बीजगणितीय संख्या क्षेत्र

गणित में, एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र (या साधारणतः संख्या क्षेत्र) कोई ऐसा विस्तार क्षेत्र $$K$$ होता है जो सांख्यिकीय संख्याओं के क्षेत्र $\mathbb{Q}$ का विस्तार होता है और जिसका क्षेत्र विस्तार $$K / \mathbb{Q}$$ सीमित अवधि का होता है। इस प्रकार, $$K$$ एक ऐसा क्षेत्र होता है जो $$\mathbb{Q}$$ को सम्मिलित करता है और जब इसे $$\mathbb{Q}$$ पर एक सदिश समष्टि के रूप में विचार किया जाता है, तो यह अंतिमतः इसका हैमेल आयाम परिमित होता है।

बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों का अध्ययन, और, अधिक सामान्यतः, तर्कसंगत संख्याओं के क्षेत्र के बीजगणितीय विस्तार का अध्ययन, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत का केंद्रीय विषय है। यह अध्ययन बीजगणितीय विधियों का उपयोग करके सामान्य तर्कसंगत संख्याओं के पीछे छिपी संरचनाओं को संदर्भित करता है।

आवश्यकताएँ
बीजगणितीय संख्या क्षेत्र की धारणा एक गणितीय क्षेत्र की अवधारणा पर निर्भर करती है। एक क्षेत्र में तत्वों का एक समुच्चय होता है जिसमें दो संक्रिया, अर्थात् जोड़, और गुणा, और कुछ वितरण संक्रियाएं सम्मिलित होती हैं। क्षेत्र का एक प्रमुख उदाहरण परिमेय संख्याओं का क्षेत्र है, जिसे सामान्यतः जोड़ और गुणा की अपनी सामान्य संक्रियाओं के साथ $\mathbb{Q}$, द्वारा दर्शाया जाता है।

बीजगणितीय संख्या क्षेत्र को परिभाषित करने के लिए आवश्यक एक और धारणा सदिश समष्टि है। यहां आवश्यक सीमा तक, सदिश समष्टि को अनुक्रमों (या टुपल्स) से युक्त माना जा सकता है
 * (x1, x2,…)

जिनकी प्रविष्टियाँ किसी निश्चित क्षेत्र के तत्व हैं, जैसे क्षेत्र $\mathbb{Q}$. ऐसे किन्हीं दो अनुक्रमों को संगत प्रविष्टियों को जोड़कर युग्मित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, किसी भी अनुक्रम को निश्चित क्षेत्र के एकल तत्व c से गुणा किया जा सकता है। वेक्टर जोड़ और स्केलर गुणन के रूप में जाने जाने वाले ये दो संक्रिया कई गुणों को संतुष्ट करते हैं जो सदिश समष्टि को अमूर्त रूप से परिभाषित करने का कार्य करते हैं। सदिश समष्टि को अनंत-आयामी होने की अनुमति है, अर्थात सदिश समष्टि बनाने वाले अनुक्रम अनंत लंबाई के हैं। यदि, तथापि, सदिश समष्टि में परिमित अनुक्रम होते हैं
 * (x1, x2, …, xn),

सदिश समष्टि को परिमित हेमेल आयाम, n कहा जाता है।

 परिभाषा
एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र (या मात्र संख्या क्षेत्र) तर्कसंगत संख्याओं के क्षेत्र के क्षेत्र विस्तार की एक सीमित-डिग्री है। यहां डिग्री का अर्थ वेक्टर समष्टि के रूप में $\mathbb{Q}$.क्षेत्र का आयाम है।

उदाहरण
(a + bi) + (c + di) &=& (a + c) + (b + d)i \\ (a + bi)\cdot (c + di) &=& (ac - bd) + (ad + bc)i \end{matrix}$$ गैर-शून्य गॉसियन परिमेय संख्याएँ व्युत्क्रमी होती हैं, जिन्हें निम्नलिखित समीकरण द्वारा देखा जा सकता है $$(a+bi) \left(\frac{a}{a^2 + b^2} - \frac{b}{a^2+b^2} i\right) = \frac{(a+bi)(a-bi)}{a^2 + b^2}=1.$$ इसका तात्पर्य यह है कि गॉसियन परिमेय एक संख्या क्षेत्र $\mathbb{Q}$. बनाते हैं जो एक सदिश समष्टि के रूप में द्वि-आयामी होता है।
 * सबसे छोटी और सबसे आधारभूत संख्या क्षेत्र $\mathbb{Q}$ क्षेत्र है। तर्कसंगत संख्याओं का. सामान्य संख्या क्षेत्र के कई गुणों को गुणों के आधार पर तैयार किया जाता है $\mathbb{Q}$. साथ ही, बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों के कई अन्य गुण तर्कसंगत संख्याओं के गुणों से अत्यधिक भिन्न हैं - एक उल्लेखनीय उदाहरण यह है कि किसी संख्या क्षेत्र के बीजगणितीय पूर्णांकों की सामान्य रूप से एक प्रमुख आदर्श क्षेत्र नहीं है।
 * गॉसियन तर्कसंगत, जिसे $$\mathbb{Q}(i)$$ से निरूपित किया जाता है, किसी संख्या क्षेत्र का पहला गैर-तुच्छ उदाहरण है। इसके तत्व रूप के तत्व निम्नलिखितहैं $$a + bi$$ जहाँ a और b दोनों परिमेय संख्याएँ हैं और i काल्पनिक इकाई है। ऐसे भावों को अंकगणित के सामान्य नियमों के अनुसार जोड़ा, घटाया और गुणा किया जा सकता है और फिर पहचान का उपयोग करके सरल बनाया जा सकता है $$i^2 = -1.$$ स्पष्ट रूप से, $$\begin{matrix}
 * सामान्यतः, किसी भी वर्ग-मुक्त पूर्णांक $d$, के लिए द्विघात क्षेत्र $$\mathbb{Q} (\sqrt{d})$$ के वर्गमूल को संलग्न करके प्राप्त एक संख्या क्षेत्र $$d$$ है। परिमेय संख्याओं के इस क्षेत्र में अंकगणितीय परिचालनों को गाऊसी तर्कसंगत संख्याओं के विषय के अनुरूप $d = -1$. द्वारा परिभाषित किया गया है,
 * साइक्लोटोमिक क्षेत्र $$\mathbb{Q}(\zeta_n),$$जहाँ $$\zeta_n = \exp{2\pi i /n}$$ से प्राप्त एक संख्या क्षेत्र $$\mathbb{Q}$$ है जिसमे प्रतिस्थापित $$n$$वर्गमूल के आयाम सम्मिलित हैं। $$\varphi(n)$$, $$\mathbb{Q}$$ के बराबर है , जहाँ $$\varphi$$ यूलर का टोटिएंट फलन है।

गैर-उदाहरण

 * वास्तविक संख्या, $\mathbb{R}$, और सम्मिश्र संख्याएँ, $\mathbb{C}$, वे क्षेत्र हैं जिनका आयाम अनंत है $$\mathbb{Q}$$-सदिश समष्टि, इसलिए, वे संख्या क्षेत्र नहीं हैं। $$\mathbb{R}$$ और $$\mathbb{C}$$ समुच्चय के रूप में यह अनंत से आता है, जबकि प्रत्येक संख्या क्षेत्र आवश्यक रूप से गणनीय है।
 * समुच्चय $$\mathbb{Q}^2$$ परिमेय संख्याओं $\mathbb{Q}$. के क्रमित युग्मों का, प्रविष्टि-वार जोड़ और गुणन के साथ एक द्वि-आयामी क्रमविनिमेय बीजगणित है यद्यपि, यह एक क्षेत्र नहीं है, क्योंकि इसमें शून्य विभाजक हैं: $$(1, 0) \cdot (0, 1) = (1 \cdot 0, 0 \cdot 1) = (0,0)$$

बीजगणितीयता, और पूर्णांकों का वलय
सामान्यतः, अमूर्त बीजगणित में, एक क्षेत्र विस्तार $$K / L$$ यदि प्रत्येक तत्व बीजगणितीय क्षेत्र विस्तार है $$f$$ बड़े क्षेत्र का $$K$$ गुणांक वाले बहुपद का शून्यक है $$e_0,\ldots,e_m$$ में $L$:
 * $$p(f) = e_mf^m + e_{m-1}f^{m-1} + \cdots + e_1f + e_0 = 0

$$ परिमित डिग्री का प्रत्येक क्षेत्र विस्तार बीजगणितीय है। प्रमाण: के लिए $$x$$ में $K$, विचार करें $$1,x,x^2,x^3,\ldots$$ - हमें एक रैखिक निर्भरता प्राप्त होती है, अर्थात एक बहुपद $$x$$ का मूल है। विशेष रूप से यह बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों पर लागू होता है, इसलिए कोई भी तत्व $$f$$ एक बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का $$K$$ तर्कसंगत गुणांक वाले बहुपद के शून्य के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, के तत्व $$K$$ इन्हें बीजगणितीय संख्याएँ भी कहा जाता है। एक बहुपद दिया गया है $$p$$ ऐसा है कि $$p(f)=0$$, इसे ऐसे व्यवस्थित किया जा सकता है कि अग्रणी गुणांक $$e_m$$ यदि आवश्यक हो, तो सभी गुणांकों को इससे विभाजित करके एक है। इस गुण वाले बहुपद को मोनिक बहुपद के रूप में जाना जाता है। सामान्यतः इसमें तर्कसंगत गुणांक होंगे।

यद्यपि, यदि इसके गुणांक वास्तव में सभी पूर्णांक हैं, $$f$$ बीजगणितीय पूर्णांक कहा जाता है.

कोई भी सामान्य पूर्णांक $$z \in \mathbb{Z}$$ एक बीजगणितीय पूर्णांक है, क्योंकि यह रैखिक मोनिक बहुपद का शून्य है:
 * $$p(t) = t - z$$.

यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि कोई भी बीजगणितीय पूर्णांक जो एक परिमेय संख्या भी है, वास्तव में एक पूर्णांक होता है, इसलिए इसे बीजगणितीय पूर्णांक कहा जाता है। पुनः अमूर्त बीजगणित का उपयोग करते हुए, विशेष रूप से एक परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल की धारणा, यह प्रदर्शित किया जा सकता है कि किन्हीं दो बीजगणितीय पूर्णांकों का योग और उत्पाद अभी भी एक बीजगणितीय पूर्णांक है। यह इस प्रकार है कि बीजगणितीय पूर्णांकों में $$K$$ एक वलय निरूपित $$\mathcal{O}_K$$ के पूर्णांकों का वलय कहलाता है $K$. यह एक उप-रिंग है (अर्थात, एक चक्र जिसमें निहित है) $K$. किसी क्षेत्र में कोई शून्य विभाजक नहीं होता है और यह गुण किसी भी सबरिंग द्वारा विरासत में मिलता है, इसलिए पूर्णांकों की रिंग $$K$$ एक अभिन्न क्षेत्र है. फील्ड $$K$$ अभिन्न क्षेत्र के भिन्नों का क्षेत्र है $\mathcal{O}_K$. इस तरह कोई बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के बीच आगे और पीछे जा सकता है $$K$$ और इसका पूर्णांकों का वलय $\mathcal{O}_K$. बीजगणितीय पूर्णांकों के वलय में तीन विशिष्ट गुण होते हैं: सबसे पहले, $$\mathcal{O}_K$$ एक अभिन्न क्षेत्र है जो भिन्नों के अपने क्षेत्र में एकीकृत रूप से बंद क्षेत्र है $K$. दूसरी बात, $$\mathcal{O}_K$$ एक नोथेरियन चक्र है. अंततः, प्रत्येक अशून्य अभाज्य आदर्श $$\mathcal{O}_K$$ अधिकतम आदर्श है या, समकक्ष, इस वलय का क्रुल आयाम एक है। इन तीन गुणों के साथ एक अमूर्त क्रमविनिमेय वलय को रिचर्ड डेडेकाइंड के सम्मान में डेडेकाइंड रिंग या डेडेकाइंड क्षेत्र कहा जाता है, जिन्होंने बीजगणितीय पूर्णांकों के वलय का गहन अध्ययन किया था।

अद्वितीय गुणनखंडन
सामान्य डेडेकाइंड चक्रों के लिए, विशेष रूप से पूर्णांकों की चक्रों में, अभाज्य आदर्शों के उत्पाद में आदर्श रिंग सिद्धांत का एक अद्वितीय गुणनखंडन होता है। उदाहरण के लिए, आदर्श $$(6)$$ रिंग में $$\mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$$ द्विघात पूर्णांक कारकों को अभाज्य आदर्शों में विभाजित करता है
 * $$(6) = (2, 1 + \sqrt{-5})(2,1 - \sqrt{-5})(3, 1 + \sqrt{-5})(3, 1 - \sqrt{-5})$$

यद्यपि, इसके विपरीत $$\mathbf{Z}$$ के पूर्णांकों के वलय के रूप में $\mathbf{Q}$, के उचित विस्तार के पूर्णांकों का वलय $$\mathbf{Q}$$ अभाज्य संख्याओं या, अधिक सटीक रूप से, अभाज्य तत्वों के उत्पाद में संख्याओं के अद्वितीय गुणनखंड क्षेत्र को स्वीकार करने की आवश्यकता नहीं है। यह द्विघात पूर्णांकों के लिए पहले से ही होता है, उदाहरण के लिए $\mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{-5})} = \mathbf{Z}[\sqrt{-5}]$, गुणनखंडन की विशिष्टता विफल हो जाती है:
 * $$6 = 2 \cdot 3 = (1 + \sqrt{-5}) \cdot (1 - \sqrt{-5})$$

क्षेत्र मानदंड का उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि ये दो कारक वास्तव में इस अर्थ में असमान हैं कि कारक केवल एक इकाई $\mathcal{O}_{\mathbf{Q}(\sqrt{-5})}$. से भिन्न नहीं होते हैं यूक्लिडियन क्षेत्र अद्वितीय गुणनखंडन क्षेत्र हैं; उदाहरण के लिए $\mathbf{Z}[i]$, गाऊसी पूर्णांक का वलय, और $\mathbf{Z}[\omega]$, आइज़ेंस्टीन पूर्णांक का चक्र, जहां $$\omega$$ एकता का घनमूल है जो 1 के समान नहीं है।

विश्लेषणात्मक वस्तुएं: ζ-फलन, एल-फलन, और वर्ग संख्या सूत्र
अद्वितीय गुणनखंडन की विफलता को वर्ग संख्या द्वारा मापा जाता है, जिसे सामान्यतः एच, तथाकथित आदर्श वर्ग समूह की कार्डिनैलिटी द्वारा दर्शाया जाता है। यह समूह सदैव सीमित है। पूर्णांकों का वलय $$\mathcal{O}_K$$ अद्वितीय गुणनखंडन रखता है यदि और केवल यदि यह एक प्रमुख वलय है या, समकक्ष, यदि $$K$$ इसमें वर्ग संख्या एक के साथ संख्या क्षेत्र की सूची है। किसी संख्या क्षेत्र को देखते हुए, वर्ग संख्या की गणना करना प्रायः कठिन होता है। वर्ग संख्या समस्या, गॉस पर वापस जाते हुए, काल्पनिक द्विघात संख्या क्षेत्रों के अस्तित्व से संबंधित है (अर्थात्, $$\mathbf{Q} \sqrt{-d}, d \ge 1$$) निर्धारित वर्ग संख्या के साथ। वर्ग संख्या सूत्र h को अन्य मूलभूत अपरिवर्तनीयों से संबंधित करता है $K$. इसमें डेडेकाइंड जीटा फलन ζ सम्मिलित है$K$(s), एक जटिल चर s में एक फलन, द्वारा परिभाषित
 * $$\zeta_K(s) := \prod_{\mathfrak{p}} \frac{1}{1-N(\mathfrak{p})^{-s}} .$$

(उत्पाद सभी प्रमुख आदर्शों से ऊपर है $\mathcal{O}_K$, $$N(\mathfrak p)$$ मुख्य आदर्श के मानदंड या, समकक्ष, अवशेष क्षेत्र में तत्वों की (सीमित) संख्या को दर्शाता है $\mathcal{O}_K / \mathfrak p$. अनंत उत्पाद केवल वास्तविक भाग (भागों)> 1 के लिए अभिसरण करता है, सामान्य विश्लेषणात्मक निरंतरता में और सभी एस के लिए फलन को परिभाषित करने के लिए ज़ेटा-फलन के लिए कार्यात्मक समीकरण की आवश्यकता होती है)। डेडेकाइंड ज़ेटा-फलन उस ζ में रीमैन ज़ेटा-फलन को सामान्यीकृत करता है$\mathbb{Q}$(एस) = ζ(एस)।

वर्ग संख्या सूत्र बताता है कि ζ$K$(s) का s = 1 पर एक सरल ध्रुव है और इस बिंदु पर अवशेष (जटिल विश्लेषण) द्वारा दिया गया है
 * $$ \frac{2^{r_1}\cdot(2\pi)^{r_2}\cdot h\cdot \operatorname{Reg}}{w \cdot \sqrt{|D|}}.$$

यहां आर1 और आर2 वास्तविक और जटिल एम्बेडिंग की संख्या और वास्तविक और जटिल एम्बेडिंग के जोड़े को शास्त्रीय रूप से निरूपित करें $K$, क्रमश। इसके अतिरिक्त, रेग का नियामक (गणित) है $K$, w में एकता के मूल की संख्या $$K$$ और D का विवेचक है $K$.

डिरिचलेट एल-फलन $$L(\chi,s)$$ का अधिक परिष्कृत संस्करण हैं $$\zeta(s)$$. दोनों प्रकार के फलन अंकगणितीय व्यवहार को कूटबद्ध करते हैं $$\mathbb{Q}$$ और $$K$$, क्रमश। उदाहरण के लिए, अंकगणितीय प्रगति पर डिरिचलेट का प्रमेय|डिरिचलेट का प्रमेय यह दावा करता है कि किसी भी अंकगणितीय प्रगति में
 * $$a, a+m, a+2m,\ldots$$

सह अभाज्य के साथ $$a$$ और $$m$$, अपरिमित रूप से अनेक अभाज्य संख्याएँ हैं। यह प्रमेय इस तथ्य से निहित है कि डिरिचलेट $$L$$-फलन शून्येतर है $$s=1$$. बीजगणितीय के-सिद्धांत और तमागावा उपायों सहित बहुत अधिक उन्नत तकनीकों का उपयोग करते हुए, आधुनिक संख्या सिद्धांत अधिक सामान्य एल-फलन के मूल्यों के विवरण से संबंधित है, भले ही यह अत्यधिक हद तक अनुमानित हो (तमागावा संख्या अनुमान देखें)।

अभिन्न आधार
किसी संख्या क्षेत्र के लिए एक अभिन्न आधार $$K$$ डिग्री का $$n$$ एक समुच्चय है
 * बी = {बी1, …, बीn}

में n बीजगणितीय पूर्णांकों का $$K$$ इस प्रकार कि वलय का प्रत्येक तत्व पूर्णांकों का हो $$\mathcal{O}_K$$ का $$K$$ बी के तत्वों के जेड-रैखिक संयोजन के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है; अर्थात्, किसी भी x के लिए $$\mathcal{O}_K$$ अपने पास
 * x = एम1b1 + ⋯ + मnbn,

जहां एमi(साधारण) पूर्णांक हैं। तब यह भी मामला है कि कोई भी तत्व $$K$$ के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है
 * एम1b1 + ⋯ + मnbn,

अब कहां एमiतर्कसंगत संख्याएँ हैं. के बीजगणितीय पूर्णांक $$K$$ तो फिर ये बिल्कुल वही तत्व हैं $$K$$ जहां एमiसभी पूर्णांक हैं.

समष्टिीय रिंग पर काम करना और फ्रोबेनियस मानचित्र जैसे उपकरणों का उपयोग करना, ऐसे आधार की स्पष्ट रूप से गणना करना सदैव संभव होता है, और अब कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों के लिए ऐसा करने के लिए अंतर्निहित प्रोग्राम होना मानक है।

शक्ति आधार
होने देना $$K$$ डिग्री का एक नंबर क्षेत्र हो $n$. के सभी संभावित आधारों में से $$K$$ (ए के रूप में देखा गया $$\mathbb{Q}$$-वेक्टर स्पेस), विशेष रूप से पावर आधार के रूप में जाने जाते हैं, जो फॉर्म के आधार हैं
 * $$B_x = \{1, x, x^2,\ldots, x^{n-1} \}$$

किसी तत्व के लिए $x \in K$. आदिम तत्व प्रमेय के अनुसार, ऐसा अस्तित्व है $$x$$, जिसे आदिम तत्व (क्षेत्र सिद्धांत) कहा जाता है। अगर $$x$$ में चुना जा सकता है $$\mathcal{O}_K$$ और ऐसा कि $$B_x$$ का आधार है $$\mathcal{O}_K$$ तो फिर, एक मुफ़्त Z-मॉड्यूल के रूप में $$B_x$$ शक्ति अभिन्न आधार और क्षेत्र कहा जाता है $$K$$ मोनोजेनिक क्षेत्र कहा जाता है। एक संख्या क्षेत्र का उदाहरण जो मोनोजेनिक नहीं है, सबसे पहले डेडेकाइंड द्वारा दिया गया था। उसका उदाहरण बहुपद के मूल को जोड़कर प्राप्त किया गया क्षेत्र है। $$x^3 - x^2 - 2x - 8. $$

नियमित प्रतिनिधित्व, ट्रेस और विभेदक
याद रखें कि कोई भी क्षेत्र विस्तार $$K/\mathbb{Q}$$ एक अद्वितीय $$\mathbb{Q}$$-सदिश समष्टि संरचना है । में गुणन का उपयोग करना $$K$$, तत्व $$x$$ क्षेत्र का $$K$$ आधार क्षेत्र के ऊपर $$\mathbb{Q}$$ $$n\times n$$ आव्यूह द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। $$A = A(x) = (a_{ij})_{1 \leq i, j \leq n}$$ आवश्यकता के द्वारा $$x e_i = \sum_{j=1}^n a_{ij} e_j, \quad a_{ij}\in\Q.$$ यहाँ $$e_1,\ldots,e_n$$ के लिए एक निश्चित आधार है $$K$$, के रूप में देखा गया $$\mathbb{Q}$$-सदिश स्थल। तर्कसंगत संख्याएँ $$a_{ij}$$ द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किये जाते हैं $$x$$ और किसी भी तत्व के बाद से आधार का चुनाव $$K$$ आधार तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है। क्षेत्र के किसी भी तत्व के साथ आव्यूह को जोड़ने का यह तरीका $$K$$ नियमित प्रतिनिधित्व कहा जाता है. वर्ग आव्यूह $$A$$ से गुणन के प्रभाव को दर्शाता है $$x$$ दिए गए आधार पर. यह इस प्रकार है कि यदि तत्व $$y$$ का $$K$$ एक आव्यूह द्वारा दर्शाया गया है $$B$$, फिर उत्पाद $$xy$$ आव्यूह उत्पाद द्वारा दर्शाया गया है $$BA$$. आव्यूह के अपरिवर्तनीय (गणित), जैसे ट्रेस (रैखिक बीजगणित), निर्धारक, और विशेषता बहुपद, पूरी तरह से क्षेत्र तत्व पर निर्भर करते हैं $$x$$ और आधार पर नहीं. विशेष रूप से, आव्यूह का निशान $$A(x)$$ क्षेत्र तत्व का क्षेत्र ट्रेस कहा जाता है $$x$$ और निरूपित किया गया $$\text{Tr}(x)$$, और निर्धारक को x का क्षेत्र मानदंड कहा जाता है और दर्शाया जाता है $$N(x)$$.

अब इसे क्षेत्र विस्तार पर विचार करके थोड़ा सामान्यीकृत किया जा सकता है $$K/L$$ और एक दे रहा हूँ $$L$$-के लिए आधार $$K$$. फिर, एक संबद्ध आव्यूह है $$A_{K/L}(x)$$ जिसका निशान है $$\text{Tr}_{K/L}(x)$$ और आदर्श $$\text{N}_{K/L}(x)$$ आव्यूह के ट्रेस और निर्धारक के रूप में परिभाषित किया गया है $$A_{K/L}(x)$$.

उदाहरण
क्षेत्र विस्तार पर विचार करें $$\mathbb{Q}(\theta)$$ जहाँ $$\theta = \zeta_3\sqrt[3]{2}$$. फिर, हमारे पास एक $$\mathbb{Q}$$-द्वारा दिया गया आधार $$\{ 1, \zeta_3\sqrt[3]{2}, \zeta_3^2\sqrt[3]{2^2}\}$$ किसी के बाद से $$x \in \mathbb{Q}(\theta)$$ कुछ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\mathbb{Q}$$-रैखिक संयोजन $$a + b\zeta_3\sqrt[3]{2} + c\zeta_3^2\sqrt[3]{2^2} = a + b\theta + c\theta^2$$ फिर, हम कुछ ले सकते हैं $$y \in \mathbb{Q}(\theta)$$ जहाँ $$y = y_0 + y_1\theta + y_2 \theta^2$$ और गणना करें $$x \cdot y$$. इसे लिखने से लाभ मिलता है $$\begin{align} a(y_0 + y_1\theta + y_2\theta^2) + \\ b(2y_2 + y_0\theta + y_1\theta^2) + \\ c(2y_1 + 2y_2\theta + y_0 \theta^2) \end{align}$$ हम आव्यूह पा सकते हैं $$A(x)$$ संबंधित आव्यूह समीकरण लिखकर $$\begin{bmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} y_0 \\ y_1 \\ y_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} ay_0 + 2cy_1 + 2by_2 \\ by_0 + ay_1 + 2cy_2 \\ cy_0 + by_1 + ay_2 \end{bmatrix}$$ दिखा $$A(x) = \begin{bmatrix} a & 2c & 2b \\ b & a & 2c \\ c & b & a \end{bmatrix}$$ फिर हम ट्रेस और मानदंड देकर, सापेक्ष सरली से ट्रेस और निर्धारक की गणना कर सकते हैं।

गुण
परिभाषा के अनुसार, आव्यूह के निशान और निर्धारकों के मानक गुण Tr और N तक ले जाते हैं: Tr(x) x का एक रैखिक कार्य है, जैसा कि व्यक्त किया गया है Tr(x + y) = Tr(x) + Tr(y), Tr(λx) = λ Tr(x), और मानदंड डिग्री n का एक गुणात्मक सजातीय कार्य है: N(xy) = N(x) N(y), N(λx) = λn N(x). यहाँ λ एक परिमेय संख्या है, और x, y कोई दो तत्व हैं $K$.

व्युत्पन्न ट्रेस फॉर्म एक द्विरेखीय रूप  है जिसे ट्रेस के माध्यम से परिभाषित किया गया है $$Tr_{K/L}: K \otimes_L K \to L$$ द्वारा $$Tr_{K/L}(x\otimes y) = Tr_{K/L}(x\cdot y)$$$$\text{Tr}_{K/L}(x)$$. इंटीग्रल ट्रेस फॉर्म, एक पूर्णांक-मूल्यवान सममित आव्यूह $$t_{ij} = \text{Tr}_{K/\mathbb{Q}}(b_ib_j)$$ के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां b1, ..., bn के लिए एक अभिन्न आधार $K$. है बीजगणितीय संख्या क्षेत्र का विभेदक $$K$$ को det(t) के रूप में परिभाषित किया गया है। यह एक पूर्णांक है, और क्षेत्र की एक अपरिवर्तनीय संपत्ति है $$K$$, अभिन्न आधार की पसंद पर निर्भर नहीं है।

किसी तत्व x से संबद्ध आव्यूह $$K$$ इसका उपयोग बीजगणितीय पूर्णांकों के अन्य समकक्ष विवरण देने के लिए भी किया जा सकता है। का एक तत्व x $$K$$ एक बीजगणितीय पूर्णांक है यदि और केवल यदि विशेषता बहुपद पीA x से संबद्ध आव्यूह A का पूर्णांक गुणांक वाला एक बहुपद है। मान लीजिए कि आव्यूह A जो एक तत्व x का प्रतिनिधित्व करता है, उसमें कुछ आधार e में पूर्णांक प्रविष्टियाँ हैं। केली-हैमिल्टन प्रमेय द्वारा, पृA(ए) = 0, और यह उस पी का अनुसरण करता हैA(x)=0, ताकि x एक बीजगणितीय पूर्णांक हो। इसके विपरीत, यदि x का एक तत्व है $$K$$ जो कि पूर्णांक गुणांक वाले एक राक्षसी बहुपद का मूल है तो वही गुण संबंधित आव्यूह ए के लिए भी होता है। इस मामले में यह सिद्ध किया जा सकता है कि ए एक उपयुक्त आधार में एक पूर्णांक आव्यूह है $K$. बीजगणितीय पूर्णांक होने की संपत्ति को इस तरह से परिभाषित किया गया है जो आधार की पसंद से स्वतंत्र है $K$.

अभिन्न आधार के साथ उदाहरण
विचार करें की $$K = \mathbb{Q}(x)$$, जहां x x3 − 11x2 + x + 1 = 0 को संतुष्ट करता है. फिर एक अभिन्न आधार [1, x, 1/2(x) है2 +1)], और संबंधित इंटीग्रल ट्रेस रूप निम्नलिखित है $$\begin{bmatrix} 3 & 11 & 61 \\ 11 & 119 & 653 \\ 61 & 653 & 3589 \end{bmatrix}.$$ इस आव्यूह के ऊपरी बाएं कोने में 3 नियमित प्रतिनिधित्व में पहले आधार तत्व (1) द्वारा परिभाषित मानचित्र के आव्यूह का निशान है $$K$$ पर $K$. यह आधार तत्व 3-आयामी वेक्टर समष्टि पर पहचान मानचित्र को प्रेरित करता है, $K$. 3-आयामी वेक्टर समष्टि पर पहचान मानचित्र के आव्यूह का निशान 3 है।

1304 = 23·163 इसका निर्धारक है, क्षेत्र विभेदक; इसकी तुलना में बहुपद का विभेदक, या विभेदक, 5216 = 25·163 है।

समष्टि
उन्नीसवीं सदी के गणितज्ञों ने माना कि बीजीय संख्याएँ एक प्रकार की जटिल संख्या थीं। 1897 में कर्ट हेन्सल द्वारा पी-एडिक संख्याओं की खोज के साथ यह स्थिति बदल गई; और अब किसी संख्या क्षेत्र के सभी विभिन्न संभावित एम्बेडिंग पर विचार करना मानक है $$K$$ इसके विभिन्न टोपोलॉजिकल पूर्णता में $$K_{\mathfrak{p}}$$ तुरंत विस्तारित होता है।

किसी संख्या क्षेत्र का एक समष्टि $$K$$ निरपेक्ष मान $$K$$ का एक समतुल्य वर्ग है. अनिवार्य रूप से, तत्वों के आकार को मापने के लिए एक निरपेक्ष मान एक धारणा है $$x$$ का $K$. ऐसे दो निरपेक्ष मूल्यों को समतुल्य माना जाता है यदि वे छोटेपन (या निकटता) की समान धारणा को जन्म देते हैं। निरपेक्ष मूल्यों के बीच तुल्यता संबंध $$|\cdot|_0 \sim |\cdot|_1$$ कुछ के द्वारा दिया जाता है $$\lambda \in \mathbb{R}_{>0}$$ ऐसा है कि$$|\cdot|_0 = |\cdot|_1^{\lambda}$$मतलब हम मानक का मान लेते हैं $$|\cdot|_1$$ तक $$\lambda$$-थ शक्ति.

सामान्य तौर पर, समष्टियों के प्रकार तीन प्रकार के होते हैं। सबसे पहले, तुच्छ निरपेक्ष मान | |0, जो मान लेता है $$1$$ सभी गैर-शून्य पर $x \in K$. दूसरे और तीसरे वर्ग आर्किमिडीयन समष्टि और गैर-आर्किमिडीयन (या अल्ट्रामेट्रिक) समष्टि हैं। का पूरा होना $$K$$ किसी समष्टि के संबंध में $$|\cdot|_{\mathfrak{p}}$$ दोनों मामलों में कॉची अनुक्रम लेकर दिया गया है $$K$$और शून्य अनुक्रम, अर्थात् अनुक्रमों को विभाजित करना $$\{x_n\}_{n \in \mathbb{N}}$$ ऐसा है कि $$ |x_n|_\mathfrak{p} \to 0$$जब शून्य हो जाता है $$n$$ अनन्त की ओर प्रवृत्त होता है। इसे फिर से एक क्षेत्र के रूप में दिखाया जा सकता है, तथाकथित पूर्णता $$K$$ दिए गए समष्टि पर $ निरूपित $K_{\mathfrak{p}}$.|undefined

के लिए $K = \mathbb{Q}$, निम्नलिखित गैर-तुच्छ मानदंड घटित होते हैं (ओस्ट्रोव्स्की का प्रमेय): (सामान्य) निरपेक्ष मान, कभी-कभी दर्शाया जाता है $$|\cdot|_\infty$$ जो वास्तविक संख्याओं के संपूर्ण टोपोलॉजिकल क्षेत्र को जन्म देता है $\mathbb{R}$. दूसरी ओर, किसी भी अभाज्य संख्या के लिए $$p$$, पी-एडिक संख्या|पी-एडिक निरपेक्ष मान द्वारा परिभाषित किया गया है
 * क्यू|p = पी−n, जहां q = pn a/b और a और b पूर्णांक हैं जो p से विभाज्य नहीं हैं।

इसका उपयोग निर्माण के लिए किया जाता है $$p$$-एडिक नंबर $\mathbb{Q}_p$. सामान्य निरपेक्ष मान के विपरीत, जब q को p से गुणा किया जाता है तो p-एडिक निरपेक्ष मान छोटा हो जाता है, जिससे अत्यधिक भिन्न व्यवहार होता है $$\mathbb{Q}_p$$ इसकी तुलना में $\mathbb{R}$.

ध्यान दें कि सामान्यतः जिस सामान्य स्थिति पर विचार किया जाता है वह एक संख्या क्षेत्र लेना है $$K$$ और मूल्यांकन के एक प्रमुख आदर्श पर विचार करना $$\mathfrak{p} \in \text{Spec}(\mathcal{O}_K)$$ इससे संबंधित बीजगणितीय संख्या के लिए $\mathcal{O}_K$. फिर होगी अनोखी जगह $$|\cdot|_{\mathfrak{p}}: K \to \mathbb{R}_{\geq 0}$$ गैर-आर्किमिडीयन समष्टि कहा जाता है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक एम्बेडिंग के लिए $$\sigma: K \to \mathbb{C}$$ वहाँ एक आर्किमिडीयन समष्टि नामक समष्टि होगा, जिसे दर्शाया जाएगा $ यह कथन एक प्रमेय है जिसे ओस्ट्रोव्स्की का प्रमेय भी कहा जाता है।

उदाहरण
फील्ड $$K = \mathbb{Q}[x]/(x^6 - 2) = \mathbb{Q}(\theta)$$ के लिए $$\theta = \zeta\sqrt[6]{2}$$ जहाँ $$\zeta$$ एकता की एक निश्चित छठी जड़ है, जो स्पष्ट वास्तविक और जटिल आर्किमिडीयन एम्बेडिंग और गैर-आर्किमिडीयन एम्बेडिंग के निर्माण के लिए एक समृद्ध उदाहरण प्रदान करती है। पृष्ठ 15-16.

आर्किमिडीयन समष्टि
यहां हम मानक संकेतन का उपयोग करते हैं $$r_1$$ और $$r_2$$ क्रमशः प्रयुक्त वास्तविक और जटिल एम्बेडिंग की संख्या के लिए (नीचे देखें)।

किसी संख्या क्षेत्र के आर्किमिडीयन समष्टियों की गणना करना $$K$$ इस प्रकार किया जाता है: चलो $$x$$ का एक आदिम तत्व हो $$K$$, न्यूनतम बहुपद के साथ $$f$$ (ऊपर $$\mathbb{Q}$$). ऊपर $$\mathbb{R}$$, $$f$$ सामान्यतः अब अपरिवर्तनीय नहीं होगा, परंतु इसके अपरिवर्तनीय (वास्तविक) कारक या तो एक या दो डिग्री के हैं। चूँकि जड़ों की पुनरावृत्ति नहीं होती, इसलिए कारकों की पुनरावृत्ति भी नहीं होती। वर्ग मूल $$r$$ डिग्री एक के कारक आवश्यक रूप से वास्तविक और प्रतिस्थापित करने वाले होते हैं $$x$$ द्वारा $$r$$ का एम्बेडिंग देता है $$K$$ में $$\mathbb{R}$$; ऐसे एम्बेडिंग की संख्या वास्तविक जड़ों की संख्या के बराबर है $f$. मानक निरपेक्ष मान को प्रतिबंधित करना $$\mathbb{R}$$ को $$K$$ पर एक आर्किमिडीयन निरपेक्ष मान देता है $$K$$; ऐसे निरपेक्ष मान को वास्तविक समष्टि भी कहा जाता है $K$. दूसरी ओर, डिग्री दो के कारकों की वर्ग मूल जटिल संयुग्मी जटिल संख्याओं के जोड़े हैं, जो दो संयुग्मी एम्बेडिंग की अनुमति देती हैं $\mathbb{C}$. एम्बेडिंग की इस जोड़ी में से किसी एक का उपयोग निरपेक्ष मान को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है $$K$$, जो दोनों एम्बेडिंग के लिए समान है क्योंकि वे संयुग्मित हैं। इस निरपेक्ष मान को जटिल समष्टि कहा जाता है $K$. यदि सभी वर्ग मूल $$f$$ उपरोक्त वास्तविक (क्रमशः, जटिल) या, समकक्ष, कोई भी संभावित एम्बेडिंग हैं $$K \subseteq \mathbb{C}$$ वास्तव में अंदर रहने के लिए मजबूर किया जाता है $$\mathbb{R}$$ (सम्मान. $\mathbb{C}$), $$K$$ पूर्णतया वास्तविक संख्या क्षेत्र (संबंधित पूर्णतः सम्मिश्र संख्या क्षेत्र) कहा जाता है।

गैर-आर्किमिडीयन या अल्ट्रामेट्रिक समष्टि
गैर-आर्किमिडीयन समष्टियों को खोजने के लिए, $$f$$ और $$x$$ ऊपर जैसा हो. में $\mathbb{Q}_p $, $$f$$ विभिन्न डिग्री के कारकों में विभाजन, जिनमें से कोई भी दोहराया नहीं जाता है, और जिनकी डिग्री जुड़ती है $n$, की डिग्री $f$. इनमें से प्रत्येक के लिए $$p$$-विशेष रूप से अघुलनशील कारक $f_i$, हम ऐसा मान सकते हैं $$x$$ संतुष्ट $$f_i$$ और एक एम्बेडिंग प्राप्त करें $$K$$ परिमित डिग्री के बीजगणितीय विस्तार में $\mathbb{Q}_p$. ऐसा समष्टिीय क्षेत्र कई तरह से संख्या क्षेत्र की तरह व्यवहार करता है, और $$p$$-आदिक संख्याएँ इसी प्रकार परिमेय की भूमिका निभा सकती हैं; विशेष रूप से, हम मानक को परिभाषित कर सकते हैं और ठीक उसी तरह ट्रेस कर सकते हैं, अब फलन मैपिंग दे रहे हैं $\mathbb{Q}_p $. इसका उपयोग करके $$p$$- अर्थात सामान्य नक्शा $$N_{f_i}$$ जगह के लिए $$f_i$$, हम किसी दिए गए के अनुरूप एक निरपेक्ष मान परिभाषित कर सकते हैं $$p$$-विशेष रूप से अघुलनशील कारक $$f_i$$ डिग्री का $$m$$ द्वारा$$|y|_{f_i} = |N_{f_i}(y)|_p^{1/m}$$ऐसे निरपेक्ष मान को अल्ट्रामेट्रिक, गैर-आर्किमिडीयन या कहा जाता है $$p$$-का आदि समष्टि $K$.

किसी भी अल्ट्रामेट्रिक समष्टि v के लिए हमारे पास वह |x| हैv ≤ 1 किसी भी x इंच के लिए $\mathcal{O}_K$, चूँकि x के लिए न्यूनतम बहुपद में पूर्णांक गुणनखंड होते हैं, और इसलिए इसके p-एडिक गुणनखंड में 'Z' में गुणनखंड होते हैंp. नतीजतन, प्रत्येक कारक के लिए मानक पद (स्थिर पद) एक पी-एडिक पूर्णांक है, और इनमें से एक पूर्णांक है जिसका उपयोग वी के लिए निरपेक्ष मान को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

OK के प्रमुख आदर्श
एक अल्ट्रामेट्रिक समष्टि v के लिए, का उपसमुच्चय $$\mathcal{O}_K$$ |x| द्वारा परिभाषितv <1 एक आदर्श है $$\mathfrak{p}$$ का $\mathcal{O}_K$. यह v की अल्ट्रामेट्रिकिटी पर निर्भर करता है: इसमें x और y दिया गया है $\mathfrak{p}$, तब
 * x + y|v ≤ अधिकतम (|x|v, |और|v) <1.

वास्तव में, $$\mathfrak{p}$$ यहां तक ​​कि एक प्रमुख आदर्श भी है.

इसके विपरीत, एक प्रमुख आदर्श दिया गया $$\mathfrak{p}$$ का $\mathcal{O}_K$, एक अलग मूल्यांकन को समुच्चयिंग द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $$v_\mathfrak{p}(x) = n$$ जहाँ n ऐसा सबसे बड़ा पूर्णांक है $x \in \mathfrak{p}^n$, आदर्श की एन-गुना शक्ति। इस मूल्यांकन को अल्ट्रामेट्रिक समष्टि में बदला जा सकता है। इस पत्राचार के अंतर्गत, (समतुल्यता वर्ग) के अल्ट्रामेट्रिक समष्टियों का $$K$$ के प्रमुख आदर्शों के अनुरूप है $ \mathcal{O}_K$. के लिए $K = \mathbb{Q}$, यह ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय को वापस देता है: Z में कोई भी अभाज्य आदर्श (जो आवश्यक रूप से एक अभाज्य संख्या से होता है) एक गैर-आर्किमिडीयन समष्टि से मेल खाता है और इसके विपरीत। यद्यपि, अधिक सामान्य संख्या क्षेत्र के लिए, स्थिति अधिक उलझी हुई हो जाती है, जैसा कि नीचे बताया जाएगा।

अल्ट्रामेट्रिक समष्टियों का वर्णन करने का एक और समकक्ष तरीका रिंग के समष्टिीयकरण के माध्यम से है $\mathcal{O}_K$. एक अल्ट्रामेट्रिक समष्टि दिया गया $$v$$ एक संख्या क्षेत्र पर $K$, संगत समष्टिीयकरण सबरिंग है $$T$$ का $$K$$ सभी तत्वों का $$x$$ ऐसा कि | x |v ≤ 1. अल्ट्रामेट्रिक गुण द्वारा $$T$$ एक चक्र है. इसके अतिरिक्त, इसमें सम्मिलित है $\mathcal{O}_K$. प्रत्येक तत्व x के लिए $K$, x या x में से कम से कम एक−1में समाहित है $T$.दरअसल, चूंकि के×/टी× को पूर्णांकों के समरूपी दिखाया जा सकता है, $$T$$ एक अलग मूल्यांकन रिंग है, विशेष रूप से एक समष्टिीय रिंग। वास्तव में, $$T$$ का समष्टिीयकरण मात्र है $$\mathcal{O}_K$$ प्रमुख आदर्श पर $\mathfrak{p}$, इसलिए $T = \mathcal{O}_{K,\mathfrak{p}}$.|undefined इसके विपरीत, $$\mathfrak{p}$$ का अधिकतम आदर्श है $T$.

कुल मिलाकर, किसी संख्या क्षेत्र पर अल्ट्रामेट्रिक निरपेक्ष मानों, अभाज्य आदर्शों और समष्टिीयकरणों के बीच तीन-तरफा तुल्यता होती है।

प्रमेय और समष्टियों पर लाइइंग
बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में कुछ आधारभूत प्रमेय हैं ऊपर जाना और नीचे जाना, जो कुछ प्रमुख आदर्शों के व्यवहार का वर्णन करते हैं $$\mathfrak{p} \in \text{Spec}(\mathcal{O}_K)$$ जब इसे एक आदर्श के रूप में विस्तारित किया जाता है $$\mathcal{O}_L$$ कुछ क्षेत्र विस्तार के लिए $L/K$. हम कहते हैं कि एक आदर्श $$\mathfrak{o} \subset \mathcal{O}_L$$ पर पड़ा है $$\mathfrak{p}$$ अगर $\mathfrak{o}\cap\mathcal{O}_K = \mathfrak{p}$. फिर, प्रमेय का एक अवतार एक प्रमुख आदर्श बताता है $$\text{Spec}(\mathcal{O}_L)$$ पर पड़ा है $\mathfrak{p}$, इसलिए सदैव एक विशेषण मानचित्र होता है$$\text{Spec}(\mathcal{O}_L) \to \text{Spec}(\mathcal{O}_K)$$समावेशन से प्रेरित $\mathcal{O}_K \hookrightarrow \mathcal{O}_L$. चूँकि समष्टियों और प्रमुख आदर्शों के बीच एक पत्राचार मौजूद है, इसका मतलब है कि हम किसी समष्टि को विभाजित करने वाले समष्टि पा सकते हैं जो एक क्षेत्र विस्तार से प्रेरित है। अर्थात यदि $$p$$ का एक समष्टि है $K$, फिर जगहें हैं $$v$$ का $$L$$ जो विभाजित करते हैं $p$, इस अर्थ में कि उनके प्रेरित प्रधान आदर्श, प्रेरित प्रधान आदर्श को विभाजित करते हैं $$p$$ में $\text{Spec}(\mathcal{O}_L)$. वस्तुतः यह अवलोकन उपयोगी है पृष्ठ 13 बीजीय क्षेत्र विस्तार के आधार परिवर्तन को देखते हुए $$\mathbb{Q}$$ इसके पूर्ण होने में से एक के लिए $\mathbb{Q}_p$.अगर हम लिखते हैं$$K = \frac{\mathbb{Q}[X]}{Q(X)}$$और $$\theta$$ के प्रेरित तत्व के लिए $X \in K$, हमें इसका अपघटन प्राप्त होता है $K\otimes_\mathbb{Q}\mathbb{Q}_p$.स्पष्ट रूप से, यह अपघटन है$$\begin{align} K\otimes_\mathbb{Q}\mathbb{Q}_p &= \frac{\mathbb{Q}[X]}{Q(X)}\otimes_\mathbb{Q}\mathbb{Q}_p\\ &= \frac{\mathbb{Q}_p[X]}{Q(X)} \end{align}$$इसके अतिरिक्त, प्रेरित बहुपद $$Q(X) \in \mathbb{Q}_p[X]$$ के रूप में विघटित होता है$$Q(X) = \prod_{v|p}Q_v$$हेंसल लेम्मा के कारण पृष्ठ 129-131, इसलिए$$\begin{align} K\otimes_\mathbb{Q}\mathbb{Q}_p &\cong \frac{ \mathbb{Q}_p[X] }{ \prod_{v|p}Q_v(X) }

\\&\cong \bigoplus_{v|p}K_v

\end{align}$$इसके अतिरिक्त, एम्बेडिंग भी हैं$$\begin{align} i_v:&K \to K_v \\ & \theta \mapsto \theta_v \end{align}$$जहाँ $$\theta_v$$ की वर्गमूल है $$Q_v$$, $$K_v = \mathbb{Q}_p(\theta_v)$$ को प्रदर्शित करता है, इसलिए हम लिख सकते है कि$$K_v = i_v(K)\mathbb{Q}_p $$के उपसमुच्चय के रूप में $$\mathbb{C}_p$$ बीजगणितीय समापन का समापन है।

रामीकरण
रेमिफिकेशन, सामान्यतः एक ज्यामितीय घटना का वर्णन करता है जो परिमित-से-एक मानचित्रों (अर्थात, मानचित्रों) के साथ घटित हो सकता है $$f:X\to Y$$ जैसे कि Y में सभी बिंदुओं की पूर्वछवियाँ केवल सीमित रूप से कई बिंदुओं से बनी होती हैं): फाइबर की कार्डिनैलिटी (गणित) f−1(y) में सामान्यतः अंकों की संख्या समान होगी, परंतु ऐसा होता है कि, विशेष बिंदुओं y में, यह संख्या कम हो जाती है। उदाहरण के लिए, मानचित्र
 * $$\Complex \to \Complex, z \mapsto z^n$$

प्रत्येक फाइबर में t के ऊपर n बिंदु होते हैं, अर्थात् t की n वर्ग मूल, t = 0 को छोड़कर, जहां फाइबर में केवल एक तत्व होता है, z = 0. एक का कहना है कि मानचित्र शून्य में विस्तारित है। यह रीमैन सतहों के शाखित आवरण का एक उदाहरण है। यह अंतर्ज्ञान गैलोज़ विस्तार में प्रमुख आदर्शों के विभाजन को परिभाषित करने का भी कार्य करता है। संख्या क्षेत्रों का (आवश्यक रूप से सीमित) विस्तार दिया गया है $$K/L$$, का एक प्रमुख आदर्श पी $$\mathcal{O}_L$$ आदर्श pO उत्पन्न करता हैK का $\mathcal{O}_K $. यह आदर्श एक प्रमुख आदर्श हो भी सकता है और नहीं भी, परंतु, लास्कर-नोएदर प्रमेय के अनुसार, सदैव द्वारा दिया जाता है
 * pO = q1e1 q2e2 ⋯ qmem

विशिष्ट रूप से निर्धारित प्रमुख आदर्शों के साथ qi का $$\mathcal{O}_K$$ और संख्याएं (जिन्हें प्रभाव सूचकांक कहा जाता है) ei. जब भी एक प्रभाव सूचकांक एक से बड़ा होता है, तो प्राइम p को इसमें प्रभाव डालने वाला कहा जाता है।

इस परिभाषा और ज्यामितीय स्थिति के बीच संबंध चक्र के स्पेक्ट्रम के मानचित्र द्वारा दिया गया है $\mathrm{Spec}\mathcal{O}_K \to \mathrm{Spec}\mathcal{O}_L$. वास्तव में, बीजगणितीय ज्यामिति में योजना के असंबद्ध आकारिकी संख्या क्षेत्रों के असंबद्ध विस्तार का प्रत्यक्ष सामान्यीकरण है।

रामीकरण एक पूरी तरह से समष्टिीय संपत्ति है, अर्थात, केवल प्राइम पी और क्यू के आसपास पूर्णता पर निर्भर करता हैi. जड़ता समूह किसी समष्टि पर समष्टिीय गैलोज़ समूहों और सम्मिलित परिमित अवशेष क्षेत्रों के गैलोज़ समूहों के बीच अंतर को मापता है।

एक उदाहरण
निम्नलिखित उदाहरण ऊपर प्रस्तुत धारणाओं को दर्शाता है। के प्रभाव सूचकांक की गणना करने के लिए $\mathbb{Q}(x)$, जहाँ


 * f(x) = x3 − x − 1 = 0,

23 पर, $\mathbb{Q}_{23}(x) / \mathbb{Q}_{23}$. क्षेत्र विस्तार पर विचार करना पर्याप्त है 529 तक = 232 (अर्थात, मॉड्यूलर अंकगणित 529) f को इस प्रकार गुणनखंडित किया जा सकता है
 * f(x) = (x + 181)(x2 − 181x − 38) = gh.

समष्टिापन्न x = y + 10 पहले कारक में g मॉड्यूलो 529 से y + 191 प्राप्त होता है, इसलिए मूल्यांकन | y |g y के लिए g द्वारा दिया गया है −191 |23 = 1. दूसरी ओर, चूँकि 161 = 7 × 23 है तो h में समान प्रतिस्थापन y2 − 161y − 161 modulo 529. प्राप्त होता है।


 * $$\left\vert y \right\vert_h = \sqrt{\left\vert 161 \right\vert }_{23} = \frac{ 1 }{ \sqrt{23} }$$

चूँकि कारक h द्वारा परिभाषित समष्टि के निरपेक्ष मान के संभावित मान 23 की पूर्णांक घातों तक सीमित नहीं हैं, बल्कि 23 के वर्गमूल की पूर्णांक घातें हैं, 23 पर क्षेत्र विस्तार का प्रभाव सूचकांक दो है।

के किसी भी तत्व का मूल्यांकन $$K$$ परिणामों का उपयोग करके इस तरह से गणना की जा सकती है। यदि, उदाहरण के लिए y = x2 − x − 1, इस संबंध और f = x के बीच x को हटाने के लिए परिणामी x3 − x − 1 = 0 देता है y3 − 5y2 + 4y − 1 = 0. यदि इसके अतिरिक्त हम f के कारकों g और h के संबंध में हटा देते हैं, तो हम y के लिए बहुपद के लिए संबंधित कारक प्राप्त करते हैं, और फिर स्थिर पद पर लागू 23-एडिक मूल्यांकन हमें y के साथ g और h (जो इस उदाहरण में दोनों 1 हैं) के मूल्यांकन की गणना करने की अनुमति देता है।

डेडेकाइंड विभेदक प्रमेय
विभेदक का अधिकांश महत्व इस तथ्य में निहित है कि व्यापक अल्ट्रामेट्रिक समष्टि वे सभी समष्टि हैं जो गुणनखंडन से प्राप्त होते हैं $$\mathbb{Q}_p$$ जहाँ p विभेदक को विभाजित करता है। यह बहुपद विभेदक के लिए भी सच है; यद्यपि इसका विपरीत भी सत्य है, कि यदि एक अभाज्य p विभेदक को विभाजित करता है, तो एक p-समष्टि होता है जो प्रभाव डालता है। इस वार्तालाप के लिए क्षेत्र विवेचक की आवश्यकता है। यह 'डेडेकाइंड विभेदक प्रमेय' है। उपरोक्त उदाहरण में, संख्या क्षेत्र का विभेदक $$\mathbb{Q}(x)$$ के साथ x3 − x − 1 = 0, −23 है, और जैसा कि हमने देखा है 23-एडिक समष्टि प्रभाव डालता है। डेडेकाइंड विवेचक हमें बताता है कि यह एकमात्र अल्ट्रामेट्रिक समष्टि है जो ऐसा करता है। अन्य प्रभावशाली समष्टि जटिल एम्बेडिंग पर पूर्ण मान $$K$$ से आता है।

गैलोइस समूह तथा गैलोइस सह समरूपता
सामान्यतः अमूर्त बीजगणित में, क्षेत्र विस्तार के / एल का अध्ययन गैलोज़ समूह गैल (के / एल) की जांच करके किया जा सकता है, जिसमें क्षेत्र ऑटोमोर्फिज्म सम्मिलित हैं $$K$$ छोड़कर $$L$$ तत्ववार तय किया गया। उदाहरण के तौर पर, गैलोज़ समूह $$\mathrm{Gal}(\mathbb{Q}(\zeta_n) / \mathbb{Q})$$ डिग्री n के साइक्लोटोमिक क्षेत्र विस्तार ('Z'/n'Z')× द्वारा दिया गया है, Z/nZ में उलटे तत्वों का समूह स्थित है। यह इवासावा सिद्धांत में पहला चरण है।

कुछ गुणों वाले सभी संभावित विस्तारों को सम्मिलित करने के लिए, गैलोज़ समूह अवधारणा को सामान्यतः (अनंत) क्षेत्र विस्तार पर लागू किया जाता है $\overline{K}$ / बीजगणितीय समापन का K, पूर्ण गैलोज़ समूह G की ओर ले जाता है := गैल($\overline{K}$ / K) या सिर्फ गैल (K), और विस्तार के लिए $$K / \mathbb{Q}$$. गैलोज़ सिद्धांत का मौलिक प्रमेय बीच के क्षेत्रों को जोड़ता है $$K$$ और इसके बीजगणितीय समापन और गैल (K) के बंद उपसमूह। उदाहरण के लिए, अबेलियनाइजेशन उस क्षेत्र से मेल खाता है जिसे अधिकतम एबेलियन विस्तार  K कहा जाता हैab (ऐसा इसलिए कहा जाता है क्योंकि कोई भी आगे का विस्तार एबेलियन नहीं है, अर्थात, इसमें एबेलियन गैलोज़ समूह नहीं है)। क्रोनकर-वेबर प्रमेय के अनुसार, का अधिकतम एबेलियन विस्तार $$\mathbb{Q}$$ एकता की सभी जड़ों द्वारा उत्पन्न विस्तार है। अधिक सामान्य संख्या क्षेत्रों के लिए, वर्ग क्षेत्र सिद्धांत, विशेष रूप से आर्टिन पारस्परिकता कानून जी का वर्णन करके उत्तर देता है जो आदर्श वर्ग समूह के संदर्भ में ab होता है। हिल्बर्ट वर्ग क्षेत्र भी उल्लेखनीय है, जो अधिकतम एबेलियन अनरेमिफाइड क्षेत्र विस्तार है $$K$$. इसे परिमित रूप में दिखाया जा सकता है $$K$$, इसका गैलोज़ समूह ख़त्म $$K$$ के वर्ग समूह के लिए समरूपी है $$K$$, विशेष रूप से इसकी डिग्री वर्ग संख्या h के बराबर होती है $$K$$ (ऊपर देखें)।

कुछ स्थितियों में, गैलोज़ समूह समूह क्रिया अन्य गणितीय वस्तुओं पर, उदाहरण के लिए एक समूह। ऐसे समूह को गैलोज़ मॉड्यूल के रूप में भी जाना जाता है। यह गैलोज़ समूह गैल (K) के लिए समूह सह-समरूपता के उपयोग को सक्षम बनाता है, जिसे गैलोइस सह-समरूपता के रूप में भी जाना जाता है, जो पहले समष्टि पर गैल (K)-इनवेरिएंट लेने की सटीकता की विफलता को मापता है, परंतु गहरी अंतर्दृष्टि और प्रश्न प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, क्षेत्र विस्तार L/K का गैलोज़ समूह G×, L पर कार्य करता है। यह गैलोज़ मॉड्यूल कई अंकगणितीय द्वैत में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, जैसे पोइटो-टेट द्वैत। ब्राउए समूह $K$, मूल रूप से विभाजन बीजगणित को वर्गीकृत करने की कल्पना की गई थी। इसको सह-समरूपता समूह अर्थात् H2(Gal (K, K×)). के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है।

समष्टिीय-वैश्विक सिद्धांत
सामान्यतः, समष्टिीय से वैश्विक शब्द इस विचार को संदर्भित करता है कि वैश्विक समस्या पहले समष्टिीय स्तर पर की जाती है, जो प्रश्नों को सरल बनाती है। फिर, निश्चित रूप से, समष्टिीय विश्लेषण में प्राप्त जानकारी को किसी वैश्विक बयान पर वापस लाने के लिए एक साथ रखना होता है। उदाहरण के लिए, शीफ़ की धारणा टोपोलॉजी और ज्यामिति में उस विचार को पुष्ट करती है।

समष्टिीय और वैश्विक क्षेत्र
संख्या क्षेत्र, बीजगणितीय ज्यामिति में उपयोग किए जाने वाले क्षेत्र के एक अन्य वर्ग के साथ अत्यधिक हद तक समानता साझा करते हैं, जिसे परिमित क्षेत्र पर बीजगणितीय वक्र की बीजगणितीय विविधता के फलन क्षेत्र के रूप में जाना जाता है जिसका एक उदाहरण kp(t) है। वे कई मायनों में समान हैं, उदाहरण के लिए संख्या वलय एक-आयामी नियमित वलय हैं, जैसे कि वक्रों के समन्वय वलय (जिनके भागफल क्षेत्र प्रश्न में फलन क्षेत्र हैं) हैं। इसलिए, दोनों प्रकार के क्षेत्र को वैश्विक क्षेत्र कहा जाता है। ऊपर दिए गए प्रमाण के अनुसार, उनका अध्ययन पहले समष्टिीय स्तर पर किया जा सकता है, अर्थात संबंधित समष्टिीय क्षेत्रों को देखकर। संख्या क्षेत्र $K$, के लिए समष्टिीय क्षेत्र $$K$$ की पूर्णता आर्किमिडीयन सहित सभी समष्टियों पर हैं। फलन क्षेत्र के लिए, समष्टिीय क्षेत्र फलन क्षेत्र के लिए वक्र के सभी बिंदुओं पर समष्टिीय चक्रों की पूर्णता को संदर्भित करता है।

फलन क्षेत्र के लिए मान्य कई परिणाम, कम से कम यदि ठीक से पुन: तैयार किए गए हों, तो संख्या क्षेत्र के लिए भी मान्य होते हैं। यद्यपि, संख्या क्षेत्रों के अध्ययन में प्रायः ऐसी कठिनाइयाँ और घटनाएँ सामने आती हैं जिनका कार्य क्षेत्रों में सामना नहीं किया जाता है। उदाहरण के लिए, फलन क्षेत्र में, गैर-आर्किमिडीयन और आर्किमिडीयन समष्टियों में कोई द्वंद्व नहीं है। फिर भी, फलन क्षेत्र प्रायः अंतर्ज्ञान के स्रोत के रूप में कार्य करते हैं जो संख्या क्षेत्र विषय में अपेक्षित होना चाहिए।

हस्से सिद्धांत
वैश्विक स्तर पर उठाया जाने वाला एक आद्य प्रश्न यह है कि क्या किसी बहुपद $K$. समीकरण का कोई समाधान है यदि यह विषय है, तो यह समाधान भी सभी पूर्णताओं में एक समाधान है। समष्टिीय-वैश्विक सिद्धांत या हस्से सिद्धांत इस बात पर जोर देता है कि द्विघात समीकरणों के लिए, इसका व्युत्क्रम भी लागू होता है। इस प्रकार, यह जाँचना कि क्या ऐसे समीकरण का कोई समाधान है, सभी $K$, पूर्णताओं पर किया जा सकता है  जो प्रायः सरल होता है, क्योंकि विश्लेषणात्मक विधियों (शास्त्रीय विश्लेषणात्मक उपकरण जैसे कि आर्किमिडीयन समष्टियों पर मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय और गैर-आर्किमिडीयन समष्टियों पर पी-एडिक विश्लेषण) का उपयोग किया जा सकता है। यद्यपि, यह निहितार्थ अधिक सामान्य प्रकार के समीकरणों के लिए लागू नहीं होता है। यद्यपि, समष्टिीय डेटा से वैश्विक डेटा में समष्टिांतरित करने का विचार वर्ग क्षेत्र सिद्धांत में उपयोगी साबित होता है, उदाहरण के लिए, जहां समष्टिीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत का उपयोग ऊपर उल्लिखित वैश्विक अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए किया जाता है। यह इस तथ्य से भी संबंधित है कि पूर्णता के गैलोज़ समूह केv स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है, जबकि वैश्विक क्षेत्रों के गैलोज़ समूह का युग्म अविस्तारित होता है। यहां तक ​​​​कि $$\mathbb{Q}$$ को भी इसी समूह के रूप मे संदर्भित किया जाता है।

एडेल्स और आइडेल्स
इससे जुड़े सभी समष्टिीय क्षेत्रों से संबंधित समष्टिीय डेटा को इकट्ठा करने के लिए एडेल चक्र $K$, स्थापित है। इस तरह के गुणक प्रकार को आइडेल्स कहा जाता है।

सामान्यीकरण

 * बीजगणितीय फलन क्षेत्र

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत

 * डिरिचलेट की इकाई प्रमेय, एस-इकाई
 * कुमेर विस्तार
 * मिन्कोव्स्की का प्रमेय, संख्याओं की ज्यामिति
 * चेबोतारेव का घनत्व प्रमेय

वर्ग क्षेत्र सिद्धांत

 * रे वर्ग समूह
 * विघटन समूह
 * जीनस क्षेत्र

संदर्भ

 * Keith Conrad, http://www.math.uconn.edu/~kconrad/blurbs/gradnumthy/unittheorem.pdf
 * Helmut Hasse, Number Theory, Springer Classics in Mathematics Series (2002)
 * Serge Lang, Algebraic Number Theory, second edition, Springer, 2000
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 * Ram Murty, Problems in Algebraic Number Theory, Second Edition, Springer, 2005
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