लाई अधि-बीजगणित

गणित में, लाई अधि-बीजगणित Z2श्रेणीबद्ध बीजगणित को सम्मिलित करने के लिए लाई बीजगणित का सामान्यीकरण है। सैद्धांतिक भौतिकी में अधि-बीजगणित महत्वपूर्ण हैं जहां उनका उपयोग अतिसममिति के गणित का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इनमें से अधिकांश सिद्धांतों में, अधि-बीजगणित के सम अवयव बोसॉन के अनुरूप होते हैं और विषम अवयव फरमिओन्स के अनुरूप होते हैं (किन्तु यह सदैव सत्य नहीं होता है; उदाहरण के लिए, सर्वोत्तम अतिसममिति इसकी दूसरी विधि है)।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, लाई अधि-बीजगणित गैर-सहयोगी Z2-श्रेणीबद्ध बीजगणित, या अधि-बीजगणित है, जो एक क्रमविनिमेय वलय (सामान्यतः 'R' या 'C') पर होता है, जिसका उत्पाद [···], जिसे 'लाइ सुपरब्रैकेट' या सुपरकम्यूटेटर कहा जाता है,दो स्थितियों (सामान्य के अनुरूप) को संतुष्ट करता है श्रेणीकरण के साथ बीजगणित स्वयंसिद्ध लाई):

सुपर परोक्ष-समरूपता:


 * $$[x,y]=-(-1)^{|x| |y|}[y,x].\ $$

सुपर जैकोबी पहचान:
 * $$(-1)^{|x||z|}[x, [y, z]] + (-1)^{|y||x|}[y, [z, x]] + (-1)^{|z||y|}[z, [x, y]] = 0, $$

जहां 'Z'2-श्रेणीकरण में x, y, और z शुद्ध हैं। जहाँ, |x| x की डिग्री को दर्शाता है (या तो 0 या 1)। [x,y] की डिग्री x और y मापदंड 2 की डिग्री का योग है।

कोई कभी-कभी |x|= 0 के लिए स्वयंसिद्ध $$[x,x]=0$$ भी जोड़ता है (यदि 2 विपरीत है तो यह स्वचालित रूप से अनुसरण करता है) और |x|= 1 के लिए $$[[x,x],x]=0$$ (यदि 3 विपरीत है तो यह स्वचालित रूप से अनुसरण करता है)। जब क्षेत्र वलय पूर्णांक होती है या लाई अधि-बीजगणित स्वतंत्र मापदंड होता है, तो ये स्थितियाँ उस स्थिति के समान होती हैं जो पोंकारे-बिरखॉफ़-विट प्रमेय रखती हैं (और, सामान्य रूप पर, वे प्रमेय को धारण करने के लिए आवश्यक नियम हैं)।

इस प्रकार से लाई बीजगणित की ही तरह, लाई अधि-बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित को हॉपफ बीजगणित संरचना दी जा सकती है।

एक श्रेणीबद्ध लाई बीजगणित (मान लीजिए, 'Z' या 'N' द्वारा वर्गीकृत) जो कि प्रतिसंक्रामक है और श्रेणीबद्ध अर्थ में जैकोबी $$Z_2$$ के पास भी है श्रेणीकरण (जिसे बीजगणित को विषम और सम भागों में "रोलिंग अप" कहा जाता है), किन्तु इसे "सुपर" नहीं कहा जाता है। किन्तु विचार के लिए श्रेणीबद्ध लाई बीजगणित पर नोट-0 देखें।

गुण
मान लीजिये $$\mathfrak g = \mathfrak g_0 \oplus \mathfrak g_1$$ लाई अधि-बीजगणित बनें। जैकोबी पहचान का निरीक्षण करने पर, कोई यह देख सकता है कि आठ स्तिथि हैं जो इस तथ्य पर निर्भर करते हैं कि तर्क सम या विषम हैं । ये चार वर्गों में आते हैं, जिन्हें विषम अवयवो की संख्या के आधार पर अनुक्रमित किया जाता है:
 * 1) कोई विषम अवयव नहीं. कथन केवल इतना ही है कि $$\mathfrak g_0$$ एक सामान्य लाई बीजगणित है.
 * 2) एक विषम अवयव . तब $$\mathfrak g_1$$क्रिया $$\mathfrak g_0$$ के लिए $$\mathrm{ad}_a: b \rightarrow [a, b], \quad a \in \mathfrak g_0, \quad b, [a, b] \in \mathfrak g_1$$ मापदंड है.
 * 3) द्वीय विषम अवयव . जैकोबी पहचान कहती है कि ब्रैकेट $$\mathfrak g_1 \otimes \mathfrak g_1 \rightarrow \mathfrak g_0$$ एक सममित $$\mathfrak g_1$$-मानचित्र है।
 * 4) तृतीय विषम अवयव . सभी के लिए $$b \in \mathfrak g_1$$, $$[b,[b,b]] = 0$$.

इस प्रकार एक लाई अधि-बीजगणित का सम उपबीजगणित $$\mathfrak g_0$$ एक (सामान्य) लाई बीजगणित बनाता है क्योंकि सभी चिह्न विलुप्त हो जाते हैं, और सुपरब्रैकेट एक सामान्य लाई ब्रैकेट बन जाता है, जबकि $$\mathfrak g_1$$, $$\mathfrak g_0$$ का एक रैखिक प्रतिनिधित्व है और एक सममित $$\mathfrak g_0$$-समतुल्य रेखीय मानचित्र $$\{\cdot,\cdot\}:\mathfrak g_1\otimes \mathfrak g_1\rightarrow \mathfrak g_0$$ उपस्तिथ है। वह,


 * $$[\left\{x, y\right\},z]+[\left\{y, z\right\},x]+[\left\{z, x\right\},y]=0, \quad x,y, z \in \mathfrak g_1.$$

स्थितियाँ (1)-(3) रैखिक हैं और सभी को सामान्य लाई बीजगणित के संदर्भ में समझा जा सकता है। नियम (4) अरैखिक है, और सामान्य लाई बीजगणित ($$\mathfrak g_0$$) और प्रतिनिधित्व ($$\mathfrak g_1$$) से प्रारंभ करके लाई अधि-बीजगणित का निर्माण करते समय इसे सत्यापित करना सबसे कठिन है।

आक्रमण
A∗ लाई अधि-बीजगणित सम्मिश्र लाई अधि-बीजगणित है जो अपने आप में प्रत्यावर्तन (गणित) प्रतिरेखीय मानचित्र से सुसज्जित है जो Z2 श्रेणीकरण का सम्मान करता है और लाई अधि-बीजगणित में सभी x और y के लिए [x,y]* = [y*,x*] को संतुष्ट करता है। (कुछ लेखक सम्मेलन को प्राथमिकता देते हैं [x,y]*=(−1)undefined[y*,x*]; परिवर्तन * को −* दो सम्मेलनों के बीच स्विच करता है।) इसका सार्वभौमिक आवरण बीजगणित एक साधारण *-बीजगणित होगा।

उदाहरण
इस प्रकार से किसी भी सहयोगी अधि-बीजगणित $$A$$ को देखते हुए कोई सजातीय अवयवो के सुपर कंप्यूटर को परिभाषित कर सकता है
 * $$[x,y] = xy - (-1)^{|x||y|}yx\ $$

और फिर सभी अवयवो तक रैखिकता द्वारा विस्तार करना। बीजगणित $$A$$ सुपरकम्यूटेटर के साथ मिलकर यह लाई अधि-बीजगणित बन जाता है। इस प्रक्रिया का सबसे सरल उदाहरण कदाचित तब है जब $$A$$ अपने आप में एक सुपर सदिश स्थान $$V$$ के सभी रैखिक कार्यों $$\mathbf {End}(V)$$ का स्थान है। जब $$V = \mathbb K^{p|q}$$ होता है तो इस स्थान को $$M^{p|q}$$ या $$M(p|q)$$ द्वारा दर्शाया जाता है, ऊपर दिए गए लाई ब्रैकेट के साथ, स्थान को $$\mathfrak {gl}(p|q)$$ दर्शाया जाता है

होमोटॉपी समूहों पर व्हाइटहेड उत्पाद पूर्णांकों पर लाई अधि-बीजगणित के कई उदाहरण देता है।

सुपर-पोंकारे बीजगणित समतल सुपरस्पेस की सममिति उत्पन्न करता है।

वर्गीकरण
सरल सम्मिश्र परिमित-आयामी लाई अधि-बीजगणित को विक्टर काक द्वारा वर्गीकृत किया गया था।

वे (लाई बीजगणित को छोड़कर) हैं:

विशेष रैखिक लाई अधि-बीजगणित $$\mathfrak{sl}(m|n)$$.

लाई अधि-बीजगणित $$\mathfrak{sl}(m|n)$$ का उपबीजगणित है $$\mathfrak{gl}(m|n)$$ सुपर ट्रेस शून्य के साथ आव्यूह से मिलकर। यह सरल है जब $$m\not=n$$. यदि $$m=n$$, फिर पहचान आव्यूह $$ I_{2m} $$एक आदर्श उत्पन्न करता है. इस आदर्श $$\mathfrak{sl}(m|m) / \langle I_{2m} \rangle$$ को उद्धृत करने से पता चलता है जो $$m \geq 2$$ के लिए सरल है.

ऑर्थोसिम्पलेक्टिक लाई अधि-बीजगणित $$\mathfrak{osp}(m|2n)$$.

एक सम, गैर-पतित, अतिसममितीय बिलिनियर रूप $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$, $$\mathbb{C}^{m|2n}$$ पर विचार करें  फिर ऑर्थोसिम्पलेक्टिक लाई अधि-बीजगणित $$\mathfrak{gl}(m|2n)$$ का उपबीजगणित है जो की ऐसे आव्यूह से मिलकर जो इस रूप को अपरिवर्तनीय छोड़ देते हैं:$$\mathfrak{osp}(m|2n) = \{ X \in \mathfrak{gl}(m|2n) \mid \langle X u,v \rangle + (-1)^{|X||u|} \langle u, X v\rangle =0 \text{ for all } u,v \in \mathbb{C}^{m|2n} \}. $$ इसका सम भाग $$\mathfrak{so}(m) \oplus \mathfrak{sp}(2n)$$ द्वारा दिया गया है? .

असाधारण लाई अधि-बीजगणित $$D(2,1;\alpha)$$.

एक पैरामीटर $$\alpha$$ के आधार पर (9∣8)-आयामी लाई अधि-बीजगणित का वर्ग है. ये $$D(2,1)=\mathfrak{osp}(4|2)$$ की विकृतियाँ हैं. यदि $$\alpha\not=0$$ और $$\alpha\not=-1$$, तो D(2,1,α) सरल है। इसके अतिरिक्त $$D(2,1;\alpha) \cong D(2,1;\beta)$$ यदि मानचित्र $$\alpha$$ और $$\alpha \mapsto -1-\alpha$$ के अंतर्गत $$\beta$$ और $$\alpha \mapsto \alpha^{-1}$$ एक ही कक्षा में हैं

असाधारण लाई अधि-बीजगणित $$F(4)$$.

इसका आयाम (24|16) है। इसका सम भाग $$\mathfrak{sl}(2) \oplus \mathfrak{so}(7)$$ किसके द्वारा दिया गया है? .

असाधारण लाई अधि-बीजगणित $$G(3)$$.

इसका आयाम (17|14) है। इसका सम भाग $$\mathfrak{sl}(2) \oplus G_2$$ किसके द्वारा दिया गया है? .

जहाँ $$\mathfrak{pe}(n)$$ और $$\mathfrak{q}(n)$$ नाम की दो तथाकथित विषम श्रृंखला कहलाती है.

कार्टन प्रकार. इन्हें चार वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: $$W(n)$$, $$S(n)$$, $$\widetilde{S}(2n)$$ और $$H(n)$$. कार्टन प्रकार के सरल लाई अधि-बीजगणित के लिए, विषम भाग अब सम भाग की क्रिया के अधीन पूर्ण रूप से कम करने योग्य नहीं है।

अनंत-आयामी सरल रैखिक रूप से सघन लाई अधि-बीजगणित का वर्गीकरण
वर्गीकरण में 10 श्रृंखलाएँ सम्मिलित हैं W(m, n), S(m, n) ((m, n) ≠ (1, 1)), H(2m, n), K(2m + 1, n), HO(m, m) (m ≥ 2), SHO(m, m) (m ≥ 3), KO(m, m + 1), SKO(m, m + 1; β) (m ≥ 2), SHO ∼ (2m, 2m), SKO ∼ (2m + 1, 2m'' + 3) और पांच असाधारण बीजगणित:


 * E(1, 6), E(5, 10), E(4, 4), E(3, 6), E(3, 8)

अंतिम दो विशेष रूप से रोचक हैं (केएसी के अनुसार) क्योंकि उनके पास मानक मॉडल गेज समूह SU(3)×SU(2)×U(1) उनके शून्य स्तर बीजगणित के रूप में है। सुपरस्ट्रिंग सिद्धांत में अनंत-आयामी (एफ़िन) लाई अधि-बीजगणित महत्वपूर्ण समरूपताएं हैं। विशेष रूप से, $$\mathcal{N}$$ समानताएं वाले विरासोरो बीजगणित $$K(1, \mathcal{N})$$ होते हैं जिनका केवल $$\mathcal{N} = 4$$ केंद्रीय विस्तार होता है।

श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषा
श्रेणी सिद्धांत में, लाई अधि-बीजगणित को गैर-सहयोगी अधि-बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका उत्पाद संतुष्ट करता है

जहां σ चक्रीय क्रमपरिवर्तन ब्रेडिंग $$({\operatorname{id}} \otimes\tau_{A,A}) \circ (\tau_{A,A}\otimes {\operatorname{id}})$$ है. आरेखीय रूप में:
 * $$[\cdot,\cdot]\circ ({\operatorname{id}}+\tau_{A,A})=0$$
 * $$[\cdot,\cdot]\circ ([\cdot,\cdot]\otimes {\operatorname{id}} \circ({\operatorname{id}}+\sigma+\sigma^2)=0$$


 * Liealgebra.png

यह भी देखें

 * गेरस्टेनहाबर बीजगणित
 * एनीओनिक लाई बीजगणित
 * ग्रासमैन बीजगणित
 * एक लाई अधि-बीजगणित का प्रतिनिधित्व
 * सुपरस्पेस
 * सुपरग्रुप (भौतिकी)
 * सार्वभौमिक आवरण बीजगणित

बाहरी संबंध

 * Irving Kaplansky + Lie Superalgebras