ग्रीन का फलन (अनेक-निकाय सिद्धांत)

कई-निकाय सिद्धांत में, ग्रीन फ़ंक्शन (या ग्रीन फ़ंक्शन) शब्द का उपयोग कभी-कभी सहसंबंध फ़ंक्शन (क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत) के साथ परस्पर विनिमय के लिए किया जाता है, लेकिन विशेष रूप से क्षेत्र संचालक या निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के सहसंबंधकों को संदर्भित करता है।

यह नाम ग्रीन के फ़ंक्शंस से आया है जिसका उपयोग अमानवीय अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है, जिससे वे शिथिल रूप से संबंधित होते हैं। (विशेष रूप से, गैर-इंटरेक्टिंग सिस्टम के मामले में केवल दो-बिंदु 'ग्रीन के कार्य' गणितीय अर्थ में ग्रीन के कार्य हैं; रैखिक ऑपरेटर जो वे उलटा करते हैं वह हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है, जो गैर-इंटरेक्टिंग मामले में है खेतों में द्विघात।)

बुनियादी परिभाषाएँ
हम फ़ील्ड ऑपरेटर (स्थिति के आधार पर विनाश ऑपरेटर) के साथ कई-निकाय सिद्धांत पर विचार करते हैं $$\psi(\mathbf{x})$$.

हाइजेनबर्ग चित्र को श्रोडिंगर चित्र|श्रोडिंगर संचालकों के रूप में लिखा जा सकता है $$\psi(\mathbf{x},t) = e^{i K t} \psi(\mathbf{x}) e^{-i K t}, $$और सृजन संचालक है $$\bar\psi(\mathbf{x},t) = [\psi(\mathbf{x},t)]^\dagger$$, कहाँ $$K = H - \mu N$$ भव्य विहित पहनावा|ग्रैंड-कैनोनिकल हैमिल्टनियन है।

इसी प्रकार, काल्पनिक समय|काल्पनिक-समय ऑपरेटरों के लिए, $$\psi(\mathbf{x},\tau) = e^{K \tau} \psi(\mathbf{x}) e^{-K\tau}$$ $$\bar\psi(\mathbf{x},\tau) = e^{K \tau} \psi^\dagger(\mathbf{x}) e^{-K\tau}.$$ [ध्यान दें कि काल्पनिक-समय निर्माण ऑपरेटर $$\bar\psi(\mathbf{x},\tau)$$ विनाश संचालिका का हर्मिटियन संयुग्म नहीं है $$\psi(\mathbf{x},\tau)$$.]

वास्तविक समय में, $$2n$$-पॉइंट ग्रीन फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया गया है $$ G^{(n)}(1 \ldots n \mid 1' \ldots n') = i^n \langle T\psi(1)\ldots\psi(n)\bar\psi(n')\ldots\bar\psi(1')\rangle, $$ जहां हमने एक संक्षिप्त संकेतन का उपयोग किया है $$j$$ प्रतीक $$(\mathbf{x}_j, t_j)$$ और $$j'$$ प्रतीक $$(\mathbf{x}_j', t_j')$$. परिचालक $$T$$ समय क्रम को दर्शाता है, और इंगित करता है कि इसका पालन करने वाले फ़ील्ड ऑपरेटरों को आदेश दिया जाना चाहिए ताकि उनके समय तर्क दाएं से बाएं ओर बढ़ें।

काल्पनिक समय में, इसी परिभाषा है $$ \mathcal{G}^{(n)}(1 \ldots n \mid 1' \ldots n') = \langle T\psi(1)\ldots\psi(n)\bar\psi(n')\ldots\bar\psi(1')\rangle, $$ कहाँ $$j$$ प्रतीक $$\mathbf{x}_j, \tau_j$$. (काल्पनिक-समय चर $$\tau_j$$ की सीमा तक सीमित हैं $$0$$ विपरीत तापमान पर $\beta = \frac{1}{k_\text{B} T}$ .)

इन परिभाषाओं में प्रयुक्त संकेतों और सामान्यीकरण के संबंध में ध्यान दें: ग्रीन फ़ंक्शंस के संकेतों को चुना गया है ताकि फूरियर दो-बिंदु का रूपांतरण कर सके ($$n=1$$) एक मुक्त कण के लिए थर्मल ग्रीन फ़ंक्शन है $$ \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \frac{1}{-i\omega_n + \xi_\mathbf{k}}, $$ और मंद हरा कार्य है $$G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{-(\omega+i\eta) + \xi_\mathbf{k}},$$ कहाँ $$\omega_n = \frac{[2n+\theta(-\zeta)]\pi}{\beta}$$ मात्सुबारा आवृत्ति है.

लगातार, $$\zeta$$ है $$+1$$ बोसॉन के लिए और $$-1$$ फरमिओन्स के लिए और $$[\ldots,\ldots]=[\ldots,\ldots]_{-\zeta}$$ उपयुक्त के रूप में या तो कम्यूटेटर या एंटीकम्यूटेटर को दर्शाता है।

(विवरण के लिए ग्रीन का कार्य (अनेक-निकाय सिद्धांत)#नॉन-इंटरेक्टिंग केस देखें।)

दो-बिंदु कार्य
तर्कों की एक जोड़ी के साथ ग्रीन फ़ंक्शन ($$n=1$$) को दो-बिंदु फ़ंक्शन, या प्रचारक के रूप में जाना जाता है। स्थानिक और लौकिक अनुवादात्मक समरूपता दोनों की उपस्थिति में, यह केवल इसके तर्कों के अंतर पर निर्भर करता है। फूरियर को स्थान और समय दोनों के संबंध में बदलने से लाभ मिलता है $$\mathcal{G}(\mathbf{x}\tau\mid\mathbf{x}'\tau') = \int_\mathbf{k} d\mathbf{k} \frac{1}{\beta}\sum_{\omega_n} \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) e^{i \mathbf{k}\cdot(\mathbf{x}-\mathbf{x}')-i\omega_n (\tau-\tau')},$$ जहां योग उपयुक्त मात्सुबारा आवृत्ति से अधिक है (और अभिन्न में एक अंतर्निहित कारक शामिल होता है $$(L/2\pi)^{d}$$, हमेशा की तरह)।

वास्तविक समय में, हम सुपरस्क्रिप्ट टी के साथ समय-क्रमित फ़ंक्शन को स्पष्ट रूप से इंगित करेंगे: $$G^{\mathrm{T}}(\mathbf{x} t\mid\mathbf{x}' t') = \int_\mathbf{k} d \mathbf{k} \int \frac{d\omega}{2\pi} G^{\mathrm{T}}(\mathbf{k},\omega) e^{i \mathbf{k}\cdot(\mathbf{x} -\mathbf{x} ')-i\omega(t-t')}.$$ वास्तविक समय के दो-बिंदु ग्रीन फ़ंक्शन को 'मंदबुद्धि' और 'उन्नत' ग्रीन फ़ंक्शन के संदर्भ में लिखा जा सकता है, जो सरल विश्लेषणात्मक गुणों के रूप में सामने आएगा। मंद और उन्नत हरित कार्यों को परिभाषित किया गया है $$G^{\mathrm{R}}(\mathbf{x} t \mid \mathbf{x}' t') = -i\langle[\psi(\mathbf{x} ,t),\bar\psi(\mathbf{x} ',t')]_{\zeta}\rangle\Theta(t-t')$$ और $$G^{\mathrm{A}}(\mathbf{x} t\mid\mathbf{x} 't') = i\langle[\psi(\mathbf{x} ,t),\bar\psi(\mathbf{x}', t')]_{\zeta}\rangle \Theta(t'-t),$$ क्रमश।

वे समय-आदेशित ग्रीन फ़ंक्शन से संबंधित हैं $$G^{\mathrm{T}}(\mathbf{k},\omega) = [1+\zeta n(\omega)]G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) - \zeta n(\omega) G^{\mathrm{A}}(\mathbf{k},\omega),$$ कहाँ $$n(\omega) = \frac{1}{e^{\beta \omega}-\zeta}$$ बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी|बोस-आइंस्टीन या फर्मी-डिराक सांख्यिकी|फर्मी-डिराक वितरण फ़ंक्शन है।

काल्पनिक-समय क्रम और β-आवधिकता
थर्मल ग्रीन फ़ंक्शंस को केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब दोनों काल्पनिक-समय तर्क सीमा के भीतर होते हैं $$0$$ को $$\beta$$. दो-बिंदु ग्रीन फ़ंक्शन में निम्नलिखित गुण हैं। (स्थिति या गति संबंधी तर्क इस खंड में दबा दिए गए हैं।)

सबसे पहले, यह केवल काल्पनिक समय के अंतर पर निर्भर करता है: $$\mathcal{G}(\tau,\tau') = \mathcal{G}(\tau - \tau').$$ तर्क $$\tau - \tau'$$ से चलाने की अनुमति है $$-\beta$$ को $$\beta$$.

दूसरी बात, $$\mathcal{G}(\tau)$$ की पाली के अंतर्गत (प्रति)आवधिक है $$\beta$$. छोटे डोमेन के कारण जिसमें फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है, इसका मतलब उचित है $$\mathcal{G}(\tau - \beta) = \zeta \mathcal{G}(\tau),$$ के लिए $$0 < \tau < \beta$$. इस संपत्ति के लिए समय क्रम महत्वपूर्ण है, जिसे ट्रेस ऑपरेशन की चक्रीयता का उपयोग करके सीधे साबित किया जा सकता है।

ये दो गुण फूरियर रूपांतरण प्रतिनिधित्व और इसके व्युत्क्रम की अनुमति देते हैं, $$\mathcal{G}(\omega_n) = \int_0^\beta d\tau \, \mathcal{G}(\tau)\, e^{i\omega_n \tau}.$$ अंत में, उस पर ध्यान दें $$\mathcal{G}(\tau)$$ पर असंततता है $$\tau = 0$$; यह लंबी दूरी के व्यवहार के अनुरूप है $$\mathcal{G}(\omega_n) \sim 1/|\omega_n|$$.

वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व
वास्तविक और काल्पनिक समय में प्रचारक दोनों वर्णक्रमीय घनत्व (या वर्णक्रमीय भार) से संबंधित हो सकते हैं, जो द्वारा दिया गया है $$\rho(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha,\alpha'} 2\pi \delta(E_\alpha-E_{\alpha'} - \omega) |\langle \alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha'\rangle|^2 \left(e^{-\beta E_{\alpha'}} - \zeta e^{-\beta E_{\alpha}}\right),$$ कहाँ $|α⟩$ भव्य-विहित हैमिल्टनियन के एक (कई-निकाय) स्वदेशी को संदर्भित करता है $H − μN$, eigenvalue के साथ $E_{α}$.

तब काल्पनिक-समय प्रचारक द्वारा दिया जाता है $$ \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} \frac{\rho(\mathbf{k},\omega')}{-i\omega_n+\omega'}~, $$ और मंदबुद्धि प्रचारक द्वारा $$G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} \frac{\rho(\mathbf{k},\omega')}{-(\omega+i\eta)+\omega'},$$ जहां सीमा के रूप में $$\eta \to 0^+$$ निहित है.

उन्नत प्रचारक को उसी अभिव्यक्ति द्वारा दिया जाता है, लेकिन साथ में $$-i\eta$$ हर में.

समय-आदेशित फ़ंक्शन के संदर्भ में पाया जा सकता है $$G^{\mathrm{R}}$$ और $$G^{\mathrm{A}}$$. जैसा कि ऊपर दावा किया गया है, $$G^{\mathrm{R}}(\omega)$$ और $$G^{\mathrm{A}}(\omega)$$ सरल विश्लेषणात्मक गुण होते हैं: पहले (बाद वाले) के सभी ध्रुव और असंततताएं निचले (ऊपरी) आधे तल में होती हैं।

थर्मल प्रचारक $$\mathcal{G}(\omega_n)$$ इसके सभी ध्रुव और विच्छेद काल्पनिक हैं $$\omega_n$$ एक्सिस।

वर्णक्रमीय घनत्व बहुत सरलता से पाया जा सकता है $$G^{\mathrm{R}}$$, सोखात्स्की-वीयरस्ट्रैस प्रमेय का उपयोग करते हुए $$\lim_{\eta \to 0^+} \frac{1}{x\pm i\eta} = P\frac{1}{x} \mp i\pi\delta(x),$$ कहाँ $P$ कॉची प्रमुख भाग को दर्शाता है। यह देता है $$\rho(\mathbf{k},\omega) = 2\operatorname{Im} G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega).$$ इसका तात्पर्य यह भी है $$G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega)$$ इसके वास्तविक और काल्पनिक भागों के बीच निम्नलिखित संबंध का पालन करता है: $$\operatorname{Re} G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = -2 P \int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega'}{2\pi} \frac{\operatorname{Im} G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega')}{\omega-\omega'},$$ कहाँ $$P$$ अभिन्न के प्रमुख मूल्य को दर्शाता है।

वर्णक्रमीय घनत्व एक योग नियम का पालन करता है, $$\int_{-\infty}^\infty \frac{d\omega}{2\pi} \rho(\mathbf{k},\omega) = 1,$$ जो देता है $$G^{\mathrm{R}}(\omega)\sim\frac{1}{|\omega|}$$ जैसा $$|\omega| \to \infty$$.

हिल्बर्ट रूपांतरण
काल्पनिक और वास्तविक समय के ग्रीन फ़ंक्शंस के वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व की समानता हमें फ़ंक्शन को परिभाषित करने की अनुमति देती है $$G(\mathbf{k},z) = \int_{-\infty}^\infty \frac{dx}{2\pi} \frac{\rho(\mathbf{k},x)}{-z+x},$$ जो संबंधित है $$\mathcal{G}$$ और $$G^{\mathrm{R}}$$ द्वारा $$\mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = G(\mathbf{k}, i\omega_n)$$ और $$G^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = G(\mathbf{k},\omega + i\eta).$$ एक समान अभिव्यक्ति स्पष्ट रूप से लागू होती है $$G^{\mathrm{A}}$$.

के बीच संबंध $$G(\mathbf{k},z)$$ और $$\rho(\mathbf{k},x)$$ हिल्बर्ट परिवर्तन के रूप में जाना जाता है।

वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व का प्रमाण
हम थर्मल ग्रीन फ़ंक्शन के मामले में प्रोपेगेटर के वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व का प्रमाण प्रदर्शित करते हैं, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$\mathcal{G}(\mathbf{x}, \tau\mid\mathbf{x} ',\tau') = \langle T\psi(\mathbf{x} ,\tau)\bar\psi(\mathbf{x} ', \tau') \rangle.$$ अनुवादात्मक समरूपता के कारण इस पर विचार करना ही आवश्यक है $$\mathcal{G}(\mathbf{x} ,\tau\mid\mathbf{0},0)$$ के लिए $$\tau > 0$$, द्वारा दिए गए $$ \mathcal{G}(\mathbf{x},\tau\mid\mathbf{0},0) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha'} e^{-\beta E_{\alpha'}} \langle\alpha' \mid \psi(\mathbf{x},\tau)\bar\psi(\mathbf{0},0) \mid \alpha' \rangle. $$ आइजेनस्टेट्स का एक पूरा सेट डालने से प्राप्त होता है $$ \mathcal{G}(\mathbf{x} ,\tau\mid\mathbf{0},0) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha,\alpha'} e^{-\beta E_{\alpha'}} \langle\alpha' \mid \psi(\mathbf{x} ,\tau)\mid\alpha \rangle\langle\alpha \mid \bar\psi(\mathbf{0},0) \mid \alpha' \rangle. $$ तब से $$|\alpha \rangle$$ और $$|\alpha' \rangle$$ के स्वदेशी राज्य हैं $$H-\mu N$$, हाइजेनबर्ग ऑपरेटरों को श्रोडिंगर ऑपरेटरों के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है $$ \mathcal{G}(\mathbf{x} ,\tau|\mathbf{0},0) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{\alpha,\alpha'} e^{-\beta E_{\alpha'}} e^{\tau(E_{\alpha'} - E_\alpha)}\langle\alpha' \mid \psi(\mathbf{x} )\mid\alpha \rangle \langle\alpha \mid \psi^\dagger(\mathbf{0}) \mid \alpha' \rangle. $$ फूरियर रूपांतरण का प्रदर्शन तब मिलता है $$ \mathcal{G}(\mathbf{k},\omega_n) = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_{\alpha,\alpha'} e^{-\beta E_{\alpha'}} \frac{1-\zeta e^{\beta(E_{\alpha'} - E_\alpha)}}{-i\omega_n + E_\alpha - E_{\alpha'}} \int_{\mathbf{k}'} d\mathbf{k}' \langle\alpha \mid \psi(\mathbf{k}) \mid \alpha' \rangle\langle\alpha' \mid \psi^\dagger(\mathbf{k}')\mid\alpha \rangle. $$ संवेग संरक्षण अंतिम पद को इस प्रकार लिखने की अनुमति देता है (आयतन के संभावित कारकों तक) $$|\langle\alpha' \mid\psi^\dagger(\mathbf{k})\mid\alpha \rangle|^2,$$ जो वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व में हरे कार्यों के लिए अभिव्यक्तियों की पुष्टि करता है।

कम्यूटेटर के अपेक्षित मूल्य पर विचार करके योग नियम को सिद्ध किया जा सकता है, $$1 = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_\alpha \langle\alpha \mid e^{-\beta(H-\mu N)}[\psi_\mathbf{k},\psi_\mathbf{k}^\dagger]_{-\zeta} \mid \alpha \rangle,$$ और फिर कम्यूटेटर के दोनों पदों में आइजेनस्टेट्स का एक पूरा सेट सम्मिलित करना: $$ 1 = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_{\alpha,\alpha'} e^{-\beta E_\alpha} \left( \langle\alpha \mid \psi_\mathbf{k} \mid \alpha' \rangle\langle\alpha' \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha \rangle - \zeta \langle\alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha' \rangle\langle\alpha' \mid \psi_\mathbf{k}\mid\alpha \rangle \right). $$ पहले पद में लेबलों की अदला-बदली करने पर परिणाम मिलता है $$ 1 = \frac{1}{\mathcal{Z}} \sum_{\alpha,\alpha'} \left(e^{-\beta E_{\alpha'}} - \zeta e^{-\beta E_\alpha} \right) $$ जो वास्तव में एकीकरण का परिणाम है $ρ$.
 * \langle\alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha' \rangle|^2 ~,

नॉन-इंटरेक्टिंग केस
गैर-अंतःक्रियात्मक मामले में, $$\psi_\mathbf{k}^\dagger\mid\alpha' \rangle$$ (ग्रैंड-कैनोनिकल) ऊर्जा वाला एक आइजेनस्टेट है $$E_{\alpha'} + \xi_\mathbf{k}$$, कहाँ $$\xi_\mathbf{k} = \epsilon_\mathbf{k} - \mu$$ रासायनिक क्षमता के संबंध में मापा जाने वाला एकल-कण फैलाव संबंध है। इसलिए वर्णक्रमीय घनत्व बन जाता है $$ \rho_0(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\,2\pi\delta(\xi_\mathbf{k} - \omega) \sum_{\alpha'}\langle\alpha' \mid\psi_\mathbf{k}\psi_\mathbf{k}^\dagger\mid\alpha' \rangle(1-\zeta e^{-\beta\xi_\mathbf{k}})e^{-\beta E_{\alpha'}}. $$ रूपान्तरण संबंधों से, $$ \langle\alpha' \mid \psi_\mathbf{k}\psi_\mathbf{k}^\dagger\mid\alpha' \rangle = \langle\alpha' \mid(1+\zeta\psi_\mathbf{k}^\dagger\psi_\mathbf{k})\mid\alpha' \rangle, $$ मात्रा के संभावित कारकों के साथ फिर से। योग, जिसमें संख्या ऑपरेटर का थर्मल औसत शामिल होता है, तब सरलता से दिया जाता है $$[1 + \zeta n(\xi_\mathbf{k})]\mathcal{Z}$$, जा रहा हूँ $$\rho_0(\mathbf{k},\omega) = 2\pi\delta(\xi_\mathbf{k} - \omega).$$ कल्पित-काल-प्रचार यह है $$\mathcal{G}_0(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{-i\omega_n + \xi_\mathbf{k}}$$ और मंदबुद्धि प्रचारक है $$G_0^{\mathrm{R}}(\mathbf{k},\omega) = \frac{1}{-(\omega+i \eta) + \xi_\mathbf{k}}.$$

शून्य-तापमान सीमा
जैसा $β → ∞$, वर्णक्रमीय घनत्व बन जाता है $$ \rho(\mathbf{k},\omega) = 2\pi\sum_{\alpha} \left[ \delta(E_\alpha - E_0 - \omega) \left|\left\langle \alpha \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid 0 \right\rangle\right|^2 - \zeta \delta(E_0 - E_{\alpha} - \omega) \left|\left\langle 0 \mid \psi_\mathbf{k}^\dagger \mid \alpha \right\rangle\right|^2\right] $$ कहाँ $α = 0$ जमीनी स्थिति से मेल खाता है। ध्यान दें कि केवल पहला (दूसरा) पद ही योगदान देता है $ω$ धनात्मक (नकारात्मक) है।

बुनियादी परिभाषाएँ
हम उपरोक्त 'फ़ील्ड ऑपरेटरों' का उपयोग कर सकते हैं, या अन्य एकल-कण राज्यों से जुड़े सृजन और विनाश ऑपरेटरों का उपयोग कर सकते हैं, शायद (गैर-इंटरैक्टिंग) गतिज ऊर्जा के आइजेनस्टेट्स। फिर हम उपयोग करते हैं $$\psi(\mathbf{x} ,\tau) = \varphi_\alpha(\mathbf{x} ) \psi_\alpha(\tau),$$ कहाँ $$\psi_\alpha$$ एकल-कण अवस्था के लिए विनाश संचालिका है $$\alpha$$ और $$\varphi_\alpha(\mathbf{x} )$$ क्या वह स्थिति के आधार पर राज्य की तरंग क्रिया है। यह देता है $$ \mathcal{G}^{(n)}_{\alpha_1\ldots\alpha_n|\beta_1\ldots\beta_n}(\tau_1 \ldots \tau_n | \tau_1' \ldots \tau_n') = \langle T\psi_{\alpha_1}(\tau_1)\ldots\psi_{\alpha_n}(\tau_n)\bar\psi_{\beta_n}(\tau_n')\ldots\bar\psi_{\beta_1}(\tau_1')\rangle $$ के लिए समान अभिव्यक्ति के साथ $$G^{(n)}$$.

दो-बिंदु कार्य
ये केवल उनके समय तर्कों के अंतर पर निर्भर करते हैं, ताकि $$ \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau\mid \tau') = \frac{1}{\beta}\sum_{\omega_n} \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\omega_n)\,e^{-i\omega_n (\tau-\tau')} $$ और $$ G_{\alpha\beta}(t\mid t') = \int_{-\infty}^{\infty}\frac{d\omega}{2\pi}\, G_{\alpha\beta}(\omega)\,e^{-i\omega(t-t')}. $$ हम फिर से मंद और उन्नत कार्यों को स्पष्ट तरीके से परिभाषित कर सकते हैं; ये उपरोक्त की तरह ही समय-क्रमित फ़ंक्शन से संबंधित हैं।

ऊपर वर्णित समान आवधिकता गुण लागू होते हैं $$\mathcal{G}_{\alpha\beta}$$. विशेष रूप से, $$\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau\mid\tau') = \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau-\tau')$$ और $$\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau) = \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\tau + \beta),$$ के लिए $$\tau < 0$$.

वर्णक्रमीय प्रतिनिधित्व
इस मामले में, $$ \rho_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{m,n} 2\pi \delta(E_n-E_m-\omega)\; \langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger\mid m \rangle \left(e^{-\beta E_m} - \zeta e^{-\beta E_n}\right) , $$ कहाँ $$m$$ और $$n$$ बहु-निकाय अवस्थाएँ हैं।

ग्रीन फ़ंक्शंस के लिए अभिव्यक्तियाँ स्पष्ट तरीकों से संशोधित की गई हैं: $$ \mathcal{G}_{\alpha\beta}(\omega_n) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega'}{2\pi} \frac{\rho_{\alpha\beta}(\omega')}{-i\omega_n+\omega'}$$ और $$G^{\mathrm{R}}_{\alpha\beta}(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \frac{d\omega'}{2\pi} \frac{\rho_{\alpha\beta}(\omega')}{-(\omega+i\eta)+\omega'}.$$ उनके विश्लेषणात्मक गुण समान हैं। प्रमाण बिल्कुल उन्हीं चरणों का पालन करता है, सिवाय इसके कि दो मैट्रिक्स तत्व अब जटिल संयुग्म नहीं हैं।

गैर-संवादात्मक मामला
यदि चुने गए विशेष एकल-कण राज्य 'एकल-कण ऊर्जा ईजेनस्टेट्स' हैं, यानी। $$[H-\mu N,\psi_\alpha^\dagger] = \xi_\alpha\psi_\alpha^\dagger,$$ फिर के लिए $$|n \rangle$$ प्रतिपादन करना: $$(H-\mu N)\mid n \rangle = E_n \mid n \rangle,$$ ऐसा ही है $$\psi_\alpha \mid n \rangle$$: $$(H-\mu N)\psi_\alpha\mid n \rangle = (E_n - \xi_\alpha) \psi_\alpha \mid n \rangle,$$ और ऐसे ही $$\psi_\alpha^\dagger\mid n \rangle$$: $$(H-\mu N)\psi_\alpha^\dagger \mid n \rangle = (E_n + \xi_\alpha) \psi_\alpha^\dagger \mid n \rangle.$$ इसलिए हमारे पास है $$\langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger\mid m \rangle =\delta_{\xi_\alpha, \xi_\beta} \delta_{E_n, E_m + \xi_\alpha} \langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger \mid m \rangle.$$ हम फिर से लिखते हैं $$ \rho_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_{m,n} 2\pi \delta(\xi_\alpha-\omega) \delta_{\xi_\alpha,\xi_\beta}\langle m \mid \psi_\alpha\mid n \rangle\langle n \mid \psi_\beta^\dagger \mid m \rangle e^{-\beta E_m} \left(1 - \zeta e^{-\beta \xi_\alpha}\right), $$ इसलिए $$ \rho_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{1}{\mathcal{Z}}\sum_m 2\pi \delta(\xi_\alpha-\omega) \delta_{\xi_\alpha,\xi_\beta}\langle m \mid \psi_\alpha\psi_\beta^\dagger e^{-\beta (H-\mu N)}\mid m \rangle \left(1 - \zeta e^{-\beta \xi_\alpha}\right), $$ उपयोग $$\langle m \mid \psi_\alpha \psi_\beta^\dagger\mid m \rangle = \delta_{\alpha,\beta}\langle m \mid \zeta \psi_\alpha^\dagger \psi_\alpha + 1 \mid m \rangle$$ और तथ्य यह है कि संख्या ऑपरेटर का थर्मल औसत बोस-आइंस्टीन या फर्मी-डिराक वितरण फ़ंक्शन देता है।

अंत में, वर्णक्रमीय घनत्व देना सरल हो जाता है $$\rho_{\alpha\beta} = 2\pi \delta(\xi_\alpha - \omega)\delta_{\alpha\beta},$$ ताकि थर्मल ग्रीन फ़ंक्शन हो $$\mathcal{G}_{\alpha\beta}(\omega_n) = \frac{\delta_{\alpha\beta}}{-i\omega_n + \xi_\beta}$$ और मंद हरा कार्य है $$G_{\alpha\beta}(\omega) = \frac{\delta_{\alpha\beta}}{-(\omega+i\eta) + \xi_\beta}.$$ ध्यान दें कि नॉनइंटरेक्टिंग ग्रीन फ़ंक्शन विकर्ण है, लेकिन इंटरैक्टिंग मामले में यह सच नहीं होगा।

यह भी देखें

 * उतार-चढ़ाव प्रमेय
 * ग्रीन-कुबो संबंध
 * रैखिक प्रतिक्रिया फ़ंक्शन
 * लिंडब्लाड समीकरण
 * प्रचारक
 * सहसंबंध फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत)
 * संख्यात्मक विश्लेषणात्मक निरंतरता

किताबें

 * बॉन्च-ब्रूविच वी.एल., सर्गेई टायब्लिकोव|टायब्लिकोव एस.वी. (1962): सांख्यिकीय यांत्रिकी में ग्रीन फ़ंक्शन विधि। नॉर्थ हॉलैंड पब्लिशिंग कंपनी
 * एब्रिकोसोव, ए.ए., गोर्कोव, एल.पी. और डज़्यालोशिंस्की, आई.ई. (1963): सांख्यिकीय भौतिकी में क्वांटम फील्ड थ्योरी के तरीके एंगलवुड क्लिफ्स: प्रेंटिस-हॉल।
 * नेगेले, जे.डब्ल्यू. और ऑरलैंड, एच. (1988): क्वांटम मैनी-पार्टिकल सिस्टम्स एडिसनवेस्ले।
 * दिमित्री जुबारेव|जुबारेव डी.एन., मोरोज़ोव वी., रोपके जी. (1996): नॉनक्विलिब्रियम प्रक्रियाओं के सांख्यिकीय यांत्रिकी: बुनियादी अवधारणाएं, काइनेटिक सिद्धांत (खंड 1)। जॉन विली एंड संस। ISBN 3-05-501708-0.
 * मैटक रिचर्ड डी. (1992), ए गाइड टू फेनमैन डायग्राम्स इन द मैनी-बॉडी प्रॉब्लम, डोवर प्रकाशन, ISBN 0-486-67047-3.

कागजात

 * निकोले बोगोलीबोव|बोगोलीबोव एन.एन., सर्गेई टायब्लिकोव|टायब्लिकोव एस.वी. सांख्यिकीय भौतिकी में मंदबुद्धि और उन्नत ग्रीन फ़ंक्शन, सोवियत भौतिकी डोकलाडी, वॉल्यूम। 4, पृ. 589 (1959)।
 * दिमित्री जुबारेव|जुबारेव डी.एन., सांख्यिकीय भौतिकी में डबल-टाइम ग्रीन फ़ंक्शन, सोवियत भौतिकी उसपेखी 3(3), 320-345 (1960)।

बाहरी संबंध

 * Linear Response Functions in Eva Pavarini, Erik Koch, Dieter Vollhardt, and Alexander Lichtenstein (eds.): DMFT at 25: Infinite Dimensions, Verlag des Forschungszentrum Jülich, 2014 ISBN 978-3-89336-953-9