प्रवणता संख्या

ग्राफ ड्राइंग और ज्यामितीय ग्राफ़ सिद्धांत में, ग्राफ़ की ढलान संख्या ग्राफ़ की ड्राइंग में किनारों के अलग-अलग ढलानों की न्यूनतम संभव संख्या होती है जिसमें कोने को यूक्लिडियन विमान में बिंदुओं के रूप में दर्शाया जाता है और किनारों को रेखा खंड के रूप में दर्शाया जाता है। किसी भी गैर-घटना शीर्ष से होकर न निकले ।

पूर्ण ग्राफ़
चूंकि असतत ज्यामिति में निकट संबंधी समस्याओं का अध्ययन पहले किया जा चुका है,इस प्रकार से उदाहरण के लिए द्वारा और ,

इस प्रकार से ग्राफ़ की ढलान संख्या निर्धारित करने की समस्या किसके द्वारा प्रस्तुत की गई थी? , जिसने दिखाया कि ढलान संख्या $n$-वर्टेक्स पूरा ग्राफ $K_{n}$ बिलकुल $n$ है. ग्राफ़ के शीर्षों को नियमित बहुभुज पर रखकर इस ढलान संख्या के साथ चित्र बनाया जा सकता है।

डिग्री से संबंध
इस प्रकार से अधिकतम डिग्री के ग्राफ़ की ढलान संख्या $d$ स्पष्ट रूप से कम से कम $$\lceil d/2\rceil$$ है, क्योंकि घटना के अधिकतम दो किनारे डिग्री पर-$d$ शीर्ष ढलान साझा कर सकता है। अधिक स्पष्ट रूप से, ढलान संख्या कम से कम ग्राफ़ की रैखिक आर्बोरिसिटी के समान होती है, क्योंकि एकल ढलान के किनारों को रैखिक फारेस्ट बनाना चाहिए, और बदले में रैखिक आर्बोरिसिटी कम से कम $$\lceil d/2\rceil$$ होती है.

अधिकतम डिग्री (ग्राफ सिद्धांत) पांच वाले ग्राफ़ मौजूद हैं जिनमें मनमाने ढंग से बड़ी ढलान संख्या होती है। चूंकि, अधिकतम डिग्री तीन के प्रत्येक ग्राफ में ढलान संख्या अधिकतम चार होती है; का परिणाम संपूर्ण ग्राफ़ के लिए $K_{4}$दिखाता है कि यह तंग है। इस प्रकार से चार ढलानों का प्रत्येक समुच्य सभी डिग्री-3 ग्राफ़ खींचने के लिए उपयुक्त नहीं किये जाते है: और ढलानों का समुच्य इस उद्देश्य के लिए उपयुक्त होता है अर्यथात यह समांतर चतुर्भुज के पक्षों और विकर्णों की ढलान बनाता है। विशेष रूप से, कोई भी डिग्री 3 ग्राफ़ खींचा जा सकता है किंतु उसके किनारे या तो अक्ष-समानांतर हों या पूर्णांक जालक के मुख्य विकर्णों के समानांतर होता है । परन्तु यह ज्ञात नहीं है कि अधिकतम डिग्री चार के ग्राफ़ में ढलान संख्या सीमित होती है या असीमित होती है।



समतलीय रेखांकन
जैसा दिखाया गया है, प्रत्येक समतलीय ग्राफ में फ़ेरी का प्रमेय होता है और तलीय सीधी-रेखा रेखाचित्र जिसमें अलग-अलग ढलानों की संख्या ग्राफ़ की डिग्री का कार्य है। इस तरह से प्रमाण निर्माण का अनुसरण करता है  समतलीय ग्राफ़ के कोणीय रिज़ॉल्यूशन (ग्राफ़ ड्राइंग) को डिग्री के फलन के रूप में सीमित करने के लिए, ग्राफ़ को स्थिर कारक से अधिक की डिग्री में वृद्धि किए बिना अधिकतम समतलीय ग्राफ़ में पूर्ण करके, और इस संवर्धित ग्राफ़ का प्रतिनिधित्व करने के लिए सर्कल पैकिंग प्रमेय को प्रयुक्त करना स्पर्शरेखा वृत्तों के संग्रह के रूप में उपयोग किया गया है । यदि प्रारंभिक ग्राफ़ की डिग्री परिबद्ध है, तो पैकिंग में आसन्न वृत्तों की त्रिज्याओं के मध्य का अनुपात भी रिंग लेम्मा द्वारा परिबद्ध होगा, जिसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक ग्राफ शीर्ष को उसके वृत्त के अन्दर बिंदु पर रखने के लिए क्वाडट्री का उपयोग करने से ढलान उत्पन्न होंगे जोकी छोटे पूर्णांकों के अनुपात होते हैं। इस निर्माण द्वारा उत्पन्न अलग-अलग ढलानों की संख्या ग्राफ़ की डिग्री में घातीय होती है।

जटिलता
इस प्रकार से यह निर्धारित करना एनपी-पूर्ण है कि ग्राफ़ में ढलान संख्या दो है या नहीं है । इससे यह पता चलता है कि किसी मनमाने ग्राफ की ढलान संख्या निर्धारित करना, या 3/2 से उत्तम सन्निकटन अनुपात के साथ इसका अनुमान लगाना एनपी-कठिन है।

यह निर्धारित करना भी एनपी-पूर्ण है कि क्या समतलीय ग्राफ़ में ढलान संख्या दो के साथ समतलीय रेखाचित्र है,

और वास्तविकता के अस्तित्व संबंधी सिद्धांत के लिए समतलीय रेखाचित्र की न्यूनतम ढलान संख्या निर्धारित करना कठिन होता है।