आदेशित सदिश स्थान

गणित में, क्रमित सदिश समष्टि या आंशिक रूप से क्रमित सदिश समष्टि आंशिक क्रम से सुसज्जित सदिश समष्टि है जो सदिश समष्टि संचालन के साथ संगत है।

परिभाषा
वास्तविक संख्या से अधिक $$\Reals$$ सदिश स्थान $$X$$ दिया गया है और पूर्व आदेश सेट $$\,\leq\,$$ दिया गया है  $$X,$$ जोड़ी $$(X, \leq)$$  प्रीऑर्डर्ड वेक्टर स्पेस कहा जाता है और हम कहते हैं कि प्रीऑर्डर $$\,\leq\,$$ की वेक्टर अंतरिक्ष संरचना के साथ संगत है $$X$$ और कॉल करें $$\,\leq\,$$ वेक्टर प्रीऑर्डर चालू है $$X$$ यदि सभी के लिए $$x, y, z \in X$$ और $$r \in \Reals$$ साथ $$r \geq 0$$ निम्नलिखित दो सिद्धांत संतुष्ट हैं

ध्यान दें कि $$x \leq y$$ अगर और केवल अगर $$-y \leq -x.$$
 * 1) $$x \leq y$$ तात्पर्य $$x + z \leq y + z,$$
 * 2) $$y \leq x$$ तात्पर्य $$r y \leq r x.$$ अगर $$\,\leq\,$$ की सदिश अंतरिक्ष संरचना के साथ संगत आंशिक क्रम है $$X$$ तब $$(X, \leq)$$ क्रमित सदिश समष्टि कहलाती है और $$\,\leq\,$$ को सदिश आंशिक क्रम कहा जाता है $$X.$$ दो सिद्धांतों का अर्थ है कि अनुवाद (ज्यामिति) और सकारात्मक समरूपता क्रम संरचना और मानचित्रण की स्वचालितताएं हैं $$x \mapsto -x$$ द्वैत (आदेश सिद्धांत) के लिए समरूपता है। क्रमबद्ध वेक्टर रिक्त स्थान उनके अतिरिक्त ऑपरेशन के तहत क्रमबद्ध समूह हैं।

सकारात्मक शंकु और क्रम के अनुसार उनकी तुल्यता
उपसमुच्चय $$C$$ सदिश स्थान का $$X$$ यदि यह वास्तव में है तो इसे शंकु कहा जाता है $$r > 0,$$ $$r C \subseteq C.$$ शंकु को नुकीला कहा जाता है यदि उसमें मूल बिंदु शामिल हो। शंकु $$C$$ उत्तल है यदि और केवल यदि $$C + C \subseteq C.$$ शंकु के किसी भी खाली सेट | गैर-रिक्त परिवार (सम्मानित उत्तल शंकु) का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) फिर से शंकु (सम्मानित उत्तल शंकु) है; शंकुओं (सम्मान उत्तल शंकु) के बढ़ते (उपसमुच्चय के तहत) परिवार के संघ (सेट सिद्धांत) के बारे में भी यही सच है। शंकु $$C$$ सदिश स्थान में $$X$$ कहा जाता है कि यदि उत्पन्न हो रहा है $$X = C - C.$$ एक सकारात्मक शंकु तभी उत्पन्न होता है जब यह निर्देशित सेट होता है $$\,\leq.$$ पूर्व-आदेशित सदिश स्थान दिया गया $$X,$$ उपसमुच्चय $$X^+$$ सभी तत्वों का $$x$$ में $$(X, \leq)$$ संतुष्टि देने वाला $$x \geq 0$$ शीर्ष के साथ नुकीला उत्तल शंकु है $$0$$ (अर्थात इसमें शामिल है $$0$$) का धनात्मक शंकु कहलाता है $$X$$ और द्वारा निरूपित किया गया $$\operatorname{PosCone} X.$$ धनात्मक शंकु के तत्वों को धनात्मक कहा जाता है। अगर $$x$$ और $$y$$ पूर्वक्रमित सदिश समष्टि के तत्व हैं $$(X, \leq),$$ तब $$x \leq y$$ अगर और केवल अगर $$y - x \in X^+.$$ किसी भी नुकीले उत्तल शंकु को देखते हुए $$C$$ शीर्ष के साथ $$0,$$ कोई प्रीऑर्डर परिभाषित कर सकता है $$\,\leq\,$$ पर $$X$$ जो कि वेक्टर स्पेस संरचना के अनुकूल है $$X$$ सभी के लिए घोषणा करके $$x, y \in X,$$ वह $$x \leq y$$ अगर और केवल अगर $$y - x \in C;$$ इस परिणामी पूर्वक्रमित सदिश समष्टि का धनात्मक शंकु है $$C.$$ इस प्रकार शीर्ष के साथ नुकीले उत्तल शंकुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है $$0$$ और वेक्टर प्री-ऑर्डर चालू हैं $$X.$$ अगर $$X$$ पूर्व-आदेश दिया गया है तो हम तुल्यता संबंध बना सकते हैं $$X$$ परिभाषित करके $$x$$ के बराबर है $$y$$ अगर और केवल अगर $$x \leq y$$ और $$y \leq x;$$ अगर $$N$$ तब मूल से युक्त तुल्यता वर्ग है $$N$$ का सदिश उपसमष्टि है $$X$$ और $$X / N$$ संबंध के अंतर्गत क्रमित सदिश समष्टि है: $$A \leq B$$ यदि और केवल वहाँ अस्तित्व है $$a \in A$$ और $$b \in B$$ ऐसा है कि $$a \leq b.$$

का उपसमुच्चय $$C$$ सदिश स्थान का $$X$$ यदि यह शीर्ष का उत्तल शंकु है तो इसे उचित शंकु कहा जाता है $$0$$ संतुष्टि देने वाला $$C \cap (- C) = \{0\}.$$ स्पष्ट रूप से, $$C$$ उचित शंकु है यदि (1) $$C + C \subseteq C,$$ (2) $$r C \subseteq C$$ सभी के लिए $$r > 0,$$ और (3) $$C \cap (- C) = \{0\}.$$ उचित शंकुओं के किसी भी गैर-रिक्त परिवार का प्रतिच्छेदन फिर से उचित शंकु है। प्रत्येक उचित शंकु $$C$$ वास्तविक सदिश समष्टि में परिभाषित करके सदिश समष्टि पर क्रम उत्पन्न करता है $$x \leq y$$ अगर और केवल अगर $$y - x \in C,$$ और इसके अलावा, इस क्रमित सदिश समष्टि का धनात्मक शंकु होगा $$C.$$ इसलिए, उचित उत्तल शंकुओं के बीच एक-से-एक पत्राचार मौजूद है $$X$$ और वेक्टर आंशिक आदेश पर $$X.$$ कुल वेक्टर क्रम से $$X$$ हमारा मतलब कुल ऑर्डर से है $$X$$ जो कि वेक्टर स्पेस संरचना के अनुकूल है $$X.$$ सदिश समष्टि पर कुल सदिश क्रमों का परिवार $$X$$ सभी उचित शंकुओं के परिवार के साथ एक-से-एक पत्राचार में है जो सेट समावेशन के तहत अधिकतम हैं। कुल वेक्टर क्रम आर्किमिडीज़ आदेश नहीं हो सकता है यदि इसका आयाम (वेक्टर स्थान), जब वास्तविक पर वेक्टर स्थान माना जाता है, 1 से अधिक है।

अगर $$R$$ और $$S$$ धनात्मक शंकु वाले सदिश समष्टि के दो क्रम हैं $$P$$ और $$Q,$$ क्रमशः, तो हम ऐसा कहते हैं $$R$$ से बेहतर है $$S$$ अगर $$P \subseteq Q.$$

उदाहरण
सामान्य क्रम के साथ वास्तविक संख्याएँ पूरी तरह से क्रमबद्ध वेक्टर स्थान बनाती हैं। सभी पूर्णांकों के लिए $$n \geq 0,$$ यूक्लिडियन स्थान $$\Reals^n$$ शब्दकोषीय क्रम के साथ वास्तविकताओं पर सदिश स्थान के रूप में माना जाता है, पूर्व-क्रमित सदिश स्थान बनता है जिसका क्रम आर्किमिडीयन द्वारा आदेशित सदिश स्थान है यदि और केवल यदि $$n = 1$$.

बिंदुवार क्रम
अगर $$S$$ क्या कोई सेट है और यदि $$X$$ वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) का वेक्टर स्थान (वास्तविकता पर) है $$S,$$ तत्पश्चात बिन्दुवार क्रम जारी करें $$X$$ द्वारा, सभी के लिए दिया गया है $$f, g \in X,$$ $$f \leq g$$ अगर और केवल अगर $$f(s) \leq g(s)$$ सभी के लिए $$s \in S.$$

जिन स्थानों को आम तौर पर यह क्रम सौंपा गया है उनमें शामिल हैं:
 * अंतरिक्ष $$\ell^\infty(S, \Reals)$$ परिबद्ध कार्य के वास्तविक-मूल्यवान मानचित्रों पर $$S.$$
 * अंतरिक्ष $$c_0(\Reals)$$ वास्तविक-मूल्यवान अनुक्रमों की जो किसी अनुक्रम की सीमा को सीमित करते हैं $$0.$$ * अंतरिक्ष $$C(S, \Reals)$$ टोपोलॉजिकल स्पेस पर सतत कार्य (टोपोलॉजी) के वास्तविक-मूल्यवान कार्य $$S.$$
 * किसी भी गैर-नकारात्मक पूर्णांक के लिए $$n,$$ यूक्लिडियन स्थान $$\Reals^n$$ जब अंतरिक्ष के रूप में माना जाता है $$C(\{1, \dots, n\}, \Reals)$$ कहाँ $$S = \{1, \dots, n\}$$ असतत टोपोलॉजी दी गई है।

अंतरिक्ष $$\mathcal{L}^\infty(\Reals, \Reals)$$ सभी मापने योग्य फ़ंक्शन लगभग हर जगह वास्तविक-मूल्यवान मानचित्रों से बंधे होते हैं $$\Reals,$$ जहां सभी के लिए प्रीऑर्डर परिभाषित किया गया है $$f, g \in \mathcal{L}^\infty(\Reals, \Reals)$$ द्वारा $$f \leq g$$ अगर और केवल अगर $$f(s) \leq g(s)$$ लगभग हर जगह।

अंतराल और क्रमबद्ध दोहरा
पूर्व-क्रमित सदिश समष्टि में क्रम अंतराल प्रपत्र का सेट होता है $$\begin{alignat}{4} [a, b] &= \{x : a \leq x \leq b\}, \\[0.1ex] [a, b[ &= \{x : a \leq x <   b\}, \\ ]a, b] &= \{x : a <   x \leq b\}, \text{ or } \\ ]a, b[ &= \{x : a <   x <    b\}. \\ \end{alignat}$$ उपरोक्त अभिगृहीतों 1 और 2 से यह निष्कर्ष निकलता है $$x, y \in [a, b]$$ और $$0 < t < 1$$ तात्पर्य $$t x + (1 - t) y$$ से संबंधित $$[a, b];$$ इस प्रकार ये क्रम अंतराल उत्तल हैं। एक उपसमुच्चय को ऑर्डर बाउंड कहा जाता है यदि वह किसी ऑर्डर अंतराल में समाहित हो। एक पूर्व-आदेशित वास्तविक वेक्टर स्थान में, यदि के लिए $$x \geq 0$$ फिर फॉर्म का अंतराल $$[-x, x]$$ संतुलित सेट है. पूर्व-क्रमित सदिश समष्टि की क्रम इकाई कोई भी तत्व है $$x$$ ऐसे कि सेट $$[-x, x]$$ अवशोषक सेट है.

पूर्व-क्रमित सदिश समष्टि पर सभी रैखिक कार्यात्मकताओं का समुच्चय $$X$$ प्रत्येक ऑर्डर अंतराल को बाउंडेड सेट में मैप करने को आदेश बाध्य दोहरी कहा जाता है $$X$$ और द्वारा निरूपित किया गया $$X^{\operatorname{b}}.$$ यदि किसी स्थान को क्रमबद्ध किया जाता है तो उसका क्रमबद्ध दोहरा उसके बीजगणितीय दोहरे का सदिश उपसमष्टि होता है।

उपसमुच्चय $$A$$ क्रमबद्ध सदिश समष्टि का $$X$$ यदि प्रत्येक गैर-रिक्त उपसमुच्चय के लिए ऑर्डर पूर्ण कहा जाता है $$B \subseteq A$$ ऐसा है कि $$B$$ आदेश में बंधा हुआ है $$A,$$ दोनों $$\sup B$$ और $$\inf B$$ मौजूद हैं और के तत्व हैं $$A.$$ हम कहते हैं कि क्रमित सदिश समष्टि $$X$$ क्या ऑर्डर पूरा है $$X$$ का ऑर्डर पूर्ण उपसमुच्चय है $$X.$$

उदाहरण
अगर $$(X, \leq)$$ ऑर्डर इकाई के साथ वास्तविकताओं पर पूर्व-आदेशित वेक्टर स्थान है $$u,$$ फिर नक्शा $$p(x) := \inf \{t \in \Reals : x \leq t u\}$$ सबलीनियर कार्यात्मकता है।

गुण
अगर $$X$$ सभी के लिए पूर्व-आदेशित सदिश स्थान है $$x, y \in X,$$ * $$x \geq 0$$ और $$y \geq 0$$ मतलब $$x + y \geq 0.$$
 * $$x \leq y$$ अगर और केवल अगर $$-y \leq -x.$$
 * $$x \leq y$$ और $$r < 0$$ मतलब $$r x \geq r y.$$
 * $$x \leq y$$ अगर और केवल अगर $$y = \sup \{x, y\}$$ अगर और केवल अगर $$x = \inf \{x, y\}$$
 * $$\sup \{x, y\}$$ अस्तित्व में है यदि और केवल यदि $$\inf \{-x, -y\}$$ मौजूद है, किस स्थिति में $$\inf \{-x, -y\} = - \sup \{x, y\}.$$
 * $$\sup \{x, y\}$$ अस्तित्व में है यदि और केवल यदि $$\inf \{x, y\}$$ मौजूद है, इस मामले में सभी के लिए $$z \in X,$$
 * $$\sup \{x + z, y + z\} = z + \sup \{x, y\},$$ और
 * $$\inf \{x + z, y + z\} = z + \inf \{x, y\}$$
 * $$x + y = \inf\{x, y\} + \sup \{x, y\}.$$
 * $$X$$ सदिश जाली है यदि और केवल यदि $$\sup \{0, x\}$$ सभी के लिए मौजूद है $$x \in X.$$

रैखिक मानचित्रों का स्थान
एक शंकु $$C$$ कहा जाता है कि यदि उत्पन्न हो रहा है $$C - C$$ संपूर्ण सदिश समष्टि के बराबर है। अगर $$X$$ और $$W$$ संबंधित सकारात्मक शंकु के साथ दो गैर-तुच्छ क्रमित वेक्टर स्थान हैं $$P$$ और $$Q,$$ तब $$P$$ में उत्पन्न हो रहा है $$X$$ यदि और केवल यदि सेट $$C = \{u \in L(X; W) : u(P) \subseteq Q\}$$ में उचित शंकु है $$L(X; W),$$ जो सभी रैखिक मानचित्रों का स्थान है $$X$$ में $$W.$$ इस मामले में, द्वारा परिभाषित आदेश $$C$$ का विहित क्रम कहा जाता है $$L(X; W).$$ अधिक सामान्यतः, यदि $$M$$ का कोई सदिश उपसमष्टि है $$L(X; W)$$ ऐसा है कि $$C \cap M$$ उचित शंकु है, द्वारा परिभाषित क्रम $$C \cap M$$ का विहित क्रम कहा जाता है $$M.$$

सकारात्मक कार्य और क्रम दोहरा
एक रैखिक कार्य $$f$$ पूर्व-आदेशित वेक्टर स्थान को सकारात्मक कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से किसी को संतुष्ट करता है:


 * 1) $$x \geq 0$$ तात्पर्य $$f(x) \geq 0.$$
 * 2) अगर $$x \leq y$$ तब $$f(x) \leq f(y).$$

धनात्मक शंकु वाले सदिश समष्टि पर सभी धनात्मक रैखिक रूपों का समुच्चय $$C,$$ द्वैत शंकु और ध्रुवीय शंकु कहा जाता है और इसे द्वारा निरूपित किया जाता है $$C^*,$$ के ध्रुवीय समुच्चय के बराबर शंकु है $$-C.$$ रैखिक कार्यात्मकताओं के स्थान पर दोहरे शंकु द्वारा प्रेरित प्रीऑर्डर $$X$$ कहा जाता है.

एक क्रमित सदिश समष्टि का क्रम दोहरा (कार्यात्मक विश्लेषण)। $$X$$ समुच्चय है, जिसे द्वारा दर्शाया गया है $$X^+,$$ द्वारा परिभाषित $$X^+ := C^* - C^*.$$ यद्यपि $$X^+ \subseteq X^b,$$ वहां क्रमबद्ध वेक्टर रिक्त स्थान मौजूद हैं जिनके लिए सेट समानता मौजूद है पकड़ना।

विशेष प्रकार के क्रमित सदिश समष्टि
होने देना $$X$$ क्रमबद्ध सदिश समष्टि हो। हम कहते हैं कि क्रमित सदिश समष्टि $$X$$ क्या आर्किमिडीज़ ने सदिश समष्टि का आदेश दिया है और इसका क्रम क्या है $$X$$ आर्किमिडीयन है यदि जब भी $$x$$ में $$X$$ इस प्रकार कि $$\{n x : n \in \N\}$$ प्रमुखीकरण है (अर्थात, कुछ मौजूद है $$y \in X$$ ऐसा है कि $$n x \leq y$$ सभी के लिए $$n \in \N$$) तब $$x \leq 0.$$ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) जो कि ऑर्डर किया गया वेक्टर स्पेस है, आवश्यक रूप से आर्किमिडीयन है यदि इसका सकारात्मक शंकु बंद है।

हम कहते हैं कि पूर्व-आदेशित सदिश समष्टि $$X$$ नियमित रूप से आदेश दिया जाता है और यदि यह आर्किमिडीयन आदेश दिया गया है तो इसका आदेश नियमित है $$X^+$$ में बिंदुओं को अलग करता है $$X.$$ यह संपत्ति गारंटी देती है कि आदेशित वेक्टर स्थानों का अध्ययन करने के लिए द्वंद्व के उपकरणों का सफलतापूर्वक उपयोग करने में सक्षम होने के लिए पर्याप्त रूप से कई सकारात्मक रैखिक रूप हैं।

यदि सभी तत्वों के लिए क्रमित सदिश समष्टि को सदिश जालक कहा जाता है $$x$$ और $$y,$$ उच्चतम $$\sup (x, y)$$ और सबसे निचला $$\inf (x, y)$$ अस्तित्व।

उपस्थान, भागफल, और उत्पाद
पूरे चलो $$X$$ धनात्मक शंकु के साथ पूर्व-आदेशित सदिश समष्टि हो $$C.$$ उपस्थान

अगर $$M$$ का सदिश उपसमष्टि है $$X$$ फिर विहित आदेश चालू $$M$$ प्रेरक $$X$$का सकारात्मक शंकु $$C$$ नुकीले उत्तल शंकु द्वारा प्रेरित आंशिक क्रम है $$C \cap M,$$ यदि यह शंकु उचित है $$C$$ उचित है.

भागफल स्थान

होने देना $$M$$ क्रमित सदिश समष्टि का सदिश उपसमष्टि बनें $$X,$$ $$\pi : X \to X / M$$ विहित प्रक्षेपण हो, और चलो $$\hat{C} := \pi(C).$$ तब $$\hat{C}$$ में शंकु है $$X / M$$ जो भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) पर विहित प्रीऑर्डरिंग को प्रेरित करता है $$X / M.$$ अगर $$\hat{C}$$ में उचित शंकु है$$X / M$$ तब $$\hat{C}$$ बनाता है $$X / M$$ क्रमबद्ध सदिश स्थान में। अगर $$M$$ शंकु-संतृप्त है|$$C$$-फिर संतृप्त $$\hat{C}$$ के विहित क्रम को परिभाषित करता है $$X / M.$$ ध्यान दें कि $$X = \Reals^2_0$$ क्रमित सदिश समष्टि का उदाहरण प्रदान करता है जहाँ $$\pi(C)$$ उचित शंकु नहीं है.

अगर $$X$$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस (टीवीएस) भी है और यदि प्रत्येक पड़ोस के लिए (गणित) $$V$$ में उत्पत्ति का $$X$$ वहाँ पड़ोस मौजूद है $$U$$ उत्पत्ति की ऐसी कि $$[(U + N) \cap C] \subseteq V + N$$ तब $$\hat{C}$$ भागफल टोपोलॉजी के लिए सामान्य शंकु (कार्यात्मक विश्लेषण) है।

अगर $$X$$ टोपोलॉजिकल वेक्टर जाली है और $$M$$ का बंद ठोस समुच्चय उप-जाल है $$X$$ तब $$X / L$$ यह टोपोलॉजिकल वेक्टर जाली भी है।

उत्पाद

अगर $$S$$ क्या कोई सेट है फिर स्पेस? $$X^S$$ से सभी कार्यों का $$S$$ में $$X$$ उचित शंकु द्वारा विहित रूप से आदेश दिया गया है $$\left\{f \in X^S : f(s) \in C \text{ for all } s \in S\right\}.$$

लगता है कि $$\left\{X_\alpha : \alpha \in A\right\}$$ पूर्वक्रमित सदिश स्थानों का परिवार है और इसका धनात्मक शंकु है $$X_\alpha$$ है $$C_\alpha.$$ तब $C := \prod_\alpha C_\alpha$ में नुकीला उत्तल शंकु है $\prod_\alpha X_\alpha,$  जो विहित क्रम निर्धारित करता है $\prod_\alpha X_\alpha;$ $$C$$ यदि सभी हों तो उचित शंकु है $$C_\alpha$$ उचित शंकु हैं.

बीजीय प्रत्यक्ष योग

बीजगणितीय प्रत्यक्ष योग $\bigoplus_\alpha X_\alpha$ का $$\left\{X_\alpha : \alpha \in A\right\}$$ का सदिश उपसमष्टि है $\prod_\alpha X_\alpha$  जिसे विहित उप-स्थान क्रम विरासत में मिला है $\prod_\alpha X_\alpha.$ अगर $$X_1, \dots, X_n$$ क्रमित सदिश समष्टि के क्रमित सदिश उपसमष्टि हैं $$X$$ तब $$X$$ यदि विहित बीजगणितीय समरूपता है तो इन उप-स्थानों का क्रमबद्ध प्रत्यक्ष योग है $$X$$ पर $$\prod_\alpha X_\alpha$$ (विहित उत्पाद क्रम के साथ) क्रम समरूपता है।

उदाहरण

 * सामान्य क्रम वाली वास्तविक संख्याएँ क्रमित सदिश समष्टि होती हैं।
 * $$\Reals^2$$ के साथ क्रमित सदिश समष्टि है $$\,\leq\,$$ संबंध को निम्नलिखित में से किसी भी तरीके से परिभाषित किया गया है (बढ़ती ताकत के क्रम में, यानी जोड़े के घटते सेट):
 * शब्दावली क्रम: $$(a, b) \leq (c, d)$$ अगर और केवल अगर $$a < c$$ या $$(a = c \text{ and } b \leq d).$$ यह कुल ऑर्डर है. धनात्मक शंकु द्वारा दिया गया है $$x > 0$$ या $$(x = 0 \text{ and } y \leq 0),$$ अर्थात्, ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में, कोणीय निर्देशांक वाले बिंदुओं का समुच्चय संतोषजनक होता है $$-\pi / 2 < \theta \leq \pi / 2,$$ उत्पत्ति के साथ.
 * $$(a, b) \leq (c, d)$$ अगर और केवल अगर $$a \leq c$$ और $$b \leq d$$ (की दो प्रतियों का उत्पाद क्रम $$\Reals$$ साथ $$\leq$$). यह आंशिक आदेश है. धनात्मक शंकु द्वारा दिया गया है $$x \geq 0$$ और $$y \geq 0,$$ अर्थात्, ध्रुवीय निर्देशांक में $$0 \leq \theta \leq \pi / 2,$$ उत्पत्ति के साथ.
 * $$(a, b) \leq (c, d)$$ अगर और केवल अगर $$(a < c \text{ and } b < d)$$ या $$(a = c \text{ and } b = d)$$ (प्रत्यक्ष उत्पाद का प्रतिवर्ती समापन#दो प्रतियों के द्विआधारी संबंधों का प्रत्यक्ष उत्पाद $$\Reals$$ < के साथ)। यह भी आंशिक आदेश है. धनात्मक शंकु द्वारा दिया गया है $$(x > 0 \text{ and } y > 0)$$ या $$x = y = 0),$$ अर्थात्, ध्रुवीय निर्देशांक में, $$0 < \theta < \pi / 2,$$ उत्पत्ति के साथ.
 * केवल दूसरा क्रम, के उपसमुच्चय के रूप में है $$\Reals^4,$$ बंद किया हुआ; आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट#टोपोलॉजिकल स्पेस में आंशिक ऑर्डर देखें।
 * तीसरे क्रम के लिए द्वि-आयामी आंशिक रूप से क्रमित सेट#अंतराल $$p < x < q$$ खुले सेट हैं जो टोपोलॉजी उत्पन्न करते हैं।


 * $$\Reals^n$$ के साथ क्रमित सदिश समष्टि है $$\,\leq\,$$ संबंध को इसी तरह परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, ऊपर उल्लिखित दूसरे आदेश के लिए:
 * $$x \leq y$$ अगर और केवल अगर $$x_i \leq y_i$$ के लिए $$i = 1, \dots, n.$$ * रिज़्ज़ स्थान ऑर्डर किया गया वेक्टर स्पेस है जहां ऑर्डर जाली (ऑर्डर) को जन्म देता है।
 * निरंतर कार्यों का स्थान $$[0, 1]$$ कहाँ $$f \leq g$$ अगर और केवल अगर $$f(x) \leq g(x)$$ सभी के लिए $$x$$ में $$[0, 1].$$

ग्रन्थसूची

 * Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces ; ISBN 0-387-13627-4.
 * Bourbaki, Nicolas; Elements of Mathematics: Topological Vector Spaces ; ISBN 0-387-13627-4.