संकेतक फलन

गणित में, संकेतक फलन या समुच्चय (गणित) के उप-समुच्चय का विशिष्ट कार्य फलन (गणित) है। जो उप-समुच्चय के तत्वों को और अन्य सभी तत्वों को शून्य पर मानचित्र करता है। अर्थात यदि $X$ किसी समुच्चय $A$ का उपसमुच्चय है। किसी के समीप $$\mathbf{1}_{A}(x)=1$$ यदि $$x\in A,$$ और $$\mathbf{1}_{A}(x)=0$$ अन्यथा जहाँ $$\mathbf{1}_A$$ सूचक फलन के लिए सामान्य संकेतन है। अन्य के लिए $$I_A,$$ और $$\chi_A.$$ सामान्य संकेतन होते हैं। $A$ का सूचक कार्य $X$ से संबंधित संपत्ति का आइवरसन कोष्ठक है। वह है,
 * $$\mathbf{1}_{A}(x)=[x\in A].$$

उदाहरण के लिए, डिरिचलेट फलन वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय के रूप में परिमेय संख्याओं का सूचक फलन है।

परिभाषा
किसी समुच्चय X के उपसमुच्चय A का सूचक फलन है।

$$\mathbf{1}_A \colon X \to \{ 0, 1 \} $$ के रूप में परिभाषित,

आइवरसन कोष्ठक समकक्ष अंकन प्रदान करता है, $$[x\in A]$$ या $⟦x ∈ A⟧$, के अतिरिक्त $$\mathbf{1}_{A}(x)\,.$$ उपयोग किया जाना है।

The function $$\mathbf{1}_A$$ is sometimes denoted $A$, $A$, $I_{A}$, or even just $&chi;_{A}$.

संकेतन और शब्दावली
अंकन $$\chi_A$$ उत्तल विश्लेषण में विशिष्ट फलन (उत्तल विश्लेषण) को निरूपित करने के लिए भी उपयोग किया जाता है। जिसे संकेतक फलन की मानक परिभाषा के व्युत्क्रम का उपयोग करते हुए परिभाषित किया गया है।

सांख्यिकी में संबंधित अवधारणा डमी चर (सांख्यिकी) की है। (यह डमी चर के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए क्योंकि यह शब्द सामान्यतः गणित में प्रयोग किया जाता है। जिसे मुक्त चर और बाध्य चर भी कहा जाता है।)

विशिष्ट कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) शब्द का संभाव्यता सिद्धांत में असंबंधित अर्थ है। इस कारण से संभाव्यता वादियों की सूची यहां लगभग विशेष रूप से परिभाषित फलन के लिए संकेतक फलन शब्द का उपयोग करती है। जबकि अन्य क्षेत्रों के गणितज्ञों द्वारा समूह में सदस्यता को इंगित करने वाले फलन का वर्णन करने के लिए विशिष्ट फलन $$A$$ शब्द का उपयोग करने की अधिक संभावना है।

फजी लॉजिक और बहु-मूल्यवान तर्कशास्त्र में, विधेय संभाव्यता वितरण के विशिष्ट कार्य (संभाव्यता सिद्धांत) हैं। अर्थात् विधेय के सख्त सच्चे / गलत मूल्यांकन को सत्य की डिग्री के रूप में व्याख्या की गई मात्रा से परिवर्तित कर दिया जाता है।

मूल गुण
कुछ समूह $K_{A}$ के उप-समुच्चय $A$ का संकेतक या विशिष्ट कार्य (गणित) $&chi;$ के तत्वों को श्रेणी $$\{0,1\}$$ में मानचित्र करता है।

यह मानचित्रण केवल तभी आच्छादित होता है। जब $X$, $X$ का गैर-खाली उचित उपसमुच्चय होता है। यदि $$A \equiv X,$$ तब $$\mathbf{1}_A=1.$$ इसी प्रकार के तर्क से यदि $$A\equiv\emptyset$$ तब $$\mathbf{1}_A=0.$$

निम्नलिखित में डॉट गुणन का प्रतिनिधित्व करता है। $$1\cdot1 = 1,$$ $$1\cdot0 = 0,$$ आदि "+" और "-" जोड़ और घटाव का प्रतिनिधित्व करते हैं। $$\cap $$ और $$\cup $$ क्रमशः चौराहे और संघ हैं।

यदि $$A$$ और $$B$$ के दो उपसमुच्चय हैं। $$X,$$ तब

$$\begin{align} \mathbf{1}_{A\cap B} = \min\{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B\} = \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B, \\ \mathbf{1}_{A\cup B} = \max\{{\mathbf{1}_A,\mathbf{1}_B}\} = \mathbf{1}_A + \mathbf{1}_B - \mathbf{1}_A \cdot\mathbf{1}_B, \end{align}$$

और के पूरक (समूह सिद्धांत) के सूचक फलन $$A$$ अर्थात। $$A^C$$ है। $$\mathbf{1}_{A^\complement} = 1-\mathbf{1}_A.$$ अधिक सामान्यतः मान लीजिए $$A_1, \dotsc, A_n$$ के उपसमुच्चयों का संग्रह $X$ है। अतः किसी के लिए $$x \in X:$$

$$ \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}(x))$$स्पष्ट रूप से 0s और 1s का उत्पाद है। ठीक उन्हीं पर इस उत्पाद का मान 1 है। $$x \in X$$ जो किसी भी समूह से संबंधित नहीं है $$A_k$$ और 0 अन्यथा है। वह है,

$$ \prod_{k \in I} ( 1 - \mathbf{1}_{A_k}) = \mathbf{1}_{X - \bigcup_{k} A_k} = 1 - \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}.$$

उत्पाद को बाईं ओर विस्तारित किया जाता है।

$$ \mathbf{1}_{\bigcup_{k} A_k}= 1 - \sum_{F \subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}} (-1)^{|F|} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} = \sum_{\emptyset \neq F \subseteq \{1, 2, \dotsc, n\}} (-1)^{|F|+1} \mathbf{1}_{\bigcap_F A_k} $$ जहाँ $$|F|$$$A$ की प्रमुखता है। यह समावेश-बहिष्करण के सिद्धांत का रूप है।

जैसा कि पूर्व उदाहरण द्वारा सुझाया गया है। इंडिकेटर फलन साहचर्य में उपयोगी नोटेशनल डिवाइस है। संकेतन का प्रयोग अन्य स्थानों पर भी किया जाता है। उदाहरण के लिए प्रायिकता सिद्धांत में: यदि $X$ संभाव्यता माप के साथ प्रायिकता स्थान है। चूँकि $$\operatorname{P}$$ और $A$ औसत दर्जे का समूह है। फिर $$\mathbf{1}_A$$ यादृच्छिक चर बन जाता है। जिसका अपेक्षित मान $X$ की प्रायिकता के समान्तर होता है।

$$\operatorname{E}(\mathbf{1}_A)= \int_{X} \mathbf{1}_A(x)\,d\operatorname{P} = \int_{A} d\operatorname{P} = \operatorname{P}(A).$$ मार्कोव की असमानता के सरल प्रमाण में इस पहचान का उपयोग किया जाता है।

अनेक स्थितियों में जैसे आदेश सिद्धांत, संकेतक फलन के व्युत्क्रम को परिभाषित किया जा सकता है। प्राथमिक संख्या सिद्धांत, मोबियस फलन में संकेतक फलन के व्युत्क्रम के सामान्यीकरण के रूप में इसे सामान्यतः सामान्यीकृत मोबियस फलन कहा जाता है। (मौलिक पुनरावर्तन सिद्धांत में व्युत्क्रम के उपयोग के बारे में नीचे पैराग्राफ देखें।)

माध्य, विचरण और सहप्रसरण
संभाव्यता स्थान दिया गया $$\textstyle (\Omega, \mathcal F, \operatorname{P})$$ साथ $$A \in \mathcal F,$$ सूचक यादृच्छिक चर $$\mathbf{1}_A \colon \Omega \rightarrow \mathbb{R}$$ द्वारा परिभाषित किया गया है $$\mathbf{1}_A (\omega) = 1 $$ यदि $$ \omega \in A,$$ अन्यथा $$\mathbf{1}_A (\omega) = 0.$$
 * अर्थ: $$\operatorname{E}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A) $$ (जिसे फंडामेंटल ब्रिज भी कहा जाता है)।

विचरण
$$\operatorname{Var}(\mathbf{1}_A (\omega)) = \operatorname{P}(A)(1 - \operatorname{P}(A)) $$

सहप्रसरण
$$ \operatorname{Cov}(\mathbf{1}_A (\omega), \mathbf{1}_B (\omega)) = \operatorname{P}(A \cap B) - \operatorname{P}(A)\operatorname{P}(B) $$

पुनरावर्तन सिद्धांत में विशिष्ट कार्य, गोडेल और क्लेन का प्रतिनिधित्व फलन
कर्ट गोडेल ने अपने सन्न 1934 के पेपर में "औपचारिक गणितीय प्रणालियों के अनिर्णीत प्रस्तावों पर" प्रतिनिधित्व फलन का वर्णन किया था। ("¬" तार्किक उलटा इंगित करता है, अर्थात "नहीं")

"प्रत्येक वर्ग या संबंध $X$ के अनुरूप प्रतिनिधित्व फलन होता है। $\phi(x_1, \ldots x_n) = 0$ यदि $R(x_1,\ldots x_n)$ और $\phi(x_1,\ldots x_n) = 1$ यदि $\neg R(x_1,\ldots x_n).$"

स्टीफन क्लेन आदिम पुनरावर्ती कार्यों के संदर्भ में ही परिभाषा प्रस्तुत करता है। चूँकि विधेय $F$ का फलन $X$ मान $0$ लेता है। यदि विधेय सत्य है और $1$ यदि विधेय असत्य है।

उदाहरण के लिए, चूँकि विशिष्ट कार्यों का उत्पाद $$\phi_1 * \phi_2 * \cdots * \phi_n = 0$$ जब भी कोई फलन $0$ के समान्तर होता है। तब यह तार्किक OR: IF की भूमिका निभाता है। $$\phi_1 = 0$$ या $$\phi_2 = 0$$ या $$\phi_n = 0$$ तब उनका उत्पाद $0$ है। आधुनिक पाठक को प्रतिनिधित्व करने वाले फलन के तार्किक व्युत्क्रमण के रूप में क्या दिखाई देता है। अर्थात प्रतिनिधित्व फलन $0$ है जब फलन $A$ सत्य या संतुष्ट है। अतः तार्किक फलन OR, AND, और IMPLY परिबद्ध- और असीमित-  mu ऑपरेटर्स और CASE फलन  की क्लेन की परिभाषा में उपयोगी भूमिका निभाता है।

फ़ज़ी समूह थ्योरी में विशिष्ट कार्य
मौलिक गणित में, समुच्चयों के विशिष्ट फलन केवल $1$ (सदस्य) या $0$ (गैर-सदस्य) मान लेते हैं। फ़ज़ी समूह सिद्धांत में, वास्तविक इकाई अंतराल में $A$ या अधिक सामान्यतः कुछ सार्वभौमिक बीजगणित या संरचना (गणितीय तर्क) में मूल्य लेने के लिए विशिष्ट कार्यों को सामान्यीकृत किया जाता है। (सामान्यतः कम से कम आंशिक रूप से आदेशित समूह या जाली (क्रम) होना आवश्यक है) इस प्रकार के सामान्यीकृत विशिष्ट कार्यों को सामान्यतः सदस्यता फलन (गणित) कहा जाता है और संबंधित "समूहों" को फ़ज़ी समूह कहा जाता है। फ़ज़ी समूह, "लंबा", "गर्म", आदि जैसे कई वास्तविक-विश्व विधेय में देखी गई सदस्यता की डिग्री में क्रमिक परिवर्तन का मॉडल बनाते हैं।

सूचक फलन के डेरिवेटिव्स
विशेष संकेतक फलन भारी कदम फलन है। $$H(x) := \mathbf{1}_{x > 0}$$ भारी कदम फलन का वितरण व्युत्पन्न डिराक डेल्टा फलन के समान्तर है। अर्थात $$\frac{d H(x)}{dx}=\delta(x)$$ और इसी प्रकार का वितरण व्युत्पन्न $$G(x) := \mathbf{1}_{x < 0}$$ होता है। $$\frac{d G(x)}{dx}=-\delta(x)$$ इस प्रकार भारी कदम फलन के व्युत्पन्न को सकारात्मक अर्ध-रेखा द्वारा दिए गए डोमेन की सीमा पर आवक सामान्य व्युत्पन्न के रूप में देखा जा सकता है। उच्च आयामों में, व्युत्पन्न स्वाभाविक रूप से आवक सामान्य व्युत्पन्न के लिए सामान्यीकृत होता है। जिससे कि भारी कदम फलन स्वाभाविक रूप से कुछ डोमेन $R$ के संकेतक फलन के लिए सामान्य होता है। $P$ की सतह $φ$ द्वारा दर्शाया जाएगा $R$ द्वारा निरूपित किया जाता है। कार्यवाही, यह प्राप्त किया जा सकता है। कि आवक सामान्य सूचक का व्युत्पन्न 'सतह डेल्टा फलन' को जन्म देता है। जिसे इसके द्वारा इंगित किया जा सकता है।$$\delta_S(\mathbf{x}) = -\mathbf{n}_x \cdot \nabla_x\mathbf{1}_{\mathbf{x}\in D}$$

जहाँ $[0, 1]$ सतह $D$ का बाहरी सामान्य (ज्यामिति) है इस 'सतह डेल्टा फलन' में निम्नलिखित गुण हैं। $$-\int_{\R^n}f(\mathbf{x})\,\mathbf{n}_x\cdot\nabla_x\mathbf{1}_{\mathbf{x}\in D}\;d^{n}\mathbf{x} = \oint_{S}\,f(\mathbf{\beta})\;d^{n-1}\mathbf{\beta}.$$ फलन $D$ के सासमान्तर समूह करके, यह इस प्रकार है। कि सूचक का आवक सामान्य व्युत्पन्न सतह क्षेत्र $S$ के संख्यात्मक मान को एकीकृत करता है।

यह भी देखें

 * डायराक उपाय
 * सूचक का लाप्लासियन
 * डिराक डेल्टा
 * विस्तार (विधेय तर्क)
 * मुक्त चर और बाध्य चर
 * भारी कदम फलन
 * आइवरसन कोष्ठक
 * क्रोनकर डेल्टा, ऐसा फलन जिसे समानता (गणित) के लिए संकेतक के रूप में देखा जा सकता है।
 * मैकाले कोष्ठक
 * बहु समूह
 * सदस्यता फलन (गणित)
 * सरल कार्य
 * डमी चर (सांख्यिकी)
 * सांख्यिकीय वर्गीकरण
 * शून्य-हानि फलन

स्रोत