बर्फ-प्रारूप नमूना

सांख्यिकीय यांत्रिकी में, आइस-टाइप नमूना या सिक्स-वर्टेक्स नमूना हाइड्रोजन बांड के साथ क्रिस्टल लैटिस के लिए वर्टेक्स नमूना का परिवार है। इस तरह का पहला नमूना लिनस पॉलिंग द्वारा 1935 में पानी की बर्फ की अवशिष्ट एन्ट्रापी के लिए पेश किया गया था। वेरिएंट को कुछ फेरोइलेक्ट्रिक के नमूना के रूप में प्रस्तावित किया गया है और लौह-विद्युत क्रिस्टल।

1967 में, इलियट एच. लीब ने वर्ग बर्फ के रूप में ज्ञात द्वि-आयामी बर्फ नमूना के लिए सटीक रूप से हल करने योग्य नमूना की खोज की। तीन आयामों में सटीक समाधान केवल विशेष जमी हुई अवस्था के लिए जाना जाता है।

विवरण
बर्फ-प्रकार का नमूना जाली नमूना है जिसे समन्वय संख्या 4 की जाली पर परिभाषित किया गया है। अर्थात, जाली का प्रत्येक शीर्ष चार निकटतम पड़ोसियों के किनारे से जुड़ा हुआ है। नमूना की स्थिति में जाली के प्रत्येक किनारे पर तीर होता है, जैसे कि प्रत्येक शीर्ष पर अंदर की ओर इंगित करने वाले तीरों की संख्या 2 होती है। तीर विन्यास पर यह प्रतिबंध बर्फ नियम के रूप में जाना जाता है। ग्राफ सिद्धांत के संदर्भ में, राज्य अंतर्निहित 4-नियमित ग्राफ अप्रत्यक्ष ग्राफ के यूलेरियन पथ अभिविन्यास (ग्राफ सिद्धांत) हैं। विभाजन फ़ंक्शन कहीं नहीं-शून्य प्रवाह | नोव्हेयर-जीरो 3-फ्लो की संख्या को भी गिनता है।

द्वि-आयामी नमूना के लिए, जाली को वर्गाकार जाली के रूप में लिया जाता है। अधिक यथार्थवादी नमूना के लिए, विचार की जा रही सामग्री के लिए उपयुक्त त्रि-आयामी जाली का उपयोग किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, Ice Ih का उपयोग बर्फ का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।

किसी भी शीर्ष पर, तीरों के छह विन्यास हैं जो बर्फ के नियम को संतुष्ट करते हैं (छह-शीर्ष नमूना नाम को सही ठहराते हुए)। (द्वि-आयामी) वर्ग जाली के लिए वैध विन्यास निम्नलिखित हैं:


 * Sixvertex2.pngकिसी अवस्था की ऊर्जा को प्रत्येक शीर्ष पर विन्यासों के कार्य के रूप में समझा जाता है। चौकोर जाली के लिए, यह माना जाता है कि कुल ऊर्जा $$E$$ द्वारा दिया गया है
 * $$ E = n_1\epsilon_1 + n_2\epsilon_2 + \ldots + n_6\epsilon_6,$$

कुछ स्थिरांक के लिए $$\epsilon_1,\ldots,\epsilon_6$$, कहाँ $$n_i$$ यहाँ के साथ शीर्षों की संख्या को दर्शाता है $$i$$उपरोक्त आकृति से वें विन्यास। मूल्य $$\epsilon_i$$ शीर्ष विन्यास संख्या से जुड़ी ऊर्जा है $$i$$.

का उद्देश्य विभाजन समारोह (सांख्यिकीय यांत्रिकी) की गणना करना है $$Z$$ बर्फ-प्रकार का नमूना, जो सूत्र द्वारा दिया गया है
 * $$ Z = \sum \exp(-E/k_{\rm B}T),$$

जहां नमूना के सभी राज्यों में योग लिया जाता है, $$E$$ राज्य की ऊर्जा है, $$k_{\rm B}$$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, और $$T$$ सिस्टम का तापमान है।

आमतौर पर, किसी को थर्मोडायनामिक सीमा में रुचि होती है जिसमें संख्या होती है $$N$$ शिखरों की संख्या अनंत तक पहुँचती है। उस स्थिति में, इसके बजाय प्रति शीर्ष मुक्त ऊर्जा का मूल्यांकन किया जाता है $$f$$ के रूप में सीमा में $$N\to \infty$$, कहाँ $$f$$ द्वारा दिया गया है
 * $$ f = -k_{\rm B}T N^{-1}\log Z.$$

समतुल्य रूप से, प्रति शीर्ष विभाजन फ़ंक्शन का मूल्यांकन करता है $$W$$ थर्मोडायनामिक सीमा में, जहां
 * $$W=Z^{1/N}.$$

मूल्य $$f$$ और $$W$$ से संबंधित हैं
 * $$f= -k_{\rm B}T \log W.$$

शारीरिक औचित्य
हाइड्रोजन बांड के साथ कई वास्तविक क्रिस्टल बर्फ सहित बर्फ के नमूना को संतुष्ट करते हैं और पोटेशियम डाइहाइड्रोजन फॉस्फेट (केडीपी)। दरअसल, ऐसे क्रिस्टल ने बर्फ-प्रकार के नमूना के अध्ययन को प्रेरित किया।

बर्फ में, प्रत्येक ऑक्सीजन परमाणु बंधन द्वारा चार अन्य ऑक्सीजन से जुड़ा होता है, और प्रत्येक बंधन में टर्मिनल ऑक्सीजेन के बीच हाइड्रोजन परमाणु होता है। हाइड्रोजन दो सममित रूप से स्थित स्थितियों में से पर कब्जा कर लेता है, जिनमें से कोई भी बंधन के बीच में नहीं है। पॉलिंग ने तर्क दिया कि हाइड्रोजन परमाणुओं का अनुमत विन्यास ऐसा है कि प्रत्येक ऑक्सीजन के पास हमेशा ठीक दो हाइड्रोजन होते हैं, इस प्रकार स्थानीय वातावरण को पानी के अणु की नकल बनाते हैं,. इस प्रकार, यदि हम ऑक्सीजन परमाणुओं को जालक के शीर्षों और हाइड्रोजन बंधों को जालक किनारों के रूप में लेते हैं, और यदि हम बंधन पर तीर खींचते हैं जो उस बंधन की तरफ इशारा करता है जिस पर हाइड्रोजन परमाणु बैठता है, तो बर्फ बर्फ को संतुष्ट करता है नमूना। इसी तरह का तर्क यह दिखाने के लिए लागू होता है कि केडीपी भी आइस नमूना को संतुष्ट करता है।

हाल के वर्षों में, बर्फ-प्रकार के नमूना को पायरोक्लोर स्पिन बर्फ के विवरण के रूप में खोजा गया है और ज्यामितीय हताशा # कृत्रिम ज्यामितीय रूप से कुंठित फेरोमैग्नेट्स सिस्टम, जिसमें बिस्टेबल चुंबकीय पल (स्पिन्स) के बीच की बातचीत में ज्यामितीय निराशा आइस-रूल स्पिन कॉन्फ़िगरेशन को इष्ट बनाती है। हाल ही में इस तरह की उपमाओं को उन परिस्थितियों का पता लगाने के लिए बढ़ाया गया है जिसके तहत रईस एफ- नमूना द्वारा स्पिन-आइस सिस्टम का सटीक वर्णन किया जा सकता है।

वर्टेक्स एनर्जी के विशिष्ट विकल्प
चौकोर जाली पर, ऊर्जाएँ $$\epsilon_1,\ldots,\epsilon_6$$ वर्टेक्स कॉन्फ़िगरेशन से जुड़े 1-6 राज्यों की सापेक्ष संभावनाओं को निर्धारित करते हैं, और इस प्रकार सिस्टम के मैक्रोस्कोपिक व्यवहार को प्रभावित कर सकते हैं। इन शीर्ष ऊर्जाओं के लिए निम्नलिखित सामान्य विकल्प हैं।

बर्फ का नमूना
बर्फ की नमूनािंग करते समय, लेता है $$\epsilon_1=\epsilon_2=\ldots=\epsilon_6=0$$, क्योंकि सभी अनुमेय शीर्ष विन्यासों को समान रूप से संभावित समझा जाता है। इस मामले में, विभाजन समारोह $$Z$$ मान्य राज्यों की कुल संख्या के बराबर है। इस नमूना को आइस नमूना के रूप में जाना जाता है ('आइस-टाइप' नमूना के विपरीत)।

फेरोइलेक्ट्रिक
का केडीपी नमूना कड़ा आलोचक तर्क दिया कि केडीपी को ऊर्जा के साथ बर्फ-प्रकार के नमूना द्वारा दर्शाया जा सकता है
 * $$ \epsilon_1=\epsilon_2=0, \epsilon_3=\epsilon_4=\epsilon_5=\epsilon_6>0$$

इस नमूना के लिए (केडीपी नमूना कहा जाता है), सबसे संभावित स्थिति (न्यूनतम-ऊर्जा स्थिति) में सभी क्षैतिज तीर ही दिशा में इंगित करते हैं, और इसी तरह सभी ऊर्ध्वाधर तीरों के लिए। ऐसी स्थिति फेरोइलेक्ट्रिक अवस्था है, जिसमें सभी हाइड्रोजन परमाणुओं को उनके बंधनों के निश्चित पक्ष के लिए प्राथमिकता होती है।

रईस एफ नमूना एंटीफेरोइलेक्ट्रिक
का

द 'रिस $$F$$ नमूना लगाने से प्राप्त होता है
 * $$ \epsilon_1=\epsilon_2=\epsilon_3=\epsilon_4>0, \epsilon_5=\epsilon_6=0.$$

इस नमूना के लिए सबसे कम-ऊर्जा स्थिति वर्टेक्स कॉन्फ़िगरेशन 5 और 6 का प्रभुत्व है। ऐसे राज्य के लिए, आसन्न क्षैतिज बंधनों में आवश्यक रूप से विपरीत दिशाओं में तीर होते हैं और इसी तरह लंबवत बंधनों के लिए, इसलिए यह राज्य एंटीफेरोइलेक्ट्रिक राज्य है।

शून्य क्षेत्र धारणा
यदि कोई परिवेशीय विद्युत क्षेत्र नहीं है, तो आवेश उत्क्रमण के तहत, यानी सभी तीरों को फ़्लिप करने के तहत राज्य की कुल ऊर्जा अपरिवर्तित रहनी चाहिए। इस प्रकार कोई सामान्यता के नुकसान के बिना मान सकता है कि
 * $$ \epsilon_1=\epsilon_2, \quad \epsilon_3=\epsilon_4, \quad \epsilon_5=\epsilon_6$$

इस धारणा को शून्य क्षेत्र धारणा के रूप में जाना जाता है, और यह आइस नमूना, केडीपी नमूना और आरईएस एफ नमूना के लिए मान्य है।

इतिहास
लिनुस पॉलिंग द्वारा 1935 में बर्फ के अवशिष्ट एन्ट्रापी को ध्यान में रखते हुए बर्फ नियम पेश किया गया था जिसे विलियम एफ। जियाउक और जे.डब्ल्यू स्टाउट द्वारा मापा गया था। अवशिष्ट एन्ट्रापी, $$ S $$, बर्फ सूत्र द्वारा दिया जाता है
 * $$ S= k_{\rm B}\log Z = k_{\rm B}\, N \, \log W, $$

कहाँ $$ k_{\rm B} $$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक है, $$ N$$ बर्फ के टुकड़े में ऑक्सीजन परमाणुओं की संख्या है, जिसे हमेशा बड़ा (थर्मोडायनामिक सीमा) माना जाता है और $$ Z=W^N $$ पॉलिंग के बर्फ नियम के अनुसार हाइड्रोजन परमाणुओं के विन्यास की संख्या है। बर्फ नियम के बिना हमारे पास होता $$ W =4 $$ चूंकि हाइड्रोजन परमाणुओं की संख्या है $$ 2N $$ और प्रत्येक हाइड्रोजन के दो संभावित स्थान हैं। पॉलिंग ने अनुमान लगाया कि बर्फ नियम इसे कम कर देता है $$ W =1.5 $$, संख्या जो गिआउक-स्टाउट मापन के साथ बहुत अच्छी तरह से सहमत होगी $$ S $$. यह कहा जा सकता है कि पॉलिंग की गणना $$ S $$ बर्फ के लिए अब तक बनाए गए वास्तविक पदार्थों के लिए सांख्यिकीय यांत्रिकी के सबसे सरल, फिर भी सबसे सटीक अनुप्रयोगों में से है। यह प्रश्न बना रहा कि क्या नमूना को देखते हुए पॉलिंग की गणना $$ W $$, जो बहुत ही अनुमानित था, कठोर गणना द्वारा बनाए रखा जाएगा। साहचर्य में यह महत्वपूर्ण समस्या बन गई।

1966 में जॉन एफ. नागले द्वारा त्रि-आयामी और द्वि-आयामी दोनों नमूनाों की गणना संख्यात्मक रूप से की गई थी जिसने पाया $$ W = 1.50685 \pm 0.00015$$ तीन आयामों में और $$ W= 1.540 \pm0.001 $$ दो आयामों में। दोनों आश्चर्यजनक रूप से पॉलिंग की मोटी गणना, 1.5 के करीब हैं।

1967 में, लिब ने तीन द्वि-आयामी बर्फ-प्रकार के नमूना का सटीक समाधान खोजा: बर्फ नमूना, द राइस $$F$$ नमूना, और केडीपी नमूना। बर्फ नमूना के समाधान ने का सटीक मान दिया $$ W $$ दो आयामों के रूप में


 * $$ W_{2D} = \left(\frac{4}{3}\right)^{3/2} = 1.5396007.... $$

जिसे लिब के वर्ग बर्फ स्थिरांक के रूप में जाना जाता है।

बाद में 1967 में, बिल सदरलैंड ने शून्य क्षेत्र धारणा को संतुष्ट करने वाले वर्ग-जाली बर्फ-प्रकार के नमूना के लिए सामान्य सटीक समाधान के लिए तीन विशिष्ट बर्फ-प्रकार के नमूना के लिब के समाधान को सामान्यीकृत किया।

अभी भी बाद में 1967 में, सी. पी. यांग क्षैतिज विद्युत क्षेत्र में वर्ग-जाली बर्फ-प्रकार के नमूना के सटीक समाधान के लिए सामान्यीकृत सदरलैंड का समाधान।

1969 में, जॉन नागले ने तापमान की विशिष्ट श्रेणी के लिए, केडीपी नमूना के त्रि-आयामी संस्करण के लिए सटीक समाधान निकाला।

इस तरह के तापमान के लिए, नमूना इस अर्थ में जमे हुए है कि (थर्मोडायनेमिक सीमा में) ऊर्जा प्रति वर्टेक्स और एंट्रॉपी प्रति वर्टेक्स दोनों शून्य हैं। त्रि-आयामी बर्फ-प्रकार के नमूना के लिए यह मात्र ज्ञात सटीक समाधान है।

आठ-वर्टेक्स नमूना से संबंध
आठ-शीर्ष नमूना, जिसे ठीक से हल भी किया गया है, (स्क्वायर-जाली) छह-शीर्ष नमूना का सामान्यीकरण है: आठ-शीर्ष नमूना से छह-शीर्ष नमूना को पुनर्प्राप्त करने के लिए, शीर्ष विन्यास 7 के लिए ऊर्जा सेट करें और 8 से अनंत तक। कुछ मामलों में सिक्स-वर्टेक्स नमूना को हल किया गया है, जिसके लिए आठ-वर्टेक्स नमूना को हल नहीं किया गया है; उदाहरण के लिए, त्रि-आयामी केडीपी नमूना के लिए नागल का समाधान और क्षैतिज क्षेत्र में सिक्स-वर्टेक्स नमूना का यांग का समाधान।

सीमा की स्थिति
यह आइस नमूना सांख्यिकीय यांत्रिकी में महत्वपूर्ण 'काउंटर उदाहरण' प्रदान करता है:

ऊष्मप्रवैगिकी सीमा में थोक मुक्त ऊर्जा सीमा स्थितियों पर निर्भर करती है। नमूना को आवधिक सीमा स्थितियों, आवधिक-विरोधी, फेरोमैग्नेटिक और डोमेन वॉल सीमा स्थितियों के लिए विश्लेषणात्मक रूप से हल किया गया था। वर्ग जाली पर डोमेन दीवार सीमा शर्तों के साथ छह वर्टेक्स नमूना का कॉम्बिनेटरिक्स में विशिष्ट महत्व है, यह वैकल्पिक साइन मैट्रिक्स की गणना करने में मदद करता है। इस मामले में विभाजन समारोह को मैट्रिक्स के निर्धारक के रूप में दर्शाया जा सकता है (जिसका आयाम जाली के आकार के बराबर है), लेकिन अन्य मामलों में गणना $$W$$ इतने सरल बंद रूप में बाहर नहीं आता है।

जाहिर है, सबसे बड़ा $$W$$ मुक्त सीमा शर्तों द्वारा दिया जाता है (सीमा पर विन्यास पर कोई बाधा नहीं), लेकिन वही $$W$$ होता है, थर्मोडायनामिक सीमा में, आवधिक सीमा स्थितियों के लिए, जैसा कि मूल रूप से प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है $$W_{2D}$$.

3- जाली का रंग
जाली के वर्गों के परिमित रूप से जुड़े संघ के आंतरिक किनारों पर बर्फ प्रकार के नमूना के राज्यों की संख्या वर्गों को 3-रंग करने के तरीकों की संख्या के तिहाई के बराबर होती है, जिसमें दो आसन्न वर्ग समान रंग नहीं होते हैं।. राज्यों के बीच यह पत्राचार एंड्रयू लेनार्ड के कारण है और निम्नानुसार दिया गया है। यदि वर्ग का रंग i = 0, 1, या 2 है, तो तीर बगल के वर्ग के किनारे पर बाएँ या दाएँ जाता है (वर्ग में पर्यवेक्षक के अनुसार) इस पर निर्भर करता है कि आसन्न वर्ग में रंग i+1 या i−1 mod 3 है। निश्चित प्रारंभिक को रंगने के 3 संभावित तरीके हैं वर्ग, और बार जब यह प्रारंभिक रंग चुना जाता है तो यह रंग और बर्फ-प्रकार की स्थिति को संतुष्ट करने वाले तीरों की व्यवस्था के बीच 1: 1 पत्राचार देता है।

यह भी देखें

 * आठ-वर्टेक्स नमूना