बोल्ट्ज़मान स्थिरांक

बोल्ट्ज़मान स्थिरांक ($k_{B}$ या $1.381 J.K-1$) आनुपातिकता कारक है जो आदर्श गैस में कणों की औसत सापेक्ष तापीय ऊर्जा को गैस के ऊष्मागतिकी तापमान से जोड़ता है। यह केल्विन और गैस स्थिरांक की परिभाषाओं में, और ब्लैक-बॉडी विकिरण प्लैंक के नियम और बोल्ट्ज़मान के एन्ट्रॉपी सूत्र में होता है, और इसका उपयोग जॉनसन-नाइक्विस्ट प्रतिरोधों में थर्मल ध्वनि की गणना में किया जाता है। बोल्ट्ज़मान स्थिरांक में तापमान द्वारा विभाजित ऊर्जा का आयामी विश्लेषण होता है, जो एन्ट्रापी के समान होता है। इसका नाम ऑस्ट्रियाई वैज्ञानिक लुडविग बोल्ट्ज़मान के नाम पर रखा गया है।

एसआई आधार इकाइयों की 2019 पुनर्परिभाषा के भाग के रूप में, बोल्ट्ज़मान स्थिरांक सात भौतिक स्थिरांक में से एक है जिन्हें स्पष्ट परिभाषाएँ दी गई हैं। इनका उपयोग सात एसआई आधार इकाइयों को परिभाषित करने के लिए विभिन्न संयोजनों में किया जाता है। बोल्ट्ज़मान स्थिरांक को पूर्णतः $k$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

बोल्ट्ज़मान स्थिरांक की भूमिकाएँ
स्थूलदर्शी रूप से, आदर्श गैस कानून बताता है कि, आदर्श गैस के लिए, दबाव $1.381 J.K-1$ और आयतन $p$ का उत्पाद पदार्थ $V$ की मात्रा और पूर्ण तापमान $n$ गुणनफल के समानुपाती होता है:
 * $$pV = nRT ,$$

जहां $T$ मोलर गैस स्थिरांक ($R$) है. बोल्ट्ज़मान स्थिरांक को प्रति अणु $k = R/N_{A}$ गैस स्थिरांक के रूप में प्रस्तुत करना आदर्श गैस नियम को वैकल्पिक रूप में परिवर्तित करता है:
 * $$p V = N k T ,$$

जहां $8.314 J⋅K^{−1}⋅mol^{−1}$ गैस के कणों की संख्या है.

ऊर्जा के समविभाजन में भूमिका
ऊष्मागतिकी तापमान पर ऊष्मप्रवैगिकी प्रणाली दी गई है $N$, प्रणाली में स्वतंत्रता की प्रत्येक सूक्ष्म डिग्री द्वारा वहन की जाने वाली औसत तापीय ऊर्जा $1⁄2kT$ है (अर्थात, कमरे के तापमान पर लगभग $T$, या $2.07 J$, ) है। यह सामान्यतः ऊष्मागतिकी सीमा पर केवल बड़ी संख्या में कणों वाले मौलिक प्रणाली के लिए सत्य है, और जिसमें क्वांटम प्रभाव नगण्य हैं।

इस प्रकार से मौलिक यांत्रिकी सांख्यिकीय यांत्रिकी में, यह औसत सजातीय आदर्श गैसों के लिए स्पष्ट होने की पूर्वानुमान की गई है। एकपरमाण्विक आदर्श गैसों (छह उत्कृष्ट गैसों) में तीन स्थानिक दिशाओं के अनुरूप, प्रति परमाणु तीन डिग्री की स्वतंत्रता (भौतिकी और रसायन विज्ञान) होती है। ऊर्जा के समविभाजन के अनुसार इसका अर्थ है कि प्रति परमाणु $3⁄2kT$ एक तापीय ऊर्जा है। यह प्रयोगात्मक डेटा के साथ अत्यधिक पूर्ण रूप से मेल खाता है। तापीय ऊर्जा का उपयोग परमाणुओं की मूल-माध्य-वर्ग गति की गणना करने के लिए किया जा सकता है, जो परमाणु द्रव्यमान के वर्गमूल के व्युत्क्रमानुपाती होती है। कमरे के तापमान पर पाई जाने वाली मूल माध्य वर्ग गति इसे स्पष्ट रूप से दर्शाती है, हीलियम के लिए $0.013 eV$, से लेकर नीचे तक क्सीनन के लिए $1,370 m/s$ तक।

एक आदर्श गैस के लिए गैसों का गतिज सिद्धांत औसत दबाव $240 m/s$ देता हैː
 * $$ p = \frac{1}{3}\frac{N}{V} m \overline{v^2}.$$

आदर्श गैस नियम के साथ संयोजन
 * $$p V = N k T$$

दर्शाता है कि औसत स्थानांतरीय गतिज ऊर्जा है
 * $$ \tfrac{1}{2}m \overline{v^2} = \tfrac{3}{2} k T.$$

यह ध्यान में रखते हुए कि अनुवादात्मक गति वेग सदिश $v$ स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है (प्रत्येक आयाम के लिए एक) स्वतंत्रता की प्रति डिग्री औसत ऊर्जा उसके एक तिहाई के समान देती है, अर्थात $1⁄2kT$.

आदर्श गैस समीकरण का आणविक गैसों द्वारा भी निकटता से पालन किया जाता है; किन्तु ताप क्षमता का रूप अधिक सम्मिश्र है, क्योंकि अणुओं में स्वतंत्रता की अतिरिक्त आंतरिक डिग्री होती है, साथ ही समग्र रूप से अणु की गति के लिए स्वतंत्रता की तीन डिग्री होती है। उदाहरण के लिए, द्विपरमाणुक गैसों में प्रति अणु कुल छह डिग्री सरल स्वतंत्रता होती है जो परमाणु गति (तीन अनुवादात्मक, दो घूर्णी और एक कंपन) से संबंधित होती है। कम तापमान पर, प्रति अणु प्रासंगिक तापीय ऊर्जा पर उत्तेजित अवस्थाओं की उपलब्धता पर क्वांटम यांत्रिक सीमाओं के कारण, स्वतंत्रता की ये सभी डिग्री पूरी तरह से गैस ताप क्षमता में भाग नहीं ले सकती हैं।

बोल्ट्ज़मान कारकों में भूमिका

 * $$P_i \propto \frac{\exp\left(-\frac{E}{k T}\right)}{Z},$$

जहां $p$ विभाजन फलन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) है। पुनः, यह ऊर्जा जैसी मात्रा $T$ है जो केंद्रीय महत्व रखता है।

इसके परिणामों में (उपरोक्त आदर्श गैसों के परिणामों के अतिरिक्त) रासायनिक गतिकी में अरहेनियस समीकरण सम्मिलित है।

एन्ट्रापी की सांख्यिकीय परिभाषा में भूमिका
सांख्यिकीय यांत्रिकी में, ऊष्मागतिकी संतुलन पर एक पृथक प्रणाली की एन्ट्रापी S को $E$ के प्राकृतिक लघुगणक के रूप में परिभाषित किया गया है, स्थूल बाधाओं (जैसे एक निश्चित कुल ऊर्जा $i$) को देखते हुए प्रणाली के लिए उपलब्ध विशिष्ट सूक्ष्म अवस्थाओं की संख्या है:
 * $$S = k \,\ln W.$$

यह समीकरण, जो प्रणाली के सूक्ष्म विवरण, या माइक्रोस्टेट्स से संबंधित है ($P_{i}$ के माध्यम से) को इसकी स्थूल अवस्था में (एन्ट्रापी $Z$ के माध्यम से), सांख्यिकीय यांत्रिकी का केंद्रीय विचार है। इसका महत्व इतना है कि यह बोल्ट्ज़मान की समाधि पर अंकित है।

आनुपातिकता का स्थिरांक $kT$ सांख्यिकीय यांत्रिक एन्ट्रॉपी को समीप की मौलिक ऊष्मागतिकी एन्ट्रॉपी के समान बनाने का कार्य करता है:
 * $$\Delta S = \int \frac{{\rm d}Q}{T}.$$

इसके अतिरिक्त सूक्ष्मदर्शी शब्दों में पुनर्स्केलित आयामहीन एन्ट्रापी को चुना जा सकता है
 * $${S' = \ln W}, \quad \Delta S' = \int \frac{\mathrm{d}Q}{k T}.$$

यह एक अधिक प्राकृतिक रूप है और यह पुनर्स्केल की गई एन्ट्रापी पूर्णतः शैनन की बाद की सूचना एन्ट्रापी से मेल खाती है।

इस प्रकार अभिलक्षणिक ऊर्जा $W$ एक नेट (इकाई) तक पुन: स्केल की गई एन्ट्रापी को बढ़ाने के लिए आवश्यक ऊर्जा है।

थर्मल वोल्टेज
अर्धचालकों में, शॉक्ले डायोड समीकरण - p–n संयोजन पर विद्युत प्रवाह के प्रवाह और स्थिरवैद्युत क्षमता के बीच का संबंध - थर्मल वोल्टेज नामक एक विशेषता वोल्टेज पर निर्भर करता है, जिसे $V_{T}$ द्वारा दर्शाया जाता है। थर्मल वोल्टेज पूर्ण तापमान $E$ पर निर्भर करता हैː$$ V_\mathrm{T} =  { k T \over q } = { R T \over F },$$जहां $W$  एक मान के साथ इलेक्ट्रॉन पर विद्युत आवेश का परिमाण समान रूप से, हैː $$ { V_\mathrm{T} \over T } = { k \over q } \approx 8.61733034 \times 10^{-5}\ \mathrm{V/K}.$$कमरे के तापमान पर 300 K, $V_{T}$ लगभग $S$ है जिसे निम्नानुसार मानों को प्लग करके प्राप्त किया जा सकता है:

$$V_\mathrm{T}={kT \over q} =\frac{1.38\times 10^{-23}\ \mathrm{J{\cdot}K^{-1}} \times 300\ \mathrm{K}}{1.6 \times 10^{-19}\ \mathrm{C}} \simeq 25.85\ \mathrm{mV}$$मान लीजिये 298.15 K के मानक अवस्था तापमान पर, यह लगभग $k$ है। थर्मल वोल्टेज प्लाज्मा और इलेक्ट्रोलाइट समाधानों में भी महत्वपूर्ण है (उदाहरण के लिए नर्नस्ट समीकरण); दोनों ही स्तिथियों में यह माप प्रदान करता है कि एक निश्चित वोल्टेज पर रखी गई सीमा से इलेक्ट्रॉनों या आयनों का स्थानिक वितरण कितना प्रभावित होता है।

इतिहास
बोल्ट्ज़मान स्थिरांक का नाम इसके 19वीं सदी के ऑस्ट्रियाई खोजकर्ता लुडविग बोल्ट्ज़मान के नाम पर रखा गया है। चूंकि बोल्ट्ज़मान ने पहली बार 1877 में एन्ट्रापी और संभाव्यता को जोड़ा था, किन्तु मैक्स प्लैंक द्वारा पहली बार $kT$ प्रस्तुत किए जाने तक संबंध को कभी भी एक विशिष्ट स्थिरांक के साथ व्यक्त नहीं किया गया था, और इसके लिए अधिक स्पष्ट मान दिया ($T$, जो वर्तमान के आंकड़े से लगभग 2.5% कम है), 1900-1901 में प्लैंक के नियम ब्लैक-बॉडी विकिरण के नियम की व्युत्पत्ति में, 1900 से पहले, बोल्ट्ज़मान कारकों से जुड़े समीकरण प्रति अणु ऊर्जा और बोल्ट्ज़मान स्थिरांक का उपयोग करके नहीं लिखे गए थे, किन्तु गैस स्थिरांक $q$ के एक रूप और पदार्थ की स्थूल मात्रा के लिए स्थूल ऊर्जा का उपयोग करके लिखे गए थे। बोल्ट्जमैन की समाधि पर समीकरण $S = k ln W$ का प्रतिष्ठित संक्षिप्त रूप वास्तव में प्लैंक के कारण है, बोल्ट्जमैन के कारण नहीं। प्लैंक ने वास्तव में इसे अपने उपनाम $25.85 mV$ के समान कार्य में प्रस्तुत किया है.

1920 में, प्लैंक ने अपने नोबेल पुरस्कार व्याख्यान में लिखा था:

यह "विचित्र स्थिति" उस समय की महान वैज्ञानिक विवाद में से एक संदर्भ में अंकित की गई है। की उन्नीसवीं सदी के उत्तरार्ध में इस तथ्य पर अधिक विचार किया गया, कि क्या परमाणु और परमाणु वास्तविक थे या उनकी समस्याओं को हल करने के लिए केवल एक अध्ययन उपकरण थे। इस तथ्य पर कोई सहमति नहीं है कि परमाणु भार द्वारा मापे गए रासायनिक परमाणु, गतिज सिद्धांत द्वारा मापे गए भौतिक अणुओं के समान थे या नहीं। प्लैंक का 1920 का व्याख्यान जारी रहा:

एसआई आधार इकाइयों की 2019 की पुनर्परिभाषा से पहले एसआई के संस्करणों में, बोल्ट्जमैन स्थिरांक एक निश्चित मूल्य के अतिरिक्त एक मापा मात्रा था। केल्विन ( देखें) और अन्य एसआई आधार इकाइयों ( देखें) की पुनर्परिभाषाओं के कारण इसकी स्पष्ट परिभाषा भी वर्षों से भिन्न है।

इस प्रकार से 2017 में, बोल्ट्ज़मान स्थिरांक के सबसे स्पष्ट माप ध्वनिक गैस तापमिति द्वारा प्राप्त किए गए थे, जो सूक्ष्म तरंग और ध्वनिक अनुनादों का उपयोग करके एक त्रिअक्षीय दीर्घवृत्ताकार कक्ष में एकपरमाण्विक गैस की ध्वनि की गति निर्धारित करता है। एक दशक तक चला यह प्रयास कई प्रयोगशालाओं द्वारा विभिन्न तकनीकों के साथ किया गया था; यह एसआई आधार इकाइयों की 2019 की पुनर्परिभाषा की आधारशिलाओं में से एक है। इन मापों के आधार पर, कोडाटा ने $25.69 mV$ अनुशंसा की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली ऑफ़ इकाइयां के लिए उपयोग किए जाने वाले बोल्ट्ज़मान स्थिरांक के अंतिम निश्चित मान के रूप में अनुशंसित किया।

विभिन्न इकाइयों में मूल्य
†मान स्पष्ट है किन्तु सीमित दशमलव के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता; केवल 9 दशमलव स्थानों तक अनुमानित।

तब से $k$ तापमान और ऊर्जा के बीच एक आनुपातिकता कारक है, इसका संख्यात्मक मान ऊर्जा और तापमान के लिए इकाइयों की वरीय पर निर्भर करता है। एसआई इकाइयों में बोल्ट्ज़मान स्थिरांक के छोटे संख्यात्मक मान का अर्थ है कि केल्विन तापमान में 1 K द्वारा परिवर्तन से कण की ऊर्जा में केवल थोड़ी मात्रा में परिवर्तन होता है। जिसमें $1.346 J/K$ का एक परिवर्तन को $R$ परिवर्तन के समान ही परिभाषित किया गया है. विशेषता ऊर्जा $h$ एक शब्द है जिसका प्रयोग कई भौतिक संबंधों में किया जाता है।

बोल्ट्ज़मान स्थिरांक तरंग दैर्ध्य और तापमान के बीच एक संबंध स्थापित करता है (तरंग दैर्ध्य द्वारा hc/k को विभाजित करने पर तापमान मिलता है) जिसमें एक सुक्ष्ममापी $1.381 J/K$ से संबंधित होता है, और वोल्टेज और तापमान के बीच एक संबंध भी है (eV की इकाइयों में kT एक वोल्टेज से मेल खाता है) जिसमें एक वोल्ट $k$ से संबंधित है. इन दोनों तापमानों का अनुपात, $1.381$ / $8.617$ ≈ 1.239842, eV⋅μm की इकाइयों में hc का संख्यात्मक मान है।

प्राकृतिक इकाइयाँ
बोल्ट्ज़मैन स्थिरांक विशेषता सूक्ष्म ऊर्जा $2.084$ से स्थूल तापमान माप $k/h$ तक मानचित्रण प्रदान करता है मौलिक भौतिकी में, इस मानचित्रण को अधिकांशतः $1.381$ को एकता में स्थापना करने की प्राकृतिक इकाइयों का उपयोग करके सरल बनाया जाता है। इस परिपाटी का अर्थ है कि तापमान और ऊर्जा मात्राओं के आयाम (भौतिकी) समान हैं। विशेष रूप से, एसआई इकाई केल्विन अनावश्यक हो जाती है, जिसे जूल $k/(hc)$ के संदर्भ में के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस परंपरा के साथ, तापमान सदैव ऊर्जा की इकाइयों में दिया जाता है, और सूत्रों में बोल्ट्ज़मान स्थिरांक की स्पष्ट रूप से आवश्यकता नहीं होती है।

यह परिपाटी कई भौतिक संबंधों और सूत्रों को सरल बनाती है। उदाहरण के लिए, स्वतंत्रता की प्रत्येक मौलिक डिग्री ($$\tfrac{1}{2} k T$$ ऊपर) से जुड़ी ऊर्जा के लिए समविभाजन सूत्र बन जाता है
 * $$E_{\mathrm{dof}} = \tfrac{1}{2} T $$

एक अन्य उदाहरण के रूप में, ऊष्मागतिकी एन्ट्रॉपी की परिभाषा सूचना एन्ट्रॉपी के रूप से मेल खाती है:
 * $$ S = - \sum_i P_i \ln P_i.$$

जहां $1 J$ प्रत्येक सूक्ष्म अवस्था (सांख्यिकीय यांत्रिकी) की संभावना है।

यह भी देखें

 * कोडाटा 2018 अंतर्राष्ट्रीय विज्ञान परिषद की डेटा समिति
 * ऊष्मागतिकी बीटा
 * उन वैज्ञानिकों की सूची जिनके नाम भौतिक स्थिरांकों में प्रयुक्त होते हैं

बाहरी संबंध

 * Draft Chapter 2 for SI Brochure, following redefinitions of the base इकाइयों (prepared by the Consultative Committee for इकाइयों)
 * Big step towards redefining the kelvin: Scientists find new way to determine Boltzmann constant