अबेलिअन विविधता सीमांकन समीकरण

गणित में, एबेलियन विविधता की अवधारणा अण्डाकार वक्र का उच्च-आयामी सामान्यीकरण है। एबेलियन किस्मों को परिभाषित करने वाले समीकरण अध्ययन का विषय हैं क्योंकि प्रत्येक एबेलियन किस्म प्रक्षेपी किस्म है। चूँकि, आयाम d ≥ 2 में, ऐसे समीकरणों पर चर्चा करना इतना समान नहीं होता है।

इस प्रश्न पर विस्तृत पुरातात्विक साहित्य है, जो सुधारित रूप में, जटिल बीजगणितीय ज्यामिति के लिए, थीटा फलन के बीच संबंधों का वर्णन करने का प्रश्न है। आधुनिक ज्यामितीय विधि अब डेविड मम्फोर्ड के कुछ मूल पत्रों से संदर्भित करती है, जो 1966 से 1967 तक के हैं, जिन्होंने उस सिद्धांत को सारगर्भित बीजगणितीय ज्यामिति से संबंधित अभिव्यक्ति में पुनर्संचयित किया जाता है।

संपूर्ण चौराहे
उन स्थितियों के लिए जब d = 1 हो, जहां अण्डाकार वक्र का रैखिक विस्तार परियोजनीय विमान या परियोजनीय 3-स्थान हो, अन्य सभी मामूले संख्या d > 1 के लिए सामान्यतः सामान्य नहीं होते हैं। समतल में, प्रत्येक अण्डाकार वक्र को घन द्वारा वक्र दिया जाता है। P3 में, दो चतुर्भुजों के प्रतिच्छेदन के रूप में अण्डाकार वक्र प्राप्त किया जा सकता है।

सामान्यतः, एबेलियन किस्में पूर्ण प्रतिच्छेदन नहीं होती हैं। कंप्यूटर बीजगणित तकनीकें अब d > 1 के छोटे मानों के लिए समीकरणों के प्रत्यक्ष संचालन पर कुछ प्रभाव डालने में सक्षम हैं।

कुमेर सतहें
कुमेर सतह में उन्नीसवीं शताब्दी की ज्यामिति में रुचि आंशिक रूप से उस प्रकार से आई, जिस प्रकार से चतुर्थक सतह ने एबेलियन किस्म पर x → −x द्वारा उत्पन्न स्वसमाकृतिकता के क्रम 2 के समूह द्वारा d = 2 के साथ एबेलियन किस्म के भागफल का प्रतिनिधित्व किया था।

सामान्य स्थितियों
ममफोर्ड ने एबेलियन किस्म A पर उलटा शीफ L से संबंधित थीटा प्रतिनिधित्व को परिभाषित किया था। यह L के स्व-स्वयंसंवेदी क्रियाओं का समूह है, और हाइजेनबर्ग समूह का संख्यात्मक सदृश अभिलक्ष्य है। प्राथमिक परिणाम L के वैश्विक वर्गों पर थीटा समूह की क्रियान्वयन पर हैं। जब L बहुत प्रचुर मात्रा में होता है, तो थीटा समूह की संरचना के माध्यम से रैखिक प्रतिनिधित्व का वर्णन किया जा सकता है। वास्तव में थीटा समूह अमूर्त रूप से समान प्रकार का शून्य समूह है, A पर समत्रस्नायु समूह का केन्द्रीय विस्तार है, और विस्तार को ज्ञात होता है(यह वेल संख्यानी द्वारा दिया जाता है)।थीटा समूह के दिए गए केंद्रीय चरित्र के साथ एकविंशी रूपों के अविभाज्य रूप के निर्धारण का एकता परिणाम है, या दूसरे शब्दों में कहें तो स्टोन-वान नॉयमैन का अनुकरण है। (इसके लिए यह माना जाता है कि गुणांक के क्षेत्र की विशेषता थीटा समूह के क्रम को विभाजित नहीं करती है।)

ममफोर्ड ने दिखाया कि कैसे यह अमूर्त बीजगणितीय सूत्रीकरण थीटा विशेषताओं के साथ थीटा फलन के शास्त्रीय सिद्धांत के लिए उत्तरदायी हो सकता है, जैसा कि उस स्थितियों में, जहां थीटा समूह A के दो-शांखनी का विस्तार था।

इस क्षेत्र में नवाचार मुकाई-फूरियर रूपांतरण का उपयोग करना है।

निर्देशांक वलय
इस सिद्धांत का उद्देश्य होता है परियोजित एबेलियन किस्म A की एकरूप निर्धारित सजातीय समन्वय वलय पर परिणाम सिद्ध करना है, जो कि बहुत ही पर्याप्त Lऔर उसके वैश्विक खंडों के अनुसार परियोजित समिष्ट में निर्धारित किया जाता है। यह श्रेणीबद्ध क्रमविनिमेय वलय जो वैश्विक खंडों के प्रत्यक्ष योग से उत्पन्न होता है।


 * $$L^n,\ $$

जिसका अर्थ है कि स्वयं का n-गुना प्रदिश उत्पाद, सजातीय आदर्श द्वारा बहुपद बीजगणित की भागफल अंगूठी के रूप में दर्शाया गया है। इस विभाजिका छाया के वर्गीकृत भागों का अध्ययन गहनता से होता है।

द्विघात संबंध बर्नहार्ड रीमैन द्वारा प्रदान किए गए थे। 'कोइज़ुमी का प्रमेय' बताता है कि विस्तृत रेखीय समूह की तृतीय घाती सामान्य रूप से उत्पन्न होती है। 'ममफोर्ड-केम्फ प्रमेय' में कहा गया है कि विस्तृत रेखीय समूह की चतुर्थ घाती को चतुर्भुज रूप से प्रस्तुत किया जाता है। विशेषता शून्य के आधार क्षेत्र के लिए, ग्यूसेप पारेस्ची ने इन्हें सम्मलित करते हुए परिणाम सिद्ध किया (जैसा कि स्थितियों p = 0, 1) जो लेज़र्सफेल्ड द्वारा अनुमान लगाया गया था: L विस्तृत रेखीय समूह हो जो एबेलियन किस्म पर है। यदि n ≥ p + 3, तो Lकी n-th प्रदिश शक्ति परिस्थिति Np को पूरा करता है परेस्ची और पोपा द्वारा आगे के परिणाम सिद्ध किए गए हैं, जिसमें क्षेत्र में पिछला काम भी सम्मलित है।

यह भी देखें

 * एबेलियन किस्मों की समयरेखा
 * हॉरोक्स-ममफोर्ड बंडल

संदर्भ

 * David Mumford, On the equations defining abelian varieties I Invent. Math., 1 (1966) pp. 287–354
 * ____, On the equations defining abelian varieties II–III Invent. Math., 3 (1967) pp. 71–135; 215–244
 * ____, Abelian varieties (1974)
 * Jun-ichi Igusa, Theta functions (1972)

अग्रिम पठन

 * David Mumford, Selected papers on the classification of varieties and moduli spaces, editorial comment by G. Kempf and H. Lange, pp. 293–5