प्रभावी क्रिया

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, क्वांटम प्रभावी कार्यवाही क्वांटम सुधारों को ध्यान में रखते हुए शास्त्रीय कार्यवाही (भौतिकी) के लिए एक संशोधित अभिव्यक्ति है, जबकि यह सुनिश्चित करती है कि कम से कम कार्यवाही का सिद्धांत उपयोजित होता है, इसका अर्थ है कि प्रभावी कार्यवाही को अत्यंतता तक पहुंचाने से क्वांटम क्षेत्रों के निर्वात अपेक्षा मूल्यों के लिए गति के समीकरण प्राप्त होते हैं। प्रभावी क्रिया एक-कण अपरिवर्तनीय सहसंबंध फलन के लिए एक सहसंबंध फलन के रूप में भी कार्य करती है। प्रभावी क्रिया के संभावित घटक को प्रभावी क्षमता कहा जाता है, वास्तविक निर्वात का अपेक्षित मूल्य शास्त्रीय क्षमता के बदले इस क्षमता का न्यूनतम होता है, जो स्वाभाविक समरूपता टूटने का अध्ययन करने के लिए महत्वपूर्ण है।

इसे पहली बार 1962 में जेफरी गोल्डस्टोन और स्टीवन वेनबर्ग द्वारा प्रक्षोभ परिभाषा दी गई थी, जबकि गैर-प्रक्षोभ करने वाली परिभाषा 1963 में ब्राइस डेविट द्वारा और स्वतंत्र रूप से 1964 में जियोवन्नी जोना-लासिनियो द्वारा प्रस्तावित की गई थी।

लेख एकल अदिश क्षेत्र सिद्धांत के लिए प्रभावी कार्यवाही का वर्णन करता है, हालांकि, एकाधिक अदिश या फर्मिओनिक क्षेत्रों के लिए समान परिणाम उपस्तिथ हैं।

कार्यात्मकता उत्पन्न करना
इन पीढ़ी के कार्यात्मकताओं में सांख्यिकीय यांत्रिकी और सूचना सिद्धांत में भी अनुप्रयोग होते हैं, जिनमें $$i$$ और संकेत सम्मेलनों के थोड़े भिन्न कारक होते हैं।

क्रिया $$S[\phi]$$ के साथ एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को विभाजन कार्यात्मकता का उपयोग करके पथ समाकल औपचारिकता में पूरी तरह से वर्णित किया जा सकता है



Z[J] = \int \mathcal D \phi e^{iS[\phi] + i \int d^4 x \phi(x)J(x)}. $$ क्योंकि यह शास्त्रीय बाह्य वर्तमान $$J(x)$$ की उपस्थिति में वैक्यूम-टू-वैक्यूम परिवर्तन से अनुरुप है, इसलिए इसका मूल्यांकन सभी जुड़े और असंबद्ध किए गए फेनमैन आरेखों के योग के रूप में किया जा सकता है। यह सहसंबंध कार्यात्मकता के लिए सहसंबंध फलन भी है



\langle \hat \phi(x_1) \dots \hat \phi(x_n)\rangle = (-i)^n \frac{1}{Z[J]} \frac{\delta^n Z[J]}{\delta J(x_1) \dots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0}, $$ जहां अदिश क्षेत्र परिचालकों को $$\hat \phi(x)$$ द्वारा दर्शाया जाता है। कोई अन्य उपयोगी सहसंबंध कार्यात्मकता $$W[J] = -i\ln Z[J]$$ को परिभाषित कर सकता है जो जुड़े हुए सहसंबंध फलन को उत्पन्न करने के लिए संबंधित है।



\langle \hat \phi(x_1) \cdots \hat \phi(x_n)\rangle_{\text{con}} = (-i)^{n-1}\frac{\delta^n W[J]}{\delta J(x_1) \dots \delta J(x_n)}\bigg|_{J=0}, $$ जिसकी गणना सभी जुड़े हुए आरेखों के योग के रूप में की जाती है। यहां संबंधित की व्याख्या गुच्छ अपघटन के अर्थ में की गई है, जिसका अर्थ है कि सहसंबंध फलन बड़े समष्टि जैसे पृथक्करण पर शून्य तक पहुंचते हैं। सामान्य सहसंबंध फलन को हमेशा जुड़े सहसंबंध फलन के उत्पादों के योग के रूप में लिखा जा सकता है।

क्वांटम प्रभावी क्रिया को $$W[J]$$ के लैडेन्ड्रे रूपांतरण का उपयोग करके परिभाषित किया गया है।

जहाँ $$J_\phi$$ स्रोत क्षेत्र है जिसके लिए अदिश क्षेत्र का प्रत्याशी मान $$\phi(x)$$ है, जिसे प्रायः शास्त्रीय क्षेत्र कहा जाता है, जिसे अंतर्निहित रूप से समाधान के रूप में परिभाषित किया जाता है



\phi(x) = \langle \hat \phi(x)\rangle_J = \frac{\delta W[J]}{\delta J(x)}. $$ एक अपेक्षा मूल्य के रूप में, शास्त्रीय क्षेत्र को वर्तमान $$J(x)$$ की उपस्थिति में क्वांटम उच्चावचन पर भारित औसत के रूप में माना जा सकता है जो अदिश क्षेत्र को स्रोत बनाता है। $$\phi(x)$$ प्रतिफल के संबंध में लीजेंड्रे परिवर्तन के कार्यात्मक व्युत्पन्न को लेना



J_\phi(x) = -\frac{\delta \Gamma[\phi]}{\delta \phi(x)}. $$ स्रोत $$J_\phi(x) = 0$$ की अनुपस्थिति में, उपरोक्त से पता चलता है कि क्षेत्रों का निर्वात अपेक्षा मूल्य शास्त्रीय कार्यवाही के बदले क्वांटम प्रभावी कार्यवाही को अधिकतम पहुंचा देता है। यह पूर्ण क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में न्यूनतम कार्यवाही के सिद्धांत से अधिक कुछ नहीं है। क्वांटम सिद्धांत को इस संशोधन की आवश्यकता क्यों है इसका कारण पथ समाकल संदर्श से आता है क्योंकि सभी संभावित क्षेत्र विन्यास पथ समाकल में योगदान करते हैं, जबकि शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत में केवल शास्त्रीय विन्यास ही योगदान देते हैं।

प्रभावी क्रिया एक-कण अलघुकरणीय (1PI) सहसंबंध फलन के लिए पीढ़ी कार्यात्मक भी है। 1PI आरेख जुड़े हुए आलेख हैं जिन्हें एक आंतरिक रेखा को कर्तन दो टुकड़ों में अलग कर दिया गया। इसलिए, हमारे पास है



\langle \hat \phi(x_1) \dots \hat \phi(x_n)\rangle_{\mathrm{1PI}} = i \frac{\delta^n \Gamma[\phi]}{\delta \phi(x_1) \dots \delta \phi(x_n)}\bigg|_{J=0}, $$ $$\Gamma[\phi]$$ सभी 1PI फेनमैन आरेखों का योग होने के साथ है। $$W[J]$$ और $$\Gamma[\phi]$$ के मध्य घनिष्ठ संबंध का अर्थ है कि उनके सहसंबंध फलन के मध्य कई बहुत उपयोगी संबंध हैं। उदाहरण के लिए, दो-बिंदु सहसंबंध फलन, जो प्रचारक $$\Delta(x,y)$$ से कम नहीं है, 1PI दो-बिंदु सहसंबंध फलन का व्युत्क्रम है



\Delta(x,y) = \frac{\delta^2 W[J]}{\delta J(x)\delta J(y)} = \frac{\delta \phi(x)}{\delta J(y)} = \bigg(\frac{\delta J(y)}{\delta \phi(x)}\bigg)^{-1} = -\bigg(\frac{\delta^2 \Gamma[\phi]}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\bigg)^{-1} = -\Pi^{-1}(x,y). $$

प्रभावी कार्यवाही की गणना के प्रकार
1PI आरेखों के योग के रूप में प्रभावी क्रिया $$\Gamma[\phi_0]$$ की गणना करने का एक प्रत्यक्ष प्रकार स्थानांतरित क्रिया $$S[\phi+\phi_0]$$ से प्राप्त फेनमैन नियमों का उपयोग करके प्राप्त किए गए सभी 1PI वैक्यूम आरेखों का योग करना है। यह काम करता है क्योंकि कोई भी स्थान जहां $$\phi_0$$ किसी भी प्रचारक या शीर्ष पर दिखाई देता है वह एक ऐसा स्थान है जहां एक बाहरी $$\phi$$ रेखा जोड़ी जा सकती है। यह पृष्ठभूमि क्षेत्र विधि के समान है जिसका उपयोग प्रभावी क्रिया की गणना करने के लिए भी किया जा सकता है।

वैकल्पिक रूप से, क्रिया के लिए एक-लूप सन्निकटन को शास्त्रीय वैक्यूम अपेक्षा मूल्य क्षेत्र विन्यास $$\phi(x) = \phi_{\text{cl}}(x) +\delta \phi(x)$$ के आसपास विभाजन फलन के विस्तार पर विचार करके पाया जा सकता है, जिससे स्वीकृति मिलती है

\Gamma[\phi_{\text{cl}}] = S[\phi_{\text{cl}}]+\frac{i}{2}\text{Tr}\bigg[\ln \frac{\delta^2 S[\phi]}{\delta \phi(x)\delta \phi(y)}\bigg|_{\phi = \phi_{\text{cl}}} \bigg]+\cdots. $$

समरूपता
शास्त्रीय क्रिया $$S[\phi]$$ की समरूपता स्वचालित रूप से क्वांटम प्रभावी क्रिया $$\Gamma[\phi]$$ की समरूपता नहीं है। यदि शास्त्रीय क्रिया में कुछ कार्यात्मकता $$F[x,\phi]$$ के आधार पर निरंतर समरूपता होती है

\phi(x) \rightarrow \phi(x) + \epsilon F[x,\phi], $$ तो यह प्रत्यक्ष प्रतिबंध डालता है



0 = \int d^4 x \langle F[x,\phi]\rangle_{J_\phi}\frac{\delta \Gamma[\phi]}{\delta \phi(x)}. $$ यह पहचान स्लावनोव-टेलर तत्समक का एक उदाहरण है। यह इस आवश्यकता के समान है कि समरूपता परिवर्तन के अंतर्गत प्रभावी क्रिया अपरिवर्तनीय है



\phi(x) \rightarrow \phi(x) + \epsilon \langle F[x,\phi]\rangle_{J_\phi}. $$ यह समरूपता रैखिक समरूपता के महत्वपूर्ण वर्ग के लिए मूल समरूपता के समान है


 * $$F[x,\phi] = a(x)+\int d^4 y \ b(x,y)\phi(y).$$

गैर-रेखीय कार्यात्मकताओं के लिए दो समरूपताएँ सामान्यतः भिन्न होती हैं क्योंकि एक गैर-रेखीय कार्यात्मकता का सामान्य एक सामान्य की कार्यात्मकता के समान नहीं होता है।

अवमुखता
आयतन $$\mathcal V_4$$ वाले समष्टि काल के लिए, प्रभावी क्षमता को $$V(\phi) = - \Gamma[\phi]/\mathcal V_4$$ के रूप में परिभाषित किया गया है। हैमिल्टनियन $$H$$ के साथ, $$\phi(x)$$ पर प्रभावी क्षमता $$V(\phi)$$  हमेशा अवस्था के समुच्चय के लिए ऊर्जा घनत्व $$ \langle \Omega|H|\Omega\rangle$$ का न्यूनतम अपेक्षित मूल्य $$|\Omega\rangle$$ संतोषजनक $$\langle\Omega| \hat \phi| \Omega\rangle = \phi(x)$$ है। एकाधिक अवस्थाओं पर यह परिभाषा आवश्यक है क्योंकि अनेक भिन्न अवस्थाएँ, जिनमें से प्रत्येक एक विशेष स्रोत वर्तमान के समान है, परिणामस्वरूप समान अपेक्षा मूल्य हो सकता है। इसे आगे दिखाया जा सकता है कि प्रभावी क्षमता आवश्यक रूप से एक अवमुख फलन $$V''(\phi) \geq 0$$ हैं। प्रभावी क्षमता की क्षोभ से गणना करने से कभी-कभी एक गैर-उत्तल परिणाम प्राप्त हो सकता है, जैसे कि एक क्षमता जिसमें दो स्थानीय न्यूनतम हैं। हालाँकि, वास्तविक प्रभावी क्षमता अभी भी उत्तल है, उस क्षेत्र में लगभग रैखिक हो जाती है जहाँ स्पष्ट प्रभावी क्षमता उत्तल होने में विफल रहती है। विरोधाभास अस्थिर वेकुआ के आसपास की गणना में होता है क्योंकि क्षोभ सिद्धांत आवश्यक रूप से मानता है कि शून्य अंतर स्थिर है। उदाहरण के लिए, एक स्पष्ट प्रभावी क्षमता $$V_0(\phi)$$ पर विचार करें दो स्थानीय न्यूनतम के साथ जिनकी अपेक्षा मूल्य $$\phi_1$$ और $$\phi_2$$ क्रमशः $$|\Omega_1\rangle$$ और $$|\Omega_2\rangle$$ अवस्था के लिए अपेक्षा मान हैं। फिर $$V_0(\phi)$$ के गैर-उत्तल क्षेत्र में किसी भी $$\phi$$ को कुछ $$\lambda \in [0,1]$$ का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है



$$ हालाँकि, इस अवस्था का ऊर्जा घनत्व $$\lambda V_0(\phi_1)+ (1-\lambda)V_0(\phi_2)<V_0(\phi)$$ है जिसका अर्थ है कि $$V_0(\phi)$$ $$\phi$$ पर सही प्रभावी क्षमता नहीं हो सकता क्योंकि यह ऊर्जा घनत्व को कम नहीं करता है। अधिक वास्तविक प्रभावी क्षमता $$V(\phi)$$ इस रैखिक निर्माण के समान या उससे कम है, जो उत्तलता को पुनर्स्थापित करता है।
 * \Omega\rangle \propto \sqrt \lambda |\Omega_1\rangle+\sqrt{1-\lambda}|\Omega_2\rangle.

यह भी देखें

 * पृष्ठभूमि क्षेत्र विधि
 * सहसंबंध फलन
 * पथ समाकल सूत्रीकरण
 * पुनर्सामान्यीकरण समूह
 * स्वतः समरूपता का भंजन

अग्रिम पठन

 * Das, A. : Field Theory: A Path Integral Approach, World Scientific Publishing 2006
 * Schwartz, M.D.: Quantum Field Theory and the Standard Model, Cambridge University Press 2014
 * Toms, D.J.: The Schwinger Action Principle and Effective Action, Cambridge University Press 2007
 * Weinberg, S.: The Quantum Theory of Fields: Modern Applications, Vol.II, Cambridge University Press 1996