बहुआयामी स्केलिंग

बहुआकारीय मापांक (एमडीएस) डेटा समूह के अलग-अलग स्थितियों की समानता के स्तर को कल्पना करने का एक साधन है। एमडीएस का उपयोग, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में आलेख किए गए $ n $ अंको के विन्यास के लिए $ n $  व्यक्तियों या वस्तुओं की दो की जोड़ी के समूह के अंतराल की जानकारी को अनुवाद करने के लिए किया जाता है।

अधिक तकनीकी रूप से, एमडीएस विशेष रूप से एक दूरी मैट्रिक्स में निहित जानकारी को प्रदर्शित करने के लिए काल्पनिक सूचना में उपयोग की जाने वाली संबंधित समन्वय तकनीकों के एक समूह को संदर्भित करता है। यह गैर-रैखिक आकारीय कमी का एक रूप है।

समूह में वस्तुओं की प्रत्येक जोड़ी के बीच की दूरी के साथ एक दूरी मैट्रिक्स और N आकारों की एक चुनी हुई संख्या को एमडीएस की कलन विधि द्वारा प्रत्येक वस्तु को N-आकारीय स्थान (एक निम्न-आकारीय प्रतिनिधित्व) में रखता है, जैसे कि वस्तु के बीच की दूरी यथासंभव संरक्षित हो। N = 1, 2 और 3 के लिए, परिणामी बिंदुओं को अस्त व्यस्त पृष्ठभूमि पर देखा जा सकता है।

एमडीएस में मुख्य सैद्धांतिक योगदान मैकगिल विश्वविद्यालय के जेम्स ओ रामसे द्वारा किया गया था, जिन्हें कार्यात्मक डेटा विश्लेषण के संस्थापक के रूप में भी माना जाता है।

प्रकार
एमडीएस एल्गोरिदम निविष्ट मैट्रिक्स के अर्थ के आधार पर वर्गीकरण (सामान्य) में आते हैं:

उत्कृष्ट बहुआकारीय मापांक
इसे मुख्य निर्देशांक विश्लेषण (PCoA), टॉरगर्सन मापांक या टॉरगर्सन-गॉवर मापांक के रूप में भी जाना जाता है। यह एक निविष्ट मैट्रिक्स लेता है जो वस्तुओं के जोड़े और उत्पाद के बीच असमानता देता है। एक समन्वय मैट्रिक्स जिसका विन्यास हानि फलन को कम करता है उसे दबाव कहते है। जो इस तरह दर्शाता है: $$\text{Strain}_D(x_1,x_2,...,x_N)=\Biggl(\frac{ \sum_{i,j} \bigl( b_{ij} - x_i^T x_j \bigr)^2}{\sum_{i,j}b_{ij}^2} \Biggr)^{1/2},$$ जहाँ $$x_{i}$$ N-आकारीय स्थान में सदिश को निरूपित करता है, $$x_i^T x_j $$ $$x_{i}$$और $$x_{j}$$ के बीच स्केलर उत्पाद को दर्शाता है और $$b_{ij}$$ $$B$$ के मैट्रिक्स तत्व हैं जो निम्नलिखित एल्गोरिथम के चरण 2 पर परिभाषित किया गया है, जिसकी गणना दूरियों से की जाती है।


 * उत्कृष्ट एमडीएस एल्गोरिथम के चरण:
 * उत्कृष्ट एमडीएस इस तथ्य का उपयोग करता है कि समन्वय मैट्रिक्स $$X$$ से $B=XX'$ के वास्तविक मान द्वारा प्राप्त किया जा सकता है . और मैट्रिक्स $B$  दोहरे केंद्रीय का उपयोग करके निकटता मैट्रिक्स $D$  से गणना की जा सकती है।
 * समबाहु निकटता मैट्रिक्स स्थापित करें $D^{(2)}=[d_{ij}^2]$
 * दोहरे केंद्रीय लागू करें: केंद्रित मैट्रिक्स $C=I-\frac{1}{n}J_n$  का उपयोग करके $B=-\frac{1}{2}CD^{(2)}C$, जहाँ $n$  वस्तुओं की संख्या है, $I$  $n \times n$  समरूप मैट्रिक्स है, और $J_{n}$   $n\times n$  सभी का एक मैट्रिक्स है।
 * $B$ का सबसे बड़ा वास्तविक मान $\lambda_1,\lambda_2,...,\lambda_m$  और संबंधित वास्तविक सदिश $e_1,e_2,...,e_m$  में $m$  निर्धारित करें  (जहाँ $m$  उत्पाद के लिए वांछित आकारों की संख्या है)।
 * अब, $X=E_m\Lambda_m^{1/2}$, जहाँ $E_m$  वास्तविक सदिश $m$  का मैट्रिक्स है  $\Lambda_m$  $B$  के वास्तविक मान $m$  का विकर्ण मैट्रिक्स है।
 * उत्कृष्ट एमडीएस यूक्लिडियन दूरी की दूरी मानता है। तो यह प्रत्यक्ष असमानता अनुपात के लिए लागू नहीं है।

स्तरीय बहुआकारीय मापांक (एमएमडीएस)
यह उत्कृष्ट एमडीएस का एक अधिसमुच्चय है जो विभिन्न प्रकार के हानि फलन और वजन के साथ ज्ञात दूरी के निविष्ट मैट्रिसेस के लिए अनुकूलन प्रक्रिया को सामान्यीकृत करता है। इस संदर्भ में उपयोगी हानि फलन को दबाव कहा जाता है, जिसे अक्सर दबाव प्रमुखता नामक प्रक्रिया का उपयोग करके कम किया जाता है। स्तरीय एमडीएस "दबाव" नामक लागत फलन को कम करता है जो कि वर्गों का एक अवशिष्ट योग है: $$\text{Stress}_D(x_1,x_2,...,x_N)=\sqrt{\sum_{i\ne j=1,...,N}\bigl(d_{ij}-\|x_i-x_j\|\bigr)^2}.$$ स्तरीय मापांक दूरी के लिए उपयोगकर्ता-नियंत्रित घातांक $p$ : $d_{ij}^p$  और $-d_{ij}^{2p}$  के साथ घात रूपांतरण का उपयोग करता है। उत्कृष्ट मापांक में $p=1$  होता है। गैर-स्तरीय मापांक को आइसोटोनिक   प्रतिगमन के उपयोग से परिभाषित किया जाता है ताकि गैर-प्रतिबंध रूप से असमानताओं के परिवर्तन का अनुमान लगाया जा सके।

गैर-स्तरीय बहुआकारीय मापांक (NMDS)
स्तरीय एमडीएस के विपरीत, गैर-स्तरीय एमडीएस, वस्तु और वस्तु मैट्रिक्स में असमानताओं और वस्तुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी और निम्न-आकारीय स्थान में प्रत्येक वस्तु के स्थान के बीच एक प्रतिबंध आवृत्ति का संबंध प्राप्त करता है। संबंध सामान्यतौर पर समपरासारी प्रतिगमन का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है: माना की, $x$ निकटता के सदिश, $f(x)$, $x$  का एक दोहरा परिवर्तन, और $d$  बिंदु दूरी को निरूपित करता है; फिर तथाकथित दबाव को कम करने के लिए निर्देशांक खोजने होंगे;
 * $$\text{Stress}=\sqrt{\frac{\sum\bigl(f(x)-d\bigr)^2}{\sum d^2}}.$$

इस लागत फलन के कुछ प्रकार उपलब्ध है। एमडीएस समाधान प्राप्त करने के लिए एमडीएस योजना स्वचालित रूप से दबाव को कम करते हैं।

एक गैर-स्तरीय एमडीएस एल्गोरिथम का मूल एक दोहरी अनुकूलन प्रक्रिया है। सबसे पहले समीपताओं का इष्टतम दोहरा परिवर्तन प्राप्त करना है। दूसरे, एक विन्यास के बिंदुओं को बेहतर ढंग से व्यवस्थित किया जाना चाहिए, ताकि उनकी दूरियां माप की गई निकटता से यथासंभव मेल खा सकें। एक गैर-स्तरीय एमडीएस एल्गोरिथम में मुख्य चरण हैं:
 * बिंदुओं का एक अक्रमतः विन्यास खोजें, उदाहरण एक सामान्य वितरण से नमूनाकरण द्वारा।
 * बिंदुओं के बीच की दूरी d की गणना करें।
 * इष्टतम माप किए गए डेटा $f(x)$ को प्राप्त करने के लिए निकटता के इष्टतम दोहरे परिवर्तन का पता लगाएं.
 * बिंदुओं का एक नया विन्यास खोजकर इष्टतम रूप से मापे गए डेटा और दूरियों के बीच दबाव को कम करें।
 * दबाव की तुलना किसी कसौटी से करें। यदि दबाव काफी छोटा है तो एल्गोरिथम से बाहर निकलें अन्यथा 2 पर लौटें।

लुई गुटमैन का सबसे छोटा अंतरिक्ष विश्लेषण (एसएसए) एक गैर-मीट्रिक एमडीएस प्रक्रिया का एक उदाहरण है।

सामान्यीकृत बहुआकारीय मापांक (जीएमडी)
स्तरीय बहुआकारीय मापांक का एक विस्तार, जिसमें लक्षित स्थान एक एकपक्षीय समतल गैर-यूक्लिडियन स्थान है। ऐसे स्थितियों में जहां असमानताएं एक सतह पर दूरियां हैं और लक्षित स्थान दूसरी सतह है, जीएमडीएस एक सतह की दूसरी सतह में न्यूनतम-विरूपण अंतर्निहित खोजने की अनुमति देता है।

 विवरण 

विश्लेषण किए जाने वाले डेटा का एक संग्रह है $$M$$ वस्तुओं (रंग, रूपरेखा, भंडार, ...) जिस पर एक दूरी फलन परिभाषित किया गया है,


 * $$d_{i,j} :=$$ $$i$$-वें और $$j$$-वीं वस्तुएं के बीच की दूरी।

ये दूरियाँ असमानता मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ हैं


 * $$ D :=

\begin{pmatrix} d_{1,1} & d_{1,2} & \cdots & d_{1,M} \\ d_{2,1} & d_{2,2} & \cdots & d_{2,M} \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ d_{M,1} & d_{M,2} & \cdots & d_{M,M} \end{pmatrix}. $$ एमडीएस का लक्ष्य $$D$$ दिया गया है, $$M$$ प्राप्त करने के लिए सदिश $$x_1,\ldots,x_M \in \mathbb{R}^N$$ इस तरह


 * $$\|x_i - x_j\| \approx d_{i,j}$$ सभी के लिए $$i,j\in {1,\dots,M}$$,

जहाँ $$\|\cdot\|$$ एक गुणावली (गणित) है। उत्कृष्ट एमडीएस में, यह मानदंड यूक्लिडियन दूरी है, लेकिन, व्यापक अर्थों में, यह एक मीट्रिक (गणित) या एकपक्षीय ढंग से दूरी का कार्य हो सकता है।

दूसरे शब्दों में, एमडीएस में इस तरह दूरियों को संरक्षित किया जाता है जैसे $$M$$ वस्तुओं में $$\mathbb{R}^N$$से आलेखन खोजने का प्रयास करता है। यदि आकार $$N$$ 2 या 3 चुना जाता है, तो हम $$M$$ वस्तुओं के बीच समानता का एक दृश्य प्राप्त करने के लिए सदिशों $$x_i$$ को आलेखित कर सकते हैं। ध्यान दें कि सदिश $$x_i$$ अद्वितीय नहीं हैं: यूक्लिडियन दूरी के साथ, उन्हें एकपक्षीय ढंग से अनुवादित, घुमाया और प्रतिबिंबित किया जा सकता है, क्योंकि ये परिवर्तन जोड़ीदार दूरियों $$\|x_i - x_j\|$$ को नहीं बदलते हैं.

(नोट: प्रतीक $$\mathbb{R}$$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय और अंकन को इंगित करता है $$\mathbb{R}^N$$ के कार्टेशियन उत्पाद की $$\mathbb{R}$$ की $$N$$ प्रतियों को संदर्भित करता है, जो एक $$N$$ वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में आकारीय सदिश स्थान है।)

सदिश $$x_i$$ का निर्धारण करने के लिए विभिन्न दृष्टिकोण हैं। सामान्यतौर पर, एमडीएस को अनुकूलन (गणित) के रूप में तैयार किया जाता है, जहां $$(x_1,\ldots,x_M)$$ उदाहरण के लिए, कुछ लागत फलन के न्यूनतमकर्ता के रूप में पाया जाता है,


 * $$ \underset{x_1,\ldots,x_M}{\mathrm{argmin}} \sum_{i<j} ( \|x_i - x_j\| - d_{i,j} )^2. \, $$

एक समाधान तब संख्यात्मक अनुकूलन तकनीकों द्वारा पाया जा सकता है। कुछ विशेष रूप से चुने गए लागत कार्यों के लिए, न्यूनीकरण को मैट्रिक्स के वास्तविक मान के संदर्भ में विश्लेषणात्मक रूप से वर्णन किया जा सकता है।

 प्रक्रिया 

एमडीएस अनुसंधान करने के कई चरण हैं:
 * 1) समस्या का निरूपण - आप किन भिन्नताओं की तुलना करना चाहते हैं? आप कितने भिन्नताओं की तुलना करना चाहते हैं? अध्ययन किस उद्देश्य के लिए किया जाना है?
 * 2) निविष्ट डेटा प्राप्त करना - उदाहरण के लिए :- उत्तरदाताओं से प्रश्नों की एक श्रृंखला पूछी जाती है। प्रत्येक उत्पाद जोड़ी के लिए, उन्हें समानता को मूल्यांकन करने के लिए कहा जाता है (सामान्यतौर पर 7- अंक लाइकेर्ट मापांक पर बहुत समान से बहुत भिन्न)। उदाहरण के लिए पहला प्रश्न कोक/पेप्सी के लिए हो सकता है, अगला प्रश्न कोक/हायर्स रूटबीयर के लिए, अगला प्रश्न पेप्सी/डॉ. पेपर के लिए, अगला प्रश्न डॉ. पेपर/हायर्स रूटबीयर आदि के लिए हो सकता है। प्रश्नों की संख्या प्रश्नों की संख्या का फलन है। ब्रांड और के रूप में गणना की जा सकती है $$Q = N (N - 1) / 2$$ जहाँ Q प्रश्नों की संख्या है और N ब्रांडों की संख्या है। इस दृष्टिकोण को "धारणा डेटा: प्रत्यक्ष दृष्टिकोण" के रूप में जाना जाता है। दो अन्य दृष्टिकोण हैं। "धारणा डेटा: व्युत्पन्न दृष्टिकोण" है जिसमें उत्पादों को अर्थ-संबंधी भिन्नता मापांक पर मूल्यांकन किए गए गुणों में विघटित किया जाता है। दूसरा " प्राथमिकता डेटा दृष्टिकोण" है जिसमें उत्तरदाताओं से समानता के बजाय उनकी प्राथमिकता पूछी जाती है।
 * 3) 'एमडीएस सांख्यिकीय कार्यक्रम चलाना' - प्रक्रिया को चलाने के लिए सॉफ्टवेयर कई सांख्यिकीय सॉफ्टवेयर पैकेजों में उपलब्ध है। अक्सर स्तरीय एमडीएस (जो अंतराल या अनुपात स्तर डेटा से संबंधित होता है) और गैर स्तरीय एमडीएस के बीच एक विकल्प होता है (जो क्रमिक डेटा से संबंधित है)।
 * 4) आकारों की संख्या तय करें - शोधकर्ता को यह तय करना होगा कि वे कितने आकारों को कंप्यूटर बनाना चाहते हैं। एमडीएस समाधान की व्याख्या अक्सर महत्वपूर्ण होती है, और निम्न आकारीय समाधान सामान्यतौर पर व्याख्या और कल्पना करना आसान होता है। हालाँकि, आकार  चयन भी अंडरफिटिंग और ओवरफिटिंग को संतुलित करने का एक विवाद है। असमानता डेटा के महत्वपूर्ण आकारों को छोड़कर निम्न आकारीय समाधान कम हो सकते हैं। असमानता माप में शोर के लिए उच्च आकारीय समाधान अधिक हो सकते हैं। Akaike सूचना मानदंड, बायेसियन सूचना मानदंड, बेयस कारक, या क्रॉस-सत्यापन (सांख्यिकी) | क्रॉस-सत्यापन जैसे मॉडल चयन उपकरण इस प्रकार उस आकार  का चयन करने के लिए उपयोगी हो सकते हैं जो अंडरफिटिंग और ओवरफिटिंग को संतुलित करता है।
 * 5) परिणामों की आलेखन और आकारों को परिभाषित करना - सांख्यिकीय कार्यक्रम (या संबंधित मॉड्यूल) परिणामों को आलेख करेगा। आलेख प्रत्येक उत्पाद को प्लॉट करेगा (सामान्यतौर पर द्वि-आकारीय अंतरिक्ष में)। उत्पादों की एक दूसरे से निकटता यह दर्शाती है कि वे कितने समान हैं या उन्हें कितना पसंद किया जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि किस दृष्टिकोण का उपयोग किया गया था। एम्बेडिंग के आकार  वास्तव में सिस्टम व्यवहार के आकार ों के अनुरूप कैसे हैं, हालांकि, यह स्पष्ट नहीं है। यहां, पत्राचार के बारे में एक व्यक्तिपरक निर्णय किया जा सकता है (अवधारणात्मक मानचित्रण देखें)।
 * 6) विश्वसनीयता और वैधता के लिए परिणामों का परीक्षण करें - यह निर्धारित करने के लिए आर वर्ग की गणना करें कि माप किए गए डेटा के किस अनुपात का एमडीएस प्रक्रिया द्वारा हिसाब लगाया जा सकता है। 0.6 का एक आर-वर्ग न्यूनतम स्वीकार्य स्तर माना जाता है।  0.8 का एक आर-वर्ग मीट्रिक मापांक के लिए अच्छा माना जाता है और .9 गैर-मीट्रिक मापांक के लिए अच्छा माना जाता है। अन्य संभावित परीक्षण क्रुस्कल का दबाव, विभाजित डेटा परीक्षण, डेटा स्थिरता परीक्षण (यानी, एक ब्रांड को समाप्त करना), और परीक्षण-पुनः परीक्षण विश्वसनीयता हैं।
 * 7) परिणामों की व्यापक रूप से रिपोर्ट करें - आलेखन के साथ, कम से कम दूरी माप (जैसे, सोरेनसन इंडेक्स, जैकार्ड इंडेक्स) और विश्वसनीयता (जैसे, दबाव मूल्य) दी जानी चाहिए। यदि आपने एक शुरूआती विन्यास दिया है या एक अक्रमिक विकल्प है, तो रनों की संख्या, आकार का मूल्यांकन मोंटे कार्लो विधि पद्धति के परिणाम, पुनरावृत्तियों की संख्या, स्थिरता का मूल्यांकन और प्रत्येक अक्ष (आर-वर्ग) का आनुपातिक विचरण प्राप्त करने के लिए एल्गोरिदम (उदाहरण के लिए, क्रुस्कल, माथेर) देने की भी सलाह दी जाती है, जिसे अक्सर उपयोग किए जाने वाले प्रोग्राम द्वारा परिभाषित किया जाता है।

कार्यान्वयन

 * ईएलकेआई में दो एमडीएस कार्यान्वयन शामिल हैं।
 * मैट्रिक्स लैबोरेटरी में दो एमडीएस कार्यान्वयन सम्मिलित हैं (क्रमशः उत्कृष्ट (cएमडीएसcale) और गैर-उत्कृष्ट (एमडीएसcale) एमडीएस के लिए)।
 * R (प्रोग्रामिंग भाषा) कई एमडीएस कार्यान्वयन प्रदान करता है, उदा. आधार cmdscale फ़ंक्शन, पैकेज smacof (एमएमडीएस और एनएमडीएस), और शाकाहारी (भारित एमडीएस)।
 * स्किकिट-लर्न में फंक्शन होता है ].org/stable/modules/generated/sklearn.manifold.MDS.html sklearn.manifold.MDS]।

यह भी देखे

 * डेटा क्लस्टरिंग
 * कारक विश्लेषण
 * विभेदक विश्लेषण
 * आकारीयता में कमी
 * दूरी ज्यामिति
 * केली-मेंजर निर्धारक
 * संपो की आलेखन
 * सहसंबंधों की प्रतीकात्मकता