खत्री-राव गुणनफल

गणित में, मैट्रिक्स के खत्री-राव उत्पाद को परिभाषित किया गया है
 * $$ \mathbf{A} \ast \mathbf{B} = \left(\mathbf{A}_{ij} \otimes \mathbf{B}_{ij}\right)_{ij}$$

जिसमें आईजे-वें ब्लॉक है mipi × njqj ए और बी के संबंधित ब्लॉकों के क्रोनेकर उत्पाद का आकार, दोनों मैट्रिक्स (गणित) के पंक्ति और स्तंभ विभाजन की संख्या को बराबर मानते हुए। उत्पाद का आकार तब है (Σi mipi) × (Σj njqj).

उदाहरण के लिए, यदि A और B दोनों हैं 2 × 2 विभाजित आव्यूह जैसे:
 * $$ \mathbf{A} =

\left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\ \hline \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c c | c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ \hline 7 & 8 & 9 \end{array} \right] ,\quad \mathbf{B} = \left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} \\ \hline \mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c | c c} 1 & 4 & 7 \\ \hline 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{array} \right] , $$ हमने प्राप्त:

\mathbf{A} \ast \mathbf{B} = \left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{A}_{11} \otimes \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{12} \otimes \mathbf{B}_{12} \\ \hline \mathbf{A}_{21} \otimes \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{22} \otimes \mathbf{B}_{22} \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c c | c c} 1 & 2 & 12 & 21 \\ 4 & 5 & 24 & 42 \\ \hline 14 & 16 & 45 & 72 \\ 21 & 24 & 54 & 81 \end{array} \right]. $$ यह क्रोनकर उत्पाद#ट्रेसी–सिंह उत्पाद|ट्रेसी–सिंह उत्पाद का एक सबमैट्रिक्स है दो आव्यूहों में से (इस उदाहरण में प्रत्येक विभाजन क्रोनकर उत्पाद # ट्रेसी-सिंह उत्पाद | ट्रेसी-सिंह उत्पाद के एक कोने में एक विभाजन है) और इसे ब्लॉक क्रोनकर उत्पाद भी कहा जा सकता है।

कॉलम-वार क्रोनकर उत्पाद
दो आव्यूहों के स्तंभ-वार क्रोनेकर उत्पाद को खत्री-राव उत्पाद भी कहा जा सकता है। यह उत्पाद मानता है कि मेट्रिसेस के विभाजन उनके कॉलम हैं। इस मामले में m1 = m, p1 = p, n = q और प्रत्येक जे के लिए: nj = pj = 1. परिणामी उत्पाद ए है mp × n मैट्रिक्स जिसमें से प्रत्येक कॉलम A और B के संबंधित कॉलम का क्रोनकर उत्पाद है। कॉलम विभाजन के साथ पिछले उदाहरणों से मेट्रिसेस का उपयोग करना:

\mathbf{C} = \left[ \begin{array} { c | c | c} \mathbf{C}_1 & \mathbf{C}_2 & \mathbf{C}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array} {c | c | c} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{array} \right] ,\quad \mathbf{D} = \left[ \begin{array} { c | c | c } \mathbf{D}_1 & \mathbf{D}_2 & \mathbf{D}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c | c | c } 1 & 4 & 7 \\ 2 & 5 & 8 \\ 3 & 6 & 9 \end{array} \right] , $$ ताकि:

\mathbf{C} \ast \mathbf{D} = \left[ \begin{array} { c | c | c } \mathbf{C}_1 \otimes \mathbf{D}_1 & \mathbf{C}_2 \otimes \mathbf{D}_2 & \mathbf{C}_3 \otimes \mathbf{D}_3 \end{array} \right] = \left[ \begin{array} { c | c | c } 1 & 8 & 21 \\ 2 & 10 & 24 \\ 3 & 12 & 27 \\ 4 & 20 & 42 \\ 8 & 25 & 48 \\ 12 & 30 & 54 \\ 7 & 32 & 63 \\ 14 & 40 & 72 \\ 21 & 48 & 81 \end{array} \right]. $$ खत्री-राव उत्पाद का यह स्तंभ-वार संस्करण डेटा विश्लेषणात्मक प्रसंस्करण के रैखिक बीजगणित दृष्टिकोण में उपयोगी है और एक विकर्ण मैट्रिक्स से निपटने वाली व्यस्त समस्याओं के समाधान को अनुकूलित करने में। 1996 में आगमन के कोण (एओए) और बहुपथ संकेतों की देरी का अनुमान लगाने के लिए कॉलम-वार खत्री-राव उत्पाद प्रस्तावित किया गया था और सिग्नल स्रोतों के चार निर्देशांक एक डिजिटल एंटीना सरणी पर।

फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद
मैट्रिक्स उत्पाद की वैकल्पिक अवधारणा, जो पंक्तियों की दी गई मात्रा के साथ मैट्रिक्स के पंक्ति-वार विभाजन का उपयोग करती है, का प्रस्ताव Vadym Slyusar|V द्वारा किया गया था। Slyusar 1996 में। इस मैट्रिक्स ऑपरेशन को मेट्रिसेस के फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद का नाम दिया गया था या ट्रांसपोज़्ड खत्री–राव उत्पाद. इस प्रकार का ऑपरेशन दो मैट्रिसेस के पंक्ति-दर-पंक्ति क्रोनकर उत्पादों पर आधारित है। विभाजित पंक्तियों के साथ पिछले उदाहरणों से मेट्रिसेस का उपयोग करना:

\mathbf{C} = \begin{bmatrix} \mathbf{C}_1 \\\hline \mathbf{C}_2 \\\hline \mathbf{C}_3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\\hline 4 & 5 & 6 \\\hline 7 & 8 & 9 \end{bmatrix} ,\quad \mathbf{D} = \begin{bmatrix} \mathbf{D}_1\\\hline \mathbf{D}_2\\\hline \mathbf{D}_3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 \\\hline 2 & 5 & 8 \\\hline 3 & 6 & 9 \end{bmatrix} , $$ परिणाम प्राप्त किया जा सकता है:  :$$ \mathbf{C} \bull \mathbf{D} = \begin{bmatrix} \mathbf{C}_1 \otimes \mathbf{D}_1\\\hline \mathbf{C}_2 \otimes \mathbf{D}_2\\\hline \mathbf{C}_3 \otimes \mathbf{D}_3\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 4 & 7 & 2 & 8 & 14 & 3 & 12 & 21 \\\hline 8 & 20 & 32 & 10 & 25 & 40 & 12 & 30 & 48 \\\hline 21 & 42 & 63 & 24 & 48 & 72 & 27 & 54 & 81 \end{bmatrix}. $$

उदाहरण

 * $$\begin{align}

&\left(     \begin{bmatrix}         1 & 0 \\         0 & 1 \\         1 & 0      \end{bmatrix}      \bullet      \begin{bmatrix}         1 & 0 \\         1 & 0 \\         0 & 1      \end{bmatrix}      \right) \left(     \begin{bmatrix}         1 & 1 \\         1 & -1      \end{bmatrix}      \otimes      \begin{bmatrix}         1 & 1 \\         1 & -1      \end{bmatrix}      \right) \left(     \begin{bmatrix}         \sigma_1 & 0 \\         0 & \sigma_2 \\      \end{bmatrix}      \otimes      \begin{bmatrix}         \rho_1 & 0 \\         0 & \rho_2 \\      \end{bmatrix}      \right) \left(     \begin{bmatrix}         x_1 \\         x_2      \end{bmatrix}      \ast      \begin{bmatrix}         y_1 \\         y_2      \end{bmatrix}      \right) \\[5pt] {}={} &\left(     \begin{bmatrix}         1 & 0 \\         0 & 1 \\         1 & 0      \end{bmatrix}      \bullet      \begin{bmatrix}         1 & 0 \\         1 & 0 \\         0 & 1      \end{bmatrix}      \right) \left(     \begin{bmatrix}         1 & 1 \\         1 & -1      \end{bmatrix}      \begin{bmatrix}         \sigma_1 & 0 \\         0 & \sigma_2 \\      \end{bmatrix}      \begin{bmatrix}         x_1 \\         x_2      \end{bmatrix}      \,\otimes\,      \begin{bmatrix}         1 & 1 \\         1 & -1      \end{bmatrix}      \begin{bmatrix}         \rho_1 & 0 \\         0 & \rho_2 \\      \end{bmatrix}      \begin{bmatrix}         y_1 \\         y_2      \end{bmatrix}      \right) \\[5pt] {}={} &     \begin{bmatrix} 1 & 0 \\        0 & 1 \\         1 & 0      \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\        1 & -1      \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \sigma_1 & 0 \\ 0 & \sigma_2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} \,\circ\, \begin{bmatrix} 1 & 0 \\        1 & 0 \\         0 & 1      \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\        1 & -1      \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \rho_1 & 0 \\ 0 & \rho_2 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} . \end{align}$$

प्रमेय
अगर $$M = T^{(1)} \bullet \dots \bullet T^{(c)}$$, कहाँ $$T^{(1)}, \dots, T^{(c)}$$ स्वतंत्र घटक हैं एक यादृच्छिक मैट्रिक्स $$T$$ स्वतंत्र समान रूप से वितरित पंक्तियों के साथ $$T_1, \dots, T_m\in \mathbb R^d$$, ऐसा है कि
 * $$E\left[(T_1x)^2\right] = \left\|x\right\|_2^2$$ और $$E\left[(T_1 x)^p\right]^\frac{1}{p} \le \sqrt{ap}\|x\|_2$$,

फिर किसी भी वेक्टर के लिए $$x$$
 * $$\left| \left\|Mx\right\|_2 - \left\|x\right\|_2 \right| < \varepsilon \left\|x\right\|_2$$

संभावना के साथ $$1 - \delta$$ यदि पंक्तियों की मात्रा
 * $$m = (4a)^{2c} \varepsilon^{-2} \log 1/\delta + (2ae)\varepsilon^{-1}(\log 1/\delta)^c.$$

विशेष रूप से, यदि की प्रविष्टियाँ $$T$$ हैं $$\pm 1$$ पा सकते हैं
 * $$m = O\left(\varepsilon^{-2}\log1/\delta + \varepsilon^{-1}\left(\frac{1}{c}\log1/\delta\right)^c\right)$$

जो की जॉनसन-लिंडनस्ट्रॉस लेम्मा से मेल खाता है $$m = O\left(\varepsilon^{-2}\log1/\delta\right)$$ कब $$\varepsilon$$ छोटा है।

फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद को ब्लॉक करें
Vadym Slyusar की परिभाषा के अनुसार | वी। Slyusar ब्लॉक में पंक्तियों की दी गई मात्रा के साथ दो ब्लॉक मैट्रिक्स का ब्लॉक फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद


 * $$ \mathbf{A} =

\left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{A}_{11} & \mathbf{A}_{12} \\ \hline \mathbf{A}_{21} & \mathbf{A}_{22} \end{array} \right]

,\quad \mathbf{B} = \left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{B}_{11} & \mathbf{B}_{12} \\ \hline \mathbf{B}_{21} & \mathbf{B}_{22} \end{array} \right] , $$ के रूप में लिखा जा सकता है:



\mathbf{A} [\bull] \mathbf{B} = \left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{A}_{11} \bull \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{12} \bull \mathbf{B}_{12} \\ \hline \mathbf{A}_{21} \bull \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{22} \bull \mathbf{B}_{22} \end{array} \right]. $$ दो ब्लॉक मैट्रिक्स के ट्रांसपोज़्ड ब्लॉक फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद (या खत्री-राव उत्पाद का ब्लॉक कॉलम-वार संस्करण) ब्लॉक में कॉलम की दी गई मात्रा के साथ एक दृश्य है:



\mathbf{A} [\ast] \mathbf{B} = \left[ \begin{array} {c | c} \mathbf{A}_{11} \ast \mathbf{B}_{11} & \mathbf{A}_{12} \ast \mathbf{B}_{12} \\ \hline \mathbf{A}_{21} \ast \mathbf{B}_{21} & \mathbf{A}_{22} \ast \mathbf{B}_{22} \end{array} \right]. $$

मुख्य गुण

 * 1) खिसकाना :
 * $$\left(\mathbf{A} [\ast] \mathbf{B} \right)^\textsf{T} = \textbf{A}^\textsf{T} [\bull] \mathbf{B}^\textsf{T}$$

अनुप्रयोग
फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद और ब्लॉक फेस-स्प्लिटिंग उत्पाद डिजिटल एंटीना सरणियों के टेन्सर -मैट्रिक्स सिद्धांत में उपयोग किया जाता है। इन परिचालनों में भी उपयोग किया जाता है:
 * कनवल्शन और टेंसर स्केच संचालन को कम करने के लिए कृत्रिम होशियारी  और  यंत्र अधिगम  सिस्टम, * एक लोकप्रिय प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण मॉडल, और समानता के हाइपरग्राफ मॉडल,
 * सांख्यिकी में सामान्यीकृत रेखीय सरणी मॉडल * दो- और बहुआयामी बी-स्पलाइन#पी-स्पलाइन|पी-स्पलाइन डेटा का सन्निकटन, * जीनोटाइप x पर्यावरण अंतःक्रियाओं का अध्ययन।

यह भी देखें

 * क्रोनकर उत्पाद
 * हैडमार्ड उत्पाद (मैट्रिसेस)