चेबिशेव बहुपद

चेबिशेव बहुपद त्रिकोणमितीय कारक साइन और कोसाइन से संबंधित बहुपदों के दो अनुक्रम हैं जिन्हें $$T_n(x)$$ और $$U_n(x)$$ के रूप में चिह्नित किया गया है। उन्हें कई समतुल्य तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है जिनमें से एक त्रिकोणमितीय कारक से प्रारम्भ होता है:

पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपद $$T_n$$ द्वारा परिभाषित किए गए हैं:
 * $$T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta).$$

इसी प्रकार, दूसरे प्रकार के चेबीशेव बहुपद $$U_n$$ द्वारा परिभाषित किए गए हैं:
 * $$U_n(\cos \theta) \sin \theta = \sin\big((n + 1)\theta\big).$$

कि ये व्यंजक बहुपदों को परिभाषित करते हैं $$\cos\theta$$ पहली नजर में स्पष्ट नहीं हो सकता है, लेकिन पुनर्लेखन के बाद होता है $$\cos(n\theta)$$ और $$\sin\big((n+1)\theta\big)$$ डी मोइवर के सूत्र का उपयोग करके या त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची का उपयोग करके#कोण योग और अंतर सर्वसमिकाओं के लिए $$\cos$$ और $$\sin$$ बार-बार। उदाहरण के लिए, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची#डबल-एंगल फ़ार्मुलों, जो कोण योग सूत्रों से सीधे अनुसरण करते हैं, का उपयोग प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है $$T_2(\cos\theta)=\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1$$ और $$U_1(\cos\theta)\sin\theta=\sin(2\theta)=2\cos\theta\sin\theta$$, जो क्रमशः एक बहुपद हैं $$\cos\theta$$ और एक बहुपद में $$\cos\theta$$ से गुणा $$\sin\theta$$. इस तरह $$T_2(x)=2x^2-1$$ और $$U_1(x)=2x$$.

की एक महत्वपूर्ण और सुविधाजनक संपत्ति $T_{n}(x)$ यह है कि वे आंतरिक उत्पाद के संबंध में ओर्थोगोनल कार्य हैं:
 * $$\langle f, g\rangle = \int_{-1}^1 f(x) \, g(x) \, \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^2}},$$

और $U_{n}(x)$ नीचे दिए गए अन्य समान आंतरिक उत्पाद के संबंध में ऑर्थोगोनल हैं।

चेबिशेव बहुपद $T_{n}$ सबसे बड़े संभावित प्रमुख गुणांक वाले बहुपद हैं जिनके अंतराल पर पूर्ण मान (गणित) $[−1, 1]$ 1 से घिरा है। वे कई अन्य गुणों के लिए चरम बहुपद भी हैं।

सन्निकटन सिद्धांत में चेबिशेव बहुपद महत्वपूर्ण हैं क्योंकि एक बहुपद की जड़ $T_{n}(x)$, जिन्हें चेबीशेव नोड्स भी कहा जाता है, का उपयोग बहुपद इंटरपोलेशन को अनुकूलित करने के लिए मिलान बिंदुओं के रूप में किया जाता है। परिणामी अंतर्वेशन बहुपद रूंज की घटना की समस्या को कम करता है और एक सन्निकटन प्रदान करता है जो अधिकतम मानदंड के तहत एक सतत कार्य के लिए सबसे अच्छा बहुपद सन्निकटन के करीब है, जिसे अल्पमहिष्ठ कसौटी भी कहा जाता है। यह सन्निकटन सीधे क्लेंशॉ-कर्टिस चतुर्भुज की विधि की ओर जाता है।

इन बहुपदों का नाम पफन्युटी चेबीशेव के नाम पर रखा गया था। अक्षर $T$ का उपयोग चेबीशेव नाम के वैकल्पिक लिप्यंतरण के कारण चेबीचेफ, चेबीशेव (फ्रेंच) या शेबीशॉ (जर्मन) के रूप में किया जाता है।

पुनरावृत्ति परिभाषा
प्रथम प्रकार के चेबीशेव बहुपद पुनरावर्तन संबंध से प्राप्त किए जाते हैं।
 * $$\begin{align}

T_0(x) & = 1 \\ T_1(x) & = x \\ T_{n+1}(x) & = 2 x\,T_n(x) - T_{n-1}(x). \end{align}$$ पुनरावृत्ति आकार $T_{n}$ के एक त्रिकोणीय आव्यूह के निर्धारक के रूप में उन्हें स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करने की स्वीकृति देता है।


 * $$\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)\,t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.$$

चेबिशेव बहुपदों के लिए कई अन्य फलन घातीय फलन है


 * $$\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)\frac{t^n}{n!} = \frac{1}{2}\!\left( e^{t\left(x-\sqrt{x^2 - 1} \right)} + e^{t\left(x+\sqrt{x^2 -1}\right)}\right)

= e^{tx}\cosh\left(t\sqrt{x^2-1}\right).$$ 2-आयामी संभावित सिद्धांत और बेलनाकार बहुध्रुव विस्तार के लिए प्रासंगिक घातीय फलन है


 * $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}T_{n}(x)\,\frac{t^n}{n} = \ln\left( \frac{1}{\sqrt{ 1 - 2tx + t^2 }}\right).$$

दूसरे प्रकार के चेबिशेव बहुपदों को पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।


 * $$\begin{align}

U_0(x) & = 1 \\ U_1(x) & = 2 x \\ U_{n+1}(x) & = 2 x\,U_n(x) - U_{n-1}(x). \end{align}$$ माना कि पुनरावृत्ति संबंधों के दो समुच्चय समान हैं $$T_1(x) = x$$, $U_1(x) = 2x$. के लिए सामान्य $T_{n}$ घातीय फलन है:


 * $$\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)\,t^n = \frac{1}{1 - 2 t x+t^2},$$

और घातीय जनक फलन है:


 * $$\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)\frac{t^n}{n!} = e^{tx}\!\left(\!\cosh\left(t\sqrt{x^2-1}\right) + \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \sinh\left(t\sqrt{x^2-1}\right)\!\right).$$

त्रिकोणमितीय परिभाषा
जैसा कि परिचय में बताया गया है, पहली तरह के चेबीशेव बहुपदों को अद्वितीय बहुपदों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:


 * $$T_n(x) = \begin{cases}

\cos(n \arccos x)                         & \text{ if }~ |x| \le 1 \\ \cosh(n \operatorname{arcosh} x)          & \text{ if }~ x \ge 1 \\ (-1)^n \cosh(n \operatorname{arcosh}(-x) ) & \text{ if }~ x \le -1 \end{cases}$$ या दूसरे शब्दों में, अद्वितीय बहुपद संतोषजनक के रूप में
 * $$T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$$

$n = 0, 1, 2, 3, …$ के लिए जो एक तकनीकी बिंदु के रूप में श्रोडर के समीकरण का एक प्रकार (समतुल्य स्थानान्तरण) है। अर्थात्, $T_{n}(x)$ कार्यात्मक रूप से $U_{n}$ ​​से संयुग्मित है, जो नीचे नेस्टिंग गुण में संहिताबद्ध है।

दूसरी तरह के बहुपद संतुष्ट करते हैं:
 * $$U_{n-1}(\cos\theta) \sin\theta = \sin(n\theta),$$

या
 * $$U_n(\cos\theta) = \frac{\sin\big((n+1)\,\theta\big)}{\sin\theta},$$

जो संरचनात्मक रूप से डिरिचलेट कर्नेल $D_{n}(x)$ के समान है:
 * $$D_n(x) = \frac{\sin\left((2n+1)\dfrac{x}{2}\,\right)}{\sin \dfrac{x}{2}}

= U_{2n}\!\!\left(\cos \frac{x}{2}\right).$$ (दरिक्लेट कर्नेल, वास्तव में, अब चौथे प्रकार के चेबीशेव बहुपद के रूप में जाना जाता है, के साथ मेल खाता है।)

वह $cos nx$, $cos x$ में एक nth-डिग्री बहुपद है, यह देख कर देखा जा सकता है कि $cos nx$ डी मोइवर के सूत्र के एक पक्ष का वास्तविक हिस्सा है। दूसरे पक्ष का वास्तविक भाग $cos x$ और $sin x$ में एक बहुपद है, जिसमें $sin x$ की सभी शक्तियाँ समान हैं और इस प्रकार पहचान $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ के माध्यम से बदली जा सकती हैं। उसी तर्क से, sin nx काल्पनिक है बहुपद का एक भाग, जिसमें $sin x$ की सभी शक्तियाँ विषम होती हैं और इस प्रकार, यदि sin x का एक गुणनखंड निकाल दिया जाता है, तो शेष गुणकों को $cos x$ में $(n−1)$st-अंश बहुपद बनाने के लिए प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

रिकर्सिव जनरेटिंग फॉर्मूला के संयोजन के साथ पहचान काफी उपयोगी है, क्योंकि यह आधार कोण के कोसाइन के संदर्भ में किसी कोण के किसी भी पूर्णांक गुणक के कोसाइन की गणना करने में सक्षम बनाता है।

पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपदों की गणना सीधे यूलर की तत्समक से की जा सकती है
 * $$T_0(\cos\theta) = \cos(0\theta) = 1$$

और
 * $$T_1(\cos\theta) = \cos\theta ,$$

जबकि बाकी का मूल्यांकन उत्पाद-से-योग पहचान की विशेषज्ञता का उपयोग करके किया जा सकता है:
 * $$2\cos n\theta\cos\theta = \cos \lbrack (n+1)\theta \rbrack +\cos\lbrack (n-1)\theta\rbrack$$

उदाहरण के लिए,
 * $$\begin{align}

T_2(\cos\theta) &= \cos 2 \theta = 2\cos\theta\cos\theta - 1 = 2\cos^2\theta -1. \\ T_3(\cos\theta) &= \cos 3 \theta = 2\cos\theta \cos 2\theta - \cos\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta. \end{align}$$ इसके विपरीत, त्रिकोणमितीय कार्यों की एक मनमानी पूर्णांक शक्ति को चेबीशेव बहुपदों का उपयोग करके त्रिकोणमितीय कार्यों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
 * $$\cos^n \theta

= 2^{1-n}\!\mathop{\mathop{{\sum}'}^n_{j=0}}_{n-j\,\text{even}}\!\! \binom{n}{\tfrac{n-j}{2}}\,T_j(\cos \theta),$$ जहां योग प्रतीक पर अभाज्य इंगित करता है कि $j = 0$ के योगदान को आधा करने की आवश्यकता है, यदि $$T_j(\cos\theta) = \cos(j\theta)$$ यह प्रकट होता है,

चेबिशेव बहुपदों के संदर्भ में जटिल घातांक की अभिव्यक्ति एक तात्कालिक परिणाम है, दिया गया है $z = a + bi$,
 * $$\begin{align}

z^n & = |z|^n \!\left(\cos \left(n\arccos \frac{a}{|z|}\right) + i \frac{b}{|b|} \sin \left(n \arccos \frac{a}{|z|}\right)\right) \\ & = |z|^n\, T_n\!\!\!\;\left(\frac{a}{|z|}\right) + ib |z|^{n - 1}\ U_{n-1}\!\!\!\;\left(\frac {a}{|z|}\right). \end{align}$$

कम्यूटिंग बहुपद परिभाषा
चेबीशेव बहुपदों को निम्नलिखित प्रमेय द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है यदि $$ F_n(x)$$ विशेषता के क्षेत्र में गुणांक वाले मोनिक बहुपदों का एक परिवार है $$0$$ ऐसा है $$ \deg F_n(x) = n$$ सभी के लिए m और n, फिर, सभी n या $$ F_m(F_n(x)) = F_n(F_m(x))$$ के लिए या तो $$F_n(x) = 2*T_n(x/2)$$ वेरिएबल्स का साधारण परिवर्तन $$ n$$ सभी n के लिए।

पेल समीकरण परिभाषा
चेबिशेव बहुपदों को पेल समीकरण के समाधान के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है


 * $$T_n(x)^2 - \left(x^2 - 1\right) U_{n-1}(x)^2 = 1$$

एक अंगूठी में (गणित) $R[x]$. इस प्रकार, वे मौलिक समाधान की शक्तियों को लेने के पेल समीकरणों के लिए मानक तकनीक द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं:


 * $$T_n(x) + U_{n-1}(x)\,\sqrt{x^2-1} = \left(x + \sqrt{x^2-1}\right)^n~. $$

दो प्रकार के चेबीशेव बहुपदों के बीच संबंध
पहले और दूसरे प्रकार के चेबीशेव बहुपद लुकास अनुक्रमों की एक पूरक जोड़ी के अनुरूप हैं $Ṽ_{n}(P, Q)$ और $Ũ_{n}(P, Q)$ मापदंडों के साथ $P = 2x$ और $Q = 1$:
 * $$\begin{align}

{\tilde U}_n(2x,1) &= U_{n-1}(x), \\ {\tilde V}_n(2x,1) &= 2\, T_n(x). \end{align}$$ यह इस प्रकार है कि वे पारस्परिक पुनरावृत्ति समीकरणों की एक जोड़ी को भी संतुष्ट करते हैं: (xvii+1 errata page+396 pages, red cloth hardcover) (NB. Copyright was renewed by California Institute of Technology in 1981.); Reprint: Robert E. Krieger Publishing Co., Inc., Melbourne, Florida, USA. 1981. ISBN 0-89874-069-X; Planned Dover reprint: ISBN 0-486-44615-8.
 * $$\begin{align}

T_{n+1}(x) &= x\,T_n(x) - (1 - x^2)\,U_{n-1}(x), \\ U_{n+1}(x) &= x\,U_n(x) + T_{n+1}(x). \end{align}$$ इनमें से दूसरे को देने के लिए दूसरी तरह के चेबिशेव बहुपदों के लिए #पुनरावृत्ति परिभाषा का उपयोग करके पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है
 * $$T_n(x) = \frac{1}{2} \big(U_n(x) - U_{n-2}(x)\big).$$

इस सूत्र का पुनरावृत्त रूप से योग सूत्र देता है

U_n(x) = \begin{cases}2\sum_{\text{ odd }j}^n T_j(x)     & \text{ for odd }n.\\ 2\sum_{\text{ even }j}^n T_j(x) - 1     & \text{ for even }n,\end{cases} $$ प्रतिस्थापित करते समय $$U_n(x)$$ और $$U_{n-2}(x)$$ के लिए #भेदभाव और एकीकरण का उपयोग करना $$T_n(x)$$ के व्युत्पन्न के लिए पुनरावृत्ति संबंध देता है $$T_n$$:


 * $$2\,T_n(x) = \frac{1}{n+1}\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\, T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\, T_{n-1}(x), \qquad n=2,3,\ldots$$

अंतर समीकरणों को हल करने के चेबीशेव वर्णक्रमीय विधि में इस संबंध का उपयोग किया जाता है।

चेबिशेव बहुपदों के लिए तुरान की असमानताएँ हैं
 * $$\begin{align}

T_n(x)^2 - T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&= 1-x^2 > 0 &&\text{ for } -1 0~. \end{align}$$ अभिन्न संबंध हैं


 * $$\begin{align}

\int_{-1}^1\frac{T_n(y)}{(y-x)\sqrt{1-y^2}}\,\mathrm{d}y &= \pi\,U_{n-1}(x)~, \\ \int_{-1}^1\frac{\sqrt{1-y^2}\,U_{n-1}(y)}{y-x}\,\mathrm{d}y &= -\pi\,T_n(x) \end{align}$$ जहां इंटीग्रल को प्रमुख मूल्य माना जाता है।

स्पष्ट भाव
चेबीशेव बहुपदों को परिभाषित करने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोण अलग-अलग स्पष्ट अभिव्यक्तियों की ओर ले जाते हैं जैसे:


 * $$\begin{align}

T_n(x) & = \begin{cases} \cos(n\arccos x) \qquad & \text{ for }~ |x| \le 1 \\ \\ \dfrac{1}{2} \bigg( \Big(x-\sqrt{x^2-1} \Big)^n + \Big(x+\sqrt{x^2-1} \Big)^n \bigg) \qquad & \text{ for }~ |x| \ge 1 \\ \end{cases} \\ \\ & = \begin{cases} \cos(n\arccos x) \qquad \quad & \text{ for }~ -1 \le x \le 1 \\ \\ \cosh(n \operatorname{arcosh}x) \qquad \quad & \text{ for }~ 1 \le x \\ \\ (-1)^n \cosh\big(n \operatorname{arcosh}(-x)\big) \qquad \quad & \text{ for }~ x \le -1 \\ \end{cases} \\ \\ \\ T_n(x) & = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n}{2k} \left (x^2-1 \right )^k x^{n-2k} \\ & = x^n \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n}{2k} \left (1 - x^{-2} \right )^k \\ & = \frac{n}{2} \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}~(2x)^{n-2k} \qquad\qquad \text{ for }~ n > 0 \\ \\ & = n \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k-1)!} {(n-k)!(2k)!}(1 - x)^k \qquad\qquad ~ \text{ for }~ n > 0 \\ \\ & = {}_2F_1\!\left(-n,n;\tfrac 1 2; \tfrac{1}{2}(1-x)\right) \\ \end{align}$$ उलटा के साथ
 * $$x^n = 2^{1-n}\mathop{{\sum}'}^n_{j=0\atop j \,\equiv\, n \pmod 2} \!\!\binom{n}{\tfrac{n-j}{2}}\!\;T_j(x),$$

जहां समन सिंबल पर प्राइम का योगदान दर्शाता है $j = 0$ दिखाई देने पर इसे आधा करना होगा।


 * $$\begin{align}

U_n(x) & = \frac{\left (x+\sqrt{x^2-1} \right )^{n+1} - \left (x-\sqrt{x^2-1} \right )^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} \\ & = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n+1}{2k+1} \left (x^2-1 \right )^k x^{n-2k} \\ & = x^n \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n+1}{2k+1} \left (1 - x^{-2} \right )^k \\ & = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{2k-(n+1)}{k}~(2x)^{n-2k} & \text{ for }~ n > 0 \\ & = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} (-1)^k \binom{n-k}{k}~(2x)^{n-2k} & \text{ for }~ n > 0 \\ & = \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k+1)!} {(n-k)!(2k+1)!}(1 - x)^k & \text{ for }~ n > 0 \\ & = (n+1) \ {}_2F_1\left(-n,n+2; \tfrac{3}{2}; \tfrac{1}{2}(1-x) \right) \\ \end{align}$$ जहाँ $_{2}F_{1}$ एक हाइपरज्यामितीय समारोह है।

समरूपता

 * $$\begin{align}

T_n(-x) &= (-1)^n\, T_n(x) = \begin{cases} T_n(x) \quad & ~\text{ for }~n~\text{ even} \\ \\ -T_n(x) \quad & ~\text{ for }~n~\text{ odd} \end{cases} \\ \\ \\ U_n(-x) &= (-1)^n\, U_n(x) = \begin{cases} U_n(x) \quad & ~\text{ for }~n~\text{ even} \\ \\ -U_n(x) \quad & ~\text{ for }~n~\text{ odd} \end{cases} \\ \end{align}$$ अर्थात्, सम क्रम के चेबीशेव बहुपदों के सम और विषम फलन होते हैं और इसलिए उनमें केवल सम घातें होती हैं $U_{n}$. विषम क्रम के चेबिशेव बहुपदों में सम और विषम कार्य होते हैं और इसलिए केवल विषम शक्तियां होती हैं $n x$.

जड़ें और एक्स्ट्रेमा
डिग्री के साथ किसी भी तरह का एक चेबिशेव बहुपद $x$ है $x$ अलग-अलग सरल जड़ें, जिन्हें चेबिशेव जड़ें कहा जाता है, अंतराल में $n$. पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपद की जड़ों को कभी-कभी चेबीशेव नोड कहा जाता है क्योंकि वे बहुपद इंटरपोलेशन में नोड्स के रूप में उपयोग किए जाते हैं। त्रिकोणमितीय परिभाषा और इस तथ्य का उपयोग करना कि


 * $$\cos\left((2k+1)\frac{\pi}{2}\right)=0$$

कोई दिखा सकता है कि की जड़ें $n$ हैं


 * $$ x_k = \cos\left(\frac{\pi(k+1/2)}{n}\right),\quad k=0,\ldots,n-1.$$

इसी प्रकार, की जड़ें $[−1, 1]$ हैं


 * $$ x_k = \cos\left(\frac{k}{n+1}\pi\right),\quad k=1,\ldots,n.$$

की मैक्सिमा और मिनिमा $T_{n}$ अंतराल पर $−1 ≤ x ≤ 1$ पर स्थित हैं


 * $$ x_k = \cos\left(\frac{k}{n}\pi\right),\quad k=0,\ldots,n.$$

पहली तरह के चेबीशेव बहुपदों की एक अनूठी संपत्ति अंतराल पर है $−1 ≤ x ≤ 1$ मैक्सिमा और मिनिमा के सभी मान हैं जो या तो -1 या 1 हैं। इस प्रकार इन बहुपदों में केवल दो परिमित महत्वपूर्ण मूल्य हैं, शबत बहुपदों की परिभाषित संपत्ति। चेबिशेव बहुपद के पहले और दूसरे दोनों प्रकार के समापन बिंदुओं पर एक्स्ट्रेमा है, जो निम्न द्वारा दिया गया है:


 * $$T_n(1) = 1$$
 * $$T_n(-1) = (-1)^n$$
 * $$U_n(1) = n+1$$
 * $$U_n(-1) = (-1)^n (n+1).$$

की मैक्सिमा और मिनिमा $$T_n(x)$$ अंतराल पर $$-1 \leq x \leq 1$$ जहाँ $$n>0$$ पर स्थित हैं $$n+1$$ के मान $$x$$. वे हैं $$ \pm 1$$, या $$ \cos\left(\frac{2\pi k}{d}\right)$$ जहाँ $$d > 2$$, $$d \;|\; 2n$$, $$0 < k < d/2$$ और $$(k, d) = 1$$, अर्थात।, $$k$$ और $$d$$ अपेक्षाकृत प्रमुख संख्याएँ हैं।

विशेष रूप से, कब $$n$$ सम है,
 * $$T_n(x) = 1$$ अगर $$x = \pm 1$$, या $$d > 2$$ और $$2n/d$$ सम है। वहाँ हैं $$n/2 + 1$$ ऐसे मूल्य $$x$$.
 * $$T_n(x) = -1$$ अगर $$d > 2$$ और $$2n/d$$ अजीब है। वहाँ हैं $$n/2$$ ऐसे मूल्य $$x$$.

कब $$n$$ अजीब है,
 * $$T_n(x) = 1$$ अगर $$x = 1$$, या $$d > 2$$ और $$2n/d$$ सम है। वहाँ हैं $$(n+1)/2$$ ऐसे मूल्य $$x$$.
 * $$T_n(x) = -1$$ अगर $$x = -1$$, या $$d > 2$$ और $$2n/d$$ अजीब है। वहाँ हैं $$(n+1)/2$$ ऐसे मूल्य $$x$$.

इस परिणाम को के समाधान के लिए सामान्यीकृत किया गया है $$U_n(x) \pm 1 = 0$$, और करने के लिए $$V_n(x) \pm 1 = 0$$ और $$W_n(x) \pm 1 = 0$$ क्रमशः तीसरे और चौथे प्रकार के चेबिशेव बहुपदों के लिए।

विभेदीकरण और एकीकरण
बहुपदों के डेरिवेटिव सीधे से कम हो सकते हैं। बहुपदों को उनके त्रिकोणमितीय रूपों में विभेदित करके, यह दिखाया जा सकता है कि:


 * $$\begin{align}

\frac{\mathrm{d}T_n}{\mathrm{d}x} &= n U_{n - 1} \\ \frac{\mathrm{d}U_n}{\mathrm{d}x} &= \frac{(n + 1)T_{n + 1} - x U_n}{x^2 - 1} \\ \frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} &= n\, \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{x^2 - 1} = n\, \frac{(n + 1)T_n - U_n}{x^2 - 1}. \end{align}$$ शून्य से विभाजन के कारण अंतिम दो सूत्र संख्यात्मक रूप से परेशानी वाले हो सकते हैं ($U_{n}$ अनिश्चित रूप, विशेष रूप से) पर $x = 1$ और $x = −1$. यह दिखाया जा सकता है कि:


 * $$\begin{align}

\left. \frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} \right|_{x = 1} \!\! &= \frac{n^4 - n^2}{3}, \\ \left. \frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} \right|_{x = -1} \!\! &= (-1)^n \frac{n^4 - n^2}{3}. \end{align}$$

$T_{n}$

अधिक सामान्य सूत्र बताता है:
 * $$\left.\frac{d^p T_n}{d x^p} \right|_{x = \pm 1} \!\! = (\pm 1)^{n+p}\prod_{k=0}^{p-1}\frac{n^2-k^2}{2k+1}~,$$

जो eigenvalue समस्याओं के संख्यात्मक समाधान में बहुत उपयोगी है।

साथ ही, हमारे पास है
 * $$\frac{\mathrm{d}^p}{\mathrm{d}x^p}\,T_n(x) = 2^p\,n\mathop{{\sum}'}_{0\le k\le n-p\atop k \,\equiv\, n-p \pmod 2}

\binom{\frac{n+p-k}{2}-1}{\frac{n-p-k}{2}}\frac{\left(\frac{n+p+k}{2}-1\right)!}{\left(\frac{n-p+k}{2}\right)!}\,T_k(x),~\qquad p \ge 1,$$ जहां समन प्रतीकों पर प्रधान का अर्थ है कि शब्द द्वारा योगदान दिया गया है $x = ±1$ को आधा करना है, यदि यह प्रकट होता है।

एकीकरण के संबंध में, का पहला व्युत्पन्न $0⁄0$ इसका आशय है


 * $$\int U_n\, \mathrm{d}x = \frac{T_{n + 1}}{n + 1}$$

और डेरिवेटिव वाले पहले प्रकार के बहुपदों के लिए पुनरावृत्ति संबंध यह स्थापित करता है कि के लिए $x → 1$


 * $$\int T_n\, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\,\left(\frac{T_{n + 1}}{n + 1} - \frac{T_{n - 1}}{n - 1}\right) = \frac{n\,T_{n + 1}}{n^2 - 1} - \frac{x\,T_n}{n - 1}.$$

के अभिन्न को व्यक्त करने के लिए अंतिम सूत्र में और हेरफेर किया जा सकता है $$ केवल प्रथम प्रकार के चेबिशेव बहुपदों के फलन के रूप में:
 * $$\begin{align}

\int T_n\, \mathrm{d}x &= \frac{n}{n^2 - 1} T_{n + 1} - \frac{1}{n - 1} T_1 T_n \\ &= \frac{n}{n^2 - 1}\,T_{n + 1} - \frac{1}{2(n - 1)}\,(T_{n + 1} + T_{n - 1}) \\ &= \frac{1}{2(n + 1)}\,T_{n + 1} - \frac{1}{2(n - 1)}\,T_{n - 1}. \end{align}$$ इसके अलावा, हमारे पास है
 * $$\int_{-1}^1 T_n(x)\, \mathrm{d}x =

\begin{cases} \frac{(-1)^n + 1}{1 - n^2} & \text{ if }~ n \ne 1 \\ 0                         & \text{ if }~ n = 1. \end{cases}$$

चेबिशेव बहुपदों के गुणनफल
पहले प्रकार के चेबीशेव बहुपद संबंध को संतुष्ट करते हैं
 * $$T_m(x)\,T_n(x) = \tfrac{1}{2}\!\left(T_{m+n}(x) + T_{|m-n|}(x)\right)\!,\qquad \forall m,n \ge 0,$$

जो त्रिकोणमितीय पहचानों की सूची से आसानी से सिद्ध हो जाता है#उत्पाद-से-योग और योग-से-उत्पाद पहचान|कोज्या के लिए उत्पाद-से-योग सूत्र,
 * $$2 \cos \alpha \, \cos \beta = \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta).$$

के लिए $U_{n − 1}(1) = nT_{n}(1) = n$ इसका परिणाम पहले से ही ज्ञात पुनरावृत्ति सूत्र में होता है, बस अलग तरीके से व्यवस्थित किया जाता है, और इसके साथ $x = −1$ यह सभी सम या सभी विषम अनुक्रमित चेबीशेव बहुपदों के लिए पुनरावृत्ति संबंध बनाता है (न्यूनतम की समानता के आधार पर $T_{n}$) जिसका तात्पर्य इन बहुपदों की समता या विषमता से है। इस उत्पाद विस्तार से चेबिशेव बहुपदों के मूल्यांकन के लिए तीन और उपयोगी सूत्र निकाले जा सकते हैं:
 * $$\begin{align}

T_{2n}(x) &= 2\,T_n^2(x)          - T_0(x) &&= 2 T_n^2(x) - 1, \\ T_{2n+1}(x) &= 2\,T_{n+1}(x)\,T_n(x) - T_1(x) &&= 2\,T_{n+1}(x)\,T_n(x) - x, \\ T_{2n-1}(x) &= 2\,T_{n-1}(x)\,T_n(x) - T_1(x) &&= 2\,T_{n-1}(x)\,T_n(x) - x. \end{align}$$ दूसरे प्रकार के बहुपद समान संबंध को संतुष्ट करते हैं
 * $$ T_m(x)\,U_n(x) = \begin{cases}

\frac{1}{2}\left(U_{m+n}(x) + U_{n-m}(x)\right), & ~\text{ if }~ n \ge m-1,\\ \\ \frac{1}{2}\left(U_{m+n}(x) - U_{m-n-2}(x)\right), & ~\text{ if }~ n \le m-2. \end{cases} $$ (परिभाषा के साथ $T_{n}(−1) = (−1)^{n}$ रिवाज के सन्दर्भ मे )। वे संतुष्ट भी हैं
 * $$ U_m(x)\,U_n(x) = \sum_{k=0}^n\,U_{m-n+2k}(x) = \sum_\underset{\text{ step 2 }}{p=m-n}^{m+n} U_p(x)~.$$

के लिए $k = 0$. के लिए $n ≥ 2$ यह पुनरावृत्ति कम हो जाती है
 * $$ U_{m+2}(x) = U_2(x)\,U_m(x) - U_m(x) - U_{m-2}(x) = U_m(x)\,\big(U_2(x) - 1\big) - U_{m-2}(x)~,$$

जो इस पर निर्भर करते हुए दूसरी तरह के सम या विषम अनुक्रमित चेबीशेव बहुपदों की समता या विषमता को स्थापित करता है $T_{n}$ 2 या 3 से शुरू होता है।

संरचना और विभाज्यता गुण
त्रिकोणमितीय परिभाषाएँ $n = 1$ और $n = 2$ संरचना या नेस्टिंग गुणों का अर्थ है
 * $$\begin{align}

T_{mn}(x) &= T_m(T_n(x)),\\ U_{mn-1}(x) &= U_{m-1}(T_n(x))U_{n-1}(x). \end{align} $$ के लिए $U_{−1} ≡ 0$ संरचना के क्रम को उलटा किया जा सकता है, जिससे बहुपद कार्यों का परिवार बन जाता है $m ≥ n$ संरचना के तहत एक विनिमेय semigroup ।

तब से $n = 2$ से विभाज्य है $m$ अगर $m$ विषम है, यह इस प्रकार है $T_{n}$ से विभाज्य है $U_{n}$ अगर $x$ अजीब है। आगे, $T_{mn}$ से विभाज्य है $T_{n}$, और उस मामले में $m$ सम है, से विभाज्य है $T_{m}(x)$.

ऑर्थोगोनलिटी
दोनों $m$ और $m$ ओर्थोगोनल बहुपदों का एक क्रम बनाएं। पहली तरह के बहुपद $T_{n}$ वजन के संबंध में ओर्थोगोनल हैं


 * $$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},$$

अंतराल पर $U_{n}$, यानी हमारे पास:


 * $$\int_{-1}^1 T_n(x)\,T_m(x)\,\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} =

\begin{cases} 0            & ~\text{ if }~ n \ne m, \\ \\ \pi          & ~\text{ if }~ n=m=0, \\ \\ \frac{\pi}{2} & ~\text{ if }~ n=m \ne 0. \end{cases}$$ इसे देकर सिद्ध किया जा सकता है $T_{mn}(x)$ और परिभाषित पहचान का उपयोग करना $T_{n}(x)$.

इसी प्रकार, दूसरी तरह के बहुपद $T_{n}$ वजन के संबंध में ओर्थोगोनल हैं


 * $$\sqrt{1-x^2}$$

अंतराल पर $[−1, 1]$, यानी हमारे पास:


 * $$\int_{-1}^1 U_n(x)\,U_m(x)\,\sqrt{1-x^2} \,\mathrm{d}x =

\begin{cases} 0            & ~\text{ if }~ n \ne m, \\ \frac{\pi}{2} & ~\text{ if }~ n = m. \end{cases}$$ (पैमाना $U_{mn−1}(x)$ एक सामान्य स्थिरांक के भीतर, विग्नेर अर्धवृत्त वितरण है।)

ये ऑर्थोगोनलिटी गुण इस तथ्य से अनुसरण करते हैं कि चेबीशेव बहुपद चेबिशेव समीकरण को हल करते हैं
 * $$(1 - x^2)y'' - xy' + n^2 y = 0,$$
 * $$(1 - x^2)y'' - 3xy' + n(n + 2) y = 0,$$

जो स्टर्म-लिउविल समस्या हैं | स्टर्म-लिउविल अवकल समीकरण। यह इस तरह के अंतर समीकरणों की एक सामान्य विशेषता है कि समाधानों का एक विशिष्ट ऑर्थोनॉर्मल सेट है। (चेबिशेव बहुपदों को परिभाषित करने का एक अन्य तरीका स्टर्म-लिउविल समस्या के समाधान के रूप में है।) $U_{n}$ असतत ऑर्थोगोनलिटी स्थिति को भी संतुष्ट करता है:


 * $$\sum_{k=0}^{N-1}{T_i(x_k)\,T_j(x_k)} =

\begin{cases} 0          & ~\text{ if }~ i \ne j, \\ N          & ~\text{ if }~ i = j = 0, \\ \frac{N}{2} & ~\text{ if }~ i = j \ne 0, \end{cases} $$ जहाँ $[−1, 1]$ से बड़ा कोई पूर्णांक है $U_{n−1}(x)$, और यह $T_{n}(x)U_{n−1}(x)$ हैं $T_{n}}b>$ चेबीशेव नोड्स (ऊपर देखें)। $x = cos θ$:


 * $$x_k = \cos\left(\pi\,\frac{2k+1}{2N}\right) \quad ~\text{ for }~ k = 0, 1, \dots, N-1.$$

दूसरे प्रकार के बहुपदों और किसी पूर्णांक के लिए $T_{n}(cos θ) = cos(nθ)$ समान चेबीशेव नोड्स के साथ $√1 − x^{2} dx$, समान योग हैं:


 * $$\sum_{k=0}^{N-1}{U_i(x_k)\,U_j(x_k)\left(1-x_k^2\right)} =

\begin{cases} 0          & \text{ if }~ i \ne j, \\ \frac{N}{2} & \text{ if }~ i = j, \end{cases}$$ और वजन समारोह के बिना:


 * $$\sum_{k=0}^{N-1}{ U_i(x_k) \, U_j(x_k) } =

\begin{cases} 0                        & ~\text{ if }~ i \not\equiv j \pmod{2}, \\ N \cdot (1 + \min\{i,j\}) & ~\text{ if }~ i \equiv j\pmod{2}. \end{cases} $$ किसी पूर्णांक के लिए $max(i, j)$, पर आधारित $N$ के शून्य $x_{k}$:


 * $$y_k = \cos\left(\pi\,\frac{k+1}{N+1}\right) \quad ~\text{ for }~ k=0, 1, \dots, N-1,$$

राशि मिल सकती है:


 * $$\sum_{k=0}^{N-1}{U_i(y_k)\,U_j(y_k)(1-y_k^2)} =

\begin{cases} 0 & ~\text{ if } i \ne j, \\ \frac{N+1}{2} & ~\text{ if } i = j, \end{cases}$$ और फिर वजन समारोह के बिना:


 * $$\sum_{k=0}^{N-1}{U_i(y_k)\,U_j(y_k)} =

\begin{cases} 0 & ~\text{ if }~ i \not\equiv j \pmod{2}, \\ \bigl(\min\{i,j\} + 1\bigr)\bigl(N-\max\{i,j\}\bigr) & ~\text{ if }~ i \equiv j\pmod{2}. \end{cases}$$

न्यूनतम $T_{N&thinsp;}(x)$-नॉर्म
किसी दिए गए के लिए $N > i + j$, डिग्री के बहुपदों के बीच $N$ अग्रणी गुणांक 1 (मोनिक बहुपद बहुपद) के साथ,


 * $$f(x) = \frac{1}{\,2^{n-1}\,}\,T_n(x)$$

इनमें से एक अंतराल [-1, 1] पर अधिकतम निरपेक्ष मान न्यूनतम है।

यह अधिकतम निरपेक्ष मान है


 * $$\frac1{2^{n-1}}$$

और $x_{k}$ बिल्कुल इस अधिकतम तक पहुंचता है $N > i + j$ बार


 * $$x = \cos \frac{k\pi}{n}\quad\text{for }0 \le k \le n.$$

$N$

टिप्पणी
समदोलन प्रमेय द्वारा, डिग्री के सभी बहुपदों के बीच $U_{N&thinsp;}(x)$, बहुपद $n$ कम करता है $∞$ पर $$ अगर और केवल अगर हैं $n ≥ 1$ अंक $|f(x)|$ ऐसा है कि $n + 1$.

बेशक, अंतराल पर अशक्त बहुपद $f$ को अपने आप अनुमानित किया जा सकता है और कम से कम किया जा सकता है $w_{n}(x)$-आदर्श।

ऊपर, तथापि, $1&thinsp;/&thinsp;2^{n −&thinsp;1}$ अपने अधिकतम तक पहुँचता है $f_{n}(x)$ बार क्योंकि हम डिग्री के सर्वश्रेष्ठ बहुपद की खोज कर रहे हैं $f_{n}(x)$ (इसलिए पहले विकसित प्रमेय का उपयोग नहीं किया जा सकता है)।

अधिक सामान्य बहुपद परिवारों के विशेष मामलों के रूप में चेबीशेव बहुपद
चेबिशेव बहुपद अल्ट्रास्फेरिकल या गेगेनबॉयर बहुपदों का एक विशेष मामला है $$C_n^{(\lambda)}(x)$$, जो स्वयं जैकोबी बहुपदों का एक विशेष मामला है $$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$$:
 * $$\begin{align}

T_n(x) &= \frac{n}{2} \lim_{q \to 0} \frac{1}{q}\,C_n^{(q)}(x) \qquad ~\text{ if }~ n \ge 1, \\ &= \frac{1}{\binom{n-\frac{1}{2}}{n}} P_n^{\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)}(x) = \frac{2^{2n}}{\binom{2n}{n}} P_n^{\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)}(x)~, \\ U_n(x) & = C_n^{(1)}(x)\\ &= \frac{n+1}{\binom{n+\frac{1}{2}}{n}} P_n^{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}(x) = \frac{2^{2n+1}}{\binom{2n+2}{n+1}} P_n^{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}(x)~. \end{align}$$ चेबीशेव बहुपद भी डिक्सन बहुपदों का एक विशेष मामला है:
 * $$D_n(2x\alpha,\alpha^2)= 2\alpha^{n}T_n(x) \, $$ ::$$E_n(2x\alpha,\alpha^2)= \alpha^{n}U_n(x). \, $$

विशेष रूप से, कब $$\alpha=\tfrac{1}{2}$$, से संबंधित हैं $$D_n(x,\tfrac{1}{4}) = 2^{1-n}T_n(x)$$ और $$E_n(x,\tfrac{1}{4}) = 2^{-n}U_n(x)$$.

अन्य गुण
द्वारा दिए गए वक्र $n − 1$, या समतुल्य, पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा $n − 1$, $≤&thinsp;n$, आवृत्ति अनुपात के बराबर के साथ लिसाजस घटता का एक विशेष मामला है $[−1, 1]$.

सूत्र के समान


 * $$T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta),$$

हमारे पास समान सूत्र है


 * $$T_{2n+1}(\sin\theta) = (-1)^n \sin\left(\left(2n+1\right)\theta\right).$$

के लिए $\|&thinsp;f&thinsp;\|_{∞}$,
 * $$T_n\!\left(\frac{x + x^{-1}}{2}\right) = \frac{x^n+x^{-n}}{2}$$

और
 * $$x^n = T_n\! \left(\frac{x+x^{-1}}{2}\right)

+ \frac{x-x^{-1}}{2}\ U_{n-1}\!\left(\frac{x+x^{-1}}{2}\right),$$ जो इस तथ्य से अनुसरण करता है कि यह परिभाषा के अनुसार है $n + 2$.

पहली तरह
फ़ाइल: पहली तरह के चेबिशेव बहुपद (n=0-5, x=(-1,1)).svg|thumb|300px|डोमेन में पहली तरह के पहले कुछ चेबिशेव बहुपद $−1 ≤ x_{0} < x_{1} < ⋯ < x_{n + 1} ≤ 1$: फ्लैट T0}, T1} , T2} , T3} , T4} और $|&thinsp;f(x_{i})| = \|&thinsp;f&thinsp;\|_{∞}$.

पहली तरह के पहले कुछ चेबिशेव बहुपद हैं


 * $$ \begin{align}

T_0(x) &= 1 \\ T_1(x) &= x \\ T_2(x) &= 2x^2 - 1 \\ T_3(x) &= 4x^3 - 3x \\ T_4(x) &= 8x^4 - 8x^2 + 1 \\ T_5(x) &= 16x^5 - 20x^3 + 5x \\ T_6(x) &= 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \\ T_7(x) &= 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \\ T_8(x) &= 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \\ T_9(x) &= 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x \\ T_{10}(x) &= 512x^{10} - 1280x^8 + 1120x^6 - 400x^4 + 50x^2-1 \\ T_{11}(x) &= 1024x^{11} - 2816x^9 + 2816x^7 - 1232x^5 +220x^3 - 11x \end{align}$$

दूसरी तरह
फ़ाइल: दूसरी तरह के चेबिशेव बहुपद (n=0-5, x=(-1,1)).svg|thumb|300px|डोमेन में दूसरी तरह के पहले कुछ चेबिशेव बहुपद $∞$: फ्लैट U0}, U1} , U2} , U3} , U4} और $|&thinsp;f&thinsp;|$. हालांकि छवि में दिखाई नहीं दे रहा है, $n + 1$ और $n ≥ 1$.

दूसरी तरह के पहले कुछ चेबिशेव बहुपद हैं


 * $$\begin{align}

U_0(x) &= 1 \\ U_1(x) &= 2x \\ U_2(x) &= 4x^2 - 1 \\ U_3(x) &= 8x^3 - 4x \\ U_4(x) &= 16x^4 - 12x^2 + 1 \\ U_5(x) &= 32x^5 - 32x^3 + 6x \\ U_6(x) &= 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \\ U_7(x) &= 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \\ U_8(x) &= 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \\ U_9(x) &= 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x \end{align}$$

एक आधार सेट के रूप में
उपयुक्त सोबोलेव स्पेस में, चेबीशेव बहुपदों का सेट एक हिल्बर्ट स्थान#ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाता है, ताकि एक ही स्थान में एक फ़ंक्शन, पर $y = T_{n}(x)$, विस्तार के माध्यम से व्यक्त किया जाए:
 * $$f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x).$$

इसके अलावा, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, चेबीशेव बहुपद एक ओर्थोगोनल आधार बनाते हैं जो (अन्य बातों के अलावा) का अर्थ है कि गुणांक $y = T_{n}(cos θ) = cos nθ$ आंतरिक उत्पाद के अनुप्रयोग के माध्यम से आसानी से निर्धारित किया जा सकता है। इस राशि को चेबीशेव श्रृंखला या चेबिशेव विस्तार कहा जाता है।

चूंकि एक चेबिशेव श्रृंखला चर के परिवर्तन के माध्यम से एक फूरियर कोसाइन श्रृंखला से संबंधित है, फूरियर श्रृंखला पर लागू होने वाले सभी प्रमेय, सर्वसमिका आदि में एक चेबीशेव प्रतिरूप है। इन विशेषताओं में शामिल हैं:


 * चेबिशेव बहुपद एक पूर्ण मीट्रिक स्थान ऑर्थोगोनल सिस्टम बनाते हैं।
 * चेबीशेव श्रृंखला अभिसरण करती है $x = cos θ$ यदि कार्य टुकड़ा-टुकड़ा चिकना कार्य और सतत कार्य है। ज्यादातर मामलों में चिकनाई की आवश्यकता को आराम दिया जा सकता है – जब तक इसमें सीमित संख्या में असांतत्य हैं $x ≠ 0$ और इसके डेरिवेटिव।
 * एक अंतराल पर, श्रृंखला दाएँ और बाएँ सीमा के औसत में परिवर्तित हो जाएगी।

फूरियर श्रृंखला से विरासत में मिली प्रमेयों और पहचानों की प्रचुरता चेबिशेव बहुपदों को संख्यात्मक विश्लेषण में महत्वपूर्ण उपकरण बनाती है; उदाहरण के लिए वे स्पेक्ट्रल विधि में उपयोग किए जाने वाले सबसे लोकप्रिय सामान्य उद्देश्य आधार कार्य हैं, निरंतर कार्यों के लिए आम तौर पर तेजी से अभिसरण के कारण अक्सर त्रिकोणमितीय श्रृंखला के पक्ष में (गिब्स की घटना अभी भी एक समस्या है)।

उदाहरण 1
चेबीशेव के विस्तार पर विचार करें $x = e^{iθ}$. कोई व्यक्त कर सकता है


 * $$ \log(1+x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x)~. $$

कोई गुणांक पा सकता है $−1 < x < 1$ या तो एक आंतरिक उत्पाद के अनुप्रयोग के माध्यम से या असतत ऑर्थोगोनलिटी स्थिति द्वारा। आंतरिक उत्पाद के लिए,


 * $$\int_{-1}^{+1}\,\frac{T_m(x)\,\log(1 + x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_{-1}^{+1}\frac{T_m(x)\,T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x,$$

जो देता है
 * $$a_n = \begin{cases}

-\log 2           & \text{ for }~ n = 0, \\ \frac{-2(-1)^n}{n} & \text{ for }~ n > 0. \end{cases}$$ वैकल्पिक रूप से, जब अनुमानित किए जा रहे फ़ंक्शन के आंतरिक उत्पाद का मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है, असतत ऑर्थोगोनलिटी की स्थिति अनुमानित गुणांक के लिए अक्सर उपयोगी परिणाम देती है,


 * $$a_n \approx \frac{\,2-\delta_{0n}\,}{N}\,\sum_{k=0}^{N-1}T_n(x_k)\,\log(1+x_k),$$

जहाँ $[−1, 1]$ क्रोनकर डेल्टा फलन है और $n$ हैं $H$ गॉस-चेबिशेव के शून्य $T_{5}$:


 * $$ x_k = \cos\left(\frac{\pi\left(k+\tfrac{1}{2}\right)}{N}\right) .$$

किसी के लिए $δ_{ij}$, ये अनुमानित गुणांक फ़ंक्शन को एक सटीक सन्निकटन प्रदान करते हैं $x_{k}$ उन बिंदुओं के बीच एक नियंत्रित त्रुटि के साथ। के साथ सटीक गुणांक प्राप्त किए जाते हैं $−1 < x < 1$, इस प्रकार सभी बिंदुओं पर फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है $N$. अभिसरण की दर कार्य और उसकी चिकनाई पर निर्भर करती है।

यह हमें अनुमानित गुणांकों की गणना करने की अनुमति देता है $N$ असतत कोज्या परिवर्तन के माध्यम से बहुत कुशलता से


 * $$a_n \approx \frac{2-\delta_{0n}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\cos\left(\frac{n\pi\left(\,k+\tfrac{1}{2}\right)}{N}\right)\log(1+x_k).$$

उदाहरण 2
एक और उदाहरण प्रदान करने के लिए:


 * $$\begin{align}

(1-x^2)^\alpha &= -\frac{1}{\sqrt{\pi}}\,\frac{\Gamma\left(\tfrac{1}{2} + \alpha\right)}{\Gamma(\alpha+1)} + 2^{1-2\alpha}\,\sum_{n=0} (-1)^n\,{2 \alpha \choose \alpha-n}\,T_{2n}(x)\\ &= 2^{-2\alpha}\,\sum_{n=0} (-1)^n\,{2\alpha+1 \choose \alpha-n}\,U_{2n}(x). \end{align}$$

आंशिक योग
का आंशिक योग


 * $$f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x)$$

विभिन्न कार्यों के सन्निकटन सिद्धांत और अंतर समीकरणों के समाधान में बहुत उपयोगी हैं (वर्णक्रमीय विधि देखें)। गुणांक निर्धारित करने के लिए दो सामान्य तरीके $x_{k}$ गैलेर्किन की विधि के रूप में आंतरिक उत्पाद के उपयोग के माध्यम से और प्रक्षेप से संबंधित कोलोकेशन विधि के उपयोग के माध्यम से हैं।

इंटरपोलेंट के रूप में, $[−1,1]$ के गुणांक (N −&thinsp;1)}पहली आंशिक राशि आमतौर पर चेबिशेव-गॉस-लोबैटो पर प्राप्त की जाती है बिंदु (या लोबेटो ग्रिड), जिसके परिणामस्वरूप न्यूनतम त्रुटि होती है और एक समान ग्रिड से जुड़ी रूंज की घटना से बचा जाता है। अंकों का यह संग्रह योग में उच्चतम क्रम बहुपद के चरम के साथ-साथ समापन बिंदुओं से मेल खाता है और इसके द्वारा दिया गया है:


 * $$x_k = -\cos\left(\frac{k \pi}{N - 1}\right); \qquad k = 0, 1, \dots, N - 1.$$

चेबिशेव रूप में बहुपद
डिग्री का एक मनमाना बहुपद $a_{n}$ को प्रथम प्रकार के चेबीशेव बहुपदों के रूप में लिखा जा सकता है। ऐसा बहुपद $U_{5}$ रूप का है


 * $$p(x) = \sum_{n=0}^N a_n T_n(x).$$

चेबिशेव रूप में बहुपदों का मूल्यांकन क्लेंशॉ एल्गोरिथम का उपयोग करके किया जा सकता है।

चेबीशेव बहुपदों से संबंधित बहुपदों के समूह
बहुपद निरूपित $$C_n(x)$$ और $$S_n(x)$$ कभी-कभी चेबिशेव बहुपदों से निकटता से संबंधित उपयोग किया जाता है। वे <रेफरी नाम = अब्रामोविट्ज़ स्टेगन रेफ|22|778> द्वारा परिभाषित किए गए हैं
 * $$C_n(x) = 2T_n\left(\frac{x}{2}\right),\qquad S_n(x) = U_n\left(\frac{x}{2}\right)$$

और संतुष्ट
 * $$C_n(x) = S_n(x) - S_{n-2}(x).$$

ए. एफ. होराडम ने बहुपदों को कहा $$C_n(x)$$ वीटा-लुकास बहुपद और उन्हें निरूपित किया $$v_n(x)$$. उन्होंने बहुपद कहा $$S_n(x)$$ वीटा-फाइबोनैचि बहुपद और उन्हें निरूपित किया $$V_n(x)$$. बहुपदों के दोनों सेटों की सूची फ़्राँस्वा विएते|विएते के ओपेरा मेथेमेटिका, अध्याय IX, प्रमेयों VI और VII में दी गई है। वास्तविक तर्क के वीटा-लुकास और वीटा-फाइबोनैचि बहुपद, की घात तक हैं $$i$$ और बाद वाले के मामले में सूचकांक में बदलाव, फाइबोनैचि बहुपद के बराबर $U_{n}(1) = n +&thinsp;1$ और $U_{n}(−1) = (n +&thinsp;1)(−1)^{n}$ काल्पनिक तर्क।

पहले और दूसरे प्रकार के शिफ्ट किए गए चेबिशेव बहुपद चेबीशेव बहुपदों से संबंधित हैं


 * $$T_n^*(x) = T_n(2x-1),\qquad U_n^*(x) = U_n(2x-1).$$

जब चेबीशेव बहुपद का तर्क संतुष्ट होता है $y = −x^{3}H(−x)$ स्थानांतरित चेबीशेव बहुपद का तर्क संतुष्ट करता है $−1 ≤ x ≤ 1$. इसी तरह, सामान्य अंतराल के लिए शिफ्ट किए गए बहुपदों को परिभाषित किया जा सकता है $a_{n}$.

1990 के आसपास चेबिशेव बहुपदों के संबंध में तीसरी तरह की और चौथी तरह की शर्तें उपयोग में आईं, हालांकि इन शर्तों से निरूपित बहुपदों का पहले विकास एयरफॉइल बहुपद नाम के तहत हुआ था। जे.सी. मेसन और जी.एच. इलियट के अनुसार, तीसरी तरह की और चौथी तरह की शब्दावली, ऑर्थोगोनल बहुपद के क्षेत्र में सहयोगियों के परामर्श से वाल्टर गौत्ची के कारण है। तीसरे प्रकार के चेबिशेव बहुपदों को इस रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$V_n(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right)}{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}=\sqrt\frac{2}{1+x}T_{2n+1}\left(\sqrt\frac{x+1}{2}\right)$$

और चौथे प्रकार के चेबिशेव बहुपदों को इस रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$W_n(x)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}=U_{2n}\left(\sqrt\frac{x+1}{2}\right),$$

जहाँ $$\theta=\arccos x$$. एयरफॉइल साहित्य में $$V_n(x)$$ और $$W_n(x)$$ निरूपित हैं $$t_n(x)$$ और $$u_n(x)$$. बहुपद परिवार $$T_n(x)$$, $$U_n(x)$$, $$V_n(x)$$, और $$W_n(x)$$ वज़न के संबंध में ऑर्थोगोनल हैं
 * $$\left(1-x^2\right)^{-1/2},\quad\left(1-x^2\right)^{1/2},\quad(1-x)^{-1/2}(1+x)^{1/2},\quad(1+x)^{-1/2}(1-x)^{1/2}$$

और जैकोबी बहुपदों के समानुपाती होते हैं $$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$$ साथ
 * $$(\alpha,\beta)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right),\quad(\alpha,\beta)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\quad(\alpha,\beta)=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\quad(\alpha,\beta)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right).$$ सभी चार परिवार पुनरावृत्ति को संतुष्ट करते हैं $$p_n(x)=2xp_{n-1}(x)-p_{n-2}(x)$$ साथ $$p_0(x)=1$$, जहाँ $$p_n = T_n$$, $$U_n$$, $$V_n$$, या $$W_n$$, लेकिन वे क्या के अनुसार भिन्न होते हैं $$p_1(x)$$ के बराबर होती है $$x$$, $$2x$$, $$2x-1$$, या $$2x+1$$.

यह भी देखें

 * चेबिशेव फिल्टर
 * चेबिशेव घनमूल
 * डिक्सन (गणितज्ञ) बहुपद
 * लेगेंद्रे (फ्रांसीसी गणितज्ञ) बहुपद
 * हर्मिट बहुपद
 * 2cos(2pi/n) का न्यूनतम बहुपद
 * रोमनोव्सकी बहुपद
 * चेबिशेव तर्कसंगत फलन
 * सन्निकटन सिद्धांत
 * चेबफन प्रणाली
 * असतत चेबिशेव रूपांतरण
 * मार्कोव असमानता
 * क्रेन्शॉ एल्गोरिथम

स्रोत




बाहरी संबंध

 * – includes illustrative Java applet.
 * – includes illustrative Java applet.
 * – includes illustrative Java applet.
 * – includes illustrative Java applet.