समूह कोहोलॉजी

गणित में (अधिक विशेष रूप से, होमोलॉजिकल बीजगणित में), समूह कोहोलॉजी गणितीय उपकरणों का एक सेट है जिसका उपयोग कोहोलॉजी सिद्धांत का उपयोग करके समूह (गणित) का अध्ययन करने के लिए किया जाता है, जो बीजगणितीय टोपोलॉजी की एक तकनीक है। समूह अभ्यावेदन के अनुरूप, समूह कोहोलॉजी एक संबद्ध जी-मॉड्यूल में समूह जी की समूह क्रिया (गणित) को देखता है।जी-मॉड्यूल एम समूह के गुणों को स्पष्ट करने के लिए. जी-मॉड्यूल को तत्वों के साथ एक प्रकार के टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में मानकर $$G^n$$ सिंप्लेक्स का प्रतिनिधित्व करते हुए, अंतरिक्ष के टोपोलॉजिकल गुणों की गणना की जा सकती है, जैसे कोहोलॉजी समूहों का सेट $$H^n(G,M)$$. कोहोलॉजी समूह बदले में समूह जी और जी-मॉड्यूल एम की संरचना में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं। ग्रुप कोहोलॉजी एक मॉड्यूल या स्पेस मौलिक समूह एक्शन के निश्चित बिंदुओं की जांच में भूमिका निभाता है और ग्रुप एक्शन के संबंध में भागफल मॉड्यूल या स्पेस। ग्रुप कॉहोलॉजी का उपयोग अमूर्त बीजगणित, होमोलॉजिकल बीजगणित, बीजगणितीय टोपोलॉजी और बीजगणितीय संख्या सिद्धांत के साथ-साथ समूह सिद्धांत के अनुप्रयोगों में भी किया जाता है। बीजगणितीय टोपोलॉजी के रूप में, एक दोहरी सिद्धांत है जिसे #ग्रुप होमोलॉजी कहा जाता है। समूह कोहोलॉजी की तकनीकों को इस मामले में भी बढ़ाया जा सकता है कि जी-मॉड्यूल के बजाय, जी गैर-अबेलियन जी-समूह पर कार्य करता है; वास्तव में, गैर-एबेलियन समूह|गैर-एबेलियन गुणांकों के लिए एक मॉड्यूल का सामान्यीकरण।

ये बीजगणितीय विचार सामयिक विचारों से निकटता से संबंधित हैं। असतत समूह G का समूह सह-विज्ञान एक उपयुक्त स्थान का एकवचन सह-विज्ञान है, जिसका मूल समूह G है, अर्थात् संबंधित Eilenberg-MacLane स्थान। इस प्रकार, का समूह कोहोलॉजी $$\Z$$ सर्कल एस के एकवचन कोहोलॉजी के रूप में सोचा जा सकता है1, और इसी तरह के लिए $$\Z/2\Z$$ और $$\mathbb{P}^{\infty}(\R).$$ समूहों के कोहोलॉजी के बारे में बहुत कुछ जाना जाता है, जिसमें निम्न-आयामी कोहोलॉजी, कार्यात्मकता और समूहों को कैसे बदलना है, की व्याख्या शामिल है। समूह कोहोलॉजी का विषय 1920 के दशक में शुरू हुआ, 1940 के दशक के अंत में परिपक्व हुआ, और आज भी सक्रिय अनुसंधान के क्षेत्र के रूप में जारी है।

प्रेरणा
समूह सिद्धांत में एक सामान्य प्रतिमान यह है कि एक समूह (गणित) जी को उसके समूह प्रतिनिधित्व के माध्यम से अध्ययन किया जाना चाहिए। उन अभ्यावेदनों का एक मामूली सामान्यीकरण जी-मॉड्यूल है। जी-मॉड्यूल: एक जी-मॉड्यूल एक एबेलियन समूह एम है जो एम पर जी के समूह क्रिया (गणित) के साथ है, जी के प्रत्येक तत्व के साथ एम के automorphism  के रूप में कार्य करता है। हम G को गुणा और M को योगात्मक लिखेंगे।

ऐसे जी-मॉड्यूल एम को देखते हुए, जी-इनवेरिएंट के सबमॉड्यूल पर विचार करना स्वाभाविक है। जी-इनवेरिएंट तत्व:


 * $$ M^{G} = \lbrace x \in M \ | \ \forall g \in G : \ gx=x \rbrace. $$

अब, यदि N, M का G-सबमॉड्यूल है (अर्थात, M का एक उपसमूह G की क्रिया द्वारा स्वयं में मैप किया गया है), तो यह सामान्य रूप से सत्य नहीं है कि इनवेरिएंट $$M/N$$ M में उन invariants के भागफल के रूप में पाए जाते हैं जो N में हैं: अपरिवर्तनीय होने के कारण 'modulo N' व्यापक है। पहले समूह कोहोलॉजी का उद्देश्य $$H^1(G,N)$$ इस अंतर को सटीक रूप से मापना है।

समूह कोहोलॉजी फ़ंक्शंस $$H^*$$ सामान्य रूप से मापें कि किस हद तक आक्रमणकारियों को लेना सटीक अनुक्रमों का सम्मान नहीं करता है। यह एक लंबे सटीक अनुक्रम द्वारा व्यक्त किया गया है।

परिभाषाएँ
सभी जी-मॉड्यूल का संग्रह श्रेणी सिद्धांत है $$f(gx) = g(f(x))$$ G में सभी g और M में x के लिए)। प्रत्येक मॉड्यूल M को आक्रमणकारियों के समूह में भेजना $$M^G$$ जी-मॉड्यूल की श्रेणी से एबेलियन समूहों की 'एबी' श्रेणी के लिए एक फ़ंक्टर पैदा करता है। यह functor लेफ्ट सटीक functor है लेकिन जरूरी नहीं कि सही सटीक हो। इसलिए हम इसके सही व्युत्पन्न कारक बना सकते हैं। उनके मूल्य आबेली समूह हैं और उन्हें इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $$H^n(G,M)$$एम में गुणांक के साथ जी का एन-वें कोहोलॉजी समूह। इसके अलावा, समूह $$H^0(G,M)$$ से पहचाना जा सकता है $$M^G$$.

कोचेन कॉम्प्लेक्स
व्युत्पन्न फ़ैक्टरों का उपयोग करने वाली परिभाषा अवधारणात्मक रूप से बहुत स्पष्ट है, लेकिन ठोस अनुप्रयोगों के लिए, निम्नलिखित संगणनाएं, जो कुछ लेखक परिभाषा के रूप में भी उपयोग करते हैं, अक्सर सहायक होते हैं। के लिए $$n \ge 0,$$ होने देना $$C^n(G,M)$$ से सभी कार्यों (गणित) का समूह बनें $$G^n$$ एम के लिए (यहाँ $$G^0$$ साधन $$\operatorname{id}_G$$). यह एक एबेलियन समूह है; इसके तत्वों को (अमानवीय) एन-कोचेन कहा जाता है। कोबाउंडरी होमोमोर्फिज्म


 * $$\begin{cases}

d^{n+1} \colon C^n (G,M) \to C^{n+1}(G,M) \\ \left(d^{n+1}\varphi\right) (g_1, \ldots, g_{n+1}) = g_1\varphi(g_2, \dots, g_{n+1}) + \sum_{i=1}^n (-1)^i \varphi \left (g_1,\ldots, g_{i-1}, g_ig_{i+1}, \ldots, g_{n+1} \right ) + (-1)^{n+1}\varphi(g_1,\ldots, g_n) \end{cases}$$ कोई इसकी जांच कर सकता है $$d^{n+1} \circ d^n = 0,$$ इसलिए यह एक कोचेन कॉम्प्लेक्स को परिभाषित करता है जिसकी कोहोलॉजी की गणना की जा सकती है। यह दिखाया जा सकता है कि व्युत्पन्न फ़ैक्टरों के संदर्भ में समूह कोहोलॉजी की उपर्युक्त परिभाषा इस परिसर के कोहोलॉजी के लिए आइसोमोर्फिक है


 * $$H^n(G,M) = Z^n(G,M)/B^n(G,M).$$

यहाँ क्रमशः n-cocycles और n-coboundaries के समूहों को परिभाषित किया गया है


 * $$Z^n(G,M) = \ker(d^{n+1}) $$
 * $$B^n(G,M) = \begin{cases} 0 & n = 0 \\ \operatorname{im}(d^{n}) & n \geqslant 1 \end{cases}$$

फ़ैक्टर एक्सटn और ग्रुप कोहोलॉजी की औपचारिक परिभाषा
समूह रिंग पर मॉड्यूल के रूप में जी-मॉड्यूल की व्याख्या करना $$\Z[G],$$ कोई इसे नोट कर सकता है


 * $$H^{0}(G,M) = M^G = \operatorname{Hom}_{\Z[G]}(\Z ,M),$$

यानी, एम में जी-इनवेरिएंट तत्वों के उपसमूह की पहचान होमोमोर्फिज्म के समूह से की जाती है $$\Z$$, जिसे तुच्छ जी-मॉड्यूल के रूप में माना जाता है (जी का प्रत्येक तत्व पहचान के रूप में कार्य करता है) एम।

इसलिए, चूंकि Ext functors होम functor के व्युत्पन्न फ़ैक्टर हैं, इसलिए एक प्राकृतिक समरूपता है


 * $$H^{n}(G,M) = \operatorname{Ext}^{n}_{\Z [G]}(\Z, M).$$

इन एक्सट समूहों की गणना प्रोजेक्टिव रिज़ॉल्यूशन के माध्यम से भी की जा सकती है $$\Z$$, लाभ यह है कि ऐसा संकल्प केवल G पर निर्भर करता है और M पर नहीं। हम इस संदर्भ के लिए Ext की परिभाषा को अधिक स्पष्ट रूप से याद करते हैं। F को एक प्रक्षेपी संकल्प | प्रक्षेपी होने दें $$\Z[G]$$-संकल्प (उदाहरण के लिए एक मुक्त संकल्प | मुक्त $$\Z[G]$$-संकल्प) तुच्छ का $$\Z[G]$$-मापांक $$\Z$$:


 * $$ \cdots \to F_n\to F_{n-1} \to\cdots \to F_0\to \Z\to 0.$$

उदाहरण के लिए, कोई हमेशा समूह के छल्ले का संकल्प ले सकता है, $$F_n = \Z[G^{n+1}],$$ मोर्फिज्म के साथ


 * $$\begin{cases}f_n : \Z[G^{n+1}] \to \Z[G^n] \\ (g_0, g_1, \ldots, g_n) \mapsto \sum_{i=0}^n (-1)^i \left (g_0, \ldots, \widehat{g_i}, \dots, g_n \right ) \end{cases}$$

इसके लिए याद करें $$\Z[G]$$-मॉड्यूलस एन और एम, होमG(एन, एम) एक एबेलियन समूह है जिसमें शामिल हैं $$\Z[G]$$-homomorphisms N से M. चूंकि $$\operatorname{Hom}_{G}(-,M)$$ एक प्रतिपरिवर्ती फ़ैक्टर है और लागू करते हुए तीरों को उलट देता है $$\operatorname{Hom}_{G}(-,M)$$ एफ को टर्मवाइज और ड्रॉप करना $$\operatorname{Hom}_G(\Z, M)$$ एक कोचेन कॉम्प्लेक्स का उत्पादन करता है $$\operatorname{Hom}_{G}(-,M)(F,M)$$:


 * $$\cdots \leftarrow \operatorname{Hom}_G(F_n,M)\leftarrow \operatorname{Hom}_G(F_{n-1},M) \leftarrow \dots \leftarrow \operatorname{Hom}_G (F_0,M) \leftarrow 0.$$

कोहोलॉजी समूह $$H^*(G,M)$$ मॉड्यूल एम में गुणांक वाले जी को उपरोक्त कोचेन परिसर के कोहोलॉजी के रूप में परिभाषित किया गया है:


 * $$ H^n(G,M)=H^n({\rm Hom}_{G}(F,M)), \qquad n \geqslant 0.$$

यह निर्माण शुरू में एक कोबाउंड्री ऑपरेटर की ओर ले जाता है जो सजातीय कोचेन पर कार्य करता है। ये के तत्व हैं $$\operatorname{Hom}_G(F,M)$$, यानी कार्य करता है $$\phi_n\colon G^n \to M$$ कि पालन करें


 * $$ g\phi_n(g_1,g_2,\ldots, g_n)= \phi_n(gg_1,gg_2,\ldots, gg_n).$$

कोबाउंड्री ऑपरेटर $$\delta\colon C^n \to C^{n+1}$$ अब स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया गया है, उदाहरण के लिए,


 * $$ \delta \phi_2(g_1, g_2,g_3)= \phi_2(g_2,g_3)-\phi_2(g_1,g_3)+ \phi_2(g_1,g_2).$$

कोबाउंड्री ऑपरेटर d से संबंध जो पिछले अनुभाग में परिभाषित किया गया था, और जो असमांगी कोचेन पर कार्य करता है $$ \varphi$$, पुनर्मूल्यांकन करके दिया जाता है ताकि


 * $$\begin{align}

\varphi_2(g_1,g_2) &= \phi_3(1, g_1,g_1g_2) \\ \varphi_3(g_1,g_2,g_3) &= \phi_4(1, g_1,g_1g_2, g_1g_2g_3), \end{align}$$ और इसी तरह। इस प्रकार


 * $$\begin{align}

d \varphi_2(g_1,g_2,g_3) &= \delta \phi_3(1,g_1, g_1g_2,g_1g_2g_3)\\ & = \phi_3(g_1, g_1g_2,g_1g_2g_3) - \phi_3(1, g_1g_2, g_1g_2g_3) +\phi_3(1,g_1, g_1g_2g_3) - \phi_3(1,g_1,g_1g_2) \\ & = g_1\phi_3(1, g_2,g_2g_3) - \phi_3(1, g_1g_2, g_1g_2g_3) +\phi_3(1,g_1, g_1g_2g_3) - \phi_3(1,g_1,g_1g_2) \\ & = g_1\varphi_2(g_2,g_3) -\varphi_2(g_1g_2,g_3)+\varphi_2(g_1,g_2g_3) -\varphi_2(g_1,g_2), \end{align}$$ जैसा कि पिछले भाग में है।

ग्रुप होमोलॉजी
ग्रुप कोहोलॉजी के निर्माण के लिए दो तरह से ग्रुप होमोलॉजी की निम्नलिखित परिभाषा है: एक जी-मॉड्यूल दिया गया है। g·m − 'm, g ∈ G, m ∈ M रूप के तत्वों द्वारा। M को इसके तथाकथित coinvariants'', भागफल समूह निर्दिष्ट करना


 * $$M_G:=M/DM,$$

एक सही सटीक कारक है। परिभाषा के अनुसार इसके बायें व्युत्पन्न फंक्‍टर समूह समरूपता हैं


 * $$H_n(G,M).$$

सहसंयोजक फ़ंक्टर जो एम असाइन करता हैGM से M को भेजने वाले फ़ैक्टर के लिए आइसोमॉर्फिक है $$\Z \otimes_{\Z[G]} M,$$ कहाँ $$\Z$$ तुच्छ जी-क्रिया के साथ संपन्न है। इसलिए टोर काम करता है के संदर्भ में समूह समरूपता के लिए एक अभिव्यक्ति भी मिलती है,


 * $$H_n(G,M) = \operatorname{Tor}_n^{\Z[G]}(\Z,M)$$

ध्यान दें कि कोहोमोलॉजी/होमोलॉजी के लिए सुपरस्क्रिप्ट/सबस्क्रिप्ट कन्वेंशन ग्रुप इनवेरिएंट/कॉइनवेरिएंट के कन्वेंशन से सहमत है, जबकि जिसे को-स्विच के रूप में दर्शाया गया है:
 * सुपरस्क्रिप्ट कोहोलॉजी एच * और इनवेरिएंट एक्स के अनुरूप हैंजी जबकि
 * सबस्क्रिप्ट होमोलॉजी एच के अनुरूप हैं∗ और संयोग एक्सG:= एक्स/जी।

विशेष रूप से, गृहविज्ञान समूह एचn(जी, एम) की गणना निम्नानुसार की जा सकती है। तुच्छ के प्रक्षेपी संकल्प F के साथ प्रारंभ करें $$\Z[G]$$-मापांक $$\Z,$$ जैसा कि पिछले अनुभाग में है। सहपरिवर्ती फ़ंक्टर लागू करें $$\cdot \otimes_{\Z[G]} M$$ एक चेन कॉम्प्लेक्स प्राप्त करने के लिए टर्मवाइज एफ $$F \otimes_{\Z[G]} M$$:


 * $$ \cdots \to F_n\otimes_{\Z[G]}M\to F_{n-1}\otimes_{\Z[G]}M \to\cdots \to F_0\otimes_{\Z[G]}M\to \Z\otimes_{\Z[G]}M.$$

तब एचn(जी, एम) इस श्रृंखला परिसर के होमोलॉजी समूह हैं, $$H_n(G,M)=H_n(F\otimes_{\Z[G]}M)$$ एन ≥ 0 के लिए।

पूर्ण संकल्पों और टेट कोहोलॉजी समूहों के संदर्भ में कुछ समूहों, विशेष रूप से परिमित समूहों के लिए ग्रुप होमोलॉजी और कोहोलॉजी का समान रूप से इलाज किया जा सकता है।

समूह समरूपता $$H_*(G, k)$$ एबेलियन समूहों का G एक प्रमुख आदर्श डोमेन k में मानों के साथ बाहरी बीजगणित से निकटता से संबंधित है $$\wedge^* (G \otimes k)$$.

एच1
पहला कोहोलॉजी समूह तथाकथित क्रॉस्ड होमोमोर्फिज्म का भागफल है, यानी मानचित्र (सेट के) f : G → M संतोषजनक f(ab) = f(a) + af(b) for all a, b in G, modulo तथाकथित प्रिंसिपल क्रॉस होमोमोर्फिज्म, यानी मानचित्र f : G → M कुछ निश्चित m ∈ M के लिए f(g) = gm−m द्वारा दिया गया है। यह उपरोक्त कोचेन की परिभाषा से आता है।

यदि एम पर जी की क्रिया मामूली है, तो उपरोक्त एच तक उबलता है1(G,M) = होम(G, M), समूह समाकारिता का समूह G → M, चूँकि पार की गई समाकारिता तब केवल साधारण समाकारिता होती है और सह-सीमाएँ (अर्थात् मुख्य पार की गई समाकारिता) की छवि समान रूप से होनी चाहिए शून्य: इसलिए केवल शून्य सीमा है।

दूसरी ओर, के मामले पर विचार करें $$H^1(\Z/2, \Z_-),$$ कहाँ $$\Z_-$$ गैर-तुच्छ को दर्शाता है $$\Z/2$$पूर्णांकों के योगात्मक समूह पर संरचना, जो प्रत्येक के लिए -a भेजता है $$a \in \Z $$; और हम कहाँ मानते हैं $$\Z/2$$ समूह के रूप में $$\{ \pm 1 \}$$. की छवियों के लिए सभी संभावित मामलों पर विचार करके $$\{ 1,-1 \}$$, यह देखा जा सकता है कि पार की गई समरूपता सभी मानचित्रों का निर्माण करती है $$f_t: \{ \pm 1 \} \to \Z$$ संतुष्टि देने वाला $$f_t(1) = 0$$ और $$f_t(-1) = t$$ पूर्णांक टी के कुछ मनमाना विकल्प के लिए। प्रिंसिपल क्रॉस्ड होमोमोर्फिज्म को अतिरिक्त रूप से पूरा करना होगा $$f_t(-1) = (-1)*m - m = -2m$$ कुछ पूर्णांक एम के लिए: इसलिए प्रत्येक पार होमोमोर्फिज्म $$f_t$$ -1 को सम पूर्णांक में भेजना $$t = -2m$$ प्रमुख है, और इसलिए:


 * $$H^1(\Z/2,\Z_{-})\cong \Z/2 = {\rm\ (say)\ \it} \langle f: f(1)=0, f(-1)=1\rangle,$$

समूह संचालन बिंदुवार जोड़ के साथ: $$(f_s+f_t)(x) = f_s(x) + f_t(x) = f_{s+t}(x)$$, नोट किया कि $$f_0$$ पहचान तत्व है।

एच2
यदि एम एक तुच्छ जी-मॉड्यूल है (यानी एम पर जी की क्रिया तुच्छ है), दूसरा कोहोलॉजी समूह एच2(G,M) ग्रुप एक्सटेंशन#M द्वारा G के केंद्रीय एक्सटेंशन के सेट के साथ एक-से-एक पत्राचार में है (एक प्राकृतिक समकक्ष संबंध तक)। अधिक आम तौर पर, अगर एम पर जी की कार्रवाई गैर-तुच्छ है, एच2(जी,एम) सभी समूह विस्तारों के समरूपता वर्गों को वर्गीकृत करता है $$0 \to M \to E \to G \to 0$$ एम द्वारा जी की, जिसमें ई पर जी की क्रिया (आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म द्वारा), एक आइसोमोर्फिक जी-मॉड्यूल संरचना के साथ एम (की छवि) प्रदान करती है।

अनुभाग से उदाहरण में $$H^1$$ तुरंत ऊपर, $$H^2(\Z/2, \Z_-) =0,$$ के एकमात्र विस्तार के रूप में $$\Z/2$$ द्वारा $$\Z$$ दी गई गैर-तुच्छ क्रिया के साथ अनंत डायहेड्रल समूह है, जो एक विभाजित विस्तार है और अंदर इतना तुच्छ है $$H^2$$ समूह। यह वास्तव में समूह-सैद्धांतिक दृष्टि से अद्वितीय गैर-तुच्छ तत्व का महत्व है $$H^1(\Z/2, \Z_-),$$.

एक दूसरे समूह कोहोलॉजी समूह का एक उदाहरण ब्राउर समूह है: यह क्षेत्र के पूर्ण गैलोइस समूह का कोहोलॉजी है जो अलग-अलग बंद होने पर उलटा तत्वों पर कार्य करता है:


 * $$H^2\left(\mathrm{Gal}(k), (k^\mathrm{sep})^\times\right).$$

यह भी देखें ।

एक परिमित चक्रीय समूह
का समूह कोहोलॉजी परिमित चक्रीय समूह के लिए $$G=C_m$$ आदेश की $$m$$ जनरेटर के साथ $$\sigma$$, तत्व $$\sigma -1 \in \mathbb{Z}[G]$$ संबद्ध समूह वलय में शून्य का भाजक है क्योंकि इसका गुणनफल है $$N$$, "द्वारा दिया गया$N = 1 + \sigma + \sigma^2 + \cdots + \sigma^{m-1} \in \mathbb{Z}[G],$" देता है$$\begin{align} N(1-\sigma) &= 1 + \sigma + \cdots + \sigma^{m-1} \\ &\quad- \sigma - \sigma^2 - \cdots - \sigma^{m} \\ &=1 - \sigma^m \\ &= 0. \end{align}$$ इस गुण का उपयोग संकल्प के निर्माण के लिए किया जा सकता है तुच्छ का $$\mathbb{Z}[G]$$-मापांक $$\mathbb{Z}$$ कॉम्प्लेक्स  के माध्यम से$$\cdots \xrightarrow{\sigma - 1}\mathbb{Z}[G] \xrightarrow{N} \mathbb{Z}[G] \xrightarrow{\sigma - 1}\mathbb{Z}[G] \xrightarrow{\text{aug}} \mathbb{Z} \to 0$$ किसी के लिए समूह कोहोलॉजी संगणना दे रहा है $$\mathbb{Z}[G]$$-मापांक $$M$$. ध्यान दें कि वृद्धि मानचित्र तुच्छ मॉड्यूल देता है $$\mathbb{Z}$$ इसका $$\mathbb{Z}[G]$$"द्वारा -स्ट्रक्चर$\text{aug}\left(\sum_{g \in G}a_gg \right) = \sum_{g \in G}a_g$"यह संकल्प समूह कोहोलॉजी की गणना देता है क्योंकि कोहोलॉजी समूहों का समरूपता है$$H^k(G,A) \cong \text{Ext}^k_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z},A)$$ दिखा रहा है कि functor को लागू करना $$\text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(-,A)$$ उपरोक्त परिसर में (के साथ $$\mathbb{Z}$$ हटा दिया गया है क्योंकि यह रिज़ॉल्यूशन अर्ध-समरूपता है), गणना देता है $$H^k(G,A) = \begin{cases} A^G/NA & k\text{ even}, k \geq 2 \\ {}_NA/(\sigma - 1)A & k\text{ odd}, k \geq 1 \end{cases}$$ के लिये"${}_NA = \{a \in A : Na = 0\}$"उदाहरण के लिए, यदि $$A = \mathbb{Z}$$, तुच्छ मॉड्यूल, फिर $$\mathbb{Z}^G = \mathbb{Z} $$, $$N\mathbb{Z} = \text{aug}(N)\mathbb{Z} = m\mathbb{Z}$$, और $${}_N\mathbb{Z} = 0$$, इसलिए $$H^k(C_m,\mathbb{Z}) = \begin{cases} \mathbb{Z}/m\mathbb{Z} & k\text{ even}, k \geq 2 \\ 0 & k\text{ odd}, k \geq 1 \end{cases}$$

स्पष्ट चक्र
बार रिज़ॉल्यूशन का उपयोग करते हुए एक चक्रीय समूह के समूह कोहोलॉजी के लिए स्पष्ट चक्र स्पष्ट रूप से दिए जा सकते हैं प्रॉप 2.3. हमें जनरेटर का पूरा सेट मिलता है $$l$$-कोसाइकिल के लिए $$l$$ नक्शों की तरह विषम"$\omega_a: B_l \to k^*$" द्वारा दिया गया$$[g^{i_1},\ldots, g^{i_l}] \mapsto \zeta_m^{ ai_1 \left[ \frac{i_2 + i_3}{m} \right] \cdots \left[ \frac{i_{l-1} + i_l}{m} \right] }$$ के लिए $$l$$ अजीब, $$0 \leq a \leq m-1$$, $$\zeta_m$$ एक आदिम $$m$$-एकता की जड़, $$k$$ एक क्षेत्र युक्त $$m$$-एकता की जड़ें, और $$\left[\frac{a}{b} \right]$$ किसी परिमेय संख्या के लिए $$a/b$$ से अधिक नहीं सबसे बड़े पूर्णांक को निरूपित करना $$a/b$$. इसके अलावा, हम संकेतन  का उपयोग कर रहे हैं$$B_l = \bigoplus_{0 \leq i_1,\ldots, i_l \leq m-1}\mathbb{Z}G \cdot [g^{i_1},\ldots, g^{i_l}]$$ कहाँ $$g$$ के लिए जनरेटर है $$G = C_m$$. ध्यान दें कि के लिए $$l$$ गैर-शून्य भी सूचकांक कोहोलॉजी समूह तुच्छ हैं।

एक संकल्प का उपयोग करना
एक सेट दिया $$S$$ संबंधित मुक्त समूह $$G = \text{Free}(S) = \underset{s \in S}{*} \mathbb{Z}$$ एक स्पष्ट संकल्प है तुच्छ मॉड्यूल का $$\mathbb{Z}_{\text{triv}}$$ जिसकी गणना आसानी से की जा सकती है। वृद्धि मानचित्र  पर ध्यान दें$$\text{aug}:\mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z}_{\text{triv}}$$ में फ्री सबमॉड्यूल द्वारा दिया गया कर्नेल है $$I_S$$ सेट द्वारा उत्पन्न $$\{s - 1 : s \in S \}$$, इसलिए $$I_S = \bigoplus_{s \in S} \mathbb{Z}[G]\cdot (s-1)$$ क्योंकि यह वस्तु मुफ़्त है, यह एक संकल्प देता है"$0 \to I_S \to \mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z}_{\text{triv}} \to 0$|undefined"इसलिए समूह कोहोलॉजी $$G$$ में गुणांक के साथ $$\mathbb{Z}_{\text{triv}}$$ फ़ैक्टर को लागू करके गणना की जा सकती है $$\text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(-,\mathbb{Z})$$ परिसर के लिए $$0 \to I_S \to \mathbb{Z}[G] \to 0$$, दे रहा है $$H^k(G,\mathbb{Z}_{\text{triv}}) = \begin{cases} \mathbb{Z} & k = 0 \\ \bigoplus_{s \in S}\mathbb{Z} & k = 1 \\ 0 & k \geq 2 \end{cases}$$ इसका कारण दोहरा नक्शा है$$\text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(\mathbb{Z}[G],\mathbb{Z}_{\text{triv}}) \to \text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(I_S,\mathbb{Z}_{\text{triv}})$$ कोई भी भेजता है $$\mathbb{Z}[G]$$-मॉड्यूल आकारिकी $$\phi:\mathbb{Z}[G] \to \mathbb{Z}_{\text{triv}}$$ प्रेरित रूपवाद पर $$I_S$$ समावेश की रचना करके। केवल नक्शे ही भेजे जाते हैं $$0$$ हैं $$\mathbb{Z}$$वृद्धि मानचित्र के गुणक, पहला कोहोलॉजी समूह दे रहे हैं। केवल दूसरे नक्शों पर ध्यान देकर दूसरा पाया जा सकता है"$\psi \in \text{Hom}_{\mathbb{Z}[G]}(I_S,\mathbb{Z}_{\text{triv}})$|undefined" द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है $$\mathbb{Z}$$नक्शे भेजने का आधार $$(s-1) \mapsto 1$$ एक निश्चित के लिए $$s \in S$$, और भेज रहा हूँ $$(s'-1) \mapsto 0$$ किसी के लिए $$s' \in S - \{s\}$$.

टोपोलॉजी का प्रयोग
मुक्त समूहों का समूह कोहोलॉजी $$\mathbb{Z}*\mathbb{Z}*\cdots *\mathbb{Z}$$ द्वारा उत्पन्न $$n$$ टोपोलॉजी में इसकी व्याख्या के साथ समूह कोहोलॉजी की तुलना करके पत्रों की आसानी से गणना की जा सकती है। याद रखें कि हर समूह के लिए $$G$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है $$BG$$, समूह का वर्गीकरण स्थान कहा जाता है, जिसमें <ब्लॉकक्वोट> गुण होता है$$\pi_1(BG) = G \text{ and } \pi_k(BG) = 0 \text{ for } k \geq 2$$ इसके अलावा, इसमें यह गुण है कि इसकी टोपोलॉजिकल कोहोलॉजी समूह कोहोलॉजी के लिए आइसोमॉर्फिक है$$H^k(BG,\mathbb{Z}) \cong H^k(G,\mathbb{Z})$$ कुछ समूह कोहोलॉजी समूहों की गणना करने का एक तरीका दे रहा है। टिप्पणी $$\mathbb{Z}$$ किसी भी स्थानीय प्रणाली द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है $$\mathcal{L}$$ जो मानचित्र  द्वारा निर्धारित किया जाता है$$\pi_1(G) \to GL(V)$$ कुछ एबेलियन समूह के लिए $$V$$. के मामले में $$B(\mathbb{Z}*\cdots *\mathbb{Z})$$ के लिए $$n$$ अक्षर, यह एक पच्चर योग द्वारा दर्शाया गया है $$n$$ मंडलियां $$S^1 \vee \cdots \vee S^1$$ जिसे वैन कम्पेन प्रमेय का उपयोग करके दिखाया जा सकता है | वैन-कम्पेन प्रमेय, समूह कोहोलॉजी देता है $$H^k(\mathbb{Z}*\cdots * \mathbb{Z}) = \begin{cases} \mathbb{Z} & k = 0 \\ \mathbb{Z}^n & k = 1 \\ 0 & k \geq 2 \end{cases}$$

एक अभिन्न जाली का समूह कोहोलॉजी
एक अभिन्न जाली के लिए $$\Lambda$$ पद का $$n$$ (इसलिए आइसोमॉर्फिक टू $$\mathbb{Z}^n$$), इसके समूह कोहोलॉजी की गणना सापेक्ष आसानी से की जा सकती है। सबसे पहले, क्योंकि $$B\mathbb{Z} \cong S^1$$, और $$B\mathbb{Z}\times B\mathbb{Z}$$ है $$\pi_1 \cong \mathbb{Z}\times\mathbb{Z}$$, जो एबेलियन समूह के रूप में आइसोमोर्फिक हैं $$\mathbb{Z}\oplus\mathbb{Z}$$, समूह कोहोलॉजी में समरूपता  है$$H^k(\Lambda,\mathbb{Z}_{\text{triv}}) \cong H^k(\mathbb{R}^n/\mathbb{Z}^n,\mathbb{Z})$$ रैंक के एक टोरस के अभिन्न कोहोलॉजी के साथ $$n$$.

गुण
निम्नलिखित में, एम को जी-मॉड्यूल होने दें।

कोहोलॉजी का लंबा सटीक क्रम
व्यवहार में, अक्सर निम्नलिखित तथ्य का उपयोग करते हुए कोहोलॉजी समूहों की गणना की जाती है: यदि


 * $$ 0 \to L \to M \to N \to 0 $$

जी-मॉड्यूल का एक छोटा सटीक अनुक्रम है, तो एक लंबा सटीक अनुक्रम प्रेरित होता है:


 * $$0\longrightarrow L^G \longrightarrow M^G \longrightarrow N^G \overset{\delta^0}{\longrightarrow} H^1(G,L) \longrightarrow H^1(G,M) \longrightarrow H^1(G,N) \overset{\delta^1}{\longrightarrow} H^2(G,L)\longrightarrow \cdots$$

तथाकथित समरूपता को जोड़ना,


 * $$\delta^n : H^n (G,N) \to H^{n+1}(G, L)$$

अमानवीय कोचेन के संदर्भ में निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। अगर $$c \in H^n(G, N)$$ एक n-cocycle द्वारा दर्शाया गया है $$\phi: G^n \to N,$$ तब $$\delta^n(c)$$ द्वारा दर्शाया गया है $$d^n(\psi),$$ कहाँ $$\psi$$ और कोचन $$G^n \to M$$ उठाने की $$\phi$$ (अर्थात। $$\phi$$ की रचना है $$\psi$$ विशेषण मानचित्र M → N) के साथ।

कार्यात्मकता
समूह कोहोलॉजी निम्नलिखित अर्थों में समूह G पर विपरीत रूप से निर्भर करती है: यदि f : H → G एक समूह समरूपता है, तो हमारे पास स्वाभाविक रूप से प्रेरित आकारिकी H हैएन(जी, एम) → एचn(एच, एम) (जहां बाद में, एम को एफ के माध्यम से एच-मॉड्यूल के रूप में माना जाता है)। इस मानचित्र को प्रतिबंध मानचित्र कहा जाता है। यदि G में H का सूचकांक (समूह सिद्धांत) परिमित है, तो विपरीत दिशा में एक मानचित्र भी है, जिसे स्थानांतरण मानचित्र कहा जाता है,
 * $$cor_H^G : H^n(H, M) \to H^n (G, M).$$

डिग्री 0 में, यह मानचित्र द्वारा दिया गया है


 * $$\begin{cases} M^H \to M^G \\ m \mapsto \sum_{g \in G/H} gm \end{cases}$$

जी-मॉड्यूल एम → एन के आकारिकी को देखते हुए, एच में कोहोलॉजी समूहों का आकार मिलता हैएन(जी, एम) → एचएन(जी, एन)।

उत्पाद
टोपोलॉजी और ज्योमेट्री में अन्य कोहोलॉजी सिद्धांतों के समान, जैसे कि एकवचन कॉहोलॉजी या डॉ कहलमज गर्भाशय, ग्रुप कॉहोलॉजी एक उत्पाद संरचना का आनंद लेती है: कप उत्पाद नामक एक प्राकृतिक नक्शा है:


 * $$H^n(G, N) \otimes H^m(G, M) \to H^{n+m} (G, M \otimes N)$$

किसी भी दो जी-मॉड्यूल एम और एन के लिए। यह एक ग्रेडेड एंटी-कम्यूटेटिव रिंग स्ट्रक्चर देता है $$\oplus_{n \geqslant 0} H^n(G, R),$$ जहाँ R एक वलय है जैसे $$\Z$$ या $$\Z/p.$$ एक परिमित समूह G के लिए, इस कोहोलॉजी का सम भाग विशेषता p में बजता है, $$\oplus_{n \geqslant 0} H^{2n}(G, \Z/ p)$$ जी की संरचना समूह के बारे में बहुत सारी जानकारी रखती है, उदाहरण के लिए इस रिंग का क्रुल आयाम एक एबेलियन उपसमूह के अधिकतम रैंक के बराबर है $$(\Z / p)^r$$. उदाहरण के लिए, G को असतत टोपोलॉजी के तहत दो तत्वों वाला समूह होने दें। वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान $$\mathbb{P}^{\infty}(\R)$$ G. Let के लिए एक वर्गीकरण स्थान है $$k=\mathbb{F}_2,$$ दो तत्वों का क्षेत्र (गणित)। तब


 * $$H^*(G;k)\cong k[x],$$

एक एकल जनरेटर पर एक बहुपद k-बीजगणित, क्योंकि यह एक विलक्षण कोहोलॉजी रिंग है $$\mathbb{P}^{\infty}(\R).$$

कुनेथ सूत्र
अगर, एम = के एक क्षेत्र है, तो एच * (जी; के) एक वर्गीकृत के-बीजगणित है और समूहों के एक उत्पाद का कोहोलॉजी एक कुनेथ सूत्र द्वारा अलग-अलग समूहों से संबंधित है:


 * $$H^*(G_1\times G_2;k)\cong H^*(G_1;k)\otimes H^*(G_2;k).$$

उदाहरण के लिए, यदि जी एक प्रारंभिक एबेलियन समूह है | प्राथमिक एबेलियन 2- रैंक आर का समूह, और $$k=\mathbb{F}_2,$$ तब कुनेथ सूत्र से पता चलता है कि G का कोहोलॉजी H में r वर्गों द्वारा उत्पन्न बहुपद k-बीजगणित है1(जी; के).,


 * $$H^*(G;k)\cong k[x_1, \ldots, x_r].$$

होमोलॉजी बनाम कोहोलॉजी
अन्य कोहोलॉजी सिद्धांतों के लिए, जैसे कि एकवचन कोहोलॉजी, समूह कोहोलॉजी और होमोलॉजी एक छोटे से सटीक अनुक्रम के माध्यम से एक दूसरे से संबंधित हैं
 * $$0 \to \mathrm{Ext}^1_{\Z}\left(H_{n-1}(G, \Z), A\right) \to H^n(G, A) \to \mathrm{Hom}\left(H_n(G, \Z), A\right) \to 0,$$

जहां ए को तुच्छ जी-एक्शन के साथ संपन्न किया गया है और बाईं ओर का शब्द पहला एक्सट फंक्शनल है।

समामेलित उत्पाद
एक समूह A दिया गया है जो दो समूहों G का उपसमूह है1 और जी2समामेलित उत्पाद की समरूपता $$G := G_1 \star_A G_2$$ (पूर्णांक गुणांक के साथ) एक लंबे सटीक अनुक्रम में स्थित है


 * $$\cdots \to H_n (A) \to H_n (G_1) \oplus H_n (G_2) \to H_n (G) \to H_{n-1}(A) \to \cdots$$

की समरूपता $$\mathrm{SL}_2(\Z) = \Z / 4 \star_{\Z/2} \Z/6$$ इसका उपयोग करके गणना की जा सकती है:


 * $$H_n(\mathrm{SL}_2(\Z)) = \begin{cases} \Z & n =0 \\ \Z/12 & \text{odd degrees} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$

यह सटीक अनुक्रम यह दिखाने के लिए भी लागू किया जा सकता है कि होमोलॉजी $$\mathrm{SL}_2(k[t])$$ और विशेष रैखिक समूह $$\mathrm{SL}_2(k)$$ अनंत क्षेत्र k के लिए सहमत हैं।

समूह का परिवर्तन
Hochschild-Serre वर्णक्रमीय अनुक्रम G के एक सामान्य उपसमूह N के कोहोलॉजी और भाग G / N को समूह G (के लिए (प्रो-) परिमित समूह G) के कोहोलॉजी से संबंधित करता है। इससे किसी को मुद्रास्फीति-प्रतिबंध सटीक क्रम मिलता है।

वर्गीकरण स्थान की कोहोलॉजी
समूह कोहोलॉजी समरूपता के माध्यम से शेफ कोहोलॉजी जैसे टोपोलॉजिकल कोहोलॉजी सिद्धांतों से निकटता से संबंधित है
 * $$H^n (BG, \Z) \cong H^n (G, \Z).$$

इजहार$$BG$$बाईं ओर एक वर्गीकरण स्थान है $$G$$. यह एक ईलेनबर्ग-मैकलेन स्थान है $$K(G,1)$$, यानी, एक स्थान जिसका मौलिक समूह है $$G$$ और जिनके उच्च होमोटॉपी समूह लुप्त हो जाते हैं)। के लिए रिक्त स्थान वर्गीकृत करना $$\Z, \Z/2$$ और $$\Z/n$$ 1-गोला S हैं1, अनंत वास्तविक प्रक्षेपी स्थान $$\mathbb{P}^{\infty}(\R) = \cup_n \mathbb{P}^n(\R),$$ और लेंस रिक्त स्थान, क्रमशः। सामान्य रूप में,$$BG$$भागफल के रूप में बनाया जा सकता है $$EG/G$$, कहाँ $$EG$$ एक अनुबंधित स्थान है जिस पर $$G$$ स्वतंत्र रूप से कार्य करता है। हालाँकि,$$BG$$आमतौर पर आसानी से सुने जाने योग्य ज्यामितीय विवरण नहीं होता है।

अधिक आम तौर पर, कोई भी किसी से जुड़ सकता है $$G$$-मापांक $$M$$ एक स्थानीय प्रणाली पर $$BG$$ और उपरोक्त तुल्याकारिता एक तुल्याकारिता के लिए सामान्यीकरण करती है
 * $$H^n (BG, M) = H^n (G, M).$$

समूहों के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद
एलेनबर्ग-मैकलेन रिक्त स्थान के फाइब्रेशन और गुणों की टोपोलॉजी का उपयोग करके समूहों के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद की गणना करने का एक तरीका है। याद रखें कि समूहों के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए $$G = N \rtimes H$$ समूहों का एक संबद्ध संक्षिप्त सटीक क्रम है $$1 \to N \to N\rtimes H \to H \to 1$$ संबंधित ईलेनबर्ग-मैकलेन रिक्त स्थान का उपयोग करके एक फाइबर ग्रीनहाउस होता है"$K(N,1) \to K(G,1) \to K(H,1)$"जिसे एक सेरे स्पेक्ट्रल अनुक्रम के माध्यम से रखा जा सकता है। यह एक देता है $$E_2$$-पेज $$E_2^{p,q} = H^p(K(H,1),H^q(K(N,1))) \Rightarrow H^{p+q}(K(G,1))$$ जो ग्रुप कोहोलॉजी के बारे में जानकारी देता है $$G$$ के समूह कोहोलॉजी समूहों से $$H,N$$. ध्यान दें कि इस औपचारिकता को लिंडन-होच्स्चाइल्ड-सेरे स्पेक्ट्रल अनुक्रम का उपयोग करके विशुद्ध रूप से समूह-सैद्धांतिक तरीके से लागू किया जा सकता है।

उच्च कोहोलॉजी समूह मरोड़
हैं कोहोलॉजी समूह एचn(G, M) परिमित समूहों G के सभी n≥1 के लिए मरोड़ हैं। वास्तव में, मास्चके के प्रमेय द्वारा एक परिमित समूह के प्रतिनिधित्व की श्रेणी विशेषता शून्य के किसी भी क्षेत्र पर अर्ध-सरल है (या अधिक सामान्यतः, कोई भी क्षेत्र जिसकी विशेषता समूह के क्रम को विभाजित नहीं करती है), इसलिए, समूह कोहोलॉजी को एक व्युत्पन्न के रूप में देखना इस एबेलियन श्रेणी में फ़ैक्टर, कोई यह प्राप्त करता है कि यह शून्य है। अन्य तर्क यह है कि विशेषता शून्य के एक क्षेत्र पर, एक परिमित समूह का समूह बीजगणित मैट्रिक्स बीजगणित का प्रत्यक्ष योग है (संभवतः विभाजन बीजगणित पर जो मूल क्षेत्र के विस्तार हैं), जबकि एक मैट्रिक्स बीजगणित इसके आधार के समतुल्य मोरिटा है क्षेत्र और इसलिए तुच्छ कोहोलॉजी है।

यदि जी-मॉड्यूल एम में जी का क्रम उलटा है (उदाहरण के लिए, यदि एम एक है $$\Q$$-वेक्टर स्पेस), इसे दिखाने के लिए ट्रांसफर मैप का इस्तेमाल किया जा सकता है $$H^n(G,M) =0$$ के लिए $$n \geqslant 1.$$ इस तथ्य का एक विशिष्ट अनुप्रयोग निम्नानुसार है: लघु सटीक अनुक्रम का लंबा सटीक कोहोलॉजी अनुक्रम (जहां सभी तीन समूहों में एक तुच्छ जी-एक्शन है)


 * $$0 \to \Z \to \Q \to \Q / \Z \to 0$$

एक समरूपता उत्पन्न करता है


 * $$\mathrm{Hom}(G, \Q / \Z) = H^1(G, \Q /\Z) \cong H^2(G, \Z).$$

टेट कोहोलॉजी
टेट कोहोलॉजी समूह एक परिमित समूह G के होमोलॉजी और कोहोलॉजी दोनों को मिलाते हैं:


 * $$\widehat H^n(G, M) := \begin{cases} H^n(G, M) & n \geqslant 1 \\ \operatorname{coker} N & n=0 \\ \ker N & n = -1 \\ H_{-n-1}(G, M) & n \leqslant -2, \end{cases} $$

कहाँ $$N: M_G \to M^G$$ मानक मानचित्र से प्रेरित है:


 * $$\begin{cases} M \to M \\ m \mapsto \sum_{g \in G} gm \end{cases}$$

टेट कोहोलॉजी समान विशेषताओं का आनंद लेती है, जैसे लंबे सटीक अनुक्रम, उत्पाद संरचनाएं। वर्ग क्षेत्र सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है, वर्ग निर्माण देखें।

परिमित चक्रीय समूहों के टेट कोहोलॉजी, $$G = \Z/n,$$ 2-आवधिक है इस अर्थ में कि समरूपताएँ हैं


 * $$\widehat H^m(G, M) \cong \widehat H^{m+2}(G, M) \qquad \text{for all } m \in \Z.$$

डी-आवधिक कोहोलॉजी के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त मानदंड यह है कि जी के केवल एबेलियन उपसमूह चक्रीय हैं। उदाहरण के लिए, कोई अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद $$\Z / n \rtimes \Z /m $$ कोप्राइम पूर्णांक n और m के लिए यह गुण है।

बीजगणितीय के-सिद्धांत और रैखिक समूहों की समरूपता
बीजगणितीय K-सिद्धांत समूह कोहोलॉजी से निकटता से संबंधित है: Quillen's plus Construction|+-K-सिद्धांत का निर्माण, रिंग R के K-सिद्धांत को अंतरिक्ष के समरूप समूहों के रूप में परिभाषित किया गया है $$\mathrm{BGL}(R)^+.$$ यहाँ $$\mathrm{GL}(R) = \cup_{n \ge 1} \mathrm{GL}_n(R)$$ अनंत सामान्य रैखिक समूह है। अंतरिक्ष $$\mathrm{BGL}(R)^+$$ के समान होमोलॉजी है $$\mathrm{BGL}(R),$$ यानी, जीएल (आर) का समूह समरूपता। कुछ मामलों में, स्थिरता के परिणाम यह दावा करते हैं कि कोहोलॉजी समूहों का क्रम


 * $$\dots \to H_m\left(\mathrm{GL}_n (R)\right) \to H_m\left(\mathrm{GL}_{n+1}(R)\right) \to \cdots$$

काफी बड़े n के लिए स्थिर हो जाता है, इसलिए अनंत सामान्य रैखिक समूह के कोहोलॉजी की गणना को कुछ में से एक में कम कर देता है $$\mathrm{GL}_n(R)$$. ऐसे परिणाम तब स्थापित किए गए हैं जब R एक क्षेत्र है या किसी संख्या क्षेत्र में पूर्णांकों की अंगूठी के लिए। समूहों की एक श्रृंखला की समूह समरूपता की घटना $$G_n$$ स्थिरीकरण को समरूप स्थिरता कहा जाता है। मामले के अलावा $$G_n = \mathrm{GL}_n(R)$$ अभी उल्लेख किया गया है, यह कई अन्य समूहों पर लागू होता है जैसे सममित समूह या मानचित्रण वर्ग समूह।

अनुमानित प्रतिनिधित्व और समूह एक्सटेंशन
क्वांटम यांत्रिकी में हमारे पास अक्सर समरूपता समूह वाले सिस्टम होते हैं $$G.$$ हम कार्रवाई की उम्मीद करते हैं $$G$$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर $$\mathcal{H}$$ एकात्मक मैट्रिसेस द्वारा $$U(g).$$ हम उम्मीद कर सकते हैं $$U(g_1) U(g_2)= U(g_1g_2),$$ लेकिन क्वांटम यांत्रिकी के नियमों के लिए केवल आवश्यकता होती है


 * $$U(g_1) U(g_2)= \exp \{2\pi i\omega(g_1,g_2)\} U(g_1g_2),$$

कहाँ $$\exp\{2\pi i\omega(g_1,g_2)\}\in{\rm U}(1)$$ एक चरण है। यह अनुमानित प्रतिनिधित्व $$G$$ समूह विस्तार के पारंपरिक प्रतिनिधित्व के रूप में भी सोचा जा सकता है $$\tilde G$$ का $$G$$ द्वारा $$\mathrm{U}(1),$$ जैसा कि सटीक क्रम द्वारा वर्णित है


 * $$1 \to {\rm U}(1) \to \tilde G \to G\to 1.$$

साहचर्य की आवश्यकता है


 * $$U(g_1)[U(g_2)U(g_3)]= [U(g_1)U(g_2)]U(g_3)$$

ओर जाता है


 * $$\omega(g_2, g_3)-\omega(g_1g_2, g_3)+ \omega(g_1,g_2g_3)-\omega(g_1,g_2)=0,$$

जिसे हम उस कथन के रूप में पहचानते हैं $$d\omega(g_1,g_2,g_3)=0,$$ यानी वह $$\omega$$ मूल्यों को लेने वाला एक चक्रव्यूह है $$\R/\Z\simeq {\rm U}(1).$$ हम पूछ सकते हैं कि क्या हम पुनर्परिभाषित करके चरणों को समाप्त कर सकते हैं


 * $$U(g)\to \exp\{2\pi i\eta(g)\} U(g)$$

जो बदलता है


 * $$\omega(g_1,g_2) \to \omega(g_1,g_2) + \eta (g_2)- \eta(g_1g_2)+\eta(g_1).$$

इसे हम शिफ्टिंग के रूप में पहचानते हैं $$\omega$$ एक सीमा द्वारा $$\omega \to \omega+d\eta.$$ अलग-अलग प्रक्षेप्य अभ्यावेदन इसलिए वर्गीकृत किए गए हैं $$H^2(G, \R/\Z).$$ ध्यान दें कि यदि हम चरणों को स्वयं समूह द्वारा कार्य करने की अनुमति देते हैं (उदाहरण के लिए, समय उत्क्रमण चरण को जटिल-संयुग्मित करेगा), तो प्रत्येक सह-सीमा संचालन में पहला शब्द होगा $$g_1$$ पिछले अनुभागों में सह-सीमा की सामान्य परिभाषाओं के अनुसार इस पर कार्य करना। उदाहरण के लिए, $$d\eta(g_1,g_2) \to g_1\eta(g_2)-\eta(g_1g_2)+\eta(g_1).$$

सांस्थितिकीय समूहों की सह-सम्बंधता
एक टोपोलॉजिकल समूह  जी दिया गया है, यानी, एक टोपोलॉजी से लैस एक समूह जैसे कि उत्पाद और व्युत्क्रम निरंतर मानचित्र हैं, निरंतर जी-मॉड्यूल पर विचार करना स्वाभाविक है, अर्थात, यह आवश्यक है कि कार्रवाई


 * $$G \times M \to M$$

एक सतत नक्शा है। इस तरह के मॉड्यूल के लिए, कोई फिर से व्युत्पन्न फ़ैक्टर पर विचार कर सकता है $$M \mapsto M^G$$. बीजगणित और संख्या सिद्धांत में होने वाला एक विशेष मामला तब होता है जब G अनंत होता है, उदाहरण के लिए किसी क्षेत्र का निरपेक्ष गैलोज़ समूह। परिणामी कोहोलॉजी को गैलोइस कोहोलॉजी कहा जाता है।

गैर-अबेलियन समूह कोहोलॉजी
G-invariants और 1-cochains का उपयोग करके, एक गैर-अबेलियन समूह में गुणांक वाले समूह G के लिए शून्य और पहले समूह कोहोलॉजी का निर्माण कर सकता है। विशेष रूप से, एक जी-ग्रुप एक (जरूरी नहीं कि एबेलियन) समूह ए है जिसमें जी द्वारा एक क्रिया होती है।

A में गुणांक वाले G के शून्य कोहोलॉजी को उपसमूह के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$H^{0}(G,A)=A^{G},$$

जी द्वारा निर्धारित ए के तत्वों का।

A में गुणांकों के साथ G की पहली कोहोलॉजी को 1-सहसंबंधियों के बजाय 1-कोसाइकल मॉडुलो एक तुल्यता संबंध के रूप में परिभाषित किया गया है। मानचित्र के लिए शर्त $$\varphi$$ 1-कोसायकल होना वह है $$\varphi(gh) = \varphi(g)[g\varphi(h)]$$ और $$\ \varphi\sim \varphi'$$ अगर ए में ए है तो ऐसा है $$\ a\varphi'(g)=\varphi(g)\cdot(ga)$$. सामान्य रूप में, $$H^1(G,A)$$ एक समूह नहीं है जब A गैर-आबेली है। इसके बजाय इसमें एक नुकीले सेट की संरचना है - ठीक वैसी ही स्थिति 0 वें होमोटोपी समूह में उत्पन्न होती है, $$\ \pi_0(X;x)$$ जो एक सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए एक समूह नहीं बल्कि एक पॉइंटेड सेट है। ध्यान दें कि विशिष्ट बिंदु के रूप में पहचान तत्व के साथ एक समूह विशेष रूप से एक बिंदु सेट है।

स्पष्ट गणनाओं का उपयोग करते हुए, कोहोलॉजी में अभी भी एक छोटा लंबा सटीक अनुक्रम प्राप्त होता है। विशेष रूप से, चलो


 * $$1\to A\to B\to C\to 1\,$$

जी-समूहों का एक छोटा सटीक अनुक्रम हो, तो पॉइंटेड सेट का एक सटीक अनुक्रम होता है


 * $$1\to A^G\to B^G\to C^G\to H^1(G,A) \to H^1(G,B) \to H^1(G,C).\,$$

इतिहास और अन्य क्षेत्रों से संबंध
1943-45 में समूह कोहोलॉजी की धारणा तैयार किए जाने से पहले, एक समूह के निम्न-आयामी कोहोलॉजी का शास्त्रीय रूप से अध्ययन किया गया था। विषय के पहले प्रमेय को 1897 में हिल्बर्ट के प्रमेय 90 के रूप में पहचाना जा सकता है; इसे एमी नोथेर के गैलोज सिद्धांत में समीकरणों में पुनर्गठित किया गया था (के लिए कोसाइकिलों की एक उपस्थिति $$H^1$$). समूहों के लिए विस्तार समस्या के लिए कारक सेट का विचार (से जुड़ा हुआ $$H^2$$) ओटो होल्डर (1893) के काम में उत्पन्न हुआ, कुछ नहीं के 1904 में प्रक्षेपी अभ्यावेदन के अध्ययन में, ओटो श्रेयर के 1926 के उपचार में, और रिचर्ड ब्राउर के 1928 में सरल बीजगणित और ब्राउर समूह के अध्ययन में। इस इतिहास की एक विस्तृत चर्चा में पाया जा सकता है.

1941 में पढ़ाई के दौरान $$H^2(G,\Z)$$ (जो समूहों में एक विशेष भूमिका निभाता है), हेंज हॉफ ने खोज की जिसे अब हॉफ का अभिन्न समरूपता सूत्र कहा जाता है, जो परिमित, परिमित रूप से प्रस्तुत समूह के शूर गुणक के लिए शूर के सूत्र के समान है:


 * $$ H_2(G,\Z) \cong (R \cap [F, F])/[F, R],$$

कहाँ $$G\cong F/R$$ और F एक मुक्त समूह है।

हॉफ के परिणाम ने 1943-45 में कई समूहों द्वारा समूह कोहोलॉजी की स्वतंत्र खोज का नेतृत्व किया: संयुक्त राज्य अमेरिका में सैमुअल एलेनबर्ग और सॉन्डर्स मैक लेन ; स्विट्जरलैंड में हॉफ और बेनो एकमैन; नीदरलैंड में हंस फ्रायडेंथल ; और दिमित्री फदीव सोवियत संघ में. स्थिति अराजक थी क्योंकि द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान इन देशों के बीच संचार मुश्किल था।

टोपोलॉजिकल दृष्टिकोण से, जी के होमोलॉजी और कोहोलॉजी को पहले टॉपोलॉजिकल क्लासिफाइंग स्पेस बीजी के लिए एक मॉडल के होमोलॉजी और कोहोलॉजी के रूप में परिभाषित किया गया था, जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है। व्यवहार में, इसका मतलब औपचारिक बीजगणितीय परिभाषाओं में प्रयुक्त श्रृंखला परिसरों का उत्पादन करने के लिए टोपोलॉजी का उपयोग करना था। एक मॉड्यूल-सैद्धांतिक दृष्टिकोण से यह 1950 के दशक की शुरुआत में होमोलॉजिकल बीजगणित के हेनरी कर्तन -सैमुअल इलेनबर्ग सिद्धांत में एकीकृत किया गया था।

वर्ग क्षेत्र सिद्धांत के लिए बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में आवेदन ने प्रमेय प्रदान किए जो सामान्य गाल्वा विस्तार  के लिए मान्य थे (न केवल एबेलियन एक्सटेंशन)। वर्ग क्षेत्र सिद्धांत के कोहोलॉजिकल भाग को वर्ग संरचनाओं के सिद्धांत के रूप में अभिगृहीत किया गया था। बदले में, इसने गैलोज़ कोहोलॉजी और ईटेल कोहोलॉजी (जो इस पर बनाता है) की धारणा को जन्म दिया।. 1960 के बाद के सिद्धांत में कुछ परिशोधन किए गए हैं, जैसे कि निरंतर साइकिल और जॉन टेट (गणितज्ञ) का टेट कोहोलॉजी समूह, लेकिन मूल रूपरेखा वही रहती है। यह एक बड़ा क्षेत्र है, और अब बीजगणितीय समूहों के सिद्धांतों में बुनियादी है।

लाई बीजगणित के अनुरूप सिद्धांत, जिसे लाई बीजगणित कोहोलॉजी कहा जाता है, को पहली बार 1940 के दशक के अंत में क्लाउड चेवेली और ईलेनबर्ग और जीन-लुई शर्ट्स द्वारा विकसित किया गया था।. यह औपचारिक रूप से समान है, झूठ बीजगणित की कार्रवाई के लिए अपरिवर्तनीय की इसी परिभाषा का उपयोग करते हुए। यह प्रतिनिधित्व सिद्धांत में बहुत अधिक लागू होता है, और सैद्धांतिक भौतिकी के बीआरएसटी परिमाणीकरण के साथ निकटता से जुड़ा हुआ है।

समूह कोहोलॉजी सिद्धांत का संघनित पदार्थ भौतिकी में भी प्रत्यक्ष अनुप्रयोग है। जैसे समूह सिद्धांत स्वतःस्फूर्त समरूपता को तोड़ने वाले चरणों का गणितीय आधार है, समूह कोहोलॉजी सिद्धांत पदार्थ की क्वांटम अवस्थाओं के एक वर्ग का गणितीय आधार है - समरूपता के साथ छोटी दूरी की उलझी हुई अवस्थाएँ। समरूपता के साथ लघु-श्रेणी के उलझे हुए राज्यों को समरूपता-संरक्षित टोपोलॉजिकल ऑर्डर के रूप में भी जाना जाता है। समरूपता-संरक्षित टोपोलॉजिकल स्टेट्स।

यह भी देखें

 * लिंडन-होशचाइल्ड-सेरे स्पेक्ट्रल अनुक्रम
 * एन-ग्रुप (श्रेणी सिद्धांत)
 * पोस्टनिकोव टॉवर

अग्रिम पठन

 * Chapter 6 of
 * Chapter 6 of
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