हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय

ज्यामिति में, hyperplane  पृथक्करण प्रमेय, 'एन'-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में अलग करना सेट उत्तल सेट के बारे में एक प्रमेय है। कई समान संस्करण हैं। प्रमेय के एक संस्करण में, यदि ये दोनों सेट बंद सेट हैं और उनमें से कम से कम एक कॉम्पैक्ट सेट है, तो उनके बीच में एक हाइपरप्लेन है और उनके बीच दो समानांतर हाइपरप्लेन भी एक अंतर से अलग हो गए हैं। दूसरे संस्करण में, यदि दोनों असंयुक्त उत्तल सेट खुले हैं, तो उनके बीच एक हाइपरप्लेन है, लेकिन जरूरी नहीं कि कोई अंतराल हो। एक अक्ष जो एक अलग करने वाले हाइपरप्लेन के लिए ऑर्थोगोनल है, एक पृथक करने वाला अक्ष है, क्योंकि अक्ष पर उत्तल पिंडों के ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन (सेट सिद्धांत) असंयुक्त हैं।

हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय हरमन मिन्कोव्स्की के कारण है। हान-बनाक प्रमेय#हन-बनाक पृथक्करण प्रमेय|हन-बनाक पृथक्करण प्रमेय स्थलीय सदिश स्थानों के परिणाम का सामान्यीकरण करता है।

एक संबंधित परिणाम सहायक हाइपरप्लेन प्रमेय है।

समर्थन वेक्टर यंत्र के संदर्भ में, सर्वश्रेष्ठ रूप से हाइपरप्लेन को अलग करना या अधिकतम-मार्जिन हाइपरप्लेन एक हाइपरप्लेन है जो बिंदुओं के दो उत्तल हल्स को अलग करता है और दोनों से समान दूरी पर है।

कथन और प्रमाण
सभी स्थितियों में, मान लीजिए $$A, B$$ असंयुक्त, अरिक्त और के उत्तल उपसमुच्चय $$\R^n$$ है जिनके परिणामों का सारांश इस प्रकार है:

आयामों की संख्या परिमित होनी चाहिए। अनंत-आयामी स्थानों में दो बंद, उत्तल, असंयुक्त सेट के उदाहरण हैं जिन्हें एक बंद हाइपरप्लेन (एक हाइपरप्लेन जहां एक सतत रैखिक कार्यात्मक कुछ स्थिरांक के बराबर होता है) से अलग नहीं किया जा सकता है, यहां तक ​​कि कमजोर अर्थों में भी जहां असमानताएं सख्त नहीं हैं। यहाँ, परिकल्पना में सघनता को शिथिल नहीं किया जा सकता है; Hyperplane_separation_theorem#Counterexamples_and_uniqueness अनुभाग में एक उदाहरण देखें। पृथक्करण प्रमेय का यह संस्करण अनंत-आयाम का सामान्यीकरण करता है; सामान्यीकरण को आमतौर पर हैन-बनच_प्रमेय#Hahn.E2.80.93बनच_पृथक्करण_प्रमेय|हाह्न-बनाक पृथक्करण प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

सबूत निम्नलिखित लेम्मा पर आधारित है:

$$

$$

चूँकि एक अलग करने वाला हाइपरप्लेन खुले उत्तल सेटों के अंदरूनी हिस्सों को नहीं काट सकता है, हमारे पास एक परिणाम है:

संभावित चौराहों के साथ मामला
अगर सेट करता है $$A, B$$ संभावित चौराहे हैं, लेकिन उनके सापेक्ष इंटीरियर अलग हैं, तो पहले मामले का सबूत अभी भी बिना किसी बदलाव के लागू होता है, इस प्रकार उपज:

विशेष रूप से, हमारे पास सहायक हाइपरप्लेन प्रमेय है।

$$

प्रमेय का विलोम
ध्यान दें कि एक हाइपरप्लेन का अस्तित्व जो केवल दो उत्तल सेटों को अलग करता है, दोनों असमानताओं के कमजोर अर्थों में गैर-सख्त होने का स्पष्ट रूप से यह अर्थ नहीं है कि दो सेट अलग हैं। दोनों सेटों में हाइपरप्लेन पर स्थित बिंदु हो सकते हैं।

प्रति उदाहरण और विशिष्टता
यदि ए या बी में से एक उत्तल नहीं है, तो कई संभावित प्रति उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, A और B संकेंद्रित वृत्त हो सकते हैं। एक अधिक सूक्ष्म प्रति उदाहरण वह है जिसमें ए और बी दोनों बंद हैं लेकिन कोई भी कॉम्पैक्ट नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि ए एक बंद आधा विमान है और बी हाइपरबोला के एक हाथ से घिरा हुआ है, तो कोई सख्ती से अलग करने वाला हाइपरप्लेन नहीं है:


 * $$A = \{(x,y) : x \le 0\}$$
 * $$B = \{(x,y) : x > 0, y \geq 1/x \}.\ $$

(हालांकि, दूसरे प्रमेय के एक उदाहरण से, एक हाइपरप्लेन है जो उनके आंतरिक भाग को अलग करता है।) एक अन्य प्रकार के प्रति उदाहरण में A कॉम्पैक्ट और B खुला है। उदाहरण के लिए, A एक बंद वर्ग हो सकता है और B एक खुला वर्ग हो सकता है जो A को छूता है।

प्रमेय के पहले संस्करण में, स्पष्ट रूप से अलग करने वाला हाइपरप्लेन कभी भी अद्वितीय नहीं होता है। दूसरे संस्करण में, यह अद्वितीय हो भी सकता है और नहीं भी। तकनीकी रूप से एक अलग करने वाली धुरी कभी भी अद्वितीय नहीं होती क्योंकि इसका अनुवाद किया जा सकता है; प्रमेय के दूसरे संस्करण में, एक अलग अक्ष अनुवाद तक अद्वितीय हो सकता है।

हॉर्न कोण कई हाइपरप्लेन अलगावों के लिए एक अच्छा प्रति उदाहरण प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, में $$\R^2$$, यूनिट डिस्क खुले अंतराल से अलग है $$((1, 0), (1,1))$$, लेकिन उन्हें अलग करने वाली एकमात्र रेखा में संपूर्णता शामिल है $$((1, 0), (1,1))$$. इससे पता चलता है कि अगर $$A$$ बंद है और $$B$$ अपेक्षाकृत खुला है, तो जरूरी नहीं कि एक अलगाव मौजूद हो जो सख्त हो $$B$$. हालांकि, यदि $$A$$ बंद polytope है तो ऐसा अलगाव मौजूद है।

अधिक प्रकार
फ़ार्कस लेम्मा और संबंधित परिणामों को हाइपरप्लेन पृथक्करण प्रमेय के रूप में समझा जा सकता है, जब उत्तल पिंडों को सूक्ष्म रूप से कई रेखीय असमानताओं द्वारा परिभाषित किया जाता है।

और भी नतीजे मिल सकते हैं।

टक्कर का पता लगाने में प्रयोग करें
टकराव का पता लगाने में, हाइपरप्लेन अलगाव प्रमेय आमतौर पर निम्न रूप में प्रयोग किया जाता है:

आयाम के बावजूद, अलग करने वाली धुरी हमेशा एक रेखा होती है। उदाहरण के लिए, 3डी में, अंतरिक्ष को विमानों द्वारा अलग किया जाता है, लेकिन अलग करने वाला अक्ष अलग करने वाले विमान के लंबवत होता है।

बहुभुज मेश के बीच तेजी से टकराव का पता लगाने के लिए पृथक अक्ष प्रमेय लागू किया जा सकता है। प्रत्येक फलक (ज्यामिति) की सतह सामान्य या अन्य विशेषता दिशा का उपयोग पृथक करने वाले अक्ष के रूप में किया जाता है। ध्यान दें कि यह अलग-अलग अक्षों को अलग करता है, लाइनों/विमानों को अलग नहीं करता है।

3डी में, फेस नॉर्म्स का उपयोग अकेले कुछ एज-ऑन-एज गैर-टकराव वाले स्थितियों को अलग करने में विफल होगा। अतिरिक्त कुल्हाड़ियों की आवश्यकता होती है, जिसमें किनारों के जोड़े के क्रॉस-उत्पाद शामिल होते हैं, प्रत्येक वस्तु से एक लिया जाता है। बढ़ी हुई दक्षता के लिए, समानांतर अक्षों की गणना एकल अक्ष के रूप में की जा सकती है।

यह भी देखें

 * दोहरी शंकु
 * फ़र्कस की लेम्मा
 * किर्चबर्गर प्रमेय
 * इष्टतम नियंत्रण

संदर्भ




बाहरी संबंध

 * Collision detection and response

Séparation des convexes