फोइल विधि

माध्यमिक विद्यालय में,  पन्नी  दो द्विपद (बहुपद) को गुणा करने की मानक विधि के लिए एक mnemonic है & mdash; इसलिए विधि को पन्नी विधि के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।शब्द  पन्नी  उत्पाद के चार शब्दों के लिए एक संक्षिप्त नाम है: सामान्य रूप है
 * पहले (प्रत्येक द्विपद की पहली शर्तें एक साथ गुणा की जाती हैं)
 * बाहरी (बाहर की शर्तें गुणा की जाती हैं - यानी, पहले द्विपद का पहला शब्द और दूसरे का दूसरा कार्यकाल)
 * आंतरिक (अंदर की शर्तों को गुणा किया जाता है - पहले द्विपद का एक शब्द शब्द और दूसरे के पहले शब्द)
 * अंतिम (प्रत्येक द्विपद की अंतिम शर्तें गुणा हैं)
 * $$(a + b)(c + d) = \underbrace{ac}_\text{first} + \underbrace{ad}_\text{outside} + \underbrace{bc}_\text{inside} + \underbrace{bd}_\text{last}.$$

ध्यान दें कि $a$ एक पहला शब्द और बाहरी शब्द दोनों है; $b$ दोनों एक अंतिम और आंतरिक शब्द है, और आगे।योग में चार शब्दों का क्रम महत्वपूर्ण नहीं है और पन्नी शब्द में अक्षरों के क्रम से मेल खाने की आवश्यकता नहीं है।

इतिहास
पन्नी विधि वितरण कानून का उपयोग करके बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को गुणा करने के लिए एक अधिक सामान्य विधि का एक विशेष मामला है।पन्नी शब्द मूल रूप से पूरी तरह से उच्च विद्यालय के छात्रों के लिए एक एमनेमोनिक के रूप में था, जो बीजगणित सीख रहा था।यह शब्द विलियम बेट्ज़ के 1929 के पाठ बीजगणित में आज के लिए दिखाई देता है, जहां वह कहता है: ... पहली शर्तें, बाहरी शब्द, आंतरिक शब्द, अंतिम शर्तें।(ऊपर कहा गया नियम पन्नी शब्द से भी याद किया जा सकता है, जो पहले, बाहरी, आंतरिक, अंतिम शब्दों के पहले अक्षरों द्वारा सुझाया गया है।) विलियम बेट्ज़ उस समय संयुक्त राज्य अमेरिका में गणित में सुधार के आंदोलन में सक्रिय थे, ने प्राथमिक गणित के विषयों पर कई ग्रंथ लिखे थे और उन्होंने अपने जीवन को गणित की शिक्षा के सुधार के लिए समर्पित किया था। अमेरिका में कई छात्र और शिक्षक अब दो द्विपद के उत्पाद का विस्तार करने के लिए एक क्रिया के रूप में पन्नी शब्द का उपयोग करते हैं।

उदाहरण
विधि का उपयोग आमतौर पर रैखिक फ़ंक्शन बिनोमियल को गुणा करने के लिए किया जाता है।उदाहरण के लिए,
 * $$\begin{align}

(x + 3)(x + 5) &= x \cdot x + x \cdot 5 + 3 \cdot x + 3 \cdot 5 \\ &= x^2 + 5x + 3x + 15 \\ &= x^2 + 8x + 15. \end{align}$$ यदि या तो द्विपद में घटाव शामिल है, तो संबंधित शब्दों को नकार दिया जाना चाहिए।उदाहरण के लिए,
 * $$\begin{align}

(2x - 3)(3x - 4) &= (2x)(3x) + (2x)(-4) + (-3)(3x) + (-3)(-4) \\ &= 6x^2 - 8x - 9x + 12 \\ &= 6x^2 - 17x + 12. \end{align}$$

वितरण कानून
पन्नी विधि एक दो-चरण प्रक्रिया के बराबर है जिसमें वितरण कानून शामिल है:
 * $$\begin{align}

(a + b)(c + d) &= a(c + d) + b(c + d) \\ &= ac + ad + bc + bd. \end{align}$$ पहले चरण में,$c + d$) पहले द्विपद में इसके अलावा वितरित किया जाता है।दूसरे चरण में, वितरण कानून का उपयोग दो शब्दों में से प्रत्येक को सरल बनाने के लिए किया जाता है।ध्यान दें कि इस प्रक्रिया में वितरण संपत्ति के कुल तीन अनुप्रयोग शामिल हैं।पन्नी विधि के विपरीत, वितरण का उपयोग करने वाली विधि को अधिक शर्तों जैसे कि त्रिनोमील और उच्चतर के साथ उत्पादों पर आसानी से लागू किया जा सकता है।

रिवर्स पन्नी
पन्नी नियम दो द्विपदों के एक उत्पाद को चार (या कम, यदि शर्तों की तरह संयुक्त रूप से संयुक्त) में परिवर्तित करता है। रिवर्स प्रक्रिया को फैक्टरिंग या फैक्टरकरण कहा जाता है।विशेष रूप से, यदि उपरोक्त प्रमाण को रिवर्स में पढ़ा जाता है, तो यह तकनीक को दर्शाता है जिसे गुणन#फैक्टरिंग द्वारा समूहीकृत किया जाता है।

पन्नी के विकल्प के रूप में तालिका
एक दृश्य मेमोरी टूल किसी भी संख्या के साथ बहुपद की एक जोड़ी के लिए पन्नी मेनेमोनिक को बदल सकता है।बाएं किनारे पर पहले बहुपद और शीर्ष किनारे पर दूसरे की शर्तों के साथ एक तालिका बनाएं, फिर गुणन के उत्पादों के साथ तालिका में भरें।पन्नी नियम के बराबर तालिका इस तरह दिखती है:
 * $$\begin{array}{c|cc}

\times & c & d \\ \hline a     & ac & ad \\ b     & bc & bd \end{array}$$ मामले में कि ये बहुपद हैं, $(ax + b)(cx + d)$, किसी दिए गए डिग्री की शर्तें वंशज्स के साथ जोड़कर पाई जाती हैं:
 * $$\begin{array}{c|cc}

\times & cx   & d \\ \hline ax    & acx^2 & adx \\ b     & bcx   & bd \end{array}$$ इसलिए $$(ax + b)(cx + d) = acx^2 + (ad + bc)x + bd.$$ गुणा करने के लिए $(a + b + c)(w + x + y + z)$, तालिका इस प्रकार होगी:
 * $$\begin{array}{c|cccc}

\times & w & x & y & z \\ \hline a & aw & ax & ay & az \\ b & bw & bx & by & bz \\ c & cw & cx & cy & cz \end{array}$$ तालिका प्रविष्टियों का योग बहुपद का उत्पाद है।इस प्रकार:
 * $$\begin{align}

(a + b + c)(w + x + y + z) &= (aw + ax + ay + az) \\ &+ (bw + bx + by + bz) \\ &+ (cw + cx + cy + cz). \end{align}$$ इसी तरह, गुणा करने के लिए $(ax^{2} + bx + c)(dx^{3} + ex^{2} + fx + g)$, एक ही तालिका लिखती है:
 * $$\begin{array}{c|cccc}

\times & d & e & f & g \\ \hline a & ad & ae & af & ag \\ b & bd & be & bf & bg \\ c & cd & ce & cf & cg \end{array}$$ और Antidiagonals के साथ रकम:
 * $$\begin{align}

(ax^2 &+ bx + c)(dx^3 + ex^2 + fx + g) \\ &= adx^5 + (ae + bd)x^4 + (af + be + cd)x^3 + (ag + bf + ce)x^2 + (bg + cf)x + cg. \end{align}$$

सामान्यीकरण
पन्नी नियम को सीधे दो से अधिक मल्टीप्लाइंड या दो से अधिक संक्षेपों के साथ उत्पादों के विस्तार के लिए लागू नहीं किया जा सकता है।हालांकि, सहयोगी और पुनरावर्ती पन्नी को लागू करने से किसी को ऐसे उत्पादों का विस्तार करने की अनुमति मिलती है।उदाहरण के लिए:
 * $$\begin{align}

(a + b + c + d)(x + y + z + w) &= ((a + b) + (c + d))((x + y) + (z + w)) \\ &= (a + b)(x + y) + (a + b)(z + w) \\ &+ (c + d)(x + y) + (c + d)(z + w) \\ &= ax + ay + bx + by + az + aw + bz + bw \\ &+ cx + cy + dx + dy + cz + cw + dz + dw. \end{align}$$ पन्नी नियम के उपयोग को वितरित करने के आधार पर वैकल्पिक तरीके, लेकिन याद रखना और लागू करना आसान हो सकता है।उदाहरण के लिए:
 * $$\begin{align}

(a + b + c + d)(x + y + z + w) &= (a + (b + c + d))(x + y + z + w) \\ &= a(x + y + z + w) + (b + c + d)(x + y + z + w) \\ &= a(x + y + z + w) + (b + (c + d))(x + y + z + w) \\ &= a(x + y + z + w) + b(x + y + z + w) \\ &\qquad + (c + d)(x + y + z + w) \\ &= a(x + y + z + w) + b(x + y + z + w) \\ &\qquad + c(x + y + z + w) + d(x + y + z + w) \\ &= ax + ay + az + aw + bx + by + bz + bw \\ &\qquad + cx + cy + cz + cw + dx + dy + dz + dw. \end{align}$$

यह भी देखें

 * द्विपद प्रमेय
 * फैक्टराइजेशन