परिक्षेपण (प्रकाशिकी)

फ़ाइल: एमीसी डायरेक्ट-विज़न प्रिज्म PNr°. के माध्यम से देखे गए कॉम्पैक्ट फ्लोरोसेंट लैंप का प्रकाश फैलाव0114.jpg|thumb| प्रिज्म दोस्त के माध्यम से देखा जाने वाला कॉम्पैक्ट फ्लोरोसेंट लैंप

प्रकाशिकी में, और सादृश्य द्वारा तरंग प्रसार से संबंधित भौतिकी की अन्य शाखाएं, फैलाव वह घटना है जिसमें तरंग का चरण वेग उसकी आवृत्ति पर निर्भर करता है; कभी-कभी वर्णिक परिक्षेपण शब्द का प्रयोग विशेष रूप से प्रकाशिकी की विशिष्टता के लिए किया जाता है।

इस सामान्य गुण वाले माध्यम को फैलाव माध्यम (बहुवचन फैलाने वाला मीडिया) कहा जा सकता है।

यद्यपि प्रकाश और अन्य विद्युत चुम्बकीय तरंग ों का वर्णन करने के लिए प्रकाशिकी के क्षेत्र में शब्द का उपयोग किया जाता है, उसी अर्थ में फैलाव किसी भी प्रकार की तरंग गति पर लागू हो सकता है जैसे ध्वनि और भूकंपीय तरंगों के मामले में ध्वनिक फैलाव, और गुरुत्वाकर्षण तरंग ों (महासागर) में लहर की)। प्रकाशिकी के भीतर, फैलाव संचरण लाइन ों (जैसे समाक्षीय केबल में माइक्रोवेव ) या प्रकाशित तंतु में प्रकाश की दालों के साथ दूरसंचार संकेतों की संपत्ति है। भौतिक रूप से, फैलाव अवशोषण के माध्यम से गतिज ऊर्जा के नुकसान में तब्दील हो जाता है।

प्रकाशिकी में, फैलाव का महत्वपूर्ण और परिचित परिणाम प्रकाश के विभिन्न रंगों के अपवर्तन कोण में परिवर्तन है, जैसा कि फैलाव चश्मे द्वारा उत्पादित स्पेक्ट्रम और लेंस के रंगीन विपथन में देखा जाता है। मिश्रित अक्रोमेटिक लेंस का डिज़ाइन, जिसमें रंगीन विपथन को काफी हद तक रद्द कर दिया जाता है, इसके अब्बे नंबर वी द्वारा दिए गए ग्लास के फैलाव की मात्रा का उपयोग करता है, जहां कम एबे संख्या दृश्यमान स्पेक्ट्रम पर अधिक फैलाव के अनुरूप होती है। दूरसंचार जैसे कुछ अनुप्रयोगों में, तरंग का निरपेक्ष चरण अक्सर महत्वपूर्ण नहीं होता है, लेकिन केवल तरंग पैकेट या दालों का प्रसार होता है; उस स्थिति में कोई केवल आवृत्ति के साथ समूह वेग की विविधताओं में रुचि रखता है, तथाकथित समूह वेग फैलाव | समूह-वेग फैलाव।

आवृत्ति के कार्य के रूप में सभी सामान्य प्रेषक मीडिया क्षीणन (ट्रांसमिशन लंबाई के लिए सामान्यीकृत) में भी भिन्न होते हैं, जिससे क्षीणन विरूपण होता है; यह फैलाव नहीं है, हालांकि कभी-कभी बारीकी से दूरी प्रतिबाधा मिलान (उदाहरण के लिए केबल में क्रिम्प्ड सेगमेंट) पर प्रतिबिंब सिग्नल विरूपण उत्पन्न कर सकते हैं और सिग्नल बैंडविड्थ में देखे गए असंगत पारगमन समय को और बढ़ा सकते हैं।

उदाहरण
फैलाव का सबसे परिचित उदाहरण शायद इंद्रधनुष है, जिसमें फैलाव सफेद प्रकाश के विभिन्न रंग दैर्ध्य ]] (विभिन्न रंगों) के घटकों में स्थानिक पृथक्करण का कारण बनता है। हालांकि, कई अन्य परिस्थितियों में भी फैलाव का प्रभाव पड़ता है: उदाहरण के लिए, समूह वेग फैलाव पल्स (सिग्नल प्रोसेसिंग) को ऑप्टिकल फाइबर में फैलाने का कारण बनता है, लंबी दूरी पर अपमानजनक सिग्नल; इसके अलावा, समूह-वेग फैलाव और गैर-रेखीय प्रभावों के बीच रद्दीकरण से सॉलिटन तरंगें होती हैं।

सामग्री और वेवगाइड फैलाव
सबसे अधिक बार, रंगीन फैलाव थोक सामग्री फैलाव को संदर्भित करता है, अर्थात ऑप्टिकल आवृत्ति के साथ अपवर्तक सूचकांक में परिवर्तन। हालांकि, वेवगाइड में वेवगाइड फैलाव की घटना भी होती है, जिस स्थिति में संरचना में तरंग का चरण वेग संरचना की ज्यामिति के कारण इसकी आवृत्ति पर निर्भर करता है। अधिक आम तौर पर, किसी भी अमानवीय संरचना (जैसे, फोटोनिक क्रिस्टल ) के माध्यम से फैलने वाली तरंगों के लिए वेवगाइड फैलाव हो सकता है, चाहे लहरें किसी क्षेत्र तक ही सीमित हों या नहीं। वेवगाइड में, दोनों प्रकार के फैलाव आम तौर पर मौजूद होंगे, हालांकि वे सख्ती से योगात्मक नहीं हैं। उदाहरण के लिए, फाइबर ऑप्टिक्स में सामग्री और वेवगाइड फैलाव तेजी से फाइबर-ऑप्टिक संचार के लिए महत्वपूर्ण शून्य-फैलाव तरंगदैर्ध्य का उत्पादन करने के लिए एक-दूसरे को प्रभावी ढंग से रद्द कर सकते हैं।

प्रकाशिकी में सामग्री फैलाव
ऑप्टिकल अनुप्रयोगों में सामग्री फैलाव वांछनीय या अवांछनीय प्रभाव हो सकता है। कांच के प्रिज्म द्वारा प्रकाश के फैलाव का उपयोग स्पेक्ट्रोमीटर और स्पेक्ट्रोमाडोमीटर के निर्माण के लिए किया जाता है। हालांकि, लेंस में, फैलाव रंगीन विपथन का कारण बनता है, अवांछित प्रभाव जो सूक्ष्मदर्शी, दूरबीन और फोटोग्राफिक उद्देश्यों में छवियों को नीचा दिखा सकता है।

किसी दिए गए एकसमान माध्यम में तरंग का चरण वेग, v, द्वारा दिया जाता है
 * $$v = \frac{c}{n}$$

जहाँ c निर्वात में प्रकाश की गति है और n माध्यम का अपवर्तनांक है।

सामान्य तौर पर, अपवर्तनांक प्रकाश की आवृत्ति f का कुछ कार्य होता है, इस प्रकार n = n(f), या वैकल्पिक रूप से, तरंग की तरंग दैर्ध्य n = n(λ) के संबंध में। किसी सामग्री के अपवर्तनांक की तरंगदैर्घ्य निर्भरता को आमतौर पर इसकी एब्बे संख्या या इसके गुणांकों द्वारा अनुभवजन्य सूत्र जैसे कि कॉची के समीकरण या सेलमीयर समीकरण ों द्वारा निर्धारित किया जाता है।

क्रेमर्स-क्रोनिग संबंधों के कारण, अपवर्तक सूचकांक के वास्तविक भाग की तरंग दैर्ध्य निर्भरता सामग्री अवशोषण (विद्युत चुम्बकीय विकिरण) से संबंधित है, जो अपवर्तक सूचकांक के काल्पनिक भाग द्वारा वर्णित है (जिसे अपवर्तक सूचकांक # फैलाव और अवशोषण भी कहा जाता है). विशेष रूप से, गैर-चुंबकीय सामग्रियों के लिए (पारगम्यता (विद्युत चुंबकत्व)|μ = चुंबकीय स्थिरांक|μ0), रैखिक प्रतिक्रिया समारोह जो क्रेमर्स-क्रोनिग संबंधों में प्रकट होता है, विद्युत संवेदनशीलता हैe= एन2 − 1.

प्रकाशिकी में फैलाव का सबसे अधिक देखा जाने वाला परिणाम विद्युतचुंबकीय स्पेक्ट्रम का पृथक्करण है#दृश्य विकिरण (प्रकाश) त्रिकोणीय प्रिज्म (प्रकाशिकी) द्वारा ऑप्टिकल स्पेक्ट्रम में। स्नेल के नियम से यह देखा जा सकता है कि प्रिज्म में प्रकाश के अपवर्तन का कोण प्रिज्म सामग्री के अपवर्तनांक पर निर्भर करता है। चूंकि वह अपवर्तनांक तरंग दैर्ध्य के साथ बदलता रहता है, इसलिए यह इस प्रकार है कि जिस कोण से प्रकाश अपवर्तित होता है वह तरंग दैर्ध्य के साथ भी भिन्न होता है, जिससे कोणीय फैलाव के रूप में ज्ञात रंगों का कोणीय पृथक्करण होता है।

दृश्य प्रकाश के लिए, अधिकांश पारदर्शी सामग्री (जैसे, वायु, चश्मा) के अपवर्तन सूचकांक n बढ़ते तरंग दैर्ध्य के साथ घटते हैं :
 * $$1 < n(\lambda_{\rm red}) < n(\lambda_{\rm yellow}) < n(\lambda_{\rm blue})\ ,$$

या वैकल्पिक रूप से:
 * $$\frac{dn}{d \lambda} < 0.$$

इस मामले में, माध्यम को सामान्य फैलाव कहा जाता है। जबकि, यदि सूचकांक बढ़ती तरंग दैर्ध्य के साथ बढ़ता है (जो आमतौर पर पराबैंगनी में होता है ), माध्यम को विषम फैलाव कहा जाता है।

हवा या वैक्यूम (~ 1 का सूचकांक) के साथ ऐसी सामग्री के इंटरफेस पर, स्नेल का नियम भविष्यवाणी करता है कि सतह के कोण पर कोण पर प्रकाश की घटना सामान्य कोण पर अपवर्तित होगी ($sin θ⁄n$) इस प्रकार, उच्च अपवर्तनांक वाला नीला प्रकाश, लाल बत्ती की तुलना में अधिक मजबूती से झुकेगा, जिसके परिणामस्वरूप प्रसिद्ध इंद्रधनुष पैटर्न बन जाएगा।

समूह वेग फैलाव
तरंग दैर्ध्य पर चरण वेग में परिवर्तन का वर्णन करने के अलावा, कई अनुप्रयोगों में फैलाव का और अधिक गंभीर परिणाम समूह वेग फैलाव (जीवीडी) कहा जाता है। जबकि चरण वेग v को v =. के रूप में परिभाषित किया गया है $c⁄n$, यह केवल आवृत्ति घटक का वर्णन करता है। जब विभिन्न आवृत्ति घटकों को जोड़ा जाता है, जैसे कि सिग्नल या पल्स पर विचार करते समय, अक्सर समूह वेग में अधिक रुचि होती है जो उस गति का वर्णन करती है जिस पर तरंग (मॉड्यूलेशन) पर आरोपित नाड़ी या सूचना फैलती है। साथ में एनीमेशन में, यह देखा जा सकता है कि तरंग स्वयं (नारंगी-भूरा) चरण वेग से यात्रा करती है जो कि लिफाफा (काला) की गति से बहुत तेज है जो समूह वेग से मेल खाती है। उदाहरण के लिए, यह पल्स संचार संकेत हो सकता है, और इसकी जानकारी केवल समूह वेग दर पर यात्रा करती है, भले ही इसमें तेज दर (चरण वेग) पर आगे बढ़ने वाले वेवफ्रंट शामिल हों।

समूह वेग की गणना अपवर्तनांक वक्र n(ω) या अधिक से सीधे वेवनंबर k = n/c से करना संभव है जहां रेडियन आवृत्ति ω=2πf है। जबकि चरण वेग के लिए व्यंजक v. हैp=ω/k, समूह वेग को व्युत्पन्न का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है: vg= डीω / डीके। या चरण वेग के संदर्भ में vp,


 * $${v_ g} = \frac{v_p} { 1 - \frac{\omega}{v_p} \frac{dv_p}{d\omega} }.$$

जब फैलाव मौजूद होता है, तो न केवल समूह वेग चरण वेग के बराबर नहीं होगा, बल्कि आम तौर पर तरंगदैर्ध्य के साथ बदलता रहता है। इसे समूह वेग फैलाव के रूप में जाना जाता है और प्रकाश की छोटी नाड़ी को चौड़ा करने का कारण बनता है, क्योंकि नाड़ी के भीतर विभिन्न आवृत्ति घटक विभिन्न वेगों पर यात्रा करते हैं। समूह वेग फैलाव को रेडियन आवृत्ति के संबंध में समूह वेग के व्युत्क्रम के व्युत्पन्न के रूप में निर्धारित किया जाता है जिसके परिणामस्वरूप समूह वेग फैलाव होता है =$d^{2}k⁄dω^{2}$.

यदि प्रकाश नाड़ी को सकारात्मक समूह-वेग फैलाव वाली सामग्री के माध्यम से प्रचारित किया जाता है, तो छोटे तरंग दैर्ध्य घटक लंबे तरंग दैर्ध्य घटकों की तुलना में धीमी गति से यात्रा करते हैं। इसलिए नाड़ी सकारात्मक रूप से चहकती है, या समय के साथ आवृत्ति में वृद्धि होती है। दूसरी ओर, यदि नाड़ी नकारात्मक समूह-वेग फैलाव वाली सामग्री के माध्यम से यात्रा करती है, तो छोटे तरंग दैर्ध्य घटक लंबे समय से अधिक तेजी से यात्रा करते हैं, और नाड़ी नकारात्मक रूप से चहकती है, या समय के साथ आवृत्ति में कमी आती है।

ध्वनिक डोमेन में नकारात्मक रूप से चहकने वाले सिग्नल का दैनिक उदाहरण वेल्डेड ट्रैक पर विकृतियों से टकराने वाली ट्रेन का है। ट्रेन के कारण होने वाली ध्वनि स्वयं आवेगी होती है, और हवा की तुलना में धातु की पटरियों में बहुत तेजी से यात्रा करती है, ताकि ट्रेन आने से पहले अच्छी तरह से सुनी जा सके। हालाँकि दूर से इसे आवेगों के कारण के रूप में नहीं सुना जाता है, लेकिन ट्रैक के कंपन मोड की जटिलता के कारण होने वाली गूंज के बीच विशिष्ट अवरोही चहक की ओर जाता है। समूह वेग फैलाव को सुना जा सकता है कि ध्वनियों की मात्रा आश्चर्यजनक रूप से लंबे समय तक, कई सेकंड तक श्रव्य रहती है।

समूह वेग फैलाव पैरामीटर:
 * $$D = \frac{1}{c} \, \frac{d n}{d \lambda}. $$

अक्सर जीवीडी को मापने के लिए प्रयोग किया जाता है, जो कि नकारात्मक कारक के माध्यम से डी के समानुपाती होता है:
 * $$D = - \frac{2\pi c}{\lambda^2} \, \frac{d^2k}{d\omega^2} . $$

कुछ लेखकों के अनुसार माध्यम को निश्चित निर्वात तरंग दैर्ध्य के लिए सामान्य फैलाव/विसंगत फैलाव कहा जाता है।0 यदि अपवर्तन सूचकांक के दूसरे व्युत्पन्न की गणना λ. में की जाती है0 सकारात्मक/नकारात्मक है या, समान रूप से, यदि D(λ .)0) नकारात्मक/सकारात्मक है। यह परिभाषा समूह वेग फैलाव से संबंधित है और इसे पिछले खंड में दिए गए के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। दो परिभाषाएँ सामान्य रूप से मेल नहीं खाती हैं, इसलिए पाठक को संदर्भ को समझना होगा।

फैलाव नियंत्रण
जीवीडी का परिणाम, चाहे नकारात्मक हो या सकारात्मक, अंततः नाड़ी का अस्थायी प्रसार है। यह ऑप्टिकल फाइबर पर आधारित ऑप्टिकल संचार प्रणालियों में फैलाव प्रबंधन को अत्यंत महत्वपूर्ण बनाता है, क्योंकि यदि फैलाव बहुत अधिक है, तो बिट-स्ट्रीम का प्रतिनिधित्व करने वाले दालों का समूह समय में फैल जाएगा और विलय हो जाएगा, जिससे बिट-स्ट्रीम को समझ में नहीं आएगा। यह फाइबर की लंबाई को सीमित करता है कि पुनर्जनन के बिना संकेत नीचे भेजा जा सकता है। इस समस्या का संभावित उत्तर ऑप्टिकल फाइबर को तरंग दैर्ध्य पर सिग्नल भेजना है जहां जीवीडी शून्य है (उदाहरण के लिए, सिलिका फाइबर में लगभग 1.3-1.5 माइक्रोन), इसलिए इस तरंग दैर्ध्य पर दालों को फैलाव से कम से कम फैलता है। व्यवहार में, हालांकि, यह दृष्टिकोण हल करने की तुलना में अधिक समस्याओं का कारण बनता है क्योंकि शून्य जीवीडी अस्वीकार्य रूप से अन्य गैर-रेखीय प्रभावों (जैसे चार तरंग मिश्रण) को बढ़ाता है। अन्य संभावित विकल्प नकारात्मक फैलाव के शासन में सॉलिटॉन (प्रकाशिकी) दालों का उपयोग करना है, ऑप्टिकल पल्स का रूप जो अपने आकार को स्वयं बनाए रखने के लिए गैर-रेखीय प्रकाशिकी प्रभाव का उपयोग करता है। हालांकि, सॉलिटॉन के पास व्यावहारिक समस्या है कि उन्हें नाड़ी में निश्चित शक्ति स्तर बनाए रखने की आवश्यकता होती है ताकि गैर-रेखीय प्रभाव सही ताकत का हो। इसके बजाय, वर्तमान में व्यवहार में उपयोग किया जाने वाला समाधान फैलाव क्षतिपूर्ति करना है, आमतौर पर फाइबर को विपरीत-चिह्न फैलाव के दूसरे फाइबर के साथ मिलान करके ताकि फैलाव प्रभाव रद्द हो जाए; इस तरह की क्षतिपूर्ति अंततः स्व-चरण मॉडुलन जैसे गैर-रेखीय प्रभावों द्वारा सीमित होती है, जो फैलाव के साथ परस्पर क्रिया करती है जिससे इसे पूर्ववत करना बहुत मुश्किल हो जाता है।

अल्ट्राशॉर्ट पल्स उत्पन्न करने वाले लेज़र ों में फैलाव नियंत्रण भी महत्वपूर्ण है। लेजर द्वारा उत्सर्जित स्पंदों की अवधि निर्धारित करने में लेजर निर्माण का समग्र फैलाव प्रमुख कारक है। प्रिज्म (प्रकाशिकी) की जोड़ी को शुद्ध नकारात्मक फैलाव उत्पन्न करने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है, जिसका उपयोग लेजर माध्यम के आमतौर पर सकारात्मक फैलाव को संतुलित करने के लिए किया जा सकता है। विवर्तन झंझरी का उपयोग फैलाव प्रभाव उत्पन्न करने के लिए भी किया जा सकता है; इनका उपयोग अक्सर उच्च-शक्ति वाले लेजर एम्पलीफायर सिस्टम में किया जाता है। हाल ही में, प्रिज्म और झंझरी का विकल्प विकसित किया गया है: चहकते हुए दर्पण। ये ढांकता हुआ दर्पण लेपित होते हैं ताकि विभिन्न तरंग दैर्ध्य में अलग-अलग प्रवेश लंबाई हो, और इसलिए अलग-अलग समूह देरी हो। शुद्ध नकारात्मक फैलाव प्राप्त करने के लिए कोटिंग परतों को सिलवाया जा सकता है।

वेवगाइड में
वेवगाइड्स उनकी ज्यामिति (केवल उनकी भौतिक संरचना के बजाय) के कारण अत्यधिक फैलाव वाले होते हैं। ऑप्टिकल फाइबर आधुनिक दूरसंचार प्रणालियों में व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली ऑप्टिकल आवृत्तियों (प्रकाश) के लिए प्रकार का वेवगाइड है। जिस दर पर डेटा को फाइबर पर ले जाया जा सकता है वह अन्य घटनाओं के बीच रंगीन फैलाव के कारण पल्स ब्रॉडिंग द्वारा सीमित है।

सामान्य तौर पर, वेवगाइड मोड के लिए कोणीय आवृत्ति ω (β) के साथ प्रसार स्थिरांक β (ताकि प्रसार दिशा में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र z ई के आनुपातिक रूप से दोलन करते हैं)i(βz−ωt)), समूह-वेग फैलाव पैरामीटर D को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$D = -\frac{2\pi c}{\lambda^2} \frac{d^2 \beta}{d\omega^2} = \frac{2\pi c}{v_g^2 \lambda^2} \frac{dv_g}{d\omega}$$

जहां =$2\pic⁄ω$ निर्वात तरंगदैर्घ्य है और vg = $dω⁄dβ$ समूह वेग है। यह सूत्र सजातीय मीडिया के लिए पिछले अनुभाग में को सामान्य करता है, और इसमें वेवगाइड फैलाव और सामग्री फैलाव दोनों शामिल हैं। परिक्षेपण को इस प्रकार परिभाषित करने का कारण यह है कि |D| (एसिम्प्टोटिक) टेम्पोरल पल्स फैल रहा है t प्रति यूनिट बैंडविड्थ प्रति इकाई दूरी की यात्रा, आमतौर पर ऑप्टिकल फाइबर के लिए पीकोसैकन्ड / नैनोमीटर / किलोमीटर में रिपोर्ट की जाती है।

बहु-मोड ऑप्टिकल फाइबर के मामले में, तथाकथित मोडल फैलाव भी नाड़ी को चौड़ा कर देगा। सिंगल-मोड फाइबर में भी, ध्रुवीकरण मोड फैलाव के परिणामस्वरूप पल्स चौड़ीकरण हो सकता है (क्योंकि अभी भी दो ध्रुवीकरण मोड हैं)। ये रंगीन फैलाव के उदाहरण नहीं हैं क्योंकि ये तरंगदैर्घ्य पर निर्भर नहीं हैं या स्पंदनों के वर्णक्रमीय लिनिविथ प्रचारित नहीं हैं।

व्यापक बैंडविड्थ पर उच्च-क्रम फैलाव
जब एकल तरंग पैकेट में आवृत्तियों की विस्तृत श्रृंखला (एक व्यापक बैंडविड्थ) मौजूद होती है, जैसे कि अल्ट्राशॉर्ट पल्स या चिरप्ड पल्स या रंगावली विस्तार ट्रांसमिशन के अन्य रूपों में, यह स्थिरांक द्वारा फैलाव का अनुमान लगाने के लिए सटीक नहीं हो सकता है। संपूर्ण बैंडविड्थ, और पल्स स्प्रेडिंग जैसे प्रभावों की गणना करने के लिए अधिक जटिल गणनाओं की आवश्यकता होती है।

विशेष रूप से, ऊपर परिभाषित फैलाव पैरामीटर डी समूह वेग के केवल व्युत्पन्न से प्राप्त होता है। उच्च व्युत्पन्न को उच्च-क्रम फैलाव के रूप में जाना जाता है। ये शब्द किसी विशेष आवृत्ति के आसपास माध्यम या वेवगाइड के फैलाव संबंध β(ω) के टेलर श्रृंखला विस्तार हैं। उनके प्रभावों की गणना तरंग के फूरियर रूपांतरणों के संख्यात्मक मूल्यांकन के माध्यम से की जा सकती है, उच्च-क्रम के धीरे-धीरे अलग-अलग लिफाफा सन्निकटन के एकीकरण के माध्यम से, विभाजन-चरण विधि द्वारा (जो टेलर श्रृंखला के बजाय सटीक फैलाव संबंध का उपयोग कर सकते हैं), या प्रत्यक्ष द्वारा अनुमानित लिफाफा समीकरण के बजाय पूर्ण मैक्सवेल के समीकरणों का अनुकरण।

स्थानिक फैलाव
इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स और ऑप्टिक्स में, शब्द फैलाव आमतौर पर उपरोक्त अस्थायी या आवृत्ति फैलाव को संदर्भित करता है। स्थानिक फैलाव अंतरिक्ष में माध्यम की गैर-स्थानीय प्रतिक्रिया को संदर्भित करता है; इसे परमिटिटी की वेववेक्टर निर्भरता के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। अनुकरणीय एनिसोट्रॉपिक माध्यम के लिए, विद्युत क्षेत्र और विद्युत विस्थापन क्षेत्र के बीच स्थानिक संबंध को संकल्प के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$D_i(t,r)=E_i(t,r)+ \int_{0}^{\infty} \int f_{ik}(\tau;r,r')E_k(t-\tau,r')dV'd\tau,$$

जहां इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म $$f_{ik}$$ ढांकता हुआ प्रतिक्रिया (संवेदनशीलता) है; इसके सूचकांक माध्यम के अनिसोट्रॉपी के लिए इसे सामान्य रूप से टेन्सर बनाते हैं। अधिकांश मैक्रोस्कोपिक मामलों में स्थानिक फैलाव नगण्य है, जहां भिन्नता का पैमाना $$E_k(t-\tau,r')$$ परमाणु आयामों की तुलना में बहुत बड़ा है, क्योंकि ढांकता हुआ कर्नेल मैक्रोस्कोपिक दूरी पर मर जाता है। फिर भी, इसके परिणामस्वरूप गैर-नगण्य मैक्रोस्कोपिक प्रभाव हो सकते हैं, विशेष रूप से धातु ओं, इलेक्ट्रोलाइट ्स और प्लाज्मा (भौतिकी) जैसे मीडिया के संचालन में। स्थानिक फैलाव ऑप्टिकल रोटेशन और डॉपलर चौड़ीकरण में भी भूमिका निभाता है, साथ ही मेटामटेरियल ्स के सिद्धांत में।

रत्न विज्ञान में
जेमोलॉजी की तकनीकी शब्दावली में, फैलाव बी और जी (686.7 नैनोमीटर और 430.8 एनएम) या सी और एफ (656.3 एनएम और 486.1 एनएम) फ्रौनहोफर लाइन्स पर सामग्री के अपवर्तक सूचकांक में अंतर है, और यह व्यक्त करने के लिए है जिस हद तक रत्न से काटे गए प्रिज्म में आग दिखाई देती है। अग्नि बोलचाल का शब्द है जिसका उपयोग जेमोलॉजिस्ट द्वारा रत्न की फैलाव प्रकृति या उसके अभाव का वर्णन करने के लिए किया जाता है। फैलाव भौतिक संपत्ति है। किसी दिए गए रत्न द्वारा प्रदर्शित आग की मात्रा रत्न के पहलू कोणों, पॉलिश की गुणवत्ता, प्रकाश वातावरण, सामग्री के अपवर्तक सूचकांक, रंग की संतृप्ति और रत्न के सापेक्ष दर्शक के उन्मुखीकरण का कार्य है।

इमेजिंग में
फोटोग्राफिक और सूक्ष्म लेंस में, फैलाव रंगीन विपथन का कारण बनता है, जिससे छवि में विभिन्न रंग ठीक से ओवरलैप नहीं होते हैं। इसका प्रतिकार करने के लिए विभिन्न तकनीकों का विकास किया गया है, जैसे कि अक्रोमैट का उपयोग, विभिन्न फैलाव के चश्मे के साथ बहु-तत्व लेंस। उनका निर्माण इस तरह से किया जाता है कि विभिन्न भागों के रंगीन विपथन रद्द हो जाते हैं।

पलसर उत्सर्जन
धड़कन र न्यूट्रॉन तारे कताई कर रहे हैं जो मिलीसेकंड से लेकर सेकंड तक बहुत नियमित अंतराल पर दालों का उत्सर्जन करते हैं। खगोलविदों का मानना ​​​​है कि दालों को साथ व्यापक आवृत्तियों पर उत्सर्जित किया जाता है। हालाँकि, जैसा कि पृथ्वी पर देखा गया है, उच्च रेडियो आवृत्तियों पर उत्सर्जित प्रत्येक पल्स के घटक कम आवृत्तियों पर उत्सर्जित होने से पहले आते हैं। यह फैलाव तारे के बीच के माध्यम के आयनित घटक के कारण होता है, मुख्यतः मुक्त इलेक्ट्रॉन, जो समूह वेग आवृत्ति को निर्भर करते हैं। आवृत्ति पर अतिरिक्त विलंब जोड़ा गया $ν$ है
 * $$t = k_\mathrm{DM} \cdot \left(\frac{\mathrm{DM}}{\nu^2}\right)$$

जहां फैलाव निरंतर kDM द्वारा दिया गया है
 * $$ k_\mathrm{DM} = \frac{e^2}{2 \pi m_\mathrm{e}c} \simeq 4.149\, \mathrm{GHz}^2\,\mathrm{pc}^{-1}\,\mathrm{cm}^3\,\mathrm{ms} ,$$

और फैलाव माप (DM) मुक्त इलेक्ट्रॉनों का स्तंभ घनत्व ( कुल इलेक्ट्रॉन सामग्री ) है - यानी इलेक्ट्रॉनों की संख्या घनत्व ne (इलेक्ट्रॉन/सेमी3) पल्सर से पृथ्वी तक फोटॉन द्वारा यात्रा किए गए पथ के साथ एकीकृत - और द्वारा दिया गया है
 * $$\mathrm{DM} = \int_0^d{n_e\,dl}$$

प्रति घन सेंटीमीटर पारसेक की इकाइयों के साथ (1 पीसी/सेमी3 = 30.857 × 1021 एम-2)।

आमतौर पर खगोलीय टिप्पणियों के लिए, इस देरी को सीधे नहीं मापा जा सकता है, क्योंकि उत्सर्जन का समय अज्ञात है। जो मापा जा सकता है वह दो अलग-अलग आवृत्तियों पर आगमन के समय में अंतर है। उच्च आवृत्ति के बीच देरी t $ν$hi और कम आवृत्ति $ν$lo पल्स का घटक होगा
 * $$\Delta t = k_\mathrm{DM} \cdot \mathrm{DM} \cdot \left( \frac{1}{\nu_{\mathrm{lo}}^2} - \frac{1}{\nu_{\mathrm{hi}}^2} \right)$$

t के संदर्भ में उपरोक्त समीकरण को फिर से लिखना किसी को कई आवृत्तियों पर पल्स आगमन समय को मापकर डीएम निर्धारित करने की अनुमति देता है। यह बदले में इंटरस्टेलर माध्यम का अध्ययन करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है, साथ ही साथ विभिन्न आवृत्तियों पर पल्सर के अवलोकनों को संयोजित करने की अनुमति देता है।

यह भी देखें

 * अब्बे नंबर
 * कांच के गुणों की गणना सहित। फैलाव
 * कॉची का समीकरण
 * विक्षेपण संबंध
 * तेज रेडियो फट (खगोल विज्ञान)
 * उतार-चढ़ाव प्रमेय
 * हरा-कुबो संबंध
 * समूह देरी
 * इंट्रामॉडल फैलाव
 * क्रेमर्स-क्रोनिग संबंध
 * रैखिक प्रतिक्रिया समारोह
 * बहु-प्रिज्म फैलाव सिद्धांत
 * सेलमेयर समीकरण
 * अल्ट्राशॉर्ट पल्स
 * वस्तुतः छविबद्ध चरणबद्ध सरणी

बाहरी संबंध

 * Dispersive Wiki – discussing the mathematical aspects of dispersion.
 * Dispersion – Encyclopedia of Laser Physics and Technology
 * Animations demonstrating optical dispersion by QED
 * Interactive webdemo for chromatic dispersion Institute of Telecommunications, University of Stuttgart