विकासशील सतह

गणित में, एक विकासशील सतह (या टॉर्स: पुरातन) एक चिकनी सतह (गणित) है जिसमें शून्य गाऊसी वक्रता होती है। अर्थात्, यह एक ऐसी सतह है जो विरूपण के बिना समतल (गणित) पर समतल (गणित) हो सकती है (अर्थात इसे बिना खिंचाव या संपीड़न के मोड़ा जा सकता है)। इसके विपरीत, यह एक सतह है जिसे परिवर्तन (गणित) द्वारा एक विमान (यानी फोल्डिंग, बेंडिंग, रोलिंग, कटिंग और/या ग्लूइंग) द्वारा बनाया जा सकता है। तीन आयामों में सभी विकास योग्य सतहें शासित सतहें हैं (लेकिन इसके विपरीत नहीं)। चार आयामी अंतरिक्ष में विकास योग्य सतहें हैं $\mathbb{R}^4$ जिन पर शासन नहीं है। विमानों के एकल पैरामीटर परिवार के लिफाफे (गणित) को एक विकास योग्य सतह कहा जाता है।

विवरण
विकासशील सतहों को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में महसूस किया जा सकता है जिनमें सम्मिलित हैं:


 * सिलेंडर (ज्यामिति) और, आम तौर पर, सामान्यीकृत सिलेंडर; इसका क्रॉस सेक्शन (ज्यामिति) | क्रॉस-सेक्शन कोई भी चिकना फलन वक्र हो सकता है
 * शंकु (ज्यामिति) और, अधिक सामान्यतः, शंक्वाकार सतहें; शीर्ष से दूर (ज्यामिति)
 * oloid और गोलाकार ठोस (ज्यामिति) के एक विशेष परिवार के सदस्य हैं जो एक समतल तल पर लुढ़कने पर अपनी पूरी सतह विकसित कर लेते हैं।
 * विमान (तुच्छ); जिसे एक बेलन के रूप में देखा जा सकता है जिसका अनुप्रस्थ काट एक रेखा है (गणित)
 * स्पर्शरेखा विकास योग्य सतहें; जो एक स्थानिक वक्र की स्पर्शरेखा रेखाओं का विस्तार करके निर्मित होते हैं।
 * टोरस्र्स में एक मीट्रिक है जिसके तहत इसे विकसित किया जा सकता है, जिसे नैश एम्बेडिंग प्रमेय द्वारा त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एम्बेड किया जा सकता है और दो हलकों के कार्टेशियन उत्पाद के रूप में चार आयामों में एक सरल प्रतिनिधित्व है: क्लिफर्ड टोरस देखें।

औपचारिक रूप से, गणित में, एक विकासशील सतह शून्य गॉसियन वक्रता वाली सतह होती है। इसका एक परिणाम यह है कि 3डी-समष्टि में सन्निहित सभी विकास योग्य सतहें शासित सतहें हैं (हालांकि hyperboloid्स शासित सतहों के उदाहरण हैं जो विकास योग्य नहीं हैं)। इस वजह से, अंतरिक्ष में एक सीधी रेखा को स्थानांतरित करके बनाई गई सतह के रूप में कई विकासशील सतहें वैज्ञानिक दृश्य हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक रेखा के एक बिंदु (ज्यामिति)|अंत-बिंदु को स्थिर रखते हुए एक शंकु का निर्माण किया जाता है, जबकि दूसरे अंत-बिंदु को एक वृत्त में ले जाया जाता है।

आवेदन
विकासशील सतहों के कई व्यावहारिक अनुप्रयोग हैं।

विकास योग्य तंत्र ऐसे तंत्र हैं जो एक विकास योग्य सतह के अनुरूप होते हैं और सतह से गति (तैनाती) प्रदर्शित कर सकते हैं। कई नक्शानवीसी मानचित्र अनुमानों में पृथ्वी को एक विकास योग्य सतह पर प्रक्षेपित करना और फिर सतह को समतल पर एक क्षेत्र में खोलना सम्मिलित है।

चूंकि विकास योग्य सतहों का निर्माण एक सपाट शीट को झुकाकर किया जा सकता है, वे शीट धातु, नालीदार फाइबरबोर्ड और प्लाईवुड से वस्तुओं के निर्माण में भी महत्वपूर्ण हैं। एक उद्योग ([[धरतीशास्त्र)]] जो बड़े पैमाने पर विकसित सतहों का उपयोग करता है, जहाज निर्माण है।

गैर-विकासशील सतह
अधिकांश चिकनी सतहें (और सामान्य रूप से अधिकांश सतहें) विकास योग्य सतहें नहीं हैं। गैर-विकासशील सतहों को विभिन्न रूप से डबल वक्रता, दोगुनी घुमावदार, यौगिक वक्रता, गैर-शून्य गॉसियन वक्रता आदि के रूप में संदर्भित किया जाता है।

सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली गैर-विकासशील सतहों में से कुछ हैं:


 * गोले किसी भी मीट्रिक टेंसर के अंतर्गत विकसित करने योग्य सतह नहीं हैं क्योंकि उन्हें समतल पर नहीं उतारा जा सकता।
 * हेलिकॉइड एक शासित सतह है - लेकिन ऊपर उल्लिखित शासित सतहों के विपरीत, यह एक विकास योग्य सतह नहीं है।
 * अतिपरवलयिक परवलयज और अतिपरवलयज थोड़ी अलग दोहरी शासित सतहें हैं - लेकिन ऊपर वर्णित शासित सतहों के विपरीत, कोई भी एक विकास योग्य सतह नहीं है।

गैर-विकास योग्य सतहों के अनुप्रयोग
कई net्स और तन्य संरचनाएं और इसी तरह के निर्माण (किसी भी) दोगुने घुमावदार रूप का उपयोग करके ताकत हासिल करते हैं।

यह भी देखें

 * विकास (अंतर ज्यामिति)
 * विकास योग्य रोलर

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * चार आयामी समष्टि
 * अंक शास्त्र
 * गॉसियन वक्रता
 * समतलता (गणित)
 * विमान (गणित)
 * लिफाफा (गणित)
 * घन ज्यामिति)
 * शीर्ष (ज्यामिति)
 * रोलिंग
 * त्रि-आयामी समष्टि
 * रेखा (गणित)
 * स्पर्शरेखा विकास योग्य
 * घेरा
 * वैज्ञानिक दर्शन
 * विकासशील तंत्र
 * उत्पादन
 * धातू की चादर
 * नक्शा अनुमान
 * अतिशयोक्तिपूर्ण परवलयज
 * वृत्त
 * तन्यता संरचना
 * विकासशील रोलर

बाहरी संबंध

 * Examples of developable surfaces on the Rhino3DE website
 * Examples of developable surfaces on the Rhino3DE website