द्विभाजन सिद्धांत के जैविक अनुप्रयोग

द्विभाजन सिद्धांत के जैविक अनुप्रयोग गतिशील प्रणालियों के रूप में तैयार किए गए जैविक नेटवर्क के व्यवहार को समझने के लिए एक रूपरेखा प्रदान करते हैं। एक जैविक प्रणाली के संदर्भ में, द्विभाजन सिद्धांत बताता है कि कैसे इनपुट पैरामीटर में छोटे परिवर्तन प्रणाली के व्यवहार में द्विभाजन या गुणात्मक परिवर्तन का कारण बन सकते हैं। सिस्टम आउटपुट में नाटकीय परिवर्तन करने की क्षमता अक्सर जीव के कार्य के लिए आवश्यक होती है, और इसलिए कोशिका चक्र में जैव रासायनिक स्विच जैसे जैविक नेटवर्क में द्विभाजन सर्वव्यापी होते हैं।

जैविक नेटवर्क और गतिशील प्रणालियाँ
जैविक नेटवर्क विकास से उत्पन्न होते हैं और इसलिए इसमें मानव द्वारा डिज़ाइन किए गए नेटवर्क, जैसे विद्युत नेटवर्क की तुलना में कम मानकीकृत घटक और संभावित रूप से अधिक जटिल इंटरैक्शन होते हैं। सेलुलर स्तर पर, नेटवर्क के घटकों में बड़ी संख्या में प्रोटीन शामिल हो सकते हैं, जिनमें से कई जीवों के बीच भिन्न होते हैं। नेटवर्क इंटरैक्शन तब होता है जब एक या अधिक प्रोटीन प्रतिलेखन (आनुवंशिकी), अनुवाद (जीव विज्ञान), प्रोटीन लक्ष्यीकरण, फास्फारिलीकरण या अन्य तंत्रों के माध्यम से दूसरे के कार्य को प्रभावित करते हैं। ये अंतःक्रियाएं या तो किसी तरह से लक्ष्य प्रोटीन की क्रिया को सक्रिय करती हैं या बाधित करती हैं। जबकि मनुष्य सरलता और व्यवस्था की चिंता के साथ नेटवर्क बनाते हैं, जैविक नेटवर्क विकास के दौरान अतिरेक और जटिलता प्राप्त करते हैं। इसलिए, किसी जैविक नेटवर्क के संगठन के ज्ञान से उसके मात्रात्मक व्यवहार की भविष्यवाणी करना असंभव हो सकता है। इसी तरह, इसके संगठन का पूरी तरह से इसके व्यवहार से वर्णन करना असंभव है, हालांकि व्यवहार कुछ नेटवर्क रूपांकनों की उपस्थिति का संकेत दे सकता है।

हालाँकि, नेटवर्क इंटरैक्शन के ज्ञान और प्रोटीन और प्रोटीन इंटरैक्शन के लिए मापदंडों के एक सेट (आमतौर पर अनुभवजन्य अनुसंधान के माध्यम से प्राप्त) के साथ, एक गतिशील प्रणाली के रूप में नेटवर्क का एक मॉडल बनाना अक्सर संभव होता है। सामान्य तौर पर, n प्रोटीन के लिए, गतिशील प्रणाली निम्नलिखित रूप लेती है जहां x आमतौर पर प्रोटीन सांद्रता है:


 * $$ \dot{x_1} = \frac{dx_1}{dt} = f_1(x_1, \ldots, x_n) $$
 * $$ \vdots $$
 * $$ \dot{x_i} = \frac{dx_i}{dt} = f_i(x_1, \ldots, x_n) $$
 * $$ \vdots $$
 * $$ \dot{x_n} = \frac{dx_n}{dt} = f_n(x_1, \ldots, x_n) $$

इन प्रणालियों को हल करना अक्सर बहुत कठिन होता है, इसलिए रैखिक गतिशील प्रणालियों के रूप में नेटवर्क का मॉडलिंग करना आसान होता है। रैखिक प्रणालियों में xs के बीच कोई उत्पाद नहीं होता है और ये हमेशा हल करने योग्य होते हैं। उनके पास सभी i के लिए निम्नलिखित फॉर्म है:


 * $$ f_i = a_{i1}x_1 + a_{i2}x_2 + \cdots + a_{in}x_n \, $$

दुर्भाग्य से, जैविक प्रणालियाँ अक्सर अरैखिक होती हैं और इसलिए अरैखिक मॉडल की आवश्यकता होती है।

इनपुट/आउटपुट रूपांकनों
जैविक नेटवर्क की महान संभावित जटिलता और विविधता के बावजूद, सभी प्रथम-क्रम नेटवर्क व्यवहार चार संभावित इनपुट-आउटपुट रूपांकनों में से एक के लिए सामान्यीकृत होते हैं: हाइपरबोलिक या माइकलिस-मेंटेन कैनेटीक्स|माइकलिस-मेंटेन, अतिसंवेदनशीलता |अल्ट्रा-सेंसिटिव, बिस्टैबिलिटी, और बिस्टेबल अपरिवर्तनीय (एक  अस्थिरता  जहां उच्च आउटपुट की स्थिति से लौटने के लिए नकारात्मक और इसलिए जैविक रूप से असंभव इनपुट की आवश्यकता होती है)। जैविक संदर्भों में प्रत्येक के उदाहरण उनके संबंधित पृष्ठों पर पाए जा सकते हैं।

अल्ट्रासेंसिटिव, बिस्टेबल और अपरिवर्तनीय रूप से बस्टेबल नेटवर्क सभी कुछ पैरामीटर मानों के आसपास नेटवर्क व्यवहार में गुणात्मक परिवर्तन दिखाते हैं - ये उनके द्विभाजन बिंदु हैं।

त्रुटि की उपस्थिति में बुनियादी विभाजन
गैर-रेखीय गतिशील प्रणालियों को एक-आयामी उदाहरण प्रणाली के साथ सबसे आसानी से समझा जा सकता है जहां कुछ मात्रा x (जैसे प्रोटीन एकाग्रता) बहुतायत में परिवर्तन केवल स्वयं पर निर्भर करता है:


 * $$ \dot{x} = \frac{dx}{dt} = f(x) \, $$

सिस्टम को विश्लेषणात्मक रूप से हल करने के बजाय, जो कई कार्यों के लिए कठिन या असंभव हो सकता है, ज्यामितीय दृष्टिकोण अपनाना और एक चरण चित्र बनाना अक्सर सबसे तेज़ और सबसे जानकारीपूर्ण होता है। एक चरण चित्र अंतर समीकरण के व्यवहार का एक गुणात्मक रेखाचित्र है जो वास्तविक रेखा पर संतुलन समाधान या निश्चित बिंदु (गणित) और वेक्टर क्षेत्र दिखाता है।

द्विभाजन सिस्टम परिवर्तनों में नियंत्रण पैरामीटर के रूप में निश्चित बिंदुओं की स्थिरता या अस्तित्व में परिवर्तन का वर्णन करता है। एक गतिशील प्रणाली में द्विभाजन की एक बहुत ही सरल व्याख्या के रूप में, एक ऊर्ध्वाधर बीम के शीर्ष पर संतुलित वस्तु पर विचार करें। वस्तु के द्रव्यमान को नियंत्रण पैरामीटर, आर के रूप में माना जा सकता है, और ऊर्ध्वाधर अक्ष से बीम का विक्षेपण गतिशील चर, एक्स है। जैसे-जैसे r बढ़ता है, x अपेक्षाकृत स्थिर रहता है। लेकिन जब द्रव्यमान एक निश्चित बिंदु - द्विभाजन बिंदु - पर पहुंचता है, तो किरण अचानक सेटअप में मामूली खामियों पर निर्भर दिशा में झुक जाएगी। यह पिचफोर्क द्विभाजन का एक उदाहरण है। नियंत्रण पैरामीटर में परिवर्तन ने अंततः सिस्टम के गुणात्मक व्यवहार को बदल दिया।

सैडल-नोड द्विभाजन
अधिक कठोर उदाहरण के लिए, निम्नलिखित समीकरण द्वारा वर्णित चित्र 2 में दर्शाई गई गतिशील प्रणाली पर विचार करें:

$$ \dot{x} = -x^2 + r $$ जहां r एक बार फिर नियंत्रण पैरामीटर है (चित्र 2 में ε लेबल किया गया है)। सिस्टम के निश्चित बिंदुओं का प्रतिनिधित्व उस स्थान से किया जाता है जहां चरण पोर्ट्रेट वक्र x-अक्ष को पार करता है। किसी दिए गए निश्चित बिंदु की स्थिरता x-अक्ष पर प्रवाह की दिशा से निर्धारित की जा सकती है; उदाहरण के लिए, चित्र 2 में, हरा बिंदु अस्थिर (अपसारी प्रवाह) है, और लाल बिंदु स्थिर (अभिसारी प्रवाह) है। सबसे पहले, जब r 0 से अधिक होता है, तो सिस्टम में एक स्थिर निश्चित बिंदु और एक अस्थिर निश्चित बिंदु होता है। जैसे-जैसे r घटता है, स्थिर बिंदु एक साथ चलते हैं, r = 0 पर एक अर्ध-स्थिर निश्चित बिंदु में संक्षेप में टकराते हैं, और फिर r < 0 होने पर अस्तित्व समाप्त हो जाता है।

इस मामले में, क्योंकि नियंत्रण पैरामीटर r 0 होने पर सिस्टम का व्यवहार महत्वपूर्ण रूप से बदल जाता है, 0 एक द्विभाजन बिंदु है। चित्र 2 में निश्चित बिंदुओं की स्थिति का पता लगाकर, जैसे कि आर भिन्न होता है, कोई व्यक्ति चित्र 3 में दिखाए गए द्विभाजन आरेख को उत्पन्न करने में सक्षम होता है।

गतिशील प्रणालियों में अन्य प्रकार के द्विभाजन भी महत्वपूर्ण हैं, लेकिन काठी-नोड द्विभाजन जीव विज्ञान में सबसे महत्वपूर्ण होता है। वास्तविक जैविक प्रणालियाँ छोटे स्टोकेस्टिक के अधीन हैं variations that introduce error terms into the dynamical equations, and this usually leads to more complex bifurcations simplifying into separate saddle nodes and fixed points. Two such examples of "imperfect" bifurcations that can appear in biology are discussed below. Note that the saddle node itself in the presence of error simply translates in the x-r plane, with no change in qualitative behavior; this can be proven using the same analysis as presented below.

अपूर्ण ट्रांसक्रिटिकल द्विभाजन
एक सामान्य सरल द्विभाजन ट्रांसक्रिटिकल द्विभाजन है, जो द्वारा दिया गया है

$${dx \over dt} = rx - x^2$$ और चित्र 4 (काले वक्र) में द्विभाजन आरेख। चरण आरेख चित्र 5 में दिखाए गए हैं। चरण आरेख में x-अवरोधन को r परिवर्तन के रूप में ट्रैक करते हुए, दो निश्चित बिंदु प्रक्षेपवक्र हैं जो मूल पर प्रतिच्छेद करते हैं; यह द्विभाजन बिंदु है (सहज रूप से, जब चरण चित्र में एक्स-इंटरसेप्ट्स की संख्या बदल जाती है)। बायां निश्चित बिंदु हमेशा अस्थिर होता है, और दायां स्थिर होता है।

अब एक त्रुटि पद h को जोड़ने पर विचार करें, जहां 0 < h << 1. अर्थात,

$${dx \over dt} = rx - x^2 -h$$ यदि h सकारात्मक है तो त्रुटि शब्द सभी चरण चित्रों को लंबवत, नीचे की ओर अनुवादित करता है। चित्र 6 (x < 0) के बाएं आधे भाग में, काले, लाल और हरे रंग के निश्चित बिंदु क्रमशः अर्धस्थिर, अस्थिर और स्थिर हैं। यह दाहिने आधे भाग पर मैजेंटा, काले और नीले बिंदुओं द्वारा प्रतिबिंबित होता है (x > 0)। इनमें से प्रत्येक भाग इस प्रकार सैडल-नोड द्विभाजन की तरह व्यवहार करता है; दूसरे शब्दों में, अपूर्ण ट्रांसक्रिटिकल द्विभाजन को महत्वपूर्ण बिंदुओं के करीब होने पर दो सैडल-नोड द्विभाजन द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जैसा कि चित्र 4 के लाल वक्रों में स्पष्ट है।

रैखिक स्थिरता विश्लेषण
चरण आरेखों में प्रवाह को देखने के अलावा, रैखिक स्थिरता विश्लेषण का उपयोग करके विभिन्न निश्चित बिंदुओं की स्थिरता को प्रदर्शित करना भी संभव है। सबसे पहले, द्विभाजन समीकरण को 0 पर सेट करके चरण चित्र में निश्चित बिंदु खोजें:

$$\begin{align} {dx\over dt} = f(x) &= rx - (x)^2 - h \\ 0 &= rx^* - (x^*)^2 - h \end{align} $$ निश्चित बिंदु x* ज्ञात करने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करना:

$$\begin{align} x^* & = {-r \pm \sqrt{r^2 - 4(-1)h} \over 2(-1)} \\ & = {r \pm \sqrt{r^2 +4h} \over 2} \\ & \approx {r \pm \sqrt{r^2} \over 2} \end{align} $$ जहां अंतिम चरण में सन्निकटन 4h << r है 2 का उपयोग किया गया है, जो द्विभाजन बिंदु से काफी आगे तक निश्चित बिंदुओं का अध्ययन करने के लिए उचित है, जैसे कि चित्र 6 में हल्के नीले और हरे रंग के वक्र। आगे सरलीकरण करते हुए,

$$\begin{align} x^* & \approx {r \pm r \over 2} \\ & = \begin{cases} 0, & \text{fixed point closer to origin} \\ r, & \text{fixed point further from origin} \end{cases} \end{align} $$ इसके बाद, यह निर्धारित करें कि चरण पोर्ट्रेट वक्र निश्चित बिंदुओं पर बढ़ रहा है या घट रहा है, जिसका मूल्यांकन द्विभाजन समीकरण के पहले व्युत्पन्न में x* को प्लग करके किया जा सकता है।

$$\begin{align} f'(x) & = r - 2x \\ f'(0) & = r = \begin{cases} >0, & \text{if } r > 0 \rightarrow \text{unstable (magenta)}\\ <0 , & \text{if } r < 0 \rightarrow \text{stable (green)}\end{cases} \\ f'(r) & = -r = \begin{cases} <0, & \text{if } r > 0 \rightarrow \text{stable (blue)}\\ >0 , & \text{if } r < 0 \rightarrow \text{unstable (red)}\end{cases} \end{align} $$ परिणाम इस तथ्य से जटिल हैं कि r सकारात्मक और नकारात्मक दोनों हो सकते हैं; फिर भी, प्रत्येक निश्चित बिंदु की स्थिरता के संबंध में निष्कर्ष पहले जैसे ही हैं। यह कोई आश्चर्य की बात नहीं है, क्योंकि पहले व्युत्पन्न में चरण आरेख प्रवाह विश्लेषण के समान ही जानकारी होती है। उपरोक्त समाधान में रंग चित्र 6 में तीरों के अनुरूप हैं।

अपूर्ण पिचफोर्क द्विभाजन
पहले का बकलिंग बीम उदाहरण पिचफोर्क द्विभाजन का एक उदाहरण है (शायद अधिक उचित रूप से इसे त्रिभाजन कहा जाता है)। आदर्श पिचफ़र्क को चित्र 7 के बाईं ओर दिखाया गया है

$${dx \over dt} = rx - x^3$$ और r = 0 वह स्थान है जहां द्विभाजन होता है, जिसे चित्र 8 के मूल में काले बिंदु द्वारा दर्शाया गया है। जैसे ही r 0 से आगे बढ़ता है, काला बिंदु तीन प्रक्षेप पथों में विभाजित हो जाता है: नीला स्थिर स्थिर बिंदु जो दाईं ओर चलता है, लाल स्थिर बिंदु जो कि दाईं ओर चलता है बाईं ओर चलता है, और एक तीसरा अस्थिर बिंदु जो मूल बिंदु पर रहता है। चित्र 7 (बाएं) में नीली और लाल ठोस रेखाएं हैं, जबकि काला अस्थिर प्रक्षेपवक्र सकारात्मक एक्स-अक्ष के साथ बिंदीदार भाग है।

पहले की तरह, एक त्रुटि पद h पर विचार करें, जहां 0 < h << 1, यानी। $${dx \over dt} = rx - x^3 + h$$ एक बार फिर, चरण पोर्ट्रेट को एक अनंत मात्रा में ऊपर की ओर अनुवादित किया जाता है, जैसा कि चित्र 9 में दिखाया गया है। चरण आरेख में एक्स-इंटरसेप्ट को ट्रैक करने से आर परिवर्तन के रूप में निश्चित बिंदु मिलते हैं, जो चित्र 7 (दाएं) से गुणात्मक परिणाम को दोहराते हैं। अधिक विशेष रूप से, चित्र 9 से नीला निश्चित बिंदु चित्र 7 (दाएं) में ऊपरी प्रक्षेपवक्र से मेल खाता है; हरा निश्चित बिंदु बिंदीदार प्रक्षेपवक्र है; और लाल निश्चित बिंदु सबसे निचला प्रक्षेपवक्र है। इस प्रकार, अपूर्ण मामले (एच ≠ 0) में, पिचफोर्क द्विभाजन एक सैडल-नोड द्विभाजन के साथ मिलकर एक एकल स्थिर निश्चित बिंदु में सरल हो जाता है।

द्विघात समीकरण के बजाय घन समीकरण के लिए सामान्यीकृत समाधान का उपयोग करने को छोड़कर, एक रैखिक स्थिरता विश्लेषण भी यहां किया जा सकता है। प्रक्रिया समान है: 1) अंतर समीकरण को शून्य पर सेट करें और निश्चित बिंदुओं x* का विश्लेषणात्मक रूप ढूंढें, 2) प्रत्येक x* को पहले व्युत्पन्न में प्लग करें $$f'(x) = {d \over dx}{dx \over dt}$$, फिर 3) क्या के आधार पर स्थिरता का मूल्यांकन करें $$f'(x^*)$$ सकारात्मक है या नकारात्मक.

बहुस्थिरता
एक सिस्टम में संयुक्त सैडल-नोड द्विभाजन बहुस्थिरता उत्पन्न कर सकता है। बिस्टेबिलिटी (बहुस्थिरता का एक विशेष मामला) कई जैविक प्रणालियों में एक महत्वपूर्ण संपत्ति है, जो अक्सर नेटवर्क आर्किटेक्चर का परिणाम होती है जिसमें सकारात्मक प्रतिक्रिया इंटरैक्शन और अल्ट्रासेंसिटिविटी | अल्ट्रा-सेंसिटिव तत्वों का मिश्रण होता है। बिस्टेबल सिस्टम हिस्टैरिक  हैं, यानी सिस्टम की स्थिति इनपुट के इतिहास पर निर्भर करती है, जो सेलुलर प्रक्रियाओं के स्विच-जैसे नियंत्रण के लिए महत्वपूर्ण हो सकती है। उदाहरण के लिए, यह उन संदर्भों में महत्वपूर्ण है जहां एक सेल यह निर्णय लेता है कि किसी विशेष मार्ग के लिए प्रतिबद्ध होना है या नहीं; एक गैर-हिस्टेरेटिक प्रतिक्रिया सक्रियण सीमा के करीब यादृच्छिक थर्मल उतार-चढ़ाव के अधीन होने पर सिस्टम को तेजी से चालू और बंद कर सकती है, जो संसाधन-अक्षम हो सकती है।

जीवविज्ञान में विशिष्ट उदाहरण
अपनी गतिशीलता में द्विभाजन वाले नेटवर्क कोशिका चक्र में कई महत्वपूर्ण बदलावों को नियंत्रित करते हैं। कोशिका चक्र में जैव रासायनिक स्विच#G1/S स्विच|G1/S, कोशिका चक्र में जैव रासायनिक स्विच#G2/M स्विच|G2/M, और कोशिका चक्र में जैव रासायनिक स्विच#मेटाफ़ेज़-एनाफ़ेज़ स्विच|मेटाफ़ेज़– एनाफ़ेज़ संक्रमण कोशिका चक्र में जैव रासायनिक स्विच के रूप में कार्य करते हैं। उदाहरण के लिए, अफ्रीकी पंजे वाले मेंढक के अंडे के अर्क को साइक्लिन-निर्भर किनेज़, Cdc2 के फॉस्फोराइलेशन में सकारात्मक प्रतिक्रिया द्वारा अपरिवर्तनीय रूप से पिंजरे का बँटवारा  के अंदर और बाहर संचालित किया जाता है। जनसंख्या पारिस्थितिकी में, खाद्य वेब इंटरैक्शन नेटवर्क की गतिशीलता हॉफ द्विभाजन प्रदर्शित कर सकती है। उदाहरण के लिए, एक प्राथमिक उत्पादक, एक खनिज संसाधन और एक शाकाहारी से युक्त जलीय प्रणाली में, शोधकर्ताओं ने पाया कि संतुलन, चक्रण और आबादी के विलुप्त होने के पैटर्न को हॉपफ द्विभाजन के साथ एक सरल गैर-रेखीय मॉडल के साथ गुणात्मक रूप से वर्णित किया जा सकता है। नवोदित यीस्ट (एस. सेरेविसिया) में गैलेक्टोज का उपयोग गैलेक्टोज सांद्रता को बदलने के एक कार्य के रूप में जीएएल प्रमोटर द्वारा प्रेरित हरा फ्लोरोसेंट प्रोटीन  अभिव्यक्ति के माध्यम से मापने योग्य है। सिस्टम प्रेरित और गैर-प्रेरित राज्यों के बीच द्विस्तरीय स्विचिंग प्रदर्शित करता है। इसी तरह, ई. कोली में लैक्टोज का उपयोग थायो-मिथाइलगैलेक्टोसाइड (एक लैक्टोज एनालॉग) एकाग्रता के एक फ़ंक्शन के रूप में जीएफपी-एक्सप्रेसिंग लैक प्रमोटर द्वारा मापा जाता है जो बिस्टैबिलिटी और हिस्टैरिसीस (क्रमशः चित्र 10, बाएं और दाएं) प्रदर्शित करता है।

यह भी देखें

 * कोशिका चक्र में जैव रासायनिक स्विच
 * गतिशील प्रणालियाँ
 * गतिशील प्रणाली सिद्धांत
 * द्विभाजन सिद्धांत
 * कोशिका चक्र
 * सैद्धांतिक जीवविज्ञान
 * कम्प्यूटेशनल बायोलॉजी
 * सिस्टम बायोलॉजी
 * सेलुलर मॉडल
 * रिकार्डो केविन