निरपेक्ष ज्यामिति

पूर्ण ज्यामिति यूक्लिडियन ज्यामिति के लिए स्वयंसिद्ध प्रणाली पर आधारित एक ज्यामिति है, जिसमें समानांतर स्वसिद्ध या इसके कोई विकल्प नहीं हैं। परंपरागत रूप से इसका अर्थ केवल यूक्लिड की अभिधारणाओं में से केवल पहले चार का उपयोग करना है लेकिन ये यूक्लिडियन ज्यामिति के आधार के रूप में पर्याप्त नहीं हैं अन्य प्रणालियां जैसे समानांतर अभिगृहीत के बिना हिल्बर्ट के अभिगृहीत का उपयोग किया जाता है। यह शब्द 1832 में जानोस बोल्याई द्वारा प्रस्तुत किया गया था, इसे कभी-कभी तटस्थ ज्यामिति के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि यह समानांतर अवधारणा के संबंध में तटस्थ है।

गुण
यह कल्पना की जा सकती है कि पूर्ण ज्यामिति एक कमजोर प्रणाली है, लेकिन ऐसा नहीं है। वास्तव में यूक्लिड के तत्वों में पहले प्रस्ताव 28 और प्रस्ताव 31 समानांतर अवधारणा का उपयोग करने से बचते हैं इसलिए पूर्ण ज्यामिति में मान्य हैं, कोई भी पूर्ण ज्यामिति में बाहरी कोण प्रमेय (त्रिभुज का बाहरी कोण दूरस्थ कोणों में से किसी एक से बड़ा होता है) के साथ-साथ सैचेरी-लीजेंड्रे प्रमेय को भी साबित कर सकता है, जिसमें कहा गया है कि कोणों के माप का योग त्रिभुज का अधिकतम 180° होता है।

प्रस्ताव 31 दी गई रेखा पर नहीं दिए गए बिंदु के माध्यम से दी गई रेखा के समानांतर रेखा का निर्माण है। सबूत के रूप में केवल प्रस्ताव 27 (वैकल्पिक आंतरिक कोण प्रमेय) के उपयोग की आवश्यकता है यह पूर्ण ज्यामिति में एक वैध निर्माण है उचित रूप से दी गई रेखा l और बिंदु P जो l पर नहीं है, P से होकर जाने वाली कम से कम एक रेखा है जो l के समानांतर है। यह एक परिचित निर्माण का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है: एक रेखा l और बिंदु P दिया गया है जो l पर नहीं है, P से l पर लंबा m स्थित करे फिर P से होकर m पर लंबा n स्थित करे, वैकल्पिक आंतरिक कोण प्रमेय द्वारा n के लिए l समानांतर है (एकांतर आंतरिक कोण प्रमेय में कहा गया है कि यदि रेखा a और b को एक तिर्यक रेखा t द्वारा काटा जाता है जैसे कि सर्वांगसम वैकल्पिक आंतरिक कोणों की एक जोड़ी होती है तो a और b समानांतर होते हैं।) पूर्वगामी निर्माण और वैकल्पिक आंतरिक कोण प्रमेय समानांतर अभिधारणा पर निर्भर नहीं होते हैं इसलिए पूर्ण ज्यामिति में मान्य होते हैं।

पूर्ण ज्यामिति में यह भी सिद्ध किया जा सकता है कि एक ही रेखा के लंबवत दो रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं कर सकती हैं (जो समानांतर रेखाओं की परिभाषा के अनुसार दो रेखाओं को समानांतर बनाता है) यह साबित करता है कि सैचेरी चतुष्कोष का शिखर कोण ओबटयूस कोण नहीं हो सकता है और गोलाकार ज्यामिति पूर्ण ज्यामिति नहीं है।

अन्य ज्यामिति से संबंध
पूर्ण ज्यामिति के प्रमेय अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में मान्य हैं, जो गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के साथ-साथ यूक्लिडियन ज्यामिति में भी है।

पूर्ण ज्यामिति गोलाकार ज्यामिति के साथ असंगत है: उस सिद्धांत में कोई समानांतर रेखाएँ नहीं हैं, लेकिन पूर्ण ज्यामिति का एक प्रमेय है कि समानांतर रेखाएँ उपस्थित हैं हालांकि, स्वयंसिद्ध प्रणाली को संशोधित करना संभव है ताकि संशोधित प्रणाली द्वारा परिभाषित पूर्ण ज्यामिति में गोलाकार और दीर्घवृत्तीय ज्यामिति सम्मिलित है, जिनमें कोई समानांतर रेखा नहीं हैं।

पूर्ण ज्यामिति क्रमबद्ध ज्यामिति का एक विस्तार है और इस प्रकार क्रमबद्ध ज्यामिति में सभी प्रमेय पूर्ण ज्यामिति में हैं, पूर्ण ज्यामिति यूक्लिड के अभिगृहीत (या उनके समतुल्य) के पहले चार को ग्रहण करती है, जो एफाइन ज्यामिति के विपरीत है जो यूक्लिड के तीसरे और चौथे अभिगृहीत को नहीं मानता है।

(3: किसी भी केंद्र और दूरी त्रिज्या के साथ एक वृत्त का वर्णन करने के लिए।

4: सभी समकोण एक दूसरे के बराबर होते हैं। )

क्रमबद्ध ज्यामिति पूर्ण और एफाइन ज्यामिति दोनों का एक सामान्य आधार है।

विशेष सापेक्षता की ज्यामिति को नौ अभिगृहीतों और पूर्ण ज्यामिति के ग्यारह प्रस्तावों से प्रारंभ करके विकसित किया गया है। लेखक एडविन बी. विल्सन और गिल्बर्ट एन. लुईस तब पूर्ण ज्यामिति से आगे बढे़ हैं जब वे संदर्भ के दो फ़्रेमों से संबंधित परिवर्तन के रूप में अतिशयोक्तिपूर्ण नियमित आवर्तन का परिचय देते हैं।

हिल्बर्ट तल
एक तल जो हिल्बर्ट के आपतन, बीच और सर्वांगसमता के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, हिल्बर्ट तल कहलाता है। हिल्बर्ट तल पूर्ण ज्यामिति के प्रतिरूप हैं।

अपूर्णता
पूर्ण ज्यामिति एक अपूर्णता स्वयंसिद्ध प्रणाली है, इस अर्थ में कि स्वयंसिद्ध प्रणाली को अननुरूप बनाए बिना अतिरिक्त स्वतंत्र अभिगृहीत को जोड़ा जा सकता है। समांतर रेखाओं के बारे में अलग-अलग स्वयंसिद्धों को जोड़कर पूर्ण ज्यामिति का विस्तार किया जा सकता है और यूक्लिडियन या अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति को जन्म देते हुए अननुरूप लेकिन अविरोधी स्वयंसिद्ध प्रणालियों को प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार पूर्ण ज्यामिति का प्रत्येक प्रमेय अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति और यूक्लिडियन ज्यामिति का एक प्रमेय है हालाँकि, इसका विलोम सत्य नहीं है।

यह भी देखें

 * एफ़िन ज्यामिति
 * एर्लांगेन फंक्शन
 * ज्यामिति की नींव
 * घटना ज्यामिति
 * गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति

संदर्भ

 * Pambuccain, Victor Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries, in: Non-Euclidean geometries (A. Prékopa and E. Molnár, eds.). János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6–12, 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.
 * Pambuccain, Victor Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries, in: Non-Euclidean geometries (A. Prékopa and E. Molnár, eds.). János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6–12, 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.
 * Pambuccain, Victor Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries, in: Non-Euclidean geometries (A. Prékopa and E. Molnár, eds.). János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6–12, 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.
 * Pambuccain, Victor Axiomatizations of hyperbolic and absolute geometries, in: Non-Euclidean geometries (A. Prékopa and E. Molnár, eds.). János Bolyai memorial volume. Papers from the international conference on hyperbolic geometry, Budapest, Hungary, July 6–12, 2002. New York, NY: Springer, 119–153, 2006.
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