अलेक्जेंडर द्वैत

गणित में, अलेक्जेंडर द्वैत, जेम्स वाडेल अलेक्जेंडर II|जे के परिणाम द्वारा शुरू किए गए द्वैत सिद्धांत को संदर्भित करता है। 1915 में डब्ल्यू अलेक्जेंडर, और बाद में इसे और विकसित किया गया, विशेष रूप से पावेल अलेक्जेंड्रोव और लेव पोंट्रीगिन द्वारा। यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष, एक क्षेत्र, या अन्य मैनिफोल्ड (गणित) में एक उप-स्थान टोपोलॉजी एक्स के पूरक के समरूपता सिद्धांत गुणों पर लागू होता है। इसे स्पैनियर-व्हाइटहेड द्वैत द्वारा सामान्यीकृत किया गया है।

गोलों के लिए सामान्य कथन
होने देना $$X$$ ए एन-क्षेत्र का एक  सघन स्थान, स्थानीय रूप से अनुबंधित स्पेस उपस्पेस बनें $$S^n$$ आयाम का n. होने देना $$S^n\setminus X$$ का पूरक बनें $$X$$ में $$S^n$$. तो अगर $$\tilde{H}$$ किसी दिए गए एबेलियन समूह में गुणांक के साथ, कम समरूपता या कम सह-समरूपता का मतलब है, एक समरूपता है


 * $$\tilde{H}_q(S^n\setminus X) \cong \tilde{H}^{n-q-1}(X)$$

सभी के लिए $$q\ge 0$$. ध्यान दें कि यदि हम सेच कोहोमोलॉजी का उपयोग करते हैं, जिसे स्थानीय विकृति विज्ञान से निपटने के लिए डिज़ाइन किया गया है, तो हम परिकल्पना के हिस्से के रूप में स्थानीय संकुचनशीलता को छोड़ सकते हैं।

अनुप्रयोग
यह नॉट (गणित) और लिंक (गाँठ सिद्धांत) पूरकों की सह-समरूपता की गणना के लिए उपयोगी है $$S^3$$. याद रखें कि गाँठ एक एम्बेडिंग है $$K\colon S^1 \hookrightarrow S^3$$ और एक कड़ी गांठों का एक असंयुक्त संघ है, जैसे बोरोमियन रिंग्स फिर, यदि हम लिंक/गाँठ को इस प्रकार लिखते हैं $$L$$, अपने पास
 * $$\tilde{H}_q(S^3\setminus L) \cong \tilde{H}^{3-q-1}(L)$$,

कोहोमोलोजी समूहों की गणना के लिए एक विधि देना। फिर, मैसी उत्पादों का उपयोग करके विभिन्न लिंक के बीच अंतर करना संभव है। उदाहरण के लिए, बोरोमियन रिंग्स के लिए $$L$$, समरूपता समूह हैं
 * $$\begin{align}

\tilde{H}_0(S^3 \setminus L)&\cong \tilde{H}^{2}(L) = 0 \\ \tilde{H}_1(S^3 \setminus L)&\cong \tilde{H}^{1}(L) = \Z^{\oplus 3}\\ \tilde{H}_2(S^3 \setminus L)&\cong \tilde{H}^{0}(L) = \Z^{\oplus 2}\\ \tilde{H}_3(S^3 \setminus L)&\cong 0 \\ \end{align}$$

निर्माण योग्य ढेरों के लिए अलेक्जेंडर द्वंद्व
चिकनी विविधताओं के लिए, अलेक्जेंडर द्वैत एबेलियन समूहों के समूह के लिए वर्डियर द्वैत का एक औपचारिक परिणाम है। अधिक सटीक रूप से, यदि हम जाने दें $$X$$ एक चिकनी विविधता को निरूपित करें और हमने जाने दिया $$Y \subset X$$ एक बंद उप-स्थान बनें (जैसे कि एक चक्र का प्रतिनिधित्व करने वाला उप-स्थान, या एक उप-समूह) जो समावेशन द्वारा दर्शाया गया हो $$i\colon Y \hookrightarrow X$$, और अगर $$k$$ एक फ़ील्ड है, तो यदि $$\mathcal{F} \in \text{Sh}_k(Y)$$ का एक पूल है $$k$$-वेक्टर रिक्त स्थान में हमारे पास निम्नलिखित समरूपता है
 * $$H^s_c(Y,\mathcal{F})^\vee \cong \operatorname{Ext}_k^{n-s}(i_*\mathcal{F}, \omega_X [n-s])$$,

जहां बाईं ओर कोहोमोलॉजी समूह कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित समरूपता है। इसका अर्थ क्या है, इसकी बेहतर समझ प्राप्त करने के लिए हम इस कथन को और अधिक विस्तृत कर सकते हैं। सबसे पहले, अगर $$\mathcal{F} = \underline{k}$$ स्थिर शीफ है और $$Y$$ एक सहज उपमान है, तो हमें मिलता है
 * $$\operatorname{Ext}_k^{n - s}(i_*\mathcal{F}, \omega_X [n-r]) \cong H^{n-s}_Y(X,\omega_X)$$,

जहां दाईं स्थानीय सहसंरचना समूह समर्थन के साथ स्थानीय कोहोमोलॉजी है $$Y$$. आगे की कटौती के माध्यम से, की समरूपता की पहचान करना संभव है $$X \setminus Y$$ के सहसंयोजकता के साथ $$Y$$. यह बीजगणितीय ज्यामिति में प्रक्षेप्य किस्मों के कोहोलॉजी समूहों की गणना के लिए उपयोगी है, और डिग्री के हाइपरसर्फेस की हॉज संरचना का आधार बनाने के लिए इसका उपयोग किया जाता है। $$d$$ जैकोबियन आदर्श का उपयोग करना।

सिकंदर का 1915 परिणाम
अलेक्जेंडर के मूल कार्य का उल्लेख करते हुए, यह माना जाता है कि एक्स एक सरल जटिल है।

अलेक्जेंडर के पास आधुनिक उपकरण बहुत कम थे, और उसका परिणाम केवल बेट्टी संख्याओं के लिए था, जिसमें गुणांक मॉड्यूलो 2 लिया गया था। उदाहरणों से क्या उम्मीद की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए 3-गोले में क्लिफोर्ड टोरस निर्माण से पता चलता है कि एक ठोस टोरस का पूरक एक और ठोस टोरस है; जो दूसरा बंद होने पर खुला रहेगा, लेकिन इससे उसकी समरूपता पर कोई प्रभाव नहीं पड़ेगा। प्रत्येक ठोस टोरी समरूप दृष्टिकोण से एक वृत्त है। यदि हम केवल बेट्टी संख्याएँ लिखें


 * 1, 1, 0, 0

वृत्त का (तक) $$H_3$$, चूँकि हम 3-गोले में हैं), तो इसके विपरीत


 * 0, 0, 1, 1

और फिर पाने के लिए एक को बाईं ओर शिफ्ट करें


 * 0, 1, 1, 0

एक कठिनाई है, क्योंकि हमें वह नहीं मिल रहा है जिससे हमने शुरुआत की थी। दूसरी ओर, यही प्रक्रिया घटी हुई बेट्टी संख्या पर भी लागू होती है, जिसके लिए प्रारंभिक बेट्टी संख्या को 1 से घटाया जाता है, से शुरू होती है


 * 0, 1, 0, 0

और देता है


 * 0, 0, 1, 0

जहां से


 * 0, 1, 0, 0.

यह पूरक की कम हुई बेट्टी संख्या की भविष्यवाणी करते हुए काम करता है।

यहां प्रोटोटाइप जॉर्डन वक्र प्रमेय है, जो टोपोलॉजी रीमैन क्षेत्र में एक वृत्त के पूरक से संबंधित है। यह भी यही कहानी बताता है. हमारे पास ईमानदार बेट्टी नंबर हैं


 * 1, 1, 0

वृत्त का, और इसलिए


 * 0, 1, 1

पलट कर और


 * 1, 1, 0

बायीं ओर शिफ्ट होने से. यह जॉर्डन प्रमेय के कथनों से कुछ अलग देता है, जो यह है कि दो घटक हैं, प्रत्येक संकुचन योग्य (यहां जो उपयोग किया जाता है उसके बारे में सटीक होने के लिए स्कोनफ्लीज़ प्रमेय)। अर्थात् ईमानदार बेट्टी संख्याओं में सही उत्तर है


 * 2, 0, 0.

एक बार फिर, यह कम हुई बेट्टी संख्याएँ हैं जो काम करती हैं। उन्हीं से हम शुरुआत करते हैं


 * 0, 1, 0

के साथ ख़त्म करना


 * 1, 0, 0.

इसलिए, इन दो उदाहरणों से, अलेक्जेंडर के सूत्रीकरण का अनुमान लगाया जा सकता है: बेट्टी संख्या में कमी $$\tilde{b}_i$$ द्वारा पूरकों में संबंधित हैं


 * $$\tilde{b}_i \to \tilde{b}_{n-i-1}$$.