होमोटॉपी विस्तार गुण

गणित में, बीजगणितीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में, होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति इंगित करती है कि उप-स्थान टोपोलॉजी पर परिभाषित कौन सी होमोटॉपी को एक बड़े स्थान पर परिभाषित होमोटॉपी तक बढ़ाया जा सकता है। सह-[[ कंपन ]] की होमोटॉपी विस्तार संपत्ति एकमैन-हिल्टन द्वैत है, होमोटॉपी उठाने वाली संपत्ति जिसका उपयोग फाइब्रेशन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

परिभाषा
होने देना $$X\,\!$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें, और रहने दें $$A \subset X$$. हम कहते हैं कि जोड़ी $$(X,A)\,\!$$ यदि, एक समरूपता दी गई है तो इसमें समरूप विस्तार गुण है $$f_\bullet\colon A \rightarrow Y^I$$ और एक नक्शा $$\tilde{f}_0\colon X \rightarrow Y$$ ऐसा है कि $$\tilde{f}_0\circ \iota = \left.\tilde{f}_0\right|_A = f_0 = \pi_0 \circ f_\bullet,$$ तो वहाँ का एक विस्तार मौजूद है $$f_\bullet$$ एक समरूपता के लिए $$\tilde{f}_\bullet\colon X \rightarrow Y^I$$ ऐसा है कि $$\tilde{f}_\bullet\circ \iota = \left.\tilde{f}_\bullet\right|_A = f_\bullet$$. यानी जोड़ी $$(X,A)\,\!$$ यदि कोई मानचित्र है तो होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति है $$G\colon ((X\times \{0\}) \cup (A\times I)) \rightarrow Y$$ मानचित्र तक बढ़ाया जा सकता है $$G'\colon X\times I \rightarrow Y$$ (अर्थात। $$G\,\!$$ और $$G'\,\!$$ उनके सामान्य डोमेन पर सहमत हों)।

यदि जोड़ी के पास यह संपत्ति केवल एक निश्चित कोडोमेन के लिए है $$Y\,\!$$, हम ऐसा कहते हैं $$(X,A)\,\!$$ के संबंध में समरूप विस्तार गुण है $$Y\,\!$$.

विज़ुअलाइज़ेशन
होमोटॉपी एक्सटेंशन गुण को निम्नलिखित चित्र में दर्शाया गया है

यदि उपरोक्त आरेख (बिना धराशायी मानचित्र के) चलता है (यह उपरोक्त स्थितियों के बराबर है), तो यदि मानचित्र मौजूद है तो जोड़ी (एक्स, ए) में होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति है $$\tilde{f}_\bullet$$ जो आरेख को आवागमन योग्य बनाता है। करीइंग द्वारा, ध्यान दें कि होमोटॉपीज़ को मानचित्रों के रूप में व्यक्त किया गया है $$\tilde{f}_\bullet \colon X \to Y^I$$ मानचित्र के रूप में भावों के साथ प्राकृतिक परिवर्तन#टेन्सर-होम एडजंक्शन में हैं $$ \tilde{f}_\bullet \colon X\times I \to Y $$.

ध्यान दें कि यह आरेख होमोटॉपी उठाने की संपत्ति के दोहरे (विपरीत) है; इस द्वैत को सामान्यतः एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है।

गुण

 * अगर $$X\,\!$$ एक कोशिका संकुल है और $$A\,\!$$ का एक उपसमुच्चय है $$X\,\!$$, फिर जोड़ी $$(X,A)\,\!$$ समरूप विस्तार गुण है।
 * एक जोड़ी $$(X,A)\,\!$$ होमोटॉपी एक्सटेंशन गुण है यदि और केवल यदि $$(X\times \{0\} \cup A\times I)$$ का एक विरूपण प्रत्यावर्तन है $$X\times I.$$

अन्य
अगर $$(X, A)$$ होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति है, फिर सरल समावेशन मानचित्र $$\iota\colon A \to X$$ एक सह-फाइब्रेशन है.

वास्तव में, यदि आप किसी सह-फाइब्रेशन पर विचार करते हैं $$\iota\colon Y \to Z$$, तो वह हमारे पास है $$\mathbf{\mathit{Y}}$$ नीचे दी गई छवि के अनुरूप होम्योमॉर्फिक  है $$\iota$$. इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी सह-फाइब्रेशन को एक समावेशन मानचित्र के रूप में माना जा सकता है, और इसलिए इसे होमोटॉपी एक्सटेंशन संपत्ति के रूप में माना जा सकता है।

यह भी देखें

 * होमोटोपी उठाने वाली संपत्ति