ज्यामितीय माध्य प्रमेय

दायां त्रिकोण ऊंचाई प्रमेय या ज्यामितीय माध्य प्रमेय प्राथमिक ज्यामिति में एक परिणाम है जो एक समकोण त्रिभुज में कर्ण पर ऊंचाई (त्रिकोण) और कर्ण पर बनने वाले दो रेखा खंडों के बीच संबंध का वर्णन करता है। इसमें कहा गया है कि दो खंडों का ज्यामितीय माध्य ऊंचाई के बराबर है।

प्रमेय और अनुप्रयोग
यदि h एक समकोण त्रिभुज में ऊँचाई को दर्शाता है और p और q कर्ण पर खंडों को दर्शाता है तो प्रमेय को इस प्रकार कहा जा सकता है: :$$h=\sqrt{pq} $$ या क्षेत्रों की अवधि में:
 * $$h^2=pq.$$

बाद वाला संस्करण कम्पास और सीधा निर्माण के साथ एक आयत को वर्गाकार करने के लिए एक विधि देता है, जो कि किसी दिए गए आयत के बराबर क्षेत्र के वर्ग का निर्माण करना है। पक्षों पी और क्यू के साथ इस तरह के एक आयत के लिए हम डी के साथ अपने शीर्ष बाएं वर्टेक्स (ज्यामिति) को निरूपित करते हैं। अब हम खंड क्यू को इसके बाईं ओर पी (डी पर केंद्रित आर्क एई का उपयोग करके) का विस्तार करते हैं और एंडपॉइंट्स ए और बी के साथ एक आधा सर्कल बनाते हैं। इसके व्यास के रूप में नए खंड p+q के साथ। फिर हम D में व्यास के लिए एक लंब रेखा बनाते हैं जो C में आधे वृत्त को काटती है। थेल्स के प्रमेय C के कारण और व्यास रेखा खंड DC के साथ एक समकोण त्रिभुज बनाता है, इसलिए DC एक वर्ग की भुजा है आयत का क्षेत्रफल। यह विधि वर्गमूलों के निर्माण की भी अनुमति देती है (रचनात्मक संख्या देखें), चूंकि एक आयत से शुरू करना जिसकी चौड़ाई 1 है, निर्मित वर्ग की एक भुजा की लंबाई होगी जो आयत की लंबाई के वर्गमूल के बराबर होगी। का एक अन्य अनुप्रयोग दो संख्याओं के मामले में AM-GM असमानता का ज्यामितीय प्रमाण प्रदान करता है। संख्या p और q के लिए एक व्यास p+q के साथ एक आधा वृत्त बनाता है। अब ऊंचाई ज्यामितीय माध्य का प्रतिनिधित्व करती है और त्रिज्या दो संख्याओं का अंकगणितीय माध्य है। चूंकि ऊंचाई हमेशा त्रिज्या के बराबर या उससे कम होती है, इससे असमानता पैदा होती है।

प्रमेय को एक वृत्त के लिए अन्तर्विभाजक जीवा प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में भी माना जा सकता है, क्योंकि थेल्स प्रमेय का विलोम यह सुनिश्चित करता है कि समकोण त्रिभुज का कर्ण इसके परिवृत्त का व्यास है।

विलोम कथन भी सत्य है। कोई भी त्रिभुज, जिसमें ऊँचाई उसके द्वारा बनाए गए दो रेखा खंडों के ज्यामितीय माध्य के बराबर होती है, एक समकोण त्रिभुज है।

इतिहास
प्रमेय को आमतौर पर यूक्लिड (सीए 360-280 ईसा पूर्व) के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जिन्होंने इसे अपने यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक VI में प्रस्ताव 8 के परिणाम के रूप में बताया। पुस्तक II के प्रस्ताव 14 में यूक्लिड एक आयत का वर्ग करने के लिए एक विधि देता है, जो अनिवार्य रूप से यहाँ दी गई विधि से मेल खाती है। यूक्लिड हालांकि ज्यामितीय माध्य प्रमेय पर भरोसा करने के बजाय निर्माण की शुद्धता के लिए थोड़ा अधिक जटिल प्रमाण प्रदान करता है।

समानता के आधार पर
प्रमेय का सबूत:

त्रिकोण $$\triangle ADC $$ और $$\triangle BCD$$ समरूप त्रिभुज हैं#समान त्रिभुज हैं, चूँकि: इसलिए दोनों त्रिकोण $$\triangle ACD$$ और $$\triangle BCD$$ के समान हैं $$\triangle ABC$$ और खुद, यानी $$\triangle ACD \sim \triangle ABC \sim \triangle BCD$$.
 * त्रिभुज पर विचार करें $$\triangle ABC, \triangle ACD$$, हम यहाँ है $$\angle ACB=\angle ADC=90^\circ$$ और $$\angle BAC=\angle CAD$$, इसलिए एए अभिधारणा द्वारा $$\triangle ABC \sim \triangle ACD $$
 * आगे, त्रिभुजों पर विचार कीजिए $$\triangle ABC, \triangle BCD$$, हम यहाँ है $$\angle ACB=\angle BDC= 90^\circ$$ और $$\angle ABC=\angle CBD$$, इसलिए एए अभिधारणा द्वारा $$\triangle ABC \sim \triangle BCD$$

समानता के कारण हमें अनुपातों की निम्नलिखित समानता प्राप्त होती है और इसकी बीजगणितीय पुनर्व्यवस्था से प्रमेय प्राप्त होता है:। :$$ \frac{h}{p}=\frac{q}{h}\,\Leftrightarrow\,h^2=pq\,\Leftrightarrow\,h=\sqrt{pq}\qquad (h,p,q> 0)$$ विलोम का प्रमाण:

बातचीत के लिए हमारे पास एक त्रिभुज है $$\triangle ABC $$ जिसमें $$h^2=pq$$ धारण करता है और यह दिखाने की आवश्यकता है कि C पर कोण समकोण है। अब की वजह से $$h^2=pq$$ हमारे पास भी है $$\tfrac{h}{p}=\tfrac{q}{h} $$. के साथ साथ $$\angle ADC=\angle CDB $$ त्रिकोण $$\triangle ADC $$ और $$\triangle BDC $$ समान आकार का एक कोण है और समान अनुपात के साथ पैरों के जोड़े हैं। इसका मतलब है कि त्रिकोण समान हैं, जो उपज देता है:
 * $$\angle ACB=\angle ACD +\angle DCB=\angle ACD+(90^\circ-\angle DBC)=\angle ACD+(90^\circ-\angle ACD)=90^\circ$$

पाइथागोरस प्रमेय पर आधारित
ज्यामितीय माध्य प्रमेय की सेटिंग में तीन समकोण त्रिभुज हैं $$\triangle ABC $$, $$\triangle ADC $$ और $$\triangle DBC $$, जिसमें पाइथागोरस प्रमेय प्राप्त होता है:
 * $$h^2=a^2-q^2$$, $$h^2=b^2-p^2$$ और $$c^2=a^2+b^2$$

पहले 2 दो समीकरणों को जोड़ना और फिर तीसरे का उपयोग करना:
 * $$2h^2=a^2+b^2-p^2-q^2=c^2-p^2-q^2=(p+q)^2-p^2-q^2=2pq$$.

अंत में दो से विभाजन से ज्यामितीय माध्य प्रमेय का सूत्र प्राप्त होता है।

विच्छेदन और पुनर्व्यवस्था पर आधारित
समकोण त्रिभुज को उसकी ऊँचाई h के साथ विभाजित करने पर दो समान त्रिभुज प्राप्त होते हैं, जिन्हें दो वैकल्पिक तरीकों से एक बड़े समकोण त्रिभुज में लंबाई p+h और q+h के लंबवत पक्षों के साथ संवर्धित और व्यवस्थित किया जा सकता है। ऐसी एक व्यवस्था के लिए क्षेत्रफल h के एक वर्ग की आवश्यकता होती है2 इसे पूरा करने के लिए, दूसरा क्षेत्रफल pq का एक आयत। चूँकि दोनों व्यवस्थाओं से समान त्रिभुज प्राप्त होता है, इसलिए वर्ग और आयत का क्षेत्रफल समान होना चाहिए।

कतरनी मानचित्रण के आधार पर
ऊंचाई के वर्ग को तीन कतरनी मैपिंग (कतरनी मैपिंग क्षेत्र को संरक्षित) की मदद से पी और क्यू के बराबर क्षेत्र के आयत में परिवर्तित किया जा सकता है:



बाहरी संबंध

 * Geometric Mean at Cut-the-Knot