सामान्य बंद (समूह सिद्धांत)

समूह सिद्धांत में, एक सबसेट का सामान्य बंद होना $$S$$ एक समूह की (गणित) $$G$$ का सबसे छोटा सामान्य उपसमूह है $$G$$ युक्त $$S.$$

गुण और विवरण
औपचारिक रूप से, यदि $$G$$ समूह है और $$S$$ का उपसमुच्चय है $$G,$$ सामान्य बंद $$\operatorname{ncl}_G(S)$$ का $$S$$ के सभी सामान्य उपसमूहों का प्रतिच्छेदन है $$G$$ युक्त $$S$$: $$\operatorname{ncl}_G(S) = \bigcap_{S \subseteq N \triangleleft G} N.$$ सामान्य बंद $$\operatorname{ncl}_G(S)$$ का सबसे छोटा सामान्य उपसमूह है $$G$$ युक्त $$S,$$ इस अर्थ में कि $$\operatorname{ncl}_G(S)$$ के प्रत्येक सामान्य उपसमूह का उपसमुच्चय है $$G$$ उसमें सम्मिलित है $$S.$$

उपसमूह $$\operatorname{ncl}_G(S)$$ सेट के माध्यम से समूह का सेट उत्पन्न कर रहा है $$S^G=\{s^g : g\in G\} = \{g^{-1}sg : g\in G\}$$ के तत्वों के सभी संयुग्मन वर्ग की $$S$$ में $$G.$$

इसलिए कोई भी लिख सकता है $$\operatorname{ncl}_G(S) = \{g_1^{-1}s_1^{\epsilon_1} g_1\dots g_n^{-1}s_n^{\epsilon_n}g_n : n \geq 0, \epsilon_i = \pm 1, s_i\in S, g_i \in G\}.$$ कोई भी सामान्य उपसमूह उसके सामान्य बंद होने के बराबर है। खाली सेट का संयुग्म बंद होना $$\varnothing$$ तुच्छ उपसमूह है। साहित्य में सामान्य बंद करने के लिए कई अन्य नोटेशन का उपयोग किया जाता है, जिनमें सम्मलित हैं $$\langle S^G\rangle,$$ $$\langle S\rangle^G,$$ $$\langle \langle S\rangle\rangle_G,$$ और $$\langle\langle S\rangle\rangle^G.$$

सामान्य बंद की अवधारणा के लिए दोहरी है या, इसमें निहित सभी सामान्य उपसमूहों के सम्मलित होने के रूप में परिभाषित किया गया है $$S.$$

समूह प्रस्तुतियाँ
एक समूह के लिए $$G$$ एक समूह की प्रस्तुति के माध्यम से दिया गया $$G=\langle S \mid R\rangle$$ जनरेटर के साथ $$S$$ और रिपोर्टर्स को परिभाषित करना $$R,$$ प्रेजेंटेशन नोटेशन का अर्थ है कि $$G$$ भागफल समूह है $$G = F(S) / \operatorname{ncl}_{F(S)}(R),$$ कहाँ $$F(S)$$ पर एक निःशुल्क समूह है $$S.$$