एकात्मक परिवर्तन (क्वांटम यांत्रिकी)

क्वांटम यांत्रिकी में, श्रोडिंगर समीकरण समय के साथ एक निकाय के परिवर्तन का वर्णन करता है। यह निकाय की अवस्था में होने वाले परिवर्तनों को निकाय में ऊर्जा के साथ सम्बन्धित करके करता है (हैमिल्टोनियन नामक एक संचालक द्वारा दिया गया)। इसलिए, एक बार हैमिल्टोनियन ज्ञात होता है, तो सिद्धांत में समय की गतिकी ज्ञात होती है। बस यही बाकी है कि हैमिल्टोनियन को श्रोडिंगर समीकरण में प्रविष्ट करना और समय के एक फलन के रूप में निकाय की अवस्था के लिए हल करना है।

हालाँकि, अक्सर श्रोडिंगर समीकरण को हल करना मुश्किल होता है (यहां तक ​​कि एक कंप्यूटर के साथ भी)। इसलिए, भौतिकविदों ने इन समस्याओं को सरल बनाने और भौतिक रूप से क्या हो रहा है यह स्पष्ट करने के लिए गणितीय तकनीकों को विकसित किया है। ऐसी एक तकनीक है कि हैमिल्टोनियन पर एक एकात्मक परिवर्तन लागू किया जाता है। ऐसा करने से श्रोडिंगर समीकरण का एक सरलीकृत संस्करण प्राप्त हो सकता है फिर भी यह मूल हल के समान ही है।

परिवर्तन
एक एकात्मक परिवर्तन (या परिवर्तन तंत्र) को समय-निरपेक्ष हैमिल्टोनियन $$H(t)$$ और एकात्मक संचालक $$U(t)$$ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। इस परिवर्तन के तहत, हैमिल्टोनियन इस प्रकार परिवर्तित होता है:

$$H \to UH{U^\dagger} + i\hbar\,{\dot{U}U^\dagger} =: \breve{H} \quad \quad (0)$$ .

श्रोडिंगर समीकरण नए हैमिल्टोनियन पर लागू किया जाता है। अपरिवर्तित और परिवर्तित समीकरणों के हल भी $$U$$ से सम्बन्धित है। विशेष रूप से, यदि तरंग फलन $$\psi(t)$$ मूल समीकरण को संतुष्ट करता है, तो   $$U\psi(t)$$ नये समीकरण को संतुष्ट करेगा।

व्युत्पत्ति
एकात्मक आव्यूह की परिभाषा के अनुसार याद रखें कि, $$U^\dagger U = 1$$ होता है। श्रोडिंगर समीकरण के साथ शुरू करें,


 * $$\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$$,

इसलिए हम इच्छानुसार $$U^\dagger U$$ को सम्मिलित कर सकते हैं। विशेष रूप से, इसे $$H/\hbar$$ के बाद में सम्मिलित करते हैं और दोनों पक्षों को $$U$$ से पूर्वगुणन करते हैं, हम पाते हैं


 * $$U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi\quad\quad (1)$$.

इसके बाद, ध्यान दें कि गुणनफल नियम द्वारा,


 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(U\psi\right)=\dot{U}\psi+U\dot{\psi}$$.

एक और $$U^\dagger U$$ सम्मिलित और पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है


 * $$U\dot{\psi} =

\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\Big(U\psi\Big) - \dot{U}U^\dagger U\psi \quad\quad(2)$$.

अंत में, उपरोक्त परिणामों (1) और (2) के संयोजन से वांछित परिवर्तन होता है:


 * $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\Big(U \psi\Big) =

-\frac{i}{\hbar}\Big(UH{U^\dagger} + i\hbar\, \dot{U}{U^\dagger}\Big) \Big(U\psi\Big) \quad\quad \left(3\right)$$.

यदि हम संकेतन $$\breve{\psi} := U\psi$$ को परिवर्तित तरंग फलन के वर्णन करने के लिए अपनाते हैं, समीकरणों को एक स्पष्ट रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, $$(3)$$ के रूप में पुनर्लेखित किया जा सकता है


 * $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\breve{\psi} =

-\frac{i}{\hbar} \breve{H}\breve{\psi} \quad\quad \left(4\right)$$,

जिसे मूल श्रोडिंगर समीकरण के रूप में पुनर्लेखित किया जा सकता है,


 * $$\breve{H}\breve{\psi} =

i\hbar{\operatorname{d}\!\breve{\psi}\over\operatorname{d}\!t}.$$ मूल तरंग फलन को $$\psi = U^{\dagger} \breve{\psi}$$ के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

अंतःक्रिया चित्र से सम्बन्ध
एकात्मक परिवर्तनों को अंतःक्रिया (डिराक) चित्र के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। बाद के दृष्टिकोण में, हैमिल्टोनियन को समय-निरपेक्ष भाग और समय-आवधिक भाग में विभाजित किया जाता है,


 * $$H(t)=H_0 + V(t) \quad \quad (a)$$.

इस मामले में, श्रोडिंगर का समीकरण निम्नलिखित होता है:


 * $$\dot{\psi_I} =

-\frac{i}{\hbar} \left(e^{iH_0 t/\hbar} V e^{-iH_0 t/\hbar}\right) \psi_I$$, साथ $$\psi_I = e^{i H_0 t/\hbar} \psi$$. एक एकात्मक परिवर्तन के साथ सम्बन्ध स्थापित करने के लिए, एक चयन करके दिखाया जा सकता है $U(t)=\exp\left[{+i H_0 t / \hbar}\right]$ । फलस्वरूप, $${U^\dagger}(t) = \exp \left[{-i H_{0} t}/\hbar\right].$$

ऊपर दिए गए संकेतन $$(0)$$ का उपयोग करते हुए, हमारा परिवर्तित हैमिल्टोनियन बन जाता है:


 * $$\breve{H} = U\left[H_0 + V(t)\right]U^{\dagger} + i\hbar \dot{U}U^{\dagger}

\quad \quad (b)$$ पहले ध्यान दें कि चूँकि $$U$$, $$H_0$$ का एक फलन है, इसलिए दोनों को आपस में क्रमविनिमेय करना होगा। तब


 * $$UH_0U^\dagger=H_0$$,

जो $$(b)$$में परिवर्तन में प्रथम पद का ध्यान रखता है, अर्थात $$\breve{H} = H_0 + UV(t)U^{\dagger} + i \hbar \dot{U}U^{\dagger}$$। इसके बाद गणना करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करें


 * $$\begin{align} i\hbar \dot{U}U^\dagger & =

i\hbar \left({\operatorname{d}\!U\over\operatorname{d}\!t}\right) e^{-iH_{0} t/\hbar} \\ & = i\hbar \Big(iH_{0}/\hbar\Big) e^{+iH_{0} t/\hbar} e^{-iH_{0} t/\hbar} \\ & = i \hbar \left({i H_0}/\hbar \right) \\ & = -H_{0}, \\ \end{align}$$ जो दूसरे $$H_0$$ के साथ रद्द हो जाता है। स्पष्ट रूप से हमारे पास $$\breve{H} = UVU^\dagger$$ शेष रह जाता है, परिणामस्वरूप $$\dot{\psi_{I}} = -\frac{i}{\hbar} U V U^{\dagger} \psi_I $$ जैसा कि उपर दिखाया गया है।

हालाँकि, एक सामान्य एकात्मक परिवर्तन को लागू करते समय, यह आवश्यक नहीं है कि $$H(t)$$ को भागों में तोड़ दिया जाए, या फिर यह भी हो कि $$U(t)$$ हैमिल्टोनियन के किसी भी भाग का एक फलन हो।

घूर्णी तंत्र
दो-अवस्थाओं वाले एक परमाणु पर विचार करें, निम्नतम $$|g\rangle$$ और उत्साहित $$|e\rangle$$। परमाणु का एक हैमिल्टोनियन $$H = \hbar\omega {|{e}\rangle \langle {e}|}$$ है, जहाँ $$\omega$$, g-e संक्रमण के साथ जुड़े प्रकाश की आवृत्ति है। अब मान लीजिए हम $$\omega_d$$ आवृत्ति पर एक चालन के साथ परमाणु को प्रकाशित करते हैं जो दो अवस्थाओं को युग्मित करता है, और कुछ समिश्र चालन शक्ति Ω के लिए समय-निरपेक्ष संचालित हैमिल्टनियन
 * $$H/\hbar=\omega |e\rangle\langle e| + \Omega\ e^{i\omega_d t}|g\rangle\langle e| + \Omega^*\ e^{-i\omega_d t}|e\rangle\langle g|$$

है। प्रतिस्पर्धी आवृत्ति पैमानों ($$\omega$$, $$\omega_d$$, और $$\Omega$$) के कारण, चालन के प्रभाव का अनुमान लगाना मुश्किल है (संचालित आवर्त गति देखें)।

बिना चालन के, $$|e\rangle$$ की अवस्था $$|g\rangle$$ के सापेक्ष दोलन करेगी। एक द्वि-अवस्था निकाय के ब्लॉख क्षेत्र प्रतिनिधित्व में, यह z-अक्ष के चारों तरफ घूर्णन से मेल खाता है। अवधारणात्मक रूप से, हम गतिकी के इस घटक को एकात्मक परिवर्तन $$U=e^{i\omega t|e\rangle\langle e|}$$ द्वारा परिभाषित निर्देश के घूर्णन तंत्र में प्रवेश करके हटा सकते है। इस परिवर्तन के तहत, हैमिल्टनियन


 * $$H/\hbar\to \Omega\, e^{i(\omega_d-\omega)t} |g\rangle \langle e|

+ \Omega^*\, e^{i(\omega-\omega_d)t} |e\rangle \langle g|$$ बन जाता है।

यदि चालक आवृत्ति g-e संक्रमण की आवृत्ति के बराबर है, तो $$\omega_d=\omega$$ है, अनुनाद प्राप्त होगा और फिर उपरोक्त समीकरण


 * $$\breve{H} / \hbar =

\Omega\ |g\rangle\langle e| + \Omega^*\ |e\rangle\langle g|$$ कम हो जाता है।

इससे यह स्पष्ट है, यहां तक कि विवरण में जाए बिना भी, कि गतिकी में $$\Omega$$ आवृत्ति पर निम्नतम और उत्साहित अवस्थाओं के बीच एक दोलन सम्मिलित होगा।

एक अन्य सीमित मामले के रूप में, $$|\omega_d-\omega|\gg 0$$, मान लीजिए कि चालन बंद-अनुनादी से दूर है। हम श्रोडिंगर समीकरण को सीधे हल किए बिना उस मामले में गतिकी का पता लगा सकते हैं। मान लीजिए कि निकाय निम्नतम अवस्था $$|g\rangle$$ में शुरू होता है। प्रारंभ में, हैमिल्टनियन $$|e\rangle$$ के कुछ घटक को आबाद करेगा। थोड़े समय बाद, हालाँकि, यह $$|e\rangle$$ के लगभग उतनी ही मात्रा में आबाद हो जाएगा लेकिन पूर्णतः विभिन्न अवस्था के साथ होगा। इस प्रकार एक बंद-अनुनादी चालन का प्रभाव स्वयं करने की प्रवृत्ति रखता है। इसे यह कहते हुए भी व्यक्त किया जा सकता है कि एक बंद-अनुनादी चालन परमाणु के तंत्र में तेजी से घूर्णन कर रहा है।

इन अवधारणाओं को नीचे दी गई तालिका में चित्रमय किया गया है, जहां गोला ब्लॉख क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, तीर परमाणु की अवस्था का प्रतिनिधित्व करता है, और हाथ चालन का प्रतिनिधित्व करता है।

विस्थापित तंत्र
उपरोक्त उदाहरण का विश्लेषण अंतःक्रिया चित्र में भी किया जा सकता था। हालाँकि, निम्नलिखित उदाहरण का एकात्मक परिवर्तनों के सामान्य सूत्रीकरण के बिना विश्लेषण करना अधिक कठिन है। दो आवर्ती दोलकों पर विचार करें, जिनके बीच हम एक बीम स्प्लिटर अंतःक्रिया का निर्माण करना चाहेंगे,


 * $$g\, ab^\dagger + g^*\, a^\dagger b$$ .

इसे प्रयोगात्मक रूप से दो सूक्ष्म-तरंग गुहिका अनुनादकों के साथ प्राप्त किया गया था जो $$a$$ और $$b$$ रूप में कार्य कर रहे हैं। नीचे, हम इस प्रयोग के सरलीकृत संस्करण के विश्लेषण का संक्षिप्त विवरण देते हैं।

सूक्ष्म-तरंग गुहिकाओं के अतिरिक्त, प्रयोग में दोनों मोड्स के साथ युग्मित एक ट्रांसमोन क्वबिट, $$c$$ भी सम्मिलित था। क्वबिट दो आवृत्तियों $$\omega_1$$ और $$\omega_2$$ पर एक साथ संचालित होता है, जिसके लिए$$\omega_1-\omega_2=\omega_a-\omega_b$$।


 * $$H_\mathrm{drive}/\hbar=\Re\left[\epsilon_1e^{i\omega_1 t}+\epsilon_2 e^{i\omega_2 t}\right](c+c^\dagger).$$

इसके अतिरिक्त, मोड्स को युग्मित करने वाले कई चौथे-श्रेणी के पद हैं, लेकिन इनमें से ज्यादातर को नजरअंदाज किया जा सकता है। इस प्रयोग में, दो ऐसे पद हैं जो महत्वपूर्ण हो जायेंगे वो हैं


 * $$H_4/\hbar=g_4\Big(e^{i(\omega_b-\omega_a)t}ab^\dagger + \text{h.c.}\Big)c^\dagger c$$ .

(H.c., हर्मिटी संयुग्मी के लिए संक्षेपविधि है।) हम एक विस्थापन परिवर्तन $$U=D(-\xi_1 e^{-i\omega_1 t}-\xi_2 e^{-i\omega_2 t})$$, मोड $$c$$ के लिए लागू कर सकते है। सावधानीपूर्वक चुने गए आयामों के लिए, यह परिवर्तन $$H_\textrm{drive}$$ को रद्द कर देगा जबकि सीढ़ी संचालक को भी विस्थापित करते हुए, $$c\to c+\xi_1 e^{-i\omega_1 t}+\xi_2 e^{-i\omega_2 t}$$। इससे हमारे पास यह बचता है

$$H/\hbar = g_4\Big(e^{i(\omega_b-\omega_a)t}ab^\dagger + e^{i(\omega_a-\omega_b)t}a^\dagger b\big)(c^\dagger +\xi_1^* e^{i\omega_1t}+\xi_2^* e^{i\omega_2 t})(c +\xi_1 e^{-i\omega_1t}+\xi_2 e^{-i\omega_2 t})$$

इस अभिव्यक्ति का विस्तार करने और तेज घूर्णन वाले पदों को छोड़ने पर, हमारे पास वांछित हैमिल्टोनियन बचता है,


 * $$H/\hbar=g_4 \xi_1^*\xi_2 e^{i(\omega_b-\omega_a+\omega_1-\omega_2)t}\ ab^\dagger+\text{h.c.} = g\, ab^\dagger + g^*\, a^\dagger b$$ .

बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र से सम्बन्ध
एकात्मक परिवर्तनों में सम्मिलित संचालकों के लिए यह सामान्य है जिसे संचालकों के घातांक के रूप में लिखा जाना है, $$U = e^X$$, जैसा कि ऊपर देखा गया है। इसके अतिरिक्त, घातांकों में संचालक साधारणतः सम्बन्ध $$X^\dagger = -X$$ का पालन करते हैं, ताकि एक संचालक $$Y$$ का परिवर्तन $$UYU^\dagger = e^XYe^{-X}$$ हो। अब पुनरावर्तक दिक् परिवर्तक का परिचय देते हुए,


 * $$[(X)^n,Y] \equiv \underbrace{[X,\dotsb[X,[X}_{n \text { times }}, Y]] \dotsb],\quad [(X)^0,Y] \equiv Y,$$

हम इस परिवर्तन को दृढ़तापूर्वक लिखने के लिए बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र के एक विशेष परिणाम का उपयोग कर सकते हैं,


 * $$e^X Y e^{-X} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{[(X)^n,Y]}{n!},$$

या, पूर्णता के लिए लंबे रूप में,


 * $$e^{X}Y e^{-X} = Y+\left[X,Y\right]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots.$$