पैनडिजिटल संख्या

गणित में, पैनडिजिटल संख्या पूर्णांक है जो किसी दिए गए सूत्र में इसके महत्वपूर्ण अंकों में से प्रत्येक अंक के आधार पर कम से कम एक बार उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1234567890 (एक अरब दो सौ चौतीस मिलियन पांच सौ साठ सात हजार आठ सौ नब्बे) आधार 10 में पैनडिजिटल संख्या है। पहले कुछ पैनडिजिटल आधार 10 संख्याएँ इस प्रकार दी गई हैं :


 * 1023456789, 1023456798, 1023456879, 1023456897, 1023456978, 1023456987, 1023457689

किसी दिए गए आधार b में सबसे छोटी पैनडिजिटल संख्या रूप का पूर्णांक है


 * $$b^{b - 1} + \sum_{d = 2}^{b - 1} db^{b - 1 - d} = \frac{b^b - b}{(b-1)^2} + (b-1) \times b^{b-2} - 1$$
 * निम्न तालिका कुछ चयनित आधारों की सबसे छोटी पैनडिजिटल संख्याओं को सूचीबद्ध करती है।

पहले 18 आधारों के लिए आधार 10 मान देता है।

एक सामान्य अर्थ में सभी सकारात्मक पूर्णांक यूनरी अंक प्रणाली (या मिलान) में पांडिजिटल हैं। बाइनरी में 0 और $$2^n - 1$$ (मेर्सन प्रीमियम) के रूप की संख्याओं को छोड़कर सभी पूर्णांक पांडिजिटल होते हैं। आधार जितना बड़ा होगा, पांडिजिटल संख्याएं उतनी ही दुर्लभ होंगी, चूँकि आधार के सभी अंकों को एक साथ लिखकर (किन्तु शून्य को सबसे महत्वपूर्ण अंक के रूप में पहले नहीं रखकर) निरर्थक अंकों के साथ $$b^x$$ निरंतर पांडिजिटल संख्याओं का रन सदैव पाया जा सकता है और अंत में न्यूनतम महत्वपूर्ण अंकों के रूप में x + 1 शून्य जोड़ता है।

इसके विपरीत, आधार जितना छोटा होता है, निरर्थक अंक के बिना कम पैनडिजिटल संख्याएं होती हैं। आधार 2 में 2 ही एकमात्र ऐसी पैनडिजिटल संख्या है, जबकि आधार 10 में इनकी संख्या अधिक है।

कभी-कभी, इस शब्द का उपयोग केवल पैनडिजिटल संख्याओं को संदर्भित करने के लिए किया जाता है, जिसमें कोई निरर्थक अंक नहीं होता है। कुछ स्थितियों में, संख्या को पैनडिजिटल कहा जा सकता है, तथापि उसमें महत्वपूर्ण अंक के रूप में शून्य नही होता है, उदाहरण के लिए, 923456781 (इन्हें कभी-कभी शून्य रहित पैनडिजिटल संख्या कहा जाता है)।

कोई भी आधार 10 पैनडिजिटल संख्या अभाज्य संख्या नहीं हो सकती है यदि उसमें निरर्थक अंक नही होंता है। इस प्रकार 0 से 9 तक के अंकों का योग 45 है, जो 3 और 9 दोनों के लिए विभाज्यता नियम पारित करता है। पहला आधार 10 पैनडिजिटल प्राइम 10123457689 है; अधिक सूचीबद्ध करता है।

इस प्रकार अलग-अलग कारणों से, पैनडिजिटल संख्या (यूनरी को छोड़कर किसी भी आधार में) के लिए निरर्थक अंक भी उस आधार में पैलिन्ड्रोमिक संख्या होने के लिए आवश्यक हैं। बेस 10 में सबसे छोटी पैंडिजिटल पैलिन्ड्रोमिक संख्या 1023456789876543201 है।

निरर्थक अंकों के बिना भी एक वर्ग संख्या होने वाली सबसे बड़ी पांडिजिटल संख्या 9814072356 (संख्या) = 99066 2 है।

दो शून्य रहित पांडिजिटल फ्रीडमैन संख्याएँ 123456789 = ((86 + 2 × 7)5 − 91) / 34, और 987654321 = (8 × (97 + 6/2)5 + 1) / 3 4 हैं।

निरर्थक अंकों के बिना एक पांडिजिटल फ्रीडमैन संख्या वर्ग 2170348569 = 465872 + (0 × 139) है।

चूँकि जो कुछ कहा गया है वह रोमन अंक पर प्रयुक्त नहीं होता है, वहाँ पैनडिजिटल अंक MCDXLIV, MCDXLVI, MCDLXIV, MCDLXVI, MDCXLIV, MDCXLVI, MDCLXIV, MDCLXVI हैं। में सूचीबद्ध ये प्रत्येक अंक का केवल एक बार उपयोग करते हैं जबकि  में दोहराव के साथ पांडिजिटल रोमन अंक हैं।

पैनडिजिटल नंबर कल्पना और विज्ञापन में उपयोगी होते हैं। सामाजिक सुरक्षा संख्या 987-65-4321 विज्ञापन में उपयोग के लिए आरक्षित शून्य रहित पैनडिजिटल संख्या है। कुछ क्रेडिट कार्ड कंपनियां काल्पनिक क्रेडिट कार्ड नंबरों के रूप में निरर्थक अंकों के साथ पैनडिजिटला संख्या का उपयोग करती हैं (जबकि अन्य शून्य के तार का उपयोग करते हैं)।

आधार 10 पैनडिजिटल संख्याओं के उदाहरण

 * 123456789 = पहली शून्य रहित पैनडिजिटल संख्या है।
 * 381654729 = एकमात्र शून्य रहित पांडिजिटल संख्या जहां पहले $n$ अंक $n$ से विभाज्य हैं।
 * 987654321 = निरर्थक अंकों के बिना सबसे बड़ी शून्य रहित पैनडिजिटल संख्या है।
 * 1023456789 = पहला पैनडिजिटल नंबर है।
 * 1234567890 = क्रम में अंकों के साथ पहली पैनडिजिटल संख्या है।
 * 3816547290 = बहुविभाज्य संख्या, निरर्थक अंकों के बिना एकमात्र पैनडिजिटल संख्या, जहां पहला $n$ अंकों से $n$ विभाज्य हैं.
 * 9814072356 = निरर्थक अंकों के बिना सबसे बड़ा पैनडिजिटल वर्ग है। यह 99066 का वर्ग (बीजगणित) है।
 * 9876543210 = निरर्थक अंकों के बिना सबसे बड़ी पैनडिजिटल संख्या है।
 * 12345678987654321 = पैनडिजिटल संख्या जिसमें शून्य को छोड़कर सभी अंक आरोही और अवरोही दोनों क्रम में होंते है। यह 111111111 का वर्ग (बीजगणित) है; डेमलो नंबर देखें। यह पैलिन्ड्रोमिक संख्या भी है।

यह भी देखें

 * चम्पेरनोई स्थिरांक

संदर्भ

 * De Geest, P. The Nine Digits Page
 * De Geest, P. The Nine Digits Page