समष्टि प्रक्षेप्य समिष्ट



गणित में, समष्टि प्रक्षेप्य स्थान संख्याओं के क्षेत्र के संबंध में प्रक्षेप्य स्थान है। सादृश्य द्वारा, जबकि वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान के बिंदु एक वास्तविक यूक्लिडियन अंतरिक्ष की उत्पत्ति के माध्यम से रेखाओं को लेबल करते हैं, एक समष्टि प्रक्षेप्य स्थान के बिंदु एक समष्टि यूक्लिडियन अंतरिक्ष की उत्पत्ति के माध्यम से समष्टि रेखाओं को लेबल करते (एक सहज विवरण के लिए नीचे देखें) हैं। इस प्रकार से औपचारिक रूप से, समष्टि प्रक्षेप्य स्थान एक (n+1)-आयामी समष्टि सदिश स्थल की उत्पत्ति के माध्यम से समष्टि रेखाओं का स्थान है। स्थान को विभिन्न प्रकार से Pn(C) or CPn या CPn के रूप में दर्शाया जाता है। जहाँ, समष्टि प्रक्षेप्य स्थान CP1 रीमैन क्षेत्र है, और जब , CP2 समष्टि प्रक्षेप्य तल है (अधिक प्रारंभिक वेरिएबल के लिए वहां देखें)।

इस प्रकार से समष्टि प्रक्षेप्य स्थान सबसे प्रथम किसके द्वारा प्रस्तुत किया गया था? जिसे उस समय स्थिति की ज्यामिति के रूप में जाना जाता था, उदाहरण के रूप में, यह धारणा मूल रूप से लज़ारे कार्नोट के कारण थी, प्रकार की सिंथेटिक ज्यामिति जिसमें अन्य प्रक्षेप्य ज्यामिति भी सम्मिलित थीं। इसके पश्चात, 20वीं शताब्दी के अंत में बीजगणितीय ज्यामिति के इतालवी स्कूल के लिए यह स्पष्ट हो गया कि समष्टि प्रक्षेप्य स्थान बहुपद समीकरणों के समाधान पर विचार करने के लिए अधिक प्राकृतिक डोमेन थे - बीजगणितीय विविधता. आधुनिक समय में, समष्टि प्रक्षेप्य स्थान की टोपोलॉजी और ज्यामिति दोनों को सही प्रकार से समझा जाता है और n-क्षेत्र से निकटता से संबंधित है। वास्तव में, निश्चित अर्थ में (2n+1)-वृत्तों को 'CPn' द्वारा पैरामीट्रिज्ड वृत्तों के वर्ग के रूप में माना जा सकता है।: यह हॉफ फ़िब्रेशन है। समष्टि प्रक्षेप्य स्थान में (काहलर मीट्रिक | काहलर) मीट्रिक टेंसर होता है, जिसे फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक कहा जाता है, जिसके संदर्भ में यह श्रेणी 1 का हर्मिटियन सममित स्थान है।

अतः समष्टि प्रक्षेप्य स्थान के गणित और क्वांटम भौतिकी दोनों में अनेक अनुप्रयोग हैं। बीजगणितीय ज्यामिति में, समष्टि प्रक्षेप्य स्थान प्रक्षेप्य विविधता का घर है, जो बीजगणितीय विविधता का अच्छा व्यवहार वाला वर्ग है। टोपोलॉजी में, समष्टि प्रक्षेप्य स्थान समष्टि रेखा बंडलों के लिए वर्गीकृत स्थान के रूप में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है: किसी अन्य स्थान द्वारा पैरामीट्रिज्ड समष्टि रेखाओं के वर्ग है। इस संदर्भ में, प्रक्षेप्य स्थानों का अनंत संघ (प्रत्यक्ष सीमा), जिसे 'CP∞' कहा जाता है, वर्गीकरण स्थान K(Z,2) है। क्वांटम भौतिकी में, क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम की शुद्ध अवस्था से जुड़ा तरंग फलन संभाव्यता आयाम है, जिसका अर्थ है कि इसमें इकाई मानक है, और अनिवार्य समग्र वेरिएबल ण है: अर्थात, शुद्ध अवस्था का तरंग फलन स्वाभाविक रूप से बिंदु है स्टेट समिष्ट के प्रक्षेप्य हिल्बर्ट स्थान में सम्मिलित है।

परिचय
प्रक्षेप्य विमान की धारणा ज्यामिति और कला में परिप्रेक्ष्य के विचार से उत्पन्न होती है: कभी-कभी यूक्लिडियन विमान में अतिरिक्त काल्पनिक रेखा को सम्मिलित करना उपयोगी होता है जो उस क्षितिज का प्रतिनिधित्व करता है जिसे विमान को चित्रित करने वाला कलाकार देख सकता है। मूल से प्रत्येक दिशा का अनुसरण करते हुए, क्षितिज पर अलग बिंदु होता है, इसलिए क्षितिज को मूल से सभी दिशाओं के समुच्चय के रूप में माना जा सकता है। यूक्लिडियन तल को, उसके क्षितिज सहित, वास्तविक प्रक्षेप्य तल कहा जाता है, और क्षितिज को कभी-कभी अनंत पर रेखा भी कहा जाता है। उसी निर्माण से, प्रक्षेप्य स्थानों को उच्च आयामों में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक प्रक्षेप्य 3-समिष्ट अनंत पर विमान के साथ यूक्लिडियन समिष्ट है जो की उस क्षितिज का प्रतिनिधित्व करता है जिसे कलाकार (जिसे आवश्यक रूप से चार आयामों में रहना चाहिए) देखेगा।

इस प्रकार से इन वास्तविक प्रक्षेप्य स्थानों का निर्माण निम्नानुसार थोड़े अधिक कठोर विधि से किया जा सकता है। यहां, मान लें कि Rn+1 आयामों के वास्तविक समन्वय स्थान को दर्शाता है, और इस स्थान में चित्रित परिदृश्य को हाइपरप्लेन के रूप में मानता है। मान लीजिए कि कलाकार की आंख Rn+1 में मूल है। फिर उसकी आंख के माध्यम से प्रत्येक रेखा के साथ, परिदृश्य का एक बिंदु या उसके क्षितिज पर एक बिंदु होता है। इस प्रकार वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान Rn+1 में मूल बिंदु से होकर निकलने वाली रेखाओं का स्थान है। निर्देशांक के संदर्भ के बिना, यह (n+1)-आयामी वास्तविक सदिश स्थान में मूल बिंदु से होकर निकलने वाली रेखाओं का स्थान है।

अतः समष्टि प्रक्षेप्य स्थान का समान विधि से वर्णन करने के लिए सदिश, रेखा और दिशा के विचार के सामान्यीकरण की आवश्यकता होती है। कल्पना करें कि वास्तविक यूक्लिडियन स्थान में खड़े होने के अतिरिक्त, कलाकार एक समष्टि यूक्लिडियन स्थान Cn+1 (जिसका वास्तविक आयाम 2n+2 है) में खड़ा है और परिदृश्य एक समष्टि हाइपरप्लेन (वास्तविक आयाम 2n का) है। वास्तविक यूक्लिडियन अंतरिक्ष के स्तिथि के विपरीत, समष्टि स्तिथि में इस प्रकार की दिशाएँ होती हैं जिनमें कलाकार देख सकता है जो परिदृश्य को नहीं देखता है (क्योंकि इसमें पर्याप्त उच्च आयाम नहीं है)। चूंकि, एक समष्टि स्थान में, एक बिंदु के माध्यम से दिशाओं से जुड़ा एक अतिरिक्त "वेरिएबल ण" होता है, और इस वेरिएबल ण को समायोजित करके कलाकार यह प्रमाण दे सकता है कि वह सामान्य र्रोप से परिदृश्य को देखता है। "क्षितिज" तब दिशाओं का स्थान है, किन्तु ऐसा कि दो दिशाओं को "समान" माना जाता है यदि वे केवल एक वेरिएबल ण से भिन्न होते हैं। समष्टि प्रक्षेप्य स्थान तब परिदृश्य (Cn) होता है जिसमें क्षितिज "अनंत पर" जुड़ा होता है। इस प्रकार से वास्तविक स्तिथि की तरह, समष्टि प्रक्षेप्य स्थान Cn+1 की उत्पत्ति के माध्यम से दिशाओं का स्थान है, जहां दो दिशाओं को एक ही माना जाता है यदि वे एक वेरिएबल ण से भिन्न होती हैं।

निर्माण
समष्टि प्रक्षेप्य स्थान समष्टि विविधता है जिसे n + 1 समष्टि निर्देशांक द्वारा वर्णित किया जा सकता है


 * $$Z=(Z_1,Z_2,\ldots,Z_{n+1}) \in \mathbb{C}^{n+1},

\qquad (Z_1,Z_2,\ldots,Z_{n+1})\neq (0,0,\ldots,0)$$ जहां समग्र पुनर्स्केलिंग द्वारा भिन्न टुपल्स की पहचान की जाती है:


 * $$(Z_1,Z_2,\ldots,Z_{n+1}) \equiv

(\lambda Z_1,\lambda Z_2, \ldots,\lambda Z_{n+1}); \quad \lambda\in \mathbb{C},\qquad \lambda \neq 0.$$ अर्थात्, ये प्रक्षेप्य ज्यामिति के पारंपरिक अर्थ में सजातीय निर्देशांक हैं। बिंदु समुच्चय CPn पैच $$U_i=\{ Z \mid Z_i\ne0\}$$ द्वारा कवर किया गया है Ui, में, कोई एक समन्वय प्रणाली को परिभाषित कर सकता है
 * $$z_1 = Z_1/Z_i, \quad z_2=Z_2/Z_i, \quad \dots, \quad z_{i-1}=Z_{i-1}/Z_i, \quad z_i = Z_{i+1}/Z_i, \quad \dots, \quad z_n=Z_{n+1}/Z_i.$$

दो अलग-अलग ऐसे चार्ट Ui और Uj के मध्य समन्वय संक्रमण होलोमोर्फिक फलन हैं (वास्तव में वे आंशिक रैखिक परिवर्तन हैं)। इस प्रकार CPn समष्टि आयाम n के एक समष्टि मैनिफोल्ड की संरचना को वहन करता है, और एक फोर्टियोरी वास्तविक आयाम 2n के एक वास्तविक भिन्न मैनिफोल्ड की संरचना को वहन करता है।

कोई CPn को U(1) की क्रिया के अधीन Cn+1 में इकाई 2n + 1 व्रत के भागफल के रूप में भी मान सकता है:
 * CPn = S2n+1/U(1).।

ऐसा इसलिए है क्योंकि Cn+1 में प्रत्येक रेखा एक वृत्त में इकाई व्रत े को प्रतिच्छेद करती है। पहले इकाई क्षेत्र में प्रक्षेपित करके और फिर U(1) की प्राकृतिक क्रिया के अधीन पहचान करके सीपीएन प्राप्त किया जाता है। n = 1 के लिए यह निर्माण शास्त्रीय हॉपफ बंडल $$S^3\to S^2$$ उत्पन्न करता है। इस परिप्रेक्ष्य से, CPn पर विभेदित संरचना S2n+1 से प्रेरित होती है, जो एक कॉम्पैक्ट समूह द्वारा उत्तरार्द्ध का भागफल होता है जो ठीक से कार्य करता है।

टोपोलॉजी
CPn की टोपोलॉजी निम्नलिखित सेल अपघटन द्वारा आगमनात्मक रूप से निर्धारित की जाती है। मान लीजिएH, Cn+1 में मूल बिंदु से होकर गुजरने वाला एक निश्चित हाइपरप्लेन है। प्रक्षेपण मानचित्र Cn+1\{0} → CPn के अधीन, H एक उप-स्थान में जाता है जो CPn−1 के लिए समरूप है। CPn में H की छवि का पूरक Cn के लिए होमियोमोर्फिक है। इस प्रकार CPn−1 से 2n-सेल जोड़कर CPn उत्पन्न होता है:
 * $$\mathbf{CP}^n = \mathbf{CP}^{n-1}\cup \mathbf{C}^n.$$

वैकल्पिक रूप से, यदि 2n-सेल को 'Cn' में विवृत यूनिट बॉल के रूप में माना जाता है, तो संलग्न मानचित्र सीमा का हॉपफ फ़िब्रेशन है। अनुरूप आगमनात्मक कोशिका अपघटन सभी प्रक्षेप्य स्थानों के लिए सत्य है; देखना.

सीडब्ल्यू-अपघटन
समष्टि प्रक्षेप्य स्थानों के निर्माण का उपयोगी विधि $$\mathbf{CP}^n$$ CW-कॉम्प्लेक्स सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स का उपयोग करके पुनरावर्ती निर्माण के माध्यम से है। याद रखें कि होमोमोर्फिज्म $$\mathbf{CP}^1 \cong S^2$$ है 2-वृत्तों को, प्रथम स्थान देते हुए। फिर हम पुशआउट (श्रेणी सिद्धांत) प्राप्त करने के लिए कक्षाओ को सम्मिलित कर सकते हैं $$\begin{matrix} S^3 & \hookrightarrow & D^4 \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathbf{CP}^1 & \to & \mathbf{CP}^2 \end{matrix}$$ जहाँ $$D^4$$ चार बॉल है, और $$S^3 \to \mathbf{CP}^1$$ में जनरेटर $$\pi_3(S^2)$$ का प्रतिनिधित्व करता है (इसलिए यह हॉपफ फ़िब्रेशन के समतुल्य होमोटॉपी है)। फिर हम प्रेरक रूप से रिक्त स्थान को पुशआउट आरेख के रूप में बना सकते हैं $$\begin{matrix} S^{2n-1} & \hookrightarrow & D^{2n} \\ \downarrow & & \downarrow \\ \mathbf{CP}^{n-1} & \to & \mathbf{CP}^n \end{matrix}$$ जहाँ $$S^{2n-1} \to \mathbf{CP}^{n-1}$$ में गुण का प्रतिनिधित्व करता है $$\begin{align} \pi_{2n-1}(\mathbf{CP}^{n-1}) &\cong \pi_{2n-1}(S^{2n-2}) \\ &\cong \mathbb{Z}/2 \end{align}$$ समरूप समूहों की समरूपता का वर्णन नीचे किया गया है, और समरूप समूहों की समरूपता स्थिर समरूपता सिद्धांत में मानक गणना है (जिसे सेरे वर्णक्रमीय अनुक्रम, फ्रायडेन्थल निलंबन प्रमेय और पोस्टनिकोव टावर के साथ किया जा सकता है)। नक्शा फाइबर बंडल से आता है $$S^1 \hookrightarrow S^{2n-1} \twoheadrightarrow \mathbf{CP}^{n-1}$$ एक गैर-अनुबंध योग्य मानचित्र दे रहा है, इसलिए यह जनरेटर $$\mathbb{Z}/2$$ का प्रतिनिधित्व करता है अन्यथा, एक होमोटॉपी तुल्यता $$\mathbf{CP}^n \simeq \mathbf{CP}^{n-1}\times D^n$$ होगी किन्तु फिर यह $$S^2$$ के समतुल्य होमोटॉपी एक विरोधाभास होगा जिसे अंतरिक्ष के होमोटॉपी समूहों को देखकर देखा जा सकता है।

प्वाइंट-समुच्चय टोपोलॉजी
कॉम्प्लेक्स प्रोजेक्टिव समिष्ट सघन स्थान और जुड़ा हुआ स्थान है, जो कॉम्पैक्ट, कनेक्टेड समिष्ट का भागफल है।

समरूप समूह
इस प्रकार से फ़ाइबर बंडल से
 * $$S^1 \hookrightarrow S^{2n+1} \twoheadrightarrow \mathbf{CP}^n$$

या अधिक विचारोत्तेजक
 * $$U(1) \hookrightarrow S^{2n+1} \twoheadrightarrow \mathbf{CP}^n$$

CPn बस जुड़ा हुआ है है। इसके अतिरिक्त, लंबे स्पष्ट समरूप अनुक्रम द्वारा, दूसरा समरूप समूह π2(CPn) ≅ Z है, और सभी उच्च समरूप समूह S2n+1 से सहमत हैं: πk(CPn) ≅ πk(S2n+1) सभी k > 2 के लिए।

होमोलॉजी
सामान्य रूप से, CPn की बीजगणितीय टोपोलॉजी विषम आयामों में शून्य होने वाले समरूप समूहों की श्रेणी पर आधारित होती है; H2i(CPn, Z) भी i = 0 से n के लिए अनंत चक्रीय है। इसलिए, बेट्टी नंब चलते हैं
 * 1, 0, 1, 0, ..., 0, 1, 0, 0, 0, ...

अर्थात्, विषम आयामों में 0, सम आयामों में 1 0 से 2n तक है। CPn की यूलर विशेषता इसलिए n + 1 है। पोंकारे द्वैत के अनुसार, कोहोमोलॉजी समूहों के श्रेणी के लिए भी यही सत्य है। कोहॉमोलॉजी के स्तिथि में, कोई आगे बढ़ सकता है, और कप उत्पाद के लिए श्रेणीबद्ध वलय संरचना की पहचान कर सकता है; H2(CPn, Z) का जनरेटर एक हाइपरप्लेन से जुड़ा वर्ग है, और यह एक वलय जनरेटर है, जिससे वलय आइसोमोर्फिक हो तब
 * Z[T]/(Tn+1),

यदि T के साथ डिग्री दो जनरेटर है। इसका तात्पर्य यह भी है कि हॉज संख्या hi,i = 1, और अन्य सभी शून्य हैं। देखें।.

K-सिद्धांत
यह प्रेरण और बोतल आवधिकता से निम्नानुसार है


 * $$K_\mathbf{C}^*(\mathbf{CP}^n) = K_\mathbf{C}^0(\mathbf{CP}^n) = \mathbf{Z}[H]/(H-1)^{n+1}.$$

स्पर्शरेखा बंडल संतुष्ट करता है


 * $$T\mathbf{CP}^n \oplus \vartheta^1 = H^{\oplus n+1},$$

जहाँ $$\vartheta^1$$ यूलर अनुक्रम से, नगण्य रेखा बंडल को दर्शाता है। इससे, चेर्न वर्गों और विशेषता संख्याओं की स्पष्ट रूप से गणना की जा सकती है।

स्थान का वर्गीकरण
जहाँ स्थान $$\mathbf{CP}^\infty$$ है जो, अर्थ में, की आगमनात्मक सीमा $\mathbf{CP}^n$ है जैसा $$n \to \infty$$. यह B(1) है, जो होमोटॉपी सिद्धांत के अर्थ में, U(1) का वर्गीकरण स्थान, वृत्त समूह है, और इसलिए समष्टि रेखा बंडलों को वर्गीकृत करता है। इस प्रकार से समान रूप से यह प्रथम चेर्न वर्ग के लिए उत्तरदायी है। इसे फ़ाइबर बंडल मानचित्रों को देखकर अनुमानतः देखा जा सकता है $$S^1 \hookrightarrow S^{2n+1} \twoheadrightarrow \mathbf{CP}^n$$ और $$n \to \infty$$. यह फाइबर बंडल देता है (जिसे यूनिवर्सल सर्कल बंडल कहा जाता है) $$S^1 \hookrightarrow S^\infty \twoheadrightarrow \mathbf{CP}^\infty$$ इस स्थान का निर्माण. होमोटॉपी समूहों के लंबे स्पष्ट अनुक्रम का उपयोग करते हुए ध्यान दें, हमारे पास $$\pi_2(\mathbf{CP}^\infty) = \pi_1(S^1)$$है इसलिए $$\mathbf{CP}^\infty$$ एक ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेस है, यदि $$K(\mathbb{Z},2)$$ इस तथ्य के कारण, और ब्राउन के प्रतिनिधित्व प्रमेय के कारण, हमारे पास निम्नलिखित समरूपता है $$H^2(X;\mathbb{Z}) \cong [X,\mathbf{CP}^\infty]$$ किसी भी अच्छे CW-कॉम्प्लेक्स के लिए $$X$$. इसके अतिरिक्त, चेर्न वर्ग के सिद्धांत से, प्रत्येक समष्टि रेखा बंडल $$L \to X$$ इसे यूनिवर्सल लाइन बंडल $$\mathbf{CP}^\infty$$ के पुलबैक के रूप में दर्शाया जा सकता है , इसका तात्पर्य पुलबैक स्क्वायर है $$\begin{matrix} L & \to & \mathcal{L} \\ \downarrow & &\downarrow \\ X & \to & \mathbf{CP}^\infty \end{matrix}$$ जहां $$\mathcal{L} \to \mathbf{CP}^\infty$$ प्रमुख $$U(1)$$-बंडल $$S^\infty \to \mathbf{CP}^\infty$$ का संबद्ध सदिश बंडल है, उदाहरण के लिए देखें,, और.

विभेदक ज्यामिति
इस प्रकार से CPn पर प्राकृतिक मीट्रिक फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक है, और इसका होलोमोर्फिक आइसोमेट्री समूह प्रक्षेप्य एकात्मक समूह PU(n+1), है, जहां एक बिंदु का स्टेबलाइज़र है


 * $$\mathrm{P}(1\times \mathrm{U}(n)) \cong \mathrm{PU}(n).$$

यह हर्मिटियन सममित स्थान है, कोसमुच्चय समिष्ट के रूप में दर्शाया गया है


 * $$U(n+1)/(U(1) \times U(n)) \cong SU(n+1)/S(U(1) \times U(n)).$$

अतः बिंदु p पर जियोडेसिक समरूपता एकात्मक परिवर्तन है जो p को ठीक करता है और p द्वारा दर्शाई गई रेखा के ऑर्थोगोनल पूरक पर ऋणात्मक पहचान है।

जियोडेसिक्स
इस प्रकार से समष्टि प्रक्षेप्य स्थान में किन्हीं दो बिंदुओं p, q से होकर, एक अद्वितीय समष्टि रेखा (a CP1) निकलती है। इस समष्टि रेखा का एक उच्च वृत्त जिसमें p और q सम्मिलित हैं, फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक के लिए एक जियोडेसिक है। विशेष रूप से, सभी जियोडेसिक्स संवृत हैं (वे वृत्त हैं), और सभी की लंबाई समान है। (यह रैंक 1 के रीमानियन विश्व स्तर पर सममित स्थानों के लिए सदैव सच है।)

किसी भी बिंदु p का लोकस को काटें हुआ स्थान हाइपरप्लेन CPn−1 के समान है। यह p (p से कम) पर जियोडेसिक समरूपता के निश्चित बिंदुओं का समुच्चय भी है। देखें.

अनुभागीय वक्रता पिंचिंग
इस प्रकार से इसकी अनुभागीय वक्रता 1/4 से 1 तक होती है, और यह अधिक व्रत मैनिफोल्ड है जो की एक व्रत नहीं है (या एक व्रतोे द्वारा कवर किया गया है): 1/4-पिंच क्षेत्र प्रमेय द्वारा, 1/4 और 1 के मध्य वास्तव में से वक्रता के साथ कोई भी पूर्ण, बस जुड़ा हुआ रीमानियन मैनिफोल्ड व्रतोे के लिए भिन्न है। समिष्ट प्रक्षेप्य स्थान दर्शाता है कि 1/4 तीव्र है। इसके विपरीत, यदि पूरी तरह से जुड़े हुए रीमैनियन मैनिफोल्ड में संवृत अंतराल [1/4,1] में अनुभागीय वक्रता है, तो यह या तो व्रतोे के लिए भिन्न है, या समिष्ट प्रक्षेप्य स्थान, चतुर्धातुक प्रक्षेप्य स्थान, या फिर केली विमान F4/Spin(9); के लिए सममितीय है; देखना.

स्पिन संरचना
इस प्रकार से विषम-आयामी प्रक्षेप्य स्थानों को स्पिन संरचना दी जा सकती है, सम-आयामी वाले नहीं दे सकते।

बीजगणितीय ज्यामिति
समष्टि प्रक्षेप्य स्थान ग्रासमैनियन का एक विशेष स्तिथि है, और विभिन्न लाई समूहों के लिए एक सजातीय स्थान है। यह फ़ुबिनी-स्टडी मीट्रिक ले जाने वाला काहलर मैनिफोल्ड है, जो की अनिवार्य रूप से समरूपता गुणों द्वारा निर्धारित होता है। यह बीजगणितीय ज्यामिति में भी केंद्रीय भूमिका निभाता है; चाउ के प्रमेय के अनुसार, सीपीएन का कोई भी कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स सबमैनिफोल्ड बहुपदों की एक सीमित संख्या का शून्य स्थान है, और इस प्रकार यह एक प्रक्षेपी बीजगणितीय विविधता है। देखें

ज़ारिस्की टोपोलॉजी
बीजगणितीय ज्यामिति में, समष्टि प्रक्षेप्य स्थान को एक अन्य टोपोलॉजी से सुसज्जित किया जा सकता है जिसे ज़ारिस्की टोपोलॉजी. के रूप में जाना जाता है। मान लीजिए (n+1) वेरिएबल Z0,...,Zn में बहुपदों के क्रमविनिमेय वलय को दर्शाता है। इस वलय को प्रत्येक बहुपद की कुल डिग्री के आधार पर वर्गीकृत किया गया है:

.
 * $$S = \bigoplus_{n=0}^\infty S_n.$$

संवृत किए जाने वाले CPn के एक उपसमुच्चय को परिभाषित करें यदि यह सजातीय बहुपदों के संग्रह का एक साथ समाधान समुच्चय है। संवृत समुच्चयो के पूरकों को विवृत घोषित करते हुए, यह CPn पर एक टोपोलॉजी (ज़ारिस्की टोपोलॉजी) को परिभाषित करता है।

एक योजना के रूप में संरचना
CPn (और इसकी ज़ारिस्की टोपोलॉजी) का एक और निर्माण संभव है। मान लीजिए S+ ⊂ S धनात्मक डिग्री के सजातीय बहुपदों द्वारा फैलाया गया आदर्श (वलय सिद्धांत) है:
 * $$\bigoplus_{n>0}S_n.$$

प्रोज S को S में सभी सजातीय अभाज्य आदर्शों के सेट के रूप में परिभाषित करें जिनमें S+ सम्मिलित नहीं है। प्रोज S के एक उपसमुच्चय को संवृत कहें यदि उसके पास रूप है
 * $$V(I) = \{ p\in \operatorname{Proj} S\mid p\supseteq I\}$$

इस प्रकार से S में कुछ आदर्श I के लिए। इन संवृत समुच्चय के पूरक प्रोज एस पर टोपोलॉजी को परिभाषित करते हैं। वलय S, वलय के स्थानीयकरण द्वारा, प्रोज S पर स्थानीय वलय का शीफ (गणित) निर्धारित करता है। अंतरिक्ष प्रोज S, साथ में इसकी टोपोलॉजी और स्थानीय वलय का समूह, योजना (गणित) है। प्रोज S के संवृत बिंदुओं का उपसमुच्चय 'CPn' के लिए समरूप हैअपनी ज़ारिस्की टोपोलॉजी के साथ। शीफ़ के स्थानीय खंडों की पहचान 'CPn' पर कुल डिग्री शून्य के तर्कसंगत कार्य से की जाती है.

लाइन बंडल
समष्टि प्रक्षेप्य स्थान पर सभी लाइन बंडल निम्नलिखित निर्माण द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं। फलन f : Cn+1\{0} &rarr; C को डिग्री k का सजातीय फलन कहा जाता है यदि
 * $$f(\lambda z) = \lambda^k f(z)$$

सभी के लिए λ &isin; C\{0} और z &isin; Cn+1\{0}. अधिक सामान्यतः, यह परिभाषा शंकु (रैखिक बीजगणित) में समझ में आती है यदि Cn+1\{0}. समुच्चय V &sub; Cn+1\{0} को शंकु कहा जाता है यदि, जब भी v &isin; V, तब λv &isin; V सभी के लिए λ &isin; C\{0}; अर्थात्, उपसमुच्चय शंकु है यदि इसमें इसके प्रत्येक बिंदु से होकर निकलने वाली समष्टि रेखा सम्मिलित है। यदि U &sub; CPn विवृत समुच्चय है (विश्लेषणात्मक टोपोलॉजी या ज़ारिस्की टोपोलॉजी में), मान लीजिये V &sub; Cn+1\{0} U के ऊपर शंकु बनें: प्रक्षेपण के प्रकार U की पूर्वछवि Cn+1\{0} &rarr; CPn. अंत में, प्रत्येक पूर्णांक k के लिए, मान लें कि O(k)(U) उन कार्यों का समूह है जो V में डिग्री k के सजातीय हैं। यह निश्चित लाइन बंडल के अनुभागों के शीफ (गणित) को परिभाषित करता है, जिसे O(k) द्वारा दर्शाया जाता है।.

विशेष स्तिथि में, बंडल O(−1) को टॉटोलॉजिकल लाइन बंडल कहा जाता है। इसे समान रूप से उत्पाद के उप-बंडल के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$\mathbf{C}^{n+1}\times\mathbf{CP}^n\to \mathbf{CP}^n$$

जिसका फाइबर L &isin; CPn पर समुच्चय है
 * $$\{(x,L)\mid x\in L\}.$$

इन रेखा बंडलों को भाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) की भाषा में भी वर्णित किया जा सकता है। मान लीजिए H = CPn−1 में एक दिया गया जटिल हाइपरप्लेन है। एच (और कहीं नहीं) के साथ अधिकतम एक साधारण ध्रुव के साथ CPn पर मेरोमोर्फिक फलन का स्थान एक आयामी स्थान है, जिसे O(H) द्वारा दर्शाया जाता है, और हाइपरप्लेन बंडल कहा जाता है। दोहरे बंडल को O(−H) द्वारा दर्शाया जाता है, और O(H) की kth टेंसर पॉवर को O(kH) द्वारा दर्शाया जाता है। यह H के साथ ऑर्डर k ध्रुव के साथ मेरोमोर्फिक फलन के होलोमोर्फिक गुणकों द्वारा उत्पन्न शीफ है। यह पता चला है कि
 * $$O(kH) \cong O(k).$$

वास्तव में, यदि L(z) = 0, H के लिए एक रैखिक परिभाषित फलन है, तो L−k O(k) का एक मेरोमोर्फिक अनुभाग है, और स्थानीय रूप से O(k) के अन्य अनुभाग इस अनुभाग के गुणज हैं।

चूंकि H1(CPn,Z) = 0, लाइन CPn पर बंडल होती है को उनके चेर्न वर्गों द्वारा समरूपता तक वर्गीकृत किया गया है, जो पूर्णांक हैं: वे वास्तव में असत्य बोलते हैं वे H2(CPn,Z) = Z. वास्तव में, समष्टि प्रक्षेप्य स्थान के पहले चेर्न वर्ग पॉइंकेरे द्वैत के अधीन हाइपरप्लेन H से जुड़े होमोलॉजी वर्ग द्वारा उत्पन्न होते हैं। लाइन बंडल O(kH) में चेर्न वर्ग के है। इसलिए 'CPn' पर प्रत्येक होलोमोर्फिक लाइन बंडल O(H) या O(−H) की टेंसर पॉवर है। दूसरे शब्दों में, 'CPn' का पिकार्ड समूह को हाइपरप्लेन वर्ग [H] द्वारा एबेलियन समूह के रूप में उत्पन्न किया जाता है.

यह भी देखें

 * समष्टि प्रक्षेप्य स्थान के लिए ग्रोमोव की असमानता
 * प्रक्षेप्य हिल्बर्ट समिष्ट
 * चतुर्धातुक प्रक्षेप्य समिष्ट
 * वास्तविक प्रक्षेप्य समिष्ट
 * समष्टि एफ़िन समिष्ट
 * के3 सतह