विस्तार (ज्यामिति)

ज्यामिति में, विस्तार एक polytope ऑपरेशन है जहां पहलू (गणित) अलग हो जाते हैं और रेडियल रूप से अलग हो जाते हैं, और अलग-अलग तत्वों (वर्टेक्स (ज्यामिति), एज (ज्यामिति), आदि) पर नए पहलू बनते हैं। समतुल्य रूप से इस ऑपरेशन की कल्पना एक ही स्थिति में पहलुओं को रखकर लेकिन उनके आकार को कम करके की जा सकती है।

एक नियमित पॉलीटॉप का विस्तार एक समान पॉलीटॉप बनाता है, लेकिन ऑपरेशन को किसी भी उत्तल पॉलीटॉप पर लागू किया जा सकता है, जैसा कि कॉनवे पॉलीहेड्रॉन नोटेशन में बहुकोणीय आकृति  के लिए दिखाया गया है (जो अक्षर के साथ विस्तार का प्रतिनिधित्व करता है) $e$). पॉलीहेड्रा के लिए, एक विस्तारित पॉलीहेड्रॉन में दोहरी पॉलीहेड्रॉन के सभी चेहरे (ज्यामिति), दोहरे पॉलीहेड्रॉन के सभी चेहरे और मूल किनारों के स्थान पर नए वर्ग चेहरे होते हैं।

नियमित पॉलीटोप्स का विस्तार
कॉक्सेटर के अनुसार, यह बहुआयामी शब्द एलिसिया बोले स्टॉट द्वारा परिभाषित किया गया था नए पॉलीटॉप्स बनाने के लिए, विशेष रूप से नियमित पॉलीटोप्स से शुरू करके नए समान पॉलीटोप्स का निर्माण करना।

विस्तार ऑपरेशन एक नियमित पॉलीटॉप और इसके दोहरे पॉलीहेड्रॉन#डुअल पॉलीटॉप और टेसलेशन के संबंध में सममित है। परिणामी आकृति में मध्यवर्ती आयामी तत्वों के बीच बने अंतराल को भरने वाले विभिन्न प्रिज्मीय पहलुओं के साथ-साथ नियमित और इसके दोहरे दोनों के पहलू (ज्यामिति) शामिल हैं।

आयाम से इसका कुछ अलग अर्थ है। वायथॉफ निर्माण में, पहले और आखिरी दर्पणों से प्रतिबिंबों द्वारा एक विस्तार उत्पन्न होता है। उच्च आयामों में, निम्न आयामी विस्तार को एक सबस्क्रिप्ट के साथ लिखा जा सकता है, इसलिए ई2 टी के समान है0,2 किसी भी आयाम में।

आयाम द्वारा:
 * एक नियमित {p} बहुभुज नियमित 2n-गॉन में विस्तारित होता है।
 * ऑपरेशन बहुभुजों के लिए ट्रंकेशन (ज्यामिति) के समान है, e{p} = e1{पी} = टी0,1{p} = t{p} और Coxeter-Dynkin आरेख है.
 * एक नियमित {p,q} बहुतल  (3-पॉलीटॉप)  शीर्ष आकृति  p.4.q.4 वाले पॉलीहेड्रॉन में फैलता है।
 * बहुफलक के लिए इस संक्रिया को कैन्टेलेशन (ज्यामिति) भी कहा जाता है, e{p,q} = e2{पी, क्यू} = टी0,2{पी, क्यू} = आर {पी, क्यू}, और एक कॉक्सेटर आरेख.
 * [[Image:Cube cantellation sequence.svg|480px]]**: उदाहरण के लिए, एक रॉम्बिक्यूबोक्टाहेड्रॉन को एक विस्तारित क्यूब, विस्तारित ऑक्टाहेड्रॉन, साथ ही एक कैन्टेलेटेड क्यूब या कैन्टेलेटेड ऑक्टाहेड्रॉन कहा जा सकता है।
 * एक नियमित {p,q,r} 4-पॉलीटॉप (4-पॉलीटॉप) मूल {p,q} कोशिकाओं के साथ एक नए 4-पॉलीटोप में फैलता है, पुराने कोने के स्थान पर नई कोशिकाएं {r,q}, p -गोनल प्रिज्म पुराने चेहरों के स्थान पर, और आर-गोनल प्रिज्म पुराने किनारों के स्थान पर।
 * 4-पॉलीटॉप्स के लिए इस ऑपरेशन को रनसीनेशन (ज्यामिति) भी कहा जाता है, e{p,q,r} = e3{पी, क्यू, आर} = टी0,3{पी, क्यू, आर}, और कॉक्सेटर आरेख है.
 * इसी तरह एक नियमित {p,q,r,s} 5-पॉलीटॉप फ़ैसेट {p,q,r}, {s,r,q}, {p,q}×{ } Uniform_4 के साथ एक नए 5-पॉलीटॉप में फैलता है -पोलीटोपे#प्रिज्मीय_यूनिफॉर्म_एसएस, {एस,आर}×{} प्रिज्म, और {पी}×{एस} डुओप्रिज्म।
 * इस संक्रिया को विसंक्रमण कहते हैं, e{p,q,r,s} = e4{पी, क्यू, आर, एस} = टी0,4{p,q,r,s} = 2r2r{p,q,r,s} और कॉक्सेटर आरेख है.

नियमित n-पॉलीटॉप के विस्तार के लिए सामान्य ऑपरेटर टी है0,n-1{पी, क्यू, आर, ...}। नया नियमित प्रत्येक शीर्ष पर पहलुओं को जोड़ा जाता है, और प्रत्येक विभाजित किनारे, चेहरे, ... रिज (ज्यामिति), आदि पर नए प्रिज्मीय पॉलीटोप्स जोड़े जाते हैं।

यह भी देखें

 * कॉनवे पॉलीहेड्रॉन नोटेशन

संदर्भ

 * Coxeter, H. S. M., Regular Polytopes. 3rd edition, Dover, (1973) ISBN 0-486-61480-8.
 * Norman Johnson Uniform Polytopes, Manuscript (1991)
 * N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966
 * N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966