गणित की नींव

गणित की नींव दर्शन और तार्किक का अध्ययन है और/या गणित का कलन विधि आधार, या, व्यापक अर्थ में, गणित की प्रकृति से संबंधित दार्शनिक सिद्धांतों के आधार पर गणितीय जांच। इस बाद के अर्थ में, गणित की नींव और गणित के दर्शन के बीच का अंतर अस्पष्ट हो जाता है।

गणित की नींव को मौलिक गणितीय अवधारणाओं (सेट, फ़ंक्शन, ज्यामितीय आकृति, संख्या, आदि) के अध्ययन के रूप में माना जा सकता है और वे कैसे अधिक जटिल संरचनाओं और अवधारणाओं के पदानुक्रम बनाते हैं, विशेष रूप से मौलिक रूप से महत्वपूर्ण संरचनाएं जो गणित की भाषा बनाती हैं। (सूत्र, सिद्धांत और उनके मॉडल सिद्धांत जो सूत्रों, परिभाषाओं, प्रमाणों, एल्गोरिदम आदि को अर्थ देते हैं) को मेटामैथमैटिक्स भी कहा जाता है, जिसमें दार्शनिक पहलुओं और गणित की एकता पर केंद्रित होती है। गणित की नींव की खोज गणित के दर्शन का केंद्रीय प्रश्न है; गणितीय वस्तुओं की अमूर्त प्रकृति विशेष दार्शनिक चुनौतियाँ प्रस्तुत करती है।

समग्र रूप से गणित की नींव का उद्देश्य हर गणितीय विषय की नींव रखना नहीं है।

सामान्यतः, अध्ययन के क्षेत्र की नींव इसकी सबसे मौलिक या मौलिक अवधारणाओं, इसकी वैचारिक एकता और इसके प्राकृतिक क्रम या अवधारणाओं के पदानुक्रम के अधिक या कम व्यवस्थित विश्लेषण को संदर्भित करती है, जो इसे बाकी मानव के साथ जोड़ने में मदद कर सकती है। ज्ञान या नींव का विकास, उद्भव और स्पष्टीकरण किसी क्षेत्र के इतिहास में देर से आता है और हो सकता है कि हर कोई इसके सबसे रोचक भाग के रूप में न देखे।

गणित वैज्ञानिक सोच में विशेष भूमिका निभाता है, प्राचीन काल से तर्कसंगत जांच के लिए सत्य और कठोरता के मॉडल के रूप में सेवा कर रहा है, और अन्य विज्ञानों (विशेष रूप से भौतिकी) के लिए उपकरण या नींव भी दे रहा है। 19वीं शताब्दी में गणित के उच्च अमूर्तीकरण की दिशा में हुए कई विकासों ने नई चुनौतियाँ और विरोधाभास लाए, जो गणितीय सत्य की प्रकृति और मानदंडों की गहन और अधिक व्यवस्थित जाँच के साथ-साथ गणित की विविध शाखाओं के सुसंगत पूरे में एकीकरण का आग्रह करते हैं।

गणित की नींव के लिए व्यवस्थित खोज 19वीं शताब्दी के अंत में प्रारंभ हुई और गणितीय तर्क नामक नए गणितीय अनुशासन का गठन किया, जिसका बाद में सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के साथ शक्तिशाली संबंध था।

यह विरोधाभासी परिणामों के साथ संकटों की श्रृंखला के माध्यम से चला गया, जब तक कि 20 वीं शताब्दी के दौरान कई पहलुओं या घटकों (सेट सिद्धांत, मॉडल सिद्धांत, प्रमाण सिद्धांत, आदि) के साथ गणितीय ज्ञान के बड़े और सुसंगत निकाय के रूप में खोजों को स्थिर नहीं किया गया, जिनके विस्तृत गुण और संभावित वेरिएंट अभी भी सक्रिय शोध क्षेत्र हैं।

इसके उच्च स्तर के तकनीकी परिष्कार ने कई दार्शनिकों को यह अनुमान लगाने के लिए प्रेरित किया कि यह अन्य विज्ञानों की नींव के लिए मॉडल या पैटर्न के रूप में काम कर सकता है।

प्राचीन यूनानी गणित
जबकि गणित का अभ्यास पहले अन्य सभ्यताओं में विकसित हुआ था, इसके सैद्धांतिक और मूलभूत पहलुओं में विशेष रुचि प्राचीन यूनानियों के काम में स्पष्ट रूप से स्पष्ट थी।

आरंभिक यूनानी दार्शनिकों ने इस बात पर विवाद किया कि कौन अधिक मौलिक, अंकगणितीय या ज्यामिति है।

एलिया का ज़ेनो (490 – सी या 430 ईसा पूर्व) ने चार विरोधाभास उत्पन्न किए जो परिवर्तन की असंभवता को प्रदर्शित करते प्रतीत होते हैं। पाइथागोरसवाद ने मूल रूप से जोर देकर कहा कि केवल प्राकृतिक और परिमेय संख्याएँ ही अस्तित्व में हैं। की अपरिमेय संख्या की खोज $\sqrt{2}$, वर्ग के विकर्ण का उसके किनारे से अनुपात (लगभग 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व), उनके लिए झटका था जिसे उन्होंने केवल अनिच्छा से स्वीकार किया गया। परिमेय और वास्तविक के बीच की विसंगति को अंततः प्लेटो के छात्र कनिडस का यूडोक्सस (408-355 ईसा पूर्व) द्वारा हल किया गया, जिन्होंने दो अपरिमेय अनुपातों की तुलना में सम्मलित परिमाणों के गुणकों की तुलना को कम कर दिया। उनकी पद्धति का अनुमान था कि रिचर्ड डेडेकिंड (1831-1916) द्वारा वास्तविक संख्या की आधुनिक परिभाषा में डेडेकाइंड कट कटौती की गई थी।

पश्च विश्लेषिकी में, अरस्तू (384-322 ईसा पूर्व) ने आदिम अवधारणाओं, स्वयंसिद्धों, अभिधारणाओं, परिभाषाओं और प्रमेयों के माध्यम से तार्किक रूप से ज्ञान के क्षेत्र को व्यवस्थित करने के लिए स्वयंसिद्ध पद्धति निर्धारित की गई थी। इसके लिए अरस्तू ने अपने अधिकांश उदाहरण अंकगणित और ज्यामिति से लिए किया जाता हैं।

यह पद्धति यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों (300 ईसा पूर्व) के साथ अपने उच्च बिंदु पर पहुंच गई, गणित पर ग्रंथ जो कठोरता के बहुत उच्च मानकों के साथ संरचित है: यूक्लिड प्रत्येक प्रस्ताव को न्यायवाक्य की श्रृंखला के रूप में प्रदर्शन द्वारा उचित ठहराता है चूंकि वे सदैव कड़ाई से अनुरूप नहीं होते हैं।

यूक्लिड के तत्वों द्वारा उदाहरणित स्वयंसिद्ध पद्धति के साथ अरस्तू के तर्कशास्त्रीय तर्क को प्राचीन ग्रीस की वैज्ञानिक उपलब्धियों के रूप में मान्यता प्राप्त है।

गणित के दर्शन के रूप में प्लैटोनिज्म
19वीं शताब्दी के अंत से, गणितज्ञों के अभ्यास के बीच गणित का प्लैटोनिस्ट दृष्टिकोण आम हो गया। अवधारणाएँ या, जैसा कि प्लैटोनिस्टों के पास होगा, गणित की वस्तुएँ अमूर्त हैं और रोज़मर्रा के अवधारणात्मक अनुभव से दूर हैं: ज्यामितीय आकृतियों को वस्तुओं के प्रभावी रेखाचित्रों और आकृतियों से अलग करने के लिए आदर्शों के रूप में माना जाता है, और संख्याओं को कंक्रीट की गिनती के साथ भ्रमित नहीं किया जाता है। इस प्रकार उनका अस्तित्व और प्रकृति विशेष दार्शनिक चुनौतियाँ प्रस्तुत करती हैं: गणितीय वस्तुएँ उनके ठोस प्रतिनिधित्व से कैसे भिन्न होती हैं? क्या वे अपने प्रतिनिधित्व में, या हमारे मन में, या कहीं और स्थित हैं? हम उन्हें कैसे जान सकते हैं?

प्राचीन यूनानी दार्शनिकों ने ऐसे प्रश्नों को बड़ी गम्भीरता से लिया। दरअसल, उनके कई सामान्य दार्शनिक विचार-विमर्श ज्यामिति और अंकगणित के व्यापक संदर्भ में किए गए थे। प्लेटो (424/423 ईसा पूर्व – 348/347 ईसा पूर्व) ने जोर देकर कहा कि गणितीय वस्तुओं, अन्य प्लेटोनिक विचारों (रूपों या सार) की तरह, पूरी तरह से अमूर्त होना चाहिए और मनुष्यों से स्वतंत्र गणितीय वस्तुओं की दुनिया में अलग, गैर-भौतिक प्रकार का अस्तित्व होना चाहिए। उनका मानना ​​था कि इन वस्तुओं के बारे में सच्चाई भी मानव मन से स्वतंत्र रूप से सम्मलित है, किन्तु मनुष्यों द्वारा खोजी जाती है। कम में प्लेटो के शिक्षक सुकरात का दावा है कि स्मृति पुनर्प्राप्ति जैसी प्रक्रिया द्वारा इस सत्य को जानना संभव है।

प्लेटो की अकादमी के प्रवेश द्वार के ऊपर प्रसिद्ध शिलालेख दिखाई दिया: कोई भी व्यक्ति जो ज्यामिति से अनभिज्ञ हो, यहां प्रवेश न करे। इस प्रकार प्लेटो ने ज्यामिति के बारे में अपनी उच्च राय का संकेत दिया। उन्होंने अपने अमूर्त चरित्र के कारण ज्यामिति को दार्शनिकों के प्रशिक्षण में पहली आवश्यक माना था।

प्लैटोनिज्म (गणित) का यह दर्शन कई गणितज्ञों द्वारा साझा किया गया है। कुछ लेखकों का तर्क है कि प्लैटोनिज्म किसी भी गणितीय कार्य के तहत आवश्यक धारणा के रूप में आता है।

इस दृष्टि से, प्रकृति के नियमों और गणित के नियमों की समान स्थिति है, और प्राकृतिक विज्ञान में गणित की अनुचित प्रभावशीलता अब अनुचित नहीं है। हमारे स्वयंसिद्ध नहीं, बल्कि गणितीय वस्तुओं की वास्तविक दुनिया नींव बनाती है।

अरस्तू ने अपने तत्वमीमांसा (अरस्तू) में इस विचार को खंडित और खारिज कर दिया। ये प्रश्न दार्शनिक विश्लेषण और बहस के लिए बहुत अधिक ईंधन प्रदान करते हैं।

मध्य युग और पुनर्जागरण
2,000 से अधिक वर्षों के लिए, यूक्लिड के तत्व गणित के लिए पूरी तरह से ठोस आधार के रूप में खड़े थे, क्योंकि इसकी तर्कसंगत अन्वेषण की पद्धति ने गणितज्ञों, दार्शनिकों और वैज्ञानिकों को 19वीं शताब्दी में अच्छी तरह से निर्देशित किया।

मध्य युग में सार्वभौम (प्लैटोनिक विचार) की सत्तामूलक स्थिति पर विवाद देखा गया: दार्शनिक यथार्थवाद ने धारणा से स्वतंत्र रूप से अपने अस्तित्व पर जोर दिया; संकल्पनात्मकता ने उनके अस्तित्व को मन के भीतर ही बल दिया; नाममात्रवाद ने या तो इनकार किया, केवल सार्वभौमिकों को अलग-अलग वस्तुओं के संग्रह के नाम के रूप में देखा (पुरानी अटकलों के बाद कि वे शब्द हैं, लोगोई)।

रेने डेसकार्टेस ने ला जियोमेट्री (1637) को प्रकाशित किया, जिसका उद्देश्य निर्देशांक प्रणालियों के माध्यम से ज्यामिति को बीजगणित में कम करना था, जिससे बीजगणित को अधिक मूलभूत भूमिका मिली (जबकि यूनानियों ने संख्याओं को परिभाषित करने के लिए लंबाई का उपयोग किया था जिन्हें वर्तमान में वास्तविक संख्या कहा जाता है)। डेसकार्टेस की पुस्तक 1649 के बाद प्रसिद्ध हुई और इसने अतिसूक्ष्म कलन का मार्ग प्रशस्त किया।

इंग्लैंड में आइजैक न्यूटन (1642-1727) और जर्मनी में गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज (1646-1716) ने स्वतंत्र रूप से आधार पर अत्यल्प कैलकुलस विकसित किया जिसके लिए नई नींव की आवश्यकता थी। विशेष रूप से, लीबनिज ने इनफिनिटिमल्स को उन संख्याओं के रूप में वर्णित किया है जो अनंत रूप से शून्य के करीब हैं, अवधारणा जो गणित के पिछले आधारभूत ढांचे में फिट नहीं होती है, और 20 वीं शताब्दी से पहले औपचारिक रूप से नहीं थी। प्रोटेस्टेंट दार्शनिक जॉर्ज बर्कले (1685-1753) के पैम्फलेट द्वारा गणित की नींव पर इनफिनिटिमल कैलकुलस के शक्तिशाली प्रभाव को दर्शाया गया है, जिन्होंने लिखा था कि [इन्फिनिटिमल्स] न तो परिमित मात्राएँ हैं, न ही मात्राएँ असीम रूप से छोटी हैं, और न ही कुछ भी। क्या हम उन्हें दिवंगत राशियों के भूत नहीं कह सकते? . लाइबनिट्स ने तर्कशास्त्र पर भी काम किया किन्तु इस पर उनका अधिकांश लेखन 1903 तक अप्रकाशित रहा।

फिर भौतिक अनुप्रयोगों में गणित बहुत तेजी से और सफलतापूर्वक विकसित हुआ।

19वीं सदी
गणित के इतिहास#19वीं शताब्दी में, गणित उत्तरोत्तर अमूर्त होता गया। तार्किक अंतराल और विभिन्न क्षेत्रों में विसंगतियों के बारे में चिंताओं ने स्वयंसिद्ध प्रणालियों के विकास को जन्म दिया।

वास्तविक विश्लेषण
कॉची (1789-1857) ने पहले के लेखकों द्वारा उपयोग किए गए बीजगणित की व्यापकता के अनुमानी सिद्धांत को खारिज करते हुए, अत्यल्प कलन के प्रमेय को कठोर तरीके से तैयार करने और सिद्ध करने की परियोजना प्रारंभ की। अपने 1821 के कार्य Cours d'Analyse में उन्होंने घटते हुए अनुक्रमों के संदर्भ में अपरिमेय को परिभाषित किया जो कि 0 में अभिसरण करता है, जिसे उन्होंने तब निरंतरता को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया था। किन्तु उन्होंने अभिसरण की अपनी धारणा को औपचारिक रूप नहीं दिया।

आधुनिक (ε, δ) - सीमा और निरंतर कार्यों की परिभाषा पहली बार 1817 में बर्नार्ड बोलजानो द्वारा विकसित की गई थी, किन्तु अपेक्षाकृत अज्ञात बनी रही। यह वास्तविक संख्या के सेट के आधार पर असीम कलन का कठोर आधार देता है, यकीनन ज़ेनो विरोधाभास और बर्कले के तर्कों को हल करता है।

कार्ल वीयरस्ट्रास (1815-1897) जैसे गणितज्ञों ने वेइरस्ट्रास फ़ंक्शन|निरंतर, कहीं नहीं-विभेदक कार्यों जैसे रोग संबंधी कार्यों की खोज की। संगणना के लिए नियम के रूप में किसी फ़ंक्शन की पिछली अवधारणाएं, या सहज ग्राफ़, अब पर्याप्त नहीं थीं। वीयरस्ट्रैस ने विश्लेषण के अंकगणित की वकालत करना प्रारंभ किया, प्राकृतिक संख्याओं के गुणों का उपयोग करके विश्लेषण को स्वयंसिद्ध करने के लिए किया था।

1858 में, रिचर्ड डेडेकिंड ने वास्तविक संख्याओं की परिभाषा प्रस्तावित की, जैसे कि डेडेकिंड परिमेय संख्याओं की कटौती करता है। परिमेय संख्याओं और इस प्रकार प्राकृतिक संख्याओं के संदर्भ में वास्तविक संख्याओं और निरंतर कार्यों की यह कमी, बाद में जॉर्ज कैंटर द्वारा अपने निर्धारित सिद्धांत में एकीकृत की गई, और हिल्बर्ट और बर्नेज़ द्वारा दूसरे क्रम अंकगणित के संदर्भ में अभिगृहीत की गई।

समूह सिद्धांत
पहली बार गणित की सीमाओं की खोज की गई। नील्स हेनरिक एबेल (1802-1829), नॉर्वेजियन, और एवरिस्ट गैलोइस, (1811-1832) फ्रांसीसी, ने विभिन्न बहुपद समीकरणों के समाधान की जांच की, और सिद्ध किया कि चार से अधिक डिग्री के समीकरणों के लिए कोई सामान्य बीजगणितीय समाधान नहीं है (एबेल) -रफ़िनी प्रमेय)। इन अवधारणाओं के साथ, पियरे वांजेल (1837) ने सिद्ध किया कि अकेले सीधा किनारा और कम्पास न तो मनमाने कोण को तिरछा कर सकते हैं और न ही घन को दोगुना कर सकते हैं। 1882 में, चार्ल्स हर्मिट के काम पर फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन बिल्डिंग ने दिखाया कि सर्कल का सीधा और कम्पास चतुर्भुज (किसी दिए गए सर्कल के क्षेत्रफल के बराबर वर्ग का निर्माण) भी असंभव था, यह सिद्ध करके कि पाई या $\pi$ एक पारलौकिक संख्या है। प्राचीन यूनानियों के समय से ही गणितज्ञों ने इन सभी समस्याओं को हल करने का व्यर्थ प्रयास किया था।

एबेल और गैल्वा के कार्यों ने समूह सिद्धांत (जो बाद में भौतिकी और अन्य क्षेत्रों में समरूपता का अध्ययन करने के लिए उपयोग किया जाएगा), और सार बीजगणित के विकास के लिए रास्ता खोल दिया। 1827 में अगस्त फर्डिनेंड मोबियस | मोबियस द्वारा बेरिकेंट्रिक निर्देशांक (गणित) की अवधारणा से वेक्टर रिक्त स्थान की अवधारणाएं उभरीं, 1888 में पीआनो द्वारा वेक्टर रिक्त स्थान और रैखिक मानचित्रों की आधुनिक परिभाषा के लिए। ज्यामिति अब तीन आयामों तक सीमित नहीं थी। इन अवधारणाओं ने संख्याओं का सामान्यीकरण नहीं किया, किन्तु कार्यों और सेटों की संयुक्त धारणाएं जो अभी तक औपचारिक नहीं थीं, परिचित गणितीय वस्तुओं से अलग हो गईं।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति
अन्य अभिगृहीतों से समानांतर अवधारणा को प्राप्त करने के कई असफल प्रयासों के बाद, जोहान हेनरिक लैम्बर्ट (1728-1777) द्वारा अभी भी काल्पनिक अतिपरवलयिक ज्यामिति के अध्ययन ने उन्हें अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों को प्रस्तुत करने और अतिशयोक्तिपूर्ण त्रिकोण के क्षेत्र की गणना करने के लिए प्रेरित किया (जहां का योग कोण 180° से कम है)। फिर रूसी गणितज्ञ निकोलाई लोबचेव्स्की (1792-1856) ने 1826 में स्थापित किया (और 1829 में प्रकाशित) इस ज्यामिति की सुसंगतता (इस प्रकार समानांतर अभिधारणा की स्वतंत्रता), 1832 में हंगेरियन गणितज्ञ जानोस बोल्याई (1802-1860) के समानांतर, और गॉस के साथ किया।

बाद में 19वीं शताब्दी में, जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमैन ने एलिप्टिक ज्यामिति विकसित की, अन्य गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति जहां कोई समानांतर नहीं पाया जा सकता है और त्रिकोण में कोणों का योग 180° से अधिक है। यह निश्चित क्षेत्र पर एंटीपोडल बिंदुओं की जोड़ी और गोले पर महान वृत्त के अर्थ के लिए बिंदु को परिभाषित करके सुसंगत सिद्ध हुआ था। उस समय, स्वयंसिद्धों के समुच्चय की संगति को सिद्ध करने का मुख्य तरीका इसके लिए मॉडल (गणितीय तर्क) प्रदान करना था।

प्रक्षेपी ज्यामिति
कटौतीत्मक प्रणाली में जाल में से परिपत्र तर्क है, समस्या जो प्रक्षेपी ज्यामिति पर पड़ती थी जब तक कि इसे कार्ल वॉन स्टॉड्ट द्वारा हल नहीं किया गया था। जैसा कि रूसी इतिहासकारों द्वारा समझाया गया है:

"उन्नीसवीं सदी के मध्य में प्रक्षेपी ज्यामिति में सिंथेटिक और विश्लेषणात्मक तरीकों के समर्थकों के बीच एक तीखा विवाद था, दोनों पक्ष एक दूसरे पर प्रक्षेपी और मीट्रिक अवधारणाओं को मिलाने का आरोप लगाते थे। वास्तव में प्रक्षेपी ज्यामिति की सिंथेटिक प्रस्तुति में लागू होने वाली मूल अवधारणा, एक रेखा के चार बिंदुओं का क्रॉस-अनुपात, अंतराल की लंबाई के विचार के माध्यम से प्रस्तुति की गई थी।" वॉन स्टॉड्ट का विशुद्ध रूप से ज्यामितीय दृष्टिकोण प्रक्षेपी हार्मोनिक संयुग्म के संबंध को व्यक्त करने के लिए पूर्ण चतुर्भुज पर आधारित था। फिर उन्होंने अपने कार्ल वॉन स्टॉड बीजगणित ऑफ थ्रो के साथ परिचित संख्यात्मक गुणों को व्यक्त करने का साधन बनाया। क्षेत्र (गणित) के गुणों को कम करने की इस प्रक्रिया के अंग्रेजी भाषा संस्करण या तो ओसवाल्ड वेब्लेन और जॉन यंग, ​​​​प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री (1938) की पुस्तक में या हाल ही में जॉन स्टिलवेल के फोर पिलर्स ऑफ ज्योमेट्री (2005) में पाए जा सकते हैं। स्टिलवेल पेज 120 पर लिखते हैं

"प्रक्षेपी ज्यामिति एक निश्चित अर्थ में बीजगणित की तुलना में सरल है, क्योंकि हम नौ फ़ील्ड स्वयंसिद्धों को प्राप्त करने के लिए केवल पाँच ज्यामितीय स्वयंसिद्धों का उपयोग करते हैं।"

फेंकने के बीजगणित को सामान्यतः क्रॉस-अनुपात की विशेषता के रूप में देखा जाता है क्योंकि छात्र सामान्यतः उनके आधार के बारे में चिंता किए बिना संख्याओं पर भरोसा करते हैं। चूंकि, क्रॉस-रेशियो की गणना ज्यामिति की मीट्रिक (गणित) विशेषताओं का उपयोग करती है, ऐसी विशेषताएँ जिन्हें शुद्धतावादियों द्वारा स्वीकार नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, 1961 में कॉक्सेटर ने क्रॉस-रेशियो का उल्लेख किए बिना इंट्रोडक्शन टू ज्योमेट्री लिखी।

बूलियन बीजगणित और तर्क
गणित के औपचारिक उपचार के प्रयास लीबनिज और जोहान हेनरिक लैम्बर्ट (1728-1777) के साथ प्रारंभ हुए थे, और जॉर्ज पीकॉक (गणितज्ञ) (1791-1858) जैसे बीजगणितियों के कार्यों के साथ जारी रहे। तर्क के व्यवस्थित गणितीय उपचार ब्रिटिश गणितज्ञ जॉर्ज बूले (1847) के साथ आए, जिन्होंने बीजगणित में प्रस्तुत किया जो शीघ्र ही बूलियन बीजगणित कहलाता है, जिसमें केवल संख्याएं 0 और 1 थीं और तार्किक संयोजन (संयोजन, संयोजन, निहितार्थ और निषेध) ) पूर्णांकों के योग और गुणन के समान संक्रियाएँ हैं। इसके अतिरिक्त, ऑगस्टस डी मॉर्गन ने 1847 में अपने डी मॉर्गन के नियमों को प्रकाशित किया। इसका तर्क इस प्रकार गणित की शाखा बन गया। बूलियन बीजगणित गणितीय तर्क का प्रारंभिक बिंदु है और कंप्यूटर विज्ञान में इसके महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

चार्ल्स सैंडर्स पियर्स ने संबंध (तर्क) और परिमाणक (तर्क)तर्क) के लिए तार्किक प्रणाली विकसित करने के लिए बोले के काम पर बनाया, जिसे उन्होंने 1870 से 1885 तक कई पत्रों में प्रकाशित किया।

जर्मन गणितज्ञ भगवान फ्रीज का शुक्र है (1848-1925) ने 1879 में प्रकाशित अपनी शब्द लेखन (सूत्र भाषा) में क्वांटिफायर के साथ तर्क का स्वतंत्र विकास प्रस्तुत किया, जिसे सामान्यतः तर्क के इतिहास में महत्वपूर्ण मोड़ के रूप में माना जाता है। उन्होंने अरस्तू के तर्क में कमियों को उजागर किया और गणितीय सिद्धांत के तीन अपेक्षित गुणों की ओर इंगित किया
 * 1) संगति: विरोधाभासी बयानों को सिद्ध करने की असंभवता।
 * 2) पूर्णता (तर्क): कोई भी कथन या तो सिद्ध या खंडन योग्य है (अर्थात इसका निषेध सिद्ध है)।
 * 3) निर्णायकता (तर्क): सिद्धांत में किसी भी कथन का परीक्षण करने के लिए निर्णय प्रक्रिया होती है।

इसके बाद उन्होंने ग्रंडगेसेट्ज़ डेर अरिथमेटिक (अंकगणित के मूल नियम) में दिखाया कि कैसे अंकगणित को उनके नए तर्क में औपचारिक रूप दिया जा सकता है।

फ्रेज के काम को बर्ट्रेंड रसेल ने शताब्दी के अंत में लोकप्रिय बनाया था। किन्तु फ्रीज के द्वि-आयामी अंकन को कोई सफलता नहीं मिली। 1935 में गेरहार्ड जेंटजन द्वारा ∀ प्रतीक प्रस्तुत किए जाने तक और 1960 के दशक में विहित हो जाने तक लोकप्रिय नोटेशन सार्वभौमिक के लिए (x) और अस्तित्वगत परिमाणकों के लिए (∃x) थे, जो गिउसेप्पे पिएनो और विलियम अर्नेस्ट जॉनसन से आए थे।

1890 से 1905 तक, अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ) या अर्नस्ट श्रोडर ने तीन खंडों में वोरलेसुंगेन उबेर डाई बीजगणित डेर लॉजिक प्रकाशित किया। इस कार्य ने बोले, डी मॉर्गन और पियर्स के काम को संक्षेप और विस्तारित किया, और गणितीय तर्क प्रतीकात्मक तर्क का व्यापक संदर्भ था जैसा कि 19वीं शताब्दी के अंत में समझा गया था।

पीनो अंकगणित
एक स्वयंसिद्ध सिद्धांत के रूप में अंकगणित (प्राकृतिक संख्याओं का सिद्धांत) की औपचारिकता 1881 में पियर्स के साथ प्रारंभ हुई और 1888 में रिचर्ड डेडेकिंड और ग्यूसेप पीनो के साथ जारी रही। यह अभी भी दूसरे क्रम का तर्क था। उपसमुच्चय, इस प्रकार सेट सिद्धांत के अंतर्निहित उपयोग के साथ) पहले क्रम तर्क में सिद्धांतों को व्यक्त करने के लिए चिंताओं के रूप में अभी तक समझ में नहीं आया था। डेडेकाइंड के काम में, यह दृष्टिकोण पूरी तरह से प्राकृतिक संख्याओं को चित्रित करने और उत्तराधिकारी कार्य और गणितीय प्रेरण से जोड़ और गुणा की पुनरावर्ती परिभाषा प्रदान करने के रूप में प्रकट होता है।

मूलभूत संकट
गणित का मूलभूत संकट (जर्मन भाषा में ग्रुंडलगेनक्राइस डेर मैथेमेटिक) गणित के लिए उचित नींव की खोज के लिए 20वीं सदी की प्रारंभ का शब्द था।

20वीं शताब्दी में गणित के दर्शन के कई स्कूल के बाद कठिनाइयों में भागे, क्योंकि यह धारणा कि गणित का कोई आधार है जिसे गणित के भीतर निरंतर कहा जाता है, विभिन्न विरोधाभास (जैसे रसेल के विरोधाभास) की खोज से भारी चुनौती मिली थी।.

विरोधाभास नाम विरोधाभास से भ्रमित नहीं होना चाहिए। औपचारिक सिद्धांत में विरोधाभास सिद्धांत के अंदर गैरबराबरी का औपचारिक प्रमाण है (जैसे $2 + 2 = 5$), दिखा रहा है कि यह सिद्धांत असंगत है और इसे अस्वीकार किया जाना चाहिए। किन्तु विरोधाभास या तो किसी दिए गए औपचारिक सिद्धांत में आश्चर्यजनक किन्तु सही परिणाम हो सकता है, या अनौपचारिक तर्क विरोधाभास की ओर ले जा सकता है, जिससे कि उम्मीदवार सिद्धांत, यदि इसे औपचारिक रूप देना है, तो इसके कम से कम कदम को अस्वीकार करना चाहिए; इस स्थिति में समस्या विरोधाभास के बिना संतोषजनक सिद्धांत खोजने की है। दोनों अर्थ लागू हो सकते हैं यदि तर्क का औपचारिक संस्करण आश्चर्यजनक सत्य का प्रमाण बनाता है। उदाहरण के लिए, रसेल के विरोधाभास को व्यक्त किया जा सकता है क्योंकि सभी सेटों का कोई सेट नहीं है (कुछ सीमांत स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांतों को छोड़कर)।

विचार के विभिन्न विद्यालयों ने दूसरे का विरोध किया। अग्रणी विद्यालय औपचारिकतावाद (गणित) का था, जिसमें से डेविड हिल्बर्ट सबसे प्रमुख प्रस्तावक थे, जिसकी परिणति हिल्बर्ट के कार्यक्रम के रूप में जानी जाती है, जो तार्किक प्रणाली के छोटे से आधार पर गणित को जमीनी स्तर पर लाने का इरादा रखता है, जो मेटामैथमैटिक्स फिनिटिज्म के माध्यम से ध्वनि सिद्ध होता है। औपचारिकतावादी स्कूल का मुख्य विरोधी अंतर्ज्ञानवाद स्कूल था, जिसका नेतृत्व एल ई जे ब्रोवर ने किया, जिसने प्रतीकों के साथ अर्थहीन खेल के रूप में औपचारिकता को पूरी तरह से खारिज कर दिया। 1920 में हिल्बर्ट उस समय की प्रमुख गणितीय पत्रिका, मैथेमेटिसे एनालेन के संपादकीय बोर्ड से ब्रोवर को निकालने में सफल रहे, जिन्हें वे गणित के लिए खतरा मानते थे।

दार्शनिक विचार
20वीं शताब्दी की प्रारंभ में, गणित के दर्शन के तीन विद्यालयों ने एक-दूसरे का विरोध किया: औपचारिकतावाद, अंतर्ज्ञानवाद और तर्कवाद। 1930 में कोनिग्सबर्ग में आयोजित सटीक विज्ञान की ज्ञानमीमांसा पर द्वितीय सम्मेलन ने इन तीन विद्यालयों को स्थान दिया।

औपचारिकता
यह दावा किया गया है कि डेविड हिल्बर्ट (1862-1943) जैसे औपचारिकतावादियों का मानना ​​है कि गणित केवल भाषा और खेलों की श्रृंखला है। दरअसल, उन्होंने 1927 में L.E.J. ब्रोवर की आलोचनाओं के जवाब में फार्मूला गेम शब्द का उपयोग किया:

"और इस तरह से संभव हुआ फॉर्मूला गेम किस हद तक सफल हुआ है? यह फॉर्मूला गेम हमें गणित के विज्ञान की संपूर्ण विचार-सामग्री को एक समान तरीके से व्यक्त करने और इसे इस तरह से विकसित करने में सक्षम बनाता है कि, साथ ही, अलग-अलग प्रस्तावों और तथ्यों के बीच अंतर्संबंध स्पष्ट हो जाते हैं ... सूत्र जिस खेल की ब्राउवर इतनी निंदा करता है, उसके गणितीय मूल्य के अलावा, एक महत्वपूर्ण सामान्य दार्शनिक महत्व भी है। इसके लिए सूत्र का खेल कुछ निश्चित नियमों के अनुसार चलाया जाता है, जिसमें हमारी सोच की तकनीक व्यक्त की जाती है। ये नियम एक बंद प्रणाली का निर्माण करते हैं जिसे खोजा जा सकता है और निश्चित रूप से कहा जा सकता है।" इस प्रकार हिल्बर्ट इस बात पर जोर दे रहे हैं कि गणित मनमाने नियमों वाला मनमाना खेल नहीं है; बल्कि यह इस बात से सहमत होना चाहिए कि हमारी सोच और फिर हमारा बोलना और लिखना कैसे आगे बढ़ता है।

"हम यहां किसी भी मायने में मनमानी की बात नहीं कर रहे हैं। गणित एक खेल की तरह नहीं है जिसके कार्य मनमाने ढंग से निर्धारित नियमों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। बल्कि, यह एक वैचारिक प्रणाली है जिसमें आंतरिक आवश्यकता होती है जो केवल ऐसा ही हो सकता है और किसी भी तरह से नहीं।" डेविड हिल्बर्ट द्वारा उदाहरण के रूप में औपचारिकता का मूलभूत दर्शन, सेट सिद्धांत के विरोधाभासों की प्रतिक्रिया है, और औपचारिक तर्क पर आधारित है। वस्तुतः सभी गणितीय प्रमेयों को आज सेट सिद्धांत के प्रमेयों के रूप में तैयार किया जा सकता है। गणितीय कथन की सच्चाई, इस दृष्टि से, इस तथ्य से प्रदर्शित होती है कि औपचारिक तर्क के नियमों का उपयोग करते हुए इस कथन को ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत से प्राप्त किया जा सकता है।

केवल औपचारिकता का उपयोग ही कई मुद्दों की व्याख्या नहीं करता है: हमें उन स्वयंसिद्धों का उपयोग क्यों करना चाहिए जो हम करते हैं और कुछ अन्य नहीं, हमें उन तार्किक नियमों का उपयोग क्यों करना चाहिए जो हम करते हैं और कुछ अन्य नहीं, सही गणितीय कथन क्यों करते हैं (उदाहरण के लिए, पीनो के स्वयंसिद्ध) ) सत्य प्रतीत होते हैं, इत्यादि। हरमन वेइल हिल्बर्ट से ये ही सवाल पूछेंगे:

"दुनिया के इस सैद्धांतिक निर्माण के लिए 'सत्य' या निष्पक्षता को क्या कहा जा सकता है, जो दिए गए से कहीं अधिक दबाव डालता है, यह एक गहन दार्शनिक समस्या है। यह आगे के प्रश्न के साथ निकटता से जुड़ा हुआ है: हिल्बर्ट द्वारा विकसित विशेष स्वयंसिद्ध प्रणाली को एक आधार के रूप में लेने के लिए हमें क्या प्रेरित करता है? संगति वास्तव में एक आवश्यक है लेकिन पर्याप्त स्थिति नहीं है। फिलहाल हम शायद इस सवाल का जवाब नहीं दे पाएंगे..." कुछ मामलों में, रिवर्स गणित और कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत जैसे विषयों में औपचारिक सिद्धांतों के अध्ययन के माध्यम से इन प्रश्नों का पर्याप्त उत्तर दिया जा सकता है। जैसा कि वेइल ने उल्लेख किया है, औपचारिक तार्किक प्रणालियाँ भी स्थिरता प्रमाण का जोखिम उठाती हैं; पीआनो अभिगृहीतों में, यह पहले से ही संगति प्रमाण के कई प्रमाणों के साथ तय किया जा चुका है, किन्तु इस बात पर बहस चल रही है कि वे अर्थपूर्ण होने के लिए पर्याप्त रूप से परिमितवाद हैं या नहीं है। गोडेल की अपूर्णता प्रमेय या गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय यह स्थापित करती है कि अंकगणित की तार्किक प्रणालियों में कभी भी उनके अपने संगति प्रमाण का वैध प्रमाण नहीं हो सकता है। हिल्बर्ट जो करना चाहता था वह तार्किक प्रणाली को सिद्ध करना चाहता था, एस सिद्धांतों के आधार पर सुसंगत था, जो केवल एस का छोटा सा भाग था।

अंतर्ज्ञान
एल ई जे ब्रोवर (1882-1966) जैसे अंतर्ज्ञानवादी मानते हैं कि गणित मानव मस्तिष्क की रचना है। संख्याएं, परियों की कहानी के पात्रों की तरह, केवल मानसिक संस्थाएं हैं, जो अस्तित्व में नहीं होती अगर उनके बारे में सोचने के लिए कभी कोई मानव मन नहीं होता।

अंतर्ज्ञानवाद या रचनावाद (गणित) का मूलभूत दर्शन, जैसा कि लुइट्ज़ेन एगबर्टस जान ब्रोवर और स्टीफन क्लेन द्वारा चरम में उदाहरण दिया गया है, प्रकृति में रचनात्मक होने के प्रमाण की आवश्यकता है – किसी वस्तु के अस्तित्व को उसके गैर-अस्तित्व की असंभवता के प्रदर्शन से अनुमान लगाने के अतिरिक्त प्रदर्शित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, इसके परिणामस्वरूप प्रमाण का रूप जिसे रिडक्टियो एड बेतुका के रूप में जाना जाता है, संदिग्ध है।

गणित के दर्शन में कुछ आधुनिक सिद्धांत मूल अर्थों में नींव के अस्तित्व को नकारते हैं। कुछ सिद्धांत गणितीय अभ्यास पर ध्यान केंद्रित करते हैं, और सामाजिक समूह के रूप में गणितज्ञों के वास्तविक कार्य का वर्णन और विश्लेषण करने का लक्ष्य रखते हैं। अन्य लोग गणित का संज्ञानात्मक विज्ञान बनाने की कोशिश करते हैं, वास्तविक दुनिया पर लागू होने पर गणित की विश्वसनीयता के मूल के रूप में मानव अनुभूति पर ध्यान केंद्रित करते हैं। ये सिद्धांत केवल मानव विचार में नींव खोजने का प्रस्ताव देंगे, निर्माण के बाहर किसी उद्देश्य में नहीं। मामला विवादास्पद बना हुआ है।

तार्किकता
तर्कवाद गणित के दर्शन में विचार का स्कूल और शोध कार्यक्रम है, जो इस थीसिस पर आधारित है कि गणित तर्क का विस्तार है या यह कि कुछ या सभी गणित उपयुक्त औपचारिक प्रणाली में प्राप्त किए जा सकते हैं जिनके स्वयंसिद्ध और प्रकृति में 'तार्किक' अनुमान के नियम हैं । बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड ने गोटलॉब फ्रेज द्वारा प्रारंभ किए गए और रिचर्ड डेडेकिंड से प्रभावित इस सिद्धांत का समर्थन किया।

सेट-सैद्धांतिक प्लैटोनिज्म
स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के कई शोधकर्ताओं ने सेट-सैद्धांतिक प्लैटोनिज्म#मॉडर्न प्लैटोनिज्म, जिसे कर्ट गोडेल द्वारा उदाहरण के रूप में जाना जाता है, की सदस्यता ली है।

कई समुच्चय सिद्धांतकारों ने इस दृष्टिकोण का अनुसरण किया और सक्रिय रूप से स्वयंसिद्धों की खोज की जिन्हें अनुमानी कारणों से सत्य माना जा सकता है और जो सातत्य परिकल्पना को तय करेगा। कई बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों का अध्ययन किया गया था, किन्तु परिकल्पना सदैव उनसे स्वतंत्र (गणितीय तर्क) बनी रही और अब यह संभावना नहीं मानी जाती है कि CH को नए बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्ध द्वारा हल किया जा सकता है। अन्य प्रकार के स्वयंसिद्धों पर विचार किया गया था, किन्तु उनमें से कोई भी अभी तक सातत्य परिकल्पना पर आम सहमति तक नहीं पहुंचा है। जोएल डेविड हैम्किंस द्वारा हाल ही में किया गया कार्य अधिक लचीले विकल्प का प्रस्ताव करता है: सेट-सैद्धांतिक मल्टीवर्स सेट-सैद्धांतिक ब्रह्मांडों के बीच मुक्त मार्ग की अनुमति देता है जो सातत्य परिकल्पना और अन्य ब्रह्मांडों को संतुष्ट नहीं करता है।

यथार्थवाद के लिए अपरिहार्य तर्क
यह क्यूइन–पुतनाम अपरिहार्य थीसिस विलार्ड क्यूइन और हिलेरी पुतनाम द्वारा कहते हैं (पुतनाम के छोटे शब्दों में),

"गणितीय संस्थाओं पर परिमाणीकरण विज्ञान के लिए अपरिहार्य है... इसलिए हमें ऐसे परिमाणीकरण को स्वीकार करना चाहिए; लेकिन यह हमें गणितीय संस्थाओं के अस्तित्व को स्वीकार करने के लिए प्रतिबद्ध करता है।" हालाँकि, पूनम प्लैटोनिस्ट नहीं थे।

कच्चा-तैयार यथार्थवाद
कुछ गणितज्ञ सामान्यतः तर्कवाद, औपचारिकतावाद या किसी अन्य दार्शनिक स्थिति पर दैनिक, कामकाजी आधार पर चिंतित होते हैं। इसके अतिरिक्त, उनकी प्राथमिक चिंता यह है कि गणितीय उद्यम समग्र रूप से सदैव उत्पादक बना रहता है। सामान्यतः, वे इसे खुले विचारों वाले, व्यावहारिक और व्यस्त रहने से सुनिश्चित करते हुए देखते हैं; जैसा कि अत्यधिक-वैचारिक, कट्टर रूप से न्यूनीकरणवादी या आलसी बनने से संभावित रूप से खतरा है।

ऐसा मत कुछ प्रसिद्ध भौतिकशास्त्रियों ने भी व्यक्त किया है।

उदाहरण के लिए, भौतिकी नोबेल पुरस्कार विजेता रिचर्ड फेनमैन ने कहा

"लोग मुझसे कहते हैं, 'क्या आप भौतिकी के अंतिम नियमों की तलाश कर रहे हैं?' नहीं, मैं नहीं हूँ... यदि यह पता चलता है कि एक सरल अंतिम नियम है जो सब कुछ समझाता है, तो ऐसा ही रहने दें – इसे खोजना बहुत अच्छा होगा। अगर यह पता चला कि यह लाखों परतों वाले प्याज की तरह है... तो यह ऐसा ही है। लेकिन किसी भी तरह से प्रकृति है और वह जैसी है वैसी ही बाहर आने वाली है। इसलिए जब हम जांच करने जाते हैं तो हमें पहले से यह तय नहीं करना चाहिए कि हम क्या खोज रहे हैं, केवल इसके बारे में और जानने के लिए।" और स्टीवन वेनबर्ग:

"दार्शनिकों की अंतर्दृष्टि ने कभी-कभी भौतिकविदों को लाभान्वित किया है, लेकिन आम तौर पर एक नकारात्मक तरीके से - उन्हें अन्य दार्शनिकों की पूर्व धारणाओं से बचाकर। ... हमारी पूर्वधारणाओं से कुछ मार्गदर्शन के बिना कोई कुछ भी नहीं कर सकता था। बात बस इतनी है कि दार्शनिक सिद्धांतों ने आम तौर पर हमें सही पूर्वधारणाएँ प्रदान नहीं की हैं।" वेनबर्ग का मानना ​​था कि गणित में किसी भी अनिश्चितता, जैसे कि सातत्य परिकल्पना, को अपूर्णता प्रमेय के अतिरिक्त संभावित रूप से हल किया जा सकता है, सेट थ्योरी में जोड़ने के लिए उपयुक्त स्वयंसिद्धों को खोजने के द्वारा किया जाता हैं।

गोडेल की पूर्णता प्रमेय के दार्शनिक परिणाम
गोडेल की पूर्णता प्रमेय सूत्र की औपचारिक प्रवीणता और सभी संभावित मॉडलों में इसकी सच्चाई के बीच पहले क्रम के तर्क में समानता स्थापित करती है। सटीक रूप से, किसी भी सुसंगत प्रथम-क्रम सिद्धांत के लिए यह सिद्धांत द्वारा वर्णित मॉडल का स्पष्ट निर्माण देता है; यदि सिद्धांत की भाषा गणनीय है तो यह मॉडल गणनीय होगा। हालाँकि यह स्पष्ट निर्माण एल्गोरिथम नहीं है। यह सिद्धांत को पूरा करने की पुनरावृत्त प्रक्रिया पर आधारित है, जहां पुनरावृत्ति के प्रत्येक चरण में स्वयंसिद्धों में सूत्र जोड़ना सम्मलित है यदि यह सिद्धांत को सुसंगत रखता है; किन्तु यह स्थिरता प्रश्न केवल अर्ध-निर्णायक है (किसी भी विरोधाभास को खोजने के लिए एल्गोरिथ्म उपलब्ध है किन्तु यदि कोई नहीं है तो यह स्थिरता तथ्य अप्राप्य रह सकता है)।

इसे प्लैटोनिस्ट दृष्टिकोण को प्रकार का औचित्य देने के रूप में देखा जा सकता है कि हमारे गणितीय सिद्धांतों की वस्तुएँ वास्तविक हैं। अधिक सटीक रूप से, यह दर्शाता है कि समग्रता (एक वास्तविक अनंत) के रूप में प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के अस्तित्व की मात्र धारणा किसी भी सुसंगत सिद्धांत के मॉडल (वस्तुओं की दुनिया) के अस्तित्व को इंगित करने के लिए पर्याप्त है। हालाँकि कई कठिनाइयाँ बनी हुई हैं:


 * किसी भी सुसंगत सिद्धांत के लिए यह सामान्यतः वस्तुओं की केवल दुनिया नहीं देता है, बल्कि संभावित संसारों की अनंतता है जो सिद्धांत समान रूप से वर्णन कर सकता है, उनके बीच सत्य की संभावित विविधता के साथ होता है।
 * सेट सिद्धांत के स्थिति में, इस निर्माण द्वारा प्राप्त कोई भी मॉडल इच्छित मॉडल के समान नहीं है, क्योंकि वे गणना योग्य हैं जबकि सेट सिद्धांत बेशुमार अनंतताओं का वर्णन करना चाहता है। इसी तरह की टिप्पणी कई अन्य मामलों में की जा सकती है। उदाहरण के लिए, उन सिद्धांतों के साथ जिनमें अंकगणित सम्मलित है, ऐसे निर्माण सामान्यतः ऐसे मॉडल देते हैं जिनमें गैर-मानक संख्याएँ सम्मलित होती हैं, जब तक कि निर्माण विधि विशेष रूप से उनसे बचने के लिए डिज़ाइन नहीं की गई थी।
 * जैसा कि यह बिना किसी भेद के सभी सुसंगत सिद्धांतों को मॉडल देता है, जब तक सिद्धांत सुसंगत रहता है, तब तक यह किसी भी स्वयंसिद्ध को स्वीकार या अस्वीकार करने का कोई कारण नहीं देता है, किन्तु सभी सुसंगत स्वयंसिद्ध सिद्धांतों को समान रूप से मौजूदा दुनिया के संदर्भ में मानता है। यह कोई संकेत नहीं देता है कि गणित की नींव के रूप में किस स्वयंसिद्ध प्रणाली को प्राथमिकता दी जानी चाहिए।
 * जैसा कि स्थिरता के दावे सामान्यतः असाध्य होते हैं, वे विश्वास या गैर-कठोर प्रकार के औचित्य का विषय बने रहते हैं। इसलिए पूर्णता प्रमेय द्वारा दिए गए मॉडलों के अस्तित्व में वास्तव में दो दार्शनिक मान्यताओं की आवश्यकता होती है: प्राकृतिक संख्याओं की वास्तविक अनंतता और सिद्धांत की संगति इत्यादि।

पूर्णता प्रमेय का और परिणाम यह है कि यह गैर-मानक मॉडल के अस्तित्व के आधार पर मानक लोगों के लिए समान रूप से वैध होने के आधार पर, अधिक रूप से छोटी गैर-शून्य मात्रा के रूप में अनंत की अवधारणा को सही ठहराता है। इस विचार को अब्राहम रॉबिन्सन ने गैर-मानक विश्लेषण के सिद्धांत में औपचारिक रूप दिया।

अधिक विरोधाभास
निम्नलिखित मेटामैथमैटिक्स में कुछ उल्लेखनीय परिणाम सूचीबद्ध करता है। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत, सेट सिद्धांत का सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किया गया स्वसिद्धीकरण है। यह संक्षिप्त रूप से ZFC है जब इसमें पसंद का स्वयंसिद्ध सम्मलित होता है और ZF जब पसंद का स्वयंसिद्ध बाहर रखा जाता है।


 * 1920: थोराल्फ़ स्कोलेम ने लियोपोल्ड लोवेनहेम के प्रमाण को सही किया, जिसे अब डाउनवर्ड लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय कहा जाता है, जो 1922 में चर्चा किए गए स्कोलेम के विरोधाभास की ओर ले जाता है, अर्थात् जेडएफ के गणनीय मॉडल का अस्तित्व, अनंत कार्डिनैलिटी को सापेक्ष गुण बनाता है।
 * 1922: अब्राहम फ्रेंकेल द्वारा प्रमाण कि पसंद के स्वयंसिद्ध को ज़र्मेलो सेट थ्योरी के स्वयंसिद्धों से सिद्ध नहीं किया जा सकता है।
 * 1931: गोडेल के अपूर्णता प्रमेय का प्रकाशन, यह दर्शाता है कि हिल्बर्ट के कार्यक्रम के आवश्यक पहलुओं को प्राप्त नहीं किया जा सका। यह दिखाता है कि किसी भी पर्याप्त शक्तिशाली और सुसंगत पुनरावर्ती स्वयंसिद्ध प्रणाली के लिए कैसे निर्माण किया जाए – जैसे कि प्राकृतिक संख्याओं के सेट (अनंत) पर अंकगणित के प्रारंभिक सिद्धांत को स्वयंसिद्ध करना आवश्यक है –  बयान जो औपचारिक रूप से अपनी खुद की अप्राप्यता को व्यक्त करता है, जिसे उन्होंने तब सिद्धांत की स्थिरता के दावे के बराबर सिद्ध किया; जिससे कि (संगति को सत्य मानते हुए), प्रणाली अपनी निरंतरता को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली न हो, अकेले रहने दें कि सरल प्रणाली काम कर सकती है। इस प्रकार यह स्पष्ट हो गया कि गणितीय सत्य की धारणा को पूरी तरह से निर्धारित नहीं किया जा सकता है और हिल्बर्ट के कार्यक्रम में परिकल्पित विशुद्ध औपचारिक प्रणाली में घटाया जा सकता है। इसने हिल्बर्ट के कार्यक्रम के दिल को अंतिम झटका दिया, आशा है कि स्थिरता को परिमित साधनों द्वारा स्थापित किया जा सकता है (यह कभी भी स्पष्ट नहीं किया गया था कि वास्तव में कौन से स्वयंसिद्ध शब्द थे, किन्तु जो भी स्वयंसिद्ध प्रणाली को संदर्भित किया जा रहा था, वह 'कमजोर' था ' सिस्टम की तुलना में सिस्टम जिसकी स्थिरता सिद्ध करनी थी)।
 * 1936: अल्फ्रेड टार्स्की ने अपनी टार्स्की की अनिर्धारणीयता प्रमेय को सिद्ध किया।
 * 1936: एलन ट्यूरिंग ने सिद्ध किया कि सभी संभव प्रोग्राम-इनपुट जोड़े के लिए हॉल्टिंग समस्या को हल करने के लिए सामान्य एल्गोरिदम सम्मलित नहीं हो सकता है।
 * 1938: गोडेल ने कंस्ट्रक्टिव ब्रह्मांड को सिद्ध किया।
 * 1936-1937: अलोंजो चर्च और एलन ट्यूरिंग ने क्रमशः स्वतंत्र पत्र प्रकाशित किए, जिसमें दिखाया गया कि एन्त्शेइदंगस्प्रोब्लेम का सामान्य समाधान असंभव है: पहले क्रम के तर्क में बयानों की सार्वभौमिक वैधता निर्णायक नहीं है (यह केवल अर्ध-निर्णायक है जैसा कि इसके द्वारा दिया गया है) पूर्णता प्रमेय)।
 * 1955: पीटर नोविकोव ने दिखाया कि सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह G सम्मलित है जैसे कि G के लिए शब्द समस्या अनिर्णीत है।
 * 1963: पॉल कोहेन (गणितज्ञ) ने दिखाया कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत से कॉन्टिनम हाइपोथीसिस अप्राप्य है। कोहेन के प्रमाण ने फोर्सिंग (गणित) की विधि विकसित की, जो अब सेट थ्योरी में स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) परिणामों की स्थापना के लिए महत्वपूर्ण उपकरण है।
 * 1964: भौतिकी में मौलिक यादृच्छिकता से प्रेरित होकर, ग्रेगरी चैतिन एल्गोरिथम सूचना सिद्धांत (गणित में अपूर्णता और यादृच्छिकता को मापना) पर परिणाम प्रकाशित करना प्रारंभ करता है।
 * 1966: पॉल कोहेन ने दिखाया कि पसंद का स्वयंसिद्ध ZF में बिना मूत्र के भी अप्राप्य है।
 * 1970: हिल्बर्ट की दसवीं समस्या अघुलनशील सिद्ध हुई: यह तय करने के लिए कोई पुनरावर्ती समाधान नहीं है कि डायोफैंटाइन समीकरण (बहुभिन्नरूपी बहुपद समीकरण) का पूर्णांकों में समाधान है या नहीं।
 * 1971: सुस्लिन की समस्या ZFC से स्वतंत्र सिद्ध हुई।

संकट के समाधान की ओर
1935 में, फ्रांसीसी गणितज्ञों के निकोलस बोरबाकी समूह ने सेट थ्योरी की नई नींव पर गणित के कई क्षेत्रों को औपचारिक रूप देने के लिए पुस्तकों की श्रृंखला प्रकाशित करना प्रारंभ किया।

अंतर्ज्ञानवादी स्कूल ने कई अनुयायियों को आकर्षित नहीं किया, और यह 1967 में बिशप बचाओ के काम तक नहीं था कि रचनावाद (गणित) को शक्तिशाली आधार पर रखा गया था। गोडेल के कार्यक्रम के बाद हिल्बर्ट का कार्यक्रम # हिल्बर्ट का कार्यक्रम आंशिक रूप से पूरा हो गया है। हिल्बर्ट का कार्यक्रम आंशिक रूप से पूरा हो गया है, जिससे कि संकट अनिवार्य रूप से हल हो जाए, हिल्बर्ट की मूल महत्वाकांक्षाओं की तुलना में कम आवश्यकताओं के साथ खुद को संतुष्ट करना। उनकी महत्त्वाकांक्षा ऐसे समय में अभिव्यक्त हुई थी जब कुछ भी स्पष्ट नहीं था: यह स्पष्ट नहीं था कि गणित की कोई ठोस नींव हो भी सकती है या नहीं।

सेट थ्योरी के कई संभावित संस्करण हैं, जो स्थिरता की ताकत में भिन्न हैं, जहां शक्तिशाली संस्करण (उच्च प्रकार के इन्फिनिटीज को पोस्ट करना) में कमजोर संस्करणों की स्थिरता के औपचारिक प्रमाण होते हैं, किन्तु किसी में भी अपनी स्थिरता का औपचारिक प्रमाण नहीं होता है। इस प्रकार केवल चीज जो हमारे पास नहीं है, वह सेट थ्योरी के जो भी संस्करण हम पसंद कर सकते हैं, जैसे कि ZF की स्थिरता का औपचारिक प्रमाण है।

व्यवहार में, अधिकांश गणितज्ञ या तो स्वयंसिद्ध प्रणालियों से काम नहीं करते हैं, या यदि वे करते हैं, तो ZFC की निरंतरता पर संदेह नहीं करते हैं, सामान्यतः उनकी पसंदीदा स्वयंसिद्ध प्रणाली। अधिकांश गणित में जैसा कि अभ्यास किया जाता है, अंतर्निहित औपचारिक सिद्धांतों की अपूर्णता और विरोधाभासों ने कभी भी कोई भूमिका नहीं निभाई, और उन शाखाओं में जिनमें वे करते हैं या जिनके औपचारिकता के प्रयास में असंगत सिद्धांतों (जैसे तर्क और श्रेणी) के गठन का जोखिम होगा सिद्धांत), उनका सावधानीपूर्वक इलाज किया जा सकता है।

20वीं शताब्दी के मध्य में श्रेणी सिद्धांत के विकास ने ZFC की तुलना में बड़े वर्गों के अस्तित्व की गारंटी देने वाले सेट सिद्धांतों की उपयोगिता को दिखाया, जैसे कि वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत या टार्स्की-ग्रोथेंडिक सेट सिद्धांत, चूंकि बहुत सारे मामलों में बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों या ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों का उपयोग औपचारिक रूप से समाप्त किया जा सकता है।

रिवर्स गणित कार्यक्रम का लक्ष्य यह पहचानना है कि क्या कोर गणित के ऐसे क्षेत्र हैं जिनमें मूलभूत मुद्दे फिर से संकट पैदा कर सकते हैं।

यह भी देखें

 * अरस्तू का गणित का यथार्थवादी दर्शन
 * गणितीय तर्क
 * ब्रौवर-हिल्बर्ट विवाद
 * चर्च-ट्यूरिंग थीसिस
 * कैंटर के सिद्धांत पर विवाद
 * ज्ञानमीमांसा
 * यूक्लिड के तत्व
 * हिल्बर्ट की समस्याएं
 * सेट थ्योरी में गणित का कार्यान्वयन
 * झूठा विरोधाभास
 * नई नींव
 * गणित का दर्शन
 * गणितीय सिद्धांत
 * गणित में अर्ध-अनुभववाद
 * चार्ल्स सैंडर्स पियर्स # गणित

संदर्भ

 * Avigad, Jeremy (2003) Number theory and elementary arithmetic, Philosophia Mathematica Vol. 11, pp. 257–284
 * Eves, Howard (1990), Foundations and Fundamental Concepts of Mathematics Third Edition, Dover Publications, INC, Mineola NY, ISBN 0-486-69609-X (pbk.) cf §9.5 Philosophies of Mathematics pp. 266–271. Eves lists the three with short descriptions prefaced by a brief introduction.
 * Goodman, N.D. (1979), "Mathematics as an Objective Science", in Tymoczko (ed., 1986).
 * Hart, W.D. (ed., 1996), The Philosophy of Mathematics, Oxford University Press, Oxford, UK.
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 * Katz, Robert (1964), Axiomatic Analysis, D. C. Heath and Company.
 * In Chapter III A Critique of Mathematic Reasoning, §11. The paradoxes, Kleene discusses Intuitionism and Formalism in depth. Throughout the rest of the book he treats, and compares, both Formalist (classical) and Intuitionist logics with an emphasis on the former. Extraordinary writing by an extraordinary mathematician.
 * In Chapter III A Critique of Mathematic Reasoning, §11. The paradoxes, Kleene discusses Intuitionism and Formalism in depth. Throughout the rest of the book he treats, and compares, both Formalist (classical) and Intuitionist logics with an emphasis on the former. Extraordinary writing by an extraordinary mathematician.


 * Mancosu, P. (ed., 1998), From Hilbert to ब्रोवर. The Debate on the Foundations of Mathematics in the 1920s, Oxford University Press, Oxford, UK.
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 * Troelstra, A. S. (no date but later than 1990), "A History of Constructivism in the 20th Century", A detailed survey for specialists: §1 Introduction, §2 Finitism & §2.2 Actualism, §3 Predicativism and Semi-Intuitionism, §4 Brouwerian Intuitionism, §5 Intuitionistic Logic and Arithmetic, §6 Intuitionistic Analysis and Stronger Theories, §7 Constructive Recursive Mathematics, §8 Bishop's Constructivism, §9 Concluding Remarks. Approximately 80 references.
 * Tymoczko, T. (1986), "Challenging Foundations", in Tymoczko (ed., 1986).
 * —,(ed., 1986), New Directions in the Philosophy of Mathematics, 1986. Revised edition, 1998.
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 * Wilder, Raymond L. (1952), Introduction to the Foundations of Mathematics, John Wiley and Sons, New York, NY.
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बाहरी कड़ियाँ

 * Logic and Mathematics
 * Foundations of Mathematics: past, present, and future, May 31, 2000, 8 pages.
 * A Century of Controversy over the Foundations of Mathematics by Gregory Chaitin.
 * Foundations of Mathematics: past, present, and future, May 31, 2000, 8 pages.
 * A Century of Controversy over the Foundations of Mathematics by Gregory Chaitin.