ऑर्थोप्टिक (ज्यामिति)

वक्रों की ज्यामिति में, ऑर्थोप्टिक उन बिंदुओं का समूह है, जिनके लिए किसी दिए गए वक्र की दो स्पर्शरेखाएँ एक समकोण पर मिलती हैं

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]]उदाहरण:
 * 1) पैराबोला का ऑर्थोप्टिक इसका डायरेक्ट्रिक्स है ( प्रूफ: नीचे देखें),
 * 2) दीर्घवृत्त का ऑर्थोप्टिक $$\tfrac{x^2}{a^2} + \tfrac{y^2}{b^2} = 1$$ डायरेक्टर सर्किल है $$x^2 + y^2 = a^2 + b^2$$ (नीचे देखें),
 * 3) हाइपरबोला का ऑर्थोप्टिक $$\tfrac{x^2}{a^2} - \tfrac{y^2}{b^2} = 1,\ a > b$$ डायरेक्टर सर्किल है $$x^2 + y^2 = a^2 - b^2$$ ($a ≤ b$ के मामले में कोई ओर्थोगोनल स्पर्शरेखा नहीं है, नीचे देखें),
 * 4) एक एस्ट्रोइड का ऑर्थोप्टिक $$x^{2/3} + y^{2/3} = 1$$ में एक चतुर्भुज ध्रुवीय समीकरण के साथ $$r=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(2\varphi), \ 0\le \varphi < 2\pi$$ (नीचे देखें)।

सामान्यीकरण:
 * 1) एक समद्विबाहु बिंदुओं का समूह है, जिसके लिए दिए गए वक्र के दो स्पर्शरेखा एक निश्चित कोण पर मिलते हैं (नीचे देखें)।
 * 2) दो समतल वक्रों का एक समस्थानिक उन बिंदुओं का समुच्चय होता है जिनके लिए दो स्पर्श रेखाएँ एक निश्चित कोण पर मिलती हैं।
 * 3) जीवा PQ पर थेल्स सिद्धांत को दो वृत्तों के ऑर्थोप्टिक के रूप में माना जा सकता है, जो दो बिंदुओं P और Q में पतित हो जाते हैं।

एक परबोला का ऑर्थोप्टिक
किसी भी परवलय को समीकरण के साथ एक परवलय में एक कठोरतापूर्वक गति (कोण नहीं बदला जाता है) द्वारा परिवर्तित किया जा सकता है $$y=ax^2$$. परबोला के एक बिंदु पर ढलान है $$m=2ax$$ है. x को बदलने पर स्पर्शरेखा ढलान के साथ पैराबोला का पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व पैरामीटर के रूप में मिलता है: $$\ \left(\tfrac{m}{2a},\tfrac{m^2}{4a} \right) \! .$$ स्पर्शरेखा का समीकरण है $$y=mx+n$$ फिर भी अज्ञात घटक $xy$ के साथ, जिसे परबोला बिंदु के निर्देशांक के साथ सम्मिलित करके निर्धारित किया जा सकता है। एक को $$\ y=mx-\tfrac{m^2}{4a}\; .$$ मिलता है।

यदि एक स्पर्शरेखा में बिंदु (x0, y0), पैराबोला से दूर है, तो समीकरण
 * $$y_0=m x_0 -\frac{m^2}{4a}\quad \rightarrow \quad m^2-4ax_0\;m +4ay_0=0$$

धारण करता है, जिसके दो समाधान m1 और m2 हैं जो गुजरने वाली दो स्पर्श रेखाओं $(x_{0}, y_{0})$ के अनुरूप हैं। कम किए गए द्विघात समीकरण का मुक्त पद हमेशा इसके समाधान का गुणनफल होता है। इसलिए, यदि स्पर्शरेखाएं $(x_{0}, y_{0})$ पर लंबवत रूप से मिलती हैं, तो निम्नलिखित समीकरण मान्य हैं:
 * $$m_1m_2=-1=4ay_0$$

अंतिम समीकरण के बराबर है
 * $$y_0=-\frac{1}{4a}\;, $$

जो नियता का समीकरण है।

दीर्घवृत्त
माना $$\; E:\; \tfrac{x^2}{a^2}+\tfrac{y^2}{b^2}=1 \;$$ प्रतिफल का दीर्घवृत्त हो।

(1) दीर्घवृत्त की स्पर्श रेखाएँ $$E$$ शीर्षों पर और सह-शीर्ष पर 4 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करती हैं $$(\pm a, \pm b)$$, जो वांछित ऑर्थोप्टिक (वक्र पर $$ x^2+y^2=a^2+b^2$$) होते है.

(2) दीर्घवृत्त का $$E$$ के एक बिंदु $$(u,v)$$ पर स्पर्शरेखा का समीकरण $$\tfrac{u}{a^2}x+\tfrac{v}{b^2}y = 1$$ ((दीर्घवृत्त की स्पर्शरेखा देखें)। यदि बिंदु शीर्ष नहीं है तो इस समीकरण को y के लिए हल किया जा सकता है: $$\ y=-\tfrac{b^2u}{a^2v}\;x\;+\;\tfrac{b^2}{v}\; .$$

संक्षिप्ताक्षरों का प्रयोग करना $$(I)\; m=-\tfrac{b^2u}{a^2v},\; {\color{red}n=\tfrac{b^2}{v}}\; $$ और समीकरण $$\; {\color{blue}\tfrac{u^2}{a^2}=1-\tfrac{v^2}{b^2}=1-\tfrac{b^2}{n^2}}\; $$ एक को मिलता है::
 * $$m^2=\frac{b^4u^2}{a^4v^2}=\frac{1}{a^2}{\color{red}\frac{b^4}{v^2}}{\color{blue}\frac{u^2}{a^2}}=\frac{1}{a^2}{\color{red}n^2}{\color{blue}(1-\frac{b^2}{n^2})}=\frac{n^2-b^2}{a^2}\; .$$

अत $$\ (II)\; n=\pm\sqrt{m^2a^2+b^2}$$ और एक गैर ऊर्ध्वाधर स्पर्शरेखा का समीकरण है
 * $$y=m\;x\;\pm\sqrt{m^2a^2+b^2}.$$

$$u,v$$ संबंधों को सुलझाना $$(I)$$ को हल करना और $$(II)$$ अंडाकार के पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व के आधार पर ढलान की ओर जाता है:
 * $$(u,v)=(-\tfrac{ma^2}{\pm\sqrt{m^2a^2+b^2}}\;,\;\tfrac{b^2}{\pm\sqrt{m^2a^2+b^2}})\ .\ $$(दूसरे प्रमाण के लिए: दीर्घवृत्त देखें।)

यदि एक स्पर्शरेखा में बिंदु $$(x_0,y_0)$$, दीर्घवृत्त से दूर है, तो समीकरण होता है
 * $$y_0=m x_0 \pm \sqrt{m^2a^2+b^2}$$

होल्स वर्गमूल को हटाने से होता है
 * $$m^2-\frac{2x_0y_0}{x_0^2-a^2}m + \frac{y_0^2-b^2}{x_0^2-a^2}=0,$$

जिसके दो उपाय हैं $$m_1,m_2$$ से गुजरने वाली दो स्पर्श रेखाओं के संगत $$(x_0,y_0)$$. एक द्विघात समीकरण का अचर पद सदैव इसके हलों का गुणनफल होता है। इसलिए, यदि स्पर्शरेखाएं $$(x_0,y_0)$$ पर मिलती हैं, तो निम्नलिखित समीकरण सही हैं: :$$m_1m_2=-1=\frac{y_0^2-b^2}{x_0^2-a^2}$$ अंतिम समीकरण के बराबर है
 * $$x_0^2+y_0^2=a^2+b^2\; .$$

(1) और (2) से प्राप्त होता है:
 * ऑर्थोगोनल स्पर्शरेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त के बिंदु होते हैं $$x^2+y^2=a^2+b^2$$.

अतिपरवलय
दीर्घवृत्त में अतिपरवलय की स्थिति में लगभग सटीक रूप से अपनाया जा सकता है। किए जाने वाले परिवर्तनों को $$b^2$$ को $$-b^2$$से बदलना और $n$ को $|m| > b⁄a$. क सीमित करना है। इसलिए:
 * ऑर्थोगोनल स्पर्शरेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त के बिंदु होते हैं $$x^2+y^2=a^2-b^2$$, कहां $a > b$.

एक एस्ट्रोइड का ऑर्थोप्टिक
पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व द्वारा एक क्षुद्रग्रह का वर्णन किया जा सकता है
 * $$\vec c(t)=\left(\cos^3t,\sin^3t\right), \quad 0\le t<2\pi$$.

स्थिति, से
 * $$\vec \dot c(t)\cdot\vec \dot c(t+\alpha)=0$$

एक पैरामीटर स्पेस में दूरी α को पहचानता है, जिस पर $ċ(t)$ के लिए एक ऑर्थोगोनल स्पर्शरेखा दिखाई देती है। यह पता चला है कि दूरी पैरामीटर $m$ से स्वतंत्र है अर्थात् $α = ± π⁄2$.बिंदुओं पर (ऑर्थोगोनल) स्पर्शरेखाओं के समीकरण $c(t)$ तथा $c(t + π⁄2)$ क्रमशः हैं:
 * $$\begin{align}

y&=-\tan t \left(x-\cos^3 t\right)+\sin^3t, \\ y&=\frac{1}{\tan t} \left(x+\sin^3 t\right)+\cos^3t. \end{align}$$ उनके सामान्य बिंदु के निर्देशांक हैं:
 * $$\begin{align}

x&=\sin t\cos t(\sin t-\cos t), \\ y&=\sin t\cos t(\sin t+\cos t). \end{align}$$ यह एक ऑर्थोप्टिक का पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व है।

पैरामीटर $t$ का उन्मूलन अंतर्निहित प्रतिनिधित्व उत्पन्न करता है
 * $$2\left(x^2+y^2\right)^3-\left(x^2-y^2\right)^2=0.$$

पेश है नया पैरामीटर $φ = t − 5π⁄4$ से मिलता है
 * $$\begin{align}

x&=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(2\varphi)\cos\varphi, \\ y&=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(2\varphi)\sin\varphi. \end{align}$$ (उपपत्ति कोण योग और अंतर पहचान का उपयोग करती है) इसलिए हमें ध्रुवीय का प्रतिनिधित्व मिलता है।
 * $$r=\tfrac{1}{\sqrt{2}}\cos(2\varphi), \quad 0\le \varphi <2\pi$$ ऑर्थोप्टिक का। अत:


 * एस्ट्रोइड का ऑर्थोप्टिक चतुष्पर्णीय, होता है।

एक पैराबोला, एक दीर्घवृत्त और एक अतिपरवलय का समस्थानिक
समस्थानिकों के नीचे α ≠ 90° कोणों के लिए सूचीबद्ध हैं। उन्हें α-आइसोप्टिक्स कहा जाता है। प्रमाण के लिए नीचे देखें।

आइसोप्टिक्स के समीकरण

 * परबोला :
 * समीकरण $y = ax^{2}$ वाले परवलय के α-आइसोप्टिक्स अतिपरवलय की शाखाएं हैं
 * $$x^2-\tan^2\alpha\left(y+\frac{1}{4a}\right)^2-\frac{y}{a}=0.$$

अतिपरवलय की शाखाएं दो कोणों α और 180° - α (चित्र देखें) के लिए आइसोप्टिक्स प्रदान करती हैं।


 * दीर्घवृत्त : 
 * समीकरण के साथ दीर्घवृत्त का α-आइसोप्टिक्स $x^{2}⁄a^{2} + y^{2}⁄b^{2} = 1$ डिग्री-4 वक्र के दो भाग हैं
 * $$\left(x^2+y^2-a^2-b^2\right)^2\tan^2\alpha=4\left(a^2y^2+b^2x^2-a^2b^2\right)$$

(तस्वीर देखो)।


 * अतिपरवलय :
 * समीकरण के साथ अतिपरवलय का α-आइसोप्टिक्स $x^{2}⁄a^{2} − y^{2}⁄b^{2} = 1$ डिग्री-4 वक्र के दो भाग हैं
 * $$\left(x^2+y^2-a^2+b^2\right)^2\tan^2\alpha=4\left(a^2y^2-b^2x^2+a^2b^2\right).$$

प्रमाण
एक पैराबोला $y = ax^{2}$ इसकी स्पर्शरेखाओं $m = 2ax$ के ढलान द्वारा पैरामीट्रिज किया जा सकता है:
 * परबोला :


 * $$\vec c(m)=\left(\frac{m}{2a},\frac{m^2}{4a}\right), \quad m \in \R.$$

ढलान $t$ के साथ स्पर्शरेखा का समीकरण है


 * $$y=mx-\frac{m^2}{4a}.$$

बिंदु $(x_{0}, y_{0})$ स्पर्शरेखा पर है अगर


 * $$y_0=mx_0-\frac{m^2}{4a}.$$
 * इसका अर्थ है की $(x_{0}, y_{0})$  युक्त दो स्पर्शरेखाओं के ढलान  $m_{1}$, $m_{2}$ के द्विघात समीकरण को पूरा करते हैं


 * $$m^2 - 4ax_0m + 4ay_0=0.$$

यदि स्पर्श रेखाएँ कोण $m$ या $180° − α$, पर मिलती हैं, तो समीकरण


 * $$\tan^2\alpha=\left(\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right)^2$$

पूरा किया जाना चाहिए $α$, के लिए द्विघात समीकरण को हल करने और अंतिम समीकरण में $m_{1}$, $m_{2}$ डालने पर प्राप्त होता है


 * $$x_0^2-\tan^2\alpha\left(y_0+\frac{1}{4a}\right)^2-\frac{y_0}{a}=0.$$

यह उपरोक्त हाइपरबोला का समीकरण है। इसकी शाखाएं दो कोणों α और 180° - α के लिए पैराबोला के दो समस्थानिक धारण करती हैं।

दीर्घवृत्त:

दीर्घवृत्त के मामले में $x^{2}⁄a^{2} + y^{2}⁄b^{2} = 1$ द्विघात समीकरण के लिए ऑर्थोप्टिक के विचार को अपना सकता है


 * $$m^2-\frac{2x_0y_0}{x_0^2-a^2}m + \frac{y_0^2-b^2}{x_0^2-a^2}=0.$$

अब, परवलय के मामले में, द्विघात समीकरण को हल करना होगा और दो समाधान $m_{1}$, $m_{2}$ को समीकरण में सम्मिलित करना होता


 * $$\tan^2\alpha=\left(\frac{m_1-m_2}{1+m_1m_2}\right)^2.$$

पुनर्व्यवस्थित करने से पता चलता है कि आइसोप्टिक्स डिग्री -4 वक्र के हिस्से हैं:


 * $$\left(x_0^2+y_0^2-a^2-b^2\right)^2\tan^2\alpha=4\left(a^2y_0^2+b^2x_0^2-a^2b^2\right).$$

अतिपरवलय के मामले के लिए समाधान दीर्घवृत्त मामले से $b^{2}$ को $−b^{2}$ से प्रतिस्थापित करके अपनाया जा सकता है (जैसा कि ऑर्थोप्टिक्स के मामले में है, ऊपर देखें)।
 * अतिपरवलय :

आइसोप्टिक्स की कल्पना करने के लिए, अंतर्निहित वक्र देखें।

बाहरी कड़ियाँ

 * Special Plane Curves.
 * Mathworld
 * Jan Wassenaar's Curves
 * "Isoptic curve" at MathCurve
 * "Orthoptic curve" at MathCurve