बंकन (यांत्रिकी)

अन्य उपयोगों के लिए, झुकना (बहुविकल्पी) देखें।

अनुप्रयुक्त यांत्रिकी में, झुकना (फ्लेक्सर के रूप में भी जाना जाता है) तत्व के अनुदैर्ध्य अक्ष पर लंबवत रूप से लागू बाहरी के अधीन एक पतला संरचनात्मक तत्व के व्यवहार को दर्शाता है।

संरचनात्मक तत्व को ऐसा माना जाता है कि इसका कम से कम एक आयाम एक छोटा अंश है, सामान्यतः अन्य दो का 1/10 या उससे कम। जब लंबाई चौड़ाई और मोटाई से काफी अधिक होती है, तो तत्व को बीम कहा जाता है। उदाहरण के लिए, कपड़े के हैंगर पर कपड़े के वजन के नीचे लटकी हुई एक कोठरी की छड़ झुकने का अनुभव करने वाली बीम का एक उदाहरण है। दूसरी ओर, एक खोल किसी भी ज्यामितीय रूप की संरचना है जहां लंबाई और चौड़ाई परिमाण के समान क्रम के होते हैं लेकिन संरचना की मोटाई (जिसे 'दीवार' के रूप में जाना जाता है) काफी कम होती है। एक बड़ा व्यास, लेकिन पतली दीवार वाली, छोटी ट्यूब इसके सिरों पर समर्थित होती है और बाद में भरी हुई होती है, यह झुकने का अनुभव करने वाले खोल का एक उदाहरण है।

क्वालीफायर के अभाव में, बेंडिंग शब्द अस्पष्ट है क्योंकि बेंडिंग सभी वस्तुओं में स्थानीय रूप से हो सकती है। इसलिए, शब्द के उपयोग को अधिक सटीक बनाने के लिए, इंजीनियर एक विशिष्ट वस्तु का उल्लेख करते हैं जैसे; छड़ों का झुकना, बीम का मुड़ना, प्लेटों का मुड़ना, खोलों का मुड़ना और इसी तरह।

बीम का अर्ध-स्थैतिक झुकना
जब एक अनुप्रस्थ भार उस पर लगाया जाता है तो एक बीम विकृत हो जाती है और इसके अंदर तनाव पैदा हो जाता है। अर्ध-स्थैतिक मामले में, झुकने वाले विक्षेपण की मात्रा और विकसित होने वाले तनावों को समय के साथ नहीं बदलने के लिए माना जाता है। एक क्षैतिज बीम में सिरों पर समर्थित और बीच में नीचे की ओर भारित किया जाता है, बीम के ऊपर की तरफ की सामग्री को संकुचित किया जाता है जबकि नीचे की सामग्री को फैलाया जाता है। पार्श्व भार के कारण होने वाले आंतरिक तनाव के दो रूप हैं:
 * पार्श्व लोडिंग के समानांतर कतरनी तनाव और लोड दिशा के लंबवत विमानों पर पूरक कतरनी तनाव;
 * बीम के ऊपरी क्षेत्र में प्रत्यक्ष संपीडित तनाव और बीम के निचले क्षेत्र में प्रत्यक्ष तन्यता तनाव।

ये अंतिम दो बल एक युगल या क्षण बनाते हैं क्योंकि वे परिमाण में बराबर और दिशा में विपरीत होते हैं। यह झुकने का क्षण झुकने का अनुभव करने वाले बीम की सैगिंग विरूपण विशेषता का प्रतिरोध करता है। जब कुछ सरल धारणाओं का उपयोग किया जाता है तो बीम में तनाव वितरण का सटीक अनुमान लगाया जा सकता है।

यूलर-बर्नौली झुकने का सिद्धांत
यूलर-बर्नोली बीम समीकरण पतले बीम के यूलर-बर्नौली सिद्धांत में, एक प्रमुख धारणा यह है कि 'विमान अनुभाग समतल रहते हैं'। दूसरे शब्दों में, अनुभाग में कतरनी के कारण किसी भी विकृति का हिसाब नहीं है (कोई कतरनी विकृति नहीं)। साथ ही, यह रैखिक वितरण केवल तभी लागू होता है जब अधिकतम तनाव सामग्री के उपज तनाव से कम हो। उपज से अधिक होने वाले तनावों के लिए, लेख प्लास्टिक बंकन देखें। उपज पर, खंड में अनुभव किए गए अधिकतम तनाव (बीम के तटस्थ अक्ष से सबसे दूर के बिंदुओं पर) को आनमनी सार्मथ्य के रूप में परिभाषित किया गया है।

बीम पर विचार करें जहां निम्नलिखित सत्य हैं:
 * बीम मूल रूप से सीधा और पतला होता है, और कोई भी टेपर मामूली होता है
 * सामग्री आइसोट्रोपिक (या ऑर्थोट्रोपिक), रैखिक लोचदार, और किसी भी क्रॉस सेक्शन में सजातीय है (लेकिन इसकी लंबाई के साथ जरूरी नहीं है)
 * केवल छोटे विक्षेपणों पर विचार किया जाता है

इस मामले में, किरण विक्षेपण का वर्णन करने वाला समीकरण ($$w$$) के रूप में अनुमानित किया जा सकता है:
 * $$\cfrac{\mathrm{d}^2 w(x)}{\mathrm{d} x^2}=\frac{M(x)}{E(x) I(x)}$$

जहां इसके विक्षेपित आकार का दूसरा व्युत्पन्न संबंध है $$x$$ की व्याख्या इसकी वक्रता के रूप में की जाती है, $$E$$ यंग का मापांक है, $$I$$ क्रॉस-सेक्शन की जड़ता का क्षेत्र क्षण है, और $$M$$ बीम में आंतरिक झुकने का क्षण है।

यदि, इसके अलावा, बीम अपनी लंबाई के साथ-साथ सजातीय है, और पतला नहीं है (अर्थात निरंतर क्रॉस सेक्शन), और एक लागू अनुप्रस्थ भार के तहत विक्षेपित होता है $$q(x)$$, यह दिखाया जा सकता है कि: :$$ EI~\cfrac{\mathrm{d}^4 w(x)}{\mathrm{d} x^4} = q(x) $$ बीम बेंडिंग के लिए यह यूलर-बर्नौली समीकरण है।

बीम के विस्थापन के लिए एक समाधान प्राप्त करने के बाद, झुकने का क्षण ($$M$$) और कतरनी बल ($$Q$$) बीम में संबंधों का उपयोग करके गणना की जा सकती है

M(x) = -EI~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} ~; Q(x) = \cfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x}. $$ साधारण बीम बेंडिंग का प्रायः यूलर-बर्नौली बीम समीकरण के साथ विश्लेषण किया जाता है। सरल झुकने के सिद्धांत का उपयोग करने की शर्तें हैं:
 * 1) बीम शुद्ध झुकने के अधीन है। इसका मतलब है कि कतरनी बल शून्य है, और कोई मरोड़ या अक्षीय भार उपस्थित नहीं है।
 * 2) सामग्री समदैशिक (या ऑर्थोट्रोपिक) और सजातीय है।
 * 3) सामग्री हुक के नियम का पालन करती है (यह रैखिक रूप से लोचदार है और प्लास्टिक रूप से ख़राब नहीं होगी)।
 * 4) बीम शुरू में एक क्रॉस सेक्शन के साथ सीधा होता है जो बीम की लंबाई में स्थिर रहता है।
 * 5) झुकने के तल में बीम में समरूपता का एक अक्ष होता है।
 * 6) बीम का अनुपात ऐसा होता है कि यह कुचलने, झुर्रीदार या बग़ल में बकलिंग के बजाय झुकने से विफल हो जाता है।
 * 7) झुकने के दौरान बीम के अनुप्रस्थ काट समतल रहते हैं।

झुकने वाले भार के तहत बीम अक्ष की दिशा में संपीड़न और तन्य बल विकसित होते हैं। ये बल बीम पर तनाव उत्पन्न करते हैं। बीम के ऊपरी किनारे पर अधिकतम कंप्रेसिव स्ट्रेस पाया जाता है जबकि बीम के निचले किनारे पर अधिकतम तन्यता तनाव स्थित होता है। चूँकि इन दो विरोधी मैक्सिमा के बीच तनाव: रैखिक रूप से भिन्न होते है, इसलिए उनके बीच रैखिक पथ पर एक बिंदु मौजूद होता है जहाँ कोई झुकने वाला तनाव नहीं होता है। इन बिंदुओं का स्थान तटस्थ अक्ष है। बिना तनाव वाले इस क्षेत्र और कम तनाव वाले आसन्न क्षेत्रों के कारण, झुकने में समान क्रॉस सेक्शन बीम का उपयोग करना लोड का समर्थन करने का एक विशेष रूप से कुशल साधन नहीं है क्योंकि यह बीम की पूरी क्षमता का उपयोग तब तक नहीं करता है जब तक कि यह कगार पर न हो। वाइड-फ्लेंज बीम (I-बीम्स) और ट्रस गर्डर्स इस अक्षमता को प्रभावी ढंग से संबोधित करते हैं क्योंकि वे इस दबावग्रस्त क्षेत्र में सामग्री की मात्रा को कम करते हैं।

साधारण बेंडिंग के तहत एक बीम में बेंडिंग स्ट्रेस को निर्धारित करने का क्लासिक फॉर्मूला है:
 * $$\sigma_x = \frac{M_z y}{I_z} = \frac{M_z}{W_z}$$

जहां
 * $${\sigma_x}$$ झुकने वाला तनाव है
 * $$M_z$$ - तटस्थ अक्ष के बारे में क्षण
 * $$y$$ - तटस्थ अक्ष के लंबवत दूरी
 * $$I_z$$ - तटस्थ अक्ष z के बारे में क्षेत्र का दूसरा क्षण।
 * $$W_z$$ - तटस्थ अक्ष z के बारे में प्रतिरोध क्षण। $$W_z = I_z / y$$

प्लास्टिक का झुकना
मुख्य लेख: प्लास्टिक का झुकना

समीकरण $$\sigma = \tfrac{M y}{I_x}$$ केवल तभी मान्य होता है जब चरम फाइबर पर तनाव (यानी, तटस्थ अक्ष से बीम का सबसे दूर का हिस्सा) उस सामग्री के उपज तनाव से नीचे होता है जिससे इसका निर्माण किया जाता है। उच्च भार पर तनाव वितरण गैर-रैखिक हो जाता है, और नमनीय सामग्री अंततः एक प्लास्टिक काज राज्य में प्रवेश करेगी जहां तनाव का परिमाण बीम में हर जगह उपज तनाव के बराबर होता है, तटस्थ अक्ष पर एक असंतोष के साथ जहां तनाव से परिवर्तन होता है संकुचित करने के लिए तन्यता। यह प्लास्टिक काज राज्य सामान्यतः इस्पात संरचनाओं के डिजाइन में एक सीमा स्थिति के रूप में उपयोग किया जाता है।

जटिल या विषम झुकना
उपरोक्त समीकरण केवल तभी मान्य है जब क्रॉस-सेक्शन सममित हो। विषम वर्गों के साथ सजातीय बीम के लिए, बीम में अधिकतम झुकने वाला तनाव दिया जाता है


 * $$\sigma_x(y,z) = - \frac {M_z~I_y + M_y~I_{yz}} {I_y~I_z - I_{yz}^2}y + \frac {M_y~I_z + M_z~I_{yz}} {I_y~I_z - I_{yz}^2}z$$

जहां $$y,z$$ क्रॉस सेक्शन पर एक बिंदु के निर्देशांक हैं जिस पर तनाव को निर्धारित किया जाना है जैसा कि दाईं ओर दिखाया गया है, $$M_y$$ और $$M_z$$ y और z केन्द्रक अक्षों के बारे में झुकने के क्षण हैं, $$I_y$$ और $$I_z$$ y और z अक्षों के बारे में क्षेत्र के दूसरे क्षण (जड़ता के क्षणों से अलग) हैं, और $$I_{yz}$$ क्षेत्रफल के आघूर्णों का गुणनफल है। इस समीकरण का उपयोग करके क्षण अभिविन्यास या क्रॉस-अनुभागीय आकार के बावजूद बीम क्रॉस सेक्शन पर किसी भी बिंदु पर झुकाव तनाव की गणना करना संभव है। ध्यान दें कि $$M_y, M_z, I_y, I_z, I_{yz}$$ क्रॉस सेक्शन पर एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर नहीं बदलते हैं।

बड़ा झुकने वाला विरूपण
शरीर के बड़े विकृतियों के लिए, इस सूत्र के विस्तारित संस्करण का उपयोग करके क्रॉस-सेक्शन में तनाव की गणना की जाती है। पहले निम्नलिखित धारणाएँ बनाई जानी चाहिए:


 * 1) चपटे वर्गों की धारणा - विरूपण से पहले और बाद में शरीर का माना जाने वाला भाग सपाट रहता है (यानी, घूमता नहीं है)।
 * 2) इस खंड में कतरनी और सामान्य तनाव जो क्रॉस सेक्शन के सामान्य वेक्टर के लंबवत हैं, सामान्य तनावों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है जो इस खंड के समानांतर हैं।

झुकने वाले त्रिज्या के बड़े झुकने वाले विचारों को लागू किया जाना चाहिए $$\rho$$ दस सेक्शन हाइट्स h से छोटा है:


 * $$\rho < 10 h.$$

उन धारणाओं के साथ बड़े झुकने में तनाव की गणना इस प्रकार की जाती है:



\sigma = \frac {F} {A} + \frac {M} {\rho A} + {\frac {M} {{I_x}'}}y{\frac {\rho}{\rho +y}} $$ जहां
 * $$F$$ सामान्य बल है
 * $$A$$ खंड क्षेत्र है
 * $$M$$ झुकने का क्षण है
 * $$\rho$$ स्थानीय झुकने की त्रिज्या है (वर्तमान खंड पर झुकने की त्रिज्या)
 * $${{I_x}'}$$ x-अक्ष पर जड़त्व का क्षेत्र आघूर्ण है $$y$$ स्थान (स्टेनर प्रमेय देखें)
 * $$y$$ उस खंड क्षेत्र पर y-अक्ष के साथ स्थिति है जिसमें तनाव है $$\sigma$$ की गणना की जाती है।

झुकते समय त्रिज्या $$\rho$$ अनंत तक पहुँचता है और $$y\ll\rho$$, मूल सूत्र वापस आ गया है:
 * $$\sigma = {F \over A} \pm \frac {My}{I} $$.

टिमोचेंको झुकाव सिद्धांत
मुख्य लेख: टिमोचेंको बीम थ्योरी1921 में, स्टीफन टिमोचेंको ने बीम समीकरण में कतरनी के प्रभाव को जोड़कर बीम के यूलर-बर्नौली सिद्धांत में सुधार किया। टिमोचेंको सिद्धांत की किनेमेटिक धारणाएं हैं: तथापि, विरूपण के बाद धुरी के लंबवत रहने के लिए अक्ष के लिए सामान्य की आवश्यकता नहीं होती है।
 * बीम की धुरी के सामान्य विरूपण के बाद सीधे रहते हैं
 * विरूपण के बाद बीम की मोटाई में कोई परिवर्तन नहीं होता है

इन धारणाओं के तहत एक रैखिक लोचदार, आइसोट्रोपिक, निरंतर क्रॉस-सेक्शन बीम के सजातीय बीम के अर्ध-स्थैतिक झुकने के लिए समीकरण है :$$ EI~\cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} = q(x) - \cfrac{EI}{k A G}~\cfrac{\mathrm{d}^2 q}{\mathrm{d} x^2} $$ जहां $$I$$ क्रॉस-सेक्शन की जड़ता का क्षेत्र क्षण है, $$A$$ पार के अनुभागीय क्षेत्र है, $$G$$ कतरनी मापांक है, $$k$$ एक कतरनी सुधार कारक है, और $$q(x)$$ एक लागू अनुप्रस्थ भार है। प्वासों के अनुपात वाली सामग्री के लिए ($$\nu$$) 0.3 के करीब, एक आयताकार क्रॉस-सेक्शन के लिए कतरनी सुधार कारक लगभग है

k = \cfrac{5 + 5\nu}{6 + 5\nu} $$ रोटेशन ($$\varphi(x)$$) सामान्य का समीकरण द्वारा वर्णित है

\cfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} = -\cfrac{\mathrm{d}^2w}{\mathrm{d}x^2} -\cfrac{q(x)}{kAG} $$ झुकने का क्षण ($$M$$) और कतरनी बल ($$Q$$) द्वारा दिया गया है

M(x) = -EI~ \cfrac{\mathrm{d}\varphi}{\mathrm{d}x} ~; Q(x) = kAG\left(\cfrac{\mathrm{d}w}{\mathrm{d}x}-\varphi\right) = -EI~\cfrac{\mathrm{d}^2\varphi}{\mathrm{d}x^2} = \cfrac{\mathrm{d}M}{\mathrm{d}x} $$

लोचदार नींव पर बीम
यूलर-बर्नौली, टिमोचेंको या अन्य झुकाव सिद्धांतों के अनुसार, लोचदार नींव पर बीम को समझाया जा सकता है। रेल पटरियों, इमारतों और मशीनों की नींव, पानी पर जहाजों, पौधों की जड़ों आदि जैसे कुछ अनुप्रयोगों में, लोड के अधीन बीम को निरंतर लोचदार नींव पर समर्थित किया जाता है (अर्थात बाहरी भार के कारण निरंतर प्रतिक्रिया लंबाई के साथ वितरित की जाती है)

बीम का गतिशील झुकना
बीम का गतिशील झुकाव, बीम के लचीले कंपन के रूप में भी जाना जाता है, पहली बार 18 वीं शताब्दी के अंत में डेनियल बर्नौली द्वारा जांच की गई थी। वाइब्रेटिंग बीम की गति के बर्नौली के समीकरण में बीम की प्राकृतिक आवृत्ति को कम करने की प्रवृत्ति थी और 1877 में मिड-प्लेन रोटेशन के अतिरिक्त रेले द्वारा मामूली रूप से सुधार किया गया था। 1921 में स्टीफन टिमोचेंको ने झुकने वाले बीम की गतिशील प्रतिक्रिया पर कतरनी के प्रभाव को सम्मिलित करके सिद्धांत में और सुधार किया। इसने सिद्धांत को कंपन की उच्च आवृत्तियों से संबंधित समस्याओं के लिए उपयोग करने की अनुमति दी जहां गतिशील यूलर-बर्नौली सिद्धांत अपर्याप्त है। बीम के गतिशील मोड़ के लिए यूलर-बर्नौली और टिमोचेंको सिद्धांतों का इंजीनियरों द्वारा व्यापक रूप से उपयोग किया जाना जारी है।

यूलर-बर्नौली सिद्धांत
मुख्य लेख: यूलर-बर्नौली बीम समीकरण

एक लागू अनुप्रस्थ भार के तहत निरंतर क्रॉस-सेक्शन के पतले, आइसोट्रोपिक, सजातीय बीम के गतिशील झुकने के लिए यूलर-बर्नौली समीकरण $$q(x,t)$$ है

EI~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} + m~\cfrac{\partial^2 w}{\partial t^2} = q(x,t) $$ जहां $$E$$ यंग का मापांक है, $$I$$ क्रॉस-सेक्शन की जड़ता का क्षेत्र क्षण है, $$w(x,t)$$ बीम के तटस्थ अक्ष का विक्षेपण है, और $$m$$ बीम की प्रति इकाई लंबाई द्रव्यमान है।

मुक्त कंपन
उस स्थिति के लिए जहां बीम पर कोई अनुप्रस्थ भार नहीं होता है, झुकने वाला समीकरण रूप लेता है

EI~\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} + m~\cfrac{\partial^2 w}{\partial t^2} = 0 $$ बीम के मुक्त, हार्मोनिक कंपन को तब व्यक्त किया जा सकता है

w(x,t) = \text{Re}[\hat{w}(x)~e^{-i\omega t}] \quad \implies \quad \cfrac{\partial^2 w}{\partial t^2} = -\omega^2~w(x,t) $$ और झुकने के समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है

EI~\cfrac{\mathrm{d}^4 \hat{w}}{\mathrm{d}x^4} - m\omega^2\hat{w} = 0 $$ उपरोक्त समीकरण का सामान्य हल है

\hat{w} = A_1\cosh(\beta x) + A_2\sinh(\beta x) + A_3\cos(\beta x) + A_4\sin(\beta x) $$ जहां $$A_1,A_2,A_3,A_4$$ स्थिरांक हैं और $$ \beta := \left(\cfrac{m}{EI}~\omega^2\right)^{1/4} $$

टिमोचेंको-रेले सिद्धांत
मुख्य लेख: टिमोचेंको बीम थ्योरी

1877 में, रेले ने बीम के क्रॉस-सेक्शन के घूर्णी जड़ता के प्रभाव को सम्मिलित करके गतिशील यूलर-बर्नौली बीम सिद्धांत में सुधार का प्रस्ताव दिया। 1922 में बीम समीकरण में कतरनी के प्रभाव को जोड़कर टिमोचेंको ने उस सिद्धांत में सुधार किया। टिमोचेंको-रेले सिद्धांत में बीम के मध्य-सतह के सामान्य से कतरनी विकृतियों की अनुमति है।

इन मान्यताओं के तहत एक रैखिक लोचदार, आइसोट्रोपिक, निरंतर क्रॉस-सेक्शन के सजातीय बीम के झुकने के लिए समीकरण है

\begin{align} & EI~\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} + m~\frac{\partial^2 w}{\partial t^2} - \left(J + \frac{E I m}{k A G}\right)\frac{\partial^4 w}{\partial x^2~\partial t^2} + \frac{J m}{k A G}~\frac{\partial^4 w}{\partial t^4} \\[6pt] = {} & q(x,t) + \frac{J}{k A G}~\frac{\partial^2 q}{\partial t^2} - \frac{EI}{k A G}~\frac{\partial^2 q}{\partial x^2} \end{align} $$ जहां $$J = \tfrac{mI}{A}$$ अनुप्रस्थ काट का ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण है, $$m = \rho A$$ बीम की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है, $$\rho$$ बीम का घनत्व है, $$A$$ पार के अनुभागीय क्षेत्र है, $$G$$ कतरनी मापांक है, और $$k$$ कतरनी सुधार कारक है। प्वासों के अनुपात वाली सामग्री के लिए ($$\nu$$) 0.3 के करीब, कतरनी सुधार कारक लगभग हैं

\begin{align} k &= \frac{5 + 5\nu}{6 + 5\nu} \quad \text{rectangular cross-section}\\[6pt] &= \frac{6 + 12\nu + 6\nu^2}{7 + 12\nu + 4\nu^2} \quad \text{circular cross-section} \end{align} $$

मुक्त कंपन
मुक्त करने के लिए, हार्मोनिक कंपन टिमोचेंको-रेले समीकरण रूप लेते हैं

EI~\cfrac{\mathrm{d}^4 \hat{w}}{\mathrm{d} x^4} + m\omega^2\left(\cfrac{J}{m} + \cfrac{E I}{k A G}\right)\cfrac{\mathrm{d}^2 \hat{w}}{\mathrm{d} x^2} + m\omega^2\left(\cfrac{\omega^2 J}{k A G}-1\right)~\hat{w} = 0 $$ इस समीकरण को ध्यान में रखते हुए हल किया जा सकता है कि के सभी डेरिवेटिव $$w$$ के पास रद्द करने के लिए एक ही फॉर्म होना चाहिए और इसलिए फॉर्म के समाधान के रूप में होना चाहिए $$e^{kx}$$ की उम्मीद की जा सकती है। यह अवलोकन चारित्रिक समीकरण की ओर ले जाता है

\alpha~k^4 + \beta~k^2 + \gamma = 0 ~; \alpha := EI ~, \beta := m\omega^2\left(\cfrac{J}{m} + \cfrac{E I}{k A G}\right) ~, \gamma := m\omega^2\left(\cfrac{\omega^2 J}{k A G}-1\right) $$ इस चतुर्थक समीकरण के समाधान हैं

k_1 = +\sqrt{z_+} ~, k_2 = -\sqrt{z_+} ~, k_3 = +\sqrt{z_-} ~, k_4 = -\sqrt{z_-} $$ जहां

z_+ := \cfrac{-\beta + \sqrt{\beta^2 - 4\alpha\gamma}}{2\alpha} ~, z_-:= \cfrac{-\beta - \sqrt{\beta^2 - 4\alpha\gamma}}{2\alpha} $$ मुक्त कंपन के लिए टिमोचेंको-रेले बीम समीकरण का सामान्य समाधान तब के रूप में लिखा जा सकता है

\hat{w} = A_1~e^{k_1 x} + A_2~e^{-k_1 x} + A_3~e^{k_3 x} + A_4~e^{-k_3 x} $$

प्लेटों का अर्धस्थैतिक झुकना
मुख्य लेख: प्लेट सिद्धांतबीम की परिभाषित विशेषता यह है कि आयामों में से एक अन्य दो की तुलना में काफी बड़ा है। एक संरचना को प्लेट कहा जाता है जब यह सपाट होती है और इसका एक आयाम अन्य दो की तुलना में बहुत छोटा होता है। ऐसे कई सिद्धांत हैं जो लागू भार के तहत प्लेट में विरूपण और तनाव का वर्णन करने का प्रयास करते हैं जिनमें से दो का व्यापक रूप से उपयोग किया गया है। ये
 * प्लेटों का किरचॉफ-लव सिद्धांत (जिसे शास्त्रीय प्लेट सिद्धांत भी कहा जाता है)
 * माइंडलिन-रीस्नर प्लेट सिद्धांत (जिसे प्लेटों का प्रथम-क्रम अपरूपण सिद्धांत भी कहा जाता है)

किरचॉफ-प्लेटों का प्रेम सिद्धांत
किरचॉफ-लव थ्योरी की मान्यताएं हैं
 * मध्य-सतह पर सामान्य सीधी रेखाएँ विरूपण के बाद सीधी रहती हैं
 * मध्य-सतह के लिए सामान्य सीधी रेखाएँ विरूपण के बाद सामान्य रहती हैं
 * विरूपण के दौरान प्लेट की मोटाई नहीं बदलती है।

इन धारणाओं का अर्थ है

\begin{align} u_\alpha(\mathbf{x}) & = - x_3~\frac{\partial w^0}{\partial x_\alpha} = - x_3~w^0_{,\alpha} ~;\alpha=1,2 \\ u_3(\mathbf{x}) & = w^0(x_1, x_2) \end{align} $$ जहां $$\mathbf{u}$$ प्लेट में एक बिंदु का विस्थापन है और $$w^0$$ मध्य सतह का विस्थापन है।

तनाव-विस्थापन संबंध हैं

\begin{align} \varepsilon_{\alpha\beta} & = - x_3~w^0_{,\alpha\beta} \\ \varepsilon_{\alpha 3} & = 0 \\ \varepsilon_{33} & = 0 \end{align} $$ साम्य समीकरण हैं

M_{\alpha\beta,\alpha\beta} + q(x) = 0 ~; M_{\alpha\beta} := \int_{-h}^h x_3~\sigma_{\alpha\beta}~dx_3 $$ जहां $$q(x)$$ प्लेट की सतह पर सामान्य रूप से लगाया गया भार है।

विस्थापन के संदर्भ में, बाह्य भार की अनुपस्थिति में एक आइसोट्रोपिक, रैखिक लोचदार प्लेट के लिए संतुलन समीकरणों को इस रूप में लिखा जा सकता है

w^0_{,1111} + 2~w^0_{,1212} + w^0_{,2222} = 0 $$ प्रत्यक्ष टेन्सर संकेतन में,

\nabla^2\nabla^2 w = 0 $$

प्लेटों का माइंडलिन-रीस्नर सिद्धांत
इस सिद्धांत की विशेष धारणा यह है कि मध्य-सतह के लिए मानक सीधे और अविस्तारित रहते हैं लेकिन विरूपण के बाद मध्य-सतह के लिए जरूरी नहीं कि सामान्य हो। प्लेट के विस्थापन द्वारा दिया जाता है

\begin{align} u_\alpha(\mathbf{x}) & = - x_3~\varphi_\alpha ~;\alpha=1,2 \\ u_3(\mathbf{x}) & = w^0(x_1, x_2) \end{align} $$ जहां $$\varphi_\alpha$$ सामान्य के घूर्णन हैं।

इन धारणाओं से उत्पन्न होने वाले तनाव-विस्थापन संबंध हैं

\begin{align} \varepsilon_{\alpha\beta} & = - x_3~\varphi_{\alpha,\beta} \\ \varepsilon_{\alpha 3} & = \cfrac{1}{2}~\kappa\left(w^0_{,\alpha}- \varphi_\alpha\right) \\ \varepsilon_{33} & = 0 \end{align} $$ जहां $$\kappa$$ कतरनी सुधार कारक है।

साम्य समीकरण हैं

\begin{align} & M_{\alpha\beta,\beta}-Q_\alpha = 0 \\ & Q_{\alpha,\alpha}+q = 0 \end{align} $$ जहां

Q_\alpha := \kappa~\int_{-h}^h \sigma_{\alpha 3}~dx_3 $$

प्लेटों का गतिशील झुकना
मुख्य लेख: प्लेट सिद्धांत

पतली किरचॉफ प्लेटों की गतिशीलता
प्लेटों का गतिशील सिद्धांत प्लेटों में तरंगों के प्रसार और खड़ी तरंगों और कंपन मोड के अध्ययन को निर्धारित करता है। किरचॉफ प्लेटों के गतिशील मोड़ को नियंत्रित करने वाले समीकरण हैं

M_{\alpha\beta,\alpha\beta} - q(x,t) = J_1~\ddot{w}^0 - J_3~\ddot{w}^0_{,\alpha\alpha} $$ जहां, घनत्व वाली प्लेट के लिए $$\rho = \rho(x)$$,

J_1 := \int_{-h}^h \rho~dx_3 ~; J_3 := \int_{-h}^h x_3^2~\rho~dx_3 $$ और

\ddot{w}^0 = \frac{\partial^2 w^0}{\partial t^2} ~; \ddot{w}^0_{,\alpha\beta} = \frac{\partial^2 \ddot{w}^0}{\partial x_\alpha\, \partial x_\beta} $$ नीचे दिए गए आंकड़े एक वृत्ताकार प्लेट के कुछ कंपन मोड दिखाते हैं।

यह भी देखें

 * बेंडिंग मोमेंट
 * झुकने वाली मशीन (सपाट धातु झुकाव)
 * ब्रेक (शीट मेटल झुकाव)
 * ब्रेज़ियर प्रभाव
 * प्लेटों का झुकना
 * झुकाव (धातु कार्य)
 * सातत्यक यांत्रिकी
 * कॉन्ट्राफ्लेक्सर
 * विक्षेपण (इंजीनियरिंग)
 * लचीला असर
 * जड़ता के क्षेत्र क्षणों की सूची
 * पाइप बंकन


 * कतरनी और क्षण आरेख
 * कतरनी ताकत
 * सैंडविच सिद्धांत
 * कंपन
 * प्लेटों का कंपन

बाहरी संबंध

 * Flexure formulae
 * Beam stress & deflection, beam deflection tables