प्राथमिक पायथागॉरियन ट्रिपल्स ट्री

गणित में, आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल्स का एक पेड़ एक पेड़ (डेटा संरचना) है जिसमें प्रत्येक नोड शाखाओं को तीन बाद के नोड्स के साथ सभी नोड्स के अनंत सेट के साथ सभी (और केवल) आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल को दोहराव के बिना देता है।

एक पायथागॉरियन ट्रिपल तीन धनात्मक पूर्णांक a, b, और c का एक सेट है जिसमें यह गुण होता है कि वे क्रमशः एक समकोण त्रिभुज के दो पैर और कर्ण हो सकते हैं, इस प्रकार समीकरण को संतुष्ट करते हैं $$a^2+b^2=c^2$$; ट्रिपल को आदिम कहा जाता है अगर और केवल अगर 'ए, बी,' और 'सी' का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक है। आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल ए, बी, और सी भी जोड़ीदार सह अभाज्य हैं। सभी आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल्स के सेट में प्राकृतिक तरीके से एक रूटेड वृक्ष की संरचना, विशेष रूप से एक  त्रिगुट वृक्ष  की संरचना होती है। यह पहली बार 1934 में बी. बर्गग्रेन द्वारा खोजा गया था। F. J. M. बार्निंग ने दिखाया कि जब तीन मैट्रिक्स (गणित) में से कोई भी

\begin{array}{lcr} A = \begin{bmatrix} 1 & -2 & 2 \\ 2 & -1 & 2 \\ 2 & -2 & 3 \end{bmatrix} & B = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1 & 2 \\ 2 & 2 & 3 \end{bmatrix} & C = \begin{bmatrix} -1 & 2 & 2 \\ -2 & 1 & 2 \\ -2 & 2 & 3 \end{bmatrix} \end{array} $$ एक कॉलम वेक्टर द्वारा दाईं ओर मैट्रिक्स गुणन है जिसके घटक पायथागॉरियन ट्रिपल बनाते हैं, फिर परिणाम एक और कॉलम वेक्टर होता है जिसके घटक एक अलग पायथागॉरियन ट्रिपल होते हैं। यदि प्रारंभिक त्रिगुण आदिम है, तो वह भी वही है जो परिणाम देता है। इस प्रकार प्रत्येक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल के तीन बच्चे हैं। सभी आदिम पाइथागोरस त्रिक, त्रिक (3, 4, 5) से इस तरह उतरे हैं, और कोई भी आदिम त्रिक एक से अधिक बार प्रकट नहीं होता है। परिणाम को रूट नोड पर (3, 4, 5) के साथ अनंत टर्नरी ट्री के रूप में ग्राफ़िक रूप से दर्शाया जा सकता है (दाईं ओर क्लासिक ट्री देखें)। यह पेड़ 1970 में ए. हॉल के पेपर्स में भी छपा था और 1990 में ए.आर. कांगा। 2008 में वी.ई. फर्स्टोव ने आम तौर पर दिखाया कि केवल तीन ऐसे ट्राइकोटॉमी पेड़ मौजूद हैं और स्पष्ट रूप से बर्गग्रेन के समान एक पेड़ देते हैं लेकिन प्रारंभिक नोड (4, 3, 5) से शुरू होता है।

विशेष रूप से आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल की उपस्थिति
यह इंडक्शन (गणित) दिखाया जा सकता है कि पेड़ में आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल होते हैं और कुछ भी नहीं दिखाते हैं कि आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल से शुरू होता है, जैसे कि प्रारंभिक नोड (3, 4, 5) के साथ मौजूद है, प्रत्येक उत्पन्न ट्रिपल दोनों है पायथागॉरियन और आदिम।

पाइथागोरस की संपत्ति का संरक्षण === यदि उपरोक्त मेट्रिसेस में से कोई भी, ए कहते हैं, एक ट्रिपल (ए, बी, सी) पर लागू होता हैT के पास पायथागॉरियन गुण है a2 + बी2 = सी 2 एक नया ट्रिपल (d, e, f) प्राप्त करने के लिएटी = ए(ए, बी, सी)टी, यह नया ट्रिपल भी पायथागॉरियन है। इसे d, e, और f में से प्रत्येक को a, b, और c में तीन शब्दों के योग के रूप में लिखकर, उनमें से प्रत्येक को वर्ग करके और c को प्रतिस्थापित करके देखा जा सकता है।2 = ए 2 + बी2 f प्राप्त करने के लिए2 = डी2 + ई 2। यह B और C के साथ-साथ A के लिए भी लागू होता है।

आदिमता का संरक्षण
मैट्रिक्स ए, बी, और सी सभी यूनिमॉड्यूलर मैट्रिक्स हैं- यानी, उनके पास केवल पूर्णांक प्रविष्टियां हैं और उनके निर्धारक ± 1 हैं। इस प्रकार उनके व्युत्क्रम भी एक-मॉड्यूलर होते हैं और विशेष रूप से केवल पूर्णांक प्रविष्टियाँ होती हैं। इसलिए यदि उनमें से कोई एक, उदाहरण के लिए ए, आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल (ए, बी, सी) पर लागू होता हैटी एक और ट्रिपल (डी, ई, एफ) प्राप्त करने के लिएटी, हमारे पास (डी, ई, एफ)टी = ए(ए, बी, सी)टी और इसलिए (ए, बी, सी)टी = ए −1(डी, ई, एफ) टी. यदि किसी भी प्रमुख कारक को डी, ई, और एफ के किसी भी दो (और इसलिए सभी तीन) द्वारा साझा किया गया था, तो इस अंतिम समीकरण से प्रधान भी ए, बी, और सी में से प्रत्येक को विभाजित करेगा। इसलिए यदि a, b, और c वास्तव में जोड़ीदार सहअभाज्य हैं, तो d, e, और f जोड़ीदार सहअभाज्य भी होने चाहिए। यह B और C के साथ-साथ A के लिए भी लागू होता है।

हर आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल की उपस्थिति ठीक एक बार
यह दिखाने के लिए कि पेड़ में प्रत्येक आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल शामिल है, लेकिन एक से अधिक बार नहीं, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि ऐसे किसी भी ट्रिपल के लिए पेड़ के माध्यम से शुरुआती नोड (3, 4, 5) के लिए ठीक एक रास्ता है। इसे एक-मॉड्यूलर व्युत्क्रम मैट्रिसेस ए में से प्रत्येक को बारी-बारी से लागू करके देखा जा सकता है-1, बी-1, और सी−1 एक मनमाने ढंग से आदिम पाइथागोरियन ट्रिपल (डी, ई, एफ) के लिए, यह देखते हुए कि उपरोक्त तर्क से प्राइमिटिविटी और पायथागॉरियन संपत्ति को बनाए रखा जाता है, और यह देखते हुए कि (3, 4, 5) से बड़े किसी भी ट्रिपल के लिए बिल्कुल व्युत्क्रम संक्रमण मेट्रिसेस में से एक सभी सकारात्मक प्रविष्टियों (और एक छोटा कर्ण) के साथ एक नया ट्रिपल देता है। प्रेरण द्वारा, यह नया वैध ट्रिपल स्वयं ठीक एक छोटे वैध ट्रिपल की ओर जाता है, और आगे भी। छोटे और छोटे संभावित कर्णों की संख्या की परिमितता से, अंततः (3, 4, 5) तक पहुँच जाता है। यह साबित करता है कि (डी, ई, एफ) वास्तव में पेड़ में होता है, क्योंकि इसे चरणों को उलट कर (3, 4, 5) से पहुंचा जा सकता है; और यह विशिष्ट रूप से होता है क्योंकि (डी, ई, एफ) से (3, 4, 5) तक केवल एक ही रास्ता था।

गुण
मैट्रिक्स ए का उपयोग कर परिवर्तन, यदि बार-बार (ए, बी, सी) = (3, 4, 5) से किया जाता है, तो फीचर बी + 1 = सी को संरक्षित करता है; मैट्रिक्स बी a – b = ±1 (3, 4, 5) से शुरू करके सुरक्षित रखता है; और मैट्रिक्स C (3, 4, 5) से शुरू होने वाली विशेषता a+2=c को सुरक्षित रखता है।

इस पेड़ के लिए एक ज्यामितीय व्याख्या में प्रत्येक नोड पर मौजूद बहिर्वृत्त शामिल हैं। किसी भी माता-पिता त्रिकोण के तीन बच्चे माता-पिता से "विरासत" प्राप्त करते हैं: माता-पिता की बाहरी त्रिज्या अगली पीढ़ी के लिए अंतःत्रिज्या बन जाती है। उदाहरण के लिए, माता-पिता (3, 4, 5) के पास 2, 3 और 6 के बराबर त्रिज्या है। ये ठीक तीन बच्चों (5, 12, 13), (15, 8, 17) और (21, 20, 29) क्रमश।

यदि प्रारंभिक स्थिति के रूप में उपयोग किए जाने वाले किसी भी पायथागॉरियन ट्रिपल से ए या सी में से किसी एक को बार-बार लागू किया जाता है, तो ए, बी, और सी में से किसी की गतिशीलता को एक्स की गतिशीलता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$ x_{n+3} - 3x_{n+2} + 3x_{n+1} - x_n = 0 \, $$

जो मेट्रिसेस के साझा विशेषता बहुपद#विशेषता समीकरण पर प्रतिरूपित है


 * $$\lambda ^3 -3 \lambda ^2 + 3 \lambda -1 = 0. \, $$

यदि बी को बार-बार लागू किया जाता है, तो ए, बी, और सी में से किसी की गतिशीलता को एक्स की गतिशीलता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$ x_{n+3} - 5x_{n+2} - 5x_{n+1} + x_n = 0, \, $$

जो बी के चारित्रिक समीकरण पर प्रतिरूपित है। इसके अलावा, अन्य तीसरे क्रम के अविभाज्य अंतर समीकरणों की एक अनंतता को तीन आव्यूहों में से किसी एक को एक मनमाना क्रम में कई बार एक मनमाना संख्या में गुणा करके पाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स डी = सीबी एक ही चरण में एक को दो नोड्स (आस-पास, फिर नीचे) द्वारा पेड़ से बाहर ले जाता है; D का विशिष्ट समीकरण सामूहिक रूप से संपूर्ण घटनाओं|D द्वारा गठित गैर-संपूर्ण वृक्ष में a, b, या c में से किसी के तीसरे क्रम की गतिशीलता के लिए पैटर्न प्रदान करता है।

पेड़ बनाने के वैकल्पिक तरीके
इस पेड़ की गतिशीलता के लिए एक और दृष्टिकोण सभी आदिम पायथागॉरियन त्रिक उत्पन्न करने के लिए मानक सूत्र पर निर्भर करता है:


 * $$a = m^2 - n^2, \, $$
 * $$b = 2mn, \, $$
 * $$c = m^2 + n^2, \, $$

m > n > 0 और m और n कोप्राइम और विपरीत समता के साथ। जोड़े (एम, एन) को इनमें से किसी के द्वारा पूर्व-गुणा (कॉलम वेक्टर के रूप में व्यक्त) करके पुनरावृत्त किया जा सकता है



\begin{array}{lcr} \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, & \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix}, & \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}, \end{array} $$ जिनमें से प्रत्येक असमानताओं, सहप्रधानता और विपरीत समानता को संरक्षित करता है। परिणामी टर्नरी ट्री, (2,1) से शुरू होकर, प्रत्येक ऐसे (m, n) जोड़े को ठीक एक बार शामिल करता है, और जब इसे (a, b, c) ट्रिपल में परिवर्तित किया जाता है तो यह ऊपर वर्णित पेड़ के समान हो जाता है।

ट्रिपल के पेड़ को उत्पन्न करने के लिए दो अंतर्निहित पैरामीटर का उपयोग करने का दूसरा तरीका सभी आदिम त्रिगुणों के लिए एक वैकल्पिक सूत्र का उपयोग करता है:


 * $$a = uv, \, $$
 * $$b = \frac{u^2-v^2}{2},$$
 * $$c = \frac{u^2+v^2}{2},$$

यू > वी > 0 और यू और वी कोप्राइम और दोनों ऑड के साथ। जोड़े (u, v) को उपरोक्त 2 × 2 आव्यूहों में से किसी के द्वारा पूर्व-गुणा करके (कॉलम वेक्टर के रूप में व्यक्त) पुनरावृत्त किया जा सकता है, जिनमें से तीनों असमानताओं, सहप्रधानता और दोनों तत्वों की विषम समानता को संरक्षित करते हैं। जब यह प्रक्रिया (3, 1) पर शुरू होती है, तो परिणामी त्रिगुट वृक्ष में ऐसी प्रत्येक (u, v) जोड़ी ठीक एक बार होती है, और जब इसे (a, b, c) त्रिगुणों में परिवर्तित किया जाता है तो यह ऊपर वर्णित वृक्ष के समान हो जाता है।

एक अलग पेड़
वैकल्पिक रूप से, कोई प्राइस द्वारा प्राप्त 3 अलग-अलग मैट्रिसेस का भी उपयोग कर सकता है। ये आव्यूह A', B', C' और उनके संबंधित रैखिक परिवर्तन नीचे दिखाए गए हैं।


 * $$\overset{\mathop{\left[ \begin{matrix}

2 & 1 & -1 \\   -2 & 2 & 2  \\   -2 & 1 & 3 \end{matrix} \right]}} \left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a_1 \\ b_1 \\ c_1 \end{matrix} \right],\quad \text{    }\overset{\mathop{\left[ \begin{matrix} 2 & 1 & 1 \\   2 & -2 & 2  \\   2 & -1 & 3 \end{matrix} \right]}} \left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a_2 \\ b_2 \\ c_2 \end{matrix} \right],\quad \text{    }\overset{\mathop{\left[ \begin{matrix} 2 & -1 & 1 \\   2 & 2 & 2  \\   2 & 1 & 3  \\ \end{matrix} \right]}} \left[ \begin{matrix} a \\ b \\ c \\ \end{matrix} \right]=\left[ \begin{matrix} a_3 \\ b_3 \\ c_3 \end{matrix} \right]$$ मूल्य के तीन रैखिक परिवर्तन हैं


 * $$\begin{align}

& \begin{matrix} +2a+b-c=a_1 \quad & -2a+2b+2c=b_1 \quad & -2a+b+3c=c_1 & \quad \to \left[ \text{ }a_1,\text{ }b_1,\text{ }c_1 \right] \end{matrix} \\ & \begin{matrix} +2a+b+c=a_2 \quad & +2a-2b+2c=b_2 \quad & +2a-b+3c=c_2 & \quad \to \left[ \text{ }a_2,\text{ }b_2,\text{ }c_2  \right] \end{matrix} \\ & \begin{matrix} +2a-b+c=a_3 \quad & +2a+2b+2c=b_3 \quad & +2a+b+3c=c_3 & \quad \to \left[ \text{ }a_3,\text{ }b_3,\text{ }c_3 \right] \end{matrix} \\ & \end{align}$$ मेट्रिसेस के दो सेटों में से प्रत्येक के द्वारा उत्पादित 3 बच्चे समान नहीं हैं, लेकिन प्रत्येक सेट अलग-अलग सभी आदिम त्रिक उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए, माता-पिता के रूप में [5, 12, 13] का उपयोग करते हुए, हमें तीन बच्चों के दो सेट मिलते हैं:


 * $$\begin{array}{ccc}

& \left[ 5,12,13 \right] &  \\ A &     B      & C \\ \left[ 45,28,53 \right] & \left[ 55,48,73 \right] & \left[ 7,24,25 \right] \end{array} \quad \quad \quad \quad \quad \quad \begin{array}{ccc} {} & \left[ 5,12,13 \right] & {} \\ A' & B' & C' \\ \left[ 9,40,41 \right] & \left[ 35,12,37\right] & \left[ 11,60,61 \right] \end{array} $$

बाहरी संबंध

 * The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples at cut-the-knot
 * Frank R. Bernhart, and H. Lee Price, "Pythagoras' garden, revisited", Australian Senior Mathematics Journal 01/2012; 26(1):29-40.