व्युत्पन्न श्रेणी

गणित में, एबेलियन श्रेणी ए की व्युत्पन्न श्रेणी डी(ए) समरूपी बीजगणित का निर्माण है जिसे परिशोधित करने के लिए और एक निश्चित अर्थ में ए पर परिभाषित व्युत्पन्न प्रकार्यक के सिद्धांत को सरल बनाने के लिए प्रस्तुत किया गया है। निर्माण इस आधार पर आगे बढ़ता है कि 'डी'(ए) की वस्तुएं (श्रेणी सिद्धांत) ए में मिश्रित श्रेणी होनी चाहिए, ऐसे दो मिश्रित श्रेणी को समाकृतिकता माना जाता है जब एक श्रृंखला प्रतिचित्र होता है जो मिश्रित श्रेणी के समरूपता (गणित) के स्तर पर एक समरूपता को प्रेरित करता है। अति सह-समरूपता की अवधारणा को परिष्कृत करते हुए व्युत्पन्न प्रकार्यकों को श्रृंखला परिसरों के लिए परिभाषित किया जा सकता है। परिभाषाएँ सम्मिश्र वर्णक्रमीय अनुक्रमों द्वारा अन्यथा वर्णित सूत्रों के एक महत्वपूर्ण सरलीकरण की ओर ले जाती हैं (पूर्ण रूप से विश्वासपूर्वक नहीं)।

1960 के कुछ ही समय बाद अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक और उनके छात्र जीन लुइस वेर्डियर द्वारा व्युत्पन्न श्रेणी का विकास, अब 1950 के दशक में अनुरूप बीजगणित के विस्फोटक विकास में एक अंतस्थ बिंदु के रूप में प्रकट होता है, एक दशक जिसमें इसने उल्लेखनीय प्रगति की थी। वेर्डियर के मूल सिद्धांत को उनके शोध प्रबंध में लिखा गया था, जो अंततः 1996 में एस्टेरिस्क में प्रकाशित हुआ था (एक सारांश पहले एसजीए 4½ में दिखाई दिया था)। स्वयंसिद्धों को एक नवीनता की आवश्यकता होती है, त्रिकोणीय श्रेणी की अवधारणा, और निर्माण एक श्रेणी के स्थानीयकरण पर आधारित होता है, एक वलय के स्थानीयकरण का एक सामान्यीकरण है। व्युत्पन्न औपचारिकता को विकसित करने का मूल आवेग ग्रोथेंडिक के सुसंगत द्वैत सिद्धांत के उपयुक्त सूत्रीकरण को खोजने की आवश्यकता से आया है। तब से व्युत्पन्न श्रेणियां बीजगणितीय ज्यामिति के बाहर भी अपरिहार्य हो गई हैं, उदाहरण के लिए डी-मॉड्यूल और सूक्ष्म स्थानीय विश्लेषण के सिद्धांत के निर्माण में। वर्तमान में व्युत्पन्न श्रेणियां भी भौतिकी के निकट के क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हो गई हैं, जैसे कि डी-ब्रान और दर्पण समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत)।

प्रेरणा
सुसंगत शीफ सिद्धांत में, एक व्‍युत्‍क्रमणीय योजना (गणित) की धारणा के बिना सेरे द्वैत के साथ क्या किया जा सकता है, इसकी सीमा तक धकेलते हुए, एकल द्वैतकारी शीफ के स्थान पर चक्रिका के पूरे परिसर को लेने की आवश्यकता स्पष्ट हो गई। वस्तुतः कोहेन-मैकाले वलय की स्थिति, गैर-विलक्षणता का निर्बल होना, एक एकल द्वैतकारी शीफ के अस्तित्व से मेल खाती है; और यह सामान्य स्थिति से बहुत दूर है। अधोशीर्ष बौद्धिक स्थिति से, सदैव ग्रोथेंडिक द्वारा ग्रहण किया गया, इसने संशोधन की आवश्यकता का संकेत दिया। इसके साथ यह विचार आया कि 'वास्तविक' टेन्सर उत्पाद और होम प्रकार्यक वे होंगे जो व्युत्पन्न स्तर पर विद्यमान होंगे; उनके संबंध में, Tor और Ext संगणनात्मक उपकरणों के जैसे बन जाते हैं।

अमूर्तता के स्तर के अतिरिक्त, व्युत्पन्न श्रेणियां निम्नलिखित दशकों में स्वीकार की गईं, विशेष रूप से शेफ सह समरूपता के लिए एक सुविधाजनक समायोजन के रूप में है। संभवतः सबसे बड़ी प्रगति 1980 के निकट, व्युत्पन्न प्रतिबन्धों में 1 से अधिक विमाओं में रीमैन-हिल्बर्ट पत्राचार का सूत्रीकरण था। मिकियो सातो स्कूल ने व्युत्पन्न श्रेणियों की भाषा को अपनाया, और डी-मॉड्यूल का बाद का इतिहास उन पदों में व्यक्त सिद्धांत का था।

समस्थेयता सिद्धांत में एक समानांतर विकास वर्णक्रम (समस्थेयता सिद्धांत) की श्रेणी थी। वर्णक्रम की समस्थेयता श्रेणी और वलय की व्युत्पन्न श्रेणी दोनों त्रिकोणीय श्रेणी के उदाहरण हैं।

परिभाषा
बता दें कि $$\mathcal{A}$$ एक एबेलियन श्रेणी है। (उदाहरणों में एक वलय (गणित) पर मॉड्यूल (गणित) की श्रेणी और एक स्थलीय स्थान पर एबेलियन समूहों के शेफ (गणित) की श्रेणी सम्मिलित है।) व्युत्पन्न श्रेणी $$D(\mathcal{A})$$ मिश्रित शृंखला की श्रेणी $$\operatorname{Kom}(\mathcal{A})$$ के संदर्भ में $$\mathcal{A}$$ में प्रतिबन्धों के साथ एक सार्वभौमिक गुण द्वारा परिभाषित किया गया है। $$\operatorname{Kom}(\mathcal{A})$$ की वस्तुएं
 * $$\cdots \to

X^{-1} \xrightarrow{d^{-1}} X^0 \xrightarrow{d^0} X^1 \xrightarrow{d^1} X^2 \to \cdots,$$ के रूप में हैं, जहाँ प्रत्येक Xi, $$\mathcal{A}$$ की वस्तु है और प्रत्येक सम्मिश्र $$d^{i+1} \circ d^i$$ शून्य है। सम्मिश्र का iवां सह समरूपता समूह $$H^i(X^\bullet) = \operatorname{ker} d^i / \operatorname{im} d^{i-1}$$ है। यदि इस श्रेणी में $$(X^\bullet, d_X^\bullet)$$ और $$(Y^\bullet, d_Y^\bullet)$$ दो वस्तुएँ हैं,तो एक आकारिता $$f^\bullet \colon (X^\bullet, d_X^\bullet) \to (Y^\bullet, d_Y^\bullet)$$ को आकारिता $$f_i \colon X^i \to Y^i$$ के एक वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है जैसे कि $$f_{i+1} \circ d_X^i = d_Y^i \circ f_i$$। इस प्रकार की आकारिता सह समरूपता समूहों $$H^i(f^\bullet) \colon H^i(X^\bullet) \to H^i(Y^\bullet)$$ पर आकारिकी को प्रेरित करता है, और $$f^\bullet$$ को अर्ध-समरूपता कहा जाता है यदि इनमें से प्रत्येक आकारिता $$\mathcal{A}$$ में एक तुल्याकारिता है।

व्युत्पन्न श्रेणी की सार्वभौमिक गुण यह है कि यह अर्ध-समरूपता के संबंध में परिसरों की श्रेणी की श्रेणी का स्थानीयकरण है। विशेष रूप से, व्युत्पन्न श्रेणी $$D(\mathcal{A})$$ एक वर्ग है, साथ में एक प्रकार्यक $$Q \colon \operatorname{Kom}(\mathcal{A}) \to D(\mathcal{A})$$ के साथ, निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण है: मान लीजिए कि $$\mathcal{C}$$ एक और श्रेणी है ( आवश्यक नहीं कि एबेलियन) और $$F \colon \operatorname{Kom}(\mathcal{A}) \to \mathcal{C}$$ एक ऐसा कारक है, जब भी $$f^\bullet$$, $$\operatorname{Kom}(\mathcal{A})$$ में अर्ध-समरूपता है, इसका प्रतिरूप $$F(f^\bullet)$$ $$\mathcal{C}$$ में एक समरूपता है ; तब $$F$$ के माध्यम से कारक $$Q$$। इस सार्वभौमिक गुण वाली कोई भी दो श्रेणियां समकक्ष हैं।

समस्थेयता श्रेणी से संबंध
यदि $$f$$ और $$g$$, $$X^\bullet \to Y^\bullet$$ में दो आकारिता $$\operatorname{Kom}(\mathcal{A})$$ हैं, तो एक श्रृंखला समस्थेयता या मात्र समस्थेयता $$h \colon f \to g$$ आकारिकी $$h^i \colon X^i \to Y^{i-1}$$ का एक संग्रह है जैसे कि प्रत्येक i के लिए $$f^i - g^i = d_Y^{i-1} \circ h^i + h^{i+1} \circ d_X^i$$ । यह दिखाना स्पष्ट है कि दो समस्थानी आकारिता सह समरूपता समूहों पर समान आकारिकी को प्रेरित करते हैं। हम कहते हैं $$f \colon X^\bullet \to Y^\bullet$$ एक श्रृंखला समस्थेयता तुल्यता है यदि वहाँ $$g \colon Y^\bullet \to X^\bullet$$ स्थित है जैसे कि $$g \circ f$$ और $$f \circ g$$ क्रमशः $$X^\bullet$$ और $$Y^\bullet$$पर पहचान आकारिकी के लिए श्रृंखला समस्थानी हैं। श्रृंखला परिसरों $K(\mathcal{A})$ की समस्थेयता श्रेणी ,$$\operatorname{Kom}(\mathcal{A})$$ के समान वस्तुओं वाली श्रेणी है, परन्तु श्रृंखला समस्थेयता के संबंध के संबंध में जिनके आकारिकी परिसरों के आकारिकी के समतुल्य वर्ग हैं। एक प्राकृतिक कारक $$\operatorname{Kom}(\mathcal{A}) \to K(\mathcal{A})$$ है जो वस्तुओं पर पहचान है और जो प्रत्येक आकारिता को उसकी श्रृंखला समस्थेयता तुल्यता वर्ग में भेजती है। चूँकि प्रत्येक श्रृंखला समस्थेयता तुल्यता अर्ध-समरूपता है, $$Q$$ इस कारक के माध्यम से कारक है। फलस्वरूप $$D(\mathcal{A})$$ को समस्थेयता श्रेणी के स्थानीयकरण के रूप में समान रूप से देखा जा सकता है।

मॉडल श्रेणी के दृष्टिकोण से, व्युत्पन्न श्रेणी डी (ए) परिसरों की श्रेणी की सत्य 'समस्थेयता श्रेणी' है, जबकि के (ए) को 'सरल समस्थेयता श्रेणी' कहा जा सकता है।

व्युत्पन्न श्रेणी का निर्माण
व्युत्पन्न श्रेणी के कई संभावित निर्माण हैं। जब $$\mathcal{A}$$ एक छोटी श्रेणी है, तो अर्ध-समरूपता के औपचारिक रूप से आसन्न व्युत्क्रमों द्वारा व्युत्पन्न श्रेणी का प्रत्यक्ष निर्माण होता है। यह उत्पादक और संबंधों द्वारा श्रेणी के सामान्य निर्माण का एक उदाहरण है।

जब $$\mathcal{A}$$ एक बड़ी श्रेणी है, यह निर्माण निर्धारित सैद्धांतिक कारणों से काम नहीं करता है। यह निर्माण रूपों को पथों के समतुल्य वर्गों के रूप में बनाता है। यदि $$\mathcal{A}$$ वस्तुओं का एक उचित वर्ग है, जो सभी समरूप हैं, तो इनमें से किन्हीं दो वस्तुओं के बीच पथों का एक उचित वर्ग है। उत्पादक और संबंध निर्माण इसलिए मात्र गारंटी देता है कि दो वस्तुओं के बीच आकारिता एक उचित वर्ग बनाते हैं। यद्यपि, एक श्रेणी में दो वस्तुओं के बीच आकारिता सामान्यतः समुच्चय होने की आवश्यकता होती है, और इसलिए यह निर्माण वास्तविक श्रेणी का उत्पादन करने में विफल रहता है।

यहां तक ​​कि जब $$\mathcal{A}$$ छोटा है, यद्यपि, उत्पादक और संबंधों द्वारा निर्माण सामान्यतः एक ऐसी श्रेणी में होता है जिसकी संरचना अपारदर्शी होती है, जहां एक गूढ़ समानता संबंध के अधीन आकारिकी स्वेच्पटलः लंबे पथ होते हैं। इस कारण से, व्युत्पन्न श्रेणी का निर्माण अधिक ठोस रूप से तब भी किया जाता है जब समुच्चय सिद्धांत समस्या में न हो।

ये अन्य निर्माण समस्थेयता श्रेणी से गुजरते हैं। $$K(\mathcal{A})$$ में अर्ध-समरूपता का संग्रह गुणक प्रणाली बनाता है। यह प्रतिबन्धों का एक संग्रह है जो सम्मिश्र पथों को सरल पथों के रूप में फिर से लिखने की अनुमति देता है। गेब्रियल-ज़िस्मान प्रमेय का तात्पर्य है कि गुणक प्रणाली में स्थानीयकरण का पटलों के संदर्भ में एक सरल विवरण है। एक आकारिता $$X^\bullet \to Y^\bullet$$ में $$D(\mathcal{A})$$ जोड़ी $$(s, f)$$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जहां कुछ $$Z^\bullet$$ सम्मिश्र के लिए , $$s \colon Z^\bullet \to X^\bullet$$ एक अर्ध-समरूपता है और $$f \colon Z^\bullet \to Y^\bullet$$ आकारिकी की एक श्रृंखला समस्थेयता तुल्यता वर्ग है। संकल्पनात्मक रूप से, यह $$f \circ s^{-1}$$ का प्रतिनिधित्व करता है। दो पटलें समान होती हैं यदि उनके निकट एक सामान्य पटल के ऊपर हो।

पटलों के साथ आकारिता की श्रृंखलाओं को बदलने से बड़ी श्रेणियों की व्युत्पन्न श्रेणियों में सम्मिलित समुच्चय-सैद्धांतिक समस्याओं के हल को भी सक्षम बनाता है। सम्मिश्र $$X^\bullet$$ को ठीक करें और श्रेणी $$I_{X^\bullet}$$ पर विचार करें, जिनकी वस्तुएं सह प्रांत $$X^\bullet$$ के साथ $$K(\mathcal{A})$$ में अर्ध-समरूपता हैं और जिनकी आकृतियां क्रमविनिमेय आरेख हैं। समान रूप से, यह $$X^\bullet$$ पर वस्तुओं की श्रेणी है जिनके संरचना मानचित्र अर्ध-समरूपता हैं। तब गुणक प्रणाली की स्थिति का अर्थ है कि $$X^\bullet$$ से $$Y^\bullet$$ तक $$D(\mathcal{A})$$ में आकारिता
 * $$\varinjlim_{I_{X^\bullet}} \operatorname{Hom}_{K(\mathcal{A})}((X')^\bullet, Y^\bullet)$$

हैं, यह मानते हुए कि यह सह सीमा वस्तुतः एक समुच्चय है। जबकि $$I_{X^\bullet}$$ संभावित रूप से एक बड़ी श्रेणी है, कुछ स्थितियों में इसे एक छोटी श्रेणी द्वारा नियंत्रित किया जाता है। यह स्थिति है, उदाहरण के लिए, यदि $$\mathcal{A}$$ एक ग्रोथेंडिक एबेलियन श्रेणी है (जिसका अर्थ है कि यह AB5 को संतुष्ट करता है और उत्पादक का एक समुच्चय है), आवश्यक बिंदु के साथ कि मात्र परिबद्ध गणनांक की वस्तुएं प्रासंगिक हैं। इन स्थितियों में, सीमा की गणना एक छोटी उपश्रेणी पर की जा सकती है, और यह सुनिश्चित करता है कि परिणाम एक समुच्चय है। तब $$D(\mathcal{A})$$ को इन समुच्चयों को इसके $$\operatorname{Hom}$$ समुच्चय रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

समस्थेयता श्रेणी में आकारिकी द्वारा व्युत्पन्न श्रेणी में आकारिता को बदलने के आधार पर एक अलग दृष्टिकोण है। सह प्रांत के साथ व्युत्पन्न श्रेणी में एक आकारिता अंतःक्षेपी वस्तुओं के सम्मिश्र से नीचे बंधा हुआ है, समस्थेयता श्रेणी में इस परिसर के आकारिकी के समान है; यह अवधिवार अंतःक्षेप से होता है। अवधिवार अंतःक्षेप को एक मजबूत स्थिति से बदलकर, एक समान गुण प्राप्त होती है जो असीमित परिसरों पर भी लागू होती है। एक सम्मिश्र $$I^\bullet$$ K-अंतःक्षेप है यदि, हर एसाइक्लिक सम्मिश्र के लिए $$X^\bullet$$, अपने निकट $$\operatorname{Hom}_{K(\mathcal{A})}(X^\bullet, I^\bullet) = 0$$। इसका सीधा परिणाम यह है कि, हर परिसर के लिए $$X^\bullet$$, आकारिकी $$X^\bullet \to I^\bullet$$ में $$K(\mathcal{A})$$ में इस प्रकार के आकारिता के समान हैं $$D(\mathcal{A})$$। Serpé की एक प्रमेय, ग्रोथेंडिक और स्पाल्टेंस्टीन के सामान्यीकरण का काम, यह दावा करता है कि ग्रोथेंडिक एबेलियन श्रेणी में, प्रत्येक परिसर अंतःक्षेप की प्रतिबन्धों के साथ K-अंतःक्षेप सम्मिश्र के लिए अर्ध-आइसोमॉर्फिक है, और इसके अलावा, यह क्रियात्मक है। विशेष रूप से, हम समस्थेयता श्रेणी में के-अंतःक्षेप रिजॉल्यूशन और कंप्यूटिंग मॉर्फिज्म को निकट करके व्युत्पन्न श्रेणी में आकारिकी को परिभाषित कर सकते हैं। सर्पे के निर्माण की कार्यात्मकता यह सुनिश्चित करती है कि आकारिता की संरचना ठीक रूप से परिभाषित है। पटलों का उपयोग कर निर्माण के जैसे, यह निर्माण भी व्युत्पन्न श्रेणी के लिए उपयुक्त समुच्चय सैद्धांतिक गुणों को सुनिश्चित करता है, क्योंकि ये गुण पहले से ही समस्थेयता श्रेणी से संतुष्ट हैं।

व्युत्पन्न होम-समुच्चय
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, व्युत्पन्न श्रेणी में होम समुच्चय पटलों, या घाटियों के माध्यम से व्यक्त किए जाते हैं $$X \rightarrow Y' \leftarrow Y$$, कहाँ $$Y \to Y'$$ एक अर्ध-समरूपता है। तत्व किस प्रकार दिखते हैं, इसकी बेहतर तस्वीर पाने के लिए, एक सटीक अनुक्रम पर विचार करें

0 \to \mathcal{E}_n \overset{\phi_{n,n-1}}{\rightarrow} \mathcal{E}_{n-1} \overset{\phi_{n-1,n-2}}{\rightarrow} \cdots \overset{\phi_{1,0}}{\rightarrow} \mathcal{E}_0 \to 0 $$ हम इसका उपयोग आकारिता के निर्माण के लिए कर सकते हैं $$\phi: \mathcal{E}_0 \to \mathcal{E}_n[+(n-1)]$$ उपरोक्त परिसर को छोटा करके, इसे स्थानांतरित करके, और उपरोक्त स्पष्ट आकारिकी का उपयोग करके। विशेष रूप से, हमारे निकट चित्र है

\begin{matrix} 0 &\to& \mathcal{E}_n &\to & 0 & \to & \cdots & \to & 0 & \to & 0\\ \uparrow & & \uparrow & & \uparrow & & \cdots &  & \uparrow & & \uparrow \\ 0 &\to& \mathcal{E}_n& \to &\mathcal{E}_{n-1} & \to & \cdots & \to &\mathcal{E}_1 &\to &0 \\ \downarrow& & \downarrow & & \downarrow & & \cdots & & \downarrow & & \downarrow \\ 0 & \to & 0 & \to & 0 & \to & \cdots & \to & \mathcal{E}_0 &\to& 0 \end{matrix} $$ जहां निचला परिसर है $$\mathcal{E}_0$$ डिग्री में केंद्रित $$0$$, एकमात्र गैर-तुच्छ ऊपर की ओर तीर समानता आकारिकी है, और एकमात्र गैर-तुच्छ नीचे की ओर तीर है $$\phi_{1,0}:\mathcal{E}_1 \to \mathcal{E}_0$$। परिसरों का यह चित्र आकारिकी को परिभाषित करता है

\phi \in \mathbf{RHom}(\mathcal{E}_0, \mathcal{E}_n[+(n-1)]) $$ व्युत्पन्न श्रेणी में। इस अवलोकन का एक अनुप्रयोग अतियाह-श्रेणी का निर्माण है।

टिप्पणियाँ
कुछ उद्देश्यों के लिए (नीचे देखें) कोई बाउंडेड-नीचे का उपयोग करता है ($$X^n = 0$$ के लिए $$n \ll 0$$), सीमाबद्ध-ऊपर ($$X^n = 0$$ के लिए $$n \gg 0$$) या परिबद्ध ($$X^n = 0$$ के लिए $$|n| \gg 0$$) असीमित लोगों के बजाय परिसरों। संबंधित व्युत्पन्न श्रेणियों को सामान्यतः डी द्वारा निरूपित किया जाता है+(ए), डी−(ए) और डीबी(ए), क्रमशः।

यदि कोई श्रेणियों पर शास्त्रीय दृष्टिकोण अपनाता है, कि एक वस्तु से दूसरी वस्तु में आकारिकी का एक समुच्चय (गणित) होता है (सिर्फ एक वर्ग (समुच्चय सिद्धांत) नहीं), तो उसे इसे साबित करने के लिए एक अतिरिक्त तर्क देना होगा। यदि, उदाहरण के लिए, एबेलियन श्रेणी ए छोटा है, यानी मात्र वस्तुओं का एक समुच्चय है, तो यह समस्या कोई समस्या नहीं होगी। इसके अलावा, यदि A एक ग्रोथेंडिक श्रेणी है, तो व्युत्पन्न श्रेणी D(A) समस्थेयता श्रेणी K(A) की पूर्ण उपश्रेणी के बराबर है, और इसलिए एक वस्तु से दूसरी वस्तु में मात्र आकारिकी का एक समुच्चय है। ग्रोथेंडिक एबेलियन श्रेणियों में एक वलय के ऊपर मॉड्यूल की श्रेणी, एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर एबेलियन समूहों के चक्रिका की श्रेणी और कई अन्य उदाहरण सम्मिलित हैं।

व्युत्पन्न श्रेणी में आकारिकी, यानी पटलों की संरचना दो पटलों के शीर्ष पर तीसरी पटल खोजने के द्वारा पूरी की जाती है। यह जाँचा जा सकता है कि यह संभव है और एक ठीक रूप से परिभाषित, साहचर्य रचना देता है।

चूँकि K(A) एक त्रिकोणीय श्रेणी है, इसका स्थानीयकरण D(A) भी त्रिभुजित है। पूर्णांक n और सम्मिश्र X के लिए, परिभाषित करें सम्मिश्र एक्स [एन] एक्स को एन द्वारा नीचे स्थानांतरित किया जाना चाहिए, ताकि
 * $$X[n]^{i} = X^{n+i},$$

अंतर के साथ
 * $$d_{X[n]} = (-1)^n d_X.$$

परिभाषा के अनुसार, डी (ए) में एक विशिष्ट त्रिभुज एक त्रिकोण है जो डी (ए) में त्रिभुज एक्स → वाई → शंकु (एफ) → एक्स [1] में परिसरों के कुछ प्रतिचित्र के लिए एफ: एक्स → वाई है। यहां शंकु (एफ) एफ के प्रतिचित्रण शंकु (अनुरूप बीजगणित) को दर्शाता है। विशेष रूप से, संक्षिप्त सटीक अनुक्रम के लिए
 * $$0 \rightarrow X \rightarrow Y \rightarrow Z \rightarrow 0$$

ए में, त्रिकोण एक्स → वाई → जेड → एक्स [1] डी (ए) में प्रतिष्ठित है। वेर्डियर ने समझाया कि शिफ्ट एक्स [1] की परिभाषा को एक्स [1] को आकारिकी एक्स → 0 के शंकु होने की आवश्यकता के कारण मजबूर किया गया है। ए की वस्तु को डिग्री शून्य में केंद्रित एक सम्मिश्र के रूप में देखकर, व्युत्पन्न श्रेणी डी (ए) में उपश्रेणी के रूप में ए होता है। व्युत्पन्न श्रेणी में आकारिता में सभी एक्सट ऑपरेटर के बारे में जानकारी सम्मिलित है: ए में किसी वस्तु एक्स और वाई के लिए और कोई पूर्णांक जे,


 * $$\text{Hom}_{D(\mathcal{A})}(X,Y[j]) = \text{Ext}^j_{\mathcal{A}}(X,Y).$$

प्रक्षेपी और अंतःक्षेप संकल्प
कोई भी आसानी से दिखा सकता है कि समस्थेयता तुल्यता अर्ध-समरूपता है, इसलिए उपरोक्त निर्माण में दूसरा चरण छोड़ा जा सकता है। परिभाषा सामान्यतः इस प्रकार से दी जाती है क्योंकि यह एक विहित प्रकार्यक के अस्तित्व को प्रकट करती है
 * $$K(\mathcal A) \rightarrow D(\mathcal A).$$

ठोस स्थितियों में, सीधे व्युत्पन्न श्रेणी में आकारिता को संभालना बहुत कठिन या असंभव है। इसलिए, एक अधिक प्रबंधनीय श्रेणी की तलाश करता है जो व्युत्पन्न श्रेणी के बराबर है। शास्त्रीय रूप से, इसके दो (दोहरे) दृष्टिकोण हैं: प्रक्षेपी और अंतःक्षेपी संकल्प। दोनों ही स्थितियों में, उपयुक्त उपश्रेणी के लिए उपरोक्त विहित फ़ंक्टर का प्रतिबंध श्रेणियों की समानता होगी।

निम्नलिखित में हम व्युत्पन्न श्रेणी के संदर्भ में अंतःक्षेपी संकल्पों की भूमिका का वर्णन करेंगे, जो सत्य व्युत्पन्न प्रकार्यकों को परिभाषित करने का आधार है, जो बदले में टोपोलॉजिकल स्पेस या अधिक उन्नत सह-समरूपता सिद्धांतों पर शीफ (गणित) के सह समरूपता में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं। ईटेल सह समरूपता या समूह सह समरूपता के जैसे।

इस तकनीक को लागू करने के लिए, किसी को यह मान लेना होगा कि प्रश्न में एबेलियन श्रेणी में पर्याप्त अंतःक्षेप हैं, जिसका अर्थ है कि श्रेणी की प्रत्येक वस्तु X एक अंतःक्षेप वस्तु I के लिए एक एकरूपता स्वीकार करती है। (न तो नक्शा और न ही अंतःक्षेप वाली वस्तु को होना चाहिए विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट।) उदाहरण के लिए, प्रत्येक ग्रोथेंडिक श्रेणी में पर्याप्त अंतःक्षेप हैं। एक्स को कुछ इंजेक्टिव वस्तु I में एम्बेड करना0, इस प्रतिचित्र का cokernel कुछ अंतःक्षेपी I में1 आदि, एक एक्स के एक अंतःक्षेप संकल्प का निर्माण करता है, यानी एक सटीक अनुक्रम (सामान्य अनंत में) अनुक्रम


 * $$0 \rightarrow X \rightarrow I^0 \rightarrow I^1 \rightarrow \cdots, \, $$

जहाँ I * अंतःक्षेप वाली वस्तुएँ हैं। यह विचार बंधे-नीचे परिसरों एक्स, यानी एक्स के प्रस्तावों को देने के लिए सामान्यीकृत करता हैn = 0 काफी छोटे n के लिए। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, अंतःक्षेपी संकल्प अद्वितीय रूप से परिभाषित नहीं हैं, परन्तु यह एक तथ्य है कि कोई भी दो संकल्प एक दूसरे के समतुल्य समस्थेयता हैं, यानी समस्थेयता श्रेणी में आइसोमोर्फिक। इसके अलावा, परिसरों के आकारिता विशिष्ट रूप से दो दिए गए अंतःक्षेप संकल्पों के morphism तक विस्तारित होते हैं।

यह वह बिंदु है जहां समस्थेयता श्रेणी फिर से चलन में आती है: A के वस्तु X को (किसी भी) इंजेक्टिव रेजोल्यूशन I * को A से मैप करना एक ऑपरेटर तक फैला हुआ है
 * $$D^+(\mathcal A) \rightarrow K^+(\mathrm{Inj}(\mathcal A))$$

बाउंड डाउन डिराइव्ड कैटेगरी से बाउंड डाउन समस्थेयता कैटेगरी ऑफ सम्मिश्र जिसका टर्म ए में इंजेक्टिव वस्तु हैं।

यह देखना मुश्किल नहीं है कि यह फ़ंक्टर वस्तुतः शुरुआत में उल्लिखित विहित स्थानीयकरण फ़ंक्टर के प्रतिबंध के विपरीत है। दूसरे पदों में, व्युत्पन्न श्रेणी में आकारिता Hom (X, Y) की गणना X और Y दोनों को हल करके और समस्थेयता श्रेणी में आकारिता की गणना करके की जा सकती है, जो कम से कम सैद्धांतिक रूप से आसान है। वस्तुतः, वाई को हल करने के लिए पर्याप्त है: किसी भी सम्मिश्र एक्स के लिए और अंतःक्षेप के सम्मिश्र वाई के नीचे बंधे किसी भी के लिए,
 * $$\mathrm{Hom}_{D(A)}(X, Y) = \mathrm{Hom}_{K(A)}(X, Y).$$

दोहरी रूप से, यह मानते हुए कि A के निकट पर्याप्त प्रक्षेप्य वस्तु है, अर्थात प्रत्येक वस्तु X के लिए एक प्रक्षेपी वस्तु P से X तक एक अधिरूपता है, व्यक्ति अंतःक्षेप वाले के बजाय प्रक्षेपी संकल्पों का उपयोग कर सकता है।

इन संकल्प तकनीकों के अतिरिक्त ऐसे भी हैं जो विशेष स्थितियों पर लागू होते हैं, और जो सीमाबद्ध-उपरोक्त या -नीचे प्रतिबंधों के साथ समस्या से बचते हैं: तथाकथित K-अंतःक्षेप और K-प्रोजेक्टिव रिजोल्यूशन का उपयोग करता है,  और (थोड़ी अलग भाषा में)  क्रमशः तथाकथित सेल-मॉड्यूल और अर्ध-मुक्त मॉड्यूल प्रस्तुत किए।

अधिक सामान्यतः, परिभाषाओं को ध्यान से अपनाते हुए, एक सटीक श्रेणी की व्युत्पन्न श्रेणी को परिभाषित करना संभव है ।

व्युत्पन्न प्रकार्यक्स से संबंध
व्युत्पन्न श्रेणी व्युत्पन्न प्रकार्यकों को परिभाषित करने और अध्ययन करने के लिए एक प्राकृतिक ढांचा है। निम्नलिखित में, F: A → B को एबेलियन श्रेणियों का एक फ़ंक्टर होने दें। दो दोहरी अवधारणाएँ हैं:
 * दाएं व्युत्पन्न प्रकार्यक बाएं सटीक प्रकार्यक से आते हैं और अंतःक्षेप रिज़ॉल्यूशन के माध्यम से गणना की जाती है
 * बाएं व्युत्पन्न प्रकार्यक सत्य सटीक प्रकार्यक से आते हैं और प्रोजेक्टिव रेज़ोल्यूशन के माध्यम से गणना की जाती है

निम्नलिखित में हम सत्य व्युत्पन्न प्रकार्यक्स का वर्णन करेंगे। तो, मान लें कि एफ सटीक छोड़ दिया गया है। विशिष्ट उदाहरण हैं F: A → Ab, जो X ↦ होम (X, A) या X ↦ होम (A, X) द्वारा कुछ निश्चित वस्तु A के लिए दिया गया है, या शेफ (गणित) या प्रत्यक्ष प्रतिरूप ऑपरेटर पर वैश्विक खंड प्रकार्यक हैं। उनके सत्य व्युत्पन्न प्रकार्यकs Ext प्रकार्यकs|Ext हैंn(–,A), एक्सटेंशनn(ए,–), शीफ सह समरूपता|एचn(X, F) या उच्चतर प्रत्यक्ष प्रतिरूप प्रकार्यक|Rएनएफ&lowast; (एफ), क्रमशः।

व्युत्पन्न श्रेणी हमें सभी व्युत्पन्न प्रकार्यक आर को एनकैप्सुलेट करने की अनुमति देती हैnF एक फ़ंक्टर में, अर्थात् तथाकथित टोटल डिराइव्ड प्रकार्यक RF: D+(ए) → डी+(बी)। यह निम्नलिखित रचना है: डी+(ए) ≅ के+(इंज (ए)) → के+(बी) → डी+(बी), जहां श्रेणियों की पहली समानता ऊपर वर्णित है। शास्त्रीय व्युत्पन्न फंक्शंस आर के माध्यम से कुल एक से संबंधित हैंएनएफ(एक्स) = एचएन(आरएफ (एक्स))। कोई कह सकता है कि आरnF मिश्रित श्रेणी को भूल जाता है और मात्र कोहोमोलॉजी रखता है, जबकि RF सम्मिश्र का ट्रैक रखता है।

व्युत्पन्न श्रेणियां, एक अर्थ में, इन प्रकार्यकों का अध्ययन करने के लिए सत्य स्थान हैं। उदाहरण के लिए, दो कारकों की संरचना का ग्रोथेंडिक वर्णक्रमीय अनुक्रम


 * $$\mathcal A \stackrel{F}{\rightarrow} \mathcal B \stackrel{G}{\rightarrow} \mathcal C, \,$$

ऐसा है कि एफ ए से जी-एसाइक्लिक (यानी आर में इंजेक्टिव वस्तु्स को मैप करता हैiG(F(I)) = 0 सभी i > 0 और अंतःक्षेप I के लिए), कुल व्युत्पन्न फ़ंक्टर की निम्नलिखित पहचान की अभिव्यक्ति है
 * आर (जी∘एफ) ≅ आरजी∘आरएफ।

जे।-एल। वेर्डियर ने दिखाया कि एबेलियन श्रेणी ए से जुड़े व्युत्पन्न फंक्शंस को ए के एम्बेडिंग के साथ उपयुक्त व्युत्पन्न श्रेणियों [मैक लेन] में विस्तार कर सकता है के रूप में देखा जा सकता है।

व्युत्पन्न तुल्यता
ऐसा हो सकता है कि दो एबेलियन श्रेणियां ए और बी समकक्ष नहीं हैं, परन्तु उनकी व्युत्पन्न श्रेणियां डी (ए) और डी (बी) हैं। अक्सर यह ए और बी के बीच एक दिलचस्प संबंध है। इस प्रकार की समानता त्रिकोणीय श्रेणी में टी-संरचनाओं के सिद्धांत से संबंधित हैं। यहां कुछ उदाहरण दिए गए हैं।
 * होने देना $$\mathrm{Coh}(\mathbb{P}^1)$$ एक क्षेत्र (गणित) पर प्रक्षेपण रेखा पर सुसंगत शीफ की एबेलियन श्रेणी हो। चलो के2-रेप दो शीर्षों के साथ क्रोनकर तरकश के निरूपण की एक एबेलियन श्रेणी है। वे बहुत अलग एबेलियन श्रेणियां हैं, परन्तु उनकी (सीमित) व्युत्पन्न श्रेणियां समकक्ष हैं।
 * मान लीजिए Q कोई तरकश (गणित) है और P कुछ तीरों को उलट कर Q से प्राप्त तरकश है। सामान्य तौर पर, क्यू और पी के प्रतिनिधित्व की श्रेणियां अलग-अलग होती हैं, परन्तु डीb(Q-Rep) सदैव D के समतुल्य होता हैबी(पी-रेप)।
 * बता दें कि X एक एबेलियन किस्म है, Y इसकी दोहरी एबेलियन किस्म है। तब डीb(कोह(एक्स)) डी के बराबर हैb(कोह (वाई)) फूरियर-मुकाई के सिद्धांत द्वारा रूपांतरित होता है। सुसंगत चक्रिका की समतुल्य व्युत्पन्न श्रेणियों वाली किस्मों को कभी-कभी 'फूरियर-मुकाई पार्टनर्स' कहा जाता है।

यह भी देखें

 * श्रृंखला परिसरों की समस्थेयता श्रेणी
 * व्युत्पन्न गैर-अनुवर्ती बीजगणितीय ज्यामिति
 * सुसंगत शीफ सह समरूपता
 * सुसंगत द्वैत
 * व्युत्पन्न बीजगणितीय ज्यामिति

संदर्भ
Four textbooks that discuss derived categories are: