सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति



सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति डिफरेंशियल ज्यामिति और डिफरेंशियल टोपोलॉजी की शाखा है जो सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड्स का अध्ययन करती है; जो कि एक बंद अंतर रूप, नॉनडिजेनरेट 2-फॉर्म से लैस डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स है। सिम्पलेक्टिक ज्यामिति की उत्पत्ति शास्त्रीय यांत्रिकी के हैमिल्टनियन यांत्रिकी में हुई है जहाँ कुछ शास्त्रीय प्रणालियों का चरण स्थान सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड की संरचना पर ले जाता है। सहानुभूति शब्द, वेल द्वारा पेश किया गया, जटिल का परत है; पहले, सहानुभूतिपूर्ण समूह को रेखा जटिल समूह कहा जाता था। कॉम्प्लेक्स लैटिन कॉम-प्लेक्सस से आता है, जिसका अर्थ है साथ लट (को- + प्लेक्सस), जबकि सिम्प्लेक्टिक संबंधित ग्रीक सिम्-प्लेक्टिकोस (συμπλεκτικός) से आता है; दोनों ही मामलों में तना भारत-यूरोपीय मूल विक्षनरी से आता है: पुनर्निर्माण: प्रोटो-इंडो-यूरोपियन/pleḱ-|*pleḱ- नाम जटिल और सहानुभूतिपूर्ण संरचनाओं के बीच गहरे संबंधों को दर्शाता है।

डार्बौक्स के प्रमेय द्वारा, सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड्स स्थानीय रूप से मानक सहानुभूतिपूर्ण वेक्टर स्थान  के लिए आइसोमोर्फिक हैं, इसलिए केवल वैश्विक (टोपोलॉजिकल) इनवेरिएंट हैं। सिम्प्लेक्टिक टोपोलॉजी, जो सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड्स के वैश्विक गुणों का अध्ययन करती है, अक्सर सिम्पलेक्टिक ज्यामिति के साथ दूसरे के स्थान पर उपयोग की जाती है।

परिचय
सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति को चिकनी समान-आयामी स्थान पर परिभाषित किया गया है जो अलग-अलग मैनिफोल्ड्स है। इस स्थान पर ज्यामितीय वस्तु को परिभाषित किया गया है, सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड#डेफिनिशन|सिम्पलेक्टिक 2-फॉर्म, जो अंतरिक्ष (गणित) में द्वि-आयामी वस्तुओं के आकार के माप की अनुमति देता है। सिम्पलेक्टिक ज्यामिति में सिम्पलेक्टिक फॉर्म रिमानियन ज्यामिति में मीट्रिक टेंसर के समान भूमिका निभाता है। जहां मीट्रिक टेन्सर लंबाई और कोणों को मापता है, वहीं सिम्पलेक्टिक फॉर्म उन्मुख क्षेत्रों को मापता है। शास्त्रीय यांत्रिकी के अध्ययन से सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति उत्पन्न हुई और सहानुभूतिपूर्ण संरचना का उदाहरण आयाम में वस्तु की गति है। वस्तु के प्रक्षेपवक्र को निर्दिष्ट करने के लिए, स्थिति (ज्यामिति) q और संवेग p दोनों की आवश्यकता होती है, जो द्वि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में बिंदु (p,q) बनाते हैं ℝ 2। इस मामले में, सहानुभूति विभेदक रूप है
 * $$\omega = dp \wedge dq$$

और आयतन रूप है जो विमान में क्षेत्र S के क्षेत्र A को विभेदक रूप # एकीकरण के माध्यम से मापता है:
 * $$A = \int_S \omega.$$

क्षेत्र महत्वपूर्ण है क्योंकि रूढ़िवादी प्रणाली समय के साथ विकसित होती है, यह क्षेत्र अपरिवर्तनीय है।

उच्च आयामी सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति को समान रूप से परिभाषित किया गया है। दिशाओं के जोड़े से 2n-आयामी सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति बनती है
 * $$((x_1,x_2), (x_3,x_4),\ldots(x_{2n-1},x_{2n}))$$

2n-आयामी मैनिफोल्ड्स में सहानुभूतिपूर्ण रूप के साथ
 * $$\omega = dx_1 \wedge dx_2 + dx_3 \wedge dx_4 + \cdots + dx_{2n-1} \wedge dx_{2n}.$$

यह सहानुभूतिपूर्ण रूप अंतरिक्ष में 2n-आयामी क्षेत्र V के आकार का उत्पादन करता है, जो दिशाओं के जोड़े द्वारा गठित प्रत्येक विमान पर V के अनुमानों के क्षेत्रों के योग के रूप में होता है।


 * $$A = \int_V \omega = \int_V dx_1 \wedge dx_2 + \int_V dx_3 \wedge dx_4 + \cdots + \int_V dx_{2n-1} \wedge dx_{2n}.$$

रीमानियन ज्यामिति के साथ तुलना
सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति में रीमैनियन ज्यामिति से कई समानताएं और अंतर हैं, जो नॉनडिजेनरेट, सिमिट्रिक 2-टेंसर (मीट्रिक टेंसर कहा जाता है) से लैस डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स का अध्ययन है। रीमैनियन मामले के विपरीत, सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड में कोई स्थानीय आक्रमणकारी नहीं है जैसे कि रीमैनियन मैनिफोल्ड की वक्रता। यह डार्बौक्स के प्रमेय का परिणाम है जिसमें कहा गया है कि 2n-आयामी सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड के किसी भी बिंदु का पड़ोस ℝ के खुले सेट पर मानक सिम्पलेक्टिक संरचना के लिए आइसोमॉर्फिक है।2एन. रीमैनियन ज्यामिति के साथ और अंतर यह है कि प्रत्येक अलग-अलग मैनिफोल्ड्स को सहानुभूतिपूर्ण रूप स्वीकार करने की आवश्यकता नहीं है; कुछ सामयिक प्रतिबंध हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक सहानुभूति मैनिफोल्ड्स सम-आयामी और उन्मुख है। इसके अतिरिक्त, यदि एम बंद सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड्स है, तो दूसरा डॉ कहलमज गर्भाशय समूह (गणित) एच2(एम) तुच्छ नहीं है; इसका तात्पर्य है, उदाहरण के लिए, केवल n-sphere|n-sphere जो सहानुभूतिपूर्ण रूप को स्वीकार करता है वह स्फेयर|2- वृत्त है। समानांतर जिसे दो विषयों के बीच खींचा जा सकता है, वह है रीमानियन ज्यामिति में  geodesics  और सिम्पलेक्टिक ज्यामिति में स्यूडोहोलोमॉर्फिक वक्रों के बीच सादृश्य: जियोडेसिक्स सबसे कम लंबाई (स्थानीय रूप से) के वक्र हैं, जबकि स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्र न्यूनतम क्षेत्र की सतह हैं। दोनों अवधारणाएं अपने-अपने विषयों में मौलिक भूमिका निभाती हैं।

उदाहरण और संरचनाएं
प्रत्येक काहलर मैनिफोल्ड्स भी सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड्स है। 1970 के दशक में, सहानुभूति विशेषज्ञ अनिश्चित थे कि क्या कोई कॉम्पैक्ट गैर-कैहलर सहानुभूति मैनिफोल्ड्स मौजूद है, लेकिन तब से कई उदाहरणों का निर्माण किया गया है (पहला विलियम थर्स्टन के कारण था); विशेष रूप से, रॉबर्ट गोम्फ ने दिखाया है कि प्रत्येक सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह कुछ सहानुभूतिपूर्ण 4-मैनिफोल्ड्स के मौलिक समूह के रूप में होता है, जो काहलर मामले के विपरीत है।

कोई कह सकता है कि अधिकांश सहानुभूतिपूर्ण गुणक काहलर नहीं हैं; और इसलिए सहानुभूतिपूर्ण रूप के साथ संगत एकीकृत रैखिक जटिल संरचना नहीं है। हालांकि, मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) ने महत्वपूर्ण अवलोकन किया कि सिम्पलेक्टिक मैनिफोल्ड संगत लगभग जटिल संरचनाओं की बहुतायत को स्वीकार करते हैं, ताकि वे काहलर मैनिफोल्ड के लिए सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट कर सकें, सिवाय आवश्यकता के कि संक्रमण मानचित्र होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन हो।

ग्रोमोव ने स्यूडोहोलोमोर्फिक कर्व्स के सिद्धांत को विकसित करने के लिए सिम्प्लेक्टिक मैनिफोल्ड्स पर लगभग जटिल संरचनाओं के अस्तित्व का उपयोग किया, जिसके कारण सिम्प्लेक्टिक टोपोलॉजी में कई प्रगति हुई है, जिसमें सिम्प्लेक्टिक इनवेरिएंट्स का वर्ग भी शामिल है, जिसे अब ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट्स के रूप में जाना जाता है। बाद में, स्यूडोहोलोमॉर्फिक वक्र तकनीक का उपयोग करते हुए एंड्रियास फ्लोर ने सहानुभूति ज्यामिति में और महत्वपूर्ण उपकरण का आविष्कार किया, जिसे फ्लोर होमोलॉजी के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

 * ज्यामिति से संपर्क करें
 * ज्यामितीय यांत्रिकी
 * पल नक्शा
 * पोइसन ज्यामिति
 * सहानुभूतिपूर्ण इंटीग्रेटर
 * सहानुभूतिपूर्ण वेक्टर स्थान

संदर्भ

 * (An undergraduate level introduction.)
 * Reprinted by Princeton University Press (1997). ISBN 0-691-05756-7..
 * (An undergraduate level introduction.)
 * Reprinted by Princeton University Press (1997). ISBN 0-691-05756-7..
 * Reprinted by Princeton University Press (1997). ISBN 0-691-05756-7..
 * Reprinted by Princeton University Press (1997). ISBN 0-691-05756-7..
 * Reprinted by Princeton University Press (1997). ISBN 0-691-05756-7..