प्रतिवर्ती समापन

गणित में, एक सेट (गणित) X पर द्विआधारी संबंध  R का रिफ्लेक्सिव क्लोजर X पर सबसे छोटा  प्रतिवर्ती संबंध  होता है जिसमें R होता है।

उदाहरण के लिए, यदि X अलग-अलग संख्याओं का एक सेट है और x R y का अर्थ है x y से कम है, तो R का रिफ्लेक्सिव क्लोजर है संबंध x y से कम या उसके बराबर है।

परिभाषा
समुच्चय X पर संबंध R का प्रतिवर्ती समापन S द्वारा दिया जाता है


 * $$S = R \cup \left\{ (x, x) : x \in X \right\}$$

अंग्रेजी में, आर का रिफ्लेक्सिव क्लोजर एक्स पर पहचान संबंध के साथ आर का मिलन है।

उदाहरण
उदाहरण के तौर पर, यदि
 * $$X = \left\{ 1, 2, 3, 4 \right\}$$
 * $$R = \left\{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) \right\}$$

फिर रिश्ता $$R$$ यह पहले से ही अपने आप में रिफ्लेक्सिव है, इसलिए यह इसके रिफ्लेक्सिव क्लोजर से अलग नहीं है।

हालाँकि, यदि कोई जोड़ा अंदर है $$R$$ अनुपस्थित था, इसे रिफ्लेक्सिव क्लोजर के लिए डाला जाएगा। उदाहरण के लिए, यदि एक ही सेट पर $$X$$
 * $$R = \left\{ (1,1), (2,2), (4,4) \right\}$$

तब रिफ्लेक्सिव क्लोजर है
 * $$S = R \cup \left\{ (x,x): x \in X \right\} = \left\{ (1,1), (2,2), (3,3), (4,4) \right\} .$$

यह भी देखें

 * सकर्मक समापन
 * सममित समापन

संदर्भ

 * Franz Baader and Tobias Nipkow, Term Rewriting and All That, Cambridge University Press, 1998, p. 8