समरूपता (भौतिकी)

भौतिकी में, एक भौतिक निकाय की समरूपता, उस निकाय (प्रेक्षित या आंतरिक) की एक ऐसी भौतिक या गणितीय विशेषता है, जो कुछ रूपान्तरणों के तहत संरक्षित या अपरिवर्तित रहती है।

विशेष रूपान्तरणों का एक परिवार सतत (जैसे कि एक वृत्त का घूर्णन) या असतत (जैसे, द्विपक्षीय रूप से सममित आकृति का प्रतिबिंब (भौतिकी), या एक समबहुभुज का घूर्णन) हो सकता है। सतत और असतत परिवर्तन इसी प्रकार की समरूपता को जन्म देते हैं। सतत समरूपता को लाई समूहों द्वारा वर्णित किया जा सकता है जबकि असतत समरूपता को परिमित समूहों द्वारा वर्णित किया जाता है (समरूपता समूह देखें)।

दो अवधारणाएँ, लाई और परिमित समूह, आधुनिक भौतिकी के मूलभूत सिद्धांतों की नींव हैं। समरूपता प्रायः गणितीय संरूपण जैसे समूह निरूपण के लिए उत्तरदायी होती है और इसके अतिरिक्त, कई समस्याओं को सरल बनाने के लिए इसका लाभ लिया जा सकता है।

तर्कसंगत रूप से भौतिकी में समरूपता का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण यह है कि सभी निर्देश तंत्रों में प्रकाश की गति का मान समान होता है, जिसे विशेष सापेक्षता में पोइन्केरे समूह के रूप में ज्ञात दिक्काल के परिवर्तनों के एक समूह द्वारा वर्णित किया गया है। इसका एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण स्वेच्छ अवकलनीय निर्देशांक परिवर्तनों के तहत भौतिक नियमों के रूपों की निश्चरता है, जो सामान्य सापेक्षता में एक महत्वपूर्ण विचार है।

एक प्रकार की निश्चरता के रूप में
निश्चरता को गणितीय रूप से ऐसे रूपांतरणों द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है जो कुछ गुणों (जैसे मात्रा) को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। यह विचार आधारभूत वास्तविक संसार के अवलोकनों पर लागू हो सकता है। उदाहरण के लिए, पूरे कक्ष में तापमान समान हो सकता है। चूँकि तापमान कक्ष के भीतर एक पर्यवेक्षक की स्थिति पर निर्भर नहीं करता है, हम कहते हैं कि कक्ष के भीतर एक पर्यवेक्षक की स्थिति में बदलाव के तहत तापमान निश्चर है।

इसी प्रकार, एक समान गोला अपने केंद्र के चारों ओर घूमता हुआ ठीक वैसा ही दिखाई देता है, जैसा वह घूमने से पहले दिखाई देता है। गोले को गोलाकार समरूपता प्रदर्शित करने वाला कहा जाता है। गोले के किसी भी अक्ष के बारे में एक घूर्णन यह संरक्षित करता है, कि गोला "कैसा दिखाई देता है"।

बल में निश्चरता
उपरोक्त विचार भौतिक समरूपता पर चर्चा करते समय निश्चरता के उपयोगी विचार की ओर अग्रसर होते हैं; इसे बलों में समरूपता पर भी लागू किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, एक अनंत लंबाई के विद्युत आवेशित तार के कारण एक विद्युत क्षेत्र को बेलनाकार समरूपता प्रदर्शित करने वाला कहा जाता है, क्योंकि तार से दी गई दूरी r पर विद्युत क्षेत्र की शक्ति का त्रिज्या r वाले एक बेलन (जिसकी अक्ष तार है) की सतह पर प्रत्येक बिंदु पर समान परिमाण होता है। तार को अपने अक्ष पर घुमाने से इसकी स्थिति या आवेश घनत्व में कोई परिवर्तन नहीं होता है, इसलिए यह क्षेत्र को संरक्षित रखता है। घूर्णित स्थिति में क्षेत्र की शक्ति समान होती है। यह आवेशों की स्वेच्छ प्रणाली के लिए सामान्य रूप से सत्य नहीं है।

न्यूटन के यांत्रिकी के सिद्धांत में, द्रव्यमान m वाले दिए गए दो पिंड मूल बिंदु से प्रारंभ होकर x-अक्ष के अनुदिश क्रमशः v1 और v2 गतियों से विपरीत दिशाओं में चलते है, निकाय की कुल गतिज ऊर्जा (मूलबिंदु पर एक प्रेक्षक की गणना के अनुसार) $1⁄2$m(v12 + v22) है और यदि वेग परस्पर परिवर्तित कर दिए जाते हैं तो गतिज ऊर्जा समान रहती है। कुल गतिज ऊर्जा y-अक्ष में एक प्रतिबिंब के तहत संरक्षित रहती है।

उपरोक्त अंतिम उदाहरण समरूपताओं को व्यक्त करने की एक और विधि प्रदर्शित करता है, अर्थात् इसमें समरूपता कोऐसे समीकरणों के माध्यम से प्रदर्शित किया जाता है जो भौतिक प्रणाली के कुछ दृष्टिकोणों का वर्णन करती हैं। उपरोक्त उदाहरण से पता चलता है कि यदि v1 और v2 को परस्पर परिवर्तित कर दिया जाए तो कुल गतिज ऊर्जा समान रहती है।

स्थानीय और वैश्विक
समरूपता को साधारण रूप से वैश्विक या स्थानीय के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। वैश्विक समरूपता वह समरूपता है जो ऐसे रूपान्तरण के लिए एक गुण को निश्चर रखती है जो दिक्काल के सभी बिंदुओं पर एक साथ लागू किया जाता है, जबकि स्थानीय समरूपता वह समरूपता होती है जो दिक्काल के प्रत्येक बिंदु पर संभवतः भिन्न समरूपता रूपान्तरण लागू होने पर एक गुण को निश्चर रखती है; विशेष रूप से एक स्थानीय समरूपता रूपान्तरण को दिक्काल निर्देशांकों द्वारा पैमानीकृत किया जाता है, जबकि वैश्विक समरूपता के साथ ऐसा नहीं है। इसका तात्पर्य है कि एक वैश्विक समरूपता भी एक स्थानीय समरूपता है। स्थानीय समरूपता गेज सिद्धांतों का आधार बनाने के कारण भौतिकी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।

सतत
ऊपर वर्णित घूर्णी समरूपता के दो उदाहरण, गोलाकार और बेलनाकार समरूपता, प्रत्येक सतत समरूपता के उदाहरण हैं। इन्हें निकाय की ज्यामिति में सतत रूपान्तरण के बाद निश्चरता द्वारा विशेषीकृत किया गया है। उदाहरण के लिए, तार को अपने अक्ष के परितः किसी भी कोण से घुमाया जा सकता है और दिए गए बेलन पर क्षेत्र की शक्ति समान होती है। गणितीय रूप से, सतत समरूपता को उन रूपान्तरणों द्वारा वर्णित किया जाता है जो उनके पैमानीकरण के फलन के रूप में लगातार परिवर्तित होते रहते हैं। भौतिकी में सतत समरूपता का एक महत्वपूर्ण उपवर्ग दिक्काल समरूपता है।

दिक्काल
सतत दिक्काल समरूपताएँ अंतरिक्ष और समय के रूपान्तरणों से संबंधित समरूपताएँ हैं। इन्हें आगे स्थानिक समरूपता, लौकिक समरूपता या स्थान-लौकिक समरूपता के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है। जिसमें स्थानिक समरूपता, केवल भौतिक निकाय से जुड़ी स्थानिक ज्यामिति को; लौकिक समरूपता, केवल समय में रूपान्तरणों को; और स्थान-लौकिक समरूपता, स्थान और समय दोनों में रूपान्तरणों को सम्मिलित करती है।


 * समय रूपान्तरण: एक भौतिक निकाय में एक निश्चित समय अंतराल Δt पर समान विशेषताएँ हो सकती हैं; इसे गणितीय रूप से अंतराल में किसी भी वास्तविक पैमाने t और t + a के रूपान्तरण t → t + a के तहत निश्चर के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, चिरसम्मत यांत्रिकी में, पृथ्वी की सतह से h ऊँचाई से निलंबित होने पर केवल गुरुत्वाकर्षण द्वारा कार्य करने वाले कण में गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा mgh होती है। यह मानते हुए कि कण की ऊंचाई में कोई परिवर्तन नहीं होता है, तब यह प्रत्येक समय कण की कुल गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा होती है। दूसरे शब्दों में, किसी समय t$0$ और t$0$ + a पर भी कण की स्थिति पर विचार करने पर कण की कुल गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा संरक्षित रहती है।
 * स्थानिक रूपान्तरण: इन स्थानिक समरूपताओं को $r$ → $r$ + $a$ के रूपांतरणों द्वारा दर्शाया जाता है और यह उन स्थितियों का वर्णन करता है जहाँ निकाय का गुण स्थान में सतत रूपान्तरण के साथ नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, एक कक्ष का तापमान कक्ष में तापमापी की स्थिति से स्वतंत्र हो सकता है।
 * स्थानिक घूर्णन: इन स्थानिक समरूपताओं को उचित घूर्णन और अनुचित घूर्णन के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। पूर्व समरूपताएँ केवल 'साधारण' घूर्णन हैं; गणितीय रूप से, ये इकाई सारणिक वाले वर्ग आव्यूहों द्वारा दर्शाए जाते हैं। बाद वाली समरूपताओं को -1 सारणिक वाले वर्ग आव्यूहों द्वारा दर्शाया जाता है और इनमें एक उचित घूर्णन एक स्थानिक प्रतिबिंब (व्युत्क्रम) के साथ संयुक्त होता है। उदाहरण के लिए, एक गोले में उचित घूर्णी समरूपता होती है। अन्य प्रकार के स्थानिक घूर्णनों का वर्णन घूर्णी समरूपता लेख में किया गया है।
 * पोइंकेरे रूपान्तरण: ये स्थान-लौकिक समरूपताएँ हैं जो मिन्कोव्स्की दिक्काल में दूरियों को संरक्षित करती हैं, अर्थात् ये मिन्कोवस्की अंतरिक्ष की सममितियाँ हैं। इनका अध्ययन मुख्य रूप से विशेष सापेक्षता में किया जाता है। वे सममितियाँ जो मूलबिंदु को स्थिर छोड़ देती हैं, लोरेंत्ज़ रूपान्तरण कहलाती हैं और इस समरूपता को लोरेंत्ज़ सहचर के रूप में जाना जाता है।
 * प्रक्षेपी सममितियाँ: ये स्थान-लौकिक समरूपताएँ हैं जो दिक्काल की भूगणितीय संरचना को संरक्षित करती हैं। इन्हें किसी भी समतल मैनिफोल्ड पर परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन सामान्य सापेक्षता में यथार्थ समाधानों के अध्ययन में इसके कई अनुप्रयोग मिलते हैं।
 * व्युत्क्रम रूपान्तरण: ये स्थान-लौकिक समरूपताएँ हैं जो दिक्काल निर्देशांकों पर अन्य अनुकोण एकैकी परिवर्तनों को सम्मिलित करने के लिए पोइंकेरे रूपान्तरणों को सामान्यीकृत करती हैं। व्युत्क्रम रूपान्तरणों के तहत लम्बाई निश्चर नहीं है लेकिन चार निश्चर बिंदुओं पर एक तिर्यक-अनुपात है।

गणितीय रूप से, दिक्काल समरूपताएँ सामान्यतः समतल सदिश क्षेत्र द्वारा समतल मैनिफोल्ड पर वर्णित होती है। सदिश क्षेत्रों से जुड़े अंतर्निहित स्थानीय डिफियोमोर्फिज्म, भौतिक समरूपता के अधिक प्रत्यक्ष रूप से संगत हैं, लेकिन भौतिक निकाय की समरूपता को वर्गीकृत करते समय सदिश क्षेत्र स्वयं अधिक प्रायः उपयोग किए जाते हैं।

किलिंग सदिश क्षेत्र अतिमहत्वपूर्ण सदिश क्षेत्रों में से एक हैं जो ऐसी दिक्काल समरूपताएँ हैं जो मैनिफोल्ड की अंतर्निहित मीट्रिक संरचना को संरक्षित करती हैं। साधारणतया, किलिंग वेक्टर क्षेत्र मैनिफोल्ड के किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी को संरक्षित रखते हैं और प्रायः सममितियों के नाम से जाने जाते हैं।

असतत
असतत समरूपता एक ऐसी समरूपता है जो एक निकाय में सतत रूपान्तरण का वर्णन करती है। उदाहरण के लिए, एक वर्ग में असतत घूर्णी समरूपता होती है, क्योंकि केवल समकोण के गुणजों द्वारा घूर्णन ही वर्ग के मूल स्वरूप को संरक्षित करता है। असतत समरूपता में कभी-कभी कुछ प्रकार के 'विनिमय' सम्मिलित होते हैं, इन विनिमयों को सामान्यतः प्रतिबिंब या पारस्परिक परिवर्तन कहा जाता है।


 * काल-उत्क्रमण: भौतिकी के कई नियम वास्तविक घटना का वर्णन करते हैं जब समय की दिशा उत्क्रमित हो जाती है। गणितीय रूप से, यह रूपांतरण $$t \, \rightarrow - t $$ द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरण के लिए, न्यूटन की गति का दूसरा नियम अभी भी लागू होता है, यदि समीकरण $$F \, = m \ddot {r} $$ में $$t$$ को $$-t$$ से प्रतिस्थापित कर दिया जाए। इसे लंबवत रूप से ऊपर प्रक्षेपित की गई वस्तु की गति को रिकॉर्ड करके (वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हुए) और फिर इसे वापस चलाकर चित्रित किया जा सकता है। वस्तु वायु के माध्यम से समान परवलयिक प्रक्षेपवक्र के अनुदिश चलती है, यद्यपि रिकॉर्डिंग को सामान्य रूप से या उत्क्रमित रूप से चलाया जाए। इस प्रकार, यह स्थिति उस क्षण के संबंध में सममित होती है जब वस्तु अपनी अधिकतम ऊँचाई पर होती है।
 * स्थानिक प्रतिलोमन: इन्हें $$\vec{r} \, \rightarrow - \vec{r}$$ रूप के रूपांतरण द्वारा दर्शाया जाता है और ये निर्देशांकों के 'व्युत्क्रम' होने पर निकाय की एक निश्चर गुण को इंगित करते हैं। दूसरे तरीके से कहा गया है कि ये एक निश्चित वस्तु और उसके दर्पण प्रतिबिम्ब के बीच समरूपता है।
 * सर्पी परावर्तन: ये एक रूपान्तरण और एक प्रतिबिंब के संयोजन द्वारा दर्शाए जाते हैं। ये समरूपताएँ, कुछ क्रिस्टलों में और वॉलपेपर समरूपता नामक कुछ समतलीय समरूपताओं में होती है।

सी, पी, और टी
कण भौतिकी के मानक मॉडल में तीन संबंधित प्राकृतिक निकट-समरूपताएँ हैं। इनका कथन है कि जिस ब्रह्मांड में हम रहते हैं, वह उस ब्रह्मांड से अप्रभेद्य होना चाहिए जहाँ एक निश्चित प्रकार का परिवर्तन होता है।


 * सी-समरूपता (आवेश समरूपता), यह एक ऐसा ब्रह्मांड है जहाँ प्रत्येक कण को ​​​​उसके प्रतिकण से प्रतिस्थापित कर दिया जाता है
 * पी-समरूपता (समता समरूपता), यह एक ऐसा ब्रह्मांड है जहाँ सब कुछ तीन भौतिक अक्षों के साथ प्रतिबिम्बित होता है। यह चिएन-शिउंग वू द्वारा प्रदर्शित दुर्बल अंतःक्रियाओं को सम्मिलित नहीं करता है।
 * टी-समरूपता (काल उत्क्रमण समरूपता), यह एक ऐसा ब्रह्मांड है जहाँ समय की दिशा उत्क्रमित हो जाती है। टी-समरूपता प्रतिकूल है (भविष्य और अतीत सममित नहीं हैं) लेकिन इसे इस तथ्य से समझाया गया है कि मानक मॉडल स्थानीय गुणों का वर्णन करता है, न कि एन्ट्रापी जैसे वैश्विक गुणों का। समय की दिशा को ठीक से उत्क्रमित करने के लिए, महा-विस्फोट (बिग बैंग) और परिणामी कम-एन्ट्रॉपी स्थिति को "भविष्य" में रखना होता है। चूँकि हम "अतीत" ("भविष्य") को वर्तमान की तुलना में कम (उच्च) एन्ट्रापी के रूप में देखते हैं, अतः इस काल्पनिक काल-उत्क्रमण ब्रह्मांड में रहने वाले लोग भविष्य को उसी प्रकार देखते हैं, जैसे हम अतीत को देखते हैं, और इसके विपरीत भी होता है।

ये समरूपताएँ निकट-समरूपताएँ हैं क्योंकि प्रत्येक, वर्तमान-दिवस ब्रह्मांड में टूटा हुआ है। हालाँकि, मानक मॉडल पूर्वानुमानित करता है कि तीनों का संयोजन (अर्थात्, तीनों रूपान्तरणों का एक साथ अनुप्रयोग) एक समरूपता होनी चाहिए, जिसे सीपीटी समरूपता कहा जाता है। सी- और पी-समरूपता के संयोजन का अतिक्रमण, अर्थात् सीपी अतिक्रमण ब्रह्मांड में महत्वपूर्ण मात्रा में बैरोनिक पदार्थ की उपस्थिति के लिए आवश्यक है। सीपी अतिक्रमण कण भौतिकी में वर्तमान शोध का एक उपयोगी क्षेत्र है।

अतिसममिति
मानक मॉडल में सैद्धांतिक प्रगति के प्रयास करने के लिए अतिसममिति नामक समरूपता का उपयोग किया गया है। अतिसममिति इस विचार पर आधारित है कि मानक मॉडल में पहले से ही विकसित समरूपताओं के बाद भी एक और भौतिक समरूपता, विशेष रूप से बोसॉन और फर्मियन के बीच एक समरूपता है। अतिसममिति का दावा है कि प्रत्येक प्रकार के बोसोन में एक अतिसममिति सहयोगी के रूप में सुपरपार्टनर नामक एक फ़र्मियन होता है और इसके विपरीत भी। अतिसममिति अभी तक प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित नहीं हुई है: किसी भी ज्ञात कण में किसी अन्य ज्ञात कण का सुपरपार्टनर होने के लिए सही गुण नहीं हैं। वर्तमान में एलएचसी एक ऐसे संचालन की तैयारी कर रहा है जो अतिसममिति का परीक्षण करता है।

भौतिक समरूपता की गणित
भौतिक समरूपता का वर्णन करने वाले रूपांतरण सामान्यतः एक गणितीय समूह बनाते हैं। भौतिकविदों के लिए समूह सिद्धांत गणित का एक महत्वपूर्ण क्षेत्र है।

सतत समरूपता गणितीय रूप से सतत समूहों (जिन्हें लाई समूह कहा जाता है) द्वारा निर्दिष्ट की जाती है। कई भौतिक समरूपताएँ सममित हैं और समरूपता समूहों द्वारा निर्दिष्ट की जाती हैं। कभी-कभी इस शब्द का प्रयोग अधिक सामान्य प्रकार की समरूपताओं के लिए किया जाता है। एक गोले के किसी भी अक्ष के माध्यम से सभी उचित घूर्णनों (किसी भी कोण के परितः) का समूह एक लाई समूह बनाता है जिसे विशेष लम्बकोणीय समूह SO(3) कहा जाता है। ('3' एक साधारण गोले के त्रि-विमीय अंतरिक्ष को संदर्भित करता है।) इस प्रकार, उचित घूर्णन वाले गोले का समरूपता समूह SO(3) है। कोई भी घूर्णन गेंद की सतह पर दूरियों को संरक्षित रखता है। सभी लोरेंत्ज़ रूपान्तरणों का समूह एक समूह बनाता है जिसे लोरेंत्ज़ समूह कहा जाता है (इसे पोइंकेरे समूह के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है)।

असतत समूह असतत समरूपता का वर्णन करते हैं। उदाहरण के लिए, एक समबाहु त्रिभुज की समरूपताओं को सममित समूह S$3$ द्वारा विशेषीकृत किया जाता है।

स्थानीय समरूपता पर आधारित एक प्रकार के भौतिक सिद्धांत को गेज सिद्धांत कहा जाता है और ऐसे सिद्धांत के लिए प्राकृतिक समरूपता को गेज समरूपता कहा जाता है। मानक मॉडल में गेज समरूपता, तीन मूलभूत अंतःक्रियाओं का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाती है, जो SU(3) × SU(2) × U(1) समूह पर आधारित हैं। (साधारण रूप से, SU(3) समूह की समरूपता प्रबल बल का, SU(2) समूह की समरूपता दुर्बल अंतःक्रिया का और U(1) समूह की समरूपता विद्युत चुम्बकीय बल का वर्णन करती है।)

इसके अतिरिक्त, एक समूह द्वारा क्रिया के तहत कार्यात्मक ऊर्जा की समरूपता में कमी और सममित समूहों के रूपान्तरणों की सहज समरूपताओं का विभंजन कण भौतिकी में विषयों को स्पष्ट करने के लिए प्रकट होता है (उदाहरण के लिए, विद्युत चुंबकत्व का एकीकरण और भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान में दुर्बल बल)।

संरक्षण नियम और समरूपता
एक भौतिक निकाय के समरूपता गुण उस निकाय की विशेषता वाले संरक्षण नियमों से घनिष्ठ रूप से संबंधित हैं। नोएथर की प्रमेय इस संबंध का यथार्थ विवरण प्रदान करती है। यह प्रमेय कहती है कि भौतिक निकाय की प्रत्येक सतत समरूपता का तात्पर्य है कि उस निकाय के कुछ भौतिक गुण संरक्षित हैं। इसके विपरीत, प्रत्येक संरक्षित मात्रा में एक समान समरूपता होती है। उदाहरण के लिए, स्थानिक रूपान्तरण समरूपता (अर्थात् अंतरिक्ष की समरूपता) (रैखिक) संवेग संरक्षण को और लौकिक रूपान्तरण समरूपता (अर्थात् समय की समरूपता) ऊर्जा संरक्षण को जन्म देती है।

निम्न तालिका कुछ मौलिक समरूपताओं और संबंधित संरक्षित मात्रा का सारांश प्रदान करती है।

गणित
भौतिकी में सतत समरूपता, रूपान्तरणों को संरक्षित करती है। एक अत्यंत अल्प परिवर्तन विभिन्न कण क्षेत्रों (भौतिकी) को प्रभावित करने की विधि को दर्शाकर एक समरूपता निर्दिष्ट कर सकता है। इन अतिसूक्ष्म रूपान्तरणों में से दो का दिक्परिवर्तक एक ही प्रकार के तीसरे अतिसूक्ष्म रूपान्तरण के बराबर है इसलिए ये एक लाई बीजगणित का निर्माण करते हैं।

सामान्य क्षेत्र $$h(x)$$ (जिसे डिफियोमोर्फिज्म भी कहा जाता है) के रूप में वर्णित एक सामान्य निर्देशांक परिवर्तन का अदिश $$\phi(x)$$, स्पाइनर $$\psi(x)$$ या सदिश क्षेत्र $$A(x)$$ पर अतिसूक्ष्म प्रभाव होता है, जिसे निम्न प्रकार से (आइंस्टीन संकलन परिपाटी का उपयोग करके) व्यक्त किया जा सकता है:



\delta\phi(x) = h^{\mu}(x)\partial_{\mu}\phi(x) $$

\delta\psi^\alpha(x) = h^{\mu}(x)\partial_{\mu}\psi^\alpha(x) + \partial_\mu h_\nu(x) \sigma_{\mu\nu}^{\alpha \beta} \psi^{\beta}(x) $$

\delta A_\mu(x) = h^{\nu}(x)\partial_{\nu}A_\mu(x) + A_\nu(x)\partial_\mu h^{\nu}(x) $$ गुरुत्वाकर्षण के बिना केवल पोइंकेरे समरूपताएँ संरक्षित रहती है जो $$h(x)$$ को इस रूप में होने से प्रतिबंधित करती है:



h^{\mu}(x) = M^{\mu \nu}x_\nu + P^\mu $$ जहाँ M एक प्रतिसममित आव्यूह है (जो लोरेंत्ज़ और घूर्णी समरूपता देता है ) और P एक सामान्य सदिश है (जो रूपान्तरण समरूपता देता है)। अन्य समरूपताएँ एक साथ कई क्षेत्रों को प्रभावित करती हैं। उदाहरण के लिए, स्थानीय गेज रूपान्तरण सदिश और स्पाइनर दोनों क्षेत्रों पर लागू होते हैं:



\delta\psi^\alpha(x) = \lambda(x).\tau^{\alpha\beta}\psi^\beta(x) $$

\delta A_\mu(x) = \partial_\mu \lambda(x) ,$$ जहां $$\tau$$ एक विशेष लाई समूह के जनक हैं। अभी तक दाईं ओर के रूपांतरणों में केवल उसी प्रकार के क्षेत्र सम्मिलित किए गए हैं। अतिसममिति को विभिन्न प्रकार के मिश्रण क्षेत्रों के अनुसार परिभाषित किया जाता है।

एक अन्य समरूपता मापन निश्चरता है, जो भौतिकी के कुछ सिद्धांतों का हिस्सा है लेकिन अन्य में नहीं है, जिसमें निम्न प्रकार के वेइल रूपान्तरण सम्मिलित हैं:



\delta \phi(x) = \Omega(x) \phi(x) $$ यदि क्षेत्रों में यह समरूपता है तो यह दिखाया जा सकता है कि क्षेत्र सिद्धांत लगभग निश्चित रूप से अनुरूपतः निश्चर भी है। इसका अर्थ यह है कि गुरुत्वाकर्षण के अभाव में h(x) निम्न रूप तक ही सीमित रहता है:



h^{\mu}(x) = M^{\mu \nu}x_\nu + P^\mu + D x_\mu + K^{\mu} |x|^2 - 2 K^\nu x_\nu x_\mu ,$$ जहाँ D मापन रूपान्तरणों और K विशेष अनुरूप रूपान्तरणों का जनक है। उदाहरण के लिए, N = 4 सुपर-यांग-मिल्स सिद्धांत में यह समरूपता है, जबकि सामान्य सापेक्षता में नहीं है, हालाँकि गुरुत्वाकर्षण के अन्य सिद्धांत जैसे अनुरूप गुरुत्व में यह समरूपता है। क्षेत्र सिद्धांत की 'क्रिया' सिद्धांत की सभी समरूपताओं के तहत एक निश्चर है। इनमें से अधिकांश आधुनिक सैद्धांतिक भौतिकी ब्रह्मांड में उपस्थित विभिन्न समरूपताओं पर अनुमान लगाने और मॉडल के रूप में क्षेत्र सिद्धांतों के निर्माण के लिए निश्चरों को खोजने के लिए प्रतिबद्ध हैं।

स्ट्रिंग सिद्धांतों में, चूँकि एक स्ट्रिंग को अपरिमित संख्या में कण क्षेत्रों में विघटित किया जा सकता है, अतः स्ट्रिंग विश्व पृष्ठ पर समरूपता विशेष रूपान्तरणों के समतुल्य होती है जो अपरिमित संख्या में क्षेत्रों को मिश्रित करती है।

यह भी देखें

 * संरक्षित विद्युत धारा और  आवेश (भौतिकी)
 * निर्देशांक मुक्त
 * सहचरण और सदिशों का प्रतिचरण
 * काल्पनिक बल
 * गैलिलियन निश्चरता
 * सहचरण का सिद्धांत
 * सामान्य सहचरण
 * हार्मोनिक निर्देशांक स्थिति
 * जड़त्वीय निर्देश तंत्र
 * सापेक्षता में गणितीय विषयों की सूची
 * मानक मॉडल (गणितीय सूत्रीकरण)
 * व्हीलर-फेनमैन अवशोषक सिद्धांत

सामान्य पाठक

 * Chapter 12 is a gentle introduction to symmetry, invariance, and conservation laws.
 * Chapter 12 is a gentle introduction to symmetry, invariance, and conservation laws.
 * Chapter 12 is a gentle introduction to symmetry, invariance, and conservation laws.

तकनीकी पाठक

 * विज्ञान संघ के दर्शनशास्त्र की 2002 की बैठक में संबोधन।
 * विज्ञान संघ के दर्शनशास्त्र की 2002 की बैठक में संबोधन।
 * विज्ञान संघ के दर्शनशास्त्र की 2002 की बैठक में संबोधन।
 * विज्ञान संघ के दर्शनशास्त्र की 2002 की बैठक में संबोधन।





बाहरी कड़ियाँ

 * The Feynman Lectures on Physics Vol. I Ch. 52: Symmetry in Physical Laws
 * Stanford Encyclopedia of Philosophy: "Symmetry"—by K. Brading and E. Castellani.
 * Pedagogic Aids to Quantum Field Theory Click on link to Chapter 6: Symmetry, Invariance, and Conservation for a simplified, step-by-step introduction to symmetry in physics.