विभाजक

गणित में, एक विभाजक असंयुक्त समुच्चयों के बीच एक द्विआधारी संबंध है। जो समावेशन द्वारा प्रेरित विहित क्रम में एक आदर्श (आदेश सिद्धांत) के रूप में स्थिर है। कई गणितीय वस्तुएँ जो भिन्न प्रतीत होती हैं, सेपरॉइड के आकृति में एक सामान्य सामान्यीकरण प्राप्त करती हैं। उदाहरण के लिए, ग्राफ (असतत गणित), उत्तल समुच्चयों का विन्यास, ओरिएन्टेड मैट्रोइड्स और पॉलीटोप्स। कोई भी गणनीय श्रेणी (गणित) विभाजक का एक प्रेरित उपश्रेणी है, जब वे समरूपता से संपन्न होते हैं। (अर्थात, मैपिंग जो स्थित रेडॉन के प्रमेय को संरक्षित करते हैं।)

इस सामान्य आकृति में, विभिन्न श्रेणियों के कुछ परिणाम और अपरिवर्तनीय एक ही नियम के विशेष स्थितियां बन जाते हैं। उदाहरण के लिए ग्राफ थ्योरी से स्यूडोएक्रोमैटिक नंबर और कॉम्बिनेटरियल उत्तलता से टेवरबर्ग प्रमेय एक ही नियम के दो प्रकार हैं, अर्थात् विभाजकों का सम्पूर्ण रंग।

सिद्धांत
एक सेपरॉइड एक समुच्चय (गणित) $$S$$ एक द्विआधारी संबंध के साथ संपन्न होता है $$\mid\ \subseteq2^S\times2^S$$ इसके घात समुच्चय पर, जो $$A,B\subseteq S$$ के लिये निम्नलिखित सरल गुणों को संतुष्ट करता है :


 * $$A\mid B\Leftrightarrow B\mid A,$$
 * $$A\mid B\Rightarrow A\cap B=\varnothing,$$
 * $$A\mid B \hbox{ and } A'\subset A\Rightarrow A'\mid B.$$

एक संबंधित जोड़ी $$A\mid B$$ को एक सेप्रेशन कहा जाता है और हम अधिकांशतः यह कहते हैं कि A, B से पूर्णतय रूप से परिवर्तित है। विभाजक के पुनर्निर्माण के लिए 'अधिकतम' सैप्रेशन को जानना पर्याप्त है।

एक मानचित्र (गणित) $$\varphi\colon S\to T$$, यदि पृथक्करणों की पूर्वकल्पनाएँ पृथक्करण हैं, तो यह विभाजकों का एक रूपवाद स्थित होता है; वह $$A,B\subseteq T$$ के लिए है-
 * $$A\mid B\Rightarrow\varphi^{-1}(A)\mid\varphi^{-1}(B).$$

उदाहरण
विभाजक के उदाहरण गणित की अधिकांशतः प्रत्येक शाखा में पाए जा सकते हैं। यहां हम कुछ विभाजकोे ही सूचीबद्ध करते हैं।

1. एक ग्राफ (असतत गणित) G=(V,E), जो कि टोप्स T के रूप में दिया गया है। हम V के दो (विच्छेद) उपसमुच्चय कह कर एक विभाजक को उसके शीर्ष पर परिभाषित कर सकते हैं, जो कि A और B अलग हो जाते हैं, जिससे हम इसके शीर्ष (ग्राफ सिद्धांत) पर एक सैप्रेशन को परिभाषित कर सकते हैं। नो एज (ग्राफ सिद्धांत) एक से दूसरे में जा रहा है; अर्थात-


 * $$A\mid B\Leftrightarrow\forall a\in A\hbox{ and }b\in B\colon ab\not\in E.$$

2. एक ओरिएन्टेड मैट्रोइड M = (E,T) दिया गया है, इसके शीर्ष T के संदर्भ में दिया गया है। हम E पर एक विभाजक को यह कहकर परिभाषित कर सकते हैं कि दो उपसमुच्चय अलग हो जाते हैं। यदि वे एक टोपे के विपरीत संकेतों में मिले हुए हैं। दूसरे शब्दों में, एक ओरिएंटेड मैट्रॉइड के शीर्ष एक सेपरॉइड के अधिकतम सेप्रेशन हैं। इसी कारण इस उदाहरण में सभी निर्देशित रेखांकन सम्मिलित किये गये हैं।

3. यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वस्तुओं के एक फैमली को देखते हुए, हम यह कहकर इसमें एक सेपरॉइड को परिभाषित कर सकते हैं कि यदि कोई हाइपरप्लेन उपस्थित है। जो उन्हें दूसरे से अलग करता है। जिससे दो उपसमुच्चय एक-दूसरे से अलग हो जाते हैं। अर्थात् उन्हें इसके दो विपरीत पक्षों में छोड़ देना होता है।

4. एक टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को देखते हुए, हम एक सेपरॉइड को यह कहते हुए परिभाषित कर सकते हैं कि दो उपसमुच्चय एक-दूसरे से अलग हो गए हैं। यदि दो अलग-अलग संवृत समुच्चय उपस्थित हैं। जिनमें वे सम्मिलित हैं (उनमें से प्रत्येक के लिए एक)।

मूलभूत लेम्मा
कुछ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में उत्तल समुच्चय के एक फैमली और हाइपरप्लेन द्वारा उनके पृथक्करण के साथ प्रत्येक सेपरॉइड का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।