फैट-टेल्ड वितरण

मोटा-पूंछ वितरण एक संभाव्यता वितरण है जो एक सामान्य वितरण या एक घातीय वितरण के सापेक्ष एक बड़े विषमता या कर्टोसिस प्रदर्शित करता है। सामान्य उपयोग में, मोटी-पूंछ और भारी-पूंछ वाले वितरण शब्द कभी-कभी पर्यायवाची होते हैं; मोटा-पूंछ को कभी-कभी भारी-पूंछ वाले सबसेट के रूप में भी परिभाषित किया जाता है। विभिन्न अनुसंधान समुदाय बड़े पैमाने पर ऐतिहासिक कारणों से या दूसरे का पक्ष लेते हैं, और दोनों की त्रुटिहीन परिभाषा में अंतर हो सकता है।

भौतिक विज्ञान, पृथ्वी विज्ञान, अर्थशास्त्र और राजनीति विज्ञान: मोटे-पूंछ वाले वितरणों को आनुभविक रूप से विभिन्न क्षेत्रों में देखा गया है। मोटा-पूंछ वितरण के वर्ग में वे सम्मिलित हैं जिनकी पूंछ शक्ति नियम की तरह क्षीण हो जाती है, जो कि वैज्ञानिक साहित्य में उनके उपयोग में संदर्भ का एक सामान्य बिंदु है। चूंकि, मोटा-पूंछ वितरण में अन्य धीरे-धीरे क्षय करने वाले वितरण भी सम्मिलित हैं, जैसे लॉग-सामान्य वितरण।

अधिकतम स्थिति: शक्ति-नियम वितरण
मोटी पूंछ का सबसे अधिकतम स्थिति एक वितरण द्वारा दिया जाता है जिसकी पूंछ शक्ति-नियम वितरण की तरह घट जाती है. अर्थात्, यदि यादृच्छिक चर X के पूरक संचयी वितरण को $$ \Pr[X>x] \sim x^{- \alpha}\text{ as }x \to \infty,\qquad \alpha > 0\, $$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

तो वितरण को एक मोटी पूंछ कहा जाता है यदि $$\alpha<2$$ है। ऐसे मानों के लिए विचरण और पूंछ का विषमता गणितीय रूप से अपरिभाषित (शक्ति-नियम वितरण की विशेष गुण) है, और इसलिए किसी भी सामान्य या घातीय वितरण से बड़ा है। $$\alpha>2$$ के मानों के लिए, मोटी पूंछ का दावा अधिक अस्पष्ट है, क्योंकि इस पैरामीटर श्रेणी में $$\alpha$$ के त्रुटिहीन मान के आधार पर विचरण विषमता और कर्टोसिस परिमित हो सकता है और इस प्रकार संभावित रूप से उच्च विचरण सामान्य या घातीय पूंछ से छोटा होता है। यह अस्पष्टता अधिकांश ठीक-ठीक इस बारे में असहमति की ओर ले जाती है कि मोटा-पूंछ वाला वितरण क्या है या नहीं। $$k>\alpha-1$$ के लिए, $$k^{th}$$ क्षण अनंत है, इसलिए प्रत्येक शक्ति नियम वितरण के लिए, कुछ क्षण अपरिभाषित हैं।

नोट: यहाँ टिल्ड नोटेशन "$$ \sim $$" फ़ंक्शन के स्पर्शोन्मुख तुल्यता को संदर्भित करता है, जिसका अर्थ है कि उनका अनुपात स्थिर रहता है। दूसरे शब्दों में असमान रूप से, वितरण की पूंछ एक शक्ति नियम की तरह क्षय हो जाती है।

मोटी पूंछ और अनुचित अनुमान विकृतियां


सामान्य वितरण घटनाओं में मोटा-पूंछ वितरण की तुलना में जो पांच या अधिक मानक विचलन ("5-सिग्मा घटनाओं") के माध्य से विचलित होते हैं, उनकी संभावना कम होती है, जिसका अर्थ है कि सामान्य वितरण में चर-पूंछ वाले वितरणों की तुलना में अधिकतम घटनाओं की संभावना कम होती है। कॉची वितरण (और सामान्य वितरण के अपवाद के साथ अन्य सभी स्थिर वितरण) जैसे मोटा-पूंछ वाले वितरण में अपरिभाषित सिग्मा (अधिक तकनीकी रूप से, भिन्नता अपरिभाषित है) होता हैं।

परिणामस्वरूप, जब डेटा एक अंतर्निहित मोटा-पूंछ वाले वितरण से उत्पन्न होता है, तो कठिनाई के सामान्य वितरण मॉडल में शूहॉर्निंग - और परिमित नमूना आकार पर आधारित (आवश्यक) सिग्मा का अनुमान लगाना - भविष्यवाणी की कठिनाई (और जोखिम) की सही डिग्री को कम करेगा। कई-विशेष रूप से बेनोइट मंडेलब्रॉट और नसीम तालेब ने सामान्य वितरण मॉडल की इस कमी को नोट किया है और प्रस्तावित किया है कि स्थिर वितरण जैसे मोटे-पूंछ वाले वितरण अधिकांश पूँज़ी में पाए जाने वाले परिसंपत्ति रिटर्न को नियंत्रित करते हैं।

विकल्प मूल्य निर्धारण का ब्लैक-स्कोल्स मॉडल सामान्य वितरण पर आधारित है। यदि वितरण वास्तव में एक मोटा-पूंछ वाला है, तो मॉडल 5- या 7-सिग्मा घटना के बाद से कम कीमत वाले विकल्पों (पूँजी) को कम कर देगा, जो कि सामान्य वितरण की भविष्यवाणी की तुलना में बहुत अधिक है।

अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग
पूँजी में, मोटी पूंछ अधिकांश होती है किन्तु अतिरिक्त कठिनाई के कारण उन्हें अवांछित माना जाता है। उदाहरण के लिए, निवेश रणनीति में एक वर्ष के बाद अपेक्षित प्रतिफल हो सकता है, जो कि इसके मानक विचलन का पांच गुना है। सामान्य वितरण मानते हुए, इसकी विफलता (ऋणात्मक वापसी) की संभावना दस लाख में से कम है; व्यवहार में, यह अधिक हो सकता है। पूँजी में उभरने वाले सामान्य वितरण सामान्यतः ऐसा इसलिये करते हैं क्योंकि संपत्ति के मान या मान को प्रभावित करने वाले कारक गणितीय रूप से अच्छी तरह से व्यवहार करते हैं, और केंद्रीय सीमा प्रमेय इस तरह के वितरण के लिए प्रदान करता है। चूंकि, दर्दनाक वास्तविक दुनिया की घटनाएं (जैसे तेल का झटका, बड़ा कॉर्पोरेट दिवालियापन, या राजनीतिक स्थिति में अचानक परिवर्तन) सामान्यतः गणितीय रूप से अच्छी तरह से व्यवहार नहीं किया जाता है।

ऐतिहासिक उदाहरणों में 1929 की वॉल स्ट्रीट दुर्घटना, ब्लैक मंडे (1987), डॉट-कॉम बबल, 2000 के दशक के उत्तरार्ध का वित्तीय संकट, 2010 का फ्लैश क्रैश, 2020 का स्टॉक मार्केट क्रैश और कुछ मुद्राओं की अनपेगिंग सम्मिलित हैं।

मार्केट रिटर्न डिस्ट्रीब्यूशन में मोटी पूंछ्स के कुछ व्यवहार मूल (निवेशक अत्यधिक आशावाद या निराशावाद बड़े बाजार की चाल के लिए अग्रणी) भी होते हैं और इसलिए व्यवहारिक पूँजी में अध्ययन किया जाता है।

विपणन में, परिचित 80-20 नियम (उदाहरण के लिए, 20% ग्राहक राजस्व का 80% खाते हैं) अधिकांश पाया जाता है डेटा के अंतर्निहित मोटे पूंछ वितरण का अभिव्यक्ति है।

मोटी पूंछ भी वस्तु बाजारों में या रिकॉर्ड उद्योगमें विशेष रूप से ध्वनिप्रधान बाजारों में देखी जाती है। साप्ताहिक रिकॉर्ड बिक्री परिवर्तनों के लघुगणक के लिए संभाव्यता घनत्व कार्य अत्यधिक लेप्टोकोर्टिक है और सामान्य वितरण स्थिति की तुलना में संकीर्ण और बड़े अधिकतम और मोटी पूंछ द्वारा विशेषता है। दूसरी ओर, इस वितरण में चार्ट में प्रवेश करने वाले नए रिकॉर्ड को बढ़ावा देने के कारण बिक्री में वृद्धि से जुड़ी केवल मोटी पूंछ है।

यह भी देखें

 * अंतिम जोख़िम
 * काला हंस सिद्धांत
 * यादृच्छिकता की सात अवस्थाएँ
 * तालेब वितरण

बाहरी संबंध

 * Examples of Fat Tails in Financial Time Series
 * Fat Tail Distribution - John A. Robb