जटिल संख्या

गणित में, एक जटिल संख्या एक संख्या प्रणाली  का एक तत्व है जो  वास्तविक संख्या  को एक विशिष्ट तत्व के साथ दर्शाता है $i$, काल्पनिक इकाई कहा जाता है और  समीकरण  को संतुष्ट करता है $$i^{2}= -1$$;हर जटिल संख्या को रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$a + bi$$, कहां $i$ और $a$ वास्तविक संख्याएं हैं।क्योंकि कोई वास्तविक संख्या उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट नहीं करती है, $b$ रेने डेसकार्टेस द्वारा एक  काल्पनिक संख्या  कहा जाता था।जटिल संख्या के लिए $$a+bi$$, $i$ कहा जाता है, और $a$ कहा जाता है।जटिल संख्याओं का सेट किसी भी प्रतीक द्वारा दर्शाया गया है $$\mathbb C$$ या $(a, b)$।ऐतिहासिक नामकरण काल्पनिक के बावजूद, जटिल संख्याओं को  गणितीय विज्ञान  में वास्तविक संख्या के समान वास्तविक माना जाता है और प्राकृतिक दुनिया के वैज्ञानिक विवरण के कई पहलुओं में मौलिक हैं। जटिल संख्याएं सभी बहुपद समीकरण ों के समाधान की अनुमति देती हैं, यहां तक कि जिनके पास वास्तविक संख्याओं में कोई समाधान नहीं है।अधिक सटीक रूप से,  बीजगणित के मौलिक प्रमेय  का दावा है कि वास्तविक या जटिल गुणांक के साथ प्रत्येक गैर-निरंतर बहुपद समीकरण का एक समाधान होता है जो एक जटिल संख्या है।उदाहरण के लिए, समीकरण $$(x+1)^2 = -9$$ कोई वास्तविक समाधान नहीं है, क्योंकि एक वास्तविक संख्या का वर्ग नकारात्मक नहीं हो सकता है, लेकिन दो गैर -जटिल जटिल समाधान हैं $$-1+3i$$ और $$-1-3i$$।

जोड़ का उपयोग करके जटिल संख्याओं के जोड़, घटाव और गुणन को स्वाभाविक रूप से परिभाषित किया जा सकता है $$i^{2}=-1$$ साहचर्य कानून, विनिमेय कानून  और वितरण कानून के साथ संयुक्त।प्रत्येक नॉनज़ेरो कॉम्प्लेक्स संख्या में एक गुणक उलटा होता है।यह जटिल संख्याओं को एक  क्षेत्र (गणित)  बनाता है जिसमें एक सबफील्ड के रूप में वास्तविक संख्या होती है।जटिल संख्या भी आयाम दो का एक वास्तविक वेक्टर स्थान बनाती है, $i2 = −1$ एक  मानक आधार  के रूप में।

यह मानक आधार जटिल संख्याओं को एक कार्टेशियन विमान  बनाता है, जिसे जटिल विमान कहा जाता है।यह जटिल संख्याओं और उनके संचालन की एक ज्यामितीय व्याख्या की अनुमति देता है, और इसके विपरीत जटिल संख्याओं के संदर्भ में कुछ ज्यामितीय गुणों और निर्माणों को व्यक्त करता है।उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या  वास्तविक रेखा  का निर्माण करती है जिसे जटिल विमान के क्षैतिज अक्ष के लिए पहचाना जाता है।निरपेक्ष मान की जटिल संख्या एक  एकक व्रत  का निर्माण करती है।एक जटिल संख्या के अलावा जटिल विमान में एक  अनुवाद  (ज्यामिति) है, और एक जटिल संख्या से गुणा मूल में केंद्रित एक  समानता (ज्यामिति)  है। जटिल संयुग्मन  वास्तविक अक्ष के संबंध में  प्रतिबिंब समरूपता  है।जटिल निरपेक्ष मान एक  यूक्लिडियन मानदंड  है।

सारांश में, जटिल संख्या एक समृद्ध संरचना बनाती है जो एक साथ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है, जो वास्तविक पर एक कम्यूटेटिव बीजगणित  (संरचना) है, और आयाम दो का एक  यूक्लिडियन वेक्टर स्थान  है।

परिभाषा
एक जटिल संख्या फॉर्म की एक संख्या है $C$, कहां $b$ और $x$ वास्तविक संख्याएं हैं, और $\{1, i\}$ एक अनिश्चित संतोषजनक है $z = x + iy$।उदाहरण के लिए, $a + bi$ एक जटिल संख्या है। इस तरह, एक जटिल संख्या को एकल अनिश्चितता में वास्तविक गुणांक के साथ एक बहुपद  के रूप में परिभाषित किया गया है $i$, जिसके लिए संबंध $i^{2} = −1$ लगाया जाता है।इस परिभाषा के आधार पर, बहुपद के लिए जोड़ और गुणन का उपयोग करके जटिल संख्याओं को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है।रिश्ता $2 + 3i$ समानता को प्रेरित करता है $i$ और $i^{2} + 1 = 0$ जो सभी पूर्णांक के लिए पकड़ है $y$;ये किसी भी बहुपद को कम करने की अनुमति देते हैं जो जटिल संख्याओं के जोड़ और गुणन से एक रैखिक बहुपद में परिणाम देता है $a$, फिर से फॉर्म $i^{2} + 1 = 0$ वास्तविक गुणांक के साथ $b$ असली संख्या $k$ जटिल संख्या का वास्तविक हिस्सा कहा जाता है $i^{4k} = 1, i^{4k+1} = i, i^{4k+2} = −1,$;असली संख्या $i$ इसका काल्पनिक हिस्सा कहा जाता है।जोर देने के लिए, काल्पनिक भाग में एक कारक शामिल नहीं है $a, b.$;अर्थात्, काल्पनिक हिस्सा है $a$, नहीं $i^{4k+3} = −i,$. औपचारिक रूप से, जटिल संख्याओं को अनिश्चितता में बहुपद रिंग के भागफल रिंग के रूप में परिभाषित किया गया है $a + bi$, बहुपद द्वारा उत्पन्न आदर्श (रिंग थ्योरी) द्वारा $a + bi$ ।

संकेतन
एक वास्तविक संख्या $b$ एक जटिल संख्या के रूप में माना जा सकता है $bi$, जिसका काल्पनिक हिस्सा 0. एक विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या है $i$ एक जटिल संख्या है $i^{2} + 1$, जिसका असली हिस्सा शून्य है।बहुपद के साथ, यह लिखना आम है $i$ के लिए $a + 0i$ और $bi$ के लिए $0 + bi$।इसके अलावा, जब काल्पनिक हिस्सा नकारात्मक है, अर्थात्, $a + 0i$, यह लिखना आम है $bi$ के बजाय $0 + bi$;उदाहरण के लिए, के लिए $b = −|b| < 0$, $a − |b|i$ के बजाय लिखा जा सकता है $a + (−|b|)i$।

अनिश्चित के गुणन के बाद से $b = −4$ और एक वास्तविक वास्तविक गुणांक, बहुपद के साथ बहुपद में कम्यूटेटिव है $3 − 4i$ के रूप में लिखा जा सकता है $3 + (−4)i$ यह अक्सर अभिव्यक्तियों द्वारा निरूपित काल्पनिक भागों के लिए समीचीन होता है, उदाहरण के लिए, जब, जब $b$ एक कट्टरपंथी है। एक जटिल संख्या का वास्तविक हिस्सा $a$ द्वारा निरूपित किया गया है $i$, $$\mathcal{Re}(z)$$, या $$\mathfrak{R}(z)$$;एक जटिल संख्या का काल्पनिक हिस्सा $a$ द्वारा निरूपित किया गया है $a + bi$, $$\mathcal{Im}(z)$$, या $$\mathfrak{I}(z).$$ उदाहरण के लिए, $$ \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 \quad \text{ and } \quad  \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3~.$$ सभी जटिल संख्याओं का सेट (गणित)  द्वारा निरूपित किया गया है $$\Complex$$ ( ब्लैकबोर्ड बोल्ड ) या $a + ib.$ (ईमानदार बोल्ड)।

कुछ विषयों में, विशेष रूप से इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म और [[ विद्युत  अभियन्त्रण ]] में, $b$ के बजाय उपयोग किया जाता है $z$ जैसा $z$ अक्सर  विद्युत प्रवाह  का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है। इन मामलों में, जटिल संख्याओं को लिखा जाता है $Re(z)$, या $Im(z)$।

विज़ुअलाइज़ेशन
एक जटिल संख्या $j$ इस प्रकार एक आदेशित जोड़ी के साथ पहचाना जा सकता है $$(\Re (z),\Im (z))$$ वास्तविक संख्याओं में से, जिसे बदले में दो आयामी स्थान में एक बिंदु के निर्देशांक के रूप में व्याख्या की जा सकती है।सबसे तत्काल स्थान उपयुक्त निर्देशांक के साथ यूक्लिडियन विमान है, जिसे तब जटिल विमान या आर्गन आरेख कहा जाता है,  जीन-रॉबर्ट फाइट  के नाम पर।एक और प्रमुख स्थान जिस पर निर्देशांक का अनुमान लगाया जा सकता है, वह एक क्षेत्र की दो-आयामी सतह है, जिसे तब रीमैन क्षेत्र कहा जाता है।

कार्टेशियन कॉम्प्लेक्स प्लेन
दो मनमाने वास्तविक मूल्यों को शामिल करने वाली जटिल संख्याओं की परिभाषा तुरंत जटिल विमान में कार्टेशियन निर्देशांक के उपयोग का सुझाव देती है।क्षैतिज (वास्तविक) अक्ष का उपयोग आम तौर पर वास्तविक भाग को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है, दाईं ओर बढ़ते मूल्यों के साथ, और काल्पनिक भाग ऊर्ध्वाधर (काल्पनिक) अक्ष को चिह्नित करता है, जिसमें मूल्यों को ऊपर की ओर बढ़ता है।

एक चार्टेड संख्या को या तो विक्ट के रूप में देखा जा सकता है: समन्वय बिंदु या इस बिंदु तक मूल से एक वेक्टर (ज्यामितीय)  के रूप में।एक जटिल संख्या के समन्वय मान $i$ इसलिए इसके कार्टेशियन, आयताकार या बीजीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

विशेष रूप से, जोड़ और गुणन के संचालन एक बहुत ही प्राकृतिक ज्यामितीय चरित्र पर ले जाते हैं, जब जटिल संख्याओं को स्थिति वैक्टर के रूप में देखा जाता है: इसके अलावा यूक्लिडियन वेक्टर #जोड़ और घटाव से मेल खाता है, जबकि गुणा (देखें #multiplication और ध्रुवीय रूप में विभाजन) कई गुणा करने से मेल खाती है।उनके परिमाण और वे कोण जो वे वास्तविक अक्ष के साथ बनाते हैं।इस तरह से देखा गया, एक जटिल संख्या का गुणन $C$ मूल के बारे में एक चौथाई मोड़ (ज्यामिति) (ज्यामिति) (सही कोण | 90 °) द्वारा स्थिति वेक्टर ओरिएंटेशन (ज्यामिति) को घुमाने के लिए मेल खाता है - एक तथ्य जिसे बीजगणितीय रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: $$(a + bi)\cdot i = ai + b(i)^2 = -b + ai .$$

मापांक और तर्क
जटिल विमान में निर्देशांक के लिए एक वैकल्पिक विकल्प ध्रुवीय समन्वय प्रणाली है जो बिंदु की दूरी का उपयोग करता है $i$ मूल (गणित)  से ($z$), और कोण  सकारात्मक वास्तविक अक्ष  और लाइन खंड के बीच घटाया गया $z$ एक वामावर्त अर्थों में।यह ध्रुवीय रूप की ओर जाता है
 * $$z=re^{i\varphi}=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) $$

एक जटिल संख्या का, जहां $z$ का पूर्ण मूल्य है $φ$, और $$\varphi$$ का तर्क (जटिल विश्लेषण)  है $r$।

एक जटिल संख्या का निरपेक्ष मान (या मापांक या परिमाण) $a + bj$ है $$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$$ यदि $z$ एक वास्तविक संख्या है (यानी, अगर $a + jb$), तब $i$।अर्थात्, एक वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान एक जटिल संख्या के रूप में इसके पूर्ण मान के बराबर है।

पाइथागोरस के प्रमेय द्वारा, एक जटिल संख्या का निरपेक्ष मान जटिल विमान में जटिल संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु की उत्पत्ति की दूरी है।

का तर्क $O$ (चरण के रूप में संदर्भित कई अनुप्रयोगों में $Oz$) त्रिज्या का कोण है $r$ सकारात्मक वास्तविक अक्ष के साथ, और के रूप में लिखा गया है $z = x + yi$।मापांक के साथ, तर्क आयताकार रूप से पाया जा सकता है $z$ —मैं कालीन-दर-वास्तविक भागों के भागफल के लिए उलटा स्पर्शरेखा को लागू करना।एक आधा-कोण पहचान का उपयोग करके, आर्कटन की एक एकल शाखा रेंज को कवर करने के लिए पर्याप्त है $z$ की $y = 0$-फंक्शन, और एक अधिक सूक्ष्म मामले-दर-मामला विश्लेषण से बचा जाता है

$$\varphi = \arg (x+yi) = \begin{cases} 2 \arctan\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}\right) &\text{if } y \neq 0 \text{ or } x > 0, \\ \pi &\text{if } x < 0 \text{ and } y = 0, \\ \text{undefined} &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0. \end{cases}$$ आम तौर पर, जैसा कि ऊपर दिया गया है, अंतराल में प्रमुख मूल्य $z$ चुना जाता है।यदि आर्ग मान नकारात्मक है, तो सीमा में मान $z$ या $φ$ जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है $r = |x|$. का मूल्य $Oz$ इस लेख में कांति  में व्यक्त किया गया है।यह किसी भी पूर्णांक से बढ़ सकता है $arg z$ और अभी भी एक ही कोण दें, सकारात्मक वास्तविक अक्ष की किरणों और उत्पत्ति से घटकर सबटेड के रूप में देखा जाता है $x + yi$।इसलिए, ARG फ़ंक्शन को कभी -कभी बहुस्तरीय फ़ंक्शन माना जाता है।जटिल संख्या 0 के लिए ध्रुवीय कोण अनिश्चित है, लेकिन ध्रुवीय कोण & nbsp; 0 का मनमाना विकल्प आम है।

का मूल्य $(−π, π]$ ATAN2 के परिणाम के बराबर है: $$\varphi = \operatorname{atan2}\left(\operatorname{Im}(z),\operatorname{Re}(z) \right).$$ साथ में, $(−π, π]$ और $(−π, π]$ जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका दें, ध्रुवीय रूप, मापांक और तर्क के संयोजन के रूप में विमान पर एक बिंदु की स्थिति को पूरी तरह से निर्दिष्ट करें।ध्रुवीय रूप से मूल आयताकार समन्वय को पुनर्प्राप्त करना त्रिकोणमितीय रूप नामक सूत्र द्वारा किया जाता है $$ z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ).$$ यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए इसे लिखा जा सकता है $$z = r e^{i \varphi} \text{ or } z = r \exp i \varphi.$$ का उपयोग $arg$ कार्य, यह कभी -कभी संक्षिप्त किया जाता है $$ z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi. $$ कोण संकेतन में, अक्सर इलेक्ट्रानिक्स  में एक चरण (साइन तरंगों) का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है $[0, 2π)$ और चरण $φ$, यह के रूप में लिखा है $$z = r \angle \varphi. $$

जटिल रेखांकन
जटिल विश्लेषण की कल्पना करते समय, एक जटिल इनपुट और आउटपुट दोनों की आवश्यकता होती है।क्योंकि प्रत्येक जटिल संख्या को दो आयामों में दर्शाया जाता है, नेत्रहीन रूप से एक जटिल फ़ंक्शन को रेखांकन करने के लिए  चार आयामी स्थान  की धारणा की आवश्यकता होगी, जो केवल अनुमानों में संभव है।इस वजह से, जटिल कार्यों को देखने के अन्य तरीकों को डिजाइन किया गया है।

डोमेन रंग में आउटपुट आयामों को क्रमशः रंग और चमक द्वारा दर्शाया जाता है।डोमेन के रूप में जटिल विमान में प्रत्येक बिंदु को अलंकृत किया जाता है, आमतौर पर रंग के साथ जटिल संख्या के तर्क का प्रतिनिधित्व करते हैं, और चमक का प्रतिनिधित्व करते हुए चमक।डार्क स्पॉट्स मार्क मोडुली शून्य के पास, उज्जवल धब्बे मूल से दूर हैं, ग्रेडेशन बंद हो सकता है, लेकिन इसे नीरस माना जाता है।रंग अक्सर चरणों में भिन्न होते हैं $z$ के लिए $2π$ को $2π$ लाल, पीले, हरे, सियान, नीले, से मैजेंटा तक।इन भूखंडों को डोमेन रंग कहा जाता है।यह जानकारी खोए बिना कार्यों की कल्पना करने का एक सरल तरीका प्रदान करता है।चित्र के लिए शून्य दिखाता है $cis$ और पर ध्रुव $$\pm \sqrt.$$

इतिहास
एक सामान्य क्यूबिक समीकरण के एनटीएच रूट ( त्रिकोणमितीय कार्य ों के बिना) में समाधान, जब इसकी तीनों जड़ें वास्तविक संख्याएँ होती हैं, तो नकारात्मक संख्याओं की वर्ग जड़ें होती हैं, एक ऐसी स्थिति जो तर्कसंगत रूट परीक्षण द्वारा सहायता प्राप्त की जा सकती है, यदिक्यूबिक इरेड्यूसिबल बहुपद है;यह तथाकथित कैसस irreducibilis (irreducible मामला) है।इस conundrum ने इतालवी गणितज्ञ Gerolamo Cardano  को अपने Ars Magna में लगभग 1545 में जटिल संख्याओं की कल्पना करने के लिए प्रेरित किया, हालांकि उनकी समझ अल्पविकसित थी;इसके अलावा उन्होंने बाद में जटिल संख्याओं को सूक्ष्म रूप से खारिज कर दिया क्योंकि वे बेकार हैं। कार्डानो ने काल्पनिक संख्याओं का उपयोग किया, लेकिन उन्हें "मानसिक यातना" के रूप में उपयोग किया गया। यह ग्राफिकल कॉम्प्लेक्स प्लेन के उपयोग से पहले था।कार्डानो और अन्य इतालवी गणितज्ञ, विशेष रूप से  स्किपिओन डेल फेरो, 1500 के दशक में, क्यूबिक समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म बनाया गया था जिसमें आम तौर पर एक वास्तविक समाधान और दो समाधान थे जिसमें एक काल्पनिक संख्या थी।चूंकि उन्होंने काल्पनिक संख्याओं के साथ उत्तरों को नजरअंदाज कर दिया था, कार्डानो ने उन्हें बेकार पाया। सामान्य बहुपदों की समस्या पर काम करें अंततः बीजगणित के मौलिक प्रमेय का नेतृत्व किया, जो दर्शाता है कि जटिल संख्याओं के साथ, एक समाधान डिग्री एक या उच्चतर के प्रत्येक बहुपद समीकरण के लिए मौजूद है।जटिल संख्या इस प्रकार एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र का निर्माण करती है, जहां किसी भी बहुपद समीकरण में एक फ़ंक्शन की जड़ होती है।

कई गणितज्ञों ने जटिल संख्याओं के विकास में योगदान दिया।इतालवी गणितज्ञ राफेल बॉम्बेली  द्वारा जटिल संख्याओं के जोड़, घटाव, गुणन और रूट निष्कर्षण के नियमों को विकसित किया गया था। जटिल संख्याओं के लिए एक अधिक अमूर्त औपचारिकता को आयरिश गणितज्ञ  विलियम रोवन हैमिल्टन  द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने इस अमूर्तता को चतुर्भुज के सिद्धांत तक बढ़ाया। नकारात्मक संख्याओं की चौकोर जड़ों के लिए जल्द से जल्द क्षणभंगुर संदर्भ शायद पहली शताब्दी ईस्वी में अलेक्जेंड्रिया के हेलेनिस्टिक गणित  नायक के काम में होने के लिए कहा जा सकता है, जहां अलेक्जेंड्रिया#ग्रंथ सूची के अपने नायक में उन्होंने माना, जाहिर तौर पर गलती से, की मात्रा, की मात्रा मेंशब्द पर पहुंचने के लिए एक  पिरामिड  का एक असंभव  टुकड़ा  $$\sqrt{81 - 144}$$ उनकी गणना में, जो आज सरल हो जाएगा  $$\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}$$।नकारात्मक मात्रा में हेलेनिस्टिक गणित में कल्पना नहीं की गई थी और नायक ने इसे केवल इसके सकारात्मक द्वारा प्रतिस्थापित किया था $$\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}.$$ अपने आप में एक विषय के रूप में जटिल संख्याओं का अध्ययन करने के लिए प्रेरणा पहली बार 16 वीं शताब्दी में उत्पन्न हुई जब क्यूबिक समीकरण और चतुर्थक समीकरण  बहुपद की जड़ों के लिए बीजगणितीय समाधान इतालवी गणितज्ञों द्वारा खोजे गए (निकोलो फोंटाना टार्टग्लिया, गेरोलमो कार्डो देखें) द्वारा खोजा गया था।यह जल्द ही एहसास हुआ (लेकिन बहुत बाद में साबित हुआ) ये सूत्र, भले ही कोई केवल वास्तविक समाधानों में रुचि रखता था, कभी -कभी नकारात्मक संख्याओं की चौकोर जड़ों के हेरफेर की आवश्यकता होती है।एक उदाहरण के रूप में, फॉर्म के क्यूबिक समीकरण के लिए टार्टग्लिया का सूत्र $(z^{2} − 1)(z − 2 − i)^{2}⁄z^{2} + 2 + 2i$ समीकरण को समाधान देता है $0$ जैसा

$$\tfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\left(\sqrt{-1}\right)^{1/3}+\left(\sqrt{-1}\right)^{-1/3}\right).$$ पहली नज़र में यह बकवास जैसा दिखता है।हालांकि, जटिल संख्याओं के साथ औपचारिक गणना बताती है कि समीकरण $2\pi$ तीन समाधान हैं: $$-i, \frac{\sqrt{3} + i}{2}, \frac{-\sqrt{3}+i}{2}.$$ बदले में इन्हें प्रतिस्थापित करना $$\sqrt{-1}^{1/3}$$ Tartaglia के क्यूबिक फॉर्मूला और सरलीकरण में, एक को 0, 1 और & माइनस; 1 के समाधान के रूप में मिलता है $±1, (2 + i)$।बेशक इस विशेष समीकरण को दृष्टि में हल किया जा सकता है, लेकिन यह स्पष्ट करता है कि जब सामान्य सूत्रों का उपयोग वास्तविक जड़ों के साथ क्यूबिक समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है, तो बाद में गणितज्ञों ने कठोरता से दिखाया, जटिल संख्याओं के कैसस ireducibilis का उपयोग।राफेल बॉम्बेली क्यूबिक समीकरणों के इन प्रतीत होने वाले विरोधाभासी समाधानों को स्पष्ट रूप से संबोधित करने वाले पहले व्यक्ति थे और इन मुद्दों को हल करने के लिए जटिल अंकगणित के लिए नियमों को विकसित किया।

इन मात्राओं के लिए काल्पनिक शब्द 1637 में रेने डेसकार्टेस द्वारा गढ़ा गया था, जो उनके अवास्तविक प्रकृति पर जोर देने के लिए दर्द में था "... sometimes only imaginary, that is one can imagine as many as I said in each equation, but sometimes there exists no quantity that matches that which we imagine. [... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine.]" भ्रम का एक और स्रोत यह था कि समीकरण $$\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1$$ बीजीय पहचान के साथ असंगत रूप से असंगत लग रहा था $$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$$, जो गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए मान्य है $φ$ और $r$, और जो एक के साथ जटिल संख्या गणना में भी उपयोग किया गया था $φ$, $r$ सकारात्मक और दूसरा नकारात्मक।इस पहचान का गलत उपयोग (और संबंधित पहचान $\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}$ ) मामले में जब दोनों $φ$ और $\pi⁄3$ नकारात्मक भी बेडविल्ड लियोनहार्ड यूलर  हैं।इस कठिनाई ने अंततः विशेष प्रतीक का उपयोग करने के सम्मेलन को जन्म दिया $x3 = px + q$ की जगह में $$\sqrt{-1}$$ इस गलती से बचाने के लिए। फिर भी, यूलर ने आज की तुलना में छात्रों को जटिल संख्याओं से परिचित कराना स्वाभाविक माना।अपनी प्राथमिक बीजगणित पाठ्य पुस्तक, तत्वों के तत्वों में, वह इन नंबरों का परिचय लगभग एक बार में करता है और फिर उन्हें प्राकृतिक तरीके से उपयोग करता है।

18 वीं & nbsp; सेंचुरी कॉम्प्लेक्स संख्याओं में व्यापक उपयोग प्राप्त हुआ, क्योंकि यह देखा गया था कि त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े गणनाओं को सरल बनाने के लिए जटिल अभिव्यक्तियों के औपचारिक हेरफेर का उपयोग किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, 1730 में अब्राहम डे मोइवर  ने उल्लेख किया कि उस कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों की शक्तियों के लिए एक कोण के एक कोण के त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित पहचान को निम्नलिखित डी मोइवर के सूत्र द्वारा फिर से व्यक्त किया जा सकता है:

$$(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. $$ 1748 में, यूलर ने आगे बढ़कर यूलर के जटिल विश्लेषण का सूत्र प्राप्त किया:

$$\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta } $$ औपचारिक रूप से जटिल बिजली श्रृंखला में हेरफेर करके और देखा गया कि इस सूत्र का उपयोग किसी भी त्रिकोणमितीय पहचान को कम करने के लिए बहुत सरल घातीय पहचान को कम करने के लिए किया जा सकता है।

जटिल विमान (#complex विमान) में एक बिंदु के रूप में एक जटिल संख्या का विचार पहली बार डेनमार्क   नॉर्वे   गणितज्ञ   कैस्पर वेसल  द्वारा 1799 में वर्णित किया गया था, हालांकि यह जॉन वालिस में 1685 की शुरुआत में अनुमानित था। वालिस ए ट्रीट ऑफ बीजगणित। वेसेल का संस्मरण कोपेनहेगन एकेडमी  की कार्यवाही में दिखाई दिया, लेकिन काफी हद तक किसी का ध्यान नहीं गया।1806 में जीन-रॉबर्ट आर्गंड ने स्वतंत्र रूप से जटिल संख्याओं पर एक पैम्फलेट जारी किया और बीजगणित#इतिहास के मौलिक प्रमेय का एक कठोर प्रमाण प्रदान किया।  कार्ल फ्रेडरिक गॉस  ने पहले 1797 में प्रमेय का एक अनिवार्य रूप से  टोपोलॉजी  प्रूफ प्रकाशित किया था, लेकिन उस समय अपने संदेह को व्यक्त किया था, जो कि & माइनस के वर्गमूल के सही तत्वमीमांसा के बारे में है। यह 1831 तक नहीं था कि उन्होंने इन संदेहों को पार कर लिया और विमान में बिंदुओं के रूप में जटिल संख्याओं पर अपने ग्रंथ को प्रकाशित किया, बड़े पैमाने पर आधुनिक संकेतन और शब्दावली की स्थापना: यदि किसी ने पूर्व में इस विषय पर झूठे दृष्टिकोण से चिंतन किया था और इसलिए एक रहस्यमय अंधकार पाया गया, तो यह बड़े हिस्से में अनाड़ी शब्दावली के लिए जिम्मेदार है।एक को +1, -1 नहीं कहा गया था, $$\sqrt{-1}$$ सकारात्मक, नकारात्मक, या काल्पनिक (या असंभव) इकाइयाँ, लेकिन इसके बजाय, कहते हैं, प्रत्यक्ष, उलटा, या पार्श्व इकाइयाँ, तो इस तरह के अंधेरे की बात कर सकते थे।

19 वीं शताब्दी की शुरुआत में, अन्य गणितज्ञों ने स्वतंत्र रूप से जटिल संख्याओं के ज्यामितीय प्रतिनिधित्व की खोज की: बुई, सी। वी। मौरी, जॉन वॉरेन (गणितज्ञ),   Jacques Frédéric Français | फ्रेंच और उनके भाई,  राइट बेल्वाइटिस अंग्रेजी गणितज्ञ जी.एच.हार्डी ने टिप्पणी की कि गॉस 'वास्तव में आत्मविश्वास और वैज्ञानिक तरीके' में जटिल संख्याओं का उपयोग करने वाले पहले गणितज्ञ थे, हालांकि नॉर्वे नील्स हेनरिक एबेल  और  कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी  जैसे गणितज्ञों ने गॉस को 1831 ग्रंथ प्रकाशित करने से पहले उन्हें नियमित रूप से उपयोग किया था। ऑगस्टिन-लुइस कॉची और  बर्नहार्ड रीमैन  ने एक साथ #Complex विश्लेषण के मौलिक विचारों को पूरा करने की एक उच्च स्थिति में लाया, जो कि कॉची के मामले में 1825 के आसपास शुरू हुआ।

सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले सामान्य शब्द मुख्य रूप से संस्थापकों के कारण हैं।अर्गंड को बुलाया $x^{3} = x$ दिशा कारक, और $$r = \sqrt{a^2 + b^2}$$ मापांक;}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}}} Cauchy (1821) को बुलाया $z^{3} = i$ कम रूप (कम अभिव्यक्ति) और जाहिरा तौर पर शब्द तर्क पेश किया;गॉस का इस्तेमाल किया $x^{3} &minus; x = 0$ के लिए $$\sqrt{-1}$$, के लिए जटिल संख्या शब्द का परिचय दिया $i$, और कहा जाता है $cos φ + i sin φ$ नियम। अभिव्यक्ति दिशा गुणांक, अक्सर के लिए उपयोग किया जाता है $cos φ + i sin φ$, हैनकेल (1867) के कारण है, और निरपेक्ष मूल्य, मापांक के लिए, वीरस्ट्रास के कारण है।

बाद में सामान्य सिद्धांत पर शास्त्रीय लेखकों में रिचर्ड डेडेकिंड, ओटो होल्डर,  फेलिक्स क्लेन , हेनरी पोइंकेरे,  हरमन श्वार्ज़ ,  कार्ल वीमर स्ट्रैस  और कई अन्य शामिल हैं।20 वीं शताब्दी की शुरुआत में जटिल बहुभिन्नरूपी पथरी में महत्वपूर्ण कार्य (एक व्यवस्थित सहित) शुरू किया गया है।1927 में  विल्हेम वर्टिंगर  द्वारा महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए गए हैं।

समानता
जटिल संख्याओं में वास्तविक संख्याओं की समानता की एक समान परिभाषा है;दो जटिल संख्याएँ $i$ और $a + bi$ समान हैं यदि और केवल अगर उनके वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग समान हैं, तो, अर्थात् यदि $a^{2} + b^{2}$ और $cos φ + i sin φ$। ध्रुवीय रूप में लिखी नॉनज़ेरो कॉम्प्लेक्स नंबर समान हैं यदि और केवल अगर उनके पास समान परिमाण है और उनके तर्क एक पूर्णांक से भिन्न होते हैं $a_{1} + b_{1}i$।

आदेश
वास्तविक संख्याओं के विपरीत, जटिल संख्याओं का कोई प्राकृतिक क्रम नहीं है।विशेष रूप से, जटिल संख्याओं पर कोई रैखिक आदेश  नहीं है जो जोड़ और गुणन के साथ संगत है।इसलिए, जटिल संख्याओं में एक आदेशित क्षेत्र की संरचना नहीं होती है।इसके लिए एक स्पष्टीकरण यह है कि एक आदेशित क्षेत्र में वर्गों का प्रत्येक गैर-तुच्छ राशि#nontrivialsquaresum nonzero है, और $a_{2} + b_{2}i$ वर्गों का एक गैर-तुच्छ योग है।इस प्रकार, जटिल संख्याओं को स्वाभाविक रूप से दो-आयामी विमान पर मौजूदा माना जाता है।

संयुग्म
जटिल संख्या का जटिल संयुग्म $a_{1} = a_{2}$ द्वारा दिया गया है $b_{1} = b_{2}$।इसे या तो निरूपित किया गया है $u$ या $2π$. जटिल संख्याओं पर यह अनियमित संचालन केवल उनके बुनियादी संचालन जोड़, घटाव, गुणन और विभाजन को लागू करके व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

ज्यामितीय रूप से, $v$ प्रतिबिंब समरूपता है |प्रतिबिंब $p$ असली अक्ष के बारे में।दो बार संयुग्मन मूल जटिल संख्या देता है $$\overline{\overline{z}}=z,$$ जो इस ऑपरेशन को एक इनवोल्यूशन (गणित) बनाता है।प्रतिबिंब वास्तविक भाग और परिमाण दोनों को छोड़ देता है $q$ अपरिवर्तित, वह है $$\operatorname{Re}(\overline{z}) = \operatorname{Re}(z)\quad$$ और $$\quad |\overline{z}| = |z|.$$ काल्पनिक हिस्सा और एक जटिल संख्या का तर्क $a$ संयुग्मन के तहत उनके संकेत को बदलें $$\operatorname{Im}(\overline{z}) = -\operatorname{Im}(z)\quad \text{ and } \quad \operatorname{arg} \overline{z} \equiv -\operatorname{arg} z \pmod {2\pi}.$$ तर्क और परिमाण के विवरण के लिए, #Polar फॉर्म पर अनुभाग देखें।

एक जटिल संख्या का उत्पाद $i^{2} + 1^{2} = 0$ और इसके संयुग्म को निरपेक्ष वर्ग  के रूप में जाना जाता है।यह हमेशा एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या होती है और प्रत्येक के परिमाण के वर्ग के बराबर होती है: $$z\cdot \overline{z} = x^2 + y^2 = |z|^2 = |\overline{z}|^2.$$ इस संपत्ति का उपयोग एक जटिल भाजक के साथ एक अंश को परिवर्तित करने के लिए किया जा सकता है, जो दिए गए भाजक के संयुग्म द्वारा अंश के अंश और भाजक दोनों का विस्तार करके एक वास्तविक भाजक के साथ एक समान अंश में होता है।इस प्रक्रिया को कभी -कभी भाजक का युक्तिकरण (गणित) कहा जाता है (हालांकि अंतिम अभिव्यक्ति में भाजक एक तर्कहीन वास्तविक संख्या हो सकती है), क्योंकि यह एक भाजक में सरल अभिव्यक्तियों से जड़ों को हटाने के लिए विधि जैसा दिखता है।

एक जटिल संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भागों $b$ संयुग्मन का उपयोग करके निकाला जा सकता है: $$\operatorname{Re}(z) = \dfrac{z+\overline{z}}{2},\quad \text{ and } \quad \operatorname{Im}(z) = \dfrac{z-\overline{z}}{2i}.$$ इसके अलावा, एक जटिल संख्या वास्तविक है यदि और केवल अगर यह अपने स्वयं के संयुग्म के बराबर है।

संयुग्मन मूल जटिल अंकगणितीय संचालन पर वितरित करता है: $$\begin{align} \overline{z\pm w} &= \overline{z} \pm \overline{w}, \\ \overline{z\cdot w} &= \overline{z} \cdot \overline{w}, \\ \overline{z/w} &= \overline{z}/\overline{w}. \end{align}$$ संयुग्मन भी व्युत्क्रम ज्यामिति में नियोजित किया जाता है, ज्यामिति की एक शाखा एक लाइन के बारे में अधिक सामान्य प्रतिबिंबों का अध्ययन करती है। नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट) में, जटिल संयुग्म का उपयोग समकक्ष प्रतिबाधा को खोजने में किया जाता है जब अधिकतम पावर ट्रांसफर प्रमेय के लिए देखा जाता है।

जोड़ और घटाव
दो जटिल संख्याएँ $$a =x+yi$$ और $$b =u+vi$$ अपने वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग से जोड़कर सबसे आसानी से जोड़ रहे हैं।यानी:

$$a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.$$ इसी तरह, घटाव  किया जा सकता है $$a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.$$ एक जटिल संख्या का गुणन $$a =x+yi$$ और एक वास्तविक संख्या $a$ अलग से गुणा करके समान रूप से किया जा सकता है $b$ और के वास्तविक और काल्पनिक भागों $a$: $$ra=r(x+yi) = rx + ryi.$$ विशेष रूप से, घटाव को वियोजक  को नकारकर किया जा सकता है (जो इसे गुणा कर रहा है $z = x + yi$) और परिणाम को  minuend  में जोड़ना: $$a - b =a + (-1)\,b.$$ जटिल विमान में जटिल संख्याओं के दृश्य का उपयोग करते हुए, इसके अलावा निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या है: दो जटिल संख्याओं का योग $b$ और $z$, जटिल विमान में बिंदुओं के रूप में व्याख्या की गई, तीन वर्टिस से एक समानांतर चतुर्भुज  का निर्माण करके प्राप्त बिंदु है $\overline{z}$, और लेबल वाले तीरों के बिंदु $\overline{z}$ और $\overline{z}$ (बशर्ते कि वे एक लाइन पर न हों)।समान रूप से, इन बिंदुओं को कॉल करना $z$, $z$, क्रमशः और समांतर चतुर्भुज का चौथा बिंदु $z$  त्रिकोण  $z$ और $r$  बधाई (ज्यामिति)  हैं।

गुणा और वर्ग
वितरण संपत्ति के नियम, क्रमचयी गुणधर्म  (इसके अलावा और गुणा), और परिभाषित संपत्ति $x − yi$ जटिल संख्याओं पर लागू करें।यह इस प्रकार है कि $$(x+yi)\, (u+vi)= (xu - yv) + (xv + yu)i.$$ विशेष रूप से, $$(x+yi)^2=x^2-y^2 + 2xyi.$$

पारस्परिक और विभाजन
संयुग्मन का उपयोग करते हुए, एक नॉनज़ेरो जटिल संख्या का गुणक उलटा $z*$ हमेशा के लिए टूट सकता है $$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z \overline{z}} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}=\frac{\overline{z}}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2} -\frac{y}{x^2+y^2}i,$$ चूंकि गैर-शून्य का अर्थ है कि $z = x + yi$ शून्य से अधिक है।

इसका उपयोग एक मनमाना जटिल संख्या के एक विभाजन को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है $–1$ एक गैर-शून्य जटिल संख्या द्वारा $r$ जैसा $$\frac {w}{z}= w\cdot \frac {1}{z}= (u+vi)\cdot \left(\frac{x}{x^2+y^2} -\frac{y}{x^2+y^2}i\right)= \frac{(ux+vy)+(vx-uy)i} {x^2+y^2}.$$

गुणा और ध्रुवीय रूप में विभाजन
गुणन, विभाजन और घातांक के लिए सूत्र कार्टेशियन निर्देशांक में संबंधित सूत्रों की तुलना में ध्रुवीय रूप में सरल हैं।दो जटिल संख्याओं को देखते हुए $i2 = −1$ और $z = x + yi$, त्रिकोणमितीय पहचान  के कारण $$\begin{alignat}{4} \cos a \cos b & - \sin a \sin b & {}={} & \cos(a + b) \\ \cos a \sin b & + \sin a \cos b & {}={} & \sin(a + b). \end{alignat}$$ हम प्राप्त कर सकते हैं

$$z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).$$ दूसरे शब्दों में, पूर्ण मूल्यों को गुणा किया जाता है और उत्पाद के ध्रुवीय रूप को प्राप्त करने के लिए तर्क जोड़े जाते हैं।उदाहरण के लिए, द्वारा गुणा करना $x2 + y2$ एक क्वार्टर-टर्न (ज्यामिति) काउंटर-क्लॉकवाइज से मेल खाती है, जो वापस देता है $w = u + vi$।दाईं ओर की तस्वीर के गुणन को दिखाता है $$(2+i)(3+i)=5+5i. $$ चूंकि वास्तविक और काल्पनिक भाग $2 + i$ समान हैं, उस संख्या का तर्क 45 डिग्री है, या $3 + i$ (रेडियन में)।दूसरी ओर, यह लाल और नीले रंग के त्रिकोणों की उत्पत्ति में कोणों का योग भी है, क्रमशः आर्कटान  (1/3) और आर्कटान (1/2) हैं।इस प्रकार, सूत्र $$\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) $$ होल्ड्स।जैसा कि आर्कटैन फ़ंक्शन को अत्यधिक कुशलता से अनुमानित किया जा सकता है, इस तरह के सूत्र-माचिन-जैसे सूत्र के रूप में जाना जाता है-का उपयोग पीआई के उच्च-सटीक सन्निकटन के लिए किया जाता है।$\pi$।

इसी तरह, विभाजन द्वारा दिया जाता है $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).$$

वर्गमूल
की चौकोर जड़ें $z_{1} = r_{1}(cos φ_{1} + i sin φ_{1})$ (साथ $z_{2} = r_{2}(cos φ_{2} + i sin φ_{2})$) हैं $$ \pm (\gamma + \delta i)$$, कहां

$$\gamma = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}$$ और

$$\delta = (\sgn b)\sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}},$$ कहां $i$ हस्ताक्षर समारोह  फ़ंक्शन है।यह वर्ग द्वारा देखा जा सकता है $$ \pm (\gamma + \delta i)$$ प्राप्त करने के लिए $i^{2} = −1$. यहां $$\sqrt{a^2 + b^2}$$ का निरपेक्ष मूल्य कहा जाता है $5 + 5i$, और वर्गमूल रूट चिन्ह गैर-नकारात्मक वास्तविक भाग के साथ वर्गमूल को इंगित करता है, जिसे प्रिंसिपल वर्गमूल कहा जाता है;भी $$\sqrt{a^2 + b^2}= \sqrt{z\overline{z}},$$ कहां $π/4$.

घातीय कार्य
घातीय कार्य $$\exp \colon \Complex \to \Complex ; z \mapsto \exp z $$ हर जटिल संख्या के लिए परिभाषित किया जा सकता है $a$ पावर सीरीज़ द्वारा $$\exp z= \sum_{n=0}^\infty \frac {z^n}{n!},$$ जिसमें अभिसरण का एक अनंत त्रिज्या है।

पर मूल्य $a + bi$ घातीय कार्य यूलर की संख्या है $$e = \exp 1 = \sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}\approx 2.71828.$$ यदि $a$ असली है, एक है $$\exp z=e^z.$$ विश्लेषणात्मक निरंतरता इस समानता को हर जटिल मूल्य के लिए बढ़ाने की अनुमति देती है $b$, और इस प्रकार आधार के साथ जटिल घातांक को परिभाषित करने के लिए $O$ जैसा $$e^z=\exp z.$$

कार्यात्मक समीकरण
घातीय कार्य कार्यात्मक समीकरण को संतुष्ट करता है $$e^{z+t}=e^ze^t.$$ यह या तो दोनों सदस्यों के बिजली श्रृंखला विस्तार की तुलना करके या समीकरण के प्रतिबंध से वास्तविक तर्कों के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता को लागू करके साबित किया जा सकता है।

यूलर का सूत्र
यूलर के सूत्र में कहा गया है कि, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $a$, $$e^{iy} = \cos y + i\sin y .$$ कार्यात्मक समीकरण का अर्थ है कि, अगर $b$ और $A$ असली हैं, एक है $$e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y) = e^x \cos y + i e^x \sin y ,$$ जो अपने वास्तविक और काल्पनिक भागों में घातीय कार्य का अपघटन है।

जटिल लघुगणक
वास्तविक मामले में, प्राकृतिक  लघुगणक को उलटा फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\ln \colon \R^+ \to \R ; x \mapsto \ln x $$ घातीय कार्य की।इसे जटिल डोमेन में विस्तारित करने के लिए, कोई भी यूलर के सूत्र से शुरू कर सकता है।इसका तात्पर्य है कि, यदि एक जटिल संख्या $$z\in \Complex^\times$$ ध्रुवीय रूप में लिखा गया है $$ z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )$$ साथ $$r, \varphi \in \R ,$$ फिर से $$ \ln z = \ln r + i \varphi $$ के रूप में जटिल लघुगणक  एक उचित व्युत्क्रम है: $$ \exp \ln z = \exp(\ln r + i \varphi ) = r \exp i \varphi = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) = z .$$ हालांकि, क्योंकि कोसाइन और साइन आवधिक कार्य हैं, एक पूर्णांक के अलावा कई $b ≠ 0$ को $B$ नहीं बदलता $X$।उदाहरण के लिए, $sgn$, तो दोनों $OAB$ और $a + bi$ के प्राकृतिक लघुगणक के लिए संभव मान हैं $a + bi$।

इसलिए, यदि जटिल लघुगणक को एक बहुउद्देशीय फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित नहीं किया जाना है $$ \ln z = \left\{ \ln r + i (\varphi + 2\pi k) \mid k \in \Z \right\},$$ एक को एक शाखा कट का उपयोग करना होगा और संहितात्मक  को प्रतिबंधित करना होगा, जिसके परिणामस्वरूप द्विध्रुवीय कार्य होता है $$\ln \colon \; \Complex^\times \; \to \; \; \; \R^+ + \; i \, \left(-\pi, \pi\right] .$$ यदि $$z \in \Complex \setminus \left( -\R_{\ge 0} \right)$$ एक गैर-पॉजिटिव वास्तविक संख्या (एक सकारात्मक या एक गैर-वास्तविक संख्या) नहीं है, जटिल लघुगणक का परिणामी प्रमुख मूल्य प्राप्त होता है $z = a + bi$।यह नकारात्मक वास्तविक संख्याओं के बाहर एक विश्लेषणात्मक कार्य  है, लेकिन इसे एक ऐसे फ़ंक्शन के लिए लम्बा नहीं किया जा सकता है जो किसी भी नकारात्मक वास्तविक संख्या पर निरंतर है $$z \in -\R^+ $$, जहां प्रमुख मूल्य है $1$.

एक्सपोनेंटेशन
यदि $2π$ असली है और $XBA$ जटिल, प्रतिपादक को परिभाषित किया गया है $$x^z=e^{z\ln x},$$ कहां $eiπ = e3iπ = −1$ प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है।

इस सूत्र को जटिल मूल्यों तक बढ़ाना स्वाभाविक लगता है $z$, लेकिन इस तथ्य के परिणामस्वरूप कुछ कठिनाइयाँ हैं कि जटिल लघुगणक वास्तव में एक फ़ंक्शन नहीं है, बल्कि एक बहुस्तरीय कार्य है।

यह इस प्रकार है कि अगर $z$ ऊपर है, और अगर $z$ एक और जटिल संख्या है, तो घातांक बहुवर्धित फ़ंक्शन है $$z^t=\left\{e^{t\ln r}\,(\cos(\varphi t+ 2 \pi kt)+i\sin(\varphi t+ 2 \pi kt))\}\mid k\in \mathbb Z\right\}$$

पूर्णांक और आंशिक घातांक
यदि, पूर्ववर्ती सूत्र में, $z$ एक पूर्णांक है, तो साइन और कोसाइन स्वतंत्र हैं $e$।इस प्रकार, यदि प्रतिपादक $y$ एक पूर्णांक है, तो z$x$}{ $$ z^{n}=(r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).$$

$y$ }} nth रूट |$φ$एक जटिल संख्या की जड़ें $z$ द्वारा दिए गए हैं $$z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)$$ के लिए $3iπ$।(यहां $$\sqrt[n]r$$ सामान्य (सकारात्मक) है $iπ$सकारात्मक वास्तविक संख्या की जड़ $z$।) क्योंकि साइन और कोसाइन आवधिक हैं, अन्य पूर्णांक मान $x$ अन्य मूल्य न दें।

जबकि $z$एक सकारात्मक वास्तविक संख्या की जड़ $t$ सकारात्मक वास्तविक संख्या होने के लिए चुना जाता है $t$ संतुष्टि देने वाला $−1$, एक विशेष परिसर को अलग करने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है $k$एक जटिल संख्या की जड़।इसलिए $n$रूट एक बहुस्तरीय कार्य है |$n$का कार्य समारोह $n$।इसका तात्पर्य है कि, सकारात्मक वास्तविक संख्या के मामले के विपरीत, एक है $$(z^n)^{1/n} \ne z,$$ चूंकि बाएं हाथ की ओर होता है $n$ मान, और दाहिने हाथ की ओर एक ही मूल्य है।

क्षेत्र संरचना
सेट $$\Complex$$ जटिल संख्याओं में से एक क्षेत्र (गणित) है। संक्षेप में, इसका मतलब है कि निम्नलिखित तथ्य हैं: सबसे पहले, किसी भी दो जटिल संख्याओं को जोड़ा जा सकता है और एक और जटिल संख्या प्राप्त करने के लिए गुणा किया जा सकता है।दूसरा, किसी भी जटिल संख्या के लिए $z$, इसके योज्य उलटा $−π < φ < π$ एक जटिल संख्या भी है;और तीसरा, प्रत्येक नॉनज़ेरो कॉम्प्लेक्स संख्या में एक गुणक उलटा जटिल संख्या होती है।इसके अलावा, ये ऑपरेशन कई कानूनों को संतुष्ट करते हैं, उदाहरण के लिए किसी भी दो जटिल संख्याओं के लिए जोड़ और गुणन की संबद्धता  का कानून $ln z = ln(−z) + iπ$ और $x > 0$: $$\begin{align} z_1 + z_2 & = z_2 + z_1 ,\\ z_1 z_2 & = z_2 z_1. \end{align}$$ इन दो कानूनों और एक क्षेत्र पर अन्य आवश्यकताओं को ऊपर दिए गए सूत्रों द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि वास्तविक संख्या स्वयं एक क्षेत्र का निर्माण करती है।

रियल के विपरीत, $$\Complex$$ एक आदेशित क्षेत्र  नहीं है, यह कहना है, किसी संबंध को परिभाषित करना संभव नहीं है $ln$ यह जोड़ और गुणन के साथ संगत है।वास्तव में, किसी भी आदेशित क्षेत्र में, किसी भी तत्व का वर्ग आवश्यक रूप से सकारात्मक है, इसलिए $0 ≤ k ≤ n − 1$  कुल आदेश  के अस्तित्व को रोकता है $$\Complex.$$ जब गणितीय विषय या निर्माण के लिए अंतर्निहित क्षेत्र जटिल संख्याओं का क्षेत्र होता है, तो विषय का नाम आमतौर पर उस तथ्य को प्रतिबिंबित करने के लिए संशोधित किया जाता है।उदाहरण के लिए: जटिल विश्लेषण, जटिल मैट्रिक्स (गणित), जटिल बहुपद और जटिल  झूठ बीजगणित ।

बहुपद समीकरणों का समाधान
किसी भी जटिल संख्या (गुणांक कहा जाता है) को देखते हुए $c^{n} = r$, समीकरण $$a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0$$ कम से कम एक जटिल समाधान z है, बशर्ते कि कम से कम उच्च गुणांक में से एक $–z$ नॉनज़ेरो है। <रेफ का नाम = बोरबकी 1998 लोकेल = .viiii.1 /> यह कार्ल फ्रेडरिक गॉस और जीन ले रोंड डी'एलबर्ट के बीजगणित के मौलिक प्रमेय का कथन है।इस तथ्य के कारण, $$\Complex$$ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र कहा जाता है।यह संपत्ति तर्कसंगत संख्या  के लिए नहीं है $$\Q$$ (बहुपद $z_{1}$ एक तर्कसंगत जड़ नहीं है, चूंकि वर्गमूल 2 का वर्गमूल नहीं है। ration2 एक तर्कसंगत संख्या नहीं है) और न ही वास्तविक संख्या $$\R$$ (बहुपद $z_{2}$ के लिए एक वास्तविक जड़ नहीं है $z_{1} < z_{2}$के बाद से $n$ किसी भी वास्तविक संख्या के लिए सकारात्मक है $r$)।

इस प्रमेय के विभिन्न प्रमाण हैं, या तो एनालिटिक तरीकों जैसे कि लिउविले के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) | लिउविले के प्रमेय, या टोपोलॉजी जैसे कि घुमावदार संख्या, या एक प्रमाण जो गैलोइस सिद्धांत और इस तथ्य को जोड़ते हैं कि विषम डिग्री का कोई वास्तविक बहुपद हैकम से कम एक वास्तविक जड़।

इस तथ्य के कारण, किसी भी बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के लिए धारण करने वाले प्रमेय लागू होते हैं $$\Complex.$$ उदाहरण के लिए, किसी भी गैर-खाली जटिल वर्ग मैट्रिक्स  में कम से कम एक (जटिल)  eigenvalue  होता है।

बीजीय लक्षण वर्णन
फील्ड $$\Complex$$ निम्नलिखित तीन गुण हैं: यह दिखाया जा सकता है कि इन गुणों वाले किसी भी क्षेत्र में आइसोमॉर्फिक  (एक क्षेत्र के रूप में) है $$\Complex.$$ उदाहरण के लिए, क्षेत्र का बीजगणितीय बंद $$\Q_p$$ पी-एडिक नंबर का |$k$-एक संख्या भी इन तीन गुणों को संतुष्ट करती है, इसलिए ये दो क्षेत्र आइसोमॉर्फिक हैं (फ़ील्ड के रूप में, लेकिन टोपोलॉजिकल फ़ील्ड के रूप में नहीं)। भी, $$\Complex$$ कॉम्प्लेक्स  पुइज़क्स श्रृंखला  के क्षेत्र के लिए आइसोमोर्फिक है।हालांकि, एक आइसोमोर्फिज्म को निर्दिष्ट करने के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है।इस बीजीय लक्षण वर्णन का एक और परिणाम यह है कि $$\Complex$$ कई उचित उपक्षेत्र शामिल हैं जो आइसोमोर्फिक हैं $$\Complex$$।
 * सबसे पहले, इसकी विशेषता (बीजगणित)  0. है। इसका मतलब है कि $i^{2} = −1$ किसी भी संख्या के लिए (जो सभी के बराबर)।
 * दूसरा, इसकी पारगमन की डिग्री खत्म हो गई $$\Q$$का मुख्य क्षेत्र $$\Complex,$$ सातत्य की कार्डिनैलिटी है।
 * तीसरा, यह बीजगणितीय रूप से बंद है (ऊपर देखें)।

एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र के रूप में विशेषता
के पूर्ववर्ती लक्षण वर्णन $$\Complex$$ के केवल बीजीय पहलुओं का वर्णन करता है $$\Complex.$$ यह कहना है, पड़ोस (टोपोलॉजी)  और  निरंतरता (टोपोलॉजी)  के गुण, जो  गणितीय विश्लेषण  और टोपोलॉजी जैसे क्षेत्रों में मायने रखते हैं, से निपटा नहीं जाता है।का निम्नलिखित विवरण $$\Complex$$ एक  सामयिक अंगूठी  के रूप में (यानी, एक क्षेत्र जो एक  सामयिक स्थान  से लैस है, जो अभिसरण की धारणा की अनुमति देता है) टोपोलॉजिकल गुणों को ध्यान में रखता है। $$\Complex$$ एक सबसेट होता है $a_{0}, ..., a_{n}$ (अर्थात् सकारात्मक वास्तविक संख्याओं का सेट) नॉनज़ेरो तत्वों के निम्नलिखित तीन स्थितियों को संतुष्ट करते हुए: इसके अतिरिक्त, $$\Complex$$ एक nontrivial invention (गणित) स्वचालितता  है $a_{1}, ..., a_{n}$ (अर्थात् जटिल संयुग्मन), जैसे कि $x^{2} − 2$ में है $x^{2} + a$ किसी भी नॉनज़ेरो के लिए $n$ में $$\Complex.$$ किसी भी क्षेत्र $r$ इन गुणों के साथ सेटों को ले जाकर टोपोलॉजी के साथ संपन्न किया जा सकता है $a > 0$ एक आधार (टोपोलॉजी)  के रूप में, जहां $c$ मैदान पर और $n$ पर्वतमाला $1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0$।इस टोपोलॉजी के साथ $n$ एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र के रूप में आइसोमोर्फिक है $$\Complex.$$ एकमात्र जुड़ा हुआ स्थान   स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट  टोपोलॉजिकल रिंग हैं $$\R$$ और $$\Complex.$$ यह एक और लक्षण वर्णन देता है $$\Complex$$ एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र के रूप में, जब से $$\Complex$$ से प्रतिष्ठित किया जा सकता है $$\R$$ क्योंकि नॉनज़ेरो कॉम्प्लेक्स नंबर कनेक्टेड स्पेस हैं, जबकि नॉनज़ेरो रियल नंबर नहीं हैं।
 * $P$ इसके अलावा बंद है, गुणन और इनवर्स लेना।
 * यदि $n$ और $z$ के अलग -अलग तत्व हैं $P$, तो कोई $P$ या $x − y$ में है $y − x$।
 * यदि $n$ का कोई गैर -रिक्त सबसेट है $P$, तब $P$ कुछ के लिए $z$ में $$\Complex.$$

निर्माण के रूप में आदेश जोड़े
विलियम रोवन हैमिल्टन ने सेट को परिभाषित करने के लिए दृष्टिकोण पेश किया $$\Complex$$ जटिल संख्याओं का सेट के रूप में $$\mathbb{R}^2$$ का ordered pairs $S + P = x + P$ वास्तविक संख्याओं के, जिसमें जोड़ और गुणन के लिए निम्नलिखित नियम लागू होते हैं:

$$\begin{align} (a, b) + (c, d) &= (a + c, b + d)\\ (a, b) \cdot (c, d) &= (ac - bd, bc + ad). \end{align}$$ यह तब व्यक्त करने के लिए संकेतन की बात है $x ↦ x*$ जैसा $x x*$।

एक भागफल क्षेत्र के रूप में निर्माण
यद्यपि यह निम्न-स्तरीय निर्माण जटिल संख्याओं की संरचना का सही वर्णन करता है, निम्नलिखित समकक्ष परिभाषा से बीजीय प्रकृति का पता चलता है $$\Complex$$ अधिक तुरंत।यह लक्षण वर्णन क्षेत्रों और बहुपदों की धारणा पर निर्भर करता है।एक क्षेत्र एक सेट है जो जोड़, घटाव, गुणा और विभाजन संचालन के साथ संपन्न है, जो कि तर्कसंगत संख्याओं से परिचित है, तर्कसंगत संख्या से परिचित है।उदाहरण के लिए, वितरण कानून $$(x+y) z = xz + yz$$ किसी भी तीन तत्वों के लिए पकड़ना चाहिए $x$, $x$ और $p$ एक क्षेत्र का।सेट $$\R$$ वास्तविक संख्याओं में एक क्षेत्र बनता है।एक बहुपद $P$ वास्तविक गुणांक के साथ रूप की अभिव्यक्ति है $$a_nX^n+\dotsb+a_1X+a_0,$$ जहां $B(x, p) = { y | p − (y − x)(y − x)* ∈ P }$ वास्तविक संख्याएं हैं।बहुपद का सामान्य जोड़ और गुणन सेट को समाप्त करता है $$\R[X]$$ एक अंगूठी (गणित)  संरचना के साथ ऐसे सभी बहुपद।इस अंगूठी को वास्तविक संख्याओं में बहुपद रिंग कहा जाता है।

जटिल संख्याओं के सेट को भागफल की अंगूठी के रूप में परिभाषित किया गया है $$\R[X]/(X^2+1).$$<रेफ नाम = bourbaki 1998 loc = §viii.1 /> इस एक्सटेंशन फ़ील्ड में दो वर्ग जड़ें हैं $P$, अर्थात् (के coset s) $(a, b)$ और $(a, b)$, क्रमश।(के cosets) $a + bi$ और $p(X)$ का आधार बनाना $$\mathbb{R}[X]/(X^2 + 1)$$ एक वास्तविक  सदिश स्थल  के रूप में, जिसका अर्थ है कि एक्सटेंशन फ़ील्ड के प्रत्येक तत्व को इन दो तत्वों में एक  रैखिक संयोजन  के रूप में लिखा जा सकता है।समान रूप से, एक्सटेंशन फ़ील्ड के तत्वों को ऑर्डर किए गए जोड़े के रूप में लिखा जा सकता है $a_{0}, ..., a_{n}$ वास्तविक संख्याओं की।भागफल की अंगूठी एक क्षेत्र है, क्योंकि $−1$ इरायूबल बहुपद पर है $$\R,$$ तो यह आदर्श उत्पन्न करता है  अधिकतम आदर्श  है।

रिंग में जोड़ और गुणन के लिए सूत्र $$\R[X],$$ संबंध को मॉड्यूलो $X$, आदेशित जोड़े के रूप में परिभाषित जटिल संख्याओं के जोड़ और गुणन के लिए सूत्रों के अनुरूप।तो क्षेत्र की दो परिभाषाएँ $$\Complex$$ समाकृतिकता  (फ़ील्ड के रूप में) हैं।

स्वीकार करते हुए $$\Complex$$ बीजगणितीय रूप से बंद है, क्योंकि यह एक बीजगणितीय विस्तार है $$\mathbb{R}$$ इस दृष्टिकोण में, $$\Complex$$ इसलिए बीजगणितीय बंद है $$\R.$$

मैट्रिक्स जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व
जटिल आंकड़े $−X$ द्वारा भी प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $1$ मैट्रिक्स (गणित) जिसमें रूप है:

$$ \begin{pmatrix} a &  -b  \\ b & \;\; a \end{pmatrix} $$ यहाँ प्रविष्टियाँ $x$ और $y$ वास्तविक संख्याएं हैं।चूंकि इस तरह के दो मैट्रिस का योग और उत्पाद फिर से इस रूप में है, इसलिए ये मैट्रिस रिंग का एक सबरिंग  बनाते हैं $X$ मैट्रिसेस।

एक साधारण गणना से पता चलता है कि नक्शा: $$a+ib\mapsto \begin{pmatrix} a &  -b  \\ b & \;\; a \end{pmatrix}$$ एक रिंग आइसोमोर्फिज्म  इन मैट्रीस ऑफ इन मैट्रिसेस तक जटिल संख्याओं के क्षेत्र से है।यह आइसोमोर्फिज्म एक जटिल संख्या के निरपेक्ष मान के वर्ग को संबंधित मैट्रिक्स के निर्धारक के साथ जोड़ता है, और मैट्रिक्स के  पक्षांतरित  के साथ एक जटिल संख्या का संयुग्मित करता है।

जटिल संख्याओं के गुणन का ज्यामितीय विवरण जटिल संख्याओं और ऐसे मैट्रिसेस के बीच इस पत्राचार का उपयोग करके रोटेशन मैट्रिक्स  के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है।एक वेक्टर पर मैट्रिक्स की कार्रवाई $(a, b)$ के गुणन से मेल खाती है $X^{2} + 1$ द्वारा $X^{2} = −1$।विशेष रूप से, यदि निर्धारक है $a + bi$, एक वास्तविक संख्या है $S$ इस तरह कि मैट्रिक्स का रूप है: $$\begin{pmatrix} \cos t & - \sin t  \\ \sin t & \;\; \cos t \end{pmatrix}$$ इस मामले में, वैक्टर पर मैट्रिक्स की कार्रवाई और जटिल संख्या से गुणा $$\cos t+i\sin t$$ दोनों कोण के रोटेशन (गणित)  दोनों हैं $x$।

जटिल विश्लेषण


एक जटिल चर के कार्यों के अध्ययन को जटिल विश्लेषण के रूप में जाना जाता है और लागू गणित के साथ -साथ गणित की अन्य शाखाओं में भी भारी व्यावहारिक उपयोग होता है।अक्सर, वास्तविक विश्लेषण  या यहां तक कि  संख्या सिद्धांत  में बयानों के लिए सबसे प्राकृतिक प्रमाण जटिल विश्लेषण से तकनीकों को नियोजित करते हैं (एक उदाहरण के लिए  प्रधान संख्या प्रमेय  देखें)।वास्तविक कार्यों के विपरीत, जिन्हें आमतौर पर दो-आयामी ग्राफ़ के रूप में दर्शाया जाता है,  जटिल कार्य ों में चार-आयामी रेखांकन होते हैं और इसे दो चर के एक फ़ंक्शन के एक ग्राफ को रंग-कोडित करके उपयोगी रूप से चित्रित किया जा सकता है। चार आयामों का सुझाव देने के लिए तीन-आयामी ग्राफ, या इसके द्वारा या उसके द्वारा।जटिल विमान के जटिल फ़ंक्शन के गतिशील परिवर्तन को एनिमेट करना।

जटिल घातीय और संबंधित कार्य
(वास्तविक) विश्लेषण में अभिसरण श्रृंखला  और निरंतर कार्यों की धारणाओं में जटिल विश्लेषण में प्राकृतिक एनालॉग्स हैं।एक क्रम  जटिल संख्याओं के रूप में  अभिसरण अनुक्रम  कहा जाता है यदि और केवल अगर इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग करते हैं।यह सीमाओं के (ε, Δ) -Definition के बराबर है, जहां वास्तविक संख्याओं के निरपेक्ष मान को जटिल संख्याओं में से एक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।अधिक अमूर्त दृष्टिकोण से, $$\mathbb{C}$$, मीट्रिक (गणित) के साथ संपन्न $$\operatorname{d}(z_1, z_2) = |z_1 - z_2|$$ एक पूर्ण मीट्रिक स्थान  है, जिसमें विशेष रूप से त्रिभुज असमानता शामिल है $$|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$$ किसी भी दो जटिल संख्याओं के लिए $2 × 2$ और $2 × 2$।

वास्तविक विश्लेषण की तरह, अभिसरण की इस धारणा का उपयोग कई प्राथमिक कार्य ों के निर्माण के लिए किया जाता है: घातीय कार्य $(x, y)$, भी लिखा है $x + iy$,  अनंत श्रृंखला  के रूप में परिभाषित किया गया है $$\exp z:= 1+z+\frac{z^2}{2\cdot 1}+\frac{z^3}{3\cdot 2\cdot 1}+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}. $$ वास्तविक त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करने वाली श्रृंखला ज्या  और  कोज्या, साथ ही साथ  अतिशयोक्ति कार्य  सिंह और कोश भी बिना परिवर्तन के जटिल तर्कों पर ले जाती है।अन्य त्रिकोणमितीय और हाइपरबोलिक कार्यों के लिए, जैसे कि स्पर्शरेखा (फ़ंक्शन), चीजें थोड़ी अधिक जटिल हैं, क्योंकि परिभाषित श्रृंखला सभी जटिल मूल्यों के लिए अभिसरण नहीं करती है।इसलिए, किसी को उन्हें साइन, कोसाइन और एक्सपोनेंशियल के संदर्भ में परिभाषित करना होगा, या, विश्लेषणात्मक निरंतरता की विधि का उपयोग करके, समकक्ष रूप से।

यूलर के सूत्र में कहा गया है: $$\exp(i\varphi) = \cos \varphi + i\sin \varphi $$ किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $x$, विशेष रूप से $$\exp(i \pi) = -1 $$, जो यूलर की पहचान है। वास्तविक संख्याओं की स्थिति के विपरीत, जटिल समाधानों का एक अनंत सेट  है $F$ समीकरण का $$\exp z = w $$ किसी भी जटिल संख्या के लिए $a + ib$।यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी समाधान $x$ - का जटिल लघुगणक कहा जाता है $p$ - संतुष्ट करता है $$\log w = \ln|w| + i\arg w, $$ जहां ARG arg (गणित)  को परिभाषित किया गया है #polar फॉर्म, और ln (वास्तविक) प्राकृतिक लघुगणक।जैसा कि ARG एक बहुउद्देशीय कार्य है, केवल एक बहु के लिए अद्वितीय है $1$, लॉग भी बहुपक्षीय है।लॉग का प्रमुख मूल्य अक्सर  अंतराल (गणित)  के लिए काल्पनिक भाग को प्रतिबंधित करके लिया जाता है $F$।

जटिल प्रतिपादन $sin(1/z)$ की तरह परिभाषित किया गया है $$z^\omega = \exp(\omega \log z), $$ और बहु-मूल्यवान है, सिवाय कब $x$ एक पूर्णांक है।के लिए $|1| = 1$, कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए $y$, यह गैर-अवेक्षता को ठीक करता है $z$ऊपर उल्लिखित वें जड़ों।

जटिल संख्या, वास्तविक संख्याओं के विपरीत, सामान्य रूप से अनमॉडिफाइड पावर और लॉगरिदम पहचान को संतुष्ट नहीं करती है, खासकर जब भोले-भाले को एकल-मूल्य वाले कार्यों के रूप में माना जाता है;घातांक देखें#शक्ति और लघुगणक पहचान की विफलता।उदाहरण के लिए, वे संतुष्ट नहीं करते हैं $$a^{bc} = \left(a^b\right)^c.$$ समीकरण के दोनों पक्षों को यहां दिए गए जटिल घातांक की परिभाषा से बहु -कृत किया गया है, और बाईं ओर के मान दाईं ओर उन लोगों का एक सबसेट हैं।

होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस
एक समारोह F: $$\mathbb{C}$$ → $$\mathbb{C}$$ यदि यह Cauchy -riemann समीकरणों को संतुष्ट करता है, तो Holomorphic फ़ंक्शन कहा जाता है।उदाहरण के लिए, किसी भी रैखिक परिवर्तन#परिभाषा और पहले परिणाम |$$\mathbb{R}$$-लाइनर मैप $$\mathbb{C}$$ → $$\mathbb{C}$$ रूप में लिखा जा सकता है $$f(z)=az+b\overline{z}$$ जटिल गुणांक के साथ $a$ और $b$।यह नक्शा होलोमोर्फिक है अगर और केवल अगर $|z/w| = |z|/|w|$।दूसरा सुमंड $$b \overline z$$ वास्तविक-विभेद्य है, लेकिन कॉची-अर्मन समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।

जटिल विश्लेषण से पता चलता है कि वास्तविक विश्लेषण में कुछ विशेषताएं स्पष्ट नहीं हैं।उदाहरण के लिए, कोई भी दो होलोमोर्फिक कार्य करता है $t$ और $t$ यह एक मनमाने ढंग से छोटे खुले सबसेट पर सहमत है $$\mathbb{C}$$ आवश्यक रूप से हर जगह सहमत मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन, फ़ंक्शंस जो स्थानीय रूप से लिखे जा सकते हैं $d(z, w) = |z − w|$ एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के साथ $z$, अभी भी होलोमोर्फिक कार्यों की कुछ विशेषताओं को साझा करें।अन्य कार्यों में  आवश्यक विलक्षणता  है, जैसे $d(z, w) = |z − w|$ पर $z_{1}$।

अनुप्रयोग
जटिल संख्याओं में कई वैज्ञानिक क्षेत्रों में अनुप्रयोग होते हैं, जिनमें संकेत प्रसंस्करण,  नियंत्रण सिद्धांत , इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म,  द्रव गतिविज्ञान ,  क्वांटम यांत्रिकी ,  नक्शानवीसी  और कंपन#कंपन विश्लेषण शामिल हैं।इनमें से कुछ एप्लिकेशन नीचे वर्णित हैं।

आकार
तीन collinearity  | गैर-कोलीनियर अंक $$u, v, w$$ विमान में त्रिभुज के आकार#समानता कक्षाएं निर्धारित करते हैं $$\{u, v, w\}$$।जटिल विमान में बिंदुओं का पता लगाना, एक त्रिभुज के इस आकार को जटिल अंकगणित द्वारा व्यक्त किया जा सकता है $$S(u, v, w) = \frac {u - w}{u - v}. $$ आकार $$S$$ एक त्रिभुज एक ही रहेगा, जब जटिल विमान अनुवाद या फैलाव (एक affine परिवर्तन द्वारा) द्वारा बदल दिया जाता है, आकार की सहज धारणा के अनुरूप, और समानता (ज्यामिति) का वर्णन करता है।इस प्रकार प्रत्येक त्रिकोण $$\{u, v, w\}$$ एक ही आकार के साथ त्रिकोणों के एक आकार#समानता वर्गों में है।

फ्रैक्टल ज्यामिति
मंडेलब्रॉट सेट जटिल विमान पर गठित एक फ्रैक्टल का एक लोकप्रिय उदाहरण है।यह हर स्थान की साजिश रचकर परिभाषित किया गया है $$c$$ जहां अनुक्रम को पुनरावृत्ति करना $$f_c(z)=z^2+c$$ जब पुनरावृति असीम रूप से (स्थिरता सिद्धांत) नहीं होती है।इसी तरह,  जूलिया सेट  के समान नियम हैं, जहां सिवाय इसके $$c$$ स्थिर रहता है।

त्रिकोण
हर त्रिभुज में एक अद्वितीय स्टीनर अंडाकार  है - त्रिभुज के अंदर एक दीर्घवृत्त और त्रिभुज के तीन पक्षों के मध्य बिंदुओं के लिए स्पर्शरेखा।एक त्रिभुज के  स्टेनर इनलिप्स  का  फोकस (ज्यामिति)  मार्डन के प्रमेय के अनुसार, निम्नानुसार पाया जा सकता है:  जटिल विमान में त्रिभुज के कोने को निरूपित करें $z_{2}$, $exp z$, और $e^{z}$।क्यूबिक समीकरण लिखें $$(x-a)(x-b)(x-c)=0$$, इसके व्युत्पन्न को लें, और (द्विघात) व्युत्पन्न को शून्य से बराबरी करें।मार्डन के प्रमेय का कहना है कि इस समीकरण के समाधान जटिल संख्याएं हैं जो स्टीनर इनलिप्स के दो foci के स्थानों को दर्शाती हैं।

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी भी गैर -विरोधी बहुपद समीकरण (जटिल गुणांक में) में एक समाधान है $$\mathbb{C}$$।तर्क एक फोर्टियोरी, वही सच है यदि समीकरण में तर्कसंगत गुणांक हैं।इस तरह के समीकरणों की जड़ों को बीजगणितीय संख्या कहा जाता है - वे बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में अध्ययन की एक प्रमुख वस्तु हैं।की तुलना में $$\overline{\mathbb{Q}}$$, बीजगणितीय बंद $$\mathbb{Q}$$, जिसमें सभी बीजीय संख्या भी शामिल हैं, $$\mathbb{C}$$ ज्यामितीय शब्दों में आसानी से समझने योग्य होने का लाभ है।इस तरह, बीजगणितीय तरीकों का उपयोग ज्यामितीय प्रश्नों का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है और इसके विपरीत।बीजगणितीय तरीकों के साथ, अधिक विशेष रूप से क्षेत्र सिद्धांत (गणित)  की मशीनरी को  एकता की जड़  वाले  संख्या क्षेत्र  में लागू करने के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि एक नियमित नॉनगन कम्पास और सीधे निर्माण निर्माण - एक विशुद्ध रूप से ज्यामितीय समस्या का निर्माण करना संभव नहीं है।

एक अन्य उदाहरण गॉसियन पूर्णांक है;वह है, फॉर्म की संख्या $w ≠ 0$, कहां $w$ और $z$ पूर्णांक हैं, जिसका उपयोग दो वर्गों के रकम पर फ़र्मेट के प्रमेय को वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत
विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत अध्ययन संख्या, अक्सर पूर्णांक या तर्कसंगत, इस तथ्य का लाभ उठाकर कि उन्हें जटिल संख्या के रूप में माना जा सकता है, जिसमें विश्लेषणात्मक तरीकों का उपयोग किया जा सकता है।यह जटिल-मूल्यवान कार्यों में संख्या-सिद्धांत संबंधी जानकारी को एन्कोडिंग करके किया जाता है।उदाहरण के लिए, Riemann Zeta फ़ंक्शन $2π$ अभाज्य संख्या ों के वितरण से संबंधित है।

अनुचित अभिन्नता
लागू क्षेत्रों में, जटिल संख्याओं का उपयोग अक्सर जटिल-मूल्यवान कार्यों के माध्यम से कुछ वास्तविक-मूल्यवान अनुचित अभिन्नताओं की गणना करने के लिए किया जाता है।ऐसा करने के लिए कई तरीके मौजूद हैं; समोच्च एकीकरण के तरीके देखें।

गतिशील समीकरण
अंतर समीकरण ों में, पहले सभी जटिल जड़ों को ढूंढना आम है $w$ रैखिक अंतर समीकरण #सजातीय समीकरणों के साथ एक रैखिक अंतर समीकरण या समीकरण प्रणाली के निरंतर गुणांक के साथ और फिर फॉर्म के आधार कार्यों के संदर्भ में सिस्टम को हल करने का प्रयास करें $z^{ω}$।इसी तरह,  अंतर समीकरण ों में, जटिल जड़ें $φ$ अंतर समीकरण प्रणाली के विशिष्ट समीकरण का उपयोग किया जाता है, फॉर्म के आधार कार्यों के संदर्भ में सिस्टम को हल करने का प्रयास करने के लिए $ω = 1 / n$।

रैखिक बीजगणित
एक मैट्रिक्स का eigendecomposition मैट्रिक्स शक्तियों और  मैट्रिक्स घातीय  की गणना के लिए एक उपयोगी उपकरण है।हालांकि, इसे अक्सर जटिल संख्याओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, भले ही मैट्रिक्स वास्तविक हो (उदाहरण के लिए, एक रोटेशन मैट्रिक्स)।

जटिल संख्या अक्सर वास्तविक संख्याओं में मूल रूप से कल्पना की गई अवधारणाओं को सामान्य करती है।उदाहरण के लिए, संयुग्मन संक्रमण  ट्रांसपोज़ को सामान्य करता है,  हरमिटियन मैट्रिक्स   सममित मैट्रिक्स  को सामान्य करता है, और  एकात्मक मैट्रिक्स   ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स  को सामान्य करता है।

नियंत्रण सिद्धांत
नियंत्रण सिद्धांत में, सिस्टम को अक्सर समय डोमेन से लाप्लास रूपांतरण  का उपयोग करके जटिल  आवृत्ति डोमेन  में बदल दिया जाता है।सिस्टम के शून्य और डंडे का विश्लेषण तब जटिल विमान में किया जाता है।रूट लोकोस,  न्यक्विस्ट प्लॉट, और  निकोल्स प्लॉट  तकनीक सभी जटिल विमान का उपयोग करते हैं।

रूट लोकस विधि में, यह महत्वपूर्ण है कि  शून्य और ध्रुव  बाएं या दाएं आधे विमानों में हैं, अर्थात, शून्य से अधिक या उससे कम वास्तविक हिस्सा है।यदि एक रैखिक, समय-अपरिवर्तनीय (LTI) प्रणाली में डंडे होते हैं


 * सही आधे विमान में, यह अस्थिर  होगा,
 * सभी बाएं आधे विमान में, यह बिबो स्थिरता  होगी,
 * काल्पनिक अक्ष पर, इसमें सीमांत स्थिरता  होगी।

यदि किसी प्रणाली में दाहिने आधे विमान में शून्य है, तो यह एक गैर -चरण चरण प्रणाली है।

सिग्नल विश्लेषण
समय -समय पर अलग -अलग संकेतों के लिए सुविधाजनक विवरण के लिए सिग्नल विश्लेषण और अन्य क्षेत्रों में जटिल संख्याओं का उपयोग किया जाता है।वास्तविक भौतिक मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने वाले वास्तविक कार्यों के लिए, अक्सर सिन और कोसाइन के संदर्भ में, इसी जटिल कार्यों को माना जाता है जिनके बारे में वास्तविक भाग मूल मात्रा हैं।किसी दिए गए आवृत्ति  की  साइन लहर  के लिए, निरपेक्ष मूल्य $b = 0$ इसी के $z$  आयाम  और तर्क (जटिल विश्लेषण) है $f(z)/(z − z_{0})^{n}$  चरण (तरंगें)  है।

यदि फूरियर विश्लेषण  किसी दिए गए वास्तविक-मूल्य वाले संकेत को आवधिक कार्यों के योग के रूप में लिखने के लिए नियोजित किया जाता है, तो इन आवधिक कार्यों को अक्सर फॉर्म के जटिल-मूल्यवान कार्यों के रूप में लिखा जाता है

$$x(t) = \operatorname{Re} \{X( t ) \} $$ और

$$X( t ) = A e^{i\omega t} = a e^{ i \phi } e^{i\omega t} = a e^{i (\omega t + \phi) } $$ जहां and कोणीय आवृत्ति  का प्रतिनिधित्व करता है और जटिल संख्या ए चरण और आयाम को एन्कोड करता है जैसा कि ऊपर बताया गया है।

इस उपयोग को अंकीय संकेत प्रक्रिया  और  डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग  में भी विस्तारित किया जाता है, जो ट्रांसमिट, डेटा संपीड़न, रिस्टोर और अन्यथा  डिजिटल डाटा   आवाज़  सिग्नल, स्टिल इमेज और  वीडियो  सिग्नल को प्रसारित करने के लिए फूरियर एनालिसिस (और  छोटा लहर  एनालिसिस) के डिजिटल संस्करणों का उपयोग करते हैं।

एक अन्य उदाहरण, एएम रेडियो के आयाम मॉड्यूलेशन के दो साइड बैंड के लिए प्रासंगिक है, है:

$$\begin{align} \cos((\omega + \alpha)t) + \cos\left((\omega - \alpha)t\right) & = \operatorname{Re}\left(e^{i(\omega + \alpha)t} + e^{i(\omega - \alpha)t}\right) \\ & = \operatorname{Re}\left(\left(e^{i\alpha t} + e^{-i\alpha t}\right) \cdot e^{i\omega t}\right) \\ & = \operatorname{Re}\left(2\cos(\alpha t) \cdot e^{i\omega t}\right) \\ & = 2 \cos(\alpha t) \cdot \operatorname{Re}\left(e^{i\omega t}\right) \\ & = 2 \cos(\alpha t) \cdot \cos\left(\omega t\right). \end{align}$$

इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म और इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग
इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, फूरियर रूपांतरण  का उपयोग अलग -अलग  वोल्टेज  और इलेक्ट्रिक करंट का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।प्रतिरोधों,  संधारित्र, और  प्रारंभ करनेवाला ों के उपचार को बाद में दो के लिए काल्पनिक, आवृत्ति-निर्भर प्रतिरोधों को पेश करके और तीनों को एक जटिल संख्या में मिलकर  विद्युत प्रतिबाधा  नामक एक जटिल संख्या में एकीकृत किया जा सकता है।इस दृष्टिकोण को  फासोर  कैलकुलस कहा जाता है।

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, काल्पनिक इकाई को निरूपित किया जाता है $z$, भ्रम से बचने के लिए $w$, जो आम तौर पर विद्युत प्रवाह को निरूपित करने के लिए उपयोग में होता है, या, विशेष रूप से, $(−π, π]$, जो आम तौर पर तात्कालिक विद्युत प्रवाह को निरूपित करने के लिए उपयोग में होता है।

चूंकि एक एसी विद्युत परिपथ  में वोल्टेज दोलन कर रहा है, इसलिए इसका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

$$ V(t) = V_0 e^{j \omega t} = V_0 \left (\cos\omega t + j \sin\omega t \right ),$$ औसत दर्जे की मात्रा प्राप्त करने के लिए, वास्तविक हिस्सा लिया जाता है:

$$ v(t) = \operatorname{Re}(V) = \operatorname{Re}\left [ V_0 e^{j \omega t} \right ] = V_0 \cos \omega t.$$ जटिल-मूल्यवान संकेत $sin(1/z)$ वास्तविक-मूल्यवान, औसत दर्जे के संकेत का विश्लेषणात्मक संकेत  प्रतिनिधित्व कहा जाता है $z = 0$.

द्रव की गतिशीलता
द्रव की गतिशीलता में, दो आयामों में संभावित प्रवाह  का वर्णन करने के लिए जटिल कार्यों का उपयोग किया जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी
जटिल संख्या क्षेत्र क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय योग ों के लिए आंतरिक है, जहां जटिल  हिल्बर्ट स्पेस  एक ऐसे सूत्रीकरण के लिए संदर्भ प्रदान करते हैं जो सुविधाजनक और शायद सबसे मानक है।क्वांटम यांत्रिकी के मूल नींव सूत्र - श्रोडिंगर समीकरण और हाइजेनबर्ग के  मैट्रिक्स यांत्रिकी  - जटिल संख्याओं का उपयोग करते हैं।

सापेक्षता
विशेष सापेक्षता और  सामान्य सापेक्षता  में,  अंतरिक्ष समय  पर मीट्रिक के लिए कुछ सूत्र सरल हो जाते हैं यदि कोई स्पेसटाइम कॉन्टिनम के समय घटक को काल्पनिक होने के लिए लेता है।(यह दृष्टिकोण शास्त्रीय सापेक्षता में अब मानक नहीं है, लेकिन  क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत  में  वीक रोटेशन  है।) जटिल संख्या  स्पिनर ों के लिए आवश्यक हैं, जो सापेक्षता में उपयोग किए जाने वाले  टेन्सर ्स का एक सामान्यीकरण हैं।

सामान्यीकरण और संबंधित धारणाएँ
क्षेत्र को विस्तारित करने की प्रक्रिया $$\mathbb R$$ के लिए $$\mathbb C$$ केली -डिकसन कंस्ट्रक्शन के रूप में जाना जाता है।इसे और अधिक आयामों तक ले जाया जा सकता है, चतुर्भुजों की उपज $$\mathbb H$$ और अष्टक ्स $$\mathbb{O}$$ जो (एक वास्तविक वेक्टर अंतरिक्ष के रूप में) क्रमशः आयाम & nbsp; 4 और 8 के हैं। इस संदर्भ में जटिल संख्याओं को बिनरियन कहा गया है। जिस तरह निर्माण को लागू करने से ऑर्डर किए गए क्षेत्र की संपत्ति खो जाती है, वास्तविक और जटिल संख्याओं से परिचित गुण प्रत्येक एक्सटेंशन के साथ गायब हो जाते हैं।चतुर्भुज कमज़ोरता खो देते हैं, अर्थात्, $a = x_{A} + y_{A}i$ कुछ चतुर्भुजों के लिए $b = x_{B} + y_{B}i$, और ऑक्टोनियन का गुणन, इसके अलावा कम्यूटेटिव नहीं होने के कारण, साहचर्य होने में विफल रहता है: $c = x_{C} + y_{C}i$ कुछ पोषण के लिए $x + iy$।

रियल, जटिल संख्या, चतुर्भुज और ऑक्टोनियन सभी मानदंड विभाजन बीजगणित  हैं $$\mathbb R$$।हर्विट्ज़ के प्रमेय (मानदंड विभाजन aggebras) द्वारा | हर्विट्ज़ के प्रमेय वे केवल एक ही हैं; धब्बा ्स, केली -डिकसन कंस्ट्रक्शन में अगला कदम, इस संरचना में विफल रहता है।

केली -डिकसन निर्माण के नियमित प्रतिनिधित्व  से निकटता से संबंधित है $$\mathbb C,$$ के रूप में सोचा $$\mathbb R$$-लगेबरा (रिंग थ्योरी) (ए) $$\mathbb{R}$$आधार के संबंध में, एक गुणन के साथ अंतरिक्ष) $ζ(s)$।इसका मतलब है निम्नलिखित: $$\mathbb R$$-लाइनर मैप $$\begin{align}   \mathbb{C} &\rightarrow \mathbb{C} \\   z &\mapsto wz \end{align}$$ कुछ निश्चित जटिल संख्या के लिए $ω$ एक द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $f(t) = e^{rt}$ मैट्रिक्स (एक बार एक आधार चुना गया है)।आधार के संबंध में $f(t) = r^{t}$, यह मैट्रिक्स है $$\begin{pmatrix}  \operatorname{Re}(w) & -\operatorname{Im}(w) \\  \operatorname{Im}(w) &  \operatorname{Re}(w) \end{pmatrix},$$ यानी, ऊपर जटिल संख्याओं के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व पर अनुभाग में उल्लेख किया गया है।जबकि यह एक  रैखिक प्रतिनिधित्व  है $$\mathbb C$$ 2 × 2 वास्तविक मैट्रिसेस में, यह केवल एक ही नहीं है।कोई मैट्रिक्स $$J = \begin{pmatrix}p & q \\ r & -p \end{pmatrix}, \quad p^2 + qr + 1 = 0$$ क्या संपत्ति है कि इसका वर्ग पहचान मैट्रिक्स का नकारात्मक है: $|z|$।फिर $$\{ z = a I + b J : a,b \in \mathbb{R} \}$$ क्षेत्र के लिए भी आइसोमोर्फिक है $$\mathbb C,$$ और एक वैकल्पिक जटिल संरचना देता है $$\mathbb R^2.$$ यह एक रैखिक जटिल संरचना  की धारणा से सामान्यीकृत है।

हाइपरकम्प्लेक्स संख्या भी सामान्यीकरण करती है $$\mathbb R,$$ $$\mathbb C,$$ $$\mathbb H,$$ और $$\mathbb{O}.$$ उदाहरण के लिए, इस धारणा में  विभाजित-संकलन संख्या  शामिल हैं, जो रिंग के तत्व हैं $$\mathbb R[x]/(x^2-1)$$ (विरोध के रूप में $$\mathbb R[x]/(x^2+1)$$ जटिल संख्याओं के लिए)।इस अंगूठी में, समीकरण $arg z$ चार समाधान हैं।

फील्ड $$\mathbb R$$ का पूरा होना $$\mathbb Q,$$ सामान्य निरपेक्ष मूल्य मीट्रिक (गणित) के संबंध में तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र।मीट्रिक (गणित) के अन्य विकल्प पर $$\mathbb Q$$ खेतों के लिए नेतृत्व करें $$\mathbb Q_p$$ पी-एडिक नंबर का |$n$-एक नंबर (किसी भी प्रमुख संख्या के लिए) $n$), जो इस प्रकार अनुरूप हैं $$\mathbb{R}$$।पूरा करने के कोई अन्य nontrivial तरीके नहीं हैं $$\mathbb Q$$ से $$\mathbb R$$ और $$\mathbb Q_p,$$ ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय द्वारा।बीजीय बंद हो जाता है $$\overline {\mathbb{Q}_p}$$ का $$\mathbb Q_p$$ अभी भी एक आदर्श ले जाता है, लेकिन (इसके विपरीत) $$\mathbb C$$) इसके संबंध में पूरा नहीं है।पूर्ण $$\mathbb{C}_p$$ का $$\overline {\mathbb{Q}_p}$$ बीजगणित रूप से बंद हो जाता है।सादृश्य द्वारा, क्षेत्र को कहा जाता है $a$-एक जटिल संख्या।

खेत $$\mathbb R,$$ $$\mathbb Q_p,$$ और उनके परिमित क्षेत्र एक्सटेंशन, सहित $$\mathbb C,$$ स्थानीय क्षेत्र  कहा जाता है।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय सतह
 * परिपत्र गति#जटिल संख्याओं का उपयोग करना
 * जटिल आधार प्रणाली
 * जटिल ज्यामिति
 * दोहरी-जटिल संख्या
 * ईसेनस्टीन पूर्णांक
 * यूलर की पहचान
 * ज्यामितीय बीजगणित#यूनिट Pseudoscalars (जिसमें 2-आयामी स्पिनर के रूप में जटिल विमान शामिल है#दो आयाम उप-समूह $$\mathcal{G}_2^+$$)
 * एकक जटिल संख्या

ऐतिहासिक

 * - जटिल संख्याओं के इतिहास और जटिल विश्लेषण की शुरुआत के लिए एक सौम्य परिचय।
 * - संख्या की अवधारणा के ऐतिहासिक विकास पर एक उन्नत परिप्रेक्ष्य।
 * - जटिल संख्याओं के इतिहास और जटिल विश्लेषण की शुरुआत के लिए एक सौम्य परिचय।
 * - संख्या की अवधारणा के ऐतिहासिक विकास पर एक उन्नत परिप्रेक्ष्य।
 * - संख्या की अवधारणा के ऐतिहासिक विकास पर एक उन्नत परिप्रेक्ष्य।

श्रेणी: रचना बीजगणित श्रेणी: जटिल संख्याएँ