तनाव (यांत्रिकी)

सातत्य यांत्रिकी में तनाव यांत्रिकी एक भौतिक राशि है जो विरूपण के समय उपस्थित बलों का वर्णन करती है। तनावग्रस्त वस्तु जैसे कि विस्तृत प्रत्यास्थ प्रतिबल, तन्य तनाव के अधीन होता है और विस्तृत तनाव से गुजर सकता है। यदि वस्तु को एक साथ प्रेरित जा रहा है। जैसे कि एक मुड़ा हुआ स्पंज, संकुचित तनाव के अधीन या छोटा हो सकता है। जितना अधिक बल और भौतिकी का अंतः वर्ग क्षेत्र जितना छोटा होता है उतना ही अधिक तनाव होता है। तनाव में प्रति क्षेत्र बल की इकाइयाँ जैसे न्यूटन प्रति वर्ग मीटर (N/m2) या पास्कल (Pa) होती हैं।

तनाव आंतरिक बालों को व्यक्त करता है। जो एक सतत पदार्थ के निकट कण एक दूसरे पर आरोपित करते हैं जबकि तनाव पदार्थ के विरूपण का माप है। उदाहरण के लिए, जब एक ठोस लम्बवत बार ओवरहेड भार का समर्थन कर रहा होता है तो बार में प्रत्येक कण उसके ठीक नीचे के कणों पर प्रेरित करता है। जब तरल पदार्थ एक बंद कंटेनर में दाब में होता है तो प्रत्येक कण को ​​आसपास के सभी कणों द्वारा प्रेरित दिया जाता है। कंटेनर की दीवारें और दाब उत्प्रेरण सतह (जैसे पिस्टन) उनके विपरीत (न्यूटोनियन) प्रतिक्रिया में प्रेरित करती हैं। ये बृहत् बल वास्तव में बहुत बड़ी संख्या में अंतर-आणविक बलों और उन अणुओं में कणों के बीच टकराव का शुद्ध परिणाम हैं। तनाव को प्रायः निम्न केस ग्रीक अक्षर सिग्मा (σ) द्वारा दर्शाया जाता है।

एक पदार्थ के अंदर तनाव विभिन्न तंत्रों से उत्पन्न हो सकता है। बाहरी बल द्वारा पदार्थ (जैसे गुरुत्वाकर्षण) या इसकी सतह (जैसे संपर्क बल, बाहरी दाब या घर्षण) पर प्रयुक्त तनाव किसी ठोस पदार्थ का कोई भी तनाव (विरूपण) एक आंतरिक प्रत्यास्थ प्रतिबल उत्पन्न करता है, जो वसंत की प्रतिक्रिया बल के समान होता है।जो पदार्थ को उसकी मूल गैर-विकृत स्थिति में पुनर्स्थापित करता है। तरल पदार्थ और गैसों में केवल विकृति की मात्रा परिवर्तित होती है जो निरंतर प्रत्यास्थ प्रतिबल उत्पन्न करती है। यदि विरूपण धीरे-धीरे समय के साथ परिवर्तित होता है तो तरल पदार्थों में भी सामान्यतः कुछ श्यान प्रतिबल होता है जो उस परिवर्तन का विरोध करता है। प्रत्यास्थ और श्यान प्रतिबल सामान्यतः यांत्रिक तनाव के नाम से संयुक्त होते हैं।

विरूपण के नगण्य या अस्तित्वहीन होने पर भी इसमे सार्थक तनाव सम्मिलित हो सकता है। पानी के प्रवाह को मॉडलिंग करते समय एक सामान्य धारणा बाहरी क्षमता की अनुपस्थिति में तनाव सम्मिलित हो सकता है। इस प्रकार के अंतर्निर्मित तनाव महत्वपूर्ण होते हैं। उदाहरण के लिए पूर्वप्रतिबलित कंक्रीट और पायित कांच में किसी पदार्थ पर शुद्ध बलों के प्रयोग के बिना भी दाब डाला जा सकता है। उदाहरण के लिए तापमान या रासायनिक संरचना में परिवर्तन या बाहरी विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों द्वारा पीजोइलेक्ट्रिक और चुंबकीय विरूपण पदार्थ के रूप में यांत्रिक तनाव, विरूपण और विरूपण के परिवर्तन की दर के बीच का संबंध अपेक्षाकृत जटिल हो सकता है। हालांकि मात्रा पर्याप्त रूप से छोटी होने पर व्यवहार में एक रैखिक सन्निकटन पर्याप्त हो सकता है। जो तनाव पदार्थ की निश्चित क्षमता सीमा से अधिक होता है। स्थायी विरूपण (जैसे सुघट्य प्रवाह, विभाजन, निर्वातन) या यहां तक इसकी क्रिस्टल संरचना और रासायनिक संरचना को भी परिवर्तित कर सकता है।

इतिहास


मनुष्य प्राचीन काल से पदार्थों के अंदर तनाव के विषय में जानते है। 17वीं शताब्दी तक यह समझ अपेक्षाकृत सहज और प्रयोगसिद्ध थी। हालांकि इसने समग्र धनुष और कांच धमन जैसी अपेक्षाकृत उन्नत तकनीकों के विकास को नहीं स्थगित नही किया है।

कई सहस्राब्दियों से विशेष रूप से वास्तुकारों और निर्माताओ ने सीखा है कि राजधानियों, मेहराबों, कपोलों, ट्रस और जैसे सरल उपकरणों के साथ सबसे प्रभावी तरीके से तनाव का सामना करने, संचारित करने और वितरित करने के लिए सावधानीपूर्वक विस्तृत आकार वाले लकड़ी के बीम और पत्थर के ब्लॉक को एक साथ गॉथिक गिरिजाघरों मे कैसे रखा जा सकता है।

प्राचीन और मध्यकालीन वास्तुकारों ने स्तंभों और बीमों के उपयुक्त आकार की गणना करने के लिए कुछ ज्यामितीय विधियों और सरल सूत्रों का विकास किया है। लेकिन तनाव की वैज्ञानिक समझ 17वीं और 18वीं शताब्दी में आवश्यक उपकरणों के आविष्कार गैलीलियो गैलीली की कठोर प्रयोगात्मक विधि, रेने डेसकार्टेस के निर्देशांक और विश्लेषणात्मक ज्यामिति, न्यूटन के गति के नियम, संतुलन और अनंत काल की गणना के बाद ही संभव हो पाई है। उन उपकरणों के साथ ऑगस्टिन-लुई कॉची तनाव और तनाव की धारणाओं को प्रस्तुत करके विकृत प्रत्यास्थ भौतिकी का पहला कठोर और सामान्य गणितीय मॉडल देने में सक्षम थे। कॉची ने देखा कि एक काल्पनिक सतह पर बल उसके सामान्य सदिश का एक रैखिक फलन है। और इसके अतिरिक्त यह एक सममित कार्य (शून्य कुल संवेग के साथ) होना चाहिए और तरल पदार्थों में तनाव की समझ न्यूटन के नियम से प्रारम्भ हुई थी। जिन्होंने समानांतर लैमिनार प्रवाह में घर्षण बल (अपरूपण प्रतिबल) के लिए एक अंतर सूत्र प्रदान किया था।

परिभाषा
सीमा के सभी झुकावों के लिए तनाव को उस सीमा के प्रति इकाई क्षेत्र की एक छोटी सीमा के प्रतिच्छेदित बल के रूप में परिभाषित किया गया है। एक मौलिक भौतिक राशि (बल) और एक विशुद्ध रूप से ज्यामितीय राशि (क्षेत्र) से व्युत्पन्न तनाव भी एक मौलिक राशि है। जैसे वेग टोक़ या ऊर्जा जिसे पदार्थ या उसके भौतिक कारणों की प्रकृति पर स्पष्ट विचार किए बिना परिमाणित और विश्लेषित किया जा सकता है।

सातत्य यांत्रिकी के मूल परिसर का अनुसरण करते हुए, तनाव एक स्थूल अवधारणा है। अर्थात् इसकी परिभाषा और विश्लेषण में माने जाने वाले कण संरचना और अवस्था में सजातीय के रूप में माने जाने के लिए पर्याप्त छोटे होने चाहिए, लेकिन फिर भी क्वांटम प्रभावों और अणुओं की विस्तृत गति की उपेक्षा करने के लिए पर्याप्त बड़े हैं। इस प्रकार दो कणों के बीच बल वास्तव में उनके अणुओं के बीच बहुत बड़ी संख्या में परमाणु बलों का औसत है द्रव्यमान, वेग और बल जैसी भौतिक राशियाँ जो गुरुत्वाकर्षण जैसे त्रि-आयामी निकायों के परिमाण के माध्यम से कार्य करती हैं। उन्हें आसानी से वितरित माना जाता है। संदर्भ के आधार पर कोई भी हो सकता है। माना कि कण इतने बड़े हैं कि औसत को अन्य सूक्ष्म विशेषताओं से बाहर निकालने की स्वीकृति देते हैं। जैसे धातु की छड़ के दाने या लकड़ी के टुकड़े के तंतु आदि मे परिमाणात्मक रूप से तनाव को कॉची कर्षण सदिश T द्वारा व्यक्त किया जाता है। जिसे कर्षण बल F के रूप में परिभाषित किया जाता है।

जो एक काल्पनिक रूप से अलग करने वाली सतह S पर पदार्थ के आसन्न भागों के बीच होता है। जिसे S के क्षेत्र द्वारा विभाजित किया जाता है। यह द्रव में स्थिर बल सतह के लंबवत होता है और घनिष्ठ दाब होता है। एक ठोस या श्यान द्रव के प्रवाह में बल F, S के लंबवत नहीं हो सकता है। इसलिए सतह पर तनाव को सदिश राशि माना जाना चाहिए अदिश नहीं। इसके अतिरिक्त दिशा और परिमाण सामान्यतः S के अभिविन्यास पर निर्भर करते हैं। इस प्रकार पदार्थ की तनाव स्थिति को एक प्रदिश द्वारा वर्णित किया जाता है। जिसे (कॉची) तनाव प्रदिश कहा जाता है। जो एक रैखिक कार्य है जो सतह S के सामान्य सदिश n को S के कर्षण सदिश T से संबंधित करता है। किसी भी चुनी हुई समन्वय प्रणाली के संबंध में कॉची तनाव प्रदिश को 3 × 3 वास्तविक संख्याओं के सममित आव्यूह के रूप में दर्शाया जा सकता है। एक सजातीय भौतिकी के भीतर भी तनाव प्रदिश एक स्थान से दूसरे स्थान पर भिन्न हो सकता है और समय के साथ परिवर्तित हो सकता है। इसलिए एक पदार्थ के भीतर तनाव सामान्य रूप से एक समय-भिन्न प्रदिश क्षेत्र है।

सामान्य और अपरुपण तनाव
सामान्य रूप से तनाव T जो कण P सतह S के दूसरे कण Q पर प्रयुक्त होता है। तथा S के सापेक्ष कोई भी दिशा हो सकती है। सदिश T को दो घटकों के योग के रूप में माना जा सकता है। सामान्य तनाव (संपीड़न या तनाव) लंबवत सतह और अपरुपण तनाव जो सतह के समानांतर है।

यदि सतह की सामान्य इकाई सदिश n (Q से P की ओर संकेत करते हुए) को निश्चित मान लिया जाता है तो सामान्य घटक को एकल संख्या, डॉट उत्पाद (T · n) द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। यह संख्या धनात्मक होती है यदि P, Q (तन्यता तनाव) पर "खींच" जा रहा है। और ऋणात्मक होती है यदि P, Q (संपीड़ित तनाव) के विरुद्ध "प्रेरित" किता जाता है। तब अपरुपण घटक सदिश T − (T · n)n होता है।

इकाइयाँ
तनाव का आयाम दाब है और इसलिए इसके निर्देशांको दाब के समान इकाइयों जैसे अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली में पास्कल (Pa, अर्थात न्यूटन प्रति वर्ग मीटर) या पाउंड प्रति वर्ग इंच (psi) में साम्राज्य संबंधी प्रणालीयों के रूप में मापा जाता है। क्योंकि यांत्रिक तनाव (एमपीए) आसानी से एक लाख पास्कल से अधिक हो जाता है जो मेगापास्कल के लिए होता है। यह तनाव की एक सामान्य इकाई है।

कारण और प्रभाव
भौतिकी में तनाव बाहरी प्रभावों और आंतरिक शारीरिक प्रक्रियाओं सहित कई भौतिक कारणों से हो सकता है। इनमें से कुछ घटक (जैसे गुरुत्वाकर्षण, तापमान, फेज में परिवर्तन और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र) पदार्थ के परिमाण पर कार्य करते हैं। जो स्थिति और समय के साथ निरंतर परिवर्तित रहते हैं। अन्य घटक (जैसे बाहरी भार और घर्षण, परिवेश दाब और संपर्क बल) तनाव और बल उत्पन्न कर सकते हैं जो कुछ सतहों, रेखाओं या बिंदुओं पर केंद्रित होते हैं। और संभवतः बहुत कम समय के अंतराल पर भी (जैसा कि टक्करों के कारण आवेगों में) सक्रिय पदार्थ में, सूक्ष्म कणों का स्व-प्रणोदन असूक्ष्म तनाव आकर्षण उत्पन्न करता है। सामान्य रूप से भौतिकी में तनाव वितरण को अंतरिक्ष और समय के साथ टुकड़े मे निरंतर कार्य के रूप में व्यक्त किया जाता है।

इसके विपरीत, तनाव सामान्यतः पदार्थ पर विभिन्न प्रभावों के साथ सहसंबद्ध होता है। संभवतः भौतिक गुणों में परिवर्तन जैसे द्विअपवर्तन, ध्रुवीकरण और पारगम्यता सहित बाहरी घटक द्वारा तनाव का आरोपण सामान्यतः पदार्थ में कुछ तनाव (विरूपण) उत्पन्न कर करता है। यद्यपि यह पता लगाने के लिए बहुत छोटा हो तो एक ठोस पदार्थ में इस प्रकार के तनाव से एक आंतरिक प्रत्यास्थ प्रतिबल उत्पन्न होता है जो एक विस्तृत वसंत की प्रतिक्रिया बल के समान होता है, जो कि पदार्थ को अपने मूल अपरिवर्तित स्थिति में प्राप्त करने के लिए प्रवृत्त होता है। द्रव पदार्थ (तरल पदार्थ, गैस और प्लास्मा) परिभाषा के अनुसार केवल उन विकृतियों का विरोध कर सकते हैं जो उनकी राशि को परिवर्तित कर सकते है। यदि विरूपण समय के साथ परिवर्तित होता है। तो तरल पदार्थों में भी सामान्यतः कुछ श्यान प्रतिबल होता है जो उस परिवर्तन का विरोध करता है। इस प्रकार के तनाव या तो अपरुपण या सामान्य प्रकृति के हो सकते हैं। श्यानता पर लेख में द्रवों में अपरूपण प्रतिबलों की आणविक उत्पत्ति दी गई है। शर्मा (2019) में सामान्य श्यान प्रतिबल के लिए समान पाया जा सकता है।

तनाव और इसके प्रभावों कारणों के बीच संबंध विरूपण और विकृति की परिवर्तन की दर सहित अपेक्षाकृत जटिल हो सकता है। हालांकि मात्रा अपेक्षाकृत कम होने पर अभ्यास में एक रैखिक अनुमान पर्याप्त हो सकता है। तनाव जो पदार्थ की निश्चित क्षमता सीमा से अधिक है स्थायी विरूपण जैसे सुघट्य प्रवाह, विभाजन, निर्वातन या यहां तक ​​कि इसकी क्रिस्टल संरचना और रासायनिक संरचना को भी परिवर्तित कर सकता है।

सरल तनाव
कुछ स्थितियों में भौतिकी के भीतर तनाव को पर्याप्त रूप से संख्या या सदिश (संख्या और दिशा) द्वारा वर्णित किया जा सकता है। तीन ऐसी सरल तनाव स्थितियां, जो प्रायः इंजीनियरिंग डिजाइन में सामने आती हैं, एक-अक्षीय सामान्य तनाव, सरल अपरुपण तनाव और समानुवर्ती सामान्य तनाव हैं। 

अक्षीय सामान्य तनाव
एक साधारण तनाव पैटर्न के साथ सामान्य स्थिति तब होती है जब एक समान पदार्थ और अनुप्रस्थ काट वाली एक सीधी छड़ अपनी धुरी के साथ $$F$$ परिमाण के विपरीत बलों द्वारा तनाव के अधीन होती है। यदि प्रणाली संतुलन में है और समय के साथ नहीं परिवर्तित है और बार के वजन की उपेक्षा की जा सकती है तो बार के प्रत्येक अनुप्रस्थ खंड के माध्यम से शीर्ष भाग को उसी बल के साथ नीचे के भाग पर खींचना चाहिए, पूर्ण अनुप्रस्थ के माध्यम से निरंतरता के साथ $$F$$ का अनुभागीय क्षेत्र A है। इसलिए किसी भी क्षैतिज सतह पर बार में तनाव σ को केवल एक संख्या σ द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। जो केवल उन बलों $$F$$ और अनुभागीय क्षेत्र A के परिमाण के साथ गणना की जाती है:$$\sigma=\frac{F}{A}$$दूसरी ओर यदि कोई कल्पना करता है कि बार को उसकी लंबाई के साथ अक्ष के समानांतर विभाजित किया जा रहा है तो विभाजन के दोनों भाग के बीच कोई बल नहीं होगा इसलिए कोई तनाव नहीं होता है। इस प्रकार के प्रतिबल को (सरल) सामान्य प्रतिबल या अक्षीय प्रतिबल कहा जा सकता है। विशेष रूप से (अक्षीय, सरल, आदि) तनन तनाव यदि भार को खींचने के अतिरिक्त बार पर संपीड़न होता है तो विश्लेषण वही होता है। इसके अतिरिक्त बल F और तनाव $$\sigma$$ परिवर्तन चिह्न और तनाव को संपीड़ित तनाव कहा जाता है। यह विश्लेषण मानता है कि तनाव पूरे अनुप्रस्थ काट में समान रूप से वितरित किया जाता है। यह इस विषय पर निर्भर करते हुए कि बार सिरों पर कैसे जुड़ा हुआ है और इसे कैसे बनाया गया था यह धारणा मान्य नहीं हो सकती है। उस स्थिति में मान $$\sigma$$ = F/A केवल औसत तनाव हो सकता है। जिसे इंजीनियरिंग तनाव या नाममात्र तनाव कहा जाता है। यदि बार की लंबाई L उसके व्यास D से कई गुना अधिक है और इसमें कोई सकल दोष या अंतर्निहित तनाव नहीं है तो तनाव को किसी भी अनुप्रस्थ काट पर समान रूप से वितरित माना जा सकता है। जो दोनों सिरों से कुछ गुना D से अधिक है। यह अवलोकन सेंट-वेनेंट के सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।

अक्षीय तनाव और संपीड़न के अतिरिक्त कई अन्य स्थितियों में सामान्य तनाव होता है। यदि समान और सममित अनुप्रस्थ काट वाला एक प्रत्यास्थ बार सममिति के अपने समतल में से एक में मुड़ा हुआ है तो परिणामी घूर्णन वाला तनाव अभी भी सामान्य (अनुप्रस्थ काट के लंबवत) होगा लेकिन अनुप्रस्थ काट में भिन्न भिन्न हो सकता है। बाहरी भाग तन्यता तनाव में और भीतरी भाग संकुचित तनाव मे होता है। सामान्य तनाव का एक अन्य प्रकार परिधीय प्रतिबल है जो एक बेलनाकार पाइप या दाब वाले द्रव से भरे बर्तन की दीवारों पर होता है।

सरल अपरुपण तनाव
एक अन्य सरल प्रकार का तनाव तब होता है जब गोंद या रबर जैसी प्रत्यास्थ पदार्थ की समान मोटी परत दो कठोर पिंडों मे दृढ़ता से जुड़ी होती है। जो परत के समानांतर बलों द्वारा विपरीत दिशाओं में खींची जाती हैं या एक नरम धातु पट्टी का एक भाग जिसे कैंची जैसे उपकरण के किसी भाग द्वारा विभाजित किया जाता है। मान लीजिए कि F उन बलों का परिमाण है और M उस परत का मध्य तल है। जैसे सामान्य तनाव के स्थिति में M के एक तरफ की परत का भाग दूसरे भाग को उसी बल F के साथ खींचना चाहिए। यह मानते हुए कि बलों की दिशा ज्ञात है। भार M में तनाव को केवल एकल तनाव द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। संख्या $$\tau$$ केवल उन बलों के परिमाण F और अनुप्रस्थ काट क्षेत्रफल A के साथ परिकलित की जाती है।$$\tau=\frac{F}{A}$$सामान्य प्रतिबल के विपरीत यह सरल अपरूपण प्रतिबल उस अनुप्रस्थ काट के समांतर निर्देशित होता है न कि इसके लम्बवतनिर्देशित होता है। किसी भी समतल S के लिए जो परत के लंबवत है वह S के निकट शुद्ध आंतरिक बल है और इसलिए तनाव शून्य होता है। जैसा कि एक अक्षीय रूप से भरी हुई पट्टी के स्थिति में भौतिकी अपरुपण का तनाव समान रूप से परत पर वितरित नहीं किया जा सकता है। इसलिए पहले की तरह F/A अनुपात केवल एक औसत ("नाममात्र", "इंजीनियरिंग") तनाव होगा। वह औसत प्रायः व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए पर्याप्त होता है। अपरूपण तनाव तब भी देखा जाता है जब एक बेलनाकार पट्टी जैसे कि शाफ्ट को इसके सिरों पर विपरीत बल के अधीन किया जाता है। उस स्थिति में प्रत्येक अनुप्रस्थ काट पर अपरुपण का तनाव अनुप्रस्थ काट के समानांतर होता है। लेकिन अक्ष के सापेक्ष स्पर्शरेखा से उन्मुख होता है और अक्ष से दूरी के साथ बढ़ता है। झुकने वाले भार के अंतर्गत आई-बीम के मध्य प्लेट ("वेब") में महत्वपूर्ण अपरूपण तनाव होता है, क्योंकि वेब अंतिम प्लेटों ("फ्लैंज") को बाधित करता है।

समानुवर्ती तनाव
इसमे एक अन्य सरल प्रकार का तनाव तब होता है जब भौतिकी की सभी दिशाओं में समान संपीड़न या तनाव में होता है। इस स्थिति मे उदाहरण के लिए तरल या गैस के एक भाग में आराम से चाहे किसी कंटेनर में विवृत हो या द्रव के बड़े द्रव्यमान के भाग के रूप में या प्रत्यास्थ पदार्थ के एक घन के अंदर जो समान लंबवत बलों द्वारा सभी छह समतल पर दबाया या खींचा जा रहा है दोनों स्थितियों में पदार्थ सजातीय होता है। इसके अतिरिक्त अंतर्निहित तनाव और गुरुत्वाकर्षण या अन्य बाहरी बलों का प्रभाव उपेक्षित किया जा सकता है।

इन स्थितियों में किसी भी काल्पनिक आंतरिक सतह पर तनाव परिमाण में बराबर हो जाता है और सदैव सतह के उन्मुखीकरण से स्वतंत्र रूप से सतह पर प्रत्यक्ष निर्देशित होता है। इस प्रकार के तनाव को समानुवर्ती सामान्य या केवल समानुवर्ती कहा जा सकता है। यदि यह संपीडन है, तो इसे द्रवस्थैतिक दाब या केवल दाब कहा जाता है। परिभाषा के अनुसार गैसें तन्य तनाव का सामना नहीं कर सकती हैं। लेकिन कुछ तरल पदार्थ या परिस्थितियों में बहुत बड़ी मात्रा में समानुवर्ती तन्य तनाव का सामना कर सकती हैं। इसके लिए जेड-ट्यूब देखें।

बेलनाकार तनाव
घूर्णी समरूपता वाले भाग जैसे पहिए, एक्सल, पाइप और खंभे, इंजीनियरिंग में बहुत सामान्य हैं। प्रायः ऐसे भागों में होने वाले तनाव पैटर्न में घूर्णी या बेलनाकार समरूपता होती है। इस प्रकार के बेलनाकार तनाव का विश्लेषण डोमेन या तनाव प्रदिश के आयाम को कम करने के लिए समरूपता का लाभ प्राप्त किया जा सकता है।

सामान्य तनाव
प्रायः यांत्रिक निकाय एक ही समय में एक से अधिक प्रकार के तनाव का अनुभव करते हैं। इसे संयुक्त तनाव कहा जाता है। सामान्य और अपरुपण तनाव में तनाव का परिमाण उन सतहों के लिए अधिकतम होता है जो एक निश्चित दिशा $$d$$ के लंबवत होते हैं और किसी भी सतह पर शून्य होते हैं जो d के समानांतर होते हैं। जब अपरूपण प्रतिबल केवल उन सतहों पर शून्य होता है जो एक विशेष दिशा के लंबवत होती हैं तो प्रतिबल को द्विअक्षीय कहा जाता है। और इसे दो सामान्य या अपरूपण प्रतिबलों के योग के रूप में देखा जा सकता है। सबसे सामान्य स्थिति में जिसे त्रिअक्षीय प्रतिबल कहा जाता है। प्रत्येक सतह तत्व पर प्रतिबल अशून्य होता है।

कॉची तनाव प्रदिश
संयुक्त तनावों को एक सदिश द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है। यहां तक ​​​​कि यदि पदार्थ को पूरे भौतिकी के आयतन में उसी प्रकार से बल दिया जाता है तो किसी भी काल्पनिक सतह पर तनाव गैर-तुच्छ प्रकार से उस सतह के उन्मुखीकरण पर निर्भर करता है।

कॉची ने देखा कि एक सतह पर तनाव सदिश $$T$$ सदैव सतह के सामान्य सदिश n का एक रैखिक फलन है इकाई लम्बाई सदिश जो इसके लंबवत है वह $$T = \boldsymbol{\sigma}(n)$$ है। जहां ये $$\boldsymbol{\sigma}$$ को संतुष्ट करता है:
 * $$\boldsymbol{\sigma}(\alpha u + \beta v) = \alpha\boldsymbol{\sigma}(u) + \beta\boldsymbol{\sigma}(v)$$

किसी भी सदिश के लिए $$u,v$$ और कोई वास्तविक संख्या $$\alpha,\beta$$ फलन $$\boldsymbol{\sigma}$$ जिसे अब (कॉची) तनाव प्रदिश कहा जाता है। एक समान रूप से तनावग्रस्त भौतिकी की तनाव स्थिति का पूरी तरह से वर्णन करता है। दो भौतिक सदिश राशियों के बीच किसी भी रैखिक संबंध को प्रदिश कहा जाता है। जो पदार्थ में " मानसिक तनाव" (तनाव) का वर्णन करने के लिए कॉची के मूल उपयोग को दर्शाता है। प्रदिश गणना में $$\boldsymbol{\sigma}$$ को प्रकार (0,2) के दूसरे क्रम के प्रदिश के रूप में वर्गीकृत किया गया है। सदिश के बीच किसी भी रैखिक मानचित्र की तरह, तनाव प्रदिश को किसी भी चुने हुए कार्तीय समन्वय प्रणाली में वास्तविक संख्याओं के 3 × 3 आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है। इस पर निर्भर करते हुए कि निर्देशांक $$x_1,x_2,x_3$$ या $$x,y,z$$ नामित हैं। आव्यूह को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $$ \begin{bmatrix} \sigma _{11} & \sigma _{12} & \sigma _{13} \\ \sigma _{21} & \sigma _{22} & \sigma _{23} \\ \sigma _{31} & \sigma _{32} & \sigma _{33} \end{bmatrix} $$या$$ \begin{bmatrix} \sigma _{xx} & \sigma _{xy} & \sigma _{xz} \\ \sigma _{yx} & \sigma _{yy} & \sigma _{yz} \\ \sigma _{zx} & \sigma _{zy} & \sigma _{zz} \\ \end{bmatrix} $$तनाव सदिश $$T = \boldsymbol{\sigma}(n)$$ सामान्य सदिश $$n$$ के साथ एक सतह पर (जो सहपरिवर्ती "पंक्ति,क्षैतिज" सदिश है) समन्वय के साथ $$n_1,n_2,n_3$$ तब एक आव्यूह उत्पाद $$T = n\cdot\boldsymbol{\sigma}$$ है। जहां T ऊपरी सूचकांक में स्थानान्तरण है और जिसके परिणामस्वरूप हमें सहपरिवर्ती (पंक्ति) सदिश प्राप्त होता है। कॉची तनाव प्रदिश को देखें। अर्थात,

\begin{bmatrix} T_1 & T_2 & T_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} n_1 & n_2 & n_3 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{21} & \sigma_{31} \\ \sigma_{12} & \sigma_{22} & \sigma_{32} \\ \sigma_{13} & \sigma_{23} & \sigma_{33} \end{bmatrix} $$ $$T$$ और $$n$$ के बीच रैखिक संबंध रैखिक संवेग के संरक्षण और बलों के स्थिर संतुलन के मूलभूत नियमों का अनुसरण करता है और इसलिए किसी भी पदार्थ और किसी भी तनाव की स्थिति के लिए गणितीय रूप से शुद्ध है। एक पदार्थ में प्रत्येक बिंदु पर कॉची तनाव प्रदिश के घटक संतुलन समीकरणों को संतुष्ट करते हैं शून्य त्वरण के लिए कॉची के गति के समीकरण इसके अतिरिक्त कोणीय संवेग के संरक्षण के सिद्धांत का अर्थ है कि तनाव प्रदिश अर्थात {$$ \sigma_{12} = \sigma_{21}$$,$$\sigma_{13} = \sigma_{31}$$, $$\sigma_{23} = \sigma_{32} $$ सममित है। इसलिए किसी भी बिंदु पर और माध्यम की तनाव स्थिति के अतिरिक्त केवल छह स्वतंत्र मापदंडों द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। जिसे निम्न रूप मे लिखे जा सकते हैं:

\begin{bmatrix} \sigma_x & \tau_{xy} & \tau_{xz} \\ \tau_{xy} & \sigma_y & \tau_{yz} \\ \tau_{xz} & \tau_{yz} & \sigma_z \end{bmatrix} $$ जहां तत्व $$\sigma_x,\sigma_y,\sigma_z$$ लंबकोणीय सामान्य तनाव (चुने हुए समन्वय प्रणाली के सापेक्ष) कहा जाता है। और $$\tau_{xy}, \tau_{xz},\tau_{yz}$$ लंबकोणीय अपरुपण तनाव है।

निर्देशांक का परिवर्तन
कॉची तनाव प्रदिश निर्देशांक की प्रणाली में परिवर्तन के अंतर्गत प्रदिश परिवर्तन नियम का अनुसरण करता है। इस परिवर्तन नियम का एक चित्रमय प्रतिनिधित्व मोहर का तनाव वितरण का चक्र है।

एक सममित 3 × 3 वास्तविक आव्यूह के रूप में तनाव प्रदिश $$\boldsymbol{\sigma}$$ तीन पारस्परिक रूप से लंबकोणीय इकाई लंबाई आइगेन मान और आइगेन सदिश $$e_1,e_2,e_3$$ हैं और तीन वास्तविक आइगेन मान और आइगेन सदिश $$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$$, ऐसा है कि $$ \boldsymbol{\sigma} e_i = \lambda_i e_i$$ इसलिए अक्ष के साथ एक समन्वय प्रणाली में $$e_1,e_2,e_3$$, तनाव प्रदिश एक विकर्ण आव्यूह है और केवल तीन $$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$$सामान्य मुख्य प्रतिबल घटक हैं। यदि तीन आइगेन मान समान हैं। तो तनाव एक समानुवर्ती संपीड़न या तनाव है। जो किसी भी सतह के लिए लंबवत होता है। जिसमे कोई अपरुपण तनाव नहीं होता है और प्रदिश किसी भी समन्वय फ्रेम में एक विकर्ण आव्यूह होता है।

प्रदिश क्षेत्र के रूप में तनाव
सामान्य रूप से तनाव भौतिकी पर समान रूप से वितरित नहीं होता है और समय के साथ भिन्न हो सकता है। इसलिए तनाव प्रदिश को प्रत्येक बिंदु और प्रत्येक स्थिति के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए, उस बिंदु के आस-पास के माध्यम के एक असीम कण पर विचार करके और उस कण में औसत तनाव को बिंदु पर तनाव के रूप में लेना आवश्यक होता है।

पतली प्लेटों में तनाव
मानव निर्मित वस्तुओं को प्रायः संचालन द्वारा विभिन्न पदार्थों के भंडारण प्लेट से बनाया जाता है जो उनके अनिवार्य रूप से द्वि-आयामी चरित्र को नहीं परिवर्तित करते हैं जैसे कि काटने, ड्रिलिंग, सौम्य बंकन और किनारों के साथ वेल्डिंग ऐसे निकायों में तनाव का विवरण उन भागों को त्रि-आयामी निकायों के अतिरिक्त द्वि-आयामी सतहों के रूप में मॉडलिंग करके सरल बनाया जा सकता है।

उस दृष्टि से एक "कण" को प्लेट की सतह के एक अतिसूक्ष्म पैच के रूप में फिर से परिभाषित किया जाता है। जिससे कि आसन्न कणों के बीच की सीमा एक अतिसूक्ष्म रेखा तत्व बन जाती है। दोनों प्लेट के सामान्य (सीधे माध्यम से) सामान्यतः तीसरे आयाम में विस्तारित होते हैं। फिर "तनाव" को दो आसन्न "कणों" के बीच आंतरिक बलों के एक उपाय के रूप में परिभाषित किया जाता है। जो उस रेखा की लंबाई से विभाजित होता है। तनाव प्रदिश के कुछ घटकों को उपेक्षित किया जा सकता है। लेकिन चूंकि कण तीसरे आयाम में अतिसूक्ष्म नहीं होते हैं। इसलिए अब उस टोक़ को उपेक्षित नहीं किया जा सकता है। जो एक कण अपने निकट स्थिति पर प्रयुक्त होता है। उस टॉर्क को झुकने वाले तनाव के रूप में तैयार किया जाता है जो प्लेट की वक्रता को परिवर्तित की प्रवृत्ति रखता है। ये सरलीकरण वेल्ड पर तिर्यक मोड़ और क्रीज़ पर (जहां वक्रता की त्रिज्या प्लेट की मोटाई के बराबर है।) अधिकृत नहीं किए जा सकते हैं।

पतली बीम में तनाव
तनाव के विश्लेषण को पतली बीम या समान (या सुचारू रूप से भिन्न) संरचना और अनुप्रस्थ काट के तारों के लिए अपेक्षाकृत तक सरल किया जा सकता है। जो मध्यम बंकन और घूर्णन के अधीन हैं। उन निकायों के लिए केवल अनुप्रस्थ काट पर विचार किया जा सकता है जो बार की धुरी के लंबवत हैं और एक "कण" को दो ऐसे अनुप्रस्थ काट के बीच असीम लंबाई वाले तार के टुकड़े के रूप में फिर से परिभाषित करते हैं। सामान्य तनाव तब एक अदिश (बार का तनाव या संपीड़न) में कम हो जाता है लेकिन किसी को बंकन वाले तनाव को भी ध्यान में रखना चाहिए (जो बार के वक्रता को अक्ष के लंबवत दिशा में परिवर्तिन का प्रयास करता है) और एक घूर्णित तनाव जो इसे अपनी धुरी पर घूर्णित करने का प्रयास करता है।

तनाव के अन्य विवरण
कॉची तनाव प्रदिश का उपयोग भौतिक निकायों के तनाव विश्लेषण के लिए किया जाता है जो कि अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत का अनुभव करते हैं। जहां अधिकांश स्थितियों में तनाव वितरण में अंतर की उपेक्षा की जा सकती है। बड़े विकृति के लिए जिसे परिमित तनाव सिद्धांत भी कहा जाता है। तनाव के अन्य उपाय जैसे कि पिओला -किरचॉफ तनाव प्रदिश पहला और दूसरा पिओला किरचॉफ तनाव प्रदिस, तनाव उपाय और तनाव के उपायों की आवश्यकता होती है।

ठोस, तरल पदार्थ और गैसों में तनाव क्षेत्र होते हैं। स्थिर तरल पदार्थ सामान्य तनाव का समर्थन करते हैं लेकिन अपरुपण तनाव के अंतर्गत प्रवाहित होते है। श्यान प्रतिबल अपरुपण तनाव (गतिशील दाब) का समर्थन कर सकती है। ठोस अपरुपण और सामान्य तनाव दोनों का समर्थन कर सकते हैं। जिसमें डक्टाइल पदार्थ अपरुपण और भंगुर पदार्थ के अंतर्गत असफल हो जाते है। जो सामान्य तनाव के अंतर्गत विफल हो जाते है। सभी पदार्थों में तनाव से संबंधित गुणों में तापमान निर्भर विविधताएं और गैर-न्यूटोनियन द्रव होता हैं। गैर-न्यूटोनियन पदार्थ में दर-निर्भर विविधताएं होती हैं।



तनाव विश्लेषण
तनाव विश्लेषण प्रयुक्त भौतिकी की एक शाखा है जो ठोस वस्तुओं में आंतरिक बलों के आंतरिक वितरण के निर्धारण को सम्मिलित करता है। यह निर्धारित या अपेक्षित भार के अंतर्गत सुरंगों, बांधों, यांत्रिक भागों और संरचनात्मक फ्रेम जैसे संरचनाओं के अध्ययन और डिजाइन के लिए इंजीनियरिंग में एक आवश्यक उपकरण है। यह कई अन्य विषयों में उदाहरण के लिए, भूविज्ञान में, प्लेट टेक्टोनिक्स, ज्वालामुखी और हिमस्खलन जैसी घटनाओं का अध्ययन करने के लिए और जीव विज्ञान में जीवित प्राणियों की शारीरिक रचना को समझने के लिए भी महत्वपूर्ण है।

लक्ष्य और धारणाएं
तनाव विश्लेषण सामान्यतः उन वस्तुओं और संरचनाओं से संबंधित होता है। जिन्हें स्थूल स्थैतिक संतुलन में माना जा सकता है। न्यूटन के गति के नियमों के अनुसार इस प्रकार की प्रणाली पर प्रयुक्त होने वाले किसी भी बाहरी बल को आंतरिक प्रतिक्रिया बलों द्वारा संतुलित किया जाना चाहिए, जो लगभग सदैव आसन्न कणों के बीच सतह संपर्क बल अर्थात, तनाव के रूप में होते हैं। चूँकि प्रत्येक कण को ​​संतुलन में रहने की आवश्यकता होती है। यह प्रतिक्रिया तनाव सामान्यतः कण से कण तक विस्तृत होता है। जिससे पूरे भौतिकी में तनाव वितरण होता है। तनाव विश्लेषण में सामान्य समस्या इन आंतरिक तनावों को निर्धारित करने के लिए है जो बाहरी क्षमता को देखते हुए प्रणाली पर कार्य कर रहे हैं। उत्तरार्द्ध भौतिकी बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण या चुंबकीय आकर्षण) हो सकता है। जो पदार्थ की मात्रा में कार्य करता है।  या केंद्रित भार (जैसे धुरी और असर के बीच घर्षण या वजन एक रेल पर रेलगाड़ी का पहिया), जो एक द्वि-आयामी क्षेत्र पर या एक रेखा के साथ या एक बिंदु पर कार्य करने की कल्पना की जाती है।

तनाव विश्लेषण में सामान्यतः बलों के भौतिक कारणों या पदार्थों की शुद्ध प्रकृति की उपेक्षा की जाती है। इसके अतिरिक्त, यह माना जाता है कि तनाव ज्ञात संवैधानिक समीकरणों द्वारा पदार्थ के विरूपण और गैर-स्थैतिक समस्याओं में विरूपण की दर से संबंधित हैं।

प्रकार
वास्तविक विरूपण साक्ष्य या अनुमापी मॉडल पर भार प्रयुक्त करके और कई उपलब्ध विधियों में से किसी के द्वारा परिणामी तनाव को मापने के द्वारा तनाव विश्लेषण को प्रयोगात्मक रूप से किया जा सकता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग प्रायः सुरक्षा प्रमाणन और संरक्षण के लिए किया जाता है। अधिकांश तनाव का विश्लेषण गणितीय तरीकों से किया जाता है। प्रायः डिजाइन के समय आधारिक तनाव विश्लेषण समस्या को निरंतर निकायों के लिए यूलर के गति के समीकरणों (जो रैखिक गति और कोणीय गति के संरक्षण के लिए न्यूटन के नियमों के परिणाम हैं) और यूलर-कॉची तनाव सिद्धांत के साथ-साथ उपयुक्त संवैधानिक समीकरणों द्वारा तैयार किया जा सकता है। इस प्रकार एक आंशिक अंतर समीकरणों की एक प्रणाली प्राप्त करता है। जिसमें तनाव प्रदिश क्षेत्र और तनाव प्रदिश क्षेत्र सम्मिलित होता है। जैसा कि अज्ञात कार्यों को निर्धारित किया जाना है। बाहरी भौतिकी बल अंतर समीकरणों में स्वतंत्र ("दाएं हाथ की ओर") शब्द के रूप में दिखाई देते हैं जबकि केंद्रित बल सीमा स्थितियों के रूप में दिखाई देते हैं। आधारिक तनाव विश्लेषण समस्या इसलिए एक सीमा-मान समस्या है।

प्रत्यास्थ संरचनाओं के लिए तनाव विश्लेषण प्रत्यास्थ के सिद्धांत और अत्यल्प तनाव सिद्धांत पर आधारित है। जब प्रयुक्त भार स्थायी विरूपण का कारण बनता है तो किसी को अधिक जटिल संवैधानिक समीकरणों का उपयोग करना चाहिए, जो कि सम्मिलित भौतिक प्रक्रियाओं (प्रत्यास्थ प्रवाह, निवर्तन, चरण परिवर्तन आदि) के लिए उत्तरदाई हो सकते हैं। अभियांत्रिकी संरचनाएं सामान्यतः इसलिए डिजाइन की जाती हैं ताकि अधिकतम अपेक्षित तनाव रैखिक प्रत्यास्थता की सीमा के भीतर हों (निरंतर मीडिया के लिए हुक के नियम का सामान्यीकरण) अर्थात्, आंतरिक तनावों के कारण होने वाली विकृति उनसे रैखिक रूप से संबंधित होती है। इस स्थिति में तनाव प्रदिश को परिभाषित करने वाले अंतर समीकरण रैखिक होते हैं, और समस्या बहुत आसान हो जाती है। एक विषय के लिए किसी भी बिंदु पर तनाव भार का एक रैखिक कार्य भी हो सकता है। छोटे पर्याप्त तनावों के लिए, गैर-रैखिक प्रणालियों को भी सामान्यतः रैखिक माना जा सकता है।

तनाव विश्लेषण सरल हो जाता है जब भौतिक आयाम और भार की वितरण संरचना को एक या दो आयामी के रूप में माने जाने की स्वीकृति होती है। ट्रस के विश्लेषण में उदाहरण के लिए तनाव क्षेत्र को प्रत्येक सदस्य पर एक समान और असमान माना जा सकता है। तब अवकल समीकरण परिमित रूप से कई अज्ञात समीकरण के साथ समीकरणों (सामान्यतः रैखिक) के एक परिमित समुच्चय तक कम हो जाते हैं। अन्य संदर्भों में कोई त्रि-आयामी समस्या को द्वि-आयामी समस्या में कम करने में सक्षम हो सकता है या सामान्य तनाव और तनाव प्रदिश को एक-अक्षीय तनाव/संपीड़न, सरल अपरुपण इत्यादि जैसे सरल मॉडल द्वारा प्रतिस्थापित कर सकता है।

पुनः दो या तीन आयामी स्थितियों के लिए आंशिक अंतर समीकरण समस्या को हल करना चाहिए। विभेदक समीकरणों के विश्लेषणात्मक या विवृत रूप समाधान तब प्राप्त किए जा सकते हैं जब ज्यामिति, संघटक संबंध और सीमा की स्थितियाँ अपेक्षाकृत सरल हों। अन्यथा सामान्यतः परिमित तत्व विधि, परिमित अंतर विधि और सीमा तत्व विधि जैसे संख्यात्मक अनुमानों की सहायता लेना आवश्यक है।

तनाव के वैकल्पिक उपाय
अन्य उपयोगी तनाव उपायों में प्रथम और द्वितीय पिओला-किरचॉफ तनाव प्रदिश, बायोट तनाव प्रदिश और किरचॉफ तनाव प्रदिश सम्मिलित हैं।

पिओला-किरचॉफ तनाव प्रदिश
परिमित विकृति की स्थिति में पिओला किरचॉफ तनाव प्रदिश संदर्भ विन्यास के सापेक्ष तनाव को व्यक्त करते हैं। यह कॉची तनाव प्रदिश के विपरीत है जो वर्तमान रूपांतरण के सापेक्ष तनाव को व्यक्त करता है। अतिसूक्ष्म विकृति और घूर्णन के लिए कॉची और पिओला-किरचॉफ प्रदिश समान हैं।

जबकि कॉची तनाव प्रदिश $$\boldsymbol{\sigma}$$ वर्तमान विन्यास में तनाव से संबंधित है। विरूपण अनुप्रवण और तनाव प्रदिश को गति को संदर्भ विन्यास से संबंधित करके वर्णित किया गया है। इस प्रकार पदार्थ की स्थिति का वर्णन करने वाले सभी प्रदिश संदर्भ या वर्तमान रूपांतरण में नहीं हैं। संदर्भ या वर्तमान विन्यास में तनाव, विकृति और विरूपण का वर्णन करने से संवैधानिक मॉडल को परिभाषित करना आसान हो सकता है। उदाहरण के लिए कॉची तनाव प्रदिश एक शुद्ध घूर्णन के लिए भिन्न होता है। जबकि विरूपण तनाव प्रदिश अपरिवर्तनीय होता है। इस प्रकार परिभाषित करने में समस्याएं उत्पन्न होती हैं। एक संवैधानिक मॉडल जो एक अलग प्रदिश से संबंधित है। शुद्ध घूर्णन के समय एक अपरिवर्तनीय के संदर्भ में परिभाषा के अनुसार संवैधानिक मॉडल को शुद्ध घूर्णन के लिए अपरिवर्तनीय होना चाहिए। प्रथम पिओला किरचॉफ तनाव प्रदिश $$\boldsymbol{P}$$ इस समस्या का एक संभावित समाधान है। यह दसियों के एक समूह को परिभाषित करता है। जो वर्तमान या संदर्भ स्थिति में भौतिकी के विन्यास का वर्णन करता है। प्रथम पिओला किरचॉफ तनाव प्रदिश $$\boldsymbol{P}$$ वर्तमान ("स्थानिक") रूपांतरण में संदर्भ ("पदार्थ") विन्यास में क्षेत्रों के साथ बलों से संबंधित होता है।

\boldsymbol{P} = J~\boldsymbol{\sigma}~\boldsymbol{F}^{-T} ~$$ जहाँ पर $$\boldsymbol{F}$$ विरूपण अनुप्रवण है और $$J= \det\boldsymbol{F}$$ जैकबियन आव्यूह या निर्धारक है। एक प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण आधार के संबंध घटकों के प्रथम पिओला किरचॉफ तनाव द्वारा दिया गया है:


 * $$P_{iL} = J~\sigma_{ik}~F^{-1}_{Lk} = J~\sigma_{ik}~\cfrac{\partial X_L}{\partial x_k}~\,\!$$

क्योंकि यह अलग-अलग समन्वय प्रणालियों से संबंधित होता है। प्रथम पायला-किरचॉफ तनाव दो बिंदु प्रदिश है। सामान्य रूप से यह सममित नहीं होता है। प्रथम पायला किरचॉफ तनाव इंजीनियरिंग तनाव की 1डी अवधारणा का 3डी सामान्यीकरण है। यदि पदार्थ तनाव की अवस्था (कठोर घूर्णन) में परिवर्तन के अतिरिक्त घूर्णित है तो प्रथम पायला किरचॉफ तनाव प्रदिश के घटक पदार्थ अभिविन्यास के साथ भिन्न हो सकते है। प्रथम पायला किरचॉफ तनाव विकृति प्रवणता के लिए ऊर्जा संयुग्म होता है।

द्वितीय पिओला किरचॉफ तनाव प्रदिश
जबकि प्रथम पायला किरचहॉफ तनाव वर्तमान परिवर्तन में संदर्भ विन्यास में क्षेत्रों के लिए बलों से संबंधित है। द्वितीय पिओला किरचहॉफ तनाव प्रदिश $$\boldsymbol{S}$$ संदर्भ विन्यास में क्षेत्रों के संदर्भ रूपांतरित बलों से संबंधित है। संदर्भ विन्यास में बल एक मानचित्रण के माध्यम से प्राप्त किया जाता है। जो संदर्भ विन्यास में बल की दिशा और सामान्य क्षेत्र के बीच सापेक्ष संबंध को संरक्षित करता है:

\boldsymbol{S} = J~\boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{F}^{-T} ~. $$ एक प्रसामान्य लांबिक विश्लेषण आधार के संबंध में सूचकांक संकेतन है:
 * $$S_{IL}=J~F^{-1}_{Ik}~F^{-1}_{Lm}~\sigma_{km} = J~\cfrac{\partial X_I}{\partial x_k}~\cfrac{\partial X_L}{\partial x_m}~\sigma_{km} \!\,\!$$

इस प्रदिश मे एक बिंदु प्रदिश सममित है। यदि पदार्थ तनाव अवस्था (कठोर घूर्णन) में परिवर्तन के अतिरिक्त घूर्णित है तो द्वितीय पिओला किरचॉफ तनाव प्रदिश के घटक स्थिर रहते हैं। यद्यपि भौतिक अभिविन्यास कुछ भी हो। लेकिन द्वितीय पिओला-किरचॉफ तनाव प्रदिश ग्रीन-लैग्रेंज परिमित तनाव प्रदिश के लिए ऊर्जा संयुग्मी होता है।

यह भी देखें

 * बंकन (भौतिकी)
 * सम्पीडक क्षमता
 * महत्वपूर्ण समतल विश्लेषण
 * केल्विन जांच बल सूक्ष्मदर्शी
 * मोहर वृत्त
 * लेमे का तनाव दीर्घवृत्त
 * अवशिष्ट तनाव
 * अपरूपण क्षमता
 * गोलिका प्रक्षेपण
 * तनाव (पदार्थ विज्ञान)
 * तनाव प्रदिश
 * तनाव दर प्रदिश
 * तनाव ऊर्जा प्रदिश
 * तनाव विकृति वक्र
 * तनाव एकाग्रता
 * क्षणिक घर्षण
 * तन्यता क्षमता
 * ताप का दाब
 * वायरल तनाव
 * उपज (इंजीनियरिंग)
 * उपज की सतह
 * वायरल प्रमेय

अग्रिम पठन

 * Dieter, G. E. (3 ed.). (1989). Mechanical Metallurgy. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100406-8.
 * Landau, L.D. and E.M.Lifshitz. (1959). Theory of Elasticity.
 * Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9.
 * Dieter, G. E. (3 ed.). (1989). Mechanical Metallurgy. New York: McGraw-Hill. ISBN 0-07-100406-8.
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 * Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9.
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 * Landau, L.D. and E.M.Lifshitz. (1959). Theory of Elasticity.
 * Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9.
 * Landau, L.D. and E.M.Lifshitz. (1959). Theory of Elasticity.
 * Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9.
 * Love, A. E. H. (4 ed.). (1944). Treatise on the Mathematical Theory of Elasticity. New York: Dover Publications. ISBN 0-486-60174-9.