अवशिष्ट मानचित्रण

गणित में, अवशिष्ट मानचित्रण की अवधारणा आंशिक रूप से क्रमित समुच्चयों के सिद्धांत में उत्पन्न होती है। यह मोनोटोनिक फलन की अवधारणा को परिष्कृत करता है।

यदि A, B आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय हैं, तो फलन F: A → B को मोनोटोन के रूप में परिभाषित किया गया है, इस प्रकार यदि यह ऑर्डर-संरक्षित है अर्थात यदि x ≤y का तात्पर्य f(x) ≤f(y) से है। इस स्थिति में यह इस शर्त के समतुल्य रहता है क्यूंकि B के प्रत्येक डाउन-समुच्चय के F के अंतर्गत पूर्वछवि A का डाउन-समुच्चय को प्रदर्शित करता है। इस प्रकार हम प्रिंसिपल डाउन-समुच्चय को ↓{b} = { b ' ∈ B : b ' ≤ B } सामान्यतः C के लिए प्रिंसिपल डाउन-समुच्चय के F के अंतर्गत प्रीइमेज को प्रिंसिपल डाउन-समुच्चय होने की आवश्यकता नहीं होती है। यहां पर f को अवशिष्ट कहा जाता है।

अवशिष्ट मानचित्र की धारणा को घटक-वार अवशिष्ट के माध्यम से बाइनरी ऑपरेटर या C भी उच्च योग्यता के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इस प्रकार यह दृष्टिकोण आंशिक रूप से क्रमित मैग्मा (बीजगणित) में बाएँ और दाएँ विभाजन की धारणा को जन्म देता है, इसके अतिरिक्त इसे अर्धसमूह संरचना प्रदान करता है। इसके कारण केवल उच्चतर योग्यताओं के लिए अवशिष्ट बीजगणित की बात करता है। इस प्रकार बाइनरी या उच्चतम एरिटी अवशिष्ट मानचित्र आमतौर पर यूनरी मानचित्र के रूप में अवशिष्ट नहीं होता है।

परिभाषा
यदि A, B पॉसमुच्चय हैं, तो इस प्रकार फलन F: A → B 'अवशेष' को प्रदर्शित करता है, इस प्रकार यदि B के प्रत्येक प्रिंसिपल डाउन-समुच्चय के F के अनुसार प्रीइमेज A का प्रिंसिपल डाउन-समुच्चय है।

परिणाम
A, B पॉसमुच्चय के साथ, फलन A → B के समुच्चय को बिंदुवार क्रम F ≤ G ↔ (∀x ∈ A) F (X) ≤ G(X) द्वारा आदेश दिया जा सकता है।

यह दिखाया जा सकता है कि f अवशिष्ट है, यदि इसके लिए कोई आवश्यक रूप से अद्वितीय मोनोटोन फलन f+: B → A सम्मिलित रहते हैं, इसका मान इस प्रकार हैं कि f o F+ ≤ IDB और F+ o F ≥ IDA, जहां ID मुख्य रूप से पहचान फलन है। इस फलन के लिए F+ f इसका मुख्य अवशेष है। यहाँ पर अवशिष्ट फलन और उसका अवशिष्ट उस अवधारणा की अधिक मोनोटोन परिभाषा के अनुसार गैलोइस संयोजन बनाता है, और इस प्रकार प्रत्येक मोनोटोन गैलोज़ संयोजन के लिए निचला सहायक अवशिष्ट होता है और अवशिष्ट ऊपरी जोड़ होता है। इसलिए मोनोटोन गैलोज़ संयोजन और अवशिष्ट मानचित्रण की धारणाएं अनिवार्य रूप से मेल खाती हैं।

इसके अतिरिक्त हमारे पास F-1(↓{b}) = ↓{f+(b)} के लिए B°, B के द्वैत (आदेश सिद्धांत) (विपरीत स्थिति) को दर्शाता है, जहाँ पर f: A → B अवशिष्ट मानचित्रण है, इसका कारण यह हैं कि f का मान यहाँ पर सम्मिलित है,* जैसे कि f : A → B° और f*: B° → A इस धारणा की मूल प्रतिस्वर परिभाषा के अनुसार गैलोज़ से संयोजित होते है।

यदि F: A → B और जी: B → C अवशिष्ट मैपिंग हैं, तो फलन संरचना FG: A → C, अवशिष्ट (FG)+ = G+H+ के साथ है। इस प्रकार एंटीटोन गैलोज़ संयोजन को इसके उचित मान द्वारा साझा नहीं करते हैं।

यहाँ पर पोसमुच्चय पर मोनोटोन ट्रांसफ़ॉर्मेशन (फलन) का समुच्चय बिंदुवार क्रम के साथ ऑर्डर किया गया मोनॉइड है, और इस प्रकार EC प्रकार के अवशिष्ट ट्रांसफ़ॉर्मेशन का समुच्चय भी है।

उदाहरण

 * आवरण का फलन $$x \mapsto \lceil x \rceil $$ R से Z तक प्रत्येक स्थिति में सामान्य क्रम के साथ अवशिष्ट रहता है, जहाँ पर R में Z के प्राकृतिक एम्बेडिंग के अवशिष्ट मानचित्रण के साथ उपयोगी हैं।
 * Z का R में एम्बेडिंग भी शेष है। इसका अवशिष्ट फलन $$x \mapsto \lfloor x \rfloor$$ है।

अवशिष्ट बाइनरी ऑपरेटर
यदि • : P × Q → R द्विआधारी मानचित्र को प्रदर्शित करते है, और यहाँ पर P, Q, और R पॉसमुच्चय हैं, तो इस प्रकार कोई बाएँ और दाएँ अनुवाद के लिए अवशिष्ट घटक को परिभाषित कर सकता है, अर्थात निश्चित तत्व द्वारा गुणा करते हैं। इस प्रकार P में C तत्व xxλ(y) = x • y के लिए परिभाषित करते हैं, और इस प्रकार Q में x के लिए λx(y) = y • x को परिभाषित करते हैं। इस स्थिति में इसे अवशिष्ट कहा जाता है, इसके कारण यदि xL और Lxसभी x (क्रमशः P और Q में) के लिए अवशिष्ट हैं। इसके कारण बाएँ और क्रमशः दाएँ ओर के विभाजन को बाएँ और क्रमशः दाएँ ओर के अनुवाद के अवशेषों को लेकर परिभाषित किया गया है: जिसे x\y = (xL)+(y) और x/y = (λx)+(y) द्वारा प्रदर्शित करते हैं।

उदाहरण के लिए, प्रत्येक आदेशित समूह अवशिष्ट है, और उपरोक्त द्वारा परिभाषित विभाजन समूह (गणित) विभाजन की धारणा से मेल खाता है। इस प्रकार यहाँ पर कम मान वाले उदाहरणों समुच्चय मैटn(B) है, जहाँ पर बूलियन बीजगणित (संरचना) B पर वर्ग आव्यूह का, जहां आव्यूह को बिंदुवार क्रमबद्ध किया जाता है। इस प्रकार बिंदुवार क्रम मैटn(B) का समर्थन करता है, जहाँ पर बिंदुवार मिलते जुड़ते हैं और पूरक होते हैं। इस प्रकार आव्यूह गुणन को सामान्य तरीके से परिभाषित किया जाता है जिसमें उत्पाद मिलन होता है और योग जोड़ होता है। इसे दिखाया जा सकता है वह X\Y = (YtX ' )' और X/Y = (X ' Yt)', जहां X', X और Y का पूरक है, जहाँ पर t ट्रांसपोज़्ड आव्यूह है।

यह भी देखें

 * अवशिष्ट फिल्टर

संदर्भ

 * J.C. Derderian, "Galois connections and pair algebras", Canadian J. Math. 21 (1969) 498-501.
 * Jonathan S. Golan, Semirings and Affine Equations Over Them: Theory and Applications, Kluwer Academic, 2003, ISBN 1-4020-1358-2. Page 49.
 * T.S. Blyth, "Residuated mappings", Order 1 (1984) 187-204.
 * T.S. Blyth, Lattices and Ordered Algebraic Structures, Springer, 2005, ISBN 1-85233-905-5. Page 7.
 * T.S. Blyth, M. F. Janowitz, Residuation Theory, Pergamon Press, 1972, ISBN 0-08-016408-0. Page 9.
 * M. Erné, J. Koslowski, A. Melton, G. E. Strecker, A primer on Galois connections, in: Proceedings of the 1991 Summer Conference on General Topology and Applications in Honor of Mary Ellen Rudin and Her Work, Annals of the New York Academy of Sciences, Vol. 704, 1993, pp. 103–125. Available online in various file formats: PS.GZ PS
 * Klaus Denecke, Marcel Erné, Shelly L. Wismath, Galois connections and applications, Springer, 2004, ISBN 1402018975
 * Galatos, Nikolaos, Peter Jipsen, Tomasz Kowalski, and Hiroakira Ono (2007), Residuated Lattices. An Algebraic Glimpse at Substructural Logics, Elsevier, ISBN 978-0-444-52141-5.