रीमैनियन बहुविध

विभेदक ज्यामिति में, रीमानियन बहुविधियों या रीमानियन स्पेस (M, g), जिसे जर्मन गणितज्ञ बर्नहार्ड रीमान के नाम से जाना जाता है, एक वास्तविक, सहज बहुगणक M है जो प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान TpM पर सकारात्मक-अनिश्चित आंतरिक उत्पाद gp मे उपयुक्त है।

आंतरिक उत्पादों की कुल gp को रीमानियन मीट्रिक (या रीमैनियन मेट्रिक टेन्सर) कहा जाता है। रीमानियन ज्यामिति रीमानियन बहुविधियों का अध्ययन है।

एक सामान्य कन्वेंशन है कि g को बराबर रूप से लिया जाए, जिसका अर्थ है कि M पर किसी भी समन्वय चार्ट (U, x) के लिए, n2 फलन करता है
 * $$g\left(\frac{\partial}{\partial x^i},\frac{\partial}{\partial x^j}\right):U\to\mathbb{R}$$

सहज फलन हैं। इन फलनों को आमतौर पर $$g_{ij}$$ के रूप में निर्दिष्ट किया जाता है।

$$g_{ij}$$ पर और प्रतिबंधों के साथ, कई अन्य संभावनाओं के बीच लिप्सचिट्ज़ रीमैनियन मेट्रिक्स या मापने योग्य रीमैनियन मेट्रिक्स पर भी विचार किया जा सकता है।

रीमानियन मीट्रिक (टेंसर) रीमानियन बहुविध पर कई ज्यामितीय धारणाओं को परिभाषित करना संभव बनाता है, जैसे कि प्रतिच्छेदन पर कोण, वक्र की लंबाई, सतह और उच्च-आयामी अनुरूप के क्षेत्र (आयतन, आदि) उपमानकों की बाह्य वक्रता और स्वयं के कई गुना आंतरिक वक्रता है।

परिचय
1828 में, कार्ल फ्रेडरिक गौस ने अपने प्रमेय एग्रेजियम (लेटिन में दुर्लभ प्रमेय) को साबित किया, सतहों की एक महत्वपूर्ण गुण की स्थापना की। अनौपचारिक रूप से, प्रमेय कहता है कि सतह की वक्रता पूरी तरह से सतह पर मार्गों के साथ दूरी को मापने के द्वारा निर्धारित की जा सकती है। अर्थात, वक्रता इस बात पर निर्भर नहीं करती कि सतह को 3-आयामी स्थान में कैसे अंत:स्थापित किया जा सकता है। सतहों की विभेदक ज्यामिति देखें। बर्नहार्ड रीमैन ने गॉस के सिद्धांत को कई गुना नामक उच्च-आयामी रिक्त स्थान तक विस्तारित किया जो दूरी और कोणों को मापने की अनुमति देता है और वक्रता की धारणा को फिर से परिभाषित करने की अनुमति देता है, जो कि कई गुना के लिए आंतरिक है और इसके एम्बेडिंग पर निर्भर नहीं है। अल्बर्ट आइंस्टीन ने अपने सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत को विकसित करने के लिए सूडो-रीमैनियन बहुगणक (रिमानियन बहुगणक का सामान्यीकरण) के सिद्धांत का उपयोग किया। विशेष रूप से, गुरुत्वाकर्षण के लिए उनके समीकरण समय की वक्रता पर बाधाएं हैं।

परिभाषा
$$p$$ का $$M$$ चिकने बहुगणक का स्पर्शरेखा बंडल $$M$$ प्रत्येक बिंदु को आवंटित करता है, $$M$$ पर $$p$$ वेक्टर स्थान $$T_pM$$ की स्पर्शरेखा कहलाती है। एक रीमैनियन मीट्रिक (इसकी परिभाषा के अनुसार) प्रत्येक  $$p$$ को निर्दिष्ट करता है, एक सकारात्मक-निश्चित आंतरिक उत्पाद $$g_p:T_pM\times T_pM\to\mathbb{R},$$ जिसके साथ एक मानदंड आता है $$|\cdot|_p:T_pM\to\mathbb{R}$$ द्वारा परिभाषित $$|v|_p=\sqrt{g_p(v,v)}.$$ स्मूद बहुगणक $$M$$ इस मीट्रिक के साथ संपन्न $$g$$ एक रिमेंनियन बहुगणक है, जिसे $$(M,g)$$ के रूप में दर्शाया गया है।

$$M$$ पर सहज स्थानीय निर्देशांक की एक प्रणाली दिए जाने पर $$n$$ वास्तविक-मूल्यवान फलन $$(x^1,\ldots,x^n):U\to\mathbb{R}^n,$$ वैक्टर
 * $$\left\{\frac{\partial}{\partial x^1}\Big|_p,\dotsc, \frac{\partial}{\partial x^n}\Big|_p\right\}$$

इससे संबंधित किसी भी $$T_pM,$$ के लिए सदिश स्थान  $$p\in U.$$ का आधार है। इस आधार के सापेक्ष,  $$p$$ द्वारा प्रत्येक बिंदु पर मीट्रिक टेन्सर घटकों को परिभाषित किया जा सकता है
 * $$g_{ij}|_p:=g_p\left(\left.\frac{\partial }{\partial x^i}\right|_p,\left.\frac{\partial }{\partial x^j}\right|_p\right).$$

इन्हें इस प्रकार माना जा सकता है $$n^2$$ विशिष्ट फलन $$g_{ij}:U\to\mathbb{R}$$ या एकल के रूप में $$n\times n$$ मैट्रिक्स-मूल्यवान फलन के रूप में $$U$$ पर ध्यान दें कि "रीमैनियन" धारणा कहती है कि यह मूल्यवान है उपसमुच्चय में सममित सकारात्मक-निश्चित मेट्रिसेस शामिल हैं।

टेंसर बीजगणित के संदर्भ में, मीट्रिक टेन्सर को कोटिस्पर्शी बंडल के दोहरे आधार $\{dx^{1}, ..., dx^{n}\}$ के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$ g=\sum_{i,j}g_{ij} \, \mathrm d x^i\otimes \mathrm d x^j.$$

आइसोमेट्रिज
यदि $$(M,g)$$ तथा $$(N,h)$$ के साथ दो रीमैनियन बहुगणक हैं। $$f:M\to N$$ एक भिन्नता है, तो  $$f$$ को एक आइसोमेट्री कहा जाता है यदि  $$g=f^\ast h,$$ यानी अगर
 * $$g_p(u,v)=h_{f(p)}(df_p(u),df_p(v))$$

सभी के लिए $$p\in M$$ तथा $$u,v\in T_pM.$$

एक का कहना है कि एक मानचित्र $$f:M\to N,$$ को एक भिन्नता नहीं माना जाता है, स्थानीय समरूपता है यदि प्रत्येक $$p\in M$$ एक स्पष्ट क्षेत्र है $$U$$ ऐसा है कि $$f:U\to f(U)$$ आइसोमेट्री है (और इस प्रकार एक भिन्नता)।

रीमैनियन मीट्रिक की नियमितता
किसी का कहना है कि यदि $$g_{ij}:U\to\mathbb{R}$$  हैं, तो रिमेंनियन मेट्रिक $$g$$, किसी भी सहज  $$(U,x)$$ समन्वय चार्ट दिए जाने पर निरंतर होते हैं। कोई कहता है समन्वय चार्ट दिए जाने पर $$g$$ फलन सुचारू होते हैं। इस विचार में कई अन्य प्रकार के रीमैनियन मेट्रिक्स पर भी विचार किया जा सकता है।

रीमैनियन ज्यामिति के अधिकांश एक्सपोजिटरी खातों में, मेट्रिक्स हमेशा चिकनी होने के लिए लिया जाता है। हालाँकि, मेट्रिक्स पर विचार करने के महत्वपूर्ण कारण हो सकते हैं जो कम सहज हैं। विशेष रूप से, ज्यामितीय विश्लेषण के तरीकों द्वारा निर्मित रिमेंनियन मेट्रिक्स कम सहज  हो सकती हैं। उदाहरण के लिए देखें (ग्रोमोव 1999) और (शि और टैम 2002)।

अवलोकन
रीमैनियन बहुगणक्स के उदाहरणों पर नीचे चर्चा की जाएगी। जॉन नैश के प्रसिद्ध प्रमेय में कहा गया है कि, किसी भी सहज रीमानियन कई गुना $$(M,g)$$ दिए जाने पर (आमतौर पर बड़ी) $$N$$ संख्या होती है और एम्बेडिंग $$F:M\to\mathbb{R}^N$$ ताकि पुलबैक $$F$$ का $$\mathbb{R}^N$$ पर मानक रिमेंनियन मीट्रिक $$g$$ है। अनौपचारिक रूप से, सहज  रीमानियन कई गुना की पूरी संरचना को कुछ यूक्लिडियन समष्टि के निश्चित एम्बेडेड उपमान के लिए द्विरूपता द्वारा सांकेतिक किया जा सकता है।  इस अर्थ में, यह तर्कणीय है कि बहुविध और उनके रीमानियन मीट्रिक के विचार से कुछ भी प्राप्त नहीं किया जा सकता है। हालांकि, कई सहज  रीमैनियन बहुविध हैं, जैसे कि तीन-आयामी समष्टि और अतिपरवलीय समष्टि के घुमावों के सेट, जिसमें से यूक्लिडियन समष्टि के उप प्रसमष्‍टि के रूप में कोई भी निरुपण उनके उल्लेखनीय सममितियों और गुणों का निरुपण करने में विफल होगा।

यूक्लिडियन समष्टि
मान लीजिए कि $$x^1,\ldots,x^n$$ पर मानक $$\mathbb{R}^n$$ निर्देशांक निरूपित करें फिर $$g^{\mathrm{can}}_p: T_p\mathbb{R}^n\times T_p\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$$ द्वारा परिभाषित करें
 * $$\left(\sum_ia_i\frac{\partial}{\partial x^i},\sum_jb_j\frac{\partial}{\partial x^j}\right)\longmapsto \sum_i a_ib_i.$$

अलग-अलग तरीके से: मानक निर्देशांक के सापेक्ष, सीमित निरुपण $$g_{ij}:U\to\mathbb{R}$$  द्वारा स्थिर मान $$\delta_{ij}$$ दिया जाता है।

यह स्पष्ट रूप से रीमानियन मीट्रिक है, और इसे $$\mathbb{R}^n$$ पर मानक रीमानियन संरचना कहा जाता है। इसे आयाम n और gijcan यूक्लिडियन समष्टि के रूप में भी जाना जाता है और यूक्लिडियन मीट्रिक भी कहा जाता है।

एंबेडेड सबमनिफोल्ड्स
मान लीजिए कि $$(M,g)$$ रिमेंनियन कई गुना है और $$N\subset M$$ का $$M$$ एम्बेडेड उपमान है। $$C^1.$$ फिर N के साथ सदिश स्पर्शरेखा पर g का नियम N पर रिमेंनियन मीट्रिक को परिभाषित करता है।


 * उदाहरण के लिए, विचार कीजिए $$S^{n-1}=\{x\in\mathbb{R}^n:(x^1)^2+\cdots+(x^n)^2=1.\},$$ जो अपने मानक मीट्रिक के साथ यूक्लिडियन समष्टि का सहज एम्बेडेड उपमान है। $$S^{n-1}$$ पर प्रेरित होने वाली रीमैनियन मेट्रिक को $$S^{n-1}$$ पर प्रमाणिक मेट्रिक या कैननिकल मेट्रिक कहा जाता है।
 * ऐसे ही कई उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक दीर्घवृत्त में $$\mathbb{R}^3$$ सहज रिमेंनियन मीट्रिक है। एक सुचारू फलन का ग्राफ $$f:\mathbb{R}^3\to\mathbb{R}$$ एम्बेडेड उपमान है और इसलिए यह सहज रीमैनियन मीट्रिक भी है।

संलयन
मान लीजिए कि $$(M,g)$$ रिमेंनियन कई गुना हो और $$f:\Sigma\to M$$ अलग-अलग प्रतिचित्र है। तब कोई $$g$$ के माध्यम से $$f$$  के पुलबैक पर विचार कर सकता है, जो $$\Sigma$$ द्वारा परिभाषित एक सममित 2-टेंसर है
 * $$(f^\ast g)_p(v,w)=g_{f(p)}\big(df_p(v),df_p(w)\big),$$

जहां $$df_p(v)$$ का $$v$$ द्वारा $$f.$$ पुशफॉरवर्ड (अंतर) किया जाता है।

इस सेटिंग में, आम तौर पर $$f^\ast g$$ का $$\Sigma,$$ पर रिमेंनियन मेट्रिक नहीं होगा, क्योंकि यह धनात्मक नहीं है। उदाहरण के लिए, अगर $$f$$ स्थिर है, तो $$f^\ast g$$ शून्य है। वास्तव में, $$f^\ast g$$ रिमेंनियन मीट्रिक है और अगर $$f$$  संलयन (गणित) है, जिसका अर्थ है कि $$df_p:T_p\Sigma\to T_{f(p)}M$$  रैखिक मानचित्र  $$p\in\Sigma.$$प्रत्येक के लिए इंजेक्टिव है।
 * एक महत्वपूर्ण उदाहरण तब होता है जब $$(M,g)$$ आसानी से जुड़ा हुआ नहीं होता है, ताकि $$\widetilde{M}\to M.$$ कवरिंग मैप हो। यह संलयन है और इसलिए किसी भी रीमैनियन बहुगणक का सार्वभौमिक कवर स्वचालित रूप से रिमेंनियन मीट्रिक प्राप्त करता है। लेकिन उसी सिद्धांत के अनुसार, रीमानियन कई गुना के किसी भी कवरिंग स्पेस को रीमानियन मीट्रिक प्राप्त होता है।
 * इसके अलावा, रिमेंनियन बहुगणक उप-मान एक रिमेंनियन मेट्रिक को इनहेरिट करता है।

गुणन मेट्रिक्स
मान लें कि $$(M,g)$$ तथा $$(N,h)$$ दो रीमैनियन कई गुना हो और $$M\times N$$ सामान्य गुणन सरल संरचना के साथ कार्टेशियन गुणन पर विचार करें। रिमेंनियन मेट्रिक्स $$g$$ तथा $$h$$ स्वाभाविक रूप से रिमेंनियन मीट्रिक $$\widetilde{g}$$ पर $$M\times N$$ रखें, जिसे कुछ तरीकों से वर्णित किया जा सकता है।
 * अपघटन को ध्यान में रखते हुए $$T_{(p,q)}(M\times N)\cong T_pM\oplus T_qN,$$ कोई परिभाषित कर सकता है
 * $$\widetilde{g}_{p,q}(u\oplus x,v\oplus y)=g_p(u,v)+h_q(x,y).$$


 * मान लें कि $$(U,x)$$ सहज समन्वय चार्ट  $$M$$ पर रहें और फिर $$(V,y)$$ पर  $$N.$$सहज निर्देशांक चार्ट है। फिर $$(U\times V,(x,y))$$ पर सुविधा के लिए $$M\times N.$$  एक सहज समन्वय चार्ट है,  $$\operatorname{Sym}_{n\times n}^+$$  घनात्मक-निश्चित सममित $$n\times n$$ वास्तविक आव्यूहों के संग्रह को दर्शाता है। $$(U,x)$$ के सापेक्ष g के निर्देशांक निरूपण को निरूपित करें।  $$g_U:U\to\operatorname{Sym}_{m\times m}^+$$ और $$h$$ निर्देशांक को दर्शाता है  $$(V,y)$$ द्वारा $$h_V:V\to\operatorname{Sym}_{n\times n}^+.$$  $$(U\times V,(x,y))$$ के सापेक्ष g फिर $$\widetilde{g}_{U\times V}:U\times V\to\operatorname{Sym}_{(m+n)\times(m+n)}^+$$ के द्वारा स्थानीय समन्वय का निरूपण करता है
 * $$(p,q)\mapsto \begin{pmatrix}g_U(p)&0\\ 0&h_V(q)\end{pmatrix}.$$

एक मानक उदाहरण n-टोरस $$T^n,$$पर विचार करना है, जिसे एन-फ़ोल्ड गुणन  $$S^1\times\cdots\times S^1$$ के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि कोई इसकी प्रत्येक प्रति देता है $$S^1$$ इसके मानक रिमेंनियन मीट्रिक, विचार कर रहे हैं $$S^1\subset\mathbb{R}^2$$ एम्बेडेड उपमान के रूप में, फिर कोई गुणन रिमेंनियन मीट्रिक पर विचार कर सकता है $$T^n.$$ इसे फ्लैट टोरस कहा जाता है।

मेट्रिक्स का उत्तल संयोजन
मान लें कि $$g_0$$ तथा $$g_1$$ पर दो रीमैनियन मेट्रिक्स हैं, $$M.$$ फिर, किसी भी संख्या के लिए $$\lambda\in[0,1],$$
 * $$\tilde g:=\lambda g_0 + (1-\lambda)g_1$$

$$M$$ पर भी रिमेंनियन मीट्रिक है। अधिक सामान्यतः, यदि $$a$$ तथा $$b$$ कोई दो धनात्मक संख्याएँ हैं, तो $$ag_0+bg_1$$ अन्य रीमैनियन मीट्रिक है।

प्रत्येक सरल बहुगणक रीमानियाई मीट्रिक है
यह एक मूलभूत परिणाम है। हालांकि रीमानियन मीट्रिक के मूल सिद्धांत का अधिकांश केवल उपयोग करके विकसित किया जा सकता है कि सरल कई गुना स्थानीय रूप से यूक्लिडियन है, इस परिणाम के लिए यह आवश्यक है कि इसे कई गुना की परिभाषा में शामिल किया जाए। इसका कारण यह है कि प्रमाण सबूत इकाई विभाजक का उपयोग करता है। $$

खंडवार की लंबाई निरंतर भिन्न वक्र
यदि $$\gamma:[a,b]\to M$$ अवकलनीय है, तो यह प्रत्येक $$t\in(a,b)$$ सदिश $$\gamma'(t)$$ सदिश स्थान में $$T_{\gamma(t)}M,$$ जिसका आकार मानक द्वारा मापा जा सकता है $$|\cdot|_{\gamma(t)}.$$ इसलिए $$t\mapsto|\gamma'(t)|_{\gamma(t)}$$ अंतराल $$(a,b)$$ गैर-ऋणात्मक फलन को परिभाषित करता है। लंबाई को इस फलन के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है; लंबाई को इस  फलन के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है; हालाँकि, जैसा कि यहाँ प्रस्तुत किया गया है, इस फ़ंक्शन के पूर्ण होने की अपेक्षा करने का कोई कारण नहीं है। यह माना जाता है कि g निरंतर है और $$\gamma$$ लगातार भिन्न होने के लिए, ताकि एकीकृत किया जाने वाला कार्य गैर-ऋणात्मक और निरंतर हो, और इसलिए  $$\gamma$$ की लंबाई,
 * $$L(\gamma)=\int_a^b|\gamma'(t)|_{\gamma(t)}\,dt,$$

अच्छी तरह से परिभाषित है। इस परिभाषा को आसानी से किसी भी टुकड़े-वार-निरंतर विभेदक वक्र की लंबाई को परिभाषित करने के लिए बढ़ाया जा सकता है।

कई उदाहरणों में, जैसे रीमैन वक्रता टेन्सर को परिभाषित करने में, यह आवश्यक है कि g में केवल निरंतरता की तुलना में अधिक नियमितता हो; इस पर अन्यत्र चर्चा की जाएगी। अभी के लिए, g की निरंतरता मीट्रिक स्थान की संरचना के साथ m को समाप्त करने के लिए ऊपर परिभाषित लंबाई का उपयोग करने के लिए पर्याप्त होगी, बशर्ते कि यह जुड़ा हो।

मीट्रिक विस्तार संरचना
सटीक रूप से $$d_g:M\times M\to[0,\infty)$$ परिभाषित करें
 * $$d_g(p,q) = \inf \{ L(\gamma) : \gamma\text{ a piecewise continuously differentiable curve from }p\text{ to }q \}.$$

फलन $$d_g$$की अच्छी तरह से परिभाषितता की जांच करना ज्यादातर सरल है, इसकी सममिति गुण $$d_g(p,q)=d_g(q,p),$$ रिफ्लेक्सिविटी प्रॉपर्टी  $$d_g(p,p)=0,$$ और त्रिकोण असमानता $$d_g(p,q)+d_g(q,r)\geq d_g(p,r),$$ हालाँकि कुछ छोटी तकनीकी जटिलताएँ हैं (जैसे कि यह सत्यापित करना कि किन्हीं भी दो बिंदुओं को अलग-अलग पथ से जोड़ा जा सकता है)। यह समझना अधिक मौलिक है $$p\neq q$$ सुनिश्चित $$d_g(p,q)>0,$$ और इसलिए वह $$d_g$$ मीट्रिक के सभी सिद्धांतों को पूरा करता है। g द्वारा मापी गई लंबाई और सरल निर्देशांक चार्ट में मापी गई यूक्लिडियन लंबाई के बीच तुलना के बारे में उपरोक्त प्रमाण के अंतर्गत आने वाला अवलोकन यह भी सत्यापित करता है कि $$(M,d_g)$$ मीट्रिक स्पेस टोपोलॉजी $$M$$ की मूल सामयिक विस्तार संरचना के साथ मेल खाती है।

हालांकि एक वक्र की लंबाई एक स्पष्ट सूत्र द्वारा दी गई है, आमतौर पर दूरी फलन $$d_g$$ को किसी भी स्पष्ट तरीके से लिखना असंभव है। वास्तव में, यदि $$M$$ सुसम्बद्ध है, तब भी जब g सरल होता है, वहां हमेशा मौजूद बिंदु होते हैं $$d_g:M\times M\to\mathbb{R}$$ गैर-विभेदक है, और इन बिंदुओं के स्थान या प्रकृति को निर्धारित करना उल्लेखनीय रूप से कठिन हो सकता है, यहां तक ​​​​कि सरल प्रतीत होने वाले मामलों में भी, जैसे $$(M,g)$$ एक दीर्घवृत्ताभ है।

जियोडेसिक्स
जैसा कि पिछले अनुभाग में था, $$(M,g)$$ जुड़ा हुआ और निरंतर रिमेंनियन बहुगणक हो; संबद्ध मीट्रिक स्थान $$(M,d_g)$$ पर विचार करें। इस मीट्रिक विस्तार संरचना के सापेक्ष, कोई कहता है कि पथ $$c:[a,b]\to M$$ यदि प्रत्येक के लिए एक इकाई-गति जियोडेसिक $$t_0\in[a,b]$$ वहाँ अंतराल $$J\subset[a,b]$$ जिसमें $$t_0$$ शामिल है, जो कि
 * $$d_g(c(s),c(t))=|s-t|\qquad\forall s,t\in J.$$

अनौपचारिक रूप से, कोई कह सकता है कि वह मांग रहा है $$c$$ (अनौपचारिक रूप से माना जाता है) इकाई-गति बाधा के अधीन, जितना हो सके स्थानीय रूप से 'खुद को बाहर खींचें'। विचार यह है कि अगर $$c:[a,b]\to M$$ (टुकड़ावार) लगातार अलग-अलग है और $$|c'(t)|_{c(t)}=1$$ सभी के लिए $$t,$$ फिर एक स्वचालित रूप से होता है $$d_g(c(s),c(t))\leq |s-t|$$ रीमैन के लिए त्रिभुज असमानता को लागू करके $$c.$$ की लंबाई को परिभाषित करने वाले समाकल का योग सन्निकटन। इसलिए ऊपर दी गई यूनिट-स्पीड जियोडेसिक स्थिति के लिए $$c(s)$$ तथा $$c(t)$$ जितना संभव हो सके एक दूसरे से दूर होना आवश्यक है। तथ्य यह है कि हम केवल स्थानीय रूप से खुद को फैलाने के लिए वक्रों की तलाश कर रहे हैं, नीचे दिए गए पहले दो उदाहरणों से परिलक्षित होता है; $$(M,g)$$ का वैश्विक आकार सबसे अहानिकर जियोडेसिक्स को भी पीछे झुकने और खुद को काटने के लिए मजबूर कर सकता है। ध्यान दें कि यूनिट-स्पीड जियोडेसिक्स, जैसा कि यहां परिभाषित किया गया है, आवश्यक रूप से निरंतर हैं, और वास्तव में लिप्सचिट्ज़, लेकिन वे आवश्यक रूप से अलग या अलग नहीं हैं।
 * इस मामले पर विचार करें कि $$(M,g)$$ वृत्त है $$S^1$$ जिसकी मानक रीमैनियन मीट्रिक है, और $$c:\mathbb{R}\to S^1$$ याद रखें कि $$t\mapsto(\cos t,\sin t).$$ को $$d_g$$ के साथ वक्र की लंबाई से मापा जाता है। $$S^1$$,समतल में सीधी रेखा के पथों द्वारा नहीं। यह उदाहरण उपअंतराल को चुनने की आवश्यकता को भी प्रदर्शित करता है $$J,$$ वक्र के बाद से $$c$$ विशेष रूप से प्राकृतिक तरीके से खुद को दोहराता है।
 * इसी प्रकार यदि $$(M,g)$$ अपने मानक रिमेंनियन मीट्रिक के साथ गोल गोला $$S^2$$ है, तो भूमध्यरेखीय वृत्त के साथ एक इकाई-गति पथ एक जियोडेसिक होगा। अन्य अक्षांश वृत्त के साथ इकाई गति पथ जियोडेसिक नहीं होगा।
 * उस मामले पर विचार करें $$(M,g)$$ है $$\mathbb{R}^2$$ अपने मानक रीमैनियन मीट्रिक के साथ है। फिर एक इकाई-गति रेखा जैसे $$t\mapsto (2^{-1/2}t,2^{-1/2}t)$$ जियोडेसिक है लेकिन उपरोक्त पहले उदाहरण से वक्र $$c$$ नहीं है।

हॉफ-रिनो प्रमेय
जैसा ऊपर बताया गया है, $$(M,g)$$ जुड़े हुए और निरंतर रिमेंनियन बहुगणक हो। इस सेटिंग में हॉफ-रिनो प्रमेय कहता है कि (ग्रोमोव 1999) प्रमाण का सार यह है कि एक बार जब पहली छमाही स्थापित हो जाती है, तो कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्पेस के संदर्भ में सीधे अर्जेला-एस्कोली प्रमेय लागू किया जा सकता है। $$\overline{B_{2d_g(p,q)}(p)},$$ टुकड़े के क्रम में निरंतर-विभेदक इकाई-गति घटता से अनुक्रम के लिए $$p$$ से $$q$$ जिसकी लंबाई लगभग $$d_g(p,q)$$ परिणामी अनुवर्ती सीमा वांछित जियोडेसिक है।
 * यदि मीट्रिक स्थान $$(M,d_g)$$ पूर्ण मीट्रिक स्थान है (अर्थात प्रत्येक $$d_g$$-कॉची क्रम अभिसरित होता है) तब
 * $$M$$ का प्रत्येक बंद और परिबद्ध उपसमुच्चय कॉम्पैक्ट होता है।
 * कोई भी $$p,q\in M$$ दिए जाने पर यूनिट-स्पीड जियोडेसिक  $$c:[a,b]\to M$$ से $$p$$ तक $$q$$ ऐसा है कि $$d_g(c(s),c(t))=|s-t|$$ सभी के लिए $$s,t\in[a,b].$$

$$(M,d_g)$$ की अवक्षेप शैली पूर्णता महत्वपूर्ण है। उदाहरण के लिए, उस मामले पर विचार करें $$(M,g)$$ विद्ध समतल है $$\mathbb{R}^2\smallsetminus\{(0,0)\}$$ अपने मानक रीमानियन मीट्रिक के साथ, और $$p=(1,0)$$ तथा $$q=(-1,0)$$ एक से दूसरे में कोई यूनिट-स्पीड जियोडेसिक नहीं है।

व्यास
मान लें कि $$(M,g)$$ जुड़ा हुआ और निरंतर रिमेंनियन बहुगणक हो। किसी भी मीट्रिक स्थान के साथ, $$(M,d_g)$$ व्यास को परिभाषित किया जा सकता है
 * $$\operatorname{diam}(M,d_g)=\sup\{d_g(p,q):p,q\in M\}.$$

हॉफ-रिनो प्रमेय से पता चलता है कि अगर $$(M,d_g)$$ पूर्ण है और परिमित व्यास है, तो यह कॉम्पैक्ट है। इसके विपरीत यदि $$(M,d_g)$$ कॉम्पैक्ट है, फिर फलन $$d_g:M\times M\to\mathbb{R}$$ अधिकतम है, क्योंकि यह कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान पर एक सतत फलन है। इससे निम्नलिखित कथन सिद्ध होता है: पूर्णता धारणा के बिना ऐसा नहीं है; प्रतिउदाहरणों के लिए मानक रीमैनियन मीट्रिक के साथ यूक्लिडियन स्पेस के किसी भी खुले परिबद्ध उपसमुच्चय पर विचार किया जा सकता है।
 * यदि $$(M,d_g)$$ पूर्ण और संहत है केवल यदि इसका परिमित व्यास है।

ध्यान दें कि, अधिक आम तौर पर, और समान एक-पंक्ति प्रमाण के साथ, प्रत्येक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान में परिमित व्यास होता है। हालाँकि निम्नलिखित कथन असत्य है: यदि एक मीट्रिक स्थान पूर्ण है और परिमित व्यास है, तो यह कॉम्पैक्ट है। परिमित व्यास के एक पूर्ण और गैर-कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान के उदाहरण के लिए, विचार करें
 * $$M=\Big\{\text{continuous functions }f:[0,1]\to\mathbb{R}\text{ with }\sup_{x\in[0,1]}|f(x)|\leq 1\Big\}$$

समान अभिसरण के साथ
 * $$d(f,g)=\sup_{x\in[0,1]}|f(x)-g(x)|.$$

इसलिए, हालांकि हॉफ-रिनो प्रमेय के उपरोक्त उपप्रमेय में $$(M,g)$$ सभी शब्द केवल मीट्रिक विस्तार संरचना को शामिल करते हैं, यह महत्वपूर्ण है कि मीट्रिक रिमेंनियन संरचना से प्रेरित है।

जियोडेसिक पूर्णता
यदि सभी के लिए रिमेंनियन बहुगणक m 'भूगर्भीय रूप से पूर्ण' है p ∈ M, घातीय मानचित्र (रीमैनियन ज्यामिति) v ∈ TpM सभी के लिए परिभाषित किया गया है, यानी अगर p से शुरू होने वाला कोई जियोडेसिक γ(t) पैरामीटर के सभी मूल्यों t ∈ R के लिए परिभाषित किया गया है। हॉफ-रिनो प्रमेय का दावा है कि m भौगोलिक रूप से पूर्ण है अगर यह पूर्ण मीट्रिक स्थान है।

यदि m पूर्ण है, तो m इस अर्थ में गैर-विस्तार योग्य है कि यह किसी भी अन्य रिमेंनियन बहुगणक के उचित सबमनीफोल्ड के लिए आइसोमेट्रिक नहीं है। हालाँकि, इसका उत्क्रम सत्य नहीं है: वहाँ गैर-विस्तार योग्य बहुगणक मौजूद हैं जो पूर्ण नहीं हैं।

अनंत-आयामी कई गुना
ऊपर दिए गए बयान और प्रमेय परिमित-आयामी कई गुना के लिए हैं जिनके चार्ट $$\R^n$$मानचित्र को सबसेट खोलने के लिए मैप करते हैं। इन्हें एक निश्चित सीमा तक अनंत-आयामी कई गुना तक बढ़ाया जा सकता है; वह है, बहुगणक्स जो टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के बाद तैयार किए गए हैं; उदाहरण के लिए, फ्रेचेट बहुगणक, बनच बहुगणक और हिल्बर्ट बहुगणक।

परिभाषाएँ
रीमानियन मीट्रिक को परिमित-आयामी मामले के समान ही परिभाषित किया गया है। हालांकि दो प्रकार के रीमानियन मीट्रिक के बीच अंतर है:
 * $$M$$ कमजोर रिमेंनियन मीट्रिक पर सरल फलन है $$g : TM \times TM \to \R,$$ जैसे कि किसी $$x \in M$$ के लिए $$g_x : T_xM \times T_xM \to \R$$ प्रतिबंध $$T_xM$$एक आंतरिक उत्पाद है।
 * $$M$$ पर मजबूत रीमैनियन मेट्रिक एक कमज़ोर रीमैनियन मेट्रिक है, जैसे कि $$g_x$$पर $$T_xM.$$ ध्यान दें कि अगर $$M$$ हिल्बर्ट बहुगणक नहीं है तो $$g$$ मजबूत मीट्रिक नहीं हो सकता।

उदाहरण

 * यदि $$(H, \langle \,\cdot, \cdot\, \rangle)$$ हिल्बर्ट स्पेस है, तो किसी के लिए भी $$x \in H,$$ कोई पहचान सकता है $$H$$ साथ $$T_xH.$$ सभी के लिए सेटिंग करके $$x, u, v \in H$$ $$g_x(u,v) = \langle u, v \rangle$$ मजबूत रीमैनियन मीट्रिक प्राप्त करता है।
 * मान लें कि $$(M, g)$$ कॉम्पैक्ट रीमैनियन बहुगणक है और $$\operatorname{Diff}(M)$$ इसके डिफियोमोर्फिज़्म ग्रुप से निरूपित करता है। यह सरल बहुगणक (सुविधाजनक वेक्टर स्पेस) और वास्तव में, सिद्ध समूह है। स्पर्शज्या समूह $$M$$ पर सरल सदिश क्षेत्रों का सेट है। फिर कोई $$\mu$$ को $$M$$ पर घनफल परिवर्तित होने दें। $$G,$$ $$L^2$$ कमजोर रीमानियन मीट्रिक को $$\operatorname{Diff}(M)$$ पर परिभाषित कर सकता है। मान लीजिए  $$f\in \operatorname{Diff}(M),$$ $$u, v \in T_f\operatorname{Diff}(M).$$ फिर $$x \in M, u(x) \in T_{f(x)}M$$ के लिए $$G_f(u,v) = \int _M g_{f(x)} (u(x),v(x)) d\mu (x)$$  $$L^2$$  परिभाषित करें। $$\operatorname{Diff}(M)$$ पर कमजोर रिमेंनियन मेट्रिक गायब होने वाली जियोडेसिक दूरी को प्रेरित करता है, मिकोर और ममफोर्ड (2005) देखें।

मीट्रिक विस्तार संरचना
वक्र की लंबाई परिमित-आयामी स्थिति के समान है। फलनक्रम $$d_g : M \times M \to [0,\infty)$$ उसी तरीके से परिभाषित किया गया है और इसे जियोडेसिक दूरी कहा जाता है। परिमित-आयामी स्थिति में, सिद्ध होता है कि यह फलन मीट्रिक है, किसी भी बिंदु के आसपास प्री-कॉम्पैक्ट ओपन सेट के अस्तित्व का उपयोग करता है। अनंत मामले में, खुले सेट अब प्री-कॉम्पैक्ट नहीं होते हैं और इसलिए यह कथन विफल हो सकता है। उत्तरार्द्ध के उदाहरण के लिए, वैलेंटिनो और डेनियल (2019) देखें।
 * यदि $$M$$ $$g$$   पर मजबूत रिमेंनियन मीट्रिक है, तो $$d_g$$ बिंदुओं को अलग करता है (इसलिए एक मीट्रिक है) और मूल टोपोलॉजी को प्रेरित करता है।
 * यदि $$g$$ कमजोर रिमेंनियन मीट्रिक है, तो $$d_g$$ बिंदुओं को अलग करने में विफल या विकृत भी हो सकते हैं।

हॉफ-रिनो प्रमेय
मजबूत रीमैनियन मेट्रिक्स की स्थिति में, परिमित-आयामी हॉफ-रिनो का एक हिस्सा अभी भी काम करता है।

प्रमेय: मान लें कि $$(M, g)$$ मजबूत रिमेंनियन बहुगणक बनें। फिर मीट्रिक पूर्णता (मीट्रिक में $$d_g$$) का अर्थ है जियोडेसिक पूर्णता (जियोडेसिक्स हमेशा के लिए मौजूद है)। प्रमाण (लैंग 1999, अध्याय VII, धारा 6) में पाया जा सकता है। परिमित-आयामी स्थिति के अन्य कथन विफल हो सकते हैं। इसका एक उदाहरण यहां हॉफ-रिनो प्रमेय में देखा जा सकता है।

यदि $$g$$ कमजोर रीमैनियन मीट्रिक है, तो पूर्णता की कोई धारणा सामान्य रूप से दूसरे को नहीं दर्शाती है।

यह भी देखें

 * रिमेंनियन ज्यामिति
 * फिन्सलर कई गुना
 * सब-रीमैनियन मैनिफोल्ड
 * छद्म-रिमानियन कई गुना
 * मीट्रिक टेंसर
 * हर्मिटियन कई गुना
 * अंतरिक्ष (गणित)
 * वेव मैप समीकरण