निर्देशित अचक्रीय ग्राफ

गणित में, विशेष रूप से ग्राफ सिद्धांत और कंप्यूटर विज्ञान में, निर्देशित अचक्रीय ग्राफ (डीएजी) निर्देशित ग्राफ है जिसमें कोई निर्देशित चक्र नहीं है। अर्थात्, इसमें शीर्ष और किनारे (जिन्हें 'चाप' भी कहा जाता है) सम्मिलित हैं, प्रत्येक किनारे को एक शीर्ष से दूसरे तक निर्देशित किया जाता है, जैसे कि उन निर्देशों का पालन करने से कभी भी संवृत लूप नहीं बनेगा। निर्देशित ग्राफ डीएजी है यदि और केवल यह टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग हो सकता है, जो कि रेखीय क्रम के रूप में शीर्षों को व्यवस्थित करता है जो सभी किनारों की दिशाओं के अनुरूप है। डीएजी के कई जीव विज्ञान (विकास, पारिवारिक वृक्ष, महामारी विज्ञान) से लेकर सूचना विज्ञान (उद्धरण नेटवर्क) और संगणना (निर्धारण) तक वैज्ञानिक और कम्प्यूटेशनल अनुप्रयोग हैं,।

निर्देशित अचक्रीय ग्राफ को कभी-कभी अचक्रीय निर्देशित ग्राफ या अचक्रीय डिग्राफ कहा जाता है।

परिभाषाएँ
ग्राफ़ शीर्षों और शीर्षों के जोड़े को जोड़ने वाले किनारों से बनता है, जहाँ शीर्ष किसी भी प्रकार की वस्तु हो सकती है जो किनारों द्वारा जोड़े में जुड़ी होती है। निर्देशित ग्राफ की स्थिति में, प्रत्येक किनारे का एक शीर्ष से दूसरे शीर्ष तक अभिविन्यास होता है। निर्देशित ग्राफ़ में पथ किनारों का अनुक्रम है जिसमें यह गुण होता है कि अनुक्रम में प्रत्येक किनारे का अंतिम शीर्ष अनुक्रम में अगले किनारे के प्रारंभिक शीर्ष के समान होता है; पथ चक्र बनाता है यदि इसके प्रथम किनारे का आरंभिक शीर्ष इसके अंतिम किनारे के अंतिम शीर्ष के समान होता है। निर्देशित अचक्रीय ग्राफ निर्देशित ग्राफ है जिसमें कोई चक्र नहीं है।

निर्देशित ग्राफ़ के शीर्ष $v$ को दूसरे शीर्ष $u$ से पहुंच योग्य माना जाता है जब कोई पथ उपस्थित होता है जो $u$ से प्रारंभ होता है और $v$ पर समाप्त होता है। विशेष स्थिति के रूप में, प्रत्येक शीर्ष को स्वयं से (शून्य किनारों वाले पथ द्वारा) पहुंच योग्य माना जाता है। यदि कोई शीर्ष गैर-तुच्छ पथ (एक या अधिक किनारों वाला पथ) के माध्यम से स्वयं तक पहुंच सकता है, तो वह पथ चक्र है, इसलिए निर्देशित अचक्रीय ग्राफ को परिभाषित करने का दूसरा प्रकार यह है कि वे ऐसे ग्राफ़ हैं जिनमें कोई भी शीर्ष किसी गैर तुच्छ पथ के माध्यम से स्वयं तक नहीं पहुंच सकता है।

रीचैबिलिटी संबंध, सकर्मक समापन, और सकर्मक अल्पता
डीएजी की रीचैबिलिटी संबंध को डीएजी के शीर्ष पर आंशिक क्रम $≤$ के रूप में औपचारिक रूप दिया जा सकता है। इस आंशिक क्रम में, दो शीर्षों $u$ और $v$ को $u ≤ v$ के रूप में क्रमित किया जाता है, ठीक उसी समय जब डीएजी में $u$ से $v$ तक निर्देशित पथ उपस्थित होता है; अर्थात्, जब $u$ $v$ तक पहुँच सकते हैं (या $v$ $u$ से पहुंच योग्य है)। चूँकि, भिन्न-भिन्न डीएजी समान रीचैबिलिटी संबंध और समान आंशिक क्रम को उत्पन्न कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, दो किनारों $u → v$ और $v → w$ के साथ डीएजी का तीन किनारों $u → v$, $v → w$, और $u → w$ के साथ डीएजी के समान ही रीचैबिलिटी संबंध है। ये दोनों डीएजी समान आंशिक क्रम उत्पन्न करते हैं, जिसमें शीर्षों को $u ≤ v ≤ w$ के रूप में क्रमित किया जाता है।

डीएजी का सकर्मक समापन सबसे अधिक किनारों वाला ग्राफ है जिसमें डीएजी के समान ही रीचैबिलिटी संबंध होता है। डीएजी के रीचैबिलिटी संबंध $≤$ में शीर्षों की प्रत्येक जोड़ी ($u$, $v$) के लिए इसका किनारा $u → v$ है, और इसलिए इसे ग्राफ-सैद्धांतिक शब्दों में रीचैबिलिटी संबंध $≤$ के सीधे अनुवाद के रूप में माना जा सकता है। आंशिक आदेशों को डीएजी में अनुवाद करने की विधि सामान्यतः कार्य करती है: प्रत्येक परिमित आंशिक रूप से आदेशित समूह $(S, ≤)$ के लिए, ग्राफ जिसमें $S$ के प्रत्येक तत्व के लिए शीर्ष है और $≤$ में तत्वों की प्रत्येक जोड़ी के लिए किनारा स्वचालित रूप से सकर्मक होता है संवृत डीएजी, और इसका रीचैबिलिटी संबंध $(S, ≤)$ है। इस प्रकार, प्रत्येक परिमित आंशिक रूप से आदेशित समूह को डीएजी के रूप में दर्शाया जा सकता है।

डीएजी की सकर्मक अल्पता सबसे अल्प किनारों वाला ग्राफ है जिसमें डीएजी के समान ही रीचैबिलिटी संबंध है। डीएजी के रीचैबिलिटी संबंध $≤$ के कवरिंग संबंध में शीर्षों की प्रत्येक जोड़ी ($u$, $v$) के लिए इसका किनारा $u → v$ है। यह डीएजी का उपसमूह है, जो $u → v$ किनारों को विस्थापित करके बनाया गया है, जिसके लिए डीएजी में $u$ से $v$ तक लंबा निर्देशित पथ भी होता है। सकर्मक समापन के जैसे, सकर्मक अल्पता को डीएजी के लिए विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। इसके विपरीत, निर्देशित ग्राफ़ के लिए जो चक्रीय नहीं है, समान रीचैबिलिटी संबंध के साथ एक से अधिक न्यूनतम सबग्राफ हो सकते हैं। सकर्मक कटौती उनके द्वारा प्रतिनिधित्व किए जाने वाले आंशिक आदेशों की कल्पना करने में उपयोगी होती है, क्योंकि उनके पास समान आदेशों का प्रतिनिधित्व करने वाले अन्य ग्राफ़ों की तुलना में अल्प किनारे होते हैं और इसलिए सरल ग्राफ़ आरेखण होते हैं। आंशिक क्रम का हास आरेख सकर्मक अल्पता का चित्र है जिसमें प्रत्येक किनारे के उन्मुखीकरण को किनारे के प्रारंभिक शीर्ष को उसके अंतिम शीर्ष की तुलना में अल्प स्थिति में रखकर दिखाया गया है।

टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग
निर्देशित ग्राफ़ का टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग उसके शीर्षों को अनुक्रम में व्यवस्थित करता है, जैसे कि प्रत्येक किनारे के लिए किनारे का प्रारंभिक शीर्ष किनारे के अंतिम शीर्ष की तुलना में अनुक्रम में प्रथम होता है। ग्राफ़ जिसमें टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग है, उसमें कोई चक्र नहीं हो सकता है, क्योंकि चक्र के प्रारंभिक शीर्ष में किनारे को त्रुटिपूर्ण प्रकार से उन्मुख करना होगा। इसलिए, टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग वाला प्रत्येक ग्राफ चक्रीय होता है। इसके विपरीत, प्रत्येक निर्देशित अचक्रीय ग्राफ में कम से कम एक टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग होती है। इसलिए टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग के अस्तित्व को निर्देशित अचक्रीय ग्राफ की समकक्ष परिभाषा के रूप में उपयोग किया जा सकता है: वे बिल्कुल ऐसे ग्राफ़ हैं जिनमें टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग होती है। सामान्यतः, यह क्रम अद्वितीय नहीं है; डीएजी के निकट अद्वितीय टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग है यदि और केवल तभी जब इसमें सभी शीर्षों वाला निर्देशित पथ होता है, उस स्थिति में ऑर्डरिंग उस क्रम के समान होती है जिसमें शीर्ष पथ में दिखाई देते हैं।

डीएजी के टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग का परिवार डीएजी के लिए रीचैबिलिटी संबंध के रैखिक विस्तार के परिवार के समान है, इसलिए समान आंशिक क्रम का प्रतिनिधित्व करने वाले किन्हीं भी दो ग्राफ़ों में टोपोलॉजिकल ऑर्डर का एक ही समूह होता है।

मिश्रित गणना
निर्देशित अचक्रीय ग्राफ की गिनती की ग्राफ गणना समस्या का अध्ययन द्वारा किया गया था। $u → v$ के लिए $v$ लेबल वाले शीर्षों पर डीएजी की संख्या (उस क्रम पर प्रतिबंध के बिना जिसमें ये संख्या डीएजी के टोपोलॉजिकल क्रम में दिखाई देती हैं) है।
 * 1, 1, 3, 25, 543, 29281, 3781503, …

इन संख्याओं की गणना पुनरावृत्ति संबंध द्वारा की जा सकती है।
 * $$a_n = \sum_{k=1}^n (-1)^{k-1} {n\choose k}2^{k(n-k)} a_{n-k}.$$
 * एरिक डब्ल्यू वीस्टीन ने अनुमान लगाया, और ने सिद्ध किया कि समान संख्याएँ (0,1) आव्यूहों की गणना करती हैं, जिसके लिए सभी आइगेनमान ​​​​सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं। प्रमाण विशेषण है: आव्यूह $u$ डीएजी का आसन्न आव्यूह है यदि और केवल $n = 0, 1, 2, 3, …$ (0,1) आव्यूह है जिसमें सभी आइगेनमान ​​​​सकारात्मक हैं, जहां $u$ आइडेंटिटी आव्यूह को दर्शाता है। क्योंकि डीएजी में सेल्फ-लूप नहीं हो सकते हैं, इसके आसन्न आव्यूह में शून्य विकर्ण होना चाहिए, इसलिए $v$ जोड़ने से यह गुण सुरक्षित रहता है कि सभी आव्यूह गुणांक 0 या 1 हैं।

रेखांकन के संबंधित परिवार
मल्टीट्री (जिसे दृढ़ता से स्पष्ट ग्राफ या मैंग्रोव भी कहा जाता है) डीएजी है जिसमें किन्हीं दो शीर्षों के मध्य अधिकतम निर्देशित पथ होता है। समतुल्य रूप से, यह डीएजी है जिसमें किसी शीर्ष से पहुंचने योग्य सबग्राफ ट्री को प्रेरित करता है।

पॉलीट्री (जिसे निर्देशित पेड़ भी कहा जाता है) मल्टीट्री है जो अप्रत्यक्ष पेड़ के किनारों को उन्मुख करके बनाई जाती है।

आर्बोरेसेंस पॉलीट्री है जो अप्रत्यक्ष पेड़ के किनारों को शीर्ष से दूर उन्मुख करके बनाई जाती है, जिसे आर्बोरेसेंस की जड़ कहा जाता है।

टोपोलॉजिकल सॉर्टिंग और मान्यता
टोपोलॉजिकल सॉर्टिंग किसी दिए गए डीएजी के टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग के शोध की एल्गोरिथम समस्या है। इसका रैखिक समय में समाधान किया जा सकता है। टोपोलॉजिकल सॉर्टिंग के लिए काह्न का एल्गोरिथ्म सीधेशीर्ष क्रम का निर्माण करता है। यह उन शीर्षों की सूची रखता है जिनमें अन्य शीर्षों से कोई आने वाला किनारा नहीं है जो पूर्व से ही आंशिक रूप से निर्मित टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग में सम्मिलित नहीं किए गए हैं; प्रारंभ में इस सूची में वे शीर्ष होते हैं जिनमें कोई आने वाला किनारा नहीं होता है। फिर, यह आंशिक रूप से निर्मित टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग के अंत में इस सूची से बार-बार शीर्ष जोड़ता है, और परीक्षण करता है कि इसके पड़ोसियों को सूची में जोड़ा जाना चाहिए या नहीं। एल्गोरिथ्म समाप्त हो जाता है जब सभी कोने इस प्रकार से संसाधित किए जाते हैं। वैकल्पिक रूप से, गहराई-प्रथम शोध ग्राफ़ ट्रैवर्सल के पोस्टऑर्डर नंबरिंग को विपरीत कर टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग का निर्माण किया जा सकता है।

यह परीक्षण करना भी संभव है कि क्या दिया गया निर्देशित ग्राफ रैखिक समय में डीएजी है, या तो टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग शोध का प्रयास करके और फिर प्रत्येक किनारे के लिए परीक्षण करना कि परिणामी ऑर्डरिंग वैध है या नहीं या वैकल्पिक रूप से, कुछ टोपोलॉजिकल सॉर्टिंग एल्गोरिदम के लिए, यह सत्यापित करके कि एल्गोरिथ्म त्रुटि स्थिति को पूर्ण किए बिना सभी कोने को सफलतापूर्वक ऑर्डर करता है।

चक्रीय ग्राफ़ से निर्माण
किसी भी अप्रत्यक्ष ग्राफ को उसके शीर्षों के लिए कुल क्रम का चयन करके और अंत के समापन बिंदु के क्रम में पूर्व के समापन बिंदु से प्रत्येक किनारे को निर्देशित करके डीएजी में बनाया जा सकता है। किनारों के परिणामी अभिविन्यास को अचक्रीय अभिविन्यास कहा जाता है। भिन्न-भिन्न कुल ऑर्डर चक्रीय अभिविन्यास की ओर ले जा सकते हैं, इसलिए ए $n$-शीर्ष ग्राफ $A + I$ से कम हो सकता है चक्रीय अभिविन्यास की संख्या $n!$ के समान है, जहां $A$ दिए गए ग्राफ का रंगीन बहुपद है।

किसी भी निर्देशित ग्राफ़ को फीडबैक वर्टेक्स समूह या फीडबैक आर्क समूह, कोने या किनारों के समूह (क्रमशः) को विस्थापित करके डीएजी में बनाया जा सकता है जो सभी चक्रों को छूता है। चूँकि, ऐसा सबसे छोटा समूह एनपी-कठिन है। इच्छानुसार रूप से निर्देशित ग्राफ को भी डीएजी में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसे इसका संघनन कहा जाता है, इसके प्रत्येक दृढ़ता से जुड़े घटकों को एकल सुपरवर्टेक्स में परिवर्तित कर दिया जाता है। जब ग्राफ पूर्व से ही अचक्रीय होता है, तो इसका सबसे छोटा फीडबैक वर्टेक्स समूह और फीडबैक आर्क समूह रिक्त होते हैं, और इसका संक्षेपण ग्राफ ही होता है।

सकर्मक समापन और सकर्मक अल्पता
$I$ शीर्षों और $I$ किनारों, के साथ किसी दिए गए डीएजी का ट्रांजिटिव क्लोजर, प्रत्येक शीर्ष से पहुंच योग्यता का परीक्षण करने के लिए चौड़ाई-प्रथम शोध या गहराई-प्रथम शोध का उपयोग करके समय $|χ(−1)|$ में बनाया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, इसे समय $O(mn)$ में इसका समाधान किया जा सकता है जहां $O(n^{ω})$ आव्यूह गुणन एल्गोरिदम के लिए प्रतिपादक है; यह सघन ग्राफ़ के लिए बाध्य $ω < 2.373$ पर सैद्धांतिक सुधार है।

इन सभी सकर्मक क्लोजर एल्गोरिदम में, उन शीर्षों के जोड़े को अलग करना संभव है जो दो या अधिक लंबाई के कम से कम पथ द्वारा पहुंच योग्य हैं, उन जोड़ों से जो केवल लंबाई-एक पथ से जुड़े हो सकते हैं। सकर्मक अल्पता में किनारे होते हैं जो लंबाई-एक पथ बनाते हैं जो कि उनके समापन बिंदुओं को जोड़ने वाले एकमात्र पथ होते हैं। इसलिए, सकर्मक अल्पता का निर्माण सकर्मक समापन के समान स्पर्शोन्मुख समय सीमा में किया जा सकता है।

क्लोजर समस्या
क्लोजर समस्या शीर्ष-भारित निर्देशित अचक्रीय ग्राफ को इनपुट के रूप में लेती है और क्लोजर के न्यूनतम (या अधिकतम) वजन की तलाश करती है - शीर्ष सी का समूह, जैसे कि कोई किनारा सी नहीं त्यागता है। समस्या को धारणा के बिना निर्देशित ग्राफ के लिए प्रस्तुत किया जा सकता है। चक्रीयता का, किन्तु अधिक व्यापकता के बिना, क्योंकि इस स्थिति में यह ग्राफ के संक्षेपण पर उसी समस्या के समान है। अधिकतम प्रवाह समस्या में अल्पता का उपयोग करके इसका बहुपद समय में समाधान किया जा सकता है।

पथ एल्गोरिदम
टोपोलॉजिकल ऑर्डरिंग के सिद्धांत के आधार पर, सामान्य ग्राफ़ के अतिरिक्त डीएजी पर उपयोग किए जाने पर कुछ एल्गोरिदम सरल हो जाते हैं। उदाहरण के लिए, शीर्षों को टोपोलॉजिकल क्रम में संसाधित करके और प्रत्येक शीर्ष के लिए पथ की लंबाई की गणना करके किसी भी माध्यम से प्राप्त न्यूनतम या अधिकतम लंबाई के आधार पर रैखिक समय में डीएजी में दिए गए प्रारंभिक शीर्ष से सबसे छोटे पथ और सबसे लंबे पथ को इसके किसी आने वाले किनारे के माध्यम से ज्ञात करना संभव है। इसके विपरीत, इच्छानुसार ग्राफ़ के लिए सबसे छोटे पथ के लिए धीमे एल्गोरिदम की आवश्यकता हो सकती है जैसे कि डिज्क्स्ट्रा का एल्गोरिथ्म या बेलमैन-फोर्ड एल्गोरिथम, और इच्छानुसार ग्राफ़ में सबसे लंबे पथ को ज्ञात करना एनपी-कठिन हैं।

शेड्यूलिंग
आंशिक ऑर्डरिंग के निर्देशित अचक्रीय ग्राफ निरूपण में ऑर्डरिंग बाधाओं के साथ कार्यों की प्रणालियों के शेड्यूलिंग में कई अनुप्रयोग हैं। इस प्रकार की समस्याओं का महत्वपूर्ण वर्ग उन वस्तुओं के संग्रह से संबंधित है जिन्हें अद्यतन करने की आवश्यकता होती है, जैसे कि किसी कोशिका को परिवर्तित करने के पश्चात स्प्रेडशीट की कोशिकाएँ, या उसके स्रोत कोड के पश्चात कंप्यूटर सॉफ़्टवेयर के टुकड़े की वस्तु फ़ाइल को परिवर्तित कर दिया गया है। इस संदर्भ में, निर्भरता ग्राफ ऐसा ग्राफ होता है जिसमें अपडेट किए जाने वाले प्रत्येक ऑब्जेक्ट के लिए शीर्ष होता है, और जब भी उनमें से एक को दूसरे से पहले अपडेट करने की आवश्यकता होती है तो दो ऑब्जेक्ट्स को जोड़ने वाला किनारा होता है। इस ग्राफ में चक्र को वृत्ताकार निर्भरता कहा जाता है, और सामान्यतः इसकी अनुमति नहीं होती है, क्योंकि चक्र में सम्मिलित कार्यों को निरंतर शेड्यूल करने का कोई प्रकार नहीं होगा। वृत्ताकार निर्भरता के बिना निर्भरता ग्राफ डीएजी बनाते हैं।

उदाहरण के लिए, जब किसी स्प्रेडशीट का सेल परिवर्तित होता है, तो अन्य सेल के मानों की पुनर्गणना करना आवश्यक होता है जो प्रत्यक्ष या अप्रत्यक्ष रूप से परिवर्तित सेल पर निर्भर करते हैं। इस समस्या के लिए, निर्धारित किए जाने वाले कार्य स्प्रेडशीट के भिन्न-भिन्न कक्षों के मूल्यों की पुनर्गणना हैं। निर्भरताएँ तब उत्पन्न होती हैं जब कक्ष में कोई व्यंजक किसी अन्य कक्ष के मान का उपयोग करता है। ऐसी स्थिति में, उपयोग किए गए मान का उपयोग करने वाले व्यंजक से पहले पुनर्गणना की जानी चाहिए। टोपोलॉजिकल रूप से क्रमबद्ध करना, और सेल अपडेट को शेड्यूल करने के लिए इस टोपोलॉजिकल ऑर्डर का उपयोग करना, संपूर्ण स्प्रेडशीट को प्रति सेल केवल मूल्यांकन के साथ अपडेट करने की अनुमति देता है। प्रोग्राम संकलन के लिए मेकफ़ाइल्स और निम्न-स्तरीय कंप्यूटर प्रोग्राम अनुकूलन के लिए निर्देश शेड्यूलिंग में कार्य क्रम की समान समस्याएं उत्पन्न होती हैं।

शेड्यूलिंग बाधाओं का कुछ अलग डीएजी-आधारित कार्यक्रम मूल्यांकन और समीक्षा प्रौद्योगिकी (पीईआरटी) द्वारा उपयोग किया जाता है, जो बड़ी मानव परियोजनाओं के प्रबंधन के लिए विधि है जो डीएजी के पूर्व अनुप्रयोगों में से था। इस पद्धति में, डीएजी के शिखर प्रदर्शन किए जाने वाले विशिष्ट कार्यों के अतिरिक्त किसी परियोजना के माइलस्टोन का प्रतिनिधित्व करते हैं। इसके अतिरिक्त, कार्य या गतिविधि को डीएजी के किनारे द्वारा दर्शाया जाता है, जो दो माइलस्टोन को जोड़ता है जो कार्य के प्रारम्भ और पूर्णता को चिह्नित करता है। इस प्रकार के प्रत्येक किनारे को अनुमान के साथ लेबल किया जाता है कि कार्य करने के लिए श्रमिकों की टीम को कितना समय लगेगा। इस डीएजी में सबसे लंबी पथ समस्या परियोजना की महत्वपूर्ण पथ विधि का प्रतिनिधित्व करती है, जो कि परियोजना के लिए कुल समय को नियंत्रित करती है। भिन्न-भिन्न माइलस्टोन उनके शीर्ष पर समाप्त होने वाले सबसे लंबे रास्तों की लंबाई के अनुसार निर्धारित किए जा सकते हैं।

डाटा प्रोसेसिंग नेटवर्क
प्रसंस्करण तत्वों के नेटवर्क का प्रतिनिधित्व करने के लिए निर्देशित अचक्रीय ग्राफ का उपयोग किया जा सकता है। इस प्रतिनिधित्व में, डेटा अपने आने वाले किनारों के माध्यम से प्रसंस्करण तत्व में प्रवेश करता है और इसके बाहर जाने वाले किनारों के माध्यम से तत्व को त्याग देता है।

उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉनिक सर्किट डिजाइन में, स्थिर संयोजन तर्क ब्लॉक को लॉजिक गेट्स की चक्रीय प्रणाली के रूप में दर्शाया जा सकता है जो इनपुट के फ़ंक्शन की गणना करता है, जहां फ़ंक्शन के इनपुट और आउटपुट को भिन्न-भिन्न बिट्स के रूप में दर्शाया जाता है। सामान्यतः, इन ब्लॉकों के आउटपुट को इनपुट के रूप में तब तक उपयोग नहीं किया जा सकता जब तक कि इसे रजिस्टर या राज्य तत्व द्वारा कैप्चर नहीं किया जाता है जो इसके चक्रीय गुणों को बनाए रखता है। इलेक्ट्रॉनिक सर्किट स्कीमैटिक्स या तो कागज पर या डेटाबेस में निर्देशित चक्रीय ग्राफ का रूप है जो निम्न स्तर के घटक के लिए निर्देशित संदर्भ बनाने के लिए उदाहरणों या घटकों का उपयोग करता है। आवश्यक नहीं कि इलेक्ट्रॉनिक सर्किट स्वयं ही चक्रीय या निर्देशित हों।

डेटाफ्लो प्रोग्रामिंग भाषाएं डेटा स्ट्रीम पर संचालन की प्रणालियों और कुछ संचालन के आउटपुट और अन्य के इनपुट के मध्य कनेक्शन का वर्णन करती हैं। ये भाषाएं दोहराए जाने वाले डेटा प्रोसेसिंग कार्यों का वर्णन करने के लिए सुविधाजनक हो सकती हैं, जिसमें कई डेटा आइटमों पर ही चक्रीय रूप से जुड़े संचालन का संग्रह प्रारम्भ होता है। उन्हें समानांतर एल्गोरिदम के रूप में निष्पादित किया जा सकता है जिसमें प्रत्येक ऑपरेशन समानांतर प्रक्रिया द्वारा किया जाता है जैसे ही इनपुट का एक और समूह उपलब्ध हो जाता है।

कंपाइलरों में, सीधी रेखा कोड (अर्थात, बिना लूप या सशर्त शाखाओं के बयानों के अनुक्रम) को डीएजी द्वारा कोड के अंदर किए गए प्रत्येक अंकगणितीय संचालन के इनपुट और आउटपुट का वर्णन किया जा सकता है। यह प्रतिनिधित्व संकलक को सामान्य उप-अभिव्यक्ति उन्मूलन को कुशलतापूर्वक करने की अनुमति देता है। कोड संगठन के उच्च स्तर पर, अचक्रीय निर्भरता सिद्धांत बताता है कि बड़े सॉफ्टवेयर सिस्टम के मॉड्यूल या घटकों के मध्य निर्भरता निर्देशित अचक्रीय ग्राफ बनाना चाहिए।

फीडफॉरवर्ड न्यूरल नेटवर्क अन्य उदाहरण हैं।

कारण संरचना
ऐसे ग्राफ़ जिनमें शीर्ष एक निश्चित समय पर होने वाली घटनाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, और जहां किनारों को सदैव प्रारंभिक समय के शीर्ष से किनारे के देर के समय के शीर्ष तक प्रदर्शित किया जाता है, आवश्यक रूप से निर्देशित और चक्रीय होते हैं। चक्र की अल्पता इस प्रकार है क्योंकि जब आप ग्राफ़ में किसी भी पथ का अनुसरण करते हैं तो शीर्ष से जुड़ा समय सदैव बढ़ता है इसलिए आप किसी पथ पर किसी शीर्ष पर कभी नहीं लौट सकते। यह हमारे प्राकृतिक अंतर्ज्ञान को दर्शाता है कि कार्य-कारण का अर्थ है कि घटनाएं केवल भविष्य को प्रभावित कर सकती हैं, वे कभी भी अतीत को प्रभावित नहीं करती हैं, और इस प्रकार हमारे पास कोई कारण नहीं है। इस प्रकार के निर्देशित अचक्रीय ग्राफ का उदाहरण वे हैं जो क्वांटम गुरुत्व में पाए जाते हैं, चूँकि इस स्थिति में जिन ग्राफों पर विचार किया जाता है वे हैं #Transitive क्लोजर और ट्रांजिटिव रिडक्शन। नीचे दिए गए संस्करण इतिहास के उदाहरण में, सॉफ़्टवेयर का प्रत्येक संस्करण अद्वितीय समय के साथ जुड़ा हुआ है, सामान्यतःसंस्करण को सहेजे जाने, प्रतिबद्ध या जारी किए जाने का समय। नीचे दिए गए उद्धरण ग्राफ़ उदाहरणों में, दस्तावेज़ समय में प्रकाशित होते हैं और केवल पुराने दस्तावेज़ों को संदर्भित कर सकते हैं।

कभी-कभी घटनाएँ किसी विशिष्ट भौतिक समय से जुड़ी नहीं होती हैं। बशर्ते कि घटनाओं के जोड़े में विशुद्ध रूप से कारणात्मक संबंध हो, अर्थात किनारे घटनाओं के मध्य  कार्य-कारण का प्रतिनिधित्व करते हैं, हमारे पास निर्देशित चक्रीय ग्राफ होगा। उदाहरण के लिए, बायेसियन नेटवर्क संभाव्य घटनाओं की प्रणाली को निर्देशित चक्रीय ग्राफ में कोने के रूप में दर्शाता है, जिसमें किसी घटना की संभावना की गणना डीएजीमें उसके पूर्ववर्तियों की संभावना से की जा सकती है। इस संदर्भ में, डीएजीका नैतिक ग्राफ ही शीर्ष के सभी माता-पिता (कभी-कभी शादी करना) के मध्य   (अप्रत्यक्ष) किनारा जोड़कर बनाया गया अप्रत्यक्ष ग्राफ है, और फिर सभी निर्देशित किनारों को अप्रत्यक्ष किनारों से बदल देता है। समान कारण संरचना वाला अन्य प्रकार का ग्राफ प्रभाव आरेख है, जिसके शीर्ष या तो किए जाने वाले निर्णयों या अज्ञात जानकारी का प्रतिनिधित्व करते हैं, और जिसके किनारे शीर्ष से दूसरे शीर्ष पर कारण प्रभावों का प्रतिनिधित्व करते हैं। महामारी विज्ञान में, उदाहरण के लिए, इन आरेखों का उपयोग प्रायः हस्तक्षेप के लिए विभिन्न विकल्पों के अपेक्षित मूल्य का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है। इसका उलटा भी सच है। यह किसी भी अनुप्रयोग में निर्देशित विश्वकोश ग्राफ द्वारा दर्शाया गया है, कारण संरचना है, या तो उदाहरण में स्पष्ट क्रम या समय या आदेश जो ग्राफ संरचना से प्राप्त किया जा सकता है। यह इस प्रकार है क्योंकि सभी निर्देशित अचक्रीय ग्राफ़ में #सांस्थितिक क्रम होता है, अर्थात वर्टिकल को क्रम में रखने का कम से कम तरीका होता है जैसे कि सभी किनारे उस क्रम के साथ ही दिशा में इंगित करते हैं।

वंशावली और संस्करण इतिहास
पारिवारिक वृक्षों को निर्देशित चक्रीय ग्राफ़ के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें प्रत्येक परिवार के सदस्य के लिए शीर्ष और प्रत्येक माता-पिता-बच्चे के संबंध के लिए किनारा होता है। नाम के अतिरिक्त, ये ग्राफ आवश्यक रूप से पेड़ नहीं हैं क्योंकि रिश्तेदारों के मध्य विवाह की संभावना होती है (इसलिए बच्चे के माता और पिता दोनों पक्षों में सामान्य पूर्वज होता है) जिससे वंशावली का पतन होता है। मातृवंशीय वंश (माँ-बेटी के रिश्ते) और पितृवंशीय वंश (पिता-पुत्र के रिश्ते) के ग्राफ इस ग्राफ के अंतर्गत वृक्ष हैं। क्योंकि कोई भी अपना पूर्वज नहीं बन सकता, पारिवारिक वृक्ष अचक्रीय हैं। वितरित संशोधन नियंत्रण प्रणाली के संस्करण इतिहास, जैसे कि गिट, में सामान्यतः निर्देशित अचक्रीय ग्राफ की संरचना होती है, जिसमें प्रत्येक संशोधन के लिए शीर्ष होता है और संशोधनों के जोड़े को जोड़ने वाला किनारा होता है जो सीधे दूसरे से प्राप्त होते हैं। मर्ज के कारण ये सामान्य रूप से पेड़ नहीं हैं।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में कई यादृच्छिककरण एल्गोरिदम में, एल्गोरिदम इतिहास डीएजी बनाए रखता है जो संरचना में परिवर्तनों के अनुक्रम के समय ज्यामितीय संरचना के संस्करण इतिहास का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, डेलाउने त्रिभुज के लिए यादृच्छिक वृद्धिशील एल्गोरिथ्म में, प्रत्येक बिंदु को जोड़ने पर त्रिभुज को तीन छोटे त्रिभुजों से प्रतिस्थापित करने से त्रिभुज परिवर्तित हो जाता है, और "फ्लिप" संचालन द्वारा त्रिभुजों के जोड़े को त्रिभुजों की भिन्न जोड़ी से परिवर्तित कर दिया जाता है। इस एल्गोरिथम के इतिहास डीएजी में एल्गोरिथम के भाग के रूप में निर्मित प्रत्येक त्रिभुज के लिए शीर्ष होता है, और प्रत्येक त्रिकोण से दो या तीन अन्य त्रिकोणों के किनारे होते हैं जो इसे प्रतिस्थापित करते हैं। यह संरचना बिंदु स्थान संबंधी प्रश्नों का कुशलतापूर्वक उत्तर देने की अनुमति देती है: डेलाउने त्रिभुज में प्रश्न बिंदु $n$ के स्थान के शोध के लिए, इतिहास डीएजी में पथ का अनुसरण करता है, प्रत्येक चरण पर उस प्रतिस्थापन त्रिभुज की ओर बढ़ रहा है जिसमें $χ$ सम्मिलित है। इस पथ में पहुंचने वाला अंतिम त्रिभुज डेलाउने त्रिभुज होना चाहिए जिसमें $n$ सम्मिलित है।

उद्धरण रेखांकन
उद्धरण ग्राफ में शीर्ष एकल प्रकाशन तिथि वाले दस्तावेज़ होते हैं। किनारे दस्तावेज़ की ग्रंथ सूची से अन्य आवश्यक रूप से पूर्व के दस्तावेज़ों के उद्धरणों का प्रतिनिधित्व करते हैं। क्लासिक उदाहरण अकादमिक पत्रों के मध्य उद्धरणों से आता है जैसा कि डेरेक जे. डी सोला प्राइस के 1965 के लेख नेटवर्क्स ऑफ साइंटिफिक पेपर्स में बताया गया है, जिन्होंने उद्धरण नेटवर्क का प्रथम मॉडल, प्राइस का मॉडल प्रस्तुत किया था। इस स्थिति में किसी पेपर की उद्धरण संख्या उद्धरण नेटवर्क के संबंधित शीर्ष की डिग्री मात्र है। उद्धरण विश्लेषण में यह महत्वपूर्ण उपाय है। न्यायालय के निर्णय और उदाहरण प्रदान करता है क्योंकि न्यायाधीश पूर्व स्थितियों में किए गए अन्य पूर्व निर्णयों को याद करके स्थिति में अपने निष्कर्ष का समर्थन करते हैं। अंतिम उदाहरण पेटेंट द्वारा प्रदान किया जाता है जो पूर्व की कला को संदर्भित करता है, पूर्व के पेटेंट जो वर्तमान पेटेंट दावे के लिए प्रासंगिक हैं। निर्देशित अचक्रीय ग्राफ़ के विशेष गुणों को ध्यान में रखते हुए, नेटवर्क विश्लेषण का उपयोग करके कई अध्ययनों में विचार किए गए सामान्य रेखांकन का विश्लेषण करते समय उपलब्ध प्रौद्योगिकी के साथ उद्धरण नेटवर्क का विश्लेषण किया जा सकता है। उदाहरण के लिए ट्रांजिटिव रिडक्शन विभिन्न अनुप्रयोगों में पाए जाने वाले उद्धरण वितरण में नई अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, जो विभिन्न संदर्भों में उद्धरण नेटवर्क बनाने वाले तंत्र में स्पष्ट अंतर को उजागर करता है। अन्य प्रौद्योगिकी मुख्य पथ विश्लेषण है, जो उद्धरण लिंक को ज्ञात करती है और किसी दिए गए उद्धरण ग्राफ़ में सबसे महत्वपूर्ण उद्धरण श्रृंखला का सुझाव देती है।

प्राइस मॉडल किसी उद्धरण नेटवर्क का यथार्थवादी मॉडल होने के लिए अधिक सरल है, किन्तु इसके कुछ गुणों के लिए विश्लेषणात्मक समाधान की अनुमति देने के लिए यह अधिक सरल है। इनमें से कई को प्राइस के मॉडल, बाराबासी-अल्बर्ट मॉडल के अप्रत्यक्ष संस्करण से प्राप्त परिणामों का उपयोग करके पाया जा सकता है। चूँकि, प्राइस का मॉडल निर्देशित अचक्रीय ग्राफ देता है, यह उपयोगी मॉडल है जब निर्देशित अचक्रीय ग्राफ के लिए अद्वितीय गुणों की विश्लेषणात्मक गणना की तलाश में है। उदाहरण के लिए, सबसे लंबे पथ की लंबाई, नेटवर्क में जोड़े गए n-वें नोड से नेटवर्क में प्रथम नोड तक, $$\ln(n)$$ स्केल के रूप में मापी जाती है।

डेटा संपीड़न
निर्देशित अचक्रीय ग्राफ़ का उपयोग अनुक्रमों के संग्रह के डेटा संपीड़न के रूप में भी किया जा सकता है। इस प्रकार के अनुप्रयोग में, डीएजी मिलता है जिसमें पथ दिए गए अनुक्रमों का निर्माण करते हैं। जब कई अनुक्रम समान अनुवर्ती साझा करते हैं, तो इन साझा अनुक्रमों को डीएजी के साझा भाग द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है, जिससे प्रतिनिधित्व को कम स्थान का उपयोग करने की अनुमति मिलती है, जिससे सभी अनुक्रमों को अलग से सूचीबद्ध किया जा सके। उदाहरण के लिए, नियतात्मक अचक्रीय परिमित अवस्था ऑटोमेटन कंप्यूटर विज्ञान में डेटा संरचना है जो एकल स्रोत के साथ और अक्षरों या प्रतीकों द्वारा लेबल किए गए किनारों के साथ निर्देशित चक्रीय ग्राफ द्वारा बनाई गई है; इस ग्राफ में स्रोत से सिंक तक के पथ अंग्रेजी शब्दों जैसे स्ट्रिंग के समूह का प्रतिनिधित्व करते हैं। अनुक्रम के प्रत्येक उपसर्ग के लिए वृक्ष शीर्ष बनाकर और इनमें से किसी शीर्ष के माता-पिता को कम तत्व के साथ अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करके, अनुक्रमों के किसी भी सेट को पेड़ में पथ के रूप में दर्शाया जा सकता है; स्ट्रिंग्स के समूह के लिए इस प्रकार से बने पेड़ को ट्राई कहा जाता है। निर्देशित अचक्रीय शब्द ग्राफ पथों को मोड़ने और फिर से जुड़ने की अनुमति देकर ट्राई में स्थान बचाता है, जिससे कि समान संभावित प्रत्ययों वाले शब्दों के समूह एकल वृक्ष शीर्ष द्वारा प्रदर्शित किये जा सके।

पथों के परिवार का प्रतिनिधित्व करने के लिए डीएजी का उपयोग करने का विचार बाइनरी निर्णय आरेख में होता है, बाइनरी कार्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए डीएजी-आधारित डेटा संरचना है। बाइनरी निर्णय आरेख में, प्रत्येक गैर-सिंक शीर्ष को बाइनरी चर के नाम से लेबल किया जाता है, और प्रत्येक सिंक और प्रत्येक किनारे को 0 या 1 द्वारा लेबल किया जाता है। चर के लिए किसी भी सत्य असाइनमेंट के लिए फ़ंक्शन मान सिंक पथ का अनुसरण करके पाया जाता है, जो एकल स्रोत शीर्ष से प्रारंभ होता है, जो कि प्रत्येक गैर-सिंक शीर्ष पर उस शीर्ष के चर के मान के साथ लेबल किए गए आउटगोइंग एज का अनुसरण करता है। जिस प्रकार निर्देशित चक्रीय शब्द ग्राफ़ को प्रयासों के संपीड़ित रूप के रूप में देखा जा सकता है, उसी प्रकार बाइनरी निर्णय आरेखों को निर्णय पेड़ों के संकुचित रूपों के रूप में देखा जा सकता है जो शेष सभी निर्णयों के परिणामों पर सहमत होने पर पथों को फिर से जुड़ने की अनुमति देकर स्थान बचाते हैं।

बाहरी संबंध

 * DAGitty – an online tool for creating DAGs
 * DAGitty – an online tool for creating DAGs

Graph (Graphentheorie)