संबंध (गणित)



गणित में, समुच्चय पर दो दिए गए समुच्चय अवयव के बीच संबंध हो भी सकता है और नहीं भी। उदाहरण के लिए, "इससे कम है" प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर एक संबंध है,यह धारण करता है उदाहरण 1 और 3 के बीच (1<3 के रूप में दर्शाता है), और इसी तरह 3 और 4 के बीच (3<4 के रूप में चिह्नित), लेकिन न तो 3 और 1 के बीच और न ही 4 और 4 के बीच संबंध है। एक अन्य उदाहरण के रूप में, "इसकी बहन" संबंध है सभी लोगों के समुच्चय पर, यह धारण करता है उदाहरण मैरी क्यूरी और ब्रोनिस्लावा डुस्का के बीच, और इसी तरह इसके विपरीत। समुच्चय सदस्य "एक निश्चित डिग्री" के संबंध में नहीं हो सकते हैं, इसलिए उदाहरण "इसमें कुछ समानता है" एक संबंध नहीं हो सकता।

औपचारिक रूप से, समुच्चय X पर संबंध R को X के सदस्यों के क्रमित युग्मों (x, y) के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। संबंध R, x और y के बीच रखता है यदि (x, y) R का सदस्य है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं पर संबंध "से कम है" अनंत समुच्चय है जिसमें प्राकृतिक संख्याओं जिनमें दोनों (1, 3) और (3,4), लेकिन न तो (3,1) और न ही (4,4) के जोड़े सम्मिलित हैं। अंकीय प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर संबंध "का गैर-तुच्छ भाजक है" यहाँ दिखाए जाने के लिए पर्याप्त रूप से छोटा है: Rdiv  = { (2,4), (2,6), (2,8), (3, 6), (3,9), (4,8)},उदाहरण के लिए 2, 8 का गैर-तुच्छ भाजक है, लेकिन इसके विपरीत नहीं, इसलिए (2,8) ∈ Rdiv, लेकिन (8,2) ∈ Rdiv ।

यदि R एक ऐसा संबंध है जो x और y के लिए है तो अक्सर xRy लिखा जाता है। गणित में सबसे आम संबंधों के लिए, विशेष प्रतीकों को पेश किया जाता है, जैसे "<" के लिए "इससे कम है", और "|" के लिए "का गैर-तुच्छ भाजक है", और, सबसे लोकप्रिय "=" के लिए "के बराबर है"। उदाहरण के लिए, "1<3", "1, 3 से कम है", और "(1,3) ∈ Rless" का अर्थ सभी समान है,कुछ लेखक "(1,3) ∈ (<)" भी लिखते हैं।

संबंधों के विभिन्न गुणों की जांच की जाती है। संबंध R स्वतुल्य है यदि xRx सभी x के लिए धारण करता है, और अपरिवर्तनीय है यदि xRx कोई x के लिए धारण नहीं करता है। यह सममित है यदि xRy का अर्थ हमेशा yRx होता है, और असममित यदि xRy का अर्थ है कि yRx असंभव है। यह संक्रामी है यदि xRy और yRz का अर्थ हमेशा xRz होता है। उदाहरण के लिए, "इससे कम है" अपरिवर्तनीय, असममित और संक्रामी  है, लेकिन न तो प्रतिवर्त और न ही सममित, "की बहन है" सममित और संक्रमणीय है, लेकिन न तो प्रतिवर्त (जैसे पियरे क्यूरी खुद की बहन नहीं है) और न ही असममित, जबकि अपरिवर्तनीय होना या न होना परिभाषा का विषय हो सकता है (क्या हर महिला खुद की बहन है?), "पूर्वज है" संक्रामी  है, जबकि "माता-पिता" नहीं है। गणितीय प्रमेयों को संबंध गुणों के संयोजन के बारे में जाना जाता है, जैसे "एक संक्रमणीय संबंध अपरिवर्तनीय है, और केवल अगर, यह असममित है"।

विशेष महत्व के संबंध हैं जो गुणों के कुछ संयोजनों को संतुष्ट करते हैं।आंशिक क्रम एक ऐसा संबंध है जो अपरिवर्तनीय, असममित और संक्रमणीय है, तुल्यता संबंध ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्त, सममित और संक्रमणीय है, फलन एक ऐसा संबंध है जो सही-अद्वितीय और बाएं-कुल है (नीचे देखें) है।

चूंकि संबंध समुच्चय हैं, इसलिए उन्हें समुच्चय संचालन का उपयोग करके जोड़-तोड़ किया जा सकता है, जिसमें संघ (समुच्चय सिद्धांत), प्रतिच्छेदन, और पूरक (समुच्चय सिद्धांत) सम्मिलित हैं, और समुच्चय के बीजगणित के नियमों को संतुष्ट करते हैं। इसके अलावा, संबंध के विपरीत  और संबंधों की संरचना संबंधों के गहन विश्लेषण में उन्हें अवधारणा नामक उपसमुच्चय में विघटित करना और उन्हें पूर्ण नियम में रखना सम्मिलित है।

संबंध की उपरोक्त अवधारणा को दो अलग-अलग समुच्चय के सदस्यों के बीच संबंधों को स्वीकार करने के लिए सामान्यीकृत किया गया है (विषम संबंध,जैसे सभी बिंदुओं के समुच्चय के बीच "स्थित" और ज्यामिति में सभी पंक्तियों के बीच), तीन या अधिक के बीच संबंध समुच्चय (समुच्चय संबंध,जैसे "व्यक्ति x समय z पर शहर y में रहता है"), और वर्ग (गणित) के बीच संबंध (जैसे सभी समुच्चय के वर्ग पर "का एक तत्व है", द्वयाधारी संबंध देखें समुच्चय बनाम वर्ग)।

परिभाषा
दिए गए समुच्चय X और Y, कार्तीय गुणन फल $A = { a, b, c, d }$ {(x, y) | के रूप में परिभाषित किया गया है x ∈ X और y ∈ Y}, और इसके अवयवों को क्रमित युग्म कहा जाता है।

समुच्चय X और Y पर द्वयी संबंध R का उपसमुच्चय है $(b,a), (b,d),$। समुच्चय X को 'डोमेन' कहा जाता है या R के प्रस्थान का समुच्चय, और समुच्चय Y को कोडोमेन या R के गंतव्य का समुच्चय कहा जाता है। समुच्चय X और Y के विकल्पों को निर्दिष्ट करने के लिए, कुछ लेखक द्विआधारी संबंध या पत्राचार को आदेशित त्रिगुण के रूप में परिभाषित करते हैं ${{math|1= (c,b), (d,c), (d,d) } }}$, जहां G का उपसमुच्चय है $X × Y$ द्वयी संबंध का ग्राफ कहा जाता है। कथन $X × Y$ पढ़ता है कि x, R से संबंधित है और इसे infix संकेतन में xRy के रूप में लिखा गया है।  परिभाषा का डोमेन या सक्रिय डोमेन R का सभी x का ऐसा समुच्चय है कि कम से कम एक y के लिए xRy है। परिभाषा का कोडोमेन, सक्रिय कोडोमेन, छवि (गणित) या R के किसी फलन की श्रेणी सभी y का ऐसा समुच्चय है जो कम से कम एक x के लिए xRy हो। R का क्षेत्र परिभाषा के अपने डोमेन और परिभाषा के कोडोमेन का संघ है।    कब $(X, Y, G)$, एक द्विआधारी संबंध को #सजातीय संबंध (या एंडोरेलेशन) कहा जाता है। अन्यथा यह एक विषम संबंध है।

द्विआधारी संबंध में, तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण होता है,यदि $X × Y$ तब yRx, xRy से स्वतंत्र होकर सत्य या असत्य हो सकता है। उदाहरण के लिए, 3 9 को विभाजित करता है, लेकिन 9 3 को विभाजित नहीं करता है।

संबंधों के गुण
सजातीय संबंध के कुछ महत्वपूर्ण गुण $x$ समुच्चय पर $y$ हो सकता है:


 * : सभी के लिए $(x, y) ∈ R$, $X = Y$ उदाहरण के लिए, ≥ स्वतुल्य संबंध है लेकिन > नहीं है।


 * (या ): सभी के लिए $x ≠ y$, नहीं $x ∈ X$, उदाहरण के लिए, > अपरावर्ती संबंध है, लेकिन ≥ नहीं है।

पिछले 2 विकल्प संपूर्ण नहीं हैं,उदाहरण के लिए, लाल द्वयाधारी संबंध $xRx$ खण्ड में दिया गया है न तो अपवर्तक है, न ही प्रतिवर्ती है, क्योंकि इसमें युग्म $x ∈ X$, लेकिन नहीं $xRx$, क्रमश है।


 * : सभी के लिए $y = x^{2}$, यदि $(0, 0)$ फिर $(2, 2)$ है। उदाहरण के लिए, रक्त रिश्तेदार एक सममित संबंध है, क्योंकि $x$ का रक्त संबंधी है $y$ केवल अगर $R$ का रक्त संबंधी है $X$।


 * : सभी के लिए $x, y ∈ X$, यदि $xRy$ तथा $yRx$ है फिर $x, y ∈ X$ है। उदाहरण के लिए, ≥ प्रतिसममित संबंध है,ऐसा है >, लेकिन निर्वात सत्य (परिभाषा में स्थिति हमेशा गलत होती है)।
 * : सभी के लिए $xRy$, यदि $yRx$ फ़िर $x = y$ नही। संबंध असममित है यदि और केवल यदि यह प्रतिसममित और अपरिवर्तनीय दोनों है। उदाहरण के लिए, > असममित संबंध है, लेकिन ≥ नहीं है।

फिर से, पिछले 3 विकल्प संपूर्ण होने से बहुत दूर हैं, प्राकृतिक संख्या, संबंध पर उदाहरण के रूप में $x, y ∈ X$ द्वारा परिभाषित $xRy$ न तो सममित है और न ही विषम है, अकेले असममित होने दें।


 * : सभी के लिए $yRx$, यदि $xRy$ तथा $x > 2$ फिर $x, y, z ∈ X$। संक्रामी संबंध अपरिवर्तनीय है अगर और केवल अगर यह असममित है। उदाहरण के लिए, "के पूर्वज में" संक्रामी संबंध है, जबकि का जनक नहीं है।


 * : सभी x, y ∈ X के लिए ऐसा है कि xRy, कुछ z ∈ X ऐसे शामिलहैं कि xRz और zRy। इसका उपयोग घने आदेशों में किया जाता है।


 * : सभी$xRy$ के लिए, यदि $yRz$ फिर $xRz$ या $x, y ∈ X$ हैं । इस गुण को कभी-कभी कुल कहा जाता है, जो खंड में दी गई कुल परिभाषा से अलग है ।


 * : सभी $x ≠ y$, के लिए $xRy$ या $yRx$। इस गुण को कभी-कभी कुल कहा जाता है, जो खंड में दी गई कुल परिभाषा से अलग है ।


 * : सभी $x, y ∈ X$ के लिए, बिल्कुल एक $xRy$, $yRx$ या $x, y ∈ X$ रखती है। उदाहरण के लिए, >  त्रिगुणात्मक संबंध है, जबकि प्राकृतिक संख्याओं पर विभाजित संबंध नहीं है।
 * : हर गैर-खाली उपसमुच्चय $x$ का $y$ के संबंध में अधिकतम और न्यूनतम तत्व सम्मिलित हैं $y$। सुस्थापित होने का तात्पर्य अवरोही श्रृंखला की स्थिति से है (अर्थात, कोई अनंत श्रृंखला नहीं है..... $xRy$ सम्मिलित हो सकता है)। यदि आश्रित पसंद का स्वयंसिद्ध मान लिया जाए, तो दोनों स्थितियाँ समतुल्य हैं।
 * रिश्ता जो स्वतुल्य और संक्रामी है।
 *  (भी,  या ): संबंध जो प्रतिवर्त, संक्रामी और जुड़ा हुआ है।
 *  (भी,  या ): संबंध जो प्रतिवर्त, संक्रामी और जुड़ा हुआ है।


 * (भी, ): संबंध जो प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी ह: (भी, )
 * संबंध जो अपरावर्ती, प्रतिसममित और संक्रामी है।
 *  (भी,, , या )
 * संबंध जो प्रतिवर्त, प्रतिसममित, संक्रामी और जुड़ा हुआ है।
 *  (भी,, , या )
 * संबंध जो अप्रतिवर्ती, प्रतिसममित, संक्रामी और जुड़ा हुआ है।
 * संबंध जो सममित और संक्रामी है।
 * संबंध जो स्वतुल्य, सममित और संक्रामी है। यह ऐसा संबंध भी है जो सममित, संक्रामी और क्रमिक है, क्योंकि ये गुण प्रतिवर्तता का संकेत देते हैं।
 * संबंध जो स्वतुल्य, सममित और संक्रामी है। यह ऐसा संबंध भी है जो सममित, संक्रामी और क्रमिक है, क्योंकि ये गुण प्रतिवर्तता का संकेत देते हैं।
 * संबंध जो स्वतुल्य, सममित और संक्रामी है। यह ऐसा संबंध भी है जो सममित, संक्रामी और क्रमिक है, क्योंकि ये गुण प्रतिवर्तता का संकेत देते हैं।

(विषम) संबंधों के गुण
समुच्चय X और Y पर कुछ महत्वपूर्ण प्रकार के द्वयाधारी संबंध R नीचे सूचीबद्ध हैं।

विशिष्टता गुण:
 * अंतःक्षेपक(जिसे वाम-अद्वितीय भी कहा जाता है) सभी के लिए $yRx$ और सभी $x = y$, यदि $x_{n}R...Rx_{3}Rx_{2}Rx_{1}$ तथा $x, z ∈ X$ फिर $y ∈ Y$। ऐसे संबंध के लिए, {Y} को R की प्राथमिक कुंजी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले द्विआधारी संबंध अंतःक्षेपकहैं, लेकिन लाल वाला नहीं है (क्योंकि यह -1 और 1 से 1 दोनों से संबंधित है), न ही काला वाला (क्योंकि यह -1 और 1 से 0 दोनों से संबंधित है) ।
 * कार्यात्मक (जिसे सही-अद्वितीय भी कहा जाता है, सही-निश्चित या असंबद्ध): सभी के लिए $xRy$ और सभी $zRy$, यदि $x = z$ तथा $x ∈ X$ फिर $y, z ∈ Y$। इस तरह के द्वयी संबंध को कहा जाता है । ऐसे संबंध के लिए, {X} कहा जाता है  R का उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कार्यात्मक हैं, लेकिन नीला नहीं है (क्योंकि यह 1 से -1 और 1 दोनों से संबंधित है), और न ही काला वाला (क्योंकि यह 0 से -1 और 1 दोनों से संबंधित है) ।
 * एक-से-एक: अंतःक्षेपक और कार्यात्मक। उदाहरण के लिए, आरेख में हरा द्वयाधारी संबंध एक-से-एक है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
 * एक-से-कई: अंतःक्षेपक और कार्यात्मक नहीं। उदाहरण के लिए, आरेख में नीला द्वयाधारी संबंध एक-से-कई है, लेकिन लाल, हरा और काला नहीं है।
 * कई-से-एक: कार्यात्मक और अंतःक्षेपक नहीं। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल द्वयाधारी संबंध कई-से-एक है, लेकिन हरा, नीला और काला नहीं है।
 * कई-से-अनेक: न तो अंतःक्षेपक और न ही फलनक। उदाहरण के लिए, आरेख में काला द्वयाधारी संबंध कई-से-अनेक है, लेकिन लाल, हरा और नीला नहीं है।

संपूर्णता गुण (केवल तभी परिभाषित किया जा सकता है जब डोमेन X और कोडोमेन Y निर्दिष्ट हों):

कुल (बाएं-कुल भी कहा जाता है)
 * X में सभी X के लिए Y में ऐसा सम्मिलित है $xRy$। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का डोमेन X के बराबर है। यह गुण जुड़ा हुआ संबंध की परिभाषा से खंड द्वयाधारी संबंध गुण में अलग है (जिसे कुछ लेखकों द्वारा कुल भी कहा जाता है)। इस तरह के  द्वयी संबंध को बहुविकल्पी फलन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कुल हैं, लेकिन नीला वाला नहीं है (क्योंकि यह -1 को किसी वास्तविक संख्या से संबंधित नहीं करता है), और न ही काला वाला (क्योंकि यह 2 को किसी वास्तविक संख्या से संबंधित नहीं करता है) )।: (या )
 * सभी के लिए $xRz$, कुछ शामिलहै $y = z$ ऐसा है कि $xRy$। उदाहरण के लिए, > पूर्णांकों पर एक क्रमिक संबंध है। लेकिन यह धनात्मक पूर्णांकों पर क्रमिक संबंध नहीं है, क्योंकि ऐसा नहीं है $x$ सकारात्मक पूर्णांकों में जैसे कि $x ∈ X$। हालाँकि, < धनात्मक पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं पर एक क्रमिक संबंध है। हर स्वतुल्य संबंध क्रमिक संबंध है: दिए गए के लिए $S$, चुनें $y ∈ X$।

विशेषण (जिसे दायां-कुल भी कहा जाता है or on)
 * Y में सभी y के लिए, X में x सम्मिलित है जैसे कि xRy। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का कोडोमेन Y के बराबर है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले रंग के द्वयाधारी संबंध विशेषण हैं, लेकिन लाल नहीं है (क्योंकि यह किसी वास्तविक संख्या को -1 से संबंधित नहीं करता है), न ही काला वाला (क्योंकि यह किसी भी वास्तविक संख्या को 2 से संबंधित नहीं करता है)।

विशिष्टता और समग्रता गुण (केवल डोमेन X और कोडोमेन Y निर्दिष्ट होने पर परिभाषित किया जा सकता है):
 * : द्विआधारी संबंध जो कार्यात्मक और कुल है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्वयाधारी संबंध फलन हैं, लेकिन नीले और काले वाले नहीं हैं।
 * : फलन जो अंतःक्षेपक है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे रंग का द्वयाधारी संबंध एक अंतःक्षेपक है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
 * : फलन जो विशेषण है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरा द्वयाधारी संबंध अनुमान है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
 * : फलन जो अंतःक्षेपी और आच्छादक है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरा द्वयाधारी संबंध आक्षेप है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।

सजातीय संबंधों पर संचालन
यदि R एक समुच्चय X पर सजातीय संबंध है तो निम्नलिखित में से प्रत्येक X पर सजातीय संबंध है:
 * : R=, R के रूप में परिभाषित किया गया है R= = {(x, x) | x ∈ X} ∪ R या R युक्त X पर सबसे छोटा स्वतुल्य संबंध है। यह R वाले सभी स्वतुल्य संबंधों के प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत) के बराबर साबित हो सकता है।
 * : R≠, R के रूप में परिभाषित किया गया है R≠= R \ {(x, x) | x ∈ X} या R में निहित X पर सबसे बड़ा अपरावर्ती संबंध है।
 * : R+, R युक्त X पर सबसे छोटे संक्रामी संबंध के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे R वाले सभी संक्रामी संबंधों के प्रतिच्छेदन के बराबर देखा जा सकता है।
 * : R*, के रूप में परिभाषित किया गया $xRy$, सबसे छोटा पूर्व आदेश जिसमें R है।
 * : R≡, R वाले X पर सबसे छोटे समतुल्य संबंध के रूप में परिभाषित किया गया है।

अनुभाग में परिभाषित सभी संचालन  सजातीय संबंधों पर भी लागू होता है।
 * {| class="wikitable sortable" style="text-align:center;"

! !स्वतुल्यता !सममित ! संक्रामी ! शृंखला !प्रतीक !उदहारण !निर्देशित ग्राफ !अप्रत्यक्ष ग्राफ !निर्भरता !टूर्नामेंट !पूर्व क्रम !कुल अग्रिम क्रम !आंशिक क्रम !पूर्णतः आंशिक  क्रम !कुल क्रम !पूर्णतः कुल क्रम !आंशिक तुल्यता संबंध !तुल्यता संबंध
 * + align="top" | Homogeneous relations by property
 * Symmetric
 * Symmetric
 * Reflexive
 * Symmetric
 * Irreflexive
 * Antisymmetric
 * पेकिंग क्रम
 * पेकिंग क्रम
 * पेकिंग क्रम
 * पेकिंग क्रम
 * Reflexive
 * Yes
 * पसंद
 * पसंद
 * पसंद
 * पसंद
 * Reflexive
 * Yes
 * Yes
 * Yes
 * Reflexive
 * Antisymmetric
 * Yes
 * उपसमुच्चय
 * उपसमुच्चय
 * उपसमुच्चय
 * Irreflexive
 * Antisymmetric
 * Yes
 * सख्त उपसमुच्चय
 * सख्त उपसमुच्चय
 * सख्त उपसमुच्चय
 * Reflexive
 * Antisymmetric
 * Yes
 * Yes
 * वर्णानुक्रम
 * वर्णानुक्रम
 * Irreflexive
 * Antisymmetric
 * Yes
 * Yes
 * सख्त वर्णमाला क्रम
 * सख्त वर्णमाला क्रम
 * Symmetric
 * Yes
 * Yes
 * Reflexive
 * Symmetric
 * Yes
 * समानता
 * }
 * समानता
 * }

 (विषम) संबंधों पर संचालन 
 * : यदि R और S समुच्चय X और Y पर द्विआधारी संबंध हैं तो R ∪ S = {(x, y) | xRy या xSy R और S का है। इस संचालन का पहचान तत्व खाली संबंध है। उदाहरण के लिए, ≤ < और = का मिलन है, और ≥ > और = का मिलन है।


 * : यदि R और S समुच्चय X और Y पर द्विआधारी संबंध हैं तो R ∩ S = {(x, y) | xRy और xSy X और Y पर R और S का है  । पहचान तत्व सार्वभौमिक संबंध है। उदाहरण के लिए, संबंध 6 से विभाज्य है संबंधों का प्रतिच्छेदन 3 से विभाज्य है और 2 से विभाज्य है।


 * : यदि R समुच्चय X और Y पर द्वयी संबंध है, और S समुच्चय Y और Z पर द्वयी संबंध है तो S ∘ R = {(x, z) | वहाँ y ∈ Y का अस्तित्व है जैसे कि xRy और ySz } (द्वारा भी निरूपित) $1 > y$) X और Z पर R और S का है। पहचान तत्व पहचान संबंध है। अंकन में R और S का क्रम $y = x$, यहाँ प्रयुक्त कार्यों की संरचना के लिए मानक अंकन क्रम से सहमत है। उदाहरण के लिए, रचना ∘ की जननी है, उपज की जननी है, की नानी है, जबकि रचना ∘ की जननी है, उपज की जननी है। पूर्व मामले के लिए, यदि x, y का माता-पिता है और y, z की माता है, तो x, z का नाना-नानी है।


 * : यदि R समुच्चय X और Y पर द्विआधारी संबंध है तो RT = {(y, x) | xRy} Y और X पर R का विपरीत संबंध है। उदाहरण के लिए, = स्वयं का विपरीत है, जैसा ≠ है, और < और > दूसरे के विपरीत हैं, जैसे ≤ और ≥ हैं। द्विआधारी संबंध इसके विपरीत के बराबर है यदि और केवल यदि यह सममित संबंध है।


 * : यदि R समुच्चय X और Y पर एक द्विआधारी संबंध है तो $X$ = {(X, Y) | xRy नहीं (द्वारा भी दर्शाया गया है R या $R* = (R^{+})^{=}$) X और Y पर R का पूरक संबंध है। उदाहरण के लिए, = और ≠ एक दूसरे के पूरक हैं, जैसे ⊆ और ⊈, ⊇ और ⊉, और ∈ और ∉, और, कुल ऑर्डर के लिए भी < और ≥, और > और ≤। विपरीत संबंध का पूरक $R; S$ पूरक का विपरीत  है: $$\overline{R^\mathsf{T}} = \bar{R}^\mathsf{T}.$$
 * : यदि R समुच्चय X पर द्विआधारी सजातीय संबंध है और S, X का उपसमुच्चय है Rundefined = {(X, Y) | xRy और x ∈ S और y ∈ S} R से S का  है। व्यंजक Rundefined = {(X, Y) | xRy और x ∈ S} R से S का  {{ बायाँ-प्रतिबंध संबंध} है। व्यंजक Rundefined = {(X, Y) | xRy और y ∈ S}  को R से S का {{ सही-प्रतिबंध संबंध} कहा जाता है।। यदि कोई संबंध स्वतुल्य संबंध, अपरावर्ती, सममित संबंध, प्रतिसममित संबंध, असममित संबंध, संक्रामी  संबंध, क्रमिक संबंध संबंध, त्रिगुणात्मक (गणित), आंशिक क्रम, कुल क्रम, सख्त कमजोर क्रम है, कुल पूर्व आदेश (कमजोर आदेश), या समकक्ष संबंध, तो इसके प्रतिबंध भी हैं। हालांकि, प्रतिबंध का सकर्मक समापन सकर्मक बंद होने के प्रतिबंध का एक उपसमुच्चय है, अर्थात, सामान्य रूप से समान नहीं है। उदाहरण के लिए, "x, y का जनक है" संबंध को महिलाओं तक सीमित करने से संबंध "x, महिला y की मां है" प्राप्त होता है, इसका सकर्मक समापन महिला को उसकी नानी से संबंधित नहीं करता है। दूसरी ओर, "का जनक है" का सकर्मक समापन "का पूर्वज है"; महिलाओं के लिए इसका प्रतिबंध एक महिला को उसकी नानी से जोड़ता है।

द्वयी संबंध R ओवरसेट X और Y को एक संबंध S ओवर X और Y में निहित कहा जाता है, जिसे $$R \subseteq S,$$लिखा जाता है, यदि R, S का उपसमुच्चय है, अर्थात सभी के लिए $$x \in X$$ तथा $$y \in Y,$$ अगर xRy, तो xSy। यदि R, S में समाहित है और S, R में समाहित है, तो R और S को बराबर लिखा हुआ R = S कहते हैं। यदि R, S में समाहित है, लेकिन S, R में समाहित नहीं है, तो R, S से छोटा कहा जाता है, लिखित R ⊊ S. उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं पर संबंध > ≥ से छोटा होता है, और संघटन $S ∘ R$के बराबर होता है।

उदाहरण

 * सख्त आदेश सहित आदेश संबंध:
 * से अधिक
 * इससे बड़ा या इसके बराबर
 * से कम
 * से कम या बराबर
 * विभाजित (समान रूप से)
 * का भाग
 * तुल्यता संबंध:
 * समानता (गणित)
 * समानांतर (ज्यामिति) के साथ (एफ़िन रिक्त स्थान के लिए)
 * के साथ आपत्ति में है
 * समरूपता
 * टॉलरेंस संबंध, स्वतुल्य और सममित संबंध:
 * निर्भरता संबंध, एक परिमित सहिष्णुता संबंध
 * स्वतंत्रता संबंध, कुछ निर्भरता संबंध का पूरक
 * रिश्तेदारीसंबंधों की संरचना

यह भी देखें

 * सार पुनर्लेखन प्रणाली
 * योज्य संबंध, मॉड्यूल के बीच एक बहु-मूल्यवान समरूपता
 * संबंधों की श्रेणी, वस्तुओं के रूप में सेट वाली श्रेणी और आकारिकी के रूप में विषम द्विआधारी संबंध
 * संगम (शब्द पुनर्लेखन), द्विआधारी संबंधों के कई असामान्य लेकिन मौलिक गुणों पर चर्चा करता है
 * पत्राचार (बीजीय ज्यामिति), बीजगणितीय समीकरणों द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संबंध
 * हस्स आरेख, एक ग्राफिक का मतलब ऑर्डर संबंध प्रदर्शित करना है
 * घटना संरचना, बिंदुओं और रेखाओं के सेट के बीच एक विषम संबंध
 * रिश्तेदारों का तर्क, चार्ल्स सैंडर्स पियर्स द्वारा संबंधों का एक सिद्धांत
 * आदेश सिद्धांत, आदेश संबंधों के गुणों की जांच करता है