हार्डी स्पेस

जटिल विश्लेषण में, हार्डी स्पेस (या हार्डी वर्ग) ''Hpयूनिट डिस्क या ऊपरी आधे तल पर होलोमोर्फिक फलन के कुछ स्थान हैं। उनका परिचय फ्रिगयेस रिज़्ज़ द्वारा किया गया था, जिन्होंने पेपर के कारण उनका नाम जी. H. हार्डी के नाम पर रखा। वास्तविक विश्लेषण में हार्डी स्पेस वास्तविक रेखा पर वितरण (गणित) के कुछ निश्चित स्थान होते हैं, जो (वितरण के अर्थ में) जटिल संख्या हार्डी स्पेस के होलोमोर्फिक कार्यों के सीमा मान होते हैं, और Lp स्पेस से संबंधित होते हैं।'' 1 ≤ p < ∞ के लिए ये वास्तविक हार्डी स्पेस Hp, Lp के कुछ उपसमुच्चय होते हैं, जबकि p < 1 के लिए Lp स्पेस कार्यात्मक विश्लेषण के स्थान में कुछ अवांछनीय गुण उपस्थित होते हैं, और हार्डी स्पेस बहुत उच्चतम व्यवहार करते हैं।

उच्च-आयामी सामान्यीकरण भी होते हैं, जिसमें जटिल स्थितियों में ट्यूब डोमेन पर कुछ होलोमोर्फिक फलन सम्मलित होता हैं, या वास्तविक स्थतियों में Rn पर वितरण के कुछ स्थान सम्मलित होते हैं।

हार्डी स्पेस के गणितीय विश्लेषण के साथ-साथ नियंत्रण सिद्धांत (जैसे कि H∞ विधियाँ) और प्रकीर्णन सिद्धांत भी कई अनुप्रयोग होते हैं।

यूनिट डिस्क के लिए हार्डी स्पेस
खुली इकाई डिस्क पर होलोमोर्फिक फलन के रिक्त स्थान (हार्डी स्पेस) के लिए, हार्डी स्पेस H2 में फलन f सम्मलित होता है जिसका मूल माध्य वर्ग त्रिज्या r के वृत्त पर नीचे से r → 1 के रूप में सीमित रहता है।

अधिक सामान्यतः, 0 < p < ∞ के लिए हार्डी स्पेस Hp, विवृत इकाई डिस्क पर होलोमोर्फिक फलन f का वर्ग उपयुक्त होता है


 * $$\sup_{0\leqslant r<1}\left(\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi}\left|f \left (re^{i\theta}\right )\right|^p \; \mathrm{d}\theta\right)^\frac{1}{p}<\infty.$$

यह वर्ग Hp एक सदिश समष्टि होता है। उपरोक्त असमानता के बाईं ओर की संख्या f के लिए हार्डी स्पेस p-मानदंड होता है, जिसे $$\|f\|_{H^p}$$ द्वारा प्रदर्शित किया गया है जब p ≥ 1, परन्तु जब 0< p <1 नहिं होता है तो यह एक मानक होता है।

स्पेस H∞ को मानक के साथ, डिस्क पर संवृत हुए होलोमोर्फिक फलन के सदिश स्थान के रूप में परिभाषित किया जाता है


 * $$\|f\|_{H^\infty} = \sup_{|z|< 1} \left|f(z)\right|.$$

0 < p ≤ q ≤ ∞ के लिए, श्रेणी Hq Hp का एक उपसमुच्चय होता है, और Hp-मानदंड p के साथ बढ़ता है (यह होल्डर की असमानता का परिणाम होता है कि संभाव्यता उपायों के लिए Lp-मानदंड बढ़ता है, अर्थात समस्त के साथ माप द्रव्यमान 1 होता है )।

इकाई चक्र पर हार्डी स्पेस
पूर्ववर्ती अनुभाग में परिभाषित हार्डी स्पेस को इकाई चक्र पर जटिल Lp स्पेस के कुछ संवृत सदिश उपस्थानों के रूप में भी देखा जा सकता है। यह सम्बन्ध  निम्नलिखित प्रमेय द्वारा प्रदान किया जाता है : दिया गया f ∈ H p, p ≥ 1 के साथ, रेडियल सीमा निम्नलिखित होती है


 * $$\tilde f\left(e^{i\theta}\right) = \lim_{r\to 1} f\left(re^{i\theta}\right)$$

न्यूनाधिक प्रत्येक θ के लिए उपस्थित होती है। फलन $$\tilde f$$ Lp के इकाई चक्र से संबंधित होता है, जो इस प्रकार है


 * $$\|\tilde f\|_{L^p} = \|f\|_{H^p}.$$

इकाई वृत्त को T और H p('T') द्वारा Lp का सदिश उपस्थान को निरूपित करते हुए, जिसमें सभी सीमा कार्य $$\tilde f$$ सम्मलित होते हैं, जब f, Hp में भिन्न होता है, तो किसी एक के पास p ≥ 1 होता है,


 * $$g\in H^p\left(\mathbf{T}\right)\text{ if and only if } g\in L^p\left(\mathbf{T}\right)\text{ and } \hat{g}(n)=0 \text{ for all } n < 0,$$

जहां ĝ(n) इकाई चक्र पर अभिन्न फलन g का फूरियर गुणांक होता हैं,


 * $$\forall n \in \mathbf{Z}, \ \ \ \hat{g}(n) = \frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi} g\left(e^{i\phi}\right) e^{-in\phi} \, \mathrm{d}\phi.$$

स्पेस Hp(T) Lp(T) का एक संवृत उपस्थान होता है। चूकिं Lp(T)क (1 ≤ p ≤ ∞ के लिए), तो Hp(T) भी होता है।

स्थान Hp(T) Lp(T) का एक संवृत उपस्थान है। चूँकि Lp(T) एक बनच स्पेस होता है (1 ≤ p ≤ ∞ के लिए), इसलिए यह Hp(T) भी होता है।

उपरोक्त को क्रम बदला जा सकता है। एक फलन $$\tilde f \in L^p (\mathbf T)$$ दिया गया, जो p ≥ 1 के साथ, कोई पॉइसन कर्नेल Pr के माध्यम से इकाई डिस्क पर एक (हार्मोनिक फलन) फलन f को पुनः प्राप्त कर सकता है:


 * $$f\left(re^{i\theta}\right)=\frac{1}{2\pi} \int_0^{2\pi} P_r(\theta-\phi) \tilde f\left(e^{i\phi}\right) \,\mathrm{d}\phi, \quad r < 1,$$

और f ठीक उसी समय H p से संबंधित होता है जब $$\tilde f$$ Hp(T) में होता है। मान लीजिए कि $$\tilde f$$ एचपी (टी) में होता है, अर्थात् प्रत्येक n < 0 के लिए an = 0 के साथ फूरियर गुणांक(an)n∈Z होता है, तो हार्डी स्पेस H p का तत्व एफ होलोमोर्फिक फलन होता है


 * $$f(z)=\sum_{n=0}^\infty a_n z^n, \ \ \ |z| < 1.$$

अनुप्रयोगों में, लुप्त हो रहे नकारात्मक फूरियर गुणांक वाले उन कार्यों को सामान्यतः कारण समाधान के रूप में व्याख्या किया जाता है। इस प्रकार, स्पेस H2 को स्वाभाविक रूप से L2 स्पेस के अंदर स्थित हुआ देखा जाता है, और N द्वारा अनुक्रमित अनंत अनुक्रमों द्वारा प्रदर्शित किया जाता है; जबकि L2 में Z द्वारा अनुक्रमित द्वि-अनंत अनुक्रम सम्मलित होता हैं।

चक्र पर वास्तविक हार्डी स्पेस से सम्बन्ध
जब 1 ≤ पी < ∞, वास्तविक हार्डी स्पेस एचपी पर इस लेख में आगे चर्चा की गई है। वर्तमान संदर्भ में वर्णन करना सुगम होता है। इकाई चक्र पर एक वास्तविक फलन f वास्तविक हार्डी स्पेस Hp(T) से संबंधित होता है यदि यह Hp(T) में एक फलन का वास्तविक भाग उपस्थितस्थ होता है, और एक जटिल फलन f वास्तविक हार्डी स्पेस iff Re(f) से संबंधित होता है और Im(f) स्पेस से संबंधित होता है (नीचे वास्तविक हार्डी रिक्त स्थान पर अनुभाग देखें)। इस प्रकार 1 ≤ p < ∞ के लिए, वास्तविक हार्डी स्पेस में हार्डी स्पेस सम्मलित होता है, परन्तु यह बहुत बड़ा होता है, क्योंकि फलन के वास्तविक और काल्पनिक भाग के बीच कोई संबंध नहीं होता है।

0 <p <1 के लिए, फूरियर गुणांक, पॉइसन इंटीग्रल, संयुग्म फलन जैसे उपकरण अब मान्य नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, फलन पर विचार करें


 * $$ F(z) = \frac{1 + z}{1 - z}, \quad |z| < 1.$$

तब F, Hp में होता है प्रत्येक 0 < p < 1 और रेडियल सीमा के लिए होता है


 * $$f(e^{i\theta}):= \lim_{r\to1} F(r e^{i\theta}) = i \, \cot(\tfrac{\theta}{2}).$$

a.e. के लिए θ और Hp(T) में उपस्थित होता है, परन्तु Re(f) न्यूनाधिक हर स्थान 0 होता है, इसलिए Re(f) से F को पुनर्प्राप्त करना अब संभव नहीं होता है। इस उदाहरण के परिणामस्वरूप, ऐसा देखा जाता है कि 0 < p < 1 के लिए, कोई ऊपर दिए गए सरल विधि से वास्तविक-Hp(T) (नीचे परिभाषित) को चित्रित नहीं कर सकता है, परन्तु अधिकतम कार्यों का उपयोग करके वास्तविक परिभाषा का उपयोग करना चाहिए, जो नीचे कहीं आगे दिया गया है।

समान फलन F के लिए, मान लीजिए fr(eiθ) = F(reiθ) होता है। सीमा जब r → 1 Re(fr) की, वृत्त पर वितरण के अर्थ में, z = 1 पर डिराक वितरण का एक गैर-शून्य गुणक होता है। इकाई वृत्त के एक बिंदु पर डिराक वितरण वास्तविक से संबंधित होता है- प्रत्येक पी <1 के लिए एचपी (टी) (नीचे देखें)।

आंतरिक और बाहरी कार्यों में गुणनखंडीकरण (ब्यूर्लिंग)
0 <p ≤ ∞ के लिए, H में प्रत्येक गैर-शून्य फलन fp को उत्पाद f = Gh के रूप में लिखा जा सकता है जहां G एक बाहरी फलन है और h एक आंतरिक फलन है, जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है । यह अर्ने बर्लिंग फ़ैक्टराइज़ेशन हार्डी स्पेस को आंतरिक और बाहरी कार्यों के स्थानों द्वारा पूरी तरह से चित्रित करने की अनुमति देता है। एक का कहना है कि G(z) यदि यह रूप लेता है तो यह एक बाहरी (बाहरी) कार्य होता है


 * $$G(z) = c\, \exp\left(\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}\frac{e^{i\theta}+z}{e^{i\theta}-z} \log\!\left(\varphi\!\left(e^{i\theta} \right)\right)\, \mathrm{d}\theta \right)$$


 * c| के साथ कुछ सम्मिश्र संख्या c के लिए = 1, और कुछ सकारात्मक मापनयोग्य फलन $$\varphi $$ इकाई चक्र पर इस प्रकार $$\log(\varphi) $$ वृत्त पर समाकलनीय होता है। विशेषकर, जब $$\varphi $$ वृत्त पर पूर्णांक होता है, G, H1 में होता है क्योंकि उपरोक्त पॉइसन कर्नेल का रूप लेता है । इसका अर्थ यह है कि


 * $$\lim_{r\to 1^-}\left|G\left (re^{i\theta} \right)\right| = \varphi \left(e^{i\theta}\right )$$

न्यूनाधिक प्रत्येक θ के लिए होता है।

इस प्रकार h एक 'आंतरिक (आंतरिक) कार्य' है यदि और केवल यदि |h| ≤ 1इकाई डिस्क और सीमा पर होत है


 * $$\lim_{r\to 1^-} h(re^{i\theta})$$

न्यूनाधिक सभी θ के लिए उपस्थिति होत है और इसका निरपेक्ष मान 1 ae के बराबर होता है। विशेष रूप से, h, H∞ मे होता है। आंतरिक कार्य को आगे ब्लाश्के उत्पाद से जुड़े एक रूप में सम्मलित किया जा सकता है।

फलन f, f = Gh के रूप में विघटित होता है, Hp में होता है यदि और केवल यदि φ Lp('T') से संबंधित है, जहां φ बाहरी फलन G के प्रतिनिधित्व में सकारात्मक फलन होता है।

मान लीजिए कि G एक बाहरी फलन है जिसे वृत्त पर एक फलन φ से ऊपर प्रदर्शित किया गया है। φ को φα से प्रतिस्थापित करना, α > 0, एक परिवार (Gα) बाहरी कार्यों को गुणों के साथ प्राप्त किया जाता है:


 * G1 = G, Gα+β = Gα Gβ and |Gα| = |G|α चक्र पर न्यूनाधिक प्रत्येक स्थान पर होता है।

यह इस प्रकार है कि जब भी 0 < p, q, r < ∞ और 1/r = 1/p + 1/q, Hr में प्रत्येक फलन f को Hp में एक फलन और Hq में एक फलन के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: H1 में प्रत्येक फलन H2 में दो फलन का उत्पाद है; Hp, p < 1 में प्रत्येक फलन को कुछ Hq, q > 1 में कई फलन के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

इकाई चक्र पर वास्तविक-परिवर्तनीय तकनीक
वास्तविक-परिवर्तनीय तकनीकें, मुख्य रूप से Rn पर परिभाषित वास्तविक हार्डी रिक्त स्थान के अध्ययन से सम्बन्धित होती हैं (नीचे देखें), चक्र के सरल ढांचे में भी उपयोग किया जाता है। इन वास्तविक स्थानों में जटिल कार्यों (या वितरण) की अनुमति देना एक साधारण बात होती है। निम्नलिखित परिभाषा वास्तविक या जटिल स्थितियों के मध्य अंतर नहीं करती है।

मान लीजिए Pr इकाई चक्र T पर पॉइसन कर्नेल को प्रदर्शित करता है। इकाई चक्र पर वितरण f के लिए, स्थापित करें


 * $$(M f)(e^{i\theta})=\sup_{0<r<1} \left |(f * P_r) \left(e^{i\theta} \right)\right|,$$

जहां तारा वितरण f और वृत्त पर फलन eiθ → Pr(θ) के बीच घुमाव को इंगित करता है।। अर्थात्, (f ∗ Pr)(eiθ) इकाई चक्र पर परिभाषित C∞-फलन पर f की क्रिया का परिणाम होता है-फलन को इकाई चक्र पर परिभाषित किया जाता है


 * $$e^{i\varphi} \rightarrow P_r(\theta - \varphi).$$

0 < p < ∞ के लिए, वास्तविक हार्डी स्पेस Hp('T') में वितरण f इस प्रकार सम्मलित होता है कि M f Lp(T) में होता है।

यूनिट डिस्क पर F(reiθ) = (f ∗ Pr)(eiθ) द्वारा परिभाषित फलन F हार्मोनिक होता है, और M f F का रेडियल अधिकतम फलन होता है। जब M f Lp(T) और p ≥ 1 से संबंधित होता है, तो वितरण f Lp(T) में एक फलन होता है, अर्थात् F का सीमा मान। p ≥ 1 के लिए, वास्तविक हार्डी स्पेस Hp(T) Lp(T) का एक उपसमुच्चय होता है।

संयुग्मी फलन
इकाई वृत्त पर प्रत्येक वास्तविक त्रिकोणमितीय बहुपद u के साथ, कोई वास्तविक संयुग्म बहुपद v को इस प्रकार जोड़ता है कि u + iv इकाई डिस्क में एक होलोमोर्फिक फलन तक विस्तारित होता है,


 * $$ u(e^{i\theta}) = \frac{a_0}{2} + \sum_{k \geqslant 1} a_k \cos(k \theta) + b_k \sin(k \theta) \longrightarrow v(e^{i\theta}) = \sum_{k \geqslant 1} a_k \sin(k \theta) - b_k \cos(k \theta). $$

उसकी मैपिंग u → v Lp(T) पर एक बंधे हुए रैखिक ऑपरेटर H तक विस्तारित होती है, जब 1 < p < ∞ (एक अदिश गुणक तक, यह इकाई चक्र पर हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म होता है), और H भी L1(T) को मैप करता है कमजोर करने के लिए- L1(T)। जब 1 ≤ p < ∞, तो इकाई चक्र पर वास्तविक मूल्यवान पूर्णांक फलन f के लिए निम्नलिखित समतुल्य होता हैं:
 * फलन f कुछ फलन g ∈ Hp(T) का वास्तविक भाग होता है।
 * फलन f और इसका संयुग्म H(f) Lp(T) से संबंधित होता है।
 * रेडियल अधिकतम फलन M f Lp(T) से संबंधित होता है।

जब 1 < p < ∞, H(f) Lp(T) से संबंधित होता है जब f ∈ Lp(T), इसलिए वास्तविक हार्डी स्पेस Hp(T) इस स्थिति में Lp(T) के साथ सामान्य होता है। p = 1 के लिए, वास्तविक हार्डी स्पेस H1(T) L1(T) का एक उचित उप-स्पेस होता है।

p = ∞ के स्थितियों को वास्तविक हार्डी स्पेस की परिभाषा से बाहर रखा गया था, क्योंकि L∞ फलन का अधिकतम फलन M f सदैव परिबद्ध होता है, और क्योंकि यह वांछनीय नहीं है कि वास्तविक-H∞ L∞ के बराबर हो। यघपि, निम्नलिखित दो गुण वास्तविक मूल्यवान फलन f के लिए समतुल्य होते हैं
 * फलन f कुछ फलन g ∈ H∞(T) का वास्तविक भाग होता है।
 * फलन f और इसका संयुग्म H(f) L∞(T) से संबंधित होता है।

0 < p <1 के लिए वास्तविक हार्डी स्पेस
जब 0 < p < 1, Hp में एक फलन F को चक्र पर इसके सीमा सीमा फलन के वास्तविक भाग से पुनर्निर्मित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि इस स्थिति में Lp की उत्तलता की कमी होती है। उत्तलता विफल हो जाती है परन्तु एक प्रकार की "जटिल उत्तलता" बनी रहती है, अर्थात् तथ्य यह है कि z → |z|q प्रत्येक q > 0 के लिए सबहार्मोनिक होता है। परिणामस्वरूप, यदि


 * $$ F(z) = \sum_{n=0}^{+\infty} c_n z^n, \quad |z| < 1$$

Hp में है, यह दिखाया जा सकता है कि cn = O(n1/p–1)। यह फूरियर श्रृंखला का अनुसरण करता है


 * $$ \sum_{n=0}^{+\infty} c_n e^{in \theta}$$

इकाई वृत्त पर वितरण f के वितरण के अर्थ में अभिसरण होता है, और F(reiθ) =(f ∗ Pr)(θ) होता है। फलन F ∈ Hp को चक्र पर वास्तविक वितरण Re(f) से पुनर्निर्मित किया जा सकता है, क्योंकि F के टेलर गुणांक cn की गणना Re(f) के फूरियर गुणांक से की जा सकती है।

चक्र पर वितरण हार्डी रिक्त स्थान को संभालने के लिए पर्याप्त सामान्य हैं जब पी < 1। वितरण जो फलन नहीं होता हैं, वे होते हैं, जैसा कि फलन एफ F(z) = (1−z)−N (for |z| < 1) के साथ देखा जाता है। जो Hp से संबंधित होता है जब 0 < N p < 1 (और N एक पूर्णांक ≥ 1) होता है।

वृत्त पर एक वास्तविक वितरण वास्तविक-Hp(T) iff से संबंधित होता है यदि यह कुछF ∈ Hp के वास्तविक भाग का सीमा मान होता है। यूनिट चक्र के किसी भी बिंदु x पर एक डायराक वितरण δx, प्रत्येक p < 1 के लिए वास्तविक-Hp(T) से संबंधित होता है; व्युत्पन्न δ′x तब होता है जब p <1/2, दूसरा व्युत्पन्न δ′′x और p <1/3 होता है।

ऊपरी आधे तल के लिए कठोर स्थान
डिस्क के अतिरिक्त अन्य डोमेन पर हार्डी स्पेस को परिभाषित करना संभव होता है, और कई अनुप्रयोगों में एक जटिल आधे-तल (सामान्यतः दायां आधा-तल या ऊपरी आधा-तल) पर हार्डी रिक्त स्थान का उपयोग किया जाता है।

हार्डी स्पेस H p('H') ऊपरी आधे तल पर 'H' को सीमित मानदंड के साथ 'H' पर होलोमोर्फिक फलन f की स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है, मानदंड द्वारा दिया जा रहा है


 * $$\|f\|_{H^p} = \sup_{y>0} \left ( \int_{-\infty}^{+\infty}|f(x+ iy)|^p\, \mathrm{d}x \right)^{\frac{1}{p}}.$$

संगत H∞(H) को दिए गए मानदंड के साथ, बंधे हुए मानदंड के कार्यों के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\|f\|_{H^\infty} = \sup_{z\in\mathbf{H}}|f(z)|.$$

यघपि इकाई डिस्क डी और ऊपरी आधे-प्लेन H को मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन के माध्यम से एक दूसरे से मैप किया जा सकता है, वे विनिमेय नहीं हैं हार्डी स्पेस के लिए डोमेन के रूप में। इस अंतर में योगदान देने वाला तथ्य यह है कि इकाई वृत्त में परिमित (एक-आयामी) लेब्सेग माप होता है जबकि वास्तविक रेखा में ऐसा नहीं होता है। हालाँकि, H2 के लिए, किसी के पास निम्नलिखित प्रमेय है: यदि m : D → H मोबियस परिवर्तन को प्रदर्शित करता है


 * $$m(z)= i \cdot \frac{1+z}{1-z}.$$

फिर रैखिक संकारक M : H2(H) → H2(D) द्वारा परिभाषित$$(Mf)(z):=\frac{\sqrt{\pi}}{1-z} f(m(z)).$$

हिल्बर्ट रिक्त स्थान की एक समरूपता होती है।

Rn के लिए वास्तविक हार्डी स्पेस
वास्तविक सदिश समष्टि Rn पर विश्लेषण में, हार्डी स्पेस Hp (0 < p ≤ ∞ के लिए) में टेम्पर्ड वितरण और फूरियर रूपांतरण सम्मलित होता हैं f ऐसा है कि कुछ श्वार्ट्ज फलन के लिए Φ ∫Φ = 1 के साथ, अधिकतम फलन


 * $$(M_\Phi f)(x)=\sup_{t>0}|(f*\Phi_t)(x)|$$

Lp(Rn) में होता है जहां ∗ कनवल्शन होता है और Φt&thinsp;(x) = t&thinsp;&minus;nΦ(x&thinsp;/&thinsp;t) होता है। Hp के वितरण f के Hp-क्वासिनोर्म ||f ||Hpp को MΦf केLp मानदंड के रूप में परिभाषित किया गया है (यह Φ की पसंद पर निर्भर करता है, परन्तु श्वार्ट्ज फलन Φ के विभिन्न विकल्प समकक्ष मानदंड देते हैं)। Hp-क्वासिनोर्म एक मानक होता है जब p ≥ 1, परन्तु जब p <1 होता है तो यह मानक नहीं होता है।

यदि 1 < p < ∞, हार्डी स्पेस Hp Lp के समान ही सदिश समष्टि होता है, समतुल्य मानदंड के साथ। जब p = 1, हार्डी स्पेस H1L1 का एक उचित उपसमष्टि होता है। कोई H में अनुक्रम पा सकता है1जो L में परिबद्ध हैं1परन्तु H में अनबाउंड1, उदाहरण के लिए लाइन पर


 * $$ f_k(x) = \mathbf{1}_{[0, 1]}(x - k) - \mathbf{1}_{[0, 1]}(x + k), \ \ \ k > 0.$$

एल1और H1मानदंड H पर समतुल्य नहीं होता हैं, और H1 L1 में संवृत नहीं होता है। H1 परिबद्ध माध्य दोलन के कार्यों का स्थान बीएमओ होता है। स्पेस बीएमओ में असीमित कार्य सम्मलित होते हैं (फिर से सिद्ध होता है कि H1 L1 में संवृत  नहीं होते है)।

यदि p < 1 है तो हार्डी स्पेस Hp में ऐसे तत्व हैं जो फलन नहीं होते हैं, और इसका दोहरा क्रम n(1/p − 1) का सजातीय लिप्सचिट्ज़ स्पेस होता है। जब पी <1, एचपी-क्वासिनोर्म एक मानक नहीं होता है, क्योंकि यह उपयोगात्मक नहीं होते है। पीटीएच शक्ति ||f ||Hpp, p < 1 के लिए उप-योगात्मक होता है और इसलिए हार्डी स्पेस Hp पर एक आव्युह को परिभाषित करता है, जो टोपोलॉजी को परिभाषित करता है और Hp को एक पूर्ण आव्युह स्पेस बनाता है।।

परमाणु अपघटन
जब 0 < p ≤ 1, कॉम्पैक्ट सपोर्ट का एक घिरा हुआ मापनीय फलन f हार्डी स्पेस Hp में होता है यदि और केवल यदि इसके सभी क्षण


 * $$\int_{\mathbf{R}^n} f(x)x_1^{i_1}\ldots x_n^{i_n}\, \mathrm{d}x, $$

जिसका क्रम i1+ ... +in अधिकतम n(1/p − 1) है, लुप्त हो जाता है। उदाहरण के लिए, f का समाकलन इस क्रम में लुप्त हो जाना चाहिए कि f ∈ Hp, 0 < p ≤ 1, और जब तक p > n&thinsp;/&thinsp;(n+1) यह भी पर्याप्त होता है।

यदि इसके अतिरिक्त f को किसी गेंद B में समर्थन प्राप्त है और वह |B|−1/p से घिरा हुआ है तो f को Hp-परमाणु कहा जाता है (यहाँ |B| Rn में B के यूक्लिडियन आयतन को प्रदर्शित करता है )। एक अनैतिक Hp का क्वासिनोर्म-परमाणु मात्र p और श्वार्ट्ज फलन Φ के आधार पर एक स्थिरांक से घिरा होता है।

जब 0 < p ≤ 1, H का कोई तत्व fp में Hp-परमाणु के अभिसरण अनंत संयोजन के रूप में 'परमाणु अपघटन ' होता है


 * $$f = \sum c_j a_j, \ \ \ \sum |c_j|^p < \infty$$

जहां aj Hp-परमाणु और cj अदिश होता है।

उदाहरण के लिए, डायराक वितरण के अंतर f = δ1−δ0 को Hp में अभिसरण, हार कार्यों की एक श्रृंखला के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है जब 1/2 < p < 1 (चक्र पर, संबंधित प्रतिनिधित्व 0 < p < 1 के लिए मान्य है, परन्तु लाइन पर, Haar फलन Hp से संबंधित नहीं हैं जब p ≤ 1/2 क्योंकि उनका अधिकतम कार्य अनंत पर a x−2 के बराबर है कुछ के लिए a ≠ 0 होता ह)।

मार्टिंगेल Hp
मान लीजिए (Mn)n≥0, σ-फ़ील्ड (Σn)n≥0 के बढ़ते अनुक्रम के संबंध में, कुछ संभाव्यता स्थान (Ω, Σ, P) पर एक मार्टिंगेल (संभावना सिद्धांत) है। सरलता के लिए मान लें कि Σ अनुक्रम ((Σn)n≥0 द्वारा उत्पन्न σ-फ़ील्ड के बराबर होता है। मार्टिंगेल के अधिकतम कार्य को परिभाषित किया गया है


 * $$ M^* = \sup_{n \ge 0} \, |M_n|.$$

माना 1 ≤ p < ∞ जब M* ∈ Lp होता है तो मार्टिंगेल (Mn)n≥0 मार्टिंगेल-Hp से संबंधित होता है।

यदि M* ∈ Lp, मार्टिंगेल (Mn)n≥0 में परिबद्ध होता है; इसलिए यह मार्टिंगेल अभिसरण प्रमेय द्वारा न्यूनाधिक निश्चित रूप से किसी फलन एफ में परिवर्तित हो जाता है। इसके अतिरिक्त, प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय द्वारा Mn Lp-मानदंड में f में परिवर्तित हो जाता है; इसलिए Mn को Σn पर f की सशर्त अपेक्षा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इस प्रकार मार्टिंगेल-एचपी को एलपी (Ω, Σ, P) के उप-स्थान के साथ पहचानना संभव है, जिसमें f सम्मलित हैं जैसे कि मार्टिंगेल के अधिकतम कार्य को परिभाषित किया गया है


 * $$M_n = \operatorname E \bigl( f | \Sigma_n \bigr)$$

डूब की अधिकतम असमानता का तात्पर्य है कि मार्टिंगेल-HpLp(Ω, Σ, P) के साथ समानता खाता है जब 1 < p < ∞ होता है। रुचिकर स्थान मार्टिंगेल-H1 है, जिसका दूसरा नाम मार्टिंगेल-बीएमओ होता है ।

बर्कहोल्डर-गुंडी असमानताएं (जब p > 1) और बर्गेस डेविस असमानता (जब p = 1) अधिकतम फलन के एलपी-मानदंड को मार्टिंगेल के वर्ग फलन से संबंधित होती हैं।


 * $$ S(f) = \left( |M_0|^2 + \sum_{n=0}^{\infty} |M_{n+1} - M_n|^2 \right)^{\frac{1}{2}}. $$

मार्टिंगेल-एचपी को यह कहकर परिभाषित किया जा सकता है कि S(f)∈ Lp।.

निरंतर समय पैरामीटर वाले मार्टिंगेल्स पर भी विचार किया जा सकता है। मौलिक सिद्धांत के साथ सीधा संबंध जटिल वीनर प्रक्रिया (Bt) के माध्यम से प्राप्त किया जाता है) जटिल तल में, समय t = 0 पर बिंदु z = 0 से प्राम्भ करते हुए। मान लीजिए कि इकाई चक्र के हिटिंग समय को प्रदर्शित किया गया है। इकाई डिस्क में प्रत्येक होलोमोर्फिक फलन F के लिए,


 * $$ M_t = F(B_{t \wedge \tau}) $$

एक मार्टिंगेल है, जो मार्टिंगेल- Hp iff F ∈ Hp से संबंधित होता है ।

उदाहरण: डायडिक मार्टिंगेल-H1
इस उदाहरण में, Ω = [0, 1] और Σn प्रत्येक n ≥ 0 के लिए, 2−n लंबाई के 2n अंतरालों में [0, 1] के डायडिक विभाजन द्वारा उत्पन्न परिमित क्षेत्र होता है। यदि कोई फलन f [0, 1] हार प्रणाली (hk) पर इसके विस्तार द्वारा प्रदर्शित किया जाता है


 * $$ f = \sum c_k h_k,$$

तो f के मार्टिंगेल-H1 मानदण्ड को वर्ग फलन केL1 मानदण्ड द्वारा परिभाषित किया जा सकता है


 * $$ \int_0^1 \Bigl( \sum |c_k h_k(x)|^2 \Bigr)^{\frac{1}{2}} \, \mathrm{d}x.$$

यह स्थान, जिसे कभी-कभी H1(δ) द्वारा प्रदर्शित जाता है, वृत्त पर मौलिक वास्तविक H1 स्थान के समरूपी होते है । हार(Haar) प्रणाली H1(δ) के लिए एक बिना आधार अवस्था के होता है।