सीमा-संरक्षण कार्य (आदेश सिद्धांत)

सीमा-संरक्षण कार्य या आदेश सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, अधिकांशतः फलन (गणित) के बारे में बात की जाती है जो कुछ सीमाओं को अर्थात कुछ सर्वोच्च या अनंत सीमाओं को संरक्षित करने में सहायक होता हैं। मुख्यतः ऐसे फलन किसी समुच्चय के सुप्रीम/इन्फ़िमम को समुच्चय की छवि के सुप्रीम/इन्फ़िमम में मैप करते हैं। इस प्रकार समुच्चय के प्रकार के आधार पर जिसके लिए कोई फलन इस मान को संतुष्ट करता है, यह परिमित, निर्देशित, गैर-रिक्त, या सिर्फ अंतिम या सबसे कम स्थिति को संरक्षित करता है। इनमें से प्रत्येक आवश्यकता क्रम सिद्धांत के कई क्षेत्रों में स्वाभाविक रूप से और बार-बार दिखाई देती है, और इस प्रकार इन अवधारणाओं और मोनोटोनिक फलन जैसी अन्य धारणाओं के बीच विभिन्न महत्वपूर्ण संबंध हैं। इस प्रकार यदि सीमा संरक्षण का निहितार्थ व्युत्क्रम है, जैसे कि किसी फलन की सीमा में उपयुक्त सीमाओं का अस्तित्व डोमेन में सीमाओं के अस्तित्व को दर्शाता है, तो व्यक्ति को ऐसे फलन प्राप्त होते हैं जो सीमा-प्रतिबिंबित होते हैं।

इस लेख का उद्देश्य इन मौलिक अवधारणाओं की परिभाषा को स्पष्ट करना है, जो आवश्यक है क्योंकि इस बिंदु पर साहित्य सदैव सुसंगत नहीं होता है, और इन स्थितियों पर सामान्य परिणाम और स्पष्टीकरण देना है।

पृष्ठभूमि और प्रेरणा
ऑर्डर सिद्धांत के कई विशिष्ट क्षेत्रों में, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चयों की कक्षाओं को प्रतिबंधित किया जाता है, जो कुछ सीमा निर्माणों के संबंध में पूर्णता ऑर्डर सिद्धांत का प्रयोग करता हैं। उदाहरण के लिए किसी क्रम में उन आदेशों में रुचि होती है, जहां सभी परिमित गैर-रिक्त समुच्चयों में न्यूनतम ऊपरी सीमा और सबसे बड़ी निचली सीमा दोनों होती हैं। इसके कारण दूसरी ओर डोमेन सिद्धांत में, आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए समुच्चय पर ध्यान केंद्रित किया जाता है, जिसमें इस प्रकार प्रत्येक निर्देशित समुच्चय का सर्वोच्च होता है। इस प्रकार कम से कम तत्व के लिए इन्फ़िमम के साथ पूर्ण और ऑर्डर आगे के उदाहरण प्रदान करते हैं।

इन सभी स्थितियों में, सीमाएँ सिद्धांतों के लिए केंद्रीय भूमिका निभाती हैं, जो प्रत्येक अनुशासन के व्यावहारिक अनुप्रयोगों में उनकी व्याख्याओं द्वारा समर्थित होती हैं। ऐसे आदेशों के बीच उचित मैपिंग निर्दिष्ट करने में भी रुचि है। इस प्रकार सार्वभौमिक बीजगणित दृष्टिकोण से, इसका अर्थ यह है कि कोई व्यक्ति विचाराधीन संरचनाओं के लिए समरूपता की पर्याप्त धारणाएँ खोजना चाहता है। यह उन कार्यों पर विचार करके प्राप्त किया जाता है जो उन निर्माणों के अनुकूल हैं जो संबंधित आदेशों की विशेषता हैं। उदाहरण के लिए, क्रम समरूपताएं ऐसे फलन हैं जो गैर-रिक्त परिमित इन्फ़िमम और इनफिमा को संरक्षित करते हैं, अर्थात दो तत्वों के सुप्रीम/इन्फ़िमम की छवि उनकी प्रतिबिम्बों का सिर्फ सुप्रीम/इन्फ़िमम है। इस प्रकार डोमेन सिद्धांत में, व्यक्ति अधिकांशतः तथाकथित स्कॉट-निरंतर कार्यों से निपटता है, जो इस प्रकार सभी निर्देशित सर्वोच्चता को संरक्षित करते हैं।

नीचे दी गई परिभाषाओं और शब्दावली की पृष्ठभूमि श्रेणी सिद्धांत में पाई जाती है, जहां सीमा (श्रेणी सिद्धांत) (और सह-सीमाएं) को अधिक सामान्य अर्थ में माना जाता है। इस प्रकार 'सीमा-संरक्षण' और 'सीमा-प्रतिबिंबित' फलनलर्स की श्रेणीबद्ध अवधारणा ऑर्डर सिद्धांत के साथ पूर्ण सामंजस्य में है, क्योंकि इस प्रकार ऑर्डर को परिभाषित अतिरिक्त संरचना के साथ पॉसमुच्चय श्रेणियों के रूप में परिभाषित छोटी श्रेणियों के रूप में माना जा सकता है।

औपचारिक परिभाषा
दो आंशिक रूप से क्रमित समुच्चय P और Q और P से Q तक फलन f पर विचार करें। इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि S, P का उपसमुच्चय है, जिसकी न्यूनतम ऊपरी सीमा s है। यदि इस प्रकार समुच्चय f(S) = {f(x) या S में x की Q में न्यूनतम ऊपरी सीमा है जो f(s) के बराबर है।
 * F(Super S) = Super F(S)

इस परिभाषा में दो आवश्यकताएँ सम्मिलित हैं: समुच्चय f(S) का सर्वोच्च उपस्थित है, और यह f(s) के बराबर है। यह उपर्युक्त श्रेणी सिद्धांत के समानांतर है, अपितु साहित्य में सदैव इसकी आवश्यकता नहीं होती है। वास्तव मे कुछ इस प्रकार स्थितियों में केवल उपस्थिता इन्फ़िमम को f(s) के बराबर करने की आवश्यकता की परिभाषा को कमजोर कर दिया जाता है। चूंकि इस प्रकार विकिपीडिया ऊपर दी गई सामान्य धारणा के साथ काम करता है और यदि आवश्यक हो तो अन्य शर्तों को स्पष्ट रूप से बताता है।

ऊपर दी गई मौलिक परिभाषा से, उपयोगी गुणों की विस्तृत श्रृंखला प्राप्त की जा सकती है। आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय P और Q के बीच फलन F को परिमित, गैर-रिक्त, निर्देशित, या इन्फ़िमम को संरक्षित करने के लिए कहा जाता है, यदि यह क्रमशः सभी परिमित, गैर-रिक्त, निर्देशित, या समुच्चयों के इन्फ़िमम को संरक्षित करता है। गैर-रिक्त परिमित सर्वोच्चता के संरक्षण को पहचान f(x v y) = f(x) v f(y) द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है, जो इस प्रकार सभी तत्वों x और y के लिए है, जहां हम v को दोनों आदेशों पर कुल कार्य मानते हैं।

द्वैत (आदेश सिद्धांत) तरीके से, व्यक्ति इन्फिमा के संरक्षण के लिए गुणों को परिभाषित करता है।

सीमाओं के संरक्षण की विपरीत स्थिति को परावर्तन कहा जाता है। उपरोक्त के अनुसार फलन f और P के उपसमुच्चय S पर विचार करें, जैसे कि समर्थन f(S) Q में उपस्थित है और P के कुछ तत्वों के लिए f(s) के बराबर है। फिर यदि समर्थन S है तो f, S के सर्वोच्च को 'प्रतिबिंबित' करता है, जो इसमें उपस्थित है और यह मुख्य रूप से S के बराबर है। जैसा कि संरक्षण के लिए पहले ही प्रदर्शित किया जा चुका है, इस प्रकार समुच्चय S के कुछ वर्गों पर विचार करके और इनफिमा की परिभाषा को दोहराकर कई अतिरिक्त गुण प्राप्त करता है।

विशेष स्थिति
उपरोक्त योजना से प्राप्त कुछ विशेष स्थिति या गुण अन्य नामों से जाने जाते हैं या आदेश सिद्धांत के कुछ क्षेत्रों के लिए विशेष महत्व रखते हैं। उदाहरण के लिए, वे फलन जो खाली इन्फ़िमम को संरक्षित करते हैं वे वे होते हैं जो सबसे कम तत्व को संरक्षित करते हैं। इसके अतिरिक्त, पहले बताई गई प्रेरणा के कारण, कई सीमा-संरक्षण कार्य कुछ ऑर्डर संरचनाओं के लिए विशेष समरूपता के रूप में दिखाई देते हैं। इस प्रकार कुछ अन्य प्रमुख स्थिति नीचे दिये गये हैं।

सभी सीमाओं का संरक्षण
यह स्थिति तब उत्पन्न होती है जब कोई फलन 'सभी इन्फ़िमम (या इन्फिमा) को सुरक्षित रखता है'। इस प्रकार अधिक सटीक रूप से, इसे यह कहकर व्यक्त किया जाता है कि फलन सभी उपस्थिता इन्फ़िमम (या इन्फिमा) को संरक्षित करता है, और इस प्रकार यह अच्छी तरह से हो सकता है कि विचाराधीन पॉसमुच्चय पूर्ण लैटिस नहीं हैं। उदाहरण के लिए, (मोनोटोन) गैलोइस संयोजन में यह मान है। इसके विपरीत, ऑर्डर सैद्धांतिक एडजॉइंट फ़ैक्टर प्रमेय (ऑर्डर सिद्धांत) द्वारा, सभी इन्फ़िमम/इन्फिमा को संरक्षित करने वाली मैपिंग को अद्वितीय गैलोज़ संयोजन का हिस्सा होने की गारंटी दी जा सकती है, जब तक कि कुछ अतिरिक्त आवश्यकताएं पूरी हो जाती हैं।

वितरणशीलता
एक क्रम (क्रम) L 'वितरणात्मक क्रम' है, यदि L में सभी x, y और z के लिए, हम पाते हैं, यहाँ पर हम उक्त समीकरण प्राप्त करते हैं-


 * $$x \wedge \left( y \vee z \right)

= \left( x \wedge y \right) \vee \left( x \wedge z \right) $$ अपितु यह सिर्फ इतना कहता है कि मीट फलन ^: L -> L बाइनरी इन्फ़िमम को संरक्षित करता है। वितरणशीलता सिद्धांत में यह ज्ञात है, कि यह स्थिति इसके दोहरे के बराबर है, अर्थात इस प्रकार फलन v: L -> L बाइनरी इन्फिमा को संरक्षित करता है। इसी प्रकार, कोई अनंत वितरण नियम को देखता है


 * $$x \wedge \bigvee S

= \bigvee \left \{ x \wedge s \mid s \in S \right \}$$ पूर्ण हेयटिंग अलजेब्रा ( व्यर्थ टोपोलॉजी भी देखें) मीट फलन ^ के बराबर है जो इन्फ़िमम को संरक्षित करता है। चूंकि, यह स्थिति इसके दोहरे होने का संकेत नहीं देती है।

स्कॉट-निरंतरता
निर्देशित इन्फ़िमम को संरक्षित करने वाले कार्यों को स्कॉट-निरंतर या कभी-कभी केवल निरंतर कहा जाता है, इस प्रकार यदि इससे गणितीय विश्लेषण और टोपोलॉजी की अवधारणा के साथ भ्रम उत्पन्न नहीं होता है। इस प्रकार सीमाओं के संरक्षण के लिए निरंतर शब्द का समान उपयोग श्रेणी सिद्धांत में भी पाया जा सकता है।

महत्वपूर्ण गुण और परिणाम
सीमा संरक्षण की उपरोक्त परिभाषा अत्यधिक शक्तिशाली है। वास्तव में, प्रत्येक फलन जो कम से कम दो-तत्व श्रृंखलाओं के इन्फ़िमम या इन्फिमा को संरक्षित करता है, अर्थात इस प्रकार दो तुलनीय तत्वों के समुच्चय, आवश्यक रूप से मोनोटोन है। इसलिए इस प्रकार ऊपर बताए गए सभी विशेष संरक्षण गुण एकरसता उत्पन्न करते हैं।

इस तथ्य के आधार पर कुछ सीमाएं दूसरों के संदर्भ में व्यक्त की जा सकती हैं, कोई भी संरक्षण गुणों के बीच संबंध प्राप्त कर सकता है।

उदाहरण के लिए, फलन f निर्देशित सर्वोच्चता को संरक्षित करता है, इस प्रकार यह सभी आदर्शों की सर्वोच्चता को संरक्षित करता है।

इसके अतिरिक्त, पोसमुच्चय से मैपिंग एफ जिसमें प्रत्येक गैर-रिक्त परिमित इन्फ़िमम उपस्थित है, तथाकथित सुपर-सेमिलैटिस को इस विधि से इन्फ़िमम को संरक्षित करता है यदि और इस प्रकार केवल यदि यह निर्देशित और परिमित संभवतः इन्फ़िमम को संरक्षित करता है।

चूंकि, यह सच नहीं है कि फलन जो सभी सर्वोच्च को संरक्षित करता है, वह सभी इंफिमा को भी संरक्षित करेगा या इसके विपरीत संरक्षित करता है।