तितली प्रभाव (बटरफ्लाई इफेक्ट)



अराजकता सिद्धांत में, "बटरफ्लाई इफेक्ट" प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता है जिसमें नियतात्मक प्रणाली के एक राज्य में एक छोटे से बदलाव के बाद के राज्य में बड़े अंतर हो सकते हैं।

यह शब्द गणितज्ञ और मौसम वैज्ञानिक एडवर्ड नॉर्टन लॉरेंस के काम से निकटता से जुड़ा हुआ है। उन्होंने कहा कि "बटरफ्लाई इफेक्ट" एक बवंडर के विवरण (गठन का सही समय, लिया गया सही रास्ता) के रूपक उदाहरण से लिया गया है, जो मामूली गड़बड़ी से प्रभावित होता है जैसे कि दूर की तितली कई हफ्ते पहले अपने पंख फड़फड़ाती है। लॉरेंज ने मूल रूप से तूफान पैदा करने वाली सीगल का इस्तेमाल किया था, लेकिन 1972 तक तितली और बवंडर के उपयोग के साथ इसे और अधिक काव्यात्मक बनाने के लिए राजी कर लिया गया। उन्होंने प्रभाव की खोज की जब उन्होंने प्रारंभिक स्थिति डेटा के साथ अपने संख्यात्मक मौसम पूर्वानुमान के रनों का अवलोकन किया, जो एक प्रतीत होता है कि अप्रासंगिक तरीके से गोल किया गया था। उन्होंने नोट किया कि संख्यात्मक मौसम की भविष्यवाणी रन के परिणामों को पुन: पेश करने में असफल होगी, जिसमें प्रारंभिक स्थिति डेटा सम्मिलित नहीं होगा। प्रारंभिक स्थितियों में एक बहुत छोटे से बदलाव ने काफी अलग परिणाम पैदा कर दिया था।

यह विचार कि छोटे कारणों का मौसम में बड़ा प्रभाव हो सकता है, पहले फ्रांसीसी गणितज्ञ और इंजीनियर हेनरी पॉइनकेयर द्वारा पहचाना गया था। अमेरिकी गणितज्ञ और दार्शनिक नॉर्बर्ट वीनर ने भी इस सिद्धांत में योगदान दिया। लॉरेंज के काम ने पृथ्वी के वातावरण की अस्थिरता की अवधारणा को रखा। पृथ्वी के वायुमंडल को एक मात्रात्मक आधार पर रखा और अस्थिरता की अवधारणा को गतिशील प्रणालियों के बड़े वर्गों के गुणों से जोड़ा जो गैर-रैखिक गतिशीलता और अराजकता सिद्धांत से गुजर रहे हैं।

तब से "बटरफ्लाई इफेक्ट" अवधारणा का उपयोग मौसम विज्ञान के संदर्भ में किसी भी स्थिति के लिए एक व्यापक शब्द के रूप में किया जाता है जहां एक छोटा परिवर्तन बड़े परिणामों का कारण माना जाता है।

इतिहास
द वोकेशन ऑफ मैन (1800) में, जोहान गोटलिब फिच्टे कहते हैं कि आप इसके स्थान से रेत का एक भी दाना नहीं हटा सकते, इसके बिना ... अथाह पूरे के सभी हिस्सों में कुछ बदल सकते हैं।

अराजकता सिद्धांत और प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता को साहित्य के कई रूपों में वर्णित किया गया है। इसका प्रमाण 1890 में पोंकारे द्वारा तीन-शरीर की समस्या के मामले से मिलता है। उन्होंने बाद में प्रस्तावित किया कि ऐसी घटनाएँ सामान्य हो सकती हैं, उदाहरण के लिए, मौसम विज्ञान में।

1898 में, जैक्स हैडमार्ड ने नकारात्मक वक्रता वाले स्थानों में प्रक्षेपवक्रों के सामान्य विचलन का उल्लेख किया। पियरे ड्यूहेम ने 1908 में इसके संभावित सामान्य महत्व पर चर्चा की।

1950 में, एलन ट्यूरिंग ने कहा: एक पल में एक सेंटीमीटर के एक अरबवें हिस्से द्वारा एक इलेक्ट्रॉन का विस्थापन एक साल बाद एक हिमस्खलन से मारे गए या बच निकलने वाले व्यक्ति के बीच का अंतर बना सकता है।

यह विचार कि एक तितली की मृत्यु का अंततः बाद की ऐतिहासिक घटनाओं पर दूरगामी प्रभाव पड़ सकता है, रे ब्रैडबरी की 1952 की लघु कहानी थंडर की एक आवाज में इसका सबसे पहला ज्ञात रूप सामने आया। "ए साउंड ऑफ थंडर" में समय यात्रा की सुविधा है।

अधिक सटीक, हालांकि, लगभग सटीक विचार और सटीक वाक्यांश - पूरे वातावरण की हवाओं को प्रभावित करने वाले एक छोटे कीट के पंख का - एक बच्चों की किताब में प्रकाशित किया गया था जो 1962 में लॉरेंज के प्रकाशित होने से एक साल पहले बेहद सफल और विश्व स्तर पर प्रसिद्ध हो गया था: "'...हम जो कुछ भी करते हैं वह सब कुछ और हर किसी को प्रभावित करता है, भले ही वह सबसे छोटे तरीके से ही क्यों न हो। क्यों, जब एक घरेलू मक्खी अपने पंख फड़फड़ाती है, तो एक हवा दुनिया भर में चक्कर लगाती है।' '...whatever we do affects everything and everyone else, if even in the tiniest way. Why, when a housefly flaps his wings, a breeze goes round the world.'

-- The Princess of Pure Reason" 1961 में, लॉरेंज शॉर्टकट के रूप में पिछले रन के मध्य से मौसम की भविष्यवाणी को फिर से करने के लिए एक संख्यात्मक कंप्यूटर मॉडल चला रहा था। उन्होंने पूर्ण परिशुद्धता 0.506127 मान दर्ज करने के बजाय प्रिंटआउट से प्रारंभिक स्थिति 0.506 दर्ज की। परिणाम पूरी तरह से अलग मौसम परिदृश्य था।

लॉरेंज ने लिखा:

एक बिंदु पर मैंने कुछ संगणनाओं को दोहराने का फैसला किया ताकि यह जांचा जा सके कि क्या हो रहा था और अधिक विस्तार से। मैंने कंप्यूटर को बंद कर दिया, संख्याओं की एक पंक्ति में टाइप किया जिसे उसने थोड़ी देर पहले प्रिंट किया था, और उसे फिर से चालू कर दिया। मैं एक कप कॉफी के लिए हॉल में गया और लगभग एक घंटे के बाद लौटा, इस दौरान कंप्यूटर ने लगभग दो महीने के मौसम का अनुकरण किया था। छपे जा रहे नंबर पुराने जैसे नहीं थे। मुझे तुरंत एक कमजोर निर्वात नली या कुछ अन्य कंप्यूटर समस्या का संदेह हुआ, जो असामान्य नहीं था, लेकिन सेवा के लिए कॉल करने से पहले मैंने यह जानने का फैसला किया कि गलती कहाँ हुई थी, यह जानते हुए कि यह सर्विसिंग प्रक्रिया को गति दे सकता है। अचानक विराम के बजाय, मैंने पाया कि नए मूल्यों ने पहले पुराने को दोहराया, लेकिन जल्द ही एक और फिर अंतिम [दशमलव] स्थान में कई इकाइयों से भिन्न हो गए, और फिर अंतिम स्थान के बगल में भिन्न होने लगे और फिर उससे पहले की जगह में। वास्तव में, अंतर कमोबेश लगातार हर चार दिनों में आकार में दोगुना हो जाता है, जब तक कि मूल आउटपुट के साथ सभी समानताएं दूसरे महीने में कहीं गायब नहीं हो जातीं। यह मुझे यह बताने के लिए पर्याप्त था कि क्या हुआ था: जो संख्याएँ मैंने टाइप की थीं, वे सटीक मूल संख्याएँ नहीं थीं, बल्कि मूल प्रिंटआउट में दिखाई देने वाले राउंड-ऑफ मान थे। शुरुआती राउंड-ऑफ त्रुटियां अपराधी थीं; जब तक वे समाधान पर हावी नहीं हो जाते, तब तक वे लगातार बढ़ रहे थे।

_E. N. Lorenz, The Essence of Chaos '', U. Washington Press, Seattle (1993), page 134 "At one point I decided to repeat some of the computations in order to examine what was happening in greater detail. I stopped the computer, typed in a line of numbers that it had printed out a while earlier, and set it running again. I went down the hall for a cup of coffee and returned after about an hour, during which time the computer had simulated about two months of weather. The numbers being printed were nothing like the old ones. I immediately suspected a weak vacuum tube or some other computer trouble, which was not uncommon, but before calling for service I decided to see just where the mistake had occurred, knowing that this could speed up the servicing process. Instead of a sudden break, I found that the new values at first repeated the old ones, but soon afterward differed by one and then several units in the last [decimal] place, and then began to differ in the next to the last place and then in the place before that. In fact, the differences more or less steadily doubled in size every four days or so, until all resemblance with the original output disappeared somewhere in the second month. This was enough to tell me what had happened: the numbers that I had typed in were not the exact original numbers, but were the rounded-off values that had appeared in the original printout. The initial round-off errors were the culprits; they were steadily amplifying until they dominated the solution." 1963 में, लॉरेंज ने इस आशय का एक सैद्धांतिक अध्ययन प्रकाशित किया, जिसे एक अत्यधिक उद्धृत, सेमिनल पेपर कहा जाता है, जिसे नियतात्मक गैर-आवधिक प्रवाह कहा जाता है। (गणना एक Royal McBee LGP-30 कंप्यूटर पर की गई थी)। अन्यत्र उन्होंने कहा:

एक मौसम वैज्ञानिक ने टिप्पणी की कि यदि सिद्धांत सही थे, तो एक सीगल के पंखों का एक फड़फड़ाना हमेशा के लिए मौसम के पाठ्यक्रम को बदलने के लिए पर्याप्त होगा। विवाद अभी तक सुलझा नहीं है, लेकिन सबसे हालिया सबूत सीगल के पक्ष में प्रतीत होते हैं। "One meteorologist remarked that if the theory were correct, one flap of a sea gull's wings would be enough to alter the course of the weather forever. The controversy has not yet been settled, but the most recent evidence seems to favor the sea gulls." सहकर्मियों के सुझावों के बाद, बाद के भाषणों और पत्रों में, लॉरेंज ने अधिक काव्यात्मक तितली का इस्तेमाल किया। लॉरेंज के अनुसार, जब वह 1972 में विज्ञान की प्रगति के लिए अमेरिकन एसोसिएशन की 139वीं बैठक में उपस्थित होने वाले एक भाषण के लिए एक शीर्षक प्रदान करने में विफल रहे, तो फिलिप मेरिलेस ने मनगढ़ंत कहानी बनाई क्या ब्राजील में एक तितली के पंखों के फड़फड़ाने से एक बवंडर खड़ा हो गया टेक्सास में? एक शीर्षक के रूप में। हालांकि इस अवधारणा की अभिव्यक्ति में एक तितली अपने पंखों को फड़फड़ाती रही है, लेकिन तितली का स्थान, परिणाम और परिणामों का स्थान व्यापक रूप से भिन्न है।

वाक्यांश इस विचार को संदर्भित करता है कि एक तितली के पंख पृथ्वी के वातावरण में छोटे परिवर्तन कर सकते हैं जो अंततः बवंडर के मार्ग को बदल सकते हैं या देरी कर सकते हैं,या तेज कर सकते हैं, या किसी अन्य स्थान पर बवंडर की घटना को रोक सकते हैं। तितली बिजली नहीं देती है या सीधे बवंडर नहीं बनाती है, लेकिन इस शब्द का अर्थ यह है कि तितली के पंखों का फड़कना बवंडर का कारण बन सकता है: इस अर्थ में कि पंखों का फड़कना एक परस्पर जटिलता की प्रारंभिक स्थितियों का एक हिस्सा है वेब; स्थितियों का एक समूह बवंडर की ओर ले जाता है, जबकि अन्य स्थितियों का समूह नहीं होता है। फ़्लैपिंग विंग सिस्टम की प्रारंभिक स्थिति में एक छोटे से बदलाव का प्रतिनिधित्व करता है, जो बड़े पैमाने पर घटनाओं के परिवर्तन (तुलना करें: डोमिनोज़ प्रभाव) का कारण बनता है। अगर तितली ने अपने पंख नहीं फड़फड़ाए होते, तो सिस्टम का प्रक्षेपवक्र बहुत अलग हो सकता था - लेकिन यह भी समान रूप से संभव है कि तितली के पंख फड़फड़ाए बिना परिस्थितियों का समूह  वह समूह  है जो बवंडर की ओर ले जाता है।

" "बटरफ्लाई इफेक्ट"" भविष्यवाणी के लिए एक स्पष्ट चुनौती प्रस्तुत करता है, क्योंकि मौसम जैसी प्रणाली के लिए प्रारंभिक स्थितियों को पूर्ण सटीकता के लिए कभी नहीं जाना जा सकता है। इस समस्या ने समेकन पूर्वानुमान के विकास को प्रेरित किया, जिसमें परेशान प्रारंभिक स्थितियों से कई पूर्वानुमान किए जाते हैं।

कुछ वैज्ञानिकों ने तब से तर्क दिया है कि मौसम प्रणाली प्रारंभिक स्थितियों के प्रति उतनी संवेदनशील नहीं है जितनी पहले मानी जाती थी। डेविड ऑरेल का तर्क है कि मौसम पूर्वानुमान त्रुटि में प्रमुख योगदानकर्ता मॉडल त्रुटि है, जिसमें प्रारंभिक स्थितियों की संवेदनशीलता अपेक्षाकृत छोटी भूमिका निभाती है। स्टीफन वोल्फ्राम यह भी नोट करते हैं कि लॉरेंज समीकरण अत्यधिक सरलीकृत हैं और इसमें चिपचिपा प्रभाव का प्रतिनिधित्व करने वाले शब्द सम्मिलित नहीं हैं; उनका मानना ​​​​है कि ये शर्तें छोटी-छोटी गड़बड़ियों को कम कर देंगी। सामान्यीकृत लॉरेंज मॉडल का उपयोग करते हुए हाल के अध्ययनों में अतिरिक्त विघटनकारी शब्द और गैर-रैखिकता सम्मिलित हैं, ने सुझाव दिया कि अराजकता की शुरुआत के लिए एक बड़ा हीटिंग पैरामीटर आवश्यक है।

जबकि " "बटरफ्लाई इफेक्ट"" को अक्सर लोरेंज द्वारा अपने 1963 के पेपर (और पहले पॉइंकेयर द्वारा देखे गए) में वर्णित प्रकार की प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता के पर्याय के रूप में समझाया जाता है, तितली रूपक मूल रूप से लागू किया गया था काम करने के लिए उन्होंने 1969 में प्रकाशित किया जिसने इस विचार को एक कदम आगे बढ़ाया। लॉरेंज ने एक गणितीय मॉडल प्रस्तावित किया कि कैसे वायुमंडल में छोटी-छोटी गतियां बड़ी प्रणालियों को प्रभावित करती हैं। उन्होंने पाया कि उस मॉडल में सिस्टम को केवल भविष्य में एक विशिष्ट बिंदु तक ही भविष्यवाणी की जा सकती है, और इससे परे, प्रारंभिक स्थितियों में त्रुटि को कम करने से भविष्यवाणी में वृद्धि नहीं होगी (जब तक कि त्रुटि शून्य न हो)। इसने प्रदर्शित किया कि पूर्वानुमेयता के संदर्भ में एक नियतात्मक प्रणाली एक गैर-नियतात्मक प्रणाली से अवलोकनीय रूप से अप्रभेद्य हो सकती है। इस पत्र की हाल की पुन: जांच से पता चलता है कि इसने इस विचार को एक महत्वपूर्ण चुनौती दी है कि हमारा ब्रह्मांड नियतात्मक है, क्वांटम भौतिकी द्वारा दी गई चुनौतियों के बराबर है।

1993 में प्रकाशित "द एसेंस ऑफ कैओस" नामक पुस्तक में, लॉरेंज ने "बटरफ्लाई इफेक्ट" को इस प्रकार परिभाषित किया: "यह घटना कि एक गतिशील प्रणाली की स्थिति में एक छोटा परिवर्तन बाद के राज्यों को उन राज्यों से बहुत अलग कर देगा जो परिवर्तन के बिना पालन करेंगे।" यह सुविधा प्रारंभिक स्थितियों (एसडीआईसी) पर समाधानों की संवेदनशील निर्भरता के समान है। उसी पुस्तक में, लॉरेंज ने स्कीइंग की गतिविधि को लागू किया और शुरुआती स्थितियों के लिए समय-भिन्न रास्तों की संवेदनशीलता को प्रकट करने के लिए एक आदर्श स्कीइंग मॉडल विकसित किया। एसडीआईसी की शुरुआत से पहले एक पूर्वानुमानित क्षितिज निर्धारित किया जाता है।

चित्रण

 * {|class="wikitable" width=100%

! colspan=3|The butterfly effect in the Lorenz attractor
 * colspan="2" style="text-align:center;"| time 0 ≤ t ≤ 30 (larger)
 * style="text-align:center;"| z coordinate (larger)
 * colspan="2" style="text-align:center;"|TwoLorenzOrbits.jpg
 * style="text-align:center;"|LorenzCoordinatesSmall.jpg
 * colspan=3| ये आंकड़े लोरेंज अट्रैक्टर में समान अवधि के लिए दो प्रक्षेपवक्र (एक नीले रंग में और दूसरा पीले रंग में) के त्रि-आयामी विकास के दो खंडों को दिखाते हैं जो दो प्रारंभिक बिंदुओं से शुरू होते हैं जो x में केवल 10−5 से भिन्न होते हैं। -समन्वय। प्रारंभ में, दो प्रक्षेपवक्र संयोग प्रतीत होते हैं, जैसा कि नीले और पीले प्रक्षेपवक्र के z निर्देशांक के बीच छोटे अंतर से संकेत मिलता है, लेकिन t > 23 के लिए अंतर प्रक्षेपवक्र के मान जितना बड़ा है। शंकु की अंतिम स्थिति इंगित करती है कि दो प्रक्षेपवक्र अब संपाती नहीं हैं
 * style="text-align:center;"|LorenzCoordinatesSmall.jpg
 * colspan=3| ये आंकड़े लोरेंज अट्रैक्टर में समान अवधि के लिए दो प्रक्षेपवक्र (एक नीले रंग में और दूसरा पीले रंग में) के त्रि-आयामी विकास के दो खंडों को दिखाते हैं जो दो प्रारंभिक बिंदुओं से शुरू होते हैं जो x में केवल 10−5 से भिन्न होते हैं। -समन्वय। प्रारंभ में, दो प्रक्षेपवक्र संयोग प्रतीत होते हैं, जैसा कि नीले और पीले प्रक्षेपवक्र के z निर्देशांक के बीच छोटे अंतर से संकेत मिलता है, लेकिन t > 23 के लिए अंतर प्रक्षेपवक्र के मान जितना बड़ा है। शंकु की अंतिम स्थिति इंगित करती है कि दो प्रक्षेपवक्र अब संपाती नहीं हैं
 * colspan=3| ये आंकड़े लोरेंज अट्रैक्टर में समान अवधि के लिए दो प्रक्षेपवक्र (एक नीले रंग में और दूसरा पीले रंग में) के त्रि-आयामी विकास के दो खंडों को दिखाते हैं जो दो प्रारंभिक बिंदुओं से शुरू होते हैं जो x में केवल 10−5 से भिन्न होते हैं। -समन्वय। प्रारंभ में, दो प्रक्षेपवक्र संयोग प्रतीत होते हैं, जैसा कि नीले और पीले प्रक्षेपवक्र के z निर्देशांक के बीच छोटे अंतर से संकेत मिलता है, लेकिन t > 23 के लिए अंतर प्रक्षेपवक्र के मान जितना बड़ा है। शंकु की अंतिम स्थिति इंगित करती है कि दो प्रक्षेपवक्र अब संपाती नहीं हैं

These figures show two segments of the three-dimensional evolution of two trajectories (one in blue, and the other in yellow) for the same period of time in the Lorenz attractor starting at two initial points that differ by only 10−5 in the x-coordinate. Initially, the two trajectories seem coincident, as indicated by the small difference between the z coordinate of the blue and yellow trajectories, but for t > 23 the difference is as large as the value of the trajectory. The final position of the cones indicates that the two trajectories are no longer coincident at t = 30. An animation of the Lorenz attractor shows the continuous evolution.
 * style="text-align:center;" colspan="3"| लोरेंज अट्रैक्टर निरंतर विकास का एक एनीमेशन दिखाता है।
 * style="text-align:center;" colspan="3"| लोरेंज अट्रैक्टर निरंतर विकास का एक एनीमेशन दिखाता है।
 * }

सिद्धांत और गणितीय परिभाषा
आवर्तन, प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता के साथ-साथ प्रारंभिक स्थितियों की ओर एक प्रणाली की अनुमानित वापसी,अराजक गति के लिए दो मुख्य तत्व हैं। उनके पास जटिल प्रणाली बनाने का व्यावहारिक परिणाम है, जैसे मौसम, एक निश्चित समय सीमा (मौसम के मामले में लगभग एक सप्ताह) की भविष्यवाणी करना मुश्किल है क्योंकि शुरुआती वायुमंडलीय स्थितियों को पूरी तरह सटीक रूप से मापना असंभव है।

एक गतिशील प्रणाली प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता प्रदर्शित करती है यदि अंक मनमाने ढंग से एक साथ एक घातीय दर पर समय के साथ अलग हो जाते हैं। परिभाषा सामयिक नहीं है, लेकिन अनिवार्य रूप से मापीय है। लोरेन्ज परिभाषित संवेदनशील निर्भरता इस प्रकार है:

एक कक्षा (अर्थात, एक समाधान) को चिह्नित करने वाला गुण यदि किसी बिंदु पर उसके पास से गुजरने वाली अधिकांश अन्य कक्षाएँ समय के आगे बढ़ने के साथ उसके करीब नहीं रहती हैं।

यदि एम मानचित्र के लिए राज्य स्थान (गतिशील प्रणाली) है $$f^t$$, तब $$f^t$$ प्रारंभिक स्थितियों के प्रति संवेदनशील निर्भरता प्रदर्शित करता है यदि M में कोई x और कोई δ > 0, M में दूरी के साथ y हैं $d(., .)$ ऐसा है कि $$0 < d(x, y) < \delta $$ और ऐसा है
 * $$d(f^\tau(x), f^\tau(y)) > \mathrm{e}^{a\tau} \, d(x,y)$$

कुछ सकारात्मक पैरामीटर ए के लिए। परिभाषा की आवश्यकता नहीं है कि पड़ोस के सभी बिंदु आधार बिंदु x से अलग हों, लेकिन इसके लिए एक सकारात्मक Lyapunov प्रतिपादक की आवश्यकता होती है। एक सकारात्मक Lyapunov प्रतिपादक के अलावा, अराजक प्रणालियों के भीतर परिबद्धता एक और प्रमुख विशेषता है।

प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता प्रदर्शित करने वाला सबसे सरल गणितीय ढांचा रसद मानचित्र के एक विशेष पैरामीट्रिजेशन द्वारा प्रदान किया गया है:
 * $$x_{n+1} = 4 x_n (1-x_n), \quad 0\leq x_0\leq 1,$$

जो, अधिकांश अराजक नक्शों के विपरीत, एक बंद-रूप समाधान है:
 * $$x_{n}=\sin^{2}(2^{n} \theta \pi)$$

जहां प्रारंभिक स्थिति पैरामीटर $$\theta$$ द्वारा दिया गया है $$\theta = \tfrac{1}{\pi}\sin^{-1}(x_0^{1/2})$$. तर्कसंगत के लिए $$\theta$$पुनरावृत्त समारोह की एक सीमित संख्या के बाद $$x_n$$ एक आवधिक बिंदु में मानचित्र। लेकिन लगभग सभी $$\theta$$ तर्कहीन हैं, और, तर्कहीन के लिए $$\theta$$, $$x_n$$ कभी भी स्वयं को दोहराता नहीं है - यह गैर-आवधिक है। यह समाधान समीकरण अराजकता की दो प्रमुख विशेषताओं को स्पष्ट रूप से प्रदर्शित करता है - खिंचाव और तह: कारक 2n खिंचाव की घातीय वृद्धि को दर्शाता है, जिसके परिणामस्वरूप प्रारंभिक स्थितियों ( "बटरफ्लाई इफेक्ट") पर संवेदनशील निर्भरता होती है, जबकि चुकता साइन फ़ंक्शन रहता है $$x_n$$ सीमा [0, 1] के भीतर मुड़ा हुआ।

मौसम में
मौसम के संदर्भ में तितली का प्रभाव सबसे अधिक परिचित है; उदाहरण के लिए, इसे मानक मौसम पूर्वानुमान मॉडल में आसानी से प्रदर्शित किया जा सकता है। जलवायु वैज्ञानिक जेम्स अन्नान और विलियम कॉनॉली बताते हैं कि मौसम की भविष्यवाणी के तरीकों के विकास में अराजकता महत्वपूर्ण है; मॉडल प्रारंभिक स्थितियों के प्रति संवेदनशील होते हैं। वे चेतावनी जोड़ते हैं: बेशक एक अज्ञात तितली के पंख फड़फड़ाने का मौसम के पूर्वानुमान पर कोई सीधा असर नहीं पड़ता है, क्योंकि इस तरह के एक छोटे से गड़बड़ी को एक महत्वपूर्ण आकार तक बढ़ने में बहुत लंबा समय लगेगा, और हमारे पास कई और तत्काल अनिश्चितताएं हैं के बारे में चिंता करना। इसलिए मौसम की भविष्यवाणी पर इस घटना का सीधा प्रभाव अक्सर कुछ हद तक गलत होता है। प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता सहित दो प्रकार के "बटरफ्लाई इफेक्ट", और बड़ी दूरी पर एक संगठित संचलन बनाने के लिए एक छोटे से गड़बड़ी की क्षमता, बिल्कुल एक जैसे नहीं हैं। दो प्रकार के  "बटरफ्लाई इफेक्ट"ों की तुलना  और तीसरे प्रकार का  "बटरफ्लाई इफेक्ट"   प्रलेखित किया गया है।

लोरेन्ज़ मॉडल के भीतर सह-अस्तित्व वाले अराजक और गैर-अराजक आकर्षणों को प्रकट करके, शेन और उनके सहयोगियों ने "मौसम अराजक है" के पारंपरिक दृष्टिकोण के विपरीत "मौसम में अराजकता और व्यवस्था है" का एक संशोधित दृष्टिकोण प्रस्तावित किया।  नतीजतन, प्रारंभिक स्थितियों (एसडीआईसी) पर संवेदनशील निर्भरता हमेशा प्रकट नहीं होती है। अर्थात्, SDIC तब प्रकट होता है जब दो कक्षाएँ (अर्थात, समाधान) अराजक आकर्षणकर्ता बन जाती हैं; यह तब प्रकट नहीं होता है जब दो कक्षाएँ एक ही बिंदु आकर्षणक की ओर बढ़ती हैं। डबल पेंडुलम गति के लिए उपरोक्त एनीमेशन एक सादृश्य प्रदान करता है। स्विंग के बड़े कोणों के लिए पेंडुलम की गति अक्सर अव्यवस्थित होती है।  तुलनात्मक रूप से, झूले के छोटे कोणों के लिए, गति अराजक होती है। मल्टीस्टेबिलिटी को तब परिभाषित किया जाता है जब एक सिस्टम (जैसे, डबल पेंडुलम सिस्टम) में एक से अधिक बाउंडेड अट्रैक्टर होते हैं जो केवल प्रारंभिक स्थितियों पर निर्भर करते हैं। दाईं ओर चित्र में कयाकिंग का उपयोग करके बहु-स्थिरता को चित्रित किया गया था (अर्थात, चित्र 1 का ) जहां मजबूत धाराओं और एक स्थिर क्षेत्र की उपस्थिति क्रमशः अस्थिरता और स्थानीय स्थिरता का सुझाव देती है। नतीजतन, जब दो कश्ती मजबूत धाराओं के साथ चलती हैं, तो उनके रास्ते एसडीआईसी प्रदर्शित करते हैं। दूसरी ओर, जब दो कश्ती एक स्थिर क्षेत्र में चलती हैं, तो वे फंस जाती हैं, कोई विशिष्ट एसडीआईसी नहीं दिखाती (हालांकि एक अराजक क्षणिक हो सकता है)। एसडीआईसी या नो एसडीआईसी की ऐसी विशेषताएं दो प्रकार के समाधान सुझाती हैं और बहु-स्थिरता की प्रकृति को दर्शाती हैं।

बड़े पैमाने की प्रक्रियाओं (जैसे, मौसमी बल) और छोटे पैमाने की प्रक्रियाओं (जैसे, संवहन) की समग्र प्रतिक्रिया के साथ जुड़े समय-भिन्न बहु-स्थिरता को ध्यान में रखते हुए, उपरोक्त संशोधित दृश्य निम्नानुसार परिष्कृत किया गया है:

वातावरण में अराजकता और व्यवस्था है; इसमें, उदाहरण के तौर पर, उभरती हुई संगठित प्रणालियाँ (जैसे बवंडर) और बार-बार होने वाले मौसमों से अलग-अलग समय सम्मिलित हैं।

क्वांटम यांत्रिकी में
प्रारंभिक स्थितियों ( "बटरफ्लाई इफेक्ट") पर संवेदनशील निर्भरता की क्षमता का अध्ययन कई मामलों में अर्धशास्त्रीय भौतिकी और क्वांटम यांत्रिकी में मजबूत क्षेत्रों में परमाणुओं और अनिसोट्रोपिक केपलर समस्या सहित किया गया है। कुछ लेखकों ने तर्क दिया है कि प्रारंभिक स्थितियों पर अत्यधिक (घातीय) निर्भरता शुद्ध क्वांटम उपचारों में अपेक्षित नहीं है; हालांकि, शास्त्रीय गति में प्रदर्शित प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता मार्टिन गुत्ज़विलर द्वारा विकसित अर्धशास्त्रीय उपचारों में सम्मिलित है और जॉन बी डेलोस और सहकर्मी। क्वांटम कंप्यूटर के साथ यादृच्छिक मैट्रिक्स सिद्धांत और सिमुलेशन साबित करते हैं कि क्वांटम यांत्रिकी में  "बटरफ्लाई इफेक्ट" के कुछ संस्करण उपस्थित नहीं हैं।

अन्य लेखकों का सुझाव है कि क्वांटम सिस्टम में "बटरफ्लाई इफेक्ट" देखा जा सकता है। ज़बिसज़ेक पी. कार्कुस्ज़वेस्की एट अल। क्वांटम सिस्टम के समय के विकास पर विचार करें जिसमें थोड़ा अलग हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) है। वे क्वांटम सिस्टम की संवेदनशीलता के स्तर को उनके दिए गए हैमिल्टनियन में छोटे बदलावों की जांच करते हैं। डेविड पौलिन एट अल। निष्ठा क्षय को मापने के लिए एक क्वांटम एल्गोरिथ्म प्रस्तुत किया, जो उस दर को मापता है जिस पर समान प्रारंभिक अवस्थाएँ थोड़ी भिन्न गतिकी के अधीन होने पर अलग हो जाती हैं। वे निष्ठा क्षय को (विशुद्ध रूप से शास्त्रीय) "बटरफ्लाई इफेक्ट" के निकटतम क्वांटम एनालॉग मानते हैं। जबकि शास्त्रीय  "बटरफ्लाई इफेक्ट" किसी दिए गए हैमिल्टनियन प्रणाली में किसी वस्तु की स्थिति और / या वेग में एक छोटे से परिवर्तन के प्रभाव पर विचार करता है, क्वांटम  "बटरफ्लाई इफेक्ट" हैमिल्टनियन प्रणाली में दी गई प्रारंभिक स्थिति और वेग के साथ एक छोटे से परिवर्तन के प्रभाव पर विचार करता है।. यह क्वांटम "बटरफ्लाई इफेक्ट" प्रयोगात्मक रूप से प्रदर्शित किया गया है। प्रारंभिक स्थितियों के लिए सिस्टम संवेदनशीलता के क्वांटम और अर्धशास्त्रीय उपचारों को कितनी अराजकता के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

 * हिमस्खलन प्रभाव
 * व्यवहार पुच्छ
 * कैस्केडिंग विफलता
 * आपदा सिद्धांत
 * कारणता
 * श्रृंखला अभिक्रिया
 * लैपिंग
 * निश्चयवाद
 * दूरगामी प्रभाव
 * गतिशील प्रणाली
 * भग्न
 * महान रकाब विवाद
 * अभिनव तितली
 * केसलर सिंड्रोम
 * नॉर्टन का गुंबद
 * संख्यात्मक विश्लेषण
 * विचलन बिंदु
 * सकारात्मक प्रतिक्रिया
 * संभावना और वास्तविकता
 * प्रतिनिधिता अनुमानी
 * तरंग प्रभाव
 * स्नोबॉल प्रभाव
 * यातायात संकुलन
 * उष्णकटिबंधीय चक्रवात
 * अनायास नतीजे

आगे की पढाई

 * James Gleick, Chaos: Making a New Science, New York: Viking, 1987. 368 pp.
 * Bradbury, Ray. "A Sound of Thunder." Collier's. 28 June 1952
 * Bradbury, Ray. "A Sound of Thunder." Collier's. 28 June 1952
 * Bradbury, Ray. "A Sound of Thunder." Collier's. 28 June 1952

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * आरंभिक दशा
 * गैर रेखीय प्रणाली
 * संख्यात्मक मौसम भविष्यवाणी
 * अरेखीय गतिकी
 * तरंग प्रभाव
 * पृथ्वी का वातावरण
 * पहनावा पूर्वानुमान
 * दूरगामी प्रभाव
 * जटिल सिस्टम
 * राज्य अंतरिक्ष (गतिशील प्रणाली)
 * लायपुनोव प्रदर्शक
 * बंद रूप समाधान
 * केप्लर समस्या
 * करणीय संबंध
 * यह सिद्धांत कि मनुष्य के कार्य स्वतंत्र नहीं होते
 * विचलन का बिंदु

बाहरी कड़ियाँ

 * Weather and Chaos: The Work of Edward N. Lorenz. A short documentary that explains the "butterfly effect" in context of Lorenz's work.
 * The Chaos Hypertextbook. An introductory primer on chaos and fractals
 * New England Complex Systems Institute - Concepts: Butterfly Effect
 * ChaosBook.org. Advanced graduate textbook on chaos (no fractals)
 * ChaosBook.org. Advanced graduate textbook on chaos (no fractals)