बैरीसेंट्रिक निर्देशांक प्रणाली

ज्यामिति में, एक बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली एक समन्वय प्रणाली है जिसमें एक बिंदु का स्थान एक सिंप्लेक्स (एक विमान में बिंदुओं के लिए एक त्रिकोण, त्रि-आयामी अंतरिक्ष में बिंदुओं के लिए एक टेट्राहेड्रॉन, आदि) के संदर्भ में निर्दिष्ट होता है। एक बिंदु के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक को सिम्प्लेक्स के शिखर पर रखे गए द्रव्यमान के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, जैसे कि बिंदु इन द्रव्यमानों के द्रव्यमान (या बेरिकेंटर) का केंद्र है। ये द्रव्यमान शून्य या ऋणात्मक हो सकते हैं; वे सभी सकारात्मक हैं अगर और केवल अगर बिंदु सिंप्लेक्स के अंदर है।

प्रत्येक बिंदु में बेरिकेंट्रिक निर्देशांक होते हैं, और उनका योग शून्य नहीं होता है। बैरीसेंट्रिक निर्देशांक के दो टुपल समान बिंदु निर्दिष्ट करते हैं यदि और केवल यदि वे आनुपातिक हैं; अर्थात्, यदि एक टपल को दूसरे टपल के तत्वों को उसी गैर-शून्य संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए, बैरीसेंट्रिक निर्देशांक को या तो शून्येतर स्थिरांक से गुणन तक परिभाषित माना जाता है, या एकता के योग के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक 1827 में अगस्त फर्डिनेंड मोबियस द्वारा पेश किए गए थे। वे विशेष समरूप निर्देशांक हैं। बैरीसेंट्रिक निर्देशांक कार्टेशियन निर्देशांक के साथ दृढ़ता से संबंधित हैं और अधिक आम तौर पर, निर्देशांक को जोड़ने के लिए ।

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक त्रिकोण ज्यामिति में विशेष रूप से उन गुणों का अध्ययन करने के लिए उपयोगी होते हैं जो त्रिभुज के कोणों पर निर्भर नहीं होते हैं, जैसे सेवा के प्रमेय, राउथ के प्रमेय और मेनेलॉस के प्रमेय। कंप्यूटर-एडेड डिज़ाइन में, वे कुछ प्रकार की बेज़ियर सतहों को परिभाषित करने के लिए उपयोगी होते हैं।

परिभाषा
माना $$A_0, \ldots, A_n$$ एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष में $n + 1$ पॉइंट हों, एक फ्लैट या एक एफाइन स्पेस $$\mathbf A$$ आयाम $n$ के जो आत्मीयता से स्वतंत्र हैं; इसका मतलब यह है कि आयाम $n$ का कोई एफ़िन सबस्पेस नहीं है जिसमें सभी बिंदु शामिल हैं, या समतुल्य रूप से अंक एक सिंप्लेक्स को परिभाषित करते हैं। किसी भी बिंदु $$P\in \mathbf A,$$ को देखते हुए स्केलर $$a_0, \ldots, a_n$$ हैं जो सभी शून्य नहीं हैं, जैसे कि
 * $$ ( a_0 + \cdots + a_n ) \overrightarrow{OP} = a_0 \overrightarrow {OA_0} + \cdots + a_n \overrightarrow {OA_n}, $$

किसी भी बिंदु $O$ के लिए, (सामान्य रूप से, संकेतन $$\overrightarrow {AB}$$ अनुवाद वेक्टर या मुक्त वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है जो बिंदु $A$ को बिंदु $B$ पर मैप करता है। )

$a(n + 1)$ ट्यूपल $$(a_0: \dotsc: a_n)$$ के तत्व जो इस समीकरण को संतुष्ट करते हैं $$A_0, \ldots, A_n.$$ के संबंध में $P$ के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक कहलाते हैं।} नोटेशन में कोलन का उपयोग ट्यूपल का अर्थ है कि बैरीसेंट्रिक निर्देशांक एक प्रकार के सजातीय निर्देशांक हैं, अर्थात, यदि सभी निर्देशांक समान अशून्य स्थिरांक से गुणा किए जाते हैं तो बिंदु नहीं बदला जाता है। इसके अलावा, यदि सहायक बिंदु $O$, मूल, को बदल दिया जाता है, तो बेरिकेंट्रिक निर्देशांक भी नहीं बदले जाते हैं।

एक बिंदु के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक स्केलिंग तक अद्वितीय होते हैं। यानी, दो tuples $$(a_0: \dotsc: a_n)$$ और $$(b_0: \dotsc: b_n)$$ एक ही बिंदु के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक हैं यदि और केवल यदि कोई शून्येतर अदिश है $$\lambda$$ ऐसा कि प्रत्येक $i$ के लिए $$b_i=\lambda a_i$$।

कुछ संदर्भों में, किसी बिंदु के बेरिकेंट्रिक निर्देशांक को अद्वितीय बनाना उपयोगी होता है। यह शर्त लगाने से प्राप्त होता है
 * $$\sum a_i = 1,$$
 * या समान रूप से प्रत्येक $$a_i$$ को सभी $$a_i.$$ के योग से विभाजित करके। इन विशिष्ट बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों को सामान्यीकृत या पूर्ण बैरीसेंट्रिक निर्देशांक कहा जाता है। कभी-कभी, उन्हें एफाइन निर्देशांक भी कहा जाता है, हालांकि यह शब्द आमतौर पर थोड़ी अलग अवधारणा को संदर्भित करता है।

कभी-कभी, यह सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक होते हैं जिन्हें बैरीसेंट्रिक निर्देशांक कहा जाता है। इस मामले में ऊपर परिभाषित निर्देशांक सजातीय बेरिकेंट्रिक निर्देशांक कहलाते हैं।

उपरोक्त अंकन के साथ, सजातीय बेरिकेंट्रिक निर्देशांक सूचकांक को छोड़कर सभी शून्य हैं. वास्तविक संख्याओं पर काम करते समय (उपरोक्त परिभाषा का उपयोग एक मनमाना क्षेत्र (गणित) पर एफ़िन रिक्त स्थान के लिए भी किया जाता है), जिन बिंदुओं के सभी सामान्यीकृत बेयरसेंट्रिक निर्देशांक गैर-ऋणात्मक होते हैं, वे उत्तल पतवार होते हैं वह सिंप्लेक्स है जिसके ये बिंदु उसके शीर्ष के रूप में हैं।

उपरोक्त संकेतन के साथ, $Ai$ के सजातीय बैरीसेंट्रिक निर्देशांक सभी शून्य हैं, सूचकांक $i$ के एक को छोड़कर। वास्तविक संख्याओं पर काम करते समय (उपर्युक्त परिभाषा का उपयोग किसी मनमाना क्षेत्र पर एफ़िन रिक्त स्थान के लिए भी किया जाता है), वे बिंदु जिनके सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक गैर-नकारात्मक होते हैं, $$\{A_0, \ldots, A_n\},$$ जो कि सिंप्लेक्स है जिसके शीर्ष पर ये बिंदु हैं

उपरोक्त संकेतन के साथ, एक ट्यूपल $$(a_1, \ldots, a_n)$$ ऐसा है कि
 * $$\sum_{i=0}^n a_i=0$$

किसी बिंदु को परिभाषित नहीं करता है, लेकिन वेक्टर
 * $$ a_0 \overrightarrow {OA_0} + \cdots + a_n \overrightarrow {OA_n}$$

मूल $O$ से स्वतंत्र है। चूंकि इस वेक्टर की दिशा नहीं बदली जाती है यदि सभी $$a_i$$ को एक ही स्केलर से गुणा किया जाता है, सजातीय टपल $$(a_0: \dotsc: a_n)$$ रेखाओं की एक दिशा को परिभाषित करता है, जो अनंत पर एक बिंदु है। अधिक जानकारी के लिए नीचे देखें।

कार्तीय या एफ़िन निर्देशांक के साथ संबंध
बैरीसेंट्रिक निर्देशांक कार्टेशियन निर्देशांक से दृढ़ता से संबंधित हैं और अधिक सामान्यतः, एफ़िन निर्देशांक। आयाम $n$ के एक स्थान के लिए, इन समन्वय प्रणालियों को एक बिंदु O, मूल, जिसके निर्देशांक शून्य हैं, और $n$ बिंदुओं के सापेक्ष परिभाषित किया गया है $$A_1, \ldots, A_n,$$ जिनके निर्देशांक शून्य हैं सिवाए इंडेक्स $i$ के जो कि एक के बराबर है।

एक बिंदु के निर्देशांक होते हैं
 * $$(x_1, \ldots, x_n)$$
 * इस तरह के एक समन्वय प्रणाली के लिए अगर और केवल अगर इसके सामान्यीकृत बेरिकेंट्रिक निर्देशांक हैं
 * $$(1-x_1-\cdots - x_n,x_1, \ldots, x_n)$$

अपेक्षाकृत बिंदुओं पर $$O, A_1, \ldots, A_n.$$

बेरिसेंट्रिक समन्वय प्रणाली का मुख्य लाभ $n + 1$ परिभाषित बिंदुओं के संबंध में सममित होना है। इसलिए वे अक्सर ऐसे गुणों का अध्ययन करने के लिए उपयोगी होते हैं जो $n + 1$ अंक के संबंध में सममित होते हैं। दूसरी ओर, दूरियों और कोणों को सामान्य बेरसेंट्रिक समन्वय प्रणालियों में व्यक्त करना मुश्किल होता है, और जब वे शामिल होते हैं, तो कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करना आम तौर पर आसान होता है।

प्रक्षेपी निर्देशांक के साथ संबंध
सजातीय बैरीसेंट्रिक निर्देशांक भी कुछ प्रक्षेपी निर्देशांक के साथ दृढ़ता से संबंधित हैं। हालाँकि, यह संबंध एफ़िन निर्देशांक के मामले की तुलना में अधिक सूक्ष्म है, और, स्पष्ट रूप से समझने के लिए, एफ़िन स्थान के प्रक्षेप्य पूर्णता की एक समन्वय-मुक्त परिभाषा और एक प्रोजेक्टिव फ्रेम की परिभाषा की आवश्यकता होती है।

आयाम $n$ के एक एफ़िन स्पेस का अनुमानित समापन उसी आयाम का एक प्रोजेक्टिव स्पेस है जिसमें एफ़िन स्पेस को हाइपरप्लेन के पूरक के रूप में शामिल किया गया है। प्रक्षेप्य समापन एक समरूपता तक अद्वितीय है। हाइपरप्लेन को हाइपरप्लेन इनफिनिटी कहा जाता है, और इसके बिंदु एफ़िन स्पेस के अनंत बिंदु हैं।

आयाम $n$ के प्रोजेक्टिव स्पेस को देखते हुए, प्रोजेक्टिव फ्रेम $n + 2$ पॉइंट्स का ऑर्डर किया गया सेट है जो एक ही हाइपरप्लेन में निहित नहीं है। एक प्रोजेक्टिव फ्रेम एक प्रोजेक्टिव समन्वय प्रणाली को परिभाषित करता है जैसे फ्रेम के $(n + 2)$वें बिंदु के निर्देशांक सभी बराबर होते हैं, और अन्यथा, $i$ बिंदु के सभी निर्देशांक शून्य होते हैं, $i$वें को छोड़कर

एक एफ़िन समन्वय प्रणाली से प्रोजेक्टिव पूर्णता का निर्माण करते समय, आमतौर पर इसे एक प्रोजेक्टिव फ्रेम के संबंध में परिभाषित किया जाता है जिसमें समन्वय अक्षों की अनंतता पर हाइपरप्लेन के साथ चौराहे होते हैं, एफ़िन स्पेस की उत्पत्ति होती है, और वह बिंदु जिसमें इसके सभी एफ़िन होते हैं एक के बराबर निर्देशांक। इसका तात्पर्य है कि अनंत पर बिंदुओं का अंतिम समन्वय शून्य के बराबर होता है, और यह कि एफ़ाइन स्पेस के एक बिंदु के प्रक्षेप्य निर्देशांक उसके एफ़ाइन निर्देशांक को एक $(n + 1)$वें समन्वय के रूप में पूरा करके प्राप्त किए जाते हैं।

जब किसी के पास $n + 1$ अंक होते हैं, जो कि बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली को परिभाषित करता है, तो यह प्रक्षेप्य पूर्णता का एक और प्रोजेक्टिव फ्रेम है जो चुनने के लिए सुविधाजनक है। इस फ्रेम में ये बिंदु और उनका केंद्रक होता है, यानी वह बिंदु जिसके सभी बेरिकेंट्रिक निर्देशांक बराबर होते हैं। इस मामले में, सजातीय स्थान में एक बिंदु के सजातीय बेरिकेंट्रिक निर्देशांक इस बिंदु के प्रक्षेपी निर्देशांक के समान हैं। एक बिंदु अनंत पर है यदि और केवल यदि इसके निर्देशांकों का योग शून्य है। यह बिंदु के अंत में परिभाषित सदिश की दिशा में है।

बैरीसेंट्रिक त्रिकोण पर निर्देशांक
एक त्रिकोण के संदर्भ में, बैरीसेंट्रिक निर्देशांक को क्षेत्र निर्देशांक या क्षेत्रीय निर्देशांक के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि त्रिकोण ABC के संबंध में P के निर्देशांक PBC, PCA और PAB के क्षेत्रफल के अनुपात (हस्ताक्षरित) के बराबर हैं। संदर्भ त्रिकोण ABC। ज्यामिति में समान उद्देश्यों के लिए क्षेत्रीय और ट्रिलिनियर निर्देशांक का उपयोग किया जाता है।

बैरीसेंट्रिक या क्षेत्रीय निर्देशांक त्रिकोणीय उपडोमेन से जुड़े इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में बेहद उपयोगी होते हैं। ये विश्लेषणात्मक समाकलन को अक्सर मूल्यांकन करने में आसान बनाते हैं, और गॉसियन चतुर्भुज तालिकाएँ अक्सर क्षेत्र निर्देशांक के संदर्भ में प्रस्तुत की जाती हैं।

एक त्रिभुज पर विचार करें $$T$$ इसके तीन शीर्षों द्वारा परिभाषित, $$\mathbf{r}_{1}$$, $$\mathbf{r}_{2}$$ तथा $$\mathbf{r}_{3}$$. प्रत्येक बिंदु $$\mathbf{r}$$ इस त्रिभुज के अंदर स्थित तीन शीर्षों के एक अद्वितीय उत्तल संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक के लिए $$\mathbf{r}$$ तीन संख्याओं का एक अनूठा क्रम है, $$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\geq 0$$ ऐसा है कि $$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$$ तथा


 * $$\mathbf{r} = \lambda_{1} \mathbf{r}_{1} + \lambda_{2} \mathbf{r}_{2} + \lambda_{3} \mathbf{r}_{3},$$

तीन नंबर $$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$$ बिंदु के बेरिकेंट्रिक या क्षेत्र निर्देशांक इंगित करें $$\mathbf{r}$$ त्रिभुज के संबंध में। उन्हें अक्सर के रूप में दर्शाया जाता है $$\alpha,\beta,\gamma$$ के बजाय $$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$$. ध्यान दें कि हालांकि तीन निर्देशांक हैं, स्वतंत्रता की केवल दो डिग्री (सांख्यिकी) हैं, क्योंकि $$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$$. इस प्रकार प्रत्येक बिंदु विशिष्ट रूप से किन्हीं दो बेरिएन्ट्रिक निर्देशांकों द्वारा परिभाषित किया जाता है।

यह समझाने के लिए कि ये निर्देशांक क्षेत्रों के हस्ताक्षरित अनुपात क्यों हैं, आइए मान लें कि हम यूक्लिडियन अंतरिक्ष अंतरिक्ष में काम करते हैं $$\mathbf{E}^{3}$$. यहाँ, कार्तीय निर्देशांक प्रणाली पर विचार करें $$Oxyz$$ और इसके संबद्ध मानक आधार, अर्थात् $$\{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}$$. अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) पर भी विचार करें $$ABC$$ में झूठ बोल रहा है $$Oxy$$ समतल ज्यामिति)। यह ज्ञात है कि किसी भी आधार (रैखिक बीजगणित) के लिए $$\{\mathbf{e},\mathbf{f},\mathbf{g}\}$$ का $$\mathbf{E}^{3}$$ और कोई यूक्लिडियन वेक्टर $$\mathbf{h}$$ किसी के पास
 * $$\mathbf{h}=\frac{1}{(\mathbf{e},\mathbf{f},\mathbf{g})}\cdot\left[(\mathbf{h},\mathbf{f},\mathbf{g})\mathbf{e}+(\mathbf{e},\mathbf{h},\mathbf{g})\mathbf{f}+(\mathbf{e},\mathbf{f},\mathbf{h})\mathbf{g}\right],$$

कहाँ पे $$(\mathbf{e},\mathbf{f},\mathbf{g})=(\mathbf{e}\times\mathbf{f})\cdot\mathbf{g}$$ इन तीन वैक्टरों के ट्रिपल उत्पाद के लिए खड़ा है।

लेना $$\mathbf{e}=\vec{AB},\,\mathbf{f}=\vec{AC},\,\mathbf{g}=\mathbf{k},\,\mathbf{h}=\vec{AP}$$, कहाँ पे $$P$$ विमान में एक मनमाना बिंदु है $$Oxy$$, और टिप्पणी करें


 * $$(\mathbf{e},\mathbf{f},\mathbf{h})=(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AP}=(\vert\vec{AB}\times\vec{AC}\vert\mathbf{k})\cdot\vec{AP} = 0.$$

मुक्त वैक्टरों की हमारी पसंद के संबंध में एक सूक्ष्म बिंदु: $$\mathbf{e}$$ वास्तव में, यूक्लिडियन वेक्टर की समतुल्यता (ज्यामिति) है $$\vec{AB}$$.

हमें वह मिल गया है


 * $$\vec{AP}=m_B\cdot\vec{AB}+m_C\cdot\vec{AC},\,\mbox{ where }\,m_B=\frac{(\vec{AP},\vec{AC},\mathbf{k})}{(\vec{AB},\vec{AC},\mathbf{k})},\,m_C=\frac{(\vec{AB},\vec{AP},\mathbf{k})}{(\vec{AB},\vec{AC},\mathbf{k})}.$$

त्रिभुज का धनात्मक (दक्षिणावर्त) अभिविन्यास दिया गया है $$ABC$$, दोनों का अंश (गणित)। $$m_B$$ तथा $$m_C$$ ठीक त्रिभुज का दोहरा है $$ABC$$. भी,


 * $$(\vec{AP},\vec{AC},\mathbf{k})=(\vec{PC},\vec{PA},\mathbf{k})\,\mbox{ and }\,(\vec{AB},\vec{AP},\mathbf{k})=(\vec{PA},\vec{PB},\mathbf{k})$$

और इसलिए का भिन्न (गणित) $$m_B$$ तथा $$m_C$$ त्रिकोण के हस्ताक्षरित क्षेत्रों के युगल हैं $$APC$$ और क्रमशः $$ABP$$.

इसके अलावा, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि


 * $$\vec{OP}=(1-m_B-m_C)\cdot\vec{OA}+m_B\cdot\vec{OB}+m_C\cdot\vec{OC}$$

जिसका अर्थ है कि संख्या $$1-m_B-m_C$$, $$m_B$$ तथा $$m_C$$ के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक हैं $$P$$. इसी तरह, तीसरा बैरीसेंट्रिक निर्देशांक पढ़ता है:


 * $$m_A = 1 - m_B - m_C = \frac{(\vec{PB},\vec{PC},\mathbf{k})}{(\vec{AB},\vec{AC},\mathbf{k})}.$$

इस $$m$$बैरीसेंट्रिक निर्देशांक का -अक्षर संकेतन इस तथ्य से आता है कि बिंदु $$P$$ जनता के लिए द्रव्यमान के केंद्र के रूप में व्याख्या की जा सकती है $$m_A$$, $$m_B$$, $$m_C$$ जो में स्थित हैं $$A$$, $$B$$ तथा $$C$$.

बेरिसेंट्रिक निर्देशांक और अन्य समन्वय प्रणालियों के बीच आगे और पीछे स्विच करने से कुछ समस्याओं को हल करना बहुत आसान हो जाता है।

बैरीसेंट्रिक और कार्टेशियन निर्देशांक
के बीच रूपांतरण

एज दृष्टिकोण
एक बिंदु दिया $$\mathbf{r}$$ एक त्रिभुज के तल में कोई बेरिएन्ट्रिक निर्देशांक प्राप्त कर सकता है $$\lambda_{1}$$, $$\lambda_{2}$$ तथा $$\lambda_{3}$$ कार्टेशियन निर्देशांक से $$(x, y)$$ या ठीक इसके विपरीत।

हम बिंदु के कार्तीय निर्देशांक लिख सकते हैं $$\mathbf{r}$$ त्रिभुज के शीर्षों के कार्तीय घटकों के संदर्भ में $$\mathbf{r}_1$$, $$\mathbf{r}_2$$, $$\mathbf{r}_3$$ कहाँ पे $$\mathbf{r}_i = (x_i, y_i)$$ और बेयरसेंट्रिक निर्देशांक के संदर्भ में $$\mathbf{r}$$ जैसा



\begin{matrix} x = \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} +  \lambda_{3} x_{3} \\ y = \lambda_{1} y_{1} + \lambda_{2} y_{2} +  \lambda_{3} y_{3} \\ \end{matrix} $$ यही है, किसी भी बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक त्रिकोण के शिखर के कार्टेशियन निर्देशांक का भारित औसत होते हैं, जिसमें वजन बिंदु के बेरिकेंट्रिक निर्देशांक एकता के बराबर होते हैं।

रिवर्स ट्रांसफॉर्मेशन खोजने के लिए, कार्टेशियन निर्देशांक से बेरिकेंट्रिक निर्देशांक तक, हम पहले स्थानापन्न करते हैं $$\lambda_{3} = 1 - \lambda_{1} - \lambda_{2}$$ उपरोक्त में प्राप्त करने के लिए



\begin{matrix} x = \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + (1 - \lambda_{1} - \lambda_{2}) x_{3} \\ y = \lambda_{1} y_{1} + \lambda_{2} y_{2} + (1 - \lambda_{1} - \lambda_{2}) y_{3} \\ \end{matrix} $$ पुनर्व्यवस्थित, यह है



\begin{matrix} \lambda_{1}(x_{1} - x_{3}) + \lambda_{2}(x_{2} - x_{3}) + x_{3} - x = 0 \\ \lambda_{1}(y_{1} - y_{3}) + \lambda_{2}(y_{2} - y_{3}) + y_{3} - y = 0 \\ \end{matrix} $$ इस रेखीय परिवर्तन को और अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है



\mathbf{T} \cdot \lambda = \mathbf{r}-\mathbf{r}_3 $$ कहाँ पे $$\lambda$$ पहले दो बेरसेंट्रिक निर्देशांकों का निर्देशांक स्थान है, $$\mathbf{r}$$ कार्टेशियन निर्देशांक का यूक्लिडियन वेक्टर है, और $$\mathbf{T}$$ द्वारा दिया गया एक मैट्रिक्स (गणित) है



\mathbf{T} = \left(\begin{matrix} x_1-x_3 & x_2-x_3 \\ y_1-y_3 & y_2-y_3 \\ \end{matrix}\right) $$ अब मैट्रिक्स $$\mathbf{T}$$ उलटा मैट्रिक्स है, क्योंकि $$\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3$$ तथा $$\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (यदि ऐसा नहीं होता, तो $$\mathbf{r}_1$$, $$\mathbf{r}_2$$, तथा $$\mathbf{r}_3$$ रेखा (ज्यामिति) होगी और त्रिभुज नहीं बनेगी)। इस प्रकार, हम प्राप्त करने के लिए उपरोक्त समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं



\left(\begin{matrix}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{matrix}\right) = \mathbf{T}^{-1} ( \mathbf{r}-\mathbf{r}_3 ) $$ बैरीसेंट्रिक निर्देशांक ढूँढना इस प्रकार मैट्रिक्स उलटा खोजने के लिए कम कर दिया गया है # 2 × 2 मैट्रिक्स का उलटा | 2 × 2 उलटा मैट्रिक्स $$\mathbf{T}$$, एक आसान समस्या।

स्पष्ट रूप से, बिंदु के बेरिएन्ट्रिक निर्देशांक के सूत्र $$\mathbf{r}$$ इसके कार्तीय निर्देशांक (x, y) के संदर्भ में और त्रिभुज के शीर्षों के कार्तीय निर्देशांक के संदर्भ में हैं:


 * $$\lambda_1=\frac{(y_2-y_3)(x-x_3)+(x_3-x_2)(y-y_3)}{\det(T)}=\frac{(y_2-y_3)(x-x_3)+(x_3-x_2)(y-y_3)}{(y_2-y_3)(x_1-x_3)+(x_3-x_2)(y_1-y_3)}\, ,$$
 * $$\lambda_2=\frac{(y_3-y_1)(x-x_3)+(x_1-x_3)(y-y_3)}{\det(T)}=\frac{(y_3-y_1)(x-x_3)+(x_1-x_3)(y-y_3)}{(y_2-y_3)(x_1-x_3)+(x_3-x_2)(y_1-y_3)}\, ,$$
 * $$\lambda_3=1-\lambda_1-\lambda_2\, .$$

वर्टेक्स दृष्टिकोण
कार्तीय से बैरीसेंट्रिक निर्देशांक में रूपांतरण को हल करने का एक अन्य तरीका मैट्रिक्स (गणित) के रूप में संबंध लिखना है $$ \mathbf{R} \boldsymbol{\lambda} = \mathbf{r}$$साथ $$\mathbf{R} = \left(\begin{matrix} \mathbf{r}_1 | \mathbf{r}_2 | \mathbf{r}_3 \end{matrix}\right)$$ तथा $$\boldsymbol{\lambda} = \left(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\right)^\top$$, अर्थात।$$ \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} $$अद्वितीय सामान्यीकृत समाधान प्राप्त करने के लिए हमें स्थिति जोड़ने की आवश्यकता है $$\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1$$. बैरीसेंट्रिक निर्देशांक इस प्रकार रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान हैं$$ \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3 \end{matrix}\right) \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} = \left(\begin{matrix} 1\\x\\y \end{matrix}\right) $$जो है$$ \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2A} \begin{pmatrix} x_2y_3-x_3y_2 & y_2-y_3 & x_3-x_2 \\ x_3y_1-x_1y_3 & y_3-y_1 & x_1-x_3 \\ x_1y_2-x_2y_1 & y_1-y_2 & x_2-x_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\x\\y \end{pmatrix} $$कहाँ पे $$ 2A = \det(1|R) = x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)$$त्रिकोण के हस्ताक्षरित क्षेत्र का दोगुना है। इस रेखीय प्रणाली में क्रैमर के नियम को लागू करके बेरेंट्रिक निर्देशांक की क्षेत्र व्याख्या को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

बैरीसेंट्रिक और ट्रिलिनियर निर्देशांकों के बीच रूपांतरण
त्रिरेखीय निर्देशांक वाला एक बिंदु x : y : z में बैरीसेंट्रिक निर्देशांक ax : by : cz हैं जहां a, b, c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हैं। इसके विपरीत, बैरीसेन्ट्रिक के साथ एक बिंदु $$\lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3$$ त्रिरेखीय है $$\lambda_1/a:\lambda_2/b:\lambda_3/c.$$

बेरसेंट्रिक निर्देशांक में समीकरण
तीन भुजाओं a, b, c में क्रमशः समीकरण हैं


 * $$\lambda_1=0, \quad \lambda_2=0, \quad \lambda_3=0.$$

त्रिभुज यूलर रेखा का समीकरण है


 * $$ \begin{vmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 \\1 & 1 & 1\\\tan A & \tan B & \tan C \end{vmatrix} =0.$$

बैरीसेंट्रिक और ट्रिलिनियर निर्देशांक के बीच पहले दिए गए रूपांतरण का उपयोग करते हुए, ट्रिलिनियर निर्देशांक में दिए गए विभिन्न अन्य समीकरण#सूत्रों को बैरीसेंट्रिक निर्देशांक के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है।

बिंदुओं के बीच की दूरी
दो सामान्यीकृत बिंदुओं का विस्थापन वेक्टर $$P=(p_1,p_2,p_3)$$ तथा $$Q=(q_1,q_2,q_3)$$ है


 * $$\overrightarrow{P Q}=(p_1-q_1,p_2-q_2,p_3-q_3).$$

दूरी $$d$$ के बीच $$P$$ तथा $$Q$$, या विस्थापन वेक्टर की लंबाई $$\overrightarrow{P Q}=(x,y,z),$$ है


 * $$d^2=\left | P Q \right |^2 = -a^2yz - b^2zx - c^2xy =\frac{1}{2}[x^2(b^2+c^2-a^2)+y^2(c^2+a^2-b^2)+z^2(a^2+b^2-c^2)].$$

जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं। पिछले दो भावों की समानता इस प्रकार है $$x+y+z=0,$$ जो धारण करता है क्योंकि $$x+y+z=(p_1-q_1)+(p_2-q_2)+(p_3-q_3)=(p_1+p_2+p_3)-(q_1+q_2+q_3)=1-1=0.$$ किसी बिंदु के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक की गणना दूरियों d के आधार पर की जा सकती हैi समीकरण को हल करके तीन त्रिकोण शीर्षों तक

\left(\begin{matrix} -c^2 & c^2 & b^2-a^2\\ -b^2 & c^2-a^2 & b^2\\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \boldsymbol{\lambda} = \left(\begin{matrix} d^2_A - d^2_B\\ d^2_A - d^2_C\\ 1 \end{matrix}\right). $$

त्रिभुज के संबंध में स्थान का निर्धारण
हालांकि बैरीसेंट्रिक निर्देशांक आमतौर पर त्रिभुज के भीतर बिंदुओं को संभालने के लिए उपयोग किए जाते हैं, उनका उपयोग त्रिभुज के बाहर एक बिंदु का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है। यदि बिंदु त्रिभुज के अंदर नहीं है, तब भी हम बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों की गणना करने के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। हालाँकि, चूंकि बिंदु त्रिभुज के बाहर है, इसलिए कम से कम एक निर्देशांक हमारी मूल धारणा का उल्लंघन करेगा $$\lambda_{1...3}\geq 0$$. वास्तव में, कार्तीय निर्देशांक में किसी भी बिंदु को देखते हुए, हम इस तथ्य का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकते हैं कि यह बिंदु त्रिभुज के संबंध में कहां है।

यदि कोई बिंदु त्रिभुज के अभ्यंतर में स्थित है, तो सभी बैरीसेंट्रिक निर्देशांक खुले अंतराल में स्थित हैं $$(0,1).$$ यदि कोई बिंदु त्रिभुज के किनारे पर स्थित है लेकिन शीर्ष पर नहीं है, तो क्षेत्र में से एक समन्वय करता है $$\lambda_{1...3}$$ (विपरीत शीर्ष से जुड़ा एक) शून्य है, जबकि अन्य दो खुले अंतराल में स्थित हैं $$(0,1).$$ यदि बिंदु एक शीर्ष पर स्थित है, तो उस शीर्ष से जुड़े निर्देशांक 1 के बराबर हैं और अन्य शून्य के बराबर हैं। अंत में, यदि बिंदु त्रिभुज के बाहर स्थित है तो कम से कम एक निर्देशांक ऋणात्मक होता है।

संक्षेप में,
 * बिंदु $$\mathbf{r}$$ त्रिकोण के अंदर स्थित है अगर और केवल अगर $$0 < \lambda_i < 1 \;\forall\; i \text{ in } {1,2,3}$$.
 * $$\mathbf{r}$$ यदि त्रिभुज के किनारे या कोने पर स्थित है $$0 \leq \lambda_i \leq 1 \;\forall\; i \text{ in } {1,2,3}$$ तथा $$\lambda_i = 0\; \text {, for some i in } {1, 2, 3}$$.


 * अन्यथा, $$\mathbf{r}$$ त्रिभुज के बाहर स्थित है।

विशेष रूप से, यदि कोई बिंदु किसी रेखा के दूर की ओर स्थित है, तो त्रिभुज में उस बिंदु का बेरिकेंट्रिक समन्वय जो रेखा पर नहीं है, का ऋणात्मक मान होगा।

एक त्रिकोणीय असंरचित ग्रिड पर इंटरपोलेशन
यदि $$f(\mathbf{r}_1),f(\mathbf{r}_2),f(\mathbf{r}_3)$$ ज्ञात मात्राएँ हैं, लेकिन के मान $$f$$ द्वारा परिभाषित त्रिकोण के अंदर $$\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_3$$ अज्ञात है, उन्हें रैखिक प्रक्षेप का उपयोग करके अनुमानित किया जा सकता है। बैरीसेंट्रिक निर्देशांक इस प्रक्षेप की गणना करने का एक सुविधाजनक तरीका प्रदान करते हैं। यदि $$\mathbf{r}$$ बेरिकेंट्रिक निर्देशांक वाला त्रिकोण के अंदर एक बिंदु है $$\lambda_{1}$$, $$\lambda_{2}$$, $$\lambda_{3}$$, फिर


 * $$f(\mathbf{r}) \approx \lambda_1 f(\mathbf{r}_1) + \lambda_2 f(\mathbf{r}_2) + \lambda_3 f(\mathbf{r}_3)$$

सामान्य तौर पर, किसी भी असंरचित ग्रिड या बहुभुज जाल को देखते हुए, इस तरह की तकनीक का उपयोग अनुमानित मूल्य के लिए किया जा सकता है $$f$$ सभी बिंदुओं पर, जब तक फ़ंक्शन का मान मेष के सभी शीर्षों पर जाना जाता है। इस मामले में, हमारे पास कई त्रिभुज हैं, जिनमें से प्रत्येक अंतरिक्ष के एक अलग हिस्से के अनुरूप है। किसी फ़ंक्शन को प्रक्षेपित करने के लिए $$f$$ एक बिंदु पर $$\mathbf{r}$$, पहले एक त्रिभुज मिलना चाहिए जिसमें शामिल हो $$\mathbf{r}$$. ऐसा करने के लिए, $$\mathbf{r}$$ प्रत्येक त्रिभुज के बायरसेंट्रिक निर्देशांक में परिवर्तित हो जाता है। यदि कोई त्रिभुज ऐसा पाया जाता है कि निर्देशांक संतुष्ट करते हैं $$0 \leq \lambda_i \leq 1 \;\forall\; i \text{ in } 1,2,3$$, तो बिंदु उस त्रिभुज में या उसके किनारे पर स्थित होता है (पिछले भाग में समझाया गया है)। फिर का मान $$f(\mathbf{r})$$ ऊपर बताए अनुसार प्रक्षेपित किया जा सकता है।

इन विधियों के कई अनुप्रयोग हैं, जैसे परिमित तत्व विधि (FEM)।

त्रिभुज या चतुष्फलक पर एकीकरण
त्रिकोण के डोमेन पर एक फ़ंक्शन का अभिन्न अंग कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में गणना करने के लिए कष्टप्रद हो सकता है। आमतौर पर त्रिभुज को दो हिस्सों में विभाजित करना पड़ता है, और इसके बाद बड़ी गड़बड़ी होती है। इसके बजाय, किसी भी दो बेरिकेंट्रिक निर्देशांकों को प्रतिस्थापित करके एकीकरण करना अक्सर आसान होता है, उदा। $$\lambda_1,\lambda_2$$. चर के इस परिवर्तन के तहत,



\int_{T} f(\mathbf{r}) \ d\mathbf{r} = 2A \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - \lambda_{2}} f(\lambda_{1} \mathbf{r}_{1} + \lambda_{2} \mathbf{r}_{2} + (1 - \lambda_{1} - \lambda_{2}) \mathbf{r}_{3}) \ d\lambda_{1} \ d\lambda_{2} $$ कहाँ पे $$A$$ त्रिभुज है # त्रिभुज के निर्देशांकों का उपयोग करते हुए। यह परिणाम इस तथ्य से अनुसरण करता है कि बेरिकेंट्रिक निर्देशांक में एक आयत कार्तीय निर्देशांक में एक चतुर्भुज से मेल खाती है, और इसी समन्वय प्रणाली में संबंधित आकृतियों के क्षेत्रों का अनुपात निम्न द्वारा दिया जाता है $$2A$$. इसी तरह, टेट्राहेड्रॉन पर एकीकरण के लिए, अभिन्न को दो या तीन अलग-अलग टुकड़ों में तोड़ने के बजाय, चर के परिवर्तन के तहत 3डी टेट्राहेड्रल निर्देशांक पर स्विच किया जा सकता है।

$$ \int\int_{T} f(\mathbf{r}) \ d\mathbf{r} = 6V \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - \lambda_{3}} \int_ {0}^{1-\lambda_2-\lambda_3} f(\lambda_{1} \mathbf{r}_{1} + \lambda_{2} \mathbf{r}_{2} + \lambda_3 \mathbf{r}_{3} + (1-\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3)\mathbf{r}_{4})\ d\lambda_{1} \ d\lambda_{2} \ d\lambda_{3} $$कहाँ पे $$ V $$ चतुष्फलक का आयतन है।

विशेष बिंदुओं के उदाहरण
त्रिभुज के तीन शीर्ष (ज्यामिति) में बेरिकेंट्रिक निर्देशांक होते हैं $$1:0:0$$, $$0:1:0$$, तथा $$0:0:1$$. केन्द्रक में बैरीसेंट्रिक्स होते हैं $$1/3:1/3:1/3.$$

त्रिभुज ABC के परिकेन्द्र में बैरसेंट्रिक निर्देशांक हैं


 * $$ a^2(-a^2 + b^2 + c^2):\;b^2(a^2 - b^2 + c^2):\;c^2(a^2 + b^2 - c^2)$$
 * $$=\sin 2A :\sin 2B:\sin 2C=(1-\cos B\cos C ):(1-\cos C\cos A):(1-\cos A\cos B).$$

कहाँ पे a, b, c किनारे की लंबाई हैं BC, CA, AB क्रमशः त्रिकोण।

ऑर्थोसेंटर में बेरिकेंट्रिक निर्देशांक हैं


 * $$ (a^2 + b^2 - c^2)(a^2 - b^2 + c^2):\;(-a^2 + b^2 + c^2)(a^2 + b^2 - c^2):\;(a^2 - b^2 + c^2)(-a^2 + b^2 + c^2)$$
 * $$=\tan A:\tan B:\tan C=a\cos B\cos C:b\cos C\cos A:c\cos A\cos B.$$

केंद्र में बैरीसेंट्रिक निर्देशांक हैं
 * $$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C.$$

एक्सेंटर्स के बेरिकेंट्रिक्स हैं


 * $$-a:b:c \quad \quad a:-b:c \quad \quad a:b:-c.$$

नौ-बिंदु केंद्र में बेरिकेंट्रिक निर्देशांक हैं


 * $$a\cos(B-C):b\cos (C-A):c\cos (A-B)=(1+\cos B\cos C):(1+\cos C\cos A):(1+\cos A\cos B)$$
 * $$=[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]:[b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2]:[c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2].$$

भुजाओं की लंबाई a, b, और c और अर्धपरिधि s वाले त्रिभुज का Gergonne बिंदु का मान होता है $$(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$$.

नागल बिंदु का मान होता है $$s-a:s-b:s-c$$.

सिमेडियन बिंदु स्थित है $$a^2:b^2:c^2$$ एक त्रिभुज के बैरसेंट्रिक समन्वय प्रणाली में।

चतुष्फलक पर बैरीसेंट्रिक निर्देशांक
बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों को आसानी से तीन आयामों तक बढ़ाया जा सकता है। 3डी सिम्प्लेक्स एक टेट्राहेड्रॉन है, एक पॉलीहेड्रॉन जिसमें चार त्रिकोणीय चेहरे और चार कोने हैं। एक बार फिर, चार बैरीसेंट्रिक निर्देशांक परिभाषित किए गए हैं ताकि पहला शीर्ष $$\mathbf{r}_1$$ बैरीसेंट्रिक निर्देशांक को मैप करता है $$\lambda = (1,0,0,0)$$, $$\mathbf{r}_2 \to (0,1,0,0)$$, आदि।

यह फिर से एक रैखिक परिवर्तन है, और हम त्रिकोण के लिए उपरोक्त प्रक्रिया का विस्तार कर सकते हैं ताकि टेट्राहेड्रॉन के संबंध में बिंदु $$\mathbf{r}$$ के बेरिकेंट्रिक निर्देशांक मिल सकें:



\left(\begin{matrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3\end{matrix}\right) = \mathbf{T}^{-1} ( \mathbf{r}-\mathbf{r}_4 ) $$ कहाँ पे $$\mathbf{T}$$ अब एक 3×3 मैट्रिक्स है:



\mathbf{T} = \left(\begin{matrix} x_1-x_4 & x_2-x_4 & x_3-x_4\\ y_1-y_4 & y_2-y_4 & y_3-y_4\\ z_1-z_4 & z_2-z_4 & z_3-z_4 \end{matrix}\right) $$ तथा $$\lambda_{4} = 1 - \lambda_{1} - \lambda_{2} - \lambda_{3}$$संबंधित कार्टेशियन निर्देशांक के साथ:$$\begin{matrix} x = \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \lambda_3 x_{3} + (1-\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3)x_4 \\ y = \lambda_{1} y_{1} + \lambda_{2} y_{2} + \lambda_3 y_{3} + (1-\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3)y_4 \\ z=\lambda_{1} z_{1} + \lambda_{2} z_{2} + \lambda_3 z_{3} + (1-\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3)z_4 \\ \end{matrix}$$एक बार फिर, बेसेंट्रिक निर्देशांक खोजने की समस्या को 3×3 मैट्रिक्स को उलटने के लिए कम कर दिया गया है।

3डी बैरीसेंट्रिक निर्देशांक का उपयोग यह तय करने के लिए किया जा सकता है कि क्या कोई बिंदु टेट्राहेड्रल वॉल्यूम के अंदर है, और 2डी प्रक्रिया के समान तरीके से टेट्राहेड्रल जाल के भीतर एक फ़ंक्शन को प्रक्षेपित करने के लिए। टेट्राहेड्रल मेश का उपयोग अक्सर परिमित तत्व विश्लेषण में किया जाता है क्योंकि बैरीसेंट्रिक निर्देशांक का उपयोग 3डी इंटरपोलेशन को बहुत सरल बना सकता है।

सामान्यीकृत बेरिएन्ट्रिक निर्देशांक
बैरीसेंट्रिक निर्देशांक $$(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_k)$$ एक बिंदु का $$p \in \mathbb{R}^n$$ जिसे परिमित सेट के संबंध में परिभाषित किया गया है k बिंदुओं का $$x_1, x_2, ..., x_k \in \mathbb{R}^n$$ सिंप्लेक्स के बजाय सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक कहलाते हैं। इनके लिए, समीकरण


 * $$(\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_k)p = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \cdots + \lambda_k x_k$$

अभी भी धारण करना आवश्यक है। आमतौर पर सामान्यीकृत निर्देशांक का उपयोग किया जाता है, $$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_k = 1$$ सिम्प्लेक्स के मामले में, गैर-नकारात्मक सामान्यीकृत निर्देशांक वाले अंक($$0 \le \lambda_i \le 1$$) रूप $x_{1}, ..., x_{n}$ का उत्तल पतवार। यदि एक पूर्ण सिम्पलेक्स ($$k > n + 1$$) से अधिक अंक हैं, तो एक बिंदु के सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक अद्वितीय नहीं हैं, क्योंकि परिभाषित रैखिक प्रणाली (यहां n = 2के लिए) )$$ \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & ... \\ x_1 & x_2 & x_3 & ... \\ y_1 & y_2 & y_3 & ... \end{matrix}\right) \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \\ \vdots \end{pmatrix} = \left(\begin{matrix} 1\\x\\y \end{matrix}\right) $$अनिर्धारित प्रणाली है। सबसे सरल उदाहरण समतल में चतुर्भुज है। अद्वितीय बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों को परिभाषित करने के लिए विभिन्न प्रकार के अतिरिक्त प्रतिबंधों का उपयोग किया जा सकता है।

अमूर्तता
अधिक सारगर्भित रूप से, सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक n कोने के साथ एक उत्तल पॉलीटोप को अभिव्यक्त करते हैं, आयाम की परवाह किए बिना, मानक $$(n-1)$$-सिम्प्लेक्स की छवि के रूप में, जिसमें n कोने हैं - नक्शा आच्छादित है : $$\Delta^{n-1} \twoheadrightarrow P.$$ नक्शा एक-से-एक है अगर और केवल अगर पॉलीटोप एक सिंप्लेक्स है, जिस स्थिति में नक्शा एक समरूपता है; यह उस बिंदु से मेल खाता है जिसमें विशिष्ट सामान्यीकृत बेरिकेंट्रिक निर्देशांक नहीं होते हैं, सिवाय इसके कि जब P एक सिम्प्लेक्स हो।

दोहरे से सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक ढीले चर होते हैं, जो मापते हैं कि एक बिंदु कितने मार्जिन से रैखिक बाधाओं को संतुष्ट करता है, और एक एम्बेडिंग देता है $$P \hookrightarrow (\mathbf{R}_{\geq 0})^f$$ f-ऑर्थेंट में, जहाँ f चेहरों की संख्या (कोने से दोहरा) है। यह नक्शा एक-से-एक है (सुस्त चर विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं) लेकिन नहीं (सभी संयोजनों को महसूस नहीं किया जा सकता)।

मानक का यह उपयोग $$(n-1)$$-सिम्प्लेक्स और f-orthant मानक ऑब्जेक्ट्स के रूप में जो एक पॉलीटोप को मैप करते हैं या एक पॉलीटॉप मैप में मानक वेक्टर स्पेस के उपयोग के विपरीत होना चाहिए $$K^n$$ वेक्टर रिक्त स्थान के लिए मानक वस्तु के रूप में, और मानक affine हाइपरप्लेन $$\{(x_0,\ldots,x_n) \mid \sum x_i = 1\} \subset K^{n+1}$$ मानक वस्तु के रूप में affine रिक्त स्थान के लिए, जहां प्रत्येक मामले में एक रेखीय आधार या एफिन आधार चुनना एक समरूपता प्रदान करता है, जिससे सभी सदिश रिक्त स्थान और एफिन रिक्त स्थान को इन मानक स्थानों के संदर्भ में माना जा सकता है, न कि एक पर या एक-से-एक मानचित्र (नहीं) हर पॉलीटॉप एक सिंप्लेक्स है)। इसके अलावा, n-ऑर्थेंट मानक वस्तु है जो शंकुओं को मैप करती है।

अनुप्रयोग
सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक में कंप्यूटर ग्राफिक्स और विशेष रूप से ज्यामितीय मॉडलिंग में अनुप्रयोग होते हैं। अक्सर, एक त्रि-आयामी मॉडल को पॉलीहेड्रॉन द्वारा अनुमानित किया जा सकता है जैसे कि उस पॉलीहेड्रॉन के संबंध में सामान्यीकृत बेरिकेंट्रिक निर्देशांक का एक ज्यामितीय अर्थ होता है। इस तरह, इन अर्थपूर्ण निर्देशांकों का उपयोग करके मॉडल के प्रसंस्करण को सरल बनाया जा सकता है। भूभौतिकी में बेरिकेंट्रिक निर्देशांक का भी उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

 * त्रिगुट प्लॉट
 * उत्तल संयोजन
 * पानी डालने वाली पहेली
 * सजातीय निर्देशांक

संदर्भ

 * Scott, J. A. Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry, Mathematical Gazette 83, November 1999, 472–477.
 * Schindler, Max; Chen, Evan (July 13, 2012). Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry (PDF). Retrieved 14 January 2016.
 * Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangles Encyclopedia of Triangle Centers. Archived from the original on 2012-04-19. Retrieved 2012-06-02.
 * Barycentric Calculus In Euclidean And Hyperbolic Geometry: A Comparative Introduction, Abraham Ungar, World Scientific, 2010
 * Hyperbolic Barycentric Coordinates, Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.6, No.1, Article 18, pp. 1–35, 2009
 * Barycentric coordinates computation in homogeneous coordinates, Vaclav Skala, Computers and Graphics, Vol.32, No.1, pp. 120–127, 2008
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 * Barycentric coordinates computation in homogeneous coordinates, Vaclav Skala, Computers and Graphics, Vol.32, No.1, pp. 120–127, 2008
 * Barycentric coordinates computation in homogeneous coordinates, Vaclav Skala, Computers and Graphics, Vol.32, No.1, pp. 120–127, 2008
 * Barycentric coordinates computation in homogeneous coordinates, Vaclav Skala, Computers and Graphics, Vol.32, No.1, pp. 120–127, 2008

बाहरी संबंध

 * Law of the lever
 * The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry
 * Barycentric Coordinates – a collection of scientific papers about (generalized) barycentric coordinates
 * Barycentric coordinates: A Curious Application (solving the "three glasses" problem) at cut-the-knot
 * Accurate point in triangle test
 * Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry by Evan Chen and Max Schindler
 * Barycenter command and TriangleCurve command at Geogebra.