पी-एडिक हॉज सिद्धांत

गणित में, पी-एडिक हॉज थ्योरी एक सिद्धांत है जो गैलोज प्रतिनिधित्व को वर्गीकृत और अध्ययन करने का एक तरीका प्रदान करता है। अवशिष्ट विशेषता p के साथ (जैसे p-adic number|'Q'p). सिद्धांत की शुरुआत जीन पियरे सेरे  और जॉन टेट (गणितज्ञ) के एबेलियन किस्म के टेट मॉड्यूल के अध्ययन और हॉज-टेट प्रतिनिधित्व की धारणा से हुई है। हॉज-टेट अभ्यावेदन हॉज अपघटन के अनुरूप पी-एडिक सह-समरूपता सिद्धांतों के कुछ अपघटन से संबंधित हैं, इसलिए नाम पी-एडिक हॉज सिद्धांत है। आगे के घटनाक्रम बीजगणितीय विविधता के ईटेल कोहोलॉजी से उत्पन्न होने वाले पी-एडिक गैलोइस अभ्यावेदन के गुणों से प्रेरित थे। जीन-मार्क फॉनटेन ने क्षेत्र की कई बुनियादी अवधारणाओं को पेश किया।

पी-एडिक अभ्यावेदन का सामान्य वर्गीकरण
बता दें कि K विशेषता p के अवशेष क्षेत्र k के साथ एक स्थानीय क्षेत्र है। इस लेख में, K (या G का एक p-adic प्रतिनिधित्व)K, K का पूर्ण गैलोज़ समूह) एक निरंतर (गणित) प्रतिनिधित्व ρ : G होगाK→ जीएल (वी), जहां वी 'क्यू' पर परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष हैp. K के सभी p-adic अभ्यावेदन का संग्रह एक एबेलियन श्रेणी को निरूपित करता है $$\mathrm{Rep}_{\mathbf{Q}_p}(K)$$ इस आलेख में। पी-एडिक हॉज सिद्धांत पी-एडिक अभ्यावेदन के उप-संग्रह प्रदान करता है कि वे कितने अच्छे हैं, और रैखिक बीजगणितीय वस्तुओं की श्रेणियों के लिए वफादार फ़ैक्टर भी प्रदान करते हैं जो कि अध्ययन करना आसान है। मूल वर्गीकरण इस प्रकार है:
 * $$\operatorname{Rep}_\mathrm{cris}(K)\subsetneq\operatorname{Rep}_{st}(K) \subsetneq \operatorname{Rep}_{dR}(K)\subsetneq \operatorname{Rep}_{HT}(K) \subsetneq \operatorname{Rep}_{\mathbf{Q}_p}(K)$$

जहां प्रत्येक संग्रह एक पूर्ण उपश्रेणी है जो ठीक से अगले में निहित है। क्रम में, ये क्रिस्टलीय अभ्यावेदन, अर्धस्थिर अभ्यावेदन, डी राम अभ्यावेदन, हॉज-टेट अभ्यावेदन और सभी पी-एडिक निरूपण की श्रेणियां हैं। इसके अलावा, अभ्यावेदन की दो अन्य श्रेणियां पेश की जा सकती हैं, संभावित क्रिस्टलीय अभ्यावेदन प्रतिनिधिpcris(के) और संभावित अर्धस्थिर अभ्यावेदन प्रतिनिधिpst(क)। उत्तरार्द्ध में सख्ती से पूर्व शामिल है जो बदले में आम तौर पर सख्ती से निरसित होता हैcris(क); इसके अतिरिक्त, प्रतिनिधिpst(के) आम तौर पर सख्ती से निरसित होता हैst(के), और निरसित में निहित हैdR(K) (समानता के साथ जब K का अवशिष्ट क्षेत्र परिमित है, एक कथन जिसे p-adic monodromy theorem|p-adic monodromy theorem कहा जाता है)।

अंकगणितीय ज्यामिति में आवर्त वलय और समरूपता की तुलना
फॉनटेन द्वारा पेश किए गए पी-एडिक हॉज सिद्धांत की सामान्य रणनीति, कुछ तथाकथित 'पीरियड रिंग्स' का निर्माण करना है। जैसे कि पी-एडिक काल की अंगूठी | बीdR, सेमीस्टेबल अवधियों का वलय|बीst, क्रिस्टलीय अवधियों का वलय|बीcris, और हॉज-टेट अवधियों की अंगूठी|बीHTजिसमें G द्वारा समूह क्रिया (गणित) दोनों हैंKऔर कुछ रेखीय बीजगणितीय संरचना और तथाकथित 'डाययूडोने मॉड्यूल' पर विचार करने के लिए
 * $$D_B(V)=(B\otimes_{\mathbf{Q}_p}V)^{G_K}$$

(जहाँ B एक अवधि वलय है, और V एक p-adic प्रतिनिधित्व है) जिसमें अब G नहीं हैK-कार्रवाई, लेकिन रिंग बी से विरासत में मिली रैखिक बीजगणितीय संरचनाओं से संपन्न हैं। विशेष रूप से, वे निश्चित क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान हैं $$E:=B^{G_K}$$. यह निर्माण बी-स्वीकार्य प्रतिनिधित्व की औपचारिकता में फिट बैठता है | फॉनटेन द्वारा शुरू किए गए बी-स्वीकार्य प्रतिनिधित्व। एक अवधि के लिए पूर्वोक्त बी की तरह रिंग करें∗ (∗ = HT, dR, st, cris) के लिए, p-adic अभ्यावेदन प्रतिनिधि की श्रेणी∗(के) ऊपर वर्णित बी-स्वीकार्य प्रतिनिधित्व की श्रेणी है। बी∗-स्वीकार्य वाले, यानी वे पी-एडिक अभ्यावेदन वी जिसके लिए
 * $$\dim_ED_{B_\ast}(V)=\dim_{\mathbf{Q}_p}V$$

या, समकक्ष, बी-स्वीकार्य प्रतिनिधित्व
 * $$\alpha_V:B_\ast\otimes_ED_{B_\ast}(V)\longrightarrow B_\ast \otimes_{\mathbf{Q}_p}V$$

एक समरूपता है।

यह औपचारिकता (और नाम की अवधि की अंगूठी) अंकगणितीय ज्यामिति और जटिल ज्यामिति में तुलनात्मक समरूपता के संबंध में कुछ परिणामों और अनुमानों से बढ़ी है:
 * यदि एक्स 'जटिल संख्या' पर एक उचित आकारिकी चिकनी आकारिकी योजना (गणित) है, तो 'सी' पर एक्स के बीजगणितीय डी रम कोहोलॉजी और एक्स ('सी') के एकवचन कोहोलॉजी के बीच एक शास्त्रीय तुलना समरूपता है।
 * $$H^\ast_{\mathrm{dR}}(X/\mathbf{C})\cong H^\ast(X(\mathbf{C}),\mathbf{Q})\otimes_\mathbf{Q}\mathbf{C}.$$
 * इस समरूपता को बीजगणितीय डी राम कोहोलॉजी में अभिन्न अंतर रूपों द्वारा प्राप्त एक जोड़ी पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है, जो एकवचन कोहोलॉजी में बीजगणितीय चक्र पर होता है। इस तरह के एकीकरण के परिणाम को अवधियों का वलय कहा जाता है और यह आम तौर पर एक सम्मिश्र संख्या होती है। यह बताता है कि एकवचन कोहोलॉजी को स्केलर्स का सी तक विस्तार क्यों होना चाहिए, और इस दृष्टिकोण से, सी को एकवचन कोहोलॉजी के साथ बीजगणितीय डी रम कोहोलॉजी की तुलना करने के लिए आवश्यक सभी अवधियों को समाहित करने के लिए कहा जा सकता है, और इसलिए इसे पीरियड रिंग कहा जा सकता है। यह स्थिति।


 * मध्य साठ के दशक में, टेट ने अनुमान लगाया बीजगणितीय डी रम कोहोलॉजी और पी-एडिक एटले कोहोलॉजी (हॉज-टेट अनुमान, जिसे सी भी कहा जाता है) के बीच एक समान आइसोमोर्फिज्म उचित चिकनी योजनाओं एक्स ओवर के के लिए होना चाहिए।HT). विशेष रूप से, चलो सीK K के एक बीजगणितीय समापन का पूर्ण (टोपोलॉजी) होना, 'C'K(मैं) निरूपित 'सी'K जहां जी की कार्रवाईKg·z = χ(g) के माध्यम से हैig·z (जहाँ χ साइक्लोटॉमिक कैरेक्टर है|p-adic साइक्लोटॉमिक कैरेक्टर है, और i एक पूर्णांक है), और मान लीजिए $$B_{\mathrm{HT}}:=\oplus_{i\in\mathbf{Z}}\mathbf{C}_K(i)$$. फिर एक क्रियात्मक समरूपता है
 * $$B_{\mathrm{HT}}\otimes_K\mathrm{gr}H^\ast_{\mathrm{dR}}(X/K)\cong B_{\mathrm{HT}}\otimes_{\mathbf{Q}_p}H^\ast_{\mathrm{\acute{e}t}}(X\times_K\overline{K},\mathbf{Q}_p)$$
 * जी के साथ वर्गीकृत वेक्टर रिक्त स्थानK-कार्रवाई (डी रम कोहोलॉजी हॉज निस्पंदन  से लैस है, और $$\mathrm{gr}H^\ast_{\mathrm{dR}}$$ इसकी संबद्ध श्रेणीबद्ध है)। अस्सी के दशक के उत्तरार्ध में गर्ड फाल्टिंग्स द्वारा इस अनुमान को सिद्ध किया गया था कई अन्य गणितज्ञों (स्वयं टेट सहित) द्वारा आंशिक परिणामों के बाद।


 * पी-एडिक क्षेत्र के पर अच्छी कमी के साथ एक एबेलियन किस्म एक्स के लिए, अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने टेट के एक प्रमेय को यह कहने के लिए सुधारा कि क्रिस्टलीय कोहोलॉजी एच1(X/W(k)) ⊗ 'Q'p विशेष फाइबर के (इस समूह पर फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म के साथ और इस समूह पर हॉज फिल्ट्रेशन के साथ तनावग्रस्त) और पी-एडिक एटले कोहोलॉजी एच1(एक्स,'क्यू'p) (K के Galois समूह की कार्रवाई के साथ) में समान जानकारी थी। दोनों बरसोटी-टेट समूह के बराबर हैं | एक्स से संबंधित पी-विभाज्य समूह, आइसोजेनी तक। ग्रोथेंडिक ने अनुमान लगाया कि पी-एडिक एटेल कोहोलॉजी से क्रिस्टलीय कोहोलॉजी (और पीछे) तक सीधे जाने का एक तरीका होना चाहिए, पी-एडिक क्षेत्रों पर अच्छी कमी के साथ सभी किस्मों के लिए। यह सुझाया गया संबंध रहस्यमय कारक के रूप में जाना जाने लगा।

हॉज-टेट अनुमान को डी रम कोहोलॉजी (न केवल इसके संबद्ध ग्रेडेड) से जुड़े एक में सुधार करने के लिए, फॉनटेन ने निर्माण किया एक फिल्ट्रेशन (गणित) रिंग BdR जिसका संबद्ध ग्रेड बी हैHT और अनुमान लगाया निम्नलिखित (कहा जाता है सीdR) K के ऊपर किसी भी सुचारू उचित योजना X के लिए
 * $$B_{\mathrm{dR}}\otimes_KH^\ast_{\mathrm{dR}}(X/K)\cong B_{\mathrm{dR}}\otimes_{\mathbf{Q}_p}H^\ast_{\mathrm{\acute{e}t}}(X\times_K\overline{K},\mathbf{Q}_p)$$

जी के साथ फ़िल्टर किए गए वेक्टर रिक्त स्थान के रूप मेंK-कार्य। इस प्रकार, बीdR कहा जा सकता है कि सभी (पी-एडिक) अवधियों को पी-एडिक एटले कोहोलॉजी के साथ बीजगणितीय डे राम कोहोलॉजी की तुलना करने की आवश्यकता होती है, जैसे उपरोक्त जटिल संख्याएं एकवचन कोहोलॉजी के साथ तुलना के साथ उपयोग की जाती हैं। यहीं पर बीdR p-adic काल के वलय का अपना नाम प्राप्त करता है।

इसी तरह, ग्रोथेंडिक के रहस्यमय फ़ंक्टर की व्याख्या करने के लिए एक अनुमान तैयार करने के लिए, फॉनटेन ने एक रिंग बी पेश कियाcris जी के साथK-कार्रवाई, एक फ्रोबेनियस φ, और K से अदिशों के विस्तार के बाद एक निस्पंदन0 के। उन्होंने अनुमान लगाया निम्नलिखित (कहा जाता है सीcris) अच्छी कमी के साथ K के ऊपर किसी भी सुचारू उचित योजना X के लिए
 * $$B_{\mathrm{cris}}\otimes_{K_0}H^\ast_{\mathrm{dR}}(X/K)\cong B_{\mathrm{cris}}\otimes_{\mathbf{Q}_p}H^\ast_{\mathrm{\acute{e}t}}(X\times_K\overline{K},\mathbf{Q}_p)$$

φ-कार्रवाई के साथ सदिश समष्टियों के रूप में, GK-एक्शन, और फिल्ट्रेशन स्केलर्स को K तक विस्तारित करने के बाद (यहाँ $$H^\ast_{\mathrm{dR}}(X/K)$$ K के रूप में इसकी संरचना दी गई है0-सदिश अंतरिक्ष के साथ φ-कार्रवाई क्रिस्टलीय कोहोलॉजी के साथ इसकी तुलना द्वारा दी गई है)। दोनों सीdR और सीcris फाल्टिंग द्वारा अनुमान सिद्ध किए गए थे। बी की धारणा के साथ इन दो अनुमानों की तुलना करने पर∗उपरोक्त स्वीकार्य अभ्यावेदन, यह देखा गया है कि यदि X K (अच्छी कमी के साथ) पर एक उचित चिकनी योजना है और V p-adic Galois प्रतिनिधित्व है जैसा कि इसका ith p-adic étale cohomology समूह है, तो
 * $$D_{B_\ast}(V)=H^i_{\mathrm{dR}}(X/K).$$

दूसरे शब्दों में, डायडोने मॉड्यूल को वी से संबंधित अन्य कोहोलॉजी देने के बारे में सोचा जाना चाहिए।

अस्सी के दशक के अंत में, फॉनटेन और उवे जैनसेन ने एक और तुलना समरूपतावाद अनुमान तैयार किया, सीst, इस बार X को अर्ध-स्थिर कमी  की अनुमति देता है। फॉन्टेन का निर्माण किया एक अंगूठी बीst जी के साथK-एक्शन, एक फ्रोबेनियस φ, के से स्केलर को विस्तारित करने के बाद एक निस्पंदन0 से K (और p-adic लघुगणक | p-adic लघुगणक का विस्तार तय करना), और एक मोनोड्रोमी ऑपरेटर N। जब X में अर्ध-स्थिर कमी होती है, तो de Rham कोहोलॉजी को φ-क्रिया और एक मोनोड्रोमी ऑपरेटर से सुसज्जित किया जा सकता है। ओसामु ह्योडो द्वारा पहली बार पेश किए गए लॉग-क्रिस्टलीय कोहोलॉजी के साथ इसकी तुलना। अनुमान तब कहता है
 * $$B_{\mathrm{st}}\otimes_{K_0}H^\ast_{\mathrm{dR}}(X/K)\cong B_{\mathrm{st}}\otimes_{\mathbf{Q}_p}H^\ast_{\mathrm{\acute{e}t}}(X\times_K\overline{K},\mathbf{Q}_p)$$

φ-कार्रवाई के साथ सदिश समष्टियों के रूप में, GK-कार्रवाई, स्केलर को K तक विस्तारित करने के बाद फिल्ट्रेशन, और मोनोड्रोमी ऑपरेटर N. यह अनुमान नब्बे के दशक के उत्तरार्ध में ताकेशी सूजी द्वारा सिद्ध किया गया था।

यह भी देखें

 * हॉज सिद्धांत
 * अरकेलोव सिद्धांत
 * हॉज-अराकेलोव सिद्धांत
 * p-adic Teichmüller सिद्धांत

माध्यमिक स्रोत


श्रेणी:बीजगणितीय संख्या सिद्धांत श्रेणी:गैलोइस सिद्धांत श्रेणी:समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत श्रेणी:हॉज सिद्धांत श्रेणी:अंकगणित ज्यामिति