भारतीय गणित

"अनुमान है कि आज भारत में लगभग तीस मिलियन पांडुलिपियां हैं, जो दुनिया में कहीं भी हस्तलिखित पठन सामग्री का सबसे बड़ा निकाय है। भारतीय विज्ञान की साक्षर संस्कृति कम से कम पाँचवीं शताब्दी ईसा पूर्व की है। ... जैसा कि मेसोपोटामिया के शगुन साहित्य और खगोल विज्ञान के तत्वों द्वारा दिखाया गया है जो उस समय भारत में प्रवेश किया था और (निश्चित रूप से) नहीं थे ... मौखिक रूप से संरक्षित।"

भारतीय गणित का उदय भारतीय उपमहाद्वीप में हुआ 1200 ईसा पूर्व से 18वीं शताब्दी के अंत तक। भारतीय गणित के शास्त्रीय काल (400 CE से 1200 CE) में, आर्यभट्ट, ब्रह्मगुप्त, भास्कर II और वराहमिहिर जैसे विद्वानों द्वारा महत्वपूर्ण योगदान दिया गया था। आज उपयोग में आने वाली दशमलव संख्या प्रणाली सबसे पहले भारतीय गणित में दर्ज की गई थी। भारतीय गणितज्ञों ने एक संख्या के रूप में शून्य की अवधारणा, ऋणात्मक संख्या, अंकगणित, और बीजगणित। के अध्ययन में प्रारंभिक योगदान दिया। इसके अतिरिक्त, त्रिकोणमिति भारत में और उन्नत थी, और विशेष रूप से ज्या (साइन) और कोज्या (कोसाइन) की आधुनिक परिभाषाएं वहां विकसित की गई थीं। इन गणितीय अवधारणाओं को मध्य पूर्व, चीन और यूरोप में प्रेषित किया गया था और आगे के विकास के लिए नेतृत्व किया जो अब गणित के कई क्षेत्रों की नींव बनाते हैं।

प्राचीन और मध्यकालीन भारतीय गणितीय कार्य, जो सभी संस्कृत में रचित हैं, सामान्यतः सूत्रों के एक खंड में निहित होते हैं जिसमें एक छात्र द्वारा याद रखने में सहायता करने के लिए नियमों या समस्याओं का एक आकृति महान अर्थव्यवस्था के साथ छंद में बताया गया है। इसके बाद एक दूसरे खंड में एक गद्य टिप्पणी (कभी-कभी विभिन्न विद्वानों द्वारा कई टिप्पणियां) सम्मिलित थी, जिसने समस्या को और अधिक विस्तार से समझाया और समाधान के लिए औचित्य प्रदान किया हैं। गद्य खंड में, रूप (और इसलिए इसका स्मरण) इतना महत्वपूर्ण नहीं माना जाता था जितना कि इसमें सम्मिलित विचार। प्राय: 500 ईसा पूर्व तक सभी गणितीय कार्य मौखिक रूप से प्रसारित किए गए थे; इसके बाद, उन्हें मौखिक और पांडुलिपि दोनों रूपों में प्रेषित किया गया। भारतीय उपमहाद्वीप पर निर्मित सबसे पुराना मौजूदा गणितीय दस्तावेज भोज वृक्ष की छाल बख्शाली हस्तलिपि है, जिसे 1881 में पेशावर (आधुनिक दिन पाकिस्तान) के पास बख्शाली गांव में खोजा गया था और यह संभवतः 7 वीं शताब्दी CE से है।

भारतीय गणित में एक बाद में भूचिह्न 15 वीं शताब्दी CE में खगोल विज्ञान और गणित के केरल स्कूल के गणितज्ञों द्वारा त्रिकोणमितीय कार्यों (ज्या, कोज्या और चाप स्पर्शरेखा) के लिए श्रृंखला (गणित) विस्तार का विकास था। उनका उल्लेखनीय काम, यूरोप में कलन के आविष्कार से दो शताब्दियों पहले पूरा हुआ, जिसे अब एक घात श्रृंखला (ज्यामितीय श्रृंखला के अलावा) का पहला उदाहरण माना जाता है। तथापि, उन्होंने अवकलन और समाकलन का एक व्यवस्थित सिद्धांत तैयार नहीं किया, और न ही उनके परिणामों के केरल के बाहर प्रसारित होने का कोई प्रत्यक्ष प्रमाण है।

प्रागितिहास
हड़प्पा, मोहनजोदड़ो और सिंधु घाटी सभ्यता के अन्य स्थलों की खुदाई में व्यावहारिक गणित के उपयोग के प्रमाण मिले हैं। सिंधु घाटी सभ्यता के लोग ईंटों का निर्माण करते थे जिनके आयाम 4:2:1 के अनुपात में थे, एक ईंट संरचना की स्थिरता के लिए अनुकूल मानी जाती थी। उन्होंने अनुपात के आधार पर वजन की एक मानकीकृत प्रणाली का उपयोग किया: 1/20, 1/10, 1/5, 1/2, 1, 2, 5, 10, 20, 50, 100, 200, और 500, इकाई के साथ वजन प्राय: 28 ग्राम के बराबर (और प्राय: अंग्रेजी औंस या ग्रीक यूनिसिया के बराबर)। उन्होंने नियमित ज्यामितीय आकृतियों में बड़े पैमाने पर वजन का उत्पादन किया, जिसमें षट्फलक, बैरल, शंकु ([[ज्यामिति)]] और सिलेंडर (ज्यामिति) सम्मिलित थे, जिससे बुनियादी ज्यामिति का ज्ञान प्रदर्शित हुआ।

सिंधु सभ्यता के निवासियों ने लंबाई के मापन को उच्च स्तर की यथार्थ ता तक मानकीकृत करने का भी प्रयास किया। उन्होंने एक मापक (रूलर) तैयार किया—मोहनजोदड़ो शासक—जिसकी लंबाई की इकाई (प्राय: 1.32 इंच या 3.4 सेंटीमीटर) को दस बराबर भागों में विभाजित किया गया था। प्राचीन मोहनजो-दारो में निर्मित ईंटों में प्राय:ऐसे आयाम होते थे जो लंबाई की इस इकाई के अभिन्न गुणक थे।

लोथल (2200 ईसा पूर्व) और धोलावीरा में सीप से बने खोखले सिलिन्डराकार वस्तुओं को एक स्तर में कोणों को मापने की क्षमता के साथ-साथ दिशाज्ञान के लिए सितारों की स्थिति निर्धारित करने के लिए प्रदर्शित किया जाता है।

संहिता और ब्राह्मण
वैदिक काल के धार्मिक ग्रंथ बड़ी संख्या में इतिहास के उपयोग के प्रमाण प्रदान करते हैं। यजुर्वेद के समय तक-(1200-900 ईसा पूर्व), $10^{12}$ तक की संख्या को ग्रंथों में सम्मिलित किया जा रहा था उदाहरण के लिए, अन्नहोमा ("भोजन-अर्पण संस्कार") के अंत में मंत्र (पवित्र सस्वर पाठ) अश्वमेध के दौरान किया जाता है, और सूर्योदय के ठीक पहले-, के दौरान-, और ठीक बाद में बोला जाता है,सौ से ट्रिलियन तक दस की शक्तियों का आह्वान करता है:

"Hail to śata ('hundred,' $10^{2}$), hail to sahasra ('thousand,' $10^{3}$), hail to ayuta ('ten thousand,' $10^{4}$), hail to niyuta ('hundred thousand,' $10^{5}$), hail to prayuta ('million,' $10^{6}$), hail to arbuda ('ten million,' $10^{7}$), hail to nyarbuda ('hundred million,' $10^{8}$), hail to samudra ('billion,' $10^{9}$, literally 'ocean'), hail to madhya ('ten billion,' $10^{10}$, literally 'middle'), hail to anta ('hundred billion,' $10^{11}$, lit., 'end'), hail to parārdha ('one trillion,' $10^{12}$ lit., 'beyond parts'), hail to the ' (dawn), hail to the ' (twilight), hail to (the one which is going to rise), hail to udyat (the one which is rising), hail udita (to the one which has just risen), hail to svarga (the heaven), hail to martya (the world), hail to all." आंशिक अंश का समाधान ऋग्वैदिक लोगों को पुरुष सूक्त (RV 10.90.4) में राज्यों के रूप में जाना जाता था:

"तीन-चौथाई पुरूसा के साथ ऊपर गया: उसका एक-चौथाई फिर से यहाँ था।" शतपथ ब्राह्मण (c. 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व) में सुल्ब सूत्र के समान आनुष्ठानिक ज्यामितीय निर्माण के नियम सम्मिलित हैं।

सुल्ब सूत्र
सुल्ब सूत्र (शाब्दिक रूप से, वैदिक संस्कृत में  रागों की सूक्तियाँ  ) (सी. 700-400 ईसा पूर्व) अग्नि वेदियों के निर्माण के लिए नियमों की सूची बनाते हैं। सुल्ब  सूत्र में विचार की गई अधिकांश गणितीय समस्याएँ केवल एक धर्मशास्त्रीय आवश्यकता से उत्पन्न होती हैं, अग्नि वेदियों के निर्माण के बारे में जो अलग-अलग आकार के होते हैं लेकिन एक ही क्षेत्र पर कब्जा कर लेते हैं। वेदियों को जली हुई ईंटों की पांच परतों का निर्माण करने की आवश्यकता थी, आगे की शर्त के साथ कि प्रत्येक परत में 200 ईंटें होती हैं और यह कि दो आसन्न परतों में ईंटों की एक समान व्यवस्था नहीं होती है।

के अनुसार सुल्ब सूत्र में पाइथागोरस प्रमेय की दुनिया में सबसे पुरानी मौजूदा मौखिक अभिव्यक्ति सम्मिलित है, यद्यपि यह पहले से ही पुराने बेबीलोनियों के लिए जाना जाता था।" "एक आयतरूप (आयताकार) की विकर्ण रस्सी (अक्षरया-रज्जु) दोनों का उत्पादन करती है, जो पार्श्व (पार्श्वमणि) और क्षैतिज (तिर्यमनी) <रस्सी> अलग-अलग उत्पादन करती है।" चूँकि कथन एक सूत्र है, यह आवश्यक रूप से संकुचित है और जो रस्सियाँ उत्पन्न करती हैं, उस पर विस्तार से नहीं बताया गया है, लेकिन संदर्भ स्पष्ट रूप से उनकी लंबाई पर निर्मित वर्ग क्षेत्रों को दर्शाता है, और ऐसा शिक्षक द्वारा छात्र को समझाया गया होगा.

उनमें पायथागॉरियन त्रिक की सूचियाँ हैं, जो डायोफैंटाइन समीकरणों के विशेष मामले हैं। उनमें वृत्त का वर्ग करने और वर्ग के चारों ओर चक्कर लगाने के बारे में कथन भी होते हैं (जिन्हें पश्च दृष्टि से हम अनुमानित मानते हैं)।

बौधायन (सी. 8वीं शताब्दी ई.पू.) ने बौधायन सुल्ब सूत्र की रचना की, जो सबसे प्रसिद्ध सुल्ब सूत्र है, जिसमें सरल पाइथोगोरियन त्रिक के उदाहरण सम्मिलित हैं, जैसे: $(a, b, c)$, $a^{2}+b^{2} = c^{2}$, $3^{2}+4^{2} = 5^{2}$, $8^{2}+15^{2} = 17^{2}$, तथा $12^{2}+35^{2} = 37^{2}$, साथ ही एक वर्ग की भुजाओं के लिए पाइथागोरस प्रमेय का कथन: एक वर्ग के विकर्ण पर खींची गई रस्सी मूल वर्ग के आकार के दोगुने क्षेत्रफल का उत्पादन करती है। इसमें पाइथागोरस प्रमेय (एक आयत की भुजाओं के लिए) का सामान्य कथन भी सम्मिलित है: एक आयत के विकर्ण की लंबाई के साथ खींची गई रस्सी एक ऐसा क्षेत्र बनाती है जिसे ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज भुजाएँ मिलकर बनाती हैं। बौधायन ने दो के वर्गमूल के लिए व्यंजक दिया है:
 * $$\sqrt{2} \approx 1 + \frac{1}{3} + \frac{1}{3\cdot4} - \frac{1}{3\cdot 4\cdot 34} = 1.4142156 \ldots$$

अभिव्यक्ति पाँच दशमलव स्थानों तक यथार्थ है, सही मान 1.41421356 है ... यह अभिव्यक्ति पुराने बेबीलोन काल (1900-1600 ईसा पूर्व) से मेसोपोटामियन टैबलेट पर पाए जाने वाले अभिव्यक्ति की संरचना के समान है: ::$$\sqrt{2} \approx 1 + \frac{24}{60} + \frac{51}{60^2} + \frac{10}{60^3} = 1.41421297 \ldots$$

जो षाष्टिक पद्धति में √2 व्यक्त करता है, और जो 5 दशमलव स्थानों तक यथार्थ भी है।

गणितज्ञ एस.जी. दानी के अनुसार, बेबीलोन कीलाक्षर टैबलेट प्लिम्पटन 322 लिखित सी। 1850 ईसा पूर्व काफी बड़ी प्रविष्टियों के साथ पंद्रह पायथागॉरियन त्रिक सम्मिलित हैं, जिनमें (13500, 12709, 18541) सम्मिलित हैं, जो एक आदिम त्रिक है, विशेष रूप से यह दर्शाता है कि 1850 ईसा पूर्व में मेसोपोटामिया में इस विषय पर परिष्कृत समझ थी। क्योंकि ये टैबलेट सुल्बसूत्र काल से कई शताब्दियों पहले की हैं, इसलिए कुछ त्रिगुणों की प्रासंगिक उपस्थिति को ध्यान में रखते हुए, यह उम्मीद करना उचित है कि भारत में भी इसी तरह की समझ रही होगी। दानी आगे कहते हैं:

"जैसा कि 'सुल्वसूत्र' का मुख्य उद्देश्य वेदियों के निर्माण और उनमें शामिल ज्यामितीय सिद्धांतों का वर्णन करना था, पायथागॉरियन त्रिक का विषय, भले ही इसे अच्छी तरह से समझा गया हो, फिर भी 'सुल्वसूत्र' में चित्रित नहीं किया गया हो। '। सुल्वसूत्र में त्रिगुणों की घटना गणित के तुलनीय है, जिसका सामना वास्तुकला या अन्य समान लागू क्षेत्र पर एक परिचयात्मक पुस्तक में हो सकता है, और उस समय विषय पर समग्र ज्ञान से सीधे मेल नहीं खाएगा। क्योंकि, दुर्भाग्य से, कोई अन्य समकालीन स्रोत नहीं मिला है, इसलिए इस मुद्दे को संतोषजनक ढंग से सुलझाना संभव नहीं हो सकता है।"

कुल मिलाकर तीन सुल्ब सूत्रों की रचना हुई। शेष दो, मानव द्वारा रचित मानव सुल्ब सूत्र (fl. 750-650 BCE) और आपस्तम्बा (c. 600 BCE) द्वारा रचित आपस्तम्ब सुल्ब सूत्र, में बौधायन सुल्ब सूत्र के समान परिणाम सम्मिलित थे।

व्याकरण
वैदिक काल का एक महत्वपूर्ण मील का पत्थर संस्कृत वैयाकरण, पाणिनि (सी 520-460 ईसा पूर्व) का काम था। उनके व्याकरण में बूलियन लॉजिक, नल संचालक और संदर्भ मुक्त व्याकरण का प्रारंभिक उपयोग सम्मिलित है, और इसमें बैकस-नौर रूप (विवरण प्रोग्रामिंग भाषाओं में प्रयुक्त) का अग्रदूत सम्मिलित है।

पिंगला (300 ईसा पूर्व - 200 ईसा पूर्व)
वैदिक काल के बाद के विद्वानों में जिन्होंने गणित में योगदान दिया, सबसे उल्लेखनीय पिंगला (fl. 300-200 ईसा पूर्व), एक संगीत सिद्धांतकार हैं जिन्होंने छंदस शास्त्र (चंदः-शास्त्र, छंदस सूत्र छंदः-सूत्र) भी लिखा था। ), अभियोग पर एक संस्कृत ग्रंथ। इस बात के सबूत हैं कि आक्षरिक संयोजनों की गणना पर अपने काम में, पिंगला पास्कल के त्रिकोण और द्विपद गुणांक दोनों पर ठोकर खाई, यद्यपि उन्हें स्वयं द्विपद प्रमेय का ज्ञान नहीं था। पिंगला के काम में फाइबोनैचि संख्याओं (मात्रामेरु कहा जाता है) के मूल विचार भी सम्मिलित हैं। यद्यपि चंदह सूत्र अपनी संपूर्णता में नहीं बचा है, हलायुध द्वारा इस पर 10वीं शताब्दी की एक टिप्पणी है। हलायुधा, जो पास्कल त्रिकोण को माउंट मेरु (पौराणिक कथा) -प्रस्तर (शाब्दिक रूप से मेरु पर्वत की सीढ़ी) के रूप में संदर्भित करता है, का यह कहना है:

"एक वर्ग खींचे। आधे वर्ग से शुरू करते हुए, इसके नीचे दो अन्य समान वर्ग बनाएं; इन दो के नीचे, तीन अन्य वर्ग इत्यादि। पहले वर्ग में 1 लगाकर अंकन प्रारंभ करना चाहिए। दूसरी पंक्ति के दो वर्गों में से प्रत्येक में 1 लगाएं। तीसरी पंक्ति में अंत में दो वर्गों में 1 डालें और मध्य वर्ग में, इसके ऊपर स्थित दो वर्गों में अंकों का योग। चौथी पंक्ति में अंत में दो वर्गों में 1 लगाएं। बीच में प्रत्येक के ऊपर दो वर्गों में अंकों का योग रखें। इस प्रकार आगे बढ़ें। इन पंक्तियों में से, दूसरा एक अक्षर के साथ संयोजन देता है, तीसरा दो अक्षरों के साथ संयोजन देता है, ..." पाठ यह भी इंगित करता है कि पिंगला मिश्रित पहचान से अवगत थे:


 * $$ {n \choose 0} + {n \choose 1} + {n \choose 2} + \cdots + {n \choose n-1} + {n \choose n} = 2^n $$

कात्यायन
कात्यायन (सी तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) वैदिक गणितज्ञों में अंतिम होने के लिए उल्लेखनीय है। उन्होंने कात्यायन सुल्ब सूत्र लिखा, जिसमें सामान्य पाइथागोरस प्रमेय सहित बहुत सारी ज्यामिति प्रस्तुत की गई और दशमलव के पाँच स्थानों तक 2 के वर्गमूल की गणना की गई।

जैन गणित (400 ईसा पूर्व - 200 CE)
यद्यपि एक धर्म और दर्शन के रूप में जैन धर्म अपने सबसे प्रसिद्ध प्रतिपादक, महान महावीरस्वामी (छठी शताब्दी ईसा पूर्व) से पहले का है, गणितीय विषयों पर अधिकांश जैन ग्रंथों की रचना 6ठी शताब्दी ईसा पूर्व के बाद की गई थी। जैन गणितज्ञ ऐतिहासिक रूप से वैदिक काल के गणित और शास्त्रीय काल के गणित के बीच महत्वपूर्ण कड़ी के रूप में महत्वपूर्ण हैं।

जैन गणितज्ञों का एक महत्वपूर्ण ऐतिहासिक योगदान भारतीय गणित को उसके धार्मिक और अनुष्ठान की बाधाओं से मुक्त करने में निहित है। विशेष रूप से, बहुत बड़ी संख्याओं और अनंत की गणना के प्रति उनके आकर्षण ने उन्हें संख्याओं को तीन वर्गों में वर्गीकृत करने के लिए प्रेरित किया: गणना योग्य, असंख्य और अनंत। अनंत की एक साधारण धारणा से संतुष्ट नहीं, उनके ग्रंथ पांच अलग-अलग प्रकार की अनंतता को परिभाषित करते हैं: एक दिशा में अनंत, दो दिशाओं में अनंत, क्षेत्र में अनंत, हर जगह अनंत, और अनंत सदा। इसके अलावा, जैन गणितज्ञों ने वर्गों और घनों जैसी संख्याओं की सरल घातों (और घातांकों) के लिए अंकन तैयार किए, जिससे वे सरल बीजगणितीय समीकरण को परिभाषित करने में सक्षम हुए। जैन गणितज्ञ स्पष्ट रूप से शून्य शब्द का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे (शाब्दिक रूप से संस्कृत भाषा में शून्य) शून्य को संदर्भित करने के लिए। एक सहस्राब्दी से भी अधिक समय के बाद, भारत से यूरोप तक अनुवाद और लिप्यंतरण की एक टेढ़ी-मेढ़ी यात्रा के बाद उनका नाम अंग्रेजी शब्द शून्य हो गया। (शून्य देखें: व्युत्पत्ति विज्ञान।)

सूर्य प्रज्ञापति के अलावा, गणित पर महत्वपूर्ण जैन कार्यों में स्थानंग सूत्र (300 ईसा पूर्व - 200 CE) सम्मिलित हैं; अनुयोगद्वार सूत्र (सी. 200 BCE - 100 CE), जिसमें भारतीय गणित में कारख़ानेका सबसे पुराना ज्ञात विवरण सम्मिलित है; और सतखंडागम (सी. दूसरी शताब्दी CE)। महत्वपूर्ण जैन गणितज्ञों में भद्रबाहु (डी 298 ईसा पूर्व), दो खगोलीय कार्यों के लेखक, भद्रबाहवी-संहिता और सूर्य प्रज्ञापति पर एक टिप्पणी सम्मिलित हैं; यतीवृषम आचार्य (सी. 176 ई.पू.), जिन्होंने तिलोया पणत्ति नामक एक गणितीय पाठ लिखा; और उमास्वती (सी 150 ईसा पूर्व), जो यद्यपि जैन दर्शन और तत्वमीमांसा पर अपने प्रभावशाली लेखन के लिए बेहतर जाने जाते हैं, ने तत्त्वार्थधिगम-सूत्र नामक एक गणितीय कार्य की रचना की।

मौखिक परंपरा
प्राचीन और प्रारंभिक मध्यकालीन भारत के गणितज्ञ लगभग सभी संस्कृत पंडित (पंडित "सीखा आदमी") थे, जो संस्कृत भाषा और साहित्य में प्रशिक्षित थे, और "व्याकरण, व्याख्या (मीमांसा) में ज्ञान का एक सामान्य भंडार रखते थे। जो कुछ सुना जाता है उसका स्मरण (संस्कृत में श्रुति) सस्वर पाठ के माध्यम से प्राचीन भारत में पवित्र ग्रंथों के प्रसारण में एक प्रमुख भूमिका निभाता है। संस्मरण और सस्वर पाठ का उपयोग दार्शनिक और साहित्यिक कार्यों के साथ-साथ अनुष्ठान और व्याकरण पर ग्रंथों को प्रसारित करने के लिए भी किया जाता था। प्राचीन भारत के आधुनिक विद्वानों ने भारतीय पंडितों की वास्तव में उल्लेखनीय उपलब्धियों का उल्लेख किया है जिन्होंने सहस्राब्दी के लिए मौखिक रूप से भारी ग्रंथों को संरक्षित किया है।

संस्मरण की शैलियाँ
प्राचीन भारतीय संस्कृति ने यह सुनिश्चित करने में विलक्षण ऊर्जा खर्च की थी कि ये ग्रंथ पीढ़ी-दर-पीढ़ी अत्यधिक निष्ठा के साथ प्रसारित किए गए थे। उदाहरण के लिए, पवित्र वेदों के कंठस्थीकरण में एक ही पाठ के पाठ के ग्यारह रूपों तक सम्मिलित था। ग्रंथों को बाद में अलग-अलग पढ़े गए संस्करणों की तुलना करके प्रमाण-पढ़ने के लिए किया गया। सस्वर पाठ में जटा-पाठ (शाब्दिक रूप से "जाल सस्वर पाठ") सम्मिलित है जिसमें पाठ में प्रत्येक दो आसन्न शब्दों को पहले उनके मूल क्रम में सुनाया जाता था, फिर विपरीत क्रम में दोहराया जाता था, और अंत में मूल क्रम में दोहराया जाता था। पाठ इस प्रकार आगे बढ़ा:  शब्द1शब्द2, शब्द2शब्द1, शब्द1शब्द2; शब्द2शब्द3, शब्द3शब्द2, शब्द2शब्द3; ... सस्वर पाठ के एक अन्य रूप में, ध्वज-पाठ (शाब्दिक रूप से "ध्वज सस्वर पाठ") एन शब्दों के एक क्रम को पहले दो और अंतिम दो शब्दों को जोड़कर सुनाया गया (और याद किया गया) और फिर आगे बढ़ना:  'शब्द1शब्द2, शब्दN − 1शब्दN; शब्द2शब्द3, शब्दN − 2शब्दN − 1; ..; शब्दN − 1शब्दN, शब्द1शब्द2; सस्वर पाठ का सबसे सम्मिश्रण रूप, घन-पाठ (शाब्दिक रूप से "घना सस्वर पाठ"), (फिलिओज़ैट 2004, पृष्ठ 139) के अनुसार, यह रूप ले लिया: शब्द1शब्द2, शब्द2शब्द1, शब्द1शब्द2शब्द3, शब्द3शब्द2शब्द1, शब्द1शब्द2शब्द3; शब्द2शब्द3, शब्द3शब्द2, शब्द2शब्द3शब्द4, शब्द4शब्द3शब्द2, शब्द2शब्द3शब्द4; ... सबसे प्राचीन भारतीय धार्मिक पाठ, ऋग्वेद (सी 1500 ईसा पूर्व), बिना किसी भिन्न पाठ के, एकल पाठ के रूप में, इन विधियों के प्रभावी होने की प्रमाणित किया जाता है।इसी तरह के विधि का उपयोग गणितीय ग्रंथों को याद करने के लिए किया गया था, जिसका प्रसारण वैदिक काल (सी 500 ईसा पूर्व) के अंत तक विशेष रूप से मौखिक था।

सूत्र शैली
प्राचीन भारत में गणितीय गतिविधि पवित्र वेदों पर एक "पद्धति संबंधी प्रतिबिंब" के एक भाग के रूप में शुरू हुई, जिसने वेदों, या "वेदों के सहायक" (7 वीं-चौथी शताब्दी ईसा पूर्व) नामक कार्यों का रूप ले लिया। शिक्षा (ध्वन्यात्मकता) और छंद (मापन विज्ञान ) के उपयोग द्वारा पवित्र पाठ की ध्वनि को संरक्षित करने की आवश्यकता; और कल्प (अनुष्ठान) और ज्योतिष के उपयोग से सही समय पर सही ढंग से संस्कार करने के लिए, वेदांगों के छह विषयों को जन्म दिया। गणित पिछले दो विषयों, अनुष्ठान और खगोल विज्ञान (जिसमें ज्योतिष भी सम्मिलित है) के एक भाग के रूप में उत्पन्न हुआ। तब से प्राचीन भारत में लेखन के उपयोग से तुरंत पहले वेदांग थे, इसलिए उन्होंने विशेष रूप से मौखिक साहित्य का अंतिम भाग बनाया। वे अत्यधिक संकुचित स्मरक रूप में व्यक्त किए गए थे, सूत्र (शाब्दिक रूप से, "थ्रेड"):

"सूत्र' के जानकार इसे कुछ स्वरों के रूप में जानते हैं, अस्पष्टता से रहित होने के नाते, सार युक्त, सब कुछ का सामना करना, बिना रुके और आपत्तिजनक होना।"

कई माध्यमों से अत्यधिक संक्षिप्तता हासिल की गई, जिसमें प्राकृतिक भाषा की सहिष्णता से परे दीर्घवृत्त का उपयोग करना सम्मिलित था, लंबे वर्णनात्मक नामों के बदले तकनीकी नामों का उपयोग करना, केवल पहली और अंतिम प्रविष्टियों का उल्लेख करके सूचियों को संक्षिप्त करना और अनुचिह्नक और चरों का उपयोग करना। सूत्र यह धारणा बनाते हैं कि पाठ के माध्यम से संचार "पूरे निर्देश का एक हिस्सा था। शेष निर्देश तथाकथित गुरु-शिष्य परम्परा, 'शिक्षक (गुरु) से छात्र (शिष्य) तक निर्बाध उत्तराधिकार' द्वारा प्रेषित किया गया होगा, और यह आम जनता के लिए खुला नहीं था" और शायद गुप्त भी रखा। बौधायन सुल्ब सूत्र (700 ईसा पूर्व) से निम्नलिखित उदाहरण में एक सूत्र में प्राप्त संक्षिप्तता का प्रदर्शन किया गया है। वैदिक काल में घरेलू अग्नि-वेदी को एक वर्गाकार आधार रखने और प्रत्येक परत में 21 ईंटों के साथ ईंटों की पांच परतों का गठन करने के लिए अनुष्ठान की आवश्यकता थी। वेदी के निर्माण की एक विधि यह थी कि वर्ग के एक भाग को रस्सी या रस्सी का उपयोग करके तीन समान भागों में विभाजित किया जाए, इसके बाद अनुप्रस्थ (या लम्बवत) भुजा को सात बराबर भागों में विभाजित किया जाए, और इस प्रकार वर्ग को 21 सर्वांगसम आयतों में उप-विभाजित किया जाए। ईंटों को तब घटक आयत के आकार के रूप में अभिकल्पना किया गया था और परत बनाई गई थी। अगली परत बनाने के लिए, उसी सूत्र का उपयोग किया गया था, लेकिन ईंटों को अनुप्रस्थ रूप से व्यवस्थित किया गया था। निर्माण को पूरा करने के लिए प्रक्रिया को फिर तीन बार (वैकल्पिक दिशाओं के साथ) दोहराया गया। बौधायन शुल्ब सूत्र में, इस प्रक्रिया को निम्नलिखित शब्दों में वर्णित किया गया है:

"II.64। चतुर्भुज-पार्श्व को सात में विभाजित करने के बाद, एक अनुप्रस्थ [तन्तु] को तीन में विभाजित करता है। II.65। एक अन्य परत में [ईंटों] को उत्तर की ओर इशारा करते हुए रखा जाता है।" (फिलिओज़ैट 2004, पृष्ठ 144) के अनुसार, वेदी का निर्माण करने वाले अधिकारी के पास केवल कुछ उपकरण और सामग्री होती है: एक रस्सी (संस्कृत, रज्जू, एफ), दो खूंटे (संस्कृत, शंकू, म), और ईंटें बनाने के लिए मिट्टी (संस्कृत, इष्टका, एफ)। विशेषण "अनुप्रस्थ" योग्यता का स्पष्ट रूप से उल्लेख नहीं करके, सूत्र में सहमति प्राप्त की जाती है; हालाँकि, प्रयुक्त (संस्कृत) विशेषण के स्त्रीलिंग रूप से, इसे "तन्तु " के योग्य बनाने के लिए आसानी से अनुमान लगाया जा सकता है। इसी तरह, दूसरे छंद में, "ईंटों" का स्पष्ट रूप से उल्लेख नहीं किया गया है, लेकिन उत्तर की ओर इशारा करते "नॉर्थ-पॉइंटिंग" के स्त्रीलिंग बहुवचन रूप से फिर से अनुमान लगाया गया है। अंत में, पहला छंद, स्पष्ट रूप से कभी नहीं कहता है कि ईंटों की पहली परत पूर्व-पश्चिम दिशा में उन्मुख है, लेकिन वह भी दूसरे छंद में नॉर्थ-पॉइंटिंग के स्पष्ट उल्लेख से निहित है; हेतु, यदि अभिविन्यास का मतलब दो परतों में समान होना था, तो इसका उल्लेख या तो बिल्कुल नहीं किया जाएगा या केवल पहले छंद  में ही उल्लेख किया जाएगा। इन सभी अनुमानों को अधिकारी द्वारा बनाया जाता है क्योंकि वह अपनी स्मृति से सूत्र को याद करता है।

लिखित परंपरा: गद्य भाष्य
गणित और अन्य यथार्थ विज्ञानों की बढ़ती जटिलता के साथ, लेखन और संगणना दोनों की आवश्यकता थी। परिणामस्वरूप, कई गणितीय कार्य पांडुलिपियों में लिखे जाने लगे, जिन्हें तब कॉपी किया गया और पीढ़ी-दर-पीढ़ी फिर से कॉपी किया गया।

"अनुमान है कि आज भारत में लगभग तीस मिलियन पांडुलिपियां हैं, जो दुनिया में कहीं भी हस्तलिखित पठन सामग्री का सबसे बड़ा निकाय है। भारतीय विज्ञान की साक्षर संस्कृति कम से कम पाँचवीं शताब्दी ईसा पूर्व की है। ... जैसा कि मेसोपोटामिया के शगुन साहित्य और खगोल विज्ञान के तत्वों द्वारा दिखाया गया है जो उस समय भारत में प्रवेश किया था और (निश्चित रूप से) नहीं थे ... मौखिक रूप से संरक्षित।"

प्राचीनतम गणितीय गद्य टीका, आर्यभटीय (499 CE में लिखित), खगोल विज्ञान और गणित पर एक कृति थी। आर्यभटीय का गणितीय भाग 33 सूत्रों (पद्य रूप में) से बना था जिसमें गणितीय कथन या नियम सम्मिलित थे, लेकिन बिना किसी प्रमाण के। हालांकि, (हयाशी 2003, पृष्ठ 123) के अनुसार, "इसका मतलब यह नहीं है कि उनके लेखकों ने उन्हें साबित नहीं किया। यह शायद प्रदर्शनी की शैली का मामला था।" भास्कर I (600 सीई के बाद) के समय से, गद्य टिप्पणियों में तेजी से कुछ व्युत्पत्तियों (उपपट्टी) को सम्मिलित करना प्रारंभ हो गया। आर्यभटीय पर भास्कर प्रथम की टिप्पणी की निम्नलिखित संरचना थी:


 * आर्यभट द्वारा छंद में नियम ('सूत्र')।
 * भास्कर प्रथम द्वारा भाष्य, जिसमें शामिल हैं:
 * नियम की व्याख्या (व्युत्पन्न तब भी दुर्लभ थे, लेकिन बाद में अधिक सामान्य हो गए)
 * उदाहरण (उदेशक) सामान्यतः पर पद्य में।
 * संख्यात्मक आकड़ो का निर्धारण ('न्यास/स्थापना')।
 * समाधान का कार्य (करण)।
 * उत्तर का सत्यापन (प्रत्ययकार, शाब्दिक रूप से "विश्वास बनाने के लिए")। 13वीं शताब्दी तक ये असामान्य हो गए थे, तब तक व्युत्पत्ति या प्रमाणों का समर्थन किया जा रहा था। 

सामान्यतया, किसी भी गणितीय विषय के लिए, प्राचीन भारत में छात्रों ने सबसे पहले सूत्रों को कंठस्थ किया था, जो कि, जैसा पहले बताया गया था, जानबूझकर अपर्याप्त थे व्याख्यात्मक विवरण में (अरक्षित -अस्थि गणितीय नियमों को स्पष्ट रूप से व्यक्त करने के लिए)। इसके बाद छात्रों ने चॉक- और डस्ट-बोर्ड (यानी धूल से ढके बोर्ड) पर लिखकर (और चित्र बनाकर) गद्य टिप्पणी के विषयों के माध्यम से काम किया। बाद की गतिविधि, गणितीय कार्य का एक प्रमुख, बाद में गणितज्ञ-खगोलविद, ब्रह्मगुप्त (fl. 7 वीं शताब्दी CE) को खगोलीय संगणना को "धूल कार्य" (संस्कृत: धूलिकर्मन) के रूप में चिह्नित करने के लिए प्रेरित करना था।

अंक और दशमलव संख्या प्रणाली
यह सर्वविदित है कि आज उपयोग की जाने वाली दशमलव स्थान-मान प्रणाली पहले भारत में दर्ज की गई थी, फिर इस्लामी दुनिया में और अंततः यूरोप में प्रेषित की गई थी। सीरियाई बिशप सेवरस सेबोखट ने 7वीं शताब्दी के मध्य में संख्या व्यक्त करने के लिए भारतीयों के नौ संकेतों के बारे में लिखा था। हालाँकि, पहली दशमलव स्थान मान प्रणाली का आविष्कार कैसे, कब और कहाँ हुआ, यह इतना स्पष्ट नहीं है। भारत में प्रयुक्त सबसे पुरानी मौजूदा लेखन प्रणाली खरोष्ठी थी|उत्तर-पश्चिम की गांधार संस्कृति में प्रयुक्त लिपि। यह अरामी मूल का माना जाता है और यह चौथी शताब्दी ईसा पूर्व से चौथी शताब्दी CE तक उपयोग में था। प्राय: समकालीन रूप से, एक और लिपि, ब्राह्मी लिपि, उपमहाद्वीप के अधिकांश हिस्सों में दिखाई दी, और बाद में दक्षिण एशिया और दक्षिण-पूर्व एशिया की कई लिपियों की नींव बन गई। दोनों लिपियों में अंक चिह्न और अंक प्रणाली थी, जो प्रारंभ में स्थान-मूल्य प्रणाली पर आधारित नहीं थी। भारत और दक्षिण पूर्व एशिया में दशमलव स्थान मान अंकों का सबसे पुराना जीवित प्रमाण पहली सहस्राब्दी CE के मध्य से है। गुजरात, भारत की एक तांबे की प्लेट में 595 CE का उल्लेख है, जो दशमलव स्थान मान अंकन में लिखा गया है, यद्यपि प्लेट की प्रामाणिकता के बारे में कुछ संदेह है। 683 CE के वर्षों को रिकॉर्ड करने वाले दशमलव अंक इंडोनेशिया और कंबोडिया में पत्थर के शिलालेखों में भी पाए गए हैं, जहां भारतीय सांस्कृतिक प्रभाव पर्याप्त था।

पुराने शाब्दिक स्रोत हैं, यद्यपि इन ग्रंथों की मौजूदा पांडुलिपि प्रतियां बहुत बाद की तारीखों की हैं। संभवत: इस तरह का सबसे पहला स्रोत बौद्ध दार्शनिक वसुमित्र का काम है, जो संभवत: पहली शताब्दी CE का है। वसुमित्र व्यापारियों की गिनती के गड्ढों पर चर्चा करते हुए टिप्पणी करते हैं, जब [वही] मिट्टी की गिनती इकाइयों के स्थान पर होती है, तो इसे एक के रूप में दर्शाया जाता है, जब सैकड़ों में, एक सौ। यद्यपि इस तरह के संदर्भों का अर्थ यह प्रतीत होता है कि उनके पाठकों को दशमलव स्थान मान प्रतिनिधित्व, उनके संकेतों की संक्षिप्तता और उनकी तिथियों की अस्पष्टता का ज्ञान था, यद्यपि, इस अवधारणा के विकास के कालक्रम को ठोस रूप से स्थापित नहीं करते हैं।

एक तीसरा दशमलव निरूपण पद्य रचना तकनीक में नियोजित किया गया था, जिसे बाद में तकनीकी पुस्तकों के प्रारंभिक संस्कृत लेखकों द्वारा उपयोग किए जाने वाले भुता-संख्या (शाब्दिक रूप से, वस्तु संख्या) के रूप में लेबल किया गया था। चूंकि कई शुरुआती तकनीकी कार्यों को पद्य में रचा गया था, संख्याओं को प्राय:प्राकृतिक या धार्मिक दुनिया में उन वस्तुओं द्वारा दर्शाया जाता था जो उनसे मेल खाती हैं; इसने प्रत्येक संख्या के लिए कई-से-एक पत्राचार की अनुमति दी और पद्य रचना को आसान बना दिया। के अनुसार संख्या 4, उदाहरण के लिए, वेद शब्द द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है (चूंकि इन धार्मिक ग्रंथों में से चार थे), संख्या 32 शब्द दांत द्वारा (चूंकि एक पूर्ण सेट में 32 होते हैं), और संख्या 1 चंद्रमा द्वारा ( चूंकि केवल एक चंद्रमा है)। इसलिए, वेद/दांत/चंद्र दशमलव संख्या 1324 के अनुरूप होंगे, क्योंकि संख्याओं के लिए प्रथा उनके अंकों को दाएं से बाएं की ओर गणना करने के लिए थी। ऑब्जेक्ट नंबरों को नियोजित करने वाला सबसे पहला संदर्भ एक सी है। 269 ​​CE संस्कृत पाठ, यवनजातक | यवनजातक (शाब्दिक रूप से ग्रीक हॉरोस्कोपी) स्फूजीध्वज, एक पूर्व (सी। 150 CE) का एक छंद है जो हेलेनिस्टिक ज्योतिष के एक खोए हुए कार्य का भारतीय गद्य रूपांतर है। इस तरह के प्रयोग से ऐसा प्रतीत होता है कि तीसरी शताब्दी CE के मध्य तक, दशमलव स्थान मूल्य प्रणाली परिचित थी, कम से कम भारत में खगोलीय और ज्योतिषीय ग्रंथों के पाठकों के लिए।

यह परिकल्पना की गई है कि भारतीय दशमलव स्थान मान प्रणाली पहली सहस्राब्दी ईसा पूर्व के मध्य से ही चीनी मतगणना बोर्डों पर उपयोगकिए गए प्रतीकों पर आधारित थी। के अनुसार, भारतीय मतगणना गड्ढों की तरह, इन मतगणना बोर्डों में, ..., एक दशमलव स्थान मान संरचना थी ... भारतीयों ने चीनी बौद्ध तीर्थयात्रियों या अन्य यात्रियों से इन दशमलव स्थान मान रॉड अंकों के बारे में अच्छी तरह से सीखा होगा, या हो सकता है अवधारणा को अपने पहले के गैर-स्थानीय-मूल्य प्रणाली से स्वतंत्र रूप से विकसित किया है; किसी भी निष्कर्ष की पुष्टि करने के लिए कोई दस्तावेजी साक्ष्य नहीं बचा है। 

बख्शाली पाण्डुलिपि
भारत में सबसे पुरानी प्रचलित गणितीय पांडुलिपि बख्शाली पांडुलिपि है, जो बौद्ध हाइब्रिड संस्कृत में लिखी गई एक बर्च की छाल पांडुलिपि है। शारदा लिपि में, जिसका उपयोग भारतीय उपमहाद्वीप के उत्तर-पश्चिमी क्षेत्र में 8वीं और 12वीं शताब्दी CE के बीच किया गया था। पाण्डुलिपि की खोज 1881 में एक किसान ने पेशावर के निकट बख्शाली गाँव में (तब ब्रिटिश भारत में और अब पाकिस्तान में) एक पत्थर के बाड़े में खोदते समय की थी। अज्ञात ग्रन्थकारिता और अब ऑक्सफोर्ड विश्वविद्यालय में बोडलियन लाइब्रेरी में संरक्षित, पांडुलिपि को हाल ही में 224 AD- 383 AD के रूप में दिनांकित किया गया है। बची हुई पाण्डुलिपि में सत्तर पत्तियाँ हैं, जिनमें से कुछ टुकड़ों में हैं। इसकी गणितीय सामग्री में गद्य टिप्पणियों के साथ पद्य में लिखे गए नियम और उदाहरण सम्मिलित हैं, जिनमें उदाहरणों के समाधान सम्मिलित हैं। इलाज किए गए विषयों में अंकगणित (अंश, वर्गमूल, लाभ और हानि, साधारण ब्याज, तीन का नियम (गणित), और रेगुला फाल्सी) और बीजगणित (एक साथ रैखिक समीकरण और द्विघात समीकरण), और अंकगणितीय प्रगति सम्मिलित हैं। इसके अलावा, मुट्ठी भर ज्यामितीय समस्याएं हैं (अनियमित ठोस पदार्थों की मात्रा के बारे में समस्याओं सहित)। बख्शाली पांडुलिपि शून्य के लिए एक बिंदु के साथ एक दशमलव स्थान मान प्रणाली भी नियोजित करती है। इसकी कई समस्याएं 'समानीकरण समस्याओं' के रूप में जानी जाने वाली श्रेणी की हैं जो रैखिक समीकरणों की प्रणालियों की ओर ले जाती हैं। फ्रैगमेंट III-5-3v का एक उदाहरण निम्नलिखित है:

"One merchant has seven asava horses, a second has nine haya horses, and a third has ten camels. They are equally well off in the value of their animals if each gives two animals, one to each of the others. Find the price of each animal and the total value for the animals possessed by each merchant." उदाहरण के साथ गद्य टिप्पणी समस्या को चार अज्ञात में तीन (अंडर-निर्धारित) समीकरणों में परिवर्तित करके हल करती है और यह मानते हुए कि कीमतें सभी पूर्णांक हैं।

2017 में, पांडुलिपि के तीन नमूने तीन अलग-अलग शताब्दियों से रेडियोकार्बन डेटिंग द्वारा दिखाए गए थे: 224 से 383 ईस्वी तक, 680-779 ईस्वी और 885-993 ईस्वी तक। यह ज्ञात नहीं है कि विभिन्न शताब्दियों के टुकड़े एक साथ कैसे पैक किए गए।

शास्त्रीय काल (400-1600)
इस अवधि को प्राय:भारतीय गणित के स्वर्ण युग के रूप में जाना जाता है। इस काल में आर्यभट्ट, वराहमिहिर, ब्रह्मगुप्त, भास्कर प्रथम, महावीर (गणितज्ञ), भास्कर द्वितीय, संगमग्राम के माधव और नीलकंठ सोमयाजी जैसे गणितज्ञों ने गणित की कई शाखाओं को व्यापक और स्पष्ट रूप दिया। उनका योगदान एशिया, मध्य पूर्व और अंततः यूरोप तक फैल जाएगा। वैदिक गणित के विपरीत, उनके कार्यों में खगोलीय और गणितीय योगदान दोनों सम्मिलित थे। वास्तव में, उस काल के गणित को 'सूक्ष्म विज्ञान' (ज्योतिशास्त्र) में सम्मिलित किया गया था और इसमें तीन उप-विषय सम्मिलित थे: गणितीय विज्ञान (गणित या तंत्र), कुंडली ज्योतिष (होरा या जातक) और अटकल (संहिता)। यह त्रिपक्षीय विभाजन वराहमिहिर की छठी शताब्दी के संकलन-पंचसिद्धांतिका में देखा जाता है। (शाब्दिक रूप से पंच, पांच, सिद्धांत, विचार-विमर्श का निष्कर्ष, दिनांक 575 सामान्य युग) - पहले के पांच कार्यों में से, सूर्य सिद्धांत, रोमक सिद्धांत, पौलिसा सिद्धांत, वशिष्ठ सिद्धांत और पैतामहा सिद्धांत, जो मेसोपोटामियन, ग्रीक, के अभी भी पहले के कार्यों के रूपांतर थे। मिस्र, रोमन और भारतीय खगोल विज्ञान। जैसा कि पहले बताया गया है, मुख्य ग्रंथों की रचना संस्कृत पद्य में की गई थी, और उसके बाद गद्य टीकाएँ थीं।

पांचवीं और छठी शताब्दी

 * सूर्य सिद्धांत

यद्यपि इसका लेखक अज्ञात है, सूर्य सिद्धांत (सी. 400) में आधुनिक त्रिकोणमिति की जड़ें हैं। क्योंकि इसमें विदेशी मूल के कई शब्द हैं, कुछ लेखकों का मानना ​​है कि यह बेबीलोन गणित और ग्रीस के प्रभाव में लिखा गया था। यह प्राचीन पाठ पहली बार त्रिकोणमितीय कार्यों के रूप में निम्नलिखित का उपयोग करता है:
 * ज्या (जया)।
 * कोज्या (को[[जाओ]])।
 * व्युत्क्रम ज्या (ओत्क्रम ज्या)।

इसमें इसके शुरुआती उपयोग भी सम्मिलित हैं:
 * स्पर्शरेखा (त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन)।
 * cosecant।

बाद में आर्यभट्ट जैसे भारतीय गणितज्ञों ने इस पाठ का संदर्भ दिया, जबकि बाद में अरबी और लैटिन अनुवाद यूरोप और मध्य पूर्व में बहुत प्रभावशाली थे।

छेदी कैलेंडर

इस छेदी कैलेंडर (594) में आधुनिक स्थान-मूल्य हिंदू-अरबी अंक प्रणाली का प्रारंभिक उपयोग सम्मिलित है जो अब सार्वभौमिक रूप से उपयोग किया जाता है।


 * आर्यभट्ट आई

आर्यभट्ट (476–550) ने आर्यभटीय की रचना की। उन्होंने 332 छंद ों में गणित के महत्वपूर्ण मौलिक सिद्धांतों का वर्णन किया। ग्रंथ में निहित है:
 * द्विघातीय समीकरण
 * त्रिकोणमिति
 * Pi|π का मान, दशमलव के चार स्थानों तक सही।

आर्यभट्ट ने आर्य सिद्धांत भी लिखा था, जो अब लुप्त हो चुका है। आर्यभट के योगदान में सम्मिलित हैं:

त्रिकोणमिति:

(यह भी देखें: आर्यभट्ट की ज्या तालिका)


 * त्रिकोणमितीय कार्यों का परिचय दिया।
 * ज्या को आधे कोण और आधी जीवा के बीच के आधुनिक संबंध के रूप में परिभाषित किया।
 * कोज्या (कोज्या) को परिभाषित किया।
 * छंद (उत्क्रम-ज्य) को परिभाषित किया।
 * प्रतिलोम ज्या (ओत्क्रम ज्या) को परिभाषित किया।
 * उनके अनुमानित संख्यात्मक मानों की गणना के तरीके दिए।
 * 0° से 90° तक 3.75° के अंतराल में, यथार्थ ता के 4 दशमलव स्थानों तक ज्या, कोज्या और वरज्या मानों की सबसे पुरानी सारणियाँ सम्मिलित हैं।
 * त्रिकोणमितीय सूत्र sin(n + 1)x − sin nx = sin nx − sin(n − 1)x − (1/225)sin nx सम्मिलित है।
 * गोलाकार त्रिकोणमिति।

अंकगणित:
 * जारी अंश।

बीजगणित:
 * एक साथ द्विघात समीकरणों के समाधान।
 * आधुनिक विधि के समतुल्य विधि द्वारा रैखिक समीकरणों के पूर्ण संख्या समाधान।
 * अनिश्चित रेखीय समीकरण का सामान्य समाधान।

गणितीय खगोल विज्ञान: वराहमिहिर
 * खगोलीय स्थिरांकों के लिए यथार्थ गणना, जैसे:
 * सूर्य ग्रहण।
 * चंद्रग्रहण।
 * घन (बीजगणित) के योग का सूत्र, जो अभिन्न कलन के विकास में एक महत्वपूर्ण कदम था।

वराहमिहिर (505-587) ने पंच सिद्धांत (द फाइव एस्ट्रोनॉमिकल कैनन) का निर्माण किया। उन्होंने त्रिकोणमिति में महत्वपूर्ण योगदान दिया, जिसमें ज्या और कोज्या तालिकाओं को यथार्थ ता के 4 दशमलव स्थानों और ज्या और कोज्या कार्यों से संबंधित निम्नलिखित सूत्र सम्मिलित हैं:


 * $$\sin^2(x) + \cos^2(x) = 1$$
 * $$\sin(x)=\cos\left(\frac{\pi}{2}-x\right)$$
 * $$\frac{1-\cos(2x)}{2}=\sin^2(x)$$

सातवीं और आठवीं शताब्दी
7वीं शताब्दी में, भारतीय गणित में अंकगणित (जिसमें माप सम्मिलित था) और बीजगणित, दो अलग-अलग क्षेत्र उभरने लगे। बाद में दो क्षेत्रों को बुलाया जाएगा(एल्गोरिदम का शाब्दिक गणित) और(बीजों का गणित, बीजों के साथ - पौधों के बीजों की तरह - उत्पन्न करने की क्षमता के साथ अज्ञात का प्रतिनिधित्व करते हुए, इस मामले में, समीकरणों का समाधान)। ब्रह्मगुप्त, अपने खगोलीय कार्य ब्रह्मस्फुटसिद्धान्त में |(628 CE), इन क्षेत्रों के लिए समर्पित दो अध्याय (12 और 18) सम्मिलित हैं। अध्याय 12, जिसमें 66 संस्कृत छंद हैं, को दो खंडों में विभाजित किया गया था: बुनियादी संचालन (घनमूल, अंश, अनुपात और अनुपात, और वस्तु विनिमय सहित) और व्यावहारिक गणित (मिश्रण, गणितीय श्रृंखला, समतल आंकड़े, ईंटों को ढेर करना, लकड़ी को काटना, और अनाज का ढेर)। बाद के खंड में, उन्होंने चक्रीय चतुर्भुज के विकर्णों पर अपना प्रसिद्ध प्रमेय बताया:

ब्रह्मगुप्त की प्रमेय: यदि एक चक्रीय चतुर्भुज के विकर्ण एक दूसरे के लंबवत हैं, तो विकर्णों के प्रतिच्छेदन बिंदु से चतुर्भुज के किसी भी तरफ खींची गई लंबवत रेखा हमेशा विपरीत दिशा को समद्विभाजित करती है।

अध्याय 12 में एक चक्रीय चतुर्भुज के क्षेत्रफल के लिए एक सूत्र (हीरोन के सूत्र का एक सामान्यीकरण) भी सम्मिलित है, साथ ही परिमेय त्रिभुजों (अर्थात् परिमेय भुजाओं और परिमेय क्षेत्रों वाले त्रिभुज) का पूर्ण विवरण भी सम्मिलित है।

ब्रह्मगुप्त का सूत्र: एक चक्रीय चतुर्भुज का क्षेत्रफल, A, लंबाई के पक्षों के साथ a, b, c, d, क्रमशः, द्वारा दिया गया है


 * $$ A = \sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \, $$

कहा पे है, अर्ध परिधि, द्वारा दिया गया $$ s=\frac{a+b+c+d}{2}.$$ परिमेय त्रिभुजों पर ब्रह्मगुप्त की प्रमेय: परिमेय भुजाओं वाला त्रिभुज $$a, b, c $$ और तर्कसंगत क्षेत्र का रूप है:


 * $$a = \frac{u^2}{v}+v, \ \ b=\frac{u^2}{w}+w, \ \ c=\frac{u^2}{v}+\frac{u^2}{w} - (v+w) $$

कुछ परिमेय संख्याओं के लिए $$u, v, $$ तथा $$ w $$. अध्याय 18 में 103 संस्कृत छंद हैं जो शून्य और ऋणात्मक संख्याओं वाले अंकगणितीय संक्रियाओं के नियमों के साथ शुरू हुए। और इसे विषय का पहला व्यवस्थित उपचार माना जाता है। नियम (जिसमें सम्मिलित हैं $$ a + 0 = \ a$$ तथा $$ a \times 0 = 0 $$) सभी सही थे, एक अपवाद के साथ: $$ \frac{0}{0} = 0 $$. बाद में अध्याय में, उन्होंने द्विघात समीकरण का पहला स्पष्ट (यद्यपि अभी भी पूरी तरह से सामान्य नहीं) समाधान दिया:


 * $$\ ax^2+bx=c$$

"To the absolute number multiplied by four times the [coefficient of the] square, add the square of the [coefficient of the] middle term; the square root of the same, less the [coefficient of the] middle term, being divided by twice the [coefficient of the] square is the value." यह इसके बराबर है:


 * $$x = \frac{\sqrt{4ac+b^2}-b}{2a} $$

इसके अलावा अध्याय 18 में, ब्रह्मगुप्त पेल के समीकरण के (अभिन्न) समाधान खोजने में प्रगति करने में सक्षम थे,
 * $$\ x^2-Ny^2=1, $$

कहाँ पे $$N$$ एक अवर्ग पूर्णांक है। उन्होंने निम्नलिखित पहचान की खोज करके ऐसा किया:

ब्रह्मगुप्त की पहचान: $$ \ (x^2-Ny^2)(x'^2-Ny'^2) = (xx'+Nyy')^2 - N(xy'+x'y)^2 $$ जो डायोफैंटस की पहले की पहचान का सामान्यीकरण था: ब्रह्मगुप्त ने निम्नलिखित लेम्मा को सिद्ध करने के लिए अपनी पहचान का उपयोग किया:

लेम्मा (ब्रह्मगुप्त): यदि $$x=x_1,\ \ y=y_1 \ \ $$ का समाधान है $$ \ \ x^2 - Ny^2 = k_1, $$ तथा, $$ x=x_2, \ \ y=y_2 \ \ $$ का समाधान है $$ \ \ x^2 - Ny^2 = k_2, $$, फिर:
 * $$ x=x_1x_2+Ny_1y_2,\ \ y=x_1y_2+x_2y_1 \ \ $$ का समाधान है $$ \ x^2-Ny^2=k_1k_2$$

इसके बाद उन्होंने इस लेम्मा का उपयोग पेल के समीकरण के असीम रूप से कई (अभिन्न) समाधानों को उत्पन्न करने के लिए किया, एक समाधान दिया, और निम्नलिखित प्रमेय का उल्लेख किया:

प्रमेय (ब्रह्मगुप्त): यदि समीकरण $$ \ x^2 - Ny^2 =k $$ किसी एक के लिए एक पूर्णांक समाधान है $$ \ k=\pm 4, \pm 2, -1 $$ फिर पेल का समीकरण:
 * $$ \ x^2 -Ny^2 = 1 $$

एक पूर्णांक समाधान भी है। ब्रह्मगुप्त ने वास्तव में प्रमेय को सिद्ध नहीं किया, बल्कि अपनी पद्धति का उपयोग करके उदाहरण तैयार किए। उन्होंने जो पहला उदाहरण प्रस्तुत किया वह था:

उदाहरण (ब्रह्मगुप्त): पूर्णांक खोजें $$\ x,\ y\ $$ ऐसा है कि:
 * $$\ x^2 - 92y^2=1 $$

ब्रह्मगुप्त ने अपनी टिप्पणी में जोड़ा, एक वर्ष के भीतर इस समस्या को हल करने वाला व्यक्ति गणितज्ञ है। उन्होंने जो समाधान दिया वह था:
 * $$\ x=1151, \ y=120 $$

भास्कर आई

भास्कर प्रथम (सी। 600-680) ने आर्यभट के कार्य का विस्तार अपनी पुस्तकों महाभास्करीय, आर्यभटीय-भाष्य और लघु-भास्करिया में किया। उसने उत्पन्न किया:
 * अनिश्चित समीकरणों के समाधान।
 * ज्या फ़ंक्शन का एक तर्कसंगत सन्निकटन।
 * तालिका के उपयोग के बिना न्यून कोण की ज्या की गणना करने का सूत्र, दो दशमलव स्थानों तक सही।

नौवीं से बारहवीं शताब्दी
वीरसेना

वीरसेन (8वीं शताब्दी) कर्नाटक के मान्यखेट के राष्ट्रकूट राजा अमोघवर्ष के दरबार में एक जैन गणितज्ञ थे। उन्होंने धवला, जैन गणित पर एक टिप्पणी लिखी, जो: वीरसेना ने भी दिया: ऐसा माना जाता है कि धवला में अधिकांश गणितीय सामग्री पिछले लेखकों, विशेष रूप से कुंदकुंडा, शमकुंडा, तुम्बुलुरा, सामंतभद्र और बप्पादेव और तिथि के लिए जिम्मेदार हो सकती है, जिन्होंने 200 और 600 CE के बीच लिखा था।
 * अर्धच्छेदा की अवधारणा से संबंधित है, किसी संख्या को कितनी बार आधा किया जा सकता है, और इस संक्रिया से जुड़े विभिन्न नियमों को सूचीबद्ध करता है। जब दो की घात पर लागू किया जाता है तो यह द्विआधारी लघुगणक के साथ मेल खाता है, लेकिन अन्य नंबरों पर भिन्न है, जो पी-एडिक ऑर्डर|2-एडिक ऑर्डर के समान है।
 * आधार 3 (ट्रेकाचेड़ा) और आधार 4 (चतुर्थचेदा) के लिए समान अवधारणा।
 * एक प्रकार की अनंत प्रक्रिया द्वारा एक छिन्नक के आयतन की व्युत्पत्ति।


 * महावीर

कर्नाटक के महावीर (गणितज्ञ) (सी। 800-870), उल्लेखनीय जैन गणितज्ञों में से अंतिम, 9वीं शताब्दी में रहते थे और उन्हें राष्ट्रकूट राजा अमोघवर्ष द्वारा संरक्षण प्राप्त था। उन्होंने संख्यात्मक गणित पर गणित सार संग्रह नामक एक पुस्तक लिखी, और गणितीय विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला के बारे में ग्रंथ भी लिखे। इनमें गणित सम्मिलित है:
 * 0 (संख्या)
 * वर्ग (बीजगणित)
 * घन (अंकगणित)
 * वर्गमूल, घनमूल और इनसे आगे जाने वाली श्रृंखला (गणित)।
 * समतल ज्यामिति
 * घन ज्यामिति
 * छाया डालने से संबंधित समस्याएं
 * एक वृत्त के भीतर दीर्घवृत्त और चतुर्भुज के क्षेत्रफल की गणना करने के लिए व्युत्पन्न सूत्र।

महावीर भी:
 * दावा किया कि एक ऋणात्मक संख्या का वर्गमूल मौजूद नहीं था
 * एक श्रृंखला का योग दिया जिसकी शर्तें अंकगणितीय प्रगति के वर्ग (बीजगणित) हैं, और एक दीर्घवृत्त के क्षेत्रफल और परिधि के लिए अनुभवजन्य नियम दिए।
 * हल घन समीकरण।
 * हल किए गए क्वार्टिक समीकरण।
 * कुछ क्विंटिक समीकरणों और उच्च-क्रम बहुपदों को हल किया।
 * उच्च क्रम बहुपद समीकरणों के सामान्य समाधान दिए:
 * $$\ ax^n = q$$
 * $$a \frac{x^n - 1}{x - 1} = p$$
 * हल अनिश्चित द्विघात समीकरण।
 * हल अनिश्चित घन समीकरण।
 * हल अनिश्चित उच्च क्रम समीकरण।

श्रीधर

श्रीधर (सी। 870-930), जो बंगाल में रहते थे, ने नव शतािका, त्रि शतक और पति गनिता नामक पुस्तकें लिखीं। उसने दिया:
 * गोले का आयतन ज्ञात करने का एक अच्छा नियम।
 * द्विघात समीकरणों को हल करने का सूत्र।

पतिगणिता अंकगणित और माप पर एक कार्य है। यह विभिन्न परिचालनों से संबंधित है, जिनमें निम्न सम्मिलित हैं:
 * प्राथमिक संचालन
 * वर्ग और घनमूल निकालना।
 * अंश।
 * शून्य से संबंधित संक्रियाओं के लिए आठ नियम दिए गए हैं।
 * विभिन्न अंकगणितीय और ज्यामितीय श्रृंखलाओं के योग के तरीके, जो बाद के कार्यों में मानक संदर्भ बन गए।

मंजुला

आर्यभट्ट के विभेदक समीकरणों को मंजुला (मुंजला भी) द्वारा 10वीं शताब्दी में विस्तृत किया गया था, जिन्होंने महसूस किया कि अभिव्यक्ति
 * $$\ \sin w' - \sin w$$

प्राय: व्यक्त किया जा सकता है


 * $$\ (w' - w)\cos w$$

उन्होंने अवकल समीकरण को हल करने के बाद अवकलन की अवधारणा को समझा, जो इस व्यंजक को आर्यभट के अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने के परिणामस्वरूप उत्पन्न हुआ।


 * आर्यभट्ट द्वितीय

आर्यभट ी (920-1000 ई.) ने श्रीधर पर एक भाष्य और एक खगोलीय ग्रंथ महा-सिद्धांत लिखा। महा-सिद्धांत में 18 अध्याय हैं, और चर्चा करते हैं:
 * संख्यात्मक गणित (अंक गणित)।
 * बीजगणित।
 * अनिश्चित समीकरणों का समाधान (कुट्टक)।

श्रीपति

श्रीपति (1019-1066) ने 19 अध्यायों में सिद्धांत शेखर, खगोल विज्ञान पर एक प्रमुख काम, और गणित तिलका, 125 छंदों में एक अधूरा अंकगणितीय ग्रंथ श्रीधर के एक काम पर आधारित लिखा। उन्होंने मुख्य रूप से काम किया:
 * क्रमपरिवर्तन।
 * एक साथ अनिश्चित रैखिक समीकरण का सामान्य समाधान।

वह धिकोटिदाकरण के लेखक भी थे, जो निम्नलिखित पर बीस छंद ों की रचना है:
 * सूर्य ग्रहण।
 * चंद्रग्रहण।

ध्रुवमनसा 105 छंद ों का एक काम है:
 * ग्रह देशांतरों की गणना
 * ग्रहण।
 * ग्रहीय खगोलीय पारगमन।


 * नेमिचन्द्र सिद्धांत चक्रवती

नेमिचन्द्र सिद्धांत चक्रवती (सी. 1100) ने गोम-मत सार नामक एक गणितीय ग्रंथ की रचना की।

भास्कर द्वितीय

भास्कर II (1114-1185) एक गणितज्ञ-खगोलशास्त्री थे, जिन्होंने कई महत्वपूर्ण ग्रंथ लिखे, जैसे सिद्धांत शिरोमणि, लीलावती, बीजगणित, गोला अध्या, गृह गणितम और करण कौतूहल। उनके कई योगदान बाद में मध्य पूर्व और यूरोप में प्रसारित किए गए। उनके योगदान में सम्मिलित हैं:

अंकगणित:
 * ब्याज की गणना
 * अंकगणितीय और ज्यामितीय प्रगति
 * समतल ज्यामिति
 * घन ज्यामिति
 * सूंड की छाया
 * संयोजनों का समाधान
 * शून्य से अनंत होने का प्रमाण दिया।

बीजगणित:
 * दो वर्गमूल वाली धनात्मक संख्या की पहचान।
 * नवीं जड़।
 * कई अज्ञात उत्पादों के साथ संचालन।
 * के उपाय:
 * द्विघातीय समीकरण।
 * घन समीकरण।
 * चतुर्थांश समीकरण।
 * एक से अधिक अज्ञात वाले समीकरण।
 * एक से अधिक अज्ञात वाले द्विघात समीकरण।
 * चक्रवला विधि का उपयोग करते हुए पेल के समीकरण का सामान्य रूप।
 * चक्रवला विधि का उपयोग करते हुए सामान्य अनिश्चित द्विघात समीकरण।
 * अनिश्चित घन समीकरण।
 * अनिश्चित क्वार्टिक समीकरण।
 * अनिश्चित उच्च-क्रम बहुपद समीकरण।

ज्यामिति:
 * पाइथागोरस प्रमेय की उपपत्ति दी।

पथरी:
 * अंतर कलन की अवधारणा।
 * व्युत्पन्न की खोज की।
 * अंतर गुणांक की खोज की।
 * विकसित भेदभाव।
 * रोल की प्रमेय, औसत मूल्य प्रमेय का एक विशेष मामला (कलन और विश्लेषण के सबसे महत्वपूर्ण प्रमेयों में से एक)।
 * ज्या समारोह के अंतर को व्युत्पन्न किया।
 * कंप्यूटेड पाई|π, पांच दशमलव स्थानों तक सही।
 * सूर्य के चारों ओर पृथ्वी की परिक्रमा की अवधि की गणना 9 दशमलव स्थानों तक की गई।

त्रिकोणमिति:
 * गोलीय त्रिकोणमिति का विकास
 * त्रिकोणमितीय सूत्र:
 * $$\ \sin(a+b)=\sin(a) \cos(b) + \sin(b) \cos(a)$$
 * $$\ \sin(a-b)=\sin(a) \cos(b) - \sin(b) \cos(a)$$

केरल गणित (1300-1600)
केरल स्कूल ऑफ एस्ट्रोनॉमी एंड मैथमेटिक्स की स्थापना केरल, दक्षिण भारत में संगमग्राम के माधव द्वारा की गई थी और इसके सदस्यों में सम्मिलित थे: परमेश्वर, नीलकंठ सोमयाजी, [[ज्येष्ठदेव]], अच्युत पिशारती, मेल्पथुर नारायणा भट्टतिरि और अच्युत पणिक्कर। यह 14वीं और 16वीं शताब्दी के बीच फला-फूला और स्कूल की मूल खोजें नारायण भट्टथिरी (1559-1632) के साथ समाप्त हो गईं। खगोलीय समस्याओं को हल करने के प्रयास में, केरल स्कूल के खगोलविदों ने स्वतंत्र रूप से गणित की कई महत्वपूर्ण अवधारणाएँ बनाईं। सबसे महत्वपूर्ण परिणाम, त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए श्रृंखला विस्तार, संस्कृत पद्य में नीलकंठ द्वारा तंत्रसंग्रह नामक एक पुस्तक में दिए गए थे और इस कार्य पर एक अज्ञात ग्रन्थकारिता तंत्रसंग्रह-वाख्य नामक एक टिप्पणी थी। प्रमेयों को प्रमाण के बिना कहा गया था, लेकिन ज्या, कोज्या और व्युत्क्रम स्पर्शरेखा के लिए श्रृंखला के प्रमाण ज्येष्ठदेव द्वारा मलयालम में लिखी गई युक्तिभाषा (c.1500-c.1610) में एक सदी बाद प्रदान किए गए थे। कैलकुलस के इन तीन महत्वपूर्ण श्रृंखला विस्तारों की उनकी खोज—यूरोप में आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज द्वारा कैलकुलस के विकसित होने से कई शताब्दियों पहले—एक उपलब्धि थी। हालाँकि, केरल स्कूल ने कलन का आविष्कार नहीं किया, क्योंकि, जबकि वे महत्वपूर्ण त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए टेलर श्रृंखला विस्तार विकसित करने में सक्षम थे, डेरिवेटिव, टर्म बाय टर्म इंटीग्रल, अभिसरण परीक्षण, गैर-रैखिक समीकरणों के समाधान के लिए पुनरावृत्त तरीके, और यह सिद्धांत कि एक वक्र के नीचे का क्षेत्र इसका अभिन्न है, उन्होंने न तो डेरिवेटिव या इंटीग्रल का सिद्धांत विकसित किया, न ही कैलकुलस का मौलिक प्रमेय। केरल स्कूल द्वारा प्राप्त परिणामों में सम्मिलित हैं:


 * (अनंत) ज्यामितीय श्रृंखला: $$ \frac{1}{1-x} = 1 + x + x^2 + x^3 + x^4+ \cdots\text{ for }|x|<1 $$
 * परिणाम का एक अर्ध-कठोर प्रमाण (नीचे इंडक्शन टिप्पणी देखें): $$1^p+ 2^p + \cdots + n^p \approx \frac{n^{p+1}}{p+1}$$ बड़े एन के लिए *गणितीय आगमन का सहज उपयोग, हालाँकि, गणितीय आगमन#विवरण को सूत्रबद्ध या प्रमाणों में नियोजित नहीं किया गया था। * टेलर के प्रमेय को प्राप्त करने के लिए (क्या बनना था) अंतर और अभिन्न कलन से विचारों का अनुप्रयोग | (टेलर-मैकलॉरिन) sin x, cos x, और arctan x के लिए अनंत श्रृंखला। तंत्रसंग्रह-वाख्य श्रृंखला को छंदों में देता है, जिसे जब गणितीय संकेतन में अनुवादित किया जाता है, तो इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: :: $$r\arctan\left(\frac{y}{x}\right) = \frac{1}{1}\cdot\frac{ry}{x} -\frac{1}{3}\cdot\frac{ry^3}{x^3} + \frac{1}{5}\cdot\frac{ry^5}{x^5} - \cdots ,\text{ where }y/x \leq 1. $$
 * $$r\sin x = x - x \frac{x^2}{(2^2+2)r^2} + x \frac{x^2}{(2^2+2)r^2}\cdot\frac{x^2}{(4^2+4)r^2} - \cdots $$
 * $$ r - \cos x = r \frac{x^2}{(2^2-2)r^2} - r \frac{x^2}{(2^2-2)r^2} \frac{x^2}{(4^2-4)r^2} + \cdots, $$
 * जहां, r = 1 के लिए, श्रृंखला इन त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए मानक शक्ति श्रृंखला में घट जाती है, उदाहरण के लिए:
 * $$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots $$
 * तथा
 * $$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots $$


 * इन परिणामों का प्रमाण देने के लिए एक वृत्त के चाप के परिशोधन (लंबाई की गणना) का उपयोग। (लीबनिज की बाद की विधि, चतुष्कोण का उपयोग करते हुए, अर्थात वृत्त के चाप के नीचे क्षेत्र की गणना का उपयोग नहीं किया गया था।) * श्रृंखला विस्तार का उपयोग $$\arctan x$$ π के लिए लीबनिज सूत्र प्राप्त करने के लिए: :: $$\frac{\pi}{4} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots $$
 * उनकी रुचि की श्रृंखला के परिमित योग के लिए त्रुटि का तर्कसंगत सन्निकटन। उदाहरण के लिए त्रुटि, $$f_i(n+1)$$, (n विषम के लिए, और i = 1, 2, 3) श्रृंखला के लिए:
 * $$\frac{\pi}{4} \approx 1 - \frac{1}{3}+ \frac{1}{5} - \cdots + (-1)^{(n-1)/2}\frac{1}{n} + (-1)^{(n+1)/2}f_i(n+1)$$
 * $$\text{where }f_1(n) = \frac{1}{2n}, \ f_2(n) = \frac{n/2}{n^2+1}, \ f_3(n) = \frac{(n/2)^2+1}{(n^2+5)n/2}.$$


 * तेजी से अभिसरण श्रृंखला प्राप्त करने के लिए त्रुटि शब्द का हेरफेर $$\pi$$: :: $$\frac{\pi}{4} = \frac{3}{4} + \frac{1}{3^3-3} - \frac{1}{5^3-5} + \frac{1}{7^3-7} - \cdots $$
 * तर्कसंगत व्यंजक प्राप्त करने के लिए उन्नत श्रृंखला का उपयोग करना, π के लिए 104348/33215 नौ दशमलव स्थानों तक सही है, यानी 3.141592653।
 * इन परिणामों की गणना करने के लिए सीमा की सहज धारणा का उपयोग। *कुछ त्रिकोणमितीय फलनों के विभेदन की एक अर्ध-कठोर (ऊपर की सीमाओं पर टिप्पणी देखें) विधि। हालाँकि, उन्होंने किसी फलन की धारणा नहीं बनाई, या उन्हें घातीय या लघुगणकीय फलनों का ज्ञान नहीं था।

पश्चिमी दुनिया के लिए सबसे पहले केरल स्कूल के कार्यों को अंग्रेज सी.एम. द्वारा लिखा गया था। 1835 में व्हिश। व्हिश के अनुसार, केरल के गणितज्ञों ने प्रवाह की एक पूरी प्रणाली की नींव रखी थी और ये कार्य प्रवाहकीय रूपों और श्रृंखलाओं से परिपूर्ण थे जो विदेशों के किसी भी कार्य में नहीं पाए जाते हैं। यद्यपि, व्हिश के परिणामों को प्राय: पूरी तरह से उपेक्षित किया गया था, जब तक कि एक सदी से भी अधिक समय बाद, जब सी. राजगोपाल और उनके सहयोगियों द्वारा केरल स्कूल की खोजों की फिर से जांच की गई। उनके काम में युक्तिभाषा में आर्कटन श्रृंखला के प्रमाणों पर दो पेपरों में दिए गए भाष्य सम्मिलित हैं, युक्तिभाषा के ज्या और कोज्या श्रृंखला के प्रमाण पर एक टिप्पणी और दो पेपर जो आर्कटान, पाप और कोज्या (अंग्रेजी अनुवाद और टिप्पणी के साथ) की श्रृंखला के लिए तंत्रसंग्रहवाख्य के संस्कृत छंद प्रदान करते हैं। नारायण पंडित 14वीं शताब्दी के गणितज्ञ हैं जिन्होंने दो महत्वपूर्ण गणितीय कार्यों, एक अंकगणितीय ग्रंथ, गणित कौमुदी, और एक बीजगणितीय ग्रंथ, बिजगणित वतमसा की रचना की। नारायण को भास्कर द्वितीय की लीलावती की एक विस्तृत टिप्पणी का लेखक भी माना जाता है, जिसका शीर्षक कर्मप्रदीपिका (या कर्म-पद्धति) है। संगमग्राम के माधव (सी. 1340-1425) केरल स्कूल के संस्थापक थे। यद्यपि यह संभव है कि उन्होंने 1375 और 1475 के बीच किसी समय लिखी गई रचना करना पद्धति लिखी हो, हम वास्तव में उनके काम के बारे में जानते हैं जो बाद के विद्वानों के कार्यों से आता है।

परमेश्वर (सी। 1370-1460) ने भास्कर प्रथम, आर्यभट्ट और भास्कर द्वितीय के कार्यों पर टीकाएँ लिखीं। उनकी लीलावती भाष्य, भास्कर द्वितीय की लीलावती पर एक टिप्पणी है, जिसमें उनकी महत्वपूर्ण खोजों में से एक है: माध्य मूल्य प्रमेय का एक संस्करण। नीलकंठ सोमयाजी (1444-1544) ने तंत्र समग्र की रचना की (जिसने बाद में अज्ञात भाष्य तन्त्रसंग्रह-व्याख्य और 1501 में लिखी गई युक्तिदीपिका नाम से एक और भाष्य को जन्म दिया)। उन्होंने माधव के योगदान को विस्तृत और विस्तारित किया।

चित्रभानु (सी। 1530) केरल के 16वीं शताब्दी के गणितज्ञ थे जिन्होंने दो अज्ञात में एक साथ समीकरण बीजगणितीय समीकरणों की 21 प्रकार की प्रणालियों के पूर्णांक समाधान दिए। ये प्रकार निम्नलिखित सात रूपों के समीकरणों के सभी संभावित युग्म हैं:



\begin{align} & x + y = a,\ x - y = b,\  xy = c, x^2 + y^2 = d, \\[8pt] & x^2 - y^2 = e,\ x^3 + y^3 = f,\  x^3 - y^3 = g \end{align} $$ प्रत्येक मामले के लिए, चित्रभानु ने अपने शासन की व्याख्या और औचित्य के साथ-साथ एक उदाहरण भी दिया। उनकी कुछ व्याख्याएं बीजगणितीय हैं, जबकि अन्य ज्यामितीय हैं। ज्येष्ठदेव (सी. 1500-1575) केरल स्कूल के एक अन्य सदस्य थे। उनका प्रमुख कार्य युक्ति-भाषा (मलयालम में लिखा गया, केरल की एक क्षेत्रीय भाषा) था। ज्येष्ठदेव ने माधव और अन्य केरल स्कूल के गणितज्ञों द्वारा पहले खोजे गए अधिकांश गणितीय प्रमेयों और अनंत श्रृंखला के प्रमाण प्रस्तुत किए।

Eurocentrism के आरोप
यह सुझाव दिया गया है कि गणित में भारतीय योगदान को आधुनिक इतिहास में उचित स्वीकृति नहीं दी गई है और भारतीय गणितज्ञों द्वारा कई खोजों और आविष्कारों को वर्तमान में सांस्कृतिक रूप से उनके पश्चिमी दुनिया के समकक्षों के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है, जो कि यूरोसेंट्रिज्म के परिणामस्वरूप है। नृवंशविज्ञान पर जी.जी. जोसेफ की राय के अनुसार:

[उनके काम] शास्त्रीय यूरोसेंट्रिक प्रक्षेपवक्र के बारे में उठाई गई कुछ आपत्तियों को स्वीकार करता है। जागरूकता [भारतीय और अरबी गणित की] ग्रीक गणित की तुलना में उनके महत्व को खारिज करने वाले अस्वीकृति के साथ संयमित होने की संभावना है। अन्य सभ्यताओं से योगदान - विशेष रूप से चीन और भारत, को या तो ग्रीक स्रोतों से उधार लेने वालों के रूप में माना जाता है या मुख्यधारा के गणितीय विकास में केवल मामूली योगदान दिया है। अधिक हाल के शोध निष्कर्षों के लिए एक खुलापन, विशेष रूप से भारतीय और चीनी गणित के मामले में, दुखद रूप से गायब है 

गणित के इतिहासकार, फ्लोरियन काजोरी ने सुझाव दिया कि उन्हें और अन्य लोगों को संदेह है कि डायोफैंटस को भारत से बीजगणितीय ज्ञान की पहली झलक मिली। हालाँकि, उन्होंने यह भी लिखा कि यह निश्चित है कि हिंदू गणित के अंश ग्रीक मूल के हैं। हाल ही में, जैसा कि ऊपर दिए गए खंड में चर्चा की गई है, त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए कैलकुलस की अनंत श्रृंखला (17 वीं शताब्दी के अंत में ग्रेगरी, टेलर और मैकलॉरिन द्वारा फिर से खोजी गई) का भारत में केरल स्कूल ऑफ एस्ट्रोनॉमी एंड मैथमेटिक्स के गणितज्ञों द्वारा उल्लेखनीय रूप से वर्णन किया गया था। कुछ दो सदियों पहले। कुछ विद्वानों ने हाल ही में सुझाव दिया है कि व्यापारियों और जेसुइट मिशनरियों द्वारा केरल से व्यापार मार्ग के माध्यम से इन परिणामों का ज्ञान यूरोप में प्रेषित किया जा सकता है। केरल लगातार चीन और अरब के संपर्क में था, और प्राय: 1500 से, यूरोप के साथ। संचार मार्गों का अस्तित्व और एक उपयुक्त कालक्रम निश्चित रूप से इस तरह के प्रसारण को एक संभावना बनाता है। यद्यपि, प्रासंगिक पांडुलिपियों के माध्यम से कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं है कि ऐसा प्रसारण वास्तव में हुआ था। डेविड ब्रेसौड के अनुसार, इस बात का कोई प्रमाण नहीं है कि उन्नीसवीं शताब्दी तक श्रृंखला का भारतीय कार्य भारत से बाहर या केरल के बाहर भी जाना जाता था। अरब और भारतीय दोनों विद्वानों ने 17वीं शताब्दी से पहले की खोजें कीं जिन्हें अब कैलकुलस का एक हिस्सा माना जाता है। यद्यपि, उन्होंने आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज की तरह, व्युत्पन्न और अभिन्न के दो एकीकृत विषयों के तहत कई अलग-अलग विचारों को संयोजित नहीं किया, दोनों के बीच संबंध दिखाते हैं, और कलन को महान समस्या-समाधान उपकरण में बदल देते हैं जो आज हमारे पास है।. न्यूटन और लीबनिज दोनों के बौद्धिक करियर अच्छी तरह से प्रलेखित हैं और उनके काम के अपने नहीं होने का कोई संकेत नहीं है; हालाँकि, यह निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है कि क्या न्यूटन और लीबनिज़ के तत्काल पूर्ववर्ती, विशेष रूप से, फर्मेट और रोबर्वल सहित, इस्लामी और भारतीय गणितज्ञों के कुछ विचारों को उन स्रोतों के माध्यम से सीखा है जिन्हें हम अब नहीं जानते हैं। यह वर्तमान शोध का एक सक्रिय क्षेत्र है, विशेष रूप से स्पेन और मोरक्को के पांडुलिपि संग्रहों में। सीएनआरएस में अन्य स्थानों के साथ-साथ यह शोध किया जा रहा है।

यह भी देखें

 * शुलब सूत्र
 * केरल स्कूल ऑफ एस्ट्रोनॉमी एंड मैथमेटिक्स
 * सूर्य सिद्धांत
 * ब्रह्मगुप्त
 * श्रीनिवास रामानुजन
 * बख्शाली पांडुलिपि
 * भारतीय गणितज्ञों की सूची
 * भारतीय विज्ञान और प्रौद्योगिकी
 * भारतीय तर्क
 * भारतीय खगोल विज्ञान
 * गणित का इतिहास
 * हिंदू शास्त्रों में संख्याओं की सूची

संदर्भ

 * . New edition with translation and commentary, (2 Vols.).
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 * गणितीय अधिष्ठापन

बाहरी संबंध

 * Science and Mathematics in India
 * An overview of Indian mathematics, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2000.
 * Indian Mathematicians
 * Index of Ancient Indian mathematics, MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2004.
 * Indian Mathematics: Redressing the balance, Student Projects in the History of Mathematics. Ian Pearce.  MacTutor History of Mathematics Archive, St Andrews University, 2002.
 * InSIGHT 2009, a workshop on traditional Indian sciences for school children conducted by the Computer Science department of Anna University, Chennai, India.
 * Mathematics in ancient India by R. Sridharan
 * Combinatorial methods in ancient India
 * Mathematics before S. Ramanujan
 * Mathematics before S. Ramanujan