फोकर-प्लैंक समीकरण

सांख्यिकीय यांत्रिकी और सूचना सिद्धांत में, फोककर-प्लैंक समीकरण एक आंशिक अंतर समीकरण है जो एक प्रकार कि गति की तरह ड्रैग (भौतिकी) बलों और यादृच्छिक बलों के प्रभाव में एक कण के वेग की संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन के समय विकास का वर्णन करता है। समीकरण को अन्य वेधशालाओं के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। फोककर-प्लैंक समीकरण के सूचना सिद्धांत, ग्राफ सिद्धांत, डेटा विज्ञान, वित्त, अर्थशास्त्र आदि में कई अनुप्रयोग हैं।

इसका नाम एड्रियन फोकर और मैक्स प्लैंक के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1914 और 1917 में इसका वर्णन किया था। इसे एंड्री कोलमोगोरोव के नाम पर कोलमोगोरोव फॉरवर्ड समीकरण के रूप में भी जाना जाता है, जिन्होंने 1931 में स्वतंत्र रूप से इसकी खोज की थी। जब इसे कण स्थिति वितरण पर लागू किया जाता है, तो इसे स्मोलुचोव्स्की समीकरण (मैरियन स्मोलुचोव्स्की के बाद) के रूप में जाना जाता है। और इस संदर्भ में यह संवहन-प्रसार समीकरण के बराबर है। जब कण स्थिति और संवेग वितरण पर लागू किया जाता है, तो इसे क्लेन-क्रैमर्स समीकरण के रूप में जाना जाता है। शून्य प्रसार वाला मामला निरंतरता समीकरण है। फोककर-प्लैंक समीकरण क्रेमर्स-मोयल विस्तार के माध्यम से मास्टर समीकरण से प्राप्त किया जाता है। शास्त्रीय यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी की एकल योजना में फोककर-प्लैंक समीकरण की पहली सुसंगत सूक्ष्म व्युत्पत्ति निकोले बोगोल्युबोव और निकोलाई मित्रोफ़ानोविच क्रायलोव द्वारा की गई थी।

एक आयाम
एक स्थानिक आयाम x में, Itô कैलकुलस के लिए|Itô प्रक्रिया मानक वीनर प्रक्रिया द्वारा संचालित होती है $$W_t$$ और स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण (एसडीई) द्वारा वर्णित है $$dX_t = \mu(X_t, t) \,dt + \sigma(X_t, t) \,dW_t$$ बहाव वेग के साथ $$\mu(X_t, t)$$ और प्रसार गुणांक $$D(X_t, t) = \sigma^2(X_t, t)/2$$, संभाव्यता घनत्व के लिए फोककर-प्लैंक समीकरण $$p(x, t)$$ यादृच्छिक चर का $$X_t$$ है $$ निम्नलिखित में प्रयोग करें $$\sigma = \sqrt{2D}$$.

इन्फिनिटेसिमल जेनरेटर (स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं) को परिभाषित करें $$\mathcal{L}$$ (निम्नलिखित Ref में पाया जा सकता है। ): $$ \mathcal{L}p(X_t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac1{\Delta t}\left(\mathbb{E}\big[p(X_{t + \Delta t}) \mid X_t = x \big] - p(x)\right). $$ संक्रमण की संभावना $$\mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x')$$, से जाने की संभावना $$(t', x')$$ को $$(t, x)$$, यहाँ प्रस्तुत है; अपेक्षा को इस प्रकार लिखा जा सकता है $$ \mathbb{E}(p(X_{t + \Delta t}) \mid X_t = x) = \int p(y) \, \mathbb{P}_{t + \Delta t,t}(y \mid x) \,dy. $$ अब हम की परिभाषा में प्रतिस्थापित करते हैं $$\mathcal{L}$$, गुणा करके $$\mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x')$$ और एकीकृत करें $$dx$$. सीमा पर ले लिया गया है $$ \int p(y) \int \mathbb{P}_{t + \Delta t, t}(y \mid x)\,\mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x') \,dx \,dy - \int p(x) \, \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x') \,dx. $$ अब उस पर ध्यान दें $$ \int \mathbb{P}_{t + \Delta t, t}(y \mid x) \, \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x') \,dx = \mathbb{P}_{t + \Delta t, t'}(y \mid x'), $$ जो चैपमैन-कोलमोगोरोव प्रमेय है। डमी वेरिएबल बदलना $$y$$ को $$x$$, एक मिलता है $$ \begin{align} \int p(x) \lim_{\Delta t \to 0} \frac1{\Delta t} \left( \mathbb{P}_{t + \Delta t, t'}(x \mid x') - \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x') \right) \,dx, \end{align} $$ जो एक समय व्युत्पन्न है. अंतत: हम पहुँचे $$ \int [\mathcal{L}p(x)] \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x') \,dx = \int p(x) \, \partial_t \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x') \,dx. $$ यहां से, कोलमोगोरोव पिछड़े समीकरण का अनुमान लगाया जा सकता है। यदि हम इसके स्थान पर adjoint ऑपरेटर का उपयोग करते हैं $$\mathcal{L}$$, $$\mathcal{L}^\dagger$$, इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$ \int [\mathcal{L}p(x)] \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x') \,dx = \int p(x) [\mathcal{L}^\dagger \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x')] \,dx, $$ फिर हम कोलमोगोरोव फॉरवर्ड समीकरण, या फोककर-प्लैंक समीकरण पर पहुंचते हैं, जो अंकन को सरल बनाता है $$p(x, t) = \mathbb{P}_{t, t'}(x \mid x')$$, इसके विभेदक रूप में पढ़ता है $$ \mathcal{L}^\dagger p(x, t) = \partial_t p(x, t). $$ स्पष्ट रूप से परिभाषित करने का मुद्दा बना हुआ है $$\mathcal{L}$$. इसे इटो लेम्मा के अभिन्न रूप से अपेक्षा करते हुए किया जा सकता है: $$ \mathbb{E}\big(p(X_t)\big) = p(X_0) + \mathbb{E}\left(\int_0^t \left(\partial_t + \mu\partial_x + \frac{\sigma^2}{2}\partial_x^2 \right) p(X_{t'}) \,dt'\right). $$ वह भाग जिस पर निर्भर करता है $$dW_t$$ मार्टिंगेल संपत्ति के कारण गायब हो गया।

फिर, एक Itô समीकरण के अधीन एक कण के लिए, का उपयोग कर $$ \mathcal{L} = \mu\partial_x + \frac{\sigma^2}{2}\partial_x^2, $$ भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके इसकी गणना आसानी से की जा सकती है $$ \mathcal{L}^\dagger = -\partial_x(\mu \cdot) + \frac12 \partial_x^2(\sigma^2 \cdot), $$ जो हमें फोककर-प्लैंक समीकरण पर लाता है: $$ \partial_t p(x, t) = -\partial_x \big(\mu(x, t) \cdot p(x, t)\big) + \partial_x^2\left(\frac{\sigma(x, t)^2}{2} \, p(x,t)\right). $$

जबकि फोककर-प्लैंक समीकरण का उपयोग उन समस्याओं के साथ किया जाता है जहां प्रारंभिक वितरण ज्ञात होता है, यदि समस्या पिछले समय के वितरण को जानने की है, तो फेनमैन-केएसी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है, जो कोलमोगोरोव पिछड़े समीकरण का परिणाम है।

इटो अर्थ में ऊपर परिभाषित स्टोकेस्टिक प्रक्रिया को स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल कन्वेंशन के भीतर स्ट्रैटोनोविच एसडीई के रूप में फिर से लिखा जा सकता है: $$dX_t = \left[\mu(X_t, t) - \frac{1}{2} \frac{\partial}{\partial X_t}D(X_t, t)\right] \,dt + \sqrt{2 D(X_t, t)} \circ dW_t.$$ यदि शोर राज्य-निर्भर है तो इसमें प्रसार ढाल प्रभावों के कारण एक अतिरिक्त शोर-प्रेरित बहाव शब्द शामिल है। इस परिपाटी का उपयोग अक्सर भौतिक अनुप्रयोगों में किया जाता है। दरअसल, यह सर्वविदित है कि स्ट्रैटोनोविच एसडीई का कोई भी समाधान इटो एसडीई का समाधान है।

निरंतर प्रसार के साथ शून्य-बहाव समीकरण को शास्त्रीय ब्राउनियन गति का एक मॉडल माना जा सकता है: $$\frac{\partial}{\partial t} p(x, t) = D_0\frac{\partial^2}{\partial x^2}\left[p(x, t)\right].$$ यदि निश्चित सीमाओं की शर्त जोड़ दी जाए तो इस मॉडल में समाधानों का अलग-अलग स्पेक्ट्रम होता है $$\{0 \leq x \leq L\}$$: $$p(0, t) = p(L, t) = 0,$$ $$p(x, 0) = p_0(x).$$ यह दिखाया गया है इस मामले में समाधानों का एक विश्लेषणात्मक स्पेक्ट्रम समन्वय-वेग चरण मात्रा के लिए स्थानीय अनिश्चितता संबंध प्राप्त करने की अनुमति देता है: $$ \Delta x \, \Delta v \geq D_0. $$ यहाँ $$D_0$$ संबंधित प्रसार स्पेक्ट्रम का न्यूनतम मान है $$D_j$$, जबकि $$\Delta x$$ और $$\Delta v$$ निर्देशांक-वेग परिभाषा की अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व करते हैं।

उच्च आयाम
अधिक सामान्यतः, यदि

$$d\mathbf{X}_t = \boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,t)\,dt + \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,t)\,d\mathbf{W}_t,$$ कहाँ $$\mathbf{X}_t$$ और $$\boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,t)$$ हैं $N$-आयामी यादृच्छिक वेक्टर (ज्यामिति), $$\boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,t)$$ एक $$N \times M$$ मैट्रिक्स और $$\mathbf{W}_t$$ एक एम-आयामी मानक वीनर प्रक्रिया है, संभाव्यता घनत्व $$p(\mathbf{x},t)$$ के लिए $$\mathbf{X}_t$$ फोकर-प्लैंक समीकरण को संतुष्ट करता है$$बहाव वेक्टर के साथ $$\boldsymbol{\mu} = (\mu_1,\ldots,\mu_N)$$ और प्रसार  टेन्सर  $\mathbf{D} = \frac{1}{2} \boldsymbol{\sigma\sigma}^\mathsf{T}$, अर्थात।$$D_{ij}(\mathbf{x},t) = \frac{1}{2}\sum_{k=1}^M \sigma_{ik}(\mathbf{x},t) \sigma_{jk}(\mathbf{x},t).$$ यदि इटो एसडीई के बजाय, स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल पर विचार किया जाता है,

$$d\mathbf{X}_t = \boldsymbol{\mu}(\mathbf{X}_t,t)\,dt + \boldsymbol{\sigma}(\mathbf{X}_t,t)\circ d\mathbf{W}_t,$$ फोककर-प्लैंक समीकरण पढ़ेगा:

$$\frac{\partial p(\mathbf{x},t)}{\partial t} = -\sum_{i=1}^N \frac{\partial}{\partial x_i} \left[ \mu_i(\mathbf{x},t) \, p(\mathbf{x},t) \right] + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^M \sum_{i=1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_i} \left\{ \sigma_{ik}(\mathbf{x},t) \sum_{j=1}^{N} \frac{\partial}{\partial x_j} \left[  \sigma_{jk}(\mathbf{x},t) \, p(\mathbf{x},t) \right] \right\}$$

सामान्यीकरण
सामान्य तौर पर, फोककर-प्लैंक समीकरण सामान्य कोलमोगोरोव फॉरवर्ड समीकरण का एक विशेष मामला है

$$\partial_t \rho = \mathcal{A}^*\rho$$ जहां रैखिक ऑपरेटर $$\mathcal{A}^*$$ मार्कोव प्रक्रिया के लिए इन्फिनिटेसिमल जनरेटर (स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं) से जुड़ा हर्मिटियन है।

वीनर प्रक्रिया
एक मानक अदिश वीनर प्रक्रिया स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण द्वारा उत्पन्न होती है

$$dX_t = dW_t.$$ यहां बहाव पद शून्य है और प्रसार गुणांक 1/2 है। इस प्रकार संगत फोकर-प्लैंक समीकरण है

$$ \frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = \frac{1}{2} \frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}, $$ जो प्रसार समीकरण का सबसे सरल रूप है। यदि प्रारंभिक स्थिति है $$p(x,0) = \delta(x)$$, समाधान है

$$ p(x,t) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi t}}e^{-{x^2}/({2t})}.$$

ऑर्नस्टीन-उहलेनबेक प्रक्रिया
ऑर्नस्टीन-उहलेनबेक प्रक्रिया एक ऐसी प्रक्रिया है जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है

$$dX_t = -a X_t dt + \sigma dW_t.$$ साथ $$a>0$$. भौतिक रूप से, इस समीकरण को इस प्रकार प्रेरित किया जा सकता है: द्रव्यमान का एक कण $$ m $$ वेग के साथ $$ V_t$$ किसी माध्यम, उदाहरण के लिए, तरल पदार्थ में जाने पर, एक घर्षण बल का अनुभव होगा जो गति का प्रतिरोध करता है जिसका परिमाण कण के वेग के आनुपातिक होने के रूप में अनुमानित किया जा सकता है $$ -a V_t$$ साथ $$ a = \mathrm{constant} $$. माध्यम में मौजूद अन्य कण कण से टकराते समय बेतरतीब ढंग से उसे लात मारेंगे और इस प्रभाव को श्वेत शोर शब्द द्वारा अनुमानित किया जा सकता है; $$ \sigma (d W_t/dt) $$. न्यूटन का दूसरा नियम इस प्रकार लिखा गया है

$$ m \frac{dV_t}{dt}=-a V_t +\sigma \frac{dW_t}{dt}. $$ ले रहा $$ m = 1$$ सरलता और संकेतन को बदलने के लिए $$ V_t\rightarrow X_t$$ परिचित रूप की ओर ले जाता है $$dX_t = -a X_t dt + \sigma dW_t$$.

संगत फोकर-प्लैंक समीकरण है $$ \frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = a \frac{\partial}{\partial x}\left(x \,p(x,t)\right) + \frac{\sigma^2}{2} \frac{\partial^2 p(x,t)}{\partial x^2}, $$ स्थिर समाधान ($$\partial_t p = 0$$) है $$p_{ss}(x) = \sqrt{\frac{a}{\pi \sigma^2}} e^{-\frac{ax^2}{\sigma^2}}.$$

प्लाज्मा भौतिकी
प्लाज्मा भौतिकी में, एक कण प्रजाति के लिए वितरण फ़ंक्शन (भौतिकी)। $$s$$, $$p_s (\mathbf{x},\mathbf{v},t)$$, संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन का स्थान लेता है। संबंधित बोल्ट्ज़मैन समीकरण द्वारा दिया गया है

$$\frac{\partial p_s}{\partial t} + \mathbf{v} \cdot \boldsymbol{\nabla} p_s + \frac{Z_s e}{m_s} \left( \mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B} \right) \cdot \boldsymbol{\nabla}_v p_s = -\frac{\partial}{\partial v_i} \left(p_s \langle\Delta v_i\rangle\right) + \frac{1}{2} \frac{\partial^2}{\partial v_i \, \partial v_j} \left(p_s \langle\Delta v_i \, \Delta v_j\rangle\right),$$ जहां तीसरे पद में लोरेंत्ज़ बल के कारण कण त्वरण शामिल है और दाईं ओर फोककर-प्लैंक शब्द कण टकराव के प्रभावों को दर्शाता है। मात्राएँ $$\langle\Delta v_i\rangle$$ और $$\langle\Delta v_i \, \Delta v_j\rangle$$ वेग में औसत परिवर्तन एक प्रकार का कण है $$s$$ इकाई समय में अन्य सभी कण प्रजातियों के साथ टकराव के कारण अनुभव। इन मात्राओं के लिए व्यंजक अन्यत्र दिए गए हैं। यदि टकरावों को नजरअंदाज कर दिया जाता है, तो बोल्ट्ज़मैन समीकरण व्लासोव समीकरण में बदल जाता है।

स्मोलुचोव्स्की प्रसार समीकरण
बाह्य बल के अधीन एक अत्यधिक नमीयुक्त ब्राउनियन कण पर विचार करें $$F(r)$$: $$m\ddot{r} = - \gamma \dot{r} + F(r) + \sigma \xi(t)$$जहां $$m\ddot r$$ शब्द नगण्य है (ओवरडैम्प्ड का अर्थ)। अत: यह न्यायसंगत है $$\gamma dr = F(r)dt + \sigma dW_t$$. इस कण के लिए फोककर-प्लैंक समीकरण स्मोलुचोव्स्की प्रसार समीकरण है: $$\partial_t P(r,t| r_0, t_0) = \nabla \cdot [D (\nabla - \beta F(r)) P(r,t| r_0, t_0)] $$कहाँ $$D$$ प्रसार स्थिरांक है और $$\beta = \frac{1}{k_\text{B} T}$$. इस समीकरण का महत्व यह है कि यह कणों की प्रणाली पर तापमान के प्रभाव और स्थानिक रूप से निर्भर प्रसार स्थिरांक दोनों को शामिल करने की अनुमति देता है।

बाह्य क्षेत्र में ब्राउनियन कण के लैंग्विन समीकरण से प्रारंभ करना $$F(r)$$, कहाँ $$\gamma$$ घर्षण शब्द है, $$\xi$$ कण पर एक उतार-चढ़ाव वाला बल है, और $$\sigma$$ उतार-चढ़ाव का आयाम है.

$$m\ddot{r} = - \gamma \dot{r} + F(r) + \sigma \xi(t)$$ संतुलन पर घर्षण बल जड़त्व बल से बहुत अधिक होता है, $$\left\vert \gamma \dot{r} \right\vert \gg \left\vert m \ddot{r} \right\vert$$. इसलिए, लैंग्विन समीकरण बन जाता है,

$$\gamma \dot{r} = F(r) + \sigma \xi(t)$$ जो निम्नलिखित फोकर-प्लैंक समीकरण उत्पन्न करता है,

$$\partial_t P(r,t|r_0,t_0) = \left(\nabla^2\frac{\sigma^2}{2 \gamma^2} - \nabla \cdot \frac{F(r)}{\gamma}\right) P(r,t|r_0,t_0) $$ फोककर-प्लैंक समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करते हुए,

$$\partial_t P(r,t|r_0,t_0)= \nabla \cdot \left( \nabla D- \frac{F(r)}{\gamma}\right) P(r,t|r_0,t_0)$$ कहाँ $$D = \frac{\sigma^2}{2 \gamma^2}$$. ध्यान दें, प्रसार गुणांक आवश्यक रूप से स्थानिक रूप से स्वतंत्र नहीं हो सकता है $$\sigma$$ या $$\gamma$$ स्थानिक रूप से निर्भर हैं.

इसके बाद, किसी विशेष आयतन में कणों की कुल संख्या इस प्रकार दी जाती है,

$$N_V (t| r_0, t_0) = \int_V dr P(r,t|r_0,t_0)$$ इसलिए, कणों के प्रवाह को किसी दिए गए आयतन में कणों की संख्या का समय व्युत्पन्न लेकर, फोककर-प्लैंक समीकरण में प्लग करके और फिर डायवर्जेंस प्रमेय | गॉस के प्रमेय को लागू करके निर्धारित किया जा सकता है।

$$\partial_t N_V (t|r_0, t_0) = \int_V dV \nabla \cdot\left( \nabla D- \frac{F(r)}{\gamma}\right) P(r,t|r_0, t_0) = \int_{\partial V} d\mathbf{a} \cdot j(r,t|r_0, t_0)$$

$$j(r,t|r_0, t_0) = \left( \nabla D- \frac{F(r)}{\gamma}\right)P(r,t|r_0, t_0)$$ संतुलन में, यह माना जाता है कि फ्लक्स शून्य हो जाता है। इसलिए, बोल्ट्ज़मैन आँकड़ों को संतुलन में कणों के स्थान की संभावना के लिए लागू किया जा सकता है, जहाँ $$F(r) = -\nabla U(r)$$ एक रूढ़िवादी बल है और एक कण के एक अवस्था में होने की संभावना है $$r$$ के रूप में दिया गया है $$P(r,t|r_0, t_0) = \frac{e^{-\beta U(r)}}{Z}$$.

$$j(r,t|r_0, t_0) = \left( \nabla D- \frac{F(r)}{\gamma}\right)\frac{e^{-\beta U(r)}}{Z} = 0$$

$$\Rightarrow \nabla D   = F(r) \left(\frac{1}{\gamma} - D \beta\right)$$ यह संबंध उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय का बोध है। अब आवेदन कर रहे हैं $$ \nabla \cdot \nabla $$ को $$D P(r,t|r_0, t_0)$$ और उतार-चढ़ाव-अपव्यय प्रमेय का उपयोग करते हुए,

$$\begin{align} \nabla \cdot \nabla D P(r,t|r_0,t_0) &= \nabla \cdot D \nabla P(r,t|r_0,t_0)+ \nabla \cdot P(r,t|r_0,t_0) \nabla D \\ &=\nabla \cdot D \nabla P(r,t|r_0,t_0)+\nabla \cdot P(r,t|r_0,t_0) \frac{F(r)}{\gamma} - \nabla \cdot P(r,t|r_0,t_0) D \beta F(r) \end{align}$$ पुनर्व्यवस्थित करना,

$$ \Rightarrow \nabla \cdot \left( \nabla D- \frac{F(r)}{\gamma}\right)P(r,t|r_0,t_0)= \nabla \cdot D(\nabla-\beta F(r)) P(r,t|r_0,t_0)$$ इसलिए, फोककर-प्लैंक समीकरण स्मोलुचोव्स्की समीकरण बन जाता है, $$\partial_t P(r,t| r_0, t_0) = \nabla \cdot D (\nabla - \beta F(r)) P(r,t| r_0, t_0) $$ एक मनमाना बल के लिए $$F(r)$$.

कम्प्यूटेशनल विचार
ब्राउनियन गति लैंग्विन समीकरण का अनुसरण करती है, जिसे कई अलग-अलग स्टोकेस्टिक फोर्सिंग के लिए हल किया जा सकता है, जिसके परिणाम औसत होते हैं (आणविक गतिशीलता में विहित संयोजन)। हालाँकि, इस कम्प्यूटेशनल रूप से गहन दृष्टिकोण के बजाय, कोई फोककर-प्लैंक समीकरण का उपयोग कर सकता है और संभाव्यता पर विचार कर सकता है $$p(\mathbf{v}, t)\,d\mathbf{v}$$ अंतराल में कण का वेग है $$(\mathbf{v}, \mathbf{v} + d\mathbf{v})$$ जब यह अपनी गति प्रारम्भ करता है $$\mathbf{v}_0$$ समय 0 पर.



1-डी रैखिक संभावित उदाहरण
एक आयाम में ब्राउनियन गतिकी सरल है।

सिद्धांत
प्रपत्र की एक रैखिक क्षमता से प्रारंभ करना $$U(x) = cx$$ संगत स्मोलुचोव्स्की समीकरण बन जाता है,

$$\partial_t P(x,t| x_0, t_0) = \partial_x D (\partial_x + \beta c) P(x,t| x_0, t_0) $$ जहां प्रसार स्थिरांक, $$D$$, स्थान और समय पर स्थिर है। सीमा की स्थितियाँ ऐसी हैं कि संभावना ख़त्म हो जाती है $$x \rightarrow \pm \infin $$ एक ही स्थान से शुरू होने वाले कणों के समूह की प्रारंभिक स्थिति के साथ, $$P(x,t|x_0,t_0)= \delta (x-x_0) $$.

परिभाषित $$\tau = D t $$ और $$b = \beta c $$ और समन्वय परिवर्तन को लागू करना,

$$y = x +\tau b ,\ \ \ y_0= x_0 + \tau_0 b $$ साथ $$P(x, t, |x_0, t_0) = q(y, \tau|y_0, \tau_0)$$ स्मोलुचोकी समीकरण बन जाता है, $$\partial_\tau q(y, \tau| y_0, \tau_0) =\partial_y^2 q(y, \tau| y_0, \tau_0)$$ समाधान के साथ मुक्त प्रसार समीकरण कौन सा है, $$q(y, \tau| y_0, \tau_0)= \frac{1}{\sqrt {4 \pi (\tau - \tau_0)}} e^{ -\frac{(y-y_0)^2}{4(\tau-\tau_0)} }$$ और मूल निर्देशांक में वापस परिवर्तित होने के बाद, $$P(x, t | x_0, t_0)= \frac{1}{\sqrt{4 \pi D (t - t_0)}} \exp {\left[{ -\frac{(x-x_0+ D \beta c(t-t_0))^2}{4D(t-t_0)}} \right]}$$

सिमुलेशन
दाईं ओर का सिमुलेशन ब्राउनियन गतिकी सिमुलेशन का उपयोग करके पूरा किया गया था। सिस्टम के लिए लैंग्विन समीकरण से प्रारंभ करते हुए, $$m\ddot{x} = - \gamma \dot{x} -c + \sigma \xi(t)$$ कहाँ $$\gamma$$ घर्षण शब्द है, $$\xi$$ कण पर एक उतार-चढ़ाव वाला बल है, और $$\sigma$$ उतार-चढ़ाव का आयाम है. संतुलन पर घर्षण बल जड़त्व बल से बहुत अधिक होता है, $$\left| \gamma \dot{x} \right| \gg \left| m \ddot{x} \right|$$. इसलिए, लैंग्विन समीकरण बन जाता है, $$\gamma \dot{x} = -c + \sigma \xi(t)$$ ब्राउनियन गतिशील सिमुलेशन के लिए उतार-चढ़ाव बल $$\xi(t)$$ आयाम प्रणाली के तापमान पर निर्भर होने के साथ गॉसियन माना जाता है $\sigma = \sqrt{2\gamma k_\text{B} T}$. लैंग्विन समीकरण को फिर से लिखना,

$$\frac{dx}{dt}=-D \beta c + \sqrt{2D}\xi(t)$$ कहाँ $D = \frac{k_\text{B}T}{\gamma}$ आइंस्टीन संबंध है. इस ब्राउनियन कण के पथ को संख्यात्मक रूप से अनुमानित करने के लिए इस समीकरण का एकीकरण यूलर-मारुयामा विधि का उपयोग करके किया गया था।

समाधान
आंशिक अंतर समीकरण होने के कारण, फोककर-प्लैंक समीकरण को केवल विशेष मामलों में ही विश्लेषणात्मक रूप से हल किया जा सकता है। श्रोडिंगर समीकरण के साथ फोकर-प्लैंक समीकरण की एक औपचारिक सादृश्यता कई मामलों में इसके समाधान के लिए क्वांटम यांत्रिकी से ज्ञात उन्नत ऑपरेटर तकनीकों के उपयोग की अनुमति देती है। इसके अलावा, ओवरडैम्प्ड गतिशीलता के मामले में जब फोककर-प्लैंक समीकरण में सभी स्थानिक चर के संबंध में दूसरा आंशिक व्युत्पन्न होता है, तो समीकरण को एक मास्टर समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है जिसे आसानी से संख्यात्मक रूप से हल किया जा सकता है। कई अनुप्रयोगों में, व्यक्ति केवल स्थिर-अवस्था संभाव्यता वितरण में रुचि रखता है $$ p_0(x)$$, जिसे यहां से पाया जा सकता है $\frac{\partial p(x,t)}{\partial t} = 0$. माध्य प्रथम मार्ग समय और विभाजन संभावनाओं की गणना को एक साधारण अंतर समीकरण के समाधान तक कम किया जा सकता है जो फोककर-प्लैंक समीकरण से घनिष्ठ रूप से संबंधित है।

ज्ञात समाधान और व्युत्क्रम वाले विशेष मामले
स्थानीय अस्थिरता के माध्यम से विकल्पों की अस्थिरता मुस्कान मॉडलिंग के लिए गणितीय वित्त में, किसी को प्रसार गुणांक प्राप्त करने की समस्या होती है $${\sigma}(\mathbf{X}_t,t)$$ बाज़ार विकल्प उद्धरणों से प्राप्त संभाव्यता घनत्व के अनुरूप। इसलिए समस्या फोककर-प्लैंक समीकरण का उलटा है: विकल्प बाजार से निकाले गए एक्स के अंतर्निहित विकल्प के घनत्व एफ (एक्स, टी) को देखते हुए, स्थानीय अस्थिरता का पता लगाना है $${\sigma}(\mathbf{X}_t,t)$$ एफ के अनुरूप यह एक व्युत्क्रम समस्या है जिसे सामान्यतः डुपाइरे (1994, 1997) द्वारा एक गैर-पैरामीट्रिक समाधान के साथ हल किया गया है। ब्रिगो और मर्कुरियो (2002, 2003) एक विशेष स्थानीय अस्थिरता के माध्यम से पैरामीट्रिक रूप में एक समाधान का प्रस्ताव करते हैं $${\sigma}(\mathbf{X}_t,t)$$ मिश्रण मॉडल द्वारा दिए गए फोककर-प्लैंक समीकरण के समाधान के अनुरूप।  अधिक जानकारी फेंगलर (2008) में भी उपलब्ध है। गैदरल (2008), और मुसीला और रुत्कोव्स्की (2008)।

फोकर-प्लैंक समीकरण और पथ अभिन्न
प्रत्येक फोककर-प्लैंक समीकरण पथ अभिन्न सूत्रीकरण के बराबर है। पथ अभिन्न सूत्रीकरण क्षेत्र सिद्धांत विधियों के अनुप्रयोग के लिए एक उत्कृष्ट प्रारंभिक बिंदु है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग क्रिटिकल फेनोमेना#क्रिटिकल डायनामिक्स में किया जाता है।

पथ समाकलन की व्युत्पत्ति क्वांटम यांत्रिकी की तरह ही संभव है। एक चर के साथ फोककर-प्लैंक समीकरण की व्युत्पत्ति $$x$$ इस प्रकार है। डेल्टा फ़ंक्शन सम्मिलित करके प्रारंभ करें और फिर भागों द्वारा एकीकृत करें:

$$\begin{align} \frac{\partial }{\partial t}p{\left( x', t\right)} & = - \frac{\partial }{\partial x'} \left[ D_1(x',t) p(x',t) \right] +  \frac{\partial^2 }{\partial {x'}^2} \left[ D_2(x',t) p(x',t) \right] \\[5pt] & = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x\left( \left[ D_{1}\left( x,t\right) \frac{\partial }{\partial x}+D_2 \left( x,t\right) \frac{\partial^2}{\partial x^2}\right] \delta\left( x' -x\right) \right) p\!\left( x,t\right). \end{align}$$

$$x$$वें>-डेरिवेटिव यहां केवल पर कार्य करते हैं $$\delta$$-फ़ंक्शन, चालू नहीं $$p(x,t)$$. एक समय अंतराल पर एकीकृत करें $$\varepsilon$$,

$$p(x', t + \varepsilon) =\int_{-\infty}^\infty \, \mathrm{d}x\left(\left( 1+\varepsilon \left[ D_1(x,t) \frac \partial {\partial x} + D_2(x,t) \frac{\partial^2}{\partial x^2}\right]\right) \delta(x' - x) \right) p(x,t)+O(\varepsilon^2).$$ फूरियर अभिन्न डालें

$$\delta{\left( x' - x\right)} = \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\mathrm{d} \tilde{x}}{2\pi i} e^{\tilde{x} {\left( x - x'\right)}}$$ के लिए $$\delta$$-समारोह,

$$\begin{align} p(x', t+\varepsilon) & = \int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\mathrm{d}\tilde{x}}{2\pi i} \left(1+\varepsilon \left[ \tilde{x} D_1(x,t) +\tilde{x}^2 D_2(x,t) \right] \right) e^{\tilde{x} (x - x')}p(x,t) +O(\varepsilon^2) \\[5pt] & =\int_{-\infty}^\infty \mathrm{d}x \int_{-i\infty}^{i\infty} \frac{\mathrm{d}\tilde{x}}{2\pi i}\exp \left( \varepsilon \left[ -\tilde{x}\frac{(x'- x) }\varepsilon + \tilde{x} D_1(x,t) +\tilde{x}^2 D_2(x,t) \right] \right) p(x,t) +O(\varepsilon^2). \end{align}$$ यह समीकरण व्यक्त करता है $$p(x', t+\varepsilon)$$ के कार्यात्मक के रूप में $$p(x,t)$$. बार-बार दोहराना $$(t'-t)/\varepsilon$$ समय और सीमा का प्रदर्शन $$\varepsilon \rightarrow 0$$ क्रिया (भौतिकी) के साथ अभिन्न पथ देता है

$$S=\int \mathrm{d}t\left[ \tilde{x} D_1 (x,t) +\tilde{x}^2 D_2 (x,t) -\tilde{x}\frac{\partial x}{\partial t} \right].$$ चर $$\tilde{x}$$ से जुड़ना $$x$$ प्रतिक्रिया चर कहलाते हैं। यद्यपि औपचारिक रूप से समतुल्य, फोककर-प्लैंक समीकरण या पथ अभिन्न सूत्रीकरण में विभिन्न समस्याओं को अधिक आसानी से हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए संतुलन वितरण फोककर-प्लैंक समीकरण से अधिक सीधे प्राप्त किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * कोलमोगोरोव पिछड़े समीकरण (प्रसार)
 * बोल्ट्ज़मैन समीकरण
 * व्लासोव समीकरण
 * मास्टर समीकरण
 * माध्य-क्षेत्र खेल सिद्धांत
 * बीबीजीकेवाई पदानुक्रम|बोगोलीउबोव-बॉर्न-ग्रीन-किर्कवुड-यवोन समीकरणों का पदानुक्रम
 * ऑर्नस्टीन-उहलेनबेक प्रक्रिया
 * संवहन-प्रसार समीकरण
 * क्लेन-क्रेमर्स समीकरण