परिभाषाओं द्वारा विस्तार

गणितीय तर्क में, विशेष रूप से प्रथम-क्रम तर्क के प्रमाण सिद्धांत में|प्रथम-क्रम सिद्धांत, परिभाषाओं द्वारा विस्तार एक परिभाषा के माध्यम से नए प्रतीकों की शुरूआत को औपचारिक बनाते हैं। उदाहरण के लिए, भोले समुच्चय सिद्धांत में किसी प्रतीक का परिचय देना आम बात है $$\emptyset$$ उस सेट (गणित) के लिए जिसमें कोई सदस्य नहीं है। प्रथम-क्रम सिद्धांतों की औपचारिक सेटिंग में, सिद्धांत में एक नया स्थिरांक जोड़कर ऐसा किया जा सकता है $$\emptyset$$ और नया स्वयंसिद्ध $$\forall x(x\notin\emptyset)$$, अर्थात सभी x के लिए, x इसका सदस्य नहीं है $$\emptyset$$. तब यह साबित किया जा सकता है कि ऐसा करने से पुराने सिद्धांत में अनिवार्य रूप से कुछ भी नहीं जुड़ता है, जैसा कि एक परिभाषा से उम्मीद की जानी चाहिए। अधिक सटीक रूप से, नया सिद्धांत पुराने सिद्धांत का रूढ़िवादी विस्तार है।

संबंध प्रतीकों की परिभाषा
होने देना $$T$$ प्रथम-क्रम सिद्धांत बनें और $$\phi(x_1,\dots,x_n)$$ का एक सुगठित सूत्र $$T$$ ऐसा है कि $$x_1$$, ..., $$x_n$$ अलग-अलग हैं और इसमें वेरिएबल मुक्त चर  शामिल हैं $$\phi(x_1,\dots,x_n)$$. एक नया प्रथम-क्रम सिद्धांत तैयार करें $$T'$$ से $$T$$ एक नया जोड़कर $$n$$-एरी संबंध प्रतीक $$R$$, प्रतीक की विशेषता वाले तार्किक स्वयंसिद्ध $$R$$ और नया स्वयंसिद्ध
 * $$\forall x_1\dots\forall x_n(R(x_1,\dots,x_n)\leftrightarrow\phi(x_1,\dots,x_n))$$,

का परिभाषित स्वयंसिद्ध कहा जाता है $$R$$.

अगर $$\psi$$ का एक सूत्र है $$T'$$, होने देना $$\psi^\ast$$ का सूत्र हो $$T$$ से प्राप्त $$\psi$$ की किसी भी घटना को प्रतिस्थापित करके $$R(t_1,\dots,t_n)$$ द्वारा $$\phi(t_1,\dots,t_n)$$ ( बाध्य चर ्स को बदलना $$\phi$$ यदि आवश्यक हो तो इसमें होने वाले परिवर्तन $$t_i$$ में बंधे नहीं हैं $$\phi(t_1,\dots,t_n)$$). फिर निम्नलिखित होल्ड करें:


 * 1) $$\psi\leftrightarrow\psi^\ast$$ में सिद्ध है $$T'$$, और
 * 2) $$T'$$ का रूढ़िवादी विस्तार है $$T$$.

यह तथ्य कि $$T'$$ का रूढ़िवादी विस्तार है $$T$$ दर्शाता है कि परिभाषित स्वयंसिद्ध $$R$$ नए प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए इसका उपयोग नहीं किया जा सकता। सूत्र $$\psi^\ast$$ का अनुवाद कहा जाता है $$\psi$$ में $$T$$. शब्दार्थ की दृष्टि से सूत्र $$\psi^\ast$$ जैसा ही अर्थ है $$\psi$$, लेकिन परिभाषित प्रतीक $$R$$ समाप्त कर दिया गया है.

फ़ंक्शन प्रतीकों की परिभाषा
होने देना $$T$$ प्रथम-क्रम सिद्धांत बनें (First-order_logic#Equality_and_its_axioms) और $$\phi(y,x_1,\dots,x_n)$$ का एक सूत्र $$T$$ ऐसा है कि $$y$$, $$x_1$$, ..., $$x_n$$ विशिष्ट हैं और इसमें मुक्त चर शामिल हैं $$\phi(y,x_1,\dots,x_n)$$. मान लीजिए कि हम साबित कर सकते हैं
 * $$\forall x_1\dots\forall x_n\exists !y\phi(y,x_1,\dots,x_n)$$

में $$T$$, यानी सभी के लिए $$x_1$$, ..., $$x_n$$, वहाँ एक अद्वितीय y मौजूद है जैसे कि $$\phi(y,x_1,\dots,x_n)$$. एक नया प्रथम-क्रम सिद्धांत तैयार करें $$T'$$ से $$T$$ एक नया जोड़कर $$n$$-एरी फ़ंक्शन प्रतीक $$f$$, प्रतीक की विशेषता वाले तार्किक स्वयंसिद्ध $$f$$ और नया स्वयंसिद्ध
 * $$\forall x_1\dots\forall x_n\phi(f(x_1,\dots,x_n),x_1,\dots,x_n)$$,

का परिभाषित स्वयंसिद्ध कहा जाता है $$f$$.

होने देना $$\psi$$ का कोई भी परमाणु सूत्र हो $$T'$$. हम सूत्र परिभाषित करते हैं $$\psi^\ast$$ का $$T$$ पुनरावर्ती रूप से इस प्रकार है। यदि नया प्रतीक $$f$$ में नहीं होता है $$\psi$$, होने देना $$\psi^\ast$$ होना $$\psi$$. अन्यथा, की एक घटना चुनें $$f(t_1,\dots,t_n)$$ में $$\psi$$ ऐसा है कि $$f$$ शर्तों में नहीं होता है $$t_i$$, और जाने $$\chi$$ से प्राप्त किया जा सकता है $$\psi$$ उस घटना को एक नए चर से प्रतिस्थापित करके $$z$$. तब से $$f$$ में होता है $$\chi$$ से एक समय कम $$\psi$$, सूत्र $$\chi^\ast$$ पहले ही परिभाषित किया जा चुका है, और हमने जाने दिया $$\psi^\ast$$ होना
 * $$\forall z(\phi(z,t_1,\dots,t_n)\rightarrow\chi^\ast)$$

(बाउंड वेरिएबल्स को बदलना $$\phi$$ यदि आवश्यक हो तो इसमें होने वाले परिवर्तन $$t_i$$ में बंधे नहीं हैं $$\phi(z,t_1,\dots,t_n)$$). एक सामान्य सूत्र के लिए $$\psi$$, सूत्र $$\psi^\ast$$ परमाणु उपसूत्र की प्रत्येक घटना को प्रतिस्थापित करके बनाया जाता है $$\chi$$ द्वारा $$\chi^\ast$$. फिर निम्नलिखित होल्ड करें:


 * 1) $$\psi\leftrightarrow\psi^\ast$$ में सिद्ध है $$T'$$, और
 * 2) $$T'$$ का रूढ़िवादी विस्तार है $$T$$.

सूत्र $$\psi^\ast$$ का अनुवाद कहा जाता है $$\psi$$ में $$T$$. जैसा कि संबंध प्रतीकों के मामले में होता है, सूत्र $$\psi^\ast$$ जैसा ही अर्थ है $$\psi$$, लेकिन नया प्रतीक $$f$$ समाप्त कर दिया गया है.

इस पैराग्राफ का निर्माण स्थिरांक के लिए भी काम करता है, जिसे 0-एरी फ़ंक्शन प्रतीकों के रूप में देखा जा सकता है।

परिभाषाओं के अनुसार विस्तार
प्रथम-क्रम सिद्धांत $$T'$$ से प्राप्त $$T$$ ऊपर दिए गए संबंध प्रतीकों और फ़ंक्शन प्रतीकों के क्रमिक परिचय को परिभाषाओं द्वारा विस्तार कहा जाता है $$T$$. तब $$T'$$ का रूढ़िवादी विस्तार है $$T$$, और किसी भी सूत्र के लिए $$\psi$$ का $$T'$$ हम एक सूत्र बना सकते हैं $$\psi^\ast$$ का $$T$$, का अनुवाद कहा जाता है $$\psi$$ में $$T$$, ऐसा है कि $$\psi\leftrightarrow\psi^\ast$$ में सिद्ध है $$T'$$. ऐसा कोई सूत्र अद्वितीय नहीं है, लेकिन उनमें से किन्हीं दो को T में समतुल्य सिद्ध किया जा सकता है।

व्यवहार में, परिभाषाओं द्वारा एक विस्तार $$T'$$ टी का मूल सिद्धांत टी से अलग नहीं है। वास्तव में, के सूत्र $$T'$$ उनके अनुवादों को टी में संक्षिप्त करने के बारे में सोचा जा सकता है। वास्तविक सूत्रों के रूप में इन संक्षिप्ताक्षरों का हेरफेर इस तथ्य से उचित है कि परिभाषाओं द्वारा विस्तार रूढ़िवादी हैं।

उदाहरण

 * परंपरागत रूप से, प्रथम-क्रम सेट सिद्धांत ज़र्मेलो-फ़्रैन्केल स्वयंसिद्ध है $$=$$ (समानता) और $$\in$$ (सदस्यता) इसके एकमात्र आदिम संबंध प्रतीकों के रूप में, और कोई फ़ंक्शन प्रतीक नहीं। हालाँकि, रोजमर्रा के गणित में, कई अन्य प्रतीकों का उपयोग किया जाता है जैसे कि द्विआधारी संबंध प्रतीक $$\subseteq$$, अटल $$\emptyset$$, यूनरी फ़ंक्शन प्रतीक पी ( सत्ता स्थापित ऑपरेशन), आदि। ये सभी प्रतीक वास्तव में जेडएफ की परिभाषाओं के विस्तार से संबंधित हैं।
 * होने देना $$T$$ समूह (गणित) के लिए प्रथम-क्रम सिद्धांत बनें जिसमें एकमात्र आदिम प्रतीक बाइनरी उत्पाद × है। टी में, हम साबित कर सकते हैं कि एक अद्वितीय तत्व y मौजूद है जैसे कि प्रत्येक x के लिए x×y = y×x = x। इसलिए हम T में एक नया स्थिरांक e और अभिगृहीत जोड़ सकते हैं
 * $$\forall x(x \times e = x\text{ and }e \times x = x)$$,
 * और जो हम प्राप्त करते हैं वह परिभाषाओं का विस्तार है $$T'$$ का $$T$$. में फिर $$T'$$ हम साबित कर सकते हैं कि प्रत्येक x के लिए, एक अद्वितीय y मौजूद है जैसे कि x×y=y×x=e। नतीजतन, प्रथम-क्रम सिद्धांत $$T''$$ से प्राप्त $$T'$$ एक यूनरी फ़ंक्शन प्रतीक जोड़कर $$f$$ और स्वयंसिद्ध
 * $$\forall x(x \times f(x)=e\text{ and }f(x) \times x=e)$$
 * की परिभाषाओं के अनुसार एक विस्तार है $$T$$. आम तौर पर, $$f(x)$$ निरूपित किया जाता है $$x^{-1}$$.

यह भी देखें

 * रूढ़िवादी विस्तार
 * नए स्थिरांक और फ़ंक्शन नामों द्वारा विस्तार

ग्रन्थसूची

 * S. C. Kleene (1952), Introduction to Metamathematics, D. Van Nostrand
 * E. Mendelson (1997). Introduction to Mathematical Logic (4th ed.), Chapman & Hall.
 * J. R. Shoenfield (1967). Mathematical Logic, Addison-Wesley Publishing Company (reprinted in 2001 by AK Peters)