वर्ण (गणित)

गणित में, एक वर्ण (आमतौर पर) एक समूह (गणित) से एक क्षेत्र (गणित) (जैसे जटिल संख्या) तक एक विशेष प्रकार का फ़ंक्शन (गणित) होता है। कम से कम दो अलग-अलग, लेकिन अतिव्यापी अर्थ हैं। चरित्र शब्द के अन्य उपयोग लगभग हमेशा योग्य होते हैं।

गुणक वर्ण
समूह जी पर एक गुणक वर्ण (या रैखिक वर्ण, या बस वर्ण) जी से एक क्षेत्र के इकाई समूह तक एक समूह समरूपता है, आमतौर पर सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र। यदि G कोई समूह है, तो इन आकारिकी का समुच्चय Ch(G) बिंदुवार गुणन के तहत एक एबेलियन समूह बनाता है।

इस समूह को जी के वर्ण समूह के रूप में संदर्भित किया जाता है। कभी-कभी केवल एकात्मक वर्णों पर विचार किया जाता है (इस प्रकार छवि इकाई वृत्त में होती है); ऐसी अन्य समरूपताओं को अर्ध-वर्ण कहा जाता है। डिरिचलेट वर्णों को इस परिभाषा के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है।

गुणनात्मक वर्ण रैखिक स्वतंत्रता हैं, अर्थात यदि $$\chi_1,\chi_2, \ldots, \chi_n $$ समूह G से भिन्न वर्ण हैं $$a_1\chi_1+a_2\chi_2 + \dots + a_n \chi_n = 0 $$ यह इस प्रकार है कि $$a_1=a_2=\cdots=a_n=0 $$.

प्रतिनिधित्व का चरित्र
चरित्र $$\chi : G \to F$$ एक समूह का प्रतिनिधित्व $$\phi \colon G\to\mathrm{GL}(V)$$ एक आयाम ( सदिश स्थल ) पर समूह जी का | फ़ील्ड एफ पर परिमित-आयामी वेक्टर स्पेस वी प्रतिनिधित्व का ट्रेस (मैट्रिक्स) है $$\phi$$, अर्थात।


 * $$\chi_\phi(g) = \operatorname{Tr}(\phi(g))$$ के लिए $$g \in G$$

सामान्य तौर पर, ट्रेस एक समूह समरूपता नहीं है, न ही ट्रेस का सेट एक समूह बनाता है। एक-आयामी निरूपण के वर्ण एक-आयामी निरूपण के समान होते हैं, इसलिए गुणक वर्ण की उपरोक्त धारणा को उच्च-आयामी वर्णों के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है। वर्णों का उपयोग करके अभ्यावेदन के अध्ययन को वर्ण सिद्धांत कहा जाता है और इस संदर्भ में एक-आयामी वर्णों को रैखिक वर्ण भी कहा जाता है।

वैकल्पिक परिभाषा
यदि परिमित समूह एबेलियन समूह तक सीमित है $$1 \times 1$$ में प्रतिनिधित्व $$\mathbb{C}$$ (अर्थात। $$\mathrm{GL}(V) = \mathrm{GL}(1, \mathbb{C})$$), निम्नलिखित वैकल्पिक परिभाषा उपरोक्त के बराबर होगी (एबेलियन समूहों के लिए, प्रत्येक मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व प्रत्यक्ष योग में विघटित हो जाता है) $$1 \times 1$$ अभ्यावेदन. गैर-एबेलियन समूहों के लिए, मूल परिभाषा इससे अधिक सामान्य होगी):

एक चरित्र $$\chi$$ समूह का $$(G, \cdot)$$ एक समूह समरूपता है $$\chi: G \rightarrow \mathbb{C}^*$$ अर्थात। $$ \chi (x \cdot y)=\chi (x) \chi (y)$$ सभी के लिए $$ x, y \in G.$$ अगर $$G$$ एक सीमित एबेलियन समूह है, पात्र हार्मोनिक्स की भूमिका निभाते हैं। अनंत एबेलियन समूहों के लिए, उपरोक्त को प्रतिस्थापित किया जाएगा $$\chi: G \to \mathbb{T}$$ कहाँ $$\mathbb{T}$$ वृत्त समूह है.

यह भी देखें

 * चरित्र समूह
 * डिरिचलेट चरित्र
 * हरीश-चन्द्र चरित्र
 * हेके चरित्र
 * अनंतिमल वर्ण
 * वैकल्पिक चरित्र
 * लक्षण वर्णन (गणित)
 * पोंट्रीगिन द्वंद्व

संदर्भ

 * Lectures Delivered at the University of Notre Dame