अरेखीय प्रतिगमन

आंकड़ों में, अरैखिक परावर्तन,  परावर्तन विश्लेषण का एक रूप है जिसमें अवलोकन संबंधी डेटा को एक फलन  द्वारा प्रारूपित किया जाता है जो प्रारूपित मापदंडों का एक अरैखिक संयोजन है और एक या अधिक स्वतंत्र चर पर निर्भर करता है। डेटा को क्रमिक सन्निकटन की विधि द्वारा जोड़ा जाता है।

सामान्य
अरेखीय परावर्तन में, एक सांख्यिकीय प्रारूप होता है जिसका आकार है,


 * $$ \mathbf{y} \sim f(\mathbf{x}, \boldsymbol\beta)$$

एक स्वतंत्र सदिश चर $$\mathbf{y}$$ को एक स्वतंत्रता संबंधी स्थायी चर सदिश $$\mathbf{x}$$ और इसके संबंधित अवलोकित स्वतंत्र चर सदिश y के साथ जोड़ता है। फलन $$f$$ पैरामीटर चर सदिश $$\beta$$ के घटकों में अरेखीय होता है, परंतु अन्यथा विशेष नहीं होता है। उदाहरण के रूप में, एंजाइम किनेटिक्स के लिए माइकेलिस-मेंटन प्रारूप में दो पैरामीटर और एक स्वतंत्र चर सदिश द्वारा संबंधित होता है। इसे $$f$$ द्वारा निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$ f(x,\boldsymbol\beta)= \frac{\beta_1 x}{\beta_2 + x} $$

यह फलन अरैखिक है क्योंकि यह दो $$\beta$$s या पैरामीटरों के एक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

स्वतंत्र चर में व्यवस्थित त्रुटि उपस्थित हो सकती है परंतु इसका उपचार परावर्तन विश्लेषण के सीमा से बाहर होता है। यदि स्वतंत्र चर त्रुटि-मुक्त नहीं हैं, तो यह एक त्रुटि-में-चर प्रारूप है, जो इस सीमा से बाहर भी है।

अरैखिक फलनों के अन्य उदाहरणों में घातांकीय फलन, लघुगणकीय फलन, त्रिकोणमितीय फलन, गाउसियन फलन और लॉरेंट्स वितरण सम्मिलित हैं। कुछ फलन, जैसे कि घातांकी या लघुगणकीय फलन, को रूपांतरित किया जा सकता है जिससे वे रैखिक हों। इस प्रकार परिवर्तित होने पर, मानक रैखिक परावर्तन किया जा सकता है परंतु इसे सावधानी के साथ लागू किया जाना चाहिए। अधिक विवरण के लिए नीचे देखें।

सामान्यतः, अरैखिक परावर्तन में, सबसे उपयुक्त पैरामीटर्स के लिए कोई सरल सांकेतिक अभिव्यक्ति नहीं होती है, जैसा कि रैखिक परावर्तन में होता है। सामान्यतः संख्यात्मक अनुकूलन कलन-विधि सर्वोत्तम-फिटिंग पैरामीटर निर्धारित करने के लिए लागू किए जाते हैं। पुनः रैखिक परावर्तन के विपरीत, अनुकूलित किए जाने वाले फलन के कई स्थानिक न्यूनतम और यहां तक कि वैश्विक न्यूनतम भी हो सकते हैं, व्यवहार में, वर्गों के योग के वैश्विक न्यूनतम को खोजने का प्रयास करने के लिए, अनुकूलन कलन-विधि के साथ मिलकर, मापदंडों के अनुमानित मूल्य का उपयोग किया जाता है।

अरेखीय डेटा प्रतिरूपण से संबंधित विवरण के लिए न्यूनतम वर्ग और अरेखीय न्यूनतम वर्ग देखें।

परावर्तन आँकड़े
इस प्रक्रिया के मूल अवधारणा है कि प्रारूप को एक रैखिक फलन, अर्थात् प्रथम-क्रम टेलर श्रृंखला द्वारा अनुमानित किया जा सकता है:


 * $$ f(x_i,\boldsymbol\beta) \approx f(x_i,0) + \sum_j J_{ij} \beta_j $$

जहाँ $$J_{ij} = \frac{\partial f(x_i,\boldsymbol\beta)}{\partial \beta_j}$$. से यह निष्कर्ष निकलता है कि न्यूनतम वर्ग अनुमानक द्वारा दिये गये हैं


 * $$\hat{\boldsymbol{\beta}} \approx \mathbf { (J^TJ)^{-1}J^Ty},$$

इकाई आव्यूह के आनुपातिक सहप्रसरण आव्यूह के साथ सामान्यीकृत न्यूनतम वर्गों की तुलना करें। अरेखीय परावर्तन आँकड़ों की गणना और उपयोग, रैखिक परावर्तन आँकड़ों की तरह किया जाता है, परंतु सूत्रों में X के स्थान पर J का उपयोग किया जाता है।

जब फलन $$f(x_i,\boldsymbol\beta)$$ स्वयं विश्लेषणात्मक रूप से ज्ञात नहीं है, परंतु रेखीय परावर्तन की आवश्यकता है $$n+1$$, या अधिक, ज्ञात मान सबसे अच्छा अनुमानक सीधे रैखिक टेम्पलेट आवेश से प्राप्त किया जाता है $$ \hat{\boldsymbol\beta} = ((\mathbf{Y\tilde{M}})^\mathsf{T} \boldsymbol\Omega^{-1} \mathbf{Y\tilde{M}})^{-1}(\mathbf{Y\tilde{M}})^\mathsf{T}\boldsymbol\Omega^{-1}(\mathbf{d}-\mathbf{Y\bar{m})}$$ रैखिक न्यूनतम वर्ग वैकल्पिक सूत्रीकरण भी देखें।

रैखिक सन्निकटन आंकड़ों में पूर्वाग्रह का परिचय देता है। इसलिए, गैर-रेखीय प्रारूप से प्राप्त आँकड़ों की व्याख्या करने में सामान्य से अधिक सावधानी की आवश्यकता होती है।

साधारण और भारित न्यूनतम वर्ग
सबसे उपयुक्त वक्र प्रायः वह माना जाता है जो वर्गित अवशेषों के योग को न्यूनतम करता है। यह सामान्य न्यूनतम वर्ग (ओएलएस) दृष्टिकोण है। यद्यपि, ऐसे स्थितियों में जहां आश्रित चर में निरंतर भिन्नता नहीं होती है, भारित वर्ग अवशेषों का योग कम किया जा सकता है; भारित न्यूनतम वर्ग देखें. प्रत्येक भार आदर्श रूप से अवलोकन के विचरण के व्युत्क्रम के बराबर होता है, परंतु पुनरावृत्ति भारित न्यूनतम वर्ग कलन विधि में, प्रत्येक पुनरावृत्ति पर भार की पुनर्गणना किया जा सकता है।

परिवर्तन
कुछ अरैखिक परावर्तन समस्याएं प्रतिरूप सृजन की उचित परिवर्तन के द्वारा एक रैखिक क्षेत्र में स्थानांतरित की जा सकती है।

उदाहरण के लिए, अरेखीय परावर्तन समस्या पर विचार करें


 * $$ y = a e^{b x}U \,\!$$

पैरामीटर a और b के साथ और गुणकीय त्रुटि शब्द U के साथ होता है। यदि हम दोनों पक्षों का लघुलेख ले लें, तो यह बन जाता है।


 * $$ \ln{(y)} = \ln{(a)} + b x + u, \,\!$$

यहाँ, u = ln(U) है, जो x पर ln(y) की रैखिक परावर्तन के माध्यम से अज्ञात पैरामीटरों का आकलन सुझाता है, जो कोई सतत संशोधन आवश्यक नहीं करता है। एक गणना जिसमें पुनरावृत्त अनुकूलन की आवश्यकता नहीं होती है। यद्यपि, अरेखीय परिवर्तन का उपयोग करने में सतर्कता की आवश्यकता होती है। डेटा मानों के प्रभाव बदल जाते है, साथ ही प्रतिरूप की त्रुटि संरचना और किसी भी अनुमानित परिणाम की व्याख्या मे परिवर्तन हो जाता है, ये सभी परिणाम अनुचित हो सकते हैं। दूसरी ओर, त्रुटि का सबसे बड़ा कारण क्या है इस पर निर्भर करता है, एक अरैखिक परिवर्तन त्रुटियों को एक गौसियन ढंग से वितरित कर सकता है, इसलिए अरैखिक परिवर्तन करने का चयन प्रतिरूप संबंधित अर्थों द्वारा सूचित किया जा सकता हैं।

माइकलिस-मेंटेन कैनेटीक्स के लिए, रैखिक लाइनवीवर-बर्क प्लॉट


 * $$ \frac{1}{v} = \frac{1}{V_\max} + \frac{K_m}{V_{\max}[S]}$$

1/[S] के विरुद्ध 1/v का बहुत अधिक उपयोग किया गया है। यद्यपि, यह डेटा त्रुटि के प्रति बहुत संवेदनशील है और डेटा को स्वतंत्र चर, [S]की एक विशेष श्रेणी में डेटा को जोड़ने के प्रति पूर्वाग्रहित होता है, इसलिए इसके उपयोग को दृढ़ता से हतोत्साहित किया जाता है।

घातीय परिवार से संबंधित त्रुटि वितरण के लिए, सामान्यीकृत रैखिक प्रारूप ढांचे के अंतर्गत मापदंडों को बदलने के लिए एक सांकेतिक  फलन का उपयोग किया जा सकता है।

विभाजन


स्वतंत्र या व्याख्यात्मक चर जैसे X को वर्गों या खंडों में विभाजित किया जा सकता है और प्रति खंड रैखिक परावर्तन किया जा सकता है। दृढ विश्वास के साथ खंडित परावर्तन का परिणाम यह हो सकता है कि आश्रित चर जैसे Y विभिन्न खंडों में अलग-अलग व्यवहार करता है। आंकड़े से पता चलता है कि मिट्टी की लवणता X प्रारंभ में सरसों की फसल की उपज Y पर कोई प्रभाव नहीं डालती है, जब तक कि एक महत्वपूर्ण या सीमा मूल्य नहीं हो जाता, जिसके बाद उपज नकारात्मक रूप से प्रभावित होती है।

यह भी देखें

 * अरैखिक न्यूनतम वर्ग
 * वक्र फिटिंग
 * सामान्यीकृत रैखिक प्रारूप
 * स्थानीय परावर्तन
 * प्रतिक्रिया प्रारूप िंग पद्धति
 * आनुवंशिक प्रोग्रामिंग
 * मल्टी एक्सप्रेशन प्रोग्रामिंग
 * रैखिक_न्यूनतम_वर्ग#वैकल्पिक_सूत्रीकरण