प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)

रैखिक बीजगणित और कार्यात्मक विश्लेषण में, प्रक्षेप एक रैखिक परिवर्तन है $$P$$ एक सदिश स्थान से स्वयं (एक अंतःरूपांतरण) जैसे कि $$P\circ P=P$$. यानी जब भी $$P$$ किसी भी सदिश पर दो बार लागू किया जाता है, यह वही परिणाम देता है जैसे कि इसे एक बार लागू किया गया था (यानी। $$P$$ वर्गसम है)। यह अपनी छवि (गणित) अपरिवर्तित छोड़ देता है। प्रक्षेप की यह परिभाषा आलेखी प्रक्षेप के विचार को औपचारिक और सामान्य बनाती है। वस्तु में बिंदु (ज्यामिति) पर प्रक्षेप के प्रभाव की जांच करके एक ज्यामितीय वस्तु पर प्रक्षेप के प्रभाव पर भी विचार किया जा सकता है।

परिभाषाएँ
सदिश स्थान पर प्रक्षेप $$V$$ एक रैखिक संकारक है $$P : V \to V$$ ऐसा है कि $$P^2 = P$$.

जब $$V$$ एक आंतरिक उत्पाद है और पूर्ण है (अर्थात जब $$V$$ हिल्बर्ट समष्‍टि है) लांबिकता की अवधारणा का उपयोग किया जा सकता है। एक प्रक्षेप $$P$$ हिल्बर्ट समष्‍टि पर यदि $$V$$ यहां संतुष्ट होता है तो इसे लांबिक प्रस्तुतीकरण कहा जाता है $$\langle P \mathbf x, \mathbf y \rangle = \langle \mathbf x, P \mathbf y \rangle$$ सभी के लिए $$\mathbf x, \mathbf y \in V$$. हिल्बर्ट समष्‍टि पर एक प्रक्षेप जो लांबिक नहीं है, उसे तिर्यक प्रक्षेप कहा जाता है।

प्रक्षेप आव्यूह
प्रक्षेप आव्यूह के इगनवेल्यूज़ ​​​​0 या 1 होना चाहिए।
 * आयाम (सदिश स्थान) में | परिमित-आयामी मामला, एक वर्ग आव्यूह $$P$$ प्रक्षेप आव्यूह कहा जाता है यदि यह इसके वर्ग के बराबर है, अर्थात यदि $$P^2 = P$$.
 * एक वर्ग आव्यूह $$P$$ एक लांबिक प्रक्षेप आव्यूह कहा जाता है अगर $$P^2 = P = P^{\mathrm T}$$ एक वास्तविक संख्या आव्यूह (गणित) के लिए, और क्रमशः $$P^2 = P = P^{*}$$ एक जटिल संख्या आव्यूह के लिए, जहाँ $$P^{\mathrm T}$$ के स्थानान्तरण को दर्शाता है $$P$$ और $$P^{*}$$ आसन्न या हर्मिटियन आव्यूह परिवर्तन को दर्शाता है $$P$$.
 * एक प्रक्षेप आव्यूह जो लांबिक प्रस्तुतीकरण आव्यूह नहीं है, उसे तिर्यक प्रक्षेप आव्यूह कहा जाता है।

लांबिक प्रस्तुतीकरण
उदाहरण के लिए, फलन जो बिंदु को प्रतिचित्र करता है $$(x,y,z)$$ त्रि-आयामी समष्‍टि में $$\mathbb{R}^3$$ सुसंगत रूप से $$(x,y,0)$$ xy-प्लेन पर एक लांबिक प्रस्तुतीकरण है। यह फलन आव्यूह द्वारा दर्शाया गया है $$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$ एक स्वेच्छ यूक्लिडियन सदिश पर इस आव्यूह की क्रिया है $$P \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix}.$$ यह देखने के लिए $$P$$ वास्तव में एक प्रक्षेप है, अर्थात, $$P = P^2$$, हम गणना करते हैं $$P^2 \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = P \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} = P\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}.$$ यह देखते हुए $$P^{\mathrm T} = P$$ दिखाता है कि प्रक्षेप एक लांबिक प्रक्षेप है।

तिर्यक प्रक्षेप
गैर-लांबिक (तिर्यक) प्रक्षेप का एक सरल उदाहरण है $$P = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix}.$$ आव्यूह गुणन के माध्यम से, कोई यह देखता है $$P^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = P.$$ दिखा रहा है $$P$$ वास्तव में एक प्रक्षेप है।

प्रक्षेप $$P$$ लांबिक है अगर और केवल अगर $$\alpha = 0$$ है, क्योंकि तभी $$P^{\mathrm T} = P.$$

अकर्मण्यता
परिभाषा के अनुसार, एक प्रक्षेप $$P$$ वर्गसम है (अर्थात् $$P^2 = P$$).

नक्शा खोलें
प्रत्येक प्रक्षेप एक खुला नक्शा है, जिसका अर्थ है कि यह फलन के प्रक्षेत्र में प्रत्येक खुले सेट को छवि (गणित) के उपसमष्‍टि संस्थिति में एक खुले सेट पर प्रतिचित्र करता है। अर्थात किसी सदिश के लिए $$\mathbf{x}$$ और कोई भी गेंद $$B_\mathbf{x}$$ (सकारात्मक त्रिज्या के साथ) पर केंद्रित $$\mathbf{x}$$, पर एक गेंद मौजूद है $$B_{P\mathbf{x}}$$ (सकारात्मक त्रिज्या के साथ) पर केंद्रित $$P\mathbf{x}$$ जो पूरी तरह से छवि में निहित है $$P(B_\mathbf{x})$$.

छवि और कर्नेल की पूरकता
मान लिजिए $$W$$ एक परिमित-आयामी सदिश समष्‍टि बनें और $$P$$ पर एक प्रक्षेप हो $$W$$.मान लीजिए रेखीय उपसमष्टि $$U$$ और $$V$$ की छवि (गणित) और कर्नेल (रैखिक बीजगणित) हैं $$P$$ क्रमश:। तब $$P$$ में निम्नलिखित गुण हैं:

एक प्रक्षेप की छवि और कर्नेल पूरक हैं, जैसा कि हैं $$P$$ और $$Q = I - P$$. प्रचालक $$Q$$ की छवि और कर्नेल के रूप में भी एक प्रक्षेप है $$P$$ जो कर्नेल और छवि बन जाते हैं $$Q$$ और इसके विपरीत। हम कहते हैं $$P$$ साथ में एक प्रक्षेप है $$V$$ पर $$U$$ (कर्नेल / छवि) और $$Q$$ साथ में एक प्रक्षेप है $$U$$ पर $$V$$.
 * 1) $$P$$ तत्समक संकारक है $$I$$ पर $$U$$: $$\forall \mathbf x \in U: P \mathbf x = \mathbf x.$$
 * 2) हमारे पास सीधा योग है $$W = U \oplus V$$. हर सदिश $$\mathbf x \in W$$ के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है $$\mathbf x = \mathbf u + \mathbf v$$ साथ $$\mathbf u = P \mathbf x$$ और $$\mathbf v = \mathbf x - P \mathbf x = \left(I-P\right) \mathbf x$$, और जहाँ $$\mathbf u \in U, \mathbf v \in V.$$

विस्तार
अनंत-आयामी सदिश रिक्त स्थान में, प्रक्षेप के विस्तार में निहित है $$\{ 0, 1 \}$$ जैसा $$(\lambda I - P)^{-1} = \frac 1 \lambda I + \frac 1 {\lambda(\lambda-1)} P.$$ केवल 0 या 1 ही किसी प्रक्षेप का आइगेन मान हो सकता है। इसका तात्पर्य है कि एक लांबिक प्रक्षेप $$P$$ हमेशा एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह होता है। सामान्य तौर पर, संबंधित आइगेन मान (क्रमशः) कर्नेल और प्रक्षेप की सीमा होती है। सदिश समष्टि का प्रत्यक्ष योगों में अपघटन अद्वितीय नहीं है। इसलिए, एक उप-स्थान दिया गया है $$V$$, ऐसे कई अनुमान हो सकते हैं जिनकी सीमा (या कर्नेल) है $$V$$.

यदि प्रक्षेप अनौपचारिक है तो इसमें न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित) है $$x^2 - x = x (x-1)$$, जो अलग-अलग रैखिक कारकों में कारक हैं, और इस प्रकार $$P$$ विकर्णीय है।

अनुमानों का उत्पाद
अनुमानों का उत्पाद सामान्य रूप से प्रक्षेप नहीं है, भले ही वे लांबिक हों। यदि दो प्रक्षेप आव्यूह को स्थानांतरित कर रहे हैं तो उनका उत्पाद एक प्रक्षेप है, लेकिन इसका विलोम (तर्क) गलत है: दो गैर-आवागमन प्रक्षेप का उत्पाद प्रक्षेप हो सकता है।

यदि दो लांबिक प्रक्षेप विनिमय करते हैं तो उनका उत्पाद एक लांबिक प्रक्षेप है। यदि दो लांबिक अनुमानों का उत्पाद एक लांबिक प्रस्तुतीकरण है, तो दो लांबिक प्रस्तुतीकरण विनिमय करते हैं (आम तौर पर: दो स्व-आसन्न अंतःरूपांतरण विनिमय करते हैं और केवल तब जब उनका उत्पाद स्व-संलग्न है)।

लांबिक प्रस्तुतीकरण
जब सदिश स्थान $$W$$ एक आंतरिक उत्पाद है और पूर्ण है। (हिल्बर्ट समष्‍टि है)तब लांबिकिटी की अवधारणा का उपयोग किया जा सकता है। एक लांबिक प्रक्षेप एक प्रक्षेप है जिसके लिए सीमा $$U$$ और शून्य स्थान $$V$$ हैं। इस प्रकार, प्रत्येक के लिए $$\mathbf x$$ और $$\mathbf y$$ में $$W$$, $$ \langle P \mathbf x, (\mathbf y - P \mathbf y) \rangle = \langle (\mathbf x - P \mathbf x), P \mathbf y \rangle = 0$$. समान रूप से: $$ \langle \mathbf x, P \mathbf y \rangle = \langle P \mathbf x, P \mathbf y \rangle = \langle P \mathbf x, \mathbf y \rangle. $$ एक प्रक्षेप लांबिक है अगर यह स्वयं-आसन्न ऑपरेटर है। स्व-संबद्ध। स्व-आसन्न और वर्गसम गुणों का उपयोग करना $$P$$, किसी के लिए $$\mathbf x$$ और $$\mathbf y$$ में $$W$$ अपने पास $$P\mathbf{x} \in U$$, $$\mathbf{y} - P\mathbf{y} \in V$$, और $$ \langle P \mathbf x, \mathbf y - P \mathbf y \rangle = \langle \mathbf x, \left(P-P^2\right) \mathbf y \rangle = 0$$ जहाँ $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ से जुड़ा आंतरिक उत्पाद है $$W$$. इसलिए, $$P $$ और $$I - P $$ लांबिक अनुमान हैं। दूसरी दिशा, अर्थात् यदि $$P$$ लांबिक है तो यह स्व-संलग्न है, निहितार्थ से अनुसरण करता है $$\langle (\mathbf x - P \mathbf x), P \mathbf y \rangle = \langle P \mathbf x, (\mathbf y - P \mathbf y) \rangle = 0$$ को $$ \langle \mathbf x, P \mathbf y \rangle = \langle P \mathbf x, P\mathbf y \rangle = \langle P \mathbf x, \mathbf y \rangle = \langle \mathbf x, P^* \mathbf y \rangle $$ हर एक के लिए $$x$$ और $$y$$ में $$W$$; इस प्रकार $$P=P^*$$.

$$

गुण और विशेष मामले
एक लांबिक प्रक्षेप एक परिबद्ध संचालिका है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक के लिए $$\mathbf v$$ हमारे पास सदिश स्थान में, कॉची-श्वार्ज असमानता $$\left \| P \mathbf v\right\|^2 = \langle P \mathbf v, P \mathbf v \rangle = \langle P \mathbf v, \mathbf v \rangle \leq \left\|P \mathbf v\right\| \cdot \left\|\mathbf v\right\|$$ इस प्रकार $$\left\|P \mathbf v\right\| \leq \left\|\mathbf v\right\|$$.

परिमित-आयामी जटिल या वास्तविक सदिश स्थान के लिए, मानक आंतरिक उत्पाद को प्रतिस्थापित किया जा सकता है $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$.

सूत्र
एक साधारण मामला तब होता है जब लांबिक प्रस्तुतीकरण एक रेखा पर होता है। अगर $$\mathbf u$$ रेखा पर एक इकाई सदिश है, तो प्रक्षेप बाहरी उत्पाद द्वारा दिया जाता है $$ P_\mathbf{u} = \mathbf u \mathbf u^\mathsf{T}.$$ (अगर $$\mathbf u$$ जटिल-मूल्य है, उपरोक्त समीकरण में स्थानान्तरण को एक हर्मिटियन स्थानान्तरण द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है)। यह ऑपरेटर u को अपरिवर्तनीय छोड़ देता है, और यह सभी सदिश लांबिक को नष्ट कर देता है $$\mathbf u$$, यह साबित करते हुए कि यह वास्तव में u युक्त रेखा पर लांबिक प्रक्षेप है। इसे देखने का एक आसान तरीका एक मनमाना सदिश पर विचार करना है $$\mathbf x$$ रेखा पर एक घटक के योग के रूप में (अर्थात प्रक्षेपित सदिश जिसे हम चाहते हैं) और इसके लिए एक और लंबवत, $$\mathbf x = \mathbf x_\parallel + \mathbf x_\perp$$. प्रक्षेप लागू करना, हम प्राप्त करते हैं $$ P_{\mathbf u} \mathbf x = \mathbf u \mathbf u^\mathsf{T} \mathbf x_\parallel + \mathbf u \mathbf u^\mathsf{T} \mathbf x_\perp = \mathbf u \left( \sgn\left(\mathbf u^\mathsf{T} \mathbf x_\parallel\right) \left \| \mathbf x_\parallel \right \| \right) + \mathbf u \cdot \mathbf 0 = \mathbf x_\parallel $$ समांतर और लंबवत सदिश के डॉट उत्पाद के गुणों से।

इस सूत्र को मनमाना आयाम (सदिश स्थान) के उप-स्थान पर लांबिक अनुमानों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। होने देना $$\mathbf u_1, \ldots, \mathbf u_k$$ उप-स्थान का एक अलौकिक आधार बनें $$U$$, इस धारणा के साथ कि पूर्णांक $$k \geq 1$$, और जाने $$A$$ निरूपित करें $$n \times k$$ आव्यूह जिसके कॉलम हैं $$\mathbf u_1, \ldots, \mathbf u_k$$, अर्थात।, $$A = \begin{bmatrix} \mathbf u_1 & \cdots & \mathbf u_k \end{bmatrix}$$. तब प्रक्षेप द्वारा दिया जाता है: $$P_A = A A^\mathsf{T}$$ जिसे फिर से लिखा जा सकता है $$P_A = \sum_i \langle \mathbf u_i, \cdot \rangle \mathbf u_i.$$ गणित का सवाल $$A^\mathsf{T}$$ आंशिक आइसोमेट्री है जो के लांबिक पूरक पर गायब हो जाती है $$U$$ और $$A$$ वह आइसोमेट्री है जो एम्बेड करता है $$U$$ अंतर्निहित सदिश समष्‍टि में। की सीमा $$P_A$$ इसलिए की अंतिम जगह है $$A$$. यह भी स्पष्ट है $$A A^{\mathsf T}$$ पहचान ऑपरेटर चालू है $$U$$.

ऑर्थोनॉर्मलिटी की स्थिति को भी गिराया जा सकता है। अगर $$\mathbf u_1, \ldots, \mathbf u_k$$ एक (जरूरी नहीं कि ऑर्थोनॉर्मल) आधार (रैखिक बीजगणित) है $$k \geq 1$$, और $$A$$ कॉलम के रूप में इन सदिशों के साथ आव्यूह है, तो प्रक्षेप है: $$P_A = A \left(A^\mathsf{T} A\right)^{-1} A^\mathsf{T}.$$ गणित का सवाल $$A$$ अभी भी एम्बेड करता है $$U$$ अंतर्निहित सदिश समष्‍टि में लेकिन अब सामान्य रूप से एक आइसोमेट्री नहीं है। गणित का सवाल $$\left(A^\mathsf{T}A\right)^{-1}$$ एक सामान्य कारक है जो आदर्श को ठीक करता है। उदाहरण के लिए, एक लीनियर ऑपरेटर-1 ऑपरेटर की रैंक $$\mathbf u \mathbf u^\mathsf{T}$$ एक प्रक्षेप नहीं है अगर $$\left\|\mathbf u \right\| \neq 1.$$ द्वारा विभाजित करने के बाद $$\mathbf u^\mathsf{T} \mathbf u = \left\| \mathbf u \right\|^2,$$ हम प्रक्षेप प्राप्त करते हैं $$\mathbf u \left(\mathbf u^\mathsf{T} \mathbf u \right)^{-1} \mathbf u^\mathsf{T}$$ द्वारा फैलाए गए उप-स्थान पर $$u$$.

सामान्य मामले में, हमारे पास मनमाना सकारात्मक निश्चित आव्यूह हो सकता है $$D$$ एक आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करना $$\langle x, y \rangle_D = y^\dagger Dx$$, और प्रक्षेप $$P_A$$ द्वारा दिया गया है $P_A x = \operatorname{argmin}_{y \in \operatorname{range}(A)} \left\|x - y\right\|^2_D$. तब $$P_A = A \left(A^\mathsf{T} D A\right)^{-1} A^\mathsf{T} D.$$ जब प्रक्षेप का रेंज स्पेस एक सदिश स्पेस के फ्रेम द्वारा उत्पन्न होता है (अर्थात जनरेटर की संख्या इसके आयाम से अधिक है), प्रक्षेप के लिए सूत्र रूप लेता है: $$P_A = A A^+$$. यहाँ $$A^+$$ मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स के लिए खड़ा है। यह प्रक्षेप ऑपरेटर के निर्माण के कई तरीकों में से एक है।

अगर $$\begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix}$$ एक गैर-एकवचन आव्यूह है और $$A^\mathsf{T}B = 0$$ (अर्थात।, $$B$$ का रिक्त स्थान आव्यूह है $$A$$), निम्नलिखित धारण करता है: $$\begin{align} I &= \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} A^\mathsf{T} \\ B^\mathsf{T} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} A^\mathsf{T} \\ B^\mathsf{T} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} A^\mathsf{T} \\ B^\mathsf{T} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} \right )^{-1} \begin{bmatrix} A^\mathsf{T} \\B^\mathsf{T} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix}A^\mathsf{T}A&O\\O&B^\mathsf{T}B\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} A^\mathsf{T} \\ B^\mathsf{T} \end{bmatrix}\\[4pt] &= A \left(A^\mathsf{T}A\right)^{-1} A^\mathsf{T} + B \left(B^\mathsf{T}B\right)^{-1} B^\mathsf{T} \end{align}$$ यदि लांबिक स्थिति को बढ़ाया जाता है $$A^\mathsf{T}W B = A^\mathsf{T}W^\mathsf{T}B = 0$$ साथ $$W$$ गैर विलक्षण, निम्नलिखित धारण करता है: $$I = \begin{bmatrix}A & B\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\left(A^\mathsf{T} W A\right)^{-1} A^\mathsf{T} \\ \left(B^\mathsf{T} W B\right)^{-1} B^\mathsf{T} \end{bmatrix} W.$$ ये सभी सूत्र जटिल आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के लिए भी लागू होते हैं, बशर्ते कि स्थानांतरण के बजाय संयुग्म स्थानान्तरण का उपयोग किया जाता है। प्रोजेक्टर के योग के बारे में अधिक जानकारी बैनर्जी और रॉय (2014) में पाई जा सकती है। बनर्जी को भी देखें (2004) बेसिक गोलाकार त्रिकोणमिति में प्रोजेक्टर के योग के आवेदन के लिए।

तिर्यक प्रक्षेप
शब्द तिर्यक प्रक्षेप कभी-कभी गैर-लांबिक अनुमानों को संदर्भित करने के लिए प्रयोग किया जाता है। इन अनुमानों का उपयोग द्वि-आयामी चित्रों (तिरछे प्रक्षेप देखें) में स्थानिक आंकड़ों का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जाता है, हालांकि लांबिक अनुमानों के रूप में अक्सर नहीं। जबकि एक साधारण न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन के फिट किए गए मूल्य की गणना के लिए एक लांबिक प्रस्तुतीकरण की आवश्यकता होती है, इंस्ट्रूमेंटल_वेरिएबल के फिट किए गए मूल्य की गणना के लिए एक तिरछे प्रक्षेप की आवश्यकता होती है।

अनुमानों को उनके रिक्त स्थान द्वारा परिभाषित किया जाता है और आधार सदिश उनकी सीमा को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है (जो रिक्त स्थान का पूरक है)। जब ये आधार सदिश शून्य स्थान के लिए लांबिक होते हैं, तो प्रक्षेप एक लांबिक प्रस्तुतीकरण होता है। जब ये आधार सदिश शून्य स्थान के लिए लांबिक नहीं होते हैं, तो प्रक्षेप एक तिर्यक प्रक्षेप होता है, या केवल एक सामान्य प्रक्षेप होता है।

एक अशून्य प्रक्षेप ऑपरेटर के लिए एक आव्यूह प्रतिनिधित्व सूत्र
होने देना $$P$$ एक रैखिक ऑपरेटर बनें $$P : V \to V$$ ऐसा है कि $$P^2 = P$$ और मान लो  $$P : V \to V$$ शून्य संकारक नहीं है। चलो सदिश $$\mathbf u_1, \ldots, \mathbf u_k$$ प्रक्षेप की सीमा के लिए आधार तैयार करें, और इन सदिशों को इसमें इकट्ठा करें $$n \times k$$ आव्यूह $$A$$. इसलिए पूर्णांक $$k \geq 1$$, अन्यथा $$k = 0$$ और $$P$$ शून्य संकारक है। सीमा और शून्य स्थान पूरक स्थान हैं, इसलिए शून्य स्थान का आयाम है $$n - k$$. यह इस प्रकार है कि शून्य स्थान के लांबिक पूरक का आयाम है $$k$$. होने देना $$\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_k$$ प्रक्षेप के शून्य स्थान के लांबिक पूरक के लिए एक आधार तैयार करें, और इन सदिशों को आव्यूह में इकट्ठा करें $$B$$. फिर प्रक्षेप $$P$$ (शर्त के साथ $$k \geq 1$$) द्वारा दिया गया है $$ P = A \left(B^\mathsf{T} A\right)^{-1} B^\mathsf{T}. $$ यह अभिव्यक्ति ऊपर दिए गए लांबिक अनुमानों के सूत्र को सामान्यीकृत करती है। इस अभिव्यक्ति का एक मानक प्रमाण निम्नलिखित है। किसी भी सदिश के लिए $$\mathbf x$$ सदिश समष्‍टि में $$V$$, हम विघटित कर सकते हैं $$\mathbf{x} = \mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2$$, जहां सदिश $$\mathbf{x}_1 = P(\mathbf{x})$$ की छवि में है $$P$$, और सदिश $$\mathbf{x}_2 = \mathbf{x} - P(\mathbf{x})$$. इसलिए $$P(\mathbf{x}_2) = P(\mathbf{x}) - P^2(\mathbf{x})= \mathbf{0}$$, और तब $$\mathbf{x}_2$$ की रिक्त स्थान में है $$P$$. दूसरे शब्दों में, सदिश $$\mathbf{x}_1$$ के कॉलम स्पेस में है $$A$$, इसलिए $$\mathbf{x}_1 = A \mathbf{w}$$ कुछ के लिए $$k$$ आयाम सदिश $$\mathbf{w}$$ और सदिश $$\mathbf{x}_2$$ संतुष्ट $$B^\mathsf{T} \mathbf{x}_2=\mathbf{0}$$ के निर्माण से $$B$$. इन शर्तों को एक साथ रखें, और हम एक सदिश पाते हैं $$\mathbf{w}$$ ताकि $$B^\mathsf{T} (\mathbf{x}-A\mathbf{w})=\mathbf{0}$$. मेट्रिसेस के बाद से $$A$$ और $$B$$ फुल रैंक के हैं $$k$$ उनके निर्माण से, $$k\times k$$-आव्यूह $$B^\mathsf{T} A$$ उलटा है। तो समीकरण $$B^\mathsf{T} (\mathbf{x}-A\mathbf{w})=\mathbf{0}$$ सदिश देता है $$\mathbf{w}= (B^{\mathsf{T}}A)^{-1} B^{\mathsf{T}} \mathbf{x}.$$ इस प्रकार से, $$P\mathbf{x} = \mathbf{x}_1 = A\mathbf{w}= A(B^{\mathsf{T}}A)^{-1} B^{\mathsf{T}} \mathbf{x}$$ किसी भी सदिश के लिए $$\mathbf{x} \in V$$ और इसलिए $$P = A(B^{\mathsf{T}}A)^{-1} B^{\mathsf{T}}$$.

उस मामले में $$P$$ एक लांबिक प्रक्षेप है, हम ले सकते हैं $$A = B$$, और यह उसका अनुसरण करता है $$P=A \left(A^\mathsf{T} A\right)^{-1} A^\mathsf{T}$$. इस फॉर्मूले का इस्तेमाल करके कोई भी इसे आसानी से चेक कर सकता है  $$P=P^\mathsf{T}$$. सामान्य तौर पर, यदि सदिश स्थान जटिल संख्या क्षेत्र से अधिक है, तो एक हर्मिटियन ट्रांज़ोज़ का उपयोग करता है $$A^*$$ और सूत्र है $$P=A \left(A^* A\right)^{-1} A^*$$. याद रखें कि कोई आव्यूह के मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम को परिभाषित कर सकता है $$A$$ द्वारा $$A^{+}= (A^*A)^{-1}A^*$$ तब से $$A$$ पूर्ण स्तंभ रैंक है, इसलिए  $$P=A A^{+}$$.

विलक्षण मूल्य
ध्यान दें कि $$I-P$$ तिर्यक प्रक्षेप भी है। के विलक्षण मूल्य $$P$$ और $$I-P$$ के एक असामान्य आधार द्वारा गणना की जा सकती है $$A$$. होने देना $$Q_A$$ का एक अलौकिक आधार हो $$A$$ और जाने $$Q_A^{\perp}$$ का लांबिक पूरक हो $$Q_A$$. आव्यूह के विलक्षण मूल्यों को निरूपित करें $$Q_A^T A (B^T A)^{-1} B^T Q_A^{\perp} $$ सकारात्मक मूल्यों द्वारा $$\gamma_1 \ge \gamma_2 \ge \ldots \ge \gamma_k $$. इसके साथ, के लिए एकवचन मान $$P$$ हैं: $$\sigma_i = \begin{cases} \sqrt{1+\gamma_i^2} & 1 \le i \le k \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ और के लिए एकवचन मान $$I-P$$ हैं $$\sigma_i = \begin{cases} \sqrt{1+\gamma_i^2} 	& 1 \le i \le k \\ 1 				& k+1 \le i \le n-k \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ इसका तात्पर्य है कि का सबसे बड़ा एकवचन मूल्य $$P$$ और $$I-P$$ समान हैं, और इस प्रकार तिरछे अनुमानों के आव्यूह मानदंड समान हैं। हालाँकि, शर्त संख्या संबंध को संतुष्ट करती है $$\kappa(I-P) = \frac{\sigma_1}{1} \ge \frac{\sigma_1}{\sigma_k} = \kappa(P)$$, और इसलिए जरूरी नहीं कि बराबर हो।

एक आंतरिक उत्पाद के साथ प्रक्षेप ढूँढना
होने देना $$V$$ लांबिक सदिश द्वारा फैले एक सदिश स्पेस (इस मामले में एक विमान) हो $$\mathbf u_1, \mathbf u_2, \dots, \mathbf u_p$$. होने देना $$y$$ एक सदिश बनें। कोई एक प्रक्षेप को परिभाषित कर सकता है $$\mathbf y$$ पर $$V$$ जैसा $$ \operatorname{proj}_V \mathbf y = \frac{\mathbf y \cdot \mathbf u^i}{\mathbf u^i \cdot \mathbf u^i } \mathbf u^i $$ जहां दोहराए गए सूचकांकों का योग किया जाता है ( आइंस्टीन संकेतन )। सदिश $$\mathbf y$$ एक लांबिक योग के रूप में लिखा जा सकता है जैसे कि $$\mathbf y = \operatorname{proj}_V \mathbf y + \mathbf z$$. $$\operatorname{proj}_V \mathbf y$$ कभी-कभी के रूप में दर्शाया जाता है $$\hat{\mathbf y}$$. रैखिक बीजगणित में एक प्रमेय है जो बताता है कि यह $$\mathbf z$$ से सबसे छोटी दूरी (लांबिक दूरी) है $$\mathbf y$$ को $$V$$ और आमतौर पर यंत्र अधिगम  जैसे क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है।



विहित रूप
कोई प्रक्षेप $$P=P^2$$ आयाम के सदिश स्थान पर $$d$$ एक क्षेत्र पर (गणित) एक विकर्ण आव्यूह है, क्योंकि इसकी न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित) विभाजित होती है $$x^2-x$$, जो अलग-अलग रैखिक कारकों में विभाजित होता है। इस प्रकार एक आधार मौजूद है जिसमें $$P$$ रूप है
 * $$P = I_r\oplus 0_{d-r}$$

कहाँ $$r$$ के रैखिक रूपांतरण की कोटि है $$P$$. यहाँ $$I_r$$ आकार की पहचान आव्यूह है $$r$$, $$0_{d-r}$$ आकार का शून्य आव्यूह है $$d-r$$, और $$\oplus$$ प्रत्यक्ष योग संचालिका है। यदि सदिश स्थान जटिल है और एक आंतरिक उत्पाद से सुसज्जित है, तो एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है जिसमें P का आव्यूह है
 * $$P = \begin{bmatrix}1&\sigma_1 \\ 0&0\end{bmatrix} \oplus \cdots \oplus \begin{bmatrix}1&\sigma_k \\ 0&0\end{bmatrix} \oplus I_m \oplus 0_s.$$

कहाँ $$\sigma_1 \geq \sigma_2\geq \dots \geq \sigma_k > 0$$. पूर्णांक $$k,s,m$$ और वास्तविक संख्याएँ $$\sigma_i$$ विशिष्ट रूप से निर्धारित हैं। ध्यान दें कि $$2k+s+m=d$$. कारण $$I_m \oplus 0_s$$ अधिकतम अपरिवर्तनीय उप-स्थान से मेल खाती है जिस पर $$P$$ एक लांबिक प्रस्तुतीकरण के रूप में कार्य करता है (ताकि पी स्वयं लांबिक हो और केवल अगर $$k=0$$) और यह $$\sigma_i$$-ब्लॉक तिरछे घटकों के अनुरूप हैं।

मानक सदिश रिक्त स्थान पर अनुमान
जब अंतर्निहित सदिश स्थान $$X$$ एक (जरूरी नहीं कि परिमित-आयामी) आदर्श सदिश स्थान है, विश्लेषणात्मक प्रश्न, परिमित-आयामी मामले में अप्रासंगिक हैं, पर विचार करने की आवश्यकता है। अभी मान लो $$X$$ एक बनच स्थान है।

ऊपर चर्चा किए गए कई बीजगणितीय परिणाम इस संदर्भ में पारित होने से बच जाते हैं। का एक प्रत्यक्ष योग अपघटन $$X$$ पूरक उप-स्थानों में अभी भी प्रक्षेप निर्दिष्ट करता है, और इसके विपरीत। अगर $$X$$ प्रत्यक्ष योग है $$X = U \oplus V$$, फिर ऑपरेटर द्वारा परिभाषित $$P(u+v) = u$$ अभी भी सीमा के साथ एक प्रक्षेप है $$U$$ और कर्नेल$$V$$. यह भी स्पष्ट है $$P^2 = P$$. इसके विपरीत यदि $$P$$ प्रक्षेप है $$X$$, अर्थात। $$P^2 = P$$, तो यह आसानी से सत्यापित हो जाता है $$(1-P)^2 = (1-P)$$. दूसरे शब्दों में, $$1 - P$$ प्रक्षेप भी है। रिश्ता $$P^2 = P$$ तात्पर्य $$1 = P + (1-P)$$ और $$X$$ प्रत्यक्ष योग है $$\operatorname{rg}(P) \oplus \operatorname{rg}(1 - P)$$.

हालांकि, परिमित-आयामी मामले के विपरीत, अनुमानों को सामान्य रूप से सीमित रैखिक ऑपरेटर नहीं होना चाहिए। यदि एक उपक्षेत्र $$U$$ का $$X$$ मानक टोपोलॉजी में बंद नहीं है, तो प्रक्षेप पर $$U$$ निरंतर नहीं है। दूसरे शब्दों में, एक सतत प्रक्षेप की सीमा $$P$$ एक बंद उप-स्थान होना चाहिए। इसके अलावा, एक सतत प्रक्षेप का कर्नेल (वास्तव में, सामान्य रूप से एक सतत रैखिक ऑपरेटर) बंद है। इस प्रकार एक सतत प्रक्षेप $$P$$ का अपघटन देता है $$X$$ दो पूरक बंद उप-स्थानों में: $$X = \operatorname{rg}(P) \oplus \ker(P) = \ker(1-P) \oplus \ker(P)$$.

एक अतिरिक्त धारणा के साथ इसका विलोम भी मान्य है। कल्पना करना $$U$$ की बंद उपसमष्टि है $$X$$. यदि कोई बंद उप-स्थान मौजूद है $$V$$ ऐसा है कि X = U ⊕ V, फिर प्रक्षेप $$P$$ रेंज के साथ $$U$$ और कर्नेल$$V$$ निरंतर है। यह बंद ग्राफ प्रमेय से अनुसरण करता है। कल्पना करना xn → x और Pxn → y. इसे दिखाने की जरूरत है $$Px=y$$. तब से $$U$$ बंद है और {Pxn} ⊂ U, वाई में निहित है $$U$$, अर्थात। Py = y. भी, xn − Pxn = (I − P)xn → x − y. क्योंकि $$V$$ बंद है और {(I − P)xn} ⊂ V, अपने पास $$x-y \in V$$, अर्थात। $$P(x-y)=Px-Py=Px-y=0$$, जो दावे को साबित करता है।

उपरोक्त तर्क इस धारणा का उपयोग करता है कि दोनों $$U$$ और $$V$$ बंद हो जाती हैं। सामान्य तौर पर, एक बंद उप-स्थान दिया जाता है $$U$$, एक पूरक बंद उप-स्थान मौजूद होने की आवश्यकता नहीं है $$V$$, हालांकि हिल्बर्ट रिक्त स्थान के लिए यह हमेशा लांबिक पूरक लेकर किया जा सकता है। बनच रिक्त स्थान के लिए, एक आयामी उप-स्थान में हमेशा एक बंद पूरक उप-स्थान होता है। यह हैन-बनाक प्रमेय का एक तात्कालिक परिणाम है। होने देना $$U$$ की रैखिक अवधि हो $$u$$. हैन-बनच द्वारा, एक परिबद्ध रेखीय प्रकार्य मौजूद है $$\varphi$$ ऐसा है कि φ(u) = 1. परिचालक $$P(x)=\varphi(x)u$$ संतुष्ट $$P^2=P$$, यानी यह एक प्रक्षेप है। की सीमाबद्धता $$\varphi$$ की निरंतरता का तात्पर्य है $$P$$ और इसलिए $$\ker(P) = \operatorname{rg}(I-P)$$ की एक बंद पूरक उपसमष्टि है $$U$$.

आवेदन और आगे के विचार
कुछ रैखिक बीजगणित समस्याओं के लिए अनुमान (लांबिक और अन्यथा) एल्गोरिदम में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं:
 * क्यूआर अपघटन (गृहस्थ परिवर्तन और ग्राम-श्मिट अपघटन देखें);
 * विलक्षण मान अपघटन
 * हेसनबर्ग आव्यूह फॉर्म में कमी (कई आइगेनवैल्यू [[ कलन विधि ]] में पहला कदम)
 * रेखीय प्रतिगमन
 * ऑपरेटर के-सिद्धांत में कुछ के-समूहों के निर्माण में आव्यूह बीजगणित के प्रक्षेपी तत्वों का उपयोग किया जाता है

जैसा कि ऊपर कहा गया है, अनुमान बेवकूफों का एक विशेष मामला है। विश्लेषणात्मक रूप से, लांबिक अनुमान विशेषता बहुपद के गैर-विनिमयेटिव सामान्यीकरण हैं। उदाहरण के लिए, अर्धसरल बीजगणित को वर्गीकृत करने के लिए इम्पपोटेंट्स का उपयोग किया जाता है, जबकि माप सिद्धांत मापने योग्य सेटों के विशिष्ट कार्यों पर विचार करने के साथ शुरू होता है। इसलिए, जैसा कि कोई कल्पना कर सकता है, ऑपरेटर बीजगणित के संदर्भ में अनुमानों का अक्सर सामना किया जाता है। विशेष रूप से, एक वॉन न्यूमैन बीजगणित अनुमानों के पूर्ण जाली (क्रम) द्वारा उत्पन्न होता है।

सामान्यीकरण
अधिक आम तौर पर, आदर्श सदिश रिक्त स्थान के बीच एक मानचित्र दिया जाता है $$T\colon V \to W,$$ कोई भी इस मानचित्र को कर्नेल के लांबिक पूरक पर एक आइसोमेट्री होने के लिए समान रूप से पूछ सकता है: वह $$(\ker T)^\perp \to W$$ एक आइसोमेट्री बनें (आंशिक आइसोमेट्री की तुलना करें); विशेष रूप से यह विशेषण कार्य होना चाहिए। लांबिक प्रस्तुतीकरण का मामला तब होता है जब डब्ल्यू वी का एक उप-स्थान होता है। रिमेंनियन ज्यामिति में, इसका उपयोग रिमेंनियन पनडुब्बी की परिभाषा में किया जाता है।

यह भी देखें

 * केंद्रित आव्यूह, जो प्रक्षेप आव्यूह का एक उदाहरण है।
 * Dykstra का प्रक्षेप एल्गोरिथम सेट के एक चौराहे पर प्रक्षेप की गणना करने के लिए
 * अपरिवर्तनीय उपस्थान
 * कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
 * लांबिकाइज़ेशन
 * ट्रेस (रैखिक बीजगणित) # गुण

बाहरी संबंध

 * , from MIT OpenCourseWare
 * , by Pavel Grinfeld.
 * Planar Geometric Projections Tutorial – a simple-to-follow tutorial explaining the different types of planar geometric projections.