क्लेस्ली श्रेणी

श्रेणी सिद्धांत में, क्लेस्ली श्रेणी एक श्रेणी (गणित) है जो स्वाभाविक रूप से किसी भी मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) टी से जुड़ी है। यह मुक्त मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) की श्रेणी के बराबर है #Algebras for a monad|T-algebras। क्लेस्ली श्रेणी इस प्रश्न के दो चरम समाधानों में से एक है क्या प्रत्येक सन्यासी एक संयोजन (श्रेणी सिद्धांत) से उत्पन्न होता है? अन्य चरम समाधान इलेनबर्ग-मूर श्रेणी है। क्लेस्ली श्रेणियों का नाम गणितज्ञ हेनरिक क्लेस्ली के नाम पर रखा गया है।

औपचारिक परिभाषा
चलो 〈T, η, μ〉 एक श्रेणी सी पर एक मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) बनें। सी की 'क्लेस्ली श्रेणी' श्रेणी सी हैT जिनकी वस्तुएं और आकारिकी द्वारा दी गई हैं
 * $$\begin{align}\mathrm{Obj}({\mathcal{C}_T}) &= \mathrm{Obj}({\mathcal{C}}), \\

\mathrm{Hom}_{\mathcal{C}_T}(X,Y) &= \mathrm{Hom}_{\mathcal{C}}(X,TY).\end{align}$$ अर्थात्, प्रत्येक आकारिकी f: X → TY C में (कोडोमेन TY के साथ) को C में आकारिकी के रूप में भी माना जा सकता है।T (लेकिन कोडोमेन वाई के साथ)। सी में morphisms की संरचनाT द्वारा दिया गया है
 * $$g\circ_T f = \mu_Z \circ Tg \circ f : X \to T Y \to T^2 Z \to T Z$$

जहां एफ: एक्स → टी वाई और जी: वाई → टी जेड। पहचान रूपवाद मोनाड यूनिट η द्वारा दिया गया है:
 * $$\mathrm{id}_X = \eta_X$$.

इसे लिखने का एक वैकल्पिक तरीका, जो उस श्रेणी को स्पष्ट करता है जिसमें प्रत्येक वस्तु रहती है, मैक लेन द्वारा उपयोग किया जाता है। हम इस प्रस्तुति के लिए बहुत थोड़े भिन्न संकेतन का उपयोग करते हैं। एक ही सन्यासी और श्रेणी को देखते हुए $$C$$ ऊपर के रूप में, हम प्रत्येक वस्तु के साथ जुड़ते हैं $$X$$ में$$C$$ एक नई वस्तु $$X_T$$, और प्रत्येक रूपवाद के लिए $$f\colon X\to TY$$ में$$C$$ एक रूपवाद $$f^*\colon X_T\to Y_T$$. साथ में, ये वस्तुएं और आकारिकी हमारी श्रेणी बनाती हैं $$C_T$$, जहां हम परिभाषित करते हैं
 * $$g^*\circ_T f^* = (\mu_Z \circ Tg \circ f)^*.$$

फिर पहचान morphism में $$C_T$$ है
 * $$\mathrm{id}_{X_T} = (\eta_X)^*.$$

एक्सटेंशन ऑपरेटर और क्लेस्ली ट्रिपल्स
क्लेस्ली तीरों की संरचना को विस्तार ऑपरेटर (-) के माध्यम से संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है# : होम (X, TY) → होम (TX, TY)। श्रेणी C पर एक सन्यासी 〈T, η, μ〉 दिया गया है और एक आकारिकी f : X → TY चलो
 * $$f^\sharp = \mu_Y\circ Tf.$$

क्लेस्ली श्रेणी सी में रचनाT तब लिखा जा सकता है
 * $$g\circ_T f = g^\sharp \circ f.$$

विस्तार ऑपरेटर पहचान को संतुष्ट करता है:
 * $$\begin{align}\eta_X^\sharp &= \mathrm{id}_{TX}\\

f^\sharp\circ\eta_X &= f\\ (g^\sharp\circ f)^\sharp &= g^\sharp \circ f^\sharp\end{align}$$ जहाँ f : X → TY और g : Y → TZ। यह इन गुणों से तुच्छ रूप से अनुसरण करता है कि क्लेस्ली रचना साहचर्य है और वह ηX पहचान है।

वास्तव में, एक सन्यासी देना एक क्लेस्ली ट्रिपल 〈T, η, (-) देना है#〉, यानी जैसे कि एक्सटेंशन ऑपरेटरों के लिए उपरोक्त तीन समीकरण संतुष्ट हैं।
 * एक समारोह $$T\colon \mathrm{ob}(C)\to \mathrm{ob}(C)$$;
 * प्रत्येक वस्तु के लिए $$A$$ में $$C$$, एक रूपवाद $$\eta_A\colon A\to T(A)$$;
 * प्रत्येक रूपवाद के लिए $$f\colon A\to T(B)$$ में $$C$$, एक रूपवाद $$f^\sharp\colon T(A)\to T(B)$$

क्लेस्ली एडजंक्शन
क्लेस्ली श्रेणियों को मूल रूप से यह दिखाने के लिए परिभाषित किया गया था कि प्रत्येक सन्यासी एक संयोजन से उत्पन्न होता है। वह रचना इस प्रकार है।

चलो 〈T, η, μ〉 एक श्रेणी C पर एक सन्यासी हो और C को जाने दोT संबंधित क्लेस्ली श्रेणी हो। उपरोक्त "औपचारिक परिभाषा" खंड में वर्णित मैक लेन के नोटेशन का उपयोग करके, एक फ़ंक्टर F: C → C परिभाषित करेंT द्वारा
 * $$FX = X_T\;$$
 * $$F(f\colon X \to Y) = (\eta_Y \circ f)^*$$

और एक फ़ैक्टर जी: सीT → सी द्वारा
 * $$GY_T = TY\;$$
 * $$G(f^*\colon X_T \to Y_T) = \mu_Y \circ Tf\;$$

कोई यह दिखा सकता है कि F और G वास्तव में फ़ैक्टर हैं और F को G के समीप छोड़ दिया गया है। एडजंक्शन का कॉउंट द्वारा दिया गया है
 * $$\varepsilon_{Y_T} = (\mathrm{id}_{TY})^* : (TY)_T \to Y_T.$$

अंत में, कोई यह दिखा सकता है कि T = GF और μ = GεF ताकि 〈T, η, μ〉 आसन्न 〈F, G, η, ε〉 से जुड़ा मोनाड हो।

दिखा रहा है कि GF = T
श्रेणी C में किसी वस्तु X के लिए:
 * $$\begin{align}

(G \circ F)(X) &= G(F(X)) \\ &= G(X_T) \\ &= TX. \end{align}$$ किसी के लिए $$f : X \to Y$$ श्रेणी सी में:
 * $$\begin{align}

(G \circ F)(f) &= G(F(f)) \\ &= G((\eta_Y \circ f)^*) \\ &= \mu_Y \circ T(\eta_Y \circ f) \\ &= \mu_Y \circ T\eta_Y \circ Tf \\ &= \text{id}_{TY} \circ Tf \\ &= Tf. \end{align}$$ तब से $$(G \circ F)(X) = TX$$ सी और में किसी वस्तु एक्स के लिए सच है $$(G \circ F)(f) = Tf$$ C में किसी भी आकारिकी f के लिए सत्य है, तब $$G \circ F = T$$. Q.E.D.