सामान्य (ज्यामिति)

ज्यामिति में, एक सामान्य एक गणितीय वस्तु है जैसे कि रेखा (ज्यामिति), किरण (ज्यामिति), या यूक्लिडियन वेक्टर जो किसी दिए गए वस्तु के लंबवत है। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए बिंदु पर समतल वक्र की सामान्य रेखा बिंदु पर वक्र की स्पर्श रेखा के लंबवत (अनंत) रेखा होती है। एक सामान्य वेक्टर की लंबाई एक (एक इकाई वेक्टर) हो सकती है या इसकी लंबाई वस्तु की वक्रता (एक वक्रता वेक्टर) का प्रतिनिधित्व कर सकती है; इसका बीजगणितीय चिह्न पक्षों (आंतरिक या बाहरी) को इंगित कर सकता है।

तीन आयामों में, एक सतह सामान्य, या केवल सामान्य, एक सतह (टोपोलॉजी) बिंदु पर $$P$$ एक वेक्टर (ज्यामिति) पी पर सतह के स्पर्शरेखा विमान के लिए लंबवत है। सामान्य शब्द का उपयोग विशेषण के रूप में भी किया जाता है: एक रेखा (ज्यामिति) एक विमान (ज्यामिति) के लिए सामान्य, एक बल का सामान्य घटक, 'सामान्य' वेक्टर', आदि। सामान्यता की अवधारणा ऑर्थोगोनलिटी (समकोण) के लिए सामान्य है।

अवधारणा को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सन्निहित मनमाना आयाम के अलग-अलग कई गुना करने के लिए सामान्यीकृत किया गया है। बिंदु पर कई गुना का 'सामान्य वेक्टर स्थान' या 'सामान्य स्थान' $$P$$ सदिशों का समुच्चय है जो स्पर्शरेखा स्थान पर ओर्थोगोनल हैं $$P.$$ वक्रों की विभेदक ज्यामिति और सतहों की विभेदक ज्यामिति के मामले में सामान्य सदिश विशेष रुचि रखते हैं।

फ्लैट छायांकन के लिए एक प्रकाश स्रोत की ओर एक सतह के अभिविन्यास, या सतह के प्रत्येक कोने के अभिविन्यास (वर्टेक्स (ज्यामिति)) को निर्धारित करने के लिए सामान्य का उपयोग अक्सर 3 डी कंप्यूटर ग्राफिक्स में किया जाता है (एकवचन पर ध्यान दें, क्योंकि केवल एक सामान्य परिभाषित किया जाएगा) फोंग छायांकन के साथ एक घुमावदार सतह की नकल करने के लिए।

ब्याज के बिंदु पर एक सामान्य का पैर Q (लंबवत के पैर के अनुरूप) को सतह पर बिंदु P पर परिभाषित किया जा सकता है जहां सामान्य वेक्टर में Q होता है। किसी वक्र या सतह पर किसी बिंदु Q की सामान्य दूरी Q और उसके पैर P के बीच की यूक्लिडियन दूरी है।

सामान्य सतह की गणना
एक उत्तल सेट बहुभुज (जैसे एक त्रिभुज) के लिए, एक सतह सामान्य की गणना बहुभुज के दो (गैर-समानांतर) किनारों के वेक्टर क्रॉस उत्पाद के रूप में की जा सकती है।

समीकरण द्वारा दिए गए समतल (गणित) के लिए $$ax + by + cz + d = 0,$$ वेक्टर $$\mathbf n = (a, b, c)$$ एक सामान्य है।

एक समतल के लिए जिसका समीकरण पैरामीट्रिक रूप में दिया गया है $$\mathbf{r}(s,t) = \mathbf{r}_0 + s \mathbf{p} + t \mathbf{q},$$ कहाँ पे $$\mathbf{r}_0$$ विमान पर एक बिंदु है और $$\mathbf{p}, \mathbf{q}$$ विमान के साथ इंगित करने वाले गैर-समानांतर वैक्टर हैं, विमान के लिए सामान्य दोनों के लिए सामान्य वेक्टर है $$\mathbf{p}$$ तथा $$\mathbf{q},$$ जिसे क्रॉस उत्पाद के रूप में पाया जा सकता है $$\mathbf{n}=\mathbf{p}\times\mathbf{q}.$$ यदि एक (संभवतः गैर-सपाट) सतह $$S$$ 3डी स्पेस में $$\R^3$$ वक्रीय निर्देशांक की एक प्रणाली द्वारा समन्वय प्रणाली है $$\mathbf{r}(s, t) = (x(s, t), y(s, t), z(s, t)),$$ साथ $$s$$ तथा $$t$$ वास्तविक संख्या चर, फिर S के लिए एक सामान्य परिभाषा के अनुसार एक स्पर्शरेखा विमान के लिए एक सामान्य है, जो आंशिक डेरिवेटिव के क्रॉस उत्पाद द्वारा दिया गया है $$\mathbf{n}=\frac{\partial \mathbf{r}}{\partial s} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial t}.$$ यदि कोई सतह $$S$$ बिंदुओं के समुच्चय के रूप में निहित कार्य दिया जाता है $$(x, y, z)$$ संतुष्टि देने वाला $$F(x, y, z) = 0,$$ फिर एक बिंदु पर सामान्य $$(x, y, z)$$ सतह पर ढाल द्वारा दिया जाता है $$\mathbf{n} = \nabla F(x, y, z).$$ चूंकि लेवल सेट#लेवल सेट बनाम ग्रेडिएंट $$S.$$ एक सतह के लिए $$S$$ में $$\R^3$$ एक फ़ंक्शन के ग्राफ के रूप में दिया गया $$z = f(x, y),$$ पैरामीट्रिजेशन से एक ऊपर की ओर इशारा करने वाला सामान्य पाया जा सकता है $$\mathbf{r}(x,y)=(x,y,f(x,y)),$$ दे रही है $$\mathbf{n} = \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial x} \times \frac{\partial \mathbf{r}}{\partial y} = \left(1,0,\tfrac{\partial f}{\partial x}\right) \times \left(0,1,\tfrac{\partial f}{\partial y}\right) = \left(-\tfrac{\partial f}{\partial x}, -\tfrac{\partial f}{\partial y},1\right);$$ या अधिक सरलता से अपने निहित रूप से $$F(x, y, z) = z-f(x,y) = 0,$$ दे रही है $$\mathbf{n} = \nabla F(x, y, z) = \left(-\tfrac{\partial f}{\partial x}, -\tfrac{\partial f}{\partial y}, 1 \right).$$ चूंकि एक सतह में एक विलक्षणता (गणित) पर एक स्पर्शरेखा विमान नहीं होता है, उस बिंदु पर इसका कोई अच्छी तरह से परिभाषित सामान्य नहीं होता है: उदाहरण के लिए, एक शंकु (ज्यामिति) का शीर्ष। सामान्य तौर पर, एक सतह के लिए लगभग हर जगह एक सामान्य को परिभाषित करना संभव है जो लिप्सचिट्ज़ निरंतर है।

सामान्य का विकल्प
एक (हाइपर) सतह के सामान्य को आमतौर पर यूनिट वेक्टर होने के लिए स्केल किया जाता है, लेकिन इसकी कोई अनूठी दिशा नहीं होती है, क्योंकि इसके विपरीत भी एक इकाई सामान्य है। एक सतह के लिए जो तीन आयामों में एक सेट की सीमा (टोपोलॉजी) है, कोई आंतरिक-इंगित सामान्य और बाहरी-इंगित सामान्य के बीच अंतर कर सकता है। ओरिएंटेबिलिटी के लिए, सामान्य आमतौर पर दाहिने हाथ के नियम या उच्च आयामों में इसके एनालॉग द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यदि सामान्य को स्पर्शरेखा सदिशों के क्रॉस उत्पाद के रूप में बनाया गया है (जैसा कि ऊपर पाठ में वर्णित है), यह एक स्यूडोवेक्टर है।

नॉर्म्स बदलना
किसी सतह पर परिवर्तन लागू करते समय परिणामी सतह के लिए मूल मानदंडों से मानदंड प्राप्त करना अक्सर उपयोगी होता है।

विशेष रूप से, एक 3×3 परिवर्तन मैट्रिक्स दिया गया है $$\mathbf{M},$$ हम मैट्रिक्स निर्धारित कर सकते हैं $$\mathbf{W}$$ जो एक वेक्टर को बदल देता है $$\mathbf{n}$$ स्पर्शरेखा तल के लंबवत $$\mathbf{t}$$ एक वेक्टर में $$\mathbf{n}^{\prime}$$ परिवर्तित स्पर्शरेखा तल के लंबवत $$\mathbf{Mt},$$ निम्नलिखित तर्क से:

n′ as. लिखें $$\mathbf{Wn}.$$ हमें खोजना चाहिए $$\mathbf{W}.$$ $$\begin{alignat}{5} W\mathbb n \text{ is perpendicular to } M\mathbb t \quad \, &\text{ if and only if } \quad 0 = (W \mathbb n) \cdot (M \mathbb t) \\ &\text{ if and only if } \quad 0 = (W \mathbb{n})^\mathrm{T} (M \mathbb{t}) \\ &\text{ if and only if } \quad 0 = \left(\mathbb{n}^\mathrm{T} W^\mathrm{T}\right) (M \mathbb{t}) \\ &\text{ if and only if } \quad 0 = \mathbb{n}^\mathrm{T} \left(W^\mathrm{T} M\right) \mathbb{t} \\ \end{alignat}$$ का चयन $$\mathbf{W}$$ ऐसा है कि $$W^\mathrm{T} M = I,$$ या $$W = (M^{-1})^\mathrm{T},$$ a देते हुए, उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट करेगा $$W \mathbb n$$ के लम्बवत $$M \mathbb t,$$ या एक $$\mathbf{n}^{\prime}$$ के लम्बवत $$\mathbf{t}^{\prime},$$ जैसी ज़रूरत।

इसलिए, सतह के सामान्यों को बदलते समय किसी को रैखिक परिवर्तन के व्युत्क्रम स्थानान्तरण का उपयोग करना चाहिए। व्युत्क्रम स्थानान्तरण मूल मैट्रिक्स के बराबर होता है यदि मैट्रिक्स ऑर्थोनॉर्मल है, अर्थात बिना किसी स्केलिंग या शियरिंग के विशुद्ध रूप से घूर्णी।

एन-डायमेंशनल स्पेस में हाइपरसर्फेस
एक के लिए $$(n-1)$$n-आयामी अंतरिक्ष में -आयामी हाइपरप्लेन|$$n$$-आयामी स्थान $$\R^n$$ इसके पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व द्वारा दिया गया $$\mathbf{r}\left(t_1, \ldots, t_{n-1}\right) = \mathbf{p}_0 + t_1 \mathbf{p}_1 + \cdots + t_{n-1}\mathbf{p}_{n-1},$$ कहाँ पे $$\mathbf{p}_0$$ हाइपरप्लेन पर एक बिंदु है और $$\mathbf{p}_i$$ के लिये $$i = 1, \ldots, n - 1$$ हाइपरप्लेन के साथ इंगित करने वाले रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर हैं, हाइपरप्लेन के लिए सामान्य कोई भी वेक्टर है $$\mathbf n$$ मैट्रिक्स के शून्य स्थान में $$P = \begin{bmatrix}\mathbf{p}_1 & \cdots &\mathbf{p}_{n-1}\end{bmatrix},$$ अर्थ $$P\mathbf n = \mathbf 0.$$ यही है, सभी इन-प्लेन वैक्टर के लिए कोई भी वेक्टर ऑर्थोगोनल परिभाषा के अनुसार एक सतह सामान्य है। वैकल्पिक रूप से, यदि हाइपरप्लेन को एकल रैखिक समीकरण के समाधान सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है $$a_1x_1+\cdots+a_nx_n = c,$$ फिर वेक्टर $$\mathbb{n} = \left(a_1, \ldots, a_n\right)$$ एक सामान्य है।

त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सतह से सामान्य की परिभाषा को बढ़ाया जा सकता है $$(n - 1)$$-आयामी हाइपरसर्फेस इन $$\R^n.$$ एक हाइपरसफेस स्थानीय संपत्ति हो सकती है जिसे बिंदुओं के सेट के रूप में स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है $$(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$ एक समीकरण को संतुष्ट करना $$F(x_1, x_2, \ldots, x_n) = 0,$$ कहाँ पे $$F$$ दिया गया अदिश क्षेत्र है। यदि $$F$$ लगातार अलग-अलग होता है तो हाइपरसर्फेस उन बिंदुओं के पड़ोस में एक अलग-अलग कई गुना होता है जहां ग्रेडिएंट शून्य नहीं होता है। इन बिंदुओं पर ग्रेडिएंट द्वारा एक सामान्य वेक्टर दिया जाता है: $$\mathbb n = \nabla F\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) = \left( \tfrac{\partial F}{\partial x_1}, \tfrac{\partial F}{\partial x_2}, \ldots, \tfrac{\partial F}{\partial x_n} \right)\,.$$ सामान्य रेखा आधार के साथ एक आयामी उपसमष्टि है $$\{\mathbf{n}\}.$$

एन-डायमेंशनल स्पेस
में निहित समीकरणों द्वारा परिभाषित किस्में में अंतर्निहित समीकरणों द्वारा परिभाषित एक 'विश्लेषणात्मक विविधता' $$n$$-आयामी स्थान $$\R^n$$ भिन्न-भिन्न कार्यों के परिमित समुच्चय के सामान्य शून्य का समुच्चय है $$n$$ चर $$ f_1\left(x_1, \ldots, x_n\right), \ldots, f_k\left(x_1, \ldots, x_n\right).$$ किस्म का जैकोबियन मैट्रिक्स है $$k \times n$$ मैट्रिक्स जिसका $$i$$-वें पंक्ति का ग्रेडिएंट है $$f_i.$$ अंतर्निहित कार्य प्रमेय द्वारा, विविधता एक बिंदु के पड़ोस में कई गुना है जहां जैकोबियन मैट्रिक्स का रैंक है $$k.$$ ऐसे बिंदु पर $$P,$$ सामान्य सदिश स्थान सदिश स्थान है जो मानों द्वारा उत्पन्न होता है $$P$$ के ढाल वैक्टर की $$f_i.$$ दूसरे शब्दों में, विविधता को प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया गया है $$k$$ hypersurfaces, और एक बिंदु पर सामान्य सदिश स्थान बिंदु पर hypersurfaces के सामान्य सदिशों द्वारा उत्पन्न सदिश स्थान है।

एक बिंदु पर सामान्य (affine) स्थान $$P$$ विविधता के माध्यम से गुजरने वाला एफ़िन उप-स्थान है $$P$$ और पर सामान्य सदिश स्थान द्वारा उत्पन्न $$P.$$ इन परिभाषाओं को बढ़ाया जा सकता है उन बिंदुओं पर जहां विविधता कई गुना नहीं है।

उदाहरण
मान लीजिए V समीकरणों द्वारा त्रिविमीय समष्टि में परिभाषित विविधता है $$x\,y = 0, \quad z = 0.$$ यह किस्म का संघ है $$x$$-अक्ष और $$y$$-एक्सिस।

एक बिंदु पर $$(a, 0, 0),$$ कहाँ पे $$a \neq 0,$$ जैकोबियन मैट्रिक्स की पंक्तियाँ हैं $$(0, 0, 1)$$ तथा $$(0, a, 0).$$ इस प्रकार सामान्य एफ़िन स्पेस समीकरण का विमान है $$x = a.$$ इसी प्रकार, यदि $$b \neq 0,$$ सामान्य विमान (ज्यामिति) पर $$(0, b, 0)$$ समीकरण का तल है $$y = b.$$ बिंदु पर $$(0, 0, 0)$$ जैकोबियन मैट्रिक्स की पंक्तियाँ हैं $$(0, 0, 1)$$ तथा $$(0, 0, 0).$$ इस प्रकार सामान्य सदिश स्थान और सामान्य संबंध स्थान का आयाम 1 है और सामान्य संबंध स्थान है $$z$$-एक्सिस।

उपयोग

 * भूतल मानदंड वेक्टर क्षेत्रों के सतही समाकलन को परिभाषित करने में उपयोगी होते हैं।
 * कंप्यूटर ग्राफिक्स प्रकाश गणना (लैम्बर्ट के कोसाइन कानून देखें) के लिए आमतौर पर 3 डी कंप्यूटर ग्राफिक्स में भूतल मानक का उपयोग किया जाता है, जिसे अक्सर सामान्य मानचित्रण द्वारा समायोजित किया जाता है।
 * रेंडर किए गए तत्वों की स्पष्ट रोशनी को बदलने के लिए डिजिटल कंपोजिटिंग में सतह की सामान्य जानकारी वाली रेंडर परतों का उपयोग किया जा सकता है।
 * कंप्यूटर दृष्टि में, फोटोमेट्रिक स्टीरियो का उपयोग करके सतह के मानक से 3 डी वस्तुओं के आकार का अनुमान लगाया जाता है।

ज्यामितीय प्रकाशिकी में सामान्य
किसी दिए गए बिंदु पर एक ऑप्टिकल माध्यम की सतह के लिए लंबवत किरण है। प्रकाश के परावर्तन में, आपतन कोण (ऑप्टिक्स) और परावर्तन कोण क्रमशः अभिलंब और आपतित किरण (आपतन तल पर) के बीच का कोण और अभिलंब और परावर्तित किरण के बीच का कोण होता है।

बाहरी संबंध

 * An explanation of normal vectors from Microsoft's MSDN
 * Clear pseudocode for calculating a surface normal from either a triangle or polygon.
 * Clear pseudocode for calculating a surface normal from either a triangle or polygon.