एनवलप (गणित)

ज्यामिति में, वक्रों के समतलीय परिवार का एक लिफाफा एक वक्र होता है जो किसी बिंदु पर परिवार के प्रत्येक सदस्य के लिए स्पर्शरेखा होता है, और स्पर्शरेखा के ये बिंदु मिलकर पूरे लिफाफे का निर्माण करते हैं। शास्त्रीय रूप से, लिफाफे पर एक बिंदु को दो असीम रूप से आसन्न वक्रों के प्रतिच्छेदन के रूप में माना जा सकता है, जिसका अर्थ है पास के घटता के चौराहों की सीमा (गणित)। यह विचार अंतरिक्ष में सतह (गणित) के एक लिफाफे के लिए सार्वभौमिक सामान्यीकरण हो सकता है, और इसी तरह उच्च आयामों के लिए।

एक लिफाफा होने के लिए, यह जरूरी है कि घटता के परिवार के अलग-अलग सदस्य अलग-अलग कई गुना हैं क्योंकि स्पर्शरेखा की अवधारणा अन्यथा लागू नहीं होती है, और सदस्यों के माध्यम से एक चिकनाई संक्रमण की कार्यवाही होनी चाहिए। लेकिन ये शर्तें पर्याप्त नहीं हैं - किसी दिए गए परिवार के पास लिफाफा नहीं हो सकता है। इसका एक सरल उदाहरण विस्तारित त्रिज्या के संकेंद्रित वृत्तों के एक परिवार द्वारा दिया गया है।

वक्र परिवार का लिफाफा
माना प्रत्येक वक्र Ct परिवार में समीकरण एफ के समाधान के रूप में दिया जाना चाहिएt(x, y)=0 (अंतर्निहित वक्र देखें), जहां t एक पैरामीटर है। F(t, x, y)=f लिखेंt(x, y) और मान लें कि F अवकलनीय है।

परिवार का लिफाफा सीt फिर सेट के रूप में परिभाषित किया गया है $$\mathcal{D}$$ बिंदुओं की (x,y) जिसके लिए, एक साथ,
 * $$F(t, x, y) = 0\mathsf{and}{\partial F \over \partial t}(t, x, y) = 0$$

टी के कुछ मूल्य के लिए, कहाँ पे $$\partial F/\partial t$$ टी के संबंध में एफ का आंशिक व्युत्पन्न है। यदि टी और यू, टी≠यू पैरामीटर के दो मान हैं तो वक्र सी के चौराहेt और सीu द्वारा दिया गया है
 * $$F(t, x, y) = F(u, x, y) = 0\,$$

या, समकक्ष,
 * $$F(t, x, y) = 0\mathsf{and}\frac{F(u, x, y)-F(t, x, y)}{u-t} = 0.$$

u → t करने से ऊपर की परिभाषा मिलती है।

एक महत्वपूर्ण विशेष मामला है जब एफ(टी, एक्स, वाई) टी में एक बहुपद है। इसमें भाजक समाशोधन द्वारा, वह मामला शामिल है जहां F(t, x, y) t में एक तर्कसंगत कार्य है। इस मामले में, परिभाषा की मात्रा t है जो F(t, x, y) का दोहरा मूल है, इसलिए लिफाफे का समीकरण F के विविक्तकर को 0 पर सेट करके पाया जा सकता है (क्योंकि परिभाषा कुछ समय पर F=0 की मांग करती है टी और पहला व्युत्पन्न = 0 यानी इसका मान 0 है और यह उस टी पर न्यूनतम/अधिकतम है)।

उदाहरण के लिए, चलो सीt वह रेखा हो जिसका x और y इंटरसेप्ट्स t और 11−t हैं, यह ऊपर के एनीमेशन में दिखाया गया है। सी का समीकरणt है
 * $$\frac{x}{t}+\frac{y}{11-t}=1$$

या, भिन्न समाशोधन,
 * $$x(11-t)+yt-t(11-t)=t^2+(-x+y-11)t+11x=0.\,$$

लिफाफे का समीकरण तब है
 * $$(-x+y-11)^2-44x=(x-y)^2-22(x+y)+121=0.\,$$

अक्सर जब एफ पैरामीटर का तर्कसंगत कार्य नहीं होता है तो इसे उचित प्रतिस्थापन द्वारा इस मामले में कम किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि परिवार सी द्वारा दिया गया हैθ फॉर्म के समीकरण के साथ u(x, y)cos θ+v(x, y)sin θ=w(x, y), फिर t=e रखने परiθ, cos θ=(t+1/t)/2, sin θ=(t-1/t)/2i वक्र के समीकरण को बदलता है
 * $$u{1 \over 2}(t+{1\over t})+v{1 \over 2i}(t-{1\over t})=w$$

या
 * $$(u-iv)t^2-2wt+(u+iv)=0.\,$$

लिफाफे का समीकरण तब विवेचक को 0 पर सेट करके दिया जाता है:
 * $$(u-iv)(u+iv)-w^2=0\,$$

या
 * $$u^2+v^2=w^2.\,$$

वैकल्पिक परिभाषाएं

 * 1) लिफाफा ई1 पास के घटता C के प्रतिच्छेदन की सीमा हैt.
 * 2) लिफाफा ई2 C के सभी के लिए एक वक्र स्पर्शरेखा हैt.
 * 3) लिफाफा ई3 वक्र C द्वारा भरे गए क्षेत्र की सीमा हैt.

फिर $$E_1 \subseteq \mathcal{D}$$, $$E_2 \subseteq \mathcal{D}$$ तथा $$E_3 \subseteq \mathcal{D}$$, कहाँ पे $$\mathcal{D}$$ इस उपखंड के मूल खंड की शुरुआत में परिभाषित बिंदुओं का समूह है।

उदाहरण 1
ये परिभाषाएं ई1, तथा2, और ई3 लिफाफे के अलग-अलग सेट हो सकते हैं। उदाहरण के लिए वक्र पर विचार करें y = x3 द्वारा पैरामीट्रिज्ड γ : R → R2 कहाँ पे γ(t) = (t,t3). वक्रों का एक-पैरामीटर परिवार स्पर्शरेखा रेखाओं द्वारा γ को दिया जाएगा।

पहले हम विवेचक की गणना करते हैं $$\mathcal D$$. जनरेटिंग फ़ंक्शन है
 * $$ F(t,(x,y)) = 3t^2x - y - 2t^3.$$

आंशिक व्युत्पन्न की गणना Ft = 6t(x – t). यह या तो इस प्रकार है x = t या t = 0. पहले मान लीजिए x = t and t ≠ 0. एफ में प्रतिस्थापन: $$F(t,(t,y)) = t^3 - y \, $$ और इसलिए, यह मानते हुए कि t ≠ 0, यह इस प्रकार है F = Ft = 0 अगर और केवल अगर (x,y) = (t,t3). अगला, यह मानते हुए t = 0 और F में प्रतिस्थापित करना देता है F(0,(x,y)) = &minus;y. तो मान रहे हैं t = 0, यह इस प्रकार है कि F = Ft = 0 अगर और केवल अगर y = 0. इस प्रकार विविक्तकर γ(0) पर मूल वक्र और इसकी स्पर्श रेखा है:
 * $$ \mathcal{D} = \{(x,y) \in \R^2 : y = x^3\} \cup \{(x,y) \in \R^2 : y = 0 \} \ . $$

आगे हम ई की गणना करते हैं1. एक वक्र द्वारा दिया गया है F(t,(x,y)) = 0 और एक निकटवर्ती वक्र द्वारा दिया गया है F(t + &epsilon;,(x,y)) जहाँ ε कोई बहुत छोटी संख्या है। प्रतिच्छेदन बिंदु की सीमा को देखने से आता है F(t,(x,y)) = F(t + &epsilon;,(x,y)) क्योंकि ε शून्य हो जाता है। नोटिस जो F(t,(x,y)) = F(t + &epsilon;,(x,y)) अगर और केवल अगर
 * $$ L := F(t,(x,y)) - F(t+\varepsilon,(x,y)) = 2\varepsilon^3+6\varepsilon t^2+6\varepsilon^2t-(3\varepsilon^2+6\varepsilon t)x = 0. $$

यदि t ≠ 0 तब L के पास ε का केवल एक कारक है। ऐसा मानते हुए t ≠ 0 तो चौराहा द्वारा दिया गया है
 * $$\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon} L = 6t(t-x) \ . $$

तब से t ≠ 0 यह इस प्रकार है कि x = t. Y मान की गणना यह जानकर की जाती है कि यह बिंदु मूल वक्र γ की स्पर्श रेखा पर स्थित होना चाहिए: वह F(t,(x,y)) = 0. प्रतिस्थापित करने और हल करने से y = t प्राप्त होता है 3। कब t = 0, L ε से विभाज्य है 2। ऐसा मानते हुए t = 0 तो चौराहा द्वारा दिया गया है
 * $$\lim_{\varepsilon \to 0} \frac{1}{\varepsilon^2} L = 3x \ . $$

यह इस प्रकार है कि x = 0, और यह जानकर F(t,(x,y)) = 0 देता है y = 0. यह इस प्रकार है कि
 * $$ E_1 = \{(x,y) \in \R^2 : y = x^3 \} \ . $$

आगे हम ई की गणना करते हैं2. वक्र ही वह वक्र है जो अपनी स्वयं की सभी स्पर्श रेखाओं को स्पर्श करता है। यह इस प्रकार है कि
 * $$ E_2 = \{(x,y) \in \R^2 : y = x^3 \} \ . $$

अंत में हम ई की गणना करते हैं3. समतल के प्रत्येक बिंदु में कम से कम एक स्पर्श रेखा होती है जो γ से होकर गुजरती है, और इसलिए स्पर्श रेखाओं द्वारा भरा गया क्षेत्र संपूर्ण तल है। सीमा ई3 इसलिए रिक्त समुच्चय है। दरअसल, विमान में एक बिंदु पर विचार करें, कहें (x0, वाई0). यह बिंदु एक स्पर्शरेखा रेखा पर स्थित है यदि और केवल यदि ऐसा कोई टी मौजूद है
 * $$F(t,(x_0,y_0)) = 3t^2x_0 - y_0 - 2t^3 = 0 \ . $$

यह टी में एक घन है और इस तरह कम से कम एक वास्तविक समाधान है। यह इस प्रकार है कि कम से कम एक स्पर्श रेखा γ को विमान में किसी दिए गए बिंदु से गुजरना चाहिए। यदि y > x3 तथा y > 0 तब प्रत्येक बिंदु (x, y) में γ से होकर गुजरने वाली बिल्कुल एक स्पर्श रेखा होती है। वही सच है अगर y < x3 y < 0. यदि y < x3 तथा y > 0 तब प्रत्येक बिंदु (x, y) में γ से होकर गुजरने वाली तीन अलग-अलग स्पर्श रेखाएँ होती हैं। वही सच है अगर y > x3 तथा y < 0. यदि y = x3 तथा y ≠ 0 तो प्रत्येक बिंदु (x, y) में इसके माध्यम से गुजरने वाली γ के लिए बिल्कुल दो स्पर्श रेखाएं होती हैं (यह क्यूबिक से मेल खाती है जिसमें एक साधारण रूट और एक दोहराया रूट होता है)। वही सच है अगर y ≠ x3 तथा y = 0. यदि y = x3 तथा x = 0, अर्थात।, x = y = 0, तो इस बिंदु के पास γ से गुजरने वाली एक एकल स्पर्श रेखा है (यह क्यूबिक से मेल खाती है जिसमें बहुलता 3 की एक वास्तविक जड़ है)। यह इस प्रकार है कि
 * $$E_3 = \varnothing. $$

उदाहरण 2
स्ट्रिंग कला में समान दूरी वाले पिनों की दो पंक्तियों को क्रॉस-कनेक्ट करना आम बात है। क्या वक्र बनता है?

सरलता के लिए, पिनों को x- और y-अक्षों पर सेट करें; एक गैर-ऑर्थोगोनल लेआउट एक समन्वय रोटेशन और स्केलिंग (ज्यामिति) दूर है। एक सामान्य स्ट्रेट-लाइन थ्रेड दो बिंदुओं (0, k−t) और (t, 0) को जोड़ता है, जहाँ k एक मनमाना स्केलिंग स्थिरांक है, और लाइनों का परिवार पैरामीटर t को अलग करके उत्पन्न होता है। साधारण ज्यामिति से, इस सरल रेखा का समीकरण y = −(k − t)x/t + k− t है। F(x,y,t) = 0 के रूप में पुनर्व्यवस्थित और कास्टिंग करना देता है:

अब टी के संबंध में एफ (एक्स, वाई, टी) को अलग करें और परिणाम प्राप्त करने के लिए शून्य के बराबर परिणाम सेट करें

ये दोनों समीकरण संयुक्त रूप से लिफाफे के समीकरण को परिभाषित करते हैं। (2) से हमारे पास है:
 * $$t = \sqrt{kx} \,$$

टी के इस मान को (1) में प्रतिस्थापित करना और सरल करना लिफाफे के लिए एक समीकरण देता है:

या, एक और अधिक सुंदर रूप में पुनर्व्यवस्थित करना जो x और y के बीच समरूपता दिखाता है:

हम अक्षों का एक चक्कर लगा सकते हैं जहां b अक्ष रेखा y=x उन्मुख उत्तर पूर्व है और a अक्ष रेखा y=−x दक्षिण पूर्व उन्मुख है। ये नई कुल्हाड़ियाँ मूल x-y कुल्हाड़ियों से संबंधित हैं $x=(b+a)/√2$ तथा $y=(b−a)/√2$. हम (4) में प्रतिस्थापन और विस्तार और सरलीकरण के बाद प्राप्त करते हैं,

जो स्पष्ट रूप से a=0, या y=x के साथ अक्ष के साथ एक पैराबोला के लिए समीकरण है।

उदाहरण 3
मान लीजिए I ⊂ 'R' एक खुला अंतराल है और γ : I → 'R'2 चाप लंबाई द्वारा पैरामीट्रिज्ड एक चिकना समतल वक्र हो। γ(I) के लिए सामान्य रेखाओं के एक-पैरामीटर परिवार पर विचार करें। एक रेखा γ(t) पर γ के लिए सामान्य है यदि यह γ(t) से होकर गुजरती है और γ(t) पर γ के वक्र # स्पर्शरेखा सदिश के विभेदक ज्यामिति के लंबवत है। चलो 'टी' इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर को γ को दर्शाता है और 'एन' वक्र # सामान्य या वक्रता वेक्टर की इकाई विभेदक ज्यामिति को दर्शाता है। डॉट उत्पाद को निरूपित करने के लिए डॉट का उपयोग करके, सामान्य लाइनों के एक-पैरामीटर परिवार के लिए जनरेटिंग परिवार दिया जाता है F : I &times; R2 → R कहाँ पे
 * $$ F(t,{\mathbf x}) = ({\mathbf x} - \gamma(t)) \cdot {\mathbf T}(t) \ . $$

स्पष्ट रूप से (x − γ)·T = 0 यदि और केवल यदि x − γ T के लंबवत है, या समतुल्य है, यदि और केवल यदि x − γ N के समानांतर (ज्यामिति) है, या समकक्ष, यदि और केवल यदि x = γ कुछ λ ∈ R के लिए + λN। यह इस प्रकार है
 * $$ L_{t_0} := \{ {\mathbf x} \in \R^2 : F(t_0,{\mathbf x}) = 0 \} $$

γ पर γ के लिए बिल्कुल सामान्य रेखा है (टी0). F का विविक्तकर ज्ञात करने के लिए हमें t के संबंध में इसके आंशिक अवकलज की गणना करनी होगी:
 * $$ \frac{\partial F}{\partial t}(t,{\mathbf x}) = \kappa (t) ({\mathbf x}-\gamma(t))\cdot {\mathbf N}(t) - 1 \, $$

जहाँ κ γ के समतल वक्रों की वक्रता#वक्रता है। यह देखा गया है कि F = 0 यदि और केवल यदि 'x' - γ = λ'N' कुछ λ ∈ 'R' के लिए। यह मानते हुए कि F = 0 देता है
 * $$ \frac{\partial F}{\partial t} = \lambda \kappa(t) - 1 \ . $$

यह मानते हुए कि κ ≠ 0 यह इस प्रकार है कि λ = 1/κ और इसी तरह
 * $$ \mathcal{D} = \gamma(t) + \frac{1}{\kappa(t)}{\mathbf N}(t) \ . $$

यह वक्र γ का ठीक-ठीक विकास है।

उदाहरण 4
निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है कि कुछ मामलों में वक्रों के एक परिवार के लिफाफे को समुच्चयों के संघ की स्थलाकृतिक सीमा के रूप में देखा जा सकता है, जिसकी सीमाएँ लिफाफे के वक्र हैं। के लिये $$s>0$$ तथा $$t>0$$ एक कार्तीय तल में (खुले) समकोण त्रिभुज पर विचार करें $$(0,0)$$, $$(s,0)$$ तथा $$(0,t)$$
 * $$T_{s,t}:=\left\{(x,y)\in\R_+^2:\ \frac{x}{s}+\frac{y}{t}<1\right\}.

$$ एक घातांक ठीक करें $$\alpha>0$$, और सभी त्रिभुजों के मिलन पर विचार करें $$T_{s,t} $$ विवशता के अधीन $$\textstyle s^\alpha+t^\alpha=1 $$, वह खुला सेट है
 * $$\Delta_\alpha:=\bigcup_ {s^\alpha+t^\alpha=1} T_{s,t}.$$

के लिए कार्टेशियन प्रतिनिधित्व लिखने के लिए $$\textstyle\Delta_\alpha$$, किसी से भी शुरू करें $$\textstyle s>0$$, $$\textstyle t>0$$ संतुष्टि देने वाला $$\textstyle s^\alpha+t^\alpha=1 $$ और कोई भी $$\textstyle(x,y)\in\R_+^2$$. होल्डर असमानता#उल्लेखनीय विशेष मामले|होल्डर असमानता में $$\textstyle\R^2$$ संयुग्मित घातांक के संबंध में $$p:=1+\frac{1}{\alpha}$$ तथा $$\textstyle q:={1+\alpha}$$ देता है:
 * $$x^\frac{\alpha}{\alpha+1}+y^\frac{\alpha}{\alpha+1}\leq \left(\frac{x}{s}+\frac{y}{t}\right)^\frac{\alpha}{\alpha+1}\Big(s^\alpha+t^\alpha\Big)^\frac{1}{\alpha+1}=\left(\frac{x}{s}+\frac{y}{t}\right)^\frac{\alpha}{\alpha+1}$$,

समानता के साथ अगर और केवल अगर $$\textstyle s:\,t=x^\frac{1}{1+\alpha}:\,y^\frac{1}{1+\alpha}$$. सेट के संघ के संदर्भ में बाद की असमानता पढ़ती है: बिंदु $$(x,y)\in\R_+^2$$ सेट के अंतर्गत आता है $$\textstyle\Delta_\alpha$$, यानी यह कुछ का है $$\textstyle T_{s,t}$$ साथ $$\textstyle s^\alpha+t^\alpha=1$$, अगर और केवल अगर यह संतुष्ट करता है
 * $$x^\frac{\alpha}{\alpha+1}+y^\frac{\alpha}{\alpha+1}<1.$$

इसके अलावा सीमा में $$\R_+^2$$ सेट का $$\textstyle \Delta_\alpha$$ रेखा खंडों के संबंधित परिवार का लिफाफा है
 * $$\left\{(x,y)\in\R_+^2:\ \frac{x}{s}+\frac{y}{t}=1\right\}\ ,\qquad s^\alpha+t^\alpha=1$$

(अर्थात त्रिभुजों के कर्ण), और कार्तीय समीकरण है
 * $$x^\frac{\alpha}{\alpha+1}+y^\frac{\alpha}{\alpha+1}=1.$$

ध्यान दें कि, विशेष रूप से, value $$\alpha=1$$ #उदाहरण_2 के परवलय का चाप और मान देता है $$\alpha=2$$ (जिसका अर्थ है कि सभी कर्ण इकाई लंबाई खंड हैं) एस्ट्रॉइड देता है।

उदाहरण 5
हम गति में लिफाफे के निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करते हैं। मान लीजिए प्रारंभिक ऊंचाई 0 पर, एक प्रक्षेप्य के प्रक्षेपवक्र को निरंतर प्रारंभिक वेग v के साथ हवा में फेंकता है लेकिन अलग-अलग उन्नयन कोण θ। गतिमान सतह में x को क्षैतिज अक्ष होने दें, और y को ऊर्ध्वाधर अक्ष को निरूपित करने दें। फिर गति निम्नलिखित अंतर गतिशील प्रणाली देती है:
 * $$\frac{d^2 y}{dt^2} = -g,\; \frac{d^2 x}{dt^2} = 0, $$

जो चार प्रारंभिक शर्तों को पूरा करता है:
 * $$\frac{dx}{dt}\bigg|_{t=0} = v \cos \theta,\; \frac{dy}{dt}\bigg|_{t=0} = v \sin \theta,\; x\bigg|_{t=0} = y\bigg|_{t=0} = 0.$$

यहाँ t गति के समय को दर्शाता है, θ उन्नयन कोण है, g गुरुत्वाकर्षण त्वरण को दर्शाता है, और v निरंतर प्रारंभिक गति (वेग नहीं) है। उपरोक्त प्रणाली का समाधान एक अंतर्निहित कार्य कर सकता है:
 * $$F(x,y,\theta) = x\tan \theta - \frac{gx^2}{2v^2 \cos^2 \theta} - y = 0.$$

इसके लिफाफा समीकरण को खोजने के लिए, कोई वांछित व्युत्पन्न की गणना कर सकता है:
 * $$\frac{\partial F}{\partial \theta} = \frac{x}{\cos^2 \theta} - \frac{gx^2 \tan \theta}{v^2 \cos^2 \theta} = 0.$$

θ को हटाकर, निम्नलिखित लिफाफा समीकरण तक पहुंच सकता है:
 * $$y = \frac{v^2}{2g} - \frac{g}{2v^2}x^2.$$

स्पष्ट रूप से परिणामी लिफाफा भी एक अवतल फलन परवलय है।

सतहों के एक परिवार का लिफाफा
त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सतहों का एक-पैरामीटर परिवार समीकरणों के एक सेट द्वारा दिया जाता है


 * $$F(x,y,z,a)=0$$

एक वास्तविक पैरामीटर ए पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, सतह में एक वक्र के साथ सतह पर स्पर्शरेखा विमान ऐसे परिवार का निर्माण करते हैं।

अलग-अलग मानों a और a' से संबंधित दो सतहें द्वारा परिभाषित एक सामान्य वक्र में प्रतिच्छेद करती हैं


 * $$ F(x,y,z,a)=0,\,\,{F(x,y,z,a^\prime)-F(x,y,z,a)\over a^\prime -a}=0.$$

सीमा में जैसे a' a की ओर अग्रसर होता है, यह वक्र सतह में समाहित वक्र की ओर झुक जाता है


 * $$ F(x,y,z,a)=0,\,\,{\partial F\over \partial a}(x,y,z,a)=0.$$

इस वक्र को 'ए' पर परिवार की विशेषता कहा जाता है। जैसा कि ए भिन्न होता है, इन चारित्रिक वक्रों का स्थान एक सतह को परिभाषित करता है जिसे सतहों के परिवार का लिफाफा कहा जाता है।

सामान्यीकरण
चिकने सबमनिफोल्ड्स के एक परिवार के लिफाफे का विचार स्वाभाविक रूप से अनुसरण करता है। सामान्य तौर पर, यदि हमारे पास कोडिमेंशन सी के साथ सबमैनिफोल्ड्स का परिवार है तो हमें कम से कम ऐसे सबमैनीफोल्ड्स का सी-पैरामीटर परिवार होना चाहिए। उदाहरण के लिए: थ्री-स्पेस (c = 2) में वक्रों का एक-पैरामीटर परिवार, सामान्य रूप से, एक लिफाफा नहीं होता है।

साधारण अंतर समीकरण
लिफाफे सामान्य अंतर समीकरणों (ओडीई) के अध्ययन से जुड़े हुए हैं, और विशेष रूप से ओडीई के एकवचन समाधान। उदाहरण के लिए, परवलय y = x की स्पर्श रेखाओं के एक-पैरामीटर परिवार पर विचार करें2। ये उत्पादक परिवार द्वारा दिए जाते हैं F(t,(x,y)) = t 2 – 2tx + y. शून्य स्तर सेट F(t0,(x,y)) = 0 बिंदु पर पैराबोला को स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण देता है (टी0,टी02). समीकरण t2 – 2tx + y = 0 y के लिए हमेशा x के फलन के रूप में हल किया जा सकता है और इसलिए, विचार करें
 * $$ t^2 - 2tx + y(x) = 0. \ $$

स्थानापन्न
 * $$ t = \left(\frac{dy}{dx}\right)/2 $$

ओडीई देता है
 * $$ \left(\frac{dy}{dx}\right)^2 \!\! - 4x\frac{dy}{dx} + 4y = 0. $$

आश्चर्य की बात नहीं y= 2tx− t2 इस ODE के सभी समाधान हैं। हालाँकि, रेखाओं के इस एक-पैरामीटर परिवार का आवरण, जो परवलय y = x है2, इस ODE का भी एक समाधान है। एक अन्य प्रसिद्ध उदाहरण क्लेराट का समीकरण है।

आंशिक अंतर समीकरण
लिफाफों का उपयोग पहले क्रम के आंशिक अंतर समीकरणों (पीडीई) के अधिक जटिल समाधानों को सरल लोगों से बनाने के लिए किया जा सकता है। मान लें कि F(x,u,Du) = 0 पहला ऑर्डर पीडीई है, जहां x एक वेरिएबल है जिसके मान खुले सेट Ω ⊂ 'R' में हैंn, u एक अज्ञात वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है, Du, u का ढाल है, और F निरंतर भिन्न होने वाला फ़ंक्शन है जो Du में नियमित है। मान लीजिए कि u(x;a) समाधानों का एक m-पैरामीटर परिवार है: यानी, प्रत्येक निश्चित a ∈ A ⊂ 'R' के लिएm, u(x;a) अवकल समीकरण का एक हल है। अवकल समीकरण का एक नया समाधान पहले हल करके बनाया जा सकता है (यदि संभव हो तो)
 * $$D_a u(x;a) = 0\,$$

x के फलन के रूप में a = φ(x) के लिए। कार्यों के परिवार का लिफाफा {यू(·,ए)}a∈A द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$v(x) = u(x;\varphi(x)),\quad x\in\Omega,$$

और डिफरेंशियल इक्वेशन को भी हल करता है (बशर्ते कि यह एक निरंतर डिफरेंशियल फंक्शन के रूप में मौजूद हो)।

ज्यामितीय रूप से, v(x) का ग्राफ़ हर जगह u(x;a) परिवार के किसी सदस्य के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा है। चूँकि अवकल समीकरण प्रथम कोटि का है, यह केवल ग्राफ़ के स्पर्शरेखा तल पर एक शर्त रखता है, जिससे कि हर जगह किसी समाधान पर स्पर्श करने वाला कोई भी फलन भी एक समाधान होना चाहिए। यही विचार Monge शंकु के समाकलन के रूप में प्रथम कोटि के समीकरण के हल का आधार है। Monge शंकु R में एक शंकु क्षेत्र है(x,u) चरों के n+1 प्रत्येक बिंदु पर पहले क्रम PDE के स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के लिफाफे द्वारा काटे गए। पीडीई का समाधान तब शंकु क्षेत्र का एक लिफाफा है।

रिमेंनियन ज्यामिति में, यदि रीमैनियन कई गुना में एक बिंदु पी के माध्यम से जिओडेसिक्स के एक चिकनी परिवार में एक लिफाफा होता है, तो पी के पास एक संयुग्मित बिंदु होता है जहां परिवार के किसी भी जीओडेसिक ने लिफाफे को काट दिया है। भिन्नताओं की कलन में समान रूप से अधिक सत्य है: यदि किसी दिए गए बिंदु P के माध्यम से एक कार्यात्मक के चरमपंथियों के एक परिवार के पास एक लिफाफा है, तो एक बिंदु जहां एक चरम लिफ़ाफ़े को काटता है, वह P के लिए एक संयुग्मित बिंदु है।

कास्टिक
ज्यामितीय प्रकाशिकी में, एक कास्टिक (प्रकाशिकी) किरण (प्रकाशिकी) के एक परिवार का लिफाफा है। इस चित्र में एक वृत्त का एक वृत्ताकार चाप है। प्रकाश किरणें (नीले रंग में दिखाई गई हैं) अनंत पर एक स्रोत से आ रही हैं, और इसलिए समानांतर पहुंचती हैं। जब वे वृत्ताकार चाप से टकराते हैं तो प्रकाश किरणें स्पेक्युलर परावर्तन के अनुसार अलग-अलग दिशाओं में बिखर जाती हैं। जब एक प्रकाश किरण एक बिंदु पर चाप से टकराती है तो प्रकाश परावर्तित होगा जैसे कि यह उस बिंदु पर चाप की स्पर्श रेखा द्वारा परावर्तित किया गया हो। परावर्तित प्रकाश किरणें विमान में रेखाओं का एक-पैरामीटर परिवार देती हैं। इन रेखाओं का आवरण कास्टिक (प्रकाशिकी) है। एक चिंतनशील कास्टिक में सामान्य रूप से चिकने वक्र बिंदु और पुच्छल (विलक्षणता) बिंदु शामिल होंगे।

भिन्नताओं की कलन के दृष्टिकोण से, फ़र्मेट के सिद्धांत (अपने आधुनिक रूप में) का तात्पर्य है कि प्रकाश किरणें कार्यात्मक लंबाई के लिए अतिवादी हैं
 * $$L[\gamma] = \int_a^b |\gamma'(t)|\,dt$$

चिकनी घटता के बीच [ए, बी] पर निश्चित समापन बिंदु γ (ए) और γ (बी) के साथ। किसी दिए गए बिंदु P द्वारा निर्धारित कास्टिक (छवि में बिंदु अनंत पर है) P के संयुग्म बिंदुओं का समूह है।

ह्यूजेंस का सिद्धांत
प्रकाश एक प्रकाश किरण की दिशा और प्रारंभिक स्थिति के आधार पर अलग-अलग दरों पर अनिसोट्रोपिक अमानवीय मीडिया से गुजर सकता है। बिंदुओं के समुच्चय की सीमा, जिस तक प्रकाश एक दिए गए बिंदु q से एक समय t के बाद यात्रा कर सकता है, को समय के बाद 't'' लहर सामने के रूप में जाना जाता है, जिसे यहाँ Φ द्वारा निरूपित किया जाता है।q(टी)। इसमें ठीक वे बिंदु होते हैं जिन तक प्रकाश की गति से यात्रा करके 'q' से समय t में पहुंचा जा सकता है। ह्यूजेंस-फ्रेस्नेल सिद्धांत | ह्यूजेंस का सिद्धांत दावा करता है कि तरंग मोर्चा सेट है &Phi;q 0 (s + t) तरंग मोर्चों के परिवार का लिफाफा है &Phi;q(s) क्ष ∈ Φ के लिएq 0(टी)। अधिक सामान्यतः, बिंदु 'क्यू'0 अंतरिक्ष में किसी भी वक्र, सतह या बंद सेट द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * शासित सतह
 * कास्टिक (गणित)

बाहरी संबंध

 * "Envelope of a family of plane curves" at MathCurve.
 * "Envelope of a family of plane curves" at MathCurve.