बाईक्वाटरनियन

अमूर्त बीजगणित में द्विचतुर्भुज संख्याएँ $w + x i + y j + z k$ हैं जहाँ $w, x, y$, और $z$ सम्मिश्र संख्याएँ हैं या इसके भिन्न रूप हैं और इसके तत्व ${1, i, j, k}$ हैं चतुष्कोणीय समूह के रूप में गुणा करें और उनके गुणांकों के साथ परिवर्तित करें। सम्मिश्र संख्याओं और उनकी विविधताओं के अनुरूप तीन प्रकार के द्विचतुर्भुज हैं:
 * द्विअर्थी जब गुणांक सम्मिश्र संख्याएँ हों।
 * विभाजन-द्विभाजित जब गुणांक विभाजित-जटिल संख्याएँ हों।
 * दोहरी चतुर्भुज जब गुणांक दोहरी संख्याएँ हों।

यह लेख 1844 में विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा नामित सामान्य द्विअर्थी के बारे में है (देखें रॉयल आयरिश अकादमी की कार्यवाही 1844 और 1850 पृष्ठ 388 ) इन द्विअर्थी के कुछ अधिक प्रमुख समर्थकों में अलेक्जेंडर मैकफर्लेन, आर्थर डब्ल्यू कॉनवे, लुडविग सिल्बरस्टीन और कॉर्नेलियस लैंक्ज़ोस सम्मिलित हैं। जैसा कि नीचे विकसित किया गया है और द्विचतुर्भुजों की इकाई अर्ध-क्षेत्र लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व प्रदान करता है जो विशेष सापेक्षता की नींव है।

द्विअर्थी के बीजगणित को बीजगणित का टेंसर उत्पाद माना जा सकता है $$\mathbb{C} \otimes \mathbb{H}$$ (वास्तविक पर कब्जा कर लिया) जहां $C$ या $$\mathbb{C}$$ जटिल संख्याओं का क्षेत्र (गणित) है और $H$ या $$\mathbb{H}$$ (वास्तविक) चतुष्कोणों का विभाजन बीजगणित है। दूसरे शब्दों में द्विचतुर्भुज चतुष्कोणों की जटिलता मात्र हैं। एक जटिल बीजगणित के रूप में देखा जाता है द्विचतुर्भुज के बीजगणित के समरूपी होते हैं $2 × 2$ जटिल आव्यूह $M_{2}(C)$ वे कई क्लिफर्ड बीजगणित के लिए भी समरूप हैं $H(C) = Cℓ^{0}_{3}(C) = Cℓ_{2}(C) = Cℓ_{1,2}(R)$, पाउली बीजगणित $Cℓ_{3,0}(R)$,   और  $Cℓ^{0}_{1,3}(R) = Cℓ^{0}_{3,1}(R)$ दिक्-काल बीजगणित का सम भाग है।

परिभाषा
होने देना ${1, i, j, k }$ (वास्तविक) चतुष्कोणों का आधार बनें $H$, और जाने $u, v, w, x$ तब सम्मिश्र संख्याएँ:


 * $$q = u \mathbf 1 + v \mathbf i + w \mathbf j + x \mathbf k$$

द्विचतुर्भुज है। द्विअर्थी में माइनस एक के वर्गमूलों में अंतर करने के लिए हैमिल्टन  और आर्थर डब्ल्यू। कॉनवे ने अदिश क्षेत्र सी में शून्य से एक के वर्गमूल का प्रतिनिधित्व करने के सम्मेलन का उपयोग एच  द्वारा भ्रम से बचने के लिए किया $i$ चतुष्कोणीय समूह में चतुर्धातुक समूह के साथ अदिश क्षेत्र की क्रमविनिमेयता मान ली गई है:


 * $$ h \mathbf i = \mathbf i h,\ \ h \mathbf j = \mathbf j h,\ \ h \mathbf k = \mathbf k h .$$

हैमिल्टन ने वास्तविक चतुष्कोणों के साथ उपयोग की जाने वाली धारणाओं का विस्तार करने के लिए बाइवेक्टर (जटिल), बाइकॉन्जुगेट, बिटेंसर और बाइवर्सर शब्द प्रस्तुत किए।

1853 में हैमिल्टन की द्विअर्थी पर प्राथमिक व्याख्या उनके लेक्चर्स ऑन क्वाटरनियंस में आई थी। 1866 में विलियम एडविन हैमिल्टन (रोवन के पुत्र) और 1899, 1901 में चार्ल्स जैस्पर जोली द्वारा एलिमेंट्स ऑफ क्वाटरनियंस के संस्करणों ने वास्तविक क्वाटरनियन के पक्ष में द्विभाजन कवरेज को कम कर दिया।

चतुर्भुज समूह के अनुसार घटक-वार जोड़ और गुणा के संचालन के साथ विचार किया जाता है और यह संग्रह चार-आयामी अंतरिक्ष बनाता है | चार-आयामी बीजगणित जटिल संख्या 'सी' पर एक क्षेत्र पर द्विअर्थी का बीजगणित साहचर्य है लेकिन क्रम विनिमेय नहीं है। द्विचतुर्भुज या तो एक इकाई (रिंग थ्योरी) या एक शून्य विभाजक है। द्विअर्थी का बीजगणित एक संयोजन बीजगणित बनाता है और द्विजटिल संख्याओं से निर्मित किया जा सकता है। नीचे एक संयोजन बीजगणित के रूप में § देखें।

रेखीय प्रतिनिधित्व
आव्यूह उत्पाद पर ध्यान दें


 * $$\begin{pmatrix}h & 0\\0 & -h\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\-1 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & h\\h & 0\end{pmatrix}$$.

क्योंकि h एक काल्पनिक इकाई है इन तीन सारणियों में से प्रत्येक में पहचान आव्यूह के ऋणात्मक के बराबर एक वर्ग है।

जब इस आव्यूह उत्पाद की व्याख्या i j = k के रूप में की जाती है तो एक आव्यूह का एक उपसमूह प्राप्त करता है जो कि चतुर्धातुक समूह के लिए समरूपता है। फलस्वरूप,


 * $$\begin{pmatrix}u+hv & w+hx\\-w+hx & u-hv\end{pmatrix}$$

द्विअर्थी q = u 1 + v i + w j + x k का प्रतिनिधित्व करता है।

किसी भी 2 × 2 जटिल आव्यूह को देखते हुए इसे इस रूप में रखने के लिए जटिल मान u, v, w और x हैं ताकि आव्यूह रिंग M(2,C) समरूप हो द्विअर्थी रिंग (गणित) के लिए।

उप बीजगणित
वास्तविक संख्याओं के अदिश क्षेत्र पर द्विअर्थी बीजगणित को ध्यान में रखते हुए $R$, सेट


 * $$\{\mathbf 1, h, \mathbf i, h\mathbf i, \mathbf j, h\mathbf j, \mathbf k, h\mathbf k \}$$

एक आधार (रैखिक बीजगणित) बनाता है इसलिए बीजगणित के आठ वास्तविक आयाम हैं। तत्वों का वर्ग $hi, hj$ और $hk$ सभी निश्चित हैं उदाहरण के लिए $(hi)^{2} = h^{2}i^{2} = (−1)(−1) = +1$.

द्वारा दिया गया उप बीजगणित


 * $$\{ x + y(h\mathbf i) : x, y \in \R \} $$

विभाजन-जटिल संख्याओं के तल के लिए वलय समरूपता है जिसकी एक बीजगणितीय संरचना इकाई अतिपरवलय पर बनी है। अवयव $hj$ और $hk$ ऐसे उप बीजगणित भी निर्धारित करते हैं।

आगे,


 * $$\{ x + y \mathbf j : x,y \in \Complex \} $$

tessarines के लिए एक उप बीजगणित समरूप है।

एक तीसरा उप बीजगणित जिसे कोक्वाटरनियन कहा जाता है यह किसके द्वारा उत्पन्न होता है $hj$ और $hk$ ऐसा देखा गया है $(hj)(hk) = (−1)i$ और यह कि इस तत्व का वर्ग है $−1$. ये तत्व वर्ग के डायहेड्रल समूह को उत्पन्न करते हैं। आधार के साथ रैखिक उपसमष्टि ${1, i, hj, hk }$ इस प्रकार गुणा के तहत बंद हो जाता है और कोक्वाटरनियन बीजगणित बनाता है।

क्वांटम यांत्रिकी और स्पिनर बीजगणित के संदर्भ में द्विभाजित $hi, hj$ और $hk$ (या उनके निष्क्रिय) में देखा गया $M_{2}(C)$ प्रतिनिधित्व को पॉल आव्यूह कहा जाता है।

बीजगणितीय गुण
द्विअर्थी के दो संयुग्मन हैं: जहाँ $$z^{\star} = a - bh$$ जब $$z = a + bh,\quad a,b \in \mathbb R,\quad h^2 = -\mathbf 1.$$
 * 'उभयलिंगी' या अदिश ऋण बाइवेक्टर (जटिल) है $$q^* = w - x\mathbf i - y\mathbf j - z\mathbf k \!\ ,$$ और
 * द्विभाजन गुणांकों का जटिल संयुग्मन $$q^{\star} = w^{\star} + x^{\star}\mathbf i + y^{\star}\mathbf j + z^{\star}\mathbf k $$

ध्यान दें कि $$(pq)^* = q^* p^*, \quad (pq)^{\star} = p^{\star} q^{\star}, \quad (q^*)^{\star} = (q^{\star})^*.$$

स्पष्टतः यदि $$q q^* = 0 $$ तब $q$ एक शून्य भाजक है। अन्यथा $$\lbrace q q^* \rbrace^{-\mathbf 1} $$ जटिल संख्याओं पर परिभाषित किया गया है। आगे, $$q q^* = q^* q $$ आसानी से सत्यापित है। यह एक व्युत्क्रम को परिभाषित करने की अनुमति देता है।


 * $$q^{-\mathbf 1} = q^* \lbrace q q^* \rbrace^{-\mathbf 1}$$, अगर $$qq^* \neq 0.$$

लोरेंत्ज़ परिवर्तनों से संबंध
अब रैखिक उपसमष्टि पर विचार करें
 * $$M = \lbrace q\colon q^* = q^{\star} \rbrace = \lbrace t + x(h\mathbf i) + y(h \mathbf j) + z(h \mathbf k)\colon t, x, y, z \in \mathbb R \rbrace .$$

$M$ उप बीजगणित नहीं है क्योंकि यह क्लोजर (गणित) नहीं है; उदाहरण के लिए $$(h\mathbf i)(h\mathbf j) = h^2 \mathbf{ij} = -\mathbf k \notin M.$$ वास्तव में $M$ एक बीजगणित नहीं बना सकता यदि वह मैग्मा (बीजगणित) भी नहीं है।

प्रस्ताव: अगर $q$ में है $M$, तब $$q q^* = t^2 - x^2 - y^2 - z^2.$$

सबूत: परिभाषाओं से,


 * $$\begin{align}

q q^* &= (t+xh\mathbf i+yh\mathbf j+zh\mathbf k)(t-xh\mathbf i-yh\mathbf j-zh\mathbf k)\\ &= t^2 - x^2(h\mathbf i)^2 - y^2(h\mathbf j)^2 - z^2(h\mathbf k)^2 \\ &= t^2 - x^2 - y^2 - z^2. \end{align} $$ परिभाषा: द्विभाजित होने दें $g$ संतुष्ट करना $$g g^* = \mathbf 1.$$ फिर लोरेंत्ज़ परिवर्तन से जुड़ा $g$ द्वारा दिया गया है


 * $$T(q) = g^* q g^{\star}.$$

प्रस्ताव: अगर $q$ में है $M$ तब $T(q)$ में भी है $M$.

सबूत: $$(g^* q g^{\star})^* = (g^{\star})^* q^* g = (g^*)^{\star} q^{\star} g = (g^* q g^{\star})^{\star}.$$

प्रस्ताव: $$\quad T(q) (T(q))^* = q q^* $$

सबूत: पहले ध्यान दें $gg* = 1$ का अर्थ है कि इसके चार जटिल घटकों के वर्गों का योग एक है। तब इन घटकों के जटिल संयुग्मों के वर्गों का योग भी एक होता है। इसलिए $$g^{\star} (g^{\star})^* = \mathbf 1.$$ अब


 * $$(g^* q g^{\star})(g^* q g^{\star})^* = g^* q g^{\star} (g^{\star})^* q^* g = g^* q q^* g = q q^*.$$

संबद्ध शब्दावली
चूंकि गणितीय भौतिकी की प्रारम्भ के बाद से द्विअर्थी रैखिक बीजगणित की एक स्थिरता रही है ऐसी अवधारणाओं की एक सरणी है जो द्विभाजित बीजगणित द्वारा सचित्र या प्रस्तुत की जाती हैं। परिवर्तन समूह $$G = \lbrace g : g g^* = 1 \rbrace $$ दो भाग हैं, $$G \cap H$$ और $$G \cap M.$$ प्रथम भाग की विशेषता है $$g = g^{\star}$$ ; फिर लोरेंत्ज़ परिवर्तन के अनुरूप $g$ द्वारा दिया गया है $$T(q) = g^{-1} q g $$ तब से $$g^* = g^{-1}. $$ ऐसा परिवर्तन चतुष्कोण और स्थानिक घुमाव है और उनका संग्रह SO(3) है $$\cong G \cap H .$$ लेकिन यह उपसमूह $G$ सामान्य उपसमूह नहीं है इसलिए कोई भागफल समूह नहीं बनाया जा सकता है।

देखना $$G \cap M$$ द्विचतुर्भुजों में कुछ उप बीजगणित संरचना दिखाना आवश्यक है। होने देना $r$ चतुष्कोण के एक तत्व का प्रतिनिधित्व करता है और वास्तविक चतुर्धातुक उप बीजगणित में -1 का वर्गमूल $H$. तब $(hr)^{2} = +1$ और द्विअर्थी के विमान द्वारा दिया गया $$D_r = \lbrace z = x + yhr : x, y \in \mathbb R \rbrace$$ स्प्लिट-जटिल संख्याओं के तल के लिए एक विनिमेय उप बीजगणित समरूप है। जैसे साधारण जटिल तल में एक इकाई वृत्त होता है $$D_r $$ द्वारा दी गई एक इकाई अतिपरवलय है


 * $$\exp(ahr) = \cosh(a) + hr\ \sinh(a),\quad a \in R. $$

जिस तरह इकाई गोले अपने किसी एक तत्व के गुणा से बदल जाता है उसी तरह अतिपरवलय बदल जाता है क्योंकि $$\exp(ahr) \exp(bhr) = \exp((a+b)hr). $$ इसलिए अतिपरवलय पर इन बीजगणितीय संचालकों को छंद अतिपरवलयिक छंद कहा जाता है। इकाई गोले में $C$ और इकाई अतिपरवलय में $D_{r}$ एक-पैरामीटर समूह के उदाहरण हैं। प्रत्येक वर्गमूल के लिए $r$ ऋण एक इन $H$, द्वारा दिए गए द्विचतुर्भुजों में एक-पैरामीटर समूह है $$G \cap D_r.$$

यूक्लिडियन मीट्रिक ऑन के माध्यम से द्विअर्थी के स्थान में एक प्राकृतिक टोपोलॉजी $8$-अंतरिक्ष है। इस टोपोलॉजी के संबंध में $G$ एक सामयिक समूह है। इसके अतिरिक्त इसकी विश्लेषणात्मक संरचना है जो इसे छह-पैरामीटर लाइ समूह बनाती है। बायवेक्टर (जटिल) के उप-स्थान पर विचार करें $$A = \lbrace q : q^* = -q \rbrace $$. फिर घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत)

$$\exp:A \to G$$ वास्तविक वैक्टर को ले जाता है $$G \cap H$$ और यह $h$-सदिश $$G \cap M.$$ कम्यूटेटर से लैस होने पर $A$ का झूठ बीजगणित बनाता है $G$. इस प्रकार छह-आयामी अंतरिक्ष का यह अध्ययन झूठ सिद्धांत की सामान्य अवधारणाओं को प्रस्तुत करने का काम करता है। आव्यूह प्रतिनिधित्व में देखे जाने पर $G$ को विशेष रैखिक समूह SL(2,C) कहा जाता है $M_{2}(C)$.

विशेष आपेक्षिकता की कई अवधारणाओं को द्विचतुर्भुज संरचनाओं के माध्यम से चित्रित किया गया है। उपस्थान $M$ मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष से मेल खाता है जिसमें चार निर्देशांक संदर्भ के आराम करने वाले फ्रेम में घटनाओं के समय और स्थान देते हैं। कोई अतिशयोक्तिपूर्ण छंद $exp(ahr)$ दिशा में एक वेग से मेल खाती है r} गति का $c tanh a$ जहाँ $c$ प्रकाश का वेग है। लोरेंत्ज़ बूस्ट को लागू करके इस वेग के संदर्भ के जड़त्वीय फ्रेम को आराम करने वाला फ्रेम बनाया जा सकता है $T$ द्वारा दिए गए $g = exp(0.5ahr)$ के बाद से $$g^{\star} = \exp(-0.5ahr) = g^*$$ ताकि $$T(\exp(ahr)) = 1 .$$

स्वाभाविक रूप से अतिपरवलयिक $$G \cap M,$$ जो उप-ल्यूमिनल गति के लिए वेगों की सीमा का प्रतिनिधित्व करता है। इस वेग स्थान को अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति के अतिपरवलयिक मॉडल के साथ जोड़ने का काफी काम किया गया है। विशेष सापेक्षता में अतिशयोक्तिपूर्ण छंद के अतिशयोक्तिपूर्ण कोण पैरामीटर को तेज़ी कहा जाता है। इस प्रकार हम द्विअर्थी समूह देखते हैं $G$ लोरेंत्ज़ समूह के लिए एक समूह प्रतिनिधित्व प्रदान करता है।

स्पिनर सिद्धांत की प्रारम्भ के बाद विशेष रूप से वोल्फगैंग पाउली और एली कार्टन के हाथों में लोरेंत्ज़ समूह के द्विअर्थी प्रतिनिधित्व को हटा दिया गया था। सेट में आधार (रैखिक बीजगणित) पर नई विधियों की स्थापना की गई थी


 * $$\{ q \ :\ q q^* = 0 \} = \left\{ w + x\mathbf i + y\mathbf j + z\mathbf k \ :\ w^2 + x^2 + y^2 + z^2 = 0 \right\} $$

जिसे जटिल प्रकाश शंकु कहा जाता है। लोरेंत्ज़ समूह के उपरोक्त प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ मेल खाता है जिसे भौतिक विज्ञानी चार-वैक्टर के रूप में संदर्भित करते हैं। चार-वैक्टरों के अतिरिक्त कण भौतिकी के मानक मॉडल में अन्य लोरेंत्ज़ निरूपण भी सम्मिलित हैं जिन्हें लोरेंत्ज़ अदिश के रूप में जाना जाता है और $(1, 0) ⊕ (0, 1)$-प्रतिनिधित्व से जुड़े उदाहरण के लिए विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र टेंसर है। इसके अतिरिक्त कण भौतिकी का उपयोग करता है $SL(2, C)$ अभ्यावेदन (या लोरेंत्ज़ समूह के प्रक्षेपी निरूपण) को बाएँ और दाएँ हाथ के वेइल स्पिनर्स, मेजराना स्पिनर्स और डिराक स्पिनर्स के रूप में जाना जाता है। यह ज्ञात है कि इन सात अभ्यावेदनों में से प्रत्येक को द्विभाजित उप-स्थानों के रूप में बनाया जा सकता है।

रचना बीजगणित के रूप में
हालांकि डब्लू.आर. हैमिल्टन ने 19वीं सदी में द्विअर्थी प्रारम्भ की थी एक क्षेत्र पर एक विशेष प्रकार के बीजगणित के रूप में इसकी गणितीय संरचना का चित्रण 20वीं सदी में पूरा किया गया था: द्विअर्थी को सम्मिश्र संख्याओं से उसी तरह उत्पन्न किया जा सकता है जिस तरह से एड्रियन अल्बर्ट ने उत्पन्न किया था। तथाकथित केली-डिक्सन निर्माण में जटिल संख्याओं से वास्तविक चतुष्कोण इस रचना में एक द्विजटिल संख्या (w,z) का संयुग्मी (w,z)* = (w, – z) है।

द्विअर्थी तब सम्मिश्र संख्याओं (a,b) की एक जोड़ी है जहां दूसरे द्विअर्थी (c, d) वाला उत्पाद है
 * $$(a,b)(c,d) = (a c - d^* b, d a + b c^* ).$$

यदि $$a = (u, v), b = (w,z), $$ फिर उभयलिंगी $$(a, b)^* = (a^*, -b).$$

जब (a,b)* को साधारण सम्मिश्र संख्याओं के 4-वेक्टर के रूप में लिखा जाता है,
 * $$(u, v, w, z)^* = (u, -v, -w, -z). $$

द्विअर्थी एक चतुर्धातुक बीजगणित का एक उदाहरण है और इसका मानदंड है
 * $$N(u,v,w,z) = u^2 + v^2 + w^2 + z^2 .$$

दो द्विअंश p और q संतुष्ट करते हैं $$N(p q) = N(p) N(q) $$ यह दर्शाता है कि N एक द्विघात रूप है जो संघटन को स्वीकार करता है जिससे कि द्विअर्थी एक रचना बीजगणित बनाते हैं।

यह भी देखें

 * द्विअर्थी बीजगणित
 * हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्या
 * जोआचिम लैम्बेक
 * हाइपरबोलिक क्वाटरनियन#मैकफ़ारलेन का 1900 का हाइपरबोलिक क्वाटरनियन पेपर|मैकफ़ारलेन का उपयोग
 * भागफल वलय # चतुष्कोण और विकल्प

संदर्भ

 * Arthur Buchheim (1885) "A Memoir on द्विअर्थी", American Journal of Mathematics 7(4):293 to 326 from Jstor early content.
 * William Edwin Hamilton (editor) (1866) Elements of Quaternions, University of Dublin Press
 * Charles Jasper Joly (editor) (1899) Elements of Quaternions volume I, (1901) volume II, Longmans, Green & Co.
 * Kravchenko, Vladislav (2003), Applied Quaternionic Analysis, Heldermann Verlag ISBN 3-88538-228-8.
 * Kravchenko, Vladislav (2003), Applied Quaternionic Analysis, Heldermann Verlag ISBN 3-88538-228-8.

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