वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान

सांख्यिकीय सिग्नल प्रोसेसिंग में, वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान (एसडीई) या केवल वर्णक्रमीय अनुमान का लक्ष्य सिग्नल के समय नमूनों के अनुक्रम से सिग्नल के वर्णक्रमीय घनत्व (जिसे पावर स्पेक्ट्रम के रूप में भी जाना जाता है) का अनुमान लगाना है। सहज रूप से कहें तो, वर्णक्रमीय घनत्व सिग्नल की आवृत्ति सामग्री को दर्शाता है। वर्णक्रमीय घनत्व का अनुमान लगाने का उद्देश्य इन आवधिकों के अनुरूप आवृत्तियों पर चोटियों को देखकर, डेटा में किसी भी आवधिक फ़ंक्शन का पता लगाना है।

कुछ एसडीई तकनीकें मानती हैं कि सिग्नल सीमित (आमतौर पर छोटी) संख्या में उत्पन्न आवृत्तियों और शोर से बना होता है और उत्पन्न आवृत्तियों के स्थान और तीव्रता का पता लगाने की कोशिश करता है। अन्य लोग घटकों की संख्या पर कोई धारणा नहीं बनाते हैं और संपूर्ण उत्पादन स्पेक्ट्रम का अनुमान लगाना चाहते हैं।

सिंहावलोकन
स्पेक्ट्रम विश्लेषण, जिसे आवृत्ति डोमेन विश्लेषण या वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान भी कहा जाता है, जटिल सिग्नल को सरल भागों में विघटित करने की तकनीकी प्रक्रिया है। जैसा कि ऊपर वर्णित है, कई भौतिक प्रक्रियाओं को कई व्यक्तिगत आवृत्ति घटकों के योग के रूप में सबसे अच्छा वर्णित किया गया है। कोई भी प्रक्रिया जो विभिन्न मात्राओं (जैसे आयाम, शक्तियाँ, तीव्रता) बनाम आवृत्ति (या चरण (तरंगें)) की मात्रा निर्धारित करती है, उसे स्पेक्ट्रम विश्लेषण कहा जा सकता है।

स्पेक्ट्रम विश्लेषण पूरे सिग्नल पर किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, सिग्नल को छोटे खंडों (कभी-कभी फ़्रेम कहा जाता है) में तोड़ा जा सकता है, और स्पेक्ट्रम विश्लेषण को इन व्यक्तिगत खंडों पर लागू किया जा सकता है। आवधिक कार्य (जैसे $$\sin (t)$$) इस उप-विभाजन के लिए विशेष रूप से उपयुक्त हैं। गैर-आवधिक कार्यों के विश्लेषण के लिए सामान्य गणितीय तकनीकें फूरियर विश्लेषण की श्रेणी में आती हैं।

किसी फ़ंक्शन का फूरियर रूपांतरण आवृत्ति स्पेक्ट्रम उत्पन्न करता है जिसमें मूल सिग्नल के बारे में सारी जानकारी होती है, लेकिन अलग रूप में। इसका मतलब यह है कि मूल फ़ंक्शन को व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण द्वारा पूरी तरह से पुनर्निर्मित (संश्लेषित) किया जा सकता है। सही पुनर्निर्माण के लिए, स्पेक्ट्रम विश्लेषक को प्रत्येक आवृत्ति घटक के आयाम और चरण (तरंगों) दोनों को संरक्षित करना होगा। जानकारी के इन दो टुकड़ों को 2-आयामी वेक्टर के रूप में, जटिल संख्या के रूप में, या ध्रुवीय निर्देशांक में परिमाण (आयाम) और चरण के रूप में (यानी, चरण के रूप में) दर्शाया जा सकता नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) में सामान्य तकनीक वर्ग आयाम, या शक्ति (भौतिकी) पर विचार करना है; इस मामले में परिणामी प्लॉट को पावर स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है।

उत्क्रमणीयता के कारण, फूरियर रूपांतरण को समय के बजाय आवृत्ति के संदर्भ में फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व कहा जाता है; इस प्रकार, यह आवृत्ति डोमेन प्रतिनिधित्व है। समय डोमेन में निष्पादित किए जा सकने वाले रैखिक परिचालनों में ऐसे समकक्ष होते हैं जिन्हें अक्सर आवृत्ति डोमेन में अधिक आसानी से निष्पादित किया जा सकता है। फ़्रिक्वेंसी विश्लेषण रैखिक और गैर-रेखीय दोनों, विभिन्न समय-डोमेन संचालन के प्रभावों की समझ और व्याख्या को भी सरल बनाता है। उदाहरण के लिए, केवल गैर-रैखिकता|गैर-रैखिक या समय-संस्करण प्रणाली|समय-संस्करण संचालन ही आवृत्ति स्पेक्ट्रम में नई आवृत्तियाँ बना सकते हैं।

व्यवहार में, लगभग सभी सॉफ्टवेयर और इलेक्ट्रॉनिक उपकरण जो आवृत्ति स्पेक्ट्रा उत्पन्न करते हैं, उलटा फूरियर रूपांतरण (डीएफटी) का उपयोग करते हैं, जो सिग्नल के नमूने (सिग्नल प्रोसेसिंग) पर काम करता है, और जो पूर्ण अभिन्न समाधान के लिए गणितीय अनुमान प्रदान करता है। डीएफटी लगभग हमेशा कुशल एल्गोरिदम द्वारा कार्यान्वित किया जाता है जिसे [[असतत फूरियर रूपांतरण]] (एफएफटी) कहा जाता है। डीएफटी के वर्ग-परिमाण घटकों की सरणी प्रकार का पावर स्पेक्ट्रम है जिसे periodogram  कहा जाता है, जिसका व्यापक रूप से आवेग प्रतिक्रिया और विंडो फ़ंक्शन जैसे शोर-मुक्त कार्यों की आवृत्ति विशेषताओं की जांच के लिए उपयोग किया जाता है। लेकिन कम सिग्नल-टू-शोर अनुपात पर शोर जैसे संकेतों या यहां तक ​​कि साइनसोइड्स पर लागू होने पर पीरियोडोग्राम प्रसंस्करण-लाभ प्रदान नहीं करता है। दूसरे शब्दों में, किसी दी गई आवृत्ति पर इसके वर्णक्रमीय अनुमान का विचरण कम नहीं होता है क्योंकि गणना में उपयोग किए गए नमूनों की संख्या बढ़ जाती है। इसे समय के साथ औसत करके (वेल्च की विधि) कम किया जा सकता है ) या अधिक आवृत्ति ( चौरसाई )। वर्णक्रमीय घनत्व आकलन (एसडीई) के लिए वेल्च की विधि का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। हालाँकि, पीरियोडोग्राम-आधारित तकनीकें छोटे पूर्वाग्रह पेश करती हैं जो कुछ अनुप्रयोगों में अस्वीकार्य हैं। इसलिए अन्य विकल्प अगले भाग में प्रस्तुत किए गए हैं।

तकनीक
बुनियादी आवर्त सारणी की कमियों को कम करने के लिए वर्णक्रमीय आकलन की कई अन्य तकनीकें विकसित की गई हैं। इन तकनीकों को आम तौर पर गैर-पैरामीट्रिक सांख्यिकी|गैर-पैरामीट्रिक, पैरामीट्रिक अनुमान, और हाल ही में सेमीपैरामीट्रिक मॉडल|अर्ध-पैरामीट्रिक (जिसे विरल भी कहा जाता है) विधियों में विभाजित किया जा सकता है। गैर-पैरामीट्रिक दृष्टिकोण स्पष्ट रूप से सहप्रसरण या प्रक्रिया के स्पेक्ट्रम का अनुमान लगाते हैं, बिना यह माने कि प्रक्रिया में कोई विशेष संरचना है। बुनियादी अनुप्रयोगों (उदाहरण के लिए वेल्च की विधि) के लिए उपयोग में आने वाले कुछ सबसे आम अनुमानक गैर-पैरामीट्रिक अनुमानक हैं जो पीरियोडोग्राम से निकटता से संबंधित हैं। इसके विपरीत, पैरामीट्रिक दृष्टिकोण यह मानते हैं कि अंतर्निहित स्थिर प्रक्रिया में निश्चित संरचना होती है जिसे कम संख्या में मापदंडों का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज मॉडल | ऑटो-रिग्रेसिव या मूविंग एवरेज मॉडल का उपयोग करके)। इन दृष्टिकोणों में, कार्य उस मॉडल के मापदंडों का अनुमान लगाना है जो स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का वर्णन करता है। अर्ध-पैरामीट्रिक विधियों का उपयोग करते समय, अंतर्निहित प्रक्रिया को गैर-पैरामीट्रिक ढांचे का उपयोग करके मॉडलिंग किया जाता है, अतिरिक्त धारणा के साथ कि मॉडल के गैर-शून्य घटकों की संख्या छोटी है (यानी, मॉडल विरल है)। गुम डेटा पुनर्प्राप्ति के लिए भी इसी तरह के तरीकों का उपयोग किया जा सकता है साथ ही संपीड़ित संवेदन।

गैर-पैरामीट्रिक वर्णक्रमीय घनत्व आकलन तकनीकों की आंशिक सूची निम्नलिखित है:
 * पीरियोडोग्राम, असतत फूरियर रूपांतरण का मापांक वर्ग
 * लोम्ब-स्कार्गल पीरियोडोग्राम, जिसके लिए डेटा को समान रूप से स्थान देने की आवश्यकता नहीं है
 * बार्टलेट की विधि वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान के विचरण को कम करने के लिए सिग्नल के कई खंडों से लिए गए पीरियडोग्राम का औसत है
 * वेल्च की विधि बार्टलेट की विधि का विंडो संस्करण है जो ओवरलैपिंग सेगमेंट का उपयोग करती है
 * मल्टीटेपर पीरियडोग्राम-आधारित विधि है जो वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान के विचरण को कम करने के लिए वर्णक्रमीय घनत्व का स्वतंत्र अनुमान बनाने के लिए कई टेपर या विंडो का उपयोग करती है।
 * न्यूनतम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण, ज्ञात आवृत्तियों के अनुरूप न्यूनतम वर्गों पर आधारित
 * गैर-समान असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग तब किया जाता है जब सिग्नल नमूने असमान रूप से समय श्रृंखला में होते हैं
 * एकवचन स्पेक्ट्रम विश्लेषण गैरपैरामीट्रिक विधि है जो वर्णक्रमीय घनत्व का अनुमान लगाने के लिए सहप्रसरण मैट्रिक्स के एकवचन मूल्य अपघटन का उपयोग करता है
 * अल्पकालीन फूरियर रूपांतरण
 * सूचना क्षेत्र सिद्धांत#क्रिटिकल फिल्टर सूचना क्षेत्र सिद्धांत पर आधारित गैर-पैरामीट्रिक विधि है जो शोर, अपूर्ण डेटा और वाद्य प्रतिक्रिया कार्यों से निपट सकती है।

नीचे पैरामीट्रिक तकनीकों की आंशिक सूची दी गई है:
 * ऑटोरेग्रेसिव मॉडल (एआर) अनुमान, जो मानता है कि एनवां नमूना पिछले पी नमूनों के साथ सहसंबद्ध है।
 * मूविंग-एवरेज मॉडल (एमए) अनुमान, जो मानता है कि एनवां नमूना पिछले पी नमूनों में शोर शर्तों के साथ सहसंबद्ध है।
 * ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज (एआरएमए) अनुमान, जो एआर और एमए मॉडल का सामान्यीकरण करता है।
 * संगीत (एल्गोरिदम) (संगीत) लोकप्रिय सुपर-रिज़ॉल्यूशन इमेजिंग विधि है।
 * अधिकतम एन्ट्रापी वर्णक्रमीय आकलन पूर्ण-ध्रुव विधि है जो एसडीई के लिए उपयोगी है जब एकल वर्णक्रमीय विशेषताएं, जैसे तेज चोटियां, अपेक्षित होती हैं।

और अंत में अर्ध-पैरामीट्रिक तकनीकों के कुछ उदाहरण:
 * विरल पुनरावृत्तीय सहप्रसरण-आधारित अनुमान (स्पाइस) अनुमान, और अधिक सामान्यीकृत $$(r,q)$$-मसाला। *पुनरावृत्तीय अनुकूली दृष्टिकोण (आईएए) अनुमान। *लैस्सो (सांख्यिकी), कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण के समान लेकिन विरल दंड लागू करने के साथ।

पैरामीट्रिक अनुमान
पैरामीट्रिक वर्णक्रमीय अनुमान में, कोई यह मानता है कि सिग्नल स्थिर प्रक्रिया द्वारा तैयार किया गया है जिसमें वर्णक्रमीय घनत्व फ़ंक्शन (एसडीएफ) है $$S(f; a_1, \ldots, a_p)$$ यह आवृत्ति का कार्य है $$f$$ और $$p$$ पैरामीटर $$a_1, \ldots, a_p$$. फिर अनुमान की समस्या इन मापदंडों का अनुमान लगाने में से बन जाती है।

पैरामीट्रिक एसडीएफ अनुमान का सबसे सामान्य रूप मॉडल के रूप में ऑटोरेग्रेसिव मॉडल का उपयोग करता है $$\text{AR}(p)$$ आदेश की $$p$$. संकेत अनुक्रम $$\{Y_t\}$$ शून्य माध्य का पालन करना $$\text{AR}(p)$$ प्रक्रिया समीकरण को संतुष्ट करती है


 * $$Y_t = \phi_1Y_{t-1} + \phi_2Y_{t-2} + \cdots + \phi_pY_{t-p} + \epsilon_t,$$

जहां $$\phi_1,\ldots,\phi_p$$ निश्चित गुणांक हैं और $$\epsilon_t$$ शून्य माध्य और नवीनता विचरण वाली श्वेत रव प्रक्रिया है $$\sigma^2_p$$. इस प्रक्रिया के लिए एसडीएफ है



S(f; \phi_1, \ldots, \phi_p, \sigma^2_p) = \frac{\sigma^2_p\Delta t}{\left| 1 - \sum_{k=1}^p \phi_k e^{-2i\pi f k \Delta t}\right|^2} \qquad |f| < f_N, $$ साथ $$\Delta t$$ नमूनाकरण समय अंतराल और $$f_N$$ नाइक्विस्ट आवृत्ति.

मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए कई दृष्टिकोण हैं $$\phi_1, \ldots, \phi_p,\sigma^2_p$$ की $$\text{AR}(p)$$ प्रक्रिया और इस प्रकार वर्णक्रमीय घनत्व:
 * ऑटोरेग्रेसिव मॉडल#यूल-वॉकर समीकरण|यूल-वॉकर अनुमानक यूल-वॉकर समीकरणों को पुनरावर्ती रूप से हल करके पाए जाते हैं $$\text{AR}(p)$$ प्रक्रिया
 * बर्ग अनुमानक यूल-वॉकर समीकरणों को सामान्य न्यूनतम वर्ग समस्या के रूप में मानकर पाए जाते हैं। बर्ग अनुमानकों को आम तौर पर यूल-वॉकर अनुमानकों से बेहतर माना जाता है। बर्ग ने इन्हें अधिकतम एन्ट्रॉपी वर्णक्रमीय अनुमान के साथ जोड़ा।
 * आगे-पीछे न्यूनतम-वर्ग अनुमानक का व्यवहार करते हैं $$\text{AR}(p)$$ प्रतिगमन समस्या के रूप में प्रक्रिया करें और आगे-पीछे विधि का उपयोग करके उस समस्या को हल करें। वे बर्ग अनुमानकर्ताओं के साथ प्रतिस्पर्धी हैं।
 * अधिकतम संभावना अनुमानक अधिकतम संभावना दृष्टिकोण का उपयोग करके मापदंडों का अनुमान लगाते हैं। इसमें अरेखीय अनुकूलन शामिल है और यह पहले तीन की तुलना में अधिक जटिल है।

वैकल्पिक पैरामीट्रिक तरीकों में चलती औसत मॉडल  (एमए) और पूर्ण ऑटोरेग्रेसिव मूविंग एवरेज मॉडल (एआरएमए) में फिट होना शामिल है।

आवृत्ति अनुमान
फ़्रिक्वेंसी अनुमान अनुमान सिद्धांत की प्रक्रिया है जो घटकों की संख्या के बारे में दी गई धारणाओं के शोर की उपस्थिति में अंकीय संकेत प्रक्रिया  की आवृत्ति, आयाम और चरण-शिफ्ट है। यह उपरोक्त सामान्य तरीकों के विपरीत है, जो घटकों के बारे में पूर्व धारणा नहीं बनाते हैं।

एकल स्वर
यदि कोई केवल सबसे ऊंची आवृत्ति का अनुमान लगाना चाहता है, तो वह पिच का पता लगाने का एल्गोरिदम का उपयोग कर सकता है। यदि प्रमुख आवृत्ति समय के साथ बदलती है, तो समस्या तात्कालिक आवृत्ति के अनुमान की हो जाती है जैसा कि समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व में परिभाषित किया गया है। तात्कालिक आवृत्ति अनुमान के तरीकों में विग्नर-विले वितरण और उच्च क्रम अस्पष्टता कार्यों पर आधारित तरीके शामिल हैं। यदि कोई प्राप्त सिग्नल के सभी (संभवतः जटिल) आवृत्ति घटकों (संचरित सिग्नल और शोर सहित) को जानना चाहता है, तो वह मल्टी-टोन दृष्टिकोण का उपयोग करता है।

एकाधिक स्वर
सिग्नल के लिए विशिष्ट मॉडल $$x(n)$$ का योग होता है $$p$$ सफ़ेद शोर की उपस्थिति में जटिल घातांक, $$w(n)$$
 * $$x(n) = \sum_{i=1}^p A_i e^{j n \omega_i} + w(n)$$.

की शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व $$x(n)$$ से बना है $$p$$ शोर के कारण वर्णक्रमीय घनत्व फ़ंक्शन के अलावा आवेग कार्य भी होता है।

आवृत्ति अनुमान के लिए सबसे आम तरीकों में इन घटकों को निकालने के लिए शोर रैखिक उपस्थान की पहचान करना शामिल है। ये विधियाँ सिग्नल उप-स्थान और शोर उप-स्थान में ऑटोसहसंबंध मैट्रिक्स के Eigendecomposition पर आधारित हैं। इन उप-स्थानों की पहचान होने के बाद, शोर उप-स्थान से घटक आवृत्तियों को खोजने के लिए आवृत्ति अनुमान फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है। शोर उप-स्थान आधारित आवृत्ति अनुमान की सबसे लोकप्रिय विधियाँ हैं पिसारेंको हार्मोनिक अपघटन|पिसारेंको की विधि, मल्टीपल सिग्नल वर्गीकरण (संगीत) विधि, ईजेनवेक्टर विधि और न्यूनतम मानक विधि।


 * पिसारेंको हार्मोनिक अपघटन|पिसारेंको की विधि: $$\hat{P}_\text{PHD}\left(e^{j \omega}\right) = \frac{1}{\left|\mathbf{e}^H \mathbf{v}_\text{min}\right|^2}$$
 * एकाधिक सिग्नल वर्गीकरण: $$\hat{P}_\text{MU}\left(e^{j \omega}\right) = \frac{1}{\sum_{i=p+1}^M \left|\mathbf{e}^H \mathbf{v}_i\right|^2}$$,
 * आइजेनवेक्टर विधि: $$\hat{P}_\text{EV}\left(e^{j \omega}\right) = \frac{1}{\sum_{i=p+1}^M \frac{1}{\lambda_i} \left|\mathbf{e}^H \mathbf{v}_i\right|^2}$$
 * न्यूनतम मानक विधि: $$\hat{P}_\text{MN}\left(e^{j \omega}\right) = \frac{1}{\left|\mathbf{e}^H \mathbf{a}\right|^2} ; \ \mathbf{a} = \lambda \mathbf{P}_n \mathbf{u}_1$$

उदाहरण गणना
कल्पना करना $$x_n$$, से $$n=0$$ को $$N-1$$ शून्य माध्य वाली समय श्रृंखला (अलग समय) है। मान लीजिए कि यह आवधिक घटकों की सीमित संख्या का योग है (सभी आवृत्तियाँ सकारात्मक हैं):


 * $$\begin{align}

x_n &= \sum_k A_k \sin(2\pi\nu_k n + \phi_k)\\ &= \sum_k A_k \left ( \sin (\phi_k) \cos(2\pi\nu_k n) + \cos(\phi_k) \sin(2\pi\nu_k n) \right ) \\ &= \sum_k \left(\overbrace{a_k}^{A_k \sin(\phi_k)} \cos(2\pi\nu_k n) + \overbrace{b_k}^{A_k \cos(\phi_k)} \sin(2\pi\nu_k n)\right) \end{align}$$ का विचरण $$x_n$$ जैसा कि ऊपर दिया गया है, शून्य-माध्य फ़ंक्शन के लिए है


 * $$\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n^2.$$

यदि ये डेटा विद्युत सिग्नल से लिए गए नमूने थे, तो यह इसकी औसत शक्ति होगी (शक्ति प्रति यूनिट समय ऊर्जा है, इसलिए यदि ऊर्जा आयाम वर्ग के अनुरूप है तो यह विचरण के अनुरूप है)।

अब, सरलता के लिए, मान लीजिए कि संकेत समय में अनंत रूप से फैलता है, इसलिए हम सीमा को पार कर जाते हैं $$N\to \infty.$$ यदि औसत शक्ति सीमित है, जो वास्तविकता में लगभग हमेशा मामला होता है, तो निम्न सीमा मौजूद होती है और डेटा का भिन्नता होती है।


 * $$\lim_{N \to \infty} \frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x_n^2.$$

फिर से, सरलता के लिए, हम निरंतर समय पर जाएंगे, और मान लेंगे कि संकेत दोनों दिशाओं में समय में अनंत रूप से फैलता है। तब ये दो सूत्र बन जाते हैं


 * $$x(t) = \sum_k A_k \sin(2\pi\nu_k t + \phi_k)$$

और


 * $$\lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t)^2 dt.$$

मूल माध्य का वर्ग $$\sin$$ है $$1/\sqrt{2}$$, तो का विचरण $$A_k \sin(2\pi\nu_k t + \phi_k)$$ है $$\tfrac{1}{2} A_k^2.$$ इसलिए, की औसत शक्ति में योगदान $$x(t)$$ आवृत्ति के साथ घटक से आ रहा है $$\nu_k$$ है $$\tfrac{1}{2}A_k^2.$$ ये सभी योगदान औसत शक्ति में जुड़ जाते हैं $$x(t).$$ फिर आवृत्ति के फलन के रूप में शक्ति है $$\tfrac{1}{2}A_k^2,$$ और इसका सांख्यिकीय संचयी वितरण कार्य $$S(\nu)$$ होगा


 * $$S(\nu) = \sum _ {k : \nu_k < \nu} \frac{1}{2} A_k^2.$$

$$S$$ चरणीय फ़ंक्शन है, जो नीरस रूप से घटता नहीं है। इसकी छलांग अवधि (रिंग) घटकों की आवृत्तियों पर होती है $$x$$, और प्रत्येक छलांग का मूल्य उस घटक की शक्ति या भिन्नता है।

विचरण स्वयं के साथ डेटा का सहप्रसरण है। यदि हम अब उसी डेटा पर विचार करें लेकिन थोड़े अंतराल के साथ $$\tau$$, हम इसका सहप्रसरण ले सकते हैं $$x(t)$$ साथ $$x(t + \tau)$$, और इसे स्वतःसहसंबंध फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित करें $$c$$ सिग्नल (या डेटा) का $$x$$:


 * $$c(\tau) = \lim_{T\to\infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^T x(t) x(t + \tau) dt.$$

यदि यह अस्तित्व में है, तो यह सम कार्य है $$\tau.$$ यदि औसत शक्ति परिबद्ध है, तो $$c$$ सर्वत्र विद्यमान है, परिमित है और सीमाबद्ध है $$c(0),$$ जो डेटा की औसत शक्ति या विचरण है।

ऐसा दिखाया जा सकता है $$c$$ समान अवधियों के साथ आवधिक घटकों में विघटित किया जा सकता है $$x$$:


 * $$c(\tau) = \sum_k \frac{1}{2} A_k^2 \cos(2\pi\nu_k\tau).$$

यह वास्तव में का वर्णक्रमीय अपघटन है $$c$$ विभिन्न आवृत्तियों पर, और शक्ति के वितरण से संबंधित है $$x$$ आवृत्तियों पर: आवृत्ति घटक का आयाम $$c$$ सिग्नल की औसत शक्ति में इसका योगदान है।

इस उदाहरण का पावर स्पेक्ट्रम निरंतर नहीं है, और इसलिए इसका कोई व्युत्पन्न नहीं है, और इसलिए इस सिग्नल में पावर स्पेक्ट्रल घनत्व फ़ंक्शन नहीं है। सामान्य तौर पर, पावर स्पेक्ट्रम आम तौर पर दो भागों का योग होगा: लाइन स्पेक्ट्रम जैसे कि इस उदाहरण में, जो निरंतर नहीं है और इसमें घनत्व फ़ंक्शन नहीं है, और अवशेष, जो बिल्कुल निरंतर है और इसमें घनत्व फ़ंक्शन होता है.

यह भी देखें

 * बहुआयामी वर्णक्रमीय अनुमान
 * पीरियोडोग्राम
 * सिगस्पेक
 * spectrogram
 * समय-आवृत्ति विश्लेषण
 * समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व
 * कम संभावना
 * वर्णक्रमीय विद्युत वितरण

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