हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म

गणित और संकेत आगे बढ़ाना  में, हिल्बर्ट रूपांतरण एक विशिष्ट विलक्षण समाकल है जो एक कार्य करता है, $u(t)$ एक वास्तविक चर का और एक वास्तविक चर का दूसरा कार्य उत्पन्न करता है $H(u)(t)$. हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म फ़ंक्शन के साथ कनवल्शन के कॉची प्रिंसिपल वैल्यू द्वारा दिया गया है $$1/(\pi t)$$ (देखना ). हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म का आवृत्ति डोमेन में विशेष रूप से सरल प्रतिनिधित्व है: यह ±90° का चरण में बदलाव प्रदान करता है ($\pi/2$ रेडियंस) किसी फ़ंक्शन के प्रत्येक आवृत्ति घटक के लिए, आवृत्ति के संकेत के आधार पर शिफ्ट का संकेत (देखें ). सिग्नल प्रोसेसिंग में हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म महत्वपूर्ण है, जहाँ यह वास्तविक-मूल्यवान सिग्नल के विश्लेषणात्मक सिग्नल का एक घटक है $u(t)$. विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए रीमैन-हिल्बर्ट समस्या के एक विशेष मामले को हल करने के लिए हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म को पहली बार डेविड हिल्बर्ट द्वारा इस सेटिंग में पेश किया गया था।

परिभाषा
हिल्बर्ट का परिवर्तन $u$ के कनवल्शन के रूप में सोचा जा सकता है $u(t)$ समारोह के साथ $h(t) = 1⁄\pi t$, कॉची कर्नेल के रूप में जाना जाता है। क्योंकि $1/t$ भर में पूर्णांक नहीं है $t = 0$, कनवल्शन को परिभाषित करने वाला इंटीग्रल हमेशा एकाग्र नहीं होता है। इसके बजाय, हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म को कॉची प्रिंसिपल वैल्यू (यहाँ द्वारा दर्शाया गया है) का उपयोग करके परिभाषित किया गया है $p.v.$). स्पष्ट रूप से, एक फ़ंक्शन (या सिग्नल) का हिल्बर्ट रूपांतरण $u(t)$ द्वारा दिया गया है

$$\operatorname{H}(u)(t) = \frac{1}{\pi}\, \operatorname{p.v.} \int_{-\infty}^{+\infty} \frac{u(\tau)}{t - \tau}\;\mathrm{d}\tau ,$$ बशर्ते यह अभिन्न एक प्रमुख मूल्य के रूप में मौजूद हो। यह ठीक का कनवल्शन है $u$ वितरण (गणित) # टेम्पर्ड वितरण और फूरियर रूपांतरण के साथ $p.v. 1⁄\pi t$. वैकल्पिक रूप से, वेरिएबल्स को बदलकर, प्रिंसिपल वैल्यू इंटीग्रल को स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है जैसा

$$\operatorname{H}(u)(t) = \frac{2}{\,\pi\,}\,\lim_{\varepsilon \to 0} \, \int_\varepsilon^\infty \frac{\,u(t + \tau) - u(t - \tau)\,}{2\tau} \;\mathrm{d}\tau~ .$$ जब हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म को किसी फ़ंक्शन के उत्तराधिकार में दो बार लागू किया जाता है $u$, परिणाम है:

$$\operatorname{H}\bigl(\operatorname{H}(u)\bigr)(t) = -u(t) ,$$ बशर्ते कि दोनों पुनरावृत्तियों को परिभाषित करने वाले अभिन्न एक उपयुक्त अर्थ में अभिसरण करें। विशेष रूप से, उलटा परिवर्तन है $$\operatorname{H}^3$$. के फूरियर रूपांतरण पर हिल्बर्ट परिवर्तन के प्रभाव पर विचार करके इस तथ्य को सबसे आसानी से देखा जा सकता है $u(t)$ (देखना, नीचे)।

ऊपरी आधे विमान में एक विश्लेषणात्मक कार्य के लिए, हिल्बर्ट रूपांतरण सीमा मूल्यों के वास्तविक भाग और काल्पनिक भाग के बीच संबंध का वर्णन करता है। यानी अगर $f(z)$ ऊपरी आधे जटिल तल में विश्लेषणात्मक है ${z : Im{z} > 0}$, और $u(t) = Re{f (t + 0·i)}$, तब $Im{f (t + 0·i)} = H(u)(t)$ योगात्मक स्थिरांक तक, बशर्ते यह हिल्बर्ट रूपांतरण मौजूद हो।

अंकन
सिग्नल प्रोसेसिंग में हिल्बर्ट का परिवर्तन $u(t)$ को आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $$ \hat{u}(t) $$. हालाँकि, गणित में, इस अंकन का पहले से ही बड़े पैमाने पर फूरियर रूपांतरण को निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाता है $u(t)$. कभी-कभी, हिल्बर्ट परिवर्तन को इसके द्वारा निरूपित किया जा सकता है $$ \tilde{u}(t) $$. इसके अलावा, कई स्रोत हिल्बर्ट रूपांतरण को यहां परिभाषित एक के नकारात्मक के रूप में परिभाषित करते हैं।

इतिहास
हिल्बर्ट रूपांतरण हिल्बर्ट के 1905 के कार्य में एक समस्या पर उत्पन्न हुआ, जो रीमैन ने विश्लेषणात्मक कार्यों के विषय में प्रस्तुत किया था, जिसे रीमैन-हिल्बर्ट समस्या के रूप में जाना जाता है। हिल्बर्ट का काम मुख्य रूप से सर्कल पर परिभाषित कार्यों के लिए हिल्बर्ट परिवर्तन से संबंधित था। डिस्क्रीट हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म से संबंधित उनके पहले के कुछ काम गौटिंगेन में उनके द्वारा दिए गए व्याख्यानों से संबंधित हैं। परिणाम बाद में हरमन वेइल द्वारा अपने शोध प्रबंध में प्रकाशित किए गए थे। शूर ने असतत हिल्बर्ट रूपांतरण के बारे में हिल्बर्ट के परिणामों में सुधार किया और उन्हें अभिन्न मामले में विस्तारित किया। ये परिणाम स्पेस एलपी स्पेस | तक ही सीमित थे$L^{2}$ और $ℓ^{2}$. 1928 में, मार्सेल रिज्ज़ ने साबित किया कि हिल्बर्ट रूपांतरण को u में परिभाषित किया जा सकता है $$L^p(\mathbb{R})$$ (एलपी स्पेस|एलp स्पेस) के लिए $1 < p < ∞$, कि हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म एक परिबद्ध संचालिका है $$L^p(\mathbb{R})$$ के लिए $1 < p < ∞$, और इसी तरह के परिणाम सर्कल पर हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म के साथ-साथ असतत हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म के लिए भी हैं। हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म एंटोनी ज़िगमंड और अल्बर्टो काल्डेरोन के लिए उनके एकवचन इंटीग्रल के अध्ययन के दौरान एक प्रेरक उदाहरण था। उनकी जांच ने आधुनिक हार्मोनिक विश्लेषण में मौलिक भूमिका निभाई है। हिल्बर्ट परिवर्तन के विभिन्न सामान्यीकरण, जैसे बिलिनियर और ट्रिलिनियर हिल्बर्ट रूपांतरण आज भी अनुसंधान के सक्रिय क्षेत्र हैं।

फूरियर रूपांतरण के साथ संबंध
हिल्बर्ट रूपांतरण एक गुणक (फूरियर विश्लेषण) है। का गुणक $H$ है $σ_{H}(ω) = −i sgn(ω)$, कहाँ $sgn$ साइन समारोह  है। इसलिए:

$$\mathcal{F}\bigl(\operatorname{H}(u)\bigr)(\omega) = -i \sgn(\omega) \cdot \mathcal{F}(u)(\omega) ,$$ कहाँ $$\mathcal{F}$$ फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है। तब से $sgn(x) = sgn(2\pix)$, यह इस प्रकार है कि यह परिणाम तीन सामान्य परिभाषाओं पर लागू होता है $$ \mathcal{F}$$.

यूलर के सूत्र द्वारा, $$\sigma_\operatorname{H}(\omega) = \begin{cases} i = e^{+\frac{i\pi}{2}}, & \text{for } \omega < 0,\\ 0, & \text{for } \omega = 0,\\ -i = e^{-\frac{i\pi}{2}}, & \text{for } \omega > 0. \end{cases}$$ इसलिए, $H(u)(t)$ के नकारात्मक आवृत्ति घटकों के चरण को स्थानांतरित करने का प्रभाव है $u(t)$ द्वारा +90° ($\pi/2$ रेडियंस) और सकारात्मक आवृत्ति घटकों के चरण -90°, और $i·H(u)(t)$ में सकारात्मक आवृत्ति घटकों को पुनर्स्थापित करने का प्रभाव होता है जबकि नकारात्मक आवृत्ति वाले को एक अतिरिक्त +90° स्थानांतरित करते हैं, जिसके परिणामस्वरूप उनकी अस्वीकृति होती है (अर्थात, −1 से गुणा)।

जब हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म को दो बार लागू किया जाता है, तो नकारात्मक और सकारात्मक आवृत्ति घटकों का चरण $u(t)$ को क्रमशः +180° और -180° से विस्थापित किया जाता है, जो समान मात्राएँ हैं। संकेत अस्वीकृत है; अर्थात।, $H(H(u)) = −u$, क्योंकि

$$\bigl(\sigma_\operatorname{H}(\omega)\bigr)^2 = e^{\pm i\pi} = -1 \quad \text{for } \omega \neq 0 .$$

चयनित हिल्बर्ट रूपांतरणों की तालिका
निम्न तालिका में, आवृत्ति पैरामीटर $$\omega$$ यह सचमुच का है।

टिप्पणियाँ हिल्बर्ट रूपांतरणों की एक विस्तृत तालिका उपलब्ध है। ध्यान दें कि एक स्थिरांक का हिल्बर्ट परिवर्तन शून्य है।

परिभाषा का डोमेन
यह किसी भी तरह से स्पष्ट नहीं है कि हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म बिल्कुल भी अच्छी तरह से परिभाषित है, क्योंकि इसे परिभाषित करने वाले अनुचित इंटीग्रल को एक उपयुक्त अर्थ में अभिसरण करना चाहिए। हालाँकि, हिल्बर्ट परिवर्तन कार्यों की एक विस्तृत श्रेणी के लिए अच्छी तरह से परिभाषित है, अर्थात् उन में $$L^p(\mathbb{R})$$ के लिए $−H$.

अधिक सटीक, अगर $u$ में है $$L^p(\mathbb{R})$$ के लिए $1 < p < ∞$, फिर अनुचित समाकल को परिभाषित करने वाली सीमा

$$\operatorname{H}(u)(t) = \frac{2}{\pi} \lim_{\varepsilon \to 0} \int_\varepsilon^\infty \frac{u(t + \tau) - u(t - \tau)}{2\tau}\,d\tau$$ लगभग हर के लिए मौजूद है $t$. सीमा समारोह भी अंदर है $$L^p(\mathbb{R})$$ और वास्तव में अनुचित समाकल के माध्य की सीमा भी है। वह है,

$$\frac{2}{\pi} \int_\varepsilon^\infty \frac{u(t + \tau) - u(t - \tau)}{2\tau}\,\mathrm{d}\tau \to \operatorname{H}(u)(t)$$ जैसा $1 < p < ∞$ में $L^{p}$ मानदंड, साथ ही बिंदुवार लगभग हर जगह, #Titchmarsh.27s प्रमेय द्वारा।

यदि $ε → 0$, हिल्बर्ट रूपांतरण अभी भी लगभग हर जगह बिंदुवार अभिसरित होता है, लेकिन हो सकता है कि स्थानीय स्तर पर भी, स्वयं पूर्णांक होने में विफल हो। विशेष रूप से, माध्य में अभिसरण सामान्य रूप से इस मामले में नहीं होता है। एक का हिल्बर्ट रूपांतरण $p = 1$ फ़ंक्शन, हालांकि, अभिसरण करता है $L^{1}$-कमजोर, और हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म एक बाउंडेड ऑपरेटर है $L^{1}$ को $L^{1}$. (विशेष रूप से, चूंकि हिल्बर्ट रूपांतरण भी एक गुणक संचालिका है $L^{1,w}$, Marcinkiewicz प्रक्षेप और एक द्वैत तर्क एक वैकल्पिक प्रमाण प्रस्तुत करता है $H$ पर बाध्य है $L^{2}$.)

सीमाबद्धता
अगर $L^{p}$, तो हिल्बर्ट चालू हो जाता है $$L^p(\mathbb{R})$$ एक परिबद्ध रैखिक संकारक है, जिसका अर्थ है कि एक स्थिरांक मौजूद है $C_{p}$ ऐसा है कि

$$\left\|\operatorname{H}u\right\|_p \le C_p \left\|u\right\|_p $$ सभी के लिए $u \isin L^p(\mathbb{R})$. सबसे अच्छा स्थिरांक $$C_p$$ द्वारा दिया गया है $$C_p = \begin{cases} \tan \frac{\pi}{2p} & \text{for} ~ 1 < p \leq 2\\ \cot \frac{\pi}{2p} & \text{for} ~ 2 < p < \infty \end{cases}$$ सबसे अच्छा खोजने का एक आसान तरीका $$C_p$$ के लिए $$p$$ 2 की शक्ति होना तथाकथित कोटलर की पहचान के माध्यम से है $$ (\operatorname{H}f)^2 =f^2 +2\operatorname{H}(f\operatorname{H}f)$$ सभी वास्तविक मूल्यवान के लिए $f$. समय-समय पर हिल्बर्ट परिवर्तन के लिए समान सर्वोत्तम स्थिरांक हैं।

हिल्बर्ट रूपांतरण की सीमा का तात्पर्य है $$L^p(\mathbb{R})$$ सममित आंशिक योग ऑपरेटर का अभिसरण $$S_R f = \int_{-R}^R \hat{f}(\xi) e^{2\pi i x\xi} \, \mathrm{d}\xi $$ को $f$ में $L^p(\mathbb{R})$.

विरोधी आत्म-संबंध
हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म एक एंटी- स्वयं संलग्न ऑपरेटर है, जो द्वैत पेयरिंग के बीच है $$L^p(\mathbb{R})$$ और दोहरी जगह $L^q(\mathbb{R})$, कहाँ $p$ और $q$ होल्डर संयुग्म हैं और $1 < p < ∞$. प्रतीकात्मक रूप से,

$$\langle \operatorname{H} u, v \rangle = \langle u, -\operatorname{H} v \rangle$$ के लिए $$u \isin L^p(\mathbb{R})$$ और $v \isin L^q(\mathbb{R})$.

उलटा परिवर्तन
हिल्बर्ट परिवर्तन एक विरोधी-निवेश है, मतलब है कि

$$\operatorname{H}\bigl(\operatorname{H}\left(u\right)\bigr) = -u$$ बशर्ते प्रत्येक परिवर्तन अच्छी तरह से परिभाषित हो। तब से $1 < p, q < ∞$ स्थान को सुरक्षित रखता है $L^p(\mathbb{R})$, इसका तात्पर्य विशेष रूप से है कि हिल्बर्ट रूपांतरण उलटा है $L^p(\mathbb{R})$, ओर वो

$$\operatorname{H}^{-1} = -\operatorname{H}$$

जटिल संरचना
क्योंकि $H$ ($H^{2} = −I$ पहचान ऑपरेटर है) वास्तविक मूल्यवान कार्यों के वास्तविक बनच स्थान पर $L^p(\mathbb{R})$, हिल्बर्ट रूपांतरण इस बनच स्थान पर एक रेखीय जटिल संरचना को परिभाषित करता है। विशेष रूप से, कब $I$, हिल्बर्ट रूपांतरण हिल्बर्ट को वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का स्थान देता है $$L^2(\mathbb{R})$$ एक जटिल हिल्बर्ट अंतरिक्ष की संरचना।

हिल्बर्ट के (जटिल) eigenstates हार्डी अंतरिक्ष H वर्ग में ऊपरी और निचले आधे विमानों में होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के रूप में अभ्यावेदन को रूपांतरित करते हैं।$p = 2$ पाले-वीनर प्रमेय द्वारा।

भेद
औपचारिक रूप से, हिल्बर्ट ट्रांस्फ़ॉर्म का व्युत्पन्न डेरिवेटिव का हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म है, यानी ये दो रैखिक ऑपरेटर कम्यूट करते हैं:

$$\operatorname{H}\left(\frac{ \mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}\right) = \frac{\mathrm d}{\mathrm{d}t}\operatorname{H}(u)$$ इस पहचान को दोहराते हुए,

$$\operatorname{H}\left(\frac{\mathrm{d}^ku}{\mathrm{d}t^k}\right) = \frac{\mathrm{d}^k}{\mathrm{d}t^k}\operatorname{H}(u)$$ जैसा कि प्रदान किया गया है, यह कड़ाई से सच है $u$ और यह पहला है $k$ डेरिवेटिव संबंधित हैं $L^p(\mathbb{R})$. इसे फ़्रीक्वेंसी डोमेन में आसानी से चेक किया जा सकता है, जहाँ डिफरेंशियल मल्टीप्लिकेशन बन जाता है $ω$.

कनवल्शन
हिल्बर्ट परिवर्तन को औपचारिक रूप से वितरण (गणित) # टेम्पर्ड वितरण और फूरियर रूपांतरण के साथ एक कनवल्शन के रूप में महसूस किया जा सकता है

$$h(t) = \operatorname{p.v.} \frac{1}{ \pi \, t }$$ इस प्रकार औपचारिक रूप से,

$$\operatorname{H}(u) = h*u$$ हालाँकि, एक प्राथमिकता इसे केवल के लिए परिभाषित किया जा सकता है $u$ कॉम्पैक्ट समर्थन का वितरण। इसके साथ कुछ हद तक सख्ती से काम करना संभव है क्योंकि कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित फ़ंक्शंस (जो वितरण एक फ़ोर्टियोरी हैं) सघन (टोपोलॉजी) हैं $H^{2}$. वैकल्पिक रूप से, कोई इस तथ्य का उपयोग कर सकता है कि h(t) फलन का वितरण व्युत्पन्न है $L^{p}$; अर्थात

$$\operatorname{H}(u)(t) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\frac{1}{\pi} \left(u*\log\bigl|\cdot\bigr|\right)(t)\right)$$ अधिकांश परिचालन उद्देश्यों के लिए हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म को कनवल्शन के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक औपचारिक अर्थ में, कनवल्शन का हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म, हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म का कनवल्शन है, जो किसी एक कारक पर लागू होता है:

$$\operatorname{H}(u*v) = \operatorname{H}(u)*v = u*\operatorname{H}(v)$$ यह कटु सत्य है यदि $u$ और $v$ सघन रूप से समर्थित वितरण हैं, क्योंकि उस स्थिति में,

$$ h*(u*v) = (h*u)*v = u*(h*v)$$ एक उचित सीमा से गुजरते हुए, यह इस प्रकार भी सत्य है यदि $log|t|/π$ और $u ∈ L^{p}$ उसे उपलब्ध कराया

$$ 1 < \frac{1}{p} + \frac{1}{q} $$ Titchmarsh के कारण एक प्रमेय से।

उलटा
हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म में निम्नलिखित इनवेरिएंस गुण हैं $$L^2(\mathbb{R})$$.
 * यह अनुवाद के साथ यात्रा करता है। यानी यह ऑपरेटरों के साथ आवागमन करता है $v ∈ L^{q}$ सभी के लिए $a$ में $$\mathbb{R}.$$
 * यह सकारात्मक फैलाव के साथ आवागमन करता है। यानी यह ऑपरेटरों के साथ आवागमन करता है $T_{a} f(x) = f(x + a)$ सभी के लिए $M_{λ} f (x) = f (λ x)$.
 * यह प्रतिबिंब के साथ एंटीकम्यूटेटिविटी है $λ > 0$.

गुणनात्मक स्थिरांक तक, हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म एकमात्र बाउंडेड ऑपरेटर है $L$2 इन गुणों के साथ।

वास्तव में ऑपरेटरों का एक व्यापक समूह है जो हिल्बर्ट रूपांतरण के साथ आवागमन करता है। समूह $$\text{SL}(2,\mathbb{R})$$ एकात्मक ऑपरेटरों द्वारा कार्य करता है $R f (x) = f (−x)$ अंतरिक्ष पर $$L^2(\mathbb{R})$$ सूत्र द्वारा

$$\operatorname{U}_{g}^{-1} f(x) = \frac{1}{ c x + d } \, f \left( \frac{ ax + b }{ cx + d } \right) \,,\qquad g = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix} ~,\qquad \text{ for }~ a d - b c = \pm 1. $$

यह एकात्मक प्रतिनिधित्व एक प्रमुख श्रृंखला प्रतिनिधित्व का एक उदाहरण है $$~\text{SL}(2,\mathbb{R})~.$$ इस मामले में यह कम करने योग्य है, दो अपरिवर्तनीय उप-स्थानों, हार्डी स्पेस के ऑर्थोगोनल योग के रूप में विभाजित $$H^2(\mathbb{R})$$ और इसके संयुग्मी। ये के रिक्त स्थान हैं $U_{g}$ ऊपरी और निचले आधे विमानों पर होलोमोर्फिक कार्यों के सीमा मूल्य। $$H^2(\mathbb{R})$$ और इसके संयुग्म ठीक उन्हीं से मिलकर बने हैं $L^{2}$ फूरियर के साथ कार्य क्रमशः वास्तविक अक्ष के नकारात्मक और सकारात्मक भागों पर लुप्त हो जाते हैं। चूंकि हिल्बर्ट रूपांतरण बराबर है $L^{2}$, साथ $P$ से ओर्थोगोनल प्रक्षेपण किया जा रहा है $$L^2(\mathbb{R})$$ पर $$\operatorname{H}^2(\mathbb{R}),$$ और $H = −i (2P − I)$ पहचान ऑपरेटर, यह उसका अनुसरण करता है $$\operatorname{H}^2(\mathbb{R})$$ और इसके ऑर्थोगोनल पूरक के आइगेनस्पेस हैं $I$ eigenvalues ​​के लिए $H$. दूसरे शब्दों में, $±i$ ऑपरेटरों के साथ यात्रा करता है $U_{g}$. ऑपरेटरों के प्रतिबंध $U_{g}$ को $$\operatorname{H}^2(\mathbb{R})$$ और इसके संयुग्मी का अलघुकरणीय निरूपण देते हैं $$\text{SL}(2,\mathbb{R})$$ - असतत श्रृंखला अभ्यावेदन की तथाकथित सीमा।

वितरण का हिल्बर्ट परिवर्तन
वितरण के कुछ स्थानों (गणित) में हिल्बर्ट परिवर्तन को आगे बढ़ाना संभव है. चूंकि हिल्बर्ट परिवर्तन विभेदीकरण के साथ आवागमन करता है, और यह एक बंधा हुआ ऑपरेटर है $L^{p}$, $H$ Sobolev रिक्त स्थान की व्युत्क्रम सीमा पर निरंतर परिवर्तन देने के लिए प्रतिबंधित करता है:

$$\mathcal{D}_{L^p} = \underset{n \to \infty}{\underset{\longleftarrow}{\lim}} W^{n,p}(\mathbb{R})$$ हिल्बर्ट रूपांतरण को तब के दोहरे स्थान पर परिभाषित किया जा सकता है $$\mathcal{D}_{L^p}$$, निरूपित $$\mathcal{D}_{L^p}'$$, को मिलाकर $L^{p}$ वितरण। यह द्वैत युग्म द्वारा पूरा किया जाता है: के लिए $ u\in \mathcal{D}'_{L^p} $, परिभाषित करना:

$$\operatorname{H}(u)\in \mathcal{D}'_{L^p} = \langle \operatorname{H}u, v \rangle \ \triangleq \ \langle u, -\operatorname{H}v\rangle,\ \text{for all} \ v\in\mathcal{D}_{L^p} .$$ टेम्पर्ड वितरण के स्थान पर हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म को परिभाषित करना संभव है, साथ ही गेलफैंड और शिलोव के दृष्टिकोण से, लेकिन अभिन्न में विलक्षणता के कारण काफी अधिक देखभाल की आवश्यकता है।

बाध्य कार्यों का हिल्बर्ट रूपांतरण
हिल्बर्ट रूपांतरण को कार्यों के लिए परिभाषित किया जा सकता है $$L^\infty (\mathbb{R})$$ साथ ही, लेकिन इसमें कुछ संशोधनों और चेतावनियों की आवश्यकता है। उचित रूप से समझे जाने पर, हिल्बर्ट मानचित्रों को रूपांतरित करता है $$L^\infty (\mathbb{R})$$ बाउंडेड मीन दोलन (बीएमओ) कक्षाओं के बनच स्थान के लिए।

भोलेपन से व्याख्या की गई, एक बंधे हुए कार्य का हिल्बर्ट परिवर्तन स्पष्ट रूप से खराब परिभाषित है। उदाहरण के लिए, साथ $H$, अभिन्न परिभाषित $u = sgn(x)$ लगभग हर जगह विचलन करता है $H(u)$. इस तरह की कठिनाइयों को कम करने के लिए, हिल्बर्ट ने एक का रूपांतरण किया $±∞$ फ़ंक्शन इसलिए अभिन्न के निम्नलिखित नियमितीकरण (भौतिकी) रूप द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\operatorname{H}(u)(t) = \operatorname{p.v.} \int_{-\infty}^\infty u(\tau)\left\{h(t - \tau)- h_0(-\tau)\right\} \, \mathrm{d}\tau$$ जहां ऊपर के रूप में $L^{∞}$ और

$$h_0(x) = \begin{cases} 0                 & \text{for} ~ |x| < 1 \\ \frac{1}{\pi \, x} & \text{for} ~ |x| \ge 1 \end{cases}$$ संशोधित परिवर्तन $h(x) = 1⁄πx$ Calderón और Zygmund द्वारा एक सामान्य परिणाम से कॉम्पैक्ट समर्थन के कार्यों पर एक योगात्मक स्थिरांक तक मूल परिवर्तन से सहमत हैं। इसके अलावा, परिणामी इंटीग्रल लगभग हर जगह, और बीएमओ मानदंड के संबंध में, बंधे हुए माध्य दोलन के कार्य के लिए अभिसरण करता है।

फ़ेफ़रमैन के काम का गहरा परिणाम यह है कि एक कार्य बंधे हुए दोलन का होता है यदि और केवल यदि उसका रूप हो $H$ कुछ के लिए $ f,g \isin L^\infty (\mathbb{R})$.

संयुग्म कार्य
हिल्बर्ट परिवर्तन को कार्यों की एक जोड़ी के रूप में समझा जा सकता है $f + H(g)$ और $f(x)$ जैसे कि समारोह $$F(x) = f(x) + i\,g(x)$$ एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन का सीमा मान है $g(x)$ ऊपरी आधे विमान में। इन परिस्थितियों में, यदि $f$ और $g$ पर्याप्त रूप से पूर्णांक हैं, तो एक दूसरे का हिल्बर्ट रूपांतरण है।

लगता है कि $$f \isin L^p(\mathbb{R}).$$ फिर, प्वासों समाकल के सिद्धांत द्वारा, $f$ ऊपरी अर्ध-तल में एक अद्वितीय हार्मोनिक विस्तार को स्वीकार करता है, और यह विस्तार इसके द्वारा दिया जाता है

$$u(x + iy) = u(x, y) = \frac{1}{\pi} \int_{-\infty}^\infty f(s)\;\frac{y}{(x - s)^2 + y^2} \; \mathrm{d}s$$ जो का कनवल्शन है $f$ पोइसन कर्नेल के साथ

$$P(x, y) = \frac{ y }{ \pi\, \left( x^2 + y^2 \right) }$$ इसके अलावा, एक अद्वितीय हार्मोनिक फ़ंक्शन है $v$ ऊपरी आधे विमान में परिभाषित किया गया है जैसे कि $F(z)$ होलोमॉर्फिक है और $$\lim_{y \to \infty} v\,(x + i\,y) = 0$$ यह हार्मोनिक फ़ंक्शन से प्राप्त किया जाता है $f$ संयुग्म पॉइसन कर्नेल के साथ कनवल्शन लेकर

$$Q(x, y) = \frac{ x }{ \pi\, \left(x^2 + y^2\right) } .$$ इस प्रकार $$v(x, y) = \frac{1}{\pi}\int_{-\infty}^\infty f(s)\;\frac{x - s}{\,(x - s)^2 + y^2\,}\;\mathrm{d}s .$$ दरअसल, कॉची कर्नेल के वास्तविक और काल्पनिक हिस्से हैं $$\frac{i}{\pi\,z} = P(x, y) + i\,Q(x, y)$$ ताकि $F(z) = u(z) + i v(z)$ कॉची के अभिन्न सूत्र द्वारा होलोमोर्फिक है।

कार्यक्रम $v$ से प्राप्त $u$ इस तरह का हार्मोनिक संयुग्म कहा जाता है $u$. (गैर स्पर्शरेखा) की सीमा सीमा $F = u + i v$ जैसा $v(x,y)$ का हिल्बर्ट रूपांतरण है $f$. इस प्रकार, संक्षेप में, $$\operatorname{H}(f) = \lim_{y \to 0} Q(-, y) \star f$$

टीकमर्श की प्रमेय
Titchmarsh की प्रमेय (एडवर्ड चार्ल्स Titchmarsh|E.C. Titchmarsh के नाम पर, जिन्होंने इसे अपने 1937 के काम में शामिल किया था) ऊपरी आधे विमान और हिल्बर्ट रूपांतरण में होलोमोर्फिक कार्यों के सीमा मूल्यों के बीच संबंध को सटीक बनाता है। यह एक जटिल-मूल्यवान वर्ग-समाकलन योग्य फ़ंक्शन के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें देता है $y → 0$ वास्तविक रेखा पर हार्डी स्पेस में किसी फ़ंक्शन का सीमा मान होना $F(x)$ ऊपरी आधे विमान में होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस $U$.

प्रमेय में कहा गया है कि एक जटिल-मूल्यवान वर्ग-समाकलन योग्य फ़ंक्शन के लिए निम्नलिखित शर्तें $$F : \mathbb{R} \to \mathbb{C}$$ समतुल्य हैं:


 * $H^{2}(U)$ की सीमा है $F(x)$ एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन का $z → x$ ऊपरी आधे विमान में ऐसा है $$ \int_{-\infty}^\infty |F(x + i\,y)|^2\;\mathrm{d}x < K $$
 * के वास्तविक और काल्पनिक भाग $F(z)$ एक दूसरे के हिल्बर्ट रूपांतरण हैं।
 * फूरियर रूपांतरण $$\mathcal{F}(F)(x)$$ के लिए गायब हो जाता है $F(x)$.

कक्षा के कार्यों के लिए एक कमजोर परिणाम सत्य है $L^{p}$ के लिए $x < 0$. विशेष रूप से, अगर $p > 1$ एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है जैसे कि

$$\int_{-\infty}^\infty |F(x + i\,y)|^p\;\mathrm{d}x < K $$ सभी के लिए $y$, तो एक जटिल-मूल्यवान कार्य है $F(z)$ में $$L^p(\mathbb{R})$$ ऐसा है कि $F(x)$ में $L^{p}$ मानक के रूप में $F(x + i y) → F(x)$ (साथ ही लगभग हर जगह पॉइंटवाइज़ होल्ड करना)। आगे,

$$F(x) = f(x) - i\,g(x)$$ कहाँ $f$ में एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य है $$L^p(\mathbb{R})$$ और $g$ हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म है (क्लास का $L^{p}$) का $f$.

यह मामले में सही नहीं है $y → 0$. वास्तव में, हिल्बर्ट एक का परिवर्तन $p = 1$ समारोह $f$ को माध्य से दूसरे में अभिसरण करने की आवश्यकता नहीं है $L^{1}$ समारोह। फिर भी, का हिल्बर्ट रूपांतरण $f$ लगभग हर जगह एक परिमित कार्य में अभिसरण करता है $g$ ऐसा है कि

$$\int_{-\infty}^\infty \frac{ |g(x)|^p }{ 1 + x^2 } \; \mathrm{d}x < \infty$$ यह परिणाम डिस्क में हार्डी कार्यों के लिए एंड्री कोलमोगोरोव द्वारा सीधे एक के अनुरूप है। हालांकि आम तौर पर टिचमार्श के प्रमेय कहा जाता है, परिणाम हार्डी, पाले और वीनर सहित दूसरों के बहुत काम को जोड़ता है (पेली-वीनर प्रमेय देखें), साथ ही रीज़, हिले और टैमरकिन द्वारा काम

रीमैन-हिल्बर्ट समस्या
रीमैन-हिल्बर्ट समस्या का एक रूप कार्यों के जोड़े की पहचान करना चाहता है $L^{1}$ और $F_{+}$ ऐसा है कि $F_{−}$ ऊपरी आधे विमान पर होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है और $F_{+}$ निचले आधे तल पर होलोमोर्फिक है, जैसे कि के लिए $x$ वास्तविक अक्ष के साथ, $$F_{+}(x) - F_{-}(x) = f(x)$$ कहाँ $F_{−}$ का कुछ दिया गया वास्तविक-मूल्यवान फलन है $x \isin \mathbb{R}$. इस समीकरण के बाएँ पक्ष को या तो की सीमाओं के अंतर के रूप में समझा जा सकता है $f(x)$ उपयुक्त आधे विमानों से, या hyperfunction  वितरण के रूप में। इस रूप के दो कार्य रीमैन-हिल्बर्ट समस्या का समाधान हैं।

औपचारिक रूप से, यदि $F_{±}$ रीमैन-हिल्बर्ट समस्या को हल करें $$f(x) = F_{+}(x) - F_{-}(x)$$ फिर हिल्बर्ट का रूपांतरण $F_{±}$ द्वारा दिया गया है $$H(f)(x) = -i \bigl( F_{+}(x) + F_{-}(x) \bigr) .$$

सर्कल पर हिल्बर्ट रूपांतरण
एक आवधिक समारोह के लिए $f$ वृत्ताकार हिल्बर्ट रूपांतरण परिभाषित किया गया है:

$$\tilde f(x) \triangleq \frac{1}{ 2\pi } \operatorname{p.v.} \int_0^{2\pi} f(t)\,\cot\left(\frac{ x - t }{2}\right)\,\mathrm{d}t$$ सर्कुलर हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म का उपयोग हार्डी स्पेस के लक्षण वर्णन और फूरियर श्रृंखला में संयुग्म समारोह के अध्ययन में किया जाता है। कर्नेल, $$\cot\left(\frac{ x - t }{2}\right)$$ हिल्बर्ट कर्नेल के रूप में जाना जाता है क्योंकि यह इस रूप में था कि मूल रूप से हिल्बर्ट परिवर्तन का अध्ययन किया गया था।

हिल्बर्ट कर्नेल (परिपत्र हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म के लिए) कॉची कर्नेल बनाकर प्राप्त किया जा सकता है $1/x$ आवधिक। अधिक सटीक, के लिए $f(x)$

$$\frac{1}{\,2\,}\cot\left(\frac{x}{2}\right) = \frac{1}{x} + \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{1}{x + 2n\pi} + \frac{1}{\,x - 2n\pi\,} \right)$$ सर्कुलर हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म के बारे में कई परिणाम इस पत्राचार से हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म के संबंधित परिणामों से प्राप्त किए जा सकते हैं।

केली रूपांतरण द्वारा एक और अधिक सीधा संबंध प्रदान किया गया है $x ≠ 0$, जो वास्तविक रेखा को सर्कल पर और ऊपरी आधे विमान को यूनिट डिस्क पर ले जाता है। यह एक एकात्मक मानचित्र को प्रेरित करता है

$$ U\,f(x) = \frac{1}{(x + i)\,\sqrt{\pi}} \, f\left(C\left(x\right)\right) $$ का $C(x) = (x – i) / (x + i)$ पर $$L^2 (\mathbb{R}).$$ परिचालक $U$ हार्डी स्थान वहन करती है $L^{2}(T)$ हार्डी स्पेस पर $$H^2(\mathbb{R})$$.

बेडरोसियन प्रमेय
बेड्रोसियन के प्रमेय में कहा गया है कि नॉन-ओवरलैपिंग स्पेक्ट्रा के साथ लो-पास और हाई-पास सिग्नल के उत्पाद का हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म लो-पास सिग्नल के उत्पाद और हाई-पास सिग्नल के हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म द्वारा दिया जाता है, या

$$\operatorname{H}\left(f_\text{LP}(t)\cdot f_\text{HP}(t)\right) = f_\text{LP}(t)\cdot \operatorname{H}\left(f_\text{HP}(t)\right),$$ कहाँ $H^{2}(T)$ और $f_{LP}$ क्रमशः लो- और हाई-पास सिग्नल हैं। संचार संकेतों की एक श्रेणी जिस पर यह लागू होता है उसे नैरोबैंड सिग्नल मॉडल कहा जाता है। उस श्रेणी का एक सदस्य उच्च आवृत्ति साइनसोइडल वाहक का आयाम मॉडुलन है:

$$u(t) = u_m(t) \cdot \cos(\omega t + \phi),$$ कहाँ $f_{HP}$ संकीर्ण बैंडविड्थ संदेश तरंग है, जैसे आवाज या संगीत। फिर बेडरोसियन प्रमेय द्वारा:

$$\operatorname{H}(u)(t) = u_m(t) \cdot \sin(\omega t + \phi).$$

विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व
एक विशिष्ट प्रकार का #Conjugate कार्य है:

$$u_a(t) \triangleq u(t) + i\cdot H(u)(t),$$ के विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व के रूप में जाना जाता है $$u(t).$$ यूलर के फार्मूले के कारण यह नाम इसकी गणितीय सुवाह्यता को दर्शाता है। बेड्रोसियन के प्रमेय को नैरोबैंड मॉडल पर लागू करना, विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व है:

फूरियर रूपांतरण संपत्ति इंगित करती है कि यह जटिल Heterodyne ऑपरेशन सभी नकारात्मक आवृत्ति घटकों को स्थानांतरित कर सकता है $u_{m}(t)$ 0 हर्ट्ज से ऊपर। उस स्थिति में, परिणाम का काल्पनिक भाग वास्तविक भाग का हिल्बर्ट रूपांतरण है। यह हिल्बर्ट रूपांतरण उत्पन्न करने का एक अप्रत्यक्ष तरीका है।

कोण (चरण/आवृत्ति) मॉड्यूलेशन
फार्म:

$$u(t) = A \cdot \cos(\omega t + \phi_m(t))$$ कोण मॉडुलन कहा जाता है, जिसमें चरण मॉडुलन और आवृत्ति मॉडुलन दोनों शामिल हैं। तात्कालिक चरण#तात्कालिक आवृत्ति है$$\omega + \phi_m^\prime(t).$$काफी बड़े के लिए $$, की तुलना में $\phi_m^\prime$:

$$\operatorname{H}(u)(t) \approx A \cdot \sin(\omega t + \phi_m(t))$$ और: $$u_a(t) \approx A \cdot e^{i(\omega t + \phi_m(t))}.$$

सिंगल साइडबैंड मॉड्यूलेशन (एसएसबी)
कब $u_{m}(t)$ में$ω$ भी एक विश्लेषणात्मक प्रतिनिधित्व (संदेश तरंग का) है, जो है:

$$u_m(t) = m(t) + i \cdot \widehat{m}(t)$$ नतीजा एकल साइडबैंड  मॉड्यूलेशन है:

$$u_a(t) = (m(t) + i \cdot \widehat{m}(t)) \cdot e^{i(\omega t + \phi)}$$ जिसका संचरित घटक है:

$$\begin{align} u(t) &= \operatorname{Re}\{u_a(t)\}\\ &= m(t)\cdot \cos(\omega t + \phi) - \widehat{m}(t)\cdot \sin(\omega t + \phi) \end{align}$$

कारणता
कार्यक्रम $$h(t) = 1/(\pi t)$$ कनवल्शन के रूप में व्यावहारिक कार्यान्वयन के लिए दो चुनौतियाँ प्रस्तुत करता है:
 * इसकी अवधि अनंत (तकनीकी रूप से अनंत समर्थन (गणित)) है। इसके बजाय एक परिमित लंबाई सन्निकटन का उपयोग किया जाना चाहिए। लेकिन विंडो फंक्शन की लंबाई भी परिवर्तन की प्रभावी आवृत्ति रेंज को कम करती है। खिड़की जितनी छोटी होगी, कम और उच्च आवृत्तियों पर नुकसान उतना ही अधिक होगा। चतुर्भुज फ़िल्टर भी देखें।
 * यह एक कारण फ़िल्टर है | नॉन-कॉज़ल फ़िल्टर। तो एक विलंबित संस्करण, $$h(t-\tau),$$ आवश्यक है। इसी आउटपुट में बाद में देरी होती है $$\tau.$$ विश्लेषणात्मक संकेत का काल्पनिक भाग बनाते समय, स्रोत (वास्तविक भाग) को समतुल्य राशि से विलंबित होना चाहिए।

असतत हिल्बर्ट रूपांतरण
फ़ाइल: बैंडपास असतत हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म फ़िल्टर.टीआईएफ|थंब|400पीएक्स|दाएं|चित्र 1: फ़िल्टर जिसकी आवृत्ति प्रतिक्रिया Nyquist आवृत्ति के लगभग 95% तक सीमित है फ़ाइल: हाईपास डिस्क्रीट हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म फ़िल्टर.टिफ़|थंब|400px|दाएं|चित्र 2: हाईपास फ़्रीक्वेंसी रिस्पॉन्स के साथ हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्म फ़िल्टर असतत कार्य के लिए, $u[n]$, असतत-समय फूरियर रूपांतरण (DTFT) के साथ, $U(\omega)$, और असतत हिल्बर्ट रूपांतरण $\hat u[n]$, का डीटीएफटी $$\hat u[n]$$ क्षेत्र में $u_{m}(t)$ द्वारा दिया गया है:


 * $$\operatorname{DTFT} (\hat u) = U(\omega)\cdot (-i\cdot \sgn(\omega)).$$

विलोम DTFT, असतत चर (अनुक्रम) के कनवल्शन प्रमेय#Functions का उपयोग करते हुए है:

\begin{align} \hat u[n] &= {\scriptstyle \mathrm{DTFT}^{-1}} (U(\omega))\ *\ {\scriptstyle \mathrm{DTFT}^{-1}} (-i\cdot \sgn(\omega))\\ &= u[n]\ *\ \frac{1}{2 \pi}\int_{-\pi}^{\pi} (-i\cdot \sgn(\omega))\cdot e^{i \omega n} \,\mathrm{d}\omega\\ &= u[n]\ *\ \underbrace{\frac{1}{2 \pi}\left[\int_{-\pi}^0 i\cdot e^{i \omega n} \,\mathrm{d}\omega - \int_0^\pi i\cdot e^{i \omega n} \,\mathrm{d}\omega \right]}_{h[n]}, \end{align} $$ कहाँ


 * $$h[n]\ \triangleq \

\begin{cases} 0, & \text{for }n\text{ even}\\ \frac 2 {\pi n} & \text{for }n\text{ odd}, \end{cases}$$ जो एक अनंत आवेग प्रतिक्रिया (IIR) है। जब कनवल्शन संख्यात्मक रूप से किया जाता है, तो परिमित आवेग प्रतिक्रिया सन्निकटन को प्रतिस्थापित किया जाता है $cos(ωt)$, जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। एंटी-सिमेट्रिक गुणांक की एक विषम संख्या के साथ एक एफआईआर फ़िल्टर को टाइप III कहा जाता है, जो फ़्रीक्वेंसी 0 और Nyquist पर स्वाभाविक रूप से शून्य परिमाण की प्रतिक्रिया प्रदर्शित करता है, जिसके परिणामस्वरूप यह एक बैंडपास फ़िल्टर आकार में होता है। चित्र 2 में एक प्रकार IV डिज़ाइन (एंटी-सिमेट्रिक गुणांक की सम संख्या) दिखाया गया है। चूंकि Nyquist आवृत्ति पर परिमाण प्रतिक्रिया समाप्त नहीं होती है, यह ऑड-टैप फ़िल्टर की तुलना में एक आदर्श हिल्बर्ट ट्रांसफ़ॉर्मर का थोड़ा बेहतर अनुमान लगाती है। हालाँकि
 * एक विशिष्ट (यानी ठीक से फ़िल्टर और नमूना) $sin(ωt)$ अनुक्रम में Nyquist आवृत्ति पर कोई उपयोगी घटक नहीं है।
 * प्रकार IV आवेग प्रतिक्रिया की आवश्यकता है a $$ नमूना बदलाव में $sin(ωt)$ अनुक्रम। इससे शून्य-मूल्य वाले गुणांक गैर-शून्य हो जाते हैं, जैसा कि चित्र 2 में देखा गया है। इसलिए टाइप III डिज़ाइन संभावित रूप से टाइप IV से दोगुना कुशल है।
 * टाइप III डिज़ाइन का समूह विलंब नमूनों की एक पूर्णांक संख्या है, जो संरेखण की सुविधा प्रदान करता है $$\hat u[n]$$ साथ $$u[n],$$ एक विश्लेषणात्मक संकेत बनाने के लिए। टाइप IV का समूह विलंब दो नमूनों के बीच आधा है।

MATLAB फ़ंक्शन, hilbert(u,N), आवधिक योग के साथ एक यू [एन] अनुक्रम को हल करता है:

और एक चक्र लौटाता है ($1/2$ नमूने) एक जटिल-मूल्यवान आउटपुट अनुक्रम के काल्पनिक भाग में आवधिक परिणाम। कनवल्शन को फ़्रीक्वेंसी डोमेन में एरे के उत्पाद के रूप में लागू किया जाता है$${\scriptstyle \mathrm{DFT}} \left(u[n]\right)$$के नमूने के साथ $−π < ω < π$ वितरण (जिसके वास्तविक और काल्पनिक घटक सभी केवल 0 या हैं$h[n]$). चित्र 3 के आधे चक्र की तुलना करता है $u[n]$ के समतुल्य लंबाई वाले हिस्से के साथ $h[n]$. के लिए एक प्राथमिकी सन्निकटन दिया $$h[n],$$ द्वारा चिह्नित $$\tilde{h}[n],$$ प्रतिस्थापन $${\scriptstyle\mathrm{DFT}} \left(\tilde{h}[n]\right)$$ के लिए $−i sgn(ω)$ नमूने कनवल्शन के एफआईआर संस्करण में परिणत होते हैं।
 * $$h_N[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^\infty h[n - mN]$$

आउटपुट अनुक्रम का वास्तविक भाग मूल इनपुट अनुक्रम है, ताकि जटिल आउटपुट का एक विश्लेषणात्मक संकेत हो $±1$. जब इनपुट शुद्ध कोसाइन का एक खंड होता है, तो दो अलग-अलग मानों के लिए परिणामी कनवल्शन $N$ को चित्र 4 (लाल और नीले प्लॉट) में दर्शाया गया है। किनारे के प्रभाव परिणाम को शुद्ध साइन फ़ंक्शन (ग्रीन प्लॉट) होने से रोकते हैं। तब से $h_{N}[n]$ एफआईआर अनुक्रम नहीं है, प्रभावों की सैद्धांतिक सीमा संपूर्ण आउटपुट अनुक्रम है। लेकिन साइन फ़ंक्शन से अंतर किनारों से दूरी के साथ कम हो जाता है। पैरामीटर $N$ आउटपुट अनुक्रम लंबाई है। यदि यह इनपुट अनुक्रम की लंबाई से अधिक है, तो इनपुट को शून्य-मूल्यवान तत्वों को जोड़कर संशोधित किया जाता है। ज्यादातर मामलों में, यह मतभेदों की भयावहता को कम करता है। लेकिन उनकी अवधि के अंतर्निहित उत्थान और पतन के समय का प्रभुत्व है $h[n]$ आवेग प्रतिक्रिया।

किनारे के प्रभावों के लिए सराहना महत्वपूर्ण है जब ओवरलैप-सेव विधि  नामक एक विधि | ओवरलैप-सेव का उपयोग लंबे समय तक कनवल्शन करने के लिए किया जाता है $−i sgn(ω)$ अनुक्रम। लंबाई के खंड $N$ आवधिक कार्य के साथ संलिप्त हैं:


 * $$\tilde{h}_N[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^\infty \tilde{h}[n - mN].$$

जब गैर-शून्य मानों की अवधि $$\tilde{h}[n]$$ है $$M < N,$$ आउटपुट अनुक्रम शामिल है $u[n]$ के नमूने $$\hat u.$$ $h_{N}[n]$ के प्रत्येक ब्लॉक से आउटपुट को छोड़ दिया जाता है $N$, और अंतराल को रोकने के लिए इनपुट ब्लॉकों को उस राशि से ओवरलैप किया जाता है।

चित्रा 5 आईआईआर हिल्बर्ट (·) फ़ंक्शन और एफआईआर सन्निकटन दोनों का उपयोग करने का एक उदाहरण है। उदाहरण में, एक कोसाइन फ़ंक्शन के असतत हिल्बर्ट रूपांतरण की गणना करके एक साइन फ़ंक्शन बनाया जाता है, जिसे चार ओवरलैपिंग सेगमेंट में संसाधित किया गया था, और एक साथ वापस पाई गई थी। जैसा कि एफआईआर परिणाम (नीला) दिखाता है, आईआईआर परिणाम (लाल) में स्पष्ट विकृतियां बीच के अंतर के कारण नहीं होती हैं $h[n]$ और $u[n]$ (चित्र 3 में हरा और लाल)। यह तथ्य कि $N − M + 1$ पतला है (विंडो) वास्तव में इस संदर्भ में मददगार है। वास्तविक समस्या यह है कि यह पर्याप्त विंडो नहीं है। प्रभावी रूप से, $M − 1$, जबकि ओवरलैप-सेव मेथड की जरूरत है $h[n]$.

संख्या-सैद्धांतिक हिल्बर्ट रूपांतरण
संख्या सिद्धांत संबंधी हिल्बर्ट रूपांतरण एक विस्तार है{{sfn|Kak|1970}असतत हिल्बर्ट का } पूर्णांक मॉडुलो में एक उपयुक्त अभाज्य संख्या में बदल जाता है। इसमें यह असतत फूरियर रूपांतरण के सामान्यीकरण को संख्या सैद्धांतिक परिवर्तनों में बदल देता है। संख्या सिद्धांत संबंधी हिल्बर्ट रूपांतरण का उपयोग ऑर्थोगोनल असतत अनुक्रमों के सेट उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * विश्लेषणात्मक संकेत
 * हार्मोनिक संयुग्म
 * हिल्बर्ट स्पेक्ट्रोस्कोपी
 * हिल्बर्ट जटिल विमान में रूपांतरित होता है
 * हिल्बर्ट-हुआंग रूपांतरण
 * क्रेमर्स-क्रोनिग संबंध
 * रिज्ज़ ट्रांसफॉर्म
 * सिंगल साइडबैंड | सिंगल साइडबैंड सिग्नल
 * कनवल्शन टाइप के सिंगुलर इंटीग्रल ऑपरेटर्स

संदर्भ

 * ; also http://www.fuchs-braun.com/media/d9140c7b3d5004fbffff8007fffffff0.pdf
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 * ; also https://www.dsprelated.com/freebooks/mdft/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html
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बाहरी संबंध

 * Derivation of the boundedness of the Hilbert transform
 * Mathworld Hilbert transform — Contains a table of transforms
 * an entry level introduction to Hilbert transformation.
 * an entry level introduction to Hilbert transformation.