पारलौकिक संख्या

गणित में, एक पारलौकिक संख्या एक ऐसी संख्या है जो बीजगणितीय संख्या नहीं है- अर्थात, परिमेय गुणांक वाले सीमित कोटि के गैर-शून्य बहुपद का मूल नहीं होता है। सर्वश्रेष्ठ ज्ञात पारलौकिक संख्याएँ π और e हैं।

हालांकि पारलौकिक संख्याओं के केवल कुछ वर्ग ही ज्ञात हैं - आंशिक रूप से क्योंकि यह दिखाना अत्यंत कठिन हो सकता है कि दी गई संख्या पारलौकिक है - पारलौकिक संख्याएँ दुर्लभ नहीं हैं। वास्तव में, लगभग सभी वास्तविक और जटिल संख्याएँ पारलौकिक हैं, क्योंकि बीजगणितीय संख्याओं में एक गणनीय समुच्चय सम्मिलित होता है, जबकि वास्तविक संख्याओं का समुच्चय और जटिल संख्याओं का समुच्चय दोनों अगणनीय समुच्चय होते हैं, और इसलिए किसी भी गणनीय समुच्चय से बड़े होते हैं। सभी पारलौकिक वास्तविक संख्याएँ (जिन्हें वास्तविक पारलौकिक संख्याएँ या पारलौकिक अपरिमेय संख्याएँ भी कहा जाता है) अपरिमेय संख्याएँ हैं, क्योंकि सभी परिमेय संख्याएँ बीजगणितीय हैं।  और इनका विलोम सत्य नहीं है: सभी अपरिमेय संख्याएँ पारलौकिक नहीं हैं। इसलिए, वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में गैर-अतिव्यापी परिमेय, बीजगणितीय अपरिमेय और पारलौकिक वास्तविक संख्याएँ होती हैं। उदाहरण के लिए, 2 का वर्गमूल एक अपरिमेय संख्या है, लेकिन यह एक पारलौकिक संख्या नहीं है क्योंकि यह बहुपद समीकरण $x^{2} − 2 = 0$ का मूल है। स्वर्ण अनुपात (निरूपित $$\varphi$$ या $$\phi$$) एक और अपरिमेय संख्या है जो पारलौकिक नहीं है, क्योंकि यह बहुपद समीकरण $x^{2} − x − 1 = 0$ का एक मूल है। किसी संख्या के पारलौकिक होने के गुण को पारलौकिकता कहा जाता है।

इतिहास
ट्रान्सेंडैंटल (पारलौकिक) नाम लैटिन भाषा के ट्रान्सेंडेरे शब्द से आया है जिसका अर्थ 'ऊपर से ऊपर चढ़ना, विजय पाना' होता है, और पहली बार लीबनिज ने 1682 के लेख में गणितीय अवधारणा के लिए प्रयोग किया गया था जिसमें उन्होंने यह सिद्ध किया $sin x$, $x$ का बीजगणितीय फलन(कार्य) नहीं है। 18वीं शताब्दी में लियोनहार्ड यूलर संभवत: आधुनिक अर्थों में पारलौकिक संख्याओं को परिभाषित करने वाले पहले व्यक्ति थे।

जोहान हेनरिक लैम्बर्ट ने अनुमान लगाया था $e$ और $\pi$(पाई) पारलौकिक संख्याएँ थीं उनके 1768 के लेख में उन्होंने सिद्ध किया कि π अपरिमेय संख्या है, और π के पारगमन के प्रमाण का एक अस्थायी रेखाचित्र प्रस्तावित किया।

जोसेफ लिउविल ने सर्वप्रथम 1844 में पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व को सिद्ध किया, और 1851 में लिउविल स्थिरांक जैसे पहले दशमलव उदाहरण दिए थे।

\begin{align} L_b &= \sum_{n=1}^\infty 10^{-n!} \\ &= 10^{-1} + 10^{-2} + 10^{-6} + 10^{-24} + 10^{-120} + 10^{-720} + 10^{-5040} + 10^{-40320} + \ldots \\ &= 0.\textbf{1}\textbf{1}000\textbf{1}00000000000000000\textbf{1}00000000000000000000000000000000000000000000000000000\ldots \\ \end{align}$$ जिसमें $n$ दशमलव बिंदु के बाद nवां अंक $1$ है यदि $n$ के बराबर $k!$($k$ भाज्य) है तो कुछ के लिए $k$ तथा $0$ अन्यथा ही हैं। दूसरे शब्दों में, यदि n संख्याओं में से एक है तो इस संख्या का nवां अंक केवल 1 होता है! जैसे 1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24,आदि। लिउविले ने दिखाया कि यह संख्या पारलौकिक संख्याओं के एक वर्ग से संबंधित है, जो किसी भी अपरिमेय बीजगणितीय संख्या की तुलना में परिमेय संख्याओं द्वारा अधिक निकटता से अनुमानित हो सकती है, और संख्याओं के इस वर्ग को लिउविल संख्या कहा जाता है, जिसका नाम उनके सम्मान में रखा गया है। लिउविल ने दिखाया कि सभी लिउविल संख्याएं पारलौकिक हैं।

1873 में चार्ल्स हर्मिट द्वारा पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व को सिद्ध करने के विशेष उद्देश्य के बिना पारलौकिक सिद्ध होने वाली पहली $n$ संख्या थी।

1874 में, जॉर्ज कैंटर ने सिद्ध किया कि बीजगणितीय संख्याएँ गणनीय होती हैं और वास्तविक संख्याएँ अगणनीय होती हैं। उन्होंने पारलौकिक संख्याओं के निर्माण के लिए कैंटर का पहला समुच्चय सिद्धांत लेख भी दिया। यद्यपि यह पहले से ही बीजगणितीय संख्याओं की गिनती के उनके प्रमाण से निहित था, कैंटर ने एक रचना भी प्रकाशित की जो यह सिद्ध करती है कि वास्तविक संख्या के रूप में कई पारलौकिक संख्याएं हैं। कैंटर के कार्य ने पारलौकिक संख्याओं की सर्वव्यापकता स्थापित की।

1882 में, फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन ने π के उत्तमता का पहला पूर्ण प्रमाण प्रकाशित किया। उन्होंने सबसे पहले यह सिद्ध किया अगर $e$ एक शून्येतर बीजगणितीय संख्या है तो $n$ पारलौकिक संख्या है । तब,चूँकि $1! = 1, 2! = 2, 3! = 6, 4! = 24$ बीजगणितीय है (यूलर का अभिज्ञान देखें), $e^{a}$ अवश्य ही पारलौकिक होना चाहिए। लेकिन चूँकि $e^{i\pi} = −1$ बीजगणितीय है, इसलिए $a$ पारलौकिक होना चाहिए। इस दृष्टिकोण को कार्ल वीयरस्ट्रास द्वारा सामान्यीकृत किया गया था जिसे अब लिंडमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय के रूप में जाना जाता है। π की उत्कृष्टता ने कई प्राचीन ज्यामितीय निर्माणों की असंभवता के प्रमाण की अनुमति दी, जिसमें सबसे प्रसिद्ध एक वृत्त को चौकोर करना और परकार को सीधा करना भी सम्मिलित है।

1900 में, डेविड हिल्बर्ट ने पारलौकिक संख्याओं के बारे में एक प्रभावशाली प्रस्तुत किया, हिल्बर्ट की सातवीं समस्या: यदि a एक बीजगणितीय संख्या है जो शून्य या एक नहीं है, और b एक अपरिमेय बीजगणितीय संख्या है, तो क्या ab आवश्यक रूप से पारलौकिक है? 1934 में गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय द्वारा सकारात्मक उत्तर प्रदान किया गया था। यह काम 1960 के दशक में एलन बेकर (गणितज्ञ) द्वारा विस्तारित किया गया था, जो किसी भी संख्या में लघुगणकों(बीजगणितीय संख्याओं) में रैखिक रूपों के लिए निचली सीमा पर कार्य में विस्तारित किया गया था।

गुण
एक पारलौकिक संख्या एक(संभवतः जटिल) संख्या है जो किसी भी पूर्णांक बहुपद का वर्गमूल नहीं है। प्रत्येक वास्तविक पारलौकिक संख्या भी अपरिमेय संख्या होनी चाहिए, क्योंकि एक परिमेय संख्या एक बहुपद के अंश के पूर्णांक बहुपद का मूल है। पारलौकिक संख्याओं का समूह अगणनीय है। चूंकि परिमेय गुणांक वाले बहुपद गणनीय होते हैं, और चूंकि ऐसे प्रत्येक बहुपद में किसी फलन के शून्य की परिमित संख्या होती है, इसलिए बीजगणितीय संख्याएं भी गणनीय होनी चाहिए। हालाँकि, कैंटर का विकर्ण तर्क यह सिद्ध करता है कि वास्तविक संख्याएँ (और इसलिए सम्मिश्र संख्या भी) अगणनीय हैं। चूँकि वास्तविक संख्याएँ बीजगणितीय और पारलौकिक संख्याओं का मिलन हैं, इसलिए दोनों उपसमुच्चयों का गणनीय होना असंभव है। यह पारलौकिक संख्याओं को अगणनीय बनाता है।

कोई भी परिमेय संख्या पारलौकिक नहीं है और सभी वास्तविक पारलौकिक संख्याएँ अपरिमेय हैं। अपरिमेय संख्याओं में सभी वास्तविक पारलौकिक संख्याएँ और बीजगणितीय संख्याओं का एक उपसमूह होता है, जिसमें द्विघात अपरिमेय और बीजगणितीय अपरिमेय के अन्य रूप सम्मिलित होते हैं।

किसी भी गैर-निरंतर एकल-चर बीजगणितीय फलन को पारलौकिक तर्क पर लागू करने से पारलौकिक मूल्य प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, यह जानने से π पारलौकिक है, यह तुरंत निकाला जा सकता है कि संख्याएँ जैसे $i\pi$, तथा $i$ भी पारलौकिक हैं।

हालांकि, कई चरों का एक बीजगणितीय कार्य एक बीजगणितीय संख्या उत्पन्न कर सकता है जब ये संख्याएँ बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र नहीं हैं, तो इन्हें पारलौकिक संख्याओं पर लागू किया जाता है। उदाहरण के लिए, π तथा $5π, π-3⁄√2, (√π-√3)8$ दोनों पारलौकिक हैं, लेकिन $4√π5+7$ स्पष्ट रूप से नहीं है। यह अज्ञात है कि क्या $(1 − π)$, उदाहरण के लिए, पारलौकिक है, हालांकि कम से कम एक $π + (1 − π) = 1$ तथा $π$ पारलौकिक होना चाहिए। अधिक सामान्यतः, किन्हीं दो पारलौकिक संख्याओं के लिए $eπ$ तथा $a$, कम से कम एक $e + π$ तथा $b$ पारलौकिक होना चाहिए। इसे देखने के लिए बहुपद पर विचार करें $e + π$. यदि $a + b$ तथा $ab$ दोनों बीजगणितीय थे, तो यह बीजगणितीय गुणांकों वाला एक बहुपद होगा। चूँकि बीजगणितीय संख्याएँ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र बनाती हैं, इसका अर्थ यह होगा कि बहुपद का मूल $ab$ तथा $a$  बीजीय होना चाहिए। लेकिन यह एक विरोधाभास है, और इस प्रकार यह कारक होना चाहिए कि गुणांकों में से कम से कम एक पारलौकिक है।

गैर-गणना योग्य संख्याएँ पारलौकिक संख्याओं का एक सख्त उपसमुच्चय हैं।

सभी लिउविल संख्याएं पारलौकिक हैं, लेकिन इसके विपरीत नहीं हैं। किसी भी लिउविल संख्या के निरंतर अंश विस्तार में असीमित आंशिक भागफल होना चाहिए। एक कैंटर के विकर्ण तर्क का उपयोग करके कोई भी यह दिखा सकता है कि पारलौकिक संख्याएँ मौजूद हैं जो आंशिक भागफलों से बंधी हैं और इसलिए लिउविल संख्याएँ नहीं हैं।

$b$ के स्पष्ट निरंतर अंश विस्तार का उपयोग करके, कोई भी यह दिखा सकता है $e$ लिउविल संख्या नहीं है (हालांकि इसके निरंतर भिन्न विस्तार में आंशिक भागफल असीमित हैं)। कर्ट महलर ने 1953 में दिखाया कि π भी लिउविल संख्या नहीं है। यह अनुमान लगाया गया कि परिबद्ध शर्तों के साथ सभी अनंत निरंतर भिन्न जो अंततः आवधिक नहीं हैं, पारलौकिक हैं (अंततः आवधिक निरंतर भिन्न द्विघात अपरिमेय के अनुरूप हैं)।

संख्याएं पारलौकिक सिद्ध होती हैं
पारलौकिक संख्या सिद्ध हुई:


 * $(x − a)(x − b) = x^{2} − (a + b)x + ab$ यदि $e$ बीजगणितीय संख्या और अशून्य है (लिंडेमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय द्वारा)।
 * पाई π(लिंडमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय द्वारा)।
 * $(a + b)$, गेलफॉन्ड का स्थिरांक, साथ ही $e^{a}$ (गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय द्वारा) है।
 * $e^{π}$ जहां पे $a$ बीजगणितीय है लेकिन 0 या 1 नहीं है, और $a$ अपरिमेय बीजगणितीय है (गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय द्वारा), विशेष रूप से:
 * $e^{−π/2} = i^{i}$, गेल्फ़ोंड-श्नाइडर स्थिरांक (या हिल्बर्ट संख्या) है।


 * $a^{b}$, $2√2$, $sin a$, $cos a$, $tan a$, तथा $csc a$, और उनके अतिपरवलयिक समकक्ष, किसी भी शून्येतर बीजगणितीय संख्या के लिए $b$, रेडियन में व्यक्त किया गया (लिंडमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय द्वारा) है।
 * स्थिर बिंदु (गणित) कोज्या फलन के निश्चित बिंदु (जिसे डॉटी संख्या $a$ भी कहा जाता है) - समीकरण का अद्वितीय वास्तविक हल $sec a$, जहां पे $d$ रेडियन में है (लिंडमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय द्वारा)। तथा $cot a$. संख्या $$\Gamma[2/3]$$, $$\Gamma[3/4]$$ तथा $$\Gamma[5/6]$$ पारलौकिक भी माने जाते हैं। संख्या $$\Gamma[1/4]^4/\pi$$ तथा $$\Gamma[1/3]^2/\pi$$ पारलौकिक भी हैं।
 * 0.64341054629..., काहेन स्थिरांक है।
 * चम्पेरनोवे स्थिरांक, सभी धनात्मक पूर्णांकों के श्रृंखलाबद्ध निरूपण द्वारा गठित अपरिमेय संख्याएँ होती हैं।
 * $cos x = x$, चैतिन का स्थिरांक है(चूंकि यह एक गैर-गणना योग्य संख्या है)।
 * तथाकथित फ्रेडहोम स्थिरांक, जैसे
 * $$\sum_{n=0}^\infty 10^{-2^n} = 0.\textbf{1}\textbf{1}0\textbf{1}000\textbf{1}0000000\textbf{1}\ldots$$
 * जो 10 को किसी भी बीजगणितीय b > 1 से प्रतिस्थापित करने पर भी लागू होता है।


 * गॉस स्थिरांक और लेमनिसकेट स्थिरांक है।
 * किसी भी बीजगणितीय के लिए लिउविल स्थिरांक $ln a$होता है।
 * प्रौहेट-थू-मोर्स स्थिरांक है।
 * बेलीफ-लोरेटी स्थिरांक है।
 * कोई भी संख्या जिसके लिए किसी निश्चित आधार के संबंध में अंक स्टर्मियन शब्द बनाते हैं।
 * $log_{b} a$ के लिये::$$\sum_{k=0}^\infty 10^{-\left\lfloor \beta^{k} \right\rfloor};$$ :जहाँ पे $$\beta\mapsto\lfloor \beta \rfloor$$ तल फलन है।
 * 3.300330000000000330033... और इसका व्युत्क्रम 0.30300000303..., केवल दो अलग-अलग दशमलव अंकों वाली दो संख्याएं जिनकी गैर-शून्य अंकों की स्थिति मोजर-डी ब्रुइजन अनुक्रम और और यह इसका दुगुना होता है।
 * जो नंबर $J_{ν}(x)$, जहाँ पे $J'_{ν}(x)⁄J_{ν}(x)$ तथा $W(a)$ बेसेल कार्य हैं और $x$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।
 * नेस्टरेंको ने 1996 में यह सिद्ध किया $$\pi,e^\pi$$ तथा $$\Gamma[1/4]$$ बीजीय रूप से स्वतंत्र हैं।

संभव पारलौकिक संख्या
संख्याएँ जो अभी तक या तो पारलौकिक या बीजगणितीय सिद्ध होनी हैं:
 * संख्या का अधिकांश योग, गुणनफल, घात आदि π और E (गणितीय स्थिरांक) संख्या $a$, उदा. $a$, $Ω$, $√xs$, $Γ(1/3)$, ππ, ee, πe, π√2, eπ2 तर्कसंगत, बीजगणितीय, अपरिमेय या पारलौकिक नहीं हैं। उल्लेखनीय अपवाद है eπ√n (किसी भी सकारात्मक पूर्णांक के लिए n) जो पारलौकिक सिद्ध हो चुका है।
 * यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक $b$: 2010 में एम. राम मूर्ति और एन. शारदा ने $Γ(1/4)$ संख्याओं की एक अनंत सूची पाई उनमें से अधिकांश को छोड़कर सभी पारलौकिक हैं। 2012 में यह दिखाया गया था कि कम से कम एक $a$ और यूलर-गोम्पर्ट्ज़ स्थिरांक $γ$ पारलौकिक है।
 * एपेरी स्थिरांक $Γ(1/6)$ (जो एपेरी ने तर्कहीन सिद्ध किया)।
 * कैटलन का स्थिरांक, तर्कहीन भी सिद्ध नहीं हुआ था।
 * खिनचिन का स्थिरांक भी तर्कहीन सिद्ध नहीं हुआ था।
 * अन्य विषम पूर्णांकों पर रीमैन जीटा फ़ंक्शन, $Ω$, $b ∈ (0, 1)$, ... तर्कहीन सिद्ध नहीं हुआ था।
 * फेगेनबाउम स्थिरांक $e$ तथा $eπ$, तर्कहीन भी सिद्ध नहीं हुआ था।
 * मिल्स का स्थिरांक भी तर्कहीन सिद्ध नहीं हुआ था।
 * कोपलैंड-एर्दोस स्थिरांक, अभाज्य संख्याओं के दशमलव निरूपण को जोड़कर बनाया गया था।
 * $$\Gamma(1/5)$$ तर्कहीन सिद्ध नहीं हुआ है।

अनुमान:
 * शैनुअल का अनुमान,
 * चार घातीय अनुमान।

एक प्रमाण का रेखाचित्र कि $γ$ पारलौकिक है
पहला प्रमाण कि प्राकृतिक लघुगणक का आधार, $γ$, 1873 से पारलौकिक तिथियां हैं। अब हम डेविड हिल्बर्ट (1862-1943) की रणनीति का पालन करेंगे जिन्होंने चार्ल्स हर्मिट के मूल प्रमाण का सरलीकरण किया था। विचार निम्नलिखित है:

मान लीजिए, एक विरोधाभास खोजने के उद्देश्य से, कि $δ$ बीजगणितीय है। तब पूर्णांक गुणांक c0, c1, ..., cn  का एक परिमित समुच्चय मौजूद होता है जो समीकरण को संतुष्ट करता है:


 * $$c_{0}+c_{1}e+c_{2}e^{2}+\cdots+c_{n}e^{n}=0, \qquad c_0, c_n \neq 0.$$

अब एक धनात्मक पूर्णांक k के लिए, हम निम्नलिखित बहुपद को परिभाषित करते हैं:समुच्चय-


 * $$ f_k(x) = x^{k} \left [(x-1)\cdots(x-n) \right ]^{k+1},$$

और उपरोक्त समीकरण के दोनों पक्षों को से गुणा करें


 * $$\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx,$$

समीकरण पर पहुंचने के लिए:


 * $$c_{0} \left (\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_1e\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+\cdots+ c_{n}e^{n} \left (\int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right ) = 0.$$

एकीकरण के संबंधित डोमेन को विभाजित करके, इस समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है


 * $$P+Q=0$$

जहाँ पे


 * $$\begin{align}

P &= c_{0}\left ( \int^{\infty}_{0}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{1}e\left (\int^{\infty}_{1}f_k e^{-x}\,dx\right )+ c_{2}e^{2}\left (\int^{\infty}_{2}f_k e^{-x}\,dx\right ) +\cdots+ c_{n}e^{n}\left (\int^{\infty}_{n}f_k e^{-x}\,dx\right ) \\ Q &= c_{1}e\left (\int^{1}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+c_{2}e^{2} \left (\int^{2}_{0} f_k e^{-x}\,dx\right )+\cdots+c_{n}e^{n}\left (\int^{n}_{0} f_k e^{-x}\,dx \right ) \end{align}$$ प्रमेयिका 1. k के उपयुक्त विकल्प के लिए, $$\tfrac{P}{k!}$$ एक गैर-शून्य पूर्णांक है।

प्रमाण - P में प्रत्येक पद, गुणनखंडों का पूर्णांक गुणा योग है, जो संबंध से उत्पन्न होता है


 * $$\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx=j!$$

जो किसी भी धनात्मक पूर्णांक j के लिए मान्य है (गामा फलन पर विचार करें)।

यह गैर-शून्य है क्योंकि प्रत्येक के लिए एक संतोषजनक 0<a ≤ n है, और समाकलन में-


 * $$c_{a}e^{a}\int^{\infty}_{a} f_k e^{-x}\,dx$$

e−x समाकल में x+a के लिए x को प्रतिस्थापित करने के बाद x की निम्नतम घात k+1 है। फिर यह पदों के समाकल का योग बन जाता है


 * $$A_{j-k}\int^{\infty}_{0}x^{j}e^{-x}\,dx$$ जहाँ एकj-k पूर्णांक है।

k+1 ≤ j, और इसलिए यह एक पूर्णांक है जो (k+1)! से विभाज्य है। k! से विभाजित करने के बाद, हमें शून्य सापेक्ष (k+1) मिलता है। हालाँकि, हम लिख सकते हैं:


 * $$\int^{\infty}_{0} f_k e^{-x}\,dx = \int^{\infty}_{0} \left ( \left [(-1)^{n}(n!) \right ]^{k+1}e^{-x}x^k + \cdots \right ) dx$$

और इस तरह


 * $${\frac {1}{k!}}c_{0}\int _{0}^{\infty }f_{k}e^{-x}\,dx\equiv c_{0}[(-1)^{n}(n!)]^{k+1}\not\equiv 0{\pmod {k+1}}.$$

इसलिए जब P में प्रत्येक समाकल को k! से विभाजित किया जाता है, तो प्रारंभिक एक k+1 से विभाज्य नहीं होता है, लेकिन अन्य सभी तब तक विभाज्य होते हैं, जब तक k+1 अभाज्य है और n और |c0| से बड़ा है।     यह इस प्रकार है कि $$\tfrac{P}{k!}$$ स्वयं अभाज्य k+1 से विभाज्य नहीं है और इसलिए शून्य नहीं हो सकता।

प्रमेयिका 2. $$\left|\tfrac{Q}{k!}\right|<1$$ पर्याप्त रूप से बड़े $$k$$ के लिए।.

प्रमाण - ध्यान दें कि


 * $$\begin{align}

f_k e^{-x} &= x^{k}[(x-1)(x-2)\cdots(x-n)]^{k+1}e^{-x}\\ &= \left (x(x-1)\cdots(x-n) \right)^k \cdot \left ((x-1)\cdots(x-n)e^{-x}\right)\\ &= u(x)^k \cdot v(x) \end{align}$$ जहाँ पे $$u(x)$$ तथा $$v(x)$$ सभी $$x$$ के लिए $$x$$ के निरंतर फलन हैं, इसलिए इन पर सीमित हैं $$[0,n]$$. यानी स्थिरांक हैं $$G, H > 0$$ ऐसा है कि


 * $$ \left |f_k e^{-x} \right | \leq |u(x)|^k \cdot |v(x)| < G^k H \quad \text{ for } 0 \leq x \leq n.$$

इसलिए $$Q$$ बनाने वाले प्रत्येक समाकल परिबद्ध हैं, सबसे खराब स्थिति है कि


 * $$\left|\int_{0}^{n}f_{k}e^{-x}\,dx\right| \leq \int_{0}^{n} \left |f_{k}e^{-x} \right |\,dx \leq \int_{0}^{n}G^k H\,dx = nG^k H.$$

अब $$Q$$ के योग को परिबद्ध करना अब संभव है:


 * $$|Q| < G^{k} \cdot nH \left (|c_1|e+|c_2|e^2+\cdots+|c_n|e^{n} \right ) = G^k \cdot M,$$

कहाँ पे $$M$$ एक स्थिरांक है जो $$k$$ पर निर्भर नहीं है। यह इस प्रकार है कि


 * $$\left| \frac{Q}{k!} \right| < M \cdot \frac{G^k}{k!} \to 0 \quad \text{ as } k \to \infty,$$

इसलिए प्रमेयिका सिद्ध होती है ।

$$k$$ का मान चुनने से दोनों प्रमेयिकाओं को संतुष्ट करने से एक गैर-शून्य पूर्णांक ($$P/k!$$) को एक लुप्त हो जाने वाली छोटी मात्रा ($$Q/k!$$) में जोड़ा गया जो शून्य के बराबर होना असंभव है। मूल धारणा इस प्रकार है कि, $δ$ पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद समीकरण को संतुष्ट कर सकता है, जबकि यह भी असंभव है; अर्थात्, $α$ पारलौकिक है।

π का अतिक्रमण
फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन के मूल दृष्टिकोण से भिन्न एक समान रणनीति का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि संख्या π पारलौकिक है। गामा फलन के अलावा और $e$ के लिए प्रमाण के रूप में कुछ अनुमानों के अलावा, सममित बहुपदों के बारे में तथ्य प्रमाण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

π और e के अतिक्रमण के प्रमाणों के बारे में विस्तृत जानकारी के लिए, संदर्भ और बाहरी लिंक देखें।

यह भी देखें

 * पारलौकिकसंख्या सिद्धांत, पारलौकिकसंख्या से संबंधित प्रश्नों का अध्ययन
 * गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय
 * डायोफैंटाइन सन्निकटन
 * अवधियों का वलय, संख्याओं का एक समूह (पारलौकिकऔर बीजगणितीय दोनों संख्याओं सहित) जिसे अभिन्न समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

बाहरी संबंध
602440|Transcendental number (mathematics)}
 * Proof that e is transcendental
 * Proof that the Liouville Constant is transcendental
 * Proof that e is transcendental (PDF)
 * http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf
 * Proof that the Liouville Constant is transcendental
 * Proof that e is transcendental (PDF)
 * http://www.mathematik.uni-muenchen.de/~fritsch/pi.pdf