कक्षीय राशियाँ

कक्षीय राशियाँ विशिष्ट कक्षा की विशिष्ट रूप से व्यष्टित्व या पहचान करने के लिए आवश्यक पैरामीटर हैं। खगोलीय यांत्रिकी में इन राशियों को केप्लर कक्षा का उपयोग करके दो-पिंड प्रणालियों में सुविवेचित किया जाता है। गणितीय रूप से एक ही कक्षा का वर्णन करने के कई अलग-अलग तरीके हैं, लेकिन कुछ योजनाएं, जिनमें से प्रत्येक में छह पैरामीटर का एक समुच्चय होता है, सामान्यतः खगोल विज्ञान और कक्षीय यांत्रिकी में उपयोग किया जाता है।

एक वास्तविक कक्षा और इसकी राशियाँ समय के साथ अन्य वस्तुओं द्वारा गुरुत्वाकर्षण प्रक्षोभ और सामान्य सापेक्षता के प्रभावों के कारण परिवर्तित होते हैं। केपलर कक्षा एक विशेष समय पर कक्षा का आदर्शीकृत, गणितीय सन्निकटन है।

केप्लरियन राशियाँ
जोहान्स केप्लर और ग्रहों की गति के उनके नियमों के पश्चात, पौराणिक कक्षीय राशियाँ छह केप्लरियन राशियाँ हैं।

जब एक जड़त्वीय तंत्र से प्रेक्षित किया जाता है, तो दो परिक्रमा करने वाले पिंड अलग-अलग प्रक्षेप पथों का पता लगाते हैं। इन प्रक्षेपवक्रों में से प्रत्येक का द्रव्यमान के सामान्य केंद्र पर ध्यान केंद्रित होता है। जब किसी एक पिंड पर केंद्रित गैर-जड़त्वीय तंत्र से देखा जाता है, तो केवल विपरीत पिंड का प्रक्षेपवक्र स्पष्ट होता है; केप्लरियन राशियाँ इन गैर-जड़त्वीय प्रक्षेपवक्र का वर्णन करते हैं। एक कक्षा में केप्लरियन राशियों के दो समुच्चय होते हैं जो इस बात पर निर्भर करता है कि किस पिंड को संदर्भ बिंदु के रूप में उपयोग किया जाता है। संदर्भ निकाय (सामान्यतः सबसे बड़े पैमाने पर) को प्राथमिक कहा जाता है, अन्य निकाय को द्वितीयक कहा जाता है। जरूरी नहीं कि प्राथमिक में माध्यमिक की तुलना में अधिक द्रव्यमान हो, और यहां तक कि जब शरीर समान द्रव्यमान के होते हैं, कक्षीय राशियाँ प्राथमिक की पसंद पर निर्भर करते हैं।

दीर्घवृत्त के आकार और आकार को परिभाषित करने वाले दो राशियाँ हैं:
 * सनकीपन ($e$) - दीर्घवृत्त का आकार, यह वर्णन करता है कि यह एक वृत्त की तुलना में कितना लम्बा है (चित्र में चिह्नित नहीं है)।
 * सेमीमेजर एक्सिस ($a$) - पेरीएप्सिस और एपोप्सिस दूरी का योग दो से विभाजित होता है। क्लासिक दो-निकाय कक्षाओं के लिए, सेमीमेजर एक्सिस पिंडों के केंद्रों के बीच की दूरी है, द्रव्यमान के केंद्र से पिंडों की दूरी नहीं है।

दो राशियाँ उस कक्षीय तल के उन्मुखीकरण को परिभाषित करते हैं जिसमें दीर्घवृत्त सन्निहित है:
 * झुकाव ($i$) - संदर्भ विमान के संबंध में दीर्घवृत्त का लंबवत झुकाव, आरोही नोड पर मापा जाता है (जहां कक्षा संदर्भ विमान के माध्यम से ऊपर की ओर गुजरती है, आरेख में हरे रंग का कोण $i$)। झुकाव कोण को कक्षीय तल और संदर्भ तल के बीच प्रतिच्छेदन रेखा के लम्बवत् मापा जाता है। एक दीर्घवृत्त पर कोई भी तीन बिंदु दीर्घवृत्त कक्षीय तल को परिभाषित करेगा। विमान और दीर्घवृत्त दोनों ही त्रि-आयामी अंतरिक्ष में परिभाषित द्वि-आयामी वस्तुएँ हैं।
 * आरोही नोड का देशांतर ($Ω$) - संदर्भ तंत्र के वसंत बिंदु (♈︎ द्वारा प्रतीक) के संबंध में दीर्घवृत्त के आरोही नोड (जहां कक्षा संदर्भ विमान के माध्यम से ऊपर की ओर गुजरती है, $☊$ द्वारा चिन्हित) को क्षैतिज रूप से ओरिएंट करता है। यह संदर्भ तल में मापा जाता है, और आरेख में हरे कोण $Ω$ के रूप में दिखाया गया है।

शेष दो राशियाँ इस प्रकार हैं:
 * पेरीपसिस का तर्क ($ω$) कक्षीय तल में अंडाकार के उन्मुखीकरण को परिभाषित करता है, आरोही नोड से पेरीपसिस (उपग्रह वस्तु जिस प्राथमिक वस्तु के चारों ओर परिक्रमा करती है, उसके निकटतम बिंदु, आरेख में नीला कोण $ω$) तक मापा कोण के रूप में।
 * वास्तविक विसंगति ($ν$, $θ$, या $f$) युग ($t_{0}$) पर एक विशिष्ट समय ("युग") पर दीर्घवृत्त के साथ परिक्रमा करने वाले शरीर की स्थिति को परिभाषित करता है।

औसत विसंगति $M$ गणितीय रूप से सुविधाजनक काल्पनिक "कोण" है जो समय के साथ रैखिक रूप से बदलता है, लेकिन जो वास्तविक ज्यामितीय कोण के अनुरूप नहीं है। इसे सही विसंगति $ν$ में परिवर्तित किया जा सकता है, जो दीर्घवृत्त के तल में वास्तविक ज्यामितीय कोण का प्रतिनिधित्व करता है, पेरीप्सिस (केंद्रीय निकाय के निकटतम दृष्टिकोण) और किसी भी समय परिक्रमा करने वाली वस्तु की स्थिति के बीच। इस प्रकार, वास्तविक विसंगति को चित्र में लाल कोण $ν$ के रूप में दिखाया गया है, और औसत विसंगति नहीं दिखाई गई है।

झुकाव के कोण, आरोही नोड के देशांतर, और पेरीपसिस के तर्क को संदर्भ समन्वय प्रणाली से संबंधित कक्षा के अभिविन्यास को परिभाषित करने वाले यूलर कोणों के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है।

ध्यान दें कि गैर-अण्डाकार प्रक्षेप पथ भी मौजूद हैं, लेकिन बंद नहीं हैं, और इस प्रकार कक्षा नहीं हैं। यदि उत्केन्द्रता एक से अधिक है, तो प्रक्षेपवक्र एक अतिपरवलय है। यदि उत्केन्द्रता एक के बराबर है और कोणीय गति शून्य है, तो प्रक्षेपवक्र रेडियल है। अगर सनकीपन एक है और कोणीय गति है, तो प्रक्षेपवक्र एक परबोला है।

आवश्यक पैरामीटर
संदर्भ के एक जड़त्वीय तंत्र और एक मनमाने युग (समय में एक निर्दिष्ट बिंदु) को देखते हुए, स्पष्ट रूप से एक मनमाना और अपरंपरागत कक्षा को परिभाषित करने के लिए ठीक छह मापदंडों की आवश्यकता होती है।

ऐसा इसलिए है क्योंकि समस्या में स्वतंत्रता की छह डिग्री शामिल हैं। ये तीन स्थानिक आयामों के अनुरूप हैं जो स्थिति ($x$, $y$, $z$ कार्टेसियन समन्वय प्रणाली में) को परिभाषित करते हैं, साथ ही इनमें से प्रत्येक आयाम में वेग। इन्हें कक्षीय अवस्था वैक्टर के रूप में वर्णित किया जा सकता है, लेकिन यह अक्सर कक्षा का प्रतिनिधित्व करने का एक असुविधाजनक तरीका होता है, यही कारण है कि इसके बजाय केप्लरियन राशियों का सामान्यतः उपयोग किया जाता है।

कभी-कभी संदर्भ तंत्र के हिस्से के बजाय युग को "सातवें" कक्षीय पैरामीटर माना जाता है।

यदि युग को उस क्षण के रूप में परिभाषित किया जाता है जब राशियों में से एक शून्य होता है, तो अनिर्दिष्ट राशियों की संख्या घटाकर पांच कर दी जाती है। (कक्षा को परिभाषित करने के लिए छठा पैरामीटर अभी भी आवश्यक है; यह वास्तविक-विश्व घड़ी समय के संबंध में युग की परिभाषा में केवल संख्यात्मक रूप से शून्य पर समुच्चय है या "स्थानांतरित" है।)

वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन
केप्लरियन राशियों को कक्षीय अवस्था सदिशों (स्थिति के लिए एक त्रि-आयामी सदिश और वेग के लिए दूसरा सदिश) से मैन्युअल रूपान्तरण या कंप्यूटर सॉफ्टवेयर के द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

अन्य कक्षीय मापदंडों की गणना केप्लरियन राशियों से की जा सकती है, जैसे कि अवधि, एपोप्सिस और पेरीपसिस। (पृथ्वी की परिक्रमा करते समय, अंतिम दो शब्दों को अपोजी और पेरिगी के रूप में जाना जाता है।) केप्लरियन राशियाँ समुच्चयों में अर्ध-प्रमुख अक्ष के बजाय अवधि को निर्दिष्ट करना आम है, क्योंकि प्रत्येक की गणना दूसरे से की जा सकती है, बशर्ते कि केंद्रीय निकाय के लिए मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर, $GM$ दिया जाए।

युग में औसत विसंगति के बजाय, औसत विसंगति $M$, मतलब देशांतर, वास्तविक विसंगति $ν_{0}$, या (शायद ही कभी) विलक्षण विसंगति का इस्तेमाल किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, "युग में औसत विसंगति" के बजाय "औसत विसंगति" का उपयोग करने का मतलब है कि समय टी को सातवें कक्षीय राशियाँ के रूप में निर्दिष्ट किया जाना चाहिए। कभी-कभी यह माना जाता है कि युग में औसत विसंगति शून्य है (युग की उपयुक्त परिभाषा चुनकर), केवल पांच अन्य कक्षीय राशियाँों को निर्दिष्ट करने के लिए छोड़ दिया जाता है।

विभिन्न खगोलीय पिंडों के लिए राशियों के अलग-अलग समुच्चय का उपयोग किया जाता है। एक कक्षा के आकार और आकार को निर्दिष्ट करने के लिए सनकीपन, $e$, और या तो अर्ध-प्रमुख अक्ष, $a$, या पेराप्सिस की दूरी, $q$ का उपयोग किया जाता है। आरोही नोड का देशांतर, $Ω$, झुकाव, $i$, और पेरीपसिस का तर्क, $ω$, या पेरीपसिस का देशांतर, $ϖ$, इसके तल में कक्षा के अभिविन्यास को निर्दिष्ट करता है। या तो युगांतर पर देशांतर, $L_{0}$, युग में औसत विसंगति, $M_{0}$, या पेरिहेलियन मार्ग का समय, $T_{0}$, कक्षा में एक ज्ञात बिंदु को निर्दिष्ट करने के लिए उपयोग किया जाता है। किए गए विकल्प इस बात पर निर्भर करते हैं कि प्राथमिक संदर्भ के रूप में वसंत विषुव या नोड का उपयोग किया जाता है या नहीं। अर्ध-प्रमुख अक्ष ज्ञात है यदि औसत गति और गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान ज्ञात हैं।

समय के संबंध में एक बहुपद समारोह के रूप में, या तो $M_{0}$ या $L_{0}$ के बिना, सीधे तौर पर व्यक्त किए गए माध्य विसंगति ($M$) या माध्य देशांतर ($L$) को देखना भी काफी सामान्य है। अभिव्यक्ति की यह विधि गुणांक में से एक के रूप में बहुपद में माध्य गति ($n$) को समेकित करेगी। ऐसा प्रतीत होगा कि $L$ या $M$ को अधिक जटिल तरीके से व्यक्त किया गया है, लेकिन हमें एक कम कक्षीय राशियाँ की आवश्यकता होगी।

माध्य गति को कक्षीय अवधि $P$ के उद्धरणों के पीछे भी अस्पष्ट किया जा सकता है।
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! वस्तु ! प्रयुक्त राशियाँ
 * + कक्षीय राशियाँों का समूह
 * प्रमुख ग्रह
 * धूमकेतु
 * क्षुद्रग्रह
 * दो-लाइन राशियाँ
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 * क्षुद्रग्रह
 * दो-लाइन राशियाँ
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 * दो-लाइन राशियाँ
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यूलर कोण परिवर्तन
कोण $e, a, i, Ω, ϖ, L_{0}$, $i$, $ω$ यूलर कोण हैं (उस आलेख में उपयोग किए गए नोटेशन में $α$, $β$, $γ$ के अनुरूप) समन्वय प्रणाली के उन्मुखीकरण को चिह्नित करते हैं
 * $e, q, i, Ω, ω, T_{0}$,$e, a, i, Ω, ω, M_{0}$,$e, i, Ω, ω, n, M_{0}$ जड़त्वीय निर्देशांक तंत्र $Ω$,$x̂$,$ŷ$

जहाँ:
 * $ẑ$, $Î$ केंद्रीय शरीर के भूमध्य रेखा तल में है। Î वर्नल इक्विनॉक्स की दिशा में है। $Ĵ$, $K̂$ के लिए लंबवत है और Î के साथ संदर्भ विमान को परिभाषित करता है। $Î$ संदर्भ तल के लिए लंबवत है। सौर मंडल में पिंडों (ग्रहों, धूमकेतुओं, क्षुद्रग्रहों, ...) के कक्षीय राशियाँ सामान्यतः ग्रहण को उस विमान के रूप में उपयोग करते हैं।
 * $Ĵ$, $Ĵ$ कक्षीय तल में हैं और $Î$ के साथ परिकेंद्र (पेरीपसिस) की दिशा में हैं। $K̂$ कक्षा के समतल के लंबवत है। $x̂$ पारस्परिक रूप से $ŷ$ और $x̂$ के लंबवत है।

फिर, यूलर कोण $ẑ$, $i$, $ω$ के साथ $ŷ$,$x̂$,$ẑ$ समन्वय तंत्र से $Ω$,$Î$,$Ĵ$ तंत्र में परिवर्तन होता है:
 * $$\begin{align}

x_1 &= \cos \Omega \cdot \cos \omega - \sin \Omega \cdot \cos i \cdot \sin \omega\ ;\\ x_2 &= \sin \Omega \cdot \cos \omega + \cos \Omega \cdot \cos i \cdot \sin \omega\ ;\\ x_3 &= \sin i     \cdot \sin \omega ;\\ \, \\ y_1 &=-\cos \Omega \cdot \sin \omega - \sin \Omega \cdot \cos i \cdot \cos \omega\ ;\\ y_2 &=-\sin \Omega \cdot \sin \omega + \cos \Omega \cdot \cos i \cdot \cos \omega\ ;\\ y_3 &= \sin i     \cdot \cos \omega\ ;\\ \, \\ z_1 &= \sin i     \cdot \sin \Omega\ ;\\ z_2 &=-\sin i     \cdot \cos \Omega\ ;\\ z_3 &= \cos i\ ;\\ \, \end{align}$$
 * $$\left[\begin{array}{ccc}

x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3 \end{array} \right] = \left[\begin{array}{ccc} \cos\omega & \sin\omega & 0 \\ -\sin\omega & \cos\omega& 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right] \, \left[\begin{array}{ccc} 1 & 0 &0 \\ 0 & \cos i & \sin i\\ 0 & -\sin i & \cos i \end{array} \right] \, \left[\begin{array}{ccc} \cos\Omega & \sin\Omega & 0 \\ -\sin\Omega & \cos\Omega& 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{array} \right]\,; $$ जहाँ


 * $$\begin{align}

\mathbf\hat{x} &= x_1\mathbf\hat{I} + x_2\mathbf\hat{J} + x_3\mathbf\hat{K} ~;\\ \mathbf\hat{y} &= y_1\mathbf\hat{I} + y_2\mathbf\hat{J} + y_3\mathbf\hat{K} ~;\\ \mathbf\hat{z} &= z_1\mathbf\hat{I} + z_2\mathbf\hat{J} + z_3\mathbf\hat{K} ~.\\ \, \end{align}$$ व्युत्क्रम रूपांतरण, जो xyz प्रणाली में 3 (या 2) निर्देशांक दिए जाने पर I-J-K प्रणाली में 3 निर्देशांकों की गणना करता है, व्युत्क्रम मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। मैट्रिक्स बीजगणित के नियमों के अनुसार, 3 रोटेशन मैट्रिक्स के उत्पाद के व्युत्क्रम मैट्रिक्स को तीन मैट्रिक्स के क्रम को बदलने और तीन यूलर कोणों के संकेतों को बदलने से प्राप्त होता है।

$K̂$,$x̂$,$ŷ$ से यूलर कोण $ẑ$, $i$, $ω$ में रूपांतरण है:


 * $$\begin{align}

\Omega &= \operatorname{arg}\left( -z_2, z_1 \right)\\ i &= \operatorname{arg}\left( z_3, \sqrt{{z_1}^2 + {z_2}^2} \right)\\ \omega &= \operatorname{arg}\left( y_3, x_3 \right)\\ \, \end{align}$$ जहाँ $x̂$ ध्रुवीय तर्क को दर्शाता है जिसे कई प्रोग्रामिंग भाषाओं में उपलब्ध मानक फ़ंक्शन atan2(y,x) के साथ गणना की जा सकती है।

कक्षा भविष्यवाणी
एक पूरी तरह से गोलाकार केंद्रीय निकाय और शून्य क्षोभ की आदर्श स्थितियों के तहत, औसत विसंगति को छोड़कर सभी कक्षीय राशियाँ स्थिर हैं। औसत विसंगति समय के साथ रैखिक रूप से बदलती है, औसत गति द्वारा बढ़ाया जाता है,

$$n=\sqrt{\frac{\mu } {a^3}}.$$

इसलिए यदि किसी क्षण $ŷ$ पर कक्षीय पैरामीटर $ẑ$ हैं, तो समय $Ω$ पर राशियाँ $arg(x,y)$ द्वारा दिया जाता है

प्रक्षोभ और तात्विक विचरण
अविचलित, दो-निकाय, न्यूटोनियन कक्षाएँ हमेशा शंकुधारी खंड होती हैं, इसलिए केप्लरियन राशियाँ एक दीर्घवृत्त, परवलय या अतिपरवलय को परिभाषित करते हैं। वास्तविक कक्षाओं में प्रक्षोभ होती है, इसलिए केप्लरियन राशियों का एक दिया गया समुच्चय केवल युग में ही एक कक्षा का सटीक वर्णन करता है। कक्षीय राशियाँों का विकास प्राथमिक के अलावा अन्य पिंडों के गुरुत्वाकर्षण खिंचाव, प्राथमिक की गैर-गोलाकारता, वायुमंडलीय ड्रैग, सापेक्षतावादी प्रभाव, विकिरण दबाव, विद्युत चुम्बकीय बलों, और इसी तरह के कारण होता है।

केप्लरियन राशियों का उपयोग अक्सर युग के निकट उपयोगी भविष्यवाणियों के उत्पादन के लिए किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, वास्तविक प्रक्षेपवक्र को केप्लरियन कक्षाओं के अनुक्रम के रूप में तैयार किया जा सकता है जो वास्तविक प्रक्षेपवक्र ("चुंबन" या स्पर्श) करते हैं। उन्हें तथाकथित ग्रहों के समीकरणों, विभेदक समीकरणों द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है, जो लाग्रेंज, गॉस, डेलाउने, पॉइंकेयर या हिल द्वारा विकसित विभिन्न रूपों में आते हैं।

दो-पंक्ति राशियाँ
केप्लरियन राशियों के मापदंडों को पाठ के रूप में कई स्वरूपों में एन्कोड किया जा सकता है। उनमें से सबसे आम नासा / नोराड "दो-पंक्ति राशियाँ" (टीएलई) प्रारूप है, मूल रूप से 80 कॉलम छिद्रित कार्ड के साथ उपयोग के लिए डिज़ाइन किया गया है, लेकिन अभी भी उपयोग में है क्योंकि यह सबसे आम प्रारूप है, और साथ ही साथ सभी आधुनिक डेटा स्टोरेज द्वारा आसानी से नियंत्रित किया जा सकता है।

एप्लिकेशन और ऑब्जेक्ट ऑर्बिट के आधार पर, 30 दिनों से अधिक पुराने TLE से प्राप्त डेटा अविश्वसनीय हो सकता है। SGP / SGP4 / SDP4 / SGP8 / SDP8 एल्गोरिथम के माध्यम से कक्षीय स्थितियों की गणना TLEs से की जा सकती है। [5]

एप्लिकेशन और ऑब्जेक्ट ऑर्बिट के आधार पर, 30 दिनों से पुराने टीएलई से प्राप्त डेटा अविश्वसनीय हो सकता है। कक्षीय स्थितियों की गणना SGP/SGP4/SDP4/SGP8/SDP8 एल्गोरिदम के माध्यम से TLEs से की जा सकती है।

दो-लाइन राशियाँ का उदाहरण: 1 27651U 03004A  07083.49636287  .00000119  00000-0  30706-4 0  2692 2 27651 039.9951 132.2059 0025931 073.4582 286.9047 14.81909376225249

डेलाउने वैरिएबल
चंद्रमा की गति के अपने अध्ययन के दौरान चार्ल्स-यूजेन डेलौने द्वारा डेलौने कक्षीय राशियाँों का परिचय दिया गया था। सामान्यतः डेलाउने चर कहा जाता है, वे विहित चर का एक समुच्चय हैं, जो क्रिया-कोण निर्देशांक हैं। कोण कुछ केप्लरियन कोणों के सरल योग हैं: उनके संबंधित संयुग्म संवेग के साथ, $L$, $G$, और $H$। क्षण $L$, $G$, और $H$ क्रिया चर हैं और केप्लरियन राशियों $a$, $e$, और $i$ के अधिक विस्तृत संयोजन हैं।
 * $$\ell = M + \omega + \Omega~:$$ औसत विसंगति
 * $$g = \omega + \Omega~:$$ पेरीपसिस का तर्क, और
 * $$h = \Omega~:$$ आरोही नोड का देशांतर

डेलाउने चरों का उपयोग खगोलीय यांत्रिकी में पर्टुरबेटिव गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए श्रेणीबद्ध ट्रिपल सिस्टम में कोज़ाई-लिडोव दोलनों की जांच करते समय। डेलाउने चर का लाभ यह है कि जब $e$ और / या $i$ बहुत छोटे होते हैं तो वे अच्छी तरह से परिभाषित और गैर-एकवचन (h को छोड़कर, जिसे सहन किया जा सकता है) रहते हैं: जब परीक्षण कण की कक्षा बहुत करीब गोलाकार ($$i \approx 0$$), या बहुत करीब "फ्लैट" ($$e \approx 0$$) हो।

यह भी देखें

 * स्पष्ट देशांतर
 * क्षुद्रग्रह परिवार, क्षुद्रग्रह जो समान उचित कक्षीय राशियाँों को साझा करते हैं
 * बीटा कोण
 * पंचांग
 * भू-संभावित मॉडल
 * कक्षीय राज्य वैक्टर
 * उचित कक्षीय राशियाँ
 * ओस्कुलेटिंग ऑर्बिट

बाहरी संबंध









 * – a serious treatment of orbital elements




 * – also furnishes orbital elements for a large number of solar system objects






 * – access to VEC2TLE software


 * – orbital elements of the major planets

कक्षा