सिलेंडर

बेलन परंपरागत रूप से एक त्रिविमीय ठोस वस्तु रहा है, जो वक्ररेखीय ज्यामितीय आकृतियों के सबसे बुनियादी वस्तुओं में से एक है। ज्यामितीय रूप से, इसे एक वृत्त के आधार स्वरूप एक प्रिज्म के रूप में देखा जा सकता है।

यह पारंपरिक दृष्टिकोण है। जो अभी भी ज्यामिति के प्राथमिक उपचार में उपयोग किया जाता है, लेकिन उन्नत गणितीय दृष्टिकोण से अनंत वक्रतापूर्ण सतह पर स्थानांतरित हो गया है और इस तरह एक बेलन अब ज्यामिति और सांस्थिति(टोपोलॉजी) की विभिन्न आधुनिक शाखाओं को परिभाषित करता है।

मूल अर्थ (ठोस बनाम सतह) में बदलाव ने शब्दावली के साथ कुछ अस्पष्टता उत्पन्न की है। आमतौर पर यह आशा की जाती है कि संदर्भ अर्थ को स्पष्ट करता है। परन्तु दोनों दृष्टिकोणों को आम तौर पर ठोस बेलन और बेलनाकार सतहों के संदर्भ में प्रस्तुत और प्रतिष्ठित किया जाता है, लेकिन साहित्य में अलंकृत शब्द बेलन इनमें से किसी एक या इससे भी अधिक विशिष्ट वस्तु, लम्ब वृत्तीय बेलन का उल्लेख कर सकता है।

प्रकार
बेलनाकार सतह एक ऐसी सतह होती है, जिसमें सभी रेखाओं के सभी बिंदु होते हैं। जोकि दी गई रेखा के समानांतर होते हैं, और वे एक निश्चित समतल वक्र से होकर गुजरते हैं। जो दी गई रेखा के समानांतर नहीं होते हैं। समानांतर रेखाओं के इस परिवार में किसी भी रेखा को बेलनाकार सतह का एक तत्व कहा जाता है। किनेमेटिक्स (शुद्धगतिकी) के दृष्टिकोण से, समतल वक्र दिया जाता है। जिसे डायरेक्ट्रिक्स( वक्र अथवा तल को खींचने में प्रयुक्‍त रेखा) कहा जाता है। बेलनाकार सतह वह सतह होती है, जिसे एक रेखा द्वारा पता किया जाता है, जिसे जेनेट्रिक्स कहा जाता है, न कि डायरेक्ट्रिक्स के प्लेन में, खुद के समानांतर चलती है, और हमेशा डायरेक्ट्रीक्स से गुजरती है। जेनरेट्रिक्स की कोई विशेष स्थिति बेलनाकार सतह का ही तत्व है। बेलनाकार सतह और दो समानांतर विमानों से घिरा एक ठोस (ठोस) बेलन कहलाता है। दो समांतर तलों के बीच बेलनाकार सतह के तत्व द्वारा निर्धारित रेखा खंडों को बेलन का तत्व कहा जाता है। बेलन के सभी तत्वों की लंबाई समान होती है। किसी भी समानांतर तल में बेलनाकार सतह से घिरा क्षेत्र बेलन का आधार कहलाता है। बेलन के दो आधार सर्वांगसम आकृतियाँ हैं। यदि बेलन के अवयव आधारों वाले तलों के लंबवत हैं, तो बेलन a. है,अन्यथा इसे तिरछे बेलन कहा जाता है। यदि आधार डिस्क हैं। (ऐसे क्षेत्र जिनकी सीमा एक वृत्त है) बेलन को a वृत्तीय कहा जाता है। कुछ प्राथमिक उपचारों में, एक बेलन का मतलब हमेशा एक गोलाकार बेलन होता है।

एक बेलन की ऊँचाई (या ऊँचा स्थान) उसके आधारों के बीच की लम्बवत दूरी है।

एक निश्चित रेखा के बारे में एक रेखा खंड को घुमाकर प्राप्त बेलन जो इसके समानांतर है, वह एक बेलन का परिक्रमण(परिक्रमा) है। बेलन का परिक्रमण एक दायां वृत्तीय बेलन है। बेलन के परिक्रमण(परिक्रमा) की ऊंचाई उत्पन्न करने वाली रेखा खंड की लंबाई है। जिस रेखा के चारों ओर खंड घूमता है, उसे बेलन की अक्ष/धुरी कहा जाता है और यह दो आधारों के केंद्रों से होकर गुजरती है।

दायां गोलाकार बेलन
प्रायः मात्र ये नाम बेलन, एक ठोस बेलन को संदर्भित करता है जिसमें वृत्ताकार छोर धुरी के लंबवत होते हैं, जो कि एक लम्ब वृत्तीय बेलन होता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। सिरों के बिना बेलनाकार सतह को an. कहा जाता है। सतह क्षेत्र के सूत्र और एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आयतन को प्राचीन काल से जाना जाता है।

एक लम्ब वृत्तीय बेलन को एक आयत को उसकी एक भुजा के चारों ओर घुमाने से उत्पन्न परिक्रमण का ठोस भी माना जा सकता है। इन बेलन का उपयोग एकीकरण तकनीक (डिस्क विधि) में ठोस के परिक्रमण(परिक्रमा) की मात्रा प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

बेलनाकार खंड
एक बेलनाकार खंड समतल के साथ बेलन की सतह का प्रतिच्छेदन है। वे सामान्य रूप से वक्र होते हैं और विशेष प्रकार के समतल खंड होते हैं। समतल द्वारा बेलनाकार खंड जिसमें बेलन के दो तत्व होते हैं, एक समांतर चतुर्भुज होता है। दाहिने बेलन का एक ऐसे बेलनाकार का एक खंड ,आयत है।

एक बेलनाकार खंड जिसमें प्रतिच्छेदी समतल प्रतिच्छेद करता है और बेलन के सभी तत्वों के लंबवत होता है, को एक लंब परिच्छेद कहा जाता है। यदि किसी बेलन का दायाँ भाग एक वृत्त है तो बेलन एक वृत्ताकार बेलन है। अधिक व्यापकता में, यदि किसी बेलन का दायाँ भाग एक शंक्वाकार खंड (परवलय, दीर्घवृत्त, अतिपरवलय) है तो ठोस बेलन को क्रमशः परवलयिक, अण्डाकार और अतिपरवलयिक कहा जाता है। एक लम्ब वृत्तीय बेलन के लिए, ऐसे कई तरीके हैं जिनमें समतल बेलन से मिल सकते हैं। सबसे पहले, वे समतल जो एक आधार को अधिकतम बिंदु पर काटते हैं। समतल बेलन की स्पर्शरेखा है। यदि वह एक ही तत्व में बेलन से मिलता है। सही खंड वृत्त हैं और अन्य सभी तल बेलनाकार सतह को एक दीर्घवृत्त में काटते हैं। यदि कोई समतल बेलन के आधार को ठीक दो बिंदुओं में प्रतिच्छेदित करता है, तो इन बिंदुओं को मिलाने वाला रेखाखंड बेलनाकार खंड का भाग होता है। यदि इस तरह के समतल में दो तत्व होते हैं, तो इसमें बेलनाकार खंड के रूप में एक आयत होता है, अन्यथा बेलनाकार खंड के किनारे एक दीर्घवृत्त के भाग होते हैं। अंत में, यदि एक तल में एक आधार के दो से अधिक बिंदु होते हैं, तो इसमें संपूर्ण आधार होता है और बेलनाकार खंड एक वृत्त होता है।

एक बेलनाकार खंड के साथ एक लम्ब वृत्तीय बेलन के मामले में जो एक अंडाकार है, बेलनाकार खंड की उत्केंद्रता $r$ और बेलनाकार खंड के अर्ध-प्रमुख अक्ष $h$,  बेलन की त्रिज्या  $e$  पर निर्भर करते हैं और कोण $a$ छेदक तल और बेलन अक्ष के बीच, जो की  निम्न प्रकार से हैं :


 * $$e=\cos\alpha,$$
 * $$a=\frac{r}{\sin\alpha}.$$

मात्रा(वॉल्यूम)
यदि एक वृत्ताकार बेलन के आधार की त्रिज्या $r$ और बेलन की ऊंचाई $h$ है, तो इसका आयतन द्वारा दिया जाता है।



यह सूत्र यह बताता है कि ये बेलन सही है या नहीं।

कैवेलियरी के सिद्धांत का उपयोग करके यह सूत्र स्थापित किया जा सकता है। अर्ध-अक्ष के साथ दीर्घवृत्तीय(अंडाकार) बेलन $α$ तथा $r$ आधार अंडाकार और ऊंचाई के लिए $V = πr^{2}h$ अधिक व्यापकता में, उसी सिद्धांत के अनुसार, किसी भी बेलन का आयतन, आधार के क्षेत्रफल और ऊँचाई का गुणनफल होता है।

उदाहरण के लिए- अर्ध-प्रमुख और अर्ध-लघु अक्षों वाले आधार के साथ एक अण्डाकार बेलन| अर्ध-प्रमुख अक्ष $a$, अर्ध-मामूली धुरी $b$ और ऊंचाई $h$ एक मात्रा है $h$, जहाँ पे $A$ आधार दीर्घवृत्त का क्षेत्रफल है (= $a$)। सही अण्डाकार बेलन के लिए यह परिणाम एकीकरण द्वारा भी प्राप्त किया जा सकता है, जहां बेलन की धुरी को सकारात्मक के रूप में लिया जाता है $x$-अक्ष और $b$ प्रत्येक अण्डाकार क्रॉस-सेक्शन(अनुप्रस्थ काट) का क्षेत्रफल, इस प्रकार:
 * $$V=\int_0^h A(x) dx = \int_0^h \pi ab dx = \pi ab \int_0^h dx = \pi abh.$$

बेलनाकार निर्देशांकों का उपयोग करते हुए, एक लम्ब वृत्तीय बेलन के आयतन की गणना अधिक से अधिक समाकलन द्वारा की जा सकती है
 * $$=\int_{0}^{h} \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{r} s \,\, ds \, d\phi \, dz$$
 * $$=\pi\,r^2\,h.$$

सतही भाग(पृष्ठीय क्षेत्रफल)
त्रिज्या $a$ और ऊंचाई (ऊंचाई) $h$, एक लम्ब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल, उन्मुखी ताकि इसकी धुरी लंबवत हो, इसमें तीन भाग होते हैं: ऊपर और नीचे के आधारों का क्षेत्रफल समान होता है, और इसे आधार क्षेत्र को $b$  कहते हैं। पक्ष के क्षेत्र को पार्श्व क्षेत्र, L के रूप में जाना जाता है।
 * शीर्ष आधार का क्षेत्रफल: $h$
 * नीचे के आधार का क्षेत्रफल: $V = Ah$
 * भुजा का क्षेत्रफल: $\piab$

एक खुले बेलन में ऊपर या नीचे के तत्व शामिल नहीं होते हैं, और इसलिए इसका सतह क्षेत्र (पार्श्व क्षेत्र) होता है।

ठोस लम्ब वृत्तीय बेलन का पृष्ठीय क्षेत्रफल सभी तीनों घटकों के योग से बना होता है: ऊपर, नीचे और पार्श्व। इसका सतह क्षेत्र इसलिए यह है,

जहाँ पे $A(x) = A$ वृत्ताकार ऊपर या नीचे का व्यास है।

किसी दिए गए आयतन के लिए, सबसे छोटे पृष्ठीय क्षेत्रफल वाले लम्ब वृत्तीय बेलन में $r$. है, समान रूप से, किसी दिए गए सतह क्षेत्र के लिए, सबसे बड़े आयतन वाले लम्ब वृत्तीय बेलन में $πr^{2}$ होता है, अर्थात् बेलन एक भुजा की लंबाई = ऊँचाई (= आधार वृत्त का व्यास) के घन में आराम से उपयुक्त बैठता है।

पार्श्व क्षेत्र, $L$, एक वृत्ताकार बेलन का, जिसका दायां बेलन होना आवश्यक नहीं है, अधिक सामान्यतः दिया जाता है:

जहाँ पे $e$ एक तत्व की लंबाई है और $p$ बेलन के दाहिने भाग का परिमाप है। यह पार्श्व क्षेत्र के लिए पिछले सूत्र का उत्पादन करता है जब बेलन एक लम्ब वृत्तीय बेलन होता है।

दायां गोलाकार खोखला बेलन (बेलनाकार खोल)
एक लंबवृत्तीय खोखला बेलन (या बेलनाकार खोल) एक त्रि-आयामी क्षेत्र है जो समान अक्ष वाले दो समकोणीय बेलनों से घिरा है और दो समानांतर कुंडलाकार आधार बेलन के सामान्य अक्ष के लंबवत हैं, जैसा कि आरेख में है।

मान लीजिए ऊंचाई $πr^{2}$, आंतरिक त्रिज्या $2πrh$, और बाहरी त्रिज्या $B$  मात्रा द्वारा दी गई है


 * $$ V = \pi ( R ^{2} - r ^{2} ) h = 2\pi \left ( \frac{R + r}{2} \right) h (R - r). $$.

अत: बेलनाकार कोश का आयतन 2 के बराबर होता है $\pi$ (औसत त्रिज्या) (ऊंचाई) (मोटाई)।

सतह क्षेत्र, ऊपर और नीचे सहित, द्वारा दिया गया है।


 * $$ A = 2 \pi ( R + r ) h + 2 \pi ( R^2 - r^2  ). $$.

ठोस के परिक्रमण के आयतन ज्ञात करने के लिए एक सामान्य एकीकरण तकनीक में बेलनाकार गोले का उपयोग किया जाता है।

गोले और बेलन पर
इस नाम से ग्रंथ में, लिखित c. 225 ईसा पूर्व, आर्किमिडीज ने वह परिणाम प्राप्त किया, जिस पर उन्हें सबसे अधिक गर्व था, अर्थात् एक गोले और उसी ऊंचाई और व्यास के उसके परिबद्ध दाएं गोलाकार बेलन के बीच संबंध का फायदा उठाकर एक गोले के आयतन और सतह क्षेत्र के लिए सूत्र प्राप्त करना। गोले का आयतन होता है। दो-तिहाई परिचालित बेलन और एक सतह क्षेत्र का दो-तिहाई बेलन का (आधारों सहित)। चूँकि बेलन के मान पहले से ही ज्ञात थे, इसलिए उन्होंने पहली बार गोले के लिए संगत मान प्राप्त किए। त्रिज्या $r$ के एक गोले का आयतन है $L = 2πrh$. इस गोले का पृष्ठीय क्षेत्रफल $A = L + 2B = 2πrh + 2πr^{2} = 2πr(h + r) = πd(r + h)$ है। उनके अनुरोध पर आर्किमिडीज के मकबरे पर एक तराशा हुआ गोला और सिलेंडर रखा गया था।

बेलनाकार सतह
ज्यामिति और टोपोलॉजी के कुछ क्षेत्रों में बेलन शब्द का अर्थ है। जिसे 'बेलनाकार सतह' कहा जाता है। एक बेलन को एक सतह के रूप में परिभाषित किया जाता है। जिसमें सभी रेखाओं पर सभी बिंदु शामिल होते हैं। जो एक दी गई रेखा के समानांतर होते हैं और जो एक समतल में एक निश्चित समतल वक्र से गुजरते हैं जो दी गई रेखा के समानांतर नहीं होते हैं। ऐसे बेलन को कभी-कभी के रूप में संदर्भित किया जाता है। एक सामान्यीकृत बेलन के प्रत्येक बिंदु के माध्यम से एक अनूठी रेखा गुजरती है जो बेलन में निहित होती है। इस प्रकार, इस परिभाषा को यह कहने के लिए दोहराया जा सकता है कि एक बेलन समानांतर रेखाओं परिवार के एक- मापदंड(पैरामीटर) द्वारा फैला हुआ कोई भी रेखांकित पृष्ठ है।

एक बेलन जिसमें एक लंब परिच्छेद होता है। जो एक अंडाकार, परबोला या हाइपरबोला होता है, उसे क्रमशः एक अंडाकार बेलन, परवलयिक बेलन और अतिपरवलीय(हाइपरबॉलिक) बेलन कहा जाता है। ये पतित चतुर्भुज सतहें हैं। जब किसी चतुर्भुज के मुख्य अक्षों को सन्दर्भ की सीमा रेखा (चतुर्भुज के लिए हमेशा संभव) के साथ संरेखित किया जाता है, तो तीन आयामों में चतुर्भुज का एक सामान्य समीकरण दिया जाता है।
 * $$f(x,y,z)=Ax^2 + By^2 + Cz^2 + Dx + Ey + Gz + H = 0,$$

गुणांक वास्तविक संख्या होने के साथ और सभी नहीं $A$, $B$ तथा $C$ 0 होने पर। यदि समीकरण में कम से कम एक चर प्रकट नहीं होता है, तो चतुर्भुज पतित होता है। यदि एक चर गायब है, तो हम अक्ष के एक उपयुक्त क्रमावर्तन द्वारा मान सकते हैं कि चर $z$ प्रकट नहीं होता है और इस प्रकार के पतित चतुर्भुज के सामान्य समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है :$$A \left ( x + \frac{D}{2A} \right )^2 + B \left(y + \frac{E}{2B} \right)^2 = \rho,$$ जहाँ पे
 * $$\rho = -H + \frac{D^2}{4A} + \frac{E^2}{4B}.$$

अण्डाकार बेलन
यदि $d = 2r$ यह एक अण्डाकार बेलन का समीकरण है। अक्ष और अदिश गुणन के अनुवाद द्वारा और सरलीकरण प्राप्त किया जा सकता है। यदि $$\rho$$ गुणांक के समान चिन्ह है $A$ तथा $B$, तो एक अण्डाकार बेलन के समीकरण को कार्टेशियन निर्देशांक में फिर से लिखा जा सकता है:


 * $$\left(\frac{x}{a}\right)^2+ \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1.$$

दीर्घवृत्तीय बेलन का यह समीकरण साधारण, वृत्ताकार बेलन के समीकरण का सामान्यीकरण है ($h = 2r$) अण्डाकार बेलन को बेलनाभ(सिलिंड्रोइड्स) के रूप में भी जाना जाता है, लेकिन यह नाम अस्पष्ट है, क्योंकि यह प्लकर कोनॉइड  का भी उल्लेख कर सकता है।

यदि $$\rho$$ गुणांक की तुलना में एक अलग संकेत है, हम काल्पनिक अण्डाकार बेलन प्राप्त करते हैं:


 * $$\left(\frac{x}{a}\right)^2 + \left(\frac{y}{b}\right)^2 = -1,$$

जिन पर कोई वास्तविक बिंदु नहीं है। $$\rho = 0$$ एक वास्तविक बिंदु देता है।)

अतिपरवलयिक बेलन
यदि $A$ तथा $B$ अलग-अलग संकेत हैं और $$\rho \neq 0$$, हम अतिपरवलयिक बेलन प्राप्त करते हैं, जिनके समीकरणों को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:


 * $$\left(\frac{x}{a}\right)^2 - \left(\frac{y}{b}\right)^2 = 1.$$

परवलयिक बेलन
अंत में, अगर $h = 2r$ मान लीजिए, व्यापकता के नुकसान के बिना, कि $L = e × p$ तथा $h$ समीकरणों के साथ परवलयिक बेलन प्राप्त करने के लिए जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$ {x}^2+2a{y}=0 .$$



प्रक्षेपी(प्रोजेक्टिव) ज्योमेट्री
प्रक्षेपी ज्यामिति में, एक बेलन केवल एक शंकु होता है जिसका शीर्ष (शीर्ष) अनंत पर तल पर स्थित होता है। यदि शंकु एक द्विघात शंकु है, तो अनंत पर समतल(जो शीर्ष से होकर गुजरता है) शंकु को दो वास्तविक रेखाओं, एक एकल वास्तविक रेखा (वास्तव में रेखाओं का एक संयोग युग्म), या केवल शीर्ष पर प्रतिच्छेद कर सकता है। ये मामले क्रमशः अतिशयोक्तिपूर्ण, परवलयिक या अण्डाकार बेलनों के कारण बनते हैं।

पतित शंकुओं पर विचार करते समय यह अवधारणा उपयोगी है, जिसमें बेलनाकार शंकु शामिल हो सकते हैं।

समपार्श्व (प्रिज्म)
एक ठोस गोलाकार सिलेंडर को n-गोनल प्रिज्म के सीमित मामले के रूप में देखा जा सकता है $n$-गोनल प्रिज्म जहां $r$ अनंत तक पहुँचता है। कनेक्शन बहुत मजबूत है और कई पुराने ग्रंथ एक साथ प्रिज्म और बेलन का इलाज करते हैं। सतह क्षेत्र और आयतन के सूत्र प्रिज्म के लिए संबंधित सूत्रों से उत्कीर्ण और परिबद्ध प्रिज्म का उपयोग करके प्राप्त किए जाते हैं और फिर प्रिज्म के पक्षों की संख्या को बिना बाध्य किए बढ़ने देते हैं। परिपत्र बेलनों पर प्रारंभिक जोर (और कभी-कभी अनन्य उपचार) का एक कारण यह है कि एक गोलाकार आधार एकमात्र प्रकार की ज्यामितीय आकृति है जिसके लिए यह तकनीक केवल प्राथमिक विचारों (कैलकुलस या अधिक उन्नत गणित के लिए कोई अपील नहीं) के उपयोग के साथ काम करती है। प्रिज्म और बेलन के बारे में शब्दावली समान है।

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, चूंकि एक छोटा प्रिज्म एक प्रिज्म है जिसका आधार समानांतर समतलों में नहीं होता है, एक ठोस बेलन जिसका आधार समानांतर समतलों में नहीं होता है, एक छोटा बेलन कहलाता है।

एक बहुफलकीय दृष्टिकोण से, एक बेलन को एक द्विभुज के एक अनंत-पक्षीय द्विपिरामिड के रूप में भी देखा जा सकता है।

यह भी देखें

 * आकृतियों की सूची
 * स्टाइनमेट्ज़ ठोस, दो या तीन लंबवत बेलनों का प्रतिच्छेदन

बाहरी संबंध

 * Surface area of a cylinder at MATHguide
 * Volume of a cylinder at MATHguide
 * Volume of a cylinder at MATHguide