ऊर्जा के स्तर को कम करना

क्वांटम यांत्रिकी में, ऊर्जा स्तर अपकर्ष होता है यदि यह क्वांटम प्रणाली के दो या दो से अधिक विभिन्न मापनीय की अवस्थाओं से अनुकूल होती है। इसके विपरीत, क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की दो या दो से अधिक विभिन्न अवस्थाओं को विकृत कहा जाता है, यदि वे माप पर ऊर्जा का समान मान देते हैं। विशेष ऊर्जा स्तर के अनुरूप विभिन्न अवस्थाओं की संख्या को स्तर की अपकर्षकी श्रेणी के रूप में जाना जाता है। इसे गणितीय रूप से हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) के माध्यम से ही ऊर्जा प्रेरक मान के साथ से अधिक रैखिक रूप से स्वतंत्र रैखिक स्वतंत्रता वाले प्रणाली के लिए दर्शाया गया है।। जब यह स्थिति होती है, तो अकेले ऊर्जा यह बताने के लिए पर्याप्त नहीं होती है, कि प्रणाली किस अवस्था में है, और जब अंतर वांछित होता है, तो स्पष्ट स्थिति को चिह्नित करने के लिए अन्य क्वांटम संख्याओं की आवश्यकता होती है। मौलिक यांत्रिकी में इसे ही ऊर्जा के अनुरूप विभिन्न संभावित प्रक्षेपवक्रों के संदर्भ में समझा जा सकता है।

अपकर्ष क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी में आधारभूत भूमिका निभाता है। के लिए $N$-कण प्रणाली तीन आयामों में, एकल ऊर्जा स्तर अनेक भिन्न-भिन्न आवेश कार्यों या ऊर्जा अवस्थाओं के अनुरूप हो सकता है। समान स्तर पर इन अपकर्ष अवस्थाओं में सभी के भरित होने की समान संभावना है। ऐसे अवस्थाओंं की संख्या विशेष ऊर्जा स्तर की अपकर्षबताती है।



अंक शास्त्र
क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की संभावित अवस्थाओं को गणितीय रूप से भिन्न जटिल हिल्बर्ट अन्तराल में अमूर्त संवाहक के रूप में माना जा सकता है, चूँकि अवलोकनों को उन पर कार्य करने वाले रैखिक संचालको हर्मिटियन के माध्यम से दर्शाया जा सकता है। उपयुक्त आधार क्रिया का चयन करके, इन संवाहको के घटकों और उस आधार पर संचालको के आव्युह तत्वों का निर्धारण किया जा सकता है। यदि $A$ एक $N × N$ आव्युह $X$ अ-शून्य संवाहक है, और $λ$ अदिश है, जैसे कि $$AX = \lambda X$$ तो अदिश λ को $A$ का प्रेरक मान कहा जाता है, और संवाहक $X$ को $λ$. के अनुरूप प्रेरक संवाहक कहा जाता है। शून्य संवाहक किसी दिए गए प्रेरक मान $λ$. के अनुरूप सभी प्रेरक संवाहक का समुच्चय $C^{n}$ का एक उप-स्थान बनाता है, जिसे $λ$. का प्रेरक अन्तराल कहा जाता है। प्रेरक मान $λ$. जो दो या दो से अधिक भिन्न-भिन्न रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रेरक संवाहक से अनुकूल होता है, उसे अपकर्ष कहा जाता है, अर्थात, $$A X_1 = \lambda X_1$$ और $$ A X_2 = \lambda X_2$$ जिस स्थान पर $$ X_1 $$ और $$ X_2 $$ रैखिक रूप से स्वतंत्र प्रेरक संवाहक हैं। उस प्रेरक मान के अनुरूप प्रेरक अन्तराल के आयाम को उसकी अपकर्ष की श्रेणी के रूप में जाना जाता है, जो सीमित या अनंत हो सकता है। प्रेरक मान को अ-अपकर्ष कहा जाता है यदि उसका प्रेरक अन्तराल एक-आयामी है।

क्वांटम यांत्रिकी में भौतिक अवलोकनीय का प्रतिनिधित्व करने वाले आव्यूहों के प्रेरक मान इन अवलोकनीय के मापने योग्य मान देते हैं, चूँकि इन प्रेरक मान ​​के अनुरूप प्रेरक अवस्था संभावित स्थिति देते हैं, परिणाम स्वरुप प्रणाली को माप पर प्राप्त जा सकता है। क्वांटम प्रणाली की ऊर्जा के मापने योग्य मान हैमिल्टनियन संचालको के प्रेरक मान के माध्यम से दिए जाते हैं, चूँकि इसके प्रेरक अवस्था प्रणाली की संभावित ऊर्जा स्थिति देते हैं। ऊर्जा के मान को अपकर्ष कहा जाता है, यदि इससे जुड़े कम से कम दो रैखिक रूप से स्वतंत्र ऊर्जा अवस्थाएँ उपस्थित हों। इसके अतरिक्त, दो या दो से अधिक अपकर्ष प्रेरक अवस्था का कोई भी रैखिक संयोजन भी हैमिल्टनियन संचालको का प्रेरक अवस्था है, जो समान ऊर्जा प्रेरक मान के अनुरूप है। यह इस तथ्य से स्पष्ट रूप से पता चलता है कि ऊर्जा मान प्रेरक मान $λ$ का प्रेरक अन्तराल उपस्थान है (हैमिल्टनियन ऋणात्मक $λ$ गुणन समरूपता का कर्नेल (रैखिक बीजगणित)) है, इसलिए इसे रैखिक संयोजनों के साथ संवृत कर दिया गया है।

$$

ऊर्जा के मापन पर अपकर्ष का प्रभाव
अपकर्ष की अनुपस्थिति में, यदि क्वांटम प्रणाली की ऊर्जा का मापीय मान निर्धारित किया जाता है, तो प्रणाली की इसी स्थिति को ज्ञात माना जाता है, क्योंकि मात्र प्रेरक अवस्था प्रत्येक ऊर्जा प्रेरक मान से अनुकूल होती है। चूंकि, यदि हैमिल्टनियन $$\hat{H}$$ में डिग्री gn का अपकर्ष प्ररेक मान $$E_n$$ है, तो इससे जुड़े प्ररेक अवस्था आयाम gn का संवाहक उप-स्थान बनाते हैं। ऐसे स्थितियों में अनेक अंतिम अवस्थाएँ संभवतः ही परिणाम $$E_n$$ से सम्मिलित हो सकती हैं, जिनमें से सभी gn प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण प्रेरक संवाहक $$|E_{n,i}\rangle$$ के रैखिक संयोजन हैं।

चूंकि, यदि हैमिल्टनियन $$\hat{H}$$ में स्तर gn का अपकर्ष प्ररेक मान $$E_n$$ है, तो इससे जुड़े प्ररेक अवस्था आयाम gn का संवाहक उप-स्थान बनाते हैं। ऐसे स्थितियों में अनेक अंतिम अवस्थाएँ संभवतः ही परिणाम $$E_n$$ से सम्मिलित हो सकती हैं, जिनमें से सभी gn प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण प्रेरक संवाहक $$|E_{n,i}\rangle$$ के रैखिक संयोजन हैं।

इस स्थितियों में, संभावना है कि अवस्था $$|\psi\rangle$$ में प्रणाली के लिए मापा गया ऊर्जा मान $$E_n$$ उत्पन्न करेगा, इस आधार पर प्रत्येक अवस्था में प्रणाली को अन्वेषण की संभावनाओं के योग के माध्यम से दिया गया है, अर्थात
 * $$P(E_n)=\sum_{i=1}^{g_n}|\langle E_{n,i}|\psi\rangle|^2$$

विभिन्न आयामों में अपकर्ष
यह खंड विभिन्न आयामों में अध्ययन किए गए क्वांटम प्रणाली में अपक्षयी ऊर्जा स्तरों के अस्तित्व को चित्रित करने का अभिप्राय रखता है। और द्वि-आयामी प्रणालियों का अध्ययन अधिक जटिल प्रणालियों की वैचारिक समझ में सहायता करता है

आयाम में अपकर्ष
अनेक स्थितियों में, एक-आयामी प्रणालियों के अध्ययन में विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति के परिणाम अधिक सरलता से प्राप्त किए जा सकते हैं। आवेश क्रिया $$|\psi\rangle$$ वाले क्वांटम कण के लिए एक-आयामी क्षमता $$V(x)$$ में विचरण करते हुए अवधि -स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi}{dx^2} + V\psi =E\psi$$

चूँकि यह सामान्य अवकल समीकरण है, किसी दी गई ऊर्जा $$E$$ के लिए दो स्वतंत्र प्रेरक क्रिया होती हैं, जिससे अपकर्ष की श्रेणी कभी भी दो से अधिक न हो। यह सिद्ध किया जा सकता है कि आयाम में सामान्यीकृत आवेश कार्य के लिए कोई अपकर्ष बाध्य अवस्थाएँ नहीं हैं। खंड अनुसार के निरंतर क्षमता पर पर्याप्त स्थिति $$V$$ और ऊर्जा $$E$$ पर पर्याप्त परिस्थिति $$M \neq 0$$ के साथ दो वास्तविक संख्या $$M,x_0$$ का अस्तित्व है, जैसे कि $$M,x_0$$ हमारे पास $$V(x) - E \geq M^2$$ है।


 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"

!उपरोक्त प्रमेय का प्रमाण.


 * Considering a one-dimensional quantum system in a potential $$V(x)$$ with degenerate states $$|\psi_1\rangle$$ and $$|\psi_2\rangle$$ corresponding to the same energy प्रेरक मान $$E$$, writing the time-independent Schrödinger equation for the system:
 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_1}{dx^2} + V\psi_1 =E\psi_1$$
 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_2}{dx^2} + V\psi_2 =E\psi_2$$
 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\frac{d^2\psi_2}{dx^2} + V\psi_2 =E\psi_2$$

Multiplying the first equation by $$ \psi_2 $$ and the second by $$\psi_1$$ and subtracting one from the other, we get:
 * $$\psi_1\frac{d^2}{dx^2}\psi_2-\psi_2\frac{d^2}{d x^2}\psi_1=0$$

Integrating both sides
 * $$\psi_1\frac{d\psi_2}{dx}-\psi_2\frac{d\psi_1}{dx}=\mbox{constant}$$

In case of well-defined and normalizable wave functions, the above constant vanishes, provided both the wave functions vanish at at least one point, and we find: $$\psi_1(x)=c\psi_2(x)$$ where $$c$$ is, in general, a complex constant. For bound state eigenfunctions (which tend to zero as $$x \rightarrow \infty$$), and assuming $$V$$ and $$E$$ satisfy the condition given above, it can be shown that also the first derivative of the wave function approaches zero in the limit $$x\to\infty$$, so that the above constant is zero and we have no degeneracy.
 * }

द्वि-आयामी क्वांटम प्रणाली में अपकर्ष
पदार्थ की तीनों अवस्थाओं में द्वि-आयामी क्वांटम प्रणालियाँ उपस्थित हैं, और त्रि-आयामी पदार्थ में देखी जाने संबंधी अधिकांश विविधताएँ दो आयामों में बनाया जा सकता हैं। वास्तविक द्विविमीय पदार्थ ठोसों की सतह पर परमाणुक परतों से बने होते हैं। प्रयोगात्मक रूप से प्राप्त द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन प्रणालियों के कुछ उदाहरणों में मोसफेट, हीलियम, नियोन, आर्गन, क्सीनन आदि के द्वि-आयामी उत्तम लैटिस और तरल हीलियम की सतह सम्मिलित हैं। वर्ग में कण और द्वि-आयामी लयबद्ध दोलक के स्थितियों में अपकर्ष ऊर्जा स्तरों की उपस्थिति का अध्ययन किया जाता है, जो अनेक वास्तविक विश्व प्रणालियों के लिए उपयोगी गणितीय अनुरूप के रूप में कार्य करता है।

आयताकार तल में कण
अभेद्य भित्ति के तल में आयाम $$L_x$$ और $$L_y$$ के तल में मुक्त कण पर विचार करें। आवेश क्रिया $$|\psi\rangle$$ के साथ इस प्रणाली के लिए समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac{\partial^2 \psi}{{\partial x}^2} +\frac{\partial^2 \psi}{{\partial y}^2}\right) =E\psi$$

अनुमत ऊर्जा मान हैं
 * $$E_{n_x,n_y}=\frac{\pi^2 \hbar^2}{2m}\left(\frac{n_x^2}{L_x^2}+\frac{n_y^2}{L_y^2}\right)$$

सामान्यीकृत आवेश क्रिया है
 * $$\psi_{n_x,n_y}(x,y)=\frac 2{\sqrt{L_xL_y}} \sin\left(\frac{n_x\pi x}{L_x}\right)\sin\left(\frac{n_y\pi y}{L_y}\right)$$

जिस स्थान पर $$n_x,n_y=1,2,3...$$तो, क्वांटम संख्या $$n_x$$ और $$n_y$$ ऊर्जा प्रेरक मान ​​​​का वर्णन करने के लिए आवश्यक हैं और प्रणाली की सबसे कम ऊर्जा के माध्यम से दी गई है
 * $$E_{1,1}=\pi^2\frac{\hbar^2}{2m}\left(\frac 1{L_x^2}+\frac 1{L_y^2}\right)$$

दो लंबाई के कुछ अनुरूप अनुपात के लिए $$L_x$$ और $$L_y$$ अवस्था के कुछ जोड़े अपकर्ष हैं। यदि $$L_x/L_y=p/q$$ जिस स्थान पर p और q पूर्णांक हैं, तो अवस्था $$(n_x, n_y)$$ और $$(pn_y/q, qn_x/p)$$ में समान ऊर्जा होती है और इसलिए वे एक-दूसरे के लिए अपक्षयी होती हैं।

एक वर्गकार वर्ग में कण
इस स्थितियों में, वर्ग के आयाम $$L_x = L_y = L$$ और ऊर्जा प्रेरक मान ​​के माध्यम से दिया जाता है
 * $$E_{n_x,n_y}=\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}(n_x^2+n_y^2)$$

चूंकि $$n_x$$ और $$n_y$$ को ऊर्जा में परिवर्तन किए रहित आपस में प्रवर्तित किया जा सकता है, $$n_x$$ और $$n_y$$ भिन्न होने पर प्रत्येक ऊर्जा स्तर में कम से कम दो की अपक्षयीता होती है। अपकर्ष अवस्थाएँ तब भी प्राप्त होती हैं, जब विभिन्न ऊर्जा स्तरों के अनुरूप क्वांटम संख्याओं के वर्गों का योग समान होता है। उदाहरण के लिए, तीन अवस्था (nx = 7, ny = 1), (nx = 1, ny = 7) और (nx = ny = 5) सभी मे $$E=50 \frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}$$ है, और अपकर्ष समुच्चय का गठन करते है।

एक वर्गाकार वर्ग में कण के लिए विभिन्न ऊर्जा स्तरों की अपक्षयीता की श्रेणी:

एक घन वर्ग में कण
इस स्थितियों में, वर्ग के आयाम $$L_x = L_y =L_z= L$$ और ऊर्जा प्रेरक मान ​​​​तीन क्वांटम संख्याओं पर निर्भर करते हैं।
 * $$E_{n_x,n_y,n_z}=\frac{\pi^2\hbar^2}{2mL^2}(n_x^2+n_y^2+n_z^2)$$

चूँकि ऊर्जा को परिवर्तन रहित $$n_x$$, $$n_y$$ और $$n_z$$ परवर्तित किया जा सकती है, प्रत्येक ऊर्जा स्तर में कम से कम तीन की अपकर्ष होती है, जब तीन क्वांटम संख्याएँ सभी समान नहीं होती हैं।

== अपकर्ष== के स्थितियों में अद्वितीय प्रकार आधार निष्कर्ष

यदि दो संचालक (भौतिकी) $$\hat{A}$$ और $$\hat{B}$$ आवागमन करते हैं, अर्थात $$[\hat{A},\hat{B}]=0$$ तो प्रत्येक प्रेरक संवाहक के लिए $$\hat{A}$$, $$\hat{B}|\psi\rang$$ में से $$|\psi\rangle$$ भी समान प्रेरक मान के साथ $$\hat{A}$$ का प्रेरक संवाहक है। चूंकि, यदि यह प्रेरक मान, मान लें कि $$\lambda$$ अपकर्ष है, तो यह कहा जा सकता है कि $$\hat{B}|\psi\rangle$$ एवं $$\hat{A}$$ के प्रेरक अन्तराल $$E_\lambda$$ से संबंधित है, जिसे $$\hat{B}$$ की अनुयोजन के साथ वैश्विक रूप से अपरिवर्तनीय कहा जाता है। दो कम्यूटिंग अवलोकनीय A और B के लिए, दो संचालको के लिए प्रेरक संवाहक के साथ अवस्था अन्तराल के सामान्य आधार का निर्माण कर सकते हैं। चूंकि $$\lambda$$ एवं $$\hat{A}$$ का अपकर्ष प्रेरक मान है, तो यह $$\hat{A}$$ का प्रेरक अन्तराल है जो $$\hat{B}$$ की अनुयोजन के साथ अपरिवर्तनीय है, इसलिए $$\hat{A}$$ के प्रेरक मान में $$\hat{B}$$ का प्रतिनिधित्व (अंक शास्त्र) विकर्ण नहीं है, किन्तु खंड विकर्ण आव्युह है, अर्थात $$\hat{A}$$ के पतित प्रेरक संवाहक हैं सामान्यतः, $$\hat{B}$$ के प्रेरक संवाहक नहीं है।

आवागमन संबंधी अवलोकनों का पूरा समुच्चय का चयन
यदि दिया गया अवलोकन योग्य A अपकर्ष नहीं है, तो इसके प्रेरक संवाहक के माध्यम से गठित अद्वितीय आधार उपस्थित है। दूसरी ओर, यदि $$\hat{A}$$ या अनेक प्रेरक मान अपकर्ष हैं, आधार संवाहक को चिह्नित करने के लिए प्रेरक मान निर्दिष्ट करना पर्याप्त नहीं है। यदि, अवलोकन योग्य $$\hat{B}$$ को चयनित करके जो $$\hat{A}$$ के साथ गति करता है, $$\hat{A}$$ और $$\hat{B}$$ के लिए साधारण प्रेरक संवाहको का प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण आधार बनाना संभव है, जो कि प्रेरक मान {a,b} के प्रत्येक संभावित युग्मित के लिए अद्वितीय है, तो $$\hat{A}$$ और $$\hat{B}$$ हैं कहा जाता है, कि यह आवागमन संबंधी अवलोकनों का पूरा समुच्चय परिपक्व करता है। चूंकि, यदि प्रेरक संवाहकों का अनूठा समुच्चय अभी भी निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है, तो प्रेरक मान ​​के युग्मित में से कम से कम के लिए, तीसरा अवलोकन योग्य $$\hat{C}$$ जो $$\hat{A}$$ और $$\hat{B}$$ दोनों के साथ आवागमन करता है, इस प्रकार प्राप्त जा सकता है, कि तीनों आवागमन संबंधी अवलोकनों का पूरा समुच्चय बनाते हैं।

यह इस प्रकार है कि सामान्य ऊर्जा मान के साथ क्वांटम प्रणाली के हैमिल्टनियन के प्रेरक क्रिया को कुछ अतिरिक्त जानकारी देकर सामान्य किया जाना चाहिए, जो हैमिल्टनियन के साथ चलने वाले संचालको को चयनित करके किया जा सकता है। इन अतिरिक्त सामान्यों को अद्वितीय ऊर्जा प्रेरक क्रिया के नामकरण की आवश्यकता होती है, और सामान्यतः प्रणाली की गति के स्थिरांक से संबंधित होते हैं।

अपकर्ष ऊर्जा प्रेरक अवस्था और समानता संचालिका
समानता संचालको को r को −r में परिवर्तन के $$|r\rangle$$ प्रतिनिधित्व में इसकी क्रिया के माध्यम से परिभाषित किया गया है, अर्थात
 * $$\langle r|P|\psi\rangle=\psi(-r)$$

P के प्रेरक मान ​​को $$\pm1$$ तक सीमित दर्शाया जा सकता है, जो कि अनंत-आयामी अवस्था अन्तराल में अपकर्ष प्रेरक मान ​​हैं। P के प्रेरक मान +1 वाले प्रेरक संवाहक को सम कहा जाता है, जबकि प्रेरक मान -1 वाले को विषम कहा जाता है।

अब, सम संचालिका $$\hat{A}$$ है जो संतुष्ट करती है,
 * $$\tilde{A}=P \hat{A} P$$
 * $$[P,\hat{A}]=0$$

चूँकि विषम संचालको $$\hat{B}$$ है जो संतुष्ट करता है
 * $$P \hat{B}+\hat{B} P=0$$

चूँकि संवेग संचालक $$\hat{p}^2$$ का वर्ग सम है, यदि संभावित V(r) सम है, तो हैमिल्टनियन $$\hat{H}$$ को सम संचालक कहा जाता है। उस स्थिति में, यदि इसके प्रत्येक प्रेरक मान ​​अपकर्ष हैं, तो प्रत्येक प्रेरक संवाहक आवश्यक रूप से P का प्रेरक क्षेत्र है, और इसलिए सम और विषम राज्यों के मध्य $$\hat{H}$$ के प्रेरक क्षेत्र को देखना संभव है। चूंकि, यदि किसी ऊर्जा प्रेरक क्षेत्र में कोई निश्चित समानता (भौतिकी) नहीं है, तो यह प्रमाणित किया जा सकता है कि संबंधित प्रेरक मान पतित है, और $$P|\psi\rangle$$ एवं $$|\psi\rangle$$ के समान प्रेरक मान के साथ $$\hat{H}$$ का प्रेरक संवाहक है।

अपकर्ष और समरूपता
क्वांटम-यांत्रिक प्रणाली में अपक्षय की भौतिक उत्पत्ति प्राय: प्रणाली में कुछ समरूपता की उपस्थिति होती है। क्वांटम प्रणाली की समरूपता का अध्ययन, कुछ स्थितियों में हमें श्रोडिंगर समीकरण को हल करे बिना ऊर्जा के स्तर और अपक्षयीता को अन्वेषण में सक्षम बनाता है, जिससे प्रयास कम हो जाता है।

गणितीय रूप से, समरूपता के साथ अपकर्ष के संबंध को इस प्रकार स्पष्ट किया जा सकता है। एकात्मक संचालक $S$ से संबंधित समरूपता संक्रिया पर विचार करें। इस तरह के संचालन के साथ, नया हैमिल्टनियन संचालक $S$ के माध्यम से उत्पन्न समानता परिवर्तन के माध्यम से मूल है। मिल्टनियन से संबंधित है, जैसे कि $$H'=SHS^{-1}=SHS^\dagger$$ चूंकि $S$ एकात्मक है। यदि परिवर्तन संचालन $S$ के साथ हैमिल्टनियन अपरिवर्तित रहता है तो हमारे पास है
 * $$SHS^\dagger=H$$
 * $$SHS^{-1}=H$$
 * $$SH=HS$$
 * $$[S,H]=0$$

अब यदि $$|\alpha\rangle $$ ऊर्जा अवस्था है,
 * $$H|\alpha\rangle=E|\alpha\rangle$$

जिस स्थान पर E संगत ऊर्जा प्रेरक मान है।
 * $$HS|\alpha\rangle=SH|\alpha\rangle=SE|\alpha\rangle=ES|\alpha\rangle$$

जिसका अर्थ है कि $$S|\alpha\rangle$$भी समान प्रेरक मान $E$ के साथ ऊर्जा प्रेरक अवस्था है। यदि दोनों अवस्था $$|\alpha\rangle$$ और $$S|\alpha\rangle$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (अर्थात् भौतिक रूप से भिन्न), इसलिए वे अपकर्ष हैं।

ऐसे स्थितियों में जहां $S$ को सतत पैरामीटर $$\epsilon$$ की विशेषता है, प्रपत्र $$S(\epsilon)|\alpha\rangle$$ की सभी अवस्थाओं में समान ऊर्जा प्रेरक मान होती है।

 हैमिल्टनियन का समरूपता समूह 

क्वांटम प्रणाली के हैमिल्टनियन के साथ आवागमन करने वाले सभी संचालको के समुच्चय को हैमिल्टन के समरूपता समूह बनाने के लिए कहा जाता है। इस समूह के जनक (समूहों) के क्रमविनिमेयक समूह के बीजगणित का निर्धारण करते हैं। समरूपता समूह का n-आयामी प्रतिनिधित्व समरूपता संचालको की गुणन तालिका को संरक्षित करता है। विशेष समरूपता समूह के साथ हैमिल्टनियन की संभावित अपकर्ष समूह के अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन के आयामों के माध्यम से दिए गए हैं। n-गुणन अपकर्ष प्रेरकमान के अनुरूप प्रेरक फलन हैमिल्टनियन के समरूपता समूह के n-आयामी अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व के लिए आधार बनाते हैं।

अपकर्ष के प्रकार
एक क्वांटम प्रणाली में अपकर्ष स्वभाव में व्यवस्थित या आकस्मिक हो सकती है।

व्यवस्थित या आवश्यक अपकर्ष
इसे ज्यामितीय या सामान्य अपकर्ष भी कहाँ जाता है, और विचाराधीन प्रणाली में किसी प्रकार की समरूपता की उपस्थिति के कारण उत्पन्न होता है, अर्थात निश्चित संचालन के साथ हैमिल्टनियन की अपरिवर्तनीयता है, जिस प्रकार से कि पूर्व वर्णित है। सामान्य अपकर्ष से प्राप्त प्रतिनिधित्व अप्रासंगिक है, और संबंधित प्रेरक क्रिया इस प्रतिनिधित्व के लिए आधार बनाते हैं।

आकस्मिक अपकर्ष
यह प्रणाली की कुछ विशेष विशेषताओं या विचाराधीन क्षमता के कार्यात्मक रूप से उत्पन्न होने संबंधी अपकर्ष का प्रकार है, और संभवतः प्रणाली में लुप्त हुई गतिशील समरूपता से संबंधित है। इसका परिणाम संरक्षित परिमाण में भी होता है, जिन्हें स्पष्ट करना प्राय: सरल नहीं होता है। असतत ऊर्जा वर्णक्रम में आकस्मिक समरूपता इन अतिरिक्त अपकर्ष की ओर ले जाती है। आकस्मिक अपकर्ष इस तथ्य के कारण हो सकता है, कि हैमिल्टनियन का समूह पूर्ण नहीं है। ये अपकर्ष मौलिक भौतिकी में बाध्य कक्षीय के अस्तित्व से जुड़े हैं।

उदाहरण: कूलॉम और अनुरूप दोलक सामर्थ्यः
केंद्रीय $1/r$ क्षमता में कण के लिए, लाप्लास-रनगे-लेन्ज़ संवाहक संरक्षित मात्रा है, जो आकस्मिक अपकर्ष के परिणामस्वरूप होती है, इसके अतरिक्त आवर्तनशील अपरिवर्तनीयता के कारण कोणीय गति का संरक्षण भी होता है।

शंकु की शीर्ष पर केन्द्रित $1/r$ और $r^{2}$ सामर्थ्यः के प्रभाव में शंकु पर विचरण कर ने वाले कण के लिए, आकस्मिक समरूपता के अनुरूप संरक्षित परिमाण घटक के अतिरिक्त, रनगे-लेनज़ संवाहक के समतुल्य के दो घटक होंगी। कोणीय संवेग संवाहक की यह परिमाण दोनों संभावनाओं के लिए एसयू(2) समरूपता उत्पन्न करती हैं।

उदाहरण: स्थिर चुंबकीय क्षेत्र में कण
स्थिर चुंबकीय क्षेत्र के प्रभाव में गतिमान कण, वृत्ताकार कक्षीय पर साइक्लोट्रॉन गति से निकल रहा है, आकस्मिक समरूपता का और महत्वपूर्ण उदाहरण है। इस स्थितियों में समरूपता गुणक लैंडौ स्तर हैं, जो अनंततः रूप से अपकर्ष हैं।

हाइड्रोजन परमाणु
परमाणु भौतिकी में, हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन की बाध्य अवस्थाएँ हमें अपकर्ष के उपयोगी उदाहरण दिखाती हैं। इस स्थितियों में, हैमिल्टनियन कुल कोणीय गति संचालको $$\hat{L^2}$$ के साथ आवागमन करता है, इसका घटक z-दिशा के साथ $$\hat{L_z}$$, कुल चक्र (भौतिकी) कोणीय गति $$\hat{S^2}$$ और इसका z-घटक $$\hat{S_z}$$ है। इन संचालको के अनुरूप क्वांटम संख्याएं क्रमशः $$l$$, $$m_l$$, $$s$$ हैं (सदैव इलेक्ट्रॉन के लिए 1/2) और $$m_s$$ क्रमानुसार है।

हाइड्रोजन परमाणु में ऊर्जा का स्तर मात्र मुख्य क्वांटम संख्या $n$ पर निर्भर करता है। दिए गए n के लिए $$l=0, \ldots, n-1$$ के अनुरूप सभी अवस्थाओं में समान ऊर्जा होती है, और वे अपकर्ष होते हैं। इसी प्रकार $n$ और $l$ के दिए गए मानों के लिए $$m_l = -l, \ldots, l$$ के साथ $$(2l+1)$$ स्थितियाँ अपकर्ष हैं। ऊर्जा स्तर En की अपकर्ष की श्रेणी इसलिए :$$\sum_{l \mathop =0}^{n-1}(2l+1) = n^2$$ है जो चक्र अपकर्ष को सम्मिलित करने पर युग्मित हो जाती है।

$$m_l$$ के संबंध में अपकर्ष आवश्यक अपकर्ष है, जो किसी भी केंद्रीय क्षमता के लिए उपस्थित है, और अनुकूल स्थानिक दिशा की अनुपस्थिति से उत्पन्न होता है। $l$ के संबंध में अपकर्ष को प्राय आकस्मिक अपकर्ष के रूप में वर्णित किया जाता है, किन्तु इसे श्रोडिंगर समीकरण की विशेष समरूपता के संदर्भ में समझाया जा सकता है जो मात्र हाइड्रोजन परमाणु के लिए मान्य है, जिसमें संभावित ऊर्जा कूलम्ब के नियम के माध्यम से दी गई है।।

समदैशिक त्रि-आयामी अनुरूप दोलक
यह द्रव्यमान m का चक्र रहित कण है, जो त्रि-आयामी अन्तराल में विचरण कर रहा है, यह केंद्रीय बल के अधीन है। जिसका पूर्ण मान बल के केंद्र से कण की दूरी के समानुपाती होता है।
 * $$F=-kr$$

इसे समदैशिक कहा जाता है, क्योंकि इस पर कार्य करने वाला $$V(r)$$ आवर्तनशील रूप से अपरिवर्तनीय है, अर्थात $$V(r) = 1/2 \left(m\omega^2r^2\right)$$ जिस स्थान पर $$\omega$$, $\sqrt{k/m}$. के माध्यम से दी गई कोणीय आवृत्ति है।

चूँकि ऐसे कण का अवस्था स्थान व्यक्तिगत एक-आयामी आवेश कार्यों से जुड़े अवस्था स्थानों का प्रदिश उत्पाद है, इस तरह की प्रणाली के लिए अवधि -स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण के माध्यम से दिया जाता है-
 * $$-\frac{\hbar^2}{2m} \left(\frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2}+ \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2}+ \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}\right) +\frac{1}{2}{m\omega^2(x^2+y^2+z^2)\psi}=E\psi$$

तो, ऊर्जा प्रेरक मान $$E_{n_x,n_y,n_z}=(n_x+n_y+n_z+3/2) \hbar\omega$$ ​​​​हैं

या, $$E_n=(n+3/2)\hbar\omega$$

जिस स्थान पर n अ-ऋणात्मक पूर्णांक है। इसलिए ऊर्जा का स्तर अपकर्ष हो गया है, और अपकर्ष की श्रेणीविभिन्न समुच्चयों की संख्या $$\{n_x, n_y, n_z\}$$ के समरूप है जो संतोषजनक है
 * $$n_x+n_y+n_z=n$$

$$n$$ अवस्था की अपकर्ष को $$n_x$$, $$n_y$$ और $$n_z$$ में $$n$$ क्वांटा के वितरण पर विचार करके प्राप्त जा सकता है। $$n_x$$ में 0 होने से $$n_y$$ और $$n_z$$ में वितरण की $$n + 1$$ संभावनाएँ प्राप्त होती हैं। 1 में $$n_x$$ क्वांटा होने से $$n_y$$ और $$n_z$$ इत्यादि में $$n$$ संभावनाएं प्राप्त होती हैं। इससे $$n - n_x + 1$$ का सामान्य परिणाम प्राप्त होता है और सभी $$n$$ का योग $$n$$वीं अवस्था की अपकर्ष की ओर ले जाता है-
 * $$\sum_{n_x=0}^n (n-n_x+1)=\frac{(n+1)(n+2)}{2}$$

जिस प्रकार से कि दर्शाया गया है, मात्र सतह अवस्था जिस स्थान पर $$n = 0$$ अ-अपकर्ष है (अथार्त $$1$$ की अपक्षयीता है )।

अपकर्ष का निवारक
यदि किसी बाह्य अस्तव्यस्तता सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) से अंतर्निहित समरूपता विघटित हो जाती है, तो क्वांटम यांत्रिक प्रणाली में विकृति को दूर किया जा सकता है।। यह अपकर्ष ऊर्जा स्तरों में विभाजन का कारण बनता है। यह अनिवार्य रूप से मूल अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन को विकृत प्रणाली के निम्न-आयामी ऐसे अभ्यावेदन में विभाजित करना है।

गणितीय रूप से, छोटी अस्तव्यस्तता क्षमता के आवेदन के कारण विभाजन की गणना अवधि -स्वतंत्र अपकर्ष अस्तव्यस्तता सिद्धांत का उपयोग करके की जा सकती है। यह सन्निकटन योजना है, जिसे अप्रभावित प्रणाली के लिए हैमिल्टनियन H0 के समाधान को देखते हुए, प्रयुक्त अस्तव्यस्तता के साथ क्वांटम प्रणाली के हैमिल्टनियन H के लिए प्रेरक मान समीकरण का समाधान अन्वेषण के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है। इसमें अस्तव्यस्तता सिद्धांत में हैमिल्टनियन H के प्रेरक मान और प्रेरक केट का विस्तार करना सम्मिलित है। किसी दिए गए ऊर्जा प्रेरक मान के साथ पतित प्रेरक क्षेत्र संवाहक उप-स्थान बनाते हैं, किन्तु इस स्थान के प्रेरक क्षेत्र का प्रत्येक आधार अस्तव्यस्तता सिद्धांत के लिए उपयुक्ता प्रारंभिक बिंदु नहीं है, क्योंकि सामान्यतः उनके पास अस्तव्यस्तता सिद्धांत का कोई भी प्रेरक क्षेत्र नहीं होगा। चयन का सही आधार वह है जो अपकर्ष उप-स्थान के अन्दर अस्तव्यस्तता हैमिल्टनियन को विकर्ण करता है।


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!प्रथम-क्रम पतित विक्षोभ सिद्धांत के माध्यम से अध:पतन को उन्नति।
 * Consider an unperturbed Hamiltonian $$\hat{H_0}$$ and perturbation $$\hat{V}$$, so that the perturbed Hamiltonian
 * $$\hat{H}=\hat{H_0}+\hat{V}$$
 * $$\hat{H}=\hat{H_0}+\hat{V}$$

The perturbed eigenstate, for no degeneracy, is given by-
 * $$|\psi_0\rangle=|n_0\rangle+\sum_{k\neq0}V_{k0}/(E_0-E_k)|n_k\rangle$$

The perturbed energy eigenket as well as higher order energy shifts diverge when $$E_0=E_k$$, i.e., in the presence of degeneracy in energy levels. Assuming $$\hat{H_0}$$ possesses N degenerate प्रेरक क्षेत्र $$|m\rangle$$ with the same energy प्रेरक मान E, and also in general some non-degenerate प्रेरक क्षेत्र. A perturbed प्रेरक अवस्था$$|\psi_j\rangle$$ can be written as a linear expansion in the unperturbed degenerate प्रेरक क्षेत्र as-
 * $$ |\psi_j\rangle=\sum_{i}|m_i\rangle\langle m_i|\psi_j\rangle=\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle$$
 * $$[\hat{H_0}+\hat{V}]\psi_j\rangle=[\hat{H_0}+\hat{V}]\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle=E_j\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle$$

where $$E_j$$ refer to the perturbed energy प्रेरक मान s. Since $$E$$ is a degenerate प्रेरक मान of $$\hat{H_0}$$,
 * $$\sum_{i}c_{ji}\hat{V}|m_i\rangle=(E_j-E)\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle=\Delta E_j\sum_{i}c_{ji}|m_i\rangle$$

Premultiplying by another unperturbed degenerate eigenket $$\langle m_k|$$ gives-
 * $$\sum_{i}c_{ji}[\langle m_k|\hat{V}|m_i\rangle-\delta_{ik}(E_j-E)]=0$$

This is an प्रेरक मान problem, and writing $$V_{ik}=\langle m_i|\hat{V}|m_k\rangle$$, we have-
 * $$\begin{vmatrix} V_{11}-\Delta E_j & V_{12} & \dots & V_{1N} \\

V_{21} & V_{22}-\Delta E_j & \dots & V_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ V_{N1} & V_{N2} & \dots & V_{NN}-\Delta E_j \end{vmatrix}.\,$$

The N प्रेरक मान s obtained by solving this equation give the shifts in the degenerate energy level due to the applied perturbation, while the प्रेरक संवाहक s give the perturbed states in the unperturbed degenerate basis $$|m\rangle$$. To choose the good प्रेरक क्षेत्र from the beginning, it is useful to find an operator $$\hat{V}$$ which commutes with the original Hamiltonian $$\hat{H_0}$$ and has simultaneous प्रेरक क्षेत्र with it.
 * }

क्षोभ के माध्यम से अपक्षय को दूर करने के भौतिक उदाहरण
भौतिक स्थितियों के कुछ महत्वपूर्ण उदाहरण जिस स्थान पर क्वांटम प्रणाली के अपक्षयी ऊर्जा स्तर बाहरी अस्तव्यस्तता के अनुप्रयोग के माध्यम से विभाजित किया जाता हैं, नीचे दिए गए हैं।

दो-स्तरीय प्रणालियों में समरूपता का विघटितना
एक दो-स्तरीय प्रणाली अनिवार्य रूप से भौतिक प्रणाली को संदर्भित करती है जिसमें दो अवस्था होते हैं, जिनकी ऊर्जा साथ होती है और प्रणाली के अन्य अवस्था से अत्यंत भिन्न होती है। ऐसी प्रणाली के लिए सभी गणनाएं अवस्था अन्तराल के द्वि-आयामी उप-स्थल सांस्थिति पर की जाती हैं।

यदि किसी भौतिक प्रणाली की आधार स्थिति दो गुना अपकर्ष है, तो दो संबंधित अवस्था के मध्य कोई भी युग्मन प्रणाली की आधार स्थिति की ऊर्जा को कम करता है, और इसे और अधिक स्थिर बनाता है।

यदि $$E_1$$ और $$E_2$$ प्रणाली के ऊर्जा स्तर हैं, जैसे कि $$E_1=E_2=E$$, और अस्तव्यस्तता $$W$$ को द्वि-आयामी उप-स्थान में निम्नलिखित 2×2 आव्युह के रूप में दर्शाया गया है


 * $$\mathbf{W}=\begin{bmatrix}

0 & W_{12} \\ W_{12}^* & 0 \end{bmatrix}. $$ तब विक्षुब्ध ऊर्जाएं हैं
 * $$E_{+}=E+|W_{12}|$$
 * $$E_{-}=E-|W_{12}|$$

दो-अवस्था प्रणालियों के उदाहरण जिनमें प्रणाली की अंतर्निहित संपत्ति के कारण आंतरिक संपर्क के परिणामस्वरूप हैमिल्टनियन में विवृत विकर्ण परिस्थितियों की उपस्थिति से ऊर्जा अवस्थाओं में अपक्षयीता विघटित जाती है:
 * बेंजीन, निकटतम कार्बन परमाणुओं के मध्य तीन दोहरे संबंध के दो संभावित स्वभावों के साथ है।
 * अमोनिया अणु, जिस स्थान पर नाइट्रोजन परमाणु तीन हाइड्रोजन परमाणुओं के माध्यम से परिभाषित सतह के पूर्व या नीचे हो सकता है।
 * अणु, जिसमें इलेक्ट्रॉन को दो नाभिकों में से किसी के आसपास स्थानबद्ध किया जा सकता है।

उत्तम-संरचना विभाजन
आपेक्षिकीय गति और चक्र -कक्षीय युग्मन के कारण हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के मध्य कूलम्ब अन्योन्यक्रिया में संशोधन के परिणामस्वरूप एकल प्रमुख क्वांटम संख्या n के अनुरूप lके विभिन्न मानो के लिए ऊर्जा स्तरों में अपकर्षको को विघटित कर दिया जाता है।

आपेक्षिक संशोधन के कारण अस्तव्यस्तता हैमिल्टन के माध्यम से दिया गया है


 * $$H_r=-p^4/8m^3c^2$$

जिस स्थान पर $$p$$ संवेग संचालक है और $$m$$ इलेक्ट्रॉन का द्रव्यमान है। $$|nlm\rangle$$आधार में प्रथम-क्रम सापेक्षतावादी ऊर्जा संशोधन के माध्यम से दिया गया है
 * $$E_r=(-1/8m^3c^2)\langle nlm|p^4|nlm \rangle$$

अब $$p^4=4m^2(H^0+e^2/r)^2$$
 * $$\begin{aligned}

E_r&=(-1/2mc^2)[E_n^2+2E_ne^2\langle 1/r \rangle + e^4\langle 1/r^2 \rangle]\\ &=(-1/2)mc^2\alpha^4[-3/(4n^4)+1/{n^3(l+1/2)}] \end{aligned}$$ जिस स्थान पर $$\alpha$$ न्यायपूर्ण संरचना स्थिरांक है।

चक्र -कक्षीय पारस्परिक प्रभाव, प्रोटॉन के साथ सापेक्ष गति के कारण इसके के माध्यम से अनुभव किए गए चुंबकीय क्षेत्र के साथ इलेक्ट्रॉन के आंतरिक चुंबकीय क्षण के मध्य की बातचीत को संदर्भित करता है। पारस्परिक प्रभाव हैमिल्टनियन है
 * $$H_{so}=-(e/mc){\vec{m}\cdot\vec{L}/r^3}=[(e^2/(m^2c^2r^3))\vec{S}\cdot\vec{L}] $$

जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है


 * $$H_{so}=(e^2/(4m^2c^2r^3))[\vec{J}^2-\vec{L}^2-\vec{S}^2]$$

$$|j,m,l,1/2\rangle$$ आधार में प्रथम क्रम ऊर्जा संशोधन जहां अस्तव्यस्तता हैमिल्टनियन विकर्ण है, के माध्यम से दिया गया है
 * $$E_{so}=(\hbar^2e^2)/(4m^2c^2)[j(j+1)-l(l+1)-3/4]/((a_0)^3n^3(l(l+1/2)(l+1))]$$

जिस स्थान पर $$a_0$$ बोह्र त्रिज्या है। कुल उत्तम संरचना ऊर्जा परिवर्तन के माध्यम से दिया गया है


 * $$E_{fs}=-(mc^2\alpha^4/(2n^3))[1/(j+1/2)-3/4n]$$

$$j=l\pm1/2$$ के लिए

ज़ीमन प्रभाव
बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखे जाने पर परमाणु के चुंबकीय क्षण $$\vec{m}$$ की प्रयुक्त क्षेत्र के साथ परस्पर क्रिया के कारण परमाणु के ऊर्जा स्तर के विभाजन को ज़ीमन प्रभाव के रूप में जाना जाता है।

हाइड्रोजन परमाणु में इलेक्ट्रॉन के क्रमशः कक्षीय और चक्र कोणीय संवेग $$\vec{L}$$ और $$\vec{S}$$ को ध्यान में रखते हुए अस्तव्यस्तता हैमिल्टनियन के माध्यम से दी गई है
 * $$\hat{V}=-(\vec{m_l}+\vec{m_s})\cdot\vec{B}$$

जिस स्थान पर $$m_l=-e \vec{L}/2m$$ और $$m_s=-e \vec{S}/m$$. इस प्रकार है
 * $$\hat{V}=e (\vec{L}+2\vec{S})\cdot\vec{B}/2m$$

अब, अशक्त क्षेत्र ज़ीमन प्रभाव के स्थितियों में, जब आंतरिक क्षेत्र की तुलना में प्रयुक्त क्षेत्र अशक्त होता है, तो चक्र -परिक्रमा युग्मन प्रभावी होता है और $$\vec{L}$$ और $$\vec{S}$$ भिन्न से संरक्षित नहीं हैं। उपयुक्त क्वांटम संख्याएँ n, l, j और m हैंj, और इस आधार पर, प्रथम क्रम ऊर्जा संशोधन के माध्यम से दर्शाया जा सकता है
 * $$E_z=-\mu_B g_j B m_j$$, जिस स्थान पर

$$\mu_B={e\hbar}/2m$$ बोह्र मैग्नेटो को बोह्र मैग्नेटन कहा जाता है। इस प्रकार $$m_j$$ के मूल्य के आधार पर प्रत्येक अपकर्ष ऊर्जा स्तर अनेक स्तरों में विभाजित हो जाता है।

शक्तिशाली -क्षेत्र ज़ीमैन प्रभाव के स्थितियों में जब प्रयुक्त क्षेत्र इतना शक्तिशाली होता है, कि कक्षीय और चक्र कोणीय गति भिन्न हो जाती है तो उपयुक्त क्वांटम संख्याएं अब n, l, ml और ms होती हैं। इस स्थान पर Lzऔर Sz संरक्षित हैं, इसलिए अस्तव्यस्तता हैमिल्टन के माध्यम से दी गई है-
 * $$\hat{V}=eB(L_z+2S_z)/2m$$

यह मानते हुए कि चुंबकीय क्षेत्र z-दिशा के अनुदिश है। इसलिए,
 * $$\hat{V}=eB(m_l+2m_s)/2m$$

ml के प्रत्येक मान के लिए ms $$\pm1/2$$ के दो संभावित मान हैं।

नितांत प्रभाव
किसी बाह्य विद्युत क्षेत्र के अधीन होने पर किसी परमाणु या अणु के ऊर्जा स्तरों का विभाजन नितांत प्रभाव के रूप में जाना जाता है।

हाइड्रोजन परमाणु के लिए विक्षोभ हैमिल्टनियन है


 * $$\hat{H}_{s}=-|e|Ez$$

यदि विद्युत क्षेत्र को z-दिशा के साथ चयन किया जाता है।

प्रयुक्त क्षेत्र के कारण ऊर्जा संशोधन $$|nlm\rangle$$ आधार में $$\hat{H}_{s}$$ के अपेक्षा मान के माध्यम से दिए गए हैं। चयन नियमों के माध्यम से यह दर्शाया जा सकता है कि $$\langle nlm_l|z|n_1l_1m_{l1}\rangle\ne0$$ जिस प्रकार से $$l=l_1\pm1$$ और $$m_l=m_{l1}$$ मे है।

प्रथम क्रम में चयन नियमों का पालन करने वाले कुछ अवस्था के लिए ही अपकर्ष को निकासी करा जाता है। अपकर्ष अवस्थाओं के लिए ऊर्जा स्तरों में प्रथम क्रम का विभाज $$\Delta E_{2,1,m_l}=\pm|e|(\hbar^2)/(m_e e^2)E$$ के माध्यम से दिए गए n = 2 के अनुरूप $$|2,0,0\rangle$$ और $$|2,1,0\rangle$$ दोनों स्थितियाँ हैं।

यह भी देखें

 * अवस्थाओं का घनत्व

अग्रिम पठन

 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology
 * Quantum degeneracy in two dimensional systems, Debnarayan Jana, Dept. of Physics, University College of Science and Technology