अर्ध-जाली (सेमिलेटिस)

गणित में ज्वाइन-सेमिलेटिस (या ऊपरी सेमिलेटिस) आंशिक रूप से व्यवस्थित किया गया समुच्चय है जिसमें किसी भी गैर-रिक्त परिमित उपसमुच्चय (सबसेट) के लिए ज्वाइन (गणित) (कम से कम ऊपरी बाउंड) होता है। द्वैत (आदेश सिद्धांत), मीट-सेमिलेटिस (या निचला सेमिलेटिस) आंशिक रूप से व्यवस्थित किया गया समुच्चय है जिसमें किसी भी गैर-रिक्त परिमित उपसमुच्चय के लिए मीट (गणित) (या सबसे बड़ी निचली सीमा) है और इसके विपरीत प्रत्येक ज्वाइन-सेमिलेटिस उल्टे क्रम में मीट-सेमिलेटिस है।

सेमिलेटिस को बीजगणितीय रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है। ज्वाइन और मीट सहयोगीता क्रमविनिमेयता, आईडेम्पोटैंट बाइनरी संचालन हैं और ऐसा कोई भी ऑपरेशन आंशिक क्रम (और संबंधित उलटा क्रम) को प्रेरित करता है जैसे कि किसी भी दो तत्वों के लिए ऑपरेशन का परिणाम इस आंशिक क्रम के संबंध में तत्वों की (या सबसे बड़ी निचली सीमा) कम से कम ऊपरी सीमा है।

जाली (ऑर्डर) आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय है जो समान आंशिक क्रम के संबंध में ज्वाइन और मीट-सेमिलेटिस दोनों है। बीजगणितीय रूप से लैटिस दो साहचर्य, क्रमविनिमेय आईडेम्पोटैंट द्विआधारी संचालन के साथ समुच्चय है जो संबंधित अवशोषण नियमों से संबंधित है।

आदेश-सैद्धांतिक परिभाषा
समुच्चय (गणित) $S$ आंशिक रूप से बाइनरी संबंध द्वारा निर्धारित किया गया $≤$ मीट-सेमिलेटिस है यदि


 * सभी तत्वों के लिए S के x और y, सेट का इन्फ़ीमम (सबसे बड़ी निचली सीमा) {x, y} होता है।

समुच्चय की सबसे बड़ी निचली सीमा {x, y}, x और y का मीट (गणित) कहलाता है जिसे x ∧ y से निरूपित करते हैं।

उच्चतम परिणाम के साथ सबसे बड़ी निचली सीमा को परिवर्तित करने से ज्वाइन-अर्ध-जाल की दोहरी अवधारणा होती है। सबसे कम ऊपरी सीमा x और y का जोड़ (गणित) {x, y} कहलाता है जिसे $x ∨ y$ से निरूपित किया जाता है। मीट और जॉइन S पर बाइनरी संचालन हैं। सरल गणितीय प्रेरण तर्क से ज्ञात होता है कि परिभाषा के अनुसार सभी संभावित जोड़ीदार सुप्रीमा (इन्फिमा) का अस्तित्व, सभी गैर-रिक्त परिमित सुप्रीमा (इन्फिमा) के अस्तित्व का तात्पर्य है।

ज्वाइन-सेमिलैटिस को बाउंड किया जाता है यदि उसमें रिक्त समुच्चय का जॉइन कम से कम तत्व है। वास्तव में मीट-सेमिलैटिस को बांधा जाता है यदि उसके पास रिक्त समुच्चय का मीट सबसे बड़ा तत्व है।

अन्य गुणों को ग्रहण किया जा सकता है, इस विषय पर अधिक चर्चा के लिए पूर्णता (आदेश सिद्धांत) पर आलेख देखें। उस लेख में इस बात पर भी चर्चा की गई है कि संबंधित पोसेट्स के बीच उपयुक्त गाल्वा कनेक्शन के अस्तित्व के संदर्भ में हम उपरोक्त परिभाषा को कैसे बदल सकते हैं - अवधारणा की श्रेणी सिद्धांत जांच के लिए विशेष रुचि का दृष्टिकोण।

बीजगणितीय परिभाषा
मिल-सेमिलेटिस एक बीजगणितीय संरचना है $$\langle S, \land \rangle$$ समुच्चय (गणित) से मिलकर $S$ बाइनरी ऑपरेशन के साथ $∧$ जिसे मीट कहा जाता है जैसे कि सभी सदस्यों के लिए $S$ का $x, y,$ और $z$ निम्नलिखित सम्बन्ध (गणित) रखता है:


 * साहचर्य: $x ∧ (y ∧ z) = (x ∧ y) ∧ z$
 * क्रमविनिमेयता: $x ∧ y = y ∧ x$
 * अक्षमता: $x ∧ x = x$

जॉइन-सेमिलेटिस $$\langle S, \land \rangle$$ अगर बाध्य है तब $S$ में सम्बन्ध तत्व 1 सम्मिलित है जैसे कि $1=x ∧ 1 = x$ सभी के लिए $x$ में $S$ ।

यदि प्रतीक V जिसे ज्वाइन कहा जाता है अभी दी गई परिभाषा में $∧$ को प्रतिस्थापित करता है तो संरचना को ज्वाइन-सेमिलेटिस कहा जाता है। संचालन के लिए प्रतीक की विशेष पसंद के बारे में कोई भी अस्पष्ट हो सकता है और केवल सेमीलैटिस के बारे में बात कर सकता है।

सेमिलेटिस कम्यूटेटिविटी, इडेमपोटेंसी माध्यम वर्गी अर्थात कम्यूटेटिव बैंड (गणित) है। बंधा हुआ अर्ध-जाल एक आदर्श क्रमविनिमेय मोनोइड है।

जब कभी भी $1=x ∧ y = x$ सेटिंग द्वारा मीट-सेमिलेटिस पर आंशिक आदेश $x ≤ y$ प्रेरित किया जाता है ज्वाइन-सेमिलेटिस के लिए व्यवस्थित सेटिंग $x ≤ y$ जब कभी भी $1=x ∨ y = y$ द्वारा प्रेरित होता है। बाउंड मीट-सेमिलेटिस में पहचान 1, $S$ का सबसे बड़ा तत्व है इसी प्रकार सेमी-लैटिस में सम्मिलित होने वाला तत्व छोटे से छोटा पहचान तत्व है।

दो परिभाषाओं के बीच संबंध
आदेश सैद्धांतिक मीट-सेमिलेटिस $&lang;S, ≤&rang;$ बाइनरी ऑपरेशन $∧$ को उत्पन्न करता है जो कि $&lang;S, ∧&rang;$ बीजगणितीय मीट-सेमिलेटिस है। इसके विपरीत मिलो-सेमिलेटिस $&lang;S, ∧&rang;$ एक द्विआधारी संबंध $≤$ को उत्पन्न करता है जो आंशिक रूप से आदेश देता है $S$ निम्नलिखित तरीके से सभी तत्वों के लिए $x$ और $y$ में $S, x ≤ y$, यदि $x = x ∧ y$ ।

इस प्रकार प्रस्तुत किया गया सम्बंध $≤$ एक आंशिक क्रम को परिभाषित करता है जिससे बाइनरी ऑपरेशन $∧$ होता है, पुनः प्राप्त किया जा सकता है। इसके विपरीत बीजगणितीय रूप से परिभाषित सेमिलेटिस द्वारा प्रेरित क्रम $&lang;S, ∧&rang;$ द्वारा प्रेरित $≤$ के साथ मेल खाता है।

इसलिए दो परिभाषाओं का परस्पर उपयोग किया जा सकता है यह इस पर निर्भर करता है कि किसी विशेष उद्देश्य के लिए कौन अधिक सुविधाजनक है। इसी तरह का निष्कर्ष ज्वाइन-सेमिलेटिस और दोहरी व्यवस्था ≥ के लिए है।

उदाहरण
अन्य क्रमित संरचनाओं के निर्माण के लिए या अन्य पूर्णता गुणों के संयोजन के लिए सेमिलेटिस कार्यरत होता हैं।
 * लैटिस, जॉइन और मीट-सेमिलेटिस दोनों है। अवशोषण नियम के माध्यम से इन दो सेमिलेटिस की बातचीत वास्तव में लैटिस से सेमिलेटिस को अलग करती है।
 * बीजगणितीय लैटिस (क्रम) के कॉम्पैक्ट तत्व प्रेरित आंशिक क्रम के अंतर्गत बंधी हुई ज्वाइन-सेमिलेटिस बनाते हैं।
 * किसी भी परिमित अर्ध-जाल को प्रेरण द्वारा बाध्य किया जाता है।
 * पूरी तरह से व्यवस्थित किया गया समुच्चय वितरण लैटिस है इसलिए विशेष रूप से मीट-सेमिलेटिस और जॉइन-सेमिलेटिस किसी भी दो अलग-अलग तत्वों में एक बड़ा और छोटा होता है जो उनका मिलना और जुड़ना है।
 * एक सुव्यवस्थित समुच्चय आगे बाउंड जॉइन-सेमिलेटिस है क्योंकि समुच्चय के रूप में समुच्चय में कम से कम तत्व होता है इसलिए यह बाउंड होता है।
 * प्राकृतिक संख्या#आदेश $$\mathbb{N}$$ उनके सामान्य क्रम के साथ $≤$ कम से कम तत्व 0 के साथ एक बाउंड जॉइन-सेमिलेटिस हैं जबकि उनके पास कोई सबसे बड़ा तत्व नहीं है अतः वे सबसे छोटे अनंत सुव्यवस्थित समुच्चय हैं।
 * ऊंचाई का कोई भी एकल जड़ वाला ट्री (समुच्चय सिद्धांत) (कम से कम तत्व के रूप में एकल रुट के साथ) $$\leq \omega$$ (सामान्य रूप से अबाधित) मीट-सेमिलेटिस है। उदाहरण के लिए उपसर्ग क्रम द्वारा आदेशित कुछ वर्णमाला पर परिमित शब्दों के समुच्चय पर विचार करें। इसमें कम से कम तत्व (खाली शब्द) है जो मीट ऑपरेशन का सर्वनाश करने वाला तत्व है लेकिन कोई सबसे बड़ा (पहचान) तत्व नहीं है।
 * स्कॉट डोमेन एक मीट-सेमिलेटिस है।
 * किसी भी सेट में सदस्यता $L$ को बेस सेट के साथ सेमिलेटिस के मॉडल सिद्धांत $L$ के रूप में लिया जा सकता है क्योंकि सेमिलेटिस समुच्चय विस्तार के सार को पकड़ लेता है। $a ∧ b$ को $a ∈ L$ & $b ∈ L$ निरूपित किया जा सकता है। दो समुच्चय केवल एक या निम्नलिखित दोनों में भिन्न होते हैं:
 * 1) क्रम जिसमें उनके सदस्य सूचीबद्ध हैं।
 * 2) एक या अधिक सदस्यों की बहुलता।
 * वास्तव में एक ही समुच्चय हैं जिसकी क्रमविनिमेयता और साहचर्य $∧$ आश्वासन (1), इडेमपोटेंस, (2) सेमिलेटिस, मुक्त सेमिलेटिस $L$ है तथा यह $L$ से घिरा नहीं है क्योंकि समुच्चय स्वयं का सदस्य नहीं होता है।


 * क्लासिकल एक्सटेंशनल मेरोलॉजी, ज्वाइन-सेमिलेटिस को परिभाषित करती है जिसमें ज्वाइन को बाइनरी फ्यूजन के रूप में पढ़ा जाता है। यह अर्धजाल ऊपर से वैयक्तिक विश्व द्वारा घिरा हुआ है।
 * समुच्चय $S$ विभाजन का संग्रह $$ \xi $$, $S$ का ज्वाइन-सेमिलेटिस है। वास्तव में आंशिक आदेश किसके द्वारा दिया जाता है $$ \xi \leq \eta $$ यदि $$ \forall Q \in \eta, \exists P \in \xi $$ ऐसा है कि $$ Q \subset P $$ और दो विभाजनों का जोड़ जिसके द्वारा दिया गया है $$ \xi \vee \eta = \{ P \cap Q \mid P \in \xi \ \& \ Q \in \eta \} $$, यह अर्ध-जाली बंधी हुई है जिसमें सबसे कम तत्व सिंगलटन विभाजन $$ \{ S \} $$ है।

सेमिलेटिस आकारिता
अर्ध-जाल की उपरोक्त बीजगणितीय परिभाषा दो अर्ध-जाल के बीच रूपवाद की धारणा का सुझाव देती है। दो ज्वाइन-सेमिलेटिस $(S, ∨)$ और $(T, ∨)$ दिए गए हैं, (जॉइन-) सेमीलैटिस का समरूपता एक कार्य है $f: S → T$, ऐसा है कि:



इस तरह $f(x ∨ y) = f(x) ∨ f(y).$ प्रत्येक अर्धजाल से जुड़े दो अर्धसमूहों की समरूपता है। यदि $f$ और $S$ दोनों में कम से कम तत्व 0 सम्मिलित है फिर भी मोनोइड समरूपता $T$ होनी चाहिए अर्थात हमें निम्नलिखित की अतिरिक्त आवश्यकता है,

$f$

ऑर्डर-थ्योरिटिक फॉर्मूलेशन में ये स्थितियां केवल यह बताती हैं कि ज्वाइन-सेमिलेटिस का होमोमोर्फिज्म ऐसा फंक्शन है जो फंक्शन (ऑर्डर थ्योरी) और कम से कम एलिमेंट्स को संरक्षित करता है। स्पष्ट दोहरी-प्रतिस्थापन $f(0) = 0$ साथ $∧$ और 0 के साथ 1—जोड़-सेमिलेटिस होमोमोर्फिज्म की इस परिभाषा को इसके मीट-सेमिलेटिस समतुल्य में परिवर्तित कर देता है।

ध्यान दें कि संबंधित ऑर्डरिंग रिलेशन के संबंध में कोई भी सेमीलेटिस होमोमोर्फिज्म अनिवार्य रूप से मोनोटोन है। स्पष्टीकरण के लिए सीमाओं का प्रवेश संरक्षण (ऑर्डर थ्योरी) देखें।

बीजगणितीय जाली के साथ तुल्यता
श्रेणी के बीच $$\mathcal{S}$$ श्रेणियों की तुल्यता प्रसिद्ध है, ज्वाइन-सेमिलेटिस शून्य के साथ $$(\vee,0)$$ - समरूपता और श्रेणी $$\mathcal{A}$$ कॉम्पैक्ट एलिमेंट-प्रिज़र्विंग पूर्ण जॉइन-होमोमोर्फिज्म के साथ बीजगणितीय लैटिस निम्नानुसार हैं। ज्वाइन-सेमिलेटिस के साथ $$S$$ शून्य के साथ, हम इसकी आदर्श जाली $$\operatorname{Id}\ S$$ को जोड़ते हैं। $$(\vee,0)$$ के साथ - समरूपता $$f \colon S \to T$$ का $$(\vee,0)$$- सेमिलेटिस, हम मानचित्र को जोड़ते हैं $$\operatorname{Id}\ f \colon \operatorname{Id}\ S \to \operatorname{Id}\ T$$, कि किसी भी आदर्श $$I$$ का $$S$$ के आदर्श $$T$$ द्वारा उत्पन्न $$f(I)$$.को जोड़ता है, यह प्रकार्यक $$\operatorname{Id} \colon \mathcal{S} \to \mathcal{A}$$ को परिभाषित करता है। इसके विपरीत प्रत्येक बीजगणितीय जाली के साथ $$A$$ हम संबद्ध करते हैं $$(\vee,0)$$- सेमी-लेटेक्स $$K(A)$$ के सभी कॉम्पैक्ट $$A$$ तत्वों की और प्रत्येक सघनता-संरक्षण पूर्ण ज्वाइन-समरूपता $$f \colon A \to B$$ के साथ बीजगणितीय जाली के बीच हम प्रतिबंध $$K(f) \colon K(A) \to K(B)$$ को जोड़ते हैं। यह प्रकार्यक $$K \colon \mathcal{A} \to \mathcal{S}$$ को परिभाषित करता है। जोड़ी $$(\operatorname{Id},K)$$ के बीच एक श्रेणी समानता $$\mathcal{S}$$ और $$\mathcal{A}$$ को परिभाषित करता है।

वितरण सेमिलेटिस
आश्चर्य की बात है कि वितरण की धारणा सेमिलेटिस पर लागू होती है भले ही वितरण को पारंपरिक रूप से दो बाइनरी ऑपरेशंस के पारस्परिक व्यवहार की आवश्यकता होती है। इस धारणा के लिए केवल संचालन की आवश्यकता होती है और जाली के लिए वितरण की स्थिति को सामान्य करता है। यदि सभी $∨$ और $a, b,$ के लिए $x$ जहाँ $x &le; a &or; b$ और $a' &le; a$ ऐसा है कि $b' &le; b$, तब ज्वाइन-सेमिलेटिस एक वितरण है। वितरक मीट-सेमिलेटिस को दो प्रकार से परिभाषित किया गया है। इन परिभाषाओं को इस तथ्य से उचित ठहराया जाता है कि कोई भी वितरणात्मक जुड़ाव-अर्ध-जाल जिसमें बाइनरी मीट उपस्थित हैं जो एक वितरणात्मक जाली है। प्रवेश वितरण (आदेश सिद्धांत) देखें।

ज्वाइन-सेमिलेटिस वितरक है यदि इसके आदर्शों (ऑर्डर थ्योरी) (समावेशन के अंतर्गत) का लैटिस वितरक है।

पूर्ण सेमिलेटिस
आजकल शब्द पूर्ण अर्धजाल का सामान्य रूप से कोई स्वीकृत अर्थ नहीं है और विभिन्न परस्पर असंगत परिभाषाएं उपलब्ध हैं। यदि पूर्णता को सभी अनंत ज्वाइन के अस्तित्व की आवश्यकता के लिए लिया जाता है या सभी अपरिमित मीट्स हैं जो भी स्थिति हो यह साथ ही परिमित भी हो सकता है तब यह तुरंत आंशिक आदेशों की ओर जाता है जो वास्तव में पूर्ण सेमीलेटिस (जाली) हैं। क्यों सभी संभावित अनंत ज्वाइन का अस्तित्व सभी संभावित अनंत मीट्स (और इसके विपरीत) के अस्तित्व पर जोर देता है, प्रविष्टि पूर्णता (आदेश सिद्धांत) देखें।

यद्यपि इस अवसर पर साहित्य अभी भी पूरी तरह से ज्वाइन या मीट-सेमिलेटिस को पूर्ण जाली बना देता है। इस संबंध में पूर्णता समरूपता की सीमा पर प्रतिबंध को दर्शाती है। विशेष रूप से एक पूर्ण जॉइन-सेमिलेटिस के लिए आवश्यक है कि होमोमोर्फिज्म सभी जॉइन को संरक्षित करे लेकिन उस स्थिति के विपरीत जो हम पूर्णता गुणों के लिए प्राप्त करते हैं। इसके लिए यह आवश्यक नहीं है कि होमोमोर्फिज्म सभी मीट को संरक्षित करें। दूसरी ओर हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि इस तरह की हर मैपिंग किसी गैलोज़ सम्बन्ध का निचला भाग है। तदनुरूपी (अद्वितीय) ऊपरी अनुलग्न पूर्ण मिलन-सेमिलेटिस का समरूपता होगी। यह क्रमशः सभी मिलने या जुड़ने को संरक्षित करने वाले मॉर्फिज्म के साथ सभी पूर्ण अर्ध-जाल की श्रेणियों के बीच कई उपयोगी द्वैत (श्रेणी सिद्धांत) को उत्पन्न करता है।

पूर्ण मीट-सेमिलेटिस का एक अन्य उपयोग सीमित पूर्ण (सीपीओ) पूर्ण आंशिक आदेश को संदर्भित करता है।  इस अर्थ में एक पूर्ण मीट-सेमिलेटिस सबसे पूर्ण मीट-सेमिलेटिस है जो आवश्यक नहीं कि एक पूर्ण जाली हो। वास्तव में पूर्ण मीट-सेमिलेटिस में सभी गैर-खाली मीट हैं (जो पूर्ण रूप से बंधे होने के बराबर है) और सभी निर्देशित समुच्चय ज्वाइन हैं। यदि इस तरह की संरचना में सबसे बड़ा तत्व (रिक्त समुच्चय का मीट) भी है तो यह एक पूर्ण जाली भी है। इस प्रकार पूर्ण अर्ध-जाली एक पूर्ण जाली बन जाती है जिसमें संभवतः शीर्ष का अभाव होता है। यह परिभाषा विशेष रूप से डोमेन सिद्धांत  में रुचि की है जहां स्कॉट डोमेन के रूप में पूर्ण बीजगणितीय पोसेट सीपीओ का अध्ययन किया जाता है। इसलिए स्कॉट डोमेन को बीजगणितीय सेमीलैटिस कहा गया है।

अर्धजालकों के लिए पूर्णता की कार्डिनलिटी-प्रतिबंधित धारणाओं को साहित्य में संभवतया ही कभी माना जाता है।

फ्री या मुक्त सेमिलेटिस
यह खंड श्रेणी सिद्धांत के कुछ ज्ञान को प्रस्तुत करता है। विभिन्न स्थितियों में मुक्त (फ्री) सेमीलैटिस उपस्थित होता हैं। उदाहरण के लिए ज्वाइन-सेमिलेटिस (और उनके होमोमोर्फिज्म) की श्रेणी से समुच्चय(और फ़ंक्शंस) के श्रेणी सिद्धांत के लिए विस्मरणशील प्रकार्यक आसन्न प्रकार्यक को स्वीकार करता है। इसलिए मुक्त जॉइन-सेमिलेटिस $x = a' &or; b'$ समुच्चय पर $F(S)$ के सभी गैर-खाली परिमित उपसमूहों का संग्रह करके $S$ उपसमुच्चय समावेशन द्वारा आदेशित बनाया गया है। स्पष्ट रूप से $S$ को मैपिंग $S$ द्वारा $e$ में कार्यान्वित किया जा सकता है जो $F(S)$ में किसी भी तत्व को सिंगलटन सेट $S$ में ले जाता है। फिर कोई फंक्शन ${s }$ एक से $f$ ज्वाइन-सेमिलेटिस के लिए $S$ (अधिक औपचारिक रूप से अंतर्निहित समुच्चय $T$ के लिए) अद्वितीय समरूपता $T$ को प्रेरित करता है, ज्वाइन-सेमिलेटिस $f'$ और $F(S)$ के बीच इस प्रकार है कि $T$, स्पष्ट रूप से $f = f' ○ e$ द्वारा दिया गया है।$f'(A) = \bigvee\{f(s) | s \in A\}$  अब की स्पष्ट विशिष्टता $f'$आवश्यक संयोजन प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है - आकृतिवाद-प्रकार्यक का भाग $f'$ सामान्य विचारों से प्राप्त किया जा सकता है (आसन्न प्रकार्यक देखें)। ऑर्डरिंग के रूप में विपरीत उपसमुच्चय समावेशन का उपयोग करते हुए मुक्त मीट-सेमिलेटिस की दोहरी स्थिति होती है। आधार के साथ ज्वाइन-सेमिलेटिस के लिए हम केवल रिक्त समुच्चय को उपसमुच्चय के उपरोक्त संग्रह में जोड़ते हैं।

इसके अतिरिक्त सेमीलेटिस अधिकतर अन्य श्रेणियों के भीतर मुक्त वस्तुओं के लिए जनरेटर के रूप में कार्य करते हैं। विशेष रूप से फ्रेम और फ्रेम-होमोमोर्फिज्म की श्रेणी से और वितरणात्मक लैटिस एवं लैटिस-होमोमोर्फिज्म की श्रेणी से दोनों विस्मरणशील कार्यों में बायां जोड़ होता है।

यह भी देखें

 * − ज्वाइनिंग सेमीलैटिस का सामान्यीकरण

संदर्भ


It is often the case that standard treatments of lattice theory define a semilattice, if that, and then say no more. See the references in the entries order theory and lattice theory. Moreover, there is no literature on semilattices of comparable magnitude to that on semigroups.

बाहरी संबंध

 * Jipsen's algebra structures page: Semilattices.