मिज़ार प्रणाली

मिज़ार प्रणाली में गणितीय परिभाषाएँ और प्रमाण लिखने के लिए एक औपचारिक भाषा, एक प्रमाण सहायक, जो इस भाषा में लिखे गए प्रमाणों की स्वचालित जाँच करने में सक्षम है, और गणितीय औपचारिकता की एक लाइब्रेरी शामिल है, जिसका उपयोग नए प्रमेयों के प्रमाण में किया जा सकता है। इस प्रणाली का रखरखाव और विकास मिज़ार प्रोजेक्ट द्वारा किया जाता है, जो पहले इसके संस्थापक आंद्रेज ट्रायबुलेक के निर्देशन में था।

2009 में मिज़ार गणितीय पुस्तकालय अस्तित्व में सख्ती से औपचारिक गणित का सबसे बड़ा सुसंगत निकाय था।

इतिहास
मिज़ार प्रोजेक्ट की शुरुआत 1973 के आसपास आंद्रेज ट्रायबुलेक द्वारा गणितीय स्थानीय भाषा के पुनर्निर्माण के प्रयास के रूप में की गई थी ताकि इसे कंप्यूटर द्वारा जांचा जा सके। इसका वर्तमान लक्ष्य, मिज़ार प्रणाली के निरंतर विकास के अलावा, औपचारिक रूप से सत्यापित प्रमाणों की एक बड़ी लाइब्रेरी का सहयोगात्मक निर्माण है, जो आधुनिक गणित के अधिकांश मूल को कवर करता है। यह प्रभावशाली QED घोषणापत्र के अनुरूप है। वर्तमान में यह परियोजना बेलस्टॉक विश्वविद्यालय, पोलैंड, अलबर्टा विश्वविद्यालय, कनाडा और शिंशु विश्वविद्यालय, जापान के अनुसंधान समूहों द्वारा विकसित और रखरखाव की जाती है। जबकि मिज़ार प्रूफ चेकर मालिकाना बना रहता है, मिज़ार गणितीय पुस्तकालय-औपचारिक गणित का विशाल निकाय जिसे उसने सत्यापित किया- लाइसेंस प्राप्त ओपन-सोर्स है। मिज़ार प्रणाली से संबंधित पेपर नियमित रूप से गणितीय औपचारिकीकरण अकादमिक समुदाय की सहकर्मी-समीक्षा पत्रिकाओं में दिखाई देते हैं। इनमें लॉजिक, व्याकरण और रेटोरिक, इंटेलिजेंट कंप्यूटर गणित, इंटरएक्टिव प्रमेय सिद्ध करना, स्वचालित तर्क पत्रिका और औपचारिक तर्क का जर्नल में अध्ययन शामिल हैं।

मिज़ार भाषा
मिज़ार भाषा की विशिष्ट विशेषता इसकी पठनीयता है। जैसा कि गणितीय पाठ में आम है, यह शास्त्रीय तर्क और घोषणात्मक प्रोग्रामिंग पर निर्भर करता है। मिज़ार लेख सामान्य ASCII में लिखे जाते हैं, लेकिन भाषा को गणितीय स्थानीय भाषा के इतना करीब डिज़ाइन किया गया था कि अधिकांश गणितज्ञ विशेष प्रशिक्षण के बिना मिज़ार लेख पढ़ और समझ सकें। फिर भी, भाषा स्वचालित प्रूफ़ जाँच के लिए आवश्यक औपचारिकता के बढ़े हुए स्तर को सक्षम बनाती है।

किसी प्रमाण को स्वीकार करने के लिए, सभी चरणों को या तो प्राथमिक तार्किक तर्कों द्वारा या पहले से सत्यापित प्रमाणों का हवाला देकर उचित ठहराया जाना चाहिए। इसके परिणामस्वरूप गणितीय पाठ्यपुस्तकों और प्रकाशनों की तुलना में उच्च स्तर की कठोरता और विवरण प्राप्त होता है। इस प्रकार, एक विशिष्ट मिज़ार लेख सामान्य शैली में लिखे गए समकक्ष पेपर से लगभग चार गुना लंबा होता है। औपचारिकीकरण अपेक्षाकृत श्रमसाध्य है, लेकिन असंभव रूप से कठिन नहीं है। एक बार जब कोई व्यक्ति इस प्रणाली में पारंगत हो जाता है, तो पाठ्यपुस्तक पृष्ठ को औपचारिक रूप से सत्यापित करने में लगभग एक सप्ताह का पूर्णकालिक काम लगता है। इससे पता चलता है कि इसका लाभ अब संभाव्यता सिद्धांत और अर्थशास्त्र जैसे व्यावहारिक क्षेत्रों तक पहुंच में है।

मिज़ार गणितीय पुस्तकालय
मिज़ार गणितीय लाइब्रेरी (एमएमएल) में सभी प्रमेय शामिल हैं जिनका लेखक नए लिखे गए लेखों में उल्लेख कर सकते हैं। एक बार प्रूफ जांचकर्ता द्वारा अनुमोदित किए जाने के बाद उचित योगदान और शैली के लिए सहकर्मी-समीक्षा की प्रक्रिया में उनका आगे मूल्यांकन किया जाता है। यदि स्वीकार कर लिया जाता है तो उन्हें एसोसिएटेड जर्नल ऑफ फॉर्मलाइज्ड मैथमेटिक्स में प्रकाशित किया जाता है और एमएमएल में जोड़ा गया।

चौड़ाई
जुलाई 2012 तक, एमएमएल में 241 लेखकों द्वारा लिखे गए 1150 लेख शामिल थे। कुल मिलाकर, इनमें गणितीय वस्तुओं की 10,000 से अधिक औपचारिक परिभाषाएँ और इन वस्तुओं पर सिद्ध लगभग 52,000 प्रमेय शामिल हैं। 180 से अधिक नामित गणितीय तथ्य औपचारिक संहिताकरण से लाभान्वित हुए हैं। कुछ उदाहरण हैं हैन-बानाच प्रमेय, कोनिग की लेम्मा, ब्रौवर निश्चित बिंदु प्रमेय, गोडेल की पूर्णता प्रमेय और जॉर्डन वक्र प्रमेय।

कवरेज की इस व्यापकता ने कुछ लोगों को आगे बढ़ाया है कंप्यूटर सत्यापन योग्य रूप में सभी मुख्य गणित को एन्कोड करने के QED घोषणापत्र के प्रमुख अनुमानों में से एक के रूप में मिज़ार का सुझाव देना।

उपलब्धता
सभी एमएमएल लेख औपचारिक गणित जर्नल के पेपर के रूप में पीडीएफ फॉर्म में उपलब्ध हैं। एमएमएल का पूरा पाठ मिज़ार चेकर के साथ वितरित किया जाता है और इसे मिज़ार वेबसाइट से स्वतंत्र रूप से डाउनलोड किया जा सकता है। चल रहे एक हालिया प्रोजेक्ट में पुस्तकालय को प्रायोगिक सप्ताह रूप में भी उपलब्ध कराया गया था यह केवल तभी संपादनों को स्वीकार करता है जब उन्हें मिज़ार चेकर द्वारा अनुमोदित किया जाता है। एमएमएल क्वेरी वेबसाइट एमएमएल की सामग्री के लिए एक शक्तिशाली खोज इंजन लागू करता है। अन्य क्षमताओं के अलावा, यह किसी विशेष प्रकार या ऑपरेटर के बारे में सिद्ध किए गए सभी एमएमएल प्रमेयों को पुनः प्राप्त कर सकता है।

तार्किक संरचना
एमएमएल टार्स्की-ग्रोथेंडिक सेट सिद्धांत के सिद्धांतों पर बनाया गया है। सेट सिद्धांत में गणित के शब्दार्थ कार्यान्वयन के बावजूद, भाषा किसी को कमजोर टाइपिंग को परिभाषित करने और उपयोग करने की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, किसी सेट को नेट प्रकार का तभी घोषित किया जा सकता है जब उसकी आंतरिक संरचना आवश्यकताओं की एक विशेष सूची के अनुरूप हो। बदले में, यह सूची प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा के रूप में कार्य करती है और इस सूची के अनुरूप सभी सेटों के सेट को NAT के रूप में दर्शाया जाता है। प्रकारों का यह कार्यान्वयन अधिकांश गणितज्ञों द्वारा प्रतीकों के बारे में औपचारिक रूप से सोचने के तरीके को प्रतिबिंबित करना चाहता है और इसलिए संहिताकरण को सुव्यवस्थित करें।

मिज़ार प्रूफ चेकर
सभी प्रमुख ऑपरेटिंग सिस्टम के लिए मिज़ार प्रूफ़ चेकर के वितरण मिज़ार प्रोजेक्ट वेबसाइट पर डाउनलोड के लिए निःशुल्क उपलब्ध हैं। प्रूफ चेकर का उपयोग सभी गैर-व्यावसायिक उद्देश्यों के लिए निःशुल्क है। यह मुफ़्त पास्कल  में लिखा गया है और स्रोत कोड मिज़ार उपयोगकर्ताओं के संघ के सभी सदस्यों के लिए उपलब्ध है।

यह भी देखें

 * इसर (इसाबेल)
 * मेटामैथ