मॉस्कोवैसिस कोडिंग लेम्मा

Moschovakis कोडिंग लेम्मा वर्णनात्मक सेट सिद्धांत से एक लेम्मा (गणित) है जिसमें नियतत्व के स्वयंसिद्ध के तहत वास्तविक संख्याओं के सेट शामिल होते हैं (सिद्धांत - पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ असंगत - कि प्रत्येक दो-खिलाड़ी पूर्णांक खेल निर्धारित होता है)। लेम्मा को विकसित किया गया था और इसका नाम गणितज्ञ यियानिस एन मोस्कोवाकिस के नाम पर रखा गया था।

लेम्मा को आम तौर पर निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
 * होने देना $Γ$ क्वांटिफायर (तर्क) # क्वांटिफिकेशन की रेंज और के तहत बंद एक गैर-स्वयं दोहरी बिंदु वर्ग बनें $∧$, और $≺$ ए $Γ$-अच्छी तरह से स्थापित संबंध ωω}रैंक का $θ ∈ ON$. होने देना $R ⊆ dom(≺) × ω^{ω}$ ऐसा हो $(∀x∈dom(≺))(∃y)(x R y)$. फिर एक है $Γ$-तय करना $A ⊆ dom(≺) × ω^{ω}$ जो R के लिए एक विकल्प सेट है, वह है:

एक प्रमाण इस प्रकार चलता है: विरोधाभास के लिए मान लीजिए $θ$ एक न्यूनतम प्रति उदाहरण है, और ठीक करें $(∀α<θ)(∃x∈dom(≺),y)(|x|_{≺}=α ∧ x A y)$, $(∀x,y)(x A y → x R y)$, और एक अच्छा सार्वभौमिक सेट $≺$ के लिए $Γ$-के उपसमुच्चय $R$. आसानी से, $θ$ एक सीमा क्रमसूचक होना चाहिए। के लिए $U ⊆ (ω^{ω})^{3}$, हम कहते हैं $(ω^{ω})^{2}$ कोड ए $δ$-चॉइस सेट प्रदान किया गया संपत्ति (1) रखती है $δ < θ$ का उपयोग करना $u ∈ ω^{ω}$ और संपत्ति (2) के लिए रखती है $α ≤ δ$ जहां हम प्रतिस्थापित करते हैं $A = U u$ साथ $A = U u$. कम से कम $θ$, सभी के लिए $x ∈ dom(≺)$, वहाँ हैं $x ∈ dom(≺) ∧ |x| ≺ [≤δ]$-विकल्प सेट।

अब, एक खेल खेलें जहाँ खिलाड़ी I, II अंक चुनते हैं $δ < θ$ और II कब जीतता है $u$ कोडिंग ए $δ$-विकल्प कुछ के लिए निर्धारित है $u,v ∈ ω^{ω}$ तात्पर्य $v$ कोड ए $δ_{1}$-विकल्प कुछ के लिए निर्धारित है $δ_{1} < θ$. I के लिए एक जीतने की रणनीति परिभाषित करती है $δ_{2}$ तय करना B}वास्तविक एन्कोडिंग की } $δ$-विकल्प मनमाने ढंग से बड़े के लिए सेट करता है $δ_{2} > δ_{1}$. तब परिभाषित करें

जो आसानी से काम करता है। दूसरी ओर, मान लीजिए $τ$ II के लिए जीतने की रणनीति है। एस-एम-एन प्रमेय से, चलो $Σ1 1$ निरंतर ऐसा हो कि सभी के लिए $ϵ$, $x$, $t$, और $w$,

पुनरावर्तन प्रमेय द्वारा, मौजूद है $δ < θ$ ऐसा है कि $x A y ↔ (∃w∈B)U(w,x,y)$. एक सीधा इंडक्शन ऑन $s:(ω^{ω})^{2} → ω^{ω}$ के लिए $U(s(ϵ,x),t,w) ↔ (∃y,z)(y ≺ x ∧ U(ϵ,y,z) ∧ U(z,t,w))$ पता चलता है कि

और

तो चलो