आवधिक क्रम

गणित में, एक आवर्त अनुक्रम (जिसे कभी-कभी चक्र भी कहा जाता है) एक अनुक्रम है जिसके लिए एक ही शब्द (तर्क) बार-बार दोहराया जाता है:


 * ए1, ए2, ..., एp, ए1, ए2, ..., एp,  ए1, ए2, ..., एp, ...

दोहराए गए पदों की संख्या p को 'अवधि' (आवृत्ति) कहा जाता है।

परिभाषा
ए (विशुद्ध रूप से) आवधिक अनुक्रम (अवधि पी के साथ), या पी-आवधिक अनुक्रम, एक अनुक्रम ए है1, ए2, ए3, ... संतुष्टि देने वाला


 * एn+p = एn

n के सभी मानों के लिए। यदि किसी अनुक्रम को एक फ़ंक्शन (गणित) के रूप में माना जाता है जिसका डोमेन प्राकृतिक संख्याओं का सेट है, तो एक आवधिक अनुक्रम बस एक विशेष प्रकार का आवधिक फ़ंक्शन है। सबसे छोटा p जिसके लिए एक आवर्त अनुक्रम p-आवधिक होता है, उसे 'न्यूनतम आवर्त' कहा जाता है या सटीक अवधि.

उदाहरण
प्रत्येक स्थिर फलन 1-आवधिक है।

क्रम $$1,2,1,2,1,2\dots$$ न्यूनतम अवधि 2 वाला आवर्त है।

1/7 के दशमलव विस्तार में अंकों का क्रम आवर्त 6 के साथ आवर्ती है:


 * $$\frac{1}{7} = 0.142857\,142857\,142857\,\ldots$$

अधिक सामान्यतः, किसी भी परिमेय संख्या के दशमलव विस्तार में अंकों का क्रम अंततः आवधिक होता है (नीचे देखें)।

−1 की घातों का क्रम आवर्त दो के साथ आवर्ती है:


 * $$-1,1,-1,1,-1,1,\ldots$$

अधिक सामान्यतः, एकता की किसी भी जड़ की शक्तियों का क्रम आवधिक होता है। एक समूह (गणित) में परिमित क्रम (समूह सिद्धांत) के किसी भी तत्व की शक्तियों के लिए भी यही सच है।

किसी फ़ंक्शन के लिए एक आवधिक बिंदु $f : X → X$ एक बिंदु है $x$ जिसकी कक्षा (गतिशीलता)


 * $$x,\, f(x),\, f(f(x)),\, f^3(x),\, f^4(x),\, \ldots$$

एक आवधिक क्रम है. यहाँ, $$f^n(x)$$ का मतलब है $n$-fold की कार्य संरचना $f$ के लिए आवेदन किया $x$. गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत में आवधिक बिंदु महत्वपूर्ण हैं। एक परिमित समुच्चय से प्रत्येक फलन का एक आवर्त बिंदु होता है; चक्र का पता लगाना ऐसे बिंदु को खोजने की एल्गोरिथम समस्या है।

आंशिक रकम

 * $$\sum_{n=1}^{kp+m} a_{n} = k*\sum_{n=1}^{p} a_{n} + \sum_{n=1}^{m} a_{n}$$ जहाँ k और m<p प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

आंशिक उत्पाद

 * $$\prod_{n=1}^{kp+m} a_{n} = ({\prod_{n=1}^{p} a_{n}})^k * \prod_{n=1}^{m} a_{n}$$ जहाँ k और m<p प्राकृतिक संख्याएँ हैं।

आवधिक 0, 1 अनुक्रम
किसी भी आवधिक अनुक्रम का निर्माण शून्य और एक से युक्त आवधिक अनुक्रमों के तत्व-वार जोड़, घटाव, गुणा और भाग द्वारा किया जा सकता है। आवधिक शून्य और एक अनुक्रम को त्रिकोणमितीय कार्यों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$\sum_{k=1}^{1} \cos (-\pi\frac{n(k-1)}{1})/1 = 1,1,1,1,1,1,1,1,1...$$
 * $$\sum_{k=1}^{2} \cos (2\pi\frac{n(k-1)}{2})/2 = 0,1,0,1,0,1,0,1,0...$$
 * $$\sum_{k=1}^{3} \cos (2\pi\frac{n(k-1)}{3})/3 = 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,0,1...$$
 * $$\sum_{k=1}^{N} \cos (2\pi\frac{n(k-1)}{N})/N = 0,0,0...,1 \text{ sequence with period  } N $$
 * $$\sum_{k=1}^{N} \cos (2\pi\frac{n(k-1)}{N})/N = 0,0,0...,1 \text{ sequence with period  } N $$

सामान्यीकरण
एक अनुक्रम अंततः आवर्ती होता है यदि शुरुआत से कुछ सीमित संख्या में पदों को हटाकर इसे आवर्ती बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1/56 के दशमलव विस्तार में अंकों का क्रम अंततः आवधिक है:


 * 1 / 56 = 0 . 0 1 7 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2 8 5 7 1 4 2...

एक अनुक्रम अंततः आवधिक होता है यदि यह शर्त को पूरा करता है $$a_{k+r} = a_k$$ कुछ r और पर्याप्त रूप से बड़े k के लिए। एक अनुक्रम असम्बद्ध रूप से आवधिक है यदि इसकी शर्तें एक आवधिक अनुक्रम के करीब आती हैं। अर्थात् अनुक्रम x1, एक्स2, एक्स3,... यदि कोई आवधिक अनुक्रम मौजूद है तो यह असम्बद्ध रूप से आवधिक है1, ए2, ए3, ... जिसके लिए


 * $$\lim_{n\rightarrow\infty} x_n - a_n = 0.$$

उदाहरण के लिए, अनुक्रम


 * 1 / 3, 2 / 3, 1 / 4, 3 / 4, 1 / 5, 4 / 5,...

स्पर्शोन्मुख रूप से आवर्त है, क्योंकि इसके पद आवर्त अनुक्रम 0, 1, 0, 1, 0, 1, ... के निकट आते हैं।