बाह्य बीजगणित

गणित में, बाहरी बीजगणित, या ग्रासमैन बीजगणित, जिसका नाम हरमन ग्रासमैन के नाम पर रखा गया है, एक बीजगणित है जो बाहरी उत्पाद या वेज उत्पाद को इसके गुणा के रूप में उपयोग करता है। गणित में, सदिशों का बाहरी उत्पाद या वेज उत्पाद एक बीजगणितीय निर्माण है जिसका उपयोग ज्यामिति में क्षेत्रों, आयतनों और उनके उच्च-आयामी अनुरूपों का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। दो सदिशों $$ u $$ और $$ v $$ के बाहरी उत्पाद को $$ u \wedge v $$ से निरूपित किया जाता है जिसे बाइवेक्टर कहा जाता है और एक अंतरिक्ष में रहता है जिसे बाहरी वर्ग कहा जाता है, एक वेक्टर स्थान जो वैक्टर के मूल स्थान से अलग होता है। $$ u \wedge v $$ के परिमाण की व्याख्या $$ u $$ और $$ v $$ भुजाओं वाले समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र के रूप में की जा सकती है, जिसकी गणना दो सदिशों के क्रॉस उत्पाद का उपयोग करके तीन आयामों में भी की जा सकती है। अधिक आम तौर पर, एक ही अभिविन्यास और क्षेत्र के साथ सभी समांतर समतल सतहों में उनके उन्मुख क्षेत्र के माप के रूप में एक ही द्विभाजक होता है। क्रॉस उत्पाद की तरह, बाहरी उत्पाद एंटीकोम्यूटिव है, जिसका अर्थ है कि $$ u \wedge v = -(v \wedge u) $$ सभी वैक्टर $$ u $$ और $$ v $$ के लिए है, लेकिन क्रॉस उत्पाद के विपरीत, बाहरी उत्पाद सहयोगी है।

जब इस तरह से देखा जाता है, तो दो सदिशों के बाहरी उत्पाद को 2-ब्लेड कहा जाता है। अधिक आम तौर पर, वैक्टर के किसी भी संख्या के बाहरी उत्पाद को परिभाषित किया जा सकता है और कभी-कभी इसे के-ब्लेड कहा जाता है। यह k-th बाहरी शक्ति के रूप में ज्ञात स्थान में रहता है। परिणामी k-ब्लेड का परिमाण k-आयामी समांतरोटोप का उन्मुख हाइपरवोल्यूम है जिसके किनारे दिए गए वैक्टर हैं, ठीक उसी तरह जैसे तीन आयामों में वैक्टर के स्केलर ट्रिपल उत्पाद का परिमाण उन वैक्टर द्वारा उत्पन्न समानांतर चतुर्भुज का आयतन देता है।

बाहरी बीजगणित एक बीजगणितीय सेटिंग प्रदान करता है जिसमें ज्यामितीय प्रश्नों का उत्तर दिया जाता है। उदाहरण के लिए, ब्लेड की एक ठोस ज्यामितीय व्याख्या होती है, और बाहरी बीजगणित में वस्तुओं को स्पष्ट नियमों के एक सेट के अनुसार हेरफेर किया जा सकता है। बाहरी बीजगणित में ऐसे ऑब्जेक्ट होते हैं जो न केवल k-ब्लेड होते हैं, बल्कि k-ब्लेड के योग होते हैं; ऐसी राशि को k-वेक्टर कहा जाता है। k-ब्लेड, क्योंकि वे सदिशों के सरल गुणनफल हैं, बीजगणित के सरल तत्व कहलाते हैं। किसी भी k-वेक्टर की रैंक को उन सरल तत्वों की सबसे छोटी संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिनका यह योग है। बाहरी उत्पाद पूर्ण बाहरी बीजगणित तक फैला हुआ है, जिससे बीजगणित के किसी भी दो तत्वों को गुणा करना समझ में आता है। इस उत्पाद से लैस, बाहरी बीजगणित एक साहचर्य बीजगणित है, जिसका अर्थ है कि $$ \alpha \wedge (\beta \wedge \gamma) = (\alpha \wedge \beta) \wedge \gamma $$ किसी भी तत्व के लिए $$ \alpha, \beta, \gamma $$। k-वैक्टर की डिग्री k है, जिसका अर्थ है कि वे k वैक्टर के उत्पादों का योग हैं। जब अलग-अलग डिग्री के तत्वों को गुणा किया जाता है, तो डिग्रियां बहुपदों के गुणा की तरह जुड़ जाती हैं। इसका मतलब यह है कि बाहरी बीजगणित एक श्रेणीबद्ध बीजगणित है।

बाहरी बीजगणित की परिभाषा रिक्त स्थान के लिए समझ में आती है न केवल ज्यामितीय वैक्टरों की, बल्कि अन्य वेक्टर-जैसी वस्तुओं जैसे वेक्टर फ़ील्ड या फ़ंक्शंस के लिए। पूर्ण सामान्यता में, बाहरी बीजगणित को एक कम्यूटेटिव रिंग पर मॉड्यूल के लिए और अमूर्त बीजगणित में रुचि के अन्य संरचनाओं के लिए परिभाषित किया जा सकता है। यह इन अधिक सामान्य निर्माणों में से एक है जहां बाहरी बीजगणित अपने सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक पाता है, जहां यह भिन्न रूपों के बीजगणित के रूप में प्रकट होता है जो कि उन क्षेत्रों में मौलिक है जो विभेदक ज्यामिति का उपयोग करते हैं। बाहरी बीजगणित में कई बीजगणितीय गुण भी होते हैं जो इसे बीजगणित में ही एक सुविधाजनक उपकरण बनाते हैं। एक सदिश स्थान के लिए बाहरी बीजगणित का जुड़ाव सदिश स्थानों पर एक प्रकार का फंक्टर है, जिसका अर्थ है कि यह एक निश्चित तरीके से सदिश स्थानों के रैखिक परिवर्तनों के साथ संगत है। बाहरी बीजगणित एक बायलजेब्रा का एक उदाहरण है, जिसका अर्थ है कि इसकी दोहरी जगह में भी एक उत्पाद है, और यह दोहरी उत्पाद बाहरी उत्पाद के साथ संगत है। यह दोहरी बीजगणित वैकल्पिक रूप से बहु-रेखीय रूपों का बीजगणित है, और बाहरी बीजगणित और इसके दोहरे के बीच की जोड़ी आंतरिक उत्पाद द्वारा दी गई है।

प्रेरक उदाहरण
पहले दो उदाहरण एक मीट्रिक टेंसर फ़ील्ड और एक अभिविन्यास मानते हैं; तीसरा उदाहरण या तो नहीं मानता।

विमान में क्षेत्र
कार्तीय तल $$ \mathbb R^2 $$ एक वास्तविक सदिश स्थान है जो इकाई सदिशों की एक जोड़ी से युक्त आधार से सुसज्जित है



{\mathbf e}_1 = \begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\quad {\mathbf e}_2 = \begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}, $$ अभिविन्यास के साथ $$ \mathbf e_1 \times \mathbf e_2 $$ और मीट्रिक के साथ $$\begin{bmatrix}1 & 0\\0 & 1\end{bmatrix}. $$ मान लीजिए


 * $$\mathbf{v} = \begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}

= a \mathbf{e}_1 + b \mathbf{e}_2, \quad \mathbf{w} = \begin{bmatrix}c\\d\end{bmatrix} = c \mathbf{e}_1 + d \mathbf{e}_2 $$ घटकों में लिखे $$\R^2,$$ में दिए गए वैक्टरों की एक जोड़ी है। एक अद्वितीय समांतर चतुर्भुज है जिसकी दो भुजाएँ v और w हैं। इस समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल मानक निर्धारक सूत्र द्वारा दिया गया है:



\text{Area} = \Bigl| \det \begin{bmatrix} \mathbf{v} & \mathbf{w} \end{bmatrix} \Bigr| = \Biggl| \det \begin{bmatrix} a & c \\ b & d \end{bmatrix} \Biggr| = \left| ad - bc \right|. $$ अब v और w के बाह्य गुणनफल पर विचार करें:


 * $$\begin{align}

\mathbf{v} \wedge \mathbf{w} &= (a\mathbf{e}_1 + b\mathbf{e}_2) \wedge (c\mathbf{e}_1 + d\mathbf{e}_2) \\ &= ac\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_1 + ad\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 + bc\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1 + bd\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_2 \\ &= \left( ad - bc \right)\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \end{align}$$ जहां पहला चरण बाहरी उत्पाद के लिए वितरण नियम का उपयोग करता है, और अंतिम चरण इस तथ्य का उपयोग करता है कि बाहरी उत्पाद वैकल्पिक है, और विशेष रूप से $$\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_1 = -(\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2)$$। (तथ्य यह है कि बाहरी उत्पाद वैकल्पिक रूप से भी $$ \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_1 = \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_2 = 0$$ को बल देता है) ध्यान दें कि इस अंतिम अभिव्यक्ति में गुणांक वास्तव में मैट्रिक्स [v w] का निर्धारक है। तथ्य यह है कि यह सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है इसका सहज अर्थ है कि v और w एक वामावर्त या दक्षिणावर्त अर्थ में उन्मुख हो सकते हैं क्योंकि वे समानांतर चतुर्भुज के कोने को परिभाषित करते हैं। इस तरह के क्षेत्र को समांतर चतुर्भुज का हस्ताक्षरित क्षेत्र कहा जाता है: हस्ताक्षरित क्षेत्र का निरपेक्ष मान साधारण क्षेत्र है, और चिन्ह इसके अभिविन्यास को निर्धारित करता है।

तथ्य यह है कि यह गुणांक हस्ताक्षरित क्षेत्र है, कोई दुर्घटना नहीं है। वास्तव में, यह देखना अपेक्षाकृत आसान है कि बाहरी उत्पाद को हस्ताक्षरित क्षेत्र से संबंधित होना चाहिए यदि कोई इस क्षेत्र को बीजगणितीय निर्माण के रूप में स्वयंसिद्ध करने की कोशिश करता है। विस्तार से, यदि A(v, w) समांतर चतुर्भुज के हस्ताक्षरित क्षेत्र को दर्शाता है जिसमें वैक्टर v और w की जोड़ी दो आसन्न भुजाएँ बनाती है, तो A को निम्नलिखित गुणों को पूरा करना चाहिए: पिछले संपत्ति के अपवाद के साथ, दो वैक्टरों का बाहरी उत्पाद क्षेत्र के समान गुणों को पूरा करता है। एक निश्चित अर्थ में, बाहरी उत्पाद एक समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की तुलना समानांतर विमान में किसी भी चुने हुए समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र की अनुमति देकर अंतिम संपत्ति को सामान्य करता है (यहाँ, भुजाओं वाला e1 और e2)। दूसरे शब्दों में, बाहरी उत्पाद क्षेत्र का एक आधार-स्वतंत्र सूत्रीकरण प्रदान करता है।
 * 1) A(rv, sw) = rsA(v, w) किसी भी वास्तविक संख्या r और s के लिए, क्योंकि दोनों पक्षों में से किसी एक को फिर से स्केल करने से क्षेत्रफल में समान मात्रा (और किसी एक पक्ष की दिशा उलटने से समांतर चतुर्भुज का अभिविन्यास उलट जाता है) की वृद्धि होती है।
 * 2) A(v, v) = 0, क्योंकि v (अर्थात, एक रेखा खंड) द्वारा निर्धारित पतित समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल शून्य है।
 * A(w, v) = −A(v, w), v और w की भूमिकाओं को परस्पर क्रिया करने के बाद से समांतर चतुर्भुज के अभिविन्यास को उलट देता है।
 * 1) किसी भी वास्तविक संख्या r के लिए A(v + rw, w) = A(v, w), चूँकि v में w का एक गुणक जोड़ने से समांतर चतुर्भुज का न तो आधार और न ही ऊँचाई प्रभावित होती है और इसके परिणामस्वरूप इसका क्षेत्रफल सुरक्षित रहता है।
 * 2) A(e1, e2) = 1, चूंकि इकाई वर्ग का क्षेत्रफल एक है।

क्रॉस और ट्रिपल उत्पाद
एक बिलिनियर स्केलर उत्पाद के साथ 3-आयामी उन्मुख वेक्टर अंतरिक्ष में वैक्टर के लिए, बाहरी बीजगणित क्रॉस उत्पाद और ट्रिपल उत्पाद से निकटता से संबंधित है। मानक आधार (e1, e2, e3) का उपयोग करके, सदिशों के एक युग्म का बाह्य गुणनफल



\mathbf{u} = u_1 \mathbf{e}_1 + u_2 \mathbf{e}_2 + u_3 \mathbf{e}_3 $$ और



\mathbf{v} = v_1 \mathbf{e}_1 + v_2 \mathbf{e}_2 + v_3 \mathbf{e}_3 $$ है



\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} = (u_1 v_2 - u_2 v_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2) + (u_2 v_3 - u_3 v_2) (\mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3) + (u_3 v_1 - u_1 v_3) (\mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_1) , $$ जहां (e1 ∧ e2, e2 ∧ e3, e3 ∧ e1) त्रि-आयामी अंतरिक्ष $ \bigwedge\nolimits^2\left(\mathbb R^3\right). $ के लिए आधार है। उपरोक्त गुणांक वही हैं जो किसी दिए गए अभिविन्यास के साथ तीन आयामों में वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद की सामान्य परिभाषा में हैं, केवल अंतर यह है कि बाहरी उत्पाद एक सामान्य वेक्टर नहीं है, बल्कि इसके बजाय एक 2-वेक्टर है, और यह कि बाहरी उत्पाद अभिविन्यास के विकल्प पर निर्भर नहीं करता है।

एक तीसरा सदिश लाना



\mathbf{w} = w_1 \mathbf{e}_1 + w_2 \mathbf{e}_2 + w_3 \mathbf{e}_3, $$ तीन सदिशों का बाह्य गुणनफल है



\mathbf{u} \wedge \mathbf{v} \wedge \mathbf{w} = (u_1 v_2 w_3 + u_2 v_3 w_1 + u_3 v_1 w_2 - u_1 v_3 w_2 - u_2 v_1 w_3 - u_3 v_2 w_1) (\mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 \wedge \mathbf{e}_3) $$ जहाँ e1 ∧ e2 ∧ e3 एक-आयामी स्थान $ \bigwedge\nolimits^3\left(\mathbb R^3\right) $ के लिए आधार सदिश है। अदिश गुणांक तीन सदिशों का त्रिगुणात्मक गुणनफल है।

तीन आयामी यूक्लिडियन वेक्टर अंतरिक्ष में क्रॉस उत्पाद और ट्रिपल उत्पाद हॉज स्टार द्वंद्व के माध्यम से ज्यामितीय और बीजगणितीय दोनों व्याख्याओं को स्वीकार करते हैं। क्रॉस उत्पाद u × v को एक वेक्टर के रूप में व्याख्या किया जा सकता है जो यू और वी दोनों के लिए लंबवत है और जिसका परिमाण दो वैक्टरों द्वारा निर्धारित समांतरोग्राम के क्षेत्र के बराबर है। इसे सदिश के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है जिसमें कॉलम यू और वी के साथ मैट्रिक्स के नाबालिग शामिल हैं। यू, वी, और डब्ल्यू के ट्रिपल उत्पाद एक ज्यामितीय उन्मुख मात्रा का प्रतिनिधित्व करने वाला एक हस्ताक्षरित स्केलर है। बीजगणितीय रूप से, यह कॉलम यू, वी, और डब्ल्यू के साथ मैट्रिक्स का निर्धारक है। तीन आयामों में बाहरी उत्पाद समान व्याख्याओं की अनुमति देता है: यह भी, उन्मुख रेखाओं, क्षेत्रों, मात्राओं, आदि के साथ पहचाना जा सकता है, जो एक, दो या अधिक वैक्टरों द्वारा फैलाए जाते हैं। बाहरी उत्पाद इन ज्यामितीय धारणाओं को सभी वेक्टर रिक्त स्थान और किसी भी आयाम के लिए सामान्य करता है, यहां तक ​​कि स्केलर उत्पाद की अनुपस्थिति में भी।

विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र
आइंस्टीन के सापेक्षता के सिद्धांतों में, विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र को आम तौर पर 4-स्थान में अंतर 2-रूप $$ F = dA $$ के रूप में या समकक्ष वैकल्पिक टेंसर क्षेत्र $$ F_{ij} = A_{[i,j]} = A_{[i;j]}, $$ विद्युत चुम्बकीय टेंसर के रूप में दिया जाता है। फिर $$ dF = ddA = 0 $$ या समतुल्य बियांची पहचान $$ F_{[ij,k]} = F_{[ij;k]} = 0 $$। इसमें से किसी को भी मीट्रिक की आवश्यकता नहीं है।

लोरेंत्ज़ मीट्रिक और एक ओरिएंटेशन जोड़ने से हॉज स्टार ऑपरेटर $$ \star $$ मिलता है और इस प्रकार $$ J = {\star}d{\star}F $$ या समकक्ष टेन्सर डाइवर्जेंस $$ J^i = F^{ij}_{,j} = F^{ij}_{;j} $$ को परिभाषित करना संभव हो जाता है जहाँ $$ F^{ij} = g^{ik}g^{jl}F_{kl} $$।

औपचारिक परिभाषाएँ और बीजगणितीय गुण
क्षेत्र $K$ पर सदिश स्थान $V$ का बाहरी बीजगणित $ \bigwedge(V) $ को टेंसर बीजगणित $T(V)$ के भागफल बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है, जो दो तरफा आदर्श $I$ द्वारा उत्पन्न $x ⊗ x$ के लिए $x ∈ V$ (यानी सभी टेंसर जिन्हें $V$ में वेक्टर के टेन्सर उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है) के सभी तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है। आदर्श I में फॉर्म $$ x \otimes y + y \otimes x = (x + y) \otimes (x + y) - x \otimes x - y \otimes y $$ के तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श जे शामिल है और यदि $$ \operatorname{char}(K) \ne 2 $$ (यदि $$ \operatorname{char}(K) = 2, $$ ये आदर्श शून्य वेक्टर स्थान को छोड़कर अलग हैं) तो ये आदर्श मेल खाते हैं।

इसलिए,


 * $$ {\textstyle\bigwedge}(V) = T(V)/I $$

एक साहचर्य बीजगणित है। इसके गुणन को बाह्य उत्पाद कहा जाता है, और इसे $∧$ से दर्शाया जाता है। इसका मतलब यह है कि $ \bigwedge(V) $ का गुणनफल $T(V)$ के टेन्सर गुणनफल $⊗$ से प्रेरित है।

$T^{0} = K$, $T^{1} = V$, और $$ \left(T^0(V) \oplus T^1(V)\right) \cap I = \{ 0 \}, $$ के रूप में, $T(V)$ में $K$ और $V$ का समावेश $K$ और $V$ के इंजेक्शन को $ \bigwedge(V) $  में प्रेरित करता है। इन इंजेक्शनों को आमतौर पर समावेशन के रूप में माना जाता है, और इन्हें प्राकृतिक अंतःस्थापन, प्राकृतिक इंजेक्शन या प्राकृतिक समावेशन कहा जाता है। प्राकृतिक के स्थान पर आमतौर पर विहित शब्द का भी प्रयोग किया जाता है।

वैकल्पिक उत्पाद
बाहरी उत्पाद $$ V, $$ के तत्वों पर बारी-बारी से निर्माण द्वारा है, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त निर्माण द्वारा सभी $ x \wedge x = 0 $ के लिए $$ x \in V $$। यह इस प्रकार है कि यह उत्पाद $$ V, $$ के तत्वों पर भी विरोधी है, यह मानने के लिए कि $$ x, y \in V, $$

0 = (x + y) \wedge (x + y) = x \wedge x + x \wedge y + y \wedge x + y \wedge y = x \wedge y + y \wedge x $$ इसलिए


 * $$ x \wedge y = -(y \wedge x). $$

अधिक व्यापक रूप से, यदि σ पूर्णांक [1, ..., k], और x1, x2, ..., xk, V के अवयव हैं, का एक क्रमचय है, तो यह अनुसरण करता है कि



x_{\sigma(1)} \wedge x_{\sigma(2)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(k)} = \operatorname{sgn}(\sigma)x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_k, $$ जहां sgn(σ) क्रमचय σ का हस्ताक्षर है।

विशेष रूप से, यदि xi = xj कुछ i ≠ j के लिए, तो वैकल्पिक संपत्ति का निम्नलिखित सामान्यीकरण भी मान्य है:


 * $$ x_{1} \wedge x_{2} \wedge \cdots \wedge x_{k} = 0. $$

बाहरी उत्पाद की वितरणात्मक संपत्ति के साथ, एक और सामान्यीकरण यह है कि यदि और केवल यदि $$ \{ x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{k} \} $$ सदिशों का रैखिक रूप से निर्भर सेट है, तो


 * $$ x_{1} \wedge x_{2} \wedge \cdots \wedge x_{k} = 0. $$

बाहरी शक्ति
V की k वीं बाहरी शक्ति, $ \bigwedge\nolimits^k(V), $ को निरूपित करती है, $ \bigwedge(V) $  की सदिश उप-समष्टि है जो प्रपत्र के तत्वों द्वारा फैली हुई है



x_1 \wedge x_2 \wedge \cdots \wedge x_k,\quad x_i \in V, i=1,2,\ldots, k. $$ यदि $ \alpha \in \bigwedge\nolimits^k(V), $ है, तो α को k-सदिश कहा जाता है। यदि, इसके अलावा, α को V के k तत्वों के बाहरी उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो α को डीकंपोज़ेबल कहा जाता है। हालांकि डीकंपोज़ेबल के-वैक्टर $ \bigwedge\nolimits^k(V), $  तक फैले हुए हैं, लेकिन $ \bigwedge\nolimits^k(V) $  का प्रत्येक तत्व डीकंपोज़ेबल नहीं है। उदाहरण के लिए, $$ \mathbb R^4, $$ में निम्नलिखित 2-वेक्टर डीकंपोजेबल नहीं है:


 * $$ \alpha = e_1 \wedge e_2 + e_3 \wedge e_4. $$

(यह एक सहानुभूतिपूर्ण रूप है, क्योंकि α ∧ α ≠ 0 है। )

आधार और आयाम
यदि $V$ की विमा $n$ है और ${ e_{1}, …, e_{n} }$ $V$ का बेसिस है, तो समुच्चय



\{\,e_{i_1} \wedge e_{i_2} \wedge \cdots \wedge e_{i_k} ~ \big| 1 \le i_1 < i_2 < \cdots < i_k \le n \,\} $$ $ \bigwedge\nolimits^k(V) $ के लिए बेसिस है। कारण निम्न है: प्रपत्र के किसी भी बाहरी उत्पाद को दिया गया


 * $$ v_1 \wedge \cdots \wedge v_k, $$

प्रत्येक सदिश $v_{j}$ को आधार सदिशों $e_{i}$ के एक रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है; बाहरी उत्पाद की बिलिनियरिटी का उपयोग करके, इसे उन आधार वैक्टरों के बाहरी उत्पादों के रैखिक संयोजन तक विस्तारित किया जा सकता है। कोई भी बाहरी उत्पाद जिसमें एक ही आधार वेक्टर एक से अधिक बार प्रकट होता है, शून्य होता है; कोई भी बाहरी उत्पाद जिसमें आधार वैक्टर उचित क्रम में प्रकट नहीं होते हैं, को फिर से व्यवस्थित किया जा सकता है, जब भी दो आधार वैक्टर स्थान बदलते हैं, तो चिन्ह बदल सकते हैं। सामान्य तौर पर, आधार $k$-वैक्टर के परिणामी गुणांक की गणना मैट्रिक्स के अवयस्क के रूप में की जा सकती है जो आधार $e_{i}$ के संदर्भ में वैक्टर $v_{j}$ का वर्णन करता है।

आधार तत्वों की गणना करके, $ \bigwedge\nolimits^k(V) $ का आयाम एक द्विपद गुणांक के बराबर है:


 * $$ \dim {\textstyle\bigwedge}^k(V) = \binom{n}{k}\,. $$

जहां $n$ सदिशों का आयाम है और $k$ उत्पाद में सदिशों की संख्या है। असाधारण मामलों के लिए भी द्विपद गुणांक सही परिणाम उत्पन्न करता है; विशेष रूप से, $k > n$ के लिए $ \bigwedge\nolimits^k(V) = \{ 0 \} $ ।

बाह्य बीजगणित के किसी भी तत्व को k-वैक्टरों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। इसलिए, सदिश स्थान के रूप में बाहरी बीजगणित एक सीधा योग है



{\textstyle\bigwedge}(V) = {\textstyle\bigwedge}^0(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^1(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^2(V) \oplus \cdots \oplus {\textstyle\bigwedge}^n(V) $$ (जहां सम्मेलन $ \bigwedge\nolimits^0(V) = K, $ $V$, और $ \bigwedge\nolimits^1(V) = V $  के नीचे का क्षेत्र), और इसलिए इसका आयाम द्विपद गुणांक के योग के बराबर है, जो कि 2n है।

एक के-वेक्टर की रैंक
यदि $ \alpha \in \bigwedge\nolimits^k(V) $ है, तो α को अपघटन योग्य k-वैक्टर के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त करना संभव है:


 * $$ \alpha = \alpha^{(1)} + \alpha^{(2)} + \cdots + \alpha^{(s)} $$

जहां प्रत्येक α(i) विघटित होता है, कहते हैं



\alpha^{(i)} = \alpha^{(i)}_1 \wedge \cdots \wedge \alpha^{(i)}_k,\quad i = 1,2,\ldots, s. $$ K-वेक्टर α का रैंक α के इस तरह के विस्तार में विघटन योग्य के-वैक्टर की न्यूनतम संख्या है। यह टेंसर रैंक की धारणा के समान ही है।

2-वैक्टरों के अध्ययन में रैंक विशेष रूप से महत्वपूर्ण है । 2-वेक्टर α की रैंक को एक आधार में α के गुणांकों के मैट्रिक्स के आधे रैंक के साथ पहचाना जा सकता है। इस प्रकार यदि ई वी के लिए एक आधार है, तो α को अद्वितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है


 * $$ \alpha = \sum_{i,j}a_{ij}e_i \wedge e_j $$

जहाँ aij = −aji (गुणांकों का आव्यूह तिरछा सममित है)। इसलिए आव्यूह aij की कोटि सम है, और α के रूप की कोटि से दोगुनी है।

विशेषता 0 में, 2-वेक्टर α का रैंक p है यदि और केवल यदि



\underset{p}{\underbrace{\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha}} \neq 0 \ $$ और $$ \ \underset{p+1}{\underbrace{\alpha \wedge \cdots \wedge \alpha}} = 0. $$

ग्रेडेड संरचना
पी-वेक्टर के साथ के-वेक्टर का बाहरी उत्पाद एक (के + पी) -वेक्टर है, जो एक बार फिर बिलिनियरिटी का आह्वान करता है। एक परिणाम के रूप में, पिछले अनुभाग का प्रत्यक्ष योग अपघटन



{\textstyle\bigwedge}(V) = {\textstyle\bigwedge}^{\!0}(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!1}(V) \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!2}(V) \oplus \cdots \oplus {\textstyle\bigwedge}^{\!n}(V) $$ बाहरी बीजगणित को एक वर्गीकृत बीजगणित की अतिरिक्त संरचना देता है, अर्थात



{\textstyle\bigwedge}^k(V) \wedge {\textstyle\bigwedge}^p(V) \sub {\textstyle\bigwedge}^{k+p}(V). $$ इसके अतिरिक्त, यदि $K$ आधार क्षेत्र है, तो हमारे पास है



{\textstyle\bigwedge}^{\!0}(V) = K $$ और $$ {\textstyle\bigwedge}^{\!1}(V) = V. $$ बाहरी उत्पाद को एंटीकोम्यूटेटिव श्रेणीबद्ध किया गया है, जिसका अर्थ है कि यदि $ \alpha \in \bigwedge\nolimits^k(V) $ और $ \beta \in \bigwedge\nolimits^p(V), $  हैं, तो


 * $$ \alpha \wedge \beta = (-1)^{kp}\beta \wedge \alpha. $$

बाहरी बीजगणित पर श्रेणीबद्ध संरचना का अध्ययन करने के अलावा, बाहरी बीजगणित पर अतिरिक्त वर्गीकृत संरचनाओं का अध्ययन करता है, जैसे कि एक वर्गीकृत मॉड्यूल के बाहरी बीजगणित पर (एक मॉड्यूल जो पहले से ही अपने स्वयं के उन्नयन को वहन करता है)।

सार्वभौमिक संपत्ति
मान लीजिए $V$ क्षेत्र $K$ पर एक सदिश स्थान है। अनौपचारिक रूप से, $ \bigwedge(V) $ में गुणा प्रतीकों में हेरफेर करके और एक वितरण कानून, एक सहयोगी कानून लागू करके और $v ∈ V$ के लिए पहचान $$ v \wedge v = 0 $$ का उपयोग करके किया जाता है। औपचारिक रूप से, $ \bigwedge(V) $  "सबसे सामान्य" बीजगणित है जिसमें ये नियम गुणन के लिए धारण करते हैं, इस अर्थ में कि $V$ पर वैकल्पिक गुणन के साथ $V$ वाले किसी भी एकात्मक साहचर्य $K$-बीजगणित में $ \bigwedge(V) $  की एक समरूप छवि होनी चाहिए। दूसरे शब्दों में, बाहरी बीजगणित में निम्नलिखित सार्वभौमिक गुण होते हैं:  किसी भी यूनिटल सहयोगी के-बीजगणित $A$ और किसी भी $K$-रेखीय मानचित्र $$ j : V \to A $$ को देखते हुए $V$ में प्रत्येक $v$ के लिए $$ j(v)j(v) = 0 $$, तो ठीक एक इकाई बीजगणित समाकारिता $ f : \bigwedge(V)\to A $ मौजूद है जैसे कि $j(v) = f(i(v))$ $V$ में सभी $v$ के लिए (यहाँ $i$ $ \bigwedge(V), $  में $V$ का स्वाभाविक समावेश है, ऊपर देखें)।

सबसे सामान्य बीजगणित का निर्माण करने के लिए जिसमें $V$ शामिल है और जिसका गुणन $V$ पर वैकल्पिक है, सबसे सामान्य साहचर्य बीजगणित के साथ शुरू करना स्वाभाविक है जिसमें $V$, टेंसर बीजगणित $T(V)$ शामिल है, और फिर एक उपयुक्त भागफल लेकर वैकल्पिक संपत्ति को लागू करें। इस प्रकार हम $V$ में $v$ के लिए $v ⊗ v$ के रूप के सभी तत्वों द्वारा उत्पन्न $T(V)$ में दो-तरफा आदर्श $I$ लेते हैं, और $ \bigwedge(V) $ को भागफल के रूप में परिभाषित करते हैं।


 * $$ {\textstyle\bigwedge}(V) = T(V)/I\ $$

(और $∧$ को $ \bigwedge(V) $ में गुणन के प्रतीक के रूप में उपयोग करें)। इसके बाद यह दिखाना सीधा है कि $ \bigwedge(V) $  में $V$ है और उपरोक्त सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है।

इस निर्माण के परिणामस्वरूप, एक सदिश स्थान $V$ को इसके बाहरी बीजगणित $ \bigwedge(V) $ को असाइन करने का संचालन सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी से बीजगणित की श्रेणी का एक फ़ंक्टर है।

पहले $ \bigwedge(V) $ को परिभाषित करने और फिर बाहरी शक्तियों $ \bigwedge\nolimits^k(V) $  को कुछ उप-स्थानों के रूप में पहचानने के बजाय, वैकल्पिक रूप से पहले रिक्त स्थान $ \bigwedge\nolimits^k(V) $  को परिभाषित किया जा सकता है और फिर बीजगणित $ \bigwedge(V) $  बनाने के लिए उन्हें जोड़ा जा सकता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग अक्सर विभेदक ज्यामिति में किया जाता है और अगले भाग में वर्णित किया जाता है।

सामान्यीकरण
एक क्रमविनिमेय वलय R और एक R-मॉड्यूल M को देखते हुए, हम बाहरी बीजगणित $ \bigwedge(M) $ को ठीक ऊपर की तरह परिभाषित कर सकते हैं, जैसा कि टेन्सर बीजगणित T(M) के उपयुक्त भागफल के रूप में है। यह समान सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करेगा। $ \bigwedge(M) $  के कई गुणों के लिए यह भी आवश्यक है कि M एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल हो। जहां परिमित आयामीता का उपयोग किया जाता है, गुणों के लिए आगे की आवश्यकता होती है कि M सूक्ष्म रूप से उत्पन्न और प्रक्षेपी हो। सबसे आम स्थितियों के लिए सामान्यीकरण  में पाया जा सकता है।

ज्यामिति और टोपोलॉजी में वेक्टर बंडलों के बाहरी बीजगणित पर अक्सर विचार किया जाता है। सेरे-स्वान प्रमेय द्वारा परिमित-आयामी वेक्टर बंडलों के बाहरी बीजगणित के बीजगणितीय गुणों और सूक्ष्म रूप से उत्पन्न प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के बाहरी बीजगणित के बीच कोई आवश्यक अंतर नहीं हैं। अधिक सामान्य बाहरी बीजगणित को मॉड्यूल के ढेरों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

बारी -बारी से टेंसर बीजगणित
यदि K विशेषता 0 का एक क्षेत्र है, तो K पर एक सदिश स्थान V के बाहरी बीजगणित को एंटीसिमेट्रिक टेंसरों से युक्त T(V) के सदिश उपस्थान के साथ कैनोनिक रूप से पहचाना जा सकता है। याद रखें कि बाह्य बीजगणित, x ⊗ x के रूप के तत्वों द्वारा उत्पन्न आदर्श I द्वारा T(V) का भागफल है।

मान लीजिए Tr(V) डिग्री r के सजातीय टेन्सरों का स्थान है। यह डीकंपोज़ेबल टेंसरों द्वारा फैला हुआ है


 * $$ v_1 \otimes \cdots \otimes v_r,\quad v_i \in V. $$

एक डीकंपोज़ेबल टेन्सर के एंटीसिमेट्रिज़ेशन (या कभी-कभी तिरछा-सममितीकरण) द्वारा परिभाषित किया गया है



\operatorname{Alt}(v_1 \otimes \cdots \otimes v_r) = \frac{1}{r!}\sum_{\sigma \in \mathfrak{S}_r} \operatorname{sgn}(\sigma) v_{\sigma(1)} \otimes \cdots \otimes v_{\sigma(r)} $$ जहां प्रतीक {1, ..., r} पर क्रमपरिवर्तन के सममित समूह पर योग लिया जाता है। यह पूर्ण टेन्सर बीजगणित T(V) पर रैखिकता और एकरूपता द्वारा एक ऑपरेशन तक फैला हुआ है, जिसे Alt द्वारा भी निरूपित किया जाता है। छवि Alt(T(V)) वैकल्पिक टेन्सर बीजगणित है, जिसे A(V) के रूप में दर्शाया गया है। यह T(V) की एक सदिश उपसमष्टि है, और यह T(V) से एक श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि की संरचना को इनहेरिट करती है। यह एक सहयोगी श्रेणीबद्ध उत्पाद $$ \widehat{\otimes} $$ द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$ t~\widehat{\otimes}~s = \operatorname{Alt}(t \otimes s). $$

यद्यपि यह उत्पाद टेंसर उत्पाद से अलग है, ऑल्ट का कर्नेल ठीक आदर्श I है (फिर से, यह मानते हुए कि K में विशेषता 0 है), और एक कैनोनिकल समरूपता है


 * $$ A(V)\cong {\textstyle\bigwedge}(V). $$

सूचकांक संकेतन
मान लीजिए कि V का परिमित आयाम n है, और V का एक आधार e1, ..., en दिया गया है। तब किसी भी प्रत्यावर्ती टेंसर t ∈ Ar(V) ⊂ Tr(V) को इंडेक्स नोटेशन में इस प्रकार लिखा जा सकता है



t = t^{i_1i_2\cdots i_r}\, {\mathbf e}_{i_1} \otimes {\mathbf e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes {\mathbf e}_{i_r}, $$ जहां ti1⋅⋅⋅ir अपने सूचकांकों में पूरी तरह से विरोधी सममित है।

रैंक r और p के दो वैकल्पिक टेंसरों t और s का बाहरी उत्पाद द्वारा दिया गया है



t~\widehat{\otimes}~s = \frac{1}{(r+p)!}\sum_{\sigma \in {\mathfrak S}_{r+p}}\operatorname{sgn}(\sigma)t^{i_{\sigma(1)} \cdots i_{\sigma(r)}} s^{i_{\sigma(r+1)} \cdots i_{\sigma(r+p)}} {\mathbf e}_{i_1} \otimes {\mathbf e}_{i_2} \otimes \cdots \otimes {\mathbf e}_{i_{r+p}}. $$ इस टेन्सर के घटक टेन्सर उत्पाद s ⊗ t के घटकों के ठीक तिरछे भाग हैं, जो सूचकांकों पर वर्ग कोष्ठक द्वारा निरूपित हैं:



(t~\widehat{\otimes}~s)^{i_1\cdots i_{r+p}} = t^{[i_1\cdots i_r}s^{i_{r+1}\cdots i_{r+p}]}. $$ इंटीरियर प्रोडक्ट को इंडेक्स नोटेशन में भी इस तरह से वर्णित किया जा सकता है। मान लीजिए कि $$ t = t^{i_0i_1\cdots i_{r-1}} $$कोटि r का एक असममित टेंसर है। फिर, α ∈ V∗ के लिए, iαt रैंक r − 1 का एक वैकल्पिक टेन्सर है, जो निम्नलिखित द्वारा दिया गया है:



(i_\alpha t)^{i_1\cdots i_{r-1}} = r\sum_{j=0}^n\alpha_j t^{ji_1\cdots i_{r-1}}. $$ जहाँ n, V का आयाम है।

अल्टरनेटिंग ऑपरेटर
दो वेक्टर रिक्त स्थान V और और एक प्राकृतिक संख्या के को देखते हुए, Vk  से X  तक एक वैकल्पिक ऑपरेटर एक बहु-रैखिक मानचित्र है


 * $$ f\colon V^k \to X $$

इस प्रकार कि जब भी v1, ..., vk V में रैखिक रूप से आश्रित सदिश हों, तब


 * $$ f(v_1,\ldots, v_k) = 0. $$

वो नक्शा


 * $$ w\colon V^k \to {\textstyle\bigwedge}^{\!k}(V) $$

जो $$ V $$ से $$ k $$ सदिशों से जुड़ा है, उनका बाहरी उत्पाद, यानी उनका संबंधित $$ k $$-वेक्टर भी वैकल्पिक है। वास्तव में, यह मानचित्र $$ V^k $$ पर परिभाषित "सबसे सामान्य" प्रत्यावर्ती संचालिका है; किसी भी अन्य वैकल्पिक ऑपरेटर $$ f : V^k \rightarrow X, $$ को देखते हुए, $$ f = \phi \circ w $$ के साथ एक अद्वितीय रैखिक नक्शा $$ \phi : \wedge^{k}(V) \rightarrow X $$ मौजूद है। यह सार्वभौमिक संपत्ति अंतरिक्ष $$ \wedge^{k}(V) $$ की विशेषता है और इसकी परिभाषा के रूप में काम कर सकती है।

अल्टरनेटिंग मल्टीलिनियर फॉर्म
उपरोक्त चर्चा मामले के लिए विशेषज्ञ है जब X = K, आधार क्षेत्र। इस मामले में एक वैकल्पिक मल्टीलाइनर फ़ंक्शन


 * $$ f : V^k \to K\ $$

एक वैकल्पिक बहुरेखीय रूप कहा जाता है। सभी वैकल्पिक बहुरेखीय रूपों का सेट एक वेक्टर स्थान है, क्योंकि ऐसे दो मानचित्रों का योग, या एक स्केलर के साथ ऐसे मानचित्र का उत्पाद, फिर से वैकल्पिक है। बाहरी शक्ति की सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा, V पर डिग्री k के वैकल्पिक रूपों का स्थान स्वाभाविक रूप से दोहरी वेक्टर अंतरिक्ष $ \bigl(\bigwedge\nolimits^k(V)\bigr)^* $ के साथ आइसोमोर्फिक है। यदि V परिमित-आयामी है, तो बाद वाला स्वाभाविक रूप से आइसोमॉर्फिक है $ \bigwedge\nolimits^k\left(V^*\right) $  तक। विशेष रूप से, यदि वी एन-आयामी है, तो वीके से केके तक वैकल्पिक मानचित्रों के स्थान का आयाम द्विपद गुणांक $ \binom{n}{k} $  है।

इस तरह की पहचान के तहत, बाहरी उत्पाद एक ठोस रूप लेता है: यह दो दिए गए लोगों से एक नया विरोधी सममित नक्शा तैयार करता है। मान लीजिए ω : Vk → K और η : Vm → K दो विरोधी सममित मानचित्र हैं। बहुरेखीय नक्शों के टेंसर गुणनफलों की तरह, उनके बाहरी गुणनफल के चरों की संख्या उनके चरों की संख्याओं का योग होती है। बहुरेखीय रूपों के साथ बाहरी शक्ति के तत्वों की पहचान के विकल्प के आधार पर, बाहरी उत्पाद को इस रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$ \omega \wedge \eta = \operatorname{Alt}(\omega \otimes \eta) $$

या के रूप में



\omega \wedge \eta = \frac{(k+m)!}{k!\,m!}\operatorname{Alt}(\omega \otimes \eta), $$ जहां, यदि आधार फ़ील्ड K की विशेषता 0 है, तो एक बहु-मानचित्र के वैकल्पिक alt को इसके चर के सभी क्रमों पर हस्ताक्षर-समायोजित मूल्यों के औसत के रूप में परिभाषित किया गया है:



\operatorname{Alt}(\omega)(x_1,\ldots,x_k) = \frac{1}{k!}\sum_{\sigma \in S_k}\operatorname{sgn}(\sigma)\, \omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)}). $$ जब क्षेत्र (गणित) k में एक क्षेत्र की विशेषता  होती है, तो किसी भी फैक्टरियल्स या किसी भी स्थिरांक के बिना दूसरी अभिव्यक्ति का एक समान संस्करण अच्छी तरह से परिभाषित होता है:



{\omega \wedge \eta(x_1,\ldots,x_{k+m})} = \sum_{\sigma \in \mathrm{Sh}_{k,m}} \operatorname{sgn}(\sigma)\, \omega(x_{\sigma(1)}, \ldots, x_{\sigma(k)})\, \eta(x_{\sigma(k+1)}, \ldots, x_{\sigma(k+m)}), $$ यहां कहां Shk,m ⊂ Sk+m (p, q) शफल का सबसेट है। {1, 2, ..., k + m} ऐसा है कि σ(1) < σ(2) < ⋯ < σ(k), और σ(k + 1) < σ(k + 2) < ⋯ < σ(k + m)।

आंतरिक उत्पाद
मान लीजिए कि वी परिमित-आयामी है। यदि V∗ सदिश स्थान V के लिए दोहरे स्थान को दर्शाता है, तो प्रत्येक α ∈ V∗ के लिए, बीजगणित $ \bigwedge(V) $ पर एक प्रतिपक्षी को परिभाषित करना संभव है,

i_\alpha:{\textstyle\bigwedge}^k V \rightarrow {\textstyle\bigwedge}^{k-1}V. $$ इस व्युत्पत्ति को α के साथ आंतरिक उत्पाद, या कभी-कभी सम्मिलन ऑपरेटर, या α द्वारा संकुचन कहा जाता है।

मान लीजिए कि $ w \in \bigwedge\nolimits^k V $ । फिर w, V∗ से K की एक बहुरेखीय मैपिंग है, इसलिए इसे k-गुना कार्टेसियन उत्पाद V∗ × V∗ × ... × V∗ पर इसके मानों द्वारा परिभाषित किया गया है। अगर u1, u2, ..., uk−1, V* के k − 1 अवयव हैं, तो परिभाषित करें



(i_\alpha {\mathbf w})(u_1,u_2,\ldots,u_{k-1}) = {\mathbf w}(\alpha,u_1,u_2,\ldots, u_{k-1}). $$ इसके अतिरिक्त, मान लीजिए iαf = 0 जब भी f एक शुद्ध अदिश है (अर्थात, $ \bigwedge\nolimits^0 V $ से संबंधित)।

स्वयंसिद्ध लक्षण वर्णन और गुण
आंतरिक उत्पाद निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

i_\alpha:{\textstyle\bigwedge}^k V\rightarrow {\textstyle\bigwedge}^{k-1}V. $$ (अधिवेशन द्वारा, $ \bigwedge\nolimits^{-1}V=\{0\}. $ ) i_\alpha (a \wedge b) = (i_\alpha a) \wedge b + (-1)^{\deg a}a \wedge (i_\alpha b). $$ ये तीन गुण आंतरिक उत्पाद को चित्रित करने के साथ-साथ इसे सामान्य अनंत-आयामी मामले में परिभाषित करने के लिए पर्याप्त हैं।
 * 1) प्रत्येक k और प्रत्येक α ∈ V∗ के लिए,$$
 * 1) यदि v V ($ = \bigwedge\nolimits^1 V $ ) का एक तत्व है, तो iαv = α(v) V के तत्वों और V∗ के तत्वों के बीच दोहरी जोड़ी है।
 * 2) प्रत्येक α ∈ V∗ के लिए, iα डिग्री −1 की एक श्रेणीबद्ध व्युत्पत्ति है:$$

आंतरिक उत्पाद के आगे के गुणों में शामिल हैं:
 * $$ i_\alpha\circ i_\alpha = 0. $$
 * $$ i_\alpha\circ i_\beta = -i_\beta\circ i_\alpha. $$

हॉज द्वैत
मान लीजिए कि V का परिमित आयाम n है। फिर आंतरिक उत्पाद वेक्टर रिक्त स्थान के एक कैनोनिकल आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है



{\textstyle\bigwedge}^k(V^*) \otimes {\textstyle\bigwedge}^n(V) \to {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V) $$ रिकर्सिव परिभाषा द्वारा


 * $$ i_{\alpha \wedge \beta} = i_\beta \circ i_\alpha. $$

ज्यामितीय सेटिंग में, शीर्ष बाहरी शक्ति $ \bigwedge\nolimits^n(V) $ (जो एक आयामी सदिश स्थान है) का एक गैर-शून्य तत्व को कभी-कभी वॉल्यूम फॉर्म (या ओरिएंटेशन फॉर्म कहा जाता है, हालांकि यह शब्द कभी-कभी अस्पष्टता का कारण बन सकता है)। नाम ओरिएंटेशन फॉर्म इस तथ्य से आता है कि पसंदीदा शीर्ष तत्व का एक विकल्प पूरे बाहरी बीजगणित का एक ओरिएंटेशन निर्धारित करता है, क्योंकि यह वेक्टर स्पेस के ऑर्डर किए गए आधार को ठीक करने के लिए समान है। पसंदीदा वॉल्यूम फॉर्म σ के सापेक्ष, समरूपता स्पष्ट रूप से निम्नलिखित द्वारा दी गई है



{\textstyle\bigwedge}^k(V^*) \to {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V)
 * \alpha \mapsto i_\alpha\sigma.

$$ यदि, एक वॉल्यूम फॉर्म के अलावा, वेक्टर स्पेस V V के साथ V की पहचान करने वाले एक आंतरिक उत्पाद से सुसज्जित है, तो परिणामी समरूपता को हॉज स्टार ऑपरेटर कहा जाता है, जो अपने हॉज दोहरे के लिए एक तत्व को मैप करता है:



\star : {\textstyle\bigwedge}^k(V) \rightarrow {\textstyle\bigwedge}^{n-k}(V). $$ $$ \star $$ का संघटन स्वयं $ \bigwedge\nolimits^k(V) $ → $ \bigwedge\nolimits^k(V) $ मानचित्रों के साथ है और हमेशा पहचान मानचित्र का एक अदिश गुणक होता है। अधिकांश अनुप्रयोगों में, वॉल्यूम फॉर्म आंतरिक उत्पाद के साथ इस अर्थ में संगत होता है कि यह V के ऑर्थोनॉर्मल आधार का एक बाहरी उत्पाद है। इस मामले में,
 * $$ \star \circ \star : {\textstyle\bigwedge}^k(V) \to {\textstyle\bigwedge}^k(V) = (-1)^{k(n-k) + q}\mathrm{id} $$

जहां आईडी पहचान मानचित्रण है, और आंतरिक उत्पाद में मीट्रिक हस्ताक्षर (p, q) - पी प्लसस और क्यू माइनस हैं।

आंतरिक उत्पाद
V के लिए एक परिमित-आयामी स्थान, V पर एक आंतरिक उत्पाद (या एक छद्म-यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद) V के साथ V के एक समरूपता को परिभाषित करता है, और इसलिए $ \bigwedge\nolimits^k V $ के साथ $ \bigl(\bigwedge\nolimits^k V\bigr)^* $  का एक समरूपता भी है। इन दो स्थानों के बीच की जोड़ी भी एक आंतरिक उत्पाद का रूप ले लेती है। डीकंपोज़ेबल के-वैक्टर पर,



\left\langle v_1 \wedge \cdots \wedge v_k, w_1 \wedge \cdots \wedge w_k\right\rangle = \det\bigl(\langle v_i,w_j\rangle\bigr), $$ आंतरिक उत्पादों के मैट्रिक्स का निर्धारक। विशेष मामले में vi = wi, आंतरिक उत्पाद k-वेक्टर का वर्ग मानदंड है, जिसे ग्रामियन मैट्रिक्स (⟨vi, vj⟩) के निर्धारक द्वारा दिया गया है। इसके बाद $ \bigwedge\nolimits^k V $ पर गैर-पतित आंतरिक उत्पाद के लिए बिलिनियरली (या जटिल मामले में सेस्क्विलिनियरली) विस्तारित किया जाता है। यदि ei, i = 1, 2, ..., n, V का एक अलंकारिक आधार बनाते हैं, तो रूप के सदिश


 * $$ e_{i_1} \wedge \cdots \wedge e_{i_k},\quad i_1 < \cdots < i_k, $$

$ \bigwedge\nolimits^k(V) $ के लिए एक अलंकारिक आधार बनता है, कॉची-बिनेट सूत्र के समतुल्य एक कथन।

आंतरिक उत्पाद के संबंध में, बाहरी गुणा और आंतरिक उत्पाद पारस्परिक रूप से जुड़े हुए हैं। विशेष रूप से, $ v \in \bigwedge\nolimits^{k-1}(V), $ $ w \in \bigwedge\nolimits^{k}(V) $  और $ x \in V, $  के लिए,

\langle x \wedge \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle \mathbf{v}, i_{x^\flat}\mathbf{w}\rangle $$ जहाँ x♭ ∈ V∗ संगीतमय समाकृतिकता है, जिसके द्वारा परिभाषित रेखीय प्रकार्यात्मक है


 * $$ x^\flat(y) = \langle x, y\rangle $$

सभी y ∈ V के लिए। यह संपत्ति बाहरी बीजगणित पर आंतरिक उत्पाद को पूरी तरह से चित्रित करती है।

वास्तव में, अधिक आम तौर पर $ v \in \bigwedge\nolimits^{k-l}(V), $ $ w \in \bigwedge\nolimits^{k}(V), $  और $ x \in \bigwedge\nolimits^{l}(V) $  के लिए, उपरोक्त आसन्न गुणों का पुनरावृति देता है

\langle \mathbf{x} \wedge \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle = \langle \mathbf{v}, i_{\mathbf{x}^\flat}\mathbf{w}\rangle $$ जहां अब $ x^\flat \in \bigwedge\nolimits^l\left(V^*\right) \simeq \bigl(\bigwedge\nolimits^l(V)\bigr)^* $ दोहरी एल-वेक्टर द्वारा परिभाषित किया गया है



\mathbf{x}^\flat(\mathbf{y}) = \langle \mathbf{x}, \mathbf{y}\rangle $$ सबके लिए $ y \in \bigwedge\nolimits^l(V) $ ।

Bialgebra संरचना
ग्रेडेड बीजगणित $ \bigwedge(V) $ के ग्रेडेड डुअल और वी पर बहुरेखीय रूपों के बीच एक पत्राचार है। बाहरी बीजगणित (साथ ही सममित बीजगणित) एक बायलजेब्रा संरचना प्राप्त करता है, और, वास्तव में, टेन्सर बीजगणित से एक हॉफ बीजगणित संरचना। विषय के विस्तृत उपचार के लिए टेंसर अल्जेब्रा पर लेख देखें।

ऊपर परिभाषित मल्टीलाइनर रूपों का बाहरी उत्पाद $ \bigwedge(V), $ पर परिभाषित एक सह-उत्पाद के लिए दोहरा है, जो कोलजेब्रा की संरचना देता है। सह-उत्पाद एक रैखिक फलन Δ : $ \bigwedge(V) $ → $ \bigwedge(V) $  ⊗ $ \bigwedge(V) $ है, जो इसके द्वारा दिया गया है
 * $$ \Delta(v) = 1 \otimes v + v \otimes 1 $$

तत्वों पर v∈V। प्रतीक 1, क्षेत्र K के इकाई तत्व के लिए खड़ा है। याद रखें कि K ⊂ $ \bigwedge(V) $, ताकि उपरोक्त वास्तव में $ \bigwedge(V) $ ⊗ $ \bigwedge(V) $ में निहित हो। सहउत्पाद की यह परिभाषा पूर्ण स्थान $ \bigwedge(V) $ तक (रैखिक) समरूपता द्वारा उठाई जाती है। इस समरूपता का सही रूप वह नहीं है जिसे कोई भोलेपन से लिख सकता है, बल्कि कोलजेब्रा लेख में सावधानी से परिभाषित किया जाना चाहिए। इस मामले में, एक प्राप्त करता है

\Delta(v \wedge w) = 1 \otimes (v \wedge w) + v \otimes w - w \otimes v + (v \wedge w) \otimes 1. $$ इसे विस्तार से विस्तारित करते हुए, निम्नलिखित अभिव्यक्ति को विघटित तत्वों पर प्राप्त किया जाता है:



\Delta(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k) = \sum_{p=0}^k \; \sum_{\sigma \in Sh(p+1,k-p)} \; \operatorname{sgn}(\sigma) (x_{\sigma(0)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(p)}) \otimes (x_{\sigma(p+1)} \wedge \cdots \wedge x_{\sigma(k)}). $$ जहां सभी (p+1, k−p)-फेरबदल पर दूसरा योग लिया जाता है। फ़ील्ड एलिमेंट 1 का ट्रैक रखने के लिए उपरोक्त को एक नोटेशनल ट्रिक के साथ लिखा गया है: ट्रिक $$ x_0 = 1, $$ लिखने के लिए है और योग के विस्तार के दौरान इसे विभिन्न स्थानों में फेरबदल किया जाता है। फेरबदल सह-बीजगणित के पहले स्वयंसिद्ध से सीधे अनुसरण करता है: तत्वों का सापेक्ष क्रम $$ x_k $$ राइफल फेरबदल में संरक्षित है: राइफल शफल केवल आदेशित अनुक्रम को दो क्रमित अनुक्रमों में विभाजित करता है, एक बाईं ओर और एक दाईं ओर।

निरीक्षण करें कि सह-उत्पाद बीजगणित की ग्रेडिंग को सुरक्षित रखता है। पूर्ण स्थान $ \bigwedge(V), $ तक विस्तारित, एक के पास है



\Delta:{\textstyle\bigwedge}^k(V) \to \bigoplus_{p=0}^k {\textstyle\bigwedge}^p(V) \otimes {\textstyle\bigwedge}^{k-p}(V) $$ इस खंड में प्रयुक्त टेन्सर प्रतीक ⊗ को कुछ सावधानी के साथ समझा जाना चाहिए: यह वही टेन्सर प्रतीक नहीं है जैसा कि वैकल्पिक उत्पाद की परिभाषा में उपयोग किया जा रहा है। सहज रूप से, इसे सिर्फ एक और, लेकिन अलग, टेन्सर उत्पाद के रूप में सोचना सबसे आसान है: यह अभी भी (द्वि-) रैखिक है, जैसा कि टेन्सर उत्पादों को होना चाहिए, लेकिन यह उत्पाद है जो एक बायलजेब्रा की परिभाषा के लिए उपयुक्त है, अर्थात वस्तु $ \bigwedge(V) $ ⊗ $ \bigwedge(V) $ बनाने के लिए। समानता (1 ⊗ v) ∧ (1 ⊗ w) = 1 ⊗ (v ∧ w) और (v ⊗ 1) ∧ (1 ⊗ w) = v ⊗ w पर विचार करके किसी भी लंबे समय तक संदेह को हिलाया जा सकता है, जो कोलजेब्रा की परिभाषा से अनुसरण करता है, जैसा कि टेंसर और वेज प्रतीकों से जुड़े भोले-भाले जोड़तोड़ के विपरीत है। टेंसर बीजगणित पर लेख में इस अंतर को अधिक विस्तार से विकसित किया गया है। यहाँ, एक समस्या बहुत कम है, जिसमें वैकल्पिक उत्पाद ∧ स्पष्ट रूप से बायलजेब्रा में गुणन के अनुरूप है, जिससे प्रतीक ⊗ बाइलजेब्रा की परिभाषा में उपयोग के लिए मुक्त हो जाता है। व्यवहार में, यह कोई विशेष समस्या प्रस्तुत नहीं करता है, जब तक कि कोई एक अपवाद के साथ, वेज प्रतीक द्वारा ⊗ के वैकल्पिक योगों को बदलने के घातक जाल से बचता है। कोई भी ⊗ से एक वैकल्पिक उत्पाद बना सकता है, इस समझ के साथ कि यह एक अलग स्थान में काम करता है। ठीक नीचे, एक उदाहरण दिया गया है: दोहरे स्थान के लिए वैकल्पिक उत्पाद को प्रतिउत्पाद के संदर्भ में दिया जा सकता है। बाहरी बीजगणित के लिए वैकल्पिक संकेतों को सही ढंग से ट्रैक करने की आवश्यकता को छोड़कर, यहां बायलजेब्रा का निर्माण टेंसर बीजगणित लेख में निर्माण को लगभग समान बनाता है।

सह-उत्पाद के संदर्भ में, दोहरे स्थान पर बाहरी उत्पाद, सह-उत्पाद का केवल दो श्रेणीबद्ध है:



(\alpha \wedge \beta)(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k) = (\alpha \otimes \beta)\left(\Delta(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k)\right) $$ जहां दाईं ओर टेंसर उत्पाद बहुरेखीय रैखिक मानचित्रों का है (असंगत सजातीय डिग्री के तत्वों पर शून्य द्वारा बढ़ाया गया है: अधिक सटीक रूप से, α ∧ β = ε ∘ (α ⊗ β) ∘ Δ, जहां ε कॉउंट है, जैसा कि वर्तमान में परिभाषित किया गया है)।

कॉउनिट समरूपता ε : $ \bigwedge(V) $ → K है जो अपने तर्क के 0-श्रेणी वाले घटक को वापस करता है। बाहरी उत्पाद के साथ-साथ सह-उत्पाद और देश, बाहरी बीजगणित पर एक बायल्जेब्रा की संरचना को परिभाषित करते हैं।

सजातीय तत्वों पर $$ S(x) = (-1)^{\binom{\text{deg}\, x\, + 1}{2}}x, $$ द्वारा परिभाषित एक एंटीपोड के साथ बाहरी बीजगणित भी एक हॉप बीजगणित है।

फंक्शनलिटी
मान लीजिए कि V और W सदिश समष्टियों का एक युग्म हैं और f : V → W एक रैखिक मानचित्र है। फिर, सार्वभौमिक संपत्ति के द्वारा, वर्गीकृत बीजगणित का एक अद्वितीय समाकारिता मौजूद है



{\textstyle\bigwedge}(f)
 * {\textstyle\bigwedge}(V)\rightarrow {\textstyle\bigwedge}(W)

$$ ऐसा है कि



{\textstyle\bigwedge}(f)\left|_{{\textstyle\bigwedge}^1(V)}\right. = f : V={\textstyle\bigwedge}^1(V)\rightarrow W={\textstyle\bigwedge}^1(W). $$ विशेष रूप से, $ \bigwedge\left(f\right) $ सजातीय डिग्री को संरक्षित करता है। $ \bigwedge\left(f\right) $  के k-श्रेणी वाले घटकों को डीकंपोज़ेबल तत्वों द्वारा दिया गया है



{\textstyle\bigwedge}(f)(x_1 \wedge \cdots \wedge x_k) = f(x_1) \wedge \cdots \wedge f(x_k). $$ माना



{\textstyle\bigwedge}^k(f) = {\textstyle\bigwedge} (f)\left|_{{\textstyle\bigwedge}^k(V)}\right.
 * {\textstyle\bigwedge}^k(V) \rightarrow {\textstyle\bigwedge}^k(W).

$$ V और W के आधार पर रूपांतरण $ \bigwedge\nolimits^k\left(f\right) $ के घटक, f के k × k अवयस्क का मैट्रिक्स है। विशेष रूप से, यदि V = W और V परिमित आयाम n का है, तो $ \bigwedge\nolimits^n\left(f\right) $  स्वयं के लिए एक आयामी सदिश स्थान $ \bigwedge\nolimits^n(V) $  का मानचित्रण है, और इसलिए इसे एक अदिश द्वारा दिया जाता है: f का निर्धारक।

सटीकता
यदि $$ 0 \to U \to V \to W \to 0 $$ सदिश समष्टियों का लघु सटीक अनुक्रम है, तब



0 \to {\textstyle\bigwedge}^1(U) \wedge {\textstyle\bigwedge}(V) \to {\textstyle\bigwedge}(V) \to {\textstyle\bigwedge}(W) \to 0 $$ ग्रेडेड वेक्टर स्पेस का एक सटीक अनुक्रम है, जैसा है



0 \to \bigwedge(U) \to \bigwedge(V). $

प्रत्यक्ष रकम
विशेष रूप से, प्रत्यक्ष राशि का बाहरी बीजगणित बाहरी बीजगणित के टेन्सर उत्पाद के लिए समरूप है:



{\textstyle\bigwedge}(V \oplus W) \cong {\textstyle\bigwedge}(V) \otimes {\textstyle\bigwedge}(W). $$ यह एक वर्गीकृत समरूपता है; अर्थात।,



{\textstyle\bigwedge}^k(V \oplus W) \cong \bigoplus_{p+q=k} {\textstyle\bigwedge}^p(V) \otimes {\textstyle\bigwedge}^q(W). $$ अधिक व्यापकता में, वेक्टर रिक्त स्थान $ 0 \to U \mathrel{\overset{f}\to} V \mathrel{\overset{g}\to} W \to 0, $ के एक छोटे से सटीक अनुक्रम के लिए एक प्राकृतिक निस्पंदन होता है



0 = F^0 \subseteq F^1 \subseteq \cdots \subseteq F^k \subseteq F^{k+1} = {\textstyle\bigwedge}^k(V) $$ जहां $$ p \geq 1 $$ के लिए $$ F^p $$ को $$ u_i \in U $$ और $$ v_i \in V $$ के लिए $$ u_1 \wedge \ldots \wedge u_{k + 1-p} \wedge v_1 \wedge \ldots v_{p - 1} $$ के तत्वों द्वारा फैलाया गया है। संबंधित उद्धरण एक प्राकृतिक समरूपता को स्वीकार करते हैं



F^{p+1}/F^p \cong {\textstyle\bigwedge}^{k-p}(U) \otimes {\textstyle\bigwedge}^p(W) $$ के द्वारा दिया गया $$ u_1 \wedge \ldots \wedge u_{k + 1 -p} \wedge v_1 \wedge \ldots \wedge v_{p - 1} \mapsto u_1 \wedge \ldots \wedge u_{k+1-p} \otimes g(v_1) \wedge \ldots \wedge g(v_{p - 1}) $$। विशेष रूप से, यदि U एक-आयामी है तो



0 \to U \otimes {\textstyle\bigwedge}^{k-1}(W) \to {\textstyle\bigwedge}^k(V) \to {\textstyle\bigwedge}^k(W) \to 0 $$ सटीक है, और यदि W 1-विम है तो



0 \to {\textstyle\bigwedge}^k(U) \to {\textstyle\bigwedge}^k(V) \to {\textstyle\bigwedge}^{k-1}(U) \otimes W \to 0 $$ सटीक है।

रैखिक बीजगणित
रैखिक बीजगणित के अनुप्रयोगों में, बाहरी उत्पाद एक मैट्रिक्स के निर्धारक और नाबालिगों का वर्णन करने के लिए एक अमूर्त बीजगणितीय तरीका प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यह सर्वविदित है कि एक वर्ग मैट्रिक्स का निर्धारक समांतरोटोप के आयतन के बराबर होता है, जिसके किनारे मैट्रिक्स के स्तंभ होते हैं (अभिविन्यास को ट्रैक करने के लिए चिह्न के साथ)। इससे पता चलता है कि निर्धारक को कॉलम वैक्टर के बाहरी उत्पाद के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। इसी तरह, एक मैट्रिक्स के k × k अवयस्क को एक समय में चुने गए k कॉलम वैक्टर के बाहरी उत्पादों को देखकर परिभाषित किया जा सकता है। इन विचारों को न केवल मैट्रिसेस तक बढ़ाया जा सकता है, बल्कि रैखिक परिवर्तनों के लिए भी: एक रैखिक परिवर्तन का निर्धारक वह कारक है जिसके द्वारा यह किसी भी दिए गए संदर्भ समांतरोटोप के उन्मुख मात्रा को मापता है। तो एक रैखिक परिवर्तन के निर्धारक को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है कि परिवर्तन शीर्ष बाहरी शक्ति को क्या करता है। कम बाहरी शक्तियों पर एक परिवर्तन की क्रिया परिवर्तन के नाबालिगों के बारे में बात करने का एक आधार-स्वतंत्र तरीका देती है।

तकनीकी विवरण: परिभाषाएँ
माना $$ V $$ आधार $$ \{e_1, \ldots, e_n\} $$ के साथ क्षेत्र $$ K $$ पर एक एन-आयामी वेक्टर स्थान बनें। {\textstyle\bigwedge}^k A(v_1 \wedge \cdots \wedge v_k) = Av_1 \wedge \cdots \wedge Av_k $$और सभी टेंसरों के लिए परिभाषा को रैखिक रूप से विस्तारित करें। अधिक आम तौर पर, हम $ \bigwedge^p A^k \in \operatorname{End}\bigl(\bigwedge^p V\bigr), (p \geq k) $ को सरल टेंसरों पर परिभाषित कर सकते हैं $$\begin{align} &\left({\textstyle\bigwedge}^p A^k \right)(v_1 \wedge \cdots \wedge v_p) \\[10mu] &\qquad= \sum_{0 \leq i_1 < \cdots < i_k \leq p} v_1 \wedge \cdots \wedge Av_{i_1} \wedge \cdots \wedge Av_{i_k} \wedge \cdots \wedge v_p \end{align}$$यानी k घटकों का चयन करें जिन पर A कार्य करेगा, फिर विभिन्न विकल्पों से प्राप्त सभी परिणामों का योग करें। यदि $$ p < k, $$ $ \bigwedge^p A^k = 0 $ को परिभाषित करता है। चूंकि $ \bigwedge^n V $  आधार $$ e_1 \wedge \cdots \wedge e_n, $$ के साथ 1-आयामी है, हम अद्वितीय संख्या $$ \kappa \in K $$ संतोषजनक के साथ $ \bigwedge^n A^k $  की पहचान कर सकते हैं$$ {\textstyle\bigwedge}^n A^k (e_1 \wedge \cdots \wedge e_n) = \kappa (e_1 \wedge \cdots \wedge e_n). $$
 * $$ A \in \operatorname{End}(V), $$ के लिए $ \bigwedge^k A \in \operatorname{End}\bigl(\bigwedge^k V\bigr) $ को साधारण टेन्सर द्वारा परिभाषित करें$$
 * $$ \varphi \in \operatorname{End}\bigl({\textstyle\bigwedge}^p V\bigr), $$ के लिए, किसी भी $ \omega_p \in {\textstyle\bigwedge}^p V$ और $ \omega_{n-p} \in {\textstyle\bigwedge}^{n-p}V $  के लिए $ (\varphi^\mathrm{T}\omega_{n-p}) \wedge \omega_p = \omega_{n-p} \wedge (\varphi \omega_p) $  को संतुष्ट करने वाला अद्वितीय ऑपरेटर होने के लिए बाहरी ट्रांसपोज़ $ \varphi^\mathrm{T} \in \operatorname{End}\bigl(\bigwedge^{n-p} V\bigr) $  को परिभाषित करें।
 * $$ A \in \operatorname{End}(V), $$ के लिए $ \det A = \bigwedge^n A^n,$ $ \operatorname{Tr}(A) = \bigwedge^n A^1, $  $ \operatorname{adj} A = \bigl(\bigwedge^{n-1} A^{n-1}\bigr)^\mathrm{T} $  को परिभाषित करें ये पिछली परिभाषाओं के बराबर हैं।

मूल गुण
निर्धारक, ट्रेस और आसन्न की अन्य परिभाषाओं से प्राप्त सभी परिणाम इस परिभाषा से प्राप्त किए जा सकते हैं (चूंकि ये परिभाषाएं समकक्ष हैं)। यहाँ इन नई परिभाषाओं से संबंधित कुछ बुनियादी विशेषताएँ दी गई हैं:

\psi:\operatorname{End}\bigl({\textstyle\bigwedge}^k V\bigr) \cong \operatorname{End}\bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-k} V\bigr) \\ A \mapsto A^\mathrm{T} \end{cases}$$हालांकि, $ \bigwedge^k V $ और $ \bigwedge^{n-k} V $  के बीच कोई विहित समरूपता नहीं है। k \leq n-1, p \leq k, A \in \operatorname{End}(V), $$ $$ \sum_{q=0}^p \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-k} A^{p-q} \bigr)^\mathrm{T} \bigl({\textstyle\bigwedge}^k A^q \bigr) = \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^p \bigr) \operatorname{Id} \in \operatorname{End}(V). $$ विशेष रूप से, $$ \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{p-1} \bigr)^\mathrm{T} A + \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^p \bigr)^\mathrm{T} = \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^p \bigr) \operatorname{Id} $$ और इसलिए $$ (\operatorname{adj} A)A = \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-1} \bigr)^\mathrm{T} A = \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^n \bigr) \operatorname{Id} =(\det A)\operatorname{Id}. $$ \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^p \bigr)^\mathrm{T} = \sum_{q=0}^p \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^{p-q} \bigr)(-A)^q = \sum_{q=0}^p \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^{p-q} A \bigr)(-A)^q. $$विशेष रूप से, $$ \operatorname{adj} A = \sum_{q=0}^{n-1} \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^{n-q-1} \bigr)(-A)^q. $$ \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^k \operatorname{adj} A \bigr) = {\textstyle\bigwedge}^n (\operatorname{adj} A)^k = (\det A)^{k-1} \bigl({\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} \bigr) = (\det A)^{k-1} \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-k} A \bigr). $$ \operatorname{Tr}\! \Bigl( \bigl({\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^k \bigr)^\mathrm{T} \Bigr) = (n-k) {\textstyle\bigwedge}^n A^p = (n-k) \operatorname{Tr}\left({\textstyle\bigwedge}^p A \right). $$ \operatorname{ch}_A(t) = \sum_{k=0}^n \operatorname{Tr} \bigl({\textstyle\bigwedge}^k A \bigr)(-t)^{n-k} = \sum_{k=0}^n \left({\textstyle\bigwedge}^n A^k \right)(-t)^{n-k}. $$ इसी तरह, $$ \operatorname{ch}_{\operatorname{adj} A}(t) = \sum_{k=0}^n \left({\textstyle\bigwedge}^n(\operatorname{adj} A)^k \right)(-t)^{n-k} = \sum_{k=0}^n (\det A)^{k-1} \left({\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} \right)(-t)^{n-k} $$
 * $$ (\cdot)^\mathrm{T} $$ है $$ K $$-लाइनर।
 * $$ (AB)^\mathrm{T} = B^\mathrm{T} A^\mathrm{T}. $$
 * हमारे पास एक कैनोनिकल आइसोमोर्फिज्म है$$\begin{cases}
 * $ \operatorname{Tr} \bigl(\bigwedge^k A \bigr) = \bigwedge^n A^k. $ की ट्रांसपोज़्ड मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ $ \bigwedge^k A $  हैं $$ k \times k $$-मिनर्स $$ A. $$
 * सबके लिए $$
 * विशेषता बहुपद $$ \operatorname{ch}_A(t) $$ का $$ A \in \operatorname{End}(V) $$ द्वारा दिया जा सकता है $$

लीवरियर का एल्गोरिथ्म
$ \bigwedge^n A^k $ के गुणांक हैं $$ (-t)^{n-k} $$ विशेषता बहुपद में शब्द।वे भी के भावों में दिखाई देते हैं $ \bigl(\bigwedge^{n-1} A^p\bigr)^\mathrm{T} $  और $ \bigwedge^n (\operatorname{adj} A)^k. $ लीवरियर का एल्गोरिथ्म कंप्यूटिंग का एक किफायती तरीका है $ \bigwedge^n A^k $  और $ \bigwedge^{n-1} A^k \colon$
 * सेट $ \bigwedge^{n-1} A^0 = 1; $
 * के लिए $$ k = n-1, n-2, \ldots, 1, 0, $$

{\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} = \frac{1}{n-k} \operatorname{Tr}(A \circ {\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-k-1}); $$

{\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-k} = {\textstyle\bigwedge}^n A^{n-k} \cdot \operatorname{Id} - A \circ {\textstyle\bigwedge}^{n-1} A^{n-k-1}. $$

भौतिकी
भौतिकी में, कई मात्राएँ स्वाभाविक रूप से प्रत्यावर्ती संकारकों द्वारा प्रदर्शित की जाती हैं। उदाहरण के लिए, यदि किसी आवेशित कण की गति को चार-आयामी स्पेसटाइम में वेग और त्वरण वैक्टर द्वारा वर्णित किया जाता है, तो वेग वेक्टर के सामान्यीकरण के लिए आवश्यक है कि विद्युत चुम्बकीय बल वेग पर एक वैकल्पिक ऑपरेटर होना चाहिए। इसकी छह स्वतंत्रता की डिग्री विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र से पहचानी जाती है।

रैखिक ज्यामिति
डीकंपोज़ेबल के-वैक्टर की ज्यामितीय व्याख्याएं हैं: बाइवेक्टर $u ∧ v$ वैक्टर द्वारा फैलाए गए विमान का प्रतिनिधित्व करता है, "भारित" एक संख्या के साथ, ओरिएंटेड समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र द्वारा यू और वी के साथ दिया जाता है। अनुरूप रूप से, 3-वेक्टर $u ∧ v ∧ w$ किनारों यू, वी, और डब्ल्यू के साथ उन्मुख समांतर चतुर्भुज के आयतन द्वारा भारित फैले हुए 3-स्थान का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रोजेक्टिव ज्यामिति
$ \bigwedge\nolimits^k V $ में डीकंपोज़ेबल के-वैक्टर V के भारित के-आयामी रैखिक उप-स्थानों के अनुरूप हैं। विशेष रूप से, V के के-आयामी उप-स्थानों के ग्रासमैनियन, जीआरके (वी) को निरूपित किया जाता है, जिसे स्वाभाविक रूप से प्रोजेक्टिव स्पेस $ P\bigl(\bigwedge\nolimits^k V\bigr) $  की बीजगणितीय उप-विविधता के साथ पहचाना जा सकता है। इसे प्लकर एंबेडिंग कहा जाता है।

अंतर ज्यामिति
बाहरी बीजगणित में विभेदक ज्यामिति में उल्लेखनीय अनुप्रयोग हैं, जहाँ इसका उपयोग विभेदक रूपों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। विभेदक रूप गणितीय वस्तुएं हैं जो वैक्टर की लंबाई, समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रों और उच्च-आयामी निकायों के संस्करणों का मूल्यांकन करती हैं, इसलिए उन्हें वक्र, सतहों और उच्च आयामी मैनिफोल्ड पर इस तरह से एकीकृत किया जा सकता है जो पथरी से लाइन इंटीग्रल और सतह इंटीग्रल को सामान्य करता है। अलग-अलग कई गुना के एक बिंदु पर एक विभेदक रूप बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान पर एक वैकल्पिक मल्टीलाइनियर रूप है। समान रूप से, डिग्री k का एक विभेदक रूप स्पर्शरेखा स्थान की k-वें बाहरी शक्ति पर एक रैखिक कार्यात्मक है। नतीजतन, बहु-रेखीय रूपों का बाहरी उत्पाद अंतर रूपों के लिए प्राकृतिक बाहरी उत्पाद को परिभाषित करता है। डिफरेंशियल फॉर्म डिफरेंशियल ज्योमेट्री के विविध क्षेत्रों में प्रमुख भूमिका निभाते हैं।

एक वैकल्पिक दृष्टिकोण कार्यों के कीटाणुओं के संदर्भ में विभेदक रूपों को परिभाषित करता है।

विशेष रूप से, बाहरी व्युत्पन्न अंतर ग्रेड बीजगणित की संरचना को कई गुना अलग-अलग रूपों का बाहरी बीजगणित देता है। कई गुना के बीच चिकनी मैपिंग के साथ पुलबैक के साथ बाहरी व्युत्पन्न यात्रा करता है, और इसलिए यह एक प्राकृतिक अंतर ऑपरेटर है। डिफरेंशियल फॉर्म का बाहरी बीजगणित, बाहरी डेरिवेटिव से लैस, एक कोचेन कॉम्प्लेक्स है, जिसके कोहोलॉजी को अंतर्निहित मैनिफोल्ड का डी रम कोहोलॉजी कहा जाता है और डिफरेंशियल मैनिफोल्ड के बीजगणितीय टोपोलॉजी में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, बाहरी बीजगणित सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी पर दो मूलभूत शूर फ़ैक्टरों में से एक है, दूसरा सममित बीजगणित है। साथ में, इन निर्माणों का उपयोग सामान्य रैखिक समूह के अलघुकरणीय निरूपण उत्पन्न करने के लिए किया जाता है; मौलिक प्रतिनिधित्व देखें।

सुपरस्पेस
जटिल संख्याओं पर बाहरी बीजगणित एक सुपरलेजेब्रा का मूल उदाहरण है, जो कि फर्मियन और सुपरसममिति से संबंधित भौतिक सिद्धांतों में एक मौलिक भूमिका निभाता है। बाहरी बीजगणित के एक तत्व को सुपरनंबर या ग्रासमैन नंबर कहा जाता है। बाह्य बीजगणित स्वयं तब केवल एक आयामी सुपरस्पेस है: यह बाह्य बीजगणित के सभी बिंदुओं का समुच्चय है। इस स्थान पर टोपोलॉजी अनिवार्य रूप से कमजोर टोपोलॉजी है, खुले सेट सिलेंडर सेट होते हैं। एक $n$-आयामी सुपरस्पेस बाहरी बीजगणित का सिर्फ $n$-गुना उत्पाद है।

झूठ बीजगणित होमोलॉजी
एल को क्षेत्र k पर झूठ बीजगणित होने दें, फिर एल के बाहरी बीजगणित पर एक श्रृंखला परिसर की संरचना को परिभाषित करना संभव है। यह एक के-रैखिक मानचित्रण है



\partial : {\textstyle\bigwedge}^{p+1}L \to {\textstyle\bigwedge}^p L $$ द्वारा विघटित तत्वों पर परिभाषित किया गया



\partial (x_1 \wedge \cdots \wedge x_{p+1}) = \frac{1}{p+1}\sum_{j<\ell}(-1)^{j+\ell+1}[x_j,x_\ell] \wedge x_1 \wedge \cdots \wedge \hat{x}_j \wedge \cdots \wedge \hat{x}_\ell \wedge \cdots \wedge x_{p+1}. $$ जैकोबी पहचान रखती है अगर और केवल अगर ∂∂ = 0, और इसलिए यह एक आवश्यक और पर्याप्त स्थिति है जो एक एंटीकोम्यूटेटिव गैर-सहयोगी बीजगणित एल के लिए एक झूठ बीजगणित है। इसके अलावा, उस मामले में $ \bigwedge L $ सीमा ऑपरेटर ∂ के साथ एक चेन कॉम्प्लेक्स है। इस कॉम्प्लेक्स से जुड़ी होमोलॉजी लाइ बीजगणित होमोलॉजी है।

होमोलॉजिकल बीजगणित
बाहरी बीजगणित, कोज़ुल कॉम्प्लेक्स के निर्माण में मुख्य घटक है, जो होमोलॉजिकल बीजगणित में एक मूलभूत वस्तु है।

इतिहास
बाहरी बीजगणित पहली बार 1844 में हरमन ग्रासमैन द्वारा ऑस्देहनुंगस्लेह्रे, या विस्तार के सिद्धांत के कंबल शब्द के तहत पेश किया गया था। यह आमतौर पर विस्तारित मात्राओं के एक बीजगणितीय (या स्वयंसिद्ध) सिद्धांत को संदर्भित करता है और एक वेक्टर अंतरिक्ष की आधुनिक धारणा के शुरुआती अग्रदूतों में से एक था। सेंट-वेनेंट ने भी बाहरी कैलकुलस के समान विचारों को प्रकाशित किया जिसके लिए उन्होंने ग्रासमैन पर प्राथमिकता का दावा किया।

बीजगणित स्वयं नियमों, या स्वयंसिद्धों के एक सेट से बनाया गया था, जो केली और सिल्वेस्टर के बहुसंकेतकों के सिद्धांत के औपचारिक पहलुओं को कैप्चर करता है। ज्यामितीय दृष्टि से औपचारिक तर्क के कार्य पर विशेष रूप से ध्यान केंद्रित करने के अलावा, यह इस प्रकार एक कैलकुलस था, जो प्रस्तावात्मक कैलकुलस की तरह था। विशेष रूप से, इस नए विकास ने आयाम के एक स्वयंसिद्ध लक्षण वर्णन की अनुमति दी, एक संपत्ति जिसे पहले केवल समन्वय बिंदु से जांचा गया था।

वैक्टर और मल्टीवैक्टर के इस नए सिद्धांत का आयात 19वीं शताब्दी के मध्य के गणितज्ञों द्वारा खो दिया गया था, जब तक कि 1888 में ग्यूसेप पीनो द्वारा इसकी पूरी तरह से जांच नहीं की गई। सदी के अंत तक पियानो का काम भी कुछ हद तक अस्पष्ट रहा, जब इस विषय को फ्रेंच ज्योमेट्री स्कूल (विशेष रूप से हेनरी पॉइनकेयर, एली कार्टन, और गैस्टन डारबॉक्स) के सदस्यों द्वारा एकीकृत किया गया था, जिन्होंने ग्रासमैन के विचारों को विभेदक रूपों की गणना के लिए लागू किया था।

थोड़ी देर बाद, अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड ने पियानो और ग्रासमैन के विचारों से उधार लेते हुए, अपने सार्वभौमिक बीजगणित की शुरुआत की। इसके बाद बीजगणितीय प्रणाली की स्वयंसिद्ध धारणा को दृढ़ तार्किक आधार पर रखकर सार बीजगणित के 20वीं शताब्दी के विकास का मार्ग प्रशस्त किया।

यह भी देखें

 * बारी -बारी से बीजगणित
 * बाहरी कैलकुलस पहचान
 * क्लिफोर्ड बीजगणित, एक नॉनज़ेरो द्विघात रूप  का उपयोग करके बाहरी बीजगणित का एक सामान्यीकरण
 * ज्यामितीय बीजगणित
 * कोसज़ुल कॉम्प्लेक्स
 * बहुस्तरीय बीजगणित
 * सममित बीजगणित, सममित एनालॉग
 * टेंसर बीजगणित
 * वेइल बीजगणित, एक सहानुभूतिपूर्ण रूप से सममित बीजगणित का एक क्वांटम समूह

गणितीय संदर्भ

 * बारी -बारी से टेंसर्स और वैकल्पिक रूपों का उपचार, साथ ही इस लेख में अपनाए गए परिप्रेक्ष्य से हॉज द्वैत की विस्तृत चर्चा शामिल है।
 * यह लेख के लिए मुख्य गणितीय संदर्भ है।यह एक कम्यूटेटिव रिंग पर एक मॉड्यूल के बाहरी बीजगणित का परिचय देता है (हालांकि यह लेख मुख्य रूप से उस मामले में माहिर है जब रिंग एक क्षेत्र है), जिसमें सार्वभौमिक संपत्ति, फंक्शनलिटी, द्वैत और बायलजबरा संरचना की चर्चा शामिल है।§Iii.7 और §iii.11 देखें।
 * इस पुस्तक में आंशिक अंतर समीकरण ों में समस्याओं के लिए बाहरी बीजगणित के अनुप्रयोग शामिल हैं।रैंक और संबंधित अवधारणाएं शुरुआती अध्यायों में विकसित की जाती हैं।
 * अध्याय XVI सेक्शन 6-10 बाहरी बीजगणित का अधिक प्राथमिक खाता देते हैं, जिसमें द्वंद्व, निर्धारक और नाबालिगों और वैकल्पिक रूप शामिल हैं।
 * बाहरी बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।
 * इस पुस्तक में आंशिक अंतर समीकरण ों में समस्याओं के लिए बाहरी बीजगणित के अनुप्रयोग शामिल हैं।रैंक और संबंधित अवधारणाएं शुरुआती अध्यायों में विकसित की जाती हैं।
 * अध्याय XVI सेक्शन 6-10 बाहरी बीजगणित का अधिक प्राथमिक खाता देते हैं, जिसमें द्वंद्व, निर्धारक और नाबालिगों और वैकल्पिक रूप शामिल हैं।
 * बाहरी बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।
 * बाहरी बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।
 * बाहरी बीजगणित का एक शास्त्रीय उपचार बारी -बारी से टेनर्स के रूप में होता है, और अंतर ज्यामिति के लिए अनुप्रयोग।

ऐतिहासिक संदर्भ

 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ
 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ
 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ
 * (रैखिक एक्सटेंशन थ्योरी-गणित की एक नई शाखा) वैकल्पिक संदर्भ

अन्य संदर्भ और आगे पढ़ना

 * बाहरी बीजगणित, और ज्यामितीय बीजगणित का एक परिचय, अनुप्रयोगों पर ध्यान देने के साथ।एक इतिहास अनुभाग और ग्रंथ सूची भी शामिल है।
 * बाहरी बीजगणित के अनुप्रयोगों को अंतर रूपों में शामिल किया गया है, विशेष रूप से अभिन्न और स्टोक्स के प्रमेय पर केंद्रित है।अंकन $ \bigwedge\nolimits^k V $ इस पाठ में वी पर के-फॉर्म्स को वैकल्पिक करने के स्थान का उपयोग करने के लिए उपयोग किया जाता है;यानी, स्पिवक के लिए $ \bigwedge\nolimits^k V $  यह लेख क्या होगा $ \bigwedge\nolimits^k V^*. $  स्पिवक ने एडेंडम 4 में इस पर चर्चा की।
 * हस्ताक्षरित क्षेत्रों, संस्करणों और उच्च-आयामी संस्करणों के रूप में निर्धारकों के स्वयंसिद्धता का एक प्राथमिक उपचार शामिल है।
 * बहुभिन्नरूपी पथरी में यह पाठ्यपुस्तक कॉलेजों के लिए कैलकुलस अनुक्रम में अंतर रूपों के बाहरी बीजगणित का परिचय देती है।
 * बाहरी उत्पादों का उपयोग करके बुनियादी परिमित-आयामी रैखिक बीजगणित में समन्वय-मुक्त दृष्टिकोण का परिचय।
 * अध्याय 10: बाहरी उत्पाद और बाहरी बीजगणित
 * [http://neo-classical-physics.info/uploads/3/0/6/5/3065888/burali-forti_-_grassman_and_proj._geom..pdfबाहरी बीजगणित के आवेदन पर सेसरे ब्यूरली-फ़ॉर्टी द्वारा प्रोजेक्टिव ज्यामिति के लिए नोट्स
 * C. Burali-forti, विभेदक ज्यामिति के बाद परिचय,एच। ग्रासमैन की विधि बाहरी बीजगणित के ज्यामितीय अनुप्रयोगों पर एक प्रारंभिक पुस्तक का एक अंग्रेजी अनुवाद
 * यांत्रिकी, विस्तार के सिद्धांत के सिद्धांतों के अनुसार एक ग्रासमैन के कागजों के एक अंग्रेजी अनुवादबाहरी बीजगणित के अनुप्रयोगों पर
 * बाहरी उत्पादों का उपयोग करके बुनियादी परिमित-आयामी रैखिक बीजगणित में समन्वय-मुक्त दृष्टिकोण का परिचय।
 * अध्याय 10: बाहरी उत्पाद और बाहरी बीजगणित
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 * यांत्रिकी, विस्तार के सिद्धांत के सिद्धांतों के अनुसार एक ग्रासमैन के कागजों के एक अंग्रेजी अनुवादबाहरी बीजगणित के अनुप्रयोगों पर
 * C. Burali-forti, विभेदक ज्यामिति के बाद परिचय,एच। ग्रासमैन की विधि बाहरी बीजगणित के ज्यामितीय अनुप्रयोगों पर एक प्रारंभिक पुस्तक का एक अंग्रेजी अनुवाद
 * यांत्रिकी, विस्तार के सिद्धांत के सिद्धांतों के अनुसार एक ग्रासमैन के कागजों के एक अंग्रेजी अनुवादबाहरी बीजगणित के अनुप्रयोगों पर

श्रेणी: बीजगणित श्रेणी: बहुपक्षीय बीजगणित श्रेणी: विभेदक रूप