दिष्‍ट सूचना

दिष्‍ट सूचना एक सूचना सिद्धांत आकलन है जो यादृच्छिक स्ट्रिंग$$X^n = (X_1,X_2,\dots,X_n)$$ से यादृच्छिक स्ट्रिंग $$Y^n = (Y_1,Y_2,\dots,Y_n)$$ तक सूचना प्रवाह की मात्रा निर्धारित करता है। दिष्‍ट सूचना शब्द जेम्स मैसी द्वारा गढ़ा गया था और इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$I(X^n\to Y^n) \triangleq \sum_{i=1}^n I(X^i;Y_i|Y^{i-1})$$

जहाँ $$I(X^{i};Y_i|Y^{i-1})$$ सशर्त पारस्परिक सूचना है $$I(X_1,X_2,...,X_{i};Y_i|Y_1,Y_2,...,Y_{i-1})$$.

दिष्‍ट सूचना में उन समस्याओं के लिए अनुप्रयोग होते हैं जहां कारण कार्य महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है जैसे फीडबैक वाले चैनल क्षमता, असतत मेमोरी रहित नेटवर्क की क्षमता, इन-ब्लॉक मेमोरी वाले नेटवर्क की क्षमता, कारण पक्ष की सूचना के साथ गैम्बल, कारण पक्ष की सूचना के साथ संपीड़न, वास्तविक समय नियंत्रण संचार समायोजन,  और सांख्यिकीय भौतिकी।

कारण अनुबंधन
दिष्‍ट सूचना का सार कारण अनुबंधन है। $$x^n$$पर यथोचित रूप से अनुबंधन $$y^n$$ की प्रायिकता को इस प्रकार परिभाषित किया गया है :

$$P(x^n||y^n) \triangleq \prod_{i=1}^n P(x_i|x^{i-1},y^{i})$$.

यह पारंपरिक अनुबंधन

$$P(x^n|y^n) = \prod_{i=1}^n P(x_i|x^{i-1},y^{n})$$ के लिए श्रृंखला नियम, सभी प्रतीकों $$y^{i}$$ के बजाय "अतीत" और "वर्तमान" प्रतीकों $$y^{n}$$ पर एक अनुबंधन को छोड़कर के समान है। केवल "अतीत" प्रतीकों को शामिल करने के लिए, स्थिर प्रतीक को जोड़कर विलंब का परिचय दिया जा सकता है:
 * $$P(x^n||(0,y^{n-1})) \triangleq \prod_{i=1}^n P(x_i|x^{i-1},y^{i-1})$$.

इस अभिव्यक्ति के लिए $$P(x^n||y^{n-1})$$ लिखकर संकेतन का दुरुपयोग करना आम बात है, हालांकि औपचारिक रूप से सभी स्ट्रिंग्स में प्रतीकों की संख्या समान होनी चाहिए।

कोई भी कई स्ट्रिंग्स पर अनुबंधन लगा सकता है: $$P(x^n||y^n,z^n) \triangleq \prod_{i=1}^n P(x_i|x^{i-1},y^{i},z^{i})$$.

कारण अनुबंधन एन्ट्रापी
कारणतः अनुबंधन एन्ट्रापी को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: :$$H(X^n || Y^n)=\mathbf E\left[ -\log {P(X^n||Y^n)} \right]=\sum_{i=1}^n H(X_{i}|X^{i-1},Y^{i})$$

इसी तरह, कोई भी कई स्ट्रिंग्स पर कारणात्मक अनुबंधन कर सकता है और लिख सकता है$$H(X^n || Y^n,Z^n)=\mathbf E\left[ -\log {P(X^n||Y^n,Z^n)} \right]$$

गुण
कारण अनुबंधन के लिए अपघटन नियम है
 * $$P(x^n, y^n) = P(x^n||y^{n-1}) P(y^n||x^n)$$.

यह नियम दर्शाता है कि कोई भी उत्पाद $$P(x^n||y^{n-1}), P(y^n||x^n)$$ संयुक्त वितरण $$P(x^n, y^n)$$ देता है।

कारण अनुबंधन प्रायिकता$$P(y^n||x^n) = \prod_{i=1}^n P(y_i|y^{i-1},x^{i})$$ प्रायिकता सदिश है, यानी,
 * $$P(y^n||x^n)\geq 0 \quad\text{and}\quad \sum_{y^n} P(y^n||x^n)=1 \quad\text{for all } (x^n,y^n)$$.

दिष्‍ट सूचना को कारण अनुबंधन के संदर्भ में लिखा जा सकता है: :$$I(X^N \rightarrow Y^N)=\mathbf E\left[ \log \frac{P(Y^N||X^N)}{P(Y^N)} \right] = H(Y^n)- H(Y^n || X^n)$$.

संबंध तीन स्ट्रिंग्स तक सामान्यीकृत होता है: $$X^n$$ को $$Y^n$$ तक प्रवाहित वाली $$Z^n$$ यथोचित रूप से अनुबंधन  है
 * $$I(X^n\to Y^n || Z^n) = H(Y^n || Z^n)- H(Y^n || X^n, Z^n)$$.

सूचना का संरक्षण नियम
जेम्स मैसी और उनके बेटे पीटर मैसी द्वारा स्थापित यह कानून, दिष्‍ट सूचना और पारस्परिक सूचना से संबंधित होकर अंतर्ज्ञान देता है। कानून कहता है कि किसी के लिए भी $$X^n, Y^n $$, निम्नलिखित समानता रखती है:
 * $$I(X^n;Y^n)= I(X^n \to Y^n)+I(Y^{n-1} \to X^n).$$

इस कानून के दो वैकल्पिक रूप हैं
 * $$I(X^n;Y^n) = I(X^n \to Y^n) + I(Y^n \to X^n) - I(X^n \leftrightarrow Y^n)$$
 * $$I(X^n;Y^n) = I(X^{n-1} \to Y^n) + I(Y^{n-1} \to X^n) + I(X^n \leftrightarrow Y^n)$$

जहाँ $$I(X^n \leftrightarrow Y^n) = \sum_{i=1}^n I(X_i ; Y_i | X^{i-1}, Y^{i-1})$$.

अनुमान और अनुकूलन
दिष्‍ट सूचना का अनुमान लगाना और उसका अनुकूलन करना चुनौतीपूर्ण है क्योंकि ऐसा हुआ है $$n$$ शर्तें कहां $$n$$ बड़ा हो सकता है. कई मामलों में, किसी की रुचि सीमित औसत को अनुकूलित करने में होती है, अर्थात कब $$n$$ अनंत तक बढ़ता है जिसे बहु-अक्षर अभिव्यक्ति कहा जाता है।

अनुमान
नमूनों से दिष्‍ट सूचना का अनुमान लगाना एक कठिन समस्या है क्योंकि दिष्‍ट सूचना अभिव्यक्ति नमूनों पर नहीं बल्कि संयुक्त वितरण पर निर्भर करती है $$\{P(x_i,y_i|x^{i-1},y^{i-1})_{i=1}^n\}$$ जो अज्ञात हो सकता है. संदर्भ वृक्ष भार पर आधारित कई एल्गोरिदम हैं और अनुभवजन्य पैरामीट्रिक वितरण और दीर्घकालिक अल्पकालिक स्मृति का उपयोग करना।

अनुकूलन
दिष्‍ट सूचना को अधिकतम करना सूचना सिद्धांत में एक मूलभूत समस्या है। उदाहरण के लिए, चैनल वितरण दिया गया $$\{P(y_i|x^{i},y^{i-1}\}_{i=1}^n)$$, उद्देश्य अनुकूलन करना हो सकता है $$ I(X^n\to Y^n)$$ चैनल इनपुट वितरण पर $$\{P(x_i|x^{i-1},y^{i-1}\}_{i=1}^n)$$.

ब्लाहुत-अरिमोटो एल्गोरिदम के आधार पर दिष्‍ट सूचना को अनुकूलित करने के लिए एल्गोरिदम हैं|ब्लाहुत-अरिमोटो, मार्कोव निर्णय प्रक्रिया,   आवर्तक तंत्रिका नेटवर्क, सुदृढीकरण सीखना। और ग्राफ़िकल विधियाँ (क्यू-ग्राफ़)। ब्लाहुत-अरिमोटो एल्गोरिदम के लिए|ब्लाहुत-अरिमोटो एल्गोरिदम, मुख्य विचार दिष्‍ट सूचना अभिव्यक्ति की अंतिम पारस्परिक सूचना से शुरू करना और पीछे की ओर जाना है। मार्कोव निर्णय प्रक्रिया के लिए,   मुख्य विचार अनुकूलन को अनंत क्षितिज औसत इनाम मार्कोव निर्णय प्रक्रिया में बदलना है। आवर्ती तंत्रिका नेटवर्क के लिए, मुख्य विचार आवर्तक तंत्रिका नेटवर्क का उपयोग करके इनपुट वितरण को मॉडल करना और  ढतला हुआ वंश  का उपयोग करके मापदंडों को अनुकूलित करना है। सुदृढीकरण सीखने के लिए, मुख्य विचार सुदृढीकरण सीखने के उपकरणों का उपयोग करके क्षमता के मार्कोव निर्णय प्रक्रिया सूत्रीकरण को हल करना है, जो किसी को बड़े या यहां तक ​​कि निरंतर वर्णमाला से निपटने की सुविधा देता है।

मार्को का द्विदिश संचार का सिद्धांत
मैसी की दिष्‍ट सूचना द्विदिश संचार के सिद्धांत को विकसित करने पर मार्को के शुरुआती काम (1966) से प्रेरित थी। दिष्‍ट परिवर्तन सूचना की मार्को की परिभाषा उस समय मैसी की परिभाषा से थोड़ी भिन्न है $$n$$, पिछले प्रतीकों पर एक अनुबंधन $$X^{n-1},Y^{n-1}$$ केवल और एक सीमा लेता है:
 * $$T_{12} = \lim_{n \to \infty} \mathbf E\left[ -\log \frac{P(X_{n}|X^{n-1})}{P(X_{n}|X^{n-1},Y^{n-1})} \right] \quad\text{and}\quad T_{21} = \lim_{n \to \infty} \mathbf E\left[ -\log \frac{P(Y_{n}|Y^{n-1})}{P(Y_{n}|Y^{n-1},X^{n-1})} \right].$$

मार्को ने कई अन्य मात्राएँ परिभाषित कीं, जिनमें शामिल हैं: कुल सूचना को आमतौर पर एन्ट्रापी दर कहा जाता है। मार्को ने उन समस्याओं के लिए निम्नलिखित संबंध दिखाए जिनमें उनकी रुचि थी: उन्होंने मात्राओं को भी परिभाषित किया जिन्हें उन्होंने अवशिष्ट एन्ट्रॉपीज़ कहा: और संरक्षण नियम विकसित किया $$F_{1}+F_{2} = R_{1}+R_{2}+K = H_{1}+H_{2}-K$$ और कई सीमाएँ.
 * कुल सूचना: $$H_{1} = \lim_{n \to \infty} \mathbf E\left[ -\log P(X_{n}|X^{n-1}) \right]$$ और $$H_{2} = \lim_{n \to \infty} \mathbf E\left[ -\log P(Y_{n}|Y^{n-1}) \right]$$
 * निःशुल्क सूचना: $$F_{1} = \lim_{n \to \infty} \mathbf E\left[ -\log P(X_{n}|X^{n-1},Y^{n-1}) \right]$$ और $$F_{2} = \lim_{n \to \infty} \mathbf E\left[ -\log P(Y_{n}|Y^{n-1},X^{n-1}) \right]$$
 * संयोग: $$K = \lim_{n \to \infty} \mathbf E\left[ -\log \frac{P(X_{n}|X^{n-1}) P(Y_{n}|Y^{n-1})}{P(X_{n},Y_{n}|X^{n-1},Y^{n-1})} \right].$$
 * $$K = T_{12}+T_{21}$$
 * $$H_{1} = T_{12}+F_{1}$$ और $$H_{2} = T_{21}+F_{2}$$
 * $$R_{1} = H_{1}-K = F_{1}-T_{21}$$
 * $$R_{2} = H_{2}-K = F_{2}-T_{12}$$

एन्ट्रापी स्थानांतरण से संबंध
दिष्‍ट सूचना ट्रांसफर एन्ट्रापी से संबंधित है, जो मार्को की दिष्‍ट ट्रांसइन्फॉर्मेशन का एक छोटा संस्करण है $$T_{21}$$.

समय पर स्थानांतरण एन्ट्रापी $$i$$ और स्मृति के साथ $$d$$ है

T_{X \to Y} = I(X_{i-1},\dots,X_{i-d} ; Y_i | Y_{i-1},\dots,Y_{i-d}). $$ जहां किसी में वर्तमान प्रतीक शामिल नहीं है $$X_i$$ या अतीत के प्रतीक $$X^{i-d-1},Y^{i-d-1}$$ समय से पहले $$i-d$$.

स्थानांतरण एन्ट्रापी आमतौर पर स्थिरता मानती है, अर्थात, $$T_{X \to Y}$$ समय पर निर्भर नहीं करता $$i$$.