वृहद गणनीय क्रमसूचक

समुच्चय सिद्धान्त के गणितीय अनुशासन में, विशिष्ट गणनीय सेट क्रमिक संख्या का वर्णन करने की कई प्रविधि हैं। सबसे अल्प लोगों को उनके कैंटर सामान्य रूप के संदर्भ में उपयोगी और गैर-वृत्ताकार रूप से व्यक्त किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त,  प्रमाण सिद्धांत की प्रासंगिकता के कई अध्यादेशों में अभी भी  गणना योग्य फंक्शन क्रमसूचक संकेतन हैं (क्रमिक विश्लेषण देखें)। चूंकि, प्रभावी रूप से यह निर्धारित करना संभव नहीं है, कि दिया गया पुटेटिव ऑर्डिनल नोटेशन है या नहीं (कुछ कारणों से रुकने की समस्या की अस्वाभाविकता के अनुरूप); निश्चित रूप से अंकन वाले अध्यादेशों को परिभाषित करने की कई और ठोस प्रविधि उपलब्ध हैं।

चूँकि केवल बहुत सी संख्याएँ हैं, संकेतन वाले सभी अध्यादेश पहले बेशुमार क्रमसूचक के नीचे अच्छी तरह से समाप्त हो गए हैं। पहले बेशुमार क्रमसूचक ω1; उनके सर्वोच्च को चर्च-क्लीन ω कहा जाता है1या ω$CK 1$ (पहले बेशुमार क्रमसूचक के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, ω1), वर्णित #द चर्च-क्लीन ऑर्डिनल। ω के नीचे की क्रमवाचक संख्याएँ$CK 1$ रिकर्सिव ऑर्डिनल्स हैं (रिकर्सिव ऑर्डिनल्स पर #सामान्यताएं देखें)। इससे बड़े काउंटेबल ऑर्डिनल्स को अभी भी परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन नोटेशन नहीं हैं।

गणनीय अध्यादेशों पर ध्यान केंद्रित करने के कारण, जहां अन्यथा उल्लेख किया गया है, को छोड़कर क्रमिक अंकगणित का उपयोग किया जाता है। यहां वर्णित अध्यादेश बड़े कार्डिनलों में वर्णित जितने बड़े नहीं हैं, लेकिन वे उन लोगों में बड़े हैं जिनके पास रचनात्मक नोटेशन (विवरण) हैं। बड़े और बड़े अध्यादेशों को परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन उनका वर्णन करना कठिन होता जा रहा है।

क्रमसूचक संकेतन
पुनरावर्ती क्रमसूचक (या कंप्यूटेबल ऑर्डिनल्स) कुछ काउंटेबल ऑर्डिनल्स हैं: एक कम्प्यूटेशनल फ़ंक्शन द्वारा दर्शाए गए शिथिल बोलने वाले। इसकी कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं: सबसे सरल यह कहना है कि एक संगणनीय क्रमसूचक कुछ पुनरावर्ती (अर्थात, संगणनीय) प्राकृतिक संख्याओं का क्रम-प्रकार है; इसलिए, अनिवार्य रूप से, एक क्रमसूचक पुनरावर्ती होता है जब हम अल्प अध्यादेशों के सेट को इस तरह से प्रस्तुत कर सकते हैं कि एक कंप्यूटर (ट्यूरिंग मशीन, कहते हैं) उन्हें हेरफेर कर सकता है (और, अनिवार्य रूप से, उनकी तुलना करें)।

एक अलग परिभाषा स्टीफन कोल क्लेन की क्रमसूचक संकेतन प्रणाली का उपयोग करती है। संक्षेप में, एक क्रमिक संकेतन या तो नाम शून्य है (क्रमिक 0 का वर्णन), या एक क्रमसूचक संकेतन का उत्तराधिकारी (उस संकेतन द्वारा वर्णित क्रमसूचक के उत्तराधिकारी का वर्णन), या एक ट्यूरिंग मशीन (गणना योग्य कार्य) जो एक बढ़ते क्रम का उत्पादन करती है क्रमसूचक संकेतन (जो क्रमसूचक का वर्णन करते हैं जो अनुक्रम की सीमा है), और क्रमसूचक संकेतन (आंशिक रूप से) आदेशित हैं ताकि o के उत्तराधिकारी को o से बड़ा बनाया जा सके और सीमा को अनुक्रम के किसी भी पद से अधिक बनाया जा सके (यह क्रम संगणनीय है; चूंकि, क्रमसूचक संकेतन का सेट 'O' स्वयं अत्यधिक गैर-पुनरावर्ती है, यह निर्धारित करने की असंभवता के कारण कि क्या दी गई ट्यूरिंग मशीन वास्तव में संकेतन के अनुक्रम का उत्पादन करती है); एक पुनरावर्ती क्रमसूचक तब एक क्रमसूचक होता है जिसे कुछ क्रमसूचक संकेतन द्वारा वर्णित किया जाता है।

रिकर्सिव ऑर्डिनल से छोटा कोई भी ऑर्डिनल खुद ही रिकर्सिव होता है, इसलिए सभी रिकर्सिव ऑर्डिनल्स का सेट एक निश्चित (काउंटेबल) ऑर्डिनल, चर्च-क्लीन ऑर्डिनल (नीचे देखें) बनाता है।

यह क्रमिक संकेतन के बारे में भूलने के लिए आकर्षक है, और केवल पुनरावर्ती अध्यादेशों के बारे में बात करते हैं: और पुनरावर्ती अध्यादेशों के बारे में कुछ बयान दिए गए हैं, जो वास्तव में, इन अध्यादेशों के लिए अंकन की चिंता करते हैं। यह कठिनाइयों की ओर जाता है, चूंकि, यहां तक ​​​​कि सबसे छोटी अनंत क्रमसूचक, ω, में कई अंकन हैं, जिनमें से कुछ को स्पष्ट संकेतन के बराबर साबित नहीं किया जा सकता है (सबसे सरल कार्यक्रम जो सभी प्राकृतिक संख्याओं की गणना करता है)।

अंकगणित की प्रणालियों से संबंध
संगणनीय अध्यादेशों और कुछ औपचारिक प्रणालियों के बीच एक संबंध है (अंकगणित युक्त, जो कि कम से कम पियानो स्वयंसिद्धों का एक उचित टुकड़ा है)।

कुछ संगणनीय क्रमांक इतने बड़े होते हैं कि जब वे एक निश्चित क्रमिक संकेतन ओ द्वारा दिए जा सकते हैं, तो एक दी गई औपचारिक प्रणाली यह दिखाने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली नहीं हो सकती है कि ओ, वास्तव में, एक क्रमसूचक संकेतन है: प्रणाली इतने बड़े के लिए ट्रांसफिनिट इंडक्शन नहीं दिखाती है ordinals.

उदाहरण के लिए, सामान्य प्रथम-क्रम तर्क | प्रथम-क्रम पीनो अभिगृहीत एप्सिलॉन संख्या (गणित) के लिए (या उससे परे) ट्रांसफिनिट इंडक्शन साबित नहीं करते हैं। ε0: जबकि क्रमिक ε0 आसानी से अंकगणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है (यह गणनीय है), पीनो स्वयंसिद्ध यह दिखाने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं हैं कि यह वास्तव में एक क्रमसूचक है; वास्तव में, ε पर ट्रांसफिनिट इंडक्शन0 पीआनो के स्वयंसिद्धों (गेरहार्ड जेंटजन द्वारा एक प्रमेय) की निरंतरता को प्रमाणित करता है, इसलिए गोडेल के दूसरे अपूर्णता प्रमेय द्वारा, पियानो के स्वयंसिद्ध उस तर्क को औपचारिक रूप नहीं दे सकते। (यह गुडस्टीन के प्रमेय पर किर्बी-पेरिस प्रमेय के आधार पर है।) चूंकि पियानो अंकगणित यह साबित कर सकता है कि कोई भी क्रमांक ε से कम है।0 अच्छी तरह से आदेश दिया गया है, हम कहते हैं कि ε0 पीनो के स्वयंसिद्धों की प्रूफ-सैद्धांतिक शक्ति को मापता है।

लेकिन हम पीआनो के स्वयंसिद्धों से कहीं आगे के सिस्टम के लिए ऐसा कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, क्रिप्के-प्लेटेक सेट सिद्धांत की प्रमाण-सैद्धांतिक शक्ति बाचमन-हावर्ड क्रमसूचक है, और वास्तव में, केवल पीआनो के स्वयंसिद्ध सिद्धांतों को जोड़ना है जो बछमन-हावर्ड क्रमसूचक के नीचे सभी क्रमों के क्रम को बताता है। क्रिपके-प्लेटेक सेट सिद्धांत के सभी अंकगणितीय परिणाम प्राप्त करने के लिए।

विधेयात्मक परिभाषाएँ और वेब्लेन पदानुक्रम
हमने पहले ही उल्लेख किया है (क्रमिक अंकगणित#कैंटर सामान्य रूप देखें) क्रमसूचक एप्सिलॉन संख्या (गणित)|ε0, जो समीकरण को संतुष्ट करने वाला सबसे छोटा है $$\omega^\alpha = \alpha$$, तो यह अनुक्रम 0, 1 की सीमा है, $$\omega$$, $$\omega^\omega$$, $$\omega^{\omega^\omega}$$, ... इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले अगले क्रमिक को ε कहा जाता है1: यह अनुक्रम की सीमा है


 * $$\varepsilon_0+1, \qquad \omega^{\varepsilon_0+1}=\varepsilon_0\cdot\omega,\qquad\omega^{\omega^{\varepsilon_0+1}}=(\varepsilon_0)^\omega,\qquad\text{etc.}$$

अधिक आम तौर पर, $$\iota$$-वाँ क्रमवाचक ऐसा है $$\omega^\alpha = \alpha$$ कहा जाता है $$\varepsilon_\iota$$. हम परिभाषित कर सकते हैं $$\zeta_0$$ सबसे अल्प क्रमसूचक के रूप में $$\varepsilon_\alpha=\alpha$$, लेकिन चूंकि ग्रीक वर्णमाला में कई अक्षर नहीं हैं, इसलिए अधिक मजबूत संकेतन का उपयोग करना बेहतर है: क्रमांक को परिभाषित करें $$\varphi_\gamma(\beta)$$ ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा इस प्रकार है: चलो $$\varphi_0(\beta) = \omega^\beta$$ और जाने $$\varphi_{\gamma+1}(\beta)$$ हो $$\beta$$-वाँ निश्चित बिंदु $$\varphi_\gamma$$ (यानी, $$\beta$$-वाँ क्रमवाचक ऐसा है $$\varphi_\gamma(\alpha)=\alpha$$; तो उदाहरण के लिए, $$\varphi_1(\beta) = \varepsilon_\beta$$), और जब $$\delta$$ एक सीमा क्रमसूचक है, परिभाषित करें $$\varphi_\delta(\alpha)$$ के रूप में $$\alpha$$-वाँ आम निश्चित बिंदु $$\varphi_\gamma$$ सभी के लिए $$\gamma<\delta$$. कार्यों के इस परिवार को वेब्लेन पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है (परिभाषा में अनावश्यक भिन्नताएं हैं, जैसे कि अनुमति देना, for $$\delta$$ एक सीमा क्रमसूचक, $$\varphi_\delta(\alpha)$$ की सीमा हो $$\varphi_\gamma(\alpha)$$ के लिए $$\gamma<\delta$$: यह अनिवार्य रूप से केवल सूचकांकों को 1 से बदलता है, जो हानिरहित है)। $$\varphi_\gamma$$ कहा जाता है $$\gamma^{th}$$ Veblen फंक्शन(आधार के लिए $$\omega$$).

आदेश देना: $$\varphi_\alpha(\beta) < \varphi_\gamma(\delta)$$ अगर और केवल अगर या तो ($$\alpha = \gamma$$ और $$\beta < \delta$$) या ($$\alpha < \gamma$$ और $$\beta < \varphi_\gamma(\delta)$$) या ($$\alpha > \gamma$$ और $$\varphi_\alpha(\beta) < \delta$$).

फेफ़रमैन-शुट्टे क्रमसूचक और परे
सबसे छोटा क्रमसूचक ऐसा $$\varphi_\alpha(0) = \alpha$$ Feferman-Schütte ordinal के रूप में जाना जाता है और आम तौर पर लिखा जाता है $$\Gamma_0$$. इसे सभी अध्यादेशों के सेट के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जिसे केवल वेब्लेन पदानुक्रम और जोड़ का उपयोग करके, शून्य से शुरू करके, परिमित भाव के रूप में लिखा जा सकता है। Feferman-Schütte ordinal महत्वपूर्ण है क्योंकि, एक अर्थ में जो सटीक बनाने के लिए जटिल है, यह सबसे छोटा (अनंत) क्रमसूचक है जिसे अल्प ordinals का उपयोग करके वर्णित नहीं किया जा सकता है। यह रिवर्स मैथमैटिक्स#अरिथमेटिकल ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन ATR0 जैसी प्रणालियों की ताकत को मापता है।

अधिक सामान्यतः, जीα उन ऑर्डिनल्स की गणना करता है जिन्हें अतिरिक्त और वेब्लेन फ़ंक्शंस का उपयोग करके अल्प ऑर्डिनल्स से प्राप्त नहीं किया जा सकता है।

यह निश्चित रूप से, फेफर्मन-शुट्टे क्रमसूचक से परे अध्यादेशों का वर्णन करना संभव है। एक अधिक से अधिक जटिल तरीके से निश्चित बिंदुओं की तलाश जारी रख सकता है: के निश्चित बिंदुओं की गणना करें $$\alpha\mapsto\Gamma_\alpha$$, फिर उसके निश्चित बिंदुओं की गणना करें, और इसी तरह, और फिर पहले क्रमिक α की तलाश करें जैसे कि α इस प्रक्रिया के α चरणों में प्राप्त होता है, और इस तदर्थ तरीके से विकर्ण करना जारी रखता है। यह अल्प वेब्लेन ऑर्डिनल और बड़े वेब्लेन ऑर्डिनल वेब्लेन ऑर्डिनल्स की परिभाषा की ओर जाता है।

इम्प्रिडिकेटिव ऑर्डिनल्स
फ़ेफ़रमैन-शुट्टे क्रमसूचक से बहुत आगे जाने के लिए, नए तरीकों को पेश करने की आवश्यकता है। दुर्भाग्य से ऐसा करने के लिए अभी तक कोई मानक तरीका नहीं है: ऐसा लगता है कि इस विषय में प्रत्येक लेखक ने अपनी स्वयं की अंकन प्रणाली का आविष्कार किया है, और विभिन्न प्रणालियों के बीच अनुवाद करना काफी कठिन है। इस तरह की पहली प्रणाली 1950 में बछमन द्वारा पेश की गई थी (एक तदर्थ तरीके से), और इसके विभिन्न विस्तार और विविधताओं का वर्णन बुखोलज़, टेकुटी (क्रमिक आरेख), फ़ेफ़रमैन (θ सिस्टम), पीटर एक्ज़ेल, ब्रिज, शुट्टे और द्वारा किया गया था। पोहलर्स। चूंकि अधिकांश प्रणालियाँ एक ही मूल विचार का उपयोग करती हैं, कुछ बेशुमार अध्यादेशों के अस्तित्व का उपयोग करके नए गणनीय अध्यादेशों का निर्माण करना। यहाँ इस तरह की परिभाषा का एक उदाहरण दिया गया है, जिसका वर्णन क्रमिक ढहने का कार्य पर लेख में बहुत अधिक विस्तार से किया गया है: यहाँ Ω = ω1 पहला बेशुमार क्रमसूचक है। इसे इसलिए रखा गया है क्योंकि अन्यथा फ़ंक्शन ψ सबसे अल्प क्रमिक σ पर अटक जाता है जैसे कि εσ=σ: विशेष रूप से ψ(α)=σ किसी भी क्रमिक α संतोषजनक σ≤α≤Ω के लिए। चूंकि तथ्य यह है कि हमने Ω को शामिल किया है, हमें इस बिंदु को पार करने की अनुमति देता है: ψ(Ω+1) σ से बड़ा है। Ω की मुख्य संपत्ति जिसका हमने उपयोग किया है वह यह है कि यह ψ द्वारा उत्पादित किसी भी क्रमसूचक से अधिक है।
 * ψ(α) को सबसे अल्प क्रमसूचक के रूप में परिभाषित किया गया है जिसे 0, 1, ω और Ω से शुरू करके और बार-बार जोड़, गुणा और घातांक लागू करके और ψ को पहले से बनाए गए अध्यादेशों को छोड़कर नहीं बनाया जा सकता है (सिवाय इसके कि ψ केवल लागू किया जा सकता है) α से कम तर्कों के लिए, यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह अच्छी तरह से परिभाषित है)।

अभी भी बड़े अध्यादेशों का निर्माण करने के लिए, हम बेशुमार अध्यादेशों के निर्माण के और तरीकों को फेंक कर ψ की परिभाषा का विस्तार कर सकते हैं। ऐसा करने के कई तरीके हैं, जिनका वर्णन ऑर्डिनल कोलैप्सिंग फंक्शन पर लेख में कुछ हद तक किया गया है।

'बैचमैन-हावर्ड ऑर्डिनल' (कभी-कभी इसे 'हावर्ड ऑर्डिनल' भी कहा जाता है, ψ0(इΩ+1) उपरोक्त संकेतन के साथ) एक महत्वपूर्ण है, क्योंकि यह क्रिप्के-प्लेटेक सेट सिद्धांत के प्रमाण-सैद्धांतिक शक्ति का वर्णन करता है। वास्तव में, इन बड़े अध्यादेशों का मुख्य महत्व, और उनका वर्णन करने का कारण, कुछ औपचारिक प्रणालियों से उनका संबंध है जैसा कि ऊपर बताया गया है। चूंकि, पूर्ण द्वितीय क्रम अंकगणित के रूप में इस तरह की शक्तिशाली औपचारिक प्रणालियां, जर्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत को अकेले छोड़ दें, इस समय पहुंच से परे प्रतीत होती हैं।

बचमन-हावर्ड क्रमसूचक
से भी परे इसके अतिरिक्त, कई पुनरावर्ती अध्यादेश हैं जो पिछले वाले के रूप में अच्छी तरह से ज्ञात नहीं हैं। इनमें से पहला है Ψ0(Ωω) | बुखोल्ज़ क्रमसूचक, इस रूप में परिभाषित $$\psi_0(\Omega_\omega)$$, संक्षिप्त रूप में बस $$\psi(\Omega_\omega)$$, पिछले नोटेशन का उपयोग करना। का प्रमाण-सैद्धांतिक क्रमसूचक है $$\Pi_1^1-CA_0$$, अंकगणित का प्रथम-क्रम सिद्धांत प्राकृतिक संख्याओं के साथ-साथ प्राकृतिक संख्याओं के सेट पर परिमाणीकरण की अनुमति देता है, और $$ID_{<\omega}$$, परिमित रूप से पुनरावृत्त आगमनात्मक परिभाषाओं का औपचारिक सिद्धांत। इसके बाद टेकुटी-फेफरमैन-बुखोल्ज़ क्रमसूचक है। $$\Pi_1^1 -CA + BI$$; और दूसरे क्रम के अंकगणित का एक और सबसिस्टम: $$\Pi_1^1$$ - समझ + ट्रांसफिनिट इंडक्शन, और $$ID_\omega$$, का औपचारिक सिद्धांत $$\omega$$बार-बार पुनरावृत्त आगमनात्मक परिभाषाएँ। इस संकेतन में, इसे परिभाषित किया गया है $$\psi_0(\varepsilon_{\Omega_\omega + 1})$$. यह बुखोल्ज़ के साई कार्यों की श्रेणी का सर्वोच्च है। इसका नाम सबसे पहले डेविड मैडोर ने रखा था।

Agda में बड़े गणनीय अध्यादेश और संख्या का वर्णन करने वाले कोड के एक टुकड़े में अगले अध्यादेश का उल्लेख किया गया है, और AndrasKovacs द्वारा परिभाषित किया गया है $$\psi_0(\Omega_{\omega+1} \cdot \varepsilon_0)$$.

अगले क्रमसूचक का उल्लेख पहले की तरह ही कोड के उसी टुकड़े में किया गया है, और इसे परिभाषित किया गया है $$\psi_0(\Omega_{\omega^\omega})$$. का प्रमाण-सैद्धांतिक क्रमसूचक है $$ID_{<\omega^\omega}$$. यह अगला अध्यादेश, एक बार फिर, कोड के इसी टुकड़े में उल्लिखित है, जिसे परिभाषित किया गया है $$\psi_0(\Omega_{\varepsilon_0})$$, का प्रमाण-सैद्धांतिक क्रमसूचक है $$ID_{<\varepsilon_0}$$. सामान्य तौर पर, प्रूफ-सैद्धांतिक क्रमसूचक $$ID_{<\nu}$$ के बराबर है $$\psi_0(\Omega_{\nu})$$ - ध्यान दें कि इस निश्चित उदाहरण में, $$\Omega_0$$ का प्रतिनिधित्व करता है $$1$$, पहला नॉनजीरो ऑर्डिनल।

इस बिंदु तक के अधिकांश अध्यादेशों को बुखोल्ज़ हाइड्रा (उदा. $$\psi(\Omega_\omega) = +(0(\omega))$$)

अगला एक अनाम अध्यादेश है, जिसे डेविड मैडोर ने गणनीय पतन के रूप में संदर्भित किया है $$\varepsilon_{I+1}$$, कहाँ $$I$$ पहला अप्राप्य है (=$$\Pi^1_0$$-अवर्णनीय) कार्डिनल। यह क्रिप्के-प्लेटक सेट थ्योरी का प्रूफ-थ्योरिटिक ऑर्डिनल है। क्रिपके-प्लेटेक सेट थ्योरी ऑर्डिनल्स (केपीआई) के वर्ग की पुनरावर्ती दुर्गमता द्वारा संवर्धित, या, अंकगणितीय पक्ष पर, $$\Delta^1_2$$ -समझ + ट्रांसफिनिट इंडक्शन। इसका मूल्य बराबर है $$\psi(\varepsilon_{I+1})$$ अज्ञात फ़ंक्शन का उपयोग करना।

अगला एक और अनाम अध्यादेश है, जिसे डेविड मैडोर ने गणनीय पतन के रूप में संदर्भित किया है $$\varepsilon_{M+1}$$, कहाँ $$M$$ पहला महलो कार्डिनल है। यह केपीएम का प्रूफ-थ्योरिटिक ऑर्डिनल है, क्रिप्के-प्लेटेक सेट थ्योरी का विस्तार है। कृपके-प्लेटेक सेट थ्योरी महलो कार्डिनल पर आधारित है। इसका मूल्य बराबर है $$\psi(\varepsilon_{M+1})$$ बुखोल्ज़ के विभिन्न साई कार्यों में से एक का उपयोग करना। अगला एक और अनाम अध्यादेश है, जिसे डेविड मैडोर ने गणनीय पतन के रूप में संदर्भित किया है $$\varepsilon_{K+1}$$, कहाँ $$K$$ पहला कमजोर कॉम्पैक्ट है (=$$\Pi^1_1$$-अवर्णनीय) कार्डिनल। यह क्रिप्के-प्लेटेक सेट सिद्धांत का प्रमाण-सैद्धांतिक क्रम है। क्रिप्के-प्लेटेक सेट सिद्धांत + Π3 - Ref। इसका मूल्य बराबर है $$\Psi(\varepsilon_{K+1})$$ राथजेन के साई फंक्शनका उपयोग करना। अगला एक और अनाम अध्यादेश है, जिसे डेविड मैडोर ने गणनीय पतन के रूप में संदर्भित किया है $$\varepsilon_{\Xi+1}$$, कहाँ $$\Xi$$ पहला है $$\Pi^2_0$$-अवर्णनीय कार्डिनल। यह क्रिप्के-प्लेटक सेट सिद्धांत का प्रूफ-सैद्धांतिक क्रम है। क्रिप्के-प्लेटक सेट सिद्धांत + Πω-Ref। इसका मूल्य बराबर है $$\Psi^{\varepsilon_{\Xi+1}}_X$$ स्टीगर्ट के साई फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए, जहां $$X$$ = ($$\omega^+$$; $$P_0$$; $$\epsilon$$, $$\epsilon$$, 0). अगला अंतिम अनाम क्रमसूचक है, जिसे डेविड मैडोर द्वारा स्थिरता के प्रमाण-सैद्धांतिक क्रमसूचक के रूप में संदर्भित किया गया है। यह स्थिरता का प्रूफ-सैद्धांतिक क्रमसूचक है, क्रिप्के-प्लेटक सेट सिद्धांत का विस्तार है। इसका मूल्य बराबर है $$\Psi^{\varepsilon_{Y+1}}_X$$ स्टीगर्ट के साई फ़ंक्शन का उपयोग करते हुए, जहां $$X$$ = ($$\omega^+$$; $$P_0$$; $$\epsilon$$, $$\epsilon$$, 0). अगला अध्यादेशों का एक समूह है जिसके बारे में ज्यादा जानकारी नहीं है, लेकिन अभी भी काफी महत्वपूर्ण हैं (आरोही क्रम में):


 * दूसरे क्रम के अंकगणित का प्रमाण-सैद्धांतिक क्रम।
 * तारानोव्स्की के सी क्रमसूचक संकेतन की एक संभावित सीमा। (अनुमानात्मक, अंकन प्रणाली की अच्छी तरह से नींव मानते हुए)
 * ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत का प्रमाण-सैद्धांतिक क्रमसूचक।

अपरिवर्तनीय पुनरावर्ती अध्यादेश
एक ठोस विवरण होने की आवश्यकता को छोड़ कर, बड़े पुनरावर्ती गणनीय अध्यादेशों को विभिन्न मजबूत सिद्धांतों की ताकत को मापने वाले अध्यादेशों के रूप में प्राप्त किया जा सकता है; मोटे तौर पर कहा जाए तो, ये अध्यादेश सबसे अल्प अध्यादेश हैं जो सिद्धांत साबित नहीं कर सकते कि वे अच्छी तरह से आदेशित हैं। दूसरे क्रम के अंकगणित, ज़र्मेलो सेट सिद्धांत, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी, या ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी जैसे विभिन्न बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों के साथ मजबूत और मजबूत सिद्धांत लेने से, कुछ बहुत बड़े पुनरावर्ती अध्यादेश मिलते हैं। (कठोरता से यह ज्ञात नहीं है कि ये सभी वास्तव में क्रमसूचक हैं: निर्माण द्वारा, किसी सिद्धांत की क्रमिक शक्ति को केवल एक मजबूत सिद्धांत से ही एक क्रमसूचक साबित किया जा सकता है। इसलिए बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों के लिए यह काफी अस्पष्ट हो जाता है।)

चर्च-क्लीन ऑर्डिनल
रिकर्सिव ऑर्डिनल्स के सेट का सुप्रीम सबसे छोटा ऑर्डिनल है जिसे रिकर्सिव तरीके से वर्णित नहीं किया जा सकता है। (यह पूर्णांकों के किसी भी पुनरावर्ती सुव्यवस्थित क्रम का क्रम प्रकार नहीं है।) वह क्रमसूचक एक गणनीय क्रमसूचक है जिसे चर्च-क्लीन क्रमसूचक कहा जाता है। $$\omega_1^{\mathrm{CK}}$$. इस प्रकार, $$\omega_1^{\mathrm{CK}}$$ सबसे छोटा गैर-पुनरावर्ती क्रमसूचक है, और इस बिंदु से किसी भी क्रमसूचक का ठीक-ठीक वर्णन करने की कोई उम्मीद नहीं है - हम केवल उन्हें परिभाषित कर सकते हैं। लेकिन यह अभी भी पहले बेशुमार क्रमसूचक से बहुत कम है, $$\omega_1$$. चूंकि, जैसा कि इसके प्रतीक से पता चलता है, यह कई तरह से व्यवहार करता है, जैसे कि $$\omega_1$$. उदाहरण के लिए, कोई क्रमिक ढहने वाले कार्यों को परिभाषित कर सकता है $$\omega_1^{\mathrm{CK}}$$ के बजाय $$\omega_1$$.

स्वीकार्य अध्यादेश
चर्च-क्लेन ऑर्डिनल फिर से क्रिपके-प्लेटक सेट सिद्धांत से संबंधित है, लेकिन अब एक अलग तरीके से: जबकि बाचमैन-हावर्ड ऑर्डिनल (#Impredicative ordinals वर्णित) सबसे छोटा ऑर्डिनल था जिसके लिए केपी ट्रांसफिनिट इंडक्शन साबित नहीं करता है, चर्च- क्लेन ऑर्डिनल सबसे छोटा α है जैसे कि रचनात्मक ब्रह्मांड का निर्माण | गोडेल ब्रह्मांड, एल, चरण α तक, एक मॉडल उत्पन्न करता है $$L_\alpha$$ केपी का। इस तरह के अध्यादेशों को स्वीकार्य कहा जाता है $$\omega_1^{\mathrm{CK}}$$ सबसे छोटा स्वीकार्य क्रमिक है (केपी में अनंतता के स्वयंसिद्ध को शामिल नहीं किए जाने की स्थिति में ω से परे)।

गेराल्ड सैक्स के एक प्रमेय के अनुसार, गणनीय स्वीकार्य अध्यादेश वास्तव में चर्च-क्लेन क्रमसूचक के समान तरीके से निर्मित होते हैं लेकिन ओरेकल मशीन के साथ ट्यूरिंग मशीनों के लिए। कोई कभी-कभी लिखता है $$\omega_\alpha^{\mathrm{CK}}$$ के लिए $$\alpha$$-वाँ क्रमिक जो या तो स्वीकार्य है या अल्प स्वीकार्य की सीमा है।

स्वीकार्य अध्यादेशों से परे
$$\omega_\omega^{\mathrm{CK}}$$स्वीकार्य अध्यादेशों की सबसे छोटी सीमा है (बाद में उल्लेख किया गया है), फिर भी अध्यादेश स्वयं स्वीकार्य नहीं है। यह सबसे छोटा भी है $$\alpha$$ ऐसा है कि $$L_\alpha \cap P(\omega)$$ का एक मॉडल है $$\Pi^1_1$$-समझ। एक आदेश जो स्वीकार्य और स्वीकार्य दोनों की सीमा है, या समकक्ष ऐसा है $$\alpha$$ है $$\alpha$$-वें स्वीकार्य क्रमिक, को पुनरावर्ती दुर्गम कहा जाता है, और कम से कम पुनरावर्ती दुर्गम को निरूपित किया जा सकता है $$\omega_1^{E_1}$$. एक क्रमसूचक जो पुनरावर्ती रूप से अप्राप्य दोनों है और पुनरावर्ती रूप से दुर्गम की सीमा को पुनरावर्ती रूप से अति दुर्गम कहा जाता है। इस तरह से बड़े अध्यादेशों का एक सिद्धांत मौजूद है जो कि (अल्प) बड़े कार्डिनल संपत्ति के समानांतर है। उदाहरण के लिए, हम रिकर्सिवली Mahlo ordinals परिभाषित कर सकते हैं: ये हैं $$\alpha$$ ऐसा है कि हर $$\alpha$$-रिकर्सिव क्लोज्ड अनबाउंड सबसेट ऑफ $$\alpha$$ एक स्वीकार्य क्रमसूचक (एक कार्डिनल आंखें की परिभाषा का एक पुनरावर्ती एनालॉग) शामिल है। लेकिन ध्यान दें कि हम अभी भी यहां संभवतः गणनीय अध्यादेशों के बारे में बात कर रहे हैं। (जबकि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में दुर्गम या महलो कार्डिनल्स के अस्तित्व को साबित नहीं किया जा सकता है, जो कि पुनरावर्ती रूप से दुर्गम या पुनरावर्ती महलो ऑर्डिनल्स ZFC का एक प्रमेय है: वास्तव में, कोई भी नियमित कार्डिनल रिकर्सिवली महलो और अधिक है, लेकिन भले ही हम सीमित हों काउंटेबल ऑर्डिनल्स के लिए खुद, ZFC रिकर्सिवली महलो ऑर्डिनल्स के अस्तित्व को साबित करता है। चूंकि, वे क्रिपके-प्लेटेक सेट सिद्धांत की पहुंच से परे हैं।)

प्रतिबिंब
सूत्रों के एक सेट के लिए $$\Gamma$$, एक सीमा क्रमसूचक $$\alpha$$ कहा जाता है$$\Gamma$$-प्रतिबिंबित अगर रैंक $$L_\alpha$$ प्रत्येक के लिए एक निश्चित प्रतिबिंब संपत्ति को संतुष्ट करता है $$\Gamma$$-सूत्र $$\phi$$. ये अध्यादेश KP+Π जैसे सिद्धांतों के क्रमिक विश्लेषण में प्रकट होते हैं3-रेफरीकृपके-प्लेटक सेट सिद्धांत सिद्धांत को बढ़ाने वाला सिद्धांत a $$\Pi_3$$-प्रतिबिंब स्कीमा। उन्हें कुछ बेशुमार कार्डिनल्स जैसे कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट कार्डिनल और अवर्णनीय कार्डिनल के पुनरावर्ती एनालॉग भी माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक अध्यादेश जो $$\Pi_3$$-प्रतिबिंबित करने को पुनरावर्ती कमजोर रूप से कॉम्पैक्ट कहा जाता है। परिमित के लिए $$n$$, कम से कम $$\Pi_n$$-ऑर्डिनल को प्रतिबिंबित करना भी मोनोटोनिक इंडक्टिव परिभाषाओं के क्लोजर ऑर्डिनल्स का सर्वोच्च है, जिनके ग्राफ अंकगणितीय पदानुक्रम हैं। Πm+1 0। विशेष रूप से, $$\Pi_3$$-प्रतिबिंबित अध्यादेशों में उच्च-क्रम फ़ंक्शन का उपयोग करके एक लक्षण वर्णन भी होता है। क्रमसूचक कार्यों पर उच्च-प्रकार के कार्यात्मक, उन्हें 2-स्वीकार्य अध्यादेशों का नाम दिया जाता है। सोलोमन फेफरमैन द्वारा एक अप्रकाशित पेपर प्रत्येक परिमित के लिए आपूर्ति करता है $$n$$, एक समान संपत्ति के अनुरूप $$\Pi_n$$-प्रतिबिंब।

असंभाव्यता
एक स्वीकार्य अध्यादेश $$\alpha$$ कुल नहीं होने पर गैर-प्रक्षेप्य कहा जाता है $$\alpha$$-रिकर्सिव इंजेक्शन फ़ंक्शन मैपिंग $$\alpha$$ एक अल्प क्रम में। (यह नियमित कार्डिनल्स के लिए तुच्छ रूप से सच है; चूंकि, हम मुख्य रूप से काउंटेबल ऑर्डिनल्स में रुचि रखते हैं।) स्वीकार्य, पुनरावर्ती दुर्गम, या यहाँ तक कि पुनरावर्ती रूप से महलो होने की तुलना में गैर-प्रक्षेप्य होना बहुत मजबूत स्थिति है। जेन्सेन की परियोजना की विधि द्वारा, यह कथन इस कथन के समतुल्य है कि रचनात्मक ब्रह्मांड | गोडेल ब्रह्मांड, एल, चरण α तक, एक मॉडल उत्पन्न करता है $$L_\alpha$$ केपी + का $$\Sigma_1$$-अलगाव। चूंकि, $$\Sigma_1$$-अपने दम पर जुदाई (की उपस्थिति में नहीं $$V=L$$) असंभाव्यता को इंगित करने के लिए एक मजबूत पर्याप्त स्वयंसिद्ध स्कीमा नहीं है, वास्तव में इसके सकर्मक मॉडल हैं $$KP$$+$$\Sigma_1$$किसी भी गणनीय स्वीकार्य ऊंचाई का पृथक्करण $$ >\omega$$. गैर-प्रोजेक्टिबल ऑर्डिनल्स रोनाल्ड ब्योर्न जेन्सेन से जुड़े हुए हैं | प्रोजेक्टा पर जेन्सेन का काम।

अप्राप्य अध्यादेश
हम और भी बड़े अध्यादेशों की कल्पना कर सकते हैं जो अभी भी गणनीय हैं। उदाहरण के लिए, यदि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी में एक सकर्मक मॉडल है (संगतता की मात्र परिकल्पना से मजबूत एक परिकल्पना, और एक दुर्गम कार्डिनल के अस्तित्व से निहित), तो वहाँ एक गणनीय मौजूद है $$\alpha$$ ऐसा है कि $$L_\alpha$$ ZFC का एक मॉडल है। इस तरह के ऑर्डिनल्स ZFC की ताकत से इस मायने में परे हैं कि यह (निर्माण द्वारा) उनके अस्तित्व को साबित नहीं कर सकता है।

अगर $$T$$ एक पुनरावर्ती गणनीय सेट सिद्धांत है जो निर्माण की स्वयंसिद्धता के साथ संगत है|V=L, फिर सबसे कम $$\alpha$$ ऐसा है कि $$(L_\alpha,\in)\vDash T$$ कम से कम स्थिर क्रमसूचक से कम है, जो इस प्रकार है।

स्थिर अध्यादेश
यहां तक ​​​​कि बड़े गणनीय अध्यादेश, जिन्हें स्थिर अध्यादेश कहा जाता है, को अवर्णनीयता की स्थिति या उन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\alpha$$ ऐसा है कि $$L_\alpha$$ एक प्रारंभिक तुल्यता है|Σ1एल का प्राथमिक सबमॉडल; ZFC में इन अध्यादेशों के अस्तित्व को सिद्ध किया जा सकता है, और वे एक मॉडल-सैद्धांतिक दृष्टिकोण से #Reflection_and_nonprojectibility से निकटता से संबंधित हैं। गणनीय के लिए $$\alpha$$, की स्थिरता $$\alpha$$ के बराबर है $$L_\alpha\prec_{\Sigma_1}L_{\omega_1}$$.

स्थिर अध्यादेशों के वेरिएंट
ये स्थिर अध्यादेशों के कमजोर रूप हैं। उपरोक्त कम से कम गैर-प्रोजेक्टेबल ऑर्डिनल से अल्प इन गुणों वाले अध्यादेश हैं, उदाहरण के लिए एक क्रमसूचक है $$(+1)$$-स्थिर अगर यह है $$\Pi_n^0$$-सभी प्राकृतिक के लिए प्रतिबिंबित $$n$$. * एक गणनीय अध्यादेश $$\alpha$$ कहा जाता है $$(+\beta)$$-स्थिर अगर और केवल अगर $$L_\alpha \prec_{\Sigma_1} L_{\alpha+\beta}$$
 * एक गणनीय अध्यादेश $$\alpha$$ कहा जाता है $$(^+)$$-स्थिर अगर और केवल अगर $$L_\alpha \prec_{\Sigma_1} L_{\beta}$$, कहाँ $$\beta$$ कम से कम स्वीकार्य क्रमिक से बड़ा है $$\alpha$$.
 * एक गणनीय अध्यादेश $$\alpha$$ कहा जाता है $$(^{++})$$-स्थिर अगर और केवल अगर $$L_\alpha \prec_{\Sigma_1} L_{\beta}$$, कहाँ $$\beta$$ कम से कम स्वीकार्य क्रमसूचक से बड़ा एक स्वीकार्य क्रमसूचक से बड़ा है $$\alpha$$. * एक गणनीय अध्यादेश $$\alpha$$ को दुर्गम-स्थिर कहा जाता है यदि और केवल यदि $$L_\alpha \prec_{\Sigma_1} L_{\beta}$$, कहाँ $$\beta$$ कम से कम पुनरावर्ती दुर्गम क्रमसूचक से बड़ा है $$\alpha$$. * एक गणनीय अध्यादेश $$\alpha$$ महलो-स्थिर कहा जाता है अगर और केवल अगर $$L_\alpha \prec_{\Sigma_1} L_{\beta}$$, कहाँ $$\beta$$ कम से कम रिकर्सिवली महलो ऑर्डिनल से बड़ा है $$\alpha$$. * एक गणनीय अध्यादेश $$\alpha$$ दुगना कहा जाता है $$(+1)$$-स्थिर अगर और केवल अगर एक है $$(+1)$$-स्थिर क्रमसूचक $$\beta > \alpha$$ ऐसा है कि $$L_\alpha \prec_{\Sigma_1} L_{\beta}$$. दूसरे क्रम के अंकगणित के उप-प्रणालियों के विश्लेषण सहित प्रमाण-सैद्धांतिक प्रकाशनों में स्थिरता की मजबूत कमजोरियां सामने आई हैं।

एक छद्म सुव्यवस्थित
क्लेन के ओ के भीतर कुछ अध्यादेशों का प्रतिनिधित्व करते हैं और कुछ नहीं। एक पुनरावर्ती कुल क्रम को परिभाषित कर सकता है जो कि क्लेन नोटेशन का एक उपसमुच्चय है और एक प्रारंभिक खंड है जो क्रम-प्रकार के साथ सुव्यवस्थित है $$\omega_1^{\mathrm{CK}}$$. इस कुल आदेश के प्रत्येक पुनरावर्ती गणना योग्य (या यहां तक ​​​​कि हाइपरअरिथमेटिक) गैर-रिक्त उपसमुच्चय में कम से कम तत्व होता है। तो यह कुछ मायनों में एक सुव्यवस्थित जैसा दिखता है। उदाहरण के लिए, कोई इस पर अंकगणितीय संक्रियाओं को परिभाषित कर सकता है। फिर भी यह प्रभावी ढंग से निर्धारित करना संभव नहीं है कि प्रारंभिक सुव्यवस्थित भाग कहाँ समाप्त होता है और कम से कम तत्व की कमी वाला भाग शुरू होता है।

रिकर्सिव स्यूडो-वेल-ऑर्डरिंग के उदाहरण के लिए, S को Reverse_mathematics#Arithmetical_transfinite_recursion_ATR0|ATR होने दें0या अन्य पुनरावर्ती स्वयंसिद्ध सिद्धांत जिसमें एक ω-मॉडल है लेकिन कोई हाइपरअरिथमेटिकल ω-मॉडल नहीं है, और (यदि आवश्यक हो) स्कोलेम कार्यों के साथ रूढ़िवादी रूप से S का विस्तार करता है। मान लीजिए कि T, S के (अनिवार्य रूप से) परिमित आंशिक ω-मॉडल का वृक्ष है: प्राकृतिक संख्याओं का एक क्रम $$x_1,x_2,...,x_n$$ T में है iff S प्लस ∃m φ(m) ⇒ φ(x⌈φ⌉) (पहले n सूत्रों के लिए φ एक संख्यात्मक मुक्त चर के साथ; ⌈φ⌉ गोडेल संख्या है) n से छोटा कोई असंगति प्रमाण नहीं है। फिर टी का क्लेन-ब्राउवर ऑर्डर एक पुनरावर्ती छद्मवेल ऑर्डरिंग है।

ऐसे किसी भी निर्माण में ऑर्डर टाइप होना चाहिए $$\omega_1^{CK}\times (1+\eta)+\rho$$, कहाँ $$\eta$$ का आदेश प्रकार है $$(\mathbb Q,<)$$, और $$\rho$$ एक पुनरावर्ती क्रमसूचक है।

संदर्भ
Most books describing large countable ordinals are on proof theory, and unfortunately tend to be out of print.

पुनरावर्ती अध्यादेशों पर

 * वोल्फ्राम पोहलर्स, प्रूफ थ्योरी, स्प्रिंगर 1989 ISBN 0-387-51842-8 (वेब्लेन पदानुक्रम और कुछ अप्रतिबंधित अध्यादेशों के लिए)। यह शायद बड़े गणनीय अध्यादेशों (जो ज्यादा नहीं कह रहा है) पर सबसे अधिक पठनीय पुस्तक है।
 * गेसी टेकुटी, प्रूफ थ्योरी, दूसरा संस्करण 1987 ISBN 0-444-10492-5 (क्रमिक आरेखों के लिए)
 * कर्ट शुट्टे, प्रूफ थ्योरी, स्प्रिंगर 1977 ISBN 0-387-07911-4 (वेब्लेन पदानुक्रम और कुछ प्रतिकूल अध्यादेशों के लिए)
 * क्रेग स्मोरिंस्की, द वेरायटीज़ ऑफ़ आर्बोरियल एक्सपीरियंस मैथ। इंटेलिजेंसर 4 (1982), नहीं। 4, 182-189; वेबलेन पदानुक्रम का एक अनौपचारिक विवरण शामिल है।
 * हार्टले रोजर्स जूनियर, पुनरावर्ती कार्यों का सिद्धांत और प्रभावी संगणनीयता मैकग्रा-हिल (1967) ISBN 0-262-68052-1 (रिकर्सिव ऑर्डिनल्स और चर्च-क्लीन ऑर्डिनल का वर्णन करता है)
 * लैरी डब्ल्यू मिलर, नॉर्मल फ़ंक्शंस एंड कंस्ट्रक्टिव ऑर्डिनल नोटेशन्स, प्रतीकात्मक तर्क का जर्नल, वॉल्यूम 41, नंबर 2, जून 1976, पेज 439 से 459, ,
 * हिल्बर्ट लेविट्ज़, ट्रांसफिनिट ऑर्डिनल्स एंड देयर नोटेशन्स: फॉर द अनिनिशिएटेड, एक्सपोजिटरी आर्टिकल (8 पेज, परिशिष्ट भाग  में)
 * हरमन रूज जर्वेल, ट्रुथ एंड प्रोविबिलिटी, पांडुलिपि प्रगति पर है।

पुनरावर्ती और गैर-पुनरावर्ती क्रम दोनों

 * माइकल राथजेन, क्रमसूचक विश्लेषण का क्षेत्र। एस. बैरी कूपर|एस. बी. कूपर और जॉन ट्रस|जे. ट्रस (संपा.): सेट और प्रमाण। (कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 1999) 219-279। पोस्टस्क्रिप्ट फ़ाइल पर।

इनलाइन संदर्भ
श्रेणी:क्रमिक संख्या श्रेणी:प्रमाण सिद्धांत