टोपोलॉजी

गणित में, टोपोलॉजी किसी ज्यामितीय वस्तु के गुणों से संबंधित है जो निरंतर विकृतियों के अंतर्गत संरक्षित हैं, जैसे स्ट्रेचिंग, व्यावर्तन (ट्विस्टिंग), क्रम्पलिंग और बंकन (बेन्डिंग); अर्थात, छिद्रों को बंद किए बिना, छिद्रों को खोलना, विदारण (टीयरिंग), ग्लोइंग या स्वयं से गुजरे बिना।

टोपोलॉजिकल स्पेस एक संरचना से संपन्न एक सेट है, जिसे टोपोलॉजी कहा जाता है, जो उप-स्थानों के निरंतर विरूपण को परिभाषित करने की अनुमति देता है, और, अधिक सामान्यतः, सभी प्रकार की निरंतरता। यूक्लिडियन स्पेस स्थान, और, अधिक आम तौर पर, मीट्रिक रिक्त स्थान एक टोपोलॉजिकल स्पेस के उदाहरण हैं, क्योंकि कोई भी दूरी या मीट्रिक एक टोपोलॉजी को परिभाषित करता है। टोपोलॉजी में जिन विकृतियों पर विचार किया जाता है वे होमोमोर्फिज्म और होमोटोपीज़ हैं। एक संपत्ति जो इस तरह की विकृतियों के तहत अपरिवर्तनीय है वह एक टोपोलॉजिकल संपत्ति है। टोपोलॉजिकल गुणों के बुनियादी उदाहरण निम्नलिखित हैं: आयाम, जो एक रेखा और एक सतह के बीच अंतर करने की अनुमति देता है; सघनता, जो एक रेखा और एक वृत्त के बीच अंतर करने की अनुमति देती है; कनेक्टिविटी, जो एक वृत्त को दो गैर-प्रतिच्छेदी वृत्तों से अलग करने की अनुमति देती है।

टोपोलॉजी के अंतर्निहित विचार गॉटफ्राइड लाइबनिज़ के पास जाते हैं, जिन्होंने 17 वीं शताब्दी में जियोमेट्रिया साइटस और विश्लेषण साइटस की कल्पना की थी। लियोनहार्ड यूलर की कोनिग्सबर्ग के सात पुल समस्या और पॉलीहेड्रॉन फॉर्मूला यकीनन क्षेत्र के पहले प्रमेय हैं। टोपोलॉजी शब्द 19वीं शताब्दी में जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग द्वारा पेश किया गया था; हालाँकि, 20वीं शताब्दी के पहले दशकों तक टोपोलॉजिकल स्पेस का विचार विकसित नहीं हुआ था।

प्रेरणा
टोपोलॉजी के पीछे प्रेरक अंतर्दृष्टि यह है कि कुछ ज्यामितीय समस्याएं सम्मिलित वस्तुओं के यथार्थ आकार पर निर्भर नहीं करती हैं, बल्कि उन्हें साथ रखने के तरीके पर निर्भर करती हैं। उदाहरण के लिए, वर्ग और वृत्त में कई गुण समान हैं: वे दोनों एक विमीय वस्तुएं हैं (सामयिक दृष्टिकोण से) और दोनों विमान को दो भागों (आतंरिक व बाहरी भागों) में विभाजित करते हैं।

टोपोलॉजी में पहले पत्रों में से एक में, लियोनहार्ड यूलर ने दर्शाया कि कोनिग्सबर्ग (अब कैलिनिनग्राद) शहर के माध्यम से एक मार्ग खोजना असंभव था जो इसके सात पुलों में से प्रत्येक को एक बार पार कर सके। यह परिणाम पुलों की लंबाई या एक-दूसरे से उनकी दूरी पर निर्भर नहीं करता था, बल्कि केवल कनेक्टिविटी गुणों पर निर्भर करता था: कौन से पुल किस द्वीप या नदी तट से जुड़ते हैं। कोनिग्सबर्ग समस्या के इस सात पुलों ने गणित की उस शाखा को जन्म दिया जिसे ग्राफ सिद्धांत के नाम से जाना जाता है।

इसी तरह, बीजगणितीय टोपोलॉजी के बालों वाली गेंद प्रमेय का कहना है कि "कोई भी काउलिक बनाए बिना बालों वाली गेंद पर सीधे बालों में कंघी नहीं कर सकता है।" यह तथ्य अधिकांश लोगों को तुरंत आश्वस्त कर देता है, भले ही वे प्रमेय के अधिक औपचारिक कथन को नहीं पहचान पाते हैं, कि गोले पर कोई गैर-लुप्त होने वाला निरंतर स्पर्शरेखा वेक्टर क्षेत्र नहीं है। कोनिग्सबर्ग के पुलों के समान, परिणाम गोले के आकार पर निर्भर नहीं करता है; यह किसी भी प्रकार की चिकनी बूँद पर तब तक लागू होता है, जब तक उसमें कोई छेद न हो।

इन समस्याओं से निपटने के लिए जो वस्तुओं के सटीक आकार पर निर्भर नहीं करती हैं, किसी को यह स्पष्ट होना चाहिए कि ये समस्याएं किन गुणों पर निर्भर करती हैं। इस आवश्यकता से होमियोमोर्फिज्म की धारणा उत्पन्न होती है। प्रत्येक पुल को केवल एक बार पार करने की असंभवता कोनिग्सबर्ग में पुलों की होमोमोर्फिक किसी भी व्यवस्था पर लागू होती है, और हेअरी बॉल प्रमेय किसी गोले के होमोमोर्फिक किसी भी स्थान पर लागू होती है।

सहज रूप से, दो स्थान होमियोमॉर्फिक हैं यदि एक को बिना काटे या चिपकाए दूसरे में विकृत किया जा सकता है। एक पारंपरिक मज़ाक यह है कि एक टोपोलॉजिस्ट एक कॉफी मग को डोनट से अलग नहीं कर सकता है, क्योंकि एक पर्याप्त लचीले डोनट को एक डिंपल बनाकर और उसे उत्तरोत्तर बड़ा करके, एक हैंडल में छेद को सिकोड़ते हुए एक कॉफी कप में फिर से आकार दिया जा सकता है।

होमोमॉर्फिज्म को सबसे बुनियादी टोपोलॉजिकल तुल्यता माना जा सकता है। दूसरा है होमोटॉपी समतुल्यता। तकनीकी जानकारी के बिना इसका वर्णन करना कठिन है, लेकिन आवश्यक धारणा यह है कि दो वस्तुएं समरूप समतुल्य हैं यदि वे दोनों किसी बड़ी वस्तु को "कुचलने" के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती हैं।

एक परिचयात्मक अभ्यास (गणित) होमोमोर्फिज्म और समरूपता के अनुसार अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षरों को वर्गीकृत करना है। परिणाम उपयोग किए गए फ़ॉन्ट पर निर्भर करता है, और इस बात पर निर्भर करता है कि अक्षरों को बनाने वाले स्ट्रोक में कुछ मोटाई है या बिना मोटाई के आदर्श वक्र हैं। यहां के आंकड़े बिना-सेरिफ़ मैरियाड (फ़ॉन्ट) फ़ॉन्ट का उपयोग करते हैं और माना जाता है कि इसमें मोटाई के बिना आदर्श वक्र होते हैं। होमियोमॉर्फिज्म की तुलना में होमोटोपी तुल्यता एक मोटे संबंध है; एक समरूप तुल्यता वर्ग में कई समरूपता वर्ग हो सकते हैं। ऊपर वर्णित होमोटॉपी तुल्यता का सरल मामला यहां दो अक्षरों को दिखाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है जो समरूप समकक्ष हैं। उदाहरण के लिए, ओ पी के अंदर फिट बैठता है और पी की पूंछ को छेद वाले हिस्से में घुमाया जा सकता है।

होमोमोर्फिज्म वर्ग हैं:
 * सी, जी, आई, जे, एल, एम, एन, एस, यू, वी, डब्ल्यू, और जेड के अनुरूप कोई छेद नहीं;
 * ई, एफ, टी, और वाई के अनुरूप कोई छेद और तीन पूंछ नहीं;
 * एक्स के अनुरूप कोई छेद और चार पूंछ नहीं;
 * एक छेद और डी और ओ के अनुरूप कोई पूंछ नहीं;
 * पी और क्यू के अनुरूप एक छेद और एक पूंछ;
 * ए और आर के अनुरूप एक छेद और दो पूंछ;
 * दो छेद और बी के अनुरूप कोई पूंछ नहीं; तथा
 * एच और के के अनुरूप चार पूंछ वाली एक पट्टी; K पर बार देखने में लगभग बहुत छोटा है।

होमोटोपी वर्ग बड़े होते हैं, क्योंकि पूंछ को एक बिंदु तक नीचे गिराया जा सकता है। वे हैं:
 * एक छेद,
 * दो छेद, और
 * कोई छेद नहीं।

अक्षरों को सही ढंग से वर्गीकृत करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि एक ही कक्षा में दो अक्षर समतुल्य हैं और विभिन्न वर्गों में दो अक्षर समान नहीं हैं। होमियोमॉर्फिज्म के मामले में, यह बिंदुओं का चयन करके किया जा सकता है और उनके निष्कासन को अलग-अलग तरीके से हटा देता है। उदाहरण के लिए, एक्स और वाई होमियोमॉर्फिक नहीं हैं क्योंकि एक्स के केंद्र बिंदु को हटाने से चार टुकड़े निकलते हैं; Y में जो भी बिंदु इस बिंदु से मेल खाता है, उसका निष्कासन अधिकतम तीन टुकड़े छोड़ सकता है। समरूपता तुल्यता का मामला कठिन है और एक अधिक विस्तृत तर्क की आवश्यकता है जो एक बीजीय अपरिवर्तनीय को दर्शाता है, जैसे कि मौलिक समूह, माना जाता है कि भिन्न वर्गों पर भिन्न होता है।

टोपोलॉजी, एक अच्छी तरह से प में लेटर टोपोलॉजी की व्यावहारिक प्रासंगिकता है। उदाहरण के लिए, �� में उत्पन्न होती है, ले� फ़ॉन्ट स्टैंसिल एक जुड़े हुए सामग्री के टुकड़े से बने होते हैं।

इतिहास
टोपोलॉजी, एक अच्छी तरह से परिभाषित गणितीय अनुशासन के रूप में, बीसवीं सदी के शुरुआती भाग में उत्पन्न हुई, लेकिन कुछ अलग-अलग परिणाम कई शताब्दियों में खोजे जा सकते हैं। इनमें लियोनहार्ड यूलर द्वारा जांच की गई ज्यामिति के कुछ प्रश्न शामिल हैं। कोनिग्सबर्ग के सात पुलों पर उनके 1736 के पेपर को टोपोलॉजी के पहले व्यावहारिक अनुप्रयोगों में से एक माना जाता है। 14 नवंबर 1750 को, यूलर ने एक मित्र को लिखा कि उसे बहुफलक के किनारों के महत्व का एहसास हो गया है। इससे उनका बहुफलकीय सूत्र, $V − E + F = 2$ (जहाँ $V$, $E$, और $F$ क्रमशः बहुफलक के शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या दर्शाते हैं) प्राप्त हुआ। कुछ अधिकारी इस विश्लेषण को पहला प्रमेय मानते हैं, जो टोपोलॉजी के जन्म का संकेत देता है।

आगे योगदान ऑगस्टिन-लुई कॉची, लुडविग श्लाफली, जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग, बर्नहार्ड रिमेंन और एनरिको बेट्टी द्वारा किया गया। लिस्टिंग ने 1847 में अपने मूल जर्मन भाषा में लिखे गए वोरस्टुडियन ज़ूर टोपोलॉजी में "टोपोलोजी" शब्द की शुरुआत की, प्रिंट में पहली बार आने से पहले दस साल तक पत्राचार में इस शब्द का इस्तेमाल किया गया था। अंग्रेजी रूप "टोपोलॉजी" का उपयोग 1883 में नेचर जर्नल में लिस्टिंग के मृत्युलेख में "गुणात्मक ज्यामिति को सामान्य ज्यामिति से अलग करने के लिए किया गया था जिसमें मुख्य रूप से मात्रात्मक संबंधों का इलाज किया जाता है"।

हेनरी पोंकारे द्वारा उनके काम को सही किया गया, समेकित किया गया और काफी विस्तारित किया गया। 1895 में, उन्होंने एनालिसिस साइटस पर अपना अभूतपूर्व पेपर प्रकाशित किया, जिसमें उन अवधारणाओं को प्रस्तुत किया गया, जिन्हें अब होमोटॉपी और होमोलॉजी के रूप में जाना जाता है, जिन्हें अब बीजगणितीय टोपोलॉजी का हिस्सा माना जाता है। जॉर्ज कैंटोर, वीटो वोल्टेरा, सेसारे अर्जेला, जैक्स हैडामर्ड, गिउलिओ एस्कोलिक और अन्य के फ़ंक्शन स्पेस पर काम को एकीकृत करते हुए, मौरिस फ़्रेचेट ने 1906 में मीट्रिक स्पेस की शुरुआत की। एक मीट्रिक स्पेस को अब सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस का एक विशेष मामला माना जाता है, जिसमें कोई भी टोपोलॉजिकल स्पेस संभावित रूप से कई अलग-अलग मीट्रिक स्पेस को जन्म दे सकता है। 1914 में, फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ ने "टोपोलॉजिकल स्पेस" शब्द गढ़ा और उसे परिभाषा दी जिसे अब हॉसडॉर्फ स्पेस कहा जाता है। वर्तमान में, टोपोलॉजिकल स्पेस हौसडॉर्फ़ स्पेस का एक छोटा सा सामान्यीकरण है, जो 1922 में काज़िमिर्ज़ कुरातोवस्की द्वारा दिया गया था।

आधुनिक टोपोलॉजी 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में जॉर्ज कैंटर द्वारा विकसित सेट सिद्धांत के विचारों पर बहुत अधिक निर्भर करती है। सेट सिद्धांत के मूल विचारों को स्थापित करने के अलावा, कैंटर ने फूरियर श्रृंखला के अपने अध्ययन के हिस्से के रूप में यूक्लिडियन अंतरिक्ष में बिंदु सेट पर विचार किया। आगे के विकास के लिए, पॉइंट-सेट टोपोलॉजी और बीजीय टोपोलॉजी देखें।

2022 का एबेल पुरस्कार डेनिस सुलिवन को "टोपोलॉजी के व्यापक अर्थों में और विशेष रूप से इसके बीजगणितीय, ज्यामितीय और गतिशील पहलुओं में उनके अभूतपूर्व योगदान के लिए" प्रदान किया गया।

सेट पर टोपोलॉजी
टोपोलॉजी शब्द का तात्पर्य गणित के क्षेत्र के केंद्र में मौजूद एक विशिष्ट गणितीय विचार से भी है जिसे टोपोलॉजी कहा जाता है। अनौपचारिक रूप से, एक टोपोलॉजी बताती है कि किसी सेट के तत्व एक दूसरे से स्थानिक रूप से कैसे संबंधित होते हैं। एक ही सेट में विभिन्न टोपोलॉजी हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा, जटिल तल और कैंटर सेट को अलग-अलग टोपोलॉजी के साथ एक ही सेट के रूप में सोचा जा सकता है।

मौलिक रूप से, $g$ को एक सेट होने दें और $g$ के सबसेट का एक परिवार होने दें। तब $c$ को $g$ पर टोपोलॉजी कहा जाता है यदि:


 * 1) रिक्त समुच्चय और $c$ दोनों $X$ के अवयव हैं।
 * 2) $X$ के तत्वों का कोई भी संघ $τ$ का एक तत्व है।
 * 3) $X$ के अत्यंत अनेक तत्वों का कोई भी प्रतिच्छेदन $X$ का एक तत्व है।

यदि $τ$ $τ$ पर एक टोपोलॉजी है, तो जोड़ी $2 − 2g$ को टोपोलॉजिकल स्पेस कहा जाता है। नोटेशन $2g$ का उपयोग विशेष टोपोलॉजी $τ$ से संपन्न सेट $τ$ को दर्शाने के लिए किया जा सकता है। परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक टोपोलॉजी एक $\pi$-सिस्टम है।

$τ$ के सदस्यों को $τ$ में खुले सेट कहा जाता है। $X$ के एक उपसमुच्चय को बंद कहा जाता है यदि इसका पूरक $τ$ में है (अर्थात, इसका पूरक खुला है)। $X$ का एक उपसमुच्चय खुला, बंद, दोनों (एक क्लॉपेन सेट) या दोनों में से कोई भी नहीं हो सकता है। ख़ाली समुच्चय और $τ$ स्वयं हमेशा बंद और खुले दोनों होते हैं। एक्स का एक खुला उपसमुच्चय जिसमें एक बिंदु $X$ होता है, $X$ का पड़ोस कहलाता है।

सतत कार्य और होमियोमॉर्फिज्म
यदि किसी खुले सेट की उलटी छवि खुली हो तो एक टोपोलॉजिकल स्पेस से दूसरे तक के फ़ंक्शन या मानचित्र को निरंतर कहा जाता है। यदि फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं को वास्तविक संख्याओं (मानक टोपोलॉजी के साथ दोनों रिक्त स्थान) पर मैप करता है, तो निरंतर की यह परिभाषा कैलकुलस में निरंतर की परिभाषा के बराबर है। यदि एक सतत फलन एक-से-एक और आच्छादक है, और यदि फलन का व्युत्क्रम भी सतत है, तो फलन को होमियोमॉर्फिज्म कहा जाता है और फ़ंक्शन के डोमेन को सीमा के लिए होमियोमॉर्फिक कहा जाता है। इसे कहने का दूसरा तरीका यह है कि फ़ंक्शन का टोपोलॉजी में प्राकृतिक विस्तार होता है। यदि दो स्थान होमियोमॉर्फिक हैं, तो उनमें समान टोपोलॉजिकल गुण होते हैं, और उन्हें टोपोलॉजिकल रूप से समान माना जाता है। क्यूब और गोला होमियोमॉर्फिक हैं, जैसे कॉफ़ी कप और डोनट हैं। हालाँकि, गोला डोनट का होमियोमॉर्फिक नहीं है।

कई गुना
जबकि टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान बेहद विविध और विदेशी हो सकते हैं, टोपोलॉजी के कई क्षेत्र रिक्त स्थान के अधिक परिचित वर्ग पर ध्यान केंद्रित करते हैं जिन्हें मैनिफोल्ड के रूप में जाना जाता है। मैनिफ़ोल्ड एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जो प्रत्येक बिंदु के निकट यूक्लिडियन स्पेस जैसा दिखता है। अधिक सटीक रूप से, एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु में एक पड़ोस होता है जो आयाम $τ$ के यूक्लिडियन स्थान के लिए होमोमोर्फिक होता है। रेखाएं और वृत्त, लेकिन अंक आठ नहीं, एक-आयामी मैनिफ़ोल्ड हैं। द्वि-आयामी मैनिफ़ोल्ड्स को सतहें भी कहा जाता है, हालाँकि सभी सतहें मैनिफ़ोल्ड नहीं होती हैं। उदाहरणों में विमान, गोला और टोरस शामिल हैं, जिन्हें तीन आयामों में आत्म-प्रतिच्छेदन के बिना महसूस किया जा सकता है, और क्लेन बोतल और वास्तविक प्रक्षेप्य विमान, जो नहीं किया जा सकता है (अर्थात, उनकी सभी अनुभूतियां सतह हैं जो कई गुना नहीं हैं) ।

जबकि टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान अत्यंत विविध और विदेशी हो सकते हैं, टोपोलॉजी के कई क्षेत्र रिक्त स्थान के अधिक परिचित वर्ग पर ध्यान केंद्रित करते हैं जिन्हें मैनिफोल्ड कहा जाता है। मैनिफोल्ड एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जो प्रत्येक बिंदु के पास यूक्लिडियन स्पेस जैसा दिखता है। अधिक सटीक रूप से, a. का प्रत्येक बिंदु $X$-आयामी मैनिफोल्ड में एक पड़ोस (गणित) होता है जो आयाम के यूक्लिडियन स्थान के लिए होता है. रेखा (ज्यामिति) और वृत्त, लेकिन लेम्निस्केट नहीं, एक-आयामी मैनिफोल्ड हैं। द्वि-आयामी मैनिफोल्ड को  सतह (टोपोलॉजी) भी कहा जाता है, हालांकि सभी सतह (गणित) मैनिफोल्ड नहीं होते हैं। उदाहरणों में प्लेन (ज्यामिति), गोले और टोरस शामिल हैं, जो सभी को तीन आयामों में आत्म-चौराहे के बिना महसूस किया जा सकता है, और  क्लेन बोतल और  वास्तविक प्रक्षेप्य विमान, जो नहीं कर सकता (अर्थात, उनके सभी अहसास सतह हैं जो हैं कई गुना नहीं)।

सामान्य टोपोलॉजी
सामान्य टोपोलॉजी टोपोलॉजी की वह शाखा है जो टोपोलॉजी में प्रयुक्त मूल सेट-सैद्धांतिक परिभाषाओं और निर्माणों से संबंधित है। यह टोपोलॉजी की अधिकांश अन्य शाखाओं की नींव है, जिसमें अंतर टोपोलॉजी, ज्यामितीय टोपोलॉजी और बीजीय टोपोलॉजी शामिल हैं। सामान्य टोपोलॉजी का दूसरा नाम पॉइंट-सेट टोपोलॉजी है।

अध्ययन का मूल उद्देश्य टोपोलॉजिकल स्पेस है, जो एक टोपोलॉजी (संरचना) से लैस सेट हैं, जो कि  सबसेट का एक परिवार है, जिसे ओपन सेट कहा जाता है, जो कि परिमित सेट चौराहों और (परिमित या अनंत)  संघ सेट करें ों के तहत  क्लोजर (गणित) है।. टोपोलॉजी की मूलभूत अवधारणाएं, जैसे कि निरंतरता (गणित), सघनता और जुड़ाव, को खुले सेट के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। सहज रूप से, निरंतर कार्य आस-पास के बिंदुओं को पास के बिंदुओं तक ले जाते हैं। कॉम्पैक्ट सेट वे होते हैं जिन्हें मनमाने ढंग से छोटे आकार के कई सेटों द्वारा कवर किया जा सकता है। कनेक्टेड सेट ऐसे सेट होते हैं जिन्हें दो टुकड़ों में विभाजित नहीं किया जा सकता है जो बहुत दूर हैं। खुले सेटों का उपयोग करके आस-पास के शब्द, मनमाने ढंग से छोटे और दूर सभी को सटीक बनाया जा सकता है। किसी दिए गए स्थान पर कई टोपोलॉजी को परिभाषित किया जा सकता है। टोपोलॉजी बदलने में खुले सेटों के संग्रह को बदलना शामिल है। यह बदलता है कि कौन से कार्य निरंतर हैं और कौन से सबसेट कॉम्पैक्ट या जुड़े हुए हैं।

मीट्रिक रिक्त स्थान टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण वर्ग है जहां किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी को मीट्रिक नामक फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया जाता है। एक मीट्रिक स्थान में, एक खुला सेट खुली डिस्क का एक संघ होता है, जहां त्रिज्या की एक खुली डिस्क होती है $X$ पर केंद्रित $X$ उन सभी बिंदुओं का समुच्चय है जिनकी दूरी से $X$ से कम होता है $n$. कई सामान्य स्थान टोपोलॉजिकल स्पेस होते हैं जिनकी टोपोलॉजी को एक मीट्रिक द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। यह वास्तविक रेखा, जटिल तल, वास्तविक और जटिल वेक्टर रिक्त स्थान और यूक्लिडियन रिक्त स्थान का मामला है। मीट्रिक होने से कई प्रमाण सरल हो जाते हैं।

बीजीय टोपोलॉजी
बीजगणित ीय टोपोलॉजी गणित की एक शाखा है जो टोपोलॉजिकल स्पेस का अध्ययन करने के लिए बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करती है। मूल लक्ष्य बीजगणितीय आविष्कारों को खोजना है जो वर्गीकरण प्रमेय स्थलीय रिक्त स्थान को होमियोमोर्फिज्म  तक वर्गीकृत करते हैं, हालांकि आमतौर पर होमोटॉपी समकक्ष तक वर्गीकृत होते हैं।

इन अपरिवर्तनीयों में सबसे महत्वपूर्ण हैं समरूप समूह, गृहविज्ञान और सह-विज्ञान।

यद्यपि बीजीय टोपोलॉजी मुख्य रूप से टोपोलॉजिकल समस्याओं का अध्ययन करने के लिए बीजगणित का उपयोग करती है, बीजीय समस्याओं को हल करने के लिए टोपोलॉजी का उपयोग करना कभी-कभी संभव होता है। बीजीय टोपोलॉजी, उदाहरण के लिए, एक सुविधाजनक प्रमाण की अनुमति देता है कि एक मुक्त समूह का कोई भी उपसमूह फिर से एक स्वतंत्र समूह है।

डिफरेंशियल टोपोलॉजी
डिफरेंशियल टोपोलॉजी वह क्षेत्र है जो अलग करने योग्य कई गुना पर  अवकलनीय कार्य से निपटता है। यह  अंतर ज्यामिति से निकटता से संबंधित है और साथ में वे डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स के ज्यामितीय सिद्धांत को बनाते हैं।

अधिक विशेष रूप से, विभेदक टोपोलॉजी उन गुणों और संरचनाओं पर विचार करती है जिन्हें परिभाषित करने के लिए कई गुना पर केवल एक चिकनी संरचना की आवश्यकता होती है। चिकनी मैनिफोल्ड अतिरिक्त ज्यामितीय संरचनाओं के साथ मैनिफोल्ड्स की तुलना में नरम होते हैं, जो कुछ प्रकार के समकक्षों और डिफरेंशियल टोपोलॉजी में मौजूद विरूपण सिद्धांत के लिए अवरोधों के रूप में कार्य कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, आयतन और रिमेंनियन वक्रता अपरिवर्तनीय हैं जो एक ही चिकनी मैनिफोल्ड पर विभिन्न ज्यामितीय संरचनाओं को अलग कर सकते हैं - अर्थात, कोई कुछ कई गुना आसानी से समतल कर सकता है, लेकिन इसके लिए अंतरिक्ष को विकृत करने और वक्रता या आयतन को प्रभावित करने की आवश्यकता हो सकती है।

ज्यामितीय टोपोलॉजी
ज्यामितीय टोपोलॉजी टोपोलॉजी की एक शाखा है जो मुख्य रूप से निम्न-आयामी विविध (अर्थात, आयाम 2, 3, और 4 के स्थान) और ज्यामिति के साथ उनकी बातचीत पर केंद्रित है, लेकिन इसमें कुछ उच्च-आयामी टोपोलॉजी भी शामिल है। ज्यामितीय टोपोलॉजी में विषयों के कुछ उदाहरण हैं  समायोज्य कई गुना,  अपघटन संभाल ,  स्थानीय समतलता , क्रम्पलिंग और प्लेनर और उच्च-आयामी जॉर्डन-शॉनफ्लाइज़ प्रमेय | शॉनफ़्लिज़ प्रमेय।

उच्च-आयामी टोपोलॉजी में, विशेषता वर्ग एक बुनियादी अपरिवर्तनीय हैं, और सर्जरी सिद्धांत एक प्रमुख सिद्धांत है।

निम्न-आयामी टोपोलॉजी दृढ़ता से ज्यामितीय है, जैसा कि 2 आयामों में एकरूपता प्रमेय में परिलक्षित होता है - प्रत्येक सतह एक निरंतर  वक्रता मीट्रिक को स्वीकार करती है; ज्यामितीय रूप से, इसमें 3 संभावित ज्यामितीयों में से एक है: सकारात्मक वक्रता/गोलाकार, शून्य वक्रता/फ्लैट, और नकारात्मक वक्रता/हाइपरबोलिक - और  ज्यामितीय अनुमान (अब प्रमेय) 3 आयामों में - प्रत्येक 3-कई गुना टुकड़ों में काटा जा सकता है, प्रत्येक जिसमें आठ संभावित ज्यामिति में से एक है।

2-आयामी टोपोलॉजी का अध्ययन एक चर में जटिल ज्यामिति के रूप में किया जा सकता है (बर्नहार्ड रीमैन सतहें जटिल वक्र हैं) - एकरूपता प्रमेय द्वारा  मीट्रिक (गणित) की प्रत्येक  अनुरूप ज्यामिति एक अद्वितीय जटिल के बराबर होती है, और 4-आयामी टोपोलॉजी का अध्ययन किया जा सकता है दो चर (जटिल सतहों) में जटिल ज्यामिति के दृष्टिकोण से, हालांकि प्रत्येक 4-कई गुना जटिल संरचना को स्वीकार नहीं करता है।

सामान्यीकरण
कभी-कभी, किसी को टोपोलॉजी के उपकरणों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है लेकिन बिंदुओं का एक सेट उपलब्ध नहीं होता है। व्यर्थ टोपोलॉजी में कोई इसके बजाय खुले सेटों की  जाली (आदेश) को सिद्धांत की मूल धारणा मानता है, जबकि  ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी मनमानी  श्रेणी सिद्धांत पर परिभाषित संरचनाएं हैं जो उन श्रेणियों पर  शीफ (गणित) की परिभाषा की अनुमति देती हैं, और इसके साथ ही सामान्य कोहोलॉजी सिद्धांतों की परिभाषा।

जीव विज्ञान
टोपोलॉजी का उपयोग अणुओं और नैनोस्ट्रक्चर सहित विभिन्न जैविक प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए किया गया है (जैसे, झिल्लीदार वस्तुएं ) विशेष रूप से, सर्किट टोपोलॉजी और  गाँठ सिद्धांत को फोल्ड प्रोटीन और न्यूक्लिक एसिड की टोपोलॉजी को वर्गीकृत और तुलना करने के लिए बड़े पैमाने पर लागू किया गया है। सर्किट टोपोलॉजी फोल्डेड मॉलिक्यूलर चेन को उनके इंट्रा-चेन कॉन्टैक्ट्स और चेन क्रॉसिंग की जोड़ीदार व्यवस्था के आधार पर वर्गीकृत करती है। डीएनए पर कुछ एंजाइमों के प्रभावों का अध्ययन करने के लिए जीव विज्ञान में नॉट थ्योरी, टोपोलॉजी की एक शाखा का उपयोग किया जाता है। ये एंजाइम डीएनए को काटते, मोड़ते और फिर से जोड़ते हैं, जिससे धीमी  वैद्युतकणसंचलन जैसे नमूदार प्रभावों के साथ गांठ पड़ जाती है।  फेनोटाइप और  जीनोटाइप के बीच संबंधों का प्रतिनिधित्व करने के लिए  विकासवादी जीव विज्ञान में टोपोलॉजी का भी उपयोग किया जाता है। फेनोटाइपिक रूप जो काफी भिन्न दिखाई देते हैं, उन्हें केवल कुछ उत्परिवर्तन द्वारा अलग किया जा सकता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि विकास के दौरान आनुवंशिक परिवर्तन फेनोटाइपिक परिवर्तनों के लिए कैसे मैप करते हैं। तंत्रिका विज्ञान में, तंत्रिका नेटवर्क में गतिविधि के पैटर्न की जटिलता को मापने के लिए यूलर विशेषता और बेट्टी संख्या जैसी टोपोलॉजिकल मात्रा का उपयोग किया गया है।

कंप्यूटर विज्ञान
टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण एक सेट की बड़े पैमाने की संरचना को निर्धारित करने के लिए बीजीय टोपोलॉजी से तकनीकों का उपयोग करता है (उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करना कि क्या बिंदुओं का एक बादल गोलाकार या टोरस्र्स है)। टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण द्वारा उपयोग की जाने वाली मुख्य विधि है:
 * 1) निकटता पैरामीटर द्वारा अनुक्रमित सरल परिसर ों के परिवार के साथ डेटा बिंदुओं के एक सेट को बदलें।
 * 2) बीजीय टोपोलॉजी के माध्यम से इन टोपोलॉजिकल कॉम्प्लेक्स का विश्लेषण करें - विशेष रूप से, लगातार होमोलॉजी  के सिद्धांत के माध्यम से।
 * 3) एक बेटी नंबर  के पैरामीटरयुक्त संस्करण के रूप में डेटा सेट की लगातार समरूपता को एन्कोड करें, जिसे बारकोड कहा जाता है।

प्रोग्रामिंग भाषा शब्दार्थ की कई शाखाएँ, जैसे कि डोमेन सिद्धांत, को टोपोलॉजी का उपयोग करके औपचारिक रूप दिया जाता है। इस संदर्भ में,  स्टीव विकर्स (कंप्यूटर वैज्ञानिक) ,  सैमसन अब्राम्स्की और माइकल बी। स्मिथ द्वारा काम पर निर्माण, टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को  बूलियन बीजगणित (संरचना) या  हेटिंग बीजगणित के रूप में खुले सेटों के रूप में चित्रित करते हैं, जिन्हें  अर्ध-निर्णायक (समतुल्य, सूक्ष्म रूप से देखने योग्य) के रूप में वर्णित किया जाता है। गुण।

भौतिकी
संघनित पदार्थ भौतिकी जैसे क्षेत्रों में टोपोलॉजी भौतिकी के लिए प्रासंगिक है, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और  भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान ।

ठोस पदार्थों में यांत्रिक गुणों की टोपोलॉजिकल निर्भरता मैकेनिकल इंजीनियरिंग और सामग्री विज्ञान के विषयों में रुचि रखती है। विद्युत और यांत्रिक गुण सामग्री में  अणुओं और प्राथमिक इकाइयों की व्यवस्था और नेटवर्क संरचनाओं पर निर्भर करते हैं।  क्रम्पलिंग टोपोलॉजीज की  दबाव की शक्ति का अध्ययन ऐसी संरचनाओं के वजन की उच्च शक्ति को समझने के प्रयासों में किया जाता है जो ज्यादातर खाली जगह होती हैं।  संपर्क यांत्रिकी में टोपोलॉजी का और अधिक महत्व है जहां सतह संरचनाओं के फ्रैक्टल आयाम पर कठोरता और घर्षण की निर्भरता बहु-शरीर भौतिकी में अनुप्रयोगों के साथ रुचि का विषय है।

एक टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी (या टोपोलॉजिकल फील्ड थ्योरी या टीक्यूएफटी) एक क्वांटम फील्ड थ्योरी है जो  टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट की गणना करता है।

यद्यपि TQFTs का आविष्कार भौतिकविदों द्वारा किया गया था, वे गणितीय रुचि के भी हैं, अन्य बातों के अलावा, गाँठ सिद्धांत, बीजगणितीय टोपोलॉजी में चार-कई के सिद्धांत, और बीजीय ज्यामिति में मोडुलि रिक्त स्थान के सिद्धांत से संबंधित हैं। साइमन डोनाल्डसन,  वौघन जोंस ,  एडवर्ड विटन और  मैक्सिम कोंटसेविच ने टोपोलॉजिकल फील्ड थ्योरी से संबंधित काम के लिए  फील्ड्स मेडल जीते हैं।

कैलाबी-यौ मैनिफोल्ड्स के टोपोलॉजिकल वर्गीकरण का स्ट्रिंग सिद्धांत में महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ता है, क्योंकि विभिन्न मैनिफोल्ड विभिन्न प्रकार के स्ट्रिंग्स को बनाए रख सकते हैं। ब्रह्मांड विज्ञान में, ब्रह्मांड के समग्र आकार का वर्णन करने के लिए टोपोलॉजी का उपयोग किया जा सकता है। अनुसंधान के इस क्षेत्र को आमतौर पर स्पेसटाइम टोपोलॉजी के रूप में जाना जाता है।

संघनित पदार्थ में टोपोलॉजिकल फिजिक्स के लिए एक प्रासंगिक अनुप्रयोग एकतरफा करंट प्राप्त करने की संभावना से आता है, जो कि बैकस्कैटरिंग से सुरक्षित करंट है। यह पहली बार इलेक्ट्रॉनिक्स में प्रसिद्ध क्वांटम हॉल प्रभाव के साथ खोजा गया था, और फिर भौतिकी के अन्य क्षेत्रों में सामान्यीकृत किया गया था, उदाहरण के लिए फोटोनिक्स में डंकन हाल्डेन द्वारा | F.D.M हाल्डेन।

रोबोट िक्स
रोबोट की संभावित स्थिति का वर्णन कई गुना विन्यास स्थान (भौतिकी) भौतिकी) द्वारा किया जा सकता है।  गति योजना के क्षेत्र में, कॉन्फ़िगरेशन स्पेस में दो बिंदुओं के बीच पथ मिलते हैं। ये पथ वांछित मुद्रा में रोबोट के जोड़ों और अन्य भागों की गति का प्रतिनिधित्व करते हैं।

खेल और पहेलियाँ
विच्छेदन पहेली पहेली के आकार और घटकों के टोपोलॉजिकल पहलुओं पर आधारित होती है।

फाइबर कला
मॉड्यूलर निर्माण में टुकड़ों का निरंतर जुड़ाव बनाने के लिए, एक क्रम में एक अखंड पथ बनाना आवश्यक है जो प्रत्येक टुकड़े को घेरता है और प्रत्येक किनारे को केवल एक बार पार करता है। यह प्रक्रिया यूलेरियन पथ का अनुप्रयोग है।

यह भी देखें

 * टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी के लक्षण
 * समतुल्य टोपोलॉजी
 * बीजीय [[ टोपोलॉजी विषयों की सूची ]]
 * सामान्य टोपोलॉजी में उदाहरणों की सूची
 * सामान्य टोपोलॉजी विषयों की सूची
 * ज्यामितीय टोपोलॉजी विषयों की सूची
 * टोपोलॉजी विषयों की सूची
 * गणित में प्रकाशनों की सूची#टोपोलॉजी
 * टोपोइज़ोमर
 * टोपोलॉजी शब्दावली
 * टोपोलॉजिकल गैलोइस सिद्धांत
 * टोपोलॉजिकल ज्यामिति
 * टोपोलॉजिकल ऑर्डर

अग्रिम पठन

 * Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3-88538-006-4.
 * Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
 * (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
 * Wacław Sierpiński, General Topology, Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-41148-6
 * (Provides a popular introduction to topology and geometry)
 * Wacław Sierpiński, General Topology, Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-41148-6
 * (Provides a popular introduction to topology and geometry)

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची

 * अंक शास्त्र
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 * वेक्टर क्षेत्र
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 * रीमैनियन वक्रता
 * शल्य चिकित्सा सिद्धांत
 * पदार्थ विज्ञान
 * मोडुली स्पेस
 * चार गुना
 * भग्न आयाम
 * ब्रह्मांड का आकार
 * संयुक्त

बाहरी संबंध

 * Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
 * The Topological Zoo at The Geometry Center.
 * Topology Atlas
 * Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas.
 * Topology Glossary
 * Moscow 1935: Topology moving towards America, a historical essay by Hassler Whitney.
 * Topology Glossary
 * Moscow 1935: Topology moving towards America, a historical essay by Hassler Whitney.