संयोजित संबंध

गणित में, किसी समुच्चय पर एक संबंध को जुड़ा हुआ या पूर्ण या कुल कहा जाता है यदि यह सभी से संबंधित (या तुलना) करता है सेट के तत्वों के जोड़े एक दिशा या दूसरी दिशा में होते हैं जबकि इसे संबंधित होने पर दृढ़ता से जुड़ा हुआ कहा जाता है तत्वों के जोड़े. जैसा कि #शब्दावली में वर्णित है, इन गुणों के लिए शब्दावली एक समान नहीं है। कुल की इस धारणा को सभी के लिए कुल संबंध के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए $$x \in X$$ वहां एक है $$y \in X$$ ताकि $$x \mathrel{R} y$$ (धारावाहिक संबंध देखें)।

कुल ऑर्डर की परिभाषा में कनेक्टिविटी प्रमुखता से दिखाई देती है: कुल (या रैखिक) ऑर्डर एक आंशिक क्रम है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होते हैं; अर्थात् क्रम संबंध जुड़ा हुआ है। इसी प्रकार, एक सख्त [[आंशिक आदेश]] जो जुड़ा हुआ है वह एक सख्त कुल आदेश है। एक संबंध एक कुल आदेश है यदि और केवल यदि यह आंशिक आदेश और दृढ़ता से जुड़ा हुआ दोनों है। एक संबंध एक सख्त कुल आदेश है यदि, और केवल यदि, यह एक सख्त आंशिक आदेश है और अभी जुड़ा हुआ है। एक सख्त कुल ऑर्डर को कभी भी मजबूती से नहीं जोड़ा जा सकता (खाली डोमेन को छोड़कर)।

औपचारिक परिभाषा
एक रिश्ता $$R$$ एक सेट पर $$X$$ कहा जाता हैजब सभी के लिए $$x, y \in X,$$ $$\text{ if } x \neq y \text{ then } x \mathrel{R} y \quad \text{or} \quad y \mathrel{R} x,$$ या, समकक्ष, जब सभी के लिए $$x, y \in X,$$ $$x \mathrel{R} y \quad \text{or} \quad y \mathrel{R} x \quad \text{or} \quad x = y.$$ संपत्ति से एक रिश्ता वो सबके लिए $$x, y \in X,$$ $$x \mathrel{R} y \quad \text{or} \quad y \mathrel{R} x$$ कहा जाता है.

शब्दावली
जुड़े हुए संबंध की धारणा का मुख्य उपयोग आदेशों के संदर्भ में है, जहां इसका उपयोग कुल, या रैखिक, आदेशों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। इस संदर्भ में, संपत्ति का अक्सर विशेष रूप से नाम नहीं दिया जाता है। बल्कि, कुल आदेशों को आंशिक आदेशों के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय हैं। इस प्रकार, का उपयोग आम तौर पर उन संबंधों के लिए किया जाता है जो जुड़े हुए हैं या मजबूती से जुड़े हुए हैं। हालाँकि, कुल संबंध की इस धारणा को क्रमिक संबंध होने की संपत्ति से अलग किया जाना चाहिए, जिसे कुल भी कहा जाता है। इसी तरह, कभी-कभी जुड़े हुए रिश्ते भी कहलाते हैं, हालाँकि इससे भी भ्रम पैदा हो सकता है: सार्वभौमिक संबंध को पूर्ण भी कहा जाता है, और पूर्णता ([[आदेश सिद्धांत)]] के क्रम सिद्धांत में कई अन्य अर्थ हैं। जुड़े हुए रिश्ते भी कहलाते हैं  या संतुष्ट करने के लिए कहा  (हालांकि ट्राइकोटॉमी (गणित) की अधिक सामान्य परिभाषा उसमें अधिक मजबूत है तीन विकल्पों में से $$x \mathrel{R} y, y \mathrel{R} x, x = y$$ अवश्य होल्ड करें)।

जब विचार किए गए संबंध आदेश नहीं हैं, तो जुड़ा होना और मजबूती से जुड़ा होना महत्वपूर्ण रूप से अलग-अलग गुण हैं। वे स्रोत जो दोनों को परिभाषित करते हैं, फिर शब्दों के जोड़े का उपयोग करते हैं जैसे और,  और ,  और ,  और , या  और , जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, क्रमशः जुड़े हुए और दृढ़ता से जुड़े हुए विचारों के लिए वैकल्पिक नाम के रूप में।

विशेषताएँ
होने देना $$R$$ एक सजातीय संबंध हो. निम्नलिखित समतुल्य हैं: * $$R$$ मजबूती से जुड़ा हुआ है; कहाँ $$U$$ सार्वभौमिक संबंध है और $$R^\top$$ का विपरीत संबंध है $$R.$$ निम्नलिखित समतुल्य हैं: * $$R$$ जुड़ा है; कहाँ $$\overline{I}$$ बाइनरी संबंध#विशेष सजातीय संबंधों का पूरक (सेट सिद्धांत) है $$I$$ और $$R^\top$$ का विपरीत संबंध है $$R.$$ प्रगति का परिचय देते हुए, रसेल ने कनेक्शन के सिद्धांत का आह्वान किया: "Whenever a series is originally given by a transitive asymmetrical relation, we can express connection by the condition that any two terms of our series are to have the generating relation."
 * $$U \subseteq R \cup R^\top$$;
 * $$\overline{R} \subseteq R^\top$$;
 * $$\overline{R}$$ असममित संबंध है,
 * $$\overline{I} \subseteq R \cup R^\top$$;
 * $$\overline{R} \subseteq R^\top \cup I$$;
 * $$\overline{R}$$ एंटीसिमेट्रिक संबंध है,

गुण

 * {{em|edge}जीई}} संबंध $$E$$ एक टूर्नामेंट (ग्राफ़ सिद्धांत) ग्राफ़ का $$G$$ के सेट पर हमेशा एक जुड़ा हुआ रिश्ता होता है $$G$$'s शीर्ष.
 * यदि कोई मजबूती से जुड़ा हुआ संबंध सममित संबंध है, तो यह सार्वभौमिक संबंध है।
 * कोई भी रिश्ता मजबूती से तभी जुड़ा होता है, जब वह जुड़ा हुआ और प्रतिवर्ती हो।
 * सेट पर जुड़ा हुआ रिश्ता $$X$$ बशर्ते, प्रतिसंक्रमणीय नहीं हो सकता $$X$$ कम से कम 4 तत्व हैं। 3-तत्व सेट पर $$\{ a, b, c \},$$ उदाहरण के लिए, संबंध $$\{ (a, b), (b, c), (c, a) \}$$ दोनों गुण हैं.
 * अगर $$R$$ पर एक जुड़ा हुआ रिश्ता है $$X,$$ फिर सभी, या एक को छोड़कर सभी, के तत्व $$X$$ छवि में हैं (गणित)#के द्विआधारी संबंधों का सामान्यीकरण $$R.$$ इसी तरह, सभी, या एक को छोड़कर सभी, के तत्व $$X$$ के क्षेत्र में हैं $$R.$$

टिप्पणियाँ

 * Proofs