रूपक (गणित)

संवर्ग सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, एक रूपक एक संवर्ग (गणित) है जिसमें संवर्ग रिले का सेट (गणित) की कुछ संरचना और उनके बीच द्विआधारी संबंध होते हैं। रूपक का उपयोग संबंधों की श्रेणियों के अमूर्तन के रूप में किया जा सकता है, और इस अर्थ में रूपक का सिद्धांत विभिन्न प्रकार के संबंधों के लिए संबंध बीजगणित का एक सामान्यीकरण है। संवर्ग सिद्धांत में कुछ निर्माणों को परिभाषित करने और जांच करने में भी रूपक उपयोगी होते हैं, जैसे कि नियमित संवर्ग पूर्णताएं।

इस लेख में हम इस परिपाटी को अपनाते हैं कि आकारिता दाएँ से बाएँ की ओर बनता है, इसलिए RS का अर्थ है "पहले S करें, फिर R करें"।

परिभाषा
रूपक एक संवर्ग (गणित) है जिसमें ऐसा सब कुछ यहां, हम प्रतिच्छेदन द्वारा परिभाषित क्रम का उपयोग करके संक्षिप्तीकरण कर रहे हैं: $$R \subseteq S$$ साधन $$R = R\cap S.$$ रूपक का पहला उदाहरण समुच्चय और संबंधों की श्रेणी है। इस रूपक का उद्देश्य (संवर्ग सिद्धांत) सेट और एक आकारिता है $$X \to Y$$ के बीच एक द्विआधारी संबंध है $X$ और $Y$. आकारिकी की संरचना संबंधों की संरचना है, और विरोधी संलयन है $$R$$ विपरीत संबंध है $$R^\circ$$: $$y R^\circ x$$ यदि और केवल यदि $$xRy$$. आकारिता का प्रतिच्छेदन संबंधों का (सेट-सैद्धांतिक) प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है।
 * प्रत्येक आकारिता $$R\colon X\to Y$$ एक प्रतिरोध-अंतर्वलन, अर्थात एक आकारिता से जुड़ा हुआ है $$R^\circ\colon Y\to X$$ साथ $$R^{\circ\circ} = R$$ और $$(RS)^\circ = S^\circ R^\circ\text{;}$$ और आकारिकी का प्रत्येक जोड़ा $$R,S \colon X\to Y$$ सामान्य डोमेन/कोडोमेन के साथ एक प्रतिच्छेदन, अर्थात एक आकारिता जुड़ा हुआ है $$R \cap S\colon X\to Y$$
 * अंतरायोजी इडेम्पोटेंट हैं: $$R\cap R = R,$$ क्रमविनिमेय: $$R\cap S = S\cap R,$$ और सहयोगी: $$(R\cap S)\cap T = R\cap (S\cap T);$$
 * प्रतिच्छेदन पर प्रतिरोध-अंतर्वलन पर वितरित होता है: $$(R\cap S)^\circ = S^\circ \cap R^\circ;$$
 * रचना प्रतिच्छेदन पर अर्ध-वितरणात्मक है: $$R(S\cap T) \subseteq RS\cap RT$$ और $$(R\cap S)T \subseteq RT\cap ST;$$ और
 * मॉड्यूलैरिटी नियम संतुष्ट है: $$RS \cap T \subseteq (R\cap TS^\circ)S.$$

नियमित श्रेणियों में संबंधों के रूपक
एक संवर्ग में $C$, वस्तुओं के बीच एक संबंध $X$ और $Y$ आकारिता का एक विस्तार (संवर्ग सिद्धांत) है $$X\gets R\to Y$$ वह संयुक्त रूप से एकरूपता है। ऐसे दो स्पैन $$X\gets S\to Y$$ और $$X\gets T\to Y$$ जब बीच में समरूपता होती है तो समतुल्य माना जाता है $S$ और $T$ जो हर चीज़ को आवागमन योग्य बनाता है; सख्ती से कहें तो, संबंधों को केवल समतुल्यता तक परिभाषित किया जाता है (कोई इसे समतुल्य वर्गों का उपयोग करके या द्विसंवर्ग का उपयोग करके औपचारिक रूप दे सकता है)।यदि श्रेणी सी में उत्पाद हैं, तो X और Y के बीच एक संबंध X × Y (या इस तरह के एक समतुल्य वर्ग) में एकरूपता के समान है। पुलबैक (संवर्ग सिद्धांत) और एक उचित कारकीकरण प्रणाली की उपस्थिति में, कोई संबंधों की संरचना को परिभाषित कर सकता है। रचना $$X\gets R\to Y\gets S\to Z$$ पहले कॉस्पैन को पीछे खींचकर पाया जाता है $$R\to Y\gets S$$ और फिर परिणामी अवधि की संयुक्त-मोनिक छवि लेना $$X\gets R\gets\bullet\to S\to Z.$$ यदि गुणनखंड प्रणाली उचित रूप से स्थिर हो तो संबंधों की संरचना साहचर्यपूर्ण होगी। इस स्थितिे में, कोई एक संवर्ग पर विचार कर सकता है $Rel(C)$, समान वस्तुओं के साथ $C$, लेकिन जहां आकारिता वस्तुओं के बीच संबंध हैं। पहचान संबंध विकर्ण हैं $$X \to X\times X.$$ एक नियमित संवर्ग (परिमित सीमाओं और छवियों वाली एक संवर्ग जिसमें पुलबैक के अनुसार कवर स्थिर होते हैं) में एक स्थिर नियमित एपी/मोनो गुणन प्रणाली होती है। एक नियमित संवर्ग के लिए संबंधों की संवर्ग हमेशा एक रूपक होती है। संबंध के स्रोत/लक्ष्य को चारों ओर घुमाकर प्रतिरोध-अंतर्वलन को परिभाषित किया गया है, और अंतरायोजी उप-वस्तुओं के अंतरायोजी हैं, जिनकी गणना पुलबैक द्वारा की जाती है।

रूपक और सारणी में मैप
एक आकारिता $R$ एक रूपक में $A$ यदि वह संपूर्ण है तो उसे मैप कहा जाता है $$(1\subseteq R^\circ R)$$ और नियतिवादी $$(RR^\circ \subseteq 1).$$ इसे कहने का दूसरा तरीका यह है कि मैप एक आकारिता है जिसमें एक सहायक कारक होता है $A$ जब $A$ को स्थानीय प्रणाली संरचना का उपयोग करते हुए 2-संवर्ग के रूप में माना जाता है। रूपक में मैप पहचान और संरचना के अंतर्गत बंद होते हैं। इस प्रकार, एक उपसंवर्ग है $Map(A)$ का $A$ समान वस्तुओं के साथ लेकिन केवल आकारिकी के रूप में मैप। नियमित संवर्ग के लिए $C$, श्रेणियों की एक समरूपता है $$C \cong \operatorname{Map}(\operatorname{Rel}(C)).$$ विशेष रूप से, में एक आकारिता $Map(Rel(Set))$ सिर्फ एक सामान्य फलन (गणित) है।

एक रूपक में, एक आकारिता $$R\colon X\to Y$$ मैप की एक जोड़ी द्वारा सारणीबद्ध किया गया है $$f\colon Z\to X$$ और $$g\colon Z\to Y$$ यदि $$gf^\circ = R$$ और $$f^\circ f \cap g^\circ g = 1.$$ एक रूपक को सारणीबद्ध कहा जाता है यदि प्रत्येक आकारिता में एक सारणी हो। नियमित संवर्ग के लिए $C$, रूपक $Rel(C)$ हमेशा सारणीबद्ध होता है। दूसरी ओर, किसी सारणीबद्ध रूपक के लिए $A$, संवर्ग Map( A)}मैप की } स्थानीय रूप से नियमित संवर्ग है: इसमें पुलबैक, समकरी (गणित), और छवियां हैं जो पुलबैक के अनुसार स्थिर हैं। यह संबंधों का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त है $Map(A)$, और इस सेटिंग में, $$A\cong \operatorname{Rel}(\operatorname{Map}(A)).$$ है।

एकात्मक रूपक और मैप की नियमित श्रेणियाँ
रूपक में एक इकाई एक वस्तु है $U$ जिसके लिए पहचान सबसे बड़ा आकारिता है $$U\to U,$$ और ऐसा कि हर दूसरी वस्तु से, एक संपूर्ण संबंध होता है $U$. इकाई वाले रूपक को एकात्मक कहा जाता है। एक सारणीबद्ध रूपक दिया गया है $A$, संवर्ग $Map(A)$ एक नियमित संवर्ग है (इसमें एक टर्मिनल वस्तु  है) यदि और केवल यदि $A$ एकात्मक है।

रूपक के अधिक परिष्कृत प्रकार
रूपकों के अतिरिक्त गुणों को अक्षीयकरण किया जा सकता है। वितरणात्मक रूपक में एक संघ (सेट सिद्धांत) जैसा संचालन होता है जो उपयुक्त रूप से अच्छा व्यवहार करता है और विभाजन रूपक में संबंध बीजगणित के विभाजन संक्रिया का सामान्यीकरण होता है। पावर रूपक अतिरिक्त सत्ता स्थापित  जैसी संरचना के साथ वितरणात्मक विभाजन रूपक हैं। रूपक और नियमित श्रेणियों के बीच संबंध को शक्ति रूपक और टोपोज़ के बीच संबंध के रूप में विकसित किया जा सकता है।

संदर्भ