सममित फलन वलय

बीजगणित में और विशेष रूप से बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स में, सममित कार्यों की अंगूठी 'एन' अनिश्चित में सममित बहुपदों की अंगूठी (गणित) की एक विशिष्ट सीमा है, क्योंकि 'एन' अनंत तक जाती है। यह वलय सार्वभौमिक संरचना के रूप में कार्य करता है जिसमें सममित बहुपदों के बीच संबंधों को निर्धारकों की संख्या n से स्वतंत्र तरीके से व्यक्त किया जा सकता है (लेकिन इसके तत्व न तो बहुपद हैं और न ही कार्य)। अन्य बातों के अलावा, यह वलय सममित समूह के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

सममित कार्यों की अंगूठी को एक सह-उत्पाद और एक द्विरेखीय रूप दिया जा सकता है जो इसे एक सकारात्मक स्वसम्मिलित ग्रेडेड बीजगणित हॉपफ बीजगणित में बनाता है जो क्रमविनिमेय और सहसम्बन्धी दोनों है।

सममित बहुपद
सममित कार्यों का अध्ययन सममित बहुपदों पर आधारित है। अनिश्चितकों के कुछ परिमित समुच्चय में एक बहुपद वलय में, एक बहुपद को सममित कहा जाता है यदि यह वही रहता है जब भी किसी भी तरह से अनिश्चित को अनुमति दी जाती है। अधिक औपचारिक रूप से, सममित समूह एस के रिंग ऑटोमोर्फिज्म द्वारा एक समूह क्रिया होती हैnn indeterminates में बहुपद की अंगूठी पर, जहां क्रमचय उपयोग किए गए क्रमपरिवर्तन के अनुसार प्रत्येक indeterminates को एक साथ प्रतिस्थापित करके बहुपद पर कार्य करता है। अपरिवर्तनीय (गणित) # इस क्रिया के लिए समूह क्रिया के अंतर्गत अपरिवर्तित सममित बहुपदों का उपसमूह बनाता है। यदि अनिश्चित एक्स हैं1, ..., एक्सn, तो ऐसे सममित बहुपदों के उदाहरण हैं


 * $$X_1+X_2+\cdots+X_n, \, $$
 * $$X_1^3+X_2^3+\cdots+X_n^3, \, $$

और


 * $$X_1X_2\cdots X_n. \, $$

कुछ और जटिल उदाहरण है एक्स13एक्स2X3 + एक्स1X23एक्स3 + एक्स1X2X33 + एक्स13एक्स2X4 + एक्स1X23एक्स4 + एक्स1X2X43 + ... जहां योग कुछ चर और दो अन्य चर की तीसरी शक्ति के सभी उत्पादों को शामिल करता है। कई विशिष्ट प्रकार के सममित बहुपद हैं, जैसे प्राथमिक सममित बहुपद, शक्ति योग सममित बहुपद, मोनोमियल सममित बहुपद, पूर्ण सजातीय सममित बहुपद, और शूर बहुपद।

सममित कार्यों की अंगूठी
सममित बहुपदों के बीच अधिकांश संबंध अनिर्धारकों की संख्या n पर निर्भर नहीं करते हैं, सिवाय इसके कि संबंध में कुछ बहुपदों को n को परिभाषित करने के लिए काफी बड़ा होना आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए न्यूटन की तत्समक|तीसरी घात योग बहुपद p के लिए न्यूटन की तत्समक3ओर जाता है
 * $$p_3(X_1,\ldots,X_n)=e_1(X_1,\ldots,X_n)^3-3e_2(X_1,\ldots,X_n)e_1(X_1,\ldots,X_n)+3e_3(X_1,\ldots,X_n),$$

जहां $$e_i$$ प्रारंभिक सममित बहुपदों को निरूपित करें; यह सूत्र सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए मान्य है, और इस पर एकमात्र उल्लेखनीय निर्भरता यह है कि ek(एक्स1,...,एक्सn) = 0 जब भी n < k. कोई इसे एक पहचान के रूप में लिखना चाहेगा
 * $$p_3=e_1^3-3e_2 e_1 + 3e_3$$

यह n पर बिल्कुल भी निर्भर नहीं करता है, और यह सममित कार्यों के वलय में किया जा सकता है। उस वलय में अशून्य तत्व होते हैंk सभी पूर्णांक k ≥ 1 के लिए, और रिंग के किसी भी तत्व को तत्वों e में एक बहुपद अभिव्यक्ति द्वारा दिया जा सकता हैk.

परिभाषाएँ
सममित कार्यों की एक अंगूठी को किसी भी क्रमविनिमेय अंगूठी  आर पर परिभाषित किया जा सकता है, और इसे Λ के रूप में दर्शाया जाएगाR; मूल मामला R = 'Z' के लिए है। अंगूठी एलR वास्तव में एक वलय के ऊपर एक वर्गीकृत वलय R-बीजगणित है। इसके लिए दो मुख्य निर्माण हैं; नीचे दिया गया पहला (स्टेनली, 1999) में पाया जा सकता है, और दूसरा अनिवार्य रूप से (मैकडोनाल्ड, 1979) में दिया गया है।

औपचारिक शक्ति श्रृंखला की एक अंगूठी के रूप में
सबसे आसान (हालांकि कुछ हद तक भारी) निर्माण कई चर में औपचारिक शक्ति श्रृंखला # पावर श्रृंखला की अंगूठी से शुरू होता है $$RX_1,X_2,...$$ आर पर असीम रूप से (गणना करने योग्य अनंत) कई अनिश्चित; इस पावर सीरीज़ रिंग के तत्व शर्तों के औपचारिक अनंत योग हैं, जिनमें से प्रत्येक में R से गुणांक एक एकपद  द्वारा गुणा किया जाता है, जहां प्रत्येक मोनोमियल अनिश्चित रूप से कई परिमित शक्तियों का उत्पाद होता है। एक Λ को परिभाषित करता हैR इसके उप-वलय के रूप में उन शक्ति श्रृंखला S से मिलकर बनता है जो संतुष्ट करती हैं ध्यान दें कि दूसरी स्थिति के कारण, घात श्रृंखला का उपयोग यहां केवल एक निश्चित डिग्री के असीम रूप से कई पदों को अनुमति देने के लिए किया जाता है, बजाय सभी संभावित डिग्री के पदों के योग के लिए। इसकी अनुमति देना जरूरी है क्योंकि एक तत्व जिसमें उदाहरण के लिए एक्स शब्द होता है1 X शब्द भी होना चाहिएi सममित होने के लिए प्रत्येक i > 1 के लिए। पूरी शक्ति श्रृंखला रिंग के विपरीत, सबरिंग ΛR मोनोमियल्स की कुल डिग्री द्वारा वर्गीकृत किया जाता है: स्थिति 2 के कारण, Λ का प्रत्येक तत्वR Λ के सजातीय बहुपद तत्वों का परिमित योग हैR (जो स्वयं समान कोटि के पदों के अनंत योग हैं)। प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, तत्व ek∈ एलR k विशिष्ट अनिश्चित के सभी उत्पादों के औपचारिक योग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो डिग्री k का स्पष्ट रूप से सजातीय है।
 * 1) S अनिश्चित के किसी भी क्रमपरिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है, और
 * 2) S में होने वाले एकपदों के बहुपद की कोटि परिबद्ध है।

बीजगणितीय सीमा के रूप में
एल का एक और निर्माणR वर्णन करने में कुछ अधिक समय लगता है, लेकिन रिंग R [X के साथ संबंध को बेहतर ढंग से इंगित करता है1,...,एक्सn]Snn अनिश्चित में सममित बहुपदों का। प्रत्येक n के लिए एक विशेषण वलय समरूपता ρ हैn समरूप वलय R[X1,...,एक्सn+1]Sn+1 R[X पर एक और अनिश्चित के साथ1,...,एक्सn]Sn, अंतिम अनिश्चित X को सेट करके परिभाषित किया गया हैn+1 से 0. हालांकि ρn एक गैर-तुच्छ कर्नेल (बीजगणित) है, उस कर्नेल के गैर-शून्य तत्वों में कम से कम डिग्री है $$n+1$$ (वे X के गुणक हैं1X2...एक्सn+1). इसका मतलब है कि ρ का प्रतिबंधn अधिक से अधिक n डिग्री के तत्वों के लिए एक विशेषण रैखिक नक्शा है, और ρn(यह हैk(एक्स1,...,एक्सn+1)) = ईk(एक्स1,...,एक्सn) सभी के लिए k≤ n. इस प्रतिबंध के व्युत्क्रम को विशिष्ट रूप से एक रिंग समरूपता φ तक बढ़ाया जा सकता हैn आर [एक्स से1,...,एक्सn]Sn से R[X1,...,एक्सn+1]Sn+1, जैसा कि उदाहरण के लिए सममित बहुपदों के मूलभूत प्रमेय से लिया गया है। छवियों के बाद से φn(यह हैk(एक्स1,...,एक्सn)) = ईk(एक्स1,...,एक्सn+1) k = 1,...,n के लिए अभी भी R, समाकारिता φ पर बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र हैंn इंजेक्शन है और इसे रिंगों के समावेश (कुछ असामान्य) के रूप में देखा जा सकता है; φ लागू करनाn पहले से मौजूद मोनोमियल से समरूपता द्वारा प्राप्त नए अनिश्चित वाले सभी मोनोमियल को जोड़ने के लिए एक बहुपद राशि। अंगूठी एलR तब इन समावेशन के अधीन इन सभी छल्लों का संघ (प्रत्यक्ष सीमा) है। चूंकि सभी φn शामिल रिंगों की कुल डिग्री द्वारा ग्रेडिंग के साथ संगत हैं, ΛR एक वर्गीकृत अंगूठी की संरचना प्राप्त करता है।

यह निर्माण (मैकडोनाल्ड, 1979) में एक से थोड़ा अलग है। वह निर्माण केवल विशेषण आकारिकी ρ का उपयोग करता हैn इंजेक्शन morphisms φ का उल्लेख किए बिनाn: यह Λ के सजातीय घटकों का निर्माण करता हैR अलग से, और ρ का उपयोग करके उनके प्रत्यक्ष योग को रिंग संरचना से लैस करता हैn. यह भी देखा गया है कि परिणाम को वर्गीकृत छल्लों की श्रेणी (गणित) में एक व्युत्क्रम सीमा के रूप में वर्णित किया जा सकता है। हालांकि यह विवरण कुछ हद तक इंजेक्टिव मोर्फिज्म की सीधी सीमा के लिए विशिष्ट एक महत्वपूर्ण संपत्ति को अस्पष्ट करता है, अर्थात् प्रत्येक व्यक्तिगत तत्व (सममित कार्य) पहले से ही सीमा निर्माण में उपयोग की जाने वाली किसी वस्तु में ईमानदारी से प्रतिनिधित्व किया जाता है, यहां एक अंगूठी आर [एक्स1,...,एक्सd] Sd। यह d के लिए सममित फ़ंक्शन की डिग्री लेने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि उस रिंग के डिग्री d में भाग को आइसोमोर्फिक रूप से मैप किया जाता है, जो कि φ द्वारा अधिक अनिश्चित होता है।n सभी के लिए एन ≥ डी। इसका तात्पर्य है कि अलग-अलग तत्वों के बीच संबंधों का अध्ययन करने के लिए सममित बहुपदों और सममित कार्यों के बीच कोई मूलभूत अंतर नहीं है।

व्यक्तिगत सममित कार्यों को परिभाषित करना
Λ के तत्वों के लिए नाम सममित कार्यR एक मिथ्या नाम है: न तो निर्माण में तत्व कार्य (गणित) हैं, और वास्तव में, सममित बहुपदों के विपरीत, ऐसे तत्वों से स्वतंत्र चर का कोई कार्य नहीं जोड़ा जा सकता है (उदाहरण के लिए ई1 सभी असीम रूप से कई चरों का योग होगा, जो तब तक परिभाषित नहीं होता है जब तक कि चर पर प्रतिबंध नहीं लगाया जाता है)। हालाँकि नाम पारंपरिक और अच्छी तरह से स्थापित है; यह (मैकडॉनल्ड, 1979) दोनों में पाया जा सकता है, जो कहता है (पृष्ठ 12 पर फुटनोट) "Λ के तत्व (Λ के तत्वों के विपरीतn) अब बहुपद नहीं हैं: वे एकपदी के औपचारिक अनंत योग हैं। इसलिए हम सममित कार्यों की पुरानी शब्दावली पर वापस आ गए हैं।" (यहाँ एलn एन अनिश्चित में सममित बहुपदों की अंगूठी को दर्शाता है), और (स्टेनली, 1999) में भी।

एक सममित समारोह को परिभाषित करने के लिए या तो पहले निर्माण के रूप में सीधे एक शक्ति श्रृंखला का संकेत देना चाहिए, या दूसरे निर्माण के साथ संगत तरीके से प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए n indeterminates में एक सममित बहुपद देना चाहिए। उदाहरण के लिए, अनिश्चित संख्या में एक अभिव्यक्ति दोनों कर सकती है
 * $$e_2=\sum_{i<j}X_iX_j\,$$

एक प्राथमिक सममित समारोह की परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है यदि अनिश्चित की संख्या अनंत है, या किसी भी परिमित संख्या में प्राथमिक सममित बहुपद की परिभाषा के रूप में। समान सममित फलन के लिए सममित बहुपदों को समरूपता ρ के साथ संगत होना चाहिएn (उनमें से कुछ को शून्य पर सेट करके अनिश्चितताओं की संख्या घटाकर प्राप्त की जाती है, ताकि शेष अनिश्चितताओं में किसी भी मोनोमियल के गुणांक अपरिवर्तित रहें), और उनकी डिग्री बंधी रहनी चाहिए। (सममित बहुपदों के एक परिवार का एक उदाहरण जो दोनों स्थितियों में विफल रहता है $$\textstyle\prod_{i=1}^nX_i$$; परिवार $$\textstyle\prod_{i=1}^n(X_i+1)$$ केवल दूसरी स्थिति में विफल रहता है।) n indeterminates में किसी भी सममित बहुपद का उपयोग सममित बहुपदों के संगत परिवार के निर्माण के लिए किया जा सकता है, समरूपता ρ का उपयोग करकेi for i < n indeterminates की संख्या कम करने के लिए, और φi i ≥ n के लिए अनिश्चितताओं की संख्या बढ़ाने के लिए (जो पहले से मौजूद मोनोमियल्स से समरूपता द्वारा प्राप्त नए अनिश्चितकों में सभी मोनोमियल्स को जोड़ने के बराबर है)।

निम्नलिखित सममित कार्यों के मूलभूत उदाहरण हैं।
 * 'मोनोमियल सिमेट्रिक फ़ंक्शंस' एमα. मान लीजिए एक = (ए1,ए2,...) गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का एक अनुक्रम है, जिनमें से केवल बहुत से गैर-शून्य हैं। तब हम α: X द्वारा परिभाषित मोनोमियल पर विचार कर सकते हैंα = एक्स1α1एक्स2α2एक्स3α3.... फिर मα एक्स द्वारा निर्धारित सममित कार्य हैα, अर्थात X से प्राप्त सभी एकपदीयों का योगα समरूपता द्वारा। एक औपचारिक परिभाषा के लिए, β ~ α को परिभाषित करें जिसका अर्थ है कि अनुक्रम β अनुक्रम α और सेट का क्रमपरिवर्तन है
 * $$m_\alpha=\sum\nolimits_{\beta\sim\alpha}X^\beta.$$
 * यह सममित कार्य मोनोमियल सममित बहुपद एम से मेल खाता हैα(एक्स1,...,एक्सn) किसी भी बड़े n के लिए एकपदी X रखने के लिए पर्याप्त हैα. अलग-अलग मोनोमियल सममित कार्यों को पूर्णांक विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज किया जाता है (प्रत्येक मीα एक अद्वितीय प्रतिनिधि एकपदी X हैλ भागों के साथ λi कमजोर घटते क्रम में)। चूंकि किसी भी सममित समारोह में कुछ एम के मोनोमियल शामिल हैंα एक ही गुणांक के साथ उन सभी को शामिल करना चाहिए, प्रत्येक सममित फ़ंक्शन को मोनोमियल सममित कार्यों के आर-रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है, और विशिष्ट मोनोमियल सममित फ़ंक्शन इसलिए Λ का आधार बनाते हैंR आर-मॉड्यूल (गणित) के रूप में।

X^\alpha=\prod_{i=1}^kX_i$$. एक शक्ति श्रृंखला के रूप में, यह k विशिष्ट अनिश्चित के सभी विशिष्ट उत्पादों का योग है। यह सममित कार्य प्राथमिक सममित बहुपद ई से मेल खाता हैk(एक्स1,...,एक्सn) किसी भी n ≥ k के लिए।
 * 'प्राथमिक सममित कार्य' ईk, किसी प्राकृत संख्या k के लिए; एक के पास ई हैk= मीα कहाँ $$\textstyle
 * 'शक्ति योग सममित कार्य' pk, किसी भी धनात्मक पूर्णांक k के लिए; एक के पास पी हैk= मी(k), एकपदी X के लिए एकपदी सममित फलन1क. यह सममित कार्य शक्ति योग सममित बहुपद p से मेल खाता हैk(एक्स1,...,एक्सn) = एक्स1 कश्मीर + ... + एक्सnk किसी भी n ≥ 1 के लिए।
 * 'पूर्ण सजातीय सममित कार्य' एचk, किसी प्राकृत संख्या k के लिए; एचk सभी एकपदी सममितीय फलन m का योग हैα जहां α k का पूर्णांक विभाजन है। एक शक्ति श्रृंखला के रूप में, यह डिग्री k के सभी मोनोमियल्स का योग है, जो इसके नाम को प्रेरित करता है। यह सममित कार्य पूर्ण सजातीय सममित बहुपद h से मेल खाता हैk(एक्स1,...,एक्सn) किसी भी n ≥ k के लिए।
 * 'शूर फ़ंक्शंस' एसλ किसी भी विभाजन λ के लिए, जो शूर बहुपद s के संगत हैλ(एक्स1,...,एक्सn) किसी भी बड़े n के लिए एकपदी X रखने के लिए पर्याप्त है λ.

कोई घात योग सममित फलन p नहीं है0: हालांकि परिभाषित करना संभव है (और कुछ संदर्भों में प्राकृतिक)। $$\textstyle p_0(X_1,\ldots,X_n)=\sum_{i=1}^nX_i^0=n$$ n चरों में एक सममित बहुपद के रूप में, ये मान आकारिकी ρ के साथ संगत नहीं हैंn. भेद करनेवाला $$\textstyle(\prod_{i<j}(X_i-X_j))^2$$ सभी n के लिए एक सममित बहुपद देने वाली अभिव्यक्ति का एक और उदाहरण है, लेकिन किसी भी सममित कार्य को परिभाषित नहीं करता है। प्रत्यावर्ती बहुपदों के भागफल के रूप में शूर बहुपदों को परिभाषित करने वाले भाव कुछ हद तक विवेचक के समान हैं, लेकिन बहुपद एसλ(एक्स1,...,एक्सn) अलग-अलग एन के लिए संगत हो जाते हैं, और इसलिए एक सममित कार्य को परिभाषित करते हैं।

सममित बहुपदों और सममित कार्यों से संबंधित एक सिद्धांत
किसी भी सममित फलन P के लिए, n में संबंधित सममित बहुपद किसी भी प्राकृत संख्या n के लिए अनिश्चित होते हैं, जिन्हें P(X) द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है।1,...,एक्सn). सममित कार्यों के वलय की दूसरी परिभाषा का तात्पर्य निम्नलिखित मूलभूत सिद्धांत से है:


 * यदि पी और क्यू डिग्री डी के सममित कार्य हैं, तो एक की पहचान है $$P=Q$$ सममित कार्यों की अगर और केवल अगर किसी की पहचान है P(X1,...,एक्सd) = क्यू (एक्स1,...,एक्सd) डी अनिश्चित में सममित बहुपदों की। इस मामले में वास्तव में P(X1,...,एक्सn) = क्यू (एक्स1,...,एक्सn) किसी भी संख्या n के लिए अनिश्चित।

ऐसा इसलिए है क्योंकि कुछ चरों के लिए शून्य को प्रतिस्थापित करके चरों की संख्या को हमेशा कम किया जा सकता है, और समाकारिता φ को लागू करके चरों की संख्या में वृद्धि की जा सकती है।n; उन समरूपताओं की परिभाषा आश्वस्त करती है कि φn(पी (एक्स1,...,एक्सn)) = पी (एक्स1,...,एक्सn+1) (और इसी तरह Q के लिए) जब भी n ≥ d. इस सिद्धांत के प्रभावी अनुप्रयोग के लिए न्यूटन की पहचान # पहचान की व्युत्पत्ति | न्यूटन की पहचान का प्रमाण देखें।

पहचान
सममितीय फलनों का वलय सममित बहुपदों के बीच सर्वसमिकाओं को लिखने के लिए एक सुविधाजनक उपकरण है, जो कि निर्धारकों की संख्या से स्वतंत्र होते हैं: Λ मेंR ऐसी कोई संख्या नहीं है, फिर भी उपरोक्त सिद्धांत द्वारा Λ में कोई पहचान हैR स्वचालित रूप से किसी भी संख्या में अनिश्चितताओं में आर पर सममित बहुपदों के छल्ले की पहचान देता है। कुछ मौलिक पहचान हैं
 * $$\sum_{i=0}^k(-1)^ie_ih_{k-i}=0=\sum_{i=0}^k(-1)^ih_ie_{k-i}\quad\mbox{for all }k>0,$$

जो प्रारंभिक और पूर्ण सजातीय सममित कार्यों के बीच एक समरूपता दिखाता है; इन संबंधों को पूर्ण सजातीय सममित बहुपद के तहत समझाया गया है।
 * $$ke_k=\sum_{i=1}^k(-1)^{i-1}p_ie_{k-i}\quad\mbox{for all }k\geq0,$$

न्यूटन की पहचान, जिसमें पूर्ण सजातीय सममित कार्यों के लिए एक संस्करण भी है:
 * $$kh_k=\sum_{i=1}^kp_ih_{k-i}\quad\mbox{for all }k\geq0.$$

Λ के संरचनात्मक गुणR
एल के महत्वपूर्ण गुणR निम्नलिखित को शामिल कीजिए।


 * 1) विभाजनों द्वारा पैरामीट्रिज्ड मोनोमियल सममित कार्यों का सेट Λ का आधार बनता हैR ग्रेडेड आर-मॉड्यूल (गणित) के रूप में, डी के विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड डिग्री डी के सजातीय होने के कारण; शूर फ़ंक्शंस के सेट के लिए भी यही सच है (विभाजन द्वारा पैरामीट्रिज्ड)।
 * 2) एलR एक बहुपद वलय R [Y के लिए ग्रेडेड R-बीजगणित के रूप में समरूपी है1,और2, ...] अपरिमित रूप से अनेक चरों में, जहाँ Yi सभी i > 0 के लिए डिग्री i दी गई है, एक समरूपता वह है जो Y भेजता हैi तबi∈ एलR प्रत्येक i के लिए।
 * 3) Λ का एक इनवॉल्यूशन (गणित)  automorphism  ω हैR जो प्रारंभिक सममित कार्यों को बदल देता है ईi और पूर्ण सजातीय सममित फलन hi सभी के लिए मैं यह प्रत्येक शक्ति योग सममित फ़ंक्शन पी भी भेजता हैi से (−1)i−1पi, और यह एस को इंटरचेंज करते हुए एक दूसरे के बीच शूर कार्यों की अनुमति देता हैλ और एसλt जहां एलt λ का स्थानान्तरण विभाजन है।

संपत्ति 2 सममित बहुपदों के मौलिक प्रमेय का सार है। इसका तात्पर्य तुरंत कुछ अन्य गुणों से है:
 * Λ का सबरिंगR एन चर में आर पर सममित बहुपदों की अंगूठी के लिए अधिकतम एन में डिग्री के अपने तत्वों द्वारा उत्पन्न आइसोमोर्फिक है;
 * Λ की हिल्बर्ट-पॉइनकेयर श्रृंखलाR है $$\textstyle\prod_{i=1}^\infty\frac1{1-t^i}$$, विभाजन (संख्या सिद्धांत) # पूर्णांक विभाजन का कार्य उत्पन्न करना (यह संपत्ति 1 से भी अनुसरण करता है);
 * प्रत्येक n > 0 के लिए, Λ के सजातीय भाग द्वारा गठित आर-मॉड्यूलR डिग्री एन की, डिग्री के अपने तत्वों द्वारा उत्पन्न सबरिंग के साथ मॉड्यूलो एन से सख्ती से कम है, रैंक 1 का मुफ्त मॉड्यूल है, और (की छवि) ईn इस आर-मॉड्यूल का जनरेटर है;
 * सममित कार्यों के प्रत्येक परिवार के लिए (एफi)i>0 जिसमें एफi डिग्री i का सजातीय है और पिछले बिंदु (सभी i के लिए) के मुक्त आर-मॉड्यूल का एक जनरेटर देता है, आर[वाई से ग्रेडेड आर-अलजेब्रस का एक वैकल्पिक समरूपता है1,और2, ...] ऊपर के रूप में ΛR वाई भेजता हैi एफ के लिएi; दूसरे शब्दों में, परिवार (fi)i>0 Λ के मुक्त बहुपद जनरेटर का एक सेट बनाता हैR.

यह अंतिम बिंदु विशेष रूप से परिवार पर लागू होता है (एचi)i>0 पूर्ण सजातीय सममित कार्यों की। यदि R में फ़ील्ड है (गणित)$$\mathbb Q$$ परिमेय संख्याओं के संबंध में, यह परिवार पर भी लागू होता है (पृi)i>0 शक्ति योग सममित कार्यों की। यह बताता है कि इन परिवारों में से प्रत्येक के पहले एन तत्व सममित बहुपदों के सेट को एन वेरिएबल्स में परिभाषित करते हैं जो सममित बहुपदों की उस अंगूठी के मुक्त बहुपद जनरेटर हैं।

तथ्य यह है कि पूर्ण सजातीय सममित कार्य Λ के मुक्त बहुपद जनरेटर का एक सेट बनाते हैंR पहले से ही एक ऑटोमोर्फिज्म के अस्तित्व को दर्शाता है ω प्राथमिक सममित कार्यों को पूर्ण सजातीय कार्यों में भेज रहा है, जैसा कि संपत्ति 3 में उल्लिखित है। तथ्य यह है कि ω Λ का एक अंतर्वलन हैR ऊपर दिए गए संबंधों के पहले सेट द्वारा व्यक्त प्राथमिक और पूर्ण सजातीय सममित कार्यों के बीच समरूपता से अनुसरण करता है।

सममित कार्यों की अंगूठी ΛZ पूर्णांक Z का ऍक्स्प वलय है। यह एक Λ-ring|lambda-अंगूठी भी एक प्राकृतिक फैशन में है; वास्तव में यह एक जनरेटर में सार्वभौमिक लैम्ब्डा-अंगूठी है।

निर्माण कार्य
एल की पहली परिभाषाR के सबरिंग के रूप में $$RX_1, X_2, ...$$ सममित कार्यों के कई अनुक्रमों के उत्पन्न कार्यों को सुरुचिपूर्ण ढंग से व्यक्त करने की अनुमति देता है। पहले बताए गए संबंधों के विपरीत, जो Λ के लिए आंतरिक हैंR, इन भावों में R X में संक्रियाएँ शामिल हैं1,एक्स2,...;t  लेकिन इसके उपसमूह Λ के बाहरR  t , इसलिए वे केवल तभी अर्थपूर्ण हैं जब सममित कार्यों को अनिश्चित एक्स में औपचारिक शक्ति श्रृंखला के रूप में देखा जाता हैi. हम इस व्याख्या पर जोर देने के लिए सममित कार्यों के बाद (एक्स) लिखेंगे।

प्रारंभिक सममित कार्यों के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन है
 * $$E(t) = \sum_{k \geq 0} e_k(X)t^k = \prod_{i=1}^\infty (1+X_it).$$

इसी प्रकार किसी के पास पूर्ण सजातीय सममित कार्य हैं
 * $$H(t) = \sum_{k \geq 0} h_k(X)t^k = \prod_{i=1}^\infty \left(\sum_{k \geq 0} (X_it)^k\right) = \prod_{i=1}^\infty \frac1{1-X_it}.$$

स्पष्ट तथ्य यह है कि $$E(-t)H(t) = 1 = E(t)H(-t)$$ प्रारंभिक और पूर्ण सजातीय सममित कार्यों के बीच समरूपता की व्याख्या करता है। पावर योग सममित कार्यों के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$P(t) = \sum_{k>0} p_k(X)t^k = \sum_{k>0}\sum_{i=1}^\infty (X_it)^k = \sum_{i=1}^\infty\frac{X_it}{1-X_it} = \frac{tE'(-t)}{E(-t)} = \frac{tH'(t)}{H(t)}$$

((मैकडॉनल्ड, 1979) पी(टी) को Σ के रूप में परिभाषित करता हैk>0पीk(एक्स) टीk−1, और इसके व्यंजकों में यहाँ दिए गए कारकों के संबंध में एक कारक t का अभाव है)। दो अंतिम व्यंजक, जिनमें जनक फलन E(t) और H(t) के औपचारिक अवकलज शामिल हैं, न्यूटन की सर्वसमिका और पूर्ण सजातीय सममित फलन के लिए उनके रूपों को दर्शाते हैं। इन अभिव्यक्तियों को कभी-कभी लिखा जाता है
 * $$P(t) = -t\frac d{dt}\log(E(-t)) = t\frac d{dt}\log(H(t)),$$

जिसकी मात्रा समान है, लेकिन इसके लिए आवश्यक है कि R में परिमेय संख्याएँ हों, ताकि निरंतर पद 1 के साथ घात श्रृंखला का लघुगणक परिभाषित किया जा सके (द्वारा $$\textstyle\log(1-tS) = -\sum_{i>0} \frac1i(tS)^i$$).

विशेषज्ञता
होने देना $$\Lambda$$ सममित कार्यों की अंगूठी बनें और $$R$$ इकाई तत्व के साथ एक क्रमविनिमेय बीजगणित। एक बीजगणित समरूपता $$\varphi:\Lambda\to R,\quad f\mapsto f(\varphi)$$ विशेषज्ञता कहा जाता है। उदाहरण:
 * कुछ वास्तविक संख्याएँ दी गई हैं $$a_1,\dots,a_k$$ और $$f(x_1,x_2,\dots,)\in \Lambda$$, फिर प्रतिस्थापन $$x_1=a_1,\dots,x_k=a_k$$ और $$x_j=0,\forall j>k$$ एक विशेषज्ञता है।
 * होने देना $$f\in \Lambda$$, तब $$\operatorname{ps}(f):=f(1,q,q^2,q^3,\dots)$$ प्रमुख विशेषज्ञता कहा जाता है।

यह भी देखें

 * न्यूटन की पहचान
 * क्वैसिमेट्रिक फ़ंक्शन

संदर्भ

 * Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Oxford Mathematical Monographs. The Clarendon Press, Oxford University Press, Oxford, 1979. viii+180 pp. ISBN 0-19-853530-9
 * Macdonald, I. G. Symmetric functions and Hall polynomials. Second edition. Oxford Mathematical Monographs. Oxford Science Publications. The Clarendon Press, Oxford University Press, New York, 1995. x+475 pp. ISBN 0-19-853489-2
 * Stanley, Richard P. Enumerative Combinatorics, Vol. 2, Cambridge University Press, 1999. ISBN 0-521-56069-1 (hardback) ISBN 0-521-78987-7 (paperback).