घर्षणात्मक संपर्क यांत्रिकी

संपर्क यांत्रिकी ठोस पदार्थों के विरूपण (यांत्रिकी) का अध्ययन है जो एक या अधिक बिंदुओं पर एक दूसरे को छूते हैं। इसे इंटरफ़ेस की लंबवत दिशा में संपीड़ित और चिपकने वाली ताकतों और स्पर्शरेखा दिशा में घर्षण बलों में विभाजित किया जा सकता है। घर्षण संपर्क यांत्रिकी घर्षण प्रभावों की उपस्थिति में निकायों के विरूपण का अध्ययन है, जबकि घर्षण रहित संपर्क यांत्रिकी ऐसे प्रभावों की अनुपस्थिति को मानता है।

घर्षणात्मक संपर्क यांत्रिकी विभिन्न पैमानों की एक बड़ी श्रृंखला से संबंधित है। यह पृष्ठ मुख्य रूप से दूसरे पैमाने से संबंधित है: संपर्क पैच में और उसके आस-पास तनाव और विकृतियों में बुनियादी अंतर्दृष्टि प्राप्त करना, उन विस्तृत तंत्रों पर बहुत अधिक ध्यान दिए बिना जिनके द्वारा वे उत्पन्न होते हैं।
 * मैक्रोस्कोपिक पैमाने पर, इसे संपर्क निकायों की गति की जांच के लिए लागू किया जाता है (संपर्क गतिशीलता देखें)। उदाहरण के लिए, किसी सतह पर रबर की गेंद का उछलना संपर्क इंटरफ़ेस पर घर्षण संबंधी अंतःक्रिया पर निर्भर करता है। यहां कुल बल बनाम इंडेंटेशन और पार्श्व विस्थापन मुख्य चिंता का घिसाव हैं।
 * मध्यवर्ती पैमाने पर, किसी को संपर्क क्षेत्र में और उसके निकट संपर्क निकायों के स्थानीय तनाव (यांत्रिकी), विरूपण (इंजीनियरिंग) और विरूपण (इंजीनियरिंग) में रुचि होती है। उदाहरण के लिए, मैक्रोस्कोपिक पैमाने पर संपर्क मॉडल प्राप्त करना या मान्य करना, या संपर्क निकायों की सतहों के पहनने और थकान (सामग्री) की जांच करना। इस पैमाने के अनुप्रयोग क्षेत्र टायर-फुटपाथ इंटरैक्शन, रेलवे व्हील-रेल इंटरैक्शन, रोलर बेयरिंग विश्लेषण आदि हैं।
 * अंत में, सूक्ष्म और नैनो-पैमाने पर, संपर्क यांत्रिकी का उपयोग हिसोलॉजी  की हमारी समझ को बढ़ाने के लिए किया जाता है (उदाहरण के लिए, घर्षण की उत्पत्ति की जांच करना) और परमाणु बल माइक्रोस्कोप और एमईएमएस उपकरणों जैसे उन्नत उपकरणों की इंजीनियरिंग के लिए।

इतिहास
कई प्रसिद्ध वैज्ञानिकों, इंजीनियरों और गणितज्ञों ने घर्षण की हमारी समझ में योगदान दिया। इनमें लियोनार्डो दा विंसी, गिलाउम अमोंटोंस, जॉन थियोफिलस डेसागुलियर्स, लियोनहार्ड यूलर और चार्ल्स ऑगस्टिन डी कूलम्ब शामिल हैं। बाद में, निकोले पावलोविच पेट्रोव, ओसबोर्न रेनॉल्ड्स और रिचर्ड स्ट्राइबेक ने स्नेहन के सिद्धांतों के साथ इस समझ को पूरक बनाया।

ठोस पदार्थों के विरूपण की जांच 17वीं और 18वीं शताब्दी में रॉबर्ट हुक, जोसेफ लुई लैग्रेंज द्वारा और 19वीं और 20वीं शताब्दी में डी'अलेम्बर्ट और स्टीफन टिमोशेंको द्वारा की गई थी। संपर्क यांत्रिकी के संबंध में हेनरिक हर्ट्ज़ का शास्त्रीय योगदान अलग दिखना। इसके अलावा बौसिनस्क और सेरुटी द्वारा इलास्टोस्टैटिक मामलों के लिए रैखिक लोच#समाधान रैखिक लोच|(रैखिक) लोचदार शासन में घर्षण संपर्क समस्याओं की जांच के लिए प्राथमिक महत्व के हैं।

वास्तविक घर्षण संपर्क समस्या के शास्त्रीय परिणाम एफ.डब्ल्यू. कार्टर (1926) और एच. फ्रॉम (1927) के पत्रों से संबंधित हैं। उन्होंने स्वतंत्र रूप से कूलम्ब के शुष्क घर्षण नियम (नीचे देखें) का उपयोग करके एक विमान पर एक सिलेंडर के लिए या स्थिर रोलिंग संपर्क में दो सिलेंडरों के लिए रेंगना बनाम रेंगना बल संबंध प्रस्तुत किया। इन्हें रेलवे लोकोमोटिव ट्रैक्शन पर और रेलवे वाहनों के शिकार दोलन को समझने के लिए लागू किया जाता है। स्लाइडिंग के संबंध में, शास्त्रीय समाधान सी. कट्टानेओ (1938) और आर.डी. माइंडलिन (1949) के कारण हैं, जिन्होंने एक विमान पर एक गोले के स्पर्शरेखीय स्थानांतरण पर विचार किया (नीचे देखें)।

1950 के दशक में, रेलवे पहियों के रोलिंग संपर्क में रुचि बढ़ी। 1958 में, केनेथ एल. जॉनसन ने हर्ट्ज़ियन ज्यामिति के साथ 3डी घर्षण समस्या के लिए पार्श्व या स्पिन क्रीपेज के साथ एक अनुमानित दृष्टिकोण प्रस्तुत किया। दूसरों के बीच उन्होंने पाया कि स्पिन क्रीपेज, जो संपर्क पैच के केंद्र के बारे में सममित है, रोलिंग स्थितियों में एक शुद्ध पार्श्व बल की ओर ले जाता है। यह संपर्क पैच में कर्षण के वितरण में आगे-पीछे के अंतर के कारण है।

1967 में, जोस्ट जैक्स कल्कर ने रोलिंग संपर्क के लिए रैखिक सिद्धांत पर अपनी मील का पत्थर पीएचडी थीसिस प्रकाशित की। यह सिद्धांत अनंत घर्षण गुणांक की स्थिति के लिए सटीक है, जिस स्थिति में स्लिप क्षेत्र गायब हो जाता है, और गैर-लुप्त होने वाले क्रीपेज के लिए अनुमानित है। यह कूलम्ब के घर्षण नियम को मानता है, जिसके लिए कमोबेश साफ सतहों की आवश्यकता होती है। यह सिद्धांत रेलवे व्हील-रेल संपर्क जैसे विशाल निकायों के लिए है। सड़क-टायर संपर्क के संबंध में, एक महत्वपूर्ण योगदान हंस पेसज्का के तथाकथित जादुई टायर फॉर्मूले से संबंधित है। 1970 के दशक में, कई संख्यात्मक मॉडल तैयार किए गए थे। विशेष रूप से विविधताओं की गणना, जैसे कि डुवाउट और लायन के अस्तित्व और विशिष्टता सिद्धांतों पर निर्भर। समय के साथ, ये सामान्य सामग्री मॉडल और ज्यामिति के साथ संपर्क समस्याओं के लिए परिमित तत्व विधि में और रैखिक रूप से लोचदार सामग्री के लिए तथाकथित चिकनी-किनारे वाली संपर्क समस्याओं के लिए अर्ध-स्थान (ज्यामिति) | अर्ध-स्थान आधारित दृष्टिकोण में विकसित हुए। प्रथम श्रेणी के मॉडल लार्सेन द्वारा प्रस्तुत किये गये और रिगर्स द्वारा। बाद वाली श्रेणी का एक उदाहरण कल्कर का संपर्क मॉडल है। अच्छी तरह से स्थापित परिवर्तनीय दृष्टिकोण का एक दोष उनका बड़ा गणना समय है। इसलिए, कई अलग-अलग अनुमानित दृष्टिकोण भी तैयार किए गए। रोलिंग संपर्क समस्या के लिए कई प्रसिद्ध अनुमानित सिद्धांत कल्कर का FASTSIM दृष्टिकोण, शेन-हेड्रिक-एल्किन्स फॉर्मूला और पोलाच का दृष्टिकोण हैं।

व्हील/रेल संपर्क समस्या के इतिहास पर अधिक जानकारी नोथे के पेपर में प्रदान की गई है। इसके अलावा जॉनसन ने अपनी पुस्तक में संपर्क यांत्रिकी और संबंधित विषयों पर जबरदस्त मात्रा में जानकारी एकत्र की। रोलिंग संपर्क यांत्रिकी के संबंध में कल्कर द्वारा विभिन्न सिद्धांतों का एक सिंहावलोकन भी प्रस्तुत किया गया है। अंत में सीआईएसएम पाठ्यक्रम की कार्यवाही दिलचस्प है, जो रोलिंग संपर्क सिद्धांत के अधिक उन्नत पहलुओं का परिचय प्रदान करती है।

समस्या निरूपण
घर्षण संपर्क समस्याओं के विश्लेषण में केंद्रीय यह समझ है कि प्रत्येक शरीर की सतह पर तनाव (यांत्रिकी) स्थानिक रूप से भिन्न होता है। नतीजतन, पिंडों का अनंतिम तनाव सिद्धांत और विरूपण (यांत्रिकी) स्थिति के साथ भी भिन्न हो रहे हैं। और संपर्क निकायों के कणों की गति अलग-अलग स्थानों पर भिन्न हो सकती है: संपर्क पैच के हिस्से में विरोधी निकायों के कण एक-दूसरे से चिपक सकते हैं (चिपक सकते हैं), जबकि संपर्क पैच के अन्य हिस्सों में सापेक्ष गति होती है। इस स्थानीय सापेक्ष स्लाइडिंग को माइक्रो-स्लिप (वाहन गतिशीलता) कहा जाता है।

संपर्क क्षेत्र का छड़ी (आसंजन) और फिसलन क्षेत्रों में यह उपविभाजन स्वयं a.o. से प्रकट होता है। झल्लाहट में. ध्यान दें कि घिसाव केवल वहीं होता है जहां शक्ति (भौतिकी) का क्षय होता है, जिसके लिए दो सतहों के बीच तनाव और स्थानीय सापेक्ष विस्थापन (वेक्टर) (स्लिप) की आवश्यकता होती है।

संपर्क पैच का आकार और आकार तथा इसके आसंजन और स्लिप क्षेत्र आमतौर पर पहले से अज्ञात होते हैं। यदि ये ज्ञात होते, तो दोनों निकायों में लोचदार क्षेत्रों को एक-दूसरे से स्वतंत्र रूप से हल किया जा सकता था और समस्या अब संपर्क समस्या नहीं होती।

एक संपर्क समस्या में तीन अलग-अलग घटकों को प्रतिष्ठित किया जा सकता है।
 * 1) सबसे पहले, अलग-अलग पिंडों की सतहों पर लगाए गए भार की प्रतिक्रिया में विकृति होती है। यह सामान्य सातत्य यांत्रिकी का विषय है। यह काफी हद तक पिंडों की ज्यामिति और उनके (संवैधानिक समीकरण) सामग्री विज्ञान (जैसे रैखिक लोच बनाम प्लास्टिसिटी (भौतिकी) प्रतिक्रिया, सजातीय बनाम स्तरित संरचना आदि) पर निर्भर करता है।
 * 2) दूसरे, एक दूसरे के सापेक्ष पिंडों की समग्र गति होती है। उदाहरण के लिए, पिंड आराम की स्थिति में हो सकते हैं (स्थिरता) या तेजी से एक-दूसरे के पास आ सकते हैं (प्रभाव (यांत्रिकी)), और एक-दूसरे के ऊपर स्थानांतरित (फिसलने) या घुमाए (लुढ़कने) जा सकते हैं। इन समग्र गतियों का अध्ययन आमतौर पर शास्त्रीय यांत्रिकी में किया जाता है, उदाहरण के लिए मल्टीबॉडी डायनेमिक्स देखें।
 * 3) अंततः संपर्क इंटरफ़ेस पर प्रक्रियाएं होती हैं: इंटरफ़ेस के लंबवत दिशा में संपीड़न और आसंजन, और स्पर्शरेखा में घर्षण और माइक्रो-स्लिप।

अंतिम पहलू संपर्क यांत्रिकी की प्राथमिक चिंता है। इसे तथाकथित संपर्क स्थितियों के संदर्भ में वर्णित किया गया है। इंटरफ़ेस के लंबवत दिशा के लिए, सामान्य संपर्क समस्या, आसंजन प्रभाव आमतौर पर छोटे होते हैं (बड़े स्थानिक पैमाने पर) और निम्नलिखित स्थितियां आम तौर पर नियोजित होती हैं: गणितीय रूप से: $$ e_n \ge 0, p_n \ge 0, e_n\cdot p_n = 0\,\!$$. यहाँ $$e_n, p_n$$ ऐसे कार्य हैं जो पिंडों की सतहों पर स्थिति के साथ भिन्न होते हैं।
 * 1) अन्तर $$e_n$$ दो सतहों के बीच शून्य (संपर्क) या सख्ती से सकारात्मक (पृथक्करण) होना चाहिए $$e_n>0$$);
 * 2) सामान्य तनाव $$p_n$$ प्रत्येक शरीर पर कार्य शून्य (पृथक्करण) या संपीड़न ($$p_n > 0$$ संपर्क में)।

स्पर्शरेखा दिशाओं में निम्नलिखित शर्तों का अक्सर उपयोग किया जाता है:
 * 1) स्थानीय (स्पर्शरेखा) कतरनी तनाव $$\vec{p} = (p_x, p_y)^\mathsf{T}\,\!$$ (सामान्य दिशा को समानांतर मानते हुए $$z$$-अक्ष) एक निश्चित स्थिति-निर्भर अधिकतम, तथाकथित कर्षण सीमा से अधिक नहीं हो सकता $$g$$;
 * 2) जहां स्पर्शरेखा कर्षण का परिमाण कर्षण सीमा से नीचे आता है $$\|\vec{p}\|<g\,\!$$, विरोधी सतहें एक साथ चिपक जाती हैं और माइक्रो-स्लिप गायब हो जाती है, $$\vec{s} = (s_x, s_y)^\mathsf{T} = \vec{0}\,\!$$;
 * 3) माइक्रो-स्लिप वहां होता है जहां स्पर्शरेखीय कर्षण कर्षण सीमा पर होते हैं; तब स्पर्शरेखीय कर्षण की दिशा माइक्रो-स्लिप की दिशा के विपरीत होती है $$\vec{p} = -g\vec{s}/\|\vec{s}\|\,\!$$.

कर्षण सीमा का सटीक रूप तथाकथित स्थानीय घर्षण कानून है। इसके लिए कूलम्ब का (वैश्विक) घर्षण नियम अक्सर स्थानीय स्तर पर लागू किया जाता है: $$\|\vec{p}\|\le g = \mu p_n\,\!$$, साथ $$\mu$$ घर्षण गुणांक. उदाहरण के लिए, अधिक विस्तृत सूत्र भी संभव हैं $$\mu$$ तापमान पर निर्भर करता है $$T$$, स्थानीय स्लाइडिंग वेग $$\|\vec{s}\|$$, वगैरह।

बोलार्ड पर रस्सी, केपस्टर समीकरण
एक रस्सी पर विचार करें जहां समान बल (जैसे, $$F_\text{hold} = 400\,\mathrm{N}$$) दोनों तरफ लगाया जाता है। इससे रस्सी थोड़ी खिंचती है और एक आंतरिक तनाव उत्पन्न होता है (भौतिकी) $$T$$ प्रेरित है ($$T = 400\,\mathrm{N}$$ रस्सी के साथ प्रत्येक स्थिति पर)। रस्सी को एक निश्चित वस्तु जैसे bollard  के चारों ओर लपेटा जाता है; यह मुड़ा हुआ है और संपर्क कोण पर वस्तु की सतह से संपर्क बनाता है (उदाहरण के लिए, $$180^\circ$$). रस्सी और बोलार्ड के बीच सामान्य दबाव बन जाता है, लेकिन अभी तक कोई घर्षण नहीं होता है। इसके बाद बोलार्ड के एक तरफ का बल उच्च मान तक बढ़ा दिया जाता है (उदाहरण के लिए, $$F_\text{load} = 600\,\mathrm{N}$$). इससे संपर्क क्षेत्र में घर्षणात्मक कतरनी तनाव पैदा होता है। अंतिम स्थिति में बोलार्ड रस्सी पर घर्षण बल लगाता है जिससे एक स्थिर स्थिति उत्पन्न हो जाती है।

इस अंतिम स्थिति में रस्सी में तनाव वितरण को कैपस्टर समीकरण द्वारा समाधान के साथ वर्णित किया गया है:


 * $$\begin{align}

T(\phi) &= T_\text{hold},             & \phi &\in \left[\phi_\text{hold}, \phi_\text{intf}\right] \\ T(\phi) &= T_\text{load} e^{-\mu\phi}, & \phi &\in \left[\phi_\text{intf}, \phi_\text{load}\right] \\ \phi_\text{intf} &= \frac{1}{\mu} \log\left(\frac{T_\text{load}}{T_\text{hold}}\right) & \end{align}$$ से तनाव बढ़ता है $$T_\text{hold}$$ सुस्त पक्ष पर ($$\phi = \phi_\text{hold}$$) को $$T_\text{load}$$ ऊँचे पक्ष पर $$\phi = \phi_\text{load}$$. जब उच्च पक्ष से देखा जाता है, तो तनाव तेजी से कम हो जाता है, जब तक कि यह निचले भार तक नहीं पहुंच जाता $$\phi = \phi_\text{intf}$$. वहां से यह इस मूल्य पर स्थिर है। संक्रमण बिंदु $$\phi_\text{intf}$$ दो भारों के अनुपात और घर्षण गुणांक द्वारा निर्धारित किया जाता है। यहां तनाव है $$T$$ न्यूटन और कोणों में हैं $$\phi$$ रेडियन में.

तनाव $$T$$ अंतिम स्थिति में रस्सी में प्रारंभिक अवस्था के संबंध में वृद्धि की जाती है। अत: रस्सी थोड़ी लम्बी हो जाती है। इसका मतलब यह है कि रस्सी के सभी सतही कण बोलार्ड सतह पर अपनी प्रारंभिक स्थिति बनाए नहीं रख सकते हैं। लोडिंग प्रक्रिया के दौरान, रस्सी स्लिप क्षेत्र में बोलार्ड सतह के साथ थोड़ी सी फिसल गई $$\phi \in [\phi_\text{intf}, \phi_\text{load}]$$. अंतिम अवस्था में होने वाले बढ़ाव तक पहुंचने के लिए यह स्लिप बिल्कुल बड़ी होती है। ध्यान दें कि अंतिम अवस्था में कोई फिसलन नहीं हो रही है; स्लिप एरिया शब्द लोडिंग प्रक्रिया के दौरान होने वाली स्लिपेज को संदर्भित करता है। आगे ध्यान दें कि स्लिप क्षेत्र का स्थान प्रारंभिक स्थिति और लोडिंग प्रक्रिया पर निर्भर करता है। यदि प्रारंभिक तनाव है $$600\,\mathrm{N}$$ और तनाव कम हो जाता है $$400\,\mathrm{N}$$ स्लैक पक्ष पर, फिर स्लिप क्षेत्र संपर्क क्षेत्र के स्लैक पक्ष पर होता है। के बीच प्रारंभिक तनाव के लिए $$400$$ और $$600\,\mathrm{N}$$, बीच में छड़ी क्षेत्र के साथ दोनों तरफ स्लिप क्षेत्र हो सकते हैं।

एक मनमानी ऑर्थोट्रोपिक सतह पर पड़ी रस्सी के लिए सामान्यीकरण
यदि एक रस्सी किसी खुरदरी ऑर्थोट्रोपिक सतह पर स्पर्शरेखीय बलों के तहत संतुलन में रखी हुई है तो निम्नलिखित तीन स्थितियाँ (उनमें से सभी) संतुष्ट होती हैं:

1. No separation – normal reaction $N$ is positive for all points of the rope curve:


 * $N = -k_nT > 0$, where $k_n$ is a normal curvature of the rope curve.

2. Dragging coefficient of friction $\mu_g$ and angle $\alpha$ are satisfying the following criteria for all points of the curve
 * $-\mu_g < \tan \alpha < +\mu_g$

3. Limit values of the tangential forces:

The forces at both ends of the rope $T$ and $T_0$ are satisfying the following inequality


 * $T_0 e^{-\int_s \omega \mathrm{d}s} \le T \le T_0 e^{\int_s \omega \mathrm{d}s}$

with $\omega = \mu_\tau \sqrt{ k_n^2 - \frac{k_g^2}{\mu_g^2} } = \mu_\tau k \sqrt{ \cos^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\mu_g^2}}$,

where $k_g$is a geodesic curvature of the rope curve, $k$ is a curvature of a rope curve, $\mu_\tau$is a coefficient of friction in the tangential direction.

If $\omega$ is constant then $T_0 e^{-\mu_\tau k s \, \sqrt{ \cos^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\mu_g^2}}} \le T \le T_0 e^{\mu_\tau k s \, \sqrt{ \cos^2 \alpha - \frac{\sin^2 \alpha}{\mu_g^2}}}$.
 * undefined

यह सामान्यीकरण कोन्यूखोव ए. द्वारा प्राप्त किया गया है।

एक समतल पर गोला, (3डी) कट्टानियो समस्या
एक गोले पर विचार करें जिसे एक समतल (आधा स्थान) पर दबाया जाता है और फिर समतल की सतह पर स्थानांतरित कर दिया जाता है। यदि गोले और तल को कठोर पिंडों के रूप में आदर्श बनाया जाता है, तो संपर्क केवल एक बिंदु पर होगा, और गोला तब तक नहीं हिलेगा जब तक कि लागू किया गया स्पर्शरेखीय बल अधिकतम घर्षण बल तक नहीं पहुंच जाता। फिर यह सतह पर तब तक फिसलना शुरू कर देता है जब तक कि लगाया गया बल फिर से कम न हो जाए।

हकीकत में, लोचदार प्रभावों को ध्यान में रखते हुए, स्थिति बहुत अलग है। यदि एक लोचदार गोले को उसी सामग्री के एक लोचदार विमान पर दबाया जाता है तो दोनों शरीर विकृत हो जाते हैं, एक गोलाकार संपर्क क्षेत्र अस्तित्व में आता है, और एक (हर्ट्ज़ियन) सामान्य दबाव वितरण उत्पन्न होता है। गोले का केन्द्र कुछ दूरी तक नीचे चला जाता है $$\delta_n$$ दृष्टिकोण कहा जाता है, जो विकृत सतहों की अधिकतम पैठ के बराबर है। त्रिज्या के एक गोले के लिए $$R$$ और लोचदार स्थिरांक $$E, \nu$$ यह हर्टज़ियन समाधान पढ़ता है:


 * $$\begin{align}

p_n(x, y) &= p_0 \sqrt{1 - \frac{r^2}{a^2}} & r &= \sqrt{x^2 + y^2} \le a & a &= \sqrt{R\delta_n} \\ p_0 &= \frac{2}{\pi} E^* \sqrt{\frac{\delta_n}{R}} & F_n &= \frac{4}{3} E^* \sqrt{R} \delta_n^\frac{3}{2} & E^* &= \frac{E}{2\left(1 - \nu^2\right)} \end{align}$$ अब इसे एक स्पर्शरेखीय बल मानें $$F_x$$ लागू किया गया है जो कूलम्ब घर्षण सीमा से कम है $$\mu F_n$$. फिर गोले का केंद्र थोड़ी दूरी पर बग़ल में खिसक जाएगा $$\delta_x$$ उसे शिफ्ट कहा जाता है. एक स्थैतिक संतुलन प्राप्त किया जाता है जिसमें संपर्क इंटरफ़ेस में लोचदार विरूपण के साथ-साथ घर्षण कतरनी तनाव भी होता है। इस मामले में, यदि स्पर्शरेखीय बल कम हो जाता है तो लोचदार विरूपण और कतरनी तनाव भी कम हो जाते हैं। संपर्क पैच में स्थानीय फिसलन के कारण उत्पन्न होने वाले घर्षण नुकसान को छोड़कर, गोला काफी हद तक अपनी मूल स्थिति में वापस आ जाता है।

इस संपर्क समस्या को लगभग एक विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण का उपयोग करके कैटेनेओ द्वारा हल किया गया था। संतुलन अवस्था में तनाव वितरण में दो भाग होते हैं:


 * $$\begin{align}

p_x(x, y) &= \mu p_0 \left(\sqrt{1 - \frac{r^2}{a^2}} - \frac{c}{a}\sqrt{1 - \frac{r^2}{c^2}} \right) & 0 \le {} &r \le c \\ p_x(x, y) &= \mu p_n(x, y) & c \le {} &r \le a \\ p_x(x, y) &= 0 & a \le {} &r \end{align}$$ मध्य में, चिपका हुआ क्षेत्र $$0 \le r \le c$$, समतल के सतही कण विस्थापित हो जाते हैं $$u_x = \delta_x/2$$ दाईं ओर जबकि गोले के सतही कण ऊपर विस्थापित हो जाते हैं $$u_x = -\delta_x/2$$ बांई ओर। भले ही पूरा गोला ऊपर चला जाता है $$\delta_x$$ समतल के सापेक्ष, ये सतही कण एक दूसरे के सापेक्ष गति नहीं करते थे। बाहरी वलय में $$c \le r \le a$$, सतह के कण एक दूसरे के सापेक्ष गति करते थे। उनका स्थानीय स्थानांतरण इस प्रकार प्राप्त किया जाता है


 * $$s_x(x, y) = \delta_x + u_x^\text{sphere}(x, y) - u_x^\text{plane}(x, y)$$

यह बदलाव $$s_x(x, y)$$ बिल्कुल इतना बड़ा है कि इस तथाकथित स्लिप क्षेत्र में बंधे कर्षण पर कतरनी तनाव के साथ एक स्थैतिक संतुलन प्राप्त होता है।

तो, गोले के स्पर्शरेखा लोडिंग के दौरान, आंशिक स्लाइडिंग होती है। इस प्रकार संपर्क क्षेत्र को एक स्लिप क्षेत्र में विभाजित किया जाता है जहां सतहें एक दूसरे के सापेक्ष चलती हैं और एक स्टिक क्षेत्र में जहां वे नहीं चलती हैं। संतुलन की स्थिति में अब कोई फिसलन नहीं हो रही है।

गतिशील स्लाइडिंग समस्याओं के लिए समाधान
संपर्क समस्या के समाधान में इंटरफ़ेस की स्थिति (जहां संपर्क है, संपर्क क्षेत्र को स्टिक और स्लिप ज़ोन में विभाजित करना, और सामान्य और कतरनी तनाव वितरण) और शरीर के अंदरूनी हिस्सों में लोचदार क्षेत्र शामिल हैं। यह समाधान संपर्क के इतिहास पर निर्भर करता है. इसे ऊपर वर्णित कट्टानियो समस्या के विस्तार द्वारा देखा जा सकता है।
 * कट्टानियो समस्या में, गोले को पहले समतल पर दबाया जाता है और फिर स्पर्शरेखीय रूप से स्थानांतरित किया जाता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, इससे आंशिक स्लिप प्राप्त होती है।
 * यदि गोले को पहले स्पर्शरेखा से स्थानांतरित किया जाता है और फिर विमान पर दबाया जाता है, तो विरोधी सतहों के बीच कोई स्पर्शरेखा विस्थापन अंतर नहीं होता है और परिणामस्वरूप संपर्क इंटरफ़ेस में कोई स्पर्शरेखा तनाव नहीं होता है।
 * यदि सामान्य दिशा में दृष्टिकोण और स्पर्शरेखा बदलाव को एक साथ बढ़ाया जाता है (तिरछा संपीड़न) तो स्पर्शरेखा तनाव के साथ एक स्थिति प्राप्त की जा सकती है लेकिन स्थानीय पर्ची के बिना।

यह दर्शाता है कि संपर्क इंटरफ़ेस में स्थिति न केवल दो निकायों की सापेक्ष स्थिति पर निर्भर करती है, बल्कि उनके गति इतिहास पर भी निर्भर करती है। इसका एक और उदाहरण तब होता है जब गोले को वापस उसकी मूल स्थिति में स्थानांतरित कर दिया जाता है। प्रारंभ में संपर्क इंटरफ़ेस में कोई स्पर्शरेखा तनाव नहीं था। प्रारंभिक बदलाव के बाद माइक्रो-स्लिप हुई है। यह माइक्रो-स्लिप पीछे हटने से पूरी तरह से पूर्ववत नहीं होती है। तो अंतिम स्थिति में इंटरफ़ेस में स्पर्शरेखीय तनाव बना रहता है, जो मूल कॉन्फ़िगरेशन के समान दिखता है।

गतिशील संपर्कों पर घर्षण के प्रभाव (प्रभाव) पर विस्तार से विचार किया गया है।

रोलिंग संपर्क समस्याओं का समाधान
रोलिंग संपर्क समस्याएँ गतिशील समस्याएँ हैं जिनमें संपर्क निकाय एक दूसरे के सापेक्ष लगातार गतिमान रहते हैं। गतिशील स्लाइडिंग संपर्क समस्याओं में एक अंतर यह है कि विभिन्न सतह कणों की स्थिति में अधिक विविधता होती है। जबकि स्लाइडिंग समस्या में संपर्क पैच में लगातार कमोबेश समान कण होते हैं, रोलिंग संपर्क समस्या में कण लगातार संपर्क पैच में प्रवेश करते हैं और छोड़ देते हैं। इसके अलावा, एक स्लाइडिंग समस्या में संपर्क पैच में सतह के कण हर जगह कमोबेश एक ही स्पर्शरेखा बदलाव के अधीन होते हैं, जबकि एक रोलिंग समस्या में सतह के कणों पर अलग-अलग तरीकों से जोर दिया जाता है। संपर्क पैच में प्रवेश करते समय वे तनाव से मुक्त होते हैं, फिर विरोधी सतह के एक कण से चिपक जाते हैं, दो निकायों के बीच समग्र गति अंतर से तनावग्रस्त हो जाते हैं, जब तक कि स्थानीय कर्षण सीमा पार नहीं हो जाती और स्थानीय स्लिप सेट नहीं हो जाती। यह प्रक्रिया है संपर्क क्षेत्र के विभिन्न हिस्सों के लिए अलग-अलग चरण।

यदि पिंडों की समग्र गति स्थिर है, तो समग्र स्थिर स्थिति प्राप्त की जा सकती है। यहां प्रत्येक सतह कण की स्थिति समय के साथ भिन्न हो सकती है, लेकिन समग्र वितरण स्थिर हो सकता है। इसे एक समन्वय प्रणाली का उपयोग करके औपचारिक रूप दिया जाता है जो संपर्क पैच के साथ चलती है।

सिलेंडर एक विमान पर लुढ़क रहा है, (2डी) कार्टर-फ्रॉम समाधान
एक सिलेंडर पर विचार करें जो समय-स्वतंत्र अनुदैर्ध्य क्रीपेज के साथ स्थिर परिस्थितियों में एक विमान (आधे स्थान) पर घूम रहा है $$\xi$$. (अपेक्षाकृत) सिलिंडरों के सिरों से बहुत दूर समतल तनाव की स्थिति उत्पन्न होती है और समस्या 2-आयामी होती है।

यदि सिलेंडर और विमान एक ही सामग्री से बने हैं तो सामान्य संपर्क समस्या कतरनी तनाव से अप्रभावित रहती है। संपर्क क्षेत्र एक पट्टी है $$x \in [-a, a]$$, और दबाव का वर्णन (2डी) हर्ट्ज़ समाधान द्वारा किया जाता है।


 * $$\begin{align}

p_n(x) &= \frac{p_0}{a} \sqrt{a^2 - x^2} & |x| &\le a & a^2 &= \frac{4 F_n R}{\pi E^*} \\ p_0 &= \frac{2 F_n}{\pi a} &&& E^* &= \frac{E}{2\left(1 - \nu^2\right)} & \end{align}$$ कतरनी तनाव का वितरण कार्टर-फ्रॉम समाधान द्वारा वर्णित है। इसमें संपर्क क्षेत्र के अग्रणी किनारे पर एक आसंजन क्षेत्र और अनुगामी किनारे पर एक स्लिप क्षेत्र होता है। आसंजन क्षेत्र की लंबाई दर्शाई गई है $$2a'$$. इसके अलावा आसंजन समन्वय द्वारा पेश किया गया है $$x' = x + a - a'$$. सकारात्मक बल के मामले में $$F_x > 0$$ (नकारात्मक क्रीपेज $$\xi < 0$$) यह है:


 * $$\begin{align}

p_x(x) &= 0 & |&x| \ge a \\ p_x(x) &= \frac{\mu p_0}{a} \left( \sqrt{a^2 - x^2} - \sqrt{a'^2 - x'^2} \right) & a - 2a' \le {} &x \le a \\ p_x(x) &= \mu p_n(x) & &x \le a - 2a' \end{align}$$ आसंजन क्षेत्र का आकार क्रीपेज, पहिया त्रिज्या और घर्षण गुणांक पर निर्भर करता है।


 * $$\begin{align}

a' &= a \sqrt{1 - \frac{|F_x|}{\mu F_n}}, & \mbox{for } |F_x| \le \mu F_n \\ \xi &= -\operatorname{sign}(F_x) \, \frac{\mu (a - a')}{R}, & \mbox{i.e. } |\xi| \le \frac{\mu a}{R} \\ F_x &= -\operatorname{sign}(\xi) \,\mu F_n \left( 1 - \left( 1 + \frac{R |\xi|}{\mu a}\right)^2 \right) \end{align}$$ बड़े क्रीपेज के लिए $$a' = 0$$ इस प्रकार कि पूर्ण फिसलन होती है।

अर्ध-अंतरिक्ष आधारित दृष्टिकोण
मध्यवर्ती स्थानिक पैमानों पर संपर्क समस्याओं पर विचार करते समय, छोटे पैमाने की सामग्री की असमानताओं और सतह के खुरदरेपन को नजरअंदाज कर दिया जाता है। निकायों को चिकनी सतहों और सजातीय सामग्रियों से युक्त माना जाता है। एक सातत्य दृष्टिकोण अपनाया जाता है जहां तनाव, तनाव और विस्थापन को (टुकड़े-टुकड़े) निरंतर कार्यों द्वारा वर्णित किया जाता है।

हाफ-स्पेस (ज्यामिति)|हाफ-स्पेस दृष्टिकोण तथाकथित चिकनी-किनारे या केंद्रित संपर्क समस्याओं के लिए एक सुंदर समाधान रणनीति है। आधे स्थान के लिए मौलिक समाधान का उपयोग करते हुए, पूर्ण 3डी संपर्क समस्या को पिंडों की सीमा सतहों के लिए 2डी समस्या में बदल दिया जाता है।
 * 1) यदि एक विशाल लोचदार पिंड को उसकी सतह के एक छोटे से हिस्से पर लादा जाता है, तो लोचदार तनाव आनुपातिक रूप से क्षीण हो जाते हैं $$1/distance^2$$ और लोचदार विस्थापन $$1/distance$$ जब कोई इस सतह क्षेत्र से दूर चला जाता है।
 * 2) यदि किसी पिंड के संपर्क क्षेत्र में या उसके निकट कोई नुकीला कोना नहीं है, तो सतह के भार के प्रति उसकी प्रतिक्रिया को एक लोचदार आधे-स्थान की प्रतिक्रिया से अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए सभी बिंदु) $$(x, y, z)^\mathsf{T} \in \R^3\,\!$$ साथ $$z>0\,\!$$).
 * 3) इलास्टिक हाफ-स्पेस समस्या को विश्लेषणात्मक रूप से हल किया गया है, इलास्टोस्टैटिक मामलों के लिए रैखिक लोच # समाधान | बाउसिनस्क-सेरुटी समाधान देखें।
 * 4) इस दृष्टिकोण की रैखिकता के कारण, कई आंशिक समाधान सुपर-इम्पोज़ किए जा सकते हैं।

एक और सरलीकरण तब होता है जब दोनों निकाय "ज्यामितीय और प्रत्यास्थ रूप से समान" हों। सामान्य तौर पर, किसी पिंड के अंदर एक दिशा में तनाव लंबवत दिशाओं में भी विस्थापन को प्रेरित करता है। नतीजतन, संपर्क समस्या में सामान्य तनाव और स्पर्शरेखीय विस्थापन के बीच एक अंतःक्रिया होती है, और स्पर्शरेखा तनाव और सामान्य विस्थापन के बीच एक अंतःक्रिया होती है। लेकिन यदि संपर्क इंटरफ़ेस में सामान्य तनाव दोनों संपर्क निकायों में समान स्पर्शरेखा विस्थापन को प्रेरित करता है, तो दोनों सतहों का कोई सापेक्ष स्पर्शरेखा विस्थापन नहीं होता है। उस स्थिति में, सामान्य और स्पर्शरेखा संपर्क समस्याएं अलग हो जाती हैं। यदि ऐसा है तो दोनों निकायों को अर्ध-समान कहा जाता है। उदाहरण के लिए, ऐसा तब होता है जब पिंड संपर्क तल के संबंध में दर्पण-सममित होते हैं और उनका लोचदार स्थिरांक समान होता है।

अर्ध-अंतरिक्ष दृष्टिकोण पर आधारित शास्त्रीय समाधान हैं:
 * 1) हर्ट्ज़ ने एक सरल ज्यामिति (वक्रता की निरंतर त्रिज्या के साथ घुमावदार सतह) के लिए, घर्षण की अनुपस्थिति में संपर्क समस्या को हल किया।
 * 2) कार्टर ने सिलेंडर और प्लेन के बीच रोलिंग संपर्क पर विचार किया, जैसा कि ऊपर वर्णित है। स्पर्शरेखीय कर्षण के लिए एक संपूर्ण विश्लेषणात्मक समाधान प्रदान किया गया है।
 * 3) कट्टानेओ ने दो क्षेत्रों के संपीड़न और स्थानांतरण पर विचार किया, जैसा कि ऊपर वर्णित है। ध्यान दें कि यह विश्लेषणात्मक समाधान अनुमानित है। वास्तव में छोटे स्पर्शरेखीय कर्षण $$p_y$$ घटित होते हैं जिन्हें नजरअंदाज कर दिया जाता है।

यह भी देखें

 * एस
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बाहरी संबंध

 * Biography of Prof.dr.ir. J.J. Kalker (Delft University of Technology).
 * Kalker's Hertzian/non-Hertzian CONTACT software.