क्षेत्र (साधन)

क्षेत्र, जिसे आनुपातिक कम्पास या सैन्य कम्पास के रूप में भी जाना जाता है, सोलहवीं शताब्दी के अंत से उन्नीसवीं शताब्दी तक उपयोग में आने वाला एक प्रमुख गणितीय उपकरण था। यह एक उपकरण है जिसमें समान लंबाई के दो शासक एक हिंज से जुड़े होते हैं। यंत्र पर कई पैमाने अंकित हैं जो विभिन्न गणितीय गणनाओं की सुविधा प्रदान करते हैं। इसका उपयोग आनुपातिकता (गणित), बंदूक और विभाजन (गणित), ज्यामिति और त्रिकोणमिति में समस्याओं को हल करने के लिए और विभिन्न गणितीय कार्यों, जैसे कि वर्गमूल और घनमूल की गणना के लिए किया गया था। इसके कई पैमानों ने गनरी, सर्वेक्षण और मार्गदर्शन  में समस्याओं के आसान और प्रत्यक्ष समाधान की अनुमति दी। इस क्षेत्र का नाम यूक्लिड की छठी पुस्तक के चौथे प्रस्ताव से लिया गया है, जहाँ यह प्रदर्शित किया गया है कि समान त्रिभुजों की समान भुजाएँ समानुपाती होती हैं। कुछ क्षेत्रों में एक चतुर्भुज (साधन) भी शामिल है, और कभी-कभी एक पैर के अंत में एक दबाना होता है जिससे डिवाइस को तोपखाने के चतुर्भुज के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है।

इतिहास
चित्र: गैलुची, जियोवन्नी पाओलो - सभी प्रकार के घंटों का वर्णन करने के लिए एक निश्चित उपकरण के निर्माण और उपयोग पर, 1592 - BEIC 3937801.jpg|thumb|सभी प्रकार के घंटों (1592) का वर्णन करने के लिए दिमाग की संरचना और उपयोग पर, जहां जॉन पॉल गैलुची सेक्टर का वर्णन करने वाले पहले लोगों में से हैं। 17 वीं शताब्दी की शुरुआत से पहले कई अलग-अलग लोगों द्वारा अनिवार्य रूप से एक साथ और स्वतंत्र रूप से इस क्षेत्र का आविष्कार किया गया था।

फैब्रीज़ियो मोर्डेंटे (1532 - सीए 1608) एक इतालवी गणितज्ञ थे, जो आनुपातिक आठ-नुकीले कम्पास के अपने आविष्कार के लिए जाने जाते हैं, जिसमें कर्सर के साथ दो भुजाएँ होती हैं जो एक वृत्त की परिधि, क्षेत्रफल और कोणों को मापने में समस्याओं के समाधान की अनुमति देती हैं। 1567 में उन्होंने वेनिस में एक एकल पत्रक ग्रंथ प्रकाशित किया जिसमें उनकी डिवाइस के चित्र दिखाए गए थे। 1585 में जियोर्डानो ब्रूनो ने मोर्डेंटे के कम्पास का इस्तेमाल अरस्तू की परिकल्पना को इन्फिनिटिमल्स की अतुलनीयता पर खंडन करने के लिए किया, इस प्रकार न्यूनतम के अस्तित्व की पुष्टि की जिसने अपने स्वयं के परमाणु सिद्धांत का आधार रखा। गाइडोबाल्डो डेल मोंटे ने एक पॉलीमेट्रिक कंपास सी विकसित किया। 1670, जिसमें नियमित बहुभुज बनाने के लिए एक पैमाना भी शामिल है। इतालवी खगोलशास्त्री गैलीलियो गैलीली ने 1590 के दशक में और पैमाने जोड़े, और 1606 में इस विषय पर एक पुस्तक प्रकाशित की। गैलीलियो के क्षेत्र को पहले सैन्य अनुप्रयोगों के लिए डिज़ाइन किया गया था, लेकिन एक सामान्य प्रयोजन गणना उपकरण के रूप में विकसित हुआ।

इंग्लैंड में दो शुरुआती ज्ञात क्षेत्र क्रमशः रॉबर्ट बेकिट और चार्ल्स व्हिटवेल द्वारा बनाए गए थे, दोनों दिनांक 1597 थे। इनमें अंग्रेजी गणितज्ञ थॉमस हूड (गणितज्ञ) की 1598 पुस्तक द्वारा दिए गए उपकरण के विवरण के साथ एक मजबूत समानता है। वर्णित सेक्टर हूड एक सर्वेक्षण उपकरण के रूप में उपयोग करने के लिए लक्षित था और इसमें एक ध्रुव या पोस्ट के साथ-साथ एक आर्क स्केल और एक अतिरिक्त स्लाइडिंग लेग के लिए उपकरण को जोड़ने के लिए जगहें और एक बढ़ते सॉकेट शामिल थे। 1600 के दशक में, ब्रिटिश गणितज्ञ एडमंड गुंटर ने सामान के साथ तिरस्कृत किया, लेकिन मर्केटर प्रोजेक्शन पर एक मेरिडियन के साथ अक्षांशों के अंतर के आनुपातिक विभाजन के साथ एक मध्याह्न रेखा सहित अतिरिक्त पैमानों को जोड़ा, इसके निर्माण और उपयोग की व्याख्या करने वाली एक लैटिन पांडुलिपि को निजी तौर पर वितरित करना। गुंटर ने इसे अंग्रेजी में 1623 में डी सेक्टर एट रेडियो के रूप में प्रकाशित किया।

गैलीलियो का क्षेत्र
गैलीलियो ने पहली बार 1590 के दशक की शुरुआत में तोपखानों के लिए एक उपकरण के रूप में अपना क्षेत्र विकसित किया। 1597 तक यह एक ऐसे उपकरण के रूप में विकसित हो गया था जिसकी व्यापक उपयोगिता थी। इसका उपयोग, उदाहरण के लिए, सीधी रेखाओं और अर्ध-वृत्तों के संयोजन से निर्मित किसी भी समतल आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए किया जा सकता है। गैलीलियो अपने क्षेत्र में सुधार करने के लिए दृढ़ थे ताकि यूक्लिड के तत्वों में चर्चा की गई किसी भी आकृति के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए इसका उपयोग किया जा सके। ऐसा करने के लिए, उसे वृत्ताकार खंडों के क्षेत्रफल की गणना करने की क्षमता जोड़ने की आवश्यकता थी। इस समस्या को हल करने में उन्हें एक साल से ज्यादा का समय लगा। जिस उपकरण को आज हम गैलीलियो के क्षेत्र के रूप में जानते हैं, वह इस अतिरिक्त क्षमता वाला संस्करण है जिसे उन्होंने 1599 में उपकरण निर्माता मार्क'एंटोनियो मैजोलेनी की मदद से बनाना शुरू किया था। गैलीलियो ने मेजोलेनी और उसके परिवार को कमरा और बोर्ड दिया, और उसे 35 लीयर बिक्री मूल्य का दो-तिहाई भुगतान किया; गैलीलियो उपकरण के उपयोग को पढ़ाने वाले एक पाठ्यक्रम के लिए 120 लीयर चार्ज करेगा, जो एक कुशल कारीगरों के वार्षिक वेतन का लगभग आधा है। उनके अधिकांश ग्राहक अमीर रईस थे, जिनमें फर्डिनेंड II, पवित्र रोमन सम्राट शामिल थे, जिन्हें गैलीलियो ने चांदी से बना एक क्षेत्र बेचा था। सभी में सौ से अधिक बनाए गए थे, लेकिन आज केवल तीन मौजूद हैं: एक हार्वर्ड विश्वविद्यालय में पुतनाम गैलरी में, एक मिलान के स्फोर्ज़ा कैसल में सजावटी कला संग्रहालय में, और एक फ्लोरेंस में गैलीलियो संग्रहालय में।

गैलीलियो ने अपने 1606 मैनुअल में सेक्टर के साथ 32 अलग-अलग गणना करने का तरीका बताया। प्रस्तावना में, गैलीलियो ने लिखा है कि इस क्षेत्र का उत्पादन करने का उनका इरादा उन लोगों को सक्षम करना था, जिन्होंने गणित का अध्ययन नहीं किया था, जिसमें शामिल गणितीय विवरणों को जाने बिना जटिल गणना करने के लिए सक्षम किया गया था। सेक्टर का उपयोग डिवाइडर के साथ संयोजन में किया गया था, जिसे कम्पास (ड्राइंग टूल)  भी कहा जाता है। सेक्टर की प्रत्येक भुजा को चार रेखाओं के साथ आगे की ओर और तीन को पीछे की ओर चिह्नित किया गया था, और धुरी में एक डिंपल था जो एक विभाजक के बिंदु को स्वीकार करेगा। प्रत्येक भुजा पर रेखाएँ और तराजू समान हैं, और उसी क्रम में व्यवस्थित हैं जैसे आप आंतरिक किनारे से बाहरी किनारे पर चले गए, इस प्रकार सात जोड़ी रेखाएँ बनती हैं। सभी गणनाएँ पाँच बहुत ही सरल चरणों के कुछ संयोजन के साथ की जा सकती हैं: डिवाइडर के साथ कुछ लंबाई, पृथक्करण या वस्तु की चौड़ाई को मापना; सेक्टर की भुजाओं को खोलना और विभाजक पृथक्करण के लिए रेखाओं की एक जोड़ी पर दो संबंधित बिंदुओं के बीच क्रॉसवर्ड दूरी सेट करना; एक बार क्षेत्र को कुछ अलग करने के लिए सेट किए जाने के बाद लाइनों की एक जोड़ी पर दो संबंधित बिंदुओं के बीच की क्रॉसवर्ड दूरी को मापना; किसी एक पैमाने से उस बिंदु पर एक मान पढ़ना जहां आड़े-तिरछे दूरी एक विभाजक पृथक्करण से मेल खाती है; और एक पैमाने से मान पढ़ना जहां धुरी से दूरी एक विभाजक से मेल खाती है। गैलीलियो ने यह नहीं बताया कि तराजू का निर्माण कैसे किया गया, उन्होंने माना कि एक व्यापार रहस्य है, लेकिन विवरण का अनुमान लगाया जा सकता है। स्केल मार्किंग को लगभग 1% की सटीकता के साथ रखा गया था।

अंकगणितीय रेखाएँ
साधन के अंतरतम पैमानों को अंकगणितीय प्रगति में उनके विभाजन से अंकगणितीय रेखाएँ कहा जाता है, अर्थात एक रेखीय पैमाना। गैलीलियो संग्रहालय में क्षेत्र 16 से 260 तक चिह्नित है। अगर हम धुरी से लंबाई कहते हैं $$A,$$ फिर मूल्यों के साथ दो अंक दिए $$n_1$$ और $$n_2,$$ उनकी लंबाई के अनुपात संख्याओं के अनुपात के अनुपात में हैं। आधुनिक अंकन में:


 * $$\frac{A_1}{A_2} = \frac{n_1}{n_2},$$

गैलीलियो बताते हैं कि इन पैमानों का उपयोग करके एक रेखा को कई बराबर भागों में कैसे विभाजित किया जाए, किसी रेखा के किसी भी अंश को कैसे मापा जाए, किसी आकृति या मानचित्र का एक छोटा संस्करण कैसे तैयार किया जाए, यूक्लिड के स्वर्ण नियम (जिसे क्रॉस भी कहा जाता है) को कैसे हल किया जाए -गुणन#तीन का नियम), एक मुद्रा में मूल्य को दूसरी मुद्रा में मूल्य में कैसे परिवर्तित करें, और निवेश के चक्रवृद्धि मूल्य की गणना कैसे करें।

एक उदाहरण के रूप में, किसी निवेश के चक्रवृद्धि मूल्य की गणना करने की प्रक्रिया इस प्रकार है। यदि प्रारंभिक निवेश P0 है, तो विभाजक को अंकगणितीय रेखाओं पर P0 पर चिह्नित बिंदु तक धुरी से दूरी पर सेट करें। उपकरण खोलें और अंकगणितीय रेखाओं पर 100-100 बिंदु पर आड़ी दूरी को ठीक P0 मापी गई दूरी पर सेट करें। यदि अवधि के लिए ब्याज दर 6% है, तो विभाजक को 106-106 पर आड़े-तिरछे दूरी पर सेट करें। विभाजक को धुरी पर रखें, और देखें कि दूसरा छोर अंकगणितीय रेखाओं पर कहाँ पड़ता है। यह पहली अवधि के अंत में निवेश का मूल्य है। अब आड़े-तिरछे दूरी को फिर से 100-100 पर वर्तमान डिवाइडर सेपरेशन पर सेट करें और इस प्रक्रिया को जितनी जरूरत हो उतनी अवधि के लिए दोहराएं।

ज्यामितीय रेखाएँ
रेखाओं के अगले सेट को ज्यामितीय रेखाएँ कहा जाता है, जिसमें 1 से 50 तक की संख्या होती है, जिसकी लंबाई वर्गमूल के समानुपाती होती है, जिसे ज्यामितीय कहा जाता है क्योंकि उनका उपयोग ज्यामितीय माध्य खोजने और समतल आकृतियों के क्षेत्रों के साथ काम करने के लिए किया जाता है। अगर हम धुरी से लंबाई कहते हैं $$G,$$ तब:


 * $$\frac{G_1}{G_2} = \frac{\sqrt{n_1}}{\sqrt{n_2}}$$

गैलीलियो बताते हैं कि इन रेखाओं का उपयोग किसी आकृति को मापने के लिए कैसे किया जाता है जैसे कि नए आंकड़े में मूल के लिए एक दिया गया क्षेत्र अनुपात होता है, दो समान आंकड़ों के क्षेत्रफल अनुपात को कैसे मापें, समान आंकड़ों के एक सेट को दूसरे समान आंकड़े में कैसे संयोजित करें परिणामी आकृति में सेट का संयुक्त क्षेत्र है, एक समान आकृति का निर्माण कैसे करें जिसका क्षेत्रफल दो अन्य समान आकृतियों के क्षेत्रफल के अंतर के बराबर हो, किसी संख्या का वर्गमूल कैसे ज्ञात करें, एन सैनिकों को एक ग्रिड में कैसे व्यवस्थित करें जहां पंक्तियों से स्तंभों का अनुपात कुछ निर्दिष्ट मान है, और दो संख्याओं का ज्यामितीय माध्य कैसे ज्ञात करें।

एक उदाहरण के रूप में, एक समान आकृति बनाने की प्रक्रिया जिसमें समान आकृतियों के एक सेट का संयुक्त क्षेत्र है, इस प्रकार है: सबसे बड़ी आकृति में एक पक्ष चुनें और एक विभाजक के साथ इसकी लंबाई मापें। खंड को खोलें और विभाजक पृथक्करण के लिए ज्यामितीय रेखाओं पर कुछ मध्यवर्ती मान पर क्रॉसवाइज़ दूरी सेट करें, कोई भी संख्या 20 कहेगी। फिर प्रत्येक अन्य आंकड़े में संबंधित पक्ष की लंबाई को मापें, और ज्यामितीय रेखा पैमाने को पढ़ें वह मान जहां आड़े-तिरछे दूरी इन लंबाई से मेल खाती है। हमारे द्वारा मूल रूप से सेट किए गए 20 सहित सभी स्केल रीडिंग को एक साथ जोड़ें। ज्यामितीय रेखाओं पर संयुक्त मूल्य पर, आड़ी दूरी को मापें। यह उस आकृति के किनारे की लंबाई होगी जिसमें सेट का संयुक्त क्षेत्र है। फिर आप मिलान करने के लिए सबसे बड़े आंकड़े में अन्य सभी पक्षों की लंबाई को मापने के लिए अंकगणितीय पैमाने का उपयोग कर सकते हैं। यह प्रक्रिया सीधी रेखाओं से बनी किसी भी बंद आकृति के लिए काम करेगी।

वर्गमूल की गणना करने की प्रक्रिया रेडिकैंड के आकार के आधार पर भिन्न होती है। एक मध्यम संख्या (5,000 के क्षेत्र में) के लिए, अंकगणितीय रेखाओं पर धुरी से बिंदु 40 तक की दूरी को मापने के द्वारा शुरू करें, और इस दूरी के लिए ज्यामितीय रेखाओं पर 16-16 पर क्षेत्र की आड़ी दूरी निर्धारित करें। अगला अपना नंबर लें और 100 से विभाजित करें, निकटतम पूर्णांक तक गोल करें। तो उदाहरण के लिए 8679 87 बन जाता है। यदि यह संख्या 50 से अधिक है (ज्यामितीय रेखाओं के पैमाने पर सबसे बड़ा मान) तो इसे कम किया जाना चाहिए, इस उदाहरण में शायद 29 बनाने के लिए 3 से विभाजित किया गया। अगला ज्यामितीय रेखाओं पर आड़ी दूरी को मापें 29 पर, अंकगणितीय रेखाओं पर यह दूरी दर्शाती है $$\sqrt{2900}.$$ क्योंकि सेक्टर पर फिट होने के लिए हमारी संख्या कम कर दी गई थी, इसलिए हमें लंबाई को बढ़ाना चाहिए $$\sqrt{3}.$$ हम कोई भी सुविधाजनक मूल्य चुन सकते हैं, उदा। 10, विभाजक पृथक्करण के लिए 10 पर सेक्टर क्रॉसवाइज़ दूरी सेट करना, और फिर ज्यामितीय रेखाओं पर 30 पर क्रॉसवाइज़ दूरी को मापना, फिर डिवाइडर को अंकगणितीय रेखाओं के विरुद्ध मापने के लिए रखें $$\sqrt{8700},$$ जो काफी करीब है $$\sqrt{8679}$$ एक "छोटी" संख्या, एक संख्या "लगभग 100" के वर्गमूल की गणना करने की प्रक्रिया सरल है: हम शुरुआत में 100 से विभाजित करने की चिंता नहीं करते हैं, लेकिन अन्यथा उसी प्रक्रिया को करते हैं। अंत में, परिणामी वर्गमूल अनुमान को 10 से विभाजित करें। बड़ी संख्या (लगभग 50,000) के लिए, अंकगणितीय रेखाओं पर धुरी से 100 पर बिंदु तक की दूरी पर ज्यामितीय रेखाओं पर 10–10 पर आड़े-तिरछे सेक्टर सेट करें। संख्या को 1000 से विभाजित करें और निकटतम पूर्णांक तक गोल करें। फिर पहले की तरह ही प्रक्रिया अपनाएं।

गैलीलियो आगे कोई मार्गदर्शन या परिशोधन प्रदान नहीं करता है। किसी दिए गए नंबर के लिए कौन सी प्रक्रिया का उपयोग करना है, यह जानने के लिए कुछ विचार और अनिश्चितता के प्रसार के लिए प्रशंसा की आवश्यकता होती है।

त्रिविम रेखाएँ
त्रिविम रेखाओं को इसलिए कहा जाता है क्योंकि वे ठोस ज्यामिति, त्रि-आयामी वस्तुओं की ज्यामिति से संबंधित होती हैं। पैमाने को 148 पर चिह्नित किया गया है, और धुरी से दूरी घनमूल के समानुपाती है। अगर हम लंबाई कहते हैं $$S,$$ तब


 * $$\frac{S_1}{S_2} = \frac{\sqrt[3]{n_1}}{\sqrt[3]{n_2}}$$

ये रेखाएँ ज्यामितीय रेखाओं के समान तरीके से काम करती हैं, सिवाय इसके कि वे क्षेत्रों के बजाय वॉल्यूम से निपटती हैं।

गैलीलियो का वर्णन है कि इन रेखाओं का उपयोग एक समान ठोस में संबंधित भुजा की लंबाई को खोजने के लिए कैसे किया जाता है, जहां ठोस का मूल के लिए दिया गया आयतन अनुपात होता है, दो समान ठोसों का आयतन अनुपात कैसे निर्धारित किया जाता है, जो संगत भुजाओं की एक जोड़ी की लंबाई होती है, कैसे एक समान ठोस की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए जिसमें अन्य समान ठोसों के एक सेट का संयुक्त आयतन है, किसी संख्या का घनमूल कैसे ज्ञात करें, दो संख्याओं के बीच के दो मानों को कैसे ज्ञात करें $$p$$ और $$q$$ ऐसा है कि $$n_1 = r p$$, $$n_2 = r^2 p$$ और $$ q = r^3 p$$ किसी दिए गए स्केलिंग कारक के लिए $$r$$, और एक घन की भुजा का पता कैसे लगाया जाए जिसका आयतन एक आयताकार घनाभ (वर्गाकार कोने वाले बॉक्स) के समान है।

भुजाओं के एक आयताकार घनाभ का घन करने के लिए $$a$$, $$b,$$ और $$c$$ कंप्यूटिंग के बराबर है $$s = \sqrt[3]{abc}.$$ गैलीलियो की विधि पहले दो पक्षों के ज्यामितीय माध्य को खोजने के लिए ज्यामितीय रेखाओं का उपयोग करना है, $$g = \sqrt{ab}.$$ वह फिर अंकगणितीय रेखाओं के साथ चिह्नित बिंदु तक की दूरी को मापता है $$g$$ एक विभाजक का उपयोग करके, और फिर चिह्नित बिंदु पर इस दूरी पर क्षेत्र को आड़े-तिरछे सेट करता है $$g$$ स्टीरियोमेट्रिक लाइनों पर, सेक्टर को कैलिब्रेट करना ताकि धुरी से बिंदु तक की दूरी $$g$$ स्टीरियोमेट्रिक लाइनों पर दर्शाता है $$\sqrt[3]{ab},$$ भुजाओं वाले घनाभ के आयतन के साथ घन की भुजा $$a,$$ $$b,$$ और $$1.$$ फिर वह धुरी से चिह्नित बिंदु तक की दूरी को मापता है $$c$$ अंकगणितीय रेखाओं पर, और देखता है कि स्टीरियोमेट्रिक रेखाओं पर यह दूरी किस मान पर आड़े-तिरछे फिट बैठती है, इस प्रकार पिछले परिणाम को गुणा करके $$\sqrt[3]{c},$$ जिसके परिणामस्वरूप $$\sqrt[3]{abc}$$ जैसी इच्छा थी।

घनमूल की गणना करने की प्रक्रिया वर्गमूल के समान है, सिवाय इसके कि यह केवल 1,000 या उससे अधिक के मानों के लिए काम करती है। "मध्यम" संख्याओं के लिए हम त्रिविम रेखाओं पर 64-64 पर अंकगणितीय रेखाओं पर अंकगणितीय रेखाओं पर धुरी से बिंदु 40 तक की दूरी पर क्रॉसवाइज़ सेट करते हैं। फिर हम अपनी संख्या से अंतिम तीन अंक हटा देते हैं, और यदि हमने जो संख्या छोड़ी है वह 500 से अधिक है, तो हम शेष में एक जोड़ देते हैं। हम शेष मान पर त्रिविम रेखाओं पर आड़े-तिरछे दूरी को मापते हैं, और घनमूल को खोजने के लिए इसे अंकगणितीय रेखाओं के विरुद्ध रखते हैं। सबसे बड़ी संख्या जिसे यहां बिना रीस्केलिंग के हैंडल किया जा सकता है वह है 148,000। "बड़ी" संख्याओं के लिए हम अंकगणितीय रेखाओं पर धुरी से बिंदु 100 तक की दूरी पर स्टीरियोमेट्रिक लाइनों पर 100–100 पर सेक्टर क्रॉसवाइज़ सेट करते हैं, और तीन अंकों को छोड़ने के बजाय, हम चार को छोड़ देते हैं। यह 10,000 से 1,480,000 तक की संख्या को बिना रीस्केलिंग के संभाल सकता है। व्यावहारिक उपयोग के लिए, आपको 148,000 तक के सभी मानों के लिए मध्यम संख्या प्रक्रिया का उपयोग करना चाहिए जो 10,000 के गुणक के लगभग 2% के भीतर नहीं हैं।

धात्विक रेखाएँ
धात्विक रेखाएँ, सामने के फलक पर सबसे बाहरी जोड़ी, ORO (for oro, सोना), पीआईओ (के लिए piombo, नेतृत्व करना ), एआर (के लिए argento, चांदी), आरए (के लिए rame,  ताँबा ), FE (के लिए ferro, लोहा), एसटी (के लिए stagno,  विश्वास करना ), एमए (के लिए marmo,  संगमरमर ), और पीआईई (के लिए pietra, रॉक (भूविज्ञान))। इन प्रतीकों को व्युत्क्रम घनमूल के आनुपातिक दूरी के साथ विशिष्ट वजन या घनत्व घटाकर व्यवस्थित किया जाता है। घनत्व के दो पदार्थ दिए गए हैं $$\rho_1$$ और $$\rho_2,$$ अगर हम पिवट से लंबाई कहते हैं $$M,$$
 * $$\frac{M_1}{M_2} = \frac{\sqrt[3]{\rho_2}}{\sqrt[3]{\rho_1}}$$

इस पैमाने पर लंबाई का अनुपात समान वजन लेकिन विभिन्न सामग्रियों की दो गेंदों के व्यास के अनुपात के समानुपाती होता है।

"कैलिबर बनाने" की समस्या को हल करने के लिए आर्टिलरीमैन के लिए ये पंक्तियाँ रुचिकर थीं, अर्थात् किसी आकार और सामग्री के तोप के गोले के लिए उपयोग करने के लिए सही पाउडर चार्ज का पता कैसे लगाया जाए, जब एक तोप के गोले के लिए सही चार्ज ज्ञात हो विभिन्न आकार और सामग्री। ऐसा करने के लिए, आप ज्ञात आवेश के साथ तोप के गोले के व्यास को मापेंगे और इस तोप के गोले के भौतिक चिह्न पर उस व्यास के लिए धातु की रेखाओं पर क्षेत्र को आड़े-तिरछे सेट करेंगे। दूसरे तोप के गोले की सामग्री के प्रकार पर आड़े-तिरछे दूरी आपको इस सामग्री में एक तोप के गोले का व्यास देती है जो पहली गेंद के समान वजन है। सही आवेश प्राप्त करने के लिए हमें इस लंबाई को स्टीरियोमेट्रिक रूप से दूसरी गेंद के दिए गए व्यास तक स्केल करने की आवश्यकता है, इसलिए हम स्टीरियोमेट्रिक लाइनों पर क्रॉसवाइज़ दूरी को 100-100 पर सेट करते हैं, जिसे हमने अभी-अभी धातु की रेखाओं से मापा है, और फिर देखें कि स्टीरियोमीट्रिक रेखाओं पर आड़ी-तिरछी दूरी दूसरी गेंद के वास्तविक व्यास से कहां मेल खाती है। आवश्यक चार्ज तब ज्ञात चार्ज वाली गेंद की तुलना में इस स्केल रीडिंग के 100 के अनुपात में होता है। फिर आप इस अनुपात में आवेश भार को मापने के लिए अंकगणितीय रेखाओं का उपयोग कर सकते हैं।

पॉलीग्राफिक लाइनें
उपकरण के पीछे अंतरतम पैमाने पर पॉलीग्राफिक लाइनें, 3 से 15 तक लेबल की जाती हैं, और धुरी से दूरी एक नियमित बहुभुज की पार्श्व लंबाई के व्युत्क्रमानुपाती होती है। $$n$$ किसी दिए गए वृत्त में अंकित भुजाएँ, या के नियमित बहुभुज की परिधि के समानुपाती $$n$$ दी गई लंबाई के किनारे। अगर $$P$$ पॉलीग्राफिक स्केल पर लंबाई है और $$\operatorname{crd}$$ डिग्री में मापा गया एक गोलाकार चाप की त्रिकोणमितीय तार (ज्यामिति) लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है



\frac{P_1}{P_2} = \frac{\operatorname{crd}{\dfrac{360^\circ}{n_2}}}{\operatorname{crd}{\dfrac{360^\circ}{n_1}}}. $$ आधुनिक ज्या फलन के संदर्भ में कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करना,


 * $$P(n) = \frac{R}{2 \sin{\dfrac{\pi}{n}}}$$

कहाँ $$R$$ एक षट्भुज के लिए परिधि है, $$P(6) = R.$$ इन पंक्तियों का उपयोग 3-पक्षीय समबाहु त्रिभुज से 15-पक्षीय पंचकोण तक किसी भी नियमित बहुभुज के निर्माण में सहायता के लिए किया जा सकता है।

गैलीलियो बताता है कि इन पंक्तियों का उपयोग किसी दी गई लंबाई के n भुजाओं के बहुभुज के लिए एक संलग्न वृत्त की त्रिज्या खोजने के लिए या दूसरी दिशा में एक जीवा (ज्यामिति) की लंबाई कैसे ज्ञात करें जो एक वृत्त की परिधि को विभाजित करती है $$n$$ भागों। संलग्न वृत्त की त्रिज्या खोजने की प्रक्रिया इस प्रकार है: क्षेत्र को खोलें और पॉलीग्राफिक लाइनों पर वांछित पार्श्व लंबाई के बिंदु 6-6 पर आड़े-तिरछे दूरी निर्धारित करें। पर आड़े-तिरछे मापी गई दूरी $$n$$ पॉलीग्राफिक लाइनों पर संलग्न वृत्त की त्रिज्या है।

टेराटोजेनिक लाइनें
जैसे ही आप धुरी से दूर जाते हैं, टेराटोजेनिक लाइनें 13 से नीचे 3 तक चिह्नित होती हैं, और धुरी से दूरी का अनुमान लगाया जा सकता है $$L(n) = L_t \sqrt{\frac{n}{\sqrt{3}\tan\frac{180}{n}}}$$, कहाँ $$L_t$$ धुरी से बिंदु 3 तक की दूरी है। पैमाने पर एक वृत्त है जो लगभग 6 और 7 के बीच में स्थित है। यह नाम टेट्रागोन (चतुर्भुज) से आया है, क्योंकि इन रेखाओं का मुख्य उद्देश्य चतुर्भुज (गणित) है। नियमित बहुभुजों का, अर्थात्, एक वर्ग की भुजा ज्ञात करना जिसका क्षेत्रफल दिए गए नियमित बहुभुज के समान है। उनका उपयोग सर्कल को स्क्वायर करने के लिए भी किया जा सकता है।

के साथ एक नियमित बहुभुज का क्षेत्रफल $$n$$ पक्ष है $$ A(n) = L^2 \frac{n}{4\tan\frac{180}{n}}$$, कहाँ $$L$$ बहुभुज की भुजा की लंबाई है। समान क्षेत्रफल वाले वृत्त की त्रिज्या है $$ r = L \frac{n}{4\pi\tan\frac{180}{n}}$$. का मान है $$n$$ जिस पर वृत्त की त्रिज्या बहुभुज की पार्श्व लंबाई के बराबर होती है $$n=6.5437$$. बेशक, ऐसा कोई बहुभुज नहीं है, लेकिन यह हमें टेट्रैगोनिक लाइन्स पर एक संदर्भ बिंदु देता है, संकेतित सर्कल, जहां सर्कल के त्रिज्या को पढ़ना आसान होता है जो बहुभुज के क्षेत्रफल के बराबर होता है $$n$$ यदि हम सेक्टर को पर सेट करते हैं $$n$$ टेट्रागोनिक रेखाओं पर बहुभुज की पार्श्व लंबाई के आड़े-तिरछे। सर्कल को स्क्वायर करना तो बस उपयोग कर रहा है $$n=4$$. बहुभुज को वर्गाकार करने के लिए, हम केवल इतना करते हैं कि त्रिज्यखंड को आड़े-तिरछे पर सेट करते हैं $$n$$ साइड की लंबाई तक, और आड़े-तिरछे मापें $$n=4$$. भुजाओं की अलग-अलग संख्या वाले समान क्षेत्रफल वाले किन्हीं भी दो बहुभुजों के लिए आवश्यक भुजाओं की लंबाई ज्ञात करना उतना ही आसान है।

जोड़ी गई पंक्तियां
पीठ पर रेखाओं के सबसे बाहरी सेट में एक दोहरा पैमाना, एक बाहरी और एक आंतरिक पैमाना होता है। बाहरी पैमाना रैखिक है और जब आप धुरी से दूर जाते हैं तो 18 से 0 तक चलता है, और शून्य बिंदु को ⌓ के साथ चिह्नित किया जाता है, जो एक गोलाकार खंड के लिए प्रतीक है। यह शून्य बिंदु बांह के बाहर निकलने के रास्ते का लगभग 70% है। आंतरिक पैमाने को भी 18 से नीचे 0 तक चलाने के लिए वर्णित किया गया है, लेकिन गैलीलियो संग्रहालय में क्षेत्र केवल 17 से चिह्नित है। आंतरिक पैमाने पर शून्य बिंदु आगे की दूरी पर हाथ पर स्थित है। $\sqrt{\pi/2} L_a$ कहाँ $$L_a$$ बाहरी पैमाने पर धुरी से शून्य तक की दूरी है, और शून्य को एक छोटे वर्ग के साथ चिह्नित किया गया है। बाहरी पैमाना शून्य आंतरिक पैमाने पर 6 चिह्नित बिंदु के करीब स्थित है। पहली नज़र में आंतरिक पैमाना भी रेखीय प्रतीत होता है, लेकिन इसके बिंदुओं के बीच की दूरी वास्तव में एक काफी जटिल सूत्र द्वारा निर्धारित की जाती है, जिसका हमें अनुमान लगाना होता है क्योंकि गैलीलियो यह नहीं बताते कि यह पैमाना कैसे बनाया गया था। इन पंक्तियों का नाम इस तथ्य से निकला है कि उन्हें गैलीलियो ने अपने सेक्टर के एक पुराने संस्करण में जोड़ा था। इन रेखाओं का उपयोग वृत्ताकार खंडों को वर्गाकार करने के लिए किया जाता है, जो कि एक वर्ग की भुजा की लंबाई का पता लगाना है, जो किसी दिए गए जीवा की लंबाई और ऊँचाई के साथ एक वृत्ताकार खंड के क्षेत्रफल के बराबर है, जहाँ खंड अधिकतम अर्धवृत्त है।

एक वृत्ताकार खंड को वर्गाकार करने की प्रक्रिया इस प्रकार है। जीवा की आधी लंबाई मापें, $$c$$. जीवा मध्यबिंदु पर, उस रेखा की लम्बाई नापें जो जीवा के लम्बवत् होती है जहाँ वह वृत्त को काटती है, ऊँचाई $$h$$. बाहरी स्केल के शून्य पर आधे-राग की लंबाई में जोड़े गए लाइनों पर सेक्टर क्रॉसवाइज सेट करें, $$c$$. बाहरी पैमाने पर बिंदु खोजें, $$n$$, जहां आड़ी दूरी है $$h$$; $$h$$ से कम या बराबर होना चाहिए $$c$$. आंतरिक पैमाने पर उस बिंदु पर जाएं जो भी चिह्नित है $$n$$. भीतरी पैमाने पर बिंदुओं n-n के बीच की आड़ी-तिरछी दूरी वृत्ताकार खंड के क्षेत्रफल के बराबर वर्ग की पार्श्व लंबाई है।

यह देखने के लिए कि यह कैसे काम करता है, हम ध्यान देकर शुरू करते हैं (जैसा कि परिपत्र खंड में चित्र में देखा जा सकता है), कि खंड का क्षेत्र पाई स्लाइस के क्षेत्र के बीच का अंतर है, जहां जीवा सर्कल को काटती है, और जीवा से बना त्रिभुज और जीवा के सिरों को स्पर्श करने वाली दो त्रिज्याएँ। त्रिभुज के आधार की लम्बाई होती है $$2c$$, और त्रिभुज की ऊंचाई है $$r-h$$, तो त्रिभुज का क्षेत्रफल है $$A_t = c(r-h)$$. पाइथागोरस प्रमेय|पायथोग्रास प्रमेय का प्रयोग करके, हम यह दिखा सकते हैं $$r=(c^2+h^2)/2h$$. पाई स्लाइस का क्षेत्रफल कोण द्वारा कवर किए गए वृत्त के क्षेत्रफल का अंश है $$\theta$$. के लिए $$\theta$$ कांति  में, यह क्षेत्र है $$A_{pie} = \theta/2 r^2 = r^2\arcsin(c/r)$$, कहाँ $$\arcsin$$ प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन फलन है। अगर हम परिभाषित करते हैं $$ x = h/c $$, और $$z = (1+x^2)/2x$$, तो हम खंड के क्षेत्र को इस रूप में लिख सकते हैं $$A_{seg} = c^2 (z^2\arcsin 1/z -z +x)$$.

धुरी से चिह्नित बिंदु तक की दूरी $$n$$ बाहरी पैमाने पर है $$ L_{outer}(n) = L_a(1-n/20)$$ कहाँ $$L_a$$ बाहरी पैमाने पर धुरी से शून्य बिंदु तक की दूरी है। जब हम सेक्टर को क्रॉसवाइज सेट करते हैं $$c$$ शून्य बिंदु पर और बाहरी पैमाने पर उस बिंदु को खोजें जहां आड़ी दूरी है $$h$$, हम समान त्रिभुजों की एक जोड़ी स्थापित करते हैं जो धुरी पर खंड की भुजाओं द्वारा बनाए गए कोण को साझा करते हैं, ताकि $$h/c = 1 - n/20$$. अगर हम बिंदु की दूरी निर्धारित करते हैं $$n$$ धुरी से आंतरिक पैमाने पर $L_{inner}(n) = L_a\sqrt{z^2\arcsin 1/z -z +x}$, साथ $$x = 1-n/20$$, और $$z$$ पहले के रूप में परिभाषित किया गया है, फिर आड़ी दूरी पर मापा जाता है $$n$$ आंतरिक पैमाने पर खंड के बराबर क्षेत्रफल वाले वर्ग की भुजा की लंबाई होगी।

अन्य उपयोग
यह क्षेत्र एक साहुल बॉब और एक वियोज्य चतुर्भुज (उपकरण) के साथ आया था, जो जगह में होने पर, हथियारों को एक दूसरे से 90 डिग्री पर लॉक कर देगा। तब इस क्षेत्र का सर्वेक्षण और प्राक्षेपिकी में अनुप्रयोगों के साथ त्रिकोणासन का उपयोग करते हुए दृष्टि और दूरी मापन के लिए उपयोग किया जा सकता था। बैरल में एक हाथ डालकर और सीधा लटकना  के स्थान से ऊंचाई को पढ़कर आसानी से एक तोप की ऊंचाई निर्धारित करने के लिए सेक्टर का उपयोग किया जा सकता है।

संदर्भ

 * 1st English edition published by John Senex, 1723. Revised and expanded English translation of
 * English translation of
 * First published in The Description and Use of the Sector, Crosse-staffe, and Other Instruments (1624, 1636).
 * Kern, Ralf, Wissenschaftliche Instrumente in ihrer Zeit. Vom 15. – 19. Jahrhundert. Verlag der Buchhandlung Walther König 2010, ISBN 978-3-86560-772-0
 * Catalogue of Surveying and Related Instruments, Jim Bennett, Sillabe Srl, Livorno, Italy, 2022. ISBN 978-88-3340-322-9
 * Kern, Ralf, Wissenschaftliche Instrumente in ihrer Zeit. Vom 15. – 19. Jahrhundert. Verlag der Buchhandlung Walther König 2010, ISBN 978-3-86560-772-0
 * Catalogue of Surveying and Related Instruments, Jim Bennett, Sillabe Srl, Livorno, Italy, 2022. ISBN 978-88-3340-322-9
 * Catalogue of Surveying and Related Instruments, Jim Bennett, Sillabe Srl, Livorno, Italy, 2022. ISBN 978-88-3340-322-9
 * Catalogue of Surveying and Related Instruments, Jim Bennett, Sillabe Srl, Livorno, Italy, 2022. ISBN 978-88-3340-322-9
 * Catalogue of Surveying and Related Instruments, Jim Bennett, Sillabe Srl, Livorno, Italy, 2022. ISBN 978-88-3340-322-9

बाहरी संबंध

 * The Proportional Compass or Sector and its History, Kochi Arts & Science Space.
 * The Scales of the Galilean Sector quotations from: "The Geometric and Military Compass” by G. Galilei (archived 2008)
 * Cole Military Sector at the IBM Archives
 * A typical sector and how to use it by Christopher J. Sangwin
 * "Slide Rule and Sine Plate have a common ancestor" by IMSAI Guy on YouTube
 * "Cabinetmaker's Sector Tour and Tutorial" by Brendan Bernhardt Gaffney on YouTube
 * "Acer-Ferrous Toolworks Sector" at Red Rose Reproductions, including several videos demonstrating uses of the sector