कांटोरोविच प्रमेय

कांटोरोविच प्रमेय, या न्यूटन-कांटोरोविच प्रमेय, न्यूटन की विधि के अनुक्रम की अर्ध-स्थानीय सीमा पर एक गणितीय कथन है। यह पहली बार 1948 में लियोनिद कांटोरोविच द्वारा कहा गया था। यह बानाच निश्चित-बिंदु प्रमेय के रूप के समान है, हालांकि यह एक निश्चित बिंदु (गणित) के स्थान पर किसी फलन के शून्य के अस्तित्व और विशिष्टता को बताता है। न्यूटन की विधि बिंदुओं का एक अनुक्रम बनाती है जो कुछ स्तिथियों के अंतर्गत समीकरण $$f(x)=0$$ के विलयन x या समीकरण $$F(x)=0$$  की प्रणाली के सदिश विलयन में परिवर्तित हो जाएगी। कांटोरोविच प्रमेय इस अनुक्रम के प्रारंभिक बिंदु पर स्थितियाँ देता है। यदि वे स्थितियाँ पूरी हो जाती हैं तो प्रारंभिक बिंदु के करीब एक विलयन सदिश होता है और अनुक्रम उस बिंदु पर परिवर्तित हो जाता है।

पुर्वानुमान
मान लीजिये $$X\subset\R^n$$ एक विवृत उपसमुच्चय है और $$F:X \subset \R^n \to\R^n$$ जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक के साथ एक अवकलनीय फलन $$F^{\prime}(\mathbf x)$$ स्थानीय रूप से लिप्सचिट्ज़ निरंतर है (उदाहरण के लिए यदि $$F$$ दो बार भिन्न है)। यानी यह मान लिया गया है कि किसी $$x \in X$$ के लिए भी एक विवृत उपसमुच्चय $$U\subset X$$ इस प्रकार है कि $$x \in U$$ और वहां एक स्थिरांक सदिश $$L>0$$ इस प्रकार है कि किसी $$\mathbf x,\mathbf y\in U$$ के लिए निम्न
 * $$\|F'(\mathbf x)-F'(\mathbf y)\|\le L\;\|\mathbf x-\mathbf y\|$$

धारण करता है। बाईं ओर का मानदंड कुछ संचालक मानदंड है जो दाईं ओर के सदिश मानदंड के साथ संगत है। इस असमानता को केवल सदिश मानदंड का उपयोग करने के लिए फिर से लिखा जा सकता है। फिर किसी भी सदिश के लिए $$\mathbf v\in\R^n$$ असमता


 * $$\|F'(\mathbf x)(\mathbf v)-F'(\mathbf y)(\mathbf v)\|\le L\;\|\mathbf x-\mathbf y\|\,\|\mathbf v\|$$

अवश्य धारण करता है।

अब कोई भी प्रारंभिक बिंदु $$\mathbf x_0\in X$$ चुनें। मान लीजिए $$F'(\mathbf x_0)$$ उलटा है और न्यूटन चरण $$\mathbf h_0=-F'(\mathbf x_0)^{-1}F(\mathbf x_0)$$ का निर्माण करता है।

अगली धारणा यह है कि केवल अगला बिंदु $$\mathbf x_1=\mathbf x_0+\mathbf h_0$$ ही नहीं  लेकिन पूरी गोलक $$B(\mathbf x_1,\|\mathbf h_0\|)$$ सम्मुच्चय $$X$$ के अंदर समाहित है। मान लीजिये $$M$$ इस गोलक पर जैकोबियन के लिए लिप्सचिट्ज़ स्थिरांक बनें (यह मानते हुए कि यह सदिश है)।

अंतिम तैयारी के रूप में, जब तक संभव हो, अनुक्रमों का पुनरावर्ती निर्माण $$(\mathbf x_k)_k$$, $$(\mathbf h_k)_k$$, $$(\alpha_k)_k$$ के अनुसार करें
 * $$\begin{alignat}{2}

\mathbf h_k&=-F'(\mathbf x_k)^{-1}F(\mathbf x_k)\\[0.4em] \alpha_k&=M\,\|F'(\mathbf x_k)^{-1}\|\,\|\mathbf h_k\|\\[0.4em] \mathbf x_{k+1}&=\mathbf x_k+\mathbf h_k. \end{alignat}$$

कथन
अब अगर $$\alpha_0\le\tfrac12$$ तब
 * 1) एक विलयन $$\mathbf x^*$$ का $$F(\mathbf x^*)=0$$ सवृत गोलक के अंदर सदिश $$\bar B(\mathbf x_1,\|\mathbf h_0\|)$$ है और
 * 2) $$\mathbf x_0$$ से प्रारम्भ होने वाला न्यूटन पुनरावृत्ति कम से कम अभिसरण के रैखिक क्रम के साथ $$\mathbf x^*$$ में परिवर्तित हो जाता है।

एक कथन जो अधिक सटीक है लेकिन सिद्ध करना थोड़ा अधिक कठिन है, वह द्विघात बहुपद की वर्गमूल $$t^\ast\le t^{**}$$ का उपयोग करता है

p(t) =\left(\tfrac12L\|F'(\mathbf x_0)^{-1}\|^{-1}\right)t^2 -t+\|\mathbf h_0\| $$,
 * $$t^{\ast/**}=\frac{2\|\mathbf h_0\|}{1\pm\sqrt{1-2\alpha_0}}$$

और उनका अनुपात

\theta =\frac{t^*}{t^{**}} =\frac{1-\sqrt{1-2\alpha_0}}{1+\sqrt{1-2\alpha_0}}. $$ तब \|\mathbf x_{n+1}-\mathbf x^*\| \le \theta^{2^n}\|\mathbf x_{n+1}-\mathbf x_n\| \le\frac{\theta^{2^n}}{2^n}\|\mathbf h_0\|. $$
 * 1) एक विलयन $$\mathbf x^*$$ सवृत गोलक के अंदर सदिश $$\bar B(\mathbf x_1,\theta\|\mathbf h_0\|)\subset\bar B(\mathbf x_0,t^*)$$ है
 * 2) बड़ी गोलक $$B(\mathbf x_0,t^{*\ast})$$ के अंदर यह अद्वितीय है
 * 3) और $$F$$ के समाधान में अभिसरण द्विघात बहुपद $$p(t)$$ के न्यूटन पुनरावृत्ति के अभिसरण से इसकी सबसे छोटी वर्गमूल $$t^\ast$$ तक प्रभावित होता है, अगर $$t_0=0,\,t_{k+1}=t_k-\tfrac{p(t_k)}{p'(t_k)}$$, तब
 * $$\|\mathbf x_{k+p}-\mathbf x_k\|\le t_{k+p}-t_k$$।
 * 1) एरर प्राक्कलन से द्विघात अभिसरण प्राप्त होता है : $$

परिणाम
1986 में, यामामोटो ने सिद्ध किया कि डोरिंग (1969), ओस्ट्रोव्स्की (1971, 1973) जैसे न्यूटन पद्धति के त्रुटि मूल्यांकन, ग्रैग-तापिया (1974), पोट्रा-बर्ड (1980), हनी (1981), पोट्रा (1984), कांटोरोविच प्रमेय से प्राप्त किया जा सकता है।

सामान्यीकरण
कांटोरोविच प्रमेय के लिए एक q-एनालॉग है। अन्य सामान्यीकरणों/विविधताओं के लिए, ओर्टेगा और रीनबोल्ड्ट (1970) देखें।

अनुप्रयोग
ओशी और तानबे ने दावा किया कि कांटोरोविच प्रमेय को रैखिक प्रोग्रामिंग के विश्वसनीय विलयन प्राप्त करने के लिए लागू किया जा सकता है।

अग्रिम पठन

 * John H. Hubbard and Barbara Burke Hubbard: Vector Calculus, Linear Algebra, and Differential Forms: A Unified Approach, Matrix Editions, ISBN 978-0-9715766-3-6 (preview of 3. edition and sample material including Kant.-thm.)