ग्लूऑन फ़ील्ड स्ट्रेंथ टेंसर

सैद्धांतिक भौतिकी कण भौतिकी में, ग्लूऑन क्षेत्र शक्ति टेंसर एक दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र है जो क्वार्कों के बीच ग्लूऑन इंटरैक्शन को दर्शाता है।

मजबूत अंतःक्रिया प्रकृति की मूलभूत अंतःक्रियाओं में से एक है, और इसका वर्णन करने के लिए क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (क्यूएफटी) को क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (क्यूसीडी) कहा जाता है। क्वार्क ग्लूऑन द्वारा मध्यस्थ अपने रंग आवेश के कारण प्रबल बल द्वारा एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करते हैं। ग्लून्स में स्वयं रंग आवेश होता है और वे परस्पर क्रिया कर सकते हैं।

ग्लूऑन फ़ील्ड स्ट्रेंथ टेंसर, क्रोमोडायनामिकल एसयू (3) गेज समूह के सहायक बंडल में मूल्यों के साथ अंतरिक्ष समय  पर एक टेंसर रैंक 2 टेंसर फ़ील्ड है (आवश्यक परिभाषाओं के लिए वेक्टर बंडल देखें)।

सम्मेलन
इस पूरे लेख में, लैटिन सूचकांक (आम तौर पर $a, b, c, n$) आठ ग्लूऑन रंग आवेशों के लिए मान 1, 2, ..., 8 लें, जबकि ग्रीक सूचकांक (आमतौर पर) $α, β, μ, ν$) टाइमलाइक घटकों के लिए मान 0 लें और चार-वेक्टर और चार-आयामी स्पेसटाइम टेंसर के स्पेसलाइक घटकों के लिए 1, 2, 3 मान लें। सभी समीकरणों में, आइंस्टीन संकेतन का उपयोग सभी रंग और टेंसर सूचकांकों पर किया जाता है, जब तक कि पाठ स्पष्ट रूप से नहीं बताता कि कोई योग नहीं लिया जाना है (उदाहरण के लिए "कोई योग नहीं")।

परिभाषा
परिभाषाओं के नीचे (और अधिकांश संकेतन) के. यागी, टी. हात्सुडा, वाई. मियाके का अनुसरण करते हैं और ग्रीनर, शेफ़र।

टेन्सर घटक
टेंसर को दर्शाया गया है $G$, (या $F$, $\overline{F}$, या कुछ प्रकार), और इसमें क्वार्क गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न के कम्यूटेटर के लिए आनुपातिकता (गणित) परिभाषित घटक हैं $D_{μ}$:
 * $$ G_{\alpha\beta} = \pm \frac{1}{i g_\text{s}} [D_\alpha, D_\beta]\,,$$

कहाँ:


 * $$D_\mu =\partial_\mu \pm ig_\text{s} t_a \mathcal{A}^a_\mu\,,$$

जिसमें


 * $i$ काल्पनिक इकाई है;
 * $g_{s}$ युग्मन स्थिरांक#QCD और मजबूत बल की स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता है;
 * $t_{a} = λ_{a}/2$ गेल-मान मैट्रिसेस हैं $λ_{a}$ 2 से विभाजित;
 * $a$ विशेष एकात्मक समूह के निकटवर्ती प्रतिनिधित्व में एक रंग सूचकांक है|एसयू(3) जो समूह के आठ जनरेटर, अर्थात् गेल-मैन मैट्रिसेस के लिए 1, 2, ..., 8 मान लेता है;
 * $μ$ एक स्पेसटाइम इंडेक्स है, टाइमलाइक घटकों के लिए 0 और स्पेसलाइक घटकों के लिए 1, 2, 3;
 * $$\mathcal{A}_\mu = t_a \mathcal{A}^a_\mu $$ ग्लूऑन फ़ील्ड, एक स्पिन (भौतिकी) -1 गेज फ़ील्ड या, अंतर-ज्यामितीय भाषा में, एसयू (3) प्रमुख बंडल  में एक  कनेक्शन (प्रमुख बंडल)  को व्यक्त करता है;
 * $$\mathcal{A}_\mu$$ इसके चार (समन्वय-प्रणाली पर निर्भर) घटक हैं, जो एक निश्चित गेज में हैं 3 ×  3 ट्रेसलेस हर्मिटियन मैट्रिक्स-मूल्यवान कार्य, जबकि $$\mathcal{A}^a_\mu$$ 32 वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन हैं, आठ चार-वेक्टर फ़ील्ड में से प्रत्येक के लिए चार घटक।

अलग-अलग लेखक अलग-अलग संकेत चुनते हैं।

कम्यूटेटर का विस्तार करने से मिलता है;


 * $$G_{\alpha\beta} =\partial_{\alpha}\mathcal{A}_\beta-\partial_\beta\mathcal{A}_\alpha \pm ig_\text{s}[\mathcal{A}_{\alpha}, \mathcal{A}_{\beta}]$$

स्थानापन्न $$t_a \mathcal{A}^a_\alpha = \mathcal{A}_{\alpha} $$ और रूपान्तरण संबंध का उपयोग करना $$[t_a, t_b ] = i f_{ab}{}^{c} t_c $$ गेल-मैन मैट्रिसेस के लिए (सूचकांकों की पुनः लेबलिंग के साथ), जिसमें $f ^{abc}$ एसयू(3) के संरचना स्थिरांक हैं, ग्लूऑन क्षेत्र शक्ति घटकों में से प्रत्येक को गेल-मैन मैट्रिक्स के रैखिक संयोजन के रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$\begin{align}

G_{\alpha \beta} & = \partial_\alpha t_a \mathcal{A}^a_{\beta} - \partial_\beta t_a \mathcal{A}^a_\alpha \pm i g_\text{s} \left[t_b ,t_c \right ] \mathcal{A}^b_\alpha \mathcal{A}^c_\beta \\ & = t_a \left( \partial_\alpha \mathcal{A}^a_{\beta} - \partial_\beta \mathcal{A}^a_\alpha \pm i^2 f_{bc}{}^ag_\text{s} \mathcal{A}^b_\alpha \mathcal{A}^c_\beta \right) \\ & = t_a G^a_{\alpha \beta} \\ \end{align}\,,$$ ताकि:
 * $$G^a_{\alpha \beta} = \partial_\alpha \mathcal{A}^a_{\beta} - \partial_\beta \mathcal{A}^a_\alpha \mp g_\text{s} f^{a}{}_{bc} \mathcal{A}^b_\alpha \mathcal{A}^c_\beta \,,$$

फिर कहाँ $a, b, c = 1, 2, ..., 8$ रंग सूचकांक हैं। ग्लूऑन क्षेत्र की तरह, एक विशिष्ट समन्वय प्रणाली और निश्चित गेज में $G_{αβ}$ हैं 3 ×  3 ट्रेसलेस हर्मिटियन मैट्रिक्स-मूल्यवान फ़ंक्शन, जबकि $G^{a}_{αβ}$ वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन हैं, आठ चार-आयामी दूसरे क्रम के टेंसर फ़ील्ड के घटक।

विभेदक रूप
ग्लूऑन रंग क्षेत्र को विभेदक रूपों की भाषा का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है, विशेष रूप से एक सहायक बंडल-मूल्यवान वक्रता रूप के रूप में | वक्रता 2-रूप (ध्यान दें कि आसन्न बंडल के फाइबर सु (3) झूठ बीजगणित हैं);


 * $$\mathbf{G} =\mathrm{d}\boldsymbol{\mathcal{A}} \mp g_\text{s}\,\boldsymbol{\mathcal{A}}\wedge \boldsymbol{\mathcal{A}}\,,$$

कहाँ $$\boldsymbol{\mathcal{A}}$$ ग्लूऑन फ़ील्ड है, जो एक वेक्टर क्षमता 1-फॉर्म के अनुरूप है $G$ और $&and;$ इस बीजगणित का (एंटीसिमेट्रिक) बाह्य बीजगणित है, जो संरचना स्थिरांक उत्पन्न करता है $f ^{abc}$. फ़ील्ड फॉर्म का एली कार्टन-व्युत्पन्न (यानी अनिवार्य रूप से फ़ील्ड का विचलन) ग्लूऑन शर्तों की अनुपस्थिति में शून्य होगा, यानी। $$\boldsymbol{\mathcal{A}}$$ जो SU(3) के गैर-एबेलियन चरित्र का प्रतिनिधित्व करता है।

इन्हीं विचारों की अधिक गणितीय रूप से औपचारिक व्युत्पत्ति (लेकिन थोड़ी बदली हुई सेटिंग) मीट्रिक कनेक्शन पर लेख में पाई जा सकती है।

विद्युतचुंबकीय टेंसर के साथ तुलना
यह लगभग विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र टेंसर के समानांतर है (जिसे भी दर्शाया गया है)। $F$) क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में, विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता द्वारा दिया गया $A$ स्पिन-1 फोटॉन का वर्णन करना;


 * $$F_{\alpha\beta}=\partial_{\alpha}A_{\beta}-\partial_{\beta}A_{\alpha}\,,$$

या विभेदक रूपों की भाषा में:


 * $$\mathbf{F} = \mathrm{d}\mathbf{A}\,.$$

क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स और क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स के बीच मुख्य अंतर यह है कि ग्लूऑन क्षेत्र की ताकत में अतिरिक्त शब्द होते हैं जो ग्लूऑन और एसिम्प्टोटिक स्वतंत्रता के बीच आत्म-अंतर्क्रिया को जन्म देते हैं। यह मजबूत बल की एक जटिलता है जो इसे स्वाभाविक रूप से गैर-रैखिक प्रणाली बनाती है | गैर-रैखिक, विद्युत चुम्बकीय बल के रैखिक सिद्धांत के विपरीत। क्यूसीडी एक गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत है। समूह सिद्धांत | समूह-सैद्धांतिक भाषा में गैर-एबेलियन शब्द का अर्थ है कि समूह संचालन क्रमविनिमेय संपत्ति नहीं है, जो संबंधित बीजगणित को गैर-तुच्छ बनाता है।

क्यूसीडी लैग्रेंजियन घनत्व
क्षेत्र सिद्धांतों की विशेषता, क्षेत्र की ताकत की गतिशीलता को उपयुक्त लैग्रेंजियन घनत्व द्वारा संक्षेपित किया जाता है और यूलर-लैग्रेंज समीकरण (फ़ील्ड के लिए) में प्रतिस्थापन से गति का समीकरण प्राप्त होता है#तरंगों और क्षेत्रों के लिए एनालॉग। ग्लूऑन द्वारा बंधे द्रव्यमान रहित क्वार्क के लिए लैग्रेंजियन घनत्व है:


 * $$\mathcal{L}=-\frac{1}{2}\mathrm{tr}\left(G_{\alpha\beta}G^{\alpha\beta}\right)+ \bar{\psi}\left(iD_\mu \right)\gamma^\mu\psi $$

जहां tr ट्रेस (रैखिक बीजगणित) को दर्शाता है 3 ×  3 आव्यूह $G_{αβ}G^{αβ}$, और $γ^{μ}$ हैं 4  ×  4 गामा मैट्रिक्स। फर्मिओनिक शब्द में $$i\bar{\psi}\left(iD_\mu\right)\gamma^{\mu}\psi$$, रंग और स्पिनर दोनों सूचकांक दबा दिए जाते हैं। स्पष्ट सूचकांकों के साथ, $$\psi_{i,\alpha}$$ कहाँ $$i=1,\ldots ,3$$ रंग सूचकांक हैं और $$\alpha=1,\ldots,4$$ डिराक स्पिनर सूचकांक हैं।

गेज परिवर्तन
QED के विपरीत, ग्लूऑन फ़ील्ड स्ट्रेंथ टेंसर अपने आप में गेज अपरिवर्तनीय नहीं है। सभी सूचकांकों पर अनुबंधित केवल दो का उत्पाद ही गेज अपरिवर्तनीय है।

गति के समीकरण
एक शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत के रूप में माना जाता है, गति के समीकरण क्वार्क फ़ील्ड हैं:


 * $$( i\hbar \gamma^\mu D_\mu - mc ) \psi = 0 $$

जो डिराक समीकरण की तरह है, और ग्लूऑन (गेज) क्षेत्रों के लिए गति के समीकरण हैं:


 * $$\left[D_\mu, G^{\mu\nu} \right] = g_\text{s} j^\nu $$

जो मैक्सवेल समीकरणों के समान हैं (जब टेंसर नोटेशन में लिखा जाता है)। अधिक विशेष रूप से, ये क्वार्क और ग्लूऑन क्षेत्रों के लिए यांग-मिल्स सिद्धांत|यांग-मिल्स समीकरण हैं। रंग चार्ज चार-वर्तमान ग्लूऑन क्षेत्र शक्ति टेंसर का स्रोत है, जो विद्युत चुम्बकीय टेंसर के स्रोत के रूप में विद्युत चुम्बकीय चार-धारा के अनुरूप है। यह द्वारा दिया गया है


 * $$j^\nu = t^b j_b^\nu \,, \quad j_b^\nu = \bar{\psi}\gamma^\nu t^b  \psi,$$

जो एक संरक्षित धारा है क्योंकि रंग आवेश संरक्षित है। दूसरे शब्दों में, रंग चार-धारा को निरंतरता समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए:


 * $$D_\nu j^\nu = 0 \,.$$

यह भी देखें

 * क्वार्क कारावास
 * गेल-मैन मैट्रिसेस
 * क्षेत्र (भौतिकी)
 * यांग-मिल्स फ़ील्ड
 * अष्टांगिक मार्ग (भौतिकी)
 * आइंस्टीन टेंसर
 * विल्सन लूप
 * वेस-ज़ुमिनो गेज
 * क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स बाइंडिंग एनर्जी
 * घुंघराले कलन
 * विशेष एकात्मक समूह