बाइनरी संबंध

गणित में, द्विआधारी (बाइनरी) सम्बन्ध किसी समुच्चय के अवयवों को सम्मिलित करता है, जिसे प्रान्त (डोमेन) कहा जाता है, तथा किसी अन्य समुच्चय के अवयवों के साथ, सहप्रांत (कोडोमेन) कहलाता है। समुच्चय $X$ और $Y$ पर द्विआधारी सम्बन्ध क्रमित युग्म $(x, y)$ का एक नवीन समुच्चय है जिसमें $X$ में $x$ अवयव और $Y$ में $y$ अवयव सम्मिलित हैं। यह एकल फलन के अधिक व्यापक रूप से समझे जाने वाले विचार का सामान्यीकरण है, परन्तु कम प्रतिबंधों के साथ। यह सम्बन्ध की सामान्य अवधारणा को कूटबद्ध करता है: अवयव $x$ एक अवयव $y$ से सम्बन्धित है, यदि और केवल यदि युग्म $(x, y)$ क्रमित युग्म के समुच्चय से सम्बन्धित है जो द्विआधारी सम्बन्ध को परिभाषित करता है। द्विआधारी सम्बन्ध समुच्चय $X_{1}, ..., X_{n}$ पर $n$-आर्य सम्बन्ध का सबसे अधिक अध्ययन किया गया विशेष स्थिति $n = 2$ है, जो कार्तीय गुणनफल $$X_1 \times \cdots \times X_n$$ का उपसमुच्चय है।

द्विआधारी सम्बन्ध का एक उदाहरण अभाज्य संख्या $$\mathbb{P}$$ के समुच्चय और पूर्णांक $$\mathbb{Z}$$ के समुच्चय पर "विभाजित" सम्बन्ध है, जिसमें प्रत्येक अभाज्य $p$ प्रत्येक पूर्णांक $z$ से सम्बन्धित है जो कि $p$ का गुणज है, परन्तु उस पूर्णांक से नहीं जो $p$ का गुणज नहीं है। इस सम्बन्ध में, उदाहरण के लिए, अभाज्य संख्या 2 −4, 0, 6, 10, जैसी संख्याओं से सम्बन्धित है, परन्तु 1 या 9 से नहीं, ठीक वैसे ही जैसे अभाज्य संख्या 3 0, 6 और 9 से सम्बन्धित है, परन्तु 4 या 13 से नहीं।

विभिन्न प्रकार की अवधारणाओं को प्रतिरूपित करने के लिए गणित की कई शाखाओं में द्विआधारी सम्बन्ध का उपयोग किया जाता है। इनमें अन्य के साथ निम्लिखित भी सम्मिलित हैं:
 * अंकगणित में "से बड़ा है", "बराबर है", और "विभाजित" संबंध;
 * ज्यामिति में "के सर्वांगसम" संबंध;
 * ग्राफ सिद्धांत में "निकटवर्ती है" संबंध;
 * रैखिक बीजगणित में "के लंबकोणीय है" संबंध।

फलन को विशेष प्रकार के द्विआधारी सम्बन्ध के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। संगणक विज्ञान में द्विआधारी सम्बन्धों का भी अत्यधिक उपयोग किया जाता है।

समुच्चय $X$ और $Y$ पर एक द्विआधारी सम्बन्ध $$X \times Y$$ के पावर समुच्चय का अवयव है। चूँकि अनुवर्ती समुच्चय को अंतर्वेशन (⊆) द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, प्रत्येक सम्बन्ध को $$X \times Y$$ के उपसमुच्चयों के जालक में स्थान प्राप्त होता है जब X = Y होता है अतः द्विआधारी सम्बन्ध को सजातीय सम्बन्ध कहा जाता है। द्विआधारी सम्बन्ध को विजातीय सम्बन्ध भी कहा जाता है जब यह आवश्यक नहीं है कि X = Y।

चूंकि सम्बन्ध समुच्चय हैं, उन्हें समुच्चय संक्रिया का उपयोग करके जोड़-तोड़ किया जा सकता है, जिसमें संश्रय, उभयनिष्ठ (इंटरसेक्शन) और पूरक सम्मिलित है, और समुच्चय के बीजगणित के नियमों को संतुष्ट करना। इसके अतिरिक्त, सम्बन्ध के प्रतिलोम और सम्बन्धों के संघटन जैसे संक्रियाएं उपलब्ध हैं, जो सम्बन्धों की कलन के नियमों को संतुष्ट करती हैं, जिसके लिए अर्नस्ट श्रोडर, क्लेरेंस लुईस, और गुंथर श्मिट द्वारा पाठ्यपुस्तकें हैं। सम्बन्धों के गहन विश्लेषण में उन्हें अवधारणाओं नामक उपसमुच्चय में विघटित करना और उन्हें एक पूर्ण जालक में रखना सम्मिलित है।

स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत की कुछ प्रणालियों में, सम्बन्धों को वर्गों तक विस्तारित किया जाता है, जो समुच्चयों का सामान्यीकरण है। रसेल के विरोधाभास जैसे तार्किक विसंगतियों में भाग लिए बिना, अन्य बातों के अतिरिक्त, इस विस्तार की आवश्यकता समुच्चय सिद्धांत में "का एक अवयव है" या "का एक उपसमुच्चय है" की अवधारणाओं को मॉडलिंग करने के लिए है।

संबंध समतुल्यता, द्विपदी संबंध और दो-स्थान सम्बन्ध द्विआधारी सम्बन्ध के लिए समानार्थी हैं, हालांकि कुछ लेखक $X$ और $Y$ के संदर्भ के बिना कार्तीय गुणन $$X \times Y$$ के किसी भी उपसमूह के लिए "द्विआधारी सम्बन्ध" शब्द का उपयोग करते हैं, और $X$ और $Y$ के संदर्भ में बाइनरी रिलेशन के लिए "समतुल्यता" शब्द आरक्षित करते हैं।

परिभाषा
दिए गए समुच्चय X और Y, कार्तीय गुणनफल $$X \times Y$$ को $$\{ (x, y) : x \in X \text{ and } y \in Y \},$$ के रूप में परिभाषित किया गया है और इसके अवयवों को क्रमित युग्म कहा जाता है।

समुच्चय X और Y पर द्विआधारी सम्बन्ध R $$X \times Y$$ का उपसमुच्चय है। समुच्चय X को प्रान्त या R के विचलन का समुच्चय कहा जाता है, और समुच्चय Y को सहप्रांत या R के गंतव्य का समुच्चय कहा जाता है। समुच्चय X और Y के विकल्पों को निर्दिष्ट करने के लिए, कुछ लेखक द्विआधारी सम्बन्ध या समतुल्यता को क्रमित ट्रिपल $(X, Y, G)$ के रूप में परिभाषित करते हैं, जहां G $$X \times Y$$ का एक उपसमुच्चय है जिसे द्विआधारी सम्बन्ध का ग्राफ कहा जाता है। प्रकथन $$(x, y) \in R$$ पढ़ता है "x R से सम्बन्धित है" और xRy द्वारा चिह्नित किया गया है।  परिभाषा-प्रांत या R का सक्रिय प्रान्त सभी x का समुच्चय है जैसे कम से कम एक y के लिए xRy। परिभाषा-सहप्रांत, सक्रिय सहप्रांत, छवि या R की श्रेणी सभी y का समुच्चय है जैसे कम से कम एक x के लिए xRy। R का क्षेत्र इसके परिभाषा-प्रांत और इसके परिभाषा-सहप्रांत का मिलन है।

जब $$X = Y,$$ द्विआधारी सम्बन्ध को एक (या अंतःकरण) कहा जाता है। इस तथ्य पर जोर देने के लिए कि X और Y को अलग-अलग होने की अनुमति है, एक द्विआधारी सम्बन्ध को विजातीय सम्बन्ध भी कहा जाता है।

द्विआधारी सम्बन्ध में, अवयवों का क्रम महत्वपूर्ण है; यदि $$x \neq y$$ है तो yRx xRy से स्वतंत्र रूप से सत्य या असत्य हो सकता है। उदाहरण के लिए, 3, 9 को विभाजित करता है, परन्तु 9, 3 को विभाजित नहीं करता।

उदाहरण
1) निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है कि सहप्रांत का चयन महत्वपूर्ण है। मान लीजिए कि चार वस्तुएँ $$A = \{ \text{ball, car, doll, cup} \}$$ और चार लोग $$B = \{ \text{John, Mary, Ian, Venus} \}$$ हैं। A और B पर एक संभावित सम्बन्ध $$R = \{ (\text{ball, John}), (\text{doll, Mary}), (\text{car, Venus}) \}$$ द्वारा दिया गया सम्बन्ध "के स्वामित्व में है" है। अर्थात, जॉन बॉल का मालिक है, मैरी डॉल का मालिक है, और वीनस कार का मालिक है। कोई भी कप का मालिक नहीं है और इयान के पास कुछ भी नहीं है; प्रथम उदाहरण देखें। एक समुच्चय के रूप में, R में इयान सम्मिलित नहीं है, और इसलिए R को $$A \times \{ \text{John, Mary, Venus} \},$$ के उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता था, अर्थात A और $$\{ \text{John, Mary, Venus} \};$$ पर एक सम्बन्ध, द्वितीय उदाहरण देखें। जबकि द्वितीय उदाहरण सम्बन्ध आच्छादक है (नीचे देखें), पहला नहीं है।

2) मान लीजिए कि A = {भारतीय, आर्कटिक, अटलांटिक, प्रशांत}, विश्व के महासागर, और B = {एनए, एसए, एएफ, ईयु, एएस, एयु, एए}, महाद्वीप हैं। माना aRb उस महासागर को निरूपित करता है जो महाद्वीप b की सीमा बनाता है। तब इस सम्बन्ध के लिए तार्किक आव्यूह है:




 * $$R = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 1 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \end{pmatrix} .$$

ग्रह पृथ्वी की संयोजकता को R RT और RT R के माध्यम से देखा जा सकता है, पूर्व में A पर $$4 \times 4$$ सम्बन्ध है, जो सार्वभौमिक सम्बन्ध ($$A \times A$$ या सभी का एक तार्किक आव्यूह) है। यह सार्वभौमिक सम्बन्ध इस तथ्य को दर्शाता है कि प्रत्येक महासागर दूसरे महाद्वीपों से अधिक से अधिक एक महाद्वीप से अलग होता है। दूसरी ओर, RT R $$B \times B$$ पर एक सम्बन्ध है जो सार्वभौमिक होने में विफल रहता है क्योंकि यूरोप से ऑस्ट्रेलिया तक यात्रा करने के लिए कम से कम दो महासागरों की यात्रा करनी चाहिए।

3) सम्बन्धों का चित्रण ग्राफ सिद्धांत पर निर्भर करता है: एक समुच्चय (सजातीय सम्बन्ध) पर सम्बन्धों के लिए, एक निर्देशित ग्राफ एक सम्बन्ध और एक ग्राफ एक सममित सम्बन्ध दिखाता है। विजातीय सम्बन्धों के लिए एक हाइपरग्राफ के किनारे संभवतः दो से अधिक नोड्स के साथ होते हैं, और एक द्विपक्षीय ग्राफ द्वारा चित्रित किया जा सकता है।

जिस प्रकार गुट किसी समुच्चय पर सम्बन्धों का अभिन्न अंग है, उसी प्रकार विजातीय सम्बन्धों का वर्णन करने के लिए द्विगुणित का उपयोग किया जाता है; वास्तव में, वे "अवधारणाएँ" हैं जो एक सम्बन्ध से जुड़ी एक जालकी उत्पन्न करती हैं।4) अतिपरवलकीय लम्बकोणीयता: समय और स्थान विभिन्न श्रेणियां हैं, और कालगत गुण स्थानिक गुणों से अलग हैं। समकालिक घटनाओं का विचार निरपेक्ष समय और स्थान में सरल है क्योंकि हर बार t उस ब्रह्माण्ड विज्ञान में एक साथ होने वाले अधिसमतल को निर्धारित करता है। हरमन मिन्कोव्स्की ने इसे बदल दिया जब उन्होंने सापेक्ष समकालिकता की धारणा को व्यक्त किया, जो कि तब उपस्थित होता है जब स्थानिक घटनाएं एक वेग की विशेषता वाले समय के लिए "सामान्य" होती हैं। उन्होंने एक अनिश्चित आंतरिक गुणन का उपयोग किया, और निर्दिष्ट किया कि एक समय सदिश एक सदिश के लिए सामान्य होता है जब वह गुणन शून्य होता है। संघटन बीजगणित में अनिश्चित आंतरिक गुणन किसके द्वारा दिया जाता है
 * $$ \ =\ x \bar{z} + \bar{x}z\;$$ जहां ओवरबार संयुग्मन को दर्शाता है।

कुछ लौकिक घटनाओं और कुछ स्थानिक घटनाओं के बीच सम्बन्ध के रूप में, अतिपरवलकीय लम्बकोणीयता (जैसा कि विभाजित-समिश्र संख्याओं में पाया जाता है) विजातीय सम्बन्ध है।

5) ज्यामितीय विन्यास को उसके बिंदुओं और उसकी रेखाओं के बीच के सम्बन्ध के रूप में माना जा सकता है। सम्बन्ध को घटना के रूप में व्यक्त किया जाता है। परिमित और अनंत प्रक्षेपी और एफ़ाइन तल सम्मिलित हैं। जैकब स्टेनर ने स्टेनर प्रणाली $$\text{S}(t, k, n)$$ के साथ विन्यासों की सूची बनाने का बीड़ा उठाया है जिसमें एक एन-एलिमेंट समुच्चय S और के-एलिमेंट उपसमुच्चय का एक समुच्चय है जिसे ब्लॉक कहा जाता है, जैसे कि टी अवयवों वाला एक उपसमुच्चय केवल एक ब्लॉक में निहित है। इन आपतन संघटनों को ब्लॉक अभिकल्पनाओं के साथ सामान्यीकृत किया गया है। इन ज्यामितीय संदर्भों में प्रयुक्त घटना आव्यूह सामान्यतः द्विआधारी सम्बन्धों के साथ उपयोग किए जाने वाले तार्किक आव्यूह से मेल खाती है।
 * घटना संघटन एक ट्रिपल D = (V, B, I) है जहां V और B कोई भी दो अलग समुच्चय हैं और I, V और B के बीच द्विआधारी सम्बन्ध है, अर्थात $$I \subseteq V \times \textbf{B}$$। V के अवयवों को बिंदु कहा जाएगा, जो B के हैं ब्लॉक और I के फ्लैग्स।

विशेष प्रकार के द्विआधारी सम्बन्ध
समुच्चय X और Y पर कुछ महत्वपूर्ण प्रकार के द्विआधारी सम्बन्ध R नीचे सूचीबद्ध हैं।

विशिष्टता गुण:
 * अंतःक्षेपक (वाम-विशिष्ट भी कहा जाता है): सभी $$x, z \in X$$ और सभी $$y \in Y,$$ के लिए, यदि $B$ और $A$ तो $B$। ऐसे सम्बन्ध के लिए, {Y} को R की प्राथमिक कुंजी कहते हैं। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले रंग के द्विआधारी सम्बन्ध अंतःक्षेपक हैं, परन्तु लाल वाले (क्योंकि यह -1 और 1 से 1 दोनों को सम्बन्धित करता है), और न ही काला वाले है (क्योंकि यह -1 और 1 से 0 दोनों से सम्बन्धित है)।
 * प्रकार्यात्मक (जिसे राइट-यूनीक भी कहा जाता है, राइट-डेफिनिट या अयुग्म (यूनिवेलेंट)): सभी $$x \in X$$ और सभी $$y, z \in Y,$$ के लिए, यदि $A$ और $xRy$ तो $zRy$। ऐसे द्विआधारी सम्बन्ध को कहते हैं। ऐसे सम्बन्ध के लिए, $$\{ X \}$$ को R की प्राथमिक कुंजी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी सम्बन्ध प्रकार्यात्मक हैं, परन्तु नीला वाला (क्योंकि यह 1 को -1 और 1 दोनों से जोड़ता है), और न ही काला वाला है (क्योंकि यह 0 से सम्बन्धित है -1 और 1)।
 * वन-टू-वन: अंतःक्षेपक और प्रकार्यात्मक। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे रंग का द्विआधारी सम्बन्ध वन-टू-वन है, परन्तु लाल, नीला और काला नहीं है।
 * वन-टू-मैनी: अंतःक्षेपक और प्रकार्यात्मक नहीं। उदाहरण के लिए, आरेख में नीला द्विआधारी सम्बन्ध वन-टू-मैनी है, परन्तु लाल, हरे और काले वाले नहीं हैं।
 * मैनी-टू-वन: प्रकार्यात्मक और अंतःक्षेपक नहीं। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल द्विआधारी सम्बन्ध मैनी-टू-वन है, परन्तु हरे, नीले और काले रंग नहीं हैं।
 * मैनी-टू-मैनी: अंतःक्षेपक नहीं और न ही प्रकार्यात्मक। उदाहरण के लिए, आरेख में काला द्विआधारी सम्बन्ध मैनी-टू-मैनी है, परन्तु लाल, हरे और नीले रंग नहीं हैं।

संपूर्णता गुण (केवल प्रान्त X और सहप्रांत Y निर्दिष्ट होने पर ही परिभाषित किया जा सकता है):
 * टोटल (जिसे वाम-टोटल भी कहा जाता है): X में सभी x के लिए Y में एक y उपस्थित है जैसे कि $x = z$। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का क्षेत्र X के बराबर है। यह गुणधर्म गुणधर्मों में संबद्ध (कुछ लेखकों द्वारा टोटल भी कहा जाता है) की परिभाषा से भिन्न है। इस तरह के द्विआधारी सम्बन्ध को कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी सम्बन्ध टोटल हैं, परन्तु नीला वाला (क्योंकि यह -1 को किसी भी वास्तविक संख्या से सम्बन्धित नहीं करता है), और न ही काला है (क्योंकि यह किसी भी वास्तविक संख्या से 2 को सम्बन्धित नहीं करता है)। एक अन्य उदाहरण के रूप में, > पूर्णांकों पर टोटल सम्बन्ध है। परन्तु यह धनात्मक पूर्णांकों पर टोटल सम्बन्ध नहीं है, क्योंकि धनात्मक पूर्णांकों में ऐसा कोई y नहीं है कि $xRy$। हालाँकि, < धनात्मक पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं पर टोटल सम्बन्ध है। प्रत्येक स्वतुल्य सम्बन्ध पूर्ण होता है: किसी दिए गए $x$ के लिए, $xRz$ चुनें।
 * आच्छादित (जिसे राइट-टोटल या एकाकी भी कहा जाता है): Y में सभी y के लिए, X में एक x उपस्थित है जैसे xRy। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का कोड प्रान्त Y के बराबर है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले रंग के द्विआधारी सम्बन्ध विशेषण हैं, परन्तु लाल वाला (क्योंकि यह -1 से किसी भी वास्तविक संख्या को सम्बन्धित नहीं करता है), और न ही काला वाला है (क्योंकि यह किसी वास्तविक संख्या को 2 से सम्बन्धित नहीं करता है)।

विलक्षणता और समग्रता गुण (केवल तभी परिभाषित किया जा सकता है जब प्रान्त X और सहप्रांत Y निर्दिष्ट किए गए हों):
 * : द्विआधारी सम्बन्ध जो प्रकार्यात्मक और समग्र है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी सम्बन्ध फलन हैं, परन्तु नीले और काले रंग के नहीं हैं।
 * फलन जो अंतःक्षेपक है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे रंग का द्विआधारी सम्बन्ध एक अंतःक्षेपक है, परन्तु लाल, नीला और काला नहीं है।
 * : फलन जो आच्छादक है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे रंग का द्विआधारी सम्बन्ध एक विशेषण है, परन्तु लाल, नीला और काला नहीं है।
 * : फलन जो अंतःक्षेपी और विशेषण है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे रंग का द्विआधारी सम्बन्ध एक आक्षेप है, परन्तु लाल, नीला और काला नहीं है।

यदि उचित वर्गों पर सम्बन्धों की अनुमति है:
 * समुच्चय-लाइक (या स्थानीय): $x$ में सभी $X$ के लिए, $y$ में सभी $Y$ की वर्ग जैसे कि $y = z$, अर्थात $$\{y\in Y : yRx\}$$, एक समुच्चय है। उदाहरण के लिए, सम्बन्ध $$\in$$ समुच्चय-लाइक है, और दो समुच्चय पर प्रत्येक सम्बन्ध समुच्चय-लाइक है। सामान्य क्रम < क्रमसूचक संख्याओं के वर्ग के ऊपर एक समुच्चय जैसा सम्बन्ध होता है, जबकि इसका प्रतिलोम > नहीं होता है।

संश्रय
यदि R और S समुच्चय X और Y पर द्विआधारी सम्बन्ध हैं तो $$R \cup S = \{ (x, y) : xRy \text{ or } xSy \}$$ X और Y पर R और S का संश्रय सम्बन्ध है।

तत्समक अवयव रिक्त सम्बन्ध है। उदाहरण के लिए, $$\,\leq\,$$ < और = का संश्रय है, और $$\,\geq\,$$ > और = का संश्रय है।

उभयनिष्ठ
यदि R और S समुच्चय X और Y पर द्विआधारी सम्बन्ध हैं तो $$R \cap S = \{ (x, y) : xRy \text{ and } xSy \}$$ X और Y पर R और S का उभयनिष्ठ सम्बन्ध है।

तत्समक अवयव सार्वत्रिक सम्बन्ध है। उदाहरण के लिए, सम्बन्ध "6 से विभाज्य है" "3 से विभाज्य है" और "2 से विभाज्य है" सम्बन्धों का उभयनिष्ठ है।

संघटन
यदि R समुच्चय X और Y पर एक द्विआधारी सम्बन्ध है, और S समुच्चय Y और Z पर एक द्विआधारी सम्बन्ध है तो $$S \circ R = \{ (x, z) : \text{ there exists } y \in Y \text{ such that } xRy \text{ and } ySz \}$$ (R द्वारा भी निरूपित किया जाता है; S) X और Z से अधिक R और S का संघटन सम्बन्ध है।

तत्समक अवयव तत्समक का सम्बन्ध है। अंकन $$S \circ R,$$ में R और S का क्रम, यहां उपयोग किए गए फलनों के संघटन के लिए मानक अंकन क्रम से सहमत हैं। उदाहरण के लिए, संघटन (की जनक है)$$\,\circ\,$$(की माता है) पैदावार (की नानी है), जबकि संघटन (की माता है)$$\,\circ\,$$(की जनक है) उपज (की दादी है)। पूर्व स्थिति के लिए, यदि x, y का माता-पिता है और y, z की माता है, तो x, z का दादा-दादी है।

प्रतिलोम
यदि R समुच्चय X और Y पर एक द्विआधारी सम्बन्ध है तो $$R^\textsf{T} = \{ (y, x) : xRy \}$$, Y और X पर R का प्रतिलोम सम्बन्ध है।

उदाहरण के लिए, = स्वयं का प्रतिलोम है, जैसे $$\,\neq,\,$$$$\,<\,$$ तथा $$\,>\,$$ एक-दूसरे के प्रतिलोम हैं, जैसे $$\,\leq\,$$ और $$\,\geq\,$$ हैं। द्विआधारी सम्बन्ध इसके प्रतिलोम के बराबर होता है यदि और केवल यदि यह सममित है।

पूरक (कॉम्प्लीमेंट)
यदि R समुच्चय X और Y पर एक द्विआधारी सम्बन्ध है तो $$\overline{R} = \{ (x, y) : \text{ not } xRy \}$$ (जिसे R या $xRy$ द्वारा भी निरूपित किया जाता है) X और Y के ऊपर R का पूरक सम्बन्ध है।

उदाहरण के लिए, $$\,=\,$$ और $$\,\neq\,$$ एक दूसरे के पूरक हैं, जैसे $$\,\subseteq\,$$ और $$\,\not\subseteq,\,$$ और $$\,\supseteq\,$$ और $$\,\not\supseteq,\,$$ और $$\,\in\,$$ और $$\,\not\in,\,$$ टोटल अनुक्रम के लिए, < और $$\,\geq,\,$$ और > और $$\,\leq\,$$ भी।

प्रतिलोम सम्बन्ध $$R^\textsf{T}$$ का पूरक पूरक का प्रतिलोम है: $$\overline{R^\mathsf{T}} = \bar{R}^\mathsf{T}$$।

यदि $$X = Y,$$ के पूरक में निम्नलिखित गुण हैं:
 * यदि कोई सम्बन्ध सममित है, तो पूरक भी सममित है।
 * प्रतिवर्त सम्बन्ध का पूरक अप्रतिवर्ती है—और इसके प्रतिलोम।
 * पूर्णतः अशक्त अनुक्रम का पूरक टोटल पूर्व अनुक्रम है - और इसके प्रतिलोम।

प्रतिबंध
यदि R एक समुच्चय X पर द्विआधारी सजातीय सम्बन्ध है और S, X का उपसमुच्चय है तो $$R_{\vert S} = \{ (x, y) \mid xRy \text{ and } x \in S \text{ and } y \in S \}$$, R से S के ऊपर X का प्रतिबंध सम्बन्ध है।

यदि R, X और Y के समुच्चय पर द्विआधारी सम्बन्ध है और यदि S, X का एक उपसमुच्चय है तो $$R_{\vert S} = \{ (x, y) \mid xRy \text{ and } x \in S \}$$ X और Y पर R से S का बायाँ-प्रतिबंध सम्बन्ध है। [reference missing स्पष्टीकरण की आवश्यकता]

यदि R समुच्चय X और Y पर द्विआधारी सम्बन्ध है और यदि S, Y का एक उपसमुच्चय है तो $$R^{\vert S} = \{ (x, y) \mid xRy \text{ and } y \in S \}$$ X और Y पर R से S का दायाँ-प्रतिबंध सम्बन्ध है।

यदि कोई सम्बन्ध प्रतिवर्ती, अप्रतिवर्ती, सममित, असममित, असममित, सकर्मक, टोटल, त्रिकोटोमस, आंशिक अनुक्रम, टोटल अनुक्रम, पूर्णतः अशक्त अनुक्रम, टोटल पूर्ववर्ती (अशक्त अनुक्रम), या एक तुल्यता सम्बन्ध है, तो उसके प्रतिबंध भी हैं।

हालांकि, एक प्रतिबंध का सकर्मक समापन सकर्मक बंद होने के प्रतिबंध का एक उपसमुच्चय है, अर्थात सामान्य रूप से बराबर नहीं है। उदाहरण के लिए, महिलाओं के लिए "x, y का जनक है" सम्बन्ध को प्रतिबंधित करने से सम्बन्ध "x, महिला y की मां है" उत्पन्न होता है; इसका सकर्मक बंद होना एक महिला को उसकी नानी के साथ नहीं जोड़ता है। दूसरी ओर, "के माता-पिता है" का सकर्मक समापन "का पूर्वज है"; महिलाओं के लिए इसका प्रतिबंध एक महिला को उसकी नानी से सम्बन्धित करता है।

इसके अतिरिक्त, पूर्णता की विभिन्न अवधारणाएं ("टोटल" होने के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए) प्रतिबंधों पर निर्भर नहीं हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्याओं पर सम्बन्ध $$\,\leq\,$$ की एक संपत्ति यह है कि $$\R$$ में ऊपरी सीमा के साथ प्रत्येक अरिक्त उपसमुच्चय $$S \subseteq \R$$ में $$\R$$ में सबसे कम ऊपरी सीमा (जिसे सुप्रीमम भी कहा जाता है) है। हालांकि, परिमेय संख्याओं के लिए यह सर्वोच्चता आवश्यक रूप से परिमेय नहीं है, इसलिए समान गुण परिमेय संख्याओं के सम्बन्ध $$\,\leq\,$$ के प्रतिबंध पर नहीं टिकता है।

समुच्चय X और Y पर द्विआधारी सम्बन्ध R को X और Y के ऊपर एक सम्बन्ध S में निहित कहा जाता है, जिसे $$R \subseteq S,$$ लिखा जाता है, यदि R, S का एक उपसमुच्चय है, अर्थात सभी $$x \in X$$ और $$y \in Y,$$ के लिए, यदि xRy, तो xSy। यदि R, S में समाहित है और S, R में समाहित है, तो R और S को बराबर लिखित R = S कहते हैं। यदि R, S में निहित है, परन्तु S, R में समाहित नहीं है, तो R को S से छोटा कहा जाता है, जिसे $$R \subsetneq S$$ लिखा जाता है। उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं पर, सम्बन्ध $$\,>\,$$, $$\,\geq,\,$$से छोटा और संघटन $$\,>\,\circ\,>\,$$ के बराबर है।

आव्यूह निरूपण
समुच्चय X और Y पर द्विआधारी सम्बन्धों को X और Y द्वारा अनुक्रमित तार्किक आव्यूह द्वारा बूलियन सेमिरिंग में प्रविष्टियों के साथ बीजगणितीय रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है (योग ऑर के अनुरूप है और गुणा एंड से) जहां आव्यूह जोड़ सम्बन्धों के मिलन से मेल खाता है, आव्यूह गुणन सम्बन्धों के संघटन से मेल खाता है (X और Y के ऊपर एक सम्बन्ध और Y और Z के ऊपर एक सम्बन्ध), हैडमार्ड गुणन सम्बन्धों के उभयनिष्ठ से मेल खाता है, शून्य आव्यूह रिक्त सम्बन्ध से मेल खाता है, और लोगों का आव्यूह का सार्वभौमिक सम्बन्ध से मेल खाता है। सजातीय सम्बन्ध (जब $1 > y$) एक आव्यूह सेमीरिंग बनाते हैं (वास्तव में, बूलियन सेमीरिंग के ऊपर एक आव्यूह अर्ध बीजगणित) जहां तत्समक आव्यूह तत्समक सम्बन्ध के अनुरूप है।

समुच्चय बनाम वर्ग
कुछ गणितीय "सम्बन्ध", जैसे "बराबर", "उपसमुच्चय", और "सदस्य", को द्विआधारी सम्बन्ध नहीं समझा जा सकता है जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, क्योंकि उनके प्रान्त और सहप्रांत को स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत की सामान्य प्रणालियों में समुच्चय नहीं माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, "समानता" की सामान्य अवधारणा को एक द्विआधारी सम्बन्ध $$\,=,$$ के रूप में मॉडल करने के लिए प्रान्त और सहप्रांत को "सभी समुच्चयों का वर्ग" लें, जो सामान्य समुच्चय सिद्धांत में एक समुच्चय नहीं है।

अधिकांश गणितीय संदर्भों में, समानता, सदस्यता और उपसमुच्चय के सम्बन्धों के संदर्भ हानिरहित होते हैं क्योंकि उन्हें संदर्भ में कुछ समुच्चय तक ही सीमित रूप से समझा जा सकता है। इस समस्या का सामान्य वर्क-अराउंड एक "पर्याप्त बड़ा" समुच्चय A का चयन करना है, जिसमें रुचि के सभी ऑब्जेक्ट सम्मिलित हैं, और = के बजाय प्रतिबंध =A के साथ फलन करना है। इसी तरह, सम्बन्ध $$\,\subseteq\,$$ के "उपसमुच्चय" को प्रान्त और सहप्रांत P(A) (एक विशिष्ट समुच्चय A का पावर समुच्चय) के लिए प्रतिबंधित करने की आवश्यकता है: परिणामी समुच्चय सम्बन्ध को $$\,\subseteq_A\,$$ द्वारा निरूपित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, "सदस्य" सम्बन्ध को एक द्विआधारी सम्बन्ध $$\,\in\,$$ प्राप्त करने के लिए प्रान्त ए और सहप्रांत पी (ए) तक सीमित होना चाहिए जो एक समुच्चय है। बर्ट्रेंड रसेल ने दिखाया है कि $$\,\in_A\,$$ को सभी समुच्चयों पर परिभाषित करने के लिए सहज समुच्चय सिद्धांत में एक विरोधाभास होता है, रसेल के विरोधाभास को देखें।

इस समस्या का एक अन्य समाधान उचित वर्गों के साथ समुच्चय सिद्धांत का उपयोग करना है, जैसे कि एनबीजी या मोर्स-केली समुच्चय सिद्धांत, और प्रान्त और सहप्रांत (और इसलिए ग्राफ़) को उचित वर्ग होने दें: ऐसे सिद्धांत में, समानता, सदस्यता, और उपसमुच्चय बिना किसी विशेष टिप्पणी के द्विआधारी सम्बन्ध हैं। (क्रमित ट्रिपल $y = x$ की अवधारणा के लिए एक मामूली संशोधन की आवश्यकता है, क्योंकि सामान्यतः एक उचित वर्ग एक क्रमित टपल का सदस्य नहीं हो सकता है; या निश्चित रूप से कोई इस संदर्भ में इसके ग्राफ के साथ द्विआधारी सम्बन्ध की तत्समक कर सकता है।) इस परिभाषा के साथ, उदाहरण के लिए, प्रत्येक समुच्चय और उसके पावर समुच्चय पर एक द्विआधारी सम्बन्ध को परिभाषित कर सकते हैं।

सजातीय सम्बन्ध
समुच्चय X पर एक सजातीय सम्बन्ध X और स्वयं पर एक द्विआधारी संबंध है, अर्थात यह कार्तीय गुणनफल $$X \times X$$ का एक उपसमुच्चय है। इसे केवल X पर एक (द्विआधारी) सम्बन्ध भी कहा जाता है।

समुच्चय X पर एक सजातीय सम्बन्ध R को एक निर्देशित सरल ग्राफ अनुमति लूप के साथ तत्समका जा सकता है, जहां X वर्टेक्स समुच्चय है और R किनारे का समुच्चय (शीर्ष x से शीर्ष y तक एक किनारा है यदि और केवल यदि $yRx$) है। समुच्चय X पर सभी सजातीय सम्बन्धों का समुच्चय $$\mathcal{B}(X)$$ पावर समुच्चय $$2^{X \times X}$$ है जो एक बूलियन बीजगणित है जो इसके प्रतिलोम सम्बन्ध के सम्बन्ध के मानचित्रण के अंतर्वेशन के साथ बढ़ाया गया है। $$\mathcal{B}(X)$$ पर एक द्विआधारी संक्रिया के रूप में सम्बन्धों के संघटन पर विचार करते हुए, यह सम्मिलित होने के साथ एक अर्धसमूह बनाता है।

सजातीय सम्बन्ध के कुछ महत्वपूर्ण गुण $R$ एक समुच्चय पर $X$ हो सकता है:
 * : सभी $$x \in X,$$ $&not; R$ के लिए। उदाहरण के लिए, $$\,\geq\,$$ एक प्रतिवर्त सम्बन्ध है परन्तु > नहीं है।
 * सभी $$x \in X,$$ के लिए नहीं $X = Y$। उदाहरण के लिए, $$\,>\,$$ एक अपरिवर्तनीय सम्बन्ध है, परन्तु $$\,\geq\,$$ नहीं है।
 * : सभी के लिए $$x, y \in X,$$ यदि $(X, Y, G)$ तो $xRy$। उदाहरण के लिए, "का रक्त सम्बन्धी है" एक सममित सम्बन्ध है।
 * : सभी $$x, y \in X,$$ के लिए यदि $xRx$ और $xRx$ तो $$x = y$$। उदाहरण के लिए, $$\,\geq\,$$ एक एंटीसिमेट्रिक सम्बन्ध है।
 * : सभी $$x, y \in X,$$ के लिए यदि $xRy$ है तो $yRx$ नहीं है। एक सम्बन्ध असममित होता है यदि और केवल यदि यह असममित और अपरिवर्तनशील दोनों हो। उदाहरण के लिए, > एक असममित सम्बन्ध है, परन्तु $$\,\geq\,$$ नहीं है।
 * : सभी $$x, y, z \in X,$$ के लिए यदि $xRy$ और $yRx$ तो $xRy$। एक सकर्मक सम्बन्ध अपरिवर्तनीय होता है यदि और केवल यदि यह असममित हो। उदाहरण के लिए, "का पूर्वज है" एक सकर्मक सम्बन्ध है, जबकि "का माता-पिता है" नहीं है।
 * : सभी $$x, y \in X,$$ के लिए यदि $$x \neq y$$ तो $yRx$ या $xRy$।
 * : सभी $$x, y \in X,$$ $yRz$ या $xRz$ के लिए।
 * सभी $$x, y \in X,$$ के लिए यदि $$xRy ,$$ है, तो कुछ $$z \in X$$ ऐसे मौजूद हैं कि $$xRz$$ और $${\displaystyle zRy}$$ हैं।

एक ऐसा सम्बन्ध है जो प्रतिवर्त, प्रतिसममित और सकर्मक होता है। एक ऐसा सम्बन्ध है जो अप्रतिवर्ती, प्रतिसममित और सकर्मक होता है।  एक ऐसा सम्बन्ध है जो प्रतिवर्ती, प्रतिसममित, संक्रामक और जुड़ा हुआ है।  एक ऐसा सम्बन्ध है जो अप्रतिवर्ती, प्रतिसममित, संक्रामक और जुड़ा हुआ है। एक  एक ऐसा सम्बन्ध है जो प्रतिवर्ती, सममित और सकर्मक है। उदाहरण के लिए, "x विभाजित करता है y" एक आंशिक है, परन्तु प्राकृतिक संख्या $$\N,$$ पर टोटल क्रम नहीं "x < y" $$\N,$$ पर एक पूर्णतः टोटल अनुक्रम है और "x y के समानांतर है" यूक्लिडियन तल में सभी रेखाओं के समुच्चय पर एक समानता सम्बन्ध है।

अनुभाग में परिभाषित सभी संक्रिया द्विआधारी सम्बन्धों पर संक्रिया भी सजातीय सम्बन्धों पर लागू होते हैं। इसके अतिरिक्त, एक समुच्चय X पर एक सजातीय सम्बन्ध को क्लोजर संक्रिया के अधीन किया जा सकता है जैसे:
 * : X युक्त R पर सबसे छोटा स्वतुल्य सम्बन्ध,
 * : R युक्त X पर सबसे छोटा सकर्मक सम्बन्ध,
 * : R युक्त X पर सबसे छोटा समतुल्य सम्बन्ध।

विजातीय सम्बन्ध
गणित में, विजातीय सम्बन्ध एक द्विआधारी सम्बन्ध है, जो कार्तीय गुणन $$A \times B,$$ का उपसमुच्चय है जहां A और B संभवतः भिन्न समुच्चय हैं। उपसर्ग हेटेरो ग्रीक ἕτερος (विजातीयलैंगिक, "अन्य, अन्य, भिन्न") से है।

विजातीय सम्बन्ध को एक आयताकार सम्बन्ध कहा गया है, यह सुझाव देते हुए कि इसमें एक समुच्चय पर समरूप सम्बन्ध का वर्ग-समरूपता नहीं है जहां $$A = B$$। सजातीय सम्बन्धों से परे द्विआधारी सम्बन्धों के विकास पर टिप्पणी करते हुए, शोधकर्ताओं ने लिखा, "... सिद्धांत का एक प्रकार विकसित हुआ है जो सम्बन्धों को शुरुआत से ही विजातीय या आयताकार मानता है, अर्थात सम्बन्धों के रूप में जहां सामान्य स्थिति यह है कि वे अलग-अलग समुच्चयों के बीच सम्बन्ध हैं।"

सम्बन्धों की गणना
बीजगणितीय तर्कशास्त्र में विकास ने द्विआधारी सम्बन्धों के उपयोग को सुगम बनाया है। सम्बन्धों की गणना में समुच्चयों का बीजगणित सम्मिलित है, सम्बन्धों के संघटन और प्रतिलोम सम्बन्धों के उपयोग द्वारा विस्तारित। अंतर्वेशन $$R \subseteq S,$$ का अर्थ है कि aRb का तात्पर्य aSb से है, जो सम्बन्धों के जालक में दृश्य को समुच्चय करता है। परन्तु $$P \subseteq Q \equiv (P \cap \bar{Q} = \varnothing ) \equiv (P \cap Q = P),$$ के बाद से सम्मिलित किए जाने का प्रतीक अनावश्यक है। फिर भी, श्रोडर नियमों के अनुसार संक्रियकों के सम्बन्धों और हेरफेर के संघटन, $$A \times B$$ की शक्ति समुच्चय में काम करने के लिए एक कलन प्रदान करती है। समरूप सम्बन्धों के प्रतिलोम, सम्बन्धों के संक्रिया के संघटन केवल एक आंशिक फलन है। रचित सम्बन्धों के प्रान्त के लिए सीमा के मिलान की आवश्यकता ने सुझाव दिया है कि विजातीय सम्बन्धों का अध्ययन श्रेणी सिद्धांत का एक अध्याय है, जैसा कि समुच्चय की श्रेणी में होता है, सिवाय इसके कि इस श्रेणी के आकारिकी सम्बन्ध हैं। रेल श्रेणी के ऑब्जेक्ट समुच्चय होते हैं, और सम्बन्ध-रूपवाद एक श्रेणी में आवश्यक रूप से बनते हैं।

प्रेरित अवधारणा जालक
द्विआधारी सम्बन्धों को उनकी प्रेरित अवधारणा जालक के माध्यम से वर्णित किया गया है: अवधारणा C ⊂ R दो गुणों को संतुष्ट करती है: (1) C का तार्किक आव्यूह तार्किक सदिश का बाह्य गुणनफल है
 * $$C_{i j} \ = \ u_i v_j, \quad u, v$$ तार्किक सदिश। (2) C अधिकतम है, किसी अन्य बाहरी गुणन में निहित नहीं है। इस प्रकार C को एक गैर-विस्तार योग्य आयत के रूप में वर्णित किया गया है।

किसी दिए गए सम्बन्ध $$R \subseteq X \times Y,$$ के लिए, अवधारणाओं का समुच्चय, उनके जुड़ने और मिलने से बढ़ा हुआ, एक "अवधारणाओं का प्रेरित जालक" बनाता है, जिसमें $$\sqsubseteq$$ को सम्मिलित करने से एक पूर्व अनुक्रम बनता है।

मैकनीले पूर्णता प्रमेय (1937) (कि किसी भी आंशिक क्रम को एक पूर्ण जालकी में एम्बेड किया जा सकता है) को 2013 के एक सर्वेक्षण लेख "अवधारणा जालकी पर सम्बन्धों का विघटन" में उद्धृत किया गया है। अपघटन होता है
 * $$R \ = \ f \ E \ g^\textsf{T} ,$$ जहां f और g फलन हैं, जिन्हें इस संदर्भ में प्रतिचित्रण या बाएं-टोटल, असमान सम्बन्ध कहा जाता है। "प्रेरित अवधारणा जालकी आंशिक अनुक्रम E के कट पूर्णता के लिए आइसोमोर्फिक है जो सम्बन्ध R के न्यूनतम अपघटन (f, g, E) से सम्बन्धित है।"

विशेष मामलों पर नीचे विचार किया गया है: E टोटल अनुक्रम फेरर्स प्रकार से मेल खाता है, और E तत्समक अलग-अलग, एक समुच्चय पर समानता सम्बन्ध का एक सामान्यीकरण से मेल खाती है।

सम्बन्धों को स्कीन रैंक द्वारा रैंक किया जा सकता है जो एक सम्बन्ध को कवर करने के लिए आवश्यक अवधारणाओं की संख्या की गणना करता है। अवधारणाओं के साथ सम्बन्धों का संघटनत्मक विश्लेषण डाटा माइनिंग के लिए एक दृष्टिकोण प्रदान करता है।

विशेष सम्बन्ध

 * प्रस्ताव: यदि R एक क्रमिक सम्बन्ध है और RT इसका स्थानांतरण है, तो $$I \subseteq R^\textsf{T} R$$ जहां $$I$$ m × m तत्समक सम्बन्ध है।
 * तर्कवाक्य: यदि R एक विशेषण सम्बन्ध है, तो $$I \subseteq R R^\textsf{T}$$ जहां $$I$$ $$n \times n$$ तत्समक सम्बन्ध है।

द्विक्रियात्मक (डाईफंक्शनल)
तुल्यता सम्बन्ध की अवधारणा के सामान्यीकरण के रूप में, भिन्नात्मक सम्बन्धों का विचार अलग-अलग विशेषताओं द्वारा वस्तुओं को विभाजित करना है। एक तरीका यह किया जा सकता है संकेतक के बीच के समुच्चय $$Z = \{ x, y, z, \ldots \}$$ के साथ। विभाजन सम्बन्ध $$R = F G^\textsf{T}$$, अयुग्म सम्बन्धों $$F \subseteq A \times Z \text{ and } G \subseteq B \times Z$$ का उपयोग करते हुए सम्बन्धों की एक संघटन है। जैक्स रिगुएट ने इन सम्बन्धों को द्विक्रियात्मक नाम दिया है क्योंकि संघटन F GT में असमान सम्बन्ध सम्मिलित हैं, जिन्हें सामान्यतः आंशिक फलन कहा जाता है।

1950 में रिगुट ने दिखाया कि ऐसे सम्बन्ध अंतर्वेशन को संतुष्ट करते हैं: $$R \ R^\textsf{T} \ R \ \subseteq \ R$$ऑटोमेटा सिद्धांत में, आयताकार सम्बन्ध शब्द का उपयोग, भिन्नात्मक सम्बन्ध को निरूपित करने के लिए भी किया गया है। यह शब्दावली इस तथ्य की याद दिलाती है कि, जब तार्किक आव्यूह के रूप में प्रस्तुत किया जाता है, तो एक द्विक्रियात्मक सम्बन्ध के स्तंभों और पंक्तियों को ब्लॉक आव्यूह के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है, जिसमें (असममित) मुख्य विकर्ण पर आयताकार ब्लॉक होते हैं। अधिक औपचारिक रूप से, $$X \times Y$$ पर सम्बन्ध $$R$$ क्रियात्मक है, यदि और केवल यदि इसे कार्तीय गुणनों $$A_i \times B_i$$ के संश्रय के रूप में लिखा जा सकता है, जहां $$A_i$$ $$X$$ के उपसमुच्चय का विभाजन है और $$B_i$$ इसी तरह $$Y$$ के उपसमुच्चय का विभाजन है।

संकेतन {y: xRy} = xR का उपयोग करते हुए, एक द्विभाजित सम्बन्ध को एक सम्बन्ध R के रूप में भी चित्रित किया जा सकता है जैसे कि जहां कहीं भी x1R और x2R में एक अरिक्त चौराहा है, तो ये दो समुच्चय मेल खाते हैं; औपचारिक रूप से $$x_1 \cap x_2 \neq \varnothing$$ का मतलब $$x_1 R = x_2 R$$ होता है।

1997 में शोधकर्ताओं ने "डेटाबेस प्रबंधन में विविध निर्भरताओं पर आधारित द्विआधारी अपघटन की उपयोगिता" को पाया। इसके अतिरिक्त, बिसिमुलेशन के अध्ययन में विविधात्मक सम्बन्ध मौलिक हैं।

सजातीय सम्बन्धों के संदर्भ में, एक आंशिक तुल्यता सम्बन्ध भिन्नात्मक होता है।

फेरर्स प्रकार
समुच्चय पर एक पूर्णतः अनुक्रम अनुक्रम सिद्धांत में उत्पन्न होने वाला सजातीय सम्बन्ध है। 1951 में जैक्स रिगुएट ने पूर्णांक के विभाजन के क्रम को अपनाया, जिसे फेरर्स आरेख कहा जाता है, ताकि सामान्य रूप से द्विआधारी सम्बन्धों के क्रम का विस्तार किया जा सके।

सामान्य द्विआधारी सम्बन्ध के सम्बन्धित तार्किक आव्यूह में पंक्तियाँ होती हैं जो एक के अनुक्रम के साथ समाप्त होती हैं। इस प्रकार फेरर के आरेख के बिंदुओं को बदल दिया जाता है और आव्यूह में दाईं ओर संरेखित किया जाता है। फेरर्स प्रकार के सम्बन्ध R के लिए आवश्यक एक बीजीय कथन है$$R \bar{R}^\textsf{T} R \subseteq R.$$

यदि कोई एक सम्बन्ध $$R, \ \bar{R}, \ R^\textsf{T}$$ फेरर्स प्रकार का है, तो वे सभी हैं।

संपर्क
मान लीजिए B, A का पावर समुच्चय है, A के सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय। फिर सम्बन्ध g संपर्क सम्बन्ध है यदि यह तीन गुणों को संतुष्ट करता है: समुच्चय सदस्यता सम्बन्ध, ε = "का एक अवयव है", इन गुणों को संतुष्ट करता है इसलिए ε एक संपर्क सम्बन्ध है। 1970 में जॉर्ज ऑमन द्वारा एक सामान्य संपर्क सम्बन्ध की धारणा पेश की गई थी। सम्बन्धों की गणना के संदर्भ में संपर्क सम्बन्ध के लिए पर्याप्त संबंध सम्मिलित हैं$$C^\textsf{T} \bar{C} \ \subseteq \ \ni \bar{C} \ \ \equiv \ C \ \overline{\ni \bar{C}} \ \subseteq \ C,$$जहाँ $$\ni$$ समुच्चय सदस्यता (∈) का प्रतिलोम है।
 * 1) $$\text{for all } x \in A, Y = \{ x \} \text{ implies } xgY.$$
 * 2) $$Y \subseteq Z \text{ and } xgY \text{ implies } xgZ.$$
 * 3) $$\text{for all } y \in Y, ygZ \text{ and } xgY \text{ implies } xgZ.$$

प्राग्क्रम (प्रीऑर्डर) R\R
प्रत्येक सम्बन्ध R पूर्व-अनुक्रम $$R \backslash R$$ उत्पन्न करता है जो बायां अवशिष्ट है। प्रतिलोम और पूरक के स्थिति में, $$R \backslash R \ \equiv \ \overline{R^\textsf{T} \bar{R}}$$। $$R^\textsf{T} \bar{R}$$ का विकर्ण बनाना, $$R^{\text{T}}$$ की संगत पंक्ति और $$\bar{R}$$ का स्तंभ प्रतिलोम तार्किक मानों का होगा, इसलिए विकर्ण सभी शून्य है। फिर
 * $$R^\textsf{T} \bar{R} \subseteq \bar{I} \ \implies \ I \subseteq \overline{R^\textsf{T} \bar{R}} \ = \ R \backslash R ,$$ ताकि $$R \backslash R$$ प्रतिवर्त सम्बन्ध है।

सकर्मक सम्बन्ध दिखाने के लिए, इसकी आवश्यकता होती है $$(R\backslash R)(R\backslash R) \subseteq R \backslash R.$$ याद करें कि $$X = R \backslash R$$ सबसे बड़ा सम्बन्ध ऐसा है $$R X \subseteq R.$$ फिर
 * $$R(R\backslash R) \subseteq R$$
 * $$R(R\backslash R) (R\backslash R )\subseteq R$$ (दोहराना)
 * $$\equiv R^\textsf{T} \bar{R} \subseteq \overline{(R \backslash R)(R \backslash R)}$$ (श्रोडर का नियम)
 * $$\equiv (R \backslash R)(R \backslash R) \subseteq \overline{R^\textsf{T} \bar{R}}$$ (पूरक)
 * $$\equiv (R \backslash R)(R \backslash R) \subseteq R \backslash R.$$ (परिभाषा)

U के पावर समुच्चय पर अंतर्वेशन (समुच्चय सिद्धांत) सम्बन्ध Ω अवयव (गणित) से इस तरह प्राप्त किया जा सकता है $$\,\in\,$$ U के उपसमुच्चय पर:
 * $$\Omega \ = \ \overline{\ni \bar{\in}} \ = \ \in \backslash \in .$$

सम्बन्ध की सीमांत (फ्रिंज)
सम्बन्ध R दिया गया है, उप-सम्बन्ध जिसे उसकी सीमांत कहा जाता है, को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है$$\operatorname{fringe}(R) = R \cap \overline{R \bar{R}^\textsf{T} R}.$$जब R एक आंशिक तत्समक सम्बन्ध, द्विक्रियात्मक, या एक ब्लॉक विकर्ण सम्बन्ध है, तो सीमांत(R) = R। अन्यथा सीमांत संक्रियक अपने तार्किक आव्यूह के संदर्भ में वर्णित एक सीमा उप-सम्बन्ध का चयन करता है: सीमांत (आर) साइड विकर्ण है यदि R एक ऊपरी दायां त्रिकोणीय रैखिक क्रम या पूर्णतः क्रम है। सीमांत (R) ब्लॉक सीमांत है यदि R अपरिवर्तनीय ($$R \subseteq \bar{I}$$) या ऊपरी दायां ब्लॉक त्रिभुज है। सीमांत(R) सीमा आयतों का एक क्रम है जब R फेरर्स प्रकार का है।

दूसरी ओर, सीमांत(R) = ∅ जब R सघन, रैखिक, पूर्णतः अनुक्रम है।

गणितीय संग्रह (हीप)
दो समुच्चय A और B दिए गए हैं, उनके बीच द्विआधारी सम्बन्धों का समुच्चय $$\mathcal{B}(A,B)$$ एक टर्नरी संक्रिया $$[a, \ b,\ c] \ = \ a b^\textsf{T} c$$ से सुसज्जित हो सकता है जहां बीटी b के प्रतिलोम सम्बन्ध को दर्शाता है। 1953 में विक्टर वैगनर ने सेमीसंग्रह्स, संग्रह्स और सामान्यीकृत संग्रह्स को परिभाषित करने के लिए इस टर्नरी संक्रिया के गुणों का उपयोग किया। विजातीय और सजातीय सम्बन्धों के प्रतिलोम इन परिभाषाओं द्वारा उजागर किया गया है: "वैगनर के काम में ढेर, अर्ध-ढेर और सामान्यीकृत ढेर के बीच एक सुखद समरूपता है, और दूसरी ओर समूह, अर्ध-समूह और सामान्यीकृत समूह। अनिवार्य रूप से, जब भी हम विभिन्न सेट A और B के बीच द्विआधारी संबंधों (और आंशिक एक-एक मैपिंग) पर विचार करते हैं, तो विभिन्न प्रकार के सेमीहिप्स दिखाई देते हैं, जबकि विभिन्न प्रकार के सेमिग्रुप उस मामले में प्रकट होते हैं जहां A = B।"

यह भी देखें

 * सार पुनर्लेखन प्रणाली
 * योज्य संबंध, मॉड्यूल के बीच एक बहु-मूल्यवान समरूपता
 * रूपक (श्रेणी सिद्धांत)
 * संबंधों की श्रेणी, वस्तुओं के रूप में सेट वाली श्रेणी और आकारिकी के रूप में द्विआधारी संबंध
 * संगम (शब्द पुनर्लेखन), द्विआधारी संबंधों के कई असामान्य लेकिन मौलिक गुणों पर चर्चा करता है
 * पत्राचार (बीजीय ज्यामिति), बीजगणितीय समीकरणों द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संबंध
 * हस्स आरेख, एक ग्राफिक का मतलब ऑर्डर संबंध प्रदर्शित करना है
 * घटना संरचना, बिंदुओं और रेखाओं के सेट के बीच एक विषम संबंध
 * रिश्तेदारों का तर्क, चार्ल्स सैंडर्स पियर्स द्वारा संबंधों का एक सिद्धांत
 * आदेश सिद्धांत, आदेश संबंधों के गुणों की जांच करता है

ग्रन्थसूची

 * Ernst Schröder (1895) Algebra der Logik, Band III, via Internet Archive
 * Ernst Schröder (1895) Algebra der Logik, Band III, via Internet Archive