परिमित ज्यामिति



परिमित ज्यामिति कोई भी ज्यामिति प्रणाली है जिसमें केवल बिंदु (ज्यामिति) की  सीमित संख्या होती है। परिचित यूक्लिडियन ज्यामिति परिमित नहीं है, क्योंकि   यूक्लिडियन रेखा में अनंत रूप से कई बिंदु होते हैं। कंप्यूटर स्क्रीन पर प्रदर्शित ग्राफ़िक्स पर आधारित   ज्यामिति, जहाँ पिक्सेल को बिंदु माना जाता है,   परिमित ज्यामिति होगी। जबकि ऐसी कई प्रणालियाँ हैं जिन्हें परिमित ज्यामिति कहा जा सकता है, उनकी नियमितता और सरलता के कारण परिमित प्रक्षेप्य स्थान और परिशोधित स्थानों पर ध्यान दिया जाता है। परिमित ज्यामिति के अन्य महत्वपूर्ण प्रकार हैं परिमित मोबियस तल मोबियस या उलटा तल और लैगुएरे तल, जो सामान्य प्रकार के उदाहरण हैं जिन्हें बेंज़ तल कहा जाता है, और उनके उच्च-आयामी अनुरूप जैसे उच्च परिमित व्युत्क्रमणीय ज्यामिति है।

रेखीय बीजगणित के माध्यम से परिमित ज्यामिति का निर्माण किया जा सकता है, जो  परिमित क्षेत्र पर सदिश स्थानों से प्रारंभ होता है; इस प्रकार निर्मित संबधित और प्रक्षेपी तलों को गैल्वा ज्यामिति कहा जाता है। परिमित ज्यामिति को विशुद्ध रूप से स्वयंसिद्ध रूप से भी परिभाषित किया जा सकता है। अधिकांश सामान्य परिमित ज्यामिति गाल्वा ज्यामिति हैं, क्योंकि तीन या अधिक आयाम के किसी भी परिमित प्रक्षेप्य स्थान परिमित क्षेत्र पर प्रक्षेपी विमान के लिए समरूपता है (अर्थात, परिमित क्षेत्र पर सदिश स्थान का प्रक्षेपण)। चूँकि, आयाम दो में एफ़िन और प्रक्षेपण स्थान हैं जो गैलोज़ ज्यामिति के लिए समाकृतिकता नहीं हैं, अर्थात् गैर-डेसार्गेसियन विमान इसी तरह के परिणाम अन्य प्रकार की परिमित ज्यामिति के लिए भी प्रयुक्त होते हैं।

परिमित विमान
निम्नलिखित टिप्पणी केवल परिमित तलों पर प्रयुक्त होती है | परिमित समतल ज्यामिति के दो मुख्य प्रकार हैं: एफ़िन ज्यामिति और प्रक्षेपी ज्यामिति है। सजातीय तल (घटना ज्यामिति) में, समानांतर (ज्यामिति) रेखाओं का सामान्य अर्थ प्रयुक्त होता है। प्रक्षेपी तल में, इसके विपरीत, कोई भी दो रेखाएँ अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, इसलिए समानांतर रेखाएँ उपस्थित नहीं होती हैं। परिमित सम्बद्ध समतल ज्यामिति और परिमित प्रक्षेपी समतल ज्यामिति दोनों को काफी सरल स्वयंसिद्ध द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

परिमित संबधित तल
एफ़िन समतल ज्यामिति गैर-खाली समुच्चय X है (जिसके तत्वों को बिंदु कहा जाता है) के साथ-साथ X के सबसमुच्चय का गैर-खाली संग्रह L (जिनके तत्वों को रेखाएं कहा जाता है) है, जैसे कि: अंतिम स्वयंसिद्ध यह सुनिश्चित करता है कि ज्यामिति तुच्छ नहीं है (या तो खाली समुच्चय या रुचि के लिए बहुत सरल है, जैसे कि उस पर इच्छानुसार संख्या के साथ पंक्ति), जबकि पहले दो ज्यामिति की प्रकृति को निर्दिष्ट करते हैं।
 * 1) प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं के लिए, केवल   रेखा होती है जिसमें दोनों बिंदु होते हैं।
 * 2) प्लेफेयर की स्वयंसिद्ध: एक रेखा $$\ell$$ और एक बिंदु $$p$$ दिया गया है जो $$\ell$$ पर नहीं है, सही एक पंक्ति $$\ell'$$ उपस्थित है जिसमें $$p$$ जैसे कि $$\ell \cap \ell' = \varnothing.$$ है |
 * 3) चार बिंदुओं का   समुच्चय उपस्थित है, जिनमें से तीन एक ही रेखा से संबंधित नहीं हैं।

सरलतम संबंध तल में केवल चार बिंदु होते हैं; इसे क्रम 2 का एफ़िन तल कहा जाता है। (एफ़िन तल का क्रम किसी भी रेखा पर बिंदुओं की संख्या है, नीचे देखें।) चूँकि कोई भी तीन संरेख नहीं हैं, बिंदुओं का कोई भी युग्म अद्वितीय रेखा निर्धारित करता है, और इसलिए इस तल में छह पंक्तियाँ समाविष्ट है । यह  टेट्राहेड्रॉन से मेल खाता है जहां गैर-अंतर्विभाजक किनारों को समानांतर माना जाता है, या   वर्ग जहां न केवल विपरीत पक्ष, किन्तु विकर्णों को भी समानांतर माना जाता है। अधिक सामान्यतः, क्रम n के परिमित संबंध तल में n2 अंक होता है और n2 + n पंक्तियां; प्रत्येक पंक्ति में n बिंदु होते हैं, और प्रत्येक बिंदु n + 1 पंक्तियां प्रारंभ होता है । ऑर्डर 3 के एफाइन विमान को हेस्से विन्यास के रूप में जाना जाता है।

परिमित प्रक्षेपी विमान
प्रक्षेपी विमान ज्योमेट्री गैर-खाली समुच्चय X (जिसके तत्वों को बिंदु कहा जाता है) के साथ-साथ X के सबसमुच्चय (जिनके तत्वों को रेखा कहा जाता है) के गैर-रिक्त संग्रह L के साथ होता है, जैसे कि: पहले दो स्वयंसिद्धों की  परीक्षा से पता चलता है कि वे लगभग समान हैं, इसके अतिरिक्त बिंदुओं और रेखाओं की भूमिकाओं को आपस में बदल दिया गया है। यह द्वैत (गणित) के सिद्धांत का सुझाव देता है प्रक्षेपी विमान ज्यामिति के लिए आयाम-उलटा द्वैत, जिसका अर्थ है कि इन सभी ज्यामितीयों में मान्य कोई भी सत्य कथन सही रहता है यदि हम बिंदुओं के लिए रेखाओं और रेखाओं के लिए बिंदुओं का आदान-प्रदान करते हैं। तीनों अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाली सबसे छोटी ज्यामिति में सात बिंदु होते हैं। प्रक्षेपी तलों में इस सरलतम तल में भी सात रेखाएँ होती हैं; प्रत्येक बिंदु तीन रेखाओं पर है, और प्रत्येक पंक्ति में तीन बिंदु हैं। इस विशेष प्रक्षेपी विमान को कभी-कभी फ़ानो विमान कहा जाता है। यदि उस रेखा पर बिंदुओं के साथ किसी भी रेखा को समतल से हटा दिया जाता है, तो परिणामी ज्यामिति क्रम 2 का परिशोधन तल है। फ़ानो तल को क्रम 2 का प्रक्षेपी तल कहा जाता है क्योंकि यह अद्वितीय है (समरूपता तक). सामान्यतः, क्रम n के प्रक्षेपी तल में n2 + n + 1 बिंदु और समान संख्या में रेखाएँ होती हैं; प्रत्येक पंक्ति में n + 1 बिंदु होते हैं, और प्रत्येक बिंदु n + 1 रेखा पर होता है।
 * 1) प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं के लिए, केवल   रेखा होती है जिसमें दोनों बिंदु होते हैं।
 * 2) किसी भी दो अलग-अलग रेखाओं के प्रतिच्छेदन में सही   बिंदु होता है।
 * 3) चार बिंदुओं का एक समुच्चय उपस्थित है, जिनमें से तीन एक ही रेखा से संबंधित नहीं हैं।

फ़ानो विमान के सात बिंदुओं का  क्रमचय जो आपतन (ज्यामिति) बिंदुओं (एक ही रेखा पर बिंदु) को संरेख बिंदुओं तक ले जाता है, उसे विमान का समतलीकरण कहा जाता है। पूर्ण संरेखन समूह क्रम 168 का है और समूह PSL(2,7) ≈ PSL(3,2) के लिए समरूप है, जो इस विशेष स्थिति में सामान्य रैखिक समूह GL(3,2) ≈ PGL(3,2) के लिए भी समरूप है.

विमानों का क्रम
क्रम n का  परिमित तल ऐसा है कि प्रत्येक पंक्ति में n बिंदु हैं ( सजातीय तल के लिए), या ऐसे कि प्रत्येक पंक्ति में n + 1 अंक हैं (प्रक्षेपी तल के लिए). परिमित ज्यामिति में  प्रमुख खुला प्रश्न है:
 * क्या  परिमित विमान का क्रम सदैव   प्रमुख शक्ति है?

यह सच होने का अनुमान है।

परिमित क्षेत्र के ऊपर एफ़िन और प्रक्षेपी विमानों का उपयोग करके, जब भी n   प्रमुख शक्ति ( सकारात्मक संख्या पूर्णांक घातांक के लिए उठाया गया   प्रमुख संख्या) है, तो क्रम के एफ़िन और प्रक्षेपी विमान n उपस्थित हैं। n = pk तत्व परिमित क्षेत्रों से प्राप्त नहीं हुए विमान भी उपस्थित हैं (उदाहरण के लिए $$n=9$$), किन्तु सभी ज्ञात उदाहरणों में आदेश   प्रमुख शक्ति है।

आज तक का सबसे अच्छा सामान्य परिणाम 1949 का ब्रुक-राइज़र प्रमेय है, जिसमें कहा गया है:
 * यदि n रूप का धनात्मक पूर्णांक है 4k + 1 या 4k + 2 और n दो पूर्णांक वर्ग (बीजगणित) के योग के सामान नहीं है, तो n परिमित विमान के क्रम के रूप में नहीं होता है।

सबसे छोटा पूर्णांक जो  प्रमुख शक्ति नहीं है और ब्रुक-राइज़र प्रमेय द्वारा कवर नहीं किया गया है, वह 10 4k + 2 रूप का है, किन्तु यह वर्गों 12 + 32 के योग के सामान है. क्रम 10 के  परिमित विमान की गैर-उपस्थिति   कंप्यूटर-सहायता प्रमाण में सिद्ध हुई थी जो 1989 में समाप्त हुई थी - देखें  जानकारी के लिए।

विचार करने के लिए अगली सबसे छोटी संख्या 12 है, जिसके लिए न तो सकारात्मक और न ही नकारात्मक परिणाम सिद्ध किया गया है।

इतिहास
व्यक्तिगत उदाहरण थॉमस पेनिंगटन किर्कमैन (1847) के काम और कार्ल जॉर्ज क्रिश्चियन वॉन स्टॉड (1856) द्वारा दिए गए परिमित प्रक्षेपी ज्यामिति के व्यवस्थित विकास में पाए जा सकते हैं।

परिमित प्रक्षेपी ज्यामिति का पहला स्वयंसिद्ध उपचार इटली गणितज्ञ गीनो फानो द्वारा विकसित किया गया था। उसके काम में प्रक्षेपी विमान के लिए स्वयंसिद्धों के समुच्चय की स्वतंत्रता को सिद्ध करने पर | प्रक्षेपी एन-विमान जिसे उन्होंने विकसित किया, उन्होंने 15 बिंदुओं, 35 रेखाओं और 15 विमानों (आरेख देखें) के साथ  परिमित त्रिविमीय स्थान पर विचार किया, जिसमें प्रत्येक रेखा पर केवल तीन बिंदु थे।

1906 में ओसवाल्ड वेब्लेन और डब्ल्यू. एच. बस्सी ने गाल्वा का मैदान जीएफ (क्यू) से प्रविष्टियों के साथ सजातीय निर्देशांक का उपयोग करते हुए प्रक्षेपी ज्यामिति का वर्णन किया। जब n + 1 निर्देशांकों का उपयोग किया जाता है, तो n-विम परिमित ज्यामिति को PG(n, q) निरूपित किया जाता है। यह सिंथेटिक ज्यामिति में उत्पन्न होता है और इसमें  संबद्ध परिवर्तन समूह (गणित) होता है।

3 या अधिक आयामों के परिमित स्थान
परिमित समतल ज्यामिति और उच्च-आयामी परिमित स्थानों की ज्यामिति के बीच कुछ महत्वपूर्ण अंतरों के लिए, स्वयंसिद्ध प्रक्षेपी स्थान देखें। सामान्य रूप से उच्च-आयामी परिमित स्थानों की चर्चा के लिए, उदाहरण के लिए, जेम्स विलियम पीटर हिर्शफेल्ड | जे.डब्ल्यू.पी. हिर्शफेल्ड। इन उच्च-आयामी स्थानों का अध्ययन (n ≥ 3) उन्नत गणितीय सिद्धांतों में कई महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

स्वयंसिद्ध परिभाषा
प्रक्षेपी विमान S को 'P (रेखाओ का समुच्चय) के सबसमुच्चय के समुच्चय L के साथ मिलकर  समुच्चय P (पॉइंट्स का समुच्चय) के रूप में स्वैच्छिक रूप से परिभाषित किया जा सकता है।, इन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करना है: 
 * प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदु p और q बिल्कुल  रेखा में हैं।
 * ओसवाल्ड वेब्लेन का स्वयंसिद्ध: यदि a, b, c, d भिन्न बिंदु हैं और ab और cd से होकर जाने वाली रेखाएँ मिलती हैं, तो ac और bd से होकर जाने वाली रेखाएँ भी मिलती हैं।
 * किसी भी रेखा पर कम से कम 3 बिंदु होते हैं।

अंतिम स्वयंसिद्ध कम करने योग्य स्थितियों को समाप्त कर देता है जिसे प्रक्षेपी रिक्त स्थान के  अलग संघ के रूप में लिखा जा सकता है, जिसमें 2-बिंदु रेखाएं अलग-अलग प्रक्षेपी रिक्त स्थान में किसी भी दो बिंदुओं में सम्मिलित हो सकती हैं। अधिक संक्षेप में, इसे   घटना संरचना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है | (P, L, I) बिंदुओं का   समुच्चय P, रेखाओं का   समुच्चय L, और   घटना संबंध है I जिसमें बताया गया है कि कौन से बिंदु किस रेखा पर स्थित हैं।

परिमित प्रक्षेपी विमान प्राप्त करने के लिए और स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है:
 * बिंदुओं का समुच्चय P परिमित समुच्चय है।

किसी भी परिमित प्रक्षेप्य स्थान में, प्रत्येक पंक्ति में समान अंक होते हैं और अंतरिक्ष के क्रम को इस सामान्य संख्या से एक कम के रूप में परिभाषित किया जाता है।

प्रक्षेपी स्थान का  उप-स्थान   उपसमुच्चय X है, जैसे कि X के दो बिंदुओं वाली कोई भी रेखा X का उपसमुच्चय है (अर्थात, X में पूरी तरह समाहित है)। पूर्ण स्थान और खाली स्थान सदैव उप-स्थान होते हैं।

अंतरिक्ष के ज्यामितीय आयाम को एन कहा जाता है यदि वह सबसे बड़ी संख्या है जिसके लिए इस रूप के उप-स्थानों की सख्ती से आरोही श्रृंखला है:


 * $$ \varnothing = X_{-1} \subset X_{0}\subset \cdots \subset X_{n} = P .$$

बीजगणितीय रचना
प्रणालियों का  मानक बीजगणितीय निर्माण इन स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। विभाजन की अंगूठी डी के लिए एक का निर्माण करें | आयामी सदिश स्थान (सदिश स्थान आयाम   आधार में तत्वों की संख्या है)। मान लीजिए कि P इस सदिश स्थान की 1-आयामी (एकल जनित्र) उप-समष्टि है और L 2-आयामी (दो स्वतंत्र जनित्र) उप-समष्टि (सदिश जोड़ के अंतर्गत बंद) है। घटना नियंत्रण है। यदि D परिमित है तो यह परिमित क्षेत्र GF(q) होना चाहिए, क्योंकि वेडरबर्न के छोटे प्रमेय के अनुसार सभी परिमित विभाजन वलय क्षेत्र हैं। इस स्थिति में, यह निर्माण   परिमित प्रक्षेप्य स्थान उत्पन्न करता है। इसके अतिरिक्त, यदि प्रक्षेप्य स्थान का ज्यामितीय आयाम कम से कम तीन है तो   विभाजन की अंगूठी होती है जिससे इस तरह अंतरिक्ष का निर्माण किया जा सकता है। परिणाम स्वरुप, कम से कम तीन ज्यामितीय आयाम के सभी परिमित प्रक्षेप्य स्थान परिमित क्षेत्रों पर परिभाषित किए गए हैं। इस तरह के परिमित क्षेत्र में परिभाषित   परिमित प्रक्षेप्य स्थान है | q + 1   रेखा पर स्थित है, इसलिए क्रम की दो अवधारणाएँ मेल खाती हैं। इस तरह के   परिमित प्रक्षेप्य स्थान को निरूपित किया जाता है | PG(n, q), जहां पीजी प्रक्षेपी ज्यामिति के लिए खड़ा है, n ज्यामिति का ज्यामितीय आयाम है और q ज्यामिति के निर्माण के लिए उपयोग किए जाने वाले परिमित क्षेत्र का आकार (क्रम) है।

सामान्यतः, k- आयाम सबस्पेस की संख्या PG(n, q) उत्पाद द्वारा दिया गया है:

{{n+1} \choose {k+1}}_q = \prod_{i=0}^k \frac{q^{n+1-i}-1}{q^{i+1}-1}, $$ जो  गाऊसी द्विपद गुणांक है,   द्विपद गुणांक का q अनुरूप है।

ज्यामितीय आयाम द्वारा परिमित प्रक्षेप्य स्थानों का वर्गीकरण

 * आयाम 0 (कोई रेखा नहीं): अंतरिक्ष  बिंदु है और इतना पतित है कि इसे सामान्यतः उपेक्षा कर दिया जाता है।
 * आयाम 1 (बिल्कुल एक रेखा): सभी बिंदु अद्वितीय रेखा पर स्थित होते हैं, जिसे प्रक्षेपी रेखा कहा जाता है।
 * आयाम 2: कम से कम 2 रेखाएँ हैं, और कोई भी दो रेखाएँ मिलती हैं। के लिए  प्रक्षेपी विमान n = 2 एक प्रक्षेपी तल है। इन्हें वर्गीकृत करना बहुत कठिन है, क्योंकि ये सभी   के साथ समरूप PG(d, q) नहीं हैं . डेसार्गेसियन विमान (जो एक के साथ आइसोमोर्फिक हैं PG(2, q)) डेसार्गेस के प्रमेय को संतुष्ट करते हैं और परिमित क्षेत्रों पर प्रक्षेपी विमान हैं, किन्तु कई गैर-डेसार्गेसियन विमान हैं।
 * आयाम कम से कम 3: दो गैर-प्रतिच्छेदी रेखाएँ उपस्थित हैं। वेब्लेन-यंग प्रमेय परिमित स्थिति में बताता है कि ज्यामितीय आयाम का प्रत्येक प्रक्षेप्य स्थान n ≥ 3 एक के साथ आइसोमोर्फिक है PG(n, q), कुछ परिमित क्षेत्र GF(q) पर n-आयामी प्रक्षेपी स्थान है।

सबसे छोटा प्रक्षेप्य तीन-स्थान
सबसे छोटा 3-आयामी प्रक्षेपी विमान फ़ील्ड GF(2) के ऊपर है और इसे PG(3,2) द्वारा दर्शाया गया है। इसके 15 बिंदु, 35 रेखाएँ और 15 तल हैं। प्रत्येक तल में 7 बिंदु और 7 रेखाएँ होती हैं। प्रत्येक पंक्ति में 3 बिंदु होते हैं। ज्यामिति के रूप में, ये तल फैनो तल के लिए समरूपता हैं।

प्रत्येक बिंदु 7 पंक्तियों में समाहित है। अलग-अलग बिंदुओं की प्रत्येक जोड़ी सही  रेखा में समाहित होती है और अलग-अलग विमानों की प्रत्येक जोड़ी सही   रेखा में प्रतिच्छेद करती है।

1892 में, गीनो फ़ानो ऐसे परिमित ज्यामिति पर विचार करने वाले पहले व्यक्ति थे।

किर्कमैन की छात्रा समस्या
पीजी (3,2) किर्कमैन की स्कूली छात्राओं की समस्या के समाधान की पृष्ठभूमि के रूप में उभरती है, जिसमें कहा गया है: तीन के पांच समूहों में प्रत्येक दिन पंद्रह स्कूली छात्राएं चलती हैं।  सप्ताह के लिए लड़कियों के चलने की व्यवस्था करें जिससे इतने समय में लड़कियों का प्रत्येक जोड़ा समूह में केवल एक बार साथ-साथ चले। लड़कियों के एक साथ चलने के लिए 35 अलग-अलग कॉम्बिनेशन हैं। सप्ताह के 7 दिन भी होते हैं, और प्रत्येक समूह में 3 लड़कियाँ होती हैं। इस समस्या के सात गैर-समरूप समाधानों में से दो को फ़ानो 3-विमान, पीजी (3,2) में संरचनाओं के संदर्भ में कहा जा सकता है, जिसे पैकिंग के रूप में जाना जाता है।   प्रक्षेपी विमान का फैलाव अपने बिंदुओं का   विभाजन (समुच्चय सिद्धांत) है जो अलग-अलग रेखाओं में होता है, और   पैकिंग अलग-अलग फैलाव में रेखाओं का विभाजन होता है। पीजी (3,2) में,   स्प्रेड 15 बिंदुओं का 5 असंयुक्त रेखाओं (प्रत्येक पंक्ति पर 3 बिंदुओं के साथ) में विभाजन होगा, इस प्रकार   विशेष दिन पर स्कूली छात्राओं की व्यवस्था के अनुरूप होगा। पीजी (3,2) की   पैकिंग में सात अलग-अलग फैलाव होते हैं और इसलिए व्यवस्था के पूरे सप्ताह के अनुरूप होते हैं।

यह भी देखें

 * ब्लॉक डिजाइन -  परिमित प्रक्षेपी विमान का सामान्यीकरण।
 * सामान्यीकृत बहुभुज
 * घटना ज्यामिति
 * रेखीय स्थान (ज्यामिति)
 * बहुभुज के पास
 * आंशिक ज्यामिति
 * ध्रुवीय स्थान

संदर्भ








बाहरी संबंध

 * Incidence Geometry by Eric Moorhouse
 * Algebraic Combinatorial Geometry by Terence Tao
 * Essay on Finite Geometry by Michael Greenberg
 * Finite geometry (Script)
 * Finite Geometry Resources
 * J. W. P. Hirschfeld, researcher on finite geometries
 * Books by Hirschfeld on finite geometry
 * AMS Column: Finite Geometries?
 * Galois Geometry and Generalized Polygons, intensive course in 1998
 * Projective Plane of Order 12 on MathOverflow.
 * Projective Plane of Order 12 on MathOverflow.
 * Projective Plane of Order 12 on MathOverflow.
 * Projective Plane of Order 12 on MathOverflow.