सांकेतिक ग्राफ

गणित में आलेख सिद्धांत के क्षेत्र में, हस्ताक्षरित आलेख एक आलेख होता है जिसमें प्रत्येक किनारे पर एक धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न होता है।

एक हस्ताक्षरित आरेख संतुलित होता है यदि हर चक्र के किनारे के संकेतों का उत्पाद धनात्मक होता है। हस्ताक्षरित आरेख नाम और संतुलन की धारणा पहली बार 1953 में फ्रैंक हैरी के एक गणितीय लेख में दिखाई देती है। डेन्स कोनिग ने पहले से ही 1936 में एक अलग शब्दावली के अंतर्गत समतुल्य धारणाओं का अध्ययन किया था, लेकिन चिन्ह समूह की प्रासंगिकता को पहचाने बिना किया था। मिशिगन विश्वविद्यालय में समूह गतिशीलता के केंद्र में, डोरविन कार्टराईट और हैरी ने फ्रिट्ज हैडर के मनोवैज्ञानिक सिद्धांत के त्रिकोण में संतुलन के मनोवैज्ञानिक सिद्धांत को हस्ताक्षरित रेखांकन में संतुलन के मनोवैज्ञानिक सिद्धांत के रूप में सामान्यीकृत किया था।

हस्ताक्षरित रेखांकन बहुत बार पुनः खोजे गए हैं क्योंकि वे कई असंबद्ध क्षेत्रों में स्वाभाविक रूप से सामने आते हैं। उदाहरण के लिए, वे प्राचीन मूल प्रक्रिया के उपसमुच्चय की ज्यामिति का वर्णन और विश्लेषण करने में सक्षम बनाते हैं। वे सांस्थितिक मानचित्र सिद्धांत और समूह सिद्धांत में दिखाई देते हैं। वे आलेख में विषम और सम चक्रों के बारे में प्रश्नों के लिए एक स्वाभाविक संदर्भ हैं। वे अलोहचुंबकीय आइसिंग निदर्श में आधार अवस्था ऊर्जा की गणना में दिखाई देते हैं; इसके लिए Σ में सबसे बड़े संतुलित किनारे समुच्चय खोजने की आवश्यकता है। उन्हें सहसंबंध गुच्छन में डेटा वर्गीकरण पर उपयोजित किया गया है।

मूलभूत प्रमेय
एक पथ का चिह्न उसके किनारों के चिह्नों का गुणनफल होता है। इस प्रकार एक पथ तभी धनात्मक होता है जब उसमें सम संख्या में ऋणात्मक किनारे हों (जहाँ शून्य सम है)। फ्रैंक हैरी के गणितीय संतुलन सिद्धांत में, प्रत्येक चक्र धनात्मक होने पर एक हस्ताक्षरित आरेख संतुलित होता है। हैरी सिद्ध करता है कि एक हस्ताक्षरित आरेख संतुलित होता है जब (1) नोड्स के प्रत्येक जोड़े के लिए, उनके मध्य के सभी पंथ का एक ही चिह्न होता है, या (2) शीर्षों को उपसमुच्चय (संभवतः रिक्त) की एक जोड़ी में विभाजित किया जाता है, प्रत्येक में केवल धनात्मक किनारे होते हैं, लेकिन ऋणात्मक किनारों से जुड़े होते हैं। यह प्रमेय का सामान्यीकरण करता है कि एक साधारण (अहस्ताक्षरित) आरेख द्विभाज्य होता है यदि और केवल यदि प्रत्येक चक्र की लंबाई समान होती है।

एक साधारण प्रमाण स्विचिंग की विधि का उपयोग करता है। एक हस्ताक्षरित आलेख को स्विच करने का अर्थ है शीर्ष उपसमुच्चय और उसके पूरक के मध्य सभी किनारों के संकेतों को उत्क्रम कर देना है। हैरी के प्रमेय को सिद्ध करने के लिए, प्रेरण द्वारा दिखाया गया है कि Σ को सभी धनात्मक होने के लिए स्विच किया जा सकता है अगर यह संतुलित है।

एक मंद प्रमेय, लेकिन एक सरल प्रमाण के साथ, यह है कि यदि हस्ताक्षरित पूर्ण आलेख में प्रत्येक 3-चक्र धनात्मक है, तो आलेख संतुलित है। प्रमाण के लिए, एक स्वेच्छाचारी नोड n का चयन करे और इसे और उन सभी नोड्स को रखें जो n से एक समूह में धनात्मक किनारे से जुड़े होते हैं, जिन्हें A कहा जाता है, और वे सभी जो n से दूसरे में एक ऋणात्मक किनारे से जुड़े हैं, जिसे B कहा जाता है क्योंकि यह एक पूर्ण आरेख है, A में प्रत्येक दो नोड मित्र होने चाहिए और B में प्रत्येक दो नोड मित्र होने चाहिए, अन्यथा एक 3-चक्र होगा जो असंतुलित था। (क्योंकि यह एक पूर्ण आरेख है, कोई भी ऋणात्मक किनारा असंतुलित 3-चक्र का कारण होगा।) इसी तरह, सभी ऋणात्मक किनारों को दो समूहों के मध्य जाना चाहिए।

कुंठा सूचकांक
Σ का कुंठा सूचकांक (प्रारंभिक रूप से संतुलन की रेखा सूचकांक कहा जाता है) किनारों की सबसे छोटी संख्या है जिसका विलोपन, या समतुल्य जिसका चिन्ह उत्क्रमण (हैरी का एक प्रमेय ), Σ को संतुलित बनाता है। तुल्यता का कारण यह है कि कुंठा सूचकांक किनारों की सबसे छोटी संख्या के समान होता है जिसका निषेध (या, समतुल्य, विलोपन; Σ संतुलित बनाता है।

कुंठा सूचकांक का वर्णन करने का दूसरा प्रकार यह है कि यह किनारों की सबसे छोटी संख्या है जो सभी ऋणात्मक चक्रों को समाविष्ट करती है। इस मात्रा को ऋणात्मक चक्र आवरण संख्या कहा गया है।

एक और समतुल्य परिभाषा है (जिसे स्विच करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है)। प्रत्येक शीर्ष को +1 या -1 का मान दें; हम इसे Σ की स्थिति कहते हैं। एक किनारे को संतुष्ट कहा जाता है यदि यह धनात्मक है और दोनों समापन बिंदुओं का मान समान है, या यह ऋणात्मक है और अंत बिंदुओं के विपरीत मान हैं। एक किनारा जो संतुष्ट नहीं होता है उसे कुंठा कहा जाता है। सभी अवस्था में कुंठित किनारों की सबसे छोटी संख्या कुंठा सूचकांक है। यह परिभाषा पहली बार एबेलसन और रोसेनबर्ग द्वारा (अप्रचलित) नाम सम्मिश्रता के अंतर्गत एक अलग संकेतन में प्रस्तावित की गई थी। ऐसे समुच्चय का पूरक सबसे संभावित किनारों के साथ Σ का संतुलित उपआरेख है।

कुंठा सूचकांक खोजना एक NP-कठिन समस्या है। अरेफ एट अल द्विआधारी क्रमादेश निदर्श का सुझाव देते हैं जो उचित समय में 105 किनारों तक आरेख के कुंठा सूचकांक की गणना करने में सक्षम हैं।  कोई भी NP-कठिन सम्मिश्रता देख सकता है कि सभी-ऋणात्मक हस्ताक्षरित आलेख की कुंठा सूचकांक आलेख सिद्धांत में अधिकतम कमी समस्या के समान है, जो NP-कठिन है।

प्रचक्रण ग्लास के एक निदर्श, मिश्रित आइसिंग निदर्श में कुंठा सूचकांक महत्वपूर्ण है। इस निदर्श में, हस्ताक्षरित आरेख निश्चित है। एक स्थिति में प्रत्येक शीर्ष पर "स्पिन", या तो "ऊपर" या "नीचे" सम्मलित है। हम स्पिन अप को +1 और स्पिन डाउन को -1 मानते हैं। इस प्रकार, प्रत्येक अवस्था में कई कुंठित किनारे हैं। एक अवस्था की ऊर्जा तब बड़ी होती है जब उसके पास अधिक कुंठित किनारे होते हैं, इसलिए एक मूल अवस्था सबसे कम कुंठित ऊर्जा वाली अवस्था होती है। इस प्रकार, $$\ $ की मूल अवस्था ऊर्जा का पता लगाने के लिए किसी को कुंठा सूचकांक का पता लगाना होता है।

कुंठा संख्या
अनुरूप शीर्ष संख्या कुंठा संख्या है, जिसे सबसे छोटी संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जिसका Σ से विलोपन संतुलन में होता है। समतुल्य रूप से, कोई Σ के संतुलित प्रेरित उपआरेख का सबसे बड़ा क्रम चाहता है।

कलनविधीय समस्याएं
हस्ताक्षरित आलेख के विषय में तीन मूलभूत प्रश्न हैं: क्या यह संतुलित है? इसमें समुच्चय किए गए संतुलित किनारे का सबसे बड़ा आकार क्या है? इसे संतुलित करने के लिए हटाए जाने वाले शीर्षों की सबसे छोटी संख्या क्या है? बहुपद काल में पहला प्रश्न का समाधान करना आसान है। दूसरे प्रश्न को कुंठा सूचकांक या अधिकतम संतुलित उपआरेख समस्या कहा जाता है। यह NP-कठिन है क्योंकि इसका विशेष प्रकरण (जब आरेख के सभी किनारे ऋणात्मक हैं) NP-कठिन समस्या अधिकतम कमी है। तीसरे प्रश्न को कुंठा संख्या या अधिकतम संतुलित प्रेरित उपआरेख समस्या कहा जाता है, यह NP-कठिन भी है; उदाहरण देखें

मैट्रोइड सिद्धांत
एक हस्ताक्षरित आलेख से जुड़े दो मैट्रोइड्स हैं, जिन्हें चिन्ह-आलेखिक matroid  कहा जाता है (जिसे फ़्रेम मैट्रॉइड या कभी-कभी बायस मैट्रोइड भी कहा जाता है) और लिफ्ट मैट्रोइड, जो दोनों एक आलेख के चक्र मैट्रॉइड को सामान्य करते हैं। वे पक्षपाती आरेख के समान मैट्रोइड्स के विशेष मामले हैं।

'फ़्रेम मेट्रॉइड' (या 'चिन्ह-आलेखिक मैट्रॉइड') M(G) ने अपने ग्राउंड समुच्चय के लिए एज समुच्चय E किया है। एक एज समुच्चय स्वतंत्र होता है यदि प्रत्येक घटक में या तो कोई वृत्त नहीं होता है या केवल एक वृत्त होता है, जो ऋणात्मक होता है। ( मैट्रोइड सिद्धांत में एक हाफ-एज बिल्कुल नेगेटिव लूप की तरह काम करता है।) मैट्रॉइड का एक सर्किट या तो एक पॉजिटिव सर्कल होता है, या एक कनेक्टिंग सिंपल पाथ के साथ नेगेटिव सर्किल का एक जोड़ा होता है, जैसे कि दो सर्कल या तो डिसजॉइंट होते हैं (फिर कनेक्टिंग पथ का प्रत्येक सर्कल के साथ एक छोर आम है और अन्यथा दोनों से अलग है) या केवल एक सामान्य शीर्ष साझा करें (इस मामले में कनेक्टिंग पथ वह एकल शीर्ष है)। एज समुच्चय S की कोटि n - b है, जहाँ n, G के शीर्षों की संख्या है और b, S के संतुलित घटकों की संख्या है, पृथक शीर्षों को संतुलित घटकों के रूप में गिनते हुए। यह matroid हस्ताक्षरित आलेख के घटना मैट्रिक्स का matroid सिद्धांत है। यही कारण है कि यह प्राचीन रूट सिस्टम की जड़ों की रैखिक निर्भरताओं का वर्णन करता है।

'विस्तारित लिफ्ट मैट्रॉइड' एल0(जी) ने इसके आधार के लिए समुच्चय ई समुच्चय किया है0 एज समुच्चय E का एक 'अतिरिक्त बिंदु' के साथ मिलन, जिसे हम e से निरूपित करते हैं0. लिफ्ट मैट्रॉइड एल(जी) ई तक सीमित विस्तारित लिफ्ट मैट्रॉइड है। अतिरिक्त बिंदु बिल्कुल ऋणात्मक पाश की तरह कार्य करता है, इसलिए हम केवल लिफ्ट मैट्रॉइड का वर्णन करते हैं। एक किनारे का समुच्चय स्वतंत्र होता है यदि इसमें या तो कोई वृत्त नहीं होता है या केवल एक वृत्त होता है, जो ऋणात्मक होता है। (यह वही नियम है जो हस्ताक्षरित-आलेखिक मैट्रोइड में प्रत्येक घटक के लिए अलग से उपयोजित होता है।) एक मैट्रॉइड सर्किट या तो एक धनात्मक सर्कल या ऋणात्मक सर्किलों की एक जोड़ी है जो या तो अलग हैं या केवल एक सामान्य शीर्ष है। एज समुच्चय S की रैंक n - c + ε है, जहां c S के घटकों की संख्या है, अलग-अलग शीर्षों की गणना, और ε यदि 'S' संतुलित है तो 0 है और यदि नहीं है तो 1 है।

अन्य प्रकार के हस्ताक्षरित आरेख
कभी-कभी संकेतों को +1 और -1 मान लिया जाता है। यह केवल अंकन का अंतर है, यदि संकेतों को अभी भी एक वृत्त के चारों ओर गुणा किया जाता है और गुणनफल का चिह्न महत्वपूर्ण है। हालांकि, किनारे के लेबल का इलाज करने के दो अन्य तरीके हैं जो हस्ताक्षरित आरेख सिद्धांत में फिट नहीं होते हैं।

हस्ताक्षरित आलेख शब्द को कभी-कभी आलेख पर उपयोजित किया जाता है जिसमें प्रत्येक किनारे का भार होता है, w(e) = +1 या -1। ये एक ही प्रकार के हस्ताक्षरित आलेख नहीं हैं; वे प्रतिबंधित वजन समुच्चय के साथ आरेख (असतत गणित) हैं। अंतर यह है कि वज़न जोड़ा जाता है, गुणा नहीं किया जाता है। समस्याएं और तरीके पूरी तरह से अलग हैं।

नाम उन आलेखों पर भी उपयोजित होता है जिनमें संकेत किनारों पर रंगों के रूप में कार्य करते हैं। रंग का महत्व यह है कि यह किनारे पर लगाए गए विभिन्न भारों को निर्धारित करता है, न कि इसका चिन्ह आंतरिक रूप से महत्वपूर्ण है। गाँठ सिद्धांत में यह स्थिति है, जहाँ संकेतों का एकमात्र महत्व यह है कि उन्हें दो-तत्व समूह द्वारा परस्पर बदला जा सकता है, लेकिन धनात्मक और ऋणात्मक के मध्य कोई आंतरिक अंतर नहीं है। सांकेतिक रंग के आलेख का मैट्रोइड अंतर्निहित आलेख का चक्र मैट्रोइड है; यह हस्ताक्षरित आरेख का फ्रेम या लिफ्ट मैट्रॉइड नहीं है। चिन्ह लेबल, मैट्रोइड को बदलने के बजाय, मैट्रोइड के तत्वों पर संकेत बन जाते हैं।

इस लेख में हम सख्त अर्थों में केवल हस्ताक्षरित आरेख सिद्धांत पर चर्चा करते हैं। सांकेतिक रंग के आलेख के लिए रंगीन मैट्रोइड्स देखें।

हस्ताक्षरित डिआरेख
एक हस्ताक्षरित डिआरेख हस्ताक्षरित चाप के साथ एक निर्देशित आरेख है। हस्ताक्षरित डिआरेख हस्ताक्षरित आलेख की तुलना में कहीं अधिक जटिल हैं, क्योंकि केवल निर्देशित चक्रों के संकेत ही महत्वपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, संतुलन की कई परिभाषाएँ हैं, जिनमें से प्रत्येक को चित्रित करना कठिन है, हस्ताक्षरित अप्रत्यक्ष रेखांकन की स्थिति के विपरीत।

हस्ताक्षरित द्विलेखों को #अभिविन्यास के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। उत्तरार्द्ध द्विदिश रेखांकन हैं, निर्देशित रेखांकन नहीं (सभी धनात्मक संकेतों के तुच्छ मामले को छोड़कर)।

वर्टेक्स संकेत
एक शीर्ष-हस्ताक्षरित आलेख, जिसे कभी-कभी चिह्नित आलेख कहा जाता है, एक आलेख होता है जिसके शीर्षों को संकेत दिए जाते हैं। एक वृत्त को संगत कहा जाता है (लेकिन यह तार्किक स्थिरता से असंबंधित है) या सामंजस्यपूर्ण कहा जाता है यदि इसके शीर्ष संकेतों का गुणनफल धनात्मक है, और असंगत या धार्मिक है यदि उत्पाद ऋणात्मक है। हरारी के संतुलन प्रमेय के अनुरूप सामंजस्यपूर्ण शीर्ष-हस्ताक्षरित रेखांकन का कोई सरल लक्षण वर्णन नहीं है; इसके बजाय, चरित्र-चित्रण एक कठिन समस्या रही है, जोगलेकर, शाह और दीवान (2012) द्वारा सबसे अच्छा हल किया गया है (और भी आम तौर पर)। बड़े बदलाव के बिना वर्टेक्स संकेतों के सिद्धांत में किनारे के संकेतों को जोड़ना अक्सर आसान होता है; इस प्रकार, शीर्ष-हस्ताक्षरित आलेख (या चिह्नित हस्ताक्षरित आलेख) के लिए कई परिणाम स्वाभाविक रूप से शीर्ष-और-किनारे-हस्ताक्षरित आलेख तक विस्तारित होते हैं। जोगलेकर, शाह और दीवान (2012) द्वारा सद्भाव के लक्षण वर्णन के लिए यह विशेष रूप से सच है।

एक चिह्नित हस्ताक्षरित आरेख और एक अवस्था समारोह के साथ एक हस्ताक्षरित आरेख के मध्य का अंतर (जैसा कि § हस्ताक्षरित आरेख # कुंठा में है) यह है कि पूर्व में वर्टेक्स संकेत आवश्यक संरचना का हिस्सा हैं, जबकि एक अवस्था फ़ंक्शन हस्ताक्षरित पर एक चर फ़ंक्शन है आरेख।

ध्यान दें कि चिह्नित आरेख शब्द पेट्री नेट में व्यापक रूप से एक पूरी तरह से अलग अर्थ में उपयोग किया जाता है; चिह्नित रेखांकन पर लेख देखें।

रंग
अहस्ताक्षरित आलेख सिद्धांत के साथ, हस्ताक्षरित आलेख रंग की एक धारणा है। जहाँ आलेख का आरेख रंग वर्टेक्स समुच्चय से नेचुरल नंबर्स तक मैपिंग है, चिन्ह किए गए आलेख का कलरिंग वर्टेक्स समुच्चय से पूर्णांकों तक मैपिंग है। आलेख कलरिंग की बाधाएँ हस्ताक्षरित आलेख के किनारों से आती हैं। दो शीर्षों को निर्दिष्ट पूर्णांक भिन्न होने चाहिए यदि वे एक धनात्मक किनारे से जुड़े हों। यदि कोने एक ऋणात्मक किनारे से जुड़े हुए हैं, तो आसन्न कोने पर लेबल योगात्मक व्युत्क्रम नहीं होना चाहिए। धनात्मक लूप के साथ हस्ताक्षरित आरेख का कोई उचित रंग नहीं हो सकता है।

अधिकतम प्राकृतिक संख्या k पर परिमाण के साथ पूर्णांक के समुच्चय पर वर्टेक्स लेबल को प्रतिबंधित करते समय, एक हस्ताक्षरित आलेख के उचित रंगों का समुच्चय परिमित होता है। ऐसे उचित रंगों की संख्या और k के मध्य का संबंध k में एक बहुपद है; जब के संदर्भ में व्यक्त किया गया $$2k+1$$ इसे हस्ताक्षरित आरेख का रंगीन बहुपद कहा जाता है। यह एक अहस्ताक्षरित आरेख के रंगीन बहुपद के अनुरूप है।

सामाजिक मनोविज्ञान
सामाजिक मनोविज्ञान में, हस्ताक्षरित रेखांकन का उपयोग सामाजिक स्थितियों को निदर्श करने के लिए किया गया है, धनात्मक किनारों के साथ दोस्ती का प्रतिनिधित्व करते हैं और नोड्स के मध्य ऋणात्मक किनारों की दुश्मनी, जो लोगों का प्रतिनिधित्व करते हैं। फिर, उदाहरण के लिए, एक धनात्मक 3-चक्र या तो तीन परस्पर मित्र हैं, या एक सामान्य शत्रु वाले दो मित्र हैं; जबकि एक ऋणात्मक 3-चक्र या तो तीन परस्पर शत्रु हैं, या दो शत्रु हैं जो एक पारस्परिक मित्र साझा करते हैं। संतुलन सिद्धांत के अनुसार, धनात्मक चक्र संतुलित होते हैं और इन्हें स्थिर सामाजिक स्थिति माना जाता है, जबकि ऋणात्मक चक्र असंतुलित होते हैं और इन्हें अस्थिर माना जाता है। सिद्धांत के अनुसार, तीन पारस्परिक शत्रुओं के मामले में, ऐसा इसलिए है क्योंकि एक साझा शत्रु को साझा करने से मेरे शत्रु का शत्रु मेरा मित्र है। एक दोस्त को साझा करने वाले दो दुश्मनों के मामले में, साझा दोस्त एक दूसरे को चुनने की संभावना रखता है और अपनी दोस्ती में से एक को दुश्मन में बदल देता है।

एंटल, क्रैपीव्स्की और रेडर सामाजिक गतिशीलता को एक हस्ताक्षरित आरेख के किनारे पर चिन्ह इन परिवर्तन के रूप में मानते हैं। एक तलाकशुदा जोड़े के पिछले दोस्तों के साथ सामाजिक संबंधों का उपयोग समाज में एक हस्ताक्षरित आरेख के विकास को दर्शाने के लिए किया जाता है। एक अन्य दृष्टांत प्रथम विश्व युद्ध से पहले के दशकों में यूरोपीय शक्तियों के मध्य बदलते अंतरराष्ट्रीय गठजोड़ का वर्णन करता है। वे स्थानीय त्रय गतिकी और विवश त्रय गतिकी पर विचार करते हैं, जहां बाद वाले मामले में एक संबंध परिवर्तन तभी किया जाता है जब असंतुलित त्रय की कुल संख्या कम हो जाती है। सिमुलेशन ने परिवर्तन के लिए चुने गए यादृच्छिक असंतुलित त्रिभुज वाले यादृच्छिक संबंधों के साथ एक पूर्ण आरेख माना। इस प्रक्रिया के अंतर्गत एन नोड्स के साथ हस्ताक्षरित आरेख के विकास का अध्ययन किया जाता है और मैत्रीपूर्ण लिंक के स्थिर घनत्व का वर्णन करने के लिए अनुकरण किया जाता है।

संतुलन सिद्धांत को गंभीर रूप से चुनौती दी गई है, विशेष रूप से बड़ी प्रणालियों के लिए इसके आवेदन में, सैद्धांतिक आधार पर कि मैत्रीपूर्ण संबंध समाज को एक साथ बांधते हैं, जबकि दुश्मनों के दो शिविरों में विभाजित समाज अत्यधिक अस्थिर होगा। प्रायोगिक अध्ययनों ने भी संरचनात्मक संतुलन सिद्धांत की भविष्यवाणियों की केवल कमजोर पुष्टि प्रदान की है।

स्पिन चश्मा
भौतिकी में, हस्ताक्षरित रेखांकन नॉनफेरोमैग्नेटिक आइसिंग निदर्श के लिए एक प्राकृतिक संदर्भ है, जो स्पिन ग्लास के अध्ययन के लिए उपयोजित होता है।

जटिल प्रणाली
प्रारंभिक रूप से जनसंख्या जीव विज्ञान और पारिस्थितिकी में विकसित एक विश्लेषणात्मक पद्धति का उपयोग करना, लेकिन अब कई वैज्ञानिक विषयों में उपयोग किया जाता है, हस्ताक्षरित डिआरेख ने जटिल कारण प्रणालियों के व्यवहार के तर्क में आवेदन पाया है। इस तरह के विश्लेषण सिस्टम के दिए गए स्तरों पर प्रतिक्रिया के बारे में सवालों के जवाब देते हैं, और एक या एक से अधिक बिंदुओं पर एक प्रणाली को दी गई चर प्रतिक्रियाओं की दिशा के बारे में, इस तरह के गड़बड़ी के चर सहसंबंध, सिस्टम में विचरण का वितरण, और संवेदनशीलता या सिस्टम गड़बड़ी के लिए विशेष चर की असंवेदनशीलता।

डेटा गुच्छन
सहसंबंध गुच्छन समानता द्वारा डेटा के प्राकृतिक गुच्छन की तलाश में है। डेटा बिंदुओं को एक आलेख के कोने के रूप में दर्शाया जाता है, जिसमें समान वस्तुओं को जोड़ने वाला एक धनात्मक किनारा और असमान वस्तुओं को जोड़ने वाला एक ऋणात्मक किनारा होता है।

तंत्रिका विज्ञान
मस्तिष्क को एक हस्ताक्षरित आरेख के रूप में माना जा सकता है जहां मस्तिष्क क्षेत्रों के गतिविधि पैटर्न के मध्य तुल्यकालन और विरोधी तुल्यकालन धनात्मक और ऋणात्मक किनारों को निर्धारित करते हैं। इस संबंध में, मस्तिष्क नेटवर्क की स्थिरता और ऊर्जा का पता लगाया जा सकता है। साथ ही, हाल ही में, तंत्रिका कनेक्शन के गैर-तुच्छ संयोजन की पहचान करने और मस्तिष्क के समायोज्य तत्वों को उजागर करने के लिए मस्तिष्क नेटवर्क विश्लेषण में कुंठा की अवधारणा का उपयोग किया गया है।

सामान्यीकरण
एक हस्ताक्षरित आरेख एक विशेष प्रकार का लाभ आरेख है जिसमें लाभ समूह का क्रम 2 होता है। एक हस्ताक्षरित आरेख द्वारा निर्धारित जोड़ी (जी, 'बी' (Σ)) एक विशेष प्रकार का पक्षपाती आरेख है। चिन्ह ग्रुप के पास विशेष संपत्ति है, जो बड़े लाभ समूहों द्वारा साझा नहीं की जाती है, कि किनारे के संकेत संतुलित चक्रों के समुच्चय 'बी' (Σ) द्वारा स्विच करने के लिए निर्धारित किए जाते हैं।