रेले वितरण

रेले वितरण सम्भवता सिद्धांत और सांख्यिकी में गैर-ऋणात्मक-मूल्यवान यादृच्छिक चर के लिए सतत् सम्भावित वितरण है। यह टी- वितरण के साथ स्वतंत्रता रीस्केलिंग तक के दो परिणामों के साथ मेल खाता है।

वितरण का नाम जॉन स्ट्रट, तीसरे बैरन रेले के नाम पर रखा गया है.

रेले वितरण अधिकांशतः तब देखा जाता है जब सदिश का समग्र परिमाण उसके दिशात्मक यूक्लिडियन सदिश अपघटन से संबंधित होता है। उदाहरण के लिए जहां रेले वितरण स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है, वहा विमान (ज्यामिति) में वायु के वेग का विश्लेषण किया जाता है।

यह मानते हुए कि प्रत्येक तत्व असंबंधित है,तब वितरण के साथ सामान्य वितरण और शून्य माध्य को समग्र वायु की गति (यूक्लिडियन सदिश) के परिमाण को रेले वितरण द्वारा चित्रित किया जाता है।

वितरण का दूसरा उदाहरण यादृच्छिक जटिल संख्याओं की स्थिति से उत्पन्न होता है, जिनके वास्तविक और काल्पनिक तत्व स्वतंत्र रूप से समान भिन्नता और शून्य माध्य के साथ सामान्य वितरण को समान रूप से वितरित करते हैं। इस स्थिति में सम्मिश्र संख्या का निरपेक्ष मान रेले-वितरित होता है।

परिभाषा
रैले बंटन की प्रायिकता घनत्व का परिणाम होता है
 * $$f(x;\sigma) = \frac{x}{\sigma^2} e^{-x^2/(2\sigma^2)}, \quad x \geq 0,$$

जहां पर $$\sigma$$ वितरण का मापक मापदंड है जो संचयी वितरण का आयोजन करता है


 * $$F(x;\sigma) = 1 - e^{-x^2/(2\sigma^2)}$$

जिसके लिए $$x \in [0,\infty).$$

यादृच्छिक सदिश लंबाई से संबंध
द्वि-आयामी सदिश पर विचार करें तो $$ Y = (U,V) $$ होता है, जिसमें ऐसे तत्व होते हैं जो द्विभाजित सामान्य वितरण होते हैं जो शून्य पर केंद्रित होते हैं और स्वतंत्र होते हैं। फिर $$U$$ और $$V$$ घनत्व कार्य करते हैं।


 * $$f_U(x; \sigma) = f_V(x;\sigma) = \frac{e^{-x^2/(2\sigma^2)}}{\sqrt{2\pi\sigma^2}}.$$

वह $$X$$ की लंबाई $$Y$$ होने देता है, $$X = \sqrt{U^2 + V^2}.$$ फिर $$X$$ संचयी वितरण आयोजन होते है।


 * $$F_X(x; \sigma) = \iint_{D_x} f_U(u;\sigma) f_V(v;\sigma) \,dA,$$

जहां पर $$D_x$$ डिस्क (चक्र) है


 * $$D_x = \left\{(u,v) : \sqrt{u^2 + v^2} \leq x\right\}.$$

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में एकाधिक अभिन्न लिखने से यह बन जाता है।


 * $$F_X(x; \sigma) = \frac{1}{2\pi\sigma^2} \int_0^{2\pi} \int_0^x r e^{-r^2/(2\sigma^2)} \,dr\,d\theta = \frac 1 {\sigma^2} \int_0^x r e^{-r^2/(2\sigma^2)} \,dr.

$$ अंत में प्रायिकता घनत्व आयोजन के लिए $$X$$ इसके संचयी वितरण आयोजन का व्युत्पन्न होता है, जो कार्य के मौलिक प्रमेय द्वारा होता है।


 * $$f_X(x;\sigma) = \frac d {dx} F_X(x;\sigma) = \frac x {\sigma^2} e^{-x^2/(2\sigma^2)},$$

रेले वितरण में दो के अतिरिक्त अन्य आयामों के सदिशो को सामान्यीकृत किया जाता है।

कुछ ऐसे भी सामान्यीकरण होते हैं जो तत्वों में असमान प्रसरण या सह संबंध (होयट वितरण) में होते है और जब सदिश Y बहुभिन्नरूपी टी-वितरण का अनुसरण करता है।तब द्विभाजित छात्र टी-वितरण भी देख सकते है। (हॉटेलिंग का टी-वर्ग वितरण)।

मान लीजिए $$Y$$ तत्वों के साथ यादृच्छिक सदिश$$u,v$$ है, जो बहुभिन्नरूपी टी-वितरण का अनुसरण करता है। यदि दोनों तत्वों का औसत शून्य,समान वितरण है और स्वतंत्र हैं, तब द्विभाजित टी-वितरण का रूप ले लेता है


 * $$f(u,v) = {1\over{2\pi\sigma^{2}}}\left( 1 + {u^{2}+v^{2}\over{\nu \sigma^{2}}} \right)^{-\nu/2-1}$$

होने देने का $$R = \sqrt{U^{2}+V^{2}}$$ परिमाण होता है $$Y$$. तब परिमाण का संचयी वितरण तत्व (सीडीएफ) है


 * $$ F(r) = {1\over{2\pi\sigma^{2}}}\iint_{D_{r}} \left( 1 + {u^{2}+v^{2}\over{\nu \sigma^{2}}} \right)^{-\nu/2-1}du \; dv $$

जहां पर $$D_{r}$$ डिस्क (चक्र) द्वारा परिभाषित किया जाता है


 * $$ D_{r} = \left\{ (u,v) : \sqrt{u^{2}+v^{2}} \leq r \right\} $$

ध्रुवीय निर्देशांक में परिवर्तित होने से सीडीएफ बन जाता है


 * $$ \begin{aligned} F(r) &= {1\over{2\pi\sigma^{2}}}\int_{0}^{r}\int_{0}^{2\pi} \rho\left( 1 + {\rho^{2}\over{\nu \sigma^{2}}} \right)^{-\nu/2-1}d\theta \; d\rho \\ &= {1\over{\sigma^{2}}}\int_{0}^{r}\rho\left( 1 + {\rho^{2}\over{\nu \sigma^{2}}} \right)^{-\nu/2-1} d\rho \\ &= 1-\left( 1 + {r^{2}\over{\nu \sigma^{2}}} \right)^{-\nu/2} \end{aligned} $$

अंत में, परिमाण का प्रायिकता घनत्व तत्व (पीडीएफ) प्राप्त किया जाता है


 * $$ f(r) = F'(r) = {r\over{\sigma^{2}}} \left( 1 + {r^{2}\over{\nu \sigma^{2}}} \right)^{-\nu/2-1} $$

के रूप में सीमा में $$ \nu \rightarrow \infty $$, रेले वितरण को पुनः प्राप्त किया जाता है चूँकि


 * $$ \lim_{\nu\rightarrow \infty} \left( 1 + {r^{2}\over{\nu \sigma^{2}}} \right)^{-\nu/2-1} = e^{-r^{2}/2\sigma^{2}} $$

गुण
गुण (गणित) द्वारा दिया जाता है:
 * $$\mu_j = \sigma^j2^{j/2}\,\Gamma\left(1 + \frac j 2\right),$$ जहां पर $$\Gamma(z)$$ गामा आयोजन है।

रेले यादृच्छिक चर का माध्य इस प्रकार है :
 * $$\mu(X) = \sigma \sqrt{\frac{\pi}{2}}\ \approx 1.253\ \sigma.$$

रेले यादृच्छिक चर का मानक विचलन है।


 * $$\operatorname{std}(X) = \sqrt{\left (2-\frac{\pi}{2}\right)} \sigma \approx 0.655\ \sigma$$

रेले यादृच्छिक चर का प्रसारण है।


 * $$\operatorname{var}(X) = \mu_2-\mu_1^2 = \left(2-\frac{\pi}{2}\right) \sigma^2 \approx 0.429\ \sigma^2$$

$$\sigma,$$ युक्ति (सांख्यिकी) होतीहै है और ये अधिकतम पीडीएफ है।


 * $$ f_{\max} = f(\sigma;\sigma) = \frac{1}{\sigma} e^{-1/2} \approx \frac{0.606}{\sigma}.$$

तिरछापन इसके द्वारा दिया गया है।


 * $$\gamma_1 = \frac{2\sqrt{\pi}(\pi - 3)}{(4 - \pi)^{3/2}} \approx 0.631$$

अतिरिक्त सरलता द्वारा दिया जाता है।


 * $$\gamma_2 = -\frac{6\pi^2 - 24\pi + 16}{(4 - \pi)^2} \approx 0.245$$

विशेष कार्य (सम्भवता सिद्धांत) द्वारा दिया गया है।


 * $$\varphi(t) = 1 - \sigma te^{-\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left[\operatorname{erfi}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right) - i\right]$$

जहां पर $$\operatorname{erfi}(z)$$ काल्पनिक त्रुटि आयोजन है। जिसके द्वारा आघूर्ण का परिणाम दिया जाता है।



M(t) = 1 + \sigma t\,e^{\frac{1}{2}\sigma^2t^2}\sqrt{\frac{\pi}{2}} \left[\operatorname{erf}\left(\frac{\sigma t}{\sqrt{2}}\right) + 1\right]$$ जहां पर $$\operatorname{erf}(z)$$ त्रुटि कार्य है।

विभेदक परिक्षय
यह अंतर परिक्षय द्वारा दिया जाता है
 * $$H = 1 + \ln\left(\frac \sigma {\sqrt{2}}\right) + \frac \gamma 2 $$

जहां पर $$\gamma$$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।

मापदंड अनुमान
इन स्वतंत्र और समान रूप से वितरित रेले यादृच्छिक चर के $$x_i$$ मापदंड के साथ $$\sigma$$ का प्रतिरूप दिखता है।


 * $$\widehat{\sigma}^2 = \!\,\frac{1}{2N}\sum_{i=1}^N x_i^2$$ अधिकतम संभावना का अनुमान लगाता है और अनुमानक का पूर्वाग्रह भी होता है।


 * $$\widehat{\sigma}\approx \sqrt{\frac 1 {2N} \sum_{i=1}^N x_i^2}$$ यह पक्षपाती अनुमानक होता है जिसे सूत्र के माध्यम से प्रमाणित किया जाता है।


 * $$\sigma = \widehat{\sigma} \frac {\Gamma(N)\sqrt{N}} {\Gamma(N + \frac 1 2)} = \widehat{\sigma} \frac {4^N N!(N-1)!\sqrt{N}} {(2N)!\sqrt{\pi}}$$

विश्वास अंतराल
सर्वप्रथम (1− α) विश्वास अंतराल की खोज करने के लिए, पहले बाउंड (मिला) खोजें $$[a,b]$$
 * $$P(\chi_{2N}^2 \leq a) = \alpha/2, \quad P(\chi_{2N}^2 \leq b) = 1 - \alpha/2$$

तो स्केल मापदंड (मापनी प्राचल) सीमा के अंदर आ जाता है।
 * $$\frac{{N}\overline{x^2}}{b} \leq {\widehat\sigma}^2 \leq \frac{{N}\overline{x^2}}{a}$$

यादृच्छिक चर उत्पन्न करना
यादृच्छिक चर केअंतराल (0, 1) में समान वितरण (निरंतर) से लिया गया यादृच्छिक चर U दिया जाता है, फिर चर


 * $$X=\sigma\sqrt{-2 \ln U}\,$$

मापदंड के साथ $$\sigma$$. रेले वितरित होता है यह व्युत्क्रम परिवर्तन प्रतिचयन-पद्धति को प्रयुक्त करके प्राप्त किया जाता है।

संबंधित वितरण

 * यदि $$R \sim \mathrm{rayleigh}(\sigma)$$ को रेले वितरित किया जाता है यदि $$R = \sqrt{X^2 + Y^2}$$, जहां पर $$X \sim N(0, \sigma^2)$$ और $$Y \sim N(0, \sigma^2)$$ स्वतंत्रता सामान्य वितरण हैं। इससे $$\sigma$$ प्रतीक रेले घनत्व के उपरोक्त पैरामीट्रिजेशन के प्रयोग की प्रेरणा मिलती है।


 * इसके महत्व से $$|z|$$ मानक जटिल सामान्य वितरण चर z रेले वितरित होता है।


 * v = 2 के साथ टी-वितरण σ = 1 के रेले वितरण के समांतर होता है।


 * यदि $$R \sim \mathrm{Rayleigh} (1)$$, तब $$R^2$$ मापदंड के साथ टी-वर्ग वितरण है $$N$$, स्वतंत्रता की कोटि दो के बराबर (N = 2) होती है।
 * $$[Q=R^2] \sim \chi^2(N)\ .$$


 * यदि $$R \sim \mathrm{Rayleigh}(\sigma)$$, तब $$\sum_{i=1}^N R_i^2$$ माप दंडों के साथ गामा वितरण $N$ और $\frac{1}{2\sigma^2}$ होता है।
 * $$\left[Y=\sum_{i=1}^N R_i^2\right] \sim \Gamma(N,\frac{1}{2\sigma^2}) .$$


 * चावल का वितरण रेले वितरण का गैर-केंद्रीय वितरण होता है $$ \mathrm{Rayleigh}(\sigma) = \mathrm{Rice}(0,\sigma) $$.
 * आकार मापदंड k=2 के साथ वीबुल वितरण रेले वितरण देता है। फिर रेले वितरण मापदंड $$\sigma$$ वेइबुल स्केल मापदंड (मापनी प्राचल) $$\lambda = \sigma \sqrt{2} .$$ के अनुसार संबंधित होता है।
 * मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मैन वितरण तीन आयामों में सामान्य सदिश के परिमाण का वर्णन करता है।
 * यदि $$X$$ घातीय वितरण है तब $$X \sim \mathrm{Exponential}(\lambda)$$, और $$Y=\sqrt{X} \sim \mathrm{Rayleigh}(1/\sqrt{2\lambda}) .$$ होता है।
 * अर्ध-सामान्य वितरण रेले वितरण की अविभाज्य विशेष स्थिति होती है।

अनुप्रयोग
रेले वितरण में σ के अनुमान का अनुप्रयोग चुंबकीय अनुनाद रहस्योद्घाटन (एमआरआई) में पाया जाता है। चूंकि एमआरआई प्रभावों को जटिल संख्या प्रभावों के रूप में अंकित किया जाता है, चूँकि अधिकांशतः परिमाण को प्रभावों के रूप में देखा जाता है फिर भी पृष्ठभूमि के आंकड़े पर रेले वितरित होती है इसलिए पृष्ठभूमि के आंकड़े से एमआरआई के प्रभावों के स्वरुप में प्रसिद्ध भिन्नता का अनुमान लगाने के लिए उपर्युक्त सूत्र का उपयोग किया जाता है।

आहार (पोषण) पोषक तत्वों के स्तर का मानव और पशुपालन की प्रतिक्रियाओं के योग के लिए रेले वितरण को पोषण के क्षेत्र में भी नियोजित किया गया है। इस तरह, पोषक तत्व की प्रतिक्रियाओ के संबंध की गणना करने के लिए मापदंड σ का उपयोग किया जाता है।

प्राक्षेपिकी के क्षेत्र में, रेले वितरण का उपयोग वृत्ताकार त्रुटि की संभावना की गणना करने और हथियार की त्रुटिहीनता का प्रयत्न करने लिए किया जाता है।

भौतिक सामुद्रिक शास्त्र में, महत्वपूर्ण तरंग की ऊंचाई का वितरण रेले वितरण का अनुसरण करता है।

यह भी देखें

 * व्रत्तीय त्रुटि संभावित
 * रेले लुप्तप्राय
 * रेले मिश्रण वितरण
 * चावल वितरण