क्रिया (भौतिकी)

भौतिकी में, क्रिया एक संख्यात्मक मान है जो बताता है कि समय के साथ एक भौतिक प्रणाली कैसे बदल गई है । प्रणाली की गति के समीकरण स्थिर क्रिया के सिद्धांत के माध्यम से प्राप्त किए जा सकते हैं इसी कारण से क्रिया महत्वपूर्ण है ।

साधारण मामले में, एक निर्दिष्ट वेग के साथ चलने वाले एक कण की क्रिया कण की गति के समय की दूरी के साथ चलती है, इसके पथ के साथ जोड़ा जाता है, या समकक्ष रूप से, इसकी गतिज ऊर्जा गुणा उस समय की लंबाई है जिसके लिए यह है ऊर्जा की वह मात्रा, विचाराधीन समयावधि में जोड़ी गई। अधिक जटिल प्रणालियों के लिए, ऐसी सभी मात्राओं को एक साथ जोड़ा जाता है।

औपचारिक रूप से, क्रिया एक गणितीय क्रियात्मक है जो प्रणाली के प्रक्षेपवक्र, जिसे पथ या इतिहास भी कहा जाता है, को इसके तर्क के रूप में लेता है और एक वास्तविक संख्या क्रिया के परिणाम के रूप में होती है। आम तौर पर, क्रिया के मान अलग-अलग रास्तों के लिए अलग-अलग होती है। ऊर्जा× समय या गति × लंबाई क्रिया के आयाम हैं, और इसकी SI इकाई जूल -सेकंड ( प्लांक स्थिरांक h की तरह) है।

परिचय
हैमिल्टन के सिद्धांत में कहा गया है कि किसी भी भौतिक प्रणाली के लिए गति के अंतर समीकरणों को एक समान अभिन्न समीकरण के रूप में फिर से तैयार किया जा सकता है। इस प्रकार, गतिशील मॉडल तैयार करने के लिए दो अलग-अलग दृष्टिकोण हैं।

यह न केवल एक कण के शास्त्रीय यांत्रिकी (classical mechanics) पर लागू होता है, बल्कि शास्त्रीय क्षेत्रों जैसे विद्युत चुम्बकीय और गुरुत्वाकर्षण क्षेत्रों पर भी लागू होता है। हैमिल्टन के सिद्धांत को क्वांटम यांत्रिकी (quantum mechanics) और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत तक भी विस्तारित किया गया है - विशेष रूप से क्वांटम यांत्रिकी का पथ अभिन्न सूत्रीकरण अवधारणा का उपयोग करता है - जहां एक भौतिक प्रणाली बेतरतीब ढंग से प्रत्येक पथ के लिए ,पथ की कार्रवाई द्वारा निर्धारित संभाव्यता आयाम के चरण के साथ संभावित पथों में से एक का अनुसरण करती है।

विभेदी समीकरण का हल
अनुभवजन्य नियम (Empirical laws) को अक्सर अंतर समीकरणों (differential equations) के रूप में व्यक्त किया जाता है,और यह, अंतर समीकरणों वर्णन करते हैं कि कैसे भौतिक राशि जैसे स्थिति और गति समय, स्थान या उसके सामान्यीकरण के साथ के साथ लगातार बदलती रहती है। गति के समीकरण  सिस्टम के व्यवहार का वर्णन करते हैं,  जो वर्णन करते हैं कि स्थिति के लिए प्रारंभिक और सीमा स्थितियों को देखते हुए, इन अनुभवजन्य समीकरणों का "समाधान" एक या अधिक कार्य हैं।

क्रिया समाकल का निम्‍नीकरण
क्रिया एक वैकल्पिक दृष्टिकोण का हिस्सा है जो गति के ऐसे समीकरणों की खोज करता है। शास्त्रीय यांत्रिकी अर्थात classical mechanics यह मानता है कि वास्तव में एक भौतिक प्रणाली द्वारा अनुसरण किया जाने वाला मार्ग वह है जिसके लिए क्रिया को कम से कम किया जाता है, या सामान्य रूप सेअधिक, या स्थिर। दूसरे शब्दों में, क्रिया एक परिवर्तनशील सिद्धांत को संतुष्ट करती है: स्थिर क्रिया का सिद्धांत (नीचे भी देखें)। क्रिया को एक अभिन्न ( integral) द्वारा परिभाषित किया गया है, और एक प्रणाली की गति के शास्त्रीय समीकरणों(the classical equations of motion of a system) को उस अभिन्न के मूल्य को कम करके प्राप्त किया जा सकता है।

यह सरल सिद्धांत भौतिकी में गहरी अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, और आधुनिक सैद्धांतिक भौतिकी में एक महत्वपूर्ण अवधारणा है।

इतिहास
 अवधारणा के विकास के दौरान क्रिया को अब कई अप्रचलित तरीकों से परिभाषित किया गया था। 


 * गॉटफ्रीड लाइबनिज़, जोहान बर्नौली और पियरे लुई मौपर्टुइस ने प्रकाश के लिए कार्रवाई को इसकी गति या इसके पथ की लंबाई के साथ उलटा गति के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया।
 * लियोनहार्ड यूलर (और, संभवतः, लाइबनिज़) ने एक भौतिक कण के लिए कार्रवाई को अंतरिक्ष के माध्यम से अपने पथ के साथ कण की गति के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया।
 * पियरे लुई माउपर्टुइस ने एक लेख के भीतर कार्रवाई की कई तदर्थ और विरोधाभासी परिभाषाएं पेश कीं, जो संभावित ऊर्जा के रूप में, आभासी गतिज ऊर्जा के रूप में और एक संकर के रूप में परिभाषित करती हैं, जो टकराव में गति के संरक्षण को सुनिश्चित करती हैं।

गणितीय परिभाषा
विविधताओं के कलन का उपयोग करते हुए, एक भौतिक प्रणाली का विकास (यानी, प्रणाली वास्तव में एक राज्य से दूसरे राज्य में कैसे आगे बढ़ती है) गणितीय भाषा में व्यक्त, कार्रवाई के एक स्थिर बिंदु (आमतौर पर, न्यूनतम) से मेल खाती है।

सामान्यतः भौतिकी में "कार्रवाई" की कई अलग-अलग परिभाषाएं दी गयी हैं। कार्रवाई आमतौर पर समय के साथ एक अभिन्न अंग है। हालाँकि, जब कार्रवाई फ़ील्ड से संबंधित होती है, तो इसे स्थानिक चरों पर भी एकीकृत किया जा सकता है। कुछ मामलों में, क्रिया को भौतिक प्रणाली द्वारा अनुसरण किए गए पथ के साथ एकीकृत किया जाता है।

क्रिया को आम तौर पर समय के साथ एक सिस्टम के प्रारंभिक समय और सिस्टम के विकास के अंतिम समय के बीच सिस्टम के पथ के अभिन्न के रूप में दर्शाया जाता है:

$$\mathcal{S} = \int_{t_1}^{t_2} L \, dt,$$

जहां समाकलन L को लैग्रेंजियन कहा जाता है। क्रिया अभिन्न को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, प्रक्षेपवक्र को समय और स्थान में बांधा जाना चाहिए।

क्रिया के आयाम हैं [ऊर्जा] × [समय], और इसकी SI इकाई जूल -सेकंड है, जो कोणीय गति की इकाई के समान है।

चिरसम्मत भौतिकी में क्रिया
चिरसम्मत भौतिकी में, "क्रिया" शब्द के कई अर्थ हैं।

क्रिया (कार्यात्मक)
आमतौर पर शब्द का प्रयोग कार्यात्मक के लिए किया जाता है $$\mathcal{S}$$ जो इनपुट के रूप में समय और ( फ़ील्ड के लिए) स्थान का कार्य लेता है और एक अदिश देता है। शास्त्रीय यांत्रिकी (classical mechanics) में, इनपुट फ़ंक्शन दो बार t 1 और t 2 के बीच सिस्टम का विकास q ( t ) है, जहां q सामान्यीकृत निर्देशांक (generalized coordinates) का प्रतिनिधित्व करता है। कार्य $$\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)]$$ दो समय के बीच एक इनपुट विकास के लिए लैग्रैन्जियन एल के अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)] = \int_{t_1}^{t_2} L(\mathbf{q}(t),\dot{\mathbf{q}}(t),t)\, dt,$$

जहां विकास के अंतिम बिंदु तय होते हैं और $$\mathbf{q}_{1} = \mathbf{q}(t_{1})$$ और $$\mathbf{q}_{2} = \mathbf{q}(t_{2})$$ के रूप में परिभाषित होते हैं। हैमिल्टन के सिद्धांत के अनुसार, वास्तविक विकास q सत्य ( t ) या qtrue(t) एक विकास है जिसके लिए क्रिया $$\mathcal{S}[\mathbf{q}(t)]$$ स्थिर है (एक न्यूनतम, अधिकतम, या एक सैडल बिंदु )। इस सिद्धांत का परिणाम लैग्रैंगियन यांत्रिकी (Lagrangian mechanics) में गति के समीकरणों में होता है।

संक्षिप्त क्रिया (कार्यात्मक)
$$\mathcal{S}_{0}$$, एक कार्यात्मक के रूप में निरूपित किया जाता है। यहां इनपुट फ़ंक्शन समय के साथ इसके पैरामीटरकरण के संबंध में भौतिक प्रणाली द्वारा अनुसरण किया जाने वाला पथ है। उदाहरण के लिए, ग्रह की कक्षा का पथ एक दीर्घवृत्त है, और एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक कण का पथ एक परवलय है; दोनों ही मामलों में, पथ इस बात पर निर्भर नहीं करता है कि कण कितनी तेजी से पथ को पार करता है। संक्षिप्त क्रिया $$\mathcal{S}_{0}$$ सामान्यीकृत निर्देशांक में पथ के साथ सामान्यीकृत गति के अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:

$$\mathcal{S}_0 = \int \mathbf{p} \cdot d\mathbf{q} = \int p_i \,dq_i.$$

माउपर्टुइस के सिद्धांत के अनुसार, सच्चा मार्ग वह मार्ग है जिसके लिए संक्षिप्त क्रिया होती है।

हैमिल्टन का प्रमुख कार्य
हैमिल्टन का प्रमुख कार्य $$S=S(q,t;q_0,t_0)$$ क्रिया कार्यात्मक (action functional ) $$\mathcal{S}$$ प्राप्त होता है प्रारंभिक समय निर्धारित करके $$t_0$$ और प्रारंभिक समापन बिंदु $$q_0,$$ ऊपरी समय सीमा की अनुमति देते हुए $$t$$ और दूसरा समापन बिंदु $$q$$ भिन्न करने के लिए। हैमिल्टन का प्रमुख कार्य हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को संतुष्ट करता है (Hamilton's principal function satisfies the Hamilton–Jacobi equation), जो शास्त्रीय यांत्रिकी (classical mechanics) का एक सूत्रीकरण है। श्रोडिंगर समीकरण(Schrödinger equation) के साथ समानता के कारण, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण, यकीनन, क्वांटम यांत्रिकी के साथ सबसे सीधा लिंक प्रदान करता है।

हैमिल्टन की विशेषता कार्य
जब कुल ऊर्जा E संरक्षित हो जाती है, तो हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण (Hamilton–Jacobi equations) को चरों के योगात्मक पृथक्करण (additive separation of variables) से हल किया जा सकता है:

$$S(q_1, \dots, q_N, t) = W(q_1, \dots, q_N) - E \cdot t,$$

जहाँ समय-स्वतंत्र फलन W ( q 1, q 2, ..., q N ) को हैमिल्टन (Hamilton)का अभिलक्षणिक फलन (Hamilton's characteristic function) कहा जाता है। इस फ़ंक्शन के भौतिक महत्व को इसके कुल समय व्युत्पन्न (total time derivative) लेने से समझा जाता है

$$\frac{d W}{d t} = \frac{\partial W}{\partial q_i} \dot q_i = p_i \dot q_i.$$

इसे देने के लिए समाकलित ( integrated) किया जा सकता है

$$W(q_1, \dots, q_N) = \int p_i\dot q_i \,dt = \int p_i \,dq_i,$$

जो सिर्फ संक्षिप्त क्रिया (abbreviated action.) है।

हैमिल्टन -जैकोबी समीकरणों के अन्य समाधान
हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण (Hamilton–Jacobi equations) अक्सर योगात्मक पृथक्करण (additive separability) द्वारा हल किए जाते हैं; कुछ मामलों में, समाधान के अलग-अलग पद, जैसे, S k  ( q k ), को "क्रिया" भी कहा जाता है।

एक सामान्यीकृत समन्वय की क्रिया
यह क्रिया-कोण निर्देशांक में एक एकल चर J k है, जिसे चरण स्थान में एक बंद पथ के चारों ओर एकल सामान्यीकृत गति को एकीकृत करके परिभाषित किया गया है, जो घूर्णन या दोलन गति के अनुरूप है:

$$J_k = \oint p_k \,dq_k$$

चर J k को सामान्यीकृत निर्देशांक q k की "क्रिया" कहा जाता है; क्रिया-कोण निर्देशांकों के तहत अधिक पूर्ण रूप से वर्णित कारणों के लिए, J k से संबंधित विहित चर संयुग्म इसका "कोण" w k है। एकीकरण केवल एक चर q k के ऊपर है और इसलिए, उपरोक्त संक्षिप्त क्रिया में एकीकृत डॉट उत्पाद के विपरीत है। चरJ k, S k ( q k ) में परिवर्तन के बराबर होता है क्योंकि q k बंद पथ के चारों ओर भिन्न-भिन्न होता है। ब्याज की कई भौतिक प्रणालियों के लिए,  Jk या तो स्थिर (constant) है या बहुत धीरे-धीरे बदलता है; इसलिए, चर Jkअक्सर गड़बड़ी गणना (perturbation calculations) में और एडियाबेटिक इनवेरिएंट निर्धारित करने में उपयोग किया जाता है।

स्रोत और आगे पढ़ना
एक एनोटेट ग्रंथ सूची के लिए, एडविन एफ। टेलर देखें जो सूची, अन्य बातों के अलावा, निम्नलिखित पुस्तकें
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 * गेराल्ड जे सुसमैन और   जैक विजडम, संरचना और शास्त्रीय यांत्रिकी की संरचना और व्याख्या (MIT प्रेस, 2001)।कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत के साथ शुरू होता है, आधुनिक गणितीय संकेतन का उपयोग करता है, और कंप्यूटर भाषा में प्रोग्रामिंग करके प्रक्रियाओं की स्पष्टता और स्थिरता की जांच करता है।
 * डेयर ए। वेल्स, लैग्रैन्जियन डायनेमिक्स, शाउम की रूपरेखा श्रृंखला (मैकग्रा-हिल, 1967) ISBN 0-07-069258-0, विषय की 350-पृष्ठ व्यापक रूपरेखा।
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 * वोल्फगैंग Yourgrau और   STANLEY MANDELSTAM, [https://books.google.com/books/about/variational_principles_in_dynamics_and_and_q.html?id=owtyrjjxzbyc warational सिद्धांतों (1979)एक अच्छा उपचार जो सिद्धांत के दार्शनिक निहितार्थ से बचता नहीं है और क्वांटम यांत्रिकी के फेनमैन उपचार की प्रशंसा करता है जो बड़े द्रव्यमान की सीमा में कम से कम कार्रवाई के सिद्धांत को कम करता है।
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