होमियोमॉर्फिज़्म

सांस्थिति के गणितीय क्षेत्र में, एक होमोमोर्फिज्म, संस्थानिक समाकृतिकता, या द्विसतत फलन संस्थानिक स्पेस के बीच एक विशेषण और निरंतर कार्य है जिसमें एक निरंतर उलटा कार्य होता है। होमोमोर्फिज्म संस्थानिक स्पेस की श्रेणी में समरूपता हैं- अर्थात्, वे प्रतिचित्रण (गणित) हैं जो किसी दिए गए स्थान के सभी संस्थानिक गुणों को संरक्षित करते हैं। उनके बीच एक होमोमोर्फिज्म वाले दो स्थानों को होमोमोर्फिक कहा जाता है, और एक स्थलीय दृष्टिकोण से वे समान होते हैं। होमियोमोर्फिज्म शब्द ग्रीक भाषा के शब्द ὅμοιος" (होमियोस) = समान या समान और "μορφή" (मोर्फे)  = आकार या रूप, से लिया गया है। 1895 में हेनरी पोंकारे द्वारा गणित से परिचित कराया गया।

बहुत मोटे तौर पर बोलना, एक संस्थानिक स्पेस एक ज्यामितीय वस्तु है, और होमोमोर्फिज्म एक नए आकार में वस्तु का लगातार खिंचाव और झुकना है। इस प्रकार, एक वर्ग (ज्यामिति) और एक वृत्त एक दूसरे के लिए समरूप हैं, लेकिन एक गोला और एक वृतज ठोस वलय नहीं हैं। चूँकि, यह विवरण भ्रामक हो सकता है। कुछ निरंतर विकृतियाँ होमोमोर्फिज़्म नहीं हैं, जैसे कि एक रेखा का एक बिंदु में विरूपण। कुछ होमियोमॉर्फिज्म निरंतर विकृतियां नहीं हैं, जैसे  त्रिपर्ण चाप गाँठ और वृत के बीच होमोमोर्फिज्म।

एक बार-बार दोहराया जाने वाला गणितीय मजाक यह है कि टोपोलॉजिस्ट कॉफी कप और डोनट के बीच अंतर नहीं बता सकते, चूंकि कप के हैंडल में डोनट छेद को संरक्षित करते हुए, पर्याप्त रूप से व्यवहार्य डोनट को एक डिंपल बनाकर और उत्तरोत्तर बढ़ाकर कॉफी कप के रूप में फिर से आकार दिया जा सकता है।

परिभाषा
एक फलन (गणित) $$f : X \to Y$$ दो संस्थानिक रिक्त स्थान के बीच एक होमोमोर्फिज्म है यदि इसमें निम्न गुण हैं:


 * $$f$$ एक आक्षेप (द्विभाजन फ़ंक्शन एक-से-एक और आच्छादक) है,
 * $$f$$ निरंतरता (टोपोलॉजी) है,
 * उलटा कार्य $$f^{-1}$$ निरंतर है ($$f$$ एक खुला मानचित्रण है)।

होमियोमोर्फिज्म को कभी-कभी द्विसतत कार्य भी कहा जाता है। यदि ऐसा कोई कार्य उपस्थित है, $$X$$ तथा $$Y$$ होमियोमॉर्फिक हैं। स्व-होमियोमोर्फिज़्म एक स्थलीय स्थान से स्वयं पर एक होमियोमॉर्फिज़्म है। होमोमॉर्फिक होना संस्थानिक स्पेस पर एक तुल्यता संबंध है। इसके तुल्यता वर्ग को होमोमोर्फिज्म वर्ग कहा जाता है।

उदाहरण
* खुला अंतराल $(a,b)$  किसी भी  $a < b$  वास्तविक संख्याओं के लिए $\mathbf{R}$  होमियोमॉर्फिक है. (इस स्थिति में, $f(x) = \frac{1}{a-x} + \frac{1}{b-x} $  द्वारा एक निरंतर आगे की मैपिंग दी गई है जबकि अन्य मैपिंग tan या arg tanh फलन के स्केल किए गए और अनुवादित संस्करणों द्वारा दी जाती हैं)।
 * इकाई 2-बॉल (गणित) $D^2$ और इकाई वर्ग में $$\mathbf{R}^2$$ होमियोमॉर्फिक हैं; चूंकि इकाई डिस्क को इकाई वर्ग में विकृत किया जा सकता है। वर्ग से डिस्क तक द्विसतत मानचित्रण का एक उदाहरण है, ध्रुवीय निर्देशांकों में, $$(\rho, \theta) \mapsto \left( \frac{\rho}{ \max(|\cos \theta|, |\sin \theta|)}, \theta\right)$$.
 * एक अलग-अलग फ़ंक्शन का ग्राफ़ फ़ंक्शन के डोमेन के लिए होमोमॉर्फिक है
 * वक्र का अवकलनीय प्राचलीकरण समीकरण प्राचलीकरण और वक्र के डोमेन के बीच एक होमोमोर्फिज्म है।
 * विविध का एक चार्ट (टोपोलॉजी) मैनिफोल्ड के खुले उपसमुच्चय और यूक्लिडियन अंतरिक्ष के खुले उपसमुच्चय के बीच एक समरूपता है।
 * त्रिविम प्रक्षेपण $$\mathbf{R}^3$$ इकाई क्षेत्र के बीच एक होमोमोर्फिज्म है जिसमे एक बिंदु को हटा दिया गया है और सभी  $$\mathbf{R}^2$$ बिंदुओं का सेट है। (एक द्वि-आयामी विमान (गणित))।
 * यदि $$G$$ एक सामयिक समूह है, इसका उलटा नक्शा $$x \mapsto x^{-1}$$ एक होमियोमॉर्फिज्म है। साथ ही किसी के लिए $$x \in G$$, बायां अनुवाद $$y \mapsto xy$$, दांया अनुवाद $$y \mapsto yx$$, और आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म $$y \mapsto xyx^{-1}$$ होमियोमॉर्फिज्म हैं।

गैर-उदाहरण

 * m &ne; n.के लिये Rm और  Rn  होमियोमॉर्फिक नहीं हैं।
 * यूक्लिडियन वास्तविक रेखा R2 के उप-स्थान के रूप में इकाई वृत के लिए होमोमोर्फिक नहीं है, चूंकि इकाई वृत यूक्लिडियन 'R2' के उप-स्थान के रूप में सघन जगह है लेकिन वास्तविक रेखा सघन नहीं है।
 * एक आयामी अंतराल $$[0,1]$$ तथा $$]0,1[$$ होमियोमॉर्फिक नहीं हैं क्योंकि एक सघन है जबकि दूसरा नहीं है।

टिप्पणियाँ
तीसरी आवश्यकता, $f^{-1}$ निरंतर, होना आवश्यक है। उदाहरण के लिए फलन $f : [0,2\pi) \to S^1$   पर विचार करें  ( इकाई वृत में $\mathbf{R}^2$ ) द्वारा परिभाषित$f(\phi) = (\cos\phi,\sin\phi)$ . यह कार्य विशेषणात्मक और निरंतर है, लेकिन होमियोमॉर्फिज़्म नहीं है ($S^1$    सघन है लेकिन $[0,2\pi)$  नहीं है). फलन $f^{-1}$ बिन्दु $(1,0)$ पर निरंतर नहीं है, क्योंकि यद्यपि $f^{-1}$  मानचित्र $(1,0)$  से $0$, इस बिंदु के किसी भी निकट में ऐसे बिंदु भी सम्मिलित हैं जो फलन $2\pi,$ के करीब मैप करता है लेकिन जिन बिंदुओं के बीच यह संख्याओं को मैप करता है वे निकट के बाहर स्थित होते हैं।

होमोमोर्फिज्म संस्थानिक स्पेस की श्रेणी में आइसोमोर्फिज्म हैं। इस प्रकार, दो होमियोमॉर्फिज़्म का संयोजन भी एक होमियोमॉर्फिज़्म है, और सभी स्व-समरूपताओं का सेट $X \to X$ एक समूह बनाता है, X  काहोमोमोर्फिज्म समूह कहा जाता है,  जिसे अधिकांश होमियो(X) से प्रदर्शित करते है. इस समूह को एक संस्थानिक दी जा सकती है, जैसे सघन-खुला संस्थानिक, जो कुछ मान्यताओं के अनुसार इसे एक संस्थानिक समूह बनाती है।.

कुछ उद्देश्यों के लिए, होमोमोर्फिज्म समूह बहुत बड़ा होता है, लेकिन संस्थानिक संबंध के माध्यम से, इस समूह को मानचित्रण वर्ग समूह में कम कर सकते हैं।

इसी तरह, श्रेणी सिद्धांत में हमेशा की तरह, दो स्थान दिए गए हैं जो होमोमोर्फिक हैं, उनके बीच होमोमोर्फिज्म का स्थान, होमियो(X,Y) होमोमोर्फिज्म समूहों के लिए एक टॉर्सर है होमियो(X) और होमियो(Y), और, X और Y के बीच एक विशिष्ट होमोमोर्फिज़्म दिया गया वाई, सभी तीन सेटों की पहचान की जाती है।

गुण

 * दो होमियोमॉर्फिक स्पेस समान सामयिक गुणों को साझा करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि उनमें से एक सघन स्पेस है, तो दूसरा भी उतना ही है; यदि उनमें से एक जुड़ा हुआ है, तो दूसरा भी जुड़ा हुआ है; यदि उनमें से एक हॉसडॉर्फ है, तो दूसरा भी है; उनके होमोटॉपी और होमोलॉजी समूह मेल खाएंगे। चूंकि ध्यान दें कि यह मीट्रिक स्थान के माध्यम से परिभाषित गुणों तक विस्तृत नहीं होता है; ऐसे मीट्रिक स्थान हैं जो होमोमोर्फिक हैं, भले ही उनमें से एक पूर्णता (टोपोलॉजी) है और दूसरा नहीं है।
 * होमियोमॉर्फिज़्म एक साथ एक खुली मैपिंग और एक बंद मैपिंग है; यही है, यह खुले सेट को खुले सेट और बंद सेट को बंद सेट पर मैप करता है।
 * $$S^1$$में प्रत्येक स्व-होमियोमॉर्फिज़्म को संपूर्ण डिस्क $$D^2$$(अलेक्जेंडर की चाल) के एक स्व-होमियोमॉर्फिज़्म तक बढ़ाया जा सकता है।

अनौपचारिक चर्चा
खींचने, झुकने, काटने और वापस एक साथ चिपकाने की सहज कसौटी को सही नियम से लागू करने के लिए एक निश्चित मात्रा में अभ्यास की आवश्यकता होती है - उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए विवरण से यह स्पष्ट नहीं हो सकता है कि एक रेखा खंड को एक बिंदु तक विकृत करना अभेद्य है। इस प्रकार यह ज्ञात करना महत्वपूर्ण है कि यह ऊपर दी गई औपचारिक परिभाषा है जो अभिप्राय रखती है। इस स्थिति में, उदाहरण के लिए, रेखा खंड में असीम रूप से कई बिंदु होते हैं, और इसलिए एक सेट के साथ एक आक्षेप में नहीं रखा जा सकता है, जिसमें एक बिंदु सहित केवल एक परिमित संख्या होती है।

होमोमोर्फिज्म का यह लक्षण वर्णन अधिकांश होमोटोपी की अवधारणा के साथ भ्रम पैदा करता है, जिसे वास्तविक में एक निरंतर विरूपण के रूप में परिभाषित किया जाता है, लेकिन एक स्थान से दूसरे स्थान के अतिरिक्त एक कार्य से दूसरे तक। एक होमियोमॉर्फिज्म की स्थिति में, एक निरंतर विरूपण की कल्पना करना एक मानसिक उपकरण है, जो स्पेस X पर किन बिंदुओं के अनुरूप है, Y पर कौन से बिंदुओं के अनुरूप है- X विकृत के रूप में उनका अनुसरण करता है। होमोटोपी के स्थिति में, एक मानचित्र से दूसरे मानचित्र में निरंतर विरूपण सार का है, और यह कम प्रतिबंधात्मक भी है, क्योंकि इसमें सम्मिलित किसी भी मानचित्र को एक-से-एक या आच्छादित करने की आवश्यकता नहीं है। होमोटॉपी स्पेस पर एक संबंध की ओर ले जाता है: होमोटॉपी तुल्यता।

होमोमोर्फिज्म की कल्पना में सम्मिलित विकृति के प्रकार का एक नाम है। यह (काटने और फिर से चिपकाने की आवश्यकता को छोड़कर) X पर पहचान फलन और X से Y तक होमोमोर्फिज्म के बीच एक समस्थानिक है।

यह भी देखें

 * समान स्थानों के बीच एक समरूपता है
 * मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच एक समरूपता है
 * (ग्राफ उपखंड से निकटता से संबंधित)
 * मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच एक समरूपता है
 * (ग्राफ उपखंड से निकटता से संबंधित)
 * (ग्राफ उपखंड से निकटता से संबंधित)
 * (ग्राफ उपखंड से निकटता से संबंधित)

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