स्टोक्स प्रमेय

स्टोक्स की प्रमेय, जिसे लॉर्ड केल्विन और जॉर्ज स्टोक्स के बाद केल्विन-स्टोक्स प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, कर्ल के लिए मौलिक प्रमेय या केवल कर्ल प्रमेय, $$\R^3$$ पर सदिश कलन में एक प्रमेय है। सदिश क्षेत्र को देखते हुए, प्रमेय किसी सतह पर सदिश क्षेत्र के कर्ल के समाकलन को, सतह की सीमा के चारों ओर सदिश क्षेत्र के रेखा समाकलन से संबंधित करता है। स्टोक्स के चिरसम्मत प्रमेय को एक वाक्य में कहा जा सकता है- लूप पर सदिश क्षेत्र का रेखा समाकलन संलग्न सतह के माध्यम से इसके कर्ल के बराबर है। इसे चित्र में दिखाया गया है, जहां सीमा समोच्च $Σ$ के सकारात्मक परिसंचरण की दिशा, और सतह $∂Σ$ के माध्यम से सकारात्मक प्रवाह की दिशा $n$, दाएं हाथ के नियम से संबंधित हैं। दाहिने हाथ के लिए उंगलियाँ $∂Σ$ के अनुदिश घूमती हैं और अंगूठा $n$ के अनुदिश दिशा में निर्देशित होता है।

स्टोक्स की प्रमेय सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय की विशेष स्थिति है। विशेष रूप से, $$\R^3$$ पर सदिश क्षेत्र को 1-रूप के रूप में माना जा सकता है, जिस स्थिति में इसका कर्ल इसका बाहरी व्युत्पन्न, 2-रूप है।

प्रमेय
मान लीजिए कि $$\Sigma$$ सीमा $$\partial \Sigma \equiv \Gamma $$ के साथ $$\R^3$$ में निष्कोण उन्मुख सतह है। यदि सदिश क्षेत्र $$\mathbf{F}(x,y,z) = (F_x(x, y, z), F_y(x, y, z), F_z(x, y, z))$$ को परिभाषित किया गया है और $$\Sigma$$ वाले क्षेत्र में सतत प्रथम क्रम आंशिक व्युत्पन्न है, तो$$ \iint_\Sigma (\nabla \times \mathbf{F}) \cdot \mathrm{d} \mathbf{\Sigma} =  \oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{\Gamma}. $$अधिक स्पष्ट रूप से, समानता यह कहती है$$ \begin{align} &\iint_\Sigma \left(\left(\frac{\partial F_z}{\partial y}-\frac{\partial F_y}{\partial z} \right)\,\mathrm{d}y\, \mathrm{d}z +\left(\frac{\partial F_x}{\partial z}-\frac{\partial F_z}{\partial x}\right)\, \mathrm{d}z\, \mathrm{d}x +\left (\frac{\partial F_y}{\partial x}-\frac{\partial F_x}{\partial y}\right)\, \mathrm{d}x\, \mathrm{d}y\right) \\ & = \oint_{\partial\Sigma} \Bigl(F_x\, \mathrm{d}x+F_y\, \mathrm{d}y+F_z\, \mathrm{d}z\Bigr). \end{align} $$स्टोक्स की प्रमेय के सटीक कथन में मुख्य चुनौती सीमा की धारणा को परिभाषित करना है। उदाहरण के लिए, कोच स्नोफ्लेक जैसी सतहें, रीमैन-समाकलनीय सीमा प्रदर्शित नहीं करने के लिए सर्वविदित हैं, और लेब्सग सिद्धांत में सतह माप की धारणा को गैर-लिप्सचिट्ज़ सतह के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है। एक (उन्नत) तकनीक कमजोर सूत्रीकरण को पारित करना और फिर ज्यामितीय माप सिद्धांत की मशीनरी को लागू करना है उस दृष्टिकोण के लिए कोरिया सूत्र देखें। इस लेख में, हम इसके स्थान पर अधिक प्राथमिक परिभाषा का उपयोग करते हैं, जो इस तथ्य पर आधारित है कि $$\R^2$$ के पूर्ण-आयामी उपसमुच्चय के लिए सीमा को समझा जा सकता है।

बाद की चर्चाओं के लिए अधिक विस्तृत विवरण दिया जाएगा। मान लीजिए कि $$\gamma:[a,b]\to\R^2$$ खंडशः निष्कोण जॉर्डन समतल वक्र है। जॉर्डन वक्र प्रमेय का तात्पर्य है कि $$\gamma$$ $$\R^2$$ को दो घटकों में विभाजित करता है, एक सघन और दूसरा जो गैर-सघन है। मान लीजिए कि $$D$$ सघन भाग को दर्शाता है, तब $$D$$ $$\gamma$$ से घिरा है। अब सीमा की इस धारणा को $$\R^3$$ में हमारी सतह पर सतत मानचित्र के साथ स्थानांतरित करना पर्याप्त है। लेकिन हमारे पास पहले से ही ऐसा मानचित्र है- $$\Sigma$$ का प्राचलीकरण।

मान लीजिए $$\psi:D\to\R^3$$, $$\Sigma=\psi(D)$$ के साथ, $$D$$ के पड़ोस में खंडशः निष्कोण है। यदि $$\Gamma$$, $$\Gamma(t)=\psi(\gamma(t))$$ द्वारा परिभाषित अंतराल वक्र है तो हम $$\Gamma$$ को $$\Sigma$$ की सीमा कहते हैं, जिसे $$\partial\Sigma$$ लिखा जाता है।

उपरोक्त संकेतन के साथ, यदि $$\mathbf{F}$$, $$\R^3$$ पर कोई सहज सदिश क्षेत्र है, तो $$\oint_{\partial\Sigma} \mathbf{F}\, \cdot\, \mathrm{d}{\mathbf{\Gamma}}  = \iint_{\Sigma} \nabla\times\mathbf{F}\, \cdot\, \mathrm{d}\mathbf{\Sigma}. $$यहां, "$$\cdot$$" $$\R^3$$ में डॉट उत्पाद का प्रतिनिधित्व करता है।

प्रमाण
प्रमेय के प्रमाण में 4 चरण होते हैं। हम ग्रीन की प्रमेय को मानते हैं, इसलिए चिंता का विषय यह है कि त्रि-आयामी जटिल समस्या (स्टोक्स की प्रमेय) को द्वि-आयामी प्राथमिक समस्या (ग्रीन की प्रमेय) में कैसे संक्षिप्त किया जाए। इस प्रमेय को सिद्ध करते समय, गणितज्ञ प्रायः इसे अधिक सामान्य परिणाम की विशेष स्थिति के रूप में निकालते हैं, जिसे अवकल रूपों के संदर्भ में कहा जाता है, और अधिक परिष्कृत मशीनरी का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है। शक्तिशाली होते हुए भी, इन तकनीकों के लिए पर्याप्त पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है, इसलिए नीचे दिए गए प्रमाण उनसे बचते हैं, और मूलभूत सदिश कलन और रैखिक बीजगणित से परिचित होने के अलावा किसी भी ज्ञान का अनुमान नहीं लगाते है। इस खंड के अंत में, सामान्यीकृत स्टोक्स की प्रमेय के परिणाम के रूप में, स्टोक्स की प्रमेय का एक संक्षिप्त वैकल्पिक प्रमाण दिया गया है।

प्राथमिक प्रमाण का प्रथम चरण (अवकलन का प्राचलीकरण)
जैसा कि प्रमेय में है, हम सतह के प्राकृतिक प्राचलीकरण का उपयोग करके आयाम को कम करते हैं। मान लीजिए कि $Σ$ और $n$ उस अनुभाग के अनुसार हैं, और ध्यान दें कि चर के परिवर्तन से$$\oint_{\partial\Sigma}{\mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{\Gamma}} = \oint_{\gamma}{\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{\gamma}))\cdot\,\mathrm{d}\boldsymbol{\psi}(\mathbf{\gamma})} = \oint_{\gamma}{\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))\cdot J_{\mathbf{y}}(\boldsymbol{\psi})\,\mathrm{d}\gamma}$$जहां $γ$ $∂Σ$ पर $J_{y}ψ$ के जैकोबियन आव्यूह के लिए है।

अब मान लीजिए कि $ψ$ $y = γ(t)$ की निर्देशांक दिशाओं में लंबात्मक आधार है। यह मानते हुए कि ${e_{u}, e_{v}} |undefined$ के कॉलम यथावत् $R^{2}$ पर ${e_{u}, e_{v}} |undefined$ के आंशिक व्युत्पन्न हैं, हम निर्देशांक में पिछले समीकरण का विस्तार इस प्रकार कर सकते हैं$$\begin{align} \oint_{\partial\Sigma}{\mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{\Gamma}} &= \oint_{\gamma}{\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))J_{\mathbf{y}}(\boldsymbol{\psi})\mathbf{e}_u(\mathbf{e}_u\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{y}) + \mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))J_{\mathbf{y}}(\boldsymbol{\psi})\mathbf{e}_v(\mathbf{e}_v\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{y})} \\ &=\oint_{\gamma}{\left(\left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial u}(\mathbf{y})\right)\mathbf{e}_u + \left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(\mathbf{y}))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial v}(\mathbf{y})\right)\mathbf{e}_v\right)\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{y}} \end{align}$$

प्राथमिक प्रमाण में दूसरा चरण (पुलबैक को परिभाषित करना)
पिछला चरण सुझाव देता है कि हम फलन को परिभाषित करें$$\mathbf{P}(u,v) = \left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(u,v))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial u}(u,v)\right)\mathbf{e}_u + \left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(u,v))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial v}(u,v) \right)\mathbf{e}_v$$अब, यदि अदिश मान फलन $$P_u$$ और $$P_v$$ को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है, $${P_u}(u,v) = \left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(u,v))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial u}(u,v)\right)$$$${P_v}(u,v) =\left(\mathbf{F}(\boldsymbol{\psi}(u,v))\cdot\frac{\partial\boldsymbol{\psi}}{\partial v}(u,v) \right) $$तब, $$\mathbf{P}(u,v) = {P_u}(u,v) \mathbf{e}_u + {P_v}(u,v) \mathbf{e}_v .$$यह ${t_{u}, t_{v}} |undefined$ के अनुदिश $J_{y}ψ$ का पुलबैक है, और, उपरोक्त के अनुसार, यह संतुष्ट करता है$$\oint_{\partial\Sigma}{\mathbf{F}(\mathbf{x})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{l}}=\oint_{\gamma}{\mathbf{P}(\mathbf{y})\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{l}} =\oint_{\gamma}{( {P_u}(u,v) \mathbf{e}_u + {P_v}(u,v) \mathbf{e}_v)\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{l}} $$हमने स्टोक्स की प्रमेय के एक पक्ष को 2-आयामी सूत्र में सफलतापूर्वक कम कर दिया है, अब हम दूसरी ओर मुड़ते हैं।

प्राथमिक प्रमाण का तीसरा चरण (द्वितीय समीकरण)
सबसे पहले, उत्पाद नियम के माध्यम से, ग्रीन की प्रमेय में प्रदर्शित आंशिक व्युत्पन्न की गणना करें-$$\begin{align} \frac{\partial P_u}{\partial v} &= \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol{\psi})}{\partial v}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} + (\mathbf{F}\circ \boldsymbol\psi) \cdot\frac{\partial^2 \boldsymbol\psi}{\partial v \, \partial u} \\[5pt] \frac{\partial P_v}{\partial u} &= \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol{\psi})}{\partial u}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v} + (\mathbf{F}\circ \boldsymbol\psi) \cdot\frac{\partial^2 \boldsymbol\psi}{\partial u \, \partial v} \end{align}$$सुविधाजनक रूप से, मिश्रित आंशिक की समानता से, द्वितीय पद अंतर में लुप्त हो जाता है। इसलिए, $$\begin{align} \frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v} &= \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol\psi)}{\partial u}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v} - \frac{\partial (\mathbf{F}\circ \boldsymbol\psi)}{\partial v}\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} \\[5pt] &= \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}\cdot(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} - \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u}\cdot(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v} && \text{(chain rule)}\\[5pt] &= \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}\cdot\left(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F}-{(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})}^{\mathsf{T}}\right)\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} \end{align} $$लेकिन अब उस द्विघात रूप में आव्यूह पर विचार करें - अर्थात्, $$J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F}-(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})^{\mathsf{T}}$$। हमारा दावा है कि यह आव्यूह वास्तव में क्रॉस उत्पाद का वर्णन करता है। यहां अधिलेख "$$ {}^{\mathsf{T}} $$" आव्यूहों के स्थानान्तरण का प्रतिनिधित्व करता है।

सटीक होने के लिए, मान लीजिए $$A=(A_{ij})_{ij}$$ यादृच्छिक $y$ आव्यूह है और माना$$\mathbf{a}= \begin{bmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}A_{32}-A_{23} \\ A_{13}-A_{31} \\ A_{21}-A_{12}\end{bmatrix}$$ध्यान दें कि $ψ$ रैखिक है, इसलिए यह आधार तत्वों पर इसकी क्रिया द्वारा निर्धारित होता है। लेकिन प्रत्यक्ष गणना से$$\begin{align} \left(A-A^{\mathsf{T}}\right)\mathbf{e}_1 &= \begin{bmatrix} 0 \\ a_3 \\ -a_2 \end{bmatrix} = \mathbf{a}\times\mathbf{e}_1\\ \left(A-A^{\mathsf{T}}\right)\mathbf{e}_2 &= \begin{bmatrix} -a_3 \\ 0 \\ a_1 \end{bmatrix} = \mathbf{a}\times\mathbf{e}_2\\ \left(A-A^{\mathsf{T}}\right)\mathbf{e}_3 &= \begin{bmatrix} a_2 \\ -a_1 \\ 0 \end{bmatrix} = \mathbf{a}\times\mathbf{e}_3 \end{align}$$यहां, $ψ$ $$\R^3$$ की निर्देशांक दिशाओं में लम्बवत आधार का प्रतिनिधित्व करता है।

इस प्रकार किसी भी $F$ के लिए $3 × 3$।

$ψ$ के स्थान पर $${(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})}$$ प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है$$\left({(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})} - {(J_{\boldsymbol\psi(u,v)}\mathbf{F})}^{\mathsf{T}} \right) \mathbf{x} =(\nabla\times\mathbf{F})\times \mathbf{x}, \quad \text{for all}\, \mathbf{x}\in\R^{3}$$अब हम आंशिक के अंतर को (अदिश) त्रिगुण उत्पाद के रूप में पहचान सकते हैं-$$\begin{align} \frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v} &= \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}\cdot(\nabla\times\mathbf{F}) \times \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} = (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u} \times \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v} \end{align}$$

दूसरी ओर, सतह अभिन्न की परिभाषा में एक ट्रिपल उत्पाद भी शामिल है - बिल्कुल वही!$$\begin{align} \iint_\Sigma (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \, d\mathbf{\Sigma} &=\iint_D {(\nabla\times\mathbf{F})(\boldsymbol\psi(u,v))\cdot\frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial u}(u,v)\times \frac{\partial \boldsymbol\psi}{\partial v}(u,v)\,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v} \end{align}$$तो, हम प्राप्त करते हैं$$ \iint_\Sigma (\nabla\times\mathbf{F})\cdot \,\mathrm{d}\mathbf{\Sigma } = \iint_D \left( \frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v} \right) \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v $$

प्रारंभिक प्रमाण का चौथा चरण (ग्रीन के प्रमेय में कमी)
दूसरे और तीसरे चरण को मिलाने और फिर ग्रीन के प्रमेय को लागू करने से प्रमाण पूरा हो जाता है। ग्रीन का प्रमेय निम्नलिखित पर जोर देता है: जॉर्डन के बंद वक्र γ और दो अदिश-मूल्य वाले सुचारू कार्यों से घिरे किसी भी क्षेत्र D के लिए $$P_u(u,v), P_v(u,v)$$ डी पर परिभाषित;

$$\oint_{\gamma}{( {P_u}(u,v) \mathbf{e}_u + {P_v}(u,v) \mathbf{e}_v)\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{l}} = \iint_D \left( \frac{\partial P_v}{\partial u} - \frac{\partial P_u}{\partial v} \right) \,\mathrm{d}u\,\mathrm{d}v $$ हम ऊपर दिए गए ग्रीन प्रमेय के बाईं ओर STEP2 के निष्कर्ष को प्रतिस्थापित कर सकते हैं, और दाईं ओर STEP3 के निष्कर्ष को प्रतिस्थापित कर सकते हैं। क्यू.ई.डी.

विभेदक रूपों के माध्यम से प्रमाण
कार्य $$ \R^3\to\R^3 $$ अंतर 1-रूपों से पहचाना जा सकता है $$ \R^3$$ मानचित्र के माध्यम से

$$F_x\mathbf{e}_1+F_y\mathbf{e}_2+F_z\mathbf{e}_3 \mapsto F_x\,\mathrm{d}x + F_y\,\mathrm{d}y + F_z\,\mathrm{d}z .$$ किसी फ़ंक्शन से संबंधित अंतर 1-फ़ॉर्म लिखें $x ↦ a × x$ जैसा ${e_{1}, e_{2}, e_{3}} |undefined$. फिर कोई उसका हिसाब लगा सकता है

$$\star\omega_{\nabla\times\mathbf{F}}=\mathrm{d}\omega_{\mathbf{F}}$$ कहाँ $x$ हॉज सितारा है और $$\mathrm{d}$$ बाह्य व्युत्पन्न है. इस प्रकार, सामान्यीकृत स्टोक्स प्रमेय द्वारा,

$$\oint_{\partial\Sigma}{\mathbf{F}\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{\gamma}} =\oint_{\partial\Sigma}{\omega_{\mathbf{F}}} =\int_{\Sigma}{\mathrm{d}\omega_{\mathbf{F}}} =\int_{\Sigma}{\star\omega_{\nabla\times\mathbf{F}}} =\iint_{\Sigma}{\nabla\times\mathbf{F}\cdot\,\mathrm{d}\mathbf{\Sigma}} $$

अघूर्णी क्षेत्र
इस खंड में, हम स्टोक्स प्रमेय के आधार पर अघूर्णन क्षेत्र (लैमेलर वेक्टर क्षेत्र) पर चर्चा करेंगे।

परिभाषा 2-1 (अघूर्णी क्षेत्र)। एक सहज सदिश क्षेत्र $(A − AT)x = a × x$ एक खुले सेट पर $$U\subseteq\R^3$$ इरॉटेशनल (लैमेलर वेक्टर फ़ील्ड) है यदि $F$.

यांत्रिकी में यह अवधारणा बहुत मौलिक है; जैसा कि हम बाद में साबित करेंगे, यदि $ω_{F}$ अघूर्णी है और इसका डोमेन है $★$ तो बस जुड़ा हुआ है $F$ एक रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र है।

हेल्महोल्त्ज़ के प्रमेय
इस खंड में, हम एक प्रमेय प्रस्तुत करेंगे जो स्टोक्स प्रमेय से लिया गया है और भंवर-मुक्त वेक्टर क्षेत्रों की विशेषता बताता है। द्रव गतिकी में इसे हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय कहा जाता है।

प्रमेय 2-1 (द्रव गतिकी में हेल्महोल्त्ज़ का प्रमेय)।   होने देना $$ U\subseteq\R^3$$ लैमेलर वेक्टर फ़ील्ड के साथ एक खुला सबसेट उपसमुच्चय बनें $∇ × F = 0$ और जाने $F$ टुकड़े-टुकड़े चिकने लूप बनें। यदि कोई फंक्शन है $F$ ऐसा है कि तब, $$\int_{c_0} \mathbf{F} \, \mathrm{d}c_0=\int_{c_1} \mathbf{F} \, \mathrm{d}c_1$$ कुछ पाठ्यपुस्तकें जैसे लॉरेंस के बीच संबंध को बुलाओ $F$ और $F$ प्रमेय 2-1 में समस्थानिक और फलन के रूप में बताया गया है $c_{0}, c_{1}: [0, 1] → U$ के बीच समरूपता के रूप में $H: [0, 1] × [0, 1] → U$ और $H(t, 0) = c_{0}(t)$. हालाँकि, उपर्युक्त अर्थ में होमोटोपिक या होमोटॉपी होमोटोपिक या होमोटोपी के होमोटोपी से भिन्न (मजबूत) हैं; बाद वाली शर्त छोड़ें [TLH3]। तो अब से हम प्रमेय 2-1 के अर्थ में होमोटोपी (होमोटोपी) को एक ट्यूबलर होमोटोपी (सम्मान ट्यूबलर-होमोटोपिक) के रूप में संदर्भित करते हैं।
 * [टीएलएच0] $A$ टुकड़े-टुकड़े में चिकना है,
 * [टीएलएच1] $t ∈ [0, 1]$ सभी के लिए $H(t, 1) = c_{1}(t)$,
 * [जुड़ा हुआ] $t ∈ [0, 1]$ सभी के लिए $H(0, s) = H(1, s)$,
 * [टीएलएच3] $s ∈ [0, 1]$ सभी के लिए $c_{0}$.

हेल्महोल्ट्ज़ के प्रमेयों का प्रमाण
निम्नलिखित में, हम संकेतन और उपयोग का दुरुपयोग करते हैं$$\oplus$$मौलिक समूह में पथों के संयोजन के लिए और$$\ominus$$किसी पथ की दिशा को उलटने के लिए.

होने देना $c_{1}$, और विभाजित $H: [0, 1] × [0, 1] → U$ चार रेखा खंडों में $c_{0}$. $$\begin{align} \gamma_1:[0,1] \to D;\quad&\gamma_1(t) = (t, 0) \\ \gamma_2:[0,1] \to D;\quad&\gamma_2(s) = (1, s) \\ \gamma_3:[0,1] \to D;\quad&\gamma_3(t) = (1-t, 1) \\ \gamma_4:[0,1] \to D;\quad&\gamma_4(s) = (0, 1-s) \end{align}$$ ताकि $$\partial D = \gamma_1 \oplus \gamma_2 \oplus \gamma_3 \oplus \gamma_4$$ हमारी धारणा से कि $c_{1}$ और $γ_{1}, ..., γ_{4}$ टुकड़े-टुकड़े चिकने होमोटोपिक हैं, टुकड़े-टुकड़े चिकने होमोटोपिक हैं $D = [0, 1] × [0, 1]$ $$\begin{align} \Gamma_i(t) &= H(\gamma_{i}(t)) && i=1, 2, 3, 4 \\ \Gamma(t) &= H(\gamma(t)) =(\Gamma_1 \oplus \Gamma_2 \oplus \Gamma_3 \oplus \Gamma_4)(t) \end{align}$$ होने देना $H$ की छवि हो $S$ अंतर्गत $D$. वह

$$ \iint_S \nabla\times\mathbf{F}\, \mathrm{d}S = \oint_\Gamma \mathbf{F}\, \mathrm{d}\Gamma $$ स्टोक्स के प्रमेय से तुरंत अनुसरण करता है। $∂D$ लैमेलर है, इसलिए बायां हिस्सा गायब हो जाता है, यानी।

$$0=\oint_\Gamma \mathbf{F}\, \mathrm{d}\Gamma = \sum_{i=1}^4 \oint_{\Gamma_i} \mathbf{F} \, \mathrm{d}\Gamma $$ जैसा $H$ ट्यूबलर है (संतोषजनक [TLH3]),$$\Gamma_2 = \ominus \Gamma_4$$ और $$\Gamma_2 = \ominus \Gamma_4$$. इस प्रकार रेखा साथ-साथ अभिन्न हो जाती है $γj$ और $c_{0}$रद्द करना, जा रहा हूँ

$$0=\oint_{\Gamma_1} \mathbf{F} \, \mathrm{d}\Gamma +\oint_{\Gamma_3} \mathbf{F} \, \mathrm{d}\Gamma$$ वहीं दूसरी ओर, $c_{1}$, $$c_3 = \ominus \Gamma_3$$, ताकि वांछित समानता लगभग तुरंत आ जाए।

रूढ़िवादी ताकतें
ऊपर हेल्महोल्ट्ज़ का प्रमेय यह स्पष्टीकरण देता है कि किसी वस्तु की स्थिति को बदलने में रूढ़िवादी बल द्वारा किया गया कार्य पथ स्वतंत्र क्यों है। सबसे पहले, हम लेम्मा 2-2 का परिचय देते हैं, जो हेल्महोल्ट्ज़ प्रमेय का एक परिणाम और एक विशेष मामला है।

लेम्मा 2-2. होने देना $$ U\subseteq\R^3$$ लैमेलर वेक्टर फ़ील्ड के साथ एक खुला सेट उपसमुच्चय बनें $H: D → M$ और एक टुकड़ावार चिकना लूप $F$. एक बिंदु तय करें $Γ_{2}(s)$, यदि कोई समरूपता है $Γ_{4}(s)$ ऐसा है कि तब, $$\int_{c_0} \mathbf{F} \, \mathrm{d}c_0=0$$ ऊपर लेम्मा 2-2 प्रमेय 2-1 से अनुसरण करता है। लेम्मा 2-2 में, का अस्तित्व $H$ [SC0] से [SC3] को संतुष्ट करना महत्वपूर्ण है; सवाल यह है कि क्या ऐसी समरूपता को मनमाने ढंग से लूप के लिए लिया जा सकता है। अगर $H$ बस जुड़ा हुआ है, जैसे $H$ मौजूद। सरल रूप से जुड़े हुए स्थान की परिभाषा इस प्रकार है:
 * [एससी0] $U$ टुकड़े-टुकड़े में चिकना है,
 * '[एससी1]' $c1 = Γ1$ सभी के लिए $F$,
 * [एससी2] $c_{0}: [0, 1] → U$ सभी के लिए $p ∈ U$,
 * [एससी3] $H: [0, 1] × [0, 1] → U$ सभी के लिए $H(t, 0) = c_{0}(t)$.

परिभाषा 2-2 (सिर्फ जुड़ा हुआ स्थान)। होने देना $$M\subseteq\R^n$$ गैर-रिक्त और कनेक्टेड स्थान#पथ कनेक्टिविटी|पथ-कनेक्टेड हो।  $H$ को सिंपल कनेक्टेड कहा जाता है यदि और केवल यदि किसी निरंतर लूप के लिए, $t ∈ [0, 1]$ एक सतत ट्यूबलर समरूपता मौजूद है $H(t, 1) = p$ से $M$ एक निश्चित बिंदु तक $t ∈ [0, 1]$; वह है,
 * [एससी0'] $c$ सतत है,
 * '[एससी1]' $H(0, s) = H(1, s) = p$ सभी के लिए $s ∈ [0, 1]$,
 * [एससी2] $c: [0, 1] → M$ सभी के लिए $H: [0, 1] × [0, 1] → M$,
 * [एससी3] $p ∈ c$ सभी के लिए $H(t, 0) = c(t)$.

यह दावा कि एक रूढ़िवादी बल के लिए, किसी वस्तु की स्थिति को बदलने में किया गया कार्य पथ स्वतंत्र है, यदि एम बस जुड़ा हुआ है तो यह तुरंत प्रतीत हो सकता है। हालाँकि, याद रखें कि सरल-कनेक्शन केवल एक सतत समरूपता संतोषजनक [SC1-3] के अस्तित्व की गारंटी देता है; हम इसके बजाय उन शर्तों को पूरा करने वाली एक टुकड़े-टुकड़े चिकनी होमोटॉपी की तलाश करते हैं।

सौभाग्य से, नियमितता में अंतर को व्हिटनी के सन्निकटन प्रमेय द्वारा हल किया गया है। दूसरे शब्दों में, एक सतत समरूपता खोजने की संभावना, लेकिन उस पर एकीकृत न हो पाने की संभावना, वास्तव में उच्च गणित के लाभ से समाप्त हो जाती है। इस प्रकार हमें निम्नलिखित प्रमेय प्राप्त होता है।

प्रमेय 2-2. होने देना $$U\subseteq\R^3$$ खुला सेट हो और बस एक अघूर्णी सदिश क्षेत्र से जुड़ा हो $t ∈ [0, 1]$. सभी टुकड़ों में चिकने लूपों के लिए $H(t, 1) = p$ $$\int_{c_0} \mathbf{F} \, \mathrm{d}c_0 = 0$$

मैक्सवेल के समीकरण
विद्युत चुंबकत्व के भौतिकी में, स्टोक्स का प्रमेय मैक्सवेल-फैराडे समीकरण और एम्पीयर के सर्किटल कानून के अंतर रूप की तुल्यता के लिए औचित्य प्रदान करता है। मैक्सवेल-एम्पीयर समीकरण और इन समीकरणों का अभिन्न रूप। फैराडे के नियम के लिए, स्टोक्स प्रमेय को विद्युत क्षेत्र पर लागू किया जाता है, $$\mathbf{E}$$:

$$\oint_{\partial\Sigma} \mathbf{E} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}= \iint_\Sigma \mathbf{\nabla}\times \mathbf{E} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} .$$ एम्पीयर के नियम के लिए, स्टोक्स प्रमेय चुंबकीय क्षेत्र पर लागू होता है, $$\mathbf{B}$$:

$$\oint_{\partial\Sigma} \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l}= \iint_\Sigma \mathbf{\nabla}\times \mathbf{B} \cdot \mathrm{d} \mathbf{S} .$$