बहु-मापदंड निर्णय विश्लेषण

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यह भी देखें: बहुउद्देश्यीय अनुकूलन

बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण (एमसीडीएम) या बहु-मापदंड निर्णय विश्लेषण (एमसीडीए) संचालन अनुसंधान का एक उप-अनुशासन है जो स्पष्ट रूप से निर्णय लेने में कई परस्पर विरोधी मानदंडों (दैनिक जीवन में और व्यापार सरकार और चिकित्सा जैसी व्यवस्थाओं में) का मूल्यांकन करता है। परस्पर विरोधी मापदंड विकल्पों के मूल्यांकन में विशिष्ट हैं: कीमत या मूल्य सामान्य रूप से मुख्य मानदंडों में से एक है, और गुणवत्ता के कुछ संशोधन सामान्य रूप से कीमत के साथ संघर्ष में आसानी से एक और मापदंड है। एक कार खरीदने में, कीमत, सुविधा, सुरक्षा और ईंधन बचत कुछ मुख्य मापदंड हो सकते हैं जिन पर हम विचार करते हैं - यह असामान्य है कि सबसे सस्ती कार सबसे आरामदायक और सबसे सुरक्षित है। निवेश प्रबंधन में, प्रबंधक जोखिमों को कम करने के साथ-साथ उच्च प्रतिफल प्राप्त करने में रुचि रखते हैं; हालाँकि, जिन शेयरों में उच्च लाभ लाने की क्षमता होती है, उनमें सामान्य रूप से पैसे हानि का उच्च जोखिम होता है। एक सेवा उद्योग में, ग्राहकों की संतुष्टि और सेवा प्रदान करने की कीमत मूलभूत परस्पर विरोधी मापदंड हैं।

अपने दैनिक जीवन में, लोग सामान्य रूप से कई मानदंडों को अंतर्निहित रूप से मूल्यांकन करते हैं और ऐसे निर्णयों के परिणामों से सुविधापूर्ण हो सकते हैं जो केवल अंतर्ज्ञान (मनोविज्ञान) पर आधारित होते हैं। दूसरी ओर, जब शेयर उच्च होते हैं, तो समस्या को सही से संरचित करना और कई मानदंडों का स्पष्ट रूप से मूल्यांकन करना महत्वपूर्ण होता है। परमाणु ऊर्जा संयंत्र का निर्माण करना है या नहीं, और इसे कहां बनाना है, इसका निर्णय लेने में, न केवल बहुत ही जटिल समस्या हैं जिनमें कई मापदंड सम्मिलित हैं, बल्कि ऐसे कई पक्ष भी हैं जो परिणामों से गहन रूप से प्रभावित हैं।

जटिल समस्याओं को अच्छी तरह से संरचित करना और कई मानदंडों पर स्पष्ट रूप से विचार करना अधिक सूचित और अपेक्षाकृत अधिक अच्छे निर्णयों की ओर ले जाता है। 1960 के दशक के प्रारंभ में आधुनिक बहु-मापदंड निर्णय लेने वाले अनुशासन के प्रारंभ के बाद से इस क्षेत्र में महत्वपूर्ण प्रगति हुई है। विभिन्न प्रकार के दृष्टिकोण और तरीके, कई विशेष निर्णय लेने वाले सॉफ़्टवेयर द्वारा कार्यान्वित किए जाते हैं, राजनीति और व्यापार से लेकर पर्यावरण और ऊर्जा तक, विषयों की एक श्रृंखला में उनके अनुप्रयोग के लिए विकसित किया गया है।

निर्माण, अवधारणाएं, परिभाषाएं
एमसीडीएम या एमसीडीए बहु-मापदंड निर्णय लेने और बहु-मापदंड निर्णय विश्लेषण के लिए प्रसिद्ध परिवर्णी शब्द हैं; स्टेनली ज़ायंट्स ने अपने 1979 के लेख बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण - यदि रोमन अंक नहीं है, तो क्या?" के साथ संक्षिप्त नाम को लोकप्रिय बनाने में सहायता की, एक उद्यमी दर्शकों के लिए अभिप्रेत है।

बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण कई मानदंडों को सम्मिलित करने वाले निर्णय और नियोजन समस्याओं की संरचना और समाधान से संबंधित है। इसका उद्देश्य ऐसी समस्याओं का सामना कर रहे निर्णयकर्ताओं का समर्थन करना है। सामान्य रूप से, ऐसी समस्याओं के लिए कोई अद्वितीय इष्टतम समाधान सम्मिलित नहीं होता है और समाधानों के बीच अंतर करने के लिए निर्णयकर्ताओं की प्राथमिकताओं का उपयोग करना आवश्यक होता है।

हल करने की व्याख्या अलग-अलग तरीकों से की जा सकती है। यह उपलब्ध विकल्पों के एक समूह से सर्वोत्तम विकल्प चयन करने के अनुरूप हो सकता है जहां "सर्वश्रेष्ठ" की व्याख्या निर्णयकर्ता के "सबसे चयनात्मक विकल्प" के रूप में की जा सकती है। हल करने की एक और व्याख्या यह हो सकती है कि अच्छे विकल्पों के एक छोटे समूह का चयन किया जाए, या विकल्पों को अलग-अलग अधिमान समूहों में समूहित किया जाए। सभी "कुशल" या "गैर-प्रभुत्व वाले" विकल्पों को खोजने के लिए एक अन्तिम व्याख्या हो सकती है जिसे हम शीघ्र ही परिभाषित करेंगे।

समस्या की कठिनाई एक से अधिक मापदंड की उपस्थिति से उत्पन्न होती है। बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्या का अब कोई अद्वितीय इष्टतम समाधान नहीं है जिसे अधिमान जानकारी सम्मिलित किए बिना प्राप्त किया जा सकता है। एक इष्टतम समाधान की अवधारणा को प्रायः गैर-प्रभुत्व वाले समाधानों के समूह से बदल दिया जाता है। एक समाधान को गैर-प्रभुत्व कहा जाता है यदि किसी भी मापदंड में इसे दूसरे में नष्ट किए बिना सुधार करना संभव नहीं है। इसलिए, निर्णय लेने वाले के लिए गैर-प्रभुत्व वाले समूह से समाधान चयन समझ में आता है। अन्यथा, वह कुछ या सभी मानदंडों के संदर्भ में अपेक्षाकृत अधिक कर सकता/सकती है, और उनमें से किसी में भी बुरा नहीं कर सकता/सकती है। सामान्य रूप से, हालांकि, गैर-प्रभुत्व वाले समाधानों का समूह अंतिम विकल्प के लिए निर्णयकर्ता को प्रस्तुत करने के लिए बहुत बड़ा होता है। इसलिए हमें ऐसे उपकरणों की आवश्यकता है जो निर्णयकर्ता को चयनात्मक समाधान (या विकल्प) पर ध्यान केंद्रित करने में सहायता करें। सामान्य रूप से किसी को दूसरों के लिए कुछ मानदंडों का विनिमय करना पड़ता है।

बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण 1970 के दशक से अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र रहा है। कई बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण से संबंधित संगठन हैं जिनमें बहु-मापदंड निर्णय लेने पर अंतर्राष्ट्रीय संस्था, बहु-मापदंड निर्णय विश्लेषण पर यूरो कार्यकारी समूह, और बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण पर सूचना अनुभाग सम्मिलित है। इतिहास के लिए कोकसालन, वालेनियस और ज़ियोनट्स (2011) देखें। बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण सहित कई क्षेत्रों में ज्ञान प्राप्त करता है:


 * गणित
 * निर्णय विश्लेषण
 * अर्थशास्त्र
 * कंप्यूटर प्रौद्योगिकी
 * सॉफ्टवेयर अभियांत्रिकी
 * सूचना प्रणाली

प्ररूप-वर्गीकरण
बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्याओं और विधियों के विभिन्न वर्गीकरण हैं। बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्याओं के बीच एक प्रमुख अंतर इस बात पर आधारित है कि क्या समाधान स्पष्ट रूप से या निहित रूप से परिभाषित हैं।


 * बहु-मापदंड मूल्यांकन समस्याएं: इन समस्याओं में सीमित संख्या में विकल्प होते हैं, जिन्हें समाधान प्रक्रिया के प्रारंभ में स्पष्ट रूप से जाना जाता है। प्रत्येक विकल्प को कई मानदंडों में इसके प्रदर्शन द्वारा दर्शाया जाता है। समस्या को एक निर्णयकर्ता (डीएम) के लिए सबसे अच्छा विकल्प खोजने या अच्छे विकल्पों का एक समूह खोजने के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। किसी की रुचि विकल्पों को श्रेणीकरण या वर्गीकृत करने में भी हो सकती है। श्रेणीकरण अधिमान-क्रमित वर्गों (जैसे देशों को ऋण दरकरण निर्दिष्ट करना) के एक समूह में विकल्प रखने को संदर्भित करता है, और वर्गीकृत करने का अर्थ है गैर-आदेशित समूहों के विकल्प निर्दिष्ट करना जैसे कि उनके लक्षणों के आधार पर रोगियों का निदान करना। इस विषय पर 2000 की ट्रायंताफिलौ की पुस्तक में इस श्रेणी की कुछ बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण विधियों का तुलनात्मक तरीके से अध्ययन किया गया है।
 * बहु-मापदंड डिजाइन समस्याएं (बहुउद्देश्यीय गणितीय प्रोग्रामिंग समस्याएं): इन समस्याओं में, विकल्प स्पष्ट रूप से ज्ञात नहीं हैं। एक गणितीय मॉडल को हल करके एक विकल्प (समाधान) पाया जा सकता है। विकल्पों की संख्या या तो अनंत (गणना योग्य या नहीं) या परिमित है, लेकिन सामान्य रूप से (परिमित प्रक्षेत्र को लेकर चर की संख्या में) घातीय रूप से बड़ी होती है।

फिर वह मूल्यांकन समस्या हो या डिज़ाइन समस्या, समाधानों के बीच अंतर करने के लिए डीएम की प्राथमिक जानकारी आवश्यक है। बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्याओं के समाधान के तरीकों को सामान्य रूप से डीएम से प्राप्त प्राथमिक सूचना के समय के आधार पर वर्गीकृत किया जाता है।

ऐसी विधियाँ हैं जिनके लिए प्रक्रिया के प्रारंभ में डीएम की प्राथमिक जानकारी की आवश्यकता होती है, समस्या को अनिवार्य रूप से एकल मापदंड समस्या में बदलना। कहा जाता है कि इन विधियों को प्राथमिकता के पूर्व अभिव्यक्ति द्वारा संचालित किया जाता है। मूल्य फलन का आकलन करने या आउटरैंकिंग संबंधों, विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया, और कुछ नियम-आधारित निर्णय विधियों की अवधारणा का उपयोग करने के आधार पर विधियों को प्राथमिकता के पूर्व अभिव्यक्ति का उपयोग करके कई मापदंड मूल्यांकन समस्याओं को हल करने का प्रयास किया जाता है। इसी तरह, मूल्य फलन का निर्माण करके प्राथमिकता की पूर्व अभिव्यक्ति का उपयोग करके बहु-मापदंड डिजाइन समस्याओं को हल करने के लिए विकसित तरीके हैं। संभव्यता इन विधियों में सबसे प्रसिद्ध लक्ष्य प्रोग्रामिंग है। एक बार मूल्य फलन का निर्माण हो जाने के बाद, परिणामी एकल उद्देश्य गणितीय प्रोग्राम को चयनात्मक समाधान प्राप्त करने के लिए हल किया जाता है।

कुछ विधियों के लिए समाधान प्रक्रिया के समय डीएम से अधिमान जानकारी की आवश्यकता होती है। इन्हें अंतःक्रियात्मक विधियों या विधियों के रूप में संदर्भित किया जाता है जिनके लिए प्राथमिकता की प्रगतिशील अभिव्यक्ति की आवश्यकता होती है। इन विधियों को बहु मापदंड मूल्यांकन दोनों के लिए अच्छी तरह से विकसित किया गया है उदाहरण के लिए देखें, जियोफ्रीयन, डायर और फ़िनबर्ग, 1972, और कोकसलान और सागला, 1995 और डिजाइन की समस्याएं स्टीयर, 1986 देखें।

बहु-मापदंड डिजाइन समस्याओं को सामान्य रूप से गणितीय प्रोग्रामिंग मॉडल की एक श्रृंखला के समाधान की आवश्यकता होती है ताकि स्पष्ट रूप से परिभाषित समाधानों को प्रकट किया जा सके। इन समस्याओं के लिए, दक्ष समाधानों का प्रतिनिधित्व या अनुमान भी रुचि का हो सकता है। इस श्रेणी को प्राथमिकता के पश्चवर्ती अभिव्यक्ति के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि डीएम की भागीदारी दिलचस्प समाधानों के स्पष्ट रहस्योद्घाटन के बाद से शुरू होती है (उदाहरण के लिए करासाकल और कोक्सलन, 2009 देखें) ).

जब गणितीय प्रोग्रामिंग मॉडल में पूर्णांक चर होते हैं, तो डिज़ाइन की समस्याओं को हल करना कठिन हो जाता है। बहुउद्देश्यीय संयोजन अनुकूलन (एमओसीओ) ऐसी समस्याओं की एक विशेष श्रेणी का निर्माण करता है जो पर्याप्त (समीक्षा के लिए एहरगॉट और गैंडिबलक्स, 2002 देखें) संगणनात्मक कठिनाई उत्पन्न करता है।

प्रतिनिधित्व और परिभाषाएं
बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्या को मापदंड समष्टि या निर्णय समष्टि में दर्शाया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, यदि भारित रैखिक फलन द्वारा विभिन्न मानदंडों को जोड़ा जाता है, तो भार स्थान में समस्या का प्रतिनिधित्व करना भी संभव है। नीचे मापदंड और भार स्थान के प्रदर्शन के साथ-साथ कुछ औपचारिक परिभाषाएँ भी दी गई हैं।

मापदंड समष्टि प्रतिनिधित्व
मान लें कि हम कई मानदंडों का उपयोग करके एक विशिष्ट समस्या की स्थिति में समाधान का मूल्यांकन करते हैं। आगे मान लें कि प्रत्येक मापदंड में अधिक परिशुद्ध है। फिर, सभी संभावित समाधानों के बीच, हम आदर्श रूप से उन समाधानों में रुचि रखते हैं जो सभी माने गए मानदंडों में अच्छा प्रदर्शन करते हैं। हालाँकि, यह संभावना नहीं है कि इसका कोई एक समाधान हो जो सभी माने गए मानदंडों में अच्छा प्रदर्शन करता हो। विशिष्ट रूप से, कुछ समाधान कुछ मानदंडों में अच्छा प्रदर्शन करते हैं और कुछ दूसरों में अच्छा प्रदर्शन करते हैं। मापदंड के बीच विनिमय करने का एक तरीका खोजना बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण साहित्य में मुख्य प्रयासों में से एक है।

गणितीय रूप से, उपरोक्त तर्कों के अनुरूप बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्या को इस रूप में दर्शाया जा सकता है


 * का विषय है
 * का विषय है

जहां $"max" q$ k निकष फलनों ( उद्देश्‍य फलन) का सदिश है और $q ∈ Q$ सुसंगत समुच्चय $q$ है,

यदि $Q$ को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है (विकल्पों के एक समुच्चय द्वारा), परिणामी समस्या को बहु-मापदंड मूल्यांकन समस्या कहा जाता है।

यदि $Q ⊆ R^{k}$ को निहित रूप से परिभाषित किया गया है (बाधाओं के एक समुच्चय द्वारा), परिणामी समस्या को बहु-मापदंड डिज़ाइन समस्या कहा जाता है।

उद्धरण चिह्नों का उपयोग यह इंगित करने के लिए किया जाता है कि सदिश का अधिकतम एक अच्छी तरह से परिभाषित गणितीय संक्रिया नहीं है। यह इस तर्क से समतुल्य है कि जब सभी मानदंडों में अच्छा प्रदर्शन करने वाला समाधान सम्मिलित नहीं है, तो हमें मानदंडों के बीच विनिमय को हल करने (सामान्य रूप से एक निर्णय निर्माता की प्राथमिकताओं पर आधारित) का एक तरीका खोजना होगा।

निर्णय समष्टि प्रतिनिधित्व
निर्णय समष्टि हमारे लिए उपलब्ध संभावित निर्णयों के समुच्चय से समान है। मापदंड मान हमारे द्वारा लिए गए निर्णयों के परिणाम होंगे। इसलिए, हम निर्णय समष्टि में संबंधित समस्या को परिभाषित कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, किसी उत्पाद को डिजाइन करने में, हम डिजाइन मापदंडों (निर्णय चर) पर निर्णय लेते हैं, जिनमें से प्रत्येक प्रदर्शन उपायों (मापदंडों) को प्रभावित करता है जिसके साथ हम अपने उत्पाद का मूल्यांकन करते हैं।

गणितीय रूप से, एक बहु-मापदंड डिजाइन समस्या को निर्णय समष्टि में निम्नानुसार दर्शाया जा सकता है:



\begin{align} \max q & = f(x) = f(x_1,\ldots,x_n) \\ \text{subject to} \\ q\in Q & = \{f(x) : x\in X,\, X\subseteq \mathbb R^n\} \end{align} $$ जहां $Q$ सुसंगत समुच्चय है और $Q$ आकार n का निर्णय चर सदिश है।

एक अच्छी तरह से विकसित विशेष स्थिति तब प्राप्त होती है जब $X$ रेखीय असमानताओं और समानता द्वारा परिभाषित एक बहुफलक है। यदि निर्णय चर के संदर्भ में सभी उद्देश्य फलन रैखिक हैं, तो यह भिन्नता बहुउद्देश्यीय रैखिक प्रोग्रामिंग (एमओएलपी) की ओर ले जाती है, जो बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्याओं का एक महत्वपूर्ण उपवर्ग है।

ऐसी कई परिभाषाएँ हैं जो बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण में केंद्रीय हैं। दो सूक्ष्म रूप से संबंधित परिभाषाएँ गैर-प्रभुत्व (मापदंड समष्टि प्रतिनिधित्व के आधार पर परिभाषित) और दक्षता (निर्णय चर प्रतिनिधित्व के आधार पर परिभाषित) हैं।

परिभाषा 1 $x$ गैर-प्रभुत्व है यदि कोई अन्य $X$ सम्मिलित नहीं है, जैसे कि $q* ∈ Q$ और $q ∈ Q$ होते है।

सामान्य रूप से कहा जाए तो एक समाधान तब तक गैर-प्रभुत्व वाला होता है जब तक कि वह सभी माने गए मानदंडों में किसी भी अन्य उपलब्ध समाधान से निम्न न हो।

परिभाषा 2 $q ≥ q*$ दक्ष है यदि कोई अन्य $q ≠ q*$ सम्मिलित नहीं है, जैसे कि $x* ∈ X$ और $x ∈ X$ होते है।

यदि एक बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्या एक निर्णय स्थिति का अच्छी तरह से प्रतिनिधित्व करती है, तो डीएम का सबसे चयनात्मक समाधान निर्णय समष्टि में एक दक्ष समाधान होना चाहिए, और इसकी छवि मापदंड समष्टि में एक गैर-प्रभुत्व बिंदु है। निम्नलिखित परिभाषाएँ भी महत्वपूर्ण हैं।

परिभाषा 3 $f(x) ≥ f(x*)$ दुर्बल रूप से गैर-प्रभुत्व वाला है यदि कोई अन्य $f(x) ≠ f(x*)$ सम्मिलित नहीं है जैसे कि $q* ∈ Q$ होते है।

परिभाषा 4 $q ∈ Q$ दुर्बल रूप से दक्ष है यदि कोई दूसरा सम्मिलित नहीं है $q > q*$ जैसे कि $x* ∈ X$ होते है।

दुर्बल गैर-प्रभुत्व वाले बिंदुओं में सभी गैर-प्रभुत्व वाले बिंदु और कुछ विशेष प्रधानता वाले बिंदु सम्मिलित हैं। इन विशेष प्रभुत्व वाले बिंदुओं का महत्व इस तथ्य से आता है कि वे सामान्य रूप से व्यवहार में दिखाई देते हैं और उन्हें गैर-प्रभुत्व वाले बिंदुओं से अलग करने के लिए विशेष संरक्षण आवश्यक है। यदि, उदाहरण के लिए, हम समान उद्देश्य को अधिकतम करते हैं, तो हम एक दुर्बल गैर-प्रभुत्व वाले बिंदु के साथ समाप्त हो सकते हैं जो हावी है। दुर्बल गैर-प्रभुत्व वाले समूह के प्रभुत्व वाले बिंदु मापदंड समष्टि में या तो ऊर्ध्वाधर या क्षैतिज तलों (अधिसमतल) पर स्थित हैं।

आदर्श बिंदु: (मापदंड समष्टि में) प्रत्येक उद्देश्य फलन के सर्वोत्तम (अधिकतमकरण समस्याओं के लिए अधिकतम और न्यूनीकरण समस्याओं के लिए न्यूनतम) का प्रतिनिधित्व करता है और सामान्य रूप से एक अक्षम समाधान के अनुरूप होता है।

अधो बिन्दु: (मापदंड समष्टि में) गैर-प्रभुत्व वाले समूह में बिंदुओं के बीच प्रत्येक उद्देश्य फलन के सबसे विकृत (अधिकतमकरण समस्याओं के लिए न्यूनतम और न्यूनतमकरण समस्याओं के लिए अधिकतम) का प्रतिनिधित्व करता है और सामान्य रूप से एक प्रभावी बिंदु है।

समाधान की श्रेणी का अनुभव प्राप्त करने के लिए डीएम के लिए आदर्श बिंदु और अधो बिन्दु उपयोगी होते हैं हालांकि यह दो से अधिक मापदंड वाली डिज़ाइन समस्याओं के लिए अधो बिन्दु खोजने के लिए प्रत्यक्ष नहीं है।

निर्णय और मापदंड समष्टि के उदाहरण
निर्णय चर समष्टि में निम्नलिखित दो-चर बहुउद्देश्यीय रैखिक प्रोग्रामिंग समस्या कुछ प्रमुख अवधारणाओं को रेखांकन के रूप में प्रदर्शित करने में सहायता करेगी।

\max f_1(\mathbf{x}) & = -x_1 + 2x_2 \\ \max f_2(\mathbf{x}) & = 2x_1 - x_2 \\ \text{subject to} \\ x_1 & \le 4 \\ x_2 & \le 4 \\ x_1+x_2 & \le 7 \\ -x_1+x_2 & \le 3 \\ x_1 - x_2 & \le 3 \\ x_1, x_2 & \ge 0 \end{align} $$ चित्रा 1 में, अन्तिम बिंदु e और b क्रमशः पहले और दूसरे उद्देश्यों को अधिकतम करते हैं। उन दो अन्तिम बिंदुओं के बीच की लाल सीमा दक्ष समूह का प्रतिनिधित्व करती है। यह चित्र से देखा जा सकता है कि, दक्ष समूह के बाहर किसी भी व्यवहार्य समाधान के लिए, दक्ष समूह पर कुछ बिंदुओं से दोनों उद्देश्यों में सुधार करना संभव है। इसके विपरीत, दक्ष समूह पर किसी भी बिंदु के लिए, किसी अन्य व्यवहार्य समाधान पर जाकर दोनों उद्देश्यों में सुधार करना संभव नहीं है। इन समाधानों में, दूसरे उद्देश्य को अपेक्षाकृत अधिक बनाने के लिए किसी एक उद्देश्य से नष्ट करना पड़ता है।

इसकी सरलता के कारण, उपरोक्त समस्या को मापदंड समष्टि $x ∈ X$ साथ $f(x) > f(x*)$ के रूप में निम्नानुसार प्रदर्शित किया जा सकता है:

$x 's$

$f 's$

का विषय है

$Max f_{1}$

$Max f_{2}$

$f_{1} + 2f_{2} ≤ 12$

$2f_{1} + f_{2} ≤ 12$

$f_{1} + f_{2} ≤ 7$

$f_{1} – f_{2} ≤ 9$

$−f_{1} + f_{2} ≤ 9$

हम चित्र 2 में मापदंड समष्टि को रेखांकन के रूप में प्रस्तुत करते हैं। मापदंड समष्टि में गैर-प्रभुत्व वाले बिंदुओं (निर्णय समष्टि में दक्ष समाधान के अनुरूप) का पता लगाना आसान है। व्यवहार्य स्थान का उत्तर-पूर्व क्षेत्र गैर-प्रभुत्व वाले बिंदुओं (अधिकतम समस्याओं के लिए) के समूह का निर्माण करता है।

गैर-प्रभुत्व वाले समाधान उत्पन्न करना
गैर-प्रभुत्व वाले समाधान उत्पन्न करने के कई तरीके हैं। हम इनमें से दो पर चर्चा करेंगे। पहला दृष्टिकोण गैर-प्रभुत्व वाले समाधानों का एक विशेष वर्ग उत्पन्न कर सकता है जबकि दूसरा दृष्टिकोण कोई भी गैर-प्रभुत्व समाधान उत्पन्न कर सकता है।


 * भारित योग (गासस एंड सैटी, 1955 )

यदि हम प्रत्येक मापदंड को एक धनात्मक भार के साथ गुणा करके और भारित मानदंडों को जोड़ कर एक मापदंड में कई मानदंडों को जोड़ते हैं, तो परिणामी एकल मापदंड समस्या का समाधान एक विशेष दक्ष समाधान है। ये विशेष दक्ष समाधान उपलब्ध समाधानों के समूह के कोर बिंदुओं पर दिखाई देते हैं। दक्ष समाधान जो कोर के बिंदुओं पर नहीं हैं, उनकी विशेष विशेषताएं हैं और यह विधि ऐसे बिंदुओं को खोजने में सक्षम नहीं है। गणितीय रूप से, हम इस स्थिति का प्रतिनिधित्व इस रूप में कर सकते हैं

$f_{1} + 2f_{2} ≥ 0$ = $2f_{1} + f_{2} ≥ 0$

का विषय है

$max w^{T}.q$

भार को अलग-अलग करके, डिज़ाइन समस्याओं के लिए दक्ष अन्तिम समाधान और मूल्यांकन समस्याओं के लिए समर्थित (उत्तल गैर-प्रमुख) बिंदुओं के लिए भारित योग का उपयोग किया जा सकता है।


 * उपलब्धि स्केलरीकरण फलन (विर्जबिक्की, 1980 )

उपलब्धि स्केलरीकरण फलन भी कई मानदंडों को समान मापदंड में एक बहुत ही विशिष्ट तरीके से भारित करके जोड़ते हैं। वे उपलब्ध दक्ष समाधानों की ओर एक संदर्भ बिंदु से दूर जाकर आयताकार आकृति बनाते हैं। यह विशेष संरचना किसी भी दक्ष समाधान तक पहुँचने के लिए उपलब्धि स्केलरीकरण फलनों को सशक्त बनाती है। यह एक प्रभावशाली गुण है जो इन फलनों को बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्याओं के लिए बहुत उपयोगी बनाती है।

गणितीय रूप से, हम संगत समस्या को इस रूप में निरूपित कर सकते हैं


 * का विषय है
 * का विषय है

उपलब्धि स्केलरीकरण फलन का उपयोग प्रभाव सीमा पर किसी भी बिंदु (व्यवहार्य या अक्षम्य) को प्रक्षेप करने के लिए किया जा सकता है। किसी भी बिंदु (समर्थित या नहीं) पर पहुंचा जा सकता है। अकुशल समाधान उत्पन्न करने से संरक्षण करने के लिए उद्देश्य फलनों में दूसरा पद आवश्यक है। चित्र 3 दर्शाता है कि कैसे एक व्यवहार्य बिंदु $w^{T}.f(x), w> 0$, और एक अव्यवहार्य बिंदु $x ∈ X$, गैर-प्रभुत्व वाले बिंदुओं $Min s(g, q, w, ρ)$ और $Min {max_{i} [(g_{i} − q_{i})/w_{i} ] + ρ Σ_{i} (g_{i} − q_{i})}$, क्रमशः, दिशा के साथ $q ∈ Q$ उपलब्धि स्केलरीकरण फलन का उपयोग करके प्रक्षेपित किया जाता है। असतत और ठोस आकृतियाँ क्रमशः वस्तुनिष्ठ फलन के दूसरे पद के साथ और उसके बिना वस्तुनिष्ठ फलन रूपरेखाओं के अनुरूप हैं।

बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्याओं का समाधान
बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण समस्याओं (डिजाइन और मूल्यांकन प्रकार दोनों) को हल करने के लिए विचार के विभिन्न स्कूल विकसित हुए हैं। समय के साथ उनके विकास को दर्शाने वाले ग्रंथमितीय अध्ययन के लिए, ब्रैग, कोरहोनेन, एच. वालेनियस और जे. वालेनियस [2010] देखें।

बहुउद्देश्यीय गणितीय प्रोग्रामिंग स्कूल
(1) 'सदिश अधिकतमकरण': सदिश अधिकतमकरण का उद्देश्य गैर-प्रभुत्व वाले समूह का अनुमान लगाना है; मूल रूप से बहुउद्देश्यीय रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं के लिए (इवांस और स्टीयर, 1973; यू और ज़ेलेनी, 1975) विकसित किया गया।

(2) अंतःक्रियात्मक प्रोग्रामिंग: निर्णय लेने के चरणों के साथ गणना के चरण वैकल्पिक (बेनाउन एट अल, 1971; ज्योफ्रीओन, डायर और फ़िनबर्ग, 1972; ज़ायंट्स और वालेनियस, 1976; कोरहोनेन और वालेनियस, 1988 ) डीएम के मूल्य फलनों का कोई स्पष्ट ज्ञान नहीं माना जाता है।

लक्ष्य प्रोग्रामिंग स्कूल
इसका उद्देश्य लक्ष्यों के लिए प्राथमिक लक्ष्य मान निर्धारित करना और इन लक्ष्यों से भारित विचलन को कम करना है। दोनों महत्वपूर्ण भारों के साथ-साथ शब्द कोश सम्बधी पूर्व-रिक्त भार (चार्न्स और कूपर, 1961) का उपयोग किया गया है।

अस्पष्ट समुच्चय विचारक
अस्पष्ट समुच्चय ज़ादेह (1965) द्वारा समुच्चय की उत्कृष्ट धारणा के विस्तार के रूप में प्रस्तुत किए गए थे। इस विचार का उपयोग कई बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण एल्गोरिदम में अस्पष्ट समस्याओं को मॉडल करने और हल करने के लिए किया जाता है।

साधारण डेटा आधारित तरीके
वास्तविक विश्व की स्थितियों में साधारण डेटा का व्यापक अनुप्रयोग है। इस संबंध में, कुछ बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण विधियों को क्रमसूचक डेटा को निविष्ट डेटा के रूप में नियंत्रण करने के लिए डिज़ाइन किया गया था। उदाहरण के लिए, क्रमिक प्राथमिकता दृष्टिकोण और क्वालिफ़्लेक्स विधि होती है।

बहु-विशेषता उपयोगिता सिद्धांतकार
बहु-विशेषता उपयोगिता या मूल्य फलन को प्राप्त किया जाता है और सबसे चयनात्मक विकल्प की पहचान करने या विकल्पों को श्रेणी क्रम करने के लिए उपयोग किया जाता है। विस्तृत साक्षात्कार तकनीकें, जो रेखीय योगात्मक उपयोगिता फलन और और गुणक गैर-रैखिक उपयोगिता फलन का उपयोग करने (कीनी और रैफ़ा, 1976) के लिए सम्मिलित हैं। एक अन्य दृष्टिकोण निर्णय लेने वाले से अप्रत्यक्ष रूप से काल्पनिक विकल्पों (पीएपीआरआईकेए; हैनसेन और ओम्बलर, 2008) के बीच चयन करने वाले युग्मयुक्त श्रेणीकरण प्रश्नों की एक श्रृंखला पूछकर अप्रत्यक्ष रूप से मूल्य फलनों को प्राप्त करना है।

फ्रांसीसी स्कूल
फ्रांसीसी स्कूल निर्णय सहायता पर ध्यान केंद्रित करता है, विशेष रूप से 1960 के दशक के मध्य में फ़्रांस में उत्पन्न आउटरैंकिंग विधियों के इलेक्ट्रे वर्ग पर करता है। विधि पहली बार बर्नार्ड रॉय (रॉय, 1968) द्वारा प्रस्तावित की गई थी।

विकासवादी बहुउद्देश्यीय अनुकूलन स्कूल (ईएमओ)
विकासवादी बहुउद्देश्यीय अनुकूलन स्कूल (ईएमओ) एल्गोरिदम एक प्रारंभिक जनसंख्या के साथ प्रारंभ होते हैं, और एक पीढ़ी से दूसरी पीढ़ी तक औसत जनसंख्या में सुधार करने के लिए प्राकृतिक उत्तरजीविता के सिद्धांतों और आनुवंशिक विविधता संक्रियक की नकल करने के लिए डिज़ाइन की गई प्रक्रियाओं का उपयोग करके इसे सूचित करते हैं। लक्ष्य उन समाधानों की जनसंख्या में अभिसरण करना है जो गैर-प्रभुत्व वाले (शेफ़र, 1984; श्रीनिवास और देब, 1994) समूह का प्रतिनिधित्व करते हैं हाल ही में, ईएमओ एल्गोरिदम की समाधान प्रक्रिया में अधिमान जानकारी को सम्मिलित करने (देखें देब और कोक्सलान, 2010) के प्रयास किए गए हैं।

धूसर (ग्रे) प्रणाली सिद्धांत आधारित तरीके
1980 के दशक में, डेंग जूलॉन्ग ने धूसर प्रणाली सिद्धांत (जीएसटी) और इसके पहले बहु-विशेषता निर्णय लेने वाले मॉडल को प्रस्तावित किया, जिसे डेंग का धूसर संबंधपरक विश्लेषण (जीआरए) मॉडल कहा जाता है। बाद में, धूसर प्रणाली के विद्वानों ने लियू सिफेंग के पूर्ण जीआरए मॉडल धूसर लक्ष्य निर्णय लेना (जीटीडीएम) और धूसर निरपेक्ष निर्णय विश्लेषण (जीएडीए) जैसे कई जीएसटी आधारित तरीकों का प्रस्ताव दिया।

विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया (एएचपी)
एएचपी पहले निर्णय समस्या को उप-समस्याओं के पदानुक्रम में विघटित करता है। फिर निर्णयकर्ता युग्म के अनुसार तुलना द्वारा इसके विभिन्न तत्वों के सापेक्ष महत्व का मूल्यांकन करता है। विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया इन मूल्यांकनों को संख्यात्मक मानों (भार या प्राथमिकताओं) में परिवर्तित करता है, जिनका उपयोग प्रत्येक विकल्प के लिए वर्ग (सेटी, 1980) की गणना करने के लिए किया जाता है एक निरंतरता सूचकांक उस सीमा को मापता है जिस तक निर्णयकर्ता अपनी प्रतिक्रियाओं में सुसंगत रहा है। विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया यहां सूचीबद्ध अधिक विवादास्पद तकनीकों में से एक है, जिसे बहु-मापदंड निर्णय विश्लेषण समुदाय के कुछ शोधकर्ता इसे त्रुटिपूर्ण मानते हैं। अंतर्निहित गणित भी अधिक जटिल है और इसके लिए तर्कसंगत विश्लेषण की आवश्यकता है, हालांकि इसे व्यावसायिक रूप से उपलब्ध सॉफ़्टवेयर के परिणामस्वरूप कुछ लोकप्रियता प्राप्त हुई है।

कई पत्रों ने विभिन्न विषयों जैसे अस्पष्ट बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण, उत्कृष्ट बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण, स्थायी और नवीकरणीय ऊर्जा, वीआईकेओआर तकनीक, अभिगमन प्रणाली, सेवा गुणवत्ता, टीओपीएसआईएस विधि, ऊर्जा प्रबंधन की समस्याएं e-अधिगम, पर्यटन और आतिथ्य, एसडब्ल्यूएआरए और डब्ल्यूएएसपीएएस विधियाँ जैसे विभिन्न विषयों में बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण तकनीकों के अनुप्रयोग की समीक्षा की।

बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण तरीके
निम्नलिखित बहु-मापदंड निर्णय-निर्धारण विधियाँ उपलब्ध हैं, जिनमें से कई विशेष निर्णय-निर्धारण वाले सॉफ़्टवेयर द्वारा कार्यान्वित की जाती हैं:


 * एकत्रित सूचकांक यादृच्छिककरण विधि (एआईआरएम)
 * विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया (एएचपी)
 * विश्लेषणात्मक नेटवर्क प्रक्रिया (एएनपी)
 * तुला दंड प्रक्रिया
 * सबसे विकृत तरीका (बीडब्ल्यूएम)
 * ब्राउन-गिब्सन मॉडल
 * विशेषता वस्तु विधि (सीओएमईटी)
 * लाभ द्वारा चयन (सीबीए)
 * संयुक्त मूल्य पदानुक्रम (सीवीए)
 * डेटा आवरण विश्लेषण
 * निर्णय विशेषज्ञ (डीईएक्स)
 * पृथक्करण - एकत्रीकरण दृष्टिकोण (यूटीए *, यूटीएआईआई, यूटीएडीआईएस)
 * अनुमानित समूह (अनुमानित समूह दृष्टिकोण)
 * प्रभुत्व आधारित अनुमानित समूह दृष्टिकोण (डीआरएसए)
 * विद्युत (आउटरैंकिंग)
 * औसत समाधान से दूरी के आधार पर मूल्यांकन (ईडीएएस)
 * साक्ष्यपूर्ण तर्क दृष्टिकोण (ईआर)
 * लक्ष्य प्रोग्रामिंग (जीपी)
 * धूसर संबंधपरक विश्लेषण (जीआरए)
 * सदिशों का आंतरिक गुणन (आईपीवी)
 * एक श्रेणी आधारित मूल्यांकन तकनीक (मैकबेथ) द्वारा आकर्षण को मापना
 * गुणवत्‍ता की बहु-विशेषता वैश्विक अनुमान (एमएजीआईक्यू)
 * बहु-विशेषता उपयोगिता सिद्धांत (एमएयूटी)
 * बहु-गुण मान सिद्धांत (एमएवीटी)
 * मार्कोवियन बहु मापदंड निर्णय निर्धारण
 * मूल्यांकन के लिए नया दृष्टिकोण (एनएटीए)
 * गैर-संरचनात्मक अस्पष्ट निर्णय समर्थन प्रणाली (एनएसएफडीएसएस)
 * साधारण प्राथमिकता दृष्टिकोण (ओपीए)
 * सभी संभव विकल्पों की संभावित रूप से सभी युग्‍मानूसार श्रेणीकरण (पीएपीआरआईकेए)
 * प्रोमेथी (आउटरैंकिंग)
 * सरल बहु-विशेषता दर तकनीक (एसएमएआरटी)
 * स्तरीकृत बहु मापदंड निर्णय निर्धारण (एसएमसीडीएम)
 * प्रसंभाव्य बहुमानदंड स्वीकार्यता विश्लेषण (एसएमएए)
 * श्रेष्ठता और हीनता श्रेणीकरण पद्धति (एसआईआर विधि)
 * साझा मूल्य बनाने के लिए प्रणाली को नया स्वरूप देना (एसवाईआरसीएस)
 * आदर्श समाधान की समानता (टॉपसिस) द्वारा प्राथमिकता के क्रम के लिए तकनीक
 * मूल्य विश्लेषण (वीए)
 * मूल्य अभियांत्रिक (वीई)
 * वीआईकेओआर विधि
 * भारित उत्पाद मॉडल (डब्ल्यूपीएम)
 * भारित योग मॉडल (डब्ल्यूएसएम)

यह भी देखें

 * संरचना ट्रेडऑफ़ विश्लेषण विधि
 * निर्णय-निर्धारण
 * निर्णय-निर्धारण सॉफ्टवेयर
 * निर्णय-निर्धारण का विरोधाभास
 * निर्णयात्मक तुलन पत्र
 * बहु मापदंड वर्गीकरण समस्याएं
 * निर्णय लेने में श्रेणी उत्क्रमण
 * श्रेष्ठता और हीनता की श्रेणीकरण पद्धति

अग्रिम पठन

 * A Brief History prepared by Steuer and Zionts
 * Malakooti, B. (2013). Operations and Production Systems with Multiple Objectives. John Wiley & Sons.
 * A Brief History prepared by Steuer and Zionts
 * Malakooti, B. (2013). Operations and Production Systems with Multiple Objectives. John Wiley & Sons.
 * Malakooti, B. (2013). Operations and Production Systems with Multiple Objectives. John Wiley & Sons.

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