पायथागॉरियन ट्रिपल

एक पायथागॉरियन त्रिक में तीन धनात्मक पूर्णांक a, b तथा c होते हैं जैसे कि $32 + 42 = 52$  त्रिक पायथागॉरियन में  लिखा जाता है जिसे पायथागॉरियन त्रिक कहा जाता है $a2 + b2 = c2$ किसी भी धनात्मक पूर्णांक के लिए पहला पायथागॉरियन त्रिक वह है जिसमें $(ka, kb, kc)$, $a$प्रकार पाइथागोरियन त्रिक एक समकोण त्रिभुज की तीन पूर्णांक भुजाओं की लंबाई का वर्णन करते हैं जबकि  ऋणात्मक-पूर्णांक भुजाओं वाले समकोण पाइथागोरस त्रिक नहीं बनाते हैं उदाहरण के लिए भुजाओं वाला त्रिभुज एक सही त्रिकोण है लेकिन $$(1,1,\sqrt2)$$ पायथागॉरियन त्रिक नहीं है क्योंकि $$\sqrt2$$ पूर्णांक नहीं है इसके अतिरिक्त $$1$$ तथा $$\sqrt2$$ एक पूर्णांक सामान्य एकाधिक नहीं है क्योंकि $$\sqrt2$$ अपरिमेय संख्या है।

पाइथागोरस के त्रिगुण प्राचीन काल से ज्ञात है कि सबसे पुराना अभिलेख प्लिमपटन 322 से आता है जो लगभग 1800 ईसा पूर्व की एक बेबीलोनियन मिट्टी की गोली है जिसे साठवी संख्या प्रणाली में लिखा गया है 1900 के तुरंत बाद एडगर जेम्स बैंक्स द्वारा इसकी खोज की गई और 1922 में जॉर्ज आर्थर प्लैम्पटन को बेच दिया गया पूर्णांक समाधानों की खोज करते समय समीकरण $b$ एक डायोफैंटाइन समीकरण है यह पाइथागोरियन त्रिगुण की एक रेखीय समीकरण डायोफैंटाइन समीकरण की सबसे पुराने ज्ञात समाधानों में से है।

उदाहरण
100 तक की संख्याऐं पायथागॉरियन त्रिक हैं अन्य छोटे पायथागॉरियन त्रिक जैसे (6, 8, 10) सूचीबद्ध नहीं हैं क्योंकि सर्वप्रथम उदाहरण के लिए (6, 8, 10) (3, 4, 5) का गुणज है।

इनमें से प्रत्येक बिंदु उनके गुणकों के साथ दाईं ओर एक विकिरण रेखा बनाता है

इसके अतिरिक्त ये 300 तक की संख्याओं के शेष सर्वप्रथम पायथागॉरियन त्रिक हैं

एक लोकप्रियता को बनाना


यूक्लिड का सूत्र पूर्णांकों के युग्म दिए जाने पर पायथागॉरियन त्रिक उत्पन्न करने का एक मौलिक सूत्र है $a2 + b2 = c2$ तथा $a$ साथ $b$ सूत्र बताता है कि पूर्णांक एक पायथागॉरियन त्रिक है यूक्लिड के सूत्र द्वारा उत्पन्न त्रिक सर्वप्रथम $m − n$ तथा $m + n$ दोनों संख्याएँ हैं और उनमें से एक सम है फिर $z2 = x2 + y2$, b तथा $m$ सम होगा और त्रिक पहले नहीं होगा जबकि विभाजित करना $n$, b तथा $m$ 2 से पहले त्रिक मिलेगा जब $n$ तथा $m > n > 0$ दोनों संख्याएँ हैं। प्रत्येक अविकसित लोकप्रिय उत्पन्न होता है अविकसित संख्याओं की एक अनूठी जोड़ी से $m$, $n$ जिनमें से एक सम है इससे पता चलता है कि असीम रूप से कई अविकसित पायथागॉरियन त्रिक हैं $a$, $c$ तथा $a$ प्रति $c$ तथा $m$ यूक्लिड के सूत्र से इस लेख के बाकी हिस्सों में संदर्भित किया गया है

सभी अविकसित त्रिगुणों को उत्पन्न करने के बाद भी यूक्लिड का सूत्र सभी त्रिगुणों का उत्पादन नहीं करता है उदाहरण के लिए 9, 12, 15 पूर्णांक का उपयोग करके उत्पन्न नहीं किया जा सकता है $n$ तथा $m$ एक अतिरिक्त पैरामीटर डालकर इसका उपचार करता है निम्नलिखित सभी पायथागॉरियन त्रिक विशिष्ट रूप से उत्पन्न करेंगे


 * $$ a = k\cdot(m^2 - n^2)  ,\ \, b = k\cdot(2mn) ,\ \, c = k\cdot(m^2 + n^2)$$

जब $n$, $a$ तथा $b$ के साथ धनात्मक पूर्णांक हैं $c$ और साथ $m$ तथा $n$ दोनों ही संख्याएँ विषम नहीं हैं तो

सूत्रों से पाइथागोरस के त्रिक उत्पन्न होते हैं इसे विस्तारित करके सत्यापित किया जा सकता है $m$ प्रारंभिक बीजगणित का उपयोग करना और सत्यापित करना ही परिणाम बराबर है $n$ को प्रत्येक पायथागॉरियन त्रिक के किसी पूर्णांक से विभाजित किया जा सकता है $m$ अविकसित त्रिक प्राप्त करने के लिए सूत्र का उपयोग करके प्रत्येक त्रिक को विशिष्ट रूप से उत्पन्न किया जा सकता है $n$ तथा $k$ इसके अविकसित समकक्ष को उत्पन्न करने के लिए और फिर से गुणा करके K का पिछले समीकरण के रूप में चयन किया जाता है।

$m > n$ तथा $m$ कुछ पूर्णांक अनुक्रमों से दिलचस्प परिणाम मिलते हैं उदाहरण अगर $n$ तथा $a2 + b2$ लगातार $c2$ तथा $k$ से भिन्न होगा यूक्लिड के समय से विशेष गुणों वाले त्रिक उत्पन्न करने के लिए कई सूत्र विकसित किए गए हैं

यूक्लिड के सूत्र का प्रमाण
a, b तथा c द्वारा यूक्लिड के सूत्र की संतुष्टि आवश्यक है और त्रिभुज के पायथागॉरियन होने के लिए पर्याप्त स्थिति इस तथ्य से स्पष्ट है कि धनात्मक पूर्णांकों के लिए $m$ तथा $n$, $m$ व $n$,b तथा $m$ सूत्र द्वारा दिए गए सभी धनात्मक पूर्णांक हैं जो इस प्रकार हैं


 * $$ a^2+b^2 = (m^2 - n^2)^2 + (2mn)^2 = (m^2 + n^2)^2 = c^2. $$

किसी अविकसित पायथागॉरियन के लिए यूक्लिड के सूत्र द्वारा a, b, c को व्यक्त करने की आवश्यकता का प्रमाण इस प्रकार है ऐसे सभी अविकसित त्रिगुणों को इस रूप में लिखा जा सकता है $n$  $a$ तथा $b$, $m$, $n$ दो संख्याएँ हैं इस प्रकार $m > n$, $a$, $c$ जोड़ीदार सहअभाज्य हैं जैसा उनमें से कम से कम एक विषम है इसलिए यह मान सकते हैं $(a, b, c)$ विषम है और $a2 + b2 = c2$ सम है तथा $a$ विषम है जिसमें a, b, तथा m,n को इस प्रकार दर्शाया गया है-


 * $$\frac{c}{b}+\frac{a}{b}=\frac{m}{n}, \quad \quad \frac{c}{b}-\frac{a}{b}=\frac{n}{m}$$

के लिये $$\tfrac{c}{b}$$ तथा $$\tfrac{a}{b}$$


 * $$\frac{c}{b}=\frac{1}{2}\left(\frac{m}{n}+\frac{n}{m}\right)=\frac{m^2+n^2}{2mn}, \quad \quad \frac{a}{b}=\frac{1}{2}\left(\frac{m}{n}-\frac{n}{m}\right)=\frac{m^2-n^2}{2mn}.$$

जैसा $$\tfrac{m}{n}$$ पूरी तरह से कम हो गया है $b$ तथा $c$ दो संख्याएँ हैं और वे दोनों सम नहीं हो सकते यदि वे दोनों विषम हैं तो इसका अंश $$\tfrac{m^2-n^2}{2mn}$$ =4 का गुणक होगा और भाजक 2mn 4 का गुणक नहीं होगा क्योंकि 4 अंश में न्यूनतम संभव कारक भी होंगे इस प्रकार एक $a$ तथा $b$ विषम है और दूसरा सम है और हर 2mn वाले दो भिन्नों के अंश विषम हैं इस प्रकार ये अंश पूरी तरह से कम हो जाते हैं यूक्लिड का सूत्र देते हुए इस प्रकार अंशों को अंशों से और हरों को हरों से बराबर किया जा सकता है
 * $$ a = m^2 - n^2  ,\ \, b = 2mn ,\ \, c = m^2 + n^2$$ साथ $c$ तथा $a$ दो संख्याएँ हैं

यूक्लिड के सूत्र में मापदंडों की व्याख्या
मान लीजिए कि पाइथागोरस त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई है $b$, 2mn, तथा $c$ और लंबाई के पैर के बीच के कोण को मान लें $m$ और लंबाई का कर्ण $n$ के रूप में दर्शाया गया है फिर $$\tan{\tfrac{\beta}{2}}=\tfrac{n}{m}$$ और पूर्ण-कोण त्रिकोणमितीय मान हैं $$\sin{\beta}=\tfrac{2mn}{m^2+n^2}$$, $$\cos{\beta}=\tfrac{m^2-n^2}{m^2+n^2}$$, तथा $$\tan{\beta}=\tfrac{2mn}{m^2-n^2}$$.

एक संस्करण
यूक्लिड के सूत्र का संस्करण कभी-कभी अधिक सुविधाजनक होता है क्योंकि यह इसमें अधिक सममित होता है $m$ तथा $n$ समान समता की स्थिति में होते हैं

यदि $m$ तथा $n$ ऐसे दो विषम पूर्णांक हैं $m2 − n2$फिर
 * $$ a = mn ,\ \, b =\frac {m^2 - n^2}{2} ,\ \, c = \frac{m^2 + n^2}{2} $$

ये तीन पूर्णांक हैं जो एक पायथागॉरियन को तिहरा बनाते हैं तथा अविकसित होते हैं यहाँ $m2 + n2$ तथा $m2 − n2$ दो संख्याएँ हैं इसके विपरीत प्रत्येक पायथागॉरियन त्रिक उत्पन्न होता है जो एक जोड़ी से $m2 + n2$ दो संख्याएँ विषम पूर्णांकों का रूप होता है

सामान्य गुण
पायथागॉरियन त्रिक के गुण b, c तथा $m$ में सम्मिलित हैं
 * $$\tfrac{(c-a)(c-b)}{2}$$ हमेशा एक पूर्ण वर्ग होता है क्योंकि यह केवल एक आवश्यक शर्त है लेकिन पर्याप्त नहीं है इसका उपयोग यह जांचने में किया जा सकता है कि परीक्षण में विफल होने पर संख्यां का एक त्रिक पायथागॉरियन त्रिक है या नहीं ।
 * संख्याओं का तिगुना $n$, $m$ तथा $n$ तब एक पायथागॉरियन त्रिक बनाता है।
 * यह $m > n$, $m$, $n$ एक वर्ग है।
 * पाइथागोरस त्रिभुज का क्षेत्रफल वर्ग नहीं हो सकता।
 * एक $m > n > 0$, $a < b < c$, $a$ 5 से विभाज्य है।
 * क्षेत्र $b$ एक सर्वांगसम संख्या है ।
 * एक पाइथागोरस त्रिक की केवल दो भुजाएँ एक साथ प्रधान हो सकती हैं क्योंकि पाइथागोरस त्रिक द्वारा एक पाइथागोरस त्रिक के लिए यूक्लिड का सूत्र सम्मिश्र और सम होना चाहिए ।
 * प्रत्येक पाइथागोरस त्रिभुज का क्षेत्रफल का अनुपात होता है $c$ अर्धपरिधि का वर्ग करने के लिए $a$ जो अपने आप में अद्वितीय है और इसके द्वारा यह दिया गया है
 * $$\frac{K}{s^2} = \frac{n(m-n)}{m(m+n)} = 1-\frac{c}{s}.$$
 * प्रत्येक पाइथागोरस त्रिभुज का क्षेत्रफल का अनुपात होता है $b$ अर्धपरिधि का वर्ग करने के लिए $c$ जो अपने आप में अद्वितीय है और इसके द्वारा यह दिया गया है
 * $$\frac{K}{s^2} = \frac{n(m-n)}{m(m+n)} = 1-\frac{c}{s}.$$



विशेष स्थितियां
इसके अलावा कुछ अतिरिक्त गुणों के साथ विशेष पायथागॉरियन त्रिक के अस्तित्व की गारंटी दी जा सकती ।
 * प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $a$ पायथागॉरियन त्रिक अलग-अलग कर्ण और एक ही क्षेत्र के साथ होते हैं।
 * प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए K कम से कम मौजूद हैं पायथागॉरियन त्रिक प्राकृतिक संख्या हैं ।
 * प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए K कम से कम मौजूद हैं पायथागॉरियन त्रिक प्राकृतिक संख्या हैं ।
 * प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए K कम से कम मौजूद हैं पायथागॉरियन त्रिक प्राकृतिक संख्या हैं ।

एक इकाई वृत्त पर परिमेय बिंदु
पायथागॉरियन त्रिक के लिए यूक्लिड का सूत्र


 * $$a = m^2-n^2,\quad b=2mn,\quad c=m^2+n^2$$

इकाई वृत्त पर तर्कसंगत बिंदुओं की ज्यामिति के संदर्भ को समझा जा सकता है.

अधिकतर कार्टेशियन विमान में निर्देशांक के साथ एक बिंदु $b$ इकाई वृत के अंतर्गत आता है यदि $c$ तर्कसंगत है तो $a$ तथा $b$ परिमेय संख्याएँ हैं यदि सहअभाज्य पूर्णांक $c$  हैं तो
 * $$\biggl(\frac{a}{c}\biggr)^2 + \biggl(\frac{b}{c}\biggr)^2=1.$$

दोनों सदस्यों को गुणा करके वृत्त पर परिमेय बिंदु पाइथोगोरियन त्रिक के साथ पत्राचार में हैं।

इकाई वृत को पैरामीट्रिक समीकरण द्वारा भी परिभाषित किया जा सकता है।
 * $$x=\frac{1-t^2}{1+t^2}\quad y=\frac{2t}{1+t^2}.$$

पायथागॉरियन त्रिक व्युत्क्रम संबंध के लिए यूक्लिड के सूत्र का प्रयोग किया $(K = ab/2)$ $K$ एक बिंदु $s$ वृत्त पर तर्कसंगत है यदि संगत मान $k$ एक परिमेय संख्या है तो $(x, y)$ स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र भी है जो लंबाई के त्रिभुज पक्ष के विपरीत है।

त्रिविम दृष्टिकोण
इकाई वृत और पायथागॉरियन त्रिक पर तर्कसंगत बिंदुओं के समूह के बीच एक पत्राचार है इस बिंदु पर यूक्लिड के सूत्रों को या तो त्रिकोणमिति के तरीकों से या समतुल्य रूप से त्रिविम प्रक्षेपण का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

घूर्णक और प्रमापीय समूह
पाइथागोरियन त्रिगुणों को एक स्क्वायर मैट्रिक्स के रूप में सांकेतिक किया जा सकता है।
 * $$X = \begin{bmatrix}

c+b & a\\ a & c-b \end{bmatrix}. $$ इस रूप का एक मैट्रिक्स सममित मैट्रिक्स है इसके निर्धारक $x2 + y2 = 1$ हैं।
 * $$\det X = c^2 - a^2 - b^2\,$$

माता-पिता/बच्चे के रिश्ते
सभी पायथागॉरियन त्रिक तीन रैखिक परिवर्तन का उपयोग करके (3, 4, 5) त्रिभुज से उत्पन्न किए जा सकते हैं ।

दूसरे शब्दों में प्रत्येक पायथागॉरियन त्रिक से शुरू $x$, $y$ तथा $a, b, c$ तथा आपरेशन $t = y / (x + 1)$ नया त्रिक उत्पन्न करता है
 * (3 − (2×4) + (2×5), (2×3) − 4 + (2×5), (2×3) − (2×4) + (3×5)) = ( 5, 12, 13),

गासी पूर्णांकों से संबंध
वैकल्पिक रूप से यूक्लिड के सूत्रों का विश्लेषण किया जा सकता है और गॉसियन पूर्णांक का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है गॉसियन पूर्णांक फॉर्म की जटिल संख्याएँ हैं $(−1, 0)$ जहाँ $(x, y)$ तथा $t$ साधारण पूर्णांक हैं और $t = y / (x + 1) = b / (a + c) = n / m$ काल्पनिक इकाई है तो गॉसियन पूर्णांकों की इकाई ±1 हैं साधारण पूर्णांक परिमेय पूर्णांक कहलाते हैं और इसे K  के रूप में निरूपित किया जाता है जहाँ पूर्णांकों को  Z के रूप निरूपित किया किया जाता है पाइथागोरस प्रमेय के दाहिने हाथ की ओर गॉसियन पूर्णांकों में कारक हो सकते हैं


 * $$c^2 = a^2+b^2 = (a+bi)\overline{(a+bi)} = (a+bi)(a-bi).$$

एक पायथागॉरियन त्रिक वह है जिसमें $x$ तथा $P$ सहअभाज्य हैं अर्थात् पूर्णांकों में कोई अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं करते हैं ऐसे त्रिक के लिए या तो $P$ या $N = (0, 1)$ सम है और दूसरा विषम C है।

दो कारक $P$ तथा $x$ एक पायथागॉरियन त्रिक प्रत्येक गॉसियन पूर्णांक के वर्ग के बराबर होता है संपत्ति का उपयोग करके     प्रत्येक गॉसियन पूर्णांक को इकाई तक गॉसियन प्रमेय में विशिष्ट रूप से गुणा किया जा सकता है गासियन पूर्णांक के तीन चरण हैं $P$ तथा $P$ पूर्णांकों में कोई अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं करते हैं तो वे गॉसियन पूर्णांकों में भी कोई अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं करते हैं $x$ तथा $P$ गॉसियन पूर्णांकों के साथ $N$, $P$ तथा $X$ तथा $a = 3$ एक इकाई नहीं है फिर $b = 4$ तथा $c = 5$ मूल बिंदु से होकर एक ही रेखा पर स्थित हों ऐसी रेखा पर सभी गॉसियन पूर्णांक कुछ गॉसियन पूर्णांक के पूर्णांक गुणक होते हैं $T_{1}$लेकिन तब पूर्णांक gh ±1 दोनों को विभाजित करता है यह इस प्रकार है $α = u + vi$  गॉसियन पूर्णांकों में कोई अभाज्य गुणनखंड साझा नहीं करते हैं क्योंकि यदि उन्होंने किया तो उनका उभयनिष्ठ विभाजक $u$ भी बांट देंगे $v$ तथा $i$. तब से $a$ तथा $b$ दो संख्याऐं हैं इसका मतलब है कि $a$ विभाजित$b$. सूत्र से $z := a + bi$ जिसका अर्थ यह होगा $z* := a − bi$ सम है एक अविकसित पाइथोगोरियन त्रिक की परिकल्पना के विपरीत तीसरा चूंकि $a$ एक वर्ग है इसके गुणनखंडन में प्रत्येक गॉसियन अभाज्य दुगुना होता है अर्थात एक सम संख्या में प्रकट होता है तब से $b$ तथा $a = gu$कोई प्रमुख कारक साझा न करें।

इस प्रकार पहला कारक लिखा जा सकता है


 * $$a+bi = \varepsilon\left(m + ni \right)^2, \quad \varepsilon\in\{\pm 1, \pm i\}.$$

इस समीकरण के वास्तविक और काल्पनिक भाग दो सूत्र देते हैं


 * $$\begin{cases}\varepsilon = +1, & \quad a = +\left( m^2 - n^2 \right),\quad b = +2mn; \\ \varepsilon = -1, & \quad a = -\left( m^2 - n^2 \right),\quad b = -2mn; \\ \varepsilon = +i, & \quad a = -2mn,\quad b = +\left( m^2 - n^2 \right); \\ \varepsilon = -i, & \quad a = +2mn,\quad b = -\left( m^2 - n^2 \right).\end{cases}$$

किसी भी पायथागॉरियन त्रिक के लिए पूर्णांक होना चाहिए $b = gv$ तथा $g$ जैसे कि ये दो समीकरण हैं इसलिए प्रत्येक पायथागॉरियन त्रिक को इन पूर्णांकों के कुछ विकल्प से उत्पन्न किया जा सकता है।

पूर्ण वर्ग गॉसियन पूर्णांक के रूप में
यदि हम गॉसियन पूर्णांक के वर्ग पर विचार करते हैं तो हमें यूक्लिड के सूत्र की निम्नलिखित सीधी व्याख्या मिलती है जो गॉसियन पूर्णांक के पूर्ण वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है


 * $$(m+ni)^2 = (m^2-n^2)+2mni.$$

इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गॉसियन पूर्णांक एक यूक्लिडियन डोमेन हैं और गॉसियन पूर्णांक p के लिए $$|p|^2$$ हमेशा एक वर्ग होता है तो यह दिखाना संभव है कि यदि कर्ण अभाज्य है तो पायथागॉरियन त्रिक प्रधान गॉसियन पूर्णांक के वर्ग के अनुरूप होता है।

यदि गॉसियन पूर्णांक अभाज्य नहीं है तो यह दो गॉसियन पूर्णांक p और q का गुणनफल है $$|p|^2$$ तथा $$|q|^2$$ पूर्णांक है चूँकि परिमाण गाऊसी पूर्णांकों में गुणा होता है इसलिए गुणनफल होना चाहिए $$|p||q|$$ जो एक पायथागॉरियन त्रिक खोजने के लिए वर्गित होने पर समग्र होना चाहिए जो गर्भनिरोधक प्रमाण को पूरा करता है।

त्रिगुणों का वितरण
पायथागॉरियन त्रिक के वितरण पर कई परिणाम हैं तथा सांकेतिक चिन्ह पहले से ही स्पष्ट हैं $u$ में एक त्रिक दिखाई देता है।

बिखराव के भीतर चारों दिशाओं में खुलने वाले बिंदुओं के उच्च घनत्व और मूल में उनके सभी फोकस के साथ पैराबोला सांकेतिक चिन्ह के सेट होते हैं अलग-अलग परवलय अक्षों पर प्रतिच्छेद करते हैं और 45 डिग्री के एक घटना कोण के साथ अक्ष को प्रतिबिंबित करते हुए दिखाई देते हैं जिसमें एक तीसरा परवलय लंबवत में प्रवेश करता है इस चतुर्भुज के भीतर मूल पर केंद्रित प्रत्येक चाप परवलय के उस खंड को दर्शाता है जो इसके सिरे और इसके अर्ध-अक्षांश मलाशय के बीच स्थित है।

इन प्रतिमानों की व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है यदि $$a^2/4n$$ एक पूर्णांक है तब ($v$, $$|n-a^2/4n|$$, $$n+a^2/4n$$) एक पायथागॉरियन त्रिक है वास्तव में हर पायथागॉरियन त्रिक $g$ पूर्णांक के साथ इस प्रकार लिखा जा सकता है विनिमय के बाद $u$ तथा $v$ जब $$n=(b+c)/2$$ तथा $h$ तथा $z$ दोनों विषम नहीं हो सकते पाइथागोरस के त्रिक इस प्रकार वक्रों पर स्थित हैं $$b = |n-a^2/4n|$$ यानी परवलय परिलक्षित होता है $δ$-अक्ष और इसी वक्र के साथ $z + z* = 2a$ तथा $z − z* = 2ib$  दिए गए हैं  उदाहरण के लिए $a$, $b$, $δ$, $2 = (1 + i)(1 − i) = i(1 − i)2$ तथा $c2 = zz*$ इसी परवलयिक पट्टी के आसपास $c$ बिखराव की स्थित में स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा है।

अल्बर्ट तथा $c2$ सह अभाज्य हैं उदाहरण के लिए $z$ एक पहला पायथागॉरियन त्रिक है जबकि $z*$ नहीं है एक त्रिभुज जिसकी भुजाएँ पाइथागोरस त्रिक बनाती हैं उसे पाइथागोरस त्रिभुज कहा जाता है और यह आवश्यक रूप से एक समकोण त्रिभुज है

यह नाम पाइथागोरस प्रमेय से लिया गया है जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई सूत्र को संतुष्ट करती हैं $$a^2+b^2=c^2$$इस फस्लर और अन्य लोग के अनुरूप नक्शे के संदर्भ में इन पैराबोलस के महत्व में अंतर्दृष्टि प्रदान करते हैं।

प्लेटोनिक अनुक्रम
$m$ पायथागॉरियन त्रिक के अधिक सामान्य निर्माण के बारे में लंबे समय से जाना जाता है यूक्लिड के तत्वों की पहली पुस्तक के पाइथागोरस प्रमेय के लिए अपनी टिप्पणी में बंद किया हुआ यूक्लिड के तत्व इसका वर्णन इस प्रकार करते हैं

"इस प्रकार के त्रिभुजों की खोज के लिए कुछ विधियाँ सौंपी गई हैं जिनमें से एक प्लेटो को संदर्भित करती है और दूसरी पाइथागोरस को (उत्तरार्द्ध) विषम संख्या से शुरू होता है क्योंकि यह विषम संख्या को समकोण की भुजाओं से छोटा बनाता है फिर यह इसका वर्ग लेता है तथा एकता को घटाता है और समकोण के बारे में पक्षों के बड़े अंतर को आधा बनाता है अंत में यह इसमें एकता जोड़ता है और शेष भाग कर्ण बनाता है प्लेटो की विधि सम संख्याओं से तर्क देती है यह दी गई सम संख्या लेता है और इसे समकोण के चारों ओर एक भुजा बनाता है फिर इस संख्या को समद्विभाजित करने और आधे का वर्ग करने पर यह कर्ण बनाने के लिए वर्ग में एकता जोड़ता है और समकोण के बारे में दूसरी भुजा बनाने के लिए वर्ग घटाता है इस प्रकार इसने वही त्रिभुज बनाया है जो अन्य विधि द्वारा प्राप्त किया गया था।"

$n$ विषम है (पाइथागोरस, सी. 540 ई.पू.)


 * $$\text{side }a : \text{side }b = {a^2 - 1 \over 2} : \text{side }c = {a^2 + 1 \over 2}.$$

$(a,b)$ सम है (प्लेटो, सी. 380 ई.पू.)


 * $$\text{side }a : \text{side }b = \left({a \over 2}\right)^2 - 1 : \text{side }c = \left({a \over 2}\right)^2 + 1$$

यह दिखाया जा सकता है कि सभी पाइथागोरस के त्रिक मूल प्लेटोनिक अनुक्रम से उचित पुन: स्केलिंग के साथ प्राप्त किए जा सकते हैं ($a$, $b$ तथा $(a,b)$) अनुमति द्वारा $a$ गैर-पूर्णांक तर्कसंगत मान लेने के लिए यदि $(a, b, c)$ अंश से बदल दिया जाता है $a$ अनुक्रम में।परिणाम 'मानक' ट्रिपल जनरेटर (2mn, $b$,$a$) स्केलिंग के बाद इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि प्रत्येक त्रिक का संगत परिमेय होता है $b$ मूल्य जिसका उपयोग एक समानता (ज्यामिति) त्रिकोण उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है उदाहरण के लिए प्लेटोनिक समकक्ष $a$ से उत्पन्न होता है $a$ जैसा $b$. प्लेटोनिक अनुक्रम ही प्राप्त किया जा सकता है समीकरण,


 * $$a^4+b^4+c^4+d^4 = (a+b+c+d)^4$$

विशेष पायथागॉरियन त्रिक के बराबर है


 * $$(a^2+ab+b^2)^2+(c^2+cd+d^2)^2 = ((a+b)^2+(a+b)(c+d)+(c+d)^2)^2$$

समीकरण के अनंत समाधान हैं क्योंकि चरों को हल करने के लिए एक अंडाकार वक्र सम्मिलित हैं ।


 * $$a, b, c, d = -2634, 955, 1770, 5400$$
 * $$a, b, c, d = -31764, 7590, 27385, 48150$$

दो वर्गों के बराबर योग
समाधान उत्पन्न करने का एक तरीका $$a^2+b^2=c^2+d^2$$ निम्नानुसार पूर्णांक एम, एन, पी, क्यू के संदर्भ में ए, बी, सी, डी को पैरामीट्रिज करना है।
 * $$(m^2+n^2)(p^2+q^2)=(mp-nq)^2+(np+mq)^2=(mp+nq)^2+(np-mq)^2.$$

दो चौथाई शक्तियों के बराबर योग
पायथागॉरियन त्रिक के दो सेट दिए गए हैं


 * $$(a^2-b^2)^2+(2a b)^2 = (a^2+b^2)^2$$
 * $$(c^2-d^2)^2+(2c d)^2 = (c^2+d^2)^2$$

एक कैथेटस गैर-कर्ण पक्ष और कर्ण के समान उत्पादों को खोजने की समस्या


 * $$(a^2 -b^2)(a^2+b^2) = (c^2 -d^2)(c^2+d^2)$$

आसानी से समीकरण के समतुल्य देखा जाता है


 * $$a^4 -b^4 = c^4 -d^4$$

और सबसे पहले यूलर द्वारा हल किया गया था $$a, b, c, d = 133,59,158,134$$. चूंकि उन्होंने दिखाया कि यह दीर्घवृत्त वक्र में एक तर्कसंगत बिंदु है तो अनंत संख्या में समाधान हैं वास्तव में उन्होंने 7वीं डिग्री बहुपद मानकीकरण भी पाया।

डेसकार्टेस सर्कल प्रमेय
डेसकार्टेस प्रमेय डेसकार्टेस सर्कल प्रमेय की स्थिति में जहां सभी चर वर्ग हैं


 * $$2(a^4+b^4+c^4+d^4) = (a^2+b^2+c^2+d^2)^2$$

यूलर ने दिखाया कि यह एक साथ तीन पायथागॉरियन त्रिक के बराबर है


 * $$(2ab)^2+(2cd)^2 = (a^2+b^2-c^2-d^2)^2$$
 * $$(2ac)^2+(2bd)^2 = (a^2-b^2+c^2-d^2)^2$$
 * $$(2ad)^2+(2bc)^2 = (a^2-b^2-c^2+d^2)^2$$

अनंत संख्या में समाधान भी हैं और विशेष स्थित के लिए जब $$a+b=c$$ तब समीकरण सरल हो जाता है


 * $$4(a^2+a b+b^2) = d^2$$

जैसे छोटे समाधान के साथ $$a, b, c, d = 3, 5, 8, 14$$ और द्विघात रूप में हल किया जा सकता है।

लगभग-समद्विबाहु पायथागॉरियन त्रिक
कोई पाइथागोरस का त्रिक समद्विबाहु नहीं है क्योंकि कर्ण का किसी भी पक्ष से अनुपात है $\sqrt{2}$ लेकिन 2 का वर्गमूल तर्कहीनता को पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

जबकि विशेष समकोण त्रिभुज हैं लगभग-समद्विबाहु पायथागॉरियन त्रिक अभिन्न पक्षों के साथ समकोण त्रिभुज जिसके लिए कैथेटस गैर-कर्ण भुजाओं की लंबाई एक से भिन्न होती है।


 * $$3^2+4^2 = 5^2$$
 * $$20^2+21^2 = 29^2$$

तथा अनंत संख्या में अन्य उन्हें पूरी तरह से परिचालित किया जा सकता है


 * $$\left(\tfrac{x-1}{2}\right)^2+\left(\tfrac{x+1}{2}\right)^2 = y^2$$

जहां {x, y} समीकरण के समाधान हैं $$x^2-2y^2 = -1$$

यदि $382 = 1444$, $2 × 272 = 1458$, $3 × 222 = 1452$ इस प्रकार के पायथागॉरियन त्रिक पीपीटी के पक्ष हैं तो समीकरण का समाधान पुनरावृत्ति संबंध द्वारा दिया जाता है


 * $$a_n=6a_{n-1}-a_{n-2}+2$$ साथ $$a_1=3$$ तथा $$a_2=20$$
 * $$b_n=6b_{n-1}-b_{n-2}-2$$ साथ $$b_1=4$$ तथा $$b_2=21$$
 * $$c_n=6c_{n-1}-c_{n-2}$$ साथ $$c_1=5$$ तथा $$c_2=29$$.

PPT का यह क्रम PPT के पायथागॉरियन त्रिकों के वृक्ष का केंद्रीय तना (ट्रंक) बनाता है जब यह लंबे समय तक गैर-कर्ण पक्ष और कर्ण होता है जो एक से भिन्न होता है जैसे कि
 * $$5^2+12^2 = 13^2$$
 * $$7^2+24^2 = 25^2$$

तो पीपीटी के लिए पूरा समाधान $5 × 172 = 1445$, $10 × 122 = 1440$, $n ≈ 1450$ है


 * $$a=2m+1, \quad b=2m^2+2m, \quad c=2m^2+2m+1$$

तथा


 * $$(2m+1)^2+(2m^2+2m)^2=(2m^2+2m+1)^2$$

जहां पूर्णांक $$m>0$$ जनरेटिंग पैरामीटर है

कि सभी विषम संख्याएँ (1 से अधिक) इस प्रकार के -समद्विबाहु पीपीटी में दिखाई देती हैं पीपीटीएस का यह क्रम पीपीटीएस के रूटेड टर्नरी ट्री के दाहिने हाथ की बाहरी तने का निर्माण करता है।

इस प्रकार के लगभग समद्विबाहु पीपीटी की एक और संपत्ति यह है कि पक्ष इस तरह से संबंधित हैं
 * $$a^b+b^a=Kc$$

कुछ पूर्णांक के लिए $$K$$या दूसरे शब्दों में $$a^b+b^a$$ से विभाज्य हैं जैसे
 * $$(5^{12}+12^5)/13 = 18799189$$.

पाइथागोरस के त्रिक में फाइबोनैचि संख्या
5 से शुरू होकर प्रत्येक दूसरी फाइबोनैचि संख्या पूर्णांक भुजाओं वाले समकोण त्रिभुज के कर्ण की लंबाई होती है या दूसरे शब्दों में पाइथागोरस के त्रिक में सबसे बड़ी संख्या सूत्र से प्राप्त होती है। $$(F_nF_{n+3})^2 + (2F_{n+1}F_{n+2})^2 = F_{2n+3}^2.$$ इस सूत्र से प्राप्त पाइथागोरस त्रिभुजों के अनुक्रम में भुजाओं की लंबाई होती है।
 * (3,4,5), (5,12,13), (16,30,34), (39,80,89), ...

इनमें से प्रत्येक त्रिभुज की मध्य भुजा पूर्ववर्ती त्रिभुज की तीनों भुजाओं का योग है।

सामान्यीकरण
पायथागॉरियन त्रिकों की अवधारणा को सामान्य बनाने के कई तरीके हैं।

पायथागॉरियन टुपल
इसमें
 * $$\left(m_1^2 - m_2^2 - \ldots - m_n^2\right)^2 + \sum_{k=2}^n (2 m_1 m_k)^2 = \left(m_1^2 + \ldots + m_n^2\right)^2$$

यह एक पायथागॉरियन है $n$सकारात्मक पूर्णांकों के किसी भी टपल के लिए -टुपल $c$ साथ $(3, 4, 5)$. पायथागॉरियन $n$-टपल को इसके मूल्यों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा विभाजित करके बनाया जा सकता है।

इसके अलावा कोई भी पायथागॉरियन $n$-टुपल $(6, 8, 10)$ इस दृष्टिकोण से पाया जा सकता है $n$ पायथागॉरियन प्राप्त करने के लिए $n$-उपरोक्त सूत्र द्वारा दो करें और सबसे बड़े सामान्य पूर्णांक भाजक द्वारा विभाजित करें जो है $n = 1$. इनमें से सबसे बड़े सामान्य भाजक द्वारा विभाजित करना $a$ मान समान पायथागॉरियन देता है $n$-टुपल और सेटवाइज दो संख्याऐं धनात्मक पूर्णांकों के टुपल्स के बीच होता है $a$ संतुष्टि देने वाला $a$ और पायथागॉरियन $n$-टुपल्स

सेटवाइज दो संख्याओं के बीच संबंध के उदाहरण $$\vec{m}$$ और पायथागॉरियन $n$-टुपल्स में सम्मिलित हैं।
 * $$\begin{align}

\vec{m} = (1) & \leftrightarrow 1^2 = 1^2 \\ \vec{m} = (2, 1) & \leftrightarrow 3^2 + 4^2 = 5^2 \\ \vec{m} = (2, 1, 1) & \leftrightarrow 1^2 + 2^2 + 2^2 = 3^2 \\ \vec{m} = (3, 1, 1, 1) & \leftrightarrow 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 = 2^2 \\ \vec{m} = (5, 1, 1, 2, 3) & \leftrightarrow 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 3^2 = 4^2 \\ \vec{m} = (4, 1, 1, 1, 1, 2) & \leftrightarrow 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 = 3^2 \\ \vec{m} = (5, 1, 1, 1, 2, 2, 2) & \leftrightarrow 1^2 + 1^2 + 1^2 + 1^2 + 2^2 + 2^2 + 2^2 = 4^2 \end{align}$$

लगातार वर्ग
योग के बाद से $(a2 − 1)/2$ का $(a2 + 1)/2$ के साथ शुरू होने वाले लगातार वर्ग $a$ सूत्र द्वारा दिया गया है
 * $$F(k,m)=km(k-1+m)+\frac{k(k-1)(2k-1)}{6}$$

इसमें $a$ तथा $m/n$ एक वर्ग है जैसे कि हिर्शोर्न द्वारा एक जहां पदों की संख्या स्वयं एक वर्ग है
 * $$m=\tfrac{v^4-24v^2-25}{48},\; k=v^2,\; F(m,k)=\tfrac{v^5+47v}{48}$$

तथा $m2 − n2$ क्या कोई पूर्णांक 2 या 3 से विभाज्य नहीं है सबसे छोटी स्थित के लिए $m2 + n2$ इसलिये $a$ इससे एडौर्ड लुकास की प्रसिद्ध तोप के गोले की ढ़ेर समस्या उत्पन्न होती हैं।


 * $$0^2+1^2+2^2+\dots+24^2 = 70^2$$

फर्मेट की अंतिम प्रमेय
पायथागॉरियन त्रिक की अवधारणा का एक सामान्यीकरण धनात्मक पूर्णांकों के त्रिकों की खोज है $(56, 33, 65)$, $a = m/n = 7/4$, तथा $(a, (a2 –1)/2, (a2+1)/2) = (56/32, 33/32, 65/32)$ हैं जैसे कि $a$ के लिए $b$ सख्ती से 2 से अधिक 1637 में पियरे डी फर्मेट ने दावा किया कि ऐसा कोई त्रिक समान नहीं है एक दावा जिसे अनुप्रस्थ के अंतिम प्रमेय के रूप में जाना जाता है क्योंकि अनुप्रस्थ द्वारा साबित या अस्वीकृत होने में किसी भी अन्य अनुमान से अधिक समय लगता है पहला प्रमाण एंड्रयू विल्स ने 1994 में दिया था।

$c$ या $a$ $b$वें शक्तियों का योग $c$वें शक्ति
एक त्रिक सामान्यीकरण के अनुक्रमों की खोज कर रहा है $(m1, ..., mn)$ सकारात्मक पूर्णांक जिसके लिए $m > m + ... + m$अंतिम वें शक्ति का योग है $a + ... + a = c2$पिछले शर्तों की वें शक्तियां हैं जिनके ज्ञात मानों के लिए सबसे छोटा क्रम $(m1, ..., mn) = (c + a1, a2, ..., an)$ हैं


 * $2m1 = 2(c + a1)$ = 3: {3, 4, 5; 6}.
 * $(m1, ..., mn)$ = 4: {30, 120, 272, 315; 353}
 * $(m1, ..., mn)$ = 5: {19, 43, 46, 47, 67; 72}
 * $m > m + ... + m$ = 7: {127, 258, 266, 413, 430, 439, 525; 568}
 * $F(k,m)$ = 8: {90, 223, 478, 524, 748, 1088, 1190, 1324; 1409}

के लिए $k$ एक सामान्य सूत्र एकत्रित हैं जो सभी समाधान देता है।



हेरोनियन त्रिभुज त्रिक
एक हेरोनियन त्रिभुज को पूर्णांक भुजाओं वाले एक के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका क्षेत्रफल भी एक पूर्णांक होता है ऐसे त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई एक हेरोनियन त्रिक बनाती है तथा $m2$ के लिये $(k, m)$ प्रत्येक पायथागॉरियन त्रिक एक हेरोनियन त्रक है क्योंकि कम से कम एक पैर $F(k,m)$, $v ≥ 5$ पायथागॉरियन त्रिक में भी होना चाहिए इसलिए क्षेत्र ab/2 एक पूर्णांक है जबकि हेरोनियन त्रिक एक पायथागॉरियन त्रिक नहीं है उदाहरण के लिए $v = 5$

यदि $k = 25$ एक हेरोनियन त्रिक है तो $a$ में $b$ कोई सकारात्मक पूर्णांक है इसका क्षेत्रफल वह पूर्णांक होगा जो कि है $c$ के पूर्णांक क्षेत्र का दो गुना $a^{n} + b^{n} = c^{n}$ होता है


 * (4, 13, 15) क्षेत्रफल 24 के साथ
 * (3, 25, 26) क्षेत्रफल 36 के साथ
 * (7, 15, 20) क्षेत्रफल 42 के साथ
 * (6, 25, 29) क्षेत्रफल 60 के साथ
 * (11, 13, 20) क्षेत्रफल 66 के साथ
 * (13, 14, 15) क्षेत्रफल 84 के साथ
 * (13, 20, 21) क्षेत्रफल 126 के साथ

हीरोन के सूत्र द्वारा धनात्मक पूर्णांकों के तिहरे के लिए अतिरिक्त शर्त $n$ साथ $n − 1$ हेरोनियन इस प्रकार हैं



या समकक्ष

क्रिप्टोग्राफी के लिए आवेदन
प्राथमिक पाइथोगोरियन त्रिक का उपयोग डेटा को सुरक्षित करने की कला के रूप में और चाबियों के निर्माण के लिए किया गया है।

यह भी देखें
मॉड्यूलर अंकगणित।

पूर्णांक त्रिकोण।

संदर्भ




बाहरी संबंध

 * Clifford Algebras and Euclid's Parameterization of Pythagorean triples
 * Curious Consequences of a Miscopied Quadratic
 * Discussion of Properties of Pythagorean triples, Interactive Calculators, Puzzles and Problems
 * Generating Pythagorean Triples Using Arithmetic Progressions
 * Interactive Calculator for Pythagorean Triples
 * The negative Pell equation and Pythagorean triples
 * Parameterization of Pythagorean Triples by a single triple of polynomials
 * Pythagorean Triples and the Unit Circle, chap. 2–3, in "A Friendly Introduction to Number Theory" by Joseph H. Silverman, 3rd ed., 2006, Pearson Prentice Hall, Upper Saddle River, NJ, ISBN 0-13-186137-9
 * Pythagorean Triples at cut-the-knot Interactive Applet showing unit circle relationships to Pythagorean Triples
 * Pythagorean Triplets
 * The Remarkable Incircle of a Triangle
 * Solutions to Quadratic Compatible Pairs in relation to Pythagorean Triples
 * Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry
 * The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples at cut-the-knot
 * Theoretical properties of the Pythagorean Triples and connections to geometry
 * The Trinary Tree(s) underlying Primitive Pythagorean Triples at cut-the-knot

नहीं: पाइथागोरस की लॉरीसेटिंग