फूरियर विश्लेषण



गणित में, फॉरियर (सांध्वनिक) विश्लेषण सामान्य फलन (गणित) को सरल त्रिकोणमितीय फलनों के  योग  द्वारा प्रदर्शित या अनुमानित करने के तरीके का अध्ययन है। फॉरियर विश्लेषण फॉरियर श्रेणी के अध्ययन से विकसित हुआ, और इसका नाम  जोसेफ फॉरियर के नाम पर रखा गया, जिन्होंने दिखाया कि  त्रिकोणमितीय फलनों  के योग के रूप में एक फलन का निरूपण करना ऊष्मा स्थानांतरण के अध्ययन को अधिक सरल करता है।

फॉरियर विश्लेषण के विषय में गणित का एक विशाल स्पेक्ट्रम सम्मिलित है। विज्ञान और इंजीनियरिंग में, एक फलन को दोलन घटकों में विघटित करने की प्रक्रिया को प्रायः फॉरियर विश्लेषण कहा जाता है, जबकि इन टुकड़ों से फलन के पुनर्निर्माण के संचालन को फॉरियर संश्लेषण के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि एक संगीत स्वर में कौन से घटक  आवृत्ति  सम्मिलित  हैं, नमूनाकृत संगीत स्वर के  फॉरियर रूपांतरण की गणना करना सम्मिलित  होगा। फॉरियर विश्लेषण में सामने आए आवृत्ति घटकों को सम्मिलित  करके एक ही ध्वनि को फिर से संश्लेषित किया जा सकता है। गणित में, 'फॉरियर विश्लेषण' शब्द प्रायः दोनों संक्रियाओं के अध्ययन को संदर्भित करता है।

अपघटन प्रक्रिया को ही फॉरियर रूपांतरण कहा जाता है। इसका आउटपुट, फॉरियर परिवर्तन, प्रायः एक अधिक विशिष्ट नाम दिया जाता है, जो फलन के प्रक्षेत्र और फलन के अन्य गुणों पर निर्भर करता है। इसके अतिरिक्त, फॉरियर विश्लेषण की मूल अवधारणा को अधिक से अधिक अमूर्त और सामान्य स्थितियों पर प्रयुक्त करने के लिए समय के साथ विस्तारित किया गया है, और सामान्य क्षेत्र को प्रायः  हार्मोनिक विश्लेषण  के रूप में जाना जाता है। विश्लेषण के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रत्येक  रूपांतरण (गणित)  में एक समान प्रतिलोम फलन परिवर्तन होता है जिसका उपयोग संश्लेषण के लिए किया जा सकता है।

फॉरियर विश्लेषण का उपयोग करने के लिए, डेटा समान दूरी पर होना चाहिए। असमान स्थान वाले डेटा का विश्लेषण करने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोण विकसित किए गए हैं, विशेष रूप से कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण  (एलएसएसए) विधियां जो फॉरियर विश्लेषण के समान, डेटा नमूनों के लिए जीवा तरंगों के कम से कम वर्गों का उपयोग करती हैं। फॉरियर विश्लेषण, विज्ञान में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली वर्णक्रमीय विधि, आम तौर पर लंबे अंतराल वाले रिकॉर्ड में लंबी अवधि के शोर को बढ़ाती है; एलएसएसए ऐसी समस्याओं को कम करता है।

अनुप्रयोग
फॉरियर विश्लेषण के कई वैज्ञानिक अनुप्रयोग हैं - भौतिकी में, आंशिक अंतर समीकरण, संख्या सिद्धांत,  साहचर्य ,  संकेत प्रसंस्करण ,  अंकीय इमेज प्रोसेसिंग , प्रायिकता सिद्धांत, सांख्यिकी,  फोरेंसिक ,  विकल्प मूल्य निर्धारण ,  क्रिप्टोग्राफी ,  संख्यात्मक विश्लेषण , ध्वनिकी, समुद्र विज्ञान,  सोनार ,  प्रकाशिकी ,  विवर्तन  ,  ज्यामिति ,  प्रोटीन  संरचना विश्लेषण, और अन्य क्षेत्र।

यह व्यापक प्रयोज्यता परिवर्तनों के कई उपयोगी गुणों से उत्पन्न होती है:
 * रूपान्तरण रेखीय संचालक हैं और, उचित सामान्यीकरण के साथ, एकात्मक संचालिका भी हैं (एक गुण जिसे पारसेवल के प्रमेय के रूप में जाना जाता है या, अधिक सामान्यतः, प्लैंकेरल प्रमेय के रूप में, और सबसे आम तौर पर पोन्ट्रियाजिन द्विकता  के माध्यम से)। * रूपांतरण सामान्य रूप से प्रतिलोम होता है।
 * घातांक प्रकार्य  यौगिक  के  eigenfunction  हैं, जिसका अर्थ है कि यह निरूपण रैखिक  अंतर समीकरणों  को सतत गुणांक वाले साधारण बीजगणितीय में परिवर्तित कर देता है। इसलिए,  एलटीआई प्रणाली  के व्यवहार | रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली का प्रत्येक आवृत्ति पर स्वतंत्र रूप से विश्लेषण किया जा सकता है।
 * [[ घुमाव प्रमेय ]] द्वारा, फॉरियर रूपांतरण सम्मिश्रकनवल्शन ऑपरेशन को सरल गुणन में परिवर्तित कर देता है, जिसका अर्थ है कि वे संवहन-आधारित संचालन जैसे संकेत फ़िल्टरिंग,  बहुपद  गुणन और गुणन एल्गोरिथ्म # फॉरियर रूपांतरण विधियों की गणना करने का एक कुशल तरीका प्रदान करते हैं। * फॉरियर रूपांतरण के  असतत फॉरियर रूपांतरण  संस्करण (नीचे देखें) का तेजी से फॉरियर रूपांतरण (FFT) कलन विधि का उपयोग करके कंप्यूटर पर मूल्यांकन किया जा सकता है।

फोरेंसिक में, प्रयोगशाला इन्फ्रारेड स्पेक्ट्रोफोटोमीटर प्रकाश के तरंग दैर्ध्य को मापने के लिए फॉरियर रूपांतरण विश्लेषण का उपयोग करते हैं जिस पर इन्फ्रारेड स्पेक्ट्रम में एक सामग्री अवशोषित होगी। एफटी पद्धति का उपयोग मापा संकेतों को डिकोड करने और तरंग दैर्ध्य डेटा रिकॉर्ड करने के लिए किया जाता है। और एक कंप्यूटर का उपयोग करके, इन फॉरियर गणनाओं को तेजी से किया जाता है, ताकि सेकंड के स्थितियों में, एक कंप्यूटर संचालित एफटी-आईआर उपकरण एक प्रिज्म उपकरण की तुलना में इन्फ्रारेड अवशोषण पैटर्न का उत्पादन कर सके।

एक संकेत के सुसम्बद्ध निरूपण के रूप में फॉरियर रूपांतरण भी उपयोगी है। उदाहरण के लिए,  जेपीईजी  संपीड़न डिजिटल छवि के छोटे वर्ग टुकड़ों के फॉरियर रूपांतरण (असतत कोज्या परिवर्तन) के एक संस्करण का उपयोग करता है। प्रत्येक वर्ग के फॉरियर घटकों को कम सटीकता (अंकगणित) के लिए गोल किया जाता है, और कमजोर घटकों को पूरी तरह से समाप्त कर दिया जाता है, ताकि शेष घटकों को अधिक सुसम्बद्ध रूप से संग्रहीत किया जा सके। छवि पुनर्निर्माण में, प्रत्येक छवि वर्ग को संरक्षित अनुमानित फॉरियर-रूपांतरित घटकों से पुन: जोड़ा जाता है, जो मूल छवि के सन्निकटन का उत्पादन करने के लिए प्रतिलोम-रूपांतरित होते हैं।

संकेत प्रक्रमन में, फॉरियर रूपांतरण प्रायः एक समय श्रेणी या  सतत समय का एक फलन लेता है, और इसे  आवृत्ति स्पेक्ट्रम  में मैप करता है। अर्थात्, यह समय प्रक्षेत्र से आवृत्ति प्रक्षेत्र में एक फलन लेता है; यह विभिन्न आवृत्तियों की जीवा लहर में एक फलन की ओर्थोगोनल प्रणाली है; फॉरियर श्रेणी या असतत फॉरियर रूपांतरण के स्थितियों में, साइनसोइड विश्लेषण किए जा रहे फलन की मौलिक आवृत्ति के  लयबद्ध ्स हैं।

जब कोई फलन $$s(t)$$ समय का एक फलन है और एक भौतिक संकेत (सूचना सिद्धांत) का निरूपण करता है, परिवर्तन की संकेत की आवृत्ति स्पेक्ट्रम के रूप में एक मानक व्याख्या है। परिणामी सम्मिश्र-मूल्यवान फलन का  परिमाण (गणित) । $$S(f)$$ आवृत्ति पर $$f$$ एक आवृत्ति घटक के  आयाम  का निरूपण करता है जिसका चरण (तरंगें) के कोण द्वारा दिया जाता है $$S(f)$$ (धुवीय निर्देशांक)।

फॉरियर रूपांतरण समय के फलन और लौकिक आवृत्तियों तक सीमित नहीं हैं। वे समान रूप से स्थानिक आवृत्तियों का विश्लेषण करने के लिए और वास्तव में लगभग किसी भी फलन प्रक्षेत्र के लिए प्रयुक्त किए जा सकते हैं। यह मूर्ति प्रोद्योगिकी,  ऊष्मा चालन और  स्वत: नियंत्रण  जैसी विविध शाखाओं में उनके उपयोग को सही ठहराता है।

ध्वनि, रेडियो तरंगों, प्रकाश तरंगों, भूकंपीय तरंगों और यहां तक ​​कि छवियों जैसे संकेतों को संसाधित करते समय, फॉरियर विश्लेषण एक मिश्रित तरंग के नैरोबैंड घटकों को अलग कर सकता है, उन्हें आसानी से पहचानने या हटाने के लिए केंद्रित कर सकता है। संकेत प्रक्रमन तकनीकों के एक बड़े परिवार में फॉरियर-ट्रांसफॉर्मिंग संकेत, फॉरियर-रूपांतरित डेटा को सरल तरीके से हेरफेर करना और परिवर्तन को उलटना सम्मिलित  है।

कुछ उदाहरणों में सम्मिलित हैं:
 * बंदपास छननी की एक श्रेणी के साथ ऑडियो रिकॉर्डिंग का समकरण (ऑडियो);
 * सुपरहेट्रोडाइन सर्किट के बिना डिजिटल रेडियो रिसेप्शन, जैसा कि एक आधुनिक सेल फोन या  रेडियो स्कैनर  में होता है;
 * समय-समय पर या एनिस्ट्रोपिक  कलाकृतियों को हटाने के लिए इमेज प्रोसेसिंग जैसे  इंटरलेस्ड वीडियो  से  गुड़,  पट्टी हवाई फोटोग्राफी  से स्ट्रिप आर्टिफैक्ट, या डिजिटल कैमरे में  रेडियो आवृत्ति हस्तक्षेप  से वेव पैटर्न;
 * सह-संरेखण के लिए समान छवियों का क्रॉस सहसंबंध;
 * एक्स - रे क्रिस्टलोग्राफी अपने विवर्तन पैटर्न से क्रिस्टल संरचना का पुनर्निर्माण करने के लिए;
 * एक चुंबकीय क्षेत्र में साइक्लोट्रॉन गति की आवृत्ति से आयनों के द्रव्यमान को निर्धारित करने के लिए फॉरियर-रूपांतरित आयन साइक्लोट्रॉन अनुनाद द्रव्यमान स्पेक्ट्रोमेट्री;
 * स्पेक्ट्रोस्कोपी के कई अन्य रूप, अवरक्त स्पेक्ट्रोस्कोपी  और परमाणु चुंबकीय अनुनाद स्पेक्ट्रोस्कोपी सहित;
 * ध्वनियों का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले ध्वनि spectrogram  का निर्माण;
 * निष्क्रिय सोनार मशीनरी शोर के आधार पर लक्ष्यों को वर्गीकृत करता था।

(सतत) फॉरियर रूपांतरण
प्रायः, अयोग्य शब्द फॉरियर रूपांतरण एक सतत वास्तविक संख्या  तर्क के फलन के परिवर्तन को संदर्भित करता है, और यह आवृत्ति के एक सतत फलन का उत्पादन करता है, जिसे 'आवृत्ति वितरण' के रूप में जाना जाता है। एक फलन दूसरे में परिवर्तित हो जाता है, और संक्रिया उत्क्रमणीय होती है। जब इनपुट (प्रारंभिक) फलन का प्रक्षेत्र समय ($t$), और आउटपुट (अंतिम) फलन का प्रक्षेत्र आवृत्ति है, जो फलन का परिवर्तन $S(f)$ आवृत्ति पर $f$  सम्मिश्र संख्या द्वारा दिया जाता है:


 * $$S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \cdot e^{- i2\pi f t} \, dt.$$

$f$ के सभी मानों के लिए इस मात्रा का मूल्यांकन करने से आवृत्ति-प्रक्षेत्र फलन उत्पन्न करता है। फिर $s(t)$ सभी संभावित आवृत्तियों के सम्मिश्र घातांको  के पुनर्संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है:


 * $$s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} S(f) \cdot e^{i2\pi f t} \, df,$$

जो प्रतिलोम परिवर्तन सूत्र है। सम्मिश्र संख्या, $s(t)$, आवृत्ति $f$ के आयाम और चरण दोनों को व्यक्त करता है.

अधिक जानकारी के लिए फॉरियर रूपांतरण देखें, जिसमें सम्मिलित हैं:
 * आयाम सामान्यीकरण और आवृत्ति अनुमापन/इकाइयों के लिए अभिसमय
 * गुणों को रूपांतरित करें
 * विशिष्ट फलन के सारणीबद्ध परिवर्तन
 * छवियों जैसे कई आयामों के फलन के लिए एक विस्तार/सामान्यीकरण।

फॉरियर श्रेणी
एक आवधिक फलन का फॉरियर रूपांतरण, $S(f)$, अवधि के साथ $P$, एक डायराक कॉम्ब फलन बन जाता है: सम्मिश्र  गुणांकों  के अनुक्रम द्वारा संशोधित होता है:


 * $$S[k] = \frac{1}{P}\int_{P} s_P(t)\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{P} t}\, dt, \quad k\in\Z,$$ (जहां पर $s_{P}(t)$ लंबाई P के किसी भी अंतराल पर अभिन्न है)।

प्रतिलोम रूपांतरण, जिसे 'फॉरियर श्रेणी ' के रूप में जाना जाता है, संगत रूप से संबंधित साइनसोइड्स या सम्मिश्र घातीय फलन की संभावित अनंत संख्या के योग के संदर्भ में $∫_{P}$ का निरूपण है, प्रत्येक एक गुणांक द्वारा निर्दिष्ट एक आयाम और चरण के साथ:


 * $$s_P(t)\ \ =\ \ \mathcal{F}^{-1}\left\{\sum_{k=-\infty}^{+\infty} S[k]\, \delta \left(f-\frac{k}{P}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum_{k=-\infty}^\infty S[k]\cdot e^{i2\pi \frac{k}{P} t}.$$

कोई भी $s_{P}(t)$ किसी अन्य फलन के आवधिक योग  के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, $s_{P}(t)$:


 * $$s_P(t) \,\triangleq\, \sum_{m=-\infty}^\infty s(t-mP),$$

और गुणांक के प्रतिदर्श के आनुपातिक हैं $s(t)$ के असतत अंतराल पर $S(f)$:

ध्यान दें कि कोई $1⁄P$ जिनके परिवर्तन में समान असतत प्रतिदर्श मान हैं, उनका उपयोग आवधिक योग में किया जा सकता है। केवल इन नमूनों से (अर्थात फॉरियर श्रेणी से) $s(t)$ (और इसलिए S(f)) को पुनर्प्राप्त करने के लिए एक पर्याप्त शर्त यह है कि s(t) का गैर-शून्य भाग अवधि P के ज्ञात अंतराल तक सीमित हो जो नाइक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय का आवृत्ति प्रक्षेत्र दोहरा है।
 * $$S[k] =\frac{1}{P}\cdot S\left(\frac{k}{P}\right).$$

अधिक जानकारी के लिए फॉरियर श्रेणी देखें, जिसमें ऐतिहासिक विकास भी सम्मिलित है।

असतत-समय फॉरियर रूपांतरण (डीटीएफटी)
असतत-समय फॉरियर रूपांतरण समय-प्रक्षेत्र फॉरियर श्रेणी का गणितीय द्विक है। इस प्रकार, आवृत्ति प्रक्षेत्र में अभिसारी आवधिक योग को फॉरियर श्रेणी द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसके गुणांक संबंधित सतत समय फलन के प्रतिदर्श हैं:


 * $$S_\frac{1}{T}(f)\ \triangleq\ \underbrace{\sum_{k=-\infty}^{\infty} S\left(f - \frac{k}{T}\right) \equiv \overbrace{\sum_{n=-\infty}^{\infty} s[n] \cdot e^{-i2\pi f n T}}^{\text{Fourier series (DTFT)}}}_{\text{Poisson summation formula}} = \mathcal{F} \left \{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} s[n]\ \delta(t-nT)\right \},\,$$

जिसे असतत-समय फॉरियर रूपांतरण के नाम से जाना जाता है। इस प्रकार डी.टी.टी.टी $s(t)$ अनुक्रम संग्राहक डायराक कॉम्ब फलन का फॉरियर रूपांतरण भी है।

फॉरियर श्रेणी गुणांक (और प्रतिलोम परिवर्तन), द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$s[n]\ \triangleq\ T \int_\frac{1}{T} S_\frac{1}{T}(f)\cdot e^{i2\pi f nT} \,df = T \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} S(f)\cdot e^{i2\pi f nT} \,df}_{\triangleq\, s(nT)}.$$

पैरामीटर $T$ नमूनाकरण अंतराल के अनुरूप है, और इस फॉरियर श्रेणी को अब पोइसन योग सूत्र के एक रूप के रूप में पहचाना जा सकता है। इस प्रकार हमारे पास महत्वपूर्ण परिणाम है कि जब एक असतत डेटा अनुक्रम, $s[n]$, एक अंतर्निहित सतत फलन के प्रतिदर्श के समानुपातिक है, $s[n]$, कोई सतत फॉरियर रूपांतरण का आवधिक योग देख सकता है, $s(t)$. ध्यान दें कि कोई $S(f)$ समान असतत प्रतिदर्श मूल्यों के साथ समान असतत-समय फॉरियर रूपांतरण का उत्पादन होता है लेकिन कुछ आदर्श स्थितियों के अंतर्गत सैद्धांतिक रूप से $s(t)$ और $S(f)$ पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। पूर्ण पुनर्प्राप्ति के लिए एक पर्याप्त शर्त यह है कि गैर-शून्य भाग $s(t)$ चौड़ाई के ज्ञात आवृत्ति अंतराल तक ही सीमित रहें $S(f)$. जब वह अंतराल $1⁄T$ है, प्रयुक्त पुनर्निर्माण सूत्र व्हिटेकर-शैनन प्रक्षेप सूत्र है। यह  अंकीय संकेत प्रक्रिया के निर्माण में आधारशिला है।

$[−1⁄2T, 1⁄2T]$ रुचि रखने का एक और कारण यह है कि यह प्रायः नमूनाकरण प्रक्रिया के कारण अलियासिंग (उपघटन) की मात्रा में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

असतत-समय फॉरियर रूपांतरण के अनुप्रयोग नमूनाकृत फलन तक सीमित नहीं हैं। इस और अन्य विषयों पर अधिक जानकारी के लिए असतत-समय फॉरियर रूपांतरण देखें, जिसमें सम्मिलित  हैं:
 * सामान्यीकृत आवृत्ति इकाइयाँ
 * विंडोिंग (परिमित-लंबाई अनुक्रम)
 * गुणों को रूपांतरित करें
 * विशिष्ट फलन के सारणीबद्ध परिवर्तन

असतत फॉरियर रूपांतरण (डीएफटी)
फॉरियर श्रेणी के समान, आवधिक अनुक्रम का असतत-समय फॉरियर रूपांतरण, $$s_N[n]$$, अवधि के साथ $$N$$, सम्मिश्र गुणांकों के अनुक्रम द्वारा संशोधित एक डायराक कॉम्ब फलन बन जाता है (डीटीएफटी § आवधिक डेटा देखें):


 * $$S[k] = \sum_n s_N[n]\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{N} n}, \quad k\in\Z,$$ (जहां पर $S1/T(f)$ लंबाई के किसी भी अनुक्रम का योग $N$ है)
 * $Σ_{n}$ }} अनुक्रम वह है जिसे सामान्य रूप से एक चक्र के असतत फॉरियर रूपांतरण के रूप में जाना जाता है, $S[k]$. यह Ν-आवधिक भी है, इसलिए Ν गुणांक से अधिक की गणना करना कभी भी आवश्यक नहीं है। व्युत्क्रम परिवर्तन, जिसे असतत फॉरियर श्रेणी के रूप में भी जाना जाता है, द्वारा दिया गया है:


 * $$s_N[n] = \frac{1}{N} \sum_{k} S[k]\cdot e^{i2\pi \frac{n}{N}k},$$ जहां पर $sN$ लंबाई के किसी भी अनुक्रम का योग $N$ है

जब $Σ_{k}$ किसी अन्य फलन के आवधिक योग के रूप में व्यक्त किया गया है:

गुणांक के प्रतिदर्श के आनुपातिक S1/T(f) के असतत अंतराल पर $sN[n]$:
 * $$s_N[n]\, \triangleq\, \sum_{m=-\infty}^{\infty} s[n-mN],$$ और $$s[n]\, \triangleq\, s(nT),$$


 * $$S[k] = \frac{1}{T}\cdot S_\frac{1}{T}\left(\frac{k}{P}\right).$$

इसके विपरीत, जब कोई एकपक्षीय संख्या की गणना करना चाहता है ($T$) निरंतर असतत-समय फॉरियर रूपांतरण S1/T(f) के एक चक्र के असतत प्रतिदर्श, यह अपेक्षाकृत सरल असतत फॉरियर रूपांतरण की  sN[n] गणना करके किया जा सकता है, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है। अधिकतर स्थितियों में, $N$ के गैर-शून्य भाग की लंबाई के बराबर चयन किया जाता है $1⁄P = 1⁄NT$. बढ़ते क्रम $N$ मे, शून्य-अनावश्यक विस्तार या प्रक्षेप के रूप में जाना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक चक्र S1/T(f) के अधिक निकटवर्ती प्रतिदर्श होते हैं । घटते क्रम $N$ मे, समय-प्रक्षेत्र (उपघटन के अनुरूप) में अधिव्यापन (जोड़ना) का कारण बनता है, जो  आवृत्ति प्रक्षेत्र में विच्छेदन से अनुरूप है।  प्रयोगात्मक महत्व के अधिकांश स्थितियों में, $s[n]$ अनुक्रम एक लंबे अनुक्रम का निरूपण करता है जिसे परिमित-लंबाई विंडो फलन या एफआईआर  फिल्टर के लिए  सरणी के अनुप्रयोग द्वारा संक्षिप्त कर दिया गया था।

असतत फॉरियर रूपांतरण की गणना एक त्वरित फॉरियर रूपांतरण (एफएफटी) एल्गोरिथम का उपयोग करके की जा सकती है, जो इसे कंप्यूटर पर एक व्यावहारिक और महत्वपूर्ण परिवर्तन बनाती है।

अधिक जानकारी के लिए असतत फॉरियर रूपांतरण देखें, जिसमें सम्मिलित हैं:
 * गुणों को रूपांतरित करें
 * अनुप्रयोग
 * विशिष्ट फलन के सारणीबद्ध परिवर्तन

सारांश
आवधिक फलन के लिए, फॉरियर रूपांतरण और असतत-समय फॉरियर रूपांतरण दोनों में आवृत्ति घटकों (फॉरियर श्रेणी) का केवल एक असतत समुच्चय होता है, और उन आवृत्तियों पर परिवर्तन होता है। एक सामान्य अभ्यास (ऊपर चर्चा नहीं की गई) डिराक डेल्टा  और डिराक कॉम्ब फलन के माध्यम से उस विचलन को संभालना है। लेकिन एक ही वर्णक्रमीय जानकारी आवधिक फलन के सिर्फ एक चक्र से सुस्पष्ट की जा सकती है, क्योंकि अन्य सभी चक्र सर्वसम हैं। इसी तरह, परिमित-अवधि के फलन को फॉरियर श्रेणी के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसमें सूचना का कोई वास्तविक हानि नहीं होता है,  इसके अतिरिक्त कि प्रतिलोम परिवर्तन की आवधिकता एक मात्र विरूपण साक्ष्य है।

व्यवहार में s(•) की अवधि तक सीमित होना सामान्य है, $N$ या $P$. लेकिन इन सूत्रों के लिए उस शर्त की आवश्यकता नहीं है।

समरूपता गुण
जब एक सम्मिश्र फलन के वास्तविक और काल्पनिक भागों को उनके सम और विषम भागों में विघटित किया जाता है, तो चार घटक होते हैं, जिन्हें सबस्क्रिप्ट आरई, आरओ, आईई और आईओ द्वारा निरूपित किया जाता है। और एक सम्मिश्र समय फलन के चार घटकों और इसके सम्मिश्र आवृत्ति परिवर्तन के चार घटकों के मध्य एक-से-एक मानचित्रण होता है:



\begin{array}{rccccccccc} \text{Time domain} & s & = & s_{_{\text{RE}}} & + & s_{_{\text{RO}}} & + & i s_{_{\text{IE}}} & + & \underbrace{i\ s_{_{\text{IO}}}} \\ &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F}\\ \text{Frequency domain} & S & = & S_\text{RE} & + & \overbrace{\,i\ S_\text{IO}\,} & + & i S_\text{IE} & + & S_\text{RO} \end{array} $$ इससे विभिन्न संबंध स्पष्ट होते हैं, उदाहरण के लिए:
 * वास्तविक-मूल्यवान फलन (sRE + sRO) का रूपांतरण सम सममितीय फलन SRE + i SIO है इसके विपरीत, एक सम-सममितीय परिवर्तन का तात्पर्य वास्तविक-मूल्यवान समय-प्रक्षेत्र से है।
 * एक काल्पनिक-मूल्यवान फलन (i sIE + i sIO) का रूपांतरण विषम सममितीय SRO + i SIE  है और इसका प्रतिलोम सत्य है।
 * सम-सममितीय फलन (sRE + i sIO) वास्तविक-मूल्यवान फलन SRE + SRO है, और इसका प्रतिलोम सत्य है।
 * एक विषम-सममितीय फलन (sRO + i sIE) काल्पनिक-मूल्यवान फलन i SIE + i SIO है और इसका प्रतिलोम सत्य है।

इतिहास
हार्मोनिक श्रेणी का एक प्रारंभिक रूप प्राचीन बेबीलोनियन गणित  से मिलता है, जहां उनका उपयोग इफेमेराइड्स (अस्थायी पाठ्य सामग्री) खगोलीय स्थिति की सारणी की गणना करने के लिए किया जाता था।

खगोल विज्ञान की टॉलेमिक प्रणाली  में  डिफ्रेंट और एपिसायकल  की शास्त्रीय ग्रीक अवधारणाएं फॉरियर श्रेणी से संबंधित थीं (̈ ).

आधुनिक समय में, कक्षाओ की गणना करने के लिए 1754 में एलेक्सिस क्लेराट  द्वारा असतत फॉरियर रूपांतरण के रूपों का उपयोग किया गया था, जिसे असतत फॉरियर रूपांतरण के लिए पहला सूत्र के रूप मे, और 1759 में  जोसेफ लुइस लाग्रेंज  द्वारा, विभेदक शृंखला के लिए त्रिकोणमितीय श्रेणी के गुणांकों की गणना में वर्णित किया गया। तकनीकी रूप से, क्लेराट का  कार्य केवल  कोज्या श्रेणी (असतत कोज्या परिवर्तन का एक रूप) था, जबकि लाग्रेंज का कार्य केवल जीवा श्रेणी (असतत जीवा परिवर्तन का एक रूप) था; 1805 में क्षुद्रग्रह कक्षाओं के त्रिकोणमितीय प्रक्षेप के लिए गॉस द्वारा एक वास्तविक कोज्या+जीवा असतत फॉरियर रूपांतरण का उपयोग किया गया था। यूलर और लाग्रेंज दोनों ने  विभेदक शृंखला समस्या को अलग कर दिया, जिसे आज के प्रतिदर्श कहा जाएगा।

फॉरियर विश्लेषण की दिशा में एक प्रारंभिक आधुनिक विकास 1770 मे लैग्रेंज द्वारा पेपर रिफ्लेक्शंस सुर ला रेजोल्यूशन एल्गेब्रिक डेस इक्वेशन था, जिसमें लैग्रेंज वियोजित की विधि में घन संबंधी समाधान का अध्ययन करने के लिए एक सम्मिश्र फॉरियर अपघटन का उपयोग किया गया था: लैग्रेंज ने मूलों को  रूपांतरित $s[n]$ समाधानको में:
 * $$\begin{align}

r_1 &= x_1 + x_2 + x_3\\ r_2 &= x_1 + \zeta x_2 + \zeta^2 x_3\\ r_3 &= x_1 + \zeta^2 x_2 + \zeta x_3 \end{align}$$ जहां पर $N$ इकाई का घनमूल है, जो क्रम 3 का असतत फॉरियर रूपांतरण है।

कई लेखकों, विशेष रूप से जीन ले रोंड डी' अलेम्बर्ट और कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने ऊष्मा समीकरण का अध्ययन करने के लिए त्रिकोणमितीय श्रेणी का उपयोग किया, लेकिन सफलता का विकास जोसेफ फॉरियर द्वारा 1807 का पेपर मेमोइर सुर ला प्रोपेगेशन डे ला चालुर डन्स लेस कॉर्प्स सॉलिड था, जिसकी महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि फॉरियर श्रेणी की की प्रारंभ करते हुए त्रिकोणमितीय श्रृंखला द्वारा सभी फलन को प्रतिदर्श करना था।

फॉरियर सिद्धांत के विकास के लिए लैग्रेंज और अन्य लोगों को श्रेय देने के लिए इतिहासकार विभाजित हैं: डैनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर ने फलन के त्रिकोणमितीय निरूपण प्रारंभ किए थे, और लैग्रेंज ने तरंग समीकरण के लिए फॉरियर श्रेणी समाधान दिया था, इसलिए फॉरियर का योगदान मुख्य रूप से स्पष्ट दावा था कि एक फॉरियर श्रेणी द्वारा एक  एकपक्षीय फलन का निरूपण किया जा सकता है।

क्षेत्र के बाद के विकास को हार्मोनिक विश्लेषण के रूप में जाना जाता है, और यह निरूपण सिद्धांत का प्रारंभिक उदाहरण भी है।

असतत फॉरियर रूपांतरण के लिए पहला त्वरित फॉरियर रूपांतरण (एफएफटी) एल्गोरिथम 1805 के चारों ओर कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा खोजा गया था, जब क्षुद्रग्रह जूनो और पलास की कक्षा के मापों को प्रक्षेपित किया गया था,, हालांकि उस विशेष त्वरित फॉरियर रूपान्तरण कलन विधि को प्रायः इसके आधुनिक पुनर्खोजकर्ता कूली और तुकी त्वरित फॉरियर रूपान्तरण कलन विधि के लिए अधीन किया जाता है।

समय-आवृत्ति रूपांतरण
संकेत प्रक्रमन शर्तों में, एक फलन (समय का) सही समय विभेदन के साथ एक संकेत का निरूपण है, लेकिन कोई आवृत्ति जानकारी नहीं है, जबकि फॉरियर रूपांतरण में पूर्ण आवृत्ति विभेदन है, लेकिन समय की जानकारी नहीं है।

फॉरियर रूपांतरण के विकल्प के रूप में, समय-आवृत्ति विश्लेषण में, एक समय-आवृत्ति रूपांतरण का उपयोग एक ऐसे रूप में संकेतों का निरूपण करने के लिए करता है जिसमें कुछ समय की जानकारी और कुछ आवृत्ति की जानकारी होती है - अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा, इनके मध्य एक समंजन होता है। ये फॉरियर रूपांतरण के सामान्यीकरण हो सकते हैं, जैसे कि अल्पावधि के फॉरियर रूपांतरण, गैबोर रूपांतरण या भिन्नात्मक फॉरियर रूपांतरण (एफआरएफटी), या संकेतों का निरूपण करने के लिए विभिन्न फलन का उपयोग कर सकते हैं, जैसे तरंगिका रूपांतरण और चिरलेट रूपांतरण, तरंगिका अनुरूप के साथ (सतत) फॉरियर रूपांतरण का सतत  तरंगिका रूपांतरित होती है।

फॉरियर एकपक्षीय स्थानीय रूप मे सुसम्बद्ध एबेलियन संस्थानिक समूहो मे रूपांतरण
फॉरियर रूपों को स्थानीय रूप से सुसम्बद्ध  एबेलियन समूह सांस्थितिक समूहों पर फॉरियर रूपांतरणों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिनका हार्मोनिक विश्लेषण में अध्ययन किया जाता है; वहां, फॉरियर रूपांतरण दोहरे समूह पर फलन करने के लिए एक समूह पर फलन करता है। यह प्रतिपादन संवहन प्रमेय के एक सामान्य सूत्रीकरण की भी स्वीकृति देता है, जो फॉरियर रूपांतरण और संवहन से संबंधित है। फॉरियर रूपांतरण के सामान्यीकृत आधारों के लिए पोन्ट्रियाजिन द्विकता भी देखें।

अधिक विशिष्ट, फॉरियर विश्लेषण सह-समुच्चय और असतत सह-समुच्चय पर भी किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * संयुग्म फूरियर श्रृंखला
 * सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला
 * फूरियर-बेसेल श्रृंखला
 * फूरियर से संबंधित रूपांतरण
 * लाप्लास रूपांतरण (एलटी)
 * दो तरफा लाप्लास परिवर्तन
 * मध्य परिवर्तन
 * गैर-समान असतत फूरियर रूपांतरण (एनडीएफटी)
 * क्वांटम फूरियर रूपांतरण (क्यूएफटी)
 * संख्या-सैद्धांतिक परिवर्तन
 * आधार वैक्टर
 * बिस्पेक्ट्रम
 * विशेषता कार्य (संभावना सिद्धांत)
 * ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन
 * श्वार्ट्ज अंतरिक्ष
 * वर्णक्रमीय घनत्व
 * वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान
 * स्पेक्ट्रल संगीत
 * वाल्श फ़ंक्शन
 * तरंगिका

आगे की पढाई




बाहरी कड़ियाँ

 * Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 * An Intuitive Explanation of Fourier Theory by Steven Lehar.
 * Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 6 is on the 1- and 2-D Fourier Transform. Lectures 7–15 make use of it., by Alan Peters