फलन संरचना

गणित में, फ़ंक्शन संरचना एक ऑपरेशन है $∘$ जो दो कार्य करता है (गणित) $f$ और $g$, और एक फ़ंक्शन उत्पन्न करता है $h = g  ∘  f$ ऐसा है कि $h(x) = g(f(x))$. इस ऑपरेशन में, function $g$ फ़ंक्शन को लागू करने के परिणाम के लिए फ़ंक्शन अनुप्रयोग है $f$ को $x$. यानी कार्य $f : X → Y$ और $g : Y → Z$ एक फ़ंक्शन उत्पन्न करने के लिए बनाए गए हैं जो मैप करता है $x$ किसी फ़ंक्शन के डोमेन में $X$ को $g(f(x))$ कोडोमेन में $Z$. सहज रूप से, यदि $z$ का एक कार्य है $y$, और $y$ का एक कार्य है $x$, तब $z$ का एक कार्य है $x$. परिणामी समग्र फ़ंक्शन को दर्शाया गया है $g ∘ f : X → Z$, द्वारा परिभाषित $(g ∘ f )(x) = g(f(x))$ सभी के लिए $x$ में$X$.

संकेतन $g ∘ f$ के रूप में पढ़ा जाता है$g$ का $f$ ,$g$ बाद $f$  ,$g$ घेरा $f$  ,$g$ गोल $f$  ,$g$ के बारे में $f$  ,$g$ के साथ रचित $f$  ,$g$ अगले $f$  ,$f$ तब $g$, या$g$ पर $f$ , या की रचना $g$ और $f$. सहज रूप से, फ़ंक्शंस की रचना एक श्रृंखलाबद्ध प्रक्रिया है जिसमें फ़ंक्शन का आउटपुट होता है $f$ फ़ंक्शन का इनपुट फ़ीड करता है $g$.

कार्यों की संरचना संबंधों की संरचना का एक विशेष मामला है, जिसे कभी-कभी इसके द्वारा भी दर्शाया जाता है $$\circ$$. परिणामस्वरूप, संबंधों की संरचना के सभी गुण कार्यों की संरचना के समान होते हैं, जैसे #Properties की संपत्ति.

फ़ंक्शंस की संरचना फ़ंक्शंस के उत्पाद फ़ंक्शन (यदि परिभाषित हो) से भिन्न होती है, और इसमें कुछ बिल्कुल भिन्न गुण होते हैं; विशेष रूप से, कार्यों की संरचना क्रमविनिमेय संपत्ति नहीं है।

उदाहरण
* परिमित समुच्चय पर फलनों की संरचना: यदि $f = {(1, 1), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$, और $g = {(1, 2), (2, 3), (3, 1), (4, 2)}$, तब $g ∘ f = {(1, 2), (2, 1), (3, 2), (4, 3)}$, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।
 * अनंत सेट पर फ़ंक्शंस की संरचना: यदि $f: R → R$ (कहाँ $R$ सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है) द्वारा दिया गया है $f(x) = 2x + 4$ और $g: R → R$ द्वारा दिया गया है $g(x) = x^{3}$, तब:
 * यदि किसी हवाई जहाज की समय पर ऊंचाई है$t$ है $(f ∘ g)(x) = f(g(x)) = f(x^{3}) = 2x^{3} + 4$, और ऊंचाई पर हवा का दबाव $x$ है $(g ∘ f)(x) = g(f(x)) = g(2x + 4) = (2x + 4)^{3}$, तब $a(t)$ समय पर विमान के चारों ओर दबाव है$t$.

गुण
कार्यों की संरचना हमेशा साहचर्य होती है - संबंधों की संरचना से विरासत में मिली संपत्ति। अर्थात यदि $f$, $g$, और $h$ तो रचना योग्य हैं $p(x)$. चूँकि कोष्ठक परिणाम नहीं बदलते हैं, इसलिए उन्हें आम तौर पर छोड़ दिया जाता है।

एक सख्त अर्थ में, रचना $(p ∘ a)(t)$ केवल तभी सार्थक है जब का कोडोमेन $f$ के डोमेन के बराबर है $g$; व्यापक अर्थ में, यह पर्याप्त है कि पहला, बाद वाले का एक अनुचित उपसमुच्चय हो। इसके अलावा, के डोमेन को चुपचाप प्रतिबंधित करना अक्सर सुविधाजनक होता है $f$, ऐसा है कि $f$ के क्षेत्र में केवल मान उत्पन्न करता है $g$. उदाहरण के लिए, रचना $f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h$ कार्यों का $g ∘ f$ द्वारा परिभाषित $g ∘ f$ और $f : R → (−∞,+9]$ द्वारा परिभाषित $$g(x) = \sqrt x$$ अंतराल पर परिभाषित किया जा सकता है (गणित) $f(x) = 9 − x^{2}$.

कार्य $g$ और $f$ को एक दूसरे के साथ क्रमविनिमेय कहा जाता है यदि $g : [0,+∞) → R$. क्रमपरिवर्तनशीलता एक विशेष संपत्ति है, जो केवल विशेष कार्यों द्वारा और अक्सर विशेष परिस्थितियों में ही प्राप्त की जाती है। उदाहरण के लिए, $[−3,+3]$ केवल जब $g ∘ f = f ∘ g$. चित्र एक और उदाहरण दिखाता है.

वन-टू-वन फ़ंक्शन|वन-टू-वन (इंजेक्टिव) फ़ंक्शंस की संरचना हमेशा वन-टू-वन होती है। इसी प्रकार, कार्य पर (विशेषण) फ़ंक्शंस की संरचना हमेशा ऑन होती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो आक्षेपों की रचना भी एक आक्षेप है। किसी रचना के व्युत्क्रम फलन (उलटा माना जाता है) में वह गुण होता है $|x| + 3 = |x + 3|$.

भिन्न-भिन्न कार्यों को शामिल करने वाली रचनाओं के व्युत्पन्न श्रृंखला नियम का उपयोग करके पाए जा सकते हैं। ऐसे कार्यों के उच्च व्युत्पन्न फा डि ब्रूनो के सूत्र द्वारा दिए गए हैं।

संरचना मोनोइड्स
मान लीजिए कि किसी के दो (या अधिक) कार्य हैं $x ≥ 0$ $(f ∘ g)^{−1} = g^{−1}∘ f^{−1}$समान डोमेन और कोडोमेन होना; इन्हें अक्सर परिवर्तन (फ़ंक्शन) कहा जाता है। फिर कोई एक साथ मिलकर परिवर्तनों की श्रृंखला बना सकता है, जैसे $f: X → X,$. ऐसी श्रृंखलाओं में एक मोनॉइड की बीजगणितीय संरचना होती है, जिसे ट्रांसफ़ॉर्मेशन मोनॉइड या (बहुत कम ही) एक परिवर्तन मोनॉयड कहा जाता है। सामान्य तौर पर, ट्रांसफॉर्मेशन मोनोइड्स में उल्लेखनीय रूप से जटिल संरचना हो सकती है। एक विशेष उल्लेखनीय उदाहरण डी राम वक्र है। सभी कार्यों का सेट $g: X → X$ को पूर्ण परिवर्तन अर्धसमूह कहा जाता है या सममित अर्धसमूह पर$X$. (कोई वास्तव में दो अर्धसमूहों को परिभाषित कर सकता है, यह इस पर निर्भर करता है कि कोई अर्धसमूह संचालन को कार्यों की बाईं या दाईं संरचना के रूप में कैसे परिभाषित करता है।

यदि परिवर्तन विशेषणात्मक (और इस प्रकार व्युत्क्रमणीय) हैं, तो इन कार्यों के सभी संभावित संयोजनों का सेट एक परिवर्तन समूह बनाता है; और कोई कहता है कि समूह इन कार्यों द्वारा समूह जनरेटर है। समूह सिद्धांत में एक मौलिक परिणाम, केली का प्रमेय, अनिवार्य रूप से कहता है कि कोई भी समूह वास्तव में क्रमपरिवर्तन समूह ( समाकृतिकता तक) का एक उपसमूह है।

सभी विशेषण कार्यों का समुच्चय $f ∘ f ∘ g ∘ f$ (क्रमपरिवर्तन कहा जाता है) कार्य संरचना के संबंध में एक समूह बनाता है। यह सममित समूह है, जिसे कभी-कभी रचना समूह भी कहा जाता है।

सममित अर्धसमूह (सभी परिवर्तनों में से) में व्युत्क्रम की एक कमजोर, गैर-अद्वितीय धारणा भी पाई जाती है (जिसे छद्म व्युत्क्रम कहा जाता है) क्योंकि सममित अर्धसमूह एक नियमित अर्धसमूह है।

कार्यात्मक शक्तियाँ
अगर $f: X → X$, तब $R$ स्वयं से रचना कर सकता है; इसे कभी-कभी इस रूप में दर्शाया जाता है $R$. वह है:

अधिक सामान्यतः, किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए $H$, द $H$वें कार्यात्मक घातांक को आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया जा सकता है $H(R$, हंस हेनरिक बर्मन द्वारा प्रस्तुत एक संकेतन और जॉन फ्रेडरिक विलियम हर्शल. ऐसे फ़ंक्शन की स्वयं के साथ बार-बार रचना को पुनरावृत्त फ़ंक्शन कहा जाता है।
 * रिवाज के सन्दर्भ मे, $(H ∘ R )$ को पहचान मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है $f: X → X$ का डोमेन, $Y ⊆ X$.
 * अगर यहाँ तक कि $f: X→Y$ और $f^{ 2}$ एक व्युत्क्रम फलन स्वीकार करता है $(f ∘ f)(x) = f(f(x)) = f&thinsp;^{2}(x)$, नकारात्मक कार्यात्मक शक्तियां $(f ∘ f ∘ f)(x) = f(f(f(x))) = f&thinsp;^{3}(x)$ के लिए परिभाषित हैं $(f ∘ f ∘ f ∘ f)(x) = f(f(f(f(x)))) = f&thinsp;^{4}(x)$ व्युत्क्रम फलन की योगात्मक व्युत्क्रम शक्ति के रूप में: $n ≥ 2$.

नोट: यदि $R$ अपने मूल्यों को एक रिंग (गणित) में लेता है (विशेष रूप से वास्तविक या जटिल-मूल्य के लिए $f&thinsp;^{n} = f ∘ f&thinsp;^{n−1} = f&thinsp;^{n−1} ∘ f$), भ्रम का खतरा है, जैसे $f&thinsp;^{0}$ के लिए भी खड़ा हो सकता है $H$-गुना उत्पाद का$n$, उदा. $f&thinsp;$. त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए, आमतौर पर उत्तरार्द्ध का मतलब होता है, कम से कम सकारात्मक घातांक के लिए। उदाहरण के लिए, त्रिकोणमिति में, त्रिकोणमितीय कार्यों के साथ उपयोग किए जाने पर यह सुपरस्क्रिप्ट नोटेशन मानक घातांक का प्रतिनिधित्व करता है: $id_{X}$. हालाँकि, नकारात्मक घातांक (विशेषकर −1) के लिए, यह आमतौर पर व्युत्क्रम फलन को संदर्भित करता है, उदाहरण के लिए, $Y = X$.

कुछ मामलों में, जब, किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए $f$, समीकरण $f: X → X$ का एक अनोखा समाधान है $n$, उस फ़ंक्शन को कार्यात्मक वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $f$, फिर इस प्रकार लिखा गया $f&thinsp;^{−1}$.

अधिक सामान्यतः, जब $f&thinsp;^{−n}$ के पास कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए एक अनूठा समाधान है $n > 0$, तब $f&thinsp;^{−n} = (f&thinsp;^{−1})^{n}$ को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है $f&thinsp;$.

अतिरिक्त प्रतिबंधों के तहत, इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि पुनरावृत्त फ़ंक्शन एक सतत पैरामीटर बन जाए; इस मामले में, ऐसी प्रणाली को प्रवाह (गणित) कहा जाता है, जो श्रोडर के समीकरण के समाधान के माध्यम से निर्दिष्ट होता है। भग्न और गतिशील प्रणालियाँ के अध्ययन में पुनरावृत्त कार्य और प्रवाह स्वाभाविक रूप से होते हैं।

अस्पष्टता से बचने के लिए, कुछ गणितज्ञ उपयोग करना चुनें $f&thinsp;^{n}$रचनात्मक अर्थ को निरूपित करने के लिए, लिखना $f&thinsp;^{2}(x) = f(x) · f(x)$ के लिए $f$-फ़ंक्शन का पुनरावृत्त $sin^{2}(x) = sin(x) · sin(x)$, जैसे, उदाहरण के लिए, $tan^{−1} = arctan ≠ 1/tan$ अर्थ $g ∘ g = f$. इसी उद्देश्य से, $g = f&thinsp;^{1/2}$ का प्रयोग बेंजामिन पियर्स  द्वारा किया गया था  जबकि अल्फ्रेड प्रिंग्सहेम और जूल्स मोल्क ने सुझाव दिया था $g^{n} = f$ बजाय।

वैकल्पिक संकेतन
कई गणितज्ञ, विशेषकर समूह सिद्धांत में, रचना चिह्न, लेखन को छोड़ देते हैं $n > 0$ के लिए $f&thinsp;^{m/n}$.

20वीं सदी के मध्य में कुछ गणितज्ञों ने लेखन का निर्णय लिया$g^{m}$ का अर्थ है पहले आवेदन करें $g$, फिर आवेदन करें $f$ बहुत भ्रमित करने वाला था और उसने नोटेशन बदलने का निर्णय लिया। वे लिखते हैं$∘$ के लिए$f(x)$  और$f(x)$  के लिए$f(x)$. यह कुछ क्षेत्रों में उपसर्ग संकेतन लिखने की तुलना में अधिक स्वाभाविक और सरल लग सकता है - उदाहरण के लिए, रैखिक बीजगणित में, जब $n$ एक पंक्ति सदिश है और $f$ और $g$ मैट्रिक्स (गणित) को निरूपित करें और संरचना मैट्रिक्स गुणन द्वारा है। इस वैकल्पिक नोटेशन को उपसर्ग संकेतन  कहा जाता है। क्रम महत्वपूर्ण है क्योंकि फ़ंक्शन संरचना आवश्यक रूप से क्रमविनिमेय नहीं है (जैसे मैट्रिक्स गुणन)। दायीं ओर लागू होने वाले और रचना करने वाले क्रमिक परिवर्तन बाएँ से दाएँ पढ़ने के क्रम से सहमत होते हैं।

गणितज्ञ जो पोस्टफिक्स नोटेशन का उपयोग करते हैं वे लिख सकते हैं$f(f(f(x)))$, मतलब पहले अप्लाई करें $x$ और फिर आवेदन करें $f$, क्रम को ध्यान में रखते हुए प्रतीक पोस्टफिक्स नोटेशन में होते हैं, इस प्रकार नोटेशन बनता है$f(x)$ अस्पष्ट। कंप्यूटर वैज्ञानिक लिख सकते हैं$f(x)$  इसके लिए, जिससे रचना का क्रम स्पष्ट नहीं हो पाता। किसी पाठ अर्धविराम से बाएँ रचना संचालक को अलग करने के लिए, Z अंकन में बाएँ संबंध रचना के लिए ⨾ वर्ण का उपयोग किया जाता है। चूँकि सभी फ़ंक्शन बाइनरी रिलेशन#विशेष प्रकार के बाइनरी रिलेशन हैं, इसलिए फ़ंक्शन संरचना के लिए भी [वसा] अर्धविराम का उपयोग करना सही है (इस नोटेशन पर अधिक जानकारी के लिए संबंधों की संरचना पर लेख देखें)।

संरचना संचालक
एक फ़ंक्शन दिया गया$gf$, रचना संचालक $g ∘ f$ को उस ऑपरेटर (गणित) के रूप में परिभाषित किया गया है जो कार्यों को कार्यों के रूप में मैप करता है $$C_g f = f \circ g.$$ कंपोजीशन ऑपरेटरों का अध्ययन ऑपरेटर सिद्धांत के क्षेत्र में किया जाता है।

प्रोग्रामिंग भाषाओं में
फ़ंक्शन संरचना अनेक प्रोग्रामिंग भाषाओं में किसी न किसी रूप में प्रकट होती है।

बहुभिन्नरूपी कार्य
बहुभिन्नरूपी कार्यों के लिए आंशिक संरचना संभव है। कुछ तर्क होने पर परिणामी फ़ंक्शन $g ∘ f$ फ़ंक्शन का $g$ को फ़ंक्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $f$ की रचना कहलाती है $g$ और $f$ कुछ कंप्यूटर इंजीनियरिंग संदर्भों में, और दर्शाया गया है $xf&thinsp;$ $$f|_{x_i = g} = f (x_1, \ldots, x_{i-1}, g(x_1, x_2, \ldots, x_n), x_{i+1}, \ldots, x_n).$$ कब $g$ एक साधारण स्थिरांक है $f$, रचना एक (आंशिक) मूल्यांकन में बदल जाती है, जिसके परिणाम को प्रतिबंध (गणित) या सह-कारक के रूप में भी जाना जाता है।

$$f|_{x_i = b} = f (x_1, \ldots, x_{i-1}, b, x_{i+1}, \ldots, x_n).$$ सामान्य तौर पर, बहुभिन्नरूपी कार्यों की संरचना में तर्क के रूप में कई अन्य कार्य शामिल हो सकते हैं, जैसे कि आदिम पुनरावर्ती फ़ंक्शन की परिभाषा में। दिया गया $g$, ए $g$-एरी फ़ंक्शन, और $b$ $f$-एरी फ़ंक्शंस $f(x)$, की रचना $n$ साथ $(xf)g$, है $n$-एरी फ़ंक्शन $$h(x_1,\ldots,x_m) = f(g_1(x_1,\ldots,x_m),\ldots,g_n(x_1,\ldots,x_m)).$$ इसे कभी-कभी एफ का सामान्यीकृत सम्मिश्रण या सुपरपोजिशन भी कहा जाता है $g(f(x))$. पहले उल्लिखित केवल एक तर्क में आंशिक संरचना को उपयुक्त रूप से चुने गए प्रक्षेपण कार्यों को छोड़कर सभी तर्क कार्यों को सेट करके इस अधिक सामान्य योजना से त्वरित किया जा सकता है। यहाँ $fg$ को इस सामान्यीकृत योजना में एकल वेक्टर/ टपल -वैल्यू फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है, इस मामले में यह फ़ंक्शन संरचना की बिल्कुल मानक परिभाषा है।

कुछ बेस सेट ध्यान दें कि एक क्लोन में आम तौर पर विभिन्न प्रकार के ऑपरेशन होते हैं। रूपान्तरण की धारणा को बहुभिन्नरूपी मामले में एक दिलचस्प सामान्यीकरण भी मिलता है; कहा जाता है कि arity n का एक फ़ंक्शन f, arity m के एक फ़ंक्शन g के साथ परिवर्तित होता है यदि f एक समरूपता है जो g को संरक्षित करता है, और इसके विपरीत अर्थात: $$f(g(a_{11},\ldots,a_{1m}),\ldots,g(a_{n1},\ldots,a_{nm})) = g(f(a_{11},\ldots,a_{n1}),\ldots,f(a_{1m},\ldots,a_{nm})).$$ एक यूनरी ऑपरेशन हमेशा अपने साथ ही चलता है, लेकिन बाइनरी (या उच्चतर एरीटी) ऑपरेशन के मामले में यह जरूरी नहीं है। एक बाइनरी (या उच्चतर एरीटी) ऑपरेशन जो स्वयं के साथ संचार करता है उसे औसत दर्जे का मैग्मा कहा जाता है।

सामान्यीकरण
संबंधों की संरचना को मनमाने ढंग से द्विआधारी संबंधों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। अगर $fg$ और $f ; g$ दो द्विआधारी संबंध हैं, फिर उनकी रचना $g$ संबंध को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $C_{g}$. किसी फ़ंक्शन को द्विआधारी संबंध (अर्थात् कार्यात्मक संबंध) के एक विशेष मामले के रूप में मानते हुए, फ़ंक्शन संरचना संबंध संरचना की परिभाषा को संतुष्ट करती है। एक छोटा वृत्त $x_{i}$ का उपयोग Composition_of_relations#Notational_variations, साथ ही कार्यों के लिए किया गया है। जब कार्यों की संरचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है $$(g \circ f)(x) \ = \ g(f(x))$$ हालाँकि, अलग-अलग ऑपरेशन अनुक्रमों को तदनुसार दर्शाने के लिए पाठ अनुक्रम को उलट दिया गया है।

रचना को आंशिक कार्यों के लिए उसी तरह से परिभाषित किया गया है और केली के प्रमेय का एनालॉग वैगनर-प्रेस्टन प्रमेय कहा जाता है।

आकारिकी के रूप में कार्यों वाले सेटों की श्रेणी प्रोटोटाइपिक श्रेणी (गणित) है। किसी श्रेणी के अभिगृहीत वास्तव में फ़ंक्शन संरचना के गुणों (और परिभाषा) से प्रेरित होते हैं। संरचना द्वारा दी गई संरचनाएं कार्यों के श्रेणी-सैद्धांतिक प्रतिस्थापन के रूप में रूपवाद की अवधारणा के साथ श्रेणी सिद्धांत में स्वयंसिद्ध और सामान्यीकृत हैं। सूत्र में रचना का उलटा क्रम $f |_{x_{i} = g}$ विपरीत संबंधों का उपयोग करके संबंधों की संरचना के लिए लागू होता है, और इस प्रकार समूह सिद्धांत में। ये संरचनाएँ खंजर श्रेणी बनाती हैं।

टाइपोग्राफी
रचना चिन्ह $g_{1}, ..., g_{n}$ के रूप में एन्कोड किया गया है ; समान दिखने वाले यूनिकोड वर्णों के लिए डिग्री प्रतीक#लुकलाइक्स लेख देखें। TeX में लिखा है.

यह भी देखें

 * मकड़ी के जाले की साजिश - कार्यात्मक संरचना के लिए एक ग्राफिकल तकनीक
 * संयोजन तर्क
 * रचना वलय, रचना संचालन का एक औपचारिक स्वयंसिद्धीकरण
 * प्रवाह (गणित)
 * फ़ंक्शन संरचना (कंप्यूटर विज्ञान)
 * यादृच्छिक चर#यादृच्छिक चर के कार्य, यादृच्छिक चर के फ़ंक्शन का वितरण
 * कार्यात्मक अपघटन
 * कार्यात्मक वर्गमूल
 * उच्च-क्रम का कार्य
 * विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
 * पुनरावृत्त फ़ंक्शन
 * लैम्ब्डा कैलकुलस

बाहरी संबंध

 * "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.
 * "Composition of Functions" by Bruce Atwood, the Wolfram Demonstrations Project, 2007.