वैन डेन बर्ग-केस्टेन असमानता

संभाव्यता सिद्धांत में, वैन डेन बर्ग-केस्टन (बीके) असमानता या वैन डेन बर्ग-केस्टन-रेइमर (बीकेआर) असमानता बताती है कि दो घटनाओं (संभावना सिद्धांत) के घटित होने की संभावना है, और एक ही समय में कोई भी असम्बद्धता पा सकता है। यह दिखाने के लिए कि वे दोनों घटित होते हैं, प्रमाण-पत्र अधिक से अधिक उनकी व्यक्तिगत संभावनाओं का उत्पाद है। दो मोनोटोन घटनाओं (एफकेजी असमानता में प्रयुक्त धारणा) के लिए विशेष स्थिति पहली बार वैन डेन बर्ग और हैरी चेस्टनट द्वारा सिद्ध किया गया था। 1985 में, जिन्होंने यह भी अनुमान लगाया कि असमानता सामान्य रूप से बनाए रखा है, इसमें एकरसता की आवश्यकता नहीं है। डेविड रीमर (गणितज्ञ) ने बाद में इस अनुमान को सिद्ध किया।  असमानता को उत्पाद संरचना के साथ संभाव्यता स्थानों पर प्रयुक्त किया जाता है, जैसे कि अंतःस्राव समस्याओं में।

कथन
मान लीजिए कि $$\Omega_1, \Omega_2, \ldots, \Omega_n$$ संभाव्यता स्थान है, प्रत्येक परिमित रूप से अनेक तत्वों का है। असमानता उत्पाद माप से सुसज्जित प्रपत्र $$\Omega = \Omega_1 \times \Omega_2 \times \cdots \times \Omega_n$$ के रिक्त स्थान पर प्रयुक्त होती है, जिससे प्रत्येक तत्व $$x = (x_1, \ldots, x_n) \in \Omega$$ को संभावना दी गई है$$ \mathbb P(\{x\}) = \mathbb P_1(\{x_1\}) \cdots \mathbb P_n(\{x_n\}).$$ दो घटनाओं $$A, B\subseteq \Omega$$ के लिए, उनकी असंयुक्त घटना $$A \mathbin{\square} B$$ को विन्यास $$x$$ से युक्त घटना के रूप में परिभाषित किया गया है, जिनकी $$A$$ और $$B$$ में सदस्यता सूचकांकों के असंयुक्त उपसमुच्चय पर सत्यापित की जा सकती है। औपचारिक रूप से, $$x \in A \mathbin{\square} B$$ यदि उपसमुच्चय $$I, J \subseteq [n]$$ उपस्थित है जैसे कि: असमानता का प्रमाण है कि:
 * 1) $$I \cap J = \varnothing,$$
 * 2) उन सभी $$y$$ के लिए जो $$x$$ पर $$I$$ से सहमत हैं (दूसरे शब्दों में, $$y_i = x_i\  \forall i \in I$$), $$y$$ भी $$A,$$ में है और
 * 3) इसी प्रकार प्रत्येक $$z$$ जो $$x$$ पर $$J$$ से सहमत है वह $$B.$$ में है

घटनाओं की प्रत्येक जोड़ी के लिए $$A$$ और $$B.$$

सिक्का उछालना
यदि $$\Omega$$ एक उचित सिक्के को $$n = 10$$ बार उछालने के अनुरूप है, तो प्रत्येक $$\Omega_i = \{ H, T\}$$ में समान संभावना वाले दो संभावित परिणाम, चित या पट होते हैं। घटना $$A$$ पर विचार करें कि लगातार 3 शीर्ष उपस्थित हैं, और घटना $$B$$ पर विचार करें कि कुल मिलाकर कम से कम 5 शीर्ष हैं। तब $$A \mathbin \square B$$ निम्नलिखित घटना होगी: लगातार 3 शीर्ष हैं, और उन्हें त्यागने पर अन्य 5 शीर्ष शेष हैं। इस घटना की प्रायिकता अधिकतम $$ \mathbb P ( A) \mathbb P ( B),$$   है, जिसका अर्थ है कि 10 टॉस में $$A$$ प्राप्त होने की संभावना, और अन्य 10 टॉस में $$B$$ प्राप्त होने की संभावना, एक दूसरे से स्वतंत्र (संभावना) है।

संख्यात्मक रूप से, $$\mathbb P ( A) = 520/1024 \approx 0.5078,$$ $$\mathbb P ( B) = 638/1024 \approx 0.6230,$$ और उनकी असंयुक्त घटना का अर्थ कम से कम 8 शीर्ष होगा, इसलिए $$\mathbb P ( A\mathbin \square B) \le \mathbb P(\text{8 heads or more}) = 56/1024 \approx 0.0547.$$

अंतःस्राव
एक ग्राफ के (बर्नौली) बॉन्ड अंतःक्षेपण में, $$\Omega_i$$ को किनारों द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। प्रत्येक किनारे को कुछ संभाव्यता $$p,$$ के साथ रखा जाता है (या "खुला") या अन्यथा हटा दिया जाता है (या "बंद"), अन्य किनारों से स्वतंत्र, और शेष ग्राफ की कनेक्टिविटी के बारे में प्रश्नों का अध्ययन करता है, उदाहरण के लिए घटना $$u \leftrightarrow v $$ कि वहाँ एक है केवल खुले किनारों का उपयोग करके दो शीर्षों $$u$$ और $$v$$ के बीच का पथ है। इस प्रकार की घटनाओं के लिए, असंयुक्त घटना $$A \mathbin \square B$$ वह घटना है जहां दो खुले रास्ते उपस्थित हैं जो किसी भी किनारे को साझा नहीं करते हैं (परिभाषा में उपसमुच्चय $$I$$ और $$J$$ के अनुरूप), जैसे कि पहला $$A,$$ द्वारा आवश्यक कनेक्शन प्रदान करता है और दूसरा $$B.$$ के लिए

असमानता का उपयोग परकोलेशन सिद्धांत या सबक्रिटिकल और सुपरक्रिटिकल में घातीय क्षय घटना के संस्करण को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है, अर्थात् पूर्णांक जाली ग्राफ $$\mathbb Z^d,$$ पर $$ p < p_\mathrm c$$ के लिए उपयुक्त रूप से परिभाषित महत्वपूर्ण संभाव्यता, मूल वाले जुड़े घटक की त्रिज्या तेजी से छोटे अवशेष वाले वितरण का पालन करती है:

$$\mathbb P( 0 \leftrightarrow \partial [-r, r]^d) \le \exp(- c r) $$ कुछ स्थिरांक $$c > 0$$ के लिए, जो $$p.$$ पर निर्भर करता है, यहाँ $$\partial [-r, r]^d$$ शीर्ष $$x$$ से मिलकर बना है, जो $$\max_{1 \le i \le d} |x_i| = r.$$ को संतुष्ट करता है

एकाधिक घटनाएँ
जब तीन या अधिक घटनाएं होती हैं, तो ऑपरेटर $$\square$$ सहयोगी नहीं हो सकता है, क्योंकि सूचकांक $$K$$ का एक उपसमूह दिया गया है जिस पर $$x \in A \mathbin \square B$$ को सत्यापित किया जा सकता है, $$K$$ को एक असंयुक्त संघ $$I \sqcup J$$ को विभाजित करना संभव नहीं हो सकता है जैसे कि $$I$$ गवाह $$x \in A$$ और $$J$$ गवाह हों $$x \in B$$. उदाहरण के लिए, एक घटना $$A \subseteq \{0, 1\}^6$$ इस प्रकार उपस्थित है जैसे कि $$\left((A \mathbin \square A) \mathbin \square A\right) \mathbin \square A \neq (A \mathbin \square A) \mathbin \square (A \mathbin \square A).$$

फिर भी, कोई घटनाओं के $$k$$-एरी बीकेआर संचालन $$A_1, A_2, \ldots, A_k$$ को विन्यास $$x$$ के सेट के रूप में परिभाषित कर सकता है जहां सूचकांक $$I_i \subseteq [n]$$ के जोड़ीदार असंयुक्त उपसमुच्चय हैं जैसे कि $$I_i$$ $$x$$ में $$A_i.$$ की सदस्यता का गवाह है। यह संचालन संतुष्ट करता है:$$ A_1 \mathbin \square A_2 \mathbin \square A_3 \mathbin \square \cdots \mathbin \square A_k \subseteq \left( \cdots \left((A_1 \mathbin \square A_2) \mathbin \square A_3 \right) \mathbin \square \cdots \right) \mathbin \square A_k,$$ जहां से मूल बीके असमानता के बार-बार उपयोग से। यह असमानता फ्लोरिडा लॉटरी के विजेता आँकड़ों का विश्लेषण करने और यह पहचानने के लिए उपयोग किया जाने वाला कारक था कि गणित पत्रिका ने किसे अविश्वसनीय रूप से भाग्यशाली कहा है  व्यक्ति, बाद में प्रवर्तन जांच द्वारा पुष्टि की गई इसमें नियम का उल्लंघन सम्मिलित था।

बड़ी कार्डिनैलिटी के स्थान
जब $$\Omega_i$$ को अनंत होने की अनुमति दी जाती है, तो माप सैद्धांतिक मुद्दे उत्पन्न होते हैं। $$\Omega = [0, 1]^n$$ और $$\mathbb P$$ लेबेसेग माप के लिए, मापने योग्य उपसमुच्चय $$A, B \subseteq \Omega$$ हैं जैसे कि $$A \mathbin \square B$$ गैर-मापने योग्य है (इसलिए असमानता में $$\mathbb P(A \mathbin \square B)$$ परिभाषित नहीं है),   किंतु निम्नलिखित प्रमेय अभी भी मान्य है: "यदि $A, B \subseteq [0, 1]^n$ लेबेस्ग मापने योग्य है, तो कुछ बोरेल सेट $C$ इस प्रकार है कि:"
 * $$A \mathbin \square B \subseteq C,$$ और
 * $$\mathbb P(C) \le \mathbb P(A) \mathbb P(B).$$