तरंगिका परिवर्तन



गणित में, तरंगिका श्रृंखला तरंगिका द्वारा उत्पन्न निश्चित प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण श्रृंखला (गणित) द्वारा वर्ग-अभिन्न (वास्तविक संख्या- या जटिल संख्या-मानित) फलन (गणित) का प्रतिनिधित्व करती है। यह लेख प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण तरंगिका और पूर्णांकी तरंगिका परिवर्तन की औपचारिक, गणितीय परिभाषा प्रदान करती है।

परिभाषा
एक फलन $$ \psi \,\in\, L^2(\mathbb{R})$$ को प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण तरंगिका कहा जाता है यदि इसका उपयोग हिल्बर्ट समष्टि प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण आधारों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जो कि हिल्बर्ट समष्टि $$ L^2\left(\mathbb{R}\right)$$ के लिए वर्ग-अभिन्न फलन का प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण आधार है ।

हिल्बर्ट आधार का निर्माण पूर्णांकों $$ j,\, k \,\in\, \mathbb{Z}$$ के लिए $$ \psi\,$$
 * $$\psi_{jk}(x) = 2^\frac{j}{2} \psi\left(2^jx - k\right)\,$$

के युग्मकीय परिवर्तन(ज्यामिति) और विस्फार (संक्रियक सिद्धांत) के माध्यम से फलन $$ \{\psi_{jk}:\, j,\, k \,\in\, \Z\}$$ के वर्ग के रूप में किया गया है।

यदि मानक आंतरिक उत्पाद के अंतर्गत $$ L^2\left(\mathbb{R}\right)$$,
 * $$\langle f, g\rangle = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}dx$$

यह वर्ग प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण है, यह प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण प्रणाली है:
 * $$\begin{align}

\langle\psi_{jk},\psi_{lm}\rangle &= \int_{-\infty}^\infty \psi_{jk}(x)\overline{\psi_{lm}(x)}dx \\ &=\delta_{jl}\delta_{km} \end{align}$$ जहाँ $$ \delta_{jl}\,$$ क्रोनकर डेल्टा है।

पूर्णता तब संतुष्ट होती है जब प्रत्येक फलन $$ f \,\in\, L^2\left(\mathbb{R}\right)$$ को श्रृंखला के अभिसरण के साथ
 * $$f(x) = \sum_{j, k=-\infty}^\infty c_{jk} \psi_{jk}(x)$$

के रूप में आधार में विस्तारित किया जा सकता है, जिसे मानक में अभिसरण समझा जाता है। F के इस प्रकार के प्रतिनिधित्व को 'तरंगिका श्रृंखला' के रूप में जाना जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण तरंगिका दोहरी तरंगिका या स्व-दोहरी है।

'पूर्णांकी तरंगिका परिवर्तन' को अभिन्न परिवर्तन


 * $$\left[W_\psi f\right](a, b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int_{-\infty}^\infty \overline{\psi\left(\frac{x-b}{a}\right)}f(x)dx\,$$ के रूप में परिभाषित किया गया है

तरंगिका गुणांक $$ c_{jk}$$ को फिर


 * $$c_{jk} = \left[W_\psi f\right]\left(2^{-j}, k2^{-j}\right)$$ द्वारा दिया जाता है

यहाँ, $$ a = 2^{-j}$$ बाइनरी विस्फार या युग्मकीय विस्फार कहा जाता है, और $$ b = k2^{-j}$$ बाइनरी या युग्मकीय स्थिति कहा जाता है।

सिद्धांत
तरंगिका परिवर्तन का मूल विचार यह है कि परिवर्तन को मात्र समय विस्फार में परिवर्तन की अनुमति देनी चाहिए, परन्तु आकार में नहीं। इसे इसके लिए अनुमति देने वाले उपयुक्त आधार फलनों को चुनकर प्राप्त किया जाता है। समय विस्फार में परिवर्तन आधार फलन की संगत विश्लेषण आवृत्ति के अनुरूप होने की अपेक्षा है। संकेत प्रोसेसिंग के अनिश्चितता सिद्धांत के आधार पर,


 * $$\Delta t \Delta \omega \geq \frac{1}{2}$$

जहाँ $$ t $$ समय का प्रतिनिधित्व करता है और $$ \omega $$ कोणीय आवृत्ति ($$\omega=2 \pi f $$, जहाँ $$ f$$ सामान्य आवृत्ति है)

समय में आवश्यक विभेदन जितना अधिक होगा, आवृत्ति में विभेदन उतना ही कम होगा। विश्लेषण विंडो फलन का विस्फार जितना बड़ा चुना जाएगा, $$ \Delta t$$ का मान उतना ही बड़ा होगा।

जब $$ \Delta t $$ बड़ी है,
 * 1) निकृष्ट समय का हल
 * 2) ठीक आवृत्ति विभेदन
 * 3) कम आवृत्ति, बड़े सोपानी कारक

जब $$ \Delta t $$ छोटा है
 * 1) शुभ समय विभेदन
 * 2) निकृष्ट आवृत्ति विभेदन
 * 3) उच्च आवृत्ति, छोटे सोपानी कारक

दूसरे शब्दों में, आधार फलन $$ \psi $$ को उस पद्धति के आवेग प्रतिक्रिया के रूप में माना जा सकता है जिसके साथ फलन $$ x(t) $$ को निस्यंदित किया गया है। परिवर्तित संकेत समय और आवृत्ति के विषय में सूचना प्रदान करता है। इसलिए, तरंगिका-परिवर्तनेशन में लघु-समय फूरियर रूपांतरण के समान सूचना होती है, परन्तु तरंगिका के अतिरिक्त विशेष गुणों के साथ, जो आधार फलन के उच्च विश्लेषण आवृत्तियों पर समय में विभेदन पर दिखाई देते हैं। फूरियर परिवर्तन और तरंगिका परिवर्तन के लिए आरोही आवृत्तियों पर समय विभेदन में अंतर नीचे दिखाया गया है। यद्यपि, ध्यान दें कि बढ़ती आवृत्तियों के लिए आवृत्ति विभेदन कम हो रहा है जबकि अस्थायी विभेदन बढ़ता है। फूरियर अनिश्चितता सिद्धांत का यह परिणाम चित्र में ठीक रूप से प्रदर्शित नहीं किया गया है।

इससे पता चलता है कि उच्च आवृत्तियों के समय विभेदन में तरंगिका परिवर्तन अच्छा है, जबकि धीरे-धीरे बदलते फलनों के लिए, आवृत्ति विभेदन उल्लेखनीय है।

एक अन्य उदाहरण: तीन सुपरपोज़्ड साइनसॉइडल संकेतों का विश्लेषण $$ y(t) \;=\; \sin(2 \pi f_0 t) \;+\; \sin(4 \pi f_0 t) \;+\; \sin(8 \pi f_0 t)$$ एसटीएफटी और तरंगिका-परिवर्तन के साथ।



तरंगिका संपीड़न
तरंगिका संपीड़न डेटा संपीड़न का रूप है जो छवि संपीड़न (कभी-कभी वीडियो संपीड़न और ऑडियो संपीड़न (डेटा)) के लिए भी उपयुक्त है। स्थिर छवियों के लिए उल्लेखनीय फलनान्वयन JPEG 2000, DjVu और ECW (फ़ाइल प्रारूप), JPEG XS, इस cineform और बीबीसी का डिराक (कोडेक) हैं। लक्ष्य कम्प्यूटर फाइल में छवि डेटा को यथासंभव कम जगह में संग्रहीत करना है। तरंगिका संपीड़न या तो दोषरहित डेटा संपीड़न या हानिपूर्ण डेटा संपीड़न हो सकता है। तरंगिका परिवर्तन का उपयोग करते हुए, तरंगिका संपीड़न विधियाँ क्षणिक (ध्वनिकी) का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त हैं, जैसे कि ऑडियो में टक्कर ध्वनियाँ, या दो-आयामी छवियों में उच्च-आवृत्ति घटक, उदाहरण के लिए रात के आकाश पर सितारों की छवि। इसका मतलब यह है कि डेटा संकेत के क्षणिक तत्वों को सूचना की छोटी मात्रा द्वारा दर्शाया जा सकता है, यदि कोई अन्य परिवर्तन, जैसे कि अधिक व्यापक असतत कोसाइन परिवर्तन, का उपयोग किया गया होता, तो ऐसा होता।

इलेक्ट्रोकार्डियोग्राफ़ (ईसीजी) संकेतों के संपीड़न के लिए असतत तरंगिका परिवर्तन को सफलतापूर्वक लागू किया गया है इस फलन में, क्रमिक हृदय चक्रों के संकेतों के संबंधित तरंगिका गुणांक के बीच उच्च सहसंबंध का उपयोग रैखिक भविष्यवाणी को नियोजित करके किया जाता है। तरंगिका संपीड़न सभी प्रकार के डेटा के लिए प्रभावी नहीं है। तरंगिका संपीड़न क्षणिक संकेतों को अच्छी तरह से संभालता है। परन्तु सुचारू, आवधिक संकेतों को अन्य तरीकों का उपयोग करके बेहतर ढंग से संपीड़ित किया जाता है, विशेष रूप से फूरियर-संबंधित परिवर्तनों की सूची के साथ आवृत्ति डोमेन में पारंपरिक हार्मोनिक विश्लेषण|फूरियर-संबंधित परिवर्तनों। क्षणिक और आवधिक दोनों विशेषताओं वाले डेटा को संपीड़ित करना हाइब्रिड तकनीकों के साथ किया जा सकता है जो पारंपरिक हार्मोनिक विश्लेषण के साथ तरंगिकाओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, वॉर्बिस ऑडियो कोडेक मुख्य रूप से ऑडियो को संपीड़ित करने के लिए संशोधित असतत कोसाइन ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करता है (जो आम तौर पर सुचारू और आवधिक होता है), यद्यपि ट्रांसिएंट की बेहतर ध्वनि गुणवत्ता के लिए हाइब्रिड तरंगिका फ़िल्टर बैंक को जोड़ने की अनुमति देता है। व्यावहारिक मुद्दों पर चर्चा के लिए डायरी ऑफ़ एन x264 डेवलपर: द प्रॉब्लम्स विद तरंगिका (2010) देखें वीडियो संपीड़न के लिए तरंगिका का उपयोग करने वाली वर्तमान विधियाँ।

विधि
सबसे पहले तरंगिका परिवर्तन लागू किया जाता है। यह उतने ही गुणांक उत्पन्न करता है जितने छवि में पिक्सेल हैं (यानी, अभी तक कोई संपीड़न नहीं है क्योंकि यह मात्र परिवर्तन है)। फिर इन गुणांकों को अधिक आसानी से संपीड़ित किया जा सकता है क्योंकि सूचना सांख्यिकीय रूप से मात्र कुछ गुणांकों में केंद्रित होती है। इस सिद्धांत को कोडिंग को रूपांतरित करें कहा जाता है। उसके बाद, गुणांक परिमाणीकरण (संकेत प्रोसेसिंग) हैं और परिमाणित मान एन्ट्रापी एन्कोडिंग और/या रन-लेंथ एन्कोडिंग हैं।

तरंगिका संपीड़न के कुछ 1डी और 2डी अनुप्रयोग तरंगिका फ़ुटप्रिंट्स नामक तकनीक का उपयोग करते हैं।

छवि संपीड़न के लिए आवश्यकता
अधिकांश प्राकृतिक छवियों के लिए, कम आवृत्ति का स्पेक्ट्रम घनत्व अधिक होता है। परिणामस्वरूप, कम आवृत्ति संकेत (संदर्भ संकेत) की सूचना आम तौर पर संरक्षित रहती है, जबकि विस्तृत संकेत की सूचना खारिज कर दी जाती है। छवि संपीड़न और पुनर्निर्माण के परिप्रेक्ष्य से, तरंगिका को छवि संपीड़न करते समय निम्नलिखित मानदंडों को पूरा करना चाहिए:


 * अधिक मूल छवि को संदर्भ संकेत में बदलने में सक्षम होना।
 * संदर्भ संकेत के आधार पर उच्चतम निष्ठा पुनर्निर्माण।
 * अकेले संदर्भ संकेत से पुनर्निर्मित छवि में कलाकृतियाँ नहीं होनी चाहिए।

शिफ्ट विचरण और रिंगिंग व्यवहार के लिए आवश्यकता
तरंगिका छवि संपीड़न प्रणाली में फिल्टर और डिकिमेशन शामिल है, इसलिए इसे रैखिक शिफ्ट-वेरिएंट प्रणाली के रूप में वर्णित किया जा सकता है। विशिष्ट तरंगिका परिवर्तन आरेख नीचे प्रदर्शित किया गया है:

परिवर्तन प्रणाली में दो विश्लेषण फ़िल्टर (एक कम पास फ़िल्टर) शामिल हैं $$h_0(n)$$ और हाई पास फिल्टर $$h_1(n)$$), क्षय प्रक्रिया, प्रक्षेप प्रक्रिया, और दो संश्लेषण फिल्टर ($$g_0(n)$$ और $$g_1(n)$$)। संपीड़न और पुनर्निर्माण प्रणाली में आम तौर पर कम आवृत्ति वाले घटक शामिल होते हैं, जो विश्लेषण फ़िल्टर है $$h_0(n)$$ छवि संपीड़न और संश्लेषण फ़िल्टर के लिए $$g_0(n)$$ पुनर्निर्माण के लिए। ऐसी प्रणाली का मूल्यांकन करने के लिए, हम आवेग इनपुट कर सकते हैं $$\delta(n-n_i)$$ और इसके पुनर्निर्माण का निरीक्षण करें $$h(n-n_i)$$; इष्टतम तरंगिका वे हैं जो न्यूनतम शिफ्ट विचरण और साइडलोब लाते हैं $$h(n-n_i)$$। यद्यपि सख्त शिफ्ट विचरण के साथ तरंगिका यथार्थवादी नहीं है, मात्र मामूली शिफ्ट विचरण के साथ तरंगिका का चयन करना संभव है। उदाहरण के लिए, हम दो फ़िल्टर के शिफ्ट विचरण की तुलना कर सकते हैं: दो फिल्टर की आवेग प्रतिक्रियाओं को देखकर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दूसरा फिल्टर इनपुट समष्टि के प्रति कम संवेदनशील है (यानी यह कम शिफ्ट वेरिएंट है)।

छवि संपीड़न और पुनर्निर्माण के लिए और महत्वपूर्ण मुद्दा पद्धति का दोलन व्यवहार है, जो पुनर्निर्मित छवि में गंभीर अवांछित कलाकृतियों को जन्म दे सकता है। इसे प्राप्त करने के लिए, तरंगिका फिल्टर में साइडलोब अनुपात के लिए बड़ा शिखर होना चाहिए।

अब तक हमने छवि संपीड़न प्रणाली के एक-आयामी परिवर्तन के विषय में चर्चा की है। इस मुद्दे को दो आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, जबकि अधिक सामान्य शब्द - शिफ्टेबल मल्टीस्केल परिवर्तन - प्रस्तावित है।

आवेग प्रतिक्रिया की व्युत्पत्ति
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, छवि संपीड़न/पुनर्निर्माण प्रणाली का मूल्यांकन करने के लिए आवेग प्रतिक्रिया का उपयोग किया जा सकता है।

इनपुट अनुक्रम के लिए $$x(n)=\delta(n-n_i)$$, संदर्भ संकेत $$r_1(n)$$ विघटन के स्तर के बाद है $$x(n)*h_0(n)$$ जबकि, दो के कारक से विनाश होता है $$h_0(n)$$ निम्न पास फ़िल्टर है। इसी प्रकार, अगला संदर्भ संकेत $$r_2(n)$$ द्वारा प्राप्त किया जाता है $$r_1(n)*h_0(n)$$ दो के कारक द्वारा विनाश से गुजरता है। अपघटन (और क्षय) के एल स्तर के बाद, प्रत्येक में से को बनाए रखकर विश्लेषण प्रतिक्रिया प्राप्त की जाती है $$2^L$$ नमूने: $$h_A^{(L)}(n,n_i)=f_{h0}^{(L)}(n-n_i/2^L)$$।

दूसरी ओर, संकेत x(n) को फिर से बनाने के लिए, हम संदर्भ संकेत पर विचार कर सकते हैं $$r_L(n)=\delta(n-n_j)$$। यदि विवरण संकेत देता है $$d_i(n)$$ के लिए शून्य के बराबर हैं $$1\leq i \leq L$$, फिर पिछले चरण में संदर्भ संकेत ($$L-1$$ मंच) है $$r_{L-1}(n)=g_0(n-2n_j)$$, जो प्रक्षेप द्वारा प्राप्त किया जाता है $$r_L(n)$$ और के साथ उलझ रहा है $$g_0(n)$$। इसी प्रकार, संदर्भ संकेत प्राप्त करने के लिए प्रक्रिया को दोहराया जाता है $$r(n)$$ मंच पर $$L-2, L-3, ...., 1$$। एल पुनरावृत्तियों के बाद, संश्लेषण आवेग प्रतिक्रिया की गणना की जाती है: $$h_s^{(L)}(n,n_i)=f_{g0}^{(L)}(n/2^L-n_j)$$, जो संदर्भ संकेत से संबंधित है $$r_L(n)$$ और पुनर्निर्मित संकेत।

समग्र एल स्तर विश्लेषण/संश्लेषण प्रणाली प्राप्त करने के लिए, विश्लेषण और संश्लेषण प्रतिक्रियाओं को निम्नानुसार संयोजित किया गया है:

$$h_{AS}^{(L)}(n,n_i)=\sum_{k} f_{h0}^{(L)}(k-n_i/2^L)f_{g0}^{(L)}(n/2^L-k)$$।

अंत में, पहले साइडलोब अनुपात का शिखर और समग्र आवेग प्रतिक्रिया का औसत दूसरा साइडलोब $$h_{AS}^{(L)}(n,n_i)$$ तरंगिका छवि संपीड़न प्रदर्शन का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

फूरियर रूपांतरण और समय-आवृत्ति विश्लेषण के साथ तुलना
विशिष्ट आवृत्तियों की जांच करते समय गणना को कम करने में फूरियर परिवर्तनों की तुलना में तरंगिका के कुछ मामूली लाभ हैं। यद्यपि, वे शायद ही कभी अधिक संवेदनशील होते हैं, और वास्तव में, सामान्य मोरलेट तरंगिका गणितीय रूप से गॉसियन विंडो फलन का उपयोग करके कम समय के फूरियर रूपांतरण के समान है। अपवाद तब होता है जब किसी ज्ञात, गैर-साइनसॉइडल आकार (जैसे, दिल की धड़कन) के संकेतों की खोज की जाती है; उस स्थिति में, मिलान किए गए तरंगिका का उपयोग मानक एसटीएफटी/मॉरलेट विश्लेषण से बेहतर प्रदर्शन कर सकता है।

अन्य व्यावहारिक अनुप्रयोग
तरंगिका परिवर्तन हमें संकेतों की आवृत्ति और उन आवृत्तियों से जुड़े समय प्रदान कर सकता है, जिससे कई क्षेत्रों में इसके अनुप्रयोग के लिए यह बहुत सुविधाजनक हो जाता है। उदाहरण के लिए, चाल विश्लेषण के लिए त्वरण की संकेत प्रोसेसिंग, गलती का पता लगाने के लिए, कम शक्ति वाले पेसमेकर के डिजाइन के लिए और अल्ट्रा-वाइडबैंड (यूडब्ल्यूबी) वायरलेस संचार में भी।

1. Discretizing of the $c-\tau$ axis

Applied the following discretization of frequency and time:
 * $\begin{align}

c_n &= c_0^n \\ \tau_m &= m \cdot T \cdot c_0^n \end{align}$

Leading to wavelets of the form, the discrete formula for the basis wavelet:
 * $\Psi(k, n, m) = \frac{1}{\sqrt{c_0^n}}\cdot\Psi\left[\frac{k - m c_0^n}{c_0^n}T\right] = \frac{1}{\sqrt{c_0^n}}\cdot\Psi\left[\left(\frac{k}{c_0^n} - m\right)T\right]$

Such discrete wavelets can be used for the transformation:
 * $Y_{DW}(n, m) = \frac{1}{\sqrt{c_0^n}}\cdot\sum_{k=0}^{K - 1} y(k)\cdot\Psi\left[\left(\frac{k}{c_0^n} - m\right)T\right]$
 * Implementation via the FFT (fast Fourier transform)

As apparent from wavelet-transformation representation (shown below)
 * $Y_W(c, \tau) = \frac{1}{\sqrt{c}}\cdot\int_{-\infty}^{\infty} y(t) \cdot \Psi\left(\frac{t - \tau}{c}\right)\, dt $

where $ c $ is scaling factor, $ \tau $ represents time shift factor

and as already mentioned in this context, the wavelet-transformation corresponds to a convolution of a function $y(t) $ and a wavelet-function. A convolution can be implemented as a multiplication in the frequency domain. With this the following approach of implementation results into:
 * Fourier-transformation of signal $y(k) $ with the FFT
 * Selection of a discrete scaling factor $c_n$
 * Scaling of the wavelet-basis-function by this factor $c_n$ and subsequent FFT of this function
 * Multiplication with the transformed signal YFFT of the first step
 * Inverse transformation of the product into the time domain results in $Y_W(c, \tau)$ for different discrete values of $ \tau $ and a discrete value of $c_n$
 * Back to the second step, until all discrete scaling values for $c_n$are processed

There are many different types of wavelet transforms for specific purposes. See also a full list of wavelet-related transforms but the common ones are listed below: Mexican hat wavelet, Haar Wavelet, Daubechies wavelet, triangular wavelet.
 * undefined

समय-कारण तरंगिकाएँ
वास्तविक समय में अस्थायी संकेतों को संसाधित करने के लिए, यह आवश्यक है कि तरंगिका फिल्टर भविष्य से संकेत मूल्यों तक न पहुंचें और साथ ही न्यूनतम अस्थायी विलंबता प्राप्त की जा सके। समय-कारण तरंगिका निरूपण Szu et al द्वारा विकसित किया गया है और लिंडेबर्ग, बाद वाली विधि में मेमोरी-कुशल समय-पुनरावर्ती फलनान्वयन भी शामिल है।

सिंक्रो-निचोड़ परिवर्तन
सिंक्रो-स्क्वीज़्ड ट्रांसफ़ॉर्म पारंपरिक तरंगिका ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करके प्राप्त समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व के अस्थायी और आवृत्ति विभेदन को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ा सकता है।

यह भी देखें

 * सतत तरंगिका परिवर्तन
 * असतत तरंगिका परिवर्तन
 * जटिल तरंगिका परिवर्तन
 * लगातार-क्यू परिवर्तन
 * स्थिर तरंगिका परिवर्तन
 * दोहरी तरंगिका
 * न्यूनतम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
 * बहु विभेदन विश्लेषण
 * श्रीएसआईडी, लॉस अलामोस राष्ट्रीय प्रयोगशाला (एलएएनएल) में मूल तरंगिका संपीड़न अनुसंधान से विकसित छवि प्रारूप
 * ECW (फ़ाइल प्रारूप), गति और प्रसंस्करण दक्षता के लिए डिज़ाइन किया गया तरंगिका-आधारित भू-समष्टििक छवि प्रारूप
 * JPEG 2000, तरंगिका-आधारित छवि संपीड़न मानक
 * डीजेवीयू प्रारूप छवि संपीड़न के लिए तरंगिका-आधारित IW44 एल्गोरिदम का उपयोग करता है
 * स्केलोग्राम, प्रकार का spectrogram जो कम समय के फूरियर रूपांतरण के बजाय तरंगिकाओं का उपयोग करके उत्पन्न होता है
 * तरंगिका
 * हार तरंगिका
 * डौबेचिस तरंगिका
 * द्विपद QMF (डौबेचिस तरंगिका के रूप में भी जाना जाता है)
 * मोरलेट तरंगिका
 * गैबोर तरंगिका
 * चिरप्लेट परिवर्तन
 * समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व
 * एस परिवर्तन
 * पदानुक्रमित पेड़ों में विभाजन सेट करें
 * अल्पकालीन फूरियर रूपांतरण
 * बायोर्थोगोनल लगभग कॉइफलेट आधार, जो दर्शाता है कि छवि संपीड़न के लिए तरंगिका लगभग कॉइफलेट (लगभग ऑर्थोगोनल) भी हो सकता है।

बाहरी संबंध

 * Concise Introduction to Wavelets by René Puschinger
 * Concise Introduction to Wavelets by René Puschinger
 * Concise Introduction to Wavelets by René Puschinger