द्वि-हार्मोनिक मानचित्र

अंतर ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में, एक बिहार्मोनिक मैप  रीमैनियन कई गुना  या स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड के बीच का एक मैप है जो एक निश्चित चौथे क्रम के आंशिक अंतर समीकरण को संतुष्ट करता है। एक बिहारमोनिक सबमनिफोल्ड एक रिमेंनियन या छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड में एक एम्बेडिंग या विसर्जन को संदर्भित करता है जो एक बिहार्मोनिक नक्शा है जब डोमेन अपने प्रेरित मीट्रिक से लैस होता है। बिहारमोनिक मानचित्रों को समझने की समस्या 1983 में जेम्स एल्स और ल्यूक लेमाइरे द्वारा प्रस्तुत की गई थी।{{sfnm|1a1=Eells|1a2=Lemaire|1y=1983|1loc=(8.7) and (8.8)}हार्मोनिक नक्शा मानचित्रों का अध्ययन, जिनमें से बिहारमोनिक मानचित्रों का अध्ययन एक परिणाम है (कोई भी हार्मोनिक मानचित्र भी एक बिहारमोनिक मानचित्र है), पिछले बीस वर्षों से अध्ययन का एक सक्रिय क्षेत्र रहा है (और बना हुआ है)। बिहारमोनिक मानचित्रों का एक साधारण मामला बिहारमोनिक समीकरण द्वारा दिया गया है।

परिभाषा
Riemannian या छद्म-Rimannian कई गुना दिया गया $(M, g)$ और $(N, h)$, नक्षा $f$ से $M$ को $N$ जो कम से कम चार बार अलग-अलग होता है उसे एक बिहारमोनिक मानचित्र कहा जाता है
 * $$\Delta\Delta f+\sum_{i=1}^m R^h\big(\Delta f,df(e_i),df(e_i)\big)=0;$$

कोई बिंदु दिया $p$ का $M$, इस समीकरण का प्रत्येक पक्ष स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व है $N$ पर $f(p)$. दूसरे शब्दों में, उपरोक्त समीकरण सदिश बंडल के वर्गों की समानता है $f^{ *}TN → M$. समीकरण में, $e_{1}, ..., e_{m}$ एक मनमाना है $g$- स्पर्शरेखा स्थान का ऑर्थोनॉर्मल आधार $M$ और $R^{h}$ सम्मेलन के बाद रीमैन वक्रता टेन्सर है $R(u, v, w) = ∇_{u}∇_{v}w − ∇_{v}∇_{u}w − ∇_{[u, v]}w$. मात्रा $∆f$ का तनाव क्षेत्र या लाप्लासियन है $f$, जैसा कि एल्स और सैम्पसन द्वारा हार्मोनिक मानचित्रों के अध्ययन में पेश किया गया था।

ट्रेस (रैखिक बीजगणित), आंतरिक उत्पाद, और पुलबैक (अंतर ज्यामिति) संचालन के संदर्भ में, बिहारमोनिक मानचित्र समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$\Delta\Delta f+\operatorname{tr}_g\Big(f^\ast\big(\iota_{\Delta f}R^h\big)\Big)=0.$$

स्थानीय निर्देशांक के संदर्भ में $x^{i}$ के लिए $M$ और स्थानीय निर्देशांक $y^{α}$ के लिए $N$, बिहारमोनिक मानचित्र समीकरण के रूप में लिखा गया है
 * $$g^{ij}\left(\frac{\partial}{\partial x^i}\left(\frac{\partial(\Delta f)^\alpha}{\partial x^j}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^j}\Gamma_{\beta\gamma}^\alpha(\Delta f)^\gamma\right)-\Gamma_{ij}^k\left(\frac{\partial(\Delta f)^\alpha}{\partial x^k}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^k}\Gamma_{\beta\gamma}^\alpha(\Delta f)^\gamma\right)+\frac{\partial f^\delta}{\partial x^i}\Gamma_{\delta\epsilon}^\alpha\left(\frac{\partial(\Delta f)^\epsilon}{\partial x^j}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^j}\Gamma_{\beta\gamma}^\epsilon(\Delta f)^\gamma\right)\right)+g^{ij}R_{\beta\gamma\delta}^\alpha(\Delta f)^\beta\frac{\partial f^\gamma}{\partial x^i}\frac{\partial f^\delta}{\partial x^j}=0,$$

जिसमें क्रिस्टोफेल प्रतीकों, रीमैन वक्रता टेन्सर, और हार्मोनिक मानचित्र की निम्नलिखित परिभाषाओं के साथ आइंस्टीन योग सम्मेलन का उपयोग किया गया है:
 * $$\begin{align}

\Gamma_{ij}^k&=\frac{1}{2}g^{kl}\Big(\frac{\partial g_{jl}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{il}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^l}\Big)\\ \Gamma_{\beta\gamma}^\alpha&=\frac{1}{2}h^{\alpha\delta}\Big(\frac{\partial h_{\gamma\delta}}{\partial y^\beta}+\frac{\partial h_{\beta\delta}}{\partial y^\gamma}-\frac{\partial h_{\beta\gamma}}{\partial y^\delta}\Big)\\ R_{\beta\gamma\delta}^\alpha&=\frac{\partial\Gamma_{\gamma\delta}^\alpha}{\partial y^\beta}-\frac{\partial\Gamma_{\beta\delta}^\alpha}{\partial y^\gamma}+\Gamma_{\beta\rho}^\alpha\Gamma_{\gamma\delta}^\rho-\Gamma_{\gamma\rho}^\alpha\Gamma_{\beta\delta}^\rho\\ (\Delta f)^\alpha&=g^{ij}\Big(\frac{\partial^2f^\alpha}{\partial x^i\partial x^j}-\Gamma_{ij}^k\frac{\partial f^\alpha}{\partial x^k}+\frac{\partial f^\beta}{\partial x^i}\Gamma_{\beta\gamma}^\alpha\frac{\partial f^\gamma}{\partial x^j}\Big). \end{align}$$ समीकरण की इन प्रस्तुतियों में से किसी भी प्रस्तुति से यह स्पष्ट है कि कोई भी हार्मोनिक मानचित्र स्वचालित रूप से बिहार्मोनिक है। इस कारण से, एक उचित बिहारमोनिक मानचित्र एक बिहारमोनिक मानचित्र को संदर्भित करता है जो हार्मोनिक नहीं है।

विशेष सेटिंग में जहां $f$ एक (छद्म-) रीमैनियन विसर्जन है, जिसका अर्थ है कि यह एक विसर्जन (गणित) है और वह $g$ प्रेरित मीट्रिक के बराबर है $f^{ *}h$, एक का कहना है कि एक बिहारमोनिक मानचित्र के बजाय एक बिहारमोनिक सबमनीफोल्ड है। के औसत वक्रता के बाद से $f$ के लाप्लासियन के बराबर है $f : (M, f^{ *}h) → (N, h)$, कोई जानता है कि एक विसर्जन न्यूनतम सबमनीफोल्ड है अगर और केवल अगर यह हार्मोनिक है। विशेष रूप से, कोई भी न्यूनतम विसर्जन स्वचालित रूप से एक बिहार्मोनिक सबमनीफोल्ड होता है। एक उचित बिहारमोनिक सबमनीफोल्ड एक बिहारमोनिक सबमनीफोल्ड को संदर्भित करता है जो न्यूनतम नहीं है।

बिहारमोनिक मैप समीकरण के लिए प्रेरणा द्विऊर्जा कार्यात्मक से है
 * $$E_2(f) = \frac{1}{2}\,\int_M |\Delta f|_h^2\, dv_g,$$

सेटिंग में जहां $M$ कई गुना बंद है और $g$ और $h$ दोनों रीमैनियन हैं; $dv_{g}$ वॉल्यूम माप (गणित) को दर्शाता है $$M$$ प्रेरक $g$. 1983 में ईल्स एंड लेमेयर ने इस कार्यात्मक के महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) के अध्ययन का सुझाव दिया। गुओ यिंग जियांग ने 1986 में, इसके पहले भिन्नता सूत्र की गणना की, जिससे उपरोक्त बिहारमोनिक मानचित्र समीकरण को संबंधित यूलर-लैग्रेंज समीकरण के रूप में खोजा गया। सुरीले नक्शे उन महत्वपूर्ण बिंदुओं के अनुरूप होते हैं जिनके लिए बायोएनेर्जी कार्यात्मक शून्य के न्यूनतम संभव मान पर ले जाता है।

उदाहरण और वर्गीकरण
बिहारमोनिक मानचित्रों के कई उदाहरण, जैसे चार आयामों के विशेष मामले में स्टीरियोग्राफिक अनुमानों के व्युत्क्रम, और पंचर यूक्लिडियन अंतरिक्ष के व्युत्क्रम ज्ञात हैं। बिहारमोनिक सबमनिफोल्ड्स के कई उदाहरण हैं, जैसे (किसी के लिए $k$) सामान्यीकृत क्लिफर्ड टोरस
 * $$\Big\{x\in\mathbb{R}^{n+2}:x_1^2+\cdots+x_{k+1}^2=x_{k+2}^2+\cdots+x_{n+2}^2=\frac{1}{2}\Big\},$$

के सबमेनिफोल्ड के रूप में $(n + 1)$-वृत्त। यदि और केवल यदि यह न्यूनतम है $n$ सम और बराबर है $2k$.

त्रि-आयामी अंतरिक्ष रूपों में बिहार्मोनिक घटता का अध्ययन फ़्रेनेट समीकरणों के माध्यम से किया जा सकता है। यह आसानी से अनुसरण करता है कि गैर-सकारात्मक वक्रता के त्रि-आयामी अंतरिक्ष रूप में प्रत्येक स्थिर-गति बिहारमोनिक वक्र को जियोडेसिक होना चाहिए। गोल त्रि-आयामी क्षेत्र में कोई स्थिर-गति बिहारमोनिक वक्र $S^{3}$ को एक निश्चित रेखीय_विभेदक_समीकरण#सजातीय_समीकरण_साथ_स्थिर_गुणांक|निरंतर-गुणांक चतुर्थ-क्रम रेखीय साधारण अंतर समीकरण के समाधान के रूप में देखा जा सकता है $ℝ^{4}$-मूल्यवान समारोह। इस तरह की स्थिति का पूरी तरह से विश्लेषण किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप ऐसा कोई भी वक्र गोले की एक आइसोमेट्री तक होता है:
 * के प्रतिच्छेदन का एक स्थिर-गति पैरामीट्रिजेशन $S^{3} ⊂ ℝ^{4}$ द्वि-आयामी रैखिक उप-स्थान के साथ $ℝ × ℝ × {0} × {0}$
 * के प्रतिच्छेदन का एक स्थिर-गति पैरामीट्रिजेशन $S^{3} ⊂ ℝ^{4}$ द्वि-आयामी affine उप-स्थान के साथ $ℝ × ℝ × {d_{1}} × {d_{2}}|undefined$, किसी भी विकल्प के लिए $(d_{1}, d_{2})$ जो त्रिज्या के वृत्त पर है $2^{−1/2}$ में मूल के आसपास $ℝ^{2}$
 * की एक निरंतर गति पुनर्मूल्यांकन
 * $$t\mapsto \Big(\frac{\cos at}{\sqrt{2}},\frac{\sin at}{\sqrt{2}},\frac{\cos bt}{\sqrt{2}},\frac{\sin bt}{\sqrt{2}}\Big)$$
 * किसी के लिए $(a, b)$ त्रिज्या के वृत्त पर $2^{1/2}$ में मूल के आसपास $ℝ^{2}$.

विशेष रूप से, प्रत्येक स्थिर-गति बिहारमोनिक वक्र में $S^{3}$ में निरंतर जियोडेसिक वक्रता होती है।

गॉस-कोडैज़ी समीकरणों और बिहारमोनिक मानचित्र समीकरण के विशुद्ध रूप से स्थानीय अध्ययन के परिणामस्वरूप, किसी भी जुड़े हुए बिहारमोनिक सतह में $S^{3}$ में निरंतर औसत वक्रता होनी चाहिए। यदि यह अशून्य है (ताकि सतह न्यूनतम न हो) तो दूसरे मौलिक रूप में निरंतर लंबाई के बराबर होना चाहिए $2^{1/2}$, जैसा कि बिहारमोनिक मानचित्र समीकरण से प्राप्त होता है। ऐसी मजबूत ज्यामितीय स्थितियों वाली सतहों को पूरी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप कोई भी जुड़ा हुआ बिहारमोनिक सतह $S^{3}$ हाइपरस्फीयर का या तो स्थानीय रूप से (आइसोमेट्री तक) हिस्सा होना चाहिए
 * $$\left\{\Big((w,x,y,\frac{1}{\sqrt{2}}\Big):w^2+x^2+y^2=\frac{1}{2}\right\},$$

या न्यूनतम। इसी तरह, यूक्लिडियन अंतरिक्ष का कोई भी बिहारमोनिक हाइपरसफेस जिसमें निरंतर माध्य वक्रता न्यूनतम होनी चाहिए।

गुओ यिंग जियांग ने दिखाया कि अगर $g$ और $h$ रीमैनियन हैं, और यदि $M$ बंद है और $h$ में गैर-सकारात्मक अनुभागीय वक्रता है, फिर एक नक्शा $(M, g)$ को $(N, h)$ बिहारमोनिक है अगर और केवल अगर यह हार्मोनिक है। प्रमाण यह दिखाना है कि, अनुभागीय वक्रता धारणा के कारण, लाप्लासियन का $|∆f|^{2}$ अऋणात्मक है, जिस बिंदु पर अधिकतम सिद्धांत लागू होता है। इस परिणाम और प्रमाण की तुलना एल्स एंड सैम्पसन के लुप्त हो जाने वाले प्रमेय से की जा सकती है, जो कहता है कि यदि अतिरिक्त रूप से रिक्की वक्रता $g$ गैर-नकारात्मक है, फिर एक नक्शा $(M, g)$ को $(N, h)$ हार्मोनिक है अगर और केवल अगर यह पूरी तरह से जियोडेसिक है। जियांग के परिणाम के एक विशेष मामले के रूप में, गैर-सकारात्मक अनुभागीय वक्रता के रिमेंनियन मैनिफोल्ड का एक बंद सबमनीफोल्ड बिहारमोनिक है और केवल अगर यह न्यूनतम है। आंशिक रूप से इन परिणामों के आधार पर, यह अनुमान लगाया गया था कि गैर-सकारात्मक अनुभागीय वक्रता के रिमेंनियन मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिहार्मोनिक सबमनीफोल्ड न्यूनतम होना चाहिए। यह, तथापि, अब असत्य होने के लिए जाना जाता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के सबमनीफोल्ड्स का विशेष मामला बैंग-येन चेन का एक पुराना अनुमान है। चेन का अनुमान कई ज्यामितीय विशेष मामलों में सिद्ध हुआ है।

संदर्भ
Footnotes

Books and surveys Articles