रिब ग्राफ

रिब ग्राफ (रेने थॉम द्वारा जॉर्ज रीब  के नाम पर रखा गया) एक गणित वस्तु है जो एक भिन्न-भिन्न मैनिफोल्ड पर एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) के स्तर सेट के विकास को दर्शाती है। के अनुसार इसी तरह की अवधारणा जॉर्जी एडेल्सन-वेल्स्की|जी.एम. द्वारा पेश की गई थी। एडेलसन-वेल्स्की और अलेक्जेंडर क्रोनरोड|ए.एस. क्रोनरोड और हिल्बर्ट की तेरहवीं समस्या के विश्लेषण के लिए आवेदन किया। मोर्स सिद्धांत में एक उपकरण के रूप में जी. रीब द्वारा प्रस्तावित, रीब ग्राफ़ 2डी अदिश क्षेत्रों के बीच बहुमूल्यवान कार्यात्मक संबंधों का अध्ययन करने का प्राकृतिक उपकरण है $$\psi$$, $$\lambda$$, और $$\phi$$ स्थितियों से उत्पन्न होता है $$ \nabla \psi = \lambda \nabla \phi $$ और $$\lambda \neq 0$$, क्योंकि रीब ग्राफ़ के एक व्यक्तिगत किनारे से जुड़े क्षेत्र तक सीमित होने पर ये रिश्ते एकल-मूल्यवान होते हैं। इस सामान्य सिद्धांत का उपयोग सबसे पहले समुद्र विज्ञान में तटस्थ घनत्व#स्थानिक निर्भरता का अध्ययन करने के लिए किया गया था। रीब ग्राफ़ को कम्प्यूटेशनल ज्यामिति और कंप्यूटर चित्रलेख  में भी विविध प्रकार के अनुप्रयोग मिले हैं, जिसमें कंप्यूटर सहायता प्राप्त ज्यामितीय डिज़ाइन, टोपोलॉजी-आधारित आकार मिलान शामिल है,   टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण, टोपोलॉजिकल सरलीकरण और सफाई, सतह विभाजन और पैरामीट्रिज़ेशन, स्तर सेट की कुशल गणना, तंत्रिका विज्ञान, और ज्यामितीय ऊष्मप्रवैगिकी। समतल स्थान (तकनीकी रूप से एक सरल रूप से जुड़ा हुआ डोमेन) पर फ़ंक्शन के एक विशेष मामले में, रीब ग्राफ़ एक बहुवृक्ष बनाता है और इसे एक समोच्च वृक्ष भी कहा जाता है। स्तर सेट ग्राफ़ संभाव्यता घनत्व कार्यों और प्रतिगमन विश्लेषण कार्यों के आकलन से संबंधित सांख्यिकीय अनुमान में मदद करते हैं, और उनका उपयोग अन्य चीजों के अलावा क्लस्टर विश्लेषण और फ़ंक्शन अनुकूलन समस्या में किया जा सकता है।

औपचारिक परिभाषा
एक टोपोलॉजिकल स्पेस−1(c) कुछ वास्तविक c के लिए। 'रीब ग्राफ' भागफल स्थान (टोपोलॉजी) X ∼/∼ भागफल टोपोलॉजी से संपन्न है।

मोर्स फ़ंक्शंस के लिए विवरण
यदि f विशिष्ट महत्वपूर्ण मानों वाला एक मोर्स फ़ंक्शन है, तो रीब ग्राफ़ को अधिक स्पष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है। इसके नोड्स, या शीर्ष, महत्वपूर्ण स्तर सेट एफ के अनुरूप हैं−1(सी). वह पैटर्न जिसमें चाप, या किनारे, नोड्स/शीर्षों पर मिलते हैं, स्तर सेट की टोपोलॉजी में परिवर्तन को दर्शाता है−1(t) जैसे ही t महत्वपूर्ण मान c से होकर गुजरता है। उदाहरण के लिए, यदि c न्यूनतम या अधिकतम f है, तो एक घटक बनाया या नष्ट किया जाता है; परिणामस्वरूप, एक चाप संबंधित नोड पर उत्पन्न या समाप्त होता है, जिसकी डिग्री (ग्राफ सिद्धांत) 1 है। यदि c सूचकांक 1 का एक काठी बिंदु है और f के दो घटक हैं−1(t) जैसे-जैसे t बढ़ता है, t = c पर विलीन हो जाता है, रीब ग्राफ़ के संगत शीर्ष की डिग्री 3 होती है और यह अक्षर Y जैसा दिखता है; यदि c का सूचकांक मंद X−1 है और f का एक घटक है तो भी यही तर्क लागू होता है−1(c) दो भागों में विभाजित हो जाता है।