केप्लर त्रिकोण

एक केप्लर त्रिभुज ज्यामितीय प्रगति में किनारे की लंबाई वाला एक विशेष समकोण त्रिभुज है। प्रगति का अनुपात है $$\sqrt\varphi$$ कहाँ पे $$\varphi=(1+\sqrt{5})/2$$ सुनहरा अनुपात है, और प्रगति लिखी जा सकती है: $ 1 : \sqrt\varphi : \varphi$, या लगभग $1 : 1.272 : 1.618$. इस त्रिकोण के किनारों पर वर्गों में एक और ज्यामितीय प्रगति में क्षेत्र हैं, $$1:\varphi:\varphi^2$$. एक ही त्रिभुज की वैकल्पिक परिभाषाएँ इसे दो संख्याओं के तीन पायथागॉरियन माध्यों के संदर्भ में, या समद्विबाहु त्रिभुजों की अंतःत्रिज्या के माध्यम से दर्शाती हैं।

इस त्रिकोण का नाम जोहान्स केप्लर के नाम पर रखा गया है, लेकिन इसे पहले के स्रोतों में पाया जा सकता है। हालांकि कुछ सूत्रों का दावा है कि प्राचीन मिस्र के पिरामिडों के अनुपात केपलर त्रिकोण पर आधारित थे, अधिकांश विद्वानों का मानना ​​है कि मिस्र के गणित और वास्तुकला के लिए सुनहरे अनुपात की जानकारी नहीं थी।

इतिहास
केपलर त्रिकोण का नाम जर्मन गणितज्ञ और खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर (1571-1630) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1597 के एक पत्र में इस आकार के बारे में लिखा था। इस त्रिकोण का विश्लेषण करने के लिए इस्तेमाल की जा सकने वाली दो अवधारणाएँ, पायथागॉरियन प्रमेय और सुनहरा अनुपात, दोनों ही केपलर के लिए रुचिकर थीं, जैसा कि उन्होंने कहीं और लिखा था: "Geometry has two great treasures: one is the theorem of Pythagoras, the other the division of a line into extreme and mean ratio. The first we may compare to a mass of gold, the second we may call a precious jewel."

हालाँकि, केप्लर इस त्रिभुज का वर्णन करने वाले पहले व्यक्ति नहीं थे। केप्लर ने स्वयं इसका श्रेय मैगिरस नामक एक संगीत प्रोफेसर को दिया। वही त्रिकोण पहले अरबी गणित की एक पुस्तक में दिखाई देता है, द लिबर मेनसुरेशनम ऑफ अबू बेकर, जिसे 12 वीं शताब्दी के क्रेमोना के जेरार्ड द्वारा लैटिन में किए गए अनुवाद से जाना जाता है, और इसमेंPractica geometriaeफाइबोनैचि (1220-1221 में प्रकाशित), जिन्होंने इसे केप्लर के समान तरीके से परिभाषित किया। केपलर से थोड़ा पहले, पेड्रो नून्स ने 1567 में इसके बारे में लिखा था, और यह मध्यकालीन और पुनर्जागरण पांडुलिपि परंपराओं में व्यापक रूप से व्यापक होने की संभावना है। केप्लर की तुलना में इसे कई बार स्वतंत्र रूप से फिर से खोजा गया है।

कुछ लेखकों के अनुसार, इसके क्रॉस-सेक्शन के रूप में डबल केपलर त्रिकोण के साथ एक सुनहरा पिरामिड मिस्र के पिरामिड जैसे गीज़ा के महान पिरामिड के डिजाइन का सटीक वर्णन करता है; इस सिद्धांत का एक स्रोत पिरामिडोलॉजी जॉन टेलर द्वारा हेरोडोटस की 19वीं सदी की गलत व्याख्या है। उसी पिरामिड के लिए अनुपात के कई अन्य सिद्धांत प्रस्तावित किए गए हैं, जो केपलर त्रिकोण से संबंधित नहीं हैं। क्योंकि ये विभिन्न सिद्धांत उनके द्वारा प्राप्त संख्यात्मक मूल्यों में बहुत समान हैं, और माप में अशुद्धियों के कारण, आंशिक रूप से पिरामिड की बाहरी सतह के विनाश के कारण, ऐसे सिद्धांतों को विशुद्ध रूप से भौतिक साक्ष्य के आधार पर हल करना मुश्किल है। केप्लर त्रिभुज के अनुपात में मिलान अच्छी तरह से एक संख्यात्मक संयोग हो सकता है: विद्वानों के अनुसार जिन्होंने इस संबंध की जांच की है, प्राचीन मिस्र के लोग अपने गणित या वास्तुकला में सुनहरे अनुपात के बारे में नहीं जानते थे या इसका उपयोग नहीं करते थे। इसके बजाय, पक्षों के साथ एक समकोण त्रिभुज के आधार पर, पिरामिड के अनुपात को पूर्णांक अनुपातों का उपयोग करके पर्याप्त रूप से समझाया जा सकता है 11 and 14.

इस आकृति के लिए केपलर त्रिकोण नाम का उपयोग रोजर हर्ज़-फिशलर द्वारा किया गया था, जो केप्लर के 1597 के पत्र पर आधारित था, 1979 की शुरुआत में। इसी त्रिभुज का एक अन्य नाम, जिसका प्रयोग मतिला घीका ने 1946 में गोल्डन रेशियो पर अपनी पुस्तक द ज्योमेट्री ऑफ आर्ट एंड लाइफ में किया था, पिरामिडोलॉजिस्ट डब्ल्यू ए प्राइस के नाम पर प्राइस का त्रिकोण है।

परिभाषाएँ
केप्लर त्रिभुज को विशिष्ट रूप से एक समकोण त्रिभुज होने के गुणों और ज्यामितीय प्रगति में इसकी भुजाओं की लंबाई होने के कारण परिभाषित किया गया है, या समतुल्य ज्यामितीय प्रगति में इसके किनारों पर वर्ग होना। पक्ष की लंबाई की प्रगति का अनुपात है $\sqrt\varphi$, कहाँ पे $$\varphi=(1+\sqrt{5})/2$$ सुनहरा अनुपात है, और प्रगति लिखी जा सकती है: $ 1 : \sqrt\varphi : \varphi$, या लगभग 1 : 1.272 : 1.618। इस त्रिकोण के किनारों पर वर्गों में एक और ज्यामितीय प्रगति में क्षेत्र हैं, $$1:\varphi:\varphi^2$$. तथ्य यह है कि इन अनुपातों के साथ त्रिभुज एक समकोण त्रिभुज है, इस तथ्य से अनुसरण करता है कि, इन अनुपातों के साथ किनारे की लंबाई के वर्ग के लिए, गोल्डन रेशियो का परिभाषित बहुपद वही है जो पायथागॉरियन प्रमेय द्वारा दिए गए सूत्र के रूप में एक समकोण त्रिभुज के वर्ग किनारे की लंबाई के लिए दिया गया है: $$\varphi^2 = \varphi + 1.$$ क्योंकि यह समीकरण सुनहरे अनुपात के लिए सही है, ये तीन लंबाई पाइथागोरस प्रमेय का पालन करती हैं और एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। इसके विपरीत, किसी भी समकोण त्रिभुज में जिसके वर्गाकार किनारे की लंबाई किसी भी अनुपात के साथ ज्यामितीय प्रगति में है $$\rho$$पाइथागोरस प्रमेय का अर्थ है कि यह अनुपात सर्वसमिका का पालन करता है $$\rho^2=\rho+1$$. इसलिए, अनुपात इस समीकरण का अद्वितीय सकारात्मक समाधान होना चाहिए, सुनहरा अनुपात, और त्रिकोण एक केप्लर त्रिकोण होना चाहिए। तीन किनारों की लंबाई $$1$$, $$\sqrt\varphi$$ तथा $$\varphi$$ क्रमशः दो संख्याओं के अनुकूल माध्य, ज्यामितीय माध्य और अंकगणितीय माध्य हैं $\varphi\pm1$. दो संख्याओं के संयोजन के इन तीन तरीकों का प्राचीन ग्रीक गणित में अध्ययन किया गया था, और इन्हें पायथागॉरियन साधन कहा जाता है। इसके विपरीत, इसे केप्लर त्रिभुज की एक वैकल्पिक परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है: यह एक समकोण त्रिभुज है जिसके किनारों की लंबाई कुछ दो संख्याओं के तीन पायथागॉरियन साधन हैं। एकमात्र त्रिभुज जिसके लिए यह सत्य है, केप्लर त्रिभुज हैं। इस त्रिभुज को परिभाषित करने का एक तीसरा, समतुल्य तरीका समद्विबाहु त्रिभुजों की अंतःत्रिज्या को अधिकतम करने की समस्या से आता है। दो बराबर भुजाओं की लंबाई के एक निश्चित विकल्प के साथ सभी समद्विबाहु त्रिभुजों में, लेकिन एक चर आधार लंबाई के साथ, केपलर त्रिभुज की दो प्रतियों से एक सबसे बड़ा अंतःत्रिज्या बनता है, जो एक दूसरे से उनके लंबे पक्षों पर परिलक्षित होता है। इसलिए, केप्लर त्रिभुज को सही त्रिभुज के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो समान कर्ण वाले सभी समकोण त्रिभुजों के बीच, अपने प्रतिबिंब के साथ अधिकतम अंतःत्रिज्या का समद्विबाहु त्रिभुज बनाता है। वही प्रतिबिंब एक समद्विबाहु त्रिभुज भी बनाता है, जो किसी दिए गए परिधि के लिए सबसे बड़ा संभव अर्धवृत्त होता है।

गुण
यदि केप्लर त्रिभुज की छोटी भुजा की लंबाई है $$s$$, दूसरी भुजाओं की लंबाई होगी $$s\sqrt\varphi$$ तथा $$s\varphi$$. क्षेत्रफल की गणना समकोण त्रिभुजों के क्षेत्रफल के लिए मानक सूत्र द्वारा की जा सकती है (दो छोटी भुजाओं का आधा गुणनफल)। $$\tfrac{s^2}{2}\sqrt\varphi$$. दो गैर-समकोणों में से बड़े का कोज्या कर्ण के निकटवर्ती पक्ष (दोनों पक्षों में से छोटा) का अनुपात है, $$\varphi$$, जिससे यह पता चलता है कि दो गैर समकोण हैं $$\theta=\sin^{-1}\frac{1}{\varphi}\approx 38.1727^\circ$$ तथा $$\theta=\cos^{-1}\frac{1}{\varphi}\approx 51.8273^\circ.$$ जेरज़ी कोसिक ने देखा है कि इन दो कोणों में से बड़ा कोण कॉक्सेटर के लॉक्सोड्रोमिक अनुक्रम में स्पर्शरेखा मंडलियों के लगातार मंडलियों के केंद्रों द्वारा गठित कोण भी है।

यह भी देखें

 * ऑटोमेडियन त्रिभुज, एक त्रिभुज जिसकी वर्गाकार भुजाएँ एक अंकगणितीय प्रगति बनाती हैं, जिसमें भुजाओं की लंबाई के साथ समकोण त्रिभुज शामिल है $$1:\sqrt2:\sqrt3$$
 * स्वर्ण त्रिभुज (गणित), एक समद्विबाहु त्रिभुज जिसका आधार और पार्श्व लंबाई का अनुपात सुनहरा अनुपात है।