गैर-विश्लेषणात्मक सुचारू कार्य

गणित में, सुचारू कार्य (जिसे असीम रूप से भिन्न कार्य कार्य भी कहा जाता है) और विश्लेषणात्मक कार्य दो बहुत महत्वपूर्ण प्रकार के कार्य (गणित) हैं। कोई आसानी से साबित कर सकता है कि वास्तविक संख्या तर्क का कोई भी विश्लेषणात्मक कार्य सुचारू है। बातचीत (तर्क) सत्य नहीं है, जैसा कि नीचे दिए गए प्रति उदाहरण के साथ दिखाया गया है।

कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ सुचारू कार्यों के सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक तथाकथित शमन करनेवाला का निर्माण है, जो सामान्यीकृत कार्यों के सिद्धांतों में महत्वपूर्ण हैं, जैसे कि लॉरेंट श्वार्ट्ज के वितरण का सिद्धांत (गणित)।

सुचारू लेकिन गैर-विश्लेषणात्मक कार्यों का अस्तित्व अंतर ज्यामिति और जटिल कई गुना के बीच मुख्य अंतरों में से एक का प्रतिनिधित्व करता है। शीफ सिद्धांत के संदर्भ में, इस अंतर को निम्नानुसार कहा जा सकता है: विश्लेषणात्मक मामले के विपरीत, अलग-अलग मैनिफोल्ड पर अलग-अलग कार्यों का शीफ ​​ठीक शीफ है।

नीचे दिए गए कार्य आम तौर पर अलग-अलग मैनिफोल्ड पर एकता के विभाजन को बनाने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

समारोह की परिभाषा
समारोह पर विचार करें


 * $$f(x)=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x}}&\text{if }x>0,\\ 0&\text{if }x\le0,\end{cases}$$

प्रत्येक वास्तविक संख्या x के लिए परिभाषित।

कार्य सुचारू है
फ़ंक्शन f में वास्तविक रेखा के प्रत्येक बिंदु x पर सभी ऑर्डर के निरंतर फ़ंक्शन यौगिक  हैं। इन डेरिवेटिव का सूत्र है


 * $$f^{(n)}(x) = \begin{cases}\displaystyle\frac{p_n(x)}{x^{2n}}\,f(x) & \text{if }x>0, \\ 0 &\text{if }x \le 0,\end{cases}$$

जहां पn(x) एक बहुपद n − 1 की डिग्री का एक बहुपद है जिसे p द्वारा पुनरावर्तन दिया गया है1(एक्स) = 1 और


 * $$p_{n+1}(x)=x^2p_n'(x)-(2nx-1)p_n(x)$$

किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए। इस सूत्र से, यह पूरी तरह से स्पष्ट नहीं है कि डेरिवेटिव 0 पर निरंतर हैं; यह एक तरफा सीमा से अनुसरण करता है


 * $$\lim_{x\searrow 0} \frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^m} = 0$$

किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक एम के लिए।

घातीय फलन#औपचारिक परिभाषा द्वारा, हमारे पास प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए है $$m$$ (शून्य सहित)


 * $$\frac1{x^m}=x\Bigl(\frac1{x}\Bigr)^{m+1}\le (m+1)!\,x\sum_{n=0}^\infty\frac1{n!}\Bigl(\frac1x\Bigr)^n

=(m+1)!\,x e^{\frac{1}{x}},\qquad x>0,$$ क्योंकि सभी सकारात्मक शर्तों के लिए $$n \neq m+1$$ जुड़ गए है। इसलिए, इस असमानता को विभाजित करके $$e^{\frac{1}{x}}$$ और एकतरफा सीमा लेते हुए,


 * $$\lim_{x\searrow0}\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x^m}

\le (m+1)!\lim_{x\searrow0}x=0.$$ अब हम गणितीय आगमन द्वारा f के nवें अवकलज के सूत्र को सिद्ध करते हैं। श्रृंखला नियम, पारस्परिक नियम, और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि घातीय फलन का व्युत्पन्न फिर से घातीय फलन है, हम देखते हैं कि सूत्र सभी x > 0 के लिए f के पहले व्युत्पन्न के लिए सही है और वह p1(x) डिग्री 0 का एक बहुपद है। बेशक, f का व्युत्पन्न x < 0 के लिए शून्य है। यह दिखाना बाकी है कि x = 0 पर f का दाहिना हाथ व्युत्पन्न शून्य है। उपरोक्त सीमा का उपयोग करते हुए, हम देखते हैं


 * $$f'(0)=\lim_{x\searrow0}\frac{f(x)-f(0)}{x-0}=\lim_{x\searrow0}\frac{e^{-\frac{1}{x}}}{x}=0.$$

n से n + 1 तक का इंडक्शन चरण समान है। x > 0 के लिए हम व्युत्पन्न के लिए प्राप्त करते हैं
 * $$\begin{align}f^{(n+1)}(x)

&=\biggl(\frac{p'_n(x)}{x^{2n}}-2n\frac{p_n(x)}{x^{2n+1}}+\frac{p_n(x)}{x^{2n+2}}\biggr)f(x)\\ &=\frac{x^2p'_n(x)-(2nx-1)p_n(x)}{x^{2n+2}}f(x)\\ &=\frac{p_{n+1}(x)}{x^{2(n+1)}}f(x),\end{align}$$ जहां पn+1(x) घात n = (n + 1) − 1 का एक बहुपद है। बेशक, f का (n + 1)वां अवकलज x < 0 के लिए शून्य है। f के दाएं हाथ के अवकलज के लिए(n) x = 0 पर हम उपरोक्त सीमा के साथ प्राप्त करते हैं


 * $$\lim_{x\searrow0} \frac{f^{(n)}(x) - f^{(n)}(0)}{x-0} = \lim_{x\searrow0} \frac{p_n(x)}{x^{2n+1}}\,e^{-1/x} = 0.$$

फ़ंक्शन विश्लेषणात्मक नहीं है
जैसा कि पहले देखा गया है, फ़ंक्शन f सुचारू है, और मूल (गणित) पर इसके सभी डेरिवेटिव 0 हैं। इसलिए, उत्पत्ति पर f की टेलर श्रृंखला हर जगह शून्य फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाती है,


 * $$\sum_{n=0}^\infty \frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n=\sum_{n=0}^\infty \frac{0}{n!}x^n = 0,\qquad x\in\mathbb{R},$$

और इसलिए टेलर श्रृंखला x > 0 के लिए f(x) के बराबर नहीं है। नतीजतन, f मूल बिंदु पर विश्लेषणात्मक कार्य नहीं है।

सुचारू संक्रमण कार्य
कार्यक्रम


 * $$g(x)=\frac{f(x)}{f(x)+f(1-x)},\qquad x\in\mathbb{R},$$

वास्तविक रेखा पर हर जगह सख्ती से सकारात्मक भाजक होता है, इसलिए जी भी चिकना होता है। इसके अलावा, x ≤ 0 के लिए g(x) = 0 और x ≥ 1 के लिए g(x) = 1, इसलिए यह इकाई अंतराल में स्तर 0 से स्तर 1 तक एक सहज संक्रमण प्रदान करता है [ 0, 1 ] । a < b के साथ वास्तविक अंतराल [ a, b ] में सहज संक्रमण के लिए, फ़ंक्शन पर विचार करें


 * $$\mathbb{R}\ni x\mapsto g\Bigl(\frac{x-a}{b-a}\Bigr).$$

वास्तविक संख्या के लिए $a < b < c < d$, सुचारू कार्य


 * $$\mathbb{R}\ni x\mapsto g\Bigl(\frac{x-a}{b-a}\Bigr)\,g\Bigl(\frac{d-x}{d-c}\Bigr)$$

बंद अंतराल [ b, c ] पर 1 के बराबर होता है और खुले अंतराल (a, d) के बाहर गायब हो जाता है, इसलिए यह एक टक्कर समारोह के रूप में काम कर सकता है।

एक सहज कार्य जो कहीं भी वास्तविक विश्लेषणात्मक
नहीं है एक अधिक पैथोलॉजिकल (गणित) उदाहरण एक असीम रूप से भिन्न कार्य है जो किसी भी बिंदु पर विश्लेषणात्मक नहीं है। इसका निर्माण निम्नानुसार फूरियर श्रृंखला के माध्यम से किया जा सकता है। सभी के लिए परिभाषित करें $$x \in \mathbb{R}$$
 * $$F(x):=\sum_{k\in \mathbb{N}} e^{-\sqrt{2^k}}\cos(2^k x)\ .$$

श्रृंखला के बाद से $$\sum_{k\in \mathbb{N}} e^{-\sqrt{2^k}}{(2^k)}^n$$ सभी के लिए जुट जाता है $$n \in \mathbb{N}$$, यह कार्य आसानी से वर्ग सी का देखा जाता है∞, डेरिवेटिव की प्रत्येक श्रृंखला के एकसमान अभिसरण को प्रदर्शित करने के लिए वीयरस्ट्रैस एम-परीक्षण के एक मानक आगमनात्मक अनुप्रयोग द्वारा।

अब हम दिखाते हैं $$F(x)$$ π के किसी भी द्विअर्थी परिमेय गुणज, यानी किसी पर भी विश्लेषणात्मक नहीं है $$x := \pi \cdot p \cdot 2^{-q}$$ साथ $$p \in \mathbb{Z}$$ और $$q \in \mathbb{N}$$. पहले के योग के बाद से $$q$$ शर्तें विश्लेषणात्मक हैं, हमें केवल विचार करने की आवश्यकता है $$F_{>q}(x)$$, के साथ शर्तों का योग $$k>q$$. व्युत्पत्ति के सभी आदेशों के लिए $$n = 2^m$$ साथ $$m \in \mathbb{N}$$, $$m \geq 2$$ और $$m > q/2$$ अपने पास


 * $$F_{>q}^{(n)}(x):=\sum_{k\in \mathbb{N}\atop k>q} e^{-\sqrt{2^k}} {(2^k)}^n\cos(2^k x) = \sum_{k\in \mathbb{N}\atop k>q} e^{-\sqrt{2^k}} {(2^k)}^n \ge  e^{-n} n^{2n}\quad  (\mathrm{as}\; n\to \infty)$$

जहां हमने इस तथ्य का उपयोग किया $$\cos(2^k x) = 1$$ सभी के लिए $$2^k > 2^q$$, और हमने पहले योग को नीचे से पद के साथ परिबद्ध किया $$2^k=2^{2m}=n^2$$. नतीजतन, ऐसे किसी पर $$x \in \mathbb{R}$$
 * $$\limsup_{n\to\infty} \left(\frac{|F_{>q}^{(n)}(x)|}{n!}\right)^{1/n}=+\infty\, ,$$

ताकि टेलर श्रृंखला के अभिसरण की त्रिज्या $$F_{>q}$$ पर  $$x$$ कौशी-हैडमार्ड प्रमेय द्वारा 0 है#प्रमेय का कथन|कॉची-हैडमार्ड सूत्र। चूँकि किसी फलन की विश्लेषणात्मकता का समुच्चय एक खुला समुच्चय है, और चूँकि द्विअर्थी परिमेय सघन समुच्चय हैं, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि  $$F_{>q}$$, और इसलिए $$F$$, कहीं भी विश्लेषणात्मक नहीं है $$\mathbb{R}$$.

टेलर श्रृंखला के लिए आवेदन
हर क्रम के लिए α0, ए1, ए2,. . . वास्तविक या जटिल संख्याओं के लिए, निम्नलिखित निर्माण वास्तविक रेखा पर एक चिकने फलन F के अस्तित्व को दर्शाता है, जिसके मूल में ये संख्याएँ डेरिवेटिव के रूप में हैं। विशेष रूप से, संख्याओं का प्रत्येक क्रम टेलर श्रृंखला के सुचारू कार्य के गुणांक के रूप में प्रकट हो सकता है। एमिल बोरेल के बाद इस परिणाम को बोरेल लेम्मा के रूप में जाना जाता है।

ऊपर के रूप में सुचारु संक्रमण समारोह जी के साथ, परिभाषित करें


 * $$h(x)=g(2+x)\,g(2-x),\qquad x\in\mathbb{R}.$$

यह फ़ंक्शन h भी सुचारू है; यह बंद अंतराल [ −1,1 ] पर 1 के बराबर होता है और खुले अंतराल (−2,2) के बाहर गायब हो जाता है। एच का उपयोग करते हुए, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n (शून्य सहित) के लिए सुचारू कार्य को परिभाषित करें


 * $$\psi_n(x)=x^n\,h(x),\qquad x\in\mathbb{R},$$

जो एकपदी x से सहमत हैn on [ −1.1 ] और अंतराल (−2.2) के बाहर गायब हो जाता है। इसलिए, ψ का k-वाँ अवकलजnमूल रूप से संतुष्ट


 * $$\psi_n^{(k)}(0)=\begin{cases}n!&\text{if }k=n,\\0&\text{otherwise,}\end{cases}\quad k,n\in\mathbb{N}_0,$$

और परिबद्धता प्रमेय का अर्थ है कि ψnऔर ψ का प्रत्येक व्युत्पन्नnघिरा है। इसलिए, स्थिरांक


 * $$\lambda_n=\max\bigl\{1,|\alpha_n|,\|\psi_n\|_\infty,\|\psi_n^{(1)}\|_\infty,\ldots,\|\psi_n^{(n)}\|_\infty\bigr\},\qquad n\in\mathbb{N}_0,$$

ψ के सर्वोच्च मानदंड को शामिल करनाnऔर इसके पहले n डेरिवेटिव, अच्छी तरह से परिभाषित वास्तविक संख्याएँ हैं। स्केल किए गए कार्यों को परिभाषित करें


 * $$f_n(x)=\frac{\alpha_n}{n!\,\lambda_n^n}\psi_n(\lambda_n x),\qquad n\in\mathbb{N}_0,\;x\in\mathbb{R}.$$

श्रृंखला नियम के बार-बार प्रयोग से,


 * $$f_n^{(k)}(x)=\frac{\alpha_n}{n!\,\lambda_n^{n-k}}\psi_n^{(k)}(\lambda_n x),\qquad k,n\in\mathbb{N}_0,\;x\in\mathbb{R},$$

और, ψ के k-वें डेरिवेटिव के लिए पिछले परिणाम का उपयोग करनाnशून्य पर,


 * $$f_n^{(k)}(0)=\begin{cases}\alpha_n&\text{if }k=n,\\0&\text{otherwise,}\end{cases}\qquad k,n\in\mathbb{N}_0.$$

यह दिखाना बाकी है कि function


 * $$F(x)=\sum_{n=0}^\infty f_n(x),\qquad x\in\mathbb{R},$$

अच्छी तरह से परिभाषित है और शब्द-दर-अवधि में असीमित रूप से कई बार विभेदित किया जा सकता है। इसके लिए, देखें कि हर k के लिए


 * $$\sum_{n=0}^\infty\|f_n^{(k)}\|_\infty

\le \sum_{n=0}^{k+1}\frac{|\alpha_n|}{n!\,\lambda_n^{n-k}}\|\psi_n^{(k)}\|_\infty +\sum_{n=k+2}^\infty\frac1{n!} \underbrace{\frac1{\lambda_n^{n-k-2}}}_{\le\,1} \underbrace{\frac{|\alpha_n|}{\lambda_n}}_{\le\,1} \underbrace{\frac{\|\psi_n^{(k)}\|_\infty}{\lambda_n}}_{\le\,1} <\infty,$$ जहां शेष अनंत श्रृंखला अनुपात परीक्षण द्वारा अभिसरित होती है।

उच्च आयामों के लिए आवेदन
प्रत्येक त्रिज्या r > 0 के लिए,


 * $$\mathbb{R}^n\ni x\mapsto \Psi_r(x)=f(r^2-\|x\|^2)$$

यूक्लिडियन मानदंड के साथ ||x|| त्रिज्या आर की गेंद (गणित) में समर्थन (गणित) के साथ एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर एक चिकनी कार्य को परिभाषित करता है, लेकिन $$\Psi_r(0)>0$$.

जटिल विश्लेषण
यह विकृति एक वास्तविक चर के बजाय अलग-अलग जटिल विश्लेषण के साथ नहीं हो सकती। वास्तव में, सभी होलोमॉर्फिक कार्य विश्लेषणात्मक होते हैं, इसलिए इस लेख में परिभाषित फ़ंक्शन एफ की विफलता विश्लेषणात्मक होने के बावजूद असीम रूप से भिन्न होने के बावजूद वास्तविक-चर और जटिल-चर विश्लेषण के बीच सबसे नाटकीय अंतरों में से एक का संकेत है।

ध्यान दें कि यद्यपि फ़ंक्शन f में वास्तविक रेखा पर सभी ऑर्डर के डेरिवेटिव हैं, सकारात्मक अर्ध-रेखा x > 0 से जटिल विमान तक f की विश्लेषणात्मक निरंतरता, यानी फ़ंक्शन


 * $$\mathbb{C}\setminus\{0\}\ni z\mapsto e^{-\frac{1}{z}}\in\mathbb{C},$$

मूल में एक आवश्यक विलक्षणता है, और इसलिए निरंतर भी नहीं है, बहुत कम विश्लेषणात्मक है। महान पिकार्ड प्रमेय द्वारा, यह उत्पत्ति के प्रत्येक पड़ोस में असीमित रूप से कई बार प्रत्येक जटिल मूल्य (शून्य के अपवाद के साथ) प्राप्त करता है।

यह भी देखें

 * टक्कर समारोह
 * फैबियस समारोह
 * फ्लैट समारोह
 * मोलिफायर