बैकवर्ड यूलर विधि

संख्यात्मक विश्लेषण और वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में, बैकवर्ड यूलर विधि (या अंतर्निहित यूलर विधि) साधारण अंतर समीकरणों के लिए सबसे मूलभूत संख्यात्मक विधियों में से एक है। यह (मानक) यूलर विधि के समान है किंतु इसमें अंतर है कि यह एक स्पष्ट और निहित विधि है। बैकवर्ड यूलर विधि में समय में एक क्रम की त्रुटि है।

विवरण
साधारण अंतर समीकरण पर विचार करें
 * $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = f(t,y) $$
 * आरंभिक मान $$ y(t_0) = y_0. $$के साथ यहाँ कार्य $$f$$ और प्रारंभिक डेटा $$t_0$$ और $$y_0$$ ज्ञात हैं; कार्य $$y$$ वास्तविक चर $$t$$ पर निर्भर करता है और अज्ञात है। एक संख्यात्मक विधि एक अनुक्रम $$ y_0, y_1, y_2, \ldots $$ उत्पन्न करती है जैसे $$ y_k $$, $$ y(t_0+kh) $$ का अनुमान लगाती है जहां $$ h $$ को चरण आकार कहा जाता है।

पिछड़े यूलर विधि का उपयोग करके सन्निकटन की गणना करता है
 * $$ y_{k+1} = y_k + h f(t_{k+1}, y_{k+1}). $$

यह (फॉरवर्ड) यूलर विधि से भिन्न है जिसमें फॉरवर्ड विधि $$f(t_{k+1}, y_{k+1})$$ के स्थान पर $$ f(t_k, y_k) $$ का उपयोग करती है।

बैकवर्ड यूलर विधि एक अंतर्निहित विधि है नया सन्निकटन $$ y_{k+1} $$ समीकरण के दोनों ओर प्रकट होता है, और इस प्रकार विधि को अज्ञात $$ y_{k+1} $$ के लिए एक बीजगणितीय समीकरण को हल करने की आवश्यकता होती है गैर-कठोर समीकरण समस्याओं के लिए यह निश्चित-बिंदु पुनरावृत्ति के साथ किया जा सकता है:
 * $$ y_{k+1}^{[0]} = y_k, \quad y_{k+1}^{[i+1]} = y_k + h f(t_{k+1}, y_{k+1}^{[i]}). $$

यदि यह अनुक्रम अभिसरित होता है (दिए गए सहिष्णुता के अंदर) तो विधि अपनी सीमा को नए सन्निकटन के रूप में लेती है

$$ y_{k+1} $$.

वैकल्पिक रूप से बीजीय समीकरण को हल करने के लिए न्यूटन की विधि न्यूटन-रैफसन विधि का (कुछ संशोधन) उपयोग किया जा सकता है।

व्युत्पत्ति
अंतर समीकरण का एकीकरण $$ \frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = f(t,y) $$ से $$ t_n $$ को $$ t_{n+1} = t_n + h $$ उत्पन्न
 * $$ y(t_{n+1}) - y(t_n) = \int_{t_n}^{t_{n+1}} f(t, y(t)) \,\mathrm{d}t. $$

अब दाहिने हाथ की आयत विधि (एक आयत के साथ) द्वारा दाईं ओर अभिन्न अंग का अनुमान लगाएं:
 * $$ y(t_{n+1}) - y(t_n) \approx h f(t_{n+1}, y(t_{n+1})). $$

अंत में, उपयोग करें कि $$ y_n $$ को $$ y(t_n) $$ का अनुमान लगाया जाता है और बैकवर्ड यूलर विधि के लिए सूत्र का पालन किया जाता है।

यदि दाएं हाथ के अतिरिक्त बाएं हाथ के आयत नियम का उपयोग किया जाता है तो यही तर्क (मानक) यूलर विधि की ओर ले जाता है।

विश्लेषण
बैकवर्ड यूलर विधि की स्थानीय ट्रंकेशन त्रुटि (एक चरण में की गई त्रुटि के रूप में परिभाषित) $$ O(h^2) $$ है बिग ओ नोटेशन का उपयोग करना एक विशिष्ट समय $$ t $$ पर त्रुटि $$ O(h^2) $$ है इसका अर्थ है कि इस विधि का क्रम एक है। सामान्यतः, $$ O(h^{k+1}) $$ एक विधि के साथ एलटीई (लोकल कदाचार त्रुटि ) को kवे क्रम का कहा जाता है।

बैकवर्ड यूलर विधि के लिए पूर्ण स्थिरता का क्षेत्र डिस्क के जटिल तल में पूरक है, जिसकी त्रिज्या 1 1 पर केंद्रित है, जिसे चित्र में दर्शाया गया है। इसमें जटिल तल का पूरा बायां आधा भाग सम्मिलित है, जो इसे कठोर समीकरणों के समाधान के लिए उपयुक्त बनाता है। वास्तव में बैकवर्ड यूलर विधि एल-स्थिर भी है।

बैकवर्ड यूलर विधि द्वारा असतत स्थिर प्रणाली के लिए क्षेत्र त्रिज्या 0.5 वाला एक चक्र है जो जेड-प्लेन में (0.5, 0) पर स्थित है।

विस्तार और संशोधन
बैकवर्ड यूलर विधि (फॉरवर्ड) यूलर विधि का एक प्रकार है। अन्य संस्करण अर्ध-अंतर्निहित यूलर विधि और घातीय यूलर विधि हैं।

बैकवर्ड यूलर विधि को बुचर दृश्य द्वारा वर्णित एक चरण के साथ रनगे-कुट्टा विधि के रूप में देखा जा सकता है:

\begin{array}{c|c} 1 & 1 \\ \hline & 1 \\ \end{array} $$ विधि को एक चरण के साथ एक रेखीय बहु - चरण विधि के रूप में भी देखा जा सकता है। यह एडम्स-मौल्टन विधियों के वर्ग की पहली विधि है, और पिछड़े भेदभाव के सूत्र के वर्ग की भी है।

यह भी देखें

 * क्रैंक-निकोलसन विधि