लाप्लास परिवर्तन विभेदक समीकरणों पर लागू होता है

गणित में, लाप्लास ट्रांसफॉर्म एक शक्तिशाली अभिन्न परिवर्तन  है जिसका उपयोग किसी फ़ंक्शन को  समय क्षेत्र  से लाप्लास ट्रांसफॉर्म#एस-डोमेन समतुल्य सर्किट और प्रतिबाधा|एस-डोमेन में स्विच करने के लिए किया जाता है। लाप्लास ट्रांसफॉर्म का उपयोग कुछ मामलों में दी गई प्रारंभिक मूल्य समस्या के साथ रैखिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है।

पहले लाप्लास परिवर्तन की निम्नलिखित संपत्ति पर विचार करें:


 * $$\mathcal{L}\{f'\}=s\mathcal{L}\{f\}-f(0)$$
 * $$\mathcal{L}\{f''\}=s^2\mathcal{L}\{f\}-sf(0)-f'(0)$$

इसे गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है


 * $$\mathcal{L}\{f^{(n)}\}=s^n\mathcal{L}\{f\}-\sum_{i=1}^{n}s^{n-i}f^{(i-1)}(0)$$

अब हम निम्नलिखित अंतर समीकरण पर विचार करते हैं:


 * $$\sum_{i=0}^{n}a_if^{(i)}(t)=\phi(t)$$

दी गई प्रारंभिक शर्तों के साथ


 * $$f^{(i)}(0)=c_i$$

लाप्लास परिवर्तन की रैखिकता का उपयोग करना समीकरण को फिर से लिखने के बराबर है


 * $$\sum_{i=0}^{n}a_i\mathcal{L}\{f^{(i)}(t)\}=\mathcal{L}\{\phi(t)\}$$

प्राप्त


 * $$\mathcal{L}\{f(t)\}\sum_{i=0}^{n}a_is^i-\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}a_is^{i-j}f^{(j-1)}(0)=\mathcal{L}\{\phi(t)\}$$

के लिए समीकरण हल करना $$ \mathcal{L}\{f(t)\}$$ और प्रतिस्थापित करना $$f^{(i)}(0)$$ साथ $$c_i$$ एक प्राप्त होता है


 * $$\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{\mathcal{L}\{\phi(t)\}+\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{i}a_is^{i-j}c_{j-1}}{\sum_{i=0}^{n}a_is^i}$$

f(t) का समाधान व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को लागू करके प्राप्त किया जाता है $$\mathcal{L}\{f(t)\}.$$ ध्यान दें कि यदि प्रारंभिक स्थितियाँ सभी शून्य हैं, अर्थात।


 * $$f^{(i)}(0)=c_i=0\quad\forall i\in\{0,1,2,...\ n\}$$

तब सूत्र सरल हो जाता है


 * $$f(t)=\mathcal{L}^{-1}\left\{{\mathcal{L}\{\phi(t)\}\over\sum_{i=0}^{n}a_is^i}\right\}$$

एक उदाहरण
हम समाधान करना चाहते हैं


 * $$f''(t)+4f(t)=\sin(2t)$$

प्रारंभिक शर्तों f(0) = 0 और f′(0)=0 के साथ।

हमने ध्यान दिया कि


 * $$\phi(t)=\sin(2t)$$

और हमें मिलता है


 * $$\mathcal{L}\{\phi(t)\}=\frac{2}{s^2+4}$$

तब समीकरण समतुल्य होता है


 * $$s^2\mathcal{L}\{f(t)\}-sf(0)-f'(0)+4\mathcal{L}\{f(t)\}=\mathcal{L}\{\phi(t)\}$$

हम निष्कर्ष निकालते हैं


 * $$\mathcal{L}\{f(t)\}=\frac{2}{(s^2+4)^2}$$

अब हम प्राप्त करने के लिए लाप्लास व्युत्क्रम परिवर्तन लागू करते हैं


 * $$f(t)=\frac{1}{8}\sin(2t)-\frac{t}{4}\cos(2t)$$

ग्रन्थसूची

 * A. D. Polyanin, Handbook of Linear Partial Differential Equations for Engineers and Scientists, Chapman & Hall/CRC Press, Boca Raton, 2002. ISBN 1-58488-299-9