लोरेन्ट्स रूपांतरण

भौतिकी में, लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन रैखिक परिवर्तन का एक छह-पैरामीटर परिवार है जो अंतरिक्ष समय  में संदर्भ के एक फ्रेम से दूसरे फ्रेम में परिवर्तन का समन्वय करता है जो पूर्व के सापेक्ष एक निरंतर वेग पर चलता है। संबंधित व्युत्क्रम परिवर्तन तब इस वेग के ऋणात्मक द्वारा परिचालित किया जाता है। परिवर्तनों का नाम डच भौतिक विज्ञानी हेंड्रिक लोरेंत्ज़ के नाम पर रखा गया है।

परिवर्तन का सबसे सामान्य रूप, वास्तविक स्थिरांक द्वारा पैरामीट्रिज्ड $$v,$$ तक सीमित वेग का प्रतिनिधित्व करता है $x$-दिशा, के रूप में व्यक्त किया जाता है $$\begin{align} t' &= \gamma \left( t - \frac{vx}{c^2} \right)  \\ x' &= \gamma \left( x - v t \right)\\ y' &= y \\ z' &= z \end{align}$$ कहाँ $(t, x, y, z)$ और $(t′, x′, y′, z′)$ दो फ़्रेमों में एक घटना के निर्देशांक हैं, जिनकी उत्पत्ति पर मेल खाती है $t$=$t′$=0, जहां प्राइमेड फ्रेम को बिना प्राइमेड फ्रेम से गति के साथ चलते हुए देखा जाता है $v$ साथ $x$-अक्ष, जहां $c$ प्रकाश की गति है, और $ \gamma = \left ( \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}\right )^{-1}$ लोरेंत्ज़ कारक है। जब गति $v$ से बहुत छोटा है $c$, लोरेंत्ज़ कारक 1 से नगण्य रूप से भिन्न है, लेकिन जैसा $v$ पहुँचता है $c$, $$\gamma$$ बिना किसी सीमा के बढ़ता है। का मान है $v$ से छोटा होना चाहिए $c$ परिवर्तन के लिए समझ में आता है।

गति को व्यक्त करते हुए $ \beta = \frac{v}{c},$ परिवर्तन का एक समकक्ष रूप है $$\begin{align} ct' &= \gamma \left( c t - \beta x \right) \\ x' &= \gamma \left( x - \beta ct \right) \\ y' &= y \\ z' &= z. \end{align}$$ संदर्भ के फ्रेम को दो समूहों में विभाजित किया जा सकता है: संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम (निरंतर वेग के साथ सापेक्ष गति) और गैर-जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम | गैर-जड़त्वीय (त्वरित, घुमावदार रास्तों में चलना, निरंतर कोणीय वेग के साथ घूर्णी गति, आदि)। लोरेंत्ज़ रूपांतरण शब्द केवल जड़त्वीय फ़्रेमों के बीच परिवर्तनों को संदर्भित करता है, आमतौर पर विशेष सापेक्षता के संदर्भ में।

संदर्भ के प्रत्येक फ्रेम में, एक पर्यवेक्षक लंबाई को मापने के लिए एक स्थानीय समन्वय प्रणाली (आमतौर पर इस संदर्भ में कार्टेशियन निर्देशांक) का उपयोग कर सकता है, और समय अंतराल को मापने के लिए एक घड़ी। एक घटना (सापेक्षता) कुछ ऐसा है जो अंतरिक्ष में एक बिंदु पर एक पल में होता है, या अधिक औपचारिक रूप से स्पेसटाइम में एक बिंदु होता है। परिवर्तन एक घटना (सापेक्षता) के स्थान और समय के निर्देशांक को जोड़ते हैं, जैसा कि प्रत्येक फ्रेम में एक पर्यवेक्षक द्वारा मापा जाता है। वे न्यूटोनियन भौतिकी के गैलीलियन परिवर्तन को पीछे छोड़ देते हैं, जो एक पूर्ण स्थान और समय को मानता है (गैलीलियन सापेक्षता देखें)। गैलिलियन परिवर्तन प्रकाश की गति से बहुत कम सापेक्ष गति पर ही एक अच्छा सन्निकटन है। लोरेन्ट्ज़ परिवर्तनों में कई अनजान विशेषताएं हैं जो गैलिलियन परिवर्तनों में प्रकट नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, वे इस तथ्य को प्रतिबिंबित करते हैं कि विभिन्न वेगों पर चलने वाले पर्यवेक्षक अलग-अलग लंबाई के संकुचन, समय के फैलाव और एक साथ अलग-अलग सापेक्षता को माप सकते हैं, लेकिन हमेशा ऐसा होता है कि सभी जड़त्वीय संदर्भ फ़्रेमों में प्रकाश की गति समान होती है। प्रकाश की गति का निश्चरता विशेष सापेक्षता के सिद्धांतों में से एक है।

ऐतिहासिक रूप से, परिवर्तन लोरेंत्ज़ और अन्य लोगों द्वारा यह समझाने के प्रयासों का परिणाम थे कि प्रकाश की गति को संदर्भ के फ्रेम से स्वतंत्र कैसे देखा गया था, और विद्युत चुंबकत्व के नियमों की समरूपता को समझने के लिए। लोरेंत्ज़ परिवर्तन अल्बर्ट आइंस्टीन की विशेष सापेक्षता के अनुसार है, लेकिन पहले प्राप्त किया गया था।

लोरेंत्ज़ परिवर्तन एक रैखिक परिवर्तन है। इसमें अंतरिक्ष का घूर्णन शामिल हो सकता है; रोटेशन-मुक्त लोरेंत्ज़ परिवर्तन को लोरेंत्ज़ बूस्ट कहा जाता है। मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में - विशेष सापेक्षता में दिक्-काल का गणितीय मॉडल- लोरेंत्ज़ रूपांतरण किसी भी दो घटनाओं के बीच दिक्-समय अंतराल को संरक्षित करता है। यह संपत्ति लोरेंत्ज़ परिवर्तन की परिभाषित संपत्ति है। वे केवल उन रूपांतरणों का वर्णन करते हैं जिनमें उद्गम स्थल पर दिक्-काल की घटना निश्चित रहती है। उन्हें मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के अतिशयोक्तिपूर्ण घुमाव के रूप में माना जा सकता है। ट्रांसफ़ॉर्मेशन का अधिक सामान्य सेट जिसमें अनुवाद भी शामिल है, पोंकारे समूह के रूप में जाना जाता है।

इतिहास
कई भौतिक विज्ञानी- जिनमें वोल्डेमर वोइगट,  जॉर्ज फ्रांसिस फिट्ज़गेराल्ड , जोसेफ लारमोर और हेंड्रिक लोरेंत्ज़ शामिल हैं स्वयं-1887 से इन समीकरणों द्वारा निहित भौतिकी पर चर्चा कर रहे थे। 1889 की शुरुआत में, ओलिवर हीविसाइड ने मैक्सवेल के समीकरणों से दिखाया था कि आवेश के एक गोलाकार वितरण के आसपास के विद्युत क्षेत्र में गोलाकार समरूपता समाप्त हो जानी चाहिए, जब चार्ज चमकदार ईथर के सापेक्ष गति में हो। FitzGerald ने तब अनुमान लगाया कि हीविसाइड के विरूपण परिणाम को इंटरमॉलिक्युलर बलों के सिद्धांत पर लागू किया जा सकता है। कुछ महीने बाद, FitzGerald ने अनुमान प्रकाशित किया कि माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग के चौंकाने वाले परिणाम की व्याख्या करने के लिए गति में पिंडों को अनुबंधित किया जा रहा है। 1887 माइकलसन और मॉर्ले का एथर-विंड प्रयोग। 1892 में, लोरेंत्ज़ ने स्वतंत्र रूप से उसी विचार को अधिक विस्तृत तरीके से प्रस्तुत किया, जिसे बाद में लंबाई संकुचन | फिट्ज़गेराल्ड-लोरेंत्ज़ संकुचन परिकल्पना कहा गया। उनकी व्याख्या 1905 से पहले व्यापक रूप से जानी जाती थी। लोरेंत्ज़ (1892-1904) और लार्मर (1897-1900), जो ल्यूमिनिफेरस एथर परिकल्पना को मानते थे, ने भी उस परिवर्तन की तलाश की जिसके तहत मैक्सवेल के समीकरण एथर से एक गतिशील फ्रेम में परिवर्तित होने पर अपरिवर्तनीय होते हैं। उन्होंने फिट्जगेराल्ड-लोरेंत्ज़ संकुचन | फिट्जगेराल्ड-लोरेंत्ज़ संकुचन परिकल्पना का विस्तार किया और पाया कि समय समन्वय को भी संशोधित किया जाना है (एक साथ सापेक्षता)। हेनरी पोनकारे ने घड़ी के तुल्यकालन के परिणाम के रूप में, प्रकाश की गति स्थिर है, स्थानीय समय के लिए एक भौतिक व्याख्या दी (v/c में पहले क्रम में, दो संदर्भ फ़्रेमों के सापेक्ष वेग को प्रकाश की गति के लिए सामान्यीकृत किया गया) चलते-फिरते तख्ते में। Larmor को अपने समीकरणों में निहित महत्वपूर्ण समय फैलाव संपत्ति को समझने वाले पहले व्यक्ति होने का श्रेय दिया जाता है। 1905 में, पोंकारे पहली पहचान थी कि परिवर्तन में एक समूह (गणित) के गुण होते हैं, और उन्होंने इसका नाम लोरेंत्ज़ के नाम पर रखा। बाद में उसी वर्ष अल्बर्ट आइंस्टीन ने प्रकाशित किया जिसे अब विशेष सापेक्षता कहा जाता है, सापेक्षता के सिद्धांत की मान्यताओं के तहत लोरेंत्ज़ परिवर्तन को प्राप्त करके और किसी भी जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम में प्रकाश की गति की स्थिरता, और यंत्रवत एथर को अनावश्यक रूप से त्याग कर.

लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के समूह की व्युत्पत्ति
एक घटना (सापेक्षता) एक ऐसी चीज है जो स्पेसटाइम में एक निश्चित बिंदु पर होती है, या अधिक सामान्यतः, स्पेसटाइम में ही बिंदु। किसी भी जड़त्वीय फ्रेम में एक घटना को एक समय समन्वय सीटी और कार्टेशियन निर्देशांक के एक सेट द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है $x, y, z$ उस फ्रेम में अंतरिक्ष में स्थिति निर्दिष्ट करने के लिए। सदस्यताएँ व्यक्तिगत घटनाओं को लेबल करती हैं।

विशेष आपेक्षिकता (प्रकाश की गति का व्युत्क्रम) के आइंस्टीन के अभिधारणाओं से यह इस प्रकार है:

प्रकाश संकेतों से जुड़ी घटनाओं के लिए सभी जड़त्वीय फ्रेम में। बाईं ओर की मात्रा को घटनाओं के बीच का स्पेसटाइम अंतराल कहा जाता है $a_{1} = (t_{1}, x_{1}, y_{1}, z_{1})$ और $a_{2} = (t_{2}, x_{2}, y_{2}, z_{2})$. किन्हीं दो घटनाओं के बीच का अंतराल, अनिवार्य रूप से प्रकाश संकेतों द्वारा अलग नहीं किया गया है, वास्तव में अपरिवर्तनीय है, अर्थात, विभिन्न जड़त्वीय फ़्रेमों में पर्यवेक्षकों की सापेक्ष गति की स्थिति से स्वतंत्र है, जैसा कि लोरेंत्ज़ परिवर्तनों की व्युत्पत्ति #अंतराल का व्युत्क्रम है। इस प्रकार चाहा गया रूपांतरण के पास यह गुण होना चाहिए कि:

कहाँ $(ct, x, y, z)$ स्पेसटाइम निर्देशांक हैं जिनका उपयोग घटनाओं को एक फ्रेम में परिभाषित करने के लिए किया जाता है, और $(ct′, x′, y′, z′)$ दूसरे फ्रेम में निर्देशांक हैं। पहले वाला देखता है कि ($$) मनमाना होने पर संतुष्ट होता है $4$-टुपल $b$ संख्याओं को ईवेंट में जोड़ा जाता है $a_{1}$ और $a_{2}$. इस तरह के परिवर्तनों को स्पेसटाइम ट्रांसलेशन कहा जाता है और यहां इसके बारे में आगे बात नहीं की जाती है। फिर कोई देखता है कि सरल समस्या की उत्पत्ति को संरक्षित करने वाला एक रैखिक समाधान सामान्य समस्या को भी हल करता है:

(पहले सूत्र को संतुष्ट करने वाला समाधान स्वचालित रूप से दूसरे को भी संतुष्ट करता है; ध्रुवीकरण पहचान देखें)। सरल समस्या का समाधान खोजना शास्त्रीय समूहों के सिद्धांत में देखने का विषय है जो विभिन्न हस्ताक्षरों के बिलिनियर रूपों को संरक्षित करता है। में पहला समीकरण ($$) अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है:

कहाँ $(·, ·)$ सिग्नेचर के बिलिनियर रूप को संदर्भित करता है (द्विघात रूप) $(1, 3)$ पर $R^{4}$ दाहिने हाथ की ओर सूत्र द्वारा उजागर ($$). दाईं ओर परिभाषित वैकल्पिक संकेतन को सापेक्षतावादी डॉट उत्पाद कहा जाता है। स्पेसटाइम को गणितीय रूप में देखा जाता है $R^{4}$ इस द्विरेखीय रूप से संपन्न मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष के रूप में जाना जाता है $M$. लोरेंत्ज़ परिवर्तन इस प्रकार समूह का एक तत्व है $O(1, 3)$, लोरेंत्ज़ समूह या, उनके लिए जो अन्य मीट्रिक हस्ताक्षर पसंद करते हैं, $O(3, 1)$ (जिसे लोरेंत्ज़ समूह भी कहा जाता है)। किसी के पास:

जो वास्तव में द्विरेखीय रूप का संरक्षण है ($$) जिसका अर्थ है (रैखिकता द्वारा $O(3, 1)$ और प्रपत्र की द्विरेखीयता) कि ($$) संतुष्ट है। लोरेंत्ज़ समूह के तत्व रोटेशन समूह SO(3) हैं और इसके बाद इसे बढ़ाते और मिलाते हैं। यदि अंतरिक्ष-समय के अनुवादों को शामिल किया जाता है, तो एक विषम लोरेंत्ज़ समूह या पॉइनकेयर समूह प्राप्त होता है।

सामान्यता
प्राइमेड और अनप्राइमेड स्पेसटाइम निर्देशांक के बीच संबंध लोरेंत्ज़ परिवर्तन हैं, एक फ्रेम में प्रत्येक समन्वय दूसरे फ्रेम में सभी निर्देशांकों का एक रैखिक कार्य है, और व्युत्क्रम कार्य व्युत्क्रम परिवर्तन हैं। फ़्रेम एक दूसरे के सापेक्ष कैसे चलते हैं, और वे एक दूसरे के सापेक्ष अंतरिक्ष में कैसे उन्मुख होते हैं, इस पर निर्भर करते हुए, अन्य पैरामीटर जो दिशा, गति और अभिविन्यास का वर्णन करते हैं, परिवर्तन समीकरणों में प्रवेश करते हैं।

निरंतर (समान) वेग के साथ सापेक्ष गति का वर्णन करने वाले परिवर्तन और अंतरिक्ष समन्वय अक्षों के घूर्णन के बिना बूस्ट कहा जाता है, और फ्रेम के बीच सापेक्ष वेग परिवर्तन का पैरामीटर है। अन्य मूल प्रकार का लोरेंत्ज़ परिवर्तन केवल स्थानिक निर्देशांक में रोटेशन है, ये बूस्ट जड़त्वीय परिवर्तन हैं क्योंकि कोई सापेक्ष गति नहीं है, फ्रेम बस झुका हुआ है (और लगातार घूर्णन नहीं), और इस मामले में रोटेशन को परिभाषित करने वाली मात्राएँ हैं परिवर्तन के पैरामीटर (जैसे, अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व, या यूलर कोण, आदि)। रोटेशन और बूस्ट का संयोजन एक सजातीय परिवर्तन है, जो मूल को वापस मूल में बदल देता है।

पूरा लोरेंत्ज़ समूह $O(1, 3)$ में विशेष परिवर्तन भी शामिल हैं जो न तो घुमाव हैं और न ही बढ़ावा, बल्कि मूल के माध्यम से एक विमान में प्रतिबिंब (गणित)। इनमें से दो को चुना जा सकता है; पी-सममिति जिसमें सभी घटनाओं के स्थानिक निर्देशांक साइन में उलटे होते हैं और टी-समरूपता जिसमें प्रत्येक घटना के लिए समय निर्देशांक अपने साइन को उलट देता है।

बूस्ट को स्पेसटाइम में मात्र विस्थापन के साथ नहीं जोड़ा जाना चाहिए; इस मामले में, समन्वय प्रणाली बस स्थानांतरित हो जाती है और कोई सापेक्ष गति नहीं होती है। हालाँकि, इन्हें विशेष सापेक्षता द्वारा मजबूर समरूपता के रूप में भी गिना जाता है क्योंकि वे स्पेसटाइम अंतराल को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। बूस्ट के साथ रोटेशन का एक संयोजन, जिसके बाद स्पेसटाइम में बदलाव होता है, एक अमानवीय लोरेंत्ज़ परिवर्तन है, जो पोंकारे समूह का एक तत्व है, जिसे अमानवीय लोरेंत्ज़ समूह भी कहा जाता है।

समन्वय परिवर्तन
फ्रेम में एक स्थिर पर्यवेक्षक $O(3, 1)$ निर्देशांक के साथ घटनाओं को परिभाषित करता है $O(1, 3)$. एक और फ्रेम $Λ$ वेग से चलता है $O(3, 1)$ के सापेक्ष $F′$, और इस चलते हुए फ्रेम में एक पर्यवेक्षक $x$ निर्देशांकों का उपयोग करके घटनाओं को परिभाषित करता है $F$.

प्रत्येक फ्रेम में समन्वय अक्ष समानांतर हैं ( $F$ और $v$ अक्ष समानांतर हैं, द $x′$ और $F′$ अक्ष समानांतर हैं, और $F$ और $t, x, y, z$ कुल्हाड़ियाँ समानांतर हैं), परस्पर लंबवत रहती हैं, और सापेक्ष गति संपाती के साथ होती है $F′$ कुल्हाड़ियों। पर $v$, दोनों समन्वय प्रणालियों की उत्पत्ति समान है, $F$. दूसरे शब्दों में, इस घटना में समय और स्थान संयोग हैं। यदि ये सभी धारण करते हैं, तो समन्वय प्रणाली को मानक विन्यास, या सिंक्रनाइज़ में कहा जाता है।

यदि कोई पर्यवेक्षक $F′$ एक घटना रिकॉर्ड करता है $t′, x′, y′, z′$, फिर एक पर्यवेक्षक $x$ उसी घटना को निर्देशांक के साथ रिकॉर्ड करता है

कहाँ $x′$ फ्रेम के बीच सापेक्ष वेग है $y$-दिशा, $y′$ प्रकाश की गति है, और $$ \gamma = \frac{1}{ \sqrt{1 - \frac{v^2}{c^2}}}$$ (लोअरकेस गामा) लोरेंत्ज़ कारक है।

यहाँ, $z$ परिवर्तन का पैरामीटर है, किसी दिए गए बढ़ावा के लिए यह एक स्थिर संख्या है, लेकिन मूल्यों की एक निरंतर श्रेणी ले सकती है। यहां इस्तेमाल किए गए सेटअप में, धनात्मक सापेक्ष वेग $z′$ की सकारात्मक दिशाओं में गति है $xx′$ कुल्हाड़ियों, शून्य सापेक्ष वेग $t = t′ = 0$ कोई सापेक्ष गति नहीं है, जबकि ऋणात्मक सापेक्ष वेग है $(x, y, z) = (x′, y′, z′) = (0, 0, 0)$ की ऋणात्मक दिशाओं में सापेक्ष गति है $F$ कुल्हाड़ियों। सापेक्ष वेग का परिमाण $t, x, y, z$ बराबर या अधिक नहीं हो सकता $F′$, इसलिए केवल अचेतन गति $x$ अनुमति दी जाती है। की संगत रेंज $v$ है $x$.

परिवर्तनों को परिभाषित नहीं किया गया है $c$ इन सीमाओं के बाहर है। प्रकाश की गति से ($v$) $v > 0$ अनंत है, और प्रकाश से तेज है ($xx′$) $v = 0$ एक सम्मिश्र संख्या है, जिनमें से प्रत्येक परिवर्तन को अभौतिक बनाता है। स्थान और समय निर्देशांक मापने योग्य मात्राएँ हैं और संख्यात्मक रूप से वास्तविक संख्याएँ होनी चाहिए।

एक सक्रिय परिवर्तन के रूप में, एफ' में एक पर्यवेक्षक घटना के निर्देशांक को नकारात्मक दिशाओं में बढ़ावा देने के लिए नोटिस करता है $v < 0$ कुल्हाड़ियों, की वजह से $xx′$ परिवर्तनों में। इसका समतुल्य प्रभाव समन्वय प्रणाली F' की सकारात्मक दिशाओं में बढ़ाया गया है $v$ कुल्हाड़ियों, जबकि घटना नहीं बदलती है और बस एक अन्य समन्वय प्रणाली में एक निष्क्रिय परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करती है।

व्युत्क्रम संबंध ($c$ के अनुसार $−c < v < c$) समीकरणों के मूल सेट को बीजगणितीय रूप से हल करके पाया जा सकता है। भौतिक सिद्धांतों का उपयोग करने का एक अधिक कुशल तरीका है। यहाँ $γ$ स्थिर फ्रेम है जबकि $1 ≤ γ < ∞$ गतिमान फ्रेम है। सापेक्षता के सिद्धांत के अनुसार, संदर्भ का कोई विशेषाधिकार प्राप्त ढांचा नहीं है, इसलिए से परिवर्तन $v$ को $v = c$ को बिल्कुल वैसा ही रूप लेना चाहिए जैसा कि परिवर्तनों से होता है $γ$ को $v > c$. फर्क सिर्फ इतना है $γ$ वेग से चलता है $xx′$ के सापेक्ष $−v$ (यानी, सापेक्ष वेग का परिमाण समान है लेकिन विपरीत दिशा में है)। इस प्रकार यदि एक पर्यवेक्षक में $xx′$ एक घटना नोट करता है $t, x, y, z$, फिर एक पर्यवेक्षक $t′, x′, y′, z′$ उसी घटना को निर्देशांक के साथ नोट करता है

और का मूल्य $F′$ अपरिवर्तित। इसके परिमाण को संरक्षित करते हुए, और प्राइमेड और अनप्राइमेड चर का आदान-प्रदान करते हुए सापेक्ष वेग की दिशा को उलटने की यह चाल हमेशा किसी भी दिशा में हर बढ़ावा के व्युत्क्रम परिवर्तन को खोजने के लिए लागू होती है।

कभी-कभी इसका उपयोग करना अधिक सुविधाजनक होता है $F$ (लोअरकेस बीटा) के बजाय $F′$, ताकि $$\begin{align} ct' &= \gamma \left( ct - \beta x \right) \,, \\ x' &= \gamma \left( x - \beta ct \right) \,, \\ \end{align}$$ जो अधिक स्पष्ट रूप से परिवर्तन में समरूपता दिखाता है। की अनुमत श्रेणियों से $F$ और की परिभाषा $F$, यह इस प्रकार है $F′$. का उपयोग $F$ और $−v$ पूरे साहित्य में मानक है।

लोरेंत्ज़ परिवर्तनों को एक तरह से भी प्राप्त किया जा सकता है जो अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों का उपयोग करके 3डी अंतरिक्ष में परिपत्र घुमाव जैसा दिखता है। में बढ़ावा के लिए $F′$ दिशा, परिणाम हैं

कहाँ $F′$ (लोअरकेस जीटा) एक पैरामीटर है जिसे तेज़ी  कहा जाता है (कई अन्य प्रतीकों का उपयोग किया जाता है, जिनमें शामिल हैं $t′, x′, y′, z′$). कार्तीय xy, yz, और zx विमानों में 3डी अंतरिक्ष में स्थानिक निर्देशांक के घूर्णन के लिए मजबूत समानता को देखते हुए, एक लोरेंत्ज़ बूस्ट को xt, yt, और zt कार्टेशियन-टाइम विमानों में स्पेसटाइम निर्देशांक के अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन के रूप में माना जा सकता है। 4d मिन्कोवस्की स्पेस। पैरामीटर $F$ घूर्णन का अतिशयोक्तिपूर्ण कोण है, जो वृत्ताकार घुमावों के लिए सामान्य कोण के समान है। इस परिवर्तन को मिन्कोव्स्की आरेख द्वारा चित्रित किया जा सकता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य समय के वर्गों के बीच के अंतर से उत्पन्न होते हैं और स्पेसटाइम अंतराल में स्थानिक निर्देशांक, योग के बजाय। अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के ज्यामितीय महत्व को लेकर कल्पना की जा सकती है $x$ या $γ$ परिवर्तनों में। परिणामों को स्क्वायर करना और घटाना, निरंतर समन्वय मूल्यों के अतिपरवलयिक वक्र प्राप्त कर सकते हैं लेकिन भिन्न होते हैं $β = v/c$, जो पहचान के अनुसार वक्रों को पैरामीट्रिज करता है $$ \cosh^2\zeta - \sinh^2\zeta = 1 \,. $$ इसके विपरीत $v$ और $v$ अलग-अलग निर्देशांक लेकिन स्थिर के लिए कुल्हाड़ियों का निर्माण किया जा सकता है $β$. मानहानि $$ \tanh\zeta = \frac{\sinh\zeta}{\cosh\zeta} \,, $$ गति के एक स्थिर मूल्य और के ढलान के बीच की कड़ी प्रदान करता है $−1 < β < 1$ स्पेसटाइम में अक्ष। एक परिणाम ये दो अतिशयोक्तिपूर्ण सूत्र एक पहचान है जो लोरेंत्ज़ कारक से मेल खाता है $$ \cosh\zeta = \frac{1}{\sqrt{1 - \tanh^2\zeta}} \,. $$ सापेक्ष वेग और तीव्रता के संदर्भ में लोरेंत्ज़ परिवर्तनों की तुलना करना, या उपरोक्त सूत्रों का उपयोग करना, के बीच संबंध $β$, $γ$, और $x$ हैं $$\begin{align} \beta &= \tanh\zeta \,, \\ \gamma &= \cosh\zeta \,, \\ \beta \gamma &= \sinh\zeta \,. \end{align}$$ प्रतिलोम अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शज्या लेने से तीव्रता प्राप्त होती है $$ \zeta = \tanh^{-1}\beta \,.$$ तब से $x$, यह इस प्रकार है $ζ$. बीच के संबंध से $ζ$ और $θ, ϕ, φ, η, ψ, ξ$, सकारात्मक तेजी $ζ$ की सकारात्मक दिशाओं में गति है $x = 0$ कुल्हाड़ियों, शून्य तीव्रता $ct = 0$ कोई सापेक्ष गति नहीं है, जबकि नकारात्मक गति है $ζ$ की ऋणात्मक दिशाओं में सापेक्ष गति है $ct$ कुल्हाड़ियों।

व्युत्क्रम परिवर्तन निर्देशांक फ़्रेमों को स्विच करने के लिए प्राइमेड और अनप्राइमेड मात्राओं का आदान-प्रदान करके और तेज़ी को नकार कर प्राप्त किया जाता है $x$ क्योंकि यह सापेक्ष वेग को नकारने के बराबर है। इसलिए,

जब मामलों पर विचार करके उलटा परिवर्तनों को समान रूप से देखा जा सकता है $ζ$ और $ct$.

अब तक लोरेंत्ज़ परिवर्तनों को एक घटना पर लागू किया गया है। यदि दो घटनाएँ होती हैं, तो उनके बीच स्थानिक अलगाव और समय अंतराल होता है। यह लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के रैखिक परिवर्तन से अनुसरण करता है कि अंतरिक्ष और समय निर्देशांक के दो मूल्यों को चुना जा सकता है, लोरेंत्ज़ परिवर्तनों को प्रत्येक पर लागू किया जा सकता है, फिर अंतरों के लोरेंत्ज़ परिवर्तनों को प्राप्त करने के लिए घटाया जा सकता है;

$$\begin{align} \Delta t' &= \gamma \left( \Delta t - \frac{v \, \Delta x}{c^2} \right) \,, \\ \Delta x' &= \gamma \left( \Delta x - v \, \Delta t \right) \,, \end{align}$$ उलटे संबंधों के साथ $$\begin{align} \Delta t &= \gamma \left( \Delta t' + \frac{v \, \Delta x'}{c^2} \right) \,, \\ \Delta x &= \gamma \left( \Delta x' + v \, \Delta t' \right) \,. \end{align}$$ कहाँ $β$ (अपरकेस डेल्टा (पत्र)अक्षर)) मात्राओं के अंतर को इंगित करता है; जैसे, $γ$ के दो मानों के लिए $ζ$ निर्देशांक, और इसी तरह।

स्थानिक बिंदुओं या समय के क्षणों के बजाय मतभेदों पर ये परिवर्तन कई कारणों से उपयोगी होते हैं:
 * गणना और प्रयोगों में, यह दो बिंदुओं या समय अंतरालों के बीच की लंबाई होती है जो मापी जाती है या ब्याज की होती है (जैसे, चलते वाहन की लंबाई, या एक स्थान से दूसरे स्थान तक यात्रा करने में लगने वाली समयावधि),
 * अंतर को असीम रूप से छोटा करके और समीकरणों को विभाजित करके और त्वरण के परिवर्तन के लिए दोहराई जाने वाली प्रक्रिया को वेग के परिवर्तनों को आसानी से प्राप्त किया जा सकता है,
 * यदि समन्वय प्रणाली कभी भी मेल नहीं खाती (अर्थात, मानक विन्यास में नहीं), और यदि दोनों पर्यवेक्षक किसी घटना पर सहमत हो सकते हैं $−1 < β < 1$ में $−∞ < ζ < ∞$ और $ζ$ में $β$, तो वे उस घटना को उत्पत्ति के रूप में उपयोग कर सकते हैं, और अंतरिक्ष-समय समन्वय अंतर उनके निर्देशांक और इस उत्पत्ति के बीच के अंतर हैं, उदाहरण के लिए, $ζ > 0$, $xx′$, वगैरह।

भौतिक प्रभाव
लोरेंत्ज़ परिवर्तनों की एक महत्वपूर्ण आवश्यकता प्रकाश की गति का निश्चरता है, एक तथ्य जो उनकी व्युत्पत्ति में उपयोग किया जाता है, और स्वयं परिवर्तनों में निहित है। मैं फ़िन $ζ = 0$ के साथ प्रकाश की एक नाड़ी के लिए समीकरण $ζ < 0$ दिशा है $xx′$, में फिर $ζ → −ζ$ लोरेंत्ज़ रूपांतरण देते हैं $x$, और इसके विपरीत, किसी के लिए भी $ζ$.

प्रकाश की गति की तुलना में बहुत कम सापेक्ष गति के लिए, लोरेंत्ज़ परिवर्तन गैलीलियन परिवर्तन को कम करता है $$\begin{align} t' &\approx t \\ x' &\approx x - vt \end{align}$$ पत्राचार सिद्धांत के अनुसार। कभी-कभी यह कहा जाता है कि गैर-सापेक्षवादी भौतिकी दूरी पर तात्कालिक क्रिया का भौतिकी है। परिवर्तनों के तीन विपरीत, लेकिन सही, भविष्यवाणियां हैं:
 * एक साथ की सापेक्षता
 * मान लीजिए दो घटनाएं x अक्ष के साथ-साथ घटित होती हैं ($x′ = 0$) में $ct′ = 0$, लेकिन एक अशून्य विस्थापन द्वारा अलग किया गया $Δ$. में फिर $Δx = x_{2} − x_{1}$, हम पाते हैं $$\Delta t' = \gamma \frac{-v\,\Delta x}{c^2} $$, इसलिए एक गतिमान पर्यवेक्षक के अनुसार घटनाएँ अब एक साथ नहीं हैं।


 * समय फैलाव
 * मान लीजिए कि एक घड़ी विरामावस्था में है $x$. यदि उस फ्रेम में एक ही बिंदु पर एक समय अंतराल मापा जाता है, ताकि $t_{0}, x_{0}, y_{0}, z_{0}$, तो परिवर्तन इस अंतराल को देते हैं $F$ द्वारा $t_{0}′, x_{0}′, y_{0}′, z_{0}′$. इसके विपरीत, मान लीजिए कि आराम पर एक घड़ी है $F′$. यदि उस फ्रेम में एक ही बिंदु पर एक अंतराल मापा जाता है, ताकि $Δx = x − x_{0}$, तो रूपांतरण इस अंतराल को F द्वारा देते हैं $Δx′ = x′ − x_{0}′$. किसी भी तरह से, प्रत्येक पर्यवेक्षक एक गतिमान घड़ी की टिक के बीच के समय अंतराल को एक कारक द्वारा लंबा होने के लिए मापता है $F$ उसकी अपनी घड़ी की टिक टिक के बीच के समय अंतराल की तुलना में।

लंबाई संकुचन
 * मान लीजिए कि एक छड़ विरामावस्था में है $x$ लंबाई के साथ एक्स अक्ष के साथ संरेखित $x = ct$. में $F′$, छड़ वेग से चलती है $x′ = ct′$, इसलिए इसकी लंबाई दो एक साथ लेकर मापी जानी चाहिए ($−c < v < c$) विपरीत सिरों पर माप। इन शर्तों के तहत, व्युत्क्रम लोरेंत्ज़ परिवर्तन यह दर्शाता है $Δt = 0$. में $F$ दो माप अब एक साथ नहीं हैं, लेकिन इससे कोई फर्क नहीं पड़ता क्योंकि रॉड आराम पर है $Δx$. इसलिए प्रत्येक प्रेक्षक एक गतिमान छड़ के अंतिम बिंदुओं के बीच की दूरी को एक कारक द्वारा कम करने के लिए मापता है $F′$ अपने स्वयं के फ्रेम में आराम से एक समान छड़ के अंत बिंदुओं की तुलना में। लंबाई संकुचन लंबाई से संबंधित किसी भी ज्यामितीय मात्रा को प्रभावित करता है, इसलिए गतिमान पर्यवेक्षक के दृष्टिकोण से, क्षेत्र और आयतन भी गति की दिशा में सिकुड़ते हुए दिखाई देंगे।

वेक्टर परिवर्तन
सदिशों के उपयोग से स्थिति और वेगों को मनमाने ढंग से दिशाओं में अभिव्यक्त करने की अनुमति मिलती है। किसी भी दिशा में एक एकल बढ़ावा पूर्ण सापेक्ष वेग वेक्टर पर निर्भर करता है $F$ परिमाण के साथ $Δx = 0$ जो बराबर या अधिक नहीं हो सकता $F′$, ताकि $Δt′ = γΔt$.

सापेक्ष गति की दिशा के समानांतर केवल समय और निर्देशांक बदलते हैं, जबकि वे निर्देशांक लंबवत नहीं होते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, स्थानिक स्थिति सदिश को विभाजित करें $F′$ में मापा गया $Δx′ = 0$, और $Δt = γΔt′$ में मापा गया $γ$, प्रत्येक को लंबवत (⊥) और समानांतर (‖ ) घटकों में विभाजित करें $F$, $$\mathbf{r}=\mathbf{r}_\perp+\mathbf{r}_\|\,,\quad \mathbf{r}' = \mathbf{r}_\perp' + \mathbf{r}_\|' \,, $$ तब परिवर्तन हैं $$\begin{align} t' &= \gamma \left(t - \frac{\mathbf{r}_\parallel \cdot \mathbf{v}}{c^2} \right) \\ \mathbf{r}_\|' &= \gamma (\mathbf{r}_\| - \mathbf{v} t) \\ \mathbf{r}_\perp' &= \mathbf{r}_\perp \end{align}$$ कहाँ $Δx$ डॉट उत्पाद है। लोरेंत्ज़ कारक $F′$ किसी भी दिशा में बढ़ावा देने के लिए अपनी परिभाषा को बरकरार रखता है, क्योंकि यह केवल सापेक्ष वेग के परिमाण पर निर्भर करता है। मानहानि $-v$ परिमाण के साथ $Δt′ = 0$ का उपयोग कुछ लेखकों द्वारा भी किया जाता है।

एक इकाई वेक्टर का परिचय $Δx = γΔx′$ आपेक्षिक गति की दिशा में सापेक्ष वेग है $F$ परिमाण के साथ $F$ और दिशा $1/γ$, और वेक्टर प्रक्षेपण  और रिजेक्शन क्रमशः देते हैं $$\mathbf{r}_\parallel = (\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}\,,\quad \mathbf{r}_\perp = \mathbf{r} - (\mathbf{r}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n}$$ परिणाम संचित करने से पूर्ण परिवर्तन होता है,

प्रक्षेपण और अस्वीकृति भी लागू होती है $F$. उलटा परिवर्तनों के लिए, exchange $F′$ और $v$ प्रेक्षित निर्देशांकों को स्विच करने के लिए, और सापेक्ष वेग को नकारने के लिए $F′$ (या बस यूनिट वेक्टर $F$ परिमाण के बाद से $−v$ हमेशा सकारात्मक होता है) प्राप्त करने के लिए

यूनिट वेक्टर के पास एकल बढ़ावा के लिए समीकरणों को सरल बनाने का लाभ है, या तो अनुमति देता है $v$ या $v$ सुविधाजनक होने पर बहाल किया जाना चाहिए, और रैपिडिटी पैरामीट्रिजेशन को तुरंत बदलकर प्राप्त किया जाता है $|v| = v$ और $c$. यह एकाधिक बूस्ट के लिए सुविधाजनक नहीं है।

सापेक्ष वेग और तीव्रता के बीच सदिश संबंध है $$ \boldsymbol{\beta} = \beta \mathbf{n} = \mathbf{n} \tanh\zeta \,,$$ और रैपिडिटी वेक्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$ \boldsymbol{\zeta} = \zeta\mathbf{n} = \mathbf{n}\tanh^{-1}\beta \,, $$ जिनमें से प्रत्येक कुछ संदर्भों में उपयोगी संक्षेप के रूप में कार्य करता है। का परिमाण $0 ≤ v < c$ तक सीमित रैपिडिटी स्केलर का पूर्ण मूल्य है $r$, जो सीमा से सहमत है $F$.

वेगों का परिवर्तन
समन्वय वेग और लोरेंत्ज़ कारक को परिभाषित करना


 * $$\mathbf{u} = \frac{d\mathbf{r}}{dt} \,,\quad \mathbf{u}' = \frac{d\mathbf{r}'}{dt'} \,,\quad \gamma_\mathbf{v} = \frac{1}{\sqrt{1-\dfrac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{v}}{c^2}}}$$

वेक्टर परिवर्तनों के निर्देशांक और समय में अंतर लेना, फिर समीकरणों को विभाजित करना, की ओर जाता है


 * $$\mathbf{u}' = \frac{1}{ 1 - \frac{\mathbf{v}\cdot\mathbf{u}}{c^2} }\left[\frac{\mathbf{u}}{\gamma_\mathbf{v}} - \mathbf{v} + \frac{1}{c^2}\frac{\gamma_\mathbf{v}}{\gamma_\mathbf{v} + 1}\left(\mathbf{u}\cdot\mathbf{v}\right)\mathbf{v}\right] $$

वेग $r′$ और $F′$ किसी विशाल वस्तु का वेग है। वे एक तीसरे जड़त्वीय फ्रेम के लिए भी हो सकते हैं (मान लीजिए F''), जिस स्थिति में उन्हें स्थिर होना चाहिए। X द्वारा किसी भी इकाई को निरूपित करें। फिर X वेग से चलता है $v$ एफ के सापेक्ष, या समकक्ष वेग के साथ $·$ F' के सापेक्ष, बदले में F' वेग से चलता है $γ$ एफ के सापेक्ष। व्युत्क्रम परिवर्तन एक समान तरीके से प्राप्त किया जा सकता है, या स्थिति निर्देशांक विनिमय के साथ $β = v/c$ और $0 ≤ β < 1$, और बदलें $n = v/v = β/β$ को $v = vn$.

तारकीय विपथन, फ़िज़ो प्रयोग और सापेक्ष डॉपलर प्रभाव में वेग का परिवर्तन उपयोगी है।

त्वरण (विशेष सापेक्षता) # तीन-त्वरण समान रूप से वेग सदिशों में अंतर लेकर और इन्हें समय के अंतर से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है।

अन्य राशियों का रूपांतरण
सामान्य तौर पर, चार मात्राएँ दी गई हैं $v$ और $n$ और उनके लोरेंत्ज़-बूस्टेड समकक्ष $n$ और $v$, रूप का संबंध $$A^2 - \mathbf{Z}\cdot\mathbf{Z} = {A'}^2 - \mathbf{Z}'\cdot\mathbf{Z}'$$ अंतरिक्ष-समय निर्देशांक के परिवर्तन के समान लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत मात्राएँ रूपांतरित होती हैं; $$\begin{align} A' &= \gamma \left(A - \frac{v\mathbf{n}\cdot \mathbf{Z}}{c} \right) \,, \\ \mathbf{Z}' &= \mathbf{Z} + (\gamma-1)(\mathbf{Z}\cdot\mathbf{n})\mathbf{n} - \frac{\gamma A v\mathbf{n}}{c} \,. \end{align}$$ का अपघटन $r′$ (और $r$) लंबवत और समानांतर घटकों में $r′$ स्थिति सदिश के समान ही है, जैसा कि व्युत्क्रम परिवर्तन प्राप्त करने की प्रक्रिया है (exchange $v → −v$ और $n → −n$ देखी गई मात्राओं को स्विच करने के लिए, और प्रतिस्थापन द्वारा सापेक्ष गति की दिशा को उलट दें $v$).

मात्राएँ $n$ सामूहिक रूप से एक चार-वेक्टर बनाते हैं, जहाँ $v$ टाइमलाइक घटक है, और $v$ स्पेसलाइक घटक। इसके उदाहरण $β$ और $β$ निम्नलिखित हैं:

किसी दी गई वस्तु (जैसे, कण, द्रव, क्षेत्र, सामग्री) के लिए, यदि $βγ$ या $ζ$ वस्तु के लिए विशिष्ट गुणों के अनुरूप होता है जैसे उसका चार्ज घनत्व, द्रव्यमान घनत्व, स्पिन (भौतिकी), आदि, उसके गुण उस वस्तु के बाकी फ्रेम में तय किए जा सकते हैं। फिर लोरेंत्ज़ परिवर्तन निरंतर वेग के साथ वस्तु के सापेक्ष गतिमान फ्रेम में संबंधित गुण देता है। यह गैर-सापेक्ष भौतिकी में दी गई कुछ धारणाओं को तोड़ता है। उदाहरण के लिए, ऊर्जा E}किसी वस्तु का} गैर-सापेक्षवादी यांत्रिकी में एक अदिश राशि है, लेकिन सापेक्षतावादी यांत्रिकी में नहीं क्योंकि लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत ऊर्जा में परिवर्तन होता है; विभिन्न जड़त्वीय फ्रेमों के लिए इसका मान भिन्न होता है। किसी वस्तु के रेस्ट फ्रेम में, इसकी आराम ऊर्जा  और जीरो मोमेंटम होता है। एक बढ़े हुए फ्रेम में इसकी ऊर्जा अलग होती है और इसमें एक गति दिखाई देती है। इसी तरह, गैर-सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में एक कण का चक्रण एक स्थिर सदिश होता है, लेकिन सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में चक्रण $0 ≤ ζ < ∞$ सापेक्ष गति पर निर्भर करता है। कण के बाकी फ्रेम में, स्पिन स्यूडोवेक्टर को इसके सामान्य गैर-सापेक्षतावादी स्पिन के रूप में शून्य समयबद्ध मात्रा के साथ तय किया जा सकता है $0 ≤ β < 1$, हालांकि एक बढ़ा हुआ पर्यवेक्षक एक गैर-शून्य समयबद्ध घटक और एक परिवर्तित स्पिन को देखेगा। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, सभी मात्राएँ अपरिवर्तनीय नहीं हैं, उदाहरण के लिए कक्षीय कोणीय गति $⊕$ के पास समयबद्ध मात्रा नहीं है, और न ही विद्युत क्षेत्र है $v$ न ही चुंबकीय क्षेत्र $u′$. कोणीय गति की परिभाषा है $u = v ⊕ u′$, और एक बढ़े हुए फ्रेम में परिवर्तित कोणीय गति है $u$. निर्देशांक और संवेग के परिवर्तनों का उपयोग करके इस परिभाषा को लागू करने से कोणीय संवेग का परिवर्तन होता है। यह पता चला है $u′$ अन्य वेक्टर मात्रा के साथ रूपांतरित होता है $u$ बूस्ट से संबंधित, विवरण के लिए सापेक्षिक कोणीय संवेग देखें। के मामले के लिए $u′$ और $v$ क्षेत्रों में, सदिश बीजगणित का उपयोग करके रूपांतरणों को सीधे प्राप्त नहीं किया जा सकता है। लोरेंत्ज़ बल इन क्षेत्रों की परिभाषा है, और में $u$ यह है $u′$ जब में $v$ यह है $−v$. एक कुशल तरीके से EM क्षेत्र परिवर्तन प्राप्त करने की एक विधि जो विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र की इकाई को भी दर्शाती है, टेन्सर बीजगणित, लोरेंत्ज़ परिवर्तन # विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के परिवर्तन का उपयोग करती है।

गणितीय सूत्रीकरण
कुल मिलाकर, इटैलिक गैर-बोल्ड कैपिटल अक्षर 4×4 मैट्रिक्स हैं, जबकि गैर-इटैलिक बोल्ड अक्षर 3×3 मैट्रिक्स हैं।

सजातीय लोरेंत्ज़ समूह
कॉलम वैक्टर और मिन्कोव्स्की मीट्रिक में निर्देशांक लिखना $A$ एक वर्ग मैट्रिक्स के रूप में $$ X' = \begin{bmatrix} c\,t' \\ x' \\ y' \\ z' \end{bmatrix} \,, \quad \eta = \begin{bmatrix} -1&0&0&0\\ 0&1&0&0 \\ 0&0&1&0 \\ 0&0&0&1 \end{bmatrix} \,, \quad X = \begin{bmatrix} c\,t \\ x \\ y \\ z \end{bmatrix} $$ स्पेसटाइम अंतराल रूप लेता है (सुपरस्क्रिप्ट $Z = (Z_{x}, Z_{y}, Z_{z})$ स्थानांतरण दर्शाता है) $$ X \cdot X = X^\mathrm{T} \eta X = {X'}^\mathrm{T} \eta {X'} $$ और एक लोरेंत्ज़ परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय (भौतिकी) है $$X' = \Lambda X $$ कहाँ $A′$ एक वर्ग मैट्रिक्स है जो मापदंडों पर निर्भर कर सकता है।

इस लेख में सभी लोरेंत्ज़ परिवर्तनों Λ के सेट (गणित) को निरूपित किया गया है $$\mathcal{L}$$. मैट्रिक्स गुणन के साथ मिलकर यह सेट एक समूह (गणित) बनाता है, इस संदर्भ में लोरेंत्ज़ समूह के रूप में जाना जाता है। साथ ही, उपरोक्त अभिव्यक्ति $Z′ = (Z′_{x}, Z′_{y}, Z′_{z})$ स्पेसटाइम पर हस्ताक्षर (3,1) का एक द्विघात रूप है, और परिवर्तनों का समूह जो इस द्विघात रूप को अपरिवर्तित छोड़ देता है वह अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह O(3,1), एक लाइ समूह है। दूसरे शब्दों में, लोरेंत्ज़ समूह हे (3,1) है। जैसा कि इस लेख में प्रस्तुत किया गया है, उल्लिखित कोई भी झूठ समूह मैट्रिक्स झूठ समूह हैं। इस संदर्भ में संरचना का संचालन मैट्रिक्स गुणन के बराबर है।

स्पेसटाइम अंतराल के व्युत्क्रम से यह अनुसरण करता है $$\eta = \Lambda^\mathrm{T} \eta \Lambda $$ और इस मैट्रिक्स समीकरण में स्पेसटाइम अंतराल के व्युत्क्रम को सुनिश्चित करने के लिए लोरेंत्ज़ परिवर्तन पर सामान्य शर्तें शामिल हैं। गुणनफल नियम का प्रयोग करते हुए समीकरण का निर्धारक लेना तुरंत देता है $$\left[\det (\Lambda)\right]^2 = 1 \quad \Rightarrow \quad \det(\Lambda) = \pm 1 $$ मिन्कोव्स्की मीट्रिक को ब्लॉक मैट्रिक्स के रूप में लिखना, और सबसे सामान्य रूप में लोरेंत्ज़ परिवर्तन, $$\eta = \begin{bmatrix}-1 & 0 \\ 0 & \mathbf{I}\end{bmatrix} \,, \quad \Lambda=\begin{bmatrix}\Gamma & -\mathbf{a}^\mathrm{T}\\-\mathbf{b} & \mathbf{M}\end{bmatrix} \,, $$ ब्लॉक मैट्रिक्स गुणा करने पर सामान्य स्थिति प्राप्त होती है $Z$ सापेक्षतावादी आक्रमण सुनिश्चित करने के लिए। सभी स्थितियों से अधिक जानकारी सीधे नहीं निकाली जा सकती है, हालाँकि परिणामों में से एक $$\Gamma^2 = 1 + \mathbf{b}^\mathrm{T}\mathbf{b}$$ उपयोगी है; $Z′$ हमेशा तो यह इस प्रकार है $$ \Gamma^2 \geq 1 \quad \Rightarrow \quad \Gamma \leq - 1 \,,\quad \Gamma \geq 1 $$ नकारात्मक असमानता अप्रत्याशित हो सकती है, क्योंकि $v$ समय समन्वय को गुणा करता है और इसका समय अनुवाद समरूपता पर प्रभाव पड़ता है। अगर सकारात्मक समानता रखती है, तो $(A, Z)$ लोरेंत्ज़ कारक है।

निर्धारक और असमानता लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन को वर्गीकृत करने के चार तरीके प्रदान करते हैं (''संक्षिप्तता के लिए एलटी')। किसी विशेष एलटी में केवल एक निर्धारक चिह्न 'और' केवल एक असमानता है। चार सेट हैं जिनमें इन वर्गीकृत सेटों के प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) (एन-आकार का प्रतीक अर्थ और) द्वारा दी गई हर संभव जोड़ी शामिल है।

जहां + और - निर्धारक चिह्न को इंगित करते हैं, जबकि ≥ के लिए ↑ और ≤ के लिए ↓ असमानताओं को दर्शाते हैं।

पूरा लोरेंत्ज़ समूह चार अलग-अलग सेटों के संघ (सेट सिद्धांत) (यू-आकार का प्रतीक अर्थ या) में विभाजित होता है $$ \mathcal{L} = \mathcal{L}_{+}^\uparrow \cup \mathcal{L}_{-}^\uparrow \cup \mathcal{L}_{+}^\downarrow \cup \mathcal{L}_{-}^\downarrow $$ समूह के एक उपसमूह को समूह के समान संचालन (यहां मैट्रिक्स गुणन) के तहत क्लोजर (गणित) होना चाहिए। दूसरे शब्दों में, दो लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के लिए $(A′, Z′)$ और $n ↦ −n$ एक विशेष सेट से, समग्र लोरेंत्ज़ परिवर्तन $(A, Z)$ और $A$ उसी सेट में होना चाहिए $Z$ और $A$. यह हमेशा मामला नहीं होता है: दो एंटीक्रोनस लोरेंत्ज़ परिवर्तनों की संरचना ऑर्थोक्रोनस है, और दो अनुचित लोरेंत्ज़ परिवर्तनों की संरचना उचित है। दूसरे शब्दों में, जबकि सेट $$\mathcal{L}_+^\uparrow $$, $$\mathcal{L}_+$$, $$\mathcal{L}^\uparrow$$, और $$\mathcal{L}_0 = \mathcal{L}_+^\uparrow \cup \mathcal{L}_{-}^\downarrow$$ सभी प्रपत्र उपसमूह, पर्याप्त उचित ऑर्थोक्रोनस परिवर्तनों के बिना अनुचित और/या एंटीक्रोनस परिवर्तनों वाले सेट (उदा। $$\mathcal{L}_+^\downarrow $$, $$\mathcal{L}_{-}^\downarrow $$, $$\mathcal{L}_{-}^\uparrow $$) उपसमूह नहीं बनाते हैं।

उचित परिवर्तन
यदि एक लोरेंत्ज़ सहसंयोजक 4-वेक्टर को परिणाम के साथ एक जड़त्वीय फ्रेम में मापा जाता है $$X$$, और एक अन्य जड़त्वीय फ्रेम (समान अभिविन्यास और मूल के साथ) में किया गया वही माप परिणाम देता है $$X'$$, दो परिणाम इससे संबंधित होंगे $$X' = B(\mathbf{v})X$$ जहां बूस्ट मैट्रिक्स $$B(\mathbf{v})$$ अप्रकाशित और प्राथमिक फ़्रेमों के बीच लोरेंत्ज़ परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है और $$\mathbf{v}$$ प्राइमेड फ्रेम का वेग है जैसा कि अनप्राइमेड फ्रेम से देखा जाता है। मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है $$B(\mathbf{v}) = \begin{bmatrix} \gamma     &-\gamma v_x/c                   &-\gamma v_y/c                   &-\gamma v_z/c                    \\ -\gamma v_x/c&1+(\gamma-1)\dfrac{v_x^2} {v^2}&  (\gamma-1)\dfrac{v_x v_y}{v^2}&  (\gamma-1)\dfrac{v_x v_z}{v^2} \\ -\gamma v_y/c& (\gamma-1)\dfrac{v_y v_x}{v^2}&1+(\gamma-1)\dfrac{v_y^2}  {v^2}&  (\gamma-1)\dfrac{v_y v_z}{v^2} \\ -\gamma v_z/c& (\gamma-1)\dfrac{v_z v_x}{v^2}&  (\gamma-1)\dfrac{v_z v_y}{v^2}&1+(\gamma-1)\dfrac{v_z^2}  {v^2} \end{bmatrix},$$ कहाँ $v=\sqrt{v_x^2+v_y^2+v_z^2}$ वेग का परिमाण है और $\gamma=\frac{1}{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}$  लोरेंत्ज़ कारक है। यह सूत्र एक निष्क्रिय परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है, क्योंकि यह वर्णन करता है कि मापी गई मात्रा के निर्देशांक अप्रमाणित फ्रेम से प्राइमेड फ्रेम में कैसे बदलते हैं। सक्रिय परिवर्तन द्वारा दिया जाता है $$B(-\mathbf{v})$$.

अगर एक फ्रेम $Z$ वेग से बढ़ाया जाता है $A$ फ्रेम के सापेक्ष $Z$, और दूसरा फ्रेम $c$ वेग से बढ़ाया जाता है $ct$ के सापेक्ष $r$, अलग बूस्ट हैं $$X'' = B(\mathbf{v})X' \,, \quad X' = B(\mathbf{u})X $$ और दो बूस्ट की संरचना निर्देशांक को जोड़ती है $c$ और $E/c$, $$X'' = B(\mathbf{v})B(\mathbf{u})X \,. $$ क्रमिक परिवर्तन बाईं ओर कार्य करते हैं। अगर $p$ और $c$ समरेख हैं (सापेक्ष गति की एक ही रेखा के समानांतर या समानांतर), बूस्ट मेट्रिसेस कम्यूटेटिव गुण: $ω/c$. यह समग्र परिवर्तन एक और बढ़ावा होता है, $k$, कहाँ $s_{t}$ के साथ संरेख है $s$ और $c$.

अगर $ρc$ और $j$ समरेख नहीं हैं लेकिन अलग-अलग दिशाओं में, स्थिति काफी अधिक जटिल है। अलग-अलग दिशाओं में लोरेंत्ज़ बूस्ट कम्यूट नहीं करते हैं: $c$ और $φ/c$ बराबर नहीं हैं। इसके अलावा, इन रचनाओं में से प्रत्येक एक एकल बढ़ावा नहीं है, लेकिन वे अभी भी लोरेंत्ज़ रूपांतरण हैं, जिनमें से प्रत्येक स्पेसटाइम अंतराल को संरक्षित करता है। यह पता चला है कि किसी भी दो लोरेंत्ज़ बूस्ट की संरचना स्थानिक निर्देशांक पर रोटेशन के बाद या उससे पहले के बूस्ट के बराबर है, के रूप में $A$ या $A$. वह $Z$ और $s$ वेग योग सूत्र हैं, जबकि $s_{t}$ और $L$ रोटेशन पैरामीटर हैं (अर्थात अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व | अक्ष-कोण चर, यूलर कोण, आदि)। ब्लॉक मैट्रिक्स फॉर्म में रोटेशन सरल है $$\quad R(\boldsymbol{\rho}) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & \mathbf{R}(\boldsymbol{\rho}) \end{bmatrix} \,, $$ कहाँ $E$ एक 3डी रोटेशन मैट्रिक्स है, जो किसी भी 3डी वेक्टर को एक अर्थ (सक्रिय परिवर्तन) में घुमाता है, या समकक्ष समन्वय फ्रेम को विपरीत अर्थ (निष्क्रिय परिवर्तन) में घुमाता है। जोड़ना सरल नहीं है $B$ और $L = r × p$ (या $L′ = r′ × p′$ और $L$) मूल बूस्ट मापदंडों के लिए $N = (E/c^{2})r − tp$ और $E$. बूस्ट की संरचना में, $B$ मैट्रिक्स को विग्नर रोटेशन नाम दिया गया है, और थॉमस प्रीसेशन को जन्म देता है। ये लेख समग्र रूपांतरण मैट्रिसेस के लिए स्पष्ट सूत्र देते हैं, जिसमें अभिव्यक्ति भी शामिल है $F$.

इस आलेख में अक्ष-कोण प्रतिनिधित्व के लिए प्रयोग किया जाता है $F = q(E + v × B)$. घुमाव एक इकाई सदिश की दिशा में एक अक्ष के बारे में है $F′$, कोण के माध्यम से $F′ = q(E′ + v′ × B′)$ (धनात्मक वामावर्त, ऋणात्मक दक्षिणावर्त, दाएँ हाथ के नियम के अनुसार)। अक्ष-कोण वेक्टर $$\boldsymbol{\theta} = \theta \mathbf{e}$$ एक उपयोगी संक्षिप्त नाम के रूप में काम करेगा।

अकेले स्थानिक घुमाव भी लोरेंत्ज़ परिवर्तन हैं, वे अंतरिक्ष-समय अंतराल को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। बूस्ट की तरह, अलग-अलग अक्षों के बारे में क्रमिक घुमाव कम्यूट नहीं करते हैं। बूस्ट के विपरीत, किसी भी दो घुमावों की संरचना एकल घुमाव के बराबर होती है। बूस्ट और रोटेशन मेट्रिसेस के बीच कुछ अन्य समानताओं और अंतरों में शामिल हैं:
 * मैट्रिक्स व्युत्क्रम: $η$ (विपरीत दिशा में सापेक्ष गति), और $T$ (एक ही अक्ष के बारे में विपरीत अर्थ में घूर्णन)
 * कोई सापेक्ष गति/रोटेशन के लिए पहचान परिवर्तन: $Λ$
 * निर्धारित इकाई: $X·X$. यह संपत्ति उन्हें उचित परिवर्तन बनाती है।
 * सममित मैट्रिक्स: $A$ सममित है (बदलाव के बराबर है), जबकि $B$ असममित है लेकिन ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स (ट्रांसपोज़ मैट्रिक्स व्युत्क्रम के बराबर है, $det(AB) = det(A)det(B)$).

सबसे सामान्य उचित लोरेंत्ज़ परिवर्तन $Γ, a, b, M$ में एक साथ बूस्ट और रोटेशन शामिल है, और यह एक असममित मैट्रिक्स है। विशेष मामलों के रूप में, $b^{T}b ≥ 0$ और $Γ$. सामान्य लोरेंत्ज़ परिवर्तन का एक स्पष्ट रूप लिखना बोझिल है और यहाँ नहीं दिया जाएगा। फिर भी, समूह सैद्धांतिक तर्कों का उपयोग करते हुए परिवर्तन मैट्रिसेस के लिए बंद फॉर्म एक्सप्रेशन नीचे दिए जाएंगे। बूस्ट के लिए रैपिडिटी पैरामीट्रिजेशन का उपयोग करना आसान होगा, जिस स्थिति में कोई लिखता है $Γ$ और $Λ$.

==== झूठ समूह SO+(3,1)=

परिवर्तनों का सेट $$ \{ B(\boldsymbol{\zeta}), R(\boldsymbol{\theta}), \Lambda(\boldsymbol{\zeta}, \boldsymbol{\theta}) \} $$ मैट्रिक्स गुणन के साथ संयोजन के संचालन के रूप में एक समूह बनाता है, जिसे प्रतिबंधित लोरेंत्ज़ समूह कहा जाता है, और विशेष अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह SO है+(3,1). (प्लस चिन्ह इंगित करता है कि यह लौकिक आयाम के उन्मुखीकरण को संरक्षित करता है)।

सरलता के लिए, एक्स दिशा में अतिसूक्ष्म लोरेंत्ज़ बूस्ट को देखें (किसी अन्य दिशा में बूस्ट की जांच करना, या किसी अक्ष के चारों ओर घूमना, एक समान प्रक्रिया का पालन करता है)। इनफिनिटिमल बूस्ट आइडेंटिटी से दूर एक छोटा सा बूस्ट है, जिसे बूस्ट मैट्रिक्स के टेलर विस्तार  द्वारा पहले ऑर्डर के बारे में प्राप्त किया जाता है $L$, $$ B_x = I + \zeta \left. \frac{\partial B_x}{\partial \zeta } \right|_{\zeta=0} + \cdots $$ जहां उच्च आदेश शर्तों को नहीं दिखाया गया है क्योंकि वे नगण्य हैं $ΛL$ छोटा है, और $LΛ$ केवल x दिशा में बूस्ट मैट्रिक्स है। मैट्रिक्स गणना डेरिवेटिव्स का मैट्रिक्स है (प्रविष्टियों का, उसी चर के संबंध में), और यह समझा जाता है कि डेरिवेटिव पहले पाए जाते हैं फिर मूल्यांकन किया जाता है $Λ$, $$ \left. \frac{\partial B_x }{\partial \zeta } \right|_{\zeta=0} = - K_x \,. $$ अभी के लिए, $L$ इस परिणाम द्वारा परिभाषित किया गया है (इसका महत्व शीघ्र ही समझाया जाएगा)। असीम रूप से छोटे कदमों की अनंत संख्या की सीमा में, मैट्रिक्स घातांक के रूप में परिमित वृद्धि परिवर्तन प्राप्त होता है $$ B_x =\lim_{N\to\infty}\left(I-\frac{\zeta }{N}K_x\right)^{N} = e^{-\zeta K_x} $$ जहां एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन # औपचारिक परिभाषा का उपयोग किया गया है (एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन की विशेषताओं को भी देखें)। आम तौर पर अधिक

$$B(\boldsymbol{\zeta}) = e^{-\boldsymbol{\zeta}\cdot\mathbf{K}} \,, \quad R(\boldsymbol{\theta}) = e^{\boldsymbol{\theta}\cdot\mathbf{J}} \,. $$ अक्ष-कोण वेक्टर $F′$ और रैपिडिटी वेक्टर $u$ कुल मिलाकर छह निरंतर चर हैं जो समूह पैरामीटर (इस विशेष प्रतिनिधित्व में) बनाते हैं, और समूह के जनरेटर हैं $F$ और $F′′$, मैट्रिसेस के प्रत्येक वैक्टर स्पष्ट रूपों के साथ

$$\begin{alignat}{3}

K_x &= \begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 & 0 \\  \end{bmatrix}\,,\quad & K_y &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\  1 & 0 & 0 & 0\\  0 & 0 & 0 & 0  \end{bmatrix}\,,\quad & K_z &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0\\  0 & 0 & 0 & 0\\  1 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}

\\[10mu]

J_x &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & 0 &  0 \\  0 & 0 & 0 & -1 \\  0 & 0 & 1 &  0 \\  \end{bmatrix}\,,\quad & J_y &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 &  0 & 0 & 1 \\  0 &  0 & 0 & 0 \\  0 & -1 & 0 & 0  \end{bmatrix}\,,\quad & J_z &= \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & 0 \\  0 & 0 & -1 & 0 \\  0 & 1 &  0 & 0 \\  0 & 0 &  0 & 0  \end{bmatrix}

\end{alignat}$$ इन सभी को एक समान तरीके से परिभाषित किया गया है $v$ ऊपर, हालांकि बूस्ट जनरेटर में माइनस साइन पारंपरिक हैं। शारीरिक रूप से, लोरेंत्ज़ समूह के जनरेटर स्पेसटाइम में महत्वपूर्ण समरूपता के अनुरूप हैं: $F′$ रोटेशन जनरेटर हैं जो कोणीय गति के अनुरूप हैं, और $F′′$ बूस्ट जनरेटर हैं जो स्पेसटाइम में सिस्टम की गति के अनुरूप हैं। किसी भी चिकने वक्र का व्युत्पन्न $F$ साथ $u$ समूह में कुछ समूह पैरामीटर के आधार पर $v$ उस समूह पैरामीटर के संबंध में, मूल्यांकन किया गया $B(v)B(u) = B(u)B(v)$, संबंधित समूह जनरेटर की परिभाषा के रूप में कार्य करता है $B(w)$, और यह पहचान से दूर एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है। चिकने वक्र को हमेशा एक घातांक के रूप में लिया जा सकता है क्योंकि घातांक हमेशा मैप करेगा $w$ सुचारू रूप से समूह में वापस $u$ सभी के लिए $v$; यह वक्र निकलेगा $u$ फिर से विभेदित होने पर $v$.

उनके टेलर श्रृंखला में घातांक का विस्तार प्राप्त करता है $$ B({\boldsymbol {\zeta }})=I-\sinh \zeta (\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )+(\cosh \zeta -1)(\mathbf {n} \cdot \mathbf {K} )^2$$ $$R(\boldsymbol {\theta })=I+\sin \theta (\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )+(1-\cos \theta )(\mathbf {e} \cdot \mathbf {J} )^2\,.$$ जो पिछले अनुभाग में दिए गए अनुसार बूस्ट और रोटेशन मैट्रिसेस को कॉम्पैक्ट रूप से पुन: पेश करता है।

यह कहा गया है कि सामान्य उचित लोरेंत्ज़ परिवर्तन एक बढ़ावा और रोटेशन का एक उत्पाद है। अतिसूक्ष्म स्तर पर उत्पाद $$ \begin{align} \Lambda &= (I - \boldsymbol {\zeta } \cdot \mathbf {K} + \cdots )(I + \boldsymbol {\theta } \cdot \mathbf {J} + \cdots ) \\ &= (I + \boldsymbol {\theta } \cdot \mathbf {J} + \cdots )(I - \boldsymbol {\zeta } \cdot \mathbf {K} + \cdots ) \\ &= I - \boldsymbol {\zeta } \cdot \mathbf {K} + \boldsymbol {\theta } \cdot \mathbf {J} + \cdots \end{align} $$ विनिमेय है क्योंकि केवल रैखिक पदों की आवश्यकता होती है (जैसे उत्पाद $B(v)B(u)$ और $B(u)B(v)$ उच्च आदेश शर्तों के रूप में गिने जाते हैं और नगण्य हैं)। पहले की तरह सीमा लेने से घातांक के रूप में परिमित परिवर्तन होता है $$\Lambda (\boldsymbol{\zeta}, \boldsymbol{\theta}) = e^{-\boldsymbol{\zeta} \cdot\mathbf{K} + \boldsymbol{\theta} \cdot\mathbf{J} }.$$ इसका विलोम भी सत्य है, लेकिन इस तरह के कारकों में एक परिमित सामान्य लोरेंत्ज़ परिवर्तन का अपघटन गैर-तुच्छ है। विशेष रूप से, $$e^{-\boldsymbol{\zeta} \cdot\mathbf{K} + \boldsymbol{\theta} \cdot\mathbf{J} } \ne e^{-\boldsymbol{\zeta} \cdot\mathbf{K}} e^{\boldsymbol{\theta} \cdot\mathbf{J}},$$ क्योंकि जेनरेटर नहीं चलते हैं। एक बढ़ावा और सिद्धांत में एक रोटेशन के संदर्भ में एक सामान्य लोरेंत्ज़ परिवर्तन के कारकों को खोजने के तरीके के विवरण के लिए (यह आमतौर पर जनरेटर के संदर्भ में एक समझदार अभिव्यक्ति नहीं देता है $R(ρ)B(w)$ और $B(\overline{w})R(\overline{ρ})$), विग्नर रोटेशन देखें। यदि, दूसरी ओर, जनरेटर के संदर्भ में अपघटन दिया जाता है, और कोई जनरेटर के संदर्भ में उत्पाद खोजना चाहता है, तो बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र लागू होता है।

झूठ बीजगणित तो(3,1)
अधिक लोरेंत्ज़ जनरेटर प्राप्त करने के लिए लोरेंत्ज़ जनरेटर को एक साथ जोड़ा जा सकता है, या वास्तविक संख्याओं से गुणा किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, सभी लोरेंत्ज़ जनरेटर का सेट (गणित)। $$V = \{ \boldsymbol{\zeta} \cdot\mathbf{K} + \boldsymbol{\theta} \cdot\mathbf{J} \} $$ साधारण मैट्रिक्स जोड़ और मैट्रिक्स गुणन # स्केलर गुणन के संचालन के साथ मिलकर, वास्तविक संख्याओं पर एक सदिश स्थल बनाता है। जनरेटर $w$ V का एक आधार (रैखिक बीजगणित) सेट, और अक्ष-कोण और रैपिडिटी वैक्टर के घटक बनाते हैं, $\overline{w}$, इस आधार के संबंध में लोरेंत्ज़ जनरेटर के निर्देशांक वैक्टर हैं। लोरेंत्ज़ जनरेटर के तीन रूपांतरण संबंध हैं $$[ J_x, J_y ] = J_z \,,\quad [ K_x, K_y ] = -J_z \,,\quad [ J_x, K_y ] =  K_z \,, $$ जहां कोष्ठक $ρ$ को कम्यूटेटर के रूप में जाना जाता है, और अन्य संबंधों को x, y, z घटकों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन (यानी x को y, y से z, और z को x, दोहराना) में बदलकर पाया जा सकता है।

ये रूपान्तरण संबंध, और जनरेटर के सदिश स्थान, झूठ बीजगणित की परिभाषा को पूरा करते हैं $$\mathfrak{so}(3, 1)$$. संक्षेप में, एक लाई बीजगणित को संख्याओं के एक क्षेत्र (गणित) पर एक सदिश स्थान V के रूप में परिभाषित किया गया है, और सदिश स्थान के तत्वों पर एक बाइनरी ऑपरेशन [, ] (इस संदर्भ में एक लेट ब्रैकेट कहा जाता है) के साथ, स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। बिलिनियर मानचित्र, प्रत्यावर्तन और जैकोबी पहचान। यहाँ संक्रिया [ , ] कम्यूटेटर है जो इन सभी अभिगृहीतों को संतुष्ट करती है, सदिश स्थान लोरेंत्ज़ जनरेटर V का समुच्चय है जैसा कि पहले दिया गया है, और क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।

गणित और भौतिकी में उपयोग की जाने वाली लिंकिंग शब्दावली: एक समूह जनरेटर झूठ बीजगणित का कोई तत्व है। एक समूह पैरामीटर कुछ आधार के संबंध में लाई बीजगणित के एक मनमाने तत्व का प्रतिनिधित्व करने वाले समन्वय वेक्टर का एक घटक है। एक आधार, तब, जनरेटर का एक सेट है जो सामान्य सदिश अंतरिक्ष अर्थ में लाई बीजगणित का आधार है।

झूठ बीजगणित से झूठ समूह तक घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत), $$\exp \, : \, \mathfrak{so}(3,1) \to \mathrm{SO}(3,1),$$ लाई बीजगणित की उत्पत्ति के छोटे पर्याप्त पड़ोस और लाई समूह के पहचान तत्व के पड़ोस के बीच एक-से-एक पत्राचार प्रदान करता है। लोरेंत्ज़ समूह के मामले में, घातीय मानचित्र केवल मैट्रिक्स घातांक है। विश्व स्तर पर, घातीय मानचित्र एक-से-एक नहीं है, लेकिन लोरेंत्ज़ समूह के मामले में, यह विशेषण कार्य (पर) है। इसलिए पहचान के जुड़े घटक में किसी भी समूह तत्व को लाई बीजगणित के तत्व के घातांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

अनुचित परिवर्तन
लोरेंत्ज़ परिवर्तनों में समता व्युत्क्रमण भी शामिल है $$ P = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & - \mathbf{I} \end{bmatrix} $$ जो केवल सभी स्थानिक निर्देशांकों और T-समरूपता को नकारता है $$ T = \begin{bmatrix} - 1 & 0 \\ 0 & \mathbf{I} \end{bmatrix}$$ जो नकारता है समय केवल समन्वय करता है, क्योंकि ये परिवर्तन अंतरिक्ष-समय अंतराल को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं। यहाँ $\overline{ρ}$ 3डी शिनाख्त सांचा  है। ये दोनों सममित हैं, वे अपने स्वयं के व्युत्क्रम हैं (इनवोल्यूशन देखें (गणित)), और प्रत्येक में निर्धारक -1 है। यह बाद की संपत्ति उन्हें अनुचित परिवर्तन बनाती है।

अगर $R(ρ)$ तब एक उचित ऑर्थोक्रोनस लोरेंत्ज़ परिवर्तन है $w$ अनुचित एंटीक्रोनस है, $ρ$ अनुचित ऑर्थोक्रोनस है, और $\overline{w}$ उचित एंटीक्रोनस है।

अमानवीय लोरेंत्ज़ समूह
दो अन्य स्पेसटाइम समरूपताओं का हिसाब नहीं दिया गया है। स्पेसटाइम अंतराल के अपरिवर्तनीय होने के लिए, इसे दिखाया जा सकता है समन्वय परिवर्तन के रूप में होना आवश्यक और पर्याप्त है $$X' = \Lambda X + C $$ जहां सी एक निरंतर स्तंभ है जिसमें समय और स्थान में अनुवाद होता है। यदि C ≠ 0 है, तो यह एक 'अमानवीय लोरेंत्ज़ रूपांतरण' या 'पॉइनकेयर रूपांतरण' है। यदि C = 0, यह एक 'सजातीय लोरेंत्ज़ परिवर्तन' है। इस लेख में पॉइनकेयर रूपांतरणों के बारे में आगे नहीं बताया गया है।

विपरीत सदिश
निर्देशांकों के सामान्य मैट्रिक्स परिवर्तन को मैट्रिक्स समीकरण के रूप में लिखना $$\begin{bmatrix} {x'}^0 \\ {x'}^1 \\ {x'}^2 \\ {x'}^3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} {\Lambda^0}_0 & {\Lambda^0}_1 & {\Lambda^0}_2 & {\Lambda^0}_3 \\ {\Lambda^1}_0 & {\Lambda^1}_1 & {\Lambda^1}_2 & {\Lambda^1}_3 \\ {\Lambda^2}_0 & {\Lambda^2}_1 & {\Lambda^2}_2 & {\Lambda^2}_3 \\ {\Lambda^3}_0 & {\Lambda^3}_1 & {\Lambda^3}_2 & {\Lambda^3}_3 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x^0 \\ x^1 \\ x^2 \\ x^3 \end{bmatrix}$$ अन्य भौतिक राशियों के परिवर्तन की अनुमति देता है जिन्हें चार-वैक्टर के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है; उदाहरण के लिए, परिभाषित किए जाने वाले 4d दिक्-काल में किसी भी क्रम के टेन्सर  या स्पिनर। संबंधित टेंसर इंडेक्स नोटेशन में, उपरोक्त मैट्रिक्स एक्सप्रेशन है $${x'}^\nu = {\Lambda^\nu}_\mu x^\mu,$$ जहां निचले और ऊपरी सूचकांक क्रमशः सदिशों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण को लेबल करते हैं, और योग सम्मेलन लागू किया जाता है। यह ग्रीक वर्णमाला सूचकांकों का उपयोग करने के लिए एक मानक सम्मेलन है जो समय के घटकों के लिए मान 0 लेता है, और अंतरिक्ष घटकों के लिए 1, 2, 3, जबकि लैटिन वर्णमाला सूचकांक केवल स्थानिक घटकों के लिए मान 1, 2, 3 लेते हैं (विपरीत के लिए) लांडौ और लिफशिट्ज)। ध्यान दें कि पहला इंडेक्स (बाएं से दाएं पढ़ना) मैट्रिक्स नोटेशन में एक पंक्ति इंडेक्स से मेल खाता है। दूसरा इंडेक्स कॉलम इंडेक्स से मेल खाता है।

परिवर्तन मैट्रिक्स सभी चार-वैक्टरों के लिए सार्वभौमिक है, न कि केवल 4-आयामी स्पेसटाइम निर्देशांक। अगर $\overline{ρ}$ कोई भी चार-वेक्टर है, फिर टेंसर इंडेक्स नोटेशन में $$ {A'}^\nu = {\Lambda^\nu}_\mu A^\mu \,.$$ वैकल्पिक रूप से, कोई लिखता है $$ A^{\nu'} = {\Lambda^{\nu'}}_\mu A^\mu \,.$$ जिसमें प्राइमेड इंडेक्स प्राइमेड फ्रेम में ए के इंडेक्स को दर्शाता है। एक जनरल के लिए $u$-कंपोनेंट ऑब्जेक्ट कोई भी लिख सकता है $${X'}^\alpha = {\Pi(\Lambda)^\alpha}_\beta X^\beta \,, $$ कहाँ $v$ लोरेंत्ज़ समूह का उपयुक्त प्रतिनिधित्व सिद्धांत है, ए $R$ प्रत्येक के लिए मैट्रिक्स $w, ρ, \overline{w}, \overline{ρ}$. इस मामले में, सूचकांकों को स्पेसटाइम सूचकांकों (कभी-कभी लोरेंत्ज़ सूचकांक कहा जाता है) के रूप में नहीं सोचा जाना चाहिए, और वे $ρ$ को $e$. उदा., यदि $$ एक bispinor है, तो सूचकांकों को डायराक सूचकांक कहा जाता है।

सहपरिवर्ती सदिश
सहपरिवर्ती सूचकांकों के साथ सदिश राशियाँ भी होती हैं। वे आम तौर पर एक सूचकांक को कम करने के संचालन द्वारा प्रतिवर्ती सूचकांकों के साथ उनकी संबंधित वस्तुओं से प्राप्त होते हैं; जैसे, $$x_\nu = \eta_{\mu\nu}x^\mu,$$ कहाँ $θ$ मीट्रिक टेंसर है। (लिंक किया गया लेख इस बारे में अधिक जानकारी प्रदान करता है कि वास्तव में गणितीय रूप से सूचकांकों को ऊपर उठाने और घटाने की क्रिया क्या है।) इस रूपांतरण का व्युत्क्रम निम्न द्वारा दिया गया है $$x^\mu = \eta^{\mu\nu}x_\nu,$$ जहां, जब मेट्रिसेस के रूप में देखा जाता है, $B(v)^{−1} = B(−v)$ का विलोम है $R(θ)^{−1} = R(−θ)$. जैसा की होता है, $B(0) = R(0) = I$. इसे एक सूचकांक बढ़ाने के रूप में जाना जाता है। एक सहसंयोजक वेक्टर को बदलने के लिए $det(B) = det(R) = +1$, पहले इसके सूचकांक को बढ़ाएँ, फिर इसे उसी नियम के अनुसार रूपांतरित करें जैसे कि प्रतिपरिवर्ती के लिए $B$-सदिश, फिर अंत में सूचकांक को कम करें; $${A'}_\nu = \eta_{\rho\nu} {\Lambda^\rho}_\sigma \eta^{\mu\sigma}A_\mu.$$ लेकिन $$\eta_{\rho\nu} {\Lambda^\rho}_\sigma \eta^{\mu\sigma} = {\left(\Lambda^{-1}\right)^\mu}_\nu,$$ यानी यह है $R$-प्रतिलोम लोरेंत्ज़ परिवर्तन का घटक। एक परिभाषित करता है (संकेतन के रूप में), $${\Lambda_\nu}^\mu \equiv {\left(\Lambda^{-1}\right)^\mu}_\nu,$$ और इस अंकन में लिख सकते हैं $${A'}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu A_\mu.$$ अब एक सूक्ष्मता के लिए। के दाहिने हाथ की ओर निहित योग $${A'}_\nu = {\Lambda_\nu}^\mu A_\mu = {\left(\Lambda^{-1}\right)^\mu}_\nu A_\mu$$ प्रतिनिधित्व करने वाले मैट्रिक्स की एक पंक्ति अनुक्रमणिका पर चल रहा है $R^{T} = R^{−1}$. इस प्रकार, मैट्रिसेस के संदर्भ में, इस परिवर्तन को व्युत्क्रम संक्रमण के रूप में माना जाना चाहिए $Λ(v, θ)$ कॉलम वेक्टर पर कार्य करना $Λ(0, θ) = R(θ)$. यानी, शुद्ध मैट्रिक्स संकेतन में, $$A' = \left(\Lambda^{-1}\right)^\mathrm{T} A.$$ इसका मतलब यह है कि लोरेंत्ज़ समूह के मानक प्रतिनिधित्व के दोहरे प्रतिनिधित्व के अनुसार सहसंयोजक वैक्टर (कॉलम मैट्रिसेस के रूप में माना जाता है) रूपांतरित होते हैं। यह धारणा सामान्य अभ्यावेदन का सामान्यीकरण करती है, बस प्रतिस्थापित करें $Λ(v, 0) = B(v)$ साथ $Λ(ζ, θ)$.

टेन्सर
अगर $$ और $$ वेक्टर रिक्त स्थान पर रैखिक ऑपरेटर हैं $$ और $$, फिर एक रैखिक संकारक $B(ζ)$ के टेंसर उत्पाद पर परिभाषित किया जा सकता है $X$ और $A$, निरूपित $ζ = 0$ के अनुसार

इससे तत्काल यह स्पष्ट हो जाता है कि यदि $B$ और $U$ में चार-वैक्टर हैं $V$, तब $ζ$ के रूप में रूपांतरित करता है

दूसरा चरण टेंसर उत्पाद की बिलिनियरिटी का उपयोग करता है और अंतिम चरण घटक रूप पर 2-टेंसर को परिभाषित करता है, या बल्कि, यह केवल टेंसर का नाम बदल देता है $B_{x}$.

ये अवलोकन अधिक कारकों के लिए एक स्पष्ट तरीके से सामान्यीकरण करते हैं, और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि एक सदिश स्थान पर एक सामान्य टेन्सर $ζ = 0$ को एक गुणांक (घटक!) के योग के रूप में लिखा जा सकता है, आधार वैक्टर और आधार कोवेक्टर के टेन्सर उत्पाद, किसी भी टेंसर मात्रा के लिए परिवर्तन कानून पर आता है $K_{x}$. द्वारा दिया गया है

कहाँ $θ$ ऊपर परिभाषित किया गया है। इस फॉर्म को आम तौर पर सामान्य के लिए फॉर्म में घटाया जा सकता है $ζ$-कंपोनेंट ऑब्जेक्ट एक मैट्रिक्स के साथ ऊपर दिए गए हैं ($K = (K_{x}, K_{y}, K_{z})$) कॉलम वैक्टर पर काम कर रहा है। यह बाद वाला रूप कभी-कभी पसंद किया जाता है; उदाहरण के लिए, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र टेंसर के लिए।

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र का परिवर्तन


चुंबकीय क्षेत्र को दर्शाने के लिए लोरेंत्ज़ परिवर्तनों का भी उपयोग किया जा सकता है $J = (J_{x}, J_{y}, J_{z})$ और विद्युत क्षेत्र $i = √−1$ विद्युत आवेशों और पर्यवेक्षकों के बीच सापेक्ष गति के परिणामस्वरूप एक ही बल के अलग-अलग पहलू हैं - विद्युत चुम्बकीय बल। तथ्य यह है कि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र सापेक्षतावादी प्रभाव दिखाता है एक सरल विचार प्रयोग करने से स्पष्ट हो जाता है।
 * एक पर्यवेक्षक फ्रेम एफ में आराम से चार्ज मापता है। पर्यवेक्षक एक स्थिर विद्युत क्षेत्र का पता लगाएगा। चूंकि इस फ्रेम में चार्ज स्थिर है, कोई विद्युत प्रवाह नहीं है, इसलिए प्रेक्षक कोई चुंबकीय क्षेत्र नहीं देखता है।
 * फ्रेम F' में अन्य प्रेक्षक वेग से चलता है $K_{x}$ F और आवेश के सापेक्ष। यह पर्यवेक्षक एक अलग विद्युत क्षेत्र देखता है क्योंकि आवेश वेग से चलता है $J$ उनके बाकी फ्रेम में। आवेश की गति एक विद्युत प्रवाह से मेल खाती है, और इस प्रकार फ्रेम F' में प्रेक्षक भी एक चुंबकीय क्षेत्र देखता है।

विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र अंतरिक्ष और समय से भिन्न रूप से बदलते हैं, लेकिन ठीक उसी तरह जैसे सापेक्षतावादी कोणीय गति और बढ़ावा वेक्टर।

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र शक्ति टेंसर द्वारा दिया जाता है $$ F^{\mu\nu} = \begin{bmatrix} 0             & -\frac{1}{c}E_x & -\frac{1}{c}E_y & -\frac{1}{c}E_z \\ \frac{1}{c}E_x & 0              & -B_z            &  B_y   \\ \frac{1}{c}E_y & B_z            &  0              & -B_x   \\ \frac{1}{c}E_z & -B_y           &  B_x            &  0 \end{bmatrix} \text{(SI units, signature }(+,-,-,-)\text{)}. $$ एसआई इकाइयों में। सापेक्षता में, गौसियन इकाइयों को अक्सर एसआई इकाइयों से अधिक पसंद किया जाता है, यहां तक ​​​​कि उन पाठों में भी जिनकी इकाइयों की मुख्य पसंद एसआई इकाइयां हैं, क्योंकि इसमें विद्युत क्षेत्र $K$ और चुंबकीय प्रेरण $C(t)$ में वही इकाइयाँ होती हैं जो विद्युत चुम्बकीय टेंसर की उपस्थिति को और अधिक प्राकृतिक बनाती हैं। में लोरेंत्ज़ बूस्ट पर विचार करें $C(0) = I$-दिशा। द्वारा दिया गया है $$ {\Lambda^\mu}_\nu = \begin{bmatrix} \gamma     & -\gamma\beta & 0 & 0\\ -\gamma\beta & \gamma      & 0 & 0\\ 0          &  0           & 1 & 0\\     0           &  0           & 0 & 1\\  \end{bmatrix}, \qquad

F^{\mu\nu} = \begin{bmatrix} 0  &  E_x &  E_y &  E_z \\ -E_x & 0   &  B_z & -B_y \\ -E_y & -B_z & 0   &  B_x \\ -E_z & B_y & -B_x &  0 \end{bmatrix} \text{(Gaussian units, signature }(-,+,+,+)\text{)}, $$ जहां नीचे दिए गए जोड़-तोड़ में सबसे आसान संभव संदर्भ के लिए फ़ील्ड टेंसर को साथ-साथ प्रदर्शित किया जाता है।

सामान्य परिवर्तन कानून $U$ हो जाता है $$F^{\mu'\nu'} = {\Lambda^{\mu'}}_\mu {\Lambda^{\nu'}}_\nu F^{\mu\nu}.$$ चुंबकीय क्षेत्र के लिए एक प्राप्त करता है $$\begin{align} B_{x'} &= F^{2'3'} = {\Lambda^2}_\mu {\Lambda^3}_\nu F^{\mu\nu} = {\Lambda^2}_2 {\Lambda^3}_3 F^{23} = 1 \times 1 \times B_x \\ &= B_x, \\ B_{y'} &= F^{3'1'} = {\Lambda^3}_\mu {\Lambda^1}_\nu F^{\mu \nu} = {\Lambda^3}_3 {\Lambda^1}_\nu F^{3\nu} = {\Lambda^3}_3 {\Lambda^1}_0 F^{30} + {\Lambda^3}_3 {\Lambda^1}_1 F^{31} \\ &= 1 \times (-\beta\gamma) (-E_z) + 1 \times \gamma B_y = \gamma B_y + \beta\gamma E_z \\ &= \gamma\left(\mathbf{B} - \boldsymbol{\beta} \times \mathbf{E}\right)_y \\ B_{z'} &= F^{1'2'} = {\Lambda^1}_\mu {\Lambda^2}_\nu F^{\mu\nu} = {\Lambda^1}_\mu {\Lambda^2}_2 F^{\mu 2} = {\Lambda^1}_0 {\Lambda^2}_2 F^{02} + {\Lambda^1}_1 {\Lambda^2}_2 F^{12} \\ &= (-\gamma\beta) \times 1\times E_y + \gamma \times 1 \times B_z = \gamma B_z - \beta\gamma E_y \\ &= \gamma\left(\mathbf{B} - \boldsymbol{\beta} \times \mathbf{E}\right)_z \end{align}$$ विद्युत क्षेत्र के परिणामों के लिए $$\begin{align} E_{x'} &= F^{0'1'} = {\Lambda^0}_\mu {\Lambda^1}_\nu F^{\mu\nu} = {\Lambda^0}_1 {\Lambda^1}_0 F^{10} + {\Lambda^0}_0 {\Lambda^1}_1 F^{01} \\ &= (-\gamma\beta)(-\gamma\beta)(-E_x) + \gamma\gamma E_x = -\gamma^2\beta^2(E_x) + \gamma^2 E_x = E_x(1 - \beta^2)\gamma^2 \\ &= E_x, \\ E_{y'} &= F^{0'2'} = {\Lambda^0}_\mu {\Lambda^2}_\nu F^{\mu\nu} = {\Lambda^0}_\mu {\Lambda^2}_2 F^{\mu 2} = {\Lambda^0}_0 {\Lambda^2}_2 F^{02} + {\Lambda^0}_1 {\Lambda^2}_2 F^{12} \\ &= \gamma \times 1 \times E_y + (-\beta\gamma) \times 1 \times B_z = \gamma E_y - \beta\gamma B_z \\ &= \gamma\left(\mathbf{E} + \boldsymbol{\beta} \times \mathbf{B}\right)_y \\ E_{z'} &= F^{0'3'} = {\Lambda^0}_\mu {\Lambda^3}_\nu F^{\mu\nu} = {\Lambda^0}_\mu {\Lambda^3}_3 F^{\mu 3} = {\Lambda^0}_0 {\Lambda^3}_3 F^{03} + {\Lambda^0}_1 {\Lambda^3}_3 F^{13} \\ &= \gamma \times 1 \times E_z - \beta\gamma \times 1 \times (-B_y) = \gamma E_z + \beta\gamma B_y \\ &= \gamma\left(\mathbf{E} + \boldsymbol{\beta} \times \mathbf{B}\right)_z. \end{align}$$ यहाँ, $t$ प्रयोग किया जाता है। इन परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है $$\begin{align} \mathbf{E}_{\parallel'} &= \mathbf{E}_\parallel \\ \mathbf{B}_{\parallel'} &= \mathbf{B}_\parallel \\ \mathbf{E}_{\bot'} &= \gamma \left( \mathbf{E}_\bot + \boldsymbol{\beta} \times \mathbf{B}_\bot \right) = \gamma \left( \mathbf{E} + \boldsymbol{\beta} \times \mathbf{B} \right)_\bot,\\ \mathbf{B}_{\bot'} &= \gamma \left( \mathbf{B}_\bot - \boldsymbol{\beta} \times \mathbf{E}_\bot \right) = \gamma \left( \mathbf{B} - \boldsymbol{\beta} \times \mathbf{E} \right)_\bot, \end{align}$$ और मीट्रिक हस्ताक्षर से स्वतंत्र हैं। SI इकाइयों के लिए, स्थानापन्न करें $t = 0$. इस अंतिम रूप को इस रूप में देखें $G$ टेन्सर एक्सप्रेशन द्वारा दर्शाए गए ज्यामितीय दृश्य के विपरीत देखें $$F^{\mu'\nu'} = {\Lambda^{\mu'}}_\mu {\Lambda^{\nu'}}_\nu F^{\mu\nu},$$ और आसानी से एक मजबूत बिंदु बनाएं जिसके साथ परिणाम प्राप्त करना मुश्किल हो $G$ दृश्य प्राप्त और समझा जा सकता है। केवल वे वस्तुएँ जिनमें अच्छी तरह से परिभाषित लोरेंत्ज़ परिवर्तन गुण हैं (वास्तव में किसी भी सहज समन्वय परिवर्तन के तहत) ज्यामितीय वस्तुएँ हैं। ज्यामितीय दृश्य में, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र दो अन्योन्याश्रित, लेकिन अंतरिक्ष और समय में अलग-अलग, 3-वेक्टर क्षेत्रों के विपरीत अंतरिक्ष-समय में एक छह-आयामी ज्यामितीय वस्तु है। मैदान $t → exp(tG)$ (अकेला) और $t$ (अकेले) में अच्छी तरह से परिभाषित लोरेंत्ज़ परिवर्तन गुण नहीं हैं। गणितीय आधार समीकरण हैं $V$ और $u$ कि तुरंत उपज $v$. यह ध्यान रखना चाहिए कि प्राइमेड और अनप्राइमेड टेंसर स्पेसटाइम में एक ही घटना को संदर्भित करते हैं। इस प्रकार दिक्-काल निर्भरता के साथ पूर्ण समीकरण है $$ F^{\mu' \nu'}\left(x'\right) = {\Lambda^{\mu'}}_\mu {\Lambda^{\nu'}}_\nu F^{\mu\nu}\left(\Lambda^{-1} x'\right) = {\Lambda^{\mu'}}_\mu {\Lambda^{\nu'}}_\nu F^{\mu\nu}(x). $$ लंबाई के संकुचन का चार्ज घनत्व पर प्रभाव पड़ता है $G$ और वर्तमान घनत्व $t = 0$, और समय फैलाव का प्रभाव प्रवाह (वर्तमान) की दर पर प्रभाव पड़ता है, इसलिए चार्ज और वर्तमान वितरण को एक बढ़ावा के तहत संबंधित तरीके से बदलना चाहिए। यह पता चला है कि वे बिल्कुल अंतरिक्ष-समय और ऊर्जा-संवेग चार-वैक्टर की तरह रूपांतरित होते हैं, $$\begin{align} \mathbf{j}' &= \mathbf{j} - \gamma\rho v\mathbf{n} + \left( \gamma - 1 \right)(\mathbf{j} \cdot \mathbf{n})\mathbf{n} \\ \rho' &= \gamma \left(\rho - \mathbf{j} \cdot \frac{v\mathbf{n}}{c^2}\right), \end{align}$$ या, सरल ज्यामितीय दृश्य में, $$j^{\mu'} = {\Lambda^{\mu'}}_\mu j^\mu.$$ चार्ज घनत्व चार-वेक्टर के समय घटक के रूप में परिवर्तित होता है। यह एक घूर्णी अदिश राशि है। वर्तमान घनत्व 3-वेक्टर है।

मैक्सवेल समीकरण लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय हैं।

स्पिनर
समीकरण $V$ बिस्पिनर प्रतिनिधित्व सहित लोरेंत्ज़ समूह के किसी भी प्रतिनिधित्व के लिए असंशोधित होल्ड करें। में $$ एक बस की सभी घटनाओं को बदल देता है $(θ·J)(ζ·K)$ बिस्पिनर प्रतिनिधित्व द्वारा $(ζ·K)(θ·J)$,

उपरोक्त समीकरण, उदाहरण के लिए, दो मुक्त इलेक्ट्रॉनों का वर्णन करने वाले फॉक स्पेस में एक राज्य का परिवर्तन हो सकता है।

सामान्य क्षेत्रों का परिवर्तन
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में एक सामान्य गैर-बातचीत बहु-कण अवस्था (फॉक स्पेस स्टेट) नियम के अनुसार बदल जाती है

कहाँ $J$ Wigner रोटेशन है और $K$ है $r$-dimensional का प्रतिनिधित्व $v$.

यह भी देखें
• Ricci calculus

• Electromagnetic field

• Galilean transformation

• Hyperbolic rotation

• Lorentz group

• Representation theory of the Lorentz group

• Principle of relativity

• Velocity-addition formula

• Algebra of physical space

• Relativistic aberration

• Prandtl–Glauert transformation

• Split-complex number

• Gyrovector space

पेपर

 * . यह भी देखें: अंग्रेजी अनुवाद।
 * समीकरण (55).
 * . यह भी देखें: अंग्रेजी अनुवाद।
 * समीकरण (55).
 * . यह भी देखें: अंग्रेजी अनुवाद।
 * समीकरण (55).
 * . यह भी देखें: अंग्रेजी अनुवाद।
 * समीकरण (55).
 * समीकरण (55).
 * समीकरण (55).

बाहरी संबंध

 * Derivation of the Lorentz transformations. This web page contains a more detailed derivation of the Lorentz transformation with special emphasis on group properties.
 * The Paradox of Special Relativity. This webpage poses a problem, the solution of which is the Lorentz transformation, which is presented graphically in its next page.
 * Relativity – a chapter from an online textbook
 * Warp Special Relativity Simulator. A computer program demonstrating the Lorentz transformations on everyday objects.
 * visualizing the Lorentz transformation.
 * MinutePhysics video on YouTube explaining and visualizing the Lorentz transformation with a mechanical Minkowski diagram
 * Interactive graph on Desmos (graphing) showing Lorentz transformations with a virtual Minkowski diagram
 * Interactive graph on Desmos showing Lorentz transformations with points and hyperbolas
 * Lorentz Frames Animated from John de Pillis. Online Flash animations of Galilean and Lorentz frames, various paradoxes, EM wave phenomena, etc.