ट्विस्टर सिद्धांत

सैद्धांतिक भौतिकी में, 1967 में रोजर पेनरोज़ द्वारा ट्विस्टर सिद्धांत प्रस्तावित किया गया था एक संभावित मार्ग के रूप में क्वांटम गुरुत्व के लिए और सैद्धांतिक भौतिकी और गणितीय भौतिकी की व्यापक रूप से अध्ययन की जाने वाली शाखा में विकसित हुआ है। पेनरोज़ का विचार था कि ट्विस्टर स्पेस भौतिकी के लिए बुनियादी क्षेत्र होना चाहिए जिससे स्पेस-टाइम स्वयं प्रकट होना चाहिए। इसने शक्तिशाली गणितीय उपकरण का नेतृत्व किया है जिसमें विभेदक ज्यामिति  और  अभिन्न ज्यामिति,  गैर रेखीय अंतर समीकरण  और  प्रतिनिधित्व सिद्धांत , और फिजिक्स में जनरल रिलेटिविटी,  क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत  और बिखरने का आयाम के थ्योरी के लिए एप्लिकेशन हैं। 1950 के दशक के अंत में और 1960 के दशक में आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में तेजी से बढ़ते गणितीय विकास के संदर्भ में ट्विस्टर सिद्धांत उत्पन्न हुआ और उस अवधि से कई प्रभाव वहन करता है। विशेष रूप से, रोजर पेनरोज़ ने इवोर रॉबिन्सन (भौतिक विज्ञानी) को तथाकथित रॉबिन्सन सर्वांगसमताओं के अपने निर्माण के माध्यम से ट्विस्टर सिद्धांत के विकास में एक महत्वपूर्ण प्रारंभिक प्रभाव के रूप में श्रेय दिया है।

सिंहावलोकन
गणितीय रूप से, प्रोजेक्टिव स्पेस ट्विस्टर स्पेस $$\mathbb{PT}$$ एक 3-आयामी जटिल कई गुना, जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस | प्रोजेक्टिव 3-स्पेस है $$\mathbb{CP}^3$$. इसमें स्पिन (भौतिकी) के साथ द्रव्यमान रहित कणों के स्थान की भौतिक व्याख्या है। यह एक 4-आयामी जटिल वेक्टर अंतरिक्ष, गैर-प्रोजेक्टिव ट्विस्टर स्पेस का प्रक्षेपण है $$\mathbb{T}$$ मीट्रिक हस्ताक्षर  (2,2) के हर्मिटियन रूप और होलोमार्फिक वॉल्यूम फॉर्म के साथ। यह सबसे स्वाभाविक रूप से अनुरूप समूह के लिए चिरलिटी (भौतिकी) (वेइल [[spinor]]) स्पिनरों के स्थान के रूप में समझा जा सकता है $$SO(4,2)/\mathbb{Z}_2$$ मिन्कोवस्की अंतरिक्ष की; यह स्पिन समूह का मौलिक प्रतिनिधित्व है $$SU(2,2)$$ अनुरूप समूह का। इस परिभाषा को मनमाना आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, सिवाय इसके कि आयाम चार से परे, एक प्रोजेक्टिव ट्विस्टर स्पेस को अनुरूप समूह के लिए प्रोजेक्टिव शुद्ध स्पिनरों की जगह के रूप में परिभाषित करता है। अपने मूल रूप में, ट्विस्टर सिद्धांत मिन्कोस्की अंतरिक्ष पर भौतिक क्षेत्रों को पेनरोज़ रूपांतरण के माध्यम से ट्विस्टर स्पेस पर जटिल विश्लेषणात्मक वस्तुओं में एन्कोड करता है। यह मनमाना स्पिन (भौतिकी) के मासलेस कण के लिए विशेष रूप से स्वाभाविक है। पहले उदाहरण में ये ट्विस्टर स्पेस में क्षेत्रों पर मुक्त होलोमोर्फिक कार्यों के संदर्भ में समोच्च अभिन्न सूत्रों के माध्यम से प्राप्त किए जाते हैं। द्रव्यमान रहित क्षेत्र समीकरणों के समाधान को जन्म देने वाले होलोमॉर्फिक ट्विस्टर फ़ंक्शंस को चेक कोहोलॉजी कक्षाएं रूप में अधिक गहराई से समझा जा सकता है। $$\mathbb{PT}$$. इन पत्राचारों को कुछ अरैखिक क्षेत्रों तक विस्तारित किया गया है, जिसमें पेनरोज़ के आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों में स्व-दोहरी गुरुत्व शामिल है#गैररैखिकता गुरुत्वाकर्षण निर्माण और तथाकथित वार्ड निर्माण में स्व-दोहरी यांग-मिल्स क्षेत्र; पूर्व में क्षेत्रों की अंतर्निहित जटिल संरचना के विरूपण (गणित) को जन्म देता है $$\mathbb{PT}$$, और बाद वाले क्षेत्रों में कुछ होलोमोर्फिक वेक्टर बंडलों के लिए $$\mathbb{PT}$$. इन निर्माणों में व्यापक अनुप्रयोग हैं, जिनमें अन्य बातों के साथ-साथ एकीकृत प्रणाली का सिद्धांत भी शामिल है। स्व-द्वैत की स्थिति भौतिक सिद्धांतों की पूर्ण गैर-रैखिकताओं को शामिल करने के लिए एक प्रमुख सीमा है, हालांकि यह यांग-मिल्स-हिग्स समीकरणों के लिए पर्याप्त है। यांग-मिल्स-हिग्स चुंबकीय मोनोपोल और एक पल ्स (एडीएचएम निर्माण देखें)। इस प्रतिबंध को दूर करने का एक प्रारंभिक प्रयास एडवर्ड विटन द्वारा महत्वाकांक्षाओं का परिचय था और इसेनबर्ग, यास्किन और ग्रीन द्वारा। एम्बिटविस्टर स्पेस जटिल प्रकाश किरणों या द्रव्यमान रहित कणों का स्थान है और इसे मूल ट्विस्टर विवरण के एक जटिल या कोटेंगेंट बंडल के रूप में माना जा सकता है। ये सामान्य क्षेत्रों पर लागू होते हैं लेकिन क्षेत्र समीकरण अब इतनी आसानी से व्यक्त नहीं किए जाते हैं।

स्व-द्वैत क्षेत्र से परे मौलिक अंतःक्रिया के लिए ट्विस्टोरियल सूत्र सबसे पहले विटन के ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत से उत्पन्न हुए। यह रिमेंन सतह के होलोमोर्फिक मानचित्रों का ट्विस्टर स्पेस में क्वांटम सिद्धांत है। इसने यांग-मिल्स सिद्धांतों के ट्री-लेवल एस-मैट्रिसेस के लिए उल्लेखनीय रूप से कॉम्पैक्ट आरएसवी (रोइबन, स्प्रेडलिन और वोलोविच) फॉर्मूले को जन्म दिया, लेकिन इसकी गुरुत्वाकर्षण की स्वतंत्रता की डिग्री ने इसके प्रयोज्यता को सीमित करने वाले अनुरूप अतिगुरुत्वाकर्षण  के एक संस्करण को जन्म दिया; अनुरूप गुरुत्व एक अभौतिक सिद्धांत है जिसमें भूत (भौतिकी) शामिल है, लेकिन इसकी बातचीत ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत के माध्यम से गणना की गई लूप एम्पलीट्यूड में यांग-मिल्स सिद्धांत के साथ मिलती है। इसकी कमियों के बावजूद, ट्विस्टर स्ट्रिंग थ्योरी ने बिखरने वाले आयामों के अध्ययन में तेजी से विकास किया। एक तथाकथित एमएचवी औपचारिकतावाद था शिथिल डिस्कनेक्टेड स्ट्रिंग्स पर आधारित है, लेकिन ट्विस्टर स्पेस में पूर्ण यांग-मिल्स सिद्धांत के लिए ट्विस्टर एक्शन के संदर्भ में अधिक बुनियादी आधार दिया गया था। एक अन्य महत्वपूर्ण विकास बीसीएफडब्ल्यू रिकर्सन की शुरूआत थी। ट्विस्टर स्पेस में इसका प्राकृतिक फॉर्मूलेशन है बदले में ग्रासमैन इंटीग्रल फ़ार्मुलों के संदर्भ में बिखरने वाले आयामों के उल्लेखनीय योगों का नेतृत्व किया  और  polytope ्स। ये विचार हाल ही में सकारात्मक  ग्रासमानियन  में विकसित हुए हैं और आयाम।

आरएसवी यांग-मिल्स आयाम सूत्र को सामान्य करके और फिर अंतर्निहित स्ट्रिंग सिद्धांत को खोजकर ट्विस्टर स्ट्रिंग सिद्धांत को पहले बढ़ाया गया था। गुरुत्वाकर्षण का विस्तार कचाज़ो और स्किनर द्वारा दिया गया था, और डेविड स्किनर द्वारा अधिकतम सुपरग्रेविटी  के लिए ट्विस्टर स्ट्रिंग थ्योरी के रूप में तैयार किया गया। यांग-मिल्स सिद्धांत और गुरुत्वाकर्षण के लिए काचाज़ो, हे और युआन द्वारा सभी आयामों में अनुरूप सूत्र पाए गए। और बाद में कई अन्य सिद्धांतों के लिए। तब उन्हें मेसन एंड स्किनर द्वारा एम्बिटविस्टर स्पेस में स्ट्रिंग थ्योरी के रूप में समझा गया एक सामान्य ढांचे में जिसमें मूल ट्विस्टर स्ट्रिंग शामिल है और कई नए मॉडल और सूत्र देने के लिए विस्तारित है।   स्ट्रिंग सिद्धांतों के रूप में उनके पारंपरिक स्ट्रिंग सिद्धांत के समान महत्वपूर्ण आयाम हैं; उदाहरण के लिए टाइप II स्ट्रिंग थ्योरी सुपरसिमेट्रिक संस्करण दस आयामों में महत्वपूर्ण हैं और दस आयामों में टाइप II सुपरग्रेविटी के पूर्ण क्षेत्र सिद्धांत के बराबर हैं (यह पारंपरिक स्ट्रिंग सिद्धांतों से अलग है जिसमें बड़े पैमाने पर उच्च स्पिन राज्यों का एक और अनंत पदानुक्रम है जो एक पराबैंगनी पूर्णता प्रदान करें)। वे लूप एम्पलीट्यूड के लिए सूत्र देने के लिए विस्तारित होते हैं  और घुमावदार पृष्ठभूमि पर परिभाषित किया जा सकता है।

ट्विस्टर पत्राचार
द्वारा मिन्कोवस्की स्थान को निरूपित करें $$M$$, निर्देशांक के साथ $$x^a = (t, x, y, z)$$ और लोरेंत्ज़ियन मीट्रिक $$\eta_{ab}$$ हस्ताक्षर $$(1, 3)$$. 2-घटक स्पिनर सूचकांकों का परिचय दें $$A = 0, 1;\; A' = 0', 1',$$ और सेट करें


 * $$x^{AA'} = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix} t - z & x + iy \\ x - iy & t + z \end{pmatrix}.$$

नॉन-प्रोजेक्टिव ट्विस्टर स्पेस $$\mathbb{T}$$ द्वारा निरूपित निर्देशांक के साथ एक चार आयामी जटिल सदिश स्थान है $$Z^{\alpha} = \left(\omega^{A},\, \pi_{A'}\right)$$ कहाँ $$\omega^A$$ और $$\pi_{A'}$$ दो स्थिर वेइल स्पिनर हैं। एक जटिल संयुग्मन को परिभाषित करके हर्मिटियन रूप को व्यक्त किया जा सकता है $$\mathbb{T}$$ इसके दोहरे के लिए $$\mathbb{T}^*$$ द्वारा $$\bar Z_\alpha = \left(\bar\pi_A,\, \bar \omega^{A'}\right)$$ ताकि हर्मिटियन रूप को व्यक्त किया जा सके


 * $$Z^\alpha \bar Z_\alpha = \omega^{A}\bar\pi_{A} + \bar\omega^{A'}\pi_{A'}.$$

यह एक साथ होलोमोर्फिक वॉल्यूम फॉर्म के साथ, $$\varepsilon_{\alpha\beta\gamma\delta} Z^\alpha dZ^\beta \wedge dZ^\gamma \wedge dZ^\delta$$ समूह एसयू (2,2) के तहत अपरिवर्तनीय है, कॉम्पैक्ट मिंकोव्स्की स्पेसटाइम के अनुरूप समूह सी (1,3) का चौगुना कवर।

घटना संबंध के माध्यम से मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में अंक ट्विस्टर अंतरिक्ष के उप-स्थानों से संबंधित हैं


 * $$\omega^{A} = ix^{AA'}\pi_{A'}.$$

घटना संबंध को ट्विस्टर के समग्र पुन: स्केलिंग के तहत संरक्षित किया जाता है, इसलिए आमतौर पर प्रोजेक्टिव ट्विस्टर स्पेस में काम करता है $$\mathbb{PT},$$ जो एक जटिल मैनिफोल्ड के रूप में आइसोमॉर्फिक है $$\mathbb{CP}^3$$. एक बिंदु $$x\in M$$ इस प्रकार एक रेखा निर्धारित करता है $$\mathbb{CP}^1$$ में $$\mathbb{PT}$$ द्वारा पैरामीट्रिज्ड $$\pi_{A'}.$$ और एक भांजनेवाला $$Z^\alpha$$ निर्देशांक के जटिल मूल्यों के लिए अंतरिक्ष-समय में सबसे आसान समझा जाता है जहां यह पूरी तरह से शून्य दो-विमान को परिभाषित करता है जो स्व-द्वैत है। लेना $$x$$ असली होना, तो अगर $$Z^\alpha \bar Z_\alpha$$ गायब हो जाता है, फिर $$x$$ एक प्रकाश किरण पर स्थित है, जबकि यदि $$Z^\alpha \bar Z_\alpha$$ कभी न मिटने वाला है, कोई समाधान नहीं है, और वास्तव में तब $$Z^{\alpha}$$ स्पिन के साथ द्रव्यमान रहित कण से मेल खाता है जो वास्तविक अंतरिक्ष-समय में स्थानीयकृत नहीं है।

सुपरट्विस्टर्स
सुपरट्विस्टर्स 1978 में एलन फेरबर द्वारा पेश किए गए ट्विस्टर्स का सुपरसिमेट्री एक्सटेंशन हैं। नॉन-प्रोजेक्टिव ट्विस्टर स्पेस को फर्मियन कोऑर्डिनेट द्वारा बढ़ाया जाता है $$\mathcal{N}$$ विस्तारित सुपरसममेट्री है जिससे अब एक ट्विस्टर दिया जाता है $$\left(\omega^A,\, \pi_{A'},\, \eta^i\right), i = 1, \ldots, \mathcal{N}$$ साथ $$\eta^i$$ एंटीकम्यूटिंग। सुपर कंफर्मल ग्रुप $$SU(2,2|\mathcal{N})$$ स्वाभाविक रूप से इस स्थान पर कार्य करता है और पेनरोज़ ट्रांसफ़ॉर्म का एक सुपरसिमेट्रिक संस्करण सुपर मिंकॉस्की स्पेस पर बड़े पैमाने पर सुपरसिमेट्रिक मल्टीप्लेट्स के लिए सुपरटविस्टर स्पेस पर कोहोलॉजी कक्षाएं लेता है। $$\mathcal{N} = 4$$ h> केस पेनरोज़ के मूल ट्विस्टर स्ट्रिंग के लिए लक्ष्य प्रदान करता है और $$\mathcal{N} = 8$$ मामला यह है कि स्किनर के सुपरग्रेविटी सामान्यीकरण के लिए।

हाइपरकैहलर कई गुना
हाइपरकाहलर कई गुना आयाम $$4k$$ जटिल आयाम के ट्विस्टर स्पेस के साथ ट्विस्टर पत्राचार भी स्वीकार करें $$2k+1$$.

महलनुमा ट्विस्टर सिद्धांत
नॉनलाइनियर ग्रेविटॉन कंस्ट्रक्शन केवल एंटी-सेल्फ-डुअल यानी बाएं हाथ के फील्ड को एनकोड करता है। एक सामान्य गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को सांकेतिक शब्दों में बदलने के लिए ट्विस्टर स्पेस को संशोधित करने की समस्या की दिशा में पहला कदम चिरलिटी (भौतिकी) का एन्कोडिंग है। दाएं हाथ के क्षेत्र। असीम रूप से, ये सजातीय फ़ंक्शन -6 के ट्विस्टर फ़ंक्शंस या सह-समरूपता कक्षाओं में एन्कोड किए गए हैं। इस तरह के ट्विस्टर कार्यों का उपयोग पूरी तरह से गैर-रैखिक तरीके से करने का कार्य ताकि हेलिसिटी (कण भौतिकी) प्राप्त किया जा सके। क्रिकेट के खेल में दाएं हाथ से फेंकी गई गेंद के लिए प्रयोग किया जाता है, जिसमें स्पष्ट क्रिया का उपयोग किया जाता है जो आमतौर पर बाएं हाथ के हेलीकॉप्टर को जन्म देता है)। 2015 में पेनरोज़ द्वारा इस दिशा में सबसे हालिया प्रस्ताव ट्विस्टर स्पेस पर गैर-अनुवर्ती ज्यामिति पर आधारित था और इसे पैलेटियल ट्विस्टर सिद्धांत के रूप में संदर्भित किया गया था।. सिद्धांत का नाम बकिंघम महल  के नाम पर रखा गया है, जहां माइकल अतियाह ने पेनरोज़ को एक प्रकार के गैर-अनुवर्ती बीजगणित के उपयोग का सुझाव दिया था, जो सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण घटक है (पैलेटियल ट्विस्टर सिद्धांत में अंतर्निहित ट्विस्टर संरचना को ट्विस्टर स्पेस पर नहीं बल्कि गैर-पर आधारित मॉडल किया गया था। कम्यूटेटिव होलोमॉर्फिक ट्विस्टर  क्वांटम समूह )।

यह भी देखें

 * पृष्ठभूमि स्वतंत्रता
 * जटिल स्पेसटाइम
 * लूप क्वांटम ग्रेविटी का इतिहास
 * रॉबिन्सन समरूपता
 * स्पिन नेटवर्क

संदर्भ

 * Roger Penrose (2004), The Road to Reality, Alfred A. Knopf, ch. 33, pp. 958–1009.
 * Roger Penrose and Wolfgang Rindler (1984), Spinors and Space-Time; vol. 1, Two-Spinor Calculus and Relativitic Fields, Cambridge University Press, Cambridge.
 * Roger Penrose and Wolfgang Rindler (1986), Spinors and Space-Time; vol. 2, Spinor and Twistor Methods in Space-Time Geometry, Cambridge University Press, Cambridge.

अग्रिम पठन

 * Baird, P., "An Introduction to Twistors."
 * Huggett, S. and Tod, K. P. (1994). An Introduction to Twistor Theory, second edition. Cambridge University Press. ISBN 9780521456890. OCLC 831625586.
 * Hughston, L. P. (1979) Twistors and Particles. Springer Lecture Notes in Physics 97, Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-09244-5.
 * Hughston, L. P. and Ward, R. S., eds (1979) Advances in Twistor Theory. Pitman. ISBN 0-273-08448-8.
 * Mason, L. J. and Hughston, L. P., eds (1990) Further Advances in Twistor Theory, Volume I: The Penrose Transform and its Applications. Pitman Research Notes in Mathematics Series 231, Longman Scientific and Technical. ISBN 0-582-00466-7.
 * Mason, L. J., Hughston, L. P., and Kobak, P. K., eds (1995) Further Advances in Twistor Theory, Volume II: Integrable Systems, Conformal Geometry, and Gravitation. Pitman Research Notes in Mathematics Series 232, Longman Scientific and Technical. ISBN 0-582-00465-9.
 * Mason, L. J., Hughston, L. P., Kobak, P. K., and Pulverer, K., eds (2001) Further Advances in Twistor Theory, Volume III: Curved Twistor Spaces. Research Notes in Mathematics 424, Chapman and Hall/CRC. ISBN 1-58488-047-3.
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बाहरी संबंध

 * Penrose, Roger (1999), "Einstein's Equation and Twistor Theory: Recent Developments"
 * Penrose, Roger; Hadrovich, Fedja. "Twistor Theory."
 * Hadrovich, Fedja, "Twistor Primer."
 * Penrose, Roger. "On the Origins of Twistor Theory."
 * Jozsa, Richard (1976), "Applications of Sheaf Cohomology in Twistor Theory."
 * Andrew Hodges, Summary of recent developments.
 * Huggett, Stephen (2005), "The Elements of Twistor Theory."
 * Mason, L. J., "The twistor programme and twistor strings: From twistor strings to quantum gravity?"
 * Sparling, George (1999), "On Time Asymmetry."
 * MathWorld: Twistors.
 * Universe Review: "Twistor Theory."
 * Twistor newsletter archives.
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