सकारात्मक ऊर्जा प्रमेय

सकारात्मक ऊर्जा प्रमेय (सकारात्मक द्रव्यमान प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है) सामान्य सापेक्षता और अंतर ज्यामिति में आधारभूत परिणामों के संग्रह को संदर्भित करता है। इसका मानक रूप, मोटे तौर पर बोल रहा है, यह दावा करता है कि एक पृथक प्रणाली की गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा गैर-नकारात्मक है, और केवल शून्य हो सकती है जब प्रणाली में कोई गुरुत्वाकर्षण वस्तु न हो। हालांकि इन बयानों को अक्सर मुख्य रूप से प्रकृति में भौतिक होने के बारे में सोचा जाता है, उन्हें प्रमेय के रूप में औपचारिक रूप दिया जा सकता है जो अंतर ज्यामिति, आंशिक अंतर समीकरण और ज्यामितीय माप सिद्धांत की तकनीकों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

1979 और 1981 में रिचर्ड स्कोन और शिंग-तुंग यौ सकारात्मक द्रव्यमान प्रमेय का प्रमाण देने वाले पहले व्यक्ति थे। 1982 में एडवर्ड विटन ने वैकल्पिक प्रमाण की रूपरेखा दी, जिसे बाद में गणितज्ञों ने सख्ती से भर दिया। Witten और Yau को इस विषय पर उनके काम के लिए आंशिक रूप से गणित में  फील्ड मेडल  से सम्मानित किया गया।

स्कोएन-यॉ / Witten सकारात्मक ऊर्जा प्रमेय का अचूक सूत्रीकरण निम्नलिखित बताता है: "Given an asymptotically flat initial data set, one can define the energy-momentum of each infinite region as an element of Minkowski space. Provided that the initial data set is geodesically complete and satisfies the dominant energy condition, each such element must be in the causal future of the origin. If any infinite region has null energy-momentum, then the initial data set is trivial in the sense that it can be geometrically embedded in Minkowski space."

इन शब्दों के अर्थ पर नीचे चर्चा की गई है। ऊर्जा-संवेग की विभिन्न धारणाओं और प्रारंभिक डेटा सेट के विभिन्न वर्गों के लिए वैकल्पिक और गैर-समतुल्य सूत्रीकरण हैं। इन सभी योगों को कड़ाई से सिद्ध नहीं किया गया है, और यह वर्तमान में खुली समस्या है कि क्या उपरोक्त सूत्रीकरण मनमाना आयाम के प्रारंभिक डेटा सेटों के लिए है।

इन सभी योगों को कड़ाई से सिद्ध नहीं किया गया है, और यह वर्तमान में एक खुली समस्या है कि क्या उपरोक्त सूत्रीकरण मनमाना आयाम के प्रारंभिक डेटा सेटों के लिए है। सूत्रीकरण मनमाना

ऐतिहासिक सिंहावलोकन
ADM द्रव्यमान के लिए प्रमेय का मूल प्रमाण रिचर्ड स्कोएन और शिंग-तुंग याउ द्वारा 1979 में परिवर्तनशील विधियों और न्यूनतम सतहों का उपयोग करके प्रदान किया गया था। अतिगुरुत्वाकर्षण  के संदर्भ में सकारात्मक ऊर्जा प्रमेयों से प्रेरित होकर, एडवर्ड विटन ने 1981 में स्पिनरों के उपयोग के आधार पर एक और प्रमाण दिया। बोंडी द्रव्यमान के लिए प्रमेय का विस्तार मैल्कम लुडविगसेन और जेम्स विकर्स, गैरी होरोविट्ज़ और मैल्कम पेरी (भौतिक विज्ञानी), और स्कोएन और याउ द्वारा दिया गया था।

गैरी गिबन्स, स्टीफन हॉकिंग, होरोविट्ज़ और पेरी ने प्रमेय के विस्तार को एसिम्प्टोटिक रूप से एंटी-डी सिटर स्पेसटाइम और आइंस्टीन फील्ड समीकरणों आइंस्टीन-मैक्सवेल समीकरणों | आइंस्टीन-मैक्सवेल सिद्धांत के रूप में साबित किया। असम्बद्ध रूप से एंटी-डी सिटर स्पेसटाइम का द्रव्यमान गैर-ऋणात्मक है और एंटी-डी सिटर स्पेसटाइम के लिए केवल शून्य के बराबर है। आइंस्टीन-मैक्सवेल सिद्धांत में, विद्युत आवेश के साथ अंतरिक्ष-समय के लिए $$Q$$ और चुंबकीय प्रभार $$P$$अंतरिक्ष-समय का द्रव्यमान संतुष्ट करता है (गाऊसी इकाइयों में)


 * $$M \geq \sqrt{Q^2 + P^2},$$

सुधांशु दत्ता मजुमदार-अकिलिस पापापेट्रो चरम ब्लैक होल समाधान के लिए समानता के साथ।

प्रारंभिक डेटा सेट
प्रारंभिक डेटा सेट में रीमैनियन कई गुना होता है $(M, g)$ और एक सममित 2-टेंसर क्षेत्र $k$ पर $M$. एक का कहना है कि एक प्रारंभिक डेटा सेट $(M, g, k)$:
 * समय-सममित है यदि $k$ शून्य है
 * अधिकतम है अगर $tr^{g}k = 0$
 * यदि प्रमुख ऊर्जा स्थिति को संतुष्ट करता है
 * $$R^g-|k|_g^2+(\operatorname{tr}_gk)^2\geq 2\big|\operatorname{div}^gk-d(\operatorname{tr}_gk)\big|_g,$$
 * कहाँ $g^{ij}k_{ij} = 0$ की अदिश वक्रता को दर्शाता है $g$.

ध्यान दें कि एक समय-सममित प्रारंभिक डेटा सेट $R^{g}$ प्रमुख ऊर्जा की स्थिति को संतुष्ट करता है अगर और केवल अगर की अदिश वक्रता $g$ ऋणात्मक है। एक कहता है कि एक लोरेंत्ज़ियन कई गुना $R - g^{ik}g^{jl}k_{ij}k_{kl} + (g^{ij}k_{ij})^{2} ≥ 2(g^{pq}(g^{ij}k_{pi;j} - (g^{ij}k_{ij})_{;p})(g^{kl}k_{qk;l} - (g^{kl}k_{kl})_{;q}))^{1/2}$ प्रारंभिक डेटा सेट का विकास है $R - k^{ij}k_{ij} + (k_{i}^{i})^{2} ≥ 2((k_{pi}^{;i} - (k_{i}^{i})_{;p})(k^{pj}_{;j} - (k^{j}_{j})^{;p}))^{1/2}$ यदि (अनिवार्य रूप से स्पेसलाइक) हाइपरसफेस एम्बेडिंग है $M$ में $(M, g, 0)$, एक साथ सतत इकाई सामान्य वेक्टर क्षेत्र के साथ, जैसे कि प्रेरित मीट्रिक है $g$ और दी गई इकाई सामान्य के संबंध में दूसरा मौलिक रूप है $k$.

यह परिभाषा सामान्य सापेक्षता के गणित से प्रेरित है। एक लोरेंत्ज़ियन कई गुना दिया गया $(\overline{M}, \overline{g})$ आयाम का $(M, g, k)$ और एक स्पेसलाइक विसर्जन $f$ कनेक्टेड से $n$-आयामी कई गुना $M$ में $\overline{M}$ जिसमें तुच्छ सामान्य बंडल है, कोई प्रेरित रिमेंनियन मीट्रिक पर विचार कर सकता है $(\overline{M}, \overline{g})$ साथ ही दूसरा मौलिक रूप $k$ का $f$ सतत इकाई सामान्य सदिश क्षेत्र के दो विकल्पों में से किसी एक के संबंध में $f$. ट्रिपल $n + 1$ एक प्रारंभिक डेटा सेट है। गॉस-कोडैज़ी समीकरणों के अनुसार, किसी के पास है
 * $$\begin{align}

\overline{G}(\nu,\nu)&=\frac{1}{2}\Big(R^g-|k|_g^2+(\operatorname{tr}^gk)^2\Big)\\ \overline{G}(\nu,\cdot)&=d(\operatorname{tr}^gk)-\operatorname{div}^gk. \end{align}$$ कहाँ $\overline{M}$ आइंस्टीन टेंसर को दर्शाता है $g = f^{ *}\overline{g}$ का $\overline{g}$ और $(M, g, k)$ निरंतर इकाई सामान्य वेक्टर क्षेत्र को दर्शाता है $f$ परिभाषित करते थे $k$. तो ऊपर दी गई प्रमुख ऊर्जा की स्थिति, इस लोरेंत्ज़ियन संदर्भ में, इस दावे के समान है $\overline{G}$, जब साथ में सदिश क्षेत्र के रूप में देखा जाता है $f$, समयबद्ध या अशक्त है और उसी दिशा में उन्मुख है $Ric^{\overline{g}} - 1⁄2R^{\overline{g}}\overline{g}|undefined$.

असम्बद्ध रूप से फ्लैट प्रारंभिक डेटा सेट के सिरों

साहित्य में असम्बद्ध रूप से फ्लैट की कई अलग-अलग धारणाएं हैं जो पारस्परिक रूप से समकक्ष नहीं हैं। आमतौर पर इसे वेटेड होल्डर स्पेस या वेटेड सोबोलेव स्पेस के रूप में परिभाषित किया जाता है।

हालाँकि, कुछ विशेषताएं हैं जो वस्तुतः सभी दृष्टिकोणों के लिए सामान्य हैं। प्रारंभिक डेटा सेट पर विचार करता है $ν$ जिसकी सीमा हो भी सकती है और नहीं भी; होने देना $f$ इसके आयाम को निरूपित करें। एक के लिए आवश्यक है कि एक कॉम्पैक्ट सबसेट हो $n$ का $K$ जैसे कि पूरक के प्रत्येक जुड़े हुए घटक $\overline{G}(ν, ⋅)$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक बंद गेंद के पूरक के लिए भिन्न है $ν$. ऐसे जुड़े हुए घटकों को सिरों कहा जाता है $M$.

स्कोएन और याउ (1979)
होने देना $\overline{M}$ प्रमुख ऊर्जा स्थिति को संतुष्ट करने वाला एक समय-सममित प्रारंभिक डेटा सेट हो। लगता है कि $ν$ एक उन्मुख त्रि-आयामी चिकनी रीमैनियन कई गुना सीमा के साथ है, और प्रत्येक सीमा घटक में सकारात्मक औसत वक्रता है। मान लीजिए कि इसका एक छोर है, और यह निम्नलिखित अर्थों में स्पर्शोन्मुख रूप से श्वार्ज़स्चिल्ड है: "Suppose that $M$ is an open precompact subset of $K$ such that there is a diffeomorphism $\overline{M}$, and suppose that there is a number $M$ such that the symmetric 2-tensor
 * $h_{ij}=(\Phi^\ast g)_{ij}-\delta_{ij}-\frac{m}{2"

- x

शॉन और यौ के प्रमेय का दावा है कि $m$ अऋणात्मक होना चाहिए। यदि, इसके अलावा, कार्य करता है $$|x|^5\partial_p\partial_q\partial_rh_{ij}(x),$$ $$|x|^5\partial_p\partial_q\partial_r\partial_sh_{ij}(x),$$ और $$|x|^5\partial_p\partial_q\partial_r\partial_s\partial_th_{ij}(x)$$ किसी के लिए बाध्य हैं $$i,j,p,q,r,s,t,$$ तब $m$ सकारात्मक होना चाहिए जब तक कि सीमा न हो $m$ खाली है और $(M, g, k)$ सममितीय है $M − K$ इसके मानक रीमैनियन मीट्रिक के साथ।

ध्यान दें कि शर्तें चालू हैं $M$ यह दावा कर रहे हैं $h$, इसके कुछ डेरिवेटिव के साथ, जब छोटे होते हैं $h$ बड़ी है। तब से $x$ के बीच के दोष को माप रहा है $h$ निर्देशांक में $g$ और का मानक प्रतिनिधित्व $ℝ^{n}$ श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक का टुकड़ा, ये स्थितियाँ श्वार्ज़स्चिल्ड शब्द का परिमाणीकरण हैं। इसे विशुद्ध रूप से गणितीय अर्थ में विषम रूप से फ्लैट के एक मजबूत रूप के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, जहां का गुणांक $(M, g, 0)$ मीट्रिक के विस्तार का हिस्सा यूक्लिडियन मीट्रिक का एक स्थिर गुणक घोषित किया जाता है, जैसा कि एक सामान्य सममित 2-टेंसर के विपरीत होता है।

यह भी ध्यान दें कि स्कोएन और याउ का प्रमेय, जैसा कि ऊपर कहा गया है, वास्तव में (उपस्थिति के बावजूद) बहु सिरों के मामले का मजबूत रूप है। अगर $(M, g)$ कई छोरों के साथ एक पूर्ण रीमैनियन मैनिफोल्ड है, तो उपरोक्त परिणाम किसी एक छोर पर लागू होता है, बशर्ते कि हर दूसरे छोर में एक सकारात्मक औसत वक्रता क्षेत्र हो। यह गारंटी है, उदाहरण के लिए, यदि प्रत्येक छोर उपरोक्त अर्थों में असमान रूप से सपाट है; एक सीमा के रूप में एक बड़ा समन्वय क्षेत्र चुन सकता है, और प्रत्येक छोर के संबंधित शेष को तब तक हटा सकता है जब तक कि एक एकल छोर के साथ रिमेंनियन मैनिफोल्ड-विथ-बाउंड्री न हो।

स्कोएन और याउ (1981)
होने देना $Φ : ℝ^{3} − B_{1}(0) → M − \overline{K}$ प्रमुख ऊर्जा स्थिति को संतुष्ट करने वाला प्रारंभिक डेटा सेट हो। लगता है कि $ℝ^{3} − B_{1}(0)$ एक उन्मुख त्रि-आयामी चिकनी पूर्ण रीमैनियन मैनिफोल्ड (बिना सीमा के) है; मान लीजिए कि इसके बहुत से सिरे हैं, जिनमें से प्रत्येक निम्नलिखित अर्थों में असम्बद्ध रूप से सपाट है।

लगता है कि $$K\subset M$$ एक खुला प्रीकॉम्पैक्ट सबसेट है जैसे कि $$M\smallsetminus K$$ बहुत से जुड़े हुए घटक हैं $$M_1,\ldots,M_n,$$ और प्रत्येक के लिए $$i=1,\ldots,n$$ एक भिन्नता है $$\Phi_i:\mathbb{R}^3\smallsetminus B_1(0)\to M_i$$ ऐसा कि सममित 2-टेंसर $$h_{ij}=(\Phi^\ast g)_{ij}-\delta_{ij}$$ निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है: यह भी मान लीजिए निष्कर्ष यह है कि प्रत्येक की एडीएम ऊर्जा $$M_1,\ldots,M_n,$$ के रूप में परिभाषित
 * $$|x|h_{ij}(x),$$ $$|x|^2\partial_ph_{ij}(x),$$ और $$|x|^3\partial_p\partial_qh_{ij}(x)$$ सभी के लिए बाध्य हैं $$i,j,p,q.$$
 * $$|x|^4 R^{\Phi_i^\ast g}$$ और $$|x|^5 \partial_pR^{\Phi_i^\ast g}$$ किसी के लिए बाध्य हैं $$p$$
 * $$|x|^2(\Phi_i^\ast k)_{ij}(x),$$ $$|x|^3\partial_p(\Phi_i^\ast k)_{ij}(x),$$ और $$|x|^4\partial_p\partial_q (\Phi_i^\ast k)_{ij}(x)$$ किसी के लिए $$p,q,i,j$$
 * $$|x|^3 ((\Phi_i^\ast k)_{11}(x)+(\Phi^\ast k)_{22}(x)+(\Phi_i^\ast k)_{33}(x))$$ घिरा है।
 * $$\text{E}(M_i)=\frac{1}{16\pi}\lim_{r\to\infty}\int_{|x|=r}\sum_{p=1}^3\sum_{q=1}^3\big(\partial_q(\Phi_i^\ast g)_{pq}-\partial_p(\Phi_i^\ast g)_{qq}\big)\frac{x^p}{|x|}\,d\mathcal{H}^2(x),$$

अऋणात्मक है। इसके अलावा, मान लीजिए कि इसके अलावा धारणा है कि $$\text{E}(M_i)=0$$ कुछ के लिए $$i\in\{1,\ldots,n\}$$ इसका आशय है $i, j, p, q$, वह $Φ$ के लिए भिन्न है $(M, g)$, और वह Minkowski स्पेस $ℝ^{3}$ प्रारंभिक डेटा सेट का विकास है $t = constant$.
 * $$|x|^4\partial_p\partial_q\partial_r h_{ij}(x)$$ और $$|x|^4\partial_p\partial_r\partial_s\partial_t h_{ij}(x)$$ किसी के लिए बाध्य हैं $$i,j,p,q,r,s,$$

जानना (1981)
देर $$(M,g)$$ एक उन्मुख त्रि-आयामी चिकनी पूर्ण रीमैनियन मैनिफोल्ड (सीमा के बिना) बनें। होने देना $$k$$ एक चिकनी सममित 2-टेंसर ऑन हो $$M$$ ऐसा है कि
 * $$R^g-|k|_g^2+(\operatorname{tr}_gk)^2\geq 2\big|\operatorname{div}^gk-d(\operatorname{tr}_gk)\big|_g.$$

लगता है कि $$K\subset M$$ एक खुला प्रीकॉम्पैक्ट सबसेट है जैसे कि $$M\smallsetminus K$$ बहुत से जुड़े हुए घटक हैं $$M_1,\ldots,M_n,$$ और प्रत्येक के लिए $$\alpha=1,\ldots,n$$ एक भिन्नता है $$\Phi_\alpha:\mathbb{R}^3\smallsetminus B_1(0)\to M_i$$ ऐसा कि सममित 2-टेंसर $$h_{ij}=(\Phi^\ast_\alpha g)_{ij}-\delta_{ij}$$ निम्नलिखित शर्तों को संतुष्ट करता है: प्रत्येक के लिए $$\alpha=1,\ldots,n,$$ एडीएम ऊर्जा और रैखिक गति को परिभाषित करें
 * $$|x|h_{ij}(x),$$ $$|x|^2\partial_ph_{ij}(x),$$ और $$|x|^3\partial_p\partial_qh_{ij}(x)$$ सभी के लिए बाध्य हैं $$i,j,p,q.$$
 * $$|x|^2(\Phi_\alpha^\ast k)_{ij}(x)$$ और $$|x|^3\partial_p(\Phi_\alpha^\ast k)_{ij}(x),$$ सभी के लिए बाध्य हैं $$i,j,p.$$
 * $$\text{E}(M_\alpha)=\frac{1}{16\pi}\lim_{r\to\infty}\int_{|x|=r}\sum_{p=1}^3\sum_{q=1}^3\big(\partial_q(\Phi_\alpha^\ast g)_{pq}-\partial_p(\Phi_\alpha^\ast g)_{qq}\big)\frac{x^p}{|x|}\,d\mathcal{H}^2(x),$$
 * $$\text{P}(M_\alpha)_p=\frac{1}{8\pi}\lim_{r\to\infty}\int_{|x|=r}\sum_{q=1}^3\big((\Phi_\alpha^\ast k)_{pq}-\big((\Phi_\alpha^\ast k)_{11}+(\Phi_\alpha^\ast k)_{22}+(\Phi_\alpha^\ast k)_{33}\big)\delta_{pq}\big)\frac{x^q}{|x|}\,d\mathcal{H}^2(x).$$

प्रत्येक के लिए $$\alpha=1,\ldots,n,$$ इसे एक वेक्टर के रूप में मानें $$(\text{P}(M_\alpha)_1,\text{P}(M_\alpha)_2,\text{P}(M_\alpha)_3,\text{E}(M_\alpha))$$ मिन्कोवस्की अंतरिक्ष में। विटन का निष्कर्ष यह है कि प्रत्येक के लिए $$\alpha$$ यह आवश्यक रूप से भविष्य की ओर इशारा करने वाला गैर-स्पेसलाइक वेक्टर है। यदि यह वेक्टर किसी के लिए शून्य है $$\alpha,$$ तब $$n=1,$$ $$M$$ के लिए डिफियोमॉर्फिक है $$\mathbb{R}^3,$$ और प्रारंभिक डेटा सेट का अधिकतम विश्व स्तर पर अतिशयोक्तिपूर्ण विकास $$(M,g,k)$$ शून्य वक्रता है।

एक्सटेंशन और टिप्पणी
उपरोक्त कथनों के अनुसार, विट्टन का निष्कर्ष स्कोएन और याउ के निष्कर्ष से अधिक मजबूत है। हालाँकि, स्कोएन और यॉ द्वारा एक तीसरा पेपर दिखाता है कि उनका 1981 का परिणाम विटन्स का तात्पर्य है, केवल अतिरिक्त धारणा को बनाए रखना $$|x|^4 R^{\Phi_i^\ast g}$$ और $$|x|^5 \partial_pR^{\Phi_i^\ast g}$$ किसी के लिए बाध्य हैं $$p.$$ यह भी ध्यान दिया जाना चाहिए कि स्कोएन और याओ का 1981 का परिणाम उन पर निर्भर करता है 1979 का परिणाम, जो विरोधाभास से सिद्ध होता है; इसलिए उनके 1981 के परिणाम का विस्तार भी विरोधाभासी है। इसके विपरीत, Witten का प्रमाण तार्किक रूप से प्रत्यक्ष है, ADM ऊर्जा को सीधे एक गैर-नकारात्मक मात्रा के रूप में प्रदर्शित करता है। इसके अलावा, मामले में विटन का सबूत $$\operatorname{tr}_gk=0$$ टोपोलॉजिकल स्थिति के तहत उच्च-आयामी मैनिफोल्ड्स के लिए बहुत प्रयास किए बिना बढ़ाया जा सकता है कि मैनिफोल्ड एक स्पिन संरचना को स्वीकार करता है। स्कोएन और याउ के 1979 के परिणाम और प्रमाण को आठ से कम किसी भी आयाम के मामले में बढ़ाया जा सकता है। हाल ही में, स्कोएन और याउ (1981) के तरीकों का उपयोग करते हुए विटन के परिणाम को उसी संदर्भ में विस्तारित किया गया है। संक्षेप में: स्कोएन और याउ के तरीकों का पालन करते हुए, सकारात्मक ऊर्जा प्रमेय आठ से कम आयाम में सिद्ध किया गया है, जबकि विट्टन का अनुसरण करते हुए, यह किसी भी आयाम में सिद्ध हुआ है, लेकिन स्पिन मैनिफोल्ड्स की सेटिंग पर प्रतिबंध के साथ।

अप्रैल 2017 तक, स्कोएन और याउ ने प्रीप्रिंट जारी किया है जो विशेष मामले में सामान्य उच्च-आयामी मामला साबित करता है $$\operatorname{tr}_gk=0,$$ आयाम या टोपोलॉजी पर बिना किसी प्रतिबंध के। हालाँकि, यह अभी तक (मई 2020 तक)  अकादमिक पत्रिका में नहीं आया है।

अनुप्रयोग

 * 1984 में स्कोएन ने अपने काम में सकारात्मक द्रव्यमान प्रमेय का इस्तेमाल किया जिसने यामाबे समस्या का समाधान पूरा किया।
 * ह्यूबर्ट ब्रे के रिमेंनियन पेनरोज़ असमानता के प्रमाण में सकारात्मक द्रव्यमान प्रमेय का उपयोग किया गया था।

संदर्भ
Textbooks
 * Choquet-Bruhat, Yvonne. General relativity and the Einstein equations. Oxford Mathematical Monographs. Oxford University Press, Oxford, 2009. xxvi+785 pp. ISBN 978-0-19-923072-3
 * Wald, Robert M. General relativity. University of Chicago Press, Chicago, IL, 1984. xiii+491 pp. ISBN 0-226-87032-4