लिफ्ट (गणित)

श्रेणी सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक रूपवाद f: f = g∘h. हम कहते हैं कि f गणितीय शब्दजाल#कारक की सूची h के माध्यम से।

टोपोलॉजी में एक बुनियादी उदाहरण एक टोपोलॉजिकल स्पेस में एक पथ (टोपोलॉजी) को जगह को कवर करना  में एक पथ तक उठाना है। उदाहरण के लिए, एक गोले पर विपरीत बिंदुओं को एक ही बिंदु पर मैप करने पर विचार करें, प्रक्षेप्य तल को कवर करने वाले गोले से एक सतत फ़ंक्शन (टोपोलॉजी)। प्रक्षेप्य तल में एक पथ इकाई अंतराल [0,1] से एक सतत मानचित्र है। हम गोले के दो बिंदुओं में से किसी एक को चुनकर पथ के पहले बिंदु पर मैप करके ऐसे पथ को गोले तक उठा सकते हैं, फिर निरंतरता बनाए रख सकते हैं। इस मामले में, दो प्रारंभिक बिंदुओं में से प्रत्येक गोले पर एक अद्वितीय पथ को बल देता है, प्रक्षेप्य तल में पथ की लिफ्ट। इस प्रकार रूपात्मकता के रूप में निरंतर मानचित्रों के साथ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी में, हमारे पास है
 * $$\begin{align}

f\colon\, &[0,1] \to \mathbb{RP}^2 &&\ \text{ (projective plane path)} \\ g\colon\, &S^2 \to \mathbb{RP}^2 &&\ \text{ (covering map)} \\ h\colon\, &[0,1] \to S^2 &&\ \text{ (sphere path)} \end{align}$$ लिफ्टें सर्वव्यापी हैं; उदाहरण के लिए, कंपन की परिभाषा ( होमोटोपी उठाने वाली संपत्ति देखें) और अलग-अलग रूपवाद के मूल्यांकन मानदंड और योजना (गणित) के उचित मानचित्र अस्तित्व के संदर्भ में तैयार किए जाते हैं और (अंतिम मामले में) कुछ लिफ्टों की विशिष्टता प्रमेय।

बीजगणितीय टोपोलॉजी और होमोलॉजिकल बीजगणित में, टेंसर उत्पाद और मैं एक आदमी के रूप में काम करता हूं टेंसर-होम एडजंक्शन हैं; हालाँकि, हो सकता है कि वे हमेशा एक सटीक अनुक्रम तक न पहुँचें। इससे एक्सट ऑपरेटर  और  टोर काम करता है  की परिभाषा सामने आती है।

बीजगणितीय तर्क
जब परिमाणक (तर्क)तर्क) को स्थापित डोमेन और बाइनरी संबंधों की श्रेणियों में स्थानांतरित कर दिया जाता है, तो प्रथम-क्रम विधेय तर्क के नोटेशन को सुव्यवस्थित किया जाता है। गुंथर श्मिट और माइकल विंटर ने अपनी पुस्तक रिलेशनल टोपोलॉजी में टोपोलॉजी की पारंपरिक तार्किक अभिव्यक्तियों को संबंधों की गणना तक उठाने की विधि का वर्णन किया है। उनका लक्ष्य अवधारणाओं को एक संबंधपरक स्तर तक उठाना है, जिससे वे बिंदु मुक्त और साथ ही मात्रात्मक मुक्त हो सकें उन्हें प्रथम क्रम विधेय तर्क की शैली से मुक्त करना और बीजगणितीय तर्क की स्पष्टता तक पहुंचना।

उदाहरण के लिए, एक आंशिक फ़ंक्शन एम समावेशन से मेल खाता है $$M^T ; M \subseteq I$$ कहाँ $$I$$ एम की सीमा पर पहचान संबंध को दर्शाता है। परिमाणीकरण के लिए संकेतन छिपा हुआ है और संबंधपरक संचालन (यहां ट्रांसपोज़िशन और संरचना) और उनके नियमों की टाइपिंग में गहराई से शामिल रहता है।

वृत्त मानचित्र
किसी वृत्त के मानचित्रों के लिए, वास्तविक रेखा तक लिफ्ट की परिभाषा थोड़ी भिन्न होती है (एक सामान्य अनुप्रयोग रोटेशन संख्या की गणना है)। एक वृत्त पर एक नक्शा दिया गया है, $$T:\text{S}\rightarrow\text{S}$$, की एक लिफ्ट $$T$$, $$F_T$$, क्या कोई मानचित्र वास्तविक रेखा पर है, $$F_T:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}$$, जिसके लिए एक प्रक्षेपण मौजूद है (या, कवरिंग स्पेस), $$\pi: \mathbb{R} \rightarrow \text{S}$$, ऐसा है कि $$\pi \circ F_T = T \circ \pi$$.

यह भी देखें

 * स्थान को कवर करना
 * प्रोजेक्टिव मॉड्यूल
 * औपचारिक रूप से चिकना नक्शा एक असीम उठाने वाली संपत्ति को संतुष्ट करता है।
 * श्रेणियों में संपत्ति उठाना
 * मोन्स्की-वॉश्निट्ज़र कोहोलॉजी पी-एडिक किस्मों को विशेषता शून्य तक ले जाती है।
 * एसबीआई रिंग बेरोजगारों को जैकबसन रेडिकल से ऊपर उठाने की अनुमति देती है।
 * इकेदा लिफ्ट
 * सीगल मॉड्यूलर रूपों की मियावाकी लिफ्ट
 * मॉड्यूलर रूपों की सैटो-कुरोकावा लिफ्ट
 * घूर्णन संख्या वृत्त की समरूपता को वास्तविक रेखा तक उठाने का उपयोग करती है।
 * अंकगणित ज्यामिति: एंड्रयू विल्स (1995) मॉड्यूलरिटी लिफ्टिंग
 * हेंसल की लेम्मा
 * मोनाड (फ़ंक्शनल प्रोग्रामिंग) सरल ऑपरेटरों को मोनाडिक रूप में लाने के लिए मैप फ़ंक्शनल का उपयोग करता है।
 * स्पर्शरेखा बंडल#लिफ्ट्स