हॉसडॉर्फ समष्टि

टोपोलॉजी और गणित की संबंधित शाखाओं में, एक हॉसडॉर्फ स्पेस, पृथक स्थान या टी2 स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, जहां किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं के लिए, प्रत्येक के पड़ोस (गणित) मौजूद होते हैं जो एक दूसरे से असंयुक्त सेट होते हैं। कई पृथक्करण सिद्धांतों में से जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर लगाए जा सकते हैं, हॉसडॉर्फ स्थिति (टी2) सबसे ज्यादा इस्तेमाल और चर्चा में है। इसका तात्पर्य अनुक्रमों, नेट (टोपोलॉजी) और फ़िल्टर (टोपोलॉजी) की सीमा के अनुक्रम की विशिष्टता से है। हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान का नाम टोपोलॉजी के संस्थापकों में से एक फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ के नाम पर रखा गया है। हॉसडॉर्फ़ की टोपोलॉजिकल स्पेस की मूल परिभाषा (1914 में) में हॉसडॉर्फ़ स्थिति को एक स्वयंसिद्ध के रूप में शामिल किया गया था।

परिभाषाएँ
अंक $$x$$ और $$y$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस में $$X$$ अस्तित्वगत परिमाणीकरण के पड़ोस से एक पड़ोस (टोपोलॉजी) को अलग किया जा सकता है $$U$$ का $$x$$ और एक पड़ोस $$V$$ का $$y$$ ऐसा है कि $$U$$ और $$V$$ असंयुक्त समुच्चय हैं $$(U\cap V=\varnothing)$$. $$X$$ यदि कोई दो अलग-अलग बिंदु हों तो यह हॉसडॉर्फ़ स्थान है $$X$$ पड़ोस से अलग हो गए हैं। यह स्थिति तीसरी पृथक्करण स्वयंसिद्ध है (टी के बाद)।0 और टी1), यही कारण है कि हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान को टी भी कहा जाता है2 रिक्त स्थान पृथक स्थान नाम का भी प्रयोग किया जाता है।

एक संबंधित, लेकिन कमज़ोर, धारणा एक पूर्व-नियमित स्थान की है। $$X$$ यदि किन्हीं दो स्थलाकृतिक रूप से भिन्न बिंदुओं को असंयुक्त पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है, तो यह एक पूर्व-नियमित स्थान है। एक पूर्व-नियमित स्थान को R भी कहा जाता है1 अंतरिक्ष।

इन दोनों स्थितियों के बीच संबंध इस प्रकार है। एक टोपोलॉजिकल स्पेस हॉसडॉर्फ है यदि और केवल यदि यह प्रीरेगुलर (यानी टोपोलॉजिकल रूप से अलग-अलग बिंदु पड़ोस से अलग हो जाते हैं) और कोलमोगोरोव स्थान (यानी अलग-अलग बिंदु टोपोलॉजिकल रूप से अलग-अलग होते हैं) दोनों हैं। एक टोपोलॉजिकल स्पेस प्रीरेगुलर है यदि और केवल तभी जब इसका कोलमोगोरोव भागफल हॉसडॉर्फ हो।

समतुल्य
टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए$$X$$, निम्नलिखित समतुल्य हैं:
 * $$X$$ एक हॉसडॉर्फ़ स्थान है।
 * नेट (टोपोलॉजी) की सीमाएं$$X$$विशिष्ट हैं।
 * फिल्टर (टोपोलॉजी) की सीमाएं चालू$$X$$विशिष्ट हैं। * कोई भी सिंगलटन सेट $$\{ x \} \subset X$$ के सभी पड़ोस (गणित) के प्रतिच्छेदन के बराबर है$$x$$. (का एक बंद पड़ोस$$x$$एक बंद सेट है जिसमें x युक्त एक खुला सेट होता है।)
 * विकर्ण$$\Delta = \{ (x, x) \mid x \in X \}$$उत्पाद स्थान के सबसेट के रूप में बंद सेट है$$X \times X$$.
 * दो बिंदुओं के साथ असतत स्थान से कोई भी इंजेक्शन$$X$$मानचित्र के संबंध में दो खुले बिंदुओं और एक बंद बिंदु से एक बिंदु तक सीमित टोपोलॉजिकल स्थान से उठाने की संपत्ति है।

हॉसडॉर्फ़ और गैर-हॉसडॉर्फ़ स्थानों के उदाहरण
गणितीय विश्लेषण में आने वाले लगभग सभी स्थान हॉसडॉर्फ हैं; सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि वास्तविक संख्याएँ (वास्तविक संख्याओं पर मानक मीट्रिक टोपोलॉजी के तहत) एक हॉसडॉर्फ़ स्थान हैं। अधिक सामान्यतः, सभी मीट्रिक स्थान हॉसडॉर्फ हैं। वास्तव में, विश्लेषण में उपयोग के कई स्थान, जैसे कि टोपोलॉजिकल समूह और टोपोलॉजिकल मैनिफ़ोल्ड, की परिभाषाओं में हॉसडॉर्फ स्थिति स्पष्ट रूप से बताई गई है।

टोपोलॉजी का एक सरल उदाहरण जो T1 स्पेस|T है1लेकिन हॉसडॉर्फ़ एक अनंत सेट पर परिभाषित सहपरिमित टोपोलॉजी नहीं है, जैसा कि एक बेशुमार सेट पर परिभाषित सहगणनीय टोपोलॉजी है

स्यूडोमेट्रिक स्पेस स्थान आमतौर पर हॉसडॉर्फ़ नहीं हैं, लेकिन वे पूर्व-नियमित हैं, और विश्लेषण में उनका उपयोग आमतौर पर केवल हॉसडॉर्फ़ गेज रिक्त स्थान के निर्माण में होता है। वास्तव में, जब विश्लेषक गैर-हॉसडॉर्फ़ स्थान पर दौड़ते हैं, तो यह अभी भी शायद कम से कम पूर्व-नियमित होता है, और फिर वे इसे इसके कोलमोगोरोव भागफल से बदल देते हैं, जो कि हॉसडॉर्फ़ है। इसके विपरीत, अमूर्त बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में गैर-प्रीरेगुलर रिक्त स्थान अधिक बार पाए जाते हैं, विशेष रूप से बीजगणितीय विविधता या रिंग के स्पेक्ट्रम पर ज़ारिस्की टोपोलॉजी के रूप में। वे अंतर्ज्ञानवादी तर्क के मॉडल सिद्धांत में भी उत्पन्न होते हैं: प्रत्येक पूर्ण जाली हेयटिंग बीजगणित कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस के खुले सेटों का बीजगणित है, लेकिन इस स्थान को प्रीरेगुलर होने की आवश्यकता नहीं है, हॉसडॉर्फ तो बिल्कुल भी नहीं, और वास्तव में आमतौर पर दोनों में से कोई भी नहीं है। स्कॉट डोमेन की संबंधित अवधारणा में गैर-प्रीरेगुलर रिक्त स्थान भी शामिल हैं।

जबकि अभिसरण जाल और फिल्टर के लिए अद्वितीय सीमाओं के अस्तित्व का तात्पर्य है कि एक स्थान हॉसडॉर्फ है, गैर-हॉसडॉर्फ टी भी हैं1 वे स्थान जिनमें प्रत्येक अभिसरण अनुक्रम की एक अद्वितीय सीमा होती है। ऐसे स्थानों को यूएस स्पेस कहा जाता है।

गुण
हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान के उप-स्थान (टोपोलॉजी) और उत्पाद टोपोलॉजी हॉसडॉर्फ़ हैं, लेकिन हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान के भागफल स्थान (टोपोलॉजी) को हॉसडॉर्फ़ होने की आवश्यकता नहीं है। वास्तव में, प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस को कुछ हॉसडॉर्फ स्पेस के भागफल के रूप में महसूस किया जा सकता है। हॉसडॉर्फ़ स्थान T1 स्थान|T हैं1, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक सिंगलटन (गणित) एक बंद सेट है। इसी प्रकार, पूर्वनियमित स्थान R0 स्थान|R हैं0. प्रत्येक हॉसडॉर्फ़ स्थान एक सोबर स्थान है, हालाँकि इसका विपरीत सामान्यतः सत्य नहीं है।

हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान की एक अन्य संपत्ति यह है कि प्रत्येक कॉम्पैक्ट सेट एक बंद सेट है। गैर-हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान के लिए, यह हो सकता है कि प्रत्येक कॉम्पैक्ट सेट एक बंद सेट हो (उदाहरण के लिए, एक बेशुमार सेट पर सह-गणनीय टोपोलॉजी) या नहीं (उदाहरण के लिए, एक अनंत सेट पर कोफिनिट टोपोलॉजी और सिएरपिंस्की स्पेस)।

हॉसडॉर्फ़ स्थान की परिभाषा कहती है कि बिंदुओं को पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है। यह पता चला है कि इसका तात्पर्य कुछ ऐसा है जो प्रतीत होता है कि अधिक मजबूत है: हॉसडॉर्फ अंतरिक्ष में असंयुक्त कॉम्पैक्ट सेट की प्रत्येक जोड़ी को पड़ोस द्वारा भी अलग किया जा सकता है, दूसरे शब्दों में, एक सेट का पड़ोस और दूसरे सेट का पड़ोस होता है, जैसे कि दोनों पड़ोस असंयुक्त होते हैं। यह सामान्य नियम का एक उदाहरण है कि कॉम्पैक्ट सेट अक्सर बिंदुओं की तरह व्यवहार करते हैं।

पूर्व-नियमितता के साथ सघनता की स्थितियाँ अक्सर मजबूत पृथक्करण सिद्धांतों का संकेत देती हैं। उदाहरण के लिए, कोई भी स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन स्थान प्रीरेगुलर स्पेस पूरी तरह से नियमित स्पेस है। सघन स्थान  प्रीरेगुलर स्पेस सामान्य स्पेस हैं, जिसका अर्थ है कि वे उरीसोहन की लेम्मा और टिट्ज़ विस्तार प्रमेय को संतुष्ट करते हैं और स्थानीय रूप से सीमित खुले आवरणों के अधीन एकता का विभाजन करते हैं। इन कथनों के हॉसडॉर्फ़ संस्करण हैं: प्रत्येक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान टाइकोनोफ़ स्थान है, और प्रत्येक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान सामान्य हॉसडॉर्फ़ है।

निम्नलिखित परिणाम हॉसडॉर्फ स्थानों से आने-जाने वाले मानचित्रों (निरंतर (टोपोलॉजी) और अन्यथा) के संबंध में कुछ तकनीकी गुण हैं।

होने देना$$f: X \to Y$$एक सतत कार्य बनें और मान लें $$Y$$ हॉसडॉर्फ है. फिर किसी फ़ंक्शन का ग्राफ़$$f$$, $$\{(x,f(x)) \mid x\in X\}$$, का एक बंद उपसमुच्चय है$$X \times Y$$.

होने देना$$f: X \to Y$$एक समारोह हो और चलो $$\operatorname{ker}(f) \triangleq \{(x,x') \mid f(x) = f(x')\}$$ किसी फ़ंक्शन का उसका कर्नेल हो जिसे उप-स्थान के रूप में माना जाता है$$X \times X$$.
 * अगर$$f$$निरंतर है और$$Y$$तो हॉसडॉर्फ है$$\ker(f)$$एक बंद सेट है.
 * अगर$$f$$एक खुला मानचित्र प्रक्षेपण है और$$\ker(f)$$तब यह एक बंद सेट है$$Y$$हॉसडॉर्फ है.
 * अगर$$f$$तब एक सतत, खुला प्रक्षेपण (यानी एक खुला भागफल मानचित्र) है$$Y$$हॉसडॉर्फ़ है यदि और केवल यदि$$\ker(f)$$एक बंद सेट है.

अगर$$f, g : X \to Y$$सतत मानचित्र हैं और$$Y$$हॉसडॉर्फ़ तो तुल्यकारक (गणित) है $$\mbox{eq}(f,g) = \{x \mid f(x) = g(x)\}$$ एक बंद सेट है$$X$$. यह इस प्रकार है कि यदि$$Y$$हॉसडॉर्फ़ है और$$f$$और$$g$$के सघन (टोपोलॉजी) उपसमुच्चय पर सहमत हों$$X$$तब$$f = g$$. दूसरे शब्दों में, हॉसडॉर्फ़ स्थानों में निरंतर कार्य घने उपसमुच्चय पर उनके मूल्यों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

होने देना$$f: X \to Y$$एक बंद मानचित्र प्रक्षेपण इस प्रकार हो$$f^{-1} (y)$$सभी के लिए कॉम्पैक्ट जगह है$$y \in Y$$. तो अगर$$X$$हॉसडॉर्फ़ वैसा ही है$$Y$$.

होने देना$$f: X \to Y$$भागफल मानचित्र (टोपोलॉजी) के साथ बनें$$X$$एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान। उसके बाद निम्न बराबर हैं:
 * $$Y$$हॉसडॉर्फ है.
 * $$f$$एक बंद नक्शा है.
 * $$\ker(f)$$एक बंद सेट है.

पूर्वनियमितता बनाम नियमितता
सभी नियमित स्थान पूर्व-नियमित हैं, जैसे सभी हॉसडॉर्फ़ स्थान हैं। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के लिए कई परिणाम हैं जो नियमित और हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान दोनों के लिए मान्य हैं। अधिकांश समय, ये परिणाम सभी पूर्व-नियमित स्थानों के लिए मान्य होते हैं; उन्हें नियमित और हॉसडॉर्फ़ स्थानों के लिए अलग से सूचीबद्ध किया गया था क्योंकि प्रीरेगुलर रिक्त स्थान का विचार बाद में आया था। दूसरी ओर, वे परिणाम जो वास्तव में नियमितता के बारे में हैं, आम तौर पर गैर-नियमित हॉसडॉर्फ स्थानों पर भी लागू नहीं होते हैं।

ऐसी कई स्थितियाँ हैं जहाँ टोपोलॉजिकल स्पेस की एक और शर्त (जैसे स्थानीय सघनता या स्थानीय कॉम्पैक्टनेस) नियमितता का अर्थ लगाएगी यदि पूर्व-नियमितता संतुष्ट है। ऐसी स्थितियाँ अक्सर दो संस्करणों में आती हैं: एक नियमित संस्करण और एक हॉसडॉर्फ संस्करण। हालाँकि हॉसडॉर्फ़ स्थान, सामान्य तौर पर, नियमित नहीं हैं, एक हॉसडॉर्फ़ स्थान जो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट भी है (कहते हैं) नियमित होगा, क्योंकि कोई भी हॉसडॉर्फ़ स्थान पूर्व-नियमित है। इस प्रकार एक निश्चित दृष्टिकोण से, यह वास्तव में नियमितता के बजाय पूर्व-नियमितता है, जो इन स्थितियों में मायने रखती है। हालाँकि, परिभाषाएँ आमतौर पर अभी भी नियमितता के संदर्भ में व्यक्त की जाती हैं, क्योंकि यह स्थिति पूर्व-नियमितता से बेहतर जानी जाती है।

इस मुद्दे पर अधिक जानकारी के लिए पृथक्करण सिद्धांतों का इतिहास देखें।

वेरिएंट
हॉसडॉर्फ़, अलग, और प्रीरेगुलर शब्द को समान रिक्त स्थान, कॉची रिक्त स्थान और अभिसरण रिक्त स्थान जैसे टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर ऐसे वेरिएंट पर भी लागू किया जा सकता है। इन सभी उदाहरणों में अवधारणा को एकजुट करने वाली विशेषता यह है कि नेट और फिल्टर (जब वे मौजूद होते हैं) की सीमाएं अद्वितीय होती हैं (अलग-अलग स्थानों के लिए) या टोपोलॉजिकल अविभाज्यता (पूर्व नियमित स्थानों के लिए) तक अद्वितीय होती हैं।

जैसा कि यह पता चला है, समान स्थान, और अधिक सामान्यतः कॉची स्थान, हमेशा अनियमित होते हैं, इसलिए इन मामलों में हॉसडॉर्फ स्थिति टी तक कम हो जाती है0 स्थिति। ये वे स्थान भी हैं जिनमें पूर्णता (टोपोलॉजी) समझ में आती है, और हॉसडॉर्फनेस इन मामलों में पूर्णता का एक प्राकृतिक साथी है। विशेष रूप से, एक स्थान तभी पूर्ण होता है जब प्रत्येक कॉची नेट में कम से कम एक सीमा होती है, जबकि एक स्थान हॉसडॉर्फ होता है यदि और केवल यदि प्रत्येक कॉची नेट में अधिकतम एक सीमा होती है (क्योंकि केवल कॉची नेट में पहले स्थान पर सीमाएं हो सकती हैं)।

कार्यों का बीजगणित
कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस पर निरंतर (वास्तविक या जटिल) कार्यों का बीजगणित एक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित है, और इसके विपरीत बानाच-स्टोन प्रमेय द्वारा कोई व्यक्ति निरंतर कार्यों के बीजगणित के बीजगणितीय गुणों से अंतरिक्ष की टोपोलॉजी को पुनर्प्राप्त कर सकता है। यह गैर-अनुवांशिक ज्यामिति की ओर ले जाता है, जहां कोई गैर-अनुवांशिक सी*-बीजगणित को गैर-अनुवांशिक स्थान पर कार्यों के बीजगणित का प्रतिनिधित्व करने वाला मानता है।

अकादमिक हास्य

 * हॉसडॉर्फ़ की स्थिति को इस वाक्य से दर्शाया गया है कि हॉसडॉर्फ़ स्थानों में किन्हीं दो बिंदुओं को खुले सेटों द्वारा एक दूसरे से दूर रखा जा सकता है।
 * यूनिवर्सिटी बॉन के गणित संस्थान में, जिसमें फेलिक्स हॉसडॉर्फ़ ने शोध किया और व्याख्यान दिया, एक निश्चित कमरा है जिसे हॉसडॉर्फ़-राउम नामित किया गया है। यह एक वाक्य है, क्योंकि जर्मन में राउम का अर्थ कमरा और स्थान दोनों होता है।

यह भी देखें

 * , एक हॉसडॉर्फ स्पेस एक्स ऐसा है कि हर निरंतर कार्य $f : X → X$ का एक निश्चित बिंदु है.