माध्य

सांख्यिकी गणित में कई प्रकार के माध्य होते हैं प्रत्येक माध्य डेटा के दिए गए समूह को सारांशित करने का कार्य करता है अधिकतर किसी दिए गए डेटा सेट के समग्र मूल्य परिमाण और चिह्न गणित को बेहतर ढंग से समझने के लिए माध्य सांख्यिकी का प्रयोग किया जाता है।

एक डेटा सेट को अंकगणितीय माध्य तथा अंकगणितीय औसत के रूप में भी जाना है संख्याओं के परिमित सेट की केंद्रीय प्रवृत्ति का एक उपाय है विशेष रूप से मानों की संख्या से विभाजित मानों का योग संख्याओं के समूह x का अंकगणितीय माध्य1 एक्स2 पर ओवरहेड बार का उपयोग करके दर्शाया जाता है $$\bar{x}$$ कहते हैं यदि डेटा सेट एक सांख्यिकीय आबादी से नमूने सांख्यिकी द्वारा प्राप्त टिप्पणियों की एक श्रृंखला पर आधारित थे तो अंकगणितीय माध्य नमूना माध्य है ($$\bar{x}$$) इसे अंतर्निहित वितरण के माध्य या अपेक्षित मान से अलग करने के लिए जनसंख्या माध्य संभाव्यता और सांख्यिकी के बाहर माध्य की अन्य धारणाओं की एक विस्तृत श्रृंखला का उपयोग अधिकतर ज्यामिति और गणितीय विश्लेषण में किया जाता है ।

अंकगणितीय माध्य
संख्याओं की सूची का अंकगणितीय माध्य संख्याओं की संख्या से विभाजित सभी संख्याओं का योग है इसी तरह एक नमूने का अर्थ $$x_1,x_2,\ldots,x_n$$ इसे x द्वारा निरूपित किया जाता है $$\bar{x}$$ नमूने में आइटमों की संख्या से विभाजित किया जाता है ।


 * $$ \bar{x} = \frac{1}{n}\left (\sum_{i=1}^n{x_i}\right ) = \frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n} $$

उदाहरण के लिए पाँच मानों का अंकगणितीय माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है
 * $$\frac{4+36+45+50+75}{5} = \frac{210}{5} = 42.$$

ज्यामितीय माध्य (जीएम)
ज्यामितीय माध्य एक औसत है जो सकारात्मक संख्याओं के सेट के लिए उपयोगी होता है जो कि उनके उत्पाद के अनुसार व्याख्या की जाती है और उनकी राशि नहीं होती है ।
 * $$\bar{x} = \left( \prod_{i=1}^n{x_i} \right )^\frac{1}{n} = \left(x_1 x_2 \cdots x_n \right)^\frac{1}{n}$$

उदाहरण के लिए पाँच मानों का ज्यामितीय माध्य: 4, 36, 45, 50, 75 है
 * $$(4 \times 36 \times 45 \times 50 \times 75)^\frac{1}{5} = \sqrt[5]{24\;300\;000} = 30.$$

अनुकूल माध्य (एचएम)
हार्मोनिक माध्य एक औसत है जो संख्याओं के सेट के लिए उपयोगी होता है जो माप की किसी इकाई के संबंध में परिभाषित होते हैं
 * $$ \bar{x} = n \left ( \sum_{i=1}^n \frac{1}{x_i} \right ) ^{-1}$$

उदाहरण के लिए पाँच मानों का हार्मोनिक माध्य 4, 36, 45, 50, 75 है


 * $$\frac{5}{\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{36}+\tfrac{1}{45} + \tfrac{1}{50} + \tfrac{1}{75}} = \frac{5}{\;\tfrac{1}{3}\;} = 15.$$

अंकगणित माध्य, ज्यामितीय माध्य और अनुकूल माध्य के बीच संबंध
अंकगणितीय माध्य, ज्यामितिय माध्य और अनुकूल माध्य इन असमानताओं को संतुष्ट करते हैं।


 * $$ \mathrm{AM} \ge \mathrm{GM} \ge \mathrm{HM} \, $$

समानता तब होती है जब दिए गए नमूने के सभी तत्व समान हों।

सांख्यिकीय स्थान
वर्णनात्मक आंकड़ों में माध्य को माध्यिका मोड सांख्यिकी या मध्य-श्रेणी के साथ भ्रमित किया जा सकता है क्योंकि इनमें से किसी को भी गलत तरीके से औसत कहा जा सकता है औपचारिक रूप से यह केंद्रीय प्रवृत्ति का एक उपाय जो प्रेक्षणों के समुच्चय का माध्य मानों का अंकगणितीय औसत है जबकि तिरछेपन के लिए माध्य आवश्यक रूप से मध्यमान या माध्यिका सबसे संभावित मान के समान नहीं है उदाहरण औसत आय बहुत बड़ी आय वाले लोगों की एक छोटी संख्या से ऊपर की ओर तिरछी होती है जिससे बहुमत की आय औसत से कम हो इसके विपरीत औसत आय वह स्तर है जिस पर आधी आबादी नीचे और आधी ऊपर होती है बहुलक आय सबसे अधिक संभावित आय है और कम आय वाले लोगों की बड़ी संख्या का पक्ष लेती है जबकि इस तरह के विषम डेटा के लिए मध्यिका और बहुलक अधिकतर अधिक सहज ज्ञान युक्त उपाय होते हैं कई तिरछे वितरण वास्तव में उनके माध्यम से सर्वोत्तम रूप से वर्णित होते हैं जिसमें घातीय वितरण भी सम्मिलित हैं।

एक संभाव्यता वितरण का मतलब
प्रायिकता वितरण का माध्य उस वितरण वाले यादृच्छिक चर का दीर्घकालीन अंकगणितीय औसत मान यदि यादृच्छिक चर द्वारा निरूपित किया जाता है तो $$X$$ को इसके अपेक्षित मूल्य के रूप में भी जाना जाता है असतत संभाव्यता वितरण माध्य द्वारा विरूपित किया जाता है $$\textstyle \sum xP(x)$$ जहां यादृच्छिक चर के सभी संभावित मानों का योग लिया जाता है और $$P(x)$$ संभाव्यता द्रव्यमान का कार्य है निरंतर संभाव्यता वितरण के लिए माध्य है जहाँ$$\textstyle \int_{-\infty}^{\infty} xf(x)\,dx$$ तब $$f(x)$$ संभाव्यता घनत्व समारोह है उन सभी जगहों में जिनमें वितरण न तो असतत है और न ही निरंतर है मतलब इसकी संभावना माप के संबंध में यादृच्छिक चर का लेबेसेग एकीकरण है माध्य का अस्तित्व परिमित होना आवश्यक नहीं है कुछ संभाव्यता वितरण के लिए माध्य अनंत है ($+&infin;$ या $−&infin;$) जबकि अन्य के लिए माध्य अपरिभाषित (गणित) है।

शक्ति मतलब
सामान्यीकृत माध्य जिसे शक्ति माध्य या धारक मध्यम के रूप में भी जाना जाता है द्विघात माध्य अंकगणितीय ज्यामितीय और हार्मोनिक साधनों का एक अमूर्त है इसे n धनात्मक संख्याओं x के समुच्चय के लिए परिभाषित किया गया है इसे i द्वारा प्रदर्शित करते हैं।

 $$\bar{x}(m) = \left( \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^m \right)^\frac{1}{m}$$

पैरामीटर एम के लिए अलग-अलग मान चुनकर निम्न प्रकार के साधन प्राप्त किए जाते हैं

एफ-मीन
इसे f के रूप में आगे सामान्यीकृत किया जा सकता है
 * $$ \bar{x} = f^{-1}\left({\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n{f\left(x_i\right)}}\right) $$



भारित अंकगणितीय माध्य
भारित माध्य या भारित औसत का उपयोग भी किया जाता है यदि कोई एक ही जनसंख्या के विभिन्न आकार के नमूनों से औसत मानों को जोड़ना चाहता है


 * $$\bar{x} = \frac{\sum_{i=1}^n {w_i \bar{x_i}}}{\sum_{i=1}^n w_i}. $$

कहाँ $$\bar{x_i}$$ और $$w_i$$ नमूने का माध्य और आकार हैं $$i$$ क्रमश अन्य अनुप्रयोगों में वे संबंधित मूल्यों द्वारा माध्य पर प्रभाव की विश्वसनीयता के लिए एक माप का प्रतिनिधित्व करते हैं।

छोटा मतलब
कभी-कभी संख्याओं के एक समूह में अलग-अलग भी हो सकते हैं अर्थात डेटा मान जो दूसरों की तुलना में बहुत कम या बहुत अधिक हैं कुछ अलग-अलग त्रुटिपूर्ण डेटा होते हैं जो विरूपण साक्ष्य अवलोकन के कारण होते हैं इन जगहों में कोई छोटे मतलब का उपयोग कर सकता है इसमें शीर्ष या निचले छोर पर डेटा के दिए गए हिस्सों को छोड़ना भी सम्मिलित है पर प्रत्येक छोर पर एक समान राशि और फिर शेष डेटा का अंकगणितीय माध्य लेना या हटाए गए मानों की संख्या को मानों की कुल संख्या के प्रतिशत के रूप में दर्शाया गया है।

अंतःचतुर्थक माध्य
अंतरचतुर्थक माध्य एक काटे गए माध्य का एक विशिष्ट उदाहरण है मूल्यों के निम्नतम और उच्चतम तिमाही को हटाने के बाद यह अंकगणितीय माध्य होता है।
 * $$\bar{x} = \frac{2}{n} \;\sum_{i = \frac{n}{4} + 1}^{\frac{3}{4}n}\!\! x_i$$

यह मानते हुए कि मूल्यों का आदेश दिया गया है इसलिए वजन के एक विशिष्ट सेट के लिए भारित माध्य का एक विशिष्ट उदाहरण है।

एक समारोह
कुछ परिस्थितियों में गणितज्ञ मूल्यों के एक अनंत सेट के माध्य की गणना कर सकते हैं माध्य मान की गणना करते समय ऐसा हो सकता है कि एक समारोह का $$f(x)$$ सहजता से एक वक्र के एक खंड के तहत क्षेत्र की गणना के रूप में सोचा जा सकता है और उसके बाद उस खंड की लंबाई से विभाजित किया जा सकता है यह ग्राफ पेपर पर वर्गों की गिनती करके या अधिक सटीक रूप से अभिन्न रूप में दर्शाया जाता है तथा एकीकरण सूत्र इस प्रकार लिखा गया है-


 * $$y_\text{avg}(a, b) = \frac{1}{b - a} \int\limits_a^b\! f(x)\,dx$$

इसमें यह सुनिश्चित करने के लिए ध्यान रखा जाना चाहिए कि अभिन्न अभिसरण हो लेकिन माध्य परिमित हो सकता है भले ही फलन स्वयं कुछ बिंदुओं पर अनंत की ओर प्रवृत्त हो।

कोण का माध्य और चक्रीय राशियाँ
कोण दिन के समय और अन्य चक्रीय मात्राओं को जोड़ने और संख्याओं को संयोजित करने के लिए प्रमापीय अंकगणित की आवश्यकता होती है इन सभी स्थितियों में कोई अद्वितीय माध्य नहीं होगा उदाहरण के लिए आधी रात से पहले और बाद में एक घंटे का समय आधी रात और दोपहर दोनों के बराबर है यह भी संभव है कि कोई माध्य स्थिर न हो रंग पहिया पर विचार करें सभी रंगों के सेट का कोई मतलब नहीं है इन स्थितियों में आपको यह तय करना होगा कि कौन सा माध्य सबसे अधिक उपयोगी है आप औसत करने से पहले मूल्यों को समायोजित करके या चक्रीय मात्राओं के माध्य का उपयोग करके ऐसा कर सकते हैं।

वितरण
वितरण माध्य एक सतह गणित के बड़े पैमाने पर वितरण के केंद्र को निर्धारित करने के लिए एक तरीका देता है रीमैनियन कई गुना या अन्य माध्यमों के विपरीत वितरण माध्य को एक ऐसे स्थान पर परिभाषित किया गया है जिसके तत्वों को आवश्यक रूप से नहीं जोड़ा जा सकता है या स्केलर द्वारा गुणा नहीं किया जा सकता है इसे कभी-कभी करचर माध्य के रूप में भी जाना जाता है।

त्रिकोणीय सेट
ज्यामिति में कई भिन्न हैं त्रिभुज केंद्र के लिए परिभाषाएँ भी हैं जो सभी को समतल में बिंदुओं के त्रिकोणीय सेट के माध्य के रूप में व्याख्या की जा सकती है।

स्वानसन का नियम
यह कुछ विषम वितरण के लिए माध्य का एक अनुमान है। इसका उपयोग हाइड्रोकार्बन अन्वेषण में किया जाता है और इसे इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:


 * $$ m = 0.3P_{10} + 0.4P_{50} + 0.3P_{90} $$

जहां पी10, पी50 और पी90 वितरण का 10वां, 50वां और 90वां प्रतिशतक है।

यह भी देखें

 * केंद्रीय प्रवृत्ति।
 * माध्य।
 * सांख्यिकी प्रणाली।
 * वर्णनात्मक आँकड़े।
 * खड़िया।
 * औसत का नियम।
 * औसत मूल्य प्रमेय।
 * ज्यामितीय गणित।
 * सारांश आँकड़े।
 * अनुकूलन का नियम।
 * अनुकूलन का नियम।
 * अनुकूलन का नियम।