प्रसार मोंटे कार्लो

प्रसार मोंटे कार्लो (डीएमसी) या प्रसार क्वांटम मोंटे कार्लो एक क्वांटम मोंटे कार्लो विधि है जो श्रोडिंगर समीकरण को हल करने के लिए ग्रीन के कार्य का उपयोग करती है। डीएमसी संभावित रूप से संख्यात्मक रूप से स्पष्ट है, जिसका अर्थ है कि यह किसी भी क्वांटम प्रणाली के लिए दी गई त्रुटि के अंदर स्पष्ट जमीनी ऊर्जा का पता लगा सकता है। जब वास्तव में गणना का प्रयास किया जाता है, तो पाया जाता है कि बोसॉन के लिए, एल्गोरिदम सिस्टम आकार के साथ बहुपद के रूप में स्केल करता है, किंतु फ़र्मियन के लिए, डीएमसी सिस्टम आकार के साथ घातीय रूप से स्केल करता है। यह स्पष्ट रूप से बड़े मापदंड पर डीएमसी सिमुलेशन को फेर्मिओंस के लिए असंभव बना देता है; चूँकि, डीएमसी निश्चित-नोड सन्निकटन के रूप में जाना जाने वाला एक चतुर सन्निकटन नियोजित करता है, फिर भी बहुत स्पष्ट परिणाम प्राप्त कर सकता है।

प्रोजेक्टर विधि
एल्गोरिथ्म को प्रेरित करने के लिए, आइए एक आयाम में कुछ क्षमता वाले कण के लिए श्रोडिंगर समीकरण देखें:
 * $$i\frac{\partial \Psi(x,t)}{\partial t}=-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 \Psi(x,t)}{\partial x^2} + V(x)\Psi(x,t).$$

हम ऑपरेटर (भौतिकी) समीकरण के संदर्भ में इसे लिखकर संकेतन को थोड़ा सा संघनित कर सकते हैं
 * $$H=-\frac{1}{2}\frac{\partial^2 }{\partial x^2} + V(x)$$.

तो हमारे पास है
 * $$i\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}=H\Psi(x,t),$$

जहां हमें यह ध्यान रखना होगा कि $$H$$ एक ऑपरेटर है, कोई साधारण संख्या या कार्य नहीं। विशेष कार्य हैं, जिन्हें आईगेनकार्य कहा जाता है, जिसके लिए $$H\Psi(x)=E\Psi(x)$$, जहां $$E$$ एक संख्या है। ये कार्य विशेष हैं क्योंकि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि हम तरंग कार्य पर $$H$$ऑपरेटरकी कार्रवाई का मूल्यांकन करते हैं, हमें सदैव एक ही संख्या $$E$$ मिलती है। इन कार्यों को स्थिर अवस्था कहा जाता है क्योंकि किसी भी बिंदु $$x$$ पर समय व्युत्पन्न सदैव समान होता है, इसलिए आयाम तरंग कार्य का समय में कभी परिवर्तन नहीं होता है। चूंकि तरंग कार्य का समग्र चरण मापने योग्य नहीं है, इसलिए सिस्टम समय के साथ नहीं बदलता है।

हम सामान्यतः सबसे कम ऊर्जा आईगेनवैल्यू जमीनी स्थिति के साथ तरंग कार्य में रुचि रखते हैं। हम श्रोडिंगर समीकरण का थोड़ा अलग संस्करण लिखने जा रहे हैं जिसमें समान ऊर्जा आइगेनवेल्यू होगा किंतु दोलनशील होने के अतिरिक्त यह अभिसारी होगा। यह रहा:
 * $$-\frac{\partial\Psi(x,t)}{\partial t}=(H-E_0)\Psi(x,t)$$.

हमने समय व्युत्पन्न से काल्पनिक संख्या हटा दी है और $$E_0$$ की निरंतर ऑफसेट में जोड़ दिया है, जो कि जमीनी अवस्था ऊर्जा है। हम वास्तव में जमीनी अवस्था की ऊर्जा को नहीं जानते हैं, किंतु इसे स्वयं-निरंतर रूप से निर्धारित करने का एक विधि होगा जिसे हम बाद में प्रस्तुत करेंगे। हमारे संशोधित समीकरण (कुछ लोग इसे काल्पनिक-समय श्रोडिंगर समीकरण कहते हैं) में कुछ अच्छे गुण हैं। ध्यान देने वाली पहली बात यह है कि यदि हम जमीनी स्थिति तरंग कार्य का अनुमान लगाते हैं, तो $$H\Phi_0(x)=E_0\Phi_0(x)$$ और समय व्युत्पन्न शून्य है। अब मान लीजिए कि हम एक अन्य तरंग कार्य ($$\Psi$$) से प्रारंभ करते हैं, जो जमीनी स्थिति नहीं है किंतु इसके लिए ऑर्थोगोनल नहीं है। तब हम इसे आईगेनकार्य के रैखिक योग के रूप में लिख सकते हैं:
 * $$\Psi=c_0\Phi_0+\sum_{i=1}^\infty c_i\Phi_i$$

चूँकि यह एक रैखिक अवकल समीकरण है, हम प्रत्येक भाग की क्रिया को अलग से देख सकते हैं। हमने पहले ही निर्धारित कर लिया है कि $$\Phi_0$$ स्थिर है। मान लीजिए हम $$\Phi_1$$ लेते हैं। चूँकि $$\Phi_0$$ सबसे कम ऊर्जा वाला आईगेनकार्य है,$$\Phi_1$$का सहयोगी आईगेनवैल्यू संपत्ति $$E_1 > E_0$$ को संतुष्ट करता है। इस प्रकार $$c_1$$ का समय व्युत्पन्न नकारात्मक है, और अंततः शून्य पर चला जाएगा, जिससे हमारे पास केवल जमीनी स्थिति रह जाएगी। यह अवलोकन हमें $$E_0$$ निर्धारित करने का एक विधि भी देता है। जैसे ही हम समय के माध्यम से प्रसारित होते हैं हम तरंग क्रिया के आयाम को देखते हैं। यदि यह बढ़ता है, तो ऑफसेट ऊर्जा का अनुमान कम करें। यदि आयाम घटता है, तो ऑफसेट ऊर्जा का अनुमान बढ़ाएँ।

स्टोकेस्टिक कार्यान्वयन
अब हमारे पास एक समीकरण है, जैसे ही हम इसे समय में आगे बढ़ाते हैं और $$E_0$$ को उचित रूप से समायोजित करते हैं, हम किसी भी हैमिल्टनियन की जमीनी स्थिति पाते हैं। चूँकि यह मौलिक यांत्रिकी की तुलना में अभी भी एक कठिन समस्या है, क्योंकि कणों की एकल स्थिति को फैलाने के अतिरिक्त, हमें संपूर्ण कार्यों को फैलाना होगा। मौलिक यांत्रिकी में, हम $$x(t+\tau)=x(t)+\tau v(t)+0.5 F(t)\tau^2$$ सेट करके कणों की गति का अनुकरण कर सकते हैं, यदि हम मानते हैं कि बल है $$\tau$$ की समयावधि में स्थिर। काल्पनिक समय श्रोडिंगर समीकरण के लिए, हम ग्रीन कार्य नामक एक विशेष कार्य के साथ कनवल्शन इंटीग्रल का उपयोग करके समय में आगे बढ़ते हैं। तो हमें $$ \Psi(x,t+\tau)=\int G(x,x',\tau) \Psi(x',t) dx' $$मिलता है। मौलिक यांत्रिकी की तरह, हम केवल समय के छोटे टुकड़ों के लिए ही प्रचार कर सकते हैं; अन्यथा ग्रीन का कार्य ग़लत है। जैसे-जैसे कणों की संख्या बढ़ती है, अभिन्न की आयामीता भी बढ़ती है, क्योंकि हमें सभी कणों के सभी निर्देशांकों को एकीकृत करना होता है। हम इन अभिन्नों को मोंटे कार्लो एकीकरण द्वारा कर सकते हैं।