त्रिपिंड समस्या

भौतिकी और चिरसम्मत यांत्रिकी में, त्रिपिंड समस्या न्यूटन के गति के नियमों और न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के अनुसार तीन बिंदु द्रव्यमान की प्रारंभिक स्थिति और वेग (या संवेग) लेने और उनकी बाद की गति के लिए हल करने की समस्या है। त्रिपिंड समस्या $n$-पिण्ड समस्या का विशेष मामला है| दो-पिण्ड समस्या के विपरीत, कोई सामान्य संवृत रूप अभिव्यक्ति मौजूद नहीं है, चूंकि परिणामी गतिशील प्रणाली अधिकांश प्रारंभिक स्थितियों के लिएअक्रम सिद्धांत है, और आमतौर पर संख्यात्मक तरीकों की आवश्यकता होती है।

ऐतिहासिक रूप से, विस्तारित अध्ययन प्राप्त करने वाली पहली विशिष्ट त्रिपिंड समस्या वह थी जिसमें चंद्रमा, पृथ्वी और सूर्य शामिल थे। एक विस्तारित आधुनिक अर्थ में, त्रिपिंड समस्या चिरसम्मत यांत्रिकी या क्वांटम यांत्रिकी में कोई समस्या है जो तीन कणों की गति का मॉडल करती है।

गणितीय विवरण
सदिश स्थितियों के लिए गति के न्यूटोनियन समीकरणों के संदर्भ में त्रि-पिंड समस्या का गणितीय कथन दिया जा सकता है $$\mathbf{r_i} = (x_i, y_i, z_i)$$ द्रव्यमान के साथ तीन गुरुत्वाकर्षण परस्पर क्रिया करने वाले पिंडों का $$m_i$$:


 * $$\begin{align}

\ddot\mathbf{r}_{\mathbf{1}} &= -G m_2 \frac{\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}}{|\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}|^3} - G m_3 \frac{\mathbf{r_1} - \mathbf{r_3}}{|\mathbf{r_1} - \mathbf{r_3}|^3}, \\ \ddot\mathbf{r}_{\mathbf{2}} &= -G m_3 \frac{\mathbf{r_2} - \mathbf{r_3}}{|\mathbf{r_2} - \mathbf{r_3}|^3} - G m_1 \frac{\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}}{|\mathbf{r_2} - \mathbf{r_1}|^3}, \\ \ddot\mathbf{r}_{\mathbf{3}} &= -G m_1 \frac{\mathbf{r_3} - \mathbf{r_1}}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_1}|^3} - G m_2 \frac{\mathbf{r_3} - \mathbf{r_2}}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_2}|^3}. \end{align}$$ जहाँ $$G$$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है। यह नौ दूसरे क्रम के अवकलन समीकरण का सेट है। समस्या को हैमिल्टनियन औपचारिकता में समान रूप से भी कहा जा सकता है, इस मामले में इसे 18 प्रथम-क्रम अवकलन समीकरण के सेट द्वारा वर्णित किया गया है, पदों के प्रत्येक घटक के लिए $$\mathbf{r_i}$$ और क्षण $$\mathbf{p_i}$$:



\frac{d \mathbf{r_i}}{dt} = \frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{p_i}}, \qquad \frac{d\mathbf{p_i}}{dt} = -\frac{\partial \mathcal{H}}{\partial \mathbf{r_i}}, $$ जहाँ $$\mathcal{H}$$ हैमिल्टनियन यांत्रिकी है:



\mathcal{H} = -\frac{G m_1 m_2}{|\mathbf{r_1} - \mathbf{r_2}|}-\frac{G m_2 m_3}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_2}|} -\frac{G m_3 m_1}{|\mathbf{r_3} - \mathbf{r_1}|} + \frac{\mathbf{p_1}^2}{2m_1} + \frac{\mathbf{p_2}^2}{2m_2} + \frac{\mathbf{p_3}^2}{2m_3}. $$ इस मामले में $$\mathcal{H}$$ केवल प्रणाली की कुल ऊर्जा है, गुरुत्वाकर्षण प्लस काइनेटिक।

प्रतिबंधित त्रिपिंड समस्या
प्रतिबंधित त्रिपिंड समस्या में, नगण्य द्रव्यमान ("प्लैनेटॉइड") का पिंड दो विशाल पिंडों के प्रभाव में चलता है। नगण्य द्रव्यमान होने के कारण, दो बड़े पिंडों पर प्लेनेटॉइड (कृत्रिम उपग्रह) के बल की उपेक्षा की जा सकती है, और प्रणाली का विश्लेषण किया जा सकता है और इसलिए इसे द्विपिंडी गति के संदर्भ में वर्णित किया जाता है। आम तौर पर इस द्विपिंडी गति को द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर गोलाकार कक्षाओं में शामिल करने के लिए लिया जाता है, और ग्रहों को गोलाकार कक्षाओं द्वारा परिभाषित समतल में स्थानांतरित करने के लिए माना जाता है।

पूर्ण समस्या की तुलना में प्रतिबंधित त्रिपिंड समस्या सैद्धांतिक रूप से विश्लेषण करना आसान है। यह व्यावहारिक रुचि का भी है क्योंकि यह कई वास्तविक दुनिया की समस्याओं का सटीक वर्णन करता है, सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण पृथ्वी-चंद्रमा-सूर्य प्रणाली है। इन कारणों से, इसने त्रिपिंड समस्या के ऐतिहासिक विकास में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई है।

गणितीय रूप से, समस्या निम्नानुसार बताई गई है। मान लीजिये $$m_{1,2}$$दो बड़े पिंडों के द्रव्यमान हों, (प्लानर) निर्देशांक के साथ $$(x_1, y_1)$$ और $$(x_2, y_2)$$, और मान लीजिये $$(x, y)$$ प्लेनेटॉइड के निर्देशांक है। सरलता के लिए, ऐसी इकाइयाँ चुनें कि दो विशाल पिंडों के बीच की दूरी, साथ ही साथ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, दोनों बराबर हों $$1$$, फिर प्लेनेटॉइड की गति दी जाती है



\begin{align} \frac{d^2 x}{dt^2} = -m_1 \frac{x - x_1}{r_1^3} - m_2 \frac{x - x_2}{r_2^3}, \\ \frac{d^2 y}{dt^2} = -m_1 \frac{y - y_1}{r_1^3} - m_2 \frac{y - y_2}{r_2^3}, \end{align} $$ जहाँ $$r_i = \sqrt{(x - x_i)^2 + (y - y_i)^2}$$, इस रूप में गति के समीकरण निर्देशांक के माध्यम से स्पष्ट समय पर निर्भरता रखते हैं $$x_i(t), y_i(t)$$, हालांकि इस समय की निर्भरता को घूर्णन संदर्भ फ्रेम में परिवर्तन के माध्यम से हटाया जा सकता है, जो किसी भी बाद के विश्लेषण को सरल करता है।

सामान्य अभिव्यक्ति


त्रिपिंड समस्या का संवृत रूप अभिव्यक्ति नहीं है, जिसका अर्थ है कि कोई सामान्य अभिव्यक्ति नहीं है जिसे मानक गणितीय संक्रियाओं की सीमित संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। इसके अलावा, विशेष मामलों को छोड़कर, त्रिपिंड गति आम तौर पर गैर-पुनरावृत्ति होती है। हालाँकि, 1912 में फिनिश गणितज्ञ कार्ल फ्रिटिओफ सुंडमैन ने साबित किया कि $t^{1/3}$ की शक्तियों के संदर्भ में शक्ति श्रृंखला के रूप में त्रिपिंड समस्या का विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति मौजूद है शून्य कोणीय संवेग से संबंधित प्रारंभिक स्थितियों को छोड़कर, यह श्रृंखला सभी वास्तविक $t$ के लिए अभिसरित होती है। व्यवहार में, बाद वाला प्रतिबंध नगण्य है क्योंकि शून्य कोणीय गति के साथ प्रारंभिक स्थितियां दुर्लभ हैं, जिसमें लेबेस्ग उपाय शून्य है।

इस परिणाम को सिद्ध करने में महत्वपूर्ण मुद्दा यहथ्य है कि इस श्रृंखला के लिए अभिसरण की त्रिज्या निकटतम विलक्षणता की दूरी से निर्धारित होती है। इसलिए, त्रिपिंड समस्याओं की संभावित विलक्षणताओं का अध्ययन करना आवश्यक है। जैसा कि नीचे संक्षेप में चर्चा की जाएगी, त्रिपिंड समस्या में एकमात्र विलक्षणता द्विक् संघट्ट (एक पल में दो कणों के बीच संघट्ट) और त्रिक संघट्ट (एक पल में तीन कणों के बीच संघट्ट) हैं।

संघट्ट, चाहे द्विक् या त्रिक (वास्तव में, कोई भी संख्या), कुछ हद तक असंभव है, क्योंकि यह दिखाया गया है कि वे माप शून्य की प्रारंभिक स्थितियों के सेट के अनुरूप हैं। हालांकि, संबंधित अभिव्यक्ति के लिए संघट्ट से बचने के लिए प्रारंभिक अवस्था में रखने के लिए कोई मानदंड ज्ञात नहीं है। तो सुंदरमैन की रणनीति में निम्नलिखित चरण शामिल थे: यह सुंदरमैन के प्रमेय के प्रमाण को समाप्त करता है।
 * 1) नियमितकरण (भौतिकी) के रूप में जानी जाने वाली प्रक्रिया में, द्विक् संघट्ट से परे अभिव्यक्ति का विश्लेषण जारी रखने के लिए चर के उपयुक्त परिवर्तन का उपयोग करना।
 * 2) यह साबित करना कि त्रिक संघट्ट तभी होती है जब कोणीय गति $L$ गायब हो जाती है। प्रारंभिक डेटा को $L ≠ 0$ तक सीमित करके, उन्होंने त्रिपिंड समस्या के लिए रूपांतरित समीकरणों से सभी वास्तविक विलक्षणताओं को हटा दिया।
 * 3) दिखा रहा है कि यदि $L ≠ 0$, तब न केवल कोई त्रिक संघट्ट हो सकती है, बल्कि प्रणाली त्रिक संघट्ट से सख्ती से दूर है। अवकलन समीकरण के लिए कॉची केअस्तित्वप्रमेय का उपयोग करके इसका तात्पर्य है कि वास्तविक धुरी (कोवालेवस्काया के रंग) के आसपास केंद्रित जटिल समतल में पट्टी (के मूल्य के आधार पर) $L$) में कोई जटिल विलक्षणता नहीं है।
 * 4) एक अनुरूप परिवर्तन खोजें जो इस पट्टी को यूनिट डिस्क में मैप करता है। उदाहरण के लिए, यदि $s = t^{1/3}$ (नियमितीकरण के बाद नया चर) और यदि $|ln s| ≤ β$, तो यह नक्शा किसके द्वारा दिया गया है $$\sigma = \frac{e^\frac{\pi s}{2\beta} - 1}{e^\frac{\pi s}{2\beta} + 1}.$$

हालाँकि, संबंधित श्रृंखला बहुत धीरे-धीरे परिवर्तित होती है। अर्थात्, सार्थक परिशुद्धता का मूल्य प्राप्त करने के लिए इतने सारे शब्दों की आवश्यकता होती है कि यह अभिव्यक्ति बहुत कम व्यावहारिक उपयोग का है। वास्तव में, 1930 में, डेविड बेलोरिस्की ने गणना की कि यदि सुंदरमन की श्रृंखला का उपयोग खगोलीय प्रेक्षणों के लिए किया जाता है, तो संगणनाओं में कम से कम 10 शामिल होंगे।$8,000,000$ शर्तें।

विशेष केस अभिव्यक्ति
1767 में, लियोनहार्ड यूलर ने आवधिक समाधानों के तीन परिवार पाए जिनमें प्रत्येक पल में तीन द्रव्यमान संरेखी होते हैं। यूलर की त्रिपिंड समस्या देखें।

1772 में, जोसेफ लुइस लाग्रेंज ने समाधानों का एक परिवार पाया जिसमें तीन द्रव्यमान प्रत्येक पल में एक समबाहु त्रिभुज बनाते हैं। यूलर के समरेख समाधानों के साथ, ये अभिव्यक्ति त्रिपिंड समस्या के लिए केंद्रीय विन्यास बनाते हैं। ये अभिव्यक्ति किसी भी द्रव्यमान अनुपात के लिए मान्य हैं, और जनता केप्लर कक्षा में चलती है। ये चार परिवार एकमात्र ज्ञात अभिव्यक्ति हैं जिनके लिए स्पष्ट विश्लेषणात्मक सूत्र हैं। परिपत्र प्रतिबंधित त्रिपिंड समस्या के विशेष मामले में, ये अभिव्यक्ति, प्राथमिक के साथ घूमते हुए एक फ्रेम में देखे जाते हैं, बिंदु बन जाते हैं जिन्हें एल के रूप में संदर्भित किया जाता है1, एल2, एल3, एल4, और मैं5, और L के साथ Lagrangian अंक कहलाते हैं4 और मैं5 Lagrange के अभिव्यक्ति के सममित उदाहरण होने के नाते।

1892-1899 में सारांशित कार्य में, हेनरी पोंकारे ने प्रतिबंधित त्रिपिंड समस्या के अनंत आवधिक समाधानों के अस्तित्व की स्थापना की, साथ ही सामान्य त्रिपिंड समस्या में इन समाधानों को जारी रखने की तकनीकों के साथ।

1893 में, मीसेल ने कहा कि जिसे अब पाइथागोरस की त्रिपिंड समस्या कहा जाता है: 3:4:5 के अनुपात में तीन द्रव्यमान एक विशेष समकोण त्रिभुज|3:4:5 समकोण त्रिभुज के शीर्ष पर विरामावस्था में रखे गए हैं। बरौ 1913 में इस समस्या की और जांच की। 1967 में विक्टर स्जेबेहेली और सी। फ्रेडरिक पीटर्स ने संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग करते हुए इस समस्या के लिए अंतिम पलायन की स्थापना की, जबकि एक ही समय में निकटवर्ती आवधिक अभिव्यक्ति खोजा। 1970 के दशक में, मिशेल हेनन और रोजर ए. ब्रोके प्रत्येक ने समाधानों का एक समूह पाया जो अभिव्यक्ति के एक ही परिवार का हिस्सा बनता है: ब्रोके-हेनॉन-हडजिडेमेट्रियौ परिवार। इस परिवार में तीनों वस्तुओं का द्रव्यमान समान है और वे प्रतिगामी और प्रत्यक्ष दोनों रूपों को प्रदर्शित कर सकती हैं। ब्रोके के कुछ समाधानों में दो पिंड एक ही पथ का अनुसरण करते हैं।

1993 में, सांता फे संस्थान में भौतिक विज्ञानी क्रिस मूर द्वारा संख्यात्मक रूप से आठ आकार के चारों ओर घूमने वाले तीन समान द्रव्यमान के साथ एक शून्य कोणीय गति अभिव्यक्ति की खोज की गई थी। इसका औपचारिक अस्तित्व बाद में 2000 में गणितज्ञ एलेन चेनसिनर और रिचर्ड मॉन्टगोमरी द्वारा सिद्ध किया गया था। द्रव्यमान और कक्षीय मापदंडों के छोटे गड़बड़ी के लिए अभिव्यक्ति को संख्यात्मक रूप से स्थिर दिखाया गया है, जिससे यह संभव हो जाता है कि भौतिक ब्रह्मांड में ऐसी कक्षाओं को देखा जा सकता है। हालाँकि, यह तर्क दिया गया है कि यह घटना संभव नहीं है क्योंकि स्थिरता का क्षेत्र छोटा है। उदाहरण के लिए, द्विक्-द्विक्  बिखरने  इवेंट की प्रायिकता जिसके परिणामस्वरूप अंक-8 कक्षा में एक प्रतिशत का एक छोटा अंश होने का अनुमान लगाया गया है। 2013 में, बेलग्रेड में भौतिक विज्ञान संस्थान में भौतिकविदों मिलोवन सुवाकोव और वेल्जको दमित्रासिनोविक ने समान-द्रव्यमान शून्य-कोणीय-गति त्रिपिंड समस्या के अभिव्यक्ति के 13 नए परिवारों की खोज की।

2015 में, भौतिक विज्ञानी एना हूडोमल ने समान-द्रव्यमान शून्य-कोणीय-संवेग त्रिपिंड समस्या के अभिव्यक्ति के 14 नए परिवारों की खोज की। 2017 में, शोधकर्ताओं श्याओमिंग ली और शिजुन लियाओ ने समान-द्रव्यमान शून्य-कोणीय-गति त्रिपिंड समस्या की 669 नई आवधिक कक्षाओं की खोज की। इसके बाद 2018 में असमान द्रव्यमान की शून्य-कोणीय-गति प्रणाली के लिए अतिरिक्त 1223 नए अभिव्यक्ति किए गए। 2018 में, ली और लियाओ ने असमान-द्रव्यमान फ्री-फॉल थ्री बॉडी प्रॉब्लम के लिए 234 समाधानों की सूचना दी। तीन पिण्ड समस्या का फ्री फॉल फॉर्मूलेशन तीनों शरीरों के आराम से शुरू होता है। इस वजह से, फ्री-फॉल कॉन्फ़िगरेशन में जनता एक बंद लूप में परिक्रमा नहीं करती है, बल्कि एक खुले ट्रैक के साथ आगे और पीछे की ओर यात्रा करती है।

संख्यात्मक दृष्टिकोण
कंप्यूटर का उपयोग करके, समस्या को संख्यात्मक एकीकरण का उपयोग करके मनमाने ढंग से उच्च परिशुद्धता के लिए हल किया जा सकता है, हालांकि उच्च परिशुद्धता के लिए बड़ी मात्रा में CPU समय की आवश्यकता होती है। ऐसे कंप्यूटर प्रोग्राम बनाने के प्रयास किए गए हैं जो तीन-बॉडी समस्या (और विस्तार से, एन-बॉडी समस्या) को संख्यात्मक रूप से हल करते हैं, जिसमें विद्युत चुम्बकीय और गुरुत्वाकर्षण दोनों परस्पर क्रियाएं शामिल हैं, और विशेष सापेक्षता जैसे भौतिकी के आधुनिक सिद्धांतों को शामिल किया गया है। इसके अलावा, यादृच्छिक चलने के सिद्धांत का उपयोग करके, विभिन्न परिणामों की संभावना की गणना की जा सकती है।

इतिहास
अपने पारंपरिक अर्थों में त्रिपिंड गुरुत्वाकर्षण समस्या 1687 से पदार्थ में है, जब आइजैक न्यूटन ने अपनी फिलोसोफी नेचुरेलिस प्रिन्सिपिया मैथेमेटिका प्रकाशित की, जब न्यूटन यह पता लगाने की कोशिश कर रहे थे कि क्या कोई दीर्घकालिक स्थिरता संभव है, विशेष रूप से हमारी पृथ्वी, चंद्रमा की प्रणाली, और सूर्य|सूर्य। उन्हें प्रमुख पुनर्जागरण खगोलविदों निकोलस कोपरनिकस, टाइको ब्राहे और जोहान्स केप्लर के तहत गुरुत्वाकर्षण त्रिपिंड समस्या की शुरुआत के लिए निर्देशित किया गया था। प्रिन्सिपिया की पुस्तक 1 ​​के प्रस्ताव 66 और इसके 22 परिणाम में, न्यूटन ने पारस्परिक रूप से परेशान करने वाले गुरुत्वाकर्षण आकर्षण के अधीन तीन विशाल पिंडों की गति की समस्या की परिभाषा और अध्ययन में पहला कदम उठाया। पुस्तक 3 के प्रस्ताव 25 से 35 में, न्यूटन ने प्रस्ताव 66 के अपने परिणामों को चंद्र सिद्धांत#न्यूटन, पृथ्वी और सूर्य के गुरुत्वाकर्षण प्रभाव के तहत चंद्रमा की गति पर लागू करने में पहला कदम उठाया। बाद में, यह समस्या पृथ्वी और सूर्य के साथ अन्य ग्रहों की अन्योन्यक्रियाओं पर भी लागू हुई।

शारीरिक समस्या को पहले अमेरिगो वेस्पुची और बाद में गैलीलियो गैलीली और साथ ही साइमन स्टीवन द्वारा संबोधित किया गया था, लेकिन उन्हें यह नहीं पता था कि उन्होंने क्या योगदान दिया था। हालांकि गैलीलियो ने निर्धारित किया कि सभी पिंडों के गिरने की गति समान रूप से और समान रूप से बदलती है, उन्होंने इसे ग्रहों की गति पर लागू नहीं किया। जबकि 1499 में, वेस्पूसी ने ब्राजील में अपनी स्थिति निर्धारित करने के लिए चंद्रमा की स्थिति के ज्ञान का उपयोग किया। यह 1720 के दशक में तकनीकी महत्व का हो गया, क्योंकि एक सटीक अभिव्यक्ति नेविगेशन पर लागू होगा, विशेष रूप से देशांतर के इतिहास # देशांतर की समस्या के लिए, जॉन हैरिसन के समुद्री क्रोनोमीटर के आविष्कार द्वारा व्यवहार में हल किया गया। हालाँकि, पृथ्वी के चारों ओर चंद्रमा की गति पर सूर्य और ग्रहों के प्रतिकूल प्रभाव के कारण, चंद्र सिद्धांत की सटीकता कम थी।

जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट और एलेक्सिस क्लेराट, जिन्होंने एक लंबी प्रतिद्वंद्विता विकसित की, दोनों ने कुछ हद तक सामान्यता में समस्या का विश्लेषण करने का प्रयास किया; उन्होंने 1747 में Académie Royale des Sciences को अपना प्रतिस्पर्धी पहला विश्लेषण प्रस्तुत किया। 1740 के दशक के दौरान पेरिस में उनके शोध के सिलसिले में त्रिपिंड समस्या (Problème des trois Corps) आमतौर पर इस्तेमाल होने लगा। 1761 में जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट द्वारा प्रकाशित एक खाता इंगित करता है कि नाम पहली बार 1747 में इस्तेमाल किया गया था।

19वीं सदी के अंत से लेकर 20वीं सदी की शुरुआत तक, वैज्ञानिकों द्वारा शॉर्ट-रेंज आकर्षक दो-बॉडी बलों के उपयोग के साथ तीन-बॉडी समस्या को हल करने का दृष्टिकोण विकसित किया गया था, जिसने पी.एफ. बेडाक, एच.-डब्ल्यू। हैमर और यू. वैन कोल्क ने शॉर्ट-रेंज थ्री-बॉडी प्रॉब्लम को रीनॉर्मलाइज़ करने का एक विचार दिया, जो वैज्ञानिकों को 21वीं सदी की शुरुआत में पुनर्सामान्यीकरण समूह सीमा चक्र का एक दुर्लभ उदाहरण प्रदान करता है। जॉर्ज विलियम हिल ने 19वीं शताब्दी के अंत में शुक्र और बुध (ग्रह) की गति के अनुप्रयोग के साथ प्रतिबंधित समस्या पर काम किया। 20वीं सदी की शुरुआत में, कार्ल एफ. सनडमैन ने समय के सभी मूल्यों के लिए मान्य समस्या के लिए एक फंक्शन सैद्धांतिक प्रमाण प्रदान करके समस्या को गणितीय और व्यवस्थित रूप से देखा। यह पहली बार था जब वैज्ञानिकों ने सैद्धांतिक रूप से त्रिपिंड समस्या का अभिव्यक्ति किया। हालाँकि, क्योंकि इस प्रणाली का पर्याप्त गुणात्मक अभिव्यक्ति नहीं था, और यह वैज्ञानिकों के लिए इसे व्यावहारिक रूप से लागू करने में बहुत धीमा था, इस अभिव्यक्ति ने अभी भी कुछ मुद्दों को अनसुलझा छोड़ दिया। 1970 के दशक में, विटाली एफिमोव|वी द्वारा दो-निकाय बलों से तीन-निकाय के निहितार्थ की खोज की गई थी। एफिमोव जिसे एफिमोव प्रभाव नाम दिया गया था। 2017 में, लियाओ शिजुन और ज़ियाओमिंग ली ने राष्ट्रीय सुपरकंप्यूटर के उपयोग के साथ अराजक प्रणालियों के लिए संख्यात्मक सिमुलेशन की एक नई रणनीति लागू की, जिसे स्वच्छ संख्यात्मक सिमुलेशन (CNS) कहा जाता है, तीन-निकाय प्रणाली के आवधिक अभिव्यक्ति के 695 परिवारों को सफलतापूर्वक प्राप्त करने के लिए समान द्रव्यमान। 2019 में, ब्रीन एट अल। ने थ्री-बॉडी प्रॉब्लम के लिए एक फास्ट तंत्रिका नेटवर्क  सॉल्वर की घोषणा की, जिसे एक न्यूमेरिकल इंटीग्रेटर का उपयोग करके प्रशिक्षित किया गया।

तीन निकायों से जुड़ी अन्य समस्याएं
तीन निकायों की बातचीत से जुड़ी किसी भी शारीरिक समस्या को संदर्भित करने के लिए त्रिपिंड समस्या का शब्द कभी-कभी अधिक सामान्य अर्थों में प्रयोग किया जाता है।

चिरसम्मत यांत्रिकी में गुरुत्वाकर्षण त्रिपिंड समस्या का एक क्वांटम-मैकेनिकल एनालॉग हीलियम परमाणु है, जिसमें एक हीलियम नाभिक और दो इलेक्ट्रॉनों व्युत्क्रम-वर्ग कूलम्ब अंतःक्रिया के अनुसार परस्पर क्रिया करते हैं। की तरह गुरुत्वाकर्षण त्रिपिंड समस्या, हीलियम परमाणु को ठीक से हल नहीं किया जा सकता है। चिरसम्मत और क्वांटम यांत्रिकी दोनों में, हालांकि, व्युत्क्रम-स्क्वायर बल के अलावा गैर-पारस्परिक संपर्क कानून मौजूद हैं सटीक विश्लेषणात्मक तीन-निकाय समाधानों का नेतृत्व करते हैं। ऐसे ही एक मॉडल में लयबद्ध दोलक और प्रतिकारक व्युत्क्रम-घन बल का संयोजन होता है। इस मॉडल को गैर-तुच्छ माना जाता है क्योंकि यह गैर-रैखिक अवकलन समीकरण के एक सेट के साथ जुड़ा हुआ है जिसमें विलक्षणताएं होती हैं (तुलना में, उदाहरण के लिए, अकेले हार्मोनिक इंटरैक्शन, जो रैखिक अवकलन समीकरण की आसानी से हल की गई प्रणाली को जन्म देती हैं)। इन दो मामलों में यह कूलम्ब इंटरैक्शन वाले (अघुलनशील) मॉडल के अनुरूप है, और इसके परिणामस्वरूप हीलियम परमाणु जैसी भौतिक प्रणालियों को सहजता से समझने के लिए एक उपकरण के रूप में सुझाया गया है। द्वि-आयामी बिंदु भंवर गैस के भीतर, द्वि-आयामी आदर्श द्रव में भंवर की गति को गति के समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है जिसमें केवल प्रथम-क्रम समय डेरिवेटिव होते हैं। अर्थात। न्यूटोनियन यांत्रिकी के विपरीत, यह वेग है न कि त्वरण जो उनकी सापेक्ष स्थिति से निर्धारित होता है। नतीजतन, तीन-भंवर समस्या अभी भी एकीकृत प्रणाली है, जबकि अराजक व्यवहार प्राप्त करने के लिए कम से कम चार भंवरों की आवश्यकता होती है। कोई तीन भंवरों के वेग क्षेत्र में एक निष्क्रिय अनुरेखक कण की गति और न्यूटोनियन यांत्रिकी की प्रतिबंधित त्रिपिंड समस्या के बीच समानताएं खींच सकता है। सामान्य सापेक्षता का उपयोग करते हुए गुरुत्वाकर्षण त्रिपिंड समस्या का भी अध्ययन किया गया है। शारीरिक रूप से, बहुत मजबूत गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र वाले प्रणाली में एक सापेक्षिक उपचार आवश्यक हो जाता है, जैसे ब्लैक होल के घटना क्षितिज के पास। हालांकि, न्यूटोनियन यांत्रिकी की तुलना में सापेक्षतावादी समस्या काफी अधिक कठिन है, और संख्यात्मक सापेक्षता की आवश्यकता है। यहां तक ​​कि सामान्य सापेक्षता में पूर्ण दो-पिण्ड समस्या | दो-पिण्ड समस्या (अर्थात् द्रव्यमान के मनमाने अनुपात के लिए) का सामान्य सापेक्षता में एक कठोर विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति नहीं है।

$n$-बॉडी प्रॉब्लम
त्रिपिंड समस्या n-पिण्ड समस्या का एक विशेष मामला है|$n$-बॉडी प्रॉब्लम, जो बताती है कि कैसे $n$ वस्तुएं गुरुत्वाकर्षण जैसे भौतिक बलों में से एक के तहत चलती हैं। इन समस्याओं का एक अभिसरण शक्ति श्रृंखला के रूप में एक वैश्विक विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति है, जैसा कि कार्ल एफ.सुंदमैन द्वारा सिद्ध किया गया था $n = 3$ और किउडोंग वैंग द्वारा $n > 3$ (एन-बॉडी प्रॉब्लम देखें$n$-विवरण के लिए पिण्ड समस्या)। हालाँकि, सुंदरमैन और वैंग श्रृंखला इतनी धीमी गति से परिवर्तित होती है कि वे व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए बेकार हैं; इसलिए, वर्तमान में संख्यात्मक एकीकरण के रूप में संख्यात्मक विश्लेषण द्वारा समाधानों का अनुमान लगाना आवश्यक है या, कुछ मामलों के लिए, चिरसम्मत त्रिकोणमितीय श्रृंखला सन्निकटन (एन-बॉडी सिमुलेशन देखें।$n$-बॉडी सिमुलेशन)। परमाणु प्रणाली, उदा। क्वांटम के संदर्भ में परमाणुओं, आयनों और अणुओं का इलाज किया जा सकता है $n$-पिण्ड समस्या। चिरसम्मत भौतिक प्रणालियों के बीच, $n$-पिण्ड समस्या आमतौर पर आकाशगंगा या आकाशगंगाओं के समूह को संदर्भित करती है; ग्रहों की प्रणालियों, जैसे सितारों, ग्रहों और उनके उपग्रहों को भी माना जा सकता है $n$-बॉडी प्रणाली। कुछ अनुप्रयोगों को परेशानी (खगोल विज्ञान) सिद्धांत द्वारा आसानी से इलाज किया जाता है, जिसमें प्रणाली को दो-पिण्ड समस्या के रूप में माना जाता है और अतिरिक्त बल एक काल्पनिक अपरंपरागत द्विपिंडी प्रक्षेपवक्र से विचलन का कारण बनता है।

लोकप्रिय संस्कृति में
1951 की क्लासिक साइंस-फिक्शन फिल्म उस दिन तक पृथ्वी अभी भी खड़ा था में, एलियन कलातु, मिस्टर कारपेंटर के छद्म नाम का उपयोग करते हुए, प्रो. बार्नहार्ट के ब्लैकबोर्ड पर समीकरणों के लिए कुछ टिप्पणियां करता है। वे समीकरण त्रिपिंड समस्या समस्या के एक विशेष रूप का सटीक विवरण हैं।

चीनी लेखक एल मैं यूसीआई न्यू  की रिमेंबरेंस ऑफ अर्थ्स पास्ट ट्रिलॉजी का पहला खंड तीन पिण्ड समस्या (उपन्यास)उपन्यास) शीर्षक है। थ्री-बॉडी प्रॉब्लम और तीन-बॉडी प्रॉब्लम को एक केंद्रीय प्लॉट डिवाइस के रूप में पेश करता है।

यह भी देखें

 * कुछ-शरीर प्रणाली
 * गैलेक्सी गठन और विकास
 * गुरुत्वाकर्षण सहायता
 * लैग्रेंज बिंदु
 * कम ऊर्जा हस्तांतरण
 * माइकल मिनोविच
 * एन-बॉडी सिमुलेशन|$n$-बॉडी सिमुलेशन
 * सहानुभूतिपूर्ण इंटीग्रेटर
 * सिटनिकोव समस्या
 * ट्रिपल स्टार सिस्टम

बाहरी संबंध

 * Physicists Discover a Whopping 13 New Solutions to Three-Body Problem (Science)
 * 3body simulator - an example of a computer program that solves the three-body problem numerically
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