प्रसंभाव्य (स्टोकेस्टिक) अवकल समीकरण

एक स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन (SDE) एक डिफरेंशियल इक्वेशन है जिसमें एक या अधिक शब्द एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, जिसके परिणामस्वरूप एक समाधान होता है जो एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया भी है। एसडीई का उपयोग गणितीय मॉडल के लिए विभिन्न घटनाओं जैसे कि स्टॉक की कीमतों या थर्मल उतार-चढ़ाव के अधीन भौतिक प्रणालियों के लिए किया जाता है। आमतौर पर, एसडीई में एक चर होता है जो यादृच्छिक सफेद शोर का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी गणना ब्राउनियन गति या वीनर प्रक्रिया के व्युत्पन्न के रूप में की जाती है। हालाँकि, अन्य प्रकार के यादृच्छिक व्यवहार संभव हैं, जैसे कि कूद प्रक्रियाएँ। यादृच्छिक [[अंतर समीकरण]] स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन के साथ संयुग्मित होते हैं।

पृष्ठभूमि
एनस मिराबिलिस पेपर्स # ब्राउनियन मोशन और मैरियन स्मोलुचोव्स्की # वर्क के काम में ब्राउनियन गति के सिद्धांत में स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन की उत्पत्ति हुई। ये शुरुआती उदाहरण रेखीय स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण थे, जिन्हें फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी पॉल लैंगविन के बाद 'लैंग्विन' समीकरण भी कहा जाता है, जो एक यादृच्छिक बल के अधीन एक हार्मोनिक ऑसिलेटर की गति का वर्णन करता है। स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन का गणितीय सिद्धांत 1940 के दशक में जापानी गणितज्ञ कियोसी इतो के ज़बरदस्त काम के माध्यम से विकसित किया गया था, जिन्होंने स्टोकेस्टिक इंटीग्रल की अवधारणा पेश की और नॉनलाइनियर स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन का अध्ययन शुरू किया। एक अन्य दृष्टिकोण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी रुस्लान एल. स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिससे सामान्य कैलकुलस के समान एक कलन का निर्माण हुआ।

शब्दावली
साहित्य में एसडीई का सबसे आम रूप एक साधारण अंतर समीकरण है, जो एक सफेद शोर चर पर निर्भर शब्द से दाहिनी ओर परेशान है। ज्यादातर मामलों में, एसडीई को संबंधित स्टोकास्टिक अंतर समीकरणों की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। एसडीई की यह समझ अस्पष्ट है और संबंधित इंटीग्रल की उचित गणितीय परिभाषा द्वारा पूरक होना चाहिए। इस तरह की गणितीय परिभाषा पहली बार 1940 के दशक में कियोसी इटो द्वारा प्रस्तावित की गई थी, जो आज इटो कैलकुलस के रूप में जानी जाती है। एक और निर्माण बाद में रूसी भौतिक विज्ञानी रुस्लान एल स्ट्रैटोनोविच द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिसे स्ट्रैटोनोविच अभिन्न के रूप में जाना जाता है। इटो इंटीग्रल और स्ट्रैटोनोविच इंटीग्रल संबंधित हैं, लेकिन अलग-अलग, वस्तुएं और उनके बीच का चुनाव विचार किए गए आवेदन पर निर्भर करता है। इटो कैलकुस गैर-प्रत्याशात्मकता या कारणता की अवधारणा पर आधारित है, जो उन अनुप्रयोगों में स्वाभाविक है जहां चर समय है। दूसरी ओर, स्ट्रैटोनोविच कैलकुलस में ऐसे नियम हैं जो साधारण कैलकुलस से मिलते जुलते हैं और इसमें आंतरिक ज्यामितीय गुण हैं जो ज्यामितीय समस्याओं जैसे कई गुना पर यादृच्छिक गति से निपटने के दौरान इसे और अधिक प्राकृतिक बनाते हैं।

एसडीई पर एक वैकल्पिक दृष्टिकोण डिफियोमोर्फिज्म का स्टोचैस्टिक प्रवाह है। यह समझ स्पष्ट है और स्टोकेस्टिक अंतर समीकरणों की निरंतर समय सीमा के स्ट्रैटोनोविच संस्करण से मेल खाती है। SDEs के साथ संबद्ध Smoluchowski समीकरण या फोकर-प्लैंक समीकरण है, एक समीकरण जो संभाव्यता घनत्व कार्यों के समय के विकास का वर्णन करता है। फोकर-प्लैंक इवोल्यूशन टू टेम्पोरल इवोल्यूशन ऑफ डिफरेंशियल फॉर्म्स का सामान्यीकरण स्टोचैस्टिक डायनामिक्स के सुपरसिमेट्रिक थ्योरी # स्टोचैस्टिक इवोल्यूशन ऑपरेटर की अवधारणा द्वारा प्रदान किया गया है।

भौतिक विज्ञान में, लैंगविन समीकरण शब्द के प्रयोग में अस्पष्टता है लैंगविन एसडीई। जबकि लैंग्विन एसडीई लैंगविन समीकरण#जेनेरिक लैंग्विन समीकरण का हो सकता है, यह शब्द आमतौर पर ढाल प्रवाह वेक्टर क्षेत्रों के साथ एसडीई के एक संकीर्ण वर्ग को संदर्भित करता है। एसडीई का यह वर्ग विशेष रूप से लोकप्रिय है क्योंकि यह पेरिस-सोरलास स्टोकास्टिक क्वांटिज़ेशन प्रक्रिया का प्रारंभिक बिंदु है, सुपरसिमेट्रिक क्वांटम यांत्रिकी से निकटता से संबंधित एक एन = 2 सुपरसिमेट्रिक मॉडल के लिए अग्रणी। भौतिक दृष्टिकोण से, हालाँकि, SDEs का यह वर्ग बहुत दिलचस्प नहीं है क्योंकि यह कभी भी टोपोलॉजिकल सुपरसिमेट्री के सहज टूटने को प्रदर्शित नहीं करता है, अर्थात, स्टोचैस्टिक डायनेमिक्स का सुपरसिमेट्रिक सिद्धांत # स्पॉन्टेनियस सुपरसिमेट्री ब्रेकिंग एंड कैओस।

स्टोचैस्टिक कैलकुलस
ब्राउनियन गति या वीनर प्रक्रिया को गणितीय रूप से असाधारण रूप से जटिल पाया गया। वीनर प्रक्रिया लगभग निश्चित रूप से कहीं भिन्न नहीं है; इस प्रकार, इसे कलन के अपने नियमों की आवश्यकता होती है। स्टोचैस्टिक कैलकुलस के दो प्रमुख संस्करण हैं, इटो कैलकुलस|इटो स्टोचैस्टिक कैलकुलस और स्ट्रैटोनोविच स्टोचैस्टिक कैलकुलस। दोनों में से प्रत्येक के फायदे और नुकसान हैं, और नवागंतुक अक्सर भ्रमित होते हैं कि क्या दी गई स्थिति में एक दूसरे की तुलना में अधिक उपयुक्त है। दिशानिर्देश मौजूद हैं (उदाहरण के लिए Øksendal, 2003) और आसानी से, एक आईटीओ एसडीई को समकक्ष स्ट्रैटोनोविच एसडीई में आसानी से परिवर्तित कर सकते हैं और फिर से वापस कर सकते हैं। फिर भी, किसी को सावधान रहना चाहिए कि जब एसडीई शुरू में लिखा जाता है तो किस कलन का उपयोग करना चाहिए।

संख्यात्मक समाधान
स्टोचैस्टिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक विधियों में यूलर-मारुयामा विधि, मिल्स्टीन विधि और रनगे-कुट्टा विधि (एसडीई) शामिल हैं।

भौतिकी में प्रयोग करें
भौतिक विज्ञान में, एसडीई में आणविक गतिकी से लेकर न्यूरोडायनामिक्स और खगोलभौतिकीय वस्तुओं की गतिकी तक व्यापक प्रयोज्यता है। अधिक विशेष रूप से, एसडीई सभी गतिशील प्रणालियों का वर्णन करते हैं, जिसमें क्वांटम प्रभाव या तो महत्वहीन हैं या गड़बड़ी के रूप में ध्यान में रखा जा सकता है। एसडीई को शोर वाले मॉडल के लिए गतिशील सिस्टम सिद्धांत के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। यह एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण है क्योंकि वास्तविक प्रणालियों को उनके वातावरण से पूरी तरह से अलग नहीं किया जा सकता है और इस कारण हमेशा बाहरी स्टोकेस्टिक प्रभाव का अनुभव होता है।

नए अज्ञात को प्रस्तुत करके उच्च-क्रम समीकरणों को कई युग्मित प्रथम-क्रम समीकरणों में बदलने के लिए मानक तकनीकें हैं। इसलिए, एसडीई का सबसे सामान्य वर्ग निम्नलिखित है:


 * $$\frac{dx(t)}{dt} = F(x(t)) + \sum_{\alpha=1}^ng_\alpha(x(t))\xi^\alpha(t),\,$$

कहां $$x\in X $$ अपने चरण (या राज्य) अंतरिक्ष में प्रणाली में स्थिति है, $$X$$, एक अलग करने योग्य कई गुना माना जाता है $$F\in TX$$ विकास के नियतात्मक कानून का प्रतिनिधित्व करने वाला एक प्रवाह सदिश क्षेत्र है, और $$g_\alpha\in TX $$ सदिश क्षेत्रों का एक समूह है जो गाऊसी सफेद शोर के लिए सिस्टम के युग्मन को परिभाषित करता है, $$\xi^\alpha$$. यदि $$ X $$ एक रैखिक स्थान है और $$g$$ स्थिरांक हैं, सिस्टम को एडिटिव नॉइज़ के अधीन कहा जाता है, अन्यथा इसे मल्टीप्लिकेटिव नॉइज़ के अधीन कहा जाता है। यह शब्द कुछ हद तक भ्रामक है क्योंकि इसका मतलब सामान्य मामले से है, भले ही यह सीमित मामले को दर्शाता हो $$ g(x) \propto x$$.

शोर के एक निश्चित विन्यास के लिए, प्रारंभिक स्थिति के संबंध में एसडीई के पास एक अनूठा समाधान है। स्टोचैस्टिक मामले की गैर-तुच्छता तब दिखाई देती है जब कोई शोर विन्यास पर ब्याज की विभिन्न वस्तुओं को औसत करने की कोशिश करता है। इस अर्थ में, एक SDE एक विशिष्ट रूप से परिभाषित इकाई नहीं है जब शोर गुणक होता है और जब SDE को स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण की निरंतर समय सीमा के रूप में समझा जाता है। इस मामले में, SDE को SDE की व्याख्याओं के रूप में जाना जाता है, जैसे कि Iô या SDEs की स्ट्रैटोनोविच व्याख्याओं द्वारा पूरक होना चाहिए। फिर भी, जब SDE को डिफियोमॉर्फिज़्म के निरंतर-समय के स्टोचैस्टिक प्रवाह के रूप में देखा जाता है, तो यह स्टोचैस्टिक डायनेमिक्स का सुपरसिमेट्रिक सिद्धांत है.

भौतिकी में, समाधान का मुख्य तरीका समकक्ष फोकर-प्लैंक समीकरण (एफपीई) का उपयोग करके समय के एक समारोह के रूप में संभाव्यता वितरण समारोह को खोजना है। फोकर-प्लैंक समीकरण एक नियतात्मक आंशिक अवकल समीकरण है। यह बताता है कि संभाव्यता वितरण फलन समय में कैसे विकसित होता है उसी तरह जैसे श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम तरंग फलन का समय विकास देता है या प्रसार समीकरण रासायनिक एकाग्रता का समय विकास देता है। वैकल्पिक रूप से, मोंटे कार्लो विधि सिमुलेशन द्वारा संख्यात्मक समाधान प्राप्त किए जा सकते हैं। अन्य तकनीकों में पथ अभिन्न सूत्रीकरण शामिल है जो सांख्यिकीय भौतिकी और क्वांटम यांत्रिकी के बीच समानता पर आधारित है (उदाहरण के लिए, फोकर-प्लैंक समीकरण को कुछ चरों को फिर से स्केल करके श्रोडिंगर समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है) या सांख्यिकीय के लिए सामान्य अंतर समीकरण लिखकर प्रायिकता बंटन फलन का आघूर्ण (गणित)।

संभाव्यता और गणितीय वित्त में प्रयोग करें
संभाव्यता सिद्धांत (और संभाव्यता सिद्धांत के कई अनुप्रयोगों में, उदाहरण के लिए गणितीय वित्त) में प्रयुक्त संकेतन थोड़ा अलग है। यह स्टोकास्टिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए संख्यात्मक तरीकों पर प्रकाशनों में प्रयुक्त संकेतन भी है। यह अंकन समय के यादृच्छिक कार्य की विदेशी प्रकृति बनाता है $$\eta_m$$ भौतिकी सूत्रीकरण में और अधिक स्पष्ट। सख्त गणितीय शब्दों में, $$\eta_m$$ सामान्य कार्य के रूप में नहीं चुना जा सकता है, बल्कि केवल सामान्यीकृत कार्य के रूप में चुना जा सकता है। गणितीय सूत्रीकरण इस जटिलता को भौतिकी सूत्रीकरण की तुलना में कम अस्पष्टता के साथ मानता है।

एक विशिष्ट समीकरण रूप का है


 * $$ \mathrm{d} X_t = \mu(X_t,t)\, \mathrm{d} t + \sigma(X_t,t)\, \mathrm{d} B_t, $$

कहां $$B$$ एक वीनर प्रक्रिया (मानक ब्राउनियन गति) को दर्शाता है। इस समीकरण की व्याख्या संबंधित अभिन्न समीकरण को व्यक्त करने के अनौपचारिक तरीके के रूप में की जानी चाहिए


 * $$ X_{t+s} - X_{t} = \int_t^{t+s} \mu(X_u,u) \mathrm{d} u + \int_t^{t+s} \sigma(X_u,u)\, \mathrm{d} B_u . $$

उपरोक्त समीकरण निरंतर समय स्टोकास्टिक प्रक्रिया एक्स के व्यवहार को दर्शाता हैt एक साधारण लेबेस्ग इंटीग्रल और एक इटो कैलकुलस|इटो इंटीग्रल के योग के रूप में। स्टोचैस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन की एक अनुमानी (लेकिन बहुत मददगार) व्याख्या यह है कि लंबाई के एक छोटे से समय अंतराल में δ स्टोचैस्टिक प्रक्रिया Xt अपेक्षित मान के साथ सामान्य वितरण वाली राशि से इसका मान बदलता है μ(Xt, टी) δ और विचरण σ (एक्सt, टी)2 δ और प्रक्रिया के पिछले व्यवहार से स्वतंत्र है। ऐसा इसलिए है क्योंकि वीनर प्रक्रिया की वृद्धि स्वतंत्र और सामान्य रूप से वितरित होती है। फ़ंक्शन μ को बहाव गुणांक के रूप में संदर्भित किया जाता है, जबकि σ को प्रसार गुणांक कहा जाता है। स्टोकेस्टिक प्रक्रिया एक्सt एक प्रसार प्रक्रिया कहा जाता है, और मार्कोव संपत्ति को संतुष्ट करता है।

एसडीई के समाधान के गठन के संदर्भ में एक एसडीई की औपचारिक व्याख्या दी गई है। एसडीई के समाधान की दो मुख्य परिभाषाएँ हैं, एक मजबूत समाधान और एक कमजोर समाधान। दोनों को एक प्रक्रिया X के अस्तित्व की आवश्यकता होती हैt जो SDE के अभिन्न समीकरण संस्करण को हल करता है। दोनों के बीच का अंतर अंतर्निहित संभावना स्थान में है ($$\Omega,\, \mathcal{F},\, P$$). एक कमजोर समाधान में प्रायिकता स्थान और एक प्रक्रिया होती है जो अभिन्न समीकरण को संतुष्ट करती है, जबकि एक मजबूत समाधान एक ऐसी प्रक्रिया है जो समीकरण को संतुष्ट करती है और किसी दिए गए प्रायिकता स्थान पर परिभाषित होती है।

एक महत्वपूर्ण उदाहरण ज्यामितीय ब्राउनियन गति के लिए समीकरण है


 * $$\mathrm{d} X_t = \mu X_t \, \mathrm{d} t + \sigma X_t \, \mathrm{d} B_t.$$

जो ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में भण्डार की कीमत की गतिशीलता के लिए समीकरण है | ब्लैक-स्कोल्स विकल्प वित्तीय गणित के मूल्य निर्धारण मॉडल।

अधिक सामान्य स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण भी हैं जहां गुणांक μ और σ न केवल प्रक्रिया X के वर्तमान मूल्य पर निर्भर करते हैंt, बल्कि प्रक्रिया के पिछले मूल्यों पर भी और संभवतः अन्य प्रक्रियाओं के वर्तमान या पिछले मूल्यों पर भी। उस मामले में समाधान प्रक्रिया, एक्स, मार्कोव प्रक्रिया नहीं है, और इसे इटो प्रक्रिया कहा जाता है, न कि प्रसार प्रक्रिया। जब गुणांक केवल एक्स के वर्तमान और पिछले मूल्यों पर निर्भर करता है, तो परिभाषित समीकरण को स्टोकास्टिक विलंब अंतर समीकरण कहा जाता है।

समाधान का अस्तित्व और विशिष्टता
नियतात्मक सामान्य और आंशिक अंतर समीकरणों के साथ, यह जानना महत्वपूर्ण है कि क्या किसी दिए गए SDE का समाधान है, और यह अद्वितीय है या नहीं। एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष 'आर' में मान लेने वाले आईटीओ एसडीई के लिए निम्नलिखित एक विशिष्ट अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय हैn और m-आयामी ब्राउनियन गति B द्वारा संचालित; प्रमाण Øksendal (2003, §5.2) में पाया जा सकता है।

चलो T > 0, और चलो


 * $$\mu : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n};$$
 * $$\sigma : \mathbb{R}^{n} \times [0, T] \to \mathbb{R}^{n \times m};$$

मापने योग्य कार्य हो जिसके लिए निरंतर सी और डी मौजूद हैं


 * $$\big| \mu (x, t) \big| + \big| \sigma (x, t) \big| \leq C \big( 1 + | x | \big);$$
 * $$\big| \mu (x, t) - \mu (y, t) \big| + \big| \sigma (x, t) - \sigma (y, t) \big| \leq D | x - y |;$$

सभी t ∈ [0, T] और सभी x और y ∈ 'R' के लिएएन, जहां


 * $$| \sigma |^{2} = \sum_{i, j = 1}^{n} | \sigma_{ij} |^{2}.$$

मान लीजिए Z एक यादृच्छिक चर है जो B द्वारा उत्पन्न σ-बीजगणित से स्वतंत्र हैs, s ≥ 0, और परिमित क्षण (गणित) के साथ:


 * $$\mathbb{E} \big[ | Z |^{2} \big] < + \infty.$$

फिर स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल इक्वेशन/इनिशियल वैल्यू प्रॉब्लम


 * $$\mathrm{d} X_{t} = \mu (X_{t}, t) \, \mathrm{d} t + \sigma (X_{t}, t) \, \mathrm{d} B_{t} \mbox{ for } t \in [0, T];$$
 * $$X_{0} = Z;$$

एक पी-लगभग निश्चित रूप से अद्वितीय टी-निरंतर समाधान (टी, ω) ↦ एक्स हैt(ω) ऐसा है कि एक्स निस्पंदन (सार बीजगणित) एफ के लिए अनुकूलित प्रक्रिया हैtZ Z और B द्वारा जनरेट किया गयाs, एस ≤ टी, और


 * $$\mathbb{E} \left[ \int_{0}^{T} | X_{t} |^{2} \, \mathrm{d} t \right] < + \infty.$$

रैखिक एसडीई: सामान्य मामला

 * $$dX_t=(a(t)X_t+c(t))dt+(b(t)X_t+d(t))dW_t$$
 * $$X_t=\Phi_{t,t_0}\left(X_{t_0}+\int_{t_0}^t\Phi^{-1}_{s,t_0}(c(s)-b(s)d(s))ds+\int_{t_0}^t\Phi^{-1}_{s,t_0}d(s)dW_s\right)$$

कहां
 * $$\Phi_{t,t_0}=\exp\left(\int_{t_0}^t\left(a(s)-\frac{b^2(s)}{2}\right)ds+\int_{t_0}^tb(s)dW_s\right)$$

कम करने योग्य एसडीई: केस 1

 * $$dX_t=\frac12f(X_t)f'(X_t)dt+f(X_t)dW_t$$

किसी दिए गए अलग-अलग फ़ंक्शन के लिए $$f$$ स्ट्रैटोनोविच एसडीई के बराबर है
 * $$dX_t=f(X_t)\circ W_t$$

जिसका एक सामान्य समाधान है
 * $$X_t=h^{-1}(W_t+h(X_0))$$

कहां
 * $$h(x)=\int^{x}\frac{ds}{f(s)}$$

कम करने योग्य एसडीई: केस 2

 * $$dX_t=\left(\alpha f(X_t)+\frac12 f(X_t)f'(X_t)\right)dt+f(X_t)dW_t$$

किसी दिए गए अलग-अलग फ़ंक्शन के लिए $$f$$ स्ट्रैटोनोविच एसडीई के बराबर है
 * $$dX_t=\alpha f(X_t)dt + f(X_t)\circ W_t$$

जो कम करने योग्य है
 * $$dY_t=\alpha dt+dW_t$$

कहां $$Y_t=h(X_t)$$ कहां $$h$$ पहले के रूप में परिभाषित किया गया है। इसका सामान्य समाधान है
 * $$X_t=h^{-1}(\alpha t+W_t+h(X_0))$$

एसडीई और सुपरसममेट्री
एसडीई के सुपरसिमेट्रिक सिद्धांत में, स्टोकास्टिक गतिशीलता को मॉडल के चरण स्थान पर अंतर रूपों पर काम करने वाले स्टोकेस्टिक विकास ऑपरेटर के माध्यम से परिभाषित किया जाता है। स्टोचैस्टिक गतिकी के इस सटीक सूत्रीकरण में, सभी एसडीई में टोपोलॉजिकल सुपरसिमेट्री होती है जो निरंतर समय प्रवाह द्वारा चरण स्थान की निरंतरता के संरक्षण का प्रतिनिधित्व करती है। इस सुपरसममिति का स्वतःस्फूर्त टूटना कैओस सिद्धांत, अशांति, स्व-संगठित आलोचना आदि के रूप में विषयों में ज्ञात सर्वव्यापी गतिशील घटना का गणितीय सार है और गोल्डस्टोन प्रमेय संबंधित लंबी दूरी के गतिशील व्यवहार की व्याख्या करता है, अर्थात, तितली प्रभाव, गुलाबी शोर |1/f और कर्कश शोर, और भूकंप, स्नायु हिमस्खलन, सौर ज्वाला आदि के पैमाने-मुक्त आँकड़े।

यह भी देखें

 * लैंग्विन गतिकी
 * स्थानीय अस्थिरता
 * अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया
 * स्टोकेस्टिक अस्थिरता
 * स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरण
 * प्रसार प्रक्रिया
 * स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया
 * श्वेत रव
 * शेयर की कीमत
 * कूदने की प्रक्रिया
 * गणित का मॉडल
 * स्मोलुचोव्स्की समीकरण
 * संभाव्यता सघनता फ़ंक्शन
 * मिलस्टीन विधि
 * गतिशील प्रणाली सिद्धांत
 * आंशिक विभेदक समीकरण
 * पल (गणित)
 * सामान्य अवकल समीकरण
 * संख्यात्मक तरीके
 * सिद्धांत संभावना
 * सामान्यीकृत समारोह
 * अपेक्षित मूल्य
 * झगड़ा
 * संभाव्यता स्थान
 * मापने योग्य समारोह
 * अराजकता सिद्धांत
 * विभेदक रूप
 * स्टोचैस्टिक आंशिक अंतर समीकरण

आगे की पढाई

 * Desmond Higham and Peter Kloeden: "An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations", SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).
 * Desmond Higham and Peter Kloeden: "An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations", SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).
 * Desmond Higham and Peter Kloeden: "An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations", SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).
 * Desmond Higham and Peter Kloeden: "An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations", SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).
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 * Desmond Higham and Peter Kloeden: "An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations", SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).
 * Desmond Higham and Peter Kloeden: "An Introduction to the Numerical Simulation of Stochastic Differential Equations", SIAM, ISBN 978-1-611976-42-7 (2021).