इक्विवेरिएंट टोपोलॉजी

गणित में, इक्विवेरिएंट टोपोलॉजी उन टोपोलॉजिकल स्थानों का अध्ययन है जिनमें कुछ समरूपताएं होती हैं। टोपोलॉजिकल स्पेस का अध्ययन करते समय, व्यक्ति प्रायः निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) पर विचार करता है $$f: X \to Y$$, और जबकि इक्विवेरिएंट टोपोलॉजी भी ऐसे मानचितत्रों पर विचार करती है, अतिरिक्त बाधा यह है कि प्रत्येक मानचित्र फलन के अपने डोमेन और कोडोमेन स्पेस दोनों में समरूपता का सम्मान करता है।

समरूपता की धारणा सामान्यतः किसी समूह (गणित) की समूह क्रिया (गणित) पर विचार करके पकड़ी जाती है। $$G$$ पर $$X$$ और $$Y$$ और इसकी आवश्यकता है $$f$$ इस क्रिया के अंतर्गत इक्विवेरिएंट मानचित्र है, ताकि $$f(g\cdot x) = g \cdot f(x)$$ सभी के लिए $$x \in X$$, एक संपत्ति जिसे सामान्यतः दर्शाया जाता है $$f: X \to_{G} Y$$. अनुमानतः बोलते हुए, मानक टोपोलॉजी दो स्थानों को विरूपण के बराबर मानती है, जबकि इक्विवेरिएंट टोपोलॉजी रिक्त स्थान को विरूपण के बराबर मानती है, जब तक कि यह दोनों स्थानों में उपस्थित किसी भी समरूपता पर ध्यान देता है। इक्विवेरिएंट टोपोलॉजी का एक प्रसिद्ध प्रमेय बोरसुक-उलम प्रमेय है, जो दावा करता है कि प्रत्येक $$\mathbf{Z}_2$$-इक्विवेरिएंट मानचित्र $$f: S^n \to \mathbb R^n$$ अनिवार्य रूप से गायब हो जाता है.

प्रेरित G-बंडल
इक्विवेरिएंट कोहोलॉजी और अन्य अनुप्रयोगों में उपयोग किए जाने वाले एक महत्वपूर्ण निर्माण में स्वाभाविक रूप से होने वाला समूह बंडल सम्मिलित है (विवरण के लिए मुख्य बंडल देखें)।

आइए सबसे पहले उस स्थिति पर विचार करें जहां $$G$$ ग्रुप_एक्शन#क्रियाओं के उल्लेखनीय गुण कार्य करता है $$X$$. फिर, एक दिया गया $$G$$-इक्विवेरिएंट मानचित्र $$f:X \to_G Y$$, हम अनुभाग प्राप्त करते हैं $$s_f: X/G \to (X \times Y)/G $$ द्वारा दिए गए $$[x] \mapsto [x,f(x)]$$, जहाँ $$X \times Y$$ विकर्ण क्रिया प्राप्त करता है $$g(x,y)=(gx,gy)$$, और बंडल है $$p: (X \times Y)/G \to X/G$$, फाइबर के साथ $$Y$$ और प्रक्षेपण द्वारा दिया गया $$p([x,y])=[x]$$. प्रायः कुल स्थान लिखा जाता है $$X \times_G Y$$.

अधिक सामान्यतः असाइनमेंट $$s_f$$ वास्तव में मैप नहीं करता है $$(X \times Y)/G$$ सामान्यतः। जहाँ तब से $$f$$ इक्विवेरिएंट है, यदि $$g \in G_x$$ (आइसोट्रॉपी उपसमूह), फिर इक्विवेरिएंटता से, हमारे पास वह है $$g \cdot f(x)=f(g \cdot x)=f(x)$$, तो वास्तव में $$f$$ के संग्रह को मैप करेगा $$\{[x,y] \in (X \times Y)/G \mid G_x \subset G_y\}$$. इस स्थिति में, कोई बंडल को इक्विवेरिएंट कोहोमोलॉजी होमोटोपी भागफल से प्रतिस्थापित कर सकता है $$G$$ स्वतंत्र रूप से कार्य करता है और प्रेरित बंडल पर बंडल होमोटोपिक है $$X$$ द्वारा $$f$$.

असतत ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग
जिस प्रकार कोई बोरसुक-उलम प्रमेय से हैम सैंडविच प्रमेय निकाल सकता है, उसी प्रकार असतत ज्यामिति की समस्याओं के लिए इक्विवेरिएंट टोपोलॉजी के कई अनुप्रयोग पा सकते हैं। यह कॉन्फ़िगरेशन-स्पेस परीक्षण-मानचित्र प्रतिमान का उपयोग करके पूरा किया गया है:

एक ज्यामितीय समस्या दी गई है $$P$$, हम कॉन्फ़िगरेशन स्थान को परिभाषित करते हैं, $$X$$, जो समस्या से जुड़े सभी समाधानों (जैसे बिंदु, रेखाएं या चाप) को पैरामीट्रिज करता है। इसके अतिरिक्त, हम एक परीक्षण स्थान पर विचार करते हैं $$Z \subset V$$ और एक मानचित्र $$f:X \to V$$ जहाँ $$p \in X$$ किसी समस्या का समाधान है यदि और केवल यदि $$f(p) \in Z$$. अंततः कुछ समूहों द्वारा किसी पृथक समस्या में प्राकृतिक समरूपता पर विचार करना सामान्य बात है $$G$$ जो कार्य करता है $$X$$ और $$V$$ ताकि $$f$$ इन क्रियाओं के अंतर्गत इक्विवेरिएंट है। समस्या हल हो जाती है यदि हम एक इक्विवेरिएंट मानचित्र की गैर-उपस्थितगी दिखा सकें $$f: X \to V \setminus Z$$.

ऐसे मानचित्रों के अस्तित्व में बाधाएं प्रायः टोपोलॉजिकल डेटा से अमूर्त बीजगणित तैयार की जाती हैं $$X$$ और $$V \setminus Z$$. ऐसी रुकावट का एक आदर्श उदाहरण प्राप्त किया जा सकता है $$V$$ एक सदिश स्थान और $$Z = \{0\}$$. इस स्थिति में, एक गैर-लुप्त होने वाला मानचित्र एक गैर-लुप्त होने वाले खंड को भी प्रेरित करेगा $$s_f:x \mapsto [x,f(x)]$$ उपरोक्त चर्चा से, ऐसा $$\omega_n(X \times_G Y)$$, शीर्ष स्टिफ़ेल-व्हिटनी वर्ग को गायब होने की आवश्यकता होगी।

उदाहरण

 * पहचान मानचित्र $$i:X \to X$$ सदैव इक्विवेरिएंट रहेगा.
 * अगर हम जाने देंगे $$\mathbf{Z}_2$$ फिर ईकाई वृत्त पर एंटीपोडली कार्य करें $$z \mapsto z^3$$इक्विवेरिएंट है, क्योंकि यह सम और विषम फलन है।
 * कोई भी मानचित्र $$h:X \to X/G$$ कब इक्विवेरिएंट है $$G$$ चूंकि, भागफल पर तुच्छ रूप से कार्य करता है $$h(g\cdot x)=h(x)$$ सभी के लिए $$x$$.

यह भी देखें

 * इक्विवेरिएंट सहसंरचना
 * इक्विवेरिएंट स्थिर समरूपता सिद्धांत
 * जी-स्पेक्ट्रम