वैकल्पिक बीजगणित

अमूर्त बीजगणित में, वैकल्पिक बीजगणित एक बीजगणित है जिसमें गुणन को साहचर्य नहीं, केवल वैकल्पिक होना आवश्यक है। अर्थात, बीजगणित में सभी x और y के लिए होना चाहिए।
 * $$x(xy) = (xx)y$$
 * $$(yx)x = y(xx)$$

प्रत्येक साहचर्य बीजगणित स्पष्ट रूप से वैकल्पिक है, लेकिन ऑक्टोनियन जैसे कुछ पूर्णतः गैर-साहचर्य बीजगणित भी वैकल्पिक हैं।

सहयोगी
वैकल्पिक बीजगणित का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि वे ऐसे बीजगणित हैं जिनके लिए सहयोगी वैकल्पिक है। सहयोगी द्वारा दिया गया एक त्रिरेखीय मानचित्र हैं।
 * $$[x,y,z] = (xy)z - x(yz)$$.

परिभाषा के अनुसार, एक बहुरेखीय मानचित्र वैकल्पिक होता है जब उसके दो तर्क समान होने पर वह लुप्त हो जाता है। बीजगणित के लिए बाएँ और दाएँ वैकल्पिक सर्वसमिकाएँ समतुल्य हैं।
 * $$[x,x,y] = 0$$
 * $$[y,x,x] = 0.$$

ये दोनों सर्वसमिका मिलकर यही दर्शाती हैं
 * $$[x,y,x] = [x, x, x] + [x, y, x] - [x, x+y, x+y] = [x, x+y, -y] = [x, x, -y] - [x, y, y] = 0$$

कि सभी $$x$$ और $$y$$ के लिए है। यह नम्य सर्वसमिका के समतुल्य है
 * $$(xy)x = x(yx).$$

वैकल्पिक बीजगणित का सहयोगी प्रत्यावर्ती है। इसके विपरीत, कोई भी बीजगणित जिसका सहयोगी प्रत्यावर्ती है, स्पष्ट रूप से वैकल्पिक है। समरूपता द्वारा, कोई भी बीजगणित जो इनमें से किन्हीं दो को संतुष्ट करता है: इसलिए तीनों वैकल्पिक सर्वसमिकाों को संतुष्ट करता है।
 * बाईं वैकल्पिक सर्वसमिका: $$x(xy) = (xx)y$$
 * दाहिनी वैकल्पिक सर्वसमिका: $$(yx)x = y(xx)$$
 * नम्य सर्वसमिका: $$(xy)x = x(yx).$$

एक प्रत्यावर्ती सहयोगी हमेशा पूरी तरह से विषम-सममित होता है। अर्थात,
 * $$[x_{\sigma(1)}, x_{\sigma(2)}, x_{\sigma(3)}] = \sgn(\sigma)[x_1,x_2,x_3]$$

किसी भी क्रमपरिवर्तन के लिए $$\sigma$$ है। यह विपरीत तब तक उपयोजित रहता है जब तक आधार क्षेत्र (गणित) की विशेषता (बीजगणित) 2 नहीं होती है।

उदाहरण

 * प्रत्येक साहचर्य बीजगणित वैकल्पिक है।
 * ऑक्टोनियन एक गैर-सहयोगी वैकल्पिक बीजगणित बनाते हैं, वास्तविक संख्याओं पर आयाम 8 का एक मानक विभाजन बीजगणित हैं।
 * अधिक सामान्यतः, कोई भी ऑक्टोनियन बीजगणित वैकल्पिक होता है।

गैर-उदाहरण

 * सेडेनियन और सभी उच्च केली-डिक्सन बीजगणित वैकल्पिकता खो देते हैं।

गुण
आर्टिन प्रमेय में कहा गया है कि वैकल्पिक बीजगणित में किन्हीं दो अवयव द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित साहचर्य है। इसके विपरीत, कोई भी बीजगणित जिसके लिए यह सत्य है, स्पष्ट रूप से वैकल्पिक है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि वैकल्पिक बीजगणित में केवल दो चर वाले व्यंजकों को बिना कोष्ठक के स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है। आर्टिन के प्रमेय के एक सामान्यीकरण में कहा गया है कि जब भी तीन अवयव $$x,y,z$$ सहयोगी होते हैं (अर्थात, $$[x,y,z] = 0$$), तो उन अवयव द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित सहयोगी होता है।

आर्टिन के प्रमेय का एक परिणाम यह है कि वैकल्पिक बीजगणित शक्ति-सहयोगी हैं, अर्थात, एक अवयव द्वारा उत्पन्न उपबीजगणित साहचर्य है। इसके विपरीत की आवश्यकता नहीं है: सेडेनियन शक्ति-सहयोगी हैं लेकिन वैकल्पिक नहीं हैं।

मौफ़ांग सर्वसमिकाएं किसी भी वैकल्पिक बीजगणित में उपयोजित होती हैं।
 * $$a(x(ay)) = (axa)y$$
 * $$((xa)y)a = x(aya)$$
 * $$(ax)(ya) = a(xy)a$$

एकात्मक वैकल्पिक बीजगणित में, गुणात्मक व्युत्क्रम जब भी उपस्तिथ होते हैं तो अद्वितीय होते हैं। इसके अलावा, किसी भी प्रतिलोम अवयव $$x$$ और सभी $$y$$ के लिए
 * $$y = x^{-1}(xy).$$

यह कहने के समान है कि ऐसे सभी $$x$$ और $$y$$ के लिए सहयोगी $$[x^{-1},x,y]$$ लुप्त हो जाते हैं।

अगर $$x$$ और $$y$$ व्युत्क्रमणीय हैं तो $$xy$$ भी व्युत्क्रम के साथ व्युत्क्रमणीय $$(xy)^{-1} = y^{-1}x^{-1}$$ हैं। सभी प्रतिलोम अवयव का समुच्चय गुणन के अंतर्गत बंद हो जाता है और एक मौफैंग लूप बनाता है। एक वैकल्पिक रिंग या बीजगणित में इकाइयों का लूप एक सहयोगी रिंग या बीजगणित में इकाइयों के समूह के अनुरूप है।

क्लेनफेल्ड के प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी सरल गैर-सहयोगी वैकल्पिक रिंग अपने केंद्र (रिंग सिद्धांत) पर एक सामान्यीकृत ऑक्टोनियन बीजगणित है। वैकल्पिक रिंग का संरचना सिद्धांत ज़ेव्लाकोव, स्लिन्को, शेस्ताकोव और शिरशोव की पुस्तक रिंग्स दैट आर नियरली एसोसिएटिव में प्रस्तुत किया गया है।

अनुप्रयोग
किसी भी वैकल्पिक विभाजन रिंग पर प्रक्षेप्य तल एक मौफैंग तल है।

वैकल्पिक बीजगणित और रचना बीजगणित का घनिष्ठ संबंध गाइ रूस द्वारा 2008 में दिया गया था: वह (पृष्ठ 162) बीजगणित A के लिए इकाई अवयव e और एक प्रति-स्वसमाकृतिकता $$a \mapsto a^*$$ के साथ संबंध दिखाता है जैसे कि a + a* और aa*, A में सभी a के लिए e द्वारा रैखिक विस्तार रेखा पर हैं। संकेतन n(a) = aa* का प्रयोग करें। फिर यदि n, A के क्षेत्र में एक गैर-एकवचन मानचित्रण है, और A वैकल्पिक है, तो (A,n) एक रचना बीजगणित होता है।

यह भी देखें

 * एक क्षेत्र पर बीजगणित
 * माल्टसेव बीजगणित
 * ज़ोर्न रिंग