त्रिकोणमितीय फलन

गणित में, त्रिकोणमितीय फलन (जिन्हें वृत्तीय फलन, कोण फलन या गोनीमितीय फलन भी कहा जाता है वास्तविक कार्य हैं जो एक समकोण त्रिभुज के कोण को दो भुजाओं की लंबाई के अनुपात से संबंधित करते हैं। वे सभी विज्ञानों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं जो कि ज्यामिति से संबंधित हैं, जैसे कि पथ प्रदर्शन, ठोस यांत्रिकी, आकाशीय यांत्रिकी, भूगणित और कई अन्य। वे सबसे सरल आवधिक कार्यों में से हैं, और जैसे कि फूरियर विश्लेषण के माध्यम से आवधिक घटनाओं का अध्ययन करने के लिए भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

आधुनिक गणित में सबसे व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले त्रिकोणमितीय कार्य साइन, कोज्या और स्पर्शरेखा हैं। उनके गुणक व्युत्क्रम क्रमशः व्युत्क्रमज्या, छेदक और कोटिस्पर्श हैं, जो कम उपयोग किए जाते हैं। इन छह त्रिकोणमितीय कार्यों में से प्रत्येक में एक संबंधित उलटा त्रिकोणमितीय कार्य होता है, और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के बीच एक एनालॉग होता है।

समकोण त्रिभुजों से संबंधित त्रिकोणमितीय फलनों की सबसे पुरानी परिभाषाएँ उन्हें केवल न्यून कोणों के लिए परिभाषित करती हैं। साइन और कोसाइन फ़ंक्शंस को उन फ़ंक्शंस तक विस्तारित करने के लिए जिनके फ़ंक्शन का डोमेन संपूर्ण वास्तविक रेखा है, मानक यूनिट सर्कल (यानी, त्रिज्या 1 यूनिट वाला एक सर्कल) का उपयोग करते हुए ज्यामितीय परिभाषाएं अक्सर उपयोग की जाती हैं; तो अन्य कार्यों का डोमेन वास्तविक रेखा है जिसमें कुछ पृथक बिंदु हटा दिए गए हैं। आधुनिक परिभाषाएँ त्रिकोणमितीय कार्यों को श्रृंखला (गणित) या अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में व्यक्त करती हैं। यह साइन और कोसाइन कार्यों के डोमेन को पूरे जटिल विमान में विस्तारित करने की अनुमति देता है, और अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के डोमेन को कुछ अलग-अलग बिंदुओं के साथ जटिल विमान में हटा दिया जाता है।

नोटेशन
परंपरागत रूप से, प्रत्येक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के नाम का एक संक्षिप्त नाम सूत्रों में इसके प्रतीक के रूप में उपयोग किया जाता है। आज, इन संक्षेपों के सबसे आम संस्करण हैं साइन के लिए पाप, कोसाइन के लिए कॉस, स्पर्शरेखा के लिए तन या टीजी, छेदक के लिए सेकंड, कोसेकेंट के लिए सीएससी या कोसेक, और कॉटैंजेंट के लिए कॉट या सीटीजी। ऐतिहासिक रूप से, इन संक्षिप्ताक्षरों का उपयोग पहली बार गद्य वाक्यों में किया गया था, विशेष रेखा खंडों या उनकी लंबाई को एक मनमाना वृत्त के एक वृत्ताकार चाप से संबंधित करने के लिए, और बाद में लंबाई के अनुपात को इंगित करने के लिए, लेकिन 17 वीं -18 वीं शताब्दी में कार्य अवधारणा के इतिहास के रूप में, उन्हें वास्तविक-संख्या-मूल्यवान कोण उपायों के कार्यों के रूप में माना जाने लगा, और कार्यात्मक अंकन के साथ लिखा गया, उदाहरण के लिए $sin(x)$. अव्यवस्था को कम करने के लिए कोष्ठक अभी भी अक्सर छोड़े जाते हैं, लेकिन कभी-कभी आवश्यक होते हैं; उदाहरण के लिए अभिव्यक्ति $$\sin x+y$$ आम तौर पर इसका अर्थ समझा जाएगा $$\sin (x)+y,$$ इसलिए व्यक्त करने के लिए कोष्ठकों की आवश्यकता होती है $$\sin (x+y).$$ फ़ंक्शन के प्रतीक के बाद एक सुपरस्क्रिप्ट के रूप में प्रकट होने वाला एक सकारात्मक पूर्णांक घातांक को दर्शाता है, न कि फ़ंक्शन संरचना # कार्यात्मक शक्तियां। उदाहरण के लिए $$\sin^2 x$$ और $$\sin^2 (x)$$ निरूपित $$\sin(x) \cdot \sin(x),$$ नहीं $$\sin(\sin x).$$ यह (ऐतिहासिक रूप से बाद में) सामान्य कार्यात्मक संकेतन से भिन्न है जिसमें $$f^2(x) = (f \circ f)(x) = f(f(x)).$$ हालाँकि, प्रतिपादक $${-1}$$ आमतौर पर व्युत्क्रम फलन को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है, न कि गुणात्मक प्रतिलोम। उदाहरण के लिए $$\sin^{-1}x$$ और $$\sin^{-1}(x)$$ वैकल्पिक रूप से लिखे गए व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को निरूपित करें $$\arcsin x\colon$$ समीकरण $$\theta = \sin^{-1}x$$ तात्पर्य $$\sin \theta = x,$$ नहीं $$\theta \cdot \sin x = 1.$$ इस मामले में, सुपरस्क्रिप्ट को एक रचित या पुनरावृत्त फ़ंक्शन को निरूपित करने के रूप में माना जा सकता है, लेकिन इसके अलावा अन्य नकारात्मक सुपरस्क्रिप्ट $${-1}$$ सामान्य उपयोग में नहीं हैं।

समकोण त्रिभुज की परिभाषा
यदि तीव्र कोण $x$ दिया गया है, तो कोई भी समकोण त्रिभुज जिसका कोण है $x$ एक दूसरे से समानता (ज्यामिति) हैं। इसका अर्थ है कि किन्हीं दो भुजाओं की लंबाई का अनुपात केवल निर्भर करता है $θ$. इस प्रकार ये छह अनुपात के छह कार्यों को परिभाषित करते हैं $θ$, जो कि त्रिकोणमितीय फलन हैं। निम्नलिखित परिभाषाओं में, कर्ण समकोण के विपरीत भुजा की लंबाई है, विपरीत दिए गए कोण के विपरीत भुजा का प्रतिनिधित्व करता है $θ$, और आसन्न कोण के बीच की भुजा का प्रतिनिधित्व करता है $θ$ और समकोण। एक समकोण त्रिभुज में, दो न्यून कोणों का योग समकोण होता है, अर्थात, $sin A = a⁄c$ या $cos A = b⁄c$. इसलिए $$\sin(\theta)$$ और $$\cos(90^\circ - \theta)$$ समान अनुपात का प्रतिनिधित्व करते हैं, और इस प्रकार समान हैं। यह पहचान और अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के बीच समान संबंधों को निम्न तालिका में संक्षेपित किया गया है।



रेडियंस बनाम डिग्री
ज्यामितीय अनुप्रयोगों में, त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन का तर्क आम तौर पर एक कोण का माप होता है। इस प्रयोजन के लिए, कोई भी कोणीय इकाई सुविधाजनक है, और कोणों को आमतौर पर डिग्री (कोण) की पारंपरिक इकाइयों में मापा जाता है जिसमें एक समकोण 90° होता है और एक पूर्ण मोड़ 360° होता है (विशेष रूप से प्राथमिक गणित में)।

हालांकि, कलन और गणितीय विश्लेषण में, त्रिकोणमितीय कार्यों को आम तौर पर कोणों के बजाय वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं के कार्यों के रूप में अधिक अमूर्त रूप से माना जाता है। वास्तव में, घात श्रृंखला के माध्यम से घातांक फलन के संदर्भ में सभी सम्मिश्र संख्याओं के लिए sin और cos फलन परिभाषित किए जा सकते हैं या विशेष प्रारंभिक मान दिए गए अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में (नीचे देखें), किसी भी ज्यामितीय धारणा के संदर्भ के बिना। अन्य चार त्रिकोणमितीय कार्यों (tan, cot, sec, csc) को sin और cos के भागफल और व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, सिवाय इसके कि जहाँ भाजक में शून्य होता है। वास्तविक तर्कों के लिए यह सिद्ध किया जा सकता है कि ये परिभाषाएँ प्रारंभिक ज्यामितीय परिभाषाओं के साथ मेल खाती हैं यदि तर्क को रेडियन में दिए गए कोण के रूप में माना जाता है। इसके अलावा, इन परिभाषाओं के परिणामस्वरूप त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए यौगिक और antiderivative के लिए सरल अभिव्यक्तियां होती हैं। इस प्रकार, प्रारंभिक ज्यामिति से परे सेटिंग्स में, रेडियंस को कोण मापों का वर्णन करने के लिए गणितीय रूप से प्राकृतिक इकाई माना जाता है।

जब कांति (रेड) लगाए जाते हैं, तो कोण को इसके द्वारा अंतरित इकाई वृत्त के चाप (ज्यामिति) की लंबाई के रूप में दिया जाता है: इकाई वृत्त पर लंबाई 1 के चाप को अंतरित करने वाला कोण 1 रेड (≈ 57.3°) होता है।, और एक पूर्ण मोड़ (कोण) (360°) 2 का कोण है$\pi$ (≈ 6.28) रेड। वास्तविक संख्या x के लिए, चिह्न sin x, cos x, आदि x रेड के कोण पर मूल्यांकन किए गए त्रिकोणमितीय कार्यों के मान को संदर्भित करते हैं। यदि डिग्री की इकाइयों का इरादा है, तो डिग्री चिह्न स्पष्ट रूप से दिखाया जाना चाहिए (उदाहरण के लिए, sin x°, cos x°, आदि)। इस मानक संकेतन का उपयोग करते हुए, त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तर्क x संबंध x = (180x/π) °, ताकि, उदाहरण के लिए, पाप π = sin 180° जब हम x = लेते हैं π. इस प्रकार, डिग्री प्रतीक को गणितीय स्थिरांक के रूप में माना जा सकता है जैसे कि 1° = π/180 ≈ 0.0175.

यूनिट-सर्कल परिभाषाएँ
छह त्रिकोणमितीय कार्यों को यूक्लिडियन विमान पर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो यूनिट घेरा से संबंधित हैं, जो मूल पर केंद्रित त्रिज्या का चक्र है $tan A = a⁄b$ इस समन्वय प्रणाली का। जबकि # समकोण त्रिभुज परिभाषाएँ | समकोण त्रिभुज परिभाषाएँ बीच के कोणों के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा की अनुमति देती हैं $θ = 0.7 radians$ और $\frac{\pi}{2}$ रेडियंस $90°$ यूनिट सर्कल परिभाषाएं त्रिकोणमितीय कार्यों के डोमेन को सभी सकारात्मक और नकारात्मक वास्तविक संख्याओं तक विस्तारित करने की अनुमति देती हैं।

होने देना $$\mathcal L$$ एक कोण से घुमाकर प्राप्त की गई किरण (ज्यामिति) हो $θ$ का सकारात्मक आधा $π⁄2 radians$-अक्ष (वामावर्त घुमाव के लिए $$\theta > 0,$$ और दक्षिणावर्त रोटेशन के लिए $$\theta < 0$$). यह किरण इकाई वृत्त को बिंदु पर काटती है $$\mathrm{A} = (x_\mathrm{A},y_\mathrm{A}).$$ किरण $$\mathcal L,$$ यदि आवश्यक हो तो एक रेखा (ज्यामिति) तक बढ़ाया जाता है, समीकरण की रेखा को काटता है $$x=1$$ बिंदु पर $$\mathrm{B} = (1,y_\mathrm{B}),$$ और समीकरण की रेखा $$y=1$$ बिंदु पर $$\mathrm{C} = (x_\mathrm{C},1).$$ बिंदु पर इकाई वृत्त की स्पर्श रेखा $sin θ$, के लिए लंबवत है $$\mathcal L,$$ और काटता है $θ$- और $\pi − θ$बिंदुओं पर अक्ष $$\mathrm{D} = (0,y_\mathrm{D})$$ और $$\mathrm{E} = (x_\mathrm{E},0).$$ इन बिंदुओं के कार्टेशियन निर्देशांक किसी भी मनमाने वास्तविक मूल्य के लिए सभी त्रिकोणमितीय कार्यों के मान देते हैं $θ$ निम्नलिखित तरीके से।

त्रिकोणमितीय कार्य $\pi + θ$ और $2\pi − θ$ क्रमशः बिंदु के x- और y-निर्देशांक मान के रूप में परिभाषित किए जाते हैं $opposite⁄hypotenuse$. वह है,
 * $$\cos \theta = x_\mathrm{A} \quad$$ और $$\quad \sin \theta = y_\mathrm{A}.$$

सीमा में $$0 \le \theta \le \pi/2$$, यह परिभाषा समकोण त्रिभुज की परिभाषा के साथ मेल खाती है, समकोण त्रिभुज को इकाई त्रिज्या के रूप में लेकर $adjacent⁄hypotenuse$ कर्ण के रूप में। और समीकरण के बाद से $$x^2+y^2=1$$ सभी बिंदुओं के लिए रखता है $$\mathrm{P} = (x,y)$$ यूनिट सर्कल पर, कोसाइन और साइन की यह परिभाषा पाइथागोरस की पहचान को भी संतुष्ट करती है।
 * $$\cos^2\theta+\sin^2\theta=1.$$

अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों को यूनिट सर्कल के रूप में पाया जा सकता है
 * $$\tan \theta = y_\mathrm{B} \quad$$ और $$ \quad\cot \theta = x_\mathrm{C},$$
 * $$\csc \theta\ = y_\mathrm{D} \quad$$ और $$ \quad\sec \theta = x_\mathrm{E}.$$

पायथागॉरियन पहचान और ज्यामितीय सबूत विधियों को लागू करके, इन परिभाषाओं को साइन और कोसाइन के संदर्भ में स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श, छेदक और व्युत्क्रमज्या की परिभाषाओं के साथ मेल खाने के लिए आसानी से दिखाया जा सकता है, अर्थात
 * $$\tan \theta =\frac{\sin \theta}{\cos\theta},\quad \cot\theta=\frac{\cos\theta}{\sin\theta},\quad \sec\theta=\frac{1}{\cos\theta},\quad \csc\theta=\frac{1}{\sin\theta}.$$

के कोण के घूर्णन के बाद से $$\pm2\pi$$ किसी आकृति की स्थिति या आकार, बिंदुओं को नहीं बदलता है $opposite⁄adjacent$, $adjacent⁄opposite$, $hypotenuse⁄adjacent$, $hypotenuse⁄opposite$, और $θ$ दो कोणों के लिए समान होते हैं जिनका अंतर का पूर्णांक गुणज होता है $$2\pi$$. इस प्रकार त्रिकोणमितीय फलन आवर्त फलन होते हैं $$2\pi$$. यानी समानताएं
 * $$ \sin\theta = \sin\left(\theta + 2 k \pi \right)\quad$$ और $$\quad \cos\theta = \cos\left(\theta + 2 k \pi \right)$$

किसी भी कोण के लिए पकड़ो $θ$ और कोई पूर्णांक $θ$. चार अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए भी यही सच है। चार चतुर्भुजों में साइन, कोसाइन, कोसेकेंट और सिकेंट के कार्यों के संकेत और एकरसता को देखकर, कोई यह दिखा सकता है कि $$2\pi$$ सबसे छोटा मान है जिसके लिए वे आवधिक हैं (अर्थात, $$2\pi$$ इन कार्यों का आवधिक कार्य है)। हालाँकि, एक कोण से घुमाने के बाद $$\pi$$, बिन्दु $θ$ और $k$ पहले से ही अपनी मूल स्थिति में वापस आ गए हैं, ताकि स्पर्शरेखा फ़ंक्शन और कोटेंटेंट फ़ंक्शन की मूलभूत अवधि हो $$\pi$$. यानी समानताएं
 * $$ \tan\theta = \tan(\theta + k\pi) \quad$$ और $$\quad \cot\theta = \cot(\theta + k\pi)$$

किसी भी कोण के लिए पकड़ो $B$ और कोई पूर्णांक $C$.

बीजगणितीय मान
सबसे महत्वपूर्ण कोणों के लिए बीजगणितीय व्यंजक इस प्रकार हैं:


 * $$\sin 0 = \sin 0^\circ \quad= \frac{\sqrt0}2 = 0$$ (कोण#कोणों के प्रकार)
 * $$\sin \frac\pi6 = \sin 30^\circ = \frac{\sqrt1}2 = \frac{1}{2}$$
 * $$\sin \frac\pi4 = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{\sqrt{2}}$$
 * $$\sin \frac\pi3 = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$$
 * $$\sin \frac\pi2 = \sin 90^\circ = \frac{\sqrt4}2 = 1$$ (समकोण)

अंशों को लगातार गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के वर्गमूल के रूप में लिखना, 2 के भाजक के साथ, मानों को याद रखने का एक आसान तरीका प्रदान करता है।

ऐसे सरल व्यंजक आम तौर पर अन्य कोणों के लिए मौजूद नहीं होते हैं जो एक समकोण के परिमेय गुणज होते हैं।
 * ऐसे कोण के लिए, जो डिग्री में मापा जाता है, तीन का गुणक है, साइन और कोसाइन के सटीक त्रिकोणमितीय मान वर्गमूल के रूप में व्यक्त किए जा सकते हैं। साइन और कोसाइन के ये मान इस प्रकार कम्पास-एंड-स्ट्रेटेज निर्माण द्वारा निर्मित किए जा सकते हैं।
 * डिग्री की पूर्णांक संख्या के कोण के लिए, साइन और कोसाइन को वर्गमूल और गैर-वास्तविक सम्मिश्र संख्या के घनमूल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। गाल्वा सिद्धांत एक प्रमाण की अनुमति देता है कि, यदि कोण 3° का गुणक नहीं है, तो गैर-वास्तविक घनमूल अपरिहार्य हैं।
 * ऐसे कोण के लिए, जिसे डिग्री में व्यक्त किया जाता है, एक परिमेय संख्या है, साइन और कोसाइन बीजगणितीय संख्याएँ हैं, जिन्हें nवें मूल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है|$θ$वें जड़ें। यह इस तथ्य से परिणामित होता है कि साइक्लोटोमिक बहुपदों के गाल्वा समूह चक्रीय समूह हैं।
 * एक कोण के लिए, जो डिग्री में व्यक्त किया जाता है, एक परिमेय संख्या नहीं है, तब या तो कोण या साइन और कोसाइन दोनों ही पारलौकिक संख्याएँ हैं। यह 1966 में सिद्ध हुई बेकर की प्रमेय का परिणाम है।

सरल बीजगणितीय मान
निम्न तालिका 0 से 90 डिग्री तक 15 डिग्री के गुणकों की ज्या, कोसाइन और स्पर्शरेखा सूचीबद्ध करती है।

कलन में
गणित में आधुनिक प्रवृत्ति विलोम के बजाय कैलकुलस से ज्यामिति का निर्माण करना है। इसलिए, बहुत प्रारंभिक स्तर को छोड़कर, त्रिकोणमितीय कार्यों को कलन की विधियों का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है।

त्रिकोणमितीय फलन हर उस बिंदु पर अवकलनीय फलन और विश्लेषणात्मक फलन होते हैं जहां उन्हें परिभाषित किया जाता है; अर्थात्, हर जगह साइन और कोसाइन के लिए, और, स्पर्शरेखा के लिए, को छोड़कर हर जगह $A$ प्रत्येक पूर्णांक के लिए $k$.

त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती फलन होते हैं, और उनके आवर्त फलन#परिभाषा है $B$ साइन और कोसाइन के लिए, और π स्पर्शरेखा के लिए, जो प्रत्येक खुले अंतराल में कार्य को बढ़ाता है $D$. इन अंतरालों के प्रत्येक अंत बिंदु पर, स्पर्शरेखा फ़ंक्शन में एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख होता है।

कलन में, त्रिकोणमितीय फलनों की दो समतुल्य परिभाषाएँ हैं, या तो घात श्रृंखला या अवकल समीकरणों का उपयोग करते हुए। ये परिभाषाएँ समतुल्य हैं, क्योंकि उनमें से एक से शुरू होकर, दूसरे को संपत्ति के रूप में पुनः प्राप्त करना आसान है। हालाँकि अवकल समीकरणों के माध्यम से परिभाषा किसी तरह अधिक स्वाभाविक है, उदाहरण के लिए, घात श्रृंखला के गुणांकों का चुनाव काफी मनमाना लग सकता है, और पाइथागोरस की पहचान अवकल समीकरणों से निकालना बहुत आसान है।

अंतर समीकरणों द्वारा परिभाषा
साइन और कोसाइन को प्रारंभिक मूल्य समस्या के अद्वितीय समाधान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$\frac{d}{dx}\sin x= \cos x,\ \frac{d}{dx}\cos x= -\sin x,\ \sin(0)=0,\ \cos(0)=1. $$

फिर से भेद करना, $\frac{d^2}{dx^2}\sin x = \frac{d}{dx}\cos x = -\sin x$ और $\frac{d^2}{dx^2}\cos x = -\frac{d}{dx}\sin x = -\cos x$, इसलिए ज्या और कोज्या दोनों साधारण अवकल समीकरण के हल हैं
 * $$y''+y=0.$$

स्पर्शरेखा पर भागफल नियम लागू करना $$\tan x = \sin x / \cos x$$, हम प्राप्त करते हैं
 * $$\frac{d}{dx}\tan x = \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} = 1+\tan^2 x = \sec^2 x.$$

पावर श्रृंखला विस्तार
अनिश्चित गुणांकों वाली घात श्रृंखला में अवकल समीकरणों को लागू करने पर, साइन और कोसाइन फलनों की टेलर श्रृंखला के गुणांकों के लिए पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त किया जा सकता है। इन पुनरावर्तन संबंधों को हल करना आसान है, और श्रृंखला विस्तार प्रदान करते हैं :$$ \begin{align} \sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\[6mu] & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\[8pt] \cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\[6mu] & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}. \end{align} $$ इन श्रृंखलाओं के अभिसरण की त्रिज्या अनंत है। इसलिए, साइन और कोसाइन को संपूर्ण कार्यों (जिन्हें साइन और कोसाइन भी कहा जाता है) तक बढ़ाया जा सकता है, जो (परिभाषा के अनुसार) जटिल-मूल्यवान कार्य हैं जो पूरे जटिल विमान पर परिभाषित और होलोमार्फिक हैं।

संपूर्ण कार्यों के अंशों के रूप में परिभाषित होने के कारण, अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों को मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन तक बढ़ाया जा सकता है, जो कि ऐसे कार्य हैं जो पूरे जटिल विमान में होलोमोर्फिक होते हैं, कुछ पृथक बिंदुओं को छोड़कर जिन्हें शून्य और ध्रुव कहा जाता है। यहाँ, ध्रुव रूप की संख्याएँ हैं $(2k+1)\frac \pi 2$ स्पर्शरेखा और छेदक के लिए, या $$k\pi$$ cotangent और cosecant के लिए, जहाँ $n$ एक मनमाना पूर्णांक है।

अन्य त्रिकोणमितीय कार्यों की टेलर श्रृंखला के गुणांकों के लिए पुनरावृत्ति संबंधों की गणना भी की जा सकती है। इन श्रृंखलाओं में अभिसरण की परिमित त्रिज्या होती है। उनके गुणांकों की एक संयोजक व्याख्या है: वे परिमित सेटों के वैकल्पिक क्रमपरिवर्तनों की गणना करते हैं। अधिक सटीक, परिभाषित करना
 * $k$, द $k$वें ऊपर/नीचे संख्या,
 * $U_{n}$, द $n$वें बरनौली संख्या, और
 * $B_{n}$, है $n$वें यूलर संख्या,

one में निम्नलिखित श्रृंखला विस्तार हैं: : $$ \begin{align} \tan x & {} = \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n+1}}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\[8mu] & {} = \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} \left(2^{2n}-1\right) B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \\[5mu] & {} = x + \frac{1}{3}x^3 + \frac{2}{15}x^5 + \frac{17}{315}x^7 + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac{\pi}{2}. \end{align} $$

\begin{align} \csc x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n+1} 2 \left(2^{2n-1}-1\right) B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \\[5mu] &= x^{-1} + \frac{1}{6}x + \frac{7}{360}x^3 + \frac{31}{15120}x^5 + \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi. \end{align} $$

\begin{align} \sec x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{U_{2n}}{(2n)!}x^{2n} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n E_{2n}}{(2n)!}x^{2n} \\[5mu] &= 1 + \frac{1}{2}x^2 + \frac{5}{24}x^4 + \frac{61}{720}x^6 + \cdots, \qquad \text{for } |x| < \frac{\pi}{2}. \end{align} $$

\begin{align} \cot x &= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n 2^{2n} B_{2n}}{(2n)!}x^{2n-1} \\[5mu] &= x^{-1} - \frac{1}{3}x - \frac{1}{45}x^3 - \frac{2}{945}x^5 - \cdots, \qquad \text{for } 0 < |x| < \pi. \end{align} $$

निरंतर अंश विस्तार
निम्नलिखित विस्तार पूरे जटिल विमान में मान्य हैं:


 * $$ \sin x =

\cfrac{x}{1 + \cfrac{x^2}{2\cdot3-x^2 + \cfrac{2\cdot3 x^2}{4\cdot5-x^2 + \cfrac{4\cdot5 x^2}{6\cdot7-x^2 + \ddots}}}}$$
 * $$ \cos x = \cfrac{1}{1 + \cfrac{x^2}{1 \cdot 2 - x^2 + \cfrac{1 \cdot 2x^2}{3 \cdot 4 - x^2 + \cfrac{3 \cdot 4x^2}{5 \cdot 6 - x^2 + \ddots}}}}$$
 * $$\tan x = \cfrac{x}{1 - \cfrac{x^2}{3 - \cfrac{x^2}{5 - \cfrac{x^2}{7 - \ddots}}}}=\cfrac{1}{\cfrac{1}{x} - \cfrac{1}{\cfrac{3}{x} - \cfrac{1}{\cfrac{5}{x} - \cfrac{1}{\cfrac{7}{x} - \ddots}}}}$$

पिछले वाले का उपयोग ऐतिहासिक रूप से पहले प्रमाण में किया गया था कि π अपरिमेय है।

आंशिक अंश विस्तार
आंशिक अंश विस्तार के रूप में एक श्रृंखला प्रतिनिधित्व है जहां सिर्फ अनुवादित गुणक व्युत्क्रमों को अभिव्यक्त किया जाता है, जैसे कि कॉटैंगेंट फ़ंक्शन के ध्रुव (जटिल विश्लेषण) और पारस्परिक कार्य मेल खाते हैं: : $$ \pi \cot \pi x = \lim_{N\to\infty}\sum_{n=-N}^N \frac{1}{x+n}. $$ यह पहचान गुस्ताव हर्ग्लोट्ज़ चाल से सिद्ध की जा सकती है। मिलाना $sin θ$वें के साथ $tan θ$वां पद निरपेक्ष अभिसरण श्रृंखला की ओर ले जाता है:

\pi \cot \pi x = \frac{1}{x} + 2x\sum_{n=1}^\infty \frac{1}{x^2-n^2}. $$ इसी प्रकार, छेदक, व्युत्क्रमज्या और स्पर्शरेखा कार्यों के लिए एक आंशिक भिन्न विस्तार पा सकते हैं:

\pi\csc\pi x = \sum_{n=-\infty}^\infty \frac{(-1)^n}{x+n}=\frac{1}{x} + 2x\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{x^2-n^2}, $$
 * $$\pi^2\csc^2\pi x=\sum_{n=-\infty}^\infty \frac{1}{(x+n)^2},$$

\pi\sec\pi x = \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{(2n+1)}{(n+\tfrac12)^2 - x^2}, $$

\pi \tan \pi x = 2x\sum_{n=0}^\infty \frac{1}{(n+\tfrac12)^2 - x^2}. $$

अनंत उत्पाद विस्तार
जटिल विश्लेषण में साइन के लिए निम्नलिखित अनंत उत्पाद का बहुत महत्व है:
 * $$\sin z = z \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{n^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C.$$

इस विस्तार के प्रमाण के लिए, साइन # आंशिक अंश और जटिल साइन के उत्पाद विस्तार देखें। इससे यह अंदाजा लगाया जा सकता है
 * $$\cos z = \prod_{n=1}^\infty \left(1-\frac{z^2}{(n-1/2)^2 \pi^2}\right), \quad z\in\mathbb C.$$

चरघातांकी फलन से संबंध (यूलर का सूत्र)
यूलर का सूत्र साइन और कोसाइन को घातीय कार्य से संबंधित करता है:
 * $$ e^{ix} = \cos x + i\sin x.$$ यह सूत्र आमतौर पर के वास्तविक मूल्यों के लिए माना जाता है $E_{n}$, लेकिन यह सभी जटिल मूल्यों के लिए सही रहता है।

सबूत: चलो $$f_1(x)=\cos x + i\sin x,$$ और $$f_2(x)=e^{ix}.$$ किसी के पास $$df_j(x)/dx= if_j(x)$$ के लिए $csc θ$. भागफल नियम का तात्पर्य इस प्रकार है $$d/dx\, (f_1(x)/f_2(x))=0$$. इसलिए, $$f_1(x)/f_2(x)$$ एक स्थिर कार्य है, जो बराबर है $n$, जैसा $$f_1(0)=f_2(0)=1.$$ यह सूत्र सिद्ध करता है।

किसी के पास
 * $$\begin{align}

e^{ix} &= \cos x + i\sin x\\[5pt] e^{-ix} &= \cos x - i\sin x. \end{align}$$ साइन और कोसाइन में इस रैखिक प्रणाली को हल करते हुए, उन्हें घातीय कार्य के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$\begin{align}\sin x &= \frac{e^{i x} - e^{-i x}}{2i}\\[5pt]

\cos x &= \frac{e^{i x} + e^{-i x}}{2}. \end{align}$$ कब $x$ वास्तविक है, इसे इस रूप में फिर से लिखा जा सकता है
 * $$\cos x = \operatorname{Re}\left(e^{i x}\right), \qquad \sin x = \operatorname{Im}\left(e^{i x}\right).$$

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की अधिकांश सूची उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करके त्रिकोणमितीय फलनों को जटिल चरघातांकी फलन के रूप में अभिव्यक्त करके और फिर सर्वसमिका का प्रयोग करके सिद्ध की जा सकती है। $$e^{a+b}=e^ae^b$$ परिणाम को सरल बनाने के लिए।

प्रकार्यात्मक समीकरणों का उपयोग कर परिभाषाएं
विभिन्न कार्यात्मक समीकरणों का उपयोग करके त्रिकोणमितीय कार्यों को भी परिभाषित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, साइन और कोसाइन निरंतर कार्यों की अनूठी जोड़ी बनाते हैं जो अंतर सूत्र को संतुष्ट करते हैं
 * $$\cos(x- y) = \cos x\cos y + \sin x\sin y\,$$

और अतिरिक्त स्थिति
 * $$0 < x\cos x < \sin x < x\quad\text{ for }\quad 0 < x < 1.$$

जटिल विमान में
एक जटिल संख्या की ज्या और कोसाइन $$z=x+iy$$ वास्तविक ज्या, कोज्या और अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$\begin{align}\sin z &= \sin x \cosh y + i \cos x \sinh y\\[5pt]

\cos z &= \cos x \cosh y - i \sin x \sinh y\end{align}$$ डोमेन रंग का लाभ उठाकर, त्रिकोणमितीय कार्यों को जटिल-मूल्यवान कार्यों के रूप में ग्राफ़ करना संभव है। ग्राफ से जटिल कार्यों के लिए अद्वितीय विभिन्न विशेषताओं को देखा जा सकता है; उदाहरण के लिए, साइन और कोसाइन कार्यों को काल्पनिक भाग के रूप में असीमित देखा जा सकता है $$z$$ बड़ा हो जाता है (चूंकि रंग सफेद अनंतता का प्रतिनिधित्व करता है), और तथ्य यह है कि कार्यों में सरल शून्य और ध्रुव होते हैं, इस तथ्य से स्पष्ट होता है कि रंग प्रत्येक शून्य या ध्रुव के चारों ओर एक बार चक्र करता है। इन ग्राफ़ों की तुलना संबंधित हाइपरबोलिक फ़ंक्शंस के साथ करने से दोनों के बीच संबंधों पर प्रकाश पड़ता है।

मूल पहचान
कई पहचान (गणित) त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित हैं। इस खंड में सबसे बुनियादी शामिल हैं; अधिक सर्वसमिकाओं के लिए, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची देखें। इन सर्वसमिकाओं को इकाई-वृत्त परिभाषाओं या समकोण-त्रिकोण परिभाषाओं से ज्यामितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है (हालांकि, बाद की परिभाषाओं के लिए, उन कोणों का ध्यान रखना चाहिए जो अंतराल में नहीं हैं $A$, त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के प्रमाण देखें)। कैलकुलस के केवल उपकरणों का उपयोग करने वाले गैर-ज्यामितीय प्रमाणों के लिए, सीधे अंतर समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है, जो यूलर की पहचान के #Relationship toexponential function (यूलर के सूत्र) के समान है। सभी त्रिकोणमितीय कार्यों को जटिल घातांकों के रूप में व्यक्त करने और घातीय फलन के गुणों का उपयोग करने के लिए यूलर की पहचान का भी उपयोग किया जा सकता है।

समता
कोज्या और छेदक सम फलन हैं; अन्य त्रिकोणमितीय कार्य विषम कार्य हैं। वह है:
 * $$\begin{align}

\sin(-x) &=-\sin x\\ \cos(-x) &=\cos x\\ \tan(-x) &=-\tan x\\ \cot(-x) &=-\cot x\\ \csc(-x) &=-\csc x\\ \sec(-x) &=\sec x. \end{align}$$

अवधि
सभी त्रिकोणमितीय कार्य अवधि के आवधिक कार्य हैं $C$. स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श को छोड़कर यह सबसे छोटी अवधि है, जिसमें है π सबसे छोटी अवधि के रूप में। इसका मतलब है कि, हर पूर्णांक के लिए $1$, किसी के पास
 * $$\begin{align}

\sin (x+2k\pi) &=\sin x\\ \cos (x+2k\pi) &=\cos x\\ \tan (x+k\pi) &=\tan x\\ \cot (x+k\pi) &=\cot x\\ \csc (x+2k\pi) &=\csc x\\ \sec (x+2k\pi) &=\sec x. \end{align}$$

पायथागॉरियन पहचान
पायथागॉरियन पहचान, त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में पायथागॉरियन प्रमेय की अभिव्यक्ति है। यह है
 * $$\sin^2 x + \cos^2 x  = 1$$.

किसी के माध्यम से विभाजित करना $$\cos^2 x$$ या $$\sin^2 x$$ देता है
 * $$\tan^2 x + 1  = \sec^2 x$$

और
 * $$1 + \cot^2 x  = \csc^2 x$$.

योग और अंतर सूत्र
योग और अंतर सूत्र ज्या, कोज्या, और योग के स्पर्शरेखा या दो कोणों के अंतर को ज्या और कोसाइन और स्वयं कोणों की स्पर्शरेखा के संदर्भ में विस्तारित करने की अनुमति देते हैं। टॉलेमी की तारीख के तर्कों का उपयोग करके इन्हें ज्यामितीय रूप से प्राप्त किया जा सकता है। यूलर के सूत्र का उपयोग करके बीजगणितीय रूप से भी उनका उत्पादन किया जा सकता है।
 * जोड़
 * $$\begin{align}

\sin\left(x+y\right)&=\sin x \cos y + \cos x \sin y,\\[5mu] \cos\left(x+y\right)&=\cos x \cos y - \sin x \sin y,\\[5mu] \tan(x + y) &= \frac{\tan x + \tan y}{1 - \tan x\tan y}. \end{align}$$
 * अंतर
 * $$\begin{align}

\sin\left(x-y\right)&=\sin x \cos y - \cos x \sin y,\\[5mu] \cos\left(x-y\right)&=\cos x \cos y + \sin x \sin y,\\[5mu] \tan(x - y) &= \frac{\tan x - \tan y}{1 + \tan x\tan y}. \end{align}$$ जब दो कोण बराबर होते हैं, योग सूत्र सरल समीकरणों में परिवर्तित हो जाते हैं जिन्हें द्वि-कोण सूत्र कहा जाता है।


 * $$\begin{align}

\sin 2x &= 2 \sin x \cos x = \frac{2\tan x}{1+\tan^2 x}, \\[5mu] \cos 2x &= \cos^2 x - \sin^2 x = 2 \cos^2 x - 1 = 1 - 2 \sin^2 x = \frac{1-\tan^2 x}{1+\tan^2 x},\\[5mu] \tan 2x &= \frac{2\tan x}{1-\tan^2 x}. \end{align}$$ इन पहचानों का उपयोग उत्पाद-से-योग पहचान प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

व्यवस्थित करके $$t=\tan \tfrac12 \theta,$$ के सभी त्रिकोणमितीय कार्य $$\theta$$ के तर्कसंगत अंशों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$t$$:
 * $$\begin{align}

\sin \theta &= \frac{2t}{1+t^2}, \\[5mu] \cos \theta &= \frac{1-t^2}{1+t^2},\\[5mu] \tan \theta &= \frac{2t}{1-t^2}. \end{align}$$ के साथ साथ
 * $$d\theta = \frac{2}{1+t^2} \, dt,$$

यह स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन है, जो तर्कसंगत अंशों के त्रिकोणमितीय कार्यों के अभिन्न और एंटीडेरिवेटिव की गणना को कम करता है।

डेरिवेटिव्स और एंटीडेरिवेटिव्स
त्रिकोणमितीय कार्यों के डेरिवेटिव का परिणाम भागफल नियम लागू करने से साइन और कोसाइन के परिणाम से होता है। निम्नलिखित सारणी में प्रतिअवकलजों के लिए दिए गए मानों को उनमें विभेद करके सत्यापित किया जा सकता है। जो नंबर$x$ एकीकरण का एक स्थिरांक है।

वैकल्पिक रूप से, 'सह-कार्य' के डेरिवेटिव को त्रिकोणमितीय पहचान और श्रृंखला नियम का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है:



\begin{align} \frac{d\cos x}{dx} &= \frac{d}{dx}\sin(\pi/2-x)=-\cos(\pi/2-x)=-\sin x \,, \\ \frac{d\csc x}{dx} &= \frac{d}{dx}\sec(\pi/2 - x) = -\sec(\pi/2 - x)\tan(\pi/2 - x) = -\csc x \cot x \,, \\ \frac{d\cot x}{dx} &= \frac{d}{dx}\tan(\pi/2 - x) = -\sec^2(\pi/2 - x) = -\csc^2 x \,. \end{align} $$

उलटा कार्य
त्रिकोणमितीय कार्य आवधिक होते हैं, और इसलिए [[द्विभाजन समारोह]] नहीं होते हैं, इसलिए सख्ती से बोलते हुए, उनके पास उलटा कार्य नहीं होता है। हालांकि, प्रत्येक अंतराल पर जिस पर एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन मोनोटोनिक होता है, एक व्युत्क्रम फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकता है, और यह व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन को बहुविकल्पीय फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित करता है। एक सच्चे व्युत्क्रम फ़ंक्शन को परिभाषित करने के लिए, किसी को डोमेन को एक अंतराल तक सीमित करना चाहिए जहां फ़ंक्शन मोनोटोनिक है, और इस प्रकार फ़ंक्शन द्वारा इस अंतराल से इसकी छवि पर आपत्ति है। इस अंतराल के लिए सामान्य विकल्प, जिसे प्रमुख मूल्यों का समुच्चय कहा जाता है, निम्नलिखित तालिका में दिया गया है। हमेशा की तरह, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को फ़ंक्शन के नाम या इसके संक्षिप्त नाम से पहले उपसर्ग चाप के साथ दर्शाया जाता है। अंकन $E$, $cos θ$आदि के लिए प्राय: प्रयोग किया जाता है $cot θ$ और $sec θ$, आदि। जब इस संकेतन का उपयोग किया जाता है, तो व्युत्क्रम कार्यों को गुणक व्युत्क्रमों के साथ भ्रमित किया जा सकता है। आर्क उपसर्ग के साथ अंकन इस तरह के भ्रम से बचा जाता है, हालांकि आर्कसेकेंट के लिए arcsecond को आर्कसेकंड के साथ भ्रमित किया जा सकता है।

साइन और कोसाइन की तरह, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को भी अनंत श्रृंखला के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। उन्हें जटिल लघुगणक के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

त्रिभुज के कोण और भुजाएँ
इस अनुभाग में $k$, $C$, $A$ एक त्रिकोण के तीन (आंतरिक) कोणों को निरूपित करें, और $B$, $C$, $a$ संबंधित विपरीत किनारों की लंबाई को निरूपित करें। वे विभिन्न फ़ार्मुलों से संबंधित हैं, जिन्हें उनके द्वारा शामिल त्रिकोणमितीय कार्यों द्वारा नामित किया गया है।

ज्या का नियम
ज्या का नियम कहता है कि पक्षों के साथ एक मनमाना त्रिकोण के लिए $b$, $c$, और $a$ और उन भुजाओं के विपरीत कोण $b$, $c$ और $A$: $$\frac{\sin A}{a} = \frac{\sin B}{b} = \frac{\sin C}{c} = \frac{2\Delta}{abc},$$ कहां $O$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है, या, समकक्ष, $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R,$$ कहां $B$ त्रिभुज का परिबद्ध वृत्त है।

इसे त्रिभुज को दो समकोणों में विभाजित करके और साइन की उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। ज्या का नियम एक त्रिभुज में अज्ञात भुजाओं की लंबाई की गणना करने के लिए उपयोगी होता है यदि दो कोण और एक भुजा ज्ञात हो। यह त्रिकोणासन में होने वाली एक सामान्य स्थिति है, दो कोणों और एक सुलभ संलग्न दूरी को मापकर अज्ञात दूरियों को निर्धारित करने की एक तकनीक।

कोसाइन का नियम
कोसाइन का नियम (कोज्या सूत्र या कोज्या नियम के रूप में भी जाना जाता है) पाइथागोरस प्रमेय का एक विस्तार है: $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C,$$ या समकक्ष, $$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$$ इस सूत्र में कोण पर $C$ पक्ष के विपरीत है$R$. इस प्रमेय को त्रिभुज को दो समकोण में विभाजित करके और पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

कोसाइन के नियम का उपयोग त्रिभुज की एक भुजा निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है यदि दो भुजाएँ और उनके बीच का कोण ज्ञात हो। यदि सभी पक्षों की लंबाई ज्ञात हो तो इसका उपयोग कोण (और इसके परिणामस्वरूप स्वयं कोण) के कोसाइन को खोजने के लिए भी किया जा सकता है।

स्पर्शरेखा का नियम
स्पर्शरेखा का नियम कहता है कि:
 * $$\frac{\tan \frac{A-B}{2 }}{\tan \frac{A+B}{2 } } = \frac{a-b}{a+b}$$.

कोटिस्पर्श का नियम
यदि s त्रिभुज का अर्द्धपरिधि है, (a + b + c)/2, और r त्रिभुज के अंत:वृत्त की त्रिज्या है, तो rs त्रिभुज का क्षेत्रफल है। इसलिए हीरोन के सूत्र का तात्पर्य है कि:


 * $$ r = \sqrt{\frac{1}{s} (s-a)(s-b)(s-c)}$$.

कॉटैंगेंट्स का कानून कहता है कि: :$$\cot{ \frac{A}{2}} = \frac{s-a}{r}$$ यह इस प्रकार है कि
 * $$\frac{\cot \dfrac{A}{2}}{s-a}=\frac{\cot \dfrac{B}{2}}{s-b}=\frac{\cot \dfrac{C}{2}}{s-c}=\frac{1}{r}.$$

आवधिक कार्य
भौतिकी में त्रिकोणमितीय कार्य भी महत्वपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, साइन और कोसाइन फ़ंक्शंस का उपयोग सरल हार्मोनिक गति का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जो कई प्राकृतिक घटनाओं को मॉडल करता है, जैसे कि एक स्प्रिंग से जुड़े द्रव्यमान की गति और, छोटे कोणों के लिए, एक लटके हुए द्रव्यमान की पेंडुलर गति। डोरी। ज्या और कोसाइन फलन एकसमान वर्तुल गति के एक आयामी प्रक्षेपण हैं।

त्रिकोणमितीय फलन सामान्य आवर्ती फलनों के अध्ययन में भी उपयोगी सिद्ध होते हैं। आवधिक कार्यों के विशिष्ट तरंग पैटर्न आवर्ती घटनाओं जैसे ध्वनि या प्रकाश तरंगों के मॉडलिंग के लिए उपयोगी होते हैं।

बल्कि सामान्य परिस्थितियों में, एक आवधिक कार्य $0$ फूरियर श्रृंखला में साइन तरंगों या कोसाइन तरंगों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। द्वारा साइन या कोसाइन आधार कार्यों को नकारना $C$, आवधिक समारोह का विस्तार $(90°),$ रूप लेता है: $$f(t) = \sum _{k=1}^\infty c_k \varphi_k(t). $$ उदाहरण के लिए, स्क्वायर वेव को फूरियर श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है $$ f_\text{square}(t) = \frac{4}{\pi} \sum_{k=1}^\infty {\sin \big( (2k-1)t \big) \over 2k-1}.$$ शीर्ष दाईं ओर एक स्क्वायर वेव के एनीमेशन में यह देखा जा सकता है कि केवल कुछ शब्द पहले से ही काफी अच्छा सन्निकटन उत्पन्न करते हैं। एक सॉटूथ वेव के विस्तार में कई पदों के सुपरपोज़िशन को नीचे दिखाया गया है।

इतिहास
जबकि त्रिकोणमिति के प्रारंभिक अध्ययन से पुरातनता का पता लगाया जा सकता है, त्रिकोणमितीय कार्यों के रूप में वे आज उपयोग में हैं, मध्यकाल में विकसित किए गए थे। कॉर्ड (ज्यामिति) फ़ंक्शन की खोज इज़निक (180–125 बीसीई) के हिप्पार्कस और मिस्र (रोमन प्रांत) के टॉलेमी (90-165 सीई) ने की थी। साइन और उसका संस्करण (1 - कोसाइन) के कार्यों को ज्या, कोटि-ज्या और उत्क्रम-ज्या और कोटि-ज्या कार्यों में गुप्त काल भारतीय खगोल विज्ञान (आर्यभटीय, सूर्य सिद्धांत) में इस्तेमाल किया जा सकता है, संस्कृत से अनुवाद के माध्यम से अरबी से और फिर अरबी से लैटिन में। (आर्यभट्ट की ज्या तालिका देखें।)

वर्तमान उपयोग में सभी छह त्रिकोणमितीय कार्यों को 9वीं शताब्दी तक इस्लामी गणित में जाना जाता था, जैसा कि त्रिकोणों को हल करने में इस्तेमाल होने वाली ज्याओं का नियम था। ज्या (जो भारतीय गणित से अपनाया गया था) के अपवाद के साथ, अन्य पांच आधुनिक त्रिकोणमितीय कार्यों की खोज फ़ारसी और अरब गणितज्ञों द्वारा की गई, जिनमें कोसाइन, स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श, छेदक और व्युत्क्रमज्या शामिल हैं। अल-ख़्वारिज़्मी (सी.-780-850) ने ज्या, कोज्या और स्पर्शरेखाओं की सारणियाँ बनाईं। लगभग 830, हबश अल-हकूब अल-मरवाज़ी ने कॉटैंजेंट की खोज की, और टेंगेंट और कॉटैंगेंट की टेबल तैयार की। मुहम्मद इब्न जाबिर अल-हररानी अल-बट्टानी (853–929) ने छेदक और व्युत्क्रमज्या के पारस्परिक कार्यों की खोज की, और 1° से 90° तक प्रत्येक डिग्री के लिए व्युत्क्रमज्या की पहली तालिका तैयार की। बाद में ओमर खय्याम, भास्कर II, नासिर अल-दीन अल-तुसी, जमशेद अल-काशी (14वीं सदी), उलूग बेग (14वीं सदी), रेजीओमोंटानस (1464), और जॉर्ज जोआचिम रेटिकस के छात्र सहित गणितज्ञों द्वारा त्रिकोणमितीय कार्यों का अध्ययन किया गया। वेलेंटाइन ओथो

संगमग्राम के माधव (सी। 1400) ने श्रृंखला (गणित) के संदर्भ में त्रिकोणमितीय कार्यों के गणितीय विश्लेषण में शुरुआती प्रगति की। (माधव श्रृंखला और माधव की ज्या तालिका देखें।)

1467 में Giovanni Bianchini द्वारा तारकीय निर्देशांक की गणना का समर्थन करने के लिए बनाई गई त्रिकोणमिति तालिकाओं में स्पर्शरेखा समारोह यूरोप में लाया गया था। टेंगेंट और सेकेंट शब्द पहली बार डेनिश गणितज्ञ थॉमस फिनके ने अपनी पुस्तक जियोमेट्रिया रोटुंडी (1583) में पेश किए थे।

17वीं सदी के फ्रांसीसी गणितज्ञ अल्बर्ट गिरार्ड ने अपनी पुस्तक त्रिकोणमिति में पाप, कॉस और टैन संक्षिप्त रूपों का पहला प्रकाशित उपयोग किया। 1682 में प्रकाशित एक पत्र में गॉटफ्रीड लीबनिज ने यह साबित किया $x$ का बीजगणितीय फलन नहीं है $c$. यद्यपि एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के अनुपात के रूप में पेश किया गया, और इस प्रकार तर्कसंगत कार्यों के रूप में प्रकट होता है, लीबनिट्ज परिणाम ने स्थापित किया कि वे वास्तव में उनके तर्क के पारलौकिक कार्य हैं। चक्रीय फलनों को बीजगणितीय व्यंजकों में आत्मसात करने का कार्य यूलर द्वारा अनंत के विश्लेषण के अपने परिचय (1748) में पूरा किया गया था। उनकी विधि यह दिखाने के लिए थी कि ज्या और कोसाइन फलन घातीय फलन के क्रमशः सम और विषम पदों से बनने वाली प्रत्यावर्ती श्रृंखला हैं। उन्होंने यूलर के सूत्र के साथ-साथ निकट-आधुनिक संक्षिप्त रूपों (sin., cos., tang., cot., sec., और cosec.) को प्रस्तुत किया।

कुछ कार्य ऐतिहासिक रूप से सामान्य थे, लेकिन अब शायद ही कभी इसका उपयोग किया जाता है, जैसे कि राग (ज्यामिति), छंद (जो सबसे शुरुआती तालिकाओं में दिखाई देता है) ), कवरसाइन, haversine, exsecant और excosecant। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची इन फलनों के बीच अधिक संबंध दर्शाती है।



व्युत्पत्ति
शब्द sine व्युत्पन्न लैटिन शब्द से: साइनस, जिसका अर्थ है झुकना; बे, और अधिक विशेष रूप से एक टोगा के ऊपरी हिस्से की लटकती हुई तह, एक परिधान की छाती, जिसे अरबी शब्द जैब के रूप में व्याख्या के रूप में चुना गया था, जिसका अर्थ है कि काम के बारहवीं शताब्दी के अनुवादों में पॉकेट या फोल्ड मध्यकालीन लैटिन में अल-बट्टानी और मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख़्वारिज़्मी द्वारा। यह चुनाव अरबी लिखित रूप j-y-b की गलत व्याख्या पर आधारित था।جيب), जिसकी उत्पत्ति स्वयं संस्कृत से लिप्यंतरण के रूप में हुई थी, जो इसके पर्यायवाची के साथ(साइन के लिए मानक संस्कृत शब्द) का अनुवाद बॉलिंग में होता है, जिसे प्राचीन ग्रीक भाषा से अपनाया जाता है χορδή डोरी ।

टेंगेंट शब्द लैटिन टैंगेंस से आया है जिसका अर्थ है स्पर्श करना, चूंकि रेखा इकाई त्रिज्या के वृत्त को छूती है, जबकि सेकेंट लैटिन सेकान से उत्पन्न होता है- कटिंग-चूंकि रेखा वृत्त को काटती है। उपसर्ग सह (फ़ंक्शन प्रीफ़िक्स)|सह- (cosine में, cotangent, cosecant) एडमंड गुंटर के कैनन त्रिकोणीय (1620) में पाया जाता है, जो कोसिनस को साइनस पूरक (पूरक कोण की साइन) के संक्षिप्त नाम के रूप में परिभाषित करता है और आगे बढ़ता है cotangens को इसी तरह परिभाषित करें।

यह भी देखें

 * सभी छात्र कैलकुलस लेते हैं - एक कार्तीय तल के एक विशेष चतुर्भुज में त्रिकोणमितीय कार्यों के संकेतों को याद करने के लिए एक स्मरक
 * भास्कर प्रथम का ज्या सन्निकटन सूत्र
 * त्रिकोणमितीय कार्यों का विभेदन
 * सामान्यीकृत त्रिकोणमिति
 * त्रिकोणमितीय तालिकाएँ बनाना
 * अतिशयोक्तिपूर्ण समारोह
 * त्रिकोणमितीय कार्यों के इंटीग्रल की सूची
 * आवधिक कार्यों की सूची
 * त्रिकोणमितीय पहचान की सूची
 * ध्रुवीय ज्या - शीर्ष कोणों के लिए एक सामान्यीकरण
 * त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं के प्रमाण
 * वर्साइन - कई कम उपयोग किए जाने वाले त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए

संदर्भ

 * Lars Ahlfors, Complex Analysis: an introduction to the theory of analytic functions of one complex variable, second edition, McGraw-Hill Book Company, New York, 1966.
 * Boyer, Carl B., A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc., 2nd edition. (1991). ISBN 0-471-54397-7.
 * Gal, Shmuel and Bachelis, Boris. An accurate elementary mathematical library for the IEEE floating point standard, ACM Transactions on Mathematical Software (1991).
 * Joseph, George G., The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics, 2nd ed. Penguin Books, London. (2000). ISBN 0-691-00659-8.
 * Kantabutra, Vitit, "On hardware for computing exponential and trigonometric functions," IEEE Trans. Computers 45 (3), 328–339 (1996).
 * Maor, Eli, Trigonometric Delights, Princeton Univ. Press. (1998). Reprint edition (2002): ISBN 0-691-09541-8.
 * Needham, Tristan, "Preface"" to Visual Complex Analysis. Oxford University Press, (1999). ISBN 0-19-853446-9.
 * O'Connor, J. J., and E. F. Robertson, "Trigonometric functions", MacTutor History of Mathematics archive. (1996).
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 * Pearce, Ian G., "Madhava of Sangamagramma", MacTutor History of Mathematics archive. (2002).
 * Weisstein, Eric W., "Tangent" from MathWorld, accessed 21 January 2006.
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बाहरी कड़ियाँ

 * Visionlearning Module on Wave Mathematics
 * GonioLab Visualization of the unit circle, trigonometric and hyperbolic functions
 * q-Sine Article about the q-analog of sin at MathWorld
 * q-Cosine Article about the q-analog of cos at MathWorld
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