बेथ संख्या

गणित में, विशेष रूप से सेट सिद्धांत में, 'बेथ संख्याएँ' एक निश्चित अनंत गणनीय संख्या सिरणी हैं (जिन्हें 'ट्रांसफाइनाइट संख्याएँ' भी कहा जाता है), जिन्हें सामान्यतः निम्नलिखित रूप में लिखा जाता है: $$\beth_0, \beth_1, \beth_2, \beth_3, \dots$$, जहाँ $$\beth$$ दूसरे हिब्रू वर्णमाला के द्वितीय अक्षर ('बेथ') को प्रतिनिधित्व करता है। बेथ संख्याएँ अलेफ संख्याओं ($$\aleph_0, \aleph_1, \dots$$) से संबंधित होती हैं, लेकिन यदि 'सामान्यरूपी प्रतिधारा का सिद्धांत' सत्य न हो, तो ऐसे अंक होते हैं जिन्हें $$\aleph$$ के द्वारा नहीं चिह्नित किया गया हो।

परिभाषा
बेथ संख्याओं को ट्रांसफ़िनिट रिकर्सन द्वारा परिभाषित किया गया है:

यहाँ $$\alpha$$ एक आदिक और $$\lambda$$ एक सीमा आदिक हैं।
 * $$\beth_0=\aleph_0,$$
 * $$\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}},$$
 * $$\beth_{\lambda}=\sup{ \beth_{\alpha}:\alpha<\lambda },$$

गणित में, $$\beth_0=\aleph_0$$ कोई भी गिनती योग्य अनंत सेट की परिमाणता होती है, जैसे $$\mathbb{N}$$ (प्राकृतिक संख्याएँ) का सेट, ताकि $$\beth_0=|\mathbb{N}|$$।

होने देना $$\alpha$$ एक क्रमसूचक बनें, और $$A_\alpha$$ कार्डिनलिटी के साथ एक सेट बनें $$\beth_\alpha=|A_\alpha|$$. तब,
 * $$\mathcal{P}(A_\alpha)$$ के सत्ता स्थापित  को दर्शाता है $$A_\alpha$$ (अर्थात, सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय $$A_\alpha$$),
 * सेट $$2^{A_\alpha} \subset \mathcal{P}(A_\alpha \times 2)$$ से सभी कार्यों के सेट को दर्शाता है $$A_\alpha$$ {0,1} तक,
 * कार्डिनल $$2^{\beth_\alpha}$$ कार्डिनल घातांक का परिणाम है, और
 * $$\beth_{\alpha+1}=2^{\beth_{\alpha}}=|2^{A_\alpha}|=|\mathcal{P}(A_\alpha)|$$ के पावर सेट की कार्डिनैलिटी है $$A_\alpha$$.

इस परिभाषा को देखते हुए,


 * $$\beth_0,\ \beth_1,\ \beth_2,\ \beth_3,\ \dots$$

क्रमशः की प्रमुखताएँ हैं


 * $$\mathbb{N},\ \mathcal{P}(\mathbb{N}),\ \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N})),\ \mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathcal{P}(\mathbb{N}))),\ \dots.$$

ताकि दूसरा बेथ नंबर हो $$\beth_1$$ के बराबर है $$\mathfrak c$$, सातत्य की कार्डिनैलिटी (वास्तविक संख्याओं के सेट की कार्डिनैलिटी), और तीसरी बेथ संख्या $$\beth_2$$ सातत्य के शक्ति सेट की प्रमुखता है।

कैंटर के प्रमेय के कारण, पूर्ववर्ती अनुक्रम में प्रत्येक सेट की कार्डिनैलिटी उसके पूर्ववर्ती की तुलना में सख्ती से अधिक है। अनंत सीमा वाले ऑर्डिनल्स के लिए, λ, संबंधित बेथ संख्या को λ से बिल्कुल छोटे सभी ऑर्डिनल्स के लिए बेथ संख्याओं के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है:


 * $$\beth_{\lambda}=\sup\{ \beth_{\alpha}:\alpha<\lambda \}.$$

कोई यह भी दिखा सकता है कि वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड $$V_{\omega+\alpha} $$ प्रमुखता है $$\beth_{\alpha} $$.

एलेफ़ संख्याओं से संबंध
पसंद के सिद्धांत को मानते हुए, अनंत कार्डिनैलिटी कुल क्रम हैं; कोई भी दो प्रमुखताएँ तुलनीय होने में असफल नहीं हो सकतीं। इस प्रकार, चूँकि परिभाषा के अनुसार कोई भी अनंत कार्डिनैलिटी बीच में नहीं है $$\aleph_0$$ और $$\aleph_1$$, यह इस प्रकार है कि
 * $$\beth_1 \ge \aleph_1.$$

इस तर्क को दोहराने से (अनंत प्रेरण देखें) परिणाम मिलता है $$\beth_\alpha \ge \aleph_\alpha$$ सभी अध्यादेशों के लिए $$\alpha$$.

सातत्य परिकल्पना समतुल्य है
 * $$\beth_1=\aleph_1.$$

सातत्य परिकल्पना#सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना कहती है कि इस प्रकार परिभाषित बेथ संख्याओं का अनुक्रम एलेफ़ संख्याओं के अनुक्रम के समान है, अर्थात, $$\beth_\alpha = \aleph_\alpha$$ सभी अध्यादेशों के लिए $$\alpha$$.

बेथ शून्य
चूँकि इसे परिभाषित किया गया है $$\aleph_0$$, या एलेफ़ नल, कार्डिनैलिटी के साथ सेट होता है $$\beth_0$$ शामिल करना:


 * प्राकृतिक संख्याएँ N
 * परिमेय संख्याएं Q
 * बीजगणितीय संख्याएँ
 * गणनायोग्य संख्याएँ और संगणनीय समुच्चय
 * पूर्णांकों के परिमित समुच्चय का समुच्चय
 * पूर्णांकों के मल्टीसेट का सेट
 * पूर्णांकों के परिमित अनुक्रमों का समुच्चय

बेथ एक
कार्डिनैलिटी के साथ सेट $$\beth_1$$ शामिल करना:


 * पारलौकिक संख्याएँ
 * अपरिमेय संख्याएँ
 * वास्तविक संख्या आर
 * संमिश्र संख्या C
 * अगणनीय वास्तविक संख्याएँ
 * यूक्लिडियन स्थान आरn
 * प्राकृतिक संख्याओं का घात समुच्चय (प्राकृतिक संख्याओं के सभी उपसमूहों का समुच्चय)
 * पूर्णांकों के अनुक्रमों का सेट (अर्थात् सभी फ़ंक्शन 'एन' → 'जेड', जिसे अक्सर 'जेड' कहा जाता है)न)
 * वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों का समुच्चय, Rएन
 * आर से आर तक सभी वास्तविक [[विश्लेषणात्मक कार्य]]ों का सेट
 * आर से आर तक सभी निरंतर कार्यों का सेट
 * वास्तविक संख्याओं के परिमित उपसमुच्चय का समुच्चय
 * सी से सी तक सभी विश्लेषणात्मक कार्यों का सेट ( होलोमार्फिक फ़ंक्शन)

बेथ दो
$$\beth_2$$ (दो के साथ उच्चारित) को '2' भी कहा जाता हैc' (उच्चारण में c की घात दो होती है)।

कार्डिनैलिटी के साथ सेट $$\beth_2$$ शामिल करना:


 * वास्तविक संख्याओं के समुच्चय का घात समुच्चय, इसलिए यह वास्तविक रेखा के उपसमुच्चयों की संख्या, या वास्तविक संख्याओं के समुच्चयों की संख्या है
 * प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के घात समुच्चय का घात समुच्चय
 * आर से आर (आर) तक सभी फ़ंक्शन (गणित) का सबसेटआर)
 * आर से सभी कार्यों का सेटम से 'R'n
 * प्राकृतिक संख्याओं के सेट से सभी कार्यों के सेट की शक्ति सेट, इसलिए यह प्राकृतिक संख्याओं के अनुक्रमों के सेट की संख्या है
 * 'आर', 'क्यू' और 'एन' का स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन
 * 'आर' में नियतात्मक भग्न का सेटn
 * आर में यादृच्छिक फ्रैक्टल्स का सेटn

बेथ ओमेगा
$$\beth_\omega$$ (उच्चारण बेथ ओमेगा) सबसे छोटी, बेशुमार मजबूत सीमा कार्डिनल है।

सामान्यीकरण
अधिक सामान्य प्रतीक $$\beth_\alpha(\kappa)$$, ऑर्डिनल्स α और कार्डिनल्स κ के लिए, कभी-कभी उपयोग किया जाता है। इसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$\beth_0(\kappa)=\kappa,$$
 * $$\beth_{\alpha+1}(\kappa)=2^{\beth_\alpha(\kappa)},$$
 * $$\beth_\lambda(\kappa)=\sup\{ \beth_\alpha(\kappa):\alpha<\lambda \}$$ यदि λ एक सीमा क्रमसूचक है।

इसलिए
 * $$\beth_\alpha=\beth_\alpha(\aleph_0).$$

ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत (जेडएफ) में, किसी भी कार्डिनल κ और μ के लिए, एक क्रमिक α होता है जैसे:


 * $$\kappa \le \beth_\alpha(\mu).$$

और ZF में, किसी भी कार्डिनल κ और ऑर्डिनल्स α और β के लिए:


 * $$\beth_\beta(\beth_\alpha(\kappa)) = \beth_{\alpha+\beta}(\kappa).$$

नतीजतन, ZF में किसी भी कार्डिनल κ और μ के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ या उसके बिना यूआर-तत्व अनुपस्थित हैं, समानता


 * $$\beth_\beta(\kappa) = \beth_\beta(\mu)$$

सभी पर्याप्त रूप से बड़े ऑर्डिनल्स β के लिए मान्य है। अर्थात्, एक क्रमसूचक α है, जो प्रत्येक क्रमसूचक β ≥ α के लिए समानता रखता है।

यह उर-तत्वों (पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ या उसके बिना) के साथ ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत में भी लागू होता है, बशर्ते कि उर-तत्व एक सेट बनाते हैं जो एक शुद्ध सेट के साथ समतुल्य होता है (एक सेट जिसका सकर्मक सेट #ट्रांसिटिव क्लोजर में कोई उर-तत्व नहीं होता है)। यदि पसंद का सिद्धांत मान्य है, तो उर-तत्वों का कोई भी सेट शुद्ध सेट के साथ समतुल्य है।

बोरेल निर्धारण
बोरेल निर्धारण गणनीय सूचकांक के सभी बेथ के अस्तित्व से निहित है।

यह भी देखें

 * अनंत संख्या
 * बेशुमार सेट

ग्रन्थसूची

 * T. E. Forster, Set Theory with a Universal Set: Exploring an Untyped Universe, Oxford University Press, 1995 &mdash; Beth number is defined on page 5.
 * See pages 6 and 204–205 for beth numbers.
 * See page 109 for beth numbers.