खड़ी लहर

भौतिक विज्ञान में एक स्थायी तरंग, जिसे एक स्थिर तरंग के नाम से भी जाना जाता है, ऐसी लहर तरंग है। जो समय के साथ दोलन गति करती है।  किन्तु जिसका उच्चतम आयाम प्रोफ़ाइल अंतरिक्ष में नहीं चलती है। अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर तरंग दोलनों का उच्च आयाम समय के संबंध में स्थिर होता है और सम्पूर्ण तरंग में विभिन्न बिंदुओं पर दोलन चरण होते हैं। जिन स्थानों पर आयाम का निरपेक्ष मान न्यूनतम होता है। उन्हें  नोड (भौतिकी)  कहा जाता है और जिन स्थानों पर आयाम का निरपेक्ष मान अधिकतम होता है। उन्हें  एंटीनोड  कहा जाता है।

1831 में पहली बार माइकल फैराडे  द्वारा स्थायी तरंगों को देखा गया था। फैराडे ने एक कंपन कंटेनर में तरल की सतह पर खड़ी तरंगों का अवलोकन किया।   फ्रांज रिपोर्ट  ने 1860 के आसपास स्टैंडिंग वेव (जर्मन: स्टीहेंडे वेले या स्टीहवेल) शब्द का निर्माण किया और कंपन तारों के साथ अपने क्लासिक प्रयोग में घटना का प्रदर्शन किया।

यह घटना इसलिए घटित हो सकती है क्योंकि माध्यम तरंग की गति के विपरीत दिशा में चल रहा है या यह विपरीत दिशाओं में गमन करने वाली दो तरंगों के बीच हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) के परिणामस्वरूप एक स्थिर माध्यम में उत्पन्न हो सकता है। स्थायी तरंगों का सबसे सामान्य कारण प्रतिध्वनि की घटना है। जिसमें रेजोनेटर यंत्र की  रेजोनेन्ट आवृत्ति पर आगे और पीछे परावर्तित तरंगों के बीच हस्तक्षेप के कारण एक रेजोनेटर यंत्र के अंदर खड़ी तरंगें उत्पन्न होती हैं।

विपरीत दिशाओं में गमन करने वाले समान आयाम की तरंगों के लिए औसतन ऊर्जा का शुद्ध प्रसार नहीं होता है।

गतिमान माध्यम
प्रथम प्रकार के उदाहरण के रूप में, कुछ मौसम संबंधी परिस्थितियों में पर्वत श्रृंखलाओं की प्राप्त की गयी तरंगों में वातावरण में खड़ी लहरों का निर्माण होता है्। गलाइडर पायलट द्वारा ऐसी तरंगों का अधिकांशतः शोषण किया जाता है।

खड़ी लहरें और हाइड्रोलिक छलांग भी तेजी से बहने वाली नदी रैपिड्स और ज्वारीय धाराओं जैसे साल्टस्ट्रुमेन भंवर पर बनती हैं। नदी की धाराओं में इसके लिए एक आवश्यकता उथली गहराई के साथ एक बहते पानी की है। जिसमें सुपरक्रिटिकल प्रवाह  गति के कारण पानी की  जड़ता  अपने  गुरुत्वाकर्षण  पर नियंत्रण करती है। (फ्राउडे संख्या: 1.7 - 4.5, 4.5 से अधिक होने पर प्रत्यक्ष खड़ी लहर होती है ) और इसलिए बाधा से  अधिक धीमा नहीं हो पाता है और न ही किनारे की ओर बल आरोपित किया जाता है। कई खड़ी नदी लहरें विशेष रिवर सर्फिंग ब्रेक हैं।

विरोधी लहरें
द्वतीय प्रकार के उदाहरण के रूप में, एक संचरण लाइन में स्थायी तरंग एक लहर का निर्माण करती है। जिसमें वर्तमान (बिजली), वोल्टेज या क्षेत्र की शक्ति का विभाजन एक ही आवृत्ति की दो तरंगों के विपरीत दिशाओं में प्रसार के सुपरपोज़िशन सिद्धांत द्वारा निर्माण होता है। प्रभाव संचरण रेखा के साथ निश्चित बिंदुओं पर नोड (भौतिकी) (शून्य कण विस्थापन ) और एंटी-नोड्स (अधिकतम कण विस्थापन) की एक श्रृंखला होती है। इस प्रकार की एक स्थायी लहर का निर्माण तब हो सकता है। जब एक तरंग संचरण लाइन के एक किनारे में प्रेषित होती है और दूसरे किनारे से एक विद्युत प्रतिबाधा   प्रतिबाधा मिलान  द्वारा  प्रतिबिंब (विद्युत)  होती है, अर्थात विच्छेदन, जैसे कि एक विकट: संवृत सर्किट या एक छोटा सर्किट होता है। स्टैंडिंग वेव फ्रीक्वेंसी पर पावर ट्रांसफर करने के लिए लाइन की विफलता के परिणामस्वरूप सामान्यतः क्षीणन विकृति होगी।

व्यवहारिक रूप में ट्रांसमिशन लाइन और अन्य घटकों में हानि का अर्थ होता है कि एक पूर्ण प्रतिबिंब और एक शुद्ध स्थायी लहर कभी भी प्राप्त नहीं होती है। परिणाम एक आंशिक स्थायी तरंग है। जो एक स्थायी तरंग और एक गमन तरंग का सुपरपोजिशन है। वह डिग्री जिस तक तरंग या तो शुद्ध स्थायी तरंग या शुद्ध गमन तरंग के समान होती है, उसे स्थायी तरंग अनुपात (एसडब्लूआऱ) द्वारा मापा जाता है।

एक अन्य उदाहरण संवृत हुए समुद्र में खड़ी लहरें हैं। जो लहरों द्वारा बनाई गई समान तरंग अवधि के साथ विपरीत दिशाओं में चलती हैं। ये तूफान केंद्रों के पास, या तट पर एक प्रफुल्लितता के प्रतिबिंब से बन सकते हैं और माइक्रोबारोम्स और सूक्ष्म जीवों के स्रोत हैं।

गणितीय विवरण
यह खंड स्थायी तरंगों के प्रतिनिधि एक और द्वि-आयामी स्थितियों पर विचार करता है। एक अनंत लंबाई के तार का एक उदाहरण प्रदर्शित होता है कि विपरीत दिशाओं में गमन करने वाली समान तरंगें खड़ी तरंगों का उत्पादन करने के लिए कैसे हस्तक्षेप करती हैं। अगला विभिन्न सीमा मान समस्या के साथ दो परिमित लंबाई स्ट्रिंग उदाहरण प्रदर्शित करते हैं कि सीमा की स्थिति उन आवृत्तियों को कैसे प्रतिबंधित करती है। जो स्थायी तरंगों का निर्माण कर सकती हैं। अगला एक पाइप में ध्वनि तरंगों का उदाहरण दर्शाता है कि समान सीमा स्थितियों के साथ अनुदैर्ध्य तरंगों पर समान सिद्धांतों को कैसे संचालित किया जा सकता है।

दो या तीन आयामी रेजोनेटर्स यंत्रों में स्थायी तरंगें भी हो सकती हैं। द्वि-आयामी झिल्लियों जैसे ढोल पर चढ़ा हुआ चमड़े पर खड़ी तरंगों के साथ ऊपर दिए गए एनिमेशन में दिखाया गया है, नोड्स नोडल रेखाएं बन जाती हैं, सतह पर रेखाएं जिस पर कोई गति नहीं होती है। जो विभिन्न क्षेत्रों को विपरीत चरण के साथ कंपन करती है। इन नोडल रेखा प्रतिरूपों को श्लाडनी आकृतियाँ कहा जाता है। त्रि-आयामी रेजोनेटर्स यंत्रों में जैसे संगीत वाद्ययंत्र ध्वनि बक्से और माइक्रोवेव गुहा अनुनादक, नोडल सतहें होती हैं। इस खंड में एक आयताकार सीमा के साथ एक द्वि-आयामी स्थायी तरंग उदाहरण सम्मिलित है। यह समझाने के लिए कि अवधारणा को उच्च आयामों तक कैसे बढ़ाया जाए।

 एक अनंत लंबाई स्ट्रिंग पर स्थायी लहर- 

प्रारम्भ करने के लिए x-अक्ष के साथ अनंत लंबाई की एक स्ट्रिंग पर विचार करें। जो कि y दिशा में अनुप्रस्थ तरंग  को खींचने के लिए स्वतंत्र है।

स्ट्रिंग के साथ दाईं ओर गमन करने वाली एक हार्मोनिक तरंग  के लिए स्थिति x और समय t के कार्य के रूप में y दिशा में स्ट्रिंग का  विस्थापन (ज्यामिति)  है।
 * $$ y_\text{R}(x,t) = y_\text{max}\sin \left({2\pi x \over \lambda} - \omega t \right). $$

बाईं ओर गमन करने वाली एक समान हार्मोनिक तरंग के लिए y-दिशा में विस्थापन करती है।
 * $$ y_\text{L}(x,t) = y_\text{max}\sin \left({2\pi x \over \lambda} + \omega t \right), $$

जहाँ पर्-
 * ymax प्रत्येक तरंग के लिए रस्सी के विस्थापन के आयाम को प्रदर्शित करता है।
 * ω कोणीय आवृत्ति  है या समतुल्य 2π बारंबारता f को प्रदर्शित करता है।
 * λ तरंग की तरंग दैर्ध्य  को प्रदर्शित करती है।

एक ही रस्सी पर समान दाएँ और बाएँ चलने वाली तरंगों के लिए रस्सी का कुल विस्थापन y का योग yR और yL होता है।
 * $$ y(x,t) = y_\text{R} + y_\text{L} = y_\text{max}\sin \left({2\pi x \over \lambda} - \omega t \right) + y_\text{max}\sin \left({2\pi x \over \lambda} + \omega t \right). $$

त्रिकोणमितीय सम-से-उत्पाद पहचान का उपयोग करना $$\sin a + \sin b = 2\sin \left({a+b \over 2}\right)\cos \left({a-b \over 2}\right)$$,

ध्यान दें कि समीकरण ($$) एक गमन तरंग का वर्णन नहीं करता है। किसी भी स्थिति में x, y(x,t) बस एक आयाम के साथ समय में दोलन करता है। जो x-दिशा में $$2y_\text{max}\sin \left({2\pi x \over \lambda}\right)$$से भिन्न होता है। इस आलेख के प्रारम्भ में एनीमेशन यह प्रदर्शित करता है कि क्या हो रहा है। जैसा कि बाएं-गमन करने वाली नीली लहर और दाएं-गमन करने वाली हरी लहर में हस्तक्षेप होता है। वे खड़ी लाल लहर का निर्माण करते हैं। जो गमन नहीं करती है और इसके बजाय दोलन करती है।

क्योंकि स्ट्रिंग अनंत लंबाई की है, x-अक्ष के साथ किसी भी बिंदु पर इसके विस्थापन के लिए इसकी कोई सीमा शर्त नहीं है। नतीजतन, एक स्थायी लहर किसी भी आवृत्ति पर बन सकती है।

x-अक्ष पर उन स्थानों पर जो एक चौथाई तरंग दैर्ध्य के भी गुणक हैं,
 * $$x = \ldots, -{3\lambda \over 2}, \; -\lambda, \; -{\lambda \over 2}, \; 0, \; {\lambda \over 2}, \; \lambda, \; {3\lambda \over 2}, \ldots $$

आयाम सदैव शून्य होता है। इन स्थानों को नोड (भौतिकी) कहा जाता है। x-अक्ष पर उन स्थानों पर जो एक चौथाई तरंग दैर्ध्य के विषम गुणक हैं।
 * $$x = \ldots, -{5\lambda \over 4}, \; -{3\lambda \over 4}, \; -{\lambda \over 4}, \; {\lambda \over 4}, \; {3\lambda \over 4}, \; {5\lambda \over 4}, \ldots $$

आयाम दाएं और बाएं-गमन तरंगों के दोगुने आयाम के मान के साथ अधिकतम है। जो इस स्थायी तरंग पैटर्न का उत्पादन करने में हस्तक्षेप करते हैं। इन स्थानों को एंटी-नोड्स कहा जाता है। दो निरंतर नोड्स या एंटी-नोड्स के बीच की दूरी आधा तरंग दैर्ध्य λ/2 है।

दो निश्चित सिरों के साथ एक स्ट्रिंग पर खड़ी लहर
इसके बाद, स्थिर सिरों वाली एक स्ट्रिंग और  पर विचार करें। स्ट्रिंग में कुछ अवमंदन होगा क्योंकि यह गमन तरंगों द्वारा फैला हुआ है। किन्तु माना कि अवमंदन बहुत छोटा है। मान लीजिए कि पर  नियत सिरे पर एक ज्यावक्रीय बल लगाया जाता है। जो कुछ आवृत्ति f पर एक छोटे आयाम के साथ y-दिशा में स्ट्रिंग को ऊपर और नीचे चलाता है। इस स्थिति में प्रेरक बल दाहिनी ओर चलने वाली तरंग उत्पन्न करता है। वह तरंग प्रतिबिंब (भौतिकी) दाएं निश्चित छोर से और वापस बाईं ओर गमन करता है, बाएं निश्चित छोर से फिर से प्रतिबिंबित होता है और वापस दाईं ओर गमन करता है और इसी प्रकार। अन्ततः एक स्थिर अवस्था में पहुंच जाता है, जहां स्ट्रिंग में अनंत-लंबाई के स्थिति में समान दाएं और बाएं-गमन करने वाली तरंगें होती हैं और स्ट्रिंग में भीगने से होने वाली शक्ति ड्राइविंग बल द्वारा आपूर्ति की गई शक्ति के बराबर होती है। इसलिए तरंगों में निरंतर आयाम होता है।

समीकरण ($$) अभी भी स्टैंडिंग वेव पैटर्न का वर्णन करता है। जो इस स्ट्रिंग पर बन सकता है। किन्तु अब समीकरण ($$) जहां लिमिट नियमों  पर  और  के अन्तर्गत है  क्योंकि स्ट्रिंग  पर निर्धारित हो गई है और क्योंकि हम निश्चित रूप से ड्राइविंग बल मानते हैं। अंत में  छोटा आयाम है। दोनों सिरों पर y के मानों की जाँच करना,
 * $$ y(0,t) = 0, $$
 * $$ y(L,t) = 2y_\text{max}\sin \left({2\pi L \over \lambda} \right) \cos(\omega t) = 0. $$

यह सीमा स्थिति स्टर्म-लिउविल सूत्रीकरण के रूप में है। बाद की सीमा स्थिति संतुष्ट है यह सीमा शर्त स्टर्म-लिउविल सूत्रीकरण के रूप में है। बाद की सीमा शर्त संतुष्ट है। जब $$ \sin \left({2\pi L \over \lambda} \right) = 0 $$. L दिया गया है। इसलिए लिमिट की स्थिति खड़ी तरंगों की तरंग दैर्ध्य को सीमित करती है।


 * $$n = 1, 2, 3, \ldots $$

तरंगें इस डोरी पर केवल स्थायी तरंगों का निर्माण कर सकती हैं। यदि उनकी तरंगदैर्घ्य L के साथ इस संबंध को संतुष्ट करती है। यदि तरंगें रस्सी के साथ गति v से चलती हैं। तो समान रूप से खड़ी तरंगों की आवृत्ति सीमित होती है।
 * $$ f = \frac{v}{\lambda} = \frac{nv}{2L}. $$

के साथ खड़ी लहर मौलिक आवृत्ति पर दोलन करता है और इसकी तरंग दैर्ध्य है। जो स्ट्रिंग की लंबाई से दोगुनी है। n के उच्च पूर्णांक मान हार्मोनिक्स या  अधिस्वर  नामक दोलन के उपायों से मिलान करती हैं। स्ट्रिंग पर किसी भी स्थायी तरंग में निश्चित सिरों और n एंटी-नोड्स सहित n + 1 नोड होंगे।

अनंत लंबाई स्ट्रिंग में स्थायी तरंगों के लिए नोड्स के विवरण के लिए इस उदाहरण के नोड्स की तुलना करने के लिए ध्यान दें कि समीकरण ($$) के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।
 * $$ \lambda = \frac{4L}{n}, $$
 * $$ n = 2, 4, 6, \ldots $$

तरंगदैर्घ्य के व्यंजक के इस परिवर्तन में, n सम होना चाहिए। क्रॉस गुणन से हम देखते हैं कि क्योंकि L एक नोड है, यह एक चौथाई तरंग दैर्ध्य का एक गुणक भी है,
 * $$ L = \frac{n\lambda}{4}, $$
 * $$ n = 2, 4, 6, \ldots $$

यह उदाहरण एक प्रकार की प्रतिध्वनि प्रदर्शित करता है और जो आवृत्तियाँ स्थायी तरंगें उत्पन्न करती हैं। उन्हें रेजोनेटर आवृत्तियाँ कहा जा सकता है।

एक निश्चित अंत के साथ एक स्ट्रिंग पर स्थायी लहर
इसके बाद, लंबाई L की समान स्ट्रिंग पर विचार करें, किन्तु इस बार यह केवल पर नियत है. पर, स्ट्रिंग y दिशा में जाने के लिए स्वतंत्र है। उदाहरण के लिए, स्ट्रिंग को बांधा जा सकता है एक रिंग के लिए जो एक पोल पर स्वतंत्र रूप से ऊपर और नीचे स्लाइड कर सकता है। डोरी में फिर से छोटा अवमंदन होता है और एक छोटे प्रेरक बल द्वारा चलाया जाता है.

इस स्थिति में, समीकरण ($$) अभी भी स्टैंडिंग वेव पैटर्न का वर्णन करता है जो स्ट्रिंग पर बन सकता है, और स्ट्रिंग की समान सीमा स्थिति होती है पर. चूंकि x = L पर जहाँ डोरी स्वतंत्र रूप से चल सकती है। वहाँ y के अधिकतम आयाम के साथ एक एंटी-नोड होना चाहिए। समतुल्य रूप से, "फ्री एंड" की इस सीमा स्थिति को ∂y/∂x = 0 पर x = L के रूप में कहा जा सकता है। जो स्टर्म-लिउविल सूत्रीकरण के रूप में है। इस सीमा की स्थिति के लिए अंतर्ज्ञान ∂y/∂x = 0 पर यह है कि मुक्त सिरे की गति उसके बाईं ओर के बिंदु का अनुसरण करेगी।

समीक्षा समीकरण (1), x = L के लिए y का सबसे बड़ा आयाम तब होता है। जब ∂y/∂x = 0 या
 * $$ \cos \left({2\pi L \over \lambda}\right) = 0. $$

यह दो निश्चित-सिरों वाले उदाहरण की तुलना में तरंग दैर्ध्य के एक अलग समुच्चय की ओर जाता है। यहाँ खड़ी तरंगों की तरंग दैर्ध्य तक सीमित होती हैं।
 * $$ \lambda = \frac{4L}{n}, $$
 * $$ n = 1, 3, 5, \ldots $$

समान रूप से, आवृत्ति तक ही सीमित है।
 * $$ f = \frac{nv}{4L}. $$

ध्यान दें कि इस उदाहरण में n केवल विषम मान लेता है। क्योंकि L एक एंटी-नोड है। यह एक चौथाई तरंग दैर्ध्य का एक विषम गुणक है। इस प्रकार इस उदाहरण में मौलिक मोड में केवल एक पूर्ण साइन चक्र का एक चौथाई भाग है। x = 0 पर शून्य और x = L पर पहला शिखर - पहला हार्मोनिक में एक पूर्ण साइन चक्र का तीन चौथाई भाग है और इसी प्रकार।यह उदाहरण भी एक प्रकार की प्रतिध्वनि को प्रदर्शित करता है और वे आवृत्तियाँ जो स्थायी तरंगें उत्पन्न करती हैं, रेजोनेटर आवृत्तियाँ कहलाती हैं।

एक पाइप में खड़ी लहर
L लंबाई के एक पाइप में एक स्टैंडिंग वेव पर विचार करें। पाइप के अंदर की हवा अनुदैर्ध्य तरंग ध्वनि तरंगों के लिए माध्यम के रूप में कार्य करती है। जो पाइप के माध्यम से दाईं या बाईं ओर गमन करती है। जबकि पिछले उदाहरणों से स्ट्रिंग पर अनुप्रस्थ तरंगें तरंग गति की दिशा में लंबवत विस्थापन में भिन्न होती हैं। पाइप में हवा के माध्यम से गमन करने वाली तरंगें तरंग गति की दिशा में उनके दबाव और अनुदैर्ध्य विस्थापन की स्थिति में भिन्न होती हैं। लहर पाइप के खंडों में हवा को वैकल्पिक रूप से संपीड़ित और विस्तारित करके फैलती है। जो हवा को अपनी आराम की स्थिति से थोड़ा विस्थापित करती है और निरंतरतः से उच्च और निम्न वायु दबावों द्वारा लगाए गए बलों के माध्यम से ऊर्जा को पड़ोसी खंडों में स्थानांतरित करती है। पाइप में दाएं या बाएं गमन करने वाली लहर के कारण दबाव Δp में परिवर्तन के लिए एक स्ट्रिंग पर तरंग के समान समीकरण लिखे जा सकते हैं।
 * $$ \Delta p_\text{R}(x,t) = p_\text{max}\sin \left({2\pi x \over \lambda} - \omega t \right), $$
 * $$ \Delta p_\text{L}(x,t) = p_\text{max}\sin \left({2\pi x \over \lambda} + \omega t \right), $$

जहाँ-
 * pmax दबाव आयाम या प्रत्येक तरंग के कारण वायु दाब में अधिकतम वृद्धि या कमी है,
 * ω कोणीय आवृत्ति है या समतुल्य 2π बारंबारता f है,
 * λ तरंग की तरंग दैर्ध्य है।

यदि समान दाएँ और बाएँ-तरंगें पाइप के माध्यम से गमन करती हैं। तो परिणामी सुपरपोज़िशन को योग द्वारा वर्णित किया जाता है।
 * $$ \Delta p(x,t) = \Delta p_\text{R}(x,t) + \Delta p_\text{L}(x,t) = 2p_\text{max}\sin \left({2\pi x \over \lambda} \right) \cos(\omega t).$$

ध्यान दें कि दबाव के लिए यह सूत्र समीकरण ($$) के समान है। इसलिए एक स्थिर दबाव तरंग बनती है। जो अंतरिक्ष में निर्धारित होती है और समय के साथ दोलन करती है।

यदि पाइप का सिरा विवृत होता है। जिससे दबाव अधिकतम होता है क्योंकि पाइप का विवृत सिरा एक बल आरोपित करता है। जो हवा की गति को प्रतिबंधित करता है। यह एक प्रेशर एंटी-नोड से मिलान करता है (जो आणविक गतियों के लिए एक नोड है क्योंकि विवृत सिरे के पास के अणु स्थानांतरित नहीं हो सकते हैं)। यदि पाइप का अंत संवृत है। जिससे दबाव भिन्नता बहुत कम होती है। जो एक दबाव नोड के अनुरूप होती है (जो आणविक गतियों के लिए एक एंटी-नोड है, क्योंकि संवृत अंत के पास के अणु स्वतंत्र रूप से आगे बढ़ सकते हैं)। एक संवृत सिरे पर दबाव नोड का स्पष्ट स्थान वास्तव में पाइप के संवृत सिरे से थोड़ा आगे होता है। इसलिए रेजोनेटर आवृत्तियों को निर्धारित करने के उद्देश्य से पाइप की प्रभावी लंबाई इसकी भौतिक लंबाई से थोड़ी अधिक होती है। लंबाई में इस अंतर को इस उदाहरण में अनदेखा नहीं कर सकते है। परावर्तन के संदर्भ में संवृत सिरे आंशिक रूप से तरंगों को पाइप में वापस दर्शाते हैं। जिससे कुछ ऊर्जा को बाहरी हवा में छोड़ा जा सकता है। आदर्श रूप से विवृत सिरे सम्पूर्ण लहर को दूसरी दिशा में वापस दर्शाते हैं।

पहले एक पाइप पर विचार करें जो दोनों सिरों पर विवृत है। उदाहरण के लिए एक विवृत आरगन पाइप या एक रिकॉर्डर (संगीत वाद्ययंत्र) । यह देखते हुए कि दोनों संवृत सिरों पर दबाव शून्य होना चाहिए, लिमिट की स्थिति दो निश्चित सिरों वाली स्ट्रिंग के अनुरूप होती है।
 * $$ \Delta p(0,t) = 0,$$
 * $$ \Delta p(L,t) = 2p_\text{max}\sin \left({2\pi L \over \lambda} \right) \cos(\omega t) = 0,$$

जो केवल तब होता है। जब खड़ी तरंगों की तरंग दैर्ध्य होती है।
 * $$ \lambda = \frac{2L}{n}, $$
 * $$ n = 1, 2, 3, \ldots, $$

या समतुल्य जब आवृत्ति है।
 * $$ f = \frac{nv}{2L},$$

जहाँ v ध्वनि की गति  है।

अगला, एक पाइप पर विचार करें। जो विवृत है  (और इसलिए एक दबाव नोड है) और  विवृत हो गया (और इसलिए एक दबाव विरोधी नोड है)।  पर दबाव के लिए बंद "मुक्त अंत" सीमा की स्थिति को ∂(Δp)/∂x = 0 के रूप में कहा जा सकता है। जो स्टर्म-लिउविल सूत्रीकरण के रूप में है। इस सीमा की स्थिति के लिए अंतर्ज्ञान ∂(Δp)/∂x = 0 x = L पर यह है कि संवृत सिरे का दबाव उसके बाईं ओर के बिंदु का अनुसरण करेगा। इस सेटअप के उदाहरणों में एक बोतल और क्लैरिनेट सम्मिलित हैं। इस पाइप में केवल एक निश्चित अंत के साथ स्ट्रिंग के अनुरूप सीमा की स्थिति होती है। इसकी खड़ी तरंगों की तरंग दैर्ध्य तक सीमित है।
 * $$ \lambda = \frac{4L}{n}, $$
 * $$ n = 1, 3, 5, \ldots, $$

या समतुल्य रूप से खड़ी तरंगों की आवृत्ति तक सीमित है।
 * $$ f = \frac{nv}{4L}.$$

ध्यान दें कि उस मामले के लिए जहां एक छोर विवृत है, n केवल विषम मान लेता है जैसे केवल एक छोर पर तय की गई स्ट्रिंग के मामले में।

अब तक, लहर को उसके दबाव के संदर्भ में स्थिति x और समय के एक समारोह के रूप में लिखा गया है। वैकल्पिक रूप से, लहर को हवा के अपने अनुदैर्ध्य विस्थापन के संदर्भ में लिखा जा सकता है, जहां पाइप के एक खंड में हवा x-दिशा में थोड़ा पीछे चलती है क्योंकि दबाव भिन्न होता है और लहरें या तो या दोनों दिशाओं में गमन करती हैं। दबाव में परिवर्तन Δp और अनुदैर्ध्य विस्थापन s के रूप में संबंधित हैं
 * $$ \Delta p = -\rho v^2 \frac{\partial s}{\partial x}, $$

जहाँ ρ वायु का घनत्व  है। अनुदैर्ध्य विस्थापन के संदर्भ में, पाइप के विवृत सिरे नोड्स के अनुरूप होते हैं क्योंकि हवा की गति प्रतिबंधित होती है और संवृत सिरे एंटी-नोड्स के अनुरूप होते हैं क्योंकि हवा चलने के लिए स्वतंत्र होती है। एक समान, कल्पना करने में आसान घटना वसंत के साथ चलने वाली अनुदैर्ध्य तरंगों में होती है। हम एक ऐसे पाइप पर भी विचार कर सकते हैं जो दोनों सिरों पर विवृत हो। इस मामले में, दोनों छोर दबाव विरोधी-नोड होंगे या समकक्ष दोनों छोर विस्थापन नोड होंगे। यह उदाहरण उस मामले के अनुरूप है जहां दोनों छोर संवृत हैं, सिवाय स्टैंडिंग वेव पैटर्न के $$ नोड्स और एंटी-नोड्स के स्थान को स्थानांतरित करने के लिए x-दिशा के साथ चरण बदलाव। उदाहरण के लिए, सबसे लंबी तरंग दैर्ध्य जो प्रतिध्वनित होती है - मौलिक मोड - फिर से पाइप की लंबाई से दोगुनी होती है, सिवाय इसके कि पाइप के सिरों पर प्रेशर नोड्स के बजाय प्रेशर एंटी-नोड्स होते हैं। सिरों के बीच एक दबाव नोड होता है। दो विवृत सिरों के मामले में, तरंग दैर्ध्य फिर से प्रतिबंधित है
 * $$ \lambda = \frac{2L}{n}, $$
 * $$ n = 1, 2, 3, \ldots, $$

और आवृत्ति फिर से प्रतिबंधित है
 * $$ f = \frac{nv}{2L}.$$

रूबेंस ट्यूब दो विवृत सिरों वाली ट्यूब में खड़ी तरंगों के दबाव में बदलाव की कल्पना करने का एक तरीका प्रदान करती है।

आयताकार सीमा
के साथ 2डी स्टैंडिंग वेव

इसके बाद, अनुप्रस्थ तरंगों पर विचार करें जो L लंबाई की एक आयताकार सीमा के भीतर दो आयामी सतह के साथ चल सकती हैंxx-दिशा और लंबाई एल मेंyवाई-दिशा में। इस प्रकार की लहर के उदाहरण हैं एक पूल में पानी की लहरें या एक आयताकार शीट पर लहरें जिसे तना हुआ खींचा गया है। तरंगें सतह को z- दिशा में विस्थापित करती हैं, साथ में सतह की ऊंचाई के रूप में परिभाषित किया जाता है जब यह अभी भी है।

द्विविम और कार्तीय निर्देशांक में तरंग समीकरण  है
 * $$\frac{\partial^2 z}{\partial t^2} \;=\; c^2 \left(\frac{\partial^2 z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 z}{\partial y^2}\right), $$

कहाँ पे
 * z(x,y,t) सतह का विस्थापन है,
 * c तरंग की गति है।

इस अंतर समीकरण को हल करने के लिए, पहले इसके फूरियर रूपांतरण  के लिए हल करें
 * $$ Z(x,y,\omega) = \int_{-\infty}^{\infty}z(x,y,t) e^{-i\omega t}dt.$$

तरंग समीकरण के फूरियर रूपांतरण को लेते हुए,
 * $$ \frac{\partial^2 Z}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 Z}{\partial y^2} = -\frac{\omega^2}{c^2}Z(x,y,\omega). $$

यह एक eigenvalues ​​​​और eigenvectors#Eigenvalues ​​​​और अंतर ऑपरेटरों की eigenfunctions समस्या है जहां फ़्रीक्वेंसी eigenvalues ​​​​के अनुरूप होती है जो तब फ़्रीक्वेंसी-विशिष्ट मोड या eigenफ़ंक्शन के अनुरूप होती है। विशेष रूप से, यह हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण  का एक रूप है और इसे चरों को अलग करके हल किया जा सकता है। मान लीजिए
 * $$ Z = X(x)Y(y).$$

हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण को Z से विभाजित करने पर,
 * $$ \frac{1}{X(x)}\frac{\partial^2 X}{\partial x^2} + \frac{1}{Y(y)}\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2} + \frac{\omega^2}{c^2} = 0. $$

इससे दो युग्मित साधारण अवकल समीकरण प्राप्त होते हैं। x शब्द x के संबंध में एक स्थिरांक के बराबर है जिसे हम इस रूप में परिभाषित कर सकते हैं
 * $$ \frac{1}{X(x)}\frac{\partial^2 X}{\partial x^2} = (ik_x)^2.$$

x (x) के लिए हल करना,
 * $$ X(x) = A_{k_x} e^{i k_x x} + B_{k_x}e^{-i k_x x}.$$

यह x-निर्भरता साइनसॉइडल-रीकॉलिंग यूलर का सूत्र है-स्थिरांक ए के साथk x और बी उप> केx सीमा शर्तों द्वारा निर्धारित। इसी प्रकार, y शब्द y के संबंध में एक स्थिरांक के बराबर है जिसे हम इस रूप में परिभाषित कर सकते हैं
 * $$ \frac{1}{Y(y)}\frac{\partial^2 Y}{\partial y^2} = (ik_y)^2 = k_x^2-\frac{\omega^2}{c^2},$$

और इस तरंग के लिए फैलाव संबंध  इसलिए है
 * $$ \omega = c \sqrt{k_x^2 + k_y^2}.$$

y पद के लिए अवकल समीकरण को हल करने पर,
 * $$ Y(y) = C_{k_y} e^{i k_y y} + D_{k_y}e^{-i k_y y}.$$

इन कार्यों को एक साथ गुणा करना और व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण को लागू करना, z(x,y,t) मोड का एक सुपरपोजिशन है जहां प्रत्येक मोड x, y, और t के लिए साइनसोइडल फ़ंक्शंस का उत्पाद है।
 * $$ z(x,y,t) \sim e^{\pm i k_x x}e^{\pm i k_y y}e^{\pm i \omega t}.$$

सटीक साइनसोइडल फ़ंक्शंस निर्धारित करने वाले स्थिरांक सीमा स्थितियों और प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करते हैं। यह देखने के लिए कि सीमा शर्तें कैसे लागू होती हैं, एक उदाहरण पर विचार करें जैसे शीट को तना हुआ खींचा गया है जहां आयताकार सीमा के चारों ओर z(x,y,t) शून्य होना चाहिए। x निर्भरता के लिए, जेड (x, वाई, टी) को इस प्रकार से भिन्न होना चाहिए कि यह दोनों में शून्य हो सकता है और  y और t के सभी मानों के लिए। जैसा कि दोनों सिरों पर तय की गई स्ट्रिंग के एक आयामी उदाहरण में, साइनसॉइडल फ़ंक्शन जो इस सीमा की स्थिति को संतुष्ट करता है
 * $$\sin{k_x x},$$

के साथx के लिए प्रतिबंधित
 * $$k_x = \frac{n \pi}{L_x}, \quad n = 1, 2, 3, \dots$$

इसी प्रकार, z(x,y,t) की y निर्भरता दोनों पर शून्य होनी चाहिए और, जिससे संतुष्ट है
 * $$\sin{k_y y}, \quad k_y = \frac{m \pi}{L_y}, \quad m = 1, 2, 3, \dots$$

तरंग संख्याओं को इन मानों तक सीमित करने से उन आवृत्तियों को भी प्रतिबंधित किया जाता है जो प्रतिध्वनित होती हैं
 * $$\omega = c \pi \sqrt{\left(\frac{n}{L_x}\right)^2 + \left(\frac{m}{L_y}\right)^2}.$$

यदि z(x,y,0) और इसके समय व्युत्पन्न ż(x,y,0) के लिए प्रारंभिक शर्तें चुनी जाती हैं तो टी-निर्भरता एक कोसाइन फ़ंक्शन है, तो इस प्रणाली के लिए स्थायी तरंगें रूप लेती हैं
 * $$ z(x,y,t) = z_{\text{max}}\sin \left(\frac{n\pi x}{L_x}\right) \sin \left(\frac{m\pi y}{L_y}\right) \cos \left(\omega t\right). $$
 * $$ n = 1, 2, 3, \dots \quad m = 1, 2, 3, \dots$$

तो, इस निश्चित आयताकार सीमा के भीतर खड़ी तरंगें पूर्णांक n और m द्वारा परिचालित कुछ गुंजयमान आवृत्तियों पर समय में दोलन करती हैं। जैसा कि वे समय में दोलन करते हैं, वे गमन नहीं करते हैं और उनकी स्थानिक भिन्नता दोनों x- और वाई-दिशाओं में साइनसोइडल है, जैसे कि वे सीमा शर्तों को पूरा करते हैं। मौलिक मोड, और, आयत के बीच में एक एकल एंटीनोड है। भिन्न एन और एम आयत के अंदर नोड्स और एंटीनोड्स के जटिल  किन्तु अनुमानित द्वि-आयामी पैटर्न देता है। फैलाव संबंध से ध्यान दें कि कुछ स्थितियों में अलग-अलग मोड-अर्थात् n और m के विभिन्न संयोजन-एक ही आवृत्ति पर प्रतिध्वनित हो सकते हैं, भले ही उनके x- और y-निर्भरता के लिए अलग-अलग आकार हों। उदाहरण के लिए यदि सीमा वर्गाकार है,, मोड और ,  और , और  और  सभी पर प्रतिध्वनित
 * $$\omega = \frac{c \pi}{L_x} \sqrt{50}.$$

यह याद करते हुए कि ω उपरोक्त हेल्महोल्ट्ज़ समीकरण में ईगेनवैल्यू निर्धारित करता है, प्रत्येक आवृत्ति से संबंधित मोड की संख्या आवृत्ति के ईगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर # ईजेनस्पेस, ज्यामितीय बहुलता, और ईजेनबेसिस को ईजेनवेल्यू के रूप में संबंधित करती है।

स्थायी तरंग अनुपात, चरण और ऊर्जा हस्तांतरण
यदि दो विपरीत गति से चलने वाली तरंगें समान आयाम की नहीं हैं, तो वे नोड्स पर पूरी प्रकार से रद्द नहीं होंगी, जिन बिंदुओं पर तरंगें चरण से 180° बाहर हैं, इसलिए नोड्स पर खड़ी तरंग का आयाम शून्य नहीं होगा, किन्तु केवल एक न्यूनतम। स्टैंडिंग वेव रेशियो (SWR) एंटीनोड (अधिकतम) पर आयाम का अनुपात नोड (न्यूनतम) पर आयाम है। एक शुद्ध स्थायी तरंग में अनंत SWR होगा। अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर इसका एक स्थिर चरण (तरंगें) भी होगा ( किन्तु यह हर आधे चक्र में 180 डिग्री उलटा हो सकता है)। एक परिमित, गैर-शून्य SWR एक तरंग को इंगित करता है जो आंशिक रूप से स्थिर और आंशिक रूप से गमन कर रही है। ऐसी तरंगों को दो तरंगों के सुपरपोजिशन सिद्धांत में विघटित किया जा सकता है: एक गमन तरंग घटक और एक स्थिर तरंग घटक। एक का एसडब्ल्यूआर इंगित करता है कि लहर में एक स्थिर घटक नहीं है - यह विशुद्ध रूप से एक गमन तरंग है, क्योंकि एम्पलीट्यूड का अनुपात 1 के बराबर है। एक शुद्ध स्थायी तरंग ऊर्जा को स्रोत से गंतव्य तक स्थानांतरित नहीं करती है। हालाँकि, लहर अभी भी माध्यम में नुकसान के अधीन है। इस प्रकार के नुकसान एक परिमित SWR के रूप में प्रकट होंगे, जो नुकसान की आपूर्ति करने के लिए स्रोत को छोड़कर एक गमन तरंग घटक का संकेत देते हैं। भले ही एसडब्ल्यूआर अब परिमित है, फिर भी यह मामला हो सकता है कि कोई ऊर्जा गंतव्य तक नहीं पहुंचती क्योंकि गमन घटक विशुद्ध रूप से घाटे की आपूर्ति कर रहा है। हालाँकि, एक दोषरहित माध्यम में, एक परिमित SWR का तात्पर्य गंतव्य के लिए ऊर्जा के एक निश्चित हस्तांतरण से है।

उदाहरण
खड़ी लहरों को समझने का एक आसान उदाहरण है दो लोग रस्सी कूदने के दोनों सिरों को हिलाते हैं। यदि वे सिंक में हिलते हैं तो रस्सी लहरों का एक नियमित पैटर्न बना सकती है जो ऊपर और नीचे दोलन करती है, रस्सी के साथ स्थिर बिंदुओं के साथ जहां रस्सी लगभग स्थिर होती है (नोड्स) और बिंदु जहां रस्सी का चाप अधिकतम (एंटीनोड्स) होता है।

ध्वनिक प्रतिध्वनि
भौतिक मीडिया जैसे हवा के तार और स्तंभ में स्थायी तरंगें भी देखी जाती हैं। माध्यम के साथ गमन करने वाली कोई भी तरंग अंत तक पहुँचने पर वापस परावर्तित हो जाएगी। यह प्रभाव संगीत वाद्ययंत्रों में सबसे अधिक ध्यान देने योग्य है, जहां कंपन स्ट्रिंग  या  वायु स्तंभ  की  प्राकृतिक आवृत्ति  के विभिन्न गुणकों पर, एक स्थायी तरंग बनाई जाती है, जिससे  हार्मोनिक्स  की पहचान की जा सकती है। नोड्स निश्चित सिरों पर होते हैं और एंटी-नोड्स संवृत सिरों पर होते हैं। यदि केवल एक छोर पर तय किया गया है, तो केवल विषम संख्या वाले हार्मोनिक्स उपलब्ध हैं। एक पाइप के संवृत सिरे पर एंटी-नोड बिल्कुल अंत में नहीं होगा क्योंकि यह हवा के संपर्क में आने से बदल जाता है और इसलिए इसे ठीक करने के लिए  अंत सुधार  का उपयोग किया जाता है। एक स्ट्रिंग का घनत्व उस आवृत्ति को प्रभावित करेगा जिस पर हार्मोनिक्स का उत्पादन किया जाएगा; एक ही हार्मोनिक की स्थायी तरंग उत्पन्न करने के लिए घनत्व जितना अधिक होगा उतनी ही कम आवृत्ति की आवश्यकता होगी।

दृश्यमान प्रकाश
ऑप्टिकल मीडिया जैसे वेवगाइड (ऑप्टिक्स)  और ऑप्टिकल कैविटी में स्थायी तरंगें भी देखी जाती हैं।  लेज़र   ऑप्टिकल गुहा ओं का उपयोग सामने वाले दर्पणों की एक जोड़ी के रूप में करते हैं, जो फैब्री-पेरोट इंटरफेरोमीटर का निर्माण करते हैं। गुहा में  सक्रिय लेजर माध्यम  (जैसे कि एक  क्रिस्टल ) प्रकाश सुसंगतता (भौतिकी), गुहा में प्रकाश की रोमांचक खड़ी तरंगों का उत्सर्जन करता है। प्रकाश की तरंग दैर्ध्य बहुत कम है ( नैनोमीटर  की सीमा में, 10−9 मी) इसलिए खड़ी तरंगें आकार में सूक्ष्म होती हैं। खड़ी प्रकाश तरंगों का एक उपयोग  ऑप्टिकल फ्लैट ों का उपयोग करते हुए छोटी दूरियों को मापना है।

x-रे
x-रे बीम के बीच हस्तक्षेप से x-रे स्टैंडिंग वेव (XSW) क्षेत्र बन सकता है। x-रे की कम तरंग दैर्ध्य (1 नैनोमीटर से कम) के कारण, भौतिक सतह विज्ञान में परमाणु-पैमाने की घटनाओं को मापने के लिए इस घटना का फायदा उठाया जा सकता है। XSW उस क्षेत्र में उत्पन्न होता है जहां एक x-रे बीम  ब्रैग विवर्तन  बीम के साथ लगभग पूर्ण  एकल क्रिस्टल  सतह से हस्तक्षेप करता है या x-रे परावर्तकता से प्रतिबिंब होता है। x-रे दर्पण। क्रिस्टल ज्यामिति या x-रे वेवलेंथ को ट्यून करके, XSW को अंतरिक्ष में अनुवादित किया जा सकता है, जिससे सतह के पास परमाणुओं से  x-रे प्रतिदीप्ति या  photoelectron  उपज में बदलाव होता है। अंतर्निहित क्रिस्टल संरचना या दर्पण सतह के सापेक्ष किसी विशेष परमाणु प्रजाति के स्थान को इंगित करने के लिए इस बदलाव का विश्लेषण किया जा सकता है। सेमीकंडक्टर में  सेमीकंडक्टर डोपिंग  के परमाणु-पैमाने के विवरण को स्पष्ट करने के लिए XSW विधि का उपयोग किया गया है, रेफरी> सतहों पर परमाणु और आणविक  सोखना, रेफरी> और  विषम कटैलिसीस  में सम्मिलित रासायनिक परिवर्तन। रेफरी>

यांत्रिक तरंगें
अनुनाद का उपयोग करके स्थायी तरंगों को यांत्रिक रूप से एक ठोस माध्यम में प्रेरित किया जा सकता है। समझने में आसान उदाहरण दो लोग हैं जो रस्सी कूदने के दोनों सिरों को हिलाते हैं। यदि वे सिंक में हिलते हैं, तो रस्सी नोड्स और एंटीनोड्स के साथ एक नियमित पैटर्न बनाती है और स्थिर दिखाई देती है, इसलिए इसका नाम स्टैंडिंग वेव है। इसी प्रकार एक कैंटिलीवर बीम में बेस xाइटमेंट लगाकर उस पर खड़ी लहर लगाई जा सकती है। इस मामले में मुक्त अंत बीम के साथ किसी भी स्थान की तुलना में सबसे बड़ी दूरी तय करता है। इस प्रकार के उपकरण का उपयोग फाइबर की प्रतिध्वनि की प्राकृतिक आवृत्ति या चरण बदलाव में परिवर्तन को ट्रैक करने के लिए सेंसर  के रूप में किया जा सकता है। एक आवेदन  आयामी मेट्रोलॉजी  के लिए माप उपकरण के रूप में है।

भूकंपीय तरंगें
पृथ्वी पर स्थायी सतही तरंगें भूकंपीय तरंग#सामान्य विधाओं के रूप में देखी जाती हैं।

फैराडे तरंगें
फैराडे तरंग हाइड्रोडायनामिक अस्थिरता से प्रेरित एयर-लिक्विड इंटरफेस पर एक गैर-रैखिक स्थायी लहर है। इसका उपयोग सूक्ष्म सामग्री को इकट्ठा करने के लिए तरल-आधारित टेम्पलेट के रूप में किया जा सकता है।

सीचेस
एक कटलफ़िश  पानी के एक विवृत शरीर में खड़ी लहर का एक उदाहरण है। यह शरीर के किसी भी छोर पर जल स्तर के दोलनशील व्यवहार की विशेषता है और आमतौर पर शरीर के मध्य के पास एक नोडल बिंदु होता है जहां जल स्तर में बहुत कम परिवर्तन देखा जाता है। इसे एक साधारण तूफानी लहर से अलग किया जाना चाहिए जहां कोई दोलन मौजूद नहीं है। बड़ी झीलों में, इस प्रकार के दोलनों की अवधि मिनट और घंटों के बीच हो सकती है, उदाहरण के लिए जिनेवा झील की अनुदैर्ध्य अवधि 73 मिनट है और इसके अनुप्रस्थ सीच की अवधि लगभग 10 मिनट है, जबकि हूरों झील को 1 से 2 घंटे के बीच की अवधि के साथ अनुनाद देखा जा सकता है। देखें सेइच#सीचेस झील।

लहरें
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