उत्पाद-रूप समाधान

संभाव्यता सिद्धांत में, एक उत्पाद-रूप समाधान विशिष्ट उप-घटकों के साथ एक प्रणाली के कुछ मीट्रिक को निर्धारित करने के लिए समाधान का एक विशेष रूप से कुशल रूप है, जहां घटकों के संग्रह के लिए मीट्रिक को विभिन्न घटकों में मीट्रिक के उत्पाद (गणित) के रूप में लिखा जा सकता है। कैपिटल पाई नोटेशन का उपयोग करके एक उत्पाद-रूप समाधान में बीजगणितीय रूप होता है
 * $$\text{P}(x_1,x_2,x_3,\ldots,x_n) = B \prod_{i=1}^n \text{P}(x_i)$$

जहां B स्थिर है। इस फॉर्म के समाधान रुचिकर हैं क्योंकि वे n के बड़े मूल्यों के मूल्यांकन के लिए कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ते हैं। मल्टीप्रोग्राम्ड और टाइम-शेयर्ड कंप्यूटर सिस्टम के मॉडल में प्रदर्शन मेट्रिक्स खोजने के लिए कतारबद्ध नेटवर्क में ऐसे समाधान महत्वपूर्ण हैं।

संतुलन वितरण
मार्कोव श्रृंखलाओं के संतुलन वितरण के लिए पहला उत्पाद-रूप समाधान पाया गया। तुच्छ रूप से, दो या दो से अधिक स्वतंत्रता (संभाव्यता सिद्धांत) # स्वतंत्र यादृच्छिक चर उप-घटकों से बने मॉडल स्वतंत्रता की परिभाषा के अनुसार उत्पाद-रूप समाधान प्रदर्शित करते हैं। प्रारंभ में इस शब्द का उपयोग क्यूइंग थ्योरी #क्यूइंग नेटवर्क में किया गया था जहां उप-घटक अलग-अलग क्यू होंगे। उदाहरण के लिए, जैक्सन का प्रमेय (कतारबद्ध सिद्धांत) | जैक्सन का प्रमेय एक खुले कतार नेटवर्क के संयुक्त संतुलन वितरण को अलग-अलग कतारों के संतुलन वितरण के उत्पाद के रूप में देता है। कई विस्तारों के बाद, मुख्य रूप से बीसीएमपी नेटवर्क के बारे में सोचा गया कि उत्पाद-रूप समाधान के लिए स्थानीय संतुलन एक आवश्यकता है। Erol Gelenbe का G-नेटवर्क मॉडल सबसे पहले दिखा कि ऐसा नहीं है। जैविक न्यूरॉन्स को मॉडल करने की आवश्यकता से प्रेरित होकर, जिसमें स्पाइकिंग व्यवहार जैसी बिंदु-प्रक्रिया होती है, उन्होंने जी नेटवर्क ्स के अग्रदूत को पेश किया, इसे यादृच्छिक तंत्रिका नेटवर्क कहा। नकारात्मक ग्राहकों को पेश करके जो अन्य ग्राहकों को नष्ट या समाप्त कर सकते हैं, उन्होंने उत्पाद फार्म नेटवर्क के परिवार को सामान्यीकृत किया। फिर इसे कई चरणों में आगे बढ़ाया गया, पहले गेलेनबे के ट्रिगर्स के द्वारा जो ग्राहक हैं जो अन्य ग्राहकों को एक कतार से दूसरी कतार में ले जाने की शक्ति रखते हैं। ग्राहक का एक और नया रूप जो उत्पाद के रूप में भी आगे बढ़ा, वह था गेलेनबे का बैच रिमूवल। इसे Erol Gelenbe और Jean-Michel Fourneau द्वारा ग्राहक प्रकारों के साथ आगे बढ़ाया गया था, जिन्हें रीसेट कहा जाता है, जो विफलताओं की मरम्मत का मॉडल बना सकता है: जब कोई कतार खाली अवस्था में आती है, तो (उदाहरण के लिए) एक विफलता का प्रतिनिधित्व करती है, कतार की लंबाई वापस कूद सकती है या रीसेट हो सकती है एक मरम्मत का प्रतिनिधित्व करते हुए, एक आने वाले रीसेट ग्राहक द्वारा इसकी स्थिर-अवस्था वितरण के लिए। जी-नेटवर्क्स में ये सभी पिछले प्रकार के ग्राहक एक ही नेटवर्क में मौजूद हो सकते हैं, जिसमें कई वर्ग शामिल हैं, और वे सभी एक साथ अभी भी उत्पाद के रूप में समाधान में परिणत होते हैं, जो हमें पहले प्रतिवर्ती नेटवर्क से बहुत आगे ले जाते हैं। उत्पाद-रूप समाधानों को कभी-कभी वर्णित किया जाता है क्योंकि स्टेशन संतुलन में स्वतंत्र होते हैं। थोक कतार  के नेटवर्क में उत्पाद प्रपत्र समाधान भी मौजूद हैं। जे. माइकल हैरिसन|जे.एम. हैरिसन और रूथ जे. विलियम्स|आर.जे. विलियम्स ने नोट किया कि क्लासिकल क्यूइंग नेटवर्क सिद्धांत में सफलतापूर्वक विश्लेषण किए गए सभी मॉडल एक तथाकथित उत्पाद-रूप स्थिर वितरण वाले मॉडल हैं हाल ही में, मार्कोव प्रक्रिया बीजगणित के लिए उत्पाद-रूप समाधान प्रकाशित किए गए हैं (उदाहरण के लिए PEPA में RCAT ) और स्टोकेस्टिक पेट्री नेट।  मार्टिन फ़िनबर्ग की कमी शून्य प्रमेय रासायनिक प्रतिक्रिया नेटवर्क के लिए उत्पाद-रूप स्थिर वितरण को प्रदर्शित करने के लिए पर्याप्त स्थिति देता है। गेलेंबे के काम से यह भी पता चलता है कि उत्पाद फॉर्म जी-नेटवर्क्स का उपयोग रैंडम न्यूरल नेटवर्क्स को स्पाइक करने के लिए किया जा सकता है, और इसके अलावा ऐसे नेटवर्कों का उपयोग सीमित और निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए किया जा सकता है।

प्रवास समय वितरण
टर्म प्रोडक्ट फॉर्म का उपयोग चक्रीय क्यूइंग सिस्टम में प्रवास समय वितरण को संदर्भित करने के लिए भी किया गया है, जहां एम नोड्स पर नौकरियों द्वारा बिताया गया समय प्रत्येक नोड पर बिताए गए समय के उत्पाद के रूप में दिया जाता है। 1957 में रीच ने दो एम/एम/1 कतारों के परिणाम को अग्रानुक्रम में दिखाया, बाद में इसे n M/M/1 कतारों तक विस्तारित किया गया और इसे जैक्सन नेटवर्क में ओवरटेक-मुक्त रास्तों पर लागू करने के लिए दिखाया गया है। वालरैंड और वरैया का सुझाव है कि नॉन-ओवरटेकिंग (जहां ग्राहक नेटवर्क के माध्यम से एक अलग मार्ग लेकर अन्य ग्राहकों से आगे नहीं निकल सकते हैं) परिणाम के होल्ड होने के लिए एक आवश्यक शर्त हो सकती है। मित्रानी ओवरटेकिंग के साथ कुछ सरल नेटवर्कों के लिए सटीक समाधान प्रदान करता है, यह दर्शाता है कि इनमें से कोई भी उत्पाद-समय के वितरण को प्रदर्शित नहीं करता है। बंद नेटवर्क के लिए, चाउ ने दो सर्विस नोड्स के लिए होल्ड करने का परिणाम दिखाया, जिसे बाद में कतारों के चक्र में सामान्यीकृत किया गया था और गॉर्डन-नेवेल नेटवर्क में ओवरटेक-मुक्त रास्तों के लिए।

एक्सटेंशन

 * अनुमानित उत्पाद-रूप समाधानों की गणना स्वतंत्र सीमांत वितरणों को मानते हुए की जाती है, जो कुछ शर्तों के तहत स्थिर वितरण के लिए एक अच्छा सन्निकटन दे सकता है।
 * अर्ध-उत्पाद-रूप समाधान ऐसे समाधान हैं जहां वितरण को उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है जहां शब्दों की वैश्विक राज्य स्थान पर सीमित कार्यात्मक निर्भरता होती है, जिसका अनुमान लगाया जा सकता है।
 * अर्ध-उत्पाद-रूप समाधान या तो हैं
 * समाधान जो सीमांत घनत्वों का उत्पाद नहीं हैं, लेकिन सीमांत घनत्व उत्पाद-प्रकार के तरीके से वितरण का वर्णन करते हैं या
 * क्षणिक संभाव्यता वितरण के लिए अनुमानित रूप जो क्षणिक क्षणों को अनुमानित करने की अनुमति देता है।