क्रमगुणित (फैक्टोरियल)

गणित में, अऋणात्मक पूर्णांक $$ {\displaystyle n}$$ का क्रमगुणित, जिसे $$ {\displaystyle n!}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, $$ {\displaystyle n}$$ से कम या उसके बराबर सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल होता है। $$ {\displaystyle n}$$ का क्रमगुणित इसके अगले छोटे क्रमगुणित के साथ $$ {\displaystyle n}$$ के गुणनफल के बराबर होता है: $$ \begin{align} n! &= n \times  (n-1)  \times (n-2)  \times  (n-3) \times \cdots \times  3 \times  2 \times  1 \\ &= n\times(n-1)!\\ \end{align}$$उदाहरण के लिए,$$5! = 5 \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 5\times 24 = 120. $$शुन्य गुणनफल की परंपरा के अनुसार $$ {\displaystyle 0!}$$ का मान 1 है।

कई प्राचीन संस्कृतियों में क्रमगुणितअ की खोज की गई, विशेष रूप से भारतीय गणित में जैन साहित्य के धर्म वैधानिक कार्यों में, और यहूदी मनीषियों द्वारा तल्मूडिक पुस्तक सेफर यतिजीरा में। गणित के कई क्षेत्रों में क्रमगुणित संक्रिया का उपयोग करना पड़ता है, विशेष रूप से साहचर्य (कॉम्बिनेटरिक्स) में, जहां इसका सबसे मूल उपयोग संभावित विशिष्ट अनुक्रमों की गणना करता है - क्रमचय- $$n$$ विशिष्ट वस्तुओं के: $$ {\displaystyle n!}$$ हैं। गणितीय विश्लेषण में, घातांक फलन और अन्य कार्यों के लिए घात श्रेणी में क्रमगुणितअ का उपयोग किया जाता है, और इनके बीजगणित, संख्या सिद्धांत, प्रायिकता सिद्धांत और संगणक विज्ञान में भी अनुप्रयोग हैं।

क्रमगुणित फलन के अधिकांश गणित का विकास 18वीं सदी के अंत और 19वीं शताब्दी के प्रारंभ में हुआ था। स्टर्लिंग का सन्निकटन बड़ी संख्या के क्रमगुणितअ को सटीक सन्निकटन प्रदान करता है, यह दर्शाता है कि यह घातीय वृद्धि की तुलना में अधिक तेज़ी से बढ़ता है। लीजेंड्रे का सूत्र क्रमगुणितअ के अभाज्य गुणनखंड में अभाज्य संख्याओं के घातांक का वर्णन करता है, और इसका उपयोग क्रमगुणितअ के अनुगामी शून्यों की गणना के लिए किया जा सकता है। डेनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर ने ऋणात्मक पूर्णांकों, (प्रतिसंतुलन) गामा फलन को छोड़कर, समिश्र संख्याओं के सतत फलन के लिए क्रमगुणितअ फलन को अंतर्वेशित किया।

कई अन्य उल्लेखनीय फलन और संख्या अनुक्रम क्रमगुणितअ से निकटता से संबंधित हैं, जिसमें द्विपद गुणांक, द्विक क्रमगुणितअ, अवरोही क्रमगुणितअ, प्रिमोरिअल्स और उपक्रमगुणितअ शामिल हैं। क्रमगुणित फलन के कार्यान्वयन को आमतौर पर विभिन्न संगणक प्रोग्रामिंग शैलियों के उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है, और वैज्ञानिक परिगणक और वैज्ञानिक संगणना सॉफ़्टवेयर प्रोग्राम संग्रह में शामिल होते हैं। यद्यपि गुणनफल सूत्र या पुनरावृत्ति का उपयोग करके बड़े क्रमगुणित की सीधे गणना करना कुशल नहीं है, तेजी से एल्गोरिदम ज्ञात हैं, एक स्थिर कारक के भीतर समान अंकों के साथ संख्याओं के लिए तेजी से गुणा एल्गोरिदम के लिए समय।

इतिहास
कई संस्कृतियों में क्रमगुणितअ की अवधारणा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न हुई है: 15वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से, पश्चिमी गणितज्ञों द्वारा तथ्यात्मक अध्ययन का विषय बन गया। 1494 के एक ग्रंथ में, इतालवी गणितज्ञ लुका पैसिओली ने खाने की मेज की व्यवस्था की समस्या के संबंध में 11! तक भाज्यों की गणना की। क्रिस्टोफर क्लावियस ने जोहान्स डी सैक्रोबोस्को के काम पर एक 1603 कमेंट्री में क्रमगुणितअ्स पर चर्चा की, और 1640 के दशक में, फ्रांसीसी पॉलीमैथ मारिन मेर्सन ने क्लावियस के काम के आधार पर, 64! तक, क्रमगुणितअ की बड़ी (लेकिन पूरी तरह से सही नहीं) टेबल प्रकाशित की। घातांक फलन के लिए शक्ति श्रृंखला, इसके गुणांकों के लिए क्रमगुणितअ के व्युत्क्रम के साथ, पहली बार 1676 में आइजैक न्यूटन द्वारा गॉटफ्रीड विल्हेम लाइबनिज़ को एक पत्र में तैयार किया गया था। क्रमगुणितअ पर प्रारंभिक यूरोपीय गणित के अन्य महत्वपूर्ण कार्यों में जॉन वालिस द्वारा 1685 के ग्रंथ में व्यापक कवरेज शामिल है, जो 1721 में अब्राहम डी मोइवर द्वारा $$n$$ के बड़े मूल्यों के लिए उनके अनुमानित मूल्यों का एक अध्ययन, जेम्स स्टर्लिंग से 1729 का एक पत्र है। डी मोइवर बताते हैं कि स्टर्लिंग के सन्निकटन के रूप में क्या जाना जाता है, और एक ही समय में डेनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर द्वारा गामा फलन के फ़ैक्टोरियल फलन के निरंतर विस्तार को तैयार करते हुए काम करते हैं। एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने 1808 के नंबर थ्योरी के पाठ में लेजेंड्रे के सूत्र को शामिल किया, जिसमें घातांकों को प्रमुख शक्तियों में गुणनखंड का वर्णन किया गया था।
 * भारतीय गणित में, क्रमगुणितअ के सबसे पहले ज्ञात विवरणों में से एक अनुयोगद्वार-सूत्र से आता है, जैन साहित्य के विहित कार्यों में से एक, जिसे 300 ईसा पूर्व से 400 सीई तक की तारीखें सौंपी गई हैं। यह अन्य ("मिश्रित") ऑर्डर से आइटम्स के एक सेट के सॉर्ट किए गए और उल्टे क्रम को अलग करता है, क्रमगुणितअ के लिए सामान्य उत्पाद फ़ॉर्मूला से दो घटाकर मिश्रित ऑर्डर की संख्या का मूल्यांकन करता है। क्रमपरिवर्तन के उत्पाद नियम का वर्णन छठी शताब्दी ई. के जैन भिक्षु जिनभद्र द्वारा भी किया गया था। हिंदू विद्वान कम से कम 1150 के बाद से भास्कर द्वितीय ने अपने काम लीलावती में तथ्यात्मक सूत्रों का उपयोग किया है, इस समस्या के संबंध में कि विष्णु अपनी चार विशिष्ट वस्तुओं (एक शंख, डिस्कस, गदा और कमल का फूल) को कितने तरीकों से पकड़ सकते थे। ) उसके चार हाथों में, और दस-हाथ वाले देवता के लिए भी इसी तरह की समस्या।
 * मध्य पूर्व के गणित में, तल्मूडिक काल (200 से 500 सीई) की हिब्रू रहस्यवादी पुस्तक निर्माण सेफर यतिज़िराह, 7 तक के क्रमगुणितअ की सूची देती है! हिब्रू वर्णमाला से बनने वाले शब्दों की संख्या की जांच के हिस्से के रूप में। इसी तरह के कारणों के लिए 8वीं सदी के अरब व्याकरणविद् अल-खलील इब्न अहमद अल-फ़राहीदी द्वारा भी क्रमगुणितअ का अध्ययन किया गया था। अरब गणितज्ञ इब्न अल-हेथम (जिसे अलहाज़ेन के नाम से भी जाना जाता है, c. 965 - c. 1040) सबसे पहले विल्सन के प्रमेय को अभाज्य संख्याओं के साथ जोड़ने वाले थे।
 * यूरोप में, हालांकि ग्रीक गणित में कुछ संयोजन शामिल थे, और प्लेटो ने एक आदर्श समुदाय की जनसंख्या के रूप में प्रसिद्ध रूप से 5040 (एक भाज्य) का उपयोग किया, आंशिक रूप से इसकी विभाज्यता गुणों के कारण, प्राचीन यूनानी अध्ययन का कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं है। इसके बजाय, यूरोप में क्रमगुणितअ पर पहला काम यहूदी विद्वानों जैसे शब्बेथाई डोनोलो द्वारा किया गया था, जो सेफ़र यतिज़िरा मार्ग की व्याख्या करता था। 1677 में, ब्रिटिश लेखक फैबियन स्टेडमैन ने रिंगिंग को बदलने के लिए क्रमगुणितअ्स के अनुप्रयोग का वर्णन किया, एक संगीत कला जिसमें कई ट्यून की गई घंटियों का बजना शामिल है।

क्रमगुणितअ के लिए संकेतन एनएन को 1808 में फ्रांसीसी गणितज्ञ क्रिश्चियन क्रैम्प द्वारा पेश किया गया था। कई अन्य संकेतन भी इस्तेमाल किए गए हैं। एक और बाद का संकेतन, जिसमें क्रमगुणितअ का तर्क एक बॉक्स के बाईं और नीचे की तरफ से आधा जुड़ा हुआ था, ब्रिटेन और अमेरिका में कुछ समय के लिए लोकप्रिय था, लेकिन उपयोग से बाहर हो गया, शायद इसलिए कि टाइप करना मुश्किल है। शब्द "क्रमगुणितअ" (मूल रूप से फ्रेंच: फैक्टोरिएल) का इस्तेमाल पहली बार 1800 में लुई फ्रांकोइस एंटोनी अर्बोगैस्ट द्वारा किया गया था, फ़ैस डि ब्रूनो के सूत्र पर पहले काम में, लेकिन अंकगणितीय प्रगति के उत्पादों की एक अधिक सामान्य अवधारणा का जिक्र करते हुए । यह नाम जिन "कारकों" को संदर्भित करता है, वे भाज्य के लिए उत्पाद सूत्र की शर्तें हैं।

परिभाषा
एक धनात्मक पूर्णांक $$n$$ का गुणनखंड फलन उन सभी धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल से परिभाषित होता है जो $$n$$ से अधिक नहीं होते हैं। $$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n.$$इसे उत्पाद संकेतन में अधिक संक्षेप में लिखा जा सकता है $$n! = \prod_{i = 1}^n i.$$यदि इस उत्पाद सूत्र को अंतिम पद के अलावा सभी को रखने के लिए बदल दिया जाता है, तो यह एक ही रूप के उत्पाद को एक छोटे भाज्य के लिए परिभाषित करेगा। यह एक पुनरावर्ती संबंध की ओर ले जाता है, जिसके अनुसार पिछले मान को by $n$: से गुणा करके क्रमगुणितअ फलन के प्रत्येक मान को प्राप्त किया जा सकता है:$$ n! = n\cdot (n-1)!.$$उदाहरण के लिए, $5! = 5\cdot 4!=5\cdot 24=120$.

शून्य का तथ्यात्मक
$0$ का फ़ैक्टोरियल is $1$, है, या प्रतीकों में, $0!=1$. है। इस परिभाषा के कई कारण हैं:
 * $n=0$, के लिए, उत्पाद के रूप में $$n!$$ की परिभाषा में बिना किसी संख्या के उत्पाद शामिल है, और इसलिए व्यापक परंपरा का एक उदाहरण है कि खाली उत्पाद, बिना कारकों का उत्पाद, गुणक पहचान के बराबर है।
 * शून्य वस्तुओं का एक क्रमपरिवर्तन होता है: क्रमपरिवर्तन के लिए कुछ भी नहीं, केवल पुनर्व्यवस्था कुछ भी नहीं करना है।
 * यह सम्मेलन कॉम्बिनेटरिक्स में कई पहचानों को उनके मापदंडों के सभी मान्य विकल्पों के लिए मान्य बनाता है। उदाहरण के लिए, $\tbinom{n}{n} = \tfrac{n!}{n!0!} = 1,$ के एक सेट से सभी $$n$$ तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या एक द्विपद गुणांक पहचान है जो केवल $0!=1$. के साथ मान्य होगी।
 * $0!=1$, के साथ, क्रमगुणितअ के लिए पुनरावृत्ति संबंध at $n=1$. पर मान्य रहता है। इसलिए, इस सम्मेलन के साथ, क्रमगुणितअ की एक पुनरावर्ती गणना में आधार मामले के रूप में केवल शून्य का मान होना चाहिए, गणना को सरल बनाना और अतिरिक्त विशेष मामलों की आवश्यकता से बचना चाहिए।
 * $$0!=1$$ की स्थापना कई सूत्रों की कॉम्पैक्ट अभिव्यक्ति की अनुमति देती है, जैसे कि घातांक फलन, एक शक्ति श्रृंखला के रूप में: $ e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}.$।
 * यह विकल्प गामा फलन $0! = \Gamma(0+1) = 1$, से मेल खाता है, और गामा फलन में यह मान एक सतत फलन होना चाहिए।

अनुप्रयोग
क्रमगुणितअ फलन के शुरुआती उपयोगों में क्रमपरिवर्तन की गिनती शामिल है: $$n!$$ अलग-अलग वस्तुओं को अनुक्रम में व्यवस्थित करने के $$n$$ विभिन्न तरीके हैं। वस्तुओं के विभिन्न क्रमों को ध्यान में रखते हुए, संयोजन में कई सूत्रों में क्रमगुणितअ अधिक व्यापक रूप से दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए द्विपद गुणांक $$\tbinom{n}{k}$$ $k$-element संयोजनों ($n$ elements, के उपसमुच्चय) को $k$ elements) के साथ एक सेट से गिनता है, और सूत्र का उपयोग करके भाज्य से गणना की जा सकती है $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$क्रमगुणितअ्स के लिए पहली तरह की राशि की स्टर्लिंग संख्या, और क्रमपरिवर्तन की गिनती of $n$ समान संख्याओं के साथ सबसेट में समूहीकृत। एक और कॉम्बीनेटरल एप्लिकेशन डेरेंजमेंट्स की गिनती में है, क्रमपरिवर्तन जो किसी भी तत्व को अपनी मूल स्थिति में नहीं छोड़ते हैं;के अपमान की संख्या $$n$$ आइटम निकटतम पूर्णांक है to $n!/e$.

बीजगणित में, क्रमगुणितअ द्विपद प्रमेय के माध्यम से उत्पन्न होते हैं, जो रकम की शक्तियों का विस्तार करने के लिए द्विपद गुणांक का उपयोग करता है। वे एक दूसरे से बहुपद के कुछ परिवारों से संबंधित गुणांक में भी होते हैं, उदाहरण के लिए, न्यूटन की सममित बहुपद के लिए पहचान में। गिनती के क्रम में उनके उपयोग को भी बीजगणितीय रूप से बहाल किया जा सकता है: क्रमगुणितअ्स परिमित सममित समूहों के आदेश हैं। कैलकुलस में, क्रमगुणितअ्स उच्च डेरिवेटिव को चैन करने के लिए फा डि ब्रूनो के फॉर्मूले में होते हैं। गणितीय विश्लेषण में, क्रमगुणितअ्स अक्सर घात श्रेणी के हर में दिखाई देते हैं, विशेष रूप से एक्सपोनेंशियल फंक्शन के लिए श्रृंखला में, $$e^x=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!},$$और अन्य टेलर श्रृंखला के गुणांक में (विशेष रूप से त्रिकोणमितीय और हाइपरबोलिक कार्यों के), जहां वे कारकों को रद्द करते हैं $$n!$$ से आ रहा है $n$th derivative of $x^n$. घात श्रेणी में क्रमगुणितअ्स का यह उपयोग एक्सपोनेंशियल जनरेटिंग फलन के माध्यम से एनालिटिक कॉम्बीनेटरिक्स से जुड़ता है, जो एक कॉम्बिनेटरियल क्लास के लिए है $$n_i$$ के तत्व size $i$ घात श्रेणी के रूप में परिभाषित किया गया है $$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i n_i}{i!}.$$संख्या सिद्धांत में, क्रमगुणितअ्स की सबसे मुख्य संपत्ति की विभाजन है $$n!$$ सभी सकारात्मक पूर्णांक द्वारा to $n$, लीजेंड्रे के सूत्र द्वारा प्रमुख कारकों के लिए अधिक सटीक रूप से वर्णित है।यह इस प्रकार है कि मनमाने ढंग से बड़े प्रमुख संख्याओं को संख्याओं के प्रमुख कारकों के रूप में पाया जा सकता है $$n!\pm 1$$, यूक्लिड के प्रमेय के प्रमाण के लिए अग्रणी है कि प्राइम्स की संख्या अनंत है। कब $$n!\pm 1$$ खुद प्राइम है इसे एक क्रमगुणितअ प्राइम कहा जाता है; संबंधित रूप से, ब्रोकार्ड की समस्या, श्रीनिवास रामानुजन द्वारा भी प्रस्तुत की गई, फॉर्म के वर्ग संख्या के अस्तित्व की चिंता करती है $n!+1$. इसके विपरीत, संख्याएँ $$n!+2,n!+3,\dots n!+n$$ मनमाने ढंग से बड़े प्रमुख अंतराल के अस्तित्व को साबित करते हुए, सभी समग्र होना चाहिए। बर्ट्रेंड के किसी भी अंतराल में एक प्राइम के अस्तित्व पर एक प्राथमिक प्रमाण का एक प्राथमिक प्रमाण form $[n,2n]$, पॉल Erdős के पहले परिणामों में से एक, क्रमगुणितअ्स के विभाजन गुणों पर आधारित था। क्रमगुणितअ नंबर सिस्टम उन संख्याओं के लिए एक मिश्रित रेडिक्स नोटेशन है जिसमें प्रत्येक अंक के स्थान मान क्रमगुणितअ्स हैं। Poisson वितरण में उदाहरण के लिए, संभावना सिद्धांत में बड़े पैमाने पर क्रमगुणितअ्स का उपयोग किया जाता है और यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन की संभावनाओं में। कंप्यूटर विज्ञान में, पारगमन पर ब्रूट-फोर्स खोजों के विश्लेषण में दिखाई देने से परे, के निचले हिस्से में क्रमगुणितअ्स उत्पन्न होते हैं $$\log_2 n!=n\log_2n-O(n)$$ तुलना की संख्या पर एक सेट की तुलना करने के लिए आवश्यक है $$n$$ सामान, और जंजीर हैश तालिकाओं के विश्लेषण में, जहां प्रति सेल कुंजियों के वितरण को एक पॉइसन वितरण द्वारा सटीक रूप से अनुमानित किया जा सकता है। इसके अलावा, क्रमगुणितअ्स स्वाभाविक रूप से क्वांटम और सांख्यिकीय भौतिकी से सूत्रों में दिखाई देते हैं, जहां एक अक्सर कणों के एक सेट के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन पर विचार करता है।सांख्यिकीय यांत्रिकी में, बोल्ट्जमैन के एन्ट्रापी फॉर्मूला या सैकुर -टेट्रोड समीकरण जैसे एन्ट्रापी की गणना गिब्स विरोधाभास से बचने के लिए प्रत्येक प्रकार के अप्रभेद्य कण की संख्या के क्रमगुणितअ्स द्वारा विभाजित करके माइक्रोस्टेट की गिनती को ठीक करना चाहिए।क्वांटम भौतिकी अंतर्निहित कारण प्रदान करती है कि ये सुधार क्यों आवश्यक हैं।

विकास और सन्निकटन


एक समारोह के रूप में of $n$, क्रमगुणितअ में घातीय वृद्धि की तुलना में तेजी से होता है, लेकिन एक दोहरे घातीय फलन की तुलना में अधिक धीरे -धीरे बढ़ता है। इसकी वृद्धि दर समान है to $n^n$, लेकिन एक घातीय कारक द्वारा धीमा।इस परिणाम के करीब पहुंचने का एक तरीका क्रमगुणितअ के प्राकृतिक लघुगणक को लेना है, जो अपने उत्पाद सूत्र को एक योग में बदल देता है, और फिर एक अभिन्न द्वारा योग का अनुमान लगाता है: $$\ln n! = \sum_{x=1}^n \ln x \approx \int_1^n\ln x\, dx=n\ln n-n+1.$$ परिणाम को बढ़ाना (और नगण्य की अनदेखी करना $$+1$$ शब्द) सन्निकट $$n!$$ जैसा $(n/e)^n$. एक अभिन्न द्वारा ऊपर और नीचे दोनों दोनों को सावधानीपूर्वक, ट्रेपज़ॉइड नियम का उपयोग करते हुए, यह दर्शाता है कि इस अनुमान को एक सुधार शब्द आनुपातिक आवश्यकता है to $\sqrt n$. इस सुधार के लिए आनुपातिकता की निरंतरता वालिस उत्पाद से पाई जा सकती है, जो व्यक्त करता है $$\pi$$ दो के क्रमगुणितअ्स और शक्तियों के सीमित अनुपात के रूप में।इन सुधारों का परिणाम स्टर्लिंग का अनुमान है: $$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\,.$$ यहां ही $$\sim$$ प्रतीक का अर्थ है, के रूप में $$n$$ अनंत तक जाता है, बाएं और दाएं पक्षों के बीच का अनुपात सीमा में एक के पास पहुंचता है। स्टर्लिंग का फॉर्मूला एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला में पहला कार्यकाल प्रदान करता है जो कि अधिक संख्या में शर्तों के लिए और भी अधिक सटीक हो जाता है: $$ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2} - \frac{139}{51840n^3} -\frac{571}{2488320n^4}+ \cdots \right).$$ एक वैकल्पिक संस्करण सुधार के शब्दों में केवल विषम प्रतिपादकों का उपयोग करता है: $$ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \exp\left(\frac{1}{12n} - \frac{1}{360n^3} + \frac{1}{1260n^5} -\frac{1}{1680n^7}+ \cdots \right).$$ श्रीनिवास रामानुजन, बिल गोस्पर, और अन्य लोगों द्वारा इन सूत्रों के कई अन्य रूपों को भी विकसित किया गया है।

तुलनात्मक छंटाई का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले क्रमगुणितअ के बाइनरी लॉगरिदम का उपयोग स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करके बहुत सटीक रूप से किया जा सकता है।नीचे सूत्र में, $$O(1)$$ टर्म बिग ओ नोटेशन को आमंत्रित करता है। $$\log_2 n! = n\log_2 n-(\log_2 e)n + \frac12\log_2 n + O(1).$$

विभाजन और अंक
क्रमगुणितअ के लिए उत्पाद सूत्र का अर्थ है कि $$n!$$ सभी प्रमुख संख्याओं से विभाज्य है जो पर हैं most $n$, और कोई बड़ी प्राइम नंबरों से नहीं। इसकी विभाजन के बारे में अधिक सटीक जानकारी लीजेंड्रे के सूत्र द्वारा दी गई है, जो प्रत्येक प्राइम का प्रतिपादक देता है $$p$$ के प्रमुख कारक में $$n!$$ जैसा $$\sum_{i=1}^\infty \left \lfloor \frac n {p^i} \right \rfloor=\frac{n - s_p(n)}{p - 1}.$$ यहां $$s_p(n)$$ के योग को दर्शाता है base-$p$ अंक of $n$, और इस सूत्र द्वारा दिए गए प्रतिपादक को भी उन्नत गणित में पी-एडिक वैल्यूएशन के रूप में व्याख्या किया जा सकता है$5,040$क्रमगुणितअ का -वैल्यूएशन। द्विपद गुणांक के लिए उत्पाद सूत्र के लिए लीजेंड्रे के सूत्र को लागू करने से कुमेर के प्रमेय का उत्पादन होता है, जो एक द्विपद गुणांक के कारक में प्रत्येक प्राइम के प्रतिपादक पर एक समान परिणाम है। के लिए लीजेंड्रे के सूत्र का विशेष मामला $$p=5$$ क्रमगुणितअ्स के दशमलव प्रतिनिधित्व में अनुगामी शून्य की संख्या देता है। इस सूत्र के अनुसार, आधार -5 अंकों को घटाकर शून्य की संख्या प्राप्त की जा सकती है $$n$$ से $$n$$, और परिणाम को चार से विभाजित करना। किंवदंती के सूत्र का अर्थ है कि प्राइम का घातांक $$p=2$$ हमेशा के लिए घातांक से बड़ा होता है $p=5$, तो पांच के प्रत्येक कारक को इन अनुगामी शून्य में से एक का उत्पादन करने के लिए दो के एक कारक के साथ जोड़ा जा सकता है। क्रमगुणितअ्स के प्रमुख अंकों को बेनफोर्ड के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है। अंकों का प्रत्येक अनुक्रम, किसी भी आधार में, उस आधार में कुछ क्रमगुणितअ नंबर के प्रारंभिक अंकों का अनुक्रम है। क्रमगुणितअ्स की विभाजन पर एक और परिणाम, विल्सन के प्रमेय ने कहा कि $$(n-1)!+1$$ द्वारा विभाज्य है $$n$$ अगर और केवल अगर $$n$$ एक प्रमुख संख्या है। किसी के लिए integer $x$, केम्पनर फलन $$x$$ सबसे छोटे द्वारा दिया जाता है $$n$$ जिसके लिए $$x$$ विभाजित $n!$. लगभग सभी संख्याओं के लिए (सभी लेकिन स्पर्शोन्मुख घनत्व शून्य के साथ अपवादों का एक सबसेट), यह सबसे बड़े प्राइम फैक्टर के साथ मेल खाता है of $x$. दो क्रमगुणितअ्स का उत्पाद, $m!\cdot n!$, हमेशा समान रूप से विभाजित होता है $(m+n)!$. असीम रूप से कई क्रमगुणितअ्स हैं जो अन्य क्रमगुणितअ्स के उत्पाद के बराबर हैं: यदि $$n$$ स्वयं क्रमगुणितअ्स का कोई उत्पाद है, फिर $$n!$$ एक ही उत्पाद के बराबर एक और क्रमगुणितअ से गुणा किया जाता है, $(n-1)!$. क्रमगुणितअ्स के एकमात्र ज्ञात उदाहरण जो अन्य क्रमगुणितअ्स के उत्पाद हैं, लेकिन इस तुच्छ रूप के नहीं हैं $9!=7!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 2!$, $10!=7!\cdot 6!=7!\cdot 5!\cdot 3!$, तथा $16!=14!\cdot 5!\cdot 2!$. यह से अनुसरण करेगा$40,320$ अनुमान है कि वहाँ केवल कई nontrivial उदाहरण हैं। डिग्री के एक आदिम बहुपद के मूल्यों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक $$d$$ पूर्णांक समान रूप से विभाजित होता है $d!$.

निरंतर प्रक्षेप और गैर-पूर्णांक सामान्यीकरण


एक सतत कार्य के लिए क्रमगुणितअ्स का विस्तार करने के लिए असीम रूप से कई तरीके हैं। इनमें से सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है गामा फलन का उपयोग करता है, जिसे इंटीग्रल के रूप में सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित किया जा सकता है $$ \Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx.$$ परिणामी फलन एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के क्रमगुणितअ से संबंधित है $$n$$ समीकरण द्वारा $$ n!=\Gamma(n+1),$$ जिसे गैर-पूर्णांक तर्कों के लिए क्रमगुणितअ की परिभाषा के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है। सभी मूल्यों पर $$x$$ जिसके लिए दोनों $$\Gamma(x)$$ तथा $$\Gamma(x-1)$$ परिभाषित किया गया है, गामा फलन कार्यात्मक समीकरण का पालन करता है $$ \Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1),$$ क्रमगुणितअ्स के लिए पुनरावृत्ति संबंध को सामान्य करना। एक ही अभिन्न आमतौर पर किसी भी जटिल संख्या के लिए अधिक रूपांतरित होता है $$z$$ जिसका असली हिस्सा सकारात्मक है।यह Euler के प्रतिबिंब सूत्र के लिए हल करके जटिल विमान के बाकी हिस्सों में गैर-पूर्णांक बिंदुओं तक बढ़ाया जा सकता है $$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}.$$ हालाँकि, इस सूत्र का उपयोग पूर्णांक पर नहीं किया जा सकता है, क्योंकि, उनके लिए, $$\sin\pi z$$ शब्द शून्य से एक विभाजन का उत्पादन करेगा।इस एक्सटेंशन प्रक्रिया का परिणाम एक विश्लेषणात्मक कार्य है, गामा फलन के लिए अभिन्न सूत्र का विश्लेषणात्मक निरंतरता।गैर-पॉजिटिव पूर्णांक को छोड़कर, सभी समिश्र संख्याओं में एक नॉनज़ेरो मान है, जहां इसमें सरल ध्रुव हैं।इसके विपरीत, यह ऋणात्मक पूर्णांक के अलावा सभी समिश्र संख्याओं में क्रमगुणितअ के लिए एक परिभाषा प्रदान करता है। गामा फलन की एक संपत्ति, इसे क्रमगुणितअ्स के अन्य निरंतर प्रक्षेपों से अलग करते हुए, बोहर-मोलरअप प्रमेय द्वारा दी गई है, जिसमें कहा गया है कि गामा फलन (एक के द्वारा ऑफसेट) सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर एकमात्र लॉग-कवरेक्स फलन है जो कि सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर है जो कि सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर है।क्रमगुणितअ्स को प्रक्षेपित करता है और एक ही कार्यात्मक समीकरण का पालन करता है।हेल्मुट विएलैंड्ट के एक संबंधित विशिष्टता प्रमेय में कहा गया है कि जटिल गामा फलन और इसके स्केलर गुणक सकारात्मक जटिल आधे-विमान पर एकमात्र होलोमोर्फिक कार्य हैं जो कार्यात्मक समीकरण का पालन करते हैं और 1 और 2 के बीच वास्तविक भाग के साथ समिश्र संख्याओं के लिए बंधे रहते हैं। अन्य जटिल फलन जो क्रमगुणितअ मानों को प्रक्षेपित करते हैं, उनमें हैडामार्ड का गामा फलन शामिल है, जो गैर-सकारात्मक पूर्णांक सहित सभी समिश्र संख्याओं पर एक संपूर्ण कार्य है। पी-एडिक नंबर में |$362,880$-एक संख्याओं, सीधे क्रमगुणितअ फलन को प्रक्षेपित करना संभव नहीं है, क्योंकि बड़े पूर्णांक (का एक घना सबसेट) के क्रमगुणितअ $3,628,800$-एडिक्स) लीजेंड्रे के फॉर्मूले के अनुसार शून्य में परिवर्तित हो जाता है, किसी भी निरंतर फलन को मजबूर करता है जो हर जगह शून्य होने के लिए उनके मूल्यों के करीब है।इसके बजाय, पी-एडिक गामा फलन |$39,916,800$-एक गामा फलन क्रमगुणितअ के एक संशोधित रूप का एक सतत प्रक्षेप प्रदान करता है, जो कि क्रमगुणितअ में कारकों को छोड़ देता है जो विभाज्य हैं $479,001,600$. डिगम्मा फलन गामा फलन का लॉगरिदमिक व्युत्पन्न है।जिस तरह गामा फलन क्रमगुणितअ्स का एक सतत प्रक्षेप प्रदान करता है, एक के द्वारा ऑफसेट, डिगम्मा फलन हार्मोनिक संख्याओं का एक निरंतर प्रक्षेप प्रदान करता है, यूलर -मेसचेरोनी निरंतर द्वारा ऑफसेट।

कम्प्यूटेशन
क्रमगुणितअ फलन वैज्ञानिक कैलकुलेटर में एक सामान्य विशेषता है। यह पायथन गणितीय फलन मॉड्यूल जैसे वैज्ञानिक प्रोग्रामिंग पुस्तकालयों में भी शामिल है और बूस्ट (C ++ लाइब्रेरी) | C ++ लाइब्रेरी को बूस्ट करें। यदि दक्षता कोई चिंता का विषय नहीं है, तो कंप्यूटिंग क्रमगुणितअ्स तुच्छ है: बस क्रमिक रूप से एक चर को गुणा करें to $1$ पूर्णांक द्वारा to $n$. इस संगणना की सादगी विभिन्न कंप्यूटर प्रोग्रामिंग शैलियों और विधियों के उपयोग में एक सामान्य उदाहरण बनाती है। की गणना $$n!$$ पुनरावृत्ति का उपयोग करके स्यूडोकोड में व्यक्त किया जा सकता है जैसा क्रमगुणितअ को परिभाषित करें (एन): f: = 1 के लिए i: = 1, 2, 3, ..., n:    f: = f × i   वापसी च या पुनरावृत्ति का उपयोग करना के रूप में इसके पुनरावृत्ति संबंध के आधार पर क्रमगुणितअ को परिभाषित करें (एन): अगर n = 0 रिटर्न 1 वापसी n × क्रमगुणितअ (n - 1) इसकी गणना के लिए उपयुक्त अन्य तरीकों में मेमोइजेशन शामिल हैं, गतिशील प्रोग्रामिंग, और कार्यात्मक प्रोग्रामिंग। इन एल्गोरिदम की कम्प्यूटेशनल जटिलता का विश्लेषण यूनिट-कॉस्ट रैंडम-एक्सेस मशीन मॉडल की गणना का उपयोग करके किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन में निरंतर समय लगता है और प्रत्येक संख्या लगातार भंडारण स्थान का उपयोग करती है।इस मॉडल में, ये विधियाँ गणना कर सकती हैं $$n!$$ समय के भीतर $O(n)$, और पुनरावृत्त संस्करण अंतरिक्ष का उपयोग करता है $O(1)$. जब तक पूंछ पुनरावर्ती के लिए अनुकूलित नहीं किया जाता है, पुनरावर्ती संस्करण अपने कॉल स्टैक को संग्रहीत करने के लिए रैखिक स्थान लेता है। हालांकि, गणना का यह मॉडल केवल तब उपयुक्त है जब $$n$$ अनुमति देने के लिए काफी छोटा है $$n!$$ एक मशीन शब्द में फिट होने के लिए। मान 12!और 20!सबसे बड़े क्रमगुणितअ्स हैं जिन्हें क्रमशः संग्रहीत किया जा सकता है, 32-बिट कंप्यूटिंग | 32-बिट और 64-बिट कंप्यूटिंग | 64-बिट पूर्णांक। फ़्लोटिंग पॉइंट बड़े क्रमगुणितअ्स का प्रतिनिधित्व कर सकता है, लेकिन लगभग बिल्कुल बजाय, और अभी भी बड़े पैमाने पर बड़े पैमाने पर ओवरफ्लो करेगा $170!$. बड़े क्रमगुणितअ्स की सटीक गणना में मनमानी-सटीक अंकगणित शामिल है, और इसके समय का विश्लेषण परिणाम में अंकों या बिट्स की संख्या के एक समारोह के रूप में किया जा सकता है। स्टर्लिंग के सूत्र द्वारा, $$n!$$ है $$b = O(n\log n)$$ बिट्स। Schönhage - Strassen एल्गोरिथ्म का उत्पादन कर सकते हैं $b$-bit समय में उत्पाद $O(b\log b\log\log b)$, और तेजी से गुणा एल्गोरिदम समय ले रहा है $$O(b\log b)$$ ज्ञात हैं। हालांकि, क्रमगुणितअ की गणना करने में एक एकल गुणन के बजाय बार -बार उत्पाद शामिल होते हैं, इसलिए ये समय सीमा सीधे लागू नहीं होती है।इस सेटिंग में, कंप्यूटिंग $$n!$$ संख्या को 1 से गुणा करके to $n$ अनुक्रम में अक्षम है, क्योंकि इसमें शामिल है $$n$$ गुणन, एक निरंतर अंश जिसमें से समय लगता है $$O(n\log^2 n)$$ प्रत्येक, कुल समय दे रहा है $O(n^2\log^2 n)$. एक बेहतर दृष्टिकोण एक डिवाइड-एंड-कॉनकोर एल्गोरिथ्म के रूप में गुणा करने के लिए है जो एक अनुक्रम को गुणा करता है $$i$$ संख्याओं को दो बाद में विभाजित करके संख्या $$i/2$$ संख्याएं, प्रत्येक बाद की संख्या को गुणा करती हैं, और परिणामों को एक अंतिम गुणन के साथ जोड़ती है।क्रमगुणितअ के लिए यह दृष्टिकोण कुल समय लेता है $O(n\log^3 n)$: एक लघुगणक क्रमगुणितअ में बिट्स की संख्या से आता है, एक दूसरा गुणन एल्गोरिथ्म से आता है, और एक तीसरा विभाजन और विजय से आता है। और भी बेहतर दक्षता कंप्यूटिंग द्वारा प्राप्त की जाती है $S_{n}$ इसके प्रमुख कारक से, इस सिद्धांत के आधार पर कि वर्ग द्वारा घातांक एक उत्पाद में एक प्रतिपादक का विस्तार करने की तुलना में तेज है। अर्नोल्ड शॉनहेज द्वारा इसके लिए एक एल्गोरिथ्म प्राइम्स की सूची को खोजकर शुरू होता है to $n$, उदाहरण के लिए, एराटोस्टेनेस की छलनी का उपयोग करते हुए, और प्रत्येक प्राइम के लिए प्रतिपादक की गणना करने के लिए लीजेंड्रे के सूत्र का उपयोग करता है।फिर यह इन घातांकों के साथ प्रमुख शक्तियों के उत्पाद की गणना करता है, एक पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, निम्नानुसार है: सभी प्राइम्स के उत्पाद तक $$n$$ एक $$O(n)$$-बिट नंबर, प्राइम नंबर प्रमेय द्वारा, इसलिए पहले चरण का समय है $$O(n\log^2 n)$$, एक लघुगणक के साथ विभाजन और विजय से आ रहा है और दूसरा गुणन एल्गोरिथ्म से आ रहा है।एल्गोरिथ्म के लिए पुनरावर्ती कॉल में, प्राइम नंबर प्रमेय को फिर से यह साबित करने के लिए आमंत्रित किया जा सकता है कि इसी उत्पादों में बिट्स की संख्या पुनरावर्तन के प्रत्येक स्तर पर एक निरंतर कारक से कम हो जाती है, इसलिए पुनरावृत्ति के सभी स्तरों पर इन चरणों के लिए कुल समयएक ज्यामितीय श्रृंखला में जोड़ता है to $O(n\log^2 n)$. दूसरे चरण में स्क्वायरिंग के लिए समय और तीसरे चरण में गुणन फिर से हैं $O(n\log^2 n)$, क्योंकि प्रत्येक एक संख्या के साथ एक एकल गुणन है $$O(n\log n)$$ बिट्स।फिर से, पुनरावृत्ति के प्रत्येक स्तर पर शामिल संख्याओं में कई बिट्स के रूप में एक निरंतर अंश होता है (क्योंकि अन्यथा बार -बार उन्हें स्क्वायर करने से एक अंतिम परिणाम बहुत बड़ा होगा) इसलिए फिर से पुनरावर्ती कॉल में इन चरणों के लिए समय की मात्रा एक ज्यामितीय श्रृंखला में जोड़ते हैं to $O(n\log^2 n)$. नतीजतन, पूरे एल्गोरिथ्म लेता है time $O(n\log^2 n)$, इसके परिणाम में समान संख्या में बिट्स के साथ एक एकल गुणन के लिए आनुपातिक।
 * उन प्राइम्स के उत्पाद की गणना करने के लिए विभाजन और विजय का उपयोग करें जिनके घातांक विषम हैं
 * सभी घातांकों को दो से विभाजित करें (एक पूर्णांक के लिए नीचे की ओर), पुनरावर्ती रूप से इन छोटे घातांक के साथ प्रमुख शक्तियों के उत्पाद की गणना करें, और परिणाम को चौकोर करें
 * दो पिछले चरणों के परिणामों को एक साथ गुणा करें

संबंधित अनुक्रम और कार्य
कई अन्य पूर्णांक अनुक्रम क्रमगुणितअ्स के समान या संबंधित हैं:

बारी -बारी से क्रमगुणितअ
 * वैकल्पिक क्रमगुणितअ पहले के वैकल्पिक योग का निरपेक्ष मूल्य है $$n$$ क्रमगुणितअ्स, $\sum_{i = 1}^n (-1)^{n - i}i!$. इन्हें मुख्य रूप से उनकी आदिमता के संबंध में अध्ययन किया गया है;केवल बारीक रूप से उनमें से कई प्राइम हो सकते हैं, लेकिन इस फॉर्म के प्राइम्स की एक पूरी सूची ज्ञात नहीं है।


 * भार्गव क्रमगुणितअ
 * भार्गवा क्रमगुणितअ्स मंजुल भार्गव द्वारा परिभाषित पूर्णांक अनुक्रमों का एक परिवार है, जो क्रमगुणितअ्स के समान संख्या-सिद्धांतिक गुणों के साथ एक विशेष मामले के रूप में स्वयं भी शामिल हैं। ; डबल क्रमगुणितअ
 * किसी विषम धनात्मक पूर्णांक $${\displaystyle n}$$ तक के सभी विषम पूर्णांकों के गुणनफल को $${\displaystyle n}$$ का दोहरा भाज्य कहा जाता है, और इसे $n!!$. से दर्शाया जाता है। वह है,$$(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1) = \frac{(2k)!}{2^k k!}.$$उदाहरण के लिए, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945। त्रिकोणमितीय समाकलों में दोहरे भाज्यों का उपयोग किया जाता है, अर्ध-पूर्णांकों पर गामा फलन के व्यंजकों और हाइपरस्फेयर के आयतन में, और बाइनरी ट्री और सही मिलान की गिनती में।
 * घातीय क्रमगुणितअ
 * जिस प्रकार त्रिकोणीय संख्याएँ $$1$$ से $${\displaystyle n}$$ तक की संख्याओं का योग करती हैं, और भाज्य उनके गुणनफल को लेते हैं, उसी प्रकार घातीय भाज्य घातांक। घातांकीय भाज्य को $${\displaystyle a_{0}=1,\ a_{n}=n^{a_{n-1}}}$$के रूप में पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, 4 का घातांकीय गुणनखंड है$$4\$= 4^{3^{2^{1}}}=262144.$$ये संख्या नियमित क्रमगुणितअ की तुलना में बहुत अधिक तेजी से बढ़ती है।

फॉलिंग क्रमगुणितअ

 * नोटेशन $$(x)_{n}$$ या $$x^{\underline n}$$ का उपयोग कभी-कभी $$n$$ पूर्णांकों के गुणनफल को दर्शाने के लिए किया जाता है, जिसमें $$(x)_{n}$$ तक और including $x$, शामिल होता है, $x!/(x-n)!$. के बराबर एक पोचहैमर प्रतीक। फ़ॉलिंग फ़ैक्टोरियल $$n$$ अलग-अलग वस्तुओं के विभिन्न अनुक्रमों की संख्या की गणना करते हैं जिन्हें $$x$$ वस्तुओं के ब्रह्मांड से खींचा जा सकता है। वे बहुपदों के उच्च व्युत्पन्नों में गुणांक के रूप में होते हैं, और यादृच्छिक चरों के भाज्य आघूर्ण में।


 * हाइपरक्रमगुणितअ
 * $$n$$ का हाइपरक्रमगुणितअ गुणनफल $$1^1\cdot 2^2\cdots n^n$$ है। ये संख्याएँ हरमाइट बहुपदों के विभेदक बनाती हैं। उन्हें के-फलन द्वारा लगातार प्रक्षेपित किया जा सकता है, और स्टर्लिंग के सूत्र और विल्सन के प्रमेय के अनुरूपता का पालन करते हैं।


 * जॉर्डन -प्यूल्य नंबर
 * जॉर्डन-पोलिया नंबर क्रमगुणितअ्स के उत्पाद हैं, जो दोहराव की अनुमति देते हैं। प्रत्येक पेड़ में एक सममिति समूह होता है जिसकी सममितियों की संख्या एक जॉर्डन-पोल्या संख्या होती है, और प्रत्येक जॉर्डन-पोल्या संख्या किसी न किसी पेड़ की सममिति की गणना करती है।


 * प्राइमोरियल
 * प्रिमोरियल $$n\#$$, to $n$; से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है; यह निर्माण उन्हें क्रमगुणितअ्स के समान कुछ समान विभाज्यता गुण देता है, लेकिन क्रमगुणितअ के विपरीत वे स्क्वायर-फ्री हैं। [105] भाज्य अभाज्य संख्याओं $n!\pm 1$, की तरह, शोधकर्ताओं ने प्राथमिक अभाज्य संख्याओं $n\#\pm 1$. का अध्ययन किया है।


 * सबफ़ेक्टोरियल
 * सबक्रमगुणितअ $$n$$ ऑब्जेक्ट्स के एक सेट के डिरेंजमेंट की संख्या देता है। इसे कभी-कभी $$!n$$ निरूपित किया जाता है, और to $n!/e$. के निकटतम पूर्णांक के बराबर होता है।


 * सुपरक्रमगुणितअ
 * $$n$$ का सुपरक्रमगुणितअ पहले $$n$$ क्रमगुणितअ्स का गुणनफल है। सुपरक्रमगुणितअ्स बार्न्स जी-फलन द्वारा लगातार प्रक्षेपित किए जाते हैं।

बाहरी संबंध


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