विशेष फलन

विशेष कार्य विशेष कार्य (गणित) होते हैं जिनके गणितीय विश्लेषण, कार्यात्मक विश्लेषण, ज्यामिति, भौतिकी, या अन्य अनुप्रयोगों में उनके महत्व के कारण अधिक या कम स्थापित नाम और अंकन होते हैं।

शब्द सर्वसम्मति से परिभाषित किया गया है, और इस प्रकार एक सामान्य औपचारिक परिभाषा का अभाव है, लेकिन गणितीय कार्यों की सूची में ऐसे कार्य शामिल हैं जिन्हें आमतौर पर विशेष के रूप में स्वीकार किया जाता है।

विशेष कार्यों की सारणी
कई विशेष कार्य अवकल समीकरणों के समाधान या प्रारंभिक कार्यों के अभिन्न अंग के रूप में प्रकट होते हैं। इसलिए, इंटीग्रल की टेबल में आमतौर पर विशेष कार्यों का विवरण और विशेष कार्यों की तालिकाएँ शामिल होती हैं रेफरी नाम = आइरीन > में सबसे महत्वपूर्ण समाकल शामिल हैं; कम से कम, विशेष कार्यों का अभिन्न प्रतिनिधित्व। क्योंकि विभेदक समीकरणों की समरूपता भौतिकी और गणित दोनों के लिए आवश्यक है, विशेष कार्यों का सिद्धांत झूठ समूहों और झूठ बीजगणित के सिद्धांत के साथ-साथ गणितीय भौतिकी में कुछ विषयों से निकटता से संबंधित है।

कंप्यूटर बीजगणित इंजन आमतौर पर अधिकांश विशेष कार्यों को पहचानते हैं।

विशेष कार्यों के लिए प्रयुक्त संकेतन
स्थापित अंतर्राष्ट्रीय संकेतन वाले कार्य साइन हैं ($$\sin$$), कोज्या ($$\cos$$), घातांक प्रकार्य ($$\exp$$), और त्रुटि फ़ंक्शन ($$\operatorname{erf}$$ या $$\operatorname{erfc}$$).

कुछ विशेष कार्यों में कई अंकन होते हैं:

सदस्यताएँ अक्सर तर्कों को इंगित करने के लिए उपयोग की जाती हैं, आमतौर पर पूर्णांक। कुछ मामलों में, अर्धविराम या यहां तक ​​कि बैकस्लैश (\) का उपयोग विभाजक के रूप में किया जाता है। इस मामले में, एल्गोरिथम भाषाओं में अनुवाद कार्यों के नाम में अस्पष्टता # अस्पष्टता स्वीकार करता है और भ्रम पैदा कर सकता है।
 * प्राकृतिक लघुगणक को निरूपित किया जा सकता है $$\ln$$, $$\log$$, $$\log_e$$, या $$\operatorname{Log}$$ संदर्भ के आधार पर।
 * त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन#स्पर्शरेखा फ़ंक्शन को निरूपित किया जा सकता है $$\tan$$, $$\operatorname{Tan}$$, या $$\operatorname{tg}$$ ($$\operatorname{tg}$$ मुख्य रूप से रूसी भाषा और बल्गेरियाई भाषा साहित्य में प्रयोग किया जाता है)।
 * आर्कटैंजेंट को निरूपित किया जा सकता है $$\arctan$$, $$\operatorname{atan}$$, $$\operatorname{arctg}$$, या $$\tan^{-1}$$.
 * बेसेल कार्यों को निरूपित किया जा सकता है
 * $$J_n(x),$$
 * $$\operatorname{besselj}(n,x),$$
 * $${\rm BesselJ}[n,x].$$

सुपरस्क्रिप्ट न केवल घातांक, बल्कि एक फ़ंक्शन के संशोधन का संकेत दे सकते हैं। उदाहरण (विशेष रूप से त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन और अतिशयोक्तिपूर्ण समारोह के साथ) में शामिल हैं:


 * $$\cos^3(x)$$ आमतौर पर मतलब है $$(\cos(x))^3$$
 * $$\cos^2(x)$$ आम तौर पर है $$(\cos(x))^2$$, लेकिन कभी नहीं $$\cos(\cos(x))$$
 * $$\cos^{-1}(x)$$ आमतौर पर मतलब है $$\arccos(x)$$, नहीं $$(\cos(x))^{-1}$$; यह आमतौर पर सबसे अधिक भ्रम पैदा करता है, क्योंकि इस सुपरस्क्रिप्ट का अर्थ दूसरों के साथ असंगत है।

विशेष कार्यों का मूल्यांकन
अधिकांश विशेष कार्यों को जटिल संख्या चर के कार्य के रूप में माना जाता है। वे विश्लेषणात्मक कार्य हैं; विलक्षणताओं और कटौती का वर्णन किया गया है; अंतर और अभिन्न प्रतिनिधित्व ज्ञात हैं और टेलर श्रृंखला या स्पर्शोन्मुख श्रृंखला का विस्तार उपलब्ध है। इसके अलावा, कभी-कभी अन्य विशेष कार्यों के साथ संबंध भी होते हैं; एक जटिल विशेष कार्य को सरल कार्यों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। मूल्यांकन के लिए विभिन्न अभ्यावेदन का उपयोग किया जा सकता है; किसी फ़ंक्शन का मूल्यांकन करने का सबसे आसान तरीका इसे टेलर श्रृंखला में विस्तारित करना है। हालाँकि, ऐसा प्रतिनिधित्व धीरे-धीरे अभिसरण कर सकता है या बिल्कुल नहीं। एल्गोरिथम भाषाओं में, पेड सन्निकटन आमतौर पर उपयोग किए जाते हैं, हालांकि वे जटिल तर्कों के मामले में खराब व्यवहार कर सकते हैं।

शास्त्रीय सिद्धांत
जबकि त्रिकोणमिति को संहिताबद्ध किया जा सकता है - जैसा कि अठारहवीं शताब्दी के विशेषज्ञ गणितज्ञों के लिए पहले से ही स्पष्ट था (यदि पहले नहीं था) - उन्नीसवीं शताब्दी के बाद से विशेष कार्यों के पूर्ण और एकीकृत सिद्धांत की खोज जारी है। 1800-1900 में विशेष कार्य सिद्धांत का उच्च बिंदु अण्डाकार कार्यों का सिद्धांत था; ग्रंथ जो अनिवार्य रूप से पूर्ण थे, जैसे कि जूल्स टैनरी और जूल्स मोल्क, सिद्धांत की सभी बुनियादी पहचानों के लिए हैंडबुक के रूप में लिखा जा सकता है। वे जटिल विश्लेषण की तकनीकों पर आधारित थे।

उस समय से यह माना जाएगा कि विश्लेषणात्मक कार्य सिद्धांत, जो पहले से ही त्रिकोणमितीय और घातीय कार्यों को एकीकृत कर चुका था, एक मौलिक उपकरण था। सदी के अंत में भी गोलाकार हार्मोनिक्स की बहुत विस्तृत चर्चा हुई।

बदलती और निश्चित प्रेरणाएँ
बेशक एक व्यापक सिद्धांत की इच्छा जिसमें ज्ञात विशेष कार्यों के जितना संभव हो उतना बौद्धिक अपील है, लेकिन यह अन्य प्रेरणाओं को ध्यान देने योग्य है। लंबे समय तक, विशेष कार्य लागू गणित के विशेष प्रांत में थे; भौतिक विज्ञान और इंजीनियरिंग के अनुप्रयोगों ने कार्यों के सापेक्ष महत्व को निर्धारित किया। इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर से पहले के दिनों में, एक विशेष कार्य के लिए अंतिम प्रशंसा हाथ से, विस्तारित गणितीय तालिका की गणना थी। यह एक पूंजी-गहन प्रक्रिया थी, जिसका उद्देश्य परिचित लघुगणक तालिकाओं के लिए खोज तालिका|लुक-अप द्वारा फ़ंक्शन को उपलब्ध कराना था। सिद्धांत के पहलू जो तब मायने रखते थे, तब दो हो सकते हैं:


 * संख्यात्मक विश्लेषण के लिए, अनंत श्रृंखला की खोज या तेजी से गणना की अनुमति देने वाली अन्य विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति; और
 * दिए गए फ़ंक्शन के लिए जितना संभव हो उतने फ़ंक्शन को कम करना।

इसके विपरीत, कोई कह सकता है, शुद्ध गणित के हितों के विशिष्ट दृष्टिकोण हैं: विषम विश्लेषण, विश्लेषणात्मक निरंतरता और जटिल विमान में मोनोड्रोमी, और पंक्तियों में अंतहीन सूत्रों के अग्रभाग के पीछे समरूपता सिद्धांतों और अन्य संरचना की खोज। वास्तव में, इन दृष्टिकोणों के बीच कोई वास्तविक विरोध नहीं है।

बीसवीं सदी
बीसवीं शताब्दी ने विशेष कार्य सिद्धांत में रुचि की कई लहरें देखीं। क्लासिक व्हिटेकर और वाटसन (1902) पाठ्यपुस्तक ने जटिल चरों का उपयोग करके सिद्धांत को एकीकृत करने की मांग की; बेसल फंक्शंस के सिद्धांत पर जी.एन. वॉटसन की पुस्तक ए ट्रीटीज ने एक महत्वपूर्ण प्रकार के लिए जहां तक ​​​​संभव हो तकनीकों को आगे बढ़ाया, विशेष रूप से अध्ययन किए जाने वाले एसिम्प्टोटिक्स को स्वीकार किया।

आर्थर एर्देली के संपादन के तहत बाद में बेटमैन पांडुलिपि परियोजना ने विश्वकोश बनने का प्रयास किया, और उस समय के आसपास आया जब इलेक्ट्रॉनिक संगणना सामने आ रही थी और सारणीकरण मुख्य मुद्दा नहीं रह गया था।

समकालीन सिद्धांत
ऑर्थोगोनल बहुपदों का आधुनिक सिद्धांत एक निश्चित लेकिन सीमित दायरे का है। खगोल विज्ञान और गणितीय भौतिकी में महत्वपूर्ण होने के लिए फेलिक्स क्लेन द्वारा देखी गई हाइपरज्यामितीय श्रृंखला, एक जटिल सिद्धांत बन गया, जिसे बाद में वैचारिक व्यवस्था की आवश्यकता थी। झूठ समूह, और विशेष रूप से उनके प्रतिनिधित्व सिद्धांत, समझाते हैं कि एक क्षेत्रीय गोलाकार कार्य सामान्य रूप से क्या हो सकता है; 1950 के बाद से शास्त्रीय सिद्धांत के पर्याप्त भागों को झूठे समूहों के संदर्भ में पुनर्गठित किया जा सकता है। इसके अलावा, बीजगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स पर काम ने भी सिद्धांत के पुराने हिस्सों में रुचि को पुनर्जीवित किया। इयान जी मैकडोनाल्ड के अनुमानों ने विशिष्ट विशेष कार्य स्वाद के साथ बड़े और सक्रिय नए क्षेत्रों को खोलने में मदद की। विशेष कार्यों के स्रोत के रूप में अंतर समीकरणों के अलावा अंतर समीकरणों ने अपना स्थान लेना शुरू कर दिया है।

संख्या सिद्धांत में विशेष कार्य
संख्या सिद्धांत में, कुछ विशेष कार्यों का पारंपरिक रूप से अध्ययन किया गया है, जैसे कि विशेष डिरिचलेट श्रृंखला और मॉड्यूलर रूप। विशेष कार्य सिद्धांत के लगभग सभी पहलुओं को वहां प्रतिबिंबित किया गया है, साथ ही साथ कुछ नए भी, जैसे कि राक्षसी चांदनी सिद्धांत से निकला है।

मैट्रिक्स तर्कों के विशेष कार्य
सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स के स्थान पर कई विशेष कार्यों के एनालॉग्स को परिभाषित किया गया है, उनमें से पावर फ़ंक्शन जो एटले सेलबर्ग में वापस जाता है, बहुभिन्नरूपी गामा फ़ंक्शन, और बेसेल कार्यों के प्रकार। गणितीय कार्यों के मानक और प्रौद्योगिकी डिजिटल पुस्तकालय के राष्ट्रीय संस्थान में मैट्रिक्स तर्कों के कई विशेष कार्यों को शामिल करने वाला एक खंड है।

शोधकर्ता

 * जॉर्ज एंड्रयूज (गणितज्ञ)
 * रिचर्ड आस्की
 * हेरोल्ड एक्सटन
 * जॉर्ज गैस्पर
 * वोल्फगैंग हैन
 * मिजान रहमान
 * मौराद ई.एच. इस्माइल
 * टॉम कोर्नविंदर
 * वलीद अल-सलाम
 * डेनिस स्टैंटन
 * थियोडोर एस चिहारा
 * जेम्स ए. विल्सन
 * एरिक कूलिंक
 * एरिक रेन्स

यह भी देखें

 * गणितीय कार्यों की सूची
 * विशेष कार्यों और नामों की सूची
 * प्राथमिक कार्य

ग्रन्थसूची




बाहरी कड़ियाँ

 * National Institute of Standards and Technology, United States Department of Commerce. NIST Digital Library of Mathematical Functions. Archived from the original on December 13, 2018.
 * Online calculator, Online scientific calculator with over 100 functions (>=32 digits, many complex) (German language)
 * Special functions at EqWorld: The World of Mathematical Equations
 * Special functions and polynomials by Gerard 't Hooft and Stefan Nobbenhuis (April 8, 2013)
 * Numerical Methods for Special Functions, by A. Gil, J. Segura, N.M. Temme (2007).
 * R. Jagannathan, (P,Q)-Special Functions
 * Specialfunctionswiki
 * Specialfunctionswiki