एलसी परिपथ

एक आरएलसी सर्किट, जिसे रेज़ोनेंट सर्किट, टैंक सर्किट, या ट्यूनेड सर्किट भी कहा जाता है, एक  विद्युत परिपथ  होता है जिसमें एक  प्रारंभ करनेवाला  होता है, जिसे एल अक्षर द्वारा दर्शाया जाता है, और एक  संधारित्र , जिसे अक्षर सी द्वारा दर्शाया जाता है, एक साथ जुड़ा होता है। सर्किट एक विद्युत  गुंजयमान यंत्र  के रूप में कार्य कर सकता है, एक  ट्यूनिंग कांटा  का एक विद्युत एनालॉग, सर्किट की  गुंजयमान आवृत्ति  पर ऊर्जा का भंडारण करता है।

एलसी सर्किट का उपयोग या तो किसी विशेष आवृत्ति पर सिग्नल उत्पन्न करने के लिए किया जाता है, या किसी विशेष आवृत्ति पर एक अधिक जटिल सिग्नल से सिग्नल निकालने के लिए उपयोग किया जाता है; इस फ़ंक्शन को बंदपास छननी  कहा जाता है। वे कई इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों में प्रमुख घटक हैं, विशेष रूप से रेडियो उपकरण,  इलेक्ट्रॉनिक थरथरानवाला,  इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर ,  ट्यूनर (इलेक्ट्रॉनिक्स)  और  आवृत्ति मिक्सर  जैसे सर्किट में उपयोग किए जाते हैं।

एक एलसी सर्किट एक आदर्श मॉडल है क्योंकि यह मानता है कि विद्युत प्रतिरोध के कारण ऊर्जा का अपव्यय नहीं होता है। एलसी सर्किट के किसी भी व्यावहारिक कार्यान्वयन में हमेशा घटकों और कनेक्टिंग तारों के भीतर छोटे लेकिन गैर-शून्य प्रतिरोध से होने वाली हानि शामिल होगी। एलसी सर्किट का उद्देश्य आमतौर पर न्यूनतम भिगोना  के साथ दोलन करना होता है, इसलिए प्रतिरोध जितना संभव हो उतना कम किया जाता है। जबकि कोई भी व्यावहारिक सर्किट नुकसान के बिना नहीं है, फिर भी समझ और भौतिक अंतर्ज्ञान प्राप्त करने के लिए सर्किट के इस आदर्श रूप का अध्ययन करना शिक्षाप्रद है। प्रतिरोध को शामिल करने वाले सर्किट मॉडल के लिए, RLC सर्किट देखें।

शब्दावली
ऊपर वर्णित दो-तत्व एलसी सर्किट प्रारंभ करनेवाला-संधारित्र नेटवर्क (या एलसी नेटवर्क) का सबसे सरल प्रकार है। इसे अधिक इंडक्टर्स और कैपेसिटर वाले अधिक जटिल (उच्च क्रम) एलसी नेटवर्क से अलग करने के लिए इसे दूसरे ऑर्डर एलसी सर्किट के रूप में भी जाना जाता है। दो से अधिक प्रतिक्रिया वाले ऐसे एलसी नेटवर्क में एक से अधिक गुंजयमान आवृत्ति हो सकती है।

नेटवर्क का क्रम जटिल आवृत्ति  चर में नेटवर्क का वर्णन करने वाले  तर्कसंगत कार्य  का क्रम है $s$. आम तौर पर, क्रम सर्किट में एल और सी तत्वों की संख्या के बराबर होता है और किसी भी घटना में इस संख्या से अधिक नहीं हो सकता है।

ऑपरेशन
एक एलसी सर्किट, अपनी प्राकृतिक गुंजयमान आवृत्ति पर दोलन करते हुए, विद्युत ऊर्जा को संग्रहीत कर सकता है। एनिमेशन देखें। एक संधारित्र विद्युत क्षेत्र में ऊर्जा संग्रहीत करता है ($E$) इसकी प्लेटों के बीच, इसके पार वोल्टेज  पर निर्भर करता है, और एक प्रारंभ करनेवाला अपने चुंबकीय क्षेत्र में ऊर्जा संग्रहीत करता है ($B$), इसके माध्यम से  विद्युत प्रवाह  के आधार पर।

यदि एक प्रारंभ करनेवाला एक आवेशित संधारित्र से जुड़ा होता है, तो संधारित्र के पार वोल्टेज प्रारंभ करनेवाला के माध्यम से एक धारा चलाएगा, इसके चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र का निर्माण करेगा। संधारित्र में वोल्टेज शून्य हो जाता है क्योंकि वर्तमान प्रवाह द्वारा चार्ज का उपयोग किया जाता है। इस बिंदु पर, कॉइल के चुंबकीय क्षेत्र में संग्रहीत ऊर्जा कॉइल के पार वोल्टेज लाती है, क्योंकि इंडक्टर्स करंट में बदलाव का विरोध करते हैं। यह प्रेरित वोल्टेज संधारित्र को उसके मूल आवेश के विपरीत ध्रुवता के वोल्टेज के साथ रिचार्ज करना शुरू कर देता है। फैराडे के प्रेरण के नियम के कारण | फैराडे का नियम, विद्युत वाहक बल जो विद्युत धारा को संचालित करता है, चुंबकीय क्षेत्र में कमी के कारण होता है, इस प्रकार संधारित्र को चार्ज करने के लिए आवश्यक ऊर्जा चुंबकीय क्षेत्र से निकाली जाती है। जब चुंबकीय क्षेत्र पूरी तरह से समाप्त हो जाता है तो करंट रुक जाएगा और चार्ज फिर से कैपेसिटर में जमा हो जाएगा, पहले की तरह विपरीत ध्रुवता के साथ। फिर चक्र फिर से शुरू होगा, प्रारंभ करनेवाला के माध्यम से विपरीत दिशा में प्रवाहित होने के साथ।

संधारित्र की प्लेटों के बीच, प्रारंभ करनेवाला के माध्यम से चार्ज आगे और पीछे बहता है। ऊर्जा संधारित्र और प्रारंभ करनेवाला के बीच आगे और पीछे तब तक दोलन करती है जब तक (यदि बाहरी सर्किट से फिर से नहीं भरी जाती है) आंतरिक विद्युत प्रतिरोध दोलनों को समाप्त कर देता है। ट्यूनेड सर्किट की क्रिया, जिसे गणितीय रूप से एक लयबद्ध दोलक  के रूप में जाना जाता है, एक  लंगर  के समान है जो आगे और पीछे झूलता है, या एक टैंक में आगे और पीछे पानी की गति; इस कारण सर्किट को टैंक सर्किट भी कहा जाता है।  प्राकृतिक आवृत्ति  (अर्थात, वह आवृत्ति जिस पर यह किसी अन्य प्रणाली से पृथक होने पर दोलन करेगी, जैसा कि ऊपर वर्णित है) समाई और अधिष्ठापन मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है। अधिकांश अनुप्रयोगों में ट्यूनेड सर्किट एक बड़े सर्किट का हिस्सा होता है जो निरंतर दोलनों को चलाते हुए इसमें  प्रत्यावर्ती धारा  लागू करता है। यदि लागू धारा की आवृत्ति सर्किट की प्राकृतिक गुंजयमान आवृत्ति (प्राकृतिक आवृत्ति) है $$f_0\,$$ नीचे), प्रतिध्वनि होगी, और एक छोटा ड्राइविंग करंट बड़े आयाम को दोलन करने वाले वोल्टेज और धाराओं को उत्तेजित कर सकता है। इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों में विशिष्ट ट्यून्ड सर्किट में दोलन बहुत तेज होते हैं, प्रति सेकंड हजारों से अरबों बार।

अनुनाद प्रभाव
अनुनाद तब होता है जब एक एलसी सर्किट एक बाहरी स्रोत से कोणीय आवृत्ति पर संचालित होता है $ω_{0}$ जिस पर आगमनात्मक और कैपेसिटिव रिएक्शन (इलेक्ट्रॉनिक्स) परिमाण में बराबर होते हैं। वह आवृत्ति जिस पर यह समानता किसी विशेष परिपथ के लिए धारण करती है, गुंजयमान आवृत्ति कहलाती है। एलसी सर्किट का विद्युत अनुनाद  है


 * $$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},$$

कहाँ पे $E$ हेनरी (इकाई)  में  अधिष्ठापन  है, और $B$ फैराड में  समाई  है।  कोणीय आवृत्ति  $ω_{0}$ प्रति सेकंड  कांति  की इकाइयाँ हैं।

हेटर्स ़ की इकाइयों में समतुल्य आवृत्ति है


 * $$f_0 = \frac{\omega_0}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}.$$

अनुप्रयोग
एलसी सर्किट के अनुनाद प्रभाव में सिग्नल प्रोसेसिंग और संचार प्रणालियों में कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।
 * टैंक सर्किट का सबसे आम अनुप्रयोग रेडियो ट्रांसमीटर और रिसीवर को ट्यून करना है। उदाहरण के लिए, जब किसी रेडियो को किसी विशेष स्टेशन पर ट्यून किया जाता है, तो एलसी सर्किट उस विशेष वाहक आवृत्ति  के लिए अनुनाद पर सेट होते हैं।
 * एक श्रृंखला गुंजयमान सर्किट वोल्टेज आवर्धन प्रदान करता है।
 * एक समानांतर गुंजयमान सर्किट वर्तमान आवर्धन प्रदान करता है।
 * एक समानांतर अनुनाद सर्किट का उपयोग आरएफ एम्पलीफायरों के आउटपुट सर्किट में लोड प्रतिबाधा के रूप में किया जा सकता है। उच्च प्रतिबाधा के कारण, गुंजयमान आवृत्ति पर एम्पलीफायर का लाभ अधिकतम होता है।
 * समानांतर और श्रृंखला अनुनाद सर्किट दोनों का उपयोग प्रेरण हीटिंग में किया जाता है।

एलसी सर्किट इलेक्ट्रॉनिक प्रतिध्वनिकारक  के रूप में व्यवहार करते हैं, जो कई अनुप्रयोगों में एक प्रमुख घटक हैं:
 * इलेक्ट्रॉनिक एम्पलीफायर
 * इलेक्ट्रॉनिक थरथरानवाला
 * इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर
 * ट्यूनर (इलेक्ट्रॉनिक्स)
 * फ्रीक्वेंसी मिक्सर
 * फोस्टर-सीली भेदभावकर्ता
 * संपर्क रहित स्मार्ट कार्ड
 * ग्राफिक्स टैब्लेट
 * इलेक्ट्रॉनिक लेख निगरानी (सुरक्षा टैग)

किरचॉफ के नियम
किरचॉफ के वोल्टेज नियम से, वोल्टेज $L$ संधारित्र प्लस वोल्टेज के पार $C$ प्रारंभ करनेवाला के पार शून्य के बराबर होना चाहिए:


 * $$V_C + V_L = 0.$$

इसी तरह, किरचॉफ के वर्तमान नियम के अनुसार, संधारित्र के माध्यम से धारा प्रारंभ करनेवाला के माध्यम से धारा के बराबर होती है:


 * $$I_C = I_L.$$

सर्किट तत्वों के लिए संवैधानिक संबंधों से, हम यह भी जानते हैं कि


 * $$\begin{align}

V_L(t) &= L \frac{\mathrm{d}I_L}{\mathrm{d}t}, \\ I_C(t) &= C \frac{\mathrm{d}V_C}{\mathrm{d}t}. \end{align}$$

अंतर समीकरण
पुनर्व्यवस्थित करने और प्रतिस्थापित करने पर द्वितीय कोटि का अवकल समीकरण प्राप्त होता है


 * $$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}I(t) + \frac{1}{LC} I(t) = 0.$$

पैरामीटर $ω_{0}$, गुंजयमान कोणीय आवृत्ति, के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\omega_0 = \frac{1}\sqrt{LC}.$$

इसका उपयोग करके अंतर समीकरण को सरल बनाया जा सकता है:


 * $$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2}I(t) + \omega_0^2 I(t) = 0.$$

संबंधित लाप्लास परिवर्तन है


 * $$s^2 + \omega_0^2 = 0,$$

इस प्रकार


 * $$s = \pm j \omega_0,$$

कहाँ पे $V_{C}$ काल्पनिक इकाई  है।

समाधान
अत: अवकल समीकरण का पूर्ण हल है


 * $$I(t) = Ae^{+j \omega_0 t} + Be^{-j \omega_0 t}$$

और के लिए हल किया जा सकता है $V_{L}$ तथा $j$ प्रारंभिक शर्तों पर विचार करके। चूंकि घातांक जटिल संख्याएं हैं, समाधान एक साइनसॉइडल प्रत्यावर्ती धारा का प्रतिनिधित्व करता है। विद्युत प्रवाह के बाद से $A$ एक भौतिक मात्रा है, यह वास्तविक-मूल्यवान होना चाहिए। नतीजतन, यह दिखाया जा सकता है कि स्थिरांक $B$ तथा $I$ जटिल संयुग्म होना चाहिए:


 * $$A = B^*.$$

अब चलो


 * $$A = \frac{I_0}{2} e^{+j \phi}.$$

इसलिए,


 * $$B = \frac{I_0}{2} e^{-j \phi}.$$

इसके बाद, हम आयाम  के साथ एक वास्तविक  साइन तरंग  प्राप्त करने के लिए यूलर के सूत्र का उपयोग कर सकते हैं $I_{0}$, कोणीय आवृत्ति $ω_{0} = 1⁄√LC$, और  चरण (लहरें)  $$\phi$$.

इस प्रकार, परिणामी समाधान बन जाता है


 * $$I(t) = I_0 \cos\left(\omega_0 t + \phi \right),$$
 * $$V(t) = L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t} = -\omega_0 L I_0 \sin\left(\omega_0 t + \phi \right).$$

प्रारंभिक शर्तें
इस परिणाम को संतुष्ट करने वाली प्रारंभिक शर्तें हैं:


 * $$I(0) = I_0 \cos \phi,$$
 * $$V(0) = L \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\Bigg|_{t=0} = -\omega_0 L I_0 \sin \phi.$$

श्रृंखला सर्किट
एलसी सर्किट की श्रृंखला विन्यास में, प्रारंभ करनेवाला (एल) और संधारित्र (सी) श्रृंखला में जुड़े हुए हैं, जैसा कि यहां दिखाया गया है। कुल वोल्टेज $A$ खुले टर्मिनलों के पार प्रारंभ करनेवाला के पार वोल्टेज और संधारित्र के पार वोल्टेज का योग है। द करेंट $B$ सर्किट के सकारात्मक टर्मिनल में संधारित्र और प्रारंभ करनेवाला दोनों के माध्यम से वर्तमान के बराबर है।


 * $$\begin{align}

V &= V_L + V_C, \\ I &= I_L = I_C. \end{align}$$

अनुनाद
आगमनात्मक प्रतिक्रिया परिमाण $V$ आवृत्ति बढ़ने पर बढ़ता है, जबकि प्रतिक्रिया (इलेक्ट्रॉनिक्स)#कैपेसिटिव रिएक्शन परिमाण $I$ आवृत्ति में वृद्धि के साथ घट जाती है। एक विशेष आवृत्ति पर, ये दो प्रतिक्रियाएँ परिमाण में समान होती हैं लेकिन संकेत में विपरीत होती हैं; उस आवृत्ति को गुंजयमान आवृत्ति कहा जाता है $f_{0}$ दिए गए सर्किट के लिए।

इसलिए, प्रतिध्वनि पर,


 * $$\begin{align}

X_L &= X_C, \\ \omega L &= \frac{1}{\omega C}. \end{align}$$ के लिए हल करना $X_{L}$, अपने पास


 * $$\omega = \omega_0 = \frac{1}\sqrt{LC},$$

जिसे परिपथ की गुंजयमान कोणीय आवृत्ति के रूप में परिभाषित किया गया है। कोणीय आवृत्ति (प्रति सेकंड रेडियन में) को आवृत्ति (हर्ट्ज में) में बदलना, एक है


 * $$f_0 = \frac{\omega_0}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}.$$

एक श्रृंखला विन्यास में, $X_{C}$ तथा $ω$ एक दूसरे को रद्द करो। वास्तव में, आदर्शीकृत घटकों के बजाय, करंट का विरोध किया जाता है, ज्यादातर कॉइल वाइंडिंग के प्रतिरोध से। इस प्रकार, एक श्रृंखला गुंजयमान सर्किट को आपूर्ति की जाने वाली धारा अनुनाद पर अधिकतम होती है।
 * सीमा के रूप में $f → f_{0}$ वर्तमान अधिकतम है। सर्किट प्रतिबाधा न्यूनतम है। इस अवस्था में, एक सर्किट को एक स्वीकर्ता सर्किट कहा जाता है
 * के लिये $f < f_{0}$, $X_{L} ≪ −X_{C}$. इसलिए, सर्किट कैपेसिटिव है।
 * के लिये $f > f_{0}$, $X_{L} ≫ −X_{C}$. इसलिए, सर्किट आगमनात्मक है।

प्रतिबाधा
श्रृंखला विन्यास में, अनुनाद तब होता है जब सर्किट का जटिल विद्युत प्रतिबाधा  शून्य के करीब पहुंच जाता है।

पहले श्रृंखला एलसी सर्किट के विद्युत प्रतिबाधा पर विचार करें। कुल प्रतिबाधा आगमनात्मक और कैपेसिटिव प्रतिबाधाओं के योग द्वारा दी गई है:


 * $$ Z = Z_L + Z_C \;.$$

आगमनात्मक प्रतिबाधा को इस प्रकार लिखना $Z_{L} = jωL$ और कैपेसिटिव प्रतिबाधा के रूप में $Z_{C} = 1⁄jωC$ और प्रतिस्थापन देता है


 * $$ Z(\omega) = j \omega L + \frac{1}{j\omega C} \;.$$

इस व्यंजक को एक समान भाजक के अंतर्गत लिखने पर प्राप्त होता है


 * $$ Z(\omega) = j \left( \frac{\omega^2 LC - 1}{\omega C} \right) \;.$$

अंत में, प्राकृतिक कोणीय आवृत्ति को परिभाषित करते हुए


 * $$ \omega_0 = \frac{1}\sqrt{ L C \,} \,,$$

प्रतिबाधा बन जाती है


 * $$ Z(\omega) = j\ L\ \left( \frac{\omega^2 - \omega_0^2}{\omega} \right) = j\ \omega_0 L\ \left( \frac{\omega}{\omega_0} - \frac{\omega_0}{\omega} \right) \,,$$

कहाँ पे $$\, \omega_0 L\ \,$$ अनुनाद पर प्रारंभ करनेवाला की प्रतिक्रिया देता है।

अंश का तात्पर्य है कि सीमा के रूप में $ω → ±ω_{0}$, कुल प्रतिबाधा $X_{C}$ शून्य होगा और अन्यथा शून्य नहीं होगा। इसलिए श्रृंखला एलसी सर्किट, जब लोड के साथ श्रृंखला में जुड़ा होता है, एलसी सर्किट की अनुनाद आवृत्ति पर शून्य प्रतिबाधा वाले बंदपास छननी  के रूप में कार्य करेगा।

समानांतर सर्किट
जब प्रारंभ करनेवाला (एल) और संधारित्र (सी) समानांतर में जुड़े होते हैं जैसा कि यहां दिखाया गया है, वोल्टेज $X_{L}$ खुले टर्मिनलों के आर-पार प्रारंभ करनेवाला पर वोल्टेज और संधारित्र के आर-पार वोल्टेज दोनों के बराबर होता है। कुल करंट $Z$ सर्किट के सकारात्मक टर्मिनल में प्रवाहित होना प्रारंभ करनेवाला के माध्यम से बहने वाली धारा और संधारित्र के माध्यम से बहने वाली धारा के योग के बराबर है:


 * $$\begin{align}

V &= V_L = V_C, \\ I &= I_L + I_C. \end{align}$$

अनुनाद
कब $V$ बराबरी $I$, दो शाखा धाराएं बराबर और विपरीत हैं। वे मुख्य लाइन में न्यूनतम करंट देने के लिए एक दूसरे को रद्द करते हैं (सिद्धांत रूप में, शून्य करंट)। हालाँकि, संधारित्र और प्रारंभ करनेवाला के बीच एक बड़ा प्रवाह होता है। सिद्धांत रूप में, यह परिसंचारी धारा अनंत है, लेकिन वास्तव में सर्किट में प्रतिरोध द्वारा सीमित है, विशेष रूप से प्रारंभ करनेवाला वाइंडिंग में प्रतिरोध। चूँकि कुल धारा न्यूनतम होती है, इस अवस्था में कुल प्रतिबाधा अधिकतम होती है।

गुंजयमान आवृत्ति द्वारा दिया जाता है
 * $$f_0 = \frac{\omega_0}{2 \pi} = \frac{1}{2 \pi \sqrt{LC}}.$$

ध्यान दें कि अनुनाद पर कोई भी शाखा धारा न्यूनतम नहीं होती है, लेकिन प्रत्येक को स्रोत वोल्टेज को विभाजित करके अलग से दिया जाता है ($X_{L}$) प्रतिक्रिया द्वारा ($X_{C}$) अत $I = V⁄Z$, ओम के नियम के अनुसार।


 * पर $f_{0}$, लाइन करंट न्यूनतम है। कुल प्रतिबाधा अधिकतम है। इस अवस्था में एक सर्किट को रिजेक्टर सर्किट कहा जाता है।
 * नीचे $f_{0}$, सर्किट आगमनात्मक है।
 * के ऊपर $f_{0}$, सर्किट कैपेसिटिव है।

प्रतिबाधा
समानांतर एलसी सर्किट पर एक ही विश्लेषण लागू किया जा सकता है। तब कुल प्रतिबाधा द्वारा दी जाती है


 * $$Z = \frac{Z_L Z_C}{Z_L + Z_C},$$

और के प्रतिस्थापन के बाद $Z_{L} = jωL$ तथा $Z_{C} = 1⁄jωC$ और सरलीकरण, देता है


 * $$Z(\omega) = -j \cdot \frac{\omega L}{\omega^2 LC - 1}.$$

का उपयोग करते हुए


 * $$\omega_0 = \frac{1}{\sqrt{LC}},$$

यह आगे सरल करता है


 * $$Z(\omega) = -j \left(\frac{1}{C} \right) \left( \frac{\omega}{\omega^2 - \omega_0^2} \right).$$

ध्यान दें कि


 * $$\lim_{\omega \to \omega_0} Z(\omega) = \infty,$$

लेकिन के अन्य सभी मूल्यों के लिए $V$ प्रतिबाधा सीमित है।

इस प्रकार, लोड के साथ श्रृंखला में जुड़े समानांतर एलसी सर्किट एलसी सर्किट की अनुनाद आवृत्ति पर अनंत प्रतिबाधा वाले बैंड-स्टॉप फ़िल्टर  के रूप में कार्य करेगा, जबकि समानांतर एलसी सर्किट लोड के साथ समानांतर में जुड़ा हुआ बैंड-पास फ़िल्टर के रूप में कार्य करेगा।

लाप्लास समाधान
लैपलेस ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके एलसी सर्किट को हल किया जा सकता है।

हम सामान्य तरीके से संधारित्र और प्रारंभ करनेवाला में वर्तमान और वोल्टेज के बीच संबंध को परिभाषित करके शुरू करते हैं:


 * $$ v_\mathrm{C}(t) = v(t)\, ~$$ $$ i(t) = C\ \frac{\mathrm{d}\ v_\mathrm{C}}{\mathrm{d}t}\ , ~ $$ तथा $$ ~ v_\mathrm{L}(t) = L\ \frac{\mathrm{d}\ i}{\mathrm{d}t} \;.$$

फिर किरचॉफ के नियमों को लागू करके, हम सिस्टम के गवर्निंग डिफरेंशियल इक्वेशन पर पहुंच सकते हैं


 * $$ v_{in} (t) = v_\mathrm{L} (t) + v_\mathrm{C}(t) = L\ \frac{ \mathrm{d}\ i }{\mathrm{d}t} + v = L\ C\ \frac{\mathrm{d}^2\ v}{\mathrm{d}t^2} + v \;.$$

प्रारंभिक शर्तों के साथ $$\ v(0) = v_0\ $$ तथा $$\ i(0) = i_0 = C \cdot v'(0) = C \cdot v'_0 \;. $$ निम्नलिखित परिभाषाएँ बनाते हुए,
 * $$ \omega_0 \equiv \frac{1}{\ \sqrt{L\ C\ } } ~$$ तथा $$~ f(t) \equiv \omega_0^2\ v_\mathrm{in} (t) $$

देता है
 * $$ f(t) = \frac{\ \mathrm{d}^2\ v\ }{\mathrm{d}t^2} + \omega_0^2\ v \;.$$

अब हम लाप्लास परिवर्तन लागू करते हैं।
 * $$ \operatorname\mathcal{L} \left[\ f(t)\ \right] = \operatorname\mathcal{L} \left[\ \frac{\ \mathrm{d}^2\ v\ }{ \mathrm{d}t^2 } + \omega_0^2\ v\ \right] \,,$$
 * $$ F(s) = s^2\ V(s) - s\ v_0 - v'_0 + \omega_0^2\ V(s) \;.$$

लाप्लास परिवर्तन ने हमारे अंतर समीकरण को बीजीय समीकरण में बदल दिया है। के लिए हल करना $Z$ में $ω$ डोमेन (फ़्रीक्वेंसी डोमेन) बहुत सरल है अर्थात।
 * $$ V(s) = \frac{\ s\ v_0 + v'_0 + F(s)\ }{ s^2 + \omega_0^2 } \,,$$

जिसे व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन के माध्यम से समय डोमेन में वापस बदला जा सकता है:
 * $$ v(t) = v_0\cos(\omega_0\ t)+ \frac{ v'_0 }{\ \omega_0\ }\ \sin(\omega_0\ t) + \operatorname\mathcal{L}^{-1} \left[\ \frac{ F(s) }{\ s^2 + \omega_0^2\ }\ \right] $$

अंतिम शब्द इनपुट वोल्टेज के सटीक रूप पर निर्भर है। हेविसाइड स्टेप फंक्शन और साइन वेव दो सामान्य मामले हैं। एक भारी कदम समारोह  के लिए हमें मिलता है
 * $$ v_\mathrm{in}(t) = M\ u(t) \,,$$
 * $$ \operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\ \omega_0^2 \frac{ V_\mathrm{in}(s) }{\ s^2 + \omega_0^2\ }\ \right] ~=~ \operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\ \omega_0^2\ M\ \frac{1}{\ s\ (s^2 + \omega_0^2)\ }\ \right] ~=~ M\ \Bigl( 1 - \cos(\omega_0\ t) \Bigr) \,,$$
 * $$ v(t) = v_0 \ \cos(\omega_0\ t)+ \frac{ v'_0 }{ \omega_0 }\ \sin(\omega_0\ t) + M\ \Bigl(1-\cos(\omega_0\ t)\Bigr) \;.$$

इनपुट के रूप में साइनसॉइडल फ़ंक्शन के मामले में हमें मिलता है:
 * $$ v_\mathrm{in}(t) = U\ \sin(\omega_\mathrm{f}\ t) \Rightarrow V_\mathrm{in}(s)= \frac{\ U\ \omega_\mathrm{f}\ }{\ s^2 + \omega_\mathrm{f}^2 \ } \,,$$
 * $$ \operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\ \omega_0^2\ \frac{1}{\ s^2 + \omega_0^2\ }\ \frac{ U\ \omega_\mathrm{f} }{\ s^2+\omega_\mathrm{f}^2\ }\ \right] = \operatorname\mathcal{L}^{-1}\left[\ \frac{\ \omega_0^2\ U\omega_\mathrm{f}\ }{\ \omega_\mathrm{f}^2-\omega_0^2\ }\left(\frac{1}{s^2 + \omega_0^2} - \frac{1}{\ s^2+\omega_f^2\ }\right)\ \right] \,$$
 * $$ \qquad\qquad = \frac{\ \omega_0^2\ U\ \omega_\mathrm{f}\ }{ \omega_\mathrm{f}^2 - \omega_0^2 }\ \left( \frac{1}{\omega_0}\ \sin(\omega_0\ t) - \frac{1}{\ \omega_\mathrm{f}\ }\ \sin(\omega_\mathrm{f}\ t)\right) \;,$$ इसलिए
 * $$ v(t) = v_0 \cos(\omega_0\ t)+ \frac{ v'_0\ b}{\ b\ \omega_0\ }\ \sin(\omega_0\ t) + \frac{ \omega_0^2\ U\ \omega_\mathrm{f} }{\ \omega_\mathrm{f}^2 - \omega_0^2\ }\left(\frac{1}{\omega_0}\ \sin(\omega_0\ t) - \frac{1}{\ \omega_\mathrm{f}\ }\ \sin(\omega_\mathrm{f}\ t) \right) \;.$$

इतिहास
पहला सबूत है कि एक संधारित्र और प्रारंभ करनेवाला विद्युत दोलन पैदा कर सकता है, 1826 में फ्रांसीसी वैज्ञानिक फेलिक्स सेवरी  द्वारा खोजा गया था। उन्होंने पाया कि जब एक लोहे की सुई के चारों ओर एक तार घाव के माध्यम से एक  लेडेन जार  को छुट्टी दे दी गई थी, तो कभी सुई एक दिशा में और कभी विपरीत दिशा में चुंबकित हो गई थी। उन्होंने सही ढंग से यह अनुमान लगाया कि यह तार में एक नम दोलन निर्वहन धारा के कारण होता है, जो सुई के चुंबकीयकरण को आगे और पीछे तब तक उलट देता है जब तक कि यह प्रभाव के लिए बहुत छोटा न हो, सुई को एक यादृच्छिक दिशा में चुम्बकित छोड़ देता है। अमेरिकी भौतिक विज्ञानी  जोसेफ हेनरी  ने 1842 में सावरी के प्रयोग को दोहराया और उसी निष्कर्ष पर पहुंचे, जाहिर तौर पर स्वतंत्र रूप से। आयरिश वैज्ञानिक विलियम थॉमसन, 1853 में प्रथम बैरन केल्विन (लॉर्ड केल्विन) ने गणितीय रूप से दिखाया कि एक अधिष्ठापन के माध्यम से एक लेडेन जार का निर्वहन दोलनशील होना चाहिए, और इसकी गुंजयमान आवृत्ति व्युत्पन्न होनी चाहिए।  ब्रिटिश रेडियो शोधकर्ता  ओलिवर लॉज  ने एक लंबे तार के माध्यम से लेडेन जार की एक बड़ी बैटरी को डिस्चार्ज करके, ऑडियो रेंज में इसकी गुंजयमान आवृत्ति के साथ एक ट्यूनेड सर्किट बनाया, जो स्पार्क से एक संगीतमय स्वर उत्पन्न करता था जब इसे डिस्चार्ज किया जाता था। 1857 में, जर्मन भौतिक विज्ञानी  बेरेन्ड विल्हेम फेडरसन  ने एक घूर्णन दर्पण में एक अनुनाद लेडेन जार सर्किट द्वारा उत्पादित चिंगारी की तस्वीर खींची, जो दोलनों के दृश्य प्रमाण प्रदान करती है।   1868 में, स्कॉटिश भौतिक विज्ञानी  जेम्स क्लर्क मैक्सवेल  ने एक सर्किट में एक प्रत्यावर्ती धारा को अधिष्ठापन और समाई के साथ लागू करने के प्रभाव की गणना की, यह दर्शाता है कि गुंजयमान आवृत्ति पर प्रतिक्रिया अधिकतम है। विद्युत अनुनाद वक्र का पहला उदाहरण 1887 में जर्मन भौतिक विज्ञानी  हेनरिक हर्ट्ज़  द्वारा रेडियो तरंगों की खोज पर अपने अग्रणी पेपर में प्रकाशित किया गया था, जिसमें आवृत्ति के एक कार्य के रूप में उनके स्पार्क-गैप एलसी रेज़ोनेटर डिटेक्टरों से प्राप्त होने वाली चिंगारी की लंबाई को दिखाया गया था।

ट्यूनेड सर्किट के बीच अनुनाद के पहले प्रदर्शनों में से एक लॉज का सिनटोनिक जार प्रयोग 1889 के आसपास था। उन्होंने एक दूसरे के बगल में दो गुंजयमान सर्किट लगाए, जिनमें से प्रत्येक में एक लेडेन जार होता है जो एक स्पार्क गैप के साथ एक समायोज्य एक-टर्न कॉइल से जुड़ा होता है। जब एक इंडक्शन कॉइल से एक उच्च वोल्टेज को एक ट्यून किए गए सर्किट पर लागू किया गया था, जिससे स्पार्क्स और इस तरह दोलन धाराएं पैदा हुईं, स्पार्क्स दूसरे ट्यूनेड सर्किट में तभी उत्तेजित हुए जब सर्किट को रेजोनेंस में समायोजित किया गया था। लॉज और कुछ अंग्रेजी वैज्ञानिकों ने इस आशय के लिए पर्यायवाची शब्द को प्राथमिकता दी, लेकिन अनुनाद शब्द अंततः अटक गया। एलसी सर्किट के लिए पहला व्यावहारिक उपयोग 1890 के दशक में  स्पार्क-गैप ट्रांसमीटर  | स्पार्क-गैप रेडियो ट्रांसमीटर में रिसीवर और ट्रांसमीटर को एक ही आवृत्ति पर ट्यून करने की अनुमति देने के लिए किया गया था। 1897 में लॉज द्वारा ट्यूनिंग की अनुमति देने वाले रेडियो सिस्टम के लिए पहला पेटेंट दायर किया गया था, हालांकि पहली व्यावहारिक प्रणाली का आविष्कार 1900 में इतालवी रेडियो अग्रणी  गुग्लिल्मो मार्कोनी  द्वारा किया गया था।

यह भी देखें

 * आरएल सर्किट
 * आरसी सर्किट
 * आरएलसी सर्किट

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

 * विद्युतीय प्रतिरोध
 * विद्युतीय ऊर्जा
 * विद्युत प्रभावन बल
 * गूंज
 * प्रतिक्रिया (इलेक्ट्रॉनिक्स)
 * एक घोड़ा
 * प्रेरण ऊष्मन
 * लाप्लास ट्रांसफॉर्म
 * जटिल आंकड़े
 * जटिल सन्युग्म

बाहरी संबंध

 * An electric pendulum by Tony Kuphaldt is a classical story about the operation of LC tank
 * How the parallel-LC circuit stores energy is another excellent LC resource.