केम्पनर फंक्शन

संख्या सिद्धांत में, केम्पनर फलन $$S(n)$$ को किसी दिए गए सकारात्मक पूर्णांक के लिए परिभाषित किया गया है $$n$$ विभाजित को किसी दिए गए सकारात्मक पूर्णांक $$s$$ के लिए परिभाषित किया गया है जैसे कि $$n$$ भाज्य फैक्टोरियल उदाहरण के लिए, संख्या $$8$$, $$1!$$, $$2!$$, को विभाजित नहीं करती है! या 3! लेकिन 4! को विभाजित करता है, इसलिए S(0)=4'.

इस प्रकार से इस फलन की विशेषता यह है कि इसमें अत्यधिक असंगत एसिम्प्टोटिक विश्लेषण होता है: यह अभाज्य संख्याओं पर रैखिक फलन करता है जिससे केवल फैक्टोरियल संख्याओं पर लघुगणकीय वृद्धि बढ़ाता है।

इतिहास
इस प्रकार से इस फलन पर सबसे प्रथम 1883 में फ़्राँस्वा एडौर्ड अनातोले लुकास द्वारा विचार किया गया था, इसके पश्चात 1887 में जोसेफ जीन-बैप्टिस्ट न्यूबर्ग द्वारा विचार दिया गया था। किन्तु 1918 में, ऑब्रे जे. केम्पनर ए. जे. केम्पनर ने कंप्यूटिंग $S(n)$. इसके पश्चात सही एल्गोरिथम दिया दिया गया था।

अतः in 1980. फ्लोरेंटिन स्मारांडचे द्वारा फलन की पुनः खोज के पश्चात केम्पनर फलन को कभी-कभी स्मरैंडचे फलन भी कहा जाता है

गुण
चूंकि $$n$$, $$n$$को विभाजित करता है, इसलिए $$S(n)$$ हमेशा अधिकतम $$S(n)$$ होता है। 4 से बड़ी संख्या $$n$$ एक अभाज्य संख्या होती है, यदि और केवल यदि if $S(n)=n$. अर्थात, संख्या $$n$$ जिसके लिए $$S(n)$$, $$n$$के सापेक्ष जितना संभव हो उतना बड़ा है, अभाज्य हैं। दूसरी दिशा में, वे संख्याएँ जिनके लिए $$S(n)$$यथासंभव छोटी है, सभी $k\ge 1$. के लिए भाज्य $S(k!)=k$, हैं

इस प्रकार से $$S(n)$$ पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के बहुपद की सबसे छोटी संभव डिग्री है, जिसके पूर्णांकों by $n$. पर सभी मान विभाज्य होते हैं

चूंकि उदाहरण के लिए, तथ्य यह है कि $$S(6)=3$$ इसका मतलब है कि घन बहुपद है जिसके सभी मान शून्य हैं मॉड्यूलर अंकगणित 6, उदाहरण के लिए बहुपद :

$$x(x-1)(x-2)=x^3-3x^2+2x,$$

जिससे यह कि सभी द्विघात या रैखिक बहुपद (अग्रणी गुणांक के साथ) कुछ पूर्णांकों पर गैर-शून्य मॉड्यूलो 6 हैं।

इस प्रकार से अमेरिकी गणितीय मासिक में 1991 में स्थापित और 1994 में वर्तमान समय की गई उन्नत समस्याओं में से में, पॉल एर्डोस ने बताया कि फलन $$S(n)$$ के सबसे उच्च अभाज्य गुणनखंड से मेल खाता है $$n$$ लगभग सभी के लिए $$n$$ (इस अर्थ में कि अपवादों के समुच्चय का स्पर्शोन्मुख घनत्व शून्य है)।

कम्प्यूटेशनल जटिलता
केम्पनर फलन मनमानी संख्या $$S(n)$$, $$p$$ के $$n$$ को विभाजित करने वाली प्रमुख शक्तियों $$p^e$$ पर अधिकतम है डिवाइडिंग $$n$$, का $$S(p^e)$$. जब $$n$$ स्वयं प्रमुख शक्ति $$p^e$$ है, इसके केम्पनर फलन को बहुपद समय में गुणकों को क्रमिक रूप से स्कैन करके पाया जा सकता है जब तक पहला व्यक्ति न मिल जाए जिसके भाज्य $p$. में पर्याप्त गुणज हों समान कलन विधि को किसी के लिए भी बढ़ाया जा सकता है जिसका अभाज्य गुणनखंडन प्रथम से ही ज्ञात है, इसे गुणनखंडन $$n$$ में प्रत्येक अभाज्य शक्ति पर अलग से प्रस्तुत करके और उस को चुनना जो अधिक उच्च मूल्य की ओर ले जाते है।

इस प्रकार से फॉर्म के नंबर के लिए $$n=px$$, जहाँ $$p$$ प्रधान है और $$x$$ मै रुक जाना $$p$$, केम्पनर फलन $$n$$, $$p$$ है. इससे यह पता चलता है कि सेमीप्राइम (दो प्राइम का उत्पाद) के केम्पनर फलन की गणना करना कम्प्यूटेशनल रूप से इसके मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया को खोजने के बराबर है, जिसे कठिन समस्या माना जाता है। अधिक सामान्यतः, जब भी $$n$$ भाज्य संख्या है, जिसका सबसे बड़ा सामान्य भाजक है $$S(n)$$ $n$ आवश्यक रूप से गैरतुच्छ भाजक $n$, होगा अनुमति देना $$n$$ केम्पनर फलन के बार-बार मूल्यांकन द्वारा कारक बनाया जाता है । इसलिए, केम्पनर फलन की गणना करना सामान्यतः मिश्रित संख्याओं का गुणनखंड करना समान नहीं हो सकता है।