उपसमूहों की जाली

गणित में, समूह $$G$$ के उपसमूहों की जाली वह जाली है जिसके तत्व $$G$$ के उपसमूह हैं, जिसमें आंशिक क्रम संबंध सम्मिलित है। इस जाली में, दो उपसमूहों का जुड़ाव उनके संघ द्वारा उत्पन्न उपसमूह है, और दो उपसमूहों का मिलन उनका प्रतिच्छेदन है।

उदाहरण
डायहेड्रल समूह Dih4 में दस उपसमूह हैं, स्वयं की गिनती और तुच्छ उपसमूह 8 समूह तत्वों में से पांच क्रम दो के उपसमूह उत्पन्न करते हैं, और अन्य दो गैर-पहचान तत्व दोनों क्रम चार के समान चक्रीय उपसमूह उत्पन्न करते हैं। इसके अतितिक्त Z2 × Z2,के रूप के दो उपसमूह हैं, जो क्रम -दो तत्वों के जोड़े द्वारा उत्पन्न होते हैं। इन दस उपसमूहों द्वारा बनाई गई जाली को चित्रण में दिखाया गया है।

यह उदाहरण यह भी दर्शाता है कि समूह के सभी उपसमूहों की जाली सामान्य रूप से एक मॉड्यूलर जाली नहीं है। दरअसल, इस विशेष जाली में वर्जित पेंटागन N5 एक उप-जाली के रूप में है।

गुण
A ≤ C (C का एक उपसमूह) वाले समूह के किसी A, B, और C उपसमूहों के लिए AB ∩ C = A(B ∩ C); यहाँ गुणन उपसमूहों का गुणनफल है। इस संपत्ति को समूहों की मॉड्यूलर संपत्ति कहा गया है या (रिचर्ड डेडेकिंड का) मॉड्यूलर कानून. चूंकि दो सामान्य उपसमूहों के लिए उत्पाद वास्तव में सबसे छोटा उपसमूह है जिसमें दो सम्मिलित हैं, सामान्य उपसमूह एक मॉड्यूलर जाली बनाते हैं।

जाली प्रमेय एक समूह के उपसमूहों की जाली और उसके भागफलों के बीच एक गाल्वा संबंध स्थापित करता है।

ज़ैसेनहॉस लेम्मा उपसमूहों की जाली में भागफलों और उत्पादों के कुछ संयोजनों के बीच एक समरूपता देता है।

सामान्यतः, उपसमूहों की जाली के आकार पर कोई प्रतिबंध नहीं है, इस अर्थ में कि प्रत्येक जाली किसी समूह के उपसमूह जाली के उप-वर्ग के लिए आइसोमोर्फिक है। इसके अतितिक्त , प्रत्येक परिमित समूह जाली कुछ परिमित समूह के उपसमूह जाली के उपसमूह के लिए समरूप है.

विशेषता जाली
कुछ गुणों वाले उपसमूह जाली बनाते हैं, किन्तु अन्य गुण नहीं होते हैं।


 * सामान्य उपसमूह सदैव एक मॉड्यूलर जाली बनाते हैं। वास्तव में, आवश्यक संपत्ति जो आश्वासन देती है कि जाली मॉड्यूलर है, यह है कि उपसमूह एक-दूसरे के साथ यात्रा करते हैं, जिससे वे अर्ध-सामान्य उपसमूह हैं।
 * निलपोटेंट समूह सामान्य उपसमूह एक जाली बनाते हैं, जो फिटिंग के प्रमेय की पदार्थ (का भाग ) है।
 * सामान्यतः, किसी भी फिटिंग वर्ग F के लिए, दोनों उप-सामान्य उपसमूह F -उपसमूह और सामान्य F -उपसमूह जाली बनाते हैं। इसमें F  के साथ निलपोटेंट समूहों के वर्ग के साथ-साथ अन्य उदाहरण भी सम्मिलित हैं जैसे कि F  सॉल्व करने योग्य समूहों का वर्ग समूहों के एक वर्ग को फिटिंग क्लास कहा जाता है यदि यह आइसोमोर्फिज्म, अर्धसामान्य उपसमूह और  असामान्य उपसमूह  के उत्पादों के तहत बंद है।
 * केंद्र (समूह) उपसमूह एक जाली बनाते हैं।

चूंकि, न तो परिमित उपसमूह और न ही मरोड़ उपसमूह एक जाली बनाते हैं: उदाहरण के लिए, मुक्त उत्पाद $$\mathbf{Z}/2\mathbf{Z} * \mathbf{Z}/2\mathbf{Z}$$ दो मरोड़ वाले तत्वों से उत्पन्न होता है, किन्तु अनंत होता है और इसमें अनंत क्रम के तत्व होते हैं।

तथ्य यह है कि सामान्य उपसमूह एक मॉड्यूलर जाली बनाते हैं, एक अधिक सामान्य परिणाम का एक विशेष स्थिति है, अर्थात् किसी भी माल्टसेव विविधता में (जिनमें से समूह एक उदाहरण हैं), अनुरूपता जाली मॉड्यूलर है.

उनके उपसमूह जाल द्वारा समूहों की विशेषता
उपसमूहों की जाली के बारे में जाली सैद्धांतिक जानकारी का उपयोग कभी-कभी मूल समूह के बारे में जानकारी का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है, एक ऐसा विचार जो काम पर वापस जाता है. उदाहरण के लिए, जैसा कि अयस्क ने सिद्ध किया है, एक समूह स्थानीय रूप से चक्रीय समूह है यदि और केवल यदि इसके उपसमूहों की जाली वितरणकारी जाली है। यदि अतिरिक्त रूप से जाली आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करती है, तो समूह चक्रीय होता है।

जिन समूहों के उपसमूहों की जाली एक पूरक जाली है, उन्हें पूरक समूह कहा जाता है, और जिन समूहों के उपसमूहों की जाली मॉड्यूलर जाली हैं, उन्हें इवासावा समूह या मॉड्यूलर समूह कहा जाता है. इस प्रकार के जाली-सैद्धांतिक लक्षण भी हल करने योग्य समूहों और पूर्ण समूहों के लिए उपस्थित हैं

संदर्भ

 * Review by Ralph Freese in Bull. AMS 33 (4): 487–492.
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बाहरी संबंध

 * PlanetMath entry on lattice of subgroups
 * Example: Lattice of subgroups of the symmetric group S4