क्रमगुणित (फैक्टोरियल)

गणित में, अऋणात्मक पूर्णांक $$ {\displaystyle n}$$ का क्रमगुणित, जिसे $$ {\displaystyle n!}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, $$ {\displaystyle n}$$ से कम या उसके बराबर सभी धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल होता है। $$ {\displaystyle n}$$ का क्रमगुणित इसके अगले छोटे क्रमगुणित के साथ $$ {\displaystyle n}$$ के गुणनफल के बराबर होता है:$$ \begin{align} n! &= n \times  (n-1)  \times (n-2)  \times  (n-3) \times \cdots \times  3 \times  2 \times  1 \\ &= n\times(n-1)!\\ \end{align}$$उदाहरण के लिए,$$5! = 5 \times  4  \times  3  \times  2  \times  1 = 5\times 24 = 120. $$शुन्य गुणनफल की परंपरा के अनुसार $$ {\displaystyle 0!}$$ का मान 1 है।

कई प्राचीन संस्कृतियों में क्रमगुणितअ की खोज की गई, विशेष रूप से भारतीय गणित में जैन साहित्य के धर्म वैधानिक कार्यों में, और यहूदी मनीषियों द्वारा तल्मूडिक पुस्तक सेफर यतिजीरा में। गणित के कई क्षेत्रों में क्रमगुणित संक्रिया का उपयोग करना पड़ता है, विशेष रूप से साहचर्य (कॉम्बिनेटरिक्स) में, जहां इसका सबसे मूल उपयोग संभावित विशिष्ट अनुक्रमों की गणना करता है - क्रमचय- $$n$$ विशिष्ट वस्तुओं के: $$ {\displaystyle n!}$$ हैं। गणितीय विश्लेषण में, घातांक फलन और अन्य कार्यों के लिए घात श्रेणी में क्रमगुणितअ का उपयोग किया जाता है, और इनके बीजगणित, संख्या सिद्धांत, प्रायिकता सिद्धांत और संगणक विज्ञान में भी अनुप्रयोग हैं।

क्रमगुणित फलन के अधिकांश गणित का विकास 18वीं सदी के अंत और 19वीं शताब्दी के प्रारंभ में हुआ था। स्टर्लिंग का सन्निकटन बड़ी संख्या के क्रमगुणितअ को सटीक सन्निकटन प्रदान करता है, यह दर्शाता है कि यह घातीय वृद्धि की तुलना में अधिक तेज़ी से बढ़ता है। लीजेंड्रे का सूत्र क्रमगुणितअ के अभाज्य गुणनखंड में अभाज्य संख्याओं के घातांक का वर्णन करता है, और इसका उपयोग क्रमगुणितअ के अनुगामी शून्यों की गणना के लिए किया जा सकता है। डेनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर ने ऋणात्मक पूर्णांकों, (प्रतिसंतुलन) गामा फलन को छोड़कर, समिश्र संख्याओं के सतत फलन के लिए क्रमगुणितअ फलन को अंतर्वेशित किया।

कई अन्य उल्लेखनीय फलन और संख्या अनुक्रम क्रमगुणितअ से निकटता से संबंधित हैं, जिसमें द्विपद गुणांक, द्विक क्रमगुणितअ, अवरोही क्रमगुणितअ, प्रिमोरिअल्स और उपक्रमगुणितअ शामिल हैं। क्रमगुणित फलन के कार्यान्वयन को आमतौर पर विभिन्न संगणक प्रोग्रामिंग शैलियों के उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है, और वैज्ञानिक परिगणक और वैज्ञानिक संगणना सॉफ़्टवेयर प्रोग्राम संग्रह में शामिल होते हैं। यद्यपि गुणनफल सूत्र या पुनरावृत्ति का उपयोग करके बड़े क्रमगुणित की सीधे गणना करना कुशल नहीं है, तेजी से एल्गोरिदम ज्ञात हैं, एक स्थिर कारक के भीतर समान अंकों के साथ संख्याओं के लिए तेजी से गुणा एल्गोरिदम के लिए समय।

इतिहास
कई संस्कृतियों में क्रमगुणितअ की अवधारणा स्वतंत्र रूप से उत्पन्न हुई है: 15वीं शताब्दी के उत्तरार्ध से, पश्चिमी गणितज्ञों द्वारा तथ्यात्मक अध्ययन का विषय बन गया। 1494 के एक ग्रंथ में, इतालवी गणितज्ञ लुका पैसिओली ने खाने की मेज की व्यवस्था की समस्या के संबंध में 11! तक भाज्यों की गणना की। क्रिस्टोफर क्लावियस ने जोहान्स डी सैक्रोबोस्को के काम पर एक 1603 कमेंट्री में क्रमगुणितअ्स पर चर्चा की, और 1640 के दशक में, फ्रांसीसी पॉलीमैथ मारिन मेर्सन ने क्लावियस के काम के आधार पर, 64! तक, क्रमगुणितअ की बड़ी (लेकिन पूरी तरह से सही नहीं) टेबल प्रकाशित की। घातांक फलन के लिए शक्ति श्रृंखला, इसके गुणांकों के लिए क्रमगुणितअ के व्युत्क्रम के साथ, पहली बार 1676 में आइजैक न्यूटन द्वारा गॉटफ्रीड विल्हेम लाइबनिज़ को एक पत्र में तैयार किया गया था। क्रमगुणितअ पर प्रारंभिक यूरोपीय गणित के अन्य महत्वपूर्ण कार्यों में जॉन वालिस द्वारा 1685 के ग्रंथ में व्यापक कवरेज शामिल है, जो 1721 में अब्राहम डी मोइवर द्वारा $$n$$ के बड़े मूल्यों के लिए उनके अनुमानित मूल्यों का एक अध्ययन, जेम्स स्टर्लिंग से 1729 का एक पत्र है। डी मोइवर बताते हैं कि स्टर्लिंग के सन्निकटन के रूप में क्या जाना जाता है, और एक ही समय में डेनियल बर्नौली और लियोनहार्ड यूलर द्वारा गामा फलन के फ़ैक्टोरियल फलन के निरंतर विस्तार को तैयार करते हुए काम करते हैं। एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे ने 1808 के नंबर थ्योरी के पाठ में लेजेंड्रे के सूत्र को शामिल किया, जिसमें घातांकों को प्रमुख शक्तियों में गुणनखंड का वर्णन किया गया था।
 * भारतीय गणित में, क्रमगुणितअ के सबसे पहले ज्ञात विवरणों में से एक अनुयोगद्वार-सूत्र से आता है, जैन साहित्य के विहित कार्यों में से एक, जिसे 300 ईसा पूर्व से 400 सीई तक की तारीखें सौंपी गई हैं। यह अन्य ("मिश्रित") ऑर्डर से आइटम्स के एक सेट के सॉर्ट किए गए और उल्टे क्रम को अलग करता है, क्रमगुणितअ के लिए सामान्य उत्पाद फ़ॉर्मूला से दो घटाकर मिश्रित ऑर्डर की संख्या का मूल्यांकन करता है। क्रमपरिवर्तन के उत्पाद नियम का वर्णन छठी शताब्दी ई. के जैन भिक्षु जिनभद्र द्वारा भी किया गया था। हिंदू विद्वान कम से कम 1150 के बाद से भास्कर द्वितीय ने अपने काम लीलावती में तथ्यात्मक सूत्रों का उपयोग किया है, इस समस्या के संबंध में कि विष्णु अपनी चार विशिष्ट वस्तुओं (एक शंख, डिस्कस, गदा और कमल का फूल) को कितने तरीकों से पकड़ सकते थे। ) उसके चार हाथों में, और दस-हाथ वाले देवता के लिए भी इसी तरह की समस्या।
 * मध्य पूर्व के गणित में, तल्मूडिक काल (200 से 500 सीई) की हिब्रू रहस्यवादी पुस्तक निर्माण सेफर यतिज़िराह, 7 तक के क्रमगुणितअ की सूची देती है! हिब्रू वर्णमाला से बनने वाले शब्दों की संख्या की जांच के हिस्से के रूप में। इसी तरह के कारणों के लिए 8वीं सदी के अरब व्याकरणविद् अल-खलील इब्न अहमद अल-फ़राहीदी द्वारा भी क्रमगुणितअ का अध्ययन किया गया था। अरब गणितज्ञ इब्न अल-हेथम (जिसे अलहाज़ेन के नाम से भी जाना जाता है, c. 965 - c. 1040) सबसे पहले विल्सन के प्रमेय को अभाज्य संख्याओं के साथ जोड़ने वाले थे।
 * यूरोप में, हालांकि ग्रीक गणित में कुछ संयोजन शामिल थे, और प्लेटो ने एक आदर्श समुदाय की जनसंख्या के रूप में प्रसिद्ध रूप से 5040 (एक भाज्य) का उपयोग किया, आंशिक रूप से इसकी विभाज्यता गुणों के कारण, प्राचीन यूनानी अध्ययन का कोई प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं है। इसके बजाय, यूरोप में क्रमगुणितअ पर पहला काम यहूदी विद्वानों जैसे शब्बेथाई डोनोलो द्वारा किया गया था, जो सेफ़र यतिज़िरा मार्ग की व्याख्या करता था। 1677 में, ब्रिटिश लेखक फैबियन स्टेडमैन ने रिंगिंग को बदलने के लिए क्रमगुणितअ्स के अनुप्रयोग का वर्णन किया, एक संगीत कला जिसमें कई ट्यून की गई घंटियों का बजना शामिल है।

क्रमगुणितअ के लिए संकेतन एनएन को 1808 में फ्रांसीसी गणितज्ञ क्रिश्चियन क्रैम्प द्वारा पेश किया गया था। कई अन्य संकेतन भी इस्तेमाल किए गए हैं। एक और बाद का संकेतन, जिसमें क्रमगुणितअ का तर्क एक बॉक्स के बाईं और नीचे की तरफ से आधा जुड़ा हुआ था, ब्रिटेन और अमेरिका में कुछ समय के लिए लोकप्रिय था, लेकिन उपयोग से बाहर हो गया, शायद इसलिए कि टाइप करना मुश्किल है। शब्द "क्रमगुणितअ" (मूल रूप से फ्रेंच: फैक्टोरिएल) का इस्तेमाल पहली बार 1800 में लुई फ्रांकोइस एंटोनी अर्बोगैस्ट द्वारा किया गया था, फ़ैस डि ब्रूनो के सूत्र पर पहले काम में, लेकिन अंकगणितीय प्रगति के उत्पादों की एक अधिक सामान्य अवधारणा का जिक्र करते हुए । यह नाम जिन "कारकों" को संदर्भित करता है, वे भाज्य के लिए उत्पाद सूत्र की शर्तें हैं।

परिभाषा
एक धनात्मक पूर्णांक $$n$$ का गुणनखंड फलन उन सभी धनात्मक पूर्णांकों के गुणनफल से परिभाषित होता है जो $$n$$ से अधिक नहीं होते हैं। $$n! = 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdots (n-2) \cdot (n-1) \cdot n.$$इसे उत्पाद संकेतन में अधिक संक्षेप में लिखा जा सकता है $$n! = \prod_{i = 1}^n i.$$यदि इस उत्पाद सूत्र को अंतिम पद के अलावा सभी को रखने के लिए बदल दिया जाता है, तो यह एक ही रूप के उत्पाद को एक छोटे भाज्य के लिए परिभाषित करेगा। यह एक पुनरावर्ती संबंध की ओर ले जाता है, जिसके अनुसार पिछले मान को by $n$: से गुणा करके क्रमगुणितअ फलन के प्रत्येक मान को प्राप्त किया जा सकता है:$$ n! = n\cdot (n-1)!.$$उदाहरण के लिए, $5! = 5\cdot 4!=5\cdot 24=120$.

शून्य का तथ्यात्मक
$0$ का फ़ैक्टोरियल is $1$, है, या प्रतीकों में, $0!=1$. है। इस परिभाषा के कई कारण हैं:
 * $n=0$, के लिए, उत्पाद के रूप में $$n!$$ की परिभाषा में बिना किसी संख्या के उत्पाद शामिल है, और इसलिए व्यापक परंपरा का एक उदाहरण है कि खाली उत्पाद, बिना कारकों का उत्पाद, गुणक पहचान के बराबर है।
 * शून्य वस्तुओं का एक क्रमपरिवर्तन होता है: क्रमपरिवर्तन के लिए कुछ भी नहीं, केवल पुनर्व्यवस्था कुछ भी नहीं करना है।
 * यह सम्मेलन कॉम्बिनेटरिक्स में कई पहचानों को उनके मापदंडों के सभी मान्य विकल्पों के लिए मान्य बनाता है। उदाहरण के लिए, $\tbinom{n}{n} = \tfrac{n!}{n!0!} = 1,$ के एक सेट से सभी $$n$$ तत्वों को चुनने के तरीकों की संख्या एक द्विपद गुणांक पहचान है जो केवल $0!=1$. के साथ मान्य होगी।
 * $0!=1$, के साथ, क्रमगुणितअ के लिए पुनरावृत्ति संबंध at $n=1$. पर मान्य रहता है। इसलिए, इस सम्मेलन के साथ, क्रमगुणितअ की एक पुनरावर्ती गणना में आधार मामले के रूप में केवल शून्य का मान होना चाहिए, गणना को सरल बनाना और अतिरिक्त विशेष मामलों की आवश्यकता से बचना चाहिए।
 * $$0!=1$$ की स्थापना कई सूत्रों की कॉम्पैक्ट अभिव्यक्ति की अनुमति देती है, जैसे कि घातांक फलन, एक शक्ति श्रृंखला के रूप में: $ e^x = \sum_{n = 0}^\infty \frac{x^n}{n!}.$।
 * यह विकल्प गामा फलन $0! = \Gamma(0+1) = 1$, से मेल खाता है, और गामा फलन में यह मान एक सतत फलन होना चाहिए।

अनुप्रयोग
क्रमगुणितअ फलन के शुरुआती उपयोगों में क्रमपरिवर्तन की गिनती शामिल है: $$n!$$ अलग-अलग वस्तुओं को अनुक्रम में व्यवस्थित करने के $$n$$ विभिन्न तरीके हैं। वस्तुओं के विभिन्न क्रमों को ध्यान में रखते हुए, संयोजन में कई सूत्रों में क्रमगुणितअ अधिक व्यापक रूप से दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए द्विपद गुणांक $$\tbinom{n}{k}$$ $k$-element संयोजनों ($n$ elements, के उपसमुच्चय) को $k$ elements) के साथ एक सेट से गिनता है, और सूत्र का उपयोग करके भाज्य से गणना की जा सकती है $$\binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}.$$क्रमगुणितअ्स के लिए पहली तरह की राशि की स्टर्लिंग संख्या, और क्रमपरिवर्तन की गिनती of $n$ समान संख्याओं के साथ सबसेट में समूहीकृत। एक और कॉम्बीनेटरल एप्लिकेशन डेरेंजमेंट्स की गिनती में है, क्रमपरिवर्तन जो किसी भी तत्व को अपनी मूल स्थिति में नहीं छोड़ते हैं;के अपमान की संख्या $$n$$ आइटम निकटतम पूर्णांक है to $n!/e$.

बीजगणित में, क्रमगुणितअ द्विपद प्रमेय के माध्यम से उत्पन्न होते हैं, जो रकम की शक्तियों का विस्तार करने के लिए द्विपद गुणांक का उपयोग करता है। वे एक दूसरे से बहुपद के कुछ परिवारों से संबंधित गुणांक में भी होते हैं, उदाहरण के लिए, न्यूटन की सममित बहुपद के लिए पहचान में। गिनती के क्रम में उनके उपयोग को भी बीजगणितीय रूप से बहाल किया जा सकता है: क्रमगुणितअ्स परिमित सममित समूहों के आदेश हैं। कैलकुलस में, क्रमगुणितअ्स उच्च डेरिवेटिव को चैन करने के लिए फा डि ब्रूनो के फॉर्मूले में होते हैं। गणितीय विश्लेषण में, क्रमगुणितअ्स अक्सर घात श्रेणी के हर में दिखाई देते हैं, विशेष रूप से एक्सपोनेंशियल फंक्शन के लिए श्रृंखला में, $$e^x=1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^i}{i!},$$और अन्य टेलर श्रृंखला के गुणांक में (विशेष रूप से त्रिकोणमितीय और हाइपरबोलिक कार्यों के), जहां वे कारकों को रद्द करते हैं $$n!$$ से आ रहा है $n$th derivative of $x^n$. घात श्रेणी में क्रमगुणितअ्स का यह उपयोग एक्सपोनेंशियल जनरेटिंग फलन के माध्यम से एनालिटिक कॉम्बीनेटरिक्स से जुड़ता है, जो एक कॉम्बिनेटरियल क्लास के लिए है $$n_i$$ के तत्व size $i$ घात श्रेणी के रूप में परिभाषित किया गया है $$\sum_{i=0}^{\infty} \frac{x^i n_i}{i!}.$$संख्या सिद्धांत में, क्रमगुणितअ्स की सबसे मुख्य संपत्ति की विभाजन है $$n!$$ सभी सकारात्मक पूर्णांक द्वारा to $n$, लीजेंड्रे के सूत्र द्वारा प्रमुख कारकों के लिए अधिक सटीक रूप से वर्णित है।यह इस प्रकार है कि मनमाने ढंग से बड़े प्रमुख संख्याओं को संख्याओं के प्रमुख कारकों के रूप में पाया जा सकता है $$n!\pm 1$$, यूक्लिड के प्रमेय के प्रमाण के लिए अग्रणी है कि प्राइम्स की संख्या अनंत है। कब $$n!\pm 1$$ खुद प्राइम है इसे एक क्रमगुणितअ प्राइम कहा जाता है; संबंधित रूप से, ब्रोकार्ड की समस्या, श्रीनिवास रामानुजन द्वारा भी प्रस्तुत की गई, फॉर्म के वर्ग संख्या के अस्तित्व की चिंता करती है $n!+1$. इसके विपरीत, संख्याएँ $$n!+2,n!+3,\dots n!+n$$ मनमाने ढंग से बड़े प्रमुख अंतराल के अस्तित्व को साबित करते हुए, सभी समग्र होना चाहिए। बर्ट्रेंड के किसी भी अंतराल में एक प्राइम के अस्तित्व पर एक प्राथमिक प्रमाण का एक प्राथमिक प्रमाण form $[n,2n]$, पॉल Erdős के पहले परिणामों में से एक, क्रमगुणितअ्स के विभाजन गुणों पर आधारित था। क्रमगुणितअ नंबर सिस्टम उन संख्याओं के लिए एक मिश्रित रेडिक्स नोटेशन है जिसमें प्रत्येक अंक के स्थान मान क्रमगुणितअ्स हैं। Poisson वितरण में उदाहरण के लिए, संभावना सिद्धांत में बड़े पैमाने पर क्रमगुणितअ्स का उपयोग किया जाता है और यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन की संभावनाओं में। कंप्यूटर विज्ञान में, पारगमन पर ब्रूट-फोर्स खोजों के विश्लेषण में दिखाई देने से परे, के निचले हिस्से में क्रमगुणितअ्स उत्पन्न होते हैं $$\log_2 n!=n\log_2n-O(n)$$ तुलना की संख्या पर एक सेट की तुलना करने के लिए आवश्यक है $$n$$ सामान, और जंजीर हैश तालिकाओं के विश्लेषण में, जहां प्रति सेल कुंजियों के वितरण को एक पॉइसन वितरण द्वारा सटीक रूप से अनुमानित किया जा सकता है। इसके अलावा, क्रमगुणितअ्स स्वाभाविक रूप से क्वांटम और सांख्यिकीय भौतिकी से सूत्रों में दिखाई देते हैं, जहां एक अक्सर कणों के एक सेट के सभी संभावित क्रमपरिवर्तन पर विचार करता है।सांख्यिकीय यांत्रिकी में, बोल्ट्जमैन के एन्ट्रापी फॉर्मूला या सैकुर -टेट्रोड समीकरण जैसे एन्ट्रापी की गणना गिब्स विरोधाभास से बचने के लिए प्रत्येक प्रकार के अप्रभेद्य कण की संख्या के क्रमगुणितअ्स द्वारा विभाजित करके माइक्रोस्टेट की गिनती को ठीक करना चाहिए।क्वांटम भौतिकी अंतर्निहित कारण प्रदान करती है कि ये सुधार क्यों आवश्यक हैं।

विकास और सन्निकटन


एक समारोह के रूप में of $n$, क्रमगुणितअ में घातीय वृद्धि की तुलना में तेजी से होता है, लेकिन एक दोहरे घातीय फलन की तुलना में अधिक धीरे -धीरे बढ़ता है। इसकी वृद्धि दर समान है to $n^n$, लेकिन एक घातीय कारक द्वारा धीमा।इस परिणाम के करीब पहुंचने का एक तरीका क्रमगुणितअ के प्राकृतिक लघुगणक को लेना है, जो अपने उत्पाद सूत्र को एक योग में बदल देता है, और फिर एक अभिन्न द्वारा योग का अनुमान लगाता है: $$\ln n! = \sum_{x=1}^n \ln x \approx \int_1^n\ln x\, dx=n\ln n-n+1.$$ परिणाम को बढ़ाना (और नगण्य की अनदेखी करना $$+1$$ शब्द) सन्निकट $$n!$$ जैसा $(n/e)^n$. एक अभिन्न द्वारा ऊपर और नीचे दोनों दोनों को सावधानीपूर्वक, ट्रेपज़ॉइड नियम का उपयोग करते हुए, यह दर्शाता है कि इस अनुमान को एक सुधार शब्द आनुपातिक आवश्यकता है to $\sqrt n$. इस सुधार के लिए आनुपातिकता की निरंतरता वालिस उत्पाद से पाई जा सकती है, जो व्यक्त करता है $$\pi$$ दो के क्रमगुणितअ्स और शक्तियों के सीमित अनुपात के रूप में।इन सुधारों का परिणाम स्टर्लिंग का अनुमान है: $$n!\sim\sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n\,.$$ यहां ही $$\sim$$ प्रतीक का अर्थ है, के रूप में $$n$$ अनंत तक जाता है, बाएं और दाएं पक्षों के बीच का अनुपात सीमा में एक के पास पहुंचता है। स्टर्लिंग का फॉर्मूला एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला में पहला कार्यकाल प्रदान करता है जो कि अधिक संख्या में शर्तों के लिए और भी अधिक सटीक हो जाता है: $$ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \left(1 +\frac{1}{12n}+\frac{1}{288n^2} - \frac{139}{51840n^3} -\frac{571}{2488320n^4}+ \cdots \right).$$ एक वैकल्पिक संस्करण सुधार के शब्दों में केवल विषम प्रतिपादकों का उपयोग करता है: $$ n! \sim \sqrt{2\pi n}\left(\frac{n}{e}\right)^n \exp\left(\frac{1}{12n} - \frac{1}{360n^3} + \frac{1}{1260n^5} -\frac{1}{1680n^7}+ \cdots \right).$$ श्रीनिवास रामानुजन, बिल गोस्पर, और अन्य लोगों द्वारा इन सूत्रों के कई अन्य रूपों को भी विकसित किया गया है।

तुलनात्मक छंटाई का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले क्रमगुणितअ के बाइनरी लॉगरिदम का उपयोग स्टर्लिंग के सन्निकटन का उपयोग करके बहुत सटीक रूप से किया जा सकता है।नीचे सूत्र में, $$O(1)$$ टर्म बिग ओ नोटेशन को आमंत्रित करता है। $$\log_2 n! = n\log_2 n-(\log_2 e)n + \frac12\log_2 n + O(1).$$

विभाजन और अंक
क्रमगुणितअ के लिए उत्पाद सूत्र का अर्थ है कि $$n!$$ सभी प्रमुख संख्याओं से विभाज्य है जो पर हैं most $n$, और कोई बड़ी प्राइम नंबरों से नहीं। इसकी विभाजन के बारे में अधिक सटीक जानकारी लीजेंड्रे के सूत्र द्वारा दी गई है, जो प्रत्येक प्राइम का प्रतिपादक देता है $$p$$ के प्रमुख कारक में $$n!$$ जैसा $$\sum_{i=1}^\infty \left \lfloor \frac n {p^i} \right \rfloor=\frac{n - s_p(n)}{p - 1}.$$ यहां $$s_p(n)$$ के योग को दर्शाता है base-$p$ अंक of $n$, और इस सूत्र द्वारा दिए गए प्रतिपादक को भी उन्नत गणित में पी-एडिक वैल्यूएशन के रूप में व्याख्या किया जा सकता है$5,040$क्रमगुणितअ का -वैल्यूएशन। द्विपद गुणांक के लिए उत्पाद सूत्र के लिए लीजेंड्रे के सूत्र को लागू करने से कुमेर के प्रमेय का उत्पादन होता है, जो एक द्विपद गुणांक के कारक में प्रत्येक प्राइम के प्रतिपादक पर एक समान परिणाम है। के लिए लीजेंड्रे के सूत्र का विशेष मामला $$p=5$$ क्रमगुणितअ्स के दशमलव प्रतिनिधित्व में अनुगामी शून्य की संख्या देता है। इस सूत्र के अनुसार, आधार -5 अंकों को घटाकर शून्य की संख्या प्राप्त की जा सकती है $$n$$ से $$n$$, और परिणाम को चार से विभाजित करना। किंवदंती के सूत्र का अर्थ है कि प्राइम का घातांक $$p=2$$ हमेशा के लिए घातांक से बड़ा होता है $p=5$, तो पांच के प्रत्येक कारक को इन अनुगामी शून्य में से एक का उत्पादन करने के लिए दो के एक कारक के साथ जोड़ा जा सकता है। क्रमगुणितअ्स के प्रमुख अंकों को बेनफोर्ड के नियम के अनुसार वितरित किया जाता है। अंकों का प्रत्येक अनुक्रम, किसी भी आधार में, उस आधार में कुछ क्रमगुणितअ नंबर के प्रारंभिक अंकों का अनुक्रम है।

क्रमगुणितअ्स की विभाजन पर एक और परिणाम, विल्सन के प्रमेय ने कहा कि $$(n-1)!+1$$ द्वारा विभाज्य है $$n$$ अगर और केवल अगर $$n$$ एक प्रमुख संख्या है। किसी के लिए integer $x$, केम्पनर फलन $$x$$ सबसे छोटे द्वारा दिया जाता है $$n$$ जिसके लिए $$x$$ विभाजित $n!$. लगभग सभी संख्याओं के लिए (सभी लेकिन स्पर्शोन्मुख घनत्व शून्य के साथ अपवादों का एक सबसेट), यह सबसे बड़े प्राइम फैक्टर के साथ मेल खाता है of $x$.

दो भाज्यों का गुणनफल, $m!\cdot n!$, हमेशा समान रूप से $(m+n)!$. को विभाजित करता है। असीम रूप से कई फैक्टोरियल हैं जो अन्य फैक्टोरियल के उत्पाद के बराबर हैं: यदि $$n$$ स्वयं फैक्टोरियल का कोई उत्पाद है, तो $$n!$$ उसी उत्पाद को एक और फैक्टोरियल से गुणा करने के बराबर है, $(n-1)!$.। फैक्टोरियल के एकमात्र ज्ञात उदाहरण जो अन्य फैक्टोरियल के उत्पाद हैं, लेकिन इस "तुच्छ" रूप के नहीं हैं, वे $9!=7!\cdot 3!\cdot 3!\cdot 2!$, $10!=7!\cdot 6!=7!\cdot 5!\cdot 3!$, $16!=14!\cdot 5!\cdot 2!$. हैं। यह $40,320$ अनुमान से अनुसरण करेगा कि केवल बहुत से गैर-तुच्छ उदाहरण हैं।

घात $$d$$ के एक आदिम बहुपद के मानों का सबसे बड़ा सामान्य भाजक पूर्णांकों पर समान रूप से $d!$. को विभाजित करता है।

निरंतर प्रक्षेप और गैर-पूर्णांक सामान्यीकरण


फ़ैक्टोरियल्स को एक सतत फंक्शन में विस्तारित करने के लिए अनंत रूप से कई तरीके हैं। इनमें से सबसे व्यापक रूप से इस्तेमाल किया जाता है गामा फ़ंक्शन का उपयोग करता है, जिसे सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए अभिन्न के रूप में परिभाषित किया जा सकता है$$ \Gamma(z) = \int_0^\infty x^{z-1} e^{-x}\,dx.$$परिणामी फ़ंक्शन समीकरण द्वारा एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक $$n$$ के फ़ैक्टोरियल से संबंधित है$$ n!=\Gamma(n+1),$$जिसे गैर-पूर्णांक तर्कों के लिए फैक्टोरियल की परिभाषा के रूप में उपयोग किया जा सकता है। सभी मानों पर $$x$$ जिसके लिए दोनों $$\Gamma(x)$$ परिभाषित हैं, गामा फलन क्रियात्मक समीकरण $$\Gamma(x-1)$$ का पालन करता है$$ \Gamma(n)=(n-1)\Gamma(n-1),$$फैक्टोरियल के लिए पुनरावृत्ति संबंध को सामान्य बनाना।

समान समाकलन किसी भी सम्मिश्र संख्या $$z$$ जिसका वास्तविक भाग धनात्मक है, के लिए अधिक सामान्यतः अभिसरण करता है। यूलर के परावर्तन सूत्र को हल करके इसे शेष जटिल तल में गैर-पूर्णांक बिंदुओं तक बढ़ाया जा सकता है$$\Gamma(z)\Gamma(1-z)=\frac{\pi}{\sin\pi z}.$$हालाँकि, इस सूत्र का उपयोग पूर्णांकों पर नहीं किया जा सकता है, क्योंकि उनके लिए, $$\sin\pi z$$ पद शून्य से एक विभाजन उत्पन्न करेगा। इस विस्तार प्रक्रिया का परिणाम एक विश्लेषणात्मक कार्य है, गामा फ़ंक्शन के अभिन्न सूत्र की विश्लेषणात्मक निरंतरता। गैर-सकारात्मक पूर्णांकों को छोड़कर, जहां इसके सरल ध्रुव हैं, सभी जटिल संख्याओं पर इसका एक गैर-शून्य मान है। इसके अनुरूप, यह ऋणात्मक पूर्णांकों के अलावा अन्य सभी सम्मिश्र संख्याओं पर भाज्य के लिए एक परिभाषा प्रदान करता है। गामा फ़ंक्शन की एक संपत्ति, इसे भाज्य के अन्य निरंतर प्रक्षेपों से अलग करती है, बोहर-मोलरुप प्रमेय द्वारा दी गई है, जिसमें कहा गया है कि गामा फ़ंक्शन (एक द्वारा ऑफसेट) सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर एकमात्र लॉग-उत्तल कार्य है जो कि फैक्टोरियल्स को इंटरपोलेट करता है और समान कार्यात्मक समीकरण का पालन करता है। हेल्मुट वाइलैंड्ट के एक संबंधित विशिष्टता प्रमेय में कहा गया है कि जटिल गामा फ़ंक्शन और इसके स्केलर गुणक सकारात्मक जटिल अर्ध-तल पर एकमात्र होलोमोर्फिक फ़ंक्शन हैं जो कार्यात्मक समीकरण का पालन करते हैं और जटिल संख्याओं के लिए 1 और 2 के बीच वास्तविक भाग के साथ बंधे रहते हैं।

भाज्य मूल्यों को प्रक्षेपित करने वाले अन्य जटिल कार्यों में हैडामर्ड का गामा फलन शामिल है, जो गैर-धनात्मक पूर्णांकों सहित सभी जटिल संख्याओं पर एक संपूर्ण कार्य है। $362,880$-एडिक संख्याओं में, फ़ैक्टोरियल फ़ंक्शन को सीधे इंटरपोलेट करना संभव नहीं है, क्योंकि बड़े पूर्णांकों के फ़ैक्टोरियल ($3,628,800$-एडिक्स का एक घना उपसमुच्चय) लेजेंड्रे के सूत्र के अनुसार शून्य में परिवर्तित हो जाते हैं, जो किसी भी निरंतर फ़ंक्शन को बंद करने के लिए मजबूर करते हैं। उनका मान हर जगह शून्य हो। इसके बजाय, $39,916,800$-एडिक गामा फंक्शन भाज्य के संशोधित रूप का एक सतत प्रक्षेप प्रदान करता है, भाज्य में उन कारकों को छोड़ कर जो $479,001,600$ से विभाज्य हैं।

डिगामा फ़ंक्शन गामा फ़ंक्शन का लघुगणकीय व्युत्पन्न है। जिस तरह गामा फ़ंक्शन फ़ैक्टोरियल्स का एक निरंतर इंटरपोलेशन प्रदान करता है, एक से ऑफसेट, डिगैम्मा फ़ंक्शन हार्मोनिक संख्याओं का निरंतर इंटरपोलेशन प्रदान करता है, जो यूलर-माशेरोनी स्थिरांक द्वारा ऑफसेट होता है।

गणना
वैज्ञानिक कैलकुलेटर में फैक्टोरियल फ़ंक्शन एक सामान्य विशेषता है। यह वैज्ञानिक प्रोग्रामिंग लाइब्रेरी में भी शामिल है जैसे कि पायथन मैथमैटिकल फंक्शन मॉड्यूल और बूस्ट सी++ लाइब्रेरी। यदि दक्षता कोई चिंता का विषय नहीं है, तो फैक्टोरियल्स की गणना करना तुच्छ है: केवल $n$ तक के पूर्णांकों द्वारा $1$ से आरंभ किए गए चर को क्रमिक रूप से गुणा करें। इस गणना की सादगी इसे विभिन्न कंप्यूटर प्रोग्रामिंग शैलियों और विधियों के उपयोग में एक सामान्य उदाहरण बनाती है।

$$n!$$ की गणना को पुनरावृति का उपयोग करके छद्म कोड में व्यक्त किया जा सकता है: क्रमगुणितअ को परिभाषित करें (एन): f: = 1 के लिए i: = 1, 2, 3, ..., n:    f: = f × i   वापसी च या इसके पुनरावर्तन संबंध के आधार पर पुनरावर्तन का उपयोग करना फैक्टोरियल (एन) को परिभाषित करें: अगर n = 0 रिटर्न 1 रिटर्न n × फैक्टोरियल (n - 1) इसकी गणना के लिए उपयुक्त अन्य विधियों में मेमोइज़ेशन, गतिशील प्रोग्रामिंग, और कार्यात्मक प्रोग्रामिंग शामिल हैं। इन एल्गोरिदम की कम्प्यूटेशनल जटिलता का विश्लेषण यूनिट-कॉस्ट रैंडम-एक्सेस मशीन मॉडल ऑफ कंप्यूटेशन का उपयोग करके किया जा सकता है, जिसमें प्रत्येक अंकगणितीय ऑपरेशन में निरंतर समय लगता है और प्रत्येक नंबर निरंतर मात्रा में स्टोरेज स्पेस का उपयोग करता है। इस मॉडल में, ये विधियाँ समय $O(n)$ में $$n!$$ की गणना कर सकती हैं, और पुनरावृत्त संस्करण $O(1)$ स्थान का उपयोग करता है। जब तक टेल रिकर्सन के लिए अनुकूलित नहीं किया जाता है, पुनरावर्ती संस्करण अपने कॉल स्टैक को स्टोर करने के लिए रैखिक स्थान लेता है। हालांकि, गणना का यह मॉडल केवल तभी उपयुक्त होता है जब $$n$$ इतना छोटा हो कि $$n!$$ को एक मशीनी शब्द में फिट किया जा सके। मूल्य 12! और 20! सबसे बड़े फैक्टोरियल हैं, जिन्हें क्रमशः 32-बिट और 64-बिट पूर्णांकों में संग्रहीत किया जा सकता है। फ़्लोटिंग पॉइंट बड़े फैक्टोरियल का प्रतिनिधित्व कर सकता है, लेकिन लगभग बिल्कुल नहीं, और अभी भी $170!$. से बड़े फैक्टोरियल के लिए ओवरफ्लो होगा।

तेजी से विकास और पूर्णांक अतिप्रवाह की वजह से बड़े भाज्यों की सटीक गणना में मनमाना-सटीक अंकगणित शामिल है। गणना के समय का विश्लेषण परिणाम में अंकों या बिट्स की संख्या के एक फलन के रूप में किया जा सकता है। स्टर्लिंग के सूत्र के अनुसार, $$n!$$ में $$b = O(n\log n)$$ बिट्स हैं। शॉनहेज-स्ट्रासेना एल्गोरिथम $O(b\log b\log\log b)$ समय में एक $b$-बिट उत्पाद का उत्पादन कर सकता है, और $$O(b\log b)$$ समय लेने वाले तेज़ गुणन एल्गोरिदम ज्ञात हैं। हालांकि, फ़ैक्टोरियल की गणना में एक गुणन के बजाय बार-बार उत्पाद शामिल होते हैं, इसलिए ये समय सीमा सीधे लागू नहीं होती है। इस सेटिंग में, संख्याओं को 1 से $$n$$ तक अनुक्रम में गुणा करके $$n!$$ की गणना करना अक्षम है, क्योंकि इसमें $$n$$ गुणन शामिल हैं, जिनमें से एक निरंतर अंश में से प्रत्येक में समय $$O(n\log^2 n)$$ लगता है, कुल समय $O(n^2\log^2 n)$ देता है। एक बेहतर तरीका यह है कि गुणा को एक के रूप में किया जाए। डिवाइड-एंड-कॉनकॉर एल्गोरिथम जो $$i$$ संख्याओं के अनुक्रम को $$i/2$$ संख्याओं के दो बाद के अनुक्रमों में विभाजित करके गुणा करता है, प्रत्येक बाद को गुणा करता है, और परिणामों को एक अंतिम गुणन के साथ जोड़ता है। भाज्य के प्रति इस दृष्टिकोण में कुल $O(n\log^3 n)$ समय लगता है: एक लघुगणक भाज्य में बिट्स की संख्या से आता है, दूसरा गुणन एल्गोरिथ्म से आता है, और तीसरा विभाजन और जीत से आता है।

इसके प्रमुख गुणनखंड से $S_{n}$ की गणना करके और भी बेहतर दक्षता प्राप्त की जाती है, इस सिद्धांत के आधार पर कि घातांक को एक उत्पाद में विस्तारित करने की तुलना में वर्गीकरण द्वारा घातांक तेज होता है। अर्नोल्ड शॉनहेज द्वारा इसके लिए एक एल्गोरिथम $n$ तक के अभाज्य संख्याओं की सूची खोजने से शुरू होता है, उदाहरण के लिए एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग करते हुए, और प्रत्येक अभाज्य के लिए प्रतिपादक की गणना करने के लिए लेजेंडर के सूत्र का उपयोग करता है। फिर यह इन घातांक के साथ प्रमुख शक्तियों के उत्पाद की गणना करता है, एक पुनरावर्ती एल्गोरिथ्म का उपयोग करते हुए, निम्नानुसार है: अभाज्य संख्या प्रमेय द्वारा $$n$$ तक के सभी अभाज्य संख्याओं का गुणनफल $$O(n)$$-बिट संख्या है, इसलिए पहले चरण का समय $$O(n\log^2 n)$$ है, जिसमें एक लघुगणक विभाजन और जीत से आता है और दूसरा गुणन एल्गोरिथ्म से आता है। एल्गोरिथ्म के लिए पुनरावर्ती कॉल में, अभाज्य संख्या प्रमेय को फिर से यह साबित करने के लिए लागू किया जा सकता है कि संबंधित उत्पादों में बिट्स की संख्या पुनरावृत्ति के प्रत्येक स्तर पर एक स्थिर कारक से घटती है, इसलिए इन चरणों के लिए कुल समय पुनरावृत्ति के सभी स्तरों पर एक ज्यामितीय श्रृंखला में $O(n\log^2 n)$. में जोड़ता है। दूसरे चरण में चुकता करने और तीसरे चरण में गुणा करने का समय फिर से $O(n\log^2 n)$, है, क्योंकि प्रत्येक $$O(n\log n)$$ बिट्स वाली संख्या का एकल गुणन है। फिर से, पुनरावृत्ति के प्रत्येक स्तर पर शामिल संख्याओं में एक निरंतर अंश होता है क्योंकि कई बिट्स (क्योंकि अन्यथा बार-बार उन्हें बार-बार चुकता करने से अंतिम परिणाम बहुत बड़ा होता है) इसलिए फिर से पुनरावर्ती कॉल में इन चरणों के लिए समय की मात्रा एक ज्यामितीय श्रृंखला में $O(n\log^2 n)$ में जुड़ जाती है। नतीजतन, पूरे एल्गोरिथ्म में समय $O(n\log^2 n)$ लगता है, इसके परिणाम में समान संख्या में बिट्स के साथ एकल गुणन के समानुपाती।
 * उन अभाज्य संख्याओं के गुणनफल की गणना करने के लिए, जिनके घातांक विषम हैं, विभाजित करें और जीतें का प्रयोग करें
 * सभी घातांक को दो से विभाजित करें (एक पूर्णांक के लिए नीचे की ओर), इन छोटे घातांकों के साथ प्रमुख शक्तियों के उत्पाद की पुनरावर्ती गणना करें, और परिणाम को वर्गित करें
 * पिछले दो चरणों के परिणामों को एक साथ गुणा करें

संबंधित अनुक्रम और कार्य
कई अन्य पूर्णांक अनुक्रम भाज्य के समान या उससे संबंधित हैं:

अल्टरनेटिंग फ़ैक्टोरियल

 * अल्टरनेटिंग फ़ैक्टोरियल पहले $$n$$ फ़ैक्टोरियल्स के अल्टरनेटिंग योग का निरपेक्ष मान है, $\sum_{i = 1}^n (-1)^{n - i}i!$। इनका मुख्य रूप से अध्ययन उनकी मौलिकता के संबंध में किया गया है; उनमें से केवल अंतिम रूप से कई अभाज्य हो सकते हैं, लेकिन इस रूप के अभाज्य संख्याओं की पूरी सूची ज्ञात नहीं है।


 * भार्गव क्रमगुणितअ
 * भार्गव फैक्टोरियल मंजुल भार्गव द्वारा परिभाषित पूर्णांक अनुक्रमों का एक परिवार है, जिसमें फैक्टोरियल के समान संख्या-सैद्धांतिक गुण होते हैं, जिसमें एक विशेष मामले के रूप में फैक्टोरियल भी शामिल है।

डबल क्रमगुणितअ

 * किसी विषम धनात्मक पूर्णांक $${\displaystyle n}$$ तक के सभी विषम पूर्णांकों के गुणनफल को $${\displaystyle n}$$ का दोहरा भाज्य कहा जाता है, और इसे $n!!$. से दर्शाया जाता है। अर्थात्,$$(2k-1)!! = \prod_{i=1}^k (2i-1) = \frac{(2k)!}{2^k k!}.$$उदाहरण के लिए, 9!! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945। त्रिकोणमितीय समाकलों में दोहरे भाज्य का उपयोग किया जाता है, अर्ध-पूर्णांकों पर गामा फ़ंक्शन के लिए अभिव्यक्तियों में और हाइपरस्फीयर के आयतन में, और बाइनरी ट्री और सही मिलान की गिनती में।
 * घातीय क्रमगुणितअ
 * जिस प्रकार त्रिकोणीय संख्याएँ $$1$$ से $${\displaystyle n}$$ तक की संख्याओं का योग करती हैं, और भाज्य उनके गुणनफल को लेते हैं, उसी प्रकार घातीय भाज्य घातांक। घातांकीय भाज्य को $${\displaystyle a_{0}=1,\ a_{n}=n^{a_{n-1}}}$$ के रूप में पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, 4 का घातांकीय भाज्य है$$4\$= 4^{3^{2^{1}}}=262144.$$ये संख्या नियमित फैक्टोरियल की तुलना में बहुत अधिक तेजी से बढ़ती है।

फॉलिंग क्रमगुणितअ

 * नोटेशन $$(x)_{n}$$ या $$x^{\underline n}$$ का उपयोग कभी-कभी $$n$$ पूर्णांकों के गुणनफल का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है, जो कि $x!/(x-n)!$. के बराबर और $$x$$ सहित गिनते हैं। इसे गिरते हुए फैक्टोरियल या बैकवर्ड फैक्टोरियल के रूप में भी जाना जाता है, और $$(x)_{n}$$ संकेतन एक पोचहैमर प्रतीक है। फ़ॉलिंग फ़ैक्टोरियल n अलग-अलग वस्तुओं के विभिन्न अनुक्रमों की संख्या की गणना करते हैं जिन्हें $$x$$ वस्तुओं के ब्रह्मांड से खींचा जा सकता है। वे बहुपदों के उच्च व्युत्पन्नों में गुणांक के रूप में होते हैं, और यादृच्छिक चरों के भाज्य आघूर्ण में।


 * हाइपरक्रमगुणितअ
 * $$n$$ का हाइपरफैक्टोरियल गुणनफल $$1^1\cdot 2^2\cdots n^n$$ है। ये संख्याएँ हरमाइट बहुपदों के विभेदक बनाती हैं। उन्हें K-फ़ंक्शन द्वारा लगातार प्रक्षेपित किया जा सकता है, और स्टर्लिंग के सूत्र और विल्सन के प्रमेय के अनुरूपता का पालन करते हैं।


 * जॉर्डन -प्यूल्य नंबर
 * जॉर्डन-पोलिया नंबर फैक्टोरियल्स के उत्पाद हैं, जो दोहराव की अनुमति देते हैं। प्रत्येक पेड़ में एक सममिति समूह होता है जिसकी सममितियों की संख्या एक जॉर्डन-पोल्या संख्या होती है, और प्रत्येक जॉर्डन-पोल्या संख्या किसी न किसी पेड़ की सममिति की गणना करती है।


 * प्राइमोरियल
 * प्रिमोरियल $$n\#$$, $$n$$ से कम या उसके बराबर अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है; यह निर्माण उन्हें फैक्टोरियल्स के समान कुछ समान विभाज्यता गुण देता है, लेकिन फैक्टोरियल के विपरीत वे स्क्वायर-फ्री हैं। फैक्टोरियल प्राइम $n!\pm 1$, की तरह, शोधकर्ताओं ने प्राइमरी प्राइम $n\#\pm 1$. का अध्ययन किया है।


 * उपक्रमगुणितअ
 * उपक्रमगुणितअ $$n$$ वस्तुओं के एक सेट के डिरेंजमेंट की संख्या देता है। इसे कभी-कभी $$!n$$ निरूपित किया जाता है, और $n!/e$. के निकटतम पूर्णांक के बराबर होता है।


 * सुपरक्रमगुणितअ
 * $$n$$ का सुपरक्रमगुणितअ पहले $$n$$ फैक्टोरियल्स का गुणनफल है। सुपरफैक्टोरियल्स बार्न्स जी-फ़ंक्शन द्वारा लगातार प्रक्षेपित किए जाते हैं।

बाहरी संबंध


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