अतिसूक्ष्मनिस्यंदक समुच्चय

समुच्चय सिद्धान्त के गणित क्षेत्र में, एक अल्ट्राफिल्टर एक अधिकतम उचित फिल्टर है: यह एक फिल्टर (गणित) है $$U$$ किसी दिए गए गैर-खाली सेट (गणित) पर $$X$$ जो एक निश्चित प्रकार का गैर-खाली सेट का परिवार है $$X,$$ यह  सत्ता स्थापित  के बराबर नहीं है $$\wp(X)$$ का $$X$$ (ऐसे फिल्टर कहलाते हैं ) और वह भी अधिकतम है कि इसमें कोई अन्य उचित फ़िल्टर मौजूद नहीं है $$X$$ जिसमें यह एक उचित उपसमुच्चय के रूप में शामिल है। अलग तरह से कहा, एक उचित फिल्टर $$U$$ मौजूद होने पर अल्ट्राफिल्टर कहा जाता है उचित फ़िल्टर जिसमें यह एक सबसेट के रूप में होता है, वह उचित फ़िल्टर (अनिवार्य रूप से) होता है $$U$$ अपने आप।

अधिक औपचारिक रूप से, एक अल्ट्राफिल्टर $$U$$ पर $$X$$ एक उचित फ़िल्टर है जो एक अधिकतम तत्व फ़िल्टर (गणित) भी है $$X$$ सेट समावेशन के संबंध में, जिसका अर्थ है कि कोई उचित फ़िल्टर मौजूद नहीं है $$X$$ उसमें सम्मिलित है $$U$$ उचित उपसमुच्चय के रूप में। सेट पर अल्ट्राफिल्टर अल्ट्राफिल्टर का एक महत्वपूर्ण विशेष उदाहरण है, जहां आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट में पावर सेट होता है $$\wp(X)$$ और आंशिक क्रम सबसेट समावेशन है $$\,\subseteq.$$ Ultrafilters के सेट थ्योरी, मॉडल सिद्धांत  और टोपोलॉजी में कई एप्लिकेशन हैं।

परिभाषाएँ
एक मनमाना सेट दिया $$X,$$ एक अल्ट्राफिल्टर ऑन $$X$$ सेट का एक गैर-खाली परिवार है $$U$$ के सबसेट का $$X$$ ऐसा है कि:
 * 1) या : रिक्त समुच्चय का तत्व नहीं है $$U.$$
 * अगर $$A \in U$$ और अगर $$B \subseteq X$$ का कोई सुपरसेट है $$A$$ (यानी, अगर $$A \subseteq B \subseteq X$$) तब $$B \in U.$$
 * अगर $$A$$ और $$B$$ के तत्व हैं $$U$$ तो उनका चौराहा (सेट सिद्धांत) है $$A \cap B.$$
 * 1) अगर $$A \subseteq X$$ तो कोई $$A$$ या इसके सापेक्ष पूरक $$X \setminus A$$ का एक तत्व है $$U.$$ गुण (1), (2), और (3) एक के परिभाषित गुण हैं कुछ लेखक फ़िल्टर की अपनी परिभाषा में गैर-अध: पतन (जो कि गुण (1) ऊपर है) को शामिल नहीं करते हैं। हालांकि, अल्ट्राफिल्टर (और प्रीफिल्टर और फिल्टर सबबेस की भी) की परिभाषा में परिभाषित स्थिति के रूप में हमेशा गैर-अध: पतन शामिल होता है। इस लेख के लिए जरूरी है कि सभी फिल्टर उचित हों, हालांकि जोर देने के लिए फिल्टर को उचित बताया जा सकता है।

एक फिल्टर {{em|sub}आधार सेट का एक गैर-खाली परिवार है जिसमें परिमित चौराहा संपत्ति है (यानी सभी परिमित चौराहे गैर-खाली हैं)। समतुल्य रूप से, एक फ़िल्टर सबबेस सेट का एक गैर-खाली परिवार है जो इसमें निहित है (उचित) फ़िल्टर। सबसे छोटा (के सापेक्ष $$\subseteq$$) दिए गए फ़िल्टर सबबेस वाले फ़िल्टर को फ़िल्टर सबबेस द्वारा उत्पन्न कहा जाता है।

ऊपर की ओर बंद होना $$X$$ सेट के एक परिवार की $$P$$ सेट है
 * $$P^{\uparrow X} := \{S : A \subseteq S \subseteq X \text{ for some } A \in P\}.$$

ए या एक गैर-खाली और उचित है (यानी $$\varnothing \not\in P$$) सेट का परिवार $$P$$ वह नीचे की ओर निर्देशित है, जिसका अर्थ है कि यदि $$B, C \in P$$ तो कुछ मौजूद है $$A \in P$$ ऐसा है कि $$A \subseteq B \cap C.$$ समान रूप से, प्रीफ़िल्टर सेट का कोई भी परिवार है $$P$$ जिसका ऊपर की ओर बंद होना $$P^{\uparrow X}$$ एक फ़िल्टर है, इस स्थिति में इस फ़िल्टर को उत्पन्न फ़िल्टर कहा जाता है $$P$$और $$P$$ फिल्टर बेस कहा जाता है $$P^{\uparrow X}.$$दोहरी में $$X$$ समुच्चयों के परिवार का $$P$$ सेट है $$X \setminus P := \{X \setminus B : B \in P\}.$$ उदाहरण के लिए, पावर सेट का दोहरा $$\wp(X)$$ स्वयं है: $$X \setminus \wp(X) = \wp(X).$$ सेट का एक परिवार एक उचित फ़िल्टर है $$X$$ अगर और केवल अगर इसकी दोहरी एक उचित आदर्श (सेट सिद्धांत) है $$X$$ ( का मतलब पावर सेट के बराबर नहीं है)।

अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर
के लिए सामान्यीकरण

एक परिवार $$U \neq \varnothing$$ के सबसेट का $$X$$ कहा जाता है अगर $$\varnothing \not\in U$$ और निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से कोई भी संतुष्ट है:

 हर सेट के लिए $$S \subseteq X$$ कुछ सेट मौजूद है $$B \in U$$ ऐसा है कि $$B \subseteq S$$ या $$B \subseteq X \setminus S$$ (या समकक्ष, ऐसा कि $$B \cap S$$ के बराबर होती है $$B$$ या $$\varnothing$$). हर सेट के लिए $$S \subseteq {\textstyle\bigcup\limits_{B \in U}} B$$ कुछ सेट मौजूद है $$B \in U$$ ऐसा है कि $$B \cap S$$ के बराबर होती है $$B$$ या $$\varnothing.$$ * यहाँ, $$ {\textstyle\bigcup\limits_{B \in U}} B$$ में सभी सेटों के मिलन के रूप में परिभाषित किया गया है $$U.$$ के लिए तय करना $$S$$ (जरूरी नहीं कि इसका उपसमुच्चय भी हो $$X$$) कुछ सेट मौजूद है $$B \in U$$ ऐसा है कि $$B \cap S$$ के बराबर होती है $$B$$ या $$\varnothing.$$ * अगर $$U$$ इस स्थिति को संतुष्ट करता है तो ऐसा करता है  सुपरसेट $$V \supseteq U.$$ विशेष रूप से, एक सेट $$V$$ अल्ट्रा है अगर और केवल अगर $$\varnothing \not\in V$$ और $$V$$ एक सबसेट के रूप में सेट के कुछ अल्ट्रा परिवार शामिल हैं। 
 * यह लक्षण वर्णन$$U$$ अल्ट्रा सेट पर निर्भर नहीं है $$X,$$ इसलिए सेट का जिक्र $$X$$ अल्ट्रा शब्द का उपयोग करते समय वैकल्पिक है। 

एक फ़िल्टर सबबेस जो अल्ट्रा है, अनिवार्य रूप से एक प्रीफ़िल्टर है। अल्ट्रा प्रॉपर्टी का उपयोग अब अल्ट्राफिल्टर और अल्ट्रा प्रीफिल्टर दोनों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है:


 * एक एक प्रीफिल्टर है जो अल्ट्रा है। समान रूप से, यह एक फिल्टर सबबेस है जो अल्ट्रा है।


 * एक पर $$X$$ एक (उचित) फ़िल्टर चालू है $$X$$ वह अति है। समान रूप से, यह कोई भी फ़िल्टर है $$X$$ जो एक अल्ट्रा प्रीफिल्टर द्वारा उत्पन्न होता है।

अधिकतम प्रीफिल्टर के रूप में अल्ट्रा प्रीफिल्टर

अधिकतमता के संदर्भ में अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर को चिह्नित करने के लिए, निम्नलिखित संबंध की आवश्यकता है।


 * सेट के दो परिवारों को दिया $$M$$ और $$N,$$ परिवार $$M$$ अधिक स्थूल बताया गया है बजाय $$N,$$ और $$N$$ से श्रेष्ठ और अधीनस्थ है $$M,$$ लिखा हुआ $$M \leq N$$ या $N ⊢ M$, यदि प्रत्येक के लिए $$C \in M,$$ वहाँ कुछ $$F \in N$$ ऐसा है कि $$F \subseteq C.$$ परिवारों $$M$$ और $$N$$ समतुल्य कहा जाता है यदि $$M \leq N$$ और $$N \leq M.$$ परिवारों $$M$$ और $$N$$ तुलनीय हैं यदि इनमें से एक सेट दूसरे से बेहतर है।

अधीनता संबंध, अर्थात्। $$\,\geq,\,$$ एक पूर्व आदेश है इसलिए समतुल्य की उपरोक्त परिभाषा एक तुल्यता संबंध बनाती है। अगर $$M \subseteq N$$ तब $$M \leq N$$ लेकिन बातचीत सामान्य रूप से पकड़ में नहीं आती है। हालांकि, यदि $$N$$ ऊपर की ओर बंद है, जैसे फ़िल्टर, फिर $$M \leq N$$ अगर और केवल अगर $$M \subseteq N.$$ हर प्रीफ़िल्टर उस फ़िल्टर के बराबर होता है जो वह उत्पन्न करता है। इससे पता चलता है कि फ़िल्टर के लिए सेट के बराबर होना संभव है जो फ़िल्टर नहीं हैं।

यदि सेट के दो परिवार $$M$$ और $$N$$ समतुल्य हैं तो या तो दोनों $$M$$ और $$N$$ अल्ट्रा (प्रत्यक्ष प्रीफ़िल्टर, फ़िल्टर सबबेस) हैं या अन्यथा उनमें से कोई भी अल्ट्रा नहीं है (रेस्प। एक प्रीफ़िल्टर, एक फ़िल्टर सबबेस)। विशेष रूप से, यदि फ़िल्टर सबबेस भी प्रीफ़िल्टर नहीं है, तो यह है उस फ़िल्टर या प्रीफ़िल्टर के बराबर होता है जो वह उत्पन्न करता है। अगर $$M$$ और $$N$$ दोनों फिल्टर चालू हैं $$X$$ तब $$M$$ और $$N$$ समतुल्य हैं अगर और केवल अगर $$M = N.$$ यदि एक उचित फिल्टर (प्रतिक्रिया। अल्ट्राफिल्टर) सेट के परिवार के बराबर है $$M$$ तब $$M$$ अनिवार्य रूप से एक प्रीफ़िल्टर (प्रतिक्रिया। अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर) है। निम्नलिखित लक्षण वर्णन का उपयोग करते हुए, केवल फिल्टर (प्रतिक्रिया अल्ट्राफिल्टर) और अधीनता की अवधारणा का उपयोग करके प्रीफिल्टर (प्रतिक्रिया अल्ट्रा प्रीफिल्टर) को परिभाषित करना संभव है:


 * सेट का एक मनमाना परिवार एक प्रीफ़िल्टर है अगर और केवल यह एक (उचित) फ़िल्टर के बराबर है।
 * सेट का एक मनमाना परिवार एक अल्ट्रा प्रीफिल्टर है अगर और केवल यह एक अल्ट्राफिल्टर के बराबर है।


 * ए पर $$X$$ एक प्रीफिल्टर है $$U \subseteq \wp(X)$$ जो निम्न समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता हो:

 $$U$$ अति है।

<वह>$$U$$ अधिकतम पर है $$\operatorname{Prefilters}(X)$$ इसके संबंध में $$\,\leq,$$ मतलब अगर $$P \in \operatorname{Prefilters}(X)$$ संतुष्ट $$U \leq P$$ तब $$P \leq U.$$ कोई प्रीफ़िल्टर उचित रूप से अधीनस्थ नहीं है $$U.$$ यदि एक (उचित) फ़िल्टर $$F$$ पर $$X$$ संतुष्ट $$U \leq F$$ तब $$F \leq U.$$ फ़िल्टर चालू है $$X$$ द्वारा उत्पन्न $$U$$ अति है। 

लक्षण वर्णन
खाली सेट पर कोई अल्ट्राफिल्टर नहीं है, इसलिए यह मान लिया गया है $$X$$ खाली नहीं है।

एक फिल्टर आधार $$U$$ पर $$X$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $$X$$ यदि और केवल यदि निम्न समतुल्य शर्तों में से कोई भी हो:  किसी के लिए $$S \subseteq X,$$ दोनों में से एक $$S \in U$$ या $$X \setminus S \in U.$$</ली> $$U$$ एक अधिकतम फ़िल्टर सबबेस चालू है $$X,$$ मतलब अगर $$F$$ क्या कोई फ़िल्टर सबबेस चालू है $$X$$ तब $$U \subseteq F$$ तात्पर्य $$U = F.$$</li> </ओल>

ए (उचित) फ़िल्टर $$U$$ पर $$X$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $$X$$ यदि और केवल यदि निम्न समतुल्य शर्तों में से कोई भी हो:  $$U$$ अति है;</li> <वह>$$U$$ एक अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर द्वारा उत्पन्न होता है;</li> किसी भी सबसेट के लिए $$S \subseteq X,$$ $$S \in U$$ या $$X \setminus S \in U.$$ प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$A \subseteq X,$$ दोनों में से एक $$A$$ में है $$U$$ या ($$X \setminus A$$) है.</li> $$U \cup (X \setminus U) = \wp(X).$$ इस स्थिति को इस प्रकार दोहराया जा सकता है: $$\wp(X)$$ द्वारा विभाजित किया गया है $$U$$ और इसका दोहरा $$X \setminus U.$$ $$\wp(X) \setminus U = \left\{ S \in \wp(X) : S \not\in U \right\}$$ पर आदर्श है $$X.$$</li> किसी भी परिमित परिवार के लिए $$S_1, \ldots, S_n$$ के सबसेट का $$X$$ (कहाँ $$n \geq 1$$), अगर $$S_1 \cup \cdots \cup S_n \in U$$ तब $$S_i \in U$$ कुछ सूचकांक के लिए $$i.$$ किसी के लिए $$R, S \subseteq X,$$ अगर $$R \cup S = X$$ तब $$R \in U$$ या $$S \in U.$$</ली> किसी के लिए $$R, S \subseteq X,$$ अगर $$R \cup S \in U$$ तब $$R \in U$$ या $$S \in U$$ (इस गुण वाले फ़िल्टर को कहा जाता है a).</ली> किसी के लिए $$R, S \subseteq X,$$ अगर $$R \cup S \in U$$ और $$R \cap S = \varnothing$$ तब $$R \in U$$ या $$S \in U.$$</ली> <ली>$$U$$ एक अधिकतम फ़िल्टर है; वह है, अगर $$F$$ एक फिल्टर चालू है $$X$$ ऐसा है कि $$U \subseteq F$$ तब $$U = F.$$ समान रूप से, $$U$$ यदि कोई फ़िल्टर नहीं है तो अधिकतम फ़िल्टर है $$F$$ पर $$X$$ उसमें सम्मिलित है $$U$$ एक उचित उपसमुच्चय के रूप में (अर्थात, कोई फ़िल्टर कड़ाई से फ़िल्टर (गणित) नहीं है # किसी सेट पर फ़िल्टर करें $$U$$).</li> </ अल>
 * तो एक अल्ट्राफिल्टर $$U$$ प्रत्येक के लिए निर्णय लेता है $$S \subseteq X$$ चाहे $$S$$ बड़ा है (यानी $$S \in U$$) या छोटा (यानी $$X \setminus S \in U$$). </ली>
 * सेट $$P$$ और $$X \setminus P$$ सभी प्रीफिल्टर के लिए असंयुक्त हैं $$P$$ पर $$X.$$</ली>
 * शब्दों में, एक बड़ा समुच्चय समुच्चयों का परिमित संघ नहीं हो सकता है जिनमें से कोई भी बड़ा नहीं है। </ली>

ग्रिल्स और फिल्टर-ग्रिल्स
अगर $$\mathcal{B} \subseteq \wp(X)$$ उसके बाद परिवार है $$\mathcal{B}^{\# X} := \{S \subseteq X ~:~ S \cap B \neq \varnothing \text{ for all } B \in \mathcal{B}\}$$ कहाँ $$\mathcal{B}^{\#}$$ अगर लिखा जा सकता है $$X$$ सन्दर्भ से स्पष्ट है। उदाहरण के लिए, $$\varnothing^{\#} = \wp(X)$$ और अगर $$\varnothing \in \mathcal{B}$$ तब $$\mathcal{B}^{\#} = \varnothing.$$ अगर $$\mathcal{A} \subseteq \mathcal{B}$$ तब $$\mathcal{B}^{\#} \subseteq \mathcal{A}^{\#}$$ और इसके अलावा, अगर $$\mathcal{B}$$ तब एक फ़िल्टर सबबेस है $$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{B}^{\#}.$$ ग्रिल $$\mathcal{B}^{\# X}$$ ऊपर की ओर बंद है $$X$$ अगर और केवल अगर $$\varnothing \not\in \mathcal{B},$$ जिसे अब से माना जाएगा। इसके अतिरिक्त, $$\mathcal{B}^{\#\#} = \mathcal{B}^{\uparrow X}$$ ताकि $$\mathcal{B}$$ ऊपर की ओर बंद है $$X$$ अगर और केवल अगर $$\mathcal{B}^{\#\#} = \mathcal{B}.$$ फिल्टर की ग्रिल लगी हुई है $$X$$ ए कहा जाता है किसी के लिए $$\varnothing \neq \mathcal{B} \subseteq \wp(X),$$ $$\mathcal{B}$$ एक फिल्टर-ग्रिल चालू है $$X$$ अगर और केवल अगर (1) $$\mathcal{B}$$ ऊपर की ओर बंद है $$X$$ और (2) सभी सेटों के लिए $$R$$ और $$S,$$ अगर $$R \cup S \in \mathcal{B}$$ तब $$R \in \mathcal{B}$$ या $$S \in \mathcal{B}.$$ ग्रिल ऑपरेशन $$\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^{\# X}$$ आक्षेप उत्पन्न करता है
 * $${\bull}^{\# X} ~:~ \operatorname{Filters}(X) \to \operatorname{FilterGrills}(X)$$

जिसका व्युत्क्रम भी द्वारा दिया गया है $$\mathcal{F} \mapsto \mathcal{F}^{\# X}.$$ अगर $$\mathcal{F} \in \operatorname{Filters}(X)$$ तब $$\mathcal{F}$$ एक फिल्टर-ग्रिल चालू है $$X$$ अगर और केवल अगर $$\mathcal{F} = \mathcal{F}^{\# X},$$ या समकक्ष, अगर और केवल अगर $$\mathcal{F}$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $$X.$$ यानी एक फिल्टर ऑन $$X$$ एक फिल्टर-ग्रिल है अगर और केवल अगर यह अल्ट्रा है। किसी भी गैर-खाली के लिए $$\mathcal{F} \subseteq \wp(X),$$ $$\mathcal{F}$$ दोनों एक फिल्टर पर है $$X$$ और एक फ़िल्टर-ग्रिल चालू है $$X$$ अगर और केवल अगर (1) $$\varnothing \not\in \mathcal{F}$$ और (2) सभी के लिए $$R, S \subseteq X,$$ निम्नलिखित समानताएं हैं:
 * $$R \cup S \in \mathcal{F}$$ अगर और केवल अगर $$R, S \in \mathcal{F}$$ अगर और केवल अगर $$R \cap S \in \mathcal{F}.$$

फ्री या प्रिंसिपल
अगर $$P$$ सेट का कोई गैर-खाली परिवार है तो कर्नेल (सेट सिद्धांत)। $$P$$में सभी सेटों का प्रतिच्छेदन है $$P:$$ $$\operatorname{ker} P := \bigcap_{B \in P} B.$$ सेट का एक गैर-खाली परिवार $$P$$ कहा जाता है:


 * अगर $$\operatorname{ker} P = \varnothing$$ और अन्यथा (अर्थात, यदि $$\operatorname{ker} P \neq \varnothing$$).
 * अगर $$\operatorname{ker} P \in P.$$
 * अगर $$\operatorname{ker} P \in P$$ और $$\operatorname{ker} P$$ एक सिंगलटन सेट है; इस मामले में, अगर $$\operatorname{ker} P = \{x\}$$ तब $$P$$ में प्रधान बताया जाता है $$x.$$यदि सेट का परिवार $$P$$ तब तय है $$P$$ अल्ट्रा है अगर और केवल अगर कुछ तत्व $$P$$ एक सिंगलटन सेट है, किस मामले में $$P$$ अनिवार्य रूप से एक प्रीफ़िल्टर होगा। प्रत्येक प्रमुख प्रीफ़िल्टर निश्चित है, इसलिए एक प्रमुख प्रीफ़िल्टर $$P$$ अल्ट्रा है अगर और केवल अगर $$\operatorname{ker} P$$ एक सिंगलटन सेट है। एक सिंगलटन सेट अल्ट्रा है अगर और केवल अगर इसका एकमात्र तत्व भी सिंगलटन सेट है।

अगले प्रमेय से पता चलता है कि प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर दो श्रेणियों में से एक में आता है: या तो यह मुफ़्त है या फिर यह एक बिंदु से उत्पन्न एक प्रमुख फ़िल्टर है।

$$

प्रत्येक फ़िल्टर चालू है $$X$$ वह एक बिंदु पर प्रिंसिपल है एक अल्ट्राफिल्टर है, और यदि अतिरिक्त है $$X$$ परिमित है, तो कोई अल्ट्राफिल्टर ऑन नहीं है $$X$$ इनके अलावा। विशेष रूप से, यदि एक सेट $$X$$ परिमित कार्डिनैलिटी है $$n < \infty,$$ तो बिल्कुल हैं $$n$$ अल्ट्राफिल्टर ऑन $$X$$ और वे प्रत्येक सिंगलटन सबसेट द्वारा उत्पन्न अल्ट्राफिल्टर हैं $$X.$$ नतीजतन, मुक्त अल्ट्राफिल्टर केवल एक अनंत सेट पर ही मौजूद हो सकते हैं।

उदाहरण, गुण, और पर्याप्त शर्तें
अगर $$X$$ एक अनंत सेट है तो जितने अल्ट्राफिल्टर हैं उतने खत्म हो गए हैं $$X$$ के रूप में वहाँ के सबसेट के परिवार हैं $$X;$$ स्पष्ट रूप से, अगर $$X$$ अनंत कार्डिनैलिटी है $$\kappa$$ फिर अल्ट्राफिल्टर का सेट खत्म हो गया $$X$$ के समान कार्डिनैलिटी है $$\wp(\wp(X));$$ वह कार्डिनैलिटी $$2^{2^{\kappa}}.$$ अगर $$U$$ और $$S$$ ऐसे सेट के परिवार हैं $$U$$ अति है, $$\varnothing \not\in S,$$ और $$U \leq S,$$ तब $$S$$ अनिवार्य रूप से अति है। एक सबबेस फ़िल्टर $$U$$ जो प्रीफ़िल्टर नहीं है वह अल्ट्रा नहीं हो सकता; लेकिन इसके द्वारा उत्पन्न प्रीफ़िल्टर और फ़िल्टर के लिए अभी भी संभव है $$U$$ अति होना।

कल्पना करना $$U \subseteq \wp(X)$$ अति है और $$Y$$ एक सेट है। निशान $$U\vert_Y := \{B \cap Y : B \in U\}$$ अल्ट्रा है अगर और केवल अगर इसमें खाली सेट नहीं है। इसके अलावा, कम से कम एक सेट $$U\vert_Y \setminus \{\varnothing\}$$ और $$U\vert_{X \setminus Y} \setminus \{\varnothing\}$$ अल्ट्रा होगा (यह परिणाम किसी भी परिमित विभाजन तक फैला हुआ है $$X$$). अगर $$F_1, \ldots, F_n$$ फिल्टर लगे हैं $$X,$$ $$U$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $$X,$$ और $$F_1 \cap \cdots \cap F_n \leq U,$$ तो कुछ है $$F_i$$ जो संतुष्ट करता है $$F_i \leq U.$$ यह परिणाम फिल्टर के अनंत परिवार के लिए जरूरी नहीं है।

मानचित्र के नीचे छवि $$f : X \to Y$$ एक अल्ट्रा सेट की $$U \subseteq \wp(X)$$ फिर से अल्ट्रा है और अगर $$U$$ एक अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर है तो ऐसा है $$f(U).$$ अति होने का गुण आक्षेपों के अंतर्गत संरक्षित रहता है। हालांकि, एक अल्ट्राफिल्टर का प्रीइमेज अनिवार्य रूप से अल्ट्रा नहीं है, भले ही नक्शा विशेषण न हो। उदाहरण के लिए, यदि $$X$$ एक से अधिक बिंदु हैं और यदि की सीमा है $$f : X \to Y$$ एक बिंदु के होते हैं $$\{ y \}$$ तब $$\{ y \}$$ एक अल्ट्रा प्रीफ़िल्टर चालू है $$Y$$ लेकिन इसका प्रीइमेज अल्ट्रा नहीं है। वैकल्पिक रूप से, अगर $$U$$ में एक बिंदु द्वारा उत्पन्न एक प्रमुख फिल्टर है $$Y \setminus f(X)$$ फिर की पूर्वकल्पना $$U$$ में खाली सेट है और इसलिए यह अल्ट्रा नहीं है।

प्राथमिक फिल्टर एक अनंत अनुक्रम से प्रेरित है, जिसके सभी बिंदु अलग हैं, है एक अल्ट्राफिल्टर। अगर $$n = 2,$$ तब $$U_n$$ के सभी उपसमुच्चयों वाले समुच्चय को दर्शाता है $$X$$ कार्डिनैलिटी होना $$n,$$ और अगर $$X$$ कम से कम शामिल है $$2 n - 1$$ ($$=3$$) अलग बिंदु, फिर $$U_n$$ अल्ट्रा है लेकिन यह किसी भी प्रीफ़िल्टर में समाहित नहीं है। यह उदाहरण किसी भी पूर्णांक का सामान्यीकरण करता है $$n > 1$$ और भी $$n = 1$$ अगर $$X$$ एक से अधिक तत्व होते हैं। अल्ट्रा सेट जो प्रीफ़िल्टर भी नहीं हैं, उनका उपयोग शायद ही कभी किया जाता है।

हरएक के लिए $$S \subseteq X \times X$$ और हर $$a \in X,$$ होने देना $$S\big\vert_{\{a\} \times X} := \{y \in X ~:~ (a, y) \in S\}.$$ अगर $$\mathcal{U}$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $$X$$ फिर सभी का सेट $$S \subseteq X \times X$$ ऐसा है कि $$\left\{a \in X ~:~ S\big\vert_{\{a\} \times X} \in \mathcal{U}\right\} \in \mathcal{U}$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $$X \times X.$$

मोनाड संरचना
किसी भी सेट से संबद्ध ऑपरेटर $$X$$ के समुच्चय $$U(X)$$ सभी अल्ट्राफिल्टर पर $$X$$ एक मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) बनाता है जिसे कहा जाता है. इकाई मानचित्र $$X \to U(X)$$ कोई तत्व भेजता है $$x \in X$$ द्वारा दिए गए प्रमुख अल्ट्राफिल्टर को $$x.$$ यह अल्ट्राफिल्टर मोनाड फिनसेट को सेट की श्रेणी में शामिल करने का कोडेंसिटी मोनाड है, जो इस सन्यासी की वैचारिक व्याख्या करता है।

इसी तरह, ultraproduct  मोनाड सेट के परिमित परिवार की श्रेणी को सेट के सभी परिवारों की श्रेणी में शामिल करने का कोडेन्सिटी मोनाड है। तो इस अर्थ में, अल्ट्राप्रोडक्ट स्पष्ट रूप से अपरिहार्य हैं।

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा
अल्ट्राफिल्टर लेम्मा को पहली बार 1930 में अल्फ्रेड टार्स्की द्वारा सिद्ध किया गया था।

$$

अल्ट्राफिल्टर लेम्मा निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन के बराबर है:

अल्ट्राफ़िल्टर लेम्मा का एक परिणाम यह है कि प्रत्येक फ़िल्टर उसमें मौजूद सभी अल्ट्राफ़िल्टर के प्रतिच्छेदन के बराबर होता है। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का उपयोग करके निम्नलिखित परिणाम सिद्ध किए जा सकते हैं। एक सेट पर एक फ्री अल्ट्राफिल्टर मौजूद है $$X$$ अगर और केवल अगर $$X$$ अनंत है। हर उचित फ़िल्टर उसमें मौजूद सभी अल्ट्राफ़िल्टर के प्रतिच्छेदन के बराबर होता है। चूंकि ऐसे फ़िल्टर हैं जो अल्ट्रा नहीं हैं, इससे पता चलता है कि अल्ट्राफ़िल्टर के परिवार के इंटरसेक्शन को अल्ट्रा नहीं होना चाहिए। सेट का एक परिवार $$\mathbb{F} \neq \varnothing$$ एक मुफ्त अल्ट्राफिल्टर तक बढ़ाया जा सकता है अगर और केवल अगर तत्वों के किसी परिमित परिवार का प्रतिच्छेदन $$\mathbb{F}$$ अनंत है।
 * 1) एक सेट पर हर प्रीफ़िल्टर के लिए $$X,$$ एक अधिकतम प्रीफ़िल्टर मौजूद है $$X$$ उसके अधीन।
 * 2) एक सेट पर हर उचित फ़िल्टर सबबेस $$X$$ कुछ अल्ट्राफिल्टर ऑन में निहित है $$X.$$

ZF
के तहत अन्य बयानों से संबंध

इस पूरे खंड में, ZF ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी को संदर्भित करता है और ZFC, ZF को पसंद के Axiom (AC) के साथ संदर्भित करता है। अल्ट्राफिल्टर लेम्मा ZF से स्वतंत्र है। यही है, वहाँ मॉडल सिद्धांत मौजूद है जिसमें ZF के स्वयंसिद्ध हैं लेकिन अल्ट्राफिल्टर लेम्मा नहीं है। ZF के ऐसे मॉडल भी मौजूद हैं जिनमें हर अल्ट्राफिल्टर आवश्यक रूप से प्रमुख है।

प्रत्येक फ़िल्टर जिसमें एक सिंगलटन सेट होता है, अनिवार्य रूप से एक अल्ट्राफ़िल्टर होता है और दिया जाता है $$x \in X,$$ असतत अल्ट्राफिल्टर की परिभाषा $$\{S \subseteq X : x \in S\}$$ ZF से अधिक की आवश्यकता नहीं है। अगर $$X$$ परिमित है तो प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर एक बिंदु पर असतत फिल्टर है; नतीजतन, मुफ्त अल्ट्राफिल्टर केवल अनंत सेटों पर ही मौजूद हो सकते हैं। विशेष रूप से, अगर $$X$$ परिमित है तो अल्ट्राफिल्टर लेम्मा को स्वयंसिद्ध ZF से सिद्ध किया जा सकता है। पसंद के स्वयंसिद्ध मान लेने पर अनंत सेटों पर मुक्त अल्ट्राफिल्टर का अस्तित्व सिद्ध हो सकता है। अधिक आम तौर पर, अल्ट्राफिल्टर लेम्मा को पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जो संक्षेप में बताता है कि गैर-खाली सेटों का कोई कार्टेशियन उत्पाद गैर-खाली है। जेडएफ के तहत, पसंद का स्वयंसिद्ध, विशेष रूप से, पसंद का अभिगृहीत # समतुल्य है (ए) ज़ोर्न लेम्मा, (बी) टाइकोनॉफ़ प्रमेय, (सी) वेक्टर आधार प्रमेय का कमजोर रूप (जो बताता है कि प्रत्येक वेक्टर अंतरिक्ष में एक है Hamel आधार), (d) सदिश आधार प्रमेय का प्रबल रूप, और अन्य कथन। हालांकि, अल्ट्राफिल्टर लेम्मा पसंद के स्वयंसिद्ध से सख्ती से कमजोर है। जबकि मुक्त अल्ट्राफिल्टर मौजूद साबित हो सकते हैं, यह है मुक्त अल्ट्राफिल्टर (केवल ZF और अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का उपयोग करके) का एक स्पष्ट उदाहरण बनाना संभव है; अर्थात् मुक्त अल्ट्राफिल्टर अमूर्त होते हैं। अल्फ्रेड टार्स्की ने साबित किया कि ZFC के तहत, एक अनंत सेट पर सभी मुफ्त अल्ट्राफिल्टर के सेट की प्रमुखता $$X$$ की कार्डिनैलिटी के बराबर है $$\wp(\wp(X)),$$ कहाँ $$\wp(X)$$ के पावर सेट को दर्शाता है $$X.$$ अन्य लेखकों ने इस खोज का श्रेय बेद्रिच पोस्पिसिल को दिया है (ग्रिगोरी स्प्रूस की लकड़ी और लियोनिद कांटोरोविच के संयोजन तर्क के बाद, फेलिक्स हॉसडॉर्फ द्वारा सुधार किया गया)।

जेडएफ के तहत, पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग अल्ट्राफिल्टर लेम्मा और केरीन-मिलमैन प्रमेय दोनों को साबित करने के लिए किया जा सकता है; इसके विपरीत, ZF के तहत, Krein-Milman प्रमेय के साथ अल्ट्राफिल्टर लेम्मा पसंद के स्वयंसिद्ध को साबित कर सकता है।

ऐसे कथन जिनका अनुमान नहीं लगाया जा सकता
अल्ट्राफिल्टर लेम्मा एक अपेक्षाकृत कमजोर स्वयंसिद्ध है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सूची में से प्रत्येक कथन कर सकते हैं ZF से एक साथ घटाया जाए  अल्ट्राफिल्टर लेम्मा:

<ओल> <li>गणनीय समुच्चयों का एक गणनीय संघ एक गणनीय समुच्चय होता है।</li> <li>गणनीय सेट (एसीसी) का एक्सिओम।</li> <li>द निर्भर पसंद का स्वयंसिद्ध (ADC).</li> </ओल>

समतुल्य कथन
ZF के तहत, अल्ट्राफिल्टर लेम्मा निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन के बराबर है:

<ओल> <li>बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय (BPIT)। <li>बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय।</li> <li>बूलियन स्पेस का कोई भी उत्पाद बूलियन स्पेस होता है।</li> <li>बूलियन प्राइम आइडियल एक्ज़िस्टेंस थ्योरम: प्रत्येक नॉनडीजेनरेट बूलियन बीजगणित का एक प्राइम आदर्श होता है।</li> <li>हॉसडॉर्फ स्पेस के लिए टाइकोनॉफ प्रमेय: कॉम्पैक्ट जगह  हॉसडॉर्फ स्पेस का कोई भी उत्पाद टोपोलॉजी कॉम्पैक्ट है।</li> <li>अगर $$\{ 0, 1 \}$$ असतत टोपोलॉजी के साथ किसी भी सेट के लिए संपन्न है $$I,$$ उत्पाद स्थान $$\{0, 1\}^I$$ कॉम्पैक्ट स्पेस है।</li> <li>बनच-अलाग्लु प्रमेय के निम्नलिखित संस्करणों में से प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के बराबर है: <ol शैली = सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <li>टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) पर स्केलर-वैल्यू मैप्स का कोई सम-सतत सेट कमजोर-कमजोर- * टोपोलॉजी में अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट होता है (अर्थात, यह कुछ कमजोर-* कॉम्पैक्ट सेट में समाहित होता है)।</li> <li>किसी टीवीएस में मूल के किसी भी पड़ोस का ध्रुवीय सेट $$X$$ इसकी निरंतर दोहरी जगह का एक कमजोर-* कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय है।</li> <li>किसी भी मानक स्थान के निरंतर दोहरे स्थान में बंद इकाई गेंद कमजोर-* कॉम्पैक्ट है। </ओल> </ली> <li>एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ कॉम्पैक्ट है अगर हर अल्ट्राफिल्टर चालू है $$X$$ किसी सीमा में समा जाता है।</li> <li>एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ कॉम्पैक्ट है अगर प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर ऑन $$X$$ किसी सीमा में समा जाता है। <li>अल्ट्रानेट लेम्मा: हर नेट (गणित) में एक यूनिवर्सल सबनेट होता है। * परिभाषा के अनुसार, एक नेट (गणित) में $$X$$ एक कहा जाता है या ए  यदि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$S \subseteq X,$$ नेट अंत में अंदर है $$S$$ या में $$X \setminus S.$$</ली> <li>एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ कॉम्पैक्ट है अगर और केवल अगर हर अल्ट्रानेट चालू है $$X$$ किसी सीमा में समा जाता है। <li>एक अभिसरण स्थान $$X$$ कॉम्पैक्ट है अगर हर अल्ट्राफिल्टर चालू है $$X$$ अभिसरण।</li> <li>एक समान स्थान कॉम्पैक्ट है यदि यह पूर्ण स्थान है और पूरी तरह से घिरा हुआ है।</li> <li>स्टोन-चेक कॉम्पेक्टिफिकेशन प्रमेय।</li> <li>संहतता प्रमेय के निम्नलिखित संस्करणों में से प्रत्येक अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के बराबर है: <ol शैली = सूची-शैली-प्रकार: निचला-लैटिन; > <li>अगर $$\Sigma$$ प्रथम-क्रम विधेय कलन का एक सेट है | प्रथम-क्रम वाक्य (गणितीय तर्क) ऐसा है कि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय $$\Sigma$$ एक मॉडल सिद्धांत है, फिर $$\Sigma$$ एक मॉडल है।</li> <li>अगर $$\Sigma$$ प्रस्तावक कलन का एक सेट है | शून्य-क्रम के वाक्य ऐसे हैं कि प्रत्येक परिमित उपसमुच्चय $$\Sigma$$ एक मॉडल है, फिर $$\Sigma$$ एक मॉडल है।</li> </ओल> <li>पूर्णता प्रमेय: यदि $$\Sigma$$ प्रोपोज़िशनल कैलकुलस का एक सेट है | शून्य-क्रम वाक्य वाक्य-रचना के अनुरूप है, तो इसका एक मॉडल है (अर्थात, यह अर्थ की दृष्टि से सुसंगत है)।</li> <ली></ली> </ओल>
 * यह तुल्यता पसंद के अभिगृहीत (AC) के बिना ZF सेट सिद्धांत में सिद्ध है।</li>
 * यदि आदर्श स्थान वियोज्य है तो अल्ट्राफिल्टर लेम्मा पर्याप्त है लेकिन इस कथन को सिद्ध करने के लिए आवश्यक नहीं है।</li>
 * शब्दों का जोड़ और केवल अगर इस कथन और इसके ठीक ऊपर वाले के बीच एकमात्र अंतर है।</li>
 * यदि शब्द और केवल यदि हटा दिए जाते हैं तो परिणामी कथन अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के समतुल्य रहता है।</li>

कमजोर बयान
कोई भी बयान जो अल्ट्राफिल्टर लेम्मा (जेडएफ के साथ) से घटाया जा सकता है, कहा जाता है अल्ट्राफिल्टर लेम्मा की तुलना में। कमजोर कथन कहा जाता है अगर ZF के तहत, यह अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के बराबर नहीं है। ZF के तहत, अल्ट्राफिल्टर लेम्मा का तात्पर्य निम्नलिखित में से प्रत्येक कथन से है:

<ओल> <li>परिमित सेट (एसीएफ) के लिए पसंद का सिद्धांत: दिया गया $$I \neq \varnothing$$ और एक परिवार $$\left(X_i\right)_{i \in I}$$ गैर-खाली का सेट, उनका उत्पाद $${\textstyle\prod\limits_{i \in I}} X_i$$ खाली नहीं है। </ली> <li>परिमित समुच्चयों का एक गणनीय समुच्चय संघ एक गणनीय समुच्चय होता है। <li>हैन-बनाक प्रमेय। * जेडएफ में, हैन-बनाक प्रमेय अल्ट्राफिल्टर लेम्मा से सख्ती से कमजोर है।</li> <li>बनाच-तर्स्की विरोधाभास। <li>हर सेट रैखिक क्रम में हो सकता है।</li> <li>प्रत्येक क्षेत्र (गणित) में एक अद्वितीय बीजीय समापन होता है।</li> <li>अलेक्जेंडर सबबेस प्रमेय। </ली> <li>गैर-तुच्छ ultraproducts मौजूद हैं।</li> <li>कमजोर अल्ट्राफिल्टर प्रमेय: एक मुक्त अल्ट्राफिल्टर मौजूद है $$\N.$$ <li>प्रत्येक अनंत सेट पर एक मुफ्त अल्ट्राफिल्टर मौजूद है; </ली> </ओल>
 * हालांकि, अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के साथ जेडएफ यह साबित करने के लिए बहुत कमजोर है कि एक गणनीय संघ समुच्चय एक गणनीय समुच्चय है।</li>
 * वास्तव में, जेडएफ के तहत, बनच-तर्स्की विरोधाभास बनच-तर्स्की विरोधाभास # बनच-तर्स्की और हान-बनाक हन-बनाक प्रमेय से, जो अल्ट्राफिल्टर लेम्मा से पूरी तरह कमजोर है।</li>
 * ZF के तहत, कमजोर अल्ट्राफिल्टर प्रमेय का अर्थ अल्ट्राफिल्टर लेम्मा नहीं है; यानी, यह अल्ट्राफिल्टर लेम्मा से सख्ती से कमजोर है।</li>
 * यह कथन वास्तव में अल्ट्राफिल्टर लेम्मा से सख्ती से कमजोर है।
 * अकेले ZF का मतलब यह भी नहीं है कि गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर मौजूद है तय करना।

संपूर्णता
एक अल्ट्राफिल्टर की पूर्णता $$U$$ एक पावरसेट पर सबसे छोटी कार्डिनल संख्या κ होती है, जिसके κ तत्व होते हैं $$U$$ जिसका चौराहा नहीं है $$U.$$ अल्ट्राफिल्टर की परिभाषा का तात्पर्य है कि किसी भी पावरसेट अल्ट्राफिल्टर की पूर्णता कम से कम एलेफ-नॉट है।$$\aleph_0$$. एक अल्ट्राफिल्टर जिसकी पूर्णता है बजाय $$\aleph_0$$- अर्थात, तत्वों के किसी भी गणनीय संग्रह का प्रतिच्छेदन $$U$$ अभी भी अंदर है $$U$$— को गणनीय रूप से पूर्ण या σ-पूर्ण कहा जाता है।

गणनात्मक रूप से पूर्ण #प्रकार की पूर्णता और पावरसेट पर अल्ट्राफिल्टर अल्ट्राफिल्टर का अस्तित्व हमेशा एक औसत दर्जे का कार्डिनल होता है।

Ordering on ultrafilters
(मैरी एलेन रुडिन द्वारा और हावर्ड जेरोम केसलर के नाम पर) पॉवरसेट अल्ट्राफिल्टर के वर्ग पर एक प्रस्ताव है जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: यदि $$U$$ एक अल्ट्राफिल्टर चालू है $$\wp(X),$$ और $$V$$ एक अल्ट्राफिल्टर ऑन $$\wp(Y),$$ तब $$V \leq {}_{RK} U$$ अगर कोई समारोह मौजूद है $$f : X \to Y$$ ऐसा है कि
 * $$C \in V$$ अगर और केवल अगर $$f^{-1}[C] \in U$$

प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए $$C \subseteq Y.$$ अल्ट्राफिल्टर $$U$$ और $$V$$ कहा जाता है, निरूपित $U ≡_{RK} V$, अगर वहाँ सेट मौजूद हैं $$A \in U$$ और $$B \in V$$ और एक आपत्ति $$f : A \to B$$ जो ऊपर की शर्त को पूरा करता है। (अगर $$X$$ और $$Y$$ एक ही कार्डिनैलिटी है, फिक्स करके परिभाषा को सरल बनाया जा सकता है $$A = X,$$ $$B = Y.$$)

यह ज्ञात है कि ≡RK ≤ का कर्नेल (सेट सिद्धांत) हैRK, यानी, वह $U ≡_{RK} V$ अगर और केवल अगर $$U \leq {}_{RK} V$$ और $$V \leq {}_{RK} U.$$

℘(ω)
पर अल्ट्राफिल्टर

कई विशेष गुण हैं जो एक अल्ट्राफिल्टर ऑन करते हैं $$\wp(\omega),$$ कहाँ $$\omega$$ क्रमसूचक संख्या#ऑर्डिनल्स प्राकृतिक संख्याओं का विस्तार करते हैं, जो सेट सिद्धांत और टोपोलॉजी के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोगी साबित हो सकते हैं। यह एक तुच्छ अवलोकन है कि सभी रैमसे अल्ट्राफिल्टर पी-पॉइंट हैं। वाल्टर रुडिन ने साबित किया कि सातत्य परिकल्पना का तात्पर्य रैमसे अल्ट्राफिल्टर के अस्तित्व से है। वास्तव में, कई परिकल्पनाएँ रैमसे अल्ट्राफिल्टर के अस्तित्व को दर्शाती हैं, जिसमें मार्टिन का स्वयंसिद्ध भी शामिल है। सहारों शेलाह ने बाद में दिखाया कि यह सुसंगत है कि पी-पॉइंट अल्ट्राफिल्टर नहीं हैं। इसलिए, इस प्रकार के अल्ट्राफिल्टर का अस्तित्व ZFC की स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) है।
 * एक गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर $$U$$ पी-पॉइंट कहा जाता है (या) यदि किसी सेट के प्रत्येक विभाजन के लिए $$\left\{ C_n : n < \omega \right\}$$ का $$\omega$$ ऐसा कि सभी के लिए $$n < \omega,$$ $$C_n \not\in U,$$ कुछ मौजूद है $$A \in U$$ ऐसा है कि $$A \cap C_n$$ प्रत्येक के लिए एक परिमित समुच्चय है $$n.$$ * एक गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर $$U$$ यदि प्रत्येक विभाजन के लिए रैमसे (या चयनात्मक) कहा जाता है $$\left\{ C_n : n < \omega \right\}$$ का $$\omega$$ ऐसा कि सभी के लिए $$n < \omega,$$ $$C_n \not\in U,$$ कुछ मौजूद है $$A \in U$$ ऐसा है कि $$A \cap C_n$$ प्रत्येक के लिए एक सिंगलटन सेट है $$n.$$

पी-पॉइंट्स को इस तरह कहा जाता है क्योंकि वे अंतरिक्ष के सामान्य टोपोलॉजी में टोपोलॉजिकल पी-पॉइंट होते हैं।βω \ ω गैर-प्रमुख अल्ट्राफिल्टर। रैमसे नाम रैमसे के प्रमेय से आया है। यह देखने के लिए कि क्यों, कोई यह साबित कर सकता है कि एक अल्ट्राफिल्टर रैमसे है अगर और केवल अगर प्रत्येक 2-रंग के लिए $$[\omega]^2$$ अल्ट्राफिल्टर का एक तत्व मौजूद होता है जिसमें एक समान रंग होता है।

एक अल्ट्राफिल्टर ऑन $$\wp(\omega)$$ रैमसे है अगर और केवल अगर यह गैर-प्रमुख पावरसेट अल्ट्राफिल्टर के रुडिन-कीस्लर ऑर्डरिंग में न्यूनतम तत्व है।

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Proofs