ब्रजुनो संख्या

गणित में ब्रजुनो संख्या एक विशेष प्रकार की अपरिमेय संख्या होती है।

औपचारिक परिभाषा
एक अपरिमेय संख्या $$\alpha$$ एक ब्रजुनो संख्या कहलाती है जब इसका योग अनंत होता है
 * $$B(\alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\log q_{n+1}}{q_n}$$

अभिसरण श्रृंखला एक परिमित संख्या के लिए

यहां:
 * $$ q_n $$ का भाजक है $n$निरंतर अंश#अनंत_निरंतर_अंश_और_अभिसरण $$\frac{p_n}{q_n}$$ के निरंतर अंश विस्तार का $$\alpha$$.
 * $$B$$ एक #Brjuno_function है

नाम
ब्रजुनो नंबरों का नाम अलेक्जेंडर ब्रूनो के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें पेश किया ; वे कभी-कभी ब्रूनो नंबर या ब्रायनो नंबर भी लिखे जाते हैं।

महत्व
ब्रजुनो संख्याएं एक-आयामी विश्लेषणात्मक छोटे विभाजक समस्याओं में महत्वपूर्ण हैं। ब्रूनो ने सीगल के प्रमेय में डायोफैंटाइन की स्थिति में सुधार किया, दिखाया कि रैखिक भाग के साथ होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के जर्म (गणित) $$e^{2\pi i \alpha}$$ रैखिककरण हैं यदि $$\alpha$$ एक ब्रजुनो संख्या है। 1987 में दिखाया कि यह स्थिति भी आवश्यक है, और द्विघात बहुपदों के लिए आवश्यक और पर्याप्त है।

गुण
सहज रूप से, इन संख्याओं में अभिसरण के अनुक्रम में बहुत बड़ी छलांग नहीं होती है, जिसमें (n+1)वें अभिसरण का भाजक nवें अभिसरण की तुलना में घातीय रूप से बड़ा होता है। इस प्रकार, लिउविल संख्याओं के विपरीत, उनके पास परिमेय संख्याओं द्वारा असामान्य रूप से सटीक डायोफैंटाइन सन्निकटन नहीं होते हैं।

बृजनो योग
ब्रजुनो योग या ब्रजुनो समारोह $$B$$ है


 * $$B(\alpha) = \sum_{n=0}^\infty \frac{\log q_{n+1}}{q_n}$$

कहाँ:
 * $$ q_n $$ का भाजक है $n$निरंतर अंश#अनंत_निरंतर_अंश_और_अभिसरण $$\frac{p_n}{q_n}$$ के निरंतर अंश विस्तार का $$\alpha$$.

वास्तविक संस्करण
असली ब्रजुनो समारोह $$B(\alpha)$$ अपरिमेय संख्याओं के लिए परिभाषित किया गया है $$\alpha$$
 * $$ B : \mathbf R \setminus \mathbf Q \to \mathbf R \cup \left \{ + \infty \right \} $$

और संतुष्ट करता है


 * $$ B(\alpha) =B(\alpha+1)$$
 * $$ B(\alpha) = - \log \alpha + \alpha B(1/\alpha)$$ सभी तर्कहीन के लिए $$\alpha$$ 0 और 1 के बीच।

Yoccoz का संस्करण
ब्रजुनो राशि के जीन-क्रिस्टोफ़ योकोज़ के संस्करण को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
 * $$Y(\alpha)=\sum_{n=0}^{\infty} \alpha_0\cdots \alpha_{n-1} \log \frac{1}{\alpha_n},$$ कहाँ:


 * $$\alpha$$ अपरिमेय वास्तविक संख्या है: $$\alpha\in \mathbf R \setminus \mathbf Q $$
 * $$\alpha_0$$ का अंश है $$\alpha$$ * $$\alpha_{n+1}$$ का अंश है $$\alpha_n$$ यह राशि अभिसरित होती है अगर और केवल अगर ब्रजुनो योग करता है, और वास्तव में उनका अंतर एक सार्वभौमिक स्थिरांक से बंधा होता है।

यह भी देखें

 * पारलौकिक संख्या

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