आव्यूह अपघटन

रेखीय बीजगणित के गणित अनुशासन में, एक मैट्रिक्स अपघटन या मैट्रिक्स गुणनखंड मैट्रिक्स के एक उत्पाद में एक मैट्रिक्स (गणित) का एक गुणनखंड है। कई अलग-अलग मैट्रिक्स अपघटन हैं; प्रत्येक एक विशेष वर्ग की समस्याओं के बीच उपयोग पाता है।

उदाहरण
संख्यात्मक विश्लेषण में, कुशल मैट्रिक्स कलन विधि को लागू करने के लिए विभिन्न अपघटन का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करते समय $$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$, मैट्रिक्स A को LU अपघटन के माध्यम से विघटित किया जा सकता है। LU अपघटन एक मैट्रिक्स को एक निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स L और एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स U में कारक बनाता है। सिस्टम $$L(U \mathbf{x}) = \mathbf{b}$$ और $$U \mathbf{x} = L^{-1} \mathbf{b}$$ मूल प्रणाली की तुलना में हल करने के लिए कम जोड़ और गुणा की आवश्यकता होती है $$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$, हालांकि किसी को तैरनेवाला स्थल  जैसे अचूक अंकगणित में काफी अधिक अंकों की आवश्यकता हो सकती है।

इसी तरह, क्यूआर अपघटन ए को क्यूआर के रूप में क्यू ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स और आर ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स के रूप में व्यक्त करता है। सिस्टम Q(R'x') = 'b' को R'x' = Q द्वारा हल किया जाता हैTb = c, और सिस्टम Rx = c को 'त्रिकोणीय मैट्रिक्स#आगे और पीछे प्रतिस्थापन' द्वारा हल किया जाता है। LU सॉल्वर का उपयोग करने के लिए आवश्यक जोड़ और गुणा की संख्या लगभग दोगुनी है, लेकिन अचूक अंकगणित में अधिक अंकों की आवश्यकता नहीं है क्योंकि QR अपघटन संख्यात्मक रूप से स्थिर है।

लू अपघटन

 * परंपरागत रूप से लागू: स्क्वायर मैट्रिक्स ए, हालांकि आयताकार मैट्रिक्स लागू हो सकते हैं।
 * अपघटन: $$A=LU$$, जहां L त्रिकोणीय मैट्रिक्स है और U त्रिकोणीय मैट्रिक्स है
 * संबंधित: एलडीयू अपघटन है $$A=LDU$$, जहां एल तिरछे मैट्रिक्स के साथ त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, यू विकर्ण पर वाले त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, और डी एक विकर्ण मैट्रिक्स है।
 * संबंधित: LUP अपघटन है $$PA=LU$$, जहां L त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, U त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, और P एक क्रमचय मैट्रिक्स है।
 * अस्तित्व: किसी भी वर्ग मैट्रिक्स ए के लिए एक एलयूपी अपघटन मौजूद है। जब पी एक पहचान मैट्रिक्स है, तो एलयूपी अपघटन एलयू अपघटन में कम हो जाता है।
 * टिप्पणियां: एलयूपी और एलयू अपघटन रैखिक समीकरणों की एन-बाय-एन प्रणाली को हल करने में उपयोगी होते हैं $$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$. ये अपघटन मैट्रिक्स के रूप में गॉसियन उन्मूलन की प्रक्रिया को संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं। मैट्रिक्स पी गॉसियन उन्मूलन की प्रक्रिया में किए गए किसी भी पंक्ति इंटरचेंज का प्रतिनिधित्व करता है। यदि गॉसियन विलोपन किसी भी पंक्ति इंटरचेंज की आवश्यकता के बिना पंक्ति सोपानक रूप का उत्पादन करता है, तो P = I, इसलिए एक LU अपघटन मौजूद है।

रैंक गुणनखंड

 * के लिए लागू: रैंक r का m-by-n मैट्रिक्स A
 * अपघटन: $$A=CF$$ जहाँ C एक m-by-r फुल कॉलम रैंक मैट्रिक्स है और F एक r-by-n फुल रो रैंक मैट्रिक्स है
 * टिप्पणी: रैंक गुणनखंडन का उपयोग मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स#रैंक अपघटन के लिए किया जा सकता है। ए के मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स की गणना करें, जो मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स # एक रेखीय प्रणाली के सभी समाधानों को प्राप्त करने के लिए लागू हो सकता है $$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$.

चोल्स्की अपघटन

 * इसके लिए लागू: वर्ग मैट्रिक्स, सममित मैट्रिक्स, सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स मैट्रिक्स $$A$$
 * अपघटन: $$A=U^*U$$, कहाँ $$U$$ वास्तविक सकारात्मक विकर्ण प्रविष्टियों के साथ ऊपरी त्रिकोणीय है
 * टिप्पणी: यदि मैट्रिक्स $$A$$ हर्मिटियन और सकारात्मक अर्ध-निश्चित है, तो इसमें फॉर्म का अपघटन होता है $$A=U^*U$$ यदि की विकर्ण प्रविष्टियाँ $$U$$ शून्य होने की अनुमति है
 * विशिष्टता: सकारात्मक निश्चित आव्यूहों के लिए चोलस्की अपघटन अद्वितीय है। हालांकि, सकारात्मक अर्ध-निश्चित मामले में यह अद्वितीय नहीं है।
 * टिप्पणी: अगर $$A$$ वास्तविक और सममित है, $$U$$ सभी वास्तविक तत्व हैं
 * टिप्पणी: एक विकल्प एलडीएल अपघटन है, जो वर्गमूल निकालने से बच सकता है।

क्यूआर अपघटन

 * इसके लिए लागू: रैखिक रूप से स्वतंत्र कॉलम के साथ एम-बाय-एन मैट्रिक्स ए
 * अपघटन: $$A=QR$$ कहाँ $$Q$$ एम-बाय-एम आकार का एक एकात्मक मैट्रिक्स है, और $$R$$ आकार m-by-n का त्रिकोणीय मैट्रिक्स मैट्रिक्स है
 * विशिष्टता: सामान्य तौर पर यह अद्वितीय नहीं है, लेकिन यदि $$A$$ पूर्ण मैट्रिक्स रैंक का है, तो एकल मौजूद है $$R$$ जिसमें सभी धनात्मक विकर्ण तत्व हों। अगर $$A$$ वर्गाकार भी है $$Q$$ निराला है।
 * टिप्पणी: क्यूआर अपघटन समीकरणों की प्रणाली को हल करने का एक प्रभावी तरीका प्रदान करता है $$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$. यह तथ्य कि $$Q$$ ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स का मतलब है $$Q^{\mathrm{T}}Q=I$$, ताकि $$A \mathbf{x} = \mathbf{b}$$ के बराबर है $$R \mathbf{x} = Q^{\mathsf{T}} \mathbf{b}$$, जिसे हल करना बहुत आसान है $$R$$ त्रिकोणीय मैट्रिक्स है।

आइगेनडीकंपोजीशन

 * स्पेक्ट्रल अपघटन (मैट्रिक्स) भी कहा जाता है।
 * इसके लिए लागू: रैखिक रूप से स्वतंत्र ईजेनवेक्टरों के साथ वर्ग मैट्रिक्स ए (जरूरी नहीं कि अलग-अलग ईजेनवेल्यूज)।
 * अपघटन: $$A=VDV^{-1}$$, जहां D, A के eigenvalues ​​​​से बना एक विकर्ण मैट्रिक्स है, और V के कॉलम A के संगत eigenvectors हैं।
 * अस्तित्व: एक n-by-n मैट्रिक्स A में हमेशा n (जटिल) eigenvalues ​​​​होते हैं, जिन्हें n-by-n विकर्ण मैट्रिक्स D और गैर-स्तंभ V के संगत मैट्रिक्स बनाने के लिए (एक से अधिक तरीकों से) आदेश दिया जा सकता है। आइगेनवैल्यू समीकरण को संतुष्ट करता है $$AV=VD$$. $$V$$ व्युत्क्रमणीय है अगर और केवल अगर एन ईजेनवेक्टर रैखिक स्वतंत्रता हैं (अर्थात, प्रत्येक ईजेनवेल्यू में इसकी बीजीय बहुलता के बराबर ज्यामितीय बहुलता है)। ऐसा होने के लिए एक पर्याप्त (लेकिन आवश्यक नहीं) शर्त यह है कि सभी ईगेनवैल्यू अलग-अलग हैं (इस मामले में ज्यामितीय और बीजगणितीय बहुलता 1 के बराबर हैं)
 * टिप्पणी: लंबाई एक होने के लिए हमेशा ईजेनवेक्टरों को सामान्य किया जा सकता है (ईजेनवेल्यू समीकरण की परिभाषा देखें)
 * टिप्पणी: प्रत्येक सामान्य मैट्रिक्स ए (यानी, मैट्रिक्स जिसके लिए $$AA^*=A^*A$$, कहाँ $$A^*$$ एक संयुग्मी पारगमन है) को eigendecompose किया जा सकता है। एक सामान्य मैट्रिक्स A (और केवल एक सामान्य मैट्रिक्स के लिए) के लिए, eigenvectors को ऑर्थोनॉर्मल भी बनाया जा सकता है ($$VV^*=I$$) और eigendecomposition के रूप में पढ़ता है $$A=VDV^*$$. विशेष रूप से सभी एकात्मक मैट्रिक्स, हर्मिटियन मैट्रिक्स, या तिरछा-हर्मिटियन मैट्रिक्स | स्क्यू-हर्मिटियन (वास्तविक-मूल्य वाले मामले में, सभी ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स, सममित मैट्रिक्स, या तिरछा-सममित मैट्रिक्स | तिरछा-सममित, क्रमशः) मैट्रिक्स सामान्य हैं और इसलिए इस संपत्ति के अधिकारी।
 * टिप्पणी: किसी भी वास्तविक सममित मैट्रिक्स A के लिए, eigendecomposition हमेशा मौजूद होता है और इसे इस रूप में लिखा जा सकता है $$A=VDV^\mathsf{T}$$, जहां D और V दोनों वास्तविक-मूल्यवान हैं।
 * टिप्पणी: रैखिक साधारण अंतर समीकरणों या रैखिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान को समझने के लिए ईजेनडीकंपोजीशन उपयोगी है। उदाहरण के लिए, अंतर समीकरण $$x_{t+1}=Ax_t$$ प्रारंभिक स्थिति से शुरू $$x_0=c$$ द्वारा हल किया जाता है $$x_t = A^tc$$, जो बराबर है $$x_t = VD^tV^{-1}c$$, जहां V और D, A के eigenvectors और eigenvalues ​​​​से बने मैट्रिसेस हैं। चूंकि D विकर्ण है, इसे शक्ति तक बढ़ा रहा है $$D^t$$, केवल विकर्ण पर प्रत्येक तत्व को घात t तक उठाना शामिल है। ए को पावर टी तक बढ़ाने की तुलना में यह करना और समझना बहुत आसान है, क्योंकि ए आमतौर पर विकर्ण नहीं होता है।

जॉर्डन अपघटन
जॉर्डन सामान्य रूप और जॉर्डन-शेवेली अपघटन
 * इसके लिए लागू: स्क्वायर मैट्रिक्स ए
 * टिप्पणी: जॉर्डन सामान्य रूप उन मामलों के लिए ईजेंडेकम्पोज़िशन को सामान्यीकृत करता है जहां बार-बार ईजेनवेल्यू होते हैं और विकर्ण नहीं किया जा सकता है, जॉर्डन-शेवेली अपघटन बिना किसी आधार को चुने ऐसा करता है।

शूर अपघटन

 * इसके लिए लागू: स्क्वायर मैट्रिक्स ए
 * अपघटन (जटिल संस्करण): $$A=UTU^*$$, जहां यू एकात्मक मैट्रिक्स है, $$U^*$$ U का संयुग्मी स्थानान्तरण है, और T एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स है जिसे जटिल शूर रूप कहा जाता है जिसके विकर्ण के साथ A का प्रतिजन मान होता है।
 * टिप्पणी: यदि A एक सामान्य मैट्रिक्स है, तो T विकर्ण है और शूर अपघटन वर्णक्रमीय अपघटन के साथ मेल खाता है।

रियल शूर अपघटन

 * इसके लिए लागू: स्क्वायर मैट्रिक्स ए
 * अपघटन: यह शूर अपघटन का एक संस्करण है जहाँ $$V$$ और $$S$$ केवल वास्तविक संख्याएँ होती हैं। कोई हमेशा लिख ​​सकता है $$A=VSV^\mathsf{T}$$ जहां वी वास्तविक ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है, $$V^\mathsf{T}$$ V का मैट्रिक्स स्थानान्तरण है, और S एक ब्लॉक मैट्रिक्स मैट्रिक्स है जिसे वास्तविक शूर फॉर्म कहा जाता है। एस के विकर्ण पर ब्लॉक आकार 1×1 (जिस स्थिति में वे वास्तविक eigenvalues ​​​​का प्रतिनिधित्व करते हैं) या 2×2 (जिस स्थिति में वे जटिल संयुग्म eigenvalue जोड़े से प्राप्त होते हैं) के होते हैं।

QZ अपघटन

 * यह भी कहा जाता है: सामान्यीकृत शूर अपघटन
 * इसके लिए लागू: स्क्वायर मैट्रिक्स ए और बी
 * टिप्पणी: इस अपघटन के दो संस्करण हैं: जटिल और वास्तविक।
 * अपघटन (जटिल संस्करण): $$A=QSZ^*$$ और $$B=QTZ^*$$ जहाँ Q और Z एकात्मक मैट्रिक्स हैं, * सुपरस्क्रिप्ट संयुग्मित पारगमन का प्रतिनिधित्व करता है, और S और T ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स हैं।
 * टिप्पणी: जटिल क्यूजेड अपघटन में, एस के विकर्ण तत्वों के अनुपात टी के संबंधित विकर्ण तत्वों के लिए, $$\lambda_i = S_{ii}/T_{ii}$$, सामान्यीकृत eigenvalues ​​​​हैं जो एक मैट्रिक्स के Eigendecomposition#अतिरिक्त विषयों को हल करते हैं $$A \mathbf{v} = \lambda B \mathbf{v}$$ (कहाँ $$\lambda$$ एक अज्ञात अदिश है और v एक अज्ञात अशून्य सदिश है)।
 * अपघटन (वास्तविक संस्करण): $$A=QSZ^\mathsf{T}$$ और $$B=QTZ^\mathsf{T}$$ जहाँ A, B, Q, Z, S और T केवल वास्तविक संख्या वाले आव्यूह हैं। इस मामले में क्यू और जेड ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स हैं, टी सुपरस्क्रिप्ट मैट्रिक्स ट्रांज़ोज़ का प्रतिनिधित्व करता है, और एस और टी ब्लॉक मैट्रिक्स मैट्रिक्स हैं। S और T के विकर्ण पर ब्लॉक आकार 1×1 या 2×2 हैं।

ताकगी का गुणनखंड

 * के लिए लागू: वर्ग, जटिल, सममित मैट्रिक्स ए।
 * अपघटन: $$A=VDV^\mathsf{T}$$, जहां डी वास्तविक गैर-ऋणात्मक विकर्ण मैट्रिक्स है, और वी एकात्मक मैट्रिक्स है। $$V^\mathsf{T}$$ V के मैट्रिक्स स्थानान्तरण को दर्शाता है।
 * टिप्पणी: डी के विकर्ण तत्व के eigenvalues ​​​​के गैर-नकारात्मक वर्गमूल हैं $$AA^*=VD^2V^*$$.
 * टिप्पणी: A वास्तविक होने पर भी V जटिल हो सकता है।
 * टिप्पणी: यह eigendecomposition (ऊपर देखें) का एक विशेष मामला नहीं है, जो उपयोग करता है $$V^{-1}$$ के बजाय $$V^\mathsf{T}$$. इसके अलावा, यदि A वास्तविक नहीं है, तो यह हर्मिटियन और उपयोग करने वाला रूप नहीं है $$V^*$$ भी लागू नहीं होता।

एकवचन मूल्य अपघटन

 * इसके लिए लागू: एम-बाय-एन मैट्रिक्स ए।
 * अपघटन: $$A=UDV^*$$, जहां डी एक गैर-नकारात्मक विकर्ण मैट्रिक्स है, और यू और वी संतुष्ट हैं $$U^*U = I, V^*V = I$$. यहाँ $$V^*$$ V का संयुग्मी स्थानान्तरण है (या केवल मैट्रिक्स स्थानान्तरण, यदि V में केवल वास्तविक संख्याएँ हैं), और I पहचान मैट्रिक्स (कुछ आयाम का) को दर्शाता है।
 * टिप्पणी: D के विकर्ण तत्वों को A का एकवचन मान कहा जाता है।
 * टिप्पणी: ऊपर दिए गए eigendecomposition की तरह, एकवचन मूल्य अपघटन में आधार दिशाओं को खोजना शामिल है जिसके साथ मैट्रिक्स गुणन स्केलर गुणन के बराबर है, लेकिन इसमें अधिक व्यापकता है क्योंकि विचाराधीन मैट्रिक्स को वर्गाकार नहीं होना चाहिए।
 * अद्वितीयता: के विलक्षण मूल्य $$A$$ हमेशा विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं। $$U$$ और $$V$$ सामान्य तौर पर अद्वितीय होने की आवश्यकता नहीं है।

स्केल-इनवेरिएंट अपघटन
एसवीडी जैसे मौजूदा मैट्रिक्स अपघटन के रूपों को संदर्भित करता है, जो विकर्ण स्केलिंग के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं।


 * इसके लिए लागू: एम-बाय-एन मैट्रिक्स ए।
 * यूनिट-स्केल-इनवेरिएंट एकवचन-मूल्य अपघटन: $$A=DUSV^*E$$, जहां S स्केल-इनवेरिएंट एकवचन मानों का एक अद्वितीय गैर-नकारात्मक विकर्ण मैट्रिक्स है, U और V एकात्मक मैट्रिक्स हैं, $$V^*$$ V का संयुग्मी स्थानांतरण है, और धनात्मक विकर्ण आव्यूह D और E है।
 * टिप्पणी: एसवीडी के अनुरूप है, सिवाय इसके कि एस के विकर्ण तत्व मानक एसवीडी के विपरीत मनमाने ढंग से गैर-एकवचन विकर्ण मैट्रिसेस द्वारा ए के बाएं और/या दाएं गुणा के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं, जिसके लिए एकवचन मान अपरिवर्तनीय हैं। मनमाना एकात्मक आव्यूहों द्वारा A का बायाँ और/या दायाँ गुणन।
 * टिप्पणी: मानक एसवीडी का एक विकल्प है जब ए के एकात्मक परिवर्तनों के बजाय विकर्ण के संबंध में व्युत्क्रम की आवश्यकता होती है।
 * विशिष्टता: का पैमाना-अपरिवर्तनीय एकवचन मान $$A$$ (एस के विकर्ण तत्वों द्वारा दिया गया) हमेशा विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है। विकर्ण मैट्रिसेस डी और ई, और एकात्मक यू और वी, सामान्य रूप से अद्वितीय नहीं हैं।
 * टिप्पणी: यू और वी मैट्रिक्स एसवीडी के समान नहीं हैं।

अनुरूप स्केल-इनवेरिएंट अपघटन अन्य मैट्रिक्स अपघटनों से प्राप्त किए जा सकते हैं; उदाहरण के लिए, स्केल-इनवेरिएंट आइगेनवैल्यू प्राप्त करने के लिए।

ध्रुवीय अपघटन

 * इसके लिए लागू: कोई वर्ग जटिल मैट्रिक्स ए।
 * अपघटन: $$A=UP$$ (सही ध्रुवीय अपघटन) या $$A=P'U$$ (बायां ध्रुवीय अपघटन), जहां यू एक एकात्मक मैट्रिक्स है और पी और पी' सकारात्मक अर्ध निश्चित मैट्रिक्स हर्मिटियन मेट्रिसेस हैं।
 * विशिष्टता: $$P$$ हमेशा अद्वितीय और बराबर होता है $$\sqrt{A^*A}$$ (जो हमेशा हेर्मिटियन और सकारात्मक अर्ध निश्चित है)। अगर $$A$$ उलटा है, फिर $$U$$ निराला है।
 * टिप्पणी: चूँकि कोई भी हर्मिटियन मैट्रिक्स एकात्मक मैट्रिक्स के साथ वर्णक्रमीय अपघटन को स्वीकार करता है, $$P$$ रूप में लिखा जा सकता है $$P=VDV^*$$. तब से $$P$$ सकारात्मक अर्ध निश्चित है, सभी तत्व अंदर हैं $$D$$ गैर-नकारात्मक हैं। चूँकि दो एकात्मक आव्यूहों का गुणनफल एकात्मक होता है, अतः $$W=UV$$कोई लिख सकता है $$A=U(VDV^*)=WDV^* $$ जो विलक्षण मूल्य अपघटन है। इसलिए, ध्रुवीय अपघटन का अस्तित्व एकवचन मूल्य अपघटन के अस्तित्व के बराबर है।

बीजगणितीय ध्रुवीय अपघटन

 * इसके लिए लागू: वर्ग, जटिल, गैर-एकवचन मैट्रिक्स ए।
 * अपघटन: $$A=QS$$, जहां क्यू एक जटिल ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स है और एस जटिल सममित मैट्रिक्स है।
 * विशिष्टता: यदि $$A^\mathsf{T}A$$ कोई नकारात्मक वास्तविक eigenvalues ​​​​नहीं है, तो अपघटन अद्वितीय है।
 * टिप्पणी: इस अपघटन का अस्तित्व बराबर है $$AA^\mathsf{T}$$ के समान होना $$A^\mathsf{T}A$$.
 * टिप्पणी: इस अपघटन का एक प्रकार है $$A=RC$$, जहाँ R एक वास्तविक आव्यूह है और C एक वृत्ताकार आव्यूह है।

मोस्टो का अपघटन

 * इसके लिए लागू: वर्ग, जटिल, गैर-एकवचन मैट्रिक्स ए।
 * अपघटन: $$A=Ue^{iM}e^{S}$$, जहां यू एकात्मक है, एम वास्तविक विरोधी सममित है और एस वास्तविक सममित है।
 * टिप्पणी: मैट्रिक्स ए को भी विघटित किया जा सकता है $$A=U_2e^{S_2}e^{iM_2}$$, जहां तुम2 एकात्मक है, एम2 वास्तविक विरोधी सममित है और एस2 वास्तविक सममित है।

सिंकहॉर्न सामान्य रूप

 * इसके लिए लागू: सख्ती से सकारात्मक तत्वों के साथ वर्ग वास्तविक मैट्रिक्स ए।
 * अपघटन: $$A=D_{1}SD_{2}$$, जहां S दोगुना स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स है और D1 और डी2 सख्ती से सकारात्मक तत्वों के साथ वास्तविक विकर्ण मैट्रिसेस हैं।

क्षेत्रीय अपघटन

 * इसके लिए लागू: क्षेत्र में समाहित संख्यात्मक सीमा के साथ वर्ग, जटिल मैट्रिक्स ए $$S_\alpha = \left\{r e^{i \theta} \in \mathbb{C} \mid r> 0, |\theta| \le \alpha < \frac{\pi}{2}\right\}$$.
 * अपघटन: $$A = CZC^*$$, जहां सी एक व्युत्क्रमणीय जटिल मैट्रिक्स है और $$Z = \operatorname{diag}\left(e^{i\theta_1},\ldots,e^{i\theta_n}\right)$$ सभी के साथ $$\left|\theta_j\right| \le \alpha $$.

विलियमसन का सामान्य रूप

 * इसके लिए प्रयोज्य: सकारात्मक-निश्चित वास्तविक मैट्रिक्स A, 2n×2n क्रम के साथ।
 * वियोजन: $$A=S^\mathsf{T}\operatorname{diag}(D,D)S$$, कहाँ $$S \in \text{Sp}(2n)$$ एक सैम्पलेक्टिक मैट्रिक्स है और D एक गैर-नकारात्मक एन-बाय-एन विकर्ण मैट्रिक्स है।

मैट्रिक्स वर्गमूल

 * वियोजन: $$A=BB$$, सामान्य रूप से अद्वितीय नहीं है।
 * सकारात्मक अर्ध निश्चित $$A$$ की स्थिति में एक अद्वितीय सकारात्मक अर्धनिश्चित $$B$$ ऐसा है कि $$A=B^*B=BB$$.

सामान्यीकरण
एसवीडी, क्यूआर, एलयू और चॉल्स्की गुणनखंडों के एनालॉग मौजूद हैं जो क्वासिमेट्रिक्स और सेमीमैट्रिसेस या निरंतर मैट्रिसेस के लिए हैं। एक 'क्वासिमेट्रिक्स', एक मैट्रिक्स की तरह, एक आयताकार योजना है जिसके तत्व अनुक्रमित होते हैं, लेकिन एक असतत सूचकांक को निरंतर सूचकांक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इसी तरह, एक 'सेमैट्रिक्स', दोनों सूचकांकों में निरंतर है। एक सीमैट्रिक्स के उदाहरण के रूप में, एक अभिन्न संचालिका  के कर्नेल के बारे में सोच सकता है।

ये कारककरण द्वारा प्रारंभिक कार्य पर आधारित हैं, और. एक खाते के लिए, और मौलिक कागजात के अंग्रेजी में अनुवाद के लिए, देखें.

यह भी देखें

 * मैट्रिक्स विभाजन
 * गैर-नकारात्मक मैट्रिक्स गुणनखंड
 * प्रमुख कंपोनेंट विश्लेषण

बाहरी संबंध

 * Online Matrix Calculator
 * Wolfram Alpha Matrix Decomposition Computation » LU and QR Decomposition
 * Springer Encyclopaedia of Mathematics » Matrix factorization
 * GraphLab GraphLab collaborative filtering library, large scale parallel implementation of matrix decomposition methods (in C++) for multicore.