विश्लेषणात्मक मरोड़

गणित में, रीडेमिस्टर टोरसन (या आर-टोरसन, या रीडेमिस्टर-फ्रांज टोरसन) कर्ट रीडेमिस्टर द्वारा प्रस्तुत कई गुना ्स का एक  टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय  है।  3-कई गुना के लिए और उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत  और. विश्लेषणात्मक मरोड़ (या रे-सिंगर मरोड़) द्वारा परिभाषित रीमैनियन मैनिफोल्ड्स का एक अपरिवर्तनीय है रीडेमिस्टर टोरसन के एक विश्लेषणात्मक एनालॉग के रूप में।  और  रे और सिंगर के अनुमान को साबित कर दिया कि रीडेमिस्टर टोरसन और विश्लेषणात्मक टोरसन कॉम्पैक्ट रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के लिए समान हैं।

रिडेमिस्टर मरोड़ बीजगणितीय टोपोलॉजी में पहला अपरिवर्तनीय था जो बंद मैनिफोल्ड्स के बीच अंतर कर सकता था जो समरूप समतुल्य हैं लेकिन होम्योमॉर्फिक नहीं हैं, और इस प्रकार इसे एक अलग क्षेत्र के रूप में ज्यामितीय टोपोलॉजी के जन्म के रूप में देखा जा सकता है। इसका उपयोग लेंस रिक्त स्थान को वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

रीडेमिस्टर टोरसन का व्हाइटहेड मरोड़ से गहरा संबंध है; देखना. इसने अंकगणित टोपोलॉजी को कुछ महत्वपूर्ण प्रेरणा भी दी है; देखना. मरोड़ पर अधिक हालिया कार्य के लिए पुस्तकें देखें और.

विश्लेषणात्मक मरोड़ की परिभाषा
यदि M एक रीमैनियन मैनिफोल्ड है और E, M के ऊपर एक वेक्टर बंडल है, तो E में मानों के साथ k-फॉर्म पर कार्य करने वाला एक लाप्लासियन संचालिका है। यदि k-फॉर्म पर eigenvalues ​​​​λ हैंj फिर जीटा फ़ंक्शन ζk होने के लिए परिभाषित किया गया है


 * $$\zeta_k(s) = \sum_{\lambda_j>0}\lambda_j^{-s}$$

s बड़े के लिए, और इसे विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा सभी जटिल s तक बढ़ाया गया है। के-फॉर्म पर अभिनय करने वाले लाप्लासियन का ज़ेटा नियमित निर्धारक है


 * $$\Delta_k=\exp(-\zeta^\prime_k(0))$$

जो औपचारिक रूप से के-रूपों पर कार्य करने वाले लैप्लासियन के सकारात्मक स्वदेशी मूल्यों का उत्पाद है। 'विश्लेषणात्मक मरोड़' टी(एम,ई) को परिभाषित किया गया है


 * $$T(M,E) = \exp\left(\sum_k (-1)^kk \zeta^\prime_k(0)/2\right) = \prod_k\Delta_k^{-(-1)^kk/2}.$$

रीडेमिस्टर टोरसन की परिभाषा
होने देना $$X$$ मौलिक समूह के साथ एक सीमित जुड़ा हुआ सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स | सीडब्ल्यू-कॉम्प्लेक्स बनें $$\pi := \pi_1(X)$$ और सार्वभौमिक आवरण $${\tilde X}$$, और जाने $$U$$ एक ऑर्थोगोनल परिमित-आयामी बनें $$\pi$$-प्रतिनिधित्व. लगता है कि


 * $$H^\pi_n(X;U) := H_n(U \otimes_{\mathbf{Z}[\pi]} C_*({\tilde X})) = 0$$

सभी के लिए एन. यदि हम इसके लिए एक सेलुलर आधार तय करते हैं $$C_*({\tilde X})$$ और एक ऑर्थोगोनल $$\mathbf{R}$$-के लिए आधार $$U$$, तब $$D_* := U \otimes_{\mathbf{Z}[\pi]} C_*({\tilde X})$$ एक अनुबंध योग्य परिमित आधारित मुक्त है $$\mathbf{R}$$-श्रृंखला जटिल. होने देना $$\gamma_*: D_* \to D_{*+1}$$ D का कोई भी श्रृंखला संकुचन हो*, अर्थात। $$d_{n+1} \circ \gamma_n + \gamma_{n-1} \circ d_n = id_{D_n}$$ सभी के लिए $$n$$. हम एक समरूपता प्राप्त करते हैं $$(d_* + \gamma_*)_\text{odd}: D_\text{odd} \to D_\text{even}$$ साथ $$D_\text{odd} := \oplus_{n \, odd} \, D_n$$, $$D_\text{even} := \oplus_{n \, \text{even}} \, D_n$$. हम रिडेमिस्टर टोरसन को परिभाषित करते हैं


 * $$\rho(X;U) := |\det(A)|^{-1} \in \mathbf{R}^{>0}$$

जहां A का मैट्रिक्स है $$(d_* + \gamma_*)_\text{odd}$$ दिए गए आधारों के संबंध में। रिडेमिस्टर मरोड़ $$\rho(X;U)$$ के लिए सेलुलर आधार की पसंद से स्वतंत्र है $$C_*({\tilde X})$$, के लिए ऑर्थोगोनल आधार $$U$$ और श्रृंखला संकुचन $$\gamma_*$$.

होने देना $$M$$ एक कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड बनें, और चलो $$\rho\colon\pi(M)\rightarrow GL(E)$$ एक यूनिमॉड्यूलर प्रतिनिधित्व हो। $$M$$ एक सहज त्रिभुज है. वॉल्यूम के किसी भी विकल्प के लिए $$\mu\in\det H_*(M)$$, हमें एक अपरिवर्तनीय मिलता है $$\tau_M(\rho:\mu)\in\mathbf{R}^+$$. फिर हम सकारात्मक वास्तविक संख्या कहते हैं $$\tau_M(\rho:\mu)$$ मैनिफ़ोल्ड का रिडेमिस्टर मरोड़ $$M$$ इसके संबंध में $$\rho$$ और $$\mu$$.

रीडेमिस्टर टॉर्शन का संक्षिप्त इतिहास
रिडेमिस्टर टॉर्शन का उपयोग पहली बार 3-आयामी लेंस रिक्त स्थान को संयोजित रूप से वर्गीकृत करने के लिए किया गया था रीडेमिस्टर द्वारा, और फ्रांज द्वारा उच्च-आयामी स्थानों में। वर्गीकरण में होमोटॉपी समतुल्य 3-आयामी मैनिफोल्ड के उदाहरण शामिल हैं जो होमियोमोर्फिक नहीं हैं - उस समय (1935) वर्गीकरण केवल पीएल होमियोमोर्फिज्म तक था, लेकिन बाद में दिखाया कि यह वास्तव में होमियोमोर्फिज्म तक का वर्गीकरण था।

जे.एच.सी. व्हाइटहेड ने परिमित परिसरों के बीच एक समरूप तुल्यता के मरोड़ को परिभाषित किया। यह रिडेमिस्टर, फ्रांज और डी राम अवधारणा का प्रत्यक्ष सामान्यीकरण है; लेकिन यह अधिक नाजुक अपरिवर्तनीय है। व्हाइटहेड टोरसन गैर-तुच्छ मौलिक समूह के साथ कॉम्बिनेटरियल या अलग-अलग मैनिफोल्ड्स के अध्ययन के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण प्रदान करता है और सरल होमोटॉपी प्रकार की अवधारणा से निकटता से संबंधित है, देखें

1960 में मिल्नोर ने मैनिफोल्ड्स के मरोड़ वाले अपरिवर्तनीयों के द्वंद्व संबंध की खोज की और दिखाया कि गांठों का (मुड़ा हुआ) अलेक्जेंडर बहुपद इसके गाँठ पूरक का रिडेमिस्टर मरोड़ है $$S^3$$. प्रत्येक q के लिए पोंकारे द्वैत $$P_o$$ लाती
 * $$P_o\colon\operatorname{det}(H_q(M))\overset{\sim}{\,\longrightarrow\,}(\operatorname{det}(H_{n-q}(M)))^{-1}$$

और फिर हम प्राप्त करते हैं
 * $$\Delta(t)=\pm t^n\Delta(1/t).$$

गांठ पूरक के मूल समूह का प्रतिनिधित्व उनमें केंद्रीय भूमिका निभाता है। यह गाँठ सिद्धांत और मरोड़ अपरिवर्तनीयों के बीच संबंध बताता है।

चीगर-मुलर प्रमेय
होने देना $$(M,g)$$ आयाम n और का एक ओरिएंटेबल कॉम्पैक्ट रीमैन मैनिफोल्ड बनें $$\rho\colon \pi(M)\rightarrow\mathop{GL}(E)$$ के मौलिक समूह का प्रतिनिधित्व $$M$$ आयाम N के वास्तविक सदिश समष्टि पर। तब हम डे राम कॉम्प्लेक्स को परिभाषित कर सकते हैं
 * $$\Lambda^0\stackrel{d_0}{\longrightarrow}\Lambda^1\stackrel{d_1}{\longrightarrow}\cdots\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\Lambda^n$$

और औपचारिक जोड़ $$d_p$$ और $$\delta_p$$ के समतल होने के कारण $$E_q$$. हमेशा की तरह, हम पी-फॉर्म पर हॉज लाप्लासियन भी प्राप्त करते हैं
 * $$\Delta_p=\delta_{p+1} d_p+d_{p-1}\delta_{p}.$$

ये मानते हुए $$\partial M=0$$, लैप्लासियन तब शुद्ध बिंदु स्पेक्ट्रम के साथ एक सममित सकारात्मक अर्ध-सकारात्मक अण्डाकार ऑपरेटर है
 * $$0\le\lambda_0\le\lambda_1\le\cdots\rightarrow\infty.$$

पहले की तरह, इसलिए हम लाप्लासियन से जुड़े एक ज़ेटा फ़ंक्शन को परिभाषित कर सकते हैं $$\Delta_q$$ पर $$\Lambda^q(E)$$ द्वारा
 * $$\zeta_q(s;\rho)=\sum_{\lambda_j >0}\lambda_j^{-s}=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0 t^{s-1}\text{Tr}(e^{-t\Delta_q} - P_q)dt,\ \ \ \text{Re}(s)>\frac{n}{2}$$

कहाँ $$P$$ का प्रक्षेपण है $$L^2 \Lambda(E)$$ कर्नेल स्थान पर $$\mathcal{H}^q(E)$$ लाप्लासियन का $$\Delta_q$$. इसे और भी दिखाया गया था वह $$\zeta_q(s;\rho)$$ के मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन तक विस्तारित है $$s\in\mathbf{C}$$ जो कि होलोमोर्फिक है $$s=0$$.

जैसा कि ऑर्थोगोनल प्रतिनिधित्व के मामले में, हम विश्लेषणात्मक मरोड़ को परिभाषित करते हैं $$T_M(\rho;E)$$ द्वारा
 * $$T_M(\rho;E) = \exp\biggl(\frac{1}{2}\sum^n_{q=0}(-l)^qq\frac{d}{ds}\zeta_q(s;\rho)\biggl|_{s=0}\biggr).$$

1971 में डी.बी. रे और आई.एम. सिंगर ने यह अनुमान लगाया $$T_M(\rho;E)=\tau_M(\rho;\mu)$$ किसी भी एकात्मक प्रतिनिधित्व के लिए $$\rho$$. यह रे-सिंगर अनुमान अंततः, स्वतंत्र रूप से, साबित हुआ   और. दोनों दृष्टिकोण मरोड़ और उनके निशान के लघुगणक पर ध्यान केंद्रित करते हैं। यह सम-आयामी मामले की तुलना में विषम-आयामी मैनिफ़ोल्ड के लिए आसान है, जिसमें अतिरिक्त तकनीकी कठिनाइयाँ शामिल हैं। यह चीगर-मुलर प्रमेय (कि मरोड़ की दो धारणाएँ समतुल्य हैं), अतियाह-सिंगर सूचकांक प्रमेय|अतियाह-पटोदी-सिंगर प्रमेय के साथ, बाद में चेर्न-साइमन्स सिद्धांत|चेर्न-साइमन्स गड़बड़ी सिद्धांत के लिए आधार प्रदान किया।

मनमाने निरूपण के लिए चीगर-मुलर प्रमेय का प्रमाण बाद में जे. एम. बिस्मुट और वेइपिंग झांग द्वारा दिया गया था। उनका प्रमाण विटन विरूपण का उपयोग करता है।

संदर्भ

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