आइसोटॉक्सल आंकड़ा

ज्यामिति में, एक बहुतलीय (उदाहरण के लिए एक बहुभुज या एक बहुफलक) या एक टाइलिंग समद्विबाहु ( ग्रीक  τόξον 'चाप' से) या किनारे-संक्रमणीय है यदि इसकी सममितीय इसके किनारों पर सकर्मक रूप से कार्य करती है। अनौपचारिक रूप से, इसका अर्थ है कि वस्तु का केवल एक प्रकार का किनारा है: दो किनारे दिए गए हैं, एक स्थानांतरण, घूर्णन और/या परावर्तन है जो एक किनारे को दूसरे किनारे पर ले जाएगा, जबकि वस्तु के अधिकृत वाले क्षेत्र को अपरिवर्तित छोड़ देता है/

समद्विबाहु बहुभुज
एक समद्विबाहु बहुभुज एक सम-पक्षीय यानी समबाहु बहुभुज होता है, लेकिन सभी समबाहु बहुभुज समद्विबाहु नहीं होते हैं। समकोणीय बहुभुजों के द्वैत समद्विबाहु बहुभुज हैं। समद्विबाहु $$4n$$-गोन केंद्रीय सममित हैं, इसलिए ज़ोनोगोन भी हैं।

सामान्य तौर पर, एक समद्विबाहु $$2n$$-गोन $$\mathrm{D}_n, (^*nn)$$ द्वितल सममित है। उदाहरण के लिए, एक समचर्तुभुज एक समद्विबाहु $$2$$×$$2$$-गोन (चतुर्भुज) के साथ $$\mathrm{D}_2, (^*22)$$ सममित हैं। सभी सम बहुभुज (समबाहु त्रिभुज, वर्ग, आदि) समद्विबाहु हैं, जिनमें न्यूनतम सममिति क्रम दोगुना होता है: एक सम $$n$$-गोन $$\mathrm{D}_n, (^*nn)$$ द्वितल सममित है।

एक आइसोटॉक्सल $$\bold{2}n$$-गोन के साथ बाहरी आंतरिक कोण $$\alpha$$ के रूप में {nα} अंकितक किया जा सकता है। आंतर आंतरिक कोण $$(\beta)$$ 180 कोटि से बड़ा या छोटा हो सकता है,तथा उत्तल या अवतल बहुभुज बनाता है।

स्टार बहुभुज भी आइसोटॉक्सल हो सकते हैं, जिन्हें $$\{(n/q)_\alpha\}$$ पर अंकितक किया गया तथा साथ ही $$q \le n - 1$$ और सबसे बड़े सामान्य विभाजक $$\gcd(n,q) = 1$$ के साथ, जहां $$q$$ वर्तन संख्या या घनत्व है। अवतल आंतरिक शीर्ष $$q < n/2$$ को परिभाषित किया जा सकता है/ यदि $$D = \gcd(n,q) \ge 2$$ तब $$\{(n/q)_\alpha\} = \{(Dm/Dp)_\alpha\}$$ एक यौगिक में समानयन किया जाता है, $$D \{(m/p)_\alpha\}$$ की $$D$$ द्वारा क्रमावर्तित की गई प्रतियां $$\{(m/p)_\alpha\}$$ है।                                                            सावधानी:  $$\{(n/q)_\alpha\}$$ के शीर्ष हमेशा ऐसे नहीं रखे जाते हैं कि$$\{n_\alpha\},$$ जबकि समभुजकोण $$\{n/q\}$$ के शीर्ष सममित $$\{n\}$$ की तरह रखे जाते है। "एकसमान टाइलिंग" का एक समुच्चय, वास्तव में आइसोटॉक्सल बहुभुजों का उपयोग करते हुए तुल्यकोणीय टाइलिंग सम अभिन्न की तुलना में कम सममित फलक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

आइसोटॉक्सल पॉलीहेड्रा और टाइलिंग
नियमित पॉलीहेड्रा आइसोहेड्रल (फेस-ट्रांसिटिव), आइसोगोनल (वर्टेक्स-ट्रांसिटिव), और आइसोटॉक्सल (एज-ट्रांसिटिव) हैं।

क्वासिरेगुलर पॉलीहेड्रॉन पॉलीहेड्रा, क्यूबोक्टाहेड्रॉन और इकोसिडोडेकाहेड्रॉन की तरह, आइसोगोनल और आइसोटॉक्सल हैं, लेकिन आइसोहेड्रल नहीं हैं। रंबिक डोडेकाहेड्रॉन और रोम्बिक ट्राइकॉन्टाहेड्रॉन समेत उनके दोहरे, आइसोहेड्रल और आइसोटॉक्सल हैं, लेकिन आइसोगोनल नहीं हैं।

नियमित बहुभुजों से निर्मित प्रत्येक पॉलीहेड्रॉन या 2-आयामी टेसलेशन आइसोटॉक्सल नहीं है। उदाहरण के लिए, कटा हुआ आईकोसैहेड्रोन (परिचित सॉकरबॉल) आइसोटॉक्सल नहीं है, क्योंकि इसके दो किनारे प्रकार हैं: हेक्सागोन-हेक्सागोन और हेक्सागोन-पेंटागोन, और ठोस की समरूपता के लिए एक हेक्सागोन-हेक्सागोन किनारे को स्थानांतरित करना संभव नहीं है। षट्कोण-पंचभुज किनारा।

एक आइसोटॉक्सल पॉलीहेड्रॉन में सभी किनारों के लिए पॉलीहेड्रल डायहेड्रल कोणों की एक ही तालिका होती है।

एक उत्तल बहुफलक का द्वैत भी एक उत्तल बहुफलक होता है। एक गैर-उत्तल बहुफलक का द्वैत भी एक गैर-उत्तल बहुफलक होता है। (कॉन्ट्रापोजिशन द्वारा।)

एक आइसोटॉक्सल पॉलीहेड्रॉन का दोहरा एक आइसोटॉक्सल पॉलीहेड्रॉन भी है। (डुअल पॉलीहेड्रॉन लेख देखें।)

नौ उत्तल पॉलीहेड्रोन आइसोटॉक्सल पॉलीहेड्रा हैं: पांच (नियमित पॉलीहेड्रॉन) प्लेटोनिक ठोस, दो (क्वासिरेगुलर पॉलीहेड्रॉन) दोहरे प्लेटोनिक ठोस के सामान्य कोर, और उनके दो दोहरे।

चौदह गैर-उत्तल आइसोटॉक्सल पॉलीहेड्रा हैं: चार (नियमित) केप्लर-प्वाइंट पॉलीहेड्रॉन | केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा, दोहरे केप्लर-प्वाइंट्सॉट पॉलीहेड्रा के दो (क्वासिरेगुलर) सामान्य कोर, और उनके दो दोहरे, प्लस तीन क्वासीरेगुलर डिट्रिगोनल (3) | p q) स्टार पॉलीहेड्रा, और उनके तीन दोहरे।

कम से कम पांच आइसोटॉक्सल पॉलीहेड्रल यौगिक हैं: पांच पॉलीटॉप यौगिक; उनके पांच दोहरे भी पांच नियमित पॉलीहेड्रल यौगिक (या एक चिरल जुड़वां) हैं।

यूक्लिडियन विमान के कम से कम पांच आइसोटॉक्सल पॉलीगोनल टिलिंग हैं, और हाइपरबोलिक प्लेन के असीम रूप से कई आइसोटॉक्सल पॉलीगोनल टिलिंग हैं, जिसमें नियमित पॉलीटोप्स # हाइपरबोलिक टिलिंग्स {पी, क्यू}, और नॉन-राइट (पी क्यू आर) की सूची से वायथॉफ निर्माण शामिल हैं। समूह।

यह भी देखें

 * पॉलीहेड्रॉन डायहेड्रल कोणों की तालिका
 * वर्टेक्स-सकर्मक
 * चेहरा-सकर्मक
 * सेल-सकर्मक

संदर्भ

 * Peter R. Cromwell, Polyhedra, Cambridge University Press 1997, ISBN 0-521-55432-2, p. 371 Transitivity
 * (6.4 Isotoxal tilings, 309-321)