एकवचन समरूपता

बीजगणितीय सांस्थितिकी में, अद्वितीय समरूपता एक सांस्थितिक समष्टि 'x' के बीजगणितीय अचरों के एक निश्चित समुच्चय के अध्ययन को संदर्भित करता है, तथाकथित समरूपता समूह $$H_n(X)$$ है। सहज रूप से, अद्वितीय समरूपता गणना करता है, प्रत्येक आयाम n के लिए, समष्टि के n-आयामी रिक्तियां है। अद्वितीय समरूपता एक समरूपता सिद्धांत का एक विशेष उदाहरण है, जो अब सिद्धांतों का एक व्यापक संग्रह बन गया है। विभिन्न सिद्धांतों में से, यह समझने के लिए कदाचित सबसे सरल सिद्धांतों में से एक है, काफी ठोस निर्माणों पर बनाया जा रहा है (संबंधित सिद्धांत सरल समरूपता भी देखें)।

संक्षेप में, मानक n-संकेतन के प्रतिचित्रों को सांस्थितिक समष्टि की श्रेणी में ले जाकर किया जाता है और और उन्हें औपचारिक योगों में मिलाकर अद्वितीय समरूपता का निर्माण किया जाता है, जिसे अद्वितीय श्रृंखला कहा जाता है। सीमा संचालन - प्रत्येक n-विमीय संकेतन को उसके (n-1) -विमीय सीमा संचालक से प्रतिचित्रण करना - अद्वितीय श्रृंखला समष्टि को प्रेरित करता है। अद्वितीय समरूपता तब श्रृंखला समष्टि की समरूपता (गणित) है। परिणामी समरूपता समूह सभी समस्थेयता समतुल्य समष्टियों के लिए समान हैं, जो उनके अध्ययन का कारण है। इन निर्माणों को सभी सांस्थितिक समष्टियों पर अनुप्रयुक्त किया जा सकता है और इसलिए अद्वितीय समरूपता को सांस्थितिक समष्टियों की श्रेणी से क्रमिक अबेलियन समूहों की श्रेणी के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है।

अद्वितीय आद्यलक्षणी
एक सांस्थितिक समष्टि X में अद्वितीय n-संकेतन एक सांतत्य फलन है (जिसे प्रतिचित्र भी कहा जाता है) मानक $$\sigma$$ संकेतन से $$\Delta^n$$ x के लिए, लिखित $$\sigma:\Delta^n\to X$$ हैं। इस प्रतिचित्र को अंतःक्षेपक की आवश्यकता नहीं है और x में समान छवि के साथ गैर-समकक्ष अद्वितीय सरलताएं हो सकती हैं।

$$\sigma$$ की सीमा, $$\partial_n\sigma$$ के रूप में निरूपित अद्वितीय (n − 1)-सरलताओं के औपचारिक योग के रूप में परिभाषित किया गया है - जो कि प्रतिबंध द्वारा दर्शाए गए हैं। मानक n-संकेतन के पार्श्व पर $$\sigma$$, अभिविन्यास को ध्यान में रखने के लिए एक वैकल्पिक संकेत के साथ है। औपचारिक योगों सरलता पर मुक्त अबेलियन समूह का एक तत्व है। समूह के लिए आधार सभी संभावित अद्वितीय सरलताओं का अनंत समुच्चय है। समूह संचालन "योग" है और संकेतन b के साथ संकेतन a का योग सामान्यतः केवल नामित a + b किया जाता है, परन्तु a + a = 2a और इसी तरह है। प्रत्येक संकेतन a में ऋणात्मक -a है। इस प्रकार, यदि हम $$\sigma$$ के शीर्ष द्वारा निर्दिष्ट करते हैं:


 * $$[p_0,p_1,\ldots,p_n]=[\sigma(e_0),\sigma(e_1),\ldots,\sigma(e_n)]$$

शीर्षों $$e_k$$ के अनुरूप मानक n-संकेतन $$\Delta^n$$ का (जो निश्चित रूप से निर्मित अद्वितीय संकेतन $$\sigma$$ को पूर्णतया से निर्दिष्ट नहीं करता है), तब


 * $$\partial_n\sigma=\partial_n[p_0,p_1,\ldots,p_n]=\sum_{k=0}^n(-1)^k [p_0,\ldots,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_n] = \sum_{k=0}^n (-1)^k \sigma\mid _{e_0,\ldots,e_{k-1},e_{k+1},\ldots ,e_n}$$

एक विशिष्ट तरीके से निर्दिष्ट संकेतन छवि के पार्श्व का एक औपचारिक योग है (अर्थात, किसी विशेष पार्श्व $$\sigma$$ का प्रतिबंध होना चाहिए, एक पार्श्व $$\Delta^n$$ के लिए जो उस क्रम पर निर्भर करता है जिसके शीर्ष सूचीबद्ध हैं)। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, $$\sigma=[p_0,p_1]$$ की सीमा (एक वक्र $$p_0$$ से $$p_1$$को जा रहा है) औपचारिक योग (या औपचारिक अंतर) $$[p_1] - [p_0]$$है।

अद्वितीय श्रृंखला समष्टि
सरलता के औपचारिक योगों को परिभाषित करके अद्वितीय समरूपता का सामान्य निर्माण आगे बढ़ता है, जिसे एक मुक्त अबेलियन समूह के तत्वों के रूप में समझा जा सकता है और फिर दर्शा रहा है कि हम एक निश्चित समूह को परिभाषित कर सकते हैं, सांस्थितिक समष्टि के समरूपता समूह, जिसमें सीमा संचालक सम्मिलित है।

पहले सभी संभव अद्वितीय n-सरलताओं $$\sigma_n(X)$$ के समुच्चय एक सांस्थितिक समष्टि X पर विचार करें। इस समुच्चय का उपयोग एक मुक्त अबेलियन समूह के आधार के रूप में किया जा सकता है, ताकि प्रत्येक अद्वितीय n-संकेतन समूह का जनक हो। जनक का यह समुच्चय निश्चित रूप से अनंत है, प्रायः अगणनीय होता है, क्योंकि एक विशिष्ट सांस्थितिक समष्टि में एक संकेतन को प्रतिचित्रण करने के कई तरीके हैं। इस आधार से उत्पन्न मुक्त आबेली समूह को सामान्य रूप $$C_n(X)$$ से निरूपित किया जाता है। घटक $$C_n(X)$$ को अद्वितीय n-श्रृंखला कहा जाता है; वे पूर्णांक गुणांक वाले अद्वितीय सरलीकरण के औपचारिक योग हैं।

सीमा $$\partial$$ अद्वितीय n-श्रृंखला पर कार्य करने के लिए सरलता से बढ़ाया जाता है। विस्तार, जिसे सीमा संचालक कहा जाता है, इस रूप में लिखा गया है,


 * $$\partial_n:C_n\to C_{n-1}$$

समूहों की एक समरूपता है। सीमा संचालक $$C_n$$के साथ में, अबेलियन समूहों की एक श्रृंखला समष्टि बनाते हैं, जिसे अद्वितीय समष्टि कहा जाता है। इसे प्रायः $$(C_\bullet(X),\partial_\bullet)$$ या अधिक सरलता से $$C_\bullet(X)$$ के रूप में दर्शाया जाता है।

सीमा संचालक $$Z_n(X)=\ker (\partial_{n})$$ की अष्ठि है और अद्वितीय n-चक्रों का समूह कहा जाता है। सीमा संचालक $$B_n(X)=\operatorname{im} (\partial_{n+1})$$ की छवि है और अद्वितीय n-सीमाओं का समूह कहलाता है।

$$\partial_n\circ \partial_{n+1}=0$$ भी दर्शाया जा सकता है, अर्थात, $$B_n(X) \subseteq Z_n(X)$$ है। $$n$$-वें समरूपता समूह $$X$$ को तब कारक समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।


 * $$H_{n}(X) = Z_n(X) / B_n(X)$$

$$H_n(X)$$ के तत्वों को समरूपता वर्ग कहा जाता है।

समस्थेयता निश्चरता
यदि X और Y एक ही समस्थेयता प्रकार के साथ दो सांस्थितिक समिष्टियाँ हैं (अर्थात, समस्थेयता समतुल्य हैं), तो


 * $$H_n(X) \cong H_n(Y)\,$$

सभी n ≥ 0 के लिए, इसका तात्पर्य है कि समरूपता समूह समस्थेयता अचर हैं, और इसलिए सांस्थितिक अचर हैं।

विशेष रूप से, यदि X एक संयोजित अनुबंधित समिष्टि है, तब $$H_0(X) \cong \mathbb{Z}$$ के अतिरिक्त सभी समरूपता समूह 0 हैं

अद्वितीय समरूपता समूहों के समस्थेयता निश्चरता के लिए एक प्रमाण को निम्नानुसार आलिखित किया जा सकता है। एक सतत प्रतिचित्र f: X → Y एक समरूपता को प्रेरित करता है:


 * $$f_{\sharp} : C_n(X) \rightarrow C_n(Y).$$

इसे तत्काल सत्यापित किया जा सकता है।


 * $$\partial f_{\sharp} = f_{\sharp} \partial,$$

अर्थात f# एक श्रृंखला प्रतिचित्रण है,


 * $$f_* : H_n(X) \rightarrow H_n(Y)$$

अब हम दर्शाते हैं कि यदि f और g समस्थानिक रूप से समतुल्य हैं, तब f* = g* है। इससे यह पता चलता है कि यदि f एक समस्थेयता तुल्यता है, तो f* एक समरूपता है।

मान लीजिए कि F: X × [0, 1] → Y एक समरूपता है जो f को g में ले जाती है। श्रृंखलाओं के स्तर पर, समाकारिता को परिभाषित कीजिए;


 * $$P : C_n(X) \rightarrow C_{n+1}(Y)$$

कि, ज्यामितीय रूप के अनुरूप, आधार तत्व σ: Δn → X का Cn(X) "वर्णक्रम" P(σ): Δn × I → Y. के लिए: Δn × I → Y पर ले जाता है। P(σ) की सीमा को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है।


 * $$\partial P(\sigma) = f_{\sharp}(\sigma) - g_{\sharp}(\sigma) - P(\partial \sigma)$$

इसलिए यदि Cn(X) में α एक n-चक्र है, तो f#(α ) और g#(α) एक सीमा से भिन्न होते है:


 * $$ f_{\sharp} (\alpha) - g_{\sharp}(\alpha) = \partial P(\alpha),$$

अर्थात, वे समरूप हैं। यह अनुरोध सिद्ध करता है।

सामान्य समष्टि के समरूपता समूह
नीचे दी गई तालिका k-वें समरूपता समूहों $$H_k(X)$$ को दर्शाती है, n-विमीय वास्तविक प्रक्षेपीय समष्टि RPn, जटिल प्रक्षेपीय समष्टि CPn, एक बिंदु, गोलाकार Sn($$n\ge 1$$) और एक 3-स्थूलक T3 पूर्णांक गुणांकों के साथ है।

क्रियात्मकता
उपरोक्त निर्माण को किसी भी सांस्थितिक समष्टि के लिए परिभाषित किया जा सकता है और संतत प्रतिचित्रों की क्रिया द्वारा संरक्षित किया जाता है। इस व्यापकता का तात्पर्य है कि अद्वितीय समरूपता सिद्धांत को श्रेणी सिद्धांत की भाषा में पुनर्गठित किया जा सकता है। विशेष रूप से, समरूपता समूह को सांस्थितिक समष्टि की श्रेणी से अबेलियन समूह Ab की श्रेणी के लिए एक प्रकार्यक समझा जा सकता है।

सर्वप्रथम $$X\mapsto C_n(X)$$ पर विचार करें, सांस्थितिक समष्टि से मुक्त अबेलियन समूहों का एक प्रतिचित्र है। इससे पता चलता है, $$C_n(X)$$ को एक प्रकार्यक के रूप में लिया जा सकता है, बशर्ते कोई शीर्ष के आकारिता पर अपनी क्रिया को समझ सके। अब, शीर्ष की आकारिता सांतत्य फलन हैं, इसलिए यदि $$f:X\to Y$$ सांस्थितिक समष्टि का एक सतत प्रतिचित्र है, इसे समूहों के समरूपता तक बढ़ाया जा सकता है।


 * $$f_*:C_n(X)\to C_n(Y)\,$$

परिभाषित करके;


 * $$f_*\left(\sum_i a_i\sigma_i\right)=\sum_i a_i (f\circ \sigma_i)$$

जहाँ $$\sigma_i:\Delta^n\to X$$ एक अद्वितीय संकेतन है, और $$\sum_i a_i\sigma_i\,$$ एक अद्वितीय n-श्रृंखला है, जो कि एक तत्व $$C_n(X)$$ है। इससे पता चलता है कि $$C_n$$ यह एक प्रकार्यक है।


 * $$C_n:\mathbf{Top} \to \mathbf{Ab}$$

सांस्थितिक समष्टि की श्रेणी से अबेलियन समूहों की श्रेणी तक है।

सीमा संचालक संतत प्रतिचित्रों के साथ आवागमन करता है, ताकि $$\partial_n f_*=f_*\partial_n$$हो। यह संपूर्ण श्रृंखला समष्टि को एक प्रकार्यक के रूप में माना जाने की अनुमति प्रदान करता है। विशेष रूप से, यह दर्शाता है कि प्रतिचित्र $$X\mapsto H_n (X)$$ यह एक प्रकार्यक है।


 * $$H_n:\mathbf{Top}\to\mathbf{Ab}$$

सांस्थितिक समष्टि की श्रेणी से अबेलियन समूहों की श्रेणी तक, समस्थेयता स्वयंसिद्ध द्वारा, किसी के पास $$H_n$$ एक प्रकार्यक भी है, जिसे समरूपता प्रकार्यक कहा जाता है, hटॉप पर अभिनय करता है, भागफल समस्थेयता श्रेणी:


 * $$H_n:\mathbf{hTop}\to\mathbf{Ab}$$

यह अद्वितीय समरूपता को अन्य समरूपता सिद्धांतों से अलग करता है, जिसमें $$H_n$$ अभी भी एक प्रकार्यक है, परन्तु यह आवश्यक नहीं है कि सभी शीर्ष पर परिभाषित किया गया हो। कुछ अर्थों में, अद्वितीय समरूपता सबसे बड़ा समरूपता सिद्धांत है, जिसमें शीर्ष के एक उपश्रेणी पर प्रत्येक समरूपता सिद्धांत उस उपश्रेणी पर अद्वितीय समरूपता से अनुकूल है। दूसरी ओर, अद्वितीय समरूपता में सबसे साफ श्रेणीबद्ध गुण नहीं होते हैं; इस तरह की सफाई अन्य समरूपता सिद्धांतों जैसे कोष्ठात्मक समरूपता के विकास को प्रेरित करती है।

सामान्यतः, समरूपता प्रकार्यक को स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित किया जाता है, एक अबेलियन श्रेणी पर प्रकार्यक के रूप में, या वैकल्पिक रूप से, श्रृंखला समष्टियों पर एक प्रकार्यक के रूप में, संतोषजनक स्वयंसिद्धों के लिए एक सीमा आकारिकी की आवश्यकता होती है जो छोटे सटीक अनुक्रमों को लंबे सटीक अनुक्रमों में परिवर्तित कर देती है। अद्वितीय समरूपता कि स्थिति में, समरूपता प्रकार्यक को दो खंडों में विभाजित किया जा सकता है, एक सांस्थितिक खंड और एक बीजगणितीय खंड है। सांस्थितिक खंड द्वारा दिया गया है


 * $$C_\bullet:\mathbf{Top}\to\mathbf{Comp}$$

जो सांस्थितिक समष्टि $$X\mapsto (C_\bullet(X),\partial_\bullet)$$ को प्रतिचित्रण करता है और सांतत्य फलन $$f\mapsto f_*$$ है। यहाँ तो, $$C_\bullet$$ अद्वितीय श्रृंखला प्रकार्यक समझा जाता है, जो सांस्थितिक समष्टि को श्रृंखला समष्टि कॉम्प (या कॉम) की श्रेणी में प्रतिचित्रण करता है। श्रृंखला समष्टियों की श्रेणी में इसकी वस्तुओं के रूप में श्रृंखला समष्टि हैं और श्रृंखला प्रतिचित्र इसके आकारिकी के रूप में हैं।

दूसरा, बीजगणितीय भाग समरूपता प्रकार्यक है।


 * $$H_n:\mathbf{Comp}\to\mathbf{Ab}$$

कौन सा प्रतिचित्र


 * $$C_\bullet\mapsto H_n(C_\bullet)=Z_n(C_\bullet)/B_n(C_\bullet)$$

और श्रृंखला प्रतिचित्रों को अबेलियन समूहों के प्रतिचित्रों तक ले जाता है। यह समरूपता प्रकार्यक है जिसे स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित किया जा सकता है, ताकि यह श्रृंखला समष्टियों की श्रेणी पर एक प्रकार्यक के रूप में स्वयं खड़ा हो।

समस्थेयता प्रतिचित्रण समरूप रूप से समतुल्य श्रृंखला प्रतिचित्रण को परिभाषित करके चित्र में पुनः प्रवेश करते हैं। इस प्रकार, कोई भागफल श्रेणी hकॉम्प या K को परिभाषित कर सकता है, श्रृंखला समष्टियों की समस्थेयता श्रेणी है।

R में गुणांक
किसी भी एकात्मक वलय R को देखते हुए, एक सांस्थितिक समष्टि पर अद्वितीय n-संकेतन के समुच्चय को मुक्त R-मापांक के जनक के रूप में लिया जा सकता है। अर्थात्, उपरोक्त निर्माणों को मुक्त अबेलियन समूहों के प्रारंभिक बिंदु से करने के बजाय, उनके स्थान पर मुक्त R-मापांक का उपयोग करता है। सभी निर्माण बहुत कम या बिना किसी परिवर्तन के होते हैं। इसका परिणाम है:


 * $$H_n(X; R)\ $$

जो अब एक R-मापांक है। अवश्य ही, यह सामान्यतः एक मुक्त मापांक नहीं है। सामान्य समरूपता समूह को ध्यान में रखते हुए पुनः प्राप्त किया जाता है


 * $$H_n(X;\mathbb{Z})=H_n(X)$$

जब किसी वलय को पूर्णांकों का वलय मानता है। संकेतन Hn(X; R) को लगभग समान संकेतन Hn(X, A) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो सापेक्ष समरूपता (नीचे) को दर्शाता है।

सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय लघु सटीक अनुक्रम का उपयोग करते हुए सामान्य पूर्णांक गुणांक वाले समरूपता के संदर्भ में R गुणांकों के साथ समरूपता की गणना करने के लिए एक प्रक्रिया प्रदान करता है।


 * $$0\to H_n(X; \mathbb{Z}) \otimes R \to H_n(X; R) \to Tor(H_{n-1}(X; \mathbb{Z}), R) \to 0$$

जहाँ टॉर, टॉर प्रकार्यक है। ध्यान दें, यदि R विमोटन-मुक्त है, तो किसी भी G के लिए टॉर(G, R) = 0 है, इसलिए उपरोक्त लघु सटीक अनुक्रम एक समरूपता $$H_n(X; \mathbb{Z}) \otimes R$$ और $$H_n(X; R)$$ के मध्य कम हो जाता है।

सापेक्ष समरूपता
उपक्षेत्र $$A\subset X$$ के लिए, सापेक्ष समरूपता Hn(X, A) को श्रृंखला समष्टियों के भागफल की समरूपता को समझा जाता है, अर्थात,


 * $$H_n(X,A)=H_n(C_\bullet(X)/C_\bullet(A))$$

जहां शृंखला संकुलों का भागफल लघु सटीक अनुक्रम द्वारा दिया जाता है।


 * $$0\to C_\bullet(A) \to C_\bullet(X) \to C_\bullet(X)/C_\bullet(A) \to 0$$

लघुकृत समरूपता
समष्टि x की लघुकृत समरूपता, $$ \tilde{H}_n(X)$$ के रूप में सटीक की गई सामान्य समरूपता के लिए एक साधारण संशोधन है जो कुछ सम्बन्धो की अभिव्यक्ति को सरल करता है और अंतर्ज्ञान को पूर्ण करता है कि एक बिंदु के सभी समरूपता समूह शून्य होने चाहिए।

श्रृंखला समष्टि पर परिभाषित सामान्य समरूपता के लिए:
 * $$\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n

\overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1} \overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,} \dotsb \overset{\partial_2}{\longrightarrow\,} C_1 \overset{\partial_1}{\longrightarrow\,} C_0\overset{\partial_0}{\longrightarrow\,} 0$$ लघुकृत समरूपता को परिभाषित करने के लिए, हम श्रृंखला समष्टि को एक अतिरिक्त $$\mathbb{Z}$$ मध्य में $$C_0$$ और शून्य के साथ बढ़ाते हैं:

$$\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n \overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1} \overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,} \dotsb \overset{\partial_2}{\longrightarrow\,} C_1 \overset{\partial_1}{\longrightarrow\,} C_0\overset{\epsilon}{\longrightarrow\,} \mathbb{Z} \to 0 $$

जहाँ $$\epsilon \left( \sum_i n_i \sigma_i \right) = \sum_i n_i $$ है। अपूरित समुच्चय को (-1)-संकेतन के रूप में व्याख्या करके इसे उचित ठहराया जा सकता है, जिसका अर्थ $$C_{-1} \simeq \Z$$ है।

लघुकृत समरूपता समूहों $$ \tilde{H}_n(X) = \ker(\partial_n) / \mathrm{im}(\partial_{n+1})$$ को धनात्मक n और $$\tilde{H}_0(X) = \ker(\epsilon) / \mathrm{im}(\partial_1)$$ के लिए परिभाषित किया गया है। n > 0 के लिए, $$ H_n(X) = \tilde{H}_n(X) $$ है, जबकि n = 0 के लिए, $$ H_0(X) = \tilde{H}_0(X) \oplus \mathbb{Z} $$ है।

सह-समरूपता
समरूपता श्रृंखला समष्टि को दोहराकर (अर्थात प्रकार्यक होम (-, R), R को कोई भी वलय अनुप्रयुक्त करते हुए) हम सह-सीमा प्रतिचित्रण के साथ एक सह-श्रृंखला समष्टि प्राप्त करते हैं $$\delta$$. X के सह समरूपता समूहों को इस समष्टि के समरूपता समूहों के रूप में परिभाषित किया गया है; एक चुटकी में, सह समरूपता सह [द्वैत समष्टि] की समरूपता है।

कोसमरूपता समूहों में समरूपता समूहों की तुलना में अधिक समृद्ध, या कम से कम अधिक परिचित, बीजगणितीय संरचना होती है। सबसे पहले, वे निम्नानुसार एक अवकलन ग्रेडेड बीजगणित बनाते हैं: अतिरिक्त सह समरूपता संचालन हैं, और सह समरूपता बीजगणित में अतिरिक्त संरचना मॉड पी है (पहले की तरह, मॉड पी सह समरूपता मॉड पी कोश्रृंखला समष्टि का सह समरूपता है, न कि मॉड  पी सह समरूपता की कमी), विशेष रूप से स्टीनरोड बीजगणित संरचना।
 * समूहों का श्रेणीबद्ध समूह एक श्रेणीबद्ध R-मापांक (गणित) बनाता है;
 * इसे कप उत्पाद का उपयोग करके एक श्रेणीबद्ध R-बीजगणित (अंगूठी सिद्धांत) की संरचना दी जा सकती है;
 * बॉकस्टीन समरूपता β एक अंतर देता है।

बेट्टी समरूपता और सह समरूपता
चूंकि समरूपता सिद्धांतों की संख्या बड़ी हो गई है (देखें: श्रेणी: समरूपता सिद्धांत), 'बेट्टी समरूपता' और 'बेटी सह समरूपता' शब्द कभी-कभी अद्वितीय सिद्धांत पर अनुप्रयुक्त होते हैं (विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति पर लिखने वाले लेखकों द्वारा), सरल समष्टियों और बंद मैनिफोल्ड्स जैसे सबसे परिचित स्थानों की बेट्टी संख्या को जन्म देने के रूप में।

असाधारण समरूपता
यदि कोई समरूपता सिद्धांत को स्वैच्छिक रूप से परिभाषित करता है (एलेनबर्ग-स्टीनरोड xिओम्स के माध्यम से), और फिर xिओम्स (आयाम स्वयंसिद्ध) में से एक को Rाम देता है, तो एक सामान्यीकृत सिद्धांत प्राप्त होता है, जिसे असाधारण समरूपता सिद्धांत कहा जाता है। ये मूल रूप से असाधारण सह समरूपता सिद्धांतों के रूप में उत्पन्न हुए, अर्थात् के-सिद्धांत और कोबर्डिज्म सिद्धांत। इस संदर्भ में, अद्वितीय समरूपता को 'साधारण समरूपता' कहा जाता है।

यह भी देखें

 * व्युत्पन्न श्रेणी
 * उच्छेदन प्रमेय
 * ह्यूरेविक्ज़ प्रमेय
 * सरल समरूपता
 * कोष्ठात्मक समरूपता

संदर्भ

 * Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
 * J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, Chicago University Press ISBN 0-226-51183-9
 * Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1