विश्लेषणात्मक ज्यामिति

शास्त्रीय गणित में, विश्लेषणात्मक  ज्यामिति, जिसे समन्वय ज्यामिति या कार्टेशियन ज्यामिति के रूप में भी जाना जाता है, एक समन्वय प्रणाली का उपयोग करके ज्यामिति का अध्ययन है। यह  सिंथेटिक ज्यामिति  के विपरीत है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति का उपयोग भौतिकी और अभियांत्रिकी  में और  विमानन,  अंतरिक्ष इंजिनीयरिंग ,  अंतरिक्ष विज्ञान  और  अंतरिक्ष उड़ान  में भी किया जाता है। यह  बीजगणितीय ज्यामिति ,  विभेदक ज्यामिति ,  असतत ज्यामिति  और  कम्प्यूटेशनल ज्यामिति  सहित ज्यामिति के अधिकांश आधुनिक क्षेत्रों की नींव है।

आमतौर पर कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को विमानों, सीधी रेखाओं और मंडलियों के समीकरणों में हेरफेर करने के लिए लागू किया जाता है, अक्सर दो और कभी-कभी तीन आयामों में। ज्यामितीय रूप से, एक यूक्लिडियन विमान (दो आयाम) और यूक्लिडियन अंतरिक्ष का अध्ययन करता है। जैसा कि स्कूली किताबों में पढ़ाया जाता है, विश्लेषणात्मक ज्यामिति को और अधिक सरलता से समझाया जा सकता है: इसका संबंध ज्यामितीय आकृतियों को संख्यात्मक तरीके से परिभाषित करने और उनका प्रतिनिधित्व करने और आकृतियों की संख्यात्मक परिभाषाओं और अभ्यावेदन से संख्यात्मक जानकारी निकालने से है। वास्तविक संख्याओं के बीजगणित को ज्यामिति के रैखिक सातत्य के बारे में परिणाम देने के लिए नियोजित किया जा सकता है जो कैंटर-डेडेकिंड स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है।

प्राचीन ग्रीस
प्राचीन यूनान के गणितज्ञ मेनेचमुस  ने समस्याओं को हल किया और एक ऐसी विधि का उपयोग करके प्रमेयों को सिद्ध किया जिसमें निर्देशांक के उपयोग के लिए एक मजबूत समानता थी और कभी-कभी यह माना जाता है कि उन्होंने विश्लेषणात्मक ज्यामिति की शुरुआत की थी। पेरगा का एपोलोनियस, एपोलोनियस ऑफ पेरगा#डी सेक्शने डिटरमिनाटा में, समस्याओं से इस तरीके से निपटा गया जिसे एक आयाम की विश्लेषणात्मक ज्यामिति कहा जा सकता है; एक रेखा पर बिंदु खोजने के प्रश्न के साथ जो दूसरों के अनुपात में थे। एपोलोनियस इन द कॉनिक्स ने आगे एक विधि विकसित की जो विश्लेषणात्मक ज्यामिति के समान है कि उनके काम को कभी-कभी 1800 वर्षों तक डेसकार्टेस  के काम का अनुमान लगाया गया माना जाता है। संदर्भ रेखाओं, एक व्यास और एक स्पर्शरेखा का उनका अनुप्रयोग अनिवार्य रूप से एक समन्वय फ्रेम के हमारे आधुनिक उपयोग से अलग नहीं है, जहां स्पर्शरेखा के बिंदु से व्यास के साथ मापी गई दूरियां भुज हैं, और स्पर्शरेखा के समानांतर खंड और बीच में अवरोधित हैं। अक्ष और वक्र निर्देशांक हैं। उन्होंने भुजों और संबंधित निर्देशांकों के बीच संबंधों को और विकसित किया जो घटता के आलंकारिक समीकरणों (शब्दों में व्यक्त) के बराबर हैं। हालांकि, हालांकि एपोलोनियस विश्लेषणात्मक ज्यामिति विकसित करने के करीब आया, लेकिन उसने ऐसा करने का प्रबंधन नहीं किया क्योंकि उसने नकारात्मक परिमाणों को ध्यान में नहीं रखा था और हर मामले में समन्वय प्रणाली को प्राथमिकता के बजाय एक दिए गए वक्र पर आरोपित किया गया था। अर्थात्, समीकरण वक्रों द्वारा निर्धारित किए गए थे, लेकिन वक्र समीकरणों द्वारा निर्धारित नहीं किए गए थे। निर्देशांक, चर और समीकरण एक विशिष्ट ज्यामितीय स्थिति पर लागू सहायक धारणाएँ थीं।

फारस
11वीं शताब्दी के फारसी गणितज्ञ उमर खय्याम  ने ज्यामिति और बीजगणित के बीच एक मजबूत संबंध देखा और सही दिशा में आगे बढ़ रहे थे जब उन्होंने संख्यात्मक और  ज्यामितीय बीजगणित  के बीच के अंतर को कम करने में मदद की। सामान्य  घन समीकरण ों के अपने ज्यामितीय समाधान के साथ, लेकिन निर्णायक कदम बाद में डेसकार्टेस के साथ आया। उमर खय्याम को बीजगणितीय ज्यामिति की नींव की पहचान करने का श्रेय दिया जाता है, और उनकी पुस्तक ट्रीटीज़ ऑन डिमॉन्स्ट्रेशन ऑफ़ प्रॉब्लम्स ऑफ़ अलजेब्रा (1070), जिसने विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सिद्धांतों को निर्धारित किया, फ़ारसी गणित के शरीर का हिस्सा है जो अंततः यूरोप में प्रसारित किया गया था। बीजगणितीय समीकरणों के लिए उनके गहन ज्यामितीय दृष्टिकोण के कारण, खय्याम को विश्लेषणात्मक ज्यामिति के आविष्कार में डेसकार्टेस का अग्रदूत माना जा सकता है।

पश्चिमी यूरोप
विश्लेषणात्मक ज्यामिति का आविष्कार स्वतंत्र रूप से रेने डेसकार्टेस और पियरे डी फ़र्माटा  द्वारा किया गया था,  हालांकि डेसकार्टेस को कभी-कभी एकमात्र श्रेय दिया जाता है।  कार्तीय ज्यामिति, विश्लेषणात्मक ज्यामिति के लिए प्रयुक्त वैकल्पिक शब्द का नाम डेसकार्टेस के नाम पर रखा गया है।

डेसकार्टेस ने ला जियोमेट्री (ज्यामिति) नामक एक निबंध में विधियों के साथ महत्वपूर्ण प्रगति की, जो 1637 में प्रकाशित तीन निबंधों (परिशिष्टों) में से एक है, साथ ही विज्ञान में सत्य को सही ढंग से निर्देशित करने और सत्य की खोज के लिए विधि पर उनके व्याख्यान के साथ, आमतौर पर विधि पर प्रवचन के रूप में जाना जाता है।

ला जियोमेट्री, जो उनकी मूल फ्रांसीसी भाषा की भाषा में लिखा गया था, और इसके दार्शनिक सिद्धांतों ने यूरोप में कलन के लिए एक आधार प्रदान किया। शुरू में, तर्कों और जटिल समीकरणों में कई अंतरालों के कारण, काम को अच्छी तरह से प्राप्त नहीं किया गया था। लैटिन  में अनुवाद के बाद और 1649 में  फ्रैंस वैन शूटेन  द्वारा कमेंट्री को जोड़ने के बाद (और उसके बाद आगे का काम) डेसकार्टेस की उत्कृष्ट कृति को उचित मान्यता मिली। पियरे डी फ़र्मेट ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति के विकास का भी बीड़ा उठाया। हालांकि उनके जीवनकाल में प्रकाशित नहीं हुआ था, डेसकार्टेस के प्रवचन के प्रकाशन से ठीक पहले, 1637 में पेरिस में एड लोकोस प्लानोस एट सॉलिडोस इसागोगे (प्लेन एंड सॉलिड लोकी का परिचय) का एक पांडुलिपि रूप प्रसारित हो रहा था।  स्पष्ट रूप से लिखा और अच्छी तरह से प्राप्त, परिचय ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति के लिए नींव भी रखी। फ़र्मेट और डेसकार्टेस के उपचारों के बीच मुख्य अंतर दृष्टिकोण का विषय है: फ़र्मेट ने हमेशा एक बीजगणितीय समीकरण के साथ शुरुआत की और फिर ज्यामितीय वक्र का वर्णन किया जिसने इसे संतुष्ट किया, जबकि डेसकार्टेस ने ज्यामितीय वक्रों के साथ शुरुआत की और वक्रों के कई गुणों में से एक के रूप में अपने समीकरणों का निर्माण किया।. इस दृष्टिकोण के परिणामस्वरूप, डेसकार्टेस को अधिक जटिल समीकरणों से निपटना पड़ा और उन्हें उच्च डिग्री के बहुपद समीकरणों के साथ काम करने के तरीके विकसित करने पड़े। यह लियोनहार्ड यूलर  थे जिन्होंने पहली बार अंतरिक्ष वक्रों और सतहों के व्यवस्थित अध्ययन में समन्वय विधि लागू की थी।

निर्देशांक
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, यूक्लिडियन विमान  को एक समन्वय प्रणाली दी जाती है, जिसके द्वारा प्रत्येक  बिंदु (ज्यामिति)  में  वास्तविक संख्या  निर्देशांक की एक जोड़ी होती है। इसी तरह,  यूक्लिडियन अंतरिक्ष  को निर्देशांक दिए जाते हैं जहां प्रत्येक बिंदु पर तीन निर्देशांक होते हैं। निर्देशांक का मान मूल बिंदु के प्रारंभिक बिंदु की पसंद पर निर्भर करता है। विभिन्न प्रकार के समन्वय प्रणालियों का उपयोग किया जाता है, लेकिन सबसे आम निम्नलिखित हैं:

कार्तीय निर्देशांक (एक विमान या अंतरिक्ष में)
उपयोग करने के लिए सबसे आम समन्वय प्रणाली कार्टेशियन समन्वय प्रणाली है, जहां प्रत्येक बिंदु में एक एक्स-निर्देशांक होता है जो इसकी क्षैतिज स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है, और एक वाई-निर्देशांक इसकी लंबवत स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। इन्हें आम तौर पर एक आदेशित जोड़ी (x, y) के रूप में लिखा जाता है। इस प्रणाली का उपयोग त्रि-आयामी ज्यामिति के लिए भी किया जा सकता है, जहां यूक्लिडियन अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को निर्देशांक (x, y, z) के टपल  द्वारा दर्शाया जाता है।

ध्रुवीय निर्देशांक (एक विमान में)
ध्रुवीय निर्देशांक में, समतल के प्रत्येक बिंदु को मूल बिंदु से इसकी दूरी r और इसके कोण  θ द्वारा दर्शाया जाता है, θ के साथ सामान्य रूप से धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त मापा जाता है। इस अंकन का उपयोग करते हुए, अंक आमतौर पर एक आदेशित जोड़ी (आर, θ) के रूप में लिखे जाते हैं। इन फ़ार्मुलों का उपयोग करके द्वि-आयामी कार्टेशियन और ध्रुवीय निर्देशांक के बीच आगे और पीछे रूपांतरित किया जा सकता है: $$x = r\, \cos\theta,\, y = r\, \sin\theta; \, r = \sqrt{x^2+y^2},\, \theta = \arctan(y/x).$$  बेलनाकार निर्देशांक  या  गोलाकार निर्देशांक  निर्देशांक के उपयोग के माध्यम से इस प्रणाली को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में सामान्यीकृत किया जा सकता है।

बेलनाकार निर्देशांक (एक अंतरिक्ष में)
बेलनाकार निर्देशांक में, अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु को इसकी ऊँचाई z, z-अक्ष से इसकी त्रिज्या r और क्षैतिज अक्ष के संबंध में xy-समतल पर इसके प्रक्षेपण कोण θ द्वारा दर्शाया जाता है।

गोलाकार निर्देशांक (एक अंतरिक्ष में)
गोलाकार निर्देशांक में, अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को मूल बिंदु से इसकी दूरी ρ द्वारा दर्शाया जाता है, xy-समतल पर इसका प्रक्षेपण कोण θ क्षैतिज अक्ष के संबंध में बनाता है, और कोण φ जो यह z-अक्ष के संबंध में बनाता है. भौतिकी में अक्सर कोणों के नाम उलट दिए जाते हैं।

समीकरण और वक्र
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, निर्देशांक से जुड़े किसी भी समीकरण  में विमान का एक  सबसेट  निर्दिष्ट होता है, अर्थात् समीकरण के लिए  समाधान सेट, या लोकस (गणित)। उदाहरण के लिए, समीकरण y = x समतल पर उन सभी बिंदुओं के समुच्चय से मेल खाता है जिनके x-निर्देशांक और y-निर्देशांक बराबर हैं। ये बिंदु एक  रेखा (ज्यामिति)  बनाते हैं, और y = x इस रेखा के लिए समीकरण कहा जाता है। सामान्य तौर पर, x और y वाले रैखिक समीकरण रेखाओं को निर्दिष्ट करते हैं,  द्विघात समीकरण  शंकु वर्गों को निर्दिष्ट करते हैं, और अधिक जटिल समीकरण अधिक जटिल आंकड़ों का वर्णन करते हैं। आम तौर पर, एक समीकरण समतल पर एक वक्र  के अनुरूप होता है। यह हमेशा मामला नहीं होता है: तुच्छ समीकरण x = x पूरे विमान और समीकरण x को निर्दिष्ट करता है2 + और2 = 0 केवल एक बिंदु (0, 0) निर्दिष्ट करता है। तीन आयामों में, एक एकल समीकरण आमतौर पर एक  सतह (गणित)  देता है, और एक वक्र को दो सतहों के प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) के रूप में निर्दिष्ट किया जाना चाहिए (नीचे देखें), या  पैरामीट्रिक समीकरण ों की एक प्रणाली के रूप में। समीकरण एक्स2 + और2 = आर 2 r की त्रिज्या के साथ मूल (0, 0) पर केंद्रित किसी भी वृत्त का समीकरण है।

रेखाएं और विमान
एक कार्टेशियन विमान  में रेखाएं, या अधिक सामान्यतः,  एफ़िन निर्देशांक  में, रैखिक समीकरणों द्वारा बीजगणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है। दो आयामों में, गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाओं के लिए समीकरण अक्सर ढलान-अवरोधन रूप में दिया जाता है: $$ y = mx + b $$ कहाँ पे:
 * मी रेखा का ढाल या ढाल है।
 * b रेखा का y-अवरोधन है।
 * x फलन y = f(x) का स्वतंत्र चर  है।

जिस तरह से द्वि-आयामी अंतरिक्ष में रेखाओं को उनके समीकरणों के लिए एक बिंदु- ढलान रूप का उपयोग करके वर्णित किया जाता है, तीन आयामी अंतरिक्ष में विमानों का विमान में एक बिंदु का उपयोग करके एक प्राकृतिक विवरण होता है और इसके लिए एक वेक्टर ऑर्थोगोनल होता है।  सामान्य वेक्टर ) अपने झुकाव को इंगित करने के लिए।

विशेष रूप से, चलो $$\mathbf{r}_0$$ किसी बिंदु की स्थिति वेक्टर बनें $$P_0 = (x_0,y_0,z_0)$$, और जाने $$\mathbf{n} = (a,b,c)$$ एक अशून्य वेक्टर बनें। इस बिंदु और वेक्टर द्वारा निर्धारित विमान में वे बिंदु होते हैं $$P$$, स्थिति वेक्टर के साथ $$\mathbf{r}$$, जैसे कि वेक्टर से खींचा गया $$P_0$$ प्रति $$P$$ के लंबवत है $$\mathbf{n}$$. यह याद करते हुए कि दो वैक्टर लंबवत हैं यदि और केवल यदि उनका डॉट उत्पाद शून्य है, तो यह इस प्रकार है कि वांछित विमान को सभी बिंदुओं के सेट के रूप में वर्णित किया जा सकता है। $$\mathbf{r}$$ ऐसा है कि $$\mathbf{n} \cdot (\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) =0.$$ (यहां बिंदु का अर्थ है एक बिंदु उत्पाद, अदिश गुणन नहीं।) विस्तारित यह हो जाता है $$ a (x-x_0)+ b(y-y_0)+ c(z-z_0)=0,$$ यह सिर्फ एक रैखिक समीकरण है: $$ ax + by + cz + d = 0, \text{ where } d = -(ax_0 + by_0 + cz_0).$$ इसके विपरीत, यह आसानी से दिखाया गया है कि यदि a, b, c और d स्थिरांक हैं और a, b, और c सभी शून्य नहीं हैं, तो समीकरण का आलेख $$ ax + by + cz + d = 0,$$ एक तल के लिए इस परिचित समीकरण को तल के समीकरण का सामान्य रूप कहा जाता है। तीन आयामों में, रेखाओं को एक रेखीय समीकरण द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है, इसलिए उन्हें अक्सर पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है: $$ x = x_0 + at $$ $$ y = y_0 + bt $$ $$ z = z_0 + ct $$ कहाँ पे:
 * x, y, और z स्वतंत्र चर t के सभी फलन हैं जो वास्तविक संख्याओं पर परास रखते हैं।
 * (एक्स0, यू0, साथ0) रेखा पर कोई बिंदु है।
 * ए, बी, और सी रेखा के ढलान से संबंधित हैं, जैसे कि वेक्टर (ज्यामितीय)  (ए, बी, सी) रेखा के समानांतर है।

शंकु वर्ग
कार्तीय समन्वय प्रणाली में, दो चरों में द्विघात समीकरण के एक फलन का ग्राफ हमेशा एक शंकु खंड होता है - हालांकि यह पतित हो सकता है, और सभी शंकु खंड इस तरह से उत्पन्न होते हैं। समीकरण फॉर्म का होगा $$Ax^2 + Bxy + Cy^2 +Dx + Ey + F = 0\text{ with }A, B, C\text{ not all zero.} $$ जैसा कि सभी छह स्थिरांकों को स्केल करने से शून्य का एक ही स्थान प्राप्त होता है, कोई शंकुओं को पांच आयामी प्रक्षेप्य अंतरिक्ष में बिंदुओं के रूप में मान सकता है $$\mathbf{P}^5.$$ इस समीकरण द्वारा वर्णित शंकु वर्गों को विवेचक का उपयोग करके वर्गीकृत किया जा सकता है

$$B^2 - 4AC .$$ यदि शंकु गैर-पतित है, तो:
 * यदि $$B^2 - 4AC < 0 $$, समीकरण एक दीर्घवृत्त का प्रतिनिधित्व करता है;
 * यदि $$A = C $$ तथा $$B = 0 $$, समीकरण एक वृत्त का प्रतिनिधित्व करता है, जो एक दीर्घवृत्त का एक विशेष मामला है;
 * यदि $$B^2 - 4AC = 0 $$, समीकरण एक परवलय  का प्रतिनिधित्व करता है;
 * यदि $$B^2 - 4AC > 0 $$, समीकरण एक अतिपरवलय को निरूपित करता है;
 * अगर हमारे पास भी है $$A + C = 0 $$, समीकरण एक अतिपरवलय का प्रतिनिधित्व करता है।

द्विघात सतहें
एक क्वाड्रिक, या क्वाड्रिक सतह, 3-आयामी अंतरिक्ष में एक 2-आयामी सतह (गणित) है जिसे द्विघात बहुपद  के कार्य के मूल के लोकस (गणित) के रूप में परिभाषित किया गया है। निर्देशांक में x1, x2,x3, सामान्य चतुर्भुज को बीजगणितीय समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है

$$\sum_{i,j=1}^{3} x_i Q_{ij} x_j + \sum_{i=1}^{3} P_i x_i + R = 0.$$ चतुर्भुज सतहों में दीर्घ वृत्त (गोले सहित),  ठोस अनुवृत्त,  hyperboloid ,  सिलेंडर (ज्यामिति)  एस,  शंकु  और विमान (ज्यामिति) शामिल हैं।

दूरी और कोण
विश्लेषणात्मक ज्यामिति में, ज्यामितीय धारणाएं जैसे दूरी  और कोण माप को  सूत्र ों का उपयोग करके परिभाषित किया जाता है। इन परिभाषाओं को अंतर्निहित  यूक्लिडियन ज्यामिति  के अनुरूप बनाया गया है। उदाहरण के लिए, समतल पर  कार्तीय निर्देशांक  का उपयोग करते हुए, दो बिंदुओं के बीच की दूरी (x .)1, यू1) और (एक्स2, यू2) सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2},$$ जिसे  पाइथागोरस प्रमेय  के एक संस्करण के रूप में देखा जा सकता है। इसी तरह, एक रेखा क्षैतिज से जो कोण बनाती है, उसे सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $$\theta = \arctan(m),$$ जहाँ m रेखा का ढाल है।

तीन आयामों में, पायथागॉरियन प्रमेय के सामान्यीकरण द्वारा दूरी दी गई है: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2+ (z_2 - z_1)^2},$$ जबकि दो वैक्टर के बीच का कोण डॉट उत्पाद द्वारा दिया जाता है। दो यूक्लिडियन वैक्टर ए और बी के डॉट उत्पाद द्वारा परिभाषित किया गया है $$\mathbf A\cdot\mathbf B \stackrel{\mathrm{def}}{=} \left\|\mathbf A\right\| \left\|\mathbf B\right\| \cos\theta,$$ जहाँ 'A' और 'B' के बीच का कोण है।

परिवर्तन
समान विशेषताओं के साथ इसे एक नए फ़ंक्शन में बदलने के लिए पैरेंट फ़ंक्शन पर रूपांतरण लागू किए जाते हैं।

का ग्राफ $$R(x,y)$$ मानक परिवर्तनों द्वारा निम्नानुसार बदला जाता है:


 * बदलना $$x$$ प्रति $$x-h$$ ग्राफ़ को दाईं ओर ले जाता है $$h$$ इकाइयां
 * बदलना $$y$$ प्रति $$y-k$$ ग्राफ को ऊपर ले जाता है $$k$$ इकाइयां
 * बदलना $$x$$ प्रति $$x/b$$ ग्राफ को क्षैतिज रूप से के एक कारक द्वारा फैलाता है $$b$$. (के बारे में सोचो $$x$$ फैलाव के रूप में)
 * बदलना $$y$$ प्रति $$y/a$$ ग्राफ को लंबवत रूप से फैलाता है।
 * बदलना $$x$$ प्रति $$x\cos A+ y\sin A$$ और बदल रहा है $$y$$ प्रति $$-x\sin A + y\cos A$$ ग्राफ को एक कोण से घुमाता है $$A$$.

आम तौर पर प्राथमिक विश्लेषणात्मक ज्यामिति में अन्य मानक परिवर्तन का अध्ययन नहीं किया जाता है क्योंकि परिवर्तन वस्तुओं के आकार को उन तरीकों से बदलते हैं जिन्हें आमतौर पर नहीं माना जाता है। तिरछा एक परिवर्तन का एक उदाहरण है जिसे आमतौर पर नहीं माना जाता है। अधिक जानकारी के लिए, एफाइन ट्रांसफॉर्मेशन  पर विकिपीडिया लेख देखें।

उदाहरण के लिए, मूल कार्य $$y=1/x$$ एक क्षैतिज और एक ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख है, और पहले और तीसरे चतुर्थांश पर कब्जा कर लेता है, और इसके सभी रूपांतरित रूपों में एक क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख होता है, और यह पहले और तीसरे या दूसरे और चौथे चतुर्थांश पर कब्जा कर लेता है। सामान्य तौर पर, अगर $$y=f(x)$$, तब इसे रूपांतरित किया जा सकता है $$y=af(b(x-k))+h$$. नए रूपांतरित फ़ंक्शन में, $$a$$ वह कारक है जो फ़ंक्शन को लंबवत रूप से फैलाता है यदि यह 1 से अधिक है या फ़ंक्शन को लंबवत रूप से संपीड़ित करता है यदि यह 1 से कम है, और नकारात्मक के लिए $$a$$ मान, फ़ंक्शन में परिलक्षित होता है $$x$$-एक्सिस। $$b$$ h> मान 1 से अधिक होने पर फ़ंक्शन के ग्राफ़ को क्षैतिज रूप से संपीड़ित करता है और 1 से कम होने पर फ़ंक्शन को क्षैतिज रूप से फैलाता है, और पसंद करता है $$a$$, में समारोह को दर्शाता है $$y$$-अक्ष जब यह नकारात्मक है। $$k$$ एच> और $$h$$ मूल्य अनुवाद का परिचय देते हैं, $$h$$, लंबवत, और $$k$$ क्षैतिज। सकारात्मक $$h$$ तथा $$k$$ मूल्यों का मतलब है कि फ़ंक्शन का अपनी धुरी के सकारात्मक अंत में अनुवाद किया गया है और नकारात्मक अर्थ का नकारात्मक अंत की ओर अनुवाद किया गया है।

रूपांतरण किसी भी ज्यामितीय समीकरण पर लागू किया जा सकता है चाहे समीकरण किसी फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता हो या नहीं। परिवर्तनों को व्यक्तिगत लेनदेन या संयोजनों में माना जा सकता है।

मान लो कि $$R(x,y)$$ में एक रिश्ता है $$xy$$ विमान। उदाहरण के लिए, $$x^2+y^2-1=0$$ वह संबंध है जो इकाई वृत्त का वर्णन करता है।

ज्यामितीय वस्तुओं के प्रतिच्छेदन का पता लगाना
दो ज्यामितीय वस्तुओं के लिए P और Q संबंधों द्वारा दर्शाया गया है $$P(x,y)$$ तथा $$Q(x,y)$$ चौराहा सभी बिंदुओं का संग्रह है $$(x,y)$$ जो दोनों संबंधों में हैं। उदाहरण के लिए, $$P$$ त्रिज्या 1 और केंद्र वाला वृत्त हो सकता है $$(0,0)$$: $$P = \{(x,y) | x^2+y^2=1\}$$ तथा $$Q$$ त्रिज्या 1 और केंद्र वाला वृत्त हो सकता है $$(1,0): Q = \{(x,y) | (x-1)^2+y^2=1\}$$. इन दोनों वृत्तों का प्रतिच्छेदन उन बिंदुओं का संग्रह है जो दोनों समीकरणों को सत्य बनाते हैं। क्या बात $$(0,0)$$ दोनों समीकरणों को सत्य बनाओ? का उपयोग करते हुए $$(0,0)$$ के लिये $$(x,y)$$, के लिए समीकरण $$Q$$ हो जाता है $$(0-1)^2+0^2=1$$ या $$(-1)^2=1$$ जो सच है, तो $$(0,0)$$ संबंध में है $$Q$$. दूसरी ओर, अभी भी उपयोग कर रहे हैं $$(0,0)$$ के लिये $$(x,y)$$ के लिए समीकरण $$P$$ हो जाता है $$0^2+0^2=1$$ या $$0=1$$ जो झूठा है। $$(0,0)$$ इसमें नहीं है $$P$$ तो यह चौराहे में नहीं है।

का चौराहा $$P$$ तथा $$Q$$ समकालिक समीकरणों को हल करके पाया जा सकता है:

$$x^2+y^2 = 1$$ $$(x-1)^2+y^2 = 1.$$ चौराहों को खोजने के पारंपरिक तरीकों में प्रतिस्थापन और उन्मूलन शामिल हैं।

प्रतिस्थापन: के लिए पहला समीकरण हल करें $$y$$ के अनुसार $$x$$ और फिर के लिए व्यंजक को प्रतिस्थापित करें $$y$$ दूसरे समीकरण में:

$$x^2+y^2 = 1$$ $$y^2=1-x^2.$$ फिर हम इस मान को के लिए प्रतिस्थापित करते हैं $$y^2$$ दूसरे समीकरण में और के लिए हल करने के लिए आगे बढ़ें $$x$$: $$(x-1)^2+(1-x^2)=1$$ $$x^2 -2x +1 +1 -x^2 =1$$ $$-2x = -1$$ $$x=1/2.$$ इसके बाद, हम का यह मान रखते हैं $$x$$ मूल समीकरणों में से किसी एक में और के लिए हल करें $$y$$:

$$(1/2)^2+y^2 = 1$$ $$y^2 =3/4$$ $$y = \frac{\pm \sqrt{3}}{2}.$$ तो हमारे चौराहे के दो बिंदु हैं: $$ \left(1/2,\frac{+ \sqrt{3}}{2}\right) \;\; \text{and} \;\;  \left(1/2,\frac{-\sqrt{3}}{2}\right). $$ उन्मूलन: एक समीकरण के गुणज को दूसरे समीकरण में जोड़ें (या घटाएं) ताकि एक चर समाप्त हो जाए। हमारे वर्तमान उदाहरण के लिए, यदि हम पहले समीकरण को दूसरे से घटाते हैं तो हमें प्राप्त होता है $$(x-1)^2-x^2=0$$. $$y^2$$ h> पहले समीकरण में से घटाया जाता है $$y^2$$ दूसरे समीकरण में no. छोड़कर $$y$$ शर्त। चर $$y$$ सफाया कर दिया गया है। फिर हम शेष समीकरण को के लिए हल करते हैं $$x$$, उसी तरह जैसे प्रतिस्थापन विधि में:

$$x^2 -2x +1 +1 -x^2 =1 $$ $$-2x = -1$$ $$x=1/2.$$ हम तब. का यह मान रखते हैं $$x$$ मूल समीकरणों में से किसी एक में और के लिए हल करें $$y$$: $$(1/2)^2+y^2 = 1$$ $$y^2 = 3/4$$ $$y = \frac{\pm \sqrt{3}}{2}.$$ तो हमारे चौराहे के दो बिंदु हैं: $$ \left(1/2,\frac{+ \sqrt{3}}{2}\right) \;\; \text{and} \;\; \left(1/2,\frac{-\sqrt{3}}{2}\right). $$ शंकु वर्गों के लिए प्रतिच्छेदन में अधिकतम 4 बिंदु हो सकते हैं।

इंटरसेप्ट्स ढूँढना
एक प्रकार का प्रतिच्छेदन जिसका व्यापक रूप से अध्ययन किया जाता है, वह है के साथ एक ज्यामितीय वस्तु का प्रतिच्छेदन $$x$$ तथा $$y$$ समायोजन ध्रुव।

एक ज्यामितीय वस्तु का प्रतिच्छेदन और $$y$$-अक्ष को कहा जाता है $$y$$-वस्तु का अवरोधन। एक ज्यामितीय वस्तु का प्रतिच्छेदन और $$x$$-अक्ष को कहा जाता है $$x$$-वस्तु का अवरोधन।

लाइन के लिए $$y=mx+b$$, पैरामीटर $$b$$ उस बिंदु को निर्दिष्ट करता है जहां रेखा पार करती है $$y$$ एक्सिस। संदर्भ के आधार पर, या तो $$b$$ या बिंदु $$(0,b)$$ कहा जाता है $$y$$-अवरोध।

ज्यामितीय अक्ष
ज्यामिति में अक्ष किसी भी रेखा, वस्तु या सतह की लंबवत रेखा है।

इसके अलावा इसके लिए सामान्य भाषा का उपयोग एक: सामान्य ( सीधा ) लाइन के रूप में किया जा सकता है, अन्यथा इंजीनियरिंग में अक्षीय रेखा के रूप में।

ज्यामिति में, एक 'सामान्य' एक वस्तु है जैसे कि एक रेखा या वेक्टर जो किसी दिए गए ऑब्जेक्ट के लंबवत होता है। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी मामले में, किसी दिए गए बिंदु पर वक्र के लिए 'सामान्य रेखा' बिंदु पर वक्र के स्पर्शरेखा  रेखा के लंबवत रेखा होती है।

त्रि-आयामी मामले में एक बिंदु पी पर एक सतह (गणित) के लिए 'सतह सामान्य', या बस 'सामान्य' एक वेक्टर (ज्यामिति)  है जो पी पर उस सतह पर  स्पर्शरेखा स्थान  के लंबवत है। सामान्य शब्द एक विशेषण के रूप में भी प्रयोग किया जाता है: एक रेखा (ज्यामिति) एक विमान (ज्यामिति) के लिए सामान्य, एक बल का सामान्य घटक, 'सामान्य वेक्टर', आदि। 'सामान्यता' की अवधारणा  ओर्थोगोनालिटी  को सामान्यीकृत करती है।

गोलाकार और अरेखीय तल और उनकी स्पर्श रेखाएं
स्पर्शरेखा किसी फ़ंक्शन की गोलाकार या अन्य घुमावदार या मुड़ी हुई रेखा का रैखिक सन्निकटन है।

स्पर्श रेखाएं और तल
ज्यामिति में, किसी दिए गए बिंदु (ज्यामिति) पर एक समतल वक्र की स्पर्श रेखा (या केवल स्पर्शरेखा) वह सीधी रेखा  होती है जो उस बिंदु पर वक्र को स्पर्श करती है। अनौपचारिक रूप से, यह वक्र पर अतिसूक्ष्म बिंदुओं की एक जोड़ी के माध्यम से एक रेखा है। अधिक सटीक रूप से, एक सीधी रेखा को वक्र की स्पर्श रेखा कहा जाता है y = f(x) एक बिंदु पर x = c वक्र पर यदि रेखा बिंदु से गुजरती है (c, f(c)) वक्र पर और ढलान है f'(c) जहां च' f का व्युत्पन्न है। इसी तरह की परिभाषा एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में अंतरिक्ष घटता और घटता पर लागू होती है।

जैसे ही यह उस बिंदु से गुजरती है जहां स्पर्शरेखा रेखा और वक्र मिलते हैं, जिसे 'स्पर्शरेखा बिंदु' कहा जाता है, स्पर्शरेखा रेखा वक्र के समान दिशा में जा रही है, और इस प्रकार वक्र के लिए सबसे अच्छी सीधी रेखा सन्निकटन है। बिंदु।

इसी तरह, किसी दिए गए बिंदु पर एक सतह (गणित) के लिए 'स्पर्शरेखा विमान' विमान (गणित)  है जो उस बिंदु पर सतह को छूता है। स्पर्शरेखा की अवधारणा विभेदक ज्यामिति में सबसे मौलिक धारणाओं में से एक है और इसे व्यापक रूप से सामान्यीकृत किया गया है; स्पर्शरेखा स्थान देखें।

यह भी देखें

 * अनुप्रयुक्त गणित#इंजीनियरिंग और तकनीकी इंजीनियरिंग
 * पार उत्पाद
 * कुल्हाड़ियों का घूमना
 * कुल्हाड़ियों का अनुवाद
 * सदिश स्थल

पुस्तकें

 * जॉन केसी (गणितज्ञ) (1885) पॉइंट, लाइन, सर्कल और कॉनिक सेक्शन की विश्लेषणात्मक ज्यामिति,  इंटरनेट संग्रह  से लिंक।
 * जॉन केसी (गणितज्ञ) (1885) पॉइंट, लाइन, सर्कल और कॉनिक सेक्शन की विश्लेषणात्मक ज्यामिति,  इंटरनेट संग्रह  से लिंक।
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