समावेशी समष्टि

टोपोलॉजिकल स्पेस का एक आवरण $$X$$ एक सतत मानचित्र है $$\pi : E \rightarrow X$$ विशेष गुणों से युक्त.

परिभाषा
होने देना $$X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें। का एक आवरण $$X$$ एक सतत मानचित्र है
 * $$ \pi : E \rightarrow X$$

इस प्रकार कि वहाँ एक अलग स्थान मौजूद है $$D$$ और हर किसी के लिए $$x \in X$$ एक पड़ोस (गणित) $$U \subset X$$, ऐसा है कि $$\pi^{-1}(U)= \displaystyle \bigsqcup_{d \in D} V_d $$ और $$\pi|_{V_d}:V_d \rightarrow U $$ प्रत्येक के लिए एक समरूपता है $$d \in D $$. अक्सर, कवरिंग की अवधारणा का उपयोग कवरिंग स्पेस के लिए किया जाता है $$E$$ मानचित्र के लिए भी $$ \pi : E \rightarrow X$$. खुला सेट $$V_{d}$$ शीट्स कहलाती हैं, जो विशिष्ट रूप से एक होमोमोर्फिज्म तक निर्धारित होती हैं $$U$$ जुड़ा हुआ स्थान  है. प्रत्येक के लिए $$x \in X$$ असतत उपसमुच्चय $$\pi^{-1}(x)$$ का फ़ाइबर कहा जाता है $$x$$. आवरण की डिग्री स्थान की प्रमुखता है $$D$$. अगर $$E$$ पथ जुड़ा हुआ है|पथ-जुड़ा हुआ है, फिर आवरण $$ \pi : E \rightarrow X$$ पथ-संबद्ध आवरण के रूप में दर्शाया गया है।

उदाहरण
* वो नक्शा $$r : \mathbb{R} \to S^1$$ साथ $$r(t)=(\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))$$ इकाई वृत्त का आवरण है $$S^1$$. आवरण का आधार है $$S^1$$ और कवरिंग स्पेस है $$\mathbb{R}$$. किसी भी बिंदु के लिए $$x = (x_1, x_2) \in S^1$$ ऐसा है कि $$x_1 > 0$$, सेट $$U := \{(x_1, x_2) \in S^1 \mid x_1 > 0 \}$$ का खुला पड़ोस है $$x$$. की पूर्वछवि $$U$$ अंतर्गत $$r$$ है
 * प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $$X$$, एक कवरिंग मैप है $$\pi:X \rightarrow X$$ द्वारा दिए गए $$\pi(x)=x$$जिसे तुच्छ आवरण कहा जाता है $$X.$$
 * $$r^{-1}(U)=\displaystyle\bigsqcup_{n \in \mathbb{Z}} \left( n - \frac 1 4, n + \frac 1 4\right)$$ : और आवरण की चादरें हैं $$V_n = (n - 1/4, n+1/4)$$ के लिए $$n \in \mathbb{Z}.$$ का फ़ाइबर $$x$$ है
 * $$r^{-1}(x) = \{t \in \mathbb{R} \mid (\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t)) = x\}.$$ * यूनिट सर्कल का एक अन्य आवरण मानचित्र है $$q : S^1 \to S^1$$ साथ $$q(z)=z^{n}$$ कुछ के लिए $$n \in \mathbb{N}.$$ एक खुले पड़ोस के लिए $$U$$ की एक $$x \in S^1$$, किसी के पास:
 * $$q^{-1}(U)=\displaystyle\bigsqcup_{i=1}^{n} U$$.


 * एक मानचित्र जो स्थानीय समरूपता है लेकिन इकाई वृत्त का आवरण नहीं है $$p : \mathbb{R_{+}} \to S^1$$ साथ $$p(t)=(\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))$$. के एक खुले पड़ोस की चादर है $$(1,0)$$, जिसे होमियोमॉर्फिक रूप से मैप नहीं किया गया है $$U$$.

स्थानीय समरूपता
एक आवरण के बाद से $$\pi:E \rightarrow X$$ प्रत्येक असंयुक्त खुले सेट को मैप करता है $$\pi^{-1}(U)$$ होमियोमॉर्फिक रूप से पर $$U$$ यह एक स्थानीय होमोमोर्फिज्म है, अर्थात। $$\pi$$ एक सतत मानचित्र है और प्रत्येक के लिए $$e \in E$$ वहाँ एक खुला पड़ोस मौजूद है $$V \subset E$$ का $$e$$, ऐसा है कि $$\pi|_V : V \rightarrow \pi(V)$$ एक होमियोमोर्फिज्म है.

यह इस प्रकार है कि कवरिंग स्पेस $$E$$ और आधार स्थान $$X$$ स्थानीय रूप से समान गुण साझा करें।


 * अगर $$X$$ एक जुड़ा हुआ और गैर-उन्मुख कई गुना है, फिर एक आवरण है $$\pi:\tilde X \rightarrow X$$ डिग्री का $$2$$, जिससे $$\tilde X$$ एक कनेक्टेड और ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड है।
 * अगर $$X$$ एक जुड़ा हुआ झूठ ​​समूह है, फिर एक आवरण है $$\pi:\tilde X \rightarrow X$$ जो एक लाई समूह समरूपता भी है और $$\tilde X := \{\gamma:\gamma \text{ is a path in X with }\gamma(0)= \boldsymbol{1_X} \text{ modulo homotopy with fixed ends}\}$$ एक झूठ समूह है.
 * अगर $$X$$ एक ग्राफ़ सिद्धांत#ग्राफ़ है, तो यह एक आवरण के लिए अनुसरण करता है $$\pi:E \rightarrow X$$ वह $$E$$ एक ग्राफ़ भी है.
 * अगर $$X$$ एक जुड़ा हुआ कई गुना  है, फिर एक आवरण है $$\pi:\tilde X \rightarrow X$$, जिससे $$\tilde X$$ एक कनेक्टेड और  बस जुड़ा हुआ स्थान  मैनिफोल्ड है।
 * अगर $$X$$ एक जुड़ा हुआ रीमैन सतह है, फिर एक आवरण है $$\pi:\tilde X \rightarrow X$$ जो एक होलोमोर्फिक मानचित्र भी है और $$\tilde X$$ एक जुड़ा हुआ और सरलता से जुड़ा हुआ रीमैन सतह है।

गुणनखंडन
होने देना $$ X, Y$$ और $$E$$ पथ-कनेक्टेड, स्थानीय रूप से पथ-कनेक्टेड स्थान हों, और $$p,q$$ और $$r$$ सतत मानचित्र बनें, जैसे कि आरेख आवागमन.


 * अगर $$p$$ और $$q$$ आवरण हैं, वैसे ही हैं $$r$$.
 * अगर $$p$$ और $$r$$ आवरण हैं, वैसे ही हैं $$q$$.

आवरण का उत्पाद
पत्र $$X$$ और $$X'$$ टोपोलॉजिकल स्पेस बनें और $$p:E \rightarrow X$$ और $$p':E' \rightarrow X'$$ फिर, आवरण बनो $$p \times p':E \times E' \rightarrow X \times X'$$ साथ $$(p \times p')(e, e') = (p(e), p'(e'))$$ एक आवरण है.

आवरण की समानता
पत्र $$X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें और $$p:E \rightarrow X$$ और $$p':E' \rightarrow X$$ आवरण हो. यदि समरूपता विद्यमान हो तो दोनों आवरणों को समतुल्य कहा जाता है $$h:E \rightarrow E'$$, जैसे कि आरेख आवागमन. यदि ऐसी होमियोमोर्फिज्म मौजूद है, तो कोई कवरिंग स्पेस कहता है $$E$$ और $$E'$$ समरूपता.

संपत्ति उठाना
आवरण का एक महत्वपूर्ण गुण यह है कि यह उठाने वाली संपत्ति को संतुष्ट करता है, अर्थात:

होने देना $$I$$ इकाई अंतराल हो और $$p:E \rightarrow X$$ एक आवरण हो. होने देना $$F:Y \times I \rightarrow X$$ एक सतत मानचित्र बनें और $$\tilde F_0:Y \times \{0\} \rightarrow E$$ की लिफ्ट हो $$F|_{Y \times \{0\}}$$, यानी एक सतत मानचित्र जैसे कि $$p \circ \tilde F_0 = F|_{Y \times \{0\}}$$. फिर एक विशिष्ट रूप से निर्धारित, सतत मानचित्र है $$\tilde F:Y \times I \rightarrow E$$ जिसके लिए $$\tilde F(y,0) = \tilde F_0$$ और जो की लिफ्ट है $$F$$, अर्थात। $$p \circ \tilde F = F$$.

अगर $$X$$ एक पथ से जुड़ा स्थान है, तो के लिए $$Y=\{0\}$$ यह इस प्रकार है कि नक्शा $$\tilde F$$ में एक पथ (टोपोलॉजी) की लिफ्ट है $$X$$ और के लिए $$Y=I$$ यह पथों की एक समरूपता की लिफ्ट है $$X$$.

उस गुण के कारण कोई यह दिखा सकता है कि मौलिक समूह $$\pi_{1}(S^1)$$ यूनिट सर्कल का एक चक्रीय समूह है, जो लूप के होमोटॉपी वर्गों द्वारा उत्पन्न होता है $$\gamma: I \rightarrow S^1$$ साथ $$\gamma (t) = (\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))$$.

होने देना $$X$$ एक पथ-संबद्ध स्थान बनें और $$p:E \rightarrow X$$ एक जुड़ा हुआ आवरण हो. होने देना $$x,y \in X$$ कोई दो बिंदु हों, जो एक पथ से जुड़े हों $$\gamma$$, अर्थात। $$\gamma(0)= x$$ और $$\gamma(1)= y$$. होने देना $$\tilde \gamma$$ की अद्वितीय लिफ्ट हो $$\gamma$$, फिर नक्शा
 * $$L_{\gamma}:p^{-1}(x) \rightarrow p^{-1}(y)$$ साथ $$L_{\gamma}(\tilde \gamma (0))=\tilde \gamma (1)$$

द्विभाजन है.

अगर $$X$$ एक पथ से जुड़ा स्थान है और $$p: E \rightarrow X$$ एक जुड़ा हुआ आवरण, फिर प्रेरित समूह समरूपता
 * $$ p_{\#}: \pi_{1}(E) \rightarrow \pi_{1}(X)$$ साथ $$ p_{\#}([\gamma])=[p \circ \gamma]$$,

इंजेक्शन का कार्य और उपसमूह है $$p_{\#}(\pi_1(E))$$ का $$\pi_1(X)$$ इसमें लूप के समरूप वर्ग शामिल हैं $$X$$, जिनकी लिफ्टों में लूप हैं $$E$$.

रीमैन सतहों के बीच होलोमोर्फिक मानचित्र
होने देना $$X$$ और $$Y$$ रीमैन सतह हो, यानी एक आयामी जटिल अनेक गुना, और चलो $$f: X \rightarrow Y$$ एक सतत मानचित्र बनें. $$f$$ एक बिंदु में होलोमोर्फिक है $$x \in X$$, यदि किसी चार्ट (गणित) के लिए $$\phi _x:U_1 \rightarrow V_1$$ का $$x$$ और $$\phi_{f(x)}:U_2 \rightarrow V_2$$ का $$f(x)$$, साथ $$\phi_x(U_1) \subset U_2$$, वो नक्शा $$\phi _{f(x)} \circ f \circ \phi^{-1} _x: \mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$$ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है।

अगर $$f$$ बिल्कुल होलोमोर्फिक है $$x \in X$$, हम कहते हैं $$f$$ होलोमोर्फिक है.

वो नक्शा $$F =\phi _{f(x)} \circ f \circ \phi^{-1} _x$$ की स्थानीय अभिव्यक्ति कहलाती है $$f$$ में $$x \in X$$.

अगर $$f: X \rightarrow Y$$ कॉम्पैक्ट रीमैन सतह के बीच एक गैर-स्थिर, होलोमोर्फिक मानचित्र है $$f$$ विशेषण फ़ंक्शन और एक खुला मानचित्र है, यानी हर खुले सेट के लिए $$U \subset X$$ छवि (गणित) $$f(U) \subset Y$$ भी खुला है.

रामीकरण बिंदु और शाखा बिंदु
होने देना $$f: X \rightarrow Y$$ कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों के बीच एक गैर-स्थिर, होलोमोर्फिक मानचित्र बनें। हरएक के लिए $$x \in X$$ के लिए चार्ट मौजूद हैं $$x$$ और $$f(x)$$ और वहां एक विशिष्ट रूप से निर्धारित अस्तित्व मौजूद है $$k_x \in \mathbb{N_{>0}}$$, जैसे कि स्थानीय अभिव्यक्ति $$F$$ का $$f$$ में $$x$$ स्वरूप का है $$z \mapsto z^{k_{x}}$$. जो नंबर $$k_x$$ का प्रभाव सूचकांक कहा जाता है $$f$$ में $$x$$ और बात $$x \in X$$ यदि प्रभाव बिंदु कहा जाता है $$k_x \geq 2$$. अगर $$k_x =1$$ एक के लिए $$x \in X$$, तब $$x$$ अप्रभावित है. छवि बिंदु $$y=f(x) \in Y$$ किसी प्रभाव बिंदु को शाखा बिंदु कहा जाता है।

होलोमोर्फिक मानचित्र की डिग्री
होने देना $$f: X \rightarrow Y$$ कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों के बीच एक गैर-स्थिर, होलोमोर्फिक मानचित्र बनें। श्रेणी $$\operatorname{deg}(f)$$का $$f$$ एक असंबद्ध बिंदु के तंतु की प्रमुखता है $$y=f(x) \in Y$$, अर्थात। $$\operatorname{deg}(f):=|f^{-1}(y)|$$.

यह संख्या हर किसी के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है $$y \in Y$$ रेशा $$f^{-1}(y)$$ पृथक है और किन्हीं दो असम्बद्ध बिंदुओं के लिए $$y_1,y_2 \in Y$$, यह है: $$|f^{-1}(y_1)|=|f^{-1}(y_2)|.$$ इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:
 * $$\sum_{x \in f^{-1}(y)} k_x = \operatorname{deg}(f)$$

परिभाषा
एक सतत मानचित्र $$f: X \rightarrow Y$$ यदि घने समुच्चय पूरक के साथ एक बंद समुच्चय मौजूद है, तो उसे शाखित आवरण कहा जाता है $$E \subset Y$$, ऐसा है कि $$f_{|X \smallsetminus f^{-1}(E)}:X \smallsetminus f^{-1}(E) \rightarrow Y \smallsetminus E$$ एक आवरण है.

उदाहरण

 * होने देना $$n \in \mathbb{N}$$ और $$n \geq 2$$, तब $$f:\mathbb{C} \rightarrow \mathbb{C}$$ साथ $$f(z)=z^n$$ डिग्री का शाखित आवरण है $$n$$, जिससे $$z=0$$ एक शाखा बिंदु है.
 * कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों के बीच प्रत्येक गैर-स्थिर, होलोमोर्फिक मानचित्र $$f: X \rightarrow Y$$ डिग्री का $$d$$ डिग्री का शाखित आवरण है $$d$$.

परिभाषा
होने देना $$p: \tilde X \rightarrow X$$ एक सिंपली कनेक्टेड स्पेस कवरिंग बनें। अगर $$\beta : E \rightarrow X$$ एक और सरल रूप से जुड़ा हुआ आवरण है, तो एक विशिष्ट रूप से निर्धारित होमोमोर्फिज्म मौजूद है $$\alpha : \tilde X \rightarrow E$$, जैसे कि आरेख आवागमन.

इस का मतलब है कि $$p$$ समतुल्यता तक, विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है और उस सार्वभौमिक संपत्ति के कारण अंतरिक्ष के सार्वभौमिक आवरण के रूप में दर्शाया जाता है $$X$$.

अस्तित्व
एक सार्वभौमिक आवरण हमेशा मौजूद नहीं होता है, लेकिन निम्नलिखित गुण इसके अस्तित्व की गारंटी देते हैं:

होने देना $$X$$ एक कनेक्टेड, स्थानीय रूप से सरलता से कनेक्टेड स्पेस टोपोलॉजिकल स्पेस बनें; तब, एक सार्वभौमिक आवरण मौजूद होता है $$p:\tilde X \rightarrow X$$.

$$\tilde X$$ परिभाषित किया जाता है $$\tilde X := \{\gamma:\gamma \text{ is a path in }X \text{ with }\gamma(0) = x_0 \}/\text{ homotopy with fixed ends} $$ और $$p:\tilde X \rightarrow X$$ द्वारा $$p([\gamma]):=\gamma(1)$$.

टोपोलॉजी चालू है $$\tilde X$$ इस प्रकार बनाया गया है: चलो $$\gamma:I \rightarrow X$$ के साथ एक पथ बनें $$\gamma(0)=x_0$$. होने देना $$U$$ समापन बिंदु का एक सरल रूप से जुड़ा हुआ पड़ोस बनें $$x=\gamma(1)$$, फिर प्रत्येक के लिए $$y \in U$$ पथ (टोपोलॉजी) $$\sigma_y$$ अंदर $$U $$ से $$x$$ को $$y$$ समरूपता तक विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं। अब विचार करें $$\tilde U:=\{\gamma.\sigma_y:y \in U \}/\text{ homotopy with fixed ends}$$, तब $$p_{|\tilde U}: \tilde U \rightarrow U$$ साथ $$p([\gamma.\sigma_y])=\gamma.\sigma_y(1)=y$$ एक आक्षेप है और $$\tilde U$$ की अंतिम टोपोलॉजी से सुसज्जित किया जा सकता है $$p_{|\tilde U}$$.

मौलिक समूह $$\pi_{1}(X,x_0) = \Gamma$$ नि:शुल्क समूह कार्रवाई के माध्यम से कार्य करता है $$([\gamma],[\tilde x]) \mapsto [\gamma.\tilde x]$$ पर $$\tilde X$$ और $$\psi:\Gamma \backslash \tilde X \rightarrow X$$ साथ $$\psi([\Gamma \tilde x])=\tilde x(1)$$ एक होमियोमोर्फिज्म है, अर्थात $$\Gamma \backslash \tilde X \cong X $$.

उदाहरण
* $$r : \mathbb{R} \to S^1$$ साथ $$r(t)=(\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))$$ इकाई वृत्त का सार्वभौमिक आवरण है $$S^1$$. \exp(2 \pi i t) & 0\\ 0 & I_{n-1} \end{bmatrix}_\vphantom{x} A $$ एकात्मक समूह का सार्वभौमिक आवरण है $$U(n)$$. X = \bigcup_{n\in \N}\left\{(x_1,x_2)\in\R^{2} : \Bigl(x_1-\frac{1}{n}\Bigr)^2+x_2^2=\frac{1}{n^2}\right\} $$ कोई यह दिखा सकता है कि मूल का कोई पड़ोस नहीं है $$(0,0)$$ बस जुड़ा हुआ है.
 * $$p : S^n \to \mathbb{R}P^n \cong \{+1,-1\}\backslash S^n$$ साथ $$p(x)=[x]$$ प्रक्षेप्य स्थान का सार्वभौमिक आवरण है $$\mathbb{R}P^n$$ के लिए $$n>1$$.
 * $$q : \mathrm{SU}(n) \ltimes \mathbb{R} \to U(n)$$ साथ $$q(A,t)= \begin{bmatrix}
 * तब से $$\mathrm{SU}(2) \cong S^3$$, यह इस प्रकार है कि भागफल मानचित्र (टोपोलॉजी) $$f : \mathrm{SU}(2) \rightarrow \mathrm{SU}(2) \backslash \mathbb{Z_2} \cong \mathrm{SO}(3)$$ का सार्वभौमिक आवरण है $$\mathrm{SO}(3)$$.
 * एक स्थलाकृतिक स्थान जिसका कोई सार्वभौमिक आवरण नहीं है वह हवाईयन बाली है: $$

जी-कवरिंग
मान लीजिए कि G, टोपोलॉजिकल स्पेसg X का स्वयं पर, इस प्रकार कि Hg h हमेशा H के बराबर होता हैg ∘ एचh G के किन्हीं दो तत्वों g और h के लिए। (या दूसरे शब्दों में, अंतरिक्ष ) यह पूछना स्वाभाविक है कि किन परिस्थितियों में एक्स से कक्षा स्थान एक्स/जी तक का प्रक्षेपण एक कवरिंग मानचित्र है। यह हमेशा सत्य नहीं होता क्योंकि कार्रवाई के निश्चित बिंदु हो सकते हैं। इसका एक उदाहरण किसी उत्पाद पर कार्य करने वाला क्रम 2 का चक्रीय समूह है X × X मोड़ क्रिया द्वारा जहां गैर-पहचान तत्व कार्य करता है (x, y) ↦ (y, x). इस प्रकार X और X/G के मूलभूत समूहों के बीच संबंध का अध्ययन इतना सीधा नहीं है।

हालाँकि समूह G, X के मूलभूत समूह समूह पर कार्य करता है, और इसलिए अध्ययन को समूह समूह पर कार्य करने वाले समूहों और संबंधित कक्षा समूह पर विचार करके सबसे अच्छा नियंत्रित किया जाता है। इसके लिए सिद्धांत नीचे उल्लिखित पुस्तक टोपोलॉजी और ग्रुपोइड्स के अध्याय 11 में निर्धारित किया गया है। मुख्य परिणाम यह है कि हॉसडॉर्फ़ अंतरिक्ष समूह जी की कार्रवाई से उस समूह का निर्माण होता है। इससे स्पष्ट गणना होती है, उदाहरण के लिए किसी स्थान के सममित वर्ग के मूल समूह का।

परिभाषा
होने देना $$p:E \rightarrow X$$ एक आवरण हो. एक डेक परिवर्तन एक होमोमोर्फिज्म है $$d:E \rightarrow E$$, जैसे कि सतत मानचित्रों का आरेख आवागमन. मानचित्रों की संरचना के साथ, डेक परिवर्तन का सेट एक समूह बनाता है (गणित) $$\operatorname{Deck}(p)$$, जो वैसा ही है $$\operatorname{Aut}(p)$$.

अब मान लीजिए $$p:C \to X$$ एक कवरिंग मैप है और $$C$$ (और इसलिए भी $$X$$) जुड़ा हुआ है और स्थानीय रूप से पथ जुड़ा हुआ है। की कार्रवाई $$\operatorname{Aut}(p)$$ प्रत्येक फाइबर पर समूह क्रिया (गणित)#क्रियाओं के उल्लेखनीय गुण हैं। यदि यह क्रिया समूह क्रिया (गणित)#कुछ तंतुओं पर क्रियाओं का उल्लेखनीय गुण है, तो यह सभी तंतुओं पर सकर्मक है, और हम आवरण को नियमित (या सामान्य या गैलोइस) कहते हैं। ऐसा प्रत्येक नियमित कवर एक प्रमुख बंडल|प्रिंसिपल है $G$-bundle, कहाँ $$G = \operatorname{Aut}(p)$$ एक असतत टोपोलॉजिकल समूह के रूप में माना जाता है।

हर सार्वभौमिक आवरण $$p:D \to X $$ नियमित है, डेक परिवर्तन समूह मौलिक समूह के समरूपी है $\pi_1(X)$.

उदाहरण

 * होने देना $$q : S^1 \to S^1$$ आवरण हो $$q(z)=z^{n}$$ कुछ के लिए $$n \in \mathbb{N} $$, फिर नक्शा $$d_k:S^1 \rightarrow S^1 : z \mapsto z \, e^{2\pi ik/n} $$ एक डेक परिवर्तन है और $$\operatorname{Deck}(q)\cong \mathbb{Z}/ \mathbb{nZ}$$.
 * होने देना $$r : \mathbb{R} \to S^1$$ आवरण हो $$r(t)=(\cos(2 \pi t), \sin(2 \pi t))$$, फिर नक्शा $$d_k:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} : t \mapsto t + k$$ साथ $$k \in \mathbb{Z}$$ एक डेक परिवर्तन है और $$\operatorname{Deck}(r)\cong \mathbb{Z}$$.
 * एक अन्य महत्वपूर्ण उदाहरण के रूप में, विचार करें $$\Complex$$ जटिल विमान और $$\Complex^{\times}$$ जटिल तल शून्य से मूल। फिर नक्शा $$p: \Complex^{\times} \to \Complex^{\times}$$ साथ $$ p(z) = z^{n} $$ एक नियमित आवरण है. डेक परिवर्तनों के साथ गुणन होता है $$n$$-एकता की जड़ और डेक परिवर्तन समूह इसलिए चक्रीय समूह के लिए समरूपी है $$\Z/n\Z$$. इसी प्रकार, मानचित्र $$\exp : \Complex \to \Complex^{\times}$$ साथ $$\exp(z) = e^{z}$$ सार्वभौमिक आवरण है.

गुण
होने देना $$X$$ एक पथ-संबद्ध स्थान बनें और $$p:E \rightarrow X$$ एक जुड़ा हुआ आवरण हो. डेक परिवर्तन के बाद से $$d:E \rightarrow E$$ बिजेक्शन है, यह फाइबर के तत्वों को क्रमपरिवर्तित करता है $$p^{-1}(x)$$ साथ $$x \in X$$ और यह विशिष्ट रूप से इस बात से निर्धारित होता है कि यह एक बिंदु को कहां भेजता है। विशेष रूप से, केवल पहचान मानचित्र ही फ़ाइबर में एक बिंदु तय करता है। इस गुण के कारण प्रत्येक डेक परिवर्तन एक समूह कार्रवाई को परिभाषित करता है $$E$$, यानी चलो $$U \subset X$$ का एक खुला पड़ोस हो $$x \in X$$ और $$\tilde U \subset E$$ एक का खुला पड़ोस $$e \in p^{-1}(x)$$, तब $$\operatorname{Deck}(p) \times E \rightarrow E: (d,\tilde U)\mapsto d(\tilde U)$$ एक समूह क्रिया है.

परिभाषा
एक आवरण $$p:E \rightarrow X$$ सामान्य कहा जाता है, यदि $$\operatorname{Deck}(p) \backslash E \cong X$$. इसका मतलब है, कि हर किसी के लिए $$x \in X$$ और कोई दो $$e_0,e_1 \in p^{-1}(x)$$ वहाँ एक डेक परिवर्तन मौजूद है $$d:E \rightarrow E$$, ऐसा है कि $$d(e_0)=e_1$$.

गुण
होने देना $$X$$ एक पथ-संबद्ध स्थान बनें और $$p:E \rightarrow X$$ एक जुड़ा हुआ आवरण हो. होने देना $$H=p_{\#}(\pi_1(E))$$ का एक उपसमूह बनें $$\pi_1(X)$$, तब $$p$$ यह एक सामान्य कवरिंग आईएफएफ है $$H$$ का एक सामान्य उपसमूह है $$\pi_1(X)$$.

अगर $$p:E \rightarrow X$$ एक सामान्य आवरण है और $$H=p_{\#}(\pi_1(E))$$, तब $$\operatorname{Deck}(p) \cong \pi_1(X)/H$$.

अगर $$p:E \rightarrow X$$ एक पथ से जुड़ा आवरण है और $$H=p_{\#}(\pi_1(E))$$, तब $$\operatorname{Deck}(p) \cong N(H)/H$$, जिससे $$N(H)$$ का सामान्यीकरणकर्ता है $$H$$.

होने देना $$E$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें। एक समूह $$\Gamma$$ लगातार कार्य करता है $$E$$, यदि प्रत्येक $$e \in E$$ एक खुला पड़ोस है $$V \subset E$$ साथ $$V \neq \empty$$, ऐसा कि हर किसी के लिए $$\gamma \in \Gamma$$ साथ $$\gamma V \cap V \neq \empty$$ किसी के पास $$d_1 = d_2$$.

यदि कोई समूह $$\Gamma$$ टोपोलॉजिकल स्पेस पर लगातार कार्य करता है $$E$$, फिर भागफल मानचित्र (टोपोलॉजी) $$q: E \rightarrow \Gamma \backslash E $$ साथ $$q(e)=\Gamma e$$ एक सामान्य आवरण है. इसके द्वारा $$\Gamma \backslash E = \{\Gamma e: e \in E\}$$ भागफल स्थान (टोपोलॉजी) है और $$\Gamma e = \{\gamma(e):\gamma \in \Gamma\}$$ समूह क्रिया की कक्षा (समूह सिद्धांत) है।

उदाहरण

 * आवरण $$q : S^1 \to S^1 $$ साथ $$q(z)=z^{n}$$ हर किसी के लिए एक सामान्य आवरण है $$n \in \mathbb{N}$$.
 * प्रत्येक सरलता से जुड़ा आवरण एक सामान्य आवरण है।

गणना
होने देना $$\Gamma$$ एक समूह बनें, जो टोपोलॉजिकल स्पेस पर लगातार कार्य करता है $$E$$ और जाने $$q: E \rightarrow \Gamma \backslash E $$ सामान्य आवरण बनें.


 * अगर $$E$$ तो, पथ-संबंधित है $$\operatorname{Deck}(q) \cong \Gamma$$.


 * अगर $$E$$ तो, बस जुड़ा हुआ है $$\operatorname{Deck}(q)\cong \pi_1(\Gamma \backslash E)$$.

उदाहरण

 * होने देना $$n \in \mathbb{N}$$. एंटीपोडल मानचित्र $$g:S^n \rightarrow S^n$$ साथ $$g(x)=-x$$ मानचित्रों की संरचना के साथ मिलकर एक समूह उत्पन्न करता है $$D(g) \cong \mathbb{Z/2Z}$$ और एक समूह कार्रवाई को प्रेरित करता है $$D(g) \times S^n \rightarrow S^n, (g,x)\mapsto g(x)$$, जो लगातार कार्य करता है $$S^n$$. की वजह से $$\mathbb{Z_2} \backslash S^n \cong \mathbb{R}P^n$$ यह इस प्रकार है, कि भागफल मानचित्र $$q : S^n \rightarrow \mathbb{Z_2}\backslash S^n \cong \mathbb{R}P^n$$ एक सामान्य आवरण है और के लिए $$n > 1$$ इसलिए, एक सार्वभौमिक आवरण $$\operatorname{Deck}(q)\cong \mathbb{Z/2Z}\cong \pi_1({\mathbb{R}P^n})$$ के लिए $$n > 1$$.
 * होने देना $$\mathrm{SO}(3)$$ विशेष ऑर्थोगोनल समूह बनें, फिर मानचित्र $$f : \mathrm{SU}(2) \rightarrow \mathrm{SO}(3) \cong \mathbb{Z_2} \backslash \mathrm{SU}(2)$$ एक सामान्य आवरण है और इसकी वजह से $$\mathrm{SU}(2) \cong S^3$$, इसलिए, यह सार्वभौमिक आवरण है $$\operatorname{Deck}(f) \cong \mathbb{Z/2Z} \cong \pi_1(\mathrm{SO}(3))$$.
 * समूह कार्रवाई के साथ $$(z_1,z_2)*(x,y)=(z_1+(-1)^{z_2}x,z_2+y)$$ का $$\mathbb{Z^2}$$ पर $$\mathbb{R^2}$$, जिससे $$(\mathbb{Z^2},*)$$ अर्धप्रत्यक्ष उत्पाद है $$\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z} $$, व्यक्ति को सार्वभौमिक आवरण प्राप्त होता है $$f: \mathbb{R^2} \rightarrow (\mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z}) \backslash \mathbb{R^2} \cong K $$ क्लेन बोतल का $$K$$, इस तरह $$\operatorname{Deck}(f) \cong \mathbb{Z} \rtimes \mathbb{Z} \cong \pi_1(K)$$.
 * होने देना $$T = S^1 \times S^1$$ टोरस#टोपोलॉजी बनें जो इसमें अंतर्निहित है $$\mathbb{C^2}$$. तब व्यक्ति को एक समरूपता प्राप्त होती है $$\alpha: T \rightarrow T: (e^{ix},e^{iy}) \mapsto (e^{i(x+\pi)},e^{-iy})$$, जो एक असंतत समूह कार्रवाई को प्रेरित करता है $$G_{\alpha} \times T \rightarrow T$$, जिससे $$G_{\alpha} \cong \mathbb{Z/2Z}$$. यह इस प्रकार है, कि मानचित्र $$f: T \rightarrow G_{\alpha} \backslash T \cong K$$ इसलिए, यह क्लेन बोतल का एक सामान्य आवरण है $$\operatorname{Deck}(f) \cong \mathbb{Z/2Z}$$.
 * होने देना $$S^3$$ में सन्निहित हो $$\mathbb{C^2}$$. समूह कार्रवाई के बाद से $$S^3 \times \mathbb{Z/pZ} \rightarrow S^3: ((z_1,z_2),[k]) \mapsto (e^{2 \pi i k/p}z_1,e^{2 \pi i k q/p}z_2)$$ असंतत रूप से है, जिससे $$p,q \in \mathbb{N}$$ सहअभाज्य पूर्णांक हैं, मानचित्र $$f:S^3 \rightarrow \mathbb{Z_p} \backslash S^3 =: L_{p,q}$$ लेंस स्थान का सार्वभौमिक आवरण है $$L_{p,q}$$, इस तरह $$\operatorname{Deck}(f) \cong \mathbb{Z/pZ} \cong \pi_1(L_{p,q})$$.

गैलोइस पत्राचार
होने देना $$X$$ एक कनेक्टेड और स्थानीय रूप से बस कनेक्टेड स्पेस स्पेस बनें, फिर प्रत्येक उपसमूह के लिए $$H\subseteq \pi_1(X)$$ वहाँ एक पथ-संबद्ध आवरण मौजूद है $$\alpha:X_H \rightarrow X$$ साथ $$\alpha_{\#}(\pi_1(X_H))=H$$.

होने देना $$p_1:E \rightarrow X$$ और $$p_2: E' \rightarrow X$$ दो पथ-संबंधित आवरण हों, तो वे उपसमूहों के समतुल्य हैं $$H = p_{1\#}(\pi_1(E))$$ और $$H'=p_{2\#}(\pi_1(E'))$$ एक दूसरे से संयुग्मन वर्ग#परिभाषा हैं।

होने देना $$X$$ एक जुड़ा हुआ और स्थानीय रूप से बस जुड़ा हुआ स्थान हो, फिर, आवरणों के बीच समानता तक, एक आपत्ति है:

$$ \begin{matrix} \qquad \displaystyle \{\text{Subgroup of }\pi_1(X)\} & \longleftrightarrow & \displaystyle \{\text{path-connected covering } p:E \rightarrow X\} \\ H & \longrightarrow & \alpha:X_H \rightarrow X \\ p_\#(\pi_1(E))&\longleftarrow & p \\ \displaystyle \{\text{normal subgroup of }\pi_1(X)\} & \longleftrightarrow & \displaystyle \{\text{normal covering } p:E \rightarrow X\} \\ H & \longrightarrow & \alpha:X_H \rightarrow X \\ p_\#(\pi_1(E))&\longleftarrow & p  \end{matrix} $$ उपसमूहों के अनुक्रम के लिए $$ \displaystyle \{\text{e}\} \subset H \subset G \subset \pi_1(X) $$ व्यक्ति को आवरणों का एक क्रम मिलता है $$ \tilde X \longrightarrow X_H \cong H \backslash \tilde X \longrightarrow X_G \cong G \backslash \tilde X \longrightarrow X\cong \pi_1(X) \backslash \tilde X $$. एक उपसमूह के लिए $$ H \subset \pi_1(X) $$ एक समूह के सूचकांक के साथ $$ \displaystyle[\pi_1(X):H] = d $$, आवरण $$ \alpha:X_H \rightarrow X $$ की डिग्री है $$d$$.

कवर करने की श्रेणी
पत्र $$X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें। श्रेणी सिद्धांत की वस्तुएँ$$\boldsymbol{Cov(X)}$$आवरण हैं $$p:E \rightarrow X$$ का $$X$$ और दो आवरणों के बीच रूपवाद (श्रेणी सिद्धांत)। $$p:E \rightarrow X$$ और $$q:F\rightarrow X$$ सतत मानचित्र हैं $$f:E \rightarrow F$$, जैसे कि आरेख आवागमन.

जी-सेट
होने देना $$G$$ एक टोपोलॉजिकल समूह बनें। श्रेणी सिद्धांत $$\boldsymbol{G-Set}$$ सेट की श्रेणी है जो जी-सेट|जी-सेट हैं। आकारिकी समूह क्रिया#जी-सेटों के बीच आकारिकी और समरूपताएं हैं|जी-मानचित्र $$\phi:X \rightarrow Y$$ जी-सेट के बीच. वे शर्त पूरी करते हैं $$\phi(gx)=g \, \phi(x)$$ हरएक के लिए $$g \in G$$.

समतुल्यता
होने देना $$X$$ एक जुड़ा हुआ और स्थानीय रूप से बस जुड़ा हुआ स्थान बनें, $$x \in X$$ और $$G = \pi_1(X,x)$$ का मौलिक समूह बनें $$X$$. तब से $$G$$ पथों को उठाकर और लिफ्ट के अंतिम बिंदु पर मूल्यांकन करके, आवरण के तंतु पर एक समूह क्रिया को परिभाषित करता है, ऑपरेटर $$F:\boldsymbol{Cov(X)} \longrightarrow \boldsymbol{G-Set}: p \mapsto p^{-1}(x)$$ श्रेणियों की तुल्यता है.

अनुप्रयोग
[[Image:Rotating gimbal-xyz.gif|thumb|300px|[[जिम्बल लॉक]] किसी भी मानचित्र के कारण होता है T3 → RP3 कोई कवरिंग मानचित्र नहीं है. विशेष रूप से, प्रासंगिक मानचित्र T के किसी भी तत्व को वहन करता है3, यानी, कोणों का एक क्रमित त्रिगुण (ए,बी,सी) (वास्तविक संख्या मॉड 2)$\pi$), तीन समन्वय अक्ष घूर्णन आर की संरचना के लिएx(ए)∘आरy(बी)∘आरz(सी) क्रमशः उन कोणों से। इनमें से प्रत्येक घूर्णन, और उनकी संरचना, घूर्णन समूह SO(3) का एक तत्व है, जो टोपोलॉजिकली आरपी है3.

यह एनीमेशन तीन गिंबल्स का एक सेट दिखाता है जो तीन डिग्री की स्वतंत्रता की अनुमति देने के लिए एक साथ लगाए गए हैं। जब सभी तीन जिम्बल पंक्तिबद्ध होते हैं (एक ही विमान में), तो सिस्टम इस कॉन्फ़िगरेशन से केवल दो आयामों में आगे बढ़ सकता है, तीन में नहीं, और जिम्बल लॉक में होता है। इस मामले में यह पिच या यॉ कर सकता है, लेकिन लुढ़क नहीं सकता (उस तल में घूम सकता है जिसमें सभी अक्ष स्थित हैं)।]]रिक्त स्थान को कवर करने का एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक अनुप्रयोग SO(3), रोटेशन समूह SO(3) पर चार्ट में होता है। मार्गदर्शन, समुद्री इंजीनियरिंग और  अंतरिक्ष इंजिनीयरिंग  सहित कई अन्य उपयोगों में 3-आयामी घुमावों का भारी उपयोग होने के कारण, यह समूह इंजीनियरिंग में व्यापक रूप से पाया जाता है। टोपोलॉजिकली, SO(3) वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान RP है3, मौलिक समूह Z/2 के साथ, और केवल (गैर-तुच्छ) हाइपरस्फीयर S स्थान को कवर करता है3, जो समूह स्पिन समूह|स्पिन(3) है, और इकाई चतुर्भुज द्वारा दर्शाया गया है। इस प्रकार स्थानिक घूर्णन का प्रतिनिधित्व करने के लिए चतुर्भुज एक पसंदीदा तरीका है - चतुर्भुज और स्थानिक घूर्णन देखें।

हालाँकि, घुमावों को तीन संख्याओं के एक सेट द्वारा प्रस्तुत करना अक्सर वांछनीय होता है, जिसे यूलर कोण (कई रूपों में) के रूप में जाना जाता है, क्योंकि यह समतलीय घुमाव से परिचित किसी व्यक्ति के लिए अवधारणात्मक रूप से सरल है, और क्योंकि कोई तीन गिंबल्स का संयोजन बना सकता है तीन आयामों में घूर्णन उत्पन्न करें। टोपोलॉजिकल रूप से यह 3-टोरस टी के मानचित्र से मेल खाता हैवास्तविक प्रक्षेप्य स्थान आरपी के तीन कोणों में से 33परिवर्तन, और परिणामी मानचित्र में खामियां हैं क्योंकि यह मानचित्र एक कवरिंग मानचित्र बनने में असमर्थ है। विशेष रूप से, कुछ बिंदुओं पर स्थानीय होमोमोर्फिज्म होने में मानचित्र की विफलता को जिम्बल लॉक के रूप में जाना जाता है, और इसे दाईं ओर एनीमेशन में प्रदर्शित किया जाता है - कुछ बिंदुओं पर (जब अक्ष समतलीय होते हैं) रैंक (अंतर टोपोलॉजी) मानचित्र 3 के बजाय 2 है, जिसका अर्थ है कि कोणों को बदलकर उस बिंदु से घूर्णन के केवल 2 आयामों को महसूस किया जा सकता है। यह अनुप्रयोगों में समस्याएँ पैदा करता है, और इसे कवरिंग स्पेस की धारणा द्वारा औपचारिक रूप दिया जाता है।

यह भी देखें

 * बेथे जाली केली ग्राफ का सार्वभौमिक आवरण है
 * कवरिंग ग्राफ़, एक अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के लिए एक कवरिंग स्पेस, और इसका विशेष मामला द्विदलीय डबल कवर
 * कवरिंग ग्रुप
 * गैलोइस कनेक्शन
 * भागफल स्थान (टोपोलॉजी)