शक्ति-प्रवाह अध्ययन

विद्युत अभियन्त्रण में, शक्ति-प्रवाह अध्ययन, अथवा लोड-प्रवाह अध्ययन, परस्पर प्रणाली में विद्युत शक्ति के प्रवाह का संख्यात्मक विश्लेषण है। शक्ति-प्रवाह अध्ययन सामान्यतः एकल-रेखा आरेख और प्रति-यूनिट प्रणाली जैसे सरलीकृत अंकन का उपयोग करता है, और एसी शक्ति पैरामीटर के विभिन्न स्वरूपों, जैसे वोल्टेज, वोल्टेज कोण, वास्तविक शक्ति और प्रतिक्रियाशील शक्ति पर ध्यान केंद्रित करती है। यह सामान्य स्थिर-अवस्था संचालन में विद्युत प्रणालियों का विश्लेषण करता है।

विद्युत प्रणालियों के भविष्य के विस्तार की योजना बनाने के साथ उपस्थित प्रणालियों के सर्वोत्तम संचालन का निर्धारण करने के लिए शक्ति-प्रवाह अथवा लोड-प्रवाह अध्ययन महत्वपूर्ण है। विद्युत-प्रवाह अध्ययन से प्राप्त मुख्य जानकारी प्रत्येक बसबार पर वोल्टेज का परिमाण, चरण कोण एवं प्रत्येक लाइन में प्रवाहित होने वाली वास्तविक और प्रतिक्रियाशील शक्ति है।

वाणिज्यिक विद्युत प्रणालियाँ सामान्यतः इतनी विषम होती हैं कि विद्युत प्रवाह का हाथ से समाधान करना संभव नहीं होता है। विद्युत प्रणालियों के प्रयोगशाला-स्तरीय भौतिक मॉडल प्रदान करने के लिए विशेष प्रयोजन नेटवर्क विश्लेषक (एसी शक्ति) का निर्माण 1929 और 1960 के मध्य किया गया था। बड़े स्तर के डिजिटल कंप्यूटरों ने एनालॉग विधियों को संख्यात्मक समाधानों से परिवर्तित कर दिया।

शक्ति-प्रवाह अध्ययन के अतिरिक्त, कंप्यूटर प्रोग्राम शार्ट सर्किट दोष विश्लेषण, स्थिरता अध्ययन (क्षणिक और स्थिर-स्थिति), इकाई प्रतिबद्धता और आर्थिक प्रेषण जैसी संबंधित गणनाएं करते हैं। विशेष रूप से, कुछ प्रोग्राम इष्टतम विद्युत प्रवाह के अन्वेषण के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग का उपयोग करते हैं, ऐसी स्थितियाँ जो प्रति किलोवाट घंटे वितरण में सबसे कम व्यय देती हैं।

लोड प्रवाह अध्ययन रिफाइनरी कॉम्प्लेक्स जैसे कई लोड केंद्रों वाली प्रणाली के लिए विशेष रूप से मूल्यवान है। इस प्रकार शक्ति-प्रवाह अध्ययन संयोजित लोड को पर्याप्त रूप से आपूर्ति करने के लिए प्रणाली की क्षमता का विश्लेषण है। कुल प्रणाली हानियों के साथ विशिष्ट लाइन हानियों को भी सारणीबद्ध किया गया है। मोटर नियंत्रण केंद्रों जैसे महत्वपूर्ण स्थानों पर उचित वोल्टेज सुनिश्चित करने के लिए ट्रांसफार्मर नल की स्थिति का चयन किया जाता है। किसी उपस्थित प्रणाली पर लोड-प्रवाह अध्ययन करने से संचालन व्यय को कम करते हुए अधिकतम क्षमता प्राप्त करने के लिए प्रणाली संचालन और नियंत्रण समायोजन के अनुकूलन के संबंध में अंतर्दृष्टि और अनुशंसा प्राप्त होती है। इस प्रकार के विश्लेषण के परिणाम सक्रिय शक्ति, प्रतिक्रियाशील शक्ति, वोल्टेज परिमाण और चरण कोण के संदर्भ में हैं। इसके अतिरिक्त, उत्पादन इकाइयों के समूहों के इष्टतम संचालन के लिए विद्युत-प्रवाह की गणना महत्वपूर्ण है।

अनिश्चितताओं के प्रति अपने दृष्टिकोण के आधार पर, लोड-प्रवाह अध्ययन को नियतात्मक लोड प्रवाह और अनिश्चितता-संबंधित लोड प्रवाह में विभाजित किया जा सकता है। नियतात्मक लोड-प्रवाह अध्ययन विद्युत उत्पादन और लोड व्यवहार दोनों से उत्पन्न होने वाली अनिश्चितताओं को स्मरण नहीं रखता है। अनिश्चितताओं को ध्यान में रखने के लिए, कई दृष्टिकोण हैं जिनका उपयोग किया गया है जिसमें संभाव्य, संभावनावादी, सूचना अंतर निर्णय सिद्धांत, स्थिर अनुकूलन और अंतराल विश्लेषण सम्मिलित है।

मॉडल
प्रत्यावर्ती धारा विद्युत-प्रवाह मॉडल विद्युत ग्रिड का विश्लेषण करने के लिए विद्युत अभियन्त्रण में उपयोग किया जाने वाला मॉडल है। यह समीकरणों की अरैखिक प्रणाली प्रदान करता है जो प्रत्येक ट्रांसमिशन लाइन के माध्यम से ऊर्जा प्रवाह का वर्णन करता है। समस्या अरैखिक है क्योंकि लोड प्रतिबाधा में विद्युत का प्रवाह प्रयुक्त वोल्टेज के वर्ग का कार्य है। अरैखिकता के कारण, कई स्थितियों में एसी शक्ति-प्रवाह मॉडल के माध्यम से बड़े नेटवर्क का विश्लेषण संभव नहीं है, और इसके अतिरिक्त रैखिक (किन्तु अल्प त्रुटिहीन) डीसी शक्ति-प्रवाह मॉडल का उपयोग किया जाता है।

सामान्यतः तीन-चरण विद्युत प्रणाली का विश्लेषण तीनों चरणों की संतुलित लोडिंग मानकर सरल बनाया जाता है। साइनसॉइडल स्थिर-अवस्था संचालन को माना जाता है, जिसमें लोड के कारण विद्युत प्रवाह अथवा वोल्टेज में कोई क्षणिक परिवर्तन नहीं होता है, जिसका अर्थ है कि सभी धारा और वोल्टेज तरंगें बिना किसी डीसी ऑफसेट के साइनसॉइडल हैं और इसमें समान स्थिर आवृत्ति होती है। पूर्व धारणा यह मानने के समान है कि विद्युत प्रणाली रैखिक समय-अपरिवर्तनीय है (भले ही समीकरणों की प्रणाली अरैखिक है) जो समान आवृत्ति के साइनसॉइडल स्रोतों द्वारा संचालित होती है, और स्थिर-अवस्था में कार्य करती है, तथा जो चरणबद्ध विश्लेषण को अन्य सरलीकरण का उपयोग करने की अनुमति देती है। अन्य सरलीकरण का तात्पर्य सभी वोल्टेज, विद्युत प्रवाह और बाधाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रति-यूनिट प्रणाली का उपयोग करना है, तथा वास्तविक लक्ष्य प्रणाली मानों को कुछ सुविधाजनक आधार पर स्केल करना है। प्रणाली, एकल-रेखा आरेख प्रणाली के जनरेटर, लोड, बस, ट्रांसमिशन लाइनों और उनके विद्युत प्रतिबाधा तथा रेटिंग का गणितीय मॉडल बनाने का आधार है।

शक्ति-प्रवाह समस्या सूत्रीकरण
शक्ति-प्रवाह अध्ययन का लक्ष्य निर्दिष्ट लोड और जनरेटर की वास्तविक शक्ति और वोल्टेज स्थितियों के लिए विद्युत प्रणाली में प्रत्येक बस के लिए पूर्ण वोल्टेज कोण और परिमाण की जानकारी प्राप्त करना है। यह जानकारी ज्ञात हो जाने पर, प्रत्येक शाखा पर वास्तविक और प्रतिक्रियाशील विद्युत प्रवाह के साथ जनरेटर प्रतिक्रियाशील विद्युत उत्पादन को विश्लेषणात्मक रूप से निर्धारित किया जा सकता है। इस समस्या की अरेखीय प्रकृति के कारण, स्वीकार्य सहनशीलता के भीतर समाधान प्राप्त करने के लिए संख्यात्मक विधियों को नियोजित किया जाता है।

विद्युत-प्रवाह समस्या का समाधान प्रणाली में ज्ञात और अज्ञात चर की पहचान करने से प्रारम्भ होता है। ज्ञात और अज्ञात चर बस के प्रकार पर निर्भर करते हैं। बिना किसी जेनरेटर से संयोजित बस को लोड बस कहा जाता है। इस प्रकार अपवाद के साथ, जिस बस में कम से कम एक जनरेटर संयोजित हो उसे जेनरेटर बस कहा जाता है। अपवाद आरबिटरेरी रूप से चयनित बस है जिसमें जनरेटर है। इस बस को स्लैक बस कहा जाता है।

शक्ति-प्रवाह समस्या में, यह माना जाता है कि वास्तविक शक्ति PD और प्रतिक्रियाशील शक्ति QD प्रत्येक लोड बस पर ज्ञात हैं। इस कारण से, लोड बसों को PQ बसों के रूप में भी जाना जाता है। जेनरेटर बसों के लिए, यह माना जाता है कि वास्तविक विद्युत उत्पन्न PGऔर वोल्टेज परिमाण |V| ज्ञात है। स्लैक बस के लिए, यह माना जाता है कि वोल्टेज परिमाण |V| और वोल्टेज चरण Θ ज्ञात हैं। इसलिए, प्रत्येक लोड बस के लिए, वोल्टेज परिमाण और कोण दोनों अज्ञात हैं और इन्हें हल किया जाना चाहिए; प्रत्येक जनरेटर बस के लिए, वोल्टेज कोण को हल किया जाना चाहिए; इस प्रकार का कोई चर नहीं हैं जिसे स्लैक बस के लिए हल किया जाना चाहिए। N बसों और R जनरेटर वाली प्रणालियों में, $$2(N-1) - (R-1)$$ अज्ञात होते हैं।

अज्ञात $$2(N-1) - (R-1)$$ को हल करने के लिए, $$2(N-1) - (R-1)$$ समीकरण होने चाहिए जो कोई नया अज्ञात चर प्रस्तुत न करें। उपयोग किए जाने वाले संभावित समीकरण शक्ति संतुलन समीकरण होते हैं, जिन्हें प्रत्येक बस के लिए तथा वास्तविक और प्रतिक्रियाशील शक्ति के लिए अंकित किया जा सकता है।

वास्तविक शक्ति संतुलन समीकरण इस प्रकार है:


 * $$0 = -P_{i} + \sum_{k=1}^N |V_i||V_k|(G_{ik}\cos\theta_{ik}+B_{ik}\sin\theta_{ik})$$

जहाँ $$P_{i}$$ बस i पर अन्तःक्षेप की गई शुद्ध सक्रिय शक्ति है, $$G_{ik}$$ बस प्रवेश आव्यूह YBUS में $$i_{th}$$ पंक्ति और $$k_{th}$$ स्तम्भ के अनुरूप तत्व का वास्तविक भाग है, तथा $$B_{ik}$$, YBUS में $$i_{th}$$ पंक्ति और $$k_{th}$$ स्तम्भ के अनुरूप तत्व का काल्पनिक भाग है और $$\theta_{ik}$$, $$i_{th}$$ एवं $$k_{th}$$ बसों के मध्य वोल्टेज कोण में अंतर ($$\theta_{ik}=\theta_i-\theta_k$$) है। प्रतिक्रियाशील शक्ति संतुलन समीकरण इस प्रकार है:


 * $$0 = -Q_{i} + \sum_{k=1}^N |V_i||V_k|(G_{ik}\sin\theta_{ik}-B_{ik}\cos\theta_{ik})$$

जहाँ $$Q_i$$ बस i में अन्तःक्षेपित शुद्ध प्रतिक्रियाशील शक्ति है।

सम्मिलित समीकरणों में प्रत्येक लोड बस के लिए वास्तविक और प्रतिक्रियाशील शक्ति संतुलन समीकरण और प्रत्येक जेनरेटर बस के लिए वास्तविक शक्ति संतुलन समीकरण सम्मिलित हैं। जेनरेटर बस के लिए केवल वास्तविक शक्ति संतुलन समीकरण अंकित किया जाता है क्योंकि अन्तःक्षेप की गई शुद्ध प्रतिक्रियाशील शक्ति को अज्ञात माना जाता है और इसलिए प्रतिक्रियाशील शक्ति संतुलन समीकरण को सम्मिलित करने से अतिरिक्त अज्ञात चर उत्पन्न होगा। इसी प्रकार के कारणों से, स्लैक बस के लिए कोई समीकरण नहीं लिखा गया है।

कई संचरण प्रणालियों में, विद्युत नेटवर्क लाइनों की प्रतिबाधा मुख्य रूप से आगमनात्मक होती है, अर्थात विद्युत लाइनों की प्रतिबाधा के चरण कोण सामान्यतः अपेक्षाकृत बड़े होते हैं और 90 डिग्री के निकट होते हैं। इस प्रकार वास्तविक शक्ति और वोल्टेज कोण के मध्य और प्रतिक्रियाशील शक्ति और वोल्टेज परिमाण के मध्य स्थिर युग्मन होता है, यद्यपि वास्तविक शक्ति और वोल्टेज परिमाण के साथ प्रतिक्रियाशील शक्ति और वोल्टेज कोण के मध्य युग्मन अस्थिर होता है। परिणामस्वरूप, वास्तविक शक्ति सामान्यतः उच्च वोल्टेज कोण वाली बस से कम वोल्टेज कोण वाली बस में संचारित होती है, और प्रतिक्रियाशील शक्ति सामान्यतः उच्च वोल्टेज परिमाण वाली बस से कम वोल्टेज परिमाण वाली बस में संचारित होती है। यद्यपि, यह सन्निकटन तब मान्य नहीं होता जब विद्युत लाइन प्रतिबाधा का चरण कोण अपेक्षाकृत छोटा होता है।

न्यूटन-रेफसन समाधान विधि
समीकरणों की परिणामी अरैखिक प्रणाली को हल करने की कई भिन्न-भिन्न विधियाँ होती हैं। न्यूटन-रेफसन विधि सबसे लोकप्रिय विधि के रूप में जानी जाती है। यह विधि सभी अज्ञात चर (लोड बसों पर वोल्टेज परिमाण तथा कोण और जेनरेटर बसों पर वोल्टेज कोण) के प्रारंभिक अनुमानों से प्रारम्भ होती है। इसके पश्चात, टेलर श्रृंखला लिखी जाती है, जिसमें समीकरणों की प्रणाली में सम्मिलित प्रत्येक शक्ति संतुलन समीकरण के लिए उच्च क्रम की स्थितियों की उपेक्षा की जाती है।

परिणाम समीकरणों की रैखिक प्रणाली है जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$\begin{bmatrix}\Delta \theta \\ \Delta |V|\end{bmatrix} = -J^{-1} \begin{bmatrix}\Delta P \\ \Delta Q \end{bmatrix} $$

जहाँ $$\Delta P$$ और $$\Delta Q$$ असमान समीकरण कहलाते हैं:


 * $$\Delta P_i = -P_i + \sum_{k=1}^N |V_i||V_k|(G_{ik}\cos\theta_{ik}+B_{ik}\sin \theta_{ik})$$

$$\Delta Q_{i} = -Q_{i} + \sum_{k=1}^N |V_i||V_k|(G_{ik}\sin\theta_{ik}-B_{ik}\cos\theta_{ik})$$

और $$J$$ आंशिक अवकलजों का आव्यूह है जिसे जैकोबियन आव्यूह के रूप में जाना जाता है:

$$J=\begin{bmatrix} \dfrac{\partial \Delta P}{\partial\theta} & \dfrac{\partial \Delta P}{\partial |V|} \\ \dfrac{\partial \Delta Q}{\partial \theta}& \dfrac{\partial \Delta Q}{\partial |V|}\end{bmatrix}$$.

वोल्टेज परिमाण और कोणों के आगामी अनुमान (m + 1) को निर्धारित करने के लिए समीकरणों की रैखिक प्रणाली को इस प्रकार हल किया जाता है:


 * $$\theta_{m+1} = \theta_m + \Delta \theta\,$$
 * $$|V|_{m+1} = |V|_m + \Delta |V|\,$$

यह प्रक्रिया तब तक प्रारम्भ रहती है जब तक विराम की स्थिति पूर्ण नहीं हो जाती है। यदि असमान समीकरणों का आव्यूह नॉर्म निर्दिष्ट सहयता से नीचे है, तो सामान्य विराम स्थिति समाप्त करना है।

विद्युत-प्रवाह समस्या के समाधान की रूपरेखा इस प्रकार है:
 * 1) सभी अज्ञात वोल्टेज परिमाण और कोणों का प्रारंभिक अनुमान लगाएं। "फ़्लैट स्टार्ट" का उपयोग करना सामान्य तथ्य है जिसमें सभी वोल्टेज कोण शून्य पर निश्चित होते हैं और सभी वोल्टेज परिमाण 1.0 p.u पर निश्चित होते हैं।
 * 2) नवीनतम वोल्टेज कोण और परिमाण मानों का उपयोग करके शक्ति संतुलन समीकरणों को हल करें।
 * 3) नवीनतम वोल्टेज कोण और परिमाण मानों के निकट प्रणाली को रैखिक बनाएं।
 * 4) वोल्टेज कोण और परिमाण में परिवर्तन का समाधान करें।
 * 5) वोल्टेज परिमाण और कोणों को अपडेट करें।
 * 6) विराम की स्थितियों का परिक्षण करें, यदि पूर्ण हो तो समाप्त करें, अन्यथा चरण 2 पर जाएं।

अन्य शक्ति-प्रवाह विधियाँ

 * गॉस-सीडेल विधि: यह सबसे प्रारंभिक विकसित विधि है। यह अन्य पुनरावृत्त विधियों की तुलना में अभिसरण की मंद दर दर्शाती है, किन्तु यह कम मेमोरी का उपयोग करती है और आव्यूह प्रणाली को हल करने की आवश्यकता नहीं होती है।
 * फास्ट-डिकपल्ड-लोड-प्रवाह विधि न्यूटन-रेफसन पर भिन्नता है जो उचित रूप से व्यवहार किए गए विद्युत नेटवर्क में सक्रिय और प्रतिक्रियाशील प्रवाह के अनुमानित डिकपलिंग का लाभ प्राप्त करती है, और बहुमूल्य आव्यूह डिकंपोजिशन से बचने के लिए पुनरावृत्ति के समय जैकोबियन आव्यूह और निर्धारक के मान को अतिरिक्त रूप से उपयुक्त करती है। इसे निश्चित-स्लोप, डिकपल्ड एनआर के रूप में भी जाना जाता है। एल्गोरिथम के भीतर, जैकोबियन आव्यूह परिवर्तित होता है, और तीन धारणाएँ होती हैं। सर्वप्रथम, बसों के मध्य चालकता शून्य है। द्वितीय, बस वोल्टेज का परिमाण प्रति यूनिट है। तृतीय, बसों के मध्य चरणों की ज्या शून्य है। फास्ट-डिकपल्ड-लोड-फ्लो विधि सेकंड के भीतर उत्तर रिटर्न कर सकती है जबकि न्यूटन रैफसन विधि में अधिक समय लगता है। यह विद्युत ग्रिड के वास्तविक समय प्रबंधन के लिए उपयोगी है।
 * होलोमोर्फिक एम्बेडिंग लोड प्रवाह विधि- यह समष्टि विश्लेषण की उन्नत तकनीकों पर आधारित विकसित विधि है। यह प्रत्यक्ष है और शक्ति-प्रवाह समीकरणों में उपस्थित कई समाधानों में से उचित (ऑपरेटिव) शाखा की गणना का आश्वासन देती है।


 * बैकवर्ड-फॉरवर्ड स्वीप (बीएफएस) विधि- यह अधिकांश आधुनिक वितरण ग्रिड की रेडियल संरचना का लाभ प्राप्त करने के लिए विकसित विधि है। इसमें प्रारंभिक वोल्टेज प्रोफ़ाइल का चयन करना और ग्रिड घटकों के समीकरणों की मूल प्रणाली को दो भिन्न-भिन्न प्रणालियों में पृथक करना एवं हल करना, अन्य के अंतिम परिणामों का उपयोग करना सम्मिलित है, जब तक कि अभिसरण प्राप्त न हो जाए। दिए गए वोल्टेज के साथ धाराओं के समाधान को बैकवर्ड स्वीप (बीएस) कहा जाता है और दी गए धाराओं के साथ वोल्टेज के समाधान को फॉरवर्ड स्वीप (एफएस) कहा जाता है।
 * लॉरेंट पावर फ्लो (एलपीएफ) विधि- शक्ति-प्रवाह सूत्रीकरण जो विद्युत वितरण प्रणालियों के लिए प्रारंभिक स्थितियों पर समाधान और स्वतंत्रता की विशिष्टता का आश्वासन प्रदान करता है। एलपीएफ करंट इंजेक्शन विधि (सीआईएम) पर आधारित है और लॉरेंट श्रृंखला विस्तार प्रयुक्त करता है। इस सूत्रीकरण की मुख्य विशेषताएं इसकी सिद्ध संख्यात्मक अभिसरण और स्थिरता और इसके कम्प्यूटेशनल लाभ हैं, जो संतुलित और असंतुलित नेटवर्क दोनों में बीएफएस पद्धति से कम से कम दस गुना तीव्र हैं। यद्यपि यह प्रणाली के प्रवेश आव्यूह पर आधारित है, इसलिए सूत्रीकरण अतिरिक्त संशोधनों के बिना (प्रतिपूर्ति-आधारित बीएफएस के विपरीत) रेडियल और मेश नेटवर्क टोपोलॉजी पर विचार करने में सक्षम है। एलपीएफ पद्धति की सरलता और कम्प्यूटेशनल दक्षता इसे पुनरावर्ती विद्युत प्रवाह समस्याओं के लिए आकर्षक विकल्प बनाती है, जिसमें समय-श्रृंखला विश्लेषण, मेटाह्यूरिस्टिक्स, संभाव्य विश्लेषण, विद्युत प्रणालियों पर प्रयुक्त सुदृढीकरण अध्ययन और अन्य संबंधित अनुप्रयोगों में उत्पन्न होने वाली समस्याएं सम्मिलित है।

डीसी शक्ति-प्रवाह
प्रत्यक्ष धारा भार प्रवाह एसी विद्युत प्रणालियों पर लाइनों के विद्युत प्रवाह का अनुमान देता है। प्रत्यक्ष धारा भार प्रवाह केवल सक्रिय विद्युत प्रवाह को देखता है और प्रतिक्रियाशील विद्युत प्रवाह की उपेक्षा करता है। यह विधि गैर-पुनरावृत्तीय और पूर्णतः अभिसरण है किन्तु एसी लोड प्रवाह समाधानों की तुलना में कम त्रुटिहीन है। जहां भी पुनरावलोकन और तीव्र लोड प्रवाह अनुमान की आवश्यकता होती है वहां प्रत्यक्ष धारा लोड प्रवाह का उपयोग किया जाता है।