विडोम स्केलिंग

विडोम स्केलिंग (बेंजामिन विडोम के बाद) अपने महत्वपूर्ण बिंदु (थर्मोडायनामिक्स) के पास एक चुंबकीय प्रणाली की थर्मोडायनामिक मुक्त ऊर्जा के संबंध में सांख्यिकीय यांत्रिकी में एक परिकल्पना है, जो महत्वपूर्ण घातांक को स्वतंत्र नहीं होने की ओर ले जाती है ताकि उन्हें दो मानों के संदर्भ में पैरामीटर किया जा सके।. परिकल्पना को ब्लॉक-स्पिन पुनर्सामान्यीकरण प्रक्रिया के प्राकृतिक परिणाम के रूप में उत्पन्न होने के लिए देखा जा सकता है, जब ब्लॉक आकार को सहसंबंध लंबाई के समान आकार के रूप में चुना जाता है। विडोम स्केलिंग सार्वभौमिकता (गतिशील प्रणाली) का एक उदाहरण है।

परिभाषाएँ
महत्वपूर्ण प्रतिपादक $$ \alpha, \alpha', \beta, \gamma, \gamma' $$ और $$ \delta $$ आदेश मापदंडों के व्यवहार और महत्वपूर्ण बिंदु के पास प्रतिक्रिया कार्यों के संदर्भ में निम्नानुसार परिभाषित किया गया है


 * $$ M(t,0) \simeq (-t)^{\beta}$$, के लिए $$ t \uparrow 0 $$
 * $$ M(0,H) \simeq |H|^{1/ \delta} \mathrm{sign}(H)$$, के लिए $$ H \rightarrow 0 $$
 * $$ \chi_T(t,0) \simeq \begin{cases}

(t)^{-\gamma}, & \textrm{for} \ t \downarrow 0 \\ (-t)^{-\gamma'}, & \textrm{for} \ t \uparrow 0 \end{cases} $$
 * $$ c_H(t,0) \simeq \begin{cases}

(t)^{-\alpha} & \textrm{for} \ t \downarrow 0 \\ (-t)^{-\alpha'} & \textrm{for} \ t \uparrow 0 \end{cases} $$ कहाँ


 * $$ t \equiv \frac{T-T_c}{T_c}$$ महत्वपूर्ण बिंदु के सापेक्ष तापमान को मापता है।

महत्वपूर्ण बिंदु के पास, विडोम का स्केलिंग रिलेशन पढ़ता है


 * $$ H(t) \simeq M|M|^{\delta-1} f(t/|M|^{1/\beta})$$.

कहाँ $$f$$ एक विस्तार है
 * $$ f(t/|M|^{1/\beta})\approx 1+{\rm const}\times( t/|M|^{1/\beta})^\omega +\dots

$$, साथ $$ \omega$$ स्केलिंग के दृष्टिकोण को नियंत्रित करने वाले वेगनर के प्रतिपादक होने के नाते।

व्युत्पत्ति
स्केलिंग परिकल्पना यह है कि महत्वपूर्ण बिंदु के पास, मुक्त ऊर्जा $$f(t,H)$$, में $$d$$ आयाम, धीरे-धीरे बदलते नियमित भाग के योग के रूप में लिखे जा सकते हैं $$f_r$$ और एक विलक्षण भाग $$f_s$$, एकवचन भाग एक स्केलिंग फ़ंक्शन होने के साथ, यानी एक सजातीय कार्य, ताकि


 * $$ f_s(\lambda^p t, \lambda^q H) = \lambda^d f_s(t, H) \,$$

फिर एच के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न लेने और एम (टी, एच) के रूप में देता है


 * $$ \lambda^q M(\lambda^p t, \lambda^q H) = \lambda^d M(t, H) \,$$

सेटिंग $$H=0$$ और $$ \lambda = (-t)^{-1/p} $$ पिछले समीकरण में पैदावार


 * $$ M(t,0) = (-t)^{\frac{d-q}{p}} M(-1,0),$$ के लिए $$ t \uparrow 0 $$

इसकी तुलना की परिभाषा से करें $$\beta$$ अपना मूल्य देता है,


 * $$ \beta = \frac{d-q}{p}\equiv \frac{\nu}2(d-2+\eta). $$

इसी प्रकार डालना $$t=0$$ और $$ \lambda = H^{-1/q} $$ एम पैदावार के लिए स्केलिंग संबंध में


 * $$ \delta = \frac{q}{d-q} \equiv \frac{d+2-\eta}{d-2+\eta}.$$

इस तरह


 * $$ \frac{q}{p} = \frac{\nu}{2}

(d+2-\eta),~\frac 1 p=\nu.$$ इज़ोटेर्मल संवेदनशीलता के लिए अभिव्यक्ति को लागू करना $$ \chi_T $$ स्केलिंग संबंध पैदावार के लिए एम के संदर्भ में


 * $$ \lambda^{2q} \chi_T (\lambda^p t, \lambda^q H) = \lambda^d \chi_T (t, H) \,$$

सेटिंग एच = 0 और $$ \lambda = (t)^{-1/p}$$ के लिए $$ t \downarrow 0$$ (प्रति. $$ \lambda = (-t)^{-1/p} $$ के लिए $$ t \uparrow 0 $$) पैदावार


 * $$ \gamma = \gamma' = \frac{2q -d}{p} \,$$

इसी प्रकार विशिष्ट ऊष्मा के लिए व्यंजक के लिए $$ c_H $$ स्केलिंग संबंध पैदावार के लिए एम के संदर्भ में


 * $$ \lambda^{2p} c_H ( \lambda^p t, \lambda^q H) = \lambda^d c_H(t, H) \, $$

एच लेना = 0 और $$ \lambda = (t)^{-1/p} $$ के लिए $$ t \downarrow 0 $$ (या $$ \lambda = (-t)^{-1/p} $$ के लिए $$t \uparrow 0)$$ पैदावार


 * $$ \alpha = \alpha' = 2 -\frac{d}{p}=2-\nu d $$

विडोम स्केलिंग के परिणामस्वरूप, सभी महत्वपूर्ण प्रतिपादक स्वतंत्र नहीं होते हैं, लेकिन उन्हें दो संख्याओं के आधार पर परिचालित किया जा सकता है $$ p, q \in \mathbb{R} $$ के रूप में व्यक्त संबंधों के साथ


 * $$ \alpha = \alpha' = 2-\nu d,$$
 * $$ \gamma = \gamma' = \beta(\delta -1)=\nu(2-\eta) .$$

संबंधों को चुंबकीय प्रणालियों और तरल पदार्थों के लिए प्रयोगात्मक रूप से सत्यापित किया गया है।

संदर्भ

 * H. E. Stanley, Introduction to Phase Transitions and Critical Phenomena
 * H. Kleinert and V. Schulte-Frohlinde, Critical Properties of φ4-Theories, World Scientific (Singapore, 2001); Paperback ISBN 981-02-4658-7 (also available online)