स्पर्शरेखा स्थान

गणित में, मैनिफोल्ड का स्पर्शरेखा स्थान दो-आयामी स्पेस में वक्रों के लिए स्पर्शरेखा (ज्यामिति) रेखाओं और उच्च आयामों में त्रि-आयामी स्पेस में सतहों के स्पर्शरेखा तल का सामान्यीकरण है। भौतिकी के संदर्भ में किसी बिंदु पर मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा स्थान को मैनिफोल्ड पर गतिमान कण के लिए संभावित वेग के स्थान के रूप में देखा जा सकता है।

अनौपचारिक विवरण
अंतर ज्यामिति में, कोई व्यक्ति विभेदक मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु $$ x $$ से स्पर्शरेखा स्थान जोड़ सकता है - वास्तविक सदिश स्थान जिसमें सहज रूप से संभावित दिशाएं शामिल होती हैं जिसमें कोई स्पर्शरेखा से $$ x $$ गुजर सकता है $$ x $$ पर स्पर्शरेखा स्थान के तत्वों को $$ x $$ पर स्पर्शरेखा सदिश स्थलकहा जाता है। यह यूक्लिडियन समिष्ट में दिए गए प्रारंभिक बिंदु के आधार पर सदिश (गणित और भौतिकी) की धारणा का सामान्यीकरण है। कनेक्टेड समिष्ट मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का आयाम मैनिफोल्ड के समान ही होता है।

उदाहरण के लिए, यदि दिया गया मैनिफोल्ड a $$ 2 $$ वृत्त है | तब कोई बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान को उस समतल के रूप में चित्रित कर सकता है जो उस बिंदु पर वृत्त को छूता है और बिंदु के माध्यम से वृत्त की त्रिज्या के लंबवत है। अधिक सामान्यतः, यदि किसी दिए गए मैनिफोल्ड को यूक्लिडियन समिष्ट के एम्बेडिंग सबमनिफोल्ड के रूप में माना जाता है, तब कोई इस शाब्दिक प्रचलन में स्पर्शरेखा स्थान को चित्रित कर सकता है। यह समानांतर परिवहन को परिभाषित करने का पारंपरिक दृष्टिकोण था। विभेदक ज्यामिति और सामान्य सापेक्षता में कई लेखक इसका उपयोग करते हैं। अधिक सख्ती से, यह एफ़िन स्पर्शरेखा स्थान को परिभाषित करता है, जो आधुनिक शब्दावली द्वारा वर्णित स्पर्शरेखा सदिश के स्थान से अलग है।

इसके विपरीत, बीजगणितीय ज्यामिति में, बीजगणितीय विविधता $$ V $$ के बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान की आंतरिक परिभाषा होती है जो कम से कम $$ V $$ के आयाम के साथ सदिश स्थान देती है। वे बिंदु $$ p $$ जिन पर स्पर्शरेखा स्थान का आयाम बिल्कुल $$ V $$ के समान है, गैर-एकवचन बिंदु कहलाते हैं; अन्य को एकवचन बिंदु कहा जाता है। उदाहरण के लिए, वक्र जो स्वयं को काटता है, उस बिंदु पर कोई अद्वितीय स्पर्श रेखा नहीं होती है। $$ V $$ के विलक्षण बिंदु वे हैं जहां "कई गुना होने का परीक्षण" विफल हो जाता है। ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान देखें।

इसमें मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा रिक्त स्थान प्रस्तुत किए जाने के पश्चात्, कोई सदिश क्षेत्र को परिभाषित कर सकता है, जो स्पेस में घूमने वाले कणों के वेग क्षेत्र का सार है। सदिश क्षेत्र मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर उस बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान से सदिश को सहज विधियों से जोड़ता है। ऐसा सदिश क्षेत्र मैनिफोल्ड पर सामान्यीकृत साधारण अंतर समीकरण को परिभाषित करने का कार्य करता है | ऐसे अंतर समीकरण का समाधान मैनिफोल्ड पर अवकलनीय वक्र होता है जिसका किसी भी बिंदु पर व्युत्पन्न सदिश क्षेत्र द्वारा उस बिंदु से जुड़े स्पर्शरेखा सदिश के सामान्य होता है।

मैनिफोल्ड के सभी स्पर्शरेखा स्थानों को मूल मैनिफोल्ड के दोगुने आयाम के साथ नया विभेदक मैनिफोल्ड बनाने के लिए "एक साथ चिपकाया" जा सकता है, जिसे मैनिफोल्ड का स्पर्शरेखा बंडल कहा जाता है।

औपचारिक परिभाषाएं
उपरोक्त अनौपचारिक विवरण परिवेशी सदिश स्थान $$ \mathbb{R}^{m} $$ में एम्बेड होने की मैनिफोल्ड की क्षमता पर निर्भर करता है ताकि स्पर्शरेखा सदिश परिवेशीय स्पेस में मैनिफोल्ड से "बाहर चिपक" सकते हैं। चूँकि, स्पर्शरेखा स्थान की धारणा को सिर्फ मैनिफोल्ड के आधार पर परिभाषित करना अधिक सुविधाजनक है।

मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा स्थानों को परिभाषित करने के विभिन्न समकक्ष विधियां होती हैं। जबकि वक्रों के वेग के माध्यम से यह परिभाषा सहज रूप से सबसे सरल होती है | इसके साथ काम करना सबसे भारी होता है। इसमें अधिक सुरुचिपूर्ण और अमूर्त दृष्टिकोण नीचे वर्णित होता हैं।

स्पर्शरेखा वक्रों के माध्यम से परिभाषा
एंबेडेड-मैनिफोल्ड चित्र में, बिंदु $$ x $$ पर स्पर्शरेखा सदिश को बिंदु $$ x $$ से गुजरने वाले वक्र के वेग के रूप में माना जाता है। इसलिए हम स्पर्शरेखा सदिश को $$ x $$ पर दूसरे के स्पर्शरेखा होते हुए $$ x $$ से गुजरने वाले वक्रों के समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित कर सकते हैं।

मान लीजिए कि $$ M $$ $$ C^{k} $$ अलग-अलग मैनिफोल्ड है स्मूथ $$ k \geq 1 $$ के साथ) और वह $$ x \in M $$ समन्वय चार्ट चुनें $$ \varphi: U \to \mathbb{R}^{n} $$, जहां $$ U $$ $$ M $$ का खुला उपसमुच्चय है जिसमें $$ x $$ है। आगे मान लें कि दो वक्र $$ \gamma_{1},\gamma_{2}: (- 1,1) \to M $$ में $$ {\gamma_{1}}(0) = x = {\gamma_{2}}(0) $$ के साथ ऐसे दिए गए हैं कि दोनों $$ \varphi \circ \gamma_{1},\varphi \circ \gamma_{2}: (- 1,1) \to \mathbb{R}^{n} $$ सामान्य अर्थों में अलग-अलग हैं (हम $$ x $$ पर आरंभ किए गए इन अलग-अलग वक्रों को कहते हैं)। फिर $$ \gamma_{1} $$ और $$ \gamma_{2} $$ को $$ 0 $$ पर समतुल्य कहा जाता है यदि और केवल यदि $$ \varphi \circ \gamma_{1} $$ और $$ \varphi \circ \gamma_{2} $$ के व्युत्पन्न $$ 0 $$ पर संपाती होते हैं। यह (13) पर प्रारंभ किए गए सभी भिन्न-भिन्न वक्रों के समुच्चय पर तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है और ऐसे वक्रों के तुल्यता वर्गों को $$ x $$ पर $$ M $$ के स्पर्शरेखा सदिश के रूप में जाना जाता है। ऐसे किसी भी वक्र $$ \gamma $$ के समतुल्य वर्ग को $$ \gamma'(0) $$ द्वारा दर्शाया जाता है। $$ x $$ पर $$ M $$ के स्पर्शरेखा स्थान को, $$ T_{x} M $$ द्वारा निरूपित किया जाता है, फिर सभी स्पर्शरेखाओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है $$ x $$ पर सदिश, यह निर्देशांक चार्ट $$ \varphi: U \to \mathbb{R}^{n} $$ की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

$$ T_{x} M $$ पर सदिश-स्पेस ऑपरेशंस को परिभाषित करने के लिए, हम चार्ट $$ \varphi: U \to \mathbb{R}^{n} $$ का उपयोग करते हैं और मानचित्र $$ \mathrm{d}{\varphi}_{x}: T_{x} M \to \mathbb{R}^{n} $$ को $ {\mathrm{d}{\varphi}_{x}}(\gamma'(0)) := \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [(\varphi \circ \gamma)(t)] \right|_{t = 0}, $ से परिभाषित करते हैं जहां $$\gamma \in \gamma'(0) $$ मानचित्र $$ \mathrm{d}{\varphi}_{x} $$ विशेषण बन जाता है और इसका उपयोग सदिश-स्पेस संचालन को $$ \mathbb{R}^{n} $$ से $$ T_{x} M $$ तक स्थानांतरित करने के लिए किया जा सकता है, इस प्रकार पश्चात् वाले समुच्चय को $$ n $$-आयामी वास्तविक सदिश स्पेस में परिवर्तित दिया जाता है। फिर, किसी को यह जांचने की आवश्यकता होती है कि यह निर्माण विशेष चार्ट $$ \varphi: U \to \mathbb{R}^{n} $$ और उपयोग किए जा रहे वक्र $$ \gamma $$ पर निर्भर नहीं है | और वास्तव में यह नहीं होता है।

व्युत्पत्तियों के माध्यम से परिभाषा
मान लीजिए कि अब $$ M $$ है $$ C^{\infty} $$ कई गुना वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन $$ f: M \to \mathbb{R} $$ से संबंधित कहा जाता है $$ {C^{\infty}}(M) $$ अगर और सिर्फ अगर हर समन्वय चार्ट के लिए $$ \varphi: U \to \mathbb{R}^{n} $$, नक्शा $$ f \circ \varphi^{- 1}: \varphi[U] \subseteq \mathbb{R}^{n} \to \mathbb{R} $$ असीम रूप से भिन्न है। ध्यान दें कि $$ {C^{\infty}}(M) $$ बिंदुवार उत्पाद और कार्यों के योग और अदिश गुणन के संबंध में वास्तविक सहयोगी बीजगणित है।

एक व्युत्पत्ति (सार बीजगणित) at $$ x \in M $$ रैखिक मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है $$ D: {C^{\infty}}(M) \to \mathbb{R} $$ जो लाइबनिज की पहचान को संतुष्ट करता है $$ \forall f,g \in {C^{\infty}}(M): \qquad D(f g) = D(f) \cdot g(x) + f(x) \cdot D(g), $$ जो कलन के उत्पाद नियम पर आधारित है।

(प्रत्येक समान रूप से स्थिर कार्य के लिए $$f=\text{const},$$ यह इस प्रकार है कि $$ D(f)=0 $$)

निरूपित $$ T_{x} M $$ सभी व्युत्पत्तियों का समुच्चय $$ x. $$ स्थापना मोड़ों $$ T_{x} M $$ सदिश स्पेस में।
 * $$ (D_1+D_2)(f) := {D}_1(f) + {D}_2(f) $$ तथा
 * $$ (\lambda \cdot D)(f) := \lambda \cdot D(f) $$

सामान्यीकरण
इस परिभाषा के सामान्यीकरण संभव हैं, उदाहरण के लिए, जटिल मैनिफोल्ड और बीजीय विविधता के लिए। हालांकि, व्युत्पत्तियों की जांच करने के बजाय $$ D $$ कार्यों के पूर्ण बीजगणित से, किसी को इसके बजाय कार्यों के रोगाणु (गणित) के स्तर पर काम करना चाहिए। इसका कारण यह है कि संरचना शीफ इंजेक्शन शीफ नहीं हो सकता है#ऐसी संरचनाओं के लिए फाइन शीव्स। उदाहरण के लिए, चलो $$ X $$ संरचना शीफ ​​के साथ बीजीय किस्म बनें $$ \mathcal{O}_{X} $$. फिर बिंदु पर ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान $$ p \in X $$ सभी का संग्रह है $$ \mathbb{k} $$-व्युत्पत्तियां $$ D: \mathcal{O}_{X,p} \to \mathbb{k} $$, कहाँ पे $$ \mathbb{k} $$ जमीनी क्षेत्र है और $$ \mathcal{O}_{X,p} $$ का डंठल (शीफ) है $$ \mathcal{O}_{X} $$ पर $$ p $$.

परिभाषाओं की समानता
के लिये $$x \in M$$ और अवकलनीय वक्र $$ \gamma: (- 1,1) \to M $$ ऐसा है कि $$\gamma (0) = x,$$ परिभाषित करना $$ {D_{\gamma}}(f) := (f \circ \gamma)'(0) $$ (जहां व्युत्पन्न सामान्य अर्थ में लिया जाता है क्योंकि $$ f \circ \gamma $$ से समारोह है $$ (- 1,1) $$ प्रति $$ \mathbb{R} $$) कोई यह पता लगा सकता है कि $$D_{\gamma}(f)$$ बिंदु पर व्युत्पत्ति है $$x,$$ और वह समतुल्य वक्र समान व्युत्पत्ति देते हैं। इस प्रकार, तुल्यता वर्ग के लिए $$ \gamma'(0), $$ हम परिभाषित कर सकते हैं $$ {D_{\gamma'(0)}}(f) := (f \circ \gamma)'(0), $$ जहां वक्र $$\gamma \in \gamma'(0) $$ मनमाने ढंग से चुना गया है। नक्शा $$ \gamma'(0) \mapsto D_{\gamma'(0)} $$ तुल्यता वर्गों की जगह के बीच सदिश स्पेस समरूपता है $$ \gamma'(0) $$ और उस बिंदु पर व्युत्पत्तियों का $$x.$$

कोटैंजेंट रिक्त स्थान के माध्यम से परिभाषा
फिर से, हम a. से शुरू करते हैं $$ C^\infty $$ विविध $$ M $$ और बिंदु $$ x \in M $$. आदर्श पर विचार करें (अंगूठी सिद्धांत) $$ I $$ का $$ C^\infty(M) $$ जिसमें सभी सुचारू कार्य शामिल हैं $$ f $$ गायब हो रहा है $$ x $$, अर्थात।, $$ f(x) = 0 $$. फिर $$ I $$ तथा $$ I^2 $$ दोनों वास्तविक सदिश रिक्त स्थान हैं, और भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) $$ I / I^2 $$ स्पर्शरेखा स्थान में समाकृतिकता दिखाया जा सकता है $$ T^{*}_x M $$ टेलर के प्रमेय के उपयोग के माध्यम से। स्पर्शरेखा स्थान $$ T_x M $$ के दोहरे स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$ I / I^2 $$.

हालांकि यह परिभाषा सबसे सारगर्भित है, यह वह भी है जो अन्य समुच्चयिंग्स के लिए सबसे आसानी से हस्तांतरणीय है, उदाहरण के लिए, बीजगणितीय ज्यामिति में बीजगणितीय विविधता के लिए माना जाता है।

यदि $$ D $$ व्युत्पत्ति है $$ x $$, फिर $$ D(f) = 0 $$ हरएक के लिए $$ f \in I^2 $$, जिसका अर्थ है कि $$ D $$ रैखिक मानचित्र को जन्म देता है $$ I / I^2 \to \mathbb{R} $$. इसके विपरीत, यदि $$ r: I / I^2 \to \mathbb{R} $$ रैखिक नक्शा है, तब $$ D(f) := r\left((f - f(x)) + I^2\right) $$ व्युत्पत्ति को परिभाषित करता है $$ x $$. यह व्युत्पत्तियों के माध्यम से परिभाषित स्पर्शरेखा रिक्त स्थान और कोटेंगेंट रिक्त स्थान के माध्यम से परिभाषित स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के बीच समानता उत्पन्न करता है।

गुण
यदि $$ M $$ का खुला उपसमुच्चय है $$ \mathbb{R}^{n} $$, फिर $$ M $$ है $$ C^{\infty} $$ प्राकृतिक विधियों से कई गुना (के खुले उपसमुच्चय पर पहचान कार्य होने के लिए समन्वय चार्ट लें) $$ \mathbb{R}^{n} $$), और स्पर्शरेखा रिक्त स्थान सभी स्वाभाविक रूप से पहचाने जाते हैं $$ \mathbb{R}^{n} $$.

दिशात्मक व्युत्पन्न के रूप में स्पर्शरेखा सदिश
स्पर्शरेखा सदिश के बारे में सोचने का और तरीका दिशात्मक डेरिवेटिव है। सदिश दिया गया $$ v $$ में $$ \mathbb{R}^{n} $$, बिंदु पर संबंधित दिशात्मक व्युत्पन्न को परिभाषित करता है $$ x \in \mathbb{R}^{n} $$ द्वारा

\forall f \in {C^{\infty}}(\mathbb{R}^{n}): \qquad (D_{v} f)(x) := \left. \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}{t}} [f(x + t v)] \right|_{t = 0} = \sum_{i = 1}^{n} v^{i} {\frac{\partial f}{\partial x^{i}}}(x). $$ यह नक्शा स्वाभाविक रूप से व्युत्पत्ति है $$ x $$. इसके अलावा, प्रत्येक व्युत्पत्ति बिंदु पर $$ \mathbb{R}^{n} $$ इस स्वरूप का है। इसलिए, बिंदु पर सदिश (एक बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश के रूप में माना जाता है) और व्युत्पत्तियों के बीच एक-से-एक पत्राचार होता है।

एक बिंदु पर सामान्य मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा सदिश को उस बिंदु पर व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, उन्हें दिशात्मक डेरिवेटिव के रूप में सोचना स्वाभाविक है। विशेष रूप से, यदि $$ v $$ स्पर्शरेखा सदिश है $$ M $$ बिंदु पर $$ x $$ (एक व्युत्पत्ति के रूप में सोचा), फिर दिशात्मक व्युत्पन्न को परिभाषित करें $$ D_{v} $$ दिशा में $$ v $$ द्वारा

\forall f \in {C^{\infty}}(M): \qquad {D_{v}}(f) := v(f). $$ अगर हम सोचते हैं $$ v $$ अवकलनीय वक्र के प्रारंभिक वेग के रूप में $$ \gamma $$ पर आरंभ किया गया $$ x $$, अर्थात।, $$ v = \gamma'(0) $$, फिर इसके बजाय, परिभाषित करें $$ D_{v} $$ द्वारा

\forall f \in {C^{\infty}}(M): \qquad {D_{v}}(f) := (f \circ \gamma)'(0). $$

एक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान का आधार
एक के लिए $$ C^{\infty} $$ विविध $$ M $$, अगर चार्ट $$ \varphi = (x^{1},\ldots,x^{n}): U \to \mathbb{R}^{n} $$ के साथ दिया जाता है $$ p \in U $$, तब कोई आदेशित आधार को परिभाषित कर सकता है $ \left\{ \left. \frac{\partial}{\partial x^{1}} \right|_{p}, \dots , \left. \frac{\partial}{\partial x^{n}} \right|_{p} \right\} $ का $$ T_{p} M $$ द्वारा

\forall i \in \{ 1,\ldots,n \}, ~ \forall f \in {C^{\infty}}(M): \qquad { \left. \frac{\partial}{\partial x^{i}} \right|_{p}}(f) := \left( \frac{\partial}{\partial x^{i}} \Big( f \circ \varphi^{- 1} \Big) \right) \Big( \varphi(p) \Big). $$ तब प्रत्येक स्पर्शरेखा सदिश के लिए $$ v \in T_{p} M $$, किसी के पास

v = \sum_{i = 1}^{n} v^{i} \left. \frac{\partial}{\partial x^{i}} \right|_{p}. $$ इसलिए यह सूत्र व्यक्त करता है $$ v $$ आधार स्पर्शरेखा सदिश के रैखिक संयोजन के रूप में $ \left. \frac{\partial}{\partial x^{i}} \right|_{p} \in T_{p} M $ निर्देशांक चार्ट द्वारा परिभाषित $$ \varphi: U \to \mathbb{R}^{n} $$.

मानचित्र का व्युत्पन्न
हर चिकना (या अलग-अलग) नक्शा $$ \varphi: M \to N $$ चिकनी (या अलग-अलग) मैनिफोल्ड्स के बीच प्राकृतिक रैखिक मानचित्रों को उनके संबंधित स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के बीच प्रेरित करता है:

\mathrm{d}{\varphi}_{x}: T_{x} M \to T_{\varphi(x)} N. $$ यदि स्पर्शरेखा स्थान को अवकलनीय वक्रों के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, तब यह मानचित्र द्वारा परिभाषित किया जाता है

{\mathrm{d}{\varphi}_{x}}(\gamma'(0)) := (\varphi \circ \gamma)'(0). $$ यदि, इसके बजाय, स्पर्शरेखा स्थान को व्युत्पत्तियों के माध्यम से परिभाषित किया जाता है, तब यह मानचित्र द्वारा परिभाषित किया जाता है

[\mathrm{d}{\varphi}_{x}(D)](f) := D(f \circ \varphi). $$ रैखिक नक्शा $$ \mathrm{d}{\varphi}_{x} $$ को विभिन्न रूप से व्युत्पन्न, कुल व्युत्पन्न, अंतर, या पुशफॉरवर्ड कहा जाता है $$ \varphi $$ पर $$ x $$. इसे अक्सर कई अन्य नोटेशन का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है:

D \varphi_{x}, \qquad (\varphi_{*})_{x}, \qquad \varphi'(x). $$ एक अर्थ में, व्युत्पन्न सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन है $$ \varphi $$ पास $$ x $$. ध्यान दें कि जब $$ N = \mathbb{R} $$, फिर नक्शा $$ \mathrm{d}{\varphi}_{x}: T_{x} M \to \mathbb{R} $$ फ़ंक्शन के डिफरेंशियल (कैलकुलस) की सामान्य धारणा के साथ मेल खाता है $$ \varphi $$. स्थानीय निर्देशांक में. का व्युत्पन्न $$ \varphi $$ जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक द्वारा दिया गया है।

व्युत्पन्न मानचित्र के संबंध में महत्वपूर्ण परिणाम निम्नलिखित है: $$ यह मैनिफोल्ड्स के बीच मानचित्रों के प्रतिलोम फलन प्रमेय का सामान्यीकरण है।

यह भी देखें

 * समन्वय-प्रेरित आधार
 * कोटैंजेंट समिष्ट
 * वक्रों की डिफरेंशियल ज्योमेट्री
 * घातीय मानचित्र (रिमेंनियन ज्यामिति)
 * सदिश स्थल

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची

 * अंक शास्त्र
 * वृत्त
 * अलग करने योग्य कई गुना
 * स्पर्शरेखा सदिश
 * एक सदिश स्पेस का आयाम
 * यूक्लिडियन समिष्ट
 * सीधा
 * बीजीय किस्म
 * नक्शा (गणित)
 * द्विभाजित
 * साहचर्य बीजगणित
 * रैखिक नक्शा
 * प्रॉडक्ट नियम
 * ग्राउंड फील्ड
 * डंठल (शेफ)
 * आदर्श (अंगूठी सिद्धांत)
 * दोहरी जगह
 * पहचान समारोह
 * अंतर कलन)
 * उलटा कार्य प्रमेय
 * समन्वय प्रेरित आधार
 * वक्रों की विभेदक ज्यामिति

बाहरी संबंध

 * Tangent Planes at MathWorld