जियोडेसिक

ज्यामिति में, जियोडेसिक एक वक्र है जो किसी अर्थ में एक सतह में दो बिंदुओं के बीच या समान्यतः एक रीमैनियन मैनिफोल्ड में छोटा चाप को दर्शाता है। इस शब्द का एक संयोजक के साथ किसी विभेदक बहुआयामी में भी अर्थ हैं। यह एक "सीधी रेखा" की धारणा का सामान्यीकरण है।

संज्ञा जियोडेसिक और विशेषण जियोडेटिक, जियोडेसी से आते हैं, जो पृथ्वी के आकार और आकार को मापने का विज्ञान हैं, हालांकि कई अंतर्निहित सिद्धांत किसी भी दीर्घवृत्ताकार ज्यामिति पर लागू किए जा सकते हैं। मूल अर्थ में, जियोडेसिक पृथ्वी की सतह पर दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा मार्ग था। एक गोलाकार पृथ्वी के लिए, यह एक बड़े वृत्त का एक रेखा खंड है (ग्रेट-सर्कल दूरी भी देखें)। तब से यह शब्द अधिक अमूर्त गणितीय स्थानों के लिए सामान्यीकृत किया गया है; उदाहरण के लिए, ग्राफ सिद्धांत में, एक ग्राफ़ के दो शीर्षों/नोड्स के बीच एक जियोडेसिक पर विचार किया जा सकता है।

रिमेंनियन मैनिफोल्ड या सबमनीफोल्ड में, जियोडेसिक्स के लोप हो जाने वाले जियोडेसिक वक्रता के गुणों की विशेषता है। समान्यतः एक एफ़िन कनेक्शन की उपस्थिति में, एक जियोडेसिक को एक वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसके स्पर्शरेखा सदिश समानांतर रहते हैं यदि वे इसके साथ समानांतर परिवहन होते हैं। रिमेंनियन मीट्रिक के लेवी-किविटा कनेक्शन पर इसे लागू करने से पिछली धारणा ठीक हो जाती है।

सामान्य सापेक्षता में जियोडेसिक्स का विशेष महत्व है। सामान्य सापेक्षता में टाइमलाइक जियोडेसिक्स मुक्त गिरने वाले परीक्षण कणों की गति का वर्णन करता है।

परिचय
एक घुमावदार जगह में दो दिए गए बिंदुओं के, बीच एक स्थानीय रूप से सबसे छोटा रास्ता माना जाता है। एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड होने के लिए, एक वक्र की लंबाई के लिए समीकरण का उपयोग करके इसे परिभाषित किया जा सकता है (R के एक खुले अंतराल से अंतरिक्ष तक एक फ़ंक्शन f) और फिर विविधताओं की कलन का उपयोग करके बिंदुओं के बीच इसकी लंबाई को कम करना। इसमें कुछ मामूली तकनीकी समस्याएं हैं क्योंकि सबसे छोटे पथ को मापदण्ड करने के विभिन्न तरीकों का अनंत-आयामी स्थान है। वक्र के सेट को उन तक सीमित करना आसान है जो स्थिर गति 1 के साथ मापदण्डयुक्त हैं, जिसका अर्थ है कि वक्र के साथ f(s) से f(t) तक की दूरी |s−t| के बराबर है। समान रूप से, एक अलग मात्रा का उपयोग किया जा सकता है, जिसे वक्र की ऊर्जा कहा जाता है; ऊर्जा को कम करने से जियोडेसिक के लिए समान समीकरण होते हैं (यह 'निरंतर वेग' का एक परिणाम है)। सहज रूप से, इस दूसरे फॉर्मूलेशन को इस बात से समझा जा सकता है कि दो बिंदुओं के बीच फैला एक लोचदार बैंड इसकी चौड़ाई को कम करेगा, और ऐसा करने से इसकी ऊर्जा कम हो जाएगी। बैंड का परिणामी आकार जियोडेसिक है।

यह संभव है कि दो बिंदुओं के बीच कई अलग-अलग वक्र दूरी को कम कर दें, जैसा कि गोले पर दो बिल्कुल विपरीत बिंदुओं के मामले में होता है। ऐसी स्थिति में, इनमें से कोई भी वक्र भूगणितीय होता है।

जियोडेसिक का एक सन्निहित खंड फिर से जियोडेसिक होता है।

सामान्य तौर पर, जियोडेसिक्स दो बिंदुओं के बीच सबसे "छोटे वक्र" के समान नहीं है, हालांकि दोनों अवधारणाएं आपस में संबंधित हैं। अंतर यह है कि जिओडेसिक्स केवल स्थानीय रूप से बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी है, और "निरंतर गति" के साथ पैरामीटरकृत हैं। एक गोले पर दो बिंदुओं के बीच एक बड़े वृत्त पर लंबा रास्ता तय करना एक जियोडेसिक है, लेकिन यह बिंदुओं के बीच का सबसे छोटा रास्ता नहीं है। नक्शा $$t \to t^2$$ वास्तविक संख्या रेखा पर इकाई अंतराल से स्वयं को 0 और 1 के बीच सबसे छोटा रास्ता देता है, लेकिन यह एक जियोडेसिक नहीं है क्योंकि एक बिंदु की संगत गति का वेग स्थिर नहीं है।

जियोडेसिक्स सामान्यतः रीमैनियन ज्यामिति और अधिक सामान्यतः मीट्रिक ज्यामिति के अध्ययन में देखा जाता है। सामान्य सापेक्षता में, अंतरिक्ष-समय में भूगर्भ विज्ञान अकेले गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में बिंदु कणों की गति का वर्णन करता है। विशेष रूप से, एक गिरती हुई चट्टान द्वारा लिया गया मार्ग, एक परिक्रमा करने वाले उपग्रह, या एक ग्रहीय कक्षा का आकार घूमावदार अंतरिक्ष समय में जियोडेसिक्स हैं। समान्यतः, उप-रिमेंनियन ज्यामिति का विषय उन रास्तों से संबंधित है जो वस्तुओं को ले सकते हैं जब वे मुक्त नहीं होते हैं, और उनका आंदोलन विभिन्न तरीकों से बाधित होता है।

यह आलेख रीमानियन मैनिफोल्ड्स के मामले में भूगर्भ विज्ञान के अस्तित्व को परिभाषित करने, खोजने और साबित करने में सम्मिलित गणितीय औपचारिकता को प्रस्तुत करता है। यह लेख लेवी-सिविता कनेक्शन छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड के अधिक सामान्य मामले पर चर्चा करता है और जियोडेसिक (सामान्य सापेक्षता) के विशेष मामले पर अधिक विस्तार से चर्चा करता है।

उदाहरण
सबसे परिचित उदाहरण यूक्लिडियन ज्यामिति में सीधी रेखाएँ हैं। एक गोले पर, भूभौतिकी के चित्र वृहत वृत्त होते हैं। एक गोले पर बिंदु A से बिंदु B तक का सबसे छोटा रास्ता A और B से गुजरने वाले बड़े वृत्त के छोटे चाप (ज्यामिति) द्वारा दिया जाता है। यदि A और B प्रतिध्रुवीय बिंदु हैं, तो उनके बीच अपरिमित रूप से कई लघुतम पथ हैं। एक दीर्घवृत्त पर जियोडेसिक्स एक गोले की तुलना में अधिक जटिल तरीके से व्यवहार करता है; विशेष रूप से, वे सामान्य रूप से बंद नहीं होते हैं (आंकड़ा देखें)।

त्रिकोण
किसी दिए गए सतह पर तीन बिंदुओं में से प्रत्येक जोड़ी को जोड़ने वाले जियोडेसिक्स द्वारा एक जियोडेसिक त्रिकोण का निर्माण किया जाता है। गोले पर, जियोडेसिक वृहत वृत्त चाप होते हैं, जो एक गोलाकार त्रिकोण बनाते हैं।

मीट्रिक ज्यामिति
मीट्रिक ज्यामिति में, जियोडेसिक एक वक्र होता है जो हर जगह स्थानीय रूप से एक दूरी न्यूनतमकर्ता होता है। अधिक सटीक रूप से, एक वक्र γ : I → M एक अंतराल I से लेकर मीट्रिक स्थान M तक एक जियोडेसिक है यदि कोई स्थिर v ≥ 0 ऐसा हैं कि किसी भी t ∈ I के लिए I में t का एक पड़ोस J है जैसे कि किसी के लिए t1, t2 ∈ J के लिए हमारे पास हैं


 * $$d(\gamma(t_1),\gamma(t_2)) = v \left| t_1 - t_2 \right| .$$

यह रिमेंनियन मैनिफोल्ड के लिए जियोडेसिक की धारणा को सामान्यीकृत करता है। हालांकि, मीट्रिक ज्यामिति में माना जाने वाला जियोडेसिक अक्सर प्राकृतिक मापदण्ड से सुसज्जित होता है, यानी उपरोक्त पहचान में v = 1 और


 * $$d(\gamma(t_1),\gamma(t_2)) = \left| t_1 - t_2 \right| .$$

यदि अंतिम समानता सभी के लिए संतुष्ट है t1, t2 ∈ I, जियोडेसिक को मिनिमाइज़िंग जियोडेसिक या सबसे छोटा रास्ता कहा जाता है।

सामान्य तौर पर, स्थिर वक्रों को छोड़कर, मीट्रिक स्थान में कोई भूगर्भ विज्ञान नहीं हो सकता है। दूसरे चरम पर, लंबाई के मीट्रिक स्थान में कोई भी दो बिंदु सुधार योग्य पथों के एक न्यूनतम अनुक्रम से जुड़ जाते हैं, हालांकि इस न्यूनतम अनुक्रम को जियोडेसिक में अभिसरण करने की आवश्यकता नहीं है।

रीमानियन ज्यामिति
मीट्रिक टेंसर G के साथ एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड M में, एक निरंतर भिन्न वक्र की लंबाई L γ : [a,b] → M द्वारा परिभाषित किया गया है।
 * $$L(\gamma)=\int_a^b \sqrt{ g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t)) }\,dt.$$

M के दो बिंदुओं p और q के बीच की दूरी d(p, q) समग्र ली गयी लंबाई के न्यूनतम के रूप में परिभाषित किया गया है [a, b]→M ऐसा है कि γ(a) = p और γ(b) = q. रिमेंनियन ज्यामिति में, सभी भूगणित स्थानीय रूप से दूरी को कम करने वाले पथ हैं, लेकिन इसका विलोम सत्य नहीं है। वास्तव में, केवल वे पथ जो स्थानीय रूप से दूरी को कम करने वाले और चाप-लंबाई के अनुपात में परिमाणित करने वाले हैं, वे भूगणित हैं। एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर जियोडेसिक्स को परिभाषित करने का एक अन्य समकक्ष तरीका, उन्हें निम्न क्रिया या कार्यात्मक ऊर्जा के न्यूनतम के रूप मे परिभाषित करना है।
 * $$E(\gamma)=\frac{1}{2}\int_a^b g_{\gamma(t)}(\dot\gamma(t),\dot\gamma(t))\,dt.$$

E के सभी न्यूनतम L के भी न्यूनतम हैं, लेकिन L एक बड़ा सेट है क्योंकि L के न्यूनतम पथ मनमाने ढंग से दुबारा मापदण्ड किए जा सकते हैं (उनकी लंबाई को बदले बिना), जबकि E का न्यूनतम नहीं हो सकता। एक टुकड़े के लिए $$C^1$$ वक्र (अधिक सामान्यतः, ए $$W^{1,2}$$ वक्र), कॉची-श्वार्ज असमानता देता है
 * $$L(\gamma)^2 \le 2(b-a)E(\gamma)$$

समानता के साथ यदि और केवल $$g(\gamma',\gamma')$$ एक स्थिर a.e के बराबर है; पथ को निरंतर गति से यात्रा की जानी चाहिए। ऐसा होता है कि मिनिमाइज़र $$E(\gamma)$$ भी कम करें $$L(\gamma)$$, क्योंकि वे परिबद्ध रूप से परिचालित हो जाते हैं, और असमानता एक समानता है। इस दृष्टिकोण की उपयोगिता यह है कि E के मिनिमाइज़र खोजने की समस्या एक अधिक मजबूत परिवर्तनशील समस्या है। वास्तव में, E का एक "उत्तल कार्य" है $$\gamma$$, ताकि उचित कार्यों के प्रत्येक समस्थानिक वर्ग के भीतर, किसी को अस्तित्व, विशिष्टता और मिनिमाइज़र की नियमितता की अपेक्षा करनी चाहिए। इसके विपरीत, कार्यात्मक के न्यूनतमकर्ता $$L(\gamma)$$ प्रायः बहुत नियमित नहीं होते हैं, क्योंकि मनमाना पुनर्मूल्यांकन की अनुमति है।

क्रियात्मक E के लिए गति के Euler-Lagrange समीकरणों को इसके द्वारा स्थानीय निर्देशांकों में दिया जाता है
 * $$\frac{d^2x^\lambda }{dt^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu }\frac{dx^\mu }{dt}\frac{dx^\nu }{dt} = 0,$$

जहाँ पर $$\Gamma^\lambda_{\mu\nu}$$ मीट्रिक के क्रिस्टोफेल प्रतीक हैं। यह जियोडेसिक समीकरण है, जिसकी चर्चा नीचे की गई है।

विविधताओं की गणना
ऊर्जा कार्यात्मक E की जांच करने के लिए विविधताओं की शास्त्रीय गणना की तकनीकों को लागू किया जा सकता है। ऊर्जा की पहली भिन्नता को स्थानीय निर्देशांक में परिभाषित किया गया है


 * $$\delta E(\gamma)(\varphi) = \left.\frac{\partial}{\partial t}\right|_{t=0} E(\gamma + t\varphi).$$

पहली भिन्नता का महत्वपूर्ण बिंदु ठीक भूगर्भ विज्ञान है। दूसरी भिन्नता द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\delta^2 E(\gamma)(\varphi,\psi) = \left.\frac{\partial^2}{\partial s \, \partial t} \right|_{s=t=0} E(\gamma + t\varphi + s\psi).$$

एक उपयुक्त अर्थ में, जियोडेसिक γ के साथ दूसरी भिन्नता के शून्य जैकोबी क्षेत्रों के साथ उत्पन्न होते हैं। जैकोबी क्षेत्रों को इस प्रकार जियोडेसिक्स के माध्यम से विविधता के रूप में माना जाता है।

शास्त्रीय यांत्रिकी से विविधतापूर्ण तकनीकों को लागू करके, भूगर्भ विज्ञान को हैमिल्टनियन प्रवाह के रूप में भी माना जा सकता है। वे संबंधित हैमिल्टन समीकरण के समाधान हैं, जिसमें (छद्म-) रीमैनियन मीट्रिक को हैमिल्टनियन यांत्रिकी के रूप में लिया गया है।

एफ़िन जियोडेसिक्स
एफ़िन कनेक्शन ∇ के साथ एक चिकने मैनिफोल्ड M पर एक जियोडेसिक को वक्र γ(t) के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि वक्र के साथ समानांतर परिवहन वक्र के स्पर्शरेखा सदिश को संरक्षित करता है, इसलिए

वक्र के साथ प्रत्येक बिंदु पर, जहाँ $$\dot\gamma$$ के संबंध में डेरिवेटिव हैं $$t$$. अधिक सटीक रूप से, सहपरिवर्ती व्युत्पन्न को परिभाषित करने के लिए पहले $$\dot\gamma$$ को बढ़ाना जरूरी है। $$\dot\gamma$$ को एक खुले सेट में निरंतर भिन्न होने वाले सदिश क्षेत्र में विस्तारित किया जाए। हालाँकि, ($$) का परिणामी मूल्य विस्तार की पसंद से स्वतंत्र है।

M पर स्थानीय निर्देशांक का उपयोग करके, हम 'जियोडेसिक समीकरण' (संकलन सम्मेलन का उपयोग करके) लिख सकते हैं।
 * $$\frac{d^2\gamma^\lambda }{dt^2} + \Gamma^{\lambda}_{\mu \nu }\frac{d\gamma^\mu }{dt}\frac{d\gamma^\nu }{dt} = 0\ ,$$

जहाँ पर $$\gamma^\mu = x^\mu \circ \gamma (t)$$ वक्र γ(t) के निर्देशांक हैं और $$\Gamma^{\lambda }_{\mu \nu }$$ कनेक्शन ∇ के क्रिस्टोफेल प्रतीक हैं। यह निर्देशांकों के लिए एक साधारण अवकल समीकरण है। प्रारंभिक स्थिति और प्रारंभिक वेग दिए जाने पर इसका एक अनूठा समाधान है। इसलिए, शास्त्रीय यांत्रिकी के दृष्टिकोण से, भूगर्भ विज्ञान को कई गुना मुक्त कणों के प्रक्षेपवक्र के रूप में माना जा सकता है। दरअसल, समीकरण $$ \nabla_{\dot\gamma} \dot\gamma= 0$$ इसका मतलब है कि वक्र के त्वरण सदिश का सतह की दिशा में कोई घटक नहीं है (और इसलिए यह वक्र के प्रत्येक बिंदु पर सतह के स्पर्शरेखा तल के लंबवत है)। तो, गति पूरी तरह से सतह के झुकने से निर्धारित होती है। यह सामान्य सापेक्षता का भी विचार है जहां कण भूगर्भ विज्ञान पर चलते हैं और झुकना गुरुत्वाकर्षण के कारण होता है।

अस्तित्व और विशिष्टता
जियोडेसिक्स के लिए स्थानीय अस्तित्व और अद्वितीयता प्रमेय बताता है कि एफाइन कनेक्शन के साथ एक चिकनी मैनिफोल्ड पर जियोडेसिक्स मौजूद हैं, और अद्वितीय हैं। अधिक सटीक रूप से


 * M में किसी भी बिंदु P के लिए और TpM में किसी भी सदिश V के लिए (P पर M के लिए स्पर्शरेखा स्थान) एक अद्वितीय जियोडेसिक मौजूद है $$\gamma \,$$ : I → M ऐसा कि
 * $$\gamma(0) = p \,$$ तथा
 * $$\dot\gamma(0) = V,$$
 * जहां I 'R' में अधिकतम खुला अंतराल है जिसमें 0 है।

इस प्रमेय का प्रमाण साधारण अंतर समीकरणों के सिद्धांत से मिलता है, यह देखते हुए कि जियोडेसिक समीकरण एक दूसरे क्रम का ODE है। इसके बाद निर्धारित प्रारंभिक स्थितियों के साथ ODE के समाधान के लिए पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय से अस्तित्व और विशिष्टता का पालन होता है। γ P और V दोनों पर सुचारू कार्य निर्भर करता है।

सामान्य तौर पर, हो सकता है कि I पूरी तरह से 'R' न हो, उदाहरण के लिए 'R' में खुली डिस्क के लिए कोई भी $$ सभी $γ$ तक विस्तारित होता है यदि और केवल अगर $ℝ$ भौगोलिक रूप से पूर्ण हो।

जियोडेसिक प्रवाह
जियोडेसिक प्रवाह एक स्थानीय R-ग्रुप एक्शन है जो निम्नलिखित तरीके से परिभाषित M के स्पर्शरेखा बंडल TM पर है।


 * $$G^t(V)=\gamma_V(t)$$

जहां T ∈ 'R ', V ∈ TM और $$\gamma_V$$ प्रारंभिक डेटा के साथ जियोडेसिक को दर्शाता है $$\dot\gamma_V(0)=V$$। इस प्रकार, $$G^t$$(V) = exp(tV) सदिश tV का चरघातांकी मानचित्र है। जियोडेसिक प्रवाह की बंद कक्षा M पर बंद जियोडेसिक से मेल खाती है।

एक (छद्म-) रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर, जियोडेसिक प्रवाह की पहचान कॉटेन्जेंट बंडल पर हैमिल्टनियन प्रवाह के साथ की जाती है। हेमिल्टनियन यांत्रिकी तब (छद्म-) रीमैनियन मीट्रिक के व्युत्क्रम द्वारा दी जाती है, जिसका मूल्यांकन विहित एक रूप के विरुद्ध किया जाता है। विशेष रूप से प्रवाह (छद्म-) रीमैनियन मीट्रिक को संरक्षित करता है $$g$$, अर्थात।


 * $$g(G^t(V),G^t(V))=g(V,V). \, $$

विशेष रूप से, जब V एक इकाई सदिश है, $$\gamma_V$$ पूरे समय इकाई गति बनी रहती है, इसलिए जियोडेसिक प्रवाह इकाई स्पर्शरेखा बंडल के लिए स्पर्शरेखा है। लिउविल की प्रमेय का अर्थ स्पर्शरेखा बंडल पर गतिज माप का व्युत्क्रम हैं।

जियोडेसिक स्प्रे
जियोडेसिक प्रवाह स्पर्शरेखा बंडल में वक्रों के एक परिवार को परिभाषित करता है। इन वक्रों के व्युत्पन्न स्पर्शरेखा बंडल के कुल स्थान पर एक सदिश क्षेत्र को परिभाषित करते हैं, जिसे जियोडेसिक स्प्रे के रूप में जाना जाता है।

अधिक सटीक रूप से, एक एफ़िन कनेक्शन क्षैतिज बंडल और लंबवत बंडलो में डबल स्पर्शरेखा बंडल TTM के विभाजन को जन्म देता है:
 * $$TTM = H\oplus V.$$

जियोडेसिक स्प्रे अद्वितीय क्षैतिज सदिश क्षेत्र W सन्तोषजनक हैं


 * $$\pi_* W_v = v\,$$

प्रत्येक बिंदु पर V ∈ TM; यहाँ π∗: TTM → TM स्पर्शरेखा बंडल से जुड़े प्रक्षेपण π : TM → M के साथ जारी रखने वाले (अंतर) को दर्शाता है।

प्रायः अधिक वही निर्माण स्पर्शरेखा बंडल पर किसी भी एह्रेसमैन कनेक्शन के लिए सदिश फ़ील्ड बनाने की अनुमति देता है। परिणामी सदिश फ़ील्ड के लिए एक स्प्रे (हटाए गए स्पर्शरेखा बंडल TM \ {0} पर) होने के लिए यह पर्याप्त है कि कनेक्शन सकारात्मक पुनर्विक्रय के तहत समान हो, इसे रैखिक होने की आवश्यकता नहीं है। अर्थात्, (cf. एह्रेसमैन कनेक्शन#सदिश बंडल और सहपरिवर्ती डेरिवेटिव) यह पर्याप्त है कि क्षैतिज वितरण संतुष्ट करता है।
 * $$H_{\lambda X} = d(S_\lambda)_X H_X\,$$

प्रत्येक X ∈ TM \ {0} और λ > 0 के लिए। यहाँ d(Sλ) अदिश समरूपता के साथ जारी रखना हैं । $$S_\lambda: X\mapsto \lambda X.$$ इस तरह से उत्पन्न होने वाले गैर-रैखिक कनेक्शन का एक विशेष मामला फिन्सलर मनिफॉल्ड से जुड़ा हुआ है।

एफ़िन और प्रोजेक्टिव जियोडेसिक्स
समीकरण ($M$) एफ़िन पैरामीटराइजेशन के तहत अपरिवर्तनीय है; वह है, फॉर्म का पैरामीटराइजेशन
 * $$t\mapsto at+b$$

जहाँ a और b अचर वास्तविक संख्याएँ हैं। इस प्रकार सन्निहित वक्रों के एक निश्चित वर्ग को निर्दिष्ट करने के अलावा, जियोडेसिक समीकरण प्रत्येक वक्र पर मानकीकरणों के एक पसंदीदा वर्ग को भी निर्धारित करता है। तदनुसार, के समाधान ($$) को एफाइन मापदण्डके साथ जियोडेसिक्स कहा जाता है।

एक संबधित संबंध द्वारा निर्धारित होता है, जो बंधुत्वपूर्ण पैरामिट्रीकृत जिओडेसिक्स के परिवार का होता है, मरोड़ टेंसर तक मरोड़ वास्तव में, जियोडेसिक्स के परिवार को प्रभावित नहीं करता है, क्योंकि जियोडेसिक समीकरण केवल कनेक्शन के सममित भाग पर निर्भर करता है। अधिक सटीक रूप से, अगर $$\nabla, \bar{\nabla}$$ दो कनेक्शन ऐसे हैं कि अंतर टेंसर
 * $$D(X,Y) = \nabla_XY-\bar{\nabla}_XY$$

तिरछा-सममित मैट्रिक्स है | तिरछा-सममित, तब $$\nabla$$ तथा $$\bar{\nabla}$$ एक ही जियोडेसिक्स है, एक ही एफ़िन पैरामीटराइजेशन के साथ। इसके अलावा, एक ही जियोडेसिक्स के रूप में एक अनूठा संबंध है $$\nabla$$, लेकिन गायब होने वाले मरोड़ के साथ।

एक विशेष मापदण्ड के बिना जिओडेसिक्स को प्रक्षेपण कनेक्शन द्वारा वर्णित किया गया है।

कम्प्यूटेशनल तरीके
किमेल और अन्य लोगों द्वारा इकोनल समीकरणों के रूप में पेश की गई सतहों पर न्यूनतम जियोडेसिक समस्या के लिए कुशल समाधानकर्ता प्रस्तावित किए गए हैं।

रिबन टेस्ट
रिबन टेस्ट एक भौतिक सतह पर जियोडेसिक खोजने का एक तरीका है। यह विचार एक सीधी रेखा (एक रिबन) के चारों ओर थोड़ा सा कागज एक घुमावदार सतह पर फिट करने के लिए है, जितना संभव हो सके रिबन को खींचे या निचोड़े बिना (इसकी आंतरिक ज्यामिति को बदले बिना)।

उदाहरण के लिए, जब एक रिबन को एक शंकु के चारों ओर एक रिंग के रूप में लपेटा जाता है, तो रिबन शंकु की सतह पर नहीं रहेगा बल्कि बाहर चिपक जाएगा, ताकि शंकु पर वृत्त जियोडेसिक न हो। यदि रिबन को इस तरह समायोजित किया जाता है कि इसके सभी भाग शंकु की सतह को छूते हैं, तो यह एक जियोडेसिक को एक सन्निकटन देगा।

गणितीय रूप से रिबन टेस्ट को मैपिंग खोजने के रूप में तैयार किया जा सकता है $$f: N(l) \to S$$ एक पड़ोस का $$N$$ एक पंक्ति का $$l$$ एक सतह में $$S$$ विमान हैं ताकि मैपिंग हो सके, $$f$$ आस-पास की दूरियों को ज्यादा नहीं बदलेगा $$l$$ बहुत ज्यादा; अर्थात् दूरी पर $$\varepsilon$$ से $$l$$ अपने पास$$g_N-f^*(g_S)=O(\varepsilon^2)$$ जहाँ पर $$g_N$$ तथा $$g_S$$ में $$N$$ तथा $$S$$ मेट्रिक्स हैं।

अनुप्रयोग
जियोडेसिक्स गणना के आधार के रूप में कार्य करता है:
 * जियोडेसिक एयरफ्रेम; जियोडेसिक एयरफ्रेम या जियोडेटिक एयरफ्रेम देखें
 * जियोडेसिक संरचनाएं - उदाहरण के लिए जियोडेसिक गुंबद
 * पृथ्वी पर या उसके निकट क्षैतिज दूरी; पृथ्वी भूभौतिकी देखें
 * रेंडरिंग के लिए सतहों पर इमेज मैप करना; यूवी मैपिंग देखें
 * आणविक गतिशीलता में कण गति | आणविक गतिशीलता (एमडी) कंप्यूटर सिमुलेशन
 * रोबोट गति योजना (जैसे, कार के पुर्जों को पेंट करते समय); सबसे छोटा पथ समस्या देखें

यह भी देखें

 * सतहों की विभेदक ज्यामिति
 * जियोडेसिक सर्कल
 * सतहों की विभेदक ज्यामिति
 * जियोडेसिक सर्कल
 * जियोडेसिक सर्कल

अग्रिम पठन

 * . See chapter 2.
 * . See section 2.7.
 * . See section 1.4.
 * . See section 87.
 * . Note especially pages 7 and 10.
 * . See chapter 3.
 * . Note especially pages 7 and 10.
 * . See chapter 3.
 * . See chapter 3.

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * सामान्य सापेक्षता में जियोडेसिक्स
 * अलग करने योग्य कई गुना
 * दूरी (ग्राफ सिद्धांत)
 * निर्बाध गिरावट
 * ग्राफ (असतत गणित)
 * सतहों की अंतर ज्यामिति
 * खुला अंतराल
 * वक्राकार लंबाई
 * विविधताओं की गणना
 * रबर बैण्ड
 * अंतरिक्ष समय
 * रिमानियन ज्यामिति
 * ग्रहों की कक्षा
 * उप-रिमानियन ज्यामिति
 * स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड
 * त्रिअक्षीय दीर्घवृत्ताभ पर भूभौतिकी
 * एंटीपोडल बिंदु
 * एक दीर्घवृत्त पर जिओडेसिक्स
 * गोलाकार त्रिभुज
 * स्थानीय स्तर पर
 * लंबाई मीट्रिक स्थान
 * सबसे कम
 * क्रिस्टोफर प्रतीक
 * दूसरा रूपांतर
 * हैमिल्टनियन प्रवाह के रूप में जियोडेसिक्स
 * जैकोबी मैदान
 * खुला सेट
 * साधारण अंतर समीकरण
 * क्रिस्टोफर प्रतीक
 * चिकना समारोह
 * समूह क्रिया (गणित)
 * प्रवाह (गणित)
 * घातीय नक्शा (रीमैनियन ज्यामिति)
 * धक्का आगे (अंतर)
 * आर्थिक समीकरण
 * आणविक गतिकी

बाहरी संबंध

 * Geodesics Revisited &mdash; Introduction to geodesics including two ways of derivation of the equation of geodesic with applications in geometry (geodesic on a sphere and on a torus), mechanics (brachistochrone) and optics (light beam in inhomogeneous medium).
 * Totally geodesic submanifold at the Manifold Atlas