उत्थापित कोसाइन फिल्टर

राइज़्ड-कोसाइन फ़िल्टर एक फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) है जिसका उपयोग अक्सर डिजिटल मॉडुलन  में  नाड़ी को आकार देने  के लिए किया जाता है, क्योंकि इसमें  अंतःप्रतीक हस्तक्षेप  (ISI) को कम करने की क्षमता होती है। इसका नाम इस तथ्य से उपजा है कि  आवृत्ति स्पेक्ट्रम  का गैर-शून्य भाग अपने सरलतम रूप ($$\beta = 1$$) एक  कोज्या  फलन है, जो ऊपर बैठने के लिए 'उठाया' जाता है $$f$$ (क्षैतिज अक्ष।

गणितीय विवरण
राइज़्ड-कोसाइन फ़िल्टर एक निम्न-पास Nyquist ISI मानदंड  का कार्यान्वयन है, अर्थात, जिसमें वेस्टीजियल  समरूपता  का गुण होता है। इसका मतलब है कि इसका स्पेक्ट्रम विषम समरूपता प्रदर्शित करता है $$\frac{1}{2T}$$, कहाँ पे $$T$$ संचार प्रणाली का प्रतीक-काल है।

इसका आवृत्ति-डोमेन विवरण एक टुकड़ा-परिभाषित फ़ंक्शन (गणित) है, जो इसके द्वारा दिया गया है:


 * $$H(f) = \begin{cases}

1,      & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\ \frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right)\right], & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\ 0,      & \text{otherwise} \end{cases}$$ या हैवरकोसाइन  के संदर्भ में:
 * $$H(f) = \begin{cases}

1,      & |f| \leq \frac{1 - \beta}{2T} \\ \operatorname{hvc}\left(\frac{\pi T}{\beta}\left[|f| - \frac{1 - \beta}{2T}\right]\right), & \frac{1 - \beta}{2T} < |f| \leq \frac{1 + \beta}{2T} \\ 0,      & \text{otherwise} \end{cases}$$ के लिये
 * $$0 \leq \beta \leq 1$$

और दो मूल्यों की विशेषता; $$\beta$$, रोल-ऑफ़ फ़ैक्टर, और $$T$$, प्रतीक-दर का व्युत्क्रम।

ऐसे फिल्टर की आवेग प्रतिक्रिया  द्वारा दिया गया है:


 * $$h(t) = \begin{cases}

\frac{\pi}{4T} \operatorname{sinc}\left(\frac{1}{2\beta}\right), & t = \pm\frac{T}{2\beta} \\ \frac{1}{T}\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)\frac{\cos\left(\frac{\pi\beta t}{T}\right)}{1 - \left(\frac{2\beta t}{T}\right)^2}, & \text{otherwise} \end{cases}$$ सामान्यीकृत sinc फ़ंक्शन के संदर्भ में। यहाँ, यह संचार के बाद से है $$ \sin(\pi x)/(\pi x ) $$ गणितीय के बजाय।

धड़ल्ले से बोलना फैक्टर
रोल-ऑफ फैक्टर, $$\beta$$, फ़िल्टर की अतिरिक्त बैंडविड्थ का एक माप है, अर्थात बैंडविड्थ की Nyquist बैंडविड्थ से परे कब्जा कर लिया गया है $$\frac{1}{2T}$$. कुछ लेखक उपयोग करते हैं $$\alpha=\beta$$. यदि हम अतिरिक्त बैंडविड्थ को निरूपित करते हैं $$\Delta f$$, फिर:


 * $$\beta = \frac{\Delta f}{\left(\frac{1}{2T}\right)} = \frac{\Delta f}{R_S/2} = 2T\,\Delta f$$

कहाँ पे $$R_S = \frac{1}{T}$$ प्रतीक-दर है।

ग्राफ आयाम प्रतिक्रिया को इस प्रकार दिखाता है $$\beta$$ 0 और 1 के बीच भिन्न होता है, और आवेग प्रतिक्रिया पर संबंधित प्रभाव। जैसा कि देखा जा सकता है, टाइम-डोमेन रिपल लेवल जैसे-जैसे बढ़ता है $$\beta$$ घटता है। इससे पता चलता है कि फिल्टर की अतिरिक्त बैंडविड्थ को कम किया जा सकता है, लेकिन केवल एक लंबी आवेग प्रतिक्रिया की कीमत पर।

β = 0
जैसा $$\beta$$ 0 के करीब, रोल-ऑफ ज़ोन असीम रूप से संकीर्ण हो जाता है, इसलिए:


 * $$\lim_{\beta \rightarrow 0}H(f) = \operatorname{rect}(fT)$$

कहाँ पे $$\operatorname{rect}(\cdot)$$ आयताकार कार्य है, इसलिए आवेग प्रतिक्रिया निकट आती है $$h(t)=\frac{1}{T}\operatorname{sinc}\left(\frac{t}{T}\right)$$. इसलिए, यह इस मामले में एक आदर्श या ईंट-दीवार फिल्टर में परिवर्तित हो जाता है।

β = 1
कब $$\beta = 1$$, स्पेक्ट्रम का गैर-शून्य भाग एक शुद्ध उठा हुआ कोसाइन है, जिससे सरलीकरण होता है:


 * $$H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix}

\frac{1}{2}\left[1 + \cos\left(\pi fT\right)\right], & |f| \leq \frac{1}{T} \\ 0,      & \text{otherwise} \end{matrix} \right.$$ या
 * $$H(f)|_{\beta=1} = \left \{ \begin{matrix}

\operatorname{hvc}\left(\pi fT\right), & |f| \leq \frac{1}{T} \\ 0,      & \text{otherwise} \end{matrix} \right.$$

बैंडविड्थ
एक उठाए हुए कोसाइन फिल्टर की बैंडविड्थ को आमतौर पर इसके स्पेक्ट्रम के गैर-शून्य आवृत्ति-सकारात्मक हिस्से की चौड़ाई के रूप में परिभाषित किया जाता है, अर्थात:


 * $$BW = \frac{R_S}{2}(\beta+1),\quad(0<\beta<1)$$

जैसा कि एक स्पेक्ट्रम विश्लेषक का उपयोग करके मापा जाता है, मॉड्यूलेटेड सिग्नल के हर्ट्ज में रेडियो बैंडविड्थ बी बेसबैंड बैंडविड्थ बीडब्ल्यू से दोगुना है (जैसा कि [1] में बताया गया है), यानी:


 * $$B = 2 BW = R_S (\beta+1),\quad(0<\beta<1)$$

ऑटो-सहसंबंध समारोह
उठाए गए कोसाइन फ़ंक्शन का ऑटो-सहसंबंध कार्य इस प्रकार है:


 * $$R\left(\tau\right) = T \left[\operatorname{sinc}\left( \frac{\tau}{T} \right) \frac{\cos\left( \beta \frac{\pi \tau}{T} \right)}{1 - \left( \frac{2 \beta \tau}{T} \right)^2} - \frac{\beta}{4} \operatorname{sinc}\left(\beta \frac{\tau}{T} \right) \frac{\cos\left( \frac{\pi \tau}{T} \right)}{1 - \left( \frac{\beta \tau}{T} \right)^2} \right]$$

ऑटो-सहसंबंध के साथ विश्लेषण किए जाने पर ऑटो-सहसंबंध परिणाम का उपयोग विभिन्न नमूना ऑफसेट परिणामों का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है।

आवेदन
जब एक प्रतीक धारा को फ़िल्टर करने के लिए उपयोग किया जाता है, तो एक Nyquist फ़िल्टर में ISI को समाप्त करने की संपत्ति होती है, क्योंकि इसकी आवेग प्रतिक्रिया शून्य होती है $$nT$$ (कहाँ पे $$n$$ एक पूर्णांक है), सिवाय $$n = 0$$.

इसलिए, यदि प्रेषित तरंग को रिसीवर पर सही ढंग से नमूना लिया जाता है, तो मूल प्रतीक मूल्यों को पूरी तरह से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

हालांकि, कई व्यावहारिक संचार प्रणालियों में, सफेद शोर के प्रभाव के कारण, रिसीवर में एक मिलान फ़िल्टर  का उपयोग किया जाता है। शून्य आईएसआई के लिए, यह ट्रांसमिट और रिसीव फिल्टर की नेट प्रतिक्रिया है जो बराबर होनी चाहिए $$H(f)$$:


 * $$H_R(f)\cdot H_T(f) = H(f)$$

और इसीलिए:


 * $$|H_R(f)| = |H_T(f)| = \sqrt{|H(f)|}$$

इन फ़िल्टरों को जड़-उठाया-कोसाइन फ़िल्टर |रूट-राइज़्ड-कोसाइन फ़िल्टर कहा जाता है।

रेज़ेड कोसाइन फाइबर ब्रैग ग्रेटिंग # ग्रेटिंग स्ट्रक्चर के लिए आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला अपोडाइजेशन फंक्शन  फिल्टर है।

संदर्भ

 * Glover, I.; Grant, P. (2004). Digital Communications (2nd ed.). Pearson Education Ltd. ISBN 0-13-089399-4.
 * Proakis, J. (1995). Digital Communications (3rd ed.). McGraw-Hill Inc. ISBN 0-07-113814-5.
 * Tavares, L.M.; Tavares G.N. (1998) Comments on "Performance of Asynchronous Band-Limited DS/SSMA Systems" . IEICE Trans. Commun., Vol. E81-B, No. 9



बाहरी संबंध

 * Technical article entitled "The care and feeding of digital, pulse-shaping filters" originally published in RF Design, written by Ken Gentile.