हैडामर्ड उत्पाद (मैट्रिसेस)

गणित में, हैडामर्ड उत्पाद (तत्व-वार उत्पाद, प्रवेश-वार उत्पाद के रूप में भी जाना जाता है या शूर उत्पाद ) एक बाइनरी ऑपरेशन है जो समान आयामों के दो मैट्रिक्स (गणित) लेता है और गुणा किए गए संबंधित तत्वों का एक मैट्रिक्स लौटाता है। इस ऑपरेशन को एक अनुभवहीन मैट्रिक्स गुणन के रूप में सोचा जा सकता है और यह मैट्रिक्स गुणन से भिन्न है। इसका श्रेय या तो फ्रांसीसी-यहूदी गणितज्ञ जैक्स हैडामर्ड या जर्मन-यहूदी गणितज्ञ  कुछ नहीं  को दिया गया है और उनके नाम पर इसका नाम रखा गया है।

Hadamard उत्पाद सहयोगी और वितरणात्मक संपत्ति है। मैट्रिक्स उत्पाद के विपरीत, यह क्रमविनिमेय भी है।

परिभाषा
दो मैट्रिक्स के लिए $A$ और $B$ समान आयाम का $m × n$, हैडामर्ड उत्पाद $$A \circ B$$ (या $$A \odot B$$  ) ऑपरेंड के समान आयाम का एक मैट्रिक्स है, जिसमें तत्व दिए गए हैं :$$(A \circ B)_{ij} = (A \odot B)_{ij} = (A)_{ij} (B)_{ij}.$$ विभिन्न आयामों के आव्यूहों के लिए ($m × n$ और $p × q$, कहाँ $m ≠ p$ या $n ≠ q$), हैडामर्ड उत्पाद अपरिभाषित है।

उदाहरण के लिए, दो मनमाने ढंग से 2 × 3 मैट्रिक्स के लिए Hadamard उत्पाद है:

\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\   0 & 8 & -2  \end{bmatrix} \circ \begin{bmatrix} 3 & 1 & 4 \\   7 & 9 & 5  \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \times 3 & 3 \times 1 & 1 \times 4 \\ 0 \times 7 & 8 \times 9 & -2 \times 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 & 3 & 4 \\   0 & 72 & -10  \end{bmatrix} $$

गुण
A \circ B &= B \circ A, \\ A \circ (B \circ C) &= (A \circ B) \circ C, \\ A \circ (B + C) &= A \circ B + A \circ C, \\ \left(kA\right) \circ B &= A \circ \left(kB\right) = k\left(A \circ B\right), \\ A \circ 0 &= 0 \circ A = 0. \end{align}$$ D (A \circ B) E &= (D A E) \circ B   = (D A) \circ (B E) \\ &= (AE) \circ (D B) =    A \circ (D B E). \end{align}$$
 * हैडामर्ड उत्पाद क्रमविनिमेय (कम्यूटेटिव रिंग के साथ काम करते समय), जोड़ पर सहयोगी और वितरणात्मक गुण है। अर्थात्, यदि A, B, और C एक ही आकार के आव्यूह हैं, और k एक अदिश राशि है: $$\begin{align}
 * दो के हैडामर्ड गुणन के तहत पहचान मैट्रिक्स $m × n$ आव्यूह इकाइयों का एक आव्यूह है|$m × n$ मैट्रिक्स जहां सभी तत्व 1 के बराबर हैं। यह नियमित मैट्रिक्स गुणन के तहत पहचान मैट्रिक्स से अलग है, जहां केवल मुख्य विकर्ण के तत्व 1 के बराबर हैं। इसके अलावा, एक मैट्रिक्स में हैडामर्ड गुणन के तहत एक व्युत्क्रम होता है यदि और केवल यदि कोई नहीं तत्वों की संख्या शून्य के बराबर है.
 * वैक्टर के लिए $x$ और $y$, और संगत विकर्ण आव्यूह $D_{x}$ और $D_{y}$ इन सदिशों को उनके मुख्य विकर्णों के रूप में रखते हुए, निम्नलिखित पहचान कायम रहती है: $$\mathbf{x}^* (A \circ B)\mathbf{y} = \operatorname{tr}\left({D}_\mathbf{x}^* A {D}_\mathbf{y} {B}^\mathsf{T}\right),$$ कहाँ $x^{*}$ के संयुग्म स्थानान्तरण को दर्शाता है $x$. विशेष रूप से, लोगों के वैक्टर का उपयोग करते हुए, यह दर्शाता है कि हैडामर्ड उत्पाद में सभी तत्वों का योग ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है $AB^{T}$ जहां सुपरस्क्रिप्ट टी  मैट्रिक्स स्थानान्तरण  को दर्शाता है। वर्ग के लिए एक संबंधित परिणाम $A$ और $B$, यह है कि उनके हैडामर्ड उत्पाद की पंक्ति-योग के विकर्ण तत्व हैं $AB^{T}$: $$\sum_i (A \circ B)_{ij} = \left(B^\mathsf{T} A\right)_{jj} = \left(AB^\mathsf{T}\right)_{ii}.$$ इसी प्रकार, $$\left(\mathbf{y}\mathbf{x}^*\right) \circ A = {D}_\mathbf{y} A {D}_\mathbf{x}^*$$ इसके अलावा, एक हैडामर्ड मैट्रिक्स-वेक्टर उत्पाद को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: $$(A \circ B) \mathbf{y} = \operatorname{diag}\left( A D_\mathbf{y} B^\mathsf{T} \right)$$ कहाँ $$\operatorname{diag}(M)$$ मैट्रिक्स के विकर्णों से बना वेक्टर है $M$.
 * हैडामर्ड उत्पाद क्रोनकर उत्पाद का एक प्रमुख सबमैट्रिक्स है।
 * हैडामर्ड उत्पाद रैंक असमानता को संतुष्ट करता है $$\operatorname{rank}(A \circ B) \leq \operatorname{rank}(A) \operatorname{rank}(B) $$
 * अगर $A$ और $B$ सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स|सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स हैं, तो हैडामर्ड उत्पाद से जुड़ी निम्नलिखित असमानता है: $$\prod_{i=k}^n \lambda_i(A \circ B) \ge \prod_{i=k}^n \lambda_i(A B),\quad k=1,\ldots,n,$$ कहाँ $λ_{i}(A)$ है $i$का सबसे बड़ा eigenvalue $A$.
 * अगर $D$ और $E$ तो, विकर्ण आव्यूह हैं $$\begin{align}
 * दो सदिशों का हैडामार्ड उत्पाद $$\mathbf a$$ और $$\mathbf b$$ एक वेक्टर के मैट्रिक्स को दूसरे वेक्टर के संगत विकर्ण मैट्रिक्स से गुणा करने के समान है: $$\mathbf a \circ \mathbf b = D _{\mathbf a} \mathbf b = D _{\mathbf b} \mathbf a$$
 * विकर्ण मैट्रिक्स का वेक्टर विकर्ण मैट्रिक्स#डायग ऑपरेटर|$$\operatorname{diag}$$ ऑपरेटर को Hadamard उत्पाद का उपयोग करके इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: $$\operatorname{diag}(\mathbf{a}) = (\mathbf{a} \mathbf{1}^T) \circ I$$ कहाँ $$\mathbf{1}$$ तत्वों के साथ एक स्थिर वेक्टर है $$1$$ और $$I$$ पहचान मैट्रिक्स है.

मिश्रित-उत्पाद संपत्ति
$$ (A \otimes B) \circ (C \otimes D) = (A \circ C) \otimes (B \circ D) ,$$ कहाँ $$\otimes$$ यह मानते हुए क्रोनकर उत्पाद है $$A$$ के समान आयाम हैं $$C$$ और $$B$$ साथ $$D$$.

$$ (A \bull B) \circ (C \bull D) = (A \circ C) \bull (B \circ D) ,$$ कहाँ $$\bull$$ खत्री-राव उत्पाद#चेहरा-विभाजन उत्पाद|चेहरा-विभाजन उत्पाद को दर्शाता है।

$$(A \bull B)(C \ast D) = (A C) \circ (B D),$$ कहाँ $$\ast$$ कॉलम-वार खत्री-राव उत्पाद है।

शूर उत्पाद प्रमेय
दो सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स का हैडामर्ड उत्पाद | सकारात्मक-अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स सकारात्मक-अर्ध-निश्चित है। इसे शूर उत्पाद प्रमेय के रूप में जाना जाता है, रूसी गणितज्ञ इसाई शूर के बाद। दो धनात्मक-अर्द्धनिश्चित आव्यूहों के लिए $A$ और $B$, यह भी ज्ञात है कि उनके हैडामर्ड उत्पाद का निर्धारक उनके संबंधित निर्धारकों के उत्पाद से अधिक या उसके बराबर है: $$\det({A} \circ {B}) \ge \det({A}) \det({B}).$$

प्रोग्रामिंग भाषाओं में
Hadamard गुणन को विभिन्न नामों के तहत कुछ प्रोग्रामिंग भाषाओं में बनाया गया है। MATLAB, GNU ऑक्टेव, GAUSS (सॉफ़्टवेयर) और HP प्राइम में, इसे ऐरे गुणन के रूप में जाना जाता है, या जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा) में प्रसारण गुणन, प्रतीक के साथ. फोरट्रान, आर (प्रोग्रामिंग भाषा) में, रेफरी> एपीएल (प्रोग्रामिंग भाषा), जे (प्रोग्रामिंग भाषा) और वोल्फ्राम भाषा (गणित), यह सरल गुणन ऑपरेटर के माध्यम से किया जाता है  या , जबकि मैट्रिक्स उत्पाद फ़ंक्शन के माध्यम से किया जाता है  ,  ,  ,   और यह   ऑपरेटर, क्रमशः। पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) में NumPy संख्यात्मक लाइब्रेरी के साथ, का गुणन array वस्तुओं के रूप में  Hadamard उत्पाद का उत्पादन करता है, और गुणन के रूप में   मैट्रिक्स उत्पाद तैयार करता है। सिम्पी प्रतीकात्मक लाइब्रेरी के साथ, का गुणन array वस्तुएं दोनों के रूप में   और   मैट्रिक्स उत्पाद का उत्पादन करेगा, Hadamard उत्पाद के साथ प्राप्त किया जा सकता है. C++ में, Eigen (C++ लाइब्रेरी) लाइब्रेरी एक प्रदान करती है  के लिए सदस्य समारोह Matrix कक्षा, जबकि आर्मडिलो (C++ लाइब्रेरी) लाइब्रेरी ऑपरेटर का उपयोग करती है   संक्षिप्त अभिव्यक्ति बनाने के लिए (  एक मैट्रिक्स उत्पाद है)। आर पैकेज मैट्रिक्सकैल्क फ़ंक्शन का परिचय देता है   संख्यात्मक आव्यूहों या सदिशों के हैडामर्ड उत्पाद के लिए।

अनुप्रयोग
Hadamard उत्पाद JPEG जैसे हानिपूर्ण संपीड़न एल्गोरिदम में दिखाई देता है। डिकोडिंग चरण में एंट्री-फॉर-एंट्री उत्पाद शामिल होता है, दूसरे शब्दों में हैडामर्ड उत्पाद।

छवि प्रसंस्करण में, Hadamard ऑपरेटर का उपयोग छवि क्षेत्रों को बढ़ाने, दबाने या छिपाने के लिए किया जा सकता है। एक मैट्रिक्स मूल छवि का प्रतिनिधित्व करता है, दूसरा वजन या मास्किंग मैट्रिक्स के रूप में कार्य करता है।

इसका उपयोग यंत्र अधिगम  साहित्य में किया जाता है, उदाहरण के लिए, गेटेड आवर्ती इकाई या दीर्घकालिक अल्पकालिक मेमोरी के रूप में आवर्तक तंत्रिका नेटवर्क की वास्तुकला का वर्णन करने के लिए। इसका उपयोग यादृच्छिक वैक्टर और मैट्रिक्स के सांख्यिकीय गुणों का अध्ययन करने के लिए भी किया जाता है।

समान संचालन
गणितीय साहित्य में अन्य हैडामर्ड ऑपरेशन भी देखे जाते हैं, अर्थात् और (जो भिन्नात्मक सूचकांकों के कारण वास्तव में एक ही चीज़ हैं), एक मैट्रिक्स के लिए परिभाषित किया गया है जैसे:

के लिए $$\begin{align} {B} &= {A}^{\circ 2} \\ B_{ij} &= {A_{ij}}^2 \end{align}$$ और के लिए $$\begin{align} {B} &= {A}^{\circ \frac12} \\ B_{ij} &= {A_{ij}}^\frac12 \end{align}$$

द पढ़ता है: $$\begin{align} {B} &= {A}^{\circ -1} \\ B_{ij} &= {A_{ij}}^{-1} \end{align}$$

ए परिभाषित किया जाता है:

$$\begin{align} {C} &= {A} \oslash {B} \\ C_{ij} &= \frac{A_{ij}}{B_{ij}} \end{align}$$

मर्मज्ञ चेहरा उत्पाद
Vadym Slyusar|V की परिभाषा के अनुसार। स्ल्यूसर पी×जी मैट्रिक्स का मर्मज्ञ फलक उत्पाद है $${A}$$ और एन-आयामी मैट्रिक्स $${B}$$ (n > 1) p×g ब्लॉक के साथ ($${B} = [B_n] $$) आकार का एक मैट्रिक्स है $${B}$$ फॉर्म का: $$ {A} [\circ] {B} = \left[\begin{array} { c | c | c | c } {A} \circ {B}_1 & {A} \circ {B}_2 & \cdots & {A} \circ {B}_n \end{array}\right]. $$

उदाहरण
अगर $${A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\    4 & 5 & 6 \\    7 & 8 & 9  \end{bmatrix},\quad {B} = \left[\begin{array} { c | c | c } {B}_1 & {B}_2 & {B}_3 \end{array}\right] = \left[\begin{array} { c c c | c c c | c c c } 1 & 4 & 7 &  2 &  8 & 14 &  3 & 12 & 21 \\     8 & 20 & 5 & 10 & 25 & 40 & 12 & 30 &  6 \\    2 &  8 & 3 &  2 &  4 &  2 &  7 &  3 &  9  \end{array}\right] $$ तब

$${A} [\circ] {B} = \left[\begin{array} { c c c | c c c | c c c } 1 &  8 & 21 &  2 &  16 &  42 &  3 &  24 & 63 \\    32 & 100 & 30 & 40 & 125 & 240 & 48 & 150 & 36 \\    14 &  64 & 27 & 14 &  32 &  18 & 49 &  24 & 81  \end{array}\right]. $$

मुख्य गुण

 * $${A} [\circ] {B} = {B} [\circ] {A};$$ :$${M} \bull {M} = {M} [\circ] \left( {M} \otimes \mathbf {1}^\textsf{T}\right),$$

कहाँ $$ \bull $$ मैट्रिक्स के फलक-विभाजन उत्पाद को दर्शाता है,
 * $$\mathbf{c} \bull {M} = \mathbf {c} [\circ] {M},$$ कहाँ $$\mathbf {c}$$ एक वेक्टर है.

अनुप्रयोग
मर्मज्ञ चेहरे के उत्पाद का उपयोग डिजिटल एंटीना सरणियों के टेन्सर -मैट्रिक्स सिद्धांत में किया जाता है। इस ऑपरेशन का उपयोग कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क मॉडल, विशेष रूप से संकेंद्रित परतों में भी किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * फ्रोबेनियस आंतरिक उत्पाद
 * बिंदुवार उत्पाद
 * क्रोनकर उत्पाद
 * खत्री-राव उत्पाद