विशेष समकोण त्रिभुज

विशेष समकोण त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज होता है जिसमें कुछ नियमित विशेषताएं होती हैं जो त्रिभुज पर गणना को आसान बनाता है या जिसके लिए सरल सूत्र उपस्थित हैं, उदाहरण के लिए एक समकोण त्रिभुज में ऐसे कोण हो सकते हैं जो सरल संबंध बनाते हैं, जैसे कि 45°–45°–90°। इसे "कोण-आधारित" समकोण त्रिभुज कहा जाता है, एक भुजा-आधारित समकोण त्रिभुज वह होता है जिसमें भुजाओं की लंबाई पूर्ण संख्याओं का अनुपात जैसे कि 3 : 4 : 5 या अन्य विशेष संख्याओं का सुनहरा अनुपात बनाती हैं। इन विशेष समकोण त्रिभुजों के कोणों या भुजाओं के अनुपातों के संबंधों को जानने से अधिक उन्नत तरीकों का सहारा लिए बिना ज्यामिति की समस्याओं में विभिन्न लंबाई की गणना करने की अनुमति देता है।

कोण आधारित
कोण-आधारित विशेष समकोण त्रिभुज उन कोणों के संबंधों द्वारा निर्दिष्ट किए जाते हैं जिनसे त्रिभुज बना है। इन त्रिभुजों के कोण इस प्रकार हैं कि बड़ा (समकोण) कोण जो 90 अंश (कोण) या $\pi⁄2$ कांति अन्य दो कोणों के योग के समान है।

सतह की लंबाई सामान्यतौर पर यूनिट वृत्त या अन्य ज्यामिति विधियों के आधार पर निकाली जाती है। इस दृष्टिकोण का उपयोग 30°, 45° और 60° के कोणों के त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को तेजी से पुन: उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।

सामान्य त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना में सहायता के लिए विशेष त्रिकोण का उपयोग किया जाता है, जैसा कि नीचे दिया गया है:

45°–45°–90° त्रिभुज, 30°–60°–90° त्रिभुज और समबाहु /समकोणीय (60°–60°–60°) त्रिभुज समतल में तीन मॉबियस त्रिभुज हैं, जिसका अर्थ है कि वे अपने पक्षों में प्रतिबिंब (गणित) के माध्यम से सतह को टेसलेट करते हैं, त्रिभुज समूह देखें।

45°–45°–90° त्रिभुज
समतल ज्यामिति में वर्ग के विकर्ण का निर्माण एक त्रिभुज में होता है जिसके तीन कोण 1 : 1 : 2 के अनुपात में होते हैं, जो 180° या $\pi$ रेडियन तक जोड़ते हैं, इसलिए कोण क्रमशः 45° मापते हैं ($√0⁄2$), 45° ($√4⁄2$) और 90° ($\pi⁄6$) इस त्रिभुज की भुजाएँ 1 : 1: √2 के अनुपात में हैं, जो पायथागॉरियन प्रमेय से तुरंत अनुसरण करता है।

सभी समकोण त्रिभुजों में 45°–45°–90° अंश त्रिभुज में कर्ण और लेग्स के योग का सबसे छोटा अनुपात होता है, अर्थात् $33 1⁄3$. और कर्ण से ऊंचाई का सबसे बड़ा अनुपात लेग के योग के लिए अर्थात् $1⁄12$.

इन कोणों वाले त्रिभुज एकमात्र संभावित समकोण त्रिभुज हैं जो यूक्लिडियन ज्यामिति में समद्विबाहु त्रिभुज भी हैं, हालांकि वृत ज्यामिति और अतिपरवलयिक ज्यामिति में समद्विबाहु त्रिभुजों के अनंत रूप से कई अलग-अलग आकार होते हैं।

30°–60°–90° त्रिभुज
यह एक त्रिभुज है जिसके तीन कोण 1 : 2 : 3 के अनुपात में हैं और क्रमशः 30° ($√1⁄2$), 60° ($1⁄2$) और 90° ($√3⁄2$)भुजाओं का अनुपात 1 : √3 : 2 मापते हैं।

त्रिकोणमिति के प्रयोग से इस तथ्य का प्रमाण स्पष्ट हो जाता है। ज्यामिति प्रमाण है:


 * भुजा लंबाई 2 के साथ एक समबाहु त्रिभुज ABC बनाएं और बिंदु D को खंड BC के मध्य बिंदु के रूप में लें, A से D तक एक ऊंचाई रेखा खींचें फिर ABD लंबाई 2 के कर्ण और लंबाई 1 के आधार BD के साथ 30 डिग्री -60 डिग्री -90 डिग्री त्रिकोण है।


 * तथ्य यह है कि शेष लेग AD की लंबाई √3 पायथागॉरियन प्रमेय से तुरंत अनुसरण करती है।

30°–60°–90° त्रिभुज एकमात्र समकोण त्रिभुज है जिसके कोण समांतर श्रेणी में हैं। इस तथ्य का प्रमाण सरल है और इस तथ्य से अनुसरण करता है कि यदि α, α + δ, α + 2δ प्रगति में कोण हैं तो कोणों का योग 3α + 3δ = 180° हैं। 3 से विभाजित करने के बाद कोण α + δ 60° होना चाहिए, समकोण 90° है शेष कोण 30° है।

सतह आधारित
समकोण त्रिभुज जिनकी भुजाएँ पूर्णांक लंबाई की होती हैं, भुजाओं को सामूहिक रूप से पायथागॉरियन त्रिक के रूप में जाना जाता है, ऐसे कोण होते हैं जो सभी डिग्री (कोण) की परिमेय संख्या नहीं हो सकते। वे सबसे अधिक उपयोगी हैं क्योंकि उन्हें आसानी से याद किया जा सकता है और कोई भी एकाधिक (गणित) समान संबंध उत्पन्न करता है। पायथागॉरियन त्रिक उत्पन्न करने के लिए यूक्लिड के सूत्र का उपयोग करते हुए भुजाओं को अनुपात में होना चाहिए


 * m$1⁄\sqrt{3}$ − n$\pi⁄4$ : 2mn : m$1⁄8$ + n$√2⁄2$

जहाँ m और n धनात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि m > n.

सामान्य पायथागॉरियन त्रिक
कई पायथागॉरियन त्रिक हैं जो प्रसिद्ध हैं, जिनमें अनुपात में भुजाएँ सम्मिलित हैं:


 * {| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"

!align="right"|3:||align="center"|4 ||align="left"|:5

!align="right"|5:||align="center"|12||align="left"|:13 !align="right"|8:||align="center"|15||align="left"|:17 !align="right"|7:||align="center"|24||align="left"|:25 !align="right"|9:||align="center"|40||align="left"|:41 अंकगणितीय प्रगति में कोर 3: 4: 5 त्रिभुज एकमात्र समकोण त्रिभुज हैं। पायथागॉरियन त्रिभुज पर आधारित त्रिभुज हेरोनियन त्रिभुज हैं, जिसका अर्थ है कि उनके पास पूर्णांक क्षेत्र के साथ-साथ पूर्णांक सतह भी हैं।
 * }

प्राचीन मिस्र में 3 : 4 : 5 त्रिकोण का संभावित उपयोग इस तरह के त्रिकोण को बनाने के लिए एक गांठदार रस्सी के कथित उपयोग के साथ और यह सवाल कि क्या पाइथागोरस प्रमेय उस समय ज्ञात था, बहुत चर्चा का विषय रहा है। यह पहली बार 1882 में इतिहासकार मोरिट्ज़ कैंटर द्वारा अनुमान लगाया गया था। यह ज्ञात है कि प्राचीन मिस्र में समकोण यथार्थ रूप से निर्धारित किए गए थे कि उनके सर्वेक्षकों ने मापने के लिए रस्सियों का उपयोग किया था उस प्लूटार्क ने आइसिस और ओसिरिस की (लगभग 100 ईस्वी) में प्रविष्टि किया कि मिस्र के लोग 3 : 4 : 5 त्रिभुज की प्रशंसा करते थे और यह कि मिस्र के मध्य साम्राज्य (1700 ईसा पूर्व से पहले) के बर्लिन पपीरस 6619 में कहा गया है कि 100 के एक वर्ग का क्षेत्रफल दो छोटे वर्गों के सामान होता है। एक की भुजा ½ + ¼ दूसरी की भुजा होती है। गणित के इतिहासकार रोजर एल. कुक ने कहा है कि पाइथागोरस प्रमेय को जाने बिना ऐसी स्थितियों में रुचि रखने वाले किसी की भी कल्पना करना कठिन है। इसके विरुद्ध कुक ने निष्कर्ष निकाला कि 300 ईसा पूर्व कोई भी मिस्री पाठ वास्तव में त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई ज्ञात करने के लिए प्रमेय के उपयोग का उल्लेख नहीं करता है और यह कि समकोण बनाने के सरल तरीके हैं। कुक ने निष्कर्ष निकाला कि कैंटर का अनुमान अनिश्चित है उनका अनुमान है कि प्राचीन मिस्रवासी संभवतया पाइथागोरस प्रमेय को जानते थे लेकिन इसका कोई प्रमाण नहीं है कि उन्होंने इसका उपयोग समकोण बनाने के लिए किया था।

निम्नलिखित सभी पायथागॉरियन त्रिक अनुपात निम्नतम रूप में व्यक्त किए गए हैं (ऊपर दी गई सूची में सबसे छोटे रूप में पांच सबसे छोटे से) दोनों गैर-कर्ण पक्षों के साथ 256 से कम:


 * {| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0" align="left"

!align="right"|11:||align="center"|60||align="left"|:61|| !align="right"|12:||align="center"|35||align="left"|:37 !align="right"|13:||align="center"|84||align="left"|:85 !align="right"|15:||align="center"|112||align="left"|:113 !align="right"|16:||align="center"|63||align="left"|:65 !align="right"|17:||align="center"|144||align="left"|:145 !align="right"|19:||align="center"|180||align="left"|:181 !align="right"|20:||align="center"|21||align="left"|:29 !align="right"|20:||align="center"|99||align="left"|:101 !align="right"|21:||align="center"|220||align="left"|:221
 * }

लगभग-समद्विबाहु पायथागॉरियन त्रिक
समद्विबाहु समकोण त्रिभुजों में पूर्णांक मानों वाली भुजाएँ नहीं हो सकती हैं क्योंकि कर्ण का किसी भी अन्य पक्ष से अनुपात √2 और √2 को दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है, हालाँकि अपरिमित रूप से कई समद्विबाहु समकोण त्रिभुज उपस्थित हैं। ये पूर्णांक भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज हैं जिनके लिए गैर-कर्ण पक्ष की लंबाई एक से भिन्न होती है। इस तरह लगभग समद्विबाहु समकोण त्रिभुजों को पुनरावर्ती रूप से प्राप्त किया जा सकता है,


 * a0 = 1, b0 = 2
 * an = 2bn−1 + an−1
 * bn = 2an + bn−1
 * an कर्ण की लंबाई है, n = 1, 2, 3, .... समान रूप से,


 * $$(\tfrac{x-1}{2})^2+(\tfrac{x+1}{2})^2 = y^2$$

जहां {x, y} पेल समीकरण x$1⁄\sqrt{2}$ − 2y$√2⁄2$ = −1के समाधान हैं जिसमें कर्ण y के साथ पेल संख्या '1', 2, '5', 12, '29', 70, '169', 408, '985', 2378..के विषम पद हैं।  ओईआईएस में अनुक्रम A000129 सबसे छोटा पाइथोगोरियन त्रिक जिसके परिणाम हैं:
 * {| border="0" cellpadding="0" cellspacing="0"

!align="right"| 3 :|| align="center" | 4 ||align="left"|:        5 !align="right"| 20 :|| align="center" | 21 ||align="left"|:       29 !align="right"| 119 :|| align="center" | 120 ||align="left"|:      169 !align="right"| 696 :|| align="center" | 697 ||align="left"|:      985 !align="right"| 4,059 :|| align="center" | 4,060 ||align="left"|:    5,741 !align="right"| 23,660 :|| align="center" | 23,661 ||align="left"|:   33,461 !align="right"| 137,903 :|| align="center" | 137,904 ||align="left"|:  195,025 !align="right"| 803,760 :|| align="center" | 803,761 ||align="left"|: 1,136,689 !align="right"|4,684,659 :|| align="center" | 4,684,660 ||align="left"|: 6,625,109 वैकल्पिक रूप से, समान त्रिभुजों को वर्ग त्रिभुजाकार संख्याओं से प्राप्त किया जा सकता है।
 * }

अंकगणितीय और ज्यामितीय प्रगति


केप्लर त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ ज्यामितीय प्रगति में हैं यदि भुजाएँ ज्यामितीय प्रगति a, ar, ar2 से बनते हैं तो इसका सामान्य अनुपात r = √φ द्वारा दिया जाता है जहां φ सुनहरा अनुपात है इसलिए इसकी भुजाएँ 1 : √φ : φ अनुपात में हैं। इस प्रकार केप्लर त्रिभुज का आकार विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है आवश्यकता से कि इसकी भुजाएँ ज्यामितीय प्रगति में हों।

3-4-5 त्रिभुज अद्वितीय समकोण त्रिभुज (स्केलिंग तक) है जिसकी भुजाएँ अंकगणितीय प्रगति में हैं।

नियमित बहुभुजों की भुजाएं
माना $$a=2\sin\frac{\pi}{10}=\frac{-1+\sqrt5}{2}=\frac1\varphi\approx 0.618$$ यूनिट वृत्त में उत्कीर्ण एक नियमित दसभुज की पार्श्व लंबाई जहां $$\varphi$$ सुनहरा अनुपात है। माना $$b=2\sin\frac{\pi}{6}=1$$ यूनिट वृत्त में एक नियमित षट्भुज की भुजा की लंबाई, $$c=2\sin\frac{\pi}{5}=\sqrt{\frac{5-\sqrt5}{2}}\approx 1.176$$ यूनिट वृत्त में एक नियमित पंचकोण की भुजा की लंबाई $$a^2+b^2=c^2$$ है तो ये तीन लंबाइयाँ एक समकोण त्रिभुज की भुजाएँ बनाती हैं। वही त्रिभुज एक सुनहरे आयत का आधा भाग बनाता है, यह पार्श्व लंबाई $$c$$ किसी भी शीर्ष से सबसे छोटी रेखा खंड $$V$$ से इसके पांच पड़ोसियों के तल तक की सबसे छोटी रेखा खंड की लंबाई $$a$$ और एक नियमित विंशतिफलक के भीतर भी पाया जा सकता है $$V$$ के किसी भी पड़ोसी के साथ मिलकर इस रेखा खंड के अंतिम बिंदु $$a$$, $$b$$ और $$c$$ हैं।

यह भी देखें

 * पूर्णांक त्रिभुज
 * थियोडोरस का सर्पिल

बाहरी संबंध

 * 3 : 4 : 5 triangle
 * 30–60–90 triangle
 * 45–45–90 triangle – with interactive animations