ध्वनि उत्पन्न करने का कारण बनती है। यदि तार की लंबाई या तनाव सही ढंग से समायोजित किया जाता है, तो उत्पन्न ध्वनि एक संगीतमय स्वर है। वाइब्रेटिंग स्ट्रिंग्स गिटार, वायलनचेलो स और पियानो जैसे  स्ट्रिंग साधन ्स का आधार हैं।

तरंग
एक तार में एक तरंग के प्रसार का वेग ($$v$$) स्ट्रिंग के तनाव के बल के वर्गमूल के समानुपाती होता है ($$T$$) और रैखिक घनत्व के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती ($$\mu$$) स्ट्रिंग का:

$$v = \sqrt{T \over \mu}.$$ इस रिश्ते की खोज 1500 के अंत में विन्सेन्ज़ो गैलीली ने की थी।

व्युत्पत्ति
स्रोत: होने देना $$\Delta x$$ तार के एक टुकड़े की लंबाई हो, $$m$$ इसका द्रव्यमान, और $$\mu$$ इसका रैखिक घनत्व। यदि कोण $$\alpha$$ और $$\beta$$ छोटे हैं, तो दोनों तरफ तनाव (यांत्रिकी) के क्षैतिज घटकों को स्थिर द्वारा अनुमानित किया जा सकता है $$T$$, जिसके लिए शुद्ध क्षैतिज बल शून्य है। तदनुसार, छोटे कोण सन्निकटन का उपयोग करते हुए, स्ट्रिंग खंड के दोनों किनारों पर अभिनय करने वाले क्षैतिज तनाव द्वारा दिए गए हैं


 * $$T_{1x}=T_1 \cos(\alpha) \approx T.$$
 * $$T_{2x}=T_2 \cos(\beta)\approx T.$$

ऊर्ध्वाधर घटक के लिए न्यूटन के दूसरे नियम से, इस टुकड़े का द्रव्यमान (जो इसके रैखिक घनत्व और लंबाई का गुणनफल है) इसके त्वरण से गुणा होता है, $$a$$, टुकड़े पर कुल बल के बराबर होगा:


 * $$\Sigma F_y=T_{1y}-T_{2y}=-T_2 \sin(\beta)+T_1 \sin(\alpha)=\Delta m a\approx\mu\Delta x \frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.$$

द्वारा इस अभिव्यक्ति को विभाजित करना $$T$$ और पहले और दूसरे समीकरणों को प्रतिस्थापित करने से प्राप्त होता है (हम या तो पहले या दूसरे समीकरण को चुन सकते हैं $$T$$, इसलिए हम प्रत्येक को मिलान कोण के साथ आसानी से चुनते हैं $$\beta$$ और $$\alpha$$)


 * $$-\frac{T_2 \sin(\beta)}{T_2 \cos(\beta)}+\frac{T_1 \sin(\alpha)}{T_1 \cos(\alpha)}=-\tan(\beta)+\tan(\alpha)=\frac{\mu\Delta x}{T}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.$$

छोटे-कोण सन्निकटन के अनुसार, स्ट्रिंग के टुकड़े के सिरों पर कोणों की स्पर्शरेखाएँ सिरों पर ढलानों के बराबर होती हैं, जिसकी परिभाषा के कारण एक अतिरिक्त ऋण चिह्न होता है $$\alpha$$ और $$\beta$$. इस तथ्य का उपयोग करना और पुनर्व्यवस्थित करना प्रदान करता है


 * $$\frac{1}{\Delta x}\left(\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|^{x+\Delta x}-\left.\frac{\partial y}{\partial x}\right|^x\right)=\frac{\mu}{T}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.$$

उस सीमा में $$\Delta x$$ शून्य तक पहुँचता है, बाएँ हाथ की ओर के दूसरे व्युत्पन्न की परिभाषा है $$y$$:


 * $$\frac{\partial^2 y}{\partial x^2}=\frac{\mu}{T}\frac{\partial^2 y}{\partial t^2}.$$

यह तरंग समीकरण है $$y(x,t)$$, और दूसरी बार व्युत्पन्न शब्द का गुणांक बराबर है $$\frac{1}{v^{2}}$$; इस प्रकार


 * $$v=\sqrt{T\over\mu},$$

कहाँ $$v$$ स्ट्रिंग में तरंग के प्रसार की गति है (इस बारे में अधिक जानकारी के लिए तरंग समीकरण पर लेख देखें)। हालाँकि, यह व्युत्पत्ति केवल छोटे आयाम वाले कंपनों के लिए मान्य है; बड़े आयाम वाले लोगों के लिए, $$\Delta x$$ स्ट्रिंग के टुकड़े की लंबाई के लिए एक अच्छा सन्निकटन नहीं है, तनाव का क्षैतिज घटक आवश्यक रूप से स्थिर नहीं है। क्षैतिज तनावों का अच्छी तरह से अनुमान नहीं लगाया गया है $$T$$.

तरंग की आवृत्ति
प्रसार की गति ज्ञात होने के बाद, स्ट्रिंग द्वारा उत्पन्न ध्वनि की आवृत्ति की गणना की जा सकती है। तरंग के प्रसार की गति तरंग दैर्ध्य के बराबर होती है $$\lambda$$ वेव अवधि से विभाजित $$\tau$$, या आवृत्ति द्वारा गुणा $$f$$:


 * $$v = \frac{\lambda}{\tau} = \lambda f.$$

यदि डोरी की लम्बाई है $$L$$, मौलिक आवृत्ति वह है जो कंपन द्वारा उत्पन्न होती है जिसका नोड (भौतिकी) स्ट्रिंग के दो छोर हैं, इसलिए $$L$$ मौलिक हार्मोनिक के तरंग दैर्ध्य का आधा है। इसलिए मेर्सन के नियम प्राप्त होते हैं:


 * $$f = \frac{v}{2L} = { 1 \over 2L } \sqrt{T \over \mu}$$

कहाँ $$T$$ तनाव है (यांत्रिकी) (न्यूटन में), $$\mu$$ रैखिक घनत्व है (अर्थात, द्रव्यमान प्रति इकाई लंबाई), और $$L$$ डोरी के कंपन करने वाले भाग की लंबाई है। इसलिए:
 * स्ट्रिंग जितनी छोटी होगी, मौलिक की आवृत्ति उतनी ही अधिक होगी
 * तनाव जितना अधिक होगा, मौलिक की आवृत्ति उतनी ही अधिक होगी
 * डोरी जितनी हल्की होगी, मूल की आवृत्ति उतनी ही अधिक होगी

इसके अलावा, यदि हम nवें हार्मोनिक को तरंग दैर्ध्य के रूप में लेते हैं $$\lambda_n = 2L/n$$, तब हमें आसानी से nवें हार्मोनिक की आवृत्ति के लिए एक व्यंजक प्राप्त होता है:


 * $$f_n = \frac{nv}{2L}$$

और एक तनाव के तहत एक स्ट्रिंग के लिए टी रैखिक घनत्व के साथ $$\mu$$, तब


 * $$f_n = \frac{n}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}$$

स्ट्रिंग कंपन देखना
यदि आवृत्ति पर्याप्त कम है और वाइब्रेटिंग स्ट्रिंग को टेलीविजन या कंप्यूटर (एनालॉग ऑसिलोस्कोप का नहीं) जैसे सीआरटी स्क्रीन के सामने आयोजित किया जाता है, तो एक वाइब्रेटिंग स्ट्रिंग पर तरंगों को देख सकता है। इस प्रभाव को [[स्ट्रोबोस्कोपिक प्रभाव]] कहा जाता है, और जिस दर पर स्ट्रिंग कंपन करती है वह स्ट्रिंग की आवृत्ति और स्क्रीन की ताज़ा दर के बीच का अंतर है। एक फ्लोरोसेंट लैंप के साथ भी ऐसा ही हो सकता है, उस दर पर जो स्ट्रिंग की आवृत्ति और प्रत्यावर्ती धारा की आवृत्ति के बीच का अंतर है। (यदि स्क्रीन की ताज़ा दर स्ट्रिंग की आवृत्ति या उसके पूर्णांक एकाधिक के बराबर होती है, तो स्ट्रिंग अभी भी लेकिन विकृत दिखाई देगी।) दिन के उजाले और अन्य गैर-दोलनशील प्रकाश स्रोतों में, यह प्रभाव नहीं होता है और दृष्टि के बने रहने के कारण स्ट्रिंग अभी भी लेकिन मोटी, और हल्की या धुंधली दिखाई देती है।

स्ट्रोबोस्कोप का उपयोग करके एक समान लेकिन अधिक नियंत्रणीय प्रभाव प्राप्त किया जा सकता है। यह उपकरण क्सीनन फ्लैश लैंप की आवृत्ति को स्ट्रिंग के कंपन की आवृत्ति से मिलान करने की अनुमति देता है। एक अंधेरे कमरे में, यह स्पष्ट रूप से तरंग दिखाता है। अन्यथा, एक ही प्रभाव को प्राप्त करने के लिए एसी आवृत्ति के समान, या एक बहु, प्राप्त करने के लिए, मशीन के सिर को समायोजित करके, बेंड (गिटार) आईएनजी या शायद अधिक आसानी से उपयोग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, गिटार के मामले में, छठे (सबसे कम पिच वाले) तार को तीसरे झल्लाहट से दबाया जाता है जो 97.999 Hz पर G देता है। एक मामूली समायोजन इसे 100 हर्ट्ज में बदल सकता है, यूरोप और अफ्रीका और एशिया के अधिकांश देशों में वैकल्पिक वर्तमान आवृत्ति से ठीक एक सप्तक ऊपर, 50 हर्ट्ज। अमेरिका के ज़्यादातर देशों में—जहां एसी फ़्रीक्वेंसी 60 हर्ट्ज़ है—पांचवीं स्ट्रिंग पर A# को बदलकर, पहला झल्लाहट 116.54 हर्ट्ज़ से 120 हर्ट्ज़ तक एक समान प्रभाव पैदा करता है।

वास्तविक दुनिया का उदाहरण
एक विकिपीडिया उपयोगकर्ता के जैक्सन गिटार प्रोफेशनल सोलोइस्ट एक्सएल इलेक्ट्रिक गिटार में एक नट (स्ट्रिंग इंस्ट्रूमेंट)-टू- पुल (साधन) की दूरी (इसी के अनुरूप) है $$L$$ ऊपर) 25 का$5/8$ इंच|अंदर। और D'Addario (निर्माता) | D'Addario XL निकल-घाव सुपर-लाइट-गेज EXL-120 इलेक्ट्रिक गिटार स्ट्रिंग्स निम्नलिखित निर्माता विनिर्देशों के साथ: उपरोक्त विनिर्देशों को देखते हुए, गणना की गई कंपन आवृत्तियों ($$f$$) उपरोक्त स्ट्रिंग्स के मूलभूत हार्मोनिक्स क्या होंगे यदि निर्माता द्वारा अनुशंसित तनावों पर स्ट्रिंग्स को फँसाया गया हो?

इसका उत्तर देने के लिए, हम पिछले अनुभाग में सूत्र के साथ शुरू कर सकते हैं $$n = 1$$:
 * $$f = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\mu}}$$

रैखिक घनत्व $$\mu$$ स्थानिक (द्रव्यमान / आयतन) घनत्व के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $$\rho$$ संबंध के माध्यम से $$\mu = \pi r^2\rho = \pi d^2\rho/4$$, कहाँ $$r$$ स्ट्रिंग की त्रिज्या है और $$d$$ उपरोक्त तालिका में व्यास (उर्फ मोटाई) है:
 * $$f = \frac{1}{2L}\sqrt{\frac{T}{\pi d^2\rho/4}}

= \frac{1}{2Ld}\sqrt{\frac{4T}{\pi\rho}} = \frac{1}{Ld}\sqrt{\frac{T}{\pi\rho}}$$ संगणना के प्रयोजनों के लिए, हम तनाव का स्थानापन्न कर सकते हैं $$T$$ ऊपर, न्यूटन के गति के नियमों के माध्यम से#न्यूटन का दूसरा नियम|न्यूटन का दूसरा नियम (बल = द्रव्यमान × त्वरण), अभिव्यक्ति $$T = ma$$, कहाँ $$m$$ वह द्रव्यमान है जो, पृथ्वी की सतह पर, तनाव मानों के अनुरूप समतुल्य भार होगा $$T$$ उपरोक्त तालिका में, जैसा कि पृथ्वी की सतह पर मानक गुरुत्व के माध्यम से संबंधित है, $$g_0 = 980.665$$ सेमी/से 2। (यह प्रतिस्थापन यहाँ सुविधाजनक है क्योंकि ऊपर निर्माता द्वारा प्रदान किए गए स्ट्रिंग तनाव पाउंड (बल) में हैं, जो परिचित रूपांतरण कारक 1 lb. = 453.59237 ग्राम के माध्यम से किलोग्राम में समकक्ष द्रव्यमान में सबसे आसानी से परिवर्तित हो सकते हैं।) उपरोक्त सूत्र तब स्पष्ट रूप से बन जाता है:
 * $$f_\mathrm{Hz} = \frac{1}{L_\mathrm{in} \times 2.54\ \mathrm{cm/in} \times d_\mathrm{in} \times 2.54\ \mathrm{cm/in}} \sqrt{\frac{T_\mathrm{lb} \times 453.59237\ \mathrm{g/lb} \times 980.665\ \mathrm{cm/s^2}}{\pi \times \rho_\mathrm{g/cm^3}}}$$

गणना करने के लिए इस सूत्र का उपयोग करना $$f$$ स्ट्रिंग संख्या के लिए 1 ऊपर पैदावार:
 * $$f_1 = \frac{1}{25.625\ \mathrm{in} \times 2.54\ \mathrm{cm/in} \times 0.00899\ \mathrm{in} \times 2.54\ \mathrm{cm/in}} \sqrt{\frac{13.1\ \mathrm{lb} \times 453.59237\ \mathrm{g/lb} \times 980.665\ \mathrm{cm/s^2}}{\pi \times 7.726\ \mathrm{g/cm^3}}} \approx 330\ \mathrm{Hz}$$

सभी छः तारों के लिए इस गणना को दोहराने से निम्नलिखित आवृत्तियों का परिणाम मिलता है। प्रत्येक आवृत्ति के बगल में गिटार ट्यूनिंग में संगीत नोट (वैज्ञानिक पिच नोटेशन में) दिखाया गया है जिसकी आवृत्ति निकटतम है, यह पुष्टि करता है कि निर्माता द्वारा अनुशंसित तनावों पर उपरोक्त तारों को स्ट्रिंग करने से वास्तव में गिटार के मानक पिचों का परिणाम होता है:

यह भी देखें

 * झल्लाहट
 * संगीतमय ध्वनिकी
 * एक गोलाकार ड्रम का कंपन
 * मेल्डे का प्रयोग
 * तीसरा पुल (समान स्ट्रिंग डिवीजनों के आधार पर हार्मोनिक अनुनाद)
 * स्ट्रिंग प्रतिध्वनि
 * प्रतिबिंब चरण परिवर्तन

संदर्भ



 * Specific

बाहरी संबंध

 * "The Vibrating String" by Alain Goriely and Mark Robertson-Tessi, The Wolfram Demonstrations Project.

Snorbølger Húr