आव्यूह विश्लेषणिक विधि

संभाव्यता सिद्धांत में, मैट्रिक्स विश्लेषणात्मक पद्धति एक मार्कोव श्रृंखला के स्थिर संभाव्यता वितरण की गणना करने की एक तकनीक है जिसमें एक दोहराई जाने वाली संरचना (कुछ बिंदु के बाद) और एक राज्य स्थान है जो एक से अधिक आयामों में असीम रूप से बढ़ता है। ऐसे मॉडलों को अक्सर M/G/1 प्रकार की मार्कोव श्रृंखलाओं के रूप में वर्णित किया जाता है क्योंकि वे M/G/1 कतार में संक्रमण का वर्णन कर सकते हैं। विधि मैट्रिक्स ज्यामितीय विधि का एक अधिक जटिल संस्करण है और एम/जी/1 श्रृंखलाओं के लिए शास्त्रीय समाधान विधि है।

विधि विवरण
एक एम/जी/1-प्रकार स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स एक रूप है


 * $$P = \begin{pmatrix}

B_0   & B_1    & B_2    & B_3    & \cdots \\ A_0   & A_1    & A_2    & A_3    & \cdots \\ & A_0   & A_1    & A_2    & \cdots \\ &       & A_0    & A_1    & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$$ जहां बीi और एi k × k मैट्रिसेस हैं। (ध्यान दें कि अचिह्नित मैट्रिक्स प्रविष्टियाँ शून्य का प्रतिनिधित्व करती हैं।) ऐसा मैट्रिक्स M/G/1 कतार में एम्बेडेड मार्कोव श्रृंखला का वर्णन करता है। यदि P मार्कोव श्रृंखला#Reducibility और सकारात्मक आवर्ती है तो स्थिर वितरण समीकरणों के समाधान द्वारा दिया जाता है


 * $$P \pi = \pi \quad \text{ and } \quad \mathbf e^\text{T}\pi = 1$$

जहां ई 1 के बराबर सभी मानों के साथ उपयुक्त आयाम के वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है। पी की संरचना से मेल खाते हुए, π को π में विभाजित किया गया है1, पाई2, पाई3, …. इन संभावनाओं की गणना करने के लिए कॉलम स्टोचैस्टिक मैट्रिक्स जी की गणना की जाती है


 * $$ G = \sum_{i=0}^\infty G^i A_i.$$

G को सहायक मैट्रिक्स कहा जाता है। मैट्रिसेस परिभाषित हैं


 * $$\begin{align}

\overline{A}_{i+1} &= \sum_{j=i+1}^\infty G^{j-i-1}A_j \\ \overline{B}_i &= \sum_{j=i}^\infty G^{j-i}B_j \end{align}$$ फिर π0 हल करके पाया जाता है


 * $$\begin{align}

\overline{B}_0 \pi_0 &= \pi_0\\ \quad \left(\mathbf e^{\text{T}} + \mathbf e^{\text{T}}\left(I - \sum_{i=1}^\infty \overline{A}_i\right)^{-1}\sum_{i=1}^\infty \overline{B}_i\right) \pi_0 &= 1 \end{align}$$ और πi रामास्वामी के सूत्र द्वारा दिए गए हैं, 1988 में वैद्यनाथन रामास्वामी द्वारा पहली बार प्रकाशित एक संख्यात्मक रूप से स्थिर संबंध।
 * $$\pi_i = (I-\overline{A}_1)^{-1} \left[ \overline{B}_{i+1} \pi_0 + \sum_{j=1}^{i-1} \overline{A}_{i+1-j}\pi_j \right], i \geq 1.$$

जी
की गणना

G की गणना के लिए दो लोकप्रिय पुनरावृत्त विधियाँ हैं,
 * कार्यात्मक पुनरावृत्तियाँ
 * चक्रीय कमी।

उपकरण

 * MAMSolver