डील-ग्रोव मॉडल

डील-ग्रोव मॉडल गणितीय रूप से किसी सामग्री की सतह पर ऑक्साइड परत का विकास करने में सहायक होता है। विशेष रूप से इसका उपयोग अर्धचालक उपकरण निर्माण में सिलिकॉन के ऊष्मागतिकी ऑक्सीकरण की उपियोगिता और व्याख्या करने के लिए किया जाता है। इस मॉडल को सर्वप्रथम 1965 में ब्रूस डील और फेयरचाइल्ड सेमीकंडक्टर के एंड्रयू ग्रोव द्वारा प्रकाशित किया गया था, इस प्रकार 1950 के दशक के अंत में बेल लैब्स में ऊष्मागतिकी ऑक्सीडेशन द्वारा सिलिकॉन सतह की निष्क्रियता पर मोहम्मद एम अटाला के कार्य पर निर्माण किया गया था। यह सीएमओएस उपकरणों के विकास और एकीकृत परिपथों के निर्माण में विशेष चरण के रूप में कार्य करता है।

भौतिक धारणाएँ
इस मॉडल के अनुसार ऑक्साइड और परिवेशी गैस के अतिरिक्त ऑक्साइड परत और सब्सट्रेट सामग्री के बीच इंटरफ़ेस पर रिडॉक्स रासायनिक प्रतिक्रिया होती है। इस प्रकार, यह तीन घटनाओं पर विचार करता है कि ऑक्सीकरण प्रजातियां इस क्रम में गुजरती हैं:


 * 1) यह परिवेशी गैस के थोक से सतह तक प्रसारित होता है।
 * 2) यह वर्तमान समय में ऑक्साइड परत के माध्यम से ऑक्साइड-सब्सट्रेट इंटरफेस में प्रसारित होता है।
 * 3) यह सब्सट्रेट के साथ प्रतिक्रिया करता है।

इस मॉडल के अनुसार इनमें से प्रत्येक चरण ऑक्सीडेंट की एकाग्रता के आनुपातिक दर पर आगे बढ़ता है। इसके पहले चरण में हेनरी का नियम उपयोग होता हैं, दूसरे में, फिक का विसरण का नियम उपयोग होता हैं, तीसरे में, दर समीकरण या प्रथम-क्रम प्रतिक्रियाएँ जिसे ऑक्सीडेंट के संबंध में प्रथम-क्रम प्रतिक्रिया के रूप में उपयोग किया जाता हैं। यह स्थिर स्थिति की स्थिति भी मानता है, अर्ताथ इसका क्षणिक प्रभाव प्रकट नहीं होते हैं।

परिणाम
इन धारणाओं को देखते हुए, तीन चरणों में से प्रत्येक के माध्यम से ऑक्सीडेंट के प्रवाह को सांद्रता, भौतिक गुणों और तापमान के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।


 * $$J_{gas} = h_g (C_g- C_s)$$
 * $$J_{oxide} = D_{ox} \frac{C_s- C_i}{x}$$
 * $$J_{reacting} = k_i C_i$$

तीन फ्लक्स को दूसरे के बराबर स्थिति करके $$J_{gas} = J_{oxide} = J_{reacting}$$ का मान प्राप्त होता हैं, निम्नलिखित संबंध प्राप्त किए जा सकते हैं:
 * $$\frac {C_i}{C_g} = \frac {1}{1+k_i/h_g+{k_ix}/D_{ox}}$$
 * $$\frac {C_s}{C_g} = \frac {1+{k_ix}/D_{ox}}{1+k_i/h_g+{k_ix}/D_{ox}}$$

एक प्रसार नियंत्रित विकास मान लिया जाए अर्ताथ जहाँ $$J_{oxide}$$ विकास दर, और प्रतिस्थापन को निर्धारित करता है, वहाँ $$C_i$$ और $$C_s$$ के अनुसार $$C_g$$ उपरोक्त दो संबंधों से में $$J_{oxide}$$ और $$J_{reacting}$$ समीकरण क्रमशः इस प्रकार प्राप्त करता है:


 * $$J_{oxide} = J_{reacting} = \frac {k_iC_g}{1+k_i/h_g+{k_ix}/D_{ox}}$$

यदि एन ऑक्साइड की इकाई मात्रा के अंदर ऑक्सीडेंट की एकाग्रता रहती है, तो ऑक्साइड विकास दर को अंतर समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। इस समीकरण का हल किसी भी समय t पर ऑक्साइड की मोटाई देता है।


 * $$\frac{dx}{dt} = \frac{J_{oxide}}{N} = \frac {k_iC_g/N}{1+k_i/h_g+{k_ix}/D_{ox}}$$
 * $$x^2 + Ax = Bt + {x_i}^2 + Ax_i $$
 * $$x^2 + Ax = B(t+\tau) $$

जहां स्थिरांक $$A$$ और $$B$$ क्रमशः प्रतिक्रिया और ऑक्साइड परत के गुणों को समाहित करता है, और $$ x_i $$ ऑक्साइड की प्रारंभिक परत है जो सतह पर उपस्थिति थी। ये स्थिरांक इस प्रकार दिए गए हैं:
 * $$A=2 D_{ox} (\frac{1}{k_i} + \frac{1}{h_g})$$
 * $$B= \frac {2D_{ox} C_s}{N} $$
 * $$\tau = \frac{x_i^2 + A x_i}{B} $$

जहाँ $$ C_s = H P_g $$, साथ $$ H $$ हेनरी के नियम के गैस घुलनशीलता पैरामीटर होने के अनुसार $$ P_g $$ विसरित गैस का आंशिक दबाव है।

x की व्युत्पत्ति के लिए द्विघात समीकरण को हल करना:
 * $$x(t) = \frac{-A+\sqrt{{A^2}+4(B)(t+\tau)}}{2}$$

उपरोक्त समीकरण की छोटी और लंबी समय सीमा लेने से ऑपरेशन के दो मुख्य विधि सामने आती हैं। इसका पहला मोड, जहां विकास रैखिक होता है, प्रारंभ में होता है, जिसमें $$t+\tau$$ छोटा है। इसका दूसरा मोड द्विघात वृद्धि देता है और तब होता है जब ऑक्सीकरण समय बढ़ने पर ऑक्साइड गाढ़ा हो जाता है।
 * $$t+\tau \ll \frac{A^2}{4B} \Rightarrow x(t) = \frac{B}{A}(t+\tau)$$
 * $$t+\tau \gg \frac{A^2}{4B} \Rightarrow x(t) = \sqrt{B(t+\tau)}$$

मात्रा B और B/A को अधिकांशतः द्विघात और रैखिक प्रतिक्रिया दर स्थिरांक कहा जाता है। वे तापमान पर घातीय रूप से निर्भर करते हैं, जैसे:
 * $$B = B_0 e^{-E_A/kT}; \quad B/A = (B/A)_0 e^{-E_A/kT} $$

जहाँ $$E_A$$ सक्रियण ऊर्जा है और $$k$$ ईवी में बोल्ट्जमैन स्थिरांक है। इस प्रकार $$E_A$$ समीकरण से दूसरे समीकरण में भिन्न होता है। निम्न तालिका एकल-क्रिस्टल सिलिकॉन के लिए चार मापदंडों के मान को सामान्यतः उद्योग (कम डोपिंग (सेमीकंडक्टर), वातावरण (यूनिट) दबाव) में उपयोग की जाने वाली स्थितियों के अनुसार सूचीबद्ध करती है। रैखिक दर स्थिरांक क्रिस्टल के अभिविन्यास पर निर्भर करता है (सामान्यतः सतह का सामना करने वाले क्रिस्टल विमान के मिलर सूचकांक द्वारा इंगित किया जाता है)। इस सूंची के अनुसार और सिलिकॉन के लिए मान देती है।

सिलिकॉन के लिए वैधता
डील-ग्रोव मॉडल अधिकांश परिस्थितियों में सिंगल-क्रिस्टल सिलिकॉन के लिए बहुत अच्छा कार्य करता है। चूंकि, प्रायोगिक डेटा से पता चलता है कि बहुत पतले ऑक्साइड (लगभग 25 नैनोमीटर से कम) बहुत तेज़ी से बढ़ते हैं, इस प्रकार $$O_2$$ मॉडल की उपियोगिता के अनुसार सिलिकॉन नैनोस्ट्रक्चर उदाहरण के लिए, सिलिकॉन नैनोवायर में यह तेजी से विकास सामान्यतः आत्म-सीमित ऑक्सीकरण के रूप में जाने वाली प्रक्रिया में घटते ऑक्सीकरण कैनेटीक्स द्वारा पीछा किया जाता है, जो डील-ग्रोव मॉडल के संशोधन की आवश्यकता होती है।

यदि किसी विशेष ऑक्सीकरण चरण में विकसित ऑक्साइड 25 nm से अधिक हो जाता है, तो असामान्य वृद्धि दर के लिए साधारण समायोजन खाता है। यह मॉडल मोटे ऑक्साइड के लिए सटीक परिणाम देता है, यदि शून्य प्रारंभिक मोटाई या 25 एनएम से कम कोई प्रारंभिक मोटाई मानने के अतिरिक्त, हम मानते हैं कि ऑक्सीकरण प्रारंभ होने से पहले 25 एनएम ऑक्साइड उपस्थिति है। चूंकि इस सीमा के निकट या पतले आक्साइड के लिए, अधिक परिष्कृत मॉडल का उपयोग किया जाना चाहिए।

1980 के दशक में, यह स्पष्ट हो गया कि डील-ग्रोव मॉडल के लिए अद्यतन उपरोक्त पतले ऑक्साइड को मॉडल करने के लिए आवश्यक है। इस प्रकार 1985 [2] का मसूद मॉडल ऐसा दृष्टिकोण है जो अधिक सटीक रूप से पतले ऑक्साइड का मॉडल करता है। मसूद मॉडल विश्लेषणात्मक है और समानांतर ऑक्सीकरण तंत्र पर आधारित है। यह डील-ग्रोव मॉडल के मापदंडों को दर-वृद्धि शर्तों के अतिरिक्त प्रारंभिक ऑक्साइड वृद्धि के उत्तम मॉडल के लिए परिवर्तित होता हैं।

डील-ग्रोव मॉडल पॉलीक्रिस्टलाइन सिलिकॉन (पॉली-सिलिकॉन) के लिए भी विफल रहता है। इसका सबसे पहले, क्रिस्टल अनाज का यादृच्छिक अभिविन्यास रैखिक दर स्थिरांक के लिए मान चुनना कठिन है। दूसरा, ऑक्सीडेंट अणु अनाज की सीमाओं के साथ तेजी से फैलते हैं, जिससे कि पॉली-सिलिकॉन एकल-क्रिस्टल सिलिकॉन की तुलना में अधिक तेज़ी से ऑक्सीकरण करता है।

डोपेंट परमाणु सिलिकॉन जाली को तनाव देते हैं, और आने वाली ऑक्सीजन के साथ सिलिकॉन परमाणुओं के बंधन को आसान बनाते हैं। इस प्रभाव को कई स्थितियों में उपेक्षित किया जा सकता है, किन्तु भारी मात्रा में डोप किया गया सिलिकॉन अत्यधिक तेजी से ऑक्सीकरण करता है। इस प्रकार परिवेशी गैस का दबाव भी ऑक्सीकरण दर को प्रभावित करता है।

बाहरी संबंध

 * Online Calculator including pressure, doping, and thin oxide effects