वैन कम्पेन आरेख

ज्यामितीय समूह सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, एक वान कम्पेन आरेख (कभी-कभी इसे लिंडन-वान कम्पेन आरेख भी कहा जाता है)  ) एक समतल आरेख है जो इस तथ्य का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है कि समूह प्रस्तुति द्वारा दिए गए समूह जेनरेटर में एक विशेष शब्द उस समूह में पहचान तत्व का प्रतिनिधित्व करता है।

इतिहास
1933 में एगबर्ट वैन कम्पेन द्वारा वैन कम्पेन आरेख की धारणा प्रस्तुत की गई थी। यह पेपर अमेरिकन जर्नल ऑफ मैथमेटिक्स के उसी अंक में वैन कम्पेन के एक अन्य पेपर के रूप में दिखाई दिया, जहां उन्होंने सिद्ध किया कि अब सीफर्ट-वैन कैम्पेन प्रमेय के रूप में जाना जाता है। वान कम्पेन आरेखों पर पेपर का मुख्य परिणाम, जिसे अब वैन कम्पेन लेम्मा के रूप में जाना जाता है, को सेफ़र्ट-वैन कैम्पेन प्रमेय से बाद में एक समूह के प्रस्तुति परिसर में प्रयुक्त करके प्राप्त किया जा सकता है। चूंकि, वैन कम्पेन ने उस समय इस पर ध्यान नहीं दिया और यह तथ्य केवल बहुत बाद में स्पष्ट किया गया (देखें, उदा। ). 1960 के दशक में छोटे रद्दीकरण सिद्धांत के आगमन तक वैन कम्पेन आरेख समूह सिद्धांत में लगभग तीस वर्षों तक एक कम उपयोग किया जाने वाला उपकरण बना रहा, जहाँ वैन कम्पेन आरेख एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। वर्तमान में वैन कम्पेन आरेख ज्यामितीय समूह सिद्धांत में एक मानक उपकरण हैं। उनका उपयोग, विशेष रूप से, समूहों में आइसोपेरिमेट्रिक कार्यों के अध्ययन के लिए किया जाता है, और उनके विभिन्न सामान्यीकरण जैसे कि आइसोडायमेट्रिक कार्य, भरने वाले लंबाई कार्यों और इसी तरह है।

औपचारिक परिभाषा
नीचे दी गई परिभाषाएँ और संकेतन काफी हद तक लिंडन और शूप का अनुसरण करते हैं।

माना
 * $$G=\langle A | R\, \rangle$$(†)

एक समूह प्रस्तुति हो जहां सभी r∈R मुक्त समूह F(A) में चक्रीय रूप से कम किए गए शब्द हैं। वर्णमाला A और परिभाषित संबंधों के समुच्चय को अधिकांशतः परिमित माना जाता है, जो एक परिमित समूह प्रस्तुति से मेल खाता है, किन्तु वैन कम्पेन आरेख की सामान्य परिभाषा के लिए यह धारणा आवश्यक नहीं है। R∗ R का सममित समापन होना है, अर्थात R को छोड़ दें∗ R के तत्वों और उनके व्युत्क्रमों के सभी चक्रीय क्रमपरिवर्तनों को जोड़कर R से प्राप्त किया जा सकता है।

प्रस्तुति पर एक वैन कम्पेन आरेख (†) एक प्लानर परिमित कोशिका परिसर है $$\mathcal D\,$$, एक विशिष्ट एम्बेडिंग के साथ दिया गया है $$\mathcal D\subseteq \mathbb R^2\,$$ निम्नलिखित अतिरिक्त डेटा के साथ और निम्नलिखित अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करना:


 * 1) जटिल $$\mathcal D\,$$ जुड़ा हुआ है और बस जुड़ा हुआ है।
 * 2) $$\mathcal D\,$$ के प्रत्येक किनारे (एक-कोशिका) को एक तीर और अक्षर a∈A द्वारा नाम किया गया है।
 * 3) कुछ शीर्ष (शून्य-कोशिका) जो $$\mathcal D\subseteq \mathbb R^2\,$$की स्थलाकृतिक सीमा से संबंधित है बेस-वर्टेक्स के रूप में निर्दिष्ट किया गया है।
 * 4) $$\mathcal D$$ के प्रत्येक क्षेत्र (दो-कक्ष) के लिए, उस क्षेत्र के सीमा चक्र पर प्रत्येक शीर्ष के लिए, और दिशा के दो विकल्पों में से प्रत्येक के लिए (दक्षिणावर्त या वामावर्त), क्षेत्र के सीमा चक्र का नाम उस शीर्ष से पढ़ें और उस दिशा में F(A) में एक स्वतंत्र रूप से घटाया गया शब्द है जो R∗ से संबंधित है।

इस प्रकार $$\mathcal D\,$$ का 1-कंकाल एक परिमित जुड़ा हुआ समतलीय ग्राफ $$\mathbb R^2\,$$ में सन्निहित है और $$\mathcal D\,$$ की दो-कोशिकाएँ हैं इस ग्राफ के लिए निश्चित रूप से परिबद्ध पूरक क्षेत्र हैं।।

R∗ स्थिति 4 की पसंद से यह आवश्यक है कि $$\mathcal D\,$$ के प्रत्येक क्षेत्र के लिए उस क्षेत्र का कुछ सीमा शीर्ष है और दिशा का कुछ विकल्प (घड़ी की दिशा में या विपरीत दिशा में) ऐसा है कि सीमा लेबल क्षेत्र उस शीर्ष से पढ़ा जाता है और उस दिशा में स्वतंत्र रूप से घटाया जाता है और R से संबंधित होता है।

एक वैन कम्पेन आरेख $$\mathcal D\,$$ सीमा चक्र भी दर्शाया गया है $$\partial\mathcal D\,$$, जो ग्राफ में एक किनारे-पथ है Γ चारों ओर जाने के लिए संगत है $$\mathcal D\,$$ Γ के असीमित पूरक क्षेत्र की सीमा के साथ दक्षिणावर्त दिशा में एक बार, $$\mathcal D\,$$ के आधार-शीर्ष पर प्रारंभ और समाप्त होता है. उस सीमा चक्र का लेबल अक्षर A ∪ A−1 में एक शब्द w है (जो आवश्यक रूप से स्वतंत्र रूप से कम नहीं किया गया है) जिसे $$\mathcal D\,$$ की सीमा लेबल कहा जाता है.

आगे की शब्दावली

 * एक वैन कम्पेन आरेख $$\mathcal D\,$$को डिस्क आरेख कहा जाता है यदि $$\mathcal D\,$$ एक सामयिक डिस्क है, जिससे जब $$\mathcal D\,$$का प्रत्येक किनारा $$\mathcal D\,$$ के किसी क्षेत्र की सीमा किनारा होता है और जब $$\mathcal D\,$$में कोई कटा हुआ शीर्ष नहीं है।
 * एक वैन कम्पेन आरेख $$\mathcal D\,$$ गैर-कम किया हुआ कहा जाता है यदि $$\mathcal D\,$$ में कमी जोड़ी उपस्थित है जो कि $$\mathcal D\,$$वह अलग-अलग क्षेत्रों की एक जोड़ी है जैसे कि उनके सीमा चक्र एक सामान्य किनारे को साझा करते हैं और इस तरह कि उनके सीमा चक्र, उस किनारे से प्रारंभ होकर पढ़ते हैं, एक क्षेत्र के लिए घड़ी की दिशा में और दूसरे के लिए विपरीत दिशा में, A ∪ A−1 में शब्दों के बराबर हैं. यदि क्षेत्र का ऐसा कोई युग्म उपस्थित नहीं है, $$\mathcal D\,$$ को अपचयित कहा जाता है।
 * $$\mathcal D\,$$ के क्षेत्रों (दो-कोशिकाएँ) की संख्या को $$\mathcal D\,$$ चिह्नित क्षेत्र का $${\rm Area}(\mathcal D)\,$$ क्षेत्र कहा जाता है.

सामान्यतः, एक वैन कम्पेन आरेख में कैक्टस जैसी संरचना होती है, जहां एक या अधिक डिस्क-घटक (संभवतः पतित) चाप से जुड़ते हैं, नीचे चित्र देखें:



उदाहरण
निम्नलिखित आंकड़ा पद दो के मुक्त एबेलियन समूह के लिए वैन कम्पेन आरेख का एक उदाहरण दिखाता है
 * $$G=\langle a, b| ab a^{-1}b^{-1}\rangle.$$

इस आरेख का सीमा लेबल शब्द है
 * $$w=b^{-1}b^3a^{-1}b^{-2}ab^{-1}ba^{-1}ab^{-1}ba^{-1}a.$$

इस आरेख का क्षेत्रफल 8 के बराबर है।

वैन कम्पेन लेम्मा
सिद्धांत में एक प्रमुख मूल परिणाम तथाकथित वान कम्पेन लेम्मा है जो निम्नलिखित बताता है:


 * 1) मान लीजिए $$\mathcal D\,$$ प्रस्तुतीकरण (†) पर सीमा लेबल w के साथ एक वैन कम्पेन आरेख बनें जो वर्णमाला A ∪ A−1 में एक शब्द है (आवश्यक रूप से मुक्त रूप से कम नहीं किया गया है). फिर w=1 G में है।
 * 2) मान लीजिए w अक्षर A ∪ A−1 में स्वतंत्र रूप से घटाया गया शब्द है ऐसा है कि w=1 G में है। फिर प्रस्तुतीकरण (†) पर एक घटा हुआ वैन कम्पेन आरेख $$\mathcal D\,$$ उपस्थित है, जिसकी सीमा लेबल स्वतंत्र रूप से कम हो गई है और डब्ल्यू के बराबर है।

प्रमाण का रेखाचित्र
पहले ध्यान दें कि एक तत्व w ∈ F(A) के लिए हमारे पास G में w = 1 है यदि और केवल यदि w F(A) में R के सामान्य संवरण (समूह सिद्धांत) से संबंधित है, यदि और केवल यदि w को इस रूप में दर्शाया जा सकता है


 * $$w=u_1s_1u_1^{-1}\cdots u_n s_nu_{n}^{-1} \text{ in } F(A),$$(♠)

जहाँ n ≥ 0 और जहाँ si ∈ R∗ = 1, ..., n के लिए।

वैन कम्पेन के लेम्मा का भाग 1$$\mathcal D\,$$ के क्षेत्र पर प्रेरण द्वारा सिद्ध किया गया है. आगमनात्मक कदम में सीमा w के साथ एक वैन कम्पेन आरेख $$\mathcal D\,$$ प्राप्त करने के लिए $$\mathcal D'\,$$ के सीमा क्षेत्रों में से एक को "छीलने" में सम्मिलित है और यह देखते हुए कि F(A) में हमारे पास है
 * $$w=usu^{-1} w',\,$$

जहां s∈R∗ क्षेत्र का सीमा चक्र है जिसे $$\mathcal D'\,$$ से $$\mathcal D\,$$.प्राप्त करने के लिए निकाला गया था

वैन कम्पेन के लेम्मा के भाग दो का प्रमाण अधिक सम्मिलित है। सबसे पहले, यह देखना आसान है कि यदि w स्वतंत्र रूप से घटाया जाता है और w = 1 G में होता है सीमा लेबल w0 के साथ कुछ वैन कैम्पेन आरेख $$\mathcal D_0\,$$ उपस्थित है जैसे कि F(A) कि w = w0 (संभवतः w0को स्वतंत्र रूप से कम करने के बाद)।अर्थात् उपरोक्त फॉर्म (♠) के w के प्रतिनिधित्व पर विचार करें। फिर $$\mathcal D_0\,$$को ui द्वारा लेबल किए गए तनों "उपजी" और si द्वारा लेबल किए गए "कैंडी" (2-कोशिकाओं) के साथ n "लॉलीपॉप" का एक पच्चर बनाएं। फिर $$\mathcal D_0\,$$की सीमा लेबल एक शब्द w0 है ऐसा F(A) में w = w0। चूंकि, यह संभव है कि शब्द w0 स्वतंत्र रूप से कम नहीं किया जाता है। वन कम्पेन आरेखों का एक क्रम प्राप्त करने के लिए एक फिर फोल्डिंग मूव्स करना प्रारंभ करता है $$\mathcal D_0, \mathcal D_1, \mathcal D_2,\dots\,$$ उनके सीमा लेबल को अधिक से अधिक स्वतंत्र रूप से कम करके और यह सुनिश्चित करते हुए कि प्रत्येक चरण पर अनुक्रम में प्रत्येक आरेख का सीमा लेबल F(A) में w के बराबर है। अनुक्रम वैन कम्पेन आरेख $$\mathcal D_k\,$$ के साथ सीमित संख्या में चरणों में समाप्त होता है जिसका सीमा लेबल स्वतंत्र रूप से कम किया गया है और इस प्रकार एक शब्द के रूप में w के बराबर है। रेखाचित्र $$\mathcal D_k\,$$ कम नहीं किया जा सकता है| यदि ऐसा होता है, तो हम सीमा लेबल को प्रभावित किए बिना एक साधारण सर्जरी ऑपरेशन द्वारा इस आरेख से कमी जोड़े को हटा सकते हैं। आखिरकार यह एक कम वैन कम्पेन आरेख $$\mathcal D\,$$ का उत्पादन करता है जिसका सीमा चक्र स्वतंत्र रूप से घटाया गया है और w के बराबर है।

वैन कम्पेन की लेम्मा का सशक्त संस्करण
इसके अतिरिक्त, उपरोक्त प्रमाण से पता चलता है कि वैन कम्पेन के लेम्मा के निष्कर्ष को निम्नानुसार सशक्त किया जा सकता है। भाग 1 यह कहने के लिए को सशक्त किया जा सकता है कि यदि $$\mathcal D\,$$ सीमा लेबल w के साथ क्षेत्र n का एक वैन कम्पेन आरेख है तो R के तत्वों के बिल्कुल n संयुग्मों के F(A) में एक उत्पाद के रूप में w के लिए प्रतिनिधित्व (♠) उपस्थित है∗. भाग 2 को यह कहने के लिए सशक्त किया जा सकता है कि यदि डब्ल्यू स्वतंत्र रूप से कम हो जाता है और R∗ के तत्वों के n संयुग्मों के F(A) में उत्पाद के रूप में एक प्रतिनिधित्व (♠) स्वीकार करता है∗ तो सीमा लेबल w और अधिक से अधिक n क्षेत्र के साथ एक कम वैन कम्पेन आरेख उपस्थित है।

पहचान का प्रतिनिधित्व करने वाले शब्द का क्षेत्रफल
मान लीजिए w ∈ F(A) ऐसा है कि w = 1 in G. फिर w का क्षेत्र, निरूपित क्षेत्र (w), को सीमा लेबल वाले सभी वैन कम्पेन आरेखों के न्यूनतम क्षेत्रों के रूप में परिभाषित किया गया है (वैन कैम्पेन की लेम्मा कहती है कम से कम एक ऐसा आरेख उपस्थित है)।

कोई यह दिखा सकता है कि w के क्षेत्र को समान रूप से सबसे छोटे n≥0 के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जैसे परिभाषित संबंधक के n संयुग्मों के F(A) में एक उत्पाद के रूप में w को व्यक्त करने वाला एक प्रतिनिधित्व (♠) उपस्थित है।

आइसोपेरिमेट्रिक कार्य और डीएचएन कार्य
एक गैर-ऋणात्मक मोनोटोन समारोह कार्य f(n) को प्रस्तुति के लिए एक आइसोपेरिमेट्रिक कार्य कहा जाता है (†) यदि प्रत्येक स्वतंत्र रूप से घटाए गए शब्द w के लिए ऐसा है कि G में w = 1 हमारे पास है


 * $${\rm Area}(w)\le f(|w|),$$

जहां |w| शब्द w की लंबाई है।

अब मान लीजिए कि (†) में अक्षर A परिमित है।

तब (†) के देहं फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है


 * $${\rm Dehn}(n)=\max\{{\rm Area}(w): w=1 \text{ in } G, |w|\le n, w \text{ freely reduced}.\} $$

यह देखना आसान है कि Dehn(n) (†) के लिए एक समपरिमितीय फलन है और इसके अतिरिक्त, यदि f(n) (†) के लिए कोई अन्य समपरिमितीय फलन है तो प्रत्येक n ≥ के लिए Dehn(n) ≤ f(n) 0.

मान लीजिए w ∈ F(A) एक स्वतंत्र रूप से कम किया गया शब्द है जैसे कि G में w = 1। एक वैन कम्पेन आरेख $$\mathcal D\,$$ सीमा लेबल w के साथ न्यूनतम कहा जाता है $${\rm Area}(\mathcal D)={\rm Area}(w).$$ मिनिमल वैन कम्पेन आरेख रीमैनियन ज्यामिति में न्यूनतम सतहों के असतत अनुरूप हैं।

सामान्यीकरण और अन्य अनुप्रयोग

 * वैन-कैम्पन आरेखों के कई सामान्यीकरण हैं जहां समतलीय होने के अतिरिक्त जुड़ा हुआ है और बस जुड़ा हुआ है (जिसका अर्थ है डिस्क के लिए होमोटोपी समतुल्यता होना) आरेख किसी अन्य सतह पर या होमोटोपी समकक्षता पर खींचा जाता है। यह पता चला है कि सतह की ज्यामिति और कुछ समूह सैद्धांतिक धारणाओं के बीच घनिष्ठ संबंध है। इनमें से एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण एक वलयाकार वैन कम्पेन आरेख की धारणा है, जो एक वलय (गणित) के लिए होमोटॉपी तुल्यता है। कुंडलाकार आरेख, जिसे संयुग्मी आरेख के रूप में भी जाना जाता है, का उपयोग समूह प्रस्तुतियों द्वारा दिए गए समूहों में संयुग्मन वर्ग का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है। साथ ही गोलाकार वैन कैम्पेन आरेख समूह-सैद्धांतिक एस्फेरिसिटी के कई संस्करणों से संबंधित हैं और व्हाइटहेड के एस्फेरिसिटी अनुमान से संबंधित हैं, टोरस पर वैन कम्पेन आरेख आने वाले तत्वों से संबंधित हैं, वास्तविक प्रक्षेपी तल पर आरेख समूह में सम्मिलित होने से संबंधित हैं और क्लेन की बोतल पर आरेख उन तत्वों से संबंधित हैं जो अपने स्वयं के व्युत्क्रम से संयुग्मित हैं।
 * वैन कम्पेन आरेख 1960-1970 के दशक में ग्रीन्डलिंगर, लिंडन और शूप द्वारा विकसित छोटे रद्दीकरण सिद्धांत में केंद्रीय वस्तुएं हैं। छोटा रद्दीकरण सिद्धांत समूह प्रस्तुतियों से संबंधित है जहां परिभाषित संबंधों में एक दूसरे के साथ छोटे ओवरलैप होते हैं। यह स्थिति कुछ प्रकार के गैर-सकारात्मक रूप से घुमावदार या ऋणात्मक रूप से घुमावदार व्यवहार को मजबूर करने वाले छोटे रद्दीकरण प्रस्तुतियों पर कम वैन कम्पेन आरेखों की ज्यामिति में परिलक्षित होती है।यह व्यवहार विशेष रूप से शब्द और संयुग्मन समस्याओं के संबंध में छोटे रद्दीकरण समूहों के बीजगणितीय और एल्गोरिथम गुणों के बारे में उपयोगी जानकारी प्राप्त करता है। लघु रद्दीकरण सिद्धांत ज्यामितीय समूह सिद्धांत के प्रमुख अग्रदूतों में से एक था, जो 1980 के दशक के अंत में एक विशिष्ट गणितीय क्षेत्र के रूप में उभरा और यह ज्यामितीय समूह सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण भाग बना हुआ है।
 * 1987 में मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) द्वारा प्रस्तुत किए गए शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के सिद्धांत में वैन कम्पेन आरेख एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। विशेष रूप से, यह पता चला है कि एक अंतिम रूप से प्रस्तुत समूह शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूह है| अगर और केवल अगर यह एक रेखीय समपरिमितीय असमानता को संतुष्ट करता है। इसके अलावा सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूहों के लिए आइसोपेरिमेट्रिक कार्यों के संभावित स्पेक्ट्रम में एक आइसोपेरिमेट्रिक गैप है:किसी भी अंतिम रूप से प्रस्तुत समूह के लिए या तो यह अतिशयोक्तिपूर्ण है और एक रेखीय आइसोपेरिमेट्रिक असमानता को संतुष्ट करता है या फिर डीएचएन कार्य कम से कम द्विघात है।
 * ज्यामितीय समूह सिद्धांत में सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूहों के लिए आइसोपेरिमेट्रिक कार्यों का अध्ययन एक महत्वपूर्ण सामान्य विषय बन गया है जहां पर्याप्त प्रगति हुई है। भिन्नात्मक डीएचएन कार्य वाले समूहों के निर्माण में बहुत काम चला गया है (अर्थात, डीएचएन कार्य गैर-पूर्णांक डिग्री के बहुपद हैं)। एलियाहू चीरता है, ओलशांस्की, बिरगेट और सपीर का काम ट्यूरिंग मशीनों के डीएचएन कार्यों और समय जटिलता कार्यों के बीच संबंधों की खोज की और दिखाया कि एक इच्छानुसार से उचित समय समारोह को कुछ सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह के डीएचएन समारोह के रूप में महसूस किया जा सकता है।
 * इस विषय में वैन कम्पेन आरेखों के विभिन्न स्तरीकृत और सापेक्षिक संस्करणों का भी पता लगाया गया है। विशेष रूप से, ओल्शांस्की द्वारा विकसित छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत के एक स्तरीकृत संस्करण के परिणामस्वरूप विभिन्न समूह-सैद्धांतिक राक्षसों का निर्माण हुआ था, जैसे तार्स्की राक्षस, और बड़े घातांक के आवधिक समूहों के लिए बर्नसाइड समस्या के ज्यामितीय समाधान में। वान कम्पेन आरेखों के सापेक्ष संस्करण (उपसमूहों के संग्रह के संबंध में) ओसिन द्वारा अपेक्षाकृत हाइपरबॉलिक समूहों के सिद्धांत के लिए एक आइसोपेरिमेट्रिक कार्य दृष्टिकोण विकसित करने के लिए उपयोग किया गया था।

यह भी देखें

 * ज्यामितीय समूह सिद्धांत
 * समूह की प्रस्तुति
 * सीफर्ट-वैन कम्पेन प्रमेय

मूल संदर्भ

 * अलेक्जेंडर यू. ओलशांस्की। समूहों में संबंधों को परिभाषित करने की ज्यामिति। 1989 के रूसी मूल से यू द्वारा अनुवादित। ए बख्तूरिन। गणित और इसके अनुप्रयोग (सोवियत श्रृंखला), 70। क्लूवर शैक्षणिक प्रकाशक समूह, डॉर्ड्रेक्ट, 1991। ISBN 0-7923-1394-1
 * रोजर सी. लिंडन और पॉल ई. शूप। कॉम्बिनेटरियल ग्रुप थ्योरी। स्प्रिंगर-वेरलाग, न्यूयॉर्क, 2001। क्लासिक्स इन मैथमेटिक्स सीरीज़, 1977 संस्करण का पुनर्मुद्रण। ISBN 978-3-540-41158-1; च। वी। लघु रद्दीकरण सिद्धांत। पीपी। 235–294।

बाहरी संबंध

 * Van Kampen diagrams from the files of David A. Jackson