रेडियल आधार फलन

रेडियल आधार समारोह (आरबीएफ) वास्तविक मूल्यवान कार्य है $\varphi$ जिसका मूल्य केवल इनपुट और कुछ निश्चित बिंदु, या तो उत्पत्ति (गणित) के बीच की दूरी पर निर्भर करता है, जिससे कि $\varphi(\mathbf{x}) = \hat\varphi(\left\|\mathbf{x}\right\|)$, या कोई अन्य निश्चित बिंदु $\mathbf{c}$ ,  केंद्र कहा जाता है, जिससे कि $\varphi(\mathbf{x}) = \hat\varphi(\left\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\right\|)$. कोई समारोह $\varphi$ जो संपत्ति को संतुष्ट करता है $\varphi(\mathbf{x}) = \hat\varphi(\left\|\mathbf{x}\right\|)$   रेडियल समारोह है। दूरी सामान्यतः यूक्लिडियन दूरी होती है, चूँकि कभी-कभी अन्य दूरी कार्यों का उपयोग किया जाता है। वे प्रायः  संग्रह के रूप में उपयोग किए जाते हैं $$\{ \varphi_k \}_k$$ जो रुचि के कुछ कार्य स्थान के लिए  आधार (रैखिक बीजगणित) बनाता है, इसलिए नाम।

रेडियल आधार कार्यों का योग सामान्यतः सन्निकटन कार्य करने के लिए उपयोग किया जाता है। इस सन्निकटन प्रक्रिया की व्याख्या साधारण प्रकार के कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क के रूप में भी की जा सकती है; यह वह संदर्भ था जिसमें वे मूल रूप से 1988 में डेविड ब्रूमहेड और डेविड लोवे द्वारा मशीन लर्निंग पर लागू किए गए थे,  जो 1977 से माइकल जे. डी. पॉवेल के मौलिक शोध से उपजा है। समर्थन वेक्टर यंत्र में आरबीएफ का उपयोग रेडियल आधार फ़ंक्शन कर्नेल के रूप में भी किया जाता है। तकनीक प्रभावी और पर्याप्त लचीली साबित हुई है कि रेडियल आधार कार्य अब विभिन्न प्रकार के इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में लागू होते हैं।

परिभाषा
रेडियल फ़ंक्शन फ़ंक्शन है $\varphi:[0,\infty) \to \mathbb{R}$ . जब सदिश स्थान पर मीट्रिक के साथ युग्मित किया जाता है $ \|\cdot\|:V \to [0,\infty)$   समारोह $ \varphi_\mathbf{c} = \varphi(\|\mathbf{x}-\mathbf{c}\|) $  पर केन्द्रित  रेडियल कर्नेल कहा जाता है $ \mathbf{c} $. रेडियल फ़ंक्शन और संबंधित रेडियल कर्नेल को रेडियल आधार फ़ंक्शन कहा जाता है, यदि नोड्स के किसी भी सेट के लिए $$\{\mathbf{x}_k\}_{k=1}^n$$ • The kernels $\varphi_{\mathbf{x}_1}, \varphi_{\mathbf{x}_2}, \dots, \varphi_{\mathbf{x}_n}$ are linearly independent (for example $\varphi(r)=r^2$ in $V=\mathbb{R}$ is not a radial basis function)

• The kernels $\varphi_{\mathbf{x}_1}, \varphi_{\mathbf{x}_2}, \dots, \varphi_{\mathbf{x}_n}$ form a basis for a Haar Space, meaning that the interpolation matrix

is non-singular.

उदाहरण
सामान्यतः  उपयोग  किए जाने वाले प्रकार के रेडियल आधार कार्यों में शामिल हैं (लेखन $r = \left\|\mathbf{x} - \mathbf{x}_i\right\|$  और उपयोग करना $\varepsilon $  आकार पैरामीटर को प्रदर्शित  करने के लिए जिसका उपयोग रेडियल कर्नेल के इनपुट को स्केल करने के लिए किया जा सकता है ):

• Infinitely Smooth RBFs

These radial basis functions are from $C^\infty(\mathbb{R})$ and are strictly positive definite functions that require tuning a shape parameter $\varepsilon$ • Gaussian:

Gaussian function shape parameter.png for several choices of $\varepsilon$]] Bump function shape.png with several choices of $\varepsilon$]]

• Multiquadric:

• Inverse quadratic:

• Inverse multiquadric:| Polyharmonic spline:


 * For even-degree polyharmonic splines $(k = 2,4,6,\dotsc)$, to avoid numerical problems at $r = 0$ where $\ln(0) = -\infty$, the computational implementation is often written as $\varphi(r) = r^{k-1}\ln(r^r)$.
 * Thin plate spline (a special polyharmonic spline):


 * Compactly Supported RBFs

These RBFs are compactly supported and thus are non-zero only within a radius of $1 / \varepsilon$, and thus have sparse differentiation matrices

• Bump function:
 * undefined

सन्निकटन
रेडियल आधार फ़ंक्शंस का उपयोग सामान्यतः  फ़ॉर्म के फ़ंक्शन सन्निकटन बनाने के लिए किया जाता है

जहां अनुमानित समारोह $y(\mathbf{x})$ के योग के रूप में दर्शाया गया है $$N$$ रेडियल आधार कार्य, प्रत्येक  अलग केंद्र से जुड़ा हुआ है $\mathbf{x}_i$, और  उपयुक्त गुणांक द्वारा भारित $w_i.$  वजन $w_i$  भारित कम से कम वर्गों के मैट्रिक्स तरीकों का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है, क्योंकि सन्निकट कार्य भार में रैखिक है $w_i$.

इस प्रकार की सन्निकटन योजनाओं का विशेष रूप से उपयोग किया गया है कंप्यूटर चित्रलेख में पर्याप्त सरल अराजकता सिद्धांत व्यवहार और 3 डी पुनर्निर्माण (उदाहरण के लिए, पदानुक्रमित आरबीएफ और पोज़ स्पेस विरूपण) का प्रदर्शन करने वाली गैर-रैखिक प्रणालियों के समय श्रृंखला की भविष्यवाणी और नियंत्रण सिद्धांत में।

आरबीएफ नेटवर्क
योग

रेडियल आधार समारोह नेटवर्क कहे जाने वाले कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क के अपेक्षाकृत सरल सिंगल-लेयर प्रकार के रूप में भी व्याख्या की जा सकती है, जिसमें रेडियल आधार फ़ंक्शन नेटवर्क के सक्रियण कार्यों की भूमिका निभाते हैं। यह दिखाया जा सकता है कि  कॉम्पैक्ट जगह  अंतराल पर किसी भी निरंतर कार्य को सिद्धांत रूप में मनमाने ढंग से सटीकता के साथ प्रक्षेपित किया जा सकता है, यदि पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या हो $N$  रेडियल आधार कार्यों का प्रयोग किया जाता है।

सन्निकट $y(\mathbf{x})$ वजन के संबंध में अलग-अलग है $w_i$. इस प्रकार तंत्रिका नेटवर्क के लिए किसी भी मानक पुनरावृत्ति विधियों का उपयोग करके वजन सीखा जा सकता है।

इस तरह से रेडियल आधार कार्यों का उपयोग करने से उचित प्रक्षेप दृष्टिकोण प्राप्त होता है, बशर्ते कि फिटिंग सेट को इस तरह चुना गया हो कि यह पूरी रेंज को व्यवस्थित रूप से कवर करता है (समतुल्य डेटा बिंदु आदर्श हैं)। चूँकि,  बहुपद शब्द के बिना जो रेडियल आधार कार्यों के लिए ऑर्थोगोनल है, फिटिंग सेट के बाहर अनुमान खराब प्रदर्शन करते हैं।

पीडीई के लिए आरबीएफ
रेडियल आधार कार्यों का उपयोग अनुमानित कार्यों के लिए किया जाता है और इसलिए इसका उपयोग आंशिक विभेदक समीकरणों (पीडीई) को अलग करने और संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए किया जा सकता है। यह पहली बार 1990 में ई. जे. कंस द्वारा किया गया था जिन्होंने पहली आरबीएफ आधारित संख्यात्मक पद्धति विकसित की थी। इसे कंस विधि कहा जाता है और इसका उपयोग अण्डाकार प्वासों के समीकरण और रैखिक संवहन-प्रसार समीकरण को हल करने के लिए किया गया था। फ़ंक्शन बिंदुओं पर मान देता है $$\mathbf{x}$$ डोमेन में आरबीएफ के रैखिक संयोजन द्वारा अनुमानित हैं:

डेरिवेटिव इस प्रकार अनुमानित हैं:

कहाँ $$N$$ विवेकाधीन डोमेन में बिंदुओं की संख्या है, $$d$$ डोमेन का आयाम और $$\lambda$$ स्केलर गुणांक जो अंतर ऑपरेटर द्वारा अपरिवर्तित हैं। उसके बाद रेडियल बेसिस फ़ंक्शंस के आधार पर विभिन्न संख्यात्मक विधियों का विकास किया गया। कुछ विधियां आरबीएफ-एफडी विधि हैं, आरबीएफ-क्यूआर विधि और आरबीएफ-पम विधि।

यह भी देखें

 * मातृ सहप्रसरण समारोह
 * रेडियल आधार समारोह प्रक्षेप
 * कंस विधि

अग्रिम पठन

 * Sirayanone, S., 1988, Comparative studies of kriging, multiquadric-biharmonic, and other methods for solving mineral resource problems, PhD. Dissertation, Dept. of Earth Sciences, Iowa State University, Ames, Iowa.
 * Sirayanone, S., 1988, Comparative studies of kriging, multiquadric-biharmonic, and other methods for solving mineral resource problems, PhD. Dissertation, Dept. of Earth Sciences, Iowa State University, Ames, Iowa.
 * Sirayanone, S., 1988, Comparative studies of kriging, multiquadric-biharmonic, and other methods for solving mineral resource problems, PhD. Dissertation, Dept. of Earth Sciences, Iowa State University, Ames, Iowa.
 * Sirayanone, S., 1988, Comparative studies of kriging, multiquadric-biharmonic, and other methods for solving mineral resource problems, PhD. Dissertation, Dept. of Earth Sciences, Iowa State University, Ames, Iowa.