साधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ

फ़ाइल:संख्यात्मक एकीकरण चित्रण, चरण=1.svg|right|180px|thumb|विभेदक समीकरण के लिए संख्यात्मक एकीकरण का चित्रण $$y'=y, y(0)=1.$$ {{legend|#0000F0|Blue: Euler method}} {{legend|#00D000|Green: Midpoint method}} {{legend|#F00000|Red: Exact solution: $y=e^t$.}} चरण का आकार है $h=1.0$. फ़ाइल:संख्यात्मक एकीकरण चित्रण चरण=0.25.svg|right|180px|thumb|के लिए वही चित्रण $$h=0.25.$$ मध्यबिंदु विधि, यूलर विधि की तुलना में तेजी से अभिसरण करती है $$h \to 0$$.

साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ साधारण अंतर समीकरणों (ओडीई) के समाधानों के लिए संख्यात्मक विश्लेषण सन्निकटन खोजने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियाँ हैं। उनके उपयोग को संख्यात्मक एकीकरण के रूप में भी जाना जाता है, हालांकि यह शब्द अभिन्नों की गणना को भी संदर्भित कर सकता है।

कई अवकल समीकरणों को सटीक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। हालाँकि, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए - जैसे कि इंजीनियरिंग में - समाधान के लिए एक संख्यात्मक अनुमान अक्सर पर्याप्त होता है। यहां अध्ययन किए गए कलन विधि का उपयोग ऐसे सन्निकटन की गणना करने के लिए किया जा सकता है। समाधान का श्रृंखलाबद्ध विस्तार प्राप्त करने के लिए कैलकुलस की तकनीकों का उपयोग करना एक वैकल्पिक तरीका है।

सामान्य अंतर समीकरण भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र सहित कई वैज्ञानिक विषयों में होते हैं। इसके अलावा, संख्यात्मक आंशिक अंतर समीकरणों में कुछ विधियाँ आंशिक अंतर समीकरण को एक साधारण अंतर समीकरण में बदल देती हैं, जिसे तब हल किया जाना चाहिए।

समस्या
प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण प्रपत्र की प्रारंभिक मूल्य समस्या (IVP) है,

कहाँ $$f$$ एक फ़ंक्शन है $$f:[t_0, \infty) \times \R^d \to \R^d$$, और प्रारंभिक स्थिति $$y_0 \in \R^d $$ एक दिया गया वेक्टर है. प्रथम-क्रम का अर्थ है कि समीकरण में केवल y का पहला व्युत्पन्न दिखाई देता है, और उच्च व्युत्पन्न अनुपस्थित हैं।

उच्च-क्रम प्रणालियों की व्यापकता के नुकसान के बिना, हम खुद को प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों तक ही सीमित रखते हैं, क्योंकि उच्च-क्रम ODE को अतिरिक्त चर पेश करके प्रथम-क्रम समीकरणों की एक बड़ी प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दूसरे क्रम का समीकरण y ′′ = −y को दो प्रथम-क्रम समीकरणों के रूप में फिर से लिखा जा सकता है: y ′ = z और z′ = −y.

इस खंड में, हम आईवीपी के लिए संख्यात्मक तरीकों का वर्णन करते हैं, और टिप्पणी करते हैं कि सीमा मूल्य समस्याओं (बीवीपी) के लिए उपकरणों के एक अलग सेट की आवश्यकता होती है। बीवीपी में, कोई एक से अधिक बिंदुओं पर मानों या समाधान y के घटकों को परिभाषित करता है। इस वजह से, बीवीपी को हल करने के लिए विभिन्न तरीकों का उपयोग करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, शूटिंग विधि (और इसके प्रकार) या वैश्विक विधियाँ जैसे परिमित अंतर, गैलेरकिन विधियाँ, या सहसंयोजन विधियाँ समस्याओं के उस वर्ग के लिए उपयुक्त हैं।

पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय में कहा गया है कि एक अद्वितीय समाधान है, बशर्ते कि एफ लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है। लिप्सचिट्ज़-निरंतर।

तरीके
प्रथम-क्रम आईवीपी को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीके अक्सर दो बड़ी श्रेणियों में से एक में आते हैं: रैखिक मल्टीस्टेप विधियाँ, या रनगे-कुट्टा विधियाँ। तरीकों को स्पष्ट और अंतर्निहित तरीकों में विभाजित करके एक और विभाजन का एहसास किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, अंतर्निहित रैखिक मल्टीस्टेप विधियों में रैखिक मल्टीस्टेप विधि#एडम्स-मौलटन विधियाँ|एडम्स-मौलटन विधियाँ, और बैकवर्ड विभेदन सूत्र (बीडीएफ) शामिल हैं, जबकि अंतर्निहित रनगे-कुट्टा विधियाँ विकर्ण रूप से अंतर्निहित रनगे-कुट्टा (डीआईआरके) शामिल करें, अकेले तिरछे अंतर्निहित रंज-कुट्टा (एसडीआईआरके), और गॉस-राडौ (गॉसियन चतुर्भुज पर आधारित ) संख्यात्मक तरीके। लीनियर मल्टीस्टेप विधि के स्पष्ट उदाहरणों में एडम्स-बैशफोर्थ विधियां शामिल हैं, और कम विकर्ण कसाई झांकी के साथ कोई भी रनगे-कुट्टा विधि स्पष्ट रनगे-कुट्टा विधियां हैं। अंगूठे का एक ढीला नियम यह निर्देश देता है कि कठोर समीकरण अंतर समीकरणों के लिए अंतर्निहित योजनाओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, जबकि गैर-कठोर समस्याओं को स्पष्ट योजनाओं के साथ अधिक कुशलता से हल किया जा सकता है।

तथाकथित सामान्य रैखिक विधियाँ (जीएलएम) विधियों के उपरोक्त दो बड़े वर्गों का सामान्यीकरण हैं।

यूलर विधि
वक्र के किसी भी बिंदु से, आप वक्र की स्पर्शरेखा रेखा के अनुदिश थोड़ी दूरी तय करके वक्र पर किसी नजदीकी बिंदु का अनुमान पा सकते हैं।

विभेदक समीकरण से प्रारंभ करते हुए ($$), हम व्युत्पन्न y′ को परिमित अंतर सन्निकटन से प्रतिस्थापित करते हैं

जिसे पुनः व्यवस्थित करने पर निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है
 * $$ y(t+h) \approx y(t) + hy'(t) $$

और (का उपयोग करते हुए)$$) देता है:

यह फार्मूला आमतौर पर निम्नलिखित तरीके से लागू किया जाता है। हम एक चरण आकार h चुनते हैं, और हम अनुक्रम का निर्माण करते हैं $$t_0, t_1 = t_0 + h, t_2 = t_0 + 2h,...$$ हम द्वारा निरूपित करते हैं $$y_n$$ सटीक समाधान का एक संख्यात्मक अनुमान $$y(t_n)$$. द्वारा प्रेरित ($$), हम इन अनुमानों की गणना निम्नलिखित प्रत्यावर्तन  योजना द्वारा करते हैं यह यूलर विधि है (या फॉरवर्ड यूलर विधि, बैकवर्ड यूलर विधि के विपरीत, जिसका वर्णन नीचे किया जाएगा)। इस विधि का नाम लियोनहार्ड यूलर के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 1768 में इसका वर्णन किया था।

यूलर विधि एक स्पष्ट और अंतर्निहित विधि विधि का एक उदाहरण है। इसका मतलब है कि नया मान yn+1 उन चीज़ों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है जो पहले से ही ज्ञात हैं, जैसे yn.

बैकवर्ड यूलर विधि
यदि, के बजाय ($$), हम सन्निकटन का उपयोग करते हैं

हमें पश्चगामी यूलर विधि प्राप्त होती है:

बैकवर्ड यूलर विधि एक स्पष्ट और अंतर्निहित विधि विधि है, जिसका अर्थ है कि हमें y खोजने के लिए एक समीकरण को हल करना होगाn+1. इसे प्राप्त करने के लिए व्यक्ति अक्सर निश्चित-बिंदु पुनरावृत्ति या (कुछ संशोधन) न्यूटन की विधि | न्यूटन-रफसन विधि का उपयोग करता है।

इस समीकरण को हल करने में स्पष्ट तरीकों की तुलना में अधिक समय लगता है; जब कोई उपयोग करने की विधि का चयन करता है तो इस लागत को ध्यान में रखा जाना चाहिए। अंतर्निहित विधियों का लाभ जैसे ($$) यह है कि वे आम तौर पर कठोर समीकरण को हल करने के लिए अधिक स्थिर होते हैं, जिसका अर्थ है कि बड़े चरण आकार h का उपयोग किया जा सकता है।

प्रथम-क्रम घातीय समाकलक विधि
एक्सपोनेंशियल इंटीग्रेटर्स इंटीग्रेटर्स के एक बड़े वर्ग का वर्णन करते हैं जिन्होंने हाल ही में बहुत अधिक विकास देखा है। वे कम से कम 1960 के दशक के हैं।

की जगह ($$), हम मानते हैं कि अंतर समीकरण किसी भी रूप में है

या इसे एक रेखीय शब्द बनाने के लिए पृष्ठभूमि स्थिति के बारे में स्थानीय रूप से रेखीयकृत किया गया है $$-Ay$$ और एक अरेखीय शब्द $$\mathcal{N}(y)$$.

घातीय इंटीग्रेटर्स का निर्माण गुणा करके किया जाता है ($$) द्वारा $e^{A t}$, और परिणाम को बिल्कुल एकीकृत करना एक समय अंतराल $$[t_n, t_{n+1} = t_n + h]$$:
 * $$ y_{n+1} = e^{-A h } y_n + \int_{0}^{h} e^{ -(h-\tau) A } \mathcal{N}\left( y\left( t_n+\tau \right) \right)\, d\tau. $$

यह अभिन्न समीकरण सटीक है, लेकिन यह अभिन्न को परिभाषित नहीं करता है।

प्रथम-क्रम घातीय इंटीग्रेटर को पकड़कर महसूस किया जा सकता है $$\mathcal{N}( y( t_n+\tau ) )$$ पूरे अंतराल पर स्थिर:

सामान्यीकरण
यूलर विधि अक्सर पर्याप्त सटीक नहीं होती है। अधिक सटीक शब्दों में, इसमें केवल ऑर्डर एक है (ऑर्डर की अवधारणा नीचे बताई गई है)। इससे गणितज्ञों को उच्च-क्रम के तरीकों की तलाश करनी पड़ी।

एक संभावना यह है कि न केवल पहले से गणना किए गए मान y का उपयोग किया जाएn y निर्धारित करने के लिएn+1, लेकिन समाधान को अधिक पुराने मूल्यों पर निर्भर करना। इससे एक तथाकथित मल्टीस्टेप विधि प्राप्त होती है। शायद सबसे सरल लीपफ्रॉग विधि है जो दूसरे क्रम की है और (मोटे तौर पर कहें तो) दो समय मूल्यों पर निर्भर करती है।

लगभग सभी व्यावहारिक मल्टीस्टेप विधियाँ रैखिक मल्टीस्टेप विधियों के परिवार में आती हैं, जिनका स्वरूप होता है $$\begin{align} &{} \alpha_k y_{n+k} + \alpha_{k-1} y_{n+k-1} + \cdots + \alpha_0 y_n \\ &{} \quad = h \left[ \beta_k f(t_{n+k},y_{n+k}) + \beta_{k-1} f(t_{n+k-1},y_{n+k-1}) + \cdots + \beta_0 f(t_n,y_n) \right]. \end{align}$$ एक अन्य संभावना अंतराल में अधिक बिंदुओं का उपयोग करना है $$[t_n,t_{n+1}]$$. यह रूंज-कुट्टा पद्धतियों के परिवार की ओर ले जाता है, जिसका नाम कार्ल डेविड टॉल्मे रूंज और मार्टिन कुत्ता के नाम पर रखा गया है। उनकी चौथे क्रम की विधियों में से एक विशेष रूप से लोकप्रिय है।

उन्नत सुविधाएँ
ODE को हल करने के लिए इन तरीकों में से किसी एक के अच्छे कार्यान्वयन में समय-चरण सूत्र से कहीं अधिक की आवश्यकता होती है।

हर समय एक ही चरण आकार का उपयोग करना अक्सर अक्षम होता है, इसलिए परिवर्तनशील चरण-आकार के तरीके विकसित किए गए हैं। आमतौर पर, चरण का आकार इस प्रकार चुना जाता है कि प्रति चरण (स्थानीय) त्रुटि कुछ सहनशीलता स्तर से नीचे हो। इसका मतलब यह है कि विधियों को एक त्रुटि संकेतक, स्थानीय त्रुटि का अनुमान भी गणना करना चाहिए।

इस विचार का एक विस्तार विभिन्न आदेशों के विभिन्न तरीकों के बीच गतिशील रूप से चयन करना है (इसे एक परिवर्तनीय क्रम विधि कहा जाता है)। रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन पर आधारित विधियाँ, जैसे कि बुलिर्श-स्टोएर एल्गोरिथम, अक्सर विभिन्न ऑर्डरों की विभिन्न विधियों के निर्माण के लिए उपयोग किया जाता है।

अन्य वांछनीय विशेषताओं में शामिल हैं:
 * सघन आउटपुट: संपूर्ण एकीकरण अंतराल के लिए सस्ते संख्यात्मक सन्निकटन, न कि केवल बिंदु टी पर0, टी1, टी2, ...
 * घटना स्थान: उस समय का पता लगाना जहां, मान लीजिए, कोई विशेष फ़ंक्शन गायब हो जाता है। इसके लिए आमतौर पर जड़-खोज एल्गोरिदम के उपयोग की आवश्यकता होती है।
 * समानांतर कंप्यूटिंग के लिए समर्थन।
 * जब समय, समय प्रतिवर्तीता के संबंध में एकीकरण के लिए उपयोग किया जाता है

वैकल्पिक विधियाँ
कई विधियाँ यहाँ चर्चा की गई रूपरेखा के अंतर्गत नहीं आती हैं। वैकल्पिक तरीकों के कुछ वर्ग हैं: परिमाणित राज्य प्रणाली विधियाँ विधियां, स्टेट क्वांटाइजेशन के विचार पर आधारित ओडीई एकीकरण विधियों का एक परिवार है। वे बार-बार होने वाली रुकावटों वाली विरल प्रणालियों का अनुकरण करते समय कुशल होते हैं।
 * बहुव्युत्पन्न विधियाँ, जो न केवल फ़ंक्शन f का उपयोग करती हैं बल्कि इसके डेरिवेटिव का भी उपयोग करती हैं। इस वर्ग में हरमाइट-ओब्रेशकॉफ़ विधियाँ और रनगे-कुट्टा-फ़ेहलबर्ग विधि, साथ ही पार्कर-सोचाकी विधि जैसी विधियाँ शामिल हैं। या बाइचकोव-शेर्बकोव विधि, जो समाधान y की टेलर श्रृंखला के गुणांकों की पुनरावर्ती गणना करती है।
 * दूसरे क्रम वाले ODE के लिए तरीके। हमने कहा कि सभी उच्च-क्रम वाले ODE को फॉर्म (1) के प्रथम-क्रम वाले ODE में बदला जा सकता है। हालाँकि यह निश्चित रूप से सच है, यह आगे बढ़ने का सबसे अच्छा तरीका नहीं हो सकता है। विशेष रूप से, निस्ट्रॉम विधियाँ दूसरे क्रम के समीकरणों के साथ सीधे काम करती हैं।
 * ज्यामितीय समाकलक विशेष रूप से ओडीई के विशेष वर्गों के लिए डिज़ाइन किए गए हैं (उदाहरण के लिए, हैमिल्टनियन यांत्रिकी के समाधान के लिए  सिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर ्स)। वे इस बात का ध्यान रखते हैं कि संख्यात्मक समाधान इन वर्गों की अंतर्निहित संरचना या ज्यामिति का सम्मान करता है।

समय-समय पर समानांतर विधियाँ
उन अनुप्रयोगों के लिए जिन्हें सुपर कंप्यूटर पर समानांतर कंप्यूटिंग की आवश्यकता होती है, संख्यात्मक विधि द्वारा प्रदान की जाने वाली समवर्तीता की डिग्री प्रासंगिक हो जाती है। एक्सास्केल कंप्यूटिंग सिस्टम की चुनौतियों को देखते हुए, प्रारंभिक मूल्य समस्याओं के लिए संख्यात्मक तरीकों का अध्ययन किया जा रहा है जो अस्थायी दिशा में समवर्तीता प्रदान कर सकते हैं। पैरारियल इस तरह के समानांतर-समय एकीकरण पद्धति का एक अपेक्षाकृत प्रसिद्ध उदाहरण है, लेकिन शुरुआती विचार 1960 के दशक में वापस चले गए। एक्सास्केल कंप्यूटिंग के आगमन में, समय-समानांतर एकीकरण विधियों पर फिर से ध्यान बढ़ गया है। एक्सपोनेंशियल इंटीग्रेटर्स के लिए एल्गोरिदम लाभ उठा सकते हैं, उदाहरण के लिए, मानकीकृत बैचेड बीएलएएस फ़ंक्शन जो समानांतर इंटीग्रेटर्स के आसान और कुशल कार्यान्वयन की अनुमति देते हैं।

विश्लेषण
संख्यात्मक विश्लेषण न केवल संख्यात्मक तरीकों का डिज़ाइन है, बल्कि उनका विश्लेषण भी है। इस विश्लेषण में तीन केंद्रीय अवधारणाएँ हैं:
 * अभिसरण: क्या विधि समाधान का अनुमान लगाती है,
 * क्रम: यह समाधान का कितना अच्छा अनुमान लगाता है, और
 * संख्यात्मक स्थिरता: क्या त्रुटियां दूर हो गई हैं।

अभिसरण
एक संख्यात्मक विधि को अभिसरण कहा जाता है यदि संख्यात्मक समाधान सटीक समाधान तक पहुंचता है क्योंकि चरण आकार एच 0 पर जाता है। अधिक सटीक रूप से, हमें लिप्सचिट्ज़ निरंतर फ़ंक्शन एफ और प्रत्येक टी के साथ प्रत्येक ओडीई (1) के लिए इसकी आवश्यकता होती है।* >0,


 * $$ \lim_{h\to0^+} \max_{n=0,1,\dots,\lfloor t^*/h\rfloor} \left\| y_{n,h} - y(t_n) \right\| = 0. $$

ऊपर उल्लिखित सभी विधियाँ अभिसरण हैं।

संगति और क्रम
मान लीजिए संख्यात्मक विधि है


 * $$ y_{n+k} = \Psi(t_{n+k}; y_n, y_{n+1}, \dots, y_{n+k-1}; h). \, $$

विधि की स्थानीय (ट्रंकेशन) त्रुटि विधि के एक चरण द्वारा की गई त्रुटि है। अर्थात्, यह विधि द्वारा दिए गए परिणाम, यह मानते हुए कि पहले के चरणों में कोई त्रुटि नहीं हुई थी, और सटीक समाधान के बीच का अंतर है:


 * $$ \delta^h_{n+k} = \Psi \left( t_{n+k}; y(t_n), y(t_{n+1}), \dots, y(t_{n+k-1}); h \right) - y(t_{n+k}). $$

विधि को सुसंगत कहा जाता है यदि
 * $$ \lim_{h\to 0} \frac{\delta^h_{n+k}}{h} = 0. $$

विधि में क्रम है $$p$$ अगर
 * $$ \delta^h_{n+k} = O(h^{p+1}) \quad\mbox{as } h\to0. $$

इसलिए एक विधि सुसंगत है यदि इसका क्रम 0 से अधिक है। ऊपर प्रस्तुत (फॉरवर्ड) यूलर विधि (4) और बैकवर्ड यूलर विधि (6) दोनों का क्रम 1 है, इसलिए वे सुसंगत हैं। व्यवहार में उपयोग की जा रही अधिकांश विधियाँ उच्च क्रम प्राप्त करती हैं। अभिसरण के लिए संगति एक आवश्यक शर्त है, लेकिन पर्याप्त नहीं; किसी विधि के अभिसरण होने के लिए, यह सुसंगत और शून्य-स्थिर दोनों होना चाहिए।

एक संबंधित अवधारणा वैश्विक (ट्रंकेशन) त्रुटि है, एक निश्चित समय तक पहुंचने के लिए आवश्यक सभी चरणों में होने वाली त्रुटि $$t$$. स्पष्ट रूप से, समय पर वैश्विक त्रुटि $$t$$है $$y_N - y(t)$$ कहाँ $$N = (t - t_0)/h$$. ए की वैश्विक त्रुटि $$p$$आदेश एक-चरणीय विधि है $$O(h^p)$$; विशेष रूप से, ऐसी विधि अभिसारी है। बहु-चरणीय विधियों के लिए यह कथन आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

स्थिरता और कठोरता
कुछ विभेदक समीकरणों के लिए, मानक विधियों का अनुप्रयोग - जैसे कि यूलर विधि, स्पष्ट रनगे-कुट्टा विधियाँ, या मल्टीस्टेप विधियाँ (उदाहरण के लिए, एडम्स-बैशफोर्थ विधियाँ) - समाधान में अस्थिरता प्रदर्शित करती हैं, हालाँकि अन्य विधियाँ स्थिर समाधान उत्पन्न कर सकती हैं। समीकरण में यह कठिन व्यवहार (जो जरूरी नहीं कि स्वयं जटिल हो) को कठोरता के रूप में वर्णित किया गया है, और अक्सर अंतर्निहित समस्या में अलग-अलग समय के पैमाने की उपस्थिति के कारण होता है। उदाहरण के लिए, प्रभाव थरथरानवाला जैसी यांत्रिक प्रणाली में टकराव आम तौर पर वस्तुओं की गति के समय की तुलना में बहुत छोटे समय के पैमाने पर होता है; यह विसंगति राज्य मापदंडों के वक्रों में बहुत तेज मोड़ लाती है।

रासायनिक गतिकी, नियंत्रण सिद्धांत, ठोस यांत्रिकी, मौसम पूर्वानुमान, जीव विज्ञान, प्लाज्मा भौतिकी और इलेक्ट्रानिक्स  में कठिन समस्याएं सर्वव्यापी हैं। कठोरता को दूर करने का एक तरीका अंतर समीकरण की धारणा को अंतर समावेशन तक विस्तारित करना है, जो गैर-चिकनीपन की अनुमति देता है और मॉडल करता है।

इतिहास
नीचे इस क्षेत्र में कुछ महत्वपूर्ण विकासों का कालक्रम दिया गया है।
 * 1768 - लियोनहार्ड यूलर ने अपनी पद्धति प्रकाशित की।
 * 1824 - ऑगस्टिन लुई कॉची ने यूलर पद्धति का अभिसरण सिद्ध किया। इस प्रमाण में, कॉची अंतर्निहित यूलर विधि का उपयोग करता है।
 * 1855 - फ्रांसिस बैशफोर्थ द्वारा लिखे गए एक पत्र में जॉन काउच एडम्स की मल्टीस्टेप विधियों का पहला उल्लेख।
 * 1895 - कार्ल डेविड टॉल्मे रंज ने पहली रंज-कुट्टा विधि प्रकाशित की।
 * 1901 - मार्टिन कुट्टा ने लोकप्रिय चौथे क्रम के रनगे-कुट्टा विधि का वर्णन किया।
 * 1910 - लुईस फ्राई रिचर्डसन ने अपनी एक्सट्रपलेशन विधि, रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन की घोषणा की।
 * 1952 - चार्ल्स एफ. कर्टिस और जोसेफ ओकलैंड हिर्शफेल्डर ने कठोर समीकरण शब्द गढ़ा।
 * 1963 - जर्मुंड डहलक्विस्ट ने एकीकरण विधियों के कठोर समीकरण#ए-स्थिरता|ए-स्थिरता का परिचय दिया।

दूसरे क्रम की एक-आयामी सीमा मान समस्याओं का संख्यात्मक समाधान
सीमा मूल्य समस्याएं (बीवीपी) आमतौर पर मूल बीवीपी को अलग करके प्राप्त लगभग समतुल्य मैट्रिक्स समस्या को हल करके संख्यात्मक रूप से हल की जाती हैं। बीवीपी को एक आयाम में संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल की जाने वाली विधि को परिमित अंतर विधि कहा जाता है। यह विधि परिमित अंतर गुणांक बनाने के लिए बिंदु मानों के रैखिक संयोजनों का लाभ उठाती है जो फ़ंक्शन के डेरिवेटिव का वर्णन करती है। उदाहरण के लिए, पहले व्युत्पन्न के लिए दूसरे क्रम का केंद्रीय अंतर सन्निकटन इस प्रकार दिया गया है:


 * $$ \frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h} = u'(x_i) + \mathcal{O}(h^2), $$

और दूसरे व्युत्पन्न के लिए दूसरे क्रम का केंद्रीय अंतर इस प्रकार दिया गया है:


 * $$ \frac{u_{i+1}- 2 u_i + u_{i-1}}{h^2} = u''(x_i) + \mathcal{O}(h^2). $$

इन दोनों सूत्रों में, $$ h=x_i-x_{i-1}$$ विखंडित डोमेन पर पड़ोसी x मानों के बीच की दूरी है। फिर एक रैखिक प्रणाली का निर्माण किया जाता है जिसे मानक संख्यात्मक रैखिक बीजगणित द्वारा हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हल किया जाने वाला समीकरण है:


 * $$\begin{align}

&{} \frac{d^2 u}{dx^2} -u =0,\\ &{} u(0)=0, \\ &{} u(1)=1. \end{align}$$ अगला कदम समस्या को अलग करना और रैखिक व्युत्पन्न सन्निकटन जैसे का उपयोग करना होगा


 * $$ u''_i =\frac{u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^2} $$

और रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें। इससे ऐसे समीकरण बनेंगे:


 * $$ \frac{u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^2}-u_i = 0, \quad \forall i={1,2,3,...,n-1}.$$

पहली बार देखने पर, समीकरणों की इस प्रणाली में इस तथ्य से जुड़ी कठिनाई प्रतीत होती है कि समीकरण में ऐसे कोई पद शामिल नहीं हैं जिन्हें चर से गुणा नहीं किया जाता है, लेकिन वास्तव में यह गलत है। i = 1 और n - 1 पर एक पद है जिसमें सीमा मान शामिल है $$u(0)=u_0 $$ और $$ u(1)=u_n $$ और चूंकि ये दो मान ज्ञात हैं, कोई भी उन्हें आसानी से इस समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकता है और परिणामस्वरूप समीकरणों की एक गैर-सजातीय रैखिक प्रणाली हो सकती है जिसमें गैर-तुच्छ समाधान होते हैं।

यह भी देखें

 * कूरेंट-फ्रेडरिक-लेवी स्थिति
 * ऊर्जा बहाव
 * सामान्य रैखिक विधियाँ
 * संख्यात्मक विश्लेषण विषयों की सूची#सामान्य अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके
 * प्रतिवर्ती संदर्भ प्रणाली प्रसार एल्गोरिथ्म
 * नमूना भाषा और ओपनमोडेलिका सॉफ्टवेयर

संदर्भ

 * J. C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations, ISBN 0-471-96758-0
 * Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett and Gerhard Wanner, Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition, Springer Verlag, Berlin, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
 * Ernst Hairer and Gerhard Wanner, Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems, second edition, Springer Verlag, Berlin, 1996. ISBN 3-540-60452-9. (This two-volume monograph systematically covers all aspects of the field.)
 * Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-55376-8 (hardback), ISBN 0-521-55655-4 (paperback). (Textbook, targeting advanced undergraduate and postgraduate students in mathematics, which also discusses numerical partial differential equations.)
 * John Denholm Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, John Wiley & Sons, Chichester, 1991. ISBN 0-471-92990-5. (Textbook, slightly more demanding than the book by Iserles.)
 * Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-55376-8 (hardback), ISBN 0-521-55655-4 (paperback). (Textbook, targeting advanced undergraduate and postgraduate students in mathematics, which also discusses numerical partial differential equations.)
 * John Denholm Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, John Wiley & Sons, Chichester, 1991. ISBN 0-471-92990-5. (Textbook, slightly more demanding than the book by Iserles.)

बाहरी संबंध

 * Joseph W. Rudmin, Application of the Parker–Sochacki Method to Celestial Mechanics, 1998.
 * Dominique Tournès, L'intégration approchée des équations différentielles ordinaires (1671-1914), thèse de doctorat de l'université Paris 7 - Denis Diderot, juin 1996. Réimp. Villeneuve d'Ascq : Presses universitaires du Septentrion, 1997, 468 p. (Extensive online material on ODE numerical analysis history, for English-language material on the history of ODE numerical analysis, see, for example, the paper books by Chabert and Goldstine quoted by him.)
 * (C++ library with rigorous ODE solvers)
 * INTLAB (A library made by MATLAB/GNU Octave which includes rigorous ODE solvers)
 * INTLAB (A library made by MATLAB/GNU Octave which includes rigorous ODE solvers)