स्थिर सिद्धांत

मॉडल सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, एक सिद्धांत (गणितीय तर्क) को स्थिर कहा जाता है यदि यह अपनी जटिलता पर कुछ संयुक्त प्रतिबंधों को संतुष्ट करता है। स्थिर सिद्धांत मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय के प्रमाण में निहित हैं और सहारों शेलाह के वर्गीकरण सिद्धांत (मॉडल सिद्धांत) के हिस्से के रूप में बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया था, जिसने एक द्वंद्व दिखाया कि या तो एक सिद्धांत के मॉडल एक अच्छे वर्गीकरण को स्वीकार करते हैं या मॉडल बहुत अधिक हैं। उचित वर्गीकरण की कोई आशा। इस कार्यक्रम का पहला चरण यह दर्शा रहा था कि यदि कोई सिद्धांत स्थिर नहीं है तो उसके मॉडल वर्गीकृत करने के लिए बहुत अधिक हैं।

1970 से 1990 के दशक तक स्थिर सिद्धांत शुद्ध मॉडल सिद्धांत का प्रमुख विषय थे, इसलिए उनके अध्ययन ने आधुनिक मॉडल सिद्धांत को आकार दिया और उनका विश्लेषण करने के लिए एक समृद्ध रूपरेखा और उपकरणों का सेट मौजूद है। मॉडल सिद्धांत में एक प्रमुख दिशा नवस्थिरता सिद्धांत है, जो स्थिरता सिद्धांत की अवधारणाओं को सरल सिद्धांतों और एनआईपी (मॉडल सिद्धांत) सिद्धांतों जैसे व्यापक संदर्भों में सामान्यीकृत करने का प्रयास करता है।

प्रेरणा और इतिहास
मॉडल सिद्धांत में एक सामान्य लक्ष्य अपने मॉडलों में (पैरामीटर) निश्चित सेट के बूलियन बीजगणित की जटिलता का विश्लेषण करके प्रथम-क्रम तर्क | प्रथम-क्रम सिद्धांत का अध्ययन करना है। कोई इन बूलियन बीजगणित के स्टोन द्वंद्व की जटिलता का समान रूप से विश्लेषण कर सकता है, जो प्रकार (मॉडल सिद्धांत) स्थान हैं। स्थिरता इस प्रकार के स्थानों की प्रमुखताओं को सीमित करके उनकी जटिलता को सीमित करती है। चूंकि प्रकार किसी सिद्धांत के मॉडल में तत्वों के संभावित व्यवहार का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए प्रकारों की संख्या सीमित करने से इन मॉडलों की जटिलता सीमित हो जाती है। स्थिरता सिद्धांत की जड़ें माइकल डी. मॉर्ले के 1965 में स्पष्ट सिद्धांतों पर लोस के अनुमान के प्रमाण में हैं। इस प्रमाण में, मुख्य धारणा पूरी तरह से पारलौकिक सिद्धांत की थी, जिसे टाइप स्पेस की टोपोलॉजिकल जटिलता को सीमित करके परिभाषित किया गया था। हालाँकि, मॉर्ले ने दिखाया कि (गणनीय सिद्धांतों के लिए) यह टोपोलॉजिकल प्रतिबंध कार्डिनैलिटी प्रतिबंध के बराबर है, स्थिरता का एक मजबूत रूप जिसे अब कहा जाता है $$\omega$$-स्थिरता, और उन्होंने इस तुल्यता का महत्वपूर्ण उपयोग किया। मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय को अनगिनत सिद्धांतों के सामान्यीकरण के क्रम में, फ्रेडरिक रोबॉटम ने सामान्यीकृत किया $$\omega$$-परिचय द्वारा स्थिरता $$\kappa$$-कुछ कार्डिनल के लिए स्थिर सिद्धांत $$\kappa$$, और अंततः शेला ने स्थिर सिद्धांत पेश किए। शेला के वर्गीकरण सिद्धांत कार्यक्रम के दौरान स्थिरता सिद्धांत को और अधिक विकसित किया गया था। इस कार्यक्रम का मुख्य लक्ष्य एक द्वंद्व दिखाना था कि या तो प्रथम-क्रम सिद्धांत के मॉडल को कार्डिनल-इनवेरिएंट के पेड़ का उपयोग करके आइसोमोर्फिज्म तक अच्छी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, उनके आयाम (वेक्टर स्पेस) द्वारा एक निश्चित फ़ील्ड (गणित) पर वेक्टर रिक्त स्थान का वर्गीकरण), या इतने जटिल हैं कि कोई उचित वर्गीकरण संभव नहीं है। इस वर्गीकरण सिद्धांत के ठोस परिणामों में एक सिद्धांत के संभावित स्पेक्ट्रम पर प्रमेय थे, जिसमें कार्डिनैलिटी के मॉडल की संख्या की गणना की गई थी $$\kappa$$ के एक समारोह के रूप में $$\kappa$$. शेला का दृष्टिकोण सिद्धांतों के लिए विभाजन रेखाओं की एक श्रृंखला की पहचान करना था। विभाजन रेखा एक सिद्धांत का ऐसा गुण है कि इसके और इसके निषेध दोनों के मजबूत संरचनात्मक परिणाम होते हैं; एक को यह मानना ​​चाहिए कि सिद्धांत के मॉडल अराजक हैं, जबकि दूसरे को एक सकारात्मक संरचना सिद्धांत प्राप्त करना चाहिए। वर्गीकरण सिद्धांत कार्यक्रम में स्थिरता पहली ऐसी विभाजन रेखा थी, और चूंकि इसकी विफलता किसी भी उचित वर्गीकरण को खारिज करने में दिखाई गई थी, इसलिए आगे के सभी कार्य सिद्धांत को स्थिर मान सकते थे। इस प्रकार अधिकांश वर्गीकरण सिद्धांत स्थिर सिद्धांतों और आगे की विभाजन रेखाओं, जैसे Stability_spectrum#Superstable_theories द्वारा दिए गए स्थिर सिद्धांतों के विभिन्न उपसमूहों का विश्लेषण करने से संबंधित था।

शेला द्वारा विकसित स्थिर सिद्धांतों की प्रमुख विशेषताओं में से एक यह है कि वे स्वतंत्रता की एक सामान्य धारणा को स्वीकार करते हैं जिसे फोर्किंग विस्तार  कहा जाता है। गैर-फोर्किंग स्वतंत्रता, वेक्टर रिक्त स्थान से रैखिक स्वतंत्रता और क्षेत्र सिद्धांत से बीजगणितीय स्वतंत्रता को सामान्यीकृत करना। यद्यपि गैर-फोर्किंग स्वतंत्रता मनमाने सिद्धांतों में समझ में आती है, और स्थिर सिद्धांतों से परे एक महत्वपूर्ण उपकरण बनी हुई है, इसमें स्थिर सिद्धांतों में विशेष रूप से अच्छे ज्यामितीय और संयोजक गुण हैं। रैखिक स्वतंत्रता की तरह, यह स्वतंत्र सेटों और स्थानीय आयामों की परिभाषा को इन स्वतंत्र सेटों के अधिकतम उदाहरणों की कार्डिनैलिटी के रूप में परिभाषित करने की अनुमति देता है, जो अतिरिक्त परिकल्पनाओं के तहत अच्छी तरह से परिभाषित हैं। ये स्थानीय आयाम तब आइसोमोर्फिज्म तक मॉडल को वर्गीकृत करने वाले कार्डिनल-इनवेरिएंट को जन्म देते हैं।

परिभाषा और वैकल्पिक लक्षण
मान लीजिए कि T एक पूर्णता (तर्क) प्रथम-क्रम सिद्धांत है।

किसी दिए गए अनंत कार्डिनल के लिए $$\kappa$$, टी है$$\kappa$$-कार्डिनैलिटी के प्रत्येक सेट ए के लिए स्थिर $$\kappa$$ टी के एक मॉडल में, ए के ऊपर पूर्ण प्रकार के सेट एस (ए) में भी कार्डिनैलिटी होती है $$\kappa$$. यह S(A) की सबसे छोटी कार्डिनैलिटी है, जबकि यह इतनी बड़ी भी हो सकती है $$2^\kappa$$. मामले के लिए $$\kappa = \aleph_0$$, यह कहना आम बात है कि T है$$\omega$$-बल्कि स्थिर $$\aleph_0$$-स्थिर। यदि टी 'स्थिर' है $$\kappa$$-कुछ अनंत कार्डिनल के लिए स्थिर $$\kappa$$. कार्डिनलों पर प्रतिबंध $$\kappa$$ जिसके लिए एक सिद्धांत एक साथ हो सकता है $$\kappa$$-स्थिरता को स्थिरता स्पेक्ट्रम द्वारा वर्णित किया गया है, जो सुपरस्टेबल सिद्धांतों के सम-संयमी उपसमुच्चय को अलग करता है।

स्थिर सिद्धांतों की एक सामान्य वैकल्पिक परिभाषा यह है कि उनके पास ऑर्डर संपत्ति नहीं है। यदि कोई सूत्र है तो सिद्धांत में ऑर्डर गुण होता है $$\phi(\bar x, \bar y)$$ और टुपल्स के दो अनंत क्रम $$A= (\bar a_i: i \in \mathbb N)$$, $$B= (\bar b_j: j \in \mathbb N)$$ कुछ मॉडल एम में ऐसा है $$\phi$$ पर एक अनंत आधे ग्राफ़ को परिभाषित करता है $$A \times B$$, अर्थात। $$\phi(\bar a_i, \bar b_j)$$ एम में सत्य है $$\iff i \leq j$$. यह एक सूत्र होने के बराबर है $$\psi(\bar x, \bar y)$$ और टुपल्स का एक अनंत क्रम $$A= (\bar a_i: i \in \mathbb N)$$ कुछ मॉडल एम में ऐसा है $$\psi$$ A पर एक अनंत रैखिक क्रम को परिभाषित करता है, अर्थात $$\psi(\bar a_i, \bar a_j)$$ एम में सत्य है $$\iff i \leq j$$.

स्थिरता की और भी कई विशेषताएँ हैं। मॉर्ले के पूरी तरह से ट्रान्सेंडैंटल सिद्धांतों के साथ, स्थिरता की कार्डिनैलिटी प्रतिबंध कैंटर-बेंडिक्सन रैंक के संदर्भ में टाइप स्पेस की टोपोलॉजिकल जटिलता को सीमित करने के बराबर हैं। एक अन्य लक्षण वर्णन उन गुणों के माध्यम से है जो गैर-फोर्किंग स्वतंत्रता स्थिर सिद्धांतों में होती है, जैसे कि सममित होना। यह इस अर्थ में स्थिरता की विशेषता है कि इनमें से कुछ गुणों को संतुष्ट करने वाले अमूर्त स्वतंत्रता संबंध वाला कोई भी सिद्धांत स्थिर होना चाहिए और स्वतंत्रता संबंध गैर-विभाजनकारी स्वतंत्रता होना चाहिए। अमूर्त स्वतंत्रता संबंध को छोड़कर, इनमें से किसी भी परिभाषा का उपयोग यह परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है कि किसी दिए गए सिद्धांत टी में एकल सूत्र के स्थिर होने का क्या मतलब है। तब टी को स्थिर होने के रूप में परिभाषित किया जा सकता है यदि प्रत्येक सूत्र टी में स्थिर है। स्थिर सूत्रों में परिणामों का स्थानीयकरण इन परिणामों को अस्थिर सिद्धांतों में स्थिर सूत्रों पर लागू करने की अनुमति देता है, और एकल सूत्रों के लिए यह स्थानीयकरण अक्सर स्थिर सिद्धांतों के मामले में भी उपयोगी होता है।

उदाहरण और गैर-उदाहरण
एक अस्थिर सिद्धांत के लिए, अंतिम बिंदुओं के बिना सघन क्रम के सिद्धांत डीएलओ पर विचार करें। तब परमाणु सूत्र क्रम संबंध में क्रम गुण होता है। वैकल्पिक रूप से, एक सेट ए पर अवास्तविक 1-प्रकार ए के क्रम में कटौती (सामान्यीकृत डेडेकाइंड कटौती, इस आवश्यकता के बिना कि दोनों सेट गैर-खाली हों और निचले सेट में कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं है) के अनुरूप हैं, और किसी भी प्रमुखता के सघन आदेश मौजूद हैं $$\kappa$$ साथ $$2^\kappa$$-कई कट. एक अन्य अस्थिर सिद्धांत राडो ग्राफ़ का सिद्धांत है, जहां परमाणु किनारे संबंध में ऑर्डर संपत्ति होती है। एक स्थिर सिद्धांत के लिए, सिद्धांत पर विचार करें $$ACF_p$$ विशेषता (बीजगणित) पी के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों की अनुमति $$p=0$$. फिर यदि K का एक मॉडल है $$ACF_p$$, एक सेट पर प्रकार की गिनती $$A \subset K$$ K में A द्वारा उत्पन्न फ़ील्ड k पर प्रकारों की गिनती के बराबर है। k के ऊपर n-प्रकार के स्थान से बहुपद वलय में अभाज्य आदर्शों के स्थान तक एक (निरंतर) आक्षेप है $$k[X_1, \dots, X_n]$$. चूँकि ऐसे आदर्श सीमित रूप से उत्पन्न होते हैं, केवल होते हैं $$|k| + \aleph_0$$ बहुत, तो $$ACF_p$$ है $$\kappa$$-सभी अनंत के लिए स्थिर $$\kappa$$. स्थिर सिद्धांतों के कुछ और उदाहरण नीचे सूचीबद्ध हैं।


 * एक रिंग पर किसी मॉड्यूल (गणित) का सिद्धांत (विशेष रूप से, वेक्टर रिक्त स्थान या एबेलियन समूहों का कोई सिद्धांत)।
 * गैर-एबेलियन मुक्त समूहों का सिद्धांत।
 * विशेषता पी के विभेदित रूप से बंद क्षेत्रों का सिद्धांत। कब $$p=0$$, सिद्धांत है $$\omega$$-स्थिर।
 * किसी भी सघन ग्राफ़ वर्ग का सिद्धांत। इनमें परिबद्ध विस्तार के साथ ग्राफ़ वर्ग शामिल हैं, जिसमें बदले में समतल ग्राफ़ और परिबद्ध डिग्री का कोई भी ग्राफ़ वर्ग शामिल है।

ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत
ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत का संबंध मॉडलों में स्थानीय ज्यामिति के सूक्ष्म विश्लेषण और उनके गुण वैश्विक संरचना को कैसे प्रभावित करते हैं, से है। परिणामों की यह रेखा बाद में स्थिरता सिद्धांत के विभिन्न अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण थी, उदाहरण के लिए डायोफैंटाइन ज्यामिति के लिए। आमतौर पर इसकी शुरुआत 1970 के दशक के अंत में बोरिस ज़िल्बर के पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांतों के विश्लेषण से मानी जाती है, जो अंततः दिखाती है कि वे प्राथमिक वर्ग#परिभाषा नहीं हैं। पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांत के प्रत्येक मॉडल को एक दृढ़ता से न्यूनतम सेट द्वारा नियंत्रित किया जाता है (यानी प्रमुख मॉडल  और न्यूनतम ओवर है), जो एक matroid संरचना रखता है (मॉडल-सैद्धांतिक) बीजगणितीय सूत्र (मॉडल सिद्धांत) द्वारा निर्धारित किया जाता है जो स्वतंत्रता और आयाम की धारणा देता है। इस सेटिंग में, ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत तब स्थानीय प्रश्न पूछता है कि दृढ़ता से न्यूनतम सेट की संरचना के लिए क्या संभावनाएं हैं, और स्थानीय-से-वैश्विक प्रश्न पूछता है कि दृढ़ता से न्यूनतम सेट पूरे मॉडल को कैसे नियंत्रित करता है। दूसरे प्रश्न का उत्तर ज़िल्बर की सीढ़ी प्रमेय द्वारा दिया गया है, जिसमें दिखाया गया है कि पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांत का प्रत्येक मॉडल दृढ़ता से न्यूनतम सेट पर निश्चित फाइबर बंडलों जैसी किसी चीज़ के एक सीमित अनुक्रम द्वारा बनाया गया है। पहले प्रश्न के लिए, ज़िल्बर का ट्राइकोटॉमी अनुमान यह था कि दृढ़ता से न्यूनतम सेट की ज्यामिति या तो बिना किसी संरचना वाले सेट की तरह होनी चाहिए, या सेट को अनिवार्य रूप से वेक्टर स्पेस की संरचना, या बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड की संरचना को ले जाना चाहिए, पहले दो मामलों को स्थानीय रूप से मॉड्यूलर कहा जाता है। यह अनुमान दो केंद्रीय विषयों को दर्शाता है। सबसे पहले, वह (स्थानीय) प्रतिरूपकता बीजीय ज्यामिति की तरह संयोजनात्मक या रैखिक व्यवहार को गैर-रेखीय, ज्यामितीय जटिलता से विभाजित करने का कार्य करती है। दूसरा, जटिल संयोजक ज्यामिति आवश्यक रूप से बीजगणितीय वस्तुओं से आती है; यह प्रक्षेप्य तल की शास्त्रीय समस्या के समान है#घटनाओं द्वारा परिभाषित एक अमूर्त प्रक्षेप्य तल के लिए सामान्यीकृत निर्देशांक, और आगे के उदाहरण समूह विन्यास प्रमेय हैं जो दिखाते हैं कि तत्वों के बीच कुछ संयुक्त निर्भरताएँ एक निश्चित समूह में गुणन से उत्पन्न होनी चाहिए। प्रतिच्छेदन सिद्धांत जैसे न्यूनतम सेटों में बीजगणितीय ज्यामिति के कुछ हिस्सों के एनालॉग विकसित करके, ज़िल्बर ने अनगिनत श्रेणीबद्ध सिद्धांतों के लिए ट्राइकोटॉमी अनुमान का एक कमजोर रूप साबित किया। हालाँकि एहुद ह्रुशोव्स्की ने पूर्ण अनुमान को गलत साबित करने के लिए ह्रुशोव्स्की निर्माण विकसित किया, बाद में इसे ज़ारिस्की ज्यामिति की सेटिंग में अतिरिक्त परिकल्पनाओं के साथ साबित किया गया। शेला के वर्गीकरण कार्यक्रम की धारणाएँ, जैसे कि नियमित प्रकार, फोर्किंग और ऑर्थोगोनैलिटी, ने इन विचारों को अधिक व्यापकता तक ले जाने की अनुमति दी, विशेष रूप से सुपरस्टेबल सिद्धांतों में। यहां, नियमित प्रकारों द्वारा परिभाषित सेट दृढ़ता से न्यूनतम सेट की भूमिका निभाते हैं, उनकी स्थानीय ज्यामिति बीजगणितीय निर्भरता के बजाय फोर्किंग निर्भरता द्वारा निर्धारित होती है। पूरी तरह से श्रेणीबद्ध सिद्धांत के एकल दृढ़ता से न्यूनतम सेट नियंत्रण मॉडल के स्थान पर, नियमित प्रकारों द्वारा परिभाषित कई ऐसी स्थानीय ज्यामिति हो सकती हैं, और ऑर्थोगोनैलिटी तब वर्णन करती है जब इन प्रकारों में कोई बातचीत नहीं होती है।

अनुप्रयोग
जबकि स्थिर सिद्धांत मॉडल सिद्धांत में मौलिक हैं, यह खंड गणित के अन्य क्षेत्रों में स्थिर सिद्धांतों के अनुप्रयोगों को सूचीबद्ध करता है। इस सूची का लक्ष्य संपूर्णता नहीं है, बल्कि व्यापकता की भावना है।


 * चूंकि विशेषता 0 के विभेदित रूप से बंद क्षेत्रों का सिद्धांत है $$\omega$$-स्थिर, विभेदक बीजगणित में स्थिरता सिद्धांत के कई अनुप्रयोग हैं। उदाहरण के लिए, ऐसे क्षेत्र के विभेदक समापन (बीजगणितीय समापन का एक एनालॉग) के अस्तित्व और विशिष्टता को क्रमशः प्राइम मॉडल पर सामान्य परिणामों का उपयोग करके लेनोर ब्लम और शेला द्वारा सिद्ध किया गया था। $$\omega$$-स्थिर सिद्धांत.
 * डायोफैंटाइन ज्यामिति में, एहुद ह्रुशोवस्की ने सभी विशेषताओं में फ़ंक्शन फ़ील्ड के लिए मोर्डेल-लैंग अनुमान को साबित करने के लिए ज्यामितीय स्थिरता सिद्धांत का उपयोग किया, जो वक्रों पर तर्कसंगत बिंदुओं की गिनती के बारे में फाल्टिंग्स के प्रमेय और वक्रों पर मरोड़ बिंदुओं की गिनती के बारे में मैनिन-ममफोर्ड अनुमान को सामान्य बनाता है। प्रमाण में मुख्य बिंदु कुछ अंकगणितीय रूप से परिभाषित समूहों को स्थानीय रूप से मॉड्यूलर दिखाने के लिए विभेदक क्षेत्रों में ज़िल्बर की ट्राइकोटॉमी का उपयोग करना था।
 * ऑनलाइन मशीन लर्निंग में, कॉन्सेप्ट क्लास का लिटिलस्टोन आयाम सीखने की क्षमता को दर्शाने वाला एक जटिलता माप है, जो पीएसी सीखना में वीसी-आयाम के अनुरूप है। एक अवधारणा वर्ग के लिटलस्टोन आयाम को बांधना बाइनरी पेड़ों को शामिल करते हुए स्थिरता के संयोजन लक्षण वर्णन के बराबर है। उदाहरण के लिए, इस समतुल्यता का उपयोग यह साबित करने के लिए किया गया है कि एक अवधारणा वर्ग की ऑनलाइन सीखने की क्षमता विभेदक गोपनीयता पीएसी सीखने की क्षमता के बराबर है।
 * कार्यात्मक विश्लेषण में, जीन-लुई क्रिविन और बर्नार्ड मौरे ने बानाच रिक्त स्थान के लिए स्थिरता की धारणा को परिभाषित किया, जो यह बताने के बराबर है कि किसी भी क्वांटिफायर-मुक्त सूत्र में ऑर्डर प्रॉपर्टी नहीं है (प्रथम-क्रम तर्क के बजाय निरंतर तर्क में)। फिर उन्होंने दिखाया कि प्रत्येक स्थिर बानाच स्थान Sequence_space#ℓp_spaces| के लगभग-आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग को स्वीकार करता है।$ℓ$ कुछ के लिए $$p \in [1, \infty)$$. यह कार्यात्मक विश्लेषण और सतत तर्क में स्थिरता के बीच व्यापक परस्पर क्रिया का हिस्सा है; उदाहरण के लिए, कार्यात्मक विश्लेषण में अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक के शुरुआती परिणामों की व्याख्या स्थिरता सिद्धांत के मौलिक परिणामों के बराबर की जा सकती है।
 * एक गणनीय (संभवतः परिमित) संरचना अतिसजातीय होती है यदि प्रत्येक परिमित आंशिक ऑटोमोर्फिज्म पूर्ण संरचना के ऑटोमोर्फिज्म तक विस्तारित होता है। ग्रेगरी चेरलिन और एलिस्टेयर लाचलान ने सभी परिमित संरचनाओं सहित स्थिर अल्ट्राहोमोजीनस संरचनाओं के लिए एक सामान्य वर्गीकरण सिद्धांत प्रदान किया। विशेष रूप से, उनके परिणाम बताते हैं कि किसी भी निश्चित परिमित संबंधपरक भाषा के लिए, परिमित सजातीय संरचनाएं संख्यात्मक अपरिवर्तनवादियों और परिमित रूप से कई छिटपुट उदाहरणों द्वारा पैरामीट्रिज किए गए सदस्यों के साथ कई अनंत परिवारों में आती हैं। इसके अलावा, प्रत्येक छिटपुट उदाहरण किसी समृद्ध भाषा में एक अनंत परिवार का हिस्सा बन जाता है, और नए छिटपुट उदाहरण हमेशा उपयुक्त रूप से समृद्ध भाषाओं में दिखाई देते हैं।
 * अंकगणित कॉम्बिनेटरिक्स में, ह्रुशोव्स्की ने अनुमानित समूह की संरचना पर परिणाम साबित किए, उदाहरण के लिए बहुपद वृद्धि के समूहों पर ग्रोमोव के प्रमेय का एक मजबूत संस्करण प्रस्तुत किया। हालाँकि इसमें सीधे तौर पर स्थिर सिद्धांतों का उपयोग नहीं किया गया था, मुख्य अंतर्दृष्टि यह थी कि स्थिर समूह सिद्धांत के मौलिक परिणामों को सामान्यीकृत किया जा सकता था और इस सेटिंग में लागू किया जा सकता था। इसने सीधे अनुमानित उपसमूहों को वर्गीकृत करने वाले Approximate_group#Classification_of_approximate_subgroups|Bruillard-Green-Tao प्रमेय को जन्म दिया।

सामान्यीकरण
इसकी शुरूआत के बाद लगभग बीस वर्षों तक, स्थिरता शुद्ध मॉडल सिद्धांत का मुख्य विषय था। आधुनिक शुद्ध मॉडल सिद्धांत की एक केंद्रीय दिशा, जिसे कभी-कभी नवस्थिरता या वर्गीकरण सिद्धांत भी कहा जाता है,इसमें स्थिर सिद्धांतों के लिए विकसित अवधारणाओं और तकनीकों को सिद्धांतों के व्यापक वर्गों में सामान्यीकृत करना शामिल है, और इसने मॉडल सिद्धांत के कई हालिया अनुप्रयोगों को शामिल किया है। ऐसे व्यापक वर्गों के दो उल्लेखनीय उदाहरण सरल और एनआईपी सिद्धांत हैं। ये स्थिर सिद्धांतों के ऑर्थोगोनल सामान्यीकरण हैं, क्योंकि एक सिद्धांत सरल और एनआईपी दोनों है यदि और केवल अगर यह स्थिर है। मोटे तौर पर, एनआईपी सिद्धांत स्थिर सिद्धांतों से अच्छे संयोजन व्यवहार को बनाए रखते हैं, जबकि सरल सिद्धांत गैर-फोर्किंग स्वतंत्रता के अच्छे ज्यामितीय व्यवहार को बनाए रखते हैं। विशेष रूप से, सरल सिद्धांतों को गैर-फोर्किंग स्वतंत्रता के सममित होने की विशेषता दी जा सकती है, जबकि एनआईपी को किसी भी परिमित पर प्राप्त प्रकारों की संख्या को सीमित करके चित्रित किया जा सकता है या अनंत सेट.

सामान्यीकरण की एक अन्य दिशा पूर्ण प्रथम-क्रम सिद्धांतों की स्थापना से परे वर्गीकरण सिद्धांत को दोहराना है, जैसे कि अमूर्त प्रारंभिक कक्षाओं में।

यह भी देखें

 * स्थिरता स्पेक्ट्रम
 * एक सिद्धांत का स्पेक्ट्रम
 * मॉर्ले की श्रेणीबद्धता प्रमेय
 * एनआईपी (मॉडल सिद्धांत)

बाहरी संबंध

 * A map of the model-theoretic classification of theories, highlighting stability
 * Two book reviews discussing stability and classification theory for non-model theorists: Fundamentals of Stability Theory and Classification Theory
 * An overview of (geometric) stability theory for non-model theorists