प्रक्षेपवक्र

एक प्रक्षेपवक्र या उड़ान पथ वह मार्ग है जो द्रव्यमान के साथ गति (भौतिकी) में एक वस्तु समय के कार्य के रूप में अंतरिक्ष के माध्यम से चलती है। पारस्पारिक यांत्रिकी में, एक प्रक्षेपवक्र को हैमिल्टनियन यांत्रिकी द्वारा विहित निर्देशांक के माध्यम से परिभाषित किया गया है; इसलिए, एक पूर्ण प्रक्षेपवक्र को एक साथ स्थिति और संवेग द्वारा परिभाषित किया जाता है।

द्रव्यमान एक प्रक्षेप्य या उपग्रह हो सकता है। उदाहरण के लिए, यह एक कक्षा हो सकती है - एक ग्रह, क्षुद्रग्रह, या धूमकेतु का पथ, क्योंकि यह एक केंद्रीय द्रव्यमान (खगोल विज्ञान) के चारों ओर घुर्णन करता है।

नियंत्रण सिद्धांत में, एक प्रक्षेपवक्र एक गतिशील प्रणाली के अवस्थाओ (नियंत्रण) का एक समय-आदेशित सेट है (उदाहरण के लिए पॉइनकेयर मानचित्र देखें)। असतत गणित में, एक प्रक्षेपवक्र एक अनुक्रम है $$(f^k(x))_{k \in \mathbb{N}}$$ मानचित्रण के पुनरावृत्त अनुप्रयोग द्वारा $$f$$ परिकलित मानों के  स्रोत के तत्व $$x$$ पर गणना किया गया है।

प्रक्षेपवक्र का भौतिकी
प्रक्षेपवक्र का एक परिचित उदाहरण एक प्रक्षेप्य का मार्ग है, जैसे फेंकी गई गेंद या चट्टान। एक काफी सरलीकृत प्रतिरूप में, वस्तु केवल एक समान गुरुत्वाकर्षण बल क्षेत्र (भौतिकी) के प्रभाव में चलती है। यह एक चट्टान के लिए लगभग सही अनुमान हो सकता है जिसे छोटी दूरी के लिए फेंका जाता है, उदाहरण के लिए चंद्रमा की सतह पर। इस सरल अनुमान में, प्रक्षेपवक्र एक परवलय आकार का रूप ले लेता है। सामान्यतः प्रक्षेपवक्र का निर्धारित करते समय, गैर-समान गुरुत्वाकर्षण बल और वायु प्रतिरोध (ड्रैग (भौतिकी) और वायुगतिकी) को ध्यान में रखना आवश्यक हो सकता है। यह बोलिस्टीक्स के अनुशासन का फोकस है।

न्यूटोनियन यांत्रिकी की उल्लेखनीय उपलब्धियों में से एक केप्लर के ग्रहों की गति के नियमों की व्युत्पत्ति थी। एक बिंदु द्रव्यमान या एक गोलाकार-सममित विस्तारित द्रव्यमान (जैसे सूर्य) के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में, एक गतिमान वस्तु का प्रक्षेपवक्र एक शंकु खंड होता है, सामान्यतः एक दीर्घवृत्त या अतिपरवलय होता है। यह ग्रहों, धूमकेतुओं, और कृत्रिम अंतरिक्ष यान की देखी गई कक्षाओं के साथ यथोचित अच्छे अनुमान से सहमत है, चूंकि यदि कोई धूमकेतु सूर्य के करीब से गुजरता है, तो यह सौर हवा और विकिरण दबाव जैसे अन्य बलों से भी प्रभावित होता है, जो संशोधित करते हैं। परिक्रमा करें और धूमकेतु को अंतरिक्ष में सामग्री बाहर निकालने का कारण बनते है।

न्यूटन का सिद्धांत बाद में पारस्पारिक यांत्रिकी के रूप में ज्ञात सैद्धांतिक भौतिकी की शाखा में विकसित हुआ। यह अंतर कलन के गणित को नियोजित करता है (जिसकी शुरुआत न्यूटन ने अपनी युवावस्था में की थी)। कई शताब्दियों से असीमित वैज्ञानिकों ने इन दो विषयों के विकास में योगदान दिया है। पारस्पारिक यांत्रिकी विज्ञान के साथ-साथ प्रौद्योगिकी में तर्कसंगत विचार की शक्ति का सबसे प्रमुख प्रदर्शन बन गया। यह घटनाओं की एक विशाल श्रेणी को समझने और भविष्यवाणी करने में मदद करता है; प्रक्षेपवक्र केवल एक उदाहरण हैं।

$$m$$ द्रव्यमान के एक कण पर विचार करें, जो संभावित क्षेत्र $$V$$ में गतिमान है. शारीरिक रूप से बोलना, द्रव्यमान जड़ता का प्रतिनिधित्व करता है और क्षेत्र $$V$$ एक विशेष प्रकार की बाहरी शक्तियों का प्रतिनिधित्व करता है जिन्हें रूढ़िवादी कहा जाता है। दिया गया $$V$$ प्रत्येक प्रासंगिक स्थिति में, गुरुत्वाकर्षण से कहे जाने वाले संबंधित बल का अनुमान लगाने का एक तरीका है जो उस स्थिति में कार्य करेगा। चूँकि, सभी बलों को इस तरह से व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

कण की गति को दूसरे क्रम के अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है


 * $$ m \frac{\mathrm{d}^2 \vec{x}(t)}{\mathrm{d}t^2} = -\nabla V(\vec{x}(t)) \text{ with } \vec{x}=(x,y,z).$$

दायीं ओर, बल को $$\nabla V$$ के पदों में दिया गया है, प्रक्षेपवक्र के साथ स्थितियों पर ली गई क्षमता का ढाल।यह न्यूटन के गति के दूसरे नियम का गणितीय रूप है: ऐसी स्थितियों के लिए बल द्रव्यमान गुणा त्वरण के बराबर होता है।।

समान गुरुत्वाकर्षण, न तो खींचें और न ही हवा
अन्य बलों (जैसे एयर ड्रैग) की अनुपस्थिति में एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में एक प्रक्षेप्य की गति के आदर्श स्थितिय की पहली बार गैलिलियो गैलिली द्वारा जांच की गई थी। एक प्रक्षेपवक्र को आकार देने में वातावरण की कार्रवाई की उपेक्षा करने के लिए यूरोप में मध्य युग के माध्यम से व्यावहारिक दिमाग वाले जांचकर्ताओं द्वारा एक व्यर्थ परिकल्पना माना जाता। फिर भी, निर्वात के अस्तित्व का अनुमान लगाकर, बाद में उनके सहयोगी इवेंजलिस्ता टोरिकेली द्वारा पृथ्वी पर प्रदर्शित किया जाएगा, गैलीलियो यांत्रिकी के भविष्य के विज्ञान की शुरुआत करने में सक्षम थे। एक निकट निर्वात में, जैसा कि यह चंद्रमा पर उदाहरण के लिए निकलता है, उसका सरलीकृत परवलयिक प्रक्षेपवक्र अनिवार्य रूप से सही साबित होता है।

इसके बाद के विश्लेषण में, हम एक प्रक्षेप्य की गति के समीकरण को प्राप्त करते हैं, जैसा कि जमीन के संबंध में संदर्भ के एक जड़त्वीय फ्रेम से मापा जाता है। प्रक्षेप्य के प्रक्षेपण के बिंदु पर इसकी उत्पत्ति के साथ फ्रेम के साथ संबद्ध एक दाहिने हाथ की समन्वय प्रणाली है। $$x$$>-अक्ष जमीन पर स्पर्शरेखा है, और $$y$$ अक्ष इसके लंबवत है (गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र रेखाओं के समानांतर)। माना $$g$$ मानक गुरुत्वाकर्षण का त्वरण है। समतल भूभाग के सापेक्ष प्रारम्भिक क्षैतिज गति को $$v_h = v \cos(\theta)$$ को मान लें और प्रारंभिक ऊर्ध्वाधर गति $$v_v = v \sin(\theta)$$ हो. यह भी दिखाया जाएगा कि एक प्रक्षेप्य की सीमा $$2v_h v_v/g$$ है, और अधिकतम ऊंचाई $$v_v^2/2g$$ है. किसी दी गई प्रारंभिक गति के लिए अधिकतम सीमा $$v$$ तब प्राप्त होती है जब $$v_h=v_v$$, अर्थात् प्रारंभिक कोण 45 है$$^\circ$$. यह सीमा $$v^2/g$$, और अधिकतम सीमा पर अधिकतम ऊंचाई $$v^2/(4g)$$ है.

गति के समीकरण की व्युत्पत्ति
मान लें कि प्रक्षेप्य की गति को एक मुक्त पतन फ्रेम से मापा जा रहा है जो (x,y) = (0,0) पर t = 0 पर होता है। इस फ्रेम में प्रक्षेप्य की गति का समीकरण (तुल्यता सिद्धांत द्वारा) ) $$y = x \tan(\theta)$$ होगा. हमारे जड़त्वीय फ्रेम के संबंध में इस मुक्त पतन फ्रेम के निर्देशांक $$y = - gt^2/2$$ होंगे. वह, $$y = - g(x/v_h)^2/2$$ है.

अब वापस जड़त्वीय फ्रेम में अनुवाद करना प्रक्षेप्य के निर्देशांक $$y = x \tan(\theta)- g(x/v_h)^2/2$$ बन जाते हैं वह है:


 * $$y=-{g\sec^2\theta\over 2v_0^2}x^2+x\tan\theta,$$

(जहाँ v0 प्रारंभिक वेग है, $$\theta$$ ऊंचाई का कोण है, और g गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है)।

रेंज और ऊंचाई
श्रेणी, R, सबसे बड़ी दूरी है जो वस्तु I क्षेत्र में x-अक्ष के साथ यात्रा करती है। प्रारंभिक वेग, vi वह गति है जिस पर उक्त वस्तु उत्पत्ति के बिंदु से प्रक्षेपित की जाती है। 'प्रारंभिक कोण', θi, वह कोण है जिस पर उक्त वस्तु को छोड़ा जाता है। g शून्य-माध्यम के भीतर वस्तु पर संबंधित गुरुत्वाकर्षण खिंचाव है।


 * $$R={v_i^2\sin2\theta_i\over g}$$

ऊँचाई, h, सबसे बड़ी परवलयिक ऊँचाई है जो कहा जाता है कि वस्तु अपने प्रक्षेपवक्र के भीतर पहुँचती है
 * $$h={v_i^2\sin^2\theta_i\over 2g}$$

उन्नयन कोण
उन्नयन कोण $$\theta$$ और प्रारंभिक गति $$v$$ के संदर्भ में:


 * $$v_h=v \cos \theta,\quad v_v=v \sin \theta \;$$

के रूप में सीमा दे रहा है


 * $$R= 2 v^2 \cos(\theta) \sin(\theta) / g = v^2 \sin(2\theta) / g\,.$$

आवश्यक श्रेणी के लिए कोण खोजने के लिए इस समीकरण को पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है


 * $$ \theta = \frac 1 2 \sin^{-1} \left( \frac{g R}{ v^2 } \right) $$ (समीकरण II: प्रक्षेप्य प्रक्षेपण का कोण)

ध्यान दें कि sine फलन ऐसा है कि किसी दिए गए रेंज $$d_h$$ के लिये $$\theta$$  के लिए दो समाधान हैं। कोण $$\theta$$  अधिकतम रेंज देना पाया जा सकता है व्युत्पन्न या $$R$$ को $$\theta$$  के संबंध में और इसे शून्य पर सेट करके पाया जा सकता है।


 * $${\mathrm{d}R\over \mathrm{d}\theta}={2v^2\over g} \cos(2\theta)=0$$

जिसका $$2\theta=\pi/2=90^\circ$$एक गैर-तुच्छ, या $$\theta=45^\circ$$ समाधान है. तब अधिकतम सीमा $$R_{\max} = v^2/g\,$$ है. इस कोण $$\sin(\pi/2)=1$$ पर, इसलिए प्राप्त की गई अधिकतम $${v^2 \over 4g}$$ ऊंचाई है.

किसी दिए गए गति के लिए अधिकतम ऊंचाई देने वाला कोण खोजने के लिए अधिकतम ऊंचाई $$H=v^2 \sin^2(\theta) /(2g)$$ के व्युत्पन्न की गणना करें  $$\theta$$ के संबंध में, वह है

$${\mathrm{d}H\over \mathrm{d}\theta}=v^2 2\cos(\theta)\sin(\theta) /(2g)$$

जो शून्य है जब $$\theta=\pi/2=90^\circ$$. तो अधिकतम ऊंचाई $$H_\mathrm{max}={v^2\over 2g}$$ प्रक्षेप्य को सीधे ऊपर दागे जाने पर प्राप्त होता है।

वस्तुओं की परिक्रमा करना
यदि एक समान नीचे की ओर गुरुत्वाकर्षण बल के अतिरिक्त हम दो पिंडों को परस्पर गुरुत्वाकर्षण के साथ परिक्रमा करते हुए मानते हैं, तो हमें ग्रहीय गति के केप्लर के नियम प्राप्त होते हैं। इनकी व्युत्पत्ति आइजैक न्यूटन के प्रमुख कार्यों में से एक थी और इसने अंतर कलन के विकास के लिए काफी प्रेरणा प्रदान की।

गेंदों को पकड़ना
यदि कोई प्रक्षेप्य, जैसे कि बेसबॉल या क्रिकेट की गेंद, नगण्य वायु प्रतिरोध के साथ एक परवलयिक पथ में यात्रा करती है, और यदि कोई खिलाड़ी नीचे उतरते समय इसे पकड़ने के लिए इस तरह स्थित है, तो वह अपनी उड़ान के दौरान लगातार बढ़ते हुए इसके उन्नयन कोण को देखता है। ऊंचाई के कोण की स्पर्शरेखा उस समय के समानुपाती होती है जब बल्ले से गेंद को मारकर वायु में फेका जाता है। जब गेंद नीचे जा रही होती है, तो उसकी उड़ान के अंत के पास, खिलाड़ी द्वारा देखा गया उसका उन्नयन कोण बढ़ता रहता है। इसलिए खिलाड़ी इसे ऐसे देखता है जैसे कि यह निरंतर गति से लंबवत रूप से चढ़ रही हो। जिस स्थान से गेंद तेजी से उठती हुई प्रतीत होती है, उसे खोजने से खिलाड़ी को कैच लेने के लिए खुद को सही स्थिति में लाने में मदद मिलती है। यदि वह गेंद को हिट करने वाले बल्लेबाज के बहुत करीब है, तो यह तेजी से ऊपर उठती हुई प्रतीत होगी। यदि वह बल्लेबाज से बहुत दूर है, तो यह तेजी से धीमा और फिर नीचे उतरता हुआ प्रतीत होगा।

यह भी देखें

 * पिछाड़ी-क्रॉसिंग प्रक्षेपवक्र
 * विस्थापन (ज्यामिति)
 * गैलिलियन आक्रमण
 * कक्षा (गतिकी)
 * कक्षा (समूह सिद्धांत)
 * कक्षीय प्रक्षेपवक्र
 * ग्रहों की कक्षा
 * पोर्कचॉप प्लॉट
 * प्रक्षेप्य गति
 * एक प्रक्षेप्य की सीमा
 * कठोर शरीर
 * विश्व रेखा

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * मोशन (भौतिकी)
 * शारीरिक काया
 * की परिक्रमा
 * गणित पृथक करें
 * छोटा तारा
 * अंडाकार
 * चांद
 * रवि
 * अतिशयोक्ति
 * खींचें (भौतिकी)
 * सौर पवन
 * ताकत
 * धरती
 * खालीपन
 * संदर्भ का जड़त्वीय ढांचा
 * निर्बाध गिरावट
 * समानता सिद्धांत
 * X- अक्ष
 * उन लोगों के
 * पिछाड़ी पार प्रक्षेपवक्र
 * गैलीलियन आक्रमण

बाहरी संबंध

 * Projectile Motion Flash Applet :)
 * Trajectory calculator
 * An interactive simulation on projectile motion
 * Projectile Lab, JavaScript trajectory simulator
 * Parabolic Projectile Motion: Shooting a Harmless Tranquilizer Dart at a Falling Monkey by Roberto Castilla-Meléndez, Roxana Ramírez-Herrera, and José Luis Gómez-Muñoz, The Wolfram Demonstrations Project.
 * Trajectory, ScienceWorld.
 * Java projectile-motion simulation, with first-order air resistance.
 * Java projectile-motion simulation; targeting solutions, parabola of safety.