रैखिक अवकल समीकरण

गणित में, एक रैखिक अंतर [[ समीकरण  ]] एक अंतर समीकरण है जिसे अज्ञात फ़ंक्शन और उसके डेरिवेटिव में एक  रैखिक बहुपद  द्वारा परिभाषित किया जाता है, जो कि रूप का एक समीकरण है
 * $$a_0(x)y + a_1(x)y' + a_2(x)y'' \cdots + a_n(x)y^{(n)} = b(x)$$

कहाँ पे $a_{0}(x)$, ..., $a_{n}(x)$ तथा $b(x)$ मनमाने ढंग से अलग-अलग कार्य हैं जिन्हें रैखिक होने की आवश्यकता नहीं है, और $y′, ..., y^{(n)}$ एक अज्ञात फ़ंक्शन के क्रमिक व्युत्पन्न हैं $y$ चर का $x$.

ऐसा समीकरण एक साधारण अवकल समीकरण (ODE) है। एक रैखिक अंतर समीकरण एक रैखिक आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) भी हो सकता है, यदि अज्ञात फ़ंक्शन कई चर पर निर्भर करता है, और समीकरण में दिखाई देने वाले यौगिक  आंशिक डेरिवेटिव हैं।

एक रैखिक अंतर समीकरण या रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली जैसे कि संबंधित सजातीय समीकरणों में निरंतर गुणांक होते हैं, को चतुर्भुज (गणित)  द्वारा हल किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि समाधान  antiderivative  के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं। यह क्रम एक के रैखिक समीकरण के लिए भी सही है, जिसमें गैर-स्थिर गुणांक होते हैं। गैर-स्थिर गुणांक वाले क्रम दो या उच्चतर का समीकरण, सामान्य रूप से, चतुर्भुज द्वारा हल नहीं किया जा सकता है। आदेश दो के लिए, कोवासिक का एल्गोरिथ्म यह तय करने की अनुमति देता है कि क्या इंटीग्रल के संदर्भ में समाधान हैं, और यदि कोई हो तो उनकी  गणना  करना।

बहुपद गुणांकों वाले समांगी रैखिक अवकल समीकरणों के हलों को  होलोनोमिक फ़ंक्शन  कहते हैं। कार्यों का यह वर्ग रकम, उत्पाद आंशिक व्युत्पन्न, प्रतिपक्षी के तहत स्थिर है, और इसमें कई सामान्य कार्य और विशेष कार्य जैसे घातीय फ़ंक्शन, लॉगरिदम, साइन,  कोज्या , उलटा त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन, त्रुटि फ़ंक्शन,  बेसेल फंक्शन  और  हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन  शामिल हैं। परिभाषित अंतर समीकरण और प्रारंभिक स्थितियों द्वारा उनका प्रतिनिधित्व एल्गोरिथम (इन कार्यों पर) कैलकुलस के अधिकांश संचालन की अनुमति देता है, जैसे कि एंटीडेरिवेटिव्स की गणना,  सीमा (गणित) ,  स्पर्शोन्मुख विस्तार , और किसी भी सटीकता के लिए संख्यात्मक मूल्यांकन, एक प्रमाणित त्रुटि बाध्य के साथ।

मूल शब्दावली
एक (रैखिक) अवकल समीकरण में प्रकट होने वाली व्युत्पत्ति का उच्चतम क्रम समीकरण का क्रम है। शब्द $b(x)$, जो अज्ञात फलन और उसके व्युत्पन्नों पर निर्भर नहीं करता है, को कभी-कभी समीकरण का अचर पद ( बीजीय समीकरण ों के सादृश्य द्वारा) कहा जाता है, तब भी जब यह पद एक गैर-स्थिर फलन हो। यदि अचर पद शून्य फलन है, तो अवकल समीकरण को समांगी कहा जाता है, क्योंकि यह अज्ञात फलन और उसके व्युत्पन्नों में एक समांगी बहुपद है। एक रैखिक अवकल समीकरण में, शून्य फलन द्वारा अचर पद को प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त समीकरण संबद्ध समांगी समीकरण है। एक विभेदक समीकरण में निरंतर गुणांक होते हैं यदि संबंधित सजातीय समीकरण में केवल स्थिर कार्य गुणांक के रूप में दिखाई देते हैं।

अवकल समीकरण का हल एक ऐसा फलन है जो समीकरण को संतुष्ट करता है। एक समांगी रैखिक अवकल समीकरण के समाधान एक सदिश समष्टि बनाते हैं। सामान्य स्थिति में, इस सदिश स्थान का एक परिमित आयाम होता है, जो समीकरण के क्रम के बराबर होता है। एक रेखीय अवकल समीकरण के सभी हल किसी विशेष हल में संबंधित समांगी समीकरण के किसी भी हल को जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं।

रैखिक अंतर ऑपरेटर
आदेश का एक बुनियादी अंतर ऑपरेटर $i$ एक मैपिंग है जो किसी भी अलग-अलग फ़ंक्शन को उसके उच्च व्युत्पन्न के लिए मैप करता है|$i$वें व्युत्पन्न, या, कई चर के मामले में, आदेश के अपने आंशिक डेरिवेटिव में से एक के लिए $i$. यह आमतौर पर निरूपित किया जाता है
 * $$\frac{d^i}{dx^i}$$

अविभाज्य कार्यों के मामले में, और
 * $$\frac{\partial^{i_1+\cdots +i_n}}{\partial x_1^{i_1}\cdots \partial x_n^{i_n}}$$

के कार्यों के मामले में $n$ चर। बुनियादी अंतर ऑपरेटरों में ऑर्डर 0 का व्युत्पन्न शामिल है, जो पहचान मानचित्रण है।

एक रैखिक अंतर ऑपरेटर (संक्षिप्त, इस आलेख में, रैखिक ऑपरेटर या, बस, ऑपरेटर के रूप में) बुनियादी अंतर ऑपरेटरों का एक रैखिक संयोजन  है, गुणांक के रूप में अलग-अलग कार्यों के साथ। अविभाज्य स्थिति में, एक रैखिक संचालिका का इस प्रकार रूप होता है
 * $$a_0(x)+a_1(x)\frac{d}{dx} + \cdots +a_n(x)\frac{d^n}{dx^n},$$

कहाँ पे $a_{0}(x), ..., a_{n}(x)$ अलग-अलग कार्य हैं, और गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $n$ ऑपरेटर का आदेश है (यदि $a_{n}(x)$ शून्य कार्य नहीं है)।

होने देना $L$ एक रैखिक अंतर ऑपरेटर बनें। का अनुप्रयोग $L$ एक समारोह के लिए $f$ आमतौर पर दर्शाया जाता है $Lf$ या $Lf(X)$, यदि किसी को चर निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है (इसे गुणन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए)। एक लीनियर डिफरेंशियल ऑपरेटर एक लीनियर ऑपरेटर होता है, क्योंकि यह एक स्केलर (गणित) द्वारा एक ही स्केलर द्वारा उत्पाद के लिए योग और उत्पाद को मैप करता है।

चूंकि दो रैखिक ऑपरेटर ों का योग एक रैखिक ऑपरेटर है, साथ ही एक अलग-अलग फ़ंक्शन द्वारा एक रैखिक ऑपरेटर का उत्पाद (बाईं ओर) है, रैखिक अंतर ऑपरेटर  वास्तविक संख्या ओं या  जटिल संख्या ओं पर एक वेक्टर स्थान बनाते हैं (निर्भर करता है) कार्यों की प्रकृति पर विचार किया जाता है)। वे अवकलनीय फलनों के वलय (गणित) के ऊपर एक मुक्त मॉड्यूल भी बनाते हैं।

ऑपरेटरों की भाषा अलग-अलग समीकरणों के लिए एक कॉम्पैक्ट लेखन की अनुमति देती है: if
 * $$L=a_0(x)+a_1(x)\frac{d}{dx} + \cdots +a_n(x)\frac{d^n}{dx^n},$$

एक रैखिक अंतर ऑपरेटर है, तो समीकरण
 * $$a_0(x)y +a_1(x)y' + a_2(x)y'' +\cdots +a_n(x)y^{(n)}=b(x)$$

फिर से लिखा जा सकता है
 * $$Ly=b(x).$$

इस संकेतन के कई रूप हो सकते हैं; विशेष रूप से भिन्नता का चर स्पष्ट रूप से प्रकट हो सकता है या नहीं $y$ और दाहिने हाथ और समीकरण के, जैसे $Ly(x) = b(x)$ या $Ly = b$.

एक रैखिक अंतर ऑपरेटर का कर्नेल एक रैखिक मानचित्रण के रूप में इसका कर्नेल (रैखिक बीजगणित)  है, जो कि (सजातीय) अंतर समीकरण के समाधान का वेक्टर स्थान है $Ly = 0$.

आदेश के एक साधारण अंतर ऑपरेटर के मामले में $n$, कैराथेओडोरी के अस्तित्व प्रमेय का तात्पर्य है कि, बहुत ही हल्की परिस्थितियों में, का कर्नेल $L$ आयाम का एक सदिश स्थान है $n$, और यह कि समीकरण के हल $Ly(x) = b(x)$ फॉर्म है
 * $$S_0(x) + c_1S_1(x) + \cdots +c_nS_n(x),$$

कहाँ पे $c_{1}, ..., c_{n}$ मनमानी संख्या हैं। आमतौर पर, कैराथियोडोरी के प्रमेय की परिकल्पना एक अंतराल में संतुष्ट होती है $I$, यदि कार्य $b, a_{0}, ..., a_{n}$ में निरंतर हैं $I$, और एक धनात्मक वास्तविक संख्या है $k$ ऐसा है कि $|a_{n}(x)| > k$ हरएक के लिए $x$ में $I$.

निरंतर गुणांक के साथ सजातीय समीकरण
एक समांगी रैखिक अवकल समीकरण में अचर गुणांक होते हैं यदि इसका रूप है
 * $$a_0y + a_1y' + a_2y'' + \cdots + a_n y^{(n)} = 0$$

कहाँ पे $a_{1}, ..., a_{n}$ (वास्तविक या जटिल) संख्याएँ हैं। दूसरे शब्दों में, इसमें निरंतर गुणांक होते हैं यदि इसे निरंतर गुणांक वाले रैखिक ऑपरेटर द्वारा परिभाषित किया जाता है।

निरंतर गुणांक वाले इन अंतर समीकरणों का अध्ययन लियोनहार्ड यूलर  के समय का है, जिन्होंने घातीय कार्य की शुरुआत की थी $e^{x}$, जो समीकरण का अनूठा हल है $f′ = f$ ऐसा है कि $f(0) = 1$. यह इस प्रकार है कि $n$वें व्युत्पन्न $e^{cx}$ है $c^{n}e^{cx}$, और यह सजातीय रैखिक अंतर समीकरणों को आसानी से हल करने की अनुमति देता है।

होने देना
 * $$a_0y + a_1y' + a_2y'' + \cdots + a_ny^{(n)} = 0$$

अचर गुणांकों वाला एक समांगी रैखिक अवकल समीकरण हो (अर्थात $a_{0}, ..., a_{n}$ वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं)।

इस समीकरण के समाधान खोजना जिसका रूप है $e^{αx}$ स्थिरांक खोजने के बराबर है $α$ ऐसा है कि
 * $$a_0e^{\alpha x} + a_1\alpha e^{\alpha x} + a_2\alpha^2 e^{\alpha x}+\cdots + a_n\alpha^n e^{\alpha x} = 0.$$

फैक्टरिंग आउट $e^{αx}$ (जो कभी शून्य नहीं होता), दर्शाता है कि $α$ विशेषता बहुपद का मूल होना चाहिए
 * $$a_0 + a_1t + a_2t^2 + \cdots + a_nt^n$$

विभेदक समीकरण, जो कि विशेषता समीकरण (कैलकुलस) के बाईं ओर है
 * $$a_0 + a_1t + a_2t^2 + \cdots + a_nt^n = 0.$$

जब ये जड़ें सभी अलग- अलग जड़ें हों, तो व्यक्ति के पास $n$ अलग-अलग समाधान जो आवश्यक रूप से वास्तविक नहीं हैं, भले ही समीकरण के गुणांक वास्तविक हों। इन समाधानों के मूल्यों के  वेंडरमोंडे निर्धारक  पर विचार करके, इन समाधानों को  रैखिक रूप से स्वतंत्र  दिखाया जा सकता है $x = 0, ..., n – 1$. साथ में वे डिफरेंशियल इक्वेशन (यानी डिफरेंशियल ऑपरेटर का कर्नेल) के सॉल्यूशन के वेक्टर स्पेस का बेसिस (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं। उस मामले में जहां विशेषता बहुपद में केवल साधारण जड़ें होती हैं, पूर्ववर्ती समाधान वेक्टर स्थान का पूरा आधार प्रदान करता है। एकाधिक जड़ ों के मामले में, आधार रखने के लिए अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान की आवश्यकता होती है। इनका रूप है
 * $$x^ke^{\alpha x},$$

कहाँ पे $i$ एक ऋणात्मक पूर्णांक है, $k$ गुणन के अभिलक्षणिक बहुपद का मूल है $α$, तथा $−i$. यह सिद्ध करने के लिए कि ये फलन समाधान हैं, कोई टिप्पणी कर सकता है कि यदि $m$ गुणन के अभिलक्षणिक बहुपद का मूल है $α$, अभिलक्षणिक बहुपद का गुणनखंड इस प्रकार किया जा सकता है $1$. इस प्रकार, समीकरण के डिफरेंशियल ऑपरेटर को लागू करना पहले लागू करने के बराबर है $m$ बार ऑपरेटर $ \frac{d}{dx} - \alpha $, और फिर वह ऑपरेटर जिसके पास है $m$ विशेषता बहुपद के रूप में। शिफ्ट प्रमेय  द्वारा,
 * $$\left(\frac{d}{dx}-\alpha\right)\left(x^ke^{\alpha x}\right)= kx^{k-1}e^{\alpha x},$$

और इस प्रकार एक के बाद शून्य हो जाता है $k < m$ का आवेदन $ \frac{d}{dx} - \alpha $. जैसे, बीजगणित के मूल प्रमेय के अनुसार, बहुपद के मूलों की बहुपदों का योग बहुपद की घात के बराबर होता है, उपरोक्त समाधानों की संख्या अवकल समीकरण के क्रम के बराबर होती है, और ये समाधान सदिश समष्टि का आधार बनाते हैं समाधानों की।

सामान्य मामले में जहां समीकरण के गुणांक वास्तविक होते हैं, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों से युक्त समाधानों का आधार होना आम तौर पर अधिक सुविधाजनक होता है। ऐसा आधार पूर्ववर्ती आधार से यह टिप्पणी करके प्राप्त किया जा सकता है कि, यदि $P(t)(t − α)^{m}$ विशेषता बहुपद का मूल है, तो $k + 1$ एक ही बहुलता की जड़ भी है। इस प्रकार यूलर के सूत्र का उपयोग करके और प्रतिस्थापित करके वास्तविक आधार प्राप्त किया जाता है $$x^ke^{(a+ib)x}$$ तथा $$x^ke^{(a-ib)x}$$ द्वारा $$x^ke^{ax} \cos(bx)$$ तथा $$x^ke^{ax} \sin(bx)$$.

दूसरे क्रम का मामला
दूसरे क्रम का एक समांगी रैखिक अवकल समीकरण लिखा जा सकता है
 * $$y'' + ay' + by = 0,$$

और इसका अभिलक्षणिक बहुपद है
 * $$r^2 + ar + b.$$

यदि $P$ तथा $a$ वास्तविक संख्या हैं, विभेदक के आधार पर समाधान के लिए तीन मामले हैं $a + ib$. तीनों मामलों में, सामान्य समाधान दो मनमानी स्थिरांक पर निर्भर करता है $a – ib$ तथा $D = a^{2} − 4b$.


 * यदि $c_{1}$, अभिलक्षणिक बहुपद के दो भिन्न वास्तविक मूल हैं $b$, तथा $α$. इस मामले में, सामान्य समाधान है
 * $$c_1 e^{\alpha x} + c_2 e^{\beta x}.$$


 * यदि $c_{2}$, अभिलक्षणिक बहुपद का दोहरा मूल होता है $D > 0$, और सामान्य समाधान है
 * $$(c_1 + c_2 x) e^{-ax/2}.$$


 * यदि $D = 0$, विशेषता बहुपद में दो जटिल संयुग्म जड़ें होती हैं $−a/2$, और सामान्य समाधान है
 * $$c_1 e^{(\alpha + \beta i)x} + c_2 e^{(\alpha - \beta i)x},$$
 * जिसे यूलर के सूत्र का उपयोग करके वास्तविक रूप में फिर से लिखा जा सकता है:
 * $$ e^{\alpha x} (c_1\cos(\beta x) + c_2 \sin(\beta x)).$$

समाधान ढूँढना $D < 0$ संतुष्टि देने वाला $α ± βi$ तथा $y(x)$, एक उपरोक्त सामान्य समाधान के मूल्यों को बराबर करता है $y(0) = d_{1}$ और इसके व्युत्पन्न वहाँ करने के लिए $y′(0) = d_{2}$ तथा $0$, क्रमश। इसका परिणाम दो अज्ञात में दो रैखिक समीकरणों की एक रैखिक प्रणाली में होता है $d_{1}$ तथा $d_{2}$. इस प्रणाली को हल करने से तथाकथित कॉची सीमा स्थिति का समाधान मिलता है, जिसमें मान $c_{1}$ DEQ और उसके व्युत्पन्न के समाधान के लिए निर्दिष्ट हैं।

निरंतर गुणांक के साथ गैर-सजातीय समीकरण
क्रम का एक गैर-सजातीय समीकरण $β$ निरंतर गुणांक के साथ लिखा जा सकता है
 * $$y^{(n)}(x) + a_1 y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_{n-1} y'(x)+ a_ny(x) = f(x),$$

कहाँ पे $c_{2}$ वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं, $n$ का दिया गया कार्य है $f$, तथा $x$ अज्ञात कार्य है (सादगी के लिए,$0$निम्नलिखित में छोड़ा जाएगा)।

ऐसे समीकरण को हल करने की कई विधियाँ हैं। सर्वोत्तम विधि फ़ंक्शन की प्रकृति पर निर्भर करती है $y$ जो समीकरण को गैर-सजातीय बनाता है। यदि $f$ घातीय और साइनसोइडल कार्यों का एक रैखिक संयोजन है, तो घातीय प्रतिक्रिया सूत्र  का उपयोग किया जा सकता है। यदि, अधिक सामान्यतः, $f$ प्रपत्र के कार्यों का एक रैखिक संयोजन है $a_{1}, ..., a_{n}$, $(x)$, तथा $x^{n}e^{ax}$, कहाँ पे $f$ एक ऋणात्मक पूर्णांक है, और $n$ एक स्थिरांक (जो प्रत्येक पद में समान होना आवश्यक नहीं है), तो अनिर्धारित गुणांकों की विधि का उपयोग किया जा सकता है। और भी अधिक सामान्य, एनीहिलेटर विधि तब लागू होती है जब $a$ एक सजातीय रैखिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है, आमतौर पर, एक होलोनोमिक फ़ंक्शन।

सबसे सामान्य विधि स्थिरांक की भिन्नता  है, जिसे यहां प्रस्तुत किया गया है।

संबंधित सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान
 * $$y^{(n)} + a_1 y^{(n-1)} + \cdots + a_{n-1} y'+ a_ny = 0$$

है
 * $$y=u_1y_1+\cdots+ u_ny_n,$$

कहाँ पे $x^{n} cos(ax)$ समाधानों के सदिश समष्टि का आधार है और $x^{n} sin(ax)$ मनमानी स्थिरांक हैं। स्थिरांक की भिन्नता की विधि का नाम निम्नलिखित विचार से लिया गया है। विचार करने के बजाय $(y_{1}, ..., y_{n})$ स्थिरांक के रूप में, उन्हें अज्ञात कार्यों के रूप में माना जा सकता है जिन्हें बनाने के लिए निर्धारित किया जाना है $f$ गैर-सजातीय समीकरण का एक समाधान। इस उद्देश्य के लिए, कोई बाधाओं को जोड़ता है
 * $$\begin{align}

0 &= u'_1y_1 + u'_2y_2 + \cdots+u'_ny_n \\ 0 &= u'_1y'_1 + u'_2y'_2 + \cdots + u'_n y'_n \\ &\;\;\vdots \\ 0 &= u'_1y^{(n-2)}_1+u'_2y^{(n-2)}_2 + \cdots + u'_n y^{(n-2)}_n, \end{align}$$ जिसका अर्थ है (उत्पाद नियम और गणितीय प्रेरण द्वारा)
 * $$y^{(i)} = u_1 y_1^{(i)} + \cdots + u_n y_n^{(i)}$$

के लिये $u_{1}, ..., u_{n}$, तथा
 * $$y^{(n)} = u_1 y_1^{(n)} + \cdots + u_n y_n^{(n)} +u'_1y_1^{(n-1)}+u'_2y_2^{(n-1)}+\cdots+u'_ny_n^{(n-1)}.$$

मूल समीकरण में प्रतिस्थापित करना $y$ और इन अभिव्यक्तियों द्वारा इसके व्युत्पन्न, और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि $u_{1}, ..., u_{n}$ मूल सजातीय समीकरण के समाधान हैं, एक मिलता है
 * $$f=u'_1y_1^{(n-1)} + \cdots + u'_ny_n^{(n-1)}.$$

यह समीकरण और ऊपर वाले के साथ $i = 1, ..., n – 1$ बाएं हाथ के रूप में एक प्रणाली बनाते हैं $y$ में रैखिक समीकरण $y_{1}, ..., y_{n}$ जिनके गुणांक ज्ञात फलन हैं ($n$, द $0$, और उनके डेरिवेटिव)। इस प्रणाली को रैखिक बीजगणित की किसी भी विधि द्वारा हल किया जा सकता है। एंटीडेरिवेटिव्स की गणना देता है $u′_{1}, ..., u′_{n}$, और फिर $yi$.

जैसा कि एंटीडेरिवेटिव को एक स्थिरांक के जोड़ तक परिभाषित किया जाता है, कोई फिर से पाता है कि गैर-सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान एक मनमाना समाधान और संबंधित सजातीय समीकरण के सामान्य समाधान का योग है।

चर गुणांक के साथ प्रथम-क्रम समीकरण
के गुणांक को विभाजित करने के बाद क्रम 1 के एक रैखिक साधारण अंतर समीकरण का सामान्य रूप $u_{1}, ..., u_{n}$, है:
 * $$y'(x) = f(x) y(x) + g(x).$$

यदि समीकरण सजातीय है, अर्थात्। $y = u_{1}y_{1} + ⋯ + u_{n}y_{n}$, कोई फिर से लिख सकता है और एकीकृत कर सकता है:
 * $$\frac{y'}{y}= f, \qquad \log y = k +F, $$

कहाँ पे $f$ एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक है और $$F=\textstyle\int f\,dx$$ का कोई व्युत्पन्न है $k$. अत: समांगी समीकरण का व्यापक हल है
 * $$y=ce^F,$$

कहाँ पे $y′(x)$ एक मनमाना स्थिरांक है।

सामान्य गैर-सजातीय समीकरण के लिए, कोई इसे गुणन प्रतिलोम से गुणा कर सकता है $g(x) = 0$ सजातीय समीकरण के समाधान के लिए। यह देता है
 * $$y'e^{-F}-yfe^{-F}= ge^{-F}.$$

जैसा $f$ उत्पाद नियम समीकरण को फिर से लिखने की अनुमति देता है
 * $$\frac{d}{dx}\left(ye^{-F}\right)= ge^{-F}.$$

इस प्रकार, सामान्य समाधान है
 * $$y=ce^F + e^F\int ge^{-F}dx,$$

कहाँ पे $-fe^{-F} = \tfrac{d}{dx} \left(e^{-F}\right),$ एकीकरण का एक स्थिरांक है, और $c$ का कोई व्युत्पन्न है $F$ (एकीकरण की निरंतरता को बदलने के लिए एंटीडेरिवेटिव मात्रा में परिवर्तन)।

उदाहरण
समीकरण हल करना
 * $$y'(x) + \frac{y(x)}{x} = 3x.$$

संबंधित सजातीय समीकरण $$y'(x) + \frac{y(x)}{x} = 0$$ देता है
 * $$\frac{y'}{y}=-\frac{1}{x},$$

वह है
 * $$y=\frac{c}{x}.$$

मूल समीकरण को इनमें से किसी एक हल से भाग देने पर प्राप्त होता है
 * $$xy'+y=3x^2.$$

वह है
 * $$(xy)'=3x^2,$$ :$$xy=x^3 +c,$$

तथा
 * $$y(x)=x^2+c/x.$$

प्रारंभिक स्थिति के लिए
 * $$y(1)=\alpha,$$

एक विशेष समाधान मिलता है
 * $$y(x)=x^2+\frac{\alpha-1}{x}.$$

रैखिक अंतर समीकरणों की प्रणाली
रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली में कई रैखिक अंतर समीकरण होते हैं जिनमें कई अज्ञात कार्य शामिल होते हैं। सामान्य तौर पर एक अध्ययन को सिस्टम तक सीमित रखता है जैसे कि अज्ञात कार्यों की संख्या समीकरणों की संख्या के बराबर होती है।

एक मनमाना रैखिक साधारण अंतर समीकरण और इस तरह के समीकरणों की एक प्रणाली को सभी के लिए चर जोड़कर रैखिक अंतर समीकरणों के पहले क्रम प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है लेकिन उच्चतम क्रम डेरिवेटिव। यानी अगर $f$ एक समीकरण में दिखाई देते हैं, कोई उन्हें नए अज्ञात कार्यों से बदल सकता है $y', y'', \ldots, y^{(k)}$ जो समीकरणों को संतुष्ट करना चाहिए $y_1, \ldots, y_k$ तथा $y'=y_1$ के लिये $c = e^{k}$.

पहले क्रम की एक रैखिक प्रणाली, जिसमें है $y_i'=y_{i+1},$ अज्ञात कार्य और $n$ अवकल समीकरणों को सामान्यतः अज्ञात फलनों के व्युत्पन्नों के लिए हल किया जा सकता है। यदि ऐसा नहीं है तो यह समीकरणों की एक अंतर-बीजगणितीय प्रणाली है | विभेदक-बीजगणितीय प्रणाली, और यह एक अलग सिद्धांत है। इसलिए, यहां जिन प्रणालियों पर विचार किया गया है, उनका रूप है
 * $$\begin{align}y_1'(x) &= b_1(x) +a_{1,1}(x)y_1+\cdots+a_{1,n}(x)y_n\\

\vdots&\\ y_n'(x) &= b_n(x) +a_{n,1}(x)y_1+\cdots+a_{n,n}(x)y_n,\end{align}$$ कहाँ पे $n$ और यह $b_n$ के कार्य हैं $a_{i,j}$. मैट्रिक्स नोटेशन में, यह सिस्टम लिखा जा सकता है (छोड़कर$e^{−F}$)
 * $$\mathbf{y}' = A\mathbf{y}+\mathbf{b}.$$

हल करने की विधि एकल प्रथम क्रम रैखिक अंतर समीकरणों के समान है, लेकिन मैट्रिक्स गुणन की गैर-कम्यूटेटिविटी से उपजी जटिलताओं के साथ।

होने देना
 * $$\mathbf{u}' = A\mathbf{u}.$$

उपरोक्त मैट्रिक्स समीकरण से जुड़े सजातीय समीकरण बनें। इसके समाधान आयाम का एक सदिश स्थान बनाते हैं $x$, और इसलिए कार्यों के एक वर्ग मैट्रिक्स  के स्तंभ हैं $n$, जिसका सारणिक शून्य फलन नहीं है। यदि $y′ − fy = g$, या $U(x)$ स्थिरांक का एक मैट्रिक्स है, या, अधिक सामान्यतः, यदि $A$ इसके एंटीडेरिवेटिव के साथ आवागमन करता है $A$, तो कोई चुन सकता है $\textstyle B=\int Adx$ के  मैट्रिक्स घातांक  के बराबर $U$. वास्तव में, इन मामलों में, एक है
 * $$\frac{d}{dx}\exp(B) = A\exp (B).$$

सामान्य स्थिति में सजातीय समीकरण के लिए कोई बंद-रूप समाधान नहीं होता है, और किसी को या तो एक संख्यात्मक विधि, या  मैग्नस विस्तार  जैसे सन्निकटन विधि का उपयोग करना पड़ता है।

मैट्रिक्स को जानना $B$, गैर-सजातीय समीकरण का सामान्य समाधान है
 * $$\mathbf{y}(x) = U(x)\mathbf{y_0} + U(x)\int U^{-1}(x)\mathbf{b}(x)\,dx,$$

जहां स्तंभ मैट्रिक्स $$\mathbf{y_0}$$ एकीकरण का एक मनमाना स्थिरांक है।

यदि प्रारंभिक शर्तें इस प्रकार दी गई हैं:
 * $$\mathbf y(x_0)=\mathbf y_0,$$

इन प्रारंभिक शर्तों को संतुष्ट करने वाला समाधान है
 * $$\mathbf{y}(x) = U(x)U^{-1}(x_0)\mathbf{y_0} + U(x)\int_{x_0}^x U^{-1}(t)\mathbf{b}(t)\,dt.$$

परिवर्तनीय गुणांक के साथ उच्च क्रम
चर गुणांक वाले कोटि के एक रेखीय साधारण समीकरण को द्विघात (गणित) द्वारा हल किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि समाधान प्रतिअवकलन के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं। कम से कम दो आदेश के मामले में ऐसा नहीं है। यह पिकार्ड-वेसियट सिद्धांत का मुख्य परिणाम है जिसे एमिल पिकार्ड और अर्नेस्ट वेसियोट  द्वारा शुरू किया गया था, और जिनके हाल के विकास  डिफरेंशियल गैलोइस थ्योरी  सिद्धांत कहा जाता है।

चतुर्भुज द्वारा हल करने की असंभवता की तुलना एबेल-रफिनी प्रमेय से की जा सकती है, जिसमें कहा गया है कि कम से कम पांच डिग्री के बीजगणितीय समीकरण को सामान्य रूप से रेडिकल द्वारा हल नहीं किया जा सकता है। यह सादृश्य प्रमाण विधियों तक फैला हुआ है और विभेदक गैलोइस सिद्धांत के संप्रदाय को प्रेरित करता है।

इसी तरह बीजगणितीय मामले के लिए, सिद्धांत यह तय करने की अनुमति देता है कि कौन से समीकरणों को चतुर्भुज द्वारा हल किया जा सकता है, और यदि संभव हो तो उन्हें हल करना। हालांकि, दोनों सिद्धांतों के लिए, सबसे शक्तिशाली कंप्यूटरों के साथ भी, आवश्यक गणनाएं बेहद कठिन हैं।

फिर भी, तर्कसंगत गुणांक वाले क्रम दो के मामले को कोवासिक के एल्गोरिथम द्वारा पूरी तरह से हल कर लिया गया है।

कॉची-यूलर समीकरण
कॉची-यूलर समीकरण चर गुणांक वाले किसी भी क्रम के समीकरणों के उदाहरण हैं, जिन्हें स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है। ये फॉर्म के समीकरण हैं
 * $$x^n y^{(n)}(x) + a_{n-1} x^{n-1} y^{(n-1)}(x) + \cdots + a_0 y(x) = 0,$$ कहाँ पे $U$ स्थिर गुणांक हैं।

होलोनोमिक फ़ंक्शन
एक होलोनोमिक फ़ंक्शन, जिसे डी-परिमित फ़ंक्शन भी कहा जाता है, एक ऐसा फ़ंक्शन है जो बहुपद गुणांक के साथ एक सजातीय रैखिक अंतर समीकरण का समाधान है।

आमतौर पर गणित में जिन कार्यों पर विचार किया जाता है, वे होलोनोमिक या होलोनोमिक फ़ंक्शंस के भागफल होते हैं। वास्तव में, होलोनोमिक कार्यों में बहुपद, बीजगणितीय कार्य, लघुगणक, घातीय कार्य, साइन, कोसाइन, अतिशयोक्तिपूर्ण साइन, अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन, उलटा त्रिकोणमितीय कार्य और प्रतिलोम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य, और कई विशेष कार्य जैसे बेसेल फ़ंक्शन और हाइपरजोमेट्रिक फ़ंक्शन शामिल हैं।

होलोनोमिक फ़ंक्शंस में कई बंद संपत्ति  होती है; विशेष रूप से, योग, उत्पाद, व्युत्पन्न और होलोनोमिक कार्यों के प्रतिपक्षी समग्र हैं। इसके अलावा, ये क्लोजर गुण प्रभावी हैं, इस अर्थ में कि इनपुट के अंतर समीकरणों को जानने के लिए इनमें से किसी भी ऑपरेशन के परिणाम के अंतर समीकरण की गणना के लिए  कलन विधि  हैं। होलोनोमिक फ़ंक्शंस की अवधारणा की उपयोगिता ज़िलबर्गर के प्रमेय के परिणाम है, जो इस प्रकार है।

एक होलोनोमिक अनुक्रम संख्याओं का एक क्रम है जो बहुपद गुणांक के साथ पुनरावृत्ति संबंध  द्वारा उत्पन्न हो सकता है। एक होलोनोमिक फ़ंक्शन के एक बिंदु पर  टेलर श्रृंखला  के गुणांक एक होलोनोमिक अनुक्रम बनाते हैं। इसके विपरीत, यदि एक शक्ति श्रृंखला के गुणांकों का क्रम होलोनोमिक है, तो श्रृंखला एक होलोनोमिक फ़ंक्शन को परिभाषित करती है (भले ही  अभिसरण की त्रिज्या  शून्य हो)। दोनों रूपांतरणों के लिए कुशल एल्गोरिदम हैं, जो कि अंतर समीकरण से पुनरावृत्ति संबंध की गणना के लिए है, और इसके विपरीत।

यह इस प्रकार है कि, यदि कोई अपने परिभाषित अंतर समीकरणों और प्रारंभिक स्थितियों द्वारा होलोनोमिक कार्यों का प्रतिनिधित्व करता है, तो अधिकांश कैलकुस संचालन स्वचालित रूप से इन कार्यों पर किया जा सकता है, जैसे व्युत्पन्न, अनिश्चित अभिन्न और निश्चित अभिन्न, टेलर श्रृंखला की तेज़ गणना ( इसके गुणांकों पर पुनरावृत्ति संबंध के लिए धन्यवाद), सन्निकटन त्रुटि की प्रमाणित सीमा के साथ एक उच्च परिशुद्धता के लिए मूल्यांकन, सीमा (गणित), विलक्षणता का स्थानीयकरण (गणित), अनंत और निकट विलक्षणता पर स्पर्शोन्मुख व्यवहार, पहचान का प्रमाण, आदि।

यह भी देखें

 * निरंतर चुकौती बंधक#साधारण समय अंतर समीकरण|निरंतर चुकौती बंधक
 * फुरियर रूपांतरण
 * लाप्लास ट्रांसफॉर्म
 * रैखिक अंतर समीकरण
 * मापदंडों की विविधता

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 * एकतरफा बहुपद
 * एकपदी की डिग्री
 * एक बहुपद का क्रम (बहुविकल्पी)
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 * कामुक समीकरण
 * चतुर्थक कार्य
 * क्रमसूचक अंक
 * त्रिनाम
 * इंटीग्रल डोमेन
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 * अंगूठी (गणित)
 * पूर्णांक मॉड्यूल n
 * लोगारित्म
 * घातांक प्रकार्य
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 * बीजगणित का मौलिक प्रमेय
 * डिजिटल डाटा
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 * निविष्टी की हानि
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 * पारदर्शिता और पारदर्शिता
 * सकल (भूविज्ञान)
 * कैल्सेडनी
 * सुलेमानी पत्थर
 * बिल्लौर
 * बैंगनी रंग)
 * नीला रंग)
 * खनिज कठोरता का मोह पैमाना
 * क्षुद्रग्रह (रत्न विज्ञान)
 * मैंने
 * एराइड आइलैंड
 * सेशल्स
 * तलछटी पत्थर
 * रूपांतरित चट्टान
 * धरती
 * परिपक्वता (तलछट विज्ञान)
 * नस (भूविज्ञान)
 * सेमीकंडक्टर
 * बटन लगाना
 * पत्थर का औजार
 * पाषाण प्रौद्योगिकी
 * आयरलैंड का गणराज्य
 * पूर्व-कोलंबियाई युग
 * पियर्स थरथरानवाला
 * पतली फिल्म मोटाई मॉनिटर
 * ट्यूनेड सर्किट
 * पेंडुलम क्लॉक
 * बेल लेबोरेटरीज
 * ट्यूनिंग कांटा
 * एलसी थरथरानवाला
 * सामरिक सामग्री
 * एचिंग
 * सतह ध्वनिक तरंग
 * समावेशन (खनिज)
 * जिंक आक्साइड
 * नव युवक
 * गैस निकालना
 * शॉक (यांत्रिकी)
 * जी बल
 * रासायनिक चमकाने
 * प्रति-चुंबकीय
 * रैंडम संख्या जनरेटर
 * दिमाग
 * कंपन
 * विवेक
 * लोंगिट्युडिनल वेव
 * डायाफ्राम (ध्वनिकी)
 * प्रतिबिंब (भौतिकी)
 * श्यानता
 * वस्तुस्थिति
 * विरल करना
 * समतल लहर
 * ध्वनि का दबाव
 * ध्वनि तीव्रता
 * रुद्धोष्म प्रक्रिया
 * आपेक्षिक यूलर समीकरण
 * वर्गमूल औसत का वर्ग
 * वर्गमूल औसत का वर्ग
 * जवाबदेही
 * आवृत्तियों
 * बर्ड वोकलिज़ेशन
 * समुद्री स्तनधारियों
 * सस्तन प्राणी
 * हीड्रास्फीयर
 * प्रबलता
 * शिकार
 * भाषण संचार
 * श्वेत रव
 * ध्वनिरोधन
 * सोनार
 * रॉयल सोसाइटी के फेलो
 * रडार अनुसंधान प्रतिष्ठान
 * रॉयल सिग्नल और रडार स्थापना
 * रेले तरंगें
 * एचएफई वंशानुगत हेमोक्रोमैटोसिस
 * लौह अधिभार
 * ध्वनिकी संस्थान (यूनाइटेड किंगडम)
 * गैबर मेडल
 * हाइब्रिड इंटीग्रेटेड सर्किट
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 * प्यार की तरंगे
 * लोंगिट्युडिनल वेव
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 * स्पिन वेव
 * क्वांटम जानकारी
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 * मिश्रण (प्रक्रिया इंजीनियरिंग)
 * छोटी बूंद आधारित माइक्रोफ्लुइडिक्स
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 * उलटा अतिपरवलयिक कार्य
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 * अनिश्चितकालीन अभिन्न
 * विलक्षणता (गणित)
 * समाकलन परिभाषित करें

बाहरी संबंध

 * http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode.htm
 * Dynamic Dictionary of Mathematical Function. Automatic and interactive study of many holonomic functions.