वेरिएबल-रेंज हॉपिंग

वेरिएबल-रेंज हॉपिंग एक मॉडल है जिसका उपयोग विस्तारित तापमान रेंज में हॉपिंग द्वारा अव्यवस्थित अर्धचालक या अनाकार ठोस में वाहक परिवहन का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इसकी एक विशिष्ट तापमान निर्भरता है


 * $$\sigma= \sigma_0e^{-(T_0/T)^\beta}$$

कहाँ $$\sigma$$ चालकता है और $$\beta$$ विचाराधीन मॉडल पर निर्भर एक पैरामीटर है।

मॉट वैरिएबल-रेंज हॉपिंग
नेविल फ्रांसिस मॉट वेरिएबल-रेंज होपिंग, एंडरसन स्थानीयकरण चार्ज-वाहक राज्यों के साथ अत्यधिक अव्यवस्थित प्रणालियों में कम तापमान वाले विद्युत चालन का वर्णन करता है। और इसकी एक विशिष्ट तापमान निर्भरता है


 * $$\sigma= \sigma_0e^{-(T_0/T)^{1/4}}$$

त्रि-आयामी संचालन के लिए (साथ) $$\beta$$ = 1/4), और इसे डी-आयामों के लिए सामान्यीकृत किया गया है


 * $$\sigma= \sigma_0e^{-(T_0/T)^{1/(d+1)}}$$.

कम तापमान पर चालन को रोकना बहुत रुचिकर है क्योंकि सेमीकंडक्टर उद्योग बचत हासिल कर सकता है यदि वे एकल-क्रिस्टल उपकरणों को ग्लास परतों के साथ बदलने में सक्षम होते।

व्युत्पत्ति
मूल मॉट पेपर ने एक सरलीकृत धारणा पेश की कि हॉपिंग ऊर्जा हॉपिंग दूरी (त्रि-आयामी मामले में) के घन पर विपरीत रूप से निर्भर करती है। बाद में यह दिखाया गया कि यह धारणा अनावश्यक थी, और इस प्रमाण का यहाँ पालन किया गया है। मूल पेपर में, किसी दिए गए तापमान पर कूदने की संभावना को दो मापदंडों पर निर्भर देखा गया था, आर साइटों का स्थानिक पृथक्करण, और डब्ल्यू, उनकी ऊर्जा पृथक्करण। अप्सली और ह्यूजेस ने कहा कि वास्तव में अनाकार प्रणाली में, ये चर यादृच्छिक और स्वतंत्र होते हैं और इसलिए इन्हें एक पैरामीटर, रेंज में जोड़ा जा सकता है $$\textstyle\mathcal{R}$$ दो साइटों के बीच, जो उनके बीच कूदने की संभावना निर्धारित करता है।

मॉट ने दिखाया कि स्थानिक पृथक्करण की दो अवस्थाओं के बीच कूदने की संभावना है $$\textstyle R$$ और ऊर्जा पृथक्करण W का रूप है:
 * $$P\sim \exp \left[-2\alpha R-\frac{W}{kT}\right]$$

जहां α−1हाइड्रोजन जैसे स्थानीयकृत तरंग-फ़ंक्शन के लिए क्षीणन लंबाई है। यह मानता है कि उच्च ऊर्जा वाले राज्य में जाना दर सीमित करने की प्रक्रिया है।

अब हम परिभाषित करते हैं $$\textstyle\mathcal{R} = 2\alpha R+W/kT$$, दो राज्यों के बीच की सीमा, इसलिए $$\textstyle P\sim \exp (-\mathcal{R})$$. राज्यों को चार-आयामी यादृच्छिक सरणी (तीन स्थानिक निर्देशांक और एक ऊर्जा समन्वय) में बिंदुओं के रूप में माना जा सकता है, उनके बीच की दूरी सीमा द्वारा दी गई है $$\textstyle\mathcal{R}$$.

चालन इस चार-आयामी सरणी के माध्यम से हॉप्स की कई श्रृंखलाओं का परिणाम है और चूंकि छोटी दूरी के हॉप्स को प्राथमिकता दी जाती है, यह राज्यों के बीच औसत निकटतम-पड़ोसी दूरी है जो समग्र चालकता निर्धारित करती है। इस प्रकार चालकता का स्वरूप है
 * $$\sigma \sim \exp (-\overline{\mathcal{R}}_{nn})$$

कहाँ $$\textstyle\overline{\mathcal{R}}_{nn}$$औसत निकटतम-पड़ोसी सीमा है। इसलिए समस्या इस मात्रा की गणना करने की है।

पहला कदम प्राप्त करना है $$\textstyle\mathcal{N}(\mathcal{R})$$, एक सीमा के भीतर राज्यों की कुल संख्या $$\textstyle\mathcal{R}$$ फर्मी स्तर पर कुछ प्रारंभिक अवस्था का। डी-आयामों के लिए, और विशेष धारणाओं के तहत यह साबित होता है
 * $$\mathcal{N}(\mathcal{R}) = K \mathcal{R}^{d+1}$$

कहाँ $$\textstyle K = \frac{N\pi kT}{3\times 2^d \alpha^d}$$. विशेष धारणाएँ बस इतनी ही हैं $$\textstyle\overline{\mathcal{R}}_{nn}$$ बैंड-चौड़ाई से काफी कम है और अंतर-परमाणु रिक्ति से आराम से बड़ा है।

तब संभावना है कि सीमा वाला एक राज्य $$\textstyle\mathcal{R}$$ चार-आयामी अंतरिक्ष में निकटतम पड़ोसी है (या सामान्य तौर पर (d+1)-आयामी स्थान) है
 * $$P_{nn}(\mathcal{R}) = \frac{\partial \mathcal{N}(\mathcal{R})}{\partial \mathcal{R}} \exp [-\mathcal{N}(\mathcal{R})]$$

निकटतम-पड़ोसी वितरण।

फिर डी-आयामी मामले के लिए
 * $$\overline{\mathcal{R}}_{nn} = \int_0^\infty (d+1)K\mathcal{R}^{d+1}\exp (-K\mathcal{R}^{d+1})d\mathcal{R}$$.

इसका एक सरल प्रतिस्थापन करके मूल्यांकन किया जा सकता है $$\textstyle t=K\mathcal{R}^{d+1}$$ गामा फ़ंक्शन में, $$\textstyle \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t$$ कुछ बीजगणित के बाद यह देता है
 * $$\overline{\mathcal{R}}_{nn} = \frac{\Gamma(\frac{d+2}{d+1})}{K^{\frac{1}{d+1}}}$$

और इसलिए वह
 * $$\sigma \propto \exp \left(-T^{-\frac{1}{d+1}}\right)$$.

राज्यों का गैर-स्थिर घनत्व
जब राज्यों का घनत्व स्थिर नहीं होता है (विषम शक्ति कानून एन (ई)), तो एमओटी चालकता भी पुनर्प्राप्त हो जाती है, जैसा कि इस आलेख में दिखाया गया है।

एफ्रोस-श्क्लोव्स्की वैरिएबल-रेंज हॉपिंग
एफ्रोस-श्क्लोव्स्की (ईएस) वेरिएबल-रेंज होपिंग एक चालन मॉडल है जो कूलम्ब गैप के लिए जिम्मेदार है, स्थानीयकृत इलेक्ट्रॉनों के बीच बातचीत के कारण फर्मी स्तर के पास राज्यों के घनत्व में एक छोटी सी छलांग। इसका नाम एलेक्सी एल. एफ्रोस और बोरिस शक्लोवस्की के नाम पर रखा गया था जिन्होंने 1975 में इसका प्रस्ताव रखा था।

कूलम्ब अंतराल पर विचार करने से तापमान पर निर्भरता बदल जाती है


 * $$\sigma= \sigma_0e^{-(T_0/T)^{1/2}}$$

सभी आयामों के लिए (अर्थात्) $$\beta$$ = 1/2).

यह भी देखें

 * गतिशीलता बढ़त

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