माध्य से वर्ग विचलन

माध्य (एसडीएम) से वर्ग विचलन वर्ग (बीजगणित) विचलन (सांख्यिकी) से उत्पन्न होता है। संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, विचरण की परिभाषा या तो एसडीएम का अपेक्षित मूल्य है (सैद्धांतिक संभाव्यता वितरण पर विचार करते समय) या इसका औसत मूल्य (वास्तविक प्रयोगात्मक डेटा के लिए)। विचरण के विश्लेषण के लिए गणना में एसडीएम के योग का विभाजन शामिल है।

पृष्ठभूमि
सांख्यिकीय मूल्य के अध्ययन से इसमें शामिल गणनाओं की समझ काफी बढ़ जाती है


 * $$\operatorname{E}( X ^ 2 )$$, कहाँ $$\operatorname{E}$$ अपेक्षित मान ऑपरेटर है.

एक यादृच्छिक चर के लिए $$X$$ मतलब के साथ $$\mu$$ और विचरण $$\sigma^2$$,


 * $$\sigma^2 = \operatorname{E}( X ^ 2 ) - \mu^2.$$

इसलिए,


 * $$\operatorname{E}( X ^ 2 ) = \sigma^2 + \mu^2.$$

उपरोक्त से, निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है:


 * $$\operatorname{E}\left( \sum\left( X ^ 2\right) \right) = n\sigma^2 + n\mu^2,$$
 * $$\operatorname{E}\left( \left(\sum X \right)^ 2 \right) = n\sigma^2 + n^2\mu^2.$$

नमूना विचरण
नमूना विचरण की गणना करने के लिए आवश्यक वर्ग विचलनों का योग (यह तय करने से पहले कि क्या n या n − 1 से विभाजित किया जाए) की गणना सबसे आसानी से की जाती है


 * $$S = \sum x ^ 2 - \frac{\left(\sum x\right)^2}{n}$$

उपरोक्त दो व्युत्पन्न अपेक्षाओं से इस योग का अपेक्षित मूल्य है


 * $$\operatorname{E}(S) = n\sigma^2 + n\mu^2 - \frac{n\sigma^2 + n^2\mu^2}{n}$$

जो ये दर्शाता हे


 * $$\operatorname{E}(S) = (n - 1)\sigma^2. $$

यह σ के 'निष्पक्ष' नमूना अनुमान की गणना में भाजक n - 1 के उपयोग को प्रभावी ढंग से साबित करता है2.

विभाजन - विचरण का विश्लेषण
ऐसी स्थिति में जहां आकार n वाले विभिन्न उपचार समूहों के लिए डेटा उपलब्ध हैi जहां i 1 से k तक भिन्न होता है, तो यह माना जाता है कि प्रत्येक समूह का अपेक्षित माध्य है


 * $$\operatorname{E}(\mu_i) = \mu + T_i$$

और प्रत्येक उपचार समूह का भिन्नता जनसंख्या भिन्नता से अपरिवर्तित है $$\sigma^2$$.

शून्य परिकल्पना के तहत कि उपचारों का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, तो प्रत्येक $$T_i$$ शून्य होगा.

अब वर्गों के तीन योगों की गणना करना संभव है:


 * व्यक्ति


 * $$I = \sum x^2 $$
 * $$\operatorname{E}(I) = n\sigma^2 + n\mu^2$$


 * उपचार


 * $$T = \sum_{i=1}^k \left(\left(\sum x\right)^2/n_i\right)$$
 * $$\operatorname{E}(T) = k\sigma^2 + \sum_{i=1}^k n_i(\mu + T_i)^2$$
 * $$\operatorname{E}(T) = k\sigma^2 + n\mu^2 + 2\mu \sum_{i=1}^k (n_iT_i) + \sum_{i=1}^k n_i(T_i)^2$$

शून्य परिकल्पना के तहत कि उपचारों से कोई मतभेद नहीं होता और सब कुछ होता है $$T_i$$ शून्य हैं, अपेक्षा सरल हो जाती है


 * $$\operatorname{E}(T) = k\sigma^2 + n\mu^2.$$


 * संयोजन


 * $$C = \left(\sum x\right)^2/n$$
 * $$\operatorname{E}(C) = \sigma^2 + n\mu^2$$

वर्गीकृत विचलनों का योग
शून्य परिकल्पना के तहत, I, T और C के किसी भी जोड़े के अंतर पर कोई निर्भरता नहीं होती है $$\mu$$, केवल $$\sigma^2$$.


 * $$\operatorname{E}(I - C) = (n - 1)\sigma^2$$ कुल वर्ग विचलन अर्थात वर्गों का कुल योग


 * $$\operatorname{E}(T - C) = (k - 1)\sigma^2$$ उपचार वर्ग विचलन अर्थात वर्गों का योग समझाया गया


 * $$\operatorname{E}(I - T) = (n - k)\sigma^2$$ अवशिष्ट वर्ग विचलन अर्थात वर्गों का अवशिष्ट योग

स्थिरांक (n − 1), (k − 1), और (n − k) को आम तौर पर स्वतंत्रता की डिग्री (सांख्यिकी) की संख्या के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण
एक बहुत ही सरल उदाहरण में, दो उपचारों से 5 अवलोकन उत्पन्न होते हैं। पहला उपचार तीन मान 1, 2, और 3 देता है, और दूसरा उपचार दो मान 4, और 6 देता है।


 * $$I = \frac{1^2}{1} + \frac{2^2}{1} + \frac{3^2}{1} + \frac{4^2}{1} + \frac{6^2}{1} = 66$$
 * $$T = \frac{(1 + 2 + 3)^2}{3} + \frac{(4 + 6)^2}{2} = 12 + 50 = 62$$
 * $$C = \frac{(1 + 2 + 3 + 4 + 6)^2}{5} = 256/5 = 51.2$$

दे रही है


 * कुल वर्ग विचलन = 66 − 51.2 = 14.8 स्वतंत्रता की 4 डिग्री के साथ।
 * उपचार वर्ग विचलन = 62 − 51.2 = 10.8 1 डिग्री स्वतंत्रता के साथ।
 * अवशिष्ट वर्ग विचलन = 66 − 62 = 4 स्वतंत्रता की 3 डिग्री के साथ।

यह भी देखें

 * पूर्ण विचलन
 * विचरण की गणना के लिए एल्गोरिदम
 * त्रुटियाँ और अवशेष
 * कम से कम वर्गों
 * मतलब चुकता त्रुटि
 * वर्गों का अवशिष्ट योग
 * मूल-माध्य-वर्ग विचलन
 * विचरण अपघटन

संदर्भ
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