आंशिक निर्देशांक

क्रिस्टलोग्राफी में, आंशिक निर्देशांक प्रणाली (क्रिस्टल निर्देशांक प्रणाली) एक निर्देशांक प्रणाली है जिसमें समतल का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सदिश क्रिस्टल (आवधिक) स्वरूप के जाली सदिश हैं। मूल और आधार का चयन इकाई सेल को परिभाषित करता है, समानांतर चतुर्भुज (अर्थात, समानांतर चतुर्भुज का सामान्यीकरण (2D) या समानांतर चतुर्भुज (3D) उच्च आयामों में) जाली आधार सदिश $$ \mathbf {a}_1, \mathbf {a}_2, \dots, \mathbf {a}_d $$ द्वारा परिभाषित करता है, जहाँ $$ d $$ समतल का आयाम है। ये आधार सदिश जाली मापदंडों (जाली स्थिरांक) द्वारा वर्णित हैं, जिसमें जाली आधार सदिश की लंबाई $$ a_1, a_2, \dots, a_d$$ और उनके बीच के कोण $$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{\frac{d(d-1)}{2}}$$ सम्मिलित है।

क्रिस्टलोग्राफी में अधिकांश स्थितियों में दो या तीन आयामी स्थान सम्मिलित होते हैं जिसमें आधार $$ \mathbf {a}_1, \mathbf {a}_2, \mathbf {a}_3 $$ सदिश होते हैं सामान्यतः $$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$$ के रूप में प्रदर्शित होते हैं, और उनकी लंबाई $$a, b, c$$ और कोण $$\alpha, \beta, \gamma$$ द्वारा निरूपित किया गया हैं।
 * Crystal Coordinates.png

क्रिस्टल संरचना
क्रिस्टल संरचना को क्रिस्टल के अन्दर परमाणुओं के स्थानिक वितरण के रूप में परिभाषित किया जाता है, सामान्यतः अनंत क्रिस्टल स्वरूप के विचार से तैयार किया जाता है। अनंत क्रिस्टल स्वरूप अनंत 3डी आवधिक सरणी को संदर्भित करता है जो क्रिस्टल से मेल खाता है, जिसमें सरणी की आवधिकताओं की लंबाई को स्वैच्छिक रूप से छोटा नहीं किया जा सकता है। ज्यामितीय बदलाव जो क्रिस्टल संरचना को स्वयं के साथ संयोग करता है, को क्रिस्टल संरचना का समरूपता अनुवाद (अनुवाद) कहा जाता है। इस शिफ्ट से संबंधित सदिश को ट्रांसलेशन सदिश $$ \mathbf{t} $$ कहा जाता है। चूँकि क्रिस्टल स्वरूप आवधिक होता है, अनुवाद सदिश के सभी पूर्णांक रैखिक संयोजन भी स्वयं अनुवाद सदिश होते हैं,

$$\mathbf{t} = c_1\mathbf{t}_1+c_2\mathbf{t}_2 \text { where } c_1, c_2 \in \mathbb{Z}$$

जाली
सदिश जाली (समूह) $$ \mathbf{T} $$ क्रिस्टल स्वरूप के सभी अनुवाद सदिशों से युक्त अनंत सेट के रूप में परिभाषित किया गया है। सदिश जालक में प्रत्येक सदिश को जालक सदिश कहा जाता है। सदिश जालक से बिंदु जालक का निर्माण संभव है। यह स्थिति सदिश $$\mathbf{x}_0$$ के साथ मूल $$X_0$$ का चयन करके किया जाता है, समापन बिंदु $$X_i$$ प्रत्येक सदिश में से $$\mathbf{x}_i = \mathbf{x}_0 + \mathbf{t}_i$$ की बिंदु जाली बनाओ $$X_0$$ और $$\mathbf{T}$$ बिंदु जालक में प्रत्येक बिंदु की आवधिकता होती है, अर्थात प्रत्येक बिंदु समान होता है और उसका परिवेश समान होता है। किसी भी सदिश जाली के लिए किसी भी स्वैच्छिक मूल के रूप में अनंत संख्या में बिंदु जाली $$X_0$$ उपस्थित हैं,  सदिश जाली के जाली सदिश के साथ चुना और जोड़ा जा सकता है। अनुवाद के माध्यम से दूसरे के साथ संयोग किए गए बिंदुओं या कणों को अनुवाद समतुल्य कहा जाता है।

सामान्य निर्देशांक प्रणाली
सामान्यतः किसी स्थान का ज्यामितीय रूप से वर्णन करते समय, निर्देशांक प्रणाली का उपयोग किया जाता है जिसमें उत्पत्ति का विकल्प होता है और आधार (रैखिक बीजगणित) होता है। $$ d $$ रैखिक रूप से स्वतंत्र, गैर समतलीय आधार सदिश $$ \mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, \dots, \mathbf{a}_d $$, कहाँ $$ d $$ वर्णित समतल का आयाम है। इस निर्देशांक प्रणाली के संदर्भ में, समतल में प्रत्येक बिंदु $$d$$ निर्देशांक (निर्देशांक $$d$$-टुपल) को निर्दिष्ट किया जा सकता है। मूल में निर्देशांक हैं $$(0, 0,\dots,0)$$ और स्वैच्छिक बिंदु के निर्देशांक हैं $$(x_1,x_2,...,x_d)$$. स्थिति सदिश $$ \vec{OP} $$ तब है,

$$\vec{OP} = \mathbf{x} = \sum_{i=1}^{d} x_i\mathbf{a}_i$$ में $$d$$-आयाम, आधार सदिशों की लंबाई $$a_1, a_2, \dots, a_d$$ और उनके बीच के कोण $$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{\frac{d(d-1)}{2}}$$ निरूपित की जाती है. चूंकि, क्रिस्टलोग्राफी में अधिकांश स्थितियों में दो या तीन आयामी स्थान सम्मिलित होते हैं जिसमें आधार सदिश $$ \mathbf {a}_1, \mathbf {a}_2, \mathbf {a}_3 $$ होते हैं, सामान्यतः $$\mathbf{a}, \mathbf{b}, \mathbf{c}$$ के रूप में प्रदर्शित होते हैं उनकी लंबाई और को $$a, b, c$$ और $$\alpha, \beta, \gamma$$ द्वारा निरूपित किया गया।

कार्तीय निर्देशांक प्रणाली
विस्तृत रूप से उपयोग की जाने वाली निर्देशांक प्रणाली कार्तीय निर्देशांक प्रणाली है, जिसमें ऑर्थोनॉर्मलिटी आधार सदिश होते हैं। इस का अर्थ है कि,

$$a_1 = |\mathbf{a}_1| = a_2 = |\mathbf{a}_2| = \dots = a_d = |\mathbf{a}_d| = 1$$ और $$\alpha_1 = \alpha_2 = \dots = \alpha_{\frac{d(d-1)}{2}} = 90^\circ$$

चूंकि, क्रिस्टलीय या आवधिक संरचना वाली वस्तुओं का वर्णन करते समय कार्तीय निर्देशांक प्रणाली अक्सर सबसे उपयोगी नहीं होती है क्योंकि यह अक्सर जाली के समरूपता को सरलतम विधियों से प्रतिबिंबित नहीं करती है।

आंशिक (क्रिस्टल) निर्देशांक प्रणाली
क्रिस्टलोग्राफी में, क्रिस्टल स्वरूप (या समतल में किसी अन्य आवधिक स्वरूप) के अंतर्निहित जाली की समरूपता को उत्तम रूप से दर्शाने के लिए भिन्नात्मक निर्देशांक प्रणाली का उपयोग किया जाता है। आंशिक निर्देशांक प्रणाली में निर्देशांक प्रणाली के आधार सदिश को जाली सदिश के रूप में चुना जाता है और आधार को तब क्रिस्टलोग्राफिक आधार (या जाली आधार) कहा जाता है।

जाली के आधार पर, कोई जाली सदिश $$\mathbf{t}$$ के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है,

$$\mathbf{t} = \sum_{i=1}^{d} c_i\mathbf{a}_i \text{ where } c_i \in \mathbb{Q}$$

क्रिस्टल स्वरूप के लिए अनंत संख्या में जालीदार आधार होते हैं। चूँकि, इन्हें इस प्रकार से चुना जा सकता है कि स्वरूप का सबसे सरल विवरण प्राप्त किया जा सके। इन आधारों का उपयोग क्रिस्टलोग्राफी वॉल्यूम ए के अंतर्राष्ट्रीय तालिकाओं में किया जाता है और इन्हें पारंपरिक आधार कहा जाता है। जालीदार आधार $$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, ..., \mathbf{a}_d$$ अभाज्य कहा जाता है यदि आधार सदिश जाली सदिश और सभी जाली सदिश हैं, जिसे $$\mathbf{t}$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,

$$\mathbf{t} = \sum_{i=1}^{d} c_i \mathbf{a}_i \text{ where } c_i \in \mathbb{Z}$$

चूंकि, क्रिस्टल स्वरूप के पारंपरिक आधार को हमेशा अभाज्य होने के लिए नहीं चुना जाता है। इसके अतिरिक्त, इसे चुना जाता है जिससे ऑर्थोगोनल आधार सदिश की संख्या अधिकतम हो। इसका परिणाम उपरोक्त समीकरणों के कुछ गुणांक भिन्नात्मक होते हैं। जाली जिसमें पारंपरिक आधार अभाज्य होता है, उसे अभाज्य जाली कहा जाता है, चूंकि गैर-अभाज्य पारंपरिक आधार वाली जाली को केंद्रित जाली कहा जाता है।

उत्पत्ति और आधार का चुनाव इकाई सेल की पसंद का तात्पर्य है जिसे क्रिस्टल स्वरूप का वर्णन करने के लिए आगे उपयोग किया जा सकता है। इकाई सेल को समांतरोटोप के रूप में परिभाषित किया गया है (अर्थात, उच्च आयामों में समांतर चतुर्भुज (2D) या समानांतर चतुर्भुज (3D) का सामान्यीकरण) जिसमें सभी बिंदुओं के निर्देशांक ऐसे हैं कि, $$0 \leq x_1,x_2,\dots,x_d < 1$$.

इसके अतिरिक्त, इकाई सेल के बाहर के बिंदुओं को मानकीकरण के माध्यम से इकाई सेल के अंदर रूपांतरित किया जा सकता है, यह सुनिश्चित करने के लिए $$0 \leq x_1,x_2,\dots,x_d < 1$$ अंकों के निर्देशांक में पूर्णांकों का जोड़ या घटाव, भिन्नात्मक निर्देशांक प्रणाली में, आधार सदिशों की लंबाई $$\mathbf{a}_1, \mathbf{a}_2, ..., \mathbf{a}_d$$ और उनके बीच के कोण $$\alpha_1, \alpha_2, \dots, \alpha_{\frac{d(d-1)}{2}}$$ जाली के जाली पैरामीटर (जाली स्थिरांक) कहलाते हैं। दो और तीन आयामों में, ये इकाई सेल के किनारों के बीच की लंबाई और कोणों के अनुरूप हैं।

समतल में बिंदु के भिन्नात्मक निर्देशांक $$\rho = (\rho_{x_1}, \rho_{x_2}, \dots, \rho_{x_d})$$ जाली आधार सदिश के रूप में परिभाषित किया गया है,

$$\rho = \rho_{x_1}\mathbf{a}_1 + \rho_{x_2}\mathbf{a}_2 + \dots + \rho_{x_d}\mathbf{a}_d \text{ where } \rho \in [0,1)$$

इकाई सेल से जुड़ी गणना
आंशिक और कार्तीय निर्देशांक के बीच सामान्य परिवर्तन

तीन आयाम
आंशिक और कार्तीय निर्देशांक के बीच संबंध को आव्यूह परिवर्तन $$ \mathbf{r} = \mathbf{A}\boldsymbol\rho $$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है :

$$\begin{pmatrix} r_{x_1} \\ r_{x_2} \\ r_{x_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1 \sin (\alpha_2 ) \sqrt{1-(\cot (\alpha_1 ) \cot (\alpha_2 )-\csc (\alpha_1 ) \csc (\alpha_2 ) \cos (\alpha_3 ))^2} & 0 & 0 \\ a_1 \csc (\alpha_1 ) \cos (\alpha_3 )-a_1 \cot (\alpha_1 ) \cos (\alpha_2 ) & a_2 \sin (\alpha_1 ) & 0 \\ a_1 \cos (\alpha_2 ) & a_2 \cos (\alpha_1 ) & a_3 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \rho_{x_1} \\ \rho_{x_2} \\ \rho_{x_3} \end{pmatrix}$$

इसी प्रकार, कार्तीय निर्देशांक को आव्यूह परिवर्तन $$ \mathbf{r} = \mathbf{A}^{-1}\boldsymbol\rho $$ का उपयोग करके भिन्नात्मक निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है:

$$ \begin{pmatrix} \rho_{x_1} \\ \rho_{x_2} \\ \rho_{x_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \frac{\csc (\alpha_2 )}{a_1 \sqrt{1-(\cot (\alpha_1 ) \cot (\alpha_2 )-\csc (\alpha_1 ) \csc (\alpha_2 ) \cos (\alpha_3 ))^2}} & 0 & 0 \\ \frac{\csc ^2(\alpha_1 ) \csc (\alpha_2 ) (\cos (\alpha_1 ) \cos (\alpha_2 )-\cos (\alpha_3 ))}{a_2 \sqrt{1-(\cot (\alpha_1 ) \cot  (\alpha_2 )-\csc (\alpha_1 ) \csc (\alpha_2 ) \cos (\alpha_3 ))^2}} & \frac{\csc (\alpha_1 )}{a_2} & 0 \\ \frac{\csc (\alpha ) (\cot (\alpha_1 ) \csc (\alpha_2 ) \cos (\alpha_3 )-\csc (\alpha_1 ) \cot (\alpha_2 ))}{a_3 \sqrt{1-(\cot  (\alpha_1 ) \cot (\alpha_2 )-\csc (\alpha_1 ) \csc (\alpha_2 ) \cos (\alpha_3 ))^2}} & -\frac{\cot (\alpha_1 )}{a_3} & \frac{1}{a_3} \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} r_{x_1} \\ r_{x_2} \\ r_{x_3} \end{pmatrix} $$

सेल प्रदिश का उपयोग कर परिवर्तन

भिन्नात्मक और कार्तीय निर्देशांक के बीच परिवर्तित करने की अन्य सामान्य विधि में सेल टेन्सर $$\mathbf{h}$$ का उपयोग सम्मिलित है, जिसमें कार्तीय निर्देशांक में व्यक्त समतल के प्रत्येक आधार सदिश सम्मिलित हैं।

सेल प्रदिश
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में 2 आधार सदिशों को a $$2 \times 2$$ सेल प्रदिश $$\mathbf{h}$$ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है:

$$\mathbf{h} = \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 \end{pmatrix}^\operatorname{T} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} \end{pmatrix}$$

इकाई सेल का क्षेत्रफल, $$A$$, सेल आव्यूह के निर्धारक द्वारा दिया गया है:

$$ A = \det(\mathbf{h}) = a_{1,x_1}a_{2,x_2} - a_{1,x_2}a_{2,x_2}$$

वर्ग या आयताकार इकाई सेल के विशेष स्थितियों के लिए, आव्यूह विकर्ण है, और हमारे पास वह है:

$$A = \det(\mathbf{h}) = a_{1,x_1}a_{2,x_2}$$

भिन्नात्मक और कार्तीय निर्देशांक के बीच संबंध
आंशिक और कार्तीय निर्देशांक के बीच संबंध को आव्यूह परिवर्तन $$ \mathbf{r} = \mathbf{h}\boldsymbol\rho $$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

$$ \begin{pmatrix} r_{x_1} \\ r_{x_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \rho_{x_1}  \\ \rho_{x_2} \end{pmatrix} $$

इसी प्रकार, कार्तीय निर्देशांक को आव्यूह परिवर्तन $$ \boldsymbol\rho = \mathbf{h}^{-1}\mathbf{r} $$ का उपयोग करके भिन्नात्मक निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है:

$$ \begin{pmatrix} \rho_{x_1} \\ \rho_{x_2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} r_{x_1}  \\ r_{x_2} \end{pmatrix} $$

सेल प्रदिश
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में 3 आधार सदिशों को a$$3 \times 3$$ सेल प्रदिश $$\mathbf{h}$$ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है:

$$\mathbf{h} = \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_3 \end{pmatrix}^\operatorname{T} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} & a_{1,x_3} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} & a_{2,x_3} \\ a_{3,x_1} & a_{3,x_2} & a_{3,x_3} \end{pmatrix}$$

इकाई सेल का आयतन, $$V$$, सेल प्रदिश के निर्धारक द्वारा दिया गया है:

$$V = \det(\mathbf{h}) = a_{1,x_1}(a_{2,x_2}a_{3,x_3}-a_{2,x_3}a_{3,x_2}) - a_{1,x_2}(a_{2,x_1}a_{3,x_3} - a_{2,x_3}a_{3,x_1}) - a_{1,x_3}(a_{2,x_1}a_{3,x_2} - a_{2,x_2}a_{3,x_1})$$

घनीय, चतुष्कोण या ऑर्थोरोम्बिक सेल के विशेष स्थितियों के लिए, आव्यूह विकर्ण है, और हमारे पास वह है:

$$V = \det(\mathbf{h}) = a_{1,x_1}a_{2,x_2}a_{3,x_3}$$

भिन्नात्मक और कार्तीय निर्देशांक के बीच संबंध
आंशिक और कार्तीय निर्देशांक के बीच संबंध को आव्यूह परिवर्तन $$ \mathbf{r} = \mathbf{h}\boldsymbol\rho $$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

$$ \begin{pmatrix} r_{x_1} \\ r_{x_2} \\ r_{x_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} & a_{1,x_3} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} & a_{2,x_3} \\ a_{d,x_1} & a_{d,x_2} & a_{d,x_d} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \rho_{x_1}  \\ \rho_{x_2} \\ \rho_{x_3} \end{pmatrix} $$

इसी प्रकार, कार्तीय निर्देशांक को आव्यूह परिवर्तन $$ \boldsymbol\rho = \mathbf{h}^{-1}\mathbf{r} $$ का उपयोग करके भिन्नात्मक निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है:

$$ \begin{pmatrix} \rho_{x_1} \\ \rho_{x_2} \\ \rho_{x_3} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} & a_{1,x_3} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} & a_{2,x_3} \\ a_{d,x_1} & a_{d,x_2} & a_{d,x_d} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} r_{x_1}  \\ r_{x_2} \\ r_{x_3} \end{pmatrix} $$

सेल प्रदिश
कार्तीय निर्देशांक प्रणाली में $$ d $$ आधार सदिश $$d \times d$$ सेल प्रदिश $$\mathbf{h}$$ द्वारा प्रतिनिधित्व कर रहे हैं:

$$\mathbf{h} = \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2 & \dots & \mathbf{a}_d \end{pmatrix}^\operatorname{T} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} & \dots & a_{1,x_d} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} & \dots & a_{2,x_d} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{d,x_1} & a_{d,x_2} & \dots & a_{d,x_d} \end{pmatrix}$$

इकाई सेल का हाइपरवोल्यूम, $$V$$, सेल प्रदिश के निर्धारक द्वारा दिया गया है:

$$V = \det(\mathbf{h})$$

भिन्नात्मक और कार्तीय निर्देशांक के बीच संबंध
आंशिक और कार्तीय निर्देशांक के बीच संबंध को आव्यूह परिवर्तन $$ \mathbf{r} = \mathbf{h}\boldsymbol\rho $$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है:

$$ \begin{pmatrix} r_{x_1} \\ r_{x_2} \\ \vdots \\ r_{x_d} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} & \dots & a_{1,x_d} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} & \dots & a_{2,x_d} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{d,x_1} & a_{d,x_2} & \dots & a_{d,x_d} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \rho_{x_1}  \\ \rho_{x_2} \\ \vdots \\ \rho_{x_d} \end{pmatrix} $$

इसी प्रकार, कार्तीय निर्देशांक को परिवर्तन $$ \boldsymbol\rho = \mathbf{h}^{-1}\mathbf{r} $$ का उपयोग करके वापस भिन्नात्मक निर्देशांक में परिवर्तित किया जा सकता है :

$$ \begin{pmatrix} \rho_{x_1}  \\ \rho_{x_2} \\ \vdots \\ \rho_{x_d} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_{1,x_1} & a_{1,x_2} & \dots & a_{1,x_d} \\ a_{2,x_1} & a_{2,x_2} & \dots & a_{2,x_d} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{d,x_1} & a_{d,x_2} & \dots & a_{d,x_d} \end{pmatrix}^{-1} \begin{pmatrix} r_{x_1}  \\ r_{x_2} \\ \vdots \\ r_{x_d} \end{pmatrix} $$

मीट्रिक प्रदिश का उपयोग करके दो और तीन आयामों में सेल गुणों का निर्धारण

मीट्रिक प्रदिश $$\mathbf{G}$$ कभी-कभी इकाई सेल से जुड़ी गणनाओं के लिए प्रयोग किया जाता है और इसे (आव्यूह रूप में) परिभाषित किया जाता है:

दो आयामों में,

$$\mathbf{G} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} \\ g_{21} & g_{22} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_2 \\ \mathbf{a}_2\cdot\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2\cdot\mathbf{a}_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1^2 & a_1a_2\cos(\alpha_1) \\ a_1a_2\cos(\alpha_1) & a_2^2 \end{pmatrix}$$

तीन आयामों में,

$$\mathbf{G} = \begin{pmatrix} g_{11} & g_{12} & g_{13} \\ g_{21} & g_{22} & g_{23} \\ g_{31} & g_{32} & g_{33} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_1\cdot\mathbf{a}_3 \\ \mathbf{a}_2\cdot\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_2\cdot\mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_2\cdot\mathbf{a}_3 \\ \mathbf{a}_3\cdot\mathbf{a}_1 & \mathbf{a}_3\cdot\mathbf{a}_2 & \mathbf{a}_3\cdot\mathbf{a}_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a_1^2 & a_1a_2\cos(\alpha_3) & a_1a_3\cos(\alpha_2) \\ a_1a_2\cos(\alpha_3) & a_2^2 & a_2a_3\cos(\alpha_1) \\ a_1a_3\cos(\alpha_2) & a_2a_3\cos(\alpha_1) & a_3^2 \end{pmatrix}$$

दो बिंदुओं के बीच की दूरी $$Q$$ और $$R$$ इकाई सेल में संबंध से निर्धारित किया जा सकता है:

$$ d_{qr}^2 = \sum_{i, j} g_{ij} (r_i - q_i)(r_j - q_j) $$

इकाई सेल की उत्पत्ति से बिंदु तक की दूरी $$Q$$ इकाई सेल के अन्दर संबंध से निर्धारित किया जा सकता है:

$$ OQ = r_q; r_q^2 = \sum_{i, j} g_{ij} q_i q_j $$

तीन बिंदुओं से बना कोण $$Q$$, $$P$$ (शीर्ष), और $$R$$ इकाई सेल के अन्दर संबंध से निर्धारित किया जा सकता है:

$$\cos(QPR) = (r_{pq})^{-1}(r_{pr})^{-1}\sum_{i, j}g_{ij}(q_i - p_i)(r_j - p_j)$$

इकाई सेल का आयतन, $$V$$ संबंध से निर्धारित किया जा सकता है:

$$V^2 = \det(\mathbf{G})$$