बेयस प्रमेय

संभाव्यता सिद्धांत और आंकड़ों में, बेयस प्रमेय (वैकल्पिक रूप से बेयस कानून या बेयस नियम), जिसका नाम थॉमस बेयस के नाम पर रखा गया है, एक घटना की संभावना (संभावना सिद्धांत) का वर्णन करता है, जो उन स्थितियों के पूर्व ज्ञान पर आधारित है जो घटना से संबंधित हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, यदि स्वास्थ्य समस्याओं के विकसित होने का जोखिम उम्र के साथ बढ़ता हुआ जाना जाता है, तो बेयस प्रमेय किसी ज्ञात आयु के व्यक्ति के जोखिम को उनकी उम्र के सापेक्ष कंडीशनिंग करके अधिक सटीक रूप से मूल्यांकन करने की अनुमति देता है, बजाय केवल यह मानने के कि व्यक्ति समग्र रूप से जनसंख्या का विशिष्ट है।

बेयस प्रमेय के कई अनुप्रयोगों में से एक बायेसियन अनुमान है, जो सांख्यिकीय अनुमान के लिए एक विशेष दृष्टिकोण है। लागू होने पर, प्रमेय में शामिल संभावनाओं की अलग-अलग संभावना व्याख्याएं हो सकती हैं। बायेसियन संभाव्यता व्याख्या के साथ, प्रमेय व्यक्त करता है कि संभाव्यता के रूप में व्यक्त विश्वास की डिग्री, संबंधित साक्ष्य की उपलब्धता के लिए तर्कसंगत रूप से कैसे बदलनी चाहिए। बायेसियन अनुमान बायेसियन सांख्यिकी के लिए मौलिक है, जिसे एक प्राधिकारी द्वारा इस प्रकार माना जाता है; संभाव्यता के सिद्धांत के लिए पाइथागोरस का प्रमेय ज्यामिति के लिए क्या है।

इतिहास
बेयस प्रमेय का नाम रेवरेंड थॉमस बेयस के नाम पर रखा गया है, एक सांख्यिकीविद् और दार्शनिक भी। बेयस ने एक एल्गोरिदम (उनका प्रस्ताव 9) प्रदान करने के लिए सशर्त संभाव्यता का उपयोग किया जो अज्ञात पैरामीटर पर सीमा की गणना करने के लिए साक्ष्य का उपयोग करता है। उनका काम 1763 में संभावनाओं के सिद्धांत में एक समस्या को हल करने की दिशा में एक निबंध के रूप में प्रकाशित हुआ था। बेयस ने अध्ययन किया कि द्विपद वितरण (आधुनिक शब्दावली में) के संभाव्यता पैरामीटर के लिए वितरण की गणना कैसे की जाती है। बेयस की मृत्यु पर उनके परिवार ने उनके कागजात एक मित्र, मंत्री, दार्शनिक और गणितज्ञ रिचर्ड प्राइस को हस्तांतरित कर दिए।

दो वर्षों में, रिचर्ड प्राइस ने अप्रकाशित पांडुलिपि को महत्वपूर्ण रूप से संपादित किया, इसे एक मित्र को भेजने से पहले जिसने इसे 23 दिसंबर 1763 को रॉयल सोसाइटी में जोर से पढ़ा। मूल्य संपादित बेयस का प्रमुख कार्य संभावनाओं के सिद्धांत में एक समस्या को हल करने की दिशा में एक निबंध (1763), जो दार्शनिक लेन-देन में छपा, और इसमें बेयस प्रमेय शामिल है। प्राइस ने पेपर के लिए एक परिचय लिखा जो बायेसियन सांख्यिकी के कुछ दार्शनिक आधार प्रदान करता है और बेयस द्वारा प्रस्तुत दो समाधानों में से एक को चुना। 1765 में, बेयस की विरासत पर उनके काम की मान्यता के लिए प्राइस को रॉयल सोसाइटी का फेलो चुना गया था। 27 अप्रैल को अपने मित्र बेंजामिन फ्रैंकलिन को भेजा गया एक पत्र रॉयल सोसाइटी में पढ़ा गया, और बाद में प्रकाशित किया गया, जहां प्राइस इस काम को जनसंख्या और 'जीवन-वार्षिकियां' की गणना पर लागू करता है। बेयस से स्वतंत्र रूप से, पियरे-साइमन लाप्लास ने 1774 में, और बाद में अपने 1812 थियोरी एनालिटिक डेस प्रोबेबिलिटेस में, पूर्व संभाव्यता से एक अद्यतन पश्च संभाव्यता के संबंध को तैयार करने के लिए सशर्त संभाव्यता का उपयोग किया, साक्ष्य दिया। उन्होंने 1774 में बेयस के परिणामों को पुन: प्रस्तुत और विस्तारित किया, जाहिर तौर पर वे बेयस के काम से अनभिज्ञ थे। संभाव्यता की बायेसियन संभावना मुख्य रूप से लाप्लास द्वारा विकसित की गई थी। लगभग 200 साल बाद, हेरोल्ड जेफ़्रीज़ ने बेयस के एल्गोरिदम और लाप्लास के सूत्रीकरण को एक स्वयंसिद्ध प्रणाली के आधार पर रखा, 1973 की एक किताब में लिखा कि बेयस का प्रमेय संभाव्यता के सिद्धांत के लिए वही है जो पाइथागोरस प्रमेय ज्यामिति के लिए है। स्टीफन स्टिगलर ने यह निष्कर्ष निकालने के लिए बायेसियन तर्क का उपयोग किया कि बेयस प्रमेय की खोज बेयस से कुछ समय पहले एक अंधे अंग्रेजी गणितज्ञ निकोलस सॉन्डर्सन ने की थी; हालाँकि, वह व्याख्या विवादित रही है। मार्टिन हूपर और शेरोन मैकग्रेन तर्क दिया है कि रिचर्ड प्राइस का योगदान पर्याप्त था: "By modern standards, we should refer to the Bayes–Price rule. Price discovered Bayes's work, recognized its importance, corrected it, contributed to the article, and found a use for it. The modern convention of employing Bayes's name alone is unfair but so entrenched that anything else makes little sense."

प्रमेय का कथन
बेयस प्रमेय को गणितीय रूप से निम्नलिखित समीकरण के रूप में बताया गया है:

कहाँ $$A$$ और $$B$$ घटना (संभावना सिद्धांत) और हैं $$P(B) \neq 0$$.


 * $$P(A\vert B)$$ एक सशर्त संभाव्यता है: घटना की संभावना $$A$$ यह देखते हुए घटित हो रहा है $$B$$ क्या सच है। इसे पश्च संभाव्यता भी कहा जाता है $$A$$ दिया गया $$B$$.
 * $$P(B\vert A)$$ यह भी एक सशर्त संभाव्यता है: घटना की संभावना $$B$$ यह देखते हुए घटित हो रहा है $$A$$ क्या सच है। इसे संभावना फलन के रूप में भी समझा जा सकता है $$A$$ एक निश्चित दिया गया $$B$$ क्योंकि $$P(B\vert A)=L(A\vert B)$$.
 * $$P(A)$$ और $$P(B)$$ अवलोकन की संभावनाएँ हैं $$A$$ और $$B$$ बिना किसी शर्त के क्रमशः; उन्हें पूर्व संभाव्यता और सीमांत संभाव्यता के रूप में जाना जाता है।

घटनाओं के लिए
बेयस प्रमेय सशर्त संभाव्यता की परिभाषा से प्राप्त किया जा सकता है:


 * $$P(A\vert B)=\frac{P(A \cap B)}{P(B)}, \text{ if } P(B) \neq 0, $$

कहाँ $$P(A \cap B)$$ A और B दोनों के सत्य होने की प्रायिकता है। इसी प्रकार,


 * $$P(B\vert A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}, \text{ if } P(A) \neq 0. $$

के लिए समाधान $$P(A \cap B)$$ और उपरोक्त अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापित करना $$P(A\vert B)$$ बेयस प्रमेय उत्पन्न करता है:


 * $$P(A\vert B) = \frac{P(B\vert A) P(A)}{P(B)}, \text{ if } P(B) \neq 0.$$

निरंतर यादृच्छिक चर के लिए
दो निरंतर यादृच्छिक चर X और Y के लिए, बेयस प्रमेय को सशर्त घनत्व की परिभाषा से समान रूप से प्राप्त किया जा सकता है:


 * $$f_{X \vert Y=y} (x) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_Y(y)} $$
 * $$f_{Y \vert X=x}(y) = \frac{f_{X,Y}(x,y)}{f_X(x)} $$

इसलिए,


 * $$f_{X \vert Y=y}(x) = \frac{f_{Y \vert X=x}(y) f_X(x)}{f_Y(y)}.$$

सामान्य मामला
होने देना $$P_Y^x $$ का सशर्त वितरण हो $$Y$$ दिया गया $$X = x$$ और जाने $$P_X$$ का वितरण हो $$X$$. संयुक्त वितरण तब होता है $$P_{X,Y} (dx,dy) = P_Y^x (dy) P_X (dx)$$. सशर्त वितरण $$P_X^y $$ का $$X$$ दिया गया $$Y=y$$ फिर द्वारा निर्धारित किया जाता है

$$P_X^y (A) = E (1_A (X) | Y = y)$$ आवश्यक सशर्त अपेक्षा का अस्तित्व और विशिष्टता रेडॉन-निकोडिम प्रमेय का परिणाम है। इसे एंड्री कोलमोगोरोव ने 1933 की अपनी प्रसिद्ध पुस्तक में तैयार किया था। कोलमोगोरोव ने प्रस्तावना में मैं ... और विशेष रूप से सशर्त संभावनाओं और सशर्त अपेक्षाओं के सिद्धांत ... पर ध्यान आकर्षित करना चाहता हूं लिखकर सशर्त संभाव्यता के महत्व को रेखांकित किया है। बेयस प्रमेय पूर्व वितरण से पश्च वितरण निर्धारित करता है। बेयस प्रमेय को वास्तविक रेखा पर समान वितरण जैसे अनुचित पूर्व वितरणों को शामिल करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। आधुनिक मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो विधियों ने बेयस प्रमेय के महत्व को बढ़ा दिया है, जिसमें अनुचित पूर्वगामी वाले मामले भी शामिल हैं।

मनोरंजक गणित
बेयस का नियम और सशर्त संभाव्यता कंप्यूटिंग कई लोकप्रिय पहेलियों के लिए एक समाधान विधि प्रदान करती है, जैसे तीन कैदियों की समस्या, मोंटी हॉल समस्या, लड़का या लड़की विरोधाभास और दो लिफाफे समस्या।

औषधि परीक्षण
मान लीजिए, कोई व्यक्ति भांग का उपयोग कर रहा है या नहीं, इसके लिए एक विशेष परीक्षण 90% संवेदनशीलता (परीक्षण) है, जिसका अर्थ है वास्तविक सकारात्मक दर (टीपीआर) = 0.90। इसलिए, यह कैनबिस उपयोगकर्ताओं के लिए 90% सही सकारात्मक परिणाम (नशीली दवाओं के उपयोग की सही पहचान) की ओर ले जाता है।

परीक्षण भी 80% विशिष्टता (परीक्षण) है, जिसका अर्थ है वास्तविक नकारात्मक दर (टीएनआर) = 0.80। इसलिए, परीक्षण गैर-उपयोगकर्ताओं के लिए 80% गैर-उपयोग की सही पहचान करता है, लेकिन गैर-उपयोगकर्ताओं के लिए 20% झूठी सकारात्मकता, या झूठी सकारात्मक दर (एफपीआर) = 0.20 भी उत्पन्न करता है।

यह मानते हुए कि 0.05 प्रचलन है, यानी 5% लोग भांग का उपयोग करते हैं, क्या संभावना है कि एक यादृच्छिक व्यक्ति जो सकारात्मक परीक्षण करता है वह वास्तव में भांग का उपयोगकर्ता है?

किसी परीक्षण का सकारात्मक पूर्वानुमानित मूल्य (पीपीवी) उन सभी सकारात्मक परीक्षणों में से वास्तव में सकारात्मक व्यक्तियों का अनुपात है, और एक नमूने से इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है:
 * पीपीवी = सच्चा सकारात्मक / परीक्षण सकारात्मक

यदि संवेदनशीलता, विशिष्टता और व्यापकता ज्ञात है, तो पीपीवी की गणना बेयस प्रमेय का उपयोग करके की जा सकती है। होने देना $$P(\text{User}\vert \text{Positive}) $$ इसका मतलब यह संभावना है कि कोई व्यक्ति भांग का उपयोगकर्ता है, बशर्ते कि उनका परीक्षण सकारात्मक हो, जो कि पीपीवी का मतलब है। हम लिख सकते हैं:



\begin{align} P(\text{User}\vert \text{Positive}) &= \frac{P(\text{Positive}\vert \text{User}) P(\text{User})}{P(\text{Positive})} \\ &= \frac{P(\text{Positive}\vert\text{User}) P(\text{User})}{P(\text{Positive}\vert\text{User}) P(\text{User}) + P(\text{Positive}\vert\text{Non-user}) P(\text{Non-user})} \\[8pt] &= \frac{0.90 \times 0.05}{0.90 \times 0.05 + 0.20 \times 0.95} = \frac{0.045}{0.045 + 0.19} \approx 19\% \end{align}$$ यह तथ्य कि $$ P(\text{Positive}) = P(\text{Positive}\vert\text{User}) P(\text{User}) + P(\text{Positive}\vert\text{Non-user}) P(\text{Non-user}) $$ कुल संभाव्यता के नियम का प्रत्यक्ष अनुप्रयोग है। इस मामले में, यह कहता है कि किसी व्यक्ति का परीक्षण सकारात्मक होने की संभावना, उपयोगकर्ता के सकारात्मक परीक्षण की संभावना का गुणा है, उपयोगकर्ता होने की संभावना का गुना है, साथ ही किसी गैर-उपयोगकर्ता का परीक्षण सकारात्मक होने की संभावना का गुणा है, गैर-उपयोगकर्ता होने की संभावना का गुना है. यह सच है क्योंकि वर्गीकरण उपयोगकर्ता और गैर-उपयोगकर्ता एक सेट का विभाजन बनाते हैं, अर्थात् दवा परीक्षण करने वाले लोगों का समूह। यह सशर्त संभाव्यता की परिभाषा के साथ मिलकर उपरोक्त कथन में परिणामित होता है।

दूसरे शब्दों में, भले ही किसी का परीक्षण सकारात्मक हो, संभावना है कि वह कैनबिस उपयोगकर्ता है - ऐसा इसलिए है क्योंकि इस समूह में, केवल 5% लोग उपयोगकर्ता हैं, और अधिकांश सकारात्मक शेष 95% से आने वाली झूठी सकारात्मक हैं.

यदि 1,000 लोगों का परीक्षण किया गया:
 * 950 गैर-उपयोगकर्ता हैं और उनमें से 190 गलत सकारात्मक देते हैं (0.20 × 950)
 * उनमें से 50 उपयोगकर्ता हैं और उनमें से 45 वास्तविक सकारात्मक परिणाम देते हैं (0.90 × 50)

इस प्रकार 1,000 लोगों पर 235 सकारात्मक परीक्षण आए, जिनमें से केवल 45 वास्तविक दवा उपयोगकर्ता हैं, लगभग 19%। फ़्रीक्वेंसी बॉक्स का उपयोग करके चित्रण के लिए चित्र 1 देखें, और ध्यान दें कि वास्तविक सकारात्मकता का गुलाबी क्षेत्र झूठी सकारात्मकता वाले नीले क्षेत्र की तुलना में कितना छोटा है।

संवेदनशीलता या विशिष्टता
विशिष्टता (परीक्षण) के महत्व को यह दिखाकर देखा जा सकता है कि भले ही संवेदनशीलता 100% तक बढ़ जाती है और विशिष्टता 80% पर बनी रहती है, सकारात्मक परीक्षण करने वाले किसी व्यक्ति के वास्तव में कैनबिस उपयोगकर्ता होने की संभावना केवल 19% से 21% तक बढ़ जाती है, लेकिन यदि संवेदनशीलता 90% पर बनी रहती है और विशिष्टता 95% तक बढ़ जाती है, संभावना 49% तक बढ़ जाती है।

कैंसर दर
भले ही अग्नाशय कैंसर के 100% रोगियों में एक निश्चित लक्षण होता है, जब किसी में वही लक्षण होता है, तो इसका मतलब यह नहीं है कि उस व्यक्ति को अग्नाशय कैंसर होने की 100% संभावना है। यह मानते हुए कि अग्नाशय कैंसर की घटना दर 1/100000 है, जबकि दुनिया भर में 10/99999 स्वस्थ व्यक्तियों में समान लक्षण होते हैं, लक्षणों को देखते हुए अग्नाशय कैंसर होने की संभावना केवल 9.1% है, और अन्य 90.9% गलत सकारात्मक हो सकते हैं (अर्थात्), कैंसर होने की झूठी बात कही गई; सकारात्मक एक भ्रमित करने वाला शब्द है, जब, जैसा कि यहां है, परीक्षण बुरी खबर देता है)।

घटना दर के आधार पर, निम्न तालिका प्रति 100,000 लोगों पर संबंधित संख्या प्रस्तुत करती है। जिसका उपयोग आपके लक्षण होने पर कैंसर होने की संभावना की गणना करने के लिए किया जा सकता है:

\begin{align} P(\text{Cancer}|\text{Symptoms}) &= \frac{P(\text{Symptoms}|\text{Cancer}) P(\text{Cancer})}{P(\text{Symptoms})} \\ &= \frac{P(\text{Symptoms}|\text{Cancer}) P(\text{Cancer})}{P(\text{Symptoms}|\text{Cancer}) P(\text{Cancer}) + P(\text{Symptoms}|\text{Non-Cancer}) P(\text{Non-Cancer})} \\[8pt] &= \frac{1 \times 0.00001}{1 \times 0.00001 + (10/99999) \times 0.99999} = \frac1{11} \approx 9.1\% \end{align}$$

दोषपूर्ण वस्तु दर
एक फैक्ट्री तीन मशीनों-ए, बी और सी का उपयोग करके वस्तुओं का उत्पादन करती है, जो उसके उत्पादन का क्रमशः 20%, 30% और 50% है। मशीन A द्वारा उत्पादित वस्तुओं में से 5% ख़राब हैं; इसी प्रकार, मशीन B की 3% वस्तुएँ और मशीन C की 1% वस्तुएँ ख़राब हैं। यदि यादृच्छिक रूप से चुनी गई वस्तु दोषपूर्ण है, तो इसकी क्या संभावना है कि इसे मशीन C द्वारा उत्पादित किया गया था?

एक बार फिर, स्थितियों को काल्पनिक संख्या में मामलों पर लागू करके सूत्र का उपयोग किए बिना उत्तर तक पहुंचा जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि फैक्ट्री 1,000 वस्तुओं का उत्पादन करती है, तो मशीन ए द्वारा 200, मशीन बी द्वारा 300, और मशीन सी द्वारा 500 वस्तुओं का उत्पादन किया जाएगा। मशीन ए 5% × 200 = 10 दोषपूर्ण वस्तुओं का उत्पादन करेगी, मशीन बी 3% × 300 = 9, और मशीन सी 1% × 500 = 5, कुल 24 के लिए। इस प्रकार, मशीन सी द्वारा यादृच्छिक रूप से चयनित दोषपूर्ण वस्तु का उत्पादन करने की संभावना 5/24 (~20.83%) है।

इस समस्या को बेयस प्रमेय का उपयोग करके भी हल किया जा सकता है: लेट एक्सiइस घटना को निरूपित करें कि एक यादृच्छिक रूप से चुनी गई वस्तु i द्वारा बनाई गई थी वें मशीन (i = A,B,C के लिए)। मान लीजिए कि Y इस घटना को दर्शाता है कि यादृच्छिक रूप से चुनी गई वस्तु दोषपूर्ण है। फिर, हमें निम्नलिखित जानकारी दी गई है:
 * $$P(X_A) = 0.2, \quad P(X_B) = 0.3, \quad P(X_C) = 0.5.$$

यदि वस्तु पहली मशीन द्वारा बनाई गई थी, तो उसके ख़राब होने की प्रायिकता 0.05 है; अर्थात्, P(Y | XA) = 0.05. कुल मिलाकर, हमारे पास है


 * $$P(Y| X_A) = 0.05, \quad P(Y |X_B) = 0.03, \quad  P(Y| X_C) = 0.01.$$

मूल प्रश्न का उत्तर देने के लिए, हम पहले P(Y) ढूंढते हैं। इसे निम्नलिखित तरीके से किया जा सकता है:


 * $$P(Y) = \sum_i P(Y| X_i) P(X_i) = (0.05)(0.2) + (0.03)(0.3) + (0.01)(0.5) = 0.024.$$

अतः, कुल उत्पादन का 2.4% दोषपूर्ण है।

हमें दिया गया है कि Y घटित हुआ है, और हम सशर्त गणना करना चाहते हैं एक्स की संभावनाC. बेयस प्रमेय द्वारा,


 * $$P(X_C|Y) = \frac{P(Y | X_C) P(X_C)}{P(Y)} = \frac{0.01 \cdot 0.50}{0.024} = \frac{5}{24}$$

यह देखते हुए कि वस्तु दोषपूर्ण है, संभावना है कि इसे मशीन सी द्वारा बनाया गया था 5/24 है। हालाँकि मशीन C कुल आउटपुट का आधा उत्पादन करती है, यह दोषपूर्ण वस्तुओं का बहुत छोटा हिस्सा पैदा करती है। इसलिए यह ज्ञान कि चयनित वस्तु दोषपूर्ण थी, हमें पूर्व संभाव्यता P(X) को बदलने में सक्षम बनाती हैC) = 1/2 छोटी पश्च संभाव्यता P(X) द्वाराC| वाई) = 5/24.

व्याख्याएँ
बेयस नियम की व्याख्या शर्तों से जुड़ी संभाव्यता व्याख्याओं पर निर्भर करती है। दो प्रमुख व्याख्याएँ नीचे वर्णित हैं। चित्र 2 एक ज्यामितीय दृश्य दिखाता है।

बायेसियन व्याख्या
बायेसियन संभाव्यता | बायेसियन (या ज्ञानमीमांसा) व्याख्या में, संभाव्यता विश्वास की एक डिग्री को मापती है। बेयस का प्रमेय साक्ष्य के लेखांकन से पहले और बाद में किसी प्रस्ताव में विश्वास की डिग्री को जोड़ता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि यह 50% निश्चितता के साथ माना जाता है कि एक सिक्के पर पट आने की संभावना दोगुनी है। यदि सिक्के को कई बार उछाला जाता है और परिणाम देखे जाते हैं, तो विश्वास की डिग्री संभवतः बढ़ेगी या घटेगी, लेकिन परिणामों के आधार पर समान भी रह सकती है। प्रस्ताव ए और साक्ष्य बी के लिए,
 * पी (ए), पूर्व, ए में विश्वास की प्रारंभिक डिग्री है।
 * P (A | B), पश्च, समाचार को शामिल करने के बाद विश्वास की डिग्री है कि B सत्य है।
 * भागफल $P(B&thinsp;|&thinsp;A)⁄P(B)$ B द्वारा A को प्रदान की जाने वाली सहायता का प्रतिनिधित्व करता है।

संभाव्यता की बायेसियन व्याख्या के तहत बेयस प्रमेय के अनुप्रयोग पर अधिक जानकारी के लिए, बायेसियन अनुमान देखें।

अक्सरवादी व्याख्या
संभाव्यता की बारंबारतावादी व्याख्या में, संभाव्यता परिणामों के अनुपात को मापती है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि एक प्रयोग कई बार किया जाता है। P(A) संपत्ति A (पूर्व) के परिणामों का अनुपात है और P(B) संपत्ति B के साथ अनुपात है। P(B | A) संपत्ति A के परिणामों में से संपत्ति B के परिणामों का अनुपात है, और P(A | B) B (पिछला) वाले लोगों में से A वाले लोगों का अनुपात है।

बेयस प्रमेय की भूमिका को चित्र 3 जैसे वृक्ष आरेखों के साथ सबसे अच्छी तरह से देखा जा सकता है। विपरीत संभावनाओं को प्राप्त करने के लिए दो आरेख समान परिणामों को विपरीत क्रम में ए और बी द्वारा विभाजित करते हैं। बेयस का प्रमेय विभिन्न विभाजनों को जोड़ता है।

उदाहरण
एक कीट विज्ञान ने पता लगाया है कि इसकी पीठ पर बने पैटर्न के कारण यह भृंग  की एक दुर्लभ उप-प्रजाति हो सकती है। दुर्लभ उप-प्रजाति के पूरे 98% सदस्यों के पास पैटर्न है, इसलिए P(पैटर्न | दुर्लभ) = 98%। सामान्य उप-प्रजाति के केवल 5% सदस्यों के पास ही यह पैटर्न है। दुर्लभ उप-प्रजाति कुल जनसंख्या का 0.1% है। बीटल के पैटर्न के दुर्लभ होने की कितनी संभावना है: P(दुर्लभ | पैटर्न) क्या है?

बेयस प्रमेय के विस्तारित रूप से (चूंकि कोई भी बीटल या तो दुर्लभ या सामान्य है),



\begin{align} P(\text{Rare} \vert \text{Pattern}) &= \frac{P(\text{Pattern} \vert \text{Rare})P(\text{Rare})} {P(\text{Pattern})}\\ [8pt] &= \frac{P(\text{Pattern}\vert \text{Rare})P(\text{Rare})} {P(\text{Pattern} \vert \text{Rare}) P(\text{Rare}) + P(\text{Pattern}\vert \text{Common})P(\text{Common})}\\ [8pt] &= \frac{0.98 \times 0.001} {0.98 \times 0.001 + 0.05 \times 0.999}\\ [8pt] &\approx 1.9\% \end{align} $$

सरल रूप
घटनाओं ए और बी के लिए, बशर्ते कि पी(बी) ≠ 0,


 * $$P(A| B) = \frac{P(B | A) P(A)}{P(B)} . $$

कई अनुप्रयोगों में, उदाहरण के लिए बायेसियन अनुमान में, घटना बी चर्चा में तय की गई है, और हम विभिन्न संभावित घटनाओं ए में हमारे विश्वास पर इसके प्रभाव पर विचार करना चाहते हैं। ऐसी स्थिति में अंतिम अभिव्यक्ति का विभाजक, दिए गए साक्ष्य बी की संभावना निश्चित है; हम जो बदलना चाहते हैं वह ए है। बेयस प्रमेय से पता चलता है कि पिछली संभावनाएं अंश के लिए आनुपातिकता (गणित) हैं, इसलिए अंतिम समीकरण बन जाता है:


 * $$P(A| B) \propto P(A) \cdot P(B| A) .$$

शब्दों में, पश्च संभावना पूर्व समय के समानुपाती होती है। यदि घटनाएँ ए1, ए2, ..., परस्पर अनन्य और संपूर्ण हैं, अर्थात, उनमें से एक का घटित होना निश्चित है लेकिन कोई भी दो एक साथ घटित नहीं हो सकते हैं, हम इस तथ्य का उपयोग करके आनुपातिकता स्थिरांक निर्धारित कर सकते हैं कि उनकी संभावनाओं का योग एक होना चाहिए। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए इवेंट ए के लिए, इवेंट ए और उसका पूरक ¬A विशिष्ट और संपूर्ण हैं। आनुपातिकता के स्थिरांक को c से निरूपित करना हमारे पास है


 * $$P(A| B) = c \cdot P(A) \cdot P(B| A) \text{ and } P(\neg A| B) = c \cdot P(\neg A) \cdot P(B| \neg A). $$

इन दोनों सूत्रों को जोड़ने पर हम यह निष्कर्ष निकालते हैं


 * $$ 1 = c \cdot (P(B| A)\cdot P(A) + P(B| \neg A) \cdot P(\neg A)),$$

या


 * $$ c = \frac{1}{P(B| A)\cdot P(A) + P(B| \neg A) \cdot P(\neg A)} = \frac 1 {P(B)}. $$

वैकल्पिक रूप
दो प्रतिस्पर्धी कथनों या परिकल्पनाओं के लिए बेयस प्रमेय का दूसरा रूप है:


 * $$P(A| B) = \frac{P(B| A) P(A)}{ P(B| A) P(A) + P(B| \neg A) P(\neg A)}.$$

ज्ञानमीमांसीय व्याख्या के लिए:

प्रस्ताव ए और साक्ष्य या पृष्ठभूमि बी के लिए,
 * $$P(A)$$ पूर्व संभाव्यता है, ए में विश्वास की प्रारंभिक डिग्री।
 * $$P(\neg A)$$ नॉट-ए में विश्वास की संगत प्रारंभिक डिग्री है, कि ए गलत है, जहां $$ P(\neg A) =1-P(A) $$
 * $$P(B| A)$$ सशर्त संभाव्यता या संभावना है, बी में विश्वास की डिग्री दी गई है कि प्रस्ताव ए सत्य है।
 * $$P(B|\neg A)$$ सशर्त संभाव्यता या संभावना है, बी में विश्वास की डिग्री, यह देखते हुए कि प्रस्ताव ए गलत है।
 * $$P(A| B)$$ पश्च संभाव्यता है, B को ध्यान में रखने के बाद A की संभाव्यता।

विस्तृत रूप
अक्सर, किसी सेट के कुछ विभाजन के लिए {एj} नमूना स्थान का, नमूना स्थान P(A) के संदर्भ में दिया गया हैj) और पी(बी|ए)j). कुल संभाव्यता के नियम का उपयोग करके P(B) की गणना करना उपयोगी है:


 * $$P(B) = {\sum_j P(B| A_j) P(A_j)},$$
 * $$\Rightarrow P(A_i| B) = \frac{P(B| A_i) P(A_i)}{\sum\limits_j P(B| A_j) P(A_j)}\cdot$$

विशेष मामले में जहां A एक द्विआधारी चर है:


 * $$P(A| B) = \frac{P(B| A) P(A)}{ P(B| A) P(A) + P(B| \neg A) P(\neg A)}\cdot$$

यादृच्छिक चर
दो यादृच्छिक चर


 * $$P( X{=}x | Y {=} y) = \frac{P(Y{=}y | X{=}x) P(X{=}x)}{P(Y{=}y)}$$

हालाँकि, उन बिंदुओं पर पद 0 हो जाते हैं जहां किसी भी चर में परिमित संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन होता है। उपयोगी बने रहने के लिए, बेयस प्रमेय को प्रासंगिक घनत्वों के संदर्भ में तैयार किया जाना चाहिए (देखें #व्युत्पत्ति)।

सरल रूप
यदि X सतत है और Y असतत है,


 * $$f_{X | Y{=}y}(x) = \frac{P(Y{=}y| X{=}x) f_X(x)}{P(Y{=}y)}$$

जहां प्रत्येक $$f$$ एक घनत्व फलन है.

यदि X असतत है और Y सतत है,


 * $$ P(X{=}x| Y{=}y) = \frac{f_{Y | X{=}x}(y) P(X{=}x)}{f_Y(y)}.$$

यदि X और Y दोनों सतत हैं,


 * $$ f_{X| Y{=}y}(x) = \frac{f_{Y | X{=}x}(y) f_X(x)}{f_Y(y)}.$$

विस्तृत रूप
एक सतत घटना स्थान की संकल्पना अक्सर अंश शब्दों के संदर्भ में की जाती है। फिर कुल संभाव्यता के नियम का उपयोग करके हर को समाप्त करना उपयोगी होता है। एफ के लिएY(y), यह एक अभिन्न अंग बन जाता है:


 * $$ f_Y(y) = \int_{-\infty}^\infty f_{Y| X = \xi}(y) f_X(\xi)\,d\xi .$$

कठिनाइयाँ फॉर्म में बेयस का नियम
बाधाओं में बेयस प्रमेय है:


 * $$O(A_1:A_2\vert B) = O(A_1:A_2) \cdot \Lambda(A_1:A_2\vert B) $$

कहाँ


 * $$\Lambda(A_1:A_2\vert B) = \frac{P(B\vert A_1)}{P(B\vert A_2)}$$

बेयस कारक या संभावना अनुपात कहा जाता है। दो घटनाओं के बीच का अंतर केवल दो घटनाओं की संभावनाओं का अनुपात है। इस प्रकार


 * $$O(A_1:A_2) = \frac{P(A_1)}{P(A_2)},$$
 * $$O(A_1:A_2\vert B) = \frac{P(A_1\vert  B)}{P(A_2\vert  B)},$$

इस प्रकार, नियम कहता है कि पिछली बाधाएं बेयस कारक के पूर्व बाधाओं के समय होती हैं, या दूसरे शब्दों में, पिछली संभावना पिछले समय की संभावना के समानुपाती होती है।

विशेष मामले में वह $$A_1 = A$$ और $$A_2 = \neg A$$, एक लिखता है $$O(A)=O(A:\neg A) =P(A)/(1-P(A))$$, और बेयस फ़ैक्टर और सशर्त बाधाओं के लिए एक समान संक्षिप्त नाम का उपयोग करता है। संभावनाएँ चालू हैं $$A$$ परिभाषा के अनुसार पक्ष और विपक्ष में संभावनाएँ हैं $$A$$. फिर बेयस नियम को संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है


 * $$O(A\vert B) = O(A) \cdot \Lambda(A\vert B) ,$$

या, शब्दों में, पिछली बाधाओं पर $$A$$ पिछली बाधाओं के बराबर है $$A$$ के लिए संभावना अनुपात का गुना $$A$$ जानकारी दी $$B$$. संक्षेप में, पश्चवर्ती संभावना पूर्व संभावना गुणा संभावना अनुपात के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, यदि किसी मेडिकल परीक्षण में संवेदनशीलता और विशिष्टता 90% है और संवेदनशीलता और विशिष्टता 91% है, तो सकारात्मक बेयस कारक है $$\Lambda_+ = P(\text{True Positive})/P(\text{False Positive}) = 90\%/(100\%-91\%)=10$$. अब, यदि इस बीमारी की व्यापकता 9.09% है, और यदि हम इसे पूर्व संभावना के रूप में लेते हैं, तो पूर्व संभावना लगभग 1:10 है। इसलिए सकारात्मक परीक्षण परिणाम प्राप्त करने के बाद, वास्तव में बीमारी होने की संभावना 1:1 हो जाती है, जिसका अर्थ है कि बीमारी होने की पिछली संभावना 50% है। यदि क्रमिक परीक्षण में दूसरा परीक्षण किया जाता है, और वह भी सकारात्मक निकलता है, तो वास्तव में बीमारी होने की पिछली संभावना 10:1 हो जाती है, जिसका मतलब है कि लगभग 90.91% की पिछली संभावना। नकारात्मक बेयस कारक की गणना 91%/(100%-90%)=9.1 की जा सकती है, इसलिए यदि दूसरा परीक्षण नकारात्मक हो जाता है, तो वास्तव में बीमारी होने की संभावना 1:9.1 है, जिसका अर्थ है लगभग 9.9% की पश्चवर्ती संभावना।

उपरोक्त उदाहरण को अधिक ठोस संख्याओं के साथ भी समझा जा सकता है: मान लें कि परीक्षण करने वाला रोगी 1000 लोगों के समूह से है, जहां उनमें से 91 को वास्तव में यह बीमारी है (9.1% की व्यापकता)। यदि ये सभी 1000 लोग चिकित्सा परीक्षण कराते हैं, तो बीमारी से पीड़ित 82 लोगों को सही सकारात्मक परिणाम मिलेगा (90.1% की संवेदनशीलता), बीमारी से पीड़ित लोगों में से 9 को गलत नकारात्मक परिणाम मिलेगा (गलत सकारात्मक और 9.9% की झूठी नकारात्मक) ), बिना बीमारी वाले लोगों में से 827 को वास्तविक नकारात्मक परिणाम मिलेगा (91.0% की विशिष्टता), और बिना बीमारी वाले लोगों में से 82 को गलत सकारात्मक परिणाम मिलेगा (9.0% की झूठी सकारात्मक दर)। कोई भी परीक्षण करने से पहले, रोगी में रोग होने की संभावना 91:909 होती है। सकारात्मक परिणाम प्राप्त होने के बाद, रोगी को रोग होने की संभावना बढ़ जाती है


 * $$\frac{91}{909}\times\frac{90.1\%}{9.0\%}=\frac{91\times90.1\%}{909\times9.0\%}=1:1$$

जो इस तथ्य के अनुरूप है कि 1000 लोगों के समूह में 82 सच्चे सकारात्मक और 82 झूठे सकारात्मक हैं।

प्रस्तावात्मक तर्क
का उपयोग करते हुए $$P(\neg B\vert A)=1-P(B\vert A)$$ दो बार, कोई व्यक्त करने के लिए बेयस प्रमेय का भी उपयोग कर सकता है $$P(\neg B\vert \neg A)$$ के अनुसार $$P(A\vert B)$$ और बिना किसी निषेध के:
 * $$P(\neg B\vert \neg A) = 1 - \left(1-P(A\vert B)\right)\frac{P(B)}{P(\neg A)}$$,

कब $$P(\neg A) = 1 - P(A) \neq 0$$. इससे हम निष्कर्ष पढ़ सकते हैं
 * $$P(A\vert B) = 1\implies P(\neg B\vert \neg A) = 1$$.

शब्दों में: यदि निश्चित रूप से $$B$$ तात्पर्य $$A$$, हम निश्चित रूप से यह अनुमान लगाते हैं $$\neg A$$ तात्पर्य $$\neg B$$. कहाँ $$P(B)\neq 0$$, निश्चित रूप से दोनों निहितार्थ समतुल्य कथन हैं। संभाव्यता सूत्रों में, सशर्त संभाव्यता $$P(A \vert B)$$ तार्किक निहितार्थ को सामान्यीकृत करता है $$B \implies A$$, जहां अब सही या गलत निर्दिष्ट करने से परे, हम कथनों को संभाव्यता मान निर्दिष्ट करते हैं। का दावा $$B \implies A$$ सशर्त की निश्चितता, के दावे द्वारा कब्जा कर लिया गया है $$P(A\vert B) = 1$$. निहितार्थ की दिशाओं से संबंधित, बेयस प्रमेय विरोधाभास कानून के सामान्यीकरण का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे शास्त्रीय प्रस्ताव कैलकुलस में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$(B \implies A)\iff(\neg A \implies \neg B)$$.

निहितार्थों के बीच इस संबंध में, की स्थितियाँ $$A$$ सम्मान $$B$$ फ़्लिप हो जाओ.

संभाव्यता कैलकुलस के संदर्भ में संबंधित सूत्र बेयस प्रमेय है, जो अपने विस्तारित रूप में पूर्व संभाव्यता/आधार दर को शामिल करता है $$a$$ केवल का $$A$$, इस प्रकार व्यक्त किया गया है:
 * $$P(A \vert B) = P(B \vert A) \frac{a(A)}{P(B\vert A)\,a(A)+P(B \vert \neg A)\,a(\neg A)}$$.

व्यक्तिपरक तर्क
बेयस प्रमेय व्यक्तिपरक तर्क में उल्टे सशर्त राय प्राप्त करने के एक विशेष मामले का प्रतिनिधित्व करता है:


 * $$(\omega^S_{A\tilde{|}B},\omega^S_{A\tilde{|}\lnot B}) = (\omega^S_{B\vert A}, \omega^S_{B\vert\lnot A}) \widetilde{\phi} a_A,$$

कहाँ $$\widetilde{\phi}$$ सशर्त राय को पलटने के लिए ऑपरेटर को दर्शाता है। तर्क $$(\omega^S_{B\vert A},\omega^S_{B\vert\lnot A})$$ स्रोत द्वारा दी गई द्विपद सशर्त राय की एक जोड़ी को दर्शाता है $$S$$, और तर्क $$a_{A}$$ की पूर्व संभाव्यता (उर्फ आधार दर) को दर्शाता है $$A$$. व्युत्पन्न उल्टे सशर्त राय की जोड़ी को दर्शाया गया है $$(\omega^S_{A\tilde{|}B},\omega^{S}_{A\tilde{|}\lnot B})$$. सशर्त राय $$\omega^S_{A\vert B}$$ संभाव्य सशर्त को सामान्यीकृत करता है $$P(A \vert B)$$, यानी एक संभाव्यता स्रोत निर्दिष्ट करने के अलावा $$S$$ सशर्त कथन को कोई भी व्यक्तिपरक राय दे सकता है $$(A\vert B)$$. एक द्विपद व्यक्तिपरक राय $$\omega^{S}_{A}$$ कथन की सत्यता में विश्वास है $$A$$ ज्ञानमीमांसीय अनिश्चितता की डिग्री के साथ, जैसा कि स्रोत द्वारा व्यक्त किया गया है $$S$$. प्रत्येक व्यक्तिपरक राय की एक समान अनुमानित संभावना होती है $$P(\omega^{S}_{A})$$. राय की अनुमानित संभावनाओं पर बेयस प्रमेय का अनुप्रयोग एक समरूपता है, जिसका अर्थ है कि बेयस प्रमेय को राय की अनुमानित संभावनाओं के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$P(\omega^S_{A \tilde{|} B}) = \frac{P(\omega^S_{B \vert A}) a(A)}{P(\omega^S_{B\vert A}) a(A) + P(\omega^S_{B \vert \lnot A}) a(\lnot A)}. $$

इसलिए, व्यक्तिपरक बेयस प्रमेय बेयस प्रमेय के सामान्यीकरण का प्रतिनिधित्व करता है।

वातानुकूलित संस्करण
बेयस प्रमेय का एक वातानुकूलित संस्करण तीसरी घटना के जुड़ने से परिणाम मिलता है $$C$$ जिस पर सभी संभावनाएँ वातानुकूलित हैं:


 * $$P(A \vert B \cap C) = \frac{P(B \vert A \cap C) \, P(A \vert C)}{P(B \vert C)} $$

व्युत्पत्ति
श्रृंखला नियम का उपयोग करना (संभावना)
 * $$P(A \cap B \cap C) = P(A \vert B \cap C) \, P(B \vert C) \, P(C)$$

और, दूसरी ओर
 * $$P(A \cap B \cap C) = P(B \cap A \cap C) = P(B \vert A \cap C) \, P(A \vert C) \, P(C) $$

दोनों भावों को पहचानने और उनका समाधान करने से वांछित परिणाम प्राप्त होता है $$P(A \vert B \cap C)$$.

3 घटनाओं के साथ बेयस का नियम
3 घटनाओं-ए, बी और सी के मामले में यह दिखाया जा सकता है कि: $$P(A \vert B,C) = \frac{P(B \vert A,C) \; P(A \vert C)}{P(B \vert C)} $$

$$

आनुवंशिकी में उपयोग
आनुवंशिकी में, बेयस प्रमेय का उपयोग किसी व्यक्ति के विशिष्ट जीनोटाइप की संभावना की गणना करने के लिए किया जा सकता है। बहुत से लोग आनुवांशिक बीमारी से प्रभावित होने की संभावना या रुचि के अप्रभावी जीन के वाहक होने की संभावना का अनुमान लगाना चाहते हैं। बायेसियन विश्लेषण पारिवारिक इतिहास या आनुवंशिक परीक्षण के आधार पर किया जा सकता है, ताकि यह अनुमान लगाया जा सके कि क्या किसी व्यक्ति में कोई बीमारी विकसित होगी या यह बीमारी उनके बच्चों में फैल जाएगी। आनुवंशिक परीक्षण और भविष्यवाणी उन जोड़ों के बीच एक आम बात है जो बच्चे पैदा करने की योजना बनाते हैं लेकिन चिंतित हैं कि वे दोनों किसी बीमारी के वाहक हो सकते हैं, खासकर कम आनुवंशिक भिन्नता वाले समुदायों में। आनुवंशिकी के लिए बायेसियन विश्लेषण में पहला कदम परस्पर अनन्य परिकल्पनाओं का प्रस्ताव करना है: एक विशिष्ट एलील के लिए, एक व्यक्ति या तो वाहक है या नहीं है। इसके बाद, चार संभावनाओं की गणना की जाती है: पूर्व संभावना (परिवार के इतिहास या मेंडेलियन वंशानुक्रम के आधार पर भविष्यवाणियों जैसी जानकारी पर विचार करते हुए प्रत्येक परिकल्पना की संभावना), सशर्त संभावना (एक निश्चित परिणाम की), संयुक्त संभावना (पहले दो का उत्पाद), और पश्च संभाव्यता (प्रत्येक परिकल्पना के लिए संयुक्त संभाव्यता को दोनों संयुक्त संभावनाओं के योग से विभाजित करके गणना किया गया एक भारित उत्पाद)। इस प्रकार का विश्लेषण पूरी तरह से किसी स्थिति के पारिवारिक इतिहास के आधार पर या आनुवंशिक परीक्षण के साथ मिलकर किया जा सकता है।

संभावनाओं की गणना के लिए वंशावली का उपयोग करना
किसी महिला में बीमारी के जोखिम के लिए बायेसियन विश्लेषण तालिका का उदाहरण इस ज्ञान पर आधारित है कि यह बीमारी उसके भाई-बहनों में मौजूद है, लेकिन उसके माता-पिता या उसके चार बच्चों में से किसी में नहीं। केवल विषय के भाई-बहनों और माता-पिता की स्थिति के आधार पर, उसके वाहक होने की उतनी ही संभावना है जितनी गैर-वाहक होने की (यह संभावना पूर्व परिकल्पना द्वारा दर्शायी गई है)। हालाँकि, संभावना है कि विषय के सभी चार बेटे अप्रभावित रहेंगे 1/16 ($1/2$·$1/2$·$1/2$·$1/2$) यदि वह एक वाहक है, लगभग 1 यदि वह एक गैर-वाहक है (यह सशर्त संभावना है)। संयुक्त संभाव्यता इन दोनों भविष्यवाणियों को एक साथ गुणा करके उनका समाधान करती है। अंतिम पंक्ति (पश्च संभाव्यता) की गणना प्रत्येक परिकल्पना के लिए संयुक्त संभाव्यता को दोनों संयुक्त संभावनाओं के योग से विभाजित करके की जाती है।

आनुवंशिक परीक्षण परिणामों का उपयोग करना
माता-पिता का आनुवंशिक परीक्षण माता-पिता में लगभग 90% ज्ञात रोग एलील्स का पता लगा सकता है जो उनके बच्चे में वाहक या प्रभावित स्थिति का कारण बन सकते हैं। सिस्टिक फाइब्रोसिस एक वंशानुगत बीमारी है जो सीएफटीआर जीन पर ऑटोसोमल रिसेसिव उत्परिवर्तन के कारण होती है, गुणसूत्र 7 की q भुजा पर स्थित है। सिस्टिक फाइब्रोसिस (सीएफ) के पारिवारिक इतिहास वाली एक महिला रोगी का बायेसियन विश्लेषण, जिसने सीएफ के लिए नकारात्मक परीक्षण किया है, यह दर्शाता है कि सीएफ के साथ पैदा होने वाले बच्चे के जोखिम को निर्धारित करने के लिए इस पद्धति का उपयोग कैसे किया गया था:

क्योंकि रोगी अप्रभावित है, वह या तो जंगली-प्रकार के एलील के लिए समयुग्मजी है, या विषमयुग्मजी है। पूर्व संभावनाओं को स्थापित करने के लिए, पुनेट वर्ग का उपयोग किया जाता है, इस ज्ञान के आधार पर कि माता-पिता में से कोई भी बीमारी से प्रभावित नहीं था, लेकिन दोनों वाहक हो सकते थे: यह देखते हुए कि रोगी अप्रभावित है, केवल तीन संभावनाएँ हैं। इन तीनों के भीतर, दो परिदृश्य हैं जिनमें रोगी उत्परिवर्ती एलील को वहन करता है। इस प्रकार पूर्व संभावनाएँ हैं $2/3$ और $1/3$.

इसके बाद, रोगी आनुवंशिक परीक्षण से गुजरता है और सिस्टिक फाइब्रोसिस के लिए नकारात्मक परीक्षण करता है। इस परीक्षण में 90% पहचान दर है, इसलिए नकारात्मक परीक्षण की सशर्त संभावनाएं 1/10 और 1 हैं। अंत में, संयुक्त और पीछे की संभावनाओं की गणना पहले की तरह की जाती है। रोगी के पुरुष साथी (नकारात्मक परीक्षण परिणाम के साथ) पर एक ही विश्लेषण करने के बाद, उनके बच्चे के प्रभावित होने की संभावना माता-पिता के वाहक होने की संबंधित पिछली संभावनाओं के उत्पाद के बराबर होती है, जो कि दो वाहक पैदा करने की संभावना से गुणा होती है। प्रभावित संतान ($1/4$).

अन्य जोखिम कारक पहचान के साथ समानांतर में किया गया आनुवंशिक परीक्षण
बायेसियन विश्लेषण आनुवंशिक स्थिति से जुड़ी फेनोटाइपिक जानकारी का उपयोग करके किया जा सकता है, और जब आनुवंशिक परीक्षण के साथ जोड़ा जाता है तो यह विश्लेषण अधिक जटिल हो जाता है। उदाहरण के लिए, सिस्टिक फाइब्रोसिस को भ्रूण में इकोोजेनिक आंत्र की तलाश में अल्ट्रासाउंड के माध्यम से पहचाना जा सकता है, जिसका अर्थ है कि स्कैन पर सामान्य से अधिक चमकीला दिखाई देना। यह एक अचूक परीक्षण नहीं है, क्योंकि एक इकोोजेनिक आंत पूरी तरह से स्वस्थ भ्रूण में मौजूद हो सकता है। इस मामले में माता-पिता का आनुवंशिक परीक्षण बहुत प्रभावशाली है, जहां एक फेनोटाइपिक पहलू संभाव्यता गणना में अत्यधिक प्रभावशाली हो सकता है। एक इकोोजेनिक आंत्र वाले भ्रूण के मामले में, जिस मां का परीक्षण किया गया है और जिसे सीएफ वाहक माना जाता है, उसके बाद की संभावना है कि भ्रूण को वास्तव में यह बीमारी है, बहुत अधिक है (0.64)। हालाँकि, एक बार जब पिता ने सीएफ के लिए नकारात्मक परीक्षण किया है, तो पिछली संभावना काफी कम हो जाती है (0.16 तक)।

आनुवांशिक परामर्श और प्रजनन योजना में जोखिम कारक गणना एक शक्तिशाली उपकरण है, लेकिन इसे विचार करने के लिए एकमात्र महत्वपूर्ण कारक नहीं माना जा सकता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, अधूरा परीक्षण वाहक स्थिति की गलत उच्च संभावना उत्पन्न कर सकता है, और जब माता-पिता मौजूद नहीं होते हैं तो परीक्षण वित्तीय रूप से दुर्गम या अक्षम्य हो सकता है।

यह भी देखें

 * बायेसियन ज्ञानमीमांसा
 * प्रेरक संभाव्यता
 * क्वांटम बायेसियनवाद
 * ज्यादातर प्रकाशित शोध निष्कर्ष झूठे क्यों हैं, जॉन आयोनिडिस द्वारा मेटासाइंस पर 2005 का एक निबंध

अग्रिम पठन

 * Gelman, A, Carlin, JB, Stern, HS, and Rubin, DB (2003), "Bayesian Data Analysis", Second Edition, CRC Press.
 * Grinstead, CM and Snell, JL (1997), "Introduction to Probability (2nd edition)," American Mathematical Society (free pdf available).
 * Lee, Peter M (2012), Bayesian Statistics: An Introduction, 4th edition. Wiley. ISBN 978-1-118-33257-3.
 * Rosenthal, Jeffrey S (2005), "Struck by Lightning: The Curious World of Probabilities". HarperCollins. (Granta, 2008. ISBN 9781862079960).
 * Stone, JV (2013), download chapter 1 of "Bayes' Rule: A Tutorial Introduction to Bayesian Analysis", Sebtel Press, England.
 * Bayesian Reasoning for Intelligent People, An introduction and tutorial to the use of Bayes' theorem in statistics and cognitive science.
 * Morris, Dan (2016), Read first 6 chapters for free of "Bayes' Theorem Examples: A Visual Introduction For Beginners" Blue Windmill ISBN 978-1549761744. A short tutorial on how to understand problem scenarios and find P(B), P(A), and P(B|A).
 * Rosenthal, Jeffrey S (2005), "Struck by Lightning: The Curious World of Probabilities". HarperCollins. (Granta, 2008. ISBN 9781862079960).
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 * Bayesian Reasoning for Intelligent People, An introduction and tutorial to the use of Bayes' theorem in statistics and cognitive science.
 * Morris, Dan (2016), Read first 6 chapters for free of "Bayes' Theorem Examples: A Visual Introduction For Beginners" Blue Windmill ISBN 978-1549761744. A short tutorial on how to understand problem scenarios and find P(B), P(A), and P(B|A).
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 * Morris, Dan (2016), Read first 6 chapters for free of "Bayes' Theorem Examples: A Visual Introduction For Beginners" Blue Windmill ISBN 978-1549761744. A short tutorial on how to understand problem scenarios and find P(B), P(A), and P(B|A).

बाहरी संबंध

 * Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (B). Contains origins of "Bayesian", "Bayes' Theorem", "Bayes Estimate/Risk/Solution", "Empirical Bayes", and "Bayes Factor".
 * A tutorial on probability and Bayes' theorem devised for Oxford University psychology students
 * An Intuitive Explanation of Bayes' Theorem by Eliezer S. Yudkowsky
 * Bayesian Clinical Diagnostic Model
 * An Intuitive Explanation of Bayes' Theorem by Eliezer S. Yudkowsky
 * Bayesian Clinical Diagnostic Model