अवमंदन (डैम्पिंग)

अवमंदक ऐसी भौतिक प्रक्रिया है जो दोलन प्रणाली के प्रभाव को कम करने और रोकने की क्रिया पर कार्य करता हैI भौतिक प्रणालियों में अवमंदक उन प्रक्रियाओं द्वारा निर्मित होता है जो दोलन में संग्रहीत ऊर्जा को क्षय करते हैं। उदाहरण के तौर पर इलेक्ट्रॉनिक दोलक में विद्युत प्रतिरोध, चालन और प्रकाशिकी  में प्रकाश के अवशोषण में द्रव्य दोलन प्रणाली में बाधा डालती है जिससे दोलन प्रणाली धीमे हो जाती है I ऊर्जा हानि के आधार पर अवमंदक अन्य दोलन प्रणालियों जैसे कि पारिस्थितिकी और साइकिल में महत्वपूर्ण नहीं हो सकता है। घर्षण परिकल्पना को लेकर असमंजस नहीं रखना चाहिए ये एक तरह का विघटनकारी बल हैi घर्षण अवमंदक का एक कारक हो सकता है या हो सकता है।

अवमंदक अनुपात आयाम रहित माप है जिसमें बताया गया है कि किसी गड़बड़ी के बाद लयबद्ध दोलक कैसे क्षय होता है। स्थिर संतुलन की स्थिति से विचलित होने पर कई प्रणालियां दोलनशील व्यवहार प्रदर्शित करती हैं। कई प्रणालियां जब वे स्थिर संतुलन की स्थिति से विक्षुब्ध होते हैं तो वे दोलन क्रिया को प्रदर्शित करते हैंI उदाहरण के लिए किसी स्प्रिंग से लटका हुआ पिंड यदि खींचा और छोड़ा जाए तो ऊपर और नीचे उछल सकता है। प्रत्येक उछाल पर सिस्टम अपनी संतुलन की स्थिति में लौटता है लेकिन इसे अतिकृत करता है। कभी -कभी यह क्रिया घर्षण प्रणाली को आद्र कर देता है और दोलनों को धीरे -धीरे शून्य या क्षीणन की ओर आयाम में क्षय करने का कारण बन सकता है।

अवमंदक अनुपात सिस्टम पैरामीटर है जिसे द्वारा निरूपित किया गया है $ζ$ "ज़ेटा" जो कि ($ζ = 0$), अंडरडैम्पेड ($ζ < 1$) गंभीर रूप से नम ($ζ = 1$) अतिअवमंदित करने के लिए ($ζ > 1$)अनवमंदित से भिन्न हो सकता है

ढोलक प्रणाली का व्यवहार अक्सर विभिन्न प्रकार के विषयों में रुचि रखता है जिसमें नियंत्रण इंजीनियरिंग, केमिकल इंजीनियरिंग, मैकेनिकल इंजीनियरिंग, संरचनागत वास्तुविद्या और विद्युत अभियन्त्रण शामिल हैं।

दोलन मामले
वर्तमान में अवमंदक की मात्रा के आधार पर प्रणाली विभिन्न दोलन व्यवहार और गति को प्रदर्शित करती है।
 * जहां स्प्रिंग -मास सिस्टम पूरी तरह से क्षतिहीन है द्रव्यमान अस्पष्टतापूर्वक अनिश्चित काल के लिए दोलन गतिशील रहेगाI इस काल्पनिक प्रक्रिया को असंबद्ध कहा जाता है।
 * आम तौर पर द्रव्यमान अपनी प्रारंभिक स्थिति को पार करने के लिए जाता है, और फिर वापस लौटता हैI प्रत्येक ओवरशूट के साथ, सिस्टम में कुछ ऊर्जा विघटित हो जाती है, और दोलन शून्य की ओर मर जाते हैं।इस मामले को अंडरडैम्प कहा जाता है।
 * ओवरडैम्प किए गए और अंडरडैम्प किए गए मामलों के बीच, एक निश्चित स्तर की भिगोना मौजूद है, जिस पर सिस्टम बस ओवरशूट करने में विफल रहेगा और एक भी दोलन नहीं करेगा।इस मामले को क्रिटिकल डंपिंग कहा जाता है।महत्वपूर्ण भिगोना और ओवरडैम्पिंग के बीच महत्वपूर्ण अंतर यह है कि, महत्वपूर्ण भिगोना में, सिस्टम न्यूनतम समय में संतुलन में लौटता है।

ज्यावक्रीय तरंगे
ज्यावक्रीय सांकेतिक तरंगे सांकेतिक लहर है जिसका आयाम समय बढ़ने के साथ शून्य पर पहुंचता है। यह अवमंदित द्वितीय कोटिक क्रमिक व्यवस्था से मेल खाता हैI इन तरंगों को आमतौर पर विज्ञान और अभियांत्रिकी में देखा जाता है जहां गुणावृत्ति न्यून अवमंदित ऊर्जा दोलक की आपूर्ति की तुलना में तेजी से ऊर्जा की क्षति हो रही है I

ज्यावक्रीय सांकेतिक तरंगे = 0 मूल (आयाम = 0) से शुरू होती है। ज्यावक्रीय तरंगे अपनी उच्चतम मूल्य को प्रदर्शित करती है जो ज्यावक्रीय तरंगों से भिन्न होते हैं दिया गया ज्यावक्रीय तरंग मध्यवर्ती चरण की हो सकती है जिसमें द्विजया और कोटिज्या घटक दोनों होते हैं। इस तरह प्रारंभिक चरण में द्विजया लहर सभी ज्यावक्रीय तरंगों का वर्णन करती हैI

अवमंदित आमतौर पर रैखिक प्रणालियों में पाया जाने वाला रूप है।यह रूप घातीय है जिसमें क्रमिक घातीय क्षय वक्र है। यही है जब आप प्रत्येक क्रमिक वक्र के अधिकतम बिंदु को जोड़ते हैं तो परिणाम घातीय क्षय जैसा दिखता है। घातीय रूप से ज्यावक्रीय सांकेतिक तरंगे के लिए सामान्य समीकरण का प्रतिनिधित्व किया जा सकता हैI $$y(t) = A e^{-\lambda t} \cos(\omega t - \phi)$$
 * $$y(t)$$ समय पर तात्कालिक आयाम है $t$;
 * $$A$$ लिफाफे का प्रारंभिक आयाम है;
 * $$\lambda$$ स्वतंत्र चर की समय इकाइयों के पारस्परिक में क्षय दर है $t$;
 * $$\phi$$ पर चरण कोण है $t = 0$;
 * $$\omega$$ कोणीय आवृत्ति है।

अन्य महत्वपूर्ण मापदंडों में शामिल हैंI
 * आवृत्ति: $$f = \omega / (2\pi)$$, प्रति समय इकाई चक्रों की संख्या।यह व्युत्क्रम समय इकाइयों में व्यक्त किया जाता है $$t^{-1}$$, या हेटर्स।
 * स्थिर समय: $$\tau = 1 / \lambda$$, ई (गणितीय स्थिरांक) के कारक द्वारा कम होने के आयाम के लिए समय।
 * आधा जीवन वह समय है जब यह घातीय आयाम लिफाफे के लिए एक कारक से घटने के लिए लेता है। यह बराबर है $$\ln(2) / \lambda$$ जो लगभग है $$0.693 / \lambda$$।
 * अवमंदन अनुपात: $$\zeta$$ आवृत्ति के सापेक्ष क्षय दर का एक गैर-आयामी लक्षण वर्णन है, लगभग $$\zeta = \lambda / \omega$$, या बिल्कुल $$\zeta = \lambda / \sqrt{\lambda^2 + \omega^2} < 1$$।
 * क्यू फैक्टर: $$Q = 1 / (2 \zeta)$$ भिगोना की मात्रा का एक और गैर-आयामी लक्षण वर्णन है;उच्च क्यू दोलन के सापेक्ष धीमी गति से भिगोना इंगित करता है।

अवमंदक अनुपात परिभाषा
अवमंदक अनुपात पैरामीटर है जिसे आमतौर पर ग्रीक पत्र ज़ेटा द्वारा निरूपित किया जाता हैI यह दूसरे क्रम के अंतर समीकरण की आवृत्ति प्रतिक्रिया की विशेषता है। दूसरे क्रम के साधारण अंतर समीकरण।यह नियंत्रण सिद्धांत के अध्ययन में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।यह हार्मोनिक ऑसिलेटर में भी महत्वपूर्ण है। सामान्य तौर पर उच्च अवमंदक अनुपात प्रणाली प्रभाव का अधिक प्रदर्शन करेंगे। न्यून अवमंदित का मूल्य 1 से कम है।

अवमंदन अनुपात महत्वपूर्ण अवमंदन के सापेक्ष एक प्रणाली में अवमंदन के स्तर को व्यक्त करने का एक गणितीय साधन प्रदान करता है। द्रव्यमान m, अवमंदन गुणांक c, और स्थिरांक k के साथ अवमंदित हार्मोनिक दोलक के लिए अवकलन समीकरण में महत्वपूर्ण अवमंदन गुणांक के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जा सकता हैI


 * $$ \zeta = \frac{c}{c_c} = \frac {\text{actual damping}} {\text{critical damping}},$$

जहां सिस्टम का समीकरण गति का समीकरण है
 * $$ m\frac{d^2x}{dt^2} + c\frac{dx}{dt} + kx = 0 $$

महत्वपूर्ण भिगोना गुणांक है
 * $$ c_c = 2 \sqrt{k m} $$

या
 * $$ c_c = 2 m \sqrt{\frac{k}{m}} = 2m \omega_n $$

कहाँ पे
 * $$ \omega_n = \sqrt{\frac{k}{m}} $$ सिस्टम की प्राकृतिक आवृत्ति है।

अवमंदन अनुपात आयामहीन है समान इकाइयों के दो गुणांक का अनुपात है।

व्युत्पत्ति
प्राकृतिक आवृत्ति का उपयोग करना $\omega_n = \sqrt{{k}/{m}}$ और ऊपर उपरोक्त अवमंदक अनुपात की परिभाषा इस प्रकार दे सकते हैंI
 * $$ \frac{d^2x}{dt^2} + 2\zeta\omega_n\frac{dx}{dt} + \omega_n^2 x = 0. $$

यह समीकरण केवल द्रव्यमान -विभाजन प्रणाली की तुलना में अधिक सामान्य है और विद्युत सर्किट और अन्य डोमेन पर भी लागू होता है। इसे दृष्टिकोण के साथ हल किया जा सकता है
 * $$ x(t) = C e^{s t},$$

जहां C और S दोनों जटिल संख्या स्थिरांक हैं
 * $$ s = -\omega_n \left(\zeta \pm i \sqrt{1 - \zeta^2}\right). $$

समीकरण को S के दो मूल्यों के लिए दो ऐसे समाधान सामान्य वास्तविक समाधान बनाने के लिए जोड़े जा सकते हैंI


 * न्यून अवमंदित: न्यून अवमंदित वह है जहां $$\zeta = 0$$ अनिर्दिष्ट सरल हार्मोनिक दोलक के अनुरूप है और उस स्थिति में $$\exp(i\omega_nt)$$ घर्षण उद्देश्यपूर्ण रूप से न्यूनतम मूल्यों को कम कर दिया गयाI
 * न्यून अवमंदित: यदि S जटिल मूल्यों का युग्म है तो प्रत्येक जटिल समाधान शब्द दोलन वाले हिस्से के साथ संयुक्त रूप से एक क्षयकारी घातीय है जो दिखता है $\exp\left(i \omega_n \sqrt{1 - \zeta^2}t\right)$ इसे $$ \ 0 \le \zeta < 1 $$, और न्यून अवमंदित के रूप में संदर्भित किया जाता है।
 * अति अवमंदित: यदि S वास्तविक मूल्यों की जोड़ी है, तो समाधान केवल दो क्षयकारी घातीय का योग है जिसमें कोई दोलन नहीं है। जिसे ओवरडैम्प $$ \zeta > 1 $$ के रूप में संदर्भित किया जाता है। ऐसी परिस्थितियाँ जहां ओवरडैम्पिंग व्यावहारिक होती है अगर अतिलंघन होती है तो आमतौर पर यांत्रिक के बजाय इलेक्ट्रिकल होता है।
 * जटिल  अवमंदन   : वह मामला जहां $$ \zeta = 1 $$ ओवरडैम्प किए गए और अंडरडैम्प किए गए मामलों के बीच की सीमा है, और इसे गंभीर रूप से नम करने के लिए संदर्भित किया जाता है।यह कई मामलों में एक वांछनीय परिणाम है जहां एक नम ऑसिलेटर के इंजीनियरिंग डिजाइन की आवश्यकता होती है (जैसे, एक दरवाजा बंद तंत्र)।

क्यू कारक और क्षय दर
क्यू कारक अवमंदन अनुपात ζ और घातीय क्षय दर α ऐसे संबंधित हैं

\zeta = \frac{1}{2 Q} = { \alpha \over \omega_n }. $$ जब एक दूसरे क्रम की प्रणाली होती है $$\zeta < 1$$ में दो जटिल संयुग्म होते हैं जिनमें से प्रत्येक का वास्तविक हिस्सा होता हैi $$-\alpha$$;अर्थात्क्ष क्षय दर पैरामीटर $$\alpha$$ दोलनों के घातीय क्षय की दर का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए उच्च गुणवत्ता वाले ट्यूनिंग कांटा "एक  रह का यन्त्र " जिसमें बहुत कम अनुपात होता है जिसमें दोलन होता है जो लंबे समय तक रहता है काफी दबाव के बाद भी बहुत धीरे -धीरे क्षय होता है।

लॉगरिदमिक घटाव
कंपन के लिए अनुपात भी लॉगरिदमिक घटाव से संबंधित है $$\delta$$।भिगोना अनुपात किसी भी दो चोटियों के लिए पाया जा सकता है भले ही वे आसन्न न हों।
 * $$ \zeta = \frac{\delta}{\sqrt{\delta^2 + \left(2\pi\right)^2}}$$ कहाँ पे $$\delta = \ln\frac{x_0}{x_1}$$

जहां एक्स0 और एक्स1 किसी भी दो क्रमिक चोटियों के आयाम हैं।

जैसा कि सही आंकड़े में दिखाया गया है:


 * $$ \delta = \ln\frac{x_1}{x_3}=\ln\frac{x_2}{x_4}=\ln\frac{x_1-x_2}{x_3-x_4}$$

कहाँ पे $$x_1$$, $$x_3$$ दो क्रमिक सकारात्मक चोटियों के आयाम हैं और $$x_2$$, $$x_4$$ दो क्रमिक नकारात्मक चोटियों के आयाम हैं।

प्रतिशत ओवरशूट
नियंत्रण सिद्धांत में ओवरशूट संकेत एक आउटपुट को संदर्भित करता है जो इसके अंतिम स्थिर मूल्य से अधिक है। एक कदम प्रतिक्रिया के लिए प्रतिशत ओवरशूटचरण मूल्य से विभाजित चरण मूल्य का अधिकतम मूल्य माइनस है।यूनिट स्टेप के तहत ओवरशूट  की प्रतिक्रिया माइनस वन का अधिकतम मूल्य है।

प्रतिशत ओवरशूट (पीओ) भिगोना अनुपात (  ') से संबंधित है:


 * $$ \mathrm{PO} = 100 \exp \left({-\frac{\zeta\pi}{\sqrt{1-\zeta^2}}}\right) $$

इसके विपरीत अवमंदन अनुपात (ζ) जो किसी दिए गए प्रतिशत द्वारा दिया जाता है:


 * $$ \zeta = \frac{-\ln\left(\frac{\rm PO}{100}\right)}{\sqrt{\pi^2 + \ln^2\left(\frac{\rm PO}{100}\right)}} $$

उदाहरण और अनुप्रयोग
जब कोई वस्तु हवा के माध्यम से गिर रही है, तो इसके फ्रीफॉल का विरोध करने वाला एकमात्र बल वायु प्रतिरोध है।पानी या तेल के माध्यम से गिरने वाली एक वस्तु अधिक से अधिक दर से धीमी हो जाएगीi जब तक कि अंततः एक स्थिर वेग तक नहीं पहुंच जाए क्योंकि बल गुरुत्वाकर्षण से बल के साथ संतुलन में आता है। उदाहरण के लिए स्वचालित दरवाजों या एंटी-स्लैम दरवाजों में लागू होता है।

विद्युत प्रणालियों में भिगोना / प्रतिरोध
विद्युत प्रणाली जो वैकल्पिक वर्तमान एसी के साथ काम करते हैं विद्युत प्रवाह को नम करने के लिए प्रतिरोधों का उपयोग करते हैं क्योंकि वे आवधिक हैं। डिमर स्विच या वॉल्यूम नॉब्स एक विद्युत प्रणाली में इसके उदाहरण हैं।

चुंबकीय प्रणाली
काइनेटिक ऊर्जा जो दोलनों का कारण बनती है इलेक्ट्रिक एडी धाराओं द्वारा गर्मी के रूप में विघटित हो जाती है जो एक चुंबक के ध्रुवों से गुजरने से या तो एक कॉइल या एल्यूमीनियम प्लेट द्वारा।प्रेरित होती है दूसरे शब्दों में चुंबकीय बलों के कारण होने वाला प्रतिरोध एक प्रणाली को धीमा कर देता है।रोलर कोस्टर पर ब्रेक इस अवधारणा का एक उदाहरण है।

संदर्भ
11. Britannica, Encyclopædia. “Damping.” Encyclopædia Britannica, Encyclopædia Britannica, Inc., www.britannica.com/science/damping.

12. OpenStax, College. “Physics.” Lumen, courses.lumenlearning.com/physics/chapter/23-4-eddy-currents-and-magnetic-damping/.