वर्णक्रमीय विधि

स्पेक्ट्रल विधियाँ तकनीकों का एक वर्ग है जिसका उपयोग व्यावहारिक गणित और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में कुछ अंतर समीकरणों को संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए किया जाता है। विचार यह है कि अंतर समीकरण के समाधान को कुछ आधार कार्यों के योग के रूप में लिखा जाए (उदाहरण के लिए, फूरियर श्रृंखला के रूप में जो साइन तरंगों का योग है) और फिर अंतर समीकरण को यथासंभव संतुष्ट करने के लिए योग में गुणांक का चयन करें।

वर्णक्रमीय विधियाँ और परिमित तत्व विधियाँ निकट से संबंधित हैं और समान विचारों पर निर्मित हैं; उनके बीच मुख्य अंतर यह है कि वर्णक्रमीय विधियां आधार कार्यों का उपयोग करती हैं जो आम तौर पर पूरे डोमेन पर गैर-शून्य होती हैं, जबकि परिमित तत्व विधियां आधार कार्यों का उपयोग करती हैं जो केवल छोटे उपडोमेन (कॉम्पैक्ट समर्थन) पर गैर-शून्य होती हैं। नतीजतन, वर्णक्रमीय विधियाँ चर को विश्व स्तर पर जोड़ती हैं जबकि परिमित तत्व ऐसा स्थानीय रूप से जोड़ते हैं। आंशिक रूप से इसी कारण से, वर्णक्रमीय विधियों में उत्कृष्ट त्रुटि गुण होते हैं, तथाकथित घातीय अभिसरण सबसे तेज़ संभव होता है, जब समाधान सुचारू कार्य होता है। हालाँकि, कोई ज्ञात त्रि-आयामी एकल डोमेन स्पेक्ट्रल शॉक कैप्चरिंग परिणाम नहीं हैं (शॉक तरंगें सुचारू नहीं हैं)। परिमित तत्व समुदाय में, एक विधि जहां तत्वों की डिग्री बहुत अधिक होती है या ग्रिड पैरामीटर एच बढ़ने पर बढ़ जाती है, उसे कभी-कभी वर्णक्रमीय तत्व विधि कहा जाता है।

वर्णक्रमीय विधियों का उपयोग अंतर समीकरणों (पीडीई, ओडीई, आइजेनवैल्यू, आदि) और अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है। समय-निर्भर पीडीई के लिए वर्णक्रमीय तरीकों को लागू करते समय, समाधान आमतौर पर समय-निर्भर गुणांक के साथ आधार कार्यों के योग के रूप में लिखा जाता है; इसे पीडीई में प्रतिस्थापित करने से गुणांकों में ओडीई की एक प्रणाली प्राप्त होती है जिसे साधारण अंतर समीकरणों के लिए किसी भी संख्यात्मक तरीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है। ODE के लिए eigenvalue समस्याओं को इसी तरह मैट्रिक्स eigenvalue समस्याओं में परिवर्तित किया जाता है.

1969 में स्टीवन ओर्सज़ैग द्वारा पत्रों की एक लंबी श्रृंखला में वर्णक्रमीय विधियां विकसित की गईं, जिनमें आवधिक ज्यामिति समस्याओं के लिए फूरियर श्रृंखला विधियां, परिमित और असीमित ज्यामिति समस्याओं के लिए बहुपद वर्णक्रमीय विधियां, अत्यधिक गैर-रेखीय समस्याओं के लिए छद्मस्पेक्ट्रल विधियां, और स्थिर-अवस्था समस्याओं के तेज़ समाधान के लिए वर्णक्रमीय पुनरावृत्ति विधियां शामिल हैं, लेकिन इन्हीं तक सीमित नहीं हैं। वर्णक्रमीय विधि का कार्यान्वयन आम तौर पर या तो सहसंयोजन विधि या गैलेरकिन विधि या ताऊ विधि दृष्टिकोण के साथ पूरा किया जाता है। बहुत छोटी समस्याओं के लिए, वर्णक्रमीय विधि इस मायने में अद्वितीय है कि समाधानों को प्रतीकात्मक रूप से लिखा जा सकता है, जिससे अंतर समीकरणों के लिए श्रृंखला समाधानों का व्यावहारिक विकल्प मिलता है।

परिमित तत्व विधियों की तुलना में वर्णक्रमीय विधियाँ कम्प्यूटेशनल रूप से कम महंगी और लागू करने में आसान हो सकती हैं; जब सहज समाधानों के साथ सरल डोमेन में उच्च सटीकता की मांग की जाती है तो वे सबसे अच्छी तरह चमकते हैं। हालाँकि, उनकी वैश्विक प्रकृति के कारण, चरण गणना से जुड़े मैट्रिक्स सघन हैं और स्वतंत्रता की कई डिग्री होने पर कम्प्यूटेशनल दक्षता जल्दी से प्रभावित होगी (कुछ अपवादों के साथ, उदाहरण के लिए यदि मैट्रिक्स अनुप्रयोगों को फूरियर रूपांतरण के रूप में लिखा जा सकता है)। बड़ी समस्याओं और गैर-सुचारू समाधानों के लिए, विरल मैट्रिक्स और असंतुलन और तेज मोड़ के बेहतर मॉडलिंग के कारण परिमित तत्व आम तौर पर बेहतर काम करेंगे।

एक ठोस, रैखिक उदाहरण
यहां हम बुनियादी बहुभिन्नरूपी गणना  और फूरियर श्रृंखला की समझ का अनुमान लगाते हैं। अगर $$g(x,y)$$ दो वास्तविक चरों का एक ज्ञात, जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन है, और g, x और y में आवधिक है (अर्थात्, $$g(x,y)=g(x+2\pi,y)=g(x,y+2\pi)$$) तो हम एक फ़ंक्शन f(x,y) खोजने में रुचि रखते हैं ताकि


 * $$\left(\frac{\partial^2}{\partial x^2}+\frac{\partial^2}{\partial y^2}\right)f(x,y)=g(x,y)\quad \text{for all } x,y$$

जहां बाईं ओर की अभिव्यक्ति क्रमशः x और y में f के दूसरे आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाती है। यह पॉइसन समीकरण है, और इसे भौतिक रूप से किसी प्रकार की ऊष्मा चालन समस्या, या अन्य संभावनाओं के बीच संभावित सिद्धांत में एक समस्या के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।

यदि हम फूरियर श्रृंखला में f और g लिखते हैं:


 * $$f=:\sum a_{j,k}e^{i(jx+ky)}$$
 * $$g=:\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}$$

और अवकल समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें यह समीकरण प्राप्त होता है:


 * $$\sum -a_{j,k}(j^2+k^2)e^{i(jx+ky)}=\sum b_{j,k}e^{i(jx+ky)}$$

हमने एक अनंत योग के साथ आंशिक विभेदन का आदान-प्रदान किया है, जो वैध है यदि हम उदाहरण के लिए मान लें कि f में निरंतर दूसरा व्युत्पन्न है। फूरियर विस्तार के लिए विशिष्टता प्रमेय के अनुसार, हमें फूरियर गुणांक को पद दर पद बराबर करना चाहिए, जिससे

जो फूरियर गुणांक के लिए एक स्पष्ट सूत्र हैj,k.

आवधिक सीमा स्थितियों के साथ, पॉइसन समीकरण का कोई समाधान केवल तभी होता है जब बी0,0 = 0. इसलिए, हम स्वतंत्र रूप से a चुन सकते हैं0,0 जो संकल्प के माध्य के बराबर होगा। यह एकीकरण स्थिरांक को चुनने के अनुरूप है।

इसे एक एल्गोरिदम में बदलने के लिए, केवल सीमित आवृत्तियों को हल किया जाता है। यह एक त्रुटि प्रस्तुत करता है जिसे आनुपातिक दिखाया जा सकता है $$h^n$$, कहाँ $$h := 1/n$$ और $$n$$ उपचारित उच्चतम आवृत्ति है।

एल्गोरिथम

 * 1) फूरियर रूपांतरण की गणना करें (बीj,k) जी का.
 * 2) फूरियर रूपांतरण की गणना करें (aj,k) का f सूत्र के माध्यम से ($$).
 * 3) (ए) का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण लेकर एफ की गणना करेंj,k).

चूँकि हम केवल आवृत्तियों की एक सीमित विंडो (जैसे आकार n,) में रुचि रखते हैं, यह एक फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म एल्गोरिदम का उपयोग करके किया जा सकता है। इसलिए, विश्व स्तर पर एल्गोरिथ्म चलता है time O(n log n).

अरेखीय उदाहरण
हम वर्णक्रमीय दृष्टिकोण का उपयोग करके मजबूर, क्षणिक, अरेखीय बर्गर समीकरण को हल करना चाहते हैं।

दिया गया $$u(x,0)$$ आवधिक डोमेन पर $$x\in\left[0,2\pi\right)$$, पाना $$u \in \mathcal{U}$$ ऐसा है कि
 * $$\partial_{t} u + u \partial_{x} u = \rho \partial_{xx} u + f \quad \forall x\in\left[0,2\pi\right), \forall t>0$$

जहाँ ρ श्यानता गुणांक है। कमजोर रूढ़िवादी रूप में यह बन जाता है
 * $$\left\langle \partial_{t} u, v \right\rangle = \left\langle \partial_x \left(-\frac{1}{2} u^2 + \rho \partial_{x} u\right) , v \right\rangle + \left\langle f, v \right\rangle \quad \forall v\in \mathcal{V}, \forall t>0$$

जहां आंतरिक उत्पाद स्थान संकेतन निम्नलिखित है। भागों द्वारा एकीकरण और आवधिकता अनुदान का उपयोग करना
 * $$\langle \partial_{t} u, v \rangle = \left\langle  \frac{1}{2} u^2 - \rho \partial_{x} u  ,  \partial_x v\right\rangle+\left\langle f, v \right\rangle \quad \forall v\in \mathcal{V}, \forall t>0.$$

फूरियर-गैलेरकिन विधि लागू करने के लिए, दोनों को चुनें
 * $$\mathcal{U}^N := \left\{ u : u(x,t)=\sum_{k=-N/2}^{N/2-1} \hat{u}_{k}(t) e^{i k x}\right\}$$

और
 * $$\mathcal{V}^N :=\operatorname{span}\left\{ e^{i k x} : k\in -N/2,\dots,N/2-1\right\}$$

कहाँ $$\hat{u}_k(t):=\frac{1}{2\pi}\langle u(x,t), e^{i k x} \rangle$$. इससे खोजने में समस्या कम हो जाती है $$u\in\mathcal{U}^N$$ ऐसा है कि
 * $$\langle \partial_{t} u, e^{i k x} \rangle = \left\langle \frac{1}{2} u^2 - \rho \partial_{x} u  ,  \partial_x e^{i k x}  \right\rangle + \left\langle f, e^{i k x} \right\rangle \quad \forall k\in \left\{ -N/2,\dots,N/2-1 \right\}, \forall t>0.$$

ओर्थोगोनालिटी संबंध का उपयोग करना $$\langle e^{i l x}, e^{i k x} \rangle = 2 \pi \delta_{lk}$$ कहाँ $$\delta_{lk}$$ क्रोनकर डेल्टा है, हम प्रत्येक के लिए उपरोक्त तीन शब्दों को सरल बनाते हैं $$k$$ देखने के लिए

\begin{align} \left\langle \partial_{t} u, e^{i k x}\right\rangle &= \left\langle    \partial_{t} \sum_{l} \hat{u}_{l} e^{i l x}     ,      e^{i k x} \right\rangle  = \left\langle    \sum_{l} \partial_{t} \hat{u}_{l} e^{i l x}    ,     e^{i k x} \right\rangle = 2 \pi \partial_t \hat{u}_k, \\ \left\langle f, e^{i k x} \right\rangle &= \left\langle   \sum_{l} \hat{f}_{l} e^{i l x}    ,     e^{i k x}\right\rangle= 2 \pi \hat{f}_k, \text{ and} \\ \left\langle \frac{1}{2} u^2 - \rho \partial_{x} u , \partial_x e^{i k x} \right\rangle &= \left\langle \frac{1}{2} \left(\sum_{p} \hat{u}_p e^{i p x}\right) \left(\sum_{q} \hat{u}_q e^{i q x}\right) - \rho \partial_x \sum_{l} \hat{u}_l e^{i l x}   , \partial_x e^{i k x} \right\rangle \\ &= \left\langle \frac{1}{2} \sum_{p} \sum_{q} \hat{u}_p \hat{u}_q e^{i \left(p+q\right) x}   , i k e^{i k x} \right\rangle - \left\langle \rho i \sum_{l} l \hat{u}_l e^{i l x}   , i k e^{i k x} \right\rangle \\ &= -\frac{i k}{2} \left\langle \sum_{p} \sum_{q} \hat{u}_p \hat{u}_q e^{i \left(p+q\right) x}   , e^{i k x} \right\rangle - \rho k \left\langle \sum_{l} l \hat{u}_l e^{i l x}   , e^{i k x} \right\rangle \\ &= - i \pi k \sum_{p+q=k} \hat{u}_p \hat{u}_q - 2\pi\rho{}k^2\hat{u}_k. \end{align} $$ प्रत्येक के लिए तीन पद एकत्रित करें $$k$$ प्राप्त करने के लिए

2 \pi \partial_t \hat{u}_k = - i \pi k \sum_{p+q=k} \hat{u}_p \hat{u}_q - 2\pi\rho{}k^2\hat{u}_k + 2 \pi \hat{f}_k \quad k\in\left\{ -N/2,\dots,N/2-1 \right\}, \forall t>0. $$ द्वारा विभाजित करना $$2\pi$$, हम अंततः पहुँच गए

\partial_t \hat{u}_k = - \frac{i k}{2} \sum_{p+q=k} \hat{u}_p \hat{u}_q - \rho{}k^2\hat{u}_k + \hat{f}_k \quad k\in\left\{ -N/2,\dots,N/2-1 \right\}, \forall t>0. $$ फूरियर के साथ प्रारंभिक स्थितियाँ बदल गईं $$\hat{u}_{k}(0)$$ और जबरदस्ती $$\hat{f}_{k}(t)$$, सामान्य अंतर समीकरणों की इस युग्मित प्रणाली को समाधान खोजने के लिए समय में एकीकृत किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, रनगे कुट्टा तकनीक का उपयोग करके)। अरेखीय शब्द एक संलयन है, और इसे कुशलतापूर्वक मूल्यांकन करने के लिए कई परिवर्तन-आधारित तकनीकें हैं। बॉयड और कैनुटो एट अल के संदर्भ देखें। अधिक जानकारी के लिए।

वर्णक्रमीय तत्व विधि के साथ एक संबंध
कोई ऐसा दिखा सकता है अगर $$g$$ असीम रूप से भिन्न है, तो फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करने वाला संख्यात्मक एल्गोरिदम ग्रिड आकार एच में किसी भी बहुपद की तुलना में तेजी से परिवर्तित हो जाएगा। अर्थात्, किसी भी n>0 के लिए, एक है $$C_n<\infty$$ जिससे त्रुटि कम हो $$C_nh^n$$ के सभी पर्याप्त छोटे मानों के लिए $$h$$. हम कहते हैं कि वर्णक्रमीय विधि क्रमबद्ध है $$n$$, प्रत्येक n>0 के लिए।

क्योंकि वर्णक्रमीय तत्व विधि बहुत उच्च क्रम की एक सीमित तत्व विधि है, अभिसरण गुणों में समानता होती है। हालाँकि, जबकि वर्णक्रमीय विधि विशेष सीमा मूल्य समस्या के eigendecomposition पर आधारित है, परिमित तत्व विधि उस जानकारी का उपयोग नहीं करती है और मनमानी अण्डाकार सीमा मूल्य समस्याओं के लिए काम करती है।

यह भी देखें

 * सीमित तत्व विधि
 * गाऊसी ग्रिड
 * छद्म वर्णक्रमीय विधि
 * वर्णक्रमीय तत्व विधि
 * गैलेरकिन विधि
 * संयोजन विधि

संदर्भ

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