आघूर्ण (भौतिकी)

भौतिकी में, आघूर्ण गणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें दूरी एवं भौतिक मात्रा का गुणनफल सम्मिलित होता है। आघूर्णों को सामान्यतः निश्चित संदर्भ बिंदु के संबंध में परिभाषित किया जाता है एवं संदर्भ बिंदु से कुछ दूरी पर स्थित भौतिक मात्राओं को संदर्भित करता है। इस प्रकार, आघूर्ण मात्रा के स्थान या व्यवस्था का विवरण है। उदाहरण के लिए, बल का आघूर्ण, जिसे प्रायः टॉर्क कहा जाता है, ये किसी वस्तु पर बल का उत्पाद एवं संदर्भ बिंदु से वस्तु तक की दूरी होती है। सिद्धांत रूप में, किसी भी भौतिक राशि को आघूर्ण उत्पन्न करने के लिए दूरी से गुणा किया जा सकता है। सामान्यतः उपयोग की जाने वाली मात्राओं में बल, द्रव्यमान एवं विद्युत आवेश वितरण सम्मिलित हैं।

विस्तार
अपने सबसे बुनियादी रूप में, आघूर्ण बिंदु की दूरी का गुणनफल (गणित) है, जिसे शक्ति तक बढ़ाया जाता है, एवं भौतिक मात्रा (जैसे बल या विद्युत आवेश) उस बिंदु पर:


 * $$\mu_n = r^n\,Q$$ है,

जहाँ $$Q$$ भौतिक मात्रा है जैसे कि बिंदु पर प्रस्तावित बल, या बिंदु आवेश, या बिंदु द्रव्यमान, आदि है। यदि मात्रा केवल बिंदु पर केंद्रित नहीं है, तो आघूर्ण अंतरिक्ष पर उस मात्रा के घनत्व का अभिन्न अंग है:


 * $$\mu_n = \int r^n \rho(r)\,dr$$

जहाँ $$\rho$$ आवेश, द्रव्यमान, या मात्रा के घनत्व का वितरण है।

अधिक जटिल रूप दूरी एवं भौतिक मात्रा के मध्य कोणीय संबंधों को ध्यान में रखते हैं, परन्तु उपरोक्त समीकरण आघूर्ण की आवश्यक विशेषता हैं, अर्थात् अंतर्निहित का अस्तित्व $$r^n \rho(r)$$ या समकक्ष शब्द होता है। इसका तात्पर्य है कि कई आघूर्ण हैं (n के प्रत्येक मान के लिए) एवं आघूर्ण सामान्यतः उस संदर्भ बिंदु पर निर्भर करता है जिससे दूरी $$r$$ मापा जाता है, चूँकि कुछ आघूर्णों के लिए (प्रौद्यौगिक रूप से, सबसे अल्प अन्य-शून्य आघूर्ण) यह निर्भरता विलुप्त हो जाती है एवं आघूर्ण संदर्भ बिंदु से स्वतंत्र हो जाता है।

n का प्रत्येक मान अलग आघूर्ण से मेल खाता है: पहला आघूर्ण n = 1, दूसरे आघूर्ण से n = 2, आदि है। 0वें आघूर्ण (n = 0) को कभी-कभी मोनोपोल आघूर्ण कहा जाता है; पहले आघूर्ण (n = 1) को कभी-कभी द्विध्रुवीय आघूर्ण कहा जाता है, एवं विशेष रूप से विद्युत आवेश वितरण के संदर्भ में दूसरे आघूर्ण (n = 2) को कभी-कभी चतुष्कोणीय आघूर्ण कहा जाता है।

उदाहरण

 * बल का आघूर्ण, या बलाघूर्ण, पहला आघूर्ण है: $$\mathbf{\tau} = rF$$, या, अधिक सामान्यतः, $$\mathbf{r} \times \mathbf{F}$$ है।
 * इसी प्रकार, कोणीय संवेग का पहला आघूर्ण है: $$\mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p}$$. ध्यान दें कि संवेग स्वयं में आघूर्ण नहीं है।
 * वैद्युत द्विध्रुव आघूर्ण भी प्रथम आघूर्ण है: $$\mathbf{p} = q\,\mathbf{d}$$ दो विपरीत बिंदु आवेशों के लिए या $\int \mathbf{r}\,\rho(\mathbf{r})\,d^3r$ चार्ज घनत्व के साथ वितरित शुल्क के लिए $$\rho(\mathbf{r})$$ है।

द्रव्यमान के आघूर्ण:
 * पूर्ण द्रव्यमान द्रव्यमान का शून्य आघूर्ण होता है।
 * द्रव्यमान का केंद्र द्रव्यमान का पहला आघूर्ण होता है जिसे पूर्ण द्रव्यमान द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है: $\mathbf{R} = \frac 1M \sum_i \mathbf{r}_i m_i$, बिंदु द्रव्यमान के संग्रह के लिए, या $ \frac 1M \int \mathbf{r} \rho(\mathbf{r}) \, d^3r$ बड़े पैमाने पर वितरण वाली वस्तु के लिए $$\rho(\mathbf{r})$$ होता है।
 * जड़त्व आघूर्ण द्रव्यमान का दूसरा आघूर्ण है: $$I = r^2 m$$ बिंदु द्रव्यमान के लिए, $\sum_i r_i^2 m_i$ बिंदु द्रव्यमान के संग्रह के लिए, या $\int r^2\rho(\mathbf{r}) \, d^3r$  बड़े पैमाने पर वितरण वाली वस्तु के लिए $$\rho(\mathbf{r})$$ होता है। ध्यान दें कि द्रव्यमान के केंद्र को प्रायः (सदैव नहीं) संदर्भ बिंदु के रूप में लिया जाता है।

मल्टीपोल आघूर्ण
घनत्व फलन मानते हुए जो सीमित है एवं किसी विशेष क्षेत्र में स्थानीयकृत है, उस क्षेत्र के बाहर 1/आर स्केलर क्षमता को गोलाकार हार्मोनिक्स की श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:

\Phi(\mathbf{r}) = \int \frac{\rho(\mathbf{r'})}{|\mathbf{r}-\mathbf{r'}|} \, d^3r' = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left( \frac{4\pi}{2\ell+1} \right) q_{\ell m}\, \frac{Y_{\ell m}(\theta, \varphi)}{r^{\ell+1}} $$ गुणांक $$q_{\ell m}$$ बहुध्रुव आघूर्णों के रूप में जाना जाता है, एवं इस प्रकार रूप लेते हैं:

q_{\ell m} = \int (r')^\ell\, \rho(\mathbf{r'})\, Y^*_{\ell m}(\theta',\varphi')\, d^3r' $$ जहाँ $$\mathbf{r}'$$ गोलाकार निर्देशांक में व्यक्त किया गया $$\left(r', \varphi', \theta'\right)$$ एकीकरण का चर है। बहुध्रुव विस्तार या गोलाकार बहुध्रुव आघूर्णों का वर्णन करने वाले पृष्ठों में अधिक संपूर्ण उपचार प्राप्त किया जा सकता है। (ध्यान दें: उपरोक्त समीकरणों में अवधारणा जैक्सन से लिया गया था - संदर्भित पृष्ठों में उपयोग की जाने वाली प्रथाएं भिन्न हो सकती हैं।)

कब $$\rho$$ विद्युत चार्ज घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है, $$q_{lm}$$ अर्थ में, विद्युत आवेश के आघूर्णों के अनुमान हैं: $$q_{00}$$ आघूर्ण है; $$q_{1m}$$ द्विध्रुव आघूर्ण के प्रक्षेपण हैं, $$q_{2m}$$ चतुष्कोणीय आघूर्ण आदि के अनुमान हैं।

मल्टीपोल आघूर्णों के अनुप्रयोग
मल्टीपोल विस्तार 1/r स्केलर क्षमता पर प्रस्तावित होता है, जिसके उदाहरणों में विद्युत क्षमता एवं गुरुत्वाकर्षण क्षमता सम्मिलित है। इन संभावनाओं के लिए, अभिव्यक्ति का उपयोग पूर्व कुछ आघूर्णों की गणना करके आवेशों (या द्रव्यमान) के स्थानीयकृत वितरण द्वारा उत्पादित क्षेत्र के बल पर विचार किया जा सकता है। पर्याप्त रूप से बड़े r के लिए, केवल ध्रुव एवं द्विध्रुवीय आघूर्णों से उचित सन्निकटन प्राप्त किया जा सकता है। उच्च आदेश आघूर्णों की गणना करके उच्च निष्ठा प्राप्त की जा सकती है। प्रौद्यौगिक के विस्तार का उपयोग गोलाकार मल्टीपोल आघूर्णों एवं इंटरमॉलिक्युलर बलों की अंतःक्रिया ऊर्जा के लिए किया जा सकता है।

अज्ञात वितरण $$\rho$$ के गुणों को निर्धारित करने के लिए प्रौद्यौगिकी का भी उपयोग किया जा सकता है | मल्टीपोल आघूर्णों से संबंधित माप लिया जा सकता है एवं अंतर्निहित वितरण के गुणों का आकलन करने के लिए उपयोग किया जाता है। यह प्रौद्यौगिक अल्प वस्तुओं जैसे अणुओं एवं ब्रह्मांड पर भी प्रस्तावित किया गया है, उदाहरण के लिए WMAP एवं प्लैंक प्रयोगों द्वारा कॉस्मिक माइक्रोवेव पृष्ठभूमि विकिरण का विश्लेषण करने के लिए नियोजित पद्धति है।

इतिहास
माना जाता है कि प्राचीन ग्रीस से उपजे कार्यों में, आघूर्ण की अवधारणा (रोपेन, शाब्दिक अर्थ झुकाव ) एवं सम्मिश्र (आइसोरोपा, शाब्दिक रूप से समान झुकाव वाले)। इन कार्यों का संदर्भ उत्तोलक से जुड़े यांत्रिकी एवं ज्यामिति है। विशेष रूप से, आर्किमिडीज को जिम्मेदार ठहराए गए सम्मिलित कार्यों में, आघूर्ण को वाक्यांशों में प्रदर्शित किया गया है:


 * अनुरूपता परिमाण [A एवं B] समान रूप से संतुलित हैं, परन्तु उनकी दूरियां [केंद्र Γ, ΑΓ एवं ΓΒ] उनके वजन के व्युत्क्रमानुपाती होते हैं।

इसके अतिरिक्त, यांत्रिक प्रमेय की विधि जैसे सम्मिलित ग्रंथों में, आघूर्णों का उपयोग गुरुत्वाकर्षण, क्षेत्र एवं ज्यामितीय आंकड़ों की मात्रा के केंद्र का आकलन करने के लिए किया जाता है।

1269 में, मोरबेके के विलियम ने आर्किमिडीज़ एवं एस्कलॉन के यूटोकियस के विभिन्न कार्यों का लैटिन में अनुवाद किया। शब्द ῥοπή रोपेन में लिप्यंतरण है।

1450 के समीप, सैन कैसियानो के जैकब समान ग्रंथों में रोपेन का अनुवाद लैटिन शब्द संवेग (गति ) में किया है। इसी शब्द को जॉर्ज वल्ला द्वारा 1501 में एवं उसके पश्चात फ्रांसिस मौरोलिको, फेडेरिको कमांडिनो, गाइडोबाल्डो डेल मोंटे, एड्रियन वैन रूमेन, फ्लोरेंस रिवॉल्ट, फ्रांसेस्को Buonamici (दार्शनिक)दार्शनिक), मारिन मेर्सेन द्वारा, एवं गैलीलियो गैलीली ने अनुवाद किया है। उस ने कहा, अनुवाद के लिए संवेग शब्द क्यों चुना गया? ट्रेकनी के अनुसार, एक सुराग, मध्यकालीन इटली में वह आघूर्ण है, जहां शुरुआती अनुवादक रहते थे, एक हस्तांतरित अर्थ में समय का आघूर्ण एवं वजन का आघूर्ण (वजन की छोटी मात्रा जो फौलादी संतुलन को परिवर्तित करती है) है।

1554 में, फ्रांसेस्को मौरोलिको ने प्रोलोगी सिव प्रवचन में लैटिन शब्द गति को स्पष्ट किया है। यहाँ लैटिन से अंग्रेजी अनुवाद है जैसा कि मार्शल क्लैगेट द्वारा दिया गया है:

[...] असमान दूरी पर समान भार समान रूप से नहीं तौलते हैं, परन्तु असमान भार [इन असमान दूरियों पर] समान रूप से वजन करते हैं। अधिक दूरी पर लटका हुआ भार भारी होता है, जैसा कि स्टेलीयार्ड तुला में स्पष्ट है। इसलिए, एक निश्चित तीसरे प्रकार की शक्ति या परिमाण का तीसरा अंतर मौजूद होता है - एक जो शरीर एवं वजन दोनों से भिन्न होता है - एवं इसे वे आघूर्ण कहते हैं। इसलिए, एक पिंड मात्रा [यानी, आकार] एवं गुणवत्ता [यानी, सामग्री] दोनों से वजन प्राप्त करता है, परन्तु एक वजन उस दूरी से अपना आघूर्ण प्राप्त करता है जिस पर वह निलंबित होता है। इसलिए, जब दूरियां वजन के पारस्परिक रूप से आनुपातिक होती हैं, तो आघूर्ण [वजन के] बराबर होते हैं, जैसा कि आर्किमिडीज ने विमानों के संतुलन पर में प्रदर्शित किया था। इसलिए, वज़न या [बल्कि] आघूर्ण अन्य निरंतर मात्राओं की तरह, कुछ सामान्य टर्मिनस पर जुड़ जाते हैं, जो कि उन दोनों के लिए कुछ समान होता है जैसे वजन का केंद्र, या संतुलन के बिंदु पर। अब किसी भी भार में गुरुत्वाकर्षण का केंद्र वह बिंदु है, जो चाहे कितनी भी बार या जब भी शरीर को निलंबित कर दिया जाए, सदैव सार्वभौमिक केंद्र की ओर लंबवत झुकता है।

शरीर, भार एवं आघूर्ण के अतिरिक्त एक निश्चित चौथी शक्ति होती है, जिसे प्रेरणा या बल कहा जा सकता है। अरस्तू ने यांत्रिक प्रश्नों में इसकी जांच की है, एवं यह [तीन] पूर्वोक्त [शक्तियों या परिमाण] से पूरी तरह से अलग है। [...] 

1586 में, साइमन स्टीवन ने बेगिनसेलेन द वेइकॉनस्ट में संवेग के लिए डच भाषा के शब्द स्टाल्विच्ट (पार्क्ड वेट) का उपयोग किया।

1632 में, गैलीलियो गैलीली ने दो प्रमुख विश्व प्रणालियों के संबंध में संवाद प्रकाशित किया एवं अपने पूर्ववर्तियों में से एक सहित कई अर्थों के साथ इतालवी भाषा के मोमेंटो का उपयोग किया। 1643 में, थॉमस सालुसबरी ने गैलीली के कुछ कार्यों का अंग्रेजी भाषा में अनुवाद किया। सैलसबरी लैटिन गति एवं इतालवी आघूर्ण का अंग्रेजी शब्द आघूर्ण में अनुवाद करता है।

1765 में, लैटिन शब्द संवेग जड़त्व (अंग्रेजी भाषा: जड़त्व का आघूर्ण) का उपयोग लियोनहार्ड यूलर द्वारा किया जाता है, जो कि दोलन घड़ी में क्रिस्टियान ह्यूजेंस की मात्राओं में से एक को संदर्भित करता है। ह्यूजेंस के 1673 के काम में दोलन के केंद्र को खोजने का काम मारिन मेर्सेन द्वारा प्रेरित किया गया था, जिन्होंने 1646 में उन्हें इसका सुझाव दिया था। 1811 में, एक बिंदु एवं विमान के संबंध में फ्रांसीसी शब्द मोमेंट डी'यून फ़ोर्स (अंग्रेजी भाषा: फ़ोर्स ऑफ़ फ़ोर्स) का उपयोग सिमोन डेनिस पोइसन द्वारा ट्रेटे डे मेकानिक में किया गया है। एक अंग्रेजी अनुवाद 1842 में दिखाई देता है।

1884 में, जेम्स थॉमसन (इंजीनियर) द्वारा मशीनों के घूर्णी बलों (प्रोपेलर एवं रोटर (बिजली)  के साथ) को मापने के संदर्भ में टोक़ शब्द का सुझाव दिया गया है।  आज, मशीनों के टॉर्क को मापने के लिए शक्ति नापने का यंत्र का उपयोग किया जाता है।

1893 में, कार्ल पियर्सन ने n-वें आघूर्ण एवं शब्द का उपयोग किया $$\mu_n$$ कर्व फिटिंग|वक्र फिटिंग वैज्ञानिक माप के संदर्भ में। पियर्सन ने जॉन वेन के जवाब में लिखा, जिन्होंने कुछ साल पहले मौसम विज्ञान डेटा से जुड़े एक अजीबोगरीब पैटर्न का अवलोकन किया एवं इसके कारण की व्याख्या मांगी। पियर्सन की प्रतिक्रिया में, इस सादृश्य का उपयोग किया जाता है: गुरुत्वाकर्षण का यांत्रिक केंद्र माध्य है एवं दूरी माध्य से विचलन (सांख्यिकी) है। यह बाद में आघूर्ण (गणित) में विकसित हुआ। एक आघूर्ण की यांत्रिक अवधारणा एवं आंकड़ों के कार्य के योग के मध्य समानता $n$पियरे-साइमन लाप्लास, क्रिश्चियन क्रैम्प, कार्ल फ्रेडरिक गॉस, जोहान फ्रांज एनके, एमानुएल जुबेर, एडोल्फ क्वेटलेट, एवं एरास्टस एल. डी फॉरेस्ट सहित, पहले कई लोगों द्वारा विचलन की शक्तियों पर ध्यान दिया गया था।

यह भी देखें

 * टोक़ (या बल का आघूर्ण), लेख युगल (यांत्रिकी) भी देखें
 * आघूर्ण (गणित)
 * यांत्रिक संतुलन, तब प्रारम्भ होता है जब कोई वस्तु संतुलित होती है जिससे धुरी के विषय में घड़ी की दिशा में आघूर्णों का योग उसी धुरी के विषय में वामावर्त आघूर्णों के योग के समान होता है।
 * निष्क्रियता के आघूर्ण $$\left(I = \Sigma m r^2\right)$$, घूर्णी गति की चर्चाओं में द्रव्यमान के समान है। यह किसी वस्तु के घूमने की दर में परिवर्तन के प्रतिरोध का उपाय है।
 * कोनेदार गति $$(\mathbf{L} = \mathbf{r} \times m\mathbf{v})$$, रैखिक गति का घूर्णी एनालॉग होती है।
 * चुंबकीय आघूर्ण $$\left(\mathbf{\mu} = I\mathbf{A}\right)$$, चुंबकीय स्रोत की शक्ति एवं दिशा को मापने वाला द्विध्रुवीय आघूर्ण।
 * विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण, दो या दो से अधिक आवेशों के मध्य आवेश के अंतर एवं दिशा को मापने वाला द्विध्रुव आघूर्ण है। उदाहरण के लिए, -q एवं q के आवेश के मध्य 'd' की दूरी से पृथक विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण $$(\mathbf{p} = q \mathbf{d})$$ है।
 * झुकने का आघूर्ण, आघूर्ण जिसके परिणामस्वरूप संरचनात्मक तत्व का झुकाव होता है।
 * क्षेत्र का प्रथम आघूर्ण, अपरूपण प्रतिबल के प्रतिरोध से संबंधित किसी वस्तु का गुण है।
 * क्षेत्र का दूसरा आघूर्ण, झुकने एवं विक्षेपण के प्रतिरोध से संबंधित किसी वस्तु का गुण है।
 * ध्रुवीय जड़त्व आघूर्ण, किसी वस्तु का उसके मरोड़ के प्रतिरोध से संबंधित गुण है।
 * छवि आघूर्ण, छवि के सांख्यिकीय गुण है।
 * भूकंपीय आघूर्ण, भूकंप के आकार को मापने के लिए उपयोग की जाने वाली मात्रा है।
 * आघूर्ण समीकरण, घनत्व, वेग एवं दबाव के संदर्भ में प्लाज्मा का द्रव विवरण है।
 * जड़ता के क्षेत्र आघूर्णों की सूची है।
 * जड़ता के आघूर्णों की सूची है।
 * मल्टीपोल विस्तार है।
 * गोलाकार बहुध्रुव आघूर्ण है।

बाहरी संबंध

 * A dictionary definition of moment.
 * A dictionary definition of moment.

Ροπή Momenti