संख्यात्मक स्थिरता

संख्यात्मक विश्लेषण के गणित उपक्षेत्र में, संख्यात्मक स्थिरता संख्यात्मक एल्गोरिदम की आम तौर पर वांछनीय संपत्ति है। स्थिरता की सटीक परिभाषा संदर्भ पर निर्भर करती है। एक संख्यात्मक रैखिक बीजगणित है और दूसरा असतत सन्निकटन द्वारा साधारण और आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एल्गोरिदम है।

संख्यात्मक रेखीय बीजगणित में, प्रमुख चिंता विभिन्न प्रकार की विलक्षणताओं के निकटता के कारण होने वाली अस्थिरता है, जैसे कि बहुत छोटा या लगभग टकराने वाला eigenvalues दूसरी ओर, विभेदक समीकरणों के लिए संख्यात्मक एल्गोरिदम में चिंता राउंड-ऑफ़ त्रुटियों और/या प्रारंभिक डेटा में छोटे उतार-चढ़ाव की वृद्धि है जो सटीक समाधान से अंतिम उत्तर के बड़े विचलन का कारण बन सकती है। कुछ संख्यात्मक एल्गोरिदम इनपुट डेटा में छोटे उतार-चढ़ाव (त्रुटियों) को कम कर सकते हैं; अन्य ऐसी त्रुटियों को बढ़ा सकते हैं। ऐसी गणनाएँ जो सन्निकटन त्रुटियों को आवर्धित नहीं करने के लिए सिद्ध की जा सकती हैं, संख्यात्मक रूप से स्थिर कहलाती हैं। संख्यात्मक विश्लेषण के सामान्य कार्यों में से एक एल्गोरिदम का चयन करने का प्रयास करना है जो मजबूत हैं - यानी, इनपुट डेटा में बहुत छोटे परिवर्तन के लिए बेतहाशा भिन्न परिणाम उत्पन्न न करें।

एक विपरीत (शब्दार्थ) घटना 'अस्थिरता' है। आमतौर पर, एक एल्गोरिथ्म में एक अनुमानित विधि शामिल होती है, और कुछ मामलों में कोई यह साबित कर सकता है कि एल्गोरिथ्म कुछ सीमा में सही समाधान तक पहुंचेगा (वास्तविक वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते समय, फ्लोटिंग पॉइंट नंबर नहीं)। इस मामले में भी, इस बात की कोई गारंटी नहीं है कि यह सही समाधान के लिए अभिसरण करेगा, क्योंकि फ़्लोटिंग-पॉइंट राउंड-ऑफ़ या ट्रंकेशन त्रुटियों को अवमंदित करने के बजाय बढ़ाया जा सकता है, जिससे सटीक समाधान से विचलन तेजी से बढ़ सकता है।

संख्यात्मक रैखिक बीजगणित
में स्थिरता स्थिरता की अवधारणा को औपचारिक रूप देने के विभिन्न तरीके हैं। आगे, पिछड़े और मिश्रित स्थिरता की निम्नलिखित परिभाषाएँ अक्सर संख्यात्मक रैखिक बीजगणित में उपयोग की जाती हैं।

एक फ़ंक्शन (गणित) के रूप में संख्यात्मक एल्गोरिथम द्वारा हल की जाने वाली समस्या पर विचार करें$f$ डेटा मैपिंग$f*$ समाधान के लिए$f$. एल्गोरिथ्म का परिणाम, कहते हैं $x$*, आमतौर पर वास्तविक समाधान से विचलित हो जाएगा$y$. त्रुटि के मुख्य कारण राउंड-ऑफ़ त्रुटि और कटाव त्रुटि हैं। एल्गोरिथ्म की आगे की त्रुटि परिणाम और समाधान के बीच का अंतर है; इस मामले में, $Δy$. पिछड़ी त्रुटि सबसे छोटी है $Δx$ ऐसा है कि $Δy = y* − y$; दूसरे शब्दों में, पश्चगामी त्रुटि हमें बताती है कि एल्गोरिथ्म वास्तव में किस समस्या को हल करता है। फॉरवर्ड और बैकवर्ड एरर हालत संख्या से संबंधित हैं: फॉरवर्ड एरर परिमाण में उतना ही बड़ा है जितना कि कंडीशन नंबर को बैकवर्ड एरर के परिमाण से गुणा किया जाता है।

कई मामलों में, सापेक्ष त्रुटि पर विचार करना अधिक स्वाभाविक है $$ \frac{|\Delta x|}{|x|} $$ पूर्ण त्रुटि के बजाय $Δx$.

एल्गोरिथम को पश्चगामी स्थिर कहा जाता है यदि सभी निविष्टियों के लिए पश्च त्रुटि छोटी है$y$. बेशक, छोटा एक सापेक्ष शब्द है और इसकी परिभाषा संदर्भ पर निर्भर करेगी। अक्सर, हम चाहते हैं कि त्रुटि उसी क्रम की हो, या शायद यूनिट राउंड-ऑफ़ की तुलना में परिमाण के केवल कुछ आदेश बड़े हों।

संख्यात्मक स्थिरता की सामान्य परिभाषा एक अधिक सामान्य अवधारणा का उपयोग करती है, जिसे मिश्रित स्थिरता कहा जाता है, जो आगे की त्रुटि और पश्च त्रुटि को जोड़ती है। एक एल्गोरिद्म इस अर्थ में स्थिर है यदि यह लगभग किसी समस्या को हल करता है, अर्थात, यदि कोई मौजूद है $f (x + Δx) = y*$ ऐसा कि दोनों $Δx$ छोटा है और $Δx$ छोटा है। इसलिए, एक पश्चगामी स्थिर एल्गोरिथम हमेशा स्थिर होता है।

एक एल्गोरिथम आगे स्थिर है यदि समस्या की स्थिति संख्या से विभाजित इसकी आगे की त्रुटि छोटी है। इसका मतलब यह है कि एक एल्गोरिथ्म आगे स्थिर है अगर इसमें कुछ पिछड़े स्थिर एल्गोरिदम के समान परिमाण की त्रुटि है।

संख्यात्मक अंतर समीकरणों में स्थिरता
उपरोक्त परिभाषाएँ उन स्थितियों में विशेष रूप से प्रासंगिक हैं जहाँ ट्रंकेशन त्रुटियाँ महत्वपूर्ण नहीं हैं। अन्य संदर्भों में, उदाहरण के लिए, अंतर समीकरणों को हल करते समय, संख्यात्मक स्थिरता की एक अलग परिभाषा का उपयोग किया जाता है।

साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियों में, संख्यात्मक स्थिरता की विभिन्न अवधारणाएँ मौजूद हैं, उदाहरण के लिए कठोर समीकरण#ए-स्थिरता|ए-स्थिरता। वे गतिशील प्रणालियों के अर्थ में स्थिरता की कुछ अवधारणा से संबंधित हैं, अक्सर Lyapunov स्थिरता। एक कठिन समीकरण को हल करते समय एक स्थिर विधि का उपयोग करना महत्वपूर्ण है।

फिर भी एक अन्य परिभाषा का उपयोग संख्यात्मक आंशिक अंतर समीकरणों में किया जाता है। एक रैखिक विकासवादी आंशिक अंतर समीकरण को हल करने के लिए एक एल्गोरिदम स्थिर है यदि एक निश्चित समय पर संख्यात्मक समाधान की कुल भिन्नता सीमित रहती है क्योंकि चरण आकार शून्य हो जाता है। लैक्स तुल्यता प्रमेय में कहा गया है कि साधारण अंतर समीकरणों के लिए एक एल्गोरिथ्म न्यूमेरिकल मेथड्स # कन्वर्जेंस अगर यह साधारण डिफरेंशियल इक्वेशन के लिए न्यूमेरिकल मेथड्स हैं # कंसिस्टेंसी एंड ऑर्डर और आंशिक विभेदक समीकरण के लिए न्यूमेरिकल मेथड्स # स्टेबिलिटी और स्टिफनेस (इस अर्थ में)। संख्यात्मक प्रसार को शामिल करके कभी-कभी स्थिरता प्राप्त की जाती है। संख्यात्मक प्रसार एक गणितीय शब्द है जो यह सुनिश्चित करता है कि राउंडऑफ़ और गणना में अन्य त्रुटियां फैल जाएं और गणना को उड़ाने के लिए जोड़ न दें। वॉन न्यूमैन स्थिरता विश्लेषण रैखिक आंशिक अंतर समीकरणों पर लागू परिमित अंतर विधि के स्थिरता विश्लेषण के लिए आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली प्रक्रिया है। ये परिणाम गैर-रैखिक पीडीई के लिए सही नहीं हैं, जहां रैखिक समीकरणों में अनुपस्थित कई गुणों से स्थिरता की एक सामान्य, सुसंगत परिभाषा जटिल है।

यह भी देखें

 * विचरण की गणना के लिए एल्गोरिदम
 * स्थिरता सिद्धांत
 * अराजकता सिद्धांत
 * अनिश्चितता का प्रसार

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * संख्यात्मक एल्गोरिथ्म
 * अंक शास्त्र
 * समारोह (गणित)
 * राउंड-ऑफ त्रुटि
 * रिश्तेदारों की गलती
 * परिमाण का क्रम
 * लक्स तुल्यता प्रमेय
 * साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके
 * लायपुनोव स्थिरता
 * गतिशील प्रणाली
 * कड़ा समीकरण