पूर्णता (आदेश सिद्धांत)

आदेश सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, पूर्णता गुण किसी दिए गए समूह के कुछ निश्चित या सर्वोच्च के अस्तित्व पर जोर देते है। सबसे परिचित उदाहरण वास्तविक संख्याओं की पूर्णता है। शब्द का एक विशेष उपयोग पूर्ण आंशिक आदेश को संदर्भित करता है। चूँकि, पूर्णता की कई अन्य रोचक धारणाएँ उपस्थित होती है।

पूर्णता गुणों पर विचार करने की प्रेरणा सर्वोच्चता (न्यूनतम ऊपरी सीमा, सम्मिलित (गणित) के महान महत्व से प्राप्त होती है।$$\vee$$) और सबसे कम (सबसे बड़ी निचली सीमाएं, मिलती है (गणित),$$\wedge$$) आंशिक आदेशों के सिद्धांत के लिए होती है। सर्वोच्च प्राप्त करने का अर्थ ऊपरी सीमाओं के समूह (गणित) से एक विशिष्ट न्यूनतम तत्व को अलग करना होता है। एक ओर, ये विशेष तत्व अधिकांशतः कुछ ठोस गुणों को अपनाते है जो दिए गए अनुप्रयोग के लिए रोचक होते है (जैसे कि संख्याओं के समूह का सबसमूह छोटा सामान्य गुणक या समूहों के संग्रह का संघ (समूह सिद्धांत))। दूसरी ओर, आंशिक रूप से आदेशित किए गए समूह पर कुल संचालन के रूप में इन तत्वों की गणना पर विचार करने में सक्षम बनाता है। इस कारण से, कुछ पूर्णता गुणों वाले समूह को अधिकांशतः एक निश्चित प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, नए प्राप्त संचालनों के गुणों का अध्ययन करने से और भी रोचक विषय सामने आते है।

पूर्णता गुणों के प्रकार
सभी पूर्णता गुणों को एक समान योजना के अनुसार वर्णित किया गया है: एक आंशिक रूप से आदेशित समूह के उपसमुच्चय के एक निश्चित वर्ग (समूह सिद्धांत) का वर्णन करता है जिनके लिए एक उच्चतम होना आवश्यक है। इसलिए प्रत्येक पूर्णता गुण का अपना द्वैत (आदेश सिद्धांत) होता है, जो दिए गए कथन में क्रम-निर्भर परिभाषाओं को उलट कर प्राप्त किया जाता है। कुछ धारणाएँ सामान्यतः दोहरी नहीं होती है जबकि अन्य स्व-दोहरी हो सकती है।

सबसे छोटा और सबसे बड़ा तत्व
परिभाषा के अनुसार, यह सभी तत्वों में सबसे छोटा तत्व है जो खाली समूह के प्रत्येक सदस्य से बड़ा होता है। लेकिन यह पूरे पोसमूह का सबसे छोटा तत्व होता है, क्योंकि पोसमूह पी के खाली उपसमुच्चय को परंपरागत रूप से ऊपर और नीचे दोनों से घिरा हुआ माना जाता है, पी के प्रत्येक तत्व ऊपरी और निचले दोनों तरफ से घिरा हुआ होता है। खाली उपसमुच्चय का. सबसे छोटे तत्व के अन्य सामान्य नाम निचला और शून्य (0) होता है। दोहरी धारणा, खाली निचली सीमा, सबसे बड़ा तत्व, शीर्ष या इकाई (1) होता है।

जिन पोसमूह्स में तल होता है उन्हें कभी-कभी नुकीला कहा जाता है, जबकि शीर्ष वाले पोसमूह्स को यूनिटल या टॉपेड कहा जाता है। वह क्रम जिसमें न्यूनतम और अधिकतम दोनों तत्व होते है, परिबद्ध होता है। चूँकि, इसे नीचे दी गई सीमित पूर्णता की धारणा के साथ भ्रमित नहीं किया जाता है।

परिमित पूर्णता
इसके अतिरिक्त सभी गैर-रिक्त परिमित समूहों पर विचार करने से सरल पूर्णता की स्थितियाँ उत्पन्न होती है। वह क्रम जिसमें सभी गैर-रिक्त परिमित समूहों में एक सर्वोच्च और एक अनंत दोनों होते है, एक आदेश समूह कहलाता है। सभी गैर-रिक्त परिमित तत्वों को प्राप्त करने के लिए यह आवश्यक होता है कि दो तत्व उपस्थित हों, यह एक सीधा गणितीय प्रेरण तर्क दर्शाता है कि प्रत्येक परिमित गैर-रिक्त उच्च को द्विआधारी उच्च की एक सीमित संख्या में विघटित किया जा सकता है। इस प्रकार केंद्रीय संक्रियाएँ द्विआधारी सर्वोच्च होता है $$\vee$$ और इन्फिमा यह इस संदर्भ में होते है $$\wedge$$ और सम्मलित होते है $$\vee$$ सबसे आम होते है।

एक पोसमूह जिसमें केवल गैर-खाली परिमित उच्च का अस्तित्व ज्ञात होता है, उसे अर्ध-लेटेक्स कहा जाता है।

आगे पूर्णता की स्थितियाँ
पूर्णता का सबसे मजबूत रूप सभी सर्वोच्च और सभी अनंत का अस्तित्व होता है। इस गुण वाले पोसमूह पूर्ण होते है। चूँकि, दिए गए आदेश का उपयोग करके, कोई (संभवतः अनंत) उपसमुच्चय की आगे के वर्गों तक सीमित कर सकता है।

यदि किसी पोसमूह के सभी निर्देशित समूह में सर्वोच्चता होती है, तो आदेश एक निर्देशित पूर्ण आंशिक आदेश (डीसीपीओ) होते है। ये डोमेन सिद्धांत में विशेष रूप से महत्वपूर्ण होते है। डीसीपीओ के लिए संभवतः ही कभी मानी जाने वाली दोहरी धारणा फ़िल्टर्ड-पूर्ण पोसमूह होती है। कम से कम तत्व वाले डीसीपीएस (नुकीले डीसीपीएस) वाक्यांश पूर्ण आंशिक क्रम (सीपीओ) के संभावित अर्थों में से एक होते है।

यदि प्रत्येक उपसमुच्चय जिसमें कुछ ऊपरी सीमा होती है, उसकी न्यूनतम ऊपरी सीमा भी होती है, तो संबंधित स्थिति को परिबद्ध पूर्ण कहा जाता है। इस परिभाषा के साथ इस शब्द का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है जो उच्च पर केंद्रित होते है और दोहरी संपत्ति के लिए कोई सामान्य नाम नहीं होते है। चूँकि, बंधी हुई पूर्णता को अन्य पूर्णता स्थितियों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है जिन्हें आसानी से दोहरीकृत किया जा सकता है। यद्यपि पूर्ण और परिबद्ध नामों वाली अवधारणाओं को पहले से ही परिभाषित किया गया होता है, भ्रम उत्पन्न होने की संभावना नहीं होती है क्योंकि कोई संभवतः ही कभी एक परिबद्ध पूर्ण स्थिति के बारे में बात करता है जब इसका अर्थ एक परिबद्ध सीपीओ (जो कि सबसे बड़े तत्व के साथ एक सीपीओ है) होता है। इसी प्रकार, परिबद्ध पूर्ण समूह लगभग असंदिग्ध होता है, क्योंकि कोई भी पूर्ण समूह के लिए परिबद्धता गुण नहीं बता सकता, जहां यह निहित होता है। यह भी ध्यान दें कि खाली समूह में सामान्यतः ऊपरी सीमा होती है और इस प्रकार एक सीमित-पूर्ण पॉसमूह में कम से कम तत्व होते है।

कोई किसी पोसमूह के उपसमुच्चय पर भी विचार कर सकता है जो कुल आदेश होता है। यदि सभी श्रृंखलाओं में सर्वोच्चता होती है, तो क्रम को श्रृंखला पूर्ण कहा जाता है। फिर, इस अवधारणा की दोहरे रूप में संभवतः ही कभी आवश्यकता होती है।

पूर्णता गुणों के बीच संबंध
यह पहले से ही देखा गया था कि द्विआधारी से सभी गैर-रिक्त परिमित मिलते है। इसी प्रकार, उपरोक्त स्थितियों के कई अन्य (संयोजन) समतुल्य होते है।


 * सबसे प्रसिद्ध उदाहरण सभी उच्च का अस्तित्व होता है, जो वास्तव में सभी इन्फ़िमाओं के अस्तित्व के बराबर होता है। वास्तव में, किसी स्थिति के किसी उपसमुच्चय X के लिए, कोई इसकी निचली सीमा B के समुच्चय पर विचार कर सकता है। एक्स के सभी तत्व, अर्थात बी में होते है। यह बी का सबसे बड़ा तत्व होता है और इसलिए एक्स का न्यूनतम होता है। दोहरे विधि से, सभी इनफिमा का अस्तित्व सभी उच्च के अस्तित्व को दर्शाता है।
 * बंधी हुई पूर्णता को अलग तरह से भी चित्रित किया जा सकता है। उपरोक्त के समान एक तर्क से, कोई यह पाता लगा सकता है कि ऊपरी सीमा वाले समुच्चय का सर्वोच्च, ऊपरी सीमा वाले समुच्चय का न्यूनतम होता है। परिणाम स्वरूप, बंधी हुई पूर्णता सभी गैर-रिक्त इन्फिमा के अस्तित्व के बराबर होता है।
 * एक पोसमूह एक पूर्ण समूह होता है यदि यह एक सीपीओ एक अर्ध लैटिस होती है। वास्तव में, किसी भी उपसमुच्चय उपरोक्त अवलोकन से हमारे पास एक पूर्ण समूह होता है। प्रमाण की दूसरी दिशा तुच्छ होती है।
 * पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, एक पॉसमूह श्रृंखला पूर्ण होता है यदि वह एक डीसीपीओ होता है।

सार्वभौमिक बीजगणित के संदर्भ में संपूर्णता
जैसा कि ऊपर बताया गया है, कुछ पूर्णता स्थितियों की उपस्थिति आंशिक रूप से आदेशित समूह के कुल संचालन के रूप में कुछ उच्च और इन्फिमा के गठन पर विचार करने की अनुमति देती है। यह पता चलता है कि कई स्थितियों में सार्वभौमिक बीजगणित के अर्थ में उपयुक्त बीजगणितीय संरचनाओं पर विचार करके पूर्णता को चिह्नित करना संभव होता है, जो संचालन से सुसज्जित है $$\vee$$ या $$\wedge$$. इन संक्रियाओं पर अतिरिक्त स्थितियाँ (उपयुक्त पहचान (गणित) के रूप में) लगाकर, कोई वास्तव में ऐसी बीजगणितीय संरचनाओं से विशेष रूप से अंतर्निहित आंशिक क्रम प्राप्त कर सकता है। इस लक्षण वर्णन पर विवरण जैसी संरचनाओं पर लेखों में प्राप्त किया जा सकता है जिसके लिए इसे सामान्यतः माना जाता है: अर्ध लैटिस, समूह (आदेश), हेटिंग बीजगणित, और बूलियन बीजगणित (संरचना) देखें। ध्यान दें कि बाद की दो संरचनाएं निषेध प्रारंभ करके इन सिद्धांतों के अनुप्रयोग को केवल पूर्णता आवश्यकताओं से परे बढ़ाती है।

संयोजन के संदर्भ में पूर्णता
पूर्णता गुणों को चिह्नित करने का एक और रोचक विधि (मोनोटोन) गैलोइस संपर्क की अवधारणा के माध्यम से प्रदान किया गया है। वास्तव में यह दृष्टिकोण कई पूर्णता गुणों की प्रकृति और आदेश सिद्धांत के लिए गैलोज़ संपर्क के महत्व दोनों में अतिरिक्त अंतर्दृष्टि प्रदान करता है। सामान्य अवलोकन जिस पर पूर्णता का यह सुधार आधारित है, वह यह होता है कि कुछ उच्च या इन्फिमा का निर्माण उपयुक्त गैलोज़ संपर्क के बाएँ या दाएँ सहायक भाग प्रदान करता है।

आंशिक रूप से आदेश किए गए समूह (X, ≤) पर विचार करता है। पहले सरल उदाहरण के रूप में, 1 = {*} को केवल संभावित आंशिक क्रम के साथ एक निर्दिष्ट एक-तत्व समूह होता है। एक स्पष्ट मैपिंग j है: X → 1, j(x) = * के साथ, X में सभी x के लिए है*: 1 → X. वास्तव में गैलोज़ संपर्क की परिभाषा से पता चलता है कि इस स्थिति में j*(*) ≤ x यदि * ≤ j(x), जहां दाहिना हाथ स्पष्ट रूप से किसी भी x के लिए है। दोहरी दृष्टि से, j के लिए एक ऊपरी जोड़ का अस्तित्व X के सबसे बड़े तत्व के बराबर है।

एक और सरल मैपिंग फलन q: X → X × X है जो q(x) = (x, x) द्वारा दिया गया है। स्वाभाविक रूप से, X × X के लिए इच्छित आदेश संबंध केवल सामान्य उत्पाद आदेश है। q का निचला जोड़ q है* यदि X में सभी द्विआधारी उपस्थित है। इसके विपरीत, संचालन $$\vee$$: X × X → X हमेशा q के लिए (आवश्यक रूप से अद्वितीय) निचला जोड़ प्रदान कर सकता है। दोहरे रूप से, q एक ऊपरी जोड़ की अनुमति देता है यदि और केवल तभी जब X में सभी द्विआधारी मिलते है। इस प्रकार संचालन $$\wedge$$, यदि यह उपस्थित है, तो हमेशा एक ऊपरी जोड़ होता है। यदि दोनों $$\vee$$ और $$\wedge$$ अस्तित्व में है और, इसके अतिरिक्त, $$\wedge$$ यह एक निचला जोड़ भी है, तो पॉसमूह एक्स एक हेटिंग बीजगणित होता है।

उपयुक्त पूर्णता (आदेश सिद्धांत) प्रक्रियाओं का उपयोग करके आगे पूर्णता विवरण प्राप्त किया जा सकते है। उदाहरण के लिए, यह सर्वविदित होता है कि पोसमूह एक्स के सभी निचले समूहों का संग्रह, सबसमूह द्वारा क्रमबद्ध, एक पूर्ण समूह उत्पन्न करता है। इसके अतिरिक्त, एक स्पष्ट ई: एक्स → 'डी' (एक्स) है जो एक्स के प्रत्येक तत्व एक्स को उसके आदर्श सिद्धांत है y ≤ x}. अब थोड़ा प्रतिबिंब से पता चलता है कि ई का निचला जोड़ केवल तभी होता है जब एक्स एक पूर्ण समूह होता है। वास्तव में, यह निचला जोड़, कोई स्थापित 2 से सामान्य सर्वोच्च मानचित्र प्राप्त करता है।

इस खंड में दिए गए विचार श्रेणी सिद्धांत के संदर्भ में आदेश सिद्धांत के (भागों के) पुनर्रचना का सुझाव देते है, जहां गुणों को सामान्यतः वस्तुओं की आंतरिक संरचना पर विचार करने के अतिरिक्त, वस्तुओं के बीच संबंधों (रूपवाद, अधिक विशेष रूप से संयोजन) के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है। इस संबंध पर अधिक विस्तृत विचार के लिए आदेश सिद्धांत के श्रेणीबद्ध सूत्रीकरण पर लेख देखे।

यह भी देखें

 * सीमा-संरक्षण कार्य (आदेश सिद्धांत)|उपस्थिता उच्च/इन्फिमा के संरक्षण पर सीमा-संरक्षण कार्य।
 * सीमा-संरक्षण कार्य (आदेश सिद्धांत)|उपस्थिता उच्च/इन्फिमा के संरक्षण पर सीमा-संरक्षण कार्य।

संदर्भ

 * G. Markowsky and B.K. Rosen. Bases for chain-complete posets IBM Journal of Research and Development. March 1976.
 * Stephen Bloom. Varieties of ordered algebras Journal of Computer and System Sciences. October 1976.
 * Michael Smyth. Power domains Journal of Computer and System Sciences. 1978.
 * Daniel Lehmann. On the algebra of order Journal of Computer and System Sciences. August 1980.