ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज

यूक्लिडियन ज्यामिति में, एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज एक चतुर्भुज होता है जिसमें विकर्ण समकोण पर पार करते हैं। दूसरे शब्दों में, यह एक चार-पक्षीय आकृति है जिसमें गैर-आसन्न शीर्ष (ज्यामिति) के बीच के रेखा खंड एक दूसरे के लिए ओर्थोगोनल (लंबवत) होते हैं।

विशेष मामले
एक पतंग (ज्यामिति) एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज है जिसमें एक विकर्ण समरूपता की एक रेखा है। पतंग बिल्कुल ओर्थोडायगोनल चतुर्भुज होते हैं जिनमें उनके चारों तरफ एक स्पर्शरेखा होती है; अर्थात्, पतंग स्पर्शरेखा चतुर्भुज ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज हैं। समचतुर्भुज समानांतर (ज्यामिति) भुजाओं के दो युग्मों वाला एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज है (अर्थात, एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज जो एक समांतर चतुर्भुज भी है)।

एक वर्ग (ज्यामिति) एक पतंग और एक विषमकोण  दोनों का एक सीमित मामला है।

ऑर्थोडाइगोनल इक्विडायगोनल चतुर्भुज चतुर्भुज जिसमें विकर्ण कम से कम उतने लंबे होते हैं जितने चतुर्भुज के सभी पक्षों में उनके व्यास के लिए अधिकतम क्षेत्र होते हैं, सबसे बड़ी छोटी बहुभुज समस्या के n = 4 मामले को हल करते हैं। वर्ग ऐसा ही एक चतुर्भुज है, लेकिन अन्य अनेक चतुर्भुज भी हैं। एक ओर्थोडायगोनल चतुर्भुज, जो समविषम भी है, एक मिडस्क्वेयर चतुर्भुज है क्योंकि इसका वैरिग्नन समांतर चतुर्भुज एक वर्ग है। इसका क्षेत्रफल विशुद्ध रूप से इसकी भुजाओं के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।

लक्षण वर्णन
किसी भी ओर्थोडायगोनल चतुर्भुज के लिए, दो विपरीत भुजाओं के वर्गों का योग अन्य दो विपरीत भुजाओं के बराबर होता है: क्रमिक भुजाओं a, b, c, और d के लिए, हमारे पास है
 * $$\displaystyle a^2+c^2=b^2+d^2. $$

यह पाइथागोरस प्रमेय से अनुसरण करता है, जिसके द्वारा दो वर्गों के इन दो योगों में से किसी एक को चतुर्भुज के शीर्षों से उस बिंदु तक चार वर्गों की दूरी के योग के बराबर विस्तारित किया जा सकता है जहां विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं। विलोम (तर्क), कोई भी चतुर्भुज जिसमें a2 + सी2 = बी2 + डी2 ऑर्थोडायगोनल होना चाहिए। यह कई तरीकों से गणितीय प्रमाण हो सकता है, जिसमें कोसाइन के नियम, यूक्लिडियन वेक्टर, विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण और जटिल संख्याएँ शामिल हैं। एक उत्तल बहुभुज चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि दो चतुर्भुज # विशेष रेखा खंडों की लंबाई समान हो।

एक अन्य विशेषता के अनुसार, एक उत्तल चतुर्भुज ABCD के विकर्ण लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि
 * $$\angle PAB + \angle PBA + \angle PCD + \angle PDC = \pi$$

जहाँ P विकर्णों का प्रतिच्छेदन बिंदु है। इस समीकरण से यह लगभग तुरंत ही पता चलता है कि उत्तल चतुर्भुज के विकर्ण लंबवत होते हैं यदि और केवल यदि चतुर्भुज के किनारों पर विकर्ण चौराहे का प्रक्षेपण (गणित) एक चक्रीय चतुर्भुज के शीर्ष हैं। एक उत्तल चतुर्भुज ऑर्थोडायगोनल होता है यदि और केवल यदि इसका वैरिग्नन समांतर चतुर्भुज (जिसके कोने इसके पक्षों के मध्य बिंदु हैं) एक आयत है। एक संबंधित विशेषता बताती है कि एक उत्तल चतुर्भुज ओर्थोडायगोनल है अगर और केवल अगर पक्षों के मध्य बिंदु और चार चतुर्भुज#विशेष रेखा खंडों के पैर आठ चक्रीय बिंदु हैं; आठ बिंदु चक्र। इस वृत्त का केंद्र चतुर्भुज#चतुर्भुज का विशेष रेखाखंड है। गणों के पादों से बनने वाले चतुर्भुज को 'प्रिंसिपल ऑर्थिक चतुर्भुज' कहा जाता है। यदि विकर्ण चौराहों के माध्यम से एक उत्तल चतुर्भुज एबीसीडी के किनारों पर सामान्य (ज्यामिति) आर, एस, टी, यू, और के, एल, एम, एन में विपरीत पक्षों को छेड़छाड़ करते हैं, तो एबीसीडी ऑर्थोडायगोनल है यदि और केवल यदि आठ बिंदु K, L, M, N, R, S, T और U चक्रीय हैं; दूसरा आठ बिंदु चक्र। एक संबंधित लक्षण वर्णन बताता है कि एक उत्तल चतुर्भुज ऑर्थोडायगोनल है अगर और केवल अगर आरएसटीयू एक आयत है जिसका पक्ष एबीसीडी के विकर्णों के समानांतर है।

विकर्ण चौराहा P और एक उत्तल चतुर्भुज ABCD के शीर्षों द्वारा गठित चार त्रिभुजों के संबंध में कई मैट्रिक्स लक्षण वर्णन हैं। एम द्वारा चिह्नित1, एम2, एम3, एम4 त्रिभुज ABP, BCP, CDP, DAP में P से भुजाओं AB, BC, CD, DA में माध्यिका (ज्यामिति)। अगर आर1, आर2, आर3, आर4 और वह1, एच2, एच3, एच4 इन त्रिभुजों के क्रमशः परिधि और ऊँचाई (त्रिकोण) की त्रिज्या को निरूपित करें, तो चतुर्भुज ABCD ऑर्थोडायगोनल है यदि और केवल यदि निम्न में से कोई एक समानता रखती है: * $$m_1^2+m_3^2=m_2^2+m_4^2$$ इसके अलावा, विकर्णों के प्रतिच्छेदन P के साथ एक चतुर्भुज ABCD ऑर्थोडायगोनल है यदि और केवल यदि त्रिभुज ABP, BCP, CDP और DAP के परिकेन्द्र चतुर्भुज की भुजाओं के मध्य बिंदु हैं।
 * $$R_1^2+R_3^2=R_2^2+R_4^2$$
 * $$\frac{1}{h_1^2}+\frac{1}{h_3^2}=\frac{1}{h_2^2}+\frac{1}{h_4^2}$$

एक स्पर्शरेखा चतुर्भुज के साथ तुलना
स्पर्शरेखा चतुर्भुज और ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के कुछ मीट्रिक लक्षण दिखने में बहुत समान हैं, जैसा कि इस तालिका में देखा जा सकता है। भुजाओं a, b, c, d, परित्रिज्या R पर अंकन1, आर2, आर3, आर4, और ऊंचाई एच1, एच2, एच3, एच4 दोनों प्रकार के चतुर्भुजों में उपरोक्त के समान हैं।

क्षेत्र
एक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज का क्षेत्रफल K, विकर्णों p और q की लंबाई के आधे गुणनफल के बराबर होता है:
 * $$K = \frac{pq}{2}.$$

इसके विपरीत, कोई भी उत्तल चतुर्भुज जहां इस सूत्र के साथ क्षेत्रफल की गणना की जा सकती है, ऑर्थोडायगोनल होना चाहिए। दिए गए विकर्णों वाले सभी उत्तल चतुर्भुजों में ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होता है।

अन्य गुण

 * ओर्थोडायगोनल चतुर्भुज एकमात्र ऐसा चतुर्भुज है जिसके लिए विकर्णों द्वारा निर्मित भुजाएँ और कोण विशिष्ट रूप से क्षेत्र का निर्धारण नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, दो समचतुर्भुज, दोनों की उभयनिष्ठ भुजा a (और, सभी समचतुर्भुजों की तरह, दोनों के विकर्णों के बीच एक समकोण है), लेकिन एक में दूसरे की तुलना में एक छोटा तीव्र कोण है, के अलग-अलग क्षेत्र हैं (पूर्व का क्षेत्रफल शून्य की ओर बढ़ रहा है) जब न्यूनकोण शून्य की ओर अग्रसर होता है)।
 * यदि वर्ग किसी भी चतुर्भुज (उत्तल, अवतल, या पार) के किनारों पर बाहर की ओर खड़े होते हैं, तो उनका केंद्र (ज्यामिति) (सेंट्रोइड्स) एक ओर्थोडायगोनल चतुर्भुज के शीर्ष होते हैं जो समबाहु चतुर्भुज भी होता है (अर्थात, के विकर्ण होते हैं) समान लंबाई)। इसे वैन औबेल प्रमेय कहा जाता है।
 * एक ओर्थोडायगोनल चतुर्भुज के प्रत्येक पक्ष में पास्कल पॉइंट सर्कल के साथ कम से कम एक सामान्य बिंदु होता है।

ऑर्थोडाइगोनल चतुर्भुज के गुण जो चक्रीय
भी हैं

परिधि और क्षेत्रफल
एक चक्रीय चतुर्भुज ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज (जिसे एक वृत्त में अंकित किया जा सकता है) के लिए, मान लीजिए कि विकर्णों का प्रतिच्छेदन एक विकर्ण को लंबाई p के खंडों में विभाजित करता है1 और पी2 और दूसरे विकर्ण को लंबाई q के खंडों में विभाजित करता है1 और क्यू2. तब (पहली समानता आर्किमिडीज़ की लेम्मास की पुस्तक में प्रस्ताव 11 है)
 * $$D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2$$

जहाँ D परिवृत्त का व्यास है। यह धारण करता है क्योंकि विकर्ण लम्बवत वृत्त # जीवा हैं। इन समीकरणों से परित्रिज्या व्यंजक प्राप्त होता है
 * $$R = \tfrac{1}{2}\sqrt{p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2}$$

या, चतुर्भुज की भुजाओं के संदर्भ में, जैसे :$$R = \tfrac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}=\tfrac{1}{2}\sqrt{b^2+d^2}.$$ इसका अनुसरण भी करता है :$$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$$ इस प्रकार, Quadrilateral#Diagonals|Euler's चतुर्भुज प्रमेय के अनुसार, परिवृत्त को विकर्णों p और q के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, और विकर्णों के मध्यबिंदुओं के बीच की दूरी x के रूप में व्यक्त की जा सकती है
 * $$R = \sqrt{\frac{p^2+q^2+4x^2}{8}}\,.$$

एक चक्रीय ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के क्षेत्रफल K के लिए चार भुजाओं के संदर्भ में एक सूत्र सीधे प्राप्त होता है जब चक्रीय चतुर्भुज#Diagonals|टॉलेमी के प्रमेय और ओर्थोडायगोनल चतुर्भुज#क्षेत्र के लिए सूत्र का संयोजन किया जाता है। परिणाम है
 * $$ K=\tfrac{1}{2}(ac+bd). $$

अन्य गुण

 * चक्रीय ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज में, चक्रीय चतुर्भुज#एंटीसेंटर और संरेखता उस बिंदु के साथ मेल खाते हैं जहां विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं। *ब्रह्मगुप्त के प्रमेय में कहा गया है कि एक चक्रीय ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के लिए, विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु के माध्यम से किसी भी ओर से लंबवत विपरीत दिशा को समद्विभाजित करता है। *यदि एक ओर्थोडायगोनल चतुर्भुज भी चक्रीय है, तो किसी भी पक्ष के परिकेंद्र (परिवृत्त वृत्त का केंद्र) से दूरी विपरीत दिशा की आधी लंबाई के बराबर होती है। *एक चक्रीय ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज में, विकर्णों के मध्य बिंदुओं के बीच की दूरी परिकेन्द्र और उस बिंदु के बीच की दूरी के बराबर होती है जहां विकर्ण प्रतिच्छेद करते हैं।

उत्कीर्ण आयतों के अनंत सेट
प्रत्येक ऑर्थोडायगोनल चतुर्भुज के लिए, हम आयतों के दो अनंत सेट लिख सकते हैं:
 * (i) आयतों का एक समूह जिसकी भुजाएँ चतुर्भुज के विकर्णों के समानांतर होती हैं
 * (ii) पास्कल-पॉइंट सर्किल द्वारा परिभाषित आयतों का एक सेट।