डिसेन्ट (गणित)

गणित में, वंश का विचार टोपोलॉजी में 'ग्लूइंग' के सहज विचार का विस्तार करता है। चूँकि भागफल स्थान (टोपोलॉजी) | टोपोलॉजिस्ट का गोंद टोपोलॉजिकल स्पेस पर तुल्यता संबंधों का उपयोग है, सिद्धांत पहचान पर कुछ विचारों से शुरू होता है।

वेक्टर बंडलों का अवतरण
टोपोलॉजिकल स्पेस के असंयुक्त संघ पर डेटा से वेक्टर बंडलों के निर्माण का मामला शुरू करने के लिए एक सीधी जगह है।

मान लीजिए कि एक्स एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जो खुले सेट एक्स द्वारा कवर किया गया हैi. माना कि Y, X का असंयुक्त संघ हैi, ताकि प्राकृतिक मैपिंग हो


 * $$p: Y \rightarrow X.$$

हम Y को X के साथ 'X से ऊपर' मानते हैंiएक्स पर प्रक्षेपण 'नीचे'। इस भाषा के साथ, वंश का तात्पर्य वाई पर एक वेक्टर बंडल से है (इसलिए, प्रत्येक एक्स पर एक बंडल दिया गया है)i), और हमारी चिंता उन बंडलों वी को 'चिपकाने' की हैi, एक्स पर एक एकल बंडल वी बनाने के लिए। हमारा मतलब यह है कि वी को, जब एक्स तक सीमित होना चाहिएi, वापस दे दो वीi, एक बंडल समरूपता तक।

तब आवश्यक डेटा इस प्रकार है: प्रत्येक ओवरलैप पर


 * $$X_{ij},$$

एक्स का प्रतिच्छेदनi और एक्सj, हमें मैपिंग की आवश्यकता होगी


 * $$f_{ij}: V_i \rightarrow V_j$$

वी की पहचान करने के लिए उपयोग करेंiऔर वीjवहाँ, फ़ाइबर दर फ़ाइबर। आगे एफijसमतुल्य संबंध (ग्लूइंग की स्थिति) के रिफ्लेक्टिव, सममित और संक्रमणीय गुणों के आधार पर शर्तों को पूरा करना चाहिए। उदाहरण के लिए, रचना


 * $$f_{jk} \circ f_{ij} = f_{ik}$$

परिवर्तनशीलता के लिए (और उपयुक्त संकेतन चुनना)। एफii पहचान मानचित्र होना चाहिए और इसलिए समरूपता बन जाती है $$f_{ij}=f^{-1}_{ji}$$ (ताकि यह फाइबरवार एक समरूपता हो)।

ये वास्तव में फाइबर बंडल सिद्धांत में मानक स्थितियां हैं (संक्रमण मानचित्र देखें)। ध्यान देने योग्य एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग फाइबर का परिवर्तन है: यदि एफij एक बंडल बनाने के लिए आपको बस इतना ही चाहिए, तो संबंधित बंडल बनाने के कई तरीके हैं। अर्थात्, हम मूलतः वही f ले सकते हैंij, विभिन्न तंतुओं पर कार्य करता है।

एक अन्य प्रमुख बिंदु श्रृंखला नियम के साथ संबंध है: टेंसर फ़ील्ड के निर्माण के तरीके की चर्चा को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है 'एक बार जब आप स्पर्शरेखा बंडल को उतरना सीख जाते हैं, जिसके लिए परिवर्तनशीलता जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक श्रृंखला नियम है, बाकी यह सिर्फ 'टेंसर निर्माण की स्वाभाविकता' है।

अमूर्त सिद्धांत की ओर करीब बढ़ने के लिए हमें असंयुक्त संघ की व्याख्या करने की आवश्यकता है


 * $$X_{ij}$$

नहीं था


 * $$Y \times_X Y,$$

प्रक्षेपण पी की दो प्रतियों का फाइबर उत्पाद (यहां एक तुल्यकारक (गणित))। एक्स पर बंडलij हमें V′ और V को नियंत्रित करना चाहिए, X के दो अलग-अलग प्रक्षेपण मानचित्रों के माध्यम से V के फाइबर में पुलबैक।

इसलिए, अधिक अमूर्त स्तर पर जाकर कोई संयोजन पक्ष को खत्म कर सकता है (अर्थात, सूचकांकों को छोड़ सकता है) और कुछ ऐसा प्राप्त कर सकता है जो उस विशेष प्रकार के कवर के लिए समझ में आता है जिसके साथ हमने शुरुआत की थी। इसके बाद यह एक श्रेणी सिद्धांत दृष्टिकोण की अनुमति देता है: जो करना बाकी है वह ग्लूइंग स्थितियों को फिर से व्यक्त करना है।

इतिहास
ये विचार 1955-1965 की अवधि में विकसित हुए थे (यह मोटे तौर पर वह समय था जब बीजगणितीय टोपोलॉजी की आवश्यकताएं पूरी हो गई थीं लेकिन बीजगणितीय ज्यामिति की आवश्यकताएं पूरी नहीं हुई थीं)। अमूर्त श्रेणी सिद्धांत के दृष्टिकोण से बेक के कॉमोनैड का कार्य उन विचारों का सारांश था; बेक की अद्वैतता प्रमेय देखें।

भागफल तक पहुँचने के साथ बीजगणितीय ज्यामिति की कठिनाइयाँ तीव्र हैं। जियोमीटर के लिए समस्या की तात्कालिकता (इसे इस तरह से रखने के लिए) 1959 के अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक सेमिनार टीडीटीई के शीर्षक के लिए वंश और अस्तित्व की तकनीकों के प्रमेय पर आधारित है (फॉन्डेमेंट्स डे ला जियोमेट्री अल्जेब्रिक देखें) जो वंश के प्रश्न को प्रतिनिधित्व योग्य फ़नकार के साथ जोड़ता है। सामान्य तौर पर बीजगणितीय ज्यामिति में प्रश्न, और विशेष रूप से मॉड्यूली समस्या।

पूरी तरह से वफादार वंश
होने देना $$p:X' \to X$$. एक्स पर प्रत्येक शीफ एफ एक वंश डेटा को जन्म देता है:
 * $$(F' = p^* F, \alpha: p_0^* F' \simeq p_1^* F'), \, p_i: X'' = X' \times_X X' \to X'$$

कहाँ $$\alpha$$ सहचक्रीय स्थिति को संतुष्ट करता है:
 * $$p_{02}^* \alpha = p_{12}^* \alpha \circ p_{01}^* \alpha, \, p_{ij}: X' \times_{X} X' \times_{X} X' \to X' \times_{X} X'$$.

पूरी तरह से वफादार वंश कहता है: $$F \mapsto (F', \alpha)$$ पूर्णतः वफादार है. वंश सिद्धांत उन स्थितियों को बताता है जिनके लिए पूरी तरह से वफादार वंश होता है।

यह भी देखें

 * ग्रोथेंडिक कनेक्शन
 * स्टैक (गणित)
 * गैलोइस वंश
 * ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी
 * रेशेदार श्रेणी
 * बेक की अद्वैतता प्रमेय
 * कोहोमोलॉजिकल वंश

संदर्भ

 * SGA 1, Ch VIII – this is the main reference
 * A chapter on the descent theory is more accessible than SGA.

अग्रिम पठन
Other possible sources include:
 * Angelo Vistoli, Notes on Grothendieck topologies, fibered categories and descent theory
 * Mattieu Romagny, A straight way to algebraic stacks

बाहरी संबंध

 * What is descent theory?