डेडेकाइंड अनंत समुच्चय

गणित में, एक समुच्चय A डेडेकाइंड-अनंत है (जर्मन गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकाइंड के नाम पर) यदि A का कुछ उचित उपसमुच्चय B, A के बराबर है। स्पष्ट रूप से, इसका अर्थ यह है कि A से A के कुछ उचित उपसमुच्चय B पर एक विशेषण फलन उपस्थित है। एक समुच्चय 'डेडेकाइंड-परिमित' है यदि वह डेडेकाइंड-अनंत नहीं है (अर्थात, ऐसी कोई एकैक आच्छादन उपस्थित नहीं है)। 1888 में डेडेकाइंड द्वारा प्रस्तावित, डेडेकाइंड-अनंतता "अनंत" की पहली परिभाषा थी जो प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा पर निर्भर नहीं करती थी।

एक साधारण उदाहरण है $$\mathbb{N}$$, प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय। गैलीलियो के विरोधाभास से, एक एकैक आच्छादन उपस्थित है जो प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n को उसके वर्ग संख्या n2 में प्रतिचित्रित करता है। चूँकि वर्गों का समुच्चय एक उचित उपसमुच्चय है $$\mathbb{N}$$, $$\mathbb{N}$$ डेडेकाइंड-अनंत है।

जब तक गणित के मूलभूत संकट ने समुच्चय सिद्धांत के अधिक सावधानीपूर्वक ट्रीटमेंट की आवश्यकता नहीं दिखाई, तब तक अधिकांश गणितज्ञों ने यह मान लिया था कि एक समुच्चय अनंत है यदि और केवल यदि वह डेडेकाइंड-अनंत है। बीसवीं सदी की शुरुआत में, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत, जो आज स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला रूप है, को रसेल के विरोधाभास जैसे विरोधाभासों से मुक्त समुच्चय के सिद्धांत को तैयार करने के लिए एक स्वयंसिद्ध प्रणाली के रूप में प्रस्तावित किया गया था। पसंद के मूल रूप से अत्यधिक विवादास्पद स्वयंसिद्ध (ZFC) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के स्वयंसिद्ध सिद्धांतों का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि एक समुच्चय डेडेकाइंड-परिमित है यदि और केवल यदि यह सामान्य अर्थों में सीमित है। हालाँकि, पसंद के स्वयंसिद्ध (ZF) के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत का एक मॉडल उपस्थित है जिसमें एक अनंत, डेडेकाइंड-परिमित समुच्चय उपस्थित है, जो दर्शाता है कि ZF के स्वयंसिद्ध यह सिद्ध करने के लिए पर्याप्त मजबूत नहीं हैं कि डेडेकाइंड-परिमित प्रत्येक समुच्चय परिमित है। डेडेकाइंड द्वारा दी गई परिभाषाओं के अलावा समुच्चयों की परिमितता और अनंतता की परिभाषाएँ भी हैं जो पसंद के सिद्धांत पर निर्भर नहीं करती हैं।

एक अस्पष्ट रूप से संबंधित धारणा डेडेकाइंड-परिमित वलय की है।

अनंत समुच्चय की सामान्य परिभाषा के साथ तुलना
"अनंत समुच्चय" की इस परिभाषा की तुलना सामान्य परिभाषा से की जानी चाहिए: एक समुच्चय A अनंत है जब इसे किसी परिमित क्रमसूचक के साथ एकैकी आच्छादन में नहीं रखा जा सकता है, अर्थात् कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए रूप {0, 1, 2, ..., n−1} का एक समुच्चय - एक अनंत समुच्चय वह है जो एकैकी आच्छादन के अर्थ में वस्तुत: "परिमित नहीं" है।

19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध के दौरान, अधिकांश गणितज्ञों ने यह मान लिया कि एक समुच्चय अनंत है यदि और केवल यदि वह डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, इस तुल्यता को पसंद के सिद्धांत (AC) (आमतौर पर "ZF" के रूप में दर्शाया जाता है) के बिना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के सिद्धांतों के साथ सिद्ध नहीं किया जा सकता है। समतुल्यता सिद्ध करने के लिए AC के पूर्ण सामर्थ्य की आवश्यकता नहीं है; वास्तव में, दो परिभाषाओं की तुल्यता गणनीय विकल्प (CC) के सिद्धांत की तुलना में सख्ती से दुर्बल है। (नीचे संदर्भ देखें।)

ZF में डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय
एक समुच्चय A डेडेकाइंड-अनंत है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य (ZF पर) शर्तों में से किसी एक को, और फिर सभी को संतुष्ट करता है: यह द्वैत रूप से डेडेकाइंड-अनंत है यदि: यह दुर्बल रूप से डेडेकाइंड-अनंत है यदि यह निम्नलिखित समतुल्य (ZF से अधिक) शर्तों में से किसी एक को, और फिर सभी को संतुष्ट करता है: और यह अनंत है यदि:
 * इसका एक गणनीय अनंत उपसमुच्चय है;
 * गणनीय अनंत समुच्चय से A तक एक एकैकी मानचित्र उपस्थित है;
 * एक फलन f : A → A है वह एकैकी है लेकिन आच्छादी नहीं है;
 * एक एकैकी फलन f : N → A है, जहां N सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है;
 * एक फलन f : A → A है जो आच्छादी है लेकिन एकैकी नहीं है;
 * A से गणनीय अनंत समुच्चय पर एक आच्छादी मानचित्र उपस्थित है;
 * A का घात समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है;
 * किसी भी प्राकृतिक संख्या n के लिए, {0, 1, 2, ..., n−1} से A तक कोई एकैकी आच्छादन नहीं है।

फिर, ZF निम्नलिखित निहितार्थ सिद्ध करता है: डेडेकाइंड-अनंत ⇒ द्वैत डेडेकाइंड-अनंत ⇒ दुर्बल डेडेकाइंड-अनंत ⇒ अनंत।

अनंत डेडेकाइंड-परिमित समुच्चय वाले ZF के मॉडल उपस्थित हैं। मान लीजिए ए एक ऐसा समुच्चय है, और बी ए से परिमित अंतःक्षेपक अनुक्रमों का समुच्चय है। चूंकि ए अनंत है, फलन अंतिम तत्व को बी से अपने आप में छोड़ देता है, यह विशेषण है लेकिन विशेषण नहीं है, इसलिए बी दोहरी रूप से डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, चूंकि ए डेडेकाइंड-परिमित है, तो बी भी ऐसा ही है (यदि बी में एक गणनीय अनंत उपसमुच्चय है, तो इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि बी के तत्व अंतःक्षेपक अनुक्रम हैं, कोई ए) का अनगिनत अनंत उपसमुच्चय प्रदर्शित कर सकता है)।

जब समुच्चय में अतिरिक्त संरचनाएं होती हैं, तो दोनों प्रकार की अनंतता को कभी-कभी ZF के बराबर सिद्ध किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, ZF सिद्ध करता है कि एक सुव्यवस्थित समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है यदि और केवल यदि यह अनंत है।

इतिहास
इस शब्द का नाम जर्मन गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकाइंड के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने पहली बार स्पष्ट रूप से इसकी परिभाषा पेश की थी। यह उल्लेखनीय है कि यह परिभाषा अनंत की पहली परिभाषा थी जो प्राकृतिक संख्याओं की परिभाषा पर निर्भर नहीं करती थी (जब तक कि कोई पोंकारे का अनुसरण नहीं करता है और संख्या की धारणा को समुच्चय की धारणा से भी पहले नहीं मानता है)। हालाँकि ऐसी परिभाषा बर्नार्ड बोलजानो को ज्ञात थी, लेकिन 1819 में प्राग में चार्ल्स विश्वविद्यालय से उनके राजनीतिक निर्वासन की शर्तों के कारण उन्हें किसी भी लेकिन सबसे अस्पष्ट पत्रिकाओं में अपना काम प्रकाशित करने से रोका गया था। इसके अलावा, बोल्ज़ानो की परिभाषा अधिक सटीक रूप से एक संबंध थी इसे एक अनंत समुच्चय की परिभाषा के बजाय दो अनंत समुच्चयों के बीच रखा जाता है।

लंबे समय तक, कई गणितज्ञों ने इस विचार पर भी विचार नहीं किया कि अनंत समुच्चय और डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय की धारणाओं के बीच कोई अंतर हो सकता है। वास्तव में, अंतर वास्तव में तब तक महसूस नहीं किया गया जब तक कि अर्नेस्ट ज़र्मेलो ने एसी को स्पष्ट रूप से तैयार नहीं किया। अनंत, डेडेकाइंड-परिमित समुच्चयों के अस्तित्व का अध्ययन 1912 में बर्ट्रेंड रसेल और अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड द्वारा किया गया था; इन समुच्चयों को पहले मध्यस्थ कार्डिनल या डेडेकाइंड कार्डिनल कहा जाता था।

गणितीय समुदाय के बीच पसंद के सिद्धांत की सामान्य स्वीकृति के साथ, अनंत और डेडेकाइंड-अनंत समुच्चयों से संबंधित ये मुद्दे अधिकांश गणितज्ञों के लिए कम केंद्रीय हो गए हैं। हालाँकि, डेडेकाइंड-अनंत समुच्चयों के अध्ययन ने परिमित और अनंत के बीच की सीमा को स्पष्ट करने के प्रयास में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई, और एसी के इतिहास में भी एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाई।

पसंद के स्वयंसिद्ध से संबंध
चूंकि प्रत्येक अनंत सुव्यवस्थित समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है, और चूंकि एसी सुव्यवस्थित प्रमेय के बराबर है, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक समुच्चय को सुव्यवस्थित किया जा सकता है, स्पष्ट रूप से सामान्य एसी का तात्पर्य है कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, दोनों परिभाषाओं की तुल्यता एसी की पूर्ण शक्ति की तुलना में बहुत कमजोर है।

विशेष रूप से, ZF का एक मॉडल उपस्थित है जिसमें एक अनंत समुच्चय उपस्थित है जिसमें कोई गणनीय समुच्चय उपसमुच्चय नहीं है। इसलिए, इस मॉडल में, एक अनंत, डेडेकाइंड-परिमित समुच्चय उपस्थित है। उपरोक्त के अनुसार, इस मॉडल में ऐसे समुच्चय को सुव्यवस्थित नहीं किया जा सकता है।

यदि हम अभिगृहीत CC (अर्थात्, AC) मान लेंω), तो यह इस प्रकार है कि प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है। हालाँकि, इन दोनों परिभाषाओं की समानता वास्तव में सीसी से भी कमज़ोर है। स्पष्ट रूप से, ZF का एक मॉडल उपस्थित है जिसमें प्रत्येक अनंत समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत है, फिर भी CC विफल रहता है (ZF की स्थिरता मानते हुए)।

गणनीय विकल्प के सिद्धांत को मानते हुए, अनंत के तुल्यता का प्रमाण
यह कि प्रत्येक डेडेकाइंड-अनंत समुच्चय अनंत है, इसे ZF में आसानी से सिद्ध किया जा सकता है, प्रत्येक परिमित समुच्चय में परिभाषा के अनुसार कुछ परिमित क्रमसूचक n के साथ एक आक्षेप होता है, और कोई n पर प्रेरण द्वारा सिद्ध कर सकता है कि यह डेडेकाइंड-अनंत नहीं है।

गणनीय विकल्प के स्वयंसिद्ध (निरूपण, अभिगृहीत सीसी) का उपयोग करके कोई व्यक्ति इसका विपरीत सिद्ध कर सकता है, अर्थात् प्रत्येक अनंत समुच्चय X, डेडेकाइंड-अनंत है, इस प्रकार,

सबसे पहले, प्राकृतिक संख्याओं पर (अर्थात, परिमित क्रमसूचकों पर) एक फलन f : N → पावर(पावर(X)) को परिभाषित करें, ताकि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, f(n) आकार n के f(n) कभी खाली नहीं होता, अन्यथा X परिमित होता (जैसा कि n पर प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है)।

f प्रतिबिम्ब गणनीय समुच्चय {f(n) है, जिनके सदस्य स्वयं अनंत (और संभवतः अगणनीय) समुच्चय हैं। गणनीय विकल्प के सिद्धांत का उपयोग करके हम इनमें से प्रत्येक समुच्चय से एक सदस्य चुन सकते हैं, और यह सदस्य स्वयं X का एक सीमित उपसमुच्चय है। अधिक सटीक रूप से, गणनीय विकल्प के सिद्धांत के अनुसार, एक (गणनीय) समुच्चय n ∈ N}, उपस्थित है, ताकि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए, g(n) f(n) का सदस्य हो और इसलिए आकार n के X का एक परिमित उपसमुच्चय हो।

अब, हम U को G के सदस्यों के सम्मिलन के रूप में परिभाषित करते हैं। U, X का एक अनंत गणनीय उपसमुच्चय है, और प्राकृतिक संख्याओं से U, h : N → U तक एक एकैकी आच्छादन को आसानी से परिभाषित किया जा सकता है। अब हम एक एकैकी आच्छादन B : X → X \ h(0) को परिभाषित कर सकते हैं  जो प्रत्येक सदस्य को U में नहीं लेता है, और प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए h(n) को  h(n + 1) में लेता है। इसलिए, X डेडेकाइंड-अनंत है, और हम पूर्ण कर चुके हैं।

सामान्यीकरण
श्रेणी -सैद्धांतिक शब्दों में,व्यक्त एक समुच्चय A डेडेकाइंड-परिमित है यदि समुच्चय की श्रेणी में, प्रत्येक एकरूपता f : A → A एक समरूपता है। एक वॉन न्यूमैन नियमित रिंग R में (बाएं या दाएं) R-मापांक की श्रेणी में समान गुण होता है यदि केवल R में, xy = 1 जिसका अर्थ yx = 1है। अधिक आम तौर पर, डेडेकाइंड-परिमित रिंग कोई भी रिंग होती है जो बाद की स्थिति को संतुष्ट करती है। सावधान रहें कि एक रिंग डेडेकाइंड-परिमित हो सकती है, भले ही उसका अंतर्निहित समुच्चय डेडेकाइंड-अनंत हो, उदाहरण के लिए पूर्णांक।

संदर्भ

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Dedekind-unendlich