यूलेरियन संख्या

कॉम्बिनेटरिक्स में, यूलेरियन संख्या $A(n,k)$ 1 से $n$  तक की संख्याओं के क्रमपरिवर्तन की संख्या है जिसमें पूर्णतः $k$  अवयव पिछले अवयव से बड़े होते हैं ($k$  "आरोही" के साथ क्रमपरिवर्तन)।

लियोनहार्ड यूलर ने अपनी 1755 की पुस्तक कैलकुली डिफरेंशियलिस संस्थाएँ में उनकी और संबंधित बहुपदों की जांच की थी।

$A(n,k)$ के लिए अन्य संकेतन $E(n,k)$  और $$\textstyle \left\langle {n \atop k} \right\rangle$$ हैं

परिभाषा
यूलेरियन बहुपदों को घातीय जनरेटिंग फलन द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\sum_{n=0}^{\infty} A_{n}(t) \,\frac{x^n}{n!} = \frac{t-1}{t - e^{(t-1)\,x}}.$$

यूलेरियन संख्याओं को यूलेरियन बहुपदों के गुणांक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$A_{n}(t) = \sum_{k=0}^n A(n,k)\,t^k.$$

$A(n,k)$ के लिए स्पष्ट सूत्र है
 * $$A(n,k)=\sum_{i=0}^{k}(-1)^i \binom{n+1}{i} (k+1-i)^n.$$

मूलभूत गुण

 * निश्चित $n$ के लिए एक एकल क्रमचय है जिसमें 0 आरोही हैं: $(n, n-1, n-2, \ldots, 1)$  वास्तव में, सभी के लिए $${\tbinom n 0}=1$$ के रूप में। इसमें औपचारिक रूप से संख्याओं का रिक्त संग्रह, $A(n, 0) = 1$  सम्मिलित है। इसलिए $A_0(t)=A_1(t)=1$
 * $k=1$ के लिए स्पष्ट सूत्र का तात्पर्य $A(n,1)=2^n-(n+1)$  है, $$n$$ में एक अनुक्रम जो $0, 0, 1, 4, 11, 26, 57, \dots$  पढ़ता है
 * $k$ आरोही के साथ एक क्रमपरिवर्तन को पूरी तरह उलटने से एक और क्रमपरिवर्तन बनता है जिसमें $n-k-1$  आरोही होते हैं। इसलिए $A(n, k) = A(n, n-k-1)$  तो एक एकल क्रमपरिवर्तन भी है जिसमें $n-1$  आरोही है, अर्थात् आरोही क्रमपरिवर्तन $(1, 2, \ldots, n)$  अतः $A(n, n-1)$  भी $$1$$ के समान है
 * एक लविश ऊपरी सीमा $A(n, k) \le (k+1)^n\cdot(n+2)^k$ है। अभी चर्चा की गई सीमाओं के बीच, मान $$1$$ से अधिक है
 * $k\ge n > 0$ के लिए, मान औपचारिक रूप से शून्य हैं, जिसका अर्थ है कि $k$  के ऊपर कई रकम केवल $n-1$  तक के ऊपरी सूचकांक के साथ लिखी जा सकती हैं। इसका यह भी अर्थ है कि बहुपद $$A_{n}(t)$$ वास्तव में $n-1$  के लिए डिग्री $n>0$  हैं

त्रिकोणीय सरणी में संख्याओं के सारणीकरण को यूलर त्रिकोण या यूलर का त्रिकोण कहा जाता है। यह पास्कल के त्रिकोण के साथ कुछ सामान्य विशेषताएं साझा करता है। $A(n, k)$  के लिए $0 \le n \le 9$  हैं:


 * {| class="wikitable" style="text-align:right;"

! ! width="50" | 0 ! width="50" | 1 ! width="50" | 2 ! width="50" | 3 ! width="50" | 4 ! width="50" | 5 ! width="50" | 6 ! width="50" | 7 ! width="50" | 8 ! 0 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 7 ! 8 ! 9
 * 1 || || || || || || || ||
 * 1 || || || || || || || ||
 * 1 || 1 || || || || || || ||
 * 1 || 4 || 1 || || || || || ||
 * 1 || 11 || 11 || 1 || || || || ||
 * 1 || 26 || 66 || 26 || 1 || || || ||
 * 1 || 57 || 302 || 302 || 57 || 1 || || ||
 * 1 || 120 || 1191 || 2416 || 1191 || 120 || 1 || ||
 * 1 || 247 || 4293 || 15619 || 15619 || 4293 || 247 || 1 ||
 * 1 || 502 || 14608 || 88234 || 156190 || 88234 || 14608 || 502 || 1
 * }

गणना
$n$, $A(n,k)$ के बड़े मानों की गणना पुनरावर्ती सूत्र का उपयोग करके भी की जा सकती है
 * $$A(n,k)=(n-k)\,A(n-1,k-1) + (k+1)\,A(n-1,k).$$

इस सूत्र को संयोजक परिभाषा से प्रेरित किया जा सकता है और इस प्रकार यह सिद्धांत के लिए प्राकृतिक प्रारंभिक बिंदु के रूप में कार्य करता है।

$n$ और $k$, के छोटे मानों के लिए, $A(n,k)$  के मानों की गणना हाथ से की जा सकती है। उदाहरण के लिए


 * {| class="wikitable"

! n ! k ! क्रमपरिवर्तन ! A(n, k) पुनरावृत्ति को उदाहरण पर प्रयुक्त करने पर, हम पा सकते हैं
 * 1
 * 0
 * (1)
 * A(1,0) = 1
 * rowspan="2" | 2
 * 0
 * (2, 1)
 * A(2,0) = 1
 * 1
 * (1, 2)
 * A(2,1) = 1
 * rowspan="3" | 3
 * 0
 * (3, 2, 1)
 * A(3,0) = 1
 * 1
 * (1, 3, 2), (2, 1, 3), (2, 3, 1) and (3, 1, 2)
 * A(3,1) = 4
 * 2
 * (1, 2, 3)
 * A(3,2) = 1
 * }
 * A(3,1) = 4
 * 2
 * (1, 2, 3)
 * A(3,2) = 1
 * }
 * }
 * $$A(4,1)=(4-1)\,A(3,0) + (1+1)\,A(3,1)=3 \cdot 1 + 2 \cdot 4 = 11.$$

इसी प्रकार, यूलेरियन बहुपद की गणना पुनरावृत्ति द्वारा की जा सकती है
 * $$A_{0}(t) = 1,$$
 * $$A_{n}(t) = A_{n-1}'(t)\cdot t\,(1-t) + A_{n-1}(t)\cdot (1+(n-1)\,t),\text{ for } n > 1.$$

दूसरे सूत्र को धनात्मक रूप में परिवर्तित किया जा सकता है,
 * $$A_{n}(t) = \sum_{k=0}^{n-1} \binom{n}{k} A_{k}(t)\cdot (t-1)^{n-1-k}, \text{ for } n > 1.$$

निम्नलिखित पायथन कार्यान्वयन है।

पहचान
किसी परिमित समुच्चय को सीमित रूप से कई छोटे समुच्चयों में विभाजित करने वाली किसी भी गुण के लिए, छोटे समुच्चयों की कार्डिनैलिटी का योग बड़े समुच्चय की कार्डिनैलिटी के समान होता है। यूलेरियन संख्याएँ क्रमपरिवर्तन $$n$$ अवयव को विभाजित करती हैं, इसलिए उनका योग भाज्य $$n!$$ के समान होता है. अर्थात।
 * $$\sum_{k=0}^{n-1} A(n,k) = n!, \text{ for }n > 0.$$

साथ ही $$A(0,0)=0!$$. रिक्त योग परिपाटी के साथ कोलिसन से बचने के लिए, केवल प्रमेयों $$n>0$$ को बताना सुविधाजनक है केवल।

बहुत अधिक सामान्यतः, एक निश्चित फलन के लिए $$f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{C}$$ अंतराल पर पूर्णांक $$(0, n)$$
 * $$\sum_{k=0}^{n-1} A(n, k)\, f(k) = n!\int_0^1 \cdots \int_0^1 f\left(\left\lfloor x_1 + \cdots + x_n\right\rfloor\right) {\mathrm d}x_1 \cdots {\mathrm d}x_n $$

वर्पिट्ज़की की पहचान $x^n$ को द्विपद गुणांक के साथ यूलेरियन संख्याओं के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करती है:
 * $$\sum_{k=0}^{n-1}A(n,k)\binom{x+k}{n}=x^n.$$

इससे यह निष्कर्ष निकलता है
 * $$\sum_{k=1}^{m}k^n=\sum_{k=0}^{n-1} A(n,k) \binom{m+k+1}{n+1}.$$

प्रत्यावर्ती योगों वाले सूत्र
$n$ के एक निश्चित मान के लिए यूलेरियन संख्याओं का वैकल्पिक योग बर्नौली संख्या $B_{n+1}$  से संबंधित है
 * $$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k A(n,k) = 2^{n+1}(2^{n+1}-1) \frac{B_{n+1}}{n+1}, \text{ for  }n > 0.$$

आगे,
 * $$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \frac{A(n,k)}{\binom{n-1}{k}}=0, \text{ for  }n > 1$$

और
 * $$\sum_{k=0}^{n-1}(-1)^k \frac{A(n,k)}{\binom{n}{k}}=(n+1)B_{n}, \text{ for  } n > 1$$

बहुपदों से जुड़े सूत्र
समरूपता गुण का तात्पर्य है:
 * $$A_n(t) = t^{n-1} A_n(t^{-1}) $$

यूलेरियन संख्याएँ n के अनुक्रम के लिए जनरेटिंग फलन में सम्मिलित हैं
 * $$\sum_{i=1}^\infty i^n x^i = \frac{1}{(1-x)^{n+1}}\sum_{k=0}^n A(n,k)\,x^{k+1} = \frac{x}{(1-x)^{n+1}}A_n(x)$$

यह भी मानता है कि,
 * $$\frac{e}{1-e\,x}=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{n!(1-x)^{n+1}}A_n(x).$$

दूसरे क्रम की यूलेरियन संख्याएँ
मल्टीसेट का क्रमपरिवर्तन $\{1, 1, 2, 2, \ldots, n, n\}$ है जिसमें यह गुण है कि प्रत्येक k के लिए, क्रमपरिवर्तन में k की दो घटनाओं के बीच दिखाई देने वाली सभी संख्याएँ k से अधिक होती हैं, जिन्हें दोहरे भाज्य संख्या $(2n-1)!!$  द्वारा गिना जाता है.

दूसरे क्रम की यूलेरियन संख्या, निरूपित $$ \scriptstyle \left\langle \! \left\langle {n \atop m} \right\rangle \! \right\rangle $$, ऐसे सभी क्रमपरिवर्तनों की संख्या की गणना करता है जिनका पूर्णतः m आरोही है। उदाहरण के लिए, n = 3 के लिए 15 ऐसे क्रमपरिवर्तन हैं, 1 बिना आरोही के, 8 एकल आरोही के साथ, और 6 दो आरोही के साथ है:


 * 332211,
 * 221133, 221331, 223311, 233211, 113322, 133221, 331122, 331221,
 * 112233, 122133, 112332, 123321, 133122, 122331।

दूसरे क्रम की यूलेरियन संख्याएँ पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करती हैं, जो उपरोक्त परिभाषा से सीधे अनुसरण करती है:
 * $$ \left\langle \!\! \left\langle {n \atop k} \right\rangle \!\! \right\rangle = (2n-k-1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop k-1} \right\rangle \!\! \right\rangle + (k+1) \left\langle \!\! \left\langle {n-1 \atop k} \right\rangle \!\! \right\rangle, $$

n = 0 के लिए प्रारंभिक नियम के साथ, इवरसन ब्रैकेट नोटेशन में व्यक्त किया गया है:
 * $$ \left\langle \!\! \left\langle {0 \atop k} \right\rangle \!\! \right\rangle = [k=0].$$

इसलिए, दूसरे क्रम का यूलेरियन बहुपद, यहाँ Pn को दर्शाता है (उनके लिए कोई मानक संकेतन उपस्थित नहीं है) हैं
 * $$P_n(x) := \sum_{k=0}^n \left\langle \!\! \left\langle {n \atop k} \right\rangle \!\! \right\rangle x^k $$

और उपरोक्त पुनरावृत्ति संबंधों को अनुक्रम pn(x) के लिए पुनरावृत्ति संबंध में अनुवादित किया गया है:
 * $$ P_{n+1}(x) = (2nx+1) P_n(x) - x(x-1) P_n^\prime(x) $$

प्रारंभिक नियम के साथ $$ P_0(x) = 1. $$. बाद की पुनरावृत्ति को एकीकृत कारक के माध्यम से कुछ सीमा तक अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$ (x-1)^{-2n-2} P_{n+1}(x) = \left( x\,(1-x)^{-2n-1} P_n(x) \right)^\prime $$

जिससे तर्कसंगत कार्य हो सकता है
 * $$ u_n(x) := (x-1)^{-2n} P_{n}(x) $$

एक साधारण स्वायत्त पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है:
 * $$ u_{n+1} = \left( \frac{x}{1-x} u_n \right)^\prime, \quad u_0=1$$

जहां से कोई दूसरे क्रम के यूलेरियन बहुपद को $P_n(x) = (1-x)^{2n} u_n(x)$ के रूप में प्राप्त करता है, और दूसरे क्रम के यूलेरियन संख्या को उनके गुणांक के रूप में प्राप्त करता है।

निम्न तालिका पहले कुछ दूसरे क्रम के यूलेरियन संख्याओं को प्रदर्शित करती है:


 * {| class="wikitable" style="text-align:right;"

! ! width="50" | 0 ! width="50" | 1 ! width="50" | 2 ! width="50" | 3 ! width="50" | 4 ! width="50" | 5 ! width="50" | 6 ! width="50" | 7 ! width="50" | 8 !0 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 ! 7 ! 8 ! 9
 * 1
 * 1 || || || || || || || ||
 * 1 || 2 || || || || || || ||
 * 1 || 8 || 6 || || || || || ||
 * 1 || 22 || 58 || 24 || || || || ||
 * 1 || 52 || 328 || 444 || 120 || || || ||
 * 1 || 114 || 1452 || 4400 || 3708 || 720 || || ||
 * 1 || 240 || 5610 || 32120 || 58140 || 33984 || 5040 || ||
 * 1 || 494 || 19950 || 195800 || 644020 || 785304 || 341136 || 40320 ||
 * 1 || 1004 || 67260 || 1062500 || 5765500 || 12440064 || 11026296 || 3733920 || 362880
 * }

n-वीं पंक्ति का योग, जो कि मान $P_n(1)$ भी है, $(2n-1)!!$  है

दूसरे क्रम के यूलेरियन संख्याओं का अनुक्रमण तीन फ्लावर में आता है:
 * रिओर्डन और कॉमटेट का अनुसरण करते हुए,
 * ग्राहम, नुथ और पाटश्निक का अनुसरण करते हुए,
 * , गेसल और स्टेनली की परिभाषा का विस्तार।

==संदर्भ                                                                                                                                                                                                                                  ==
 * Eulerus, Leonardus [Leonhard Euler] (1755). Institutiones calculi differentialis cum eius usu in analysi finitorum ac doctrina serierum [Foundations of differential calculus, with applications to finite analysis and series]. Academia imperialis scientiarum Petropolitana; Berolini: Officina Michaelis.

== उद्धरण                                                                                                                                                                                                                                                                                                                         ==

बाहरी संबंध

 * Eulerian Polynomials at OEIS Wiki.
 * Euler-matrix (generalized rowindexes, divergent summation)
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