स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय

टोपोलॉजी में, गणित की शाखा, उपसमुच्चय $$E$$ टोपोलॉजिकल स्पेस का $$X$$ कहा जाता है कि यदि निम्नलिखित में से कोई भी समकक्ष शर्तें पूरी होती हैं तो स्थानीय रूप से बंद कर दिया जाता है: दूसरी शर्त स्थानीय रूप से बंद शब्दावली को उचित ठहराती है और बोर्बाकी की स्थानीय रूप से बंद की परिभाषा है। यह देखने के लिए कि दूसरी शर्त तीसरी का तात्पर्य है, उपसमुच्चय के लिए तथ्यों का उपयोग करें $$A \subseteq B,$$ $$A$$ में बंद है $$B$$ अगर और केवल अगर $$A = \overline{A} \cap B$$ और वह उपसमुच्चय के लिए $$E$$ और खुला उपसमुच्चय $$U,$$ $$\overline{E} \cap U = \overline{E \cap U} \cap U.$$
 * $$E$$ खुले सेट और बंद सेट का प्रतिच्छेदन है $$X.$$
 * प्रत्येक बिंदु के लिए $$x\in E,$$ वहाँ पड़ोस है $$U$$ का $$x$$ ऐसा है कि $$E \cap U$$ में बंद है $$U.$$
 * $$E$$ इसके बंद होने का खुला उपसमुच्चय है $$\overline{E}.$$
 * सेट $$\overline{E}\setminus E$$ में बंद है $$X.$$
 * $$E$$ दो बंद सेटों का अंतर है $$X.$$
 * $$E$$ में दो खुले सेटों का अंतर है $$X.$$

उदाहरण
अंतराल $$(0, 1] = (0, 2) \cap [0, 1]$$ का स्थानीय रूप से बंद उपसमूह है $$\Reals.$$ दूसरे उदाहरण के लिए, सापेक्ष आंतरिक भाग पर विचार करें $$D$$ बंद डिस्क में $$\Reals^3.$$ यह स्थानीय रूप से बंद है क्योंकि यह बंद डिस्क और खुली गेंद का प्रतिच्छेदन है।

याद रखें, परिभाषा के अनुसार, सबमैनिफोल्ड $$E$$ की $$n$$-कई गुना $$M$$ प्रत्येक बिंदु के लिए ऐसा उपसमुच्चय है $$x$$ में $$E,$$ चार्ट है $$\varphi : U \to \Reals^n$$ इसके चारों ओर ऐसा है कि $$\varphi(E \cap U) = \Reals^k \cap \varphi(U).$$ इसलिए, सबमैनिफोल्ड स्थानीय रूप से बंद है। यहाँ बीजगणितीय ज्यामिति का उदाहरण दिया गया है। मान लीजिए कि U प्रक्षेप्य किस्म X (ज़ारिस्की टोपोलॉजी में) पर खुला एफ़िन चार्ट है। फिर यू की प्रत्येक बंद उप-विविधता वाई स्थानीय रूप से एक्स में बंद है; अर्थात्, $$Y = U \cap \overline{Y}$$ कहाँ $$\overline{Y}$$ X में Y के बंद होने को दर्शाता है। (अर्ध-प्रोजेक्टिव किस्म और अर्ध-एफ़िन किस्म भी देखें।)

गुण
स्थानीय रूप से बंद सेटों के निरंतर मानचित्र के तहत परिमित चौराहे और पूर्व-छवि स्थानीय रूप से बंद हैं। दूसरी ओर, संघ और स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय के पूरक को स्थानीय रूप से बंद करने की आवश्यकता नहीं है। (यह रचनात्मक सेट (टोपोलॉजी) की धारणा को प्रेरित करता है।)

विशेष रूप से स्तरीकरण सिद्धांत में, स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय के लिए $$E,$$ पूरक $$\overline{E} \setminus E$$ की सीमा कहलाती है $$E$$ (टोपोलॉजिकल सीमा से भ्रमित न हों)। अगर $$E$$ मैनिफोल्ड की बंद सबमैनिफोल्ड-विथ-बाउंड्री है $$M,$$ फिर सापेक्ष आंतरिक (अर्थात, कई गुना के रूप में आंतरिक)। $$E$$ में स्थानीय रूप से बंद है $$M$$ और मैनिफोल्ड के रूप में इसकी सीमा स्थानीय रूप से बंद उपसमुच्चय के रूप में इसकी सीमा के समान है।

टोपोलॉजिकल स्पेस कहा जाता है यदि प्रत्येक उपसमूह स्थानीय रूप से बंद है। इस धारणा के बारे में अधिक जानकारी के लिए टोपोलॉजी#एस की शब्दावली देखें।

संदर्भ

 * Bourbaki, Topologie générale, 2007.