एबेलियन समूह

गणित में, एक एबेलियन समूह, जिसे कम्यूटेटिव समूह भी कहा जाता है, एक ऐसा समूह (गणित) होता है जिसमें दो समूह तत्वों पर समूह संक्रिया को लागू करने का परिणाम उस क्रम पर निर्भर नहीं करता है जिसमें वे लिखे गए हैं। अर्थात्, समूह संक्रिया क्रमविनिमेय है। एक ऑपरेशन के रूप में जोड़ के साथ, पूर्णांक और वास्तविक संख्या एबेलियन समूह बनाते हैं, और एक एबेलियन समूह की अवधारणा को इन उदाहरणों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। एबेलियन समूहों का नाम 19वीं सदी के प्रारम्भ में गणितज्ञ नील्स हेनरिक एबेल के नाम पर रखा गया है।

एक एबेलियन समूह की अवधारणा कई मौलिक बीजगणितीय संरचनाओं को रेखांकित करती है, जैसे फ़ील्ड्स, वलय्स, वेक्टर रिक्त स्थान और बीजगणित। एबेलियन समूहों का सिद्धांत आम तौर पर उनके गैर-अबेलियन समकक्षों की तुलना में सरल होता है, और परिमित एबेलियन समूहों को बहुत अच्छी तरह से समझा जाता है और पूरी तरह से वर्गीकृत किया जाता है।

परिभाषा
एबेलियन समूह एक समुच्चय $$A$$ है, जिसमें ऑपरेशन ⋅ है जो ए के किसी भी दो तत्वों $$a$$ और $$b$$ को $$A$$ के दूसरे तत्व बनाने के लिए जोड़ता है, जिसे $$a \cdot b$$ कहा जाता है। प्रतीक ⋅ ठोस रूप से दिए गए ऑपरेशन के लिए एक सामान्य प्लेसहोल्डर है। एक एबेलियन समूह के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए, सेट और ऑपरेशन, $$(A, \cdot)$$ को चार आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए, जिसे एबेलियन समूह स्वयंसिद्ध के रूप में जाना जाता है (कुछ लेखकों ने सिद्धांतों में कुछ गुण सम्मिलित किए हैं जो एक ऑपरेशन की परिभाषा से संबंधित हैं: अर्थात। $$A$$ के तत्वों की किसी भी आदेशित जोड़ी के लिए ऑपरेशन परिभाषित किया गया है, परिणाम अच्छी तरह परिभाषित है, और परिणाम $A$ से संबंधित है):

संबद्धता
सभी के लिए $$a$$, $$b$$, तथा $$c$$ में $$A$$, समीकरण $$(a \cdot b)\cdot c = a \cdot (b \cdot c)$$ रखती है।

तत्समक अवयव
एक तत्व मौजूद है $$e$$ में $$A$$, जैसे कि सभी तत्वों के लिए $$a$$ में $$A$$, समीकरण $$e \cdot a = a \cdot e = a$$ रखती है।

व्युत्क्रम तत्व
प्रत्येक के लिए $$a$$ में $$A$$ एक तत्व मौजूद है $$b$$ में $$A$$ ऐसा है कि $$a \cdot b = b \cdot a = e$$, कहाँ पे $$e$$ पहचान तत्व है।

क्रमविनिमेयता
सभी के लिए $$a$$, $$b$$ में $$A$$, $$a \cdot b = b \cdot a$$.

एक ऐसा समूह जिसमें समूह संक्रिया क्रमविनिमेय नहीं है, एक गैर-अबेलियन समूह या गैर-क्रमविनिमेय समूह कहलाता है।

अंकन
एबेलियन समूहों के लिए दो मुख्य सांकेतिक परिपाटियां हैं - योगात्मक और गुणक।

सामान्य तौर पर, गुणक संकेतन समूहों के लिए सामान्य संकेतन है, जबकि योगात्मक संकेतन मॉड्यूल और वलयों के लिए सामान्य संकेतन है। योज्य संकेतन का उपयोग यह दावा करने के लिए भी किया जा सकता है कि एक विशेष समूह एबेलियन है, तब भी जब एबेलियन और गैर-एबेलियन दोनों समूहों पर विचार किया जाता है, कुछ उल्लेखनीय अपवाद निकट-वलय और आंशिक रूप से आदेशित समूह हैं। ऐसे स्थान हैं जहां एक संक्रिया को गैर-अबेलियन होने पर भी योगात्मक रूप से लिखा जाता है।

गुणन तालिका
यह सत्यापित करने के लिए कि एक परिमित समूह एबेलियन है, एक टेबल (मैट्रिक्स) - जिसे केली टेबल के रूप में जाना जाता है - को गुणन तालिका के समान तरीके से बनाया जा सकता है। यदि समूह है $$G = \{g_1 = e, g_2, \dots, g_n \}$$ नीचे ऑपरेशन $\cdot$,  $(i, j)$-th इस तालिका की प्रविष्टि में उत्पाद सम्मिलित है $$g_i \cdot g_j$$.

समूह अबेलियन है यदि और केवल यदि यह तालिका मुख्य विकर्ण के बारे में सममित है। यह सच है क्योंकि समूह एबेलियन है

समूह एबेलियन है अगर और केवल अगर यह तालिका मुख्य विकर्ण के बारे में सममित है। यह सच है क्योंकि समूह एबेलियन है अगर और केवल अगर $$g_i \cdot g_j = g_j \cdot g_i$$ सभी के लिए $$i, j = 1, ..., n$$, जो iff है $$(i, j)$$ तालिका की प्रविष्टि के बराबर है $$(j, i)$$ सभी के लिए प्रवेश $$i, j = 1, ..., n$$, यानी तालिका मुख्य विकर्ण के बारे में सममित है।

उदाहरण

 * पूर्णांकों और संक्रिया योग के लिए $$+$$, निरूपित $$(\mathbb{Z}, +)$$, ऑपरेशन + तीसरे पूर्णांक बनाने के लिए किन्हीं दो पूर्णांकों को जोड़ता है, जोड़ साहचर्य है, शून्य योगात्मक पहचान है, प्रत्येक पूर्णांक $$n$$ एक योगात्मक व्युत्क्रम है, $$-n$$, और इसके बाद से जोड़ क्रमविनिमेय है $$n + m = m + n$$ किन्हीं दो पूर्णांकों के लिए $$m$$ तथा $$n$$.
 * हर चक्रीय समूह $$G$$ एबेलियन है, क्योंकि अगर $$x$$, $$y$$ में हैं $$G$$, फिर $$xy = a^ma^n = a^{m+n} = a^na^m = yx$$. इस प्रकार पूर्णांक, $$\mathbb{Z}$$, इसके अलावा एक एबेलियन समूह बनाते हैं, जैसा कि मॉड्यूलर अंकगणितीय | पूर्णांक मॉड्यूलो करते हैं $$n$$, $$\mathbb{Z}/n \mathbb{Z}$$.
 * प्रत्येक वलय (गणित) इसके अतिरिक्त संचालन के संबंध में एक एबेलियन समूह है। क्रमविनिमेय वलय में व्युत्क्रमणीय तत्व, या क्रमविनिमेय वलय, एक एबेलियन गुणात्मक समूह बनाते हैं। विशेष रूप से, वास्तविक संख्याएं जोड़ के तहत एक एबेलियन समूह हैं, और गैर-शून्य वास्तविक संख्या गुणा के तहत एक एबेलियन समूह हैं।
 * एबेलियन समूह का प्रत्येक उपसमूह सामान्य उपसमूह होता है, इसलिए प्रत्येक उपसमूह एक भागफल समूह को जन्म देता है। एबेलियन समूहों के उपसमूह, भागफल और समूहों का प्रत्यक्ष योग फिर से एबेलियन हैं। परिमित सरल समूह एबेलियन समूह वास्तव में अभाज्य संख्या क्रम (समूह सिद्धांत) के चक्रीय समूह हैं।
 * एबेलियन समूह की अवधारणाएँ और $$\mathbb{Z}$$-मॉड्यूल (गणित) सहमत हैं। अधिक विशेष रूप से, प्रत्येक $$\mathbb{Z}$$-मॉड्यूल इसके अलावा के संचालन के साथ एक एबेलियन समूह है, और प्रत्येक एबेलियन समूह पूर्णांक की वलय पर एक मॉड्यूल है $$\mathbb{Z}$$ एक अनोखे तरीके से।

सामान्य तौर पर, मैट्रिक्स (गणित), यहां तक ​​​​कि व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स, गुणन के तहत एक एबेलियन समूह नहीं बनाते हैं क्योंकि मैट्रिक्स गुणन आम तौर पर कम्यूटेटिव नहीं होता है। हालाँकि, मैट्रिक्स के कुछ समूह मैट्रिक्स गुणन के तहत एबेलियन समूह हैं - एक उदाहरण का समूह है $$2 \times 2$$ रोटेशन मैट्रिक्स।

ऐतिहासिक टिप्पणी
केमिली जॉर्डन ने नार्वेजियन गणितज्ञ नील्स हेनरिक एबेल के बाद एबेलियन समूहों का नाम दिया क्योंकि एबेल ने पाया कि बहुपदों के एक समूह की क्रमविनिमेयता का अर्थ है कि बहुपदों की जड़ों को बीजगणित का उपयोग करके गणना की जा सकती है।

गुण
यदि $$n$$ एक प्राकृतिक संख्या है और $$x$$ एबेलियन समूह का एक तत्व है $$G$$ अतिरिक्त रूप से लिखा, फिर $$nx$$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$x + x + \cdots + x$$ ($$n$$ योग) और $$(-n)x = -(nx)$$. इस तरह, $$G$$ वलय (गणित) के ऊपर एक मॉड्यूल (गणित) बन जाता है $$\mathbb{Z}$$ पूर्णांकों का। वास्तव में, मॉड्यूल खत्म हो गया $$\mathbb{Z}$$ एबेलियन समूहों के साथ पहचाना जा सकता है।

एबेलियन समूहों के बारे में प्रमेय (अर्थात मॉड्यूल (गणित) प्रमुख आदर्श डोमेन पर $$\mathbb{Z}$$) अक्सर मनमाने ढंग से प्रमुख आदर्श डोमेन पर मॉड्यूल के बारे में प्रमेय के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक विशिष्ट उदाहरण सूक्ष्म रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों का वर्गीकरण है जो एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय का एक विशेषज्ञता है। अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों के मामले में, यह प्रमेय गारंटी देता है कि एक एबेलियन समूह एक मरोड़ समूह और एक मुक्त एबेलियन समूह के प्रत्यक्ष योग के रूप में विभाजित होता है। पूर्व को प्रपत्र के सूक्ष्म रूप से कई समूहों के प्रत्यक्ष योग के रूप में लिखा जा सकता है $$\mathbb{Z}/p^k\mathbb{Z}$$ के लिये $$p$$ अभाज्य, और बाद वाला प्रत्यक्ष रूप से कई प्रतियों का योग है $$\mathbb{Z}$$।

यदि $$f, g: G \to H$$ एबेलियन समूहों के बीच दो समूह समरूपताएं हैं, फिर उनका योग $$f + g$$, द्वारा परिभाषित $$(f + g)(x) = f(x) + g(x)$$, फिर से एक समरूपता है। (यह सच नहीं है अगर $$H$$ एक गैर-अबेलियन समूह है।) समुच्चय $$\text{Hom}(G,H)$$ से सभी समूह समरूपता $$G$$ प्रति $$H$$ इसलिए अपने आप में एक एबेलियन समूह है।

वेक्टर रिक्त स्थान के आयाम (वेक्टर स्थान) के कुछ हद तक समान, प्रत्येक एबेलियन समूह में एक एबेलियन समूह का रैंक होता है। इसे समूह के रैखिक रूप से स्वतंत्र (पूर्णांकों पर) तत्वों के सेट की अधिकतम कार्डिनल संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है। परिमित एबेलियन समूहों और मरोड़ समूहों का रैंक शून्य है, और रैंक शून्य का प्रत्येक एबेलियन समूह एक मरोड़ समूह है। पूर्णांकों और परिमेय संख्याओं का कोटि एक होता है, साथ ही परिमेय संख्याओं का प्रत्येक अशून्य योज्य समूह होता है। दूसरी ओर, गैर-शून्य तर्कसंगत के गुणात्मक समूह में एक अनंत रैंक है, क्योंकि यह आधार के रूप में अभाज्य संख्याओं के सेट के साथ एक मुक्त एबेलियन समूह है (यह अंकगणित के मौलिक प्रमेय से परिणाम है)।

केंद्र (समूह सिद्धांत) $$Z(G)$$ एक समूह का $$G$$ उन तत्वों का समूह है जो प्रत्येक तत्व के साथ आवागमन करते हैं $$G$$. एक समूह $$G$$ एबेलियन है अगर और केवल अगर यह इसके केंद्र के बराबर है $$Z(G)$$. एक समूह का केंद्र $$G$$ हमेशा एक विशिष्ट उपसमूह एबेलियन उपसमूह होता है $$G$$. यदि भागफल समूह $$G/Z(G)$$ इसके केंद्र द्वारा समूह का तब चक्रीय होता है $$G$$ एबेलियन है।

परिमित एबेलियन समूह
मॉड्यूलर अंकगणित के चक्रीय समूह | पूर्णांक मॉड्यूलो $$n$$, $$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$$, समूहों के पहले उदाहरणों में से थे। यह पता चला है कि एक मनमाना परिमित एबेलियन समूह प्रधान शक्ति क्रम के परिमित चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष योग के लिए आइसोमोर्फिक है, और ये आदेश विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं, जो कि अपरिवर्तनीयों की एक पूरी प्रणाली बनाते हैं। एक परिमित एबेलियन समूह के ऑटोमोर्फिज़्म समूह को इन अपरिवर्तनीयों के संदर्भ में सीधे वर्णित किया जा सकता है। सिद्धांत को पहली बार जॉर्ज फ्रोबेनियस और लुडविग स्टिकेलबर्गर के 1879 के पेपर में विकसित किया गया था और बाद में रैखिक बीजगणित के एक महत्वपूर्ण अध्याय का निर्माण करते हुए, एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर सूक्ष्मता से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए सरल और सामान्यीकृत दोनों किया गया था।

प्राइम ऑर्डर का कोई भी समूह एक चक्रीय समूह के लिए आइसोमॉर्फिक है और इसलिए एबेलियन है। कोई भी समूह जिसका क्रम एक अभाज्य संख्या का वर्ग है, वह भी एबेलियन है। वास्तव में, प्रत्येक अभाज्य संख्या के लिए $$p$$ वहाँ (समरूपता तक) क्रम के दो समूह हैं $$p^2$$, अर्थात् $$\mathbb{Z}_{p^2}$$ तथा $$\mathbb{Z}_p\times\mathbb{Z}_p$$.

वर्गीकरण
परिमित एबेलियन समूहों के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक परिमित एबेलियन समूह $$G$$ को प्रधान-शक्ति क्रम के चक्रीय उपसमूहों के प्रत्यक्ष योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है; इसे परिमित एबेलियन समूहों के लिए आधार प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है। इसके अलावा, चक्रीय समूहों के ऑटोमोर्फिज़्म समूह एबेलियन समूहों के उदाहरण हैं। यह परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों के मौलिक प्रमेय द्वारा सामान्यीकृत है, जिसमें परिमित समूह विशेष मामला है जब जी की रैंक शून्य है; यह बदले में कई और सामान्यीकरणों को स्वीकार करता है।

वर्गीकरण 1870 में लियोपोल्ड क्रोनकर द्वारा सिद्ध किया गया था, हालांकि इसे आधुनिक समूह-सैद्धांतिक शब्दों में बाद तक नहीं बताया गया था, और 1801 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा द्विघात रूपों के समान वर्गीकरण से पहले किया गया था; विवरण के लिए इतिहास देखें।

चक्रीय समूह $$\mathbb{Z}_{mn}$$ आदेश की $$mn$$ के प्रत्यक्ष योग के लिए आइसोमोर्फिक है $$\mathbb{Z}_m$$ तथा $$\mathbb{Z}_n$$ अगर और केवल अगर $$m$$ तथा $$n$$ सह अभाज्य हैं। यह किसी भी परिमित एबेलियन समूह का अनुसरण करता है $$G$$ फॉर्म के प्रत्यक्ष योग के लिए आइसोमोर्फिक है


 * $$\bigoplus_{i=1}^{u}\ \mathbb{Z}_{k_i}$$

निम्नलिखित में से किसी भी प्रामाणिक तरीके से:
 * संख्या $$k_1, k_2, \dots, k_u$$ (आवश्यक रूप से अलग नहीं) अभाज्य की शक्तियाँ हैं,
 * या $$k_1$$ भाजक $$k_2$$, जो विभाजित करता है $$k_3$$, और इतने पर $$k_u$$.

उदाहरण के लिए, $$\mathbb{Z}_{15}$$ क्रम 3 और 5 के दो चक्रीय उपसमूहों के प्रत्यक्ष योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $$\mathbb{Z}_{15} \cong \{0,5,10\} \oplus \{0,3,6,9,12\}$$. ऑर्डर 15 के किसी भी एबेलियन समूह के लिए भी यही कहा जा सकता है, जिससे उल्लेखनीय निष्कर्ष निकलता है कि ऑर्डर 15 के सभी एबेलियन समूह समूह समरूपता हैं।

एक अन्य उदाहरण के लिए, क्रम 8 का प्रत्येक एबेलियन समूह या तो तुल्याकारी है $$\mathbb{Z}_8$$ (पूर्णांक 0 से 7 अतिरिक्त मॉड्यूल 8 के तहत), $$\mathbb{Z}_4\oplus \mathbb{Z}_2$$ (विषम पूर्णांक 1 से 15 गुणन मोडुलो 16 के तहत), या $$\mathbb{Z}_2\oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$$.

ऑर्डर 30 या उससे कम के परिमित एबेलियन समूहों के लिए छोटे समूहों की सूची भी देखें।

ऑटोमोर्फिज्म
किसी दिए गए परिमित एबेलियन समूह $$G$$ के ऑटोमोर्फिज़्म को गिनने (और कभी-कभी निर्धारित करने) के लिए मौलिक प्रमेय लागू किया जा सकता है। ऐसा करने के लिए, कोई इस तथ्य का उपयोग करता है कि यदि $$G$$ सहप्राइम ऑर्डर के उपसमूहों के प्रत्यक्ष योग $$H\oplus K$$ के रूप में विभाजित होता है, तो
 * $$\operatorname{Aut}(H\oplus K) \cong \operatorname{Aut}(H)\oplus \operatorname{Aut}(K).$$

इसे देखते हुए, मौलिक प्रमेय से पता चलता है कि ऑटोमोर्फिज्म समूह की गणना करने के लिए $$G$$ यह सिलो प्रमेयों के ऑटोमोर्फिज्म समूहों की गणना करने के लिए पर्याप्त है $$p$$-उपसमूह अलग-अलग (अर्थात, चक्रीय उपसमूहों के सभी प्रत्यक्ष योग, प्रत्येक की शक्ति के साथ $$p$$). प्राइम फिक्स करें $$p$$ और घातांक मान लीजिए $$e_i$$ साइलो के चक्रीय कारकों की $$p$$-उपसमूहों को बढ़ते क्रम में व्यवस्थित किया जाता है:


 * $$e_1\leq e_2 \leq\cdots\leq e_n$$

कुछ के लिए $$n > 0$$. किसी के ऑटोमोर्फिज्म को प्राप्त करने की जरूरत है


 * $$\mathbf{Z}_{p^{e_1}} \oplus \cdots \oplus \mathbf{Z}_{p^{e_n}}.$$

एक विशेष स्थिति है जब $$n = 1$$, ताकि साइलो में केवल एक चक्रीय प्रधान-शक्ति कारक हो $$p$$-उपसमूह $$P$$. इस मामले में परिमित चक्रीय समूह के ऑटोमोर्फिज्म के सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है। एक और विशेष मामला है जब $$n$$ मनमाना है लेकिन $$e_i = 1$$ के लिये $$ 1 \le i \le n$$. यहाँ, एक विचार कर रहा है $$P$$ स्वरूप का होना


 * $$\mathbf{Z}_p \oplus \cdots \oplus \mathbf{Z}_p,$$

इसलिए इस उपसमूह के तत्वों को आयाम के सदिश स्थान के रूप में देखा जा सकता है $$n$$ के परिमित क्षेत्र पर $$p$$ तत्वों $$\mathbb{F}_p$$. इसलिए इस उपसमूह के ऑटोमोर्फिज्म को उलटा रैखिक परिवर्तनों द्वारा दिया जाता है, इसलिए


 * $$\operatorname{Aut}(P)\cong\mathrm{GL}(n,\mathbf{F}_p),$$

कहाँ पे $$\mathrm{GL}$$ उपयुक्त सामान्य रैखिक समूह है। यह आदेश आसानी से दिखाया गया है


 * $$ \left|\operatorname{Aut}(P)\right|=(p^n-1)\cdots(p^n-p^{n-1}).$$

सबसे सामान्य मामले में, जहां $$e_i$$ तथा $$n$$ मनमाने हैं, ऑटोमोर्फिज्म समूह निर्धारित करना अधिक कठिन है। हालाँकि, यह ज्ञात है कि यदि कोई परिभाषित करता है


 * $$d_k=\max\{r\mid e_r = e_k\}$$

तथा


 * $$c_k=\min\{r\mid e_r=e_k\}$$

तो किसी के पास विशेष रूप से है $$k \le d_k$$, $$c_k \le k$$, तथा


 * $$ \left|\operatorname{Aut}(P)\right| = \prod_{k=1}^n (p^{d_k}-p^{k-1}) \prod_{j=1}^n (p^{e_j})^{n-d_j} \prod_{i=1}^n (p^{e_i-1})^{n-c_i+1}. $$

कोई यह जांच कर सकता है कि ये आदेश पिछले उदाहरणों में विशेष स्थिति के रूप में हैं (देखें हिलर, सी।, और रियास, डी।)।

अंतिम उत्पन्न एबेलियन समूह
एक एबेलियन समूह $A$ अगर इसमें तत्वों का एक सीमित सेट होता है (जिसे जनरेटर कहा जाता है) $$G=\{x_1, \ldots, x_n\}$$ जैसे कि समूह का प्रत्येक तत्व एक रैखिक संयोजन है जिसमें तत्वों के पूर्णांक गुणांक होते हैं $G$.

होने देना $L$ आधार के साथ एक मुक्त एबेलियन समूह बनें $$B=\{b_1, \ldots, b_n\}.$$ एक अद्वितीय समूह समरूपता है $$p\colon L \to A,$$ ऐसा है कि
 * $$p(b_i) = x_i\quad \text{for } i=1,\ldots, n.$$

यह समरूपता आच्छादित है, और इसकी गुठली बारीक रूप से उत्पन्न होती है (चूंकि पूर्णांक एक नोएदरियन वलय बनाते हैं)। पूर्णांक प्रविष्टियों के साथ एक मैट्रिक्स $M$ पर विचार करें जैसे कि इसके $j$ वें कॉलम में प्रविष्टियाँ कर्नेल के $j$ वें जनरेटर के गुणांक हैं। फिर, एबेलियन समूह एम द्वारा परिभाषित रैखिक मानचित्र के कोकर्नेल के लिए आइसोमोर्फिक है। इसके विपरीत, प्रत्येक पूर्णांक मैट्रिक्स एक सूक्ष्मता से उत्पन्न एबेलियन समूह को परिभाषित करता है।

यह इस प्रकार है कि अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों का अध्ययन पूरी तरह से पूर्णांक आव्यूहों के अध्ययन के बराबर है। विशेष रूप से, ए के जनरेटिंग सेट को बदलना एक यूनिमॉड्यूलर मैट्रिक्स (यानी, एक व्युत्क्रमणीय पूर्णांक मैट्रिक्स जिसका व्युत्क्रम भी एक पूर्णांक मैट्रिक्स है) द्वारा बाईं ओर M को गुणा करने के बराबर है। $M$ के कर्नेल के जनरेटिंग सेट को बदलना एक यूनिमॉड्यूलर मैट्रिक्स द्वारा दाईं ओर $M$ को गुणा करने के बराबर है।

स्मिथ का सामान्य रूप $M$ एक मैट्रिक्स है
 * $$S=UMV,$$

जहाँ पे $U$ तथा $V$ यूनिमॉड्यूलर हैं, और $S$ एक मैट्रिक्स है जैसे कि सभी गैर-विकर्ण प्रविष्टियाँ शून्य हैं, गैर-शून्य विकर्ण प्रविष्टियाँ $d_{1,1}, \ldots, d_{k,k}$ पहले वाले हैं, और $d_{j,j}$ का भाजक है $d_{i,i}$ के लिये $i > j$. स्मिथ सामान्य का अस्तित्व और आकार यह साबित करता है कि अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह $A$ प्रत्यक्ष योग है
 * $$\Z^r \oplus \Z/d_{1,1}\Z \oplus \cdots \oplus \Z/d_{k,k}\Z,$$ कहाँ पे $r$ के तल पर शून्य पंक्तियों की संख्या है $r$ (और समूह के एक एबेलियन समूह की रैंक भी)। यह अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों का मूलभूत प्रमेय है।

स्मिथ सामान्य रूप के लिए एल्गोरिदम के अस्तित्व से पता चलता है कि अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों का मौलिक प्रमेय न केवल अमूर्त अस्तित्व का एक प्रमेय है, बल्कि प्रत्यक्ष योग के रूप में अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों की अभिव्यक्ति की गणना के लिए एक तरीका प्रदान करता है।

अनंत एबेलियन समूह
सबसे सरल अनंत एबेलियन समूह अनंत चक्रीय समूह है $$\mathbb{Z}$$. कोई भी अंतिम रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह $$A$$ के प्रत्यक्ष योग के लिए आइसोमोर्फिक है $$r$$ की प्रतियां $$\mathbb{Z}$$ और एक परिमित एबेलियन समूह, जो बदले में प्रधान शक्ति आदेशों के सूक्ष्म रूप से कई चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष योग में विघटित होता है। भले ही अपघटन अद्वितीय नहीं है, संख्या $$r$$, के एक एबेलियन समूह का रैंक कहा जाता है $$A$$, और परिमित चक्रीय योग के आदेश देने वाली प्रमुख शक्तियाँ विशिष्ट रूप से निर्धारित होती हैं।

इसके विपरीत, सामान्य रूप से उत्पन्न एबेलियन समूहों का वर्गीकरण पूर्ण से बहुत दूर है। विभाज्य समूह, यानी एबेलियन समूह $$A$$ जिसमें समीकरण $$nx = a$$ समाधान मानता है $$x \in A$$ किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए $$n$$ और तत्व $$a$$ का $$A$$, अनंत एबेलियन समूहों के एक महत्वपूर्ण वर्ग का गठन करता है जिसे पूरी तरह से चित्रित किया जा सकता है। प्रत्येक विभाज्य समूह एक प्रत्यक्ष योग के लिए तुल्याकारी है, जिसमें योग तुल्याकारी है $$\mathbb{Q}$$ और परीक्षक समूह $$\mathbb{Q}_p/Z_p$$ विभिन्न अभाज्य संख्याओं के लिए $$p$$, और प्रत्येक प्रकार के सारांश के सेट की प्रमुखता विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है। इसके अलावा, यदि एक विभाज्य समूह $$A$$ एबेलियन समूह का एक उपसमूह है $$G$$ फिर $$A$$ प्रत्यक्ष पूरक स्वीकार करता है: एक उपसमूह $$C$$ का $$G$$ ऐसा है कि $$G = A \oplus C$$. इस प्रकार विभाज्य समूह एबेलियन समूहों की श्रेणी में इंजेक्शन मॉड्यूल हैं, और इसके विपरीत, प्रत्येक इंजेक्शन एबेलियन समूह विभाज्य है (बेयर की कसौटी)। गैर-शून्य विभाज्य उपसमूहों के बिना एबेलियन समूह को कम कहा जाता है।

बिल्कुल विपरीत गुणों वाले अनंत एबेलियन समूहों के दो महत्वपूर्ण विशेष वर्ग 'मरोड़ समूह' और 'मरोड़-मुक्त समूह' हैं, जो समूहों द्वारा उदाहरण हैं $$\mathbb{Q}/\mathbb{Z}$$ (आवधिक) और $$\mathbb{Q}$$ (मरोड़ रहित)।

टॉर्शन (मरोड़) समूह
एबेलियन समूह को आवधिक समूह या मरोड़ (बीजगणित) कहा जाता है, यदि प्रत्येक तत्व में परिमित क्रम (समूह सिद्धांत) होता है। परिमित चक्रीय समूहों का प्रत्यक्ष योग आवधिक है। यद्यपि विलोम कथन सामान्य रूप से सत्य नहीं है, फिर भी कुछ विशेष मामले ज्ञात हैं। पहले और दूसरे प्रुफर प्रमेय में कहा गया है कि अगर $$A$$ एक आवर्त समूह है, और इसका या तो परिबद्ध घातांक है, अर्थात, $$nA = 0$$ कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए $$n$$, या गणनीय है और ऊंचाई (एबेलियन समूह) |$$p$$-तत्वों की ऊँचाई $$A$$ प्रत्येक के लिए परिमित हैं $$p$$, फिर $$A$$ परिमित चक्रीय समूहों के प्रत्यक्ष योग के लिए समरूप है। प्रत्यक्ष सारांश के सेट की कार्डिनैलिटी आइसोमॉर्फिक है $$\mathbb{Z}/p^m\mathbb{Z}$$ इस तरह के अपघटन में एक अपरिवर्तनीय है $$A$$. बाद में इन प्रमेयों को कुलिकोव कसौटी में सम्मिलित कर लिया गया। एक अलग दिशा में, हेल्मुट उल्म ने काउंटेबल एबेलियन के लिए दूसरे प्रुफर प्रमेय का विस्तार पाया $$p$$अनंत ऊंचाई के तत्वों वाले समूह: उन समूहों को पूरी तरह से उनके उल्म आक्रमणकारियों के माध्यम से वर्गीकृत किया जाता है।

मरोड़-मुक्त और मिश्रित समूह
एक एबेलियन समूह को मरोड़-मुक्त कहा जाता है यदि प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में अनंत क्रम हो। मरोड़ मुक्त एबेलियन समूहों के कई वर्गों का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है:

एक एबेलियन समूह जो न तो आवधिक है और न ही मरोड़ रहित है, मिश्रित कहलाता है। यदि $$A$$ एक एबेलियन समूह है और $$T(A)$$ इसका मरोड़ उपसमूह है, फिर कारक समूह $$A/T(A)$$ मरोड़ रहित है। हालाँकि, सामान्य तौर पर मरोड़ उपसमूह का प्रत्यक्ष योग नहीं है $$A$$, इसलिए  $$A$$ के लिए आइसोमोर्फिक नहीं है $$T(A) \oplus A/T(A)$$. इस प्रकार मिश्रित समूहों के सिद्धांत में आवधिक और मरोड़-मुक्त समूहों के परिणामों के संयोजन से अधिक सम्मिलित है। योगात्मक समूह $$\mathbb{Z}$$ पूर्णांकों का मरोड़ मुक्त है $$\mathbb{Z}$$-मापांक।
 * नि: शुल्क एबेलियन समूह, यानी मनमाना प्रत्यक्ष योग $$\mathbb{Z}$$
 * कोटोरसन समूह और बीजगणितीय रूप बीजीय रूप से कॉम्पैक्ट मॉड्यूल टॉर्सियन-मुक्त समूह जैसे पी-एडिक पूर्णांक |$$p$$-एडिक पूर्णांक
 * पतला समूह

अपरिवर्तनीय और वर्गीकरण
अनंत एबेलियन समूह के सबसे बुनियादी आक्रमणकारियों में से एक $$A$$ एक एबेलियन समूह की इसकी रैंक है: के अधिकतम रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय की कार्डिनैलिटी $$A$$. रैंक 0 के एबेलियन समूह निश्चित रूप से आवधिक समूह हैं, जबकि रैंक 1 के मरोड़-मुक्त एबेलियन समूह आवश्यक रूप से उपसमूह हैं $$\mathbb{Q}$$ और पूर्ण रूप से वर्णित किया जा सकता है। अधिक आम तौर पर, परिमित रैंक का मरोड़-मुक्त एबेलियन समूह $$r$$ का एक उपसमूह है $$\mathbb{Q}_r$$. दूसरी ओर, $$p$$-एडिक पूर्णांक का समूह| $$\mathbb{Z}_p$$ अनंत का एक मरोड़ मुक्त एबेलियन समूह है $$\mathbb{Z}$$-रैंक और समूह $$\mathbb{Z}_p^n$$ अलग के साथ # अन्य के साथ $$n$$ गैर-आइसोमॉर्फिक हैं, इसलिए यह अपरिवर्तनीय कुछ परिचित समूहों के गुणों को पूरी तरह से अधिकृत नहीं करता है।

स्पष्ट रूप से उत्पन्न, विभाज्य, गणनीय आवधिक और रैंक 1 मरोड़-मुक्त एबेलियन समूहों के लिए वर्गीकरण प्रमेय सभी 1950 से पहले प्राप्त किए गए थे और अधिक सामान्य अनंत एबेलियन समूहों के वर्गीकरण के लिए आधार बनाते हैं। अनंत एबेलियन समूहों के वर्गीकरण में उपयोग किए जाने वाले महत्वपूर्ण तकनीकी उपकरण शुद्ध और बुनियादी उपसमूह हैं। मरोड़-मुक्त एबेलियन समूहों के विभिन्न आक्रमणकारियों की शुरूआत आगे की प्रगति के लिए एक अवसर रही है। हाल के निष्कर्षों के लिए लेक्चर नोट्स इन मैथमेटिक्स में प्रकाशित एबेलियन ग्रुप थ्योरी पर सम्मेलनों की कार्यवाही, साथ ही इरविंग कपलान्स्की, लेज़्लो फुच्स, फिलिप ग्रिफ़िथ और डेविड अर्नोल्ड (गणितज्ञ) की पुस्तकें देखें।

वलय के योज्य समूह
वलय (गणित) का योगात्मक समूह एक एबेलियन समूह है, लेकिन सभी एबेलियन समूह वलयों के योगात्मक समूह नहीं हैं (गैर महत्वहीन गुणन के साथ)। अध्ययन के इस क्षेत्र में कुछ महत्वपूर्ण विषय हैं:


 * टेंसर उत्पाद
 * ए.एल.एस. गणनीय मरोड़-मुक्त समूहों पर कॉर्नर के परिणाम
 * कार्डिनैलिटी प्रतिबंधों को हटाने के लिए शेला का कार्य
 * बर्नसाइड वलय

अन्य गणितीय विषयों से संबंध
कई बड़े एबेलियन समूहों के पास एक प्राकृतिक टोपोलॉजी है, जो उन्हें टोपोलॉजिकल समूहों में बदल देती है।

सभी एबेलियन समूहों का संग्रह, उनके बीच के समरूपता के साथ मिलकर एबेलियन श्रेणी का प्रोटोटाइप श्रेणी $$\textbf{Ab}$$ बनाता है।

वांडा ज़्मील्यू (1955) ने साबित किया कि एबेलियन समूहों का प्रथम-क्रम सिद्धांत, अपने गैर-अबेलियन समकक्ष के विपरीत, निर्णायक है। बूलियन बीजगणित (संरचना) के अलावा अधिकांश बीजगणितीय संरचनाएं अनिर्णीत हैं।

अभी भी वर्तमान अनुसंधान के कई क्षेत्र हैं:
 * परिमित रैंक के मरोड़-मुक्त एबेलियन समूहों के बीच, केवल अंतिम रूप से उत्पन्न मामला और रैंक 1 मामले के मरोड़-मुक्त एबेलियन समूहों को अच्छी तरह से समझा जाता है;
 * अनंत-श्रेणी मरोड़-मुक्त एबेलियन समूहों के सिद्धांत में कई अनसुलझी समस्याएं हैं;
 * जबकि गणनीय मरोड़ वाले एबेलियन समूहों को सरल प्रस्तुतियों और उल्म अपरिवर्तनीयों के माध्यम से अच्छी तरह से समझा जाता है, गणनीय मिश्रित समूहों का मामला बहुत कम परिपक्व है।
 * एबेलियन समूहों के प्रथम-क्रम के सिद्धांत के कई हल्के विस्तार अनिर्णीत माने जाते हैं।
 * कम्प्यूटेशनल समूह सिद्धांत में परिमित एबेलियन समूह शोध का विषय बने हुए हैं।

इसके अलावा, अनंत क्रम के एबेलियन समूह, आश्चर्यजनक रूप से, सेट सिद्धांत के बारे में गहरे सवालों की ओर ले जाते हैं, जो आमतौर पर सभी गणित को रेखांकित करते हैं। व्हाइटहेड समस्या को लें: क्या अनंत क्रम के सभी व्हाइटहेड समूह भी एबेलियन समूह मुक्त हैं? 1970 के दशक में, सहारों शेलाह ने सिद्ध किया कि व्हाइटहेड समस्या है:
 * जेडएफसी (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्ध) में तय नहीं है, पारंपरिक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत जिससे लगभग सभी मौजूदा गणित प्राप्त किए जा सकते हैं। व्हाइटहेड समस्या भी सामान्य गणित की पहली समस्या है जिसे जेडएफसी में अनिर्णीत साबित किया जा सकता है;
 * अनिर्णीत भले ही जेडएफसी को सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना को एक स्वयंसिद्ध के रूप में ले कर संवर्धित किया गया हो;
 * सकारात्मक रूप से उत्तर दिया गया है यदि जेडएफसी को रचनात्मक ब्रह्मांड के स्वयंसिद्ध के साथ संवर्धित किया गया है (एल में कथन सत्य देखें)।

टाइपोग्राफी पर एक टिप्पणी
गणितज्ञ के उचित नाम से प्राप्त गणितीय विशेषणों में, "एबेलियन" शब्द दुर्लभ है क्योंकि इसे अक्सर अपरकेस ए के बजाय लोअरकेस ए के साथ लिखा जाता है, पूंजीकरण की कमी न केवल डिग्री की मौन स्वीकृति है हाबिल के नाम को संस्थागत बना दिया गया है, लेकिन यह भी कि आधुनिक गणित में उनके द्वारा प्रस्तुत अवधारणाएं कितनी सर्वव्यापी हैं।

यह भी देखें

 * , सबसे छोटा गैर-अबेलियन समूह
 * , सबसे छोटा गैर-अबेलियन समूह
 * , सबसे छोटा गैर-अबेलियन समूह

संदर्भ

 * Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
 * Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
 * Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
 * Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
 * Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
 * Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
 * Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.
 * Unabridged and unaltered republication of a work first published by the Cambridge University Press, Cambridge, England, in 1978.