P-ऐडिक संख्या

गणित में, किसी भी अभाज्य संख्या $p$ के लिए $p$-ऐडिक संख्या प्रणाली, परिमेय संख्या प्रणाली के वास्तविक और जटिल संख्या प्रणाली के विस्तार से भिन्न तरीके से परिमेय संख्याओं के सामान्य अंकगणित का विस्तार करती है। विस्तार "निकटता" या पूर्ण मूल्य के सिद्धांत के वैकल्पिक व्याख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो $p$-एडिक संख्याओं को पास माना जाता है जब उनका अंतर $p$ की उच्च घातांक से विभाज्य होता है: घात जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण $p$-ऐडिक संख्याओं को सर्वांगसमता की जानकारी को इस तरह से सांकेतिक करने में सक्षम बनाता है जो संख्या सिद्धांत में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में सामने आता है - उदाहरण के लिए, एंड्रयू विल्स द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण समिलित है।

इन संख्याओं को पहली बार 1897 में कर्ट हेन्सेल द्वारा वर्णित किया गया था, तथापि, पूर्व दृष्टि से, अर्न्स्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों को $p$-एडिक संख्याओं का उपयोग करते हुए स्पष्ट रूप से व्याख्या की जा सकती है। $p$-ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में घात श्रेणी विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से अभिप्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, $p$-ऐडिक विश्लेषण का क्षेत्र विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन (कैलकुलस) का वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।

अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए अभाज्य $p$ के लिए, $p$-ऐडिक संख्याओं का क्षेत्र (गणित) $Q_{p}$ परिमेय संख्याओं का पूरा होना है। क्षेत्र $Q_{p}$ को मापीय से प्राप्त एक सांस्थिति भी दी गई है, जो स्वयं $p$-ऐडिक क्रम से ली गई है, जो परिमेय संख्याओं पर एक वैकल्पिक मूल्यांकन (बीजगणित) है। यह मापीय क्षेत्र इस अर्थ में पूर्ण है कि प्रत्येक कॉची अनुक्रम $Q_{p}$ में एक बिंदु पर अभिसरण करते है। यह वह है जो $Q_{p}$ पर कलन के विकास की अनुमति देता है, और यह विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय ज्यामिति संरचना की परस्पर क्रिया है जो $p$-ऐडिक संख्या प्रणालियाँ को उनकी शक्ति और उपयोगिता देता है।

$p$-एडिक में $p$ एक परिवर्तनशील (गणित) है और इसे अभाज्य (समर्पण, उदाहरण के लिए, 2-एडिक संख्या) या अभाज्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाली दूसरी अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। "$p$-ऐडिक" का "एडिक" डाइएडिक या ट्रायडिक जैसे शब्दों के अंत में पाए जाने वाले शब्द से आता है।

परिमेय संख्याओं का p-ऐडिक विस्तार
एक धनात्मक परिमेय संख्या $$r$$ का दशमलव प्रसार श्रृंखला (गणित) $$r = \sum_{i=k}^\infty a_i 10^{-i},$$ के रूप में इसका प्रतिनिधित्व है जहाँ $$k$$ एक पूर्णांक है और प्रत्येक $$a_i$$ भी एक पूर्णांक है जैसे कि $$0\le a_i <10$$। इस विस्तार की गणना भाजक द्वारा अंश के दीर्घ विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: यदि $$r=\tfrac n d$$ एक परिमेय संख्या है जैसे कि $$10^k\le r <10^{k+1},$$ $$a$$ एक पूर्णांक है ऐसा कि $$0< a <10,$$ और $$r = a\,10^k +r',$$ साथ $$r'<10^k$$। इसे परिणाम को शेषफल $$'r'$$ पर बार-बार लागू करने से दशमलव प्रसार प्राप्त होता है जो पुनरावृति में मूल परिमेय संख्या $$r$$ की भूमिका ग्रहण करता है।

परिमेय संख्या का $p$-ऐडिक विस्तार समान रूप से परिभाषित किया गया है, लेकिन भिन्न विभाजन चरण के साथ। अधिक सटीक रूप से, एक निश्चित अभाज्य संख्या $$p$$ दी गई है, प्रत्येक अशून्य परिमेय संख्या $$r$$ को विशिष्ट रूप से $$r=p^k\tfrac n d,$$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ $$k$$ एक (संभवतः ऋणात्मक) पूर्णांक है, $$n$$ और $$d$$ सह अभाज्य पूर्णांक हैं, दोनों $$p$$ के साथ सहअभाज्य हैं, और $$d$$ धनात्मक है। पूर्णांक $$k$$, $$r$$ का $p$-ऐडिक मूल्यांकन है, जिसे $$v_p(r)$$ निरूपित किया गया है, और $$p^{-k}$$ इसका $p$-ऐडिक निरपेक्ष मान है, जिसे  $$|r|_p$$ निरूपित किया गया है (मूल्यांकन बड़ा होने पर निरपेक्ष मूल्य छोटा होता है)। विभाजन चरण में
 * $$r = a\,p^k + r'$$

लिखना समिलित है जहाँ $$a$$ एक पूर्णांक है जैसे कि $$0\le a k$$)।

$$r$$ का $$p$$-ऐडिक विस्तार क्रमिक शेषफलों पर उपरोक्त विभाजन चरण को अनिश्चित काल तक दोहराकर प्राप्त की गई औपचारिक घातांक श्रृंखला $$r = \sum_{i=k}^\infty a_i p^i$$ है। एक $p$-ऐडिक प्रसार में, सभी $$a_i$$ ऐसे पूर्णांक हैं कि $$0\le a_i  0$$, प्रक्रिया अंततः शून्य शेष के साथ रुक जाती है; इस स्थिति में, श्रृंखला एक शून्य गुणांक के साथ तलसर्पी शब्दों द्वारा पूरी की जाती है, और आधार में-$p$ में $$r$$ का प्रतिनिधित्व है।

परिमेय संख्या के $p$-ऐडिक विस्तार का अस्तित्व और संगणना निम्नलिखित तरीके से बेज़ाउट की पहचान से उत्पन्न होती है। यदि, ऊपर की तरह, $$r=p^k \tfrac n d,$$ और $$d$$ और $$p$$ सहअभाज्य हैं, तो ऐसे पूर्णांक $$t$$ और $$u$$ उपस्थित हैं कि $$t d+u p=1$$। इसलिए
 * $$r=p^k \tfrac n d(t d+u p)=p^k n t + p^{k+1}\frac{u n}d.$$

फिर, $$p$$ द्वारा $$n t$$ का यूक्लिडियन विभाजन $$0\le a <p$$ के साथ $$n t=q p+a$$ देता है। यह विभाजन चरण को $$\begin{array}{lcl} r & = & p^k(q p+a) + p^{k+1}\frac {u n}d \\ & = & a p^k +p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d, \\ \end{array}$$

के रूप में देता है ताकि पुनरावृत्ति में $$r' = p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d$$

नई परिमेय संख्या हो।

विभाजन चरण और संपूर्ण की विशिष्टता $p$-ऐडिक विस्तार आसान है: अगर $$p^k a_1 + p^{k+1}s_1=p^k a_2 + p^{k+1}s_2,$$ किसी के पास $$a_1-a_2=p(s_2-s_1)$$ है। इसका मतलब यह है $$p$$, $$a_1-a_2$$ को विभाजित करता है। चूंकि $$0\le a_1 <p$$ और $$0\le a_2 <p,$$ निम्नलिखित सत्य होना चाहिए: $$0\le a_1$$ और $$a_2<p$$। इस प्रकार, $$-p < a_1-a_2 < p$$ प्राप्त होता है और चूँकि  $$p$$,  $$a_1-a_2$$ को विभाजित करता है, इसलिए यह $$a_1=a_2$$ होना चाहिए।

परिमेय संख्या का $p$-ऐडिक विस्तार एक श्रृंखला है जो परिमेय संख्या में परिवर्तित होती है, यदि कोई $p$-ऐडिक निरपेक्ष मान के साथ अभिसरण श्रृंखला की परिभाषा को लागू करता है। मानक $p$-ऐडिक संकेतन में, अंकों को उसी क्रम में लिखा जाता है जैसे मानक आधार-$p$ प्रणाली में, अर्थात् आधार की घात को बाईं ओर बढ़ाना। इसका मतलब यह है कि अंकों का उत्पादन उल्टा हो जाता है और सीमा बाईं ओर होती है।

परिमेय संख्या का $p$-ऐडिक विस्तार अंततः आवधिक कार्य है। इसके विपरीत, $$0\le a_i <p$$ के साथ श्रृंखला $\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,$ एक परिमेय संख्या में ($p$-ऐडिक निरपेक्ष मान के लिए) अभिसरण करती है यदि और केवल यदि यह अंततः आवधिक है; इस स्थिति में, श्रृंखला उस परिमेय संख्या का $p$-ऐडिक विस्तार है। प्रमाण दोहराए जाने वाले दशमलव के समान परिणाम के समान है।

उदाहरण
आइए हम $$\frac 13$$ के 5-एडिक विस्तार की गणना करें। विस्तार की गणना करें 5 के लिए बेज़ाउट की पहचान और भाजक 3  $$2\cdot 3 + (-1)\cdot 5 =1$$ है (बड़े उदाहरणों के लिए, इसकी गणना विस्तारित विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म साथ की जा सकती है)। इस प्रकार
 * $$\frac 13= 2-\frac 53.$$

अगले चरण के लिए, किसी को "विभाजित" करना होगा $$-1/3$$ (भिन्न के अंश में गुणनखंड 5 को $p$-ऐडिक मूल्यांकन के "शिफ्ट" के रूप में देखा जाना चाहिए, और इस प्रकार यह "विभाजन" में समिलित नहीं है)। बेज़ाउट की पहचान को $$-1$$ से गुणा करने पर
 * $$-\frac 13=-2+\frac 53$$ प्राप्त होता है।

"पूर्णांक भाग" $$-2$$ सही अंतराल में नहीं है। इसलिए, $$-2= 3-1\cdot 5$$ प्राप्त करने के लिए $$5$$ से यूक्लिडियन डिवीजन का उपयोग करना होगा जो
 * $$-\frac 13=3-5+\frac 53 = 3-\frac {10}3,$$

और
 * $$\frac 13= 2+3\cdot 5 + \frac {-2}3\cdot 5^2$$ देगा।

इसी तरह, एक के पास
 * $$-\frac 23=1-\frac 53,$$

और
 * $$\frac 13=2+3\cdot 5 + 1\cdot 5^2 +\frac {-1}3\cdot 5^3$$ है।

"शेष" के रूप में $$-\tfrac 13$$ पहले ही मिल चुका है, गुणांक देते हुए प्रक्रिया को आसानी से जारी रखा जा सकता है, पाँच की विषम घात के लिए गुणांक $$3$$ और सम घात के लिए $$1$$ दिया जा सकता है। या मानक 5-एडिक संकेतन $$\frac 13= \ldots 1313132_5 $$

में दीर्घवृत्त के साथ $$ \ldots $$ बाएं हाथ की ओर।

p-ऐडिक सीरीज
इस लेख में, एक अभाज्य संख्या $p$ दी गई है, $p$-ऐडिक श्रृंखला

$$\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,$$

रूप की एक औपचारिक श्रृंखला है जहां हर अशून्य $$a_i$$ एक परिमेय संख्या $$a_i=\tfrac {n_i}{d_i},$$ है जैसे कि $$n_i$$ और $$d_i$$ में से कोई भी $p$ से विभाज्य नहीं है।

प्रत्येक परिमेय संख्या को एक शब्द के साथ $p$-ऐडिक श्रृंखला के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें $$p^k\tfrac nd,$$ के साथ $n$ और $d$ दोनों सहअभाज्य रूप $p$ के गुणनखंड समिलित हैं।

$p$-ऐडिक श्रृंखला सामान्यीकृत होती है यदि प्रत्येक $$a_i$$ अंतराल $$[0,p-1]$$ में एक पूर्णांक है। तो, एक परिमेय संख्या का $p$-ऐडिक विस्तार एक सामान्यीकृत $p$-ऐडिक श्रृंखला है।

$p$-ऐडिक मूल्यांकन, या $p$-ऐडिक क्रम एक अशून्य $p$-ऐडिक श्रंखला का निम्नतम पूर्णांक $i$ है जैसे कि $$a_i\ne 0$$। शून्य श्रृंखला का क्रम अनंत $$\infty$$ है।

दो $p$-ऐडिक श्रंखलाएँ तुल्य होती हैं यदि उनका क्रम $k$ समान हो, और यदि प्रत्येक पूर्णांक $n ≥ k$ के लिए उनकी आंशिक योगों के बीच का अंतर
 * $$\sum_{i=k}^n a_ip^i-\sum_{i=k}^n b_ip^i=\sum_{i=k}^n (a_i-b_i)p^i$$

का क्रम $n$ से अधिक हो (अर्थात, $$k>n,$$ के साथ $$p^k\tfrac ab,$$ के रूप की एक परिमेय संख्या है) और $a$ और $b$ दोनों $p$ के साथ सहअभाज्य हैं)।

प्रत्येक $p$-ऐडिक श्रृंखला $$S$$ के लिए, एक अद्वितीय सामान्यीकृत श्रृंखला $$N$$ है जैसे कि $$S$$ और $$N$$ समकक्ष हैं। $$N$$, $$S$$ का सामान्यीकरण है। प्रमाण परिमेय संख्या के $p$-ऐडिक विस्तार के अस्तित्व प्रमाण के समान है। विशेष रूप से, प्रत्येक परिमेय संख्या को गैर-शून्य शब्द के साथ $p$-ऐडिक श्रृंखला के रूप में माना जा सकता है, और इस श्रृंखला का सामान्यीकरण वास्तव में परिमेय संख्या का तर्कसंगत प्रतिनिधित्व है।

दूसरे शब्दों में, $p$-ऐडिक श्रृंखला की तुल्यता एक तुल्यता संबंध है, और प्रत्येक तुल्यता वर्ग में ठीक एक सामान्यीकृत $p$-ऐडिक श्रृंखला होती है।

श्रृंखला के सामान्य संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) $p$-ऐडिक श्रृंखला को $p$-ऐडिक श्रृंखला में मानचित्रण करते हैं, और $p$-ऐडिक श्रृंखला की समानता के साथ संगत होते हैं। अर्थात्, $~$ के साथ तुल्यता को दर्शाते हुए, यदि $S$, $T$ और $U$ शून्येतर $p$-ऐडिक श्रृंखला हैं जैसे कि $$S\sim T,$$ एक में

$$\begin{align} S\pm U&\sim T\pm U,\\ SU&\sim TU,\\ 1/S&\sim 1/T. \end{align}$$ है। इसके अतिरिक्त, $S$ और $T$ का एक ही क्रम है, और वही पहला पद है।

स्थितीय संकेतन
मूलांक $p$ में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समान स्थितीय संकेतन का उपयोग करना संभव है।

मान लीजिए  एक सामान्यीकृत  $p$-एडिक श्रृंखला है, यानी प्रत्येक $$a_i$$ अंतराल $$[0,p-1]$$ में एक पूर्णांक है, ऐसा मान सकता है $$k\le 0$$ को $$0\le i  0), और परिणामी शून्य शब्दों को श्रृंखला में जोड़ दिया जाए।

यदि $$k\ge 0,$$ स्थितीय संकेतन में $$a_i$$ को लगातार लिखना समिलित है, $i$ के घटते मूल्यों द्वारा क्रमबद्ध, बार बार $p$ के साथ एक अनुक्रमणिका :

$$\ldots a_n \ldots a_1{a_0}_p$$ के रूप में दाईं ओर दिखाई देता है।

तो, उपरोक्त उदाहरण की गणना से पता चलता है कि
 * $$\frac 13= \ldots 1313132_5,$$

और
 * $$\frac {25}3= \ldots 131313200_5$$ ।

जब $$k<0,$$ एक पृथक्कारी बिंदु ऋणात्मक सूचकांक वाले अंकों से पहले जोड़ा जाता है, और, यदि सूचकांक $p$ उपस्थित है, तो यह अलग करने वाले बिंदु के ठीक बाद दिखाई देता है। उदाहरण के लिए,
 * $$\frac 1{15}= \ldots 3131313._52,$$

और
 * $$\frac 1{75}= \ldots 1313131._532.$$

यदि एक $p$-ऐडिक प्रतिनिधित्व बाईं ओर परिमित है (अर्थात, $i$ के बड़े मानों के लिए $$a_i=0$$), तो इसमें $$n,v$$ पूर्णांकों के साथ $$n p^v,$$ के रूप की गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्या का मान होता है। ये परिमेय संख्याएँ वास्तव में गैर-नकारात्मक परिमेय संख्याएँ हैं जिनका मूलांक $p$ में परिमित प्रतिनिधित्व है। इन परिमेय संख्याओं के लिए, दो निरूपण समान हैं।

परिभाषा
$p$-एडिक संख्याओं की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं। जो यहाँ दिया गया है वह अपेक्षाकृत प्रारंभिक है, क्योंकि इसमें पिछले अनुभागों में निवेदित की गई सिद्धांतओं के अतिरिक्त कोई अन्य गणितीय सिद्धांतएँ समिलित नहीं हैं। अन्य समतुल्य परिभाषाएँ असतत मूल्यांकन वलय (देखें ), एक मापीय क्षेत्र की समाप्ति (देखें ), या व्युत्क्रम सीमाएँ (देखें ) के पूरा होने का उपयोग करती हैं।

$p$-ऐडिक संख्या को सामान्यीकृत $p$-ऐडिक श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि अन्य समान परिभाषाएँ हैं जो आमतौर पर उपयोग की जाती हैं, एक बार बार कहता है कि एक सामान्यीकृत $p$-ऐडिक श्रृंखला एक $p$-ऐडिक संख्या का प्रतिनिधित्व करती है, यह कहने के बजाय कि यह एक $p$-ऐडिक संख्या है।

कोई यह भी कह सकता है कि कोई $p$-ऐडिक श्रृंखला एक $p$-ऐडिक संख्या का प्रतिनिधित्व करती है, क्योंकि प्रत्येक $p$-ऐडिक श्रृंखला एक अद्वितीय सामान्यीकृत $p$-ऐडिक श्रृंखला के बराबर है। यह $p$-एडिक संख्याओं के संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) को परिभाषित करने के लिए उपयोगी है: इस तरह के संचालन का परिणाम श्रृंखला पर संबंधित संचालन के परिणाम को सामान्य करके प्राप्त किया जाता है। यह $p$-ऐडिक श्रृंखला पर संचालन को अच्छी तरह से परिभाषित करता है, चूँकि श्रृंखला संचालन $p$-ऐडिक श्रृंखला तुल्यता के अनुकूल हैं।

इन संचालनों के साथ, $p$-ऐडिक संख्याएँ एक क्षेत्र (गणित) बनाती हैं जिसे $p$-एडिक संख्याओं का क्षेत्र कहा जाता है और $$\Q_p$$ या $$\mathbf Q_p$$ को निरूपित किया जाता है। परिमेय संख्याओं से $p$-ऐडिक संख्याओं में एक अद्वितीय क्षेत्र समाकारिता है, जो एक परिमेय संख्या को इसके $p$-ऐडिक विस्तार के लिए मानचित्रण करता है। इस समरूपता की छवि (गणित) को आमतौर पर परिमेय संख्याओं के क्षेत्र से पहचाना जाता है। यह $p$-ऐडिक संख्याएँ को परिमेय संख्याओं के विस्तार क्षेत्र के रूप में, और परिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं को $p$-ऐडिक संख्याओं के उपक्षेत्र (गणित) के रूप में विचार करने की अनुमति देता है।

अशून्य $p$-ऐडिक संख्या $x$ का मूल्यांकन, जिसे आमतौर पर $$v_p(x)$$ के रूप में दर्शाया जाता है, $x$ का प्रतिनिधित्व करने वाली प्रत्येक $p$-ऐडिक श्रृंखला के पहले अशून्य पद में $p$ का घातांक है। परिपाटी के अनुसार, $$v_p(0)=\infty;$$ अर्थात् शून्य का मान $$\infty$$ होता है। यह मूल्यांकन असतत मूल्यांकन है। परिमेय संख्याओं के लिए इस मूल्यांकन का प्रतिबंध $$\Q$$ का $p$-ऐडिक मूल्यांकन, अर्थात, $p$ के साथ $n$ और $d$ सहअभाज्य दोनों के साथ के रूप में एक परिमेय संख्या के गुणनखंड में घातांक $v$।

पी-एडिक पूर्णांक
$p$-ऐडिक पूर्णांक $p$-ऐडिक संख्याएँ होती हैं जिनका मूल्यांकन अऋणात्मक होता है।

एक $p$-ऐडिक पूर्णांक को प्रत्येक पूर्णांक $e$ के लिए अवशेषों $x_{e}$ mod $p^{e}$ के अनुक्रम


 * $$ x = (x_1 \operatorname{mod} p, ~ x_2 \operatorname{mod} p^2, ~ x_3 \operatorname{mod} p^3, ~ \ldots)$$

के रूप में दर्शाया जा सकता है, $i < j$ के लिए अनुकूलता संबंधों $$x_i \equiv x_j ~ (\operatorname{mod} p^i)$$ को संतुष्ट करता है।

प्रत्येक पूर्णांक एक $p$-ऐडिक पूर्णांक होता है (शून्य सहित, चूंकि $$0<\infty$$)। $p$ और $$k\ge 0$$ के साथ सह अभाज्य $d$ के साथ $ \tfrac nd p^k$ के रूप की परिमेय संख्याएँ भी $p$-ऐडिक पूर्णांक हैं (इस कारण से कि $d$ में प्रत्येक $e$ के लिए व्युत्क्रम mod $p^{e}$ है)।

वह $p$-ऐडिक पूर्णांक एक क्रमविनिमेय वलय बनाते हैं, जिसे $$\Z_p$$ या $$\mathbf Z_p$$ से निरूपित किया जाता है, जिसके निम्नलिखित गुण हैं। अंतिम गुण $p$-ऐडिक संख्याएँ की परिभाषा प्रदान करती है जो उपरोक्त के समतुल्य हैं: $p$-ऐडिक संख्या का क्षेत्र $p$ द्वारा उत्पन्न प्रमुख आदर्श पर पूर्णांकों के क्षेत्रीयकरण के पूरा होने के अंशों का क्षेत्र है।
 * यह एक अभिन्न डोमेन है, क्योंकि यह एक क्षेत्र का उप वलय है, या दो गैर शून्य $p$-एडिक श्रृंखला के उत्पाद की श्रृंखला के उत्पाद की श्रृंखला प्रतिनिधित्व का पहला पद उनके प्रथम पदों का गुणनफल है।
 * $$\Z_p$$ की इकाई (वलय थ्योरी) मूल्यांकन शून्य की $p$-ऐडिक संख्याएं हैं।
 * यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, जैसे कि प्रत्येक आदर्श $p$ (वलय थ्योरी) की घात द्वारा उत्पन्न होता है।
 * यह क्रुल आयाम वन का एक क्षेत्रीय वलय है, क्योंकि इसके एकमात्र प्रमुख आदर्श शून्य आदर्श हैं और $p$ द्वारा उत्पन्न आदर्श, अद्वितीय अधिकतम आदर्श।
 * यह एक असतत मूल्यांकन वलय है, क्योंकि यह पिछले गुणों से उत्पन्न होता है।
 * यह क्षेत्रीय वलय $$\Z_{(p)} = \{\tfrac nd \mid n, d \in \Z,\, d \not\in p\Z \},$$ के वलय का समापन होना है, $$\Z$$ प्रधान आदर्श पर जो $$p\Z$$ का क्षेत्रीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित) है।

सामयिक गुण
$p$-ऐडिक मूल्यांकन $p$-एडिक संख्या पर निरपेक्ष मान (बीजगणित) को परिभाषित करने की अनुमति देता है: $p$-ऐडिक निरपेक्ष मूल्य एक अशून्य  $p$-एडिक संख्या v का

$$|x|_p = p^{-v_p(x)},$$ है

जहां $$v_p(x)$$ $x$ का $p$-ऐडिक मूल्यांकन है। $$0$$ का निरपेक्ष $p$-ऐडिक मान  $$|0|_p = 0$$ है। यह एक पूर्ण मूल्य है जो प्रत्येक के लिए मजबूत त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है चूँकि प्रत्येक $x$ और $y$ के लिए इसके अतिरिक्त, अगर $$|x|_p \ne |y|_p,$$ किसी के पास $$|x+y|_p = \max(|x|_p,|y|_p).$$
 * $$|x|_p = 0$$ अगर और केवल अगर $$x=0;$$
 * $$|x|_p\cdot |y|_p = |xy|_p$$ *$$|x+y|_p\le \max(|x|_p,|y|_p) \le |x|_p + |y|_p$$ है।

यह $p$-ऐडिक संख्या को एक मापीय क्षेत्र बनाता है, और यहां तक ​​कि एक अल्ट्रामेट्रिक स्पेस, $$d_p(x,y)=|x-y|_p$$ द्वारा परिभाषित $p$-ऐडिक दूरी के साथ।

एक मापीय क्षेत्र के रूप में, $p$-ऐडिक संख्याएँ p-ऐडिक निरपेक्ष मान से सुसज्जित परिमेय संख्याओं के समापन का निर्माण करती हैं। यह $p$-एडिक संख्याओं को परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है। तथापि, इस स्थिति में पूर्णता के सामान्य निर्माण को सरल बनाया जा सकता है, क्योंकि मापीय को असतत मूल्यांकन द्वारा परिभाषित किया गया है (संक्षेप में, कोई भी प्रत्येक कॉची अनुक्रम से एक अनुक्रम निकाल सकता है जैसे कि लगातार दो शब्दों के बीच के अंतरों में सख्ती से निरपेक्ष मूल्य घट रहे हैं ; इस तरह की अनुवर्तीता p-ऐडिक श्रृंखला के आंशिक योगों का क्रम है, और इस प्रकार अद्वितीय सामान्यीकृत p-ऐडिक श्रृंखला कॉची अनुक्रमों के प्रत्येक तुल्यता वर्ग से जुड़ी हो सकती है; इसलिए, पूर्णता के निर्माण के लिए, यह सामान्यीकृत विचार करने के लिए पर्याप्त है कॉची अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों के बजाय $p$-एडिक श्रृंखला)।

जैसा कि मापीय को असतत मूल्यांकन से परिभाषित किया गया है, प्रत्येक खुली गेंद भी बंद गेंद है। अधिक सटीक, खुली गेंद $$B_r(x) =\{y\mid d_p(x,y)r.$$

इसका तात्पर्य यह है कि $p$-ऐडिक संख्या एक क्षेत्रीय रूप क्षेत्रीय रूप से सघन क्षेत्र बनाते हैं, और $p$-ऐडिक पूर्णांक—अर्थात् बॉल $$B_1[0]=B_p(0)$$- एक सघन जगह बनाते हैं।

मॉड्यूलर गुण
भागफल की अंगूठी $$\Z_p/p^n\Z_p$$ अंगूठी से पहचाना जा सकता है (गणित) $$\Z/p^n\Z$$ पूर्णांकों का मॉड्यूलर अंकगणित $$p^n.$$ यह टिप्पणी करके दिखाया जा सकता है कि हर $p$-ऐडिक पूर्णांक, इसके सामान्यीकृत द्वारा दर्शाया गया है $p$-यानी, श्रृंखला, यह मॉड्यूल से मेल खाती है $$p^n$$ इसके आंशिक योग के साथ जिसका मान अंतराल में एक पूर्णांक है $$[0,p^n-1].$$ एक सीधा सत्यापन दिखाता है कि यह वलय समरूपता को परिभाषित करता है $$\Z_p/p^n\Z_p$$ को $$\Z/p^n\Z.$$ छल्लों की व्युत्क्रम सीमा $$\Z_p/p^n\Z_p$$ अनुक्रमों द्वारा गठित वलय के रूप में परिभाषित किया गया है $$a_0, a_1, \ldots$$ ऐसा है कि $$a_i \in \Z/p^i \Z$$ और हरएक के लिए $i$.

मानचित्रण जो एक सामान्यीकृत $p$-ऐडिक श्रृंखला को उसके आंशिक योगों के अनुक्रम में मानचित्रित करती है, वह $$\Z_p$$ से $$\Z_p/p^n\Z_p$$ की व्युत्क्रम सीमा तक एक वलय समाकृतिकता है। यह $p$-ऐडिक पूर्णांक (एक समाकृतिकता तक) को परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है।

$p$-ऐडिक पूर्णांकों की यह परिभाषा विशेष रूप से व्यावहारिक संगणनाओं के लिए उपयोगी है, क्योंकि $p$-ऐडिक पूर्णांकों को क्रमबद्ध सन्निकटन द्वारा बनाने की अनुमति है।

उदाहरण के लिए, पूर्णांक के $p$-ऐडिक (गुणात्मक) व्युत्क्रम की गणना के लिए, न्यूटन की विधि का उपयोग किया जा सकता है, जो व्युत्क्रम मॉड्यूलो $p$ से आरंभ होता है; फिर, प्रत्येक न्यूटन कदम व्युत्क्रम मॉड्यूलो $p^n$ से व्युत्क्रम मॉड्यूलो $p^{n^2}$ की गणना करता है।

उसी विधि का उपयोग एक पूर्णांक के $p$-ऐडिक वर्गमूल की गणना के लिए किया जा सकता है जो एक द्विघात अवशेष मॉड्यूलो $p$ है। यह परीक्षण के लिए सबसे तेज़ ज्ञात विधि प्रतीत होती है कि क्या एक बड़ा पूर्णांक एक वर्ग है: यह परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है कि क्या दिया गया पूर्णांक $$\Z_p/p^n\Z_p$$ में पाए जाने वाले मान का वर्ग है या नहीं। वर्गमूल ज्ञात करने के लिए न्यूटन की विधि को लागू करने के लिए $p^n$  को दिए गए पूर्णांक के दोगुने से बड़ा होना आवश्यक है, जो जल्दी संतुष्ट हो जाता है।

हेंसल उठाना एक ऐसी ही विधि है जो $n$ के बड़े मूल्यों के लिए पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के गुणनखंड मॉड्यूल $p^n$ को "उठाने" की अनुमति देती है। यह आमतौर पर बहुपद गुणनखंड कलन विधि द्वारा उपयोग किया जाता है।

संकेतन
$p$-ऐडिक विस्तार लिखने के लिए कई अलग-अलग सम्मेलन हैं। अभी तक इस लेख में $p$-ऐडिक विस्तार के लिए एक अंकन का उपयोग किया गया है जिसमें $p$ की घातांक दाएँ से बाएँ बढ़ती हैं। इस दाएं-से-बाएं अंकन के साथ $1/5$ का 3-एडिक विस्तार, उदाहरण के लिए,


 * $$\dfrac{1}{5}=\dots 121012102_3$$ के रूप में लिखा गया है।

इस संकेतन में अंकगणित करते समय, अंकों को बाईं ओर ले जाया जाता है। $p$-ऐडिक विस्तार लिखना भी संभव है ताकि $p$ की शक्तियाँ बाएँ से दाएँ बढ़ता है, और अंकों को दाईं ओर ले जाए जाते हैं। इस बाएँ से दाएँ संकेतन के साथ $1/5$ का 3-ऐडिक विस्तार है -


 * $$\dfrac{1}{5}=2.01210121\dots_3\mbox{ or }\dfrac{1}{15}=20.1210121\dots_3.$$

$p$-ऐडिक विस्तार को {0, 1, ..., $p − 1$} के बजाय हस्ताक्षरित अंकों के प्रतिनिधित्व के साथ लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1/5 का 3-एडिक विस्तार को संतुलित त्रिअंकीय अंकों { 1 ,0,1} का उपयोग करके लिखा जा सकता है


 * $$\dfrac{1}{5}=\dots\underline{1}11\underline{11}11\underline{11}11\underline{1}_{\text{3}} .$$

वास्तव में $p$ पूर्णांक का कोई समुच्चय जो अलग-अलग अवशेष वर्ग मॉड्यूलो  $p$ में हैं, उन्हें  $p$-ऐडिक अंकों के रूप में उपयोग किया जा सकता है। संख्या सिद्धांत में, टीकमुलर प्रतिनिधियों को कभी-कभी अंकों के रूप में उपयोग किया जाता है।

उद्धरण संकेतन परिमेय संख्याओं के $p$-ऐडिक का एक प्रकार है जिसे 1979 में एरिक हेनर और निगेल हॉर्सपूल द्वारा कंप्यूटर पर इन संख्याओं के साथ (सटीक) अंकगणित को लागू करने के लिए प्रस्तावित किया गया था।

गणनांक
दोनों $$\Z_p$$ और $$\Q_p$$ अगणनीय हैं और सातत्य का गणनांक रखते हैं। $$\Z_p$$ के लिए यह  $p$-ऐडिक निरूपण का परिणाम है, जो घात समुच्चय $$\{0,\ldots,p-1\}^\N$$ पर $$\Z_p$$के आक्षेप (बायजेस्टियन) को परिभाषित करता है। $$\Q_p$$ के लिए यह $$\Z_p$$ की प्रतियों के अनगिनत अनंत संघ (समुच्चय सिद्धांत) के रूप में अपनी अभिव्यक्ति से परिणाम देता है :
 * $$\Q_p=\bigcup_{i=0}^\infty \frac 1{p^i}\Z_p.$$

बीजगणितीय समापन
$Q_{p}$ में $Q$ होता है और यह विशेषता $0$ का क्षेत्र है (बीजगणित)।

क्योंकि $0$ को वर्गों के योग के रूप में लिखा जा सकता है, $Q_{2}$ को क्रमवार क्षेत्र में नहीं बदला जा सकता।

$−7$ में केवल एक उचित बीजगणितीय विस्तार है: $p > 2$; दूसरे शब्दों में, यह द्विघात विस्तार पहले से ही बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। इसके विपरीत, का बीजगणितीय समापन $Q_{p}$, निरूपित $$\overline{\mathbf{Q}_p},$$ अनंत डिग्री है, वह है, $1 − p$ के असीम रूप से कई असमान बीजगणितीय विस्तार हैं। वास्तविक संख्याओं के स्थिति के विपरीत भी, तथापि इसका एक अनूठा विस्तार है $p$-ऐडिक मूल्यांकन करने के लिए $$\overline{\mathbf{Q}_p},$$ उत्तरार्द्ध (मापीय रूप से) पूर्ण नहीं है। इसकी (मापीय) समापन कहलाती है $Q_{p}$ या $R$. यहाँ एक अंत तक पहुँच गया है, के रूप में $C$ बीजगणितीय रूप से बंद है। तथापि इसके विपरीत $Q_{p}$ यह क्षेत्र क्षेत्रीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है।

$Q_{p}$ और $C_{p}$ वलय के रूप में समरूपी हैं, इसलिए हम $Ω_{p}$ को एक विदेशी मापीय के साथ संपन्न $C_{p}$ के रूप में मान सकते हैं। इस तरह के क्षेत्र समरूपता के अस्तित्व का प्रमाण पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है, और इस तरह के समरूपता का एक स्पष्ट उदाहरण प्रदान नहीं करता है (अर्थात, यह रचनात्मक प्रमाण नहीं है)।

अगर $C$ $C_{p}$ का परिमित गाल्वा विस्तार है, तो गाल्वा समूह $$\operatorname{Gal} \left(\mathbf{K}/ \mathbf{Q}_p \right)$$ हल करने योग्य समूह है। इस प्रकार, गैलोज़ समूह $$\operatorname{Gal} \left(\overline{\mathbf{Q}_p}/ \mathbf{Q}_p \right)$$ साध्य है।

गुणक समूह
$C$ में $n$-वां चक्रवातीय क्षेत्र ($C_{p}$) होता है यदि और केवल यदि $C$। उदाहरण के लिए, $n$-वाँ चक्रवातीय क्षेत्र $K$ का एक उपक्षेत्र है अगर और केवल अगर $Q_{p}$, या $Q_{p}$। विशेष रूप से, $n > 2$ में कोई $p$-मरोड़ (बीजगणित) गुणक नहीं है, अगर $n&thinsp;| p − 1$। साथ ही, $Q_{13}$ में एकमात्र असतहीय मरोड़ तत्व $n = 1, 2, 3, 4, 6$ है।

एक प्राकृतिक संख्या $k$ दी गई है, $12$ में $$\mathbf{Q}_p^{\times}$$ के अशून्य तत्वों के $k$-वें घात के गुणक समूह का सूचकांक (समूह सिद्धांत) परिमित है।

क्रमगुणितअ के व्युत्क्रम के योग के रूप में परिभाषित संख्या $e$, किसी भी $p$-ऐडिक क्षेत्र का सदस्य नहीं है; लेकिन $Q_{p}$।  $p > 2$ के लिए व्यक्ति को कम से कम चौथा घात लेना चाहिए। (इस प्रकार $e$ के समान गुणों वाली एक संख्या  - अर्थात्  $Q_{2}$ की $p$-वीं जड़ — सभी $p$ के लिए $$\overline{\mathbf{Q}_p}$$ का सदस्य है।)

क्षेत्रीय-वैश्विक सिद्धांत
हेल्मुट हास के क्षेत्रीय-वैश्विक सिद्धांत को एक समीकरण के लिए धारण करने के लिए कहा जाता है यदि इसे परिमेय संख्याओं पर हल किया जा सकता है यदि और केवल वास्तविक संख्याओं पर और प्रत्येक अभाज्य $p$ के लिए $p$-ऐडिक संख्याओं पर इसे हल किया जा सकता है। यह सिद्धांत, उदाहरण के लिए, द्विघात रूपों द्वारा दिए गए समीकरणों के लिए है, लेकिन कई अनिश्चितताओं में उच्च बहुपदों के लिए विफल रहता है।

सामान्यीकरण और संबंधित सिद्धांतएं
वास्तविक और $p$-ऐडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं की समापनएँ हैं; यह अन्य क्षेत्रों को समापन करना भी संभव है, उदाहरण के लिए समवृत्तिक से सामान्य बीजगणितीय संख्या क्षेत्र। यह अब वर्णित किया जाएगा।

मान लीजिए कि D एक डेडेकिंड डोमेन है और E इसके अंशों का क्षेत्र है। D के अशून्य अभाज्य अनुकूल P को चुनें। यदि x E का अशून्य तत्व है, तो xD एक आंशिक आदर्श है और इसे D के अशून्य अभाज्य आदर्शों की धनात्मक और ऋणात्मक घात के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से तथ्यपूर्ण बनाया जा सकता है। हम इस गुणनखंड में P के घातांक के लिए ordP(x) लिखते हैं, और 1 से बड़ी संख्या c के किसी भी विकल्प के लिए हम
 * $$|x|_P = c^{-\!\operatorname{ord}_P(x)}$$ निर्धारित कर सकते हैं।

इस निरपेक्ष मान |. |P के संबंध में समापन करने से क्षेत्र EP  प्राप्त होता है, इस समायोजना के लिए p-ऐडिक संख्याओं के क्षेत्र का उचित सामान्यीकरण। c का चुनाव समापन को नहीं बदलता है (विभिन्न विकल्पों से कॉची अनुक्रम की समान सिद्धांत प्राप्त होती है, इसलिए वही समापन है)। यह सुविधाजनक है, जब अवशेष क्षेत्र D/P सीमित है, D/P के आकार को c के लिए लेना।

उदाहरण के लिए, जब E एक संख्या क्षेत्र है, ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय का कहना है कि E पर प्रत्येक असतहीय गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मूल्य कुछ |. |P. के रूप में उत्पन्न होता है। ई पर शेष असतहीय निरपेक्ष मान E के विभिन्न अंतःस्थापन से वास्तविक या जटिल संख्याओं में उत्पन्न होते हैं। (वास्तव में, गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मानों को क्षेत्र 'cp' में E के विभिन्न अंतःस्थापन के रूप में माना जा सकता है, इस प्रकार सामान्य आधार पर किसी संख्या क्षेत्र के सभी असतहीय पूर्ण मूल्यों का विवरण डालते हैं।)

जब E एक संख्या क्षेत्र (या अधिक आम तौर पर एक वैश्विक क्षेत्र) होता है, जिन्हें "क्षेत्रीय" सूचना के कूटलेखन के रूप में देखा जाता है, तो प्रायः, एक व्यक्ति को उपरोक्त सभी समापन की समकालिकत ध्यान रखने की आवश्यकता है। यह एडेल वलय्स और आइडल समूहों द्वारा पूरा किया जाता है।

p-ऐडिक पूर्णांकों को p-ऐडिक परिनालिका $$\mathbb{T}_p$$ तक विस्तारित किया जा सकता है। $$\mathbb{T}_p$$ से एक मानचित्र है वृत्त समूह के लिए जिसके तंतु p-ऐडिक पूर्णांक $$\mathbb{Z}_p$$ हैं, सादृश्य में $$\mathbb{R}$$ से उस वृत्त तक का मानचित्र कैसे है जिसके तंतु $$\mathbb{Z}$$ हैं।

यह भी देखें

 * गैर-अभिलेखागार
 * पी-एडिक क्वांटम यांत्रिकी
 * पी-एडिक हॉज सिद्धांत
 * पी-एडिक टेचमुलर थ्योरी
 * पी-एडिक विश्लेषण
 * 1 + 2 + 4 + 8 + ...
 * विशेषण संख्या | k-adic संकेतन
 * सी-न्यूनतम सिद्धांत
 * हेंसल की लेम्मा
 * स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट क्षेत्र
 * महलर की प्रमेय
 * अनंत पूर्णांक
 * Volkenborn अभिन्न

संदर्भ

 * . &mdash; Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
 * . &mdash; Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).

बाहरी संबंध

 * p-ऐडिक number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
 * Completion of Algebraic Closure – on-line lecture notes by Brian Conrad
 * An Introduction to p-ऐडिक Numbers and p-ऐडिक Analysis - on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
 * Efficient p-ऐडिक arithmetic (slides)
 * Introduction to p-ऐडिक numbers
 * Introduction to p-ऐडिक numbers