नॉनलाइनियर सिस्टम आइडेंटिफिकेशन

सिस्टम आइडेंटिफिकेशन सिस्टम इनपुट और आउटपुट के माप सामाजिक व्यवस्था के गणितीय मॉडल को पहचानने या मापने की एक विधि है। सिस्टम पहचान के अनुप्रयोगों में कोई भी सिस्टम शामिल है जहां इनपुट और आउटपुट को मापा जा सकता है और इसमें औद्योगिक प्रक्रियाएं, नियंत्रण प्रणाली, आर्थिक डेटा, जीव विज्ञान और जीवन विज्ञान, चिकित्सा, सामाजिक प्रणाली और बहुत कुछ शामिल हैं।

एक गैर-रैखिक प्रणाली को किसी भी प्रणाली के रूप में परिभाषित किया जाता है जो रैखिक नहीं है, अर्थात कोई भी प्रणाली जो सुपरपोज़िशन सिद्धांत को पूरा नहीं करती है। यह नकारात्मक परिभाषा अस्पष्ट हो जाती है कि बहुत से विभिन्न प्रकार के गैर-रैखिक सिस्टम हैं। ऐतिहासिक रूप से, गैर-रैखिक प्रणालियों के लिए प्रणाली की पहचान प्रणाली के विशिष्ट वर्गों पर ध्यान केंद्रित करके विकसित किया गया है और मोटे तौर पर पांच बुनियादी दृष्टिकोणों में वर्गीकृत किया जा सकता है, प्रत्येक को एक मॉडल वर्ग द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * 1) वोल्टेरा श्रृंखला मॉडल,
 * 2) ब्लॉक-संरचित मॉडल,
 * 3) तंत्रिका नेटवर्क मॉडल,
 * 4) नारमैक्स मॉडल, और
 * 5) राज्य-अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व|राज्य-अंतरिक्ष मॉडल।

सिस्टम पहचान के लिए चार चरणों का पालन किया जाना चाहिए: डेटा एकत्र करना, मॉडल अभिधारणा, पैरामीटर पहचान और मॉडल सत्यापन। डेटा संग्रह को पहचान शब्दावली में पहला और आवश्यक हिस्सा माना जाता है, जिसे बाद में तैयार किए गए मॉडल के लिए इनपुट के रूप में उपयोग किया जाता है। इसमें एक उपयुक्त डेटा सेट, प्री-प्रोसेसिंग और प्रोसेसिंग का चयन होता है। इसमें फ्लाइट टेप के ट्रांसक्रिप्शन, डेटा स्टोरेज और डेटा प्रबंधन, अंशांकन, प्रसंस्करण, विश्लेषण और प्रस्तुति के साथ ज्ञात एल्गोरिदम का कार्यान्वयन शामिल है। इसके अलावा, किसी विशेष मॉडल में विश्वास हासिल करने या अस्वीकार करने के लिए मॉडल सत्यापन आवश्यक है। विशेष रूप से, पैरामीटर अनुमान और मॉडल सत्यापन सिस्टम पहचान के अभिन्न अंग हैं। सत्यापन वैचारिक मॉडल की पुष्टि करने और मॉडल के कम्प्यूटेशनल परिणामों और वास्तविक डेटा के बीच पर्याप्त पत्राचार प्रदर्शित करने की प्रक्रिया को संदर्भित करता है।

वोल्टेरा श्रृंखला के तरीके
प्रारंभिक कार्य में वोल्टेरा श्रृंखला पर आधारित विधियों का प्रभुत्व था, जिसे असतत समय के मामले में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$\begin{align}

y(k)& = h_0+\sum\limits_{m_1=1}^M h_1(m_1)u(k-m_1) + \sum\limits_{m_1=1}^M \sum\limits_{m_2=1}^M h_2(m_1,m_2)u(k-m_1)u(k-m_2) \\ & {}\quad{}+\sum\limits_{m_1=1}^M \sum\limits_{m_2=1}^M \sum\limits_{m_3=1}^M h_3(m_1,m_2,m_3)u(k-m_1)u(k-m_2)u(k-m_3) + \cdots \end{align}$$ जहां यू (के), वाई (के); k = 1, 2, 3, ... क्रमशः मापा इनपुट और आउटपुट हैं और $$h_\ell(m_1,\ldots ,m_\ell)$$ lवें क्रम Volterra कर्नेल, या lth क्रम अरैखिक आवेग प्रतिक्रिया है। Volterra सीरीज़ लीनियर कनवल्शन इंटीग्रल का एक विस्तार है। पहले के अधिकांश पहचान एल्गोरिदम ने माना कि केवल पहले दो, रैखिक और द्विघात, वोल्टेरा गुठली मौजूद हैं और दो वोल्टेरा गुठली की पहचान करने के लिए गॉसियन सफेद शोर और सहसंबंध विधियों जैसे विशेष इनपुट का उपयोग किया। इनमें से अधिकतर विधियों में इनपुट गॉसियन और सफेद होना चाहिए जो कई वास्तविक प्रक्रियाओं के लिए एक गंभीर प्रतिबंध है। इन परिणामों को बाद में पहले तीन वोल्टेरा गुठली को शामिल करने के लिए बढ़ाया गया, ताकि विभिन्न इनपुट और वीनर श्रृंखला सहित अन्य संबंधित विकास की अनुमति दी जा सके। 1940 से 1960 के दशक में एमआईटी में वीनर, ली, बोस और उनके सहयोगियों द्वारा प्रसिद्ध ली और शेटजेन पद्धति सहित एक बहुत ही महत्वपूर्ण कार्य विकसित किया गया था। हालांकि इन तरीकों का आज भी सक्रिय रूप से अध्ययन किया जा रहा है, लेकिन कई बुनियादी प्रतिबंध हैं। इनमें Volterra शृंखला की शर्तों की संख्या जानने की आवश्यकता शामिल है, विशेष इनपुट का उपयोग, और बड़ी संख्या में अनुमान जिन्हें पहचाना जाना है। उदाहरण के लिए, एक ऐसी प्रणाली के लिए जहां पहले क्रम के वोल्टेरा कर्नेल का वर्णन 30 नमूनों द्वारा किया जाता है, दूसरे क्रम के कर्नेल के लिए 30x30 अंक की आवश्यकता होगी, तीसरे क्रम के लिए 30x30x30 और इसी तरह और इसलिए अच्छा अनुमान प्रदान करने के लिए आवश्यक डेटा की मात्रा बन जाती है अत्यधिक बड़ा। कुछ समरूपताओं का दोहन करके इन संख्याओं को कम किया जा सकता है, लेकिन पहचान के लिए उपयोग किए जाने वाले एल्गोरिदम के बावजूद आवश्यकताएं अभी भी अत्यधिक हैं।

ब्लॉक-संरचित सिस्टम
Volterra मॉडल की पहचान करने की समस्याओं के कारण अन्य मॉडल रूपों की गैर-रैखिक प्रणालियों के लिए सिस्टम पहचान के आधार के रूप में जांच की गई। ब्लॉक स्ट्रक्चर्ड नॉनलाइनियर मॉडल के विभिन्न रूपों को पेश या फिर से पेश किया गया है। हैमरस्टीन मॉडल में एक स्थिर एकल मूल्यवान गैर-रैखिक तत्व होता है जिसके बाद एक रैखिक गतिशील तत्व होता है। वीनर मॉडल इस संयोजन के विपरीत है ताकि रैखिक तत्व स्थैतिक गैर-रैखिक विशेषता से पहले हो। वीनर-हैमरस्टीन मॉडल में दो गतिशील रैखिक तत्वों के बीच एक स्थिर गैर-रैखिक तत्व होता है, और कई अन्य मॉडल रूप उपलब्ध हैं। हैमरस्टीन-वीनर मॉडल में एक रैखिक गतिशील ब्लॉक होता है जो दो स्थिर नॉनलाइनियर ब्लॉकों के बीच सैंडविच होता है। उरीसोहन मॉडल अन्य ब्लॉक मॉडल से अलग है, इसमें अनुक्रम रैखिक और गैर-रैखिक ब्लॉक शामिल नहीं हैं, लेकिन एक ऑपरेटर के कर्नेल की अभिव्यक्ति में गतिशील और स्थिर गैर-रैखिक दोनों का वर्णन करता है। इन सभी मॉडलों को वोल्टेरा श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है लेकिन इस मामले में वोल्टेरा गुठली प्रत्येक मामले में एक विशेष रूप लेती है। पहचान में सहसंबंध आधारित और पैरामीटर आकलन विधियां शामिल हैं। सहसंबंध के तरीके इन प्रणालियों के कुछ गुणों का फायदा उठाते हैं, जिसका अर्थ है कि यदि विशिष्ट इनपुट का उपयोग किया जाता है, अक्सर सफेद गॉसियन शोर, व्यक्तिगत तत्वों को एक समय में पहचाना जा सकता है। इसके परिणामस्वरूप प्रबंधनीय डेटा आवश्यकताएं होती हैं और अलग-अलग ब्लॉक कभी-कभी अध्ययन के तहत सिस्टम में घटकों से संबंधित हो सकते हैं।

अधिक हाल के परिणाम पैरामीटर अनुमान और तंत्रिका नेटवर्क आधारित समाधान पर आधारित हैं। कई परिणाम पेश किए गए हैं और इन प्रणालियों का गहराई से अध्ययन जारी है। एक समस्या यह है कि ये विधियाँ प्रत्येक मामले में केवल एक बहुत ही विशेष प्रकार के मॉडल पर लागू होती हैं और आमतौर पर इस मॉडल फॉर्म को पहचान से पहले जाना जाता है।

तंत्रिका नेटवर्क
कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क मस्तिष्क में न्यूरॉन्स के नेटवर्क की नकल करने की कोशिश करते हैं जहां बड़ी संख्या में सरल प्रसंस्करण तत्वों के माध्यम से गणना होती है। एक विशिष्ट तंत्रिका नेटवर्क में एक जटिल नेटवर्क बनाने के लिए परस्पर जुड़ी कई सरल प्रसंस्करण इकाइयाँ होती हैं। ऐसी इकाइयों की परतों को व्यवस्थित किया जाता है ताकि इनपुट परत पर डेटा दर्ज किया जा सके और आउटपुट परत तक पहुंचने से पहले एक या कई मध्यवर्ती परतों से गुजर सके। पर्यवेक्षित सीखने में नेटवर्क को वास्तविक आउटपुट और नेटवर्क के वांछित आउटपुट के बीच अंतर पर काम करके प्रशिक्षित किया जाता है, नोड्स के बीच कनेक्शन की ताकत को बदलने के लिए भविष्यवाणी की त्रुटि। जब तक आउटपुट त्रुटि स्वीकार्य स्तर तक नहीं पहुंच जाती, तब तक वजन को संशोधित करके संशोधित किया जाता है। इस प्रक्रिया को मशीन लर्निंग कहा जाता है क्योंकि नेटवर्क वज़न को समायोजित करता है ताकि आउटपुट पैटर्न को पुन: पेश किया जा सके। तंत्रिका नेटवर्क का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है और इस विषय पर सामान्य रूप से समर्पित कई उत्कृष्ट पाठ्यपुस्तकें हैं, और अधिक केंद्रित पाठ्यपुस्तकें जो नियंत्रण और सिस्टम अनुप्रयोगों पर जोर देती हैं। समस्या के दो मुख्य प्रकार हैं जिनका तंत्रिका नेटवर्क का उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता है: स्थैतिक समस्याएँ और गतिशील समस्याएँ। स्थिर समस्याओं में पैटर्न पहचान, वर्ग (सेट सिद्धांत)करण और सन्निकटन शामिल हैं। गतिशील समस्याओं में पिछड़े चर शामिल होते हैं और सिस्टम पहचान और संबंधित अनुप्रयोगों के लिए अधिक उपयुक्त होते हैं। नेटवर्क के आर्किटेक्चर के आधार पर प्रशिक्षण समस्या या तो नॉनलाइनियर-इन-द-पैरामीटर हो सकती है जिसमें अनुकूलन या रैखिक-इन-द-पैरामीटर शामिल होते हैं जिन्हें शास्त्रीय दृष्टिकोण का उपयोग करके हल किया जा सकता है। प्रशिक्षण एल्गोरिदम को पर्यवेक्षित, अनुपयोगी, या सुदृढीकरण सीखने में वर्गीकृत किया जा सकता है। तंत्रिका नेटवर्क में उत्कृष्ट सन्निकटन गुण होते हैं, लेकिन ये आमतौर पर मानक फ़ंक्शन सन्निकटन परिणामों पर आधारित होते हैं, उदाहरण के लिए विअरस्ट्रास प्रमेय जो बहुपदों, तर्कसंगत कार्यों और अन्य प्रसिद्ध मॉडलों पर समान रूप से लागू होता है। तंत्रिका नेटवर्क को सिस्टम की पहचान की समस्याओं के लिए बड़े पैमाने पर लागू किया गया है जिसमें गैर-रैखिक और गतिशील संबंध शामिल हैं। हालाँकि, शास्त्रीय तंत्रिका नेटवर्क विशुद्ध रूप से सकल स्थैतिक सन्निकटन मशीन हैं। नेटवर्क के भीतर कोई गतिशीलता नहीं है। इसलिए जब डायनेमिक मॉडल को फिट किया जाता है तो सभी डायनेमिक्स लैग्ड इनपुट और आउटपुट को नेटवर्क की इनपुट लेयर पर आवंटित करके उत्पन्न होते हैं। प्रशिक्षण प्रक्रिया तब सबसे अच्छा स्थैतिक सन्निकटन उत्पन्न करती है जो इनपुट नोड्स को आउटपुट के लिए सौंपे गए लैग्ड चर से संबंधित है। आवर्ती नेटवर्क सहित अधिक जटिल नेटवर्क आर्किटेक्चर हैं, जो इनपुट नोड्स में लैग्ड वेरिएबल्स के बढ़ते क्रम को शुरू करके डायनामिक्स उत्पन्न करता है। लेकिन इन मामलों में लैग को अधिक निर्दिष्ट करना बहुत आसान है और इससे ओवर फिटिंग और खराब सामान्यीकरण गुण हो सकते हैं। तंत्रिका नेटवर्क के कई फायदे हैं; वे वैचारिक रूप से सरल, प्रशिक्षित करने और उपयोग करने में आसान हैं, उत्कृष्ट सन्निकटन गुण हैं, स्थानीय और समानांतर प्रसंस्करण की अवधारणा महत्वपूर्ण है और यह अखंडता और दोष सहिष्णु व्यवहार प्रदान करती है। शास्त्रीय तंत्रिका नेटवर्क मॉडल की सबसे बड़ी आलोचना यह है कि निर्मित मॉडल पूरी तरह से अपारदर्शी हैं और आमतौर पर इन्हें लिखा या विश्लेषण नहीं किया जा सकता है। इसलिए यह जानना बहुत मुश्किल है कि क्या कारण है, मॉडल का विश्लेषण करना या मॉडल से गतिशील विशेषताओं की गणना करना। इनमें से कुछ बिंदु सभी अनुप्रयोगों के लिए प्रासंगिक नहीं होंगे लेकिन वे गतिशील मॉडलिंग के लिए हैं।

NARMAX विधियाँ
एक्सोजेनस इनपुट्स (NARMAX मॉडल) के साथ नॉनलाइनियर ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज मॉडल नॉनलाइनियर सिस्टम की एक विस्तृत श्रेणी का प्रतिनिधित्व कर सकता है, और के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\begin{align}

y(k) & =F[y(k-1),y(k-2),\ldots ,y(k-n_y),u(k-d),u(k-d-1),\ldots ,u(k-d-n_u), \\ & {}\quad e(k-1),e(k-2),\ldots ,e(k-n_e)]+e(k) \end{align}$$ जहां y(k), u(k) और e(k) क्रमशः सिस्टम आउटपुट, इनपुट और शोर अनुक्रम हैं; $$n_y$$, $$n_u$$, और $$n_e$$ सिस्टम आउटपुट, इनपुट और शोर के लिए अधिकतम अंतराल हैं; F[•] कुछ अरेखीय कार्य है, d एक समय विलंब है जो आमतौर पर d = 1 पर सेट होता है। मॉडल अनिवार्य रूप से पिछले इनपुट, आउटपुट और शोर शर्तों का विस्तार है। क्योंकि शोर को स्पष्ट रूप से प्रतिरूपित किया गया है, सिस्टम मॉडल के निष्पक्ष अनुमानों को अप्रतिबंधित अत्यधिक सहसंबद्ध और अरैखिक शोर की उपस्थिति में प्राप्त किया जा सकता है। Volterra, ब्लॉक स्ट्रक्चर्ड मॉडल और कई न्यूरल नेटवर्क आर्किटेक्चर सभी को NARMAX मॉडल के सबसेट के रूप में माना जा सकता है। चूंकि NARMAX पेश किया गया था, यह साबित करके कि इस मॉडल द्वारा गैर-रैखिक प्रणालियों के किस वर्ग का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, इस विवरण के आधार पर कई परिणाम और एल्गोरिदम प्राप्त किए गए हैं। अधिकांश प्रारंभिक कार्य NARMAX मॉडल के बहुपद विस्तार पर आधारित थे। ये आज भी सबसे लोकप्रिय तरीके हैं लेकिन तरंगिकाएँ  और अन्य विस्तार के आधार पर अन्य अधिक जटिल रूपों को गंभीर रूप से गैर-रैखिक और अत्यधिक जटिल गैर-रैखिक प्रणालियों का प्रतिनिधित्व करने के लिए पेश किया गया है। गैर-रैखिक प्रणालियों का एक महत्वपूर्ण अनुपात एक NARMAX मॉडल द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है जिसमें कैओस सिद्धांत, द्विभाजन सिद्धांत और subharmonics जैसे विदेशी व्यवहार वाले सिस्टम शामिल हैं। जबकि NARMAX एक मॉडल के नाम के रूप में शुरू हुआ था, अब यह गैर-रैखिक प्रणाली पहचान के दर्शन में विकसित हो गया है। NARMAX दृष्टिकोण में कई चरण होते हैं:


 * संरचना का पता लगाना: मॉडल में कौन से शब्द हैं
 * पैरामीटर अनुमान: मॉडल गुणांक निर्धारित करें
 * मॉडल सत्यापन: मॉडल निष्पक्ष और सही है
 * भविष्यवाणी: भविष्य के कुछ समय में आउटपुट क्या है
 * विश्लेषण: सिस्टम के गतिशील गुण क्या हैं

संरचना का पता लगाना NARMAX का सबसे मूलभूत हिस्सा है। उदाहरण के लिए, एक NARMAX मॉडल जिसमें एक लैग्ड इनपुट और एक लैग्ड आउटपुट टर्म, तीन लैग्ड नॉइज़ टर्म्स होते हैं, जो एक क्यूबिक पॉलीनोमियल के रूप में विस्तारित होते हैं, इसमें बयासी संभावित कैंडिडेट टर्म्स शामिल होंगे। उम्मीदवारों की यह संख्या इसलिए उत्पन्न होती है क्योंकि परिभाषा के अनुसार विस्तार में क्यूबिक विस्तार के भीतर सभी संभावित संयोजन शामिल हैं। एक ऐसे मॉडल का अनुमान लगाने के लिए आगे बढ़ना जिसमें ये सभी शब्द शामिल हैं और फिर छंटाई संख्यात्मक और कम्प्यूटेशनल समस्याओं का कारण बनेगी और इससे हमेशा बचना चाहिए। हालांकि, मॉडल में केवल कुछ शब्द अक्सर महत्वपूर्ण होते हैं। संरचना का पता लगाना, जिसका उद्देश्य एक समय में एक शब्द का चयन करना है, इसलिए गंभीर रूप से महत्वपूर्ण है। ऑर्थोगोनल लीस्ट स्क्वायर का उपयोग करके इन उद्देश्यों को आसानी से प्राप्त किया जा सकता है एक समय में एक NARMAX मॉडल शर्तों का चयन करने के लिए एल्गोरिदम और इसके डेरिवेटिव। इन विचारों को पैटर्न पहचान और फीचर चयन के लिए भी अनुकूलित किया जा सकता है और प्रमुख घटक विश्लेषण के लिए एक विकल्प प्रदान करता है, लेकिन इस लाभ के साथ कि सुविधाओं को आधार कार्यों के रूप में प्रकट किया जाता है जो आसानी से मूल समस्या से संबंधित होते हैं।

NARMAX विधियों को सर्वोत्तम अनुमानित मॉडल खोजने से ज्यादा कुछ करने के लिए डिज़ाइन किया गया है। सिस्टम पहचान को दो उद्देश्यों में विभाजित किया जा सकता है। पहले में सन्निकटन शामिल है जहाँ मुख्य उद्देश्य एक मॉडल विकसित करना है जो डेटा सेट का अनुमान लगाता है ताकि अच्छी भविष्यवाणियाँ की जा सकें। ऐसे कई अनुप्रयोग हैं जहां यह दृष्टिकोण उपयुक्त है, उदाहरण के लिए मौसम की समय श्रृंखला की भविष्यवाणी, स्टॉक की कीमतें, भाषण, लक्ष्य ट्रैकिंग, पैटर्न वर्गीकरण आदि। ऐसे अनुप्रयोगों में मॉडल का रूप उतना महत्वपूर्ण नहीं होता है। उद्देश्य एक सन्निकटन योजना खोजना है जो न्यूनतम भविष्यवाणी त्रुटियों का उत्पादन करती है। सिस्टम की पहचान का दूसरा उद्देश्य, जिसमें एक सबसेट के रूप में पहला उद्देश्य शामिल है, में केवल सर्वोत्तम औसत वर्ग त्रुटियों को प्राप्त करने के लिए मॉडल खोजने से कहीं अधिक शामिल है। यह दूसरा उद्देश्य है कि NARMAX दर्शन क्यों विकसित किया गया था और यह सबसे सरल मॉडल संरचना खोजने के विचार से जुड़ा हुआ है। यहां उद्देश्य उन मॉडलों को विकसित करना है जो अंतर्निहित प्रणाली की गतिशील विशेषताओं को पुन: उत्पन्न करते हैं, सबसे सरल संभव मॉडल खोजने के लिए, और यदि संभव हो तो इसे अध्ययन के तहत प्रणाली के घटकों और व्यवहारों से संबंधित करना है। इसलिए पहचान के इस दूसरे दृष्टिकोण का मुख्य उद्देश्य उस नियम को पहचानना और प्रकट करना है जो सिस्टम का प्रतिनिधित्व करता है। ये उद्देश्य मॉडल सिमुलेशन और नियंत्रण प्रणाली के डिजाइन के लिए प्रासंगिक हैं, लेकिन तेजी से चिकित्सा, तंत्रिका विज्ञान और जीवन विज्ञान में अनुप्रयोगों के लिए। यहाँ उद्देश्य उन मॉडलों की पहचान करना है, जो अक्सर अरेखीय होते हैं, जिनका उपयोग बुनियादी तंत्र को समझने के लिए किया जा सकता है कि ये सिस्टम कैसे संचालित और व्यवहार करते हैं ताकि हम इनका हेरफेर और उपयोग कर सकें। NARMAX विधियों को आवृत्ति और अनुपात-अस्थायी डोमेन में भी विकसित किया गया है।

स्टोकेस्टिक नॉनलाइनियर मॉडल
एक सामान्य स्थिति में, यह मामला हो सकता है कि कुछ बहिर्जात अनिश्चित अशांति अरैखिक गतिकी से गुजरती है और आउटपुट को प्रभावित करती है। एक मॉडल वर्ग जो इस स्थिति को पकड़ने के लिए पर्याप्त सामान्य है, वह स्टोकेस्टिक नॉनलाइनियर स्टेट-स्पेस प्रतिनिधित्व | स्टेट-स्पेस मॉडल का वर्ग है। एक राज्य-अंतरिक्ष मॉडल आमतौर पर प्रथम सिद्धांत कानूनों का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है, जैसे यांत्रिक, विद्युत, या थर्मोडायनामिक भौतिक नियम, और पहचाने जाने वाले मापदंडों का आमतौर पर कुछ भौतिक अर्थ या महत्व होता है।

एक असतत-समय राज्य-अंतरिक्ष मॉडल को अंतर समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:



\begin{aligned} x_{t+1} &= f(x_t, u_t, w_t; \theta),\\ y_t &= g(x_t, u_t, v_t; \theta), \quad t =1,2, \dots \end{aligned} $$ जिसमें $$t$$ समय का जिक्र करते हुए एक सकारात्मक पूर्णांक है। कार्य $$f$$ और $$g$$ सामान्य अरेखीय कार्य हैं। पहले समीकरण को राज्य समीकरण के रूप में जाना जाता है और दूसरे को आउटपुट समीकरण के रूप में जाना जाता है। सभी संकेतों को स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं का उपयोग करके प्रतिरूपित किया जाता है। प्रक्रिया $$x_t$$ राज्य प्रक्रिया के रूप में जाना जाता है, $$w_t$$ और $$v_t$$ आमतौर पर स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत) और पारस्परिक रूप से स्वतंत्र माना जाता है $$w_t \sim p(w; \theta),\; v_t \sim p(v; \theta)$$. पैरामीटर $$\theta$$ आमतौर पर एक परिमित-आयामी (वास्तविक) पैरामीटर होता है जिसका अनुमान लगाया जाता है (प्रायोगिक डेटा का उपयोग करके)। निरीक्षण करें कि राज्य प्रक्रिया को एक भौतिक संकेत नहीं होना चाहिए, और यह सामान्य रूप से अप्रमाणित (मापा नहीं गया) है। डेटा सेट को इनपुट-आउटपुट जोड़े के सेट के रूप में दिया जाता है $$(y_t, u_t)$$ के लिए $$t = 1, \dots, N$$ कुछ परिमित सकारात्मक पूर्णांक मान के लिए $$N$$.

दुर्भाग्य से, बिना देखे हुए यादृच्छिक चर के गैर-रैखिक परिवर्तन के कारण, आउटपुट की संभावना कार्य विश्लेषणात्मक रूप से अट्रैक्टिव है; यह एक बहुआयामी हाशियाकरण अभिन्न के संदर्भ में दिया गया है। नतीजतन, आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले पैरामीटर आकलन के तरीके जैसे कि अधिकतम संभावना अनुमान या भविष्यवाणी त्रुटि विधि इष्टतम एक-कदम आगे भविष्यवक्ता के आधार पर विश्लेषणात्मक रूप से अट्रैक्टिव हैं। हाल ही में, कण फ़िल्टर विधियों पर आधारित एल्गोरिदम का उपयोग आउटपुट के सशर्त माध्य का अनुमान लगाने के लिए किया गया है या, अपेक्षा-अधिकतमकरण एल्गोरिथ्म के संयोजन के साथ। अपेक्षा-अधिकतमकरण एल्गोरिथ्म, अधिकतम संभावना अनुमानक का अनुमान लगाने के लिए। ये विधियाँ, यद्यपि असम्बद्ध रूप से इष्टतम हैं, कम्प्यूटेशनल रूप से मांग कर रही हैं और उनका उपयोग विशिष्ट मामलों तक सीमित है जहाँ नियोजित कण फ़िल्टर की मूलभूत सीमाओं से बचा जा सकता है। एक वैकल्पिक समाधान एक उप-इष्टतम भविष्यवक्ता का उपयोग करके भविष्यवाणी त्रुटि विधि को लागू करना है। परिणामी अनुमानक को दृढ़ता से सुसंगत और विषम रूप से सामान्य दिखाया जा सकता है और अपेक्षाकृत सरल एल्गोरिदम का उपयोग करके मूल्यांकन किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * ग्रे बॉक्स मॉडल
 * सांख्यिकीय मॉडल

अग्रिम पठन

 * Lennart Ljung: System Identification — Theory For the User, 2nd ed, PTR Prentice Hall, Upper Saddle River, N. J., 1999.
 * R. Pintelon, J. Schoukens, System Identification: A Frequency Domain Approach, IEEE Press, New York, 2001. ISBN 978-0-7803-6000-6
 * T. Söderström, P. Stoica, System Identification, Prentice Hall, Upper Saddle River, N.J., 1989. ISBN 0-13-881236-5
 * R. K. Pearson: Discrete-Time Dynamic Models. Oxford University Press, 1999.
 * P. Marmarelis, V. Marmarelis, V. Analysis of Physiological Systems, Plenum, 1978.
 * K. Worden, G. R. Tomlinson, Nonlinearity in Structural Dynamics, Institute of Physics Publishing, 2001.