तर्कवाद

गणित के दर्शन में, तर्कवाद कार्यक्रम है जिसमें या अधिक थीसिस शामिल हैं - 'तर्क' के कुछ सुसंगत अर्थ के लिए - गणित तर्क का विस्तार है, कुछ या सभी गणित तर्क में कमी (दर्शन) है, या कुछ या संपूर्ण गणित तर्क में मॉडल सिद्धांत हो सकता है। बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड ने इस कार्यक्रम का समर्थन किया, जो भगवान का शुक्र है फ्रीज द्वारा शुरू किया गया था और बाद में रिचर्ड डेडेकाइंड और ग्यूसेप पीनो द्वारा विकसित किया गया था।

सिंहावलोकन
डेडेकाइंड के तर्कवाद के पथ में महत्वपूर्ण मोड़ आया जब वह परिमेय संख्या के कुछ सेटों का उपयोग करके वास्तविक संख्याओं की विशेषता बताने वाले स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने वाला मॉडल बनाने में सक्षम हुआ। इससे और संबंधित विचारों ने उन्हें आश्वस्त किया कि अंकगणित, बीजगणित और विश्लेषण को प्राकृतिक संख्याओं के साथ-साथ कक्षाओं के तर्क में भी घटाया जा सकता है। इसके अलावा 1872 तक उन्होंने यह निष्कर्ष निकाला था कि नेचुरल्स स्वयं सेट और मैपिंग के लिए कम करने योग्य थे। यह संभव है कि अन्य तर्कशास्त्री, विशेष रूप से फ़्रीज, भी वर्ष 1872 में प्रकाशित वास्तविक संख्याओं के नए सिद्धांतों द्वारा निर्देशित थे।

अंकगणित की नींव के बाद से फ़्रेगे के तर्कशास्त्री कार्यक्रम के पीछे दार्शनिक प्रेरणा आंशिक रूप से प्राकृतिक संख्याओं के तत्कालीन प्रचलित खातों की ज्ञानमीमांसा और आंटलजी प्रतिबद्धताओं के प्रति उनका असंतोष था, और उनका दृढ़ विश्वास था कि कांट ने उदाहरण के रूप में प्राकृतिक संख्याओं के बारे में सत्य का उपयोग किया था। A_priori_and_a_posterii#Relation_to_the_analytic-synthetic गलत था।

इससे तर्कवाद के विस्तार का दौर शुरू हुआ, जिसके मुख्य प्रतिपादक डेडेकाइंड और फ़्रीज थे। हालाँकि, तर्कवादी कार्यक्रम के इस प्रारंभिक चरण को सेट सिद्धांत (कैंटर 1896, ज़र्मेलो और रसेल 1900-1901) के शास्त्रीय विरोधाभासों की खोज के साथ संकट में लाया गया था। रसेल द्वारा ग्रुंडगेसेट्ज़ डेर अरिथमेटिक में निर्धारित फ्रेज की प्रणाली में असंगतता की पहचान करने वाले रसेल के विरोधाभास को पहचानने और संचारित करने के बाद फ्रीज ने परियोजना छोड़ दी। ध्यान दें कि अनुभवहीन समुच्चय सिद्धांत भी इस कठिनाई से ग्रस्त है।

दूसरी ओर, रसेल ने 1903 में ग्यूसेप पीनो के ज्यामिति स्कूल के विरोधाभास और विकास का उपयोग करते हुए गणित के सिद्धांत लिखे। चूँकि उन्होंने ज्यामिति और सेट सिद्धांत में आदिम धारणाओं के विषय पर विचार किया, यह पाठ तर्कवाद के विकास में महत्वपूर्ण मोड़ है। तर्कवाद के दावे का साक्ष्य रसेल और व्हाइटहेड ने अपने गणितीय सिद्धांत में एकत्र किया था। आज, माना जाता है कि मौजूदा गणित का बड़ा हिस्सा तार्किक रूप से छोटी संख्या में एक्स्ट्रालॉजिकल स्वयंसिद्धों से प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (या इसके विस्तार ZFC) के स्वयंसिद्ध, जिनसे अभी तक कोई विसंगतियां उत्पन्न नहीं हुई हैं। इस प्रकार, तर्कवादी कार्यक्रमों के तत्व व्यवहार्य साबित हुए हैं, लेकिन इस प्रक्रिया में कक्षाओं, सेटों और मैपिंग के सिद्धांतों और दूसरे-क्रम_लॉजिक#सिमेंटिक्स के अलावा अन्य उच्च-क्रम वाले तर्कों को आंशिक रूप से प्रकृति में एक्सट्रालॉजिकल माना जाने लगा है। विलार्ड वान ऑरमैन क्विन के बाद के विचार का प्रभाव।

कर्ट गोडेल के गोडेल की अपूर्णता प्रमेय से पता चलता है कि कोई भी औपचारिक प्रणाली जिससे प्राकृतिक संख्याओं के लिए पीनो स्वयंसिद्ध प्राप्त नहीं किया जा सकता है - जैसे कि पीएम में रसेल की प्रणाली - उस प्रणाली के सभी अच्छी तरह से गठित वाक्यों का निर्णय नहीं कर सकती है। इस परिणाम ने गणित की नींव के लिए डेविड हिल्बर्ट के कार्यक्रम को नुकसान पहुंचाया, जिसके तहत 'अनंत' सिद्धांतों - जैसे कि पीएम - को अंतिम सिद्धांतों से सुसंगत साबित किया जाना था, इस उद्देश्य से कि 'अनंत तरीकों' के बारे में असहज लोगों को आश्वस्त किया जा सके कि उनका उपयोग सिद्ध होना चाहिए किसी विरोधाभास की व्युत्पत्ति नहीं होती। गोडेल के परिणाम से पता चलता है कि तर्कशास्त्री स्थिति को बनाए रखने के लिए, शास्त्रीय गणित को यथासंभव बरकरार रखते हुए, किसी को तर्क के हिस्से के रूप में अनंत के कुछ सिद्धांतों को स्वीकार करना चाहिए। प्रथम दृष्टया, यह तर्कवादी कार्यक्रम को भी नुकसान पहुँचाता है, भले ही केवल उन लोगों के लिए जो पहले से ही 'अनंत तरीकों' के बारे में संदिग्ध हों। बहरहाल, गोडेल के परिणाम के प्रकाशन के बाद से तर्कवाद और हिल्बर्टियन फ़िनिटिज़्म दोनों से प्राप्त पदों का प्रतिपादन जारी है।

तर्क कि तर्कवाद से प्राप्त कार्यक्रम वैध रहते हैं, वह यह हो सकता है कि अपूर्णता प्रमेय 'किसी भी अन्य प्रमेयों की तरह ही तर्क के साथ सिद्ध होते हैं'। हालाँकि, ऐसा प्रतीत होता है कि वह तर्क प्रथम-क्रम तर्क के प्रमेयों और उच्च-क्रम तर्क के प्रमेयों के बीच अंतर को स्वीकार नहीं करता है। पूर्व को अंतिम तरीकों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है, जबकि बाद वाला - सामान्य तौर पर - नहीं किया जा सकता है। टार्स्की की अपरिभाषितता प्रमेय से पता चलता है कि गोडेल नंबरिंग का उपयोग वाक्यात्मक निर्माणों को साबित करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन अर्थ संबंधी दावों को नहीं। इसलिए, यह दावा कि तर्कवाद वैध कार्यक्रम बना हुआ है, किसी को यह मानने के लिए प्रतिबद्ध कर सकता है कि प्राकृतिक संख्याओं के अस्तित्व और गुणों पर आधारित प्रमाण की प्रणाली किसी विशेष औपचारिक प्रणाली पर आधारित प्रणाली की तुलना में कम विश्वसनीय है। तर्कवाद - विशेष रूप से रसेल और विट्गेन्स्टाइन पर फ़्रीज के प्रभाव के माध्यम से और बाद में ड्यूमेट - बीसवीं सदी के दौरान विश्लेषणात्मक दर्शन के विकास में महत्वपूर्ण योगदानकर्ता था।

'तर्कवाद' नाम की उत्पत्ति
आइवर ग्राटन-गिनीज का कहना है कि फ्रांसीसी शब्द 'लॉजिस्टिक' को 1904 के विश्व दर्शनशास्त्र कांग्रेस में लुई कॉटुरेट और अन्य लोगों द्वारा पेश किया गया था, और तब से रसेल और अन्य लोगों द्वारा विभिन्न भाषाओं के लिए उपयुक्त संस्करणों में इसका उपयोग किया गया था। (जी-जी 2000:501)।

जाहिरा तौर पर रसेल द्वारा पहला (और एकमात्र) उपयोग उनके 1919 में दिखाई दिया: रसेल ने फ़्रीज को कई बार संदर्भित किया, उन्हें ऐसे व्यक्ति के रूप में पेश किया जो 'गणित को तार्किक बनाने में सबसे पहले सफल हुआ' (पृष्ठ 7)। गलत बयानी के अलावा (जिसे रसेल ने गणित में अंकगणित की भूमिका के बारे में अपने स्वयं के दृष्टिकोण को समझाकर आंशिक रूप से ठीक किया था), यह परिच्छेद उस शब्द के लिए उल्लेखनीय है जिसे उन्होंने उद्धरण चिह्नों में रखा था, लेकिन उनकी उपस्थिति घबराहट का संकेत देती है, और उन्होंने फिर कभी इस शब्द का उपयोग नहीं किया।, ताकि 'तर्कवाद' 1920 के दशक के उत्तरार्ध तक उभर न सके (जी-जी 2002:434)। रुडोल्फ कार्नाप (1929) के लगभग उसी समय, लेकिन स्पष्ट रूप से स्वतंत्र रूप से, फ्रेंकेल (1928) ने इस शब्द का इस्तेमाल किया: बिना किसी टिप्पणी के उन्होंने व्हाइटहेड/रसेल स्थिति को चित्रित करने के लिए 'तर्कवाद' नाम का इस्तेमाल किया (पृष्ठ 244 पर अनुभाग के शीर्षक में), पृष्ठ 263 पर स्पष्टीकरण) (जी-जी 2002:269)। कार्नैप ने थोड़ा अलग शब्द 'लॉजिस्टिक' का इस्तेमाल किया; बेहमैन ने कार्नैप की पांडुलिपि में इसके उपयोग के बारे में शिकायत की, इसलिए कार्नैप ने 'लॉजिज्मस' शब्द का प्रस्ताव रखा, लेकिन वह अंततः अपने शब्द-चयन 'लॉजिस्टिक' (जी-जी 2002:501) पर अड़े रहे। अंततः 1930 के बाद से इसका प्रसार मुख्य रूप से कार्नैप के कारण हुआ। (जी-जी 2000:502)।

तर्कवाद का इरादा, या लक्ष्य
तर्कवाद का प्रत्यक्ष उद्देश्य संपूर्ण गणित को प्रतीकात्मक तर्क (फ़्रिज, डेडेकाइंड, पीनो, रसेल) से प्राप्त करना है। बीजगणितीय तर्क (बूलियन तर्क) के विपरीत, जो अंकगणितीय अवधारणाओं को नियोजित करता है, प्रतीकात्मक तर्क बहुत कम अंकों के सेट (गैर) से शुरू होता है। -अंकगणितीय प्रतीक), कुछ तार्किक सिद्धांत जो विचार के नियमों को मूर्त रूप देते हैं, और अनुमान के नियम जो यह तय करते हैं कि अंकों को कैसे इकट्ठा किया जाए और हेरफेर किया जाए - उदाहरण के लिए प्रतिस्थापन और मूड सेट करना (यानी [1] ए से भौतिक रूप से बी और [का तात्पर्य है) 2] ए, कोई बी प्राप्त कर सकता है)। तर्कवाद भी फ्रेज के आधारभूत कार्य से प्राकृतिक भाषा के कथनों को विषय से घटाकर या तो प्रस्तावात्मक परमाणुओं या तर्क के सामान्यीकरण के कार्य में अपनाता है - सभी, कुछ, वर्ग (संग्रह, समुच्चय) और संबंध की धारणाएं।

प्राकृतिक संख्याओं और उनके गुणों की तर्कवादी व्युत्पत्ति में, संख्या का कोई भी अंतर्ज्ञान या तो सिद्धांत के रूप में या दुर्घटनावश नहीं आना चाहिए। लक्ष्य गिनती की संख्याओं और फिर वास्तविक संख्याओं से शुरू करके, केवल विचार के कुछ चुने हुए नियमों से, पहले और बाद या कम और अधिक या बिंदु तक: उत्तराधिकारी और पूर्ववर्ती की किसी भी मौन धारणा के बिना, सभी गणित को प्राप्त करना है। गोडेल 1944 ने अंतर्ज्ञानवाद और औपचारिकता (गणित के दर्शन) (हिल्बर्ट स्कूल) की मूलभूत प्रणालियों में निर्माणों की तुलना में रसेल के तार्किक निर्माणों का सारांश इस प्रकार दिया: ये दोनों स्कूल अपने निर्माणों को गणितीय अंतर्ज्ञान पर आधारित करते हैं जिसका परिहार वास्तव में इनमें से है रसेल के रचनावाद (गणित का दर्शन) के प्रमुख उद्देश्य (कलेक्टेड वर्क्स 1990:119 में गोडेल 1944)।

इतिहास
गोडेल 1944 ने लिबनिज की कैरेक्टरिस्टिका युनिवर्सलिस से लेकर फ्रेज और पीनो से होते हुए रसेल तक की ऐतिहासिक पृष्ठभूमि को संक्षेप में प्रस्तुत किया: फ्रेज मुख्य रूप से विचार के विश्लेषण में रुचि रखते थे और शुद्ध तर्क से अंकगणित प्राप्त करने के लिए सबसे पहले अपने कैलकुलस का उपयोग करते थे, जबकि पीनो को इसमें अधिक रुचि थी। गणित के अंतर्गत अनुप्रयोग. लेकिन यह केवल [रसेल की] प्रिंसिपिया मैथमैटिका ही थी जिसमें बहुत कम तार्किक अवधारणाओं और सिद्धांतों से गणित के बड़े हिस्से को वास्तव में प्राप्त करने के लिए नई पद्धति का पूरा उपयोग किया गया था। इसके अलावा, युवा विज्ञान को नए उपकरण, संबंधों के अमूर्त सिद्धांत (पृष्ठ 120-121) द्वारा समृद्ध किया गया था।

क्लेन 1952 इसे इस प्रकार बताता है: लीबनिज़ (1666) ने सबसे पहले तर्क को ऐसे विज्ञान के रूप में देखा जिसमें अन्य सभी विज्ञानों के अंतर्निहित विचार और सिद्धांत शामिल थे। डेडेकाइंड (1888) और फ़्रीज (1884, 1893, 1903) तार्किक अवधारणाओं के संदर्भ में गणितीय धारणाओं को परिभाषित करने में लगे हुए थे, और पीनो (1889, 1894-1908) गणितीय प्रमेयों को तार्किक प्रतीकवाद में व्यक्त करने में लगे हुए थे (पृष्ठ 43); पिछले पैराग्राफ में उन्होंने रसेल और व्हाइटहेड को तर्कवादी स्कूल के उदाहरण के रूप में शामिल किया है, अन्य दो मूलभूत स्कूल अंतर्ज्ञानवादी और औपचारिक या स्वयंसिद्ध स्कूल हैं (पृष्ठ 43)।

फ़्रीज 1879 ने अपने 1879 बेग्रिफ़्सक्रिफ्ट की प्रस्तावना में अपने इरादे का वर्णन किया है: उन्होंने अंकगणित के विचार से शुरुआत की: क्या यह तर्क से निकला या अनुभव के तथ्यों से?
 * मुझे सबसे पहले यह पता लगाना था कि केवल अनुमानों के माध्यम से, विचार के उन नियमों के एकमात्र समर्थन से, जो सभी विवरणों से परे हैं, अंकगणित में कितनी दूर तक आगे बढ़ा जा सकता है। मेरा प्रारंभिक कदम क्रम में क्रमबद्ध करने की अवधारणा को तार्किक परिणाम तक कम करने का प्रयास करना था, ताकि वहां से संख्या की अवधारणा की ओर आगे बढ़ा जा सके। किसी भी सहज ज्ञान युक्त चीज़ को यहां बिना ध्यान दिए प्रवेश करने से रोकने के लिए मुझे अनुमानों की श्रृंखला को अंतराल से मुक्त रखने के लिए हर संभव प्रयास करना पड़ा। . . मुझे भाषा की अपर्याप्तता बाधा लगी; इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि मैं कितने बोझिल भावों को स्वीकार करने के लिए तैयार था, जैसे-जैसे रिश्ते अधिक से अधिक जटिल होते गए, मैं उस सटीकता को प्राप्त करने में कम सक्षम होता गया जो मेरे उद्देश्य के लिए आवश्यक थी। यही कमी मुझे वर्तमान विचारधारा के विचार तक ले गयी। इसलिए, इसका पहला उद्देश्य हमें अनुमानों की श्रृंखला की वैधता का सबसे विश्वसनीय परीक्षण प्रदान करना है और हर उस पूर्वधारणा को इंगित करना है जो किसी का ध्यान नहीं जाने देने की कोशिश करती है (वैन हाइजेनोर्ट 1967:5 में फ़्रीज 1879)।

डेडेकाइंड 1887 ने अपने द नेचर एंड मीनिंग ऑफ नंबर्स के पहले संस्करण की 1887 की प्रस्तावना में अपने इरादे का वर्णन किया है। उनका मानना ​​था कि सरलतम विज्ञान की नींव में; अर्थात्, तर्क का वह भाग जो संख्याओं के सिद्धांत से संबंधित है, ठीक से तर्क नहीं किया गया था - प्रमाण के योग्य किसी भी चीज़ को प्रमाण के बिना स्वीकार नहीं किया जाना चाहिए:
 * अंकगणित (बीजगणित, विश्लेषण) को तर्क के भाग के रूप में बोलने से मेरा तात्पर्य यह है कि मैं संख्या-अवधारणा को स्थान और समय की अंतर्ज्ञान की धारणाओं से पूरी तरह स्वतंत्र मानता हूं, कि मैं इसे विचार के नियमों का तत्काल परिणाम मानता हूं . . . संख्याएँ मानव मस्तिष्क की स्वतंत्र रचनाएँ हैं। . . [और] केवल संख्याओं के विज्ञान के निर्माण की विशुद्ध तार्किक प्रक्रिया के माध्यम से। . . क्या हम अंतरिक्ष और समय के बारे में अपनी धारणाओं को अपने दिमाग में बनाए गए इस संख्या-डोमेन के साथ संबंध में लाकर जांच करने के लिए सटीक रूप से तैयार हैं (डेडेकाइंड 1887 डोवर रिपब्लिकेशन 1963:31)।

पीनो 1889 ने अपने 1889 के अंकगणित के सिद्धांतों की प्रस्तावना में अपना इरादा बताया है:
 * गणित की नींव से संबंधित प्रश्न, हालांकि हाल के दिनों में कई लोगों द्वारा हल किए गए हैं, फिर भी संतोषजनक समाधान का अभाव है। कठिनाई का मुख्य स्रोत भाषा की अस्पष्टता है। ¶ इसीलिए हमारे द्वारा उपयोग किए जाने वाले शब्दों की सावधानीपूर्वक जांच करना अत्यंत महत्वपूर्ण है। मेरा लक्ष्य इस परीक्षा को देना है (पीनो 1889 वैन हाइजेनोर्ट 1967:85 में)।

रसेल 1903 अपने 190 की प्रस्तावना में अपने इरादे का वर्णन करता हैगणित के 3 सिद्धांत:
 * वर्तमान कार्य के दो मुख्य उद्देश्य हैं। इनमें से एक, यह प्रमाण है कि सभी शुद्ध गणित विशेष रूप से बहुत कम संख्या में मौलिक तार्किक अवधारणाओं के संदर्भ में परिभाषित अवधारणाओं से संबंधित हैं, और इसके सभी प्रस्ताव बहुत कम संख्या में मौलिक तार्किक सिद्धांतों से निकाले जा सकते हैं (प्रस्तावना 1903:vi)।


 * वर्तमान कार्य की उत्पत्ति के बारे में कुछ शब्द चर्चा किए गए प्रश्नों के महत्व को दर्शाने का काम कर सकते हैं। लगभग छह साल पहले, मैंने डायनेमिक्स के दर्शन की जांच शुरू की थी। . . . [दो प्रश्नों से - अंतरिक्ष के संबंधपरक सिद्धांत में त्वरण और पूर्ण गति] मुझे ज्यामिति के सिद्धांतों की फिर से जांच करने के लिए प्रेरित किया गया, वहां से निरंतरता और अनंत के दर्शन तक, और फिर, के अर्थ की खोज करने की दृष्टि से कोई भी शब्द, प्रतीकात्मक तर्क के लिए (प्रस्तावना 1903:vi-vii)।

ज्ञानमीमांसा, सत्तामीमांसा और तर्कवाद
डेडेकाइंड और पूछा की ज्ञानमीमांसा रसेल की तुलना में कम अच्छी तरह से परिभाषित लगती है, लेकिन दोनों सरल प्रस्तावक कथनों (आमतौर पर विश्वास) से संबंधित विचार के पारंपरिक कानूनों को प्राथमिकता के रूप में स्वीकार करते प्रतीत होते हैं; यदि सामान्यीकरण आर द्वारा जुड़े व्यक्तियों x और y के बीच वर्गों और संबंधों (उदाहरण के लिए x R y) के सिद्धांत के साथ संवर्धित किया जाए तो ये कानून अपने आप में पर्याप्त होंगे।

डेडेकाइंड का तर्क 1 से शुरू होता है। निम्नलिखित में मैं हमारे विचार की प्रत्येक वस्तु को वस्तु के रूप में समझता हूं; हम मनुष्य अपने मन की इन बातों पर चर्चा करने के लिए प्रतीकों का उपयोग करते हैं; कोई चीज़ पूरी तरह से उन सभी चीज़ों से निर्धारित होती है जो उसके बारे में पुष्टि की जा सकती हैं या सोची जा सकती हैं (पृ. 44)। अगले पैराग्राफ में डेडेकाइंड चर्चा करता है कि सिस्टम एस क्या है: यह समुच्चय, कई गुना, संबंधित तत्वों (चीजों) ए, बी, सी की समग्रता है; उनका दावा है कि ऐसी प्रणाली एस. . . जैसे हमारे विचार की वस्तु वैसे ही वस्तु है (1); यह पूर्णतः तब निर्धारित होता है जब प्रत्येक वस्तु के संबंध में यह निर्धारित किया जाता है कि यह S का तत्व है या नहीं।* (पृ. 45, इटैलिक जोड़ा गया)। * फ़ुटनोट को इंगित करता है जहाँ वह कहता है कि:
 * क्रोनकर ने कुछ समय पहले (क्रेल्स जर्नल, खंड 99, पृ. 334-336) ने गणित में अवधारणाओं के मुक्त निर्माण पर कुछ सीमाएं लगाने का प्रयास किया है, जिन्हें मैं उचित नहीं मानता हूं (पृष्ठ 45)।

वास्तव में वह क्रोनकर द्वारा इन सीमाओं की आवश्यकता या केवल उपयुक्तता के कारणों को प्रकाशित करने की प्रतीक्षा कर रहा है (पृष्ठ 45)।

लियोपोल्ड क्रोनकर, अपने दावे के लिए प्रसिद्ध हैं कि भगवान ने पूर्णांक बनाए, बाकी सब मनुष्य का काम है उसके शत्रु थे, उनमें हिल्बर्ट भी शामिल था। हिल्बर्ट ने क्रोनकर को हठधर्मी कहा, इस हद तक कि वह पूर्णांक को उसके आवश्यक गुणों के साथ हठधर्मिता के रूप में स्वीकार करता है और पीछे मुड़कर नहीं देखता। और अपने चरम रचनावादी रुख को ब्रौवर के अंतर्ज्ञानवाद के साथ जोड़ा, दोनों पर व्यक्तिवाद का आरोप लगाया: यह विज्ञान के कार्य का हिस्सा है कि वह हमें मनमानी, भावना और आदत से मुक्त करे और हमें उस व्यक्तिवाद से बचाए जो पहले से ही क्रोनकर के विचारों में खुद को महसूस कर चुका है और मुझे ऐसा लगता है कि इसकी परिणति अंतर्ज्ञानवाद में होती है। हिल्बर्ट फिर कहते हैं कि गणित पूर्वधारणा रहित विज्ञान है। इसे पाने के लिए मुझे ईश्वर की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि क्रोनकर को है।. . (पृ. 479).

रसेल के दार्शनिक यथार्थवाद ने उन्हें ब्रिटिश आदर्शवाद के प्रतिकारक के रूप में कार्य किया, यूरोपीय बुद्धिवाद और ब्रिटिश अनुभववाद से उधार लिए गए अंशों के साथ। आरंभ करने के लिए, रसेल दो प्रमुख मुद्दों के बारे में यथार्थवादी थे: सार्वभौमिक और भौतिक वस्तुएं (रसेल 1912:xi)। रसेल के लिए, टेबल वास्तविक चीजें हैं जो पर्यवेक्षक रसेल से स्वतंत्र रूप से मौजूद हैं। बुद्धिवाद प्राथमिक ज्ञान की धारणा में योगदान देगा, जबकि अनुभववाद अनुभवात्मक ज्ञान (अनुभव से प्रेरण) की भूमिका में योगदान देगा। रसेल प्राथमिक ज्ञान के विचार के लिए कांट को श्रेय देंगे, लेकिन वह कांट के घातक होने पर आपत्ति जताते हैं: [दुनिया के] तथ्यों को हमेशा तर्क और अंकगणित के अनुरूप होना चाहिए। यह कहना कि तर्क और अंकगणित का योगदान हमने किया है, इसका कोई मतलब नहीं है (1912:87); रसेल ने निष्कर्ष निकाला कि हमारे पास जो प्राथमिक ज्ञान है वह चीजों के बारे में है, न कि केवल विचारों के बारे में (1912:89)। और इसमें रसेल की ज्ञानमीमांसा डेडेकाइंड की इस मान्यता से भिन्न प्रतीत होती है कि संख्याएँ मानव मस्तिष्क की स्वतंत्र रचनाएँ हैं (डेडेकाइंड 1887:31) लेकिन जन्मजात के बारे में उनकी ज्ञानमीमांसा (तार्किक सिद्धांतों पर लागू होने पर वह प्राथमिकता शब्द को प्राथमिकता देते हैं, cf. 1912:74) जटिल है। वह आदर्शवाद सार्वभौमिकों के लिए दृढ़तापूर्वक, स्पष्ट रूप से समर्थन व्यक्त करेंगे (सीएफ. 1912:91-118) और वह निष्कर्ष निकालेंगे कि सच्चाई और झूठ सामने हैं; मन विश्वास पैदा करता है और जो विश्वास को सच बनाता है वह तथ्य है, और इस तथ्य में (असाधारण मामलों को छोड़कर) उस व्यक्ति का दिमाग शामिल नहीं होता है जिसके पास विश्वास है (1912:130)।

रसेल ने ये ज्ञानमीमांसीय धारणाएँ कहाँ से प्राप्त कीं? वह हमें अपने 1903 के गणित के सिद्धांतों की प्रस्तावना में बताते हैं। ध्यान दें कि उनका दावा है कि यह विश्वास: एमिली खरगोश है, अस्तित्वहीन है, और फिर भी इस अस्तित्वहीन प्रस्ताव की सच्चाई किसी भी जानने वाले दिमाग से स्वतंत्र है; यदि एमिली वास्तव में खरगोश है, तो इस सत्य का तथ्य मौजूद है कि रसेल या कोई अन्य दिमाग जीवित है या मृत है, और एमिली का खरगोश-हुड से संबंध अंतिम है:
 * दर्शन के मूलभूत प्रश्नों पर, मेरी स्थिति, इसकी सभी मुख्य विशेषताओं में, श्री जी. ई. मूर से ली गई है। मैंने उनसे प्रस्तावों की गैर-अस्तित्ववादी प्रकृति (अस्तित्व पर जोर देने वाली घटनाओं को छोड़कर) और किसी भी जानने वाले दिमाग की उनकी स्वतंत्रता को स्वीकार कर लिया है; बहुलवाद भी, जो संसार को, अस्तित्वों और संस्थाओं दोनों को, परस्पर स्वतंत्र संस्थाओं की अनंत संख्या से बना मानता है, जिनके संबंध अंतिम हैं, और उनकी शर्तों या उनके द्वारा बनाए गए संपूर्ण के विशेषणों से कम नहीं किए जा सकते। . . . मेरी राय में, जिन सिद्धांतों का अभी उल्लेख किया गया है, वे गणित के किसी भी सहनीय रूप से संतोषजनक दर्शन के लिए काफी अपरिहार्य हैं, जैसा कि मुझे आशा है कि निम्नलिखित पृष्ठ दिखाएंगे। . . . औपचारिक रूप से, मेरा परिसर केवल मान लिया गया है; लेकिन तथ्य यह है कि वे गणित को सत्य होने की अनुमति देते हैं, जो कि अधिकांश वर्तमान दर्शन नहीं करते हैं, निश्चित रूप से उनके पक्ष में शक्तिशाली तर्क है। (प्रस्तावना 1903:viii)

1902 में रसेल ने फ़्रीज के ग्रुंडगेसेट्ज़ डेर अरिथमेटिक में दुष्चक्र (रसेल का विरोधाभास) की खोज की, जो फ़्रीज के बेसिक लॉ V से लिया गया था और उन्होंने अपने 1903 के गणित के सिद्धांतों में इसे नहीं दोहराने का दृढ़ संकल्प किया था। अंतिम समय में जोड़े गए दो परिशिष्टों में उन्होंने अपने स्वयं के विपरीत फ्रेगे के सिद्धांत के विस्तृत विश्लेषण और विरोधाभास के समाधान दोनों के लिए 28 पृष्ठ समर्पित किए। लेकिन वह परिणाम को लेकर आशावादी नहीं थे:


 * वर्गों के मामले में, मुझे स्वीकार करना होगा, मैं वर्ग की धारणा के लिए अपेक्षित शर्तों को पूरा करने वाली किसी भी अवधारणा को समझने में विफल रहा हूं। और विरोधाभास की चर्चा अध्याय x में की गई है। यह साबित करता है कि कुछ गड़बड़ है, लेकिन यह क्या है, मैं अब तक इसका पता लगाने में असफल रहा हूं। (रसेल 1903 की प्रस्तावना:vi)

गोडेल अपने 1944 में 1903 के युवा रसेल से असहमत होंगे ([मेरा परिसर] गणित को सच होने की अनुमति देता है) लेकिन संभवतः ऊपर उद्धृत रसेल के कथन से सहमत होंगे (कुछ गड़बड़ है); रसेल का सिद्धांत गणित की संतोषजनक नींव पर पहुंचने में विफल रहा था: परिणाम अनिवार्य रूप से नकारात्मक था; यानी इस तरह से पेश की गई कक्षाओं और अवधारणाओं में गणित के उपयोग के लिए आवश्यक सभी गुण नहीं हैं (गोडेल 1944:132)।

रसेल इस स्थिति में कैसे पहुंचे? गोडेल का मानना ​​है कि रसेल ट्विस्ट के साथ आश्चर्यजनक यथार्थवादी है: वह रसेल के 1919:169 तर्क का हवाला देते हुए वास्तविक दुनिया से उतना ही चिंतित है जितना कि प्राणीशास्त्र (गोडेल 1944:120)। लेकिन उनका मानना ​​है कि जब उन्होंने किसी ठोस समस्या पर काम शुरू किया, तो विश्लेषण की जाने वाली वस्तुएं (उदाहरण के लिए कक्षाएं या प्रस्ताव) जल्द ही अधिकांश भाग तार्किक कल्पनाओं में बदल गईं।. . [अर्थ] केवल इतना कि हमें उनके बारे में कोई प्रत्यक्ष धारणा नहीं है। (गोडेल 1944:120)

रसेल के तर्कवाद के ब्रांड से संबंधित अवलोकन में, पेरी टिप्पणी करते हैं कि रसेल यथार्थवाद के तीन चरणों से गुज़रे: चरम, मध्यम और रचनात्मक (पेरी 1997:xxv)। 1903 में वे अपनी चरम अवस्था में थे; 1905 तक वह अपने मध्यम चरण में होंगे। कुछ ही वर्षों में वह दुनिया के फर्नीचर के बुनियादी टुकड़ों के रूप में भौतिक या भौतिक वस्तुओं से दूर हो जाएगा। वहअपनी अगली पुस्तक अवर नॉलेज ऑफ द एक्सटर्नल वर्ल्ड [1914] (पेरी 1997:xxvi) में इंद्रिय-डेटा से इनका निर्माण करने का प्रयास करेंगे।

गोडेल 1944 में इन निर्माणों को नाममात्रवादी रचनावाद कहा जाएगा ... जिसे रसेल के अधिक कट्टरपंथी विचार, नो-क्लास सिद्धांत (पृष्ठ 125) से प्राप्त काल्पनिकवाद कहा जा सकता है:
 * जिसके अनुसार कक्षाएं या अवधारणाएं कभी भी वास्तविक वस्तुओं के रूप में मौजूद नहीं होती हैं, और इन शब्दों वाले वाक्य केवल तभी सार्थक होते हैं क्योंकि उनकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है ... अन्य चीजों के बारे में बोलने का तरीका (पृष्ठ 125)।

नीचे आलोचना अनुभागों में और अधिक देखें।

प्राकृतिक संख्याओं के तर्कवादी निर्माण का उदाहरण: प्रिंसिपिया में रसेल का निर्माण
फ़्रीज और डेडेकाइंड का तर्कवाद रसेल के समान है, लेकिन विवरण में अंतर है (नीचे आलोचनाएं देखें)। कुल मिलाकर, प्राकृतिक संख्याओं की तार्किक व्युत्पत्तियाँ, उदाहरण के लिए, सेट सिद्धांत ('Z') के लिए ज़र्मेलो के सिद्धांतों से प्राप्त व्युत्पत्तियों से भिन्न हैं। जबकि, Z से व्युत्पत्ति में, संख्या की परिभाषा उस प्रणाली के स्वयंसिद्ध का उपयोग करती है - युग्मन का स्वयंसिद्ध - जो क्रमित जोड़ी की परिभाषा की ओर ले जाता है - प्राकृतिक संख्याओं की व्युत्पत्ति की अनुमति देने वाले विभिन्न तर्कशास्त्री स्वयंसिद्ध प्रणालियों में कोई प्रत्यक्ष संख्या स्वयंसिद्ध मौजूद नहीं है।. ध्यान दें कि किसी संख्या की परिभाषा प्राप्त करने के लिए आवश्यक स्वयंसिद्ध सिद्धांत किसी भी मामले में सेट सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्ध प्रणालियों के बीच भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, ZF और ZFC में, युग्मन का सिद्धांत, और इसलिए अंततः क्रमित जोड़े की धारणा अनंत के सिद्धांत और प्रतिस्थापन के सिद्धांत से व्युत्पन्न है और वॉन न्यूमैन अंकों की परिभाषा में आवश्यक है (लेकिन ज़र्मेलो नहीं) अंक), जबकि एनएफयू में फ़्रीज अंक ग्रंडगेसेट्ज़ में उनकी व्युत्पत्ति के अनुरूप तरीके से प्राप्त किए जा सकते हैं।

प्रिंसिपिया, अपने अग्रदूत ग्रुंडगेसेट्ज़ की तरह, संख्याओं का निर्माण आदिम प्रस्तावों से शुरू करता है जैसे वर्ग, प्रस्तावात्मक कार्य, और विशेष रूप से, समानता के संबंध (समरूपता: संग्रह के तत्वों को एक-से- पत्राचार में रखना) और क्रमबद्ध करना (समतुल्य वर्गों के संग्रह को क्रमबद्ध करने के लिए संबंध के उत्तराधिकारी का उपयोग करना)। तार्किक व्युत्पत्ति इस तरह से निर्मित कार्डिनल संख्याओं को प्राकृतिक संख्याओं के बराबर करती है, और ये सभी संख्याएँ ही प्रकार की होती हैं - वर्गों के वर्गों के रूप में - जबकि कुछ सेट सैद्धांतिक निर्माणों में - उदाहरण के लिए वॉन न्यूमैन और ज़र्मेलो अंक - प्रत्येक संख्या उपसमुच्चय के रूप में इसका पूर्ववर्ती है। क्लेन निम्नलिखित का अवलोकन करता है। (क्लीन की धारणाएं (1) और (2) बताती हैं कि 0 के पास संपत्ति पी है और एन+1 के पास संपत्ति पी है जब भी एन के पास संपत्ति पी है।)
 * यहां का दृष्टिकोण [क्रोनकर] की कहावत से बहुत अलग है कि 'भगवान ने पूर्णांक बनाए' और पीनो के संख्या और गणितीय प्रेरण के सिद्धांत], जहां हमने प्राकृतिक संख्या अनुक्रम की सहज अवधारणा की कल्पना की थी, और इससे प्राप्त किया था सिद्धांत है कि, जब भी प्राकृतिक संख्याओं का कोई विशेष गुण P इस प्रकार दिया जाता है कि (1) और (2), तो किसी भी प्राकृतिक संख्या में गुण P अवश्य होना चाहिए। (क्लीन 1952:44)।

प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण के तर्कवादी कार्यक्रम का महत्व रसेल के इस तर्क से मिलता है कि सभी पारंपरिक शुद्ध गणित प्राकृतिक संख्याओं से प्राप्त किया जा सकता है, यह हालिया खोज है, हालांकि इस पर लंबे समय से संदेह था (1919:4)। वास्तविक संख्याओं की व्युत्पत्ति डेडेकाइंड कट सिद्धांत से प्राप्त होती है, जो तर्कसंगत संख्याओं में कटौती करती है, तर्कसंगत संख्याएँ स्वाभाविक रूप से प्राप्त होती हैं। हालाँकि यह कैसे किया जाता है इसका उदाहरण उपयोगी है, यह पहले प्राकृतिक संख्याओं की व्युत्पत्ति पर निर्भर करता है। इसलिए, यदि प्राकृतिक संख्याओं की तार्किक व्युत्पत्ति में दार्शनिक कठिनाइयाँ दिखाई देती हैं, तो ये समस्याएँ हल होने तक कार्यक्रम को रोकने के लिए पर्याप्त होनी चाहिए (नीचे आलोचनाएँ देखें)।

प्राकृतिक संख्याओं के निर्माण का प्रयास बर्नेज़ 1930-1931 द्वारा संक्षेपित किया गया है। लेकिन बर्नेज़ के संक्षेपण का उपयोग करने के बजाय, जो कुछ विवरणों में अधूरा है, रसेल के निर्माण के संक्षिप्त विवरण का प्रयास, जिसमें कुछ सीमित चित्रण शामिल हैं, नीचे दिया गया है:

प्रारंभिक
रसेल के लिए, संग्रह (वर्ग) उचित नामों से निर्दिष्ट चीजों का समुच्चय है, जो प्रस्तावों (किसी चीज या चीजों के बारे में तथ्य का दावा) के परिणाम के रूप में आते हैं। रसेल ने इस सामान्य धारणा का विश्लेषण किया। वह वाक्यों में शब्दों से शुरुआत करते हैं, जिसका उन्होंने इस प्रकार विश्लेषण किया:

रसेल के लिए, शब्द या तो चीजें या अवधारणाएं हैं: जो कुछ भी विचार का विषय हो सकता है, या किसी भी सही या गलत प्रस्ताव में हो सकता है, या के रूप में गिना जा सकता है, मैं शब्द कहता हूं। अतः यह दार्शनिक शब्दावली का सबसे व्यापक शब्द है। मैं इसके पर्यायवाची के रूप में इकाई, व्यक्ति और इकाई शब्दों का उपयोग करूंगा। पहले दो इस तथ्य पर जोर देते हैं कि प्रत्येक पद है, जबकि तीसरा इस तथ्य से लिया गया है कि प्रत्येक पद का अस्तित्व है, अर्थात कुछ अर्थों में है। आदमी, क्षण, संख्या, वर्ग, संबंध, कल्पना, या कुछ और जिसका उल्लेख किया जा सकता है, निश्चित रूप से शब्द होगा; और इस बात से इनकार करना कि फलां चीज शब्द है, हमेशा गलत होना चाहिए (रसेल 1903:43)

शब्दों के बीच, दो प्रकारों को अलग करना संभव है, जिन्हें मैं क्रमशः चीजें और अवधारणाएं कहूंगा; पहले वे शब्द हैं जो उचित नामों से संकेतित होते हैं, बाद वाले वे शब्द हैं जो अन्य सभी शब्दों से संकेतित होते हैं।. . अवधारणाओं के बीच, फिर से, कम से कम दो प्रकारों को प्रतिष्ठित किया जाना चाहिए, अर्थात् वे जो विशेषणों द्वारा इंगित किए जाते हैं और वे जो क्रिया द्वारा इंगित किए जाते हैं (1903:44)।

पहले प्रकार को अक्सर विधेय या वर्ग-अवधारणाएँ कहा जाएगा; उत्तरार्द्ध हमेशा या लगभग हमेशा संबंध होते हैं। (1903:44)

मैं किसी प्रस्ताव की शर्तों के बारे में उन शब्दों के रूप में बात करूंगा, चाहे वे कितने ही असंख्य क्यों न हों, जो प्रस्ताव में होते हैं और उन विषयों के रूप में माने जा सकते हैं जिनके बारे में प्रस्ताव है। यह किसी प्रस्ताव की शर्तों की विशेषता है कि उनमें से किसी को भी किसी अन्य इकाई द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, बिना हमारे प्रस्ताव को समाप्त किए। इस प्रकार हम कहेंगे कि सुकरात मानव है, यह केवल पद वाला प्रस्ताव है; प्रस्ताव के शेष घटक में से क्रिया है, दूसरा विधेय है... . विधेय, क्रिया के अलावा अन्य अवधारणाएँ हैं, जो केवल पद या विषय वाले प्रस्तावों में होती हैं। (1903:45)

मान लीजिए कि किसी को किसी वस्तु की ओर इशारा करके कहना है: मेरे सामने 'एमिली' नाम की यह वस्तु महिला है। यह प्रस्ताव है, वक्ता के विश्वास का दावा है, जिसे बाहरी दुनिया के तथ्यों के खिलाफ परीक्षण किया जाना है: दिमाग सत्य या झूठ का निर्माण नहीं करता है। वे विश्वास पैदा करते हैं. . . जो चीज़ किसी विश्वास को सत्य बनाती है वह तथ्य है, और यह तथ्य (असाधारण मामलों को छोड़कर) किसी भी तरह से उस व्यक्ति के दिमाग को शामिल नहीं करता है जिसके पास विश्वास है (1912:130)। यदि कथन की जांच और तथ्य के साथ पत्राचार से, रसेल को पता चलता है कि एमिली खरगोश है, तो उसका कथन झूठा माना जाता है; यदि एमिली महिला मानव है (प्लेटो के बारे में डायोजनीज लार्टियस के उपाख्यान के अनुसार, रसेल पंखहीन दो पैर वाली महिला को मानव कहलाना पसंद करता है), तो उसका कथन सत्य माना जाता है।

वर्ग, वर्ग-अवधारणा के विपरीत, उन सभी शब्दों का योग या संयोजन है जिनमें दिए गए विधेय (1903 पृष्ठ 55) हैं। कक्षाओं को एक्सटेंशन (उनके सदस्यों को सूचीबद्ध करना) या इरादे से निर्दिष्ट किया जा सकता है, यानी प्रस्ताव फ़ंक्शन द्वारा जैसे कि x u है या x v है। लेकिन यदि हम शुद्ध रूप से विस्तार लेते हैं, तो हमारी कक्षा को उसके शब्दों की गणना द्वारा परिभाषित किया जाता है, और यह विधि हमें अनंत कक्षाओं के साथ, जैसा कि प्रतीकात्मक तर्क करता है, निपटने की अनुमति नहीं देगा। इस प्रकार हमारी कक्षाओं को आम तौर पर अवधारणाओं द्वारा निरूपित वस्तुओं के रूप में माना जाना चाहिए, और इस हद तक इरादे का दृष्टिकोण आवश्यक है। (1909 पृष्ठ 66)

वर्ग अवधारणा की विशेषता, जैसा कि सामान्य रूप से शब्दों से अलग है, यह है कि x प्रस्तावात्मक कार्य है जब, और केवल तभी, जब u वर्ग-अवधारणा है। (1903:56)

71. वर्ग को विस्तारात्मक या जानबूझकर परिभाषित किया जा सकता है। कहने का तात्पर्य यह है कि, हम उस प्रकार की वस्तु को परिभाषित कर सकते हैं जो वर्ग है, या उस प्रकार की अवधारणा जो वर्ग को दर्शाती है: यह इसका सटीक अर्थ हैइस संबंध में विस्तार और आशय का विरोध। लेकिन यद्यपि सामान्य धारणा को इस दो-तरफा तरीके से परिभाषित किया जा सकता है, विशेष वर्गों को, जब तक कि वे परिमित न हों, केवल जानबूझकर परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात ऐसी और ऐसी अवधारणाओं द्वारा निरूपित वस्तुओं के रूप में।. . तर्क में; विस्तारित परिभाषा अनंत वर्गों पर समान रूप से लागू होती प्रतीत होती है, लेकिन व्यावहारिक रूप से, यदि हम इसका प्रयास करते हैं, तो मृत्यु अपने लक्ष्य को प्राप्त करने से पहले हमारे प्रशंसनीय प्रयास को छोटा कर देगी। (1903:69)

प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा
प्रिनिसिपिया में, प्राकृतिक संख्याएँ उन सभी प्रस्तावों से प्राप्त होती हैं जिन्हें संस्थाओं के किसी भी संग्रह के बारे में दावा किया जा सकता है। रसेल इसे नीचे दूसरे (इटैलिकाइज़्ड) वाक्य में स्पष्ट करते हैं।


 * सबसे पहले, संख्याएँ स्वयं अनंत संग्रह बनाती हैं, और इसलिए उन्हें गणना द्वारा परिभाषित नहीं किया जा सकता है। दूसरे स्थान पर, शब्दों की दी गई संख्या वाले संग्रह स्वयं संभवतः अनंत संग्रह बनाते हैं: उदाहरण के लिए, यह माना जाना चाहिए कि दुनिया में तिकड़ी का अनंत संग्रह है, क्योंकि यदि ऐसा नहीं होता तो कुल दुनिया में चीजों की संख्या सीमित होगी, जो संभव होते हुए भी असंभाव्य लगती है। तीसरे स्थान पर, हम संख्या को इस प्रकार परिभाषित करना चाहते हैं कि अनंत संख्याएँ संभव हो सकें; इस प्रकार हमें अनंत संग्रह में शब्दों की संख्या के बारे में बात करने में सक्षम होना चाहिए, और इस तरह के संग्रह को इरादे से परिभाषित किया जाना चाहिए, यानी ऐसी संपत्ति द्वारा जो इसके सभी सदस्यों के लिए सामान्य और उनके लिए विशिष्ट हो। (1919:13)

स्पष्ट करने के लिए, निम्नलिखित सीमित उदाहरण पर विचार करें: मान लीजिए कि सड़क पर 12 परिवार हैं। कुछ के बच्चे हैं, कुछ के नहीं। इन घरों में बच्चों के नामों पर चर्चा करने के लिए 12 प्रस्तावों की आवश्यकता होती है, जिसमें कहा गया है कि बच्चे का नाम परिवार में बच्चे का नाम है एफएन, एफ1, एफ2, नाम वाले परिवारों की विशेष सड़क पर घरों के इस संग्रह पर लागू होता है।. . F12. 12 प्रस्तावों में से प्रत्येक इस बात पर विचार करता है कि बच्चे का नाम तर्क किसी विशेष घर के बच्चे पर लागू होता है या नहीं। प्रस्तावित फ़ंक्शन f(x) में बच्चों के नाम (बच्चे का नाम) को x के रूप में सोचा जा सकता है, जहां फ़ंक्शन परिवार में Fn नाम वाले बच्चे का नाम है।

जबकि पूर्ववर्ती उदाहरण सीमित संख्या में परिवारों की सीमित सड़क पर परिवार Fn' में बच्चों के सीमित प्रस्तावात्मक फ़ंक्शन चाइल्डनेम्स पर सीमित है, रसेल ने स्पष्ट रूप से अनंत डोमेन पर फैले सभी प्रस्तावात्मक कार्यों का विस्तार करने का इरादा किया है ताकि अनुमति दी जा सके सभी संख्याओं का निर्माण.

क्लेन का मानना ​​है कि रसेल ने अव्यवस्थितता परिभाषा निर्धारित की है जिसे उसे हल करना होगा, या रसेल विरोधाभास जैसा कुछ प्राप्त करने का जोखिम उठाना होगा। इसके बजाय यहां हम प्राकृतिक संख्या अनुक्रम की परिभाषा से पहले, तर्क में मौजूद कार्डिनल संख्याओं के सभी गुणों की समग्रता का अनुमान लगाते हैं (क्लीन 1952:44)। समस्या यहां प्रस्तुत किए गए सीमित उदाहरण में भी दिखाई देगी, जब रसेल इकाई वर्ग से निपटता है (सीएफ. रसेल 1903:517)।

प्रश्न उठता है कि वास्तव में वर्ग क्या है या होना चाहिए। डेडेकाइंड और फ़्रीज के लिए, वर्ग अपने आप में विशिष्ट इकाई है, 'एकता' जिसे उन सभी संस्थाओं के साथ पहचाना जा सकता है जो कुछ प्रस्तावित फ़ंक्शन एफ को संतुष्ट करते हैं। (यह प्रतीकवाद रसेल में प्रकट होता है, जिसका श्रेय फ़्रीज को दिया जाता है: सार फ़ंक्शन का वह हिस्सा है जो x हटा दिए जाने पर बचता है, यानी उपरोक्त उदाहरण में, 23+. तर्क x फ़ंक्शन से संबंधित नहीं है, लेकिन दोनों मिलकर संपूर्ण बनाते हैं (ib. p. 6 [अर्थात फ़्रीज का 1891 फ़ंक्शन अंड बेग्रिफ़] (रसेल 1903:505)।) उदाहरण के लिए, विशेष एकता को नाम दिया जा सकता है ; मान लीजिए कि परिवार Fα में एनी, बार्बी और चार्ल्स नाम वाले बच्चे हैं:
 * { ए, बी, सी }Fα

वस्तु के रूप में संग्रह या वर्ग की यह धारणा, जब बिना किसी प्रतिबंध के उपयोग की जाती है, तो रसेल के विरोधाभास का परिणाम होता है; अव्यवहारिकता के बारे में नीचे और अधिक देखें। रसेल का समाधान वर्ग की धारणा को केवल उन तत्वों के रूप में परिभाषित करना था जो प्रस्ताव को संतुष्ट करते हैं, उनका तर्क यह था कि, वास्तव में, तर्क x फ़ंक्शन द्वारा बनाए गए प्रस्ताव फ़ंक्शन उर्फ ​​​​वर्ग से संबंधित नहीं हैं। वर्ग को अपने आप में एकात्मक वस्तु के रूप में नहीं माना जाना चाहिए, यह केवल प्रकार की उपयोगी कल्पना के रूप में मौजूद है: हमने इस निर्णय से परहेज किया है कि क्या चीजों के वर्ग का किसी भी अर्थ में वस्तु के रूप में अस्तित्व है। किसी भी तरह से इस प्रश्न का निर्णय हमारे तर्क के प्रति उदासीन है (प्रिंसिपिया मैथमेटिका का पहला संस्करण 1927:24)।

रसेल ने 1919 में भी यही राय कायम रखी; प्रतीकात्मक काल्पनिक शब्दों पर गौर करें:
 * जब हमने तय कर लिया है कि वर्ग अपने सदस्यों के समान प्रकार की चीजें नहीं हो सकते हैं, कि वे केवल ढेर या समुच्चय नहीं हो सकते हैं, और यह भी कि उन्हें प्रस्तावित कार्यों से पहचाना नहीं जा सकता है, तो यह देखना बहुत मुश्किल हो जाता है कि वे क्या हो सकते हैं, यदि वे प्रतीकात्मक कल्पनाओं से कहीं अधिक हैं। और यदि हम प्रतीकात्मक कल्पना के रूप में उनसे निपटने का कोई तरीका ढूंढ सकते हैं, तो हम अपनी स्थिति की तार्किक सुरक्षा बढ़ाते हैं, क्योंकि हम यह मानने की आवश्यकता से बचते हैं कि वर्ग हैं, बिना विपरीत धारणा बनाने के लिए मजबूर हुए कि कोई वर्ग नहीं हैं। हम केवल दोनों धारणाओं से दूर रहते हैं। . . . लेकिन जब हम इस बात पर जोर देने से इनकार करते हैं कि कक्षाएं हैं, तो हमें हठधर्मिता से यह नहीं कहना चाहिए कि कोई कक्षाएं नहीं हैं। हम उनके संबंध में केवल अज्ञेयवादी हैं। . .. (1919:184)

और पीएम (1927) के दूसरे संस्करण में रसेल का मानना ​​है कि कार्य केवल उनके मूल्यों के माध्यम से होते हैं।. . कार्यों के सभी कार्य विस्तारित हैं,. . . [और] परिणामस्वरूप कार्यों और वर्गों के बीच अंतर करने का कोई कारण नहीं है।. . इस प्रकार, वर्ग, कार्यों से भिन्न, उस छायादार अस्तित्व को भी खो देते हैं जिसे वे *20 (पृष्ठ xxxix) में बनाए रखते हैं। दूसरे शब्दों में, अलग धारणा के रूप में वर्ग पूरी तरह से गायब हो गए हैं।

'चरण 2: समान वर्गों को 'बंडलों' में एकत्रित करें': इन उपरोक्त संग्रहों को समरूपता द्वारा द्विआधारी संबंध (तुलना) में रखा जा सकता है, जिसे यहां '≈' द्वारा दर्शाया गया है, यानी तत्वों का एक- पत्राचार, और इस प्रकार रसेलियन वर्गों की कक्षाएं या जिसे रसेल बंडल कहते हैं, बनाते हैं। हम मान सकते हैं कि सभी जोड़े बंडल में, सभी तिकड़ी दूसरे में, इत्यादि। इस प्रकार हम संग्रहों के विभिन्न बंडल प्राप्त करते हैं, प्रत्येक बंडल में सभी संग्रह शामिल होते हैं जिनमें निश्चित संख्या में शब्द होते हैं। प्रत्येक बंडल वर्ग है जिसके सदस्य संग्रह हैं, अर्थात वर्ग; इस प्रकार प्रत्येक वर्ग वर्गों का वर्ग है (रसेल 1919:14)।

चरण 3: शून्य वर्ग को परिभाषित करें: ध्यान दें कि वर्गों का निश्चित वर्ग विशेष है क्योंकि इसके वर्गों में कोई तत्व नहीं होते हैं, यानी कोई भी तत्व उन विधेय को संतुष्ट नहीं करता है जिनके दावे ने इस विशेष वर्ग/संग्रह को परिभाषित किया है।

परिणामी इकाई को शून्य वर्ग या रिक्त वर्ग कहा जा सकता है। रसेल ने शून्य/खाली वर्ग को Λ से दर्शाया। तो वास्तव में रसेलियन शून्य वर्ग क्या है? पीएम में रसेल कहते हैं कि ए वर्ग को अस्तित्व तब कहा जाता है जब उसमें कम से कम सदस्य हो।. . वह वर्ग जिसमें कोई सदस्य नहीं है, शून्य वर्ग कहलाता है।. . α शून्य-वर्ग है जो α के समतुल्य है, मौजूद नहीं है। प्रश्न स्वाभाविक रूप से उठता है कि क्या शून्य वर्ग स्वयं 'अस्तित्व में' है? इस प्रश्न से संबंधित कठिनाइयाँ रसेल के 1903 के कार्य में आती हैं। फ़्रीज के ग्रुंडगेसेट्ज़ में विरोधाभास की खोज के बाद उन्होंने अपने 1903 में परिशिष्ट ए जोड़ा जहां शून्य और इकाई वर्गों की प्रकृति के विश्लेषण के माध्यम से, उन्होंने प्रकारों के सिद्धांत की आवश्यकता की खोज की; इकाई वर्ग, असंबद्धता की समस्या और रसेल के दुष्चक्र सिद्धांत के बारे में नीचे और अधिक देखें।

चरण 4: प्रत्येक बंडल को अंक निर्दिष्ट करें: संक्षिप्तीकरण और पहचान के प्रयोजनों के लिए, प्रत्येक बंडल को अद्वितीय प्रतीक (जिसे अंक भी कहा जाता है) निर्दिष्ट करें। ये प्रतीक मनमाने हैं.

चरण 5: 0 को परिभाषित करें फ़्रीज के बाद, रसेल ने इस भूमिका को भरने के लिए उपयुक्त वर्ग के रूप में वर्गों के खाली या शून्य वर्ग को चुना, यह उन वर्गों का वर्ग है जिनमें कोई सदस्य नहीं है। कक्षाओं के इस शून्य वर्ग को 0 लेबल किया जा सकता है

चरण 6: उत्तराधिकारी की धारणा को परिभाषित करें: रसेल ने नई विशेषता वंशानुगत (सीएफ फ्रेज के 'पैतृक') को परिभाषित किया, जो कुछ वर्गों की संपत्ति है जिसमें किसी अन्य वर्ग (जो वर्गों का वर्ग हो सकता है) से विशेषता प्राप्त करने की क्षमता होती है यानी संपत्ति इसे प्राकृतिक-संख्या श्रृंखला में वंशानुगत कहा जाता है यदि, जब भी यह किसी संख्या n से संबंधित होता है, तो यह n+1, n के उत्तराधिकारी से भी संबंधित होता है। (1903:21). उनका दावा है कि प्राकृतिक संख्याएँ संतान हैं - बच्चे, उत्तराधिकारी के उत्तराधिकारी - 0 के तत्काल पूर्ववर्ती (जो उत्तराधिकारी का विपरीत है) के संबंध में 0 (1919:23)।

नोट रसेल ने यहां बिना परिभाषा के कुछ शब्दों का उपयोग किया है, विशेष रूप से संख्या श्रृंखला, संख्या एन, और उत्तराधिकारी। वह उचित समय पर इन्हें परिभाषित करेंगे। विशेष रूप से ध्यान दें कि रसेल उत्तराधिकारी के निर्माण के लिए कक्षा 1 की इकाई वर्ग का उपयोग नहीं करता है। इसका कारण यह है कि, रसेल के विस्तृत विश्लेषण में, यदि इकाई वर्ग अपने आप में इकाई बन जाता है, तो वह भी अपने स्वयं के प्रस्ताव में तत्व हो सकता है; इससे प्रस्ताव अव्यावहारिक हो जाता है और परिणामस्वरूप दुष्चक्र बन जाता है। बल्कि, वह कहते हैं: हमने अध्याय II में देखा कि कार्डिनल संख्या को वर्गों के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाना है, और अध्याय III में संख्या 1 को सभी इकाई वर्गों के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाना है, जिनमें से केवल है सदस्य, जैसा कि हमें कहना चाहिए लेकिन दुष्चक्र के लिए। बेशक, जब संख्या 1 को सभी इकाई वर्गों के वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है, तो इकाई वर्गों को परिभाषित किया जाना चाहिए ताकि यह न मान लिया जाए कि हम जानते हैं कि का क्या मतलब है (1919:181)।

उत्तराधिकारी की अपनी परिभाषा के लिए, रसेल अपनी इकाई के लिए इकाई या शब्द का उपयोग इस प्रकार करेगा:
 * उत्तराधिकारी को परिभाषित करना बाकी है। किसी भी संख्या n को देखते हुए मान लीजिए α वर्ग है जिसमें n सदस्य हैं, और मान लीजिए कि x पद है जो α का सदस्य नहीं है। फिर α और x जोड़ने वाले वर्ग में +1 सदस्य होंगे। इस प्रकार हमारे पास निम्नलिखित परिभाषा है:
 * वर्ग α में पदों की संख्या का उत्तराधिकारी वर्ग में α के साथ x से युक्त पदों की संख्या है, जहां x वर्ग से संबंधित कोई पद नहीं है। (1919:23)

रसेल की परिभाषा के लिए नए शब्द की आवश्यकता होती है जिसे बंडलों के अंदर संग्रह में जोड़ा जाता है।

'चरण 7: शून्य वर्ग के उत्तराधिकारी का निर्माण करें'।

'चरण 8: समतुल्य वर्गों के प्रत्येक वर्ग के लिए, उसका उत्तराधिकारी बनाएं।'

'चरण 9: संख्याओं को क्रमित करें': उत्तराधिकारी बनाने की प्रक्रिया के लिए संबंध की आवश्यकता होती है।. . का उत्तराधिकारी है. . ., जिसे विभिन्न अंकों के बीच S से दर्शाया जा सकता है. अब हमें 0, 1, 2, 3, क्रम में प्राकृतिक संख्याओं के क्रमबद्ध चरित्र पर विचार करना चाहिए।. . हम आम तौर पर संख्याओं के बारे में इसी क्रम में सोचते हैं, और यह तार्किक शब्दों में क्रम या श्रृंखला की परिभाषा खोजने के लिए हमारे डेटा का विश्लेषण करने के काम का अनिवार्य हिस्सा है।. . . यह क्रम पदों के वर्ग में नहीं, बल्कि वर्ग के सदस्यों के बीच के संबंध में निहित है, जिसके संबंध में कुछ पहले और कुछ बाद में दिखाई देते हैं। (1919:31)

रसेल क्रमबद्ध संबंध की धारणा पर तीन मानदंड लागू करता है: सबसे पहले, वह विषमता की धारणा को परिभाषित करता है यानी दो पदों x, और y के बीच S (... का उत्तराधिकारी है...) जैसे संबंध को देखते हुए: x S y ≠ वाई एस एक्स. दूसरा, वह तीन अंकों x, y और z के लिए परिवर्तनशीलता की धारणा को परिभाषित करता है: यदि x S y और y S z तो x S z। तीसरा, वह जुड़े हुए की धारणा को परिभाषित करता है: वर्ग के किन्हीं दो शब्दों को देखते हुए जिन्हें क्रमबद्ध किया जाना है, ऐसा होना चाहिए जो पहले हो और दूसरा जो बाद में हो।. . . संबंध तब जुड़ा होता है, जब उसके क्षेत्र के किन्हीं दो अलग-अलग पदों को दिया जाता है [किसी संबंध के डोमेन और विपरीत डोमेन दोनों जैसे। पति बनाम पत्नी के संबंध में विवाहित] संबंध पहले और दूसरे के बीच या दूसरे और पहले के बीच होता है (इस संभावना को छोड़कर नहीं कि दोनों हो सकते हैं, हालांकि संबंध विषम होने पर दोनों नहीं हो सकते)।(1919:32) )

उन्होंने निष्कर्ष निकाला:. . . [प्राकृतिक] संख्या m को दूसरी संख्या n से कम कहा जाता है जब n के पास m के उत्तराधिकारी के पास मौजूद प्रत्येक वंशानुगत संपत्ति होती है। यह देखना आसान है, और साबित करना मुश्किल नहीं है, कि इस प्रकार परिभाषित से कम संबंध, असममित, संक्रमणीय और जुड़ा हुआ है, और इसके क्षेत्र के लिए [प्राकृतिक] संख्याएं हैं [यानी। डोमेन और कॉनवर्स डोमेन दोनों संख्याएँ हैं]। (1919:35)

आलोचना
पुनरावृत्ति की 'बहिर्वाहिक' धारणा की धारणा: क्लेन का कहना है कि तर्कवादी थीसिस पर अंततः इस आधार पर सवाल उठाया जा सकता है कि तर्क पहले से ही अपने निर्माण में गणितीय विचारों को मानता है। अंतर्ज्ञानवादी दृष्टिकोण में, पुनरावृत्ति के विचार में आवश्यक गणितीय कर्नेल निहित है (क्लीन 1952:46)

बर्नेज़ 1930-1931 का मानना ​​है कि यह धारणा दो चीजें पहले से ही कुछ मानती है, यहां तक ​​​​कि दो चीजों के अस्तित्व के दावे के बिना भी, और विधेय के संदर्भ के बिना भी, जो दो चीजों पर लागू होता है; इसका सीधा सा मतलब है, चीज़ और और चीज़।. . . इस सरल परिभाषा के संबंध में, संख्या अवधारणा प्रारंभिक संरचनात्मक अवधारणा बन जाती है।. . तर्कशास्त्रियों का यह दावा कि गणित पूरी तरह से तार्किक ज्ञान है, सैद्धांतिक तर्क का बारीकी से अवलोकन करने पर धुंधला और भ्रामक साबित होता है।. . . [कोई तार्किक की परिभाषा का विस्तार कर सकता है] हालाँकि, इस परिभाषा के माध्यम से जो ज्ञानमीमांसीय रूप से आवश्यक है उसे छुपाया जाता है, और जो गणित के लिए विशिष्ट है उसे अनदेखा कर दिया जाता है (मैनकोसु 1998:243 में)।

हिल्बर्ट 1931:266-7, बर्नेज़ की तरह, मानते हैं कि गणित में कुछ अतिरिक्त-तार्किक है: अनुभव और विचार के अलावा, ज्ञान का तीसरा स्रोत भी है। भले ही आज हम विवरण में कांट से सहमत नहीं हो सकते हैं, फिर भी कांटियन ज्ञानमीमांसा का सबसे सामान्य और मौलिक विचार अपना महत्व बरकरार रखता है: विचार की सहज प्राथमिक पद्धति का पता लगाना, और इस प्रकार की स्थिति की जांच करना सभी ज्ञान की संभावना. मेरी राय में गणित के सिद्धांतों की मेरी जांच में अनिवार्य रूप से यही होता है। यहां प्राथमिकता विचार की मौलिक विधा से अधिक और कुछ भी कम नहीं है, जिसे मैं विचार की परिमित विधा भी कहता हूं: प्रतिनिधित्व के हमारे संकाय में हमें पहले से ही कुछ दिया जाता है: कुछ अतिरिक्त- तार्किक ठोस वस्तुएँ जो सभी विचारों से पहले तात्कालिक अनुभव के रूप में सहज रूप से मौजूद होती हैं। यदि तार्किक निष्कर्ष निश्चित करना है, तो इन वस्तुओं को उनके सभी हिस्सों में पूरी तरह से सर्वेक्षण योग्य होना चाहिए, और उनकी प्रस्तुति, उनके मतभेद, उनका दूसरे के बाद आना या उनका दूसरे के बगल में व्यवस्थित होना तुरंत और सहज रूप से हमें दिया जाता है, साथ ही वस्तुएँ, ऐसी चीज़ के रूप में जिसे न तो किसी अन्य चीज़ में घटाया जा सकता है, न ही ऐसी कमी की आवश्यकता है। (हिल्बर्ट 1931 मैनकोसु 1998 में: 266, 267)।

संक्षेप में, हिल्बर्ट और बर्नेज़ के अनुसार, अनुक्रम या उत्तराधिकारी की धारणा प्राथमिक धारणा है जो प्रतीकात्मक तर्क से बाहर है।

हिल्बर्ट ने तर्कवाद को गलत मार्ग के रूप में खारिज कर दिया: कुछ ने संख्याओं को विशुद्ध रूप से तार्किक रूप से परिभाषित करने का प्रयास किया; दूसरों ने स्वयं-स्पष्ट होने के लिए अनुमान के सामान्य संख्या-सैद्धांतिक तरीकों को अपनाया। दोनों रास्तों पर उन्हें ऐसी बाधाओं का सामना करना पड़ा जो दुर्गम साबित हुईं। (हिल्बर्ट 1931 मैनकोसो 1998:267 में)। अपूर्णता प्रमेय यकीनन हिल्बर्टियन फ़िनिटिज़्म के लिए समान बाधा का गठन करते हैं।

मैनकोसु का कहना है कि ब्रौवर ने निष्कर्ष निकाला कि: तर्क के शास्त्रीय कानून या सिद्धांत कथित नियमितता [प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व में] का हिस्सा हैं; वे गणितीय निर्माणों के पोस्ट फैक्टम रिकॉर्ड से प्राप्त हुए हैं।. . सैद्धांतिक तर्क. . . [है] अनुभवजन्य विज्ञान और गणित का अनुप्रयोग (ब्राउवर मैनकोसु 1998:9 द्वारा उद्धृत)।

रसेलियन तर्कवाद के तकनीकी पहलुओं के संबंध में, जैसा कि प्रिंसिपिया मैथमैटिका (कोई भी संस्करण) में दिखाई देता है, 1944 में गोडेल निराश थे:
 * यह खेदजनक है कि गणितीय तर्क और उससे गणित की व्युत्पत्ति की इस पहली व्यापक और संपूर्ण प्रस्तुति में नींव में औपचारिक परिशुद्धता की इतनी कमी है ( के *1-*21 में निहित) प्रिंसिपिया) कि यह इस संबंध में फ़्रीज की तुलना में महत्वपूर्ण कदम पीछे प्रस्तुत करता है। सबसे पहले, जो चीज़ गायब है, वह है औपचारिकता के वाक्य-विन्यास का सटीक विवरण(गोडेल 1944 कलेक्टेड वर्क्स 1990:120 में सीएफ फुटनोट 1)।

विशेष रूप से उन्होंने बताया कि यह मामला प्रतिस्थापन के नियम और परिभाषित प्रतीकों को उनकी परिभाषाओं द्वारा प्रतिस्थापित करने के लिए विशेष रूप से संदिग्ध है (रसेल 1944:120)

उस दर्शन के संबंध में जो इन नींवों को रेखांकित कर सकता है, गोडेल ने रसेल के नो-क्लास सिद्धांत को नाममात्र प्रकार के रचनावाद का प्रतीक माना।. . जिसे बेहतर ढंग से काल्पनिकता कहा जा सकता है (गोडेल 1944:119 में सीएफ फुटनोट 1) - दोषपूर्ण होना। नीचे गोडेल की आलोचना और सुझावों में और अधिक देखें।

संबंधों के जटिल सिद्धांत ने रसेल की व्याख्यात्मक 1919 गणितीय दर्शन का परिचय और उनके 1927 के प्रिंसिपिया के दूसरे संस्करण का गला घोंटना जारी रखा। सेट सिद्धांत, इस बीच सेट की क्रमबद्ध जोड़ी के संबंध में कमी के साथ आगे बढ़ गया था। ग्राटन-गिनीज का मानना ​​है कि प्रिंसिपिया के दूसरे संस्करण में रसेल ने इस कमी को नजरअंदाज कर दिया जो उनके अपने छात्र नॉर्बर्ट वीनर (1914) द्वारा हासिल की गई थी। शायद शेष झुंझलाहट के कारण, रसेल ने बिल्कुल भी प्रतिक्रिया नहीं दी। 1914 तक हॉसडॉर्फ और समकक्ष परिभाषा प्रदान करेगा, और 1921 में कुराटोस्की आज उपयोग में आने वाली परिभाषा प्रदान करेगा।

इकाई वर्ग, अव्यावहारिकता, और दुष्चक्र सिद्धांत
मान लीजिए कि लाइब्रेरियन अपने संग्रह को ही पुस्तक में अनुक्रमित करना चाहता है (इसे सूचकांक के लिए Ι कहें)। उसका सूचकांक पुस्तकालय में सभी पुस्तकों और उनके स्थानों को सूचीबद्ध करेगा। जैसा कि पता चला, केवल तीन पुस्तकें हैं, और इनके शीर्षक Ά, β, और Γ हैं। अपना सूचकांक I बनाने के लिए, वह बाहर जाती है और 200 खाली पन्नों की किताब खरीदती है और उस पर I का लेबल लगाती है। अब उसके पास चार किताबें हैं: I, Ά, β, और Γ। उसका काम कठिन नहीं है. पूरा होने पर, उसकी अनुक्रमणिका I की सामग्री 4 पृष्ठों की होती है, प्रत्येक का अद्वितीय शीर्षक और अद्वितीय स्थान होता है (प्रत्येक प्रविष्टि को शीर्षक के रूप में संक्षिप्त किया जाता है। स्थान)T):
 * मैं = { आई.एलI, ए.एलΆ, बी.एलβ, जी.एलΓ}.

पोंकारे ने I की इस प्रकार की परिभाषा को अव्यावहारिक माना था। ऐसा प्रतीत होता है कि उन्होंने माना है कि गणित में केवल विधेयात्मक परिभाषाओं की ही अनुमति दी जा सकती है:
 * परिभाषा 'विधेयात्मक' होती है और तार्किक रूप से केवल तभी स्वीकार्य होती है जब इसमें उन सभी वस्तुओं को शामिल नहीं किया जाता है जो परिभाषित धारणा पर निर्भर हैं, अर्थात, जो किसी भी तरह से इसके द्वारा निर्धारित की जा सकती हैं।

पोंकारे की परिभाषा के अनुसार, लाइब्रेरियन की सूचकांक पुस्तक अपरिहार्य है क्योंकि I की परिभाषा समग्रता I, Ά, β, और Γ की परिभाषा पर निर्भर है। जैसा कि नीचे उल्लेख किया गया है, कुछ टिप्पणीकार इस बात पर जोर देते हैं कि सामान्य ज्ञान संस्करणों में असंवेदनशीलता हानिरहित है, लेकिन जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरणों से पता चलता है कि ऐसे संस्करण भी हैं जो हानिरहित नहीं हैं। इन कठिनाइयों के जवाब में, रसेल ने मजबूत निषेध की वकालत की, उसका दुष्चक्र सिद्धांत:
 * किसी भी समग्रता में केवल इस समग्रता के संदर्भ में परिभाषित सदस्य शामिल नहीं हो सकते हैं, या इस समग्रता (दुष्चक्र सिद्धांत) में शामिल या पूर्वकल्पित सदस्य शामिल नहीं हो सकते हैं (गोडेल 1944 कलेक्टेड वर्क्स वॉल्यूम II 1990:125 में प्रदर्शित)।

यह स्पष्ट करने के लिए कि असंवेदनशीलता का खतरनाक उदाहरण क्या हो सकता है, आउटपुट ω = 1 - α के साथ फ़ंक्शन (गणित) एफ में तर्क α इनपुट करने के परिणाम पर विचार करें। इसे 'प्रतीकात्मक-तर्क' अभिव्यक्ति ω = NOT-α के समतुल्य बूलियन तर्क | 'बीजगणितीय-तर्क' अभिव्यक्ति के रूप में देखा जा सकता है, सत्य मान 1 और 0 के साथ। जब इनपुट α = 0, आउटपुट ω = 1; जब इनपुट α = 1, आउटपुट ω = 0.

फ़ंक्शन को अपरिहार्य बनाने के लिए, आउटपुट के साथ इनपुट की पहचान करें, जिससे α = 1-α प्राप्त हो

मान लीजिए, परिमेय संख्याओं के बीजगणित में समीकरण तब संतुष्ट होता है जब α = 0.5 होता है। लेकिन उदाहरण के लिए, बूलियन बीजगणित में, जहां केवल सत्य मान 0 और 1 की अनुमति है, तो समानता को संतुष्ट नहीं किया जा सकता है।

तर्कशास्त्री कार्यक्रम में कुछ कठिनाइयाँ α = NOT-α विरोधाभास से उत्पन्न हो सकती हैं रसेल ने फ्रेज के 1879 टर्म पेपर में खोजा फ़्रीज ने फ़ंक्शन को अपने इनपुट फ़ंक्शनल (इसके वेरिएबल का मान) को न केवल किसी ऑब्जेक्ट (वस्तु, शब्द) से प्राप्त करने की अनुमति दी थी, बल्कि फ़ंक्शन के स्वयं के आउटपुट से भी प्राप्त करने की अनुमति दी थी। जैसा कि ऊपर बताया गया है, फ़्रीज और रसेल दोनों की प्राकृतिक संख्याओं का निर्माण समतुल्य वर्गों (बंडलों) के गठन से शुरू होता है, इसके बाद प्रत्येक बंडल के लिए अद्वितीय अंक निर्दिष्ट किया जाता है, और फिर बंडलों को क्रम में रखा जाता है। संबंध S जो असममित है: x S y ≠ y S x। लेकिन फ्रेगे ने, रसेल के विपरीत, इकाई वर्गों के वर्ग को इकाई के रूप में पहचानने की अनुमति दी:

लेकिन, चूंकि अंक 1 वाला वर्ग अपने आप में एकल वस्तु या इकाई है, इसलिए इसे भी इकाई वर्गों के वर्ग में शामिल किया जाना चाहिए। इस समावेशन के परिणामस्वरूप बढ़ते प्रकार और बढ़ती सामग्री का अनंत प्रतिगमन होता है।

रसेल ने वर्ग को अधिक या काल्पनिक घोषित करके इस समस्या से बचा लिया। इससे उनका तात्पर्य यह था कि वर्ग केवल उन्हीं तत्वों को नामित कर सकता है जो उसके प्रस्तावात्मक कार्य को संतुष्ट करते हैं और कुछ नहीं। कल्पना के रूप में किसी वर्ग को वस्तु नहीं माना जा सकता: इकाई, शब्द, विलक्षणता, इकाई। यह संयोजन है लेकिन रसेल के विचार में यह वस्तु-रूप के योग्य नहीं है:
 * जितने वर्ग उतने . . . आपत्तिहीन है, परन्तु अनेक है, नहीं। यदि हम चाहें, तो हम इसे ही प्रतीक द्वारा निरूपित कर सकते हैं: इस प्रकार x ε u का अर्थ होगा कि x, u में से है'एस। इसे दो पदों, x और u के संबंध के रूप में नहीं लिया जाना चाहिए, क्योंकि संख्यात्मक संयोजन के रूप में u एकल पद नहीं है। . . इस प्रकार वर्गों का वर्ग अनेक अनेक होगा; इसके प्रत्येक घटक केवल अनेक होंगे, और इसलिए किसी भी अर्थ में, कोई यह मान सकता है, एकल घटक नहीं हो सकता।[आदि] (1903:516)।

यह मानता है कि नीचे प्रत्येक एकल शब्द को किसी भी वर्ग के लिए, किसी भी वर्ग के वर्ग के लिए, वर्गों के वर्गों के वर्ग आदि के लिए सूचीबद्ध किया जा सकता है, लेकिन यह नई समस्या का परिचय देता है - प्रकारों का पदानुक्रम कक्षाओं का.

असंदेह्यता का समाधान: प्रकारों का पदानुक्रम
गोडेल 1944:131 का मानना ​​है कि रसेल वर्गों के विस्तारित दृष्टिकोण के खिलाफ दो कारण बताते हैं, अर्थात् (1) अशक्त वर्ग का अस्तित्व, जो बहुत अच्छी तरह से संग्रह नहीं हो सकता है, और (2) इकाई वर्ग, जो समान होना चाहिए उनके एकल तत्वों के साथ. उनका सुझाव है कि रसेल को इन्हें काल्पनिक मानना ​​चाहिए था, लेकिन आगे यह निष्कर्ष नहीं निकालना चाहिए था कि सभी वर्ग (जैसे कि वर्ग-वर्ग जो संख्या 2, 3, आदि को परिभाषित करते हैं) काल्पनिक हैं।

लेकिन रसेल ने ऐसा नहीं किया. अपने 1903 में परिशिष्ट ए: द लॉजिकल एंड अरिथमेटिकल डॉक्ट्रिन्स ऑफ फ्रीज में विस्तृत विश्लेषण के बाद, रसेल ने निष्कर्ष निकाला:
 * तार्किक सिद्धांत जो इस प्रकार हम पर थोपा गया है वह यह है: किसी प्रस्ताव का विषय शब्द नहीं, बल्कि अनिवार्य रूप से कई शब्द हो सकते हैं; 0 और 1 (1903:516) के अलावा अन्य संख्याओं का दावा करने वाले सभी प्रस्तावों का यही मामला है।

निम्नलिखित में वर्ग के शब्दों पर ध्यान दें - वर्ग उन शब्दों (चीजों) का समुच्चय है जो प्रस्तावात्मक कार्य को संतुष्ट करते हैं, लेकिन वर्ग अपने आप में चीज नहीं है:
 * इस प्रकार अंतिम निष्कर्ष यह है कि वर्गों का सही सिद्धांत अध्याय VI की तुलना में और भी अधिक विस्तारित है; यह कि जितने भी वर्ग हैं, वह एकमात्र वस्तु है जिसे हमेशा प्रस्तावात्मक फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया जाता है, और यह औपचारिक उद्देश्यों के लिए पर्याप्त है (1903:518)।

यह ऐसा है मानो पशुपालक को अपने सभी पशुओं (भेड़, गाय और घोड़ों) को तीन काल्पनिक बाड़ों ( भेड़ के लिए, गायों के लिए, और घोड़ों के लिए) में इकट्ठा करना था, जो उसके काल्पनिक खेत में स्थित हैं। वास्तव में भेड़ें, गायें और घोड़े (विस्तार) मौजूद हैं, लेकिन काल्पनिक अवधारणाएँ कोरल और रैंच नहीं हैं।

जब रसेल ने घोषणा की कि सभी वर्ग उपयोगी कल्पनाएँ हैं तो उन्होंने इकाई वर्ग की समस्या का समाधान किया, लेकिन समग्र समस्या दूर नहीं हुई; बल्कि, यह नए रूप में आया: अब (1) शब्दों, (2) वर्गों, (3) वर्गों के वर्गों, और इसी तरह अनंत काल तक अंतर करना आवश्यक होगा; हमें यह मानना ​​होगा कि सेट का कोई भी सदस्य किसी अन्य सेट का सदस्य नहीं है, और x ε u के लिए आवश्यक है कि x उस सेट से डिग्री कम का सेट होना चाहिए जिससे u संबंधित है। इस प्रकार x ε x अर्थहीन प्रस्ताव बन जाएगा; और इस तरह विरोधाभास से बचा जा सकता है (1903:517)।

यह रसेल का प्रकार का सिद्धांत है। यह गारंटी देने के लिए कि x ε x जैसी अव्यावहारिक अभिव्यक्तियों को उनके तर्क में माना जा सकता है, रसेल ने प्रकार की कार्यशील परिकल्पना के रूप में प्रस्तावित किया कि ऐसी सभी अव्यावहारिक परिभाषाओं में विधेयात्मक परिभाषाएँ होती हैं। इस अनुमान के लिए फ़ंक्शन-ऑर्डर और तर्क-प्रकार की धारणाओं की आवश्यकता होती है। सबसे पहले, फ़ंक्शंस (और उनके क्लास-एज़-एक्सटेंशन, यानी मैट्रिक्स) को उनके क्रम के अनुसार वर्गीकृत किया जाना चाहिए, जहां व्यक्तियों के फ़ंक्शंस क्रम 1 के होते हैं, फ़ंक्शंस के फ़ंक्शंस (वर्गों के वर्ग) क्रम 2 के होते हैं, और आगे भी। इसके बाद, वह फ़ंक्शन के तर्कों के प्रकार (फ़ंक्शन के इनपुट) को उनके महत्व की सीमा के रूप में परिभाषित करता है, अर्थात वे इनपुट α (व्यक्ति? वर्ग? वर्ग-वर्ग? आदि) क्या हैं, जिन्हें f(x) में प्लग किया जाता है। ), सार्थक आउटपुट उत्पन्न करें ω। ध्यान दें कि इसका मतलब यह है कि प्रकार मिश्रित क्रम का हो सकता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण से पता चलता है:
 * जो डिमैगियो और यांकीज़ ने 1947 विश्व सीरीज़ जीती।

इस वाक्य को दो खंडों में विघटित किया जा सकता है: x ने 1947 विश्व सीरीज जीती + y ने 1947 विश्व सीरीज जीती। पहला वाक्य x के लिए व्यक्तिगत जो डिमैगियो को अपने इनपुट के रूप में लेता है, दूसरा y के लिए समग्र यांकीज़ को अपने इनपुट के रूप में लेता है। इस प्रकार संयुक्त-वाक्य में 2 का (मिश्रित) प्रकार होता है, जो क्रम (1 और 2) के अनुसार मिश्रित होता है।

विधेय से, रसेल का मतलब था कि फ़ंक्शन अपने चर के प्रकार से उच्चतर क्रम का होना चाहिए। इस प्रकार फ़ंक्शन (क्रम 2 का) जो वर्गों का वर्ग बनाता है, केवल अपने वेरिएबल्स के लिए तर्कों पर विचार कर सकता है जो वर्ग (प्रकार 1) और व्यक्ति (प्रकार 0) हैं, क्योंकि ये निम्न प्रकार हैं। टाइप 3 केवल टाइप 2, 1 या 0 इत्यादि का ही मनोरंजन कर सकता है। लेकिन इन प्रकारों को मिश्रित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, इस वाक्य के सत्य होने के लिए: z ने 1947 विश्व सीरीज जीती, वह व्यक्ति (प्रकार 0) जो डिमैगियो और/या अपने अन्य साथियों के नाम स्वीकार कर सकता है, और यह हो सकता है व्यक्तिगत खिलाड़ियों द यांकीज़ के वर्ग (प्रकार 1) को स्वीकार करें।

रिड्यूसिबिलिटी का सिद्धांत यह परिकल्पना है कि किसी भी क्रम के किसी भी कार्य को उचित क्रम के समकक्ष विधेय कार्य में कम किया जा सकता है (या प्रतिस्थापित किया जा सकता है)। पहले संस्करण को ध्यान से पढ़ने पर पता चलता है कि एनवें क्रम विधेय फ़ंक्शन को विशाल मैट्रिक्स या व्यक्तिगत परमाणु प्रस्तावों के समुच्चय के रूप में पूरी तरह से व्यक्त करने की आवश्यकता नहीं है। क्योंकि व्यवहार में केवल सापेक्ष प्रकार के चर ही प्रासंगिक होते हैं; इस प्रकार किसी दिए गए संदर्भ में होने वाले निम्नतम प्रकार को व्यक्तियों का कहा जा सकता है (पृष्ठ 161)। लेकिन रिड्यूसिबिलिटी का सिद्धांत प्रस्तावित करता है कि सिद्धांत रूप में सभी तरह से कमी संभव है।

हालाँकि, 1927 के पीएम के दूसरे संस्करण तक, रसेल ने रिड्यूसिबिलिटी के सिद्धांत को छोड़ दिया था और निष्कर्ष निकाला था कि वह वास्तव में तार्किक ऑपरेटरों के साथ जुड़े हुए, इसके प्रारंभिक प्रस्तावों तक कार्य के किसी भी क्रम को मजबूर करेगा:
 * सभी प्रस्ताव, चाहे किसी भी क्रम के हों, स्ट्रोक के माध्यम से संयुक्त प्रारंभिक प्रस्तावों से बने मैट्रिक्स से प्राप्त होते हैं (पीएम 1927 परिशिष्ट ए, पृष्ठ 385)

(स्ट्रोक शेफ़र का स्ट्रोक है - जिसे पीएम के दूसरे संस्करण के लिए अपनाया गया है - एकल दो तर्क तार्किक फ़ंक्शन जिससे अन्य सभी तार्किक फ़ंक्शन परिभाषित किए जा सकते हैं।)

हालाँकि, शुद्ध परिणाम उनके सिद्धांत का पतन था। रसेल इस निराशाजनक निष्कर्ष पर पहुंचे: कि ऑर्डिनल्स और कार्डिनल्स का सिद्धांत जीवित है।. . लेकिन आम तौर पर तर्कहीन और वास्तविक संख्याओं से अब पर्याप्त रूप से निपटा नहीं जा सकता है।. . . शायद कुछ और स्वयंसिद्ध, रिड्यूसिबिलिटी के स्वयंसिद्ध से कम आपत्तिजनक, ये परिणाम दे सकते हैं, लेकिन हम ऐसे किसी स्वयंसिद्ध (पीएम 1927:xiv) को खोजने में सफल नहीं हुए हैं।

गोडेल 1944 इस बात से सहमत हैं कि रसेल की तर्कशास्त्री परियोजना अवरुद्ध हो गई थी; वह इस बात से असहमत प्रतीत होता है कि पूर्णांक भी बचे रहे:
 * [दूसरे संस्करण में] रिड्यूसिबिलिटी के सिद्धांत को हटा दिया गया है, और यह स्पष्ट रूप से कहा गया है कि सभी आदिम विधेय निम्नतम प्रकार के हैं और उच्च क्रम और प्रकारों के चर (और जाहिर तौर पर स्थिरांक) का एकमात्र उद्देश्य बनाना है परमाणु प्रस्तावों के अधिक जटिल सत्य-कार्यों पर जोर देना संभव है (कलेक्टेड वर्क्स में गोडेल 1944:134)।

हालाँकि, गोडेल का दावा है कि यह प्रक्रिया किसी न किसी रूप में अंकगणित को पूर्वनिर्धारित करती प्रतीत होती है (पृष्ठ 134)। वह यह निष्कर्ष निकालता है कि व्यक्ति विभिन्न क्रमों के पूर्णांक प्राप्त करता है (पृष्ठ 134-135); रसेल 1927 पीएम परिशिष्ट बी में प्रमाण कि 5 से अधिक किसी भी क्रम के पूर्णांक, क्रम 5 के पूर्णांक के समान हैं, निर्णायक नहीं है और यह प्रश्न कि क्या (या किस हद तक) पूर्णांक के सिद्धांत को आधार पर प्राप्त किया जा सकता है विस्तृत पदानुक्रम [वर्ग प्लस प्रकार] को वर्तमान समय में अनसुलझा माना जाना चाहिए। गोडेल ने निष्कर्ष निकाला कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ेगा क्योंकि ऑर्डर एन (किसी भी एन) के प्रस्तावित कार्यों को प्रतीकों के सीमित संयोजनों (सभी उद्धरण और पृष्ठ 135 से प्राप्त सामग्री) द्वारा वर्णित किया जाना चाहिए।

गोडेल की आलोचना और सुझाव
गोडेल, अपने 1944 के काम में, उस स्थान की पहचान करते हैं जहां वह रसेल के तर्कवाद को विफल मानते हैं और समस्याओं को सुधारने के लिए सुझाव देते हैं। वह दुष्चक्र सिद्धांत को पुन: परीक्षण के लिए प्रस्तुत करता है, इसे केवल तीन भागों में विभाजित करता है, जिसे केवल शामिल करना, शामिल करना और अनुमान लगाना के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। यह पहला भाग है जो अव्यावहारिक परिभाषाओं को असंभव बनाता है और इस तरह डेडेकाइंड और फ़्रीज द्वारा प्रभावित तर्क से गणित की व्युत्पत्ति और स्वयं गणित का बड़ा हिस्सा नष्ट हो जाता है। चूंकि, उनका तर्क है, गणित अपनी अंतर्निहित अव्यवस्थितताओं पर भरोसा करता है (उदाहरण के लिए सभी वास्तविक संख्याओं के संदर्भ में परिभाषित वास्तविक संख्याएं), उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि उन्होंने जो पेश किया है वह इस बात का प्रमाण है कि शास्त्रीय गणित की तुलना में दुष्चक्र सिद्धांत गलत है [बल्कि] ग़लत है (सभी उद्धरण गोडेल 1944:127)।

रसेल का नो-क्लास सिद्धांत समस्या की जड़ है: गोडेल का मानना ​​है कि असंबद्धता बेतुका नहीं है, जैसा कि पूरे गणित में दिखाई देता है। रसेल की समस्या उसकी रचनावादी (या नाममात्रवादी) से उत्पन्न होती है ) तर्क और गणित की वस्तुओं के प्रति दृष्टिकोण, विशेष रूप से प्रस्तावों, वर्गों और धारणाओं के प्रति। . . धारणा प्रतीक है. . . ताकि प्रतीक द्वारा दर्शाई गई अलग वस्तु महज कल्पना के रूप में दिखाई दे (पृ. 128)।

दरअसल, रसेल का नो क्लास सिद्धांत, गोडेल ने निष्कर्ष निकाला:
 * डेटा के बाहर वस्तुओं के अस्तित्व के बारे में धारणाओं को खत्म करने और इन डेटा के आधार पर निर्माणों द्वारा उन्हें प्रतिस्थापित करने की प्रवृत्ति के कुछ उदाहरणों में से के रूप में बहुत रुचि है, विस्तार से किया गया है33. डेटा को यहां सापेक्ष अर्थ में समझना है; यानी हमारे मामले में वर्गों और अवधारणाओं के अस्तित्व की धारणा के बिना तर्क के रूप में]। इस मामले में परिणाम मूलतः नकारात्मक रहा है; यानी इस तरह से पेश की गई कक्षाओं और अवधारणाओं में गणित में उनके उपयोग के लिए आवश्यक सभी गुण नहीं हैं। . . . यह सब केवल ऊपर दिए गए दृष्टिकोण का सत्यापन है कि तर्क और गणित (भौतिकी की तरह) वास्तविक सामग्री वाले सिद्धांतों पर बने होते हैं जिन्हें समझाया नहीं जा सकता (पृष्ठ 132)

उन्होंने निम्नलिखित सुझावों और टिप्पणियों के साथ अपना निबंध समाप्त किया:
 * किसी को अधिक रूढ़िवादी पाठ्यक्रम अपनाना चाहिए, जैसे कि शब्दों के वर्ग और अवधारणा के अर्थ को स्पष्ट करने की कोशिश करना, और उद्देश्यपूर्ण रूप से विद्यमान संस्थाओं के रूप में वर्गों और अवधारणाओं का सुसंगत सिद्धांत स्थापित करना। यह वह मार्ग है जिस पर गणितीय तर्क का वास्तविक विकास चल रहा है और रसेल को स्वयं अपने काम के अधिक रचनात्मक भागों में प्रवेश करने के लिए मजबूर किया गया है। इस दिशा में किये गये प्रयासों में प्रमुख है. . . प्रकारों का सरल सिद्धांत हैं। . . और स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत, दोनों ही कम से कम इस हद तक सफल रहे हैं, कि वे आधुनिक गणित की व्युत्पत्ति की अनुमति देते हैं और साथ ही सभी ज्ञात विरोधाभासों से बचते हैं। . . ¶ यह संदेह करना उचित प्रतीत होता है कि यह नींव की अधूरी समझ है जो इस तथ्य के लिए जिम्मेदार है कि गणितीय तर्क अब तक पीनो और अन्य की उच्च अपेक्षाओं से पीछे रहा है। . .. (पृ. 140)

नव-तर्कवाद
नव-तर्कवाद उनके समर्थकों द्वारा मूल तर्कवादी कार्यक्रम के उत्तराधिकारी माने जाने वाले विचारों की श्रृंखला का वर्णन किया गया है। अधिक संकीर्ण रूप से, नव-तर्कवाद को गॉटलोब फ़्रीज के कुछ या सभी तत्वों को बचाने के प्रयास के रूप में देखा जा सकता है# तर्कशास्त्री के रूप में कार्य करें|ग्रंडगेसेट्ज़ में फ़्रीज की प्रणाली के संशोधित संस्करण के उपयोग के माध्यम से फ़्रीज का कार्यक्रम (जिसे प्रकार के रूप में देखा जा सकता है) दूसरे क्रम के तर्क का)।

उदाहरण के लिए, कोई बुनियादी कानून वी (भोले सेट सिद्धांत में अप्रतिबंधित समझ की स्वयंसिद्ध स्कीमा के अनुरूप) को कुछ 'सुरक्षित' सिद्धांतों से बदल सकता है ताकि ज्ञात विरोधाभासों की व्युत्पत्ति को रोका जा सके। बीएलवी को प्रतिस्थापित करने के लिए सबसे अधिक उद्धृत उम्मीदवार ह्यूम का सिद्धांत है, '#' की प्रासंगिक परिभाषा '#F = #G द्वारा दी गई है यदि और केवल यदि F और G के बीच कोई आपत्ति है।' इस प्रकार के नव-तर्कवाद को अक्सर नव-फ्रीजिज्म कहा जाता है. नव-फ्रीजियनवाद के समर्थकों में क्रिस्पिन राइट और बॉब हेल (दार्शनिक) शामिल हैं, जिन्हें कभी-कभी स्कॉटिश स्कूल भी कहा जाता है। या अमूर्तवादी प्लैटोनिज्म, जो ज्ञानमीमांसीय आधारवाद के रूप का समर्थन करते हैं। नव-तर्कवाद के अन्य प्रमुख समर्थकों में बर्नार्ड लिंस्की और एडवर्ड एन. ज़ाल्टा शामिल हैं, जिन्हें कभी-कभी स्टैनफोर्ड-एडमॉन्टन स्कूल भी कहा जाता है, अमूर्त संरचनावाद या मॉडल नव-तर्कवाद, जो स्वयंसिद्ध तत्वमीमांसा के रूप का समर्थन करते हैं। मोडल नव-तर्कवाद द्वितीय-क्रम तर्क|द्वितीय-क्रम मॉडल तर्क सार वस्तु सिद्धांत के भीतर पीनो स्वयंसिद्धों को प्राप्त करता है। अन्य अर्ध-नव-तर्कशास्त्री दृष्टिकोण एम. रान्डेल होम्स द्वारा सुझाया गया है। ग्रुंडगेसेट्ज़ में इस तरह के संशोधन में, बीएलवी बरकरार रहता है, क्वीन की नई नींव और संबंधित प्रणालियों के तरीके में स्तरीकृत सूत्रों पर प्रतिबंध को छोड़कर। मूलतः सभी ग्रुंडगेसेट्ज़ तब 'गुजरते हैं'। परिणामी प्रणाली में रोनाल्ड जेन्सेन के एनएफयू + जे. बार्कले रोसेर के एक्सिओम ऑफ काउंटिंग के समान स्थिरता शक्ति है।

यह भी देखें

 * गणित का अरिस्टोटेलियन यथार्थवादी दर्शन

ग्रन्थसूची

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बाहरी संबंध

 * "Logicism" at the Encyclopaedia of Mathematics