परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण

गणित में, परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण समूह सिद्धांत का एक परिणाम है जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक परिमित सरल समूह या तो चक्रीय है, या वैकल्पिक है, या यह एक विस्तृत अनंत वर्ग से संबंधित है जिसे झूठ प्रकार के समूह कहा जाता है, या फिर यह इनमें से एक है छब्बीस या सत्ताईस अपवाद, छिटपुट कहलाते हैं। प्रमाण में लगभग 100 लेखकों द्वारा लिखे गए कई सौ जर्नल लेखों में हजारों पृष्ठ हैं, जो अधिकत्तर 1955 और 2004 के बीच प्रकाशित हुए हैं।

सरल समूहों को सभी परिमित समूह के मूलभूत निर्माण खंडों के रूप में देखा जा सकता है जिस तरह से अभाज्य संख्याएँ प्राकृतिक संख्याओं के मूल निर्माण खंड हैं। जॉर्डन-होल्डर प्रमेय परिमित समूहों के बारे में इस तथ्य को बताने का एक अधिक स्पष्ट विधि है। चूँकि पूर्णांक गुणनखंड से एक महत्वपूर्ण अंतर यह है कि ऐसे बिल्डिंग ब्लॉक्स एक अद्वितीय समूह को आवश्यक रूप से निर्धारित नहीं करते हैं क्योंकि एक ही रचना श्रृंखला के साथ कई गैर-समरूपी समूह हो सकते हैं या दूसरे तरीके से कहें तो समूह विस्तार या विस्तार समस्या नहीं है एक अनूठा समाधान है।

डेनियल गोरेंस्टीन (d.1992) रिचर्ड ल्योंस (गणितज्ञ) और रोनाल्ड सोलोमन धीरे-धीरे प्रमाण का एक सरलीकृत और संशोधित संस्करण प्रकाशित कर रहे हैं।

वर्गीकरण प्रमेय का कथन
वर्गीकरण प्रमेय में गणित की कई शाखाओं में अनुप्रयोग हैं क्योंकि परिमित समूहों की संरचना (और अन्य गणितीय वस्तुओं पर उनकी क्रिया) के बारे में प्रश्नों को कभी-कभी परिमित सरल समूहों के प्रश्नों के रूप में कम किया जा सकता है। वर्गीकरण प्रमेय के लिए धन्यवाद, कभी-कभी साधारण समूहों के प्रत्येक वर्ग और प्रत्येक छिटपुट समूह की जाँच करके ऐसे प्रश्नों का उत्तर दिया जा सकता है।

डैनियल गोरेंस्टीन ने 1983 में घोषणा की कि परिमित सरल समूहों को सभी वर्गीकृत किया गया था चूँकि यह समय से पहले था क्योंकि उन्हें क्वासिथिन समूह के वर्गीकरण के प्रमाण के बारे में गलत जानकारी दी गई थी। वर्गीकरण का पूर्ण प्रमाण किसके द्वारा घोषित किया गया था एशबैकर और स्मिथ द्वारा लापता क्वासिथिन स्थिति के लिए 1221-पृष्ठ का प्रमाण प्रकाशित करने के बाद है ।

वर्गीकरण प्रमेय के प्रमाण का अवलोकन
ने प्रमाण के निम्न पद और विचित्र विशेषता भाग को रेखांकित करते हुए दो खंड लिखे, और शेष विशेषता 2 स्थिति को कवर करते हुए एक तीसरा खंड लिखा। प्रमाण को कई प्रमुख टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है:

छोटे 2-पद के समूह
एक समूह के निम्न पद के सरल समूह या सामान्यीकरण और संबंधित धारणाएं 2-पद अधिकत्तर विचित्र विशेषता के क्षेत्रों पर झूठ प्रकार के छोटे पद के समूह होते हैं साथ में पांच वैकल्पिक और सात विशेषता 2 प्रकार और नौ छिटपुट समूह होते हैं।

छोटे 2-पद के साधारण समूहों में सम्मिलित हैं: छोटे 2-पद के समूहों का वर्गीकरण, विशेष रूप से अधिकतम 2 पद साधारण और मॉड्यूलर चरित्र सिद्धांत का भारी उपयोग करता है जो वर्गीकरण में कहीं और सीधे उपयोग नहीं किया जाता है।
 * 2-पद 0 के समूह दूसरे शब्दों में विषम क्रम के समूह जो सभी फीट-थॉम्पसन प्रमेय द्वारा हल करने योग्य समूह हैं।
 * 2-पद 1 के समूह साइलो 2-उपसमूह या तो चक्रीय होते हैं जिन्हें स्थानांतरण मानचित्र का उपयोग करके संभालना आसान होता है, या सामान्यीकृत चतुष्कोण जिन्हें ब्राउर-सुजुकी प्रमेय के साथ नियंत्रित किया जाता है: विशेष रूप से 2 के कोई सरल समूह नहीं हैं क्रम दो के चक्रीय समूह को छोड़कर -पद 1 है
 * 2-पद 2 के समूह एल्पेरिन ने दिखाया कि सिलो उपसमूह को डायहेड्रल क्वासिडहेड्रल, पुष्पांजलि, या U3(4).का एक सिलो 2-उपसमूह होना चाहिए। पहला स्थिति गोरेंस्टीन-वाल्टर प्रमेय द्वारा किया गया था जिसमें दिखाया गया था कि केवल सरल समूह L2(q) के लिए आइसोमोर्फिक हैं q विषम या A7 के लिए दूसरा और तीसरा स्थिति एल्परिन-ब्रुएर-गोरेंस्टीन प्रमेय द्वारा किया गया था, जिसका अर्थ है कि केवल सरल समूह L3(q) या U3(q) q के लिए आइसोमोर्फिक हैं विषम या M11 के लिए और आखिरी स्थिति ल्योंस द्वारा किया गया था जिसने दिखाया कि U3(4) एकमात्र सरल संभावना है।
 * अधिकतम 4 पर अनुभागीय 2-पद के समूह, गोरेंस्टीन-हरदा प्रमेय द्वारा वर्गीकृत।

छोटे 2 पद के नहीं सभी समूहों को दो प्रमुख वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: घटक प्रकार के समूह और विशेषता 2 प्रकार के समूह इसका कारण यह है कि यदि किसी समूह में अनुभागीय 2-पद कम से कम 5 है तो मैकविलियम्स ने दिखाया है कि इसके साइलो 2-उपसमूह जुड़े हुए हैं और संतुलन प्रमेय का अर्थ है कि जुड़ा हुआ सिलो 2-उपसमूह वाला कोई भी सरल समूह या तो घटक प्रकार या विशेषता 2 प्रकार का है. (निम्न 2-पद के समूहों के लिए इसका प्रमाण टूट जाता है क्योंकि प्रमेय जैसे संकेतक कारक प्रमेय केवल उन समूहों के लिए काम करते हैं जिनके पद के प्राथमिक एबेलियन उपसमूह कम से कम 3 हैं।)

घटक प्रकार के समूह
एक समूह को घटक प्रकार का कहा जाता है यदि किसी अंतर्वलन के कुछ केंद्रक C के लिए, C/O(C) में एक घटक होता है (जहाँ O(C) C का मूल है विषम क्रम का अधिकतम सामान्य उपसमूह)। ये कमोबेश कुछ छिटपुट समूहों के साथ बड़े पद की विचित्र विशेषता के झूठ प्रकार के समूह और वैकल्पिक समूह हैं। इस स्थिति में एक प्रमुख कदम एक समावेशन के मूल की बाधा को खत्म करना है। यह बी-प्रमेय द्वारा पूरा किया गया है, जिसमें कहा गया है कि C/O(C) का प्रत्येक घटक C के एक घटक की छवि है।

विचार यह है कि इन समूहों के पास एक घटक के साथ एक समावेशन का केंद्रीकरण होता है जो कि एक छोटा अर्ध-सरल समूह होता है, जिसे पहले से ही प्रेरण द्वारा जाना जा सकता है। तो इन समूहों को वर्गीकृत करने के लिए प्रत्येक ज्ञात परिमित सरल समूह के प्रत्येक केंद्रीय विस्तार को लेता है, और सभी सरल समूहों को एक घटक के रूप में सम्मिलित करने के केंद्रीकरण के साथ पाता है। यह जांच करने के लिए अलग-अलग स्थिति की एक बड़ी संख्या देता है: न केवल 26 छिटपुट समूह और झूठ प्रकार के समूहों के 16 वर्ग और वैकल्पिक समूह हैं चूँकि छोटे पद या छोटे क्षेत्रों के कई समूह सामान्य से अलग व्यवहार करते हैं स्थिति और अलग से व्यवहार किया जाना है और सम और विषम विशेषताओं के झूठ प्रकार के समूह भी अधिक भिन्न हैं।

विशेषता 2 प्रकार के समूह
प्रत्येक 2-स्थानीय उपसमूह Y का सामान्यीकृत फिटिंग उपसमूह F*(Y) एक 2-समूह है तो एक समूह विशेषता 2 प्रकार का है। जैसा कि नाम से पता चलता है कि ये सामान्यतः विशेषता 2 के क्षेत्रों में झूठ प्रकार के समूह हैं साथ ही कुछ मुट्ठी भर अन्य जो वैकल्पिक या छिटपुट या विषम विशेषता वाले हैं। उनके वर्गीकरण को छोटे और बड़े पद के स्थिति में विभाजित किया गया है, जहां पद विषम एबेलियन उपसमूह का सबसे बड़ा पद है जो एक गैर-तुच्छ 2-उपसमूह को सामान्य करता है जो अक्सर (चूँकि सदैव नहीं) कार्टन सबलजेब्रा के पद के समान होता है जब समूह लाई प्रकार का एक समूह है जिसकी विशेषता 2 है।

पद 1 समूह पतले समूह हैं जिन्हें एशबैकर द्वारा वर्गीकृत किया गया है और पद 2 वाले कुख्यात क्वासिथिन समूह हैं जिन्हें एशबैकर और स्मिथ द्वारा वर्गीकृत किया गया है। ये सामान्यतः लाई प्रकार के पद 1 या 2 के समूह के अनुरूप होते हैं जो विशेषता 2 के क्षेत्रों में होते हैं।

पद के कम से कम 3 के समूह को ट्राइकोटॉमी प्रमेय द्वारा 3 वर्गों में विभाजित किया गया है, पद 3 के लिए एशबैकर द्वारा और कम से कम 4 पद के लिए गोरेनस्टीन और लियोन द्वारा सिद्ध किया गया है।

तीन वर्ग जीएफ (2) प्रकार के समूह हैं (मुख्य रूप से टिम्सफेल्ड द्वारा वर्गीकृत) कुछ विषम प्राइम के लिए मानक प्रकार के समूह (गिलमैन-ग्रिस प्रमेय द्वारा वर्गीकृत और कई अन्य लोगों द्वारा काम) और विशिष्टता प्रकार के समूह जहां एक परिणाम एशबैकर का तात्पर्य है कि कोई सरल समूह नहीं हैं।

सामान्य उच्च पद के स्थिति में कम से कम 3 या 4 पद के विशेषता 2 के क्षेत्रों में अधिकत्तर झूठ प्रकार के समूह होते हैं।

सरल समूहों का अस्तित्व और विशिष्टता
वर्गीकरण का मुख्य भाग प्रत्येक सरल समूह का लक्षण वर्णन करता है। इसके बाद यह जांचना आवश्यक है कि प्रत्येक लक्षण वर्णन के लिए एक सरल समूह उपस्थित है और यह अद्वितीय है। यह बड़ी संख्या में अलग-अलग समस्याएं देता है उदाहरण के लिए राक्षस समूह के अस्तित्व और विशिष्टता के मूल प्रमाण कुल मिलाकर लगभग 200 पृष्ठ थे और थॉम्पसन और बॉम्बिएरी द्वारा री समूहों की पहचान वर्गीकरण के सबसे कठिन भागों में से एक था। कई अस्तित्व प्रमाण और छिटपुट समूहों के लिए कुछ विशिष्ट प्रमाण मूल रूप से कंप्यूटर गणनाओं का उपयोग करते थे जिनमें से अधिकांश को छोटे हस्त प्रमाणों द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

गोरेंस्टीन का कार्यक्रम
1972 में ने निम्नलिखित 16 चरणों वाले परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण को पूरा करने के लिए एक कार्यक्रम की घोषणा की:
 * 1) निम्न 2-पद के समूह यह अनिवार्य रूप से गोरेंस्टीन और हराडा द्वारा किया गया था जिन्होंने समूहों को अनुभागीय 2-पद के साथ अधिकतम 4 में वर्गीकृत किया था। गोरेनस्टीन ने अपने कार्यक्रम की घोषणा के समय तक 2-पद के अधिकांश स्थिति 2 किए गए थे।
 * 2) 2-परतों की अर्धसरलता समस्या यह सिद्ध करने के लिए है कि एक साधारण समूह में सम्मिलित होने के केंद्रक की 2-परत अर्धसरल है।
 * 3) विषम विशेषता में मानक रूप यदि किसी समूह में 2-घटक के साथ एक अंतर्वलन है जो कि झूठ प्रकार की विषम विशेषता का एक समूह है तो लक्ष्य यह दिखाना है कि इसमें मानक रूप में सम्मिलित होने का एक केंद्रक है जिसका अर्थ है कि समावेशन के एक केंद्रक में एक घटक है जो झूठ का है विषम विशेषता में टाइप करें और 2-पद 1 का केंद्रक भी है।
 * 4) विषम प्रकार के समूहों का वर्गीकरण समस्या यह दिखाने के लिए है कि यदि किसी समूह में मानक रूप में सम्मिलित होने का एक केंद्रक है तो यह लाई प्रकार की विषम विशेषता का समूह है। यह एशबैकर के मौलिक समावेशन प्रमेय द्वारा हल किया गया था।
 * 5) अर्ध-मानक रूप
 * 6) केंद्रीय निवेश
 * 7) वैकल्पिक समूहों का वर्गीकरण।
 * 8) कुछ छिटपुट समूह
 * 9) पतले समूह। साधारण पतले परिमित समूह जिनके पास विषम अभाज्य p के लिए अधिकतम 1 पर 2-स्थानीय p-पद है, को 1978 में एशबैकरद्वारा वर्गीकृत किया गया था।
 * 10) पी विषम के लिए एक शक्तिशाली पी-एम्बेडेड उपसमूह के साथ समूह
 * 11) विषम अभाज्य संख्याओं के लिए सिग्नलाइज़र कारक विधि मुख्य समस्या गैर-सॉल्वेबल सिग्नललाइज़र कारको के लिए सिग्नलाइज़र कारक प्रमेय सिद्ध करना है। इसे 1982 में मैकब्राइड द्वारा हल किया गया था।
 * 12) विशेषता पी प्रकार के समूह यह उन समूहों की समस्या है जिनमें p-एम्बेडेड 2-स्थानीय उपसमूह p विषम के साथ है जिसे एशबैकरद्वारा नियंत्रित किया गया था।
 * 13) क्वासिथिन समूह एक क्वासिथिन समूह वह है जिसके 2-स्थानीय उपसमूहों में सभी विषम अभाज्य p के लिए अधिकतम 2 p-पद है और समस्या 2 प्रकार की विशेषता वाले सरल लोगों को वर्गीकृत करना है। यह 2004 में एशबैकर और स्मिथ द्वारा पूरा किया गया था।
 * 14) निम्न 2-स्थानीय 3-पद के समूह। यह e(G)=3. वाले समूहों के लिए एशबैकर के ट्राइकोटॉमी प्रमेय द्वारा अनिवार्य रूप से हल किया गया था। मुख्य परिवर्तन यह है कि 2-लोकल 3-पद को ऑड प्राइम्स के लिए 2-लोकल पी-पद से बदल दिया गया है।
 * 15) मानक रूप में 3-तत्वों के केंद्र यह अनिवार्य रूप से ट्राइकोटॉमी प्रमेय द्वारा किया गया था।
 * 16) विशेषता 2 प्रकार के सरल समूहों का वर्गीकरण यह गिल्मन-ग्रिस प्रमेय द्वारा नियंत्रित किया गया था जिसमें 3-तत्वों को विषम प्राइम्स के लिए पी-तत्वों द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था।

प्रमाण की समयरेखा
नीचे दी गई सूची में से कई मदों से लिया जाता है. दी गई तिथि सामान्यतः एक परिणाम के पूर्ण प्रमाण की प्रकाशन तिथि होती है जो कभी-कभी प्रमाण या परिणाम की पहली घोषणा के कई साल बाद होती है इसलिए कुछ आइटम गलत क्रम में दिखाई देते हैं।

दूसरी पीढ़ी का वर्गीकरण
प्रमेय का प्रमाण जैसा कि यह 1985 या उसके आसपास था को पहली पीढ़ी कहा जा सकता है। पहली पीढ़ी के प्रमाण की अत्यधिक लंबाई के कारण एक सरल प्रमाण खोजने के लिए अधिक प्रयास किया गया है जिसे 'दूसरी पीढ़ी का वर्गीकरण प्रमाण' कहा जाता है। यह प्रयास जिसे संशोधनवाद कहा जाता है मूल रूप से डैनियल गोरेंस्टीन के नेतृत्व में था।

, दूसरी पीढ़ी के प्रमाण के नौ खंड प्रकाशित किए गए हैं (गोरेंस्टीन, लियोन और सोलोमन 1994, 1996, 1998, 1999, 2002, 2005, 2018a, 2018b, 2021)। 2012 में सोलोमन ने अनुमान लगाया था कि परियोजना को और 5 संस्करणों की आवश्यकता होगी चूँकि कहा कि उन पर प्रगति धीमी थी। ऐसा अनुमान है कि नया प्रमाण अंततः लगभग 5,000 पृष्ठों को भरेगा। (यह लंबाई आंशिक रूप से दूसरी पीढ़ी के प्रमाण से अधिक आराम की शैली में लिखी जा रही है।) चूँकि जीएलएस श्रृंखला के खंड 9 के प्रकाशन के साथ, और एशबैकर-स्मिथ योगदान सहित यह अनुमान पहले से ही कई और के साथ पहुंच गया था वॉल्यूम अभी भी तैयारी में हैं (शेष जो मूल रूप से वॉल्यूम 9 के लिए अभिप्रेत था साथ ही अनुमानित वॉल्यूम 10 और 11)। एशबैकर और स्मिथ ने अपने दो खंड क्वासिथिन केस को समर्पित इस तरह से लिखे कि वे खंड दूसरी पीढ़ी के प्रमाण का भाग हो सकते हैं।

गोरेंस्टीन और उनके सहयोगियों ने कई कारण बताए हैं कि एक सरल उपपत्ति क्यों संभव है।
 * सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि अब प्रमेय का सही अंतिम कथन ज्ञात हो गया है। सरल विधि प्रयुक्त की जा सकती हैं जो उन समूहों के लिए पर्याप्त मानी जाती हैं जिन्हें हम जानते हैं कि वे परिमित सरल हैं। इसके विपरीत पहली पीढ़ी के प्रमाण पर काम करने वालों को यह नहीं पता था कि कितने छिटपुट समूह थे और वास्तव में वर्गीकरण प्रमेय के अन्य स्थिति को सिद्ध करते हुए कुछ छिटपुट समूहों (जैसे, जांको समूह) की खोज की गई थी। परिणाम स्वरुप प्रमेय के कई टुकड़े उन विधियों का उपयोग करके सिद्ध हुए जो अत्यधिक सामान्य थे।
 * चूंकि निष्कर्ष अज्ञात था पहली पीढ़ी के प्रमाण में कई स्टैंड-अलोन प्रमेय सम्मिलित हैं जो महत्वपूर्ण विशेष स्थिति से निपटते हैं। इन प्रमेयों को सिद्ध करने का अधिकांश कार्य अनेक विशेष स्थिति के विश्लेषण के लिए समर्पित था। एक बड़े ऑर्केस्ट्रेटेड प्रमाण को देखते हुए इनमें से कई विशेष स्थिति से निपटना तब तक के लिए स्थगित किया जा सकता है जब तक कि सबसे शक्तिशाली मान्यताओं को प्रयुक्त नहीं किया जा सकता इस संशोधित रणनीति के तहत भुगतान की गई कीमत यह है कि इन पहली पीढ़ी के प्रमेयों के पास तुलनात्मक रूप से कम प्रमाण नहीं हैं चूँकि पूर्ण वर्गीकरण पर निर्भर हैं।
 * कई पहली पीढ़ी के प्रमेय ओवरलैप करते हैं और इसलिए संभावित स्थिति को अकुशल विधियों से विभाजित करते हैं। परिणामस्वरूप परिमित सरल समूहों के वर्गों और उप-वर्गों की कई बार पहचान की गई। संशोधित प्रमाण स्थिति के एक अलग उपखंड पर विश्वास करके इन अतिरेक को समाप्त करता है।
 * परिमित समूह सिद्धांतकारों के पास इस प्रकार के व्यायाम का अधिक अनुभव है और उनके निपटान में नई विधि हैं।

ने अलरिच मीयरफैंकेंफेल्ड, बर्न्ड स्टेलमाकर, गर्नोट स्ट्रॉथ और कुछ अन्य लोगों द्वारा वर्गीकरण समस्या पर काम को तीसरी पीढ़ी का कार्यक्रम कहा है। इसका एक लक्ष्य अमलगम विधि का उपयोग करके सभी समूहों को विशेषता 2 में समान रूप से व्यवहार करना है।

प्रमाण की लंबाई
गोरेंस्टीन ने कुछ कारणों पर चर्चा की है कि कॉम्पैक्ट लाई समूहों के वर्गीकरण के समान वर्गीकरण का संक्षिप्त प्रमाण क्यों नहीं हो सकता है।


 * सबसे स्पष्ट कारण यह है कि सरल समूहों की सूची अधिक जटिल है: 26 छिटपुट समूहों के साथ कई विशेष स्थिति होने की संभावना है जिन्हें किसी प्रमाण में माना जाना है। अभी तक किसी को भी डायनकिन आरेख द्वारा कॉम्पैक्ट लाई समूहों के पैरामीटरकरण के समान परिमित सरल समूहों का एक स्वच्छ वर्दी विवरण नहीं मिला है।
 * अतियाह और अन्य लोगों ने सुझाव दिया है कि कुछ ज्यामितीय वस्तु का निर्माण करके वर्गीकरण को सरल बनाया जाना चाहिए जिस पर समूह कार्य करते हैं और फिर इन ज्यामितीय संरचनाओं को वर्गीकृत करते हैं। समस्या यह है कि कोई भी एक साधारण समूह से जुड़ी ऐसी ज्यामितीय संरचना को खोजने का आसान विधि सुझाने में सक्षम नहीं है। कुछ अर्थों में वर्गीकरण बीएन-जोड़े जैसे ज्यामितीय संरचनाओं को खोजने के द्वारा काम करता है चूँकि यह केवल एक परिमित सरल समूह की संरचना के बहुत लंबे और कठिन विश्लेषण के अंत में आता है।
 * उपपत्ति को सरल बनाने के लिए एक अन्य सुझाव प्रतिनिधित्व सिद्धांत का अधिक से अधिक उपयोग करना है। यहाँ समस्या यह है कि प्रतिनिधित्व सिद्धांत को अच्छी तरह से काम करने के लिए एक समूह के उपसमूहों पर बहुत सख्त नियंत्रण की आवश्यकता होती है। छोटे पद के समूहों के लिए, इस तरह का नियंत्रण और प्रतिनिधित्व सिद्धांत बहुत अच्छी तरह से काम करता है चूँकि बड़े पद के समूहों के लिए वर्गीकरण को सरल बनाने के लिए कोई भी इसका उपयोग करने में सफल नहीं हुआ है। वर्गीकरण के प्रारंभिक दिनों में प्रतिनिधित्व सिद्धांत का उपयोग करने के लिए अधिक प्रयास किए गए थे चूँकि इससे उच्च पद के स्थिति में ज्यादा सफलता नहीं मिली है।

वर्गीकरण के परिणाम
यह खंड कुछ परिणामों को सूचीबद्ध करता है जिन्हें परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण का उपयोग करके सिद्ध किया गया है।


 * श्रेयर अनुमान
 * संकेतक समारोह सिद्धांत
 * बी अनुमान
 * सभी समूहों के लिए शूर-ज़सेनहॉस प्रमेय (चूँकि यह केवल फीट-थॉम्पसन प्रमेय का उपयोग करता है)।
 * 1 से अधिक तत्व वाले परिमित सेट पर एक सकर्मक क्रमचय समूह में प्राइम पावर ऑर्डर का एक निश्चित-बिंदु-मुक्त तत्व होता है।
 * बहु संक्रामकता का वर्गीकरण 2-सकर्मक क्रमचय समूह।
 * पद 3 क्रमचय समूह का वर्गीकरण।
 * सिम्स अनुमान
 * xn = 1 के समाधान की संख्या पर फ्रोबेनियस का अनुमान।

यह भी देखें

 * ओ'नान-स्कॉट प्रमेय

संदर्भ

 * Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, December 1, 1985, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.
 * Mark Ronan, Symmetry and the Monster, ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
 * Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader)
 * Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
 * – article won Levi L. Conant prize for exposition
 * Daniel Gorenstein (1985), "The Enormous Theorem", Scientific American, December 1, 1985, vol. 253, no. 6, pp. 104–115.
 * Mark Ronan, Symmetry and the Monster, ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
 * Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader)
 * Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
 * – article won Levi L. Conant prize for exposition
 * Mark Ronan, Symmetry and the Monster, ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
 * Marcus du Sautoy, Finding Moonshine, Fourth Estate, 2008, ISBN 978-0-00-721461-7 (another introduction for the lay reader)
 * Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
 * – article won Levi L. Conant prize for exposition
 * Mark Ronan, Symmetry and the Monster, ISBN 978-0-19-280723-6, Oxford University Press, 2006. (Concise introduction for lay reader)
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 * Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
 * – article won Levi L. Conant prize for exposition
 * Ron Solomon (1995) "On Finite Simple Groups and their Classification," Notices of the American Mathematical Society. (Not too technical and good on history)
 * – article won Levi L. Conant prize for exposition

बाहरी संबंध

 * ATLAS of Finite Group Representations. Searchable database of representations and other data for many finite simple groups.
 * Elwes, Richard, "An enormous theorem: the classification of finite simple groups," Plus Magazine, Issue 41, December 2006. For laypeople.
 * Madore, David (2003) Orders of nonabelian simple groups.  Includes a list of all nonabelian simple groups up to order 1010.
 * In what sense is the classification of all finite groups “impossible”?
 * (Last updated on March 2023)
 * (Last updated on March 2023)