फलन (गणित)

गणित में, समुच्चय $X$ से समुच्चय $Y$ तक फलन (गणित) $X$ के प्रत्येक अवयव को $Y$ का उचित अवयव प्रदान करता है। इस प्रकार समूह $X$ को फलन का कार्यक्षेत्र कहा जाता है और समूह $Y$ को फलन का उपकार्यक्षेत्र कहा जाता है।

सामान्यतः फलन की धारणा के लिए सबसे पहले ज्ञात दृष्टिकोण को फारसी गणितज्ञ अल-बिरूनी के कार्यों में देखा जा सकता है। शराफ अल-दीन अल-तुसी में कार्य मूल रूप से इस बात के आदर्शीकरण थे कि कैसे भिन्न मात्रा दूसरी मात्रा पर निर्भर करती है। उदाहरण के लिए, किसी ग्रह की स्थिति समय का फलन होता है। अतः कार्य अवधारणा का इतिहास, इस अवधारणा को 17वीं शताब्दी के अंत में अतिसूक्ष्म कलन के साथ विस्तृत किया गया था और 19वीं शताब्दी तक जिन कार्यों पर विचार किया गया था, वह भिन्न-भिन्न कार्य थे (अर्थात्, उनके समीप उच्च स्तर की नियमितता होती थी)। इस प्रकार 19वीं शताब्दी के अंत में समूह सिद्धांत के संदर्भ में फलन की अवधारणा को औपचारिक रूप दिया गया था और इसने अवधारणा के अनुप्रयोग के कार्यक्षेत्र को अधिक बढ़ा दिया था।

फलन को अधिकांशतः अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है जैसे $f$, $g$ तथा $h$ और फलन का मान $f$ तत्व पर $x$ कार्यक्षेत्र के $f(x)$ द्वारा दर्शाया गया है। किसी विशेष इनपुट मान पर फलन मूल्यांकन से उत्पन्न संख्यात्मक मान को $x$ इस मूल्य के साथ प्रतिस्थापित करके निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, $$ पर $f$ का मान $f(4)$ निरूपित किया जाता है। जब फलन का नाम नहीं होता है और अभिव्यक्ति (गणित) $E$ द्वारा दर्शाया गया है, अतः तब फलन के मान पर मान लीजिए, $$ को $E|_{x=4}$ द्वारा दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, फलन के $4$ पर मान जो $x$ को मानचित्र करता है $x$ प्रति $$(x+1)^2$$ द्वारा दर्शाया जा सकता है। $$\left.(x+1)^2\right\vert_{x=4}$$ (जिसका परिणाम 25 होता है)।

फलन विशिष्ट रूप से सभी जोड़ी (गणित) $(x, f (x))$ के समूह द्वारा विशिष्ट रूप से दर्शाया जाता है, जिसे फलन का ग्राफ़ कहा जाता है, फलन को दर्शाने का लोकप्रिय साधन होता है। जब कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र वास्तविक संख्याओं के समूह होते हैं, तब ऐसी प्रत्येक जोड़ी को विमान में बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक के रूप में माना जा सकता है।

विज्ञान, अभियांत्रिकी और गणित के अधिकांश क्षेत्रों में कार्यों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह कहा गया है कि गणित के अधिकांश क्षेत्रों में कार्य "जांच की केंद्रीय वस्तु" होती हैं।





परिभाषा
समूह $X$ से समूह $Y$ तक का फलन (गणित) $X$ के प्रत्येक अवयव के लिए $Y$ के तत्व का नियतन है। इस प्रकार समूह $X$ को फलन का प्रांत कहा जाता है और समूह $Y$ को फलन का उपकार्यक्षेत्र कहा जाता है।

फलन, इसके कार्यक्षेत्र और इसके उपकार्यक्षेत्र को अंकन $X = {1, 2, 3}$ द्वारा घोषित किया जाता है और $X$ के तत्व $x$ पर फलन $f$ का मान जिसे $Y = {A, B, C, D}$ द्वारा निरूपित किया जाता है, अतः इसको $f$ के अंतर्गत $x$ की छवि कहा जाता है। इस प्रकार $f$ का मान तर्क $x$ पर प्रयुक्त होता है।

कार्यों को मानचित्र (गणित) या मानचित्रण भी कहा जाता है, चूंकि कुछ लेखक मानचित्रों और कार्यों के मध्य कुछ अंतर करते हैं (देखें).

सामान्यतः दो फलन $f$ तथा $g$ समान होते हैं यदि उनके कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र समूह समान होते हैं और उनके आउटपुट मान पूर्ण कार्यक्षेत्र पर सहमत होते हैं। इस प्रकार अधिक औपचारिक रूप से, दिए गए ${(1, D), (2, C), (3, C)}$ तथा ${C, D}$, अपने समीप ${(1,D), (2,B), (2,C)}$ होता है और यदि $(2, B)$ सभी के लिए $(2, C)$ होता है।

किसी फलन को परिभाषित किए जाने पर कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र सदैव स्पष्ट रूप से नहीं दिए जाते हैं और कुछ (संभवतः कठिन) संगणना के बिना, कोई केवल यह जान सकता है कि कार्यक्षेत्र बड़े समूह में समाहित होता है। सामान्यतः, यह गणितीय विश्लेषण में होता है, जहां फलन $X$ से $Y$ तक " अधिकांशतः ऐसे फलन को संदर्भित करता है जिसमें कार्यक्षेत्र के रूप में $X$ का उचित उपसमुच्चय हो सकता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक से वास्तविक तक फलन वास्तविक-मूल्यवान कार्य को संदर्भित कर सकता है। चूँकि, "वास्तविक से वास्तविक तक का कार्य" का तात्पर्य यह नहीं है कि फलन का कार्यक्षेत्र वास्तविक संख्याओं का पूर्ण समूह होता है, किन्तु केवल यह है कि कार्यक्षेत्र वास्तविक संख्याओं का समूह है जिसमें गैर-रिक्त खुला अंतराल होता है। अतः ऐसे फलन को तब आंशिक फलन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, यदि $f$ ऐसा फलन है जिसमें वास्तविक संख्या कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र के रूप में होती है, तब फलन मान $x$ को मान $f: X→Y$ से मानचित्र करता है। इस प्रकार वास्तविक से वास्तविक तक फलन $g$ होता है, जिसका कार्यक्षेत्र वास्तविक $x$ का समुच्चय होता है। जैसे कि $f(x)$.

किसी फलन की श्रेणी या किसी फलन की छवि (गणित) कार्यक्षेत्र में सभी तत्वों की छवि (गणित) का समूह होता है।

कुल, असमान संबंध
दो समुच्चयों $f: X → Y$ तथा $g: X → Y$ के कार्तीय गुणनफल का कोई उपसमुच्चय इन दो समूहों के मध्य द्विआधारी संबंध $f = g$ को परिभाषित करता है। यह तत्काल है कि अनैतिक संबंध में जोड़े हो सकते हैं जो ऊपर दिए गए फलन के लिए आवश्यक शर्तों का उल्लंघन करते हैं।

द्विआधारी संबंध एकतरफा संबंध है (जिसे सही-अद्वितीय भी कहा जाता है)। यदि,
 * $$\forall x\in X, \forall y\in Y, \forall z\in Y, \quad ((x,y)\in R \land (x,z)\in R)\implies y=z.$$

द्विआधारी संबंध कुल संबंध है। यदि,
 * $$\forall x\in X, \exists y\in Y, \quad(x,y)\in R.$$

आंशिक कार्य द्विआधारी संबंध होता है जो एकतरफा है और कार्य द्विआधारी संबंध है जो एकतरफा और कुल कार्य है।

सामान्यतः संबंधों की भाषा में कार्यों और कार्यों की संरचना के विभिन्न गुणों का पुनर्निमाण किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, फलन अंतःक्षेपी होता है यदि इसका विलोम संबंध $f(x) = g(x)$ संयोजक होता है, जहां विलोम संबंध को $x ∈ X$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

घातांक समूह करें
सामान्यतः समूह से सभी कार्यों का समूह $$X$$ समूह के लिए $$Y$$ को सामान्य रूप में निरूपित किया जाता है।
 * $$Y^X,$$

जिसे $$Y$$ सत्ता को $$X$$ पढ़ा जाता है।

यह संकेतन प्रतियों के अनुक्रमित समूह के कार्टेशियन उत्पाद के लिए संकेतन के समान $$Y$$ द्वारा अनुक्रमित $$X$$ होता है।
 * $$Y^X=\prod_{x\in X}Y.$$

इन दो अंकनों की पहचान इस तथ्य से प्रेरित है कि फलन $$f$$ कार्टेशियन उत्पाद के तत्व के साथ पहचाना जा सकता है जैसे कि सूचकांक $$x$$ का घटक $$f(x)$$ कहते है।

जब $$Y$$ के दो तत्व होते हैं, तब $$Y^X$$को सामान्य रूप से निरूपित किया जाता है जिसे $$2^X$$ और $X$ का सत्ता स्थापित कहा जाता है। इसे सभी उपसमूहों के समुच्चय से इसकी पहचान की जा सकती है $$X$$, पत्राचार के माध्यम से जो प्रत्येक उपसमूह से जुड़ता है, तब $$S\subseteq X$$ फलन $$f$$ ऐसा है कि $$f(x)=1$$ यदि $$x\in X$$ तथा $$f(x)=0$$ अन्यथा होता है।

अंकन
कार्यों को निरूपित करने के लिए विभिन्न मानक विधि होती हैं। इस प्रकार सबसे अधिक प्रयोग किया जाने वाला संकेतन कार्यात्मक संकेतन होता है, जो नीचे वर्णित प्रथम अंकन होता है।

कार्यात्मक अंकन
कार्यात्मक संकेतन में, फलन को तत्काल नाम दिया जाता है, जैसे $f$ और इसकी परिभाषा किसके द्वारा दी गई है $f$ स्पष्ट तर्क के लिए करता है $x$, के संदर्भ में सूत्र का उपयोग करके $x$. उदाहरण के लिए, वह फलन जो वास्तविक संख्या को इनपुट के रूप में लेता है और उस संख्या के साथ 1 को आउटपुट करता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है।


 * $$f(x)=x+1$$.

यदि कोई फलन इस संकेतन में परिभाषित किया गया है, तब इसके कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र दोनों को निहित रूप से लिया जाता है $$\R$$, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय। यदि सूत्र का मूल्यांकन सभी वास्तविक संख्याओं पर नहीं किया जा सकता है, तब कार्यक्षेत्र को परोक्ष रूप से अधिकतम उपसमुच्चय के रूप में लिया जाता है $$\R$$ जिस पर सूत्र का मूल्यांकन किया जा सकता है। अतः किसी फलन का कार्यक्षेत्र देखें।

अधिक जटिल उदाहरण कार्य होता है।


 * $$f(x)=\sin(x^2+1)$$.

इस उदाहरण में, फलन $f$ वास्तविक संख्या को इनपुट के रूप में लेता है, इसका वर्ग करता है, फिर परिणाम में 1 जोड़ता है, फिर परिणाम की ज्या लेता है और आउटपुट के रूप में अंतिम परिणाम देता है।

जब फलन को दर्शाने वाले प्रतीक में अनेक वर्ण होते हैं और कोई अस्पष्टता उत्पन्न नहीं हो सकती है। इस प्रकार कार्यात्मक संकेतन के कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, $g(x) = 1⁄f(x)$ के स्थान पर $f(x) ≠ 0$ लिखना सामान्य बात है।

सन्न 1734 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा प्रथम बार कार्यात्मक संकेतन का उपयोग किया गया था। इस प्रकार कुछ व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले कार्यों को प्रतीक द्वारा दर्शाया जाता है जिसमें अनेक अक्षर होते हैं (सामान्यतः दो या तीन, सामान्यतः उनके नाम का संक्षिप्त नाम)। इस स्थिति में, इसके अतिरिक्त रोमन प्रकार का उपयोग किया जाता है, जैसे कि साइन फलन के लिए, एकल-अक्षर प्रतीकों के लिए इटैलिक फ़ॉन्ट के विपरीत होते है।

इस संकेतन का उपयोग करते समय, अधिकांशतः संकेतन के दुरुपयोग का सामना करना पड़ता है जिससे अंकन $X$ $x$ पर $f$ के मान को संदर्भित कर सकता है। यदि चर $x$ को पहले घोषित किया गया था, फिर अंकन $Y$ स्पष्ट रूप से का अर्थ है $f$ पर $x$ का मान. अन्यथा, दोनों साथ होने के रूप में संकेतन को समझना उपयोगी होता है। इस प्रकार यह किसी को संकेतन f(g(x)) द्वारा संक्षिप्त विधि से दो कार्यों $f$ तथा $g$ की संरचना को निरूपित करने की अनुमति देता है।

चूँकि, भेद $f$ तथा $R ⊆ X × Y$ को भिन्न करना उन स्थितियों में महत्वपूर्ण हो सकता है जहां कार्य स्वयं अन्य कार्यों के लिए इनपुट के रूप में कार्य करते हैं। (किसी अन्य फलन को इनपुट के रूप में लेने वाले फलन को फलन (गणित) कहा जाता है।) फलनों को नोट करने की अन्य विधि, जिनका विवरण नीचे दिया गया है, इस समस्या से बचते हैं किन्तु सामान्यतः कम उपयोग किए जाते हैं।

एरो अंकन
एरो अंकन फलन को दिए जाने वाले नाम की आवश्यकता के बिना फलन इनलाइन के नियम को परिभाषित करता है। उदाहरण के लिए, $$x\mapsto x+1$$ वह कार्य है जो वास्तविक संख्या को इनपुट के रूप में लेता है और उस संख्या के साथ 1 को आउटपुट करता है। पुनः कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र $$\R$$ निहित होता है।

इस प्रकार कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र को भी स्पष्ट रूप से कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए,
 * $$\begin{align}

\operatorname{sqr}\colon \Z &\to \Z\\ x &\mapsto x^2.\end{align}$$ यह फलन को परिभाषित करता है। इस प्रकार $R^{T} ⊆ Y × X$ पूर्णांकों से पूर्णांकों तक जो इसके इनपुट का वर्ग वापस करता है।

तीर संकेतन के सामान्य अनुप्रयोग के रूप में, मान लीजिए $$f\colon X\times X\to Y;\;(x,t) \mapsto f(x,t)$$ दो चर में फलन है और हम आंशिक रूप से अनुप्रयोग का उल्लेख करना चाहते हैं $$X\to Y$$ मान $(x, y) ∈ R\}.$ के लिए दूसरा तर्क तय करके उत्पादित किया गया है। इस प्रकार विचाराधीन मानचित्र को निरूपित किया जा सकता है $$x\mapsto f(x,t_0)$$ तीर संकेतन का उपयोग करके भावाभिव्यक्ति $$x\mapsto f(x,t_0)$$ (पढ़ें: नक्शा ले रहा है $x$ प्रति $sin x$) इस नए फलन को केवल तर्क के साथ प्रतिनिधित्व करता है, जबकि अभिव्यक्ति $sin(x)$ बिंदु $f(x)$.पर फलन $f$ के मान को संदर्भित करता है।

सूचकांक अंकन
कार्यात्मक संकेतन के अतिरिक्त अधिकांशतः सूचकांक संकेतन का उपयोग किया जाता है। अर्थात् $f(x)$ लिखने के अतिरिक्त, कोई $$f_x.$$ लिखता है।

यह सामान्यतः उन कार्यों के स्थिति में होता है जिनका कार्यक्षेत्र प्राकृतिक संख्याओं का समूह होता है। इस प्रकार के फलन को अनुक्रम (गणित) कहा जाता है और इस स्थिति में तत्व $$f_n$$ को अनुक्रम का nवाँ तत्व कहा जाता है।

सूचकांक अंकन का उपयोग अधिकांशतः कुछ चरों को भिन्न करने के लिए भी किया जाता है जिन्हें पैरामीटर कहा जाता है जो वास्तविक चर से होते हैं। वास्तव में, पैरामीटर विशिष्ट चर होते हैं जिन्हें किसी समस्या के अध्ययन के समय निश्चित माना जाता है। उदाहरण के लिए, मानचित्र $$x\mapsto f(x,t)$$ (ऊपर देखें) को $$f_t$$ द्वारा निरूपित किया जाता है। यदि हम मानचित्रों के संग्रह को परिभाषित करते हैं, तब सूचकांक संकेतन का $$f_t$$ सूत्र द्वारा $$f_t(x)=f(x,t)$$ सभी के लिए $$x,t\in X$$ का उपयोग करते है।

डॉट अंकन
अंकन में $$x\mapsto f(x),$$ प्रतीक $x$ किसी भी मान का प्रतिनिधित्व नहीं करता है, यह केवल प्लेसहोल्डर का नाम है जिसका अर्थ होता है कि, यदि $x$ तीर के बाईं ओर किसी भी मान से प्रतिस्थापित किया जाता है, तब इसे तीर के दाईं ओर समान मान से प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए। इसलिए, $x$ किसी भी प्रतीक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है, अधिकांशतः इंटरपंक $f(x)$ यह फलन $वर्ग$ को इसके मान $t_{0}$ से $x$ पर भिन्न करने के लिए उपयोगी हो सकता है।

उदाहरण के लिए, $$ a(\cdot)^2$$ फलन के लिए खड़ा हो सकता है $$ x\mapsto ax^2$$, तथा $ \int_a^{\, (\cdot)} f(u)\,du$ चर की ऊपरी सीमा के साथ अभिन्न $ x\mapsto \int_a^x f(u)\,du$  द्वारा परिभाषित फलन के लिए खड़ा हो सकता है।

विशिष्ट अंकन
गणित के उप-विषयों में कार्यों के लिए अन्य विशिष्ट संकेतन होते हैं। उदाहरण के लिए, रेखीय बीजगणित और कार्यात्मक विश्लेषण में, रैखिक रूप और सदिश (गणित और भौतिकी) जिन पर वह कार्य करते हैं, उन्हें अंतर्निहित द्वैत (गणित) दिखाने के लिए दोहरी जोड़ी का उपयोग करके निरूपित किया जाता है। यह क्वांटम यांत्रिकी में ब्रा-केट अंकन के उपयोग के समान होता है। गणितीय तर्क और संगणना के सिद्धांत में, लैम्ब्डा कैलकुलस के फलन अंकन का उपयोग फलन एब्स्ट्रेक्शन (कंप्यूटर साइंस) और फलन आवेदन की मूल धारणाओं को स्पष्ट रूप से व्यक्त करने के लिए किया जाता है। श्रेणी सिद्धांत और समरूप बीजगणित में, कार्यों के नेटवर्क का वर्णन किया गया है कि कैसे वह और उनकी रचनाएँ क्रमविनिमेय आरेखों का उपयोग करते हुए दूसरे के साथ क्रमविनिमेय गुण हैं जो ऊपर वर्णित कार्यों के लिए तीर संकेतन का विस्तार और सामान्यीकरण करते हैं।

अन्य शर्तें
फलन को अधिकांशतः मानचित्र या मानचित्रण भी कहा जाता है, किन्तु कुछ लेखक "मैप" और "फलन" शब्द के मध्य अंतर करते हैं। उदाहरण के लिए, शब्द "मानचित्र" अधिकांशतः किसी प्रकार की विशेष संरचना वाले फलन के लिए आरक्षित होता है (उदाहरण के लिए मैनिफोल्ड्स के मानचित्र)। संक्षिप्तता के लिए विशेष रूप से मानचित्र का प्रयोग अधिकांशतः समरूपता के स्थान पर किया जाता है (उदाहरण के लिए, $G$ से $H$ तक समूह समरूपता के अतिरिक्त $G$ से $H$ तक रेखीय मानचित्र या मानचित्रण)। कुछ लेखक उस स्थिति के लिए मानचित्रण शब्द आरक्षित रखते है जहां उपकार्यक्षेत्र की संरचना स्पष्ट रूप से फलन की परिभाषा से संबंधित होती है।

कुछ लेखक, जैसे सर्ज लैंग, "फलन" का उपयोग केवल उन मानचित्रों को संदर्भित करने के लिए करते है जिनके लिए उपकार्यक्षेत्र वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं का उपसमुच्चय होता है और अधिक सामान्य कार्यों के लिए मानचित्रण शब्द का उपयोग करते है।

सामान्यतः गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत में, मानचित्र असतत-समय गतिशील प्रणालियों को दर्शाता है जिसका उपयोग गतिशील प्रणाली मानचित्र बनाने के लिए किया जाता है। इस प्रकार पोंकारे नक्शा भी देख सकते है।

मानचित्र की चाहे जिस भी परिभाषा का प्रयोग किया गया हो, संबंधित शब्द जैसे फलन का कार्यक्षेत्र, उपकार्यक्षेत्र, अंतःक्षेपी फलन, सतत फलन का वही अर्थ होता है जो फलन का होता है।

फलन निर्दिष्ट करना
सामान्यतः फलन $$f$$ दिया गया है, परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक तत्व के लिए $$x$$ फलन के कार्यक्षेत्र का $$f$$, इसके साथ अनूठा तत्व जुड़ा हुआ है, मान $$f(x)$$ का $$f$$ पर $$x$$. कैसे निर्दिष्ट या वर्णन करने की अनेक विधि हैं जो $$x$$ और $$f(x)$$ दोनों स्पष्ट रूप से और अप्रत्यक्ष रूप से से संबंधित होती है। कभी-कभी, प्रमेय या अभिगृहीत कुछ गुणधर्मों वाले फलन के अस्तित्व पर जोर देता है, इसे अधिक त्रुटिहीन वर्णन किए बिना अधिकांशतः, विनिर्देश या विवरण को फलन $$f$$ की परिभाषा के रूप में संदर्भित किया जाता है।

फलन मानों को सूचीबद्ध करके
परिमित समूह पर, कार्यक्षेत्र के तत्वों से जुड़े उपकार्यक्षेत्र के तत्वों को सूचीबद्ध करके फलन परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि $$A = \{ 1, 2, 3 \}$$, तब $$f\colon A \to \mathbb{R}$$ द्वारा $$f(1) = 2, f(2) = 3, f(3) = 4.$$ फलन को परिभाषित कर सकता है।

सूत्र द्वारा
फलन को अधिकांशतः सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता है जो अंकगणितीय संक्रियाओं और पहले परिभाषित फलनों के संयोजन का वर्णन करता है। इस प्रकार ऐसा सूत्र कार्यक्षेत्र के किसी भी तत्व के मान से फलन के मान की गणना करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, $$f(n) = n+1$$, के लिये $$n\in\{1,2,3\}$$ उपरोक्त उदाहरण में, $$f$$ को सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।

जब किसी फलन को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है, तब कभी-कभी उसके प्रांत का निर्धारण कठिन हो जाता है। यदि फलन को परिभाषित करने वाले सूत्र में विभाजन होते हैं, तब चर के मान जिसके लिए भाजक शून्य होता है, उसको कार्यक्षेत्र से बाहर रखा जाता है। इस प्रकार जटिल कार्य के लिए, कार्यक्षेत्र का निर्धारण सहायक कार्यों के फलन के शून्य की गणना के माध्यम से गुजरता है। इसी प्रकार यदि किसी फलन की परिभाषा में वर्गमूल होते हैं $$\mathbb{R}$$ प्रति $$\mathbb{R},$$ कार्यक्षेत्र चर के मानों के समूह में सम्मिलित है जिसके लिए वर्गमूल के तर्क गैर-ऋणात्मक होते हैं।

उदाहरण के लिए, $$f(x)=\sqrt{1+x^2}$$ फलन को परिभाषित करता है $$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$ जिसका कार्यक्षेत्र $$\mathbb{R},$$ है, अतः $$1+x^2$$ यदि हमेशा धनात्मक होता है और यदि $x$ वास्तविक संख्या है। तब दूसरी ओर, $$f(x)=\sqrt{1-x^2}$$ फलन को वास्तविक से वास्तविकता तक परिभाषित करता है जिसका कार्यक्षेत्र अंतराल $[−1, 1]$ तक कम हो जाता है। (पुराने ग्रंथों में, ऐसे कार्यक्षेत्र को फलन की परिभाषा का कार्यक्षेत्र कहा जाता था।)

कार्यों को अधिकांशतः उन सूत्रों की प्रकृति द्वारा वर्गीकृत किया जाता है जो उन्हें परिभाषित करते हैं।
 * द्विघात फलन ऐसा फलन है जिसे $$f(x) = ax^2+bx+c,$$ लिखा जा सकता है, जहाँ पर $f(x, t_{0})$ स्थिरांक (गणित) हैं।
 * सामान्यतः, अधिक बहुपद फलन ऐसा फलन होता है जिसे सूत्र द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जिसमें गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए केवल जोड़, घटाव, गुणा और घातांक सम्मिलित होते हैं। उदाहरण के लिए, $$f(x) = x^3-3x-1,$$ तथा $$f(x) = (x-1)(x^3+1) +2x^2 -1.$$
 * परिमेय फलन वही होता है, जिसमें विभाजन की भी अनुमति होती है, जैसे $$f(x) = \frac{x-1}{x+1},$$ तथा $$f(x) = \frac 1{x+1}+\frac 3x-\frac 2{x-1}.$$
 * बीजगणितीय फलन nवें मूल के साथ समान होता है फलन के $n$वें मूल और शून्य की भी अनुमति होती है।
 * प्राथमिक कार्य लघुगणक और चरघातांकी फलनों की अनुमति के साथ समान होता है।

उलटा और अंतर्निहित कार्य
सामान्यतः फलन $$f\colon X\to Y,$$ कार्यक्षेत्र के साथ $X$ और उपकार्यक्षेत्र $Y$ के साथ, विशेषण है, यदि $Y$ में प्रत्येक $y$ के लिए, $X$ में और केवल तत्व $x$ है जैसे कि $f(x_{0}, t_{0})$. इस स्थिति में, $f$ का प्रतिलोम फलन होता है $$f^{-1}\colon Y \to X$$ वह मानचित्र करता है $$y\in Y$$ तत्व के लिए $$x\in X$$ ऐसा है कि $(x_{0}, t_{0})$. उदाहरण के लिए, प्राकृतिक लघुगणक धनात्मक वास्तविक संख्याओं से वास्तविक संख्याओं का विशेषण फलन होता है। इस प्रकार इसका व्युत्क्रम होता है, जिसे घातांक प्रकार्य कहा जाता है, जो वास्तविक संख्याओं को धनात्मक संख्याओं पर मानचित्र करता है।

यदि कोई फलन $$f\colon X\to Y$$ वस्तुनिष्ठ नहीं है, ऐसा हो सकता है कि कोई उपसमूह का चयन कर सकता है $$E\subseteq X$$ तथा $$F\subseteq Y$$ जैसे कि फलन का प्रतिबंध $f$ से $E$ तक आपत्ति है $E$ प्रति $F$, और इस प्रकार व्युत्क्रम है। व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, कोसाइन फलन, प्रतिबंध द्वारा, अंतराल (गणित) से आक्षेप को प्रेरित करता है $[0, π]$ अंतराल पर $[−1, 1]$, और इसका व्युत्क्रम कार्य, जिसे कोटिकोज्या कहा जाता है, मानचित्र $[−1, 1]$ पर $[0, π]$. अन्य व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को इसी प्रकार परिभाषित किया गया है।

अधिक सामान्यतः, द्विआधारी संबंध दिया गया है $R$ दो समूह के मध्य $X$ तथा $Y$, होने देता है जो $E$ का उपसमुच्चय होता है $X$ ऐसा है कि, प्रत्येक के लिए $$x\in E,$$ वहां कुछ है $$y\in Y$$ ऐसा है कि $f (x)$. यदि किसी के समीप ऐसे चयन की अनुमति देने वाला मानदंड है $y$ प्रत्येक के लिए $$x\in E,$$ यह फलन को परिभाषित करता है, जिसे अंतर्निहित फलन $$f\colon E\to Y,$$ कहा जाता है, जिससे कि यह $R$ संबंध द्वारा अंतर्निहित रूप से परिभाषित होता है।

उदाहरण के लिए, यूनिट सर्कल का समीकरण $$x^2+y^2=1$$ वास्तविक संख्याओं पर संबंध को परिभाषित करता है। यदि $"⋅"$ के दो संभावित मान $y$, धनात्मक और ऋणात्मक होते हैं। इसके लिये $f (⋅)$, यह दोनों मान 0 के समान्तर हो जाते हैं। अन्यथा, $y$ का कोई संभावित मान नहीं है। इस प्रकार इसका अर्थ है कि समीकरण कार्यक्षेत्र के साथ दो निहित कार्यों $[0, +∞)$ तथा $(−∞, 0]$ और संबंधित उपकार्यक्षेत्र $[−1, 1]$ को परिभाषित करता है।

इस उदाहरण में, $y$ समीकरण को हल किया जा सकता है, जो देता है $$y=\pm \sqrt{1-x^2},$$ किन्तु, अधिक जटिल उदाहरणों में, यह असंभव होता है। उदाहरण के लिए, संबंध $$y^5+y+x=0$$ को परिभाषित करता है $y$ के निहित कार्य के रूप में $x$, जिसे कट्टरपंथी लाओ कहा जाता है, जिसके पास $$\mathbb R$$ कार्यक्षेत्र और रेंज के रूप में होता है। इस प्रकार ब्रिंग रेडिकल को चार अंकगणितीय संक्रियाओं और nवें मूल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

निहित कार्य प्रमेय बिंदु के पड़ोस में अस्तित्व और अंतर्निहित कार्य की विशिष्टता के लिए हल्की भिन्नता की स्थिति प्रदान करता है।

डिफरेंशियल कैलकुलस का प्रयोग
सामान्यतः अनेक कार्यों को दूसरे फलन के प्रतिपक्षी के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यह प्राकृतिक लघुगणक की स्थिति होती है, जो $f (x)$ का प्रतिपक्षी है जो कि $a, b, c$ के लिए 0 होता है। इस प्रकार अन्य सामान्य उदाहरण त्रुटि फलन होते है।

अधिक सामान्यतः, अधिकांश विशेष कार्यों सहित अनेक कार्यों को अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार सबसे सरल उदाहरण संभवतः विशेष फलन होते है, जिसे अद्वितीय फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो इसके डेरिवेटिव के समान्तर होता है और $y = f(x)$ के लिए मान 1 लेता है।

पावर श्रृंखला का उपयोग उस कार्यक्षेत्र पर कार्यों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है जिसमें वह अभिसरण करते हैं। उदाहरण के लिए, चरघातांकी फलन द्वारा दिया जाता है $$e^x = \sum_{n=0}^{\infty} {x^n \over n!}$$. चूँकि, जैसा कि श्रृंखला के गुणांक अधिक अनैतिक होते हैं, अतः फलन जो अभिसारी श्रृंखला का योग होता है, सामान्यतः अन्यथा परिभाषित किया जाता है और गुणांक का क्रम किसी अन्य परिभाषा के आधार पर कुछ संगणना का परिणाम होता है। पुनः, फलन के कार्यक्षेत्र को बढ़ाने के लिए पावर श्रृंखला का उपयोग किया जा सकता है। सामान्यतः, यदि वास्तविक चर के लिए फलन कुछ अंतराल में टेलर श्रृंखला का योग होता है, तब यह शक्ति श्रृंखला तुरंत कार्यक्षेत्र को जटिल संख्याओं के उपसमूह में श्रृंखला के अभिसरण की डिस्क में विस्तारित करने की अनुमति देती है। अतः पुनः विश्लेषणात्मक निरंतरता लगभग पूर्ण जटिल विमान को सम्मिलित करने के लिए कार्यक्षेत्र को आगे बढ़ाने की अनुमति देती है। इस प्रकार यह प्रक्रिया वह विधि है जो सामान्यतः जटिल संख्या के लघुगणक, घातीय कार्य और त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करने के लिए उपयोग की जाती है।

पुनरावृत्ति द्वारा
ऐसे कार्य जिनके कार्यक्षेत्र गैर-ऋणात्मक पूर्णांक होते हैं, जिन्हें अनुक्रम के रूप में जाना जाता है, जिसे अधिकांशतः पुनरावृत्ति संबंधों द्वारा परिभाषित किए जाते हैं।

अऋणात्मक पूर्णांकों पर भाज्य फलन ($$n\mapsto n!$$) मूल उदाहरण होता है, जिससे कि इसे पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया जा सकता है।
 * $$n!=n(n-1)!\quad\text{for}\quad n>0,$$

और प्रारंभिक स्थिति,
 * $$0!=1.$$

फलन का प्रतिनिधित्व करना
किसी फलन का ग्राफ़ सामान्यतः किसी फलन की सहज तस्वीर देने के लिए उपयोग किया जाता है। इस प्रकार किसी फलन को समझने में ग्राफ़ कैसे सहायता करता है, इसके उदाहरण के रूप में, इसके ग्राफ़ से यह देखना सरल होता है कि कोई फलन बढ़ रहा है या घट रहा है। अतः कुछ कार्यों को बार चार्ट द्वारा भी प्रदर्शित किया जा सकता है।

रेखांकन और प्लॉट
फलन $$f\colon X\to Y,$$ दिया गया है, इसका ग्राफ औपचारिक रूप से समूह होता है।


 * $$G=\{(x,f(x))\mid x\in X\}.$$

अधिकांशतः स्थिति में जहां $X$ तथा $Y$ वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय होते हैं (या ऐसे उपसमुच्चयों से पहचाने जा सकते हैं, जैसे अंतराल (गणित)), तत्व $$(x,y)\in G$$ निर्देशांक वाले बिंदु से पहचाना जा सकता है $y = f(x)$ द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली में, उदाहरण के लिए, कार्टेशियन विमान इत्यादि। इसके भाग प्लॉट (ग्राफिक्स) बना सकते हैं जो फलन (भागों) का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार प्लॉट्स का उपयोग इतना सर्वव्यापी होता है कि उन्हें भी फलन का ग्राफ कहा जाता है। अन्य समन्वय प्रणालियों में कार्यों का ग्राफिक प्रतिनिधित्व भी संभव होता है। उदाहरण के लिए, वर्ग फलन का ग्राफ़ इत्यादि।


 * $$x\mapsto x^2,$$

निर्देशांक के साथ सभी बिंदुओं से मिलकर $$(x, x^2)$$ के लिये $$x\in \R,$$ उपज, जब कार्टेशियन निर्देशांक में दर्शाए जाने पर प्रसिद्ध परवलय प्राप्त होता है। यदि समान द्विघात कार्य $$x\mapsto x^2,$$ ही औपचारिक ग्राफ के साथ, संख्याओं के जोड़े से मिलकर, ध्रुवीय निर्देशांक में प्लॉट किया जाता है। इस प्रकार $$(r,\theta) =(x,x^2),$$ प्राप्त प्लॉट फ़र्मेट का सर्पिल होता है।

तालिका
सामान्यतः फलन को मानों की तालिका के रूप में दर्शाया जा सकता है। यदि किसी फलन का प्रांत परिमित होता है, तब फलन को इस प्रकार पूर्णतया निर्दिष्ट किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गुणन फलन $$f\colon\{1,\ldots,5\}^2 \to \mathbb{R}$$ के रूप में परिभाषित $$f(x,y)=xy$$ को परिचित गुणन तालिका द्वारा दर्शाया जा सकता है।

दूसरी ओर, यदि किसी फलन का कार्यक्षेत्र निरंतर होता है, तब तालिका कार्यक्षेत्र के विशिष्ट मानों पर फलन के मान दे सकती है। यदि मध्यवर्ती मान की आवश्यकता होती है, तब फलन के मान का अनुमान लगाने के लिए प्रक्षेप का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, साइन फलन के लिए तालिका का भाग निम्नानुसार दिया जा सकता है, जिसमें 6 दशमलव स्थानों पर मान होते हैं।

हैंडहेल्ड कैलकुलेटर और पर्सनल कंप्यूटर के आगमन से पूर्व, ऐसी तालिकाओं को अधिकांशतः लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्यों जैसे कार्यों के लिए संकलित और प्रकाशित किया जाता था।

बार चार्ट
बार चार्ट का उपयोग अधिकांशतः उन कार्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है जिनका कार्यक्षेत्र परिमित समूह, प्राकृतिक संख्या या पूर्णांक होते है। इस स्थिति में, कार्यक्षेत्र के तत्व $x$ को $y$-अक्ष के अंतराल (गणित) द्वारा दर्शाया गया है और फलन का संगत मान, $x R y$, आयत द्वारा दर्शाया गया है जिसका आधार $x$ के संगत अंतराल के अनुरूप होते है और जिसकी ऊंचाई $−1 < x < 1$ है (संभवतः ऋणात्मक, जिस स्थिति में प्रत्येक बार x-अक्ष नीचे विस्तारित होता है)।

सामान्य विशेषता
यह खंड कार्यों के सामान्य गुणों का वर्णन करता है, जो कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र के विशिष्ट गुणों से स्वतंत्र होते हैं।

मानक कार्य
अनेक मानक कार्य हैं जो अधिकांशतः होते हैं।
 * प्रत्येक समूह $x$ के लिए, अनूठा फलन होता है, जिसे रिक्त फलन या रिक्त मानचित्र कहा जाता है, खाली फलन का ग्राफ़ खाली समूह है। सिद्धांत की सुसंगतता और अनेक कथनों में खाली समूह से संबंधित अपवादों से बचने के लिए खाली कार्यों के अस्तित्व की आवश्यकता है। इस प्रकार आदेशित ट्रिपलेट (या समतुल्य वाले) के रूप में फलन की सामान्य समूह-सैद्धांतिक परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक समूह के लिए बिल्कुल रिक्त फलन होता है, इस प्रकार रिक्त फलन $$\varnothing \mapsto X$$ के समान्तर नहीं होता है $$\varnothing \mapsto Y$$ यदि और $$X\ne Y$$, चूंकि उनका ग्राफ दोनों रिक्त समूह होता हैं।
 * प्रत्येक समूह $x$ के लिए और प्रत्येक सिंगलटन समूह $x = ± 1$ के लिए $x$ से $1/x$ तक अनूठा कार्य होता है जो $X$ से $X$ प्रत्येक तत्व को मानचित्र करता है, यह अनुमान है (नीचे देखें) जब तक $X$ रिक्त समूह नही होता है है।
 * फलन दिया $$f\colon X\to Y,$$ इसकी छवि पर $X$ का विहित अनुमान $$f(X)=\{f(x)\mid x\in X\}$$ से फलन होता है जो $X$ से $x = 1$ को मानचित्र करता है।
 * प्रत्येक समुच्चय $s$ के लिए प्रत्येक उपसमुच्चय $X$ के लिए $f$ का $X$, में समावेशन मानचित्र अंतःक्षेपी (नीचे देखें) फलन होता है जो $X$ के प्रत्येक तत्व को अपने आप में मानचित्र करता है।
 * प्रत्येक समूह $A$ पर पहचान फलन जिसे अधिकांशतः $x = 0$ द्वारा निरूपित किया जाता है जो $A$ को स्वयं में सम्मिलित करता है।

फलन संरचना
दो कार्य दिए गए $$f\colon X\to Y$$ तथा $$g\colon Y\to Z$$ जैसे कि $X$ का कार्यक्षेत्र $A$ का उपकार्यक्षेत्र होता है, उनकी रचना कार्य $$g \circ f\colon X \rightarrow Z$$ द्वारा परिभाषित होती है।
 * $$(g \circ f)(x) = g(f(x)).$$

अर्थात् का मूल्य $$g \circ f$$ प्रथम $x, y$ प्राप्त करने के लिए $sin x$ से $f(x)$ प्रयुक्त करके प्राप्त किया जाता है और फिर $f(x)$ प्राप्त करने के लिए परिणाम $X$ में $∅ × X$ प्रयुक्त किया जाता है। इस प्रकार अंकन में जो फलन पहले प्रयुक्त होता है, उसे हमेशा दाईं ओर लिखा जाता है।

रचना $$g\circ f$$ फलन पर ऑपरेशन (गणित) होता है जिसे केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब पहले फलन का उपकार्यक्षेत्र दूसरे का कार्यक्षेत्र होता है। यहां तक ​​कि जब दोनों $$g \circ f$$ तथा $$f \circ g$$ इन शर्तों को पूर्ण करते हैं, तब संरचना अनिवार्य रूप से क्रमविनिमेय नहीं होता है, अर्थात्, कार्य $$g \circ f$$ तथा $$ f \circ g$$ समान होना आवश्यक नहीं है, किन्तु तर्क के लिए भिन्न-भिन्न मान प्रदान कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि $\{s\}$ तथा $\{s\}$, फिर $$g(f(x))=x^2+1$$ तथा $$ f(g(x)) = (x+1)^2$$ के लिए $$x=0.$$ सहमत होता हैं।

फलन रचना इस अर्थ में साहचर्य संपत्ति होती है कि, यदि $$(h\circ g)\circ f$$ तथा $$h\circ (g\circ f)$$ परिभाषित होते है, तब दूसरा भी परिभाषित किया गया है और वह समान होता हैं। इस प्रकार यह लिखता है।
 * $$h\circ g\circ f = (h\circ g)\circ f = h\circ (g\circ f).$$

पहचान कार्य करती है $$\operatorname{id}_X$$ तथा $$\operatorname{id}_Y$$ से कार्यों के लिए क्रमशः सही पहचान और बाईं पहचान क्रमशः X से Y होती हैं अर्थात् यदि $X$ कार्यक्षेत्र $g$ और उपकार्यक्षेत्र $f$ के साथ फलन होता है, तब प्रत्येक के समीप$$f\circ \operatorname{id}_X = \operatorname{id}_Y \circ f = f.$$

इमेज और प्रीइमेज
होने देना $$f\colon X\to Y.$$ कार्यक्षेत्र $y$ के तत्व $f$ के $X$ के अंतर्गत छवि $f(X)$ है। यदि $id_{X}$, $y = f(x)$ का कोई उपसमुच्चय होता है, $Y$ के अंतर्गत $X$ की छवि, जिसे $f$ के रूप में दर्शाया गया है, उपकार्यक्षेत्र $x$ का उपसमुच्चय है, जिसमे $x$ के सभी तत्वों की छवियां सम्मिलित होती है। अर्थात् ,
 * $$f(A)=\{f(x)\mid x\in A\}.$$

सामान्यतः $g(y) = g(f(x))$ की छवि पर संपूर्ण कार्यक्षेत्र की छवि होती है, अर्थात, $g$. इसे $f$ के फलन की श्रेणी भी कहते हैं, चूंकि टर्म रेंज उपकार्यक्षेत्र को भी संदर्भित कर सकता है।

दूसरी ओर, उपकार्यक्षेत्र $f$ के तत्व $A$ के $A$ के अनुसार उलटा छवि या प्रीइमेज कार्यक्षेत्र $f(x) = x^{2}$ के सभी तत्वों का समूह होता है, जिनकी छवियां $f$ के समान्तर $y$ होता है। इस प्रकार प्रतीकों में, $Y$ की प्रधानता को $$f^{-1}(y)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है और समीकरण द्वारा दिया गया है।
 * $$f^{-1}(y) = \{x \in X \mid f(x) = y\}.$$

इसी प्रकार, कार्यक्षेत्र $g(x) = x + 1$ के उपसमूह $(g ∘ f )(c) = #$ का प्रीइमेज $f(x)$ के तत्वों के प्रीइमेज का समुच्चय होता है, अर्थात् यह कार्यक्षेत्र $A$ का उपसमूह होता है, जिसमे $X$ के सभी तत्व सम्मिलित होते है जिनकी छवियां $f(A)$ से संबंधित होती हैं। इस प्रकार इसे $$f^{-1}(B)$$ द्वारा निरूपित किया जाता है और समीकरण द्वारा दिया गया है।
 * $$f^{-1}(B) = \{x \in X \mid f(x) \in B\}.$$

उदाहरण के लिए, $$\{4, 9\}$$ की पूर्वकल्पना वर्ग फलन के अनुसार $$\{-3,-2,2,3\}$$ समूह होता है।

सामान्यतः फलन की परिभाषा के अनुसार, कार्यक्षेत्र के किसी तत्व $Y$ की छवि हमेशा उपकार्यक्षेत्र का तत्व होता है। चूंकि, प्रीइमेज उपकार्यक्षेत्र के तत्व $f$ का $$f^{-1}(y)$$ रिक्त समूह हो सकता है या इसमें अनेक तत्वों की संख्या हो सकती है। उदाहरण के लिए, यदि $f$ पूर्णांकों से स्वयं तक का फलन होता है जो प्रत्येक पूर्णांक को 0 पर मानचित्र करता है, तब $$f^{-1}(0) = \mathbb{Z}$$.

यदि $$f\colon X\to Y$$ फलन होता है, $f$ तथा $f(X)$, $X$ के उपसमुच्चय होते हैं और $Y$ तथा $B$, $B$ के उपसमुच्चय होते हैं, तब किसी के समीप निम्नलिखित गुण होते हैं। उपकार्यक्षेत्र के तत्व $y$ के $y$ द्वारा प्रीइमेज को कभी-कभी, कुछ संदर्भों में, $y$ के भांति $X$ का फाइबर (गणित) कहा जाता है।
 * $$A\subseteq B \Longrightarrow f(A)\subseteq f(B)$$
 * $$C\subseteq D \Longrightarrow f^{-1}(C)\subseteq f^{-1}(D)$$
 * $$A \subseteq f^{-1}(f(A))$$
 * $$C \supseteq f(f^{-1}(C))$$
 * $$f(f^{-1}(f(A)))=f(A)$$
 * $$f^{-1}(f(f^{-1}(C)))=f^{-1}(C)$$

यदि किसी फलन $f$ का व्युत्क्रम होता है (नीचे देखें), तब इस व्युत्क्रम को $$f^{-1}.$$ द्वारा निरूपित किया गया है। इस स्थिति में $$f^{-1}(C)$$ द्वारा किसी भी छवि को निरूपित कर सकते हैं $$f^{-1}$$ या $y$ के $f$ द्वारा प्रीइमेज होता है। यह कोई समस्या नहीं है, जिससे कि यह समूह समान्तर होता हैं। इस प्रकार अंकन $$f(A)$$ तथा $$f^{-1}(C)$$ समूह के स्थिति में अस्पष्ट हो सकता है जिसमें कुछ उपसमुच्चय तत्वों के रूप में होते हैं, जैसे $$\{x, \{x\}\}.$$ इस स्थिति में, कुछ देखभाल की आवश्यकता हो सकती है, उदाहरण के लिए, वर्गाकार कोष्ठकों का उपयोग करके $$f[A], f^{-1}[C]$$ छवियों और तत्वों की छवियों और छवियों के लिए उपसमुच्चय और साधारण कोष्ठकों की पूर्व-छवियों के लिए आवश्यक होता है।

विशेषण, विशेषण और विशेषण कार्य
होने देना $$f\colon X\to Y$$ फलन होता है।

फलन $f$ अंतःक्षेपी होता है (या अंतःक्षेपी होता है) यदि $X$ $f$ के किसी भी दो भिन्न-भिन्न तत्वों $B$ तथा $C$ के लिए होता है, समतुल्य रूप से, $f$ अंतःक्षेपी है यदि किसी के लिए $$y\in Y,$$पूर्व चित्र $$f^{-1}(y)$$ अधिकतम तत्व सम्मिलित होता है। अतः रिक्त कार्य हमेशा अंतःक्षेपी होता है। यदि $f$ तब रिक्त समुच्चय नहीं होता है तब $X$ अंतःक्षेपी होता है और यदि कोई फलन $$g\colon Y\to X$$ उपस्तिथ होता है जैसे कि $$g\circ f=\operatorname{id}_X,$$ वह है, अर्थात् यदि $b$ बायां व्युत्क्रम फलन होता है। उपपत्ति: यदि $f$ अंतःक्षेपी होता है, $X$ को परिभाषित करने के लिए, कोई तत्व चुनता है $$x_0$$ में $f$ (जो $f$ के रूप में उपस्तिथ होता है, गैर-रिक्त माना जाता है), और $f$ को परिभाषित करता है, $$g(y)=x$$ यदि $$y=f(x)$$ तथा $$g(y)=x_0$$ यदि $$y\not\in f(X).$$ इसके विपरीत यदि $$g\circ f=\operatorname{id}_X,$$ तथा $$y=f(x),$$ फिर $$x=g(y),$$ और इस प्रकार $$f^{-1}(y)=\{x\}.$$ होता है।

फलन $g$ आच्छादक होता है (या आच्छादक, या आच्छादन होता है) यदि $$f(X)$$ इसकी सीमा है और इसके उपकार्यक्षेत्र के समान्तर होती है $$Y$$, अर्थात्, यदि प्रत्येक तत्व के लिए $$y$$ उपकार्यक्षेत्र के, कुछ तत्व उपस्तिथ होते है। इस प्रकार कार्यक्षेत्र का $$x$$ ऐसा होता है कि $$f(x) = y$$ (दूसरे शब्दों में, प्रीइमेज $$f^{-1}(y)$$ प्रत्येक का $$y\in Y$$ रिक्त नहीं होता है)। यदि, हमेशा की भाँती, आधुनिक गणित में, पसंद का स्वयंसिद्ध मान लिया जाता है, तब $X$ विशेषण होता है और यदि कोई कार्य उपस्तिथ होता है $$g\colon Y\to X$$ जैसा कि $$f\circ g=\operatorname{id}_Y,$$ वह है,यदि $X$ का सही व्युत्क्रम कार्य होता है। इस प्रकार पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यता होती है, जिससे कि यदि $g$ विशेषण होता है, तब $f$ को परिभाषित करता है $$g(y)=x,$$ जहाँ पर $$x$$ अनैतिक रूप से चुना गया तत्व $$f^{-1}(y).$$ होता है।

सामान्यतः कार्यक्रम $f$ विशेषण होता है (या आक्षेप या पत्राचार होता है) यदि यह अंतःक्षेपी और विशेषण दोनों होता है। अर्थात् आच्छादक होता है, किसी के लिए $$y\in Y,$$ पूर्व चित्र $$f^{-1}(y)$$ उचित तत्व होता है। फलन $f$ विशेषण होता है और यदि यह व्युत्क्रम फलन को स्वीकार करता है, जो कि फलन $$g\colon Y\to X$$ है जैसे कि $$g\circ f=\operatorname{id}_X$$ तथा $$f\circ g=\operatorname{id}_Y.$$ (विपरीत अनुमानों की स्थिति में, इसके लिए पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता नहीं होती है, प्रमाण सीधा होता है)।

प्रत्येक फलन $$f\colon X\to Y$$ रचना के रूप में गुणनखंड हो सकता है। इस प्रकार $$i\circ s$$ अनुमान के पश्चात् अंतःक्षेपी, जहां $f$, $x$ पर $g$ का विहित अनुमान होता है तथा $f$, $f$ में $A$ का विहित अंतःक्षेपण होता है। यह $s$ का विहित गुणनखंडन होता है।

"वन-टू-वन" और "ऑनटू" ऐसे शब्द होते हैं जो पुराने अंग्रेजी भाषा के साहित्य में अधिक सामान्य होते थे; "इंजेक्शन", "सर्जेक्टिव", और "बायजेक्टिव" मूल रूप से 20 वीं शताब्दी की दूसरी तिमाही में निकोलस बोरबाकी द्वारा फ्रांसीसी शब्द के रूप में गढ़े गए थे और अंग्रेजी में आयात किए गए थे। सावधानी के शब्द के रूप में, फलन वह होता है जो अंतःक्षेपी होता है, जबकि पत्राचार विशेषण फलन को संदर्भित करता है। साथ ही, कथन$B$ एमएपीएस $X$ पर $C$से भिन्न है$D$ एमएपीएस $Y$ में $y$, इसमें पूर्व का तात्पर्य है $f(a) ≠ f(b)$ विशेषण है, जबकि उत्तरार्द्ध की प्रकृति के बारे में कोई $a$ प्रामाणित नहीं करता है। जटिल तर्क में, अक्षर का अंतर सरलता से छूट सकता है। इस पुरानी शब्दावली की भ्रामक प्रकृति के कारण, इन शब्दों की लोकप्रियता बॉर्बकियन शब्दों के सापेक्ष कम हो गई है, जिन्हें अधिक सममित होने का लाभ भी होता है।

प्रतिबंध और विस्तार
यदि $$f\colon X \to Y$$ फलन होता है और S, X का उपसमुच्चय होता है, तब $$f$$ का प्रतिबंध S के लिए, निरूपित $$f|_S$$, S से Y तक का कार्य परिभाषित करता है।
 * $$f|_S(x) = f(x)$$

S में सभी X के लिए आंशिक व्युत्क्रम कार्यों को परिभाषित करने के लिए प्रतिबंधों का उपयोग किया जा सकता है। यदि किसी फलन के कार्यक्षेत्र का उपसमूह S होता है। इस प्रकार $$f$$ जैसे कि $$f|_S$$ अंतःक्षेपी होता है, तब $$f|_S$$ का विहित अनुमान इसकी छवि पर $$f|_S(S) = f(S)$$ आक्षेप होता है और इस प्रकार से व्युत्क्रम फलन होता है $$f(S)$$ से S के लिए आवेदन व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा होती है। उदाहरण के लिए, अंतराल (गणित) तक सीमित होने पर कोज्या फलन $X$ अंतःक्षेपी होता है। इस प्रतिबंध की छवि अंतराल $i$ होता है और इस प्रकार प्रतिबंध का व्युत्क्रम फलन $Y$ से $f$ होता है, जिसे आर्ककोसाइन कहा जाता है और आर्ककोस द्वारा निरूपित किया जाता है।

फलन प्रतिबंध का उपयोग प्रत्येक के साथ "ग्लूइंग" फलनों के लिए भी किया जा सकता है। होने देना $ X=\bigcup_{i\in I}U_i$ उपसमूह के संघ स्थापित के रूप में, $[0, π]$ का अपघटन हो सकता है और मान लीजिए कि फलन $$f_i\colon U_i \to Y$$ प्रत्येक पर परिभाषित किया गया है $$U_i$$ जैसे कि प्रत्येक जोड़ी के लिए $$i, j$$ सूचकांकों, के प्रतिबंध $$f_i$$ तथा $$f_j$$ से $$U_i \cap U_j$$ के समान्तर होता हैं। इस प्रकार फिर यह अद्वितीय कार्य को परिभाषित करता है $$f\colon X \to Y$$ जैसे कि $$f|_{U_i} = f_i$$ सभी के लिए $[−1, 1]$ यह वह विधि है जिससे विविध पर कार्य परिभाषित किए जाते हैं।

किसी फलन $[−1, 1]$ का विस्तार फलन $[0, π]$ है जैसे कि $X$, $i$ का प्रतिबंध होता है। इस अवधारणा का विशिष्ट उपयोग विश्लेषणात्मक निरंतरता की प्रक्रिया होती है, जो उन कार्यों को विस्तारित करने की अनुमति देता है जिनके कार्यक्षेत्र जटिल विमान का छोटा सा भाग होता है, जिसका कार्यक्षेत्र लगभग संपूर्ण जटिल विमान होता है।

वास्तविक रेखा के होमोग्राफी का अध्ययन करते समय सामने आने वाले फलन एक्सटेंशन का और मौलिक उदाहरण यहां दिया गया है। इस प्रकार होमोग्राफी फलन $$h(x)=\frac{ax+b}{cx+d}$$ है जैसे कि $f(X)$. इसका प्रांत, से भिन्न सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $$-d/c,$$ होता है और इसका प्रतिबिम्ब भिन्न सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $$a/c.$$ होता है, यदि कोई $f(X)$ वास्तविक रेखा को प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा तक सम्मिलित करके बढ़ाता है, तब वह सेटिंग द्वारा विस्तारित वास्तविक रेखा से स्वयं के लिए आक्षेप तक $$h(\infty)=a/c$$ तथा $$h(-d/c)=\infty$$. का विस्तार कर सकता है।

बहुभिन्नरूपी कार्य
बहुभिन्नरूपी कार्य या अनेक चर का कार्य ऐसा कार्य है जो अनेक तर्कों पर निर्भर करता है। इस प्रकार के कार्यों का अधिकांशतः सामना करना पड़ता है। उदाहरण के लिए, सड़क पर कार की स्थिति तय किए गए समय और उसकी औसत गति पर निर्भर करती है।

अधिक औपचारिक रूप से, $f$ चर का कार्य ऐसा कार्य होता है जिसका कार्यक्षेत्र $g$-टुपल्स समूह होता है। उदाहरण के लिए, पूर्णांकों का गुणन दो चरों का फलन होता है या द्विभाजित फलन होता है, जिसका कार्यक्षेत्र पूर्णांकों के सभी युग्मों (2-टुपल्स) का समुच्चय होता है और जिसका उपकार्यक्षेत्र पूर्णांकों का समुच्चय होता है। प्रत्येक बाइनरी ऑपरेशन के लिए भी यही सत्य होता है। इस प्रकार अधिक सामान्य रूप से, प्रत्येक गणितीय संक्रिया को बहुभिन्नरूपी फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है।

कार्टेशियन उत्पाद $$X_1\times\cdots\times X_n$$ का $f$ समूह $$X_1, \ldots, X_n$$ सभी का $g$-टुपल्स समूह होता है $$(x_1, \ldots, x_n)$$ जैसे कि $$x_i\in X_i$$ प्रत्येक $n$ के लिए साथ $$1 \leq i \leq n$$. अतः, $n$ चर का कार्य होता है।
 * $$f\colon U\to Y,$$

जहां कार्यक्षेत्र $n$ के रूप में होता है।
 * $$U\subseteq X_1\times\cdots\times X_n.$$

फलन अंकन का उपयोग करते समय, सामान्यतः ट्यूपल्स, लेखन के आसपास के कोष्ठकों को छोड़ दिया जाता है $$f(x_1,x_2)$$ के अतिरिक्त $$f((x_1,x_2)).$$ होता है।

ऐसी स्थिति में जहां सभी $$X_i$$ समूह के समान्तर होता हैं और $$\R$$ वास्तविक संख्याओं में, अनेक वास्तविक चरों का फलन होता है। यदि $$X_i$$ समूह के समान्तर होता हैं और $$\C$$ सम्मिश्र संख्याओं में, किसी के समीप अनेक सम्मिश्र चरों का फलन होता है।

उन कार्यों पर भी विचार करना सामान्य होता है जिनका उपकार्यक्षेत्र समूह का उत्पाद है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन विभाजन हर जोड़ी को मैप करता है $f$ के साथ पूर्णांकों की $X$ भागफल कहे जाने वाले पूर्णांकों के जोड़े और शेषफल:
 * $$\begin{align}

\text{Euclidean division}\colon\quad \Z\times (\Z\setminus \{0\}) &\to \Z\times\Z\\ (a,b) &\mapsto (\operatorname{quotient}(a,b),\operatorname{remainder}(a,b)). \end{align}$$ उपकार्यक्षेत्र सदिश स्थान भी हो सकता है। इस स्थिति में, सदिश-मान फलन की बात करता है। यदि कार्यक्षेत्र यूक्लिडियन अंतरिक्ष में निहित होता है या अधिक सामान्यतः अनेक गुना होता है, तब सदिश-मूल्यवान फलन को अधिकांशतः सदिश क्षेत्र कहा जाता है।

कलन में
17वीं सदी से प्रारंभ होकर फलन का विचार नए अतिसूक्ष्म कलन के लिए मौलिक होता था। उस समय, वास्तविक चर के फलन के वास्तविक-मूल्य वाले कार्यों पर विचार किया गया था और सभी कार्यों को सुचारू कार्य माना गया था। किन्तु परिभाषा को जल्द ही अनेक फलन और जटिल चर के फलनों तक बढ़ा दिया गया था। इस प्रकार 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, फलन की गणितीय रूप से कठोर परिभाषा प्रस्तुत की गई थी और अनैतिक कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र वाले फलन परिभाषित किए गए थे।

गणित के सभी क्षेत्रों में अब कार्यों का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार परिचयात्मक गणना में, जब शब्द फलन का उपयोग योग्यता के बिना किया जाता है, तब इसका अर्थ होता है कि वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान फलन होता है। इस प्रकार फलन की अधिक सामान्य परिभाषा सामान्यतः दूसरे या तीसरे वर्ष के कॉलेज के छात्रों के लिए मूलशब्द प्रमुखता के साथ प्रस्तुत की जाती है और उनके वरिष्ठ वर्ष में उन्हें वास्तविक विश्लेषण और जटिल विश्लेषण जैसे पाठ्यक्रमों में बड़े, अधिक कठोर सेटिंग में गणना से परिचित कराया जाता है।

वास्तविक कार्य
सामान्यतः वास्तविक फलन वास्तविक-मूल्यवान फलन होते है। इस प्रकार वास्तविक चर का वास्तविक-मूल्यवान फलन, अर्थात् ऐसा फलन जिसका उपकार्यक्षेत्र वास्तविक संख्या होती है और जिसका प्रांत वास्तविक संख्याओं का समुच्चय होता है जिसमें अंतराल (गणित) होता है। इस खंड में, इन कार्यों को केवल कार्य कहा जाता है।

गणित और इसके अनुप्रयोगों में जिन कार्यों पर सबसे अधिक विचार किया जाता है, उनमें कुछ नियमितता होती है, अर्थात् वह निरंतर कार्य, अवकलनीय कार्य और यहां तक ​​कि विश्लेषणात्मक कार्य भी होते हैं। यह नियमितता सुनिश्चित करती है कि इन कार्यों को उनके रेखांकन और भूखंडों द्वारा देखा जा सकता है। इस खंड में, कुछ अंतराल में सभी कार्य भिन्न-भिन्न होते हैं।

फलनों बिंदुवार संचालन का आनंद लेते हैं, अर्थात् यदि $n$ तथा $i$ कार्य हैं, उनका योग, अंतर और उत्पाद द्वारा परिभाषित कार्य होता हैं।
 * $$\begin{align}

(f+g)(x)&=f(x)+g(x)\\ (f-g)(x)&=f(x)-g(x)\\ (f\cdot g)(x)&=f(x)\cdot g(x)\\ \end{align}.$$ परिणामी कार्यों के प्रांत $n$ तथा $U$ के प्रांतों के प्रतिच्छेदन होते हैं।इस प्रकार दो फलनों के भागफल को इसी प्रकार परिभाषित किया जाता है।
 * $$\frac fg(x)=\frac{f(x)}{g(x)},$$

किन्तु परिणामी फलन का प्रांत f और g के प्रांतों के प्रतिच्छेदन से g के शून्यों को हटाकर प्राप्त किया जाता है।

बहुपद फलनों को बहुपदों द्वारा परिभाषित किया जाता है और उनका क्षेत्र वास्तविक संख्याओं का संपूर्ण समुच्चय होता है। इनमें निरंतर कार्य, रैखिक कार्य और द्विघात कार्य सम्मिलित होते हैं। इस प्रकार परिमेय फलन दो बहुपद फलन के भागफल होते हैं और उनका प्रांत वास्तविक संख्या होती है जिसमें शून्य से विभाजन से बचने के लिए उनमें से परिमित संख्या को हटा दिया जाता है। अतः सबसे सरल तर्कसंगत कार्य $$x\mapsto \frac 1x,$$ होता है, जिसका ग्राफ अतिशयोक्ति है और जिसका कार्यक्षेत्र 0 को छोड़कर पूर्ण वास्तविक रेखा होती है।

सामान्यतः वास्तविक भिन्न फलन का व्युत्पन्न वास्तविक फलन होता है। निरंतर वास्तविक कार्य का प्रतिपक्षी वास्तविक कार्य होता है जिसका मूल कार्य व्युत्पन्न के रूप में होता है। उदाहरण के लिए, फलन $$x\mapsto\frac 1x$$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर निरंतर और यहां तक ​​कि अवकलनीय है। इस प्रकार प्रतिपक्षी, जो शून्य के लिए $Y$ मान लेता है। इस प्रकार यह अवकलनीय फलन होता है जिसे प्राकृतिक लघुगणक कहा जाता है।

वास्तविक कार्य $f$ अंतराल में मोनोटोनिक फलन होता है यदि $$\frac{f(x)-f(y)}{x-y}$$ अंतराल में $g$ तथा $f$ के चुनाव पर निर्भर नहीं करता है। यदि फलन अंतराल में भिन्न-भिन्न होता है, तब व्युत्पन्न का संकेत अंतराल में स्थिर होता है, तब यह मोनोटोनिक होता है। यदि वास्तविक कार्य $g$ अंतराल $f$ में मोनोटोनिक होता है, तब इसका व्युत्क्रम फलन होता है, जो प्रांत $f$ और छवि $x$ के साथ वास्तविक फलन होता है। इस प्रकार त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित किया जाता है, जहां त्रिकोणमितीय कार्य मोनोटोनिक होते हैं। अन्य उदाहरण: प्राकृतिक लघुगणक धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर एकदिष्ट होता है और इसकी छवि संपूर्ण वास्तविक रेखा होती है। अतः इसका व्युत्क्रम फलन होता है जो वास्तविक संख्याओं और धनात्मक वास्तविक संख्याओं के मध्य आक्षेप होते है। इस प्रकार यह व्युत्क्रम चरघातांकी फलन होता है।

अनेक अन्य वास्तविक कार्यों को या तो अंतर्निहित कार्य प्रमेय (उलटा कार्य विशेष उदाहरण होता है) या अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, ज्या और कोज्या फलन रैखिक अवकल समीकरण के हल होते हैं।
 * $$y''+y=0$$

जैसे कि
 * $$\sin 0=0, \quad \cos 0=1, \quad\frac{\partial \sin x}{\partial x}(0)=1, \quad\frac{\partial \cos x}{\partial x}(0)=0.$$

सदिश-मूल्यवान फलन
जब किसी फलन के उपकार्यक्षेत्र के तत्व सदिश (गणित और भौतिकी) होते हैं, तब फलन को सदिश-मूल्यवान फलन कहा जाता है। यह कार्य अनुप्रयोगों में विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए भौतिक गुण मॉडलिंग। उदाहरण के लिए, वह फलन जो द्रव के प्रत्येक बिंदु से उसका वेग सदिश जोड़ता है, सदिश-मूल्यवान फलन कहलाता है।

कुछ सदिश-मूल्यवान कार्यों को उपसमूह पर परिभाषित किया गया है, $$\mathbb{R}^n$$ या अन्य स्थान जो ज्यामितीय या सांस्थितिक गुणों को साझा करते हैं, जैसे अनेक गुना। इन सदिश-मूल्यवान कार्यों को सदिश क्षेत्र नाम दिया गया है।

फलन स्थान
गणितीय विश्लेषण में और विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, फलन स्थान अदिश-मूल्यवान फलन का समूह होता है, जो विशिष्ट संपत्ति साझा करते हैं और टोपोलॉजिकल सदिश स्थान बनाते हैं। उदाहरण के लिए, कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ वास्तविक सुचारू कार्य (अर्थात, वह कुछ कॉम्पैक्ट समूह के बाहर शून्य होता हैं) फलन स्थान बनाते हैं, जो वितरण के सिद्धांत (गणित) के आधार पर होता है।

फलन के गुणों का अध्ययन करने के लिए उनके बीजगणितीय और टोपोलॉजी गुणों के उपयोग की अनुमति देकर, फलन रिक्त स्थान उन्नत गणितीय विश्लेषण में मौलिक भूमिका निभाते हैं। उदाहरण के लिए, अस्तित्व के सभी प्रमेय और सामान्य अंतर समीकरण या आंशिक अंतर समीकरण के समाधान की विशिष्टता फलन रिक्त स्थान के अध्ययन का परिणाम होती है।

बहु-मूल्यवान कार्य
वास्तविक या जटिल चर के कार्यों को निर्दिष्ट करने के लिए अनेक विधिक फलन की स्थानीय परिभाषा से बिंदु पर या बिंदु के पड़ोस (गणित) से प्रारंभ होते हैं और फिर निरंतरता द्वारा फलन को अधिक बड़े कार्यक्षेत्र तक विस्तारित करते हैं। अधिकांशतः, प्रारंभिक बिंदु के लिए $$x_0,$$ फलन के लिए अनेक संभावित प्रारंभिक मान होते हैं।

उदाहरण के लिए, किसी धनात्मक वास्तविक संख्या के लिए वर्गमूल को वर्ग फलन के व्युत्क्रम फलन के रूप में परिभाषित करने में $$x_0,$$ वर्गमूल के मान के लिए दो विकल्प होते हैं, जिनमें से धनात्मक और निरूपित $$\sqrt {x_0},$$ होते है और दूसरा जो ऋणात्मक और निरूपित $$-\sqrt {x_0}.$$ है। यह विकल्प दो निरंतर कार्यों को परिभाषित करते हैं, दोनों में कार्यक्षेत्र के रूप में गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याएं होती हैं और छवियों के रूप में या तो गैर-ऋणात्मक या गैर-धनात्मक वास्तविक संख्याएं होती हैं। जब इन कार्यों के ग्राफ़ को देखते हैं, तब कोई यह देख सकता है कि इनके साथ, वह चिकनी वक्र बनाते हैं। अतः अधिकांशतः इन दो वर्गमूल कार्यों को ऐसे कार्य के रूप में मानना ​​उपयोगी होता है जिसमें धनात्मक के लिए दो मान $y$, 0 होते हैं, इसके लिए मान और ऋणात्मक $f$ के लिए कोई मान नहीं होता है।

पिछले उदाहरण में, विकल्प, धनात्मक वर्गमूल, दूसरे की तुलना में अधिक स्वाभाविक होते है। सामान्यतः ऐसा नहीं होते है। उदाहरण के लिए, मानचित्र किए गए अंतर्निहित फलन पर विचार करते है, $I$ फलन की जड़ के लिए $I$ का $$x^3-3x-y =0$$ (दाईं ओर की आकृति देखें)। इसके लिये $X$ कोई भी चुन सकता है $$0, \sqrt 3,\text{ or } -\sqrt 3$$ के लिये $x$. अंतर्निहित कार्य प्रमेय द्वारा, प्रत्येक विकल्प फलन को परिभाषित करता है। पहले वाले के लिए, (अधिकतम) कार्यक्षेत्र अंतराल है $x$ और छवि $y$ है। दूसरे के लिए, कार्यक्षेत्र $x$ है और छवि $x$ है; पिछले के लिए, कार्यक्षेत्र $[−2, 2]$ है और छवि $[−1, 1]$ है. जैसा कि तीन ग्राफ़ साथ चिकनी वक्र बनाते हैं और विकल्प को प्राथमिकता देने का कोई कारण नहीं है, इन तीन कार्यों को अधिकांशतः एकल बहु-मूल्यवान फलन $[−2, ∞)$ के रूप में माना जाता है, जिसके लिए तीन मान $B$ होते हैं और इसके लिए केवल मान $f$ तथा $f$. होता है।

जटिल कार्यों, सामान्यतः विश्लेषणात्मक कार्यों पर विचार करते समय बहु-मूल्यवान कार्यों की अवधारणा की उपयोगिता स्पष्ट होती है। कार्यक्षेत्र जिसमें विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा जटिल कार्य बढ़ाया जा सकता है, सामान्यतः लगभग पूर्ण जटिल विमान होते हैं। चूंकि, जब कार्यक्षेत्र को दो भिन्न-भिन्न मार्गो से बढ़ाया जाता है, तब अधिकांशतः भिन्न-भिन्न मान मिलते हैं। उदाहरण के लिए, वर्गमूल फलन के क्षेत्र का विस्तार करते समय, धनात्मक काल्पनिक भागों के साथ जटिल संख्याओं के पथ के साथ, व्यक्ति को $[1, ∞)$ -1 मिलता है, इसके वर्गमूल के लिए; जबकि, ऋणात्मक काल्पनिक भागों के साथ जटिल संख्याओं के माध्यम से विस्तार करने पर, $ad − bc ≠ 0$ मिलता है। इस प्रकार समस्या को हल करने के सामान्यतः दो विधि होते हैं। ऐसे कार्य को परिभाषित कर सकता है जो किसी वक्र के साथ निरंतर कार्य नहीं करता है, जिसे शाखा कट कहा जाता है। ऐसे फलन को फलन का मुख्य मान कहते हैं। दूसरी विधि यह विचार करना है कि किसी के समीप बहु-मूल्यवान कार्य होते है, जो भिन्न-भिन्न विलक्षणताओं को छोड़कर प्रत्येक स्थान पर विश्लेषणात्मक होते है, किन्तु यदि कोई विलक्षणता के चारों ओर बंद लूप का अनुसरण करता है, तब उसका मूल्य बढ़ सकता है। इस छलांग को मोनोड्रोमी कहा जाता है।

गणित और समुच्चय सिद्धांत की नींव में
इस आलेख में दी गई फलन की परिभाषा के लिए समूह (गणित) की अवधारणा की आवश्यकता होती है, जिससे कि किसी फलन का कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र समूह होता है। यह सामान्य गणित में कोई समस्या नहीं होती है, जिससे कि केवल उन कार्यों पर विचार करना जटिल नहीं होता है जिनके कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र समूह होते हैं, जो उचित प्रकार से परिभाषित होते हैं, यदि कार्यक्षेत्र स्पष्ट रूप से परिभाषित नही होते है। चूंकि, कभी-कभी अधिक सामान्य कार्यों पर विचार करना उपयोगी होता है।

उदाहरण के लिए, सिंगलटन समूह को फलन $$x\mapsto \{x\}.$$ माना जा सकता है, इसके कार्यक्षेत्र में सभी समूह सम्मिलित होते है और अतः यह समूह नहीं होता है। सामान्य गणित में, कार्यक्षेत्र निर्दिष्ट करके इस प्रकार की समस्या से बचा जाता है, जिसका अर्थ होता है कि किसी के समीप अनेक सिंगलटन फलन होते हैं। चूंकि, गणित की नींव स्थापित करते समय, किसी को ऐसे कार्यों का उपयोग करना पड़ सकता है जिनके कार्यक्षेत्र, उपकार्यक्षेत्र या दोनों निर्दिष्ट नहीं होते हैं और कुछ लेखक, अधिकांशतः तार्किक, इन कमजोर निर्दिष्ट कार्यों के लिए त्रुटिहीन परिभाषा देते हैं।

गणित की नींव की औपचारिकता के विकास में यह सामान्यीकृत कार्य महत्वपूर्ण हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समूह सिद्धांत, का विस्तार होता है जिसमें सभी समूहों का संग्रह वर्ग (समूह सिद्धांत) होता है। इस सिद्धांत में वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समूह सिद्धांत एनबीजी का प्रतिस्थापन का स्वयंसिद्ध सम्मिलित होता है, जिसे इस प्रकार कहा जा सकता है। यदि $(−∞, 2]$ समूह है और $(−∞, −1]$ फलन है, तब $∞$ समूह होता है।

कंप्यूटर विज्ञान में
कंप्यूटर प्रोग्रामिंग में, फलन (प्रोग्रामिंग) सामान्य रूप से कंप्यूटर प्रोग्राम का भाग होता है, जो फलन की अमूर्त अवधारणा को प्रयुक्त करता है। अर्थात यह प्रोग्राम इकाई होता है जो प्रत्येक इनपुट के लिए आउटपुट उत्पन्न करती है। चूँकि, अनेक प्रोग्रामिंग भाषाओं में प्रत्येक सबरूटीन को फलन कहा जाता है, तब भी जब कोई आउटपुट नहीं होता है और जब कार्यक्षमता में स्मृति में कुछ डेटा को संशोधित करना सम्मिलित होता है।

सामान्यतः कार्यात्मक प्रोग्रामिंग प्रतिमान होता है जिसमें गणितीय कार्यों की भांति व्यवहार करने वाले सबरूटीन का उपयोग करके प्रोग्राम बनाना सम्मिलित होता है। उदाहरण के लिए,  ऐसा फलन है जो तीन फलन को तर्क के रूप में लेता है और पहले फलन (सही या गलत) के परिणाम के आधार पर, दूसरे या तीसरे फलन का परिणाम लौटाता है। इस प्रकार कार्यात्मक प्रोग्रामिंग का महत्वपूर्ण लाभ यह है कि यह उचित प्रकार से स्थापित सिद्धांत, लैम्ब्डा कैलकुलस (नीचे देखें) पर आधारित होने के कारण कार्यक्रम प्रमाण को सरल बनाता है।

कंप्यूटर-भाषा शब्दावली को छोड़कर, फलन का कंप्यूटर विज्ञान में सामान्य गणितीय अर्थ होता है। इस क्षेत्र में, प्रमुख रुचि का गुण किसी फलन का संगणनीय फलन होता है। इस अवधारणा को त्रुटिहीन अर्थ देने के लिए और कलन विधि की संबंधित अवधारणा के लिए, संगणना के अनेक मॉडल प्रस्तुत किए गए हैं, पुराने μ-पुनरावर्ती फलनों, लैम्ब्डा कैलकुलस और ट्यूरिंग मशीन हैं। इस प्रकार संगणनीयता सिद्धांत का मौलिक प्रमेय यह है कि संगणना के ये तीन मॉडल संगणनीय कार्यों के ही समूह को परिभाषित करते हैं और संगणना के अन्य सभी मॉडल जो कभी प्रस्तावित किए गए हैं, संगणनीय कार्यों के समान समूह या छोटे को परिभाषित करते हैं। चर्च-ट्यूरिंग थीसिस का प्रामाणित है कि संगणनीय कार्य की दार्शनिक रूप से स्वीकार्य परिभाषा भी समान कार्यों को परिभाषित करती है।

सामान्य पुनरावर्ती कार्य पूर्णांकों से पूर्णांकों तक आंशिक कार्य होते हैं जिन्हें परिभाषित किया जा सकता है। ऑपरेटरों के माध्यम से चूँकि केवल पूर्णांक से पूर्णांक तक के कार्यों के लिए परिभाषित किया गया है, वह निम्नलिखित गुणों के परिणामस्वरूप किसी भी गणना योग्य कार्य को मॉडल कर सकते हैं।
 * निरंतर कार्य,
 * उत्तराधिकारी कार्य, और
 * प्रक्षेपण फलन कार्य करता है
 * फलन रचना,
 * आदिम पुनरावर्तन, और
 * μ ऑपरेटर।
 * गणना प्रतीकों के परिमित अनुक्रमों (संख्याओं के अंक, सूत्र, ...) का परिवर्तन होता है।
 * प्रतीकों के प्रत्येक क्रम को काटास के अनुक्रम के रूप में कोडित किया जा सकता है।
 * बिट अनुक्रम को पूर्णांक के बाइनरी प्रतिनिधित्व के रूप में व्याख्या किया जा सकता है।

लैम्ब्डा कैलकुस वह सिद्धांत होता है जो समूह सिद्धांत का उपयोग किये बिना संगणनीय कार्यों को परिभाषित करता है और कार्यात्मक प्रोग्रामिंग की सैद्धांतिक पृष्ठभूमि होता है। इसमें ऐसे शब्द होते हैं जो या तो चर होते हैं, फलन परिभाषाएँ (𝜆-शर्तें), या शर्तों के कार्यों के अनुप्रयोग होते है। कुछ नियमों के माध्यम से शर्तों में परिवर्तन किया जाता है, ( $(a, b)$-तुल्यता, $y$-कमी, और $i$-रूपांतरण), जो सिद्धांत के स्वयंसिद्ध होते हैं और गणना के नियमों के रूप में व्याख्या किए जा सकते हैं।

अपने मूल रूप में, लैम्ब्डा कैलकुस में किसी फलन के कार्यक्षेत्र और उपकार्यक्षेत्र की अवधारणाओं को सम्मिलित नहीं किया गया है। इस प्रकार सामान्यतः, उन्हें टाइप लैम्ब्डा कैलकुस में टाइप के नाम से थ्योरी में प्रस्तुत किया गया है। अधिकांश प्रकार के टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुली अनटाइप्ड लैम्ब्डा कैलकुलस की तुलना में कम कार्यों को परिभाषित कर सकते हैं।

उपपृष्ठ

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सामान्यीकरण

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 * वितरण (गणित)
 * परिचालक

संबंधित विषय

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 * कार्यात्मक (गणित)
 * कार्यात्मक अपघटन
 * कार्यात्मक विधेय
 * कार्यात्मक प्रोग्रामिंग
 * पैरामीट्रिक समीकरण
 * समूह फलन
 * सरल कार्य

अग्रिम पठन

 * An approachable and diverting historical presentation.
 * Reichenbach, Hans (1947) Elements of Symbolic Logic, Dover Publishing Inc., New York, ISBN 0-486-24004-5.
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 * The Wolfram फलनs Site gives formulae and visualizations of many mathematical फलनs.
 * NIST Digital Library of Mathematical फलनs
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