संतुलन समीकरण

संभाव्यता सिद्धांत में, एक संतुलन समीकरण एक समीकरण है जो राज्यों या राज्यों के सेट के अंदर और बाहर मार्कोव श्रृंखला से जुड़े संभाव्यता प्रवाह का वर्णन करता है।

वैश्विक संतुलन
वैश्विक संतुलन समीकरण (पूर्ण संतुलन समीकरण के रूप में भी जाना जाता है ) समीकरणों का एक समूह है जो एक मार्कोव श्रृंखला के संतुलन वितरण (या किसी भी स्थिर वितरण) को चिह्नित करता है, जब ऐसा वितरण मौजूद होता है।

लगातार समय के लिए राज्य स्थान के साथ मार्कोव श्रृंखला $$\mathcal{S}$$, राज्य से संक्रमण दर $$i$$ को $$j$$ द्वारा दिए गए $$q_{ij}$$ और द्वारा दिया गया संतुलन वितरण $$\pi$$, वैश्विक संतुलन समीकरण द्वारा दिया जाता है
 * $$\pi_i = \sum_{j \in S} \pi_j q_{ji},$$

या समकक्ष
 * $$ \pi_i \sum_{j \in S\setminus \{i\}} q_{ij} = \sum_{j \in S\setminus \{i\}} \pi_j q_{ji}.$$

सभी के लिए $$i \in S$$. यहाँ $$\pi_i q_{ij}$$ राज्य से संभाव्यता प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है $$i$$ कहना $$j$$. तो बायां हाथ राज्य के बाहर से कुल प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है i के अलावा अन्य राज्यों में, जबकि दाहिना हाथ सभी राज्यों के कुल प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है $$j \neq i$$ राज्य में $$i$$. सामान्य तौर पर अधिकांश क्यूइंग मॉडल के लिए समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए यह कम्प्यूटेशनल रूप से अट्रैक्टिव है।

विस्तृत शेष
संक्रमण दर मैट्रिक्स के साथ निरंतर समय के लिए मार्कोव श्रृंखला (CTMC)। $$Q$$, अगर $$\pi_i$$ ऐसे पाया जा सकता है कि प्रत्येक जोड़ी राज्यों के लिए $$i$$ और $$j$$
 * $$\pi_i q_{ij} = \pi_j q_{ji}$$

रखता है, फिर योग करके $$j$$, वैश्विक संतुलन समीकरण संतुष्ट हैं और $$\pi$$ प्रक्रिया का स्थिर वितरण है। यदि इस तरह का समाधान पाया जा सकता है तो परिणामी समीकरण आमतौर पर वैश्विक संतुलन समीकरणों को सीधे हल करने की तुलना में बहुत आसान होते हैं।

एक CTMC उत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि राज्यों की प्रत्येक जोड़ी के लिए विस्तृत शेष शर्तें संतुष्ट हैं $$i$$ और $$j$$.

संक्रमण मैट्रिक्स के साथ एक असतत समय मार्कोव श्रृंखला (DTMC)। $$P$$ और संतुलन वितरण $$\pi$$ यदि सभी जोड़ियों के लिए विस्तृत संतुलन में कहा जाता है $$i$$ और $$j$$,
 * $$\pi_i p_{ij} = \pi_j p_{ji}.$$

जब एक समाधान पाया जा सकता है, जैसा कि सीटीएमसी के मामले में होता है, तो गणना आमतौर पर वैश्विक संतुलन समीकरणों को सीधे हल करने की तुलना में बहुत तेज होती है।

स्थानीय संतुलन
कुछ स्थितियों में, वैश्विक संतुलन समीकरणों के दोनों ओर की शर्तें रद्द हो जाती हैं। तब वैश्विक संतुलन समीकरणों को स्थानीय संतुलन समीकरणों (आंशिक संतुलन समीकरणों के रूप में भी जाना जाता है) का एक सेट देने के लिए विभाजित किया जा सकता है। स्वतंत्र संतुलन समीकरण या व्यक्तिगत संतुलन समीकरण ). इन संतुलन समीकरणों पर सर्वप्रथम पीटर व्हिटल (गणितज्ञ) ने विचार किया था। परिणामी समीकरण कहीं विस्तृत संतुलन और वैश्विक संतुलन समीकरणों के बीच हैं। कोई भी समाधान $$\pi$$ स्थानीय संतुलन समीकरणों के लिए हमेशा वैश्विक संतुलन समीकरणों का समाधान होता है (हम संबंधित स्थानीय संतुलन समीकरणों को जोड़ कर वैश्विक संतुलन समीकरणों को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं), लेकिन बातचीत हमेशा सत्य नहीं होती है। अक्सर, स्थानीय संतुलन समीकरणों का निर्माण कुछ शर्तों के लिए वैश्विक संतुलन समीकरणों में बाहरी योगों को हटाने के बराबर होता है।

1980 के दशक के दौरान यह सोचा गया था कि उत्पाद-रूप समाधान | उत्पाद-रूप संतुलन वितरण के लिए स्थानीय संतुलन एक आवश्यकता है, लेकिन Erol Gelenbe के जी नेटवर्क मॉडल ने दिखाया कि ऐसा नहीं है।

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