विशेषता मोड विश्लेषण

विशेषता मोड (सीएम) कार्यों का एक सेट बनाते हैं, जो विशिष्ट सीमा स्थितियों के तहत, ऑपरेटर से संबंधित विद्युत क्षेत्र और प्रेरित विद्युत प्रवाह  को विकर्ण करता है। कुछ नियमों के अनुसार, सीएम का सेट अद्वितीय और पूर्ण होता है (कम से कम सैद्धांतिक रूप से) और इस तरह एक अध्ययन की गई वस्तु के व्यवहार का पूर्ण रूप से वर्णन करने में सक्षम होता है।

यह आलेख विद्युत चुम्बकीय  में विशेषता मोड अपघटन से संबंधित है, जिसमे एक डोमेन को सीएम सिद्धांत मूल रूप से प्रस्तावित किया जाता है।

पृष्ठभूमि
सीएम अपघटन को मूल रूप से एक प्रकीर्णन वाले मैट्रिक्स को विकर्णित मोड के सेट के रूप में प्रस्तुत किया गया था।  इस सिद्धांत को बाद में, एंटेना के लिए हैरिंगटन और माउटज़ द्वारा सामान्यीकृत किया गया था।  हैरिंगटन, मौत्ज़ और उनके छात्रों ने भी सिद्धांत के कई अन्य विस्तारों को क्रमिक रूप से विकसित किया था।    भले ही कुछ अग्रदूत 1940 के दशक के अंत में वापस प्रकाशित किए गए थे, परन्तु  सीएम की पूरी क्षमता अतिरिक्त 40 वर्षों के लिए अपरिचित बनी हुई थी। 2007 सीएम की क्षमताओं पर पुनः विचार किया गया था और तब से, सीएम में रुचि नाटकीय रूप से बढ़ गई थी। सीएम सिद्धांत का आगामी उछाल प्रमुख प्रकाशनों और अनुप्रयोगों की संख्या से परिलक्षित होता है।

परिभाषा
सादगी के लिए, केवल सीएम के मूल रूप - मुक्त स्थान मे पूर्ण रूप से विधुत संचालन (पीईसी) निकायों के लिए तैयार किया जाता है - इस आलेख पर इसके उपर विचार किया जाता है। विद्युत चुम्बकीय मात्रा केवल आवृत्ति डोमेन में फूरियर की छवियों के रूप में प्रदर्शित की जाती है। जिसमे लॉरेंज गेज का प्रयोग किया जाता है। एक पीईसी निकाय पर एक विद्युत चुम्बकीय तरंग का प्रकीर्णन पीईसी निकाय पर एक सीमा स्थिति के माध्यम से दर्शाया जाता है, अर्थात्


 * $$ \boldsymbol{\hat{n}} \times \boldsymbol{E}^\mathrm{i} = -\boldsymbol{\hat{n}} \times \boldsymbol{E}^\mathrm{s}, $$

साथ $$\boldsymbol{\hat{n}}$$ पीईसी सतह पर सामान्य वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है, $$\boldsymbol{E}^\mathrm{i}$$ घटना विद्युत क्षेत्र की तीव्रता का प्रतिनिधित्व करता है, और $$\boldsymbol{E}^\mathrm{s}$$ को बिखरे हुए विद्युत क्षेत्र की तीव्रता के प्रतिनिधित्व के रूप में परिभाषित किया जाता है


 * $$\boldsymbol{E}^\mathrm{s} = -\mathrm{j}\omega\boldsymbol{A} - \nabla\varphi, $$

जहाँ $$\mathrm{j}$$ काल्पनिक इकाई, $$\omega$$ कोणीय आवृत्ति,  और $$\boldsymbol{A}$$ वेक्टर क्षमता होती है


 * $$ \boldsymbol{A} \left(\boldsymbol{r}\right) = \mu_0 \int\limits_\Omega \boldsymbol{J} \left(\boldsymbol{r}'\right) G \left(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}'\right) \, \mathrm{d}S, $$

जहाँ $$\mu_0$$ वैक्यूम पारगम्यता, और $$\varphi$$ अदिश क्षमता होता है


 * $$ \varphi \left(\boldsymbol{r}\right) = - \frac{1}{\mathrm{j}\omega\epsilon_0} \int\limits_\Omega \nabla\cdot\boldsymbol{J} \left(\boldsymbol{r}'\right) G \left(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{r}'\right) \, \mathrm{d}S, $$

जहाँ $$\epsilon_0$$ वैक्यूम परमिटिटिविटी होती है, और $$G \left(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}'\right)$$ स्केलर ग्रीन का कार्य करती है


 * $$ G \left(\boldsymbol{r},\boldsymbol{r}'\right) = \frac{\mathrm{e}^{-\mathrm{j}k\left|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'\right|}}{4\pi \left|\boldsymbol{r} - \boldsymbol{r}'\right|} $$

और $$k$$ तरंग संख्या होती है। इंटीग्रो-डिफरेंशियल ऑपरेटर $$\boldsymbol{\hat{n}} \times \boldsymbol{E}^\mathrm{s} \left(\boldsymbol{J} \right)$$ विशेषता मोड के माध्यम से विकर्णित होती है।

सीएम अपघटन का शासी समीकरण इस प्रकार है
 * $$ \mathcal{X} \left(\boldsymbol{J}_n\right) = \lambda_n \mathcal{R} \left(\boldsymbol{J}_n\right) \qquad\mathrm{(1)} $$

साथ $$\mathcal{R}$$ और $$\mathcal{X}$$ प्रतिबाधा ऑपरेटर के वास्तविक और काल्पनिक भाग होता है, क्रमशः: $$\mathcal{Z}(\cdot) = \mathcal{R}(\cdot) + \mathrm{j}\mathcal{X}(\cdot)\,.$$ परिचालक, $$\mathcal{Z}$$ द्वारा परिभाषित किया जाता है
 * $$ \mathcal{Z} \left(\boldsymbol{J}\right) = \boldsymbol{\hat{n}} \times \boldsymbol{\hat{n}} \times \boldsymbol{E}^\mathrm{s} \left(\boldsymbol{J}\right). \qquad\mathrm{(2)} $$

(1) का परिणाम विशिष्ट विधाओं का एक समूह होता है $$\left\{\boldsymbol{J}_n\right\}$$, $$n\in \left\{1,2,\dots\right\}$$, संबद्ध विशेषता संख्याओं के साथ $$\left\{\lambda_n\right\}$$ स्पष्ट रूप से, (1) एक सामान्यीकृत ईजेनवेल्यू समस्या होती है, जो, यदपि, विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं की जा सकती है (कुछ विहित निकायों को छोड़कर) )। इसलिए, निम्नलिखित पैराग्राफ में वर्णित संख्यात्मक समाधान सामान्यतः नियोजित होता है।

मैट्रिक्स फॉर्मूलेशन
विवेक $$\mathcal{D}$$ बिखरने वाले के शरीर का $$\Omega$$ में $$M$$ उपडोमेन के रूप में $$\Omega^M = \mathcal{D}\left(\Omega\right)$$ और रैखिक रूप से स्वतंत्र टुकड़ा-वार निरंतर कार्यों के एक सेट का उपयोग करता है $$\left\{\boldsymbol{\psi}_n\right\}$$, $$n\in\left\{1,\dots,N\right\}$$, जो वर्तमान घनत्व की अनुमति देता है जिसे  $$\boldsymbol{J}$$ के रूप में प्रतिनिधित्व करता है :$$ \boldsymbol{J} \left(\boldsymbol{r}\right) \approx \sum\limits_{n=1}^N I_n \boldsymbol{\psi}_n \left(\boldsymbol{r}\right) $$ और गैलेरकिन विधि लागू करके, प्रतिबाधा संकारक (2)


 * $$ \mathbf{Z} = \mathbf{R} + \mathrm{j} \mathbf{X} = \left[Z_{uv}\right] = \left[\,\int\limits_\Omega \boldsymbol{\psi}_u^\ast \cdot \mathcal{Z} \left(\boldsymbol{\psi}_v\right) \, \mathrm{d}S\right]. $$

आइगेनवैल्यू प्रॉब्लम (1) को इसके मैट्रिक्स फॉर्म में फिर से ढाला जाता है


 * $$ \mathbf{X} \mathbf{I}_n = \lambda_n \mathbf{R}\mathbf{I}_n, $$

जिसे आसानी से हल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, सामान्यीकृत शूर अपघटन या अर्नोल्डी पुनरावृत्ति विस्तार गुणांकों का एक सीमित सेट प्रदान करता है $$\left\{\mathbf{I}_n\right\}$$ और संबंधित विशेषता संख्याएँ $$\left\{\lambda_n\right\}$$होती है। सीएम अपघटन के गुणों की जांच नीचे दी जाती है।



गुण
सीएम अपघटन के गुणों को इसके मैट्रिक्स रूप में प्रदर्शित किया जाता है।

सर्वप्रथम, याद रखें कि द्विरेखीय रूप


 * $$ P_\mathrm{r} \approx \frac{1}{2} \mathbf{I}^\mathrm{H} \mathbf{R} \mathbf{I} \geq 0 $$

और


 * $$ 2\omega\left(W_\mathrm{m} - W_\mathrm{e}\right) \approx \frac{1}{2} \mathbf{I}^\mathrm{H} \mathbf{X} \mathbf{I}, $$

जहां सुपरस्क्रिप्ट $$^\mathrm{H}$$ हर्मिटियन ट्रांसपोज़ और को दर्शाता है और $$\mathbf{I}$$ एक मनमाना सतह वर्तमान वितरण का प्रतिनिधित्व करता है, जो क्रमशः विकिरणित शक्ति और प्रतिक्रियाशील शुद्ध शक्ति के अनुरूप होता है, । निम्नलिखित गुणों को आसानी से आसुत किया जा सकता है:
 * वेटिंग मैट्रिक्स $$\mathbf{R}$$ सैद्धांतिक रूप से सकारात्मक निश्चित होता है और $$\mathbf{X}$$ अनिश्चितकालीन होता है। रेले भागफल
 * $$	\lambda_n \approx \frac{\mathbf{I}_n^\mathrm{H}\mathbf{X}\mathbf{I}_n}{\mathbf{I}_n^\mathrm{H}\mathbf{R}\mathbf{I}_n} $$

फिर संख्यात्मक सीमा का विस्तार करता है $$-\infty \leq \lambda_n \leq \infty$$ और इंगित करता है कि क्या  विशेषता मोड  ($$\lambda_n < 0$$आगमनात्मक ($$\lambda_n > 0$$), अनुनाद में ($$\lambda_n = 0$$),या वास्तव में कैपेसिटिव होते है। रेले भागफल उपयोग की गई मशीन की त्रुटिहीनता की संख्यात्मक गतिशीलता द्वारा सीमित है और सही ढंग से पाए गए मोड की संख्या को सीमित करते है।
 * विशेषता संख्याएँ आवृत्ति के साथ विकसित होती हैं, अर्थात, $$\lambda_n = \lambda_n \left(\omega\right)$$, वे एक-दूसरे को पार कर सकते हैं, या वे एक जैसे हो सकते हैं (अपक्षय के मामले में ). इस कारण से, चिकनी वक्र प्राप्त करने के लिए मोड की ट्रैकिंग सामान्रयतः लागू होती है $$\lambda_n \left(\omega\right)$$.    दुर्भाग्य से, यह प्रक्रिया आंशिक रूप से अनुमानी है और ट्रैकिंग एल्गोरिदम अभी भी पूर्णता से दूर होता हैं। * विशेषता मोड को वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के रूप में चुना जा सकता है, $$\mathbf{I}_n \in \mathbb{R}^{N\times 1}$$ दूसरे शब्दों में, अभिलक्षणिक विधाएं समप्रावस्था धाराओं का एक समूह बनाती हैं।
 * विशेषता मोड के आयाम के संबंध में सीएम अपघटन अपरिवर्तनीय है। इस तथ्य का उपयोग वर्तमान को सामान्य करने के लिए किया जाता है जिससे वे एकात्मक विकर्ण शक्ति को विकर्णित कर सकते है
 * $$	\frac{1}{2} \mathbf{I}_m^\mathrm{H} \mathbf{Z} \mathbf{I}_n \approx \left(1 + \mathrm{j} \lambda_n\right) \delta_{mn}. $$

यह अंतिम संबंध प्रतिबाधा ऑपरेटर (2) को विकर्णित करने के लिए विशेषता मोड की क्षमता को प्रस्तुत करता है और दूर क्षेत्र की ओर्थोगोनालिटी को प्रदर्शित करता है, अर्थात,


 * $$	\frac{1}{2} \sqrt{\frac{\varepsilon_0}{\mu_0}} \int\limits_0^{2\pi} \int\limits_0^\pi \boldsymbol{F}_m^\ast \cdot \boldsymbol{F}_n \sin \vartheta \, \mathrm{d} \vartheta \, \mathrm{d} \varphi = \delta_{mn}. $$

मोडल मात्रा
मोडल धाराओं का उपयोग उनके मोडल रूप में ऐन्टेना मापदंडों का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:
 * मोडल दूर-क्षेत्र $$\boldsymbol{F}_n \left(\boldsymbol{\hat{e}}, \boldsymbol{\hat{r}}\right)$$ ($$\boldsymbol{\hat{e}}$$ - ध्रुवीकरण (लहरें), $$\boldsymbol{\hat{r}}$$ - दिशा),
 * मोडल दिशिकता $$\boldsymbol{D}_n \left(\boldsymbol{\hat{e}}, \boldsymbol{\hat{r}}\right)$$,
 * मोडल विकिरण दक्षता $$\eta_n$$,
 * मोडल गुणवत्ता कारक $$Q_n$$,
 * मोडल प्रतिबाधा $$Z_n$$।

इन मात्राओं का उपयोग विश्लेषण, फीडिंग सिंथेसिस, रेडिएटर के आकार अनुकूलन, या ऐन्टेना लक्षण वर्णन के लिए किया जा सकता है।

अनुप्रयोग और आगे का विकास
संभावित अनुप्रयोगों की संख्या बहुत अधिक है और अभी भी बढ़ रही है:
 * एंटीना विश्लेषण और संश्लेषण,
 * एमआईएमओ एंटेना का डिज़ाइन,
 * कॉम्पैक्ट एंटीना का डिजाइन (आरएफआईडी, वाई-फाई),
 * यूएवी एंटेना,
 * चेसिस और प्लेटफॉर्म का चयनात्मक उत्तेजना,
 * मॉडल ऑर्डर में कमी,
 * बैंडविड्थ में वृद्धि,
 * नैनोट्यूब और मेटामटेरियल्स,
 * कम्प्यूटेशनल इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स कोड का सत्यापन।

संभावित विषयों में सम्मलित होते हैं
 * एमएलएफएमए का उपयोग करके विद्युत रूप से बड़ी संरचनाओं की गणना करना,
 * अचालकता,
 * संयुक्त फील्ड इंटीग्रल समीकरण का उपयोग करना,
 * आवधिक संरचनाएं,
 * सरणियों के लिए सूत्रीकरण करना।

सॉफ्टवेयर
सीएम अपघटन हाल ही में प्रमुख विद्युत चुम्बकीय अर्थात् सिमुलेटरों एफईकेओ, सीएसटी-मेगावाट, और डब्ल्यूआईपीएल-डी में लागू किया गया था, । अन्य पैकेज शीघ्र ही इसका समर्थन करने वाले हैं, उदाहरण के लिए एचएफएसएस और सीईएम वन। इसके अतिरिक्त, इन-हाउस और अकादमिक पैकेजों की भी अधिकता होती है जो सीएम और कई संबद्ध मापदंडों का मूल्यांकन करने में सक्षम होती हैं।

वैकल्पिक आधार
सीएम रेडिएटर के संचालन को बेहतर ढंग से समझने के लिए उपयोगी होते हैं। उनका उपयोग कई व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए बड़ी सफलता के साथ किया जाता है। चूकि, इस बात पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है कि वे परिपूर्ण नहीं होते हैं और अधिकतर अन्य योगों जैसे कि ऊर्जा मोड, विकिरण मोड, संग्रहीत ऊर्जा मोड, या विकिरण दक्षता मोड का उपयोग करना अधिक उपयोगी होता है।