रोटेशन (गणित)

गणित में घूर्णन ज्यामिति से उत्पन्न एक अवधारणा है। कोई भी घूर्णन एक निश्चित स्थान की गति है जो कम से कम एक बिंदु को सुरक्षित रखता है। यह वर्णन कर सकता है, उदाहरण के लिए, एक निश्चित बिंदु के चारों ओर कठोर शरीर की गति, घूर्णन के चिह्न हो सकते हैं (जैसे कोण के चिह्न में): दक्षिणावर्त घूर्णन ऋणात्मक कांतिमान होता है, इसलिए वामावर्त घुमाव का परिमाण धनात्मक होता है।

घुमाव अन्य प्रकार की गतियों से भिन्न होता है: अनुवाद, जिसमें कोई निश्चित बिंदु नहीं होते हैं, और (हाइपरप्लेन) प्रतिबिंब होते हैं, उनमें से प्रत्येक में संपूर्ण $(n − 1)$ एक $O$-आयामी स्पेस में निश्चित बिंदुओं का आयामी समतल होता है।

गणितीय रूप से, घूर्णन एक नक्शा है। निश्चित बिंदु के बारे में सभी घुमाव रचना के तहत समूह बनाते हैं जिसे रोटेशन ग्रुप (किसी विशेष स्थान का) कहा जाता है। लेकिन यांत्रिकी में और, अधिक सामान्यतः, भौतिकी में, इस अवधारणा को प्रायः समन्वय परिवर्तन (महत्वपूर्ण रूप से, अलौकिक आधार का परिवर्तन) के रूप में समझा जाता है, क्योंकि शरीर की किसी भी गति के लिए, व्युत्क्रम परिवर्तन होता है, जिसे अगर फ्रेम पर लागू किया जाता है शरीर में संदर्भ परिणामों के समान निर्देशांक पर होने के कारण। उदाहरण के लिए, दो आयामों में पिंड को बिंदु के बारे में दक्षिणावर्त घुमाना और अक्षों को स्थिर रखना अक्षों को उसी बिंदु के बारे में वामावर्त घुमाने के बराबर है, जबकि शरीर स्थिर रहता है। इन दो प्रकार के घूर्णन को सक्रिय और निष्क्रिय रूपांतरण कहा जाता है।

संबंधित परिभाषाएं और शब्दावली
रोटेशन ग्रुप निश्चित बिंदु के बारे में रोटेशन का लाई समूह है। इस (सामान्य) निश्चित बिंदु को रोटेशन का केंद्र कहा जाता है और इसे सामान्यतः उत्पत्ति के साथ पहचाना जाता है। रोटेशन समूह (अभिविन्यास-संरक्षण) गतियों के व्यापक समूह में एक बिंदु स्टेबलाइजर है।

विशेष रोटेशन के लिए:


 * रोटेशन की धुरी इसके निश्चित बिंदुओं की एक रेखा है। वे केवल n> 2 में मौजूद हैं।
 * रोटेशन (घूर्णन) का तल ऐसा तल है जो रोटेशन के तहत अपरिवर्तनीय है। अक्ष के विपरीत, इसके बिंदु स्वयं स्थिर नहीं होते हैं। धुरी (जहां मौजूद है) और घूर्णन का तल ओर्थोगोनल हैं।

रोटेशन का प्रतिनिधित्व एक विशेष औपचारिकता है, या तो बीजगणितीय या ज्यामितीय, जिसका उपयोग रोटेशन मानचित्र को पैरामीट्रिज करने के लिए किया जाता है। यह अर्थ किसी तरह समूह सिद्धांत के अर्थ के विपरीत है।

बिंदुओं और संबंधित सदिश स्थानों के (एफ़िन) रिक्त स्थान के घुमाव हमेशा स्पष्ट रूप से अलग नहीं होते हैं। पूर्व को कभी-कभी एफाइन रोटेशन के रूप में संदर्भित किया जाता है (हालांकि यह शब्द भ्रामक है), जबकि बाद वाले वेक्टर रोटेशन हैं। विवरण के लिए नीचे दिया गया लेख देखें।

यूक्लिडियन ज्यामिति में
यूक्लिडियन स्पेस की गति इसकी आइसोमेट्री के समान है: यह परिवर्तन के बाद अपरिवर्तित किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी को छोड़ देता है। लेकिन एक (उचित) रोटेशन को भी अभिविन्यास संरचना को संरक्षित करना होता है। "अनुचित रोटेशन" शब्द आइसोमेट्रीज़ को संदर्भित करता है जो अभिविन्यास को उल्टा (फ्लिप) करता है। समूह सिद्धांत की भाषा में, भेद को यूक्लिडियन समूह में प्रत्यक्ष बनाम अप्रत्यक्ष समरूपता के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहां पूर्व में पहचान घटक सम्मिलित होता है। किसी भी प्रत्यक्ष यूक्लिडियन गति को निश्चित बिंदु और अनुवाद के बारे में घूर्णन की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है।

आयाम में गैर-तुच्छ रोटेशन नहीं होते हैं। दो आयामों में, मूल के बारे में एक रोटेशन निर्दिष्ट करने के लिए केवल कोण की आवश्यकता होती है - रोटेशन का कोण जो चक्र समूह के तत्व को निर्दिष्ट करता है (जिसे U(1) भी कहा जाता है)। रोटेशन मूल के बारे में कोण $n$ के माध्यम से किसी वस्तु को घड़ी की विपरीत दिशा में घुमाने के लिए कार्य कर रहा है; जानकारी के लिए नीचे देखें। घुमावों की संरचना उनके कोणों के सापेक्ष 1 मोड़ का योग करती है, जिसका अर्थ है कि सभी द्वि-आयामी घुमाव एक ही बिंदु के बारे में हैं। विभिन्न बिंदुओं के बारे में घुमाव, सामान्य तौर पर, आवागमन नहीं करते। कोई भी द्वि-आयामी प्रत्यक्ष गति या तो अनुवाद है या घूर्णन है; विवरण के लिए यूक्लिडियन समतल सममिति देखें।

त्रि-आयामी स्पेस में घूर्णन कई महत्वपूर्ण तरीकों से दो आयामों में भिन्न होता है। तीन आयामों में घुमाव सामान्यतः कम्यूटिव (विनिमेय) नहीं होते हैं, इसलिए जिस क्रम में घुमाव लागू होते हैं वह उसी बिंदु के बारे में भी महत्वपूर्ण होता है। इसके अलावा, द्वि-आयामी मामले के विपरीत, त्रि-आयामी प्रत्यक्ष गति, सामान्य स्थिति में, घूर्णन नहीं बल्कि स्क्रू ऑपरेशन है। उत्पत्ति के बारे में घूर्णन में स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है (विवरण के लिए तीन आयामों में घूर्णन औपचारिकताएं देखें), आयामों की संख्या के समान।

त्रि-आयामी रोटेशन को कई तरीकों से निर्दिष्ट किया जा सकता है। सबसे सामान्य विधियाँ हैं:
 * यूलर कोण (बाईं ओर चित्रित)। उत्पत्ति के बारे में किसी भी घुमाव को अन्य दो स्थिरांकों को छोड़ते समय यूलर कोणों में से एक को बदलकर प्राप्त गति के रूप में परिभाषित तीन घुमावों की संरचना के रूप में दर्शाया जा सकता है। वे रोटेशन सिस्टम के मिश्रित अक्षों का निर्माण करते हैं क्योंकि कोणों को अलग-अलग संदर्भ फ़्रेमों के मिश्रण के संबंध में मापा जाता है, बजाय एक फ्रेम के जो पूरी तरह से बाहरी या विशुद्ध रूप से आंतरिक है। विशेष रूप से, पहला कोण बाहरी अक्ष z के चारों ओर नोड्स की रेखा को घुमाता है, दूसरा नोड्स की रेखा के चारों ओर घूमता है और तीसरा शरीर में तय की गई धुरी के चारों ओर एक आंतरिक घुमाव (स्पिन) होता है जो गति करता है। यूलर कोणों को सामान्यतः α, β, γ, या φ, θ, ψ के रूप में दर्शाया जाता है। यह प्रस्तुति केवल निश्चित बिंदु के बारे में घुमाव के लिए सुविधाजनक है।


 * अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व (दाईं ओर चित्रित) अक्ष के साथ एक कोण निर्दिष्ट करता है जिसके बारे में रोटेशन होता है। इसे आसानी से देखा जा सकता है। इसका प्रतिनिधित्व करने के दो रूप हैं:


 * एक जोड़ी के रूप में कोण और अक्ष के लिए एक इकाई वेक्टर से मिलकर, या
 * इस इकाई वेक्टर के साथ कोण को गुणा करके प्राप्त यूक्लिडियन वेक्टर के रूप में, जिसे रोटेशन वेक्टर कहा जाता है (हालांकि, सख्ती से बोलना, यह स्यूडोवेक्टर है)।
 * मैट्रिसेस, वर्सर्स (चतुर्भुज), और अन्य बीजगणितीय चीजें: विवरण के लिए अनुभाग रैखिक और बहुरेखीय बीजगणित औपचारिकता देखें।

चार आयामों में एक सामान्य घुमाव में केवल निश्चित बिंदु होता है, रोटेशन का केंद्र और रोटेशन की कोई धुरी नहीं होती है; विवरण के लिए 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन देखें। इसके बजाय, रोटेशन में रोटेशन के दो पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल विमान होते हैं, जिनमें से प्रत्येक इस अर्थ में तय होता है कि प्रत्येक विमान में बिंदु विमानों के भीतर रहते हैं। रोटेशन में रोटेशन के दो कोण होते हैं, रोटेशन के प्रत्येक विमान के लिए एक, जिसके माध्यम से विमानों में बिंदु घूमते हैं। यदि ये ω1 और ω2 हैं तो वे सभी बिंदु जो समतल में नहीं हैं, $ω_{1}$ और $ω_{2}$ के बीच के कोण से घूमते हैं। एक निश्चित बिंदु के चारों ओर चार आयामों में घूमने की स्वतंत्रता की छह डिग्री होती है। सामान्य स्थिति में चार-आयामी प्रत्यक्ष गति निश्चित बिंदु के बारे में एक रोटेशन है (जैसा कि सभी यूक्लिडियन आयामों में भी है), लेकिन स्क्रू ऑपरेशन भी मौजूद हैं।

रेखीय और बहुरेखीय बीजगणितीय औपचारिकता
जब कोई यूक्लिडियन स्पेस की गतियों पर विचार करता है जो उत्पत्ति को संरक्षित करता है, शुद्ध गणित में महत्वपूर्ण बिंदुओं और वैक्टरों के बीच का अंतर मिटाया जा सकता है क्योंकि बिंदुओं और स्थिति वैक्टरों के बीच एक कैनोनिकल एक-से-एक सामंजस्य होता है। यूक्लिडियन के अलावा अन्य ज्यामिति के लिए भी यही सच है, लेकिन जिसका स्थान पूरक संरचना के साथ सजातीय स्थान है; नीचे उदाहरण देखें। वैकल्पिक रूप से, घुमावों के वेक्टर विवरण को अनुवाद के साथ उनकी रचना तक ज्यामितीय घुमावों के पैरामीट्रिजेशन के रूप में समझा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सदिश घूर्णन अंतरिक्ष में सभी बिंदुओं के बारे में कई समतुल्य घुमाव प्रस्तुत करता है।

गति जो मूल को संरक्षित करती है वह वैक्टर पर एक रैखिक ऑपरेटर के समान होती है जो एक ही ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करती है लेकिन वैक्टर के संदर्भ में व्यक्त की जाती है। यूक्लिडियन सदिशों के लिए, यह व्यंजक उनका परिमाण (यूक्लिडियन मानदंड) है। घटकों में, ऐसे ऑपरेटर ने $n × n$ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के साथ व्यक्त किया है जो कॉलम वेक्टर से गुणा किया जाता है।

जैसा कि पहले ही कहा गया था, सदिश स्थान के अभिविन्यास के संरक्षण में एक (उचित) रोटेशन एक मनमाना निश्चित बिंदु गति से अलग है। इस प्रकार, रोटेशन ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का निर्धारक 1 होना चाहिए। ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के निर्धारक के लिए एकमात्र अन्य संभावना है, और इस परिणाम का मतलब है कि परिवर्तन एक हाइपरप्लेन प्रतिबिंब है, एक बिंदु प्रतिबिंब (विषम $θ$ के लिए), या अन्य एक प्रकार का अनुचित घुमाव। सभी उचित घुमावों के आव्यूह विशेष लांबिक समूह बनाते हैं।

दो आयाम
दो आयामों में, एक मैट्रिक्स, बिंदु का उपयोग करके घूर्णन करने के लिए $(x, y)$ वामावर्त घुमाने के लिए कॉलम वेक्टर के रूप में लिखा जाता है, फिर कोण से गणना की गई रोटेशन मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है $θ$:


 * $$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} =

\begin{bmatrix} \cos \theta & -\sin \theta \\ \sin \theta & \cos \theta \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}$$.

रोटेशन के बाद बिंदु के निर्देशांक हैं $x′, y′$, और के लिए सूत्र $n$ और $x′$ हैं


 * $$\begin{align}

x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\ y'&=x\sin\theta+y\cos\theta. \end{align}$$ वैक्टर $$ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$ और $$ \begin{bmatrix} x' \\ y' \end{bmatrix} $$ एक ही परिमाण है और कोण से अलग हो गए हैं $y′$ जैसा सोचा था।

पर अंक $R^{2}$ समतल को सम्मिश्र संख्या के रूप में भी प्रस्तुत किया जा सकता है: बिंदु $(x, y)$ समतल में सम्मिश्र संख्या द्वारा दर्शाया जाता है


 * $$ z = x + iy $$

इसे कोण से घुमाया जा सकता है $θ$ से गुणा करके $e^{iθ}$, फिर यूलर के सूत्र का उपयोग करके उत्पाद का विस्तार इस प्रकार करें:


 * $$\begin{align}

e^{i \theta} z &= (\cos \theta + i \sin \theta) (x + i y) \\ &= x \cos \theta + i y \cos \theta + i x \sin \theta - y \sin \theta \\ &= (x \cos \theta - y \sin \theta) + i ( x \sin \theta + y \cos \theta) \\ &= x' + i y' , \end{align}$$ और वास्तविक और काल्पनिक भागों की बराबरी करना द्वि-आयामी मैट्रिक्स के समान परिणाम देता है:


 * $$\begin{align}

x'&=x\cos\theta-y\sin\theta\\ y'&=x\sin\theta+y\cos\theta. \end{align}$$ चूँकि सम्मिश्र संख्याएँ क्रमविनिमेय वलय बनाती हैं, दो आयामों में सदिश घुमाव क्रमविनिमेय होते हैं, उच्च आयामों के विपरीत। उनके पास स्वतंत्रता (यांत्रिकी) की केवल एक डिग्री है, क्योंकि इस तरह के घुमाव पूरी तरह से रोटेशन के कोण से निर्धारित होते हैं।

तीन आयाम
दो आयामों की तरह, एक बिंदु को घुमाने के लिए मैट्रिक्स का उपयोग किया जा सकता है $(x, y, z)$ एक स्तर तक $(x′, y′, z′)$. प्रयुक्त मैट्रिक्स है 3 ×  3 आव्यूह,


 * $$\mathbf{A} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix}$$

परिणाम देने के लिए बिंदु का प्रतिनिधित्व करने वाले वेक्टर द्वारा इसे गुणा किया जाता है



\mathbf{A} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} x' \\ y' \\ z' \end{pmatrix} $$ आव्यूह (मैट्रिक्स) गुणन की संक्रिया सहित सभी उपयुक्त आव्यूहों का समुच्चय घूर्णन समूह SO(3)  है। साँचा $A$ त्रि-आयामी विशेष ऑर्थोगोनल समूह का सदस्य है, $SO(3)$, यानी यह निर्धारक 1 के साथ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है। यह ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, जिसका अर्थ है कि इसकी पंक्तियाँ ऑर्थोगोनल यूनिट वैक्टर का सेट हैं (इसलिए वे ऑर्थोनॉर्मल आधार हैं) जैसा कि इसके कॉलम हैं, यह स्पॉट करना और जांचना आसान बनाता है मैट्रिक्स एक वैध रोटेशन मैट्रिक्स है।

यूलर कोण|उपर्युक्त यूलर कोण और अक्ष-कोण निरूपण को आसानी से रोटेशन मैट्रिक्स में परिवर्तित किया जा सकता है।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन वैक्टर के घूर्णन (रोटेशन) का प्रतिनिधित्व करने की और संभावना नीचे वर्णित चतुष्कोण हैं।

चतुष्कोण
यूनिट चतुष्कोण, या छंद, कुछ मायनों में त्रि-आयामी घुमावों का कम से कम सहज ज्ञान युक्त प्रतिनिधित्व है। वे सामान्य दृष्टिकोण के त्रि-आयामी उदाहरण नहीं हैं। वे मैट्रिसेस की तुलना में अधिक कॉम्पैक्ट हैं और अन्य सभी तरीकों की तुलना में काम करना आसान है, इसलिए प्रायः वास्तविक दुनिया के अनुप्रयोगों में पसंद किया जाता है।

जहाँ वर्जन (जिसे रोटेशन क्वाटरनियन भी कहा जाता है) में चार वास्तविक संख्याएँ होती हैं, इसलिए क्वाटरनियन का मानक सदिश स्थान 1 होता है। यह बाधा क्वाटरनियन की स्वतंत्रता की डिग्री को तीन तक सीमित करती है, जैसा कि आवश्यक है। मैट्रिसेस और जटिल संख्याओं के विपरीत दो गुणन आवश्यक हैं:


 * $$ \mathbf{x'} = \mathbf{qxq}^{-1},$$

जहाँ $q$ टर्नर है $q^{−1}$ इसका गुणक प्रतिलोम है, और $x$ वेक्टर को शून्य चतुर्भुज#स्केलर और वेक्टर भागों के साथ क्वाटरनियन के रूप में माना जाता है। चतुष्कोणों को चतुष्कोणों पर घातीय मानचित्र (झूठे सिद्धांत) द्वारा अक्ष कोण रोटेशन के रोटेशन वेक्टर रूप से संबंधित किया जा सकता है,


 * $$ \mathbf{q} = e^{\mathbf{v}/2},$$

जहाँ $v$ रोटेशन वेक्टर को क्वाटरनियन के रूप में माना जाता है।

छंद द्वारा एक गुणन, या तो बाएँ या दाएँ, अपने आप में घूर्णन है, लेकिन चार आयामों में। उत्पत्ति के बारे में किसी भी चार आयामी घुमाव को दो चतुष्कोणीय गुणन के साथ दर्शाया जा सकता है: एक बाएँ और एक दाएँ, दो अलग-अलग इकाई चतुष्कोणों द्वारा।

इसके अतिरिक्त
अधिक सामान्यतः, किसी भी आयाम में रोटेशन का समन्वय ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस द्वारा दर्शाया जाता है। एन आयामों में सभी ऑर्थोगोनल मेट्रिसेस का सेट जो उचित घुमाव (निर्धारक = +1) का वर्णन करता है, साथ में मैट्रिक्स गुणन के संचालन के साथ, विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(n) बनाता है।

मेट्रिसेस का उपयोग प्रायः परिवर्तन करने के लिए किया जाता है, खासकर जब बड़ी संख्या में बिंदुओं को रूपांतरित किया जा रहा हो, क्योंकि वे रैखिक ऑपरेटर का प्रत्यक्ष प्रतिनिधित्व करते हैं। उपयोग किए जाने से पहले अन्य तरीकों से दर्शाए गए घुमावों को प्रायः मैट्रिसेस में बदल दिया जाता है। सजातीय निर्देशांक का उपयोग करके एक ही समय में घूर्णन और परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उन्हें बढ़ाया जा सकता है। प्रोजेक्टिव ट्रांसफ़ॉर्मेशन को 4 × 4 मैट्रिसेस द्वारा दर्शाया गया है। वे रोटेशन मैट्रिसेस नहीं हैं, लेकिन एक परिवर्तन जो यूक्लिडियन रोटेशन का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें ऊपरी बाएं कोने में 3×3 रोटेशन मैट्रिक्स है।

मैट्रिसेस का मुख्य नुकसान यह है कि वे गणना करने और गणना करने के लिए अधिक महंगे हैं। इसके अलावा गणना में जहां संख्यात्मक अस्थिरता एक चिंता का विषय है, मैट्रिक्स इसके लिए अधिक प्रवण हो सकता है, इसलिए ऑर्थोनॉर्मलिटी को बहाल करने के लिए गणना, जो मेट्रिसेस के लिए करना महंगा है, को अधिक बार करने की आवश्यकता है।

मैट्रिक्स औपचारिकता के अधिक विकल्प
जैसा कि ऊपर दिखाया गया था, तीन बहुरेखीय बीजगणित रोटेशन औपचारिकताएं मौजूद हैं: U(1) के साथ, या जटिल संख्याएं, दो आयामों के लिए, और दो अन्य छंदों के साथ, या चतुष्कोण, तीन और चार आयामों के लिए।

सामान्य तौर पर (गैर-यूक्लिडियन मिन्कोव्स्की द्विघात रूप से लैस वैक्टर के लिए भी) सदिश स्थान के रोटेशन को बायवेक्टर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस औपचारिकता का प्रयोग ज्यामितीय बीजगणित में किया जाता है, और अधिक सामान्यतः, लाई समूहों के क्लिफर्ड बीजगणित प्रतिनिधित्व में।

धनात्मक-निश्चित यूक्लिडियन द्विघात रूप के मामले में, आइसोमेट्री समूह $$\mathrm{SO}(n)$$ के दोहरे आवरण समूह को स्पिन समूह, स्पिन (n) के रूप में जाना जाता है। क्लिफर्ड बीजगणित के संदर्भ में इसे आसानी से वर्णित किया जा सकता है। यूनिट चतुष्कोण समूह $$\mathrm{Spin}(3) \cong \mathrm{SU}(2)$$ देते हैं

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में
गोलीय ज्यामिति में, $θ$-गोला (दीर्घवृत्तीय ज्यामिति का उदाहरण) की एक सीधी गति उत्पत्ति के बारे में $(n + 1)$-आयामी यूक्लिडियन स्थान के घूर्णन के समान है $SO(n + 1)$. विषम $n$ के लिए, इनमें से अधिकांश गतियों के $n$-गोले पर निश्चित बिंदु नहीं होते हैं और, सख्ती से बोलना, गोले के घूर्णन नहीं हैं; इस तरह की गतियों को कभी-कभी क्लिफर्ड अनुवाद के रूप में संदर्भित किया जाता है। [उद्धरण वांछित] दीर्घवृत्त और अतिपरवलयिक ज्यामिति में निश्चित बिंदु के बारे में घूर्णन यूक्लिडियन से अलग नहीं हैं।

एफ़िन ज्यामिति और प्रक्षेपी ज्यामिति में रोटेशन की कोई अलग धारणा नहीं है।

सापेक्षिकता में
रोटेशन का सामान्यीकरण विशेष सापेक्षता में लागू होता है, जहां इसे चार-आयामी स्पेस, स्पेसटाइम (अंतरिक्ष समय), तीन स्पेस आयामों और समय पर संचालित करने के लिए माना जा सकता है। विशेष सापेक्षता में, इस स्थान को मिन्कोव्स्की स्पेस कहा जाता है, और चार आयामी घुमाव, जिसे लोरेंत्ज़ परिवर्तन कहा जाता है, की भौतिक व्याख्या है। ये परिवर्तन द्विघात रूप को संरक्षित करते हैं जिसे स्पेसटाइम अंतराल कहा जाता है।

यदि मिन्कोवस्की स्पेस का घूर्णन अंतरिक्ष जैसे विमान में है, तो यह घूर्णन यूक्लिडियन स्पेस में स्थानिक घूर्णन के समान है। इसके विपरीत, स्पेस -जैसे आयाम और समय-समान आयाम द्वारा फैलाए गए विमान में रोटेशन अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन है, और यदि इस विमान में संदर्भ फ्रेम का समय अक्ष होता है, तो इसे "लोरेंत्ज़ बूस्ट" कहा जाता है। ये परिवर्तन मिन्कोव्स्की स्पेस के छद्म-यूक्लिडियन प्रकृति को प्रदर्शित करते हैं। अतिपरवलयिक घुमावों को कभी-कभी निचोड़ मैपिंग के रूप में वर्णित किया जाता है और प्रायः मिन्कोस्की आरेखों पर दिखाई देता है जो प्लानर चित्रों पर (1 + 1) -आयामी छद्म-यूक्लिडियन ज्यामिति की कल्पना करता है। सापेक्षता का अध्ययन लौरेंत्ज़ समूह से संबंधित है जो अंतरिक्ष के घूर्णन और अतिशयोक्तिपूर्ण घुमावों द्वारा उत्पन्न होता है।

जबकि $SO(3)$ घूर्णन, भौतिकी और खगोल विज्ञान में, यूक्लिडियन 3-स्पेस में 2-गोले के रूप में आकाशीय क्षेत्र के घूर्णन के अनुरूप है, $SO(3;1)^{+}$ से लोरेंत्ज़ परिवर्तन आकाशीय क्षेत्र के अनुरूप परिवर्तनों को प्रेरित करते हैं। यह गोलाकार परिवर्तनों का व्यापक वर्ग है जिसे मोबियस परिवर्तन के रूप में जाना जाता है।

महत्व
घूर्णन समरूपता के महत्वपूर्ण वर्गों को परिभाषित करता है: घूर्णी समरूपता विशेष घुमाव के संबंध में व्युत्क्रम है। निश्चित अक्ष के बारे में सभी घुमावों के संबंध में परिपत्र समरूपता व्युत्क्रम है।

जैसा कि ऊपर कहा गया है, यूक्लिडियन घुमाव कठोर शरीर की गतिशीलता पर लागू होते हैं। इसके अलावा, भौतिकी में अधिकांश गणितीय औपचारिकता (जैसे सदिश कलन) घूर्णन-अपरिवर्तनीय है; अधिक भौतिक पहलुओं के लिए रोटेशन देखें। यूक्लिडियन घूर्णन और, अधिक सामान्यतः, ऊपर वर्णित लोरेंत्ज़ समरूपता को प्रकृति के समरूपता नियम माना जाता है। इसके विपरीत, परावर्तक समता प्रकृति का सटीक समरूपता नियम नहीं है।

सामान्यीकरण
वास्तविक ऑर्थोगोनल मैट्रिसेस के अनुरूप जटिल-मूल्य वाले मेट्रिसेस एकात्मक मैट्रिक्स $$\mathrm{U}(n)$$ हैं, जो जटिल स्थान में घुमाव का प्रतिनिधित्व करते हैं। किसी दिए गए आयाम n में सभी एकात्मक आव्यूहों का समुच्चय डिग्री $n$ का एकात्मक समूह $$\mathrm{U}(n)$$ बनाता है; और इसका उपसमूह उचित घुमावों का प्रतिनिधित्व करता है (वे जो अंतरिक्ष के उन्मुखीकरण को संरक्षित करते हैं) डिग्री $n$ का विशेष एकात्मक समूह $$\mathrm{SU}(n)$$ है। स्पिनरों के संदर्भ में ये जटिल घुमाव महत्वपूर्ण हैं। $$\mathrm{SU}(2)$$के तत्वों का उपयोग त्रि-आयामी यूक्लिडियन घूर्णन (ऊपर देखें), साथ ही स्पिन के संबंधित परिवर्तनों को पैरामीट्रिज करने के लिए किया जाता है ($$\mathrm{SU}(2)$$ का प्रतिनिधित्व सिद्धांत देखें)।

यह भी देखें

 * विमान के प्रमुख अक्ष
 * SO(3) पर चार्ट
 * रोटेशन और प्रतिबिंब समन्वय करें
 * कॉर्डिक एल्गोरिथम
 * हाइपरबोलिक रोटेशन
 * अनंतिम घूर्णन
 * अपरिमेय घुमाव
 * अभिविन्यास (ज्यामिति)
 * रोड्रिग्स का रोटेशन फॉर्मूला
 * अक्षों का रोटेशन
 * भंवर

संदर्भ