फ़िल्टर (गणित)

गणित में, फ़िल्टर या ऑर्डर फ़िल्टर आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सबसेट (पोसेट) का विशेष उपसमुच्चय है, जो बड़े या अंतिम तत्वों का वर्णन करता है। फ़िल्टर ऑर्डर सिद्धांत और जाली सिद्धांत में दिखाई देते हैं, लेकिन टोपोलॉजी में भी, जहां से उनकी उत्पत्ति होती है। फिल्टर के लिए द्वैत (आदेश सिद्धांत) की धारणा आदर्श (आदेश सिद्धांत) है।

फिल्टर के विशेष मामलों में अल्ट्राफ़िल्टर शामिल है, जो ऐसे फिल्टर हैं जिन्हें बड़ा नहीं किया जा सकता है, और गणितीय तर्क में गैर-रचनात्मक तकनीकों का वर्णन करते हैं।

फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) 1937 में हेनरी कर्तन द्वारा पेश किया गया था। निकोलस बॉर्बकी ने अपनी पुस्तक टोपोलोगी जेनरल में ई. एच. मूर और हरमन एल. स्मिथ की 1922 की नेट (टोपोलॉजी) की धारणा के विकल्प के रूप में फिल्टर को लोकप्रिय बनाया; ऑर्डर फ़िल्टर इस धारणा को समावेशन (सेट सिद्धांत) के तहत सत्ता स्थापित के विशिष्ट मामले से लेकर मनमाने ढंग से आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट तक सामान्यीकृत करते हैं। फिर भी, फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) | पावर-सेट फ़िल्टर का सिद्धांत टोपोलॉजी में पर्याप्त फ़िल्टर के लिए, अपने आप में रुचि बरकरार रखता है।

प्रेरणा
आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट को ठीक करें|आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट (पोसेट) को ठीक करें$P$. सहज रूप से, फ़िल्टर$F$ का उपसमुच्चय है $P$ जिनके सदस्य किसी मानदंड को पूरा करने के लिए पर्याप्त बड़े तत्व हैं। उदाहरण के लिए, यदि $\{1, 2, 3, 4\}$, फिर उपरोक्त तत्वों का सेट $x$ फिल्टर है, जिसे प्रिंसिपल फिल्टर कहा जाता है $x$. (अगर $x$ और $y$ तुलनीयता तत्व हैं $P$, तो न तो प्रिंसिपल फ़िल्टर पर $x$ और न $y$ दूसरे में समाहित है।)

इसी तरह, सेट पर फिल्टर$S$ में वे उपसमुच्चय शामिल हैं जो दिए गए कुछ को शामिल करने के लिए पर्याप्त रूप से बड़े हैं. उदाहरण के लिए, यदि $S$ वास्तविक रेखा है और $&uparrow;\{1, 4\}$, फिर सेट का परिवार भी शामिल है $x$ इनके आंतरिक (टोपोलॉजी) में फिल्टर होता है, जिसे नेबरहुड फिल्टर एट कहा जाता है $x$. वह इस मामले में इससे थोड़ा बड़ा है $x$, लेकिन इसमें अभी भी रेखा का कोई अन्य विशिष्ट बिंदु शामिल नहीं है।

उपरोक्त विचार फ़िल्टर (गणित)#परिभाषा में ऊपर की ओर बंद होने की आवश्यकता को प्रेरित करते हैं: पर्याप्त बड़ी वस्तुओं को हमेशा बड़ा बनाया जा सकता है।

अन्य दो स्थितियों को समझने के लिए भूमिकाओं को उल्टा करें और इसके बजाय विचार करें $F$ खोजने के लिए स्थान निर्धारण योजना के रूप में $x$. इस व्याख्या में व्यक्ति किसी स्थान में खोज करता है$X$, और अपेक्षा करता है $F$ के उन सबसेट का वर्णन करने के लिए $X$ जिसमें लक्ष्य शामिल है। लक्ष्य कहीं न कहीं स्थित होना चाहिए; इस प्रकार खाली सेट$&uparrow;\{1\}$ कभी भी अंदर नहीं आ सकता $F$. और यदि दो उपसमूहों में लक्ष्य शामिल है, तो उन्हें उनके सामान्य क्षेत्र पर ज़ूम करना चाहिए।

एक अल्ट्राफिल्टर आदर्श स्थान निर्धारण योजना का वर्णन करता है जहां प्रत्येक योजना घटक नई जानकारी देता है (या तो यहां देखें या कहीं और देखें)। कॉम्पैक्टनेस#ऑर्डर्ड स्पेस वह गुण है जिसके कारण प्रत्येक खोज फलदायी होती है, या, इसे दूसरे तरीके से कहें तो, प्रत्येक पता लगाने की योजना खोज परिणाम में समाप्त होती है।

फ़िल्टर का सामान्य उपयोग उन गुणों को परिभाषित करना है जो कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस के सामान्य तत्वों से संतुष्ट होते हैं। यह एप्लिकेशन उन बिंदुओं को ढूंढने के लिए स्थान निर्धारण योजना को सामान्यीकृत करता है जिन्हें स्पष्ट रूप से लिखना मुश्किल हो सकता है।

परिभाषा
उपसमुच्चय$F$ आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट का$&uparrow;\{1\}$ फ़िल्टर या दोहरा आदर्श है यदि:

अगर $x &isin; P$ फिर भी $F$ को उचित फ़िल्टर कहा जाता है। सेट सिद्धांत और गणितीय तर्क में लेखकों को अक्सर सभी फ़िल्टर उचित होने की आवश्यकता होती है; यह लेख उस परंपरा को त्याग देगा। अल्ट्राफ़िल्टर ऐसा फ़िल्टर है जो किसी अन्य उचित फ़िल्टर में शामिल नहीं होता है।
 * गैर-तुच्छता: सेट $F$ खाली सेट है|गैर-खाली।
 * निर्देशित सेट: प्रत्येक के लिए $x &isin; S$, वहाँ कुछ $&emptyset;$ ऐसा है कि $(P, &leq;)$ और $x, y &isin; F$.
 * ऊपरी सेट: प्रत्येक के लिए $z &isin; F$ और $z &leq; x$, स्थिति $z &leq; y$ तात्पर्य $x &isin; F$.

फ़िल्टर आधार
उपसमुच्चय$S$ का $F$ का आधार या आधार है $F$ यदि ऊपरी सेट द्वारा उत्पन्न होता है $S$ (अर्थात, सबसे छोटा ऊपर की ओर बंद युक्त $S$) सब है $F$. प्रत्येक फ़िल्टर अपने लिए आधार है।

इसके अलावा, यदि $p &isin; P$ तो फिर, खाली नहीं है और नीचे की ओर निर्देशित है $B$ ऊपरी सेट उत्पन्न करता है$F$ वह फ़िल्टर है (जिसके लिए $B$ आधार है). ऐसे सेट को प्रीफ़िल्टर कहा जाता है, साथ ही उपरोक्त फ़िल्टर बेस/आधार भी कहा जाता है $F$ द्वारा उत्पन्न या फैला हुआ कहा जाता है $B$. प्रीफ़िल्टर तभी उचित है जब यह उचित फ़िल्टर उत्पन्न करता है।

दिया गया $x &leq; p$, सेट $p &isin; F$ सबसे छोटा फ़िल्टर है $F &NotEqual; P$, और कभी-कभी लिखा जाता है $B &subseteq; P$. ऐसे फ़िल्टर को प्रिंसिपल फ़िल्टर कहा जाता है; $p &isin; P$ का प्रमुख तत्व कहा जाता है $F$, या उत्पन्न करें $F$.

परिष्कार
कल्पना करना $B$ और $C$ दो प्रीफ़िल्टर चालू हैं $P$, और, प्रत्येक के लिए $c &isin; C$, वहां है $\{x : p &leq; x\}$, ऐसा है कि $p$. तो फिर हम कहते हैं $B$ है से (या परिष्कृत) $C$; वैसे ही, $C$ (या मोटे) से अधिक मोटा है $B$. प्रीफ़िल्टर के सेट पर शोधन पूर्व आदेश है। वास्तव में, यदि $C$ परिष्कृत भी करता है $B$, तब $B$ और $C$ समतुल्य कहलाते हैं, क्योंकि वे समान फ़िल्टर उत्पन्न करते हैं। इस प्रकार प्रीफ़िल्टर से फ़िल्टर तक का मार्ग प्रीऑर्डरिंग से संबद्ध आंशिक ऑर्डरिंग तक जाने का उदाहरण है।

विशेष मामले
ऐतिहासिक रूप से, फ़िल्टर को मनमाने ढंग से आंशिक आदेशों से पहले जाली (आदेश) | ऑर्डर-सैद्धांतिक लैटिस के लिए सामान्यीकृत किया गया है। जाली के मामले में, नीचे की दिशा को परिमित मीट (गणित) के तहत समापन के रूप में लिखा जा सकता है: सभी के लिए $&uparrow; p$, किसी के पास $p$.

रैखिक फिल्टर
एक रैखिक (अल्ट्रा) फिल्टर किसी दिए गए सदिश स्थल के वेक्टर उप-स्थान के जाली (क्रम) पर (अल्ट्रा) फिल्टर है, जो समावेशन द्वारा क्रमबद्ध है। स्पष्ट रूप से, सदिश स्थान पर रैखिक फ़िल्टर$X$ परिवार है$b &isin; B$ सदिश उप-स्थानों का $X$ ऐसे कि यदि $b &leq; c$ और $C$ का सदिश उपसमष्टि है $X$ उसमें सम्मिलित है $A$, तब $x, y &isin; F$ और $x &and; y &isin; F$.

यदि इसमें शामिल नहीं है तो रैखिक फ़िल्टर उचित है $\mathcal{B}$.

एक सेट पर फ़िल्टर; उपआधार
एक सेट दिया गया$S$, पावर सेट$A, B &isin; \mathcal{B}$ आंशिक रूप से सेट समावेशन द्वारा निर्धारित आदेश दिया गया है; इस पोसेट पर फ़िल्टर को अक्सर केवल फ़िल्टर ऑन कहा जाता है $S$, शब्दावली के दुरुपयोग में। ऐसे पोसेट के लिए, नीचे की दिशा और ऊपर की ओर बंद होना कम हो जाता है:
 * परिमित चौराहों के अंतर्गत समापन: यदि $A &cap; B &isin; \mathcal{B}$, तो भी ऐसा ही है $C &isin; \mathcal{B}$.
 * आइसोटोनी: अगर $\{0\}$ और $\mathcal{P}(S)$, तब $A, B &isin; F$.

एक उचित /गैर पतितफ़िल्टर वह है जिसमें शामिल नहीं है $A &cap; B &isin; F$, और ये तीन स्थितियाँ (गैर-अध: पतन सहित) हेनरी कार्टन की फ़िल्टर की मूल परिभाषा हैं। यह सामान्य है - हालांकि सार्वभौमिक नहीं - सेट पर फ़िल्टर को उचित होना आवश्यक है (पोसेट फ़िल्टर पर किसी का रुख चाहे जो भी हो); हम फिर से इस सम्मेलन से बचेंगे।

किसी सेट पर प्रीफ़िल्टर तभी उचित होते हैं जब उनमें ऐसा न हो $A &isin; F$ दोनों में से एक।

प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए$T$ का $A &subseteq; B &subseteq; S$, सबसे छोटा फ़िल्टर है$F$ युक्त $T$. प्रीफ़िल्टर की तरह, $T$ उत्पन्न या फैला हुआ कहा जाता है $F$; के लिए आधार $F$ सेट है$U$ के सभी परिमित प्रतिच्छेदनों में से $T$. सेट $T$ को फ़िल्टर सबबेस कहा जाता है जब $F$ (और इस तरह $U$) उचित है.

सेट पर उचित फ़िल्टर में परिमित प्रतिच्छेदन गुण होता है।

अगर $B &isin; F$, तब $S$ केवल अनुचित फ़िल्टर को स्वीकार करता है $&emptyset;$.

निःशुल्क फ़िल्टर
एक फ़िल्टर को मुफ़्त कहा जाता है यदि उसके सदस्यों का प्रतिच्छेदन खाली है। उचित प्रिंसिपल फ़िल्टर निःशुल्क नहीं है.

चूँकि फ़िल्टर के सदस्यों की किसी भी सीमित संख्या का प्रतिच्छेदन भी सदस्य है, परिमित सेट पर कोई भी उचित फ़िल्टर मुफ़्त नहीं है, और वास्तव में इसके सभी सदस्यों के सामान्य प्रतिच्छेदन द्वारा उत्पन्न प्रमुख फ़िल्टर है। लेकिन अनंत सेट पर गैर-प्रमुख फ़िल्टर आवश्यक रूप से मुफ़्त नहीं है: फ़िल्टर तभी मुफ़्त है जब इसमें फ़्रेचेट फ़िल्टर शामिल हो (देखें) ).

उदाहरण
परिमित पोसेट पर फ़िल्टर के सरल उदाहरण के लिए इस आलेख के शीर्ष पर छवि देखें$&emptyset;$.

आंशिक रूप से ऑर्डर करें $\mathcal{P}(S)$, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का स्थान $$, बिन्दुवार तुलना द्वारा। फिर अनंत पर बड़े फलनों का समुच्चय,$$\left\{f:\lim_{x\to\pm\infty}{f(x)}=\infty\right\}\text{,}$$एक फ़िल्टर चालू है $\{&emptyset;\}$. कोई इस निर्माण को डोमेन को कॉम्पेक्टिफिकेशन (गणित) और कोडोमेन को पूरा करने (ऑर्डर सिद्धांत) द्वारा काफी हद तक सामान्यीकृत कर सकता है: यदि $X$ विशिष्ट उपसमुच्चय वाला समुच्चय है$S$ और $Y$ विशिष्ट तत्व वाला पोसेट है$m$, तब $\mathcal{P}({1, 2, 3, 4})$ फिल्टर है $\mathbb{R} &rarr; \mathbb{R}$.

सेट $\mathbb{R}$ फिल्टर है $\mathbb{R} &rarr; \mathbb{R}$. अधिक सामान्यतः, यदि $D$ तो फिर, कोई निर्देशित सेट है$$\{\{k:k\geq N\}:N\in D\}$$में फिल्टर है $\{f : f&thinsp;&verbar;_{S} &geq; m\}$, जिसे टेल फिल्टर कहा जाता है। इसी प्रकार कोई भी नेट (टोपोलॉजी)$X &rarr; Y$संभावितता फ़िल्टर उत्पन्न करता है $\{{{brace|k : k &geq; N}} : N &isin; \mathbb{N}\}$. टेल फ़िल्टर इसके लिए संभावित फ़िल्टर है $\mathcal{P}(\mathbb{N})$.

अनंत सेट पर फ़्रेचेट फ़िल्टर$X$ है$$\{A:X\setminus A\text{ finite}\}\text{.}$$अगर $\mathcal{P}(D)$ माप स्थान है, फिर संग्रह $\{x_{&alpha;}\}_{&alpha;&isin;&Alpha;}$ फ़िल्टर है. अगर $\{{{brace|x_{&beta;} : &alpha; &leq; &beta;}} : &alpha; &isin; &Alpha;\}$, तब $x_{&alpha;} = &alpha;$ भी फ़िल्टर है; फ़्रेचेट फ़िल्टर ऐसा मामला है जहां $(X, &mu;)$ गिनती का माप है.

एक आदेश दिया गया$a$, का उपसमुच्चय $a$ को क्लब सेट कहा जाता है यदि इसे ऑर्डर टोपोलॉजी में बंद किया जाता है $a$ लेकिन नेट-सैद्धांतिक सीमा है $a$. के क्लब $a$ फ़िल्टर बनाएं: क्लब फ़िल्टर,$\{A : &mu;(A) > 0\}$.

पिछला निर्माण निम्नानुसार सामान्यीकरण करता है: कोई भी क्लब$C$ भी सघन उपसमुच्चय (क्रमिक टोपोलॉजी में) का संग्रह है $a$, और $&mu;(X) = &infin;$ के प्रत्येक तत्व से मिलता है $C$. की जगह $C$ मनमाना संग्रह के साथ$C&#771;$ सघन सेट (आदेश)ऑर्डर) में, आम तौर पर प्रत्येक तत्व को पूरा करने वाला फ़िल्टर मौजूद होता है $C&#771;$, जिसे सामान्य फ़िल्टर कहा जाता है। गणनीय के लिए $C&#771;$, रसियोवा-सिकोरस्की लेम्मा का तात्पर्य है कि ऐसा फ़िल्टर मौजूद होना चाहिए; छोटे बेशुमार सेट के लिए $C&#771;$, ऐसे फिल्टर का अस्तित्व मार्टिन के स्वयंसिद्ध के माध्यम से मजबूर (गणित) हो सकता है।

होने देना $\{A : &mu;(X &setminus; A) < &infin;\}$ ब्रह्मांड के आंशिक क्रम (गणित), मोडुलो (गणित) समरूपता (बीजगणित) के सेट को निरूपित करें। आंशिक रूप से ऑर्डर करें $P$ द्वारा:
 * $&mu;$ यदि सख्ती से वृद्धि मौजूद है $&clubs;(a)$.

फिर परमाणु का उपसमुच्चय (आदेश सिद्धांत)|गैर-परमाणु आंशिक आदेश फ़िल्टर बनाता है। इसी प्रकार यदि $I$ सीमित कार्डिनैलिटी, मॉड्यूलो आइसोमोर्फिज्म के कुछ दिए गए क्रमविनिमेय वलय पर इंजेक्शन मॉड्यूल का सेट है, फिर आंशिक क्रम $I$ है:
 * $&clubs;(a)$ यदि कोई इंजेक्शन समारोह मॉड्यूल समरूपता मौजूद है $P$. किसी अनंत कार्डिनल को देखते हुए$A &leq; B$, मॉड्यूल में $I$ जो इससे कम से उत्पन्न नहीं किया जा सकता $f : A &rarr; B$ तत्व फिल्टर बनाते हैं।

सेट पर हर समान संरचना$X$ फ़िल्टर चालू है $A &leq; B$.

आदर्शों से संबंध
एक फिल्टर के लिए द्वंद्व (गणित) - अर्थात, सभी को उलट कर प्राप्त की गई अवधारणा $f : A &rarr; B$ और आदान-प्रदान $&kappa;$ साथ $&kappa;$— ऑर्डर आदर्श है। इस द्वंद्व के कारण, फ़िल्टर के किसी भी प्रश्न को यांत्रिक रूप से आदर्शों के बारे में प्रश्न में अनुवादित किया जा सकता है और इसके विपरीत; विशेष रूप से, अभाज्य या अधिकतम फ़िल्टर ऐसा फ़िल्टर होता है जिसका संगत आदर्श (क्रमशः) अभाज्य या अधिकतम होता है।

एक फिल्टर अल्ट्राफिल्टर है यदि और केवल तभी जब संबंधित आदर्श न्यूनतम हो।

मॉडल सिद्धांत में
प्रत्येक फ़िल्टर के लिए$F$ सेट पर$S$, द्वारा परिभाषित सेट फ़ंक्शन$$m(A) = \begin{cases} 1 & \text{if }A \in F \\ 0 & \text{if }S \smallsetminus A \in F \\ \text{is undefined} & \text{otherwise} \end{cases}$$परिमित रूप से योगात्मक है - माप (गणित), यदि उस शब्द का अर्थ शिथिल रूप से लगाया जाए। इसके अलावा, इस प्रकार बनाए गए उपाय हर जगह परिभाषित किए जाते हैं $F$ अल्ट्राफिल्टर है. इसलिए, कथन$$\left\{\,x \in S : \varphi(x)\,\right\} \in F$$को कुछ हद तक उस कथन के अनुरूप माना जा सकता है $X &times; X$लगभग हर जगह कायम है। फ़िल्टर में सदस्यता की व्याख्या का उपयोग किया जाता है (प्रेरणा के लिए, वास्तविक नहीं ) गणितीय तर्क की शाखा, मॉडल सिद्धांत में अल्ट्राप्रोडक्ट्स के सिद्धांत में।

टोपोलॉजी में
सामान्य टोपोलॉजी और विश्लेषण में, मीट्रिक स्थान में अनुक्रमों की भूमिका के समान अभिसरण को परिभाषित करने के लिए फ़िल्टर का उपयोग किया जाता है। वे विभिन्न प्रकार के मनमाने टोपोलॉजिकल स्पेस में सीमा (गणित) की अवधारणा को एकीकृत करते हैं।

फ़िल्टर की आवश्यकता को समझने के लिए, नेट (गणित) की समकक्ष अवधारणा से शुरुआत करें। अनुक्रम आमतौर पर प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित किया जाता है$&leq;$, जो पूरी तरह से ऑर्डर किया गया सेट है। नेट अनुक्रम की धारणा को प्रतिस्थापित करके सामान्यीकृत करते हैं $&and;$ मनमाना निर्देशित सेट के साथ। टोपोलॉजिकल स्पेस की कुछ श्रेणियों में, जैसे कि प्रथम-गणनीय रिक्त स्थान, अनुक्रम अधिकांश टोपोलॉजिकल गुणों की विशेषता बताते हैं, लेकिन यह सामान्य रूप से सच नहीं है। हालाँकि, नेट — साथ ही फिल्टर — हमेशा उन टोपोलॉजिकल गुणों की विशेषता बताते हैं।

फ़िल्टर में टोपोलॉजिकल स्पेस के बाहर कोई भी सेट शामिल नहीं होता है$X$, जबकि अनुक्रम और जाल अन्य निर्देशित सेटों पर निर्भर करते हैं। इस कारण से, सभी फ़िल्टर का संग्रह चालू है $X$ हमेशा सेट (गणित) होता है, जबकि सभी का संग्रह $X$-मूल्यवान जाल उचित वर्ग है।

पड़ोस के आधार
कोई बात$x$ टोपोलॉजिकल स्पेस में$X$ पड़ोस प्रणाली को परिभाषित करता है$&or;$: अर्थात्, सभी सेटों का परिवार $x$ उनके इंटीरियर (टोपोलॉजी) में। सेट$&phi;$ के पड़ोस के $x$ पड़ोस का आधार है $x$ अगर $\mathbb{N}$ उत्पन्न करता है $\mathbb{N}$. समान रूप से, $\mathcal{N}_{x}$ का पड़ोस है $x$ यदि और केवल यदि अस्तित्व है $\mathcal{N}$ ऐसा है कि $\mathcal{N}$.

अभिसरण फ़िल्टर और क्लस्टर बिंदु
एक प्रीफ़िल्टर$B$ बिंदु पर अभिसरण प्रीफ़िल्टर$x$, लिखा हुआ $\mathcal{N}_{x}$, अगर और केवल अगर $B$ फ़िल्टर उत्पन्न करता है$F$ जिसमें पड़ोस फ़िल्टर शामिल है $S &subseteq; X$—स्पष्ट रूप से, प्रत्येक पड़ोस के लिए$U$ का $x$, वहाँ कुछ $N &isin; \mathcal{N}$ ऐसा है कि $N &subseteq; S$. कम स्पष्ट रूप से, $B &rarr; x$ अगर और केवल अगर $B$ परिष्कृत करता है $\mathcal{N}_{x}$, और किसी भी पड़ोस के आधार पर $x$ प्रतिस्थापित कर सकता है $V &isin; B$ हालत में। जाहिर है, हर पड़ोस का आधार $x$ में एकत्रित हो जाता है $x$.

एक फ़िल्टर$F$ (जो स्वयं उत्पन्न होता है) में परिवर्तित हो जाता है $x$ अगर $V &subseteq; U$. पड़ोस फ़िल्टर को चिह्नित करने के लिए उपरोक्त को उलटा भी किया जा सकता है $B &rarr; x$: $\mathcal{N}_{x}$ प्रत्येक फ़िल्टर की तुलना में बेहतरीन फ़िल्टर मोटा है $x$.

अगर $\mathcal{N}_{x}$, तब $x$ को फ़िल्टर (बिंदु) की सीमा कहा जाता है $B$. प्रीफ़िल्टर $B$ को क्लस्टर कहा जाता है $x$ (या ले लो $x$ फ़िल्टर के क्लस्टर बिंदु के रूप में) यदि और केवल यदि प्रत्येक तत्व $B$ के प्रत्येक पड़ोस के साथ गैर-खाली चौराहा है $x$. प्रत्येक सीमा बिंदु क्लस्टर बिंदु है लेकिन इसका विपरीत सामान्य रूप से सत्य नहीं है। हालाँकि, प्रत्येक क्लस्टर बिंदु फ़िल्टर सीमा बिंदु है.

संदर्भ

 * Nicolas Bourbaki, General Topology ( Topologie Générale ), ISBN 0-387-19374-X (Ch. 1-4): Provides a good reference for filters in general topology (Chapter I) and for Cauchy filters in uniform spaces (Chapter II)
 * (Provides an introductory review of filters in topology and in metric spaces.)
 * (Provides an introductory review of filters in topology and in metric spaces.)
 * (Provides an introductory review of filters in topology and in metric spaces.)
 * (Provides an introductory review of filters in topology and in metric spaces.)
 * (Provides an introductory review of filters in topology and in metric spaces.)
 * (Provides an introductory review of filters in topology and in metric spaces.)
 * (Provides an introductory review of filters in topology and in metric spaces.)
 * (Provides an introductory review of filters in topology and in metric spaces.)