चिरायता (गणित)

ज्यामिति में, एक आकृति चिराल है (और कहा जाता है कि चिरायता है) यदि यह अपनी दर्पण छवि के समान नहीं है, या अधिक सटीक रूप से, यदि इसे रोटेशन (गणित) और अनुवाद (ज्यामिति) द्वारा इसकी दर्पण छवि में मैप नहीं किया जा सकता है अकेला। एक वस्तु जो चिराल नहीं है, उसे 'अचिरल' कहा जाता है।

एक चिराल वस्तु और उसकी दर्पण छवि को एनेंटिओमोर्फ्स कहा जाता है। 'चिरलिटी' शब्द ग्रीक से लिया गया है χείρ (चीर), हाथ, सबसे परिचित चिराल वस्तु; Enantiomorph शब्द ग्रीक से उपजा है ἐναντίος (enantios) 'विपरीत' + μορφή (रूप) 'रूप'।

उदाहरण
कुछ चिरल त्रि-आयामी वस्तुओं, जैसे कुंडलित वक्रता, को दाएं हाथ के नियम के अनुसार दाएं या बाएं हाथ से सौंपा जा सकता है।

कई अन्य परिचित वस्तुएं मानव शरीर की समान चिरल समरूपता प्रदर्शित करती हैं, जैसे दस्ताने और जूते। दाएं जूते बाएं जूते से केवल एक दूसरे की दर्पण छवि होने से भिन्न होते हैं। इसके विपरीत पतले दस्तानों को चिराल नहीं माना जा सकता है यदि आप उन्हें विक्षनरी:इनसाइड आउट|इनसाइड-आउट पहन सकते हैं।

लोकप्रिय वीडियो गेम टेट्रिस के जे, एल, एस और जेड-आकार के Tetromino  भी चिरायता प्रदर्शित करते हैं, लेकिन केवल द्वि-आयामी अंतरिक्ष में। व्यक्तिगत रूप से उनमें समतल में कोई दर्पण सममिति नहीं होती है।

चिरायता और समरूपता समूह
एक आकृति अचिरल है अगर और केवल अगर इसके समरूपता समूह में कम से कम एक अभिविन्यास-उलट  आइसोमेट्री है। (यूक्लिडियन ज्यामिति में किसी भी आइसोमेट्री को इस रूप में लिखा जा सकता है $$v\mapsto Av+b$$ एक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के साथ $$A$$ और एक वेक्टर $$b$$. का निर्धारक $$A$$ या तो 1 या -1 है। यदि यह -1 है तो आइसोमेट्री ओरिएंटेशन-रिवर्सिंग है, अन्यथा यह ओरिएंटेशन-प्रिजर्विंग है।

समूह सिद्धांत पर आधारित चिरायता की एक सामान्य परिभाषा मौजूद है। यह किसी भी ओरिएंटेशन अवधारणा को संदर्भित नहीं करता है: एक आइसोमेट्री प्रत्यक्ष है अगर और केवल अगर यह आइसोमेट्री के वर्गों का उत्पाद है, और यदि नहीं, तो यह एक अप्रत्यक्ष आइसोमेट्री है। परिणामी चिरायता परिभाषा स्पेसटाइम में काम करती है।

दो आयामों में चिरायता
दो आयामों में, प्रत्येक आकृति जिसमें समरूपता का एक अक्ष होता है, अचिरल होता है, और यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक परिबद्ध अचिरल आकृति में समरूपता का एक अक्ष होना चाहिए। (एक आकृति की समरूपता का एक अक्ष $$F$$ एक रेखा है $$L$$, ऐसा है कि $$F$$ मैपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है $$(x,y)\mapsto(x,-y)$$, कब $$L$$ होने के लिए चुना जाता है $$x$$समन्वय प्रणाली का -अक्ष।) इस कारण से, एक त्रिभुज अचिरल है यदि यह समबाहु त्रिभुज या समद्विबाहु त्रिभुज है, और चिराल है यदि यह विषमबाहु है।

निम्नलिखित पैटर्न पर विचार करें:
 * Krok 6.pngयह आकृति चिराल है, क्योंकि यह अपनी दर्पण छवि के समान नहीं है:
 * Krok 6 mirrored.pngलेकिन अगर कोई पैटर्न को दोनों दिशाओं में अनंत तक बढ़ाता है, तो उसे एक (अनबाउंड) अचिरल आकृति प्राप्त होती है जिसमें समरूपता का कोई अक्ष नहीं होता है। इसका समरूपता समूह एकल ग्लाइड प्रतिबिंब द्वारा उत्पन्न एक फ्रीज़ समूह है।

तीन आयामों में चिरायता
तीन आयामों में, प्रत्येक आकृति जिसमें समरूपता S का दर्पण तल होता है1, समरूपता एस का एक व्युत्क्रम केंद्र2, या एक उच्च अनुचित घुमाव (रोटररिफ्लेक्शन) एसnसमरूपता की धुरी अचिरल है। (एक आकृति की समरूपता का एक तल $$F$$ एक विमान है $$P$$, ऐसा है कि $$F$$ मैपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है $$(x,y,z)\mapsto(x,y,-z)$$, कब $$P$$ होने के लिए चुना जाता है $$x$$-$$y$$- समन्वय प्रणाली का विमान। एक आकृति की समरूपता का केंद्र $$F$$ एक बिन्दु है $$C$$, ऐसा है कि $$F$$ मैपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है $$(x,y,z)\mapsto(-x,-y,-z)$$, कब $$C$$ को निर्देशांक प्रणाली के मूल के रूप में चुना गया है।) ध्यान दें, हालांकि, ऐसे अचिरल आंकड़े हैं जिनमें समरूपता के समतल और केंद्र दोनों की कमी है। एक उदाहरण आंकड़ा है


 * $$F_0=\left\{(1,0,0),(0,1,0),(-1,0,0),(0,-1,0),(2,1,1),(-1,2,-1),(-2,-1,1),(1,-2,-1)\right\}$$

जो ओरिएंटेशन रिवर्सिंग आइसोमेट्री के तहत अपरिवर्तनीय है $$(x,y,z)\mapsto(-y,x,-z)$$ और इस प्रकार अचिरल, लेकिन इसमें न तो समतल है और न ही समरूपता का केंद्र। आंकड़ा


 * $$F_1=\left\{(1,0,0),(-1,0,0),(0,2,0),(0,-2,0),(1,1,1),(-1,-1,-1)\right\}$$

यह भी अचिरल है क्योंकि मूल समरूपता का केंद्र है, लेकिन इसमें समरूपता के तल का अभाव है।

अचिरल आकृतियों में तीन आयामों में बिंदु समूह हो सकते हैं#समरूपता का केंद्र।

गांठ सिद्धांत
एक गाँठ (गणित) को उभयचर गाँठ कहा जाता है यदि इसे अपनी दर्पण छवि में लगातार विकृत किया जा सकता है, अन्यथा इसे चिरल गाँठ कहा जाता है। उदाहरण के लिए, अननॉट और फिगर-आठ गाँठ (गणित) | फिगर-आठ गाँठ अचिरल हैं, जबकि ट्रेफिल गाँठ चिरल है।

यह भी देखें

 * चिरल पॉलीटोप
 * चिरायता (भौतिकी)
 * चिरायता (रसायन विज्ञान)
 * विषमता
 * तिरछापन
 * वर्टेक्स बीजगणित

बाहरी संबंध

 * Symmetry, Chirality, Symmetry Measures and Chirality Measures: General Definitions
 * Chiral Polyhedra by Eric W. Weisstein, The Wolfram Demonstrations Project.
 * Chiral manifold at the Manifold Atlas.