साधारण सम्मिश्र

गणित में, एक सरल परिसर बिंदु (ज्यामिति), रेखा खंड, त्रिकोण और उनके n-आयामी समकक्षों (चित्रण देखें) से बना एक समुच्चय है। सरलीकृत परिसरों को आधुनिक साधारण होमोटोपी सिद्धांत में प्रकट होने वाले सरल समुच्चय की अधिक सारगर्भित धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, एक साधारण सम्मिश्र के लिए विशुद्ध रूप से संयोजी समकक्ष एक सार सरल सम्मिश्र है। सरल सरलीकृत परिसर को अमूर्त सरलीकृत परिसर से भिन्न करने के लिए, पूर्व को अधिकांशतः ज्यामितीय सरलीकृत परिसर कहा जाता है। 

परिभाषाएँ
एक साधारण परिसर $$\mathcal{K}$$ सरलताओं का एक समुच्चय है जो निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:
 * 1. $$\mathcal{K}$$ से एक सिंप्लेक्स का हर चेहरा $$\mathcal{K}$$ में भी है।
 * 2. किन्हीं दो सरलियों $$\sigma_1, \sigma_2 \in \mathcal{K}$$ का गैर-रिक्त चौराहा $$\sigma_1$$ और $$\sigma_2$$ दोनों का एक चेहरा है।

एक सार सरल परिसर की परिभाषा भी देखें, जो ढीले ढंग से बोलना एक संबद्ध ज्यामिति के बिना एक साधारण सम्मिश्र है।

एक साधारण $$\mathcal{K}$$-कॉम्प्लेक्स $$\mathcal{K}$$ एक साधारण सम्मिश्र है जहां $$\mathcal{K}$$ में किसी भी सिम्प्लेक्स का सबसे बड़ा आयाम k के समतुल्य है। उदाहरण के लिए, एक साधारण 2-कॉम्प्लेक्स में कम से कम एक त्रिकोण होना चाहिए, और इसमें कोई टेट्राहेड्रा या उच्च-आयामी सरलता नहीं होनी चाहिए।

एक शुद्ध या सजातीय साधारण $$\mathcal{K}$$-कॉम्प्लेक्स $$\mathcal{K}$$ एक साधारण परिसर है जहाँ k से कम आयाम का प्रत्येक सरल आयाम बिल्कुल $$\mathcal{K}$$ के आयाम के कुछ सिंप्लेक्स $$\sigma \in \mathcal{K}$$ का एक चेहरा है। अनौपचारिक रूप से, एक शुद्ध 1-सम्मिश्र "दिखता है" जैसे कि यह लाइनों के समूह से बना है, एक 2-सम्मिश्र "दिखता है" जैसे यह त्रिकोणों के समूह से बना है, आदि। एक गैर-सजातीय परिसर का एक उदाहरण एक त्रिभुज है जिसके एक कोने से एक रेखा खंड जुड़ा हुआ है। शुद्ध साधारण परिसरों को त्रिकोणासन (टोपोलॉजी) के रूप में माना जा सकता है और पॉलीटोप्स की परिभाषा प्रदान करता है।

एक पहलू एक अधिकतम सिंप्लेक्स है, अर्थात, किसी कॉम्प्लेक्स में कोई भी सिम्प्लेक्स जो किसी भी बड़े सिम्प्लेक्स का चेहरा नहीं है। (एक सिंप्लेक्स के "चेहरे" से अंतर पर ध्यान दें)। एक शुद्ध साधारण परिसर को एक सम्मिश्र के रूप में माना जा सकता है जहां सभी पहलुओं का एक ही आयाम होता है। साधारण पॉलीटोप्स के (सीमा परिसरों) के लिए यह पॉलीहेड्रल कॉम्बिनेटरिक्स के अर्थ के साथ मेल खाता है।

कभी-कभी शब्द का चेहरा एक सम्मिश्र के एक सिंप्लेक्स को संदर्भित करने के लिए उपयोग किया जाता है, न कि एक सिम्प्लेक्स के चेहरे से भ्रमित करने के लिए किया जाता है।

के-डायमेंशनल स्पेस में सन्निहित सरल परिसर एम्बेडिंग के लिए, के-चेहरे को कभी-कभी इसकी कोशिकाओं के रूप में संदर्भित किया जाता है। सेल शब्द का प्रयोग कभी-कभी एक व्यापक अर्थ में एक समुच्चय होमोमोर्फिज्म को एक सिम्प्लेक्स में निरूपित करने के लिए किया जाता है, जिससे कोशिका परिसर की परिभाषा हो जाती है।

अंतर्निहित स्थान, जिसे कभी-कभी एक साधारण परिसर का वाहक कहा जाता है, इसकी सरलताओं का संघ (समुच्चय सिद्धांत) है। इसे सामान्यतः $$|\mathcal{K}|$$ या $$||\mathcal{K}||$$ द्वारा दर्शाया जाता है।

समर्थन
$$|\mathcal{K}|$$ में सभी सरलताओं के सापेक्ष आंतरिक स्थान इसके अंतर्निहित स्थान का एक विभाजन बनाते हैं $$|\mathcal{K}|$$: प्रत्येक बिंदु के लिए $$x\in |\mathcal{K}|$$, $$\mathcal{K}$$ में बिल्कुल एक सिम्प्लेक्स है जिसमें इसके सापेक्ष इंटीरियर में $$x$$ है। इस सिम्प्लेक्स को $$x$$ का सपोर्ट कहा जाता है और इसे सपोर्ट $$\operatorname{supp}(x)$$ के रूप में दर्शाया जाता है।

क्लोजर, स्टार और लिंक
मान लीजिये K एक साधारण परिसर है, और यह भी माना जा सकता है की S भी K का सरलताओं का संग्रह है।

S का बंद होना (निरूपित $$\mathrm{Cl}\ S$$) K का सबसे छोटा साधारण उपसमुच्चय है जिसमें S में प्रत्येक सिंप्लेक्स सम्मलित है। $$\mathrm{Cl}\ S$$ को बार-बार S में प्रत्येक सिम्प्लेक्स के प्रत्येक फलक को S में जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

S का तारा (निरूपित $$\mathrm{st}\ S$$) S में प्रत्येक सिम्प्लेक्स के सितारों का मिलन है। एक सिंप्लेक्स s के लिए, s का तारा चेहरे के रूप में s वाले सरलताओं का समूह है। एस का सितारा सामान्यतः एक साधारण परिसर नहीं है, इसलिए कुछ लेखक (निरूपित $$\mathrm{St}\ S$$}) $$\mathrm{Cl}\ \mathrm{st}\ S$$ S के तारे का बंद होना एस के बंद सितारे को परिभाषित करते हैं।

S का लिंक (ज्यामिति) (निरूपित $$\mathrm{Lk}\ S$$) समतुल्य $$\mathrm{Cl}\big(\mathrm{st}(S)\big) \setminus \mathrm{st}\big(\mathrm{Cl}(S)\big)$$ है। यह S माइनस S का बंद तारा है जो S के सभी चेहरों का तारा है।

बीजगणितीय टोपोलॉजी
बीजगणितीय टोपोलॉजी में, साधारण परिसर अधिकांशतः ठोस गणनाओं के लिए उपयोगी होते हैं। एक साधारण परिसर के होमोलॉजी समूहों की परिभाषा के लिए, कोई भी संबंधित श्रृंखला परिसर को सीधे पढ़ सकता है, बशर्ते कि सभी सरलताओं से सुसंगत अभिविन्यास बने हों, होमोटॉपी सिद्धांत की आवश्यकताएं अधिक सामान्य रिक्त स्थान, सीडब्ल्यू परिसरों के उपयोग की ओर ले जाती हैं। बीजगणितीय टोपोलॉजी में अनंत परिसर एक तकनीकी उपकरण बुनियादी हैं। उपसमुच्चयों से बने यूक्लिडियन अंतरिक्ष के उप-स्थानों के रूप में सरल परिसरों के पॉलीटॉप पर चर्चा भी देखें, जिनमें से प्रत्येक एक सरल है। पावेल सर्गेइविच अलेक्जेंड्रोव कुछ और अधिक ठोस अवधारणा का श्रेय अलेक्जेंड्रोव को दिया जाता है। यहाँ जिस अर्थ में बात की गई है, उसमें किसी भी परिमित सरल परिसर को कुछ बड़ी संख्या में आयामों में, उस अर्थ में एक पॉलीटॉप के रूप में एम्बेड किया जा सकता है। बीजगणितीय टोपोलॉजी में, एक कॉम्पैक्ट जगह टोपोलॉजिकल स्पेस जो एक परिमित सरल परिसर के ज्यामितीय अहसास के लिए होमोमोर्फिक है, सामान्यतः एक पॉलीहेड्रॉन कहा (देखें, , ) जाता है।

कॉम्बिनेटरिक्स
कॉम्बिनेटरियलिस्ट अधिकांशतः एक साधारण डी-कॉम्प्लेक्स Δ के एफ-वेक्टर का अध्ययन करते हैं, जो पूर्णांक अनुक्रम $$(f_0, f_1,  f_2,  \ldots,  f_{d+1})$$ है, जहां fi Δ के (i−1)-विमीय चेहरों की (सम्मेलन के अनुसार, f0 = 1 जब तक कि Δ खाली कॉम्प्लेक्स न हो) संख्या है। उदाहरण के लिए, यदि Δ अष्टफलक की सीमा है, तो इसका एफ-वेक्टर (1, 6, 12, 8) है, और यदि Δ ऊपर चित्रित पहला साधारण सम्मिश्र है, तो इसका एफ-वेक्टर (1, 18, 23, 8, 1) है। क्रुस्कल-काटोना प्रमेय द्वारा सरलीकृत परिसरों के संभावित एफ-वैक्टरों का एक पूर्ण लक्षण वर्णन दिया गया है।

एक साधारण डी-कॉम्प्लेक्स Δ के एफ-वेक्टर को एक बहुपद के गुणांक के रूप में उपयोग करके (एक्सपोनेंट्स के घटते क्रम में लिखा गया), हम Δ का एफ-बहुपद प्राप्त करते हैं। ऊपर दिए गए हमारे दो उदाहरणों में, f-बहुपद $$x^3+6x^2+12x+8$$ और $$x^4+18x^3+23x^2+8x+1$$, क्रमशः है।

कॉम्बिनेटरिस्ट अधिकांशतः एक साधारण सम्मिश्र Δ के h-वेक्टर में पर्याप्त रुचि रखते हैं, जो कि बहुपद के गुणांक का अनुक्रम है जो x - 1 को Δ के f-बहुपद में प्लग करने के परिणामस्वरूप होता है। औपचारिक रूप से, यदि हम Δ के f-बहुपद का मतलब FΔ(x) लिखते हैं, तो Δ का h-बहुपद है


 * $$F_\Delta(x-1)=h_0x^{d+1}+h_1x^d+h_2x^{d-1}+\cdots+h_dx+h_{d+1}$$

और Δ का एच-वेक्टर है,


 * $$(h_0, h_1,  h_2, \cdots,  h_{d+1})$$

हम ऑक्टाहेड्रोन सीमा (हमारा पहला उदाहरण) के एच-वेक्टर की गणना निम्नानुसार करते हैं:


 * $$F(x-1)=(x-1)^3+6(x-1)^2+12(x-1)+8=x^3+3x^2+3x+1.$$

तो ऑक्टाहेड्रॉन की सीमा का एच-वेक्टर (1, 3, 3, 1) है। यह कोई संयोग नहीं है कि यह एच-वेक्टर सममित है। वास्तव में, ऐसा तब होता है जब Δ सरल पॉलीटॉप की सीमा होती है (ये देह्न-सोमरविले समीकरण हैं)। सामान्यतः चूंकि, सरल परिसर का एच-वेक्टर भी आवश्यक रूप से सकारात्मक नहीं होता है। उदाहरण के लिए, यदि हम Δ को मात्र उभयनिष्ठ शीर्ष पर प्रतिच्छेद करने वाले दो त्रिभुजों द्वारा दिए गए 2-कॉम्प्लेक्स के रूप में लेते हैं, तो परिणामी h-वेक्टर (1, 3, -2) है।

रिचर्ड पी. स्टैनली, बिलेरा और ली के प्रसिद्ध जी-प्रमेय द्वारा सभी सरल पॉलीटॉप एच-वैक्टर का पूर्ण लक्षण वर्णन दिया गया है।

साधारण परिसरों को एक समान ज्यामितीय संरचना के रूप में देखा जा सकता है जैसे कि एक गोले की पैकिंग का संपर्क ग्राफ एक ग्राफ जहां गोले के केंद्र होते हैं और इस प्रकार का निर्धारण करने के लिए उपयोग किया जा सकता है, गोलाकार पैकिंग के कॉम्बिनेटरिक्स, जैसे कि स्फेयर पैकिंग में टचिंग जोड़े (1-सिंपलिस), टचिंग ट्रिपल (2-सिंपलिस), और टचिंग चौगुनी (3-सिंपलिस) की संख्या और किनारों का अस्तित्व होता है यदि संबंधित पैकिंग तत्व एक दूसरे को स्पर्श करते हैं।

कम्प्यूटेशनल समस्याएं
साधारण सम्मिश्र मान्यता समस्या है: एक परिमित सरलीकृत परिसर दिया गया है, यह तय करें कि यह किसी दिए गए ज्यामितीय वस्तु के लिए होमोमोर्फिक है या नहीं, यह समस्या डी ≥ 5 के लिए किसी भी डी-आयामी मैनिफोल्ड के लिए अनिर्णीत समस्या है।

यह भी देखें

 * सार सरल सम्मिश्र
 * बैरीसेंट्रिक उपखंड
 * कारण गतिशील त्रिकोणासन
 * डेल्टा समुच्चय
 * बहुभुज श्रृंखला – 1 आयामी सादा सम्मिश्र
 * टकर की लेम्मा
 * सिम्पलेक्स ट्री

बाहरी संबंध

 * Norman J. Wildberger. "Simplices and simplicial complexes". A Youtube talk..
 * Norman J. Wildberger. "Simplices and simplicial complexes". A Youtube talk..