टॉरशन समूह

समूह सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक मरोड़ समूह या एक आवधिक समूह एक समूह (गणित) है जिसमें प्रत्येक तत्व (गणित) का एक सीमित क्रम होता है। ऐसे समूह का प्रतिपादक, यदि मौजूद है, तो तत्वों के क्रम का सबसे छोटा सामान्य गुणज है।

उदाहरण के लिए, लैग्रेंज प्रमेय (समूह सिद्धांत) से यह इस प्रकार है कि प्रत्येक परिमित समूह आवर्त है और इसके क्रम को विभाजित करने वाला एक घातांक है।

अनंत उदाहरण
अनंत आवधिक समूहों के उदाहरणों में एक परिमित क्षेत्र पर बहुपदों की अंगूठी का योगात्मक समूह, और पूर्णांकों द्वारा परिमेय के भागफल समूह, साथ ही उनके प्रत्यक्ष सारांश, प्रुफ़र समूह शामिल हैं। एक अन्य उदाहरण सभी डायहेड्रल समूहों का प्रत्यक्ष योग है। इनमें से किसी भी उदाहरण का कोई सीमित जनरेटिंग सेट नहीं है। गोलोड द्वारा परिमित रूप से उत्पन्न अनंत आवधिक समूहों के स्पष्ट उदाहरण तैयार किए गए थे, शफ़ारेविच के साथ संयुक्त कार्य के आधार पर, गोलोड-शफ़ारेविच प्रमेय और अलेशिन द्वारा देखें और ग्रिगोरचुक ऑटोमेटा सिद्धांत का उपयोग करना। इन समूहों में अनंत घातांक हैं; परिमित प्रतिपादक वाले उदाहरण उदाहरण के लिए ओल्शांस्की द्वारा निर्मित टार्स्की राक्षस समूहों द्वारा दिए गए हैं।

बर्नसाइड की समस्या
बर्नसाइड की समस्या एक शास्त्रीय प्रश्न है जो आवधिक समूहों और परिमित समूहों के बीच संबंधों से संबंधित है, जब केवल परिमित रूप से उत्पन्न समूहों पर विचार किया जाता है: क्या एक घातांक निर्दिष्ट करने से परिमितता पर बल पड़ता है? पिछले पैराग्राफ की तरह अनंत, परिमित रूप से उत्पन्न आवधिक समूहों के अस्तित्व से पता चलता है कि एक मनमाना घातांक के लिए उत्तर नहीं है। हालाँकि इस बारे में बहुत कुछ ज्ञात है कि अनंत रूप से उत्पन्न समूहों के लिए कौन से घातांक हो सकते हैं, फिर भी कुछ ऐसे हैं जिनके लिए समस्या खुली है।

समूहों के कुछ वर्गों के लिए, उदाहरण के लिए रैखिक समूहों के लिए, वर्ग तक सीमित बर्नसाइड की समस्या का उत्तर सकारात्मक है।

गणितीय तर्क
आवधिक समूहों के दिलचस्प गुणों में से एक यह है कि परिभाषा को प्रथम-क्रम तर्क के संदर्भ में औपचारिक रूप नहीं दिया जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसा करने के लिए प्रपत्र के एक अभिगृहीत की आवश्यकता होगी
 * $$\forall x,\big((x = e) \lor (x\circ x=e) \lor ((x\circ x)\circ x=e) \lor \cdots\big)$$ जिसमें एक अनंत तार्किक वियोजन शामिल है और इसलिए यह अस्वीकार्य है: प्रथम क्रम तर्क एक प्रकार से अधिक क्वांटिफायर की अनुमति देता है और उस प्रकार के गुणों या उपसमुच्चय को कैप्चर नहीं कर सकता है।

स्वयंसिद्धों के अनंत सेट का उपयोग करके इस अनंत विच्छेदन से निपटना भी संभव नहीं है: सघनता प्रमेय का तात्पर्य है कि प्रथम-क्रम सूत्रों का कोई भी सेट आवधिक समूहों की विशेषता नहीं बता सकता है।

संबंधित धारणाएँ
एबेलियन समूह ए का मरोड़ उपसमूह ए का उपसमूह है जिसमें परिमित क्रम वाले सभी तत्व शामिल हैं। टोरसन एबेलियन समूह एक एबेलियन समूह है जिसमें प्रत्येक तत्व का एक सीमित क्रम होता है। मरोड़-मुक्त एबेलियन समूह एक एबेलियन समूह है जिसमें पहचान तत्व परिमित क्रम वाला एकमात्र तत्व है।

यह भी देखें

 * मरोड़ (बीजगणित)
 * जॉर्डन-शूर प्रमेय

संदर्भ

 * R. I. Grigorchuk, Degrees of growth of finitely generated groups and the theory of invariant means., Izv. Akad. Nauk SSSR Ser. Mat. 48:5 (1984), 939–985 (Russian).