वितरण जाली

गणित में, एक वितरण जालक एक जालक (क्रम) होता है जिसमें एक दूसरे के ऊपर वितरण को मिलाने और मिलने की संक्रियाएँ होती हैं। ऐसी संरचनाओं के प्रोटोटाइपिकल उदाहरण सेट का संग्रह हैं जिसके लिए सेट यूनियन (सेट सिद्धांत) और चौराहे (सेट सिद्धांत) द्वारा जाली संचालन दिया जा सकता है। वास्तव में, समुच्चय के ये जाल पूरी तरह से दृश्यावली का वर्णन करते हैं: प्रत्येक वितरणात्मक जालक-समरूपता के क्रम तक- समुच्चय के ऐसे जालक के रूप में दिया जाता है।

परिभाषा
मनमाना जाली के मामले में, कोई भी वितरणात्मक जाली एल पर विचार करना चुन सकता है या तो आदेश सिद्धांत या सार्वभौमिक बीजगणित की संरचना के रूप में। जाली (आदेश) पर लेख में दोनों विचारों और उनके पारस्परिक पत्राचार पर चर्चा की गई है। वर्तमान स्थिति में बीजगणितीय विवरण अधिक सुविधाजनक प्रतीत होता है।

एक जाली (एल, ∨, ∧) 'वितरण' है यदि निम्नलिखित अतिरिक्त पहचान एल में सभी एक्स, वाई, और जेड के लिए रखती है:


 * x ∧ (y ∨ z) = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z)।

लैटिस को आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के रूप में देखते हुए, यह कहता है कि मीट ऑपरेशन सीमा-संरक्षण कार्य (आदेश सिद्धांत)  गैर-खाली परिमित जुड़ता है। यह जाली सिद्धांत का एक बुनियादी तथ्य है कि उपरोक्त स्थिति इसके द्वैत (आदेश सिद्धांत) के बराबर है:
 * x ∨ (y ∧ z) = (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)   एल में सभी x, y, और z के लिए।

प्रत्येक जाली में, p≤q को हमेशा की तरह p∧q=p, असमानता x ∧ (y ∨ z) ≥ (x ∧ y) ∨ (x ∧ z) के साथ-साथ इसकी दोहरी असमानता x ∨ (y) को परिभाषित करता है। ∧ z) ≤ (x ∨ y) ∧ (x ∨ z)। एक जालक वितरणात्मक होता है यदि विपरीत असमानताओं में से एक भी धारण करता है। आदेश सिद्धांत की अन्य वितरण स्थितियों के लिए इस स्थिति के संबंध के बारे में अधिक जानकारी वितरण पर लेख (आदेश सिद्धांत) में पाई जा सकती है।

आकारिकी
वितरणात्मक जाली का एक रूपवाद सिर्फ एक जाली समरूपता है जैसा कि जाली (आदेश) पर लेख में दिया गया है, यानी एक ऐसा कार्य जो दो जाली संचालन के साथ संगत है। क्योंकि जाली का ऐसा रूपवाद जाली संरचना को संरक्षित करता है, इसके परिणामस्वरूप यह वितरण को भी संरक्षित करेगा (और इस प्रकार वितरणात्मक जाली का एक रूपवाद होगा)।

उदाहरण
वितरणात्मक जाली सर्वव्यापी हैं, बल्कि विशिष्ट संरचनाएं भी हैं। जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है कि वितरणात्मक लैटिस के लिए मुख्य उदाहरण सेट के लैटिस हैं, जहां सामान्य सेट-थ्योरिटिक ऑपरेशंस द्वारा शामिल होना और मिलना दिया जाता है। और उदाहरणों में शामिल हैं:

जालक सिद्धांत के विकास के प्रारंभ में चार्ल्स एस. पियर्स का मानना ​​था कि सभी जालक वितरणात्मक होते हैं, अर्थात वितरण शेष जाली अभिगृहीतों से होता है। हालाँकि, स्वतंत्रता का गणितीय प्रमाण अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ) | श्रोडर, वोइगट, द्वारा दिया गया था।(:de:एंड्रियास हेनरिक वोइगट) जैकब लुरोथ|लुरोथ, एल्विन कोर्सेल्ट, और रिचर्ड डेडेकिंड।
 * अधिकांश लॉजिक्स का लिंडेनबाउम-टार्स्की बीजगणित जो तार्किक संयोजन और तार्किक संयोजन का समर्थन करता है, एक वितरणात्मक जाली है, अर्थात और या इसके विपरीत वितरित करता है।
 * प्रत्येक बूलियन बीजगणित (संरचना) एक वितरणात्मक जाली है।
 * हर Heyting बीजगणित एक वितरण जालक है। विशेष रूप से इसमें सभी पूर्ण हेटिंग बीजगणित शामिल हैं और इसलिए टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान के सभी खुले सेट लैटिस शामिल हैं। यह भी ध्यान दें कि हेटिंग बीजगणित को अंतर्ज्ञानवादी तर्क के लिंडेनबाम बीजगणित के रूप में देखा जा सकता है, जो उन्हें पहले उदाहरण का एक विशेष मामला बनाता है।
 * हर कुल आदेश  एक वितरण पॉलीटॉप है जिसमें ज्वाइन के रूप में मैक्सिमम और मीट के रूप में मिन है।
 * प्राकृतिक संख्या एक (सशर्त रूप से पूर्ण) वितरण जाली बनाती है, जो सबसे बड़े सामान्य विभाजक को पूरा करती है और कम से कम सामान्य गुणक को जोड़ती है। इस जाली में एक न्यूनतम तत्व भी है, जिसका नाम 1 है, जो जुड़ने के लिए पहचान तत्व के रूप में कार्य करता है।
 * एक धनात्मक पूर्णांक n को देखते हुए, n के सभी धनात्मक विभाजकों का समुच्चय एक वितरण जालक बनाता है, जिसमें सबसे बड़ा समापवर्तक मिलता है और लघुतम समापवर्त्य जुड़ता है। यह एक बूलियन बीजगणित है यदि और केवल यदि n वर्ग-मुक्त पूर्णांक | वर्ग-मुक्त है।
 * एक रिज स्पेस | लैटिस-ऑर्डर्ड वेक्टर स्पेस एक डिस्ट्रीब्यूटिव लैटिस है।
 * युवा आरेख के समावेशन क्रम द्वारा दिया गया यंग का जाल#विभाजन (संख्या सिद्धांत) का प्रतिनिधित्व करने वाले आरेख एक वितरणात्मक जाली है।
 * एक वितरण पॉलीटोप के बिंदु (एक उत्तल पॉलीटोप को समन्वयित न्यूनतम और समन्वयित अधिकतम संचालन के तहत बंद किया जाता है), इन दो कार्यों के साथ जाली के संचालन में शामिल होने और मिलने के रूप में।

विशेषता गुण
उपरोक्त परिभाषा के विभिन्न समतुल्य योग मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, L वितरणात्मक है यदि और केवल यदि निम्नलिखित L में सभी तत्वों x, y, z के लिए है:


 * (एक्स$$\wedge $$और)$$\vee $$(और$$\wedge $$साथ)$$\vee $$(साथ$$\wedge $$एक्स) = (एक्स$$\vee $$और)$$\wedge $$(और$$\vee $$साथ)$$\wedge $$(साथ$$\vee $$एक्स)।

इसी प्रकार, L वितरणात्मक है यदि और केवल यदि


 * एक्स$$\wedge $$जेड = वाई$$\wedge $$जेड और एक्स$$\vee $$जेड = वाई$$\vee $$z हमेशा x = y इंगित करता है।

 Image:M3 1xyz0.svg|हीरा जाली एम3 गैर-वितरणात्मक है: x ∧ (y ∨ z) = x ∧ 1 = x ≠ 0 = 0 ∨ 0 = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z). Image:N5 1xyz0.svg|पेंटागन जाली एन5 गैर-वितरणात्मक है: x ∧ (y ∨ z) = x ∧ 1 = x ≠ z = 0 ∨ z = (x ∧ y) ∨ (x ∧ z).  सरलतम अवितरणीय जालक M हैं3, हीरा जाली, और एन5, पेंटागन जाली। एक जाली वितरण योग्य है अगर और केवल अगर इसकी कोई भी सबलेटिस एम के लिए आइसोमोर्फिक नहीं है3 या एन5; एक सबलेटिस एक उपसमुच्चय है जो मिलने के तहत बंद हो जाता है और मूल जाली के संचालन में शामिल हो जाता है। ध्यान दें कि यह उपसमुच्चय के समान नहीं है जो मूल क्रम के तहत एक जाली है (लेकिन संभवतः अलग-अलग जुड़ने और मिलने के संचालन के साथ)। आगे के लक्षण अगले भाग में प्रतिनिधित्व सिद्धांत से प्राप्त होते हैं।

एक ही तथ्य को कहने का एक वैकल्पिक तरीका यह है कि प्रत्येक वितरण जाली दो-तत्व बूलियन बीजगणित की प्रतियों का एक उप-प्रत्यक्ष उत्पाद है। तत्व श्रृंखला। परिणाम के रूप में, प्रत्येक बूलियन बीजगणित (संरचना) में यह गुण भी होता है। अंत में वितरण में कई अन्य सुखद गुण शामिल हैं। उदाहरण के लिए, एक वितरणात्मक जालक का एक तत्व है जालक (आदेश)#महत्वपूर्ण जाली-सैद्धांतिक विचार|मिलें-प्रधान यदि और केवल अगर यह जाली (आदेश) है#महत्वपूर्ण जालक-सैद्धांतिक विचार|मिलना-अप्रासंगिक है, हालांकि उत्तरार्द्ध में है सामान्य एक कमजोर संपत्ति। द्वैत से, लैटिस (क्रम) के लिए भी यही सच है #महत्वपूर्ण जाली-सैद्धांतिक विचार|जॉइन-प्राइम और लैटिस (ऑर्डर)#महत्वपूर्ण जाली-सैद्धांतिक धारणाएँ|जॉइन-इर्रिड्यूसिबल तत्व। यदि कोई जालक वितरणात्मक है, तो इसका आवरण संबंध एक माध्यिका ग्राफ बनाता है। इसके अलावा, प्रत्येक वितरण जाली भी मॉड्यूलर जाली है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
वितरणात्मक जाली के लिए परिचय पहले से ही सबसे महत्वपूर्ण लक्षण वर्णन पर संकेत दिया गया है: एक जाली वितरण है अगर और केवल अगर यह सेट के एक जाली के लिए समाकृतिकता है (संघ (सेट सिद्धांत) और चौराहे (सेट सिद्धांत) के तहत बंद)। (बाद की संरचना को कभी-कभी इस संदर्भ में समुच्चय का वलय कहा जाता है।) कि समुच्चय संघ और प्रतिच्छेदन उपरोक्त अर्थों में वास्तव में वितरणात्मक हैं, एक प्रारंभिक तथ्य है। दूसरी दिशा कम तुच्छ है, इसमें नीचे बताए गए प्रतिनिधित्व प्रमेयों की आवश्यकता है। इस लक्षण वर्णन से महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि यह है कि सभी वितरण संबंधी जाली में धारण करने वाली पहचान (समीकरण) वही हैं जो उपरोक्त अर्थों में सेट के सभी जाल में हैं।

वितरणात्मक जाली के लिए बिरखॉफ के प्रतिनिधित्व प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक परिमित वितरणात्मक जाली आंशिक रूप से आदेशित सेट के आंशिक रूप से आदेशित सेट के ऊपरी सेट के जाली के लिए आइसोमोर्फिक है (समतुल्य रूप से: जुड़ने-अपूरणीय) तत्व। यह सभी परिमित पॉसेट्स के वर्ग और सभी परिमित वितरण जालों के वर्ग के बीच एक आक्षेप (समरूपता तक) स्थापित करता है। इस आपत्ति को परिमित वितरण जाली के समरूपता और परिमित पोसेट के मोनोटोनिक कार्यों के बीच श्रेणियों की समानता तक बढ़ाया जा सकता है। हालांकि, इस परिणाम को अनंत जालों में सामान्यीकृत करने के लिए, आगे की संरचना को जोड़ने की आवश्यकता है।

एक अन्य प्रारंभिक प्रतिनिधित्व प्रमेय को अब वितरणात्मक जाली के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय के रूप में जाना जाता है (नाम मार्शल हार्वे स्टोन का सम्मान करता है, जिन्होंने इसे पहली बार साबित किया था)। यह कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस के कॉम्पैक्ट जगह  ओपन सेट सेट के लैटिस के रूप में डिस्ट्रीब्यूटिव लैटिस को दर्शाता है। इस परिणाम को बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रसिद्ध स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय के सामान्यीकरण और स्टोन द्वैत की सामान्य सेटिंग की विशेषज्ञता के रूप में देखा जा सकता है।

एक और महत्वपूर्ण प्रतिनिधित्व हिलेरी प्रीस्टले द्वारा उसके प्रिस्टले के प्रतिनिधित्व प्रमेय में वितरणात्मक जाली के लिए स्थापित किया गया था। इस सूत्रीकरण में, एक वितरणात्मक जाली का उपयोग अपने बिंदुओं पर एक अतिरिक्त आंशिक क्रम के साथ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनाने के लिए किया जाता है, जिससे बूलियन बीजगणित (या प्रिस्टले अंतरिक्ष) के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय का आदेश दिया जाता है। इस स्थान के क्लोपेन सेट के निचले सेट के संग्रह के रूप में मूल जाली को पुनर्प्राप्त किया गया है।

स्टोन और प्रिस्टले के प्रमेयों के परिणामस्वरूप, कोई भी आसानी से देखता है कि कोई वितरण जाली वास्तव में सेटों की जाली के लिए आइसोमोर्फिक है। हालांकि, दोनों बयानों के प्रमाण के लिए बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय की आवश्यकता होती है, जो पसंद के स्वयंसिद्ध का एक कमजोर रूप है।

मुक्त वितरण जाल
जेनरेटर जी के एक सेट पर मुक्त वस्तु वितरण जाली सामान्य मुक्त जाली से अधिक आसानी से बनाई जा सकती है। पहला अवलोकन यह है कि, वितरण के नियमों का उपयोग करते हुए, प्रत्येक शब्द द्विआधारी संक्रियाओं द्वारा गठित होता है $$\lor$$ और $$\land$$ जनरेटर के एक सेट पर निम्नलिखित समतुल्य सामान्य रूप में परिवर्तित किया जा सकता है:


 * $$M_1 \lor M_2 \lor \cdots \lor M_n,$$

कहाँ $$M_i$$ जी के तत्वों के परिमित मिलन हैं। इसके अलावा, चूंकि दोनों मिलते हैं और जुड़ते हैं साहचर्य, क्रमविनिमेयता  और निःशक्तता, कोई डुप्लिकेट और ऑर्डर को अनदेखा कर सकता है, और सेट के एक सेट के रूप में उपरोक्त की तरह मिलने का प्रतिनिधित्व कर सकता है:


 * $$\{N_1, N_2, \ldots, N_n\},$$

जहां $$N_i$$ G के परिमित उपसमुच्चय हैं। हालाँकि, यह अभी भी संभव है कि दो ऐसे शब्द वितरणात्मक जाली के समान तत्व को दर्शाते हैं। यह तब होता है जब सूचकांक जे और के ऐसे होते हैं $$N_j$$ का उपसमुच्चय है $$N_k.$$ इस मामले में मुलाकात की $$N_k$$ के नीचे होगा $$N_j,$$ और इसलिए अनावश्यक सेट को सुरक्षित रूप से हटाया जा सकता है $$N_k$$ पूरे शब्द की व्याख्या को बदले बिना। नतीजतन, जी के परिमित उपसमुच्चय का एक सेट जब भी इसके सभी तत्वों को बेमतलब कहा जाएगा $$N_i$$ पारस्परिक रूप से अतुलनीय हैं (सबसेट ऑर्डरिंग के संबंध में); यानी जब यह एक स्पर्नर परिवार बनाता है।

अब जनरेटर G के एक सेट पर मुक्त वितरण जाली को G के परिमित उपसमुच्चय के सभी परिमित अप्रासंगिक सेटों के सेट पर परिभाषित किया गया है। दो परिमित अप्रासंगिक सेटों का जुड़ाव सभी निरर्थक सेटों को हटाकर उनके मिलन से प्राप्त किया जाता है। इसी तरह दो सेट एस और टी का मिलन इसका बेतुका संस्करण है $$\{N \cup M \mid N \in S, M \in T\}.$$ सत्यापन कि यह संरचना आवश्यक सार्वभौमिक संपत्ति के साथ एक वितरण जाली है, नियमित है।

एन जनरेटर के साथ मुक्त वितरण जाल में तत्वों की संख्या डेडेकिंड संख्या द्वारा दी गई है। ये संख्याएँ तेजी से बढ़ती हैं, और केवल n ≤ 8 के लिए जानी जाती हैं; वे हैं
 * 2, 3, 6, 20, 168, 7581, 7828354, 2414682040998, 56130437228687557907788.

ऊपर दी गई संख्या मुक्त वितरण जाली में तत्वों की संख्या की गणना करती है जिसमें जाली संचालन शामिल होते हैं और तत्वों के परिमित सेटों से मिलते हैं, जिसमें खाली सेट भी शामिल है। यदि खाली जोड़ और खाली मिलने की अनुमति नहीं है, तो परिणामी मुक्त वितरण जाली में दो कम तत्व होते हैं; उनके तत्वों की संख्या अनुक्रम बनाती है
 * 0, 1, 4, 18, 166, 7579, 7828352, 2414682040996, 56130437228687557907786.

यह भी देखें

 * पूरी तरह से वितरित जाली - एक जाली जिसमें अनंत जोड़ अनंत मिलते हैं
 * वितरणात्मक जाली के लिए द्वैत सिद्धांत
 * वर्णक्रमीय स्थान