सुपरडेंस कोडिंग

क्वांटम सूचना सिद्धांत में, सुपरडेंस कोडिंग (जिसे सघन कोडिंग भी कहा जाता है) एक क्वांटम संचार प्रोटोकॉल है जो प्रेषक और रिसीवर की धारणा के तहत केवल छोटी संख्या में क्वैबिट संचारित करके जानकारी के कई शास्त्रीय बिट्स को संचारित करता है। अपने सरलतम रूप में प्रोटोकॉल में दो पक्ष सम्मिलित होते हैं जिन्हें अधिकतर इस संदर्भ में ऐलिस और बॉब के रूप में जाना जाता है, जो अधिकतम उलझे हुए क्वैबिट की एक जोड़ी साझा करते है और ऐलिस को दो बिट्स (यानी, 00, 01, 10 या 11 में से एक) संचारित करने की अनुमति देते हैं। बॉब को केवल एक क्वबिट (qubit) भेजकर। यह प्रोटोकॉल पहली बार 1970 में चार्ल्स एच. बेनेट (भौतिक विज्ञानी) और स्टीफन विस्नर द्वारा प्रस्तावित किया गया था। (हालाँकि 1992 तक उनके द्वारा प्रकाशित नहीं किया गया था) और 1996 में क्लॉस मैटल, हेराल्ड वेनफर्टर, पॉल जी. क्वियाट और एंटोन ज़िलिंगर द्वारा उलझे हुए फोटॉन जोड़े का उपयोग करके प्रयोगात्मक रूप से वास्तविक रूप दिया गया था। सुपरडेंस कोडिंग को क्वांटम टेलीपोर्टेशन के विपरीत माना जा सकता है, जिसमें कोई दो शास्त्रीय बिट्स को संचारित करके ऐलिस से बॉब तक एक क्विबिट स्थानांतरित करता है, जब तक ऐलिस और बॉब के पास पूर्व-साझा बेल जोड़ी होती है।

एक ही क्वबिट के माध्यम से दो बिट्स का प्रसारण इस तथ्य से संभव हुआ है कि ऐलिस उलझी हुई स्थिति के अपने हिस्से पर प्रदर्शन करने के लिए चार क्वांटम गेट ऑपरेशनों में से चुन सकती है। ऐलिस यह निर्धारित करती है कि बिट्स की जिस जोड़ी को वह प्रसारित करना चाहती है, उसके अनुसार कौन सा ऑपरेशन करना है। फिर वह बॉब को चुने हुए द्वार के माध्यम से विकसित क्वबिट अवस्था भेजती है। कहा गया कि क्वबिट इस प्रकार उन दो बिट्स के बारे में जानकारी को एन्कोड करता है जिनका उपयोग ऐलिस ने ऑपरेशन का चयन करने के लिए किया था और यह जानकारी बॉब द्वारा उनके बीच पूर्व-साझा उलझाव के कारण पुनर्प्राप्त की जा सकती है। ऐलिस की क्वबिट प्राप्त करने, जोड़ी पर काम करने और दोनों को मापने के बाद बॉब को जानकारी के दो शास्त्रीय टुकड़े प्राप्त होते हैं। यह जोर देने योग्य है कि यदि ऐलिस और बॉब उलझाव को पूर्व-साझा नहीं करते हैं, तो सुपरडेंस प्रोटोकॉल असंभव है क्योंकि यह होलेवो के प्रमेय का उल्लंघन करेगा।

सुपरडेंस कोडिंग सुरक्षित क्वांटम गुप्त कोडिंग का अंतर्निहित सिद्धांत है। भेजी जा रही सूचना को डिकोड करने के लिए दोनों क्वैबिट की आवश्यकता से छिपकर बातें सुनने वालों द्वारा संदेशों को पकड़ने का जोखिम समाप्त हो जाता है।

सिंहावलोकन
मान लीजिए कि ऐलिस और बॉब क्यूबिट (क्लासिकल बिट के बजाय) का उपयोग करके जानकारी के दो क्लासिक बिट्स (00, 01, 10, या 11) भेजना चाहते हैं। ऐसा करने के लिए, एक तीसरे व्यक्ति चार्ली द्वारा बेल सर्किट या गेट का उपयोग करके एक उलझी हुई अवस्था (उदाहरण के लिए एक बेल अवस्था) तैयार की जाती है। चार्ली फिर इनमें से एक क्वबिट (बेल अवस्था में) ऐलिस को और दूसरा बॉब को भेजता है। एक बार जब ऐलिस उलझी हुई स्थिति में अपनी कक्षा प्राप्त कर लेती है, तो वह अपनी कक्षा में एक निश्चित क्वांटम गेट लगाती है, जो इस पर निर्भर करता है कि वह बॉब को कौन सा दो-बिट संदेश (00, 01, 10 या 11) भेजना चाहती है। उसके उलझे हुए क्वबिट को फिर बॉब के पास भेजा जाता है, जो उचित क्वांटम गेट लगाने और क्वांटम यांत्रिकी में माप करने के बाद, शास्त्रीय दो-बिट संदेश को पुनः प्राप्त कर सकता है। ध्यान दें कि ऐलिस को अपने प्रक्षेप्य माप से सही शास्त्रीय बिट्स प्राप्त करने के लिए बॉब को यह बताने की आवश्यकता नहीं है कि कौन सा गेट लगाना है।

प्रोटोकॉल
प्रोटोकॉल को पांच अलग-अलग चरणों में विभाजित किया जा सकता है: तैयारी, साझा करना, एन्कोडिंग, भेजना और डिकोडिंग।

तैयारी
प्रोटोकॉल एक उलझी हुई स्थिति की तैयारी के साथ शुरू होता है, जिसे बाद में ऐलिस और बॉब के बीच साझा किया जाता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित बेल स्थिति


 * $$|\Phi ^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}} (|0\rangle_A \otimes |0\rangle_B + |1\rangle_A \otimes |1\rangle_B)$$

तैयार किया जाता है, जहां $$\otimes $$ टेंसर उत्पाद को दर्शाता है। सामान्य उपयोग में टेंसर उत्पाद प्रतीक $$\otimes$$ को छोड़ा जा सकता है:


 * $$|\Phi ^{+}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0_A0_B\rangle + |1_A1_B\rangle)$$.

साझा करना
बेल अवस्था की तैयारी के बाद $$|\Phi ^{+}\rangle$$, सबस्क्रिप्ट A द्वारा दर्शाए गए क्वबिट को ऐलिस को भेजा जाता है और सबस्क्रिप्ट B द्वारा निरूपित क्वबिट बॉब को भेजा जाता है। ऐलिस और बॉब अलग-अलग स्थानों पर हो सकते हैं, एक दूसरे से असीमित दूरी पर।

उलझी हुई स्थिति की तैयारी और साझा करने के बीच एक मनमानी अवधि हो सकती है $$|\Phi ^{+}\rangle$$ और प्रक्रिया के बाकी चरणों के बीच एक मनमाना अवधि हो सकती है।

एन्कोडिंग
स्थानीय स्तर पर अपनी कक्षा में क्वांटम लॉजिक गेट लगाकर, ऐलिस उलझी हुई स्थिति को बदल सकती है $$|\Phi ^{+}\rangle$$ चार बेल अवस्थाओं में से किसी में (निःसंदेह,, जिसमें शामिल है, $$|\Phi ^{+}\rangle$$). ध्यान दें कि यह प्रक्रिया दो क्वैबिट के बीच के उलझाव को नहीं तोड़ सकती है।

आइए अब वर्णन करें कि ऐलिस को अपनी उलझी हुई कक्षा पर कौन से ऑपरेशन करने की आवश्यकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वह बॉब को कौन सा शास्त्रीय दो-बिट संदेश भेजना चाहती है। हम बाद में देखेंगे कि ये विशिष्ट ऑपरेशन क्यों किए जाते हैं। ऐसे चार मामले हैं, जो चार संभावित दो-बिट स्ट्रिंग के अनुरूप हैं जिन्हें ऐलिस भेजना चाहता है।

1. यदि ऐलिस बॉब को क्लासिकल दो-बिट स्ट्रिंग 00 को बॉब को भेजना चाहती है, तो वह पहचान क्वांटम गेट लागू करती है, $$\mathbb{I} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1\end{bmatrix}$$, उसकी कक्षा में, ताकि वह अपरिवर्तित रहे। परिणामी उलझी हुई स्थिति तब होती है


 * $$|B_{00}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0_A0_B\rangle + |1_A1_B\rangle)$$

दूसरे शब्दों में, ऐलिस और बॉब के बीच साझा उलझी हुई स्थिति नहीं बदली है, यानी यह अभी भी $$|\Phi ^{+}\rangle$$ है, संकेतन $$|B_{00}\rangle$$ इंगित करता है कि ऐलिस दो-बिट स्ट्रिंग 00 भेजना चाहता है।

2. यदि ऐलिस क्लासिकल टू-बिट स्ट्रिंग 01 को बॉब को भेजना चाहती है तो वह क्वांटम नॉट (या बिट-फ्लिप) गेट लागू करती है, $$X = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} $$, उसकी कक्षा में, ताकि परिणामी उलझी हुई क्वांटम स्थिति बन जाए


 * $$|B_{01}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1_A0_B\rangle + |0_A1_B\rangle)$$

3. यदि ऐलिस बॉब को क्लासिकल दो-बिट स्ट्रिंग 10 भेजना चाहती है, तो वह क्वांटम फेज़-फ्लिप गेट लागू करती है $$Z = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{bmatrix}$$ उसकी कक्षा में, इसलिए परिणामी उलझी हुई स्थिति बन जाती है


 * $$|B_{10}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0_A0_B\rangle - |1_A1_B\rangle)$$

4. यदि, इसके बजाय, ऐलिस बॉब को क्लासिकल दो-बिट स्ट्रिंग 11 भेजना चाहती है, तो वह क्वांटम गेट $$Z*X = iY$$ को अपनी कक्षा में लागू करती है, ताकि परिणाम स्वरूप उलझी हुई स्थिति बन जाती है


 * $$|B_{11}\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|0_A1_B\rangle -|1_A0_B\rangle ) $$

आव्यूह $$X$$, $$Z$$, और $$Y$$ को पॉल के आव्यूहों के रूप में जाना जाता हैं।

भेजना
ऊपर वर्णित ऑपरेशनों में से एक को निष्पादित करने के बाद, ऐलिस कुछ पारंपरिक भौतिक माध्यम से क्वांटम नेटवर्क का उपयोग करके बॉब को अपनी उलझी हुई कक्षा भेज सकती है।

डिकोडिंग
बॉब को यह पता लगाने के लिए कि ऐलिस ने कौन से शास्त्रीय बिट्स भेजे हैं, वह नियंत्रित नॉट गेट एकात्मक ऑपरेशन करेगा, जिसमें ए को नियंत्रण क्वबिट और बी को लक्ष्य क्वबिट के रूप में रखा जाएगा। फिर वह $$H\otimes I$$ प्रदर्शन करेंगे, उलझे हुए क्वबिट ए पर एकात्मक संचालन करेगा। दूसरे शब्दों में, हैडामर्ड क्वांटम गेट एच केवल ए पर लागू होता है (ऊपर चित्र देखें)।

बॉब द्वारा किए गए इन ऑपरेशनों को एक माप के रूप में देखा जा सकता है जो उलझी हुई स्थिति को चार दो-क्विबिट आधार वैक्टरों में से एक पर प्रोजेक्ट करता है $$|00 \rangle, |01 \rangle, |10 \rangle$$ या $$|11 \rangle$$ (जैसा कि आप परिणामों और नीचे दिए गए उदाहरण से देख सकते हैं)।
 * यदि परिणामी उलझी हुई अवस्था $$B_{00}$$थी, फिर उपरोक्त एकात्मक संक्रियाओं के अनुप्रयोग के बाद उलझी हुई अवस्था $$|00\rangle$$बन जाएगी।
 * यदि परिणामी उलझी हुई अवस्था $$B_{01}$$थी, फिर उपरोक्त एकात्मक संक्रियाओं के अनुप्रयोग के बाद उलझी हुई अवस्था $$|01\rangle$$बन जाएगी।
 * यदि परिणामी उलझी हुई अवस्था $$B_{10}$$ थी, फिर उपरोक्त एकात्मक संक्रियाओं के अनुप्रयोग के बाद उलझी हुई अवस्था $$|10\rangle$$बन जाएगी।
 * यदि परिणामी उलझी हुई अवस्था $$B_{11}$$ थी, फिर उपरोक्त एकात्मक संक्रियाओं के अनुप्रयोग के बाद उलझी हुई अवस्था $$|11\rangle$$बन जाएगी।

उदाहरण
उदाहरण के लिए, यदि परिणामी उलझी हुई स्थिति (ऐलिस द्वारा किए गए ऑपरेशन के बाद) थी $$B_{01} = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1_A0_B\rangle + |0_A1_B\rangle)$$, फिर नियंत्रण बिट के रूप में A और लक्ष्य बिट के रूप में B के साथ एक सीएनओटी(CNOT) बदल जाएगा $$B_{01}$$ जो कि बदल जाएगा $$B_{01}' = \frac{1}{\sqrt{2}}(|1_A1_B\rangle + |0_A1_B\rangle)$$. अब प्राप्त करने के लिए हैडामर्ड गेट केवल A पर लागू किया जाता है

$$B_{01}'' = \frac{1}{\sqrt{2}} \left({\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(|0 \rangle - |1 \rangle) \right) }_A \otimes |1_B\rangle\right)$$
 * 1_B\rangle + {\left(\frac{1}{\sqrt{2}}(|0 \rangle + |1 \rangle) \right) }_A \otimes

सरलता के लिए, सबस्क्रिप्ट को हटाया जा सकता है:

$$B_{01}'' = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}(|0 \rangle - |1 \rangle) \otimes |1\rangle + \frac{1}{\sqrt{2}}(|0 \rangle + |1 \rangle) \otimes |1\rangle \right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left( \frac{1}{\sqrt{2}}(|01 \rangle - |11 \rangle) + \frac{1}{\sqrt{2}}(|01 \rangle + |11 \rangle) \right) = \frac{1}{2}|01 \rangle - \frac{1}{2} |11 \rangle + \frac{1}{2}|01 \rangle + \frac{1}{2}|11 \rangle = |01 \rangle $$ अब बॉब के पास आधार स्थिति है $$|01\rangle$$, इसलिए वह जानता है कि ऐलिस दो-बिट स्ट्रिंग 01 भेजना चाहता था।

सुरक्षा
सुपरडेंस कोडिंग सुरक्षित क्वांटम संचार का एक रूप है। यदि एक छिपकर बात सुनने वाला, जिसे आमतौर पर ईव कहा जाता है, बॉब के रास्ते में ऐलिस की कक्षा को रोकता है, तो ईव द्वारा प्राप्त की गई सभी चीजें एक उलझी हुई स्थिति का हिस्सा हैं। बॉब की क्वबिट तक पहुंच के बिना, ईव ऐलि

स की क्वबिट से कोई भी जानकारी प्राप्त करने में असमर्थ है। कोई तीसरा पक्ष सुपरडेंस कोडिंग के माध्यम से संप्रेषित की जा रही जानकारी को सुनने में असमर्थ है और किसी भी क्वबिट को मापने का प्रयास उस क्वबिट की स्थिति को ध्वस्त कर देगा और बॉब और ऐलिस को सचेत कर देगा।

सामान्य सघन कोडिंग योजना
क्वांटम चैनलों का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली भाषा में सामान्य सघन कोडिंग योजनाएं तैयार की जा सकती हैं। ऐलिस और बॉब अधिकतम उलझी हुई स्थिति ω साझा करते हैं। बता दें कि शुरुआत में ऐलिस और बॉब के पास मौजूद सबसिस्टम को क्रमशः 1 और 2 लेबल किया गया था। संदेश x प्रसारित करने के लिए, ऐलिस एक उपयुक्त चैनल लागू करता है


 * $$\; \Phi_x$$

सबसिस्टम पर 1 संयुक्त सिस्टम पर इसका प्रभाव पड़ता है


 * $$\omega \rightarrow (\Phi_x \otimes I)(\omega)$$

जहां मैं सबसिस्टम 2 पर पहचान मानचित्र को दर्शाता हूं। ऐलिस फिर अपना सबसिस्टम बॉब को भेजती है, जो संदेश को पुनर्प्राप्त करने के लिए संयुक्त सिस्टम पर माप करता है। मान लीजिए कि बॉब का माप POVM द्वारा प्रतिरूपित किया गया है $$\{F_y\}_y$$, साथ $$F_y$$ सकारात्मक अर्धनिश्चित ऑपरेटर जैसे कि $\sum_y F_y=I$. संभावना है कि बॉब का मापने वाला उपकरण संदेश को पंजीकृत करता है $$y$$ इस प्रकार है: $$p(y|x)=\langle F_y, (\Phi_x \otimes I)(\omega)\rangle\equiv \operatorname{Tr}[ F_y(\Phi_x \otimes I)(\omega)].$$ इसलिए, वांछित संचरण प्राप्त करने के लिए, हमें इसकी आवश्यकता है $$p(y|x)=\operatorname{Tr}[F_y (\Phi_x \otimes I)(\omega)] = \delta_{xy},$$ जहाँ $$\delta_{xy}$$ क्रोनकर डेल्टा है।

प्रायोगिक
सुपरडेंस कोडिंग के प्रोटोकॉल को विभिन्न प्रणालियों का उपयोग करके चैनल क्षमता और निष्ठा के विभिन्न स्तरों पर कई प्रयोगों में वास्तविक रूप दिया गया है। 2004 में, फंसे हुए बेरिलियम 9 आयनों का उपयोग 0.85 की निष्ठा के साथ 1.16 की चैनल क्षमता प्राप्त करने के लिए अधिकतम उलझी हुई अवस्था में किया गया था। 2017 में, ऑप्टिकल फाइबर के माध्यम से 0.87 की निष्ठा के साथ 1.665 की चैनल क्षमता हासिल की गई थी। 0.98 की निष्ठा के साथ 2.09 की चैनल क्षमता (2.32 की सीमा के साथ) तक पहुंचने के लिए उच्च आयामी क्वार्ट्स (गैर-पतित सहज पैरामीट्रिक डाउन-रूपांतरण द्वारा फोटॉन जोड़े में गठित अवस्था) का उपयोग किया गया था। परमाणु चुंबकीय अनुनाद (एनएमआर) का उपयोग तीन पक्षों के बीच साझा करने के लिए भी किया गया है।

संदर्भ

 * Wilde, Mark M., 2017, Quantum Information Theory, Cambridge University Press, Also available at eprint arXiv:1106.1145

बाहरी संबंध

 * Qubits, Quantum Mechanics and Computers Course Notes
 * by Michael Nielsen