सिलेंडर

बेलन परंपरागत रूप से एक त्रिविमीय ठोस वस्तु रही है, जो वक्रीय ज्यामितीय आकृतियों के सबसे बुनियादी वस्तुओं में से एक है। ज्यामितीय रूप से, इसे एक वृत्त के आधार स्वरूप एक प्रिज्म के रूप में देखा जा सकता है।

यह पारंपरिक दृष्टिकोण है। जो अभी भी ज्यामिति के प्राथमिक उपचारों में उपयोग किया जाता है, लेकिन उन्नत गणितीय दृष्टिकोण से अनंत वक्रतापूर्ण सतह पर स्थानांतरित हो गया है और इस तरह एक बेलन अब ज्यामिति और सांस्थिति की विभिन्न आधुनिक शाखाओं को परिभाषित करता है।

मूल अर्थ (ठोस बनाम सतह) में बदलाव ने शब्दावली के साथ कुछ अस्पष्टता पैदा की है। आमतौर पर यह आशा की जाती है कि संदर्भ अर्थ को स्पष्ट करता है। परन्तु दोनों दृष्टिकोणों को आम तौर पर ठोस बेलन और बेलनाकार सतहों के संदर्भ में प्रस्तुत और प्रतिष्ठित किया जाता है, लेकिन साहित्य में अलंकृत शब्द बेलन। इनमें से किसी एक या इससे भी अधिक विशिष्ट वस्तु, सही गोलाकार बेलन का उल्लेख कर सकता है।

प्रकार
इस खंड में परिभाषाएँ और परिणाम जॉर्ज वेंटवर्थ और डेविड यूजीन स्मिथ द्वारा 1913 के पाठ प्लेन और सॉलिड ज्योमेट्री से लिए गए हैं।.

एएक सतह है जिसमें सभी रेखाओं के सभी बिंदु होते हैं जो एक दी गई रेखा के समानांतर होते हैं और जो एक निश्चित विमान वक्र से होकर गुजरते हैं जो दी गई रेखा के समानांतर नहीं होते हैं। समानांतर रेखाओं के इस परिवार की कोई भी रेखा बेलनाकार सतह का एक तत्व कहलाती है। किनेमेटिक्स के दृष्टिकोण से, एक समतल वक्र दिया जाता है, जिसे डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है, एक बेलनाकार सतह वह सतह होती है जिसे एक रेखा द्वारा ट्रेस किया जाता है, जिसे जेनेट्रिक्स कहा जाता है, न कि डायरेक्ट्रिक्स के प्लेन में, खुद के समानांतर चलती है और हमेशा डायरेक्ट्रीक्स से गुजरती है. जेनरेट्रिक्स की कोई विशेष स्थिति बेलनाकार सतह का एक तत्व है। एक बेलनाकार सतह और दो समानांतर विमानों से घिरा एक ठोस (ठोस) कहलाता है. दो समांतर तलों के बीच बेलनाकार सतह के एक तत्व द्वारा निर्धारित रेखा खंडों को बेलन का एक तत्व कहा जाता है। एक बेलन के सभी तत्वों की लंबाई समान होती है। किसी भी समानांतर तल में बेलनाकार सतह से घिरा क्षेत्र कहलाता है की। एक बेलन के दो आधार सर्वांगसम आकृतियाँ हैं। यदि बेलन के अवयव आधारों वाले तलों के लंबवत हैं, तो बेलन a. है, अन्यथा इसे an. कहा जाता है. यदि आधार डिस्क हैं (ऐसे क्षेत्र जिनकी सीमा एक वृत्त है) सिलेंडर को a. कहा जाता है. कुछ प्राथमिक उपचारों में, एक सिलेंडर का मतलब हमेशा एक गोलाकार सिलेंडर होता है।

एक बेलन की (या ऊँचाई) उसके आधारों के बीच की लम्बवत दूरी है।

एक रेखाखंड को एक निश्चित रेखा के परितः घुमाकर प्राप्त किया गया बेलन जिसके समांतर है वह है a. क्रांति का एक बेलन एक सही गोलाकार सिलेंडर है। क्रांति के बेलन की ऊंचाई जनक रेखा खंड की लंबाई है। वह रेखा जिसके बारे में खंड घूमता है उसे कहा जाता हैसिलेंडर का और यह दो आधारों के केंद्रों से होकर गुजरता है। त्रिज्या के साथ गोलाकार बेलन $r$ और ऊंचाई $h$

दायां गोलाकार बेलन
बेयर टर्म बेलन अक्सर एक ठोस बेलन को संदर्भित करता है जिसमें वृत्ताकार छोर धुरी के लंबवत होते हैं, जो कि एक सही गोलाकार सिलेंडर होता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। सिरों के बिना बेलनाकार सतह को an. कहा जाता है. सतह क्षेत्र के सूत्र और एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आयतन को प्राचीन काल से जाना जाता है।

एक लम्ब वृत्तीय बेलन को एक आयत को उसकी एक भुजा के चारों ओर घुमाने से उत्पन्न परिक्रमण का ठोस भी माना जा सकता है। इन बेलन का उपयोग एकीकरण तकनीक (डिस्क विधि) में क्रांति के ठोस की मात्रा प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

बेलनाकार खंड
एक बेलनाकार खंड एक विमान के साथ एक बेलन की सतह का प्रतिच्छेदन है। वे सामान्य रूप से वक्र होते हैं और विशेष प्रकार के समतल खंड होते हैं। एक समतल द्वारा बेलनाकार खंड जिसमें एक बेलन के दो तत्व होते हैं, एक समांतर चतुर्भुज होता है। एक दाहिने बेलन का ऐसा बेलनाकार खंड एक आयत है।

एक बेलनाकार खंड जिसमें प्रतिच्छेदी तल प्रतिच्छेद करता है और बेलन के सभी तत्वों के लंबवत होता है, कहलाता है. यदि किसी बेलन का दायाँ भाग एक वृत्त है तो बेलन एक वृत्ताकार बेलन है। अधिक व्यापकता में, यदि किसी बेलन का दायाँ भाग एक शंकु खंड (परवलय, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय) है तो ठोस बेलन को क्रमशः परवलयिक, अण्डाकार और अतिपरवलयिक कहा जाता है। एक लम्ब वृत्तीय बेलन के लिए, ऐसे कई तरीके हैं जिनसे तल एक बेलन से मिल सकते हैं। सबसे पहले, वे विमान जो एक आधार को अधिकतम एक बिंदु पर काटते हैं। एक विमान बेलन के स्पर्शरेखा है यदि वह एक ही तत्व में बेलन से मिलता है। सही खंड वृत्त हैं और अन्य सभी तल बेलनाकार सतह को एक दीर्घवृत्त में काटते हैं। यदि कोई तल बेलन के आधार को ठीक दो बिंदुओं पर काटता है तो इन बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड बेलनाकार खंड का भाग होता है। यदि इस तरह के विमान में दो तत्व होते हैं, तो इसमें एक बेलनाकार खंड के रूप में एक आयत होता है, अन्यथा बेलनाकार खंड के किनारे एक दीर्घवृत्त के भाग होते हैं। अंत में, यदि एक तल में एक आधार के दो से अधिक बिंदु होते हैं, तो इसमें संपूर्ण आधार होता है और बेलनाकार खंड एक वृत्त होता है।

एक बेलनाकार खंड के साथ एक सही गोलाकार बेलन के मामले में जो एक अंडाकार है, विलक्षणता $e$ बेलनाकार खंड और अर्ध-प्रमुख अक्ष का $a$ बेलनाकार खंड के बेलन की त्रिज्या पर निर्भर करते हैं $r$ और कोण $α$ छेदक तल और बेलन अक्ष के बीच, निम्न प्रकार से:


 * $$e=\cos\alpha,$$
 * $$a=\frac{r}{\sin\alpha}.$$

वॉल्यूम
यदि एक वृत्ताकार बेलन के आधार की त्रिज्या है $r$ और बेलन की ऊंचाई है $h$, तो इसका आयतन द्वारा दिया जाता है



यह सूत्र मानता है कि बेलन एक सही बेलन है या नहीं।

कैवेलियरी के सिद्धांत का उपयोग करके यह सूत्र स्थापित किया जा सकता है। अर्ध-अक्ष के साथ लिप्टिक बेलन $V = πr^{2}h$ तथा $a$ आधार अंडाकार और ऊंचाई के लिए $b$अधिक व्यापकता में, उसी सिद्धांत के अनुसार, किसी भी बेलन का आयतन आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई का गुणनफल होता है। उदाहरण के लिए, अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्षों वाले आधार के साथ एक अण्डाकार बेलन| अर्ध-प्रमुख अक्ष $a$, अर्ध-मामूली धुरी $b$ और ऊंचाई $h$ एक मात्रा है $h$, कहाँ पे $A$ आधार दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल है (= $V = Ah$)। सही अण्डाकार बेलन के लिए यह परिणाम एकीकरण द्वारा भी प्राप्त किया जा सकता है, जहां बेलन की धुरी को सकारात्मक के रूप में लिया जाता है $x$-अक्ष और $\piएबी$ प्रत्येक अण्डाकार क्रॉस-सेक्शन का क्षेत्रफल, इस प्रकार:
 * $$V=\int_0^h A(x) dx = \int_0^h \pi ab dx = \pi ab \int_0^h dx = \pi abh.$$

बेलनाकार निर्देशांकों का उपयोग करते हुए, एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आयतन की गणना अधिक से अधिक समाकलन द्वारा की जा सकती है
 * $$=\int_{0}^{h} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} s \,\, ds \, d\phi \, dz$$
 * $$=\pi\,r^2\,h.$$

भूतल क्षेत्र
त्रिज्या होना $A(x) = A$ और ऊंचाई (ऊंचाई) $h$, एक लम्ब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल, उन्मुखी ताकि इसकी धुरी लंबवत हो, इसमें तीन भाग होते हैं: ऊपर और नीचे के आधारों का क्षेत्रफल समान होता है, और इसे आधार क्षेत्र कहते हैं, $r$. पक्ष के क्षेत्र को के रूप में जाना जाता है, $πr^{2}$.
 * शीर्ष आधार का क्षेत्रफल: $πr^{2}$
 * नीचे के आधार का क्षेत्रफल: $2πrh$
 * भुजा का क्षेत्रफल: $B$

एक खुले बेलन में ऊपर या नीचे के तत्व शामिल नहीं होते हैं, और इसलिए इसका सतह क्षेत्र (पार्श्व क्षेत्र) होता है

ठोस लम्ब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल तीनों घटकों के योग से बना होता है: ऊपर, नीचे और पार्श्व। इसका सतह क्षेत्र इसलिए है,

कहाँ पे $L$ वृत्ताकार ऊपर या नीचे का व्यास है।

किसी दिए गए आयतन के लिए, सबसे छोटे पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले लम्ब वृत्तीय बेलन में है $L = 2πrh$. समान रूप से, किसी दिए गए सतह क्षेत्र के लिए, सबसे बड़े आयतन वाले लम्ब वृत्तीय बेलन में होता है $A = L + 2B = 2πrh + 2πr^{2} = 2πr(h + r) = πd(r + h)$, अर्थात्, बेलन एक भुजा की लंबाई = ऊँचाई (= आधार वृत्त का व्यास) के घन में आराम से फिट बैठता है।

पार्श्व क्षेत्र, $L$, एक वृत्ताकार बेलन का, जिसका दायां बेलन होना आवश्यक नहीं है, अधिक सामान्यतः दिया जाता है:

कहाँ पे $e$ एक तत्व की लंबाई है और $p$ बेलन के दाहिने भाग का परिमाप है। यह पार्श्व क्षेत्र के लिए पिछले सूत्र का उत्पादन करता है जब बेलन एक सही गोलाकार बेलन होता है।

ओउ बेलन

दायां गोलाकार खोखला बेलन (बेलनाकार खोल)
एक लम्ब वृत्ताकार खोखला बेलन (या) एक त्रि-आयामी क्षेत्र है जो समान अक्ष वाले दो समकोणीय बेलनों से घिरा है और दो समानांतर कुंडलाकार आधार बेलन के सामान्य अक्ष के लंबवत हैं, जैसा कि आरेख में है।

ऊंचाई होने दें $d = 2r$, आंतरिक त्रिज्या $h = 2r$, और बाहरी त्रिज्या $h = 2r$. मात्रा द्वारा दी गई है


 * $$ V = \pi ( R ^{2} - r ^{2} ) h = 2\pi \left ( \frac{R + r}{2} \right) h (R - r). $$.

अत: एक बेलनाकार कोश का आयतन 2. के बराबर होता है$\pi$(औसत त्रिज्या) (ऊंचाई) (मोटाई)।

सतह क्षेत्र, ऊपर और नीचे सहित, द्वारा दिया गया है


 * $$ A = 2 \pi ( R + r ) h + 2 \pi ( R^2 - r^2  ). $$.

क्रांति के ठोस के आयतन ज्ञात करने के लिए एक सामान्य एकीकरण तकनीक में बेलनाकार गोले का उपयोग किया जाता है।

गोले और बेलन पर


इस नाम से ग्रंथ में, लिखित सी। 225 ईसा पूर्व, आर्किमिडीज ने वह परिणाम प्राप्त किया, जिस पर उन्हें सबसे अधिक गर्व था, अर्थात् एक गोले और उसी ऊंचाई और व्यास के उसके परिबद्ध दाएं गोलाकार बेलन के बीच संबंध का फायदा उठाकर एक गोले के आयतन और सतह क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त करना। गोले का आयतन होता है two-thirds परिचालित बेलन और एक सतह क्षेत्र का two-thirds बेलन का (आधारों सहित)। चूँकि बेलन के मान पहले से ही ज्ञात थे, इसलिए उन्होंने पहली बार गोले के लिए संगत मान प्राप्त किए। त्रिज्या के एक गोले का आयतन $r$ है $L = e × p$. The surface area of this sphere is $h$. उनके अनुरोध पर आर्किमिडीज के मकबरे पर एक तराशा हुआ गोला और सिलेंडर रखा गया था।

बेलनाकार सतह
ज्यामिति और टोपोलॉजी के कुछ क्षेत्रों में बेलन शब्द का अर्थ है जिसे 'बेलनाकार सतह' कहा जाता है। एक बेलन को एक सतह के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसमें सभी रेखाओं पर सभी बिंदु शामिल होते हैं जो एक दी गई रेखा के समानांतर होते हैं और जो एक विमान में एक निश्चित विमान वक्र से गुजरते हैं जो दी गई रेखा के समानांतर नहीं होते हैं। ऐसे सिलेंडरों को कभी-कभी के रूप में संदर्भित किया जाता है. एक सामान्यीकृत सिलेंडर के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से एक अनूठी रेखा गुजरती है जो सिलेंडर में निहित होती है। इस प्रकार, इस परिभाषा को यह कहने के लिए दोहराया जा सकता है कि एक सिलेंडर समानांतर रेखाओं के एक-पैरामीटर परिवार द्वारा फैला हुआ कोई भी शासित सतह है।

एक बेलन जिसमें एक सही खंड होता है जो एक अंडाकार, परबोला या हाइपरबोला होता है, उसे क्रमशः एक अंडाकार बेलन, परवलयिक सिलेंडर और हाइपरबॉलिकबेलन कहा जाता है। ये पतित चतुर्भुज सतह ें हैं। जब किसी क्वाड्रिक के मुख्य अक्षों को संदर्भ फ्रेम (क्वाड्रिक के लिए हमेशा संभव) के साथ संरेखित किया जाता है, तो तीन आयामों में क्वाड्रिक का एक सामान्य समीकरण दिया जाता है
 * $$f(x,y,z)=Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dx + Ey + Gz + H = 0,$$

गुणांक वास्तविक संख्या होने के साथ और सभी नहीं $A$, $B$ तथा $C$ 0 होने पर। यदि समीकरण में कम से कम एक चर प्रकट नहीं होता है, तो क्वाड्रिक पतित होता है। यदि एक चर गायब है, तो हम कुल्हाड़ियों के एक उपयुक्त रोटेशन द्वारा मान सकते हैं कि चर $z$ प्रकट नहीं होता है और इस प्रकार के पतित क्वाड्रिक के सामान्य समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है :$$A \left ( x + \frac{D}{2A} \right )^2 + B \left(y + \frac{E}{2B} \right)^2 = \rho,$$ कहाँ पे
 * $$\rho = -H + \frac{D^2}{4A} + \frac{E^2}{4B}.$$

अण्डाकार सिलेंडर
यदि $r$ यह एक अण्डाकार बेलन का समीकरण है। कुल्हाड़ियों और अदिश गुणन के अनुवाद द्वारा और सरलीकरण प्राप्त किया जा सकता है। यदि $$\rho$$ गुणांक के समान चिन्ह है $A$ तथा $B$, तो एक अण्डाकार सिलेंडर के समीकरण को कार्टेशियन निर्देशांक में फिर से लिखा जा सकता है:


 * $$\left(\frac{x}{a}\right)^2+ \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1.$$

दीर्घवृत्तीय बेलन का यह समीकरण साधारण, वृत्ताकार बेलन के समीकरण का सामान्यीकरण है ($R$) अण्डाकार सिलेंडरों को सिलिंड्रोइड्स के रूप में भी जाना जाता है, लेकिन यह नाम अस्पष्ट है, क्योंकि यह प्लकर कोनॉइड का भी उल्लेख कर सकता है।

यदि $$\rho$$ गुणांक की तुलना में एक अलग संकेत है, हम काल्पनिक अण्डाकार सिलेंडर प्राप्त करते हैं:


 * $$\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = -1,$$

जिन पर कोई वास्तविक बिंदु नहीं है। ($$\rho = 0$$ एक वास्तविक बिंदु देता है।)

अतिपरवलयिक सिलेंडर
यदि $A$ तथा $B$ अलग-अलग संकेत हैं और $$\rho \neq 0$$, हम अतिपरवलयिक सिलेंडर प्राप्त करते हैं, जिनके समीकरणों को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:


 * $$\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1.$$

परवलयिक सिलेंडर
अंत में, अगर $4⁄3\pir^{3} = 2⁄3 (2πr^{3})$ मान लीजिए, व्यापकता के नुकसान के बिना, कि $4\pir^{2} = 2⁄3 (6πr^{2})$ तथा $AB > 0$ समीकरणों के साथ परवलयिक सिलेंडर प्राप्त करने के लिए जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$ {x}^2+2a{y}=0 .$$



[प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री, एक सिलेंडर केवल एक शंकु होता है जिसका शीर्ष अनंत पर होता है, जो एक सिलेंडर से दृष्टिगत रूप से मेल खाता है, जो आकाश की ओर एक शंकु के रूप में दिखाई देता है।

प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री
प्रक्षेपी ज्यामिति में, एक बेलन केवल एक शंकु होता है जिसका शीर्ष (शीर्ष) अनंत पर तल पर स्थित होता है। यदि शंकु एक द्विघात शंकु है, तो अनंत पर विमान (जो शीर्ष से होकर गुजरता है) शंकु को दो वास्तविक रेखाओं, एक एकल वास्तविक रेखा (वास्तव में रेखाओं का एक संयोग युग्म), या केवल शीर्ष पर प्रतिच्छेद कर सकता है। ये मामले क्रमशः अतिशयोक्तिपूर्ण, परवलयिक या अण्डाकार सिलेंडरों को जन्म देते हैं।

पतित शंकुओं पर विचार करते समय यह अवधारणा उपयोगी है, जिसमें बेलनाकार शंकु शामिल हो सकते हैं।

प्रिज्म
एक ठोस गोलाकार सिलेंडर को a. के सीमित मामले के रूप में देखा जा सकता है$A$-गोनल प्रिज्म जहां $a = b$ अनंत तक पहुँचता है। कनेक्शन बहुत मजबूत है और कई पुराने ग्रंथ एक साथ प्रिज्म और सिलेंडर का इलाज करते हैं। सतह क्षेत्र और आयतन के सूत्र प्रिज्म के लिए संबंधित सूत्रों से उत्कीर्ण और परिबद्ध प्रिज्म का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं और फिर प्रिज्म के पक्षों की संख्या को बिना बाध्य किए बढ़ने देते हैं। परिपत्र सिलेंडरों पर प्रारंभिक जोर (और कभी-कभी अनन्य उपचार) का एक कारण यह है कि एक गोलाकार आधार एकमात्र प्रकार की ज्यामितीय आकृति है जिसके लिए यह तकनीक केवल प्राथमिक विचारों (कैलकुलस या अधिक उन्नत गणित के लिए कोई अपील नहीं) के उपयोग के साथ काम करती है। प्रिज्म और सिलेंडर के बारे में शब्दावली समान है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, चूंकि एक छोटा प्रिज्म एक प्रिज्म है जिसका आधार समानांतर विमानों में नहीं होता है, एक ठोस सिलेंडर जिसका आधार समानांतर विमानों में नहीं होता है, एक छोटा सिलेंडर कहलाता है।

एक बहुफलकीय दृष्टिकोण से, एक बेलन को एक द्विभुज के एक अनंत-पक्षीय द्विपिरामिड के रूप में भी देखा जा सकता है।

यह भी देखें

 * आकृतियों की सूची
 * स्टाइनमेट्ज़ ठोस, दो या तीन लंबवत सिलेंडरों का प्रतिच्छेदन

बाहरी संबंध

 * Surface area of a cylinder at MATHguide
 * Volume of a cylinder at MATHguide
 * Volume of a cylinder at MATHguide