दिक्सूचक

दिक्सूचक एक प्रकार का गैर-चुंबकीय दिशा सूचक यंत्र है जो की स्वचालित रूप से भौगोलिक दिशा (ज्यामिति) खोजने के लिए तीव्रता से घूमने वाली डिस्क और पृथ्वी (या ब्रह्मांड में कहीं और उपयोग किए जाने वाले किसी अन्य ग्रह पिंड) के घूर्णन पर आधारित है। इस प्रकार से दिक्सूचक का उपयोग किसी वाहन की दिशा निर्धारित करने के सात मूलभूत विधियों में से एक है। जाइरोदर्शी दिक्सूचक का एक अनिवार्य घटक है, किन्तु वे भिन्न-भिन्न उपकरण हैं; जो कि दिक्सूचक घूर्णाक्षस्थापी प्रीसेशन के प्रभाव का उपयोग करने के लिए बनाया गया है, जो की सामान्य घूर्णाक्षस्थापी प्रभाव का एक विशिष्ट भाग है। जहाजो पर मार्गदर्शन के लिए दिक्सूचक का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि चुंबकीय कंपास की तुलना में उनके दो महत्वपूर्ण लाभ हैं:
 * वे पृथ्वी के घूर्णन की धुरी द्वारा निर्धारित वास्तविक उत्तर को खोजते हैं, जो कि चुंबकीय उत्तर से भिन्न और नौपरिवहन की दृष्टि से अधिक उपयोगी है।
 * वे लौहचुंबकीय पदार्थों से अप्रभावित रहते हैं, जैसे कि जहाज के इस्पात पतवार (जलयान) में, जो चुंबकीय क्षेत्र को विकृत करते हैं।

इस प्रकार से विमान सामान्यतः नौपरिवहन और ऊंचाई की देख-रेख के लिए घूर्णाक्षस्थापी उपकरणों (किन्तु दिक्सूचक नहीं) का उपयोग करते हैं; विवरण के लिए, उड़ान उपकरण और घूर्णाक्षस्थापी ऑटोपायलट देखें।

इतिहास
दिक्सूचक का पहला, जो अभी तक व्यावहारिक नहीं है, रूप का पेटेंट 1885 में मेरिनस जेरार्डस वैन डेन बोस द्वारा किया गया था। इस प्रकार से प्रयोग करने योग्य दिक्सूचक का आविष्कार 1906 में जर्मनी में हरमन अंसचुट्ज़-केम्फे द्वारा किया गया था, और 1908 में सफल परीक्षणों के बाद जर्मन इंपीरियल नेवी में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाने लगा। अंसचुट्ज़-केम्फे ने उच्च माप पर दिक्सूचक का उत्पादन करने के लिए कील में अंसचुट्ज़- कंपनी की स्थापना की; कंपनी आज रेथियॉन अंसचुट्ज़ जीएमबीएच है। किन्तु दिक्सूचक समुद्री नौपरिवहन के लिए एक महत्वपूर्ण आविष्कार था क्योंकि यह जहाज की गति, मौसम और जहाज के निर्माण में उपयोग किए जाने वाले स्टील की मात्रा की परवाह किए बिना हर समय जहाज के स्थान का स्पष्ट निर्धारण करने की अनुमति देता था।

इस प्रकार से संयुक्त राज्य अमेरिका में, एल्मर एम्ब्रोस स्पेरी ने व्यावहारिक दिक्सूचक प्रणाली का निर्माण किया, और स्पेरी कॉर्पोरेशन की स्थापना की। यूनिट को अमेरिकी नौसेना (1911) द्वारा अपनाया गया था ), और प्रथम विश्व युद्ध में एक प्रमुख भूमिका निभाई। प्रथम जाइरोदर्शी-निर्देशित ऑटोपायलट स्टीयरिंग प्रणाली और नौसेना ने स्पेरी के "मेटल माइक" का उपयोग भी प्रारंभ किया। अतः अगले दशकों में, इन और अन्य स्पेरी उपकरणों को, हवाई जहाज और द्वितीय विश्व युद्ध के युद्धपोतों जैसे स्टीमशिप द्वारा अपनाया गया था।

इस बीच, 1913 में, सी. प्लाथ (सेक्स्टेंट और चुंबकीय कंपास सहित नौपरिवहन उपकरण के हैम्बर्ग, जर्मनी स्थित निर्माता) ने वाणिज्यिक जहाज पर स्थापित होने वाला पहला दिक्सूचक विकसित किया था। किन्तु सी. प्लाथ ने एनापोलिस, एमडी में नौपरिवहन के लिए वेम्स स्कूल को अनेक दिक्सूचक बेचे और जल्द ही प्रत्येक संगठन के संस्थापकों ने एक गठबंधन बनाया और वेम्स एंड प्लाथ बन गए थे।

दिक्सूचक की सफलता से पहले, यूरोप में इसके स्थान पर जाइरोदर्शी का उपयोग करने के अनेक प्रयास किए गए थे। 1880 तक, विलियम थॉमसन, प्रथम बैरन केल्विन (लॉर्ड केल्विन) ने ब्रिटिश नौसेना को जाइरोस्टेट का प्रस्ताव देने का प्रयत्न किया। इस प्रकार से 1889 में, आर्थर क्रेब्स ने फ्रांसीसी नौसेना के लिए डुमौलिन-फ्रोमेंट समुद्री जाइरोदर्शी में एक इलेक्ट्रिक मोटर को अनुकूलित किया था। इससे फ्रांसीसी पनडुब्बी जिमनोट पनडुब्बी को अनेक घंटों तक जल के अन्दर एक सीधी रेखा में रहने की क्षमता मिली, और इसने उसे http://rbmn.free.fr/' 1890 में एक नौसैनिक ब्लॉक को बलपूर्वक करने की अनुमति दी।

इस प्रकार से 1923 में मैक्स शूलर ने अपना पेपर प्रकाशित किया जिसमें उनका अवलोकन था कि यदि दिक्सूचक में शूलर ट्यूनिंग ऐसी हो कि इसकी दोलन अवधि 84.4 मिनट हो (जो कि समुद्र तल पर पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा करने वाले एक काल्पनिक उपग्रह की कक्षीय अवधि है), तो यह हो सकता है पार्श्व गति के प्रति असंवेदनशील बना दिया गया है और दिशात्मक स्थिरता बनाए रखी गई है।

ऑपरेशन
जाइरोदर्शी, जिसे दिक्सूचक के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, एक घूमने वाला पहिया है जो की गिंबल्स के एक समुच्चय पर लगाया जाता है जिससे इसकी धुरी किसी भी तरह से स्वयं को उन्मुख करने के लिए स्वतंत्र हो सके। जब इसे अपनी धुरी को किसी दिशा की ओर निर्देशित करते हुए गति से घुमाया जाता है, तो कोणीय गति के संरक्षण के नियम के कारण, ऐसा पहिया सामान्यतः बाहरी अंतरिक्ष में निश्चित बिंदु पर अपना मूल अभिविन्यास बनाए रखेगा (पृथ्वी पर एक निश्चित बिंदु पर नहीं). चूंकि पृथ्वी घूमती है, इसलिए पृथ्वी पर स्थिर पर्यवेक्षक को ऐसा प्रतीत होता है कि जाइरोदर्शी की धुरी हर 24 घंटे में एक बार पूर्ण घूर्णन पूरा कर रही है। ऐसे घूमने वाले जाइरोदर्शी का उपयोग कुछ स्तिथियों में नौपरिवहन के लिए किया जाता है, इस प्रकार से उदाहरण के लिए विमान पर, जहां इसे शीर्षक सूचक या डायरेक्शनल जाइरो के रूप में जाना जाता है, किन्तु सामान्यतः इसका उपयोग लंबी अवधि के समुद्री नौपरिवहन के लिए नहीं किया जा सकता है। जाइरोदर्शी को दिक्सूचक में परिवर्तित करने के लिए महत्वपूर्ण अतिरिक्त घटक की आवश्यकता होती है, जिससे यह स्वचालित रूप से सही उत्तर की ओर स्थित हो जाए, यह कुछ तंत्र है जिसके परिणामस्वरूप जब भी कंपास की धुरी उत्तर की ओर नहीं होती है तो एक टॉर्कः उत्पन्न होता है।

चूंकि एक विधि आवश्यक टॉर्क प्रयुक्त करने के लिए घर्षण का उपयोग करती है: और दिक्सूचक में जाइरोदर्शी स्वयं को पुन: दिशा देने के लिए पूरी तरह से स्वतंत्र नहीं है; इस प्रकार से उदाहरण के लिए, यदि अक्ष से जुड़ा कोई उपकरण किसी शयानता द्रव में डुबोया जाए, तो वह द्रव अक्ष के पुनर्अभिविन्यास का विरोध करता है। और द्रव के कारण होने वाले इस घर्षण बल के परिणामस्वरूप अक्ष पर एक टॉर्क कार्य करता है, जिससे अक्ष देशांतर की रेखा के साथ टॉर्क के ओर्थोगोनल दिशा में मुड़ जाता (अर्थात, आगे बढ़ना) है। किन्तु एक बार जब अक्ष आकाशीय ध्रुव की ओर इंगित करेगा, तो यह स्थिर प्रतीत होगा और किसी भी अधिक घर्षण बल का अनुभव नहीं करेगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि सच्चा उत्तर (या सच्चा दक्षिण) ही एकमात्र दिशा है जिसके लिए जाइरोदर्शी पृथ्वी की सतह पर रह सकता है और उसे परिवर्तित की आवश्यकता नहीं होती है। इस अक्ष अभिविन्यास को न्यूनतम संभावित ऊर्जा का बिंदु माना जाता है।

इस प्रकार से एक और, अधिक व्यावहारिक, विधि यह है कि कम्पास की धुरी को क्षैतिज (पृथ्वी के केंद्र की दिशा के लंबवत) रहने के लिए विवश करने के लिए भार का उपयोग किया जाए, किन्तु अन्यथा इसे क्षैतिज विमान के अन्दर स्वतंत्र रूप से घूमने की अनुमति दी जाए। इस स्तिथि में, गुरुत्वाकर्षण एक टॉर्क प्रयुक्त करेगा जो कम्पास की धुरी को वास्तविक उत्तर की ओर विवश करता है। क्योंकि भार कम्पास की धुरी को पृथ्वी की सतह के संबंध में क्षैतिज तक सीमित कर देगा, धुरी कभी भी पृथ्वी की धुरी (भूमध्य रेखा को छोड़कर) के साथ संरेखित नहीं हो सकती है और पृथ्वी के घूमने पर उसे स्वयं को पुनः से संरेखित करना होगा। किन्तु पृथ्वी की सतह के संबंध में, कम्पास स्थिर दिखाई देगा और पृथ्वी की सतह के साथ वास्तविक उत्तरी ध्रुव की ओर संकेत करते है।

चूँकि दिक्सूचक का उत्तर-खोज कार्य पृथ्वी की धुरी के चारों ओर घूमने पर निर्भर करता है जो की टॉर्क-प्रेरित या घूर्णाक्षस्थापी प्रीसेशन का कारण बनता है, यदि इसे पूर्व में अधिक तीव्रता से ले जाया जाता है तो यह सही उत्तर की ओर सही रूप से उन्मुख नहीं हो पाएगा। किन्तु पश्चिम दिशा की ओर, इस प्रकार पृथ्वी का घूर्णन अस्वीकार हो जाता है। चूंकि, विमान सामान्यतः हेडिंग इंडिकेटर का उपयोग करते हैं, जो दिक्सूचक नहीं हैं और स्वयं को पूर्वता के माध्यम से उत्तर की ओर संरेखित नहीं करते हैं, किन्तु समय-समय पर मैन्युअल रूप से चुंबकीय उत्तर की ओर संरेखित होते हैं।

त्रुटियाँ
दिक्सूचक कुछ त्रुटियों के अधीन है। इनमें स्टीमिंग त्रुटि सम्मिलित है, जहां पाठ्यक्रम, गति और अक्षांश में तीव्रता से परिवर्तन से जाइरो के स्वयं को समायोजित करने से पहले चुंबकीय विचलन होता है। और अधिकांश आधुनिक जहाजों पर जीपीएस या अन्य नौपरिवहन सहायता दिक्सूचक को डेटा फीड करती है जिससे एक छोटा कंप्यूटर सुधार प्रयुक्त कर सकता है।

इस प्रकार से वैकल्पिक रूप से इनर्शियल नौपरिवहन प्रणाली या स्ट्रैपडाउन प्रणाली (फाइबर ऑप्टिक जाइरोदर्शी, रिंग लेजर जाइरोदर्शी या अर्धगोलाकार गुंजयमान यंत्र जाइरोदर्शी और एक्सेलेरोमीटर के ट्रायड सहित) पर आधारित एक डिज़ाइन इन त्रुटियों को नष्ट कर देगा, क्योंकि वे दर निर्धारित करने के लिए यांत्रिक भागों पर निर्भर नहीं होते हैं।

गणितीय मॉडल
हम दिक्सूचक को एक जाइरोदर्शी के रूप में मानते हैं जो की अपने समरूपता अक्षों में से एक के चारों ओर घूमने के लिए स्वतंत्र है, साथ ही पूरा घूमने वाला जाइरोदर्शी स्थानीय ऊर्ध्वाधर के बारे में क्षैतिज विमान पर घूमने के लिए स्वतंत्र है। इसलिए दो स्वतंत्र स्थानीय घुमाव हैं। इन घुमावों के अतिरिक्त हम पृथ्वी के उत्तर-दक्षिण (एनएस) अक्ष के बारे में घूमने पर विचार करते हैं, और हम ग्रह को एक पूर्ण व्रत के रूप में मॉडल करते हैं। हम घर्षण और सूर्य के चारों ओर पृथ्वी के घूर्णन की भी उपेक्षा करते हैं।

इस स्तिथि में पृथ्वी के केंद्र में स्थित गैर-घूर्णन पर्यवेक्षक को एक जड़त्वीय फ्रेम के रूप में अनुमानित किया जा सकता है। हम ऐसे पर्यवेक्षक (जिसे हम 1-O नाम देते हैं) के लिए कार्टेशियन निर्देशांक $$(X_{1},Y_{1},Z_{1})$$ स्थापित करते हैं, और जाइरोदर्शी का बैरीसेंटर पृथ्वी के केंद्र से $$R$$ की दूरी पर स्थित है।

पहली बार-निर्भर घूर्णन
पृथ्वी के केंद्र पर स्थित एक अन्य (गैर-जड़त्वीय) पर्यवेक्षक (2-O) पर विचार करें, किन्तु एनएस-अक्ष के बारे में $$\Omega.$$ से घूमते हुए हम इस पर्यवेक्षक से जुड़े निर्देशांक को इस प्रकार स्थापित करते हैं। $$\begin{pmatrix} X_{2}\\ Y_{2}\\ Z_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\Omega t & \sin\Omega t & 0\\ -\sin\Omega t & \cos\Omega t & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_{1}\\ Y_{1}\\ Z_{1} \end{pmatrix}$$ जिससे इकाई $$\hat{X}_{1}$$ श्लोक $$(X_{1}=1,Y_{1}=0,Z_{1}=0)^{T}$$ को बिंदु $$(X_{2} = \cos\Omega t, Y_{2}=-\sin\Omega t, Z_{2}=0)^{T}$$ पर मैप किया जाए 2-O के लिए न तो पृथ्वी और न ही जाइरोदर्शी का बैरीसेंटर घूम रहा है। 1-O के सापेक्ष 2-O का घूर्णन कोणीय वेग $$\vec{\Omega}=(0,0,\Omega)^{T}$$ के साथ किया जाता है। हम मानते हैं कि $$X_{2}$$ अक्ष शून्य देशांतर (प्राइम, या ग्रीनविच, मेरिडियन) वाले बिंदुओं को दर्शाता है।

द्वतीय और तृतीय निश्चित घुमाव
अब हम $ Z_{2}$ अक्ष के चारों ओर घूमते हैं अक्ष, जिससे $ X_{3}$ -अक्ष में बैरीसेंटर का देशांतर होता है। इस स्तिथि में हमारे पास है $$\begin{pmatrix} X_{3}\\ Y_{3}\\ Z_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\Phi & \sin\Phi & 0\\ -\sin\Phi & \cos\Phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{2}\\ Y_{2}\\ Z_{2} \end{pmatrix}.$$ इस प्रकार से अगले घूर्णन के साथ (कोण $ \delta$ सह-अक्षांश के अक्ष $ Y_{3}$  के बारे में) हम $ Z_{3}$  अक्ष को बैरीसेंटर के स्थानीय आंचल ($ Z_{4}$ - अक्ष) के साथ लाते हैं। इसे निम्नलिखित ऑर्थोगोनल आव्युह (इकाई निर्धारक के साथ) द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।

$$\begin{pmatrix} X_{4}\\ Y_{4}\\ Z_{4} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\delta & 0 & -\sin\delta\\ 0 & 1 & 0\\ \sin\delta & 0 & \cos\delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{3}\\ Y_{3}\\ Z_{3} \end{pmatrix},$$ जिससे $\hat{Z}_{3}                                                                                                                                                                                                    $  श्लोक $ (X_{3}=0,Y_{3}=0,Z_{3}=1)^{T}$  को बिंदु $ (X_{4}=-\sin\delta,Y_{4}=0,Z_{4}=\cos\delta)^{T}.$  पर मैप किया गया है

निरंतर अनुवाद
अब हम एक और समन्वय आधार चुनते हैं जिसका मूल जाइरोदर्शी के बैरीसेंटर पर स्थित है। इसे आंचल अक्ष के साथ निम्नलिखित अनुवाद द्वारा निष्पादित किया जा सकता है $$\begin{pmatrix} X_{5}\\ Y_{5}\\ Z_{5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} X_{4}\\ Y_{4}\\ Z_{4} \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ R \end{pmatrix},$$ जिससे नवीन प्रणाली $$(X_{5}=0,Y_{5}=0,Z_{5}=0)^{T}$$ की उत्पत्ति हो जिससे नवीन प्रणाली $$(X_{4}=0,Y_{4}=0,Z_{4}=R)^{T},$$ और $$R$$ की उत्पत्ति पृथ्वी की त्रिज्या हो। अब $$X_{5}                                                                                                                                                                                                          $$-अक्ष दक्षिण दिशा की ओर इंगित करता है।

चतुर्थ काल-निर्भर घूर्णन
अब हम आंचल $$Z_{5}$$-अक्ष के चारों ओर घूमते हैं जिससे नवीन समन्वय प्रणाली जाइरोदर्शी की संरचना से जुड़ी हो, जिससे इस समन्वय प्रणाली में आराम कर रहे एक पर्यवेक्षक के लिए, दिक्सूचक केवल समरूपता की अपनी धुरी के बारे में घूम सके। इस स्तिथि में हम पाते हैंː $$\begin{pmatrix} X_{6}\\ Y_{6}\\ Z_{6} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha & 0\\ -\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_{5}\\ Y_{5}\\ Z_{5} \end{pmatrix}.$$ दिक्सूचक की समरूपता की धुरी अब $$X_{6}$$-अक्ष के अनुदिश है ।

अंतिम समय-निर्भर घूर्णन
अंतिम घूर्णन, जाइरोदर्शी की समरूपता के अक्ष पर एक घूर्णन हैː $$\begin{pmatrix} X_{7}\\ Y_{7}\\ Z_{7} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\psi & \sin\psi\\ 0 & -\sin\psi & \cos\psi \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_{6}\\ Y_{6}\\ Z_{6} \end{pmatrix}.$$

प्रणाली की गतिशीलता
चूँकि जाइरोदर्शी के बैरीसेंटर की ऊँचाई नहीं बदलती (और समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति इसी बिंदु पर स्थित है), इसकी गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा स्थिर है। इसलिए यह लैग्रेंजियन $$\mathcal{L}$$ केवल इसकी गतिज ऊर्जा $$K$$ से मेल खाता है। हमारे पास है $$\mathcal{L}=K=\frac{1}{2} \vec{\omega}^{T}I\vec\omega+\frac{1}{2} M \vec{v}_{\rm CM}^{2},$$ जहाँ $$M$$ जाइरोदर्शी का द्रव्यमान है, और $$\vec{v}_{\rm CM}^{2}=\Omega^2 R^2 \sin^2\delta={\rm constant}$$ अंतिम समन्वय प्रणाली (अर्थात द्रव्यमान का केंद्र) के निर्देशांक की उत्पत्ति की वर्ग जड़त्वीय गति है। यह स्थिर शब्द जाइरोदर्शी की गतिशीलता को प्रभावित नहीं करता है और इसे उपेक्षित किया जा सकता है। दूसरी ओर, जड़ता का टेंसर किसके द्वारा दिया जाता है $$I=\begin{pmatrix} I_{1}&0&0\\ 0 & I_{2}&0\\ 0 &0 & I_{2} \end{pmatrix}$$ और $$\begin{align} \vec{\omega}&=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\psi & \sin\psi\\ 0 & -\sin\psi & \cos\psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\psi}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\psi & \sin\psi\\ 0 & -\sin\psi & \cos\psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha & 0\\ -\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \dot{\alpha} \end{pmatrix}\\ &\qquad + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\psi & \sin\psi\\ 0 & -\sin\psi & \cos\psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha & 0\\ -\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\delta & 0 & -\sin\delta\\ 0 & 1 & 0\\ \sin\delta & 0 & \cos\delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\Phi & \sin\Phi & 0\\ -\sin\Phi & \cos\Phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\Omega t & \sin\Omega t & 0\\ -\sin\Omega t & \cos\Omega t & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \Omega \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \dot{\psi}\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0\\ \dot{\alpha}\sin\psi\\ \dot{\alpha}\cos\psi \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -\Omega\sin\delta\cos\alpha\\ \Omega(\sin\delta\sin\alpha\cos\psi+\cos\delta\sin\psi)\\ \Omega(-\sin\delta\sin\alpha\sin\psi+\cos\delta\cos\psi) \end{pmatrix} \end{align}$$ इसलिए हम पाते हैं $$\begin{align} \mathcal{L} &= \frac{1}{2} \left [I_{1}\omega_{1}^{2}+I_{2} \left (\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2} \right ) \right ]\\ &= \frac{1}{2} I_{1} \left (\dot{\psi}-\Omega\sin\delta\cos\alpha \right )^{2} +\frac{1}{2} I_{2} \left \{ \left [\dot{\alpha}\sin\psi+\Omega(\sin\delta\sin\alpha\cos\psi+\cos\delta\sin\psi) \right ]^{2} + \left [\dot{\alpha}\cos\psi+\Omega(-\sin\delta\sin\alpha\sin\psi+\cos\delta\cos\psi) \right ]^{2} \right \} \\ &= \frac{1}{2} I_{1} \left (\dot{\psi}-\Omega\sin\delta\cos\alpha \right )^{2}+\frac{1}{2} I_{2} \left \{ \dot{\alpha}^{2} +\Omega^{2} \left (\cos^{2}\delta+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\delta \right ) +2\dot{\alpha}\Omega\cos\delta \right \} \end{align}$$ लैग्रेंजियन को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है $$\mathcal{L}=\mathcal{L}_{1}+\frac{1}{2} I_{2}\Omega^{2}\cos^{2}\delta+\frac{d}{dt}(I_{2}\alpha\Omega\cos\delta),$$ जहाँ $$\mathcal{L}_{1}=\frac{1}{2} I_{1} \left (\dot{\psi}-\Omega\sin\delta\cos\alpha \right )^{2}+\frac{1}{2} I_{2}\left (\dot{\alpha}^{2}+\Omega^{2}\sin^{2}\alpha\sin^{2}\delta \right )$$ प्रणाली की गतिशीलता के लिए उत्तरदायी लैग्रेंजियन का भाग है। तब से $$\partial \mathcal{L}_1/\partial\psi = 0$$, हम देखतें है $$L_{x}\equiv\frac{\partial \mathcal{L}_1}{\partial\dot{\psi}}=I_1 \left (\dot{\psi}-\Omega\sin\delta\cos\alpha \right )=\mathrm{constant}.$$ चूँकि दिक्सूचक का कोणीय संवेग $$\vec L$$, $$\vec L=I\vec\omega,$$ द्वारा दिया जाता है, हम देखते हैं कि स्थिरांक $$L_x$$ समरूपता के अक्ष के बारे में कोणीय संवेग का घटक है। इसके अतिरिक्त, हम वेरिएबल $$\alpha$$ के लिए गति का समीकरण इस प्रकार पाते हैं $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial \mathcal{L}_{1}}{\partial\dot{\alpha}}\right)=\frac{\partial \mathcal{L}_{1}}{\partial\alpha},$$ या $$\begin{align} I_{2}\ddot{\alpha} &=I_{1}\Omega \left (\dot{\psi}-\Omega\sin\delta\cos\alpha \right )\sin\delta\sin\alpha+\frac{1}{2} I_{2} \Omega^{2}\sin^{2}\delta\sin2\alpha\\ &=L_{x}\Omega\sin\delta\sin\alpha+\frac{1}{2} I_{2} \Omega^{2}\sin^{2}\delta\sin2\alpha \end{align}$$

विशेष स्तिथि: ध्रुव
ध्रुवों पर हम $$\sin\delta=0,$$ पाते हैं और गति के समीकरण बन जाते हैंː $$\begin{align} L_{x} &=I_{1}\dot{\psi}=\mathrm{constant}\\ I_{2}\ddot{\alpha}&=0 \end{align}$$ इस सरल समाधान का अर्थ है कि जाइरोदर्शी ऊर्ध्वाधर और सममित अक्ष दोनों में निरंतर कोणीय वेग के साथ समान रूप से घूम रहा है।

सामान्य और शारीरिक रूप से प्रासंगिक स्तिथि
आइए अब मान लें कि $$\sin\delta\neq0$$ और वह $$\alpha\approx0$$ जो जाइरोदर्शी की धुरी है, लगभग उत्तर-दक्षिण रेखा के साथ है, और हमें पैरामीटर स्तिथि खोजे (यदि यह उपस्तिथ है) जिसके लिए प्रणाली इसी रेखा के बारे में स्थिर छोटे दोलनों को स्वीकार करता है। यदि यह स्थिति होती है, तो जाइरोदर्शी प्रायः दिशा देते हुए लगभग उत्तर-दक्षिण रेखा के साथ संरेखित होगा। इस स्तिथि में हम पाते हैंː $$\begin{align} L_{x}&\approx I_{1} \left (\dot{\psi}-\Omega\sin\delta \right )\\ I_{2}\ddot{\alpha}&\approx \left (L_{x}\Omega\sin\delta+I_{2} \Omega^{2}\sin^{2}\delta \right) \alpha \end{align}$$ उस स्तिथि पर विचार करें $$L_{x}<0,$$ और, इसके अतिरिक्त, हम तेज़ जाइरो-घूर्णन की अनुमति देते हैं, अर्थात $$\left |\dot{\psi} \right |\gg\Omega.$$ इसलिए, तीव्रता से घूमने वाले घुमावों के लिए, $$L_x<0$$ का तात्पर्य $$\dot\psi<0.$$ है। इस स्तिथि में, गति के समीकरण और सरल हो जाते हैं $$\begin{align} L_{x}             &\approx -I_{1} \left |\dot{\psi} \right | \approx \mathrm{constant}\\ I_{2}\ddot{\alpha} &\approx -I_{1} \left |\dot{\psi} \right |\Omega \sin\delta\alpha \end{align}$$

इसलिए, हम उत्तर-दक्षिण रेखा के बारे में छोटे-छोटे दोलन पाते हैं, जैसे $$\alpha\approx A\sin(\tilde\omega t+B)$$, जहां उत्तर-दक्षिण रेखा के बारे में दिक्सूचक की समरूपता अक्ष की धुरी की इस हार्मोनिक गति का कोणीय वेग दिया गया है $$\tilde\omega=\sqrt{\frac{I_{1}\sin\delta}{I_{2}}}\sqrt{\left |\dot{\psi} \right |\Omega},$$ जो कि दिए गए दोलनों की अवधि से मेल खाता है $$T=\frac{2\pi}{\sqrt{\left |\dot{\psi} \right |\Omega}}\sqrt{\frac{I_{2}}{I_{1}\sin\delta}}.$$ इसलिए $$\tilde\omega$$ पृथ्वी के ज्यामितीय माध्य और घूमने वाले कोणीय वेग के समानुपाती है। इस प्रकार से छोटे दोलनों के लिए हमें $$\dot{\psi}<0$$ की आवश्यकता है जिससे उत्तर घूमने वाली धुरी के दाहिने हाथ की दिशा में स्थित हो, यानी $$X_7$$-अक्ष, समरूपता की धुरी की ऋणात्मक दिशा के साथ है। इस प्रकार से एक पार्श्व परिणाम के रूप में, $$T$$ मापने पर (और $$\dot{\psi}$$ जानने पर), कोई स्थानीय सह-अक्षांश $$\delta.$$ निकाल सकता है

यह भी देखें

 * एवियोनिक्स में परिवर्णी शब्द और संक्षिप्ताक्षर
 * हेडिंग इंडिकेटर, जिसे दिशा संकेतक के रूप में भी जाना जाता है, विमान में उपयोग किया जाने वाला एक हल्का जाइरोदर्शी (दिक्सूचक नहीं)
 * एचआरजी दिक्सूचक
 * फ्लक्सगेट कम्पास
 * फाइबर ऑप्टिक दिक्सूचक
 * जड़त्वीय नौपरिवहन प्रणाली, एक अधिक सम्मिश्र प्रणाली जिसमें एक्सेलेरोमीटर भी सम्मिलित है
 * शूलर ट्यूनिंग
 * शिखर

ग्रन्थसूची

 * : "Gyroscopic compass" by E. A. Sperry, filed June, 1911; issued September, 1918

बाहरी संबंध

 * Feynman's Tips on Physics - The gyrocompass
 * Case Files: Elmer A. Sperry at the Franklin Institute contains records concerning his 1914 Franklin Award for the gyroscopic compass