लेवी-सिविटा कनेक्शन

रीमैनियन या [स्यूडो-रीमैनियन ज्यामिति] (विशेष रूप से सामान्य सापेक्षता की लोरेंत्ज़ियन ज्यामिति) में, लेवी-सिविटा कनेक्शन एक मैनिफोल्ड (अर्थात एफ़िन कनेक्शन) के स्पर्शरेखा बंडल पर अद्वितीय एफिन कनेक्शन है जो छद्म रीमैनियन मीट्रिक को संरक्षित करता है और टॉरशन-मुक्त है।

रीमैनियन ज्यामिति के मौलिक प्रमेय में कहा गया है, कि एक अद्वितीय कनेक्शन है जो इन गुणों को संतुष्ट करता है।

रीमैनियन और स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के सिद्धांत में सहसंयोजक व्युत्पन्न शब्द का प्रयोग अधिकांशतः लेवी-सिविटा कनेक्शन के लिए किया जाता है। स्थानीय निर्देशांक की एक प्रणाली के कनेक्शन में इस कनेक्शन के घटकों संरचना गुणांक को क्रिस्टोफेल चिह्न कहा जाता है।

इतिहास
लेवी-सिविटा कनेक्शन का नाम टुलियो लेवी-सिविटा के नाम पर रखा गया है, चूंकि मूल रूप से एल्विन ब्रूनो क्रिस्टोफेल द्वारा खोजा गया था। लेवी-सिविटा, ग्रेगोरियो रिक्की-कर्बस्ट्रो के साथ, क्रिस्टोफ़ेल चिह्न का उपयोग किया, समानांतर परिवहन की धारणा को परिभाषित करने और वक्रता के साथ समानांतर परिवहन के कनेक्शन का पता लगाने के लिए, इस प्रकार होलोनोमी की आधुनिक धारणा विकसित करना है।

1869 में, क्रिस्टोफ़ेल ने पाया कि एक सदिश फ़ील्ड के आंतरिक व्युत्पन्न के घटक, समन्वय प्रणाली को परिवर्तित करने पर, एक कॉन्ट्रावेरिएंट सदिश के घटकों के रूप में बदल जाते हैं। यह खोज टेंसर विश्लेषण की वास्तविक शुरुआत थी।

1906 में, एल.ई.जे. ब्रौवर पहले गणितज्ञ थे जिन्होंने निरंतर वक्रता के स्थान के सदिश में सदिश के समानांतर परिवहन पर विचार किया था।

1917 में, लेवी-सिविटा ने यूक्लिडियन अंतरिक्ष में डूबे हुए हाइपरसर्फेस के स्थितियाँ में, अर्थात, एक बड़े परिवेश समिष्ट में एम्बेडेड रीमैनियन ज्यामिति के स्थितियाँ में इसके महत्व को बताया, उन्होंने एम्बेडेड सतह के स्थितियाँ में आंतरिक व्युत्पन्न की व्याख्या परिवेशीय एफ़िन समिष्ट में सामान्य व्युत्पन्न के स्पर्शरेखा घटक के रूप में की, एक वक्र के साथ एक सदिश के आंतरिक व्युत्पन्न और समानांतर विस्थापन की लेवी-सिविटा धारणाएं एक अमूर्त रीमैनियन ज्यामिति पर समझ में आती हैं, यदि मूल प्रेरणा एक विशिष्ट एम्बेडिंग $$M^n \subset \mathbf{R}^{n(n+1)/2}$$ पर निर्भर थी।

1918 में, लेवी-सिविटा से स्वतंत्र रूप से, जान अर्नोल्ड स्काउटन ने समान परिणाम प्राप्त किए, उसी वर्ष, हरमन वेइल ने लेवी-सिविटा के परिणामों को सामान्यीकृत किया जाता है।

नोटेशन

 * $(M, g)$ एक रीमैनियन ज्यामिति या छद्म-रिमैनियन ज्यामिति को दर्शाता है।
 * $TM$ का स्पर्शरेखा बंडल $M$ है।
 * $g$ रीमैनियन मीट्रिक या छद्म-रीमैनियन मीट्रिक $M$ है।
 * X, Y, Z, M पर स्मूथ सदिश फ़ील्ड हैं, TM के स्मूथ खंड होता है।
 * $[X, Y]$ के सदिश फ़ील्डों का लाई ब्रैकेट है $X$ और $Y$ यह फिर से एक सहज सदिश फ़ील्ड है।

मीट्रिक g दो सदिश या सदिश फ़ील्ड $X, Y$ को तर्क के रूप में ले सकता है। पहले स्थितियाँ में आउटपुट एक संख्या है, X और Y का (छद्म) आंतरिक उत्पाद, पश्चात के सदिश में, $X_{p}, Y_{p}$ के आंतरिक उत्पाद को ज्यामिति पर सभी बिंदुओं पी पर लिया जाता है जिससे कि g (X, Y) M एक सुचारू कार्य को परिभाषित करता है, सदिश फ़ील्ड सुचारू कार्य पर अंतर ऑपरेटरों के रूप में (परिभाषा के अनुसार) कार्य करते हैं। स्थानीय निर्देशांक में $$(x_1,\ldots, x_n) $$ क्रिया पढ़ती है।


 * $$X(f) = X^i\frac{\partial}{\partial x^i}f = X^i\partial_i f$$

जहां अल्बर्ट आइंस्टीन के आइंस्टीन सारांश सम्मेलन का उपयोग किया जाता है।

औपचारिक परिभाषा
एक एफ़िन कनेक्शन $∇$ को लेवी-सिविटा कनेक्शन कहा जाता है यदि


 * 1) यह मीट्रिक को सुरक्षित रखता है, अर्थात, $∇g = 0$.
 * 2) यह टॉरशन-मुक्त है अर्थात, किसी भी सदिश फ़ील्ड के लिए $X$ और $Y$ अपने पास $∇_{X}Y − ∇_{Y}X = [X, Y]$, जहां [X, Y] सदिश फ़ील्ड X और Y का लाई ब्रैकेट है।

उपरोक्त शर्त 1 को कभी-कभी मीट्रिक के साथ संगतता के रूप में संदर्भित किया जाता है, और स्थिति 2 को कभी-कभी समरूपता कहा जाता है।

(छद्म) रीमैनियन ज्यामिति का मौलिक प्रमेय
प्रमेय प्रत्येक छद्म रीमैनियन ज्यामिति $$(M,g)$$ एक अनोखा लेवी सिविटा कनेक्शन $$\nabla$$ है।

प्रमाण:

यदि लेवी-सिविटा कनेक्शन उपलब्ध है, तो यह अद्वितीय होना चाहिए, इसे देखने के लिए, टेन्सर्स पर कनेक्शन की क्रिया की परिभाषा को सुलझाया जाता है।
 * $$ X\bigl(g(Y,Z)\bigr) = (\nabla_X g)(Y, Z) + g(\nabla_X Y, Z) + g( Y, \nabla_X Z).$$

इसलिए हम शर्त 1 को इस प्रकार लिख सकते है।
 * $$ X\bigl(g(Y,Z)\bigr) = g(\nabla_X Y, Z) + g( Y, \nabla_X Z). $$ मीट्रिक टेंसर की समरूपता द्वारा $$g$$ फिर मिल जाता है।


 * $$ X \bigl(g(Y,Z)\bigr) + Y \bigl(g(Z,X)\bigr) - Z \bigl(g(Y,X)\bigr) = g(\nabla_X Y + \nabla_Y X, Z) + g(\nabla_X Z - \nabla_Z X, Y) + g(\nabla_Y Z - \nabla_Z Y, X). $$

शर्त 2 के अनुसार, दाहिना हाथ इसलिए समतुल्य है।
 * $$ 2g(\nabla_X Y, Z) - g([X,Y], Z) + g([X,Z], Y) + g([Y,Z], X), $$

और हमें जीन-लुई कोस्ज़ुल सूत्र मिलता है।
 * $$ g(\nabla_X Y, Z) = \tfrac{1}{2} \Big\{ X \bigl(g(Y,Z)\bigr) + Y \bigl(g(Z,X)\bigr) - Z \bigl(g(X,Y)\bigr) + g([X,Y],Z) - g([Y,Z], X) - g([X,Z], Y) \Big\}. $$

इसलिए, यदि लेवी-सिविटा कनेक्शन उपलब्ध है, तो यह अद्वितीय होना चाहिए, क्योंकि $$Z$$ अरबिट्ररी है, $$g$$ गैर पतित है, और दाहिने हाथ $$\nabla$$ पर निर्भर नहीं है।

अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए, दिए गए सदिश फ़ील्ड के लिए ध्यान दें $$X$$ और $$Y$$, कोस्ज़ुल अभिव्यक्ति का दाहिना हाथ सदिश फ़ील्ड में फ़ंक्शन-रैखिक है $$Z$$, सिर्फ वास्तविक रैखिक नहीं, अत: के गैर अध: पतन द्वारा $$g$$, दाहिना हाथ विशिष्ट रूप से कुछ नए सदिश फ़ील्ड को परिभाषित करता है, जिसे हम सुझावात्मक रूप से दर्शाते हैं, $$\nabla_X Y$$ जैसे बायीं ओर कोसज़ुल सूत्र को प्रतिस्थापित करके, अब सभी सदिश फ़ील्ड के लिए इसकी जाँच की जाती है $$X, Y,Z$$, और सभी कार्य $$f$$
 * $$ g(\nabla_X (Y_1 + Y_2), Z) = g(\nabla_X Y_1, Z) + g(\nabla_X Y_2, Z) $$
 * $$ g(\nabla_X (f Y), Z) = X(f) g(Y, Z) + f g(\nabla_X Y,Z) $$
 * $$ g(\nabla_X Y, Z) + g(\nabla_X Z, Y) = X\bigl(g(Y,Z)\bigr)$$
 * $$ g(\nabla_X Y, Z) - g(\nabla_Y X, Z) = g([X,Y], Z). $$

इसलिए कोसज़ुल अभिव्यक्ति, वास्तव में, एक कनेक्शन को परिभाषित करती है, और यह कनेक्शन मीट्रिक के साथ संगत है, और टॉरशन मुक्त है, अर्थात एक इसलिए लेवी-सिविटा कनेक्शन है।

ध्यान दें कि कॉमन परिवर्तनों के साथ एक ही प्रमाण दिखाता है कि एक अद्वितीय कनेक्शन है जो मीट्रिक के साथ संगत है और इसमें टॉरशन निर्धारित है।

क्रिस्टोफर प्रतीक
कृपया ध्यान $$\nabla$$ स्पर्शरेखा बंडल पर एक एफ़िन कनेक्शन हो, स्थानीय निर्देशांक चुनें $$x^1, \ldots, x^n$$ समन्वय आधार सदिश फ़ील्ड के साथ $$\partial_1, \ldots, \partial_n$$ और लिखिए $$\nabla_j$$ के लिए $$\nabla_{\partial_j}$$. क्रिस्टोफ़ेल चिह्न $$\Gamma^l_{jk}$$ का $$\nabla$$ इन निर्देशांकों के कनेक्शन में परिभाषित किया गया है।
 * $$ \nabla_j\partial_k = \Gamma^l_{jk} \partial_l $$

क्रिस्टोफ़ेल चिह्न इसके विपरीत कनेक्शन को परिभाषित करते हैं, $$\nabla$$ समन्वित निकटतम पर क्योंकि

\begin{align} \nabla_X Y &= \nabla_{X^j\partial_j} (Y^k \partial_k) \\&= X^j\nabla_j(Y^k\partial_k) \\ &= X^j\bigl(\partial_j(Y^k)\partial_k + Y^k\nabla_j\partial_k\bigr) \\ &= X^j\bigl(\partial_j(Y^k)\partial_k + Y^k\Gamma^l_{jk}\partial_l\bigr) \\ &= X^j\bigl(\partial_j(Y^l) + Y^k\Gamma^l_{jk}\bigr)\partial_l \end{align} $$ वह है,
 * $$ (\nabla_j Y)^l = \partial_jY^l + \Gamma^l_{jk} Y^k $$

एक एफ़िन कनेक्शन$$\nabla$$ एक मीट्रिक iff के साथ संगत है।
 * $$ \partial_i \bigl(g(\partial_j, \partial_k) \bigr)

= g(\nabla_i\partial_j, \partial_k) + g(\partial_j, \nabla_i\partial_k) = g(\Gamma^l_{ij}\partial_l, \partial_k) + g(\partial_j, \Gamma_{ik}^l\partial_l) $$ अर्थात, यदि और मात्र यदि
 * $$ \partial_i g_{jk} = \Gamma^l_{ij}g_{lk} + \Gamma^l_{ik}g_{jl}.$$

एक एफ़िन कनेक्शन$∇$ टॉरशन मुक्त iff है।
 * $$\nabla_j\partial_k - \nabla_k \partial_j = (\Gamma^l_{jk} - \Gamma^l_{kj})\partial_l = [\partial_j, \partial_k]= 0. $$

अर्थात, यदि और मात्र यदि
 * $$\Gamma^l_{jk} = \Gamma^l_{kj}$$

इसके निचले दो सूचकांकों में सममित है।

जैसे कोई जांच करता है $$X, Y, Z$$, सदिश फ़ील्डों का समन्वय करें $$\partial_j, \partial_k, \partial_l$$ (या सीधे गणना करता है), मीट्रिक के संदर्भ में, ऊपर प्राप्त लेवी-सिविटा कनेक्शन की कोसज़ुल अभिव्यक्ति क्रिस्टोफ़ेल चिह्न की परिभाषा के समतुल्य है।


 * $$\Gamma^l_{jk} = \tfrac{1}{2} g^{lr} \left( \partial _k g_{rj} + \partial _j g_{rk} - \partial _r g_{jk} \right)$$

जहां निरंतर के जैसे $$g^{ij}$$ दोहरे मीट्रिक टेंसर के गुणांक होते हैं, अर्थात मैट्रिक्स के व्युत्क्रम की $$g_{kl}$$ प्रविष्टियाँ होती हैं।

वक्र के अनुदिश व्युत्पन्न
लेवी-सिविटा कनेक्शन किसी भी एफ़िन कनेक्शन की प्रकार भी वक्रों के साथ एक व्युत्पन्न को परिभाषित करता है, जिसे कभी-कभी D द्वारा दर्शाया जाता है।

(M, g) पर एक सहज वक्र γ और γ के साथ एक वेक्टर फ़ील्ड V को देखते हुए इसके व्युत्पन्न को परिभाषित किया गया है।


 * $$D_tV=\nabla_{\dot\gamma(t)}V.$$

औपचारिक रूप से, D पुलबैक बंडल γ*TM पर पुलबैक कनेक्शन γ*∇ है।

विशेष रूप से, $$\dot\gamma(t)$$ वक्र के अनुदिश एक सदिश फ़ील्ड है $γ$ अपने आप, यदि $$\nabla_{\dot{\gamma}(t)}\dot{\gamma}(t)$$ लुप्त हो जाता है, वक्र को सहसंयोजक व्युत्पन्न का जियोडेसिक कहा जाता है। औपचारिक रूप से, स्थिति को लागू किए गए पुलबैक कनेक्शन $$\dot\gamma$$ के गायब होने के रूप में दोहराया जा सकता है |


 * $$\left(\gamma^*\nabla\right) \dot{\gamma}\equiv 0.$$

यदि सहसंयोजक व्युत्पन्न एक निश्चित मीट्रिक का लेवी-सिविटा कनेक्शन है, तो कनेक्शन के लिए जियोडेसिक्स वास्तव में मीट्रिक के वे जियोडेसिक्स हैं जो उनकी चाप लंबाई के आनुपातिक रूप से पैरामीट्रिज्ड होते हैं।

समानांतर परिवहन
सामान्यत: किसी कनेक्शन के कनेक्शन में वक्र के साथ समानांतर परिवहन वक्र के बिंदुओं पर स्पर्शरेखा समिष्टों के बीच समरूपता को परिभाषित करता है। यदि कनेक्शन लेवी-सिविटा कनेक्शन है, तो ये समरूपताएं ऑर्थोगोनल हैं अर्थात, वे विभिन्न स्पर्शरेखा समिष्टों पर आंतरिक उत्पादों को संरक्षित करते हैं।

नीचे दी गई छवियां ध्रुवीय निर्देशांक में व्यक्त, विमान पर दो भिन्न-भिन्न रीमैनियन मेट्रिक्स से जुड़े लेवी-सिविटा कनेक्शन के समानांतर परिवहन को दिखाती हैं। बाईं छवि का मीट्रिक मानक यूक्लिडियन मीट्रिक से मेल खाता है। $$ds^2 = dx^2 + dy^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2$$, जबकि दाईं ओर मीट्रिक का मानक रूप है, ध्रुवीय निर्देशांक में कब $$r = 1$$, और इस प्रकार सदिश को सुरक्षित रखता है, $${\partial \over \partial \theta}$$ वृत्त की स्पर्शरेखा, इस दूसरे मीट्रिक के मूल में एक विलक्षणता है, जैसा कि इसे कार्टेशियन निर्देशांक में व्यक्त करके देखा जा सकता है।

dr = \frac{xdx + ydy}{\sqrt{x^2 + y^2}}$$

d\theta = \frac{xdy - ydx}{x^2 + y^2}$$

dr^2 + d\theta^2 = \frac{(xdx + ydy)^2}{x^2+y^2} + \frac{(xdy - ydx)^2}{(x^2+y^2)^2} $$

उदाहरण: इकाई फ़ील्ड में $R^{3}$
मान लीजिए ⟨, ⟩ R3 पर सामान्य अदिश गुणनफल है। माना कि $R^{3}$ में $S^{2}$ इकाई गोला है। एक बिंदु m पर $S^{2}$ का स्पर्शरेखा स्थान स्वाभाविक रूप से $R^{3}$ के सदिश उपस्थान के साथ पहचाना जाता है, जिसमें m के सभी ऑर्थोगोनल सदिश सम्मलित होते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि $S^{2}$ पर एक सदिश फ़ील्ड Y को मानचित्र Y: $S^{2}$ → $R^{3}$ के रूप में देखा जा सकता है, जो संतुष्ट करता है।

$$\bigl\langle Y(m), m\bigr\rangle = 0, \qquad \forall m\in \mathbf{S}^2.$$

सदिश X की दिशा में मानचित्र Y के सहसंयोजक व्युत्पन्न को $d_{m}Y(X)$ के रूप में निरूपित करें, तब हमारे पास है।

$$

$$

वास्तव में, यह कनेक्शन $m$ से विरासत में मिले $S^{2}$ पर मीट्रिक के लिए लेवी-सिविटा कनेक्शन है। दरअसल, कोई यह जांच सकता है, कि यह कनेक्शन मीट्रिक को सुरक्षित रखता है।

यह भी देखें

 * वेइटज़ेनबॉक कनेक्शन

संदर्भ

 * See Volume I pag. 158
 * See Volume I pag. 158

बाहरी कनेक्शन

 * MathWorld: Levi-Civita Connection
 * PlanetMath: Levi-Civita Connection
 * Levi-Civita connection at the Manifold Atlas
 * Levi-Civita connection at the Manifold Atlas