फ्लक्स

फ्लक्स किसी भी प्रभाव का वर्णन करता है जो किसी सतह या पदार्थ के माध्यम से पारित होता है या संचारण करता है (चाहे वह वास्तव में चलता है या नहीं)। फ्लक्स अनुप्रयुक्त गणित और सदिश कलन की एक अवधारणा है जिसमें भौतिकी के अनेक अनुप्रयोग हैं। अभिगम परिघटना के लिए, फ्लक्स एक सदिश मात्रा है, जो किसी पदार्थ या गुण धर्म के प्रवाह की परिमाण और दिशा का वर्णन करता है। सदिश कलन में फ्लक्स एक अदिश (भौतिकी) राशि है, जिसे किसी सतह पर सदिश क्षेत्र के लम्बवत् घटक के पृष्ठीय समाकलन के रूप में परिभाषित किया जाता है।

शब्दावली
फ्लक्स शब्द लैटिन से आया है: फ्लक्सस का अर्थ प्रवाह है, और फ्लूरे "प्रवाहित होना" है। फ्लक्सियन की विधि के रूप में, इस शब्द को आइजैक न्यूटन द्वारा अवकलन गणित (डिफरेंशियल कैलकुलस) में प्रस्तुत किया गया था।

ऊष्मा अंतरण परिघटना के विश्लेषण में ऊष्मा फ्लक्स की अवधारणा जोसेफ फूरियर का एक महत्वपूर्ण योगदान था। उनका बीजभूत ग्रंथ द एनालिटिकल थ्योरी ऑफ़ हीट, फ्लक्सियन को एक केंद्रीय मात्रा के रूप में और एक स्लैब में तापमान के अंतर के संदर्भ में फ्लक्स के वर्तमान प्रसिद्ध भावों को प्राप्त करने के लिए आगे बढ़ता है, और सामान्यतः अन्य ज्यामितीयों में तापमान प्रवणता या तापमान के अंतर के संदर्भ में परिभाषित करता है। जेम्स क्लर्क मैक्सवेल के काम के आधार पर कोई तर्क दे सकता है, कि विद्युत् चुंबकत्व में प्रयुक्त परिवहन परिभाषा फ्लक्स की परिभाषा से पूर्व में है। मैक्सवेल का विशिष्ट उद्धृत है: "फ्लक्स के स्थिति में, हमें सतह के प्रत्येक तत्व के माध्यम से फ्लक्स की सतह पर, समाकल लेना होगा। इस परिचालन के परिणाम को फ्लक्स का पृष्ठ समाकल कहा जाता है। यह उस मात्रा का प्रतिनिधित्व करता है जो सतह से पारित होती है।"

- जेम्स क्लर्क मैक्सवेल

परिवहन परिभाषा के अनुसार, फ्लक्स एकल सदिश हो सकता है, या यह सदिश क्षेत्र / स्थिति का कार्य हो सकता है। तत्पश्चात फ्लक्स सरलता से एक सतह पर एकीकृत किया जा सकता है। इसके विपरीत, विद्युत चुंबकत्व की परिभाषा के अनुसार, फ्लक्स एक सतह पर समाकल हैं; द्वितीय परिभाषा फ्लक्स को एकीकृत करना निरर्थक है क्योंकि यह एक सतह पर दो बार एकीकृत होगा। इस प्रकार, मैक्सवेल का उद्धरण केवल तभी उचित होगा जब परिवहन परिभाषा के अनुसार "फ्लक्स" का उपयोग किया जा रहा हो (और इसके अलावा एकल सदिश के बजाय सदिश क्षेत्र है)। यह विडंबना है क्योंकि  इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म की परिभाषा के अनुसार जिसे हम अब "विद्युत् फ्लक्स" और "चुंबकीय फ्लक्स" कहते हैं, मैक्सवेल के प्रमुख विकासक में से एक थे। उद्धरण (और परिवहन परिभाषा) के अनुसार उनके नाम "विद्युत फ्लक्स की सतह समाकल" और "चुंबकीय फ्लक्स की सतह समाकल" होंगे, जिस स्थिति में "विद्युत फ्लक्स" को "विद्युत क्षेत्र" और "चुंबकीय फ्लक्स" को " चुंबकीय क्षेत्र " के रूप में परिभाषित किया जाएगा। इसका अर्थ यह है कि मैक्सवेल ने अनुमान लगाया कि ये क्षेत्र किसी प्रकार का प्रवाह/फ्लक्स हैं।

इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म परिभाषा के अनुसार फ्लक्स को देखते हुए, संबंधित फ्लक्स घनत्व, यदि उस शब्द का उपयोग किया जाता है, तो समाकलित सतह के साथ इसके व्युत्पन्न को संदर्भित करता है। कलन के मौलिक प्रमेय के अनुसार, संबंधित फ्लक्स घनत्व परिवहन परिभाषा के अनुसार एक फ्लक्स है। विद्युत प्रवाह जैसे विद्युत को देखते हुए - आवेश प्रति समय, विद्युत घनत्व भी परिवहन परिभाषा के अनुसार एक फ्लक्स होगा -आवेश प्रति समय प्रति क्षेत्र। फ्लक्स की परस्पर विरोधी परिभाषाओं और ,फ्लक्स, प्रवाह और विद्युत की विनिमेयता के कारण गैर-तकनीकी अंग्रेजी में, इस अनुच्छेद में प्रयुक्त सभी शब्द कभी-कभी परस्पर विनिमय और अस्पष्ट रूप से उपयोग किए जाते हैं। इस लेख के शेष अंशों में निश्चित फ्लक्स का उपयोग साहित्य में उनकी व्यापक स्वीकृति के अनुसार किया जाएगा, फ्लक्स की परिभाषा के उपेक्षा जिससे शब्द तदनुरूपी हो।

प्रति इकाई क्षेत्र प्रवाह दर के रूप में फ्लक्स
परिवहन परिघटना( ऊष्मा अंतरण, द्रव्यमान अंतरण और तरलगतिकी) में, फ्लक्स को प्रति इकाई क्षेत्र में गुणधर्म के प्रवाह की दर के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसका आयाम [मात्रा]·[समय]−1·[क्षेत्र]-1 होता है।. क्षेत्र सतह का है जहां गुणधर्म "के माध्यम से" या "पार" प्रवाहित होती है। उदाहरण के लिए, पानी की वह मात्रा जो प्रति सेकंड किसी नदी के एक अनुप्रस्थ काट से होकर प्रवाहित होती है, को उस अनुप्रस्थ काट के क्षेत्र से विभाजित किया जाता है, या सूर्य के प्रकाश की ऊर्जा की वह मात्रा जो प्रति सेकंड स्थल खंड पर आती है, जिसे स्थल खंड के क्षेत्र से विभाजित किया जाता है, फ्लक्स के प्रकार हैं।

सामान्य गणितीय परिभाषा (परिवहन)
जटिलता के बढ़ते क्रम में यहां 3 परिभाषाएं दी गई हैं। प्रत्येक निम्नलिखित का एक विशेष मामला है। सभी स्थितियों में निरंतर प्रतीक j, (या J) प्रवाह के लिए उपयोग किया जाता है, भौतिक मात्रा के लिए q प्रवाहित होता है, समय के लिए टी, और क्षेत्र के लिए ए। ये परिज्ञापक मोटे अक्षरों में केवल तभी लिखे जाएंगे जब वे सदिश हों।

सर्वप्रथम, (एकल) अदिश के रूप में फ्लक्स: $$j = \frac{I}{A},$$ जहां $$I = \lim_{\Delta t \to 0}\frac{\Delta q}{\Delta t} = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}.$$ इस स्थिति में जिस सतह पर फ्लक्स को मापा जा रहा है वह स्थिर है और उसका क्षेत्रफल A है। सतह को समतल माना जाता है, और प्रवाह को सर्वत्र स्थिति और सतह के लंबवत के सन्दर्भ में स्थिर माना जाता है।

द्वितीय, एक सतह के साथ परिभाषित एक अदिश क्षेत्र के रूप में फ्लक्स, अर्थात सतह पर बिंदुओं का कलन: $$j(\mathbf{p}) = \frac{\partial I}{\partial A}(\mathbf{p}),$$ $$I(A,\mathbf{p}) = \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}(A, \mathbf{p}).$$ पूर्ववत, सतह को समतल माना जाता है, और प्रवाह को सर्वत्र लंबवत माना जाता है। यद्यपि प्रवाह को स्थिर नहीं होना चाहिए। q अब 'p ' का एक कलन है, जो सतह पर एक बिंदु है, और A एक क्षेत्र है। सतह के माध्यम से कुल प्रवाह को मापने के स्थान पर, q सतह के साथ p पर केंद्रित क्षेत्र A के साथ डिस्क के माध्यम से प्रवाह को मापता है।

अंत में, सदिश क्षेत्र के रूप में फ्लक्स : $$\mathbf{j}(\mathbf{p}) = \frac{\partial \mathbf{I}}{\partial A}(\mathbf{p}),$$ $$\mathbf{I}(A,\mathbf{p}) = \underset{\mathbf{\hat{n}}}{\operatorname{arg\,max}} \mathbf{\hat{n}}_{\mathbf p} \frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t}(A,\mathbf{p}, \mathbf{\hat{n}}).$$ इस स्थिति में, कोई निश्चित सतह नहीं है जिसे हम माप रहे हैं। q एक बिंदु, एक क्षेत्र और एक दिशा का एक कलन है (मात्रक सदिश $$\mathbf{\hat{n}}$$ द्वारा दिया गया),और उस मात्रक सदिश के लंबवत क्षेत्र A की डिस्क के माध्यम से प्रवाह को मापता है। I को मात्रक सदिश चुनने के लिए परिभाषित किया गया है जो बिंदु के ओर प्रवाह को अधिकतम करता है, क्योंकि वास्तविक प्रवाह उस डिस्क पर अधिकतम होता है जो इसके लंबवत है। मात्रक सदिश इस प्रकार विशिष्ट रूप से कलन को अधिकतम करता है जब यह प्रवाह की "सही दिशा" में इंगित करता है। (यथार्थ रूप से, यह अंकन का दुरुपयोग है क्योंकि "आर्ग मैक्स" सीधे सदिश की तुलना नहीं कर सकता है; हम सदिश को इसके स्थान पर सबसे बड़े मानदंड के साथ लेते हैं।)

गुणधर्म
ये प्रत्यक्ष परिभाषाएँ, विशेष रूप से अंतिम, दुष्कर हैं। उदाहरण के लिए, आर्ग मैक्स संरचना अनुभवजन्य माप के दृष्टिकोण से कृत्रिम है, जब एक वात दिग्दर्शक या इसी तरह के एक के साथ एक बिंदु पर फ्लक्स की दिशा को सरलता से कम कर सकते हैं। सदिश फ्लक्स को सीधे परिभाषित करने के स्थान पर, इसके विषय में कुछ गुणों को बताना प्रायः अधिक सहज होता है। इसके अतिरिक्त, इन गुणों से फ्लक्स को विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है।

यदि फ्लक्स j क्षेत्र से सामान्य क्षेत्र $$\mathbf{\hat{n}}$$ से θ कोण से होकर जाता है, तो बिंदु गुणनफल $$\mathbf{j} \cdot \mathbf{\hat{n}} = j\cos\theta.$$ अर्थात्, सतह से होकर जाने वाले फ्लक्स का घटक (अर्थात इसके समान) j cos θ, जबकि क्षेत्र में स्पर्शरेखा से पारित होने वाले फ्लक्स का घटक j sin θ है किन्तु वास्तव में स्पर्शरेखा के दिशा में क्षेत्र से होकर जाने वाला कोई फ्लक्स नहीं है। क्षेत्र के सामान्य होकर जाने वाला फ्लक्स का एकमात्र घटक कोसाइन घटक है।

सदिश फ्लक्स के लिए, सतह (गणित) S पर 'j' का सतह समाकल, सतह के माध्यम से समय की प्रति इकाई उचित प्रवाह देता है: $$\frac{\mathrm{d}q}{\mathrm{d}t} = \iint_S \mathbf{j} \cdot \mathbf{\hat{n}}\, dA = \iint_S \mathbf{j} \cdot d\mathbf{A},$$ जहाँ A (और इसका अतिसूक्ष्म) सदिश क्षेत्र है – संयोजन $$\mathbf{A} = A \mathbf{\hat{n}}$$ क्षेत्र A के परिमाण जिसके माध्यम से गुणधर्म पारित होती है और मात्रक सदिश $$\mathbf{\hat{n}}$$ क्षेत्र के लिए सामान्य..समीकरणों के दूसरे समुच्चय के विपरीत, यहाँ सतह समतल होने की आवश्यकता नहीं है।

अंत में, हम समय अवधि t1 से t2 तक पुनः समाकलित कर सकते हैं, उसी समय (t2 − t1) में सतह के माध्यम से प्रवाहित गुणधर्म की कुल राशि प्राप्त कर सकते हैं : $$q = \int_{t_1}^{t_2}\iint_S \mathbf{j}\cdot d\mathbf A\, dt.$$

परिवहन फ्लक्स
परिवहन परिघटना साहित्य से फ्लक्स के सबसे सामान्य रूपों में से आठ को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:


 * 1) संवेग फ्लक्स, एक इकाई क्षेत्र (N·s·m−2·s−1) में संवेग के स्थानांतरण की दर। (न्यूटन के श्यानता का नियम)
 * 2) ऊष्मा फ्लक्स, एक इकाई क्षेत्र (J·m−2·s−1) में ऊष्मा प्रवाह की दर। (फूरियर के चालन का नियम) (ऊष्मा फ्लक्स की यह परिभाषा मैक्सवेल की मूल परिभाषा में उचित है।)
 * 3) विसरण फ्लक्स, एक इकाई क्षेत्र (mol·m−2·s−1) में अणुओं की गति की दर। ( फिक के विसरण का नियम)
 * 4) आयतनमितीय फ्लक्स, एक इकाई क्षेत्र (m3·m−2·s−1) में आयतन प्रवाह की दर। (डार्सी के भूजल प्रवाह का नियम)
 * 5) द्रव्यमान फ्लक्स, एक इकाई क्षेत्र (kg·m−2·s−1) में द्रव्यमान प्रवाह की दर। (या तो फ़िक के नियम का एक वैकल्पिक रूप जिसमें आणविक द्रव्यमान सम्मिलित है, या डार्सी के नियम का एक वैकल्पिक रूप जिसमें घनत्व सम्मिलित है।)
 * 6) विकिरण प्रवाह, प्रति इकाई क्षेत्र प्रति सेकंड (J·m−2·s−1) स्रोत से एक निश्चित दूरी पर फोटॉन के रूप में स्थानांतरित ऊर्जा की मात्रा। किसी तारे के परिमाण (खगोल विज्ञान) और वर्णक्रमीय वर्ग को निर्धारित करने के लिए खगोल विज्ञान में उपयोग किया जाता है। ऊष्मा फ्लक्स के सामान्यीकरण के रूप में भी कार्य करता है, जो विद्युत चुम्बकीय वर्णक्रम तक सीमित होने पर विकिरण फ्लक्स के समान होता है।
 * 7) ऊर्जा प्रवाह, एक इकाई क्षेत्र (J·m−2·s−1) के माध्यम से ऊर्जा के हस्तांतरण की दर। विकिरण फ्लक्स और ऊष्मा फ्लक्स ऊर्जा फ्लक्स के विशिष्ट स्थितियां हैं।
 * 8) कण प्रवाह, एक इकाई क्षेत्र ([कणों की संख्या] m−2·s−1) के माध्यम से कणों के हस्तांतरण की दर।

ये फ्लक्स समष्टि में प्रत्येक बिंदु पर सदिश हैं जिसके निश्चित परिमाण और दिशा है। इसके अतिरिक्त, समष्टि में निर्धारित बिंदु के समीप नियंत्रित आयतन में मात्रा की संचय दर निर्धारित करने के लिए इनमें से किसी भी फ्लक्स का विचलन हो सकता है। असम्पीडित प्रवाह के लिए, आयतन फ्लक्स का विचलन शून्य है।

रासायनिक प्रसार
उपरोक्त जैसे, एक समतापी, समदाब प्रणाली में एक घटक A के रासायनिक ग्राम अणुक फ्लक्स को फिक के प्रसार के नियम में परिभाषित किया गया है : $$\mathbf{J}_A = -D_{AB} \nabla c_A$$ जहां नाबला प्रतीक ∇ प्रवणता संकारक DAB को दर्शाता है, घटक A का प्रसार गुणांक (m2·s−1) है जो घटक B माध्यम से प्रसारित होता है, cA घटक A की सांद्रता है।

इस फ्लक्स में mol·m−2·s−1 की इकाइयाँ हैं, और मैक्सवेल की फ्लक्स की मूल परिभाषा में सटीक बैठता है।

तनु गैसों के लिए, गतिज आणविक सिद्धांत प्रसार गुणांक D को कण घनत्व n = N/V, आणविक द्रव्यमान m, संघट्ट परिक्षेत्र (भौतिकी) $$\sigma$$ से संबंधित करता है और पूर्ण तापमान T द्वारा $$D = \frac{2}{3 n\sigma}\sqrt{\frac{kT}{\pi m}}$$ जहां द्वितीय कारक माध्य मुक्त पथ है और वर्गमूल (बोल्ट्जमैन स्थिरांक k के साथ) कणों का माध्य वेग है।

विक्षुब्ध प्रवाह में, भँवर गति द्वारा परिवहन को व्यापक रूप से बढ़े हुए प्रसार गुणांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

क्वांटम यांत्रिकी
क्वांटम यांत्रिकी में, द्रव्यमान m के कणों की कितना राज्य ψ('r', t) में संभाव्यता आयाम के रूप में परिभाषित किया गया है $$\rho = \psi^* \psi = |\psi|^2. $$ तो एक अंतर आयतन तत्व d में एक कण को ​​​​खोजने की संभावना3आर है $$ dP = |\psi|^2 \, d^3\mathbf{r}. $$ फिर एक क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) के इकाई क्षेत्र के माध्यम से लंबवत रूप से गुजरने वाले कणों की संख्या | क्रॉस-सेक्शन प्रति यूनिट समय प्रायिकता प्रवाह है; $$\mathbf{J} = \frac{i \hbar}{2m} \left(\psi \nabla \psi^* - \psi^* \nabla \psi \right). $$ इसे कभी-कभी संभाव्यता वर्तमान या वर्तमान घनत्व के रूप में संदर्भित किया जाता है, या संभाव्यता प्रवाह घनत्व।

प्रवाह एक सतह अभिन्न
के रूप में

सामान्य गणितीय परिभाषा (सतह अभिन्न)
एक गणितीय अवधारणा के रूप में, फ्लक्स को सदिश क्षेत्रों के सतह समाकल#भूतल समाकलन द्वारा दर्शाया जाता है,
 * $$\Phi_F=\iint_A\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}$$
 * $$\Phi_F=\iint_A\mathbf{F}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}A$$

जहाँ F एक सदिश क्षेत्र है, और dA, सतह 'A'' का सदिश क्षेत्र है, जिसे सामान्य (ज्यामिति) के रूप में निर्देशित किया जाता है। दूसरे के लिए, n सतह के लिए बाहरी नुकीली इकाई सामान्य वेक्टर है।

सतह को उन्मुख होना चाहिए, यानी दो पक्षों को अलग किया जा सकता है: सतह स्वयं पर वापस नहीं आती है। इसके अलावा, सतह को वास्तव में उन्मुख होना चाहिए, यानी हम प्रवाह के रूप में एक सम्मेलन का उपयोग करते हैं, जिस तरह से सकारात्मक गिना जाता है; पीछे की ओर बहना तब ऋणात्मक गिना जाता है।

सतह सामान्य आमतौर पर दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्देशित होती है।

इसके विपरीत, फ्लक्स को अधिक मौलिक मात्रा माना जा सकता है और वेक्टर क्षेत्र को फ्लक्स घनत्व कहा जा सकता है।

अक्सर एक सदिश क्षेत्र प्रवाह के बाद वक्रों (क्षेत्र रेखाओं) द्वारा खींचा जाता है; सदिश क्षेत्र का परिमाण तब रेखा घनत्व है, और सतह के माध्यम से प्रवाह रेखाओं की संख्या है। रेखाएँ सकारात्मक विचलन (स्रोतों) के क्षेत्रों से उत्पन्न होती हैं और नकारात्मक विचलन (सिंक) के क्षेत्रों पर समाप्त होती हैं।

छवि को दाईं ओर भी देखें: एक इकाई क्षेत्र से गुजरने वाले लाल तीरों की संख्या फ्लक्स घनत्व है, लाल तीरों को घेरने वाला वक्र सतह की सीमा को दर्शाता है, और सतह के संबंध में तीरों का उन्मुखीकरण संकेत को दर्शाता है सतह के सामान्य के साथ वेक्टर क्षेत्र का आंतरिक उत्पाद।

यदि सतह एक 3D क्षेत्र को घेरती है, तो आमतौर पर सतह इस तरह उन्मुख होती है कि प्रवाह को सकारात्मक गिना जाता है; विपरीत बहिर्वाह है।

विचलन प्रमेय बताता है कि एक बंद सतह के माध्यम से शुद्ध बहिर्वाह, दूसरे शब्दों में एक 3डी क्षेत्र से शुद्ध बहिर्वाह, क्षेत्र में प्रत्येक बिंदु से स्थानीय शुद्ध बहिर्वाह को जोड़कर पाया जाता है (जो विचलन द्वारा व्यक्त किया जाता है)।

यदि सतह बंद नहीं है, तो इसकी सीमा के रूप में एक उन्मुख वक्र है। स्टोक्स के प्रमेय में कहा गया है कि सदिश क्षेत्र के कर्ल (गणित) का प्रवाह इस सीमा पर सदिश क्षेत्र का अभिन्न अंग है। इस पथ अभिन्न को परिसंचरण (द्रव गतिकी) भी कहा जाता है, विशेष रूप से द्रव गतिकी में। इस प्रकार कर्ल संचलन घनत्व है।

हम फ्लक्स और इन प्रमेयों को कई विषयों में लागू कर सकते हैं जिनमें हम धाराओं, बलों आदि को क्षेत्रों के माध्यम से लागू होते हुए देखते हैं।

विद्युत प्रवाह
एक विद्युत आवेश, जैसे कि अंतरिक्ष में एक एकल प्रोटॉन, का परिमाण कूलम्ब में परिभाषित होता है। इस तरह के आवेश के चारों ओर एक विद्युत क्षेत्र होता है। सचित्र रूप में, एक धनात्मक बिंदु आवेश से विद्युत क्षेत्र को एक बिंदु विकीर्ण क्षेत्र रेखा (कभी-कभी बल की रेखाएँ भी कहा जाता है) के रूप में देखा जा सकता है। वैचारिक रूप से, विद्युत प्रवाह को किसी दिए गए क्षेत्र से गुजरने वाली क्षेत्र रेखाओं की संख्या के रूप में सोचा जा सकता है। गणितीय रूप से, विद्युत प्रवाह किसी दिए गए क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र के सामान्य (ज्यामिति) घटक का अभिन्न अंग है। इसलिए, विद्युत प्रवाह की इकाइयाँ, इकाइयों की MKS प्रणाली में, न्यूटन (इकाई) प्रति कूलम्ब (इकाई) गुणा मीटर वर्ग, या N m हैं2/सी. (विद्युत प्रवाह घनत्व प्रति इकाई क्षेत्र में विद्युत प्रवाह है, और एकीकरण के क्षेत्र में औसत विद्युत क्षेत्र के सामान्य (ज्यामिति) घटक की ताकत का एक उपाय है। इसकी इकाइयाँ N / C हैं, जो विद्युत क्षेत्र के समान हैं। एमकेएस इकाइयां।)

विद्युत प्रवाह के दो रूपों का उपयोग किया जाता है, एक ई-फ़ील्ड के लिए:

और एक डी-फ़ील्ड के लिए (जिसे विद्युत विस्थापन कहा जाता है):



गॉस के नियम में यह मात्रा उत्पन्न होती है - जो बताती है कि एक बंद सतह से विद्युत क्षेत्र E का प्रवाह विद्युत आवेश 'Q' के समानुपाती होता हैAसतह में संलग्न (उस चार्ज को कैसे वितरित किया जाता है) से स्वतंत्र, अभिन्न रूप है:



जहां ई0 मुक्त स्थान की पारगम्यता है।

यदि कोई आवेश के क्षेत्र में एक बिंदु आवेश के पास एक ट्यूब के लिए विद्युत क्षेत्र वेक्टर, E के प्रवाह पर विचार करता है, लेकिन इसे क्षेत्र के स्पर्शरेखा द्वारा गठित पक्षों के साथ नहीं रखता है, तो पक्षों के लिए प्रवाह शून्य है और वहाँ है ट्यूब के दोनों सिरों पर एक समान और विपरीत प्रवाह। यह एक व्युत्क्रम वर्ग क्षेत्र पर लागू गॉस के नियम का परिणाम है। ट्यूब के किसी भी क्रॉस-अनुभागीय सतह के लिए प्रवाह समान होगा। आवेश q के चारों ओर किसी भी सतह के लिए कुल प्रवाह q/ε है0. मुक्त स्थान में विद्युत विस्थापन संवैधानिक संबंध D = ε द्वारा दिया जाता है0 ई, इसलिए किसी भी बाउंडिंग सतह के लिए डी-फील्ड फ्लक्स चार्ज 'क्यू' के बराबर होता हैAइसके अंदर। यहाँ अभिव्यक्ति का प्रवाह एक गणितीय ऑपरेशन को इंगित करता है और, जैसा कि देखा जा सकता है, परिणाम आवश्यक रूप से प्रवाह नहीं है, क्योंकि वास्तव में कुछ भी विद्युत क्षेत्र रेखाओं के साथ नहीं बहता है।

चुंबकीय प्रवाह
इकाई Wb/m वाले चुंबकीय प्रवाह घनत्व (चुंबकीय क्षेत्र)।2 (टेस्ला (यूनिट)) को B द्वारा दर्शाया जाता है, और चुंबकीय प्रवाह को समान रूप से परिभाषित किया जाता है: :$$\Phi_B=\iint_A\mathbf{B}\cdot\mathrm{d}\mathbf{A}$$ ऊपर एक ही अंकन के साथ। फैराडे के प्रेरण के कानून में मात्रा उत्पन्न होती है, जहां चुंबकीय प्रवाह समय-निर्भर होता है क्योंकि या तो सीमा समय-निर्भर होती है या चुंबकीय क्षेत्र समय-निर्भर होता है। अभिन्न रूप में:


 * $$- \frac{{\rm d} \Phi_B}{ {\rm d} t} =

\oint_{\partial A} \mathbf{E} \cdot d \boldsymbol{\ell}$$ जहां घ'$\ell$ बंद वक्र का एक अतिसूक्ष्म सदिश रेखा तत्व है $$\partial A$$, परिमाण (वेक्टर) के साथ अनंत रेखा तत्व की लंबाई के बराबर, और वक्र को स्पर्शरेखा द्वारा दी गई दिशा (ज्यामिति) $$\partial A$$, एकीकरण दिशा द्वारा निर्धारित चिह्न के साथ।

तार के एक लूप के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह के परिवर्तन की समय-दर उस तार में निर्मित वैद्युतवाहक बल से कम होती है। दिशा ऐसी है कि यदि धारा को तार से गुजरने दिया जाए, तो विद्युत वाहक बल एक ऐसी धारा उत्पन्न करेगा जो परिवर्तन के विपरीत चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करके स्वयं चुंबकीय क्षेत्र में परिवर्तन का विरोध करती है। यह प्रारंभ करनेवाला ्स और कई बिजली पैदा करने वाला का आधार है।

पॉइंटिंग फ्लक्स
इस परिभाषा का उपयोग करते हुए, एक निर्दिष्ट सतह पर पॉयंटिंग वेक्टर एस का प्रवाह वह दर है जिस पर विद्युत चुम्बकीय ऊर्जा उस सतह से प्रवाहित होती है, जिसे पहले परिभाषित किया गया है:



एक सतह के माध्यम से पॉयंटिंग वेक्टर का प्रवाह विद्युत चुम्बकीय शक्ति (भौतिकी), या ऊर्जा प्रति यूनिट समय है, जो उस सतह से गुजरती है। यह आमतौर पर विद्युत चुम्बकीय विकिरण के विश्लेषण में प्रयोग किया जाता है, लेकिन अन्य विद्युत चुम्बकीय प्रणालियों के लिए भी इसका उपयोग होता है।

भ्रामक रूप से, पॉयंटिंग वेक्टर को कभी-कभी पावर फ्लक्स कहा जाता है, जो ऊपर दिए गए फ्लक्स के पहले उपयोग का एक उदाहरण है। इसमें वाट प्रति वर्ग मीटर (W/m2).

यह भी देखें

 * एबी परिमाण
 * विस्फोटक पंप प्रवाह संपीड़न जनरेटर
 * एड़ी सहप्रसरण प्रवाह (उर्फ, एड़ी सहसंबंध, एड़ी प्रवाह)
 * फास्ट फ्लक्स टेस्ट सुविधा
 * फ्लुएंस (कण बीम के लिए पहली तरह का प्रवाह)
 * द्रव गतिविज्ञान
 * फ्लक्स पदचिह्न
 * फ्लक्स पिनिंग
 * प्रवाह परिमाणीकरण
 * गॉस का नियम
 * व्युत्क्रम वर्ग नियम
 * जांस्की (वर्णक्रमीय प्रवाह घनत्व की गैर एसआई इकाई)
 * अव्यक्त ताप प्रवाह
 * चमकदार प्रवाह
 * चुंबकीय प्रवाह
 * चुंबकीय प्रवाह क्वांटम
 * न्यूट्रॉन प्रवाह
 * पोयंटिंग फ्लक्स
 * पोयंटिंग प्रमेय
 * दीप्तिमान प्रवाह
 * रैपिड सिंगल फ्लक्स क्वांटम
 * ध्वनि ऊर्जा प्रवाह
 * मात्रात्मक प्रवाह दरतरल पदार्थ के लिए पहली तरह का फ्लक्स)
 * अनुमापी प्रवाह दर (तरल पदार्थ के लिए दूसरे प्रकार का प्रवाह)