विश्लेषणात्मक निरंतरता

जटिल विश्लेषण में, गणित की एक शाखा, विश्लेषणात्मक निरंतरता किसी दिए गए विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के डोमेन को विस्तारित करने की तकनीक है। विश्लेषणात्मक निरंतरता अक्सर एक फ़ंक्शन के आगे के मूल्यों को परिभाषित करने में सफल होती है, उदाहरण के लिए एक नए क्षेत्र में जहां एक अनंत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व जिसके संदर्भ में इसे प्रारंभिक रूप से परिभाषित किया गया है, अपसारी श्रृंखला बन जाती है।

हालाँकि, चरण-वार निरंतरता तकनीक कठिनाइयों के विरुद्ध आ सकती है। इनमें अनिवार्य रूप से सामयिक प्रकृति हो सकती है, जिससे विसंगतियां हो सकती हैं (एक से अधिक मूल्यों को परिभाषित करना)। उन्हें वैकल्पिक रूप से गणितीय विलक्षणताओं की उपस्थिति के साथ करना पड़ सकता है। कई जटिल चरों के कार्य का मामला अलग-अलग है, क्योंकि एकवचन को अलग-अलग बिंदुओं की आवश्यकता नहीं है, और इसकी जांच शेफ कोहोलॉजी के विकास का एक प्रमुख कारण था।

प्रारंभिक चर्चा
मान लीजिए f एक विश्लेषणात्मक कार्य है जो जटिल विमान के गैर-खाली खुले सेट U पर परिभाषित है $\Complex$. यदि V का एक बड़ा खुला उपसमुच्चय है $\Complex$, युक्त U, और F एक विश्लेषणात्मक कार्य है जिसे V पर परिभाषित किया गया है


 * $$F(z) = f(z) \qquad \forall z \in U, $$

तब F को f की विश्लेषणात्मक निरंतरता कहा जाता है। दूसरे शब्दों में, F से U तक का प्रतिबंध (गणित) वह फलन है जिससे हमने शुरुआत की थी।

विश्लेषणात्मक निरंतरता निम्नलिखित अर्थों में अद्वितीय हैं: यदि V दो विश्लेषणात्मक कार्यों F का जुड़ाव डोमेन है1 और एफ2 ऐसा है कि U V में समाहित है और सभी z के लिए U में है


 * $$F_1(z) = F_2(z) = f(z),$$

फिर


 * $$F_1 = F_2$$

सभी V पर। ऐसा इसलिए है क्योंकि F1- एफ2 एक विश्लेषणात्मक कार्य है जो f के खुले, कनेक्टेड डोमेन U पर गायब हो जाता है और इसलिए इसके पूरे डोमेन पर गायब हो जाना चाहिए। यह होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के लिए पहचान प्रमेय से सीधे अनुसरण करता है।

अनुप्रयोग
जटिल विश्लेषण आय में कार्यों को परिभाषित करने का एक सामान्य तरीका पहले केवल एक छोटे से डोमेन पर फ़ंक्शन को निर्दिष्ट करके, और फिर इसे विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा विस्तारित करना।

व्यवहार में, यह निरंतरता अक्सर पहले छोटे डोमेन पर कुछ कार्यात्मक समीकरण स्थापित करके और डोमेन का विस्तार करने के लिए इस समीकरण का उपयोग करके की जाती है। रीमैन जीटा फ़ंक्शन और गामा समारोह इसके उदाहरण हैं।

एक विश्लेषणात्मक कार्य की विश्लेषणात्मक निरंतरता के लिए एक प्राकृतिक डोमेन को परिभाषित करने के लिए एक सार्वभौमिक आवरण की अवधारणा को पहली बार विकसित किया गया था। बदले में किसी फ़ंक्शन की अधिकतम विश्लेषणात्मक निरंतरता को खोजने के विचार ने रीमैन सतहों के विचार के विकास को जन्म दिया।

विश्लेषणात्मक निरंतरता का उपयोग रीमैनियन कई गुना, आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के समाधान | आइंस्टीन के समीकरणों में किया जाता है। उदाहरण के लिए, श्वार्ज़स्चिल्ड की विश्लेषणात्मक निरंतरता क्रुस्कल-शेकेरेस निर्देशांक में समन्वय करती है।

काम किया उदाहरण
फ़ाइल:AnalyticContinuationGraphic.pdf|316px|दाएं|अंगूठे|विश्लेषणात्मक निरंतरता U से (1 पर केंद्रित) से V तक (a=(3+i)/2 पर केंद्रित) एक विशेष विश्लेषणात्मक कार्य के साथ प्रारंभ करें $$f$$. इस मामले में, यह केंद्रित एक शक्ति श्रृंखला द्वारा दिया जाता है $$z=1$$:


 * $$f(z) = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k (z-1)^k.$$

कॉची-हैडमार्ड प्रमेय के अनुसार, इसकी अभिसरण की त्रिज्या 1 है। अर्थात, $$f$$ खुले सेट पर परिभाषित और विश्लेषणात्मक है $$U = \{|z-1|<1\}$$ जिसकी सीमा हो $$\partial U = \{|z-1|=1\}$$. वास्तव में, श्रृंखला विचलन करती है $$z=0 \in \partial U$$.

बहाना हम यह नहीं जानते $$f(z)=1/z$$, और एक अलग बिंदु पर पावर श्रृंखला को पुन: प्रस्तुत करने पर ध्यान केंद्रित करें $$a \in U$$:


 * $$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-a)^k.$$

हम गणना करेंगे $$a_k$$का और निर्धारित करें कि क्या यह नई शक्ति श्रृंखला एक खुले सेट में अभिसरण करती है $$V$$ जो इसमें निहित नहीं है $$U$$. यदि ऐसा है, तो हम विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखेंगे $$f$$ क्षेत्र के लिए $$U \cup V$$ जो की तुलना में काफी बड़ा है $$U$$.

से दूरी $$a$$ प्रति $$\partial U$$ है $$\rho = 1 - |a-1| > 0$$. लेना $$0 < r < \rho$$; होने देना $$D$$ त्रिज्या की डिस्क हो $$r$$ चारों ओर $$a$$; और जाने $$\partial D$$ इसकी सीमा हो। फिर $$D \cup \partial D \subset U$$. नए गुणांकों की गणना करने के लिए कॉची के अवकलन सूत्र का उपयोग करते हुए,


 * $$\begin{align}

a_k &= \frac{f^{(k)}(a)}{k!} \\ &=\frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D} \frac{f(\zeta) d \zeta}{(\zeta -a)^{k+1}} \\ &=\frac{1}{2\pi i} \int_{\partial D} \frac{\sum_{n=0}^\infty (-1)^n (\zeta-1)^n d \zeta}{(\zeta -a)^{k+1}} \\ &=\frac{1}{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_{\partial D} \frac{(\zeta-1)^n d\zeta}{(\zeta -a)^{k+1}} \\ &=\frac{1}{2\pi i} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^{2\pi} \frac{(a+re^{i \theta}-1)^n rie^{i \theta}d\theta}{(re^{i \theta})^{k+1}} \\ &=\frac{1}{2\pi} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^{2\pi} \frac{(a-1+re^{i \theta})^n d\theta}{(re^{i \theta})^{k}}\\ &=\frac{1}{2\pi} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^{2\pi} \frac{\sum_{m=0}^n \binom{n}{m} (a-1)^{n-m} (re^{i \theta})^m d\theta}{(re^{i \theta})^{k}} \\ &=\frac{1}{2\pi} \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \int_0^{2\pi} \binom{n}{k} (a-1)^{n-k} d\theta \\ &=\sum_{n=0}^\infty (-1)^n \binom{n}{k} (a-1)^{n-k} \\ &=(-1)^k a^{-k-1} \end{align}$$ वह है,


 * $$f(z) = \sum_{k=0}^\infty a_k (z-a)^k = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k a^{-k-1} (z-a)^k = \frac{1}{a} \sum_{k=0}^\infty \left ( 1 - \frac{z}{a} \right )^k ,$$

जिसमें अभिसरण की त्रिज्या है $$|a|$$, तथा $$V = \{|z-a|<|a|\}.$$ अगर हम चुनते हैं $$a \in U$$ साथ $$|a|>1$$, फिर $$V$$ का उपसमुच्चय नहीं है $$U$$ और वास्तव में क्षेत्रफल की तुलना में बड़ा है $$U$$. प्लॉट के लिए परिणाम दिखाता है $$a = \tfrac{1}{2}(3+i).$$ हम प्रक्रिया जारी रख सकते हैं: चुनें $$b \in U \cup V$$, पावर श्रृंखला को हाल ही में $$b$$, और निर्धारित करें कि नई शक्ति श्रृंखला कहाँ अभिसरित होती है। यदि क्षेत्र में अंक नहीं हैं $$U \cup V$$, तो हम विश्लेषणात्मक रूप से जारी रहेंगे $$f$$ और भी दूर। यह खासतौर पर $$f$$ पंचर जटिल विमान के लिए विश्लेषणात्मक रूप से जारी रखा जा सकता है $$\Complex \setminus \{0\}.$$

एक रोगाणु की औपचारिक परिभाषा
नीचे परिभाषित शक्ति श्रृंखला एक रोगाणु (गणित) के विचार से सामान्यीकृत है। विश्लेषणात्मक निरंतरता के सामान्य सिद्धांत और इसके सामान्यीकरण को शीफ (गणित) के रूप में जाना जाता है। होने देना


 * $$f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k$$

डिस्क (गणित) में परिवर्तित होने वाली एक शक्ति श्रृंखला हो Dr(साथ0), आर> 0, द्वारा परिभाषित


 * $$D_r(z_0) = \{z \in \Complex : |z - z_0| < r\}$$.

ध्यान दें कि व्यापकता के नुकसान के बिना, यहाँ और नीचे, हम हमेशा मानेंगे कि इस तरह के अधिकतम r को चुना गया था, भले ही वह r ∞ हो। यह भी ध्यान दें कि यह कुछ छोटे खुले सेट पर परिभाषित विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन से शुरू होने के बराबर होगा। हम कहते हैं कि वेक्टर


 * $$g = (z_0, \alpha_0, \alpha_1, \alpha_2, \ldots) $$

f का जर्म (गणित) है। आधार जी0 जी का जेड है0, g का तना है (α0, एक1, एक2, ...) और शीर्ष जी1 g का α है0. g का शीर्ष z पर f का मान है0.

कोई सदिश g = (z0, एक0, एक1, ...) एक रोगाणु है अगर यह z के चारों ओर एक विश्लेषणात्मक कार्य की शक्ति श्रृंखला का प्रतिनिधित्व करता है0 अभिसरण के कुछ त्रिज्या r> 0 के साथ। इसलिए, हम रोगाणुओं के सेट के बारे में सुरक्षित रूप से बात कर सकते हैं $$\mathcal G$$.

रोगाणुओं के सेट की टोपोलॉजी
मान लीजिए g और h जर्म (गणित) हैं। यदि $$|h_0-g_0|<r$$ जहाँ r, g की अभिसरण की त्रिज्या है और यदि g और h द्वारा परिभाषित शक्ति श्रृंखला दो डोमेन के प्रतिच्छेदन पर समान कार्य निर्दिष्ट करती है, तो हम कहते हैं कि h g द्वारा (या संगत) उत्पन्न होता है, और हम g ≥ लिखते हैं एच। यह अनुकूलता स्थिति न तो सकर्मक, सममित और न ही विषम है। यदि हम सकर्मक संबंध को सकर्मक संबंध से बंद करते हैं, तो हम एक सममित संबंध प्राप्त करते हैं, जो कि कीटाणुओं पर एक तुल्यता संबंध भी है (लेकिन एक आदेश नहीं)। परिवर्तनशीलता द्वारा यह विस्तार विश्लेषणात्मक निरंतरता की एक परिभाषा है। तुल्यता संबंध निरूपित किया जाएगा $$\cong$$.

हम एक टोपोलॉजी को परिभाषित कर सकते हैं $$\mathcal G$$. मान लीजिए r > 0, और मान लीजिए


 * $$U_r(g) = \{h \in \mathcal G : g \ge h, |g_0 - h_0| < r\}.$$

सेट यूr(जी), सभी आर > 0 और के लिए $$g\in\mathcal G$$ टोपोलॉजी के लिए आधार (टोपोलॉजी) परिभाषित करें $$\mathcal G$$.

का जुड़ा हुआ स्थान $$\mathcal G$$ (अर्थात, एक तुल्यता वर्ग) को शीफ (गणित) कहा जाता है। हम यह भी ध्यान दें कि मानचित्र द्वारा परिभाषित किया गया है $$\phi_g(h) = h_0 : U_r(g) \to \Complex,$$ जहाँ r, g की अभिसरण की त्रिज्या है, एक एटलस (टोपोलॉजी)#चार्ट है। इस तरह के चार्ट का सेट एक एटलस (टोपोलॉजी) बनाता है $$\mathcal G$$, इसलिये $$\mathcal G$$ एक रीमैन सतह है। $$\mathcal G$$ इसे कभी-कभी सार्वभौमिक विश्लेषणात्मक कार्य कहा जाता है।

विश्लेषणात्मक निरंतरता के उदाहरण

 * $$L(z) = \sum_{k=1}^\infin \frac{(-1)^{k+1}}{k}(z-1)^k$$

z = 1 के पास प्राकृतिक लघुगणक के अनुरूप एक शक्ति श्रृंखला है। इस शक्ति श्रृंखला को जर्म (गणित) में बदला जा सकता है
 * $$ g=\left(1,0,1,-\frac 1 2, \frac 1 3, - \frac 1 4 , \frac 1 5 , - \frac 1 6 , \ldots\right) $$

इस रोगाणु का अभिसरण का त्रिज्या 1 है, और इसलिए इसके अनुरूप एक शीफ (गणित) S है। यह लघुगणक फलन का शीफ ​​है।

विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए विशिष्टता प्रमेय भी विश्लेषणात्मक कार्यों के शीशों तक फैली हुई है: यदि किसी विश्लेषणात्मक कार्य के शीफ में शून्य रोगाणु होता है (यानी, कुछ पड़ोस में शीफ समान रूप से शून्य होता है) तो संपूर्ण शीफ शून्य होता है। इस परिणाम के साथ सशस्त्र, हम देख सकते हैं कि यदि हम लघुगणक समारोह के शीफ एस के किसी रोगाणु जी लेते हैं, जैसा कि ऊपर वर्णित है, और इसे एक शक्ति श्रृंखला एफ (जेड) में बदल दें तो इस समारोह में संपत्ति होगी जो एक्स (एफ) (जेड)) = जेड। यदि हमने विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए व्युत्क्रम कार्य प्रमेय के एक संस्करण का उपयोग करने का निर्णय लिया था, तो हम घातीय मानचित्र के लिए विभिन्न प्रकार के व्युत्क्रमों का निर्माण कर सकते थे, लेकिन हमें पता चलेगा कि वे सभी S में किसी रोगाणु द्वारा दर्शाए गए हैं। उस अर्थ में, S घातीय मानचित्र का एक वास्तविक प्रतिलोम है।

पुराने साहित्य में, विश्लेषणात्मक कार्यों के पूलों को बहु-मूल्यवान कार्य कहा जाता था। सामान्य अवधारणा के लिए शीफ (गणित) देखें।

प्राकृतिक सीमा
मान लीजिए कि एक शक्ति श्रृंखला में अभिसरण की त्रिज्या r है और उस डिस्क के अंदर एक विश्लेषणात्मक कार्य f को परिभाषित करता है। अभिसरण के वृत्त पर बिंदुओं पर विचार करें। एक बिंदु जिसके लिए एक पड़ोस है जिस पर f का विश्लेषणात्मक विस्तार नियमित है, अन्यथा एकवचन। वृत्त एक 'प्राकृतिक सीमा' है यदि इसके सभी बिंदु एकवचन हैं।

अधिक आम तौर पर, हम परिभाषा को किसी भी खुले कनेक्टेड डोमेन पर लागू कर सकते हैं, जिस पर f विश्लेषणात्मक है, और डोमेन की सीमा के बिंदुओं को नियमित या एकवचन के रूप में वर्गीकृत करता है: डोमेन सीमा तब एक प्राकृतिक सीमा होती है यदि सभी बिंदु एकवचन होते हैं, जिसमें केस होलोमोर्फी का डोमेन डोमेन है।

उदाहरण I: शून्य पर एक प्राकृतिक सीमा के साथ एक फ़ंक्शन (प्राइम ज़ेटा फ़ंक्शन)
के लिये $$\Re(s) > 1$$ हम तथाकथित प्रधान जीटा समारोह को परिभाषित करते हैं, $$P(s)$$, होना


 * $$P(s) := \sum_{p\ \text{ prime}} p^{-s}.$$

यह फ़ंक्शन रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के सारांश रूप के अनुरूप है जब $$\Re(s) > 1$$ इस हद तक कि यह एक ही सारांश कार्य है $$\zeta(s)$$, सभी सकारात्मक प्राकृतिक संख्याओं पर योग लेने के बजाय केवल अभाज्य संख्याओं तक सीमित सूचकांकों को छोड़कर। प्राइम जेटा फ़ंक्शन में सभी कॉम्प्लेक्स एस के लिए एक विश्लेषणात्मक निरंतरता है जैसे कि $$0 < \Re(s) < 1$$, एक तथ्य जो की अभिव्यक्ति से होता है $$P(s)$$ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन के लघुगणक के रूप में


 * $$P(s) = \sum_{n \geq 1} \mu(n)\frac{\log\zeta(ns)}{n}.$$

तब से $$\zeta(s)$$ पर एक सरल, गैर-हटाने योग्य पोल है $$s := 1$$, तो यह देखा जा सकता है $$P(s)$$ पर एक साधारण पोल है $$s := \tfrac{1}{k}, \forall k \in \Z^{+}$$. अंक के सेट के बाद से


 * $$\operatorname{Sing}_P := \left\{k^{-1} : k \in \Z^+\right\} = \left \{1, \frac{1}{2}, \frac{1}{3}, \frac{1}{4},\ldots \right \}$$

संचय बिंदु 0 है (अनुक्रम की सीमा के रूप में $$k\mapsto\infty$$), हम देख सकते हैं कि शून्य एक प्राकृतिक सीमा बनाता है $$P(s)$$. यह बताता है कि $$P(s)$$ शून्य के बाईं ओर (या पर) कोई विश्लेषणात्मक निरंतरता नहीं है, यानी, इसके लिए कोई निरंतरता संभव नहीं है $$P(s)$$ जब $$0 \geq \Re(s)$$. एक टिप्पणी के रूप में, यह तथ्य समस्याग्रस्त हो सकता है यदि हम एक अंतराल पर एक जटिल समोच्च अभिन्न प्रदर्शन कर रहे हैं जिसका वास्तविक भाग शून्य के बारे में सममित है, कहते हैं $$I_F \subseteq \Complex \ \text{such that}\ \Re(s) \in (-C, C), \forall s \in I_F$$ कुछ के लिए $$C > 0$$, जहां इंटीग्रैंड हर के साथ एक फ़ंक्शन है जो पर निर्भर करता है $$P(s)$$ एक आवश्यक तरीके से।

उदाहरण II: एक विशिष्ट लाख श्रृंखला (यूनिट सर्कल के सबसेट के रूप में प्राकृतिक सीमा)
पूर्णांकों के लिए $$c \geq 2$$, हम शक्ति श्रृंखला विस्तार द्वारा क्रम c की संक्षिप्त श्रृंखला को परिभाषित करते हैं


 * $$\mathcal{L}_c(z) := \sum_{n \geq 1} z^{c^n}, |z| < 1.$$

स्पष्ट रूप से, के बाद से $$c^{n+1} = c \cdot c^{n}$$ के लिए एक कार्यात्मक समीकरण है $$\mathcal{L}_c(z)$$ किसी भी z संतोषजनक के लिए $$|z| < 1$$ के द्वारा दिया गया $$\mathcal{L}_c(z) = z^{c} + \mathcal{L}_c(z^c)$$. किसी पूर्णांक के लिए इसे देखना भी कठिन नहीं है $$m \geq 1$$, हमारे पास के लिए एक और कार्यात्मक समीकरण है $$\mathcal{L}_c(z)$$ के द्वारा दिया गया


 * $$\mathcal{L}_c(z) = \sum_{i=0}^{m-1} z^{c^{i}} + \mathcal{L}_c(z^{c^m}), \forall |z| < 1.$$

किसी भी धनात्मक प्राकृतिक संख्या c के लिए, लैकूनरी सीरीज़ फ़ंक्शन का विचलन होता है $$z = 1$$. हम विश्लेषणात्मक निरंतरता के प्रश्न पर विचार करते हैं $$\mathcal{L}_c(z)$$ अन्य जटिल z के लिए ऐसा है $$|z| > 1.$$ जैसा कि हम देखेंगे, किसी के लिए $$n \geq 1$$, कार्यक्रम $$\mathcal{L}_c(z)$$ पर विचलन करता है $$c^{n}$$-एकता की जड़ें। इसलिए, चूंकि ऐसी सभी जड़ों द्वारा गठित सेट यूनिट सर्कल की सीमा पर सघन है, इसलिए कोई विश्लेषणात्मक निरंतरता नहीं है $$\mathcal{L}_c(z)$$ जटिल z के लिए जिसका मापांक एक से अधिक है।

इस तथ्य का प्रमाण उस मामले के लिए एक मानक तर्क से सामान्यीकृत किया गया है जहाँ $$c := 2.$$ अर्थात्, पूर्णांकों के लिए $$n \geq 1$$, होने देना


 * $$\mathcal{R}_{c,n} := \left \{z \in \mathbb{D} \cup \partial{\mathbb{D}}: z^{c^n} = 1 \right \},$$

कहाँ पे $$\mathbb{D}$$ कॉम्प्लेक्स प्लेन में ओपन यूनिट डिस्क को दर्शाता है और $$|\mathcal{R}_{c,n} | = c^n$$, यानी हैं $$c^n$$ विशिष्ट जटिल संख्याएँ z जो इकाई वृत्त पर या उसके अंदर स्थित हैं जैसे कि $$z^{c^n} = 1$$. अब सबूत का मुख्य भाग के लिए कार्यात्मक समीकरण का उपयोग करना है $$\mathcal{L}_c(z)$$ जब $$|z| < 1$$ उसे दिखाने के लिए


 * $$\forall z \in \mathcal{R}_{c,n}, \qquad \mathcal{L}_c(z) = \sum_{i=0}^{c^n-1} z^{c^i} + \mathcal{L}_c(z^{c^n}) = \sum_{i=0}^{c^n-1} z^{c^i} + \mathcal{L}_c(1) = +\infty.$$

इस प्रकार इकाई वृत्त की सीमा पर किसी भी चाप के लिए, इस चाप के भीतर अनंत बिंदु z हैं जैसे कि $$\mathcal{L}_c(z) = \infty$$. यह स्थिति कहने के बराबर है कि वृत्त $$C_1 := \{z: |z| = 1\}$$ समारोह के लिए एक प्राकृतिक सीमा बनाता है $$\mathcal{L}_c(z)$$ के किसी भी निश्चित विकल्प के लिए $$c \in \Z \quad c > 1.$$ इसलिए, यूनिट सर्कल के आंतरिक भाग से परे इन कार्यों के लिए कोई विश्लेषणात्मक निरंतरता नहीं है।

मोनोड्रोम प्रमेय
मोनोड्रोमी प्रमेय एक प्रत्यक्ष विश्लेषणात्मक निरंतरता के अस्तित्व के लिए पर्याप्त स्थिति देता है (यानी, एक बड़े सेट पर एक विश्लेषणात्मक कार्य के लिए एक विश्लेषणात्मक कार्य का विस्तार)।

मान लीजिए $$D\subset \Complex$$ डी पर एक खुला सेट और एफ एक विश्लेषणात्मक कार्य है। यदि जी डी युक्त एक सरल रूप से जुड़ा हुआ डोमेन (गणितीय विश्लेषण) है, जैसे कि एफ में जी में हर पथ के साथ एक विश्लेषणात्मक निरंतरता है, डी में कुछ निश्चित बिंदु से शुरू होता है, तो एफ जी के लिए प्रत्यक्ष विश्लेषणात्मक निरंतरता है।

उपरोक्त भाषा में इसका अर्थ यह है कि यदि G एक साधारण रूप से जुड़ा हुआ डोमेन है, और S एक शीफ है जिसके आधार बिंदुओं के सेट में G है, तो G पर एक विश्लेषणात्मक कार्य f मौजूद है जिसके रोगाणु S के हैं।

हैडमार्ड का गैप प्रमेय
एक शक्ति श्रृंखला के लिए


 * $$f(z)=\sum_{k=0}^\infty a_k z^{n_k}$$

साथ


 * $$\liminf_{k\to\infty}\frac{n_{k+1}}{n_k} > 1$$

अभिसरण का चक्र एक प्राकृतिक सीमा है। ऐसी शक्ति श्रृंखला को अशक्त समारोह कहा जाता है। इस प्रमेय को यूजेन फेब्री (फैब्री की गैप प्रमेय देखें) और जॉर्ज पोल्या द्वारा काफी हद तक सामान्यीकृत किया गया है।

पोल्या की प्रमेय
प्राणी


 * $$f(z)=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k (z-z_0)^k$$

एक शक्ति श्रृंखला हो, तो वहां ε मौजूद हैk ∈ {−1, 1} ऐसा कि


 * $$f(z)=\sum_{k=0}^\infty \varepsilon_k\alpha_k (z-z_0)^k$$

z के चारों ओर f की अभिसरण डिस्क है0 एक प्राकृतिक सीमा के रूप में।

इस प्रमेय का प्रमाण हैडमार्ड के अंतराल प्रमेय का उपयोग करता है।

एक उपयोगी प्रमेय: गैर-सकारात्मक पूर्णांक
के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता के लिए एक पर्याप्त शर्त

ज्यादातर मामलों में, यदि किसी जटिल कार्य की विश्लेषणात्मक निरंतरता मौजूद है, तो यह एक अभिन्न सूत्र द्वारा दिया जाता है। अगला प्रमेय, बशर्ते इसकी परिकल्पना पूरी हो, एक पर्याप्त स्थिति प्रदान करता है जिसके तहत हम एक विश्लेषणात्मक कार्य को इसके अभिसरण बिंदुओं से सकारात्मक वास्तविकताओं के साथ मनमाने ढंग से जारी रख सकते हैं $$s \in \Complex$$ (परिमित-कई ध्रुवों के अपवाद के साथ)। इसके अलावा, सूत्र गैर-सकारात्मक पूर्णांकों की निरंतरता के मूल्यों के लिए एक स्पष्ट प्रतिनिधित्व देता है जो शून्य पर मूल्यांकन किए गए मूल फ़ंक्शन के उच्च डेरिवेटिव | उच्च क्रम (पूर्णांक) डेरिवेटिव द्वारा व्यक्त किया गया है।

प्रमेय की परिकल्पना
हमें आवश्यकता है कि एक समारोह $$F: \R^+ \to \Complex$$ नीचे बताए गए इस फ़ंक्शन की निरंतरता पर प्रमेय को लागू करने के लिए निम्नलिखित शर्तों को पूरा करता है:


 * (टी-1)। फ़ंक्शन में सभी ऑर्डर के निरंतर डेरिवेटिव होने चाहिए, अर्थात, $$F \in \mathcal{C}^{\infty}(\R^{+})$$. दूसरे शब्दों में, किसी भी पूर्णांक के लिए $$j \geq 1$$, अभिन्न-क्रम $$j^{th}$$ यौगिक $$F^{(j)}(x) = \frac{d^{(j)}}{dx^{(j)}}[F(x)]$$ मौजूद होना चाहिए, निरंतर होना चाहिए $$\R^+$$, और स्वयं अवकलनीय फलन हो, ताकि F के सभी उच्च कोटि के अवकलज धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर x के चिकने फलन फलन हों;
 * '(त-2).' हमें आवश्यकता है कि सभी के लिए फ़ंक्शन F तेजी से घट रहा है $$n \in \Z^+$$ हम सीमित व्यवहार प्राप्त करते हैं $$t^nF(t) \to 0$$ जैसा कि टी असीम हो जाता है, अनंत की ओर प्रवृत्त होता है;
 * '(त-3).' (पारस्परिक गामा-स्केल्ड) एफ का मेलिन परिवर्तन सभी जटिल एस के लिए मौजूद है जैसे कि $$\Re(s) > 0$$ के अपवाद के साथ $$s \in \{\zeta_1(F), \zeta_2(F), \ldots, \zeta_k(F)\}$$ (या संभवतः असाधारण ध्रुवों की एक सीमित संख्या को छोड़कर सभी सकारात्मक वास्तविक भागों के साथ):


 * $$\widetilde{\mathcal{M}}[F](s) := \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} t^{s} F(t) \frac{dt}{t}, \qquad \left |\widetilde{\mathcal{M}}[F](s) \right| \in (-\infty, +\infty), \forall s \in \{z \in \Complex: \Re(z) > 0\} \setminus \{\zeta_1(F), \ldots, \zeta_k(F)\}.$$

प्रमेय का निष्कर्ष
F को सकारात्मक वास्तविकताओं पर परिभाषित कोई भी कार्य होने दें जो ऊपर की सभी शर्तों (T1)-(T3) को संतुष्ट करता है। फिर स्केल किए गए मेलिन ट्रांसफ़ॉर्म का अभिन्न प्रतिनिधित्व एफ पर एस, द्वारा निरूपित किया गया $$\widetilde{\mathcal{M}}[F](s)$$, जटिल विमान के लिए एक मेरोमोर्फिक निरंतरता है $$\Complex \setminus \{\zeta_1(F), \ldots, \zeta_k(F)\}$$. इसके अलावा, हमारे पास किसी भी गैर-नकारात्मक के लिए है $$n \in \Z$$, बिंदु पर F की निरंतरता $$s := -n$$ सूत्र द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया है


 * $$\widetilde{\mathcal{M}}[F](-n) = (-1)^{n} \times F^{(n)}(0) \equiv (-1)^{n} \times \frac{\partial^{n}}{{\partial x}^n}\left[F(x)\right] |_{x=0}.$$

उदाहरण I: रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन का बर्नौली नंबरों से कनेक्शन
हम प्रमेय को फलन पर लागू कर सकते हैं


 * $$F_{\zeta}(x) := \frac{x}{e^x-1} = \sum_{n \geq 0} B_n \frac{x^n}{n!},$$

जो बरनौली संख्याओं के चरघातांकी जनन फलन के संगत है, $$B_n$$. के लिये $$\Re(s) > 1$$, व्यक्त कर सकते हैं $$\zeta(s) = \widetilde{\mathcal{M}}[F_{\zeta}](s)$$, क्योंकि हम गणना कर सकते हैं कि पूर्णांकों की पारस्परिक शक्तियों के लिए अगला अभिन्न सूत्र $$n \geq 1$$ इस श्रेणी में s के लिए होल्ड करता है:


 * $$\frac{1}{n^s} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{+\infty} t^{s-1} e^{-nt} dt, \Re(s) > 1. $$

अब चूँकि अंतिम समीकरण का समाकलन प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक n के लिए t का एक समान रूप से निरंतर कार्य है, हमारे पास इसके लिए एक अभिन्न प्रतिनिधित्व है $$\zeta(s)$$ जब भी $$\Re(s) > 1$$ के द्वारा दिया गया


 * $$\zeta(s) = \sum_{n \geq 1} n^{-s} = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{+\infty} \left(\sum_{n \geq 1} e^{-nt}\right) t^{s-1} dt = \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} t^{s-1} \frac{F_{\zeta}(t)}{t} dt.$$

जब हम इसके लिए मेलिन ट्रांसफॉर्म इंटीग्रल के लिए भागों द्वारा एकीकरण करते हैं $$F_{\zeta}(x)$$, हम यह भी संबंध प्राप्त करते हैं


 * $$\zeta(s) = \frac{1}{(s-1)} \widetilde{\mathcal{M}}[F_{\zeta}](s-1).$$

इसके अलावा, चूंकि $$e^t \gg t^{n}$$ टी की किसी निश्चित पूर्णांक बहुपद शक्ति के लिए, हम उस प्रमेय की परिकल्पना को पूरा करते हैं जिसके लिए इसकी आवश्यकता होती है $$\lim_{t \to +\infty} t^n \cdot F_{\zeta}(t), \forall n \in \Z^+$$. Bernoulli संख्या के जनक समारोह के लिए टेलर के प्रमेय के मानक अनुप्रयोग से पता चलता है $$F_{\zeta}^{(n)}(0) = \frac{B_n}{n!} \times n! = B_n$$. विशेष रूप से, शिफ्ट करने के लिए ऊपर किए गए अवलोकन द्वारा $$s \mapsto s-1$$, और इन टिप्पणियों से, हम रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन (के लिए) की तथाकथित रीमैन परिकल्पना के मूल्यों की गणना कर सकते हैं $$\zeta(-2n)$$) और परिमेय-मूल्यवान ऋणात्मक विषम पूर्णांक क्रम स्थिरांक, $$\zeta(-(2n+1)), n \geq 0$$, सूत्र के अनुसार


 * $$\zeta(-n) = -\frac{1}{n+1} \widetilde{\mathcal{M}}[F_{\zeta}](-n-1) = \frac{(-1)^n}{n+1} F_{\zeta}^{(n+1)}(0) = \begin{cases} -\frac{1}{2}, & n = 0; \\ \infty, & n = 1; \\ -\frac{B_{n+1}}{n+1}, & n \geq 2.\end{cases}$$

उदाहरण II: कुछ अंकगणितीय अनुक्रम के लिए योगात्मक फलन के रूप में F की व्याख्या
मान लीजिए कि F सकारात्मक वास्तविकताओं पर एक सुचारू, पर्याप्त रूप से घटता हुआ कार्य है जो अतिरिक्त स्थिति को संतुष्ट करता है


 * $$\Delta[F](x-1) = F(x)-F(x-1) =: f(x), \forall x \in \Z^{+}.$$

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत संदर्भों के लिए आवेदन में, हम ऐसे F को अंकगणितीय फ़ंक्शन f का सारांश कार्य मानते हैं,


 * $$F(x) := {\sum_{n \geq x}}^{\prime} f(n)$$

हम कहाँ लेते हैं $$F(x) = 0, \forall 0<x<1$$ और पिछली राशि पर प्राइम-नोटेशन पेरॉन फॉर्मूला | पेरोन के प्रमेय के लिए उपयोग किए जाने वाले मानक सम्मेलनों से मेल खाता है:


 * $$F_f(x) := {\sum_{n \leq x}}^{\prime} f(n) = \begin{cases} \sum_{n \leq [x]} f(n), & x \in \R^+ \setminus \Z; \\ \sum_{n \leq x} f(n) - \frac{f(x)}{2}, & x \in \R^+ \cap \Z.\end{cases}$$

हम एफ के डिरिचलेट जनरेटिंग फंक्शन की विश्लेषणात्मक निरंतरता में रुचि रखते हैं, या एफ पर डीरिचलेट श्रृंखला के समतुल्य हैं,


 * $$D_f(s) := \sum_{n \geq 1} \frac{f(n)}{n^s}.$$

आमतौर पर, हमारे पास अभिसरण के भुज का एक विशेष मूल्य होता है, $$\sigma_{0,f} > 0$$, इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$D_f(s)$$ सभी परिसरों के संतोषजनक के लिए बिल्कुल अभिसरण है $$\Re(s) > \sigma_{0,f}$$, और कहाँ $$D_f(s)$$ माना जाता है कि एक पोल है $$s := \pm \sigma_{0,f}$$ और इसलिए प्रारंभिक डिरिचलेट श्रृंखला के लिए $$D_f(s)$$ सभी एस के लिए विचलन करता है कि $$\Re(s) \leq \sigma_{0,f}$$. यह ज्ञात है कि किसी भी एफ के सारांश कार्य के मेलिन परिवर्तन के बीच इसके डीजीएफ की निरंतरता के बीच संबंध है $$s \mapsto -s$$ फार्म का:


 * $$D_f(s) = \mathcal{M}[F](-s) = \int_1^{\infty} \frac{F_f(s)}{x^{s+1}} dx$$

अर्थात् प्रदान की जाती है $$D_f(s)$$ मूल के बाएं जटिल विमान के लिए एक निरंतरता है, हम किसी भी एफ के योगात्मक कार्य को व्यक्त कर सकते हैं, एफ के डीजीएफ के व्युत्क्रम मेलिन परिवर्तन द्वारा शून्य से कम वास्तविक भागों के साथ जारी रखा गया है:
 * $$F_f(x) = \mathcal{M}^{-1}\left[\mathcal{M}[F_f](-s)\right](x) = \mathcal{M}^{-1}[D_f(-s)](x).$$

हम किसी भी निर्धारित f के DGF, या Dirichlet श्रृंखला का निर्माण कर सकते हैं, जो कि हमारे सुचारु लक्ष्य फलन F को भागों द्वारा योग करके दिया गया है


 * $$\begin{align}

D_f(s) &= \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{+\infty} \left(\sum_{n \geq 1} (F(n) - F(n-1)) e^{-nt}\right) t^{s} dt \\ &= \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \lim_{N \to \infty} \left[F(N) e^{-Nt} + \sum_{k=0}^{N-1} F(k) e^{-kt}\left(1-e^{-t} \right) \right] dt \\ &= \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} t^{s-1} (1-e^{-t}) \int_0^{\infty} F(r/t) e^{-r} dr dt \\ &= \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} t^{s-1} \left(1-e^{-t}\right) \widetilde{F}\left(\frac{1}{t}\right) dt \\ &= \frac{1}{\Gamma(s)} \int_0^{\infty} \frac{\left(1-e^{-1/u}\right)}{u^{s} (1-u)} F\left(\frac{u}{1-u}\right) du, \end{align}$$ कहाँ पे $$\hat{F}(x) \equiv \mathcal{L}[F](x)$$ लाप्लास रूपांतरण है | एफ का लाप्लास-बोरेल ट्रांसफॉर्म, जो अगर


 * $$F(z) := \sum_{n \geq 0} \frac{f_n}{n!} z^n$$

द्वारा प्रगणित कुछ अनुक्रम के घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन से मेल खाती है $$f_n/n! = F^{(n)}(0)/n!$$ (जैसा कि शून्य के बारे में एफ के टेलर श्रृंखला विस्तार द्वारा निर्धारित किया गया है), फिर


 * $$\widetilde{F}(z) = \sum_{n \geq 0} f_n z^n$$

अनुक्रम पर इसका सामान्य जनन फलन रूप है जिसके गुणांकों की गणना की जाती है $$[z^n] \widetilde{F}(z) \equiv f_n = F^{(n)}(0)$$.

तो यह इस प्रकार है कि अगर हम लिखते हैं


 * $$G_F(x) := \frac{x}{1-x} F\left(\frac{x}{1-x}\right) = \sum_{n \geq 0} \left(\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} [z^k] F(z)\right) x^{n+1},$$

वैकल्पिक रूप से एफ के द्विपद परिवर्तन के एक हस्ताक्षरित संस्करण के रूप में व्याख्या की जाती है, फिर हम डीजीएफ को निम्नलिखित मेलिन परिवर्तन के रूप में व्यक्त कर सकते हैं $$-s$$:


 * $$\begin{align}

D_f(s) &= \mathcal{M}[G_F](-s) \mathcal{M}\left[1-e^{-1/x}\right](-s) \\ &= \frac{\mathcal{M}[G_F](-s)}{s-1}\left(1-\Gamma(s)\right) \end{align}$$ अंत में, चूंकि गामा फ़ंक्शन में मेरोमोर्फिक निरंतरता है $$\Complex \setminus \N$$, सभी के लिए $$s \in \Complex \setminus \{0,1,2,\ldots\},$$ हमारे पास प्रपत्र के f at -s के लिए DGF की विश्लेषणात्मक निरंतरता है


 * $$D_f(-s) = -\frac{1-\Gamma(-s)}{s+1} \mathcal{M}[G_F](s),$$

जहां के लिए एक सूत्र $$D_f(-n)$$ प्रमेय में सूत्र के अनुसार गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए दिया गया है


 * $$D_f(-n) = (-1)^n \frac{d^n}{{dx}^n}\left[\left(1-e^{-1/x}\right) \frac{x}{1-x} F\left(\frac{x}{1-x}\right)\right] \Biggr|_{x=0}.$$

इसके अलावा, बशर्ते कि अंकगणितीय फलन f संतुष्ट करता हो $$f(1) \neq 1$$ ताकि इसका डिरिचलेट प्रतिलोम फलन मौजूद हो, का DGF $$f^{-1}$$ किसी के लिए जारी है $$s \in \Complex \cap \{z: \Re(z) \in (-\infty, -\sigma_{0,f}) \cup (\sigma_{0,f}, +\infty)\}$$, वह कोई भी जटिल s है जिसमें f- परिभाषित, या अनुप्रयोग पर निर्भर f- विशिष्ट, ऊर्ध्वाधर रेखाओं के बीच तथाकथित महत्वपूर्ण पट्टी में s को छोड़कर $$z=\pm\sigma_{0,f}$$, और इस व्युत्क्रम फ़ंक्शन DGF का मान जब $$\Re(s) < -\sigma_{0,f}$$ द्वारा दिया गया है
 * $$D_{f^{-1}}(-s) = \begin{cases} 0, & n \in \N; \\ -\frac{s+1}{1-\Gamma(-s)} \mathcal{M}[G_F^{-1}](s), & \text{otherwise.}\end{cases}$$

इस एफ-परिभाषित महत्वपूर्ण पट्टी के अंदर डीरिचलेट व्युत्क्रम समारोह के डीजीएफ को जारी रखने के लिए, हमें डीजीएफ के लिए एक कार्यात्मक समीकरण के कुछ ज्ञान की आवश्यकता होगी, $$D_f(s)$$, जो हमें s को इस तरह से संबंधित करने की अनुमति देता है कि इस फ़ंक्शन को शुरू में परिभाषित करने वाली डिरिचलेट श्रृंखला इस पट्टी के अंदर s के मानों के लिए बिल्कुल अभिसारी है - संक्षेप में, एक सूत्र जो प्रदान करता है $$D_f(s) = \xi_f(s) \times D_f(\sigma_{0,f}-s)$$ इस स्ट्रिप में डीजीएफ को परिभाषित करना जरूरी है।

यह भी देखें

 * Mittag-Leffler स्टार
 * होलोमॉर्फिक कार्यात्मक कलन
 * संख्यात्मक विश्लेषणात्मक निरंतरता

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 * अंक शास्त्र
 * किसी फ़ंक्शन का डोमेन
 * विश्लेषणात्मक कार्य
 * भिन्न श्रृंखला
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 * बिजली की श्रृंखला
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 * अंकगणितीय समारोह
 * डिरिचलेट श्रृंखला
 * अभिसरण का भुज
 * उलटा मेलिन रूपांतरण
 * मेरोमॉर्फिक निरंतरता
 * होलोमॉर्फिक फंक्शनल कैलकुलस

बाहरी संबंध

 * Analytic Continuation at MathPages
 * Analytic Continuation at MathPages