ग्रासमैन संख्या

गणितीय भौतिकी में, हरमन ग्रासमैन के नाम पर ग्रासमान संख्या (जिसे एंटीकम्यूटिंग संख्या या सुपरसंख्या भी कहा जाता है), जटिल संख्याओं पर बाहरी बीजगणित का तत्व है। आयामी बीजगणित के विशेष स्थिति को दोहरी संख्या के रूप में जाना जाता है। ग्रासमैन संख्याों ने भौतिक विज्ञान में प्रारंभिक उपयोग देखा, जो फर्मीओनिक क्षेत्रों के लिए पथ अभिन्न सूत्रीकरण को व्यक्त करता है, चूंकि अब वे व्यापक रूप से सुपरस्पेस के लिए नींव के रूप में उपयोग किए जाते हैं, जिस पर सुपरसिमेट्री का निर्माण किया जाता है।

अनौपचारिक चर्चा
ग्रासमैन संख्याएं विरोधी आने वाले तत्वों या वस्तुओं द्वारा उत्पन्न होती हैं। एंटी-कम्यूटिंग वस्तुओं का विचार गणित के कई क्षेत्रों में उत्पन्न होता है: वे सामान्यतः अंतर ज्यामिति में देखे जाते हैं, जहां डिफरेंशियल फॉर्म एंटी-कम्यूटिंग होते हैं। विभेदक रूपों को सामान्यतः मैनिफोल्ड डेरिवेटिव के रूप में परिभाषित किया जाता है; चूँकि, कोई उस स्थिति पर विचार कर सकता है जहाँ कोई किसी भी अंतर्निहित मैनिफोल्ड के अस्तित्व को भूल जाता है या अनदेखा कर देता है, और यह भूल जाता है या अनदेखा कर देता है कि रूपों को डेरिवेटिव के रूप में परिभाषित किया गया था, और इसके अतिरिक्त, केवल ऐसी स्थिति पर विचार करें जहाँ किसी के पास ऐसी वस्तुएँ हों जो विरोधी हों, और कोई अन्य पूर्व-परिभाषित या पूर्व-अनुमानित गुण नहीं हैं। ऐसी वस्तुएं एक बीजगणित और विशेष रूप से ग्रासमैन बीजगणित या बाहरी बीजगणित बनाती हैं।

ग्रासमान संख्याएं उस बीजगणित के तत्व हैं। "संख्या" की अपील इस तथ्य से उचित है कि वे "साधारण" संख्याओं के विपरीत व्यवहार नहीं करते हैं: उन्हें जोड़ा जा सकता है, गुणा किया जा सकता है और विभाजित किया जा सकता है: वे लगभग एक क्षेत्र (गणित) की तरह व्यवहार करते हैं। अधिक किया जा सकता है: ग्रासमान संख्याओं के बहुपदों पर विचार किया जा सकता है, जिससे होलोमॉर्फिक फलन के विचार की ओर अग्रसर होता है। कोई ऐसे कार्यों के डेरिवेटिव ले सकता है, और फिर एंटी-डेरिवेटिव्स पर भी विचार कर सकता है। इन विचारों में से प्रत्येक को ध्यान से परिभाषित किया जा सकता है, और सामान्य गणित से समान अवधारणाओं के लिए यथोचित रूप से मेल खाता है। सादृश्य वहाँ नहीं रुकता: किसी के पास सुपरमैथमैटिक्स की एक पूरी शाखा होती है, जहाँ यूक्लिडियन स्पेस का एनालॉग सुपरस्पेस है, मैनिफोल्ड का एनालॉग सुपरमैनिफ़ोल्ड है, लाइ बीजगणित का एनालॉग लाइ सुपरएलजेब्रा है और इसी तरह। ग्रासमैन संख्याएं अंतर्निहित निर्माण हैं जो यह सब संभव बनाती हैं।

बेशक, कोई भी किसी अन्य क्षेत्र, या यहां तक ​​कि रिंग (गणित) के लिए इसी तरह के कार्यक्रम का अनुसरण कर सकता है, और यह वास्तव में व्यापक रूप से और सामान्यतः गणित में किया जाता है। चूंकि, सुपरमैथमैटिक्स भौतिकी में विशेष महत्व रखता है, क्योंकि एंटी-कम्यूटिंग व्यवहार को फर्मों के क्वांटम-मैकेनिकल व्यवहार के साथ दृढ़ता से पहचाना जा सकता है: पाउली अपवर्जन सिद्धांत का एंटी-कम्यूटेशन है। इस प्रकार, ग्रासमान संख्याओं और सुपरमैथमैटिक्स का अध्ययन, सामान्य रूप से, भौतिकी में उनकी उपयोगिता द्वारा दृढ़ता से संचालित होता है।

विशेष रूप से, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, या अधिक संकीर्ण रूप से, दूसरा परिमाणीकरण, सीढ़ी ऑपरेटरों के साथ काम करता है जो बहु-कण क्वांटम राज्य बनाते हैं। फ़र्मियन्स के लिए सीढ़ी संचालक क्षेत्र क्वांटा बनाते हैं जिसमें आवश्यक रूप से एंटी-सिमेट्रिक तरंग क्रिया होने चाहिए, क्योंकि यह पाउली अपवर्जन सिद्धांत द्वारा विवश है। इस स्थिति में, ग्रासमान संख्या तत्काल और सीधे तरंग समारोह से मेल खाती है जिसमें कुछ (सामान्यतः अनिश्चित) संख्याएं होती हैं।

जब फ़र्मियों की संख्या निश्चित और परिमित होती है, तो स्पिन समूह के माध्यम से एंटीकोमुटेशन संबंधों और स्पिनरों के बीच स्पष्ट संबंध दिया जाता है। इस समूह को क्लिफोर्ड बीजगणित में इकाई-लंबाई वाले वैक्टर के सबसेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, और स्वाभाविक रूप से एंटी-कम्यूटिंग वेइल स्पिनर्स में कारक होता है। विरोधी रूपांतरण और स्पिनर्स के रूप में अभिव्यक्ति स्पिन समूह के लिए स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है। संक्षेप में, ग्रासमैन संख्याों को स्पिन से उत्पन्न होने वाले रिश्तों को छोड़ने और केवल एंटी-कम्यूटेशन के कारण रिश्तों को रखने के बारे में सोचा जा सकता है।

सामान्य विवरण और गुण
ग्रासमैन संख्याएँ व्यक्तिगत तत्व या बाहरी बीजगणित जनरेटर (गणित) के बिंदु हैं जो $n$ ग्रासमैन चर या ग्रासमैन दिशाओं या अत्यधिक प्रभावकारी $$\{\theta_i\}$$, के एक सेट द्वारा उत्पन्न होते हैं, जिसमें $n$ संभवतः अनंत है। ग्रासमान चर शब्द का उपयोग ऐतिहासिक है; वे चर नहीं हैं, किन्तु; उन्हें इकाई बीजगणित के आधार तत्वों के रूप में उत्तम समझा जाता है। शब्दावली इस तथ्य से आती है कि प्राथमिक उपयोग अभिन्न को परिभाषित करना है, और यह कि एकीकरण का चर ग्रासमैन-मूल्यवान है, और इस प्रकार, भाषा के दुरुपयोग से, ग्रासमैन चर कहा जाता है। इसी तरह, दिशा की धारणा सुपरस्पेस की धारणा से आती है, जहां सामान्य यूक्लिडियन स्थान को अतिरिक्त ग्रासमैन-मूल्यवान दिशाओं के साथ विस्तारित किया जाता है। आवेश का पदनाम आवेश (भौतिकी) की धारणा से आता है, जो भौतिक समरूपता के जनक (नोएदर के प्रमेय के माध्यम से) के अनुरूप है। कथित समरूपता यह है कि एकल ग्रासमैन चर द्वारा गुणन $$\mathbb{Z}_2$$ फर्मीऑन और बोसोन के बीच ग्रेडिंग को स्वैप करता है; इस पर नीचे और अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

ग्रासमैन चर सदिश स्थान (आयाम $n$ के) के आधार वैक्टर है। वे क्षेत्र पर बीजगणित बनाते हैं, सामान्यतः क्षेत्र को जटिल संख्या के रूप में लिया जाता है, चूंकि कोई अन्य क्षेत्रों पर विचार कर सकता है, जैसे कि वास्तविक। बीजगणित इकाई बीजगणित है, और जेनरेटर विरोधी यात्रा कर रहे हैं:


 * $$\theta_i \theta_j = -\theta_j \theta_i$$

के बाद से $$\theta_i$$ जटिल संख्याओं पर सदिश स्थान के तत्व हैं, परिभाषा के अनुसार, वे जटिल संख्याओं के साथ आवागमन करते हैं। यानी कॉम्प्लेक्स के लिए $x$, किसी के पास


 * $$\theta_i x = x \theta_i.$$

जेनरेटर के वर्ग लुप्त हो जाते हैं:


 * $$(\theta_i)^2 = 0,$$ तब से $$\theta_i \theta_i = -\theta_i \theta_i.$$

दूसरे शब्दों में, ग्रासमैन वैरिएबल शून्य का गैर-शून्य वर्गमूल है।

औपचारिक परिभाषा
औपचारिक रूप से, $V$ को $$\theta_i, i=1,\ldots,n$$ के आधार पर एक $n$-आयामी जटिल सदिश स्थान होने दें। ग्रासमैन बीजगणित जिसका ग्रासमैन चर $$\theta_i, i=1,\ldots,n$$ हैं, को $V$ के बाहरी बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\Lambda(V) = \mathbb{C} \oplus V \oplus \left( V \wedge V \right) \oplus \left( V\wedge V \wedge V \right) \oplus \cdots \oplus \underbrace{\left( V\wedge V \wedge \cdots \wedge V \right)}_n \equiv \mathbb{C} \oplus \Lambda^1 V \oplus \Lambda^2 V \oplus \cdots \oplus \Lambda^n V,$$

जहाँ $$\wedge$$ बाहरी उत्पाद है और $$\oplus$$ प्रत्यक्ष योग है। इस बीजगणित के अलग-अलग तत्वों को ग्रासमान संख्या कहा जाता है। परिभाषा स्थापित होने के बाद ग्रासमैन संख्या लिखते समय वेज प्रतीक $$\wedge$$ वेज को छोड़ना मानक है। एक सामान्य ग्रासमान संख्या के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$z=c_0 + \sum_{k=1}^n \sum_{i_1,i_2,\cdots ,i_k} c_{i_1i_2\cdots i_k} \theta_{i_1}\theta_{i_2}\cdots\theta_{i_k} ,$$

जहाँ $$(i_1, i_2, \ldots, i_k)$$ सख्ती से बढ़ रहे हैं $k$-टुपल्स $$1 \le i_j \le n, 1 \le j \le k$$, और यह $$c_{i_1i_2\cdots i_k}$$ रैंक के जटिल, पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक टेंसर $k$ हैं. फिर से, $$\theta_i$$, और यह $$\theta_i \wedge \theta_j = \theta_i \theta_j$$ (का विषय है $$i < j$$), और बड़े परिमित उत्पादों को यहां उप-स्थानों के आधार वैक्टर $$\Lambda$$ की भूमिका निभाने के लिए देखा जा सकता है.

ग्रासमैन बीजगणित द्वारा उत्पन्न $n$ रैखिक रूप से स्वतंत्र ग्रासमैन चर का आयाम $2^{n}$ है; यह उपरोक्त योग पर प्रायुक्त द्विपद प्रमेय से आता है, और तथ्य यह है कि (n + 1) चर के गुना उत्पाद को उपरोक्त एंटी-कम्यूटेशन संबंधों से लुप्त होना चाहिए। $$\Lambda^k V$$ का आयाम $n$ चयन $k$ द्विपद गुणांक द्वारा दिया गया है। का विशेष स्थिति $n = 1$ को दोहरी संख्या कहा जाता है, और 1873 में विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

यदि $V$ अनंत-आयामी है, उपरोक्त श्रृंखला समाप्त नहीं होती है और परिभाषित करती है


 * $$\Lambda_\infty(V) = \mathbb{C} \oplus \Lambda^1 V \oplus \Lambda^2 V \oplus \cdots.$$

सामान्य तत्व अब है


 * $$z=\sum_{k=0}^\infty \sum_{i_1,i_2,\cdots ,i_k} \frac{1}{k!}c_{i_1i_2\cdots i_k} \theta_{i_1}\theta_{i_2}\cdots\theta_{i_k} \equiv z_B + z_S = z_B + \sum_{k=1}^\infty \sum_{i_1,i_2,\cdots ,i_k} \frac{1}{k!}c_{i_1i_2\cdots i_k} \theta_{i_1}\theta_{i_2}\cdots\theta_{i_k},$$

जहाँ $$z_B$$ को कभी-कभी पिंड और $$z_S$$ को सुपरसंख्या $$z$$ की आत्मा के रूप में संदर्भित किया जाता है।

गुण
परिमित-आयामी स्थिति में (उसी शब्दावली का उपयोग करते हुए) आत्मा शून्य है, अर्थात।


 * $$z_S^{n+1} = 0,$$

किन्तु अनंत-आयामी स्थिति में ऐसा आवश्यक नहीं है।

यदि $V$ परिमित-आयामी है, तब


 * $$\theta_iz = 0, \quad 1 \le i \le n \Rightarrow z = c\theta_1\theta_2\cdots\theta_n, \quad c \in \mathbb C,$$

और यदि $V$ अनंत-आयामी है
 * $$\theta_az = 0 \quad \forall a \Rightarrow z = 0.$$

परिमित बनाम जनरेटर के गणनीय सेट
सामान्यतः साहित्य में दो अलग-अलग प्रकार के सुपरसंख्या दिखाई देते हैं: जिनमें जेनरेटर की एक सीमित संख्या होती है, सामान्यतः $n$ = 1, 2, 3 या 4, और वे जो जेनरेटर की गिनती-अनंत संख्या के साथ होते हैं। ये दो स्थितियाँ उतनी असंबंधित नहीं हैं जितनी पहली नज़र में लग सकती हैं। सबसे पहले, सुपरमैनिफोल्ड की परिभाषा में, संस्करण जनरेटर की गिनती-असीमित संख्या का उपयोग करता है, किन्तु फिर टोपोलॉजी को नियोजित करता है जो आयाम को छोटी परिमित संख्या में प्रभावी रूप से कम कर देता है।

दूसरे स्थिति में, कोई जनरेटर की सीमित संख्या के साथ प्रारंभ कर सकता है, किन्तु दूसरी परिमाणीकरण के समय, अनंत संख्या में जनरेटर की आवश्यकता उत्पन्न होती है: प्रत्येक संभावित गति के लिए जो कि फ़र्मियन ले सकता है।

इनवोल्यूशन, क्षेत्र का चुनाव
जटिल संख्याओं को सामान्यतः ग्रासमैन संख्याओं की परिभाषा के लिए क्षेत्र के रूप में चुना जाता है, जो वास्तविक संख्याओं के विपरीत होती है, क्योंकि यह कुछ अजीब व्यवहारों से बचा जाता है जब संयुग्मन या समावेशन (गणित) प्रस्तुत किया जाता है। ग्रासमैन संख्याों पर ऑपरेटर * का परिचय देना सामान्य है जैसे कि:
 * $$\theta=\theta^*$$

कब $$\theta$$ जनरेटर है, और ऐसा है
 * $$(\theta_i\theta_j\cdots\theta_k)^* = \theta_k\cdots \theta_j\theta_i$$

इसके बाद ग्रासमैन संख्या z पर विचार किया जा सकता है $$z=z^*$$, और इन्हें (सुपर) वास्तविक कहते हैं, जबकि जो $$z^*=-z$$ का पालन करते हैं उन्हें (सुपर) काल्पनिक कहा जाता है। ये परिभाषाएँ ठीक से चलती हैं, किन्तु ग्रासमैन संख्याएँ वास्तविक संख्याओं को आधार क्षेत्र के रूप में उपयोग करती हैं; चूँकि, ऐसे स्थिति में, कई गुणांक लुप्त होने के लिए विवश हो जाते हैं यदि जनरेटर की संख्या 4 से कम है। इस प्रकार, सम्मेलन द्वारा, ग्रासमान संख्या सामान्यतः जटिल संख्याओं पर परिभाषित की जाती है।

अन्य सम्मेलन संभव हैं; उपरोक्त को कभी-कभी डेविट परिपाटी के रूप में संदर्भित किया जाता है; रोजर्स सम्मिलित होने के लिए $$\theta^*=i\theta$$ का प्रयोग करते हैं इस परिपाटी में, वास्तविक सुपरसंख्याों में हमेशा वास्तविक गुणांक होते हैं; जबकि डेविट परिपाटी में, वास्तविक सुपरसंख्याों में वास्तविक और काल्पनिक दोनों गुणांक हो सकते हैं। इसके अतिरिक्त, सामान्यतः डेविट परिपाटी के साथ काम करना सबसे आसान होता है।

विश्लेषण
ग्रासमैन वैरिएबल की विषम संख्या के उत्पाद एक-दूसरे के साथ एंटी-कम्यूट करते हैं; ऐसे उत्पाद को अधिकांश एक-संख्या कहा जाता है। ग्रासमैन वैरिएबल्स की सम संख्या वाले उत्पाद कम्यूट (सभी ग्रासमैन संख्याों के साथ); उन्हें अधिकांश c-संख्या कहा जाता है। शब्दावली के दुरुपयोग से, a-संख्या को कभी-कभी एंटीकम्यूटिंग c-संख्या कहा जाता है। सम और विषम उपस्थानों में यह अपघटन प्रदान करता है $$\mathbb{Z}_2$$ बीजगणित पर वर्गीकृत (गणित); इस प्रकार ग्रासमैन बीजगणित सुपरकम्यूटेटिव बीजगणित के प्रोटोटाइपिक उदाहरण हैं। ध्यान दें कि सी-संख्या का सबलजेब्रा $$\Lambda$$बनाते हैं, किन्तु a-संख्या (वे सबस्पेस हैं, सबलजेब्रा नहीं) नहीं हैं।

ग्रासमैन संख्या की परिभाषा जटिल संख्याओं पर विश्लेषण के अनुरूप गणितीय विश्लेषण करने की अनुमति देती है। यही है, कोई सुपरहोलोमॉर्फिक फलन को परिभाषित कर सकता है, डेरिवेटिव्स को परिभाषित कर सकता है, साथ ही अभिन्नताओं को परिभाषित कर सकता है। दोहरी संख्याओं पर लेख में कुछ आधारभूत अवधारणाओं को अधिक विस्तार से विकसित किया गया है।

सामान्य नियम के रूप में, सामान्य गणितीय संस्थाओं के सुपर-सममित एनालॉग्स को परिभाषित करना सामान्यतः आसान होता है, जिसमें ग्रासमैन संख्याों के साथ जनरेटर की अनंत संख्या के साथ काम किया जाता है: अधिकांश परिभाषाएँ सीधी हो जाती हैं, और संबंधित बोसोनिक परिभाषाओं से ली जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, एकल ग्रासमान संख्या को आयामी स्थान उत्पन्न करने के बारे में सोचा जा सकता है। एक सदिश स्थान, $m$-आयामी सुपरस्पेस, फिर इन एक-आयामी $$\Lambda$$ के $m$-गुना निर्देशांक उत्पाद के रूप में प्रकट होता है। यह दिखाया जा सकता है कि यह अनिवार्य रूप से बीजगणित $m$ जनरेटर के बराबर है, किन्तु इसके लिए काम की आवश्यकता है।

स्पिनर स्पेस
स्पिनर स्पेस को ग्रासमैन या बाहरी बीजगणित $$\textstyle{\bigwedge} W$$ वेइल स्पिनर्स $$W$$ (और विरोधी स्पिनर $$\overline{W}$$) के स्पेस के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि n fermions के तरंग फलन $$\textstyle{\bigwedge}^n W$$ संबंधित हैं.

एकीकरण
ग्रासमैन संख्याओं पर समाकलन को बेरेज़िन समाकलन (कभी-कभी ग्रासमान समाकल कहा जाता है) के रूप में जाना जाता है। फर्मी क्षेत्र के लिए अभिन्न पथ को पुन: प्रस्तुत करने के लिए, ग्रासमैन एकीकरण की परिभाषा में निम्नलिखित गुणों की आवश्यकता है:

इसके अतिरिक्त, टेलर किसी भी फलन $$f(\theta)=A+B\theta$$ का विस्तार करता है दो शर्तों के बाद समाप्त हो जाता है क्योंकि $$\theta^2=0$$, और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को अतिरिक्त रूप से एकीकरण चर $$\theta\to\theta+\eta$$ के बदलाव के अनुसार इनवेरियन की आवश्यकता होती है जैसे कि
 * रैखिकता $$\int\,[a f(\theta) + b g(\theta) ]\, d\theta = a \int\,f(\theta)\, d\theta + b \int\,g(\theta)\, d\theta $$
 * आंशिक एकीकरण सूत्र $$\int \left[\frac{\partial}{\partial\theta}f(\theta)\right]\, d\theta = 0. $$


 * $$\int d\theta f(\theta)=\int d\theta (A+B\theta) \equiv \int d\theta((A+B\eta)+B\theta).$$

इस स्थिति को संतुष्ट करने वाला एकमात्र रैखिक कार्य स्थिर (पारंपरिक रूप से 1) बार है $B$, इसलिए बेरेज़िन ने परिभाषित किया
 * $$\int d\theta (A+B\theta) \equiv B.$$

इसका परिणाम ग्रासमान मात्रा के एकीकरण के लिए निम्नलिखित नियमों में होता है:

इस प्रकार हम निष्कर्ष निकालते हैं कि ग्रासमैन संख्या के एकीकरण और विभेदन के संचालन समान हैं।
 * $$\int\, 1\, d\theta = 0$$
 * $$\int\, \theta\, d\theta = 1.$$

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पथ इंटीग्रल फॉर्मूलेशन में ग्रासमैन मात्रा के निम्नलिखित गॉसियन अभिन्न की आवश्यकता होती है, जो फर्मीओनिक एंटीकॉम्यूटिंग क्षेत्र्स के लिए आवश्यक है, जिसमें A N × N आव्यूहों है:


 * $$\int \exp\left[-\theta^{\rm T}A\eta\right] \,d\theta\,d\eta = \det A $$.

परिपाटी और जटिल एकीकरण
एकाधिक ग्रासमान संख्याओं को एकीकृत करते समय अस्पष्टता उत्पन्न होती है। अंतरतम अभिन्न प्रथम उत्पादन करने वाला सम्मेलन


 * $$\int d\theta \int d\eta\; \eta\theta = +1.$$

कुछ लेखक संचालकों के हर्मिटियन संयुग्मन के समान जटिल संयुग्मन को भी परिभाषित करते हैं,
 * $$(\theta\eta)^*\equiv \eta^*\theta^* = -\theta^*\eta^*.$$

अतिरिक्त सम्मेलन के साथ


 * $$\theta=\frac{\theta_1+i\theta_2}{\sqrt 2},\quad \theta^*=\frac{\theta_1-i\theta_2}{\sqrt 2},$$

हम $θ$ और $θ*$ को स्वतंत्र ग्रासमान संख्या के रूप में मान सकते हैं, और अपना सकते हैं


 * $$\int d\theta^* d\theta\, (\theta\theta^*)=1.$$

इस प्रकार गॉसियन अभिन्न मूल्यांकन करता है


 * $$\int d\theta^* d\theta\, e^{-\theta^* b \theta} = \int d\theta^* d\theta\, (1 -\theta^* b \theta) = \int d\theta^* d\theta\, (1+\theta\theta^* b) = b$$

और का अतिरिक्त कारक $θθ*$ प्रभावी रूप से के कारक का परिचय देता है $(1/b)$, साधारण गाऊसी की तरह,


 * $$\int d\theta^* d\theta\, \theta\theta^*\, e^{-\theta^* b \theta} = 1.$$

एकात्मकता साबित करने के बाद, हम हर्मिटियन आव्यूहों से जुड़े सामान्य गॉसियन इंटीग्रल का मूल्यांकन कर सकते हैं $B$ eigenvalues ​​​​के साथ $b_{i}$,
 * $$\left(\prod_i \int d\theta_i^* \,d\theta_i \right) e^{-\theta_i^*B_{ij}\theta_j} = \left(\prod_i \int d\theta_i^* \, d\theta_i \right) e^{-\theta_i^*b_i\theta_i} = \prod_i b_i = \det B.$$

आव्यूहों प्रतिनिधित्व
ग्रासमान संख्या को आव्यूहों (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, दो ग्रासमान संख्याओं $$\theta_1$$ और $$\theta_2$$ द्वारा उत्पन्न ग्रासमान बीजगणित पर विचार करें। इन ग्रासमान संख्याओं को 4×4 आव्यूहों द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है:


 * $$\theta_1 = \begin{bmatrix}

0 & 0 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}\qquad \theta_2 = \begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 1&0&0&0\\ 0&-1&0&0 \end{bmatrix}\qquad \theta_1\theta_2 = -\theta_2\theta_1 = \begin{bmatrix} 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 0&0&0&0\\ 1&0&0&0 \end{bmatrix}. $$ सामान्यतः, एन जनरेटर पर ग्रासमैन बीजगणित को 2n × 2n वर्ग आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है। भौतिक रूप से, इन आव्यूहों को व्यवसाय संख्या के आधार पर हिल्बर्ट अंतरिक्ष के n समरूप फर्मों पर कार्य करने वाले संचालकों के उत्थान के रूप में सोचा जा सकता है। चूंकि प्रत्येक फ़र्मियन के लिए व्यवसाय संख्या 0 या 1 है, इसलिए 2n संभावित आधार अवस्थाएँ हैं। गणितीय रूप से, इन आव्यूहों की व्याख्या ग्रासमैन बीजगणित पर बाएँ बाहरी गुणन के अनुरूप रैखिक संचालकों के रूप में की जा सकती है।

सामान्यीकरण
ग्रासमैन संख्याों के लिए कुछ सामान्यीकरण हैं। इन्हें n चर के संदर्भ में नियमों की आवश्यकता होती है जैसे कि:
 * $$ \theta_{i_1} \theta_{i_2}\cdots\theta_{i_N} + \theta_{i_N}\theta_{i_1}\theta_{i_2}\cdots +\cdots = 0$$

जहां सूचकांकों को सभी क्रमपरिवर्तनों पर अभिव्यक्त किया जाता है ताकि परिणाम के रूप में:


 * $$(\theta_i)^N = 0\,$$

कुछ N > 2 के लिए। ये N-टेंसर के हाइपरडेटरमिनेंट्स की गणना करने के लिए उपयोगी होते हैं जहां N > 2 और 2 से बड़ी घातों के लिए बहुपदों के भेदभाव की गणना के लिए भी है। सीमित स्थिति भी है क्योंकि N अनंत की ओर जाता है जिस स्थिति में कोई संख्याओं पर विश्लेषणात्मक कार्यों को परिभाषित कर सकता है। उदाहरण के लिए, N = 3 के स्थिति में एकल ग्रासमान संख्या को आव्यूहों द्वारा दर्शाया जा सकता है:


 * $$\theta = \begin{bmatrix}

0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\qquad $$ ताकि $$\theta^3=0$$. दो ग्रासमान संख्याओं के लिए आव्यूहों का आकार 10×10 होगा।

उदाहरण के लिए, दो ग्रासमैन चर वाले N = 3 के नियमों का अर्थ है:


 * $$\theta_1 (\theta_2)^2 + \theta_2 \theta_1 \theta_2 + (\theta_2)^2 \theta_1 = 0$$

ताकि यह दिखाया जा सके


 * $$ \theta_1 (\theta_2)^2 = -\frac{1}{2} \theta_2 \theta_1 \theta_2 = (\theta_2)^2 \theta_1$$

इसलिए


 * $$(\theta_1)^2(\theta_2)^2 = (\theta_2)^2(\theta_1)^2 = \theta_1(\theta_2)^2 \theta_1 = \theta_2(\theta_1)^2 \theta_2 = -\frac{1}{2} \theta_1 \theta_2 \theta_1 \theta_2 = -\frac{1}{2} \theta_2 \theta_1 \theta_2 \theta_1, $$

जो 2×2×2 टेंसर के हाइपरडेटरमिनेंट के लिए परिभाषा देता है


 * $$ (A^{abc}\theta_a\eta_b\psi_c)^4 = \det(A)(\theta_1)^2(\theta_2)^2(\eta_1)^2(\eta_2)^2(\psi_1)^2(\psi_2)^2.$$

यह भी देखें

 * ग्रासमानियन
 * हरमन ग्रासमैन (भाषाविद् और गणितज्ञ)
 * सुपरस्पेस
 * बाहरी बीजगणित

संदर्भ