अर्धउत्तल फलन

गणित में, एक क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन एक वास्तविक संख्या-मूल्य वाला फ़ंक्शन (गणित) है जो एक अंतराल (गणित) पर या वास्तविक सदिश स्थल के उत्तल सेट पर परिभाषित होता है, जैसे कि फॉर्म के किसी भी सेट की व्युत्क्रम छवि $$(-\infty,a)$$ एक उत्तल समुच्चय है। एकल चर के एक फ़ंक्शन के लिए, वक्र के किसी भी विस्तार के साथ उच्चतम बिंदु समापन बिंदुओं में से एक है। क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन के नकारात्मक को क्वासिकोनकेव कहा जाता है।

सभी उत्तल फलन भी अर्ध-उत्तल होते हैं, लेकिन सभी अर्ध-उत्तल फलन उत्तल नहीं होते हैं, इसलिए अर्ध-उत्तलता उत्तलता का एक सामान्यीकरण है।  यूनिवेरेट यूनिमोडल फ़ंक्शन क्वासिकोनवेक्स या क्वासिकोनकेव हैं, हालांकि किसी फ़ंक्शन के एकाधिक तर्क वाले फ़ंक्शन के लिए यह जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, 2-आयामी रोसेनब्रॉक फ़ंक्शन यूनिमॉडल है, लेकिन क्वासिकोनवेक्स नहीं है और स्टार-उत्तल उप-स्तर सेट सेट वाले फ़ंक्शन क्वासिकोनवेक्स के बिना यूनिमॉडल हो सकते हैं।

परिभाषा और गुण
एक समारोह $$f:S \to \mathbb{R}$$ उत्तल उपसमुच्चय पर परिभाषित वास्तविक सदिश समष्टि $$S$$ अर्धउत्तल है यदि सभी के लिए, $$x, y \in S$$ और $$\lambda \in [0,1]$$ अपने पास


 * $$f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\leq\max\big\{f(x),f(y)\big\}.$$ है।

शब्दों में, यदि $$f$$ ऐसा है जो यह हमेशा सत्य है कि दो अन्य बिंदुओं के बीच सीधे एक बिंदु अन्य दोनों बिंदुओं की तुलना में फ़ंक्शन का उच्च मूल्य नहीं देता है, तो $$f$$ क्वासिकोनवेक्स है। ध्यान दें कि बिंदु $$x$$ और $$y$$, और उनके बीच का बिंदु, एक रेखा पर बिंदु हो सकता है या अधिक सामान्यतः एन-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु हो सकता है।



अर्ध-उत्तल फ़ंक्शन$$f(x)$$ को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक तरीका (परिचय देखें) यह आवश्यक है कि प्रत्येक उपस्तरीय सेट $$S_\alpha(f) = \{x\mid f(x) \leq \alpha\}$$ एक उत्तल समुच्चय है।

यदि इसके अतिरिक्त


 * $$f(\lambda x + (1 - \lambda)y)<\max\big\{f(x),f(y)\big\}$$

$$x \neq y$$ और $$\lambda \in (0,1)$$ सभी के लिए, तो $$f$$ पूरी तरह से अर्धउत्तल है। अर्थात्, सख्त क्वासिकोनवेक्सिटी के लिए आवश्यक है कि दो अन्य बिंदुओं के बीच सीधे एक बिंदु को अन्य बिंदुओं में से एक की तुलना में फ़ंक्शन का कम मूल्य देना चाहिए।

एक क्वासिकोनकेव फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसका नकारात्मक क्वासिकोनवेक्स है, और एक सख्ती से क्वासिकोनकेव फ़ंक्शन एक ऐसा फ़ंक्शन है जिसका नकारात्मक सख्ती से क्वासिकोनवेक्स है। समान रूप से एक $$f$$ क्वासिकोनकेव फ़ंक्शन है यदि


 * $$f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\geq\min\big\{f(x),f(y)\big\}.$$

और और पूर्णतया क्वासिकोनकेव यदि


 * $$f(\lambda x + (1 - \lambda)y)>\min\big\{f(x),f(y)\big\}$$

ए (सख्ती से) क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन में (सख्ती से) उत्तल निचले समोच्च सेट होते हैं, जबकि (सख्ती से) क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन में (सख्ती से) उत्तल ऊपरी समोच्च सेट होते हैं।

एक फ़ंक्शन जो क्वासिकोनवेक्स और क्वासिकोनकेव दोनों है, अर्धरेखीय है।

अर्ध-अवतलता का एक विशेष स्थिति, यदि $$S \subset \mathbb{R}$$, यूनिमोडिटी फ़ंक्शन है, जिसमें स्थानीय रूप से अधिकतम मूल्य होता है।

अनुप्रयोग
क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शंस का गणितीय विश्लेषण, गणितीय अनुकूलन और गेम सिद्धांत और अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग होता है।

गणितीय अनुकूलन
अरेखीय प्रोग्रामिंग में, क्वासिकोनवेक्स प्रोग्रामिंग पुनरावृत्त तरीकों का अध्ययन करती है जो क्वासिकोनवेक्स कार्यों के लिए न्यूनतम (यदि कोई मौजूद है) में परिवर्तित होती है। क्वासिकोनवेक्स प्रोग्रामिंग उत्तल प्रोग्रामिंग का एक सामान्यीकरण है। क्वासिकोनवेक्स प्रोग्रामिंग का उपयोग सरोगेट दोहरी समस्याओं के समाधान में किया जाता है, जिनके बिडुअल प्रारंभिक समस्या के क्वासिकोनवेक्स क्लोजर प्रदान करते हैं, जो इसलिए लैग्रेंजियन लैग्रेंज द्वैत द्वारा प्रदान किए गए उत्तल क्लोजर की तुलना में सख्त सीमा प्रदान करते हैं। कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में, क्वासिकोनवेक्स प्रोग्रामिंग और उत्तल प्रोग्रामिंग समस्याओं को उचित समय में हल किया जा सकता है, जहां समस्या के आयाम में पुनरावृत्तियों की संख्या बहुपद की तरह बढ़ती है (और सन्निकटन त्रुटि के पारस्परिक रूप से सहन की जाती है); हालाँकि, ऐसी सैद्धांतिक रूप से कुशल विधियाँ डायवर्जेंट-सीरीज़ ग्रेडिएंट डीसेंट#स्टेप्साइज़ नियमों का उपयोग करती हैं, जिन्हें पहली बार शास्त्रीय सबग्रेडिएंट विधियों के लिए विकसित किया गया था। अपसारी-श्रृंखला नियमों का उपयोग करने वाली शास्त्रीय सबग्रेडिएंट विधियां उत्तल न्यूनतमकरण के आधुनिक तरीकों की तुलना में बहुत धीमी हैं, जैसे कि सबग्रेडिएंट प्रक्षेपण विधियां, वंश के बंडल तरीके, और नॉनस्मूथ फ़िल्टर विधियां।

अर्थशास्त्र और आंशिक अंतर समीकरण: मिनिमैक्स प्रमेय
 सूक्ष्मअर्थशास्त्र में, क्वासिकोनकेव उपयोगिता कार्यों का अर्थ है कि उपभोक्ताओं की उत्तल प्राथमिकताएँ हैं। क्वासिकोन्वेक्स फ़ंक्शन महत्वपूर्ण हैं खेल सिद्धांत, औद्योगिक संगठन और सामान्य संतुलन सिद्धांत में भी, विशेष रूप से सायन के मिनिमैक्स प्रमेय के अनुप्रयोगों के लिए। जॉन वॉन न्यूमैन के मिनिमैक्स प्रमेय को सामान्यीकृत करते हुए, सायन के प्रमेय का उपयोग आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में भी किया जाता है।

क्वासिकोनवेक्सिटी को संरक्षित करने वाले ऑपरेशन

 * अधिकतम क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शंस (अर्थात्) $$f = \max \left\lbrace f_1, \ldots , f_n \right\rbrace$$ ) क्वासिकोनवेक्स है। इसी प्रकार, अधिकतम सख्त क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन सख्त क्वासिकोनवेक्स है। इसी तरह, न्यूनतम क्वासिकोनकेव फ़ंक्शन क्वासिकोनकेव है, और सख्ती से क्वासिकोनकेव फ़ंक्शन का न्यूनतम सख्ती से क्वासिकोनकेव है।
 * गैर-घटते कार्य के साथ रचना : $$g : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$$ क्वासिकोनवेक्स, $$h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ फिर, घटता नहीं $$f = h \circ g$$ क्वासिकोनवेक्स है। इसी प्रकार, यदि $$g : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$$ क्वासिकोनकेव, $$h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ फिर, घटता नहीं $$f = h \circ g$$ क्वासिकोनकेव है.
 * न्यूनीकरण (अर्थात्) $$f(x,y)$$ क्वासिकोनवेक्स, $$C$$ उत्तल सेट, फिर $$h(x) = \inf_{y \in C} f(x,y)$$ क्वासिकोनवेक्स है)

संचालन quasiconvexity को संरक्षित नहीं कर रहे

 * एक ही डोमेन पर परिभाषित क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शंस का योग क्वासिकोनवेक्स होने की आवश्यकता नहीं है: दूसरे शब्दों में, यदि $$f(x), g(x)$$ तो, क्वासिकोनवेक्स हैं $$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$$ quasiconvex होने की आवश्यकता नहीं है।
 * विभिन्न डोमेन पर परिभाषित क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शंस का योग (अर्थात यदि $$f(x), g(y)$$ अर्ध-उत्तल हैं, $$h(x,y) = f(x) + g(y)$$) quasiconvex होने की आवश्यकता नहीं है। ऐसे कार्यों को अर्थशास्त्र में योगात्मक रूप से विघटित और गणितीय अनुकूलन में वियोज्य कहा जाता है।

उदाहरण

 * प्रत्येक उत्तल फलन अर्धउत्तल होता है।
 * एक अवतल फलन अर्धउत्तल हो सकता है। उदाहरण के लिए, $$x \mapsto \log(x)$$ अवतल और अर्धउत्तल दोनों है।
 * कोई भी मोनोटोनिक फ़ंक्शन क्वासिकोनवेक्स और क्वासिकोनकेव दोनों है। अधिक आम तौर पर, एक फ़ंक्शन जो एक बिंदु तक घटता है और उस बिंदु से बढ़ता है वह क्वासिकोनवेक्स है (एकरूपता की तुलना करें)।
 * फर्श समारोह $$x\mapsto \lfloor x\rfloor$$ एक क्वासिकोनवेक्स फ़ंक्शन का एक उदाहरण है जो न तो उत्तल है और न ही निरंतर है।

यह भी देखें

 * उत्तल कार्य
 * अवतल कार्य
 * लघुगणकीय रूप से अवतल कार्य
 * कई जटिल चर के अर्थ में छद्म उत्तलता (सामान्यीकृत उत्तलता नहीं)
 * छद्मउत्तलता फ़ंक्शन
 * इनवेक्स फ़ंक्शन
 * अवतरण

संदर्भ

 * Avriel, M., Diewert, W.E., Schaible, S. and Zang, I., Generalized Concavity, Plenum Press, 1988.
 * Singer, Ivan Abstract convex analysis. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997. xxii+491 pp. ISBN 0-471-16015-6
 * Singer, Ivan Abstract convex analysis. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997. xxii+491 pp. ISBN 0-471-16015-6

बाहरी संबंध

 * SION, M., "On general minimax theorems", Pacific J. Math. 8 (1958), 171-176.
 * Mathematical programming glossary
 * Concave and Quasi-Concave Functions - by Charles Wilson, NYU Department of Economics
 * Quasiconcavity and quasiconvexity - by Martin J. Osborne, University of Toronto Department of Economics