गुणक (फूरियर विश्लेषण)

फूरियर विश्लेषण में, एक गुणक ऑपरेटर एक प्रकार का रैखिक ऑपरेटर या गणितीय फ़ंक्शन का रूपांतरण होता है। ये ऑपरेटर इसके फूरियर रूपांतरण को बदलकर एक फ़ंक्शन पर कार्य करते हैं। विशेष रूप से वे गुणक या प्रतीक के रूप में जाने वाले निर्दिष्ट फ़ंक्शन द्वारा फ़ंक्शन के फूरियर रूपांतरण को गुणा करते हैं। कभी-कभी, 'मल्टीप्लायर ऑपरेटर' शब्द को केवल 'मल्टीप्लायर' तक छोटा कर दिया जाता है। सरल शब्दों में, गुणक किसी भी कार्य में शामिल आवृत्तियों को पुनः आकार देता है। ऑपरेटरों का यह वर्ग व्यापक हो जाता है: सामान्य सिद्धांत से पता चलता है कि एक समूह (गणित) पर अनुवाद-अपरिवर्तनीय ऑपरेटर जो कुछ (बहुत हल्के) नियमितता शर्तों का पालन करता है, एक गुणक ऑपरेटर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और इसके विपरीत। कई परिचित ऑपरेटर, जैसे कि अनुवाद और भेदभाव (गणित), गुणक ऑपरेटर हैं, हालांकि हिल्बर्ट रूपांतरण जैसे कई और जटिल उदाहरण हैं। संकेत आगे बढ़ाना में, गुणक ऑपरेटर को फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) कहा जाता है, और गुणक फ़िल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया (या स्थानांतरण फ़ंक्शन) होता है।

व्यापक संदर्भ में, गुणक ऑपरेटर वर्णक्रमीय गुणक ऑपरेटरों के विशेष मामले हैं, जो एक ऑपरेटर (या आने वाले ऑपरेटरों के परिवार) के कार्यात्मक कलन से उत्पन्न होते हैं। वे छद्म अंतर ऑपरेटर ों के विशेष मामले भी हैं, और आमतौर पर फूरियर इंटीग्रल ऑपरेटर्स। इस क्षेत्र में स्वाभाविक प्रश्न हैं जो अभी भी खुले हैं, जैसे कि एलp परिबद्ध गुणक ऑपरेटर (नीचे देखें)।

मल्टीप्लायर ऑपरेटर लैग्रेंज गुणक से संबंधित नहीं हैं, सिवाय इसके कि वे दोनों गुणन ऑपरेशन को शामिल करते हैं।

फूरियर रूपांतरण पर आवश्यक पृष्ठभूमि के लिए, वह पृष्ठ देखें। अतिरिक्त महत्वपूर्ण पृष्ठभूमि पेज ऑपरेटर मानदंड और एलपी स्पेस|एल पर पाई जा सकती है पी  स्थान।

उदाहरण
यूनिट सर्कल पर परिभाषित आवधिक कार्यों की सेटिंग में, एक फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण केवल इसके फूरियर गुणांकों का अनुक्रम है। यह देखने के लिए कि अवकलन को गुणक के रूप में महसूस किया जा सकता है, आवधिक फलन के व्युत्पन्न के लिए फूरियर श्रृंखला पर विचार करें $$f(t).$$ फूरियर गुणांक की परिभाषा में भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करने के बाद हमारे पास वह है


 * $$\mathcal{F}(f')(n)=\int_{-\pi}^\pi f'(t)e^{-int}\,dt=\int_{-\pi}^\pi (i n) f(t)e^{-int}\,dt = in\cdot\mathcal{F}(f)(n)$$.

तो, औपचारिक रूप से, यह इस प्रकार है कि व्युत्पन्न के लिए फूरियर श्रृंखला केवल फूरियर श्रृंखला है $$f$$ एक कारक से गुणा $$ i n $$. यह कहने के समान है कि अवकलन गुणक के साथ गुणक संकारक है $$ i n $$.

वास्तविक रेखा पर कार्यों पर अभिनय करने वाले गुणक ऑपरेटर का एक उदाहरण हिल्बर्ट रूपांतरण है। यह दिखाया जा सकता है कि हिल्बर्ट रूपांतरण एक गुणक संकारक है जिसका गुणक द्वारा दिया जाता है $$ m(\xi) = -i \operatorname{sgn}(\xi) $$, जहाँ sgn साइन समारोह  है।

अंत में गुणक का एक और महत्वपूर्ण उदाहरण इकाई घन का सूचक कार्य है $$\R^n$$ जो फूरियर रूपांतरण के लिए आंशिक योगों के अध्ययन में उत्पन्न होता है (फूरियर श्रृंखला का अभिसरण देखें)।

परिभाषा
गुणक ऑपरेटरों को किसी भी समूह जी पर परिभाषित किया जा सकता है जिसके लिए फूरियर रूपांतरण भी परिभाषित किया गया है (विशेष रूप से, किसी भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह पर)। सामान्य परिभाषा इस प्रकार है। अगर $$f:G\to\Complex$$ एक पर्याप्त नियमित कार्य है, चलो $$\hat f: \hat G \to \Complex$$ इसके फूरियर रूपांतरण को निरूपित करें (जहाँ $$\hat G$$ G का पोंट्रीगिन दोहरा है)। होने देना $$m: \hat G \to \Complex$$ एक अन्य फलन को निरूपित करें, जिसे हम गुणक कहेंगे। फिर गुणक ऑपरेटर $$T = T_m$$ इस चिन्ह से संबंधित m को सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$ \widehat{Tf}(\xi) := m(\xi) \hat{f}(\xi).$$

दूसरे शब्दों में, आवृत्ति ξ पर Tf का फूरियर रूपांतरण उस आवृत्ति पर f के फूरियर रूपांतरण द्वारा दिया जाता है, उस आवृत्ति पर गुणक के मान से गुणा किया जाता है। यह शब्दावली गुणक की व्याख्या करता है।

ध्यान दें कि उपरोक्त परिभाषा केवल Tf को स्पष्ट रूप से परिभाषित करती है; टीएफ को स्पष्ट रूप से पुनर्प्राप्त करने के लिए फूरियर ट्रांसफॉर्म को उलटने की जरूरत है। यह आसानी से किया जा सकता है अगर f और m दोनों पर्याप्त रूप से चिकने और अभिन्न हों। विषय में प्रमुख समस्याओं में से एक यह निर्धारित करना है कि किसी निर्दिष्ट गुणक एम के लिए, क्या संबंधित फूरियर गुणक ऑपरेटर को अच्छी तरह से परिभाषित किया जाना जारी है, जब एफ बहुत कम नियमितता है, उदाहरण के लिए यदि इसे केवल एल में झूठ माना जाता है पी  स्थान। नीचे बाउंडनेस समस्या पर चर्चा देखें। एक न्यूनतम के रूप में, आमतौर पर मल्टीप्लायर एम को बाध्य और मापने योग्य होने की आवश्यकता होती है; यह सीमितता स्थापित करने के लिए पर्याप्त है $$L^2$$ लेकिन आम तौर पर इतना मजबूत नहीं है कि अन्य स्थानों पर सीमाबद्धता दे सके।

मल्टीप्लायर ऑपरेटर टी को तीन ऑपरेटरों की संरचना के रूप में देख सकते हैं, अर्थात् फूरियर ट्रांसफॉर्म, एम द्वारा बिंदुवार गुणा का संचालन, और फिर उलटा फूरियर ट्रांसफॉर्म। समतुल्य रूप से, T फूरियर रूपांतरण द्वारा बिंदुवार गुणा संचालिका का संयुग्मन है। इस प्रकार एक गुणक ऑपरेटरों को उन ऑपरेटरों के रूप में सोच सकता है जो फूरियर रूपांतरण द्वारा विकर्ण हैं।

सामान्य समूहों पर गुणक ऑपरेटर
अब हम विशिष्ट समूहों जी के लिए उपरोक्त सामान्य परिभाषा का विशेषज्ञ हैं। पहले यूनिट सर्कल पर विचार करें $$G = \R / 2\pi\Z;$$ अतः G पर फलनों को वास्तविक रेखा पर 2π-आवधिक फलन माना जा सकता है। इस समूह में, पोंट्रीगिन दोहरी पूर्णांकों का समूह है, $$\hat G = \Z.$$ फूरियर रूपांतरण (पर्याप्त नियमित कार्यों के लिए f) द्वारा दिया गया है


 * $$\hat f(n) := \frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} f(t) e^{-int} dt $$

और व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण द्वारा दिया जाता है


 * $$f(t) = \sum_{n=-\infty}^\infty \hat f(n) e^{int}.$$

इस सेटिंग में एक गुणक केवल एक क्रम है $$(m_n)_{n=-\infty}^\infty$$ संख्याओं का, और ऑपरेटर $$T = T_m$$ इस गुणक से संबंधित तब सूत्र द्वारा दिया जाता है


 * $$(Tf)(t) := \sum_{n=-\infty}^{\infty}m_n \hat{f}(n)e^{int},$$

कम से कम गुणक के पर्याप्त अच्छे व्यवहार वाले विकल्पों के लिए $$(m_n)_{n=-\infty}^\infty$$ और समारोह एफ।

अब G को यूक्लिडियन अंतरिक्ष  होने दें $$G = \R^n$$. यहाँ द्वैत समूह भी यूक्लिडियन है, $$\hat G = \R^n,$$ और फूरियर और व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण सूत्रों द्वारा दिए गए हैं


 * $$\begin{align}

\hat f(\xi) :={} &\int_{\R^n} f(x) e^{-2\pi i x \cdot \xi} dx \\ f(x) ={} &\int_{\R^n} \hat f(\xi) e^{2\pi i x \cdot \xi} d\xi. \end{align}$$ इस सेटिंग में गुणक एक फ़ंक्शन है $$m: \R^n \to \Complex,$$ और संबंधित गुणक ऑपरेटर $$T = T_m$$ द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$Tf(x) := \int_{\R^n} m(\xi) \hat f(\xi) e^{2\pi i x \cdot \xi} d\xi,$$

गुणक और कार्य पर फिर से पर्याप्त रूप से मजबूत नियमितता और परिबद्धता धारणाएं मानते हुए।

वितरण (गणित) के अर्थ में, गुणक संचालकों और कनवल्शन संचालकों के बीच कोई अंतर नहीं है; प्रत्येक गुणक T को कुछ वितरण K के लिए Tf = f∗K के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, जिसे T के कनवल्शन कर्नेल के रूप में जाना जाता है। इस दृष्टि से, एक राशि x द्वारा अनुवाद0 डिराक डेल्टा समारोह δ(· − x0), अवकलन δ' के साथ कनवल्शन है। आगे के उदाहरण #आगे के उदाहरणों में दिए गए हैं।

यूनिट सर्कल पर
निम्न तालिका यूनिट सर्कल पर गुणक ऑपरेटरों के कुछ सामान्य उदाहरण दिखाती है $$G = \R/2\pi \Z.$$

यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर
निम्न तालिका यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर गुणक ऑपरेटरों के कुछ सामान्य उदाहरण दिखाती है $$G = \R^n$$.

सामान्य विचार
वो नक्शा $$m \mapsto T_m$$ C*-algebras की समाकारिता है। यह इस प्रकार है क्योंकि दो गुणक ऑपरेटरों का योग $$T_m$$ और $$T_{m'}$$ गुणक के साथ गुणक संचालिका है $$m+m'$$, इन दो गुणक ऑपरेटरों की संरचना गुणक के साथ एक गुणक संचालिका है $$mm',$$ और एक गुणक संचालिका का आसन्न $$T_m$$ गुणक के साथ एक अन्य गुणक संचालिका है $$\overline{m}$$.

विशेष रूप से, हम देखते हैं कि कोई भी दो गुणक ऑपरेटर एक दूसरे के साथ क्रमविनिमेय संचालन  करते हैं। यह ज्ञात है कि गुणक संचालक अनुवाद-अपरिवर्तनीय हैं। इसके विपरीत, कोई यह दिखा सकता है कि कोई भी ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट लीनियर ऑपरेटर जो L पर परिबद्ध है2(G) एक मल्टीप्लायर ऑपरेटर है।

एलp बाउंडनेस प्रॉब्लम
एलकिसी दिए गए समूह G के लिए p परिबद्धता समस्या (किसी विशेष p के लिए) को सरलता से, गुणक m की पहचान करने के लिए कहा जाता है जैसे कि संबंधित गुणक संचालिका L से परिबद्ध हैपी(जी) से एलपी(जी). ऐसे गुणकों को आमतौर पर एल के रूप में संदर्भित किया जाता हैp गुणक. ध्यान दें कि चूंकि गुणक संकारक हमेशा रैखिक होते हैं, ऐसे संकारक परिबद्ध होते हैं यदि और केवल यदि वे निरंतर रैखिक संकारक हैं। सामान्य तौर पर यह समस्या बेहद कठिन मानी जाती है, लेकिन कई विशेष मामलों में इसका इलाज किया जा सकता है। समस्या काफी हद तक पी पर निर्भर करती है, हालांकि एक दोहरी जगह है: अगर $$1/p + 1/q = 1$$ और 1 ≤ p, q ≤ ∞, तो एक गुणक संकारक L पर परिबद्ध हैp यदि और केवल यदि यह L पर परिबद्ध हैक्ष.

रिज्ज़-थोरिन प्रमेय से पता चलता है कि यदि एक गुणक संकारक दो भिन्न L पर परिबद्ध हैp रिक्त स्थान, तो यह सभी मध्यवर्ती स्थानों पर भी परिबद्ध है। इसलिए हम पाते हैं कि गुणक का स्थान L के लिए सबसे छोटा है1 और एल∞ और L की ओर बढ़ने पर बढ़ता है2, जिसमें सबसे बड़ा मल्टीप्लायर स्पेस है।

L पर परिबद्धता2
यह सबसे आसान मामला है। पारसेवल का प्रमेय इस समस्या को पूरी तरह से हल करने और यह प्राप्त करने की अनुमति देता है कि एक फ़ंक्शन एम एक एल है2(G) गुणक अगर और केवल अगर यह परिबद्ध और मापने योग्य है।

L पर परिबद्धता1 या एल∞
यह मामला हिल्बर्ट अंतरिक्ष  (एल2) मामला, लेकिन पूरी तरह से हल हो गया है। निम्नलिखित सत्य है:

प्रमेय: यूक्लिडियन अंतरिक्ष में $$\R^n$$ एक समारोह $$m(\xi)$$ एक एल है1 गुणक (समकक्ष रूप से एक L∞ गुणक) अगर और केवल अगर वहाँ एक परिमित बोरेल माप μ मौजूद है जैसे कि m μ का फूरियर रूपांतरण है।

(यदि भाग एक साधारण गणना है। केवल यदि भाग यहाँ अधिक जटिल है।)

L पर परिबद्धताp 1 <p < ∞
के लिए

इस सामान्य मामले में, यूक्लिडियन अंतरिक्ष या यूनिट सर्कल के लिए भी बाध्यता के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें स्थापित नहीं की गई हैं। हालाँकि, कई आवश्यक शर्तें और कई पर्याप्त शर्तें ज्ञात हैं। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि एक गुणक संचालिका के लिए एक L पर भी परिबद्ध होने के लिएp स्थान, गुणक परिबद्ध और मापने योग्य होना चाहिए (यह L के लक्षण वर्णन से अनुसरण करता है2 उपरोक्त गुणक और समावेशन गुण)। हालाँकि, यह तब पर्याप्त नहीं है जब p = 2 हो।

परिबद्धता के लिए पर्याप्त शर्तें देने वाले परिणाम 'गुणक प्रमेय' के रूप में जाने जाते हैं। ऐसे तीन परिणाम नीचे दिए गए हैं।

मार्सिंक्यूविज़ गुणक प्रमेय
होने देना $$m: \R \to \R$$ एक बंधा हुआ कार्य हो जो प्रपत्र के प्रत्येक सेट पर निरंतर भिन्न होता है $$\left(-2^{j+1}, -2^j\right) \cup \left(2^j, 2^{j+1}\right)$$ के लिए $$j \in \Z$$ और इस तरह व्युत्पन्न है


 * $$\sup_{j \in \Z} \left( \int_{-2^{j+1}}^{-2^j} \left|m'(\xi)\right| \, d\xi + \int_{2^j}^{2^{j+1}} \left|m'(\xi)\right| \, d\xi \right) < \infty.$$

फिर m एक L हैp सभी 1 <p < ∞ के लिए गुणक।

मिखलिन गुणक प्रमेय
एम को एक बाध्य कार्य होने दें $$\R^n$$ जो संभवतः मूल को छोड़कर चिकना है, और ऐसा कार्य करता है $|x|^k \left|\nabla^k m\right|$ सभी पूर्णांकों के लिए परिबद्ध है $0 \leq k \leq \frac{n}{2} + 1$ : तो m एक L हैp सभी के लिए गुणक 1 < p < ∞.

यह हॉर्मेंडर-मिखलिन गुणक प्रमेय का एक विशेष मामला है।

इन दो प्रमेयों के प्रमाण काफी पेचीदा हैं, जिसमें काल्डेरन-ज़िग्मुंड लेम्मा की तकनीकें शामिल हैं। या.

रेडियल गुणक
रेडियल समारोह मल्टीप्लायरों के लिए, एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति $$L^p\left(\mathbb{R}^n\right)$$ बाउंडनेस की कुछ आंशिक रेंज के लिए जाना जाता है $$p$$. होने देना $$n \geq 4$$ और $1 < p < 2\frac{n - 1}{n + 1}$. लगता है कि $$m$$ एक रेडियल गुणक है जो मूल से दूर दृढ़ता से समर्थित है। तब $$m$$ एक $$L^p\left(\mathbb{R}^n\right)$$ गुणक अगर और केवल अगर फूरियर का रूपांतरण $$m$$ से संबंधित $$L^p\left(\mathbb{R}^n\right)$$.

यह हीओ, फेडर नाज़रोव और एंड्रियास सीगर का एक प्रमेय है। उन्होंने एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त भी प्रदान की जो बिना कॉम्पैक्ट समर्थन धारणा के मान्य है $$m$$.

उदाहरण
अनुवाद किसी भी L पर बाउंडेड ऑपरेटर्स हैंपी. भेदभाव किसी भी एल पर बाध्य नहीं है पी. हिल्बर्ट रूपांतरण केवल p के लिए सख्ती से 1 और ∞ के बीच सीमित है। तथ्य यह है कि यह एल पर असीमित है ∞ आसान है, क्योंकि यह सर्वविदित है कि स्टेप फंक्शन का हिल्बर्ट रूपांतरण असीमित है। द्वैत के लिए समान देता है. हालाँकि, मार्सिंक्यूविज़ और मिखलिन गुणक प्रमेय दोनों दिखाते हैं कि हिल्बर्ट रूपांतरण L में परिबद्ध हैपी सभी के लिए 1 < p < ∞.

यूनिट सर्कल पर एक और दिलचस्प मामला है जब अनुक्रम $$(x_n)$$ जिसे गुणक के रूप में प्रस्तावित किया जा रहा है, प्रत्येक सेट में n के लिए स्थिर है $$\left\{2^n, \ldots, 2^{n+1} - 1\right\}$$ और $$\left\{-2^{n+1} + 1, \ldots, -2^n\right\}.$$ Marcinkiewicz गुणक प्रमेय (यूनिट सर्कल के संदर्भ में अनुकूलित) से हम देखते हैं कि ऐसा कोई अनुक्रम (निश्चित रूप से बाध्य माना जाता है) प्रत्येक के लिए एक गुणक है 1 < p < ∞.

एक आयाम में, डिस्क गुणक ऑपरेटर $$S^0_R$$(ऊपर दी गई तालिका देखें) L पर परिबद्ध हैपी प्रत्येक के लिए 1 < p < ∞. हालाँकि, 1972 में, चार्ल्स फ़ेफ़रमैन ने आश्चर्यजनक परिणाम दिखाया कि दो और उच्च आयामों में डिस्क गुणक ऑपरेटर $$S^0_R$$ L पर असीमित हैपी प्रत्येक के लिए p ≠ 2. Bochner-Riesz मल्टीप्लायरों के लिए संबंधित समस्या केवल आंशिक रूप से हल हो गई है; Bochner-Riesz अनुमान भी देखें।

यह भी देखें

 * काल्डेरोन-ज़िगमंड लेम्मा
 * मार्सिंकविज़ प्रमेय
 * एकवचन अभिन्न
 * कनवल्शन टाइप के सिंगुलर इंटीग्रल ऑपरेटर्स

सामान्य संदर्भ

 * (रूसी भाषा में)।
 * . इसमें प्रकाशन के समय ज्ञात सभी परिणामों का व्यापक सर्वेक्षण शामिल है, जिसमें इतिहास का एक रेखाचित्र भी शामिल है।
 * (रूसी भाषा में)।
 * . इसमें प्रकाशन के समय ज्ञात सभी परिणामों का व्यापक सर्वेक्षण शामिल है, जिसमें इतिहास का एक रेखाचित्र भी शामिल है।
 * (रूसी भाषा में)।
 * . इसमें प्रकाशन के समय ज्ञात सभी परिणामों का व्यापक सर्वेक्षण शामिल है, जिसमें इतिहास का एक रेखाचित्र भी शामिल है।

श्रेणी:फूरियर विश्लेषण