एम्बेडिंग

गणित में एंबेडिंग गणितीय संरचना का एक उदाहरण है जो किसी अन्य उदाहरण में समाहित है, जैसे एक समूह जो उपसमूह है।

जब किसी $$X$$  वस्तु को  $$Y$$ वस्तु में एम्बेड किया जाता है तब एम्बेडिंग में  एकैकी फलन और संरचना-संरक्षण मानचित्र द्वारा दी जाती है $$f:X\rightarrow Y$$. संरचना-संरक्षण का अर्थ उस गणितीय संरचना पर निर्भर करता है जिसका उदाहरण $$X$$ तथा $$Y$$  हैं। श्रेणी सिद्धांत में, संरचना-संरक्षण मानचित्र को रूपवाद कहा जाता है।

तथ्य यह है कि एक नक़्शे  में $$f:X\rightarrow Y$$  एम्बेडिंग है जिसे अधिकांश हुक किए गए तीर के उपयोग द्वारा संकेत किया जाता है ; इस प्रकार: $$ f : X \hookrightarrow Y.$$ (यह अंकन कभी-कभी समावेशन नक्शो के लिए आरक्षित होता है।)

X और Y को देखते हुए, X के Y में अलग-अलग एम्बेडिंग संभव हो सकते हैं। ब्याज के विषयों में एक मानक एम्बेडिंग होता है, जैसे कि पूर्णांकों  में  प्राकृतिक  संख्याएँ, परिमेय  संख्याओं में पूर्णांक,  वास्तविक  संख्याओं में परिमेय संख्याएँ और सम्मिश्र संख्याओं में वास्तविक संख्याएँ। ऐसे विषयों में कार्यक्षेत्र  $$X$$ को उसकी छवि $$Y$$ में सम्मलित करना साधारण है I इसलिये $$f(X)\subseteq Y$$.

सामान्य टोपोलॉजी
सामान्य टोपोलॉजी में, एम्बेडिंग अपनी छवि पर एक होमियोमोर्फिज्म होता है। एकैकी लगातार (टोपोलॉजी)  कार्य  में, मानचित्र $$f : X \to Y$$ टोपोलॉजिकल स्पेस  के बीच $$X$$ तथा $$Y$$  एम्बेडिंग है, यदि $$f$$ के बीच होमोमोर्फिज्म उत्पन्न होता है तब  $$X$$ तथा $$f(X)$$ ( जहाँ पर  $$f(X)$$ से परम्परा में मिली  $$Y$$ उपसमष्टि का वहन करता है)I साधारण  रूप से, एम्बेडिंग $$f : X \to Y$$ हैं, टोपोलॉजी में  $$Y$$  के रूप में $$X$$ एक उप-समष्टि है I सभी  एम्बेडिंग एकैकी और निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) है। एम्बेडिंग में सभी एकैकी मैप  खुले या  बंद होते है जबकि ऐसे एम्बेडिंग भी हैं जो न तो खुले हैं और न ही बंद हैं। ऐसा तब होता है जब छवि $$f(X)$$  में  $$Y$$ न  खुला समूह हो ,और न ही बंद समूह हो।

किसी दिए गए समष्टि के लिए $$Y$$, एक एम्बेडिंग $$X \to Y$$ अस्तित्व में $$X$$ का सामयिक अपरिवर्तनीय है I यह दो समष्टिों को अलग करने की अनुमति देता है एम्बेडेड में यदि एक समष्टि सक्षम है जबकि दूसरा समष्टि सक्षम नहीं है।

संबंधित परिभाषाएँ
$$f : X \to Y$$ किसी फलन का कार्यक्षेत्र टोपोलॉजिकल स्पेस है तब इसे फलन कहा जाता है I यह अपने कार्यक्षेत्र के के रूप में सम्मिलित होता हैI  $$U$$  बिंदु का प्रतिबंध $$f\big\vert_U : U \to Y$$ एकैकी है। इसे समष्टिीय रूप से  कहा जाता है I कार्यक्षेत्र के आसपास के सभी बिंदु समष्टिीय रूप से एकैकी है I  एक ऐसा कार्य है जिसमे सभी बिंदु कार्यक्षेत्र के निकटतम होते है जिसके लिए इसका प्रतिबंध एक एम्बेडिंग होता है।

प्रत्येक एकैकी फलन समष्टिीय रूप से एकैकी होता है लेकिन विपरीत नहीं होते है। समष्टिीय भिन्नता, समष्टिीय होमोमोर्फिज्म, और स्मूथ आप्लावन सभी समष्टिीय एकैकी के कार्य हैं जो आवश्यक रूप से एकैकी नहीं हैं। व्युत्क्रम कार्य प्रमेय में समष्टिीय रूप से बीच में लगातार होने वाले कार्य के लिए पर्याप्त स्थिति देता है। प्रत्येक  फाइबर समष्टिीय रूप से एकैकी का कार्य करता है $$f : X \to Y$$ अनिवार्य रूप से एक कार्यक्षेत्र $$X$$  का अलग उपसमष्टि है I

विभेदक टोपोलॉजी
विभेदक टोपोलॉजी में $$M$$ तथा $$N$$ को कई गुना और $$f:M\to N$$ को स्मूथ मैप होने देना चाहिए। फिर $$f$$ को आप्लावन कहा जाता है यदि इसका व्युत्पन्न सभी जगह एकैकी है।एम्बेडिंग को एक आप्लावन के रूप में परिभाषित किया गया है जो ऊपर वर्णित टोपोलॉजिकल के अर्थ में एक एम्बेडिंग है ( इसका तात्यर्य है छवि पर होमोमोर्फिज्म)। दूसरे शब्दों में, एक एम्बेडिंग का कार्यक्षेत्र अपनी छवि के लिए भिन्न होता है, और विशेष रूप से एम्बेडिंग की छवि कई गुना होनी चाहिए। आप्लावन  एक समष्टिीय एम्बेडिंग है, किसी भी बिंदु के लिए $$x\in M$$ एक निकटतम है $$x\in U\subset M$$ ऐसा है कि $$f:U\to N$$ एक एम्बेडिंग है।

जब कार्यक्षेत्र ही मैनिफोल्ड कॉम्पैक्ट होता है, तो सरल एम्बेडिंग की धारणा एकैकी आप्लावन के बराबर होती है।

महत्वपूर्ण यह है $$N = \mathbb{R}^n$$. यहाँ रुचि इस बात में है कि $$n$$ किसी एम्बेडिंग के लिए  $$m$$  के आयाम ( $$M$$) के संदर्भ में कितना बड़ा होना चाहिए I.  व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय   कहता है कि  $$n = 2m$$ पर्याप्त है, और रैखिक सीमा सर्वोत्तम है। उदाहरण, वास्तविक प्रक्षेप्य समष्टि $$RP^m$$ आयाम का $$m$$, जहां $$m$$ को दो शक्तियों  की आवश्यकता होती  है, एम्बेडिंग के लिए $$n = 2m$$. जबकि, यह आप्लावन पर लागू नहीं होता है; उदाहरण के लिए, $$RP^2$$ में डुबोया जा सकता है $$\mathbb{R}^3$$ जैसा कि बॉयज़ सरफेस द्वारा दिखाया गया है - जिसमें वह समष्टि स्वयं-बदलते  हैं।  रोमन सतह  पर आप्लावन होना असफल होता है क्योंकि इसमें  क्रॉस-कैप  होते हैं।

एक एम्बेडिंग उचित है यदि यह सीमाओं के संबंध में अच्छा व्यवहार करता है तब मानचित्र Y की आवश्यकता होती है जो ऐसा हो $$f: X \rightarrow Y$$.


 * $$f(\partial X) = f(X) \cap \partial Y$$, तथा
 * $$f(X)$$ अनुप्रस्थता   है  $$\partial Y$$ के किसी भी बिंदु में $$f(\partial X)$$.`

पहला अनुबंध $$f(\partial X) \subseteq \partial Y$$ तथा $$f(X \setminus \partial X) \subseteq Y \setminus \partial Y$$ के बराबर है. दूसरा अनुबंध में, $$f(X)$$  सीमा की स्पर्शरेखा  $$Y$$ नहीं है I

रिमैनियन और स्यूडो-रिमैनियन ज्यामिति
रीमैनियन ज्यामिति और स्यूडो-रीमैनियन ज्यामिति में $$(M,g)$$ तथा $$(N,h)$$  रीमैनियन कई गुना  होता है । एक सममितीय एम्बेडिंग सरल  एम्बेडिंग है $$f:M\rightarrow N$$ जो  रिमेंनियन मीट्रिक  को  संरक्षित करता है कि $$g$$ को पीछे खींचने में बराबर हो I $$h$$ द्वारा $$f$$, अर्थात। $$g=f*h$$. स्पष्ट रूप से, किसी भी दो स्पर्शरेखा सदिशों के लिए $$v,w\in T_x(M)$$ अपने पास


 * $$g(v,w)=h(df(v),df(w)).$$

समान रूप से, सममितीय आप्लावन में रिमैनियन मैनिफोल्ड्स के बीच एक आप्लावन है जो रिमैनियन मेट्रिक्स को संरक्षित करता है।

समतुल्य रूप से, रिमेंनियन ज्यामिति में, आइसोमेट्रिक एम्बेडिंग एक सरल एम्बेडिंग है जो घटता की लंबाई को संरक्षित करता है। (सीएफ़.  नैश एम्बेडिंग प्रमेय )

बीजगणित
सामान्य रूप से, एक बीजगणितीय श्रेणी $$C$$, दो $$C$$ बीजगणितीय संरचनाओं  $$X$$ तथा $$Y$$ के बीच एम्बेडिंग $$C$$ रूपवाद है एक है I $e:X\rightarrow Y$ जो कि एकैकी है।

क्षेत्र सिद्धांत
क्षेत्र सिद्धांत में, एक क्षेत्र का एम्बेडिंग $$E$$ मैदान मे $$F$$ एक वलय समरूपता है $\sigma:E\rightarrow F$.

$$\sigma$$ का कर्नेल $$E$$ का एक  आदर्श है जो पूरा क्षेत्र  $$E$$ नहीं हो सकता,  स्थिति के कारण $1=\sigma(1)=1$. इसके अतिरिक्त, यह क्षेत्रों की एक प्रसिद्ध संपत्ति है कि उनका एकमात्र शून्य आदर्श और संपूर्ण क्षेत्र है। इसलिए, कर्नेल $$0$$  हैI इसलिए क्षेत्र की एम्बेडिंग  एकरूपता है। अत, $$E$$  क्षेत्र विस्तार के लिए  समरूपी है $$\sigma(E)$$ का $$F$$. इस क्षेत्र को मनमाना समरूपता के लिए एम्बेड किए गए नाम को सही ठहराता है।

सार्वभौमिक बीजगणित और मॉडल सिद्धांत
यदि $$\sigma$$ हस्ताक्षर है इसमें  $$A,B$$  को  $$\sigma$$-  संरचना   कहा जाता है I $$\sigma$$-  में  सार्वभौमिक बीजगणित,  मॉडल सिद्धांत है। फिर एक नक्शा  $$h:A \to B$$  में  $$\sigma$$-एम्बेडिंग  आईएफएफ निम्नलिखित में से सभी धारण करते हैं: यहां $$A\models R (a_1,\ldots,a_n)$$ के समकक्ष एक मॉडल सैद्धांतिक संकेतन है $$(a_1,\ldots,a_n)\in R^A$$. मॉडल सिद्धांत में प्राथमिक एम्बेडिंग की एक मजबूत धारणा भी है।
 * $$h$$ एकैकी है,
 * सभी के लिए $$n$$-एरी फलन प्रतीक $$f \in\sigma$$ तथा $$a_1,\ldots,a_n \in A^n,$$ अपने पास $$h(f^A(a_1,\ldots,a_n))=f^B(h(a_1),\ldots,h(a_n))$$,
 * सभी के लिए $$n$$-एरी संबंध प्रतीक $$R \in\sigma$$ तथा $$a_1,\ldots,a_n \in A^n,$$ अपने पास $$A \models R(a_1,\ldots,a_n)$$ आईएफएफ $$B \models R(h(a_1),\ldots,h(a_n)).$$

आदेश सिद्धांत और डोमेन सिद्धांत
आदेश सिद्धांत में,  आंशिक रूप से आदेशित   सेटों  का  एम्बेडिंग   $$X$$ तथा $$Y$$  के बीच  $$F$$ एक फलन है जैसा  कि


 * $$\forall x_1,x_2\in X: x_1\leq x_2 \iff F(x_1)\leq F(x_2).$$

$$F$$, एकैकी की इस परिभाषा को शीघ्रता से अनुसरण करती है।  डोमेन सिद्धांत  में, एक अतिरिक्त आवश्यकता यह है कि


 * $$ \forall y\in Y:\{x \mid F(x) \leq y\}$$ निर्देशित सेट  है।

मीट्रिक रिक्त समष्टि
एक मानचित्रण $$\phi: X \to Y$$ में  मीट्रिक रिक्त समष्टि को एम्बेडिंग कहा जाता हैI ( विरूपण के साथ $$C>0$$) यदि
 * $$ L d_X(x, y) \leq d_Y(\phi(x), \phi(y)) \leq CLd_X(x,y) $$

सभी के लिए $$x,y\in X$$ और कुछ स्थिर $$L>0$$.

सामान्य समष्टि
एक विशेष विषयों का महत्वपूर्ण समष्टि  आदर्श  है; इस विषय में रैखिक एम्बेडिंग पर विचार करना स्वाभाविक है।

परिमित-आयामी मानक समष्टि के बारे में पूछे जाने वाले बुनियादी प्रश्नों में से एक है, अधिकतम  $$(X, \| \cdot \|)$$ आयाम क्या है? $$k$$ ऐसा है कि हिल्बर्ट अंतरिक्ष  $$\ell_2^k$$  को निरंतर विरूपण के साथ $$X$$ में रैखिक रूप से एम्बेड किया जा सकता है?

इसका उत्तर ड्वोरेट्स्की प्रमेय के द्वारा दिया गया है।

श्रेणी सिद्धांत
श्रेणी सिद्धांत में, एम्बेडिंग की  संतोषजनक सामान्यतः पर स्वीकृत परिभाषा नहीं है जो सभी श्रेणियों में लागू हो I आशा है कि समरूपता और एम्बेडिंग की सभी रचनाएँ एम्बेडिंग हैं, और सभी एम्बेडिंग मोनोमोर्फिज़्म हैंI अन्य विशिष्ट आवश्यकताएं हैं: कोई भी शिखर मोनोमोर्फिज्म एम्बेडिंग है और पीछे  खींचने  के अतिरिक्त एम्बेडिंग स्थिर हैं।

आदर्श रूप से किसी वस्तु के सभी एम्बेडेड उप वस्तुओं का वर्ग, विषय की कक्षा, आइसोमोर्फिज्म तक, छोटी कक्षा भी होनी चाहिए, और इस प्रकार एक  आदेशित सेट  होना चाहिए।  इस विषय में, एम्बेडिंग वर्ग के संबंध में श्रेणी को संचालित कहा जाता है। यह श्रेणी नई समष्टिीय संरचनाओं को परिभाषित करने की अनुमति देता है।  (जैसे  बंद करने वाला ऑपरेटर )।

ठोस श्रेणी में, एक एम्बेडिंग एक आकृतिवाद है| $$f:A\rightarrow B$$ जो अंतर्निहित सेट से एक एकैकी फलन है $$A$$ के अंतर्निहित सेट के लिए $$B$$ और निम्नलिखित अर्थों में एक प्रारंभिक रूपवाद भी है, यदि $$g$$ किसी वस्तु के अंतर्निहित सेट से एक कार्य है $$C$$ के अंतर्निहित सेट के लिए $$A$$, और  इसकी रचना के साथ $$f$$ एक रूपवाद है $$fg:C\rightarrow B$$, फिर $$g$$ स्वयं एक रूपवाद है।

किसी श्रेणी के लिए गुणनखंडन प्रणाली भी एम्बेडिंग की धारणा को जन्म देती है। यदि $$(E,M)$$ एक गुणनखंडन प्रणाली है, तो $$M$$ में रूपवाद को  एम्बेडिंग के रूप में माना जा सकता है, ठोस सिद्धांतों में अधिकांशतः एक गुणनखंड प्रणाली होती है जिसमें M पिछले अर्थों में एम्बेडिंग होते हैं।  इस आलेख में दिए गए अधिकांश उदाहरणों का विषय है।

श्रेणी सिद्धांत में हमेशा एक  दोहरी अवधारणा होती है, जिसे भागफल के रूप में जाना जाता है। सभी पूर्ववर्ती गुण पुनः किये  जा सकते हैं।

एम्बेडिंग एक उपश्रेणी एंबेडिंग को भी संदर्भित कर सकता है।

यह भी देखें

 * बंद आप्लावन
 * आवरण (बीजगणित)
 * आयाम में कमी
 * डूबता हुआ (गणित)
 * जॉनसन-लिंडनस्ट्रॉस लेम्मा
 * सबमेनिफोल्ड
 * उप समष्टि (टोपोलॉजी)
 * टोपोलॉजी और टोपोलॉजिकल गतिकी में सार्वभौमिक समष्टि

बाहरी संबंध

 * Embedding of manifolds on the Manifold Atlas
 * Embedding of manifolds on the Manifold Atlas