क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण

क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण क्वांटम यांत्रिकी में एक तकनीक है जो बीबीजीकेवाई पदानुक्रम समस्या को व्यवस्थित रूप से छोटा कर देती है जो तब उत्पन्न होती है जब इंटरैक्टिंग सिस्टम की क्वांटम गतिशीलता हल हो जाती है। यह विधि संख्यात्मक रूप से गणना योग्य समीकरणों का एक बंद सेट तैयार करने के लिए उपयुक्त है जिसे कई प्रकार के कई-बॉडी और/या क्वांटम ऑप्टिक्स|क्वांटम-ऑप्टिकल समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इसे अर्धचालक [[क्वांटम प्रकाशिकी ]] में व्यापक रूप से लागू किया जाता है और इसे सेमीकंडक्टर बलोच समीकरणों अर्धचालक ल्यूमिनसेंस समीकरण समीकरणों को सामान्य बनाने के लिए लागू किया जा सकता है।

पृष्ठभूमि
क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स अनिवार्य रूप से शास्त्रीय रूप से सटीक मानों को एक संभाव्य वितरण द्वारा प्रतिस्थापित करता है जिसे उपयोग करके तैयार किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, एक तरंग तरंग क्रिया, एक घनत्व मैट्रिक्स, या एक चरण अंतरिक्ष फॉर्मूलेशन # चरण अंतरिक्ष वितरण | चरण-अंतरिक्ष वितरण। वैचारिक रूप से, मापे जाने वाले प्रत्येक अवलोकन के पीछे हमेशा, कम से कम औपचारिक रूप से, संभाव्यता वितरण होता है। पहले से ही 1889 में, क्वांटम भौतिकी तैयार होने से काफी समय पहले, थोरवाल्ड एन. थीले ने संचयी का प्रस्ताव रखा था जो यथासंभव कम मात्रा के साथ संभाव्य वितरण का वर्णन करता है; उन्होंने उन्हें अर्ध-अपरिवर्तनीय कहा। क्यूमुलेंट्स माध्य, विचरण, तिरछापन, कुकुदता इत्यादि जैसी मात्राओं का एक क्रम बनाते हैं, जो अधिक क्यूम्युलेंट का उपयोग होने पर बढ़ती सटीकता के साथ वितरण की पहचान करते हैं।

क्यूमुलेंट्स के विचार को फ्रिट्ज़ कोस्टर द्वारा क्वांटम भौतिकी में परिवर्तित किया गया था और हरमन कुम्मेल परमाणु भौतिकी के बहु-पिंडीय परिघटनाओं का अध्ययन करने के इरादे से। बाद में, जिरी सिज़ेक और जोसेफ पाल्डस ने जटिल परमाणुओं और अणुओं में कई-शरीर की घटनाओं का वर्णन करने के लिए क्वांटम रसायन विज्ञान के दृष्टिकोण को बढ़ाया। इस कार्य ने युग्मित क्लस्टर|युग्मित-क्लस्टर दृष्टिकोण के लिए आधार पेश किया जो मुख्य रूप से कई-बॉडी तरंग कार्यों के साथ संचालित होता है। जटिल अणुओं की क्वांटम अवस्थाओं को हल करने के लिए युग्मित-क्लस्टर दृष्टिकोण सबसे सफल तरीकों में से एक है।

ठोस पदार्थों में, बहु-निकाय तरंगक्रिया की संरचना अत्यधिक जटिल होती है, जैसे कि प्रत्यक्ष तरंग-क्रिया-समाधान तकनीक कठिन होती है। क्लस्टर विस्तार युग्मित-क्लस्टर दृष्टिकोण का एक प्रकार है और यह अनुमानित तरंग फ़ंक्शन या घनत्व मैट्रिक्स की क्वांटम गतिशीलता को हल करने का प्रयास करने के बजाय सहसंबंधों के गतिशील समीकरणों को हल करता है। यह कई-बॉडी सिस्टम और क्वांटम-ऑप्टिकल सहसंबंधों के गुणों के उपचार के लिए समान रूप से उपयुक्त है, जिसने इसे सेमीकंडक्टर क्वांटम ऑप्टिक्स के लिए बहुत उपयुक्त दृष्टिकोण बना दिया है।

बहु-निकाय भौतिकी या क्वांटम प्रकाशिकी में लगभग हमेशा की तरह, इसमें शामिल भौतिकी का वर्णन करने के लिए दूसरे परिमाणीकरण|द्वितीय-परिमाणीकरण औपचारिकता को लागू करना सबसे सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, एक प्रकाश क्षेत्र का वर्णन बोसॉन निर्माण और विनाश ऑपरेटरों के माध्यम से किया जाता है $$\hat{B}^\dagger_\mathbf{q}$$ और $$\hat{B}_\mathbf{q}$$, क्रमशः, कहाँ $$\hbar\mathbf{q}$$ एक फोटॉन की गति को परिभाषित करता है। टोपी ख़त्म $$B$$ मात्रा की संचालक (भौतिकी) प्रकृति को दर्शाता है। जब बहु-निकाय अवस्था में पदार्थ के इलेक्ट्रॉनिक उत्तेजना शामिल होते हैं, तो यह पूरी तरह से फर्मिअन निर्माण और विनाश ऑपरेटरों द्वारा परिभाषित होता है $$\hat{a}^\dagger_{\lambda,\mathbf{k}}$$ और $$\hat{a}_{\lambda,\mathbf{k}}$$, क्रमशः, कहाँ $$\hbar\mathbf{k}$$ जबकि कण की गति को संदर्भित करता है $$\lambda$$ स्वतंत्रता की कुछ आंतरिक डिग्री है, जैसे स्पिन (भौतिकी) या इलेक्ट्रॉनिक बैंड संरचना।

एन-कण योगदान का वर्गीकरण
जब कई-निकाय प्रणाली का उसके क्वांटम-ऑप्टिकल गुणों के साथ अध्ययन किया जाता है, तो सभी मापनीय अपेक्षा मूल्यों को 'एन-कण अपेक्षा मूल्य' के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$$ \langle \hat{N} \rangle \equiv \langle \hat{B}^\dagger_1 \cdots \hat{B}^\dagger_K \ \hat{a}^\dagger_1 \cdots \hat{a}^\dagger_{N_{\hat{a}}} \hat{a}_{N_{\hat{a}}} \cdots \hat{a}_{1} \ \hat{B}_{J} \cdots \hat{B}_1 \rangle $$ कहाँ $$N=N_{\hat{B}} +N_{\hat{a}}$$ और $$N_{\hat{B}}=J+K$$ जबकि संक्षिप्तता के लिए स्पष्ट गति सूचकांकों को दबा दिया जाता है। इन मात्राओं को आम तौर पर ऑर्डर किया जाता है, जिसका अर्थ है कि सभी निर्माण ऑपरेटर बाईं ओर हैं जबकि सभी विनाश ऑपरेटर अपेक्षित मूल्य में दाईं ओर हैं। यह दिखाना सीधा है कि यदि फर्मियन निर्माण और विनाश ऑपरेटरों की मात्रा बराबर नहीं है तो यह अपेक्षा मूल्य गायब हो जाता है। एक बार जब सिस्टम हैमिल्टनियन ज्ञात हो जाता है, तो कोई किसी दिए गए गतिशीलता को उत्पन्न करने के लिए गति के हाइजेनबर्ग समीकरण का उपयोग कर सकता है $$N$$-कण संचालिका. हालाँकि, कई-निकाय के साथ-साथ क्वांटम-ऑप्टिकल इंटरैक्शन युग्मित हैं $$N$$-कण मात्रा को $$(N+1)$$-कण अपेक्षा मान, जिसे बोगोलीबॉव-बॉर्न-ग्रीन-किर्कवुड-यवोन (बीबीजीकेवाई) पदानुक्रम समस्या के रूप में जाना जाता है। अधिक गणितीय रूप से, सभी कण एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करते हैं जिससे एक समीकरण संरचना बनती है

$$ \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle\hat{N}\rangle = \mathrm{T}\left[ \langle\hat{N}\rangle \right] + \mathrm{Hi}\left[ \langle\hat{N}+1\rangle \right] $$ जहां कार्यात्मक (गणित) $$T$$ पदानुक्रम समस्या के बिना योगदान का प्रतीक है और पदानुक्रमित (हाय) युग्मन के लिए कार्यात्मक का प्रतीक है $$\mathrm{Hi}[\langle\hat{N}+1\rangle]$$. चूँकि अपेक्षा मूल्यों के सभी स्तर वास्तविक कण संख्या तक गैर-शून्य हो सकते हैं, इस समीकरण को बिना किसी विचार के सीधे छोटा नहीं किया जा सकता है।

क्लस्टर की पुनरावर्ती परिभाषा
सहसंबद्ध समूहों की पहचान करने के बाद पदानुक्रम समस्या को व्यवस्थित रूप से छोटा किया जा सकता है। समूहों को पुनरावर्ती रूप से पहचानने के बाद सबसे सरल परिभाषाएँ अनुसरण की जाती हैं। सबसे निचले स्तर पर, किसी को एकल-कण अपेक्षा मूल्यों (एकल) का वर्ग मिलता है जो कि प्रतीक हैं $$\langle 1\rangle$$. कोई दो-कण अपेक्षा मान $$\langle 2 \rangle$$ गुणनखंडन द्वारा अनुमान लगाया जा सकता है $$\langle 2 \rangle_\mathrm{S} = \langle 1 \rangle \langle 1 \rangle$$ इसमें एकल-कण अपेक्षा मूल्यों के सभी संभावित उत्पादों पर एक औपचारिक योग शामिल है। आम तौर पर अधिक, $$\langle 1 \rangle$$ एकल को परिभाषित करता है और $$\langle N \rangle_\mathrm{S}$$ एक का एकल गुणनखंडन है $$N$$-कण अपेक्षा मूल्य. भौतिक रूप से, फरमिओन्स के बीच एकल गुणनखंडन हार्ट्री-फॉक विधि | हार्ट्री-फॉक सन्निकटन उत्पन्न करता है, जबकि बोसॉन के लिए यह शास्त्रीय यांत्रिकी उत्पन्न करता है#क्वांटम यांत्रिकी के लिए शास्त्रीय सन्निकटन जहां बोसोन ऑपरेटरों को औपचारिक रूप से एक सुसंगत आयाम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, यानी, $$\hat{B} \rightarrow \langle \hat{B} \rangle$$. एकल गुणनखंडन क्लस्टर-विस्तार प्रतिनिधित्व के पहले स्तर का गठन करता है।

का सहसंबद्ध भाग $$\langle 2 \rangle$$ तो वास्तविक का अंतर है $$\langle 2 \rangle$$ और एकल गुणनखंडन $$\langle 2 \rangle_\mathrm{S}$$. अधिक गणितीय रूप से, कोई पाता है

$$ \langle 2\rangle = \langle 2\rangle_\mathrm{S} + \Delta \langle 2\rangle $$ जहां $$\Delta$$ योगदान सहसंबद्ध भाग को दर्शाता है, अर्थात, $$\Delta \langle 2\rangle = \langle 2\rangle-\langle 2\rangle_\mathrm{S}$$. पहचान के अगले स्तर पुनरावर्ती रूप से अनुसरण करते हैं लगाने से

$$ \begin{align} \langle 3\rangle &= \langle 3\rangle_\mathrm{S} + \langle 1\rangle\ \Delta \langle 2\rangle +\Delta \langle 3\rangle \,,   \\ \langle N\rangle &=      \langle N\rangle_\mathrm{S} \\ &\quad+ \langle N-2\rangle_\mathrm{S}\ \Delta \langle 2\rangle   \\ &\quad+ \langle N-4\rangle_\mathrm{S}\ \Delta \langle 2\rangle\ \Delta \langle 2\rangle  +\dots\\ &\quad+ \langle N-3\rangle_\mathrm{S}\ \Delta \langle 3\rangle  \\ &\quad+ \langle N-5\rangle_\mathrm{S}\ \Delta \langle 3\rangle\ \Delta \langle 2\rangle  +\dots\\ &\quad+ \Delta\langle N\rangle\,, \end{align} $$ जहां प्रत्येक उत्पाद शब्द प्रतीकात्मक रूप से एक गुणनखंड का प्रतिनिधित्व करता है और इसमें पहचाने गए शब्दों के वर्ग के भीतर सभी गुणनखंडों का योग शामिल होता है। विशुद्ध रूप से सहसंबद्ध भाग को निरूपित किया जाता है $$\Delta\langle N\rangle$$. इनसे, दो-कण सहसंबंध $$\Delta \langle 2\rangle$$ तीन-कण सहसंबंध रखते हुए दोहरे निर्धारित करें $$\Delta \langle 3\rangle$$ त्रिक कहलाते हैं.

चूंकि यह पहचान पुनरावर्ती रूप से लागू की जाती है, कोई सीधे तौर पर पहचान सकता है कि पदानुक्रम समस्या में कौन से सहसंबंध दिखाई देते हैं। फिर कोई सहसंबंधों की क्वांटम गतिशीलता निर्धारित करता है, जिससे परिणाम मिलता है

$$ \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Delta \langle\hat{N}\rangle = \mathrm{T}\left[ \Delta \langle\hat{N}\rangle \right] + \mathrm{NL} \left[\langle\hat{1}\rangle, \Delta \langle\hat{2}\rangle,\cdots, \Delta \langle\hat{N}\rangle \right] + \mathrm{Hi}\left[ \Delta \langle\hat{N}+1\rangle \right]\,, $$ जहां गुणनखंड एक अरैखिक युग्मन उत्पन्न करते हैं $$\mathrm{NL} \left[ \cdots \right]$$ समूहों के बीच. जाहिर है, क्लस्टर का परिचय प्रत्यक्ष दृष्टिकोण की पदानुक्रम समस्या को दूर नहीं कर सकता क्योंकि पदानुक्रमित योगदान गतिशीलता में रहता है। यह संपत्ति और अरेखीय शब्दों की उपस्थिति क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण की प्रयोज्यता के लिए जटिलताओं का सुझाव देती प्रतीत होती है।

हालाँकि, प्रत्यक्ष अपेक्षा-मूल्य दृष्टिकोण में एक बड़े अंतर के रूप में, कई-निकाय और क्वांटम-ऑप्टिकल इंटरैक्शन दोनों क्रमिक रूप से सहसंबंध उत्पन्न करते हैं। कई प्रासंगिक समस्याओं में, वास्तव में एक ऐसी स्थिति होती है जहां केवल निम्नतम-क्रम वाले क्लस्टर शुरू में गायब नहीं होते हैं जबकि उच्च-क्रम वाले क्लस्टर धीरे-धीरे बनते हैं। इस स्थिति में, कोई पदानुक्रमित युग्मन को छोड़ सकता है, $$\mathrm{Hi}\left[ \Delta \langle\hat{C}+1\rangle \right]$$, स्तर से अधिक पर $$C$$-कण समूह. परिणामस्वरूप, समीकरण बंद हो जाते हैं और केवल गतिशीलता की गणना करने की आवश्यकता होती है $$C$$सिस्टम के प्रासंगिक गुणों को समझाने के लिए -कण सहसंबंध। तब से $$C$$ आमतौर पर समग्र कण संख्या की तुलना में बहुत छोटा होता है, क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण कई-निकाय और क्वांटम-ऑप्टिक्स जांच के लिए एक व्यावहारिक और व्यवस्थित समाधान योजना उत्पन्न करता है।

एक्सटेंशन
क्वांटम गतिशीलता का वर्णन करने के अलावा, कोई स्वाभाविक रूप से क्वांटम वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण को लागू कर सकता है। एक संभावना परिमाणित प्रकाश मोड के क्वांटम उतार-चढ़ाव का प्रतिनिधित्व करना है $$\hat{B}$$ क्लस्टर के संदर्भ में, क्लस्टर-विस्तार प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, कोई उन्हें अपेक्षा-मूल्य प्रतिनिधित्व के संदर्भ में व्यक्त कर सकता है $$\langle [\hat{B}^\dagger]^J \hat{B}^K \rangle$$. इस मामले में, कनेक्शन से $$\langle [\hat{B}^\dagger]^J \hat{B}^K \rangle$$ घनत्व मैट्रिक्स अद्वितीय है लेकिन इसके परिणामस्वरूप संख्यात्मक रूप से भिन्न श्रृंखला हो सकती है। क्लस्टर-विस्तार परिवर्तन (सीईटी) शुरू करके इस समस्या को हल किया जा सकता है यह गाऊसी के संदर्भ में वितरण का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे एकल-दोहरे योगदान द्वारा परिभाषित किया जाता है, एक बहुपद से गुणा किया जाता है, जो उच्च-क्रम समूहों द्वारा परिभाषित होता है। यह पता चलता है कि यह सूत्रीकरण प्रतिनिधित्व-से-प्रतिनिधित्व परिवर्तनों में अत्यधिक अभिसरण प्रदान करता है।

इस पूर्णतः गणितीय समस्या का प्रत्यक्ष भौतिक अनुप्रयोग है। शास्त्रीय माप को क्वांटम-ऑप्टिकल माप में मजबूती से प्रोजेक्ट करने के लिए क्लस्टर-विस्तार परिवर्तन को लागू किया जा सकता है। यह संपत्ति काफी हद तक सीईटी की किसी भी वितरण का उस रूप में वर्णन करने की क्षमता पर आधारित है जहां एक गाऊसी को बहुपद कारक से गुणा किया जाता है। इस तकनीक का उपयोग पहले से ही शास्त्रीय स्पेक्ट्रोस्कोपी माप के एक सेट से क्वांटम-ऑप्टिकल स्पेक्ट्रोस्कोपी तक पहुंचने और प्राप्त करने के लिए किया जा रहा है, जिसे उच्च गुणवत्ता वाले पराबैंगनीकिरण का उपयोग करके किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * बीबीजीकेवाई पदानुक्रम
 * क्वांटम-ऑप्टिकल स्पेक्ट्रोस्कोपी
 * सेमीकंडक्टर बलोच समीकरण
 * सेमीकंडक्टर ल्यूमिनसेंस समीकरण