पोंट्रीगिन द्वैत

गणितीय में, पोन्ट्रियाजिन द्विविधता स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों के मध्य एक द्विविधता है, जो सामान्य रूप से फूरियर को ऐसे सभी समूहों में परिवर्तित करने की अनुमति देता है, जिसमें चक्रीय समूह (आकलनांक एक की जटिल संख्याओं का गुणक समूह), परिमित एबेलियन समूह (असतत संस्थितिविज्ञान के साथ) सम्मिलित हैं, और पूर्णांकों का योगात्मक समूह (असतत संस्थितिविज्ञान के साथ भी), वास्तविक संख्याएँ, और $p$-एडिक क्षेत्र पर प्रत्येक परिमित आयामी सदिश स्थान है।

स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह का पोन्ट्रियाजिन द्विक स्थानतः सुसंहत एबेलियन सांस्थितिक समूह है, जो समूह से चक्रीय समूह तक बिन्दुवार गुणक की कार्य प्रणाली और सुसंहत समूह पर एकसमान अभिसरण के संस्थितिविज्ञान के साथ समूह समरूपता द्वारा बनाया गया है। पोन्ट्रियाजिन द्विविधता प्रमेय पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को यह कहते हुए स्थापित करता है कि कोई भी स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह स्वाभाविक रूप से द्विभाषी (इसके द्विक दोहरे) के साथ समरूपीय है। फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय इस प्रमेय की एक विशेष स्थिति है।

इस विषय का नाम लेव पोन्ट्रियाजिन के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1934 में अपने प्रारंभिक गणितीय कार्यों के पर्यन्त स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों और उनके द्विविधता के सिद्धांत की नींव रखी थी। पोन्ट्रियाजिन के उपचार समूहों के दूसरे-गणनीय होने और या तो सुसंहत या असतत होने पर निर्भर था।1935 में एगबर्ट वैन कम्पेन और 1940 में आंद्रे वेइल द्वारा स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों को आच्छादित करने के लिए इसमें सुधार किया गया था।

परिचय
पोन्ट्रियाजिन द्विविधता एकीकृत संदर्भ में वास्तविक रेखा पर या परिमित एबेलियन समूहों पर कार्यों के विषयो में कई टिप्पणियों को प्रस्तुत करता है:


 * वास्तविक रेखा पर उचित रूप से नियमित जटिल-मूल्यवान आवधिक कार्यों में फूरियर श्रृंखला होती है और इन कार्यों को उनकी फूरियर श्रृंखला से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है;
 * वास्तविक रेखा पर उचित रूप से नियमित जटिल-मूल्यवान कार्यों में फूरियर रूपांतरण होते हैं जो वास्तविक रेखाओ पर भी कार्य करते हैं ,और आवधिक कार्यों के लिए, इन कार्यों को उनके फूरियर रूपांतरणों से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है; और
 * एक एबेलियन समूहों पर जटिल-मूल्यवान कार्यों में असतत फूरियर रूपांतरण होते हैं, जो द्विक समूह पर कार्य करते हैं, और जो एक (गैर-प्रामाणिक रूप से) समरूपीय समूह है। इसके अतिरिक्त, परिमित एबेलियन समूह पर कोई भी कार्य इसके असतत फूरियर रूपांतरण से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

लेव पोन्ट्रियाजिन द्वारा प्रस्तुत किया गया सिद्धांत और जॉन वॉन न्यूमैन, आंद्रे वेइल और अन्य द्वारा प्रस्तुत किए गए हार आकलनको के साथ मिलकर स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों के द्विक समूहों के सिद्धांत पर निर्भर करता है।

यह सदिश स्थान के द्विक सदिश स्थान के अनुरूप है: एक परिमित-आयामी सदिश स्थान V और इसका द्विक सदिश स्थान V* स्वाभाविक रूप से समरूपीय नहीं है, परन्तु एक का अंतःरूपांतरण बीजगणितीय (आव्यूह बीजगणितीय) अंतःरूपांतरण के विपरीत समरूपीय है, और दूसरे का बीजगणितीय: $$\text{End}(V) \cong {\text{End}(V^*)}^\text{op},$$ परिवर्त के माध्यम से दर्शाया जाता है। इसी प्रकार एक समूह $$G$$ और इसका द्विक समूह $$\widehat{G}$$ सामान्य रूप से समरूपीय नहीं होते हैं, परन्तु उनके अंतःरूपांतरण के वलय एक दूसरे के विपरीत होते हैं: $$\text{End}(G) \cong \text{End}(\widehat{G})^\text{op}$$अधिक स्पष्ट रूप से, यह केवल अंतःरूपांतरण बीजगणितीय की एक समरूपता नहीं है, बल्कि श्रेणियों की एक विपरीत तुल्यता है। इसके लिए श्रेणीबद्ध विचार देखें।

परिभाषा
एक सांस्थितिक समूह स्थानतः सुसंहत समूह है, यदि अंतर्निहित सांस्थितिक स्थान स्थानतः सुसंहत और हॉसडॉर्फ है; और यदि अंतर्निहित समूह एबेलियन हो तो एक सांस्थितिक समूह एबेलियन है। स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों के उदाहरणों में परिमित एबेलियन समूह, पूर्णांक (दोनों असतत संस्थितिविज्ञान के लिए, जो सामान्य आकलनीय द्वारा भी प्रेरित होते हैं), वास्तविक संख्याएं, चक्रीय समूह टी (दोनों अपने सामान्य आकलनीय संस्थितिविज्ञान के साथ), और पी-एडिक संख्या (उनके सामान्य पी-एडिक संस्थितिविज्ञान के साथ) सम्मिलित हैं।

स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह $$G$$ के लिए, पोन्ट्रियाजिन द्विक समूह $$\widehat G$$ निरंतर समूह समरूपता $$G$$ से चक्रीय समूह $$T$$ है,अर्थात $$\widehat G := \operatorname{Hom}(G, T).$$ पोन्ट्रियाजिन द्विक $$\widehat G$$ सामान्यतः सुसंहत समूह पर समान अभिसरण द्वारा दी गई है, संस्थितिविज्ञान (अर्थात, सभी निरंतर कार्यों के स्थान पर सुसंहत-मुक्त संस्थितिविज्ञान द्वारा प्रेरित संस्थितिविज्ञान $$G$$ को $$T$$) से संपन्न होता है।

उदाहरण के लिए,$$\widehat{\Z/n\Z}= \Z/n\Z,\ \widehat {\Z} = T,\ \widehat {\mathbb R} = \R,\ \widehat T = \Z.$$

पोन्ट्रियाजिन द्विविधता प्रमेय
$$

विहित रूप का अर्थ है कि स्वाभाविक रूप से परिभाषित प्रतिचित्र $$\operatorname{ev}_G\colon G \to \widehat{\widehat{G}}$$ है; और इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि प्रतिचित्र $$G$$ में क्रियाशील होनी चाहिए। विहित समरूपता $$\operatorname{ev}_G$$ पर $$x\in G$$ परिभाषित की गयी है; जो इस प्रकार है : $$ \operatorname{ev}_G(x)(\chi) = \chi(x) \in\mathbb{T}. $$ अर्थात, $$\operatorname{ev}_G(x) : (\chi \mapsto \chi(x)).$$ दूसरे शब्दों में, प्रत्येक समूह तत्व $$x$$ की पहचान द्विक पर मूल्यांकन वर्ण से की जाती है। यह एक परिमित-आयामी सदिश स्थान और इसके द्विक दोहरे, $$V \cong V^{**}$$ के मध्य विहित समरूपता के समान है, और यह उल्लेखनीय है कि कोई भी सदिश स्थान $$V$$ एक एबेलियन समूह है। यदि $$G$$ एक परिमित एबेलियन समूह है, तब $$G \cong \widehat{G}$$ होगा, परन्तु यह समरूपता विहित नहीं है। इस कथन को सटीक (सामान्य रूप से) बनाने के लिए न केवल समूहों पर, बल्कि समूहों के मध्य प्रतिचित्रो पर भी द्वैतीकरण के विषय में विचार करने की आवश्यकता है, ताकि द्वैतीकरण को एक प्रकार्यक के रूप में माना जा सके और पहचान प्रकार्यक को प्रमाणित किया जा सके और द्वैतीकरण प्रकार्यक स्वाभाविक रूप से समकक्ष नहीं हैं। साथ ही द्विविधता प्रमेय का अर्थ है कि किसी भी समूह के लिए (आवश्यक नहीं कि परिमित हो) द्वैतीकरण प्रकार्यक एक सटीक प्रकार्यक है।

हार आकलनक
स्थानतः सुसंहत समूह के विषय में सबसे उल्लेखनीय तथ्यों में से एक $$G$$ है, यह एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय प्राकृतिक आकलन और हार आकलन, जो किसी को पर्याप्त रूप से नियमित उपसमुच्चय $$G$$ के आकार को निरंतर आकलनने की अनुमति देता है। पर्याप्त रूप से नियमित उपसमुच्चय का अर्थ है कि यहां एक बोरेल समूह है, अर्थात्, सुसंहत समूह द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणितीय का एक तत्व है। अधिक सटीक रूप से, स्थानतः सुसंहत समूह पर एक सटीक हार आकलन $$G$$ के बोरेल समूह पर परिभाषित एक योज्य आकलन μ है, $$G$$ जो इस अर्थ में सटीक अपरिवर्तनीय है; $μ(Ax) = μ(A)$ के लिए $$x$$ का एक तत्व $$G$$ और $$A$$ का एक बोरेल उपसमुच्चय $$G$$ और नियमितता की कुछ प्रतिबंधों को भी पूर्ण करता है (हार आकलन पर लेख में विस्तार से बताया गया है)। सकारात्मक क्रम गणक कारकों को छोड़कर, हार आकलन $$G$$ पर अनुपम है।

हार आकलन रहा है कि $$G$$ हमें समूह पर परिभाषित (जटिल संख्या-मूल्यवान) बोरेल कार्यों के लिए अभिन्न की धारणा को परिभाषित करने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, कोई हार आकलन μ से जुड़े विभिन्न Lp स्थानो पर विचार कर सकते है। विशेष रूप से, $$ \mathcal L^p_\mu(G) = \left \{ (f: G \to \Complex) \ \Big| \ \int_G |f(x)|^p\ d \mu(x) < \infty \right \}. $$ ध्यान दें, चूंकि कोई भी दो हार पर आकलन करता है, $$G$$ एक क्रम गणक कारक के समान हैं, यह $$L^p$$- स्थान हार आकलन के चयन से स्वतंत्र है और इस प्रकार सम्भवतः इसे $$L^p(G)$$ लिखा जा सकता है, हालांकि $$L^p$$-इस स्थान पर मानदंड हार आकलन के चयन पर निर्भर करता है, इसलिए यदि कोई समदूरीकता के विषय में विचार विमर्श करना चाहते है तो उपयोग किए जा रहे हार आकलन का पथानुसरण रखना महत्वपूर्ण है।

L1 - प्रकार्य के लिए फूरियर रूपांतरण और फूरियर व्युत्क्रम सूत्र
स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह के द्विक समूह का उपयोग फूरियर रूपांतरण के सार संस्करण के लिए अंतर्निहित स्थान के रूप में किया जाता है। यदि $$f \in L^1(G)$$, तो फूरियर रूपांतरण कार्य $$\widehat f$$ पर $$\widehat{G}$$ द्वारा परिभाषित है: $$ \widehat f(\chi) = \int_G f(x) \overline{\chi(x)}\ d\mu(x),$$ जहां पूर्णांकी हार आकलन के $$\mu$$ पर $$G$$ सापेक्ष है, और यह भी $$(\mathcal{F}f)(\chi)$$ निरूपित है। ध्यान दें, कि फूरियर रूपांतरण हार आकलन के चयन पर निर्भर करता है। यह आलोकन बहुत कठिन नहीं है कि फूरियर एक $$L^1$$ का रूपांतरण करता है, और कार्य चालू है। $$G$$ पर एक परिबद्ध सतत फलन $$\widehat{G}$$ है, जो अनंत पर विलुप्त हो जाता है।

$$

एक समाकलनीय फलन का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण $$\widehat{G}$$ द्वारा दिया गया है; $$ \check{g} (x) = \int_{\widehat{G}} g(\chi) \chi(x)\ d\nu(\chi),$$ जहां पूर्णांकी हार आकलन के सापेक्ष $$\nu$$ है, और द्विक समूह $$\widehat{G}$$ पर आकलन $$\nu$$ पर $$\widehat{G}$$ जो फूरियर व्युत्क्रम सूत्र में प्रकट होता है। जिसे द्विक आकलन कहा जाता है, जहां $$\mu$$ और $$\widehat{\mu}$$ को निरूपित किया जा सकता है।

विभिन्न फूरियर रूपांतरणों को उनके कार्यक्षेत्र और रूपांतरण कार्यक्षेत्र (समूह और द्विक समूह) के संदर्भ में वर्गीकृत किया जा सकता है (ध्यान दें कि एक $$\mathbb T$$ चक्रीय समूह है):

उदाहरण के लिए, मान लीजिए $$G = \R^n$$, ताकि हम विचार सकें कि $$\widehat{G}$$ के रूप में $$\R^n$$ युगलन द्वारा $$(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto e^{i \mathbf{v}\cdot \mathbf{w}}$$ परिभाषित है। यदि $$\mu$$ यूक्लिडियन स्थान पर लेबेस्ग आकलन है, तो हम सामान्य फूरियर रूपांतरण $$\R^n$$ प्राप्त करते हैं और फूरियर व्युत्क्रम सूत्र के लिए आवश्यक द्विक आकलन $$\widehat{\mu} = (2\pi)^{-n}\mu$$ है। यदि हम दोनों पक्षों पर समान आकलनों के साथ फूरियर व्युत्क्रम सूत्र प्राप्त करना चाहते हैं (अर्थात, चूंकि हम इसके विषय में विचार कर सकते हैं, कि $$\R^n$$ को इसके द्विक स्थान के रूप में हम याचना कर सकते हैं, और $$\widehat{\mu}$$ के समान करने के लिए $$\mu$$) तो हमें उपयोग करने की आवश्यकता होती है; $$\begin{align} \mu &= (2 \pi)^{-\frac{n}{2}} \times \text{Lebesgue measure} \\ \widehat{\mu} &= (2 \pi)^{-\frac{n}{2}} \times \text{Lebesgue measure} \end{align}$$ हालाँकि, यदि युगलन का उपयोग करके इसके द्विक समूह $$\R^n$$के साथ सर्वसमिकाओ की स्थिति को परिवर्तित करते हैं: $$(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto e^{2\pi i \mathbf{v} \cdot \mathbf{w}},$$ पुनः लेबेसेग आकलन $$\R^n$$अपने स्वतः के द्विक आकलन के समान है। यह सम्मेलन के $$2\pi$$ कारकों की संख्या को कम करता है, जो यूक्लिडियन स्थान पर फूरियर रूपांतरण या व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण की गणना करते समय विभिन्न स्थानों पर, (वास्तव में यह सीमित करता है, कि $$2\pi$$ केवल घातांक के बदले अभिन्न चिह्न के बाहर एक पूर्व-कारक के रूप में) दिखाई देते है। ध्यान दें कि पहचान करने के माध्यम का विकल्प $$\R^n$$ अपने द्विक समूहों के साथ "स्वतः-द्विक कार्य" शब्दों के अर्थ को प्रभावित करता है, जो एक कार्य $$\R^n$$ है, अपने स्वतः के फूरियर रूपांतरण के समान: पारम्परिक युगलन का उपयोग करना $$(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto e^{i\mathbf{v} \cdot \mathbf{w}}$$ प्रकार्य $$e^{-\frac{1}{2} x^2}$$ स्वतः द्विविधता है। परन्तु युगलन का उपयोग करना जो पूर्व-कारक को एकता के रूप में, $$(\mathbf{v}, \mathbf{w}) \mapsto e^{2\pi i \mathbf v \cdot \mathbf w}$$ इसके बदले स्व-द्विक $$e^{-\pi x^2}$$बनाता है। फूरियर रूपांतरण के लिए इस दूसरी परिभाषा का लाभ यह है कि यह गुणात्मक पहचान को संकल्प पहचान के लिए प्रतिचित्र करता है, जो उपयोगी है, और $$L^1$$ एक संवलयी बीजगणितीय है। इसके अतिरिक्त, यह फॉर्म भी आवश्यक रूप से $$L^2$$ रिक्त स्थान सममितीय है।

समूह बीजगणितीय
स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह पर पूर्णांक कार्यों का स्थान $$G$$ एक बीजगणितीय है, जहाँ गुणन संवलयी है: दो पूर्णांक कार्यों का संवलयी $$f$$ और $$g$$ के रूप में परिभाषित किया जाता है: $$ (f *  g)(x) = \int_G f(x - y) g(y)\ d \mu(y).$$

$$

इस बीजगणितीय को समूह बीजगणितीय $$G$$ कहा जाता है। फ़ुबिनी के प्रमेय के अनुसार संवलयी एक उप गुणक $$L^1$$है, जिसके संबंध में मानदंड $$L^1(G)$$ एक बनच बीजगणितीय है। एक बनच बीजगणितीय $$L^1(G)$$ में गुणात्मक पहचान तत्व है,यदि और केवल यदि $$G$$ एक असतत समूह है, अर्थात् कार्य जो पहचान पर 1 है और कहीं शून्य है। सामान्यतः, हालांकि, इसकी एक अनुमानित पहचान होती है जो एक शुद्ध (या सामान्यीकृत अनुक्रम) $$\{e_i\}_{i \in I}$$ है। एक निर्देशित समूह पर अनुक्रमित $$I$$ ऐसा है कि $$ f *  e_i \to f. $$

फूरियर रूपांतरण संवलयी को गुणन में ले जाता है, अर्थात यह एबेलियन बनच बीजगणितीय का एक समरूपता $$L^1(G) \to C_0\left(\widehat{G}\right)$$ (आदर्श ≤ 1) है: $$ \mathcal{F}( f *  g)(\chi) = \mathcal{F}(f)(\chi) \cdot \mathcal{F}(g)(\chi).$$ विशेष रूप से, प्रत्येक समूह के स्वरूप पर $$G$$ द्वारा परिभाषित समूह बीजगणितीय पर एक अद्वितीय गुणात्मक रैखिक कार्यात्मक के अनुरूप है; $$ f \mapsto \widehat{f}(\chi).$$ एक समूह बीजगणितीय की यह एक महत्वपूर्ण विशेषता है कि ये समूह बीजगणितीय पर गैर-तुच्छ (जो समान रूप से शून्य नहीं है) गुणात्मक रैखिक क्रियाओं के समूह को सआकलन्त करते हैं; की धारा 34 देखें। इसका अर्थ है कि फूरियर रूपांतरण गेलफैंड रूपांतरण की एक विशेष स्थिति है।

प्लांचरेल और L2 फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय
जैसा कि हमने कहा है, स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह का द्विक समूह स्वतः में स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह है और इस प्रकार एक हार आकलन है, या अधिक सटीक रूप से पैमाने से संबंधित हार आकलनों का एक पूर्ण समूह है।

$$

सुसंहत समर्थन के जटिल-मूल्यवान निरंतर कार्यों के पश्चात से $$G$$ हैं, $$L^2$$-सघन, उस स्थान से एकात्मक संचालिका में फूरियर रूपांतरण का एक विशिष्ट विस्तार है; $$ \mathcal{F}: L^2_\mu(G) \to L^2_\nu\left(\widehat{G}\right).$$ और हमारे पास सूत्र है; $$ \forall f \in L^2(G): \quad \int_G |f(x)|^2 \ d \mu(x) = \int_{\widehat{G}} \left|\widehat{f}(\chi)\right|^2 \ d \nu(\chi).$$ ध्यान दें कि गैर-सुसंहत स्थानतः सुसंहत समूहों के लिए $$G$$ स्थान $$L^1(G)$$ में $$L^2(G)$$ सम्मिलित नहीं है, इसलिए फूरियर सामान्य का $$L^2$$-प्रकार्य रूपांतरण करता है। $$G$$ किसी भी प्रकार के एकीकरण सूत्र (या वास्तव में किसी स्पष्ट सूत्र) द्वारा नहीं दिया गया है। $$L^2$$ को परिभाषित करने के लिए फूरियर रूपांतरण में किसी को कुछ प्रावैधिक योजना की सहायता लेनी पड़ती है, जैसे सुसंहत समर्थनों के साथ के साथ निरंतर कार्यों जैसे घने उप-स्थान पर प्रारम्भ करना और पुनः पूरे स्थान में निरंतरता द्वारा समदूरीकता का विस्तार करना है। फूरियर रूपांतरण का यह एकात्मक विस्तार वर्ग समाकलनीय कार्यों के स्थान पर फूरियर रूपांतरण से तात्पर्य है।

द्विक समूह स्वतः में एक व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण भी होता है; इसे व्युत्क्रम (या आसन्न, क्योंकि यह एकात्मक है) $$L^2$$फूरियर रूपांतरण के रूप में चित्रित किया जा सकता है। यह $$L^2$$की तृप्ति है, और फूरियर व्युत्क्रम सूत्र जो इस प्रकार है।

$$

यदि $$G = \mathbb{T}$$ द्विविधता समूह $$\widehat{G}$$ पूर्णांकों के समूह के लिए स्वाभाविक रूप से समरूपीय $$\Z$$ है और फूरियर रूपांतरण आवधिक कार्यों की फूरियर श्रृंखला के गुणांकों की गणना करने में प्रवीण है।

यदि $$G$$ एक परिमित समूह है, तो हम असतत फूरियर रूपांतरण को पुनः प्राप्त करते हैं। ध्यान दें कि इस स्थिति को सीधे प्रमाणित करना बहुत सरल है।

बोह्र संघनन और प्रायः आवधिकता
पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग सुसंहत एबेलियन सांस्थितिक समूहों का निम्नलिखित लक्षण वर्णन है: $$

वह $$G$$ सुसंहत होने का तात्पर्य है, और $$\widehat{G}$$ असतत है या वह $$G$$ असतत होने का तात्पर्य है, और $$\widehat{G}$$ सुसंहत है, सुसंहत-मुक्त संस्थितिविज्ञान की परिभाषा का एक प्राथमिक परिणाम है, $$\widehat{G}$$ और पोन्ट्रियाजिन द्विविधता की आवश्यकता नहीं है। रूपांतरण को प्रमाणित करने के लिए एक पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का उपयोग किया जाता है।

बोह्र संघनन को किसी भी सामयिक समूह $$G$$ के लिए परिभाषित किया गया है, और दोनों में से किसी की उपेक्षा किये बिना $$G$$ स्थानतः सुसंहत या एबेलियन है। सुसंहत एबेलियन समूहों और असतत एबेलियन समूहों के मध्य पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का उपयोग स्थानतः सुसंहत सांस्थितिक समूह का एक यादृच्छिक एबेलियन के बोह्र संघनन की विशेषता है। बोहर संघनन $$B(G)$$ का $$G$$, $$\widehat{H}$$ है, जहाँ H की समूह संरचना $$\widehat{G}$$ है, परन्तु समावेशन मानचित्र के पश्चात से असतत संस्थितिविज्ञान दी गई है। $$ \iota: H \to \widehat{G} $$ एक समरूपता, और द्विक आकृतिवाद निरंतर है; $$ G \sim \widehat{\widehat{G}} \to \widehat{H} $$	एक सुसंहत समूह में एक रूपवाद है, जिसे अपेक्षित सार्वभौमिक विषेशता को संतुष्ट करने के लिए सरलता से दर्शाया गया है।

स्पष्ट विचार
पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को लाभप्रद और कार्यात्मक रूप से भी माना जा सकता है। निम्नलिखित में, LCA स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूहों और निरंतर समूह समरूपता की श्रेणी है। $$\widehat{G}$$ का द्विक समूह निर्माण एक प्रतिपरिवर्ती प्रकार्यक LCA → LCA है, जिसे चक्रीय समूह $$\mathbb{T}$$ जैसा $$\widehat{G}= \text{Hom}(G, \mathbb{T})$$ द्वारा दर्शाया गया है, विशेष रूप से, द्विक दोहरे प्रकार्य $$G \to \widehat{\widehat{G}}$$ सहसंयोजक है।

पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का एक स्पष्ट सूत्रीकरण तब बताता है कि 'LCA' पर पहचान प्रकार्यक और द्विक दोहरे प्रकार्यक के मध्य प्राकृतिक परिवर्तन एक समरूपता है। एक प्राकृतिक परिवर्तन की धारणा को अनावलन करना, इसका अर्थ है कि मानचित्र $$G \to \operatorname {Hom}(\operatorname {Hom}(G, T), T)$$ किसी भी स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह के लिए समरूपता $$G$$ हैं, और ये समरूपताएँ क्रियात्मक $$G$$ हैं। यह समरूपता परिमित-आयामी सदिश रिक्त स्थान के द्विक दोहरे (वास्तविक और जटिल सदिश रिक्त स्थान के लिए एक विशेष स्थिति) के अनुरूप है।

इस सूत्रीकरण का एक तात्कालिक परिणाम पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का एक और सामान्य श्रेणीबद्ध सूत्रीकरण है: द्विक समूह प्रकार्यक LCA से LCAop की श्रेणियों की एक तुल्यता है।

एक द्विविधता असतत समूहों और सुसंहत समूहों की उपश्रेणियों का आदान-प्रदान करता है। यदि $$R$$ एक वलय, $$G$$ एक वामपंथी और $$R$$-प्रतिरूपक, और $$R$$-आकलनांक द्विक समूह $$\widehat{G}$$ एक अधिकार बन जाएगा। इस प्रकार हम उस असतत वामपंथी $$R$$-प्रतिरूपक को भी देख सकते हैं, और $$R$$-प्रतिरूपक पोन्ट्रियाजिन दोहरे से सुसंहत दाएं होंगे। एक वलय $$\text{End}(G)$$ एलसीए में अंतःरूपांतरण को द्विविधता द्वारा इसके विपरीत वलय में परिवर्तित कर दिया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $$G$$ एक अनंत चक्रीय असतत समूह है, $$\widehat{G}$$ एक चक्रीय समूह है: पूर्व में $$\text{End}(G) = \Z$$ तो यह बाद के विषयो में भी सत्य है।

सामान्यीकरण
पोन्ट्रियाजिन द्विविधता के सामान्यीकरण दो मुख्य दिशाओं में निर्मित होते हैं: क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के लिए जो स्थानतः सुसंहत समूह नहीं हैं, और गैर-अनुसूचित सांस्थितिक समूहों के लिए निर्मित हैं। इन दोनों स्थितियों में सिद्धांत बहुत भिन्न हैं।

क्रमविनिमेय सामयिक समूहों के लिए द्विविधता
जब $$G$$ एक हॉउसडॉर्फ एबेलियन सामयिक समूह है, $$\widehat{G}$$ सुसंहत-मुक्त संस्थितिविज्ञान के साथ एक हॉसडॉर्फ एबेलियन सांस्थितिक समूह और नेचुरल प्रतिचित्वलय $$G$$ है। इसके द्विक-दोहरे $$\widehat{\widehat{G}}$$ के लिए समझ में आता है। यदि यह मानचित्रण एक समरूपता है, तो ऐसा कहा जाता है कि $$G$$ पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को (या वह $$G$$ एक प्रतिवर्त समूह है, या एक चिंतनशील समूह)संतुष्ट करता है। इस स्थिति से परे कई दिशाओं में इसे बढ़ाया गया है, और $$G$$ स्थानतः सुसंहत है।

विशेष रूप से, सैमुअल कपलान ने 1948 और 1950 में दर्शाया है कि यादृच्छिक उत्पाद और स्थानतः सुसंहत (हॉसडॉर्फ) एबेलियन समूहों की गणनीय व्युत्क्रम सीमाएं पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करती हैं। ध्यान दें कि स्थानतः सुसंहत गैर-सुसंहत रिक्त स्थान का अनंत उत्पाद स्थानतः सुसंहत नहीं है।

तत्पश्चात, 1975 में, रंगाचारी वेंकटरमन ने, अन्य तथ्यों के साथ, दर्शाया कि एबेलियन सांस्थितिक समूह का प्रत्येक मुक्त उपसमूह जो पोन्ट्रियाजिन द्विविधता और स्वतः पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करता है।

अभी हाल ही में, सर्जियो अर्दंज़ा-ट्रेविजानो और मारिया जेसुज चास्को ने ऊपर उल्लिखित कपलान के परिणामों को बढ़ा दिया है। उन्होंने दर्शाया कि पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करने वाले एबेलियन समूहों के अनुक्रमों की प्रत्यक्ष और व्युत्क्रम सीमाएं भी पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करती हैं, यदि समूह मेट्रिज़ेबल हैं या $$k_\omega$$-स्थान परन्तु जरूरी नहीं कि स्थानतः सुसंहत हो, बशर्ते कुछ अतिरिक्त स्थिति अनुक्रमों से संतुष्ट हो सकती है।

हालाँकि, एक मूलभूत अवस्था है जो परिवर्तित हो जाती है यदि हम स्थानतः सुसंहत स्थिति से परे पोन्ट्रियाजिन द्विविधता पर विचार करना चाहते हैं। ऐलेना मार्टिन-पीनाडोर ने 1995 में प्रमाणित किया कि यदि $$G$$ हॉउसडॉर्फ एबेलियन सांस्थितिक समूह है जो पोन्ट्रियाजिन द्विविधता और प्राकृतिक मूल्यांकन युगलन को संतुष्ट करता है; $$\begin{cases} G \times \widehat{G} \to \mathbb{T} \\ (x, \chi) \mapsto \chi(x) \end{cases}$$ (संयुक्त रूप से) निरंतर है, तब $$G$$ स्थानतः सुसंहत है, परिणामस्वरूप, पोन्ट्रियाजिन द्विविधता के सभी गैर-स्थानतः सुसंहत उदाहरण ऐसे समूह हैं जहां युगलन $$G \times \widehat{G} \to \mathbb{T}$$ बनती है, जो (संयुक्त रूप से) निरंतर नहीं है।

एक क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के व्यापक वर्गों के लिए पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को सामान्य बनाने का एक और माध्यम है, द्विक समूह $$\widehat{G}$$ को थोड़ी अलग संस्थितिविज्ञान के साथ सआकलन्त करना, अर्थात् पूर्णतया बंधे हुए स्थान पर समान अभिसरण की संस्थितिविज्ञान हैं। पहचान को संतुष्ट करने वाले समूह $$G \cong \widehat{\widehat{G}}$$ इस धारणा के अंतर्गत रूढि समूह कहलाते हैं। यह वर्ग भी बहुत विस्तृत है (और इसमें स्थानतः सुसंहत एबेलियन समूह सम्मिलित हैं), परन्तु यह चिंतनशील समूहों के वर्ग की तुलना में संकीर्ण है।

सांस्थितिक सदिश स्थान के लिए पोन्ट्रियाजिन द्विविधता
1952 में मैरिएन एफ स्मिथ ने देखा कि बानाख-समष्‍टि और स्वतुल्य समष्‍टि, जिसे सांस्थितिक समूह (एडिटिव समूह कार्य प्रणाली के साथ) माने जाते है, जो पोन्ट्रियाजिन द्विविधता को संतुष्ट करते है। बाद में बी.एस. ब्रुडोव्स्की, विलियम सी. वाटरहाउस और के. ब्रूनर ने दर्शाया कि यह परिणाम सभी अर्ध-पूर्ण बैरल स्थानों (विशेष रूप से, सभी फ्रेचेट रिक्त स्थान) के वर्ग तक बढ़ाया जा सकता है। 1990 के दशक में सर्गेई अकबरोव ने सांस्थितिक सदिश रिक्त स्थान के वर्ग का विवरण दिया जो लौकिक पोन्ट्रियाजिन स्वतुल्यता की तुलना में एक सुदृढ़ विशेषताओं को संतुष्ट करती है; $$(X^\star)^\star\cong X$$ जहां $$X^\star$$ का अर्थ है सभी रैखिक निरंतर कार्यात्मकताओं का स्थान $$f \colon X \to \Complex$$ पूर्णतया बंधे हुए समूहों पर समान अभिसरण की संस्थितिविज्ञान से संपन्न $$X$$ (और $$(X^\star)^\star$$ का अर्थ है दोहरा $$X^\star$$ उसी अर्थ में) इस वर्ग के रिक्त स्थान को स्वतुल्य समष्‍टि कहा जाता है, और संबंधित सिद्धांत को कार्यात्मक विश्लेषण और ज्यामिति में अनुप्रयोगों की एक श्रृंखला मिली, जिसमें गैर-क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के लिए पोन्ट्रियाजिन द्विविधता का सामान्यीकरण सम्मिलित है।

गैर-क्रमविनिमेय सांस्थितिक समूहों के लिए द्विविधता
गैर-क्रमविनिमेय स्थानतः सुसंहत समूहों के लिए $$G$$ शास्त्रीय पोन्ट्रियाजिन निर्माण विभिन्न कारणों से कार्य करना बंद कर देता है, विशेष रूप से, क्योंकि स्थितियां सदैव $$G$$ बिंदुओं को अलग नहीं करती हैं, और अलघुकरणीय निरूपण $$G$$ सदैव आयामी नहीं होते हैं। साथ ही यह स्पष्ट नहीं है कि अलघुकरणीय एकात्मक निरूपण के समूह पर गुणन $$G$$ का परिचय कैसे दिया जाए, और यह भी स्पष्ट नहीं है कि क्या यह समूह द्विक वस्तु $$G$$ की भूमिका के लिए एक अच्छा विकल्प है, अतः इस स्थिति में द्विविधता निर्माण की समस्या पर पूर्ण पुनर्विचार की आवश्यकता है।

आज तक बनाए गए सिद्धांतों को दो मुख्य समूहों में विभाजित किया गया है: सिद्धांत जहां द्विक वस्तु की प्रकृति स्रोत एक के समान होती है (जैसे कि पोन्ट्रियाजिन द्विविधता में ही), और सिद्धांत जहां स्रोत वस्तु और इसकी द्विक एक दूसरे से भिन्न होती है, और उन्हें एक वर्ग की वस्तुओं के रूप में गणना करना असंभव है।

दूसरे प्रकार के सिद्धांत ऐतिहासिक रूप से प्रथम थे: पोन्ट्रियाजिन के कार्य के तुरंत बाद टाडाओ तनाका (1938) और मार्क केरिन (1949) ने यादृच्छिक सुसंहत समूहों के लिए एक द्विविधता सिद्धांत का निर्माण किया, जिसे अब तन्नाका-क्रेन द्विविधता के रूप में जाना जाता है। इस सिद्धांत में एक समूह के लिए द्विक वस्तु $$G$$ एक समूह नहीं बल्कि प्रतिनिधित्व की एक श्रेणी $$\Pi(G)$$ है।

प्रथम प्रकार के सिद्धांत बाद में प्रकट हुए और उनके लिए प्रमुख उदाहरण परिमित समूहों के लिए द्विविधता सिद्धांत था। इस सिद्धांत में परिमित समूहों की श्रेणी संक्रिया द्वारा सन्निहित है, समूह बीजगणितीय लेने के $$G\mapsto \Complex_G$$ $$\Complex_G$$ (ऊपर $$\Complex$$) परिमित आयामी हॉफ बीजगणितीय की श्रेणी में, ताकि पोन्ट्रियाजिन द्विविधता क्रियाकार $$G\mapsto \widehat{G}$$ कार्य प्रणाली में परिवर्तित किया जाता है, $$H\mapsto H^*$$ द्विक सदिश स्थान को लेने के लिए (जो परिमित आयामी हॉफ बीजगणितीय की श्रेणी में एक द्विविधता कारक है)।

1973 में लियोनिद आई. वेनरमैन, जॉर्ज आई. काक, मिशेल एनॉक और जीन-मैरी श्वार्ट्ज ने सभी स्थानीय सुसंहत समूहों के लिए इस प्रकार का एक सामान्य सिद्धांत बनाया। 1980 के दशक से क्वांटम समूहों की खोज के पश्चात इस क्षेत्र में अनुसंधान पुनः से प्रारम्भ किया गया, जिसमें निर्मित सिद्धांतों को सक्रिय रूप से स्थानांतरित किया जाने लगा। इन सिद्धांतों को C* बीजगणितीय, या वॉन न्यूमैन बीजगणितीय की भाषा में तैयार किया गया है, और इसके प्रकारों में से एक स्थानतः सुसंहत क्वांटम समूहों का आधुनिक सिद्धांत है।

हालांकि, इन सामान्य सिद्धांतों की कमियों में से एक यह है कि उनमें समूह की अवधारणा को सामान्य बनाने वाली वस्तुएं सामान्य बीजगणितीय अर्थों में हॉफ बीजगणितीय नहीं हैं। सांस्थितिक बीजगणितीय की आवरण (श्रेणी सिद्धांत) की धारणा के आधार पर निर्मित द्विविधता सिद्धांतों के रूपरेखा के भीतर इन कमियों में (समूहों के कुछ वर्गों के लिए) सुधार किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * पीटर-वील प्रमेय
 * कार्टियर द्विविधता
 * प्रतिवर्ती स्थान