ग्रुपॉयड

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत और होमोटॉपी सिद्धांत में, एक ग्रुपॉइड (अक्सर कम ब्रांट ग्रुपॉयड या आभासी समूह) कई समान तरीकों से समूह की धारणा को सामान्यीकृत करता है। एक ग्रूपोइड को एक के रूप में देखा जा सकता है:
 * द्विचर प्रचालन की जगह एक आंशिक फलन वाला समूह,
 * 'श्रेणी' जिसमें प्रत्येक आकारिकी व्युत्क्रमणीय होती है। इस प्रकार की एक श्रेणी को आकारिकी पर एक एकल संक्रिया के साथ संवर्धित के रूप में देखा जा सकता है, जिसे समूह सिद्धांत के साथ सादृश्य द्वारा व्युत्क्रम कहा जाता है। एक ग्रुपॉइड जहां केवल एक वस्तु होती है वह एक सामान्य समूह होता है।

आश्रित प्रकार की उपस्थिति में, सामान्य रूप से एक श्रेणी को वर्गीकृत किए गए एकाभ के रूप में देखा जा सकता है, और इसी तरह, एक ग्रुपॉयड को केवल वर्गीकृत किए गए समूह के रूप में देखा जा सकता है। आकारिता एक वस्तु से दूसरी वस्तु पर ले जाता है, और प्रकारों के एक आश्रित परिवार का निर्माण करता हैं, इस प्रकार आकारिकी को $$g:A \rightarrow B$$, $$h:B \rightarrow C$$, वर्गीकरण किया जा सकता है। संरचना तब कुल फलन है, $$\circ : (B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow B) \rightarrow A \rightarrow C $$, ताकि $$h \circ g : A \rightarrow C $$ ।

विशेष स्थितियों में सम्मिलित हैं,
 * सेटोइड्स: समुच्चय जो एक समतुल्य संबंध के साथ आता है,
 * जी-समुच्चय, समूह $$G$$ की क्रिया से सुसज्जित समुच्चय।

ग्रुपोइड्स का उपयोग अक्सर ज्यामितीय वस्तुओं जैसे विविध के बारे में तर्क करने के लिए किया जाता है। ने ब्रांट अर्धसमूह के माध्यम से ग्रुपॉयड्स को स्पष्ट रूप से पेश किया।

परिभाषाएँ
ग्रुपॉयड एक बीजगणितीय संरचना $$(G,\ast)$$ है जिसमें एक अरिक्त समुच्च्य $$G$$ और एक द्विआधारी आंशिक फलन '$$\ast$$' शामिल है जो $$G$$ पर परिभाषित है।

बीजगणितीय
एक ग्रुपॉयड एक समुच्चय $$G$$ है जिसमें एक एकात्मक संक्रिया $${}^{-1}:G\to G,$$ के और आंशिक फलन $$*:G\times G \rightharpoonup G$$ है। यहाँ * एक द्विआधारी संक्रिया नहीं है क्योंकि यह आवश्यक रूप से $$G$$ के सभी तत्वों के जोड़े के लिए परिभाषित नहीं है। सटीक शर्तें जिसके तहत $$*$$ परिभाषित किया गया है जो यहां व्यक्त नहीं किया गया है और जो स्थिति के अनुसार भिन्न होता है।

संक्रियाएँ $$\ast$$ और −1 में निम्नलिखित स्वयंसिद्ध गुण हैं, सभी के लिए $$a$$, $$b$$, और $$c$$ $$G$$ में ,
 * 1) साहचर्य, यदि $$a*b$$ और $$b*c$$ परिभाषित हैं, तो $$(a * b) * c$$ और $$a * (b * c)$$ परिभाषित हैं और बराबर हैं। इसके विपरीत यदि एक $$(a * b) * c$$ और $$a * (b * c)$$ परिभाषित है, तब वे दोनों परिभाषित हैं (और वे एक दूसरे के बराबर हैं), और $$a*b$$ और $$b*c$$ साथ भी परिभाषित हैं।
 * 2) गुणात्मक प्रतिलोम, $$a^{-1} * a$$ और $$a*{a^{-1}}$$ हमेशा परिभाषित होते हैं।
 * 3) पहचान, यदि $$a*b$$ परिभाषित किया गया है, तो $$a*b*{b^{-1}} = a$$, और $${a^{-1}} * a * b = b$$। (पिछले दो स्वयंसिद्ध पहले से ही दिखाते हैं कि ये भाव परिभाषित और स्पष्ट हैं।)

इन स्वयंसिद्धों से दो आसान और सुविधाजनक गुण निकलते हैं,
 * $$(a^{-1})^{-1} = a$$,
 * अगर $$a*b$$ परिभाषित किया गया है, तो $$(a*b)^{-1} = b^{-1} * a^{-1}$$।

श्रेणी सिद्धांत
एक समूह एक छोटी श्रेणी है जिसमें प्रत्येक आकृतिवाद एक समरूपता है, अर्थात, उलटा। अधिक स्पष्ट रूप से, एक समूह G है,
 * वस्तुओं का एक सेट G0
 * G0 में वस्तुओं x और y की प्रत्येक जोड़ी के लिए, x से y तक आकारिता (या तीर) का एक (संभवतः खाली) समुच्चय G(x,y) मौजूद है। हम f : x → y लिखते हैं, यह दर्शाने के लिए कि f, G(x,y) का एक अवयव है।
 * प्रत्येक वस्तु x के लिए, G(x,x) का एक निर्दिष्ट तत्व $$\mathrm{id}_x$$,
 * वस्तुओं x, y, और z के प्रत्येक त्रिगुण के लिए, एक फलन $$\mathrm{comp}_{x,y,z} : G(y, z)\times G(x, y) \rightarrow G(x, z): (g, f) \mapsto gf$$,
 * वस्तुओं के प्रत्येक जोड़ी के लिए x, y एक फलन है $$\mathrm{inv}: G(x, y) \rightarrow G(y, x): f \mapsto f^{-1}$$,

संतोषजनक, किसी भी f : x → y, g : y → z, और h : z → w के लिए,
 * $$f\ \mathrm{id}_x = f$$ और $$\mathrm{id}_y\ f = f$$;
 * $$(h g) f = h (g f)$$;
 * $$f f^{-1} = \mathrm{id}_y$$ और $$f^{-1} f = \mathrm{id}_x$$।

यदि f, G(x, y) का एक अवयव है तो x को f का 'स्रोत' कहा जाता है, जिसे s(f) लिखा जाता है, और y को f का 'लक्ष्य' कहा जाता है, जिसे t(f) लिखा जाता है। एक समूह G को कभी-कभी $$G_1 \rightrightarrows G_0$$ के रूप में दर्शाया जाता है, जहां $$G_1$$ सभी रूपों का समुच्चय है, और दो तीर $$G_1 \to G_0$$ स्रोत और लक्ष्य का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अधिक आम तौर पर, परिमित फाइबर उत्पादों को स्वीकार करने वाली मनमानी श्रेणी में एक समूहबद्ध वस्तु पर विचार किया जा सकता है।

परिभाषाओं की तुलना
बीजगणितीय और श्रेणी-सैद्धांतिक परिभाषाएँ समतुल्य हैं, जैसा कि अब हम दिखाते हैं। श्रेणी-सैद्धांतिक अर्थों में एक समूह को देखते हुए, G को सभी सेट G (x, y) (यानी x से y तक morphisms के सेट) का असंयुक्त मिलन होने दें। तब $$\mathrm{comp}$$ और $$\mathrm{inv}$$ जी पर आंशिक संचालन बनें, और $$\mathrm{inv}$$ वास्तव में हर जगह परिभाषित किया जाएगा। हम ∗ को परिभाषित करते हैं $$\mathrm{comp}$$ और −1 होना है $$\mathrm{inv}$$, जो बीजगणितीय अर्थ में एक ग्रुपॉइड देता है। जी. का स्पष्ट संदर्भ0 (और इसलिए $$\mathrm{id}$$) छोड़ा जा सकता है।

इसके विपरीत, बीजगणितीय अर्थ में एक ग्रुपॉइड जी दिया गया है, एक समानता संबंध परिभाषित करें $$\sim$$ इसके तत्वों पर $$a \sim b$$ अगर एक ∗ एक−1 = बी ∗ बी-1. चलो जी0 के तुल्यता वर्गों का समुच्चय हो $$\sim$$, अर्थात। $$G_0:=G/\!\!\sim$$. एक * ए को निरूपित करें−1 द्वारा $$1_x$$ अगर $$a\in G$$ साथ $$x\in G_0$$.

अब परिभाषित करें $$G(x, y)$$ सभी तत्वों के समुच्चय के रूप में f जैसे कि $$1_x*f*1_y$$ मौजूद। दिया गया $$f \in G(x,y)$$ और $$g \in G(y, z),$$ उनके संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है $$gf:=f*g \in G(x,z)$$. यह देखने के लिए कि यह अच्छी तरह से परिभाषित है, इसे देखें $$(1_x*f)*1_y$$ और $$1_y*(g*1_z)$$ मौजूद है, तो करता है $$(1_x*f*1_y)*(g*1_z)=f*g$$. तब x पर सर्वसमिका आकारिकी है $$1_x$$, और f का श्रेणी-सैद्धांतिक व्युत्क्रम f है-1.

उपरोक्त परिभाषाओं में सेट को वर्ग (सेट सिद्धांत) से बदला जा सकता है, जैसा कि आमतौर पर श्रेणी सिद्धांत में होता है।

शीर्ष समूह और कक्षाएँ
एक समूह जी को देखते हुए, जी में 'वर्टेक्स समूह' या 'आइसोट्रॉपी समूह' या 'ऑब्जेक्ट समूह' फॉर्म जी (एक्स, एक्स) के सबसेट हैं, जहां एक्स जी का कोई ऑब्जेक्ट है। यह उपरोक्त स्वयंसिद्धों से आसानी से अनुसरण करता है कि ये वास्तव में समूह हैं, क्योंकि तत्वों की प्रत्येक जोड़ी रचना योग्य है और व्युत्क्रम एक ही शीर्ष समूह में हैं।

एक बिंदु पर ग्रुपॉइड G की 'कक्षा' $$x \in X$$ सेट द्वारा दिया गया है $$s(t^{-1}(x)) \subset X$$ जी में एक morphism द्वारा एक्स से जोड़ा जा सकता है कि हर बिंदु से युक्त। यदि दो अंक $$x$$ और $$y$$ समान कक्षाओं में हैं, उनके शीर्ष समूह $$G(x)$$ और $$G(y)$$ समूह समरूपता हैं: यदि $$f$$ से कोई morphism है $$x$$ को $$y$$, तो मानचित्रण द्वारा समरूपता दी जाती है $$g\to fgf^{-1}$$.

कक्षाएँ सेट X का एक विभाजन बनाती हैं, और एक समूह को सकर्मक कहा जाता है यदि इसकी केवल एक कक्षा होती है (समकक्ष रूप से, यदि यह एक श्रेणी के रूप में जुड़ा हुआ है (श्रेणी सिद्धांत)। उस स्थिति में, सभी शीर्ष समूह समरूपी होते हैं (दूसरी ओर, यह संक्रामकता के लिए पर्याप्त स्थिति नहीं है; प्रतिउदाहरणों के लिए Groupoid#Examples अनुभाग देखें)।

उपसमूह और आकारिकी
का एक उपसमूह $$G \rightrightarrows X$$ एक उपश्रेणी है $$H \rightrightarrows Y$$ वह स्वयं एक समूह है। इसे विस्तृत या पूर्ण कहा जाता है यदि यह एक उपश्रेणी के रूप में विस्तृत उपश्रेणी या पूर्ण उपश्रेणी है, क्रमशः, यदि $$X = Y$$ या $$G(x,y)=H(x,y)$$ हरएक के लिए $$x,y \in Y$$.

एक ग्रुपॉइड मोर्फिज्म केवल दो (श्रेणी-सैद्धांतिक) ग्रुपॉयड्स के बीच एक मज़ेदार है।

ग्रुपोइड्स के विशेष प्रकार के रूपवाद रुचि के हैं। एक रूपवाद $$p: E \to B$$ यदि प्रत्येक वस्तु के लिए ग्रुपोइड्स की संख्या को कंपन  कहा जाता है $$x$$ का $$E$$ और प्रत्येक रूपवाद $$b$$ का $$B$$ पे शुरुवात $$p(x)$$ एक आकृति है $$e$$ का $$E$$ पे शुरुवात $$x$$ ऐसा है कि $$p(e)=b$$. एक कंपन को मोर्फिज्म को कवर करना या ग्रुपोइड्स का कवरिंग कहा जाता है यदि आगे ऐसा हो $$e$$ निराला है। ग्रुपोइड्स के कवरिंग मोर्फिज़्म विशेष रूप से उपयोगी होते हैं क्योंकि उनका उपयोग रिक्त स्थान के मानचित्रों को कवर करने के लिए किया जा सकता है। यह भी सच है कि किसी दिए गए ग्रुपॉयड के आकारिकी को कवर करने की श्रेणी $$B$$ Groupoid की क्रियाओं की श्रेणी के बराबर है $$B$$ सेट पर।

टोपोलॉजी
एक टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया $$X$$, होने देना $$G_0$$ सेट हो $$X$$. बिंदु से morphisms $$p$$ मुद्दे पर $$q$$ निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) पथ (टोपोलॉजी) के समतुल्य वर्ग हैं $$p$$ को $$q$$, दो रास्तों के समतुल्य होने के साथ यदि वे होमोटोपिक हैं। इस तरह के दो रूपों की रचना पहले पहले मार्ग का अनुसरण करके की जाती है, फिर दूसरे की; समरूपता तुल्यता गारंटी देती है कि यह रचना साहचर्य है। इस ग्रुपॉयड को मौलिक समूह  कहा जाता है $$X$$, निरूपित $$\pi_1(X)$$ (या कभी-कभी, $$\Pi_1(X)$$). सामान्य मौलिक समूह $$\pi_1(X,x)$$ तो बिंदु के लिए शीर्ष समूह है $$x$$.

मौलिक समूह की कक्षाएँ $$\pi_1(X)$$ के पथ से जुड़े घटक हैं $$X$$. तदनुसार, पथ से जुड़े स्थान का मूलभूत समूह सकर्मक है, और हम ज्ञात तथ्य को पुनर्प्राप्त करते हैं कि किसी भी आधार बिंदु पर मूलभूत समूह समरूप हैं। इसके अलावा, इस मामले में, मौलिक समूह और मौलिक समूह श्रेणियों के रूप में श्रेणियों की समानता हैं (सामान्य सिद्धांत के लिए समूह Groupoid#Relation to groups देखें)।

इस विचार का एक महत्वपूर्ण विस्तार मौलिक समूह पर विचार करना है $$\pi_1(X,A)$$ कहाँ $$A\subset X$$ आधार बिंदुओं का एक चुना हुआ समूह है। यहाँ $$\pi_1(X,A)$$ का एक (विस्तृत) उपसमूह है $$\pi_1(X)$$, जहां कोई केवल उन रास्तों पर विचार करता है जिनके अंतबिंदु संबंधित हैं $$A$$. सेट $$A$$ स्थिति की ज्यामिति के अनुसार चुना जा सकता है।

तुल्यता संबंध
अगर $$X$$ एक समुच्चय है, अर्थात एक समतुल्य संबंध वाला समुच्चय $$\sim$$, तो इस तुल्यता संबंध का प्रतिनिधित्व करने वाला एक समूह निम्नानुसार बनाया जा सकता है: इस समूह के शीर्ष समूह हमेशा तुच्छ होते हैं; इसके अलावा, यह समूह आम तौर पर सकर्मक नहीं है और इसकी कक्षाएँ बिल्कुल तुल्यता वर्ग हैं। दो चरम उदाहरण हैं:
 * ग्रुपॉयड की वस्तुएं किसके तत्व हैं $$X$$;
 * किन्हीं दो तत्वों के लिए $$x$$ और $$y$$ में $$X$$, वहाँ से एक एकल morphism है $$x$$ को $$y$$ (द्वारा इंगित करें $$(y,x)$$) अगर और केवल अगर $$x\sim y$$;
 * की रचना $$(z,y)$$ और $$(y,x)$$ है $$(z,x)$$.


 * यदि हर तत्व $$X$$ के हर दूसरे तत्व के साथ संबंध है $$X$$, हम की जोड़ी Groupoid प्राप्त करते हैं $$X$$, जिसके पास संपूर्ण है $$X \times X$$ तीरों के सेट के रूप में, और जो सकर्मक है।
 * यदि हर तत्व $$X$$ केवल स्वयं के संबंध में है, एक यूनिट ग्रुपॉयड प्राप्त करता है, जिसमें है $$X$$ तीरों के सेट के रूप में, $$s = t = id_X$$, और जो पूरी तरह से अकर्मक है (प्रत्येक सिंगलटन $$\{x\}$$ एक कक्षा है)।

उदाहरण

 * अगर $$f: X_0 \to Y$$ एक चिकनी विशेषण क्रिया है, फिर चिकनी कई गुनाओं का जलमग्न (गणित)। $$X_0\times_YX_0 \subset X_0\times X_0$$ एक तुल्यता संबंध है तब से $$Y$$ के भागफल टोपोलॉजी के लिए एक टोपोलॉजी आइसोमॉर्फिक है $$X_0$$ टोपोलॉजिकल स्पेस के विशेषण मानचित्र के तहत। अगर हम लिखते हैं, $$X_1 = X_0\times_YX_0$$ तब हमें एक ग्रुपॉयड  मिलता है$$X_1 \rightrightarrows X_0$$ जिसे कभी-कभी स्मूथ मैनिफोल्ड्स के विशेषण निमज्जन का साधारण समूह कहा जाता है।
 * यदि हम रिफ्लेक्सिविटी की आवश्यकता को शिथिल करते हैं और 'आंशिक तुल्यता संबंधों' पर विचार करते हैं, तो सेट के लिए कंप्यूटेशनल रियलाइजर्स पर तुल्यता की अर्ध-निर्णायक धारणाओं पर विचार करना संभव हो जाता है। यह ग्रुपोइड्स को सिद्धांत सेट करने के लिए एक संगणनीय सन्निकटन के रूप में उपयोग करने की अनुमति देता है, जिसे प्रति मॉडल कहा जाता है। एक श्रेणी के रूप में माना जाता है, प्रति मॉडल एक कार्टेशियन बंद श्रेणी है जिसमें प्राकृतिक संख्या ऑब्जेक्ट और सबोबजेक्ट क्लासिफायरियर हैं, जो मार्टिन हाइलैंड द्वारा पेश किए गए प्रभावी टोपोस को जन्म देते हैं।

चेक ग्रुपॉइड
और चेक ग्रुपॉयड पी। 5 एक खुले आवरण द्वारा दिए गए तुल्यता संबंध से जुड़ा एक विशेष प्रकार का समूह है $$\mathcal{U} = \{U_i\}_{i\in I}$$ कुछ कई गुना $$X$$. इसकी वस्तुएं असम्बद्ध संघ द्वारा दी गई हैं $$\mathcal{G}_0 = \coprod U_i$$, और उसके तीर चौराहा हैं $$\mathcal{G}_1 = \coprod U_{ij}$$ स्रोत और लक्ष्य मानचित्र तब प्रेरित मानचित्र  द्वारा दिए जाते हैं$$\begin{align} s = \phi_j: U_{ij} \to U_j\\ t = \phi_i: U_{ij} \to U_i \end{align}$$ और समावेशन मानचित्र"$\varepsilon: U_i \to U_{ii}$"ग्रुपॉइड की संरचना दे रहा है। वास्तव में, "को सेट करके इसे और बढ़ाया जा सकता है$\mathcal{G}_n = \mathcal{G}_1\times_{\mathcal{G}_0} \cdots \times_{\mathcal{G}_0}\mathcal{G}_1$"के रूप में $$n$$-इटरेटेड फाइबर उत्पाद जहां $$\mathcal{G}_n$$ का प्रतिनिधित्व करता है $$n$$संयोजन योग्य तीरों के टुपल्स। के बाद से फाइबर उत्पाद का संरचना मानचित्र स्पष्ट रूप से लक्ष्य मानचित्र है$$\begin{matrix} U_{ijk} & \to & U_{ij} \\ \downarrow & & \downarrow \\ U_{ik} & \to & U_{i} \end{matrix}$$ एक कार्तीय आरेख है जहाँ मानचित्रों को दिखाया जाता है $$U_i$$ लक्ष्य मानचित्र हैं। इस निर्माण को कुछ ∞-ग्रुपोइड्स के लिए एक मॉडल के रूप में देखा जा सकता है। इसके अलावा, इस निर्माण का एक और आर्टिफैक्ट है Čech cohomology|k-cocycles"$[\sigma] \in \check{H}^k(\mathcal{U},\underline{A})$" एबेलियन समूहों के कुछ निरंतर शेफ के लिए एक समारोह  के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है$$\sigma:\coprod U_{i_1\cdots i_k} \to A$$ कोहोलॉजी कक्षाओं का एक स्पष्ट प्रतिनिधित्व दे रहा है।

समूह क्रिया
यदि समूह (गणित) $$G$$ सेट पर काम करता है $$X$$, तो हम इस ग्रुप एक्शन (गणित) का प्रतिनिधित्व करने वाले एक्शन ग्रुपॉइड (या ट्रांसफॉर्मेशन ग्रुपॉइड) को निम्नानुसार बना सकते हैं:
 * वस्तुएँ किसके तत्व हैं $$X$$;
 * किन्हीं दो तत्वों के लिए $$x$$ और $$y$$ में $$X$$, से morphisms $$x$$ को $$y$$ तत्वों के अनुरूप $$g$$ का $$G$$ ऐसा है कि $$gx = y$$;
 * आकारिकी का प्रकार्य संघटन इसके द्विआधारी संक्रिया की व्याख्या करता है $$G$$.

अधिक स्पष्ट रूप से, एक्शन ग्रुपॉयड एक छोटी श्रेणी है $$\mathrm{ob}(C)=X$$ और $$\mathrm{hom}(C)=G\times X$$ और स्रोत और लक्ष्य मानचित्रों के साथ $$s(g,x) = x$$ और $$t(g,x) = gx$$. इसे अक्सर निरूपित किया जाता है $$G \ltimes X$$ (या $$X\rtimes G$$ उचित कार्य के लिए)। समूहभ में गुणन (या संघटन) तब होता है $$(h,y)(g,x) = (hg,x)$$ जिसे परिभाषित किया गया है $$y=gx$$.

के लिए $$x$$ में $$X$$शीर्ष समूह में वे सम्मिलित हैं $$(g,x)$$ साथ $$gx=x$$, जो सिर्फ आइसोट्रॉपी उपसमूह है $$x$$ दी गई क्रिया के लिए (यही कारण है कि शीर्ष समूहों को आइसोट्रॉपी समूह भी कहा जाता है)। इसी तरह, एक्शन ग्रुपॉयड की कक्षाएँ समूह क्रिया की कक्षा (समूह सिद्धांत) हैं, और ग्रुपॉइड सकर्मक है अगर और केवल अगर समूह क्रिया सकर्मक समूह क्रिया है।

वर्णन करने का दूसरा तरीका $$G$$-सेट फ़ंक्टर श्रेणी है $$[\mathrm{Gr},\mathrm{Set}]$$, कहाँ $$\mathrm{Gr}$$ समूह के लिए एक तत्व और समरूपता के साथ समूह (श्रेणी) है $$G$$. दरअसल, हर कार्यकर्ता $$F$$ इस श्रेणी का एक सेट परिभाषित करता है $$X=F(\mathrm{Gr})$$ और प्रत्येक के लिए $$g$$ में $$G$$ (अर्थात प्रत्येक आकृतिवाद के लिए $$\mathrm{Gr}$$) आपत्ति उत्पन्न करता है $$F_g$$ : $$X\to X$$. फ़ैक्टर की श्रेणीबद्ध संरचना $$F$$ हमें विश्वास दिलाता है $$F$$ ए परिभाषित करता है $$G$$-सेट पर कार्रवाई $$G$$. (अद्वितीय) प्रतिनिधित्व करने योग्य फ़ैक्टर $$F$$ : $$\mathrm{Gr} \to \mathrm{Set}$$ केली का प्रमेय है $$G$$. वास्तव में, यह फ़ैक्टर आइसोमोर्फिक है $$\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},-)$$ और इसलिए भेजता है $$\mathrm{ob}(\mathrm{Gr})$$ सेट पर $$\mathrm{Hom}(\mathrm{Gr},\mathrm{Gr})$$ जो परिभाषा के अनुसार सेट है $$G$$ और रूपवाद $$g$$ का $$\mathrm{Gr}$$ (यानी तत्व $$g$$ का $$G$$) क्रमपरिवर्तन के लिए $$F_g$$ सेट का $$G$$. हम Yoneda एंबेडिंग से यह निष्कर्ष निकालते हैं कि समूह $$G$$ समूह के लिए आइसोमॉर्फिक है $$\{F_g\mid g\in G\}$$, के क्रमपरिवर्तन समूहों के समूह का एक उपसमूह $$G$$.

परिमित सेट
की समूह क्रिया पर विचार करें $$\mathbb{Z}/2$$ परिमित सेट पर $$X = \{-2, -1, 0, 1, 2\}$$ जो प्रत्येक संख्या को उसके ऋणात्मक में ले जाता है, इसलिए $$-2 \mapsto 2$$ और $$1 \mapsto -1$$. भागफल समूह $$[X/G]$$ इस समूह क्रिया से तुल्यता वर्गों का समुच्चय है $$\{[0],[1],[2]\}$$, और $$[0]$$ की सामूहिक क्रिया है $$\mathbb{Z}/2$$ इस पर।

भागफल विविधता
कोई परिमित समूह $$ G $$ जो मैप करता है $$ GL(n) $$ affine अंतरिक्ष पर एक ग्रुप एक्शन दें $$ \mathbb{A}^n $$ (चूंकि यह ऑटोमोर्फिज्म का समूह है)। फिर, एक भागफल समूह रूपों का हो सकता है $$ [\mathbb{A}^n/G] $$, जिसमें स्टेबलाइजर के साथ एक बिंदु है $$ G $$ मूल में। इस तरह के उदाहरण orbifold ्स के सिद्धांत का आधार बनाते हैं। ऑर्बिफोल्ड्स का एक अन्य सामान्यतः अध्ययन किया गया परिवार भारित प्रक्षेपी स्थान है $$\mathbb{P}(n_1,\ldots, n_k)$$ और उनके उप-स्थान, जैसे कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड | कैलाबी-याउ ऑर्बिफोल्ड्स।

ग्रुपोइड्स का फाइबर उत्पाद
ग्रुपॉयड मॉर्फिज्म के साथ ग्रुपॉयड्स का आरेख दिया गया है

\begin{align} & & X \\ & & \downarrow \\ Y &\rightarrow & Z \end{align} $$ कहाँ $$ f:X\to Z $$ और $$ g:Y\to Z $$, हम ग्रुपॉइड बना सकते हैं $$ X\times_ZY $$ जिनकी वस्तुएँ त्रिगुण हैं $$ (x,\phi,y) $$, कहाँ $$ x \in \text{Ob}(X) $$, $$ y \in \text{Ob}(Y) $$, और $$ \phi: f(x) \to g(y) $$ में $$ Z $$. morphisms को morphisms की एक जोड़ी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$ (\alpha,\beta) $$ कहाँ $$ \alpha: x \to x' $$ और $$ \beta: y \to y' $$ ऐसा कि ट्रिपल के लिए $$ (x,\phi,y), (x',\phi',y') $$, में एक क्रमविनिमेय आरेख है $$ Z $$ का $$ f(\alpha):f(x) \to f(x') $$, $$ g(\beta):g(y) \to g(y') $$ और यह $$ \phi,\phi' $$.

समरूप बीजगणित
एक दो टर्म कॉम्प्लेक्स

C_1 \overset{d}{\rightarrow}C_0 $$ कंक्रीट श्रेणी में वस्तुओं की संख्या एबेलियन श्रेणी का उपयोग ग्रुपॉयड बनाने के लिए किया जा सकता है। इसमें वस्तुओं के रूप में सेट है $$C_0$$ और तीर के रूप में सेट $$C_1\oplus C_0$$; स्रोत morphism सिर्फ प्रक्षेपण है $$C_0$$ जबकि लक्ष्य आकृतिवाद पर प्रक्षेपण का जोड़ है $$C_1$$ से बना है $$d$$ और पर प्रक्षेपण $$C_0$$. यानी दिया $$c_1 + c_0 \in C_1\oplus C_0$$, अपने पास

t(c_1 + c_0) = d(c_1) + c_0. $$ बेशक, अगर एबेलियन श्रेणी एक योजना पर सुसंगत ढेरों की श्रेणी है, तो इस निर्माण का उपयोग ग्रुपोइड्स के presheaf बनाने के लिए किया जा सकता है।

पहेलियाँ
जबकि रूबिक क्यूब जैसी पहेलियों को समूह सिद्धांत (रुबिक क्यूब समूह देखें) का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है, कुछ पहेलियों को ग्रुपोइड्स के रूप में बेहतर रूप से तैयार किया जाता है। पन्द्रह पहेली के परिवर्तन एक ग्रुपॉइड बनाते हैं (समूह नहीं, क्योंकि सभी चालों की रचना नहीं की जा सकती)।  यह समूह क्रिया (गणित)#विन्यास और विन्यास पर सामान्यीकरण।

मैथ्यू ग्रुपोइड
मैथ्यू ग्रुपॉयड जॉन हॉर्टन कॉनवे द्वारा पेश किया गया एक समूह है जो 13 बिंदुओं पर अभिनय करता है जैसे कि एक बिंदु को ठीक करने वाले तत्व मैथ्यू समूह एम की एक प्रति बनाते हैं।12.

समूहों से संबंध
यदि एक ग्रुपॉइड में केवल एक ही वस्तु है, तो इसके आकारिकी का सेट एक समूह (बीजगणित) बनाता है। बीजगणितीय परिभाषा का प्रयोग करते हुए, इस तरह के समूह का शाब्दिक रूप से सिर्फ एक समूह है। ग्रुप थ्योरी की कई अवधारणाएं ग्रुपोइड्स के लिए सामान्यीकृत होती हैं, समूह होमोमोर्फिज्म की जगह ऑपरेटर  की धारणा के साथ।

प्रत्येक सकर्मक / जुड़ा हुआ समूह - अर्थात, जैसा कि ऊपर बताया गया है, जिसमें कोई भी दो वस्तुएँ कम से कम एक आकारिकी द्वारा जुड़ी हुई हैं - एक क्रिया समूह के लिए आइसोमोर्फिक है (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है) $$(G, X)$$. सकर्मकता से, क्रिया के तहत केवल एक कक्षा (समूह सिद्धांत) होगी।

ध्यान दें कि अभी उल्लिखित समरूपता अद्वितीय नहीं है, और कोई प्राकृतिक समकक्ष विकल्प नहीं है। एक सकर्मक समूह के लिए इस तरह के एक समरूपता को चुनना अनिवार्य रूप से एक वस्तु को चुनने के लिए होता है $$x_0$$, एक समूह समरूपता $$h$$ से $$G(x_0)$$ को $$G$$, और प्रत्येक के लिए $$x$$ के अलावा अन्य $$x_0$$, एक रूपवाद में $$G$$ से $$x_0$$ को $$x$$.

यदि कोई ग्रुपॉइड सकर्मक नहीं है, तो यह उपरोक्त प्रकार के ग्रुपॉयड्स के असंयुक्त संघ के लिए आइसोमॉर्फिक है, जिसे इसके जुड़े घटक भी कहा जाता है (संभवतः विभिन्न समूहों के साथ) $$G$$ और सेट करता है $$X$$ प्रत्येक जुड़े घटक के लिए)।

श्रेणी-सैद्धांतिक शर्तों में, ग्रुपॉयड के प्रत्येक जुड़े हुए घटक एक समूह के साथ एक समूह के बराबर श्रेणियां (लेकिन आइसोमोर्फिक श्रेणियां नहीं) हैं, जो कि एक समूह है। इस प्रकार कोई भी समूह असंबद्ध समूहों के एक बहुसमूह के बराबर है। दूसरे शब्दों में, समरूपता के बजाय समानता के लिए, किसी को सेट निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं है $$X$$, लेकिन केवल समूह $$G.$$ उदाहरण के लिए,


 * का मौलिक समूह $$X$$ के प्रत्येक पथ से जुड़े घटक के मौलिक समूहों के संग्रह के बराबर है $$X$$, लेकिन एक समरूपता के लिए प्रत्येक घटक में बिंदुओं के सेट को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है;
 * सेट $$X$$ तुल्यता संबंध के साथ $$\sim$$ प्रत्येक तुल्यता वर्ग के लिए तुच्छ समूह की एक प्रति के समतुल्य (एक समूह के रूप में) है, लेकिन एक समरूपता के लिए यह निर्दिष्ट करना आवश्यक है कि प्रत्येक तुल्यता वर्ग क्या है:
 * सेट $$X$$ समूह की समूह क्रिया (गणित) से सुसज्जित $$G$$ की एक प्रति के बराबर (ग्रुपॉइड के रूप में) है $$G$$ क्रिया के प्रत्येक कक्षा (समूह सिद्धांत) के लिए, लेकिन एक समरूपता को यह निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है कि प्रत्येक कक्षा क्या निर्धारित करती है।

समूहों के एक मात्र संग्रह में समूह का पतन, श्रेणी-सिद्धांत के दृष्टिकोण से भी कुछ जानकारी खो देता है, क्योंकि यह प्राकृतिक नहीं है (श्रेणी सिद्धांत)। इस प्रकार जब ग्रुपॉयड अन्य संरचनाओं के संदर्भ में उत्पन्न होते हैं, जैसा कि उपरोक्त उदाहरणों में है, तो यह पूरे ग्रुपॉयड को बनाए रखने में मददगार हो सकता है। अन्यथा, प्रत्येक को देखने का एक तरीका चुनना होगा $$G(x)$$ एक समूह के संदर्भ में, और यह चुनाव मनमाना हो सकता है। टोपोलॉजी के उदाहरण में, प्रत्येक बिंदु से पथों (या पथों के समतुल्य वर्ग) का एक सुसंगत विकल्प बनाना होगा $$p$$ प्रत्येक बिंदु पर $$q$$ उसी पथ से जुड़े घटक में।

एक अधिक रोशन करने वाले उदाहरण के रूप में, एक एंडोमोर्फिज्म वाले ग्रुपोइड्स का वर्गीकरण विशुद्ध रूप से समूह सैद्धांतिक विचारों को कम नहीं करता है। यह इस तथ्य के अनुरूप है कि एक एंडोमोर्फिज्म वाले वेक्टर रिक्त स्थान का वर्गीकरण गैर-तुच्छ है।

ग्रुपोइड्स भागफल रूपवाद समूहों की तुलना में अधिक प्रकार में आते हैं: हमारे पास, उदाहरण के लिए, फ़िब्रेशन्स, कवरिंग मोर्फिज़्म, सार्वभौमिक रूपवाद और भागफल मॉर्फिज़्म हैं। इस प्रकार एक उपसमूह $$H$$ एक समूह का $$G$$ की क्रिया उत्पन्न करता है $$G$$ के सह समुच्चय  के सेट पर $$H$$ में $$G$$ और इसलिए एक आवरण रूपवाद $$p$$ से, कहते हैं, $$K$$ को $$G$$, कहाँ $$K$$ #Vertex समूहों के साथ एक ग्रुपॉइड है और ऑर्बिट्स आइसोमॉर्फिक है $$H$$. इस प्रकार समूह की प्रस्तुतियाँ $$G$$ Groupoid की प्रस्तुतियों के लिए उठाया जा सकता है $$K$$, और यह उपसमूह की प्रस्तुतियों के बारे में जानकारी प्राप्त करने का एक उपयोगी तरीका है $$H$$. अधिक जानकारी के लिए, संदर्भ में हिगिंस और ब्राउन द्वारा पुस्तकें देखें।

ग्रुपोइड्स की श्रेणी
वह श्रेणी जिसकी वस्तुएँ ग्रुपॉइड हैं और जिनकी आकृतियाँ ग्रुपॉइड मॉर्फिज़्म हैं, उन्हें ग्रुपॉइड श्रेणी या ग्रुपोइड्स की श्रेणी कहा जाता है, और इसे Grpd द्वारा निरूपित किया जाता है।

श्रेणी जीआरपीडी, छोटी श्रेणियों की श्रेणी की तरह, कार्टेशियन बंद है: किसी भी समूह के लिए $$H,K$$ हम एक समूह का निर्माण कर सकते हैं $$\operatorname{GPD}(H,K)$$ जिनकी वस्तुएं आकारिकी हैं $$ H \to K $$ और जिनके तीर morphisms के प्राकृतिक तुल्यता हैं। इस प्रकार यदि $$ H,K $$ केवल समूह हैं, तो ऐसे तीर आकारिकी के संयुग्मन हैं। मुख्य परिणाम यह है कि किसी भी समूह के लिए $$ G,H,K $$ एक प्राकृतिक आपत्ति है

$$\operatorname{Grpd}(G \times H, K) \cong \operatorname{Grpd}(G, \operatorname{GPD}(H,K)).$$ यह परिणाम रुचि का है, भले ही सभी समूह हों $$ G,H,K $$ समूह मात्र हैं।

जीआरपीडी की एक अन्य महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि यह पूर्ण श्रेणी और पूर्ण श्रेणी दोनों है।

छोटी श्रेणियों की श्रेणी से संबंध
समावेश $$i : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{Cat}$$ बाएँ और दाएँ दोनों सहायक फ़ंक्टर हैं:


 * $$ \hom_{\mathbf{Grpd}}(C[C^{-1}], G) \cong \hom_{\mathbf{Cat}}(C, i(G)) $$
 * $$ \hom_{\mathbf{Cat}}(i(G), C) \cong \hom_{\mathbf{Grpd}}(G, \mathrm{Core}(C)) $$

यहाँ, $$C[C^{-1}]$$ एक श्रेणी के स्थानीयकरण को दर्शाता है जो हर रूपवाद को उलट देता है, और $$\mathrm{Core}(C)$$ सभी समरूपताओं की उपश्रेणी को दर्शाता है।

सरल सेट से संबंध
तंत्रिका (श्रेणी सिद्धांत) $$N : \mathbf{Grpd} \to \mathbf{sSet}$$ जीआरपीडी को साधारण सेट की श्रेणी की पूर्ण उपश्रेणी के रूप में एम्बेड करता है। ग्रुपॉयड की तंत्रिका हमेशा  कान जटिल  होती है।

तंत्रिका में बायां जोड़ होता है
 * $$ \hom_{\mathbf{Grpd}}(\pi_1(X), G) \cong \hom_{\mathbf{sSet}}(X, N(G)) $$

यहाँ, $$\pi_1(X)$$ साधारण सेट X के मूलभूत समूह को दर्शाता है।

Grpd
में Groupoids

एक अतिरिक्त संरचना है जो ग्रुपोइड्स आंतरिक से ग्रुपोइड्स, डबल-ग्रुपोइड्स की श्रेणी में प्राप्त की जा सकती है। क्योंकि Grpd एक 2-श्रेणी है, ये वस्तुएँ 1-श्रेणी के बजाय 2-श्रेणी बनाती हैं क्योंकि वहाँ अतिरिक्त संरचना होती है। अनिवार्य रूप से, ये ग्रुपॉयड हैं $$\mathcal{G}_1,\mathcal{G}_0$$ functors के साथ"$s,t: \mathcal{G}_1 \to \mathcal{G}_0$"और एक पहचान फ़ैक्टर"द्वारा दी गई एम्बेडिंग$i:\mathcal{G}_0 \to\mathcal{G}_1$"इन 2-ग्रुपोइड्स के बारे में सोचने का एक तरीका यह है कि इनमें ऑब्जेक्ट, आकारिकी, और वर्ग होते हैं जो लंबवत और क्षैतिज रूप से एक साथ रचना कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, दिए गए वर्ग $$\begin{matrix} \bullet & \to & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \end{matrix} $$ और $$\begin{matrix} \bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \to & \bullet \end{matrix}$$ के साथ $$a$$ एक ही रूपवाद, वे एक आरेख <ब्लॉकक्वोट> देकर लंबवत रूप से जुड़े हो सकते हैं$$\begin{matrix} \bullet & \to & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \xrightarrow{a} & \bullet \\ \downarrow & & \downarrow \\ \bullet & \to & \bullet \end{matrix}$$ जिसे लंबवत तीरों की रचना करके दूसरे वर्ग में परिवर्तित किया जा सकता है। वर्गों के क्षैतिज बन्धन के लिए एक समान रचना कानून है।

ज्यामितीय संरचनाओं के साथ ग्रुपोइड्स
ज्यामितीय वस्तुओं का अध्ययन करते समय, उत्पन्न होने वाले ग्रुपोइड्स अक्सर एक टोपोलॉजिकल स्पेस लेते हैं, उन्हें टोपोलॉजिकल ग्रुपॉयड में बदल देते हैं, या यहां तक ​​​​कि कुछ अलग-अलग संरचना, उन्हें लाइ ग्रुपोइड्स में बदल देते हैं। इन अंतिम वस्तुओं का अध्ययन उनके संबंधित [[झूठ बीजगणित]] के संदर्भ में भी किया जा सकता है, झूठ समूहों और झूठ बीजगणित के बीच संबंध के अनुरूप।

ज्यामिति से उत्पन्न होने वाले ग्रुपॉयड्स में अक्सर आगे की संरचनाएं होती हैं जो ग्रुपॉयड गुणन के साथ परस्पर क्रिया करती हैं। उदाहरण के लिए, पोइसन ज्यामिति में एक सहानुभूति समूह  की धारणा है, जो एक संगत  सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड  के साथ एक झूठ बोलना है। इसी तरह, किसी के पास संगत रिमेंनियन मीट्रिक, या  जटिल कई गुना  आदि के साथ ग्रुपॉयड हो सकते हैं।

यह भी देखें

 * ∞-ग्रुपॉइड
 * 2-समूह
 * होमोटॉपी प्रकार सिद्धांत
 * उलट श्रेणी
 * ग्रुपॉयड बीजगणित (बीजगणितीय ग्रुपॉयड के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए)
 * आर-बीजगणित

संदर्भ

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