यूक्लिडियन स्पेस

यूक्लिडीय अंतरिक्ष ज्यामिति का एक ऐसा मूलभूत स्थान है, जिसका उद्देश्य भौतिक स्थान को निरूपित करना है। मूल रूप से, यूक्लिड के तत्वों में यह, यूक्लिडीय ज्यामिति का त्रि-विमीय अंतरिक्ष था, लेकिन आधुनिक गणित में किसी भी धनात्मक पूर्णांक विमा के यूक्लिडीय अंतरिक्ष हैं, जिसमें त्रि-विमीय अंतरिक्ष और यूक्लिडीय समतल (दो विमाओं के साथ ) सम्मिलित हैं। क्वालीफायर "यूक्लिडीय" का उपयोग यूक्लिडीय अंतरिक्ष को अन्य अंतरिक्षों से अलग करने के लिए किया जाता है, जिसे बाद में भौतिकी और आधुनिक गणित में स्वीकृत किया गया था।

प्राचीन ग्रीक जियोमीटर ने भौतिक स्थान के प्रतिरूपण के लिए यूक्लिडीय अंतरिक्ष को प्रस्तुत किया। उनके कार्य को प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड ने अंतरिक्ष के सभी गुणों को प्रमेय के रूप में सिद्ध करने के महान नवाचार के साथ कुछ मौलिक गुणों से प्रारंभ करके अपने तत्वों में एकत्रित किया था, जिन्हें अभिधारणा कहा जाता है, और इन्हें या तो स्पष्ट माना जाता था (उदाहरण के लिए, दो बिंदुओं से होकर जाने वाली एक सीधी रेखा अद्वितीय होती है), या इन्हें सिद्ध करना असंभव प्रतीत होता था (समानांतर अभिधारणा)।

19वीं शताब्दी के अंत में गैर-यूक्लिडीय ज्यामिति के प्रारंभ के बाद, अभिगृहीत सिद्धांत के माध्यम से यूक्लिडीय अंतरिक्ष को परिभाषित करने के लिए पुरानी अभिधारणाओं को पुनः औपचारिक रूप दिया गया। सदिश अंतरिक्ष और रैखिक बीजगणित के माध्यम से यूक्लिडीय अंतरिक्ष की एक अन्य परिभाषा को अभिगृहीत परिभाषा के समतुल्य दिखाया गया है। यह वह परिभाषा है जो आधुनिक गणित में अधिक सामान्य रूप से उपयोग की जाती है, और इस लेख में वर्णित है। सभी परिभाषाओं में, यूक्लिडीय अंतरिक्ष में ऐसे बिंदु होते हैं, जो केवल उन गुणों से परिभाषित होते हैं जो यूक्लिडीय अंतरिक्ष के निर्माण के लिए उनके पास होने चाहिए।

अनिवार्य रूप से प्रत्येक विमा का केवल एक यूक्लिडीय अंतरिक्ष होता है; अर्थात्, किसी दी गई विमा के सभी यूक्लिडीय अंतरिक्ष समरूप होते हैं। इसलिए, कई स्थितियों में, एक विशिष्ट यूक्लिडीय अंतरिक्ष के साथ कार्य करना संभव है, जो सामान्यतः वास्तविक $n$-अंतरिक्ष $$\R^n$$है और बिंदु गुणन से सुसज्जित है। यूक्लिडीय अंतरिक्ष से $$\R^n$$ के लिए एक समरूपता, प्रत्येक बिंदु के साथ यूक्लिडीय अंतरिक्ष में उस बिंदु का पता लगाने वाले वास्तविक संख्याओं के एक $n$-ट्यूपल को संबद्ध करती है, और ये उस बिंदु के कार्तीय निर्देशांक कहलाते हैं।

परिभाषा का इतिहास
यूक्लिडीय अंतरिक्ष को प्राचीन यूनानियों द्वारा हमारे भौतिक स्थान के एक अमूर्त के रूप में प्रस्तुत किया गया था। यूक्लिड के तत्वों में दिखाई देने वाला उनका महान नवाचार, कुछ अत्यंत मौलिक गुणों से प्रारंभ करके सभी ज्यामितियों को निर्मित करने और सिद्ध करने के लिए था, जो भौतिक दुनिया से अलग हैं, और जिन्हें अधिक मौलिक उपकरणों की कमी के कारण गणितीय रूप से सिद्ध नहीं किया जा सकता है। इन गुणों को आधुनिक भाषा में अभिगृहीत या स्वयंसिद्ध कहा जाता है। यूक्लिडीय अंतरिक्ष को परिभाषित करने की यह विधि अभी भी अवास्तविक ज्यामिति के नाम से प्रयोग में है।

रेने डेसकार्टेस ने वर्ष 1637 में कार्तीय निर्देशांक प्रस्तुत किए और दिखाया कि यह संख्याओं के साथ बीजगणितीय संगणनाओं के लिए ज्यामितीय समस्याओं को कम करने की सुविधा प्रदान करते हैं। बीजगणित में ज्यामिति की यह कमी दृष्टिकोण में एक बड़ा बदलाव थी, क्योंकि तब तक, वास्तविक संख्याएँ लंबाई और दूरी के संदर्भ में परिभाषित की जाती थीं।

19वीं शताब्दी तक यूक्लिडीय ज्यामिति को तीन से अधिक विमाओं वाले अंतरिक्षों में प्रयुक्त नहीं किया गया था। लुडविग श्लाफली ने अवास्तविक और बीजगणितीय दोनों विधियों का उपयोग करते हुए विमा $n$ वाले अंतरिक्ष के लिए यूक्लिडीय ज्यामिति को सामान्यीकृत किया, और ऐसे सभी सम-बहुफलकों (प्लेटोनिक ठोसों के उच्च-विमीय अनुरूप) की खोज की जो किसी भी विमा के यूक्लिडीय अंतरिक्ष में स्थित होते हैं।

डेसकार्टेस के विश्लेषणात्मक ज्यामिति कहे जाने वाले दृष्टिकोण के व्यापक उपयोग के बाद भी यूक्लिडीय अंतरिक्ष की परिभाषा 19वीं सदी के अंत तक अपरिवर्तित रही। अमूर्त सदिश अंतरिक्ष के प्रारंभ ने यूक्लिडीय अंतरिक्ष को विशुद्ध रूप से बीजगणितीय परिभाषा के साथ परिभाषित करने में उनके उपयोग की सुविधा दी। इस नई परिभाषा को ज्यामितीय अभिगृहीतों के संदर्भ में चिरसम्मत परिभाषा के समतुल्य दिखाया गया है। यह बीजगणितीय परिभाषा है जो अब यूक्लिडीय अंतरिक्ष को प्रस्तुत करने के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाती है।

आधुनिक परिभाषा की प्रेरणा
यूक्लिडीय समतल के बारे में विचार करने की एक विधि, बिंदुओं के एक समुच्चय के रूप में है जो कुछ ऐसे संबंधों को संतुष्ट करती है, जिन्हें दूरी और कोणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक समतल पर दो मौलिक संक्रियाएँ (गति के रूप में संदर्भित) होती हैं। जिनमें से एक रूपान्तरण (ज्यामितीय) है, जिसका अर्थ समतल का इस प्रकार स्थानांतरण है, जिससे प्रत्येक बिंदु एक ही दिशा में और समान दूरी से स्थानांतरित हो; और दूसरी, समतल में एक निश्चित बिंदु के चारों ओर चक्रण है, जिसमें समतल के सभी बिंदु एक ही कोण से उस निश्चित बिंदु के चारों ओर घूमते हैं। यूक्लिडीय ज्यामिति के मूल सिद्धांतों में से एक यह है कि समतल के दो आरेखों (सामान्यतः उपसमुच्चय के रूप में माने जाते हैं) को समतुल्य (सर्वांगसम) माना जाना चाहिए, यदि इनमें से किसी एक को रूपान्तरण, चक्रण और परावर्तन के कुछ अनुक्रमों द्वारा दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है (नीचे देखें)।

इन सभी को गणितीय रूप से यथार्थ बनाने के लिए, सिद्धांत को स्पष्ट रूप से परिभाषित करना चाहिए कि यूक्लिडीय अंतरिक्ष क्या है, और दूरी, कोण, रूपान्तरण और चक्रण की संबंधित धारणाएँ क्या हैं। भौतिक सिद्धांतों में उपयोग किए जाने के बाद भी, यूक्लिडीय अंतरिक्ष वास्तविक भौतिक स्थानों, विशिष्ट संदर्भ फ़्रेमों, माप उपकरणों, और इसी प्रकार के अन्य घटकों से अलग एक अमूर्त हैं। यूक्लिडीय अंतरिक्ष की विशुद्ध रूप से गणितीय परिभाषा भी लंबाई और अन्य भौतिक विमाओं की इकाइयों के प्रश्नों की उपेक्षा करती है: "गणितीय" स्थान में दूरी एक संख्या है, जो इंच या मीटर में व्यक्त नहीं कि गई है।

यूक्लिडीय अंतरिक्ष को गणितीय रूप से परिभाषित करने की मानक विधि, जैसा कि इस लेख के शेष भाग में किया गया है, बिंदुओं के एक समुच्चय के रूप में है, जिस पर एक वास्तविक सदिश अंतरिक्ष कार्य करता है, जो आंतरिक गुणन से सुसज्जित रूपान्तरण का स्थान है। रूपान्तरण की क्रिया अंतरिक्ष को एक एफाइन अंतरिक्ष बनाती है, और यह रेखाओं, समतलों, उप-स्थानों, विमा और समानान्तरवाद को परिभाषित करने की सुविधा देती है। आंतरिक गुणन दूरी और कोणों को परिभाषित करने की प्रदान करता है।

वास्तविक संख्याओं के $n$-ट्यूपल का समुच्चय $$\R^n$$ बिंदु गुणन से सुसज्जित $n$ विमाओं वाला एक यूक्लिडीय अंतरिक्ष है। इसके विपरीत, एक बिंदु का चयन, जिसे मूलबिंदु कहा जाता है, और रूपान्तरण के स्थान का एक लम्ब आधार, $n$-विमाओं वाले यूक्लिडीय स्थान और $$\R^n$$के रूप के यूक्लिडीय स्थान के बीच एक समरूपता परिभाषित करने के समतुल्य है।

इससे पता चलता है कि यूक्लिडीय अंतरिक्ष के बारे में जो कुछ भी कहा जा सकता है, वह $$\R^n$$ के बारे में भी कहा जा सकता है। इसलिए, कई लेखक, विशेष रूप से प्रारंभिक स्तर पर, $$\R^n$$ को $n$-विमाओं वाला मानक यूक्लिडीय अंतरिक्ष, या केवल $n$-विमाओं वाला यूक्लिडीय अंतरिक्ष कहते हैं।

$$\R^n$$ के स्थान पर इसके साथ कार्य करने के लिए यूक्लिडीय अंतरिक्ष की ऐसी अमूर्त परिभाषा प्रस्तुत करने का एक कारण यह है कि इसमें निर्देशांक-मुक्त और मूलबिंदु-मुक्त विधि (अर्थात्, स्वेच्छ आधार और स्वेच्छ मूलबिंदु के चयन के बिना) से कार्य करना प्रायः बेहतर होता है। दूसरा कारण यह है कि भौतिक संसार में न तो कोई मूलबिंदु है और न ही कोई आधार।

तकनीकी परिभाषा
एक यूक्लिडीय सदिश अंतरिक्ष वास्तविक संख्याओं पर एक परिमित-विमीय आंतरिक गुणन स्थान है।

एक यूक्लिडीय अंतरिक्ष वास्तविक संख्याओं पर एक एफाइन अंतरिक्ष है जैसे कि संबद्ध सदिश अंतरिक्ष, एक यूक्लिडीय सदिश अंतरिक्ष है। यूक्लिडीय अंतरिक्ष को कभी-कभी यूक्लिडीय सदिश अंतरिक्ष से अलग करने के लिए यूक्लिडीय एफाइन अंतरिक्ष कहा जाता है।

यदि $E$ एक यूक्लिडीय अंतरिक्ष है, तो इससे सम्बद्ध सदिश अंतरिक्ष (यूक्लिडीय सदिश अंतरिक्ष) को प्रायः $$\overrightarrow E$$ के रूप में दर्शाया जाता है। संबंधित सदिश अंतरिक्ष की विमा ही यूक्लिडीय अंतरिक्ष की विमा होती है।

$E$ के तत्वों को बिंदु कहा जाता है और सामान्यतः बड़े अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है। $$\overrightarrow E$$ के तत्वों को यूक्लिडीय सदिश या मुक्त सदिश कहा जाता है। इन्हें रूपान्तरण भी कहा जाता है, हालांकि, उचित रूप से बोलते हुए, रूपान्तरण, यूक्लिडीय अंतरिक्ष पर यूक्लिडीय सदिश की क्रिया के परिणामस्वरूप एक ज्यामितीय परिवर्तन होता है।

एक बिंदु $P$ पर रूपान्तरण $v$ की क्रिया एक ऐसा बिंदु प्रदान करती है, जिसे $P + v$ के रूप में निरूपित किया जाता है। यह क्रिया निम्न को संतुष्ट करती है:$$P+(v+w)= (P+v)+w.$$नोट: बाईं ओर दूसरा $+$ एक सदिश योग है; अन्य सभी $+$ एक बिंदु पर एक सदिश की क्रिया को निरूपित करते हैं। यह संकेतन अस्पष्ट नहीं है, क्योंकि, $+$ के दो अर्थों के बीच अंतर करने के लिए, इसके बाएँ तर्क की प्रकृति को देखना पर्याप्त है।

क्रिया स्वतंत्र और सकर्मक है, इस तथ्य का अर्थ है कि बिंदुओं के प्रत्येक युग्म $(P, Q)$ के लिए यथार्थ एक सदिश $v$ इस प्रकार है कि $P + v = Q$। इस सदिश $v$ को $Q − P$ या $$\overrightarrow {PQ}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है

जैसा कि पहले बताया गया है, यूक्लिडीय अंतरिक्ष के कुछ मूल गुण एफाइन अंतरिक्ष की संरचना का परिणाम हैं। ये और उसके उपखंडों में वर्णित हैं। आंतरिक गुणन से उत्पन्न गुणों को  और उसके उपखंडों में वर्णित किया गया है।

आद्य उदाहरण
किसी भी सदिश अंतरिक्ष के लिए, योग सदिश अंतरिक्ष पर स्वतंत्र और सकर्मक रूप से कार्य करता है। इस प्रकार एक यूक्लिडीय सदिश अंतरिक्ष को एक यूक्लिडीय अंतरिक्ष के रूप में माना जा सकता है, जो स्वयं संबंधित सदिश अंतरिक्ष के रूप में है।

यूक्लिडीय सदिश अंतरिक्ष की एक विशेष स्थिति $$\R^n$$ को सदिश अंतरिक्ष के रूप में देखा जाना है, जिसमें आंतरिक गुणन के रूप में एक बिंदु गुणन होता है। यूक्लिडीय अंतरिक्ष के इस विशेष उदाहरण का महत्व इस तथ्य में निहित है कि प्रत्येक यूक्लिडीय अंतरिक्ष इसके लिए समरूप होता है। अधिक यथार्थ रूप से, दिये गए $n$-विमाओं वाले एक यूक्लिडीय अंतरिक्ष $E$ के लिए, एक बिंदु का चयन, जिसे मूलबिंदु कहा जाता है, और $$\overrightarrow E$$ का एक लम्ब आधार, $E$ से $$\R^n$$ के लिए यूक्लिडीय अंतरिक्ष की एक समरूपता को परिभाषित करता है।

चूंकि $n$-विमाओं वाला प्रत्येक यूक्लिडीय अंतरिक्ष इसके लिए समरूप है, यूक्लिडीय स्थान $$\R^n$$ को कभी-कभी $n$-विमाओं का मानक यूक्लिडीय अंतरिक्ष कहा जाता है।

एफाइन संरचना
यूक्लिडीय रिक्त स्थान के कुछ मूल गुण केवल इस तथ्य पर निर्भर करते हैं कि एक यूक्लिडीय स्थान एक सजातीय स्थान है। उन्हें affine गुण कहा जाता है और इसमें रेखाओं, उप-स्थानों और समानता की अवधारणाएं सम्मिलित होती हैं, जो अगले उपखंडों में विस्तृत हैं।

उप-स्थान
मान लीजिए $E$ एक यूक्लिडीय स्पेस और $$\overrightarrow E$$ इससे जुड़ी सदिश स्पेस है।

$E$ का एक फ्लैट, यूक्लिडियन सबस्पेस या एफाइन सबस्पेस $E$ का एक सबसेट $F$ है जैसे कि$$\overrightarrow F = \left\{\overrightarrow {PQ}\mid P\in F, Q\in F \right\}$$क्योंकि $F$ की संबद्ध सदिश समष्टि $$\overrightarrow E$$ की एक रेखीय उप-समष्टि (सदिश उप-समष्टि) है। $$\overrightarrow F$$ $F$ संबंधित सदिश स्थान के रूप में। इस लीनियर सबस्पेस {\displaystyle {\overrightarrow {F}}}\overrightarrow F को $F$ की दिशा भी कहा जाता है।

यदि $P$ का एक बिंदु है $F$ फिर

$$F = \left\{P+v \mid v\in \overrightarrow F \right\}.$$ इसके विपरीत यदि $P$ का एक बिंदु है $E$ तथा $$\overrightarrow V$$ का एक रैखिक उप-समष्टि है $$\overrightarrow E,$$ फिर

$$P + V = \left\{P + v \mid v\in V \right\}$$ दिशा का एक यूक्लिडीय उप-स्थान है $$\overrightarrow V$$. (इस उप-समष्टि का संबद्ध सदिश समष्टि है $$\overrightarrow V$$।)

एक यूक्लिडीय सदिश स्पेस $$\overrightarrow E$$ (यानी, एक यूक्लिडीय स्पेस जो $$\overrightarrow E$$ के बराबर है में दो प्रकार के सबस्पेस होते हैं: इसका यूक्लिडीय सबस्पेस और इसका लीनियर सबस्पेस। रैखिक उप-स्थान यूक्लिडीय उप-स्थान हैं और एक यूक्लिडीय उप-स्थान एक रैखिक उप-स्थान है यदि और केवल यदि इसमें शून्य सदिश सम्मिलित है।

रेखाएं और खंड
यूक्लिडीय अंतरिक्ष में, एक रेखा एक विमा का यूक्लिडीय उप-स्थान है। चूँकि विमा एक का सदिश स्थान किसी भी अशून्य सदिश द्वारा फैला हुआ है, एक रेखा रूप का एक सेट है

$$\left\{P + \lambda \overrightarrow{PQ} \mid \lambda \in \R \right\},$$ जहाँ $P$ तथा $Q$ रेखा के एक भाग के रूप में यूक्लिडीय अंतरिक्ष के दो अलग-अलग बिंदु हैं।

यह इस प्रकार है कि वास्तव में एक रेखा है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से गुजरती है (इसमें सम्मिलित है)। इसका तात्पर्य है कि दो अलग-अलग रेखाएँ अधिकतम एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

$P$ तथा $Q$ से गुजरने वाली रेखा का अधिक सममित निरूपण है$$\left\{O + (1-\lambda)\overrightarrow{OP} + \lambda \overrightarrow{OQ} \mid \lambda \in \R \right\},$$जहाँ $O$ एक स्वेच्छ बिंदु है (रेखा पर आवश्यक नहीं)।

एक यूक्लिडीय सदिश समष्टि में, $O$ के लिए आमतौर पर शून्य सदिश चुना जाता है; यह पिछले सूत्र को सरल बनाने की अनुमति देता है$$\left\{(1-\lambda) P + \lambda Q \mid \lambda \in \R\right\}.$$एक मानक परिपाटी प्रत्येक यूक्लिडीय स्थान में इस सूत्र का उपयोग करने की अनुमति देती है, देखें।

बिंदु $P$ और $Q$ को मिलाने वाला रेखा खंड, या केवल खंड, पिछले सूत्रों में $0 ≤ 𝜆 ≤ 1$ जैसे बिंदुओं का उपसमुच्चय है। इसे $PQ$ या $QP$ निरूपित किया जाता है; वह है$$PQ = QP = \left\{P+\lambda \overrightarrow{PQ} \mid 0 \le \lambda \le 1\right\}.$$

समानांतरवाद
एक यूक्लिडीय अंतरिक्ष में एक ही विमा के दो उपस्थान $S$ और $T$ समानांतर हैं यदि उनके पास एक ही दिशा है (यानी, एक ही संबंधित सदिश स्पेस)। समतुल्य रूप से, वे समानांतर हैं, यदि कोई रूपान्तरण सदिश $v$ है जो एक दूसरे को मैप करता है: $$T= S+v.$$एक बिंदु P और एक उप-स्थान S दिया गया है, ठीक एक उप-स्थान मौजूद है जिसमें $P$ सम्मिलित है और $S$ के समानांतर है, जो कि $$P + \overrightarrow S$$ उस स्थिति में जहाँ $S$ एक रेखा है (विमा एक की उपसमष्टि), यह गुण Playfair का स्वयंसिद्ध है।

यह इस प्रकार है कि एक यूक्लिडीय विमान में, दो रेखाएँ या तो एक बिंदु पर मिलती हैं या समानांतर होती हैं।

समांतर उप-स्थानों की अवधारणा को विभिन्न विमाों के उप-स्थानों तक विस्तारित किया गया है: दो उप-स्थान समानांतर हैं यदि उनमें से एक की दिशा दूसरे की दिशा में निहित है।

मीट्रिक संरचना
सदिश अंतरिक्ष $$\overrightarrow E$$ एक यूक्लिडीय स्थान $E$ से संबद्ध एक आंतरिक उत्पाद स्थान है। इसका तात्पर्य एक सममित द्विरेखीय रूप से है$$\begin{align} \overrightarrow E \times \overrightarrow E &\to \R\\ (x,y)&\mapsto \langle x,y \rangle \end{align}$$यह धनात्मक निश्चित है (अर्थात $$\langle x,x \rangle$$ के लिए सदैव सकारात्मक रहता है $x ≠ 0$).

यूक्लिडीय अंतरिक्ष के आंतरिक उत्पाद को प्रायः डॉट उत्पाद कहा जाता है और $x ⋅ y$ को निरूपित किया जाता है। यह विशेष रूप से मामला है जब एक कार्तीय समन्वय प्रणाली को चुना गया है, जैसा कि, इस मामले में, दो वैक्टरों का आंतरिक उत्पाद उनके समन्वय वैक्टरों का डॉट उत्पाद है। इस कारण से, और ऐतिहासिक कारणों से, यूक्लिडीय रिक्त स्थान के आंतरिक उत्पाद के लिए ब्रैकेट नोटेशन की तुलना में डॉट नोटेशन का अधिक सामान्य रूप से उपयोग किया जाता है। यह लेख इस प्रयोग का अनुसरण करेगा; अर्थात $$\langle x,y \rangle$$ को इस लेख के शेष भाग में $x ⋅ y$ के रूप में दर्शाया जाएगा।

सदिश $x$ का यूक्लिडीय मानदंड है$$\|x\| = \sqrt {x \cdot x}.$$आंतरिक उत्पाद और मानदंड यूक्लिडीय ज्यामिति के मीट्रिक और सांस्थितीय गुणों को व्यक्त करने और सिद्ध करने की अनुमति देता है। अगला उपखंड सबसे मौलिक का वर्णन करता है। इन उपखंडों में, $E$ एक मनमाने ढंग से यूक्लिडीय स्थान को दर्शाता है, और $$\overrightarrow E$$ रूपान्तरण के अपने सदिश स्थान को दर्शाता है।

दूरी और लंबाई
यूक्लिडीय अंतरिक्ष के दो बिंदुओं के बीच की दूरी (अधिक सटीक रूप से यूक्लिडीय दूरी) रूपान्तरण सदिश का मानदंड है जो एक बिंदु को दूसरे बिंदु पर मैप करता है; वह है$$d(P,Q) = \Bigl\|\overrightarrow {PQ}\vphantom{\frac|{}}\Bigr\|.$$एक खंड $PQ$ की लंबाई उसके अंतिम बिंदुओं के बीच की दूरी $d(P, Q)$ है। इसे प्रायः $$|PQ|$$ के रूप में दर्शाया जाता है।

दूरी एक मीट्रिक है, क्योंकि यह सकारात्मक निश्चित, सममित है और त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करती है$$d(P,Q)\le d(P,R) + d(R, Q).$$इसके अलावा, समानता सही है अगर और केवल अगर $R$ खंड $PQ$ से संबंधित है। इस असमानता का अर्थ है कि त्रिभुज के किसी किनारे की लंबाई अन्य किनारों की लंबाई के योग से छोटी है। यह त्रिभुज असमानता शब्द की उत्पत्ति है।

यूक्लिडीय दूरी के साथ, प्रत्येक यूक्लिडीय स्थान एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है।

लम्बता
$$\overrightarrow E$$ के दो गैर-शून्य वैक्टर $u$ और $v$ लंबवत या ओर्थोगोनल हैं यदि उनका आंतरिक उत्पाद शून्य है:$$ u \cdot v =0$$$$\overrightarrow E$$ के दो रेखीय उपस्थान ओर्थोगोनल होते हैं यदि पहले वाले का प्रत्येक शून्येतर सदिश दूसरे के प्रत्येक शून्येतर सदिश के लंबवत हो। इसका तात्पर्य यह है कि रैखिक उपसमष्टि का प्रतिच्छेदन शून्य सदिश तक कम हो जाता है।

दो रेखाएं, और अधिक आम तौर पर दो यूक्लिडीय उप-स्थान ओर्थोगोनल हैं यदि उनकी दिशा ओर्थोगोनल है। दो ओर्थोगोनल रेखाएँ जो प्रतिच्छेद करती हैं, लंब कहलाती हैं।

दो खंड $AB$ और $AC$ जो एक सामान्य समापन बिंदु साझा करते हैं, लंबवत हैं या एक समकोण बनाते हैं यदि सदिश $$\overrightarrow {AB}$$ और $$\overrightarrow {AC}$$ ओर्थोगोनल हैं।

यदि $AB$ और $AC$ एक समकोण बनाते हैं, तो एक के पास होता है$$|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2.$$यह पाइथागोरस प्रमेय है। इस संदर्भ में इसका प्रमाण आसान है, जैसा कि आंतरिक उत्पाद के संदर्भ में इसे व्यक्त करते हुए, आंतरिक उत्पाद की समरूपता और समरूपता का उपयोग करते हुए:$$\begin{align} &=\left(\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AC}\right ) \cdot \left(\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AC}\right)\\ &=\overrightarrow {BA}\cdot \overrightarrow {BA}+ \overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {AC} -2 \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}\\ &=\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {AC}\\ &=|AB|^2 + |AC|^2. \end{align}$$
 * BC|^2 &= \overrightarrow {BC}\cdot \overrightarrow {BC}\\

कोण
$$\overrightarrow E$$ में दो अशून्य सदिशों $x$ और $y$ के बीच (गैर-उन्मुख) कोण $θ$ है

$$\theta = \arccos\left(\frac{x\cdot y}{\left\|x\right\| \left\|y\right\|}\right)$$जहां $arccos$, आर्ककोज्या फलन का मुख्य मान है। कॉची-श्वार्ज असमानता के अनुसार चापकोज्या का तर्क अंतराल $[−1, 1]$ में है। इसलिए $θ$ वास्तविक है, और $0 ≤ θ ≤ π$ (या $0 ≤ θ ≤ 180$ यदि कोणों को डिग्री में मापा जाता है)।

यूक्लिडीय रेखा में कोण उपयोगी नहीं होते हैं, क्योंकि वे केवल 0 या $\pi$ हो सकते हैं।

एक उन्मुख यूक्लिडीय विमान में, दो सदिशों के उन्मुख कोण को परिभाषित किया जा सकता है। दो सदिशों $x$ और $y$ का उन्मुख कोण तब $y$ और $x$ के उन्मुख कोण के विपरीत होता है। इस स्थिति में, दो सदिशों के कोण का कोई भी मान हो सकता है जो $2π$ का एक पूर्णांक गुणांक हो। विशेष रूप से, एक प्रतिवर्ती कोण $π < θ < 2π$ ऋणात्मक कोण $−π < θ − 2π < 0$ के बराबर होता है।

यदि दो सदिशों को धनात्मक संख्याओं से गुणा किया जाए तो उनका कोण नहीं बदलता है। अधिक सटीक रूप से, यदि $x$ और $y$ दो सदिश हैं, और $λ$ और $μ$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो$$\operatorname{angle}(\lambda x, \mu y)= \begin{cases} \operatorname{angle}(x, y) \qquad\qquad \text{if } \lambda \text{ and } \mu \text{ have the same sign}\\ \pi - \operatorname{angle}(x, y)\qquad \text{otherwise}. \end{cases}$$यदि $A$, $B$, और $C$ एक यूक्लिडीय स्थान में तीन बिंदु हैं, तो $AB$ और $AC$ खंडों का कोण सदिशों का कोण है $$\overrightarrow {AB}$$ और $$\overrightarrow {AC}.$$ चूंकि धनात्मक संख्याओं द्वारा सदिशों के गुणन से कोण नहीं बदलता है, प्रारंभिक बिंदु के साथ दो अर्ध-रेखाओं का कोण $A$ को परिभाषित किया जा सकता है: यह खंडों $AB$ और $AC$ का कोण है, जहां $B$ और $C$ मनमाना बिंदु हैं, प्रत्येक अर्ध-रेखा पर एक। हालांकि यह कम उपयोग किया जाता है, इसी तरह खंडों या अर्ध-रेखाओं के कोण को परिभाषित किया जा सकता है जो प्रारंभिक बिंदुओं को साझा नहीं करते हैं।

दो रेखाओं के कोण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। यदि $θ$ दो खंडों का कोण है, प्रत्येक रेखा पर एक, तो किसी भी दो अन्य खंडों का कोण, प्रत्येक रेखा पर एक, या तो $θ$ या $π − θ$ है। इनमें से एक कोण अंतराल $[0, π/2]$ में है, और दूसरा $[π/2, π]$ में है। दो रेखाओं का गैर-उन्मुख कोण अंतराल $[0, π/2]$ में एक है। एक उन्मुख यूक्लिडीय विमान में, दो रेखाओं का उन्मुख कोण अंतराल $[−π/2, π/2]$ से संबंधित होता है।

कार्तीय निर्देशांक
प्रत्येक यूक्लिडीय सदिश स्थान का एक ओर्थोनॉर्मल आधार होता है (वास्तव में, अपरिमित रूप से एक से अधिक विमा में और एक विमा में दो), जो एक आधार है $$(e_1, \dots, e_n) $$ इकाई सदिश के ($$\|e_i\| = 1$$) जो जोड़ो में ओर्थोगोनल हैं ($$e_i\cdot e_j = 0$$ $i ≠ j$ के लिए)। अधिक सटीक रूप से, किसी भी आधार $$(b_1, \dots, b_n),$$ ग्राम-श्मिट प्रक्रिया की गणना करता है एक ऑर्थोनॉर्मल आधार जैसे कि, प्रत्येक $i$ के लिए, $$(e_1, \dots, e_i)$$ का रैखिक विस्तार और $$(b_1, \dots, b_i)$$ बराबर हैं।

एक यूक्लिडीय स्पेस $E$ दिया गया है, एक कार्टेशियन फ्रेम डेटा का एक सेट है जिसमें $$\overrightarrow E,$$ का ऑर्थोनॉर्मल आधार और E का एक बिंदु सम्मिलित है। मूलबिंदु कहा जाता है और प्रायः $O$ को निरूपित करता है।

$E$ और $$\overrightarrow E$$ दोनों के लिए कार्तीय निर्देशांक को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित करने की अनुमति देता है। एक कार्तीय फ्रेम $$(O, e_1, \dots, e_n)$$ $E$ दोनों के लिए कार्तीय निर्देशांक परिभाषित करने की अनुमति देता है और $$\overrightarrow E,$$ निम्नलिखित तरीके से।

सदिश $v$ के कार्तीय निर्देशांक $$e_1, \dots, e_n.$$ के आधार पर $v$ के गुणांक हैं। आधार ऑर्थोनॉर्मल है, $i$वें गुणांक डॉट उत्पाद $$v\cdot e_i.$$ है

$E$ के बिंदु $P$ के कार्तीय निर्देशांक सदिश के कार्तीय निर्देशांक $$\overrightarrow {OP}.$$ हैं

अन्य निर्देशांक


जैसा कि यूक्लिडीय स्पेस एक एफाइन स्पेस है, कोई उस पर एक एफाइन फ्रेम पर विचार कर सकता है, जो यूक्लिडीय फ्रेम के समान है, सिवाय इसके कि आधार को ऑर्थोनॉर्मल होने की आवश्यकता नहीं है। यह affine निर्देशांक को परिभाषित करता है, कभी-कभी इस बात पर बल देने के लिए तिरछा निर्देशांक कहा जाता है कि आधार वैक्टर जोड़ीदार ऑर्थोगोनल नहीं हैं।

विमा $n$ के यूक्लिडीय स्थान का एक सजातीय आधार $n + 1$ बिंदुओं का एक सेट है जो एक हाइपरप्लेन में समाहित नहीं है। एक एफाइन आधार प्रत्येक बिंदु के लिए बैरीसेंट्रिक निर्देशांक परिभाषित करता है।

कई अन्य निर्देशांक प्रणालियों को निम्नलिखित तरीके से विमा $n$ के यूक्लिडीय अंतरिक्ष $E$ पर परिभाषित किया जा सकता है। मान लीजिए $f$ एक समरूपता (या, अधिक बार, एक डिफियोमोर्फिज्म) है जो E के सघन खुले उपसमुच्चय से $$\R^n.$$ के खुले उपसमुच्चय में है। $E$ के बिंदु $x$ के निर्देशांक $f(x)$ के घटक हैं। ध्रुवीय निर्देशांक निकाय (विमा 2) और गोलाकार निर्देशांक निकाय और बेलनाकार निर्देशांक निकाय (विमा 3) को इस तरह परिभाषित किया गया है।

उन बिंदुओं के लिए जो $f$ के डोमेन के बाहर हैं, निर्देशांक को कभी-कभी पड़ोसी बिंदुओं के निर्देशांक की सीमा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन ये निर्देशांक विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं हो सकते हैं, और बिंदु के पड़ोस में निरंतर नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, गोलाकार समन्वय प्रणाली के लिए, देशांतर को ध्रुव पर परिभाषित नहीं किया गया है, और प्रतियाम्योत्तर (एंटीमैरीडियन) पर, देशांतर -180° से +180° तक लगातार गुजरता है।

निर्देशांक को परिभाषित करने का यह तरीका आसानी से अन्य गणितीय संरचनाओं तक और विशेष रूप से कई गुना तक फैला हुआ है।

आइसोमेट्री
दो मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच एक आइसोमेट्री दूरी को संरक्षित करने वाला एक आक्षेप है, अर्थात्$$d(f(x), f(y))= d(x,y).$$यूक्लिडीय सदिश स्पेस के मामले में, एक आइसोमेट्री जो मूल को मूल से मैप करती है, मानक को संरक्षित करती है$$\|f(x)\| = \|x\|,$$चूँकि सदिश का मान शून्य सदिश से इसकी दूरी है। यह आंतरिक उत्पाद को भी संरक्षित करता है$$f(x)\cdot f(y)=x\cdot y,$$क्योंकि$$x \cdot y=\frac 1 2 \left(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\right).$$यूक्लिडीय सदिश रिक्त स्थान की एक आइसोमेट्री एक रैखिक समरूपता है।

यूक्लिडीय रिक्त स्थान की एक आइसोमेट्री $$f\colon E\to F$$ एक आइसोमेट्री परिभाषित करती है $$\overrightarrow f \colon \overrightarrow E \to \overrightarrow F$$से संबंधित यूक्लिडीय सदिश स्पेस। इसका तात्पर्य है कि दो आइसोमेट्रिक यूक्लिडीय रिक्त स्थान समान विमा वाले हैं। इसके विपरीत, यदि $f$ और $E$ यूक्लिडीय रिक्त स्थान हैं, तो $O ∈ E$, $O' ∈ F$, और $$\overrightarrow f\colon \overrightarrow E\to \overrightarrow F$$ एक आइसोमेट्री है, तो मैप $$f\colon E\to F$$ द्वारा परिभाषित$$f(P)=O' + \overrightarrow f\left(\overrightarrow{OP}\right)$$यूक्लिडीय रिक्त स्थान का एक आइसोमेट्री है।

यह पूर्ववर्ती परिणामों से अनुसरण करता है कि यूक्लिडीय रिक्त स्थान की एक आइसोमेट्री लाइनों को लाइनों में मैप करती है, और अधिक सामान्यतः यूक्लिडीय उप-स्थानों को समान विमा के यूक्लिडीय उप-स्थानों के लिए, और यह कि इन उप-स्थानों पर आइसोमेट्री का प्रतिबंध इन उप-स्थानों के आइसोमेट्री हैं।

प्रोटोटाइपिक उदाहरणों के साथ आइसोमेट्री
अगर $F$ एक यूक्लिडीय स्पेस है, तो इससे जुड़ी सदिश स्पेस $$\overrightarrow E$$ को यूक्लिडीय स्पेस माना जा सकता है। हर बिंदु $O ∈ E$ यूक्लिडीय रिक्त स्थान की एक आइसोमेट्री को परिभाषित करता है$$P\mapsto \overrightarrow {OP},$$जो $E$ को शून्य सदिश पर मैप करता है और संबंधित रैखिक मानचित्र के रूप में पहचान रखता है। उलटा आइसोमेट्री नक्शा है$$v\mapsto O+v.$$एक यूक्लिडीय फ्रेम $O$ मानचित्र को परिभाषित करने की अनुमति देता है$$\begin{align} E&\to \R^n\\ P&\mapsto \left(e_1\cdot \overrightarrow {OP}, \dots, e_n\cdot\overrightarrow {OP}\right), \end{align}$$जो यूक्लिडीय रिक्त स्थान का एक आइसोमेट्री है। उलटा आइसोमेट्री है$$\begin{align} \R^n&\to E \\ (x_1\dots, x_n)&\mapsto \left(O+x_1e_1+ \dots + x_ne_n\right). \end{align}$$इसका मतलब यह है कि, एक तुल्याकारिता तक, दिए गए विमा का ठीक एक यूक्लिडीय स्थान होता है।

यह इस बात को सही ठहराता है कि कई लेखक $$\R^n$$ विमा $(O, e_1, \dots, e_n)$ के यूक्लिडीय स्थान के रूप में बात करते हैं।

यूक्लिडीय समूह
यूक्लिडीय अंतरिक्ष से स्वयं पर एक आइसोमेट्री को यूक्लिडीय आइसोमेट्री, यूक्लिडीय परिवर्तन या कठोर परिवर्तन कहा जाता है। यूक्लिडीय अंतरिक्ष के कठोर परिवर्तन एक समूह (रचना के तहत) बनाते हैं, जिसे यूक्लिडीय समूह कहा जाता है और प्रायः $ISO(n)$ के $E(n)$ को निरूपित किया जाता है।

सबसे सरल यूक्लिडीय रूपांतरण रूपान्तरण हैं$$P \to P+v.$$वे वैक्टर के साथ विशेषण पत्राचार में हैं। रूपान्तरण के स्थान को यूक्लिडीय स्थान से जुड़ा सदिश स्थान कहने का यह एक कारण है। रूपान्तरण यूक्लिडीय समूह का एक सामान्य उपसमूह बनाते हैं।

यूक्लिडीय स्पेस $n$ का एक यूक्लिडीय आइसोमेट्री $E$ संबंधित सदिश स्पेस के रैखिक आइसोमेट्री $$\overrightarrow f$$ को परिभाषित करता है (रैखिक आइसोमेट्री द्वारा, इसका मतलब एक आइसोमेट्री है वह भी एक रेखीय नक्शा है) निम्नलिखित तरीके से: $Q – P$ द्वारा सदिश $$\overrightarrow {PQ}$$, यदि $f$, $O$ का एक मनमाना बिंदु है, किसी के पास$$\overrightarrow f(\overrightarrow {OP})= f(P)-f(O).$$यह सिद्ध करना सीधा है कि यह एक रेखीय नक्शा है जो $E$ की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

नक्शा $$f \to \overrightarrow f$$यूक्लिडीय समूह से लीनियर आइसोमेट्री के समूह पर एक समूह समरूपता है, जिसे ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है। इस समरूपता का मूल रूपान्तरण समूह है, जो दर्शाता है कि यह यूक्लिडीय समूह का एक सामान्य उपसमूह है।

आइसोमेट्रीज़ जो किसी दिए गए बिंदु $O.$ को ठीक करती हैं, $P$ के संबंध में यूक्लिडीय समूह के स्टेबलाइजर उपसमूह का निर्माण करती हैं। उपरोक्त समूह समरूपता के इस स्टेबलाइज़र के लिए प्रतिबंध एक समरूपता है। तो आइसोमेट्री जो किसी दिए गए बिंदु को ठीक करती हैं, ऑर्थोगोनल समूह के लिए एक आइसोमोर्फिक समूह बनाती हैं।

मान लीजिए कि $P$ एक बिंदु है, $P$ एक आइसोमेट्री है, और $f$ रूपान्तरण है जो $t$ को $f(P)$ में मैप करता है। आइसोमेट्री $$g=t^{-1}\circ f$$ $P$ को ठीक करती है। इसलिए $$f= t\circ g,$$ और यूक्लिडीय समूह रूपान्तरण समूह और ऑर्थोगोनल समूह का अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन है।

विशेष ऑर्थोगोनल समूह ओर्थोगोनल समूह का सामान्य उपसमूह होता है जो अभिविन्यास को बनाए रखता है। यह ओर्थोगोनल समूह के सूचकांक दो का एक उपसमूह है। समूह समरूपता $$f \to \overrightarrow f$$ द्वारा इसकी उलटी छवि यूक्लिडीय समूह के सूचकांक दो का एक सामान्य उपसमूह है, जिसे कहा जाता है विशेष यूक्लिडीय समूह या विस्थापन समूह। इसके तत्वों को कठोर गति या विस्थापन कहा जाता है।

दृढ गतियों में पहचान, रूपान्तरण, घुमाव (कठोर गति जो कम से कम एक बिंदु को ठीक करती है), और पेंच गति भी सम्मिलित हैं।

कठोर परिवर्तनों के विशिष्ट उदाहरण जो कठोर गति नहीं हैं, प्रतिबिंब हैं, जो कठोर परिवर्तन हैं जो हाइपरप्लेन को ठीक करते हैं और पहचान नहीं हैं। वे कुछ यूक्लिडीय फ्रेम पर एक समन्वय के चिह्न को बदलने में सम्मिलित परिवर्तन भी हैं।

जैसा कि विशेष यूक्लिडीय समूह यूक्लिडीय समूह के सूचकांक दो का एक उपसमूह है, एक प्रतिबिंब r दिया गया है, प्रत्येक कठोर परिवर्तन जो कठोर गति नहीं है, r और कठोर गति का उत्पाद है। ग्लाइड रिफ्लेक्शन एक कठोर परिवर्तन का एक उदाहरण है जो कठोर गति या प्रतिबिंब नहीं है।

इस खंड में जिन सभी समूहों पर विचार किया गया है, वे झूठ समूह और बीजगणितीय समूह हैं।

सांस्थिति (सांस्थिति)
यूक्लिडीय दूरी, यूक्लिडीय अंतरिक्ष को एक मीट्रिक स्थान, और इस प्रकार एक सांस्थितीय स्थान बनाती है। इस सांस्थिति को यूक्लिडीय सांस्थिति कहा जाता है। $$\mathbb R^n$$ की स्थिति में, यह सांस्थिति भी गुणन सांस्थिति है।

खुले समुच्चय, वे उपसमुच्चय होते हैं जिनमें उनके प्रत्येक बिंदु के चारों ओर एक खुली गेंद होती है। दूसरे शब्दों में, खुली गेंदें सांस्थिति का आधार बनाती हैं।

यूक्लिडीय अंतरिक्ष की सांस्थितीय विमा इसके विमा के बराबर होती है। इसका तात्पर्य है कि विभिन्न विमाओं के यूक्लिडीय अंतरिक्ष समरूप नहीं होते हैं। इसके अतिरिक्त, प्रान्त की निश्चरता की प्रमेय का दावा है कि एक यूक्लिडीय अंतरिक्ष का एक उपसमुच्चय खुला होता है (उप-स्थान सांस्थिति के लिए) यदि और केवल यदि यह समान विमा के यूक्लिडीय अंतरिक्ष के एक खुले उपसमुच्चय के लिए समरूप है।

यूक्लिडीय अंतरिक्ष पूर्ण और स्थानीय रूप से सघन होते हैं। अर्थात्, यूक्लिडीय अंतरिक्ष का एक बंद उपसमुच्चय सघन होता है यदि यह परिबद्ध है (अर्थात, एक गेंद में समाहित है)। विशेष रूप से, बंद गेंदें सघन होती हैं।

अभिगृहीतीय परिभाषाएँ
इस आलेख में वर्णित यूक्लिडीय अंतरिक्ष की परिभाषा मौलिक रूप से यूक्लिड की परिभाषा से भिन्न है। वास्तव में, यूक्लिड ने औपचारिक रूप से अंतरिक्ष को परिभाषित नहीं किया, क्योंकि यह भौतिक दुनिया के वर्णन के रूप में सोचा गया था जो मानव बुद्धि से स्वतंत्र रूप से विद्यमान है। एक औपचारिक परिभाषा की आवश्यकता केवल 19वीं शताब्दी के अंत में गैर-यूक्लिडीय ज्यामिति के प्रारंभ के साथ दिखाई दी।

इसमें दो अलग-अलग विधियों का उपयोग किया गया है। फेलिक्स क्लेन ने ज्यामिति को उनकी सममितियों के माध्यम से परिभाषित करने का सुझाव दिया। इस आलेख में दी गई यूक्लिडीय अंतरिक्ष की प्रस्तुति अनिवार्य रूप से उनके एरलांगेन कार्यक्रम से जारी की गई है, जिसमें रूपान्तरण और सममिति के समूहों पर जोर दिया गया है।

दूसरी ओर, डेविड हिल्बर्ट ने यूक्लिड की अभिधारणाओं से प्रेरित होकर अभिगृहीतों का एक समूह प्रस्तावित किया। ये अवास्तविक ज्यामिति से संबंधित हैं, क्योंकि इनमें वास्तविक संख्याओं की कोई परिभाषा सम्मिलित नहीं है। बाद में जी.डी. बिरखॉफ और अल्फ्रेड टार्स्की ने अभिगृहीतों के सरल समूह प्रस्तावित किए, जो वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते हैं (बिरखॉफ के अभिगृहीत और टार्स्की के अभिगृहीत देखें)।

ज्यामितीय बीजगणित में, एमिल आर्टिन ने सिद्ध किया है कि यूक्लिडीय अंतरिक्ष की ये सभी परिभाषाएँ समतुल्य हैं। यह सिद्ध करना आसान है कि यूक्लिडीय अंतरिक्ष की सभी परिभाषाएँ हिल्बर्ट के अभिगृहीतों को संतुष्ट करती हैं, और वास्तविक संख्याओं (ऊपर दी गई परिभाषा सहित) को सम्मिलित करने वाली परिभाषाएँ समतुल्य हैं। आर्टिन के प्रमाण का कठिन भाग निम्नलिखित है। हिल्बर्ट के अभिगृहीतों में, सर्वांगसमता, खंडों पर एक तुल्यता संबंध है। इस प्रकार एक खंड की लंबाई को इसके समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार यह सिद्ध किया जाना चाहिए कि यह लंबाई उन गुणों को संतुष्ट करती है जो गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं को दर्शाते हैं। आर्टिन ने इसे हिल्बर्ट के समतुल्य अभिगृहीतों के साथ सिद्ध किया।

उपयोग
प्राचीन यूनानियों के बाद से, यूक्लिडीय अंतरिक्ष का उपयोग भौतिक दुनिया में प्रतिरूपण आकृतियों के लिए किया जाता है। इस प्रकार यह भौतिकी, यांत्रिकी और खगोल विज्ञान जैसे कई विज्ञानों में प्रयोग किया जाता है। यह वास्तुकला, भूगणित, स्थलाकृति, पथ प्रदर्शन (नेविगेशन), औद्योगिक संरचना या तकनीकी कला जैसे तकनीकी क्षेत्रों में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, जो आकार, आकृति, स्थान और स्थिति से संबंधित होते हैं।

भौतिकी के कई आधुनिक सिद्धांतों में तीन से अधिक विमाओं वाले अंतरिक्ष होते हैं; उच्च विमा देखें। ये भौतिक प्रणालियों के विन्यास स्थानों में भी होते हैं।

यूक्लिडीय ज्यामिति के अतिरिक्त, यूक्लिडीय अंतरिक्ष भी गणित के अन्य क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। अवकलनीय मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा अंतरिक्ष, यूक्लिडीय सदिश अंतरिक्ष हैं। अधिक सामान्यतः, मैनिफोल्ड एक ऐसा स्थान है जो यूक्लिडीय अंतरिक्ष द्वारा स्थानीय रूप से अनुमानित होता है। अधिकांश गैर-यूक्लिडीय ज्यामिति को मैनिफोल्ड द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है, और उच्च विमाओं वाले यूक्लिडीय अंतरिक्ष में अंतर्निहित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक दीर्घवृत्तीय स्थान को दीर्घवृत्ताभ द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है। यूक्लिडीय अंतरिक्ष में ऐसी गणितीय वस्तुओं का निरूपित करना सामान्य है जो एक ज्यामितीय प्रकृति की प्राथमिकता नहीं है। आलेखों (असतत गणित) का सामान्य निरूपण कई स्थानों के बीच एक उदाहरण है।

अन्य ज्यामितीय अंतरिक्ष
19वीं शताब्दी के अंत में, गैर-यूक्लिडीय ज्यामितियों के प्रारंभ के बाद से, कई प्रकार के अंतरिक्षों पर विचार किया गया है, जिसके बारे में यूक्लिडीय अंतरिक्ष के समान ही ज्यामितीय तर्क किये जा सकते हैं। सामान्य रूप से, ये यूक्लिडीय अंतरिक्ष के साथ कुछ गुण साझा करते हैं, लेकिन इनके पास कुछ असामान्य गुण भी हो सकते हैं। इनमें से कुछ अंतरिक्ष अपनी परिभाषा के लिए यूक्लिडीय ज्यामिति का उपयोग करते हैं, या उच्च विमाओं वाले यूक्लिडीय अंतरिक्ष के उप-स्थान के रूप में तैयार किए जा सकते हैं। जब ऐसे अंतरिक्ष को ज्यामितीय सिद्धांतों द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो यूक्लिडीय अंतरिक्ष में स्थान को अंतर्निहित करना इसकी परिभाषा की स्थिरता को सिद्ध करने, या अधिक यथार्थ रूप से यह सिद्ध करने की एक मानक विधि है, कि इसका सिद्धांत सुसंगत है, यदि यूक्लिडीय ज्यामिति सुसंगत है (जिसे सिद्ध नहीं किया जा सकता है)।

एफाइन अंतरिक्ष
यूक्लिडीय अंतरिक्ष एक मीट्रिक से सुसज्जित एक एफाइन अंतरिक्ष है। गणित में एफाइन अंतरिक्ष के कई अन्य उपयोग हैं। विशेष रूप से, किसी भी क्षेत्र में परिभाषित होने के कारण ये अन्य संदर्भों में ज्यामिति करने की सुविधा प्रदान करते हैं।

जैसे ही गैर-रैखिक प्रश्नों पर विचार किया जाता है, यह सामान्य रूप से यूक्लिडीय अंतरिक्ष के विस्तार के रूप में सम्मिश्र संख्याओं के परिबद्ध स्थानों पर विचार करने के लिए उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, जटिल एफाइन अंतरिक्ष में एक वृत्त और एक रेखा में सदैव दो प्रतिच्छेद बिंदु (संभवतः अलग नहीं) होते हैं। इसलिए, बीजगणितीय ज्यामिति का अधिकांश भाग बीजगणितीय रूप से परिबद्ध क्षेत्रों पर जटिल एफाइन अंतरिक्षों और एफाइन अंतरिक्षों में निर्मित किया गया है। इन एफाइन स्थानों में बीजगणितीय ज्यामिति में जिन आकृतियों का अध्ययन किया जाता है, उन्हें एफाइन बीजगणितीय विविधताएँ कहा जाता है।

परिमेय संख्याओं और अधिक सामान्यतः बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों पर एफाइन अंतरिक्ष, (बीजगणितीय) ज्यामिति और संख्या सिद्धांत के बीच एक संयोजन प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय को इस प्रकार कहा जा सकता है "दो से अधिक कोटि के एक फर्मेट वक्र का परिमेय संख्याओं पर एफाइन तल में कोई बिंदु नहीं है।"

परिमित क्षेत्रों पर एफाइन स्थानों की ज्यामिति का भी व्यापक अध्ययन किया गया है। उदाहरण के लिए, क्रिप्टोग्राफी में परिमित क्षेत्रों पर दीर्घवृत्तीय वक्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

प्रक्षेपीय अंतरिक्ष
मूल रूप से, यूक्लिडीय अंतरिक्ष में और अधिक सामान्य रूप से "दो समतलीय रेखाएँ बिल्कुल एक बिंदु पर मिलती हैं" कथन को सत्य सिद्ध करने के लिए एफाइन अंतरिक्ष में "अनंतता पर बिंदु" को जोड़कर प्रक्षेपीय अंतरिक्ष को प्रस्तुत किया गया है। प्रक्षेपीय अंतरिक्ष, समदैशिक (आइसोट्रोपिक) होने के गुण को यूक्लिडीय और एफाइन अंतरिक्ष के साथ साझा करता है, अर्थात् अंतरिक्ष में ऐसा कोई गुण नहीं है जो दो बिंदुओं या दो रेखाओं के बीच अंतर को स्पष्ट करने की सुविधा प्रदान करता है। इसलिए, सामान्यतः एक अधिक समदैशिक परिभाषा का उपयोग किया जाता है, जिसमें एक प्रक्षेपीय अंतरिक्ष को एक सदिश अंतरिक्ष में सदिश रेखाओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है।

एफाइन अंतरिक्ष के समान, प्रक्षेपीय अंतरिक्ष भी किसी भी क्षेत्र पर परिभाषित होते हैं, और बीजगणितीय ज्यामिति के मौलिक अंतरिक्ष होते हैं।

गैर-यूक्लिडीय ज्यामिति
गैर-यूक्लिडीय ज्यामिति सामान्यतः ज्यामितीय अंतरिक्ष को संदर्भित करती है जहां समांतर अभिधारणा असत्य होती है। इनमें दीर्घवृत्तीय ज्यामिति, जिसमें त्रिभुज के कोणों का योग 180° से अधिक होता है, और अतिपरवलयिक ज्यामिति, जिसमें यह योग 180° से कम होता है, सम्मिलित हैं। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में इनका आगमन, और यह प्रमाण कि इनका सिद्धांत सुसंगत है (यदि यूक्लिडीय ज्यामिति विरोधाभासी नहीं है) उन विरोधाभासों में से एक है, जो 20वीं शताब्दी के प्रारंभ के गणित में मूलभूत संकट के मूल में हैं, और जिन्होंने गणित में अभिगृहीतीय सिद्धांतों के व्यवस्थीकरण को प्रेरित किया।

वक्राकार स्थान
मैनिफोल्ड एक ऐसा स्थान है जो प्रत्येक बिंदु के निकट में एक यूक्लिडीय अंतरिक्ष जैसा दिखता है। तकनीकी शब्दों में, मैनिफोल्ड एक ऐसा सांस्थितीय अंतरिक्ष है, कि प्रत्येक बिंदु का एक ऐसा निकट क्षेत्र है जो यूक्लिडीय अंतरिक्ष के एक खुले उपसमुच्चय के लिए समरूप होता है। मैनिफोल्ड को सांस्थितीय मैनिफोल्ड, अवकलनीय मैनिफोल्ड, कोमल मैनिफोल्ड और विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड में इस "समानता" की बढ़ती हुई कोटि द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है। हालाँकि, इनमें से किसी भी प्रकार की "समानता" दूरियों और कोणों, यहाँ तक कि सन्निकटता पर भी ध्यान केन्द्रित नहीं करती है।

मैनिफोल्ड के बिंदुओं पर स्पर्शरेखा स्थान पर सुचारू रूप से भिन्न यूक्लिडीय मीट्रिक प्रदान करके दूरियों और कोणों को एक कोमल मैनिफोल्ड पर परिभाषित किया जा सकता है (ये स्पर्शरेखा स्थान इस प्रकार यूक्लिडीय सदिश अंतरिक्ष हैं)। रीमैनियन मैनिफोल्ड इसका परिणाम होता है। सामान्यतः, सीधी रेखाएँ रिमेंनियन मैनिफोल्ड में विद्यमान नहीं होती हैं, लेकिन इनकी भूमिका जियोडेसिक्स द्वारा निभाई जाती है, जो दो बिंदुओं के बीच "सबसे छोटा पथ" होता है। यह जियोडेसिक्स के साथ मापी जाने वाली दूरियों और जियोडेसिक्स के बीच के कोण, जो स्पर्शरेखा स्थान में उनके प्रतिच्छेद बिन्दु पर उनकी स्पर्शरेखाओं के कोण हैं, को परिभाषित करने की सुविधा प्रदान करता है। अतः रीमैनियन मैनिफोल्ड स्थानीय रूप से एक मुड़े हुए यूक्लिडीय अंतरिक्ष के समान व्यवहार करते हैं।

यूक्लिडीय अंतरिक्ष तुच्छ रूप से रीमैनियन मैनिफोल्ड होते हैं। गोले की सतह, इसको अच्छी प्रकार से दर्शाने वाला एक उदाहरण है। इस स्थिति में, जियोडेसिक्स वृहत वृत्त के चाप होते हैं, जिन्हें नेविगेशन के संदर्भ में ऑर्थोड्रोम कहा जाता है। अधिक सामान्यतः, गैर-यूक्लिडीय ज्यामिति के अंतरिक्ष को रीमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में समझा जा सकता है।

छद्म-यूक्लिडीय अंतरिक्ष
धनात्मक निश्चित द्विरैखिक रूप, वास्तविक सदिश अंतरिक्ष का एक आंतरिक गुणन है, और इस प्रकार एक धनात्मक निश्चित द्विघात रूप की विशेषता है। छद्म-यूक्लिडीय अंतरिक्ष, एक गैर-विकृत द्विघात रूप (जो अनिश्चित हो सकता है) से सुसज्जित वास्तविक सदिश अंतरिक्ष के साथ एक एफाइन अंतरिक्ष है।

इस प्रकार के अंतरिक्ष का एक मौलिक उदाहरण मिंकोस्की अंतरिक्ष है, जो अल्बर्ट आइंस्टीन की विशेष सापेक्षता का समष्टि-काल है। यह एक चार विमीय अंतरिक्ष है, जहाँ मीट्रिक को द्विघात रूप से परिभाषित किया गया है$$x^2+y^2+z^2-t^2,$$जहाँ अंतिम निर्देशांक (t) अस्थायी है, और अन्य तीन (x, y, z) स्थायी हैं।

गुरुत्वाकर्षण को ध्यान में रखने के लिए, सामान्य सापेक्षता एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड का उपयोग करती है जिसमें मिन्कोस्की अंतरिक्ष को स्पर्शरेखा स्थान के रूप में रखा गया है। एक बिंदु पर इस मैनिफोल्ड की वक्रता, इस बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के मान का एक फलन होती है।

यह भी देखें

 * हिल्बर्ट अंतरिक्ष, अनंत विमा के लिए एक सामान्यीकरण, कार्यात्मक विश्लेषण में प्रयोग किया जाता है