चरघातांकी बंटन

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, चरघातांकी बंटन या नकारात्मक चरघातांकी बंटन एक प्वासों बिंदु प्रक्रिया में घटनाओं के बीच समय का संभाव्यता वितरण है, अर्थात, एक प्रक्रिया जिसमें घटनाएं लगातार और स्वतंत्र रूप से एक स्थिर औसत दर पर होती हैं। यह गामा वितरण का एक विशेष मामला है। यह ज्यामितीय वितरण का निरंतर अनुरूप है, और इसमें स्मृतिहीन होने की प्रमुख संपत्ति है। पॉइसन बिंदु प्रक्रियाओं के विश्लेषण के लिए उपयोग किए जाने के अलावा यह विभिन्न अन्य संदर्भों में पाया जाता है।

घातीय बंटन बंटन के चरघातांकी परिवार के वर्ग के समान नहीं है। यह संभाव्यता वितरण का एक बड़ा वर्ग है जिसमें इसके सदस्यों में से एक के रूप में चरघातांकी बंटन शामिल है, लेकिन इसमें कई अन्य वितरण भी शामिल हैं, जैसे सामान्य वितरण, द्विपद वितरण, गामा वितरण और पॉइसन वितरण वितरण।

संभाव्यता घनत्व समारोह
एक चरघातांकी वितरण का प्रायिकता घनत्व फलन (pdf) है


 * $$ f(x;\lambda) = \begin{cases}

\lambda e^{ - \lambda x} & x \ge 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases}$$ यहाँ λ > 0 वितरण का पैरामीटर है, जिसे अक्सर दर पैरामीटर कहा जाता है। वितरण अंतराल पर समर्थित है$[0, ∞)$. यदि एक यादृच्छिक चर X का यह बंटन है, तो हम लिखते हैं$X ~ Exp(λ)$.

चरघातांकी बंटन अनंत विभाज्यता (संभावना) प्रदर्शित करता है।

संचयी वितरण समारोह
संचयी वितरण समारोह द्वारा दिया गया है


 * $$F(x;\lambda) = \begin{cases}

1-e^{-\lambda x} & x \ge 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases}$$

वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन
स्केल पैरामीटर के संदर्भ में चरघातांकी बंटन को कभी-कभी पैरामीट्रिज्ड किया जाता है $β = 1/λ$, जो माध्य भी है: $$f(x;\beta) = \begin{cases} \frac{1}{\beta} e^{-x/\beta} & x \ge 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases} \qquad\qquad F(x;\beta) = \begin{cases} 1- e^{-x/\beta} & x \ge 0, \\ 0 & x < 0. \end{cases} $$

माध्य, विचरण, क्षण और माध्यिका
दर पैरामीटर λ के साथ एक घातीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर X का माध्य या अपेक्षित मान इसके द्वारा दिया गया है $$\operatorname{E}[X] = \frac{1}{\lambda}.$$
 * 1) Occurrence और एप्लिकेशन दिए गए उदाहरणों के आलोक में, यह समझ में आता है: यदि आप 2 प्रति घंटे की औसत दर से फ़ोन कॉल प्राप्त करते हैं, तो आप प्रत्येक कॉल के लिए आधा घंटा प्रतीक्षा करने की अपेक्षा कर सकते हैं।

X का विचरण किसके द्वारा दिया गया है $$\operatorname{Var}[X] = \frac{1}{\lambda^2},$$ इसलिए मानक विचलन माध्य के बराबर है।

एक्स का क्षण (गणित), के लिए $$n\in\N$$ द्वारा दिए गए हैं $$\operatorname{E}\left[X^n\right] = \frac{n!}{\lambda^n}.$$ एक्स के केंद्रीय क्षण, के लिए $$n\in\N$$ द्वारा दिए गए हैं $$\mu_n = \frac{!n}{\lambda^n} = \frac{n!}{\lambda^n}\sum^n_{k=0}\frac{(-1)^k}{k!}.$$ जहाँ !n, n का विचलन है

X की माध्यिका द्वारा दी गई है $$\operatorname{m}[X] = \frac{\ln(2)}{\lambda} < \operatorname{E}[X],$$ कहाँ $ln$ प्राकृतिक लघुगणक को संदर्भित करता है। इस प्रकार माध्य और माध्यिका के बीच पूर्ण अंतर है $$\left|\operatorname{E}\left[X\right] - \operatorname{m}\left[X\right]\right| = \frac{1 - \ln(2)}{\lambda} < \frac{1}{\lambda} = \operatorname{\sigma}[X],$$ चेबिशेव की असमानता के अनुसार#एक अनुप्रयोग: माध्य और माध्यिका के बीच की दूरी|मध्य-माध्य असमानता।

एक्सपोनेंशियल रैंडम वेरिएबल की मेमोरीलेसनेस प्रॉपर्टी
एक घातीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर T संबंध का पालन करता है $$\Pr \left (T > s + t \mid T > s \right ) = \Pr(T > t), \qquad \forall s, t \ge 0.$$ इसे संचयी बंटन फलन#पूरक संचयी बंटन फलन (पूंछ वितरण) पर विचार करके देखा जा सकता है: $$ \begin{align} \Pr\left(T > s + t \mid T > s\right) &= \frac{\Pr\left(T > s + t \cap T > s\right)}{\Pr\left(T > s\right)} \\[4pt] &= \frac{\Pr\left(T > s + t \right)}{\Pr\left(T > s\right)} \\[4pt] &= \frac{e^{-\lambda(s + t)}}{e^{-\lambda s}} \\[4pt] &= e^{-\lambda t} \\[4pt] &= \Pr(T > t). \end{align} $$ जब T की व्याख्या किसी प्रारंभिक समय के सापेक्ष किसी घटना के घटित होने के लिए प्रतीक्षा समय के रूप में की जाती है, तो इस संबंध का तात्पर्य है कि, यदि T को समय की कुछ प्रारंभिक अवधि में घटना का निरीक्षण करने में विफलता पर वातानुकूलित किया जाता है, तो शेष प्रतीक्षा समय का वितरण मूल बिना शर्त वितरण के समान है। उदाहरण के लिए, यदि कोई घटना 30 सेकंड के बाद नहीं हुई है, तो सशर्त संभावना है कि घटित होने में कम से कम 10 सेकंड लगेंगे, प्रारंभिक समय के बाद 10 सेकंड से अधिक की घटना को देखने की बिना शर्त संभावना के बराबर है।

चरघातांकी बंटन और ज्यामितीय वितरण स्मृतिहीनता हैं।

चरघातांकी बंटन अनिवार्य रूप से एकमात्र निरंतर संभाव्यता वितरण भी है जिसकी निरंतर विफलता दर है।

क्वांटाइल्स
ऍक्स्प(λ) के लिए मात्रात्मक समारोह (व्युत्क्रम संचयी वितरण फ़ंक्शन) है $$F^{-1}(p;\lambda) = \frac{-\ln(1-p)}{\lambda},\qquad 0 \le p < 1$$ चतुर्थक इसलिए हैं:


 * पहला चतुर्थक: ln(4/3)/λ
 * माध्यिका: ln(2)/λ
 * तीसरी चतुर्थक: ln(4)/λ

और परिणामस्वरूप अंतःचतुर्थक श्रेणी ln(3)/λ है।

जोखिम पर सशर्त मूल्य (अपेक्षित कमी)
जोखिम पर सशर्त मूल्य (CVaR) जिसे एक्सप (λ) के लिए अपेक्षित कमी या सुपरक्वांटाइल के रूप में भी जाना जाता है, निम्नानुसार प्राप्त किया गया है:

$$\begin{align} \bar{q}_\alpha (X) &= \frac{1}{1-\alpha} \int_{\alpha}^{1} q_p (X) dp \\ &= \frac{1}{(1-\alpha)} \int_{\alpha}^{1} \frac{-\ln (1 - p )}{\lambda}  dp \\ &= \frac{-1}{\lambda(1-\alpha)} \int_{1-\alpha}^{0} -\ln (y )  dy \\ &= \frac{-1}{\lambda(1-\alpha)} \int_{0}^{1 - \alpha} \ln (y )  dy \\ &=  \frac{-1}{\lambda(1-\alpha)}  [  ( 1-\alpha) \ln(1-\alpha) - (1-\alpha) ] \\ &=  \frac{ - \ln(1-\alpha) + 1 } { \lambda} \\ \end{align} $$

अधिकता की बफर्ड संभावना (बीपीओई)
अधिकता की बफ़र्ड प्रायिकता उस प्रायिकता स्तर को घटाकर एक है जिस पर CVaR थ्रेशोल्ड के बराबर है $$x$$. इसे निम्न प्रकार से निकाला जाता है:

$$\begin{align} \bar{p}_x (X) &= \{ 1 - \alpha | \bar{q}_\alpha (X) = x \} \\ &= \{ 1 - \alpha |\frac{ - \ln(1-\alpha) + 1 } { \lambda} = x \} \\ &= \{ 1 - \alpha |  \ln(1-\alpha)  =  1-\lambda x \} \\ &= \{ 1 - \alpha |  e^{\ln(1-\alpha)}  =  e^{1-\lambda x} \} =  \{ 1 - \alpha |  1-\alpha =  e^{1-\lambda x} \} = e^{1-\lambda x} \end{align} $$

कुलबैक-लीब्लर डाइवर्जेंस
निर्देशित कुल्बैक-लीब्लर डाइवर्जेंस इन नेट (यूनिट)। $$e^\lambda$$ (अनुमानित वितरण) से $$e^{\lambda_0}$$ ('true' वितरण) द्वारा दिया जाता है $$\begin{align} \Delta(\lambda_0 \parallel \lambda) &= \mathbb{E}_{\lambda_0}\left( \log \frac{p_{\lambda_0}(x)}{p_\lambda(x)}\right)\\ &= \mathbb{E}_{\lambda_0}\left( \log \frac{\lambda_0 e^{\lambda_0 x}}{\lambda e^{\lambda x}}\right)\\ &= \log(\lambda_0) - \log(\lambda) - (\lambda_0 - \lambda)E_{\lambda_0}(x)\\ &= \log(\lambda_0) - \log(\lambda) + \frac{\lambda}{\lambda_0} - 1. \end{align} $$

अधिकतम एन्ट्रापी वितरण
समर्थन (गणित) के साथ सभी निरंतर संभाव्यता वितरण के बीच # संभाव्यता और माप सिद्धांत में $[0, ∞)$ और मतलब μ, λ = 1/μ के साथ चरघातांकी बंटन में सबसे बड़ा अंतर एंट्रॉपी है। दूसरे शब्दों में, यह एक यादृच्छिक चर X के लिए अधिकतम एन्ट्रापी प्रायिकता वितरण है जो शून्य से अधिक या उसके बराबर है और जिसके लिए E[X] निश्चित है।

न्यूनतम घातीय यादृच्छिक चर का वितरण
चलो एक्स1, …, एक्सn दर मापदंडों λ के साथ स्वतंत्र यादृच्छिक चर घातीय रूप से वितरित यादृच्छिक चर1, ..., एलn. तब $$\min\left\{X_1, \dotsc, X_n \right\}$$ पैरामीटर के साथ घातीय रूप से वितरित भी किया जाता है $$\lambda = \lambda_1 + \dotsb + \lambda_n.$$ इसे संचयी बंटन फलन#पूरक संचयी बंटन फलन (पूंछ वितरण) पर विचार करके देखा जा सकता है: $$\begin{align} &\Pr\left(\min\{X_1, \dotsc, X_n\} > x\right) \\ ={} &\Pr\left(X_1 > x, \dotsc, X_n > x\right) \\ ={} &\prod_{i=1}^n \Pr\left(X_i > x\right) \\ ={} &\prod_{i=1}^n \exp\left(-x\lambda_i\right) = \exp\left(-x\sum_{i=1}^n \lambda_i\right). \end{align}$$ न्यूनतम प्राप्त करने वाले चर का सूचकांक श्रेणीबद्ध वितरण के अनुसार वितरित किया जाता है $$\Pr\left(X_k = \min\{X_1, \dotsc, X_n\}\right) = \frac{\lambda_k}{\lambda_1 + \dotsb + \lambda_n}.$$ देने से एक प्रमाण देखा जा सकता है $$I = \operatorname{argmin}_{i \in \{1, \dotsb, n\}}\{X_1, \dotsc, X_n\}$$. तब, $$\begin{align} \Pr (I = k) &= \int_{0}^{\infty} \Pr(X_k = x) \Pr(\forall_{i\neq k}X_{i} > x ) \,dx \\ &= \int_{0}^{\infty} \lambda_k e^{- \lambda_k x} \left(\prod_{i=1, i\neq k}^{n} e^{- \lambda_i x}\right) dx \\ &= \lambda_k \int_{0}^{\infty} e^{- \left(\lambda_1 + \dotsb  +\lambda_n\right) x}  dx \\ &= \frac{\lambda_k}{\lambda_1 + \dotsb + \lambda_n}. \end{align}$$ ध्यान दें कि $$\max\{X_1, \dotsc, X_n\}$$ चरघातांकी रूप से वितरित नहीं होता है, यदि X1, …, एक्सn सभी के पास पैरामीटर 0 नहीं है।

आई.आई.डी. के संयुक्त क्षण घातीय आदेश आँकड़े
होने देना $$ X_1, \dotsc, X_n $$ होना $$ n $$ दर पैरामीटर λ के साथ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर चरघातांकी यादृच्छिक चर। होने देना $$ X_{(1)}, \dotsc, X_{(n)} $$ इसी क्रम के आँकड़ों को निरूपित करें। के लिए $$ i < j $$, संयुक्त क्षण $$ \operatorname E\left[X_{(i)} X_{(j)}\right] $$ आदेश के आँकड़ों के $$ X_{(i)} $$ और $$ X_{(j)} $$ द्वारा दिया गया है $$\begin{align} \operatorname E\left[X_{(i)} X_{(j)}\right] &= \sum_{k=0}^{j-1}\frac{1}{(n - k)\lambda} \operatorname E\left[X_{(i)}\right] + \operatorname E\left[X_{(i)}^2\right] \\ &= \sum_{k=0}^{j-1}\frac{1}{(n - k)\lambda}\sum_{k=0}^{i-1}\frac{1}{(n - k)\lambda} + \sum_{k=0}^{i-1}\frac{1}{((n - k)\lambda)^2} + \left(\sum_{k=0}^{i-1}\frac{1}{(n - k)\lambda}\right)^2. \end{align}$$ यह कुल अपेक्षा के कानून और स्मृतिहीन संपत्ति को लागू करके देखा जा सकता है: $$\begin{align} \operatorname E\left[X_{(i)} X_{(j)}\right] &= \int_0^\infty \operatorname E\left[X_{(i)} X_{(j)} \mid X_{(i)}=x\right] f_{X_{(i)}}(x) \, dx \\ &= \int_{x=0}^\infty x \operatorname E\left[X_{(j)} \mid X_{(j)} \geq x\right] f_{X_{(i)}}(x) \, dx     &&\left(\textrm{since}~X_{(i)} = x \implies X_{(j)} \geq x\right) \\ &= \int_{x=0}^\infty x \left[ \operatorname E\left[X_{(j)}\right] + x \right] f_{X_{(i)}}(x) \, dx     &&\left(\text{by the memoryless property}\right) \\ &= \sum_{k=0}^{j-1}\frac{1}{(n - k)\lambda} \operatorname E\left[X_{(i)}\right] + \operatorname E\left[X_{(i)}^2\right]. \end{align}$$ पहला समीकरण कुल अपेक्षा के नियम से अनुसरण करता है। दूसरा समीकरण इस तथ्य का फायदा उठाता है कि एक बार हम शर्त लगाते हैं $$ X_{(i)} = x $$, उसका पालन करना चाहिए $$ X_{(j)} \geq x $$. तीसरा समीकरण बदलने के लिए स्मृतिहीन संपत्ति पर निर्भर करता है $$\operatorname E\left[ X_{(j)} \mid X_{(j)} \geq x\right]$$ साथ $$\operatorname E\left[X_{(j)}\right] + x$$.

दो स्वतंत्र घातीय यादृच्छिक चर का योग
दो स्वतंत्र यादृच्छिक चरों के योग का संभाव्यता बंटन फलन (पीडीएफ) प्रायिकता बंटनों का कनवल्शन है। अगर $$X_1$$ और $$X_2$$ संबंधित दर मापदंडों के साथ स्वतंत्र घातीय यादृच्छिक चर हैं $$\lambda_1$$ और $$\lambda_2,$$ फिर की संभावना घनत्व $$Z=X_1+X_2$$ द्वारा दिया गया है $$ \begin{align} f_Z(z) &= \int_{-\infty}^\infty f_{X_1}(x_1) f_{X_2}(z - x_1)\,dx_1\\ &= \int_0^z \lambda_1 e^{-\lambda_1 x_1} \lambda_2 e^{-\lambda_2(z - x_1)} \, dx_1 \\ &= \lambda_1 \lambda_2 e^{-\lambda_2 z} \int_0^z e^{(\lambda_2 - \lambda_1)x_1}\,dx_1 \\ &= \begin{cases} \dfrac{\lambda_1 \lambda_2}{\lambda_2-\lambda_1} \left(e^{-\lambda_1 z} - e^{-\lambda_2 z}\right) & \text{ if } \lambda_1 \neq \lambda_2 \\[4 pt] \lambda^2 z e^{-\lambda z} & \text{ if } \lambda_1 = \lambda_2 = \lambda. \end{cases} \end{align} $$ इस वितरण की एन्ट्रॉपी बंद रूप में उपलब्ध है: मानते हुए $$\lambda_1 > \lambda_2$$ (सामान्यता के नुकसान के बिना), फिर $$\begin{align} H(Z) &= 1 + \gamma + \ln \left( \frac{\lambda_1 - \lambda_2}{\lambda_1 \lambda_2} \right) + \psi \left( \frac{\lambda_1}{\lambda_1 - \lambda_2} \right) , \end{align}$$ कहाँ $$\gamma$$ Euler-Mascheroni स्थिरांक है, और $$\psi(\cdot)$$ डिगामा कार्य है। समान दर मापदंडों के मामले में, परिणाम आकार 2 और पैरामीटर के साथ एक एरलांग वितरण है $$\lambda,$$ जो बदले में गामा वितरण का एक विशेष मामला है।

संबंधित वितरण
अन्य संबंधित वितरण:
 * यदि X ~ लाप्लास बंटन|लाप्लास(m, b−1), फिर |X − μ| ~ ऍक्स्प (β).
 * यदि एक्स ~ पैरेटो वितरण | पैरेटो (1, λ), तो लॉग (एक्स) ~ एक्सप (λ)।
 * यदि X ~ तिरछा-रसद वितरण|SkewLogistic(θ), तो $$\log\left(1 + e^{-X}\right) \sim \operatorname{Exp}(\theta)$$.
 * यदि एक्सi~ समान वितरण (निरंतर)|यू(0, 1) फिर $$\lim_{n \to \infty}n \min \left(X_1, \ldots, X_n\right) \sim \operatorname{Exp}(1)$$
 * चरघातांकी वितरण स्केल्ड बीटा वितरण की एक सीमा है: $$\lim_{n \to \infty} n \operatorname{Beta}(1, n) = \operatorname{Exp}(1).$$
 * घातीय बंटन टाइप 3 पियर्सन बंटन का एक विशेष मामला है।
 * यदि एक्स ~ एक्सप (λ) और एक्स$i$ ~ ऍक्स्प (न्यूनतम$i$) तब:
 * $$kX \sim \operatorname{Exp}\left(\frac{\lambda}{k}\right)$$, एक सकारात्मक कारक द्वारा स्केलिंग के तहत बंद होना।
 * 1 + X ~ बेंकटैंडर वेइबुल वितरण (λ, 1), जो एक छोटा घातांक वितरण को कम करता है।
 * के एक्स  ~ पेरेटो वितरण (के, λ)।
 * इ−X ~ बीटा वितरण (λ, 1)।
 * $1⁄k$यह है$X$ ~ बिजली कानून (के, λ)
 * $$\sqrt{X} \sim \operatorname{Rayleigh} \left(\frac{1}{\sqrt{2\lambda}}\right)$$, रेले वितरण
 * $$X \sim \operatorname{Weibull}\left(\frac{1}{\lambda}, 1\right)$$, वीबुल वितरण
 * $$X^2 \sim \operatorname{Weibull}\left(\frac{1}{\lambda^2}, \frac{1}{2}\right)$$
 * μ − β log(λX) ∼ Gumbel(μ, β).
 * $$\lfloor X\rfloor \sim \operatorname{Geometric}\left(1-e^{-\lambda}\right)$$, 0,1,2,3 पर एक ज्यामितीय वितरण,...
 * $$\lceil X\rceil \sim \operatorname{Geometric}\left(1-e^{-\lambda}\right)$$, 1,2,3,4 पर एक ज्यामितीय बंटन,...
 * यदि भी Y ~ Erlang(n, λ) या$$Y \sim \Gamma\left(n, \frac{1}{\lambda}\right)$$ तब $$\frac{X}{Y} + 1 \sim \operatorname{Pareto}(1, n)$$
 * यदि भी λ ~ गामा वितरण (के, θ) (आकार, स्केल पैरामीट्रिसेशन) तो एक्स का सीमांत वितरण लोमैक्स वितरण (के, 1/θ) है, गामा यौगिक वितरण
 * लो$1$एक्स$1$ − एल$2$और$2$ ~ लाप्लास बंटन|लाप्लास(0, 1).
 * मिन {एक्स1, ..., एक्सn} ~ ऍक्स्प (न्यूनतम1 + ... + एलn).
 * यदि भी λ$i$ = λ तब:
 * $$X_1 + \cdots + X_k = \sum_i X_i \sim$$ एरलांग वितरण (के, λ) = गामा वितरण (के, λ−1) = गामा(k, λ) (in (k, θ) और (α, β) पैरामीट्रिजेशन, क्रमशः) एक पूर्णांक आकार पैरामीटर k के साथ।
 * अगर $$T = (X_1 + \cdots + X_k ) = \sum_{i=1}^n X_i$$, तब $$2 \lambda T \sim \chi^2_{2n}$$.
 * एक्स$i$ - एक्स$j$ ~ लाप्लास (0, λ-1).
 * यदि एक्स भी$i$ स्वतंत्र हैं, तो:
 * $$\frac{X_i}{X_i + X_j}$$ ~ समान वितरण (निरंतर)(0, 1)
 * $$Z = \frac{\lambda_i X_i}{\lambda_j X_j}$$ संभाव्यता घनत्व समारोह है $$f_Z(z) = \frac{1}{(z + 1)^2}$$. इसका उपयोग आत्मविश्वास अंतराल प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है $$\frac{\lambda_i}{\lambda_j}$$.
 * यदि भी λ = 1:
 * $$\mu - \beta\log\left(\frac{e^{-X}}{1 - e^{-X}}\right) \sim \operatorname{Logistic}(\mu, \beta)$$, रसद वितरण
 * $$\mu - \beta\log\left(\frac{X_i}{X_j}\right) \sim \operatorname{Logistic}(\mu, \beta)$$
 * μ - σ लॉग (एक्स) ~ सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण | GEV (μ, σ, 0)।
 * आगे अगर $$Y \sim \Gamma\left(\alpha, \frac{\beta}{\alpha}\right)$$ तब $$\sqrt{XY} \sim \operatorname{K}(\alpha, \beta)$$ (के-वितरण)
 * यदि भी λ = 1/2 तब X ∼ χ$2 2$; यानी, एक्स में 2 डिग्री स्वतंत्रता (सांख्यिकी) के साथ ची-वर्ग वितरण है। इस तरह: $$\operatorname{Exp}(\lambda) = \frac{1}{2\lambda} \operatorname{Exp}\left(\frac{1}{2} \right) \sim \frac{1}{2\lambda} \chi_2^2\Rightarrow \sum_{i=1}^n \operatorname{Exp}(\lambda) \sim \frac{1}{2\lambda }\chi_{2n}^2$$
 * अगर $$X \sim \operatorname{Exp}\left(\frac{1}{\lambda}\right)$$ और $$Y \mid X$$ ~ प्वासों बंटन | प्वासों(एक्स) तब $$Y \sim \operatorname{Geometric}\left(\frac{1}{1 + \lambda}\right)$$ (ज्यामितीय वितरण)
 * होयट बंटन घातीय बंटन और आर्क्साइन बंटन से प्राप्त किया जा सकता है
 * चरघातांकी बंटन कनिदाकिस घातीय बंटन की एक सीमा है| κ-घातांकीय बंटन में $$\kappa = 0$$ मामला।
 * चरघातांकी बंटन κ-सामान्यीकृत गामा वितरण की एक सीमा है $$\alpha = 1$$ और $$\nu = 1$$ मामलों:
 * $$\lim_{(\alpha,\nu)\to(0,1)} p_\kappa(x) = (1+\kappa\nu)(2\kappa)^\nu \frac{\Gamma\Big(\frac{1}{2\kappa}+\frac{\nu}{2}\Big)}{\Gamma\Big(\frac{1}{2\kappa}-\frac{\nu}{2}\Big)} \frac{\alpha \lambda^\nu}{\Gamma(\nu)} x^{\alpha\nu-1}\exp_\kappa(-\lambda x^\alpha) = \lambda e^{ - \lambda x} $$
 * अति-चरघातांकी बंटन - वह डिस्ट्रीब्यूशन जिसका डेंसिटी एक्सपोनेंशियल डेंसिटी का भारित योग है।
 * हाइपोएक्सपोनेंशियल वितरण - एक्सपोनेंशियल रैंडम वेरिएबल्स के सामान्य योग पूर्व गाऊसी वितरण
 * exGaussian बंटन - चरघातांकी बंटन और सामान्य बंटन का योग।

सांख्यिकीय अनुमान
नीचे, मान लें कि रैंडम वेरिएबल X को दर पैरामीटर λ के साथ घातीय रूप से वितरित किया गया है, और $$x_1, \dotsc, x_n$$ नमूना माध्य के साथ X से n स्वतंत्र नमूने हैं $$\bar{x}$$.

पैरामीटर अनुमान
λ के लिए अधिकतम संभावना अनुमानक का निर्माण निम्नानुसार किया गया है।

λ के लिए संभावना समारोह, एक स्वतंत्र रूप से वितरित यादृच्छिक चर नमूना x = (x1, …, एक्सn) चर से निकाला गया है: $$ L(\lambda) = \prod_{i=1}^n\lambda\exp(-\lambda x_i) = \lambda^n\exp\left(-\lambda \sum_{i=1}^n x_i\right) = \lambda^n\exp\left(-\lambda n\overline{x}\right), $$ कहाँ: $$\overline{x} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i$$ नमूना माध्य है।

संभावना समारोह के लघुगणक का व्युत्पन्न है: $$ \frac{d}{d\lambda} \ln L(\lambda) = \frac{d}{d\lambda} \left( n \ln\lambda - \lambda n\overline{x} \right) = \frac{n}{\lambda} - n\overline{x}\ \begin{cases} > 0, & 0 < \lambda < \frac{1}{\overline{x}}, \\[8pt] = 0, & \lambda = \frac{1}{\overline{x}}, \\[8pt] < 0, & \lambda > \frac{1}{\overline{x}}. \end{cases} $$ नतीजतन, दर पैरामीटर के लिए अधिकतम संभावना अनुमान है: $$\widehat{\lambda}_\text{mle} = \frac{1}{\overline{x}} = \frac{n}{\sum_i x_i}$$ यह है का एक निष्पक्ष अनुमानक $$\lambda,$$ यद्यपि $$\overline{x}$$  एक निष्पक्ष एमएलई का अनुमानक $$1/\lambda$$ और वितरण का मतलब।

का पक्षपात $$ \widehat{\lambda}_\text{mle} $$ के बराबर है $$B \equiv \operatorname{E}\left[\left(\widehat{\lambda}_\text{mle} - \lambda\right)\right] = \frac{\lambda}{n - 1} $$ जो पूर्वाग्रह के लिए सुधार के बाद अधिकतम संभावना अनुमान#द्वितीय-क्रम दक्षता उत्पन्न करता है|पूर्वाग्रह-सही अधिकतम संभावना अनुमानक $$\widehat{\lambda}^*_\text{mle} = \widehat{\lambda}_\text{mle} - B.$$ एमएलई के लिए एक सुधार कारक के साथ, दो से अधिक नमूना आकार मानते हुए औसत वर्ग त्रुटि का अनुमानित न्यूनतम (यह भी देखें: पूर्वाग्रह-विचरण व्यापार बंद) पाया जा सकता है: $$\widehat{\lambda} = \left(\frac{n - 2}{n}\right) \left(\frac{1}{\bar{x}}\right) = \frac{n - 2}{\sum_i x_i}$$ यह व्युत्क्रम-गामा वितरण के माध्य और विचरण से प्राप्त होता है, $\mbox{Inv-Gamma}(n, \lambda)$.

मछुआरे की जानकारी
फिशर जानकारी, निरूपित $$\mathcal{I}(\lambda)$$, दर पैरामीटर के एक अनुमानक के लिए $$\lambda$$ के रूप में दिया गया है: $$\mathcal{I}(\lambda) = \operatorname{E} \left[\left. \left(\frac{\partial}{\partial\lambda} \log f(x;\lambda)\right)^2\right|\lambda\right] = \int \left(\frac{\partial}{\partial\lambda} \log f(x;\lambda)\right)^2 f(x; \lambda)\,dx$$ वितरण में लगाना और हल करना देता है: $$ \mathcal{I}(\lambda) = \int_{0}^{\infty} \left(\frac{\partial}{\partial\lambda} \log \lambda e^{-\lambda x}\right)^2 \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \int_{0}^{\infty} \left(\frac{1}{\lambda} - x\right)^2 \lambda e^{-\lambda x}\,dx = \lambda^{-2}.$$ यह अज्ञात दर पैरामीटर के बारे में एक चरघातांकी बंटन के प्रत्येक स्वतंत्र नमूने की जानकारी की मात्रा निर्धारित करता है $$\lambda$$.

विश्वास अंतराल
एक चरघातांकी बंटन के दर पैरामीटर के लिए 100(1 − α)% विश्वास्यता अंतराल निम्न द्वारा दिया जाता है: $$\frac{2n}{\widehat{\lambda} \chi^2_{1-\frac{\alpha}{2},2n} }< \frac{1}{\lambda} < \frac{2n}{\widehat{\lambda} \chi^2_{\frac{\alpha}{2},2n}}$$ जो इसके बराबर भी है: $$\frac{2n\overline{x}}{\chi^2_{1-\frac{\alpha}{2},2n}} < \frac{1}{\lambda} < \frac{2n\overline{x}}{\chi^2_{\frac{\alpha}{2},2n}}$$ कहाँ $χ2 p,v$ है $100(p)$ स्वतंत्रता की वी डिग्री (सांख्यिकी) के साथ ची वर्ग वितरण का प्रतिशतक, n नमूने में अंतर-आगमन समय के प्रेक्षणों की संख्या है, और x-बार नमूना औसत है। सटीक अंतराल समापन बिंदुओं के लिए एक सामान्य सन्निकटन के लिए एक सामान्य सन्निकटन का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है $χ2 p,v$ वितरण। यह सन्निकटन 95% विश्वास्यता अंतराल के लिए निम्नलिखित मान देता है: $$\begin{align} \lambda_\text{lower} &= \widehat{\lambda}\left(1 - \frac{1.96}{\sqrt{n}}\right) \\ \lambda_\text{upper} &= \widehat{\lambda}\left(1 + \frac{1.96}{\sqrt{n}}\right) \end{align}$$ यह सन्निकटन कम से कम 15 से 20 तत्वों वाले नमूनों के लिए स्वीकार्य हो सकता है।

बायेसियन अनुमान
चरघातांकी बंटन से पहले का संयुग्म गामा बंटन है (जिसका चरघातांकी बंटन एक विशेष मामला है)। गामा संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का निम्नलिखित पैरामीटर उपयोगी है:

$$\operatorname{Gamma}(\lambda; \alpha, \beta) = \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \lambda^{\alpha-1} \exp(-\lambda\beta).$$ पश्च वितरण पी को ऊपर परिभाषित संभावना समारोह और पूर्व गामा के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:

$$\begin{align} p(\lambda) &\propto L(\lambda) \Gamma(\lambda; \alpha, \beta) \\ &= \lambda^n \exp\left(-\lambda n\overline{x}\right) \frac{\beta^{\alpha}}{\Gamma(\alpha)} \lambda^{\alpha-1} \exp(-\lambda \beta) \\ &\propto \lambda^{(\alpha+n)-1} \exp(-\lambda \left(\beta + n\overline{x}\right)). \end{align}$$ अब पश्च घनत्व पी को एक लापता सामान्यीकरण स्थिरांक तक निर्दिष्ट किया गया है। चूंकि इसमें गामा पीडीएफ का रूप है, इसे आसानी से भरा जा सकता है, और एक प्राप्त करता है:

$$p(\lambda) = \operatorname{Gamma}(\lambda; \alpha + n, \beta + n\overline{x}).$$ यहां hyperparameter α को पूर्व अवलोकनों की संख्या के रूप में और β को पूर्व अवलोकनों के योग के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। पश्च माध्य यहाँ है: $$\frac{\alpha + n}{\beta + n\overline{x}}.$$

घटनाओं का घटित होना
सजातीय पॉसों प्रक्रिया में अंतर-आगमन समय की लंबाई का वर्णन करते समय चरघातांकी बंटन स्वाभाविक रूप से होता है।

चरघातांकी बंटन को ज्यामितीय वितरण के निरंतर समकक्ष के रूप में देखा जा सकता है, जो राज्य को बदलने के लिए असतत प्रक्रिया के लिए आवश्यक बर्नौली परीक्षणों की संख्या का वर्णन करता है। इसके विपरीत, चरघातांकी बंटन राज्य को बदलने के लिए एक सतत प्रक्रिया के समय का वर्णन करता है।

वास्तविक दुनिया के परिदृश्यों में, एक स्थिर दर (या प्रति यूनिट समय की संभावना) की धारणा शायद ही कभी संतुष्ट होती है। उदाहरण के लिए, इनकमिंग फोन कॉल्स की दर दिन के समय के अनुसार अलग-अलग होती है। लेकिन अगर हम एक ऐसे समय अंतराल पर ध्यान केंद्रित करते हैं जिसके दौरान दर मोटे तौर पर स्थिर रहती है, जैसे दोपहर 2 से 4 बजे तक। कार्य दिवसों के दौरान, अगली फ़ोन कॉल आने तक के समय के लिए चरघातांकी बंटन का उपयोग एक अच्छे अनुमानित मॉडल के रूप में किया जा सकता है। इसी तरह के कैविएट निम्नलिखित उदाहरणों पर लागू होते हैं जो लगभग घातीय रूप से वितरित चर उत्पन्न करते हैं:


 * एक रेडियोधर्मी कण के क्षय होने तक का समय, या एक गीगर काउंटर के क्लिक के बीच का समय
 * आपके अगले टेलीफोन कॉल से पहले लगने वाला समय
 * रिड्यूस्ड-फॉर्म क्रेडिट रिस्क मॉडलिंग में डिफॉल्ट होने तक का समय (कंपनी ऋण धारकों को भुगतान पर)।

घातीय चर का उपयोग उन स्थितियों को मॉडल करने के लिए भी किया जा सकता है जहां कुछ घटनाएं प्रति इकाई लंबाई की निरंतर संभावना के साथ होती हैं, जैसे डीएनए स्ट्रैंड पर उत्परिवर्तन  के बीच की दूरी, या किसी दिए गए सड़क पर रोडकिल के बीच।

कतार सिद्धांत में, एक सिस्टम में एजेंटों का सेवा समय (उदाहरण के लिए ग्राहक को सेवा देने के लिए बैंक टेलर आदि को कितना समय लगता है) को अक्सर घातीय रूप से वितरित चर के रूप में तैयार किया जाता है। (उदाहरण के लिए ग्राहकों का आगमन भी पोइसन वितरण द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है यदि आगमन स्वतंत्र हैं और समान रूप से वितरित किए गए हैं।) एक प्रक्रिया की लंबाई जिसे कई स्वतंत्र कार्यों के अनुक्रम के रूप में माना जा सकता है, एरलांग वितरण (जो वितरण है) का अनुसरण करता है। कई स्वतंत्र घातीय रूप से वितरित चरों के योग का)। विश्वसनीयता सिद्धांत और विश्वसनीयता इंजीनियरिंग भी चरघातांकी बंटन का व्यापक उपयोग करते हैं। इस वितरण की #मेमोरीलेसनेस संपत्ति के कारण, यह विश्वसनीयता सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले बाथटब वक्र के निरंतर खतरे की दर वाले हिस्से को मॉडल करने के लिए उपयुक्त है। यह बहुत सुविधाजनक भी है क्योंकि विश्वसनीयता मॉडल में विफलता दर को जोड़ना इतना आसान है। चरघातांकी बंटन हालांकि जीवों या तकनीकी उपकरणों के समग्र जीवनकाल को मॉडल करने के लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि यहां विफलता दर स्थिर नहीं हैं: अधिक विफलताएं बहुत युवा और बहुत पुरानी प्रणालियों के लिए होती हैं। File:FitExponDistr.tif|thumb|260px|CumFreq का उपयोग करके सालाना अधिकतम 1-दिवसीय वर्षा के लिए संचयी चरघातांकी बंटन फिट किया गया भौतिकी में, यदि आप एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक निश्चित तापमान और दबाव पर गैस देखते हैं, तो विभिन्न अणुओं की ऊंचाई भी एक अनुमानित चरघातांकी बंटन का पालन करती है, जिसे बैरोमेट्रिक सूत्र के रूप में जाना जाता है। यह नीचे उल्लिखित एंट्रॉपी संपत्ति का परिणाम है।

जल विज्ञान में, चरघातांकी बंटन का उपयोग ऐसे चर के चरम मूल्यों का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है जैसे दैनिक वर्षा और नदी निर्वहन मात्रा के मासिक और वार्षिक अधिकतम मूल्य।
 * नीली तस्वीर द्विपद वितरण के आधार पर 90% आत्मविश्वास बेल्ट  को दिखाते हुए सालाना अधिकतम एक दिन की बारिश के लिए चरघातांकी बंटन को फिट करने का एक उदाहरण दिखाती है। संचयी बारंबारता विश्लेषण के भाग के रूप में वर्षा के आंकड़ों को  साजिश रचने की स्थिति  द्वारा दर्शाया जाता है।

ऑपरेटिंग-रूम प्रबंधन में, सर्जरी की अवधि के लिए भविष्य कहनेवाला तरीकों के साथ सर्जरी की श्रेणी के लिए सर्जरी की अवधि का वितरण | कोई विशिष्ट कार्य-सामग्री नहीं है (जैसे आपातकालीन कक्ष में, सभी प्रकार की सर्जरी शामिल हैं)।

भविष्यवाणी
एक अज्ञात चरघातांकी वितरण से n डेटा बिंदुओं का एक नमूना देखने के बाद एक सामान्य कार्य इन नमूनों का उपयोग उसी स्रोत से भविष्य के डेटा के बारे में भविष्यवाणी करने के लिए करना है। भविष्य के नमूनों पर एक सामान्य भविष्य कहनेवाला वितरण तथाकथित प्लग-इन वितरण है, जो दर पैरामीटर λ के लिए एक उपयुक्त अनुमान को घातीय घनत्व समारोह में प्लग करके बनाया गया है। अनुमान का एक सामान्य विकल्प वह है जो अधिकतम संभावना के सिद्धांत द्वारा प्रदान किया जाता है, और इसके उपयोग से भविष्य के नमूने x पर अनुमानित घनत्व प्राप्त होता है।n+1, देखे गए नमूनों पर वातानुकूलित x = (x1, ..., एक्सn) द्वारा दिए गए $$p_{\rm ML}(x_{n+1} \mid x_1, \ldots, x_n) = \left( \frac1{\overline{x}} \right) \exp \left( - \frac{x_{n+1}}{\overline{x}} \right)$$ बायेसियन दृष्टिकोण एक भविष्य कहनेवाला वितरण प्रदान करता है जो अनुमानित पैरामीटर की अनिश्चितता को ध्यान में रखता है, हालांकि यह पूर्व की पसंद पर महत्वपूर्ण रूप से निर्भर हो सकता है।

व्यक्तिपरक बायेसियन दृष्टिकोण के तहत उत्पन्न होने वाले प्राथमिकताओं को चुनने के मुद्दों से मुक्त एक भविष्य कहनेवाला वितरण है

$$p_{\rm CNML}(x_{n+1} \mid x_1, \ldots, x_n) = \frac{ n^{n+1} \left( \overline{x} \right)^n }{ \left( n \overline{x} + x_{n+1} \right)^{n+1} },$$ जिसे माना जा सकता है दर पैरामीटर, λ के साथ वास्तविक चरघातांकी बंटन के बीच की दूरी या विचलन का उपयोग करके भविष्य कहनेवाला वितरण की सटीकता को मापा जा सकता है0, और नमूना x के आधार पर भविष्य कहनेवाला वितरण। कुल्बैक-लीब्लर विचलन दो वितरणों के बीच अंतर का एक सामान्य रूप से इस्तेमाल किया जाने वाला, पैरामीटर मुक्त माप है। Δ(λ0||पी) दर पैरामीटर λ के साथ एक घातांक के बीच कुल्बैक-लीब्लर विचलन को दर्शाता है0 और एक भविष्य कहनेवाला वितरण p यह दिखाया जा सकता है
 * 1) एक फ़्रीक्वेंटिस्ट  विश्वास वितरण, जो मुख्य मात्रा के वितरण से प्राप्त होता है $${x_{n+1}}/{\overline{x}}$$;
 * 2) एक्स की संयुक्त संभावना से पैरामीटर λ को समाप्त करके प्राप्त एक प्रोफ़ाइल भविष्य कहनेवाला संभावनाn+1 और λ अधिकतमकरण द्वारा;
 * 3) एक उद्देश्य बायेसियन प्रेडिक्टिव पोस्टीरियर डिस्ट्रीब्यूशन, गैर-सूचनात्मक जेफ्रीस पूर्व 1 / λ का उपयोग करके प्राप्त किया गया;
 * 4) सशर्त सामान्यीकृत अधिकतम संभावना (सीएनएमएल) भविष्यवाणी वितरण, सूचना सिद्धांत संबंधी विचारों से।

$$\begin{align} \operatorname{E}_{\lambda_0} \left[ \Delta(\lambda_0\parallel p_{\rm ML}) \right] &= \psi(n) + \frac{1}{n-1} - \log(n) \\ \operatorname{E}_{\lambda_0} \left[ \Delta(\lambda_0\parallel p_{\rm CNML}) \right] &= \psi(n) + \frac{1}{n} - \log(n) \end{align}$$ जहां दर पैरामीटर के साथ चरघातांकी बंटन के संबंध में अपेक्षा की जाती है λ0 ∈ (0, ∞), और ψ( · ) डिगामा फंक्शन है। यह स्पष्ट है कि सभी नमूना आकारों के लिए औसत कुलबैक-लीब्लर विचलन के संदर्भ में CNML भविष्य कहनेवाला वितरण अधिकतम संभावना प्लग-इन वितरण से बेहतर है। n > 0.

रैंडम वेरिएट जनरेशन
एक्सपोनेंशियल रैंडम वेरिएट्स जनरेट करने के लिए एक अवधारणात्मक रूप से बहुत सरल विधि व्युत्क्रम ट्रांसफ़ॉर्म सैंपलिंग विधि पर आधारित है: यूनिट अंतराल पर एकसमान वितरण (निरंतर) से तैयार किए गए रैंडम वेरिएट यू को देखते हुए $(0, 1)$, चर

$$T = F^{-1}(U)$$ एक चरघातांकी बंटन है, जहां F क्वांटाइल फ़ंक्शन है, जिसे परिभाषित किया गया है

$$F^{-1}(p)=\frac{-\ln(1-p)}{\lambda}.$$ इसके अलावा, यदि यू (0, 1) पर समान है, तो 1 - यू भी है। इसका मतलब यह है कि कोई निम्न प्रकार से घातीय चर उत्पन्न कर सकता है:

$$T = \frac{-\ln(U)}{\lambda}.$$ एक्सपोनेंशियल वैरियेट्स को जनरेट करने की अन्य विधियों पर नुथ द्वारा चर्चा की गई है और देवरॉय। सॉर्टिंग रूटीन का उपयोग किए बिना रेडी-ऑर्डर किए गए एक्सपोनेंशियल वेरिएट्स का एक सेट बनाने के लिए एक तेज़ तरीका भी उपलब्ध है।

यह भी देखें

 * मृत समय - कण डिटेक्टर विश्लेषण के लिए चरघातांकी बंटन का अनुप्रयोग।
 * लाप्लास बंटन, या दोहरा चरघातांकी बंटन ।
 * संभाव्यता वितरण के बीच संबंध
 * मार्शल-ओल्किन एक्सपोनेंशियल डिस्ट्रीब्यूशन

बाहरी संबंध

 * Online calculator of Exponential Distribution
 * Online calculator of Exponential Distribution