आदर्श (समुच्चय सिद्धांत)

समुच्चय सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, आदर्श समुच्चय (गणित) का आंशिक क्रम संग्रह है जिसे लघु या नगण्य माना जाता है। आदर्श के तत्व का प्रत्येक उपसमुच्चय आदर्श में भी होना चाहिए (यह इस विचार को संहिताबद्ध करता है कि एक आदर्श लघुता की धारणा है), और आदर्श के किन्हीं दो तत्वों का संघ (समुच्चय सिद्धांत) भी आदर्श में होना चाहिए।

विधिवत् रूप से, X एक समुच्चय दिया है, X पर एक आदर्श I, $$X$$ के पावरसमुच्चय का एकअपरिचित गैर-रिक्त उपसमुच्चय है, जैसे कि,

कुछ लेखक चतुर्थ अनुबंध जोड़ते हुए कहते हैं कि $$X$$ स्वयं $$I$$ में  नहीं है, ऐसे अतिरिक्त गुण वाले आदर्श उचित आदर्श कहलाते हैं ।
 * 1) $$\varnothing \in I,$$
 * 2) यदि $$A \in I$$ और $$B \subseteq A,$$ तब $$B \in I,$$ और
 * 3) यदि $$A, B \in I$$ तब $$A \cup B \in I.$$

समुच्चय-सैद्धांतिक अर्थों में आदर्श ,आदेश-सैद्धांतिक अर्थों में नितांत आदर्श हैं, जहां प्रासंगिक आदेश समुच्चय समावेशन है। इसके अलावा,अंतर्निहित समुच्चय के पॉवरसमुच्चय द्वारा गठित बूलियन रिंग पर रिंग-सैद्धांतिक अर्थों में नितांत आदर्श हैं। आदर्श की दोहरी धारणा एक फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत) है।

शब्दावली
आदर्श का तत्व $$I$$,   या   बताया गया है, या यदि आदर्श $$I$$ को संदर्भ से समझा जाए, केवल   या   होगा। यदि $$I$$,$$X$$ पर आदर्श है तो $$X$$ का एक उपसमुच्चय $$I$$-सकारात्मक (या सिर्फ सकारात्मक) कहा जाता है, यदि यह $$I$$ का तत्व नहीं है । $$X$$ के सभी $$I$$-धनात्मक उपसमूहों के संग्रह को $$I^+$$ द्वारा निरूपित किया जाता है

यदि $$X$$ पर $$I$$ उचित आदर्श है और प्रत्येक $$A \subseteq X$$  के लिए या तो  $$A \in I$$  है या $$X \setminus A \in I,$$ तब $$I$$ एक प्रमुख आदर्श है।

सामान्य उदाहरण

 * किसी भी समुच्चय $$X$$ और अव्यवस्थित ढंग से से चुने गए उपसमुच्चय के लिए $$B \subseteq X,$$ $$B$$ के उपसमुच्चय $$X$$ पर एक आदर्श बनाते हैं। परिमित $$X$$ के लिए, सभी आदर्श इसी रूप के हैं।
 * किसी समुच्चय $$X$$ के परिमित उपसमुच्चय $$X$$ पर एक आदर्श बनाते हैं।
 * किसी भी माप स्थान के लिए, माप शून्य के समुच्चय का सबसमुच्चय है।
 * किसी भी माप स्थान के लिए, परिमित माप का समुच्चय है। इसमें परिमित उपसमुच्चय (गणना माप का उपयोग करके) और नीचे छोटे समुच्चय सम्मिलित हैं।
 * समुच्चय $$X$$ पर जन्म विज्ञान एक आदर्श है जो $$X$$ को आवरण करता है।
 * $$X$$ के सबसमुच्चय का एक अपरिचित-रिक्त परिवार $$\mathcal{B}$$ पर उचित $$X$$ आदर्श है,यदि  $$X$$ में  जिसे $$X \setminus \mathcal{B} := \{X \setminus B : B \in \mathcal{B}\}$$ निरूपित और परिभाषित किया गया है ,एक उचित फ़िल्टर $$X$$ पर है (यदि, यह बराबर नहीं है, $$\wp(X)$$ उचित फ़िल्टर है). पावरसमुच्चय  स्वयं  $$\wp(X)$$ का युग्मित  है,वह $$X \setminus \wp(X) = \wp(X)$$ है ।  इस प्रकार एक अपरिचित-रिक्त परिवार $$\mathcal{B} \subseteq \wp(X)$$ पर आदर्श $$X$$ है यदि और केवल यदि यह युग्मित $$X \setminus \mathcal{B}$$ पर युग्मित आदर्श $$X$$ है  (जो परिभाषा के अनुसार या तो पावर समुच्चय है $$\wp(X)$$ या फिर एक उचित फ़िल्टर $$X$$ पर  है)

प्राकृतिक संख्या पर आदर्श

 * प्राकृतिक संख्याओं के सभी परिमित समुच्चयों के आदर्श को फिन द्वारा निरूपित किया जाता है।
 * प्राकृतिक संख्या पर योग्य आदर्श जिसे  $$\mathcal{I}_{1/n}$$  द्वारा निरूपित किया जाता है, प्राकृतिक संख्याओं के सभी समुच्चय A का संग्रह है जैसे कि योग $$\sum_{n\in A}\frac{1}{n+1}$$ परिमित है।
 * छोटा समुच्चय (कॉम्बिनेटरिक्स) देखें।
 * असम्बद्ध रूप से शून्य-घनत्व का आदर्श प्राकृतिक संख्याओं पर समुच्चय होता है, जिसे $$\mathcal{Z}_0$$ निरूपित किया जाता है, प्राकृतिक संख्याओं के सभी समुच्चय $$A$$ का संग्रह है जैसे कि n से कम प्राकृतिक संख्या का अंश जो $$A$$ से संबंधित है, शून्य की ओर जाता है क्योंकि n अनंत की ओर जाता है।। (अर्थात, असम्बद्ध घनत्व $$A$$ शून्य है।)

वास्तविक संख्या पर आदर्श

 * माप आदर्श वास्तविक संख्याओं के सभी समुच्चय $$A$$ का संग्रह है जैसे कि $$A$$ का लेबेस्ग माप( Lebesgue measure ) शून्य है।
 * अल्प आदर्श वास्तविक संख्याओं के सभी अल्प समुच्चयों का संग्रह है।

अन्य समुच्चयों पर आदर्श

 * यदि $$\lambda$$ अगणनीय सह-अस्तित्व की एक क्रमिक संख्या है,$$\lambda$$ जो स्थिर समुच्चय नहीं हैं अस्थिर आदर्श पर $$\lambda$$ के सभी उपसमूहों का संग्रह है । डब्ल्यू ह्यूग वुडिन द्वारा इस आदर्श का व्यापक अध्ययन किया गया है।

आदर्शों पर संचालन
अंतर्निहित समुच्चय $X$ और $Y$ पर आदर्श $I$ और $J$ क्रमशः दिए गए हैं, कार्टेशियन उत्पाद $$X \times Y,$$पर $$I \times J$$ एक उत्पाद बनाता है इस प्रकार किसी भी उपसमुच्चय के लिए

$$A \subseteq X \times Y$$ $$A \in I \times J \quad \text{ if and only if } \quad \{ x \in X \; : \; \{y : \langle x, y \rangle \in A\} \not\in J \} \in I$$ अर्थात्,उत्पाद आदर्श में एक समुच्चय नगण्य है यदि $x$-निर्देशांक का केवल एक नगण्य संग्रह $y$-दिशा में $A$ के गैर-नगण्य टुकड़े के अनुरूप है। (शायद स्पष्ट: उत्पाद आदर्श में एक समुच्चय सकारात्मक है यदि सकारात्मक रूप से कई $x$-निर्देशांक सकारात्मक स्लाइस के अनुरूप हैं।)

आदर्श $I$ एक समुच्चय पर $X$ एक तुल्यता संबंध $$\wp(X)$$ को प्रेरित करता है जिसको पावरसमुच्चय $X$, मानते हुए $A$ और $B$ समकक्ष होना (के लिए $$A, B$$ के उपसमुच्चय $X$) यदि और केवल यदि के सममित अंतर $A$ और $B$ का एक तत्व $I$ है का भागफल समुच्चय $$\wp(X)$$ इस तुल्यता संबंध से एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है, जिसे निरूपित किया गया है $$\wp(X) / I$$ (पी का पी पढ़ें $X$ ख़िलाफ़ $I$ ).

सभी आदर्श के लिए एक संबंधित फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत) होता है, जिसे इसका  कहा जाता है । यदि $X$  पर एक आदर्श $I$ है, $I$ का  सभी समुच्चय  $$X \setminus A,$$ का संग्रह है, जहाँ $A$ का तत्व $I$ है. (यहाँ $$X \setminus A$$, $X$ में $A$ के सापेक्ष पूरक को दर्शाता है, अर्थात्, $X$  के सभी तत्वों का संग्रह जो $A$ में नहीं हैं).

आदर्शों के बीच संबंध
यदि $$X$$ और $$Y$$ पर क्रमश: $$I$$ और $$J$$  आदर्श हैं, $$I$$ और $$J$$   हैं ,यदि वे अपने अंतर्निहित समुच्चयों के तत्वों के नाम बदलने के अलावा  (नगण्य समुच्चयों को अनदेखा कर) समान आदर्श हैं। विधिवत् रूप से,आवश्यकता यह है कि $$A$$ और $$B$$ समुच्चय हों, और घटक $$I$$ और $$J$$ क्रमशः एक आक्षेप $$\varphi : X \setminus A \to Y \setminus B$$ हों, ऐसा किसी भी उपसमुच्चय के लिए $$C \setminus X,$$ $$C \in I$$ यदि और केवल यदि की

छवि $$C$$ अंतर्गत $$\varphi \in J$$ है ।

यदि $$I$$ और $$J$$ रुडिन-कीस्लर आइसोमॉर्फिक हैं, फिर $$\wp(X) / I$$ और $$\wp(Y) / J$$ बूलियन बीजगणित के रूप में आइसोमोर्फिक हैं। आदर्शों के रुडिन-कीस्लर समरूपता द्वारा प्रेरित भागफल बूलियन बीजगणित की कहलाती है ।