वेक्टर ऑटोरिग्रेशन

वेक्टर ऑटोरिग्रेशन (VAR) एक सांख्यिकीय मॉडल है जिसका उपयोग कई मात्राओं के बीच संबंध को कैप्चर करने के लिए किया जाता है क्योंकि वे समय के साथ बदलते हैं। VAR एक प्रकार का अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया मॉडल है। VAR मॉडल बहुभिन्नरूपी समय श्रृंखला की अनुमति देकर एकल-चर (यूनिवेरिएट) ऑटोरेग्रेसिव मॉडल का सामान्यीकरण करते हैं। VAR मॉडल अक्सर अर्थशास्त्र और प्राकृतिक विज्ञानों में उपयोग किए जाते हैं।

ऑटोरेग्रेसिव मॉडल की तरह, प्रत्येक चर का एक समीकरण होता है जो समय के साथ अपने विकास को दर्शाता है। इस समीकरण में वेरिएबल के लैग ऑपरेटर (पिछले) मान, मॉडल में अन्य वेरिएबल्स के लैग्ड मान और आंकड़ों में एक त्रुटि और अवशिष्ट शामिल हैं। VAR मॉडल को एक चर को प्रभावित करने वाली ताकतों के बारे में अधिक ज्ञान की आवश्यकता नहीं होती है, जैसा कि एक साथ समीकरण मॉडल के साथ संरचनात्मक समीकरण मॉडलिंग में होता है। केवल पूर्व ज्ञान की आवश्यकता चर की एक सूची है जिसे समय के साथ एक दूसरे को प्रभावित करने के लिए परिकल्पित किया जा सकता है।

परिभाषा
एक VAR मॉडल समय के साथ-साथ k वेरिएबल्स के एक सेट के विकास का वर्णन करता है, जिसे Endogeneity (अर्थमिति) वेरिएबल्स कहा जाता है। समय की प्रत्येक अवधि को क्रमांकित किया जाता है, t = 1, ..., T. चर एक सदिश स्थान में एकत्र किए जाते हैं, yt, जिसकी लंबाई k है। (समतुल्य रूप से, इस वेक्टर को (k × 1)-मैट्रिक्स (गणित)|मैट्रिक्स के रूप में वर्णित किया जा सकता है।) वेक्टर को इसके पिछले मान के रैखिक फ़ंक्शन के रूप में मॉडल किया गया है। वेक्टर के घटकों को y कहा जाता हैi,t, i वें चर के समय टी पर अवलोकन का अर्थ है। उदाहरण के लिए, यदि मॉडल में पहला चर समय के साथ गेहूं की कीमत को मापता है, तो y1,1998 वर्ष 1998 में गेहूं की कीमत का संकेत होगा।

VAR मॉडल को उनके क्रम से चित्रित किया जाता है, जो कि मॉडल द्वारा उपयोग की जाने वाली पिछली समयावधि की संख्या को संदर्भित करता है। ऊपर दिए गए उदाहरण को जारी रखते हुए, 5वें क्रम का VAR प्रत्येक वर्ष के गेहूं की कीमत को पिछले पांच वर्षों के गेहूं की कीमतों के रैखिक संयोजन के रूप में मॉडल करेगा। एक अंतराल पिछली समय अवधि में एक चर का मान है। तो सामान्य तौर पर एक pth-order VAR एक VAR मॉडल को संदर्भित करता है जिसमें अंतिम p समय अवधि के अंतराल शामिल होते हैं। एक pth-क्रम VAR को VAR(p) के रूप में दर्शाया जाता है और कभी-कभी इसे p lags वाला VAR कहा जाता है। एक pth-क्रम VAR मॉडल को इस प्रकार लिखा जाता है


 * $$y_t = c + A_1 y_{t-1} + A_2 y_{t-2} + \cdots + A_p y_{t-p} + e_t, \, $$

फॉर्म वाई के चरt−i इंगित करता है कि वेरिएबल का मान i पहले की समयावधि है और इसे y का iवां लैग कहा जाता हैt. चर c मॉडल के Y-अवरोधन के रूप में कार्य करने वाले स्थिरांक का k-वेक्टर है। एiएक समय-अपरिवर्तनीय (k × k)-मैट्रिक्स और ई हैt आँकड़ों के संदर्भ में त्रुटियों और अवशिष्टों का k-वेक्टर है। त्रुटि शर्तों को तीन शर्तों को पूरा करना चाहिए:

वीएआर मॉडल में अधिकतम अंतराल पी चुनने की प्रक्रिया पर विशेष ध्यान देने की आवश्यकता है क्योंकि अनुमान चयनित अंतराल क्रम की शुद्धता पर निर्भर है।
 * 1) $$\mathrm{E}(e_t) = 0\,$$. प्रत्येक त्रुटि शब्द का अपेक्षित मान शून्य होता है।
 * 2) $$\mathrm{E}(e_t e_t') = \Omega\,$$. त्रुटि शर्तों का समकालीन सहप्रसरण मैट्रिक्स एक k × k धनात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है |
 * 3) $$\mathrm{E}(e_t e_{t-k}') = 0\,$$ किसी भी गैर-शून्य k के लिए। समय के पार कोई संबंध नहीं है। विशेष रूप से, व्यक्तिगत त्रुटि शब्दों में कोई क्रमिक संबंध नहीं है।

चरों के एकीकरण का क्रम
ध्यान दें कि सभी चरों को एकीकरण के समान क्रम का होना चाहिए। निम्नलिखित मामले विशिष्ट हैं:


 * सभी चर I(0) (स्थिर) हैं: यह मानक मामले में है, यानी स्तर में VAR
 * सभी चर I(d) (गैर-स्थिर) d > 0 के साथ हैं:
 * चर सह-एकीकरण हैं: त्रुटि सुधार शब्द को VAR में शामिल किया जाना है। मॉडल वेक्टर त्रुटि सुधार मॉडल (VECM) बन जाता है जिसे प्रतिबंधित VAR के रूप में देखा जा सकता है।
 * चर सह-एकीकरण नहीं हैं: सबसे पहले, चरों को d बार अलग करना पड़ता है और एक अंतर में VAR होता है।

संक्षिप्त मैट्रिक्स संकेतन
एक संक्षिप्त मैट्रिक्स अंकन के साथ एक स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स अंतर समीकरण के रूप में VAR(p) लिखने के लिए कोई भी वैक्टर को ढेर कर सकता है:


 * $$ Y=BZ +U \, $$

मैट्रिसेस का विवरण एक वीएआर (पी) के सामान्य मैट्रिक्स नोटेशन में है।

उदाहरण
के चर के साथ वीएआर (पी) के सामान्य उदाहरण के लिए, वीएआर (पी) का सामान्य मैट्रिक्स नोटेशन देखें।

दो वेरिएबल्स में एक VAR(1) को मैट्रिक्स फॉर्म (अधिक कॉम्पैक्ट नोटेशन) के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\begin{bmatrix}y_{1,t} \\ y_{2,t}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_{1} \\ c_{2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}a_{1,1}&a_{1,2} \\ a_{2,1}&a_{2,2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1,t-1} \\ y_{2,t-1}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e_{1,t} \\ e_{2,t}\end{bmatrix},$$

(जिसमें केवल एक ए मैट्रिक्स दिखाई देता है क्योंकि इस उदाहरण में अधिकतम अंतराल पी 1 के बराबर है), या, समकक्ष, दो समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली के रूप में


 * $$y_{1,t} = c_{1} + a_{1,1}y_{1,t-1} + a_{1,2}y_{2,t-1} + e_{1,t}\,$$
 * $$y_{2,t} = c_{2} + a_{2,1}y_{1,t-1} + a_{2,2}y_{2,t-1} + e_{2,t}.\,$$

मॉडल में प्रत्येक चर का एक समीकरण होता है। प्रत्येक चर का वर्तमान (समय टी) अवलोकन अपने स्वयं के पिछड़े मूल्यों के साथ-साथ वीएआर में एक दूसरे चर के पिछड़े मूल्यों पर निर्भर करता है।

VAR(p) को VAR(1)
के रूप में लिखना पी लैग के साथ एक वीएआर को हमेशा एक वीएआर के रूप में फिर से लिखा जा सकता है जिसमें आश्रित चर को उचित रूप से पुनर्परिभाषित करके केवल एक अंतराल हो। नए VAR(1) निर्भर चर में VAR(p) चर के अंतराल को ढेर करने और समीकरणों की संख्या को पूरा करने के लिए पहचान जोड़ने के लिए रूपांतरण राशि।

उदाहरण के लिए, VAR(2) मॉडल


 * $$y_t = c + A_1 y_{t-1} + A_2 y_{t-2} + e_t$$

VAR(1) मॉडल के रूप में फिर से तैयार किया जा सकता है


 * $$\begin{bmatrix}y_{t} \\ y_{t-1}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c \\ 0\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}A_{1}&A_{2} \\ I&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{t-1} \\ y_{t-2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}e_{t} \\ 0\end{bmatrix},$$

जहां मैं पहचान मैट्रिक्स है।

समतुल्य VAR(1) प्रपत्र विश्लेषणात्मक व्युत्पत्तियों के लिए अधिक सुविधाजनक है और अधिक कॉम्पैक्ट कथनों की अनुमति देता है।

संरचनात्मक VAR
एक स्ट्रक्चरल VAR with p lags (कभी-कभी संक्षिप्त रूप में SVAR) होता है


 * $$B_0 y_t = c_0 + B_1 y_{t-1} + B_2 y_{t-2} + \cdots + B_p y_{t-p} + \epsilon_t,$$

जहां सी0 एक k × 1 स्थिरांक का वेक्टर है, Biएक k × k मैट्रिक्स है (प्रत्येक i = 0, ..., p के लिए) और εt त्रुटि शर्तों का एक k × 1 वेक्टर है। बी की मुख्य विकर्ण शर्तें0 मैट्रिक्स (i पर गुणांकi में th चरth समीकरण) को 1 पर स्केल किया गया है।

त्रुटि शर्तें εt('संरचनात्मक झटके') ऊपर की परिभाषा में शर्तों (1) - (3) को संतुष्ट करते हैं, इस विशिष्टता के साथ कि सहप्रसरण मैट्रिक्स के विकर्ण के सभी तत्व $$\mathrm{E}(\epsilon_t\epsilon_t') = \Sigma$$ शून्य हैं। यही है, संरचनात्मक झटके असंबद्ध हैं।

उदाहरण के लिए, एक दो परिवर्तनशील संरचनात्मक VAR(1) है:


 * $$\begin{bmatrix}1&B_{0;1,2} \\ B_{0;2,1}&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1,t} \\ y_{2,t}\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}c_{0;1} \\ c_{0;2}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}B_{1;1,1}&B_{1;1,2} \\ B_{1;2,1}&B_{1;2,2}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}y_{1,t-1} \\ y_{2,t-1}\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}\epsilon_{1,t} \\ \epsilon_{2,t}\end{bmatrix},$$

कहाँ


 * $$\Sigma = \mathrm{E}(\epsilon_t \epsilon_t') = \begin{bmatrix}\sigma_{1}^2&0 \\ 0&\sigma_{2}^2\end{bmatrix};$$

अर्थात्, संरचनात्मक झटकों के प्रसरण को निरूपित किया जाता है $$\mathrm{var}(\epsilon_i) = \sigma_i^2$$ (i = 1, 2) और सहप्रसरण है $$\mathrm{cov}(\epsilon_1,\epsilon_2) = 0$$.

पहला समीकरण स्पष्ट रूप से लिखना और y पास करना2,tदाहिने हाथ की ओर एक प्राप्त करता है


 * $$y_{1,t} = c_{0;1} - B_{0;1,2}y_{2,t} + B_{1;1,1}y_{1,t-1} + B_{1;1,2}y_{2,t-1} + \epsilon_{1,t}\,$$

ध्यान दें कि वाई2,t वाई पर समसामयिक प्रभाव हो सकता है1,tअगर बी0;1,2 शून्य नहीं है। यह उस मामले से अलग है जब बी0 पहचान मैट्रिक्स है (सभी ऑफ-विकर्ण तत्व शून्य हैं - प्रारंभिक परिभाषा में मामला), जब y2,t सीधे y को प्रभावित कर सकता है1,t+1 और बाद के भविष्य के मान, लेकिन y नहीं1,t.

पैरामीटर पहचान की समस्या के कारण, संरचनात्मक VAR के सामान्य न्यूनतम वर्ग अनुमान से अनुमानक # संगति पैरामीटर अनुमान प्राप्त होंगे। VAR को कम रूप में लिखकर इस समस्या को दूर किया जा सकता है।

आर्थिक दृष्टिकोण से, यदि चर के एक सेट की संयुक्त गतिशीलता को VAR मॉडल द्वारा दर्शाया जा सकता है, तो संरचनात्मक रूप अंतर्निहित, संरचनात्मक, आर्थिक संबंधों का चित्रण है। संरचनात्मक रूप की दो विशेषताएं इसे अंतर्निहित संबंधों का प्रतिनिधित्व करने के लिए पसंदीदा उम्मीदवार बनाती हैं:


 * 1. त्रुटि शब्द सहसंबद्ध नहीं हैं। संरचनात्मक, आर्थिक झटके जो आर्थिक चर की गतिशीलता को चलाते हैं, उन्हें सांख्यिकीय स्वतंत्रता माना जाता है, जिसका अर्थ वांछित संपत्ति के रूप में त्रुटि शर्तों के बीच शून्य सहसंबंध है। यह VAR में आर्थिक रूप से असंबद्ध प्रभावों के प्रभावों को अलग करने में मददगार है। उदाहरण के लिए, ऐसा कोई कारण नहीं है कि तेल की कीमतों में आघात (आपूर्ति आघात के उदाहरण के रूप में) कपड़ों की शैली के प्रति उपभोक्ताओं की प्राथमिकताओं में बदलाव से जुड़ा हो (मांग आघात के उदाहरण के रूप में); इसलिए किसी को उम्मीद होगी कि ये कारक सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र होंगे।


 * 2. चर का अन्य चरों पर समकालीन प्रभाव हो सकता है। यह विशेष रूप से कम आवृत्ति डेटा का उपयोग करते समय एक वांछनीय विशेषता है। उदाहरण के लिए, अप्रत्यक्ष कर की दर में वृद्धि निर्णय की घोषणा के दिन कर राजस्व को प्रभावित नहीं करेगी, लेकिन उस तिमाही के आंकड़ों में एक प्रभाव देखा जा सकता है।

कम-रूप VAR
बी के व्युत्क्रम के साथ संरचनात्मक VAR का पूर्वगुणन करके0
 * $$y_t = B_0^{-1}c_0 + B_0^{-1} B_1 y_{t-1} + B_0^{-1} B_2 y_{t-2} + \cdots + B_0^{-1} B_p y_{t-p} + B_0^{-1}\epsilon_t,$$

और निरूपित करना


 * $$ B_{0}^{-1} c_0 = c,\quad B_{0}^{-1}B_i = A_{i}\text{ for }i = 1, \dots, p\text{ and }B_{0}^{-1}\epsilon_t = e_t$$

one p क्रम घटा हुआ VAR प्राप्त करता है


 * $$y_t = c + A_1 y_{t-1} + A_2 y_{t-2} + \cdots + A_p y_{t-p} + e_t$$

ध्यान दें कि कम किए गए रूप में सभी दाहिने हाथ के चर समय टी पर पूर्व निर्धारित होते हैं। चूंकि दाहिने हाथ की ओर कोई समय टी अंतर्जात चर नहीं हैं, मॉडल में अन्य चर पर किसी भी चर का प्रत्यक्ष समसामयिक प्रभाव नहीं है।

हालांकि, घटे हुए VAR में त्रुटि शब्द संरचनात्मक झटकों के सम्मिश्रण हैं et = बी0-1ईt. इस प्रकार, एक संरचनात्मक झटके ε की घटनाi,tसंभावित रूप से सभी त्रुटि शर्तों में झटके की घटना हो सकती हैj,t, इस प्रकार सभी अंतर्जात चरों में समसामयिक गति पैदा करता है। नतीजतन, घटे हुए VAR का सहप्रसरण मैट्रिक्स


 * $$\Omega = \mathrm{E}(e_t e_t') = \mathrm{E} (B_0^{-1} \epsilon_t \epsilon_t' (B_0^{-1})') = B_0^{-1}\Sigma(B_0^{-1})'\,$$

गैर-शून्य ऑफ-विकर्ण तत्व हो सकते हैं, इस प्रकार त्रुटि शब्दों के बीच गैर-शून्य सहसंबंध की अनुमति देते हैं।

प्रतिगमन मापदंडों का अनुमान
संक्षिप्त मैट्रिक्स संकेतन से शुरू (विवरण के लिए VAR(p) का सामान्य मैट्रिक्स संकेतन देखें):


 * $$ Y=BZ +U \, $$


 * बी पैदावार का अनुमान लगाने के लिए बहुभिन्नरूपी प्रतिगमन (एमएलएस) दृष्टिकोण:


 * $$ \hat B= YZ'(ZZ')^{-1}. $$

इसे वैकल्पिक रूप से इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$ \operatorname{Vec}(\hat B) = ((ZZ')^{-1} Z \otimes I_{k})\ \operatorname{Vec}(Y), $$

कहाँ $$ \otimes $$ संकेतित मैट्रिक्स के क्रोनकर उत्पाद और Vec द वेक्टराइज़ेशन (गणित) को दर्शाता है।

यह अनुमानक Estimator#Consistency और Estimator#Efficiency है। इसके अलावा यह सशर्त अधिकतम संभावना के बराबर है।
 * चूँकि व्याख्यात्मक चर प्रत्येक समीकरण में समान होते हैं, बहुभिन्नरूपी न्यूनतम वर्ग अनुमानक प्रत्येक समीकरण पर अलग से लागू किए गए सामान्य न्यूनतम वर्ग अनुमानक के बराबर होता है।

त्रुटियों के सहप्रसरण मैट्रिक्स का अनुमान
जैसा कि मानक मामले में, सहप्रसरण मैट्रिक्स का अधिकतम संभावना अनुमानक (MLE) साधारण न्यूनतम वर्ग (OLS) अनुमानक से भिन्न होता है।

एमएलई अनुमानक: $$ \hat \Sigma = \frac{1}{T} \sum_{t=1}^T \hat \epsilon_t\hat \epsilon_t'$$ ओएलएस अनुमानक: $$ \hat \Sigma = \frac{1}{T-kp-1} \sum_{t=1}^T \hat \epsilon_t\hat \epsilon_t'$$ स्थिर, k चर और p अंतराल वाले मॉडल के लिए।

एक मैट्रिक्स नोटेशन में, यह देता है:


 * $$ \hat \Sigma = \frac{1}{T-kp-1} (Y-\hat{B}Z)(Y-\hat{B}Z)'.$$

अनुमानक के सहप्रसरण मैट्रिक्स का अनुमान
मापदंडों के सहप्रसरण मैट्रिक्स का अनुमान लगाया जा सकता है
 * $$ \widehat \mbox{Cov} (\mbox{Vec}(\hat B)) =({ZZ'})^{-1} \otimes\hat \Sigma.\, $$

स्वतंत्रता की डिग्री
वेक्टर स्वप्रतिगमन मॉडल में अक्सर कई मापदंडों का अनुमान शामिल होता है। उदाहरण के लिए, सात चर और चार अंतराल के साथ, दी गई अंतराल लंबाई के लिए गुणांक का प्रत्येक मैट्रिक्स 7 से 7 है, और स्थिरांक के वेक्टर में 7 तत्व हैं, इसलिए कुल 49×4 + 7 = 203 पैरामीटर अनुमानित हैं, काफी कम प्रतिगमन की स्वतंत्रता (सांख्यिकी) की डिग्री (डेटा बिंदुओं की संख्या घटाकर अनुमानित किए जाने वाले मापदंडों की संख्या)। यह पैरामीटर अनुमानों की सटीकता और इसलिए मॉडल द्वारा दिए गए पूर्वानुमानों को नुकसान पहुंचा सकता है।

अनुमानित मॉडल की व्याख्या
VAR मॉडल के गुणों को आमतौर पर संरचनात्मक विश्लेषण का उपयोग करके संक्षेपित किया जाता है, जिसमें ग्रेंजर कारणता # बहुभिन्नरूपी विश्लेषण, आवेग प्रतिक्रियाएं और पूर्वानुमान त्रुटियों के विचरण अपघटन का उपयोग किया जाता है।

आवेग प्रतिक्रिया
विकास के समीकरण के साथ पहले क्रम के मामले (यानी, केवल एक अंतराल के साथ) पर विचार करें
 * $$y_t=Ay_{t-1}+e_t,$$

विकसित (राज्य) वेक्टर के लिए $$y$$ और वेक्टर $$e$$ झटकों का। खोजने के लिए, कहने के लिए, झटके के वेक्टर के जे-वें तत्व का प्रभाव राज्य वेक्टर के i-वें तत्व पर 2 अवधि बाद में होता है, जो एक विशेष आवेग प्रतिक्रिया है, पहले विकास के उपरोक्त समीकरण को एक अवधि के अंतराल में लिखें:


 * $$y_{t-1}=Ay_{t-2}+e_{t-1}.$$

प्राप्त करने के लिए विकास के मूल समीकरण में इसका प्रयोग करें


 * $$y_t=A^2y_{t-2}+Ae_{t-1}+e_t;$$

फिर प्राप्त करने के लिए विकास के दो बार पिछड़े समीकरण का उपयोग करके दोहराएं


 * $$y_t=A^3y_{t-3}+A^2e_{t-2}+Ae_{t-1}+e_t.$$

इससे जे-वें घटक का प्रभाव $$e_{t-2}$$ के i-वें घटक पर $$y_t$$ मैट्रिक्स का i, j तत्व है $$A^2.$$ इस गणितीय प्रेरण प्रक्रिया से यह देखा जा सकता है कि किसी भी झटके का y के तत्वों पर समय के साथ असीम रूप से बहुत आगे प्रभाव पड़ेगा, हालांकि प्रभाव समय के साथ छोटा और छोटा होता जाएगा, यह मानते हुए कि AR प्रक्रिया स्थिर है - अर्थात, यह सब मैट्रिक्स A के मैट्रिसेस के eigenvalue#Eigenvalues ​​​​और eigenvectors निरपेक्ष मान में 1 से कम हैं।

अनुमानित VAR मॉडल का उपयोग करके पूर्वानुमान लगाना
पूर्वानुमान के लिए एक अनुमानित VAR मॉडल का उपयोग किया जा सकता है, और पूर्वानुमानों की गुणवत्ता को उन तरीकों से आंका जा सकता है, जो पूरी तरह से अविभाजित ऑटोरेग्रेसिव मॉडलिंग में उपयोग की जाने वाली विधियों के अनुरूप हैं।

अनुप्रयोग
क्रिस्टोफर ए. सिम्स ने व्यापक आर्थिक अर्थमिति में पहले के मॉडलिंग के दावों और प्रदर्शन की आलोचना करते हुए VAR मॉडल की वकालत की है। उन्होंने VAR मॉडल की सिफारिश की, जो पहले समय श्रृंखला के आँकड़ों में और सिस्टम पहचान में, नियंत्रण सिद्धांत में एक सांख्यिकीय विशेषता में प्रकट हुए थे। सिम्स ने आर्थिक संबंधों का अनुमान लगाने के लिए सिद्धांत-मुक्त विधि प्रदान करने के रूप में VAR मॉडल की वकालत की, इस प्रकार यह संरचनात्मक मॉडल में अविश्वसनीय पहचान प्रतिबंधों का विकल्प है। डायरी डेटा के स्वत: विश्लेषण के लिए स्वास्थ्य अनुसंधान में VAR मॉडल का भी तेजी से उपयोग किया जा रहा है या सेंसर डेटा।

सॉफ्टवेयर

 * R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज): पैकेज vars में VAR मॉडल के फंक्शन शामिल हैं। अन्य आर पैकेज CRAN टास्क व्यू: टाइम सीरीज़ एनालिसिस में सूचीबद्ध हैं।
 * Python (प्रोग्रामिंग भाषा): statsmodels पैकेज का tsa (समय श्रृंखला विश्लेषण) मॉड्यूल VARs का समर्थन करता है। PyFlux VARs और Bayesian VARs के लिए समर्थन करता है।
 * एसएएस भाषा: वर्मैक्स
 * था: वर
 * EViews: वार
 * ग्रेटल: वर
 * मतलब: वर्म
 * समय श्रृंखला का प्रतिगमन विश्लेषण: प्रणाली
 * एलडीटी

यह भी देखें

 * बायेसियन वेक्टर ऑटोरिग्रेशन
 * अभिसारी क्रॉस मैपिंग
 * ग्रेंजर कारणता
 * पैनल वेक्टर ऑटोरिग्रेशन, पैनल डेटा के लिए VAR मॉडल का विस्तार
 * विचरण अपघटन