कोटैंजेंट सम्मिश्र

गणित में कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स मुख्य रूप से कई गुना या स्कीम जैसे ज्यामितीय स्थानों के मानचित्र के कोटैंजेंट शीफ, सामान्य बंडल और आभासी स्पर्शरेखा बंडल का एक सामान्य सामान्यीकरण है। अगर $$f: X \to Y$$ ज्यामितीय या बीजगणितीय वस्तुओं का एक रूपवाद है, जो संबंधित कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स है $$\mathbf{L}_{X/Y}^\bullet$$ इसे इसके सार्वभौमिक रैखिककरण के रूप में सोचा जा सकता है, जो विरूपण (गणित) को नियंत्रित करने का कार्य करता है $$f$$. इसका निर्माण शीफ (गणित) की एक निश्चित व्युत्पन्न श्रेणियों में एक वस्तु के रूप में किया गया है $$X$$ समस्थानिक बीजगणित की विधियों का उपयोग करना।

कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स के प्रतिबंधित संस्करणों को पहली बार 1960 के दशक की शुरुआत में कई लेखकों द्वारा विभिन्न मामलों में परिभाषित किया गया था। 1960 के दशक के उत्तरार्ध में, मिशेल आंद्रे (गणितज्ञ)|मिशेल आंद्रे और डेनियल क्विलेन स्वतंत्र रूप से क्रमविनिमेय वलय के रूपवाद के लिए सही परिभाषा के साथ आए, उन्होंने कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स के विचार को सटीक बनाने के लिए सरलीकृत सेट विधियों का उपयोग किया, जैसा कि (गैर) को लेकर दिया गया था। -एबेलियन) काहलर डिफरेंशियल का बायां व्युत्पन्न फ़ैक्टर। इसके बाद ल्यूक भ्रम ने इस परिभाषा को चक्राकार टोपोस  के रूपवाद की सामान्य स्थिति के लिए वैश्विक बना दिया, जिससे  चक्राकार स्थान, स्कीम (गणित), और बीजगणितीय स्थान के आकारवाद को सिद्धांत में शामिल किया गया।

प्रेरणा
लगता है कि $$X$$ और $$Y$$ बीजगणितीय विविधता और वह हैं $$f:X\to Y$$ उनके बीच एक रूपवाद है। का कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$f$$ सापेक्ष काहलर अंतरों का अधिक सार्वभौमिक संस्करण है $$\Omega_{X/Y}$$. ऐसी वस्तु के लिए सबसे बुनियादी प्रेरणा दो आकारिकी से जुड़े काहलर अंतरों का सटीक अनुक्रम है। अगर $$Z$$ एक और किस्म है, और यदि $$g:Y\to Z$$ एक और रूपवाद है, तो एक सटीक अनुक्रम है


 * $$f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to \Omega_{X/Y} \to 0.$$

इसलिए, कुछ अर्थों में, सापेक्ष काहलर अंतर एक सही सटीक फ़ैक्टर हैं। (वस्तुतः यह सत्य नहीं है, हालाँकि, क्योंकि बीजगणितीय किस्मों की श्रेणी एबेलियन श्रेणी नहीं है, और इसलिए सही-सटीकता परिभाषित नहीं है।) वास्तव में, कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स की परिभाषा से पहले, फ़ैक्टर्स की कई परिभाषाएँ थीं। अनुक्रम को बाईं ओर आगे बढ़ाया जा सकता है, जैसे कि लिक्टेनबाम-श्लेसिंगर फ़ैक्टर $$T^i$$ और अपूर्णता मॉड्यूल। इनमें से अधिकांश विरूपण सिद्धांत से प्रेरित थे।

यदि रूपवाद है तो यह क्रम बाईं ओर सटीक है $$f$$ चिकना है. यदि Ω ने पहले व्युत्पन्न फ़ंक्टर को स्वीकार किया है, तो बाईं ओर की सटीकता का अर्थ यह होगा कि समरूपता को जोड़ना गायब हो गया है, और यह निश्चित रूप से सच होगा यदि एफ का पहला व्युत्पन्न फ़ंक्टर, चाहे वह कुछ भी हो, गायब हो गया। इसलिए, एक उचित अनुमान यह है कि सहज रूपवाद का पहला व्युत्पन्न फ़नकार गायब हो जाता है। इसके अलावा, जब काहलर विभेदकों के अनुक्रम को बढ़ाने वाले किसी भी फ़ैक्टर को एक चिकनी रूपवाद पर लागू किया गया था, तो वे भी गायब हो गए, जिसने सुझाव दिया कि एक चिकनी रूपवाद का कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स काहलर अंतर के बराबर हो सकता है।

काहलर अंतर से संबंधित एक और प्राकृतिक सटीक अनुक्रम असामान्य सटीक अनुक्रम है। यदि f आदर्श शीफ I के साथ एक बंद विसर्जन है, तो एक सटीक अनुक्रम है


 * $$I/I^2 \to f^*\Omega_{Y/Z} \to \Omega_{X/Z} \to 0.$$

यह उपरोक्त सटीक अनुक्रम का विस्तार है: बाईं ओर एक नया शब्द है, एफ का सामान्य शीफ, और सापेक्ष अंतर ΩX/Y गायब हो गए हैं क्योंकि एक बंद विसर्जन औपचारिक रूप से अप्रभावित है। यदि f एक सहज उपविविधता का समावेश है, तो यह अनुक्रम एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम है। इससे पता चलता है कि एक चिकनी किस्म को शामिल करने का कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स एक पद द्वारा स्थानांतरित किए गए सामान्य शीफ के बराबर है।

कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स पर प्रारंभिक कार्य
1960 के दशक की शुरुआत में बढ़ती व्यापकता के कारण कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स कई और आंशिक रूप से असंगत संस्करणों में दिखाई दिए। फ़ील्ड विस्तार के प्रतिबंधित संदर्भ में संबंधित होमोलॉजी फ़ैक्टर का पहला उदाहरण कार्टियर (1956) में सामने आया। अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने 1961 में बीजगणितीय ज्यामिति में अपने सामान्य ग्रोथेंडिक-रीमैन-रोच प्रमेय|रीमैन-रोच प्रमेय के लिए कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स का एक प्रारंभिक संस्करण विकसित किया ताकि नियमित एम्बेडिंग#स्थानीय पूर्ण प्रतिच्छेदन आकारिकी और आभासी स्पर्शरेखा बंडलों का एक सिद्धांत प्राप्त किया जा सके। यह एसजीए 6, एक्सपोज़ VIII में पियरे बर्थेलॉट द्वारा वर्णित संस्करण है। यह केवल तभी लागू होता है जब एफ एक सुचारु रूपवाद है (वह जो एक बंद विसर्जन में कारक होता है जिसके बाद एक सुचारु रूपवाद होता है)। इस मामले में, एक्स पर सुसंगत शीफ की व्युत्पन्न श्रेणी में एक वस्तु के रूप में एफ का कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स इस प्रकार दिया गया है: यह परिभाषा V की पसंद से स्वतंत्र है, और एक सुचारु पूर्ण प्रतिच्छेदन रूपवाद के लिए, यह परिसर एकदम सही है। इसके अलावा, यदि g : Y → Z एक और सुचारु पूर्ण प्रतिच्छेदन रूपवाद है और यदि एक अतिरिक्त तकनीकी स्थिति संतुष्ट होती है, तो एक सटीक त्रिकोण होता है
 * $$L^{X/Y}_0 = i^*\Omega_{V/Y}.$$
 * यदि V में J, X का आदर्श है, तो $$L^{X/Y}_1 = J/J^2 = i^*J.$$
 * $$L^{X/Y}_i = 0$$ अन्य सभी के लिए मैं.
 * अंतर $$L^{X/Y}_1 \to L^{X/Y}_0$$ संरचना शीफ ​​में जे को शामिल करने के साथ-साथ पुलबैक है $$\mathcal{O}_V$$ V की सार्वभौमिक व्युत्पत्ति के बाद $$d : \mathcal{O}_V \to \Omega_{V/Y}.$$
 * अन्य सभी अंतर शून्य हैं।


 * $$\mathbf{L}f^*L^{Y/Z}_\bullet \to L^{X/Z}_\bullet \to L^{X/Y}_\bullet \to \mathbf{L}f^*L^{Y/Z}_\bullet[1].$$

1963 में ग्रोथेंडिक ने एक अधिक सामान्य निर्माण विकसित किया जो सुचारु आकारिकी (जो बीजगणितीय ज्यामिति के अलावा अन्य संदर्भों में भी काम करता है) पर प्रतिबंध को हटा देता है। हालाँकि, 1961 के सिद्धांत की तरह, इसने ट्रंकेशन के अनुरूप केवल 2 लंबाई का एक कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स उत्पन्न किया $$\tau_{\leq 1}\mathbf{L}^{\bullet}_{X/Y}$$ पूरे परिसर का जो उस समय तक ज्ञात नहीं था। यह दृष्टिकोण बाद में ग्रोथेंडिक (1968) में प्रकाशित हुआ। उसी समय 1960 के दशक की शुरुआत में, बड़े पैमाने पर समान सिद्धांतों को मरे गेरस्टेनहाबर द्वारा कम्यूटेटिव रिंग्स (बीजगणितीय ज्यामिति में एफ़िन योजनाओं के स्थानीय मामले के अनुरूप) के लिए स्वतंत्र रूप से पेश किया गया था। और स्टीफ़न लिक्टेनबाम और माइकल श्लेसिंगर। उनके सिद्धांत लंबाई 3 के कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स तक विस्तारित हुए, इस प्रकार अधिक जानकारी प्राप्त हुई।

कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स की परिभाषा
कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स की सही परिभाषा होमोटोपिक बीजगणित में शुरू होती है। क्विलेन और आंद्रे ने सरल सेट#सरल ऑब्जेक्ट्स कम्यूटेटिव रिंग्स के साथ काम किया, जबकि इलुसी ने सामान्यतः सरल रिंग वाले टोपोस के साथ काम किया, इस प्रकार विभिन्न प्रकार के ज्यामितीय स्थानों पर वैश्विक सिद्धांत को कवर किया। सरलता के लिए, हम केवल सरल क्रमविनिमेय वलय के मामले पर विचार करेंगे। लगता है कि $$A$$ और $$B$$ सरल अंगूठियां और वह हैं $$B$$ एक $$A$$-बीजगणित. एक संकल्प चुनें $$r: P^{\bullet} \to B$$ का $$B$$ सरल मुफ़्त द्वारा $$A$$-बीजगणित. ऐसा संकल्प $$B$$ निःशुल्क कम्यूटेटिव का उपयोग करके बनाया जा सकता है $$A$$-बीजगणित फ़ैक्टर जो एक सेट लेता है $$S$$ और मुफ़्त देता है $$A$$-बीजगणित $$A[S]$$. एक के लिए $$A$$-बीजगणित $$B$$, यह एक प्राकृतिक वृद्धि मानचित्र के साथ आता है $$\eta_B: A[B] \to B$$ जो के तत्वों का औपचारिक योग मैप करता है $$B$$ के एक तत्व के लिए $$B$$ नियम के माध्यम से$$a_1[b_1] + \cdots + a_n[b_n] \mapsto a_1\cdot b_1 + \cdots a_n\cdot b_n$$ इस निर्माण को दोहराने से एक सरल बीजगणित "मिलता है$\cdots \to A[A[A[B]]] \to A[A[B]] \to A[B] \to B$|undefined"जहां क्षैतिज मानचित्र विभिन्न विकल्पों के लिए संवर्द्धन मानचित्रों की रचना से आते हैं। उदाहरण के लिए, दो संवर्द्धन मानचित्र हैं $$A[A[B]] \to A[B]$$ नियमों के माध्यम से $$\begin{align} a_i[a_{i,1}[b_{i,1}] + \cdots + a_{i,n_i}[b_{i,n_i}]] & \mapsto a_ia_{i,1}[b_{i,1}] + \cdots + a_ia_{i,n_i}[b_{i,n_i}] \\ & \mapsto a_{i,1}[a_i\cdot b_{i,1}] + \cdots + a_{i,n_i}[a_i\cdot b_{i,n_i}] \end{align}$$ जिसे प्रत्येक निःशुल्क में अनुकूलित किया जा सकता है $$A$$-बीजगणित $$A[\cdots A[A[B]]$$.

काहलर डिफरेंशियल फ़ैक्टर को लागू करना $$P^{\bullet}$$ एक सरलता पैदा करता है $$B$$-मापांक। इस सरल वस्तु का कुल परिसर कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स एल हैबी/ए रूपवाद r कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स से Ω तक एक रूपवाद को प्रेरित करता हैB/A संवर्द्धन मानचित्र कहा जाता है। सरल ए-बीजगणित (या सरल रिंग वाले टोपोई) की होमोटॉपी श्रेणी में, यह निर्माण काहलर डिफरेंशियल फ़ैक्टर के बाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर को लेने के समान है।

इस प्रकार एक क्रमविनिमेय वर्ग दिया गया है:
 * [[File:Commutative square.svg]]कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स का एक रूपवाद है $$L^{B/A} \otimes_B D \to L^{D/C}$$ जो संवर्द्धन मानचित्रों का सम्मान करता है। इस मानचित्र का निर्माण, मान लीजिए, डी के एक निःशुल्क सरल सी-बीजगणित रिज़ॉल्यूशन को चुनकर किया गया है $$s: Q^{\bullet} \to D.$$ क्योंकि $$P^{\bullet}$$ एक स्वतंत्र वस्तु है, समग्र घंटे को एक रूपवाद में उठाया जा सकता है $$P^{\bullet} \to Q^{\bullet}.$$ इस रूपवाद में काहलर अंतरों की कार्यात्मकता को लागू करने से कोटैंजेंट परिसरों का आवश्यक रूपवाद मिलता है। विशेष रूप से, समरूपताएँ दी गईं $$A \to B \to C,$$ यह अनुक्रम उत्पन्न करता है


 * $$L^{B/A} \otimes_B C \to L^{C/A} \to L^{C/B}.$$

एक संयोजक समरूपता है,


 * $$L^{C/B} \to \left (L^{B/A} \otimes_B C \right )[1],$$

जो इस क्रम को एक सटीक त्रिभुज में बदल देता है।

कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स को किसी भी कॉम्बिनेटरियल मॉडल श्रेणी एम में भी परिभाषित किया जा सकता है। मान लीजिए $$f: A\to B$$ एम. कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स में एक रूपवाद है $$L^f$$ (या $$L^{B/A}$$) स्पेक्ट्रा की श्रेणी में एक वस्तु है $$M_{B//B}$$. रचनायोग्य आकारिकी की एक जोड़ी, $$f: A\to B$$ और $$g: B \to C$$ समरूप श्रेणी में एक सटीक त्रिभुज उत्पन्न करता है,


 * $$L^{B/A}\otimes_BC\to L^{C/A}\to L^{C/B}\to \left (L^{B/A}\otimes_BC \right )[1].$$

सेटअप
कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स के पहले प्रत्यक्ष अनुप्रयोगों में से एक विरूपण सिद्धांत में है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास कोई योजना है $$f:X\to S$$ और एक वर्ग-शून्य अतिसूक्ष्म गाढ़ापन $$S \to S'$$, यह योजनाओं का एक रूपवाद है जहां कर्नेल$$\mathcal{I} = \text{ker}\{ \mathcal{O}_{S'} \to \mathcal{O}_S\} $$ के पास यह गुण है कि इसका वर्ग शून्य शीफ़ है, इसलिए"$\mathcal{I}^2 = 0$"विरूपण सिद्धांत में मूलभूत प्रश्नों में से एक सेट का निर्माण करना है $$X'$$ फॉर्म के कार्तीय वर्गों में फिट होना$$\left\{ \begin{matrix} X & \to & X' \\ \downarrow & & \downarrow \\ S & \to & S' \end{matrix} \right\}$$ ध्यान में रखने योग्य कुछ उदाहरण ऊपर परिभाषित योजनाओं का विस्तार करना है $$\mathbb{Z}/p$$ को $$\mathbb{Z}/p^2$$, या किसी क्षेत्र में परिभाषित योजनाएं $$k$$ विशेषता का $$0$$ अंगूठी के लिए $$k[\varepsilon]$$ कहाँ $$\varepsilon^2 = 0$$. कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$\mathbf{L}_{X/S}^\bullet$$ फिर इस समस्या से संबंधित जानकारी को नियंत्रित करता है। हम क्रमविनिमेय आरेख के विस्तारों के सेट पर विचार करते हुए इसे पुन: तैयार कर सकते हैं$$\begin{matrix} 0 & \to & \mathcal{G} & \to & \mathcal{O}_{X'} & \to & \mathcal{O}_X &\to & 0 \\ & & \uparrow & & \uparrow & & \uparrow \\ 0 & \to & \mathcal{I} & \to & \mathcal{O}_{S'} & \to & \mathcal{O}_S &\to & 0 \end{matrix}$$ जो एक घरेलू समस्या है। फिर, ऐसे आरेखों का सेट जिसका कर्नेल है $$\mathcal{G}$$ एबेलियन समूह के लिए समरूपी है$$\text{Ext}^1(\mathbf{L}_{X/S}^\bullet, \mathcal{G})$$ कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स को दिखाते हुए उपलब्ध विकृतियों के सेट को नियंत्रित किया जाता है। इसके अलावा, दूसरी दिशा से, यदि कोई संक्षिप्त सटीक अनुक्रम  है$$\begin{matrix} 0 & \to & \mathcal{G} & \to & \mathcal{O}_{X'} & \to & \mathcal{O}_X &\to & 0 \end{matrix}$$ इससे संबंधित तत्व "मौजूद है$\xi \in \text{Ext}^2(\mathbf{L}_{X/S}^\bullet, \mathcal{G})$"जिसके लुप्त होने से तात्पर्य यह है कि यह ऊपर दी गई विकृति समस्या का समाधान है। इसके अलावा, समूह$$\text{Ext}^0(\mathbf{L}_{X/S}^\bullet, \mathcal{G})$$ विरूपण समस्या के किसी भी निश्चित समाधान के लिए ऑटोमोर्फिज्म के सेट को नियंत्रित करता है।

कुछ महत्वपूर्ण निहितार्थ
कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स के सबसे ज्यामितीय रूप से महत्वपूर्ण गुणों में से एक यह तथ्य है कि इसका एक रूपवाद दिया गया है $$S$$-योजनाएं$$f:X \to Y$$ हम सापेक्ष कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स बना सकते हैं $$\mathbf{L}_{X/Y}^\bullet$$  के शंकु के रूप में$$f^*\mathbf{L}_{Y/S}^\bullet \to \mathbf{L}_{X/S}^\bullet$$ एक विशिष्ट त्रिभुज में फ़िट होना"$f^*\mathbf{L}_{Y/S}^\bullet \to \mathbf{L}_{X/S}^\bullet \to \mathbf{L}_{X/Y}^\bullet \xrightarrow{+1}$"यह कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स के स्तंभों में से एक है क्योंकि यह रूपवाद की विकृतियों को दर्शाता है $$f$$ का $$S$$-योजनाओं को इस कॉम्प्लेक्स द्वारा नियंत्रित किया जाता है। विशेष रूप से, $$\mathbf{L}_{X/Y}^\bullet$$ की विकृतियों को नियंत्रित करता है $$f$$ में एक निश्चित रूपवाद के रूप में $$\text{Hom}_S(X,Y)$$, की विकृति $$X$$ जो बढ़ सकता है $$f$$, मतलब एक रूपवाद है $$f': X' \to S$$ प्रक्षेपण मानचित्र के माध्यम से कौन से कारक $$X' \to X$$ के साथ रचित $$f$$, और की विकृतियाँ $$Y$$ समान रूप से परिभाषित. यह एक शक्तिशाली तकनीक है और ग्रोमोव-विटन सिद्धांत (नीचे देखें) के लिए मूलभूत है, जो एक निश्चित जीनस के बीजगणितीय वक्रों और एक योजना के लिए निश्चित संख्या में पंचर से आकारिकी का अध्ययन करता है। $$X$$.

फ्लैट आधार परिवर्तन
मान लीजिए कि B और C इस प्रकार A-बीजगणित हैं $$\operatorname{Tor}^A_q(B,C) = 0$$ सभी के लिए q > 0. फिर अर्ध-समरूपताएँ हैं
 * $$\begin{align}

L^{B \otimes_A C/C} &\cong C \otimes_A L^{B/A} \\ L^{B \otimes_A C/A} &\cong \left (L^{B/A} \otimes_A C \right ) \oplus \left (B \otimes_A L^{C/A} \right ) \end{align}$$ यदि C एक समतल A-बीजगणित है, तो शर्त यह है कि $$\operatorname{Tor}^A_q(B,C)$$ के लिए गायब हो जाता है q > 0 स्वचालित है. पहला सूत्र तब साबित करता है कि कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स का निर्माण फ्लैट टोपोलॉजी में आधार पर स्थानीय है।

लुप्त गुण
होने देना f : A → B. तब:
 * यदि B, A के वलय का स्थानीयकरण है, तो $$L_{B/A} \simeq 0$$.
 * यदि f एक étale रूपवाद है, तो $$L_{B/A} \simeq 0$$.
 * यदि f एक सहज रूपवाद है, तो $$L_{B/A}$$ के लिए अर्ध-समरूपी है $$\Omega_{B/A}$$. विशेष रूप से, इसका प्रक्षेप्य आयाम शून्य है।
 * यदि f एक स्थानीय पूर्ण प्रतिच्छेदन रूपवाद है, तो $$L_{B/A}$$ [-1,0] में टोर आयाम के साथ एक आदर्श परिसर है।
 * यदि A नोथेरियन है, $$B = A/I$$, और $$I$$ फिर, एक नियमित अनुक्रम द्वारा उत्पन्न होता है $$I/I^2$$ एक प्रक्षेप्य मॉड्यूल है और $$L_{B/A}$$ के लिए अर्ध-समरूपी है $$I/I^2[1].$$
 * यदि f विशेषता के पूर्ण क्षेत्र k पर पूर्ण k-बीजगणित का रूपवाद है p > 0, तब $$L_{B/A} \simeq 0$$.

स्थानीय पूर्ण चौराहों की विशेषता
कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स का सिद्धांत किसी को स्थानीय पूर्ण प्रतिच्छेदन (एलसीआई) आकारिकी का एक समरूप लक्षण वर्णन देने की अनुमति देता है, कम से कम नोथेरियन मान्यताओं के तहत। होने देना f : A → B नोथेरियन अंगूठी  का एक रूपवाद इस प्रकार हो कि बी एक परिमित रूप से उत्पन्न ए-बीजगणित हो। जैसा कि क्विलेन द्वारा पुनर्व्याख्या की गई है, लिक्टेनबाम-श्लेसिंगर के काम से पता चलता है कि दूसरा आंद्रे-क्विलेन होमोलॉजी समूह $D_2(B/A,M)$  सभी बी-मॉड्यूल एम के लिए गायब हो जाता है यदि और केवल यदि एफ एलसीआई है। इस प्रकार, उपरोक्त लुप्त परिणाम के साथ मिलकर हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:


 * रूपवाद f : A → B एलसीआई है यदि और केवल यदि $$L_{B/A}$$ [-1,0] में टोर आयाम के साथ एक आदर्श परिसर है।

क्विलेन ने आगे अनुमान लगाया कि यदि कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$L_{B/A}$$ इसका परिमित प्रक्षेप्य आयाम है और बी एक ए-मॉड्यूल के रूप में परिमित टोर आयाम का है, तो एफ एलसीआई है। यह लचेज़र अव्रामोव द्वारा 1999 के गणित के इतिहास पेपर में सिद्ध किया गया था। अव्रामोव ने एलसीआई रूपवाद की धारणा को गैर-परिमित प्रकार की सेटिंग तक भी बढ़ाया, केवल यह मानते हुए कि रूपवाद एफ स्थानीय रूप से परिमित सपाट आयाम का है, और उन्होंने साबित किया कि एलसीआई आकारिकी का समान समरूप लक्षण वर्णन वहां मौजूद है (इसके अलावा) $$L_{B/A}$$ अब पूर्ण नहीं रहा)। अव्रामोव के परिणाम में हाल ही में ब्रिग्स-अयंगर द्वारा सुधार किया गया, जिन्होंने दिखाया कि एलसीआई संपत्ति एक बार स्थापित होने के बाद अनुसरण करती है $${\textstyle D_{n}(B/A,-)}$$ किसी एक के लिए गायब हो जाता है $$n \geq 2$$. इस सब में, यह मानना ​​आवश्यक है कि प्रश्न में अंगूठियां नोथेरियन हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि k विशेषता का एक आदर्श क्षेत्र है p > 0. फिर जैसा कि ऊपर बताया गया है, $$L_{B/A}$$ किसी भी रूपवाद के लिए गायब हो जाता है A → B उत्तम k-बीजगणित का। लेकिन पूर्ण k-बीजगणित का प्रत्येक रूपवाद lci नहीं है।

सपाट उतरना
भार्गव भट्ट (गणितज्ञ) ने दिखाया कि कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स ईमानदारी से फ्लैट वंश को संतुष्ट (व्युत्पन्न) करता है। दूसरे शब्दों में, किसी भी ईमानदारी से सपाट रूपवाद के लिए f : A → B आर-बीजगणित में से एक में समतुल्यता होती है


 * $$L_{A/R} \simeq \mathrm{Tot}(L_{\mathrm{Cech}(A \to B)/R})$$

आर की व्युत्पन्न श्रेणी में, जहां दाहिना हाथ लेने से दी गई सह-सरलीकृत वस्तु की समरूपता सीमा को दर्शाता है $L_{-/R}$ एफ के सेच कॉनर्व का। (सेच कॉनर्व अमितसूर कॉम्प्लेक्स को निर्धारित करने वाली एक सरल वस्तु है।) अधिक सामान्यतः, कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स की सभी बाहरी शक्तियां ईमानदारी से सपाट वंश को संतुष्ट करती हैं।

चिकनी योजनाएं
होने देना $$X \in \operatorname{Sch}/S$$ सहज रहें. फिर कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स है $$\Omega_{X/S}$$. बर्थेलॉट के ढांचे में, इसे लेने से यह स्पष्ट हो जाता है $$V=X$$. सामान्य तौर पर, स्थानीय स्तर पर फैल गया $$S, X$$ एक परिमित आयामी एफ़िन स्पेस और रूपवाद है $$X\to S$$ प्रक्षेपण है, इसलिए हम उस स्थिति को कम कर सकते हैं जहां $$S= \operatorname{Spec}(A)$$ और $$X = \operatorname{Spec}(A[x_1, \ldots, x_n]).$$ का संकल्प हम ले सकते हैं $$\operatorname{Spec}(A[x_1,\ldots,x_n])$$ पहचान मानचित्र होना, और फिर यह स्पष्ट है कि कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स काहलर अंतर के समान है।

चिकनी योजनाओं में बंद एम्बेडिंग
होने देना $$i:X \to Y$$ सुचारू योजनाओं का एक बंद एम्बेडिंग बनें $$\text{Sch}/S$$. आकारिकी के अनुरूप सटीक त्रिभुज का उपयोग करना $$X \to Y \to S$$, हम कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स निर्धारित कर सकते हैं $$\mathbf{L}_{X/Y}$$. ऐसा करने के लिए, ध्यान दें कि पिछले उदाहरण से, कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$\mathbf{L}_{X/S}$$ और $$\mathbf{L}_{Y/S}$$ काहलर विभेदकों से मिलकर बना है $$\Omega_{X/S}$$ और $$\Omega_{Y/S}$$ क्रमशः शून्यवीं डिग्री में, और अन्य सभी डिग्री में शून्य हैं। सटीक त्रिभुज का तात्पर्य यही है $$\mathbf{L}_{X/Y}$$ केवल प्रथम डिग्री में गैर-शून्य है, और उस डिग्री में, यह मानचित्र का कर्नेल है $$i^*\mathbf{L}_{Y/S} \to \mathbf{L}_{X/S}.$$ यह कर्नेल असामान्य बंडल है, और सटीक अनुक्रम असामान्य सटीक अनुक्रम है, इसलिए पहली डिग्री में, $$\mathbf{L}_{X/Y}$$ सामान्य बंडल है $$C_{X/Y}$$.

स्थानीय पूर्ण चौराहा
अधिक सामान्यतः, एक स्थानीय पूर्ण प्रतिच्छेदन रूपवाद $$X \to Y$$ एक चिकने लक्ष्य के साथ आयाम में परिपूर्ण एक कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स होता है $$[-1,0].$$ यह कॉम्प्लेक्स द्वारा दिया गया है$$I/I^2 \to \Omega_{Y}|_X.$$ उदाहरण के लिए, मुड़े हुए घन का कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$X$$ में $$\mathbb{P}^3$$ कॉम्प्लेक्स द्वारा दिया गया है$$\mathcal{O}(-2)\oplus\mathcal{O}(-2)\oplus\mathcal{O}(-2) \xrightarrow{s} \Omega_{\mathbb{P}^3}|_X.$$

ग्रोमोव-विटन सिद्धांत में कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स
ग्रोमोव-विटन इनवेरिएंट|ग्रोमोव-विटन सिद्धांत में गणितज्ञ रिक्त स्थान पर एन-नुकीले वक्रों के गणनात्मक ज्यामितीय इनवेरिएंट का अध्ययन करते हैं। सामान्य तौर पर, बीजगणितीय स्टैक होते हैं$$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(X,\beta)$$ जो मानचित्रों के मॉड्यूलि स्थान हैं"$\pi: C \to X$जीनस से $g$ के साथ घटता है $n$ एक निश्चित लक्ष्य को भेदना। चूँकि गणनात्मक ज्यामिति ऐसे मानचित्रों के सामान्य व्यवहार का अध्ययन करती है, इसलिए इस प्रकार की समस्याओं को नियंत्रित करने वाले विरूपण सिद्धांत के लिए वक्र के विरूपण की आवश्यकता होती है $C$, वो नक्शा $\pi$, और लक्ष्य स्थान $X$. सौभाग्य से, इस सभी विरूपण सिद्धांत संबंधी जानकारी को कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स द्वारा ट्रैक किया जा सकता है $\mathbf{L}_{C/X}^\bullet$. विशिष्ट त्रिभुज का उपयोग करना$\pi^*\mathbf{L}_{X}^\bullet \to \mathbf{L}_{C}^\bullet \to \mathbf{L}_{C/X}^\bullet \to $"रूपवाद की संरचना से संबद्ध"$C \xrightarrow{\pi} X \rightarrow \text{Spec}(\mathbb{C})$"कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स की गणना कई स्थितियों में की जा सकती है। वास्तव में, एक जटिल विविधता के लिए $$X$$, इसका कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स द्वारा दिया गया है $$\Omega_X^1$$, और एक चिकनी $$n$$-छिद्रित वक्र $$C$$, यह द्वारा दिया गया है $$\Omega_C^1(p_1 + \cdots + p_n)$$. त्रिकोणीय श्रेणी के सामान्य सिद्धांत से, कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स $$\mathbf{L}_{C/X}^\bullet$$ शंकु के लिए अर्ध-समरूपी है$$\text{Cone}(\pi^*\mathbf{L}_{X}^\bullet \to \mathbf{L}_{C}^\bullet) \simeq \text{Cone} (\pi^*\Omega_X^1 \to \Omega_C^1(p_1+\cdots + p_n)) $$

यह भी देखें

 * आंद्रे-क्विलेन कोहोमोलॉजी
 * विरूपण सिद्धांत
 * Exalcomm
 * कोडैरा-स्पेंसर वर्ग
 * अतियाह वर्ग

अनुप्रयोग

 * https://mathoverflow.net/questions/372128/what-is-the-cotangent-complex-good-for

सामान्यीकरण

 * लॉगरिदमिक कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स
 * आर्क्सिव:2005.01382