ट्रीविड्थ

ग्राफ़ सिद्धांत में, एक अप्रत्यक्ष ग्राफ़ की ट्रीविड्थ एक पूर्णांक संख्या है जो निर्दिष्ट करती है, अनौपचारिक रूप से, ग्राफ़ ट्री (ग्राफ़ सिद्धांत) होने से कितनी दूर है। सबसे छोटी ट्रीविड्थ 1 है; ट्रेविड्थ 1 वाले ग्राफ वास्तव में पेड़ और पेड़ (ग्राफ सिद्धांत)#वन हैं। अधिकतम 2 ट्रीविड्थ वाले ग्राफ़ श्रृंखला-समानांतर ग्राफ़ हैं। बिल्कुल ट्रेविड्थ के साथ अधिकतम रेखांकन $k$ के-ट्री कहलाते हैं|$k$-पेड़, और अधिकतम वृक्ष चौड़ाई वाले रेखांकन $k$ को आंशिक के-ट्री कहा जाता है | आंशिक $k$-पेड़। कई अन्य अच्छी तरह से अध्ययन किए गए ग्राफ़ परिवारों में भी ट्रेविड्थ की सीमा होती है।

ट्रेविड्थ को औपचारिक रूप से कई समतुल्य तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है: ग्राफ के वृक्ष अपघटन में सबसे बड़े शिखर सेट के आकार के संदर्भ में, ग्राफ के कॉर्डल समापन में सबसे बड़े क्लिक (ग्राफ सिद्धांत) के आकार के संदर्भ में, हेवन के अधिकतम क्रम के संदर्भ में (ग्राफ सिद्धांत) ग्राफ पर पीछा-चोरी के खेल के लिए एक रणनीति का वर्णन, या एक ब्रैमबल (ग्राफ सिद्धांत) के अधिकतम आदेश के संदर्भ में, जुड़े सबग्राफ का एक संग्रह जो सभी एक दूसरे को छूते हैं.

ट्रेविड्थ का उपयोग आमतौर पर ग्राफ़ कलन विधि के पैरामिट्रीकृत जटिलता विश्लेषण में एक पैरामीटर के रूप में किया जाता है। कई एल्गोरिदम जो सामान्य ग्राफ़ के लिए एनपी कठिन  हैं, आसान हो जाते हैं जब ट्रीविड्थ एक स्थिरांक से घिरा होता है।

ट्रीविड्थ की अवधारणा मूल रूप से किसके द्वारा प्रस्तुत की गई थी? आयाम के नाम से। इसे बाद में द्वारा फिर से खोजा गया था, उन गुणों के आधार पर जो इसे एक अलग ग्राफ़ पैरामीटर, हैडविगर संख्या के साथ साझा करता है। बाद में इसे फिर से द्वारा खोजा गया था और उसके बाद से कई अन्य लेखकों द्वारा अध्ययन किया गया है।

परिभाषा
एक ग्राफ का एक पेड़ अपघटन $G = (V, E)$ एक पेड़ है $T$ नोड्स के साथ $X1, …, Xn$, जहां प्रत्येक $Xi$ का उपसमुच्चय है $V$, निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है (नोड शब्द का प्रयोग एक शीर्ष को संदर्भित करने के लिए किया जाता है $T$ के शीर्ष के साथ भ्रम से बचने के लिए $G$): एक पेड़ के अपघटन की चौड़ाई उसके सबसे बड़े सेट का आकार है $Xi$ शून्य से एक कम। पेड़ की चौड़ाई $(v, w)$ ग्राफ का $V$ के सभी संभव पेड़ अपघटन के बीच न्यूनतम चौड़ाई है $Xi$. इस परिभाषा में, पेड़ की चौड़ाई को एक के बराबर बनाने के लिए सबसे बड़े सेट के आकार को एक से घटा दिया जाता है।
 * 1) सभी सेटों का मिलन $Xj$ बराबर है $v$. यही है, प्रत्येक ग्राफ़ वर्टेक्स कम से कम एक ट्री नोड में समाहित है।
 * 2) अगर $Xk$ और $T$ दोनों में एक शीर्ष है $Xi$, फिर सभी नोड्स $Xj$ का $v$ के बीच (अद्वितीय) पथ में $v$ और $T$ रोकना $Xi$ भी। समतुल्य रूप से, ट्री नोड्स में वर्टेक्स होता है $v$ का कनेक्टेड सबट्री बनाता है $w$.
 * 3) हर किनारे के लिए $tw(G)$ ग्राफ में, एक सबसेट है $Xi$ जिसमें दोनों शामिल हैं $G$ और $G$. यही है, कोने ग्राफ़ में आसन्न होते हैं, जब संबंधित उप-वृक्षों में एक आम नोड होता है।

समान रूप से, की वृक्ष चौड़ाई $G$ युक्त कॉर्डल ग्राफ में सबसे बड़े क्लिक (ग्राफ सिद्धांत) के आकार से एक कम है $G$ सबसे छोटी अधिकतम क्लिक के साथ। इस क्लिक साइज के साथ कॉर्डल ग्राफ को जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है $G$ हर दो शीर्षों के बीच एक किनारा जो दोनों कम से कम एक सेट से संबंधित हैं $Xi$.

ट्रेविड्थ को हेवन (ग्राफ थ्योरी) के संदर्भ में भी चित्रित किया जा सकता है, एक ग्राफ पर परिभाषित एक निश्चित खोज-चोरी के खेल के लिए एक चोरी की रणनीति का वर्णन करने वाले कार्य। एक ग्राफ $G$ में ट्रीविड्थ है $k$ अगर और केवल अगर यह आदेश का स्वर्ग है $k + 1$ लेकिन कोई उच्च क्रम नहीं, जहां आदेश का स्वर्ग है $k + 1$ एक कार्य है $β$ जो प्रत्येक सेट को मैप करता है $X$ अधिक से अधिक $k$ कोने में $G$ के जुड़े घटकों में से एक में $G \ X$ और वह एकरसता गुण का पालन करता है $&beta;(Y) ⊆ &beta;(X)$ जब कभी भी $X ⊆ Y$.

ब्रम्बल (ग्राफ सिद्धांत) का उपयोग करके एक समान लक्षण वर्णन भी किया जा सकता है, जुड़े सबग्राफ के परिवार जो सभी एक दूसरे को छूते हैं (अर्थात् या तो वे एक शीर्ष साझा करते हैं या किनारे से जुड़े होते हैं)। एक ब्रैम्बल का क्रम सबग्राफ के परिवार के लिए सबसे छोटा हिटिंग सेट है, और ग्राफ़ की ट्रेविड्थ एक ब्रैम्बल के अधिकतम क्रम से एक कम है।

उदाहरण
हर पूरा ग्राफ $Kn$ में ट्रीविड्थ है$n – 1$. कॉर्डल ग्राफ़ के संदर्भ में ट्रीविड्थ की परिभाषा का उपयोग करके इसे सबसे आसानी से देखा जा सकता है: पूरा ग्राफ़ पहले से ही कॉर्डल है, और अधिक किनारों को जोड़ने से इसके सबसे बड़े समूह के आकार को कम नहीं किया जा सकता है।

कम से कम दो शीर्षों वाले कनेक्टेड ग्राफ़ में ट्रीविड्थ 1 है यदि और केवल यदि वह एक ट्री है। एक पेड़ की ट्रीविड्थ एक ही तर्क के अनुसार पूर्ण रेखांकन के लिए होती है (अर्थात्, यह कॉर्डल है, और अधिकतम क्लिक आकार दो है)। इसके विपरीत, यदि किसी ग्राफ़ में एक चक्र है, तो ग्राफ़ के प्रत्येक कॉर्डल पूर्णता में कम से कम एक त्रिभुज शामिल होता है जिसमें चक्र के लगातार तीन कोने होते हैं, जिससे यह पता चलता है कि इसकी ट्रीविड्थ कम से कम दो है।

परिबद्ध ट्रेविड्थ वाले ग्राफ़ परिवार
किसी निश्चित स्थिरांक के लिए $k$, ज़्यादा से ज़्यादा ट्रीविड्थ का ग्राफ़ $k$ को आंशिक के-ट्री कहा जाता है | आंशिक $k$-पेड़। बाउंड ट्रेविड्थ वाले ग्राफ़ के अन्य परिवारों में कैक्टस ग्राफ़, seudoforest, श्रृंखला-समानांतर ग्राफ़, आउटरप्लानर ग्राफ़, हालीन ग्राफ और अपोलोनियन नेटवर्क शामिल हैं। संरचित प्रोग्रामिंग के संकलक में उत्पन्न होने वाले नियंत्रण-प्रवाह ग्राफ़ में ट्रीविड्थ भी होता है, जो कुछ कार्यों जैसे कि रजिस्टर आवंटन को उन पर कुशलता से करने की अनुमति देता है। समतलीय रेखांकन में परिबद्ध ट्रेविड्थ नहीं होता है, क्योंकि $n × n$ ग्रिड ग्राफ ट्रीविड्थ के साथ एक प्लेनर ग्राफ है $n$. इसलिए, अगर $F$ एक ग्राफ़_माइनर#माइनर-क्लोज़_ग्राफ़_फ़ैमिली|माइनर-क्लोज़्ड ग्राफ़ फ़ैमिली है जिसमें बाउंड ट्रीविड्थ है, इसमें सभी प्लानर ग्राफ़ शामिल नहीं हो सकते। इसके विपरीत, यदि परिवार में ग्राफ के लिए कुछ प्लानर ग्राफ नाबालिग के रूप में नहीं हो सकते हैं $F$, तो एक स्थिरांक है $k$ जैसे कि सभी रेखांकन $F$ में अधिकतम ट्रीविड्थ है $k$. अर्थात्, निम्नलिखित तीन स्थितियाँ एक दूसरे के समतुल्य हैं:
 * 1) $F$ बाउंडेड-ट्रीविड्थ ग्राफ़ का माइनर-क्लोज़्ड फ़ैमिली है;
 * 2) चरित्र चित्रण करने वाले बहुत से वर्जित नाबालिगों में से एक $F$ तलीय है;
 * 3) $F$ एक छोटा-बंद ग्राफ़ परिवार है जिसमें सभी प्लानर ग्राफ़ शामिल नहीं हैं।

निषिद्ध अवयस्क
के प्रत्येक परिमित मूल्य के लिए $k$, ज़्यादा से ज़्यादा ट्रीविड्थ का ग्राफ़ $k$ निषिद्ध ग्राफ़ लक्षण वर्णन के एक परिमित सेट द्वारा विशेषता हो सकती है। (यानी, ट्रेविड्थ का कोई भी ग्राफ $K5$ में नाबालिग के रूप में सेट में से एक ग्राफ शामिल है।) वर्जित नाबालिगों के इन सेटों में से प्रत्येक में कम से कम एक प्लानर ग्राफ शामिल है। के बड़े मूल्यों के लिए $k$, वर्जित अवयस्कों की संख्या कम से कम उतनी ही तेजी से बढ़ती है जितनी कि के वर्गमूल की चरघातांकी$k$. हालांकि, वर्जित अवयस्कों के आकार और संख्या पर ज्ञात ऊपरी सीमाएं इस निचली सीमा से बहुत अधिक हैं।
 * के लिए $> k$, अद्वितीय वर्जित माइनर एक 3-शीर्ष चक्र ग्राफ है।
 * के लिए $k = 1$, अद्वितीय वर्जित माइनर 4-शीर्ष पूर्ण ग्राफ़ है $k = 2$. *के लिए $K4$, चार वर्जित अवयस्क हैं: $k = 3$, अष्टफलक का ग्राफ, पंचकोणीय प्रिज्म प्रिज्म ग्राफ और वैगनर ग्राफ। इनमें से दो बहुफलकीय ग्राफ समतलीय हैं।

ट्रीविड्थ की गणना
यह निर्धारित करने के लिए एनपी-पूर्ण है कि क्या दिया गया ग्राफ है $G$ में किसी दिए गए वेरिएबल पर ट्रीविड्थ है $k$. हालाँकि, कब $k$ कोई निश्चित स्थिरांक है, ट्रीविड्थ वाला ग्राफ़ $k$ पहचाना जा सकता है, और एक चौड़ाई $k$ उनके लिए निर्मित वृक्ष अपघटन, रैखिक समय में। इस एल्गोरिथम की समय निर्भरता $k$ चरघातांकी है।

बड़ी संख्या में फ़ील्ड्स में ट्रीविड्थ की भूमिकाओं के कारण, ग्राफ के ट्रेविड्थ की गणना करने वाले विभिन्न व्यावहारिक और सैद्धांतिक एल्गोरिदम विकसित किए गए थे। हाथ में आवेदन के आधार पर, इनपुट या ट्रेविड्थ के आकार से चलने वाले समय में बेहतर सन्निकटन अनुपात, या बेहतर निर्भरता पसंद कर सकते हैं। नीचे दी गई तालिका कुछ ट्रेविड्थ एल्गोरिदम का अवलोकन प्रदान करती है। यहाँ $k$ ट्रीविड्थ है और $n$ एक इनपुट ग्राफ़ के शीर्षों की संख्या है $G$. प्रत्येक एल्गोरिदम समय में आउटपुट करता है $K5$ अनुमानित कॉलम में दी गई चौड़ाई का अपघटन। उदाहरण के लिए, का एल्गोरिदम समय के भीतर $f(k) ⋅ g(n)$ या तो इनपुट ग्राफ़ के ट्री अपघटन का निर्माण करता है $G$ अधिकतम चौड़ाई $k$ या रिपोर्ट करता है कि की ट्रेविड्थ $G$ से अधिक होता है $k$. इसी तरह, का एल्गोरिदम  समय के भीतर $2O(k3)⋅n$ या तो इनपुट ग्राफ़ के ट्री अपघटन का निर्माण करता है  $G$ अधिकतम चौड़ाई $2O(k)⋅n$ या रिपोर्ट करता है कि की ट्रेविड्थ $G$ से अधिक होता है $k$. ने इसमें सुधार किया $5k + 4$ एक ही रनिंग टाइम में।

यह ज्ञात नहीं है कि प्लैनर ग्राफ़ की ट्रेविड्थ का निर्धारण एनपी-पूर्ण है, या क्या उनकी ट्रीविड्थ की गणना बहुपद समय में की जा सकती है।

व्यवहार में, का एक एल्गोरिथ्म इष्टतम ट्रेविड्थ के साथ इन ग्राफ़ों की कॉर्डल पूर्णता का पता लगाते हुए 100 शीर्षों तक के ग्राफ़ की ट्रेविड्थ और 11 तक ट्रीविड्थ का निर्धारण कर सकते हैं।

बड़े ग्राफ़ के लिए, कोई भी खोज-आधारित तकनीकों जैसे शाखा और बाउंड (BnB) का उपयोग कर सकता है और ट्रेविड्थ की गणना करने के लिए सर्वोत्तम-प्रथम खोज कर सकता है। ये एल्गोरिदम कभी भी एल्गोरिदम हैं, जब जल्दी बंद कर दिया जाता है, तो वे ट्रीविड्थ पर एक ऊपरी सीमा का उत्पादन करेंगे।

ट्रेविड्थ की गणना के लिए पहला BnB एल्गोरिथम, जिसे QuickBB एल्गोरिथम कहा जाता है गोगेट और डेक्टर द्वारा प्रस्तावित किया गया था। चूँकि किसी भी BnB एल्गोरिथम की गुणवत्ता उपयोग की जाने वाली निचली सीमा, Gogate और Dechter की गुणवत्ता पर अत्यधिक निर्भर है लघु-न्यूनतम-चौड़ाई नामक ट्रेविड्थ पर निचली सीमा की गणना करने के लिए एक उपन्यास एल्गोरिद्म भी प्रस्तावित किया। एक उच्च स्तर पर, लघु-न्यूनतम-चौड़ाई एल्गोरिदम तथ्यों को जोड़ती है कि एक ग्राफ़ की ट्रेविड्थ कभी भी इसकी न्यूनतम डिग्री (ग्राफ़ थ्योरी) या इसके ग्राफ़ माइनर से ट्रेविड्थ पर कम सीमा उत्पन्न करने के लिए बड़ी नहीं होती है। माइनर-मिन-चौड़ाई एल्गोरिद्म बार-बार एक न्यूनतम डिग्री वर्टेक्स और उसके पड़ोसियों में से एक के बीच एक किनारे को अनुबंधित करके एक ग्राफ माइनर का निर्माण करता है, जब तक कि केवल एक वर्टेक्स नहीं रहता। इन निर्मित अवयस्कों पर न्यूनतम डिग्री की अधिकतम सीमा ग्राफ़ के ट्रेविड्थ पर निचली सीमा होने की गारंटी है।

डॉव और कोर्फ़ सर्वोत्तम-प्रथम खोज का उपयोग करके QuickBB एल्गोरिद्म में सुधार किया। कुछ ग्राफ़ पर, यह सर्वोत्तम-प्रथम खोज एल्गोरिथम QuickBB की तुलना में तीव्रता का एक क्रम है।

छोटी ट्रेविड्थ के ग्राफ़ पर अन्य समस्याओं का समाधान
1970 के दशक की शुरुआत में, यह देखा गया कि ग्राफ़ पर परिभाषित संयोजी अनुकूलन समस्याओं की एक बड़ी श्रेणी को गैर सीरियल गतिशील प्रोग्रामिंग द्वारा कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है, जब तक कि ग्राफ़ में एक परिबद्ध आयाम हो, द्वारा ट्रीविड्थ के समतुल्य दिखाया गया पैरामीटर. बाद में, कई लेखकों ने स्वतंत्र रूप से 1980 के दशक के अंत में अवलोकन किया कि कई एल्गोरिथम समस्याएं जो एनपी-पूर्णता हैं | मनमानी ग्राफ के लिए एनपी-पूर्ण को इन ग्राफों के पेड़-अपघटन का उपयोग करके बाध्य ट्रीविड्थ के ग्राफ के लिए गतिशील प्रोग्रामिंग द्वारा कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है।

एक उदाहरण के रूप में, ट्रीविड्थ के ग्राफ को रंगने वाले ग्राफ की समस्या $k$ ग्राफ़ के वृक्ष अपघटन पर एक गतिशील प्रोग्रामिंग एल्गोरिदम का उपयोग करके हल किया जा सकता है। प्रत्येक सेट के लिए $Xi$ पेड़ के अपघटन का, और प्रत्येक विभाजन के शीर्षों के एक सेट का $Xi$ रंग वर्गों में, एल्गोरिथ्म निर्धारित करता है कि क्या वह रंग वैध है और पेड़ के अपघटन में सभी वंशज नोड्स तक बढ़ाया जा सकता है, उन नोड्स पर गणना की गई और संग्रहीत समान प्रकार की जानकारी को मिलाकर। परिणामी एल्गोरिथ्म एक का एक इष्टतम रंग पाता है $n$-समय में वर्टेक्स ग्राफ $2k + 1$, एक समयबद्धता जो इस समस्या को पैरामिट्रीकृत जटिलता|फिक्स्ड-पैरामीटर ट्रैक्टेबल बनाती है।

कौरसेल प्रमेय
समस्याओं के एक बड़े वर्ग के लिए, कक्षा से किसी समस्या को हल करने के लिए एक रैखिक समय एल्गोरिथ्म है यदि एक वृक्ष अपघटन|वृक्ष-अपघटन निरंतर बाध्य ट्रेविड्थ के साथ प्रदान किया जाता है। विशेष रूप से, कौरसेल की प्रमेय बताता है कि यदि मोनाडिक द्वितीय-क्रम तर्क का उपयोग करते हुए ग्राफ़ के तर्क में एक ग्राफ़ समस्या व्यक्त की जा सकती है, तो इसे रेखीय समय में बाउंड ट्रेविड्थ के साथ ग्राफ़ पर हल किया जा सकता है। मोनाडिक दूसरे क्रम का तर्क लॉजिक ग्राफ़ गुणों का वर्णन करने वाली एक भाषा है जो निम्नलिखित निर्माणों का उपयोग करती है:
 * तर्क संचालन, जैसे $$ \wedge ,\vee ,\neg ,\Rightarrow $$
 * सदस्यता परीक्षण, जैसे $f(k)$, $g(n)$
 * शीर्षों, किनारों, शीर्षों के सेटों और/या किनारों के सेटों पर परिमाणीकरण, जैसे $O(1)$, $O(nk+2)$, $4k + 3$, $O(33k)$
 * निकटता परीक्षण ($u$ का समापन बिंदु है $e$), और कुछ एक्सटेंशन जो ऑप्टिमाइज़ेशन जैसी चीज़ों की अनुमति देते हैं।

उदाहरण के लिए ग्राफ़ कलरिंग | ग्राफ़ के लिए 3-कलरिंग समस्या पर विचार करें। एक ग्राफ के लिए $O(n2)$, यह समस्या पूछती है कि क्या प्रत्येक शीर्ष निर्दिष्ट करना संभव है $8k + 7$3 रंगों में से एक ऐसा है कि कोई भी दो आसन्न शीर्षों को समान रंग नहीं दिया गया है। इस समस्या को मोनाडिक सेकंड ऑर्डर लॉजिक में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$ \exists W_1 \subseteq V : \exists W_2 \subseteq V : \exists W_3 \subseteq V : \forall v \in V : (v \in W_1 \vee v \in W_2 \vee v \in W_3) \wedge $$
 * $$ \forall v \in V : \forall w \in V : (v,w) \in E \Rightarrow (\neg (v \in W_1 \wedge w \in W_1) \wedge \neg (v \in W_2 \wedge w \in W_2) \wedge \neg (v \in W_3 \wedge w \in W_3))$$,

कहाँ $2O(k log k)$, $n log2 n$, $5k + 4$ 3 रंगों में से प्रत्येक वाले कोने के सबसेट का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसलिए, कौरसेल के परिणामों से, 3-रंग की समस्या को एक ग्राफ के लिए रैखिक समय में हल किया जा सकता है, जो कि निरंतर ट्रीविड्थ के पेड़-अपघटन को देखते हैं।

पथचौड़ाई
एक ग्राफ़ की पाथविड्थ ट्री डीकंपोज़िशन के माध्यम से ट्रीविड्थ की एक बहुत ही समान परिभाषा है, लेकिन यह ट्री डीकंपोज़िशन तक ही सीमित है जिसमें अपघटन का अंतर्निहित ट्री एक पथ ग्राफ है। वैकल्पिक रूप से, पाथविड्थ को कॉर्डल ग्राफ़ से ट्रेविड्थ की परिभाषा के अनुरूप अंतराल ग्राफ़ से परिभाषित किया जा सकता है। नतीजतन, एक ग्राफ की पाथविड्थ हमेशा कम से कम उतनी ही बड़ी होती है, जितनी इसकी ट्रेविड्थ होती है, लेकिन यह केवल एक लघुगणक कारक द्वारा बड़ी हो सकती है। एक अन्य पैरामीटर, ग्राफ बैंडविड्थ, की उचित अंतराल ग्राफ़ से समान परिभाषा है, और कम से कम पाथविड्थ जितना बड़ा है। अन्य संबंधित मापदंडों में पेड़ की गहराई  शामिल है, एक संख्या जो एक छोटे-बंद ग्राफ़ परिवार के लिए बाध्य है यदि और केवल अगर परिवार एक पथ को छोड़ देता है, और डीजेनेरेसी (ग्राफ़ सिद्धांत), एक ग्राफ़ की विरलता का एक उपाय जो पर है इसकी ट्रेविड्थ के सबसे बराबर।

ग्रिड लघु आकार
क्योंकि एक की ट्रीविड्थ $7k + 6$ ग्रिड ग्राफ है $n$, ग्राफ की ट्रेविड्थ $G$ हमेशा छोटे आकार के सबसे बड़े वर्ग ग्रिड ग्राफ़ के आकार से बड़ा या उसके बराबर होता है $G$. दूसरी दिशा में, नील रॉबर्टसन (गणितज्ञ) और पॉल सीमोर (गणितज्ञ) द्वारा ग्रिड माइनर प्रमेय से पता चलता है कि एक असीम कार्य मौजूद है $f$ जैसे कि सबसे बड़े वर्ग ग्रिड माइनर का आकार कम से कम हो $2O(k log k)$ कहाँ $r$ ट्रीविड्थ है। सबसे अच्छी सीमा पर जाना जाता है $f$ वो है $f$ कम से कम होना चाहिए $n log n$ कुछ निश्चित स्थिरांक के लिए $2O(k3)$, और अधिक से अधिक
 * $$O \left( \sqrt{ r / \log r} \right).$$

के लिए $O(n)$ निचले बाउंड में नोटेशन, बिग ओ नोटेशन देखें। प्रतिबंधित ग्राफ़ परिवारों के लिए सख्त सीमाएँ जानी जाती हैं, जिससे द्विविमता के सिद्धांत के माध्यम से उन परिवारों पर कई ग्राफ़ अनुकूलन समस्याओं के लिए कुशल एल्गोरिदम की ओर अग्रसर होता है। हैलिन का ग्रिड प्रमेय अनंत रेखांकन के लिए ट्रीविड्थ और ग्रिड लघु आकार के बीच संबंध का एक एनालॉग प्रदान करता है।

व्यास और स्थानीय वृक्ष चौड़ाई
एक परिवार F}सबग्राफ लेने के तहत बंद किए गए ग्राफ़ के बारे में कहा जाता है कि स्थानीय ट्रीविड्थ, या डायमीटर-ट्रीविड्थ गुण, यदि परिवार में ग्राफ़ की ट्रेविड्थ उनके डायमीटर (ग्राफ़ सिद्धांत) के एक फ़ंक्शन द्वारा ऊपरी सीमा में है। यदि ग्राफ माइनर लेने के अंतर्गत कक्षा को भी बंद माना जाता है, तो $F$ ने स्थानीय ट्रेविड्थ को सीमित कर दिया है यदि और केवल यदि के लिए निषिद्ध ग्राफ़ विशेषताओं में से एक है $F$ एक शीर्ष ग्राफ है। इस परिणाम के मूल प्रमाणों से पता चला है कि शीर्ष-लघु-मुक्त ग्राफ़ परिवार में ट्रीविड्थ व्यास के कार्य के रूप में सबसे अधिक दोगुनी घातीय रूप से बढ़ता है; बाद में इसे एकल घातीय तक कम कर दिया गया और अंत में एक रैखिक सीमा के लिए। परिबद्ध स्थानीय ट्रेविड्थ द्विविमीयता के एल्गोरिथम सिद्धांत से निकटता से संबंधित है, और पहले क्रम तर्क में परिभाषित प्रत्येक ग्राफ संपत्ति को शीर्ष-लघु-मुक्त ग्राफ परिवार के लिए तय किया जा सकता है जो कि केवल थोड़ा सुपरलाइनर है।

ग्राफ़ के एक वर्ग के लिए यह भी संभव है कि स्थानीय ट्रेविड्थ को सीमित करने के लिए नाबालिगों के तहत बंद नहीं किया गया है। विशेष रूप से यह बाउंड डिग्री ग्राफ़ के एक वर्ग के लिए तुच्छ रूप से सही है, क्योंकि बाउंडेड व्यास सबग्राफ में बाउंड आकार होता है। एक अन्य उदाहरण 1-प्लानर ग्राफ़ द्वारा दिया गया है, ग्राफ़ जो प्रति किनारे एक क्रॉसिंग के साथ विमान में खींचे जा सकते हैं, और अधिक आम तौर पर उन ग्राफ़ के लिए होते हैं जो बंधे हुए जीनस की सतह पर प्रति किनारे क्रॉसिंग की एक सीमित संख्या के साथ खींचे जा सकते हैं। बंधे हुए स्थानीय ट्रेविड्थ के छोटे-बंद ग्राफ़ परिवारों के साथ, इस संपत्ति ने इन ग्राफ़ों के लिए कुशल सन्निकटन एल्गोरिदम का रास्ता बताया है।

हैडविगर संख्या और एस-फ़ंक्शंस
ग्राफ़ पैरामीटर के एक वर्ग को परिभाषित करता है जिसे वह कॉल करता है $S$-फंक्शंस, जिसमें ट्रीविड्थ शामिल है। ग्राफ माइनर | माइनर-मोनोटोन (एक फ़ंक्शन $f$ को माइनर-मोनोटोन के रूप में संदर्भित किया जाता है यदि, जब भी $H$ का अवयस्क है $G$, किसी के पास $O(1)$), जब एक नया वर्टेक्स जोड़ा जाता है जो कि सार्वभौमिक शिखर  है, और एक क्लिक (ग्राफ थ्योरी)  वर्टेक्स विभाजक  के दोनों ओर दो सबग्राफ से बड़ा मान लेने के लिए। इस तरह के सभी कार्यों का सेट तत्ववार न्यूनीकरण और अधिकतमकरण के संचालन के तहत एक पूर्ण जाली बनाता है। इस जाली में शीर्ष तत्व ट्रीविड्थ है, और नीचे का तत्व हैडविगर संख्या है, जो दिए गए ग्राफ में सबसे बड़े पूर्ण ग्राफ ग्राफ का आकार है।