हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व

संख्याओं के लिए गणितीय संकेतन में हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व एक स्थितीय अंक प्रणाली है जिसमें पूर्णांकों को सांकेतिक करने के लिए हस्ताक्षरित अंकों के एक समूह का उपयोग किया जाता है।

हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का उपयोग पूर्णांकों को तीव्रता से जोड़ने के लिए किया जा सकता है क्योंकि यह आश्रित कैरीज़ की श्रृंखला को समाप्त कर सकती है। बाइनरी अंक प्रणाली में एक विशेष स्थिति हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व गैर-आसन्न रूप है, जो न्यूनतम स्थान पर ओवरहेड के साथ गति लाभ प्रदान कर सकता है।

इतिहास
गणना मे प्रारंभिक लेखक कोल्सन (1726) और कॉची (1840) को हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व का उपयोग करने के लिए प्रेरित किया था। अस्वीकृत गए अंकों को नए अंकों से परिवर्तित करने के लिए सेलिंग (1887) और काजोरी (1928) द्वारा सुझाव दिया गया था।

1928 में फ्लोरियन काजोरी ने जॉन कोलसन (1726) और ऑगस्टिन-लुई कॉची (1840) से प्रारम्भ करते हुए, हस्ताक्षरित अंकों के आवर्ती विषय पर ध्यान दिया। अपनी पुस्तक गणितीय संकेतन के इतिहास में काजोरी ने पुस्तक का शीर्षक "ऋणात्मक अंक" रखा। पूर्णता परीक्षण के लिए कोल्सन उदाहरणों का उपयोग करता है और भाजक के गुणजों की एक तालिका का उपयोग करके जोड़ (pp.163-4), गुणा (pp.165-6) और विभाजन (pp.170-1) का वर्णन करता है। वह गुणन में विभाजन द्वारा सन्निकटन की सुविधा बताते हैं। कोल्सन ने एक उपकरण (गणना तालिका) भी तैयार किया था जो हस्ताक्षरित अंकों का उपयोग करके गणना करती थी।

एडवर्ड सेलिंग ने ऋणात्मक चिह्न को इंगित करने के लिए अंक 1, 2, 3, 4, और 5 को व्युत्क्रम करने पर चर्चा की। उन्होंने मौखिक रूप से उपयोग के लिए नामों के रूप में स्नी, जेस, जेर्ड, रेफ़ और निफ़ का भी सुझाव दिया। अधिकांश अन्य प्रारंभिक स्रोतों ने किसी अंक के ऊपर एक बार (गणित) का उपयोग उसके लिए एक ऋणात्मक संकेत इंगित करने के लिए किया था। हस्ताक्षरित अंकों का एक और जर्मन उपयोग 1902 में क्लेन के विश्वकोश में वर्णित किया गया था।

अंक समुच्चय
मान लीजिए कि $$\mathcal{D}$$ गणनांक के साथ संख्यात्मक अंकों का एक सीमित समुच्चय है। $$b > 1$$ के लिए $$b \leq 1$$ को मूलांक या संख्या आधार के रूप में जाना जाता है यदि $$\mathcal{D}$$ एक अद्वितीय फलन के साथ जुड़ा हुआ है, तो $$d_i$$ का उपयोग सभी हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व $$0 \leq i < b.$$ के रूप मे $$b$$ के लिए किया जा सकता है। यह फलन $$f_{\mathcal{D}},$$ को कठोरता से और औपचारिक रूप से स्थापित करता है कि कैसे पूर्णांक मानों को प्रतीकों/ग्लिफ़ों को निर्दिष्ट किया जाता है। हालांकि उन्हें परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार से प्रस्तुत करने के लिए किसी विशेष प्रणाली के साथ मिश्रित नहीं किया गया है, इन दो अलग-अलग (यद्यपि निकटता से संबंधित) अवधारणाओं को अलग रखा गया है और $$\mathcal{D}$$ को तीन अलग-अलग $$\mathcal{D}_{+}$$, $$\mathcal{D}_{0}$$, और $$\mathcal{D}_{-}$$ समुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है, जो क्रमशः धनात्मक शून्य और ऋणात्मक अंकों का प्रतिनिधित्व करते है, इस प्रकार सभी अंक $$d_{+}\in\mathcal{D}_{+}$$ संतुष्ट हो सकते है। सभी अंक $$d_{0}\in\mathcal{D}_{0}$$ और $$f_\mathcal{D}(d_{+}) > 0$$, $$f_\mathcal{D}(d_{0}) = 0$$, $$f_\mathcal{D}(d_{-}) < 0$$ और $$d_{-}\in\mathcal{D}_{-}$$ गणनांक है, जो क्रमशः धनात्मक और ऋणात्मक अंकों की संख्या $$b = b_{+} + b_{0} + b_{-}$$ देते है।

संतुलित रूप प्रतिनिधित्व
संतुलित रूप प्रतिनिधित्व वे प्रतिनिधित्व हैं जहां प्रत्येक धनात्मक अंक के लिए $$d_{-}$$ एक संगत ऋणात्मक अंक $$d_{+}$$ इस प्रकार सम्मिलित होता है जैसे कि $$f_\mathcal{D}(d_{+}) = -f_\mathcal{D}(d_{-})$$ मे $$b_{+} = b_{-}$$ सम्मिलित है। केवल विषम संख्या आधारों में ही संतुलित रूप में निरूपण हो सकता है।अन्यथा $$d_{b/2}$$ को स्वयं के विपरीत होना होगा और इसलिए $$0\ne \frac b2$$ हो सकता है। संतुलित रूप में ऋणात्मक अंक $$d_{-}\in\mathcal{D}_{-}$$ को सामान्यतः धनात्मक अंक के रूप में दर्शाया जाता है और अंक के ऊपर एक बार $$d_{-} = \bar{d}_{+}$$ होता है। उदाहरण के लिए संतुलित टर्नरी का अंक समुच्चय $$\mathcal{D}_{3} = \lbrace\bar{1},0,1\rbrace$$ के साथ $$f_{\mathcal{D}_{3}}(\bar{1}) = -1$$, $$f_{\mathcal{D}_{3}}(0) = 0$$, और $$f_{\mathcal{D}_{3}}(1) = 1$$ होता है। इस फलन को विषम अभाज्य संख्या क्रम $$q$$ के सीमित क्षेत्रों में स्वीकृत किया जाता है:


 * $$\mathbb{F}_{q} = \lbrace0, 1, \bar{1} = -1,... d = \frac{q - 1}{2},\ \bar{d} = \frac{1-q}{2}\ |\ q = 0\rbrace.$$

दोहरा हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व
प्रत्येक अंक समुच्चय $$\mathcal{D}$$ में एक दोहरे अंक का समुच्चय $$\mathcal{D}^\operatorname{op}$$ होता है जो कि $$g:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{D}^\operatorname{op}$$ द्वारा परिभाषित समरूपता $$-f_\mathcal{D} = g\circ f_{\mathcal{D}^\operatorname{op}}$$ के साथ अंकों के व्युत्क्रम क्रम द्वारा दिया जाता है। जिसके परिणामस्वरूप मूल्यांकन $$\mathcal{N}$$ के साथ $$\mathcal{D}$$ से निर्मित संख्या प्रणाली वलय (गणित) $$\mathcal{N}$$ के किसी भी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $$\mathcal{N}$$ के लिए $$v_\mathcal{D}:\mathcal{N}\rightarrow N$$ का एक दोहरा हस्ताक्षर-अंकीय प्रतिनिधित्व सम्मिलित होता है, मूल्यांकन (बीजगणित) के साथ $$\mathcal{D}^\operatorname{op}$$ से निर्मित $$\mathcal{N}^\operatorname{op}$$ और $$N$$ द्वारा परिभाषित एक समरूपता $$h:\mathcal{N}\rightarrow\mathcal{N}^\operatorname{op}$$ जहां $$-v_\mathcal{D} = h\circ v_{\mathcal{D}^\operatorname{op}}$$ का योगात्मक व्युत्क्रम संकारक है। संतुलित रूप प्रतिनिधित्व के लिए निर्धारित अंक स्वद्वैत (गणित) है।

पूर्णांकों के लिए
जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, अंक समुच्चय $$\mathcal{D}$$ और फलन $$f:\mathcal{D}\rightarrow\mathbb{Z}$$ को देखते हुए, हम एक पूर्णांक समरूपता $$T:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$$ को निम्नलिखित के रूप में परिभाषित कर सकते है:
 * $$T(n) =

\begin{cases} \frac{n - f(d_i)}{b} &\text{if } n \equiv i \bmod b, 0 \leq i < b \end{cases}$$ यदि $$T$$ का एकमात्र आवधिक निश्चित बिंदु $$0$$ है, तो $$\mathcal{D}$$ का उपयोग करके पूर्णांकों $$\mathbb{Z}$$ के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय निरूपण का समुच्चय क्लेन प्लस $$\mathcal{D}^+$$ द्वारा दिया जाता है। $$n\in\mathbb{N}$$ के कम से कम एक अंक के साथ $$d_n \ldots d_0$$ अंकों की सभी परिमित संयोजित चर का समुच्चय के प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $$m \in \mathcal{D}^+$$ का मूल्यांकन $$v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^+\rightarrow\mathbb{Z}$$ होता है:
 * $$v_\mathcal{D}(m) = \sum_{i=0}^{n}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}$$.

उदाहरणों में अंकों के साथ संतुलित फलन $$\mathcal{D} = \lbrace \bar{1}, 0, 1\rbrace$$ सम्मिलित है। यदि कोई गैर-शून्य आवर्त बिंदु $$T$$ सम्मिलित है तो ऐसे पूर्णांक उपस्थित होते हैं जिन्हें अनंत संख्या में गैर-शून्य अंक $$\mathcal{D}$$ द्वारा दर्शाया जाता है। उदाहरणों में अंक समुच्चय के साथ मानक दशमलव अंक प्रणाली $$\operatorname{dec} = \lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \rbrace$$ सम्मिलित है, जिसके लिए रेडिक्स पूरक $$9$$ की आवश्यकता होती है। योगात्मक व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करने के लिए $$-1$$, $$T_\operatorname{dec}(-1) = \frac{-1 - 9}{10} = -1$$ और अंक समुच्चय के साथ स्थितीय अंक प्रणाली $$\mathcal{D} = \lbrace \text{A}, 0, 1\rbrace$$ के साथ $$f(\text{A}) = -4$$ के लिए जिसे संख्या $$2$$ को $$T_\mathcal{D}(2) = \frac{2 - (-4)}{3} = 2$$ के रूप में दर्शाने के लिए अंक $$\text{A}$$ की एक अनंत संख्या की आवश्यकता होती है।

दशमलव भिन्नों के लिए
यदि पूर्णांकों को क्लेन प्लस $$\mathcal{D}^+$$ द्वारा दर्शाया जा सकता है, तो दशमलव अंशों के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय या $$b$$-एडिक परिमेय $$\mathbb{Z}[1\backslash b]$$, $$\mathcal{Q} = \mathcal{D}^+\times\mathcal{P}\times\mathcal{D}^*$$ द्वारा दिया गया है, जो कि क्लेन प्लस का कार्टेशियन $$\mathcal{D}^+$$ का उत्पाद है। सिंगलटन (गणित) $$\mathcal{P}$$ जिसमें मूलांक बिंदु $$d_n \ldots d_0$$ और क्लेन स्टार $$\mathcal{D}^*$$ शामिल है, $$m,n\in\mathbb{N}$$ के साथ अंकों के सभी परिमित संयोजित चर समुच्चय $$d_{-1} \ldots d_{-m}$$ के प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $$q \in \mathcal{Q}$$ का मूल्यांकन$$v_\mathcal{D}:\mathcal{Q}\rightarrow\mathbb{Z}[1\backslash b]$$ होता है:
 * $$v_\mathcal{D}(q) = \sum_{i=-m}^{n}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}$$

वास्तविक संख्याओं के लिए
यदि पूर्णांकों को क्लेन प्लस $$\mathcal{D}^+$$ द्वारा दर्शाया जा सकता है, तो वास्तविक संख्याओं $$\mathbb{R}$$ के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का समुच्चय $$\mathcal{R} = \mathcal{D}^+ \times \mathcal{P} \times \mathcal{D}^\mathbb{N}$$ द्वारा दिया जाता है, जो कार्तीय गुणनफल है। क्लेन प्लस $$\mathcal{D}^+$$ कम से कम एक अंक के साथ $$d_n \ldots d_0$$ अंकों की सभी परिमित संयोजित चर का समुच्चय, सिंगलटन $$\mathcal{P}$$ मूलांक बिंदु ($$.$$ या $$,$$) से युक्त होता है। और कैंटर समष्टि $$\mathcal{D}^\mathbb{N}$$ के साथ $$d_{-1} d_{-2} \ldots$$ अंकों की सभी अनंत संयोजित चर का समुच्चय प्रत्येक हस्ताक्षरित अंकीय प्रतिनिधित्व $$r \in \mathcal{R}$$ का मूल्यांकन$$v_\mathcal{D}:\mathcal{R}\rightarrow\mathbb{R}$$ होता है:
 * $$v_\mathcal{D}(r) = \sum_{i=-\infty}^{n}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}$$.

अनंत श्रृंखला सदैव एक सीमित वास्तविक संख्या में परिवर्तित होती है।

अन्य संख्या प्रणालियों के लिए
सभी आधार $$b$$ अंकों को $$\mathcal{D}^\mathbb{Z}$$ के उपसमुच्चय के रूप में दर्शाया जा सकता है, $$\mathcal{D}$$ में अंकों के सभी दोहरे अनंत अनुक्रमों का समुच्चय, जहां $$\mathbb{Z}$$ पूर्णांकों का समुच्चय है, और आधार $$b$$ अंकों की श्रंखला है औपचारिक घात श्रृंखला $$\mathbb{Z}b,b^{-1}$$ द्वारा दोगुनी अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व किया जाता है:
 * $$\sum_{i = -\infty}^{\infty}a_i b^i$$

जहाँ $$a_i\in\mathbb{Z}$$ के लिए $$i\in\mathbb{Z}$$ है।

पूर्णांकों की मॉड्यूलो घातें $b$
पूर्णांक मॉड्यूल $$b^n$$, $$\mathbb{Z}\backslash b^n\mathbb{Z}$$ के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का समुच्चय $$\mathcal{D}^n$$ द्वारा दिया गया है, अंकों के सभी परिमित संयोजित चर का समुच्चय $$d_{n - 1} \ldots d_0$$ लंबाई $$n$$ की $$n\in\mathbb{N}$$ के साथ प्रत्येक हस्ताक्षरित अंक प्रतिनिधित्व $$m \in \mathcal{D}^n$$ का मूल्यांकन $$v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^n\rightarrow\mathbb{Z}/b^n\mathbb{Z}$$ है:
 * $$v_\mathcal{D}(m) \equiv \sum_{i=0}^{n - 1}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i} \bmod b^n$$

चेकर समूह
एक प्रुफ़र समूह पूर्णांकों और $$b$$-एडिक परिमेय संख्या का भागफल समूह $$\mathbb{Z}(b^\infty) = \mathbb{Z}[1\backslash b]/\mathbb{Z}$$ है। प्रुफ़र समूह के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का समुच्चय क्लेन स्टार $$\mathcal{D}^*$$ द्वारा दिया गया है, अंकों के सभी परिमित संयोजित संख्याओ का समुच्चय $$d_{1} \ldots d_{n}$$, $$n\in\mathbb{N}$$ के साथ प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $$p \in \mathcal{D}^*$$ का मूल्यांकन $$v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^*\rightarrow\mathbb{Z}(b^\infty)$$ होता है:
 * $$v_\mathcal{D}(m) \equiv \sum_{i=1}^{n}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{-i} \bmod 1$$

वृत्त समूह
वृत्त समूह पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं का भागफल समूह $$\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$$ है। सर्कल समूह के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का समुच्चय कैंटर समष्टि $$\mathcal{D}^\mathbb{N}$$ द्वारा दिया गया है, अंकों के सभी दाएं-अनंत संयोजित चर का समुच्चय $$d_{1} d_{2} \ldots$$ प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $$m \in \mathcal{D}^n$$ का मूल्यांकन $$v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{T}$$ होता है:
 * $$v_\mathcal{D}(m) \equiv \sum_{i=1}^{\infty}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{-i} \bmod 1$$

अनंत शृंखला सदैव परिवर्तित रहती है।

$b$-एडिक पूर्णांक
$b$-एडिक पूर्णांकों के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का समुच्चय $$\mathbb{Z}_b$$ कैंटर समष्टि $$\mathcal{D}^\mathbb{N}$$ द्वारा दिया गया है, अंकों के सभी बाएं-अनंत संयोजित चर का समुच्चय $$\ldots d_{1} d_{0}$$ प्रत्येक हस्ताक्षरित अंक प्रतिनिधित्व $$m \in \mathcal{D}^n$$ का मूल्यांकन $$v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}_{b}$$ है:
 * $$v_\mathcal{D}(m) = \sum_{i=0}^{\infty}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}$$

$b$-एडिक सोलनॉइड्स
$b$-एडिक सोलनॉइड्स के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का समुच्चय $$\mathbb{T}_b$$ कैंटर समष्टि $$\mathcal{D}^\mathbb{Z}$$ द्वारा दिया गया है, अंकों के सभी दोगुने अनंत संयोजित चर का समुच्चय {$$\ldots d_{1} d_{0} d_{-1} \ldots$$ प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $$m \in \mathcal{D}^n$$ का मूल्यांकन $$v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{T}_{b}$$ है:


 * $$v_\mathcal{D}(m) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}$$

इंडो-आर्यन भाषाएँ
इंडो-आर्यन भाषाओं में संख्याओं के मौखिक और लिखित रूपों में 11 और के बीच की संख्याओं के लिए नकारात्मक अंक का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, हिंदी और बंगाली भाषा में "अन", पंजाबी में "अन" या "उन्ना", मराठी में "एकोन")। 90 जो नौ पर समाप्त होता है। उनके नाम के बाद आने वाले नंबर पंजाबी के लिए नीचे दिखाए गए हैं (उपसर्ग "ik" का अर्थ है "एक"):
 * 19 उन्नी, 20 विह, 21 इक्की
 * 29 उनत्ती, 30 तिह, 31 इकत्ती
 * 39 ऊंटाली, 40 चली, 41 इक्ताली
 * 49 उनन्जा, 50 पंजाह, 51 इकवन्जा
 * 59 उनाहत, 60 साथ, 61 इकाहत
 * 69 उनत्तार, 70 सत्तार, 71 इखत्तर
 * 79 उनासी, 80 अस्सी, 81 इकियासी
 * 89 अननवे, 90 नब्बे, 91 इकिन्नावेन

इसी तरह, सेसोथो भाषा 8 और 9 बनाने के लिए नकारात्मक अंकों का उपयोग करती है।
 * 8 रोबेली (/रो-बे-डी/) जिसका अर्थ है "दो तोड़ना" यानी दो अंगुलियां नीचे करना
 * 9 रोबोंग (/रो-बोंग/) का अर्थ है "एक को तोड़ना" अर्थात एक उंगली नीचे करना

शास्त्रीय लैटिन
शास्त्रीय लैटिन में पूर्णांक 18 और 19 का व्यवहार में "आठ" या "नौ" के लिए संगत भागों सहित कोई मौखिक या लिखित रूप भी नहीं था - उनके अस्तित्व में होने के बावजूद। इसके बजाय क्लासिक लैटिन में,


 * 18 = डुओडेविगिन्टि ("बीस में से दो लिए गए"), (IIXX या XIIX),
 * 19 = अन्डेविगिन्ति (बीस में से एक लिया गया), (IXX या XIX)
 * 20 = विगिन्ति ("बीस"), (XX)

आगामी पूर्णांक अंकों [28, 29, 38, 39, ..., 88, 89] के लिए भाषा में योगात्मक रूप बहुत अधिक सामान्य था, हालाँकि, सूचीबद्ध संख्याओं के लिए, उपरोक्त रूप अभी भी पसंद किया गया था। इसलिए, तीस के करीब पहुंचने पर, अंकों को इस प्रकार व्यक्त किया गया:
 * 28 = डुओडेट्रिगिंटा ("तीस में से दो लिए गए"), कम बार भी विगिन्टि ऑक्टो / ऑक्टो एट विगिन्टि ("अट्ठाईस / आठ और बीस"), (IIXXX या XXIIX बनाम XXVIII, बाद वाला पूरी तरह से मात खा चुका है।)
 * 29 = अन्डेट्रीगिन्टा ("तीस में से एक लिया गया") कम पसंदीदा रूप के बावजूद भी उनके निपटान में था।

यह समकालीन इतिहासकारों के तर्क के मुख्य आधारों में से एक है, जो बताता है कि अन्य श्रेणियों की तुलना में कार्डिनल्स की इस श्रेणी में घटाव I- और II- इतना आम क्यों था। अंक 98 और 99 को भी दोनों रूपों में व्यक्त किया जा सकता है, फिर भी "दो से सौ" थोड़ा अजीब लग सकता है - इसका स्पष्ट प्रमाण है कि प्रामाणिक स्रोतों में घटावपूर्ण तरीके से लिखी गई इन संख्याओं की दुर्लभ घटना है।

फ़िनिश भाषा
हालाँकि, एक और भाषा है जिसमें यह सुविधा है (अब तक, केवल अंशों में), हालाँकि, आज भी सक्रिय उपयोग में है। यह फ़िनिश भाषा है, जहाँ 8 या 9 का अंक आने पर (वर्तनी में लिखे गए) अंकों का उपयोग इस प्रकार किया जाता है। योजना इस प्रकार है:
 * 1 = "yksi" (नोट: yhd- या yht- अधिकतर जब अस्वीकार किया जाने वाला होता है उदाहरण के लिए "yhdessä" = "एक साथ, एक [इकाई] के रूप में")
 * 2 = "kaksi" (Also note: kahde-, kahte- when declined)
 * 3 = "kolme"
 * 4 = "neljä"


 * 7="seitsemän"
 * 8 = "kah(d)eksan" (two left [for it to reach it])
 * 9 = "yh(d)eksän" (one left [for it to reach it])
 * 10 = "kymmenen" (दस)

उपरोक्त सूची कोई विशेष मामला नहीं है, परिणामस्वरूप यह बड़े कार्डिनल्स में भी दिखाई देती है, उदाहरण के लिए:
 * 399 = तीन सौ निन्यानवे

इन विशेषताओं पर जोर देना अंकों के सबसे छोटे बोलचाल के रूपों में भी उपस्थित रहता है:


 * 1 = "yy"
 * 2 = "kaa"
 * 3 = "koo"


 * 7 = "seiska"
 * 8 = "kasi"
 * 9 = "ysi"
 * 10 = "kymppi"

हालाँकि, इस घटना का लिखित अंकों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, फिनिश मानक पश्चिमी-अरबी दशमलव अंकन का उपयोग करते हैं।

समयपालन
अंग्रेजी भाषा में समय को इस प्रकार संदर्भित करना सामान्य है, उदाहरण के लिए 'सेवन टू थ्री' 'टू' निषेध का प्रदर्शन करना।

अन्य प्रणाली
आधार जैसे अन्य हस्ताक्षरित-अंकीय आधार $$b \neq b_{+} + b_{-} + 1$$ सम्मिलित हैं इसका एक उल्लेखनीय उदाहरण बूथ एन्कोडिंग है जिसमें एक अंक समुच्चय होता है, जिसमें एक अंक समुच्चय होता है। $$b_{+} = 1$$ और $$b_{-} = 1$$ लेकिन जो आधार $$b = 2 < 3 = b_{+} + b_{-} + 1$$ का उपयोग करता है। मानक बाइनरी अंक प्रणाली केवल मान $$\lbrace0,1\rbrace$$ के अंकों का उपयोग करेगी। ध्यान दें कि गैर-मानक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व अद्वितीय नहीं हैं। उदाहरण के लिए:


 * $$0111_{\mathcal{D}} = 4 + 2 + 1 = 7$$
 * $$10\bar{1}1_{\mathcal{D}} = 8 - 2 + 1 = 7$$
 * $$1\bar{1}11_{\mathcal{D}} = 8 - 4 + 2 + 1 = 7$$
 * $$100\bar{1}_{\mathcal{D}} = 8 - 1 = 7$$

बूथ एन्कोडिंग का गैर-आसन्न रूप (एनएएफ) प्रत्येक पूर्णांक मान के लिए एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व की गारंटी देता है। हालाँकि, यह केवल पूर्णांक मानों के लिए लागू होता है। उदाहरण के लिए, एनएएफ में निम्नलिखित दोहराई जाने वाली बाइनरी संख्याओं पर विचार करें,
 * $$\frac{2}{3} = 0.\overline{10}_{\mathcal{D}} = 1.\overline{0\bar{1}}_{\mathcal{D}}$$

यह भी देखें

 * संतुलित त्रिआधारी पद्धति
 * ऋणात्मक आधार
 * निरर्थक द्विआधारी प्रतिनिधित्व

नोट्स और संदर्भ

 * जे. पी. बैलेंटाइन (1925) ए डिजिट फॉर नेगेटिव वन, अमेरिकी गणितीय मासिक 32:302।
 * विद्युत विभाग से लुई हान, डोंगडोंग चेन, सेओक-बम को, खान ए वाहिद गैर-सट्टा दशमलव हस्ताक्षरित अंक योजक कंप्यूटर इंजीनियरिंग, सस्केचेवान विश्वविद्यालय।

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