लाई समूह

गणित में, एक झूठ समूह (उच्चारण ) एक समूह (गणित) है जो एक अलग-अलग कई गुना भी है। विविध एक ऐसा स्थान है जो स्थानीय रूप से यूक्लिडियन अंतरिक्ष से मिलता जुलता है, जबकि समूह एक बाइनरी ऑपरेशन की सार अवधारणा को परिभाषित करते हैं, साथ ही अतिरिक्त गुणों के साथ इसे एक समूह होना चाहिए, उदाहरण के लिए गुणन और व्युत्क्रम (विभाजन), या समकक्ष, जोड़ की अवधारणा और व्युत्क्रम (घटाव) लेना। इन दो विचारों के संयोजन से, एक निरंतर समूह प्राप्त होता है जहां गुणन बिंदु और उनके व्युत्क्रम निरंतर होते हैं। यदि व्युत्क्रमों का गुणन और लेना भी चिकनापन (भिन्न करने योग्य) है, तो एक लाई समूह प्राप्त होता है।

झूठ समूह निरंतर समरूपता की अवधारणा के लिए एक प्राकृतिक मॉडल प्रदान करते हैं, जिसका एक प्रसिद्ध उदाहरण तीन आयामों में घूर्णी समरूपता है (विशेष ऑर्थोगोनल समूह द्वारा दिया गया) $$\text{SO}(3)$$). आधुनिक गणित और भौतिकी के कई हिस्सों में लाई समूहों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

मैट्रिक्स (गणित) उपसमूहों का अध्ययन करके सबसे पहले झूठ समूह पाए गए $$G$$ इसमें रखा $$\text{GL}_n(\mathbb{R})$$ या $$\text{GL}_{n}(\mathbb{C})$$, सामान्य रैखिक समूह | के समूह $$n\times n$$ उलटा मेट्रिसेस खत्म $$\mathbb{R}$$ या $$\mathbb{C}$$. इन्हें अब शास्त्रीय समूह कहा जाता है, क्योंकि अवधारणा को इन मूल से बहुत आगे बढ़ाया गया है। झूठे समूहों का नाम नार्वेजियन गणितज्ञ सोफस झूठ (1842-1899) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने निरंतर परिवर्तन समूहों के सिद्धांत की नींव रखी। लाई समूहों को शुरू करने के लिए लाई की मूल प्रेरणा अंतर समीकरणों की निरंतर समरूपता को मॉडल करना था, ठीक उसी तरह जिस तरह से परिमित समूहों को बीजगणितीय समीकरणों के असतत समरूपता को मॉडल करने के लिए गाल्वा सिद्धांत में उपयोग किया जाता है।

इतिहास
लाई समूहों के प्रारंभिक इतिहास पर सबसे आधिकारिक स्रोत के अनुसार (हॉकिन्स, पृ. 1), सोफस ली ने स्वयं 1873-1874 की सर्दियों को निरंतर समूहों के अपने सिद्धांत की जन्म तिथि माना। हॉकिन्स, हालांकि, सुझाव देते हैं कि यह 1869 के पतन से 1873 के पतन तक चार साल की अवधि के दौरान ली की विलक्षण शोध गतिविधि थी जिसने सिद्धांत के निर्माण का नेतृत्व किया (वही)। लाई के शुरुआती विचारों में से कुछ फेलिक्स क्लेन के निकट सहयोग से विकसित किए गए थे। अक्टूबर 1869 से 1872 तक हर दिन क्लेन से मिले: बर्लिन में अक्टूबर 1869 के अंत से फरवरी 1870 के अंत तक, और बाद के दो वर्षों में पेरिस, गॉटिंगेन और एर्लांगेन में (वही, पृ. 2)। ली ने कहा कि सभी प्रमुख परिणाम 1884 तक प्राप्त किए गए थे। लेकिन 1870 के दशक के दौरान उनके सभी पत्र (पहले नोट को छोड़कर) नॉर्वेजियन पत्रिकाओं में प्रकाशित हुए थे, जिसने पूरे यूरोप में काम की मान्यता को बाधित किया था (ibid, पृष्ठ.76) ). 1884 में एक युवा जर्मन गणितज्ञ, फ्रेडरिक एंगेल (गणितज्ञ), अपने निरंतर समूहों के सिद्धांत को उजागर करने के लिए एक व्यवस्थित ग्रंथ पर काम करने के लिए आए। इस प्रयास से 1888, 1890 और 1893 में प्रकाशित तीन-खंड थ्योरी डेर ट्रांसफॉर्मेशनग्रुपेन का परिणाम हुआ। समूह डी लाइ शब्द पहली बार फ्रेंच में 1893 में ली के छात्र आर्थर ट्रेस की थीसिस में दिखाई दिया। ले के विचार बाकी गणित से अलग नहीं थे। वास्तव में, विभेदक समीकरणों की ज्यामिति में उनकी रुचि सबसे पहले कार्ल गुस्ताव जैकोबी के काम से प्रेरित थी, जो पहले क्रम के आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत और शास्त्रीय यांत्रिकी के समीकरणों पर आधारित थी। 1860 के दशक में मरणोपरांत जैकोबी का अधिकांश काम प्रकाशित हुआ, जिससे फ्रांस और जर्मनी में भारी दिलचस्पी पैदा हुई (हॉकिन्स, पृष्ठ 43)। लाई की विचारधारा अंतर समीकरणों की समरूपता के एक सिद्धांत को विकसित करना था जो उनके लिए वह हासिल करेगा जो एवरिस्ट गैलोइस ने बीजगणितीय समीकरणों के लिए किया था: अर्थात्, उन्हें समूह सिद्धांत के संदर्भ में वर्गीकृत करना। ले और अन्य गणितज्ञों ने दिखाया कि विशेष कार्यों और ऑर्थोगोनल बहुपदों के लिए सबसे महत्वपूर्ण समीकरण समूह सैद्धांतिक समरूपता से उत्पन्न होते हैं। ली के शुरुआती काम में, फेलिक्स क्लेन और हेनरी पॉइनकेयर के हाथों मॉड्यूलर रूपों के सिद्धांत में विकसित असतत समूहों के सिद्धांत को पूरक करने के लिए निरंतर समूहों के सिद्धांत का निर्माण करने का विचार था। लाई के मन में जो प्रारंभिक अनुप्रयोग था वह अवकल समीकरणों के सिद्धांत के लिए था। गैलोज़ सिद्धांत और बहुपद समीकरणों के मॉडल पर, ड्राइविंग अवधारणा समरूपता के अध्ययन से सामान्य अंतर समीकरणों के पूरे क्षेत्र को एकीकृत करने में सक्षम सिद्धांत की थी। हालाँकि, आशा है कि लाई थ्योरी साधारण अंतर समीकरणों के पूरे क्षेत्र को एकजुट करेगी, पूरी नहीं हुई। ODEs के लिए समरूपता विधियों का अध्ययन जारी है, लेकिन विषय पर हावी नहीं हैं। एक विभेदक गैलोज़ सिद्धांत है, लेकिन इसे दूसरों द्वारा विकसित किया गया था, जैसे कि पिकार्ड और वेसिओट, और यह चतुष्कोण (गणित) का सिद्धांत प्रदान करता है, समाधान व्यक्त करने के लिए आवश्यक अनिश्चित अभिन्न।

निरंतर समूहों पर विचार करने के लिए अतिरिक्त प्रेरणा, ज्यामिति की नींव पर बर्नहार्ड रीमैन के विचारों और क्लेन के हाथों उनके आगे के विकास से आई। इस प्रकार 19वीं शताब्दी के गणित में तीन प्रमुख विषयों को ली द्वारा अपने नए सिद्धांत को बनाने में जोड़ा गया था: समरूपता का विचार, जैसा कि एक समूह (गणित) की बीजगणितीय धारणा के माध्यम से गैलोज़ द्वारा उदाहरण दिया गया था; ज्यामितीय सिद्धांत और यांत्रिकी के अंतर समीकरणों के स्पष्ट समाधान, सिमोन डेनिस पॉइसन और जैकोबी द्वारा काम किया गया; और जूलियस प्लकर | प्लकर, अगस्त फर्डिनेंड मोबियस | मोबियस, ग्रासमैन और अन्य के कार्यों में उभरी ज्यामिति की नई समझ, और इस विषय पर रीमैन की क्रांतिकारी दृष्टि में चरम पर पहुंच गई।

यद्यपि आज सोफस ली को निरंतर समूहों के सिद्धांत के निर्माता के रूप में मान्यता प्राप्त है, उनके संरचना सिद्धांत के विकास में एक प्रमुख प्रगति, जिसका गणित के बाद के विकास पर गहरा प्रभाव होना था, विल्हेम हत्या द्वारा किया गया था, जिसने 1888 में Die Zusammensetzung der stetigen endlichen Transformationsgruppen (द कंपोजीशन ऑफ़ कंटीन्यूअस फाइन ट्रांसफॉर्मेशन ग्रुप्स) नामक श्रृंखला में पहला पेपर प्रकाशित किया (हॉकिन्स, पृष्ठ 100)। एली कार्टन द्वारा बाद में परिष्कृत और सामान्यीकृत किए गए किलिंग के कार्य ने अर्ध-सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण का नेतृत्व किया, कार्टन का रिमेंनियन सममित स्थान का सिद्धांत, और हरमन वेइल का उच्चतम वजन का उपयोग करके कॉम्पैक्ट और अर्ध-सरल झूठ समूहों के समूह प्रतिनिधित्व का विवरण।

1900 में डेविड हिल्बर्ट ने पेरिस में गणितज्ञों की अंतर्राष्ट्रीय कांग्रेस में पेश अपनी हिल्बर्ट की पांचवीं समस्या के साथ लाई सिद्धांतकारों को चुनौती दी।

वेइल ने लाई समूहों के सिद्धांत के विकास की प्रारंभिक अवधि को फलित किया, क्योंकि उन्होंने न केवल सेमीसिंपल लाई समूहों के इरेड्यूसिबल निरूपण को वर्गीकृत किया और क्वांटम यांत्रिकी के साथ समूहों के सिद्धांत को जोड़ा, बल्कि उन्होंने लाई के सिद्धांत को भी मजबूती से स्थापित किया। स्पष्ट रूप से लाइ के अपरिमेय समूहों (यानी, लाइ अलजेब्रा) और उचित लाइ समूहों के बीच अंतर को स्पष्ट करते हुए, और लाइ समूहों की टोपोलॉजी की जांच शुरू की। क्लाउड चेवेली द्वारा एक मोनोग्राफ में आधुनिक गणितीय भाषा में झूठ समूहों के सिद्धांत को व्यवस्थित रूप से फिर से काम किया गया था।

सिंहावलोकन
झूठ समूह चिकनीपन अलग-अलग कई गुना हैं और जैसे कि अधिक सामान्य टोपोलॉजिकल समूहों के मामले के विपरीत अंतर कलन का उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता है। झूठ समूहों के सिद्धांत में प्रमुख विचारों में से एक वैश्विक वस्तु, समूह को अपने स्थानीय या रेखीयकृत संस्करण के साथ बदलना है, जिसे ली ने खुद को अपने अतिसूक्ष्म समूह कहा है और जो तब से इसके झूठ बीजगणित के रूप में जाना जाता है।

कई अलग-अलग स्तरों पर झूठ समूह आधुनिक ज्यामिति में एक बड़ी भूमिका निभाते हैं। फ़ेलिक्स क्लेन ने अपने एरलांगन कार्यक्रम में तर्क दिया कि एक उपयुक्त परिवर्तन समूह निर्दिष्ट करके विभिन्न ज्यामिति पर विचार किया जा सकता है जो कुछ ज्यामितीय गुणों को अपरिवर्तनीय (गणित) छोड़ देता है। इस प्रकार यूक्लिडियन ज्यामिति यूक्लिडियन अंतरिक्ष 'आर' के दूरी-संरक्षण परिवर्तनों के समूह यूक्लिडियन समूह | ई (3) की पसंद से मेल खाती है।3, अनुरूप ज्यामिति समूह को अनुरूप समूह में विस्तारित करने से मेल खाती है, जबकि प्रक्षेपी ज्यामिति में व्यक्ति प्रक्षेपी समूह के तहत अपरिवर्तनीय गुणों में रुचि रखता है। इस विचार ने बाद में जी-संरचना की धारणा को जन्म दिया, जहां जी कई गुना स्थानीय समरूपता का एक समूह है।

झूठ समूह (और उनके संबद्ध झूठ बीजगणित) आधुनिक भौतिकी में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं, झूठ समूह आमतौर पर एक भौतिक प्रणाली की समरूपता की भूमिका निभाते हैं। यहां, लाई समूह (या इसके झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व) के झूठ समूह का प्रतिनिधित्व विशेष रूप से महत्वपूर्ण है। प्रतिनिधित्व सिद्धांत कण भौतिकी और प्रतिनिधित्व सिद्धांत। समूह जिनके प्रतिनिधित्व विशेष महत्व के हैं उनमें शामिल हैं 3D_rotation_group|रोटेशन समूह SO(3) (या इसके 3D_rotation_group#Connection_between_SO(3)_and_SU(2)|डबल कवर SU(2)), SU(3)#प्रतिनिधियों के लिए क्लेब्स-गॉर्डन गुणांक SU.283.29 समूह का | विशेष एकात्मक समूह SU(3) और पोंकारे समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत | पोंकारे समूह।

वैश्विक स्तर पर, जब भी एक ज्यामितीय वस्तु पर एक लाई ग्रुप ग्रुप एक्शन (गणित), जैसे कि रीमैनियन कई गुना या सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड, यह क्रिया कठोरता का एक उपाय प्रदान करती है और एक समृद्ध बीजगणितीय संरचना उत्पन्न करती है। कई गुना पर झूठ समूह कार्रवाई के माध्यम से व्यक्त निरंतर समरूपता की उपस्थिति इसकी ज्यामिति पर मजबूत बाधाओं को रखती है और कई गुना पर वैश्विक विश्लेषण की सुविधा प्रदान करती है। झूठ समूहों के रैखिक कार्य विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं, और प्रतिनिधित्व सिद्धांत में उनका अध्ययन किया जाता है।

1940-1950 के दशक में, एलिस कल्चेन, आर्मंड बोरेल और क्लॉड चेवेली ने महसूस किया कि लाई समूहों से संबंधित कई मूलभूत परिणाम पूरी तरह से बीजगणितीय रूप से विकसित किए जा सकते हैं, जिससे एक मनमाने क्षेत्र (गणित) पर परिभाषित बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत को जन्म दिया जा सकता है। इस अंतर्दृष्टि ने सबसे परिमित सरल समूहों के साथ-साथ बीजगणितीय ज्यामिति में एक समान निर्माण प्रदान करके, शुद्ध बीजगणित में नई संभावनाएं खोलीं। स्वचालित रूप का सिद्धांत, आधुनिक संख्या सिद्धांत की एक महत्वपूर्ण शाखा, एडेल रिंग्स पर लाई समूहों के एनालॉग्स के साथ बड़े पैमाने पर संबंधित है; p-adic number|p-adic संख्या सिद्धांत में गैलोज़ अभ्यावेदन के साथ अपने कनेक्शन के माध्यम से झूठ समूह एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

परिभाषाएं और उदाहरण
एक वास्तविक झूठ समूह एक समूह (गणित) है जो एक परिमित-आयामी वास्तविक विभेदक कई गुना # परिभाषा भी है, जिसमें गुणन और व्युत्क्रम के समूह संचालन सुचारू मानचित्र हैं। समूह गुणन की चिकनाई


 * $$ \mu:G\times G\to G\quad \mu(x,y)=xy$$

इसका मतलब है कि μ मैनिफोल्ड # कार्टेशियन उत्पादों की एक चिकनी मैपिंग है G × G जी में। दो आवश्यकताओं को मैपिंग की एकल आवश्यकता के साथ जोड़ा जा सकता है
 * $$(x,y)\mapsto x^{-1}y$$

जी में कई गुना उत्पाद की एक चिकनी मैपिंग हो।

पहला उदाहरण

 * 2×2 वास्तविक संख्या व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स गुणन के तहत एक समूह बनाता है, जिसे इसके द्वारा निरूपित किया जाता है GL(2, R) या जीएल द्वारा2(आर):


 * $$\operatorname{GL}(2, \mathbf{R}) = \left\{A = \begin{pmatrix}a & b\\c & d\end{pmatrix} :\, \det A = ad-bc \ne 0\right\}.$$
 * यह एक चार आयामी कॉम्पैक्ट जगह रियल लाई ग्रुप है; यह का एक खुला उपसमुच्चय है $$\mathbb R^4$$. यह समूह जुड़ा हुआ स्थान है; इसमें निर्धारक के सकारात्मक और नकारात्मक मूल्यों के अनुरूप दो जुड़े हुए घटक होते हैं।


 * रोटेशन (गणित) मैट्रिसेस एक उपसमूह बनाते हैं GL(2, R), द्वारा चिह्नित SO(2, R). यह अपने आप में एक झूठ समूह है: विशेष रूप से, एक आयामी कॉम्पैक्ट जुड़ा हुआ झूठ ​​समूह जो चक्र के लिए अलग-अलग है। रोटेशन कोण का उपयोग करना $$\varphi$$ एक पैरामीटर के रूप में, यह समूह निम्नानुसार पैरामीट्रिक समीकरण हो सकता है:
 * $$\operatorname{SO}(2, \mathbf{R}) = \left\{\begin{pmatrix} \cos\varphi & -\sin\varphi \\ \sin\varphi & \cos\varphi \end{pmatrix} :\, \varphi \in \mathbf{R}/2\pi\mathbf{Z}\right\}.$$
 * कोणों का जोड़ के तत्वों के गुणा के अनुरूप है SO(2, R), और विपरीत कोण लेना व्युत्क्रम से मेल खाता है। इस प्रकार गुणन और व्युत्क्रम दोनों ही अवकलनीय मानचित्र हैं।


 * Affine group#Matrix प्रतिनिधित्व एक द्वि-आयामी मैट्रिक्स लाई समूह है, जिसमें शामिल हैं $$2 \times 2$$ वास्तविक, ऊपरी-त्रिकोणीय मेट्रिसेस, पहली विकर्ण प्रविष्टि सकारात्मक होने के साथ और दूसरी विकर्ण प्रविष्टि 1. इस प्रकार, समूह में फॉर्म के मैट्रिसेस होते हैं
 * $$ A= \left( \begin{array}{cc} a & b\\ 0 & 1 \end{array}\right),\quad a>0,\, b \in \mathbb{R}.$$

गैर उदाहरण
अब हम एक समूह का एक उदाहरण प्रस्तुत करते हैं जिसमें तत्वों की एक बेशुमार सेट संख्या होती है जो एक निश्चित टोपोलॉजी के तहत झूठ समूह नहीं है। समूह द्वारा दिया गया


 * $$H = \left\{\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi ia\theta}\end{matrix}\right) :\, \theta \in \mathbb{R}\right\} \subset \mathbb{T}^2 = \left\{\left(\begin{matrix}e^{2\pi i\theta} & 0\\0 & e^{2\pi i\phi}\end{matrix}\right) :\, \theta, \phi \in \mathbb{R}\right\},$$

साथ $$a \in \mathbb R \setminus \mathbb Q$$ एक निश्चित अपरिमेय संख्या, टोरस्र्स का एक उपसमूह है $$\mathbb T^2$$ उप-स्थान टोपोलॉजी दिए जाने पर वह झूठ समूह नहीं है। यदि हम कोई छोटा पड़ोस लेते हैं (गणित) $$U$$ एक बिंदु का $$h$$ में $$H$$, उदाहरण के लिए, का हिस्सा $$H$$ में $$U$$ डिस्कनेक्ट किया गया है। समूह $$H$$ सर्पिल के पिछले बिंदु तक पहुंचने के बिना बार-बार टोरस के चारों ओर हवाएं चलती हैं और इस प्रकार एक घने सेट उपसमूह बनाती हैं $$\mathbb T^2$$.

समूह $$H$$ हालाँकि, एक अलग टोपोलॉजी दी जा सकती है, जिसमें दो बिंदुओं के बीच की दूरी $$h_1,h_2\in H$$ समूह में सबसे छोटे पथ की लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है $$H$$ में शामिल होने $$h_1$$ प्रति $$h_2$$. इस टोपोलॉजी में, $$H$$ संख्या के साथ प्रत्येक तत्व की पहचान करके होमोमोर्फिक रूप से वास्तविक रेखा के साथ पहचाना जाता है $$\theta$$ की परिभाषा में $$H$$. इस टोपोलॉजी के साथ, $$H$$ योग के अंतर्गत केवल वास्तविक संख्याओं का समूह है और इसलिए यह एक झूठ समूह है।

समूह $$H$$ झूठ समूह का एक उदाहरण है#झूठ समूह का झूठ उपसमूह जो बंद नहीं है। बुनियादी अवधारणाओं पर अनुभाग में लाई उपसमूहों की नीचे चर्चा देखें।

मैट्रिक्स झूठ समूह
होने देना $$\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$$ के समूह को निरूपित करें $$n\times n$$ में प्रविष्टियों के साथ व्युत्क्रमणीय आव्यूह $$\mathbb{C}$$. का कोई बंद उपसमूह प्रमेय $$\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$$ एक झूठ समूह है; इस तरह के झूठ समूहों को मैट्रिक्स झूठ समूह कहा जाता है। चूंकि लाई समूहों के अधिकांश दिलचस्प उदाहरणों को मैट्रिक्स लाई समूहों के रूप में महसूस किया जा सकता है, इसलिए कुछ पाठ्यपुस्तकें इस वर्ग पर ध्यान केंद्रित करती हैं, जिनमें हॉल, रॉसमैन, और स्टिलवेल। मैट्रिक्स लाई समूहों पर ध्यान केंद्रित करने से लाई बीजगणित और घातीय मानचित्र की परिभाषा सरल हो जाती है। निम्नलिखित मैट्रिक्स लाई समूहों के मानक उदाहरण हैं। पूर्ववर्ती सभी उदाहरण शास्त्रीय समूहों के शीर्षक के अंतर्गत आते हैं।
 * विशेष रेखीय समूह खत्म $$\mathbb{R}$$ तथा $$\mathbb{C}$$, $$\operatorname{SL}(n, \mathbb{R})$$ तथा $$\operatorname{SL}(n, \mathbb{C})$$, को मिलाकर $$n\times n$$ निर्धारक एक और प्रविष्टियों के साथ मेट्रिसेस $$\mathbb{R}$$ या $$\mathbb{C}$$
 * एकात्मक समूह और विशेष एकात्मक समूह, $$\text{U}(n)$$ तथा $$\text{SU}(n)$$, को मिलाकर $$n\times n$$ जटिल मैट्रिसेस संतोषजनक $$U^*=U^{-1}$$ (और भी $$\det(U)=1$$ के मामले में $$\text{SU}(n)$$)
 * ऑर्थोगोनल समूह और विशेष ऑर्थोगोनल समूह, $$\text{O}(n)$$ तथा $$\text{SO}(n)$$, को मिलाकर $$n\times n$$ वास्तविक मैट्रिसेस संतोषजनक $$R^\mathrm{T}=R^{-1}$$ (और भी $$\det(R)=1$$ के मामले में $$\text{SO}(n)$$)

संबंधित अवधारणाएं
एक जटिल झूठ समूह को उसी तरह से परिभाषित किया जाता है जैसे वास्तविक लोगों के बजाय जटिल कई गुना (उदाहरण: $$\operatorname{SL}(2, \mathbb{C})$$), और होलोमोर्फिक मानचित्र। इसी प्रकार, एक वैकल्पिक पूर्ण मीट्रिक स्थान का उपयोग करना#पूरा करना $$\mathbb{Q}$$, कोई p-adic लाइ समूह को p-adic number|p-adic नंबरों पर परिभाषित कर सकता है, एक टोपोलॉजिकल समूह जो एक विश्लेषणात्मक p-adic मैनिफोल्ड भी है, जैसे कि समूह संचालन विश्लेषणात्मक हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक बिंदु का एक p-adic पड़ोस होता है।

हिल्बर्ट की पांचवीं समस्या ने पूछा कि क्या अलग-अलग मैनिफोल्ड को टोपोलॉजिकल या एनालिटिक वाले के साथ बदलने से नए उदाहरण मिल सकते हैं। इस प्रश्न का उत्तर नकारात्मक निकला: 1952 में, एंड्रयू ग्लीसन, डीन मोंटगोमरी और लियो ज़िप्पिन ने दिखाया कि यदि 'जी' निरंतर समूह संचालन के साथ एक सामयिक कई गुना है, तो 'जी' पर बिल्कुल एक विश्लेषणात्मक संरचना मौजूद है। '' जो इसे झूठ समूह में बदल देता है (हिल्बर्ट-स्मिथ अनुमान भी देखें)। यदि अंतर्निहित मैनिफोल्ड को अनंत-आयामी (उदाहरण के लिए, एक हिल्बर्ट कई गुना) होने की अनुमति है, तो एक अनंत-आयामी लाइ समूह की धारणा पर आता है। झूठ प्रकार के कई समूहों के अनुरूप परिभाषित करना संभव है, और ये परिमित सरल समूहों के अधिकांश उदाहरण देते हैं।

श्रेणी सिद्धांत की भाषा झूठ समूहों के लिए एक संक्षिप्त परिभाषा प्रदान करती है: एक झूठ समूह चिकनी मैनिफोल्ड्स की श्रेणी (गणित) में एक समूह वस्तु है। यह महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह सुपरग्रुप (भौतिकी) के लिए झूठ समूह की धारणा के सामान्यीकरण की अनुमति देता है। यह स्पष्ट दृष्टिकोण झूठ समूहों के एक अलग सामान्यीकरण की ओर भी ले जाता है, जिसका नाम है झूठ बोलना, जो आगे की आवश्यकता के साथ चिकनी मैनिफोल्ड्स की श्रेणी में ग्रुपॉयड वस्तु हैं।

सामयिक परिभाषा
एक लाइ ग्रुप को एक (हॉसडॉर्फ स्पेस) टोपोलॉजिकल ग्रुप के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो पहचान तत्व के पास, एक परिवर्तन समूह की तरह दिखता है, जिसमें अलग-अलग मैनिफोल्ड्स का कोई संदर्भ नहीं है। सबसे पहले, हम सामान्य रेखीय समूह के एक उपसमूह  जी  के रूप में एक अत्यधिक रैखिक लाई समूह को परिभाषित करते हैं $$\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$$ ऐसा है कि (उदाहरण के लिए, का एक बंद उपसमूह $$\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$$; अर्थात्, एक मैट्रिक्स लाई समूह उपरोक्त शर्तों को पूरा करता है।)
 * 1) जी में पहचान तत्व ई के कुछ पड़ोस वी के लिए, वी पर टोपोलॉजी का उप-स्थान टोपोलॉजी है $$\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$$ और वी बंद है $$\operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$$.
 * 2) G में अधिक से अधिक गणनीय सेट कनेक्टेड कंपोनेंट्स हैं।

फिर एक लाई समूह को एक टोपोलॉजिकल समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो (1) स्थानीय रूप से आइसोमोर्फिक पहचान के पास एक अत्यधिक रैखिक लाई समूह के पास होता है और (2) में सबसे अधिक संख्या में कई जुड़े हुए घटक होते हैं। टोपोलॉजिकल परिभाषा दिखाना सामान्य के बराबर है तकनीकी है (और शुरुआती पाठकों को निम्नलिखित को छोड़ देना चाहिए) लेकिन मोटे तौर पर निम्नानुसार किया जाता है:
 * 1) सामान्य कई गुना अर्थों में एक झूठ समूह जी को देखते हुए, झूठ समूह-झूठ बीजगणित पत्राचार (या झूठ के तीसरे प्रमेय का एक संस्करण) एक विसर्जित झूठ उपसमूह बनाता है $$G' \subset \operatorname{GL}(n, \mathbb{C})$$ ऐसा है कि $$G, G'$$ समान झूठ बीजगणित साझा करें; इस प्रकार, वे स्थानीय रूप से आइसोमॉर्फिक हैं। इसलिए, G उपरोक्त टोपोलॉजिकल परिभाषा को संतुष्ट करता है।
 * 2) इसके विपरीत, G को एक टोपोलॉजिकल समूह होने दें, जो उपरोक्त टोपोलॉजिकल अर्थों में एक झूठ समूह है और एक बेहद रैखिक झूठ समूह का चयन करें $$G'$$ वह जी के लिए स्थानीय रूप से आइसोमॉर्फिक है। फिर, बंद उपसमूह प्रमेय के एक संस्करण द्वारा, $$G'$$ एक वास्तविक-विश्लेषणात्मक कई गुना है और फिर, स्थानीय समरूपता के माध्यम से, जी पहचान तत्व के पास कई गुना संरचना प्राप्त करता है। एक तो दिखाता है कि जी पर समूह कानून औपचारिक शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया जा सकता है; इसलिए समूह संचालन वास्तविक-विश्लेषणात्मक हैं और G स्वयं एक वास्तविक-विश्लेषणात्मक कई गुना है।

टोपोलॉजिकल परिभाषा का अर्थ यह कथन है कि यदि दो लाइ समूह टोपोलॉजिकल समूहों के रूप में आइसोमोर्फिक हैं, तो वे लाइ समूह के रूप में आइसोमोर्फिक हैं। वास्तव में, यह सामान्य सिद्धांत बताता है कि, काफी हद तक, समूह कानून के साथ एक लाई समूह की टोपोलॉजी समूह की ज्यामिति निर्धारित करती है।

झूठ बोलने वाले समूहों के अधिक उदाहरण
झूठ समूह पूरे गणित और भौतिकी में बहुतायत में पाए जाते हैं। मैट्रिक्स समूह या बीजगणितीय समूह (मोटे तौर पर) मैट्रिक्स के समूह हैं (उदाहरण के लिए, ऑर्थोगोनल समूह और सहानुभूति समूह), और ये लाई समूहों के अधिक सामान्य उदाहरण देते हैं।

आयाम एक और दो
आयाम एक के साथ केवल जुड़े हुए समूह ही वास्तविक रेखा हैं $$\mathbb{R}$$ (समूह संचालन के अतिरिक्त होने के साथ) और वृत्त समूह $$S^1$$ निरपेक्ष मान एक के साथ जटिल संख्याओं का (समूह संचालन गुणन के साथ)। $$S^1$$ h> समूह को अक्सर के रूप में निरूपित किया जाता है $$U(1)$$, का समूह $$1\times 1$$ एकात्मक मैट्रिक्स।

दो आयामों में, यदि हम केवल जुड़े हुए समूहों पर ध्यान केंद्रित करते हैं, तो उन्हें उनके झूठ बीजगणित द्वारा वर्गीकृत किया जाता है। (समरूपता तक) आयाम दो के केवल दो झूठ बीजगणित हैं। जुड़े बस जुड़े हुए झूठ समूह हैं $$\mathbb{R}^2$$ (समूह संचालन के साथ वेक्टर जोड़ रहा है) और affine समूह पहले आयाम में, पहले उदाहरणों के तहत पिछले उपखंड में वर्णित है।

अतिरिक्त उदाहरण

 * विशेष एकात्मक समूह#n_.3D_2|समूह SU(2) का समूह है $$2\times 2$$ निर्धारक के साथ एकात्मक matrices $$1$$. सामयिक रूप से, $$\text{SU}(2)$$ है $$3$$-वृत्त $$S^3$$; एक समूह के रूप में, इसे इकाई चतुष्कोणों के समूह के साथ पहचाना जा सकता है।
 * हाइजेनबर्ग समूह एक जुड़ा हुआ नीलपोटेंट समूह लाइ समूह का आयाम है $$3$$, क्वांटम यांत्रिकी में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभा रहा है।
 * लोरेंत्ज़ समूह मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के रैखिक समरूपता का 6-आयामी लाई समूह है।
 * पॉइंकेयर समूह मिन्कोवस्की अंतरिक्ष के affine परिवर्तन आइसोमेट्रीज़ का 10-आयामी झूठ समूह है।
 * जी2 (गणित) प्रकार के असाधारण झूठ समूह|जी2, F4 (गणित)|F4, ई6 (गणित)|ई6, ई7 (गणित)|ई7, ई8 (गणित)|ई8आयाम 14, 52, 78, 133, और 248 हैं। सरल झूठ समूहों की ए-बी-सी-डी श्रृंखला के साथ, असाधारण समूह सरल झूठ समूहों की सूची को पूरा करते हैं।
 * सहानुभूति समूह $$\text{Sp}(2n,\mathbb{R})$$ सभी के होते हैं $$2n \times 2n$$ मैट्रिसेस पर एक सहानुभूतिपूर्ण रूप का संरक्षण $$\mathbb{R}^{2n}$$. यह आयाम का एक जुड़ा हुआ समूह है $$2n^2 + n$$.

निर्माण
पुराने से नए झूठ समूह बनाने के कई मानक तरीके हैं:
 * दो झूठ समूहों का उत्पाद एक झूठ समूह है।
 * लाई समूह का कोई भी बंद सेट उपसमूह एक लाई समूह है। इसे बंद उपसमूह प्रमेय या कार्टन प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
 * एक बंद सामान्य उपसमूह द्वारा एक झूठ समूह का भागफल एक झूठ समूह है।
 * एक जुड़े हुए झूठ समूह का सार्वभौमिक आवरण एक झूठ समूह है। उदाहरण के लिए, समूह $$\mathbb{R}$$ वृत्त समूह का सार्वभौम आवरण है $$S^1$$. वास्तव में एक अलग-अलग कई गुना का कोई भी आवरण भी एक अलग-अलग कई गुना है, लेकिन सार्वभौमिक कवर को निर्दिष्ट करके, एक समूह संरचना (इसकी अन्य संरचनाओं के साथ संगत) की गारंटी देता है।

संबंधित धारणाएं
समूहों के कुछ उदाहरण जो झूठे समूह नहीं हैं (तुच्छ अर्थों को छोड़कर किसी भी समूह में सबसे अधिक संख्या में कई तत्व होते हैं) असतत टोपोलॉजी के साथ 0-आयामी झूठ समूह के रूप में देखा जा सकता है), हैं:


 * अनंत-आयामी समूह, जैसे कि एक अनंत-आयामी वास्तविक सदिश स्थान का योगात्मक समूह, या कई गुना से सुचारू कार्यों का स्थान $$X$$ एक झूठ समूह के लिए $$G$$, $$C^\infty(X,G)$$. ये झूठ समूह नहीं हैं क्योंकि वे परिमित-आयामी कई गुना नहीं हैं।
 * कुछ पूरी तरह से अलग किए गए समूह, जैसे क्षेत्रों के अनंत विस्तार का गैलोज़ समूह, या पी-एडिक संख्याओं का योगात्मक समूह। ये झूठ समूह नहीं हैं क्योंकि उनके अंतर्निहित स्थान वास्तविक कई गुना नहीं हैं। (इनमें से कुछ समूह p-adic झूठ समूह हैं।) सामान्य तौर पर, केवल समान स्थानीय संपत्ति वाले 'R' के समान सामयिक समूहn कुछ सकारात्मक पूर्णांक n के लिए झूठ समूह हो सकते हैं (निश्चित रूप से उनके पास एक भिन्न संरचना भी होनी चाहिए)।

एक झूठ समूह
के साथ जुड़े झूठ बीजगणित

प्रत्येक लाई समूह के लिए हम एक झूठ बीजगणित को जोड़ सकते हैं जिसका अंतर्निहित सदिश स्थान पहचान तत्व पर लाई समूह का स्पर्शरेखा स्थान है और जो समूह की स्थानीय संरचना को पूरी तरह से पकड़ लेता है। अनौपचारिक रूप से हम लाई बीजगणित के तत्वों को समूह के तत्वों के रूप में सोच सकते हैं जो पहचान के लिए असीम रूप से करीब हैं, और लाई बीजगणित का लाई ब्रैकेट दो ऐसे अपरिमेय तत्वों के कम्यूटेटर से संबंधित है। अमूर्त परिभाषा देने से पहले हम कुछ उदाहरण देते हैं: [A, B] = 0. द्वारा दिए गए लाइ ब्रैकेट के साथ। .)    [A, B] द्वारा दिया गया है। = एबी − बीए।
 * सदिश समष्टि R का झूठा बीजगणितn बस 'आर' हैn
 * इनवर्टिबल मेट्रिसेस के सामान्य रैखिक समूह GL(n, 'C') का लाई बीजगणित वर्ग मैट्रिसेस का वेक्टर स्पेस M(n, 'C') है, जिसका लाई ब्रैकेट
 * यदि G, GL(n, 'C') का एक बंद उपसमूह है, तो G के झूठ बीजगणित को अनौपचारिक रूप से M(n, 'C') के आव्यूह m के रूप में माना जा सकता है, जैसे कि 1 + εm G में है, जहां ε ε के साथ एक अपरिमेय धनात्मक संख्या है2 = 0 (बेशक, ऐसी कोई वास्तविक संख्या ε मौजूद नहीं है)। उदाहरण के लिए, लंबकोणीय समूह O(n, 'R') में AA के साथ आव्यूह A होते हैंT = 1, इसलिए लाई बीजगणित में (1 + εm)(1 + εm) वाले मैट्रिक्स m होते हैंटी = 1, जो एम + एम के बराबर हैटी = 0 क्योंकि ε 2 = 0.
 * पिछले विवरण को निम्नानुसार अधिक कठोर बनाया जा सकता है। जीएल (एन, 'सी') के एक बंद उपसमूह जी के झूठ बीजगणित की गणना की जा सकती है
 * $$\operatorname{Lie}(G) = \{ X \in M(n;\mathbb{C}) | \operatorname{exp}(tX) \in G \text{ for all } t \text{ in } \mathbb{\mathbb{R}} \},$$ जहां exp(tX) को मैट्रिक्स घातीय का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। तब यह दिखाया जा सकता है कि G का लाई बीजगणित एक वास्तविक वेक्टर स्पेस है जो ब्रैकेट ऑपरेशन के तहत बंद है, $$[X,Y]=XY-YX$$.

मैट्रिक्स समूहों के लिए ऊपर दी गई ठोस परिभाषा के साथ काम करना आसान है, लेकिन इसमें कुछ छोटी समस्याएं हैं: इसका उपयोग करने के लिए हमें सबसे पहले एक लाई समूह को मेट्रिसेस के समूह के रूप में प्रस्तुत करना होगा, लेकिन सभी लाई समूहों को इस तरह से प्रदर्शित नहीं किया जा सकता है, और यह भी स्पष्ट नहीं है कि झूठ बीजगणित हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले प्रतिनिधित्व से स्वतंत्र है। इन समस्याओं से निजात पाने के लिए हम देते हैं झूठ समूह के झूठ बीजगणित की सामान्य परिभाषा (4 चरणों में): किसी भी चिकने मैनिफोल्ड M पर #वेक्टर फ़ील्ड को व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित) एक्स के रूप में माना जा सकता है, जो कि कई गुना सुचारू कार्यों की अंगूठी है, और इसलिए लाइ ब्रैकेट [X, Y] = XY − YX के तहत एक झूठा बीजगणित बनाते हैं, क्योंकि किन्हीं दो व्युत्पत्तियों के सदिश क्षेत्रों का झूठ कोष्ठक एक व्युत्पत्ति है।
 * 1) यदि G कई गुना M पर सुचारू रूप से कार्य करने वाला कोई समूह है, तो यह सदिश क्षेत्रों पर कार्य करता है, और समूह द्वारा तय किए गए सदिश क्षेत्रों का सदिश स्थान लाई ब्रैकेट के नीचे बंद होता है और इसलिए एक लाई बीजगणित भी बनाता है।
 * 2) हम इस निर्माण को उस मामले में लागू करते हैं जब कई गुना M एक लाई समूह G का अंतर्निहित स्थान होता है, G के साथ G = M पर बाएं अनुवाद L द्वारा कार्य करता हैg(ज) = घ। इससे पता चलता है कि बाएं अपरिवर्तनीय वेक्टर फ़ील्ड का स्थान (वेक्टर फ़ील्ड एल को संतुष्ट करता हैg*Xh= एक्सghG में प्रत्येक h के लिए, जहाँ Lg* एल के अंतर को दर्शाता हैg) on a Lie समूह सदिश क्षेत्रों के Lie कोष्ठक के अंतर्गत एक Lie बीजगणित है।
 * 3) लाई समूह की पहचान पर किसी भी स्पर्शरेखा सदिश को स्पर्शरेखा सदिश को कई गुना के अन्य बिंदुओं पर स्थानांतरित करके बाएं अपरिवर्तनीय वेक्टर क्षेत्र में बढ़ाया जा सकता है। विशेष रूप से, पहचान पर स्पर्शरेखा स्थान के एक तत्व v का बायाँ अपरिवर्तनीय विस्तार v^ द्वारा परिभाषित वेक्टर क्षेत्र हैg= एलg*v। यह स्पर्शरेखा स्थान T की पहचान करता हैeजी बाएं अपरिवर्तनीय सदिश क्षेत्रों के स्थान के साथ पहचान पर, और इसलिए पहचान पर स्पर्शरेखा स्थान को लाइ बीजगणित में बनाता है, जिसे जी का झूठ बीजगणित कहा जाता है, जिसे आमतौर पर एक फ्रैक्टुर (टाइपफेस उप-वर्गीकरण) द्वारा निरूपित किया जाता है। $$\mathfrak{g}.$$ इस प्रकार लेट ब्रैकेट ऑन $$\mathfrak{g}$$ [v, w] = [v^, w^] द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया हैe.

यह झूठ बीजगणित $$\mathfrak{g}$$ परिमित-आयामी है और इसका कई गुना G के समान आयाम है। G का लाई बीजगणित G को स्थानीय समरूपता तक निर्धारित करता है, जहां दो झूठ समूहों को 'स्थानीय रूप से समरूप' कहा जाता है यदि वे पहचान तत्व के पास समान दिखते हैं। झूठ समूहों के बारे में समस्याएं अक्सर झूठ बीजगणित के लिए संबंधित समस्या को हल करके हल की जाती हैं, और समूहों के परिणाम आमतौर पर आसानी से अनुसरण करते हैं। उदाहरण के लिए, साधारण लाई समूहों को आमतौर पर संबंधित लाई बीजगणित को पहले वर्गीकृत करके वर्गीकृत किया जाता है।

हम T पर एक झूठ बीजगणित संरचना को भी परिभाषित कर सकते हैंeबाएं अपरिवर्तनीय वेक्टर फ़ील्ड के बजाय सही अपरिवर्तनीय वेक्टर फ़ील्ड का उपयोग करना। यह समान लाई बीजगणित की ओर जाता है, क्योंकि जी पर व्युत्क्रम मानचित्र का उपयोग दाएं अपरिवर्तनीय वेक्टर क्षेत्रों के साथ बाएं अपरिवर्तनीय वेक्टर क्षेत्रों की पहचान करने के लिए किया जा सकता है, और स्पर्शरेखा स्थान टी पर -1 के रूप में कार्य करता है।e.

टी पर झूठ बीजगणित संरचनाeइस प्रकार भी वर्णित किया जा सकता है: कम्यूटेटर ऑपरेटर
 * (एक्स, वाई) → xy-1य-1

जी × जी पर ई को (ई, ई) भेजता है, इसलिए इसका व्युत्पन्न टी पर बिलिनियर ऑपरेटर उत्पन्न करता हैeजी। यह बिलिनियर ऑपरेशन वास्तव में शून्य मानचित्र है, लेकिन दूसरा व्युत्पन्न, स्पर्शरेखा रिक्त स्थान की उचित पहचान के तहत, एक ऑपरेशन उत्पन्न करता है जो झूठ बीजगणित # परिभाषा और पहले गुणों के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, और यह दो बार परिभाषित एक के बराबर है बाएं-अपरिवर्तनीय वेक्टर फ़ील्ड के माध्यम से।

समरूपता और समरूपता
यदि G और H झूठ समूह हैं, तो एक झूठ समूह समरूपता f : G → H एक सहज समूह समाकारिता है। जटिल झूठ समूहों के मामले में, इस तरह के समरूपता को होलोमॉर्फिक नक्शा नक्शा होना आवश्यक है। हालाँकि, ये आवश्यकताएँ थोड़ी कठोर हैं; वास्तविक झूठ समूहों के बीच हर निरंतर समरूपता (वास्तविक) विश्लेषणात्मक मानचित्र बन जाती है। दो ले होमोमोर्फिज्म की संरचना फिर से एक होमोमोर्फिज्म है, और सभी लाइ समूहों का वर्ग, इन रूपों के साथ मिलकर एक श्रेणी सिद्धांत बनाता है। इसके अलावा, प्रत्येक लाई समूह होमोमोर्फिज्म इसी लाई बीजगणित के बीच एक होमोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है। होने देना $$\phi\colon G \to H$$ एक झूठ समूह होमोमोर्फिज्म हो और चलो $$\phi_{*}$$ सर्वसमिका पर इसका पुश्फॉरवर्ड (अंतर) हो। अगर हम पहचान तत्वों पर उनके स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के साथ जी और एच के झूठ बीजगणित की पहचान करते हैं, तो $$\phi_{*}$$ इसी झूठ बीजगणित के बीच एक नक्शा है:
 * $$\phi_{*}\colon\mathfrak g \to \mathfrak h,$$

जो एक झूठ बीजगणित होमोमोर्फिज्म निकला (जिसका अर्थ है कि यह एक रैखिक नक्शा है जो लेट ब्रैकेट को संरक्षित करता है)। श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, तब हमारे पास लाई समूहों की श्रेणी से लाई बीजगणित की श्रेणी के लिए एक सहसंयोजक ऑपरेटर होता है जो पहचान पर इसके व्युत्पन्न के लिए एक लाई समूह को उसके लाई बीजगणित और एक लाई समूह समरूपता को भेजता है।

दो झूठ समूहों को आइसोमोर्फिक कहा जाता है यदि उनके बीच एक विशेषण समरूपता मौजूद है जिसका व्युत्क्रम भी एक झूठ समूह समरूपता है। समतुल्य रूप से, यह एक भिन्नता है जो एक समूह समरूपता भी है। ध्यान दें कि, ऊपर से, एक झूठ समूह से एक निरंतर समरूपता $$G$$ एक झूठ समूह के लिए $$H$$ झूठ समूहों का एक समरूपता है यदि और केवल यदि यह विशेषण है।

झूठ समूह बनाम झूठ बीजगणित समरूपता
आइसोमॉर्फिक लाइ समूहों में आवश्यक रूप से आइसोमोर्फिक लाइ बीजगणित होते हैं; तब यह पूछना वाजिब है कि कैसे झूठ समूहों के समरूपतावाद वर्ग झूठ बीजगणित के समरूपता वर्गों से संबंधित हैं।

इस दिशा में पहला परिणाम लाइ का तीसरा प्रमेय है, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक परिमित-आयामी, वास्तविक झूठ बीजगणित कुछ (रैखिक) झूठ समूह का झूठा बीजगणित है। लाई के तीसरे प्रमेय को साबित करने का एक तरीका एडो के प्रमेय का उपयोग करना है, जो कहता है कि प्रत्येक परिमित-आयामी वास्तविक लाई बीजगणित मैट्रिक्स लाई बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है। इस बीच, प्रत्येक परिमित-आयामी मैट्रिक्स लाई बीजगणित के लिए, इस बीजगणित के साथ एक रेखीय समूह (मैट्रिक्स लाइ समूह) होता है जो इसके लाई बीजगणित के रूप में होता है। दूसरी ओर, आइसोमोर्फिक लाई बीजगणित वाले झूठ समूहों को आइसोमोर्फिक होने की आवश्यकता नहीं है। इसके अलावा, यह परिणाम तब भी सही रहता है जब हम मानते हैं कि समूह जुड़े हुए हैं। इसे अलग तरीके से रखने के लिए, एक झूठ समूह की वैश्विक संरचना उसके झूठे बीजगणित द्वारा निर्धारित नहीं होती है; उदाहरण के लिए, यदि Z, G के केंद्र का कोई असतत उपसमूह है तो G और G/Z का एक ही लाई बीजगणित है (उदाहरण के लिए लाई समूहों की तालिका देखें)। भौतिकी में महत्व का एक उदाहरण समूह Special_unitary_group#The_group_SU(2)|SU(2) और रोटेशन समूह SO(3)|SO(3) हैं। इन दो समूहों में आइसोमोर्फिक लाई बीजगणित है, लेकिन समूह स्वयं समरूपी नहीं हैं, क्योंकि SU(2) केवल जुड़ा हुआ है लेकिन SO(3) नहीं है। दूसरी ओर, यदि हमें आवश्यकता है कि लाई समूह सरलता से जुड़ा हो, तो वैश्विक संरचना इसके लाई बीजगणित द्वारा निर्धारित की जाती है: आइसोमॉर्फिक लाई बीजगणित के साथ दो बस जुड़े हुए लाई समूह आइसोमोर्फिक हैं। (आसानी से जुड़े झूठ समूहों के बारे में अधिक जानकारी के लिए अगला उपखंड देखें।) झूठ के तीसरे प्रमेय के प्रकाश में, इसलिए हम कह सकते हैं कि परिमित-आयामी वास्तविक झूठ बीजगणित और आइसोमोर्फिज्म कक्षाओं के समरूपता वर्गों के बीच एक-से-एक पत्राचार है। बस जुड़े हुए झूठ समूह।

बस जुड़े झूठ समूह
एक झूठ समूह $$G$$ कहा जाता है कि अगर हर लूप अंदर आता है तो बस जुड़ा हुआ स्थान होता है $$G$$ में एक बिंदु तक लगातार सिकुड़ा जा सकता है $$G$$. यह धारणा निम्नलिखित परिणाम के कारण महत्वपूर्ण है जिसमें एक परिकल्पना के रूप में सरल जुड़ाव है:
 * प्रमेय: मान लीजिए $$G$$ तथा $$H$$ झूठ बीजगणित वाले झूठ समूह हैं $$\mathfrak g$$ तथा $$\mathfrak h$$ और कि $$f:\mathfrak{g}\rightarrow\mathfrak{h}$$ एक झूठ बीजगणित समरूपता है। यदि $$G$$ बस जुड़ा हुआ है, तो एक अद्वितीय लाई समूह समरूपता है $$\phi:G\rightarrow H$$ ऐसा है कि $$\phi_*=f$$, कहाँ पे $$\phi_*$$ का अंतर है $$\phi$$ पहचान पर।

लाई ग्रुप-लाई बीजगणित पत्राचार#द करस्पोंडेंस|लाई का तीसरा प्रमेय कहता है कि प्रत्येक परिमित-आयामी वास्तविक लाई बीजगणित एक लाई समूह का लाई बीजगणित है। यह लाइ के तीसरे प्रमेय और पूर्ववर्ती परिणाम से आता है कि प्रत्येक परिमित-आयामी वास्तविक लाइ बीजगणित एक अद्वितीय सरलता से जुड़े लाइ समूह का झूठा बीजगणित है।

सरलता से जुड़े समूह का एक उदाहरण विशेष एकात्मक समूह विशेष एकात्मक समूह #n_.3D_2|SU(2) है, जो कि कई गुना 3-क्षेत्र है। दूसरी ओर, घूर्णन समूह SO(3), केवल जुड़ा हुआ नहीं है। (घूर्णन समूह SO(3)#टोपोलॉजी|SO(3) की टोपोलॉजी देखें।) SO(3) के आसानी से जुड़े होने की विफलता क्वांटम यांत्रिकी में पूर्णांक स्पिन और अर्ध-पूर्णांक स्पिन के बीच के अंतर से घनिष्ठ रूप से जुड़ी हुई है। आसानी से जुड़े हुए समूहों के अन्य उदाहरणों में विशेष एकात्मक समूह एसयू (एन), स्पिन समूह (रोटेशन समूह का दोहरा कवर) स्पिन (एन) शामिल हैं $$n\geq 3$$, और कॉम्पैक्ट सहानुभूतिपूर्ण समूह सहानुभूतिपूर्ण समूह#Sp.28n.29|Sp(n). यह निर्धारित करने के तरीके कि क्या कोई झूठ समूह बस जुड़ा हुआ है या नहीं, मौलिक समूह # झूठ समूहों पर आलेख में चर्चा की गई है।

एक्सपोनेंशियल मैप
झूठ बीजगणित से घातीय नक्शा (झूठ सिद्धांत)। $$\mathrm{M}(n;\mathbb C)$$ सामान्य रैखिक समूह का $$\mathrm{GL}(n;\mathbb C)$$ प्रति $$\mathrm{GL}(n;\mathbb C)$$ सामान्य शक्ति श्रृंखला द्वारा दिए गए मैट्रिक्स घातांक द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$\exp(X) = 1 + X + \frac{X^2}{2!} + \frac{X^3}{3!} + \cdots $$

मेट्रिसेस के लिए $$X$$. यदि $$G$$ का एक बंद उपसमूह है $$\mathrm{GL}(n;\mathbb C)$$, तब घातीय मानचित्र का लाई बीजगणित लेता है $$G$$ में $$G$$; इस प्रकार, हमारे पास सभी मैट्रिक्स समूहों के लिए एक घातीय मानचित्र है। का हर तत्व $$G$$ जो पर्याप्त रूप से पहचान के करीब है, झूठ बीजगणित में एक मैट्रिक्स का घातीय है। उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करना आसान है, लेकिन यह झूठ समूहों के लिए परिभाषित नहीं है जो मैट्रिक्स समूह नहीं हैं, और यह स्पष्ट नहीं है कि झूठ समूह का घातीय मानचित्र मैट्रिक्स समूह के रूप में इसके प्रतिनिधित्व पर निर्भर नहीं करता है। हम घातीय मानचित्र की अधिक सार परिभाषा का उपयोग करके दोनों समस्याओं को हल कर सकते हैं जो सभी झूठ समूहों के लिए काम करता है, निम्नानुसार है।

प्रत्येक वेक्टर के लिए $$X$$ झूठ बीजगणित में $$\mathfrak{g}$$ का $$G$$ (यानी, स्पर्शरेखा स्थान को $$G$$ पहचान पर), एक यह साबित करता है कि एक अद्वितीय एक-पैरामीटर उपसमूह है $$c:\mathbb R\rightarrow G$$ ऐसा है कि $$c'(0)=X$$. कहते हुए की $$c$$ एक एक-पैरामीटर उपसमूह है जिसका अर्थ बस यही है $$c$$ में एक सहज मानचित्र है $$G$$ और कि


 * $$c(s + t) = c(s) c(t)\ $$

सभी के लिए $$s$$ तथा $$t$$. दाहिनी ओर की संक्रिया समूह गुणन है $$G$$. घातीय फलन के लिए मान्य सूत्र के साथ इस सूत्र की औपचारिक समानता परिभाषा को सही ठहराती है


 * $$\exp(X) = c(1).\ $$

इसे एक्सपोनेंशियल मैप कहा जाता है, और यह लाई बीजगणित को मैप करता है $$\mathfrak{g}$$ झूठ समूह में $$G$$. यह 0 इंच के पड़ोस (टोपोलॉजी) के बीच एक भिन्नता प्रदान करता है $$\mathfrak{g}$$ और का एक पड़ोस $$e$$ में $$G$$. यह घातीय मानचित्र वास्तविक संख्याओं के लिए घातीय फलन का एक सामान्यीकरण है (क्योंकि $$\mathbb{R}$$ गुणन के साथ धनात्मक वास्तविक संख्याओं के झूठ समूह का झूठा बीजगणित है), जटिल संख्याओं के लिए (क्योंकि $$\mathbb{C}$$ गुणा के साथ गैर-शून्य जटिल संख्याओं के झूठ समूह का झूठा बीजगणित है) और मैट्रिक्स (गणित) के लिए (क्योंकि $$M(n, \mathbb{R})$$ नियमित कम्यूटेटर के साथ लाइ समूह का झूठ बीजगणित है $$\mathrm{GL}(n, \mathbb{R})$$ सभी उलटा मैट्रिसेस)।

क्योंकि घातीय नक्शा कुछ पड़ोस पर विशेषण है $$N$$ का $$e$$, समूह के झूठ बीजगणित अनंत जनरेटर के तत्वों को कॉल करना आम है $$G$$. का उपसमूह $$G$$ द्वारा उत्पन्न $$N$$ का पहचान घटक है $$G$$.

एक्सपोनेंशियल मैप और लाई बीजगणित, बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ फॉर्मूले के कारण, हर जुड़े हुए लाई समूह की स्थानीय समूह संरचना का निर्धारण करते हैं: एक पड़ोस मौजूद है $$U$$ के शून्य तत्व का $$\mathfrak{g}$$, ऐसे के लिए $$X,Y\in U$$ अपने पास


 * $$ \exp(X)\,\exp(Y) = \exp\left(X + Y + \tfrac{1}{2}[X,Y] + \tfrac{1}{12}[\,[X,Y],Y] - \tfrac{1}{12}[\,[X,Y],X] - \cdots \right),$$

जहां छोड़े गए शब्द ज्ञात हैं और इसमें चार या अधिक तत्वों के लेटे ब्रैकेट शामिल हैं। यदि $$X$$ तथा $$Y$$ कम्यूट, यह सूत्र परिचित घातीय कानून को कम करता है $$\exp(X)\exp(Y)=\exp(X+Y)$$ एक्सपोनेंशियल मैप लाइ ग्रुप होमोमोर्फिज्म से संबंधित है। यानी अगर $$\phi: G \to H$$ एक झूठ समूह समरूपता है और $$\phi_*: \mathfrak{g} \to \mathfrak{h}$$ इसी लाई बीजगणित पर प्रेरित नक्शा, फिर सभी के लिए $$x\in\mathfrak g$$ अपने पास
 * $$\phi(\exp(x)) = \exp(\phi_{*}(x)).\,$$

दूसरे शब्दों में, निम्न आरेख क्रमविनिमेय आरेख, (संक्षेप में, ऍक्स्प झूठ समूहों की श्रेणी पर फ़ैक्टर लाइ से आइडेंटिटी फ़ैक्टर के लिए एक प्राकृतिक परिवर्तन है।)

लाई बीजगणित से लाई समूह के लिए घातीय मानचित्र हमेशा विशेषण कार्य नहीं होता है, भले ही समूह जुड़ा हुआ हो (हालांकि यह जुड़े हुए समूहों के लिए लाई समूह पर मैप करता है जो या तो कॉम्पैक्ट या निलपोटेंट हैं)। उदाहरण के लिए, का घातीय मानचित्र SL(2, R) विशेषण नहीं है। इसके अलावा, घातीय नक्शा अनंत-आयामी के लिए न तो विशेषण है और न ही इंजेक्शन है (नीचे देखें) स्मूथ फ़ंक्शन # डिफरेंटिबिलिटी क्लासेस पर मॉडलिंग किए गए झूठ समूह।∞ फ्रीचेट स्पेस, यहां तक ​​कि 0 के छोटे पड़ोस से 1 के संबंधित पड़ोस तक।

झूठ उपसमूह
एक झूठ उपसमूह $$H$$ एक झूठ समूह का $$G$$ एक झूठ समूह है जो का उपसमुच्चय है $$G$$ और ऐसा है कि समावेशन मानचित्र से $$H$$ प्रति $$G$$ एक इंजेक्शन विसर्जन (गणित) और समूह समरूपता है। बंद उपसमूह प्रमेय के अनुसार | कार्टन की प्रमेय, का एक बंद उपसमूह $$G$$ एक अद्वितीय चिकनी संरचना को स्वीकार करता है जो इसे एक एम्बेडिंग लाई उपसमूह बनाता है $$G$$-अर्थात। एक झूठ उपसमूह ऐसा है कि समावेशन मानचित्र एक चिकनी एम्बेडिंग है।

गैर-बंद उपसमूहों के उदाहरण बहुतायत से हैं; उदाहरण के लिए ले लो $$G$$ आयाम 2 या उससे अधिक का टोरस होना, और चलो $$H$$ तर्कहीन ढलान का एक-पैरामीटर उपसमूह हो, यानी वह जो जी में चारों ओर घूमता है। फिर एक झूठ समूह समरूपता होता है $$\varphi:\mathbb{R}\to G$$ साथ $$ \mathrm{im}(\varphi) = H$$. का क्लोजर (टोपोलॉजी)। $$H$$ में एक उप-टॉरस होगा $$G$$.

एक्सपोनेंशियल मैप (झूठ सिद्धांत) एक झूठ समूह-झूठ बीजगणित पत्राचार देता है $$G$$ और लाई बीजगणित के सबलजेब्रस $$G$$. आमतौर पर, सबलजेब्रा से संबंधित उपसमूह एक बंद उपसमूह नहीं होता है। केवल संरचना के आधार पर कोई मानदंड नहीं है $$G$$ जो यह निर्धारित करता है कि कौन से सबलजेब्रस बंद उपसमूहों के अनुरूप हैं।

प्रतिनिधित्व
लाई समूहों के अध्ययन का एक महत्वपूर्ण पहलू उनका निरूपण है, अर्थात जिस तरह से वे सदिश स्थानों पर (रैखिक रूप से) कार्य कर सकते हैं। भौतिकी में, झूठ समूह अक्सर एक भौतिक प्रणाली की समरूपता को कूटबद्ध करते हैं। सिस्टम का विश्लेषण करने में मदद करने के लिए जिस तरह से कोई इस समरूपता का उपयोग करता है वह अक्सर प्रतिनिधित्व सिद्धांत के माध्यम से होता है। उदाहरण के लिए, क्वांटम यांत्रिकी में समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण पर विचार करें, $$\hat{H}\psi = E\psi$$. मान लें कि सिस्टम में समरूपता के रूप में घूर्णन समूह SO(3) है, जिसका अर्थ हैमिल्टनियन ऑपरेटर है $$\hat{H}$$ वेव फंक्शन पर SO(3) की क्रिया के साथ संचार करता है $$\psi$$. (इस तरह की प्रणाली का एक महत्वपूर्ण उदाहरण हाइड्रोजन परमाणु है, जिसमें एक एकल गोलाकार कक्षीय है।) इस धारणा का जरूरी अर्थ यह नहीं है कि समाधान $$\psi$$ घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय कार्य हैं। बल्कि, इसका अर्थ है कि समाधानों का स्थान $$\hat{H}\psi = E\psi$$ रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है (प्रत्येक निश्चित मान के लिए $$E$$). इसलिए, यह स्थान SO(3) का प्रतिनिधित्व करता है। ये अभ्यावेदन एक लाई समूह # एक उदाहरण का प्रतिनिधित्व करते हैं: रोटेशन समूह SO.283.29 और वर्गीकरण एक पर्याप्त हाइड्रोजन जैसे परमाणु की ओर जाता है, अनिवार्य रूप से एक त्रि-आयामी आंशिक अंतर समीकरण को एक-आयामी साधारण अंतर समीकरण में परिवर्तित करता है।

कनेक्टेड कॉम्पैक्ट लाइ ग्रुप K (SO(3) के अभी-उल्लेखित मामले सहित) का मामला विशेष रूप से ट्रैक्टेबल है। उस स्थिति में, K का प्रत्येक परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है। अलघुकरणीय अभ्यावेदन, बदले में, हरमन वेइल द्वारा वर्गीकृत किए गए थे। कॉम्पैक्ट समूह # एक जुड़े हुए कॉम्पैक्ट लाई समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत प्रतिनिधित्व के उच्चतम भार के संदर्भ में है। वर्गीकरण लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व से निकटता से संबंधित है # झूठ बीजगणित के परिमित-आयामी प्रतिनिधित्वों को वर्गीकृत करना।

कोई भी एक मनमाने ढंग से झूठ समूह (जरूरी नहीं कि कॉम्पैक्ट) के एकात्मक प्रतिनिधित्व (सामान्य अनंत-आयामी में) का अध्ययन कर सकता है। उदाहरण के लिए, SL2(R)|समूह SL(2,R) के प्रतिनिधित्व और विग्नेर%27s वर्गीकरण|पोंकारे समूह के प्रतिनिधित्व के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का एक अपेक्षाकृत सरल स्पष्ट विवरण देना संभव है।

वर्गीकरण
झूठ समूहों को समरूपता के सुचारु रूप से भिन्न परिवारों के रूप में सोचा जा सकता है। समरूपता के उदाहरणों में एक अक्ष के चारों ओर घूमना शामिल है। क्या समझा जाना चाहिए 'छोटे' परिवर्तनों की प्रकृति है, उदाहरण के लिए, छोटे कोणों के माध्यम से घूर्णन, जो पास के परिवर्तनों को जोड़ता है। इस संरचना को कैप्चर करने वाली गणितीय वस्तु को लाइ बीजगणित कहा जाता है (सोफस ली ने स्वयं उन्हें अतिसूक्ष्म समूह कहा है)। इसे परिभाषित किया जा सकता है क्योंकि लेट समूह चिकने कई गुना होते हैं, इसलिए प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान होते हैं।

किसी भी कॉम्पैक्ट लाइ समूह का झूठ बीजगणित (बहुत मोटे तौर पर: एक जिसके लिए समरूपता एक बंधे हुए सेट का निर्माण करती है) को एक एबेलियन लाइ बीजगणित के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग और कुछ सरल झूठ समूह वाले के रूप में विघटित किया जा सकता है। एक एबेलियन ले बीजगणित की संरचना गणितीय रूप से निर्बाध है (चूंकि लाइ ब्रैकेट समान रूप से शून्य है); ब्याज साधारण रकम में है। इसलिए सवाल उठता है: कॉम्पैक्ट समूहों के साधारण झूठ समूह क्या हैं? यह पता चला है कि वे ज्यादातर चार अनंत परिवारों में आते हैं, शास्त्रीय झूठ बीजगणित एn, बीn, सीn और डीn, जिनका यूक्लिडियन अंतरिक्ष की समरूपता के संदर्भ में सरल विवरण है। लेकिन केवल पांच असाधारण झूठ बीजगणित भी हैं जो इनमें से किसी भी परिवार में नहीं आते हैं। इ8 इनमें से सबसे बड़ा है।

लाई समूहों को उनके बीजगणितीय गुणों (सरल समूह, अर्धसरल समूह, हल करने योग्य समूह, निलपोटेंट समूह, एबेलियन समूह), उनकी संबद्धता (जुड़ा हुआ स्थान या बस जुड़ा हुआ स्थान) और उनके कॉम्पैक्ट स्थान के अनुसार वर्गीकृत किया गया है।

पहला मुख्य परिणाम लेवी अपघटन है, जो कहता है कि प्रत्येक सरलता से जुड़ा हुआ लाइ समूह एक हल करने योग्य सामान्य उपसमूह और एक अर्धसरल उपसमूह का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है।


 * संयुक्तता कॉम्पैक्ट लाई समूह सभी ज्ञात हैं: वे सर्कल समूह एस की प्रतियों के उत्पाद के परिमित केंद्रीय भागफल हैं1 और सरल कॉम्पैक्ट लाई समूह (जो कनेक्टेड डायकिन आरेखों के अनुरूप हैं)।
 * कोई भी आसानी से जुड़ा हुआ सॉल्व करने योग्य लाइ समूह कुछ रैंक के उलटे ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस के समूह के एक बंद उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है, और ऐसे समूह का कोई भी परिमित-आयामी इर्रेड्यूबल प्रतिनिधित्व 1-आयामी है। हल करने योग्य समूह कुछ छोटे आयामों को छोड़कर वर्गीकृत करने के लिए बहुत गन्दा हैं।
 * कोई भी सरल रूप से जुड़ा हुआ निलपोटेंट लाइ समूह, किसी रैंक के विकर्ण पर 1 के साथ उल्टे ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिसेस के समूह के एक बंद उपसमूह के लिए आइसोमॉर्फिक है, और ऐसे समूह का कोई भी परिमित-आयामी इर्रेड्यूबल प्रतिनिधित्व 1-आयामी है। हल करने योग्य समूहों की तरह, निलपोटेंट समूह कुछ छोटे आयामों को छोड़कर वर्गीकृत करने के लिए बहुत गन्दा हैं।
 * सरल झूठ समूहों को कभी-कभी उन लोगों के रूप में परिभाषित किया जाता है जो अमूर्त समूहों के रूप में सरल होते हैं, और कभी-कभी एक साधारण झूठ बीजगणित के साथ जुड़े झूठ समूहों के रूप में परिभाषित होते हैं। उदाहरण के लिए, SL2(R)|SL(2, R) दूसरी परिभाषा के अनुसार सरल है लेकिन पहली के अनुसार नहीं। वे सभी साधारण झूठ बोलने वाले समूहों की सूची रहे हैं (किसी भी परिभाषा के लिए)।
 * अर्धसरल समूह लाई समूह लाई समूह होते हैं जिनका लाई बीजगणित सरल लाई बीजगणित का एक उत्पाद है। वे साधारण झूठ समूहों के उत्पादों के केंद्रीय विस्तार हैं।

किसी भी झूठ समूह का पहचान घटक एक खुला सामान्य उपसमूह है, और भागफल समूह एक असतत समूह है। किसी भी जुड़े लाई समूह का सार्वभौमिक आवरण एक सरल रूप से जुड़ा हुआ समूह है, और इसके विपरीत कोई भी जुड़ा हुआ समूह केंद्र के असतत सामान्य उपसमूह द्वारा बस जुड़े हुए समूह का एक अंश है। किसी भी झूठ समूह G को विहित तरीके से असतत, सरल और आबेली समूहों में निम्नानुसार विघटित किया जा सकता है। लिखना
 * जीcon पहचान के जुड़े घटक के लिए
 * जीsol सबसे बड़े जुड़े सामान्य हल करने योग्य उपसमूह के लिए
 * जीnil सबसे बड़े जुड़े हुए सामान्य निलपोटेंट उपसमूह के लिए

ताकि हमारे पास सामान्य उपसमूहों का एक क्रम हो
 * 1 ⊆ जीnil ⊆ जीsol ⊆ जीcon ⊆ जी.

फिर
 * जी / जीcon असतत है
 * जीcon/जीsol सरल झूठ समूहों की सूची के उत्पाद का एक समूह विस्तार है।
 * जीsol/जीnil एबेलियन है। एक जुड़ा एबेलियन लाइ समूह आर और सर्कल समूह 'एस' की प्रतियों के उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है 1।
 * जीnil/1 शून्य है, और इसलिए इसकी आरोही केंद्रीय श्रृंखला में सभी भागफल आबेली हैं।

इसका उपयोग झूठ समूहों के बारे में कुछ समस्याओं को कम करने के लिए किया जा सकता है (जैसे कि उनके एकात्मक प्रतिनिधित्व को खोजना) जुड़े हुए सरल समूहों और छोटे आयामों के शून्य और हल करने योग्य उपसमूहों के लिए समान समस्याओं के लिए।


 * लाई समूह का डिफियोमोर्फिज्म, लाई समूह पर सकर्मक रूप से कार्य करता है
 * प्रत्येक लाई समूह समांतर है, और इसलिए एक कुंडा कई गुना (इसकी स्पर्शरेखा बंडल और पहचान पर स्पर्शरेखा स्थान के साथ स्वयं के उत्पाद के बीच एक फाइबर बंडल है)

अनंत-आयामी झूठ समूह
झूठ समूहों को अक्सर परिमित-आयामी के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन अनंत-आयामी होने के अलावा, ऐसे कई समूह हैं जो झूठ समूहों के समान हैं। अनंत-आयामी झूठ समूहों को परिभाषित करने का सबसे आसान तरीका उन्हें स्थानीय रूप से बनच रिक्त स्थान (परिमित-आयामी मामले में यूक्लिडियन अंतरिक्ष के विपरीत) पर मॉडल करना है, और इस मामले में बहुत से बुनियादी सिद्धांत परिमित-आयामी झूठ के समान हैं समूह। हालांकि यह कई अनुप्रयोगों के लिए अपर्याप्त है, क्योंकि अनंत-आयामी झूठ समूहों के कई प्राकृतिक उदाहरण बनच मैनिफोल्ड नहीं हैं। इसके बजाय किसी को अधिक सामान्य स्थानीय रूप से उत्तल अंतरिक्ष टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान पर मॉडलिंग किए गए झूठ समूहों को परिभाषित करने की आवश्यकता है। इस मामले में झूठ बीजगणित और झूठ समूह के बीच संबंध बल्कि सूक्ष्म हो जाता है, और परिमित-आयामी झूठ समूहों के बारे में कई परिणाम अब पकड़ में नहीं आते हैं।

साहित्य अपनी शब्दावली में पूरी तरह से एक समान नहीं है, क्योंकि वास्तव में अनंत-आयामी समूहों के कौन से गुण समूह को ली समूह में उपसर्ग के लिए अर्हता प्राप्त करते हैं। मामलों के लाई बीजगणित पक्ष पर, चीजें सरल होती हैं क्योंकि लाई बीजगणित में उपसर्ग के लिए योग्यता मानदंड पूरी तरह से बीजगणितीय हैं। उदाहरण के लिए, एक अनंत-आयामी झूठ बीजगणित में संबंधित झूठ समूह हो सकता है या नहीं भी हो सकता है। अर्थात्, लाई बीजगणित के अनुरूप एक समूह हो सकता है, लेकिन यह लाई समूह कहलाने के लिए पर्याप्त अच्छा नहीं हो सकता है, या समूह और लाई बीजगणित के बीच का संबंध पर्याप्त अच्छा नहीं हो सकता है (उदाहरण के लिए, विफलता) पहचान के पड़ोस पर होने के लिए घातीय मानचित्र)। यह काफी अच्छा है जिसे सार्वभौमिक रूप से परिभाषित नहीं किया गया है।

अध्ययन किए गए कुछ उदाहरणों में शामिल हैं:
 * कई गुना के डिफियोमोर्फिज्म का समूह। वृत्त के विरूपताओं के समूह के बारे में काफी कुछ जाना जाता है। इसका झूठ बीजगणित (अधिक या कम) विट बीजगणित है, जिसका लाई बीजगणित विरासोरो बीजगणित का विस्तार करता है (इस तथ्य की व्युत्पत्ति के लिए लाई बीजगणित विस्तार#विरासोरो बीजगणित देखें) द्वि-आयामी अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत का समरूपता बीजगणित है। बड़े आयाम के कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड्स के डिफियोमोर्फिज्म समूह सुविधाजनक वेक्टर स्पेस # नियमित झूठ समूह हैं। नियमित फ्रेचेट झूठ समूह; उनकी संरचना के बारे में बहुत कम जानकारी है।
 * अंतरिक्ष-समय का डिफियोमोर्फिज्म समूह कभी-कभी परिमाणीकरण (भौतिकी) गुरुत्व के प्रयासों में प्रकट होता है।
 * मैनिफोल्ड से परिमित-आयामी लाई समूह तक चिकने नक्शों का समूह एक गेज समूह (बिंदुवार गुणन के संचालन के साथ) का एक उदाहरण है, और इसका उपयोग क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और डोनाल्डसन सिद्धांत में किया जाता है। यदि मैनिफोल्ड एक वृत्त है, तो इन्हें लूप समूह कहा जाता है, और केंद्रीय विस्तार होते हैं, जिनके लाई बीजगणित (अधिक या कम) केएसी-मूडी बीजगणित होते हैं।
 * सामान्य रेखीय समूहों, ऑर्थोगोनल समूहों, और इसी तरह के अनंत-आयामी अनुरूप हैं। एक महत्वपूर्ण पहलू यह है कि इनमें सरल टोपोलॉजिकल गुण हो सकते हैं: उदाहरण के लिए कुइपर की प्रमेय देखें। एम-सिद्धांत में, उदाहरण के लिए, एक 10-आयामी एसयू(एन) गेज सिद्धांत एक 11-आयामी सिद्धांत बन जाता है जब एन अनंत हो जाता है।

यह भी देखें

 * झूठ बोलने वाले समूह का संयुक्त प्रतिनिधित्व
 * हार उपाय
 * सजातीय स्थान
 * झूठ समूह विषयों की सूची
 * झूठ बोलने वाले समूहों का प्रतिनिधित्व
 * क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता
 * झूठ बिंदु समरूपता, अंतर समीकरणों के अध्ययन के लिए झूठ समूहों के आवेदन के बारे में।

संदर्भ

 * . Chapters 1–3 ISBN 3-540-64242-0, Chapters 4–6 ISBN 3-540-42650-7, Chapters 7–9 ISBN 3-540-43405-4
 * P. M. Cohn (1957) Lie Groups, Cambridge Tracts in Mathematical Physics.
 * J. L. Coolidge (1940) A History of Geometrical Methods, pp 304–17, Oxford University Press (Dover Publications 2003).
 * Robert Gilmore (2008) Lie groups, physics, and geometry: an introduction for physicists, engineers and chemists, Cambridge University Press ISBN 9780521884006.
 * F. Reese Harvey (1990) Spinors and calibrations, Academic Press, ISBN 0-12-329650-1.
 * Borel's review
 * . The 2003 reprint corrects several typographical mistakes.
 * Heldermann Verlag Journal of Lie Theory
 * Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010
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 * Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010
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 * Heldermann Verlag Journal of Lie Theory
 * Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010
 * Heldermann Verlag Journal of Lie Theory
 * Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010
 * Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010
 * Lie Groups. Representation Theory and Symmetric Spaces Wolfgang Ziller, Vorlesung 2010
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