परिमित-रैंक संक्रियक

कार्यात्मक विश्लेषण में, गणित की एक शाखा, एक परिमित-रैंक ऑपरेटर बनच रिक्त स्थान के बीच एक सीमित रैखिक ऑपरेटर है जिसकी छवि (गणित) परिमित-आयामी है।

एक विहित रूप
परिमित-रैंक ऑपरेटर मैट्रिक्स (परिमित आकार के) हैं जिन्हें अनंत आयामी सेटिंग में प्रत्यारोपित किया जाता है। इस प्रकार, इन ऑपरेटरों को रैखिक बीजगणित तकनीकों के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है।

रैखिक बीजगणित से, हम जानते हैं कि जटिल प्रविष्टियों वाला एक आयताकार मैट्रिक्स, $$ M \in \mathbb{C}^{n \times m} $$ रैंक है $$1$$ अगर और केवल अगर $$M$$ स्वरूप का है


 * $$M = \alpha \cdot u v^*, \quad \mbox{where} \quad \|u \| = \|v\| = 1 \quad \mbox{and} \quad \alpha \geq 0 .$$

बिल्कुल वही तर्क दर्शाता है कि एक ऑपरेटर $$T$$ हिल्बर्ट स्थान पर $$H$$ रैंक का है $$1$$ अगर और केवल अगर


 * $$T h = \alpha \langle h, v\rangle u \quad \mbox{for all} \quad h \in H ,$$

जहां स्थितियां चालू हैं $$ \alpha, u, v $$ परिमित आयामी मामले के समान ही हैं।

इसलिए, प्रेरण द्वारा, एक ऑपरेटर $$T$$ परिमित श्रेणी का $$n$$ रूप ले लेता है


 * $$T h = \sum _{i = 1}  ^n \alpha_i \langle h, v_i\rangle u_i \quad \mbox{for all} \quad h \in H ,$$

कहाँ $$\{ u_i \}$$ और $$\{v_i\}$$ लम्बवत् आधार हैं। ध्यान दें कि यह अनिवार्य रूप से एकवचन मूल्य अपघटन का पुनर्कथन है। इसे परिमित-रैंक ऑपरेटरों का एक विहित रूप कहा जा सकता है।

थोड़ा सा सामान्यीकरण करें, यदि $$n$$ अब गणनीय रूप से अनंत है और धनात्मक संख्याओं का क्रम है $$\{ \alpha_i \} $$ केवल सीमा बिंदु पर $$0$$, $$T$$ फिर हिल्बर्ट स्पेस पर एक कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है, और एक के पास कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों के लिए विहित रूप है।

यदि श्रृंखला $$ \sum _i \alpha _i $$ अभिसरण है, $$T$$ एक ट्रेस क्लास ऑपरेटर है।

बीजगणितीय गुण
परिमित-रैंक ऑपरेटरों का परिवार $$F(H)$$ हिल्बर्ट स्थान पर $$H$$ एक दो-तरफा *-आदर्श रूप बनाएं $$L(H)$$, बाउंडेड ऑपरेटरों का बीजगणित $$H$$. वास्तव में यह ऐसे आदर्शों में न्यूनतम तत्व है, अर्थात कोई भी दोतरफा *-आदर्श $$I$$ में $$L(H)$$ इसमें परिमित-रैंक ऑपरेटर शामिल होने चाहिए। यह साबित करना कठिन नहीं है. एक गैर-शून्य ऑपरेटर लें $$T\in I$$, तब $$Tf = g$$ कुछ के लिए $$f, g \neq 0$$. किसी के लिए भी यह पर्याप्त है $$h, k\in H$$, रैंक-1 ऑपरेटर $$ S_{h, k} $$ वह मानचित्र $$h$$ को $$k$$ में निहित है $$I$$. परिभाषित करना $$ S_{h, f} $$ मैप करने वाला रैंक-1 ऑपरेटर बनना $$h$$ को $$f$$, और $$ S_{g,k}$$ अनुरूप रूप से। तब


 * $$S_{h,k} = S_{g,k} T S_{h,f}, \,$$

मतलब $$ S_{h, k} $$ में है $$I$$ और यह दावे की पुष्टि करता है.

दोतरफा *-आदर्शों के कुछ उदाहरण $$ L(H) $$ ट्रेस-वर्ग, हिल्बर्ट-श्मिट ऑपरेटर और कॉम्पैक्ट ऑपरेटर हैं। $$ F(H)$$ इन तीनों आदर्शों में, अपने-अपने मानदंडों में सघन है।

चूँकि किसी भी दोतरफा आदर्श में $$ L(H)$$ शामिल होना चाहिए $$ F(H)$$, बीजगणित $$ L(H)$$ यह सरल बीजगणित है यदि और केवल यदि यह परिमित आयामी है।

बनैच स्पेस पर परिमित-रैंक ऑपरेटर
एक परिमित-रैंक ऑपरेटर $$T:U\to V$$ बानाच रिक्त स्थान के बीच एक परिबद्ध ऑपरेटर है जैसे कि इसके फ़ंक्शन की सीमा सीमित आयामी है। हिल्बर्ट अंतरिक्ष मामले की तरह, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है


 * $$T h = \sum _{i = 1}  ^n \langle u_i, h\rangle v_i \quad \mbox{for all} \quad h \in U ,$$

कहाँ हैं $$v_i\in V$$, और $$u_i\in U'$$ अंतरिक्ष पर बंधे हुए रैखिक कार्य हैं $$U$$.

एक परिबद्ध रैखिक कार्यात्मकता एक परिमित-रैंक ऑपरेटर का एक विशेष मामला है, अर्थात् रैंक एक का।