अनिसोट्रोपिक प्रसार

प्रतिबिंब प्रक्रमण और कंप्यूटर दृष्टि में, विषमदैशिक विसरण, जिसे पेरोना-मलिक विसरण भी कहा जाता है, प्रतिबिंब पदार्थ के महत्वपूर्ण भागों को हटाए बिना प्रतिबिंब रव को कम करने के उद्देश्य से एक तकनीक है, सामान्यतः किनारों, रेखाओं या अन्य विवरण जो प्रतिबिंब की व्याख्या के लिए महत्वपूर्ण हैं।  विषमदैशिक विसरण उस प्रक्रिया से मिलता-जुलता है जो माप समष्टि बनाता है, जहां प्रतिबिंब विसरण प्रक्रिया के आधार पर क्रमिक रूप से अधिक से अधिक अस्पष्ट प्रतिबिंबों का एक पैरामीटरयुक्त वर्ग उत्पन्न करती है। इस वर्ग में परिणामी प्रतिबिंबों में से प्रत्येक को प्रतिबिंब और एक 2डी समदैशिक गाऊसी निस्यंदक के बीच संवलन के रूप में दिया गया है, जहां पैरामीटर के साथ निस्यंदक की चौड़ाई बढ़ जाती है। यह विसरण प्रक्रिया मूल प्रतिबिंब का रैखिक और समष्टि-अपरिवर्तनीय परिवर्तन है। विषमदैशिक विसरण इस विसरण प्रक्रिया का सामान्यीकरण है: यह पैरामिट्रीकृत प्रतिबिंबों के वर्ग का उत्पादन करता है, परन्तु प्रत्येक परिणामी प्रतिबिंब मूल प्रतिबिंब और निस्यंदक के बीच एक संयोजन है जो मूल प्रतिबिंब की स्थानीय पदार्थ पर निर्भर करते है। परिणामस्वरूप, विषमदैशिक विसरण मूल प्रतिबिंब का गैर-रैखिक और समष्टि-भिन्न परिवर्तन है।

1987 में पीटर पेरोना और जितेंद्र मलिक द्वारा प्रस्तुत अपने मूल सूत्रीकरण में, समष्टि- परिवर्त निस्यंदक वस्तुतः समदैशिक है, परन्तु प्रतिबिंब पदार्थ पर निर्भर करते है जैसे कि यह किनारों और अन्य संरचनाओं के निकट आवेग फलन का अनुमान लगाता है जिसे परिणामी माप समष्टि के विभिन्न स्तरों पर प्रतिबिंब में संरक्षित किया जाना चाहिए। इस सूत्रीकरण को पेरोना और मलिक द्वारा विषमदैशिक विसरण के रूप में संदर्भित किया गया था, यद्यपि स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक समदैशिक है, परन्तु इसे अन्य लेखकों द्वारा अमानवीय और गैर-रैखिक विसरण या पेरोना-मलिक विसरण के रूप में भी संदर्भित किया गया है। एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक को किनारों या रेखाओं जैसे रैखिक संरचनाओं के निकट उचित रूप में विषमदैशिक होने की अनुमति देते है: इसकी संरचना द्वारा दिया गया अभिविन्यास है जैसे कि यह संरचना के साथ लम्बी और संकरी होती है। इस प्रकार की विधियों को सजातीय आकार अनुकूलन  सुसंगतता बढ़ाने वाले प्रसार के रूप में संदर्भित किए जाते है। परिणामस्वरूप, परिणामी प्रतिबिंब रैखिक संरचनाओं को संरक्षित करती हैं जबकि एक ही समय में इन संरचनाओं के साथ मृदुलन की जाती है। इन दोनों स्थितियों को सामान्य विसरण समीकरण के सामान्यीकरण द्वारा वर्णित किए जा सकते है जहां विसरण गुणांक, नियत अदिश होने के अतिरिक्त, प्रतिबिंब स्थिति का एक फलन है और आव्यूह (गणित) (या टेन्सर) मान (संरचना टेंसर देखें) मानता है।

यद्यपि प्रतिबिंबों के परिणामी वर्ग को मूल प्रतिबिंब और समष्टि- परिवर्त निस्यंदक के बीच संयोजन के रूप में वर्णित किए जा सकते है, स्थानीय रूप से अनुकूलित निस्यंदक और प्रतिबिंब के साथ इसके संयोजन को अभ्यास में नहीं समझना चाहिए। विषमदैशिक विसरण सामान्य रूप से सामान्यीकृत विसरण समीकरण के सन्निकटन के माध्यम से कार्यान्वित किए जाते है: वर्ग में प्रत्येक नवीन प्रतिबिंब की गणना इस समीकरण को पिछली प्रतिबिंब पर लागू करके की जाती है। फलस्वरूप, विषमदैशिक विसरण पुनरावृत्त प्रक्रिया है जहां गणना का अपेक्षाकृत सरल समुच्चय वर्ग में प्रत्येक क्रमिक प्रतिबिंब की गणना करने के लिए उपयोग किए जाते है और यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि पर्याप्त मात्रा में मृदुलन प्राप्त नहीं हो जाती।

यादृच्छिक परिभाषा
यादृच्छिक रूप से, $$ \Omega \subset \mathbb{R}^2 $$ तल के उपसमुच्चय को दर्शाते है और $$ I(\cdot,t): \Omega \rightarrow \mathbb{R} $$ धूसरता क्रम प्रतिबिंब का वर्ग है। $$ I(\cdot, 0) $$ निवेश प्रतिबिंब है। फिर विषमदैशिक विसरण को
 * $$ \frac{\partial I}{\partial t} = \operatorname{div} \left( c(x,y,t) \nabla I \right)= \nabla c \cdot \nabla I + c(x,y,t) \, \Delta I $$

के रूप में परिभाषित किए जाते है जहां $$ \Delta $$ लाप्लासियन को दर्शाता है, $$ \nabla $$ प्रवणता को दर्शाता है, $$ \operatorname{div}(\cdots) $$ विचलन संक्रियक है और $$ c(x,y,t) $$ विसरण गुणांक है।

$$ t > 0 $$ के लिए, निर्गम प्रतिबिंब $$ I(\cdot, t) $$ के रूप में उपलब्ध है, जिसमें बड़ा $$ t $$ अस्पष्ट प्रतिबिंब बनाता है।

$$ c(x,y,t) $$ विसरण की दर को नियंत्रित करता है और सामान्यतः प्रतिबिंब प्रवणता के फलन के रूप में चुना जाता है ताकि प्रतिबिंब में किनारों को संरक्षित किया जा सके। पिएत्रो पेरोना और जितेंद्र मलिक ने 1990 में विषमदैशिक विसरण के विचार को आगे बढ़ाया और विसरण गुणांक के लिए दो फलनों का प्रस्ताव दिया:
 * $$ c\left(\|\nabla I\|\right) = e^{-\left(\|\nabla I\| / K\right)^2} $$

और
 * $$ c\left(\| \nabla I\| \right) = \frac{1}{1 + \left(\frac{\|\nabla I\|}{K}\right)^2} $$

नियत K किनारों की संवेदनशीलता को नियंत्रित करता है और सामान्यतः प्रयोगात्मक रूप से या प्रतिबिंब में रव के फलन के रूप में चुना जाता है।

प्रेरणा
माना $$ M $$ मृदु प्रतिबिंबों के बहुमुख को दर्शाते है, तो ऊपर प्रस्तुत विसरण समीकरणों को
 * $$ E[I] = \frac{1}{2} \int_{\Omega} g\left( \| \nabla I(x)\|^2 \right)\, dx $$

द्वारा परिभाषित ऊर्जा फलनात्मकता $$ E: M \rightarrow \mathbb{R} $$ के न्यूनतमकरण के लिए प्रवणता अवरोहण समीकरणों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जहां $$ g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ एक वास्तविक-मानित फलन है जो विसरण गुणांक से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। फिर किसी भी प्रकार से समर्थित अपरिमित भिन्न परीक्षण फलन $$ h $$,


 * $$ \begin{align}

\left.\frac{d}{dt} \right|_{t=0} E[I + th] &= \frac{d}{dt} \big|_{t=0}\frac{1}{2} \int_\Omega g\left( \| \nabla (I+th)(x)\|^2 \right)\, dx \\[5pt] &= \int_\Omega g'\left(\| \nabla I(x)\|^2 \right) \nabla I \cdot \nabla h\, dx \\[5pt] &= -\int_\Omega \operatorname{div}(g'\left( \| \nabla I(x)\|^2 \right) \nabla I) h\, dx \end{align} $$ के लिए जहां अंतिम पंक्ति भागों द्वारा बहुआयामी एकीकरण से होती है। $$ \nabla E_I $$ को I पर मूल्यांकन किए गए $$ L^2(\Omega, \mathbb{R})$$ आंतरिक उत्पाद के संबंध में E की प्रवणता को इंगित करने दें, यह
 * $$ \nabla E_I = - \operatorname{div}(g'\left( \| \nabla I(x)\|^2 \right) \nabla I) $$ देता है

इसलिए, फलनात्मकता E पर प्रवणता अवरोहण समीकरण


 * $$ \frac{\partial I}{\partial t} = - \nabla E_I = \operatorname{div}(g'\left( \| \nabla I(x)\|^2 \right) \nabla I) $$ द्वारा दिए गए हैं

इस प्रकार $$ c = g' $$ देकर विषमदैशिक विसरण समीकरण प्राप्त किए जाते हैं।

नियमितीकरण
विसरण गुणांक, $$ c(x,y,t) $$, जैसा कि पेरोना और मलिक द्वारा प्रस्तावित किया गया है, जब अस्थिरता $$ \| \nabla I\|^2 > K^2 $$ हो सकती है। यह सिद्ध किया जा सकता है कि यह स्थिति भौतिक विसरण गुणांक (जो पेरोना और मलिक द्वारा परिभाषित गणितीय विसरण गुणांक से भिन्न है) के ऋणात्मक होने के समतुल्य है और यह पिछड़े विसरण की ओर जाता है जो प्रतिबिंब की तीव्रता की विषमता को मृदु करने के अतिरिक्त बढ़ाते है। समस्या से बचने के लिए, नियमितीकरण आवश्यक है और लोगों ने दिखाया है कि स्थानिक नियमितीकरण अभिसरण और नियत स्थिर-अवस्था हल की ओर ले जाता है।

इसके लिए संशोधित पेरोना-मलिक मॉडल (जिसे P-M समीकरण के नियमितीकरण के रूप में भी जाना जाता है) पर चर्चा की जाएगी। इस दृष्टिकोण में, अज्ञात को एक संशोधित पेरोना-मलिक समीकरण
 * $$ \frac{\partial I}{\partial t}=\operatorname{div} \left(c(|\nabla(G_\sigma * I)|^2)\nabla I \right) $$

प्राप्त करने के लिए गैर-रैखिकता के भीतर एक गॉसियन के साथ जोड़ा जाता है, जहां $$ G_\sigma=C\sigma^{-1/2}\exp\left(-|x|^2/4\sigma\right)$$।

इस नियमितीकरण से समीकरण की ठीक स्थिति प्राप्त की जा सकती है परन्तु यह अस्पष्ट प्रभाव भी प्रस्तुत करता है, जो नियमितीकरण का मुख्य दोष है। रव के स्तर का पूर्व ज्ञान आवश्यक है क्योंकि नियमितीकरण पैरामीटर का चुनाव इस पर निर्भर करते है।

अनुप्रयोग
विषमदैशिक विसरण का उपयोग किनारों को अस्पष्ट किए बिना अंकीय प्रतिबिंबों से रव को दूर करने के लिए किए जा सकते है। एक नियत विसरण गुणांक के साथ, विषमदैशिक विसरण समीकरण ऊष्मा समीकरण को कम करते हैं जो गॉसियन अस्पष्टता के बराबर है। यह रव को दूर करने के लिए आदर्श है, परन्तु अक्रमतः रूप से किनारों को भी अस्पष्ट कर देते है। जब विसरण गुणांक को किनारे से बचने वाले फलन के रूप में चुना जाता है, जैसे कि पेरोना-मलिक में, परिणामी समीकरण मृदु प्रतिबिंब तीव्रता के क्षेत्रों के भीतर विसरण (इसलिए मृदुलन) को प्रोत्साहित करते हैं और इसे दृढ किनारों पर दबा देते हैं। इसलिए प्रतिबिंब से रव को दूर करते हुए किनारों को संरक्षित किया जाता है।

रव हटाने के समान लाइनों के साथ, विषमदैशिक विसरण का उपयोग कोर संसूचक एल्गोरिदम में किया जा सकता है। पुनरावृत्तियों की निश्चित संख्या के लिए विसरण गुणांक का अनुसरण करने वाले किनारे के साथ विसरण को चलाकर, प्रतिबिंब को किनारों के रूप में खोजने वाले नियत घटकों के बीच की सीमाओं के साथ खंडशः के नियत प्रतिबिंब की ओर विकसित किए जा सकते है।

यह भी देखें

 * द्विपक्षीय निस्यंदक
 * कोर संसूचक
 * कोर-संरक्षण मृदुलन
 * ऊष्मा समीकरण
 * प्रतिबिंब रव
 * रव कमी
 * माप समष्टि
 * कुल भिन्नता रव
 * परिबद्ध भिन्नता

बाहरी संबंध

 * Mathematica PeronaMalikFilter function।
 * IDL nonlinear anisotropic diffusion package(edge enhancing and coherence enhancing):