तनाव (यांत्रिकी)

सातत्य यांत्रिकी में, तनाव यांत्रिकी एक भौतिक राशि है जो विरूपण के समय सम्मिलित बलों का वर्णन करता है। खींची जा रही वस्तु, जैसे फैला हुआ इलास्टिक बैंड, तन्य तनाव के अधीन है और बढ़ाव से गुजर सकता है। एक वस्तु को एक साथ धकेला जा रहा है, जैसे कि एक मुड़ा हुआ स्पंज, संकुचित तनाव के अधीन है और छोटा हो सकता है। जितना अधिक बल और शरीर का क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र जितना छोटा होता है, उतना ही अधिक तनाव होता है। तनाव में प्रति क्षेत्र बल की इकाइयाँ होती हैं जैसे न्यूटन प्रति वर्ग मीटर (N/m2) या पास्कल (Pa)।

तनाव आंतरिक शक्तियों को व्यक्त करता है जो एक सतत सामग्री के पड़ोसी कण एक दूसरे पर आरोपित करते हैं, जबकि तनाव सामग्री के विरूपण का माप है। उदाहरण के लिए, जब एक ठोस वर्टिकल बार ओवरहेड वजन का समर्थन कर रहा होता है, तो बार में प्रत्येक कण उसके ठीक नीचे के कणों पर धकेलता है। जब एक तरल एक बंद कंटेनर में दबाव में होता है, तो प्रत्येक कण को ​​आसपास के सभी कणों द्वारा धक्का दिया जाता है। कंटेनर की दीवारें और दबाव उत्प्रेरण सतह (जैसे पिस्टन) उनके खिलाफ (न्यूटोनियन) प्रतिक्रिया में धक्का देती हैं। ये मैक्रोस्कोपिक बल वास्तव में बहुत बड़ी संख्या में अंतर-आणविक बलों और उन अणुओं में कणों के बीच टकराव का शुद्ध परिणाम हैं। तनाव को अक्सर लोअरकेस ग्रीक अक्षर सिग्मा (σ) द्वारा दर्शाया जाता है।

एक सामग्री के अंदर तनाव विभिन्न तंत्रों से उत्पन्न हो सकता है, जैसे बाहरी बल द्वारा बल्क सामग्री (जैसे गुरुत्वाकर्षण) या इसकी सतह (जैसे संपर्क बल, बाहरी दबाव या घर्षण) पर लागू तनाव। किसी ठोस सामग्री का कोई भी तनाव (विरूपण) एक आंतरिक लोचदार तनाव उत्पन्न करता है, जो वसंत की प्रतिक्रिया बल के समान होता है, जो सामग्री को उसकी मूल गैर-विकृत स्थिति में पुनर्स्थापित करता है। तरल पदार्थ और गैसों में, केवल विकृति जो मात्रा को बदलती है, लगातार लोचदार तनाव उत्पन्न करती है। यदि विरूपण धीरे-धीरे समय के साथ बदलता है, तो तरल पदार्थों में भी आमतौर पर कुछ चिपचिपा तनाव होता है, जो उस परिवर्तन का विरोध करता है। लोचदार और चिपचिपा तनाव आमतौर पर यांत्रिक तनाव के नाम से संयुक्त होते हैं। महत्वपूर्ण तनाव विरूपण नगण्य या गैर-सम्मिलित होने पर भी महत्वपूर्ण तनाव सम्मिलित हो सकता है (पानी के प्रवाह को मॉडलिंग करते समय एक आम धारणा)। बाहरी ताकतों की अनुपस्थिति में तनाव सम्मिलित हो सकता है; इस तरह के अंतर्निर्मित तनाव महत्वपूर्ण हैं, उदाहरण के लिए प्रीस्ट्रेस्ड कंक्रीट और टेम्पर्ड ग्लास में। किसी पदार्थ पर शुद्ध बलों के प्रयोग के बिना भी दबाव डाला जा सकता है, उदाहरण के लिए तापमान या रासायनिक संरचना में परिवर्तन या बाहरी विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों द्वारा (पीजोइलेक्ट्रिक और मैग्नेटोस्ट्रिक्टिव सामग्री के रूप में)।

यांत्रिक तनाव, विरूपण, और विरूपण के परिवर्तन की दर के बीच का संबंध काफी जटिल हो सकता है, हालांकि मात्रा पर्याप्त रूप से छोटी होने पर व्यवहार में एक रैखिक सन्निकटन पर्याप्त हो सकता है। तनाव जो सामग्री की निश्चित ताकत सीमा से अधिक है, स्थायी विरूपण (जैसे प्लास्टिक प्रवाह, फ्रैक्चर, गुहिकायन) या यहां तक ​​कि इसकी क्रिस्टल संरचना और रासायनिक संरचना को भी बदल देगा।

इतिहास


मनुष्य प्राचीन काल से सामग्रियों के अंदर तनाव के बारे में जानता है। 17वीं शताब्दी तक, यह समझ काफी हद तक सहज और अनुभवजन्य थी, हालांकि इसने समग्र धनुष और कांच उड़ाने जैसी अपेक्षाकृत उन्नत तकनीकों के विकास को नहीं रोका।

कई सहस्राब्दियों से, विशेष रूप से वास्तुकारों और बिल्डरों ने सीखा है कि राजधानियों, मेहराबों, कपोलों, ट्रस और जैसे सरल उपकरणों के साथ, सबसे प्रभावी तरीके से तनाव का सामना करने, संचारित करने और वितरित करने के लिए सावधानी से आकार वाले लकड़ी के बीम और पत्थर के ब्लॉक को एक साथ कैसे रखा जाए। गॉथिक गिरिजाघरों के उड़ने वाले बट्रेस।

प्राचीन और मध्यकालीन वास्तुकारों ने स्तंभों और बीमों के उचित आकार की गणना करने के लिए कुछ ज्यामितीय विधियों और सरल सूत्रों का विकास किया, लेकिन तनाव की वैज्ञानिक समझ 17वीं और 18वीं शताब्दी में आवश्यक उपकरणों के आविष्कार के बाद ही संभव हो पाई: गैलीलियो गैलीली की कठोर प्रयोगात्मक विधि, रेने डेसकार्टेस के निर्देशांक और विश्लेषणात्मक ज्यामिति, और न्यूटन के गति के नियम और संतुलन और अनंत काल की गणना। उन उपकरणों के साथ, ऑगस्टिन-लुई कॉची तनाव और तनाव की धारणाओं को पेश करके विकृत लोचदार शरीर का पहला कठोर और सामान्य गणितीय मॉडल देने में सक्षम थे। कॉची ने देखा कि एक काल्पनिक सतह पर बल उसके सामान्य सदिश का एक रैखिक कार्य था; और, इसके अलावा, यह एक सममित कार्य होना चाहिए (शून्य कुल संवेग के साथ)। तरल पदार्थों में तनाव की समझ न्यूटन से शुरू हुई, जिन्होंने समानांतर लैमिनार प्रवाह में घर्षण बल (कतरनी तनाव) के लिए एक अंतर सूत्र प्रदान किया।

परिभाषा
सीमा के सभी झुकावों के लिए तनाव को उस सीमा के प्रति इकाई क्षेत्र की एक छोटी सी सीमा के पार बल के रूप में परिभाषित किया गया है। एक मौलिक भौतिक मात्रा (बल) और एक विशुद्ध रूप से ज्यामितीय मात्रा (क्षेत्र) से व्युत्पन्न, तनाव भी एक मौलिक मात्रा है, जैसे वेग टोक़ या ऊर्जा जिसे सामग्री या उसके भौतिक कारणों की प्रकृति पर स्पष्ट विचार किए बिना परिमाणित और विश्लेषण किया जा सकता है।

सातत्य यांत्रिकी के मूल परिसर का अनुसरण करते हुए, तनाव एक स्थूल अवधारणा है। अर्थात्, इसकी परिभाषा और विश्लेषण में माने जाने वाले कण संरचना और अवस्था में सजातीय के रूप में माने जाने के लिए पर्याप्त छोटे होने चाहिए, लेकिन फिर भी क्वांटम प्रभावों और अणुओं की विस्तृत गति की उपेक्षा करने के लिए पर्याप्त बड़े हैं। इस प्रकार, दो कणों के बीच बल वास्तव में उनके अणुओं के बीच बहुत बड़ी संख्या में परमाणु बलों का औसत है; और द्रव्यमान, वेग, और बल जैसी भौतिक मात्राएं जो गुरुत्वाकर्षण जैसे त्रि-आयामी निकायों के थोक के माध्यम से कार्य करती हैं, उन्हें आसानी से वितरित माना जाता है। संदर्भ के आधार पर, कोई भी हो सकता है मान लें कि कण इतने बड़े हैं कि औसत को अन्य सूक्ष्म विशेषताओं से बाहर निकालने की अनुमति देते हैं, जैसे धातु की छड़ के दाने या लकड़ी के टुकड़े के तंतु।

परिमाणात्मक रूप से, तनाव को कॉची ट्रैक्शन वेक्टर टी द्वारा व्यक्त किया जाता है, जिसे ट्रैक्शन बल F के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो एक काल्पनिक अलग करने वाली सतह S पर सामग्री के आसन्न भागों के बीच होता है, जिसे S के क्षेत्र द्वारा विभाजित किया जाता है एक द्रव में आराम पर बल सतह के लंबवत होता है, और परिचित दबाव होता है। एक ठोस, या चिपचिपा तरल के प्रवाह में, बल F, S के लंबवत नहीं हो सकता है; इसलिए सतह पर तनाव को सदिश मात्रा माना जाना चाहिए, अदिश नहीं। इसके अलावा, दिशा और परिमाण आम तौर पर एस के अभिविन्यास पर निर्भर करते हैं। इस प्रकार सामग्री की तनाव स्थिति को एक टेंसर द्वारा वर्णित किया जाना चाहिए, जिसे (कॉची) तनाव टेंसर कहा जाता है; जो एक रैखिक कार्य है जो सतह S के सामान्य वेक्टर n को S के पार ट्रैक्शन वेक्टर T से संबंधित करता है। किसी भी चुनी हुई समन्वय प्रणाली के संबंध में, कॉची तनाव टेंसर को 3 × 3 वास्तविक संख्याओं के सममित मैट्रिक्स के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक सजातीय शरीर के भीतर भी, तनाव टेंसर एक स्थान से दूसरे स्थान पर भिन्न हो सकता है, और समय के साथ बदल सकता है; इसलिए, एक सामग्री के भीतर तनाव सामान्य रूप से एक समय-भिन्न टेन्सर क्षेत्र है।

सामान्य और कतरनी तनाव
सामान्य तौर पर, तनाव टी कि एक कण पी एक सतह एस में एक अन्य कण क्यू पर लागू होता है। एस के सापेक्ष कोई भी दिशा हो सकती है) या तनाव (भौतिकी)) सतह के लंबवत, और कतरनी तनाव जो सतह के समानांतर है। यदि सतह की सामान्य इकाई वेक्टर n (p की ओर q से इंगित करते हुए) को तय किया जाता है, तो सामान्य घटक को एकल संख्या, आंतरिक उत्पाद द्वारा व्यक्त किया जा सकता है T · n।यह संख्या सकारात्मक होगी यदि P Q (तन्य तनाव) पर खींच रहा है, और नकारात्मक यदि P Q (संपीड़ित तनाव) के खिलाफ धक्का दे रहा है तो कतरनी घटक तब वेक्टर है T − (T · n)n.

इकाइयाँ
तनाव का आयाम दबाव का है, और इसलिए इसके निर्देशांक को आमतौर पर दबाव के समान इकाइयों में मापा जाता है: अर्थात्, पास्कल (यूनिट) एस (पीए, अर्थात, न्यूटन (बल) प्रति वर्ग मीटर) अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली मेंइंपीरियल इकाइयों में यूनिट, या पाउंड-फोर्स प्रति वर्ग इंच (साई)।क्योंकि यांत्रिक तनाव आसानी से एक मिलियन पास्कल्स से अधिक है, एमपीए, जो मेगापास्कल के लिए खड़ा है, तनाव की एक सामान्य इकाई है।

कारण और प्रभाव
एक भौतिक शरीर में तनाव कई भौतिक कारणों से हो सकता है, जिसमें बाहरी प्रभाव और आंतरिक शारीरिक प्रक्रियाएं शामिल हैं।इनमें से कुछ एजेंटों (जैसे गुरुत्वाकर्षण, तापमान और चरण (रसायन विज्ञान) में परिवर्तन, और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र) सामग्री के थोक पर कार्य करते हैं, स्थिति और समय के साथ लगातार भिन्न होते हैं।अन्य एजेंट (जैसे बाहरी भार और घर्षण, परिवेश दबाव, और संपर्क बल) तनाव और बल बना सकते हैं जो कुछ सतहों, लाइनों या बिंदुओं पर केंद्रित हैं;और संभवतः बहुत कम समय के अंतराल पर (टकराव के कारण आवेग (भौतिकी) के रूप में)।सक्रिय मामले में, सूक्ष्म कणों का स्व-प्रसार मैक्रोस्कोपिक तनाव प्रोफाइल उत्पन्न करता है। सामान्य तौर पर, एक शरीर में तनाव वितरण को अंतरिक्ष और समय के एक टुकड़े -टुकड़े निरंतर कार्य के रूप में व्यक्त किया जाता है।

इसके विपरीत, तनाव को आमतौर पर सामग्री पर विभिन्न प्रभावों के साथ सहसंबद्ध किया जाता है, संभवतः birefringence, ध्रुवीकरण और पारगम्यता (पृथ्वी विज्ञान) जैसे भौतिक गुणों में परिवर्तन शामिल है। एक बाहरी एजेंट द्वारा तनाव को लागू करने से आमतौर पर कुछ विरूपण (यांत्रिकी) बनता है। सामग्री में तनाव (विरूपण), भले ही यह बहुत छोटा हो। एक ठोस सामग्री में, इस तरह का तनाव एक आंतरिक लोचदार तनाव उत्पन्न करेगा, जो एक स्ट्रेच्ड स्प्रिंग (डिवाइस) की प्रतिक्रिया बल के अनुरूप है, सामग्री को उसके मूल अवांछनीय स्थिति में पुनर्स्थापित करने के लिए प्रवृत्त होगा। परिभाषा के अनुसार द्रव सामग्री (तरल पदार्थ, गैस और प्लाज्मा (भौतिकी) s) केवल विकृति का विरोध कर सकते हैं जो उनकी मात्रा को बदल देगा। हालांकि, यदि समय के साथ विरूपण बदल रहा है, तो तरल पदार्थों में भी आमतौर पर कुछ चिपचिपा तनाव होगा, जो उस परिवर्तन का विरोध करता है। इस तरह के तनाव या तो कतरनी या प्रकृति में सामान्य हो सकते हैं। तरल पदार्थों में कतरनी तनाव की आणविक उत्पत्ति चिपचिपाहट पर लेख में दी गई है। सामान्य चिपचिपा तनावों के लिए भी शर्मा (2019) में पाया जा सकता है। तनाव और इसके प्रभावों और कारणों के बीच का संबंध, जिसमें विरूपण और विरूपण के परिवर्तन की दर शामिल है, काफी जटिल हो सकता है (हालांकि एक रैखिक लोच व्यवहार में पर्याप्त हो सकता है यदि मात्रा काफी छोटी होती है)।तनाव जो सामग्री की सामग्री की कुछ ताकत से अधिक है, परिणामस्वरूप स्थायी विरूपण (जैसे कि प्लास्टिसिटी (भौतिकी), फ्रैक्चर, गुहिकायन) या यहां तक कि इसकी क्रिस्टल संरचना और रसायन विज्ञान को भी बदल देगा।

सरल तनाव
कुछ स्थितियों में, एक शरीर के भीतर तनाव को पर्याप्त रूप से एक एकल संख्या, या एकल वेक्टर (एक संख्या और एक दिशा) द्वारा वर्णित किया जा सकता है।तीन ऐसी सरल तनाव स्थितियां, जो अक्सर इंजीनियरिंग डिजाइन में सामना करती हैं,  'अनियैक्सियल नॉर्मल स्ट्रेस' ',' 'सिंपल शीयर स्ट्रेस' 'और' 'आइसोट्रोपिक नॉर्मल स्ट्रेस' 'हैं। 

Uniaxial सामान्य तनाव
एक साधारण तनाव पैटर्न के साथ एक सामान्य स्थिति तब होती है जब एक सीधी छड़ी, समान सामग्री और क्रॉस सेक्शन के साथ, परिमाण के विपरीत बलों द्वारा तनाव (भौतिकी) के अधीन होती है $$F$$ इसके अक्ष के साथ।यदि सिस्टम यांत्रिक संतुलन में है और समय के साथ नहीं बदल रहा है, और बार के वजन को उपेक्षित किया जा सकता है, तो बार के प्रत्येक ट्रांसवर्सल सेक्शन के माध्यम से शीर्ष भाग को एक ही बल के साथ नीचे के हिस्से पर खींचना चाहिए, एफ के माध्यम से निरंतरता के साथ एफ।पूर्ण क्रॉस-सेक्शनल क्षेत्र, ए। इसलिए, किसी भी क्षैतिज सतह के पार, पूरे बार में तनाव, केवल एकल संख्या σ द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, केवल उन बलों के परिमाण के साथ गणना की जाती है, एफ, और क्रॉस अनुभागीय क्षेत्र, ए।$$\sigma=\frac{F}{A}$$ दूसरी ओर, यदि कोई बार को अपनी लंबाई के साथ काटने की कल्पना करता है, तो अक्ष के समानांतर, कट के पार दो हिस्सों के बीच कोई बल (इसलिए कोई तनाव नहीं) नहीं होगा। इस प्रकार के तनाव को सामान्य तनाव या अनियंत्रित तनाव कहा जा सकता है;विशेष रूप से, (uniaxial, सरल, आदि) तन्यता तनाव। यदि लोड बार पर संपीड़न (भौतिक) है, तो इसे खींचने के बजाय, विश्लेषण समान है सिवाय इसके कि बल एफ और तनाव $$\sigma$$ चेंज साइन, और तनाव को संपीड़ित तनाव कहा जाता है।

यह विश्लेषण मानता है कि तनाव समान रूप से पूरे क्रॉस-सेक्शन पर वितरित किया जाता है।व्यवहार में, इस बात पर निर्भर करता है कि बार छोरों पर कैसे जुड़ा होता है और इसे कैसे निर्मित किया जाता है, यह धारणा मान्य नहीं हो सकती है।उस स्थिति में, मूल्य $$\sigma$$ = एफ/ए केवल औसत तनाव होगा, जिसे इंजीनियरिंग तनाव या नाममात्र तनाव कहा जाता है।हालांकि, यदि बार की लंबाई L कई गुना अधिक व्यास डी है, और इसमें कोई सकल दोष या अंतर्निहित तनाव नहीं है, तो तनाव को किसी भी क्रॉस-सेक्शन पर समान रूप से वितरित किया जा सकता है जो कुछ समय से अधिक है।दोनों तरफ।(इस अवलोकन को सेंट-वेन्ट के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है)। अक्षीय तनाव और संपीड़न के अलावा कई अन्य स्थितियों में सामान्य तनाव होता है।यदि वर्दी और सममित क्रॉस-सेक्शन के साथ एक लोचदार बार समरूपता के अपने विमानों में से एक में मुड़ा हुआ है, तो परिणामी झुकने वाला तनाव अभी भी सामान्य होगा (क्रॉस-सेक्शन के लिए लंबवत), लेकिन क्रॉस सेक्शन पर भिन्न होगा: बाहरी भाग होगातन्य तनाव के तहत, जबकि आंतरिक भाग संकुचित हो जाएगा।सामान्य तनाव का एक और संस्करण घेरा तनाव है जो एक बेलनाकार पाइप (द्रव कन्वेनेंस) या दबाव पोत की दीवारों पर दबाव वाले तरल पदार्थ से भरा होता है।

सरल कतरनी तनाव
एक और सरल प्रकार का तनाव तब होता है जब गोंद या रबर जैसी लोचदार सामग्री की समान रूप से मोटी परत दो कठोर निकायों से दृढ़ता से जुड़ी होती है जो परत के समानांतर बलों द्वारा विपरीत दिशाओं में खींची जाती हैं;या एक नरम धातु बार का एक खंड जो एक स्निप्स के जबड़े द्वारा काटा जा रहा है। कैंची जैसा उपकरण।बता दें कि एफ उन बलों की भयावहता है, और एम उस परत का मध्य स्थान है।जिस तरह सामान्य तनाव के मामले में, m के एक तरफ परत का हिस्सा दूसरे भाग को उसी बल एफ के साथ खींचना चाहिए। यह मानते हुए कि बलों की दिशा ज्ञात है, एम के पार तनाव को केवल एकल द्वारा व्यक्त किया जा सकता हैसंख्या $$\tau$$, केवल उन बलों के परिमाण के साथ गणना की गई, एफ और क्रॉस सेक्शनल क्षेत्र, ए।$$\tau=\frac{F}{A}$$हालांकि, सामान्य तनाव के विपरीत, इस सरल कतरनी तनाव को क्रॉस-सेक्शन के समानांतर निर्देशित किया जाता है, बजाय इसके लंबवत होने के बजाय। किसी भी विमान के लिए जो परत के लंबवत है, एस के पार शुद्ध आंतरिक बल, और इसलिए तनाव, शून्य होगा।

जैसा कि अक्षीय रूप से लोड किए गए बार के मामले में, व्यवहार में कतरनी तनाव को परत पर समान रूप से वितरित नहीं किया जा सकता है;तो, पहले की तरह, अनुपात f/a केवल एक औसत (नाममात्र, इंजीनियरिंग) तनाव होगा।हालांकि, यह औसत अक्सर व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए पर्याप्त होता है। कतरनी तनाव तब भी देखा जाता है जब एक बेलनाकार पट्टी जैसे कि एक धुरा उसके छोर पर विपरीत टॉर्क के अधीन होता है।उस स्थिति में, प्रत्येक क्रॉस-सेक्शन पर कतरनी तनाव क्रॉस-सेक्शन के समानांतर होता है, लेकिन अक्ष के सापेक्ष उन्मुख स्पर्शरेखा, और अक्ष से दूरी के साथ बढ़ता है।अंत प्लेटों (फ्लैंग्स) को बाधित करने के कारण वेब को झुकने वाले लोड के तहत आई-बीम के मध्य प्लेट (वेब) में महत्वपूर्ण कतरनी तनाव होता है।

आइसोट्रोपिक तनाव
एक और सरल प्रकार का तनाव तब होता है जब भौतिक शरीर सभी दिशाओं में समान संपीड़न या तनाव के तहत होता है।यह मामला है, उदाहरण के लिए, तरल या गैस के एक हिस्से में आराम से, चाहे वह कुछ कंटेनर में संलग्न हो या द्रव के एक बड़े द्रव्यमान के हिस्से के रूप में;या लोचदार सामग्री के एक घन के अंदर, जिसे समान लंबवत बलों द्वारा सभी छह चेहरों पर दबाया या खींचा जा रहा है-बशर्ते, दोनों मामलों में, कि सामग्री सजातीय है, बिना अंतर्निहित तनाव के, और यह कि गुरुत्वाकर्षण और अन्य बाहरी बलों का प्रभाव हैउपेक्षित किया जा सकता है। इन स्थितियों में, किसी भी काल्पनिक आंतरिक सतह पर तनाव परिमाण में बराबर हो जाता है और हमेशा सतह के अभिविन्यास से स्वतंत्र रूप से सतह पर लंबवत रूप से निर्देशित होता है।इस प्रकार के तनाव को आइसोट्रोपिक सामान्य या सिर्फ आइसोट्रोपिक कहा जा सकता है;यदि यह संकुचित है, तो इसे हाइड्रोस्टेटिक दबाव या सिर्फ दबाव कहा जाता है।परिभाषा के अनुसार गैसें तन्यता तनाव का सामना नहीं कर सकती हैं, लेकिन कुछ तरल पदार्थ कुछ परिस्थितियों में आश्चर्यजनक रूप से बड़ी मात्रा में आइसोट्रोपिक तन्यता तनाव का सामना कर सकते हैं।जेड-ट्यूब देखें।

सिलेंडर तनाव
घूर्णी समरूपता वाले भाग, जैसे कि पहियों, एक्सल, पाइप और खंभे, इंजीनियरिंग में बहुत आम हैं।अक्सर ऐसे भागों में होने वाले तनाव पैटर्न में घूर्णी या यहां तक कि बेलनाकार समरूपता होती है।इस तरह के सिलेंडर तनावों का विश्लेषण डोमेन और/या तनाव टेंसर के आयाम को कम करने के लिए समरूपता का लाभ उठा सकता है।

सामान्य तनाव
अक्सर, यांत्रिक निकाय एक ही समय में एक से अधिक प्रकार के तनाव का अनुभव करते हैं;इसे संयुक्त तनाव कहा जाता है।सामान्य और कतरनी तनाव में, तनाव का परिमाण उन सतहों के लिए अधिकतम है जो एक निश्चित दिशा के लंबवत हैं $$d$$, और किसी भी सतह पर शून्य जो समानांतर हैं $$d$$।जब कतरनी तनाव केवल उन सतहों के पार शून्य होता है जो एक विशेष दिशा में लंबवत होते हैं, तो तनाव को biaxial कहा जाता है, और इसे दो सामान्य या कतरनी तनावों के योग के रूप में देखा जा सकता है।सबसे सामान्य मामले में, ट्रायक्सियल तनाव कहा जाता है, तनाव हर सतह तत्व में नॉनज़ेरो है।

कॉची तनाव टेंसर
संयुक्त तनावों को एकल वेक्टर द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है।यहां तक कि अगर सामग्री को शरीर की मात्रा में उसी तरह से तनाव दिया जाता है, तो किसी भी काल्पनिक सतह पर तनाव उस सतह के उन्मुखीकरण पर निर्भर करेगा, गैर-तुच्छ तरीके से। हालांकि, कॉची ने देखा कि तनाव वेक्टर $$T$$ एक सतह के पार हमेशा सतह की सतह का एक रैखिक कार्य होगा $$n$$, इकाई-लंबाई वेक्टर जो इसके लिए लंबवत है।वह है, $$T = \boldsymbol{\sigma}(n)$$, जहां कार्य $$\boldsymbol{\sigma}$$ संतुष्ट
 * $$\boldsymbol{\sigma}(\alpha u + \beta v) = \alpha\boldsymbol{\sigma}(u) + \beta\boldsymbol{\sigma}(v)$$

किसी भी वैक्टर के लिए $$u,v$$ और कोई भी वास्तविक संख्या $$\alpha,\beta$$। कार्यक्रम $$\boldsymbol{\sigma}$$, अब कॉची स्ट्रेस टेंसर कहा जाता है।(आज, दो भौतिक वेक्टर मात्राओं के बीच किसी भी रैखिक संबंध को एक टेंसर कहा जाता है, जो एक सामग्री में तनाव (तनाव) का वर्णन करने के लिए कॉची के मूल उपयोग को दर्शाता है।) टेंसर कैलकुलस में,), $$\boldsymbol{\sigma}$$ एक टेंसर के प्रकार के दूसरे क्रम के टेंसर के रूप में वर्गीकृत किया गया है। प्रकार (0,2)। वैक्टर के बीच किसी भी रैखिक मानचित्र की तरह, तनाव टेंसर को वास्तविक संख्याओं के 3 × 3 मैट्रिक्स द्वारा किसी भी चुने हुए कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में दर्शाया जा सकता है।इस बात पर निर्भर करता है कि क्या निर्देशांक गिने जाते हैं $$x_1,x_2,x_3$$ या नामित $$x,y,z$$, मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है $$ \begin{bmatrix} \sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\  \sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\  \sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33} \end{bmatrix} $$ या  $$ \begin{bmatrix}  \sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\ \sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\ \sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\ \end{bmatrix} $$ तनाव वेक्टर $$T = \boldsymbol{\sigma}(n)$$ सामान्य वेक्टर के साथ एक सतह के पार $$n$$ (जो कि सहसंयोजकों के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियनस#कोवेरिएंट ट्रांसफॉर्मेशन - पंक्ति और कॉलम वैक्टर | पंक्ति; क्षैतिज - वेक्टर) निर्देशांक के साथ $$n_1,n_2,n_3$$ तब एक मैट्रिक्स उत्पाद है $$T = n\cdot\boldsymbol{\sigma}$$ (जहां ऊपरी सूचकांक में टी ट्रांसपोज़ है, और परिणामस्वरूप हमें वैक्टर के सहसंयोजक और कॉन्ट्रैवेरियन को#कोवेरिएंट ट्रांसफॉर्मेशन (ROW) वेक्टर) मिलता है (Cauchy Stress Tensor पर देखें), वह है

\begin{bmatrix} T_1 & T_2 & T_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n_1 & n_2 & n_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{21} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{32} \\ \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33} \end{bmatrix} $$ के बीच रैखिक संबंध $$T$$ तथा $$n$$ रैखिक गति और बलों के स्थिर संतुलन के संरक्षण के मौलिक कानूनों से अनुसरण करता है, और इसलिए किसी भी सामग्री और किसी भी तनाव की स्थिति के लिए गणितीय रूप से सटीक है।एक सामग्री में हर बिंदु पर कॉची तनाव टेंसर के घटक संतुलन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं (कॉची गति समीकरण | शून्य त्वरण के लिए गति के कॉची के समीकरण)।इसके अलावा, कोणीय गति के संरक्षण के सिद्धांत का अर्थ है कि तनाव टेंसर सममित मैट्रिक्स है, जो कि है $$ \sigma_{12} = \sigma_{21}$$, $$\sigma_{13} = \sigma_{31}$$, तथा $$\sigma_{23} = \sigma_{32} $$।इसलिए, किसी भी बिंदु और तत्काल में माध्यम की तनाव स्थिति को नौ के बजाय केवल छह स्वतंत्र मापदंडों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है।ये लिखे जा सकते हैं

\begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{xy} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z \end{bmatrix} $$ जहां तत्व $$\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$$ ऑर्थोगोनल सामान्य तनाव (चुने हुए समन्वय प्रणाली के सापेक्ष) कहा जाता है, और $$\tau_{xy}, \tau_{xz},\tau_{yz}$$ ऑर्थोगोनल कतरनी तनाव।

निर्देशांक का परिवर्तन
Cauchy तनाव टेंसर निर्देशांक की प्रणाली में एक परिवर्तन के तहत टेंसर परिवर्तन कानून का पालन करता है।इस परिवर्तन कानून का एक चित्रमय प्रतिनिधित्व तनाव वितरण का मोहर का चक्र है। एक सममित 3 × 3 वास्तविक मैट्रिक्स के रूप में, तनाव टेंसर $$\boldsymbol{\sigma}$$ तीन पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल यूनिट-लंबाई eigenvalues और eigenvectors हैं $$e_1,e_2,e_3$$ और तीन वास्तविक eigenvalues और eigenvectors $$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$$, ऐसा है कि $$ \boldsymbol{\sigma} e_i = \lambda_i e_i$$।इसलिए, कुल्हाड़ियों के साथ एक समन्वय प्रणाली में $$e_1,e_2,e_3$$, तनाव टेंसर एक विकर्ण मैट्रिक्स है, और केवल तीन सामान्य घटक हैं $$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$$ प्रिंसिपल तनाव।यदि तीन eigenvalues समान हैं, तो तनाव एक आइसोट्रोपिक संपीड़न या तनाव है, हमेशा किसी भी सतह के लिए लंबवत होता है, कोई कतरनी तनाव नहीं होता है, और टेंसर किसी भी समन्वय फ्रेम में एक विकर्ण मैट्रिक्स होता है।

एक टेंसर क्षेत्र के रूप में तनाव
सामान्य तौर पर, तनाव समान रूप से एक भौतिक निकाय पर वितरित नहीं किया जाता है, और समय के साथ भिन्न हो सकता है।इसलिए, तनाव टेंसर को प्रत्येक बिंदु और प्रत्येक क्षण के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए, उस बिंदु के आसपास के माध्यम के एक असीम कण पर विचार करके, और उस कण में औसत तनाव को बिंदु पर तनाव के रूप में लेना।

पतली प्लेटों में तनाव
मानव निर्मित वस्तुओं को अक्सर विभिन्न सामग्रियों के स्टॉक प्लेटों से संचालन द्वारा बनाया जाता है जो उनके अनिवार्य रूप से दो-आयामी चरित्र को नहीं बदलते हैं, जैसे कि काटने, ड्रिलिंग, कोमल झुकने और किनारों के साथ वेल्डिंग।ऐसे निकायों में तनाव का वर्णन उन भागों को तीन-आयामी निकायों के बजाय दो-आयामी सतहों के रूप में मॉडलिंग करके सरल किया जा सकता है। उस दृश्य में, एक कण को प्लेट की सतह के एक असीम पैच के रूप में फिर से परिभाषित करता है, ताकि आसन्न कणों के बीच की सीमा एक अनंत रेखा तत्व बन जाए;दोनों को तीसरे आयाम में बढ़ाया जाता है, प्लेट के माध्यम से सामान्य (सीधे)।फिर तनाव को उनके सामान्य रेखा तत्व में दो आसन्न कणों के बीच आंतरिक बलों के माप के रूप में फिर से परिभाषित किया जाता है, जो उस रेखा की लंबाई से विभाजित होता है।तनाव टेंसर के कुछ घटकों को नजरअंदाज किया जा सकता है, लेकिन चूंकि कण तीसरे आयाम में असीम नहीं हैं, इसलिए अब उस टोक़ को अनदेखा नहीं कर सकते हैं जो एक कण अपने पड़ोसियों पर लागू होता है।उस टोक़ को एक झुकने वाले तनाव के रूप में तैयार किया जाता है जो प्लेट की वक्रता को बदलने के लिए जाता है।हालांकि, ये सरलीकरण वेल्ड्स में नहीं हो सकता है, तेज झुकता और क्रीज पर (जहां वक्रता (गणित) की त्रिज्या प्लेट की मोटाई के बराबर है)।

पतली बीम में तनाव
तनाव के विश्लेषण को पतली सलाखों, बीम (इंजीनियरिंग) एस या वर्दी के तारों (या सुचारू रूप से अलग-अलग) रचना और क्रॉस-सेक्शन के लिए भी काफी सरल किया जा सकता है जो मध्यम झुकने और घुमा के अधीन हैं।उन निकायों के लिए, कोई केवल क्रॉस-सेक्शन पर विचार कर सकता है जो बार के अक्ष के लंबवत होते हैं, और दो ऐसे क्रॉस सेक्शन के बीच अनंत लंबाई के साथ तार का एक टुकड़ा होने के रूप में एक कण को फिर से परिभाषित करते हैं।साधारण तनाव तब एक स्केलर (बार के तनाव या संपीड़न) में कम हो जाता है, लेकिन किसी को भी एक झुकने वाले तनाव को ध्यान में रखना चाहिए (जो कि बार की वक्रता को बदलने की कोशिश करता है, कुछ दिशा में अक्ष के लंबवत में) और एक टॉर्सनल स्ट्रेस (यह अपनी धुरी के बारे में इसे मोड़ या अन-ट्विस्ट करने की कोशिश करता है)।

तनाव के अन्य विवरण
Cauchy तनाव टेंसर का उपयोग भौतिक निकायों के तनाव विश्लेषण के लिए किया जाता है जो कि इन्फिनिटिमल स्ट्रेन थ्योरी का अनुभव करते हैं, जहां ज्यादातर मामलों में तनाव वितरण में अंतर की उपेक्षा की जा सकती है।बड़े विकृति के लिए, जिसे परिमित तनाव सिद्धांत भी कहा जाता है, तनाव के अन्य उपाय, जैसे कि पिओला -किरचॉफ स्ट्रेस टेंसर | पहला और दूसरा पिओला -किरचॉफ स्ट्रेस टेंसर्स, स्ट्रेस उपाय और तनाव के उपायों की आवश्यकता होती है। ठोस, तरल पदार्थ और गैसों में तनाव क्षेत्र होते हैं।स्थिर तरल पदार्थ सामान्य तनाव का समर्थन करते हैं लेकिन कतरनी तनाव के तहत प्रवाहित होंगे।चलती चिपचिपाहट कतरनी तनाव (गतिशील दबाव) का समर्थन कर सकती है।सॉलिड्स कतरनी और सामान्य तनाव दोनों का समर्थन कर सकते हैं, जिसमें डक्टाइल सामग्री कतरनी और भंगुर सामग्री के तहत असफल हो जाती है, जो सामान्य तनाव के तहत विफल हो जाती है।सभी सामग्रियों में तनाव से संबंधित गुणों में तापमान निर्भर विविधताएं होती हैं, और गैर-न्यूटोनियन द्रव | गैर-न्यूटोनियन सामग्री में दर-निर्भर विविधताएं होती हैं।

(नीचे की तस्वीर)।

तनाव विश्लेषण
तनाव विश्लेषण लागू भौतिकी की एक शाखा है जो ठोस वस्तुओं में आंतरिक बलों के आंतरिक वितरण के निर्धारण को कवर करती है।यह निर्धारित या अपेक्षित भार के तहत सुरंगों, बांधों, यांत्रिक भागों और संरचनात्मक फ्रेम जैसे संरचनाओं के अध्ययन और डिजाइन के लिए इंजीनियरिंग में एक आवश्यक उपकरण है।यह कई अन्य विषयों में भी महत्वपूर्ण है;उदाहरण के लिए, भूविज्ञान में, प्लेट टेक्टोनिक्स, वल्कनिज्म और हिमस्खलन जैसी घटनाओं का अध्ययन करने के लिए;और जीव विज्ञान में, जीवित प्राणियों की शारीरिक रचना को समझने के लिए।

लक्ष्य और धारणाएं
तनाव विश्लेषण आम तौर पर उन वस्तुओं और संरचनाओं से संबंधित होता है जिन्हें मैक्रोस्कोपिक स्थिर संतुलन में माना जा सकता है।न्यूटन के प्रस्ताव के नियमों के अनुसार, इस तरह की प्रणाली पर लागू होने वाली किसी भी बाहरी बल को आंतरिक प्रतिक्रिया बलों द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए, जो लगभग हमेशा आसन्न कणों के बीच सतह के संपर्क बल होते हैं - अर्थात् तनाव के रूप में। चूंकि प्रत्येक कण को संतुलन में रहने की आवश्यकता होती है, इसलिए यह प्रतिक्रिया तनाव आम तौर पर कण से कण तक फैल जाएगा, जिससे पूरे शरीर में तनाव वितरण होगा। तनाव विश्लेषण में विशिष्ट समस्या इन आंतरिक तनावों को निर्धारित करना है, जो बाहरी बलों को देखते हुए सिस्टम पर कार्य कर रहे हैं।उत्तरार्द्ध शरीर बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण या चुंबकीय आकर्षण) हो सकता है, जो किसी सामग्री की मात्रा में कार्य करता है; या केंद्रित भार (जैसे कि एक धुरा और एक असर (यांत्रिक) के बीच घर्षण, या एक रेल पर एक ट्रेन पहिया का वजन), जो एक दो-आयामी क्षेत्र, या एक लाइन के साथ, या एकल बिंदु पर कार्य करने की कल्पना की जाती है। तनाव विश्लेषण में एक आम तौर पर बलों के भौतिक कारणों या सामग्रियों की सटीक प्रकृति की अवहेलना करता है।इसके बजाय, एक मानता है कि तनाव विरूपण से संबंधित हैं (और, गैर-स्थिर समस्याओं में, विरूपण की दर के लिए) ज्ञात संवैधानिक समीकरणों द्वारा सामग्री के।

तरीके
तनाव विश्लेषण को प्रयोगात्मक रूप से किया जा सकता है, वास्तविक विरूपण साक्ष्य पर या स्केल मॉडल के लिए लोड लागू करके, और परिणामस्वरूप तनावों को मापने के लिए, कई उपलब्ध तरीकों में से किसी से। इस दृष्टिकोण का उपयोग अक्सर सुरक्षा प्रमाणन और निगरानी के लिए किया जाता है। हालांकि, अधिकांश तनाव विश्लेषण गणितीय तरीकों से किया जाता है, विशेष रूप से डिजाइन के समय। बेसिक स्ट्रेस एनालिसिस समस्या को यूलर के नियमों द्वारा तैयार किया जा सकता है। निरंतर निकायों के लिए गति के यूलर के समीकरण (जो न्यूटन के गति के नियमों के परिणाम हैं। न्यूटन के नियमों के लिए रैखिक गति और कोणीय गति के संरक्षण के लिए) और यूलर-कोची तनाव सिद्धांत, साथ में, साथ में। उपयुक्त संवैधानिक समीकरण। इस प्रकार एक आंशिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करता है जिसमें तनाव टेंसर क्षेत्र और तनाव टेंसर क्षेत्र को शामिल किया जाता है, जैसा कि अज्ञात कार्यों को निर्धारित किया जाता है। बाहरी शरीर बल अंतर समीकरणों में स्वतंत्र (दाएं हाथ की ओर) शब्द के रूप में दिखाई देते हैं, जबकि केंद्रित बल सीमा स्थितियों के रूप में दिखाई देते हैं। इसलिए बुनियादी तनाव विश्लेषण समस्या एक सीमा-मूल्य समस्या है। लोच (भौतिकी) संरचनाओं के लिए तनाव विश्लेषण लोच और अनंत तनाव सिद्धांत के सिद्धांत पर आधारित है।जब लागू भार स्थायी विरूपण का कारण बनते हैं, तो किसी को अधिक जटिल संवैधानिक समीकरणों का उपयोग करना चाहिए, जो कि इसमें शामिल भौतिक प्रक्रियाओं (प्लास्टिसिटी (भौतिकी), फ्रैक्चर, चरण संक्रमण, आदि) के लिए जिम्मेदार हो सकता है। हालांकि, इंजीनियर संरचनाओं को आमतौर पर डिज़ाइन किया जाता है ताकि अधिकतम अपेक्षित तनाव रैखिक लोच (निरंतर मीडिया के लिए हुक के कानून का सामान्यीकरण) की सीमा के भीतर अच्छी तरह से हो;यही है, आंतरिक तनावों के कारण होने वाली विकृति उनसे रैखिक रूप से संबंधित हैं।इस मामले में तनाव टेंसर को परिभाषित करने वाले अंतर समीकरण रैखिक होते हैं, और समस्या बहुत आसान हो जाती है।एक बात के लिए, किसी भी बिंदु पर तनाव भार का एक रैखिक कार्य होगा।छोटे पर्याप्त तनावों के लिए, यहां तक कि गैर-रैखिक प्रणालियों को आमतौर पर रैखिक माना जा सकता है।

तनाव विश्लेषण को सरल किया जाता है जब भौतिक आयाम और भार के वितरण संरचना को एक या दो-आयामी के रूप में माना जाता है।ट्रस के विश्लेषण में, उदाहरण के लिए, तनाव क्षेत्र को प्रत्येक सदस्य पर एकसमान और अनियंत्रित माना जा सकता है।फिर अंतर समीकरण समीकरणों के एक परिमित सेट को कम करते हैं (आमतौर पर रैखिक) के साथ कई अज्ञात।अन्य संदर्भों में व्यक्ति तीन-आयामी समस्या को दो-आयामी में कम करने में सक्षम हो सकता है, और/या सामान्य तनाव और तनाव टेंसर्स को सरल मॉडल जैसे कि अनियैक्सियल टेंशन/कम्प्रेशन, सिंपल शीयर, आदि द्वारा बदल सकता है। फिर भी, दो या तीन-आयामी मामलों के लिए एक आंशिक अंतर समीकरण समस्या को हल करना चाहिए। अंतर समीकरणों के लिए विश्लेषणात्मक या बंद-रूप समाधान प्राप्त किए जा सकते हैं जब ज्यामिति, संवैधानिक संबंध और सीमा की स्थिति काफी सरल होती है।अन्यथा किसी को आमतौर पर संख्यात्मक अनुमानों जैसे परिमित तत्व विधि, परिमित अंतर विधि और सीमा तत्व विधि का सहारा लेना चाहिए।

तनाव के वैकल्पिक उपाय
अन्य उपयोगी तनाव उपायों में पहले और दूसरे तनाव के उपाय शामिल हैं। Piola -Kirchhoff तनाव tensors, तनाव उपाय#बायोट तनाव, और तनाव माप#Kirchhoff तनाव।

Piola -Kirchhoff Stress Tensor
परिमित विरूपण टेंसर के मामले में, Piola -Kirchhoff तनाव टेन्सर संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन के सापेक्ष तनाव को व्यक्त करते हैं।यह कॉची तनाव टेंसर के विपरीत है जो वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन के सापेक्ष तनाव को व्यक्त करता है।Infinitesimal विकृति और घुमाव के लिए, Cauchy और Piola -Kirchhoff tensors समान हैं। जबकि कॉची तनाव टेंसर $$\boldsymbol{\sigma}$$ वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन में तनाव से संबंधित है, विरूपण ढाल और तनाव टेंसर्स को संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन से संबंधित गति से वर्णित किया जाता है;इस प्रकार सामग्री की स्थिति का वर्णन करने वाले सभी टेनर्स संदर्भ या वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन में नहीं हैं।संदर्भ या वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन में तनाव, तनाव और विरूपण का वर्णन करते हुए, संवैधानिक मॉडल को परिभाषित करना आसान हो जाएगा (उदाहरण के लिए, कॉची तनाव टेंसर एक शुद्ध रोटेशन के लिए भिन्न है, जबकि विरूपण तनाव टेंसर अपरिवर्तनीय है; इस प्रकार इस प्रकार परिभाषित करने में समस्याएं पैदा करते हैं।एक संवैधानिक मॉडल जो शुद्ध रोटेशन के समय एक अपरिवर्तनीय के संदर्भ में एक अलग -अलग टेंसर से संबंधित है, जैसा कि परिभाषा के अनुसार संवैधानिक मॉडल को शुद्ध घुमाव के लिए अपरिवर्तनीय होना चाहिए)।1 पियाओला -किरचॉफ स्ट्रेस टेंसर, $$\boldsymbol{P}$$ इस समस्या का एक संभावित समाधान है।यह टेंसर्स के एक परिवार को परिभाषित करता है, जो वर्तमान या संदर्भ स्थिति में शरीर के विन्यास का वर्णन करता है। 1 पियाओला -किरचॉफ स्ट्रेस टेंसर, $$\boldsymbol{P}$$ संदर्भ (सामग्री) कॉन्फ़िगरेशन में क्षेत्रों के साथ वर्तमान (स्थानिक) कॉन्फ़िगरेशन में बलों से संबंधित है।

\boldsymbol{P} = J~\boldsymbol{\sigma}~\boldsymbol{F}^{-T} ~$$ कहाँ पे $$\boldsymbol{F}$$ विरूपण ढाल है और $$J= \det\boldsymbol{F}$$ जैकबियन मैट्रिक्स और निर्धारक निर्धारक है। एक ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में घटकों के संदर्भ में, पहला पिओला -किरचॉफ तनाव द्वारा दिया गया है


 * $$P_{iL} = J~\sigma_{ik}~F^{-1}_{Lk} = J~\sigma_{ik}~\cfrac{\partial X_L}{\partial x_k}~\,\!$$

क्योंकि यह अलग-अलग समन्वय प्रणालियों से संबंधित है, 1 पायला-किरचॉफ तनाव एक दो-बिंदु टेंसर है।सामान्य तौर पर, यह सममित नहीं है।1 पायला -किरचॉफ तनाव इंजीनियरिंग तनाव की 1 डी अवधारणा का 3 डी सामान्यीकरण है। यदि सामग्री तनाव की स्थिति (कठोर रोटेशन) में बदलाव के बिना घूमती है, तो 1 पायला -किरचॉफ स्ट्रेस टेंसर के घटक सामग्री अभिविन्यास के साथ भिन्न होंगे। 1 पायला -किरचॉफ तनाव विकृति ढाल के लिए ऊर्जा संयुग्म है।

2nd Piola -Kirchhoff Stress Tensor
जबकि 1 पायला -किरचहॉफ तनाव वर्तमान कॉन्फ़िगरेशन में संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन में क्षेत्रों के लिए बलों से संबंधित है, द्वितीय पिओला -किरचहॉफ तनाव टेंसर $$\boldsymbol{S}$$ संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन में क्षेत्रों के संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन में बलों से संबंधित है।संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन में बल एक मानचित्रण के माध्यम से प्राप्त किया जाता है जो संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन में बल की दिशा और सामान्य क्षेत्र के बीच सापेक्ष संबंध को संरक्षित करता है।

\boldsymbol{S} = J~\boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{F}^{-T} ~. $$ एक ऑर्थोनॉर्मल आधार के संबंध में सूचकांक संकेतन में,
 * $$S_{IL}=J~F^{-1}_{Ik}~F^{-1}_{Lm}~\sigma_{km} = J~\cfrac{\partial X_I}{\partial x_k}~\cfrac{\partial X_L}{\partial x_m}~\sigma_{km} \!\,\!$$

यह टेंसर, एक-बिंदु टेंसर, सममित है। यदि सामग्री तनाव की स्थिति (कठोर रोटेशन) में परिवर्तन के बिना घूमती है, तो 2 पायला -किरचॉफ तनाव टेंसर के घटक स्थिर रहते हैं, भले ही सामग्री अभिविन्यास के बावजूद। दूसरा पायला -किरचहॉफ स्ट्रेस टेंसर परिमित विरूपण टेंसर के लिए ऊर्जा संयुग्म है। हरे रंग -लाग्रेंज परिमित तनाव टेंसर।

यह भी देखें

 * झुकना
 * दबाव की शक्ति
 * महत्वपूर्ण विमान विश्लेषण
 * केल्विन जांच बल माइक्रोस्कोप
 * मोहर के सर्कल
 * लाम का तनाव दीर्घवृत्त
 * अवशिष्ट तनाव
 * कतरनी ताकत
 * शॉट peening
 * तनाव (सामग्री विज्ञान)
 * तनाव टेंसर
 * तनाव दर टेंसर
 * तनाव -ऊर्जा टेंसर
 * तनाव -स्ट्रेन वक्र
 * तनाव एकाग्रता
 * क्षणिक घर्षण लोड हो रहा है
 * तन्यता ताकत
 * ताप का दबाव
 * वायरल स्ट्रेस
 * उपज (इंजीनियरिंग)
 * उपज की सतह
 * वायरल प्रमेय

अग्रिम पठन

 * Dieter, G. E. (3 ed.). (1989). Mechanical Metallurgy. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100406-8.
 * Landau, L.D. and E.M.Lifshitz. (1959). Theory of Elasticity.
 * Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9.
 * Dieter, G. E. (3 ed.). (1989). Mechanical Metallurgy. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100406-8.
 * Landau, L.D. and E.M.Lifshitz. (1959). Theory of Elasticity.
 * Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9.
 * Dieter, G. E. (3 ed.). (1989). Mechanical Metallurgy. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100406-8.
 * Landau, L.D. and E.M.Lifshitz. (1959). Theory of Elasticity.
 * Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9.
 * Landau, L.D. and E.M.Lifshitz. (1959). Theory of Elasticity.
 * Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9.
 * Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9.