हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण

भौतिकी में, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण, विलियम रोवन हैमिल्टन और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी के नाम पर आधारित यांत्रिकी का वैकल्पिक सूत्रीकरण है, जो न्यूटन के गति के नियमों, लैग्रैंगियन यांत्रिकी और हैमिल्टन यांत्रिकी जैसे अन्य योगों के समान है। हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण यांत्रिक प्रणालियों के लिए संरक्षित मात्राओं को प्रमाणित करने में विशेष रूप से उपयोगी है, जो तब भी संभव हो सकता है जब यांत्रिक समस्या का पूर्ण रूप से समाधान नहीं किया जा सकता है।

हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण यांत्रिकी का सूत्रीकरण है जिसमें कण की गति को तरंग के रूप में दर्शाया जा सकता है। प्रकाश का संचरण और कण की गति के मध्य समानता ज्ञात करने के लिए सैद्धांतिक भौतिकी (अठारहवीं शताब्दी में जोहान बर्नौली) के लक्ष्य को पूर्ण किया गया। यांत्रिक प्रणाली में तरंग समीकरण, श्रोडिंगर समीकरण के समान नहीं है, जैसा कि नीचे वर्णित है, इसलिए, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को क्वांटम यांत्रिकी के निकटतम दृष्टिकोण माना जाता है।

गणित में, विचरण कलन से प्रश्नों के सामान्यीकरण में ज्यामिति का वर्णन करने के लिए हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण आवश्यक स्तिथि है। गतिशील प्रोग्रामिंग में हैमिल्टन-जैकोबी-बेलमैन समीकरण का अध्ययन विशेष विषय के रूप में किया जाता है|

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नोटेशन
बोल्डफेस चर जैसे $$\mathbf{q}$$, $$N$$ सामान्यीकृत निर्देशांक की सूची का प्रतिनिधित्व करते हैं,


 * $$\mathbf{q} = (q_1, q_2, \ldots, q_{N-1}, q_N)$$

चर या सूची पर बिंदु समय के व्युत्पन्न को दर्शाता है (न्यूटन के अंकन देखें)। उदाहरण के लिए,


 * $$\dot{\mathbf{q}} = \frac{d\mathbf{q}}{dt}.$$

निर्देशांकों की समान संख्या की दो सूचियों के मध्य डॉट गुणनफल संकेतन संबंधित घटकों के गुणनफल के योग के लिए आशुलिपि है, जैसे कि


 * $$\mathbf{p} \cdot \mathbf{q} = \sum_{k=1}^N p_k q_k.$$

परिभाषा
माना, हेसियन मैट्रिक्स $H_{\cal L}(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) = \left\{\partial^2 {\cal L}/\partial {\dot q}^i\partial {\dot q}^j\right\}_{ij}$ व्युत्क्रमणीय है। यह सम्बन्ध

\frac{d}{dt}\frac{\partial {\cal L}}{\partial{\dot q}^i} = \sum^n_{j=1}\left(\frac{\partial^2 {\cal L}}{\partial{\dot q}^i\partial{\dot q}^j} {\ddot q}^j + \frac{\partial^2 {\cal L}}{\partial{\dot q}^i\partial{q}^j}{\dot q}^j \right) +\frac{\partial^2 {\cal L}}{\partial{\dot q}^i \partial t},\qquad i=1,\ldots,n, $$ दर्शाता है कि यूलर-लैग्रेंज समीकरण द्वितीय कोटि के साधारण अवकल समीकरणों की $$n \times n$$ प्रणाली बनाते हैं। मैट्रिक्स $$H_{\cal L}$$ का व्युत्क्रम इस प्रणाली को परिवर्तित कर देता है
 * $$\ddot q^i = F_i(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t),\ i=1,\ldots, n.$$

माना, तात्कालिक समय $$t_0$$ और बिंदु $$\mathbf{q}_0 \in M$$ विन्यास स्थान में स्थायी है। अस्तित्व और विशिष्टता प्रमेय आश्वासन देते हैं कि, प्रत्येक $$\mathbf{v}_0,$$ के लिए स्तिथियों $$\gamma|_{\tau=t_0} = \mathbf{q}_0$$ और $${\dot \gamma}|_{\tau=t_0} = \mathbf{v}_0$$ के साथ प्रारंभिक मान समस्या का स्थानीय रूप से अद्वितीय समाधान $$\gamma = \gamma(\tau; t_0,\mathbf{q}_0,\mathbf{v}_0).$$ है| इसके अतिरिक्त, $$ (t_0,t_1) $$ उचित समय अंतराल है जैसे कि विभिन्न प्रारंभिक वेग $$\mathbf{v}_0$$ के साथ एक्स्ट्रीमल्स $$M \times (t_0,t_1).$$ में प्रतिच्छेद नहीं करेंगे| $$\mathbf{q} \in M$$ के लिए और कोई $$t \in (t_0,t_1),$$ अधिकतम अतिवादी $$\gamma=\gamma(\tau;t,t_0,\mathbf{q},\mathbf{q}_0)$$ हो सकता है जिसके लिए $$\gamma|_{\tau=t_0} = \mathbf{q}_0$$ और $$\gamma|_{\tau=t} = \mathbf{q}.$$ है| $$\gamma=\gamma(\tau;t,t_0,\mathbf{q},\mathbf{q}_0)$$ को ऐक्शन में रखने पर एचपीएफ में परिणाम होगा-

जहाँ,
 * $$\gamma=\gamma(\tau;t,t_0,\mathbf{q},\mathbf{q}_0),$$
 * $$\gamma|_{\tau=t_0} = \mathbf{q}_0,$$
 * $$\gamma|_{\tau=t} = \mathbf{q}.$$

संवेग के लिए सूत्र- pi(q,t) = ∂S/∂qi
संवेग को $ p_i(\mathbf{q},\mathbf{\dot q},t) = \partial {\cal L}/\partial \dot q^i.$ राशियों के रूप में परिभाषित किया गया है यह खंड दर्शाता है कि $$\mathbf{\dot q}$$ पर $$p_i$$ की निर्भरता एचपीएफ ज्ञात होने के पश्चात् लुप्त हो जाती है।

माना, तात्कालिक समय $$t_0$$ और बिंदु $$\mathbf{q}_0$$ विन्यास स्थान में स्थायी है। समय $$t$$ और बिंदु q के लिए, मान लीजिये $$\gamma=\gamma(\tau;t,t_0,\mathbf{q},\mathbf{q}_0)$$ हैमिल्टन के प्रमुख कार्य S की परिभाषा से (अद्वितीय) चरम है| वेग $$\tau = t$$. पर $$\mathbf{v}\, \stackrel{\text{def}}{=}\, \dot \gamma(\tau;t,t_0,\mathbf{q},\mathbf{q}_0)|_{\tau=t}$$ है,

$$

गणितीय सूत्रीकरण
हैमिल्टनियन $$H(\mathbf{q},\mathbf{p},t)$$ यांत्रिक प्रणाली में हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण का प्रथम-क्रम है, हैमिल्टन के प्रमुख कार्य के लिए अरेखीय आंशिक अवकल समीकरण $$S$$ हैं-

$$

वैकल्पिक रूप से, जैसा कि नीचे वर्णित है, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को हेमिल्टनियन यांत्रिकी से प्राप्त किया जा सकता है $$ S$$ को हैमिल्टनियन के विहित परिवर्तन के लिए जनक फलन (भौतिकी) के रूप में माना जाता है-


 * $$H = H(q_1,q_2,\ldots, q_N;p_1,p_2,\ldots, p_N;t).$$

संयुग्म संवेग सामान्यीकृत निर्देशांक के संबंध में $$S$$ के प्रथम डेरिवेटिव के अनुरूप है,


 * $$p_k = \frac{\partial S}{\partial q_k}.$$

हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण के समाधान के रूप में, मुख्य फलन में $$N+1$$ अनिर्धारित स्थिरांक होते हैं, उनमें से $$N$$ को $$\alpha_1,\, \alpha_2, \dots, \alpha_N$$ के रूप में दर्शाया गया है और $$\frac{\partial S}{\partial t}$$ के समाकलन से प्राप्त होता है

गति के इन स्थिरांकों के संदर्भ में $$\mathbf{p}$$ और $$\mathbf{q}$$ के मध्य का संबंध चरण अंतरिक्ष में कक्षा का वर्णन करता है। इसके अतिरिक्त, राशियाँ
 * $$\beta_k=\frac{\partial S}{\partial\alpha_k},\quad k=1,2, \ldots, N $$

गति के स्थिरांक हैं और सभी $$\alpha$$ और $$\beta$$ स्थिरांक और समय के फलन के रूप में q को प्राप्त करने के लिए इन समीकरणों के क्रम में परिवर्तन किया जा सकता है।

यांत्रिकी के अन्य सूत्रीकरण के साथ तुलना
हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण $$N$$ सामान्यीकृत निर्देशांक $$q_1,\, q_2, \dots, q_N$$ और समय $$t$$ के कार्य के लिए एक एकल, प्रथम-क्रम आंशिक अवकल समीकरण है। $$S$$ के डेरिवेटिव के अतिरिक्त सामान्यीकृत संवेग प्रकट नहीं होता है। उल्लेखनीय रूप से, $$S$$ फलन ऐक्शन (भौतिकी) के समान है।

तुलना के लिए, लैग्रैंगियन यांत्रिकी की गति समतुल्य यूलर-लग्रेंज समीकरणों में, संयुग्म संवेग भी प्रकट नहीं होता है| चूँकि, वे समीकरण सामान्यीकृत निर्देशांक के समय के विकास के लिए सामान्यतः दूसरे क्रम के समीकरण $$ N $$ की प्रणाली हैं। हैमिल्टन के गति के समीकरण सामान्यीकृत निर्देशांक के समय विकास और उनके संयुग्म संवेग $$p_1,\, p_2, \dots, p_N$$ के लिए 2N प्रथम-क्रम समीकरणों की अन्य प्रणाली है।

चूँकि एचजेई हैमिल्टन के सिद्धांत जैसी अभिन्न न्यूनीकरण समस्या की समान अभिव्यक्ति है, एचजेई गणित और भौतिकी की विविधताओं और शाखाओं की गणना की अन्य समस्याओं जैसे कि गतिशील प्रणाली, सिम्प्लेक्टिक ज्यामिति और क्वांटम अराजकता में उपयोगी हो सकता है| उदाहरण के लिए, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरणों का उपयोग रीमैनियन मैनिफ़ोल्ड पर  जियोडेसिक्स निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, जो कि रिमेंनियन ज्यामिति में विविधताओं की महत्वपूर्ण गणना है।

विहित रूपांतरण का उपयोग करके व्युत्पत्ति
टाइप -2 जनरेटिंग फ़ंक्शन $$G_2 (\mathbf{q}, \mathbf{P}, t)$$ से जुड़े किसी भी विहित परिवर्तन से संबंध बनते हैं-



\mathbf{p} = {\partial G_2 \over \partial \mathbf{q}}, \quad \mathbf{Q} = {\partial G_2 \over \partial \mathbf{P}}, \quad K(\mathbf{Q},\mathbf{P},t) = H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) + {\partial G_2 \over \partial t} $$ और नए चर $$\mathbf{P}, \,\mathbf{Q}$$ और नए हैमिल्टनियन $$K$$ के संदर्भ में हैमिल्टन के समीकरणों रूप है-


 * $$ \dot{\mathbf{P}} = -{\partial K \over \partial \mathbf{Q}},

\quad \dot{\mathbf{Q}} = +{\partial K \over \partial \mathbf{P}}. $$ एचजेई प्राप्त करने के लिए, जनरेटिंग फ़ंक्शन $$G_2 (\mathbf{q}, \mathbf{P}, t)$$ इस प्रकार से चयन किया जाता है कि, यह नया हैमिल्टनियन $$K=0$$ बना देगा| इसलिए, इसके सभी डेरिवेटिव भी शून्य हैं और रूपांतरित हैमिल्टन के समीकरण महत्त्वहीन हो जाते हैं


 * $$\dot{\mathbf{P}} = \dot{\mathbf{Q}} = 0$$

इसलिए नए सामान्यीकृत निर्देशांक और संवेग गति के स्थिरांक हैं। जैसा कि वे स्थिर हैं, इस संदर्भ में नए सामान्यीकृत संवेग $$\mathbf{P}$$ को सामान्यतः $$\alpha_1,\, \alpha_2, \dots, \alpha_N$$, अर्थात $$P_m =\alpha_m$$ और नए सामान्यीकृत निर्देशांक $$\mathbf{Q}$$ को सामान्यतः $$\beta_1,\, \beta_2, \dots , \beta_N$$ के रूप में चिह्नित किया जाता है, इसलिए $$Q_m =\beta_m$$ है।

जनरेटिंग फ़ंक्शन को हैमिल्टन के मुख्य फ़ंक्शन के साथ-साथ स्वेच्छ स्थिरांक $$A$$ के समान सेट करना-


 * $$G_2(\mathbf{q},\boldsymbol{\alpha},t)=S(\mathbf{q},t)+A, $$

एचजेई स्वतः रूप से उत्पन्न होता है,


 * $$\mathbf{p}=\frac{\partial G_2}{\partial \mathbf{q}}=\frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}} \, \rightarrow \,

H(\mathbf{q},\mathbf{p},t) + {\partial G_2 \over \partial t}=0 \, \rightarrow \, H\left(\mathbf{q},\frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}},t\right) + {\partial S \over \partial t}=0. $$ $$ S(\mathbf{q},\boldsymbol\alpha, t) $$ के लिए हल करने पर, ये हमें उपयोगी समीकरण प्रदान करते हैं-


 * $$\mathbf{Q} = \boldsymbol\beta = {\partial S \over \partial \boldsymbol\alpha},$$

या स्पष्टता के लिए घटकों में लिखा गया है


 * $$ Q_{m} = \beta_{m} = \frac{\partial S(\mathbf{q},\boldsymbol\alpha, t)}{\partial \alpha_{m}}. $$

आदर्श रूप से, स्थिरांक $$ \boldsymbol\alpha, \,\boldsymbol\beta, $$ और $$ t $$ के फलन के रूप में मूल सामान्यीकृत निर्देशांक $$ \mathbf{q} $$ को ज्ञात करने के लिए इन N समीकरणों के क्रम में परिवर्तन किया जा सकता है, इस प्रकार मूल प्रश्न को हल किया जाता है।

क्रिया (एक्शन) और हैमिल्टन के फलन
हैमिल्टन का मुख्य फलन S और शास्त्रीय फलन H दोनों ही क्रिया (भौतिकी) से संबंधित हैं। $$ S $$ का सम्पूर्ण अवकल है-


 * $$ dS =\sum_i \frac{\partial S}{\partial q_i} dq_i + \frac{\partial S}{\partial t}dt $$

इसलिए S का समय अवकलज है


 * $$\frac{ dS}{ dt} =\sum_i\frac{\partial S}{\partial q_i}\dot{q}_i+\frac{\partial S}{\partial t} =\sum_ip_i\dot{q}_i-H = L. $$

इसलिए,


 * $$S=\int L\,dt ,$$

इसलिए S वास्तव में क्रिया और अनिर्धारित स्थिरांक है।

जब H स्पष्ट रूप से समय पर निर्भर नहीं करता है,


 * $$W=S+Et=S+Ht=\int(L+H)\,dt=\int\mathbf{p}\cdot d\mathbf{q}, $$

इस स्तिथि में W संक्षिप्त क्रिया के समान है।

चरों का पृथक्करण
एचजेई अधिक उपयोगी होता है जब इसे चरों के पृथक्करण के माध्यम से हल किया जा सकता है, जो गति के स्थिरांक को प्रमाणित करता है। उदाहरण के लिए, समय t को भिन्न किया जा सकता है यदि हैमिल्टन समय पर स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करता है। उस स्तिथि में, एचजेई में समय व्युत्पन्न $$\frac{\partial S}{\partial t} $$ स्थिर होना चाहिए जिसे सामान्यतः ($$-E $$) में निरूपित किया जाता है, जो पृथक समाधान देता है-


 * $$ S = W(q_1,q_2, \ldots, q_N) - Et $$

जहाँ समय-स्वतंत्र फलन $$W(\mathbf{q}) $$ को कभी-कभी हैमिल्टन का अभिलक्षणिक फलन कहा जाता है। हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को तब लिखा जा सकता है-


 * $$ H\left(\mathbf{q},\frac{\partial S}{\partial \mathbf{q}} \right) = E. $$

अन्य चरों के लिए पृथक्करणीयता को स्पष्ट करने के लिए, निश्चित सामान्यीकृत निर्देशांक $$q_k $$ और इसके व्युत्पन्न $$\frac{\partial S}{\partial q_k} $$ को फलन के रूप में प्रकट होने के लिए माना जाता है


 * $$\psi \left(q_k, \frac{\partial S}{\partial q_k} \right)$$

हैमिल्टनियन में


 * $$ H = H(q_1,q_2,\ldots, q_{k-1}, q_{k+1},\ldots, q_N; p_1,p_2,\ldots, p_{k-1}, p_{k+1},\ldots, p_N; \psi; t). $$

उस स्थिति में, फलन S को दो फलनों में विभाजित किया जा सकता है, एक जो मात्र qk पर निर्भर करता है और दूसरा जो मात्र शेष सामान्यीकृत निर्देशांकों पर निर्भर करता है-


 * $$S = S_k(q_k) + S_\text{rem}(q_1,\ldots, q_{k-1}, q_{k+1}, \ldots, q_N, t). $$

इन सूत्रों को हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण में रखने पर ज्ञात होता है कि फ़ंक्शन ψ स्थिर होना चाहिए (यहाँ $$\Gamma_k $$ के रूप में दर्शाया गया है), $$S_k (q_k), $$ के लिए प्रथम-क्रम अवकल समीकरण माना जाता है
 * $$ \psi \left(q_k, \frac{ d S_k}{ d q_k} \right) = \Gamma_k. $$

फलन $$S $$ को $$N $$ फलनों में पूर्ण रूप से भिन्न किया जा सकता है $$S_m (q_m), $$
 * $$ S=S_1(q_1)+S_2(q_2)+\cdots+S_N(q_N)-Et. $$

ऐसी स्थिति में, $$N $$ साधारण अवकल समीकरणों में परिवर्तित हो जाता है|

S की पृथक्करणीयता हैमिल्टनियन और सामान्यीकृत निर्देशांकों के चुनाव दोनों पर निर्भर करती है। ऑर्थोगोनल निर्देशांक और हैमिल्टन के लिए जिनकी कोई समय निर्भरता नहीं है और सामान्यीकृत गति में द्विघात कार्य हैं, $$S $$ पूर्ण रूप से वियोज्य होगा यदि संभावित ऊर्जा प्रत्येक समन्वय में योगात्मक रूप से वियोज्य है, जहाँ प्रत्येक समन्वय के लिए संभावित ऊर्जा शब्द हैमिल्टनियन (स्टैकेल स्थितियों) के संबंधित गति अवधि में समन्वय-निर्भर कारक से गुणा किया जाता है। चित्रण के लिए, ऑर्थोगोनल निर्देशांकों में कई उदाहरणों पर अग्र अनुभागों में कार्य किया गया है।

गोलाकार निर्देशांक
गोलाकार निर्देशांक में संरक्षण क्षमता U में गतिमान मुक्त कण का हैमिल्टनियन निम्लिखित है-


 * $$ H = \frac{1}{2m} \left[ p_{r}^{2} + \frac{p_{\theta}^{2}}{r^{2}} + \frac{p_{\phi}^{2}}{r^{2} \sin^{2} \theta} \right] + U(r, \theta, \phi). $$

इन निर्देशांकों में हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण पूर्ण रूप से वियोज्य है $$ U_{r}(r), U_{\theta}(\theta), U_{\phi}(\phi) $$ जिसमे $$U$$ को समरूप में लिखा जा सकता है


 * $$ U(r, \theta, \phi) = U_{r}(r) + \frac{U_{\theta}(\theta)}{r^{2}} + \frac{U_{\phi}(\phi)}{r^{2}\sin^{2}\theta} . $$

पूर्ण रूप से वियोज्य समाधान को


 * $$S = S_{r}(r) + S_{\theta}(\theta) + S_{\phi}(\phi) - Et$$

एचजेई में रखने पर निम्लिखित समीकरण प्राप्त होता है-



\frac{1}{2m} \left( \frac{ dS_{r}}{ dr} \right)^{2} + U_{r}(r) + \frac{1}{2m r^{2}} \left[ \left( \frac{ dS_{\theta}}{ d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) \right] + \frac{1}{2m r^{2}\sin^{2}\theta} \left[ \left( \frac{ dS_{\phi}}{ d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) \right] = E. $$ इस समीकरण को साधारण अवकल समीकरणों के क्रमिक एकीकरण द्वारा हल किया जा सकता है, जो $$\phi$$ के समीकरण से प्रारम्भ होता है
 * $$ \left( \frac{ dS_{\phi}}{ d\phi} \right)^{2} + 2m U_{\phi}(\phi) = \Gamma_{\phi} $$

जहाँ $$\Gamma_\phi$$ गति का स्थिरांक है जो हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण से $$\phi$$ निर्भरता को समाप्त करता है-


 * $$ \frac{1}{2m} \left( \frac{ dS_{r}}{ dr} \right)^{2} + U_{r}(r) + \frac{1}{2m r^{2}} \left[ \left( \frac{ dS_{\theta}}{ d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} \right] = E. $$

अग्र साधारण अवकल समीकरण में $$\theta$$ सामान्यीकृत समन्वय सम्मिलित है-


 * $$ \left( \frac{ dS_{\theta}}{ d\theta} \right)^{2} + 2m U_{\theta}(\theta) + \frac{\Gamma_{\phi}}{\sin^{2}\theta} = \Gamma_{\theta} $$

जहाँ $$\Gamma_\theta$$ पुनः गति का स्थिरांक है जो $$\theta$$ निर्भरता को विलोपित करता है और एचजेई को अंतिम साधारण अवकल समीकरण में कम कर देता है


 * $$ \frac{1}{2m} \left( \frac{ dS_{r}}{ dr} \right)^{2} + U_{r}(r) + \frac{\Gamma_{\theta}}{2m r^{2}} = E $$

जिसका समाकलन $$S$$ के समाधान को पूर्ण करता है|

अण्डाकार बेलनाकार निर्देशांक
अण्डाकार बेलनाकार निर्देशांक में हैमिल्टनियन लिखा जा सकता है


 * $$ H = \frac{p_{\mu}^{2} + p_{\nu}^{2}}{2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right)} + \frac{p_{z}^{2}}{2m}  + U(\mu, \nu, z) $$

जहाँ दीर्घवृत्त का फोकस (ज्यामिति) x-अक्ष पर $$\pm a$$ स्थित होता है| इन निर्देशांकों में हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण पूर्ण रूप से वियोज्य है, यदि $$U$$ समान रूप है-


 * $$ U(\mu, \nu, z) = \frac{U_{\mu}(\mu) + U_{\nu}(\nu)}{\sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu} + U_{z}(z) $$

जहाँ : $$ U_\mu(\mu)$$, $$U_\nu(\nu)$$ और $$U_z(z)$$ आरबिटरेरी फलन हैं।

$$S = S_{\mu}(\mu) + S_{\nu}(\nu) + S_{z}(z) - Et$$ को एचजेई में रखने पर निम्लिखित समीकरण प्राप्त होता है-



\frac{1}{2m} \left( \frac{ dS_{z}}{ dz} \right)^{2} + U_{z}(z) + \frac{1}{2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right)} \left[ \left( \frac{ dS_{\mu}}{ d\mu} \right)^{2} + \left( \frac{ dS_{\nu}}{ d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu)\right] = E. $$ साधारण अवकल समीकरण को पृथक करने पर


 * $$ \frac{1}{2m} \left( \frac{ dS_{z}}{ dz} \right)^{2} + U_{z}(z) = \Gamma_{z} $$

हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण प्राप्त होता है (हर द्वारा दोनों पक्षों की पुन: व्यवस्था और गुणन के पश्चात्)


 * $$ \left( \frac{ dS_{\mu}}{ d\mu} \right)^{2} + \left( \frac{ dS_{\nu}}{ d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu) = 2ma^{2} \left( \sinh^{2} \mu + \sin^{2} \nu\right) \left( E - \Gamma_{z} \right) $$

जिसे स्वयं दो स्वतंत्र साधारण अवकल समीकरणों में पृथक किया जा सकता है-


 * $$ \left( \frac{ dS_{\mu}}{ d\mu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\mu}(\mu) + 2ma^{2} \left(\Gamma_{z} - E \right) \sinh^{2} \mu = \Gamma_{\mu} $$
 * $$ \left( \frac{ dS_{\nu}}{ d\nu} \right)^{2} + 2m a^{2} U_{\nu}(\nu) + 2ma^{2} \left(\Gamma_{z} - E \right) \sin^{2} \nu = \Gamma_{\nu} $$
 * समीकरण का हल $$S$$ के समाधान को पूर्ण करता है|

परवलयिक बेलनाकार निर्देशांक
परवलयिक बेलनाकार निर्देशांक में हैमिल्टनियन लिखा जा सकता है-


 * $$ H = \frac{p_{\sigma}^{2} + p_{\tau}^{2}}{2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2}\right)} + \frac{p_{z}^{2}}{2m} + U(\sigma, \tau, z). $$

इन निर्देशांकों में हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण पूर्ण रूप से वियोज्य है, यदि $$U$$ समान रूप है


 * $$ U(\sigma, \tau, z) = \frac{U_{\sigma}(\sigma) + U_{\tau}(\tau)}{\sigma^{2} + \tau^{2}} + U_{z}(z) $$

जहाँ $$U_\sigma (\sigma)$$, $$U_\tau (\tau)$$, और $$U_z(z)$$ आरबिटरेरी फलन हैं।


 * $$S = S_{\sigma}(\sigma) + S_{\tau}(\tau) + S_{z}(z) - Et + \text{constant}$$ को एचजेई में रखने पर निम्लिखित समीकरण प्राप्त होता है-

\frac{1}{2m} \left( \frac{ dS_{z}}{ dz} \right)^{2} + U_{z}(z) + \frac{1}{2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right)} \left[ \left( \frac{ dS_{\sigma}}{ d\sigma} \right)^{2} + \left( \frac{ dS_{\tau}}{ d\tau} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m U_{\tau}(\tau)\right] = E. $$ साधारण अवकल समीकरण को पृथक करने पर


 * $$\frac{1}{2m} \left( \frac{ dS_{z}}{ dz} \right)^{2} + U_{z}(z) = \Gamma_{z}$$

हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण प्राप्त होता है (हर द्वारा दोनों पक्षों की पुन: व्यवस्था और गुणन के पश्चात्)


 * $$\left( \frac{ dS_{\sigma}}{ d\sigma} \right)^{2} + \left( \frac{ dS_{\tau}}{ d\tau} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m U_{\tau}(\tau) = 2m \left( \sigma^{2} + \tau^{2} \right) \left( E - \Gamma_{z} \right)$$

जिसे स्वयं दो स्वतंत्र साधारण अवकल समीकरणों में पृथक किया जा सकता है-


 * $$\left( \frac{ dS_{\sigma}}{ d\sigma} \right)^{2} + 2m U_{\sigma}(\sigma) + 2m\sigma^{2} \left(\Gamma_{z} - E \right) = \Gamma_{\sigma}$$
 * $$\left( \frac{ dS_{\tau}}{ d\tau} \right)^{2} + 2m U_{\tau}(\tau) + 2m \tau^{2} \left(\Gamma_{z} - E \right) = \Gamma_{\tau}$$

समीकरण का हल $$S$$ के समाधान को पूर्ण करता है|

ऑप्टिकल तरंगाग्र और प्रक्षेपवक्र
एचजेई प्रक्षेपवक्र और तरंगाग्र के मध्य द्वैत स्थापित करता है। उदाहरण के लिए, ज्यामितीय प्रकाशिकी में, प्रकाश को किरणों या तरंगों के रूप में माना जा सकता है। तरंगाग्र को सतह ${\cal C}_{t}$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है कि समय $t=0$  पर उत्सर्जित प्रकाश समय $t$  पर पहुंच गया है। प्रकाश किरणें और तरंगाग्र द्वैत हैं- यदि एक ज्ञात है, तो दूसरे का अनुमान लगाया जा सकता है।

ज्यामितीय प्रकाशिकी परिवर्तनशील समस्या है जहाँ क्रिया पथ के साथ यात्रा का समय $T$ है,$$T = \frac{1}{c}\int_{A}^{B} n \, ds$$ जहाँ $n$  माध्यम का अपवर्तक सूचकांक है और $ds$  अपरिमेय चाप लंबाई है। उपरोक्त सूत्रीकरण से, यूलर-लैग्रेंज सूत्रीकरण का उपयोग करके किरण पथों की गणना की जा सकती है| वैकल्पिक रूप से, हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को हल करके तरंगाग्र की गणना की जा सकती है।

उपरोक्त द्वैत सामान्य है और सभी प्रणालियों पर प्रस्तावित होता है जो परिवर्तनशील सिद्धांत से प्राप्त होता है जिसमें या तो यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का उपयोग करके प्रक्षेपवक्र की गणना की जाती है अथवा हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण का उपयोग करके तरंगाग्र की गणना की जाती है।

प्रणाली के लिए समय $t$ पर तरंगाग्र, प्रारंभ में $\mathbf{q}_{0}$  समय $t_{0}$  पर, बिंदुओं के संग्रह $\mathbf{q}$  के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे कि $S(\mathbf{q},t)=\text{const}$  है। यदि $S(\mathbf{q},t)$  ज्ञात है, तो संवेग का शीघ्र अनुमान लगाया जाता है-$$\mathbf{p}=\frac{\partial S}{\partial\mathbf{q}}.$$ $\mathbf{p}$ ज्ञात हो जाने पर, प्रक्षेपवक्र $\dot{\mathbf{q}}$  के लिए स्पर्शरेखा की गणना निम्लिखित समीकरण को हल करने पर प्राप्त होती है-$$\frac{\partial{\cal L}}{\partial\dot{ \mathbf{q}}}=\boldsymbol{p}$$जहाँ ${\cal L}$  लैग्रेंगियन है। प्रक्षेपवक्र $\dot{\mathbf{q}}$  से पुनर्प्राप्त किए जाते हैं|

श्रोडिंगर समीकरण से संबंध
फलन $$S(\mathbf{q}, t)$$ की समपृष्ठ सतहें किसी भी समय t पर निर्धारित की जा सकती हैं। समय के फलन के रूप में $$S$$-आइसोसर्फेस की गति को आइसोसर्फेस पर $$\mathbf{q}$$ बिंदु से प्रारंभ होने वाले कणों की गति से परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार की आइसोसर्फेस की गति को $$\mathbf{q}$$-स्पेस के माध्यम से चलने वाली लहर के रूप में माना जा सकता है, चूँकि यह तरंग समीकरण का पालन नहीं करती है। इसे दर्शाने के लिए मान लीजिए S तरंग की कला (तरंगों) को निरूपित करता है


 * $$ \psi = \psi_{0} e^{iS/\hbar} $$

जहाँ $$\hbar$$ स्थिरांक (प्लैंक स्थिरांक) है, जिसे घातीय पद्धति को निरायाम बनाने के लिए प्रस्तुत किया गया है| तरंग के आयाम में परिवर्तन को $$S$$ द्वारा सम्मिश्र संख्या के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को पुनः अंकित किया जाता है-


 * $$ \frac{\hbar^{2}}{2m} \nabla^2 \psi - U\psi = \frac{\hbar}{i} \frac{\partial \psi}{\partial t} $$

यह श्रोडिंगर समीकरण है।

इसके विपरीत, श्रोडिंगर समीकरण और $$\psi$$ के लिए ऐनात्ज़ से प्रारम्भ करने पर यह परिणाम प्राप्त होता है-


 * $$ \frac{1}{2m} \left( \nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{i\hbar}{2m} \nabla^{2} S. $$

सीमा ($$\hbar \rightarrow 0$$) उपरोक्त श्रोडिंगर समीकरण से हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण के निम्नलिखित संस्करण के समान हो जाती है|


 * $$ \frac{1}{2m} \left( \nabla S \right)^{2} + U + \frac{\partial S}{\partial t} = 0. $$

गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एचजेई
विराम द्रव्यमान $$m $$ के कण के लिए ऊर्जा-संवेग संबंध $$g^{\alpha\beta}P_\alpha P_\beta - (mc)^2 = 0 $$ का उपयोग घुमावदार स्थान में यात्रा कर रहा है, जहाँ $$g^{\alpha \beta}$$ आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों से हल किए गए मीट्रिक टेंसर प्रतिपरिवर्ती निर्देशांक हैं और c प्रकाश की गति है। चार-गति $$P_\alpha$$ क्रिया $$S $$ के चार-ग्रेडिएंट के समान है
 * $$P_\alpha =-\frac{\partial S}{\partial x^\alpha}$$

मीट्रिक $$g $$ द्वारा निर्धारित ज्यामिति में हैमिल्टन-जैकोबी निम्नलिखित समीकरण देता है-


 * $$g^{\alpha\beta}\frac{\partial S}{\partial x^\alpha}\frac{\partial S}{\partial x^\beta} -(mc)^2 = 0,$$

दूसरे शब्दों में, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में समीकरण प्राप्त होता है।

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों में एचजेई
विराम द्रव्यमान $$m$$ के कण के लिए और विद्युत आवेश $$e$$ विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में निर्वात में चार-विभव $$A_i =  (\phi,\Alpha)$$ के साथ घूम रहा है, मीट्रिक टेन्सर द्वारा निर्धारित ज्यामिति में हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण $$g^{ik} = g_{ik}$$ रूप है


 * $$g^{ik}\left ( \frac{\partial S}{\partial x^i} + \frac {e}{c}A_i \right ) \left ( \frac{\partial S}{\partial x^k} + \frac {e}{c}A_k \right ) = m^2 c^2$$

और हैमिल्टन प्रिंसिपल एक्शन फंक्शन $$S$$ के लिए हल किया जा सकता है कण प्रक्षेपवक्र और संवेग के लिए समाधान निम्नलिखित है-
 * $$x = - \frac {e}{c \gamma}\int A_z \,d\xi,$$
 * $$y = - \frac {e}{c \gamma} \int A_y \,d\xi,$$
 * $$z = - \frac {e^2}{2c^2 \gamma^2}\int (\Alpha^2 - \overline {\Alpha^2 }) \, d \xi,$$
 * $$\xi = ct - \frac{e^2}{2 \gamma^2 c^2}\int (\Alpha^2 - \overline {\Alpha^2}) \, d \xi, $$
 * $$p_x = - \frac{e}{c}A_x $$, $$p_y = - \frac{e}{c}A_y,$$
 * $$p_z = \frac{e^2}{2\gamma c}(\Alpha^2 - \overline {\Alpha^2}),$$
 * $$\mathcal{E}= c\gamma + \frac{e^2}{2 \gamma c}(\Alpha^2 - \overline {\Alpha^2}),$$

जहाँ $$\xi = ct - z$$ और $$\gamma^2 = m^2 c^2 + \frac{e^2}{c^2} \overline{A}^2 $$ के साथ $$\overline{\mathbf{A}}$$ सदिश विभव का औसत चक्र है।

गोलाकार ध्रुवीकृत तरंग
वृत्तीय ध्रुवण की स्तिथि में,


 * $$E_x = E_0 \sin \omega \xi_1 $$, $$E_y = E_0 \cos \omega \xi_1, $$
 * $$A_x = \frac{ cE_0 }{\omega} \cos \omega \xi_1 $$, $$A_y = - \frac{ cE_0 }{\omega} \sin \omega \xi_1. $$

इस प्रकार


 * $$x = - \frac{ecE_0} \omega \sin \omega \xi_1, $$
 * $$y = - \frac{ecE_0} \omega \cos \omega \xi_1, $$
 * $$p_x = - \frac{eE_0} \omega \cos \omega \xi_1, $$
 * $$p_y = \frac{eE_0}{\omega} \sin \omega \xi_1, $$

जहाँ $$\xi_1 = \xi /c $$, कण स्थायी त्रिज्या $$e cE_0 / \gamma \omega^2 $$ के साथ गोलाकार प्रक्षेपवक्र के साथ घूम रहा है और चुंबकीय क्षेत्र वेक्टर के साथ निर्देशित संवेग $$e E_0 / \omega^2 $$ का अचल मान है|

एकवर्णी रैखिक ध्रुवीकृत समतल तरंग
समतल, मोनोक्रोमैटिक, रैखिक रूप से ध्रुवीकृत तरंग के लिए, क्षेत्र $$E$$ अक्ष $$y$$ पर निर्देशित हैं-
 * $$E_y = E_0 \cos \omega \xi_1,$$
 * $$A_y = - \frac {cE_0}{\omega} \sin \omega \xi_1,$$

इस प्रकार,


 * $$x = \text{const},$$
 * $$y_0 = -\frac{ecE_0}{\gamma \omega^2},$$
 * $$y = y_0 \cos \omega \xi_1$$, $$z = C_z y_0 \sin 2\omega \xi_1,$$
 * $$C_z = \frac{eE_0}{8\gamma \omega}$$, $$\gamma^2 = m^2 c^2 + \frac{e^2 E_0^2}{2 \omega^2}, $$
 * $$p_x = 0,$$
 * $$p_{y,0} = \frac{eE_0}{\omega},$$
 * $$p_y = p_{y,0} \sin \omega \xi_1, $$
 * $$p_z = - 2C_z p_{y,0} \cos 2\omega \xi_1 $$

विद्युत क्षेत्र $$E$$ वेक्टर के साथ उन्मुख लंबे अक्ष के साथ कण आकृति -8 प्रक्षेपवक्र को प्रस्तावित करता है।

सोलेनोइडल चुंबकीय क्षेत्र के साथ विद्युत चुम्बकीय तरंग
अक्षीय (सोलनॉइडल) चुंबकीय क्षेत्र के साथ विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए-
 * $$E = E_\phi = \frac{\omega \rho_0}{c} B_0 \cos \omega \xi_1, $$
 * $$A_\phi = - \rho_0 B_0 \sin \omega \xi_1 = - \frac{L_s}{\pi \rho_0 N_s} I_0 \sin \omega \xi_1,$$

इस प्रकार


 * $$x = \text{constant},$$
 * $$y_0 = -\frac{e \rho_0 B_0}{\gamma \omega},$$
 * $$y = y_0 \cos \omega \xi_1,$$
 * $$z = C_z y_0 \sin 2\omega \xi_1,$$
 * $$C_z = \frac{e \rho_0 B_0}{8c \gamma},$$
 * $$\gamma^2 = m^2 c^2 + \frac{e^2 \rho_0^2 B_0^2}{2c^2},$$
 * $$p_x = 0,$$
 * $$p_{y,0} = \frac{e \rho_0 B_0}{c},$$
 * $$p_y = p_{y,0} \sin \omega \xi_1,$$
 * $$p_z = - 2C_z p_{y,0} \cos 2 \omega \xi_1,$$

जहाँ $$B_0$$, प्रभावी त्रिज्या $$\rho_0$$, आगमनात्मकता $$L_s$$, वाइंडिंग्स की संख्या $$N_s$$ और सोलनॉइड वाइंडिंग्स के माध्यम से विद्युत प्रवाह परिमाण $$I_0$$ के साथ सोलेनोइड में चुंबकीय क्षेत्र परिमाण है। कण गति चित्र-8 प्रक्षेपवक्र के साथ होती है,

सोलनॉइड चुंबकीय क्षेत्र की अक्षीय सममिति के कारण $$yz$$ तल दिगंश कोण $$\varphi$$ के साथ सोलनॉइड अक्ष के लंबवत है।

यह भी देखें

 * विहित परिवर्तन
 * गति का स्थिरांक
 * हैमिल्टनियन सदिश क्षेत्र
 * हैमिल्टन-जैकोबी-आइंस्टीन समीकरण
 * डब्ल्यूकेबी सन्निकटन
 * क्रिया-कोण निर्देशांक