नारायण संख्या

साहचर्य में, नारायण संख्याएँ $$\operatorname{N}(n, k), n \in \mathbb{N}^+, 1 \le k \le n$$ प्राकृतिक संख्याओं की एक त्रिकोणीय सरणी बनाएं, जिसे नारायण त्रिकोण कहा जाता है, जो विभिन्न संयोजन गणना में होती है। इनका नाम कनाडाई गणितज्ञ टी. वी. नारायण (1930-1987) के नाम पर रखा गया है।

सूत्र
नारायण संख्याओं को द्विपद गुणांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$\operatorname{N}(n, k) = \frac{1}{n} {n \choose k} {n \choose k-1}$$

संख्यात्मक मान
नारायण त्रिकोण की पहली आठ पंक्तियाँ पढ़ती हैं:

डाइक शब्द
गिनती की समस्या का एक उदाहरण जिसका समाधान नारायण संख्याओं के संदर्भ में दिया जा सकता है $$\operatorname{N}(n, k)$$, युक्त शब्दों की संख्या है $n$ कोष्ठकों के जोड़े, जो सही ढंग से मेल खाते हैं (डिक शब्द के रूप में जाने जाते हैं) और जिनमें शामिल हैं $k$ अलग-अलग घोंसले। उदाहरण के लिए, $$\operatorname{N}(4, 2) = 6$$, चूंकि कोष्ठकों के चार जोड़े के साथ, छह अनुक्रम बनाए जा सकते हैं जिनमें से प्रत्येक में उप-पैटर्न की दो घटनाएं होती हैं :

(()) (()) (()) (()) ()() (())

इस उदाहरण से यह स्पष्ट होना चाहिए कि $$\operatorname{N}(n, 1) = 1$$, चूंकि एकल उप-पैटर्न प्राप्त करने का एकमात्र तरीका है पहले में सभी आरंभिक कोष्ठक रखना है $n$ स्थिति, उसके बाद सभी समापन कोष्ठक। भी $$\operatorname{N}(n, n) = 1$$, जैसा $n$ विशिष्ट घोंसला केवल दोहराए जाने वाले पैटर्न द्वारा ही प्राप्त किया जा सकता है ….

अधिक सामान्यतः, यह दिखाया जा सकता है कि नारायण त्रिकोण सममित है:


 * $$\operatorname{N}(n, k) = \operatorname{N}(n, n-k+1)$$

इस त्रिभुज में पंक्तियों का योग कैटलन संख्याओं के बराबर है:


 * $$\operatorname{N}(n, 1) + \operatorname{N}(n, 2) + \operatorname{N}(n, 3) + \cdots + \operatorname{N}(n, n) = C_n$$

मोनोटोनिक जाली पथ
नारायण संख्याएँ जाली पथ की संख्या की भी गणना करती हैं $$(0, 0)$$ को $$(2n, 0)$$, केवल उत्तर-पूर्व और दक्षिण-पूर्व में सीढ़ियाँ हैं, नीचे नहीं भटक रही हैं $x$-अक्ष, साथ $k$ चोटियाँ.

निम्नलिखित आंकड़े नारायण संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं $$\operatorname{N}(4, k)$$, उपर्युक्त समरूपताओं को दर्शाता है।

कुल मिलाकर $$\operatorname{N}(4, k)$$ 1 + 6 + 6 + 1 = 14 है, जो कि चौथी कैटलन संख्या है, $$C_4$$. यह योग कैटलन संख्याओं की व्याख्या के साथ मेल खाता है, जो कि किनारों के साथ मोनोटोनिक पथों की संख्या है $$n \times n$$ ग्रिड जो विकर्ण के ऊपर से नहीं गुजरता।

जड़ वाले पेड़
बिना लेबल वाले पेड़ों की संख्या(ग्राफ सिद्धांत)#क्रमित_पेड़(ग्राफ सिद्धांत)#जड़युक्त_पेड़ $$n$$ किनारों और $$k$$ पत्तियां बराबर हैं $$\operatorname{N}(n, k)$$.

यह उपरोक्त उदाहरणों के अनुरूप है:


 * प्रत्येक डाइक शब्द को एक जड़ वाले पेड़ के रूप में दर्शाया जा सकता है। हम एक नोड से शुरू करते हैं - रूट नोड। यह प्रारंभ में सक्रिय नोड है. शब्द को बाएं से दाएं पढ़ते समय, जब प्रतीक एक प्रारंभिक कोष्ठक होता है, तो सक्रिय नोड में एक बच्चा जोड़ें और इस बच्चे को सक्रिय नोड के रूप में सेट करें। जब प्रतीक एक समापन कोष्ठक है, तो सक्रिय नोड के पैरेंट को सक्रिय नोड के रूप में सेट करें। इस तरह हम एक पेड़ प्राप्त करते हैं, जिसमें प्रत्येक गैर-रूट नोड कोष्ठकों की एक मिलान जोड़ी से मेल खाता है, और इसके बच्चे इन कोष्ठकों के भीतर क्रमिक डाइक शब्दों के अनुरूप नोड्स हैं। लीफ नोड्स खाली कोष्ठकों से मेल खाते हैं: . इसी प्रकार, हम गहराई-पहली खोज के माध्यम से जड़ वाले पेड़ से डाइक शब्द का निर्माण कर सकते हैं। इस प्रकार, डाइक शब्दों और जड़ वाले पेड़ों के बीच एक समरूपता है।


 * जाली पथों के उपरोक्त आंकड़ों में, क्षैतिज रेखा से प्रत्येक ऊपरी किनारा ऊंचाई पर है $y$ को $y$$+1$ नोड के बीच एक किनारे से मेल खाता है $y$ और उसका बच्चा. एक नोड $y$ के उतने ही बच्चे हैं, जितने ऊंचाई पर क्षैतिज रेखा से ऊपर की ओर जाने वाले किनारे हैं $y$. उदाहरण के लिए, पहले पथ में $$\operatorname{N}(4, 3)$$, नोड्स $0$ और $1$ दो-दो बच्चे होंगे; अंतिम (छठे) पथ में, node $0$ के तीन बच्चे होंगे और नोड $1$ एक बच्चा होगा. एक जाली पथ से जड़ वाले पेड़ का निर्माण करने के लिए और इसके विपरीत, हम पिछले पैराग्राफ में उल्लिखित एल्गोरिदम के समान एक एल्गोरिदम नियोजित कर सकते हैं। डाइक शब्दों की तरह, जाली पथों और जड़ वाले पेड़ों के बीच एक समरूपता है।

विभाजन
विभाजनों के अध्ययन में, हम देखते हैं कि एक सेट में $n$तत्व, हम उस सेट को विभाजित कर सकते हैं $$B_n$$ अलग-अलग तरीके, कहां $$B_n$$ है $n$वेंबेल नंबर. इसके अलावा, किसी सेट को सटीक रूप से विभाजित करने के तरीकों की संख्या $k$ ब्लॉक में हम दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग नंबरों का उपयोग करते हैं $$S(n, k)$$. ये दोनों अवधारणाएँ विषय से थोड़ी हटकर हैं, लेकिन नारायण संख्याओं के उपयोग को समझने के लिए एक आवश्यक आधार हैं। उपरोक्त दोनों में दो धारणाओं को पार करने वाले विभाजनों को ध्यान में रखा गया है।

क्रॉसिंग विभाजनों को अस्वीकार करने और केवल गैर-क्रॉसिंग विभाजनों को गिनने के लिए, हम सभी के गैर-क्रॉसिंग विभाजनों को गिनने के लिए कैटलन संख्याओं का उपयोग कर सकते हैं $n$ सेट के तत्व, $$C_n$$. उन गैर-क्रॉसिंग विभाजनों की गणना करने के लिए जिनमें सेट को सटीक रूप से विभाजित किया गया है $k$ ब्लॉक, हम नारायण संख्या का उपयोग करते हैं $$\operatorname{N}(n, k)$$.

जनरेटिंग फ़ंक्शन
नारायण संख्याओं के लिए जनक कार्य है

\sum_{n=1}^\infty \sum_{k=1}^n \operatorname{N}(n, k) z^n t^{k-1} = \frac{1-z(t+1) - \sqrt{1-2z(t+1)+z^2(t-1)^2}}{2tz} \;. $$

यह भी देखें

 * कैटलन नंबर
 * डेलानॉय नंबर
 * मोत्ज़किन संख्या
 * श्रोडर संख्या
 * पास्कल का त्रिकोण