औसत

सामान्य भाषा में, औसत एक एकल संख्या है जो संख्याओं की सूची के प्रतिनिधि के रूप में ली जाती है, सामान्यतः संख्याओं का योग सूची में जितनी संख्याएं हैं, उनसे विभाजित होता है (अंकगणितीय माध्य), उदाहरण के लिए, संख्या 2, 3, 4, 7, और 9 (कुल मिलाकर 25) का औसत 5 है। संदर्भ के आधार पर, औसत अन्य आंकड़े हो सकते हैं जैसे माध्यिका, या मोड (सांख्यिकी)। उदाहरण के लिए, औसत आय को प्रायः माध्यिका के रूप में दिया जाता है - नीचे की संख्या जो व्यक्तिगत आय का 50% है और ऊपर जो व्यक्तिगत आय का 50% है - क्योंकि कुछ अरबपतियों की व्यक्तिगत आय को सम्मिलित करने से माध्य अधिक होगा। इस कारण से, केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों पर चर्चा करते समय औसत शब्द का उपयोग करने से बचने की संस्तुति की जाती है।

सामान्य गुण
यदि किसी सूची में सभी संख्याएँ समान संख्याएँ हैं, तो उनका औसत भी इस संख्या के बराबर होता है। यह संपत्ति कई प्रकार के औसत में से प्रत्येक द्वारा साझा की जाती है।

एक अन्य सार्वभौमिक संपत्ति दिष्टता है: यदि संख्या A और B की दो सूचियों की लंबाई समान है, और सूची A की प्रत्येक प्रविष्टि सूची B पर संबंधित प्रविष्टि के रूप में कम से कम बड़ी है, तो सूची A का औसत कम से कम सूची का B है। इसके अलावा, सभी औसत सजातीय प्रकार्य को संतुष्ट करते हैं: यदि किसी सूची की सभी संख्याओं को एक ही सकारात्मक संख्या से गुणा किया जाता है, तो इसका औसत उसी कारक से बदल जाता है।

कुछ प्रकार के औसत में, सूची में एकांशों को औसत निर्धारित करने से पहले अलग-अलग भार दिए जाते हैं। इनमें भारित अंकगणितीय माध्य, भारित ज्यामितीय माध्य और भारित माध्य सम्मिलित हैं। साथ ही, कुछ प्रकार के गतिमान माध्य के लिए, किसी वस्तु का भार सूची में उसकी स्थिति पर निर्भर करता है। अधिकांश प्रकार के औसत, हालांकि, क्रमचय-असंवेदनशीलता को संतुष्ट करते हैं: सभी वस्तुओं को उनके औसत मूल्य का निर्धारण करने में समान रूप से गिना जाता है और सूची में उनकी स्थिति अप्रासंगिक होती है; (1, 2, 3, 4, 6) का औसत (3, 2, 6, 4, 1) के समान है।

पाइथागोरस का अर्थ है
अंकगणित माध्य, ज्यामितीय माध्य और अनुकूल माध्य सामूहिक रूप से पायथागॉरियन साधन के रूप में जाने जाते हैं।

सांख्यिकीय स्थान
वर्णनात्मक आंकड़ों में केंद्रीय प्रवृत्ति के अनुमान के रूप में मोड (सांख्यिकी), माध्यिका और मध्य-श्रेणी का उपयोग प्रायः माध्य के अतिरिक्त किया जाता है। इन सभी को किसी न किसी उपाय से भिन्नता को कम करने के रूप में देखा जा सकता है; देखो.

मोड


किसी सूची में सबसे अधिक बार आने वाली संख्या को मोड कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सूची का बहुलक (1, 2, 2, 3, 3, 3, 4) 3 है। ऐसा हो सकता है कि दो या दो से अधिक संख्याएँ ऐसी हों जो किसी अन्य संख्या की तुलना में समान रूप से और अधिक बार आती हों। इस स्थिति में बहुलक की कोई स्वीकृत परिभाषा नहीं है। कुछ लेखक कहते हैं कि वे सभी मोड हैं और कुछ कहते हैं कि कोई मोड नहीं है।

मध्यस्थ
माध्यिका समूह की मध्य संख्या होती है जब उन्हें क्रम में रखा जाता है। (यदि संख्याओं की संख्या सम है, तो बीच के दो का माध्य लिया जाता है।)

इस प्रकार माध्यिका को खोजने के लिए, सूची को उसके तत्वों के परिमाण के अनुसार क्रमबद्ध करें और फिर एक या दो मान शेष रहने तक बार-बार उच्चतम और निम्नतम मानों वाली जोड़ी को हटा दें। यदि वास्तव में एक मान छोड़ दिया जाता है, तो वह माध्यक होता है; यदि दो मान हैं, तो माध्यिका इन दोनों का अंकगणितीय माध्य है। यह विधि सूची 1, 7, 3, 13 लेती है और इसे 1, 3, 7, 13 पढ़ने का आदेश देती है। फिर 1 और 13 को सूची 3, 7 प्राप्त करने के लिए हटा दिया जाता है। चूंकि इस शेष सूची में दो तत्व हैं, माध्यिका उनका अंकगणितीय माध्य (3 + 7)/2 = 5 है।

मध्य-श्रेणी
मध्य-श्रेणी एक सम्मुच्चय के उच्चतम और निम्नतम मूल्यों का अंकगणितीय माध्य है।

प्रकारों का सारांश
गणितीय प्रतीकों की तालिका नीचे प्रयुक्त प्रतीकों की व्याख्या करती है।

विविध प्रकार
अन्य अधिक परिष्कृत औसत हैं: काट-छांट करना, ट्रिमियन और सामान्यीकृत माध्य, उनके सामान्यीकरण के साथ।

सामान्यीकृत f-माध्य का उपयोग करके कोई अपना औसत मीट्रिक बना सकता है:


 * $$y = f^{-1}\left(\frac{1}{n}\left[f(x_1) + f(x_2) + \cdots + f(x_n)\right]\right)$$

जहाँ f कोई व्युत्क्रमणीय फलन है। f(x) = 1/x का उपयोग करके सुसंगत माध्य इसका एक उदाहरण है, और f(x) = log x का उपयोग करके ज्यामितीय माध्य दूसरा उदाहरण है।

हालाँकि, साधनों को उत्पन्न करने की यह विधि सभी औसतों पर अधिकरण करने के लिए पर्याप्त सामान्य नहीं है। औसत को परिभाषित करने के लिए एक अधिक सामान्य विधि असफल सत्यापन तर्कों की एक सूची के किसी भी प्रकार्य g(x1, x2, ..., xn) को लेता है जो निरंतर है, प्रत्येक तर्क में सख्ती से बढ़ रहा है, और सममित है। औसत y तब वह मान है, जो सूची के प्रत्येक सदस्य को प्रतिस्थापित करते समय समान प्रकार्य मान: g(y, y, ..., y) = g(x1, x2, ..., xn) में परिणत होता है। यह सबसे सामान्य परिभाषा अभी भी सभी औसतों की महत्वपूर्ण संपत्ति को पकड़ती है कि समान तत्वों की सूची का औसत वह तत्व ही है। प्रकार्य g(x1, x2, ..., xn) = x1+x2+ ··· + xn अंकगणितीय माध्य प्रदान करता है। प्रकार्य g(x1, x2, ..., xn) = x1x2···xn (जहाँ सूची तत्व सकारात्मक संख्याएँ हैं) ज्यामितीय माध्य प्रदान करता है। प्रकार्य g(x1, x2, ..., xn) = (x1−1+x2−1+ ··· + xn−1)−1) (जहां सूची तत्व सकारात्मक संख्याएं हैं) सुसंगत माध्य प्रदान करता है।

औसत प्रतिशत लाभ और CAGR
वित्त में उपयोग किए जाने वाले औसत का एक प्रकार औसत प्रतिशत लाभ है। यह एक ज्यामितीय माध्य का एक उदाहरण है। जब लाभ वार्षिक होता है, तो इसे चक्रवृद्धि वार्षिक वृद्धि दर (CAGR) कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हम दो वर्षों की अवधि पर विचार कर रहे हैं, और पहले वर्ष में निवेश लाभ -10% है और दूसरे वर्ष में लाभ +60% है, तो औसत प्रतिशत लाभ या CAGR, R, (1 − 10%) × (1 + 60%) = (1 − 0.1) × (1 + 0.6) = (1 + R) × (1 + R) समीकरण को हल करके प्राप्त किया जा सकता है। R का मान जो इस समीकरण को सत्य बनाता है वह 0.2 या 20% है। इसका अर्थ यह है कि 2 साल की अवधि में कुल लाभ उतना ही है जितना कि हर साल 20% की वृद्धि हुई थी। वर्षों के क्रम से कोई अंतर नहीं आता - +60% और -10% का औसत प्रतिशत लाभ -10% और +60% के समान परिणाम है।

इस पद्धति को उन उदाहरणों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जिनमें अवधि समान नहीं हैं। उदाहरण के लिए, आधे साल की अवधि पर विचार करें जिसके लिए लाभ -23% है और ढाई साल की अवधि जिसके लिए लाभ +13% है। संयुक्त अवधि के लिए औसत प्रतिशत प्रतिफल एक वर्ष का प्रतिफल है, R, जो निम्नलिखित समीकरण का हल है: (1 − 0.23)0.5 × (1 + 0.13)2.5 = (1 + R)0.5+2.5, 0.0600 या 6.00% का औसत लाभ R दे रहा है।

गतिमान माध्य
एक समय श्रृंखला दी गई है, जैसे दैनिक शेयर बाजार की कीमतें या वार्षिक तापमान, लोग प्रायः एक सुचारु श्रृंखला बनाना चाहते हैं। यह अंतर्निहित रुझान या संभवतः आवधिक व्यवहार दिखाने में मदद करता है। ऐसा करने का एक आसान तरीका गतिमान माध्य है: कोई एक संख्या n चुनता है और पहले n मानों का अंकगणितीय माध्य लेकर एक नई श्रृंखला बनाता है, फिर सबसे पुराने मान को गिराकर एक स्थान आगे बढ़ता है और दूसरे सूची के अंत इत्यादि पर एक नया मान प्रस्तुत करता है। यह गतिमान माध्य का सबसे सरल रूप है। अधिक जटिल रूपों में भारित औसत का उपयोग करना सम्मिलित है। भारण का उपयोग विभिन्न आवधिक व्यवहार को बढ़ाने या दबाने के लिए किया जा सकता है और अंकीय निस्यंदन पर साहित्य में किस औसत का उपयोग करना है, इसका बहुत व्यापक विश्लेषण है। अंकीय संकेत प्रक्रिया में गतिमान माध्य शब्द का उपयोग तब भी किया जाता है जब भार का योग 1.0 नहीं होता है (इसलिए आउटपुट श्रृंखला औसत का एक छोटा संस्करण है)। इसका कारण यह है कि विश्लेषक सामान्यतः केवल प्रवृत्ति या आवधिक व्यवहार में रुचि रखते हैं।

उत्पत्ति
पहला लेखाबद्ध किया गया समय जब आकलन के उपयोग के लिए अंकगणितीय माध्य को 2 से n मामलों तक सोलहवीं शताब्दी में बढ़ाया गया था। सोलहवीं शताब्दी के उत्तरार्ध से, यह धीरे-धीरे विभिन्न क्षेत्रों में मापन की त्रुटियों को कम करने के लिए उपयोग की जाने वाली एक सामान्य विधि बन गई। उस समय, खगोलविद शोर मापन से वास्तविक मूल्य जानना चाहते थे, जैसे किसी ग्रह की स्थिति या चंद्रमा का व्यास। कई माप मूल्यों के माध्यम का उपयोग करते हुए, वैज्ञानिकों ने माना कि सभी मापित मूल्यों की तुलना में त्रुटियां अपेक्षाकृत छोटी संख्या में जुड़ती हैं। अवलोकन त्रुटियों को कम करने के लिए माध्य लेने की विधि वास्तव में मुख्य रूप से खगोल विज्ञान में विकसित हुई थी। अंकगणित माध्य का एक संभावित अग्रदूत मध्य-श्रेणी (दो चरम मूल्यों का माध्य) है, उदाहरण के लिए नौवीं से ग्यारहवीं शताब्दी के अरब खगोल विज्ञान में, बल्कि धातु विज्ञान और मार्गनिर्देशन में भी उपयोग किया जाता है।

हालांकि, अंकगणितीय माध्य के उपयोग के लिए कई पुराने अस्पष्ट संदर्भ हैं (जो उतने स्पष्ट नहीं हैं, लेकिन संभवतः माध्य की हमारी आधुनिक परिभाषा के साथ करना पड़ सकता है)। चौथी शताब्दी के एक पाठ में, यह लिखा गया था कि (वर्ग कोष्ठक में पाठ एक संभावित लापता पाठ है जो अर्थ को स्पष्ट कर सकता है):
 * सबसे पहले, हमें एकसंयुज से नौ: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 तक संख्याओं के क्रम को एक पंक्ति में निर्धारित करना होगा।फिर हमें उन सभी की मात्रा को एक साथ जोड़ना होगा, और चूंकि पंक्ति में नौ पद हैं, हमें यह देखने के लिए कुल के नौवें भाग को देखना चाहिए कि क्या यह पहले से ही पंक्ति में संख्याओं के बीच स्वाभाविक रूप से मौजूद है; और हम पाएंगे कि [एक] नौवां [योग का] होने का गुण केवल [अंकगणितीय] माध्य का ही है...

पुराने संभावित संदर्भ भी मौजूद हैं। ऐसे रिकॉर्ड हैं कि लगभग 700 ईसा पूर्व से, व्यापारियों और पोतवणिक ने सहमति व्यक्त की कि भालवाही और जहाज का नुकसान (समुद्र द्वारा क्षति की स्तिथि में उनका योगदान) आपस में समान रूप से साझा किया जाना चाहिए। यह औसत का उपयोग करके गणना की जा सकती है, हालांकि ऐसा लगता है कि गणना का कोई सीधा अभिलेख नहीं है।

व्युत्पत्ति
मूलरूप अरबी में عوار ʿawār के रूप में पाया जाता है, एक दोष, या कुछ भी दोषपूर्ण या क्षतिग्रस्त, आंशिक रूप से खराब उत्पाद सहित; और عواري 'आवारी (भी عوارة'आवारा) = या 'आवर' से संबंधित, आंशिक क्षति की स्थिति। पश्चिमी भाषाओं के भीतर शब्द का इतिहास भूमध्य सागर पर मध्ययुगीन समुद्री-वाणिज्य में शुरू होता है। 12वीं और 13वीं सदी के जेनोआ लैटिन अवेरिया का अर्थ था एक व्यापारी समुद्री यात्रा के संबंध में उत्पन्न होने वाली क्षति, हानि और गैर-सामान्य व्यय; और अवेरिया के लिए यही अर्थ 1210 में मार्सिले में, 1258 में बार्सिलोना में और 13वीं के अंत में फ्लोरेंस में है। 15वीं सदी के फ्रेंच एवरी का एक ही अर्थ था, और इसी अर्थ के साथ अंग्रेजी एवरे (1491) और अंग्रेजी औसत (1502) का जन्म हुआ। आज, इटालियन अवेरिया, कैटलन अवेरिया और फ्रेंच एवेरी अभी भी क्षति का प्राथमिक अर्थ है। अंग्रेजी में अर्थ का विशाल परिवर्तन बाद के मध्यकालीन और प्रारंभिक आधुनिक पश्चिमी व्यापारी-समुद्री कानून अनुबंधों में अभ्यास के साथ शुरू हुआ, जिसके तहत अगर जहाज एक तूफान से मिलता है और जहाज को हल्का और सुरक्षित बनाने के लिए कुछ सामान को जहाज पर फेंकना पड़ता है, तब सभी व्यापारी जिनका उत्पाद जहाज पर था, उन्हें आनुपातिक रूप से हानि उठानी थी (और न कि जिसका उत्पाद जहाज पर फेंका गया था); और सामान्यतः किसी भी अवेरिया का समानुपातिक वितरण होना था। वहां से यह शब्द ब्रिटिश बीमाकर्ताओं, लेनदारों और व्यापारियों द्वारा अपने नुकसान के बारे में बात करने के लिए अपनाया गया था क्योंकि यह संपत्ति के पूरे संविभाग में फैला हुआ था और एक औसत अनुपात था। आज का अर्थ उसी से विकसित हुआ, और 18वीं शताब्दी के मध्य में और अंग्रेजी में शुरू हुआ।The Arabic origin of avaria was first reported by Reinhart Dozy in the 19th century. Dozy's original summary is in his 1869 book Glossaire. Summary information about the word's early records in Italian-Latin, Italian, Catalan, and French is at avarie @ CNRTL.fr. The seaport of Genoa is the location of the earliest-known record in European languages, year 1157. A set of medieval Latin records of avaria at Genoa is in the downloadable lexicon Vocabolario Ligure, by Sergio Aprosio, year 2001, avaria in Volume 1 pages 115-116. Many more records in medieval Latin at Genoa are at StoriaPatriaGenova.it, usually in the plurals avariis and avarias. At the port of Marseille in the 1st half of the 13th century notarized commercial contracts have dozens of instances of Latin avariis (ablative plural of avaria), as published in Blancard year 1884. Some information about the English word over the centuries is at NED (year 1888). See also the definition of English "average" in English dictionaries published in the early 18th century, i.e., in the time period just before the big transformation of the meaning: Kersey-Phillips' dictionary (1706), Blount's dictionary (1707 edition), Hatton's dictionary (1712), Bailey's dictionary (1726), Martin's dictionary (1749). Some complexities surrounding the English word's history are discussed in Hensleigh Wedgwood year 1882 page 11 and Walter Skeat year 1888 page 781. Today there is consensus that: (#1) today's English "average" descends from medieval Italian avaria, Catalan avaria, and (#2) among the Latins the word avaria started in the 12th century and it started as a term of Mediterranean sea-commerce, and (#3) there is no root for avaria to be found in Latin, and (#4) a substantial number of Arabic words entered Italian, Catalan and Provençal in the 12th and 13th centuries starting as terms of Mediterranean sea-commerce, and (#5) the Arabic ʿawār | ʿawārī is phonetically a good match for avaria, as conversion of w to v was regular in Latin and Italian, and -ia is a suffix in Italian, and the Western word's earliest records are in Italian-speaking locales (writing in Latin). And most commentators agree that (#6) the Arabic ʿawār | ʿawārī = "damage | relating to damage" is semantically a good match for avaria = "damage or damage expenses". A minority of commentators have been dubious about this on the grounds that the early records of Italian-Latin avaria have, in some cases, a meaning of "an expense" in a more general sense – see TLIO (in Italian). The majority view is that the meaning of "an expense" was an expansion from "damage and damage expense", and the chronological order of the meanings in the records supports this view, and the broad meaning "an expense" was never the most commonly used meaning. On the basis of the above points, the inferential step is made that the Latinate word came or probably came from the Arabic word. ।

समुद्री क्षति या तो विशेष औसत है, जो केवल क्षतिग्रस्त संपत्ति के मालिक द्वारा वहन किया जाता है, या सामान्य औसत, जहां मालिक सभी पक्षों से समुद्री उद्यम के लिए आनुपातिक योगदान का दावा कर सकता है। सामान्य औसत को समायोजित करने के लिए उपयोग की जाने वाली गणनाओं के प्रकार ने औसत अंकगणितीय माध्य के उपयोग को जन्म दिया।

एक दूसरा अंग्रेजी उपयोग, जिसे 1674 के आरंभ में प्रलेखित किया गया था और कभी-कभी एवरिश लिखा जाता था, खेत की फसलों के अवशेषों और दूसरी वृद्धि के रूप में होता है, जिन्हें ड्रॉट जानवरों (एवर्स) द्वारा उपभोग के लिए अनुकूल माना जाता था।

पहले (कम से कम 11वीं शताब्दी से), शब्द का असंबंधित उपयोग है। यह एक शेरिफ के लिए एक किरायेदार के दिन के श्रम दायित्व के लिए एक पुराना कानूनी शब्द प्रतीत होता है, संभवतः अंग्रेजी डोम्सडे किताब (1085) में पाए जाने वाले एवेरा से अंग्रेजी में।

हालाँकि, ऑक्सफोर्ड अंग्रेजी शब्दकोष का कहना है कि जर्मन हेफेन हेवन और अरबी 'आवर लॉस, क्षति' से व्युत्पत्ति का काफी निपटारा किया गया है और इस शब्द का मूल अतिशयोक्तिपूर्ण है।

अलंकारिक उपकरण के रूप में औसत
औसत शब्द की पूर्वोक्त बोलचाल की प्रकृति के कारण, इस शब्द का उपयोग डेटा के सही अर्थ को अस्पष्ट करने के लिए किया जा सकता है और उपयोग की गई औसत विधि (प्रायः अंकगणितीय माध्य, मध्य या मोड) के आधार पर प्रश्नों के अलग-अलग उत्तर सुझाता है। अपने लेख में झूठ बोलने के लिए तैयार: सांख्यिकी इन / कलात्मक प्रमाण के रूप में, पिट्सबर्ग विश्वविद्यालय के संकाय सदस्य डैनियल लिबर्ज़ ने टिप्पणी की है कि इस कारण से सांख्यिकीय जानकारी प्रायः बयानबाजी के तर्कों से अस्वीकृत कर दी जाती है। हालांकि, उनकी प्रेरक शक्ति के कारण, औसत और अन्य सांख्यिकीय मूल्यों को पूरी तरह से अस्वीकृत नहीं किया जाना चाहिए, बल्कि सावधानी के साथ इसका इस्तेमाल और व्याख्या की जानी चाहिए। लिबर्ज़ हमें न केवल औसत जैसी सांख्यिकीय जानकारी के साथ, बल्कि डेटा और उसके उपयोगों का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली भाषा के साथ भी गंभीर रूप से संलग्न होने के लिए आमंत्रित करते हैं:. कई स्तिथितियों में, इस दर्शक-आधारित व्याख्या को सुविधाजनक बनाने में सहायता के लिए डेटा और विशिष्ट गणनाएं प्रदान की जाती हैं।

यह भी देखें

 * औसत निरपेक्ष विचलन
 * औसत का नियम
 * अपेक्षित मूल्य
 * केंद्रीय सीमा प्रमेय
 * आबादी मध्यमान
 * प्रतिरूप माध्य

बाहरी कड़ियाँ
Calculations and comparison between arithmetic and ज्यामितिक माध्य of two values
 * मध्यस्थ as a weighted समांतर माध्य of all Sample Observations