विपरीत समूह

समूह सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, विपरीत समूह दूसरे समूह से एक समूह बनाने का एक प्रकार है जो किसी को बाईं क्रिया (गणित) के विशेष प्रकरण के रूप में दाहिनी क्रिया को परिभाषित करने की अनुमति देती है।

एकाभ, समूह, रिंग, और बीजगणित को एक ही वस्तु वाली श्रेणियों (गणित) के रूप में देखा जा सकता है। विपरीत श्रेणी का निर्माण विपरीत समूह, विपरीत रिंग आदि का सामान्यीकरण करता है।

परिभाषा
मान लीजिए $$G$$ संचालन $$*$$ के अंतर्गत एक समूह है। $$G$$ के विपरीत समूह, जिसे $$G^{\mathrm{op}}$$ कहा जाता है, $$G$$ के समान अंतर्निहित समुच्चय है, और इसके समूह संचालन $$\mathbin{\ast}$$ को $$g_1 \mathbin{\ast'} g_2 = g_2 * g_1$$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

अगर $$G$$ एबेलियन है, तो यह इसके विपरीत समूह के समान है। साथ ही, प्रत्येक समूह $$G$$ (आवश्यक रूप से एबेलियन नहीं) अपने विपरीत समूह के लिए स्वाभाविक रूप से अपने विपरीत समूह के समरूपी है: एक समरूपता $$\varphi: G \to G^{\mathrm{op}}$$ $$\varphi(x) = x^{-1}$$ द्वारा दी जाती है। अधिक सामान्यतः, कोई भी एंटीऑटोमोर्फिज्म $$\psi: G \to G$$ एक संगत समरूपता $$\psi': G \to G^{\mathrm{op}}$$ को $$\psi'(g)=\psi(g)$$ के माध्यम से उन्नति देता है, क्योंकि
 * $$\psi'(g * h) = \psi(g * h) = \psi(h) * \psi(g) = \psi(g) \mathbin{\ast'} \psi(h)=\psi'(g) \mathbin{\ast'} \psi'(h).$$

समूह क्रिया
मान लीजिए कि $$X$$ किसी श्रेणी में एक वस्तु है, और $$\rho: G \to \mathrm{Aut}(X)$$ एक सही क्रिया है। तब $$\rho^{\mathrm{op}}: G^{\mathrm{op}} \to \mathrm{Aut}(X)$$ एक बाईं क्रिया है जिसे $$\rho^{\mathrm{op}}(g)x = x\rho(g)$$, या $$g^{\mathrm{op}}x = xg$$ द्वारा परिभाषित किया गया है।

यह भी देखें

 * विपरीत रिंग
 * विपरीत वर्ग

बाहरी संबंध

 * http://planetmath.org/oppositegroup