कॉम्ब फ़िल्टर

सिग्नल प्रक्रमण में, कॉम्ब निस्यंदक एक ऐसा निस्यंदक होता है, जो सिग्नल के विलंबित संस्करण को स्वयं में जोड़कर कार्यान्वित करता है, जिससे संपोषी और विनाशी व्यतिकरण होता है। कॉम्ब निस्यंदक की आवृत्ति प्रतिक्रिया में नियमित रूप से दूरी वाली चोटियों (जिन्हे कभी-कभी दांत कहा जाता है) के बीच नियमित रूप से अंतराल की एक श्रृंखला होती है जी एक कॉम्ब की तरह प्रतीत होती है।

अनुप्रयोग
कॉम्ब निस्यंदक विभिन्न प्रकार के सिग्नल प्रक्रमण अनुप्रयोगों में कार्यरत हैं, जिनमें निम्न सम्मिलित हैं:


 * प्रपाती समाकलित्र कॉम्ब (सीआईसी) निस्यंदक, सामान्यतः अंतःक्षेप और डेसीमेशन ऑपरेशंस के दौरान एंटी - एलियासिंग के लिए उपयोग किया जाता है जो एक असतत-समय प्रणाली की नमूना दर को बदलते हैं।
 * PAL और NTSC एनालॉग टेलीविज़न डिकोडर्स में हार्डवेयर (और कभी-कभी सॉफ़्टवेयर) में लागू किए गए 2D और 3D कॉम्ब निस्यंदक, डॉट क्रॉल जैसे कलाकृतियों को कम करते हैं।
 * ऑडियो सिग्नल प्रक्रमण, जिसमें विलंब, फ्लैंगिंग, भौतिक मॉडलिंग संश्लेषण और डिजिटल वेवगाइड संश्लेषण सम्मिलित हैं। यदि विलंब को कुछ मिलीसेकंड पर सेट किया जाता है, तो एक कॉम्ब निस्यंदक एक बेलनाकार गुहा में या एक कंपन स्ट्रिंग में ध्वनिक स्थायी तरंगों के प्रभाव को मॉडल कर सकता है।
 * एस्ट्रोनॉमी में एस्ट्रो-कॉम्ब मौजूदा स्पेक्ट्रोग्राफ की सटीकता को लगभग सौ गुना बढ़ाने का वादा करती है।

ध्वनिकी में, कॉम्ब निस्यंदकिंग एक अवांछित कलाकृति के रूप में उत्पन्न हो सकती है। उदाहरण के लिए, दो लाउडस्पीकर श्रोता से अलग-अलग दूरी पर एक ही सिग्नल बजाते हैं, ऑडियो पर एक कॉम्ब निस्यंदकिंग प्रभाव पैदा करते हैं। किसी भी संलग्न स्थान में, श्रोता सीधी ध्वनि और परावर्तित ध्वनि का मिश्रण सुनते हैं। परावर्तित ध्वनि प्रत्यक्ष ध्वनि की तुलना में एक लंबा, विलंबित पथ लेती है, और एक कॉम्ब निस्यंदक बनाया जाता है जहां श्रोता पर दोनों का मिश्रण होता है।

कार्यान्वयन
कॉम्ब निस्यंदक दो रूपों में मौजूद हैं, फ़ीडफ़ॉर्वर्ड और फ़ीडबैक; जो उस दिशा को संदर्भित करता है जिसमें इनपुट में जोड़े जाने से पहले संकेतों में देरी हो रही है।

कॉम्ब निस्यंदक असतत समय या निरंतर समय रूपों में लागू किए जा सकते हैं जो बहुत समान हैं।

फीडफॉरवर्ड फॉर्म
फीडफॉरवर्ड कॉम्ब निस्यंदक की सामान्य संरचना अंतर समीकरण द्वारा वर्णित है:
 * $$y[n] = x[n] + \alpha x[n-K] $$

जहां $$K$$ विलंब की लंबाई (नमूनों में मापी गई) है, और $α$ विलंबित संकेत पर लागू होने वाला स्केलिंग कारक है। समीकरण के दोनों पक्षों के $z$ परिवर्तन से प्राप्त होता है:
 * $$Y(z) = \left(1 + \alpha z^{-K}\right) X(z) $$

स्थानांतरण फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = 1 + \alpha z^{-K} = \frac{z^K + \alpha}{z^K} $$

आवृत्ति प्रतिक्रिया
$α$-डोमेन में व्यक्त एक असतत-समय प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया, प्रतिस्थापन $K = 1$ द्वारा प्राप्त की जाती है। इसलिए, फीडफ़ॉर्वर्ड कॉम्ब निस्यंदक के लिए:
 * $$H\left(e^{j \Omega}\right) = 1 + \alpha e^{-j \Omega K} $$

यूलर के सूत्र का उपयोग करके, आवृत्ति प्रतिक्रिया भी द्वारा दी जाती है
 * $$H\left(e^{j \Omega}\right) = \bigl[1 + \alpha \cos(\Omega K)\bigr] - j \alpha \sin(\Omega K) $$

अक्सर दिलचस्पी की परिमाण प्रतिक्रिया होती है, जो चरण की उपेक्षा करती है। इसे इस तरह परिभाषित किया गया है:
 * $$\left| H\left(e^{j \Omega}\right) \right| = \sqrt{\Re\left\{H\left(e^{j \Omega}\right)\right\}^2 + \Im\left\{H\left(e^{j \Omega}\right)\right\}^2}

$$ फीडफॉर्वर्ड कॉम्ब निस्यंदक के मामले में, यह है:
 * $$\left| H\left(e^{j \Omega}\right) \right| = \sqrt{\left(1 + \alpha^2\right) + 2 \alpha \cos(\Omega K)} $$

$α$ शब्द स्थिर है, जबकि $K = 1$ शब्द समय-समय पर बदलता रहता है। इसलिए कॉम्ब निस्यंदक की परिमाण प्रतिक्रिया आवधिक होती है।

रेखांकन इस आवधिकता को प्रदर्शित करते हुए α के विभिन्न मूल्यों के लिए परिमाण प्रतिक्रिया दिखाते हैं। कुछ महत्वपूर्ण गुण:
 * प्रतिक्रिया समय-समय पर एक स्थानीय न्यूनतम (कभी-कभी एक पायदान के रूप में जाना जाता है) तक गिर जाती है, और समय-समय पर एक स्थानीय अधिकतम (कभी-कभी चोटी या दांत के रूप में जाना जाता है) तक बढ़ जाती है।
 * $z$ के सकारात्मक मूल्यों के लिए, पहला न्यूनतम विलंब अवधि के आधे पर होता है और उसके बाद देरी आवृत्ति के गुणकों पर भी दोहराता है:
 * $$f = \frac{1}{2 K}, \frac{3}{2 K}, \frac{5}{2 K} \cdots$$.


 * मैक्सिमा और मिनिमा का स्तर हमेशा 1 से समान होता है।
 * जब $z = e$, न्यूनतम आयाम शून्य होता है। इस मामले में, कभी-कभी मिनीमा को नल के रूप में जाना जाता है।
 * α के सकारात्मक मूल्यों के लिए मैक्सिमा नकारात्मक मूल्यों के लिए मिनीमा के साथ मेल खाता है

आवेग प्रतिक्रिया
फीडफॉरवर्ड कॉम्ब निस्यंदक सबसे सरल परिमित आवेग प्रतिक्रिया निस्यंदक में से एक है। इसकी प्रतिक्रिया देरी के बाद दूसरे आवेग के साथ केवल प्रारंभिक आवेग है।

ध्रुव-शून्य व्याख्या
फीडफॉर्वर्ड कॉम्ब निस्यंदक के $(1 + α^{2})$-डोमेन ट्रांसफर फंक्शन को फिर से देखें:
 * $$H(z) = \frac{z^K + \alpha}{z^K} $$

जब भी $2α cos(ΩK)$ हो तो अंश शून्य के बराबर होता है। इसमें $α$ के समाधान हैं, जो समान रूप से जटिल तल में एक वृत्त के चारों ओर स्थित हैं; ये हस्तांतरण समारोह के शून्य हैं। $α = ±1$ पर हर शून्य है, $z$ ध्रुवों को $z^{K} = −α$ पर दे रहा है। यह दिखाए गए लोगों की तरह एक ध्रुव-शून्य प्लॉट की ओर जाता है।

फीडबैक फॉर्म
इसी तरह, एक फीडबैक कॉम्ब निस्यंदक की सामान्य संरचना को अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है:
 * $$y[n] = x[n] + \alpha y[n-K] $$

इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि $$y$$ में सभी शब्द बाईं ओर हों, और फिर $K$ रूपांतरण लें:
 * $$\left(1 - \alpha z^{-K}\right) Y(z) = X(z) $$

स्थानांतरण फ़ंक्शन इसलिए है:
 * $$H(z) = \frac{Y(z)}{X(z)} = \frac{1}{1 - \alpha z^{-K}} = \frac{z^K}{z^K - \alpha} $$

आवृत्ति प्रतिक्रिया
प्रतिक्रिया कॉम्ब निस्यंदक के लिए $z^{K} = 0$ को $K$-डोमेन व्यंजक में बदलना:
 * $$H\left(e^{j \Omega}\right) = \frac{1}{1 - \alpha e^{-j \Omega K}} $$

परिमाण प्रतिक्रिया इस प्रकार है:
 * $$\left| H\left(e^{j \Omega}\right) \right| = \frac{1}{\sqrt{\left(1 + \alpha^2\right) - 2 \alpha \cos(\Omega K)}} $$

फिर से, प्रतिक्रिया समय-समय पर होती है, जैसा कि ग्राफ़ प्रदर्शित करते हैं। फीडबैक कॉम्ब निस्यंदक में फीडफॉर्वर्ड फ़ॉर्म के साथ कुछ गुण समान हैं:
 * प्रतिक्रिया समय-समय पर स्थानीय न्यूनतम तक कम हो जाती है और स्थानीय अधिकतम तक बढ़ जाती है।
 * $z = 0$ के सकारात्मक मूल्यों के लिए मैक्सिमा $$\alpha$$ के ऋणात्मक मूल्यों के लिए न्यूनतम के साथ मेल खाता है, और इसके विपरीत।
 * $K = 8$ के सकारात्मक मूल्यों के लिए, पहली अधिकतम 0 पर होती है और उसके बाद देरी आवृत्ति के गुणकों पर भी दोहराती है:
 * $$f = 0, \frac{1}{K}, \frac{2}{K}, \frac{3}{K} \cdots$$.

हालांकि, कुछ महत्वपूर्ण अंतर भी हैं क्योंकि परिमाण प्रतिक्रिया में हर में एक शब्द है:
 * मैक्सिमा और मिनिमा का स्तर अब 1 से समान दूरी पर नहीं है। मैक्सिमा का आयाम $α = 0.5$ है।
 * निस्यंदक केवल तभी स्थिर होता है जब $K = 8$ सख्ती से 1 से कम हो। जैसा कि ग्राफ़ से देखा जा सकता है, जैसे-जैसे $α = −0.5$ बढ़ता है, मैक्सिमा का आयाम तेजी से बढ़ता है।

आवेग प्रतिक्रिया
फीडबैक कॉम्ब निस्यंदक एक साधारण प्रकार का अनंत आवेग प्रतिक्रिया निस्यंदक है। यदि स्थिर है, तो प्रतिक्रिया में समय के साथ आयाम में घटते आवेगों की दोहराव श्रृंखला होती है।

ध्रुव-शून्य व्याख्या
फीडबैक कॉम्ब निस्यंदक के $z$- डोमेन ट्रांसफर फंक्शन को फिर से देखना:
 * $$H(z) = \frac{z^K}{z^K - \alpha} $$

इस बार, $α$ पर अंश शून्य है, $K = 2$ पर $α$ शून्य देता है। जब भी $K = 2$ हर शून्य के बराबर होता है। इसमें $z = e$ के समाधान हैं, जो समान रूप से जटिल तल में एक वृत्त के चारों ओर स्थित हैं; ये ट्रांसफर फंक्शन के ध्रुव हैं। यह नीचे दिखाए गए लोगों की तरह एक ध्रुव-शून्य प्लॉट की ओर जाता है।

निरंतर-समय कॉम्ब निस्यंदक
कंब निस्यंदक को लगातार समय में भी लागू किया जा सकता है। फीडफॉर्वर्ड फॉर्म का वर्णन समीकरण द्वारा किया जा सकता है:


 * $$y(t) = x(t) + \alpha x(t - \tau) $$

जहां $z$ विलंब (सेकंड में मापा जाता है) है। इसमें निम्नलिखित स्थानांतरण कार्य हैं:


 * $$H(s) = 1 + \alpha e^{-s \tau} $$

फीडफॉरवर्ड फॉर्म में अनंत संख्या में शून्य होते हैं जो कि jω अक्ष के साथ होते हैं।

प्रतिक्रिया प्रपत्र में समीकरण है:


 * $$y(t) = x(t) + \alpha y(t - \tau) $$

और निम्नलिखित स्थानांतरण समारोह:


 * $$H(s) = \frac{1}{1 - \alpha e^{-s \tau}} $$

फीडबैक फॉर्म में अनंत संख्या में ध्रुव होते हैं जो jω अक्ष के साथ होते हैं।

सतत-समय कार्यान्वयन संबंधित असतत-समय कार्यान्वयन के सभी गुणों को साझा करते हैं।

यह भी देखें

 * डिराक कॉम्ब
 * फैब्री-पेरोट इंटरफेरोमीटर

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