स्टोक्स प्रमेय

स्टोक्स की प्रमेय, जिसे लॉर्ड केल्विन और जॉर्ज स्टोक्स के बाद केल्विन-स्टोक्स प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, कर्ल के लिए मौलिक प्रमेय या केवल कर्ल प्रमेय, $$\R^3$$ पर सदिश कलन में एक प्रमेय है। सदिश क्षेत्र को देखते हुए, प्रमेय किसी सतह पर सदिश क्षेत्र के कर्ल के समाकलन को, सतह की सीमा के चारों ओर सदिश क्षेत्र के रेखा समाकलन से संबंधित करता है। स्टोक्स के चिरसम्मत प्रमेय को एक वाक्य में कहा जा सकता है- लूप पर सदिश क्षेत्र का रेखा समाकलन संलग्न सतह के माध्यम से इसके कर्ल के बराबर है। इसे चित्र में दिखाया गया है, जहां सीमा समोच्च $Σ$ के सकारात्मक परिसंचरण की दिशा, और सतह $∂Σ$ के माध्यम से सकारात्मक प्रवाह की दिशा $n$, दाएं हाथ के नियम से संबंधित हैं। दाहिने हाथ के लिए उंगलियाँ $∂Σ$ के अनुदिश घूमती हैं और अंगूठा $n$ के अनुदिश दिशा में निर्देशित होता है।

स्टोक्स की प्रमेय सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय की विशेष स्थिति है। विशेष रूप से, $$\R^3$$ पर सदिश क्षेत्र को 1-रूप के रूप में माना जा सकता है, जिस स्थिति में इसका कर्ल इसका बाहरी व्युत्पन्न, 2-रूप है।

प्रमेय
मान लीजिए कि $$\Sigma$$ सीमा $$\partial \Sigma \equiv \Gamma $$ के साथ $$\R^3$$ में निष्कोण उन्मुख सतह है। यदि सदिश क्षेत्र $$\mathbf{F}(x,y,z) = (F_x(x, y, z), F_y(x, y, z), F_z(x, y, z))$$ को परिभाषित किया गया है और $$\Sigma$$ वाले क्षेत्र में सतत प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न है, तो$$ \iint_\Sigma (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{\Sigma} =  \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{\Gamma}. $$अधिक स्पष्ट रूप से, समानता यह कहती है$$ \begin{align} &\iint_\Sigma \left(\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} \right)\,\mathrm{d}y\, \mathrm{d}z +\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\, \mathrm{d}z\, \mathrm{d}x +\left (\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\right) \\ & = \oint_{\partial\Sigma} \Bigl(F_x\, \mathrm{d}x+F_y\, \mathrm{d}y+F_z\, \mathrm{d}z\Bigr). \end{align} $$स्टोक्स की प्रमेय के सटीक कथन में मुख्य चुनौती सीमा की धारणा को परिभाषित करना है। उदाहरण के लिए, कोच स्नोफ्लेक जैसी सतहें, रीमैन-समाकलनीय सीमा प्रदर्शित नहीं करने के लिए सर्वविदित हैं, और लेब्सग सिद्धांत में सतह माप की धारणा को गैर-लिप्सचिट्ज़ सतह के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है। एक (उन्नत) तकनीक कमजोर सूत्रीकरण को पारित करना और फिर ज्यामितीय माप सिद्धांत की मशीनरी को लागू करना है उस दृष्टिकोण के लिए कोरिया सूत्र देखें। इस लेख में, हम इसके स्थान पर अधिक प्राथमिक परिभाषा का उपयोग करते हैं, जो इस तथ्य पर आधारित है कि $$\R^2$$ के पूर्ण-आयामी उपसमुच्चय के लिए सीमा को समझा जा सकता है।

बाद की चर्चाओं के लिए अधिक विस्तृत विवरण दिया जाएगा। मान लीजिए कि $$\gamma:[a,b]\to\R^2$$ खंडशः निष्कोण जॉर्डन समतल वक्र है। जॉर्डन वक्र प्रमेय का तात्पर्य है कि $$\gamma$$ $$\R^2$$ को दो घटकों में विभाजित करता है, एक सघन और दूसरा जो गैर-सघन है। मान लीजिए कि $$D$$ सघन भाग को दर्शाता है, तब $$D$$ $$\gamma$$ से घिरा है। अब सीमा की इस धारणा को $$\R^3$$ में हमारी सतह पर सतत मानचित्र के साथ स्थानांतरित करना पर्याप्त है। लेकिन हमारे पास पहले से ही ऐसा मानचित्र है- $$\Sigma$$ का प्राचलीकरण।

मान लीजिए $$\psi:D\to\R^3$$, $$\Sigma=\psi(D)$$ के साथ, $$D$$ के पड़ोस में खंडशः निष्कोण है। यदि $$\Gamma$$, $$\Gamma(t)=\psi(\gamma(t))$$ द्वारा परिभाषित अंतराल वक्र है तो हम $$\Gamma$$ को $$\Sigma$$ की सीमा कहते हैं, जिसे $$\partial\Sigma$$ लिखा जाता है।

उपरोक्त संकेतन के साथ, यदि $$\mathbf{F}$$, $$\R^3$$ पर कोई सहज सदिश क्षेत्र है, तो $$\oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F}\, \cdot\, \mathrm{d}{\mathbf{\Gamma}}  = \iint_{\Sigma} \nabla\times\mathbf{F}\, \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{\Sigma}. $$यहां, "$$\cdot$$" $$\R^3$$ में डॉट उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रमाण
प्रमेय के प्रमाण में 4 चरण होते हैं। हम ग्रीन की प्रमेय को मानते हैं, इसलिए चिंता का विषय यह है कि त्रि-आयामी जटिल समस्या (स्टोक्स की प्रमेय) को द्वि-आयामी प्राथमिक समस्या (ग्रीन की प्रमेय) में कैसे संक्षिप्त किया जाए। इस प्रमेय को सिद्ध करते समय, गणितज्ञ प्रायः इसे अधिक सामान्य परिणाम की विशेष स्थिति के रूप में निकालते हैं, जिसे अवकलन रूपों के संदर्भ में कहा जाता है, और अधिक परिष्कृत मशीनरी का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है। शक्तिशाली होते हुए भी, इन तकनीकों के लिए पर्याप्त पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है, इसलिए नीचे दिए गए प्रमाण उनसे बचते हैं, और मूलभूत सदिश कलन और रैखिक बीजगणित से परिचित होने के अलावा किसी भी ज्ञान का अनुमान नहीं लगाते है। इस खंड के अंत में, सामान्यीकृत स्टोक्स की प्रमेय के परिणाम के रूप में, स्टोक्स की प्रमेय का एक संक्षिप्त वैकल्पिक प्रमाण दिया गया है।

प्राथमिक प्रमाण का प्रथम चरण (अवकलन का प्राचलीकरण)
जैसा कि प्रमेय में है, हम सतह के प्राकृतिक प्राचलीकरण का उपयोग करके आयाम को कम करते हैं। मान लीजिए कि $Σ$ और $n$ उस अनुभाग के अनुसार हैं, और ध्यान दें कि चर के परिवर्तन से$$\oint_{\partial\Sigma}{\mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{\Gamma}} = \oint_{\gamma}{\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{\gamma}))\cdot\,\mathrm{d}\boldsymbol{\psi}(\mathbf{\gamma})} = \oint_{\gamma}{\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))\cdot J_{\mathbf{y}}(\boldsymbol{\psi})\,\mathrm{d}\gamma}$$जहां $γ$ $∂Σ$ पर $J_{y}ψ$ के जैकोबियन आव्यूह के लिए है।

अब मान लीजिए कि $ψ$ $y = γ(t)$ की निर्देशांक दिशाओं में लंबात्मक आधार है। यह मानते हुए कि ${e_{u}, e_{v}} |undefined$ के कॉलम यथावत् $R^{2}$ पर ${e_{u}, e_{v}} |undefined$ के आंशिक व्युत्पन्न हैं, हम निर्देशांक में पिछले समीकरण का विस्तार इस प्रकार कर सकते हैं$$\begin{align} \oint_{\partial\Sigma}{\mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{\Gamma}} &= \oint_{\gamma}{\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))J_{\mathbf{y}}(\boldsymbol{\psi})\mathbf{e}_u(\mathbf{e}_u\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{y}) + \mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))J_{\mathbf{y}}(\boldsymbol{\psi})\mathbf{e}_v(\mathbf{e}_v\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{y})} \\ &=\oint_{\gamma}{\left(\left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial u}(\mathbf{y})\right)\mathbf{e}_u + \left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial v}(\mathbf{y})\right)\mathbf{e}_v\right)\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{y}} \end{align}$$

प्राथमिक प्रमाण में दूसरा चरण (पुलबैक को परिभाषित करना)
पिछला चरण सुझाव देता है कि हम फलन को परिभाषित करें$$\mathbf{P}(u,v) = \left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(u,v))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial u}(u,v)\right)\mathbf{e}_u + \left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(u,v))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial v}(u,v) \right)\mathbf{e}_v$$अब, यदि अदिश मान फलन $$P_u$$ और $$P_v$$ को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है, $${P_u}(u,v) = \left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(u,v))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial u}(u,v)\right)$$$${P_v}(u,v) =\left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(u,v))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial v}(u,v) \right) $$तब, $$\mathbf{P}(u,v) = {P_u}(u,v) \mathbf{e}_u + {P_v}(u,v) \mathbf{e}_v .$$यह ${t_{u}, t_{v}} |undefined$ के अनुदिश $J_{y}ψ$ का पुलबैक है, और, उपरोक्त के अनुसार, यह संतुष्ट करता है$$\oint_{\partial\Sigma}{\mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{l}}=\oint_{\gamma}{\mathbf{P}(\mathbf{y})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{l}} =\oint_{\gamma}{( {P_u}(u,v) \mathbf{e}_u + {P_v}(u,v) \mathbf{e}_v)\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{l}} $$हमने स्टोक्स की प्रमेय के एक पक्ष को 2-आयामी सूत्र में सफलतापूर्वक कम कर दिया है, अब हम दूसरी ओर मुड़ते हैं।

प्राथमिक प्रमाण का तीसरा चरण (द्वितीय समीकरण)
सबसे पहले, उत्पाद नियम के माध्यम से, ग्रीन की प्रमेय में प्रदर्शित आंशिक व्युत्पन्न की गणना करें-$$\begin{align} \frac{\partial P_u}{\partial v} &= \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol{\psi})}{\partial v}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} + (\mathbf{F}\circ \boldsymbol\psi) \cdot\frac{\partial^2 \boldsymbol\psi}{\partial v \, \partial u} \\[5pt] \frac{\partial P_v}{\partial u} &= \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol{\psi})}{\partial u}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v} + (\mathbf{F}\circ \boldsymbol\psi) \cdot\frac{\partial^2 \boldsymbol\psi}{\partial u \, \partial v} \end{align}$$सुविधाजनक रूप से, मिश्रित आंशिक की समानता से, द्वितीय पद अंतर में लुप्त हो जाता है। इसलिए, $$\begin{align} \frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v} &= \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol\psi)}{\partial u}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v} - \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol\psi)}{\partial v}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} \\[5pt] &= \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}\cdot(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} - \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u}\cdot(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v} && \text{(chain rule)}\\[5pt] &= \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}\cdot\left(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F}-{(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})}^{\mathsf{T}}\right)\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} \end{align} $$लेकिन अब उस द्विघात रूप में आव्यूह पर विचार करें - अर्थात्, $$J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F}-(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})^{\mathsf{T}}$$। हमारा दावा है कि यह आव्यूह वास्तव में क्रॉस उत्पाद का वर्णन करता है। यहां अधिलेख "$$ {}^{\mathsf{T}} $$" आव्यूहों के स्थानान्तरण का प्रतिनिधित्व करता है।

सटीक होने के लिए, मान लीजिए $$A=(A_{ij})_{ij}$$ यादृच्छिक $y$ आव्यूह है और माना$$\mathbf{a}= \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A_{32}-A_{23} \\ A_{13}-A_{31} \\ A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}$$ध्यान दें कि $ψ$ रैखिक है, इसलिए यह आधार तत्वों पर इसकी क्रिया द्वारा निर्धारित होता है। लेकिन प्रत्यक्ष गणना से$$\begin{align} \left(A-A^{\mathsf{T}}\right)\mathbf{e}_1 &= \begin{bmatrix} 0 \\ a_3 \\ -a_2 \end{bmatrix} = \mathbf{a}\times\mathbf{e}_1\\ \left(A-A^{\mathsf{T}}\right)\mathbf{e}_2 &= \begin{bmatrix} -a_3 \\ 0 \\ a_1 \end{bmatrix} = \mathbf{a}\times\mathbf{e}_2\\ \left(A-A^{\mathsf{T}}\right)\mathbf{e}_3 &= \begin{bmatrix} a_2 \\ -a_1 \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{a}\times\mathbf{e}_3 \end{align}$$यहां, $ψ$ $$\R^3$$ की निर्देशांक दिशाओं में लम्बवत आधार का प्रतिनिधित्व करता है।

इस प्रकार किसी भी $F$ के लिए $3 × 3$।

$ψ$ के स्थान पर $${(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})}$$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है$$\left({(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})} - {(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})}^{\mathsf{T}} \right) \mathbf{x} =(\nabla\times\mathbf{F})\times \mathbf{x}, \quad \text{for all}\, \mathbf{x}\in\R^{3}$$अब हम आंशिक के अंतर को (अदिश) त्रिगुण उत्पाद के रूप में पहचान सकते हैं-$$\begin{align} \frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v} &= \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) \times \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v} \end{align}$$दूसरी ओर, सतह समाकलन की परिभाषा में त्रिगुण उत्पाद भी सम्मिलित है - बिल्कुल वही!$$\begin{align} \iint_\Sigma (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \, d\mathbf{\Sigma} &=\iint_D {(\nabla\times\mathbf{F})(\boldsymbol\psi(u,v))\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u}(u,v)\times \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}(u,v)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v} \end{align}$$तो, हम प्राप्त करते हैं$$ \iint_\Sigma (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \,\mathrm{d}\mathbf{\Sigma } = \iint_D \left( \frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v} \right) \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v $$

प्राथमिक प्रमाण का चौथा चरण (ग्रीन की प्रमेय में कमी)
दूसरे और तीसरे चरण को संयोजित करने और फिर ग्रीन की प्रमेय को लागू करने से प्रमाण पूरा हो जाता है। ग्रीन की प्रमेय निम्नलिखित पर जोर देता है- जॉर्डन के संवृत्त वक्र γ और दो अदिश-मान वाले निष्कोण फलनों से घिरे किसी भी क्षेत्र D के लिए $$P_u(u,v), P_v(u,v)$$ को D पर परिभाषित किया गया है$$\oint_{\gamma}{( {P_u}(u,v) \mathbf{e}_u + {P_v}(u,v) \mathbf{e}_v)\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{l}} = \iint_D \left( \frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v} \right) \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v $$हम ऊपर दी गई ग्रीन की प्रमेय के बाईं ओर चरण 2 के निष्कर्ष को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, और दाईं ओर चरण 3 के निष्कर्ष को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। क्यू.ई.डी. (Q.E.D.)

अवकलन रूपों के माध्यम से प्रमाण
फलनों $$ \R^3\to\R^3 $$ को मानचित्र के माध्यम से $$ \R^3$$ पर अवकलन 1-रूपों के साथ पहचाना जा सकता है $$F_x\mathbf{e}_1+F_y\mathbf{e}_2+F_z\mathbf{e}_3 \mapsto F_x\,\mathrm{d}x + F_y\,\mathrm{d}y + F_z\,\mathrm{d}z .$$फलन $x ↦ a × x$ से संबंधित अवकलन 1-रूप को ${e_{1}, e_{2}, e_{3}} |undefined$ के रूप में लिखें। तब कोई इसकी गणना कर सकता है$$\star\omega_{\nabla\times\mathbf{F}}=\mathrm{d}\omega_{\mathbf{F}}$$जहाँ $x$ हॉज तारा है और $$\mathrm{d}$$ बाह्य व्युत्पन्न है। इस प्रकार, सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय द्वारा, $$\oint_{\partial\Sigma}{\mathbf{F}\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{\gamma}} =\oint_{\partial\Sigma}{\omega_{\mathbf{F}}} =\int_{\Sigma}{\mathrm{d}\omega_{\mathbf{F}}} =\int_{\Sigma}{\star\omega_{\nabla\times\mathbf{F}}} =\iint_{\Sigma}{\nabla\times\mathbf{F}\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}} $$

अघूर्णी क्षेत्र
इस खंड में, हम स्टोक्स की प्रमेय के आधार पर अघूर्णी क्षेत्र (लैमेलर सदिश क्षेत्र) पर चर्चा करेंगे।

परिभाषा 2-1 (अघूर्णी क्षेत्र)। विवृत $$U\subseteq\R^3$$ पर निष्कोण सदिश क्षेत्र $(A − AT)x = a × x$, अघूर्णी (लैमेलर सदिश क्षेत्र) है यदि $F$ है।

यांत्रिकी में यह अवधारणा बहुत मौलिक है जैसा कि हम बाद में सिद्ध करेंगे, यदि $ω_{F}$ अघूर्णी है और $★$ का क्षेत्र सरलता संबद्ध है, तो $F$ संरक्षी सदिश क्षेत्र है।

हेल्महोल्ट्ज़ की प्रमेय
इस खंड में, हम प्रमेय प्रस्तुत करेंगे जो स्टोक्स की प्रमेय से लिया गया है और भ्रमिल-मुक्त सदिश क्षेत्रों की विशेषता बताता है। द्रव गतिकी में इसे हेल्महोल्ट्ज़ की प्रमेय कहा जाता है।

प्रमेय 2-1 (द्रव गतिकी में हेल्महोल्ट्ज़ की प्रमेय)।   मान लीजिए कि $$ U\subseteq\R^3$$ लैमेलर सदिश क्षेत्र $∇ × F = 0$ के साथ विवृत उपसमुच्चय है और मान लीजिए कि $F$ खंडशः निष्कोण लूप हैं। यदि कोई फलन $F$ ऐसा है कि तब,$$\int_{c_0} \mathbf{F} \, \mathrm{d}c_0=\int_{c_1} \mathbf{F} \, \mathrm{d}c_1$$लॉरेंस जैसी कुछ पाठ्यपुस्तकें प्रमेय 2-1 में बताए गए $F$ और $F$ के बीच के संबंध को "समस्थानी" और फलन $c_{0}, c_{1}: [0, 1] → U$ को "$H: [0, 1] × [0, 1] → U$ और $t ∈ [0, 1]$ के बीच समस्थेयता" कहती हैं। हालाँकि, उपर्युक्त अर्थों में "समस्थानी" या "समस्थेयता" "समस्थानी" या "समस्थेयता" की विशिष्ट परिभाषाओं से भिन्न (अधिक दृढ़) हैं, बाद वाली छोड़ी गई स्थिति [TLH3]। तो अब से हम प्रमेय 2-1 के अर्थ में समस्थेयता (समरूपी) को नलिकाकार समस्थेयता (संबंधित नलिकाकार-समस्थानी) के रूप में संदर्भित करते हैं।
 * [TLH0] $A$ खंडशः निष्कोण है,
 * सभी $H(t, 0) = c_{0}(t)$ के लिए [TLH1] $t ∈ [0, 1]$,
 * सभी $H(t, 1) = c_{1}(t)$ के लिए [TLH2] $s ∈ [0, 1]$,
 * सभी $H(0, s) = H(1, s)$के लिए [TLH3] $c_{0}$,

हेल्महोल्ट्ज़ के प्रमेयों का प्रमाण
निम्नलिखित में, हम संकेतन का दुरुपयोग करते हैं और मौलिक समूहबद्ध में पथों के संयोजन के लिए "$$\oplus$$" का उपयोग करते हैं और पथ के अभिविन्यास को उलटने के लिए "$$\ominus$$" का उपयोग करते हैं।

मान लीजिए $c_{1}$, और $H: [0, 1] × [0, 1] → U$ को चार रेखाखंडों $c_{0}$ में विभाजित करें।$$\begin{align} \gamma_1:[0,1] \to D;\quad&\gamma_1(t) = (t, 0) \\ \gamma_2:[0,1] \to D;\quad&\gamma_2(s) = (1, s) \\ \gamma_3:[0,1] \to D;\quad&\gamma_3(t) = (1-t, 1) \\ \gamma_4:[0,1] \to D;\quad&\gamma_4(s) = (0, 1-s) \end{align}$$ताकि$$\partial D = \gamma_1 \oplus \gamma_2 \oplus \gamma_3 \oplus \gamma_4$$हमारी धारणा से कि $c_{1}$ और $γ_{1}, ..., γ_{4}$ खंडशः निष्कोण समरूपता हैं, खंडशः निष्कोण समरूपता $D = [0, 1] × [0, 1]$ है$$\begin{align} \Gamma_i(t) &= H(\gamma_{i}(t)) && i=1, 2, 3, 4 \\ \Gamma(t) &= H(\gamma(t)) =(\Gamma_1 \oplus \Gamma_2 \oplus \Gamma_3 \oplus \Gamma_4)(t) \end{align}$$मान लीजिए $H$, $S$ के अंतर्गत $H$ का प्रतिबिम्ब है$$ \iint_S \nabla\times\mathbf{F}\, \mathrm{d}S = \oint_\Gamma \mathbf{F}\, \mathrm{d}\Gamma $$स्टोक्स की प्रमेय से तुरंत अनुसरण करता है। $∂D$ लैमेलर है, इसलिए बायां भाग लुप्त हो जाता है, अर्थात्।$$0=\oint_\Gamma \mathbf{F}\, \mathrm{d}\Gamma = \sum_{i=1}^4 \oint_{\Gamma_i} \mathbf{F} \, \mathrm{d}\Gamma $$चूँकि $D$ नलिकाकार (संतोषजनक [TLH3]), $$\Gamma_2 = \ominus \Gamma_4$$ और $$\Gamma_2 = \ominus \Gamma_4$$ है। इस प्रकार रेखा $γj$ और $c_{0}$ के अनुदिश समाकलित होकर रद्द हो जाती है$$0=\oint_{\Gamma_1} \mathbf{F} \, \mathrm{d}\Gamma +\oint_{\Gamma_3} \mathbf{F} \, \mathrm{d}\Gamma$$दूसरी ओर, $c_{1}$, $$c_3 = \ominus \Gamma_3$$, जिससे कि वांछित समानता लगभग तुरंत आ जाए।

संरक्षी बल
ऊपर हेल्महोल्ट्ज़ की प्रमेय यह स्पष्टीकरण देती है कि किसी वस्तु की स्थिति को बदलने में संरक्षी बल द्वारा किया गया कार्य पथ स्वतंत्र क्यों है। सबसे पहले, हम लेम्मा 2-2 का परिचय देते हैं, जो हेल्महोल्ट्ज़ की प्रमेय का परिणाम और विशेष स्थिति है।

लेम्मा 2-2। मान लीजिए $$ U\subseteq\R^3$$ विवृत उपसमुच्चय है, जिसमें लैमेलर सदिश क्षेत्र $H: D → M$ और खंडशः निष्कोण लूप $F$ है। यदि कोई समरूपता $Γ_{2}(s)$ है, तो बिंदु $Γ_{4}(s)$ निर्धारित करें, जिससे कि तब,$$\int_{c_0} \mathbf{F} \, \mathrm{d}c_0=0$$ऊपर लेम्मा 2-2 प्रमेय 2-1 से अनुसरण करता है। लेम्मा 2-2 में, [SC0] से [SC3] को संतुष्ट करने वाले $H$ का अस्तित्व महत्वपूर्ण है सवाल यह है कि क्या ऐसी समरूपता को मनमाने ढंग से लूपों के लिए लिया जा सकता है। यदि $H$ सरलता संबद्ध है, तो ऐसा $H$ उपस्थित है। सरलता संबद्ध स्थान की परिभाषा इस प्रकार है- परिभाषा 2-2 (सरलता संबद्ध स्थान)। मान लीजिए $$M\subseteq\R^n$$ गैर-रिक्त और पथ-संबद्ध है। $U$ को सरलता संबद्ध कहा जाता है यदि और केवल यदि किसी सतत लूप के लिए, $c1 = Γ1$ $H$ से एक निश्चित बिंदु $F$ तक सतत नलिकाकार समस्थेयता $c_{0}: [0, 1] → U$ उपस्थित है अर्थात्,
 * [SC0] $M$ खंडशः निष्कोण है,
 * सभी $H: [0, 1] × [0, 1] → U$ के लिए [SC1] $p ∈ U$,
 * सभी $t ∈ [0, 1]$ के लिए [SC2] $H(t, 0) = c_{0}(t)$,
 * सभी $t ∈ [0, 1]$ के लिए [SC3] $H(t, 1) = p$।
 * [SC0'] $c$ सतत है,
 * सभी $s ∈ [0, 1]$ के लिए [SC1] $H(0, s) = H(1, s) = p$,
 * सभी $c: [0, 1] → M$ के लिए [SC2] $p ∈ c$,
 * सभी $H: [0, 1] × [0, 1] → M$ के लिए [SC3] $t ∈ [0, 1]$।

यह दावा कि "संरक्षी बल के लिए, किसी वस्तु की स्थिति को बदलने में किया गया कार्य पथ स्वतंत्र है" यदि M सरलता संबद्ध है तो यह तुरंत लागू होता प्रतीत हो सकता है। हालाँकि, याद रखें कि सरल-सम्बन्ध केवल सतत समरूपता संतोषजनक [SC1-3] के अस्तित्व की गारंटी देता है हम इसके स्थान पर उन स्थितियों को संतुष्ट करने वाली खंडशः निष्कोण समस्थेयता की कोशिश करते हैं।

सौभाग्य से, नियमितता में अंतर को व्हिटनी की सन्निकटन प्रमेय द्वारा हल किया गया है। दूसरे शब्दों में, सतत समरूपता खोजने की संभावना, लेकिन इसे एकीकृत करने में सक्षम नहीं होना, वास्तव में उच्च गणित के लाभ से समाप्त हो जाती है। हम इस प्रकार निम्नलिखित प्रमेय प्राप्त करते हैं।

प्रमेय 2-2। मान लीजिए $$U\subseteq\R^3$$ विवृत है और अघूर्णी सदिश क्षेत्र $H(t, 0) = c(t)$ से सरलता संबद्ध है। सभी खंडशः में निष्कोण लूपों के लिए $t ∈ [0, 1]$$$\int_{c_0} \mathbf{F} \, \mathrm{d}c_0 = 0$$

मैक्सवेल का समीकरण
विद्युत चुंबकत्व के भौतिकी में, स्टोक्स की प्रमेय मैक्सवेल-फैराडे समीकरण और मैक्सवेल-एम्पीयर समीकरण के अवकलन रूप और इन समीकरणों के समाकलन रूप की तुल्यता के लिए औचित्य प्रदान करती है। फैराडे के नियम के लिए, स्टोक्स की प्रमेय को विद्युत क्षेत्र, $$\mathbf{E}$$ पर लागू किया जाता है-$$\oint_{\partial\Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}= \iint_\Sigma \mathbf{\nabla}\times \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} .$$एम्पीयर के नियम के लिए, स्टोक्स की प्रमेय को चुंबकीय क्षेत्र, $$\mathbf{B}$$ पर लागू किया जाता है-$$\oint_{\partial\Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}= \iint_\Sigma \mathbf{\nabla}\times \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} .$$