गाऊसी पूर्णांक

संख्या सिद्धांत में, गॉसियन पूर्णांक एक जटिल संख्या है जिसके वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग, पूर्णांक होते हैं। गॉसियन पूर्णांक, जटिल संख्याओं के सामान्य जोड़ और गुणन के साथ, एक समाकलित क्षेत्र बनाते हैं, जिसे सामान्यतः $$\mathbf{Z}[i]$$ या $$\Z[i]$$ के रूप में लिखा जाता है।

गॉसियन अंक, पूर्णांकों के साथ कई गुण साझा करते हैं: वे एक यूक्लिडियन क्षेत्र बनाते हैं, और इसलिए उनके पास एक यूक्लिडीय विभाजन और एक यूक्लिडियन विधिकलन होता है; इसका तात्पर्य अद्वितीय गुणनखंडन और कई संबंधित गुणों से है। यद्यपि, गॉसियन पूर्णांकों में अंकगणित को समर्थित करने वाला क्रम नहीं होता है।

गाऊसी पूर्णांक बीजगणितीय पूर्णांक होते हैं और द्विघात पूर्णांकों का सबसे सरल वलय बनाते हैं।

गॉसियन पूर्णांकों का नाम जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है।



आधारभूत परिभाषाएँ
गाऊसी पूर्णांक निम्नलिखित समुच्चय हैं। :

$$\mathbf{Z}[i]=\{a+bi \mid a,b\in \mathbf{Z} \}, \qquad \text{ where } i^2 = -1.$$

दूसरे शब्दों में, गाऊसी पूर्णांक एक जटिल संख्या है, जिसका वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग दोनों पूर्णांक होते हैं।

चूंकि गॉसियन पूर्णांक जोड़ और गुणा के अंतर्गत विवृत्त होते हैं, वे एक क्रमविनिमेय वलय बनाते हैं, जो जटिल संख्याओं के क्षेत्र का एक उप-चक्र है। इस प्रकार यह एक समाकलन क्षेत्र है।

जब जटिल समष्टि के भीतर विचार किया जाता है, तो गॉसियन पूर्णांक से $2$-आयामी पूर्णांक जालक का गठन होता है।

गाऊसी पूर्णांक का संयुग्म $a + bi$ गाऊसी पूर्णांक $a – bi$ है।

गाऊसी पूर्णांक का क्षेत्र मानदण्ड इसके संयुग्म के साथ इसका गुणनफल है।
 * $$N(a+bi) = (a+bi)(a-bi) = a^2+b^2.$$

इस प्रकार गाऊसी पूर्णांक का मान एक सम्मिश्र संख्या के रूप में उसके निरपेक्ष मान का वर्ग होता है। गॉसियन पूर्णांक का मानदण्ड एक गैरऋणात्मक पूर्णांक है, जो दो वर्ग संख्याओं का योग है। इस प्रकार दो वर्गों का एक मानक योग $4k + 3$, साथ $k$ पूर्णांक प्रमेय रूप का नहीं हो सकता है।

मानदंड पूरी तरह से गुणक कार्य है, अर्थात
 * $$N(zw) = N(z)N(w),$$

गाऊसी पूर्णांकों के प्रत्येक जोड़े के लिए $z, w$. इसे सीधे या सम्मिश्र संख्याओं के मापांक के गुणन गुण का उपयोग करके दिखाया जा सकता है।

गाऊसी पूर्णांकों के वलय की इकाई वह गाऊसी पूर्णांक है जिसका गुणक व्युत्क्रम भी एक गाऊसी पूर्णांक है, मानक 1 के साथ पूर्ण गाऊसी पूर्णांक 1, -1, $i$ और $–i$ हैं।

यूक्लिडियन विभाजन
गॉसियन पूर्णांकों में पूर्णांकों और बहुपदों के समान एक यूक्लिडियन विभाजन होता है। यह गॉसियन पूर्णांकों को एक यूक्लिडियन क्षेत्र बनाता है, और इसका तात्पर्य यह है कि गॉसियन पूर्णांक, पूर्णांकों और बहुपदों के साथ कई महत्वपूर्ण गुण साझा करते हैं जैसे कि सबसे बड़े सामान्य विभाजक की गणना के लिए यूक्लिडियन विधिकलन का अस्तित्व, बेज़ाउट की पहचान, प्रमुख आदर्श क्षेत्र, यूक्लिड का लेम्मा, अद्वितीय गुणनखंडन प्रमेय, और चीनी शेषफल प्रमेय, इन सभी को केवल यूक्लिडियन विभाजन का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

एक यूक्लिडियन विभाजन विधिकलन, गॉसियन पूर्णांकों के चक्र में, एक लाभांश $a$ और भाजक $b ≠ 0$ लेता है तथा एक भागफल $q$ और शेष $r$ उत्पन्न करता है।
 * $$a=bq+r\quad \text{and} \quad N(r)<N(b).$$

वास्तव में, शेषफल को निम्नलिखित समीकरण द्वारा छोटा बनाया जा सकता है:
 * $$a=bq+r\quad \text{and} \quad N(r)\le \frac{N(b)}{2}.$$

इस बेहतर असमानता के साथ भी, भागफल और शेष आवश्यक रूप से अद्वितीय नहीं हैं, परंतु विशिष्टता सुनिश्चित करने के लिए व्यक्ति विकल्प को परिष्कृत कर सकता है।

इसे सिद्ध करने के लिए, कोई सम्मिश्र संख्या भागफल $x + iy = a⁄b$ पर विचार कर सकता है। अद्वितीय पूर्णांक $m$ और $n$ इस प्रकार है कि $–1⁄2 < x – m ≤ 1⁄2$ और $–1⁄2 < y – n ≤ 1⁄2$, और इस प्रकार $N(x – m + i(y – n)) ≤ 1⁄2$. $q = m + in$,
 * $$a = bq + r,$$

साथ ही
 * $$r=b\bigl(x-m+ i(y-n)\bigr), $$

तथा
 * $$N(r)\le \frac{N(b)}{2}.$$

विशिष्टतः $x – m$ और y – n  के  चुनाव हेतु, अर्ध-विवृत्त अंतराल की आवश्यकता होती है।

यूक्लिडियन विभाजन की इस परिभाषा की व्याख्या जटिल समष्टि में ज्यामितीय रूप से यह टिप्पणी करके की जा सकती है कि एक जटिल संख्या से दूरी निकटतम गॉसियन पूर्णांक $ξ$ पर अधिकतम $√2⁄2$ है।

प्रधान आदर्श
गॉसियन अंकों का अचल विभाजन चक्र प्रमुख क्षेत्र होने के कारण, गॉसियन अंकों का चक्र G एक प्रमुख आदर्श क्षेत्र होता है, जिसका अर्थ है कि G का प्रत्येक आदर्श प्रमुख होता है।विशेष रूप से कहें तो, एक आदर्श I एक अवयव होता है जो एक चक्र R का ऐसा उपसमुच्चय होता है कि I के सभी तत्वों के योग और R के तत्व के एक तत्व के गुणांक I में सम्मिलित होते हैं। यदि एक आदर्श एकल तत्व g के सभी गुणांकों से मिलकर बना होता है, तो वह प्रमुख होता है, अर्थात उसका आकार निम्नलिखित होता है
 * $$\{gx\mid x\in G\}.$$

इस स्थिति में, कहा जाता है कि आदर्श g द्वारा उत्पन्न होता है या आदर्श का g एक उत्पादक है।

प्रत्येक गॉसियन अंकों के चक्र में आदर्श $I$ प्रमुख होता है, क्योंकि, यदि $I$ में एक अवैधू तत्व $g$ का चयन किया जाता है जिसका न्यूनतम आकार होता है, तो प्रत्येक तत्व $x$ के लिए, $x$ के $g$ द्वारा यूक्लिडीय विभाजन के शेष भी $I$ में होता है और इसका आकार $g$ के आकार से छोटा होता है; $g$ के चयन के कारण, यह आकार शून्य होता है, और इस प्रकार शेष भी शून्य होता है। अर्थात, $x = qg$ होता है, जहां $q$ भागफल है।

किसी के लिए $g$, द्वारा उत्पन्न आदर्श $g$ के किसी सहयोगी द्वारा भी उत्पन्न किया जाता है $g$, वह है, $g, gi, –g, –gi$; कोई अन्य तत्व समान आदर्श उत्पन्न नहीं करता। चूँकि किसी आदर्श के सभी जनरेटरों का मानदंड समान होता है, किसी आदर्श का मानदंड उसके किसी भी जनरेटर का मानक होता है।

किसी भी $g$ के लिए, $g$ द्वारा उत्पन्न किया गया आदर्श भी $g$ के किसी उपसम्बंध द्वारा उत्पन्न किया जाता है, जैसे $g, gi, –g, –gi$; कोई अन्य तत्व समान आदर्श उत्पन्न नहीं करता है। जैसा कि किसी आदर्श के सभी उत्पादकों का समान आकार होता है, एक आदर्श का आकार उसके किसी भी उत्पादक के आकार के समान होता है।

कुछ परिस्थितियों में, प्रत्येक आदर्श के लिए सदैव के लिए एक जनरेटर चुनना उपयोगी होता है। ऐसा करने के दो पारंपरिक विधियाँ हैं, दोनों पहले विषम मानदंड के आदर्शों पर विचार करते हैं। यदि $g = a + bi$ का एक अजीब मानदंड है $a^{2} + b^{2}$, फिर एक $a$ और $b$ विषम है, और दूसरा सम है। इस प्रकार $g$ का वास्तविक भाग के साथ बिल्कुल एक ही सहयोगी है $a$ यह अजीब और सकारात्मक है। अपने मूल पेपर में, गॉस ने अद्वितीय सहयोगी को चुनकर एक और विकल्प चुना, जिससे इसके शेष भाग को विभाजित किया जा सके $2 + 2i$ एक है। वास्तव में, जैसे $N(2 + 2i) = 8$, शेषफल का मान 4 से अधिक नहीं है। चूंकि यह मान विषम है, और 3 गाऊसी पूर्णांक का मान नहीं है, शेष का मान एक है, अर्थात शेष एक इकाई है। गुणा $g$ इस इकाई के व्युत्क्रम से, किसी को एक ऐसा सहयोगी मिलता है जिसके पास विभाजित होने पर शेषफल $2 + 2i$ के रूप में एक होता है।

यदि का मानदंड $g$ सम है, तो या तो $g = 2^{k}h$ या $g = 2^{k}h(1 + i)$ जहाँ $k$ एक धनात्मक पूर्णांक है, और $N(h)$ यादृच्छिक है। इस प्रकार, अद्वितीय आकार वाले तत्वों के लिए उपसंबंध के चयन के लिए, अद्यतित $g$ का चयन किया जाता है जिससे एक ऐसा $h$ प्राप्त हो सके जो अद्यतित तत्वों के लिए उपसंबंध के चयन से मेल खाता हो।

गाऊसी अभाज्य
जैसा कि गॉसियन अंक प्रमुख आदर्श क्षेत्र होते हैं, वे साथ ही एक अद्वितीय गुणांकन क्षेत्र भी होते हैं। यह इसका अर्थ है कि एक गॉसियन अंक अविनाशी अर्थात, वह दो गैर-इकाई तत्वों के गुणांक का गुणक नहीं होता है यदि और केवल यदि वह प्राइम होता है अर्थात, वह एक प्राइम आदर्श उत्पन्न करता है।

$Z[i]$ के प्राइम तत्व भी गॉसियन प्राइम के रूप में जाने जाते हैं। एक गॉसियन प्राइम का उपसंबंधी भी एक गॉसियन प्राइम होता है। एक गॉसियन प्राइम का संयोजक भी एक गॉसियन प्राइम होता है (इससे यह प्राप्त होता है कि गॉसियन प्राइम वास्तविक और काल्पनिक अक्ष के बारे में सममित होते हैं)।

एक धनात्मक पूर्णांक एक गॉसियन अभाज्य है यदि और केवल यदि यह एक प्राइम संख्या है जो कि 4 के संबंध में 3 के अनुरूप है अर्थात्, इसे $4n + 3$ रूप में लिखा जा सकता है, जहां $n$ एक अऋणात्मक पूर्णांक है।. अन्य अभाज्य संख्याएँ गाऊसी अभाज्य संख्याएँ नहीं हैं, बल्कि प्रत्येक दो संयुग्मी गाऊसी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल हैं।

एक गाऊसी पूर्णांक $a + bi$ एक गाऊसी अभाज्य है यदि और केवल यदि या तो:
 * $a, b$ में से एक शून्य है और दूसरे का निरपेक्ष मान $4n + 3$ रूप का एक अभाज्य संख्या है साथ ही $n$ एक गैरऋणात्मक पूर्णांक है।
 * दोनों शून्येतर हैं और $a^{2} + b^{2}$ एक अभाज्य संख्या है।

दूसरे शब्दों में, एक गॉसियन अंक एक गॉसियन प्राइम होता है यदि और केवल यदि इसका आकार एक प्राइम संख्या है, या यह एक इकाई $±1, ±i$ और $4n + 3$ रूप की किसी प्राइम संख्या के गुणांक है।

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि एक अभाज्य संख्या के गुणनखंडन के लिए तीन स्थितियाँ होती हैं $p$ गाऊसी पूर्णांक में:
 * यदि $p$ 3 मॉड्यूलो 4 के सर्वांगसम है, तो यह एक गाऊसी अभाज्य है; बीजगणितीय संख्या सिद्धांत की भाषा में, $p$ को गॉसियन पूर्णांकों में अक्रिय अभाज्य कहा जाता है।
 * यदि $p$ 1 मॉड्यूलो 4 के सर्वांगसम है, तो यह इसके संयुग्म द्वारा एक गाऊसी अभाज्य का उत्पाद है, जिनमें से दोनों गैर-संबद्ध गाऊसी अभाज्य हैं (न तो एक इकाई द्वारा दूसरे का उत्पाद है); $p$ को गॉसियन पूर्णांकों में एक विघटित अभाज्य कहा जाता है। उदाहरण के लिए, $5 = (2 + i)(2 − i)$ और $13 = (3 + 2i)(3 − 2i)$.
 * यदि $p = 2$, अपने पास $2 = (1 + i)(1 − i) = i(1 − i)^{2}$; अर्थात्, 2 एक इकाई द्वारा गाऊसी अभाज्य के वर्ग का गुणनफल है; यह गॉसियन पूर्णांकों में बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में अद्वितीय प्रभाव है।

अद्वितीय गुणनखंडन
प्रत्येक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र के लिए, प्रत्येक गाऊसी पूर्णांक को एक इकाई (चक्र सिद्धांत) और गाऊसी अभाज्य के उत्पाद के रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है, और यह गुणनखंडन कारकों के क्रम तक अद्वितीय है, और किसी भी अभाज्य को उसके किसी भी द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। सहयोगी (इकाई कारक के संगत परिवर्तन के साथ)।

यदि कोई, हमेशा के लिए, संबद्ध अभाज्य संख्याओं के प्रत्येक समतुल्य वर्ग के लिए एक निश्चित गॉसियन अभाज्य चुनता है, और यदि कोई गुणनखंडन में केवल इन चयनित अभाज्य संख्याओं को लेता है, तो उसे एक अभाज्य गुणनखंड प्राप्त होता है जो कारकों के क्रम तक अद्वितीय होता है। #चयनित सहयोगियों के साथ, परिणामी अद्वितीय गुणनखंडन का रूप होता है
 * $$u(1+i)^{e_0}{p_1}^{e_1}\cdots {p_k}^{e_k},$$

कहाँ $u$ एक इकाई है (अर्थात्, $u ∈ {1, –1, i, –i}$), $e_{0}$ और $k$ अऋणात्मक पूर्णांक हैं, $e_{1}, …, e_{k}$ धनात्मक पूर्णांक हैं, और $p_{1}, …, p_{k}$ विशिष्ट गाऊसी अभाज्य संख्याएँ ऐसी हैं, जो चयनित सहयोगियों की पसंद पर निर्भर करती हैं, दूसरी पसंद का एक फायदा यह है कि चयनित सहयोगी विषम मानक के गाऊसी पूर्णांकों के लिए उत्पादों के तहत अच्छा व्यवहार करते हैं। दूसरी ओर, वास्तविक गाऊसी अभाज्य संख्याओं के लिए चयनित सहयोगी ऋणात्मक पूर्णांक हैं। उदाहरण के लिए, पूर्णांकों में 231 का गुणनखंडन, और सहयोगियों की पहली पसंद के साथ है 3 × 7 × 11, जबकि यह है (–1) × (–3) × (–7) × (–11) दूसरी पसंद के साथ.
 * दोनों में से एक $p_{k} = a_{k} + ib_{k}$ साथ $a$ अजीब और सकारात्मक, और $b$ यहां तक ​​की,
 * या यूक्लिडियन प्रभाग का शेष भाग $p_{k}$ द्वारा $2 + 2i$ 1 के बराबर है (यह गॉस की मूल पसंद है ).

गाऊसी परिमेय
गाऊसी परिमेय का क्षेत्र (गणित) गाऊसी पूर्णांकों के वलय के अंशों का क्षेत्र है। इसमें सम्मिश्र संख्याएँ सम्मिलित होती हैं जिनके वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग परिमेय संख्या होते हैं।

गाऊसी पूर्णांकों का वलय गाऊसी परिमेय में पूर्णांकों का समाकलन समापन है।

इसका तात्पर्य यह है कि गाऊसी पूर्णांक द्विघात पूर्णांक हैं और एक गाऊसी परिमेय एक गाऊसी पूर्णांक है, यदि और केवल यदि यह एक समीकरण का समाधान है
 * $$x^2 +cx+d=0,$$

साथ $c$ और $d$ पूर्णांक. वास्तव में $a + bi$ समीकरण का हल है
 * $$x^2-2ax+a^2+b^2,$$

और इस समीकरण में पूर्णांक गुणांक हैं यदि और केवल यदि $a$ और $b$ दोनों पूर्णांक हैं.

सबसे बड़ा सामान्य भाजक
किसी भी अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र के लिए, दो गाऊसी पूर्णांकों का एक सबसे बड़ा सामान्य भाजक (जीसीडी) $a, b$ एक गाऊसी पूर्णांक है $d$ वह एक सामान्य विभाजक है $a$ और $b$, जिसमें सभी सामान्य भाजक हैं $a$ और $b$ भाजक के रूप में. यही है जहां $|$ विभाज्यता संबंध को दर्शाता है),

इस प्रकार, महत्तम का तात्पर्य विभाज्यता संबंध से है, न कि वलय के क्रम से (पूर्णांकों के लिए, महत्तम के दोनों अर्थ मेल खाते हैं)।
 * $d | a$ और $d | b$, और
 * $c | a$ और $c | b$ तात्पर्य $c | d$.

अधिक तकनीकी रूप से, का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $a$ और $b$ एक आदर्श (चक्र सिद्धांत) है#आदर्श द्वारा उत्पन्न आदर्श (चक्र सिद्धांत) के एक सेट द्वारा उत्पन्न $a$ और $b$ (यह लक्षण वर्णन प्रमुख आदर्श क्षेत्र के लिए मान्य है, परंतु सामान्य तौर पर, अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र के लिए नहीं)।

दो गॉसियन पूर्णांकों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक अद्वितीय नहीं है, परंतु एक इकाई (चक्र सिद्धांत) द्वारा गुणा तक परिभाषित किया गया है। अर्थात्, एक सबसे बड़ा सामान्य भाजक दिया गया है $d$ का $a$ और $b$, का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $a$ और $b$ हैं $d, –d, id$, और $–id$.

दो गॉसियन पूर्णांकों के सबसे बड़े सामान्य भाजक की गणना करने के कई तरीके हैं $a$ और $b$. जब कोई अभाज्य गुणनखंडन को जानता है $a$ और $b$,
 * $$a = i^k\prod_m {p_m}^{\nu_m}, \quad b = i^n\prod_m {p_m}^{\mu_m},$$

जहां अभाज्य $p_{m}$ जोड़ीवार गैर संबद्ध हैं, और घातांक $μ_{m}$ गैर-संबद्ध, एक सबसे बड़ा सामान्य भाजक है
 * $$\prod_m {p_m}^{\lambda_m},$$

साथ
 * $$\lambda_m = \min(\nu_m, \mu_m).$$

दुर्भाग्य से, साधारण मामलों को छोड़कर, अभाज्य गुणनखंडन की गणना करना कठिन है, और यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म बहुत आसान (और तेज) गणना की ओर ले जाता है। इस विधिकलन में इनपुट को बदलना सम्मिलित है $(a, b)$ द्वारा $(b, r)$, कहाँ $r$ यूक्लिडियन विभाजन का शेष भाग है $a$ द्वारा $b$, और शून्य शेष प्राप्त होने तक इस ऑपरेशन को दोहराते हुए, यह एक जोड़ी है $(d, 0)$. यह प्रक्रिया समाप्त हो जाती है, क्योंकि, प्रत्येक चरण पर, दूसरे गाऊसी पूर्णांक का मान कम हो जाता है। परिणामस्वरूप $d$ सबसे बड़ा सामान्य भाजक है, क्योंकि (प्रत्येक चरण पर) $b$ और $r = a – bq$ के समान भाजक हैं $a$ और $b$, और इस प्रकार वही सबसे बड़ा सामान्य भाजक।

गणना की यह विधि हमेशा काम करती है, परंतु पूर्णांकों के लिए उतनी सरल नहीं है क्योंकि यूक्लिडियन विभाजन अधिक जटिल है। इसलिए, हस्तलिखित गणनाओं के लिए अक्सर तीसरी विधि को प्राथमिकता दी जाती है। इसमें यह टिप्पणी करना सम्मिलित है कि आदर्श $N(d)$ का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $a$ और $b$ का एक सामान्य भाजक है $N(a)$, $N(b)$, और $N(a + b)$. जब सबसे बड़ा सामान्य भाजक $D$इन तीन पूर्णांकों में से कुछ गुणनखंड हैं, तो सामान्य भाजक के लिए, सभी गाऊसी पूर्णांकों को मानक विभाजन के साथ परीक्षण करना आसान है $D$.

उदाहरण के लिए, यदि $a = 5 + 3i$, और $b = 2 – 8i$, किसी के पास $N(a) = 34$, $N(b) = 68$, और $N(a + b) = 74$. चूंकि तीन मानदंडों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 2 है, इसलिए सबसे बड़ा सामान्य भाजक 2 है $a$ और $b$ में मानक के रूप में 1 या 2 है। मानदण्ड 2 का गाऊसी पूर्णांक आवश्यक रूप से जुड़ा हुआ है $1 + i$, और के रूप में $1 + i$ बांटता है $a$ और $b$, तो सबसे बड़ा सामान्य भाजक है $1 + i$.

यदि $b$ को इसके संयुग्म द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $b = 2 + 8i$, तो तीन मानदंडों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 34 है, का मानदंड $a$, इस प्रकार कोई अनुमान लगा सकता है कि सबसे बड़ा सामान्य भाजक है $a$, वह है वह $a | b$. वास्तव में, एक के पास है $2 + 8i = (5 + 3i)(1 + i)$.

सर्वांगसमताएँ और अवशेष वर्ग
एक गाऊसी पूर्णांक दिया गया है $z_{0}$, मापांक कहा जाता है, दो गाऊसी पूर्णांक $z_{1},z_{2}$ मॉड्यूल के साथ संगत हैं $z_{0}$, यदि उनका अंतर एक से अधिक है $z_{0}$, अर्थात यदि कोई गॉसियन पूर्णांक मौजूद है $q$ ऐसा है कि $z_{1} − z_{2} = qz_{0}$. दूसरे शब्दों में, दो गॉसियन पूर्णांक सर्वांगसम मॉड्यूलो हैं $z_{0}$, यदि उनका अंतर उत्पन्न आदर्श (चक्र सिद्धांत) से संबंधित है $z_{0}$. इसे इस प्रकार दर्शाया गया है $z_{1} ≡ z_{2} (mod z_{0})$.

सर्वांगसमता मॉड्यूलो $z_{0}$ एक तुल्यता संबंध है (जिसे सर्वांगसम संबंध भी कहा जाता है), जो गॉसियन पूर्णांकों के एक सेट के विभाजन को तुल्यता वर्गों में परिभाषित करता है, जिसे यहां सर्वांगसमता वर्ग या अवशेष वर्ग कहा जाता है। अवशेष वर्गों का समुच्चय सामान्यतः निरूपित किया जाता है $Z[i]/z_{0}Z[i]$, या $Z[i]/⟨z_{0}⟩$, या केवल $Z[i]/z_{0}$.

गाऊसी पूर्णांक का अवशेष वर्ग $a$ सेट है
 * $$ \bar a := \left\{ z \in \mathbf{Z}[i] \mid z \equiv a \pmod{z_0} \right\}$$

सभी गाऊसी पूर्णांकों का जो सर्वांगसम हैं $a$. यह इस प्रकार है कि $\overline{a} = \overline{b}$ यदि और केवल यदि $a ≡ b (mod z_{0})$.

जोड़ और गुणा सर्वांगसमता के अनुकूल हैं। इस का मतलब है कि $a_{1} ≡ b_{1} (mod z_{0})$ और $a_{2} ≡ b_{2} (mod z_{0})$ मतलब $a_{1} + a_{2} ≡ b_{1} + b_{2} (mod z_{0})$ और $a_{1}a_{2} ≡ b_{1}b_{2} (mod z_{0})$. यह अवशेष वर्गों पर अच्छी तरह से परिभाषित ऑपरेशन (गणित) (जो प्रतिनिधियों की पसंद से स्वतंत्र है) को परिभाषित करता है:
 * $$\bar a + \bar b := \overline{a+b}\quad \text{and}\quad \bar a \cdot\bar b := \overline{ab}.$$

इन परिचालनों के साथ, अवशेष वर्ग एक क्रमविनिमेय वलय बनाते हैं, जो आदर्श द्वारा उत्पन्न गाऊसी पूर्णांकों का भागफल वलय है। $z_{0}$, जिसे परंपरागत रूप से अवशेष वर्ग चक्र मोडुलो भी कहा जाता है$z_{0}$ (अधिक जानकारी के लिए, कोटिएंट चक्र देखें)।

उदाहरण

 * मापांक के लिए बिल्कुल दो अवशेष वर्ग हैं $1 + i$, अर्थात् $\overline{0} = {0, ±2, ±4,…,±1 ± i, ±3 ± i,…}$ (के सभी गुणज $1 + i$), और $\overline{1} = {±1, ±3, ±5,…, ±i, ±2 ± i,…}$, जो जटिल तल में एक बिसात पैटर्न बनाते हैं। ये दो वर्ग इस प्रकार दो तत्वों के साथ एक वलय बनाते हैं, जो वास्तव में, एक क्षेत्र (गणित) है, दो तत्वों वाला अद्वितीय (एक समरूपता तक) क्षेत्र है, और इस प्रकार मॉड्यूलर अंकगणित के साथ पहचाना जा सकता है। इन दो वर्गों को पूर्णांकों के सम और विषम पूर्णांकों में विभाजन के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार कोई सम और विषम गाऊसी पूर्णांकों की बात कर सकता है (गॉस ने आगे सम गाऊसी पूर्णांकों को सम में विभाजित किया है, जो 2 से विभाज्य है, और अर्ध-सम)।
 * मापांक 2 के लिए चार अवशेष वर्ग हैं, अर्थात् $\overline{0}, \overline{1}, \overline{i}, \overline{1 + i}$. ये चार तत्वों से युक्त एक वलय बनाते हैं, जिसमें $x = –x$ हरएक के लिए $x$. इस प्रकार यह वलय पूर्णांक मॉड्यूलो 4 के वलय के साथ समरूपी नहीं है, चार तत्वों वाला एक अन्य वलय है। किसी के पास $\overline{1 + i}^{2} = \overline{0}$, और इस प्रकार यह वलय चार तत्वों वाला परिमित क्षेत्र नहीं है, न ही पूर्णांक मॉड्यूलो 2 की वलय की दो प्रतियों का प्रत्यक्ष उत्पाद है।
 * मापांक के लिए $2 + 2i = (i − 1)^{3}$ आठ अवशेष वर्ग हैं, अर्थात् $\overline{0}, \overline{±1}, \overline{±i}, \overline{1 ± i}, \overline{2}$, जिनमें से चार में केवल सम गाऊसी पूर्णांक हैं और चार में केवल विषम गाऊसी पूर्णांक हैं।

अवशेष वर्गों का वर्णन
वर्ग में उनके न्यूनतम अवशेषों (नीले बिंदु) के साथ सभी 13 अवशेष वर्ग Q00 मापांक के लिए } (हल्के हरे रंग की पृष्ठभूमि)। $z_{0} = 3 + 2i$. एक अवशेष वर्ग के साथ $z = 2 − 4i ≡ −i (mod z_{0})$ को पीले/नारंगी बिंदुओं से हाइलाइट किया गया है।]]एक मापांक दिया गया $z_{0}$, यूक्लिडियन विभाजन के लिए अवशेष वर्ग के सभी तत्वों का शेषफल समान होता है $z_{0}$, बशर्ते कि कोई अद्वितीय भागफल और शेषफल के साथ विभाजन का उपयोग करता है, जिसे #अनूठे शेषफल के रूप में वर्णित किया गया है। इस प्रकार अवशेष वर्गों की गणना करना संभावित अवशेषों की गणना करने के बराबर है। इसे ज्यामितीय रूप से निम्नलिखित तरीके से किया जा सकता है।

जटिल तल में, कोई एक वर्गाकार ग्रिड पर विचार कर सकता है, जिसके वर्ग दो रेखाओं द्वारा सीमांकित होते हैं
 * $$\begin{align}

V_s&=\left\{ \left. z_0\left(s-\tfrac12 +ix\right) \right\vert x\in \mathbf R\right\} \quad \text{and} \\ H_t&=\left\{ \left. z_0\left(x+i\left(t-\tfrac12\right)\right) \right\vert x\in \mathbf R\right\}, \end{align}$$ साथ $s$ और $t$ पूर्णांक (आकृति में नीली रेखाएँ)। ये समतल को अर्ध-खुले अंतराल|अर्ध-खुले वर्गों (जहाँ) में विभाजित करते हैं $m$ और $n$ पूर्णांक हैं)
 * $$Q_{mn}=\left\{(s+it)z_0 \left\vert s \in \left [m - \tfrac12, m + \tfrac12\right), t \in \left[n - \tfrac12, n + \tfrac12 \right)\right.\right\}.$$

अर्ध-खुले अंतराल जो की परिभाषा में होते हैं $Q_{mn}$ को इस क्रम में चुना गया है कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या बिल्कुल एक वर्ग से संबंधित हो; वह है, वर्ग $Q_{mn}$ जटिल तल का एक विभाजन (सेट सिद्धांत) बनाएं। किसी के पास
 * $$Q_{mn} = (m+in)z_0+Q_{00}=\left\{(m+in)z_0+z\mid z\in Q_{00}\right\}.$$

इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक गाऊसी पूर्णांक सर्वांगसम मॉड्यूलो है $z_{0}$ एक अद्वितीय गाऊसी पूर्णांक में $Q_{00}$ (आकृति में हरा वर्ग), जिससे विभाजन के लिए इसका शेषफल है $z_{0}$. दूसरे शब्दों में, प्रत्येक अवशेष वर्ग में बिल्कुल एक तत्व होता है $Q_{00}$.

गाऊसी पूर्णांक में $Q_{00}$ (या इसकी सीमा (टोपोलॉजी) में) को कभी-कभी न्यूनतम अवशेष कहा जाता है क्योंकि उनका मानदंड समान अवशेष वर्ग में किसी अन्य गॉसियन पूर्णांक के मानक से अधिक नहीं होता है (गॉस ने उन्हें बिल्कुल सबसे छोटा अवशेष कहा है)।

इससे ज्यामितीय विचारों से यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि गौसियन पूर्णांक मॉड्यूलो अवशेष वर्गों की संख्या $z_{0} = a + bi$ इसके मानक $N(z_{0}) = a^{2} + b^{2}$ के बराबर है। प्रमाण के लिए नीचे देखें; इसी तरह, पूर्णांकों के लिए, अवशेष वर्गों की संख्या मापांक $n$ इसका निरपेक्ष मान $|n|$ है।

$$

अवशेष वर्ग क्षेत्र
अवशेष वर्ग वलय मॉड्यूलो एक गाऊसी पूर्णांक $z_{0}$ एक क्षेत्र (गणित) है यदि और केवल यदि $$z_0$$ एक गाऊसी अभाज्य है.

यदि $z_{0}$ एक विघटित अभाज्य या विस्तृत अभाज्य है $1 + i$ (अर्थात्, यदि यह आदर्श है $N(z_{0})$ एक अभाज्य संख्या है, जो या तो 2 है या 1 मॉड्यूलो 4 के लिए एक अभाज्य सर्वांगसम है), तो अवशेष वर्ग क्षेत्र में तत्वों की एक अभाज्य संख्या होती है (अर्थात्, $N(z_{0})$). इस प्रकार यह पूर्णांक मॉड्यूलो के क्षेत्र $N(z_{0})$ के लिए समरूपी है।

यदि, दूसरी ओर, $z_{0}$ एक अक्रिय अभाज्य है (अर्थात्, $N(z_{0}) = p^{2}$ एक अभाज्य संख्या का वर्ग है, जो 3 मॉड्यूलो 4 के सर्वांगसम है), फिर अवशेष वर्ग क्षेत्र है $p^{2}$ तत्व, और यह प्रधान क्षेत्र के डिग्री 2 (अद्वितीय, एक समरूपता तक) का क्षेत्र विस्तार है $p$ तत्व (पूर्णांक मॉड्यूलो $p$) द्वारा संदर्भित किया जाता है।

प्राथमिक अवशेष वर्ग समूह और यूलर का टोटिएंट फलन
पूर्णांकों के मापांक के लिए कई प्रमेय और उनके प्रमाण को सीधे गॉसियन पूर्णांकों के मापांक में स्थानांतरित किया जा सकता है, यदि कोई मापांक के निरपेक्ष मान को मानक से बदल देता है। यह विशेष रूप से प्राथमिक अवशेष वर्ग समूह के लिए लागू होता है जिसे n पूर्णांकों मॉड्यूलो का गुणक समूह $n$ और यूलर का टोटिएंट फलन भी कहा जाता है। मापांक का प्राथमिक अवशेष वर्ग समूह $z$ को इसके अवशेष वर्गों के उपसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें सभी अवशेष वर्ग $\overline{a}$ अर्थात $z$ सम्मिलित हैं जो सहअभाज्य हैं।. यह प्रणाली एक गुणक समूह $(a,z) = 1$ का निर्माण करती है। इसके तत्वों की संख्या को $ϕ(z)$ (यूलर के टोटिएंट फलन के अनुरूप $φ(n)$पूर्णांकों के लिए $n$) द्वारा निरूपित किया जाएगा।

गाऊसी अभाज्य संख्याओं $ϕ(p) = |p|^{2} − 1$ के लिए यह तुरंत उसका अनुसरण करता है और यादृच्छिक समग्र गाऊसी पूर्णांकों के लिए
 * $$z = i^k\prod_m {p_m}^{\nu_m}$$

यूलर का उत्पाद सूत्र इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है
 * $$\phi(z) =\prod_{m\, (\nu_m > 0)} \bigl|{p_m}^{\nu_m}\bigr|^2 \left( 1 - \frac 1{|p_m|{}^2} \right) = |z|^2\prod_{p_m|z}\left( 1 - \frac 1{|p_m|{}^2} \right)$$

जहां उत्पाद को सभी प्रमुख विभाजकों पर निर्माण करना है $p_{m}$ का $z$ (साथ $ν_{m} > 0$). इसके अलावा महत्वपूर्ण यूलर प्रमेय को सीधे स्थानांतरित किया जा सकता है:
 * सभी $a$ के साथ $(a,z) = 1$ के लिए यह $a^{ϕ(z)} ≡ 1 (mod z)$ को समर्थित करता है।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
गॉसियन पूर्णांकों का वलय कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा चतुर्थक पारस्परिकता (1832) पर अपने दूसरे मोनोग्राफ में प्रस्तुत किया गया था। द्विघात पारस्परिकता का प्रमेय (जिसे वह पहली बार 1796 में सिद्ध करने में सफल हुए थे) सर्वांगसमता के समीकरण $x^{2} ≡ q (mod p)$ के समाधान को $x^{2} ≡ p (mod q)$ के समाधान से जोड़ता है।  इसी प्रकार, घन पारस्परिकता $x^{3} ≡ q (mod p)$ के समाधान को $x^{3} ≡ p (mod q)$ के समाधान से जोड़ता है और द्विघात (या चतुर्थक) पारस्परिकता $x^{4} ≡ q (mod p)$ तथा $x^{4} ≡ p (mod q)$ के बीच एक संबंध होता है। गॉस ने पाया कि द्विघात पारस्परिकता का नियम और इसके अनुपूरक सामान्य पूर्ण संख्याओं के बारे में कथनों की तुलना में संपूर्ण जटिल संख्याओं अर्थात गॉसियन पूर्णांकों के बारे में कथनों के रूप में अधिक आसानी से कहे और सिद्ध किए जाते हैं।

एक लेख में उन्होंने बताया कि ईसेनस्टीन पूर्णांक घन पारस्परिकता पर परिणाम बताने और साबित करने के लिए प्राकृतिक क्षेत्र हैं और इंगित करते हैं कि पूर्णांक के समान विस्तार उच्च पारस्परिकता कानूनों का अध्ययन करने के लिए उपयुक्त क्षेत्र हैं।

इस लेख ने न केवल गॉसियन पूर्णांकों को प्रस्तुत किया और साबित किया कि वे एक अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र हैं, इसने मानदंड, इकाई, प्राथमिक और सहयोगी शब्द भी प्रस्तुत किए, जो अब बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में मानक के रूप में स्वीकार किए जाते हैं।

अनसुलझी समस्याएं
अधिकांश अनसुलझी समस्याएं समतल में गाऊसी अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित हैं।


 * गॉस की वृत्त समस्या गॉसियन पूर्णांकों से संबंधित नहीं है, बल्कि मूल बिंदु पर केंद्रित किसी दिए गए त्रिज्या के वृत्त के अंदर जाली बिंदुओं की संख्या को संदर्भित करती है। यह किसी दिए गए मान से कम मानदंड वाले गॉसियन पूर्णांकों की संख्या निर्धारित करने के बराबर है।

गाऊसी अभाज्य संख्याओं के बारे में अनुमान और अनसुलझी समस्याएं भी हैं। उनमें से दो निम्नलिखित हैं:
 * वास्तविक और काल्पनिक अक्षों में गॉसियन अभाज्य संख्याओं 3, 7, 11, 19, ... और उनके सहयोगियों का अनंत समुच्चय होता है। क्या ऐसी कोई अन्य रेखाएँ हैं जिन पर अनंत रूप से कई गॉसियन अभाज्य हैं? विशेष रूप से, क्या प्रपत्र के अनंत रूप $1 + ki$ से कई गाऊसी अभाज्य हैं?
 * क्या गॉसियन अभाज्य संख्याओं को चरण के रूप में उपयोग करके और समान रूप से बंधी हुई लंबाई के चरण उठाते हुए अनंत तक चलना संभव है? इसे गाऊसी खाई समस्या के रूप में जाना जाता है; इसे 1962 में तुलसी गॉर्डन द्वारा प्रस्तुत किया गया था और यह अबतक अनसुलझा है।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय पूर्णांक
 * साइक्लोटोमिक क्षेत्र
 * आइसेनस्टीन पूर्णांक
 * आइज़ेंस्टीन प्राइम
 * हर्विट्ज़ क्वाटरनियन
 * दो वर्गों के योग पर फ़र्मेट के प्रमेय का प्रमाण
 * द्विघात पारस्परिकता का प्रमाण
 * द्विघात पूर्णांक
 * गैलोइस एक्सटेंशन में अभाज्य आदर्शों का विभाजन गॉसियन पूर्णांकों में अभाज्य आदर्शों की संरचना का वर्णन करता है
 * गाऊसी पूर्णांक गुणनखंडों की तालिका

संदर्भ

 * reprinted in Werke, Georg Olms Verlag, Hildesheim, 1973, pp. 93–148. A German translation of this paper is available online in ″H. Maser (ed.): Carl Friedrich Gauss’ Arithmetische Untersuchungen über höhere Arithmetik. Springer, Berlin 1889, pp. 534″.

बाहरी संबंध

 * IMO Compendium text on quadratic extensions and Gaussian Integers in problem solving
 * Keith Conrad, The Gaussian Integers.