पूर्ण जाली

गणित में, पूर्ण लैटिस आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय है जिसमें सभी उपसमुच्चय में सुप्रीमम (जॉइन ) और इन्फ़िमम (मीट) दोनों होते हैं। लैटिस जो की इन गुणों में से कम से कम को संतुष्ट करती है, उसे 'सशर्त रूप से पूर्ण लैटिस ' के रूप में जाना जाता है। विशेष रूप से, प्रत्येक गैर-रिक्त परिमित लैटिस पूर्ण होती है। गणित और कंप्यूटर विज्ञान में अनेक अनुप्रयोगों में पूर्ण लैटिस दिखाई देती है। इस प्रकार से जालकों का एक विशेष उदाहरण होने के कारण, उनका अध्ययन क्रम सिद्धांत और सार्वभौमिक बीजगणित दोनों में किया जाता है।

पूर्ण लैटिस को पूर्ण आंशिक आदेश (सीपीओएस) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो आंशिक रूप से आदेशित समुच्चयो के अधिक सामान्य वर्ग का गठन करता है। अधिक विशिष्ट पूर्ण लैटिस संपूर्ण बूलियन बीजगणित और पूर्ण हेटिंग बीजगणित ('स्थान') हैं।

औपचारिक परिभाषा
एक आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय (L, ≤) एक पूर्ण लैटिस है यदि एल के प्रत्येक उपसमुच्चय ए में (L, ≤) में अधिक उच्च निचली सीमा (निम्नतम, जिसे मीट भी कहा जाता है) और अधिक कम ऊपरी सीमा (सर्वोच्च, जिसे सम्मिलत भी कहा जाता है) दोनों हैं।

मिलन को $$\bigwedge A$$ और जुड़ाव को $$\bigvee A$$ से दर्शाया जाता है

विशेष स्तिथि में जहां A रिक्त समुच्चय है, A का मीट L का अधिक उच्च अवयव होगा। इसी तरह, रिक्त समुच्चय में सम्मिलत होने से न्यूनतम अवयव प्राप्त होता है। चूंकि परिभाषा बाइनरी मिलने और जुड़ने के अस्तित्व को भी आश्वस्त करती है, इसलिए पूर्ण लैटिस इस प्रकार परिबद्ध लैटिस का विशेष वर्ग बनाती है।

उपरोक्त परिभाषा के अधिक निहितार्थों पर लेख में पूर्णता (आदेश सिद्धांत) पर क्रम सिद्धांत में चर्चा की गई है।

पूर्ण अर्धवृत्ताकार
आदेश सिद्धांत में, अनेैतिक रूप से मिलने को अनेैतिक रूप से जुड़ने और इसके विपरीत (विवरण के लिए, पूर्णता (आदेश सिद्धांत) देखें) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त में, इसका तथ्य यह है कि सभी पूर्ण लैटिस के वर्ग को प्राप्त करने के लिए या तो सभी मिलते हैं या सभी सम्मिलत किये जाते हैं, अर्थात यह पर्याप्त है।

इस प्रकार से परिणाम के रूप में, कुछ लेखकों ने पूर्ण मिलन-अर्धलैटिस या पूर्ण मीट-अर्धलैटिस शब्दों का उपयोग पूर्ण लैटिस को संदर्भित करने के अन्य विधि के रूप में किया है। चूंकि वस्तुओं पर समान, शब्द समरूपता की विभिन्न धारणाओं को सम्मिलत करते हैं, जैसा कि आकारिकी पर नीचे दिए गए खंड में समझाया गया है।

अतः दूसरी ओर, कुछ लेखकों के समीप रूपवाद के इस भेद के लिए अनेक उपयोग नहीं है (विशेष रूप से पूर्ण अर्ध-लैटिस रूपवाद की उभरती अवधारणाओं को सामान्य शब्दों में भी निर्दिष्ट किया जा सकता है)।और नतीजतन, पूर्ण मीट-अर्ध-लैटिस को भी उन मीट-अर्धलैटिस के रूप में परिभाषित किया गया है जो पूर्ण आंशिक आदेश भी हैं। यह अवधारणा निःसंदेह मीट-अर्धलैटिस की अधिक पूर्ण धारणा है जो की इस प्रकार से लैटिस नहीं है (वास्तव में, केवल शीर्ष अवयव विलुप्त हो सकता है)। यह तथ्य सेमीलैटिस पर आलेख में भी मिलती है।

पूर्ण उपवर्ग
इस प्रकार से पूर्ण लैटिस L के उप-लैटिस M को L का पूर्ण उप-लैटिस कहा जाता है यदि M के प्रत्येक उपसमुच्चय A के लिए L में परिभाषित अवयव $$\bigwedge A$$ और $$\bigvee A$$ वास्तव में M में हैं।

यदि उपरोक्त आवश्यकता को केवल गैर-रिक्त मिलने की आवश्यकता के लिए कम किया जाता है और L में सम्मिलत होता है, तो उप-लैटिस M को M का संवृत उप-लैटिस कहा जाता है।

सशर्त पूर्ण लैटिस
लैटिस को सशर्त रूप से पूर्ण कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित गुणों के तार्किक संयोजन को संतुष्ट करता है:
 * ऊपर परिबद्ध किसी भी उपसमुच्चय की न्यूनतम ऊपरी सीमा होती है
 * नीचे परिबद्ध किसी उपसमुच्चय की अधिकतम निचली परिबद्धता होती है

उदाहरण

 * इस प्रकार से गैर-रिक्त परिमित लैटिस पूर्ण रूप से पूर्ण है।
 * किसी दिए गए समुच्चय का सत्ता स्थापित, उपसमुच्चय द्वारा आदेशित किये गये है। सुप्रीमम यूनियन (समुच्चय थ्योरी) द्वारा दिया जाता है और अनन्त उपसमुच्चय के इंटरसेक्शन (समुच्चय थ्योरी) द्वारा दिया जाता है।
 * इकाई अंतराल [0,1] और विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा, परिचित कुल क्रम और साधारण सर्वोच्च और न्यूनतम के साथ उपयोग किया जाता है। इसलिए, पूर्ण रूप से आदेशित समुच्चय (इसके आदेश टोपोलॉजी के साथ) कॉम्पैक्ट जगह टोपोलॉजिकल समष्टि के रूप में है यदि यह लैटिस के रूप में पूर्ण है।
 * विभाज्यता द्वारा क्रमित गैर-ऋणात्मक पूर्णांक,है। इस लैटिस का अधिक लघु अवयव संख्या 1 है क्योंकि यह किसी अन्य संख्या को विभाजित करता है। कदाचित् आश्चर्यजनक रूप से अधिक उच्च अवयव 0 है क्योंकि इसे किसी भी अन्य संख्या से विभाजित किया जा सकता है। परिमित समुच्चयों का सर्वोच्चतम लघुत्तम समापवर्त्य द्वारा और अनंतम् अधिक उच्च समापवर्तक द्वारा दिया जाता है। अनंत समुच्चयों के लिए सर्वोच्च सदैव 0 होगा जबकि अनंत 1 से अधिक हो सकता है। उदाहरण के लिए, सभी सम संख्याओं के समुच्चय में अधिक उच्च सामान्य भाजक 2 है। यदि इस संरचना से 0 हटा दिया जाए तो यह एक लैटिस बनी रहती है किन्तु पूर्ण होना संवृत हो जाती है।
 * समावेशन के तहत किसी दिए गए समूह के उपसमूह (जबकि यहां अधिक लघु सामान्य समुच्चय-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन है, उपसमूहों के समुच्चय का सर्वोच्च उपसमूह उपसमूहों के समुच्चय-सैद्धांतिक संघ द्वारा उत्पन्न उपसमूह है, प्रतिछेद (समुच्चय सिद्धांत) संघ स्वयं।) यदि ई जी की पहचान है, तब तुच्छ समूह {e} G का आंशिक क्रम उपसमूह है, जबकि आंशिक क्रम उपसमूह स्वयं समूह G है।
 * मॉड्यूल (गणित) के उपमॉड्यूल, समावेशन द्वारा आदेशित किये जाते है। सुप्रीमम को उपमॉड्यूल्स के योग और अनन्त को प्रतिछेद द्वारा दिया जाता है।
 * वलय (गणित) का आदर्श (वलय थ्योरी), समावेशन द्वारा आदेशित है। श्रेष्ठता को आदर्शों के योग और अंतःकरण द्वारा प्रतिच्छेदन द्वारा दिया जाता है।
 * टोपोलॉजिकल समष्टि के विवृत समुच्चय, समावेशन द्वारा आदेशित किया गया है। सुप्रीमम ओपन समुच्चय के मीट और अनन्त द्वारा इंटरसेक्शन के इंटीरियर (टोपोलॉजी) द्वारा दिया जाता है।
 * वास्तविक संख्या या समष्टि संख्या सदिश स्थान का उत्तल समुच्चय, समावेशन द्वारा आदेशित। अनंत उत्तल समुच्चय के प्रतिच्छेदन और संघ के उत्तल हल द्वारा सुप्रीमम द्वारा दिया जाता है।
 * समुच्चय पर टोपोलॉजिकल समष्टि, समावेशन द्वारा आदेशित किया जाता है। अनन्तम टोपोलॉजी के प्रतिच्छेदन द्वारा दिया जाता है, और टोपोलॉजी के संघ द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी द्वारा सुप्रीमम दिया जाता है।
 * समुच्चय पर सभी सकर्मक संबंध की लैटिस।
 * मल्टीसेट्स के सभी उप-मल्टीसेट्स की लैटिस।
 * समुच्चय पर सभी समतुल्य संबंध की लैटिस ; तुल्यता संबंध ~ को ≈ से छोटा (या महीन) माना जाता है यदि x~y सदैव x≈y को दर्शाता है।
 * वॉन न्यूमैन बीजगणित के स्व-संलग्न अनुमानों (जिसे ऑर्थोगोनल अनुमानों के रूप में भी जाना जाता है) की लैटिस।

स्थानीय रूप से परिमित पूर्ण लैटिस
पूर्ण लैटिस L को स्थानीय रूप से परिमित कहा जाता है यदि किसी अनंत उपसमुच्चय का सर्वोच्च 1 के समान है, या समतुल्य है, समुच्चय $$\{y \in L ~|~ y \le x\} \,\!$$ किसी के लिए परिमित है $$1 \ne x \in L$$. लैटिस (N, |) स्थानीय रूप से परिमित है। ध्यान दें कि इस लैटिस में, समान्यतः निरूपित अवयव 0 वास्तव में 1 है और इसके विपरीत है।

पूर्ण जालियों की रूपात्मकता
इस प्रकार से पूर्ण लैटिस के मध्य पारंपरिक रूपवाद पूर्ण समरूपता (या पूर्ण लैटिस समरूपता) हैं। इन्हें उन कार्यों के रूप में वर्णित किया जाता है जो संरक्षण (आदेश सिद्धांत) को सीमित करते हैं और सभी मिलते हैं। स्पष्ट रूप से, इसका तथ्य यह है कि फलन f: L→M दो पूर्ण लैटिस L और M के मध्य पूर्ण समरूपता है यदि


 * $$f\left(\bigwedge A\right) = \bigwedge\{f(a)\mid a\in A\}$$ और
 * $$f\left(\bigvee A\right) = \bigvee\{f(a)\mid a\in A\}$$,

चूंकि L के सभी उपसमुच्चय A के लिए इस प्रकार के फलन में स्वचालित रूप से मोनोटोनिक होते हैं, किन्तु पूर्ण समरूपता होने की स्थिति वास्तव में अधिक विशिष्ट होती है। इस कारण से, आकारिकी की असक्त धारणाओं पर विचार करना उपयोगी हो सकता है, जो केवल सभी जोड़ ( श्रेणी (गणित) समर्थन देते हुए) या सभी मीट (श्रेणी 'इन्फ' देते हुए) को संरक्षित करने के लिए आवश्यक हैं, जो वास्तव में स्थितियाँ असमान हैं। इस धारणा को क्रमशः पूर्ण मीट-अर्धलैटिस या पूर्ण जॉइन-अर्धलैटिस के समरूपता के रूप में माना जा सकता है।

गाल्वा कनेक्शन और आसन्न
इसके अतिरिक्त, आकारिकी जो सभी जोड़ों को संरक्षित करती है, को समान रूप से अद्वितीय गैलोज़ कनेक्शन के निचले आसन्न भाग के रूप में चित्रित किया जाता है। जहाँ P और Q की किसी भी जोड़ी के लिए, ये मोनोटोन फलन f और g के जोड़े द्वारा दिए गए हैं जैसे कि

$$f(x) \leq y \iff x \leq g(y)$$

जहाँ f को निचला संलग्नक कहा जाता है और g को ऊपरी संलग्नक कहा जाता है। आसन्न फंक्टर प्रमेय द्वारा, किसी भी पूर्व-आदेशों के मध्य मोनोटोन प्रस्तुत सभी जोड़ों को संरक्षित करता है यदि और केवल यदि यह निचला आसन्न है, और सभी को संरक्षित करता है यदि और केवल यदि यह ऊपरी आसन्न है।

इस प्रकार, प्रत्येक जुड़ने-संरक्षण मोर्फिज्म विपरीत दिशा में अद्वितीय ऊपरी आसन्न निर्धारित करता है जो सभी मीट को संरक्षित करता है। इसलिए, पूर्ण अर्ध-लैटिस मोर्फिज्म के साथ पूर्ण लैटिस पर विचार करना गैलोइस कनेक्शन को मोर्फिज्म के रूप में मानने के लिए उबलता है। यह इस अंतर्दृष्टि को भी उत्पन्न करता है कि प्रस्तुत किए गए रूपवाद मूल रूप से पूर्ण लैटिस की केवल दो अलग-अलग श्रेणियों का वर्णन करते हैं: पूर्ण समरूपता के साथ और मिलने-संरक्षण कार्यों (ऊपरी आसन्न), द्वंद्व (श्रेणी सिद्धांत) के साथ जुड़ने-संरक्षण मानचित्र के साथ ( निचले जोड़) है।

इस प्रकार से विशेष रूप से महत्वपूर्ण विशेष स्तिथि उपसमुच्चय P(X) और P(Y) के लैटिस और X से Y तक फलन के लिए है। इस स्तिथि में, पावर समुच्चय के मध्य प्रत्यक्ष छवि और विपरीत छवि प्रस्तुत दूसरे के ऊपरी और निचले भाग हैं, क्रमश।

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इस प्रकार से सदैव की तरह, स्वतंत्र वस्तुओं का निर्माण आकारिकी के चुने हुए वर्ग पर निर्भर करता है। और पहले उन कार्यों पर विचार करें जो सभी जोड़ (अर्थात गैलोज़ कनेक्शन के निचले आसन्न) को संरक्षित करते हैं, क्योंकि यह स्तिथि पूर्ण समरूपता के लिए स्थिति की तुलना में सरल है। उपर्युक्त शब्दावली का प्रयोग करते हुए, इसे स्वतंत्र पूर्ण जुड़ाव-अर्धलैटिस कहा जा सकता है।

सार्वभौमिक बीजगणित से मानक परिभाषा का उपयोग करते हुए, जनरेटिंग समुच्चय S पर पूर्ण पूर्ण लैटिस पूर्ण लैटिस L है जिसमें फलन i: S→L है, जैसे कि S से कोई भी फलन f कुछ पूर्ण लैटिस M के अंतर्निहित समुच्चय तक हो सकता है L से M तक आकारिकी f° के माध्यम से विशिष्ट रूप से गुणनखंडित किया गया। भिन्न रूप से कहा गया है, S के प्रत्येक अवयव s के लिए हम पाते हैं कि f(s) = f°(i(s)) और जहाँ f° इस गुण वाला मात्र आकारिकी है। ये नियम मूल रूप से यह कहने की राशि हैं कि समुच्चय और फलन की श्रेणी से पूर्ण लैटिस और जॉइन-प्रिज़र्विंग फलन की श्रेणी से फ़ंक्टर है, जो फॉरगेटफुल फ़ंक्टर से पूर्ण लैटिस से लेकर उनके अंतर्निहित समुच्चय तक है।

इस अर्थ में स्वतंत्र पूर्ण लैटिस का निर्माण अधिक समान से किया जा सकता है: कुछ समुच्चय S द्वारा उत्पन्न पूर्ण लैटिस और सत्ता स्थापित 2S है, अर्थात S के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय, उपसमुच्चय द्वारा क्रमित है। आवश्यक इकाई i:S→2S S के किसी भी अवयव s को एकल समुच्चय {s} में मैप करता है। उपरोक्त के रूप में मानचित्र f दिया गया है, फलन f°:2S→M द्वारा परिभाषित किया गया है जब f° संघों को सर्वोच्च में परिवर्तित करता है और इस प्रकार जुड़ने को संरक्षित करता है।
 * $$f^\circ (X) = \bigvee \{ f(s) | s \in X \}$$.

इस प्रकार से हमारे विचारों से आकारिकी के लिए एक स्वतंत्र निर्माण भी प्राप्त होता है जो जुड़ने के अतिरिक्त मिलने को संरक्षित करता है (अर्थात गैलोज़ कनेक्शन के ऊपरी जोड़)। वास्तव में, हमें केवल द्वैत (आदेश सिद्धांत) करना है जो ऊपर दर्शाया गया था: नि: शुल्क वस्तुओं को रिवर्स इनक्लूजन द्वारा ऑर्डर किए गए पावरसमुच्चय के रूप में दिया जाता है, जैसे कि समुच्चय यूनियन मीट ऑपरेशन प्रदान करता है, और फलन f° को मीट के अतिरिक्त मीट के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। इस निर्माण के परिणाम को स्वतंत्र पूर्ण मीट-अर्धलैटिस कहा जा सकता है। किसी को यह भी ध्यान देना चाहिए कि ये नि: शुल्क निर्माण उन लोगों का विस्तार कैसे करते हैं जिनका उपयोग सेमीलेटिस प्राप्त करने के लिए किया जाता है, जहां हमें केवल परिमित समुच्चयो पर विचार करने की आवश्यकता होती है।

स्वतंत्र पूर्ण लैटिस
संपूर्ण समाकारिता वाले पूर्ण लैटिसों की स्थिति स्पष्ट रूप से अधिक समष्टि है। वास्तव में, स्वतंत्र पूर्ण लैटिस समान्यतः उपस्तिथ नहीं होती है। और नि:संदेह, अनेक शब्द समस्या को लैटिस (क्रम) के स्तिथि के समान बना सकता है, किन्तु इस स्तिथि में सभी संभावित शब्द समस्या (गणित) (या पदों) का संग्रह उचित वर्ग होगा, क्योंकि अनेैतिक रूप से मिलता है और जॉइन में हर प्रमुखता के तर्क-समुच्चय के लिए ऑपरेशन सम्मिलत हैं।

यह गुण अपने आप में अनेक समस्या नहीं है: जैसा कि ऊपर दिखाए गए स्वतंत्र पूर्ण सेमीलैटिस के स्तिथि में, यह सही प्रकार से हो सकता है कि शब्द समस्या का समाधान केवल समकक्ष वर्गों का समुच्चय छोड़ देता है। दूसरे शब्दों में, यह संभव है कि सभी शब्दों के वर्ग के उचित वर्गों का ही अर्थ हो और इस प्रकार उन्हें स्वतंत्र निर्माण में पहचाना जाता है। चूंकि, पूर्ण लैटिस की शब्द समस्या के लिए तुल्यता वर्ग अधिक लघु हैं, जैसे कि स्वतंत्र पूर्ण लैटिस अभी भी उचित वर्ग होगा, जिसकी अनुमति नहीं है।

इस प्रकार से आशा कर सकते है कि कुछ उपयोगी स्तिथिया हैं जहां जेनरेटर का समुच्चय पूर्ण पूर्ण लैटिस के अस्तित्व के लिए पर्याप्त रूप से लघु है। दुर्भाग्य से, आकार सीमा अधिक लघु है और हमारे समीप निम्नलिखित प्रमेय है:

अतः तीन जनरेटर पर स्वतंत्र पूर्ण लैटिस उपस्तिथ नहीं है; इस प्रकार से यह उचित वर्ग है।

इस कथन का प्रमाण जॉनस्टोन द्वारा दिया गया है; मूल तर्क का श्रेय अल्फ्रेड डब्ल्यू हेल्स को दिया जाता है; स्वतंत्र लैटिस पर लेख भी देखें।

समापन
यदि ऊपर विचार किए गए जनरेटर के समुच्चय के स्थान पर उपयोग किए गए किसी दिए गए पोसमुच्चय से पूर्ण लैटिस स्वतंत्र रूप से उत्पन्न होती है, तो अनेक पॉसमुच्चय के पूर्ण होने का तथ्य मान सकते है। इस ऑपरेशन के परिणाम की परिभाषा स्वतंत्र वस्तुओं की उपरोक्त परिभाषा के समान है, जहां समुच्चय और फलन को पोसमुच्चय और मोनोटोन मानचित्र द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इसी तरह, मोनोटोन कार्यों के साथ पॉसेट्स की श्रेणी से फ़ंक्टर के रूप में पूर्ण करने की प्रक्रिया का वर्णन कर सकते हैं, उपयुक्त आकारिकी के साथ पूर्ण लैटिस की कुछ श्रेणी के लिए जो विपरीत दिशा में फॉरगेटफुल फ़ैक्टर के समीप छोड़ दिया गया है।

जब तक कोई मीट- या जॉइन-प्रिजर्विंग फलन को रूपवाद के रूप में मानता है, यह सरलता से तथाकथित डेडेकिंड-मैकनील पूर्णता के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रक्रिया के लिए, पोसमुच्चय के अवयव को (डेडेकाइंड-) कट्स के लिए मैप किया जाता है, जिसके पश्चात अनेैतिक रूप से पूर्ण लैटिस के अंतर्निहित पोसेट्स में मानचित्र किया जा सकता है, जैसा कि समुच्चय और फ्री पूर्ण (सेमी-) लैटिस के लिए किया जाता है।

पूर्वोक्त परिणाम यह है कि स्वतंत्र पूर्ण लैटिस उपस्तिथ नहीं है, यह दर्शाता है कि पॉसमुच्चय से स्वतंत्र निर्माण संभव नहीं है। इसे असतत क्रम के साथ पॉसेट्स पर विचार करके सरलता से देखा जा सकता है, जहां सभी अवयव केवल खुद से संबंधित होता है। अंतर्निहित समुच्चय पर ये बिल्कुल मुफ्त पोसमुच्चय हैं। क्या पॉसेट्स से पूर्ण लैटिस का स्वतंत्र निर्माण होगा, तो दोनों निर्माणों की रचना की जा सकती है, जो की ऊपर दिए गए ऋणात्मक परिणाम का खंडन करता है।

प्रतिनिधित्व
सर्वप्रथम जी बिरखॉफ की लैटिस थ्योरी किताब में अधिक उपयोगी प्रतिनिधित्व पद्धति सम्मिलत है। यह संबंध से गैलोज़ कनेक्शन का निर्माण करके दो समुच्चयो के मध्य किसी भी द्विआधारी संबंध के लिए पूर्ण लैटिस को जोड़ता है, जिसके पश्चात दो दोहरे आइसोमॉर्फिक संवृत करने वाला ऑपरेटर की ओर जाता है। क्लोजर सिस्टम समुच्चय के प्रतिछेद-संवृत वर्ग हैं। जब उपसमुच्चय संबंध ⊆ द्वारा आदेश दिया जाता है, तब वे पूर्ण लैटिस होते हैं।

इस प्रकार से बिरखॉफ के निर्माण का विशेष उदाहरण एकपक्षीय पॉसमुच्चय (P,≤) से प्रारंभ होता है और P और स्वयं के मध्य ऑर्डर संबंध ≤ से गैलोइस कनेक्शन का निर्माण करता है। परिणामी पूर्ण लैटिस डेडेकिंड-मैकनील पूर्णता है। जब यह पूर्णता पोसमुच्चय पर प्रयुक्त होती है जो की पहले से ही पूर्ण लैटिस है, तो परिणाम मूल के लिए क्रम-समरूपता है। इस प्रकार हम शीघ्र पाते हैं कि प्रत्येक पूर्ण लैटिस को बिरखॉफ की विधि द्वारा, समरूपता तक दर्शाया जाता है।

निर्माण का उपयोग औपचारिक अवधारणा विश्लेषण में किया जाता है, जहां कोई द्विआधारी संबंधों (औपचारिक संदर्भ कहा जाता है) द्वारा वास्तविक-शब्द डेटा का प्रतिनिधित्व करता है और डेटा विश्लेषण के लिए संबंधित पूर्ण लैटिस (जिसे अवधारणा लैटिस कहा जाता है) का उपयोग करता है। इसलिए औपचारिक अवधारणा विश्लेषण के पीछे का गणित पूर्ण लैटिस का सिद्धांत है।

चूंकि अन्य प्रतिनिधित्व निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है: पूर्ण लैटिस का एक उपसमुच्चय स्वयं एक पूर्ण जाली है (जब प्रेरित क्रम के साथ आदेश दिया जाता है) यदि और केवल यदि यह एक बढ़ती और निष्क्रिय (किन्तु आवश्यक नहीं कि व्यापक) स्व-मानचित्र की छवि है। पहचान मानचित्रण में स्पष्ट रूप से ये दो गुण हैं। इस प्रकार सभी पूर्ण लैटिस घटित होते हैं।

आगे के परिणाम
अतः पूर्व के प्रतिनिधित्व परिणामों के अतिरिक्त, कुछ अन्य कथन हैं जो पूर्ण लैटिस के पश्चात दिए जा सकते हैं, जो की इस स्तिथि में विशेष रूप से सरल रूप लेते हैं। इस प्रकार से उदाहरण नास्टर-टार्स्की प्रमेय है, जिसमें कहा गया है कि पूर्ण लैटिस पर मोनोटोन फलन के निश्चित बिंदु (गणित) का समुच्चय फिर से पूर्ण लैटिस है। यह सरलता से बढ़ते और निष्क्रिय कार्यों की छवियों के पश्चात् उपर्युक्त अवलोकन का सामान्यीकरण माना जाता है, क्योंकि ये प्रमेय के उदाहरण हैं।

यह भी देखें

 * लैटिस (आदेश)।