विभाजन क्षेत्र

अमूर्त बीजगणित में, किसी क्षेत्र में गुणांक वाले बहुपद का विभाजन क्षेत्र उस क्षेत्र का सबसे छोटा क्षेत्र विस्तार होता है, जिस पर बहुपद विभाजित होता है, अर्थात, रैखिक कारकों में विघटित होता है।

परिभाषा
एक क्षेत्र K पर एक बहुपद p(X) का विभाजन क्षेत्र K का एक क्षेत्र विस्तार L है, जिस पर p रैखिक कारकों में गुणनखंड करता है।


 * $$p(X) = c\prod_{i=1}^{\deg(p)} (X - a_i)$$
 * जहाँ $$c\in K$$और प्रत्येक i के लिए हमारे पास $$X - a_i \in L[X]$$विस्तार L तब K के ऊपर न्यूनतम डिग्री का विस्तार है जिसमें p विभाजित होता है। यह दिखाया जा सकता है कि ऐसे विभाजन क्षेत्र मौजूद हैं और आइसोमोर्फिज़्म तक अद्वितीय हैं। उस समरूपता में स्वतंत्रता की मात्रा को p के गैलोइस समूह के रूप में जाना जाता है (यदि हम मानते हैं कि यह अलग करने योग्य है)।
 * जहाँ $$c\in K$$और प्रत्येक i के लिए हमारे पास $$X - a_i \in L[X]$$विस्तार L तब K के ऊपर न्यूनतम डिग्री का विस्तार है जिसमें p विभाजित होता है। यह दिखाया जा सकता है कि ऐसे विभाजन क्षेत्र मौजूद हैं और आइसोमोर्फिज़्म तक अद्वितीय हैं। उस समरूपता में स्वतंत्रता की मात्रा को p के गैलोइस समूह के रूप में जाना जाता है (यदि हम मानते हैं कि यह अलग करने योग्य है)।

गुण
एक विस्तार L जो K के ऊपर बहुपद p(X) के समुच्चय के लिए एक विभाजक क्षेत्र है, K का सामान्य विस्तार कहलाता है।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र A को देखते हुए, जिसमें K शामिल है, K और A के बीच p का एक अद्वितीय विभाजन क्षेत्र L है, जो p की मूल द्वारा उत्पन्न होता है। यदि K सम्मिश्र संख्याओं का एक उपक्षेत्र है, तो अस्तित्व तत्काल है। दूसरी ओर, बीजीय समापन का अस्तित्व, सामान्य तौर पर, विभाजन क्षेत्र परिणाम से 'सीमा तक जाने' से सिद्ध होता है, इसलिए परिपत्र तर्क से बचने के लिए एक स्वतंत्र प्रमाण की आवश्यकता होती है।

K के एक अलग करने योग्य विस्तार K'  को देखते हुए, K'  का एक गैलोज़ क्लोजर L एक प्रकार का विभाजन क्षेत्र है, और K का एक गैलोज़ विस्तार भी है जिसमें K'  शामिल है जो कि एक स्पष्ट अर्थ में न्यूनतम है। इस तरह के गैलोइस क्लोजर में K के ऊपर सभी बहुपद p के लिए एक विभाजन क्षेत्र होना चाहिए जो कि K' के तत्वों के K के ऊपर न्यूनतम बहुपद हैं।

प्रेरणा
प्राचीन यूनानियों के समय से ही बहुपदों के एक फलन का मूल खोजना एक महत्वपूर्ण समस्या रही है। हालाँकि, कुछ बहुपद, जैसे $x^{2} + 1$ ऊपर $R$, वास्तविक संख्याओं का कोई मूल नहीं होता। ऐसे बहुपद के लिए विभाजन क्षेत्र का निर्माण करके कोई भी नए क्षेत्र में बहुपद की मूल पा सकता है।

निर्माण
मान लीजिए कि F एक क्षेत्र है और p(X) एक बहुपद n की घात वाले बहुपद वलय F[X] में एक बहुपद है। K के निर्माण की सामान्य प्रक्रिया, F पर p(X) का विभाजन क्षेत्र, क्षेत्र की एक श्रृंखला $$F=K_0 \subset K_1 \subset \cdots \subset K_{r-1} \subset K_r=K$$का निर्माण करना है। ऐसा कि Ki, Ki −1 का विस्तार है जिसमें p(X) का एक नया मूल है। चूंकि p(X) में अधिकतम n मूल हैं इसलिए निर्माण के लिए अधिकतम n एक्सटेंशन की आवश्यकता होगी। Ki के निर्माण के चरण निम्नानुसार दिए गए हैं:
 * बहुपदों का गुणनखंडन बीजगणितीय विस्तारों पर गुणनखंडन (ट्रेजर विधि) p(X) K ऊपरiअघुलनशील बहुपद कारकों में $$f_1(X)f_2(X) \cdots f_k(X)$$.
 * कोई भी अरेखीय अघुलनशील कारक f(X) = f चुनेंi&hairsp;(एक्स)।
 * क्षेत्र एक्सटेंशन K का निर्माण करेंi&hairsp;+1 केiभागफल वलय K के रूप मेंi&hairsp;+1 = केi&hairsp;[X] / (f(X)) जहां (f(X)) K में आदर्श (रिंग सिद्धांत) को दर्शाता हैi&hairsp;[एक्स] एफ(एक्स) द्वारा उत्पन्न।
 * K के लिए प्रक्रिया दोहराएँi&hairsp;+1 जब तक p(X) पूरी तरह से कारक न हो जाए।

अघुलनशील कारक एफi&hairsp;भागफल निर्माण में प्रयुक्त (X) को मनमाने ढंग से चुना जा सकता है। यद्यपि कारकों के अलग-अलग विकल्प अलग-अलग उपक्षेत्र अनुक्रमों को जन्म दे सकते हैं, परिणामी विभाजन क्षेत्र समरूपी होंगे।

चूँकि f(X) अपरिवर्तनीय है, (f(X)) K का अधिकतम आदर्श हैi&hairsp;[एक्स] और केi&hairsp;[X] / (f(X)) वास्तव में एक क्षेत्र है। इसके अलावा, अगर हम जाने दें $$\pi : K_i[X] \to K_i[X]/(f(X))$$ फिर उसके भागफल पर वलय (गणित) का प्राकृतिक प्रक्षेपण हो
 * $$f(\pi(X)) = \pi(f(X)) = f(X)\ \bmod\ f(X) = 0$$

इसलिए π(X) f(X) और p(X) का मूल है।

एकल विस्तार की डिग्री $$[K_{i+1} : K_i]$$ अपरिवर्तनीय कारक f(X) की डिग्री के बराबर है। विस्तार की डिग्री [K : F] द्वारा दी गई है $$[K_r : K_{r-1}] \cdots [K_2 : K_1] [K_1 : F]$$ और अधिकतम n है!

क्षेत्र Ki&hairsp;[एक्स]/(एफ(एक्स))
जैसा कि ऊपर बताया गया है, भागफल वलय Ki&hairsp;+1 = केi&hairsp;[X]/(f(X)) एक ऐसा क्षेत्र है जब f(X) अपरिवर्तनीय है। इसके तत्व स्वरूप के हैं


 * $$c_{n-1}\alpha^{n-1} + c_{n-2}\alpha^{n-2} + \cdots + c_1\alpha + c_0$$

जहां सीjके में हैंiऔर α = π(एक्स). (यदि कोई के पर विचार करता हैi&hairsp;+1 K के ऊपर एक सदिश समष्टि के रूप मेंiफिर शक्तियां αjके लिए 0 ≤ j ≤ n−1 एक आधार बनाएं (रैखिक बीजगणित)।)

K के तत्वi&hairsp;+1 n से कम घात वाले α में बहुपद के रूप में माना जा सकता है। के में जोड़i&hairsp;+1 बहुपद जोड़ के नियमों द्वारा दिया जाता है और गुणन बहुपद गुणन मॉड्यूल f(X) द्वारा दिया जाता है। अर्थात्, K में g(α) और h(α) के लिएi&hairsp;+1 उनका उत्पाद g(α)h(α) = r(α) है जहां K में f(X) से विभाजित करने पर r(X) g(X)h(X) का शेषफल हैi&hairsp;[एक्स]।

शेष r(X) की गणना बहुपदों के लंबे विभाजन के माध्यम से की जा सकती है, हालाँकि एक सीधा कमी नियम भी है जिसका उपयोग सीधे r(α) = g(α)h(α) की गणना करने के लिए किया जा सकता है। पहले चलो


 * $$f(X) = X^n + b_{n-1} X^{n-1} + \cdots + b_1 X + b_0.$$

बहुपद एक क्षेत्र के ऊपर है इसलिए व्यापकता की हानि के बिना कोई f(X) को एकात्मक बहुपद मान सकता है। अब α, f(X) का मूल है, इसलिए


 * $$\alpha^n = -(b_{n-1} \alpha^{n-1} + \cdots + b_1 \alpha + b_0).$$

यदि उत्पाद g(α)h(α) का एक पद α हैमके साथ m ≥ n इसे इस प्रकार कम किया जा सकता है:


 * $$\alpha^n\alpha^{m-n} = -(b_{n-1} \alpha^{n-1} + \cdots + b_1 \alpha + b_0) \alpha^{m-n} = -(b_{n-1} \alpha^{m-1} + \cdots + b_1 \alpha^{m-n+1} + b_0 \alpha^{m-n})$$.

कमी नियम के उदाहरण के रूप में, K को लेंi= 'Q'[X], परिमेय संख्या गुणांक वाले बहुपदों का वलय, और f(X) = X लें7 − 2. चलो $$g(\alpha) = \alpha^5 + \alpha^2$$ और h(α) = α&hairsp;3 +1 Q[X]/(X के दो तत्व हों7 − 2). f(X) द्वारा दिया गया कमी नियम α है 7=2 एसपी
 * $$g(\alpha)h(\alpha) = (\alpha^5 + \alpha^2)(\alpha^3 + 1) = \alpha^8 + 2 \alpha^5 + \alpha^2 = (\alpha^7)\alpha + 2\alpha^5 + \alpha^2 = 2 \alpha^5 + \alpha^2 + 2\alpha.$$

सम्मिश्र संख्याएँ
बहुपद वलय R[x] और अपरिवर्तनीय बहुपद पर विचार करें x2 + 1. भागफल वलय R[x]&thinsp;/&thinsp;(x2 + 1) सर्वांगसमता संबंध द्वारा दिया गया है x2 ≡ −1. परिणामस्वरूप, के तत्व (या समतुल्य वर्ग)। R[x]&thinsp;/&thinsp;(x2 + 1) रूप के हैं a + bx जहां ए और बी 'आर' से संबंधित हैं। इसे देखने के लिए, उस पर ध्यान दें x2 ≡ −1 यह इस प्रकार है कि x3 ≡ −x, x4 ≡ 1, x5 ≡ x, वगैरह।; और इसलिए, उदाहरण के लिए p + qx + rx2 + sx3 ≡ p + qx + r(−1) + s(−x) = (p − r) + (q − s)x.

जोड़ और गुणन संचालन पहले सामान्य बहुपद जोड़ और गुणन का उपयोग करके दिया जाता है, लेकिन फिर मॉड्यूलो को कम करके दिया जाता है x2 + 1, यानी इस तथ्य का उपयोग करना x2 ≡ −1, x3 ≡ −x, x4 ≡ 1, x5 ≡ x, आदि। इस प्रकार:
 * $$(a_1 + b_1x) + (a_2 + b_2x) = (a_1 + a_2) + (b_1 + b_2)x, $$
 * $$(a_1 + b_1x)(a_2 + b_2x) = a_1a_2 + (a_1b_2 + b_1a_2)x + (b_1b_2)x^2 \equiv (a_1a_2 - b_1b_2) + (a_1b_2 + b_1a_2)x \, . $$

अगर हम पहचान लें a + bx (ए,बी) के साथ तो हम देखते हैं कि जोड़ और गुणा दिए गए हैं
 * $$(a_1,b_1) + (a_2,b_2) = (a_1 + a_2,b_1 + b_2), $$
 * $$(a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2) = (a_1a_2 - b_1b_2,a_1b_2 + b_1a_2). $$

हम दावा करते हैं कि, एक क्षेत्र के रूप में, भागफल वलय R[x] / (x2 + 1) सम्मिश्र संख्याओं का समरूपी है, C. एक सामान्य सम्मिश्र संख्या इस प्रकार की होती है a + bi, जहां ए और बी वास्तविक संख्याएं हैं और i2 = −1.जोड़ और गुणा द्वारा दिया जाता है


 * $$(a_1 + b_1 i) + (a_2 + b_2 i) = (a_1 + a_2) + i(b_1 + b_2),$$
 * $$(a_1 + b_1 i) \cdot (a_2 + b_2 i) = (a_1a_2 - b_1b_2) + i(a_1b_2 + a_2b_1).$$

अगर हम पहचान लें a + bi (ए, बी) के साथ तो हम देखते हैं कि जोड़ और गुणा दिए गए हैं


 * $$(a_1,b_1) + (a_2,b_2) = (a_1 + a_2,b_1 + b_2),$$
 * $$(a_1,b_1)\cdot (a_2,b_2) = (a_1a_2 - b_1b_2,a_1b_2 + b_1a_2).$$

पिछली गणनाओं से पता चलता है कि जोड़ और गुणा एक ही तरह से व्यवहार करते हैं R[x]&thinsp;/&thinsp;(x2 + 1) और सी. वास्तव में, हम देखते हैं कि बीच का नक्शा R[x]&thinsp;/&thinsp;(x2 + 1) और सी द्वारा दिया गया a + bx → a + biजोड़ और गुणन के संबंध में एक समरूपता है। यह भी स्पष्ट है कि मानचित्र a + bx → a + bi विशेषण और विशेषण दोनों है; मतलब है कि a + bx → a + bi एक विशेषण समरूपता है, अर्थात, एक वलय समरूपता। जैसा कि दावा किया गया है, यह इस प्रकार है: R[x]&thinsp;/&thinsp;(x2 + 1) ≅ C.

1847 में, ऑगस्टिन-लुई कॉची ने जटिल संख्याओं को परिभाषित करने के लिए इस दृष्टिकोण का उपयोग किया।

घन उदाहरण
होने देना $K$ तर्कसंगत संख्या क्षेत्र बनें $Q$ और $p(x) = x^{3} − 2$. की प्रत्येक मूल $p$ बराबर है $\sqrt{2$एकता का घनमूल गुना। इसलिए, यदि हम एकता के घनमूलों को इससे निरूपित करते हैं


 * $$\omega_1 = 1,\,$$
 * $$\omega_2 = -\frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} i,$$
 * $$\omega_3 = -\frac{1}{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} i.$$

कोई भी क्षेत्र जिसमें दो अलग-अलग मूल हों $p$ में एकता के दो अलग-अलग घनमूलों के बीच का भागफल शामिल होगा। ऐसा भागफल एकता का आदिम मूल है, एकता का घनमूल - दोनों में से एक है $$\omega_2$$ या $$\omega_3=1/\omega_2$$. यह एक विभाजन क्षेत्र का अनुसरण करता है $L$ का $p$ में ω होगा2, साथ ही 2 का वास्तविक घनमूल; बातचीत (तर्क), का कोई भी विस्तार $Q$ इन तत्वों से युक्त सभी मूल शामिल हैं $p$. इस प्रकार


 * $$L = \mathbf{Q}(\sqrt[3]{2}, \omega_2) = \{ a + b\sqrt[3]{2} + c{\sqrt[3]{2}}^2 + d\omega_2 + e\sqrt[3]{2}\omega_2 + f{\sqrt[3]{2}}^2 \omega_2 \mid a,b,c,d,e,f \in \mathbf{Q} \}$$

ध्यान दें कि पिछले भाग में उल्लिखित निर्माण प्रक्रिया को इस उदाहरण में लागू करने से शुरुआत होती है $$K_0 = \mathbf{Q}$$ और मैदान का निर्माण करता है $$K_1 = \mathbf{Q}[X] / (X^3 - 2)$$. यह क्षेत्र विभाजन क्षेत्र नहीं है, बल्कि इसमें एक (कोई भी) रूट शामिल है। हालाँकि, बहुपद $$Y^3 - 2$$ पर अप्रासंगिक बहुपद नहीं है $$K_1$$ और वास्तव में:


 * $$Y^3 -2 = (Y - X)(Y^2 + XY + X^2).$$

ध्यान दें कि $$X$$ यह एक अनिश्चित (चर) नहीं है, और वास्तव में इसका एक तत्व है $$K_1$$. अब, प्रक्रिया को जारी रखते हुए, हम प्राप्त करते हैं $$K_2 = K_1[Y] / (Y^2 + XY + X^2)$$ जो वास्तव में विभाजन क्षेत्र है और इसके द्वारा फैला हुआ है $$\mathbf{Q}$$-आधार $$\{1, X, X^2, Y, XY, X^2 Y\}$$. ध्यान दें कि अगर हम इसकी तुलना करें $$L$$ ऊपर से हम पहचान सकते हैं $$X = \sqrt[3]{2}$$ और $$Y = \omega_2$$.

अन्य उदाहरण

 * x का विभाजन क्षेत्रq − x ओवर 'F'p अद्वितीय परिमित क्षेत्र F हैq क्यू = पी के लिएn. कभी-कभी इस क्षेत्र को GF(q) द्वारा दर्शाया जाता है।


 * x का विभाजन क्षेत्र2+1 ओवर एफ7 एफ है49; बहुपद का F में कोई मूल नहीं है7, यानी, −1 वहां एक वर्ग (बीजगणित) नहीं है, क्योंकि 7, 1 मॉड्यूल 4 का मॉड्यूलर अंकगणित नहीं है।
 * x का विभाजन क्षेत्र2 - 1 ओवर एफ7 एफ है7 एक्स के बाद से2 − 1 = (x + 1)(x − 1) पहले से ही रैखिक कारकों में विभाजित है।


 * हम f(x) = x के विभाजन क्षेत्र की गणना करते हैं3 + x + 1 ओवर 'एफ'2. यह सत्यापित करना आसान है कि f(x) का 'F' में कोई मूल नहीं है।2, इसलिए f(x) 'F' में अप्रासंगिक है2[एक्स]। 'F' में r = x + (f(x)) डालें2[x]/(f(x)) तो 'F'2(r&hairsp;) एक क्षेत्र है और x3 + x + 1 = (x + r)(x2 + ax + b) 'F' में2(आर&हेयरस्प;)[x]। ध्यान दें कि हम − के लिए + लिख सकते हैं क्योंकि विशेषता (बीजगणित) दो है। गुणांकों की तुलना करने से पता चलता है कि a = r और b = 1 + r2. एफ के तत्व2(r&hairsp;) को c + dr + er के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है2, जहां c, d, e 'F' में हैं2. आठ तत्व हैं: 0, 1, आर, 1 + आर, आर2, 1 + आर2, र + र2और 1+र+र2. इन्हें x में प्रतिस्थापित करने पर2 + आरएक्स + 1 + आर2हम पहुंचते हैं (आर2)2 + r(r2) + 1 + आर2=आर4+आर3 + 1 + आर2 = 0, इसलिए x3 + x + 1 = (x + r)(x + r2)(x + (r + r2)) 'F' में r के लिए2[x]/(f(x)); ई = 'एफ'2(r&hairsp;) x का विभाजन क्षेत्र है3 + x + 1 ओवर 'एफ'2.

संदर्भ

 * Dummit, David S., and Foote, Richard M. (1999). Abstract Algebra (2nd ed.). New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN 0-471-36857-1.