गणित

गणित ज्ञान का एक क्षेत्र है जिसमें ऐसे विषय शामिल हैं संख्या (अंकगणित, संख्या सिद्धांत), सूत्र और संबंधित संरचनाएं (बीजगणित), आकृतियाँ और वे स्थान जिनमें वे निहित हैं (ज्यामिति), और मात्रा और उनके परिवर्तन (पथरी और विश्लेषण)। अधिकांश गणितीय गतिविधि में शुद्ध तर्क द्वारा अमूर्त वस्तुओं के गुणों की खोज और साबित करना शामिल है।ये वस्तुएं या तो प्रकृति से अमूर्त हैं, जैसे कि प्राकृतिक संख्या या रेखाएँ, या आधुनिक गणित में कुछ गुणों के साथ निर्धारित की जाती हैं, जिन्हें स्वयंसिद्ध कहा जाता है।एक प्रमाण में पहले से ही ज्ञात परिणामों के लिए कुछ कटौतीत्मक नियमों के अनुप्रयोगों का उत्तराधिकार शामिल है, जिसमें पहले से सिद्ध प्रमेय, स्वयंसिद्ध और (प्रकृति से अमूर्तता के मामले में) कुछ बुनियादी गुण शामिल हैं, जिन्हें विचाराधीन सिद्धांत के सच्चे शुरुआती बिंदुओं के रूप में माना जाता है।एक प्रमाण के परिणाम को एक प्रमेय कहा जाता है।

मॉडलिंग घटनाओं के लिए विज्ञान में गणित का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह प्रयोगात्मक कानूनों से मात्रात्मक भविष्यवाणियों की निष्कर्षण को सक्षम करता है। उदाहरण के लिए, गणितीय गणना के साथ संयुक्त रूप से न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के कानून का उपयोग करके ग्रहों के आंदोलन की सटीक भविष्यवाणी की जा सकती है। किसी भी प्रयोग से गणितीय सत्य की स्वतंत्रता का अर्थ है कि इस तरह की भविष्यवाणियों की सटीकता वास्तविकता का वर्णन करने के लिए मॉडल की पर्याप्तता पर निर्भर करती है। गलत भविष्यवाणियों का अर्थ गणितीय मॉडल को सुधारने या बदलने की आवश्यकता है, न कि यह कि गणित स्वयं मॉडल में गलत है। उदाहरण के लिए, बुध के पेरिहेलियन पूर्ववर्ती को न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा नहीं समझाया जा सकता है, लेकिन आइंस्टीन की सामान्य सापेक्षता द्वारा सटीक रूप से समझाया गया है। आइंस्टीन के सिद्धांत के इस प्रायोगिक सत्यापन से पता चलता है कि न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण का नियम केवल एक अनुमान है, हालांकि रोजमर्रा के आवेदन में सटीक है।

प्राकृतिक विज्ञान, इंजीनियरिंग, चिकित्सा, वित्त, कंप्यूटर विज्ञान और सामाजिक विज्ञान सहित कई क्षेत्रों में गणित आवश्यक है। गणित के कुछ क्षेत्र, जैसे कि सांख्यिकी और खेल सिद्धांत, को उनके अनुप्रयोगों के साथ घनिष्ठ संबंध में विकसित किया जाता है और अक्सर लागू गणित के तहत समूहीकृत किया जाता है। अन्य गणितीय क्षेत्रों को किसी भी अनुप्रयोग से स्वतंत्र रूप से विकसित किया जाता है (और इसलिए इसे शुद्ध गणित कहा जाता है), लेकिन व्यावहारिक अनुप्रयोगों को अक्सर बाद में खोजा जाता है। एक फिटिंग उदाहरण पूर्णांक कारक की समस्या है, जो यूक्लिड में वापस चला जाता है, लेकिन आरएसए क्रिप्टोसिस्टम (कंप्यूटर नेटवर्क की सुरक्षा के लिए) में इसके उपयोग से पहले कोई व्यावहारिक अनुप्रयोग नहीं था।

गणित के इतिहास में, एक प्रमाण और उसके संबद्ध गणितीय कठोरता की अवधारणा पहली बार ग्रीक गणित में दिखाई दी, विशेष रूप से यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों में सबसे विशेष रूप से। तत्व। गणित जब तक पुनर्जागरण तक अपेक्षाकृत धीमी गति से विकसित हुआ, जब बीजगणित और इनफिनिटिमल कैलकुलस को गणित के मुख्य क्षेत्रों के रूप में अंकगणित और ज्यामिति में जोड़ा गया।तब से, गणितीय नवाचारों और वैज्ञानिक खोजों के बीच बातचीत ने गणित के विकास में तेजी से वृद्धि की है।19 वीं शताब्दी के अंत में, गणित के मूलभूत संकट ने स्वयंसिद्ध विधि का व्यवस्थित किया।यह, बदले में, गणित क्षेत्रों की संख्या और अनुप्रयोगों के उनके क्षेत्रों में नाटकीय वृद्धि को जन्म दिया।इसका एक उदाहरण गणित विषय वर्गीकरण है, जो गणित के साठ से अधिक प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों को सूचीबद्ध करता है।

गणित के क्षेत्र
पुनर्जागरण से पहले, गणित को दो मुख्य क्षेत्रों में विभाजित किया गया था: अंकगणित संख्याओं के हेरफेर के बारे में, और ज्यामिति  आकृतियों के अध्ययन के बारे में।कुछ प्रकार के छद्म विज्ञान, जैसे कि संख्या विज्ञान और ज्योतिष, तब स्पष्ट रूप से गणित से अलग नहीं थे।

पुनर्जागरण के दौरान, दो और क्षेत्र दिखाई दिए।गणितीय संकेतन ने बीजगणित किया, जो मोटे तौर पर बोलते हुए, अध्ययन और सूत्रों का हेरफेर होता है।कैलकुलस, दो सबफील्ड्स इन्फिनिटिमल कैलकुलस और इंटीग्रल कैलकुलस से मिलकर, निरंतर कार्यों का अध्ययन है, जो अलग -अलग मात्रा (चर) के बीच आमतौर पर गैर -संबंध संबंधों को मॉडल करता है।यह विभाजन चार मुख्य क्षेत्रों में है अंकगणित, ज्यामिति, बीजगणित, कैलकुलस  19 वीं शताब्दी के अंत तक समाप्त हो गया। खगोलीय यांत्रिकी और ठोस यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों को अक्सर गणित का हिस्सा माना जाता था, लेकिन अब इसे भौतिकी से संबंधित माना जाता है। इस अवधि के दौरान विकसित कुछ विषय गणित की भविष्यवाणी करते हैं और संभावना सिद्धांत और संयोजक के रूप में ऐसे क्षेत्रों में विभाजित होते हैं, जिन्हें बाद में केवल स्वायत्त क्षेत्रों के रूप में माना जाता है।

19 वीं शताब्दी के अंत में, गणित में मूलभूत संकट और स्वयंसिद्ध विधि के परिणामस्वरूप व्यवस्थितकरण ने गणित के नए क्षेत्रों का विस्फोट किया। आज, गणित विषय वर्गीकरण में चौंसठ से कम प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों से कम नहीं है। इनमें से कुछ क्षेत्र पुराने डिवीजन के अनुरूप हैं, जैसा कि संख्या सिद्धांत (उच्च अंकगणित के लिए आधुनिक नाम) और ज्यामिति के बारे में सच है। (हालांकि, कई अन्य प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों में उनके नामों में ज्यामिति होती है या उन्हें आमतौर पर ज्यामिति का हिस्सा माना जाता है।) बीजगणित और कैलकुलस प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों के रूप में दिखाई नहीं देते हैं, लेकिन क्रमशः कई प्रथम-स्तरीय क्षेत्रों में विभाजित होते हैं। 20 वीं शताब्दी (उदाहरण के लिए श्रेणी सिद्धांत; होमोलॉजिकल बीजगणित, और कंप्यूटर विज्ञान) के दौरान अन्य प्रथम-स्तरीय क्षेत्र उभरे थे या पहले गणित के रूप में नहीं माना जाता था, जैसे कि गणितीय तर्क और नींव (मॉडल सिद्धांत, कम्प्यूटिबिलिटी सिद्धांत, सेट सिद्धांत, प्रूफ सहित सिद्धांत, और बीजगणितीय तर्क)।

संख्या सिद्धांत
संख्या सिद्धांत संख्याओं के हेरफेर के साथ शुरू हुआ, यानी प्राकृतिक संख्या $$(\mathbb{N}),$$ और बाद में पूर्णांक तक विस्तारित किया गया $$(\Z)$$ और तर्कसंगत संख्याएँ $$(\Q).$$ पूर्व में, संख्या सिद्धांत को अंकगणित कहा जाता था, लेकिन आजकल यह शब्द ज्यादातर संख्यात्मक गणना के लिए उपयोग किया जाता है।

कई आसानी से बताई गई संख्या की समस्याओं में ऐसे समाधान होते हैं जिनके लिए गणित से परिष्कृत तरीकों की आवश्यकता होती है।एक प्रमुख उदाहरण फर्माट का अंतिम प्रमेय है। फर्मेट का अंतिम प्रमेय।यह अनुमान 1637 में पियरे डी फर्मेट द्वारा कहा गया था, लेकिन यह फर्मेट के अंतिम प्रमेय का वाइल्स का प्रमाण था। केवल 1994 में एंड्रयू विल्स द्वारा साबित हुआ, जिन्होंने बीजगणितीय ज्यामिति, श्रेणी सिद्धांत और होमोलॉजिकल बीजगणित से योजना सिद्धांत सहित उपकरणों का उपयोग किया था।एक अन्य उदाहरण गोल्डबैक का अनुमान है, जो दावा करता है कि 2 से अधिक पूर्णांक भी दो प्रमुख संख्याओं का योग है।क्रिश्चियन गोल्डबैक द्वारा 1742 में कहा गया है, यह काफी प्रयास के बावजूद आज भी अप्रमाणित है।

संख्या सिद्धांत में कई सबरियस शामिल हैं, जिनमें विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत, बीजगणितीय संख्या सिद्धांत, संख्याओं की ज्यामिति (विधि उन्मुख), डायोफेंटाइन समीकरण और पारगमन सिद्धांत (समस्या उन्मुख) शामिल हैं।

ज्यामिति
ज्यामिति गणित की सबसे पुरानी शाखाओं में से एक है। इसकी शुरुआत आकृतियों से संबंधित अनुभवजन्य व्यंजनों के साथ हुई, जैसे कि लाइनें, कोण और सर्कल, जो मुख्य रूप से सर्वेक्षण और वास्तुकला की जरूरतों के लिए विकसित किए गए थे, लेकिन तब से कई अन्य उपक्षेत्रों में खिल गए हैं।

एक मौलिक नवाचार प्राचीन यूनानियों द्वारा सबूतों की अवधारणा की शुरूआत था, इस आवश्यकता के साथ कि प्रत्येक दावे को साबित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, यह माप द्वारा सत्यापित करने के लिए पर्याप्त नहीं है, कहते हैं, दो लंबाई समान हैं; उनकी समानता को पहले से स्वीकृत परिणामों (प्रमेय) और कुछ बुनियादी बयानों से तर्क के माध्यम से साबित किया जाना चाहिए। मूल कथन सबूत के अधीन नहीं हैं क्योंकि वे स्व-स्पष्ट (पोस्टुलेट्स) हैं, या वे अध्ययन के विषय (स्वयंसिद्ध) की परिभाषा का एक हिस्सा हैं। यह सिद्धांत, जो सभी गणित के लिए मूलभूत है, पहले ज्यामिति के लिए विस्तृत किया गया था, और अपनी पुस्तक यूक्लिड के तत्वों में 300 ईसा पूर्व के आसपास यूक्लिड द्वारा व्यवस्थित किया गया था। तत्व।

परिणामस्वरूप यूक्लिडियन ज्यामिति आकार और उनकी व्यवस्था है, जो यूक्लिडियन विमान (विमान ज्यामिति) और (तीन-आयामी) यूक्लिडियन स्थान में लाइनों, विमानों और हलकों से निर्मित हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति को 17 वीं शताब्दी तक तरीकों या गुंजाइश के परिवर्तन के बिना विकसित किया गया था, जब रेने डेसकार्टेस ने पेश किया, जिसे अब कार्टेशियन निर्देशांक कहा जाता है। यह प्रतिमान का एक बड़ा परिवर्तन था, क्योंकि लाइन सेगमेंट (नंबर लाइन देखें) की लंबाई के रूप में वास्तविक संख्याओं को परिभाषित करने के बजाय, इसने अपने निर्देशांक (जो संख्याएं हैं) का उपयोग करके बिंदुओं के प्रतिनिधित्व की अनुमति दी। यह एक को ज्यामितीय समस्याओं को हल करने के लिए बीजगणित (और बाद में, पथरी) का उपयोग करने की अनुमति देता है। यह दो नए उपक्षेत्रों में ज्यामिति को विभाजित करता है: सिंथेटिक ज्यामिति, जो विशुद्ध रूप से ज्यामितीय तरीकों और विश्लेषणात्मक ज्यामिति का उपयोग करता है, जो व्यवस्थित रूप से निर्देशांक का उपयोग करता है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति घटता के अध्ययन की अनुमति देती है जो मंडलियों और लाइनों से संबंधित नहीं हैं। इस तरह के घटता को फ़ंक्शंस के ग्राफ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (जिसका अध्ययन अंतर ज्यामिति का कारण बना)। उन्हें अंतर्निहित समीकरणों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, अक्सर बहुपद समीकरण (जो बीजगणितीय ज्यामिति पैदा करते हैं)। विश्लेषणात्मक ज्यामिति भी तीन आयामों से अधिक के रिक्त स्थान पर विचार करना संभव बनाता है।

19 वीं शताब्दी में, गणितज्ञों ने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की खोज की, जो समानांतर पोस्टुलेट का पालन नहीं करते हैं। उस पोस्टुलेट की सच्चाई पर सवाल उठाते हुए, यह खोज गणित के मूलभूत संकट का खुलासा करने के रूप में रसेल के विरोधाभास में शामिल हो जाती है। संकट का यह पहलू स्वयंसिद्ध विधि को व्यवस्थित करके हल किया गया था, और यह अपनाना कि चुने हुए स्वयंसिद्धों की सच्चाई एक गणितीय समस्या नहीं है। बदले में, स्वयंसिद्ध विधि या तो स्वयंसिद्धों को बदलकर या अंतरिक्ष के विशिष्ट परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय गुणों पर विचार करके प्राप्त विभिन्न ज्यामितीयों के अध्ययन के लिए अनुमति देती है।

आजकल, ज्यामिति के सबरियस में शामिल हैं:
 * प्रोजेक्टिव ज्यामिति, 16 वीं शताब्दी में गिरार्ड देसार्गस द्वारा पेश किया गया, अनंत पर अंक जोड़कर यूक्लिडियन ज्यामिति का विस्तार करता है, जिस पर समानांतर रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं। यह चौराहे और समानांतर लाइनों के उपचारों को एकजुट करके शास्त्रीय ज्यामिति के कई पहलुओं को सरल बनाता है।
 * अफाइन ज्यामिति, समानता के सापेक्ष गुणों का अध्ययन और लंबाई की अवधारणा से स्वतंत्र।
 * डिफरेंशियल ज्यामिति, वक्रों, सतहों और उनके सामान्यीकरण का अध्ययन, जो कि अलग -अलग कार्यों का उपयोग करके परिभाषित किए गए हैं
 * कई गुना सिद्धांत, आकृतियों का अध्ययन जो जरूरी नहीं कि एक बड़े स्थान में एम्बेडेड न हो
 * Riemannian ज्यामिति, घुमावदार स्थानों में दूरी के गुणों का अध्ययन
 * बीजगणितीय ज्यामिति, वक्रों, सतहों और उनके सामान्यीकरण का अध्ययन, जो कि बहुपद का उपयोग करके परिभाषित किया गया है
 * टोपोलॉजी, गुणों का अध्ययन जो निरंतर विकृति के तहत रखा जाता है
 * बीजगणितीय टोपोलॉजी, बीजगणितीय तरीकों के टोपोलॉजी में उपयोग, मुख्य रूप से होमोलॉजिकल बीजगणित
 * असतत ज्यामिति, ज्यामिति में परिमित विन्यास का अध्ययन
 * उत्तल ज्यामिति, उत्तल सेट का अध्ययन, जो अनुकूलन में इसके अनुप्रयोगों से इसका महत्व लेता है
 * जटिल ज्यामिति, जटिल संख्याओं के साथ वास्तविक संख्याओं को प्रतिस्थापित करके प्राप्त ज्यामिति

बीजगणित
बीजगणित समीकरणों और सूत्रों में हेरफेर करने की कला है।डायोफेंटस (तीसरी शताब्दी) और मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज़मी | अल-ख्वारिज़मी (9 वीं शताब्दी) बीजगणित के दो मुख्य अग्रदूत थे।पहले वाले ने कुछ समीकरणों को हल किया जिसमें अज्ञात प्राकृतिक संख्याओं को शामिल किया गया था, जब तक कि उन्होंने समाधान प्राप्त नहीं किया।दूसरे ने समीकरणों को बदलने के लिए व्यवस्थित तरीके पेश किए (जैसे कि एक समीकरण के एक पक्ष से दूसरी तरफ एक शब्द को स्थानांतरित करना)।बीजगणित शब्द अरबी शब्द से लिया गया है जिसका उपयोग उन्होंने अपने मुख्य ग्रंथ के शीर्षक में इन तरीकों में से एक का नामकरण के लिए किया था। बीजगणित केवल फ्रांस्वा विएटे (1540–1603) के साथ अपने आप में एक क्षेत्र बन गया, जिसने अज्ञात या अनिर्दिष्ट संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए अक्षरों (चर) का उपयोग शुरू किया। यह गणितज्ञों को उन संचालन का वर्णन करने की अनुमति देता है जो गणितीय सूत्रों का उपयोग करके प्रतिनिधित्व किए गए नंबरों पर किए जाने वाले संचालन का वर्णन करते हैं।

19 वीं शताब्दी तक, बीजगणित में मुख्य रूप से रैखिक समीकरणों (वर्तमान में रैखिक बीजगणित) का अध्ययन शामिल था, और एक ही अज्ञात में बहुपद समीकरण, जिन्हें बीजगणितीय समीकरण कहा जाता था (एक शब्द जो अभी भी उपयोग में है, हालांकि यह अस्पष्ट हो सकता है)। 19 वीं शताब्दी के दौरान, गणितज्ञों ने संख्याओं के अलावा अन्य चीजों का प्रतिनिधित्व करने के लिए चर का उपयोग करना शुरू कर दिया (जैसे कि मैट्रिसेस, मॉड्यूलर पूर्णांक और ज्यामितीय परिवर्तन), जिस पर अंकगणित संचालन के सामान्यीकरण अक्सर मान्य होते हैं। बीजगणितीय संरचना की अवधारणा इसे संबोधित करती है, जिसमें एक सेट शामिल है, जिसके तत्व अनिर्दिष्ट हैं, सेट के तत्वों पर कार्य करने वाले संचालन के, और नियमों का पालन करते हैं जो इन संचालन का पालन करना चाहिए। इस परिवर्तन के कारण, बीजगणितीय संरचनाओं के अध्ययन को शामिल करने के लिए बीजगणित का दायरा बढ़ा। बीजगणित की इस वस्तु को आधुनिक बीजगणित या अमूर्त बीजगणित कहा जाता था। (उत्तरार्द्ध शब्द मुख्य रूप से एक शैक्षिक संदर्भ में दिखाई देता है, प्राथमिक बीजगणित के विरोध में, जो कि हेरफेर करने के पुराने तरीके से संबंधित है।) कुछ प्रकार के बीजगणितीय संरचनाओं में गणित के कई क्षेत्रों में उपयोगी और अक्सर मौलिक गुण होते हैं। उनका अध्ययन बीजगणित के स्वायत्त हिस्से बन गए, और इसमें शामिल हैं:
 * समूह सिद्धांत;
 * क्षेत्र सिद्धांत;
 * वेक्टर स्पेस, जिसका अध्ययन अनिवार्य रूप से रैखिक बीजगणित के समान है;
 * रिंग थ्योरी;
 * कम्यूटेटिव बीजगणित, जो कम्यूटेटिव रिंग्स का अध्ययन है, में बहुपद का अध्ययन शामिल है, और यह बीजगणितीय ज्यामिति का एक मूलभूत हिस्सा है;
 * होमोलॉजिकल बीजगणित
 * झूठ बीजगणित और झूठ समूह सिद्धांत;
 * बूलियन बीजगणित, जो व्यापक रूप से कंप्यूटर की तार्किक संरचना के अध्ययन के लिए उपयोग किया जाता है।

गणितीय वस्तुओं के रूप में बीजगणितीय संरचनाओं के प्रकारों का अध्ययन सार्वभौमिक बीजगणित और श्रेणी सिद्धांत का उद्देश्य है। उत्तरार्द्ध हर गणितीय संरचना (न केवल बीजीय वाले) पर लागू होता है। इसके मूल में, इसे पेश किया गया था, साथ में होमोलॉजिकल बीजगणित के साथ गैर-बीजगणित वस्तुओं जैसे कि टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीजगणितीय अध्ययन की अनुमति देने के लिए; आवेदन के इस विशेष क्षेत्र को बीजगणितीय टोपोलॉजी कहा जाता है।

कैलकुलस और विश्लेषण
कैलकुलस, जिसे पहले इनफिनिटिमल कैलकुलस कहा जाता था, को स्वतंत्र रूप से और एक साथ 17 वीं शताब्दी के गणितज्ञ न्यूटन और लीबनिज़ द्वारा पेश किया गया था। यह मौलिक रूप से चर के संबंध का अध्ययन है जो एक दूसरे पर निर्भर करता है। कैलकुलस को 18 वीं शताब्दी में यूलर द्वारा एक फ़ंक्शन की अवधारणा की शुरुआत के साथ, और कई अन्य परिणामों के साथ विस्तारित किया गया था। वर्तमान में कैलकुलस मुख्य रूप से इस सिद्धांत के प्राथमिक भाग को संदर्भित करता है, और विश्लेषण आमतौर पर उन्नत भागों के लिए उपयोग किया जाता है।

विश्लेषण को वास्तविक विश्लेषण में और विभाजित किया जाता है, जहां चर वास्तविक संख्या और जटिल विश्लेषण का प्रतिनिधित्व करते हैं जहां चर जटिल संख्याओं का प्रतिनिधित्व करते हैं। विश्लेषण में कई सबरियस शामिल हैं, जो गणित के अन्य क्षेत्रों के साथ कुछ साझा करते हैं; वे सम्मिलित करते हैं:
 * बहु -विचित्र गणना
 * कार्यात्मक विश्लेषण, जहां चर अलग -अलग कार्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं;
 * एकीकरण, माप सिद्धांत और संभावित सिद्धांत, सभी दृढ़ता से संभाव्यता सिद्धांत के साथ संबंधित;
 * सामान्य अवकल समीकरण;
 * आंशिक अंतर समीकरण;
 * संख्यात्मक विश्लेषण, मुख्य रूप से कई अनुप्रयोगों में उत्पन्न होने वाले साधारण और आंशिक अंतर समीकरणों के समाधान के कंप्यूटर पर गणना के लिए समर्पित है।

असतत गणित
असतत गणित, मोटे तौर पर बोलना परिमित गणितीय वस्तुओं का अध्ययन है।क्योंकि यहां अध्ययन की वस्तुएं असतत हैं, पथरी और गणितीय विश्लेषण के तरीके सीधे लागू नहीं होते हैं। एल्गोरिदम - विशेष रूप से उनके कार्यान्वयन और कम्प्यूटेशनल जटिलता - असतत गणित में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं।

असतत गणित में शामिल हैं:
 * कॉम्बीनेटरिक्स, गणितीय वस्तुओं की गणना करने की कला जो कुछ दी गई बाधाओं को पूरा करती है।मूल रूप से, ये ऑब्जेक्ट किसी दिए गए सेट के तत्व या सबसेट थे;इसे विभिन्न वस्तुओं तक बढ़ाया गया है, जो कॉम्बिनेटरिक्स और असतत गणित के अन्य भागों के बीच एक मजबूत लिंक स्थापित करता है।उदाहरण के लिए, असतत ज्यामिति में ज्यामितीय आकृतियों के गिनती विन्यास शामिल हैं
 * ग्राफ सिद्धांत और हाइपरग्राफ
 * कोडिंग सिद्धांत, जिसमें त्रुटि को सुधारने और क्रिप्टोग्राफी का एक हिस्सा शामिल है
 * मैट्रोइड थ्योरी
 * असतत ज्यामिति
 * असतत संभावना वितरण
 * गेम थ्योरी (हालांकि निरंतर खेलों का भी अध्ययन किया जाता है, सबसे आम खेल, जैसे कि शतरंज और पोकर असतत हैं)
 * असतत अनुकूलन, जिसमें कॉम्बिनेटरियल ऑप्टिमाइज़ेशन, पूर्णांक प्रोग्रामिंग, बाधा प्रोग्रामिंग शामिल हैं

चार रंग प्रमेय और इष्टतम क्षेत्र पैकिंग 20 वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में हल किए गए असतत गणित की दो प्रमुख समस्याएं थीं।पी बनाम एनपी समस्या, जो आज तक खुली रहती है, असतत गणित के लिए भी महत्वपूर्ण है, क्योंकि इसका समाधान इसका बहुत कुछ प्रभावित करेगा।

गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत
गणितीय तर्क और सेट सिद्धांत के दो विषय दोनों 19 वीं शताब्दी के अंत से गणित से संबंधित हैं। इस अवधि से पहले, सेटों को गणितीय वस्तुएं नहीं माना जाता था, और तर्क, हालांकि गणितीय प्रमाणों के लिए उपयोग किया जाता था, दर्शन से संबंधित था, और विशेष रूप से गणितज्ञों द्वारा अध्ययन नहीं किया गया था।

अनंत सेटों के कैंटर के अध्ययन से पहले, गणितज्ञ वास्तव में अनंत संग्रह पर विचार करने के लिए अनिच्छुक थे, और अनंत को अंतहीन गणना का परिणाम माना जाता था। कैंटर के काम ने कई गणितज्ञों को न केवल वास्तव में अनंत सेटों पर विचार करके, बल्कि यह दिखाते हुए कि यह अनंत के विभिन्न आकारों (कैंटर के विकर्ण तर्क देखें) और गणितीय वस्तुओं के अस्तित्व को दर्शाता है, जिनकी गणना नहीं की जा सकती है, या यहां तक ​​कि स्पष्ट रूप से वर्णित है (उदाहरण के लिए, हामेल बेस तर्कसंगत संख्याओं पर वास्तविक संख्याओं की)। इसके कारण कैंटर के सिद्धांत पर विवाद हुआ। कैंटर के सेट सिद्धांत पर विवाद।

इसी अवधि में, गणित के विभिन्न क्षेत्रों ने निष्कर्ष निकाला कि मूल गणितीय वस्तुओं की पूर्व सहज ज्ञान युक्त परिभाषाएँ गणितीय कठोरता सुनिश्चित करने के लिए अपर्याप्त थीं। इस तरह की सहजतापूर्ण परिभाषाओं के उदाहरण एक सेट हैं, वस्तुओं का एक संग्रह है, प्राकृतिक संख्या का उपयोग गिनती के लिए किया जाता है, एक बिंदु हर दिशा में एक शून्य लंबाई के साथ एक आकार है, एक वक्र एक चलती बिंदु द्वारा छोड़ दिया गया एक ट्रेस है, आदि।

यह गणित का मूलभूत संकट बन गया। यह अंततः मुख्यधारा के गणित में एक Zermelo -Fraenkel सेट सिद्धांत के अंदर स्वयंसिद्ध विधि को व्यवस्थित करके हल किया गया था। औपचारिक सेट सिद्धांत। मोटे तौर पर, प्रत्येक गणितीय वस्तु को सभी समान वस्तुओं और उन गुणों के सेट द्वारा परिभाषित किया जाता है जो इन वस्तुओं के पास होना चाहिए। उदाहरण के लिए, पीनो अंकगणित में, प्राकृतिक संख्याओं को शून्य द्वारा परिभाषित किया गया है, एक संख्या है, प्रत्येक संख्या एक अद्वितीय उत्तराधिकारी के रूप में, प्रत्येक संख्या लेकिन शून्य में एक अद्वितीय पूर्ववर्ती है, और तर्क के कुछ नियम हैं। इस तरह से परिभाषित वस्तुओं की प्रकृति एक दार्शनिक समस्या है जिसे गणितज्ञ दार्शनिकों को छोड़ देते हैं, भले ही कई गणितज्ञों ने इस प्रकृति पर राय दी हो, और उनकी राय का उपयोग करें - कभी -कभी अंतर्ज्ञान नामक अपने अध्ययन और प्रमाणों का मार्गदर्शन करें।

यह दृष्टिकोण लॉजिक्स (यानी, अनुमत नियमों के सेट), प्रमेय, प्रमाण आदि को गणितीय वस्तुओं के रूप में, और उनके बारे में प्रमेय साबित करने के लिए अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, गोडेल की अपूर्णता प्रमेय दावा करते हैं, मोटे तौर पर यह बोलते हैं कि, हर सिद्धांत में जिसमें प्राकृतिक संख्याएं होती हैं, ऐसे प्रमेय हैं जो सत्य हैं (जो एक बड़े सिद्धांत में साबित होता है), लेकिन सिद्धांत के अंदर साबित नहीं होता है।

गणित की नींव के इस दृष्टिकोण को 20 वीं शताब्दी की पहली छमाही के दौरान गणितज्ञों द्वारा एल। ई। जे। ब्रूवर के नेतृत्व में चुनौती दी गई थी।

इन समस्याओं और बहसों ने गणितीय तर्क का एक विस्तृत विस्तार किया, जैसे कि मॉडल सिद्धांत (अन्य सिद्धांतों के अंदर कुछ तार्किक सिद्धांतों की मॉडलिंग), प्रूफ थ्योरी, टाइप थ्योरी, कम्प्यूटिबिलिटी थ्योरी और कम्प्यूटेशनल कॉम्प्लेक्सिटी थ्योरी। यद्यपि गणितीय तर्क के इन पहलुओं को कंप्यूटर के उदय से पहले पेश किया गया था, संकलक डिजाइन, कार्यक्रम प्रमाणन, प्रूफ सहायकों और कंप्यूटर विज्ञान के अन्य पहलुओं में उनके उपयोग ने इन तार्किक सिद्धांतों के विस्तार में योगदान दिया।

एप्लाइड गणित
एप्लाइड गणित विज्ञान, इंजीनियरिंग, व्यवसाय और उद्योग में उपयोग किए जाने वाले गणितीय तरीकों का अध्ययन है।इस प्रकार, लागू गणित विशेष ज्ञान के साथ एक गणितीय विज्ञान है।एप्लाइड गणित शब्द भी पेशेवर विशेषता का वर्णन करता है जिसमें गणितज्ञ व्यावहारिक समस्याओं पर काम करते हैं;व्यावहारिक समस्याओं पर ध्यान केंद्रित करने वाले पेशे के रूप में, एप्लाइड गणित गणित मॉडल के सूत्रीकरण, अध्ययन और उपयोग पर केंद्रित है। अतीत में, व्यावहारिक अनुप्रयोगों ने गणितीय सिद्धांतों के विकास को प्रेरित किया है, जो तब शुद्ध गणित में अध्ययन का विषय बन गया है, जहां गणित को मुख्य रूप से अपने स्वयं के लिए विकसित किया जाता है।इस प्रकार, लागू गणित की गतिविधि शुद्ध गणित में अनुसंधान के साथ जुड़ी हुई है।

सांख्यिकी और अन्य निर्णय विज्ञान
एप्लाइड गणित में आंकड़ों के अनुशासन के साथ महत्वपूर्ण ओवरलैप है, जिसका सिद्धांत गणितीय रूप से तैयार किया गया है, विशेष रूप से संभाव्यता सिद्धांत। सांख्यिकीविद् (एक शोध परियोजना के हिस्से के रूप में काम करना) डेटा बनाते हैं जो यादृच्छिक नमूने के साथ और यादृच्छिक प्रयोगों के साथ समझ में आता है; एक सांख्यिकीय नमूने या प्रयोग का डिज़ाइन डेटा के विश्लेषण को निर्दिष्ट करता है (डेटा उपलब्ध होने से पहले)।जब प्रयोगों और नमूनों से डेटा पर पुनर्विचार किया जाता है या अवलोकन संबंधी अध्ययन से डेटा का विश्लेषण करते समय, सांख्यिकीविद मॉडलिंग की कला और अनुमान के सिद्धांत का उपयोग करके डेटा की समझ बनाते हैं - मॉडल चयन और अनुमान के साथ;अनुमानित मॉडल और परिणामी भविष्यवाणियों को नए डेटा पर परीक्षण किया जाना चाहिए। सांख्यिकीय सिद्धांत एक सांख्यिकीय कार्रवाई के जोखिम (अपेक्षित हानि) को कम करने जैसे निर्णय की समस्याओं का अध्ययन करता है, जैसे कि एक प्रक्रिया का उपयोग करना, उदाहरण के लिए, पैरामीटर अनुमान, परिकल्पना परीक्षण, और सबसे अच्छा चयन करना।गणितीय आँकड़ों के इन पारंपरिक क्षेत्रों में, एक सांख्यिकीय-निर्णय समस्या एक उद्देश्य समारोह को कम करके तैयार की जाती है, जैसे कि अपेक्षित हानि या लागत, विशिष्ट बाधाओं के तहत: उदाहरण के लिए, एक सर्वेक्षण को डिजाइन करना अक्सर किसी दिए गए के साथ जनसंख्या का अनुमान लगाने की लागत को कम करना शामिल होता है।आत्मविश्वास का स्तर। अनुकूलन के अपने उपयोग के कारण, सांख्यिकी का गणितीय सिद्धांत अन्य निर्णय विज्ञानों के साथ ओवरलैप करता है, जैसे कि संचालन अनुसंधान, नियंत्रण सिद्धांत और गणितीय अर्थशास्त्र।

कम्प्यूटेशनल गणित
कम्प्यूटेशनल गणित गणितीय समस्याओं का अध्ययन है जो आमतौर पर मानव संख्यात्मक क्षमता के लिए बहुत बड़े होते हैं।संख्यात्मक विश्लेषण और सन्निकटन सिद्धांत का उपयोग करके विश्लेषण में समस्याओं के लिए संख्यात्मक विश्लेषण अध्ययन;संख्यात्मक विश्लेषण में मोटे तौर पर राउंडिंग त्रुटियों पर विशेष ध्यान देने के साथ सन्निकटन और विवेकाधिकार का अध्ययन शामिल है।संख्यात्मक विश्लेषण और, अधिक व्यापक रूप से, वैज्ञानिक कंप्यूटिंग गणितीय विज्ञान के गैर-विश्लेषणात्मक विषयों का भी अध्ययन करता है, विशेष रूप से एल्गोरिथम-मैट्रिक्स-एंड-ग्राफ सिद्धांत।कम्प्यूटेशनल गणित के अन्य क्षेत्रों में कंप्यूटर बीजगणित और प्रतीकात्मक संगणना शामिल हैं।

इतिहास
गणित का इतिहास सार की एक बढ़ती श्रृंखला है।विकासशील रूप से, पहले की खोज की जाने वाली पहली अमूर्त, एक कई जानवरों द्वारा साझा की गई, शायद संख्याओं की थी: यह अहसास, कि उदाहरण के लिए, दो सेबों का एक संग्रह और दो संतरों का एक संग्रह (कहते हैं) में कुछ आम है, अर्थात् उनमें से दो हैं।जैसा कि भौतिक वस्तुओं की गिनती करने के तरीके को पहचानने के अलावा, हड्डी पर पाए जाने वाले लम्बे लोगों द्वारा स्पष्ट किया गया है, प्रागैतिहासिक लोगों को यह भी पता हो सकता है कि समय -समय, मौसम या वर्षों की तरह अमूर्त मात्रा की गणना कैसे करें। अधिक जटिल गणित के लिए साक्ष्य लगभग 3000 & nbsp तक प्रकट नहीं होता है;BC, जब बेबीलोनियों और मिस्रियों ने कराधान और अन्य वित्तीय गणनाओं के लिए, निर्माण और निर्माण के लिए, और खगोल विज्ञान के लिए अंकगणित, बीजगणित और ज्यामिति का उपयोग करना शुरू किया। मेसोपोटामिया और मिस्र के सबसे पुराने गणितीय ग्रंथ 2000 से 1800 & nbsp; bc तक हैं।कई शुरुआती ग्रंथों में पाइथागोरियन ट्रिपल्स का उल्लेख किया गया है और इसलिए, अनुमान द्वारा, पाइथागोरियन प्रमेय बुनियादी अंकगणित और ज्यामिति के बाद सबसे प्राचीन और व्यापक गणितीय अवधारणा लगता है।यह बेबीलोन के गणित में है कि प्राथमिक अंकगणित (इसके अलावा, घटाव, गुणा और विभाजन) पहले पुरातात्विक रिकॉर्ड में दिखाई देते हैं।बेबीलोनियों के पास एक स्थान-मूल्य प्रणाली भी थी और एक सेक्सजैमिमल अंक प्रणाली का उपयोग किया गया था जो कोण और समय को मापने के लिए आज भी उपयोग में है। पाइथागोरस के साथ 6 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में शुरू हुआ, ग्रीक गणित के साथ प्राचीन यूनानियों ने अपने आप में एक विषय के रूप में गणित का एक व्यवस्थित अध्ययन शुरू किया। लगभग 300 ईसा पूर्व, यूक्लिड ने आज भी गणित में उपयोग की जाने वाली स्वयंसिद्ध विधि पेश की, जिसमें परिभाषा, स्वयंसिद्ध, प्रमेय और प्रमाण शामिल हैं।उनकी पुस्तक, यूक्लिड के तत्व | तत्व, व्यापक रूप से सभी समय की सबसे सफल और प्रभावशाली पाठ्यपुस्तक माना जाता है। पुरातनता का सबसे बड़ा गणितज्ञ अक्सर सिरैक्यूज़, इटली के आर्किमिडीज (सी। 287–212 ईसा पूर्व) के रूप में आयोजित किया जाता है। सिरैक्यूज़। उन्होंने क्रांति के ठोस पदार्थों की सतह के क्षेत्र और मात्रा की गणना के लिए सूत्र विकसित किए और एक अनंत श्रृंखला के योग के साथ एक परबोला के चाप के तहत क्षेत्र की गणना करने के लिए थकावट की विधि का उपयोग किया, एक तरह से आधुनिक पथरी से बहुत असंतुष्ट नहीं है। ग्रीक गणित की अन्य उल्लेखनीय उपलब्धियां शंकु वर्गों (पेर्गा के अपोलोनियस, तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व) हैं, त्रिकोणमिति (Nicaea के हिप्पार्कस, दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व), और बीजगणित की शुरुआत (डायोफेंटस, तीसरी शताब्दी ईस्वी)। हिंदू -अरबिक अंक प्रणाली और इसके संचालन के उपयोग के लिए नियम, आज दुनिया भर में उपयोग में, भारत में पहली सहस्राब्दी विज्ञापन के दौरान विकसित हुए और इस्लामी गणित के माध्यम से पश्चिमी दुनिया में प्रेषित किए गए।भारतीय गणित के अन्य उल्लेखनीय विकासों में साइन और कोसाइन की आधुनिक परिभाषा और सन्निकटन और अनंत श्रृंखला का एक प्रारंभिक रूप शामिल है। इस्लाम के स्वर्ण युग के दौरान, विशेष रूप से 9 वीं और 10 वीं & nbsp के दौरान;इस्लामी गणित की सबसे उल्लेखनीय उपलब्धि बीजगणित का विकास था।इस्लामी अवधि की अन्य उपलब्धियों में गोलाकार त्रिकोणमिति में अग्रिम और अरबी अंक प्रणाली के दशमलव बिंदु के अलावा शामिल हैं। इस अवधि के कई उल्लेखनीय गणितज्ञ फ़ारसी थे, जैसे कि मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज़्मी | अल-ख्वारिज्मी, उमर खय्याम और शराफ अल-दीन अल-ṭsिजी।

शुरुआती आधुनिक काल के दौरान, पश्चिमी यूरोप में एक त्वरित गति से गणित का विकास शुरू हुआ। 17 वीं शताब्दी में इसहाक न्यूटन और गॉटफ्रीड लिबनिज़ द्वारा कैलकुलस के विकास ने गणित में क्रांति ला दी। लियोनहार्ड यूलर 18 वीं शताब्दी के सबसे उल्लेखनीय गणितज्ञ थे, जो कई प्रमेयों और खोजों का योगदान देते थे। शायद 19 वीं शताब्दी के सबसे महत्वपूर्ण गणितज्ञ जर्मन गणितज्ञ कार्ल गॉस थे, जिन्होंने बीजगणित, विश्लेषण, अंतर ज्यामिति, मैट्रिक्स सिद्धांत, संख्या सिद्धांत और सांख्यिकी जैसे क्षेत्रों में कई योगदान दिया। 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, कर्ट गोडेल ने अपने गोडेल की अपूर्णता प्रमेय प्रकाशित करके गणित को बदल दिया। अपूर्णता प्रमेय, जो इस भाग में दिखाते हैं कि कोई भी सुसंगत स्वयंसिद्ध प्रणाली - जो कि अंकगणित का वर्णन करने के लिए पर्याप्त शक्तिशाली है - इसमें सच्चे प्रस्ताव शामिल हैं जो साबित नहीं किए जा सकते हैं।

गणित तब से बहुत बढ़ा दिया गया है, और दोनों के लाभ के लिए गणित और विज्ञान के बीच एक फलदायी बातचीत हुई है। गणितीय खोजों को बहुत दिन तक जारी रखा जाता है। मिखाइल बी। सेव्रीुक के अनुसार, जनवरी और एनबीएसपी में, 2006 में अमेरिकी गणितीय सोसायटी के बुलेटिन का अंक, 1940 के बाद से गणितीय समीक्षा डेटाबेस में शामिल कागजात और पुस्तकों की संख्या (एमआर के संचालन का पहला वर्ष) अब 1.9 से अधिक है। & nbsp; मिलियन, और 75 से अधिक & nbsp; हजार आइटम प्रत्येक वर्ष डेटाबेस में जोड़े जाते हैं। इस महासागर में अधिकांश कार्यों में नए गणितीय प्रमेय और उनके प्रमाण शामिल हैं।

व्युत्पत्ति
गणित शब्द प्राचीन ग्रीक मथम से आता है (लेबल = कोई नहीं), जिसका अर्थ है कि जो सीखा है, किसी को क्या पता है, इसलिए अध्ययन और विज्ञान भी।गणित के लिए शब्द शास्त्रीय समय में भी संकीर्ण और अधिक तकनीकी अर्थ गणितीय अध्ययन था। इसका विशेषण Mathēmatikós है (μαθηματικός), सीखने या अध्ययनशील से संबंधित अर्थ, जो आगे भी गणितीय का अर्थ था।विशेष रूप से, Mathēmatikḗ tékhnē (μαθηματικὴ τέχνη; ars mathematica) गणितीय कला का मतलब था।

इसी तरह, पाइथागोरसिज़्म में विचार के दो मुख्य स्कूलों में से एक को मैथमैटिकोई (μαθηματικοί) के रूप में जाना जाता था, जो उस समय आधुनिक अर्थों में गणितज्ञों के बजाय शिक्षार्थियों का मतलब था।

लैटिन में, और अंग्रेजी में लगभग 1700 तक, गणित शब्द का अर्थ आमतौर पर गणित के बजाय ज्योतिष (या कभी -कभी खगोल विज्ञान) होता है;अर्थ धीरे -धीरे लगभग 1500 से 1800 तक अपने वर्तमान में बदल गया। इसके परिणामस्वरूप कई गलतियाँ हुईं।उदाहरण के लिए, सेंट ऑगस्टीन की चेतावनी कि ईसाइयों को गणितज्ञ से सावधान रहना चाहिए, जिसका अर्थ है ज्योतिषी, कभी -कभी गणितज्ञों की निंदा के रूप में गलत तरीके से किया जाता है। फ्रांसीसी बहुवचन रूप की तरह अंग्रेजी में स्पष्ट बहुवचन रूपles mathématiques (और कम आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले विलक्षण व्युत्पन्न la mathématique), लैटिन न्यूटर बहुवचन में वापस चला जाता है mathematica (Cikero), Mathēmatiká के लिए ग्रीक बहुवचन पर आधारित है (τὰ μαθηματικά), अरस्तू द्वारा उपयोग किया जाता है (384–322 & nbsp; bc), और जिसका अर्थ है कि लगभग सभी चीजें गणितीय हैं, हालांकि यह प्रशंसनीय है कि अंग्रेजी ने केवल विशेषण गणितिक (अल) को उधार लिया और संज्ञा गणित का गठन किया, जो भौतिकी और तत्वमीमांसा के पैटर्न के बाद, जोग्रीक से विरासत में मिले थे। अंग्रेजी में, संज्ञा गणित एक विलक्षण क्रिया लेती है।यह अक्सर गणित के लिए या उत्तरी अमेरिका, गणित में छोटा किया जाता है।

प्रस्तावित परिभाषाएँ
गणित की सटीक परिभाषा या महामारी विज्ञान की स्थिति के बारे में कोई आम सहमति नहीं है। एक महान कई पेशेवर गणितज्ञ गणित की परिभाषा में कोई दिलचस्पी नहीं लेते हैं, या इसे अपरिहार्य मानते हैं। इस बात पर भी सहमति नहीं है कि गणित एक कला या विज्ञान है या नहीं। कुछ लोग सिर्फ यह कहते हैं, गणित, गणितज्ञ क्या करते हैं।

अरस्तू ने गणित को मात्रा के विज्ञान के रूप में परिभाषित किया और यह परिभाषा 18 वीं शताब्दी तक प्रबल रही।हालांकि, अरस्तू ने यह भी नोट किया कि अकेले मात्रा पर ध्यान केंद्रित किया जा सकता है, जो गणित को भौतिकी जैसे विज्ञान से अलग नहीं कर सकता है;उनके विचार में, वास्तविक उदाहरणों से विचार में अलग -अलग संपत्ति के रूप में अमूर्तता और अध्ययन की मात्रा गणित को अलग करती है। 19 वीं शताब्दी में, जब गणित के अध्ययन में कठोरता में वृद्धि हुई और समूह सिद्धांत और प्रक्षेप्य ज्यामिति जैसे अमूर्त विषयों को संबोधित करना शुरू किया, जिनका मात्रा और माप के लिए कोई स्पष्ट संबंध नहीं है, गणितज्ञों और दार्शनिकों ने विभिन्न प्रकार की नई परिभाषाओं का प्रस्ताव करना शुरू किया।। आज तक, दार्शनिक गणित के दर्शन में सवालों से निपटना जारी रखते हैं, जैसे कि गणितीय प्रमाण की प्रकृति।

तार्किक तर्क
गणितज्ञ गलत प्रमेय से बचने के लिए व्यवस्थित तर्क के साथ अपने परिणाम विकसित करने का प्रयास करते हैं। ये झूठे प्रमाण अक्सर गिरने योग्य अंतर्ज्ञान से उत्पन्न होते हैं और गणित के इतिहास में आम रहे हैं। डिडक्टिव तर्क की अनुमति देने के लिए, कुछ बुनियादी मान्यताओं को स्पष्ट रूप से स्वयंसिद्ध के रूप में भर्ती करने की आवश्यकता है। परंपरागत रूप से, इन स्वयंसिद्धों को सामान्य ज्ञान के आधार पर चुना गया था, लेकिन आधुनिक स्वयंसिद्ध आमतौर पर आदिम धारणाओं के लिए औपचारिक गारंटी व्यक्त करते हैं, जैसे कि सरल वस्तुओं और संबंधों।

गणितीय प्रमाण की वैधता मौलिक रूप से कठोरता का मामला है, और गलतफहमी कठोरता गणित के बारे में कुछ सामान्य गलत धारणाओं के लिए एक उल्लेखनीय कारण है। गणितीय भाषा रोजमर्रा के भाषण की तुलना में सामान्य शब्दों जैसे या केवल और केवल सटीकता दे सकती है। अन्य शब्दों जैसे कि खुले और क्षेत्र को विशिष्ट गणितीय अवधारणाओं के लिए नए अर्थ दिए जाते हैं। कभी -कभी, गणितज्ञ भी पूरी तरह से नए शब्दों (जैसे होमोमोर्फिज्म) को सिकोड़ते हैं। यह तकनीकी शब्दावली सटीक और कॉम्पैक्ट दोनों है, जिससे मानसिक रूप से जटिल विचारों को संसाधित करना संभव है। गणितज्ञ भाषा और तर्क की इस सटीकता को कठोरता के रूप में संदर्भित करते हैं।

गणित में अपेक्षित कठोरता समय के साथ अलग -अलग है: प्राचीन यूनानियों ने विस्तृत तर्कों की अपेक्षा की है, लेकिन इसहाक न्यूटन के समय में, नियोजित तरीके कम कठोर थे (गणित की एक अलग अवधारणा के कारण नहीं, बल्कि गणितीय तरीकों की कमी के कारण जो कि गणितीय तरीकों की कमी के कारण हैं। कठोरता तक पहुंचने के लिए आवश्यक)। न्यूटन के दृष्टिकोण में निहित समस्याएं केवल 19 वीं शताब्दी के दूसरे भाग में हल की गई थीं, वास्तविक संख्या, सीमा और अभिन्न की औपचारिक परिभाषाओं के साथ। बाद में 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में, बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड अपने प्रिंसिपिया मैथमेटिका को प्रकाशित करेंगे, यह दिखाने का प्रयास कि सभी गणितीय अवधारणाओं और बयानों को परिभाषित किया जा सकता है, फिर पूरी तरह से प्रतीकात्मक तर्क के माध्यम से साबित हुआ। यह एक व्यापक दार्शनिक कार्यक्रम का हिस्सा था जिसे लॉजिकिज्म के रूप में जाना जाता है, जो गणित को मुख्य रूप से तर्क के विस्तार के रूप में देखता है।

गणित की मान्यता के बावजूद, कई प्रमाणों को व्यक्त करने के लिए सैकड़ों पृष्ठों की आवश्यकता होती है। कंप्यूटर-सहायता प्राप्त प्रमाणों के उद्भव ने प्रूफ लंबाई को और विस्तार करने की अनुमति दी है। यदि साबित करने वाले सॉफ़्टवेयर में खामियां हैं और यदि वे लंबे हैं, तो जांच करना मुश्किल है। दूसरी ओर, प्रूफ असिस्टेंट उन विवरणों के सत्यापन के लिए अनुमति देते हैं जो हाथ से लिखे गए प्रमाण में नहीं दिए जा सकते हैं, और 255-पृष्ठ Feit-Thompson प्रमेय जैसे लंबे प्रमाणों की शुद्धता की निश्चितता प्रदान करते हैं।

प्रतीकात्मक संकेतन
विशेष भाषा के अलावा, समकालीन गणित विशेष संकेतन का भारी उपयोग करता है।ये प्रतीक भी कठोरता में योगदान करते हैं, दोनों गणितीय विचारों की अभिव्यक्ति को सरल बनाकर और लगातार नियमों का पालन करने वाले नियमित संचालन की अनुमति देते हैं।आधुनिक संकेतन गणित को निपुण के लिए अधिक कुशल बनाता है, हालांकि शुरुआती लोग इसे चुनौती दे सकते हैं।

विशेष रूप से लियोनहार्ड यूलर (1707-1783) द्वारा कई योगदानों के साथ, 15 वीं शताब्दी के बाद आज के अधिकांश गणितीय संकेतन का आविष्कार किया गया था। तब से पहले, गणितीय तर्क आमतौर पर शब्दों में लिखे गए थे, गणितीय खोज को सीमित करते हुए। 19 वीं शताब्दी में शुरू, औपचारिकता के रूप में जाना जाने वाला एक स्कूल विकसित हुआ। एक औपचारिक व्यक्ति के लिए, गणित मुख्य रूप से उन्हें संयोजन के लिए प्रतीकों और नियमों की औपचारिक प्रणालियों के बारे में है। इस बिंदु-दृश्य से, यहां तक ​​कि स्वयंसिद्ध भी एक स्वयंसिद्ध प्रणाली में विशेषाधिकार प्राप्त सूत्र हैं, सिस्टम में अन्य तत्वों से प्रक्रियात्मक रूप से व्युत्पन्न किए बिना दिए गए हैं। औपचारिकता का एक अधिकतम उदाहरण 20 वीं शताब्दी की शुरुआत में डेविड हिल्बर्ट की कॉल थी, जिसे अक्सर हिल्बर्ट का कार्यक्रम कहा जाता था, ताकि इस तरह से सभी गणित को एनकोड किया जा सके।

कर्ट गोडेल ने साबित कर दिया कि यह लक्ष्य अपने गोडेल के अपूर्णता प्रमेय के साथ मौलिक रूप से असंभव था। अपूर्णता प्रमेय, जो किसी भी औपचारिक प्रणाली को दिखाती थी कि साधारण अंकगणित भी सिंपल अंकगणित का वर्णन करने के लिए अपनी पूर्णता या स्थिरता की गारंटी नहीं दे सकता है। बहरहाल, औपचारिक अवधारणाएं गणित को बहुत प्रभावित करती रहती हैं, बिंदु विवरणों को डिफ़ॉल्ट रूप से सेट-थ्योरिटिक फॉर्मूला में स्पष्ट होने की उम्मीद की जाती है। केवल बहुत असाधारण परिणाम एक स्वयंसिद्ध प्रणाली या किसी अन्य में फिटिंग के रूप में स्वीकार किए जाते हैं।

सार ज्ञान
व्यवहार में, गणितज्ञों को आमतौर पर वैज्ञानिकों के साथ समूहीकृत किया जाता है, और गणित भौतिक विज्ञान के साथ सामान्य रूप से बहुत कुछ साझा करता है, विशेष रूप से मान्यताओं से कटौतीत्मक तर्क।गणितज्ञ गणितीय परिकल्पनाओं का विकास करते हैं, जिन्हें अनुमान के रूप में जाना जाता है, अंतर्ज्ञान के साथ परीक्षण और त्रुटि का उपयोग करते हुए, वैज्ञानिकों के समान भी। सिमुलेशन जैसे प्रायोगिक गणित और कम्प्यूटेशनल तरीके भी गणित के भीतर महत्व में बढ़ते रहते हैं।

आज, सभी विज्ञान गणितज्ञों द्वारा अध्ययन की गई समस्याओं को जन्म देते हैं, और इसके विपरीत, गणित के परिणाम अक्सर विज्ञान में नए प्रश्न और अहसास का कारण बनते हैं।उदाहरण के लिए, भौतिक विज्ञानी रिचर्ड फेनमैन ने क्वांटम यांत्रिकी के पथ अभिन्न सूत्रीकरण का आविष्कार करने के लिए गणितीय तर्क और भौतिक अंतर्दृष्टि को संयुक्त किया।दूसरी ओर, स्ट्रिंग थ्योरी, आधुनिक भौतिकी के अधिकांश को एकजुट करने के लिए एक प्रस्तावित ढांचा है जिसने गणित में नई तकनीकों और परिणामों को प्रेरित किया है।

जर्मन गणितज्ञ कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने गणित को विज्ञान की रानी कहा, और हाल ही में, मार्कस डू सौतॉय ने गणित को वैज्ञानिक खोज के पीछे मुख्य ड्राइविंग बल के रूप में वर्णित किया है। हालांकि, कुछ लेखक इस बात पर जोर देते हैं कि गणित विज्ञान की आधुनिक धारणा से एक प्रमुख तरीके से भिन्न होता है: यह अनुभवजन्य साक्ष्य पर भरोसा नहीं करता है। वैज्ञानिक क्रांति के बाद से गणितीय ज्ञान ने दायरे में विस्फोट किया है, और अध्ययन के अन्य क्षेत्रों के साथ, इसने विशेषज्ञता को संचालित किया है।2010 तक, अमेरिकन मैथमेटिकल सोसाइटी का नवीनतम गणित विषय वर्गीकरण सैकड़ों उपक्षेत्रों को मान्यता देता है, जिसमें पूर्ण वर्गीकरण 46 पृष्ठों तक पहुंच जाता है। आमतौर पर, एक सबफील्ड में कई अवधारणाएं गणित की अन्य शाखाओं से अनिश्चित काल तक अलग -थलग रह सकती हैं; परिणाम मुख्य रूप से अन्य प्रमेयों और तकनीकों का समर्थन करने के लिए मचान के रूप में काम कर सकते हैं, या उनके पास सबफील्ड के बाहर किसी भी चीज़ से स्पष्ट संबंध नहीं हो सकता है।

गणित हालांकि विकसित होने के लिए एक उल्लेखनीय प्रवृत्ति दिखाता है, और समय में, गणितज्ञ अक्सर अवधारणाओं के बीच आश्चर्यजनक अनुप्रयोगों या लिंक की खोज करते हैं। इसका एक बहुत ही प्रभावशाली उदाहरण फेलिक्स क्लेन का एर्लेंजेन कार्यक्रम था, जिसने ज्यामिति और बीजगणित के बीच अभिनव और गहन संबंध स्थापित किए। यह बदले में दोनों क्षेत्रों को अधिक से अधिक अमूर्तता के लिए खोल दिया और पूरी तरह से नए उपक्षेत्रों को जन्म दिया।

एक अंतर अक्सर लागू गणित और गणित के बीच किया जाता है जो पूरी तरह से अमूर्त प्रश्नों और अवधारणाओं की ओर उन्मुख होता है, जिसे शुद्ध गणित के रूप में जाना जाता है। गणित के अन्य प्रभागों के साथ, हालांकि, सीमा तरल है। विचार जो शुरू में एक विशिष्ट अनुप्रयोग को ध्यान में रखते हुए विकसित होते हैं, अक्सर बाद में सामान्यीकृत होते हैं, इसके बाद गणितीय अवधारणाओं के सामान्य स्टॉक में शामिल होते हैं। लागू गणित के कई क्षेत्रों में भी व्यावहारिक क्षेत्रों के साथ विलय कर दिया गया है, जो अपने आप में अनुशासन बन गए हैं, जैसे कि सांख्यिकी, संचालन अनुसंधान और कंप्यूटर विज्ञान।

शायद और भी अधिक आश्चर्य की बात है जब विचार दूसरी दिशा में बहते हैं, और यहां तक ​​कि शुद्धतम गणित भी अप्रत्याशित भविष्यवाणियों या अनुप्रयोगों को जन्म देता है। उदाहरण के लिए, नंबर सिद्धांत आधुनिक क्रिप्टोग्राफी में एक केंद्रीय स्थान पर है, और भौतिकी में, मैक्सवेल के समीकरणों से व्युत्पन्न रेडियो तरंगों के प्रयोगात्मक साक्ष्य और प्रकाश की गति की निरंतरता को पूर्व निर्धारित किया गया है। भौतिक विज्ञानी यूजीन विग्नर ने इस घटना को गणित की अनुचित प्रभावशीलता का नाम दिया है। अमूर्त गणित और भौतिक वास्तविकता के बीच अनजाने संबंध ने कम से कम पाइथागोरस के समय से दार्शनिक बहस का नेतृत्व किया है।प्राचीन दार्शनिक प्लेटो ने तर्क दिया कि यह संभव था क्योंकि भौतिक वास्तविकता अमूर्त वस्तुओं को दर्शाती है जो समय से बाहर मौजूद हैं।नतीजतन, गणितीय वस्तुएं किसी भी तरह से अमूर्तता में मौजूद हैं, अक्सर इसे प्लैटोनिज्म के रूप में संदर्भित किया जाता है।जबकि अधिकांश गणितज्ञ आमतौर पर प्लैटोनिज्म द्वारा उठाए गए सवालों के साथ खुद को चिंता नहीं करते हैं, कुछ और दार्शनिक रूप से दिमाग वाले लोग समकालीन समय में भी प्लैटोनिस्ट के रूप में पहचान करते हैं।

रचनात्मकता और अंतर्ज्ञान
शुद्धता और कठोरता की आवश्यकता का मतलब यह नहीं है कि गणित की रचनात्मकता के लिए कोई जगह नहीं है।इसके विपरीत, रोटे की गणना से परे अधिकांश गणितीय काम के लिए चतुर समस्या-समाधान की आवश्यकता होती है और उपन्यास के दृष्टिकोण को सहजता से खोजने की आवश्यकता होती है।

गणितीय रूप से झुकाव अक्सर गणित में न केवल रचनात्मकता को देखता है, बल्कि एक सौंदर्य मूल्य भी है, जिसे आमतौर पर लालित्य के रूप में वर्णित किया जाता है।सादगी, समरूपता, पूर्णता और सामान्यता जैसे गुण विशेष रूप से प्रमाण और तकनीकों में मूल्यवान हैं।एक गणितज्ञ की माफी में जी। एच। हार्डी ने यह विश्वास व्यक्त किया कि ये सौंदर्य विचार, अपने आप में, शुद्ध गणित के अध्ययन को सही ठहराने के लिए पर्याप्त हैं।उन्होंने अन्य मानदंडों जैसे कि महत्व, अप्रत्याशितता और अनिवार्यता की भी पहचान की, जो गणितीय सौंदर्य में योगदान करते हैं। पॉल एर्ड्स ने इस भावना को पुस्तक की बात करके अधिक विडंबनापूर्ण रूप से व्यक्त किया, जो सबसे सुंदर प्रमाणों का एक दिव्य संग्रह है।1998 की पुस्तक के प्रमाण, एर्ड्स से प्रेरित पुस्तक से, विशेष रूप से रसीला और रहस्योद्घाटन गणितीय तर्कों का एक संग्रह है।विशेष रूप से सुरुचिपूर्ण परिणामों के कुछ उदाहरण यूक्लिड के प्रमाण हैं कि असीम रूप से कई प्रमुख संख्याएं हैं और हार्मोनिक विश्लेषण के लिए फास्ट फूरियर रूपांतरण हैं।

कुछ लोगों को लगता है कि गणित पर विचार करने के लिए एक विज्ञान सात पारंपरिक उदार कलाओं में अपनी कलात्मकता और इतिहास को कम करना है। दृष्टिकोण का यह अंतर एक तरह से दार्शनिक बहस में है कि क्या गणितीय परिणाम (कला में) या खोजे गए हैं (जैसा कि विज्ञान में)। मनोरंजक गणित की लोकप्रियता गणितीय प्रश्नों को हल करने में कई लोगों को खुशी का एक और संकेत है।

20 वीं शताब्दी में, गणितज्ञ एल। ई। जे। ब्रूवर ने भी एक दार्शनिक परिप्रेक्ष्य की शुरुआत की, जिसे अंतर्ज्ञानवाद के रूप में जाना जाता है, जो मुख्य रूप से मन में कुछ रचनात्मक प्रक्रियाओं के साथ गणित की पहचान करता है। अंतर्ज्ञानवाद एक रुख के एक स्वाद के बदले में होता है, जिसे कंस्ट्रक्टिविज्म के रूप में जाना जाता है, जो केवल एक गणितीय वस्तु को मान्य मानता है यदि इसका सीधे निर्माण किया जा सकता है, न कि केवल अप्रत्यक्ष रूप से तर्क द्वारा गारंटी दी जाती है।यह प्रतिबद्ध रचनाकारों को कुछ परिणामों को अस्वीकार करने के लिए प्रेरित करता है, विशेष रूप से बहिष्कृत मध्य के कानून के आधार पर अस्तित्व के प्रमाण जैसे तर्क। अंत में, न तो रचनावाद और न ही अंतर्ज्ञानवाद ने शास्त्रीय गणित को विस्थापित किया या मुख्यधारा की स्वीकृति प्राप्त की।हालांकि, इन कार्यक्रमों ने विशिष्ट विकास को प्रेरित किया है, जैसे कि अंतर्ज्ञानवादी तर्क और अन्य मूलभूत अंतर्दृष्टि, जो अपने आप में सराहना की जाती हैं।

समाज में
गणित में सांस्कृतिक सीमाओं और समय अवधि को पार करने की एक उल्लेखनीय क्षमता है।एक मानवीय गतिविधि के रूप में, गणित के अभ्यास में एक सामाजिक पक्ष होता है, जिसमें शिक्षा, करियर, मान्यता, लोकप्रियकरण, और इसी तरह शामिल हैं।

पुरस्कार और पुरस्कार समस्याएं
गणित में सबसे प्रतिष्ठित पुरस्कार फील्ड्स मेडल है, 1936 में स्थापित किया गया और हर चार साल (द्वितीय विश्व युद्ध के अलावा) को चार व्यक्तियों को सम्मानित किया गया। इसे नोबेल पुरस्कार के गणितीय समकक्ष माना जाता है।

अन्य प्रतिष्ठित गणित पुरस्कारों में शामिल हैं: हिल्बर्ट की समस्याओं नामक 23 खुली समस्याओं की एक प्रसिद्ध सूची, 1900 में जर्मन गणितज्ञ डेविड हिल्बर्ट द्वारा संकलित की गई थी। <रेफ नाम =: 0> इस सूची ने गणितज्ञों के बीच महान सेलिब्रिटी हासिल की है ref>, और, 2022 के रूप में, समस्याओं में से कम से कम तेरह (कुछ की व्याख्या कैसे की जाती है) को हल किया गया है। <रेफ नाम =: 0> मिलेनियम प्राइज़ प्रॉब्लम शीर्षक से सात महत्वपूर्ण समस्याओं की एक नई सूची, 2000 में प्रकाशित की गई थी। उनमें से केवल एक, रीमैन परिकल्पना, हिल्बर्ट की समस्याओं में से एक को डुप्लिकेट करता है।इनमें से किसी भी समस्या का समाधान 1 मिलियन डॉलर का इनाम देता है। आज तक, इन समस्याओं में से केवल एक, Poincaré अनुमान, हल किया गया है।
 * एबेल पुरस्कार, 2002 में स्थापित किया गया और पहली बार 2003 में सम्मानित किया गया
 * लाइफटाइम अचीवमेंट के लिए चेर्न मेडल, 2009 में पेश किया गया और पहली बार 2010 में सम्मानित किया गया
 * गणित में भेड़िया पुरस्कार, भी आजीवन उपलब्धि के लिए, 1978 में स्थापित किया गया

यह भी देखें

 * गणित की रूपरेखा
 * गणित के विषयों की सूची
 * गणितीय शब्दजाल की सूची
 * गणित का दर्शन
 * गणित और भौतिकी के बीच संबंध
 * गणितीय विज्ञान
 * गणित और कला
 * गणित शिक्षा
 * विज्ञान, प्रौद्योगिकी, इंजीनियरिंग और गणित
 * गणितज्ञों की सूची

अग्रिम पठन

 * – A translated and expanded version of a Soviet mathematics encyclopedia, in ten volumes. Also in paperback and on CD-ROM, and online.
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