विभाजित अंतर

गणित में, विभाजित अंतर एक कलन विधि है, जिसका उपयोग ऐतिहासिक रूप से लघुगणक और त्रिकोणमितीय कार्यों की तालिकाओं की गणना के लिए किया जाता है। चार्ल्स बैबेज का अंतर इंजन, एक प्रारंभिक यांत्रिक कैलकुलेटर, अपने संचालन में इस एल्गोरिदम का उपयोग करने के लिए डिज़ाइन किया गया था। विभाजित अंतर एक पुनरावर्ती विभाजन (गणित) प्रक्रिया है। डेटा बिंदुओं का एक क्रम दिया गया है $$(x_0, y_0), \ldots, (x_{n}, y_{n})$$, विधि न्यूटन बहुपद में इन बिंदुओं के बहुपद प्रक्षेप के गुणांक की गणना करती है।

परिभाषा
n + 1 डेटा पॉइंट दिया गया है $$(x_0, y_0),\ldots,(x_{n}, y_{n})$$ जहां $$x_k$$ जोड़ीवार अलग-अलग माना जाता है, आगे विभाजित मतभेदों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$\begin{align} \mathopen[y_k] &:= y_k, && k \in \{ 0,\ldots,n\} \\ \mathopen[y_k,\ldots,y_{k+j}] &:= \frac{[y_{k+1},\ldots, y_{k+j}] - [y_{k},\ldots , y_{k+j-1}]}{x_{k+j}-x_k}, && k\in\{0,\ldots,n-j\},\ j\in\{1,\ldots,n\}. \end{align}$$ गणना की पुनरावर्ती प्रक्रिया को स्पष्ट करने के लिए, विभाजित अंतरों को सारणीबद्ध रूप में रखा जा सकता है, जहां कॉलम उपरोक्त j के मान के अनुरूप होते हैं, और तालिका में प्रत्येक प्रविष्टि की गणना उसके तत्काल निचले बाएँ और उसके तत्काल ऊपरी बाएँ प्रविष्टियों के अंतर से की जाती है, जो संबंधित x-मानों के अंतर से विभाजित होती है: $$ \begin{matrix} x_0 & y_0 = [y_0] &          &               & \\ &      & [y_0,y_1] &               & \\ x_1 & y_1 = [y_1] &          & [y_0,y_1,y_2] & \\ &      & [y_1,y_2] &               & [y_0,y_1,y_2,y_3]\\ x_2 & y_2 = [y_2] &          & [y_1,y_2,y_3] & \\ &      & [y_2,y_3] &               & \\ x_3 & y_3 = [y_3] &          &               & \\ \end{matrix} $$

संकेतन
ध्यान दें कि विभाजित अंतर $$[y_k,\ldots,y_{k+j}]$$ मूल्यों पर निर्भर करता है $$x_k,\ldots,x_{k+j}$$ और $$y_k,\ldots,y_{k+j}$$, लेकिन अंकन x-मानों पर निर्भरता को छुपाता है। यदि डेटा बिंदु किसी फ़ंक्शन f द्वारा दिए गए हैं, $$(x_0, f(x_0)), \ldots, (x_{k}, f(x_{n}))$$ कोई कभी-कभी लिखता है $$f[x_k,\ldots,x_{k+j}]$$ लिखने के बजाय विभाजित अंतर के लिए $$[f(x_k),\ldots,f(x_{k+j})]$$ या $$[y_{k},\ldots,y_{k+j}].$$ नोड्स x पर फ़ंक्शन के विभाजित अंतर के लिए कई अन्य नोटेशन0, ..., एक्सn उदाहरण के लिए, इनका भी उपयोग किया जाता है: $$\begin{align} &\mathopen[x_0,\ldots,x_n]f, \\ &\mathopen[x_0,\ldots,x_n;f], \\ &D[x_0,\ldots,x_n]f \end{align}$$

उदाहरण
के लिए मतभेद विभाजित $$k=0$$ और के पहले कुछ मान $$j$$: $$ \begin{align} \mathopen[y_0] &= y_0 \\ \mathopen[y_0,y_1] &= \frac{y_1-y_0}{x_1-x_0} \\ \mathopen[y_0,y_1,y_2] &= \frac{\mathopen[y_1,y_2]-\mathopen[y_0,y_1]}{x_2-x_0} = \frac{\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}-\frac{y_1-y_0}{x_1-x_0}}{x_2-x_0} = \frac{y_2-y_1}{(x_2-x_1)(x_2-x_0)}-\frac{y_1-y_0}{(x_1-x_0)(x_2-x_0)} \\ \mathopen[y_0,y_1,y_2,y_3] &= \frac{\mathopen[y_1,y_2,y_3]-\mathopen[y_0,y_1,y_2]}{x_3-x_0} \end{align} $$

गुण
(f+g)[x_0,\dots,x_n] &= f[x_0,\dots,x_n] + g[x_0,\dots,x_n] \\ (\lambda\cdot f)[x_0,\dots,x_n] &= \lambda\cdot f[x_0,\dots,x_n] \end{align}$$
 * रैखिक कार्यात्मक $$\begin{align}
 * लाइबनिज़ नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम) $$(f\cdot g)[x_0,\dots,x_n] = f[x_0]\cdot g[x_0,\dots,x_n] + f[x_0,x_1]\cdot g[x_1,\dots,x_n] + \dots + f[x_0,\dots,x_n]\cdot g[x_n] = \sum_{r=0}^n f[x_0,\ldots,x_r]\cdot g[x_r,\ldots,x_n]$$
 * विभाजित अंतर सममित हैं: यदि $$\sigma : \{0, \dots, n\} \to \{0, \dots, n\}$$ तो फिर एक क्रमपरिवर्तन है $$f[x_0, \dots, x_n] = f[x_{\sigma(0)}, \dots, x_{\sigma(n)}]$$
 * न्यूटन बहुपद में बहुपद प्रक्षेप: यदि $$P$$ डिग्री का एक बहुपद फलन है $$\leq n$$, और $$p[x_0, \dots, x_n]$$ तो फिर विभाजित अंतर है $$P_{n-1}(x) = p[x_0] + p[x_0,x_1](x-x_0) + p[x_0,x_1,x_2](x-x_0)(x-x_1) + \cdots + p[x_0,\ldots,x_n] (x-x_0)(x-x_1)\cdots(x-x_{n-1})$$
 * अगर $$p$$ डिग्री का एक बहुपद फलन है $$<n$$, तब $$p[x_0, \dots, x_n] = 0.$$
 * विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय: यदि $$f$$ तो फिर, n गुना अवकलनीय है $$f[x_0,\dots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}$$ एक संख्या के लिए $$\xi$$ सबसे छोटे और सबसे बड़े द्वारा निर्धारित खुले अंतराल में $$x_k$$'एस।

मैट्रिक्स फॉर्म
विभाजित अंतर योजना को ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स में रखा जा सकता है: $$T_f(x_0,\dots,x_n)= \begin{pmatrix} f[x_0] & f[x_0,x_1] & f[x_0,x_1,x_2] & \ldots & f[x_0,\dots,x_n] \\ 0     & f[x_1]     & f[x_1,x_2]     & \ldots & f[x_1,\dots,x_n] \\ 0     & 0          & f[x_2]         & \ldots & f[x_2,\dots,x_n] \\ \vdots & \vdots    &                & \ddots & \vdots           \\ 0     & 0          & 0              & \ldots & f[x_n] \end{pmatrix}.$$ फिर यह कायम रहता है 1 &: t=\xi, \\ 0 &: \mbox{else}. \end{cases}$$ ज़ाहिर तौर से $$f\cdot \delta_\xi = f(\xi)\cdot \delta_\xi$$, इस प्रकार $$\delta_\xi$$ बिंदुवार फ़ंक्शन गुणन का एक eigenfunction है। वह है $$T_{\delta_{x_i}}(x)$$ किसी तरह का एक eigenmatrix है $$T_f(x)$$: $$ T_f(x) \cdot T_{\delta_{x_i}} (x) = f(x_i) \cdot T_{\delta_{x_i}}(x) $$. हालाँकि, के सभी कॉलम $$T_{\delta_{x_i}}(x)$$ एक दूसरे के गुणज हैं, मैट्रिक्स रैंक $$T_{\delta_{x_i}}(x)$$ 1 है। तो आप सभी eigenvectors के मैट्रिक्स की रचना कर सकते हैं $$T_f(x)$$ से $$i$$प्रत्येक का -वाँ स्तंभ $$T_{\delta_{x_i}}(x)$$. eigenvectors के मैट्रिक्स को निरूपित करें $$U(x)$$. उदाहरण $$ U(x_0,x_1,x_2,x_3) = \begin{pmatrix} 1 & \frac{1}{(x_1-x_0)} & \frac{1}{(x_2-x_0) (x_2-x_1)} & \frac{1}{(x_3-x_0) (x_3-x_1) (x_3-x_2)} \\ 0 & 1 & \frac{1}{(x_2-x_1)} & \frac{1}{(x_3-x_1) (x_3-x_2)} \\ 0 & 0 & 1 & \frac{1}{(x_3-x_2)} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ का विकर्णीय मैट्रिक्स $$T_f(x)$$ के रूप में लिखा जा सकता है $$ U(x) \cdot \operatorname{diag}(f(x_0),\dots,f(x_n)) = T_f(x) \cdot U(x) .$$
 * $$T_{f+g}(x) = T_f(x) + T_g(x)$$
 * $$T_{\lambda f}(x) = \lambda T_f(x)$$ अगर $$\lambda$$ एक अदिश राशि है
 * $$T_{f\cdot g}(x) = T_f(x) \cdot T_g(x)$$ यह लीबनिज नियम का अनुसरण करता है। इसका अर्थ यह है कि ऐसे आव्यूहों का गुणन क्रमविनिमेयता है। संक्षेप में, नोड्स x के समान सेट के संबंध में विभाजित अंतर योजनाओं के मैट्रिक्स एक क्रमविनिमेय रिंग बनाते हैं।
 * तब से $$ T_f(x) $$ एक त्रिकोणीय मैट्रिक्स है, इसके eigenvalues ​​​​स्पष्ट रूप से हैं $$ f(x_0), \dots, f(x_n) $$.
 * होने देना $$\delta_\xi$$ क्रोनकर डेल्टा जैसा फ़ंक्शन बनें, अर्थात $$\delta_\xi(t) = \begin{cases}

बहुपद और घात श्रृंखला
गणित का सवाल $$ J = \begin{pmatrix} x_0 & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & x_1 & 1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & 0 & x_2 & 1 &       & 0 \\ \vdots & \vdots & & \ddots & \ddots & \\ 0 & 0 & 0 & 0 &   \; \ddots     & 1\\ 0 & 0 & 0 & 0 &         & x_n \end{pmatrix} $$ इसमें नोड्स के संबंध में पहचान फ़ंक्शन के लिए विभाजित अंतर योजना शामिल है $$x_0,\dots,x_n$$, इस प्रकार $$J^m$$ इसमें घातांक के साथ एकपदी के लिए विभाजित अंतर शामिल हैं $$m$$. परिणामस्वरूप, आप एक बहुपद फलन के लिए विभाजित अंतर प्राप्त कर सकते हैं $$p$$ लगाने से $$p$$ मैट्रिक्स के लिए $$J$$: अगर $$p(\xi) = a_0 + a_1 \cdot \xi + \dots + a_m \cdot \xi^m$$ और $$p(J) = a_0 + a_1\cdot J + \dots + a_m\cdot J^m$$ तब $$T_p(x) = p(J).$$ इसे ओपिट्ज़ सूत्र के नाम से जाना जाता है। अब की डिग्री बढ़ाने पर विचार करें $$p$$ अनंत तक, यानी टेलर बहुपद को टेलर श्रृंखला में बदल दें। होने देना $$f$$ एक ऐसा फ़ंक्शन बनें जो पावर श्रृंखला से मेल खाता हो। आप विभाजित अंतर योजना की गणना कर सकते हैं $$f$$ संबंधित मैट्रिक्स श्रृंखला को लागू करके $$J$$: अगर $$f(\xi) = \sum_{k=0}^\infty a_k \xi^k$$ और $$f(J)=\sum_{k=0}^\infty a_k J^k$$ तब $$T_f(x)=f(J).$$

विस्तृत रूप
$$ \begin{align} f[x_0] &= f(x_0) \\ f[x_0,x_1] &= \frac{f(x_0)}{(x_0-x_1)} + \frac{f(x_1)}{(x_1-x_0)} \\ f[x_0,x_1,x_2] &= \frac{f(x_0)}{(x_0-x_1)\cdot(x_0-x_2)} + \frac{f(x_1)}{(x_1-x_0)\cdot(x_1-x_2)} + \frac{f(x_2)}{(x_2-x_0)\cdot(x_2-x_1)} \\ f[x_0,x_1,x_2,x_3] &= \frac{f(x_0)}{(x_0-x_1)\cdot(x_0-x_2)\cdot(x_0-x_3)} + \frac{f(x_1)}{(x_1-x_0)\cdot(x_1-x_2)\cdot(x_1-x_3)} +\\ &\quad\quad \frac{f(x_2)}{(x_2-x_0)\cdot(x_2-x_1)\cdot(x_2-x_3)} + \frac{f(x_3)}{(x_3-x_0)\cdot(x_3-x_1)\cdot(x_3-x_2)} \\ f[x_0,\dots,x_n] &= \sum_{j=0}^{n} \frac{f(x_j)}{\prod_{k\in\{0,\dots,n\}\setminus\{j\}} (x_j-x_k)} \end{align} $$ बहुपद फलन की सहायता से $$\omega(\xi) = (\xi-x_0) \cdots (\xi-x_n)$$ इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है $$ f[x_0,\dots,x_n] = \sum_{j=0}^{n} \frac{f(x_j)}{\omega'(x_j)}. $$

पीनो फॉर्म
अगर $$x_0<x_1<\cdots<x_n$$ और $$n\geq 1$$, विभाजित मतभेदों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है $$f[x_0,\ldots,x_n] = \frac{1}{(n-1)!} \int_{x_0}^{x_n} f^{(n)}(t)\;B_{n-1}(t) \, dt$$ कहाँ $$f^{(n)}$$ है $$n$$-फ़ंक्शन का व्युत्पन्न $$f$$ और $$B_{n-1}$$ डिग्री की एक निश्चित बी-पट्टी है $$n-1$$ डेटा बिंदुओं के लिए $$x_0,\dots,x_n$$, सूत्र द्वारा दिया गया है $$B_{n-1}(t) = \sum_{k=0}^n \frac{(\max(0,x_k-t))^{n-1}}{\omega'(x_k)}$$ यह पीनो का कर्नेल प्रमेय का परिणाम है; इसे विभाजित मतभेदों का पीनो रूप कहा जाता है $$B_{n-1}$$ विभाजित मतभेदों के लिए पीनो कर्नेल है, सभी का नाम ग्यूसेप पीनो के नाम पर रखा गया है।

आगे का अंतर
जब डेटा बिंदुओं को समान रूप से वितरित किया जाता है तो हमें विशेष मामला मिलता है जिसे फॉरवर्ड डिफरेंस कहा जाता है। अधिक सामान्य विभाजित अंतरों की तुलना में उनकी गणना करना आसान है।

n+1 डेटा पॉइंट दिया गया है $$(x_0, y_0), \ldots, (x_n, y_n)$$ साथ $$x_{k} = x_0 + k h,\ \text{ for } \ k=0,\ldots,n \text{ and fixed } h>0$$ आगे के अंतरों को इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$\begin{align} \Delta^{(0)} y_k &:= y_k,\qquad k=0,\ldots,n \\ \Delta^{(j)}y_k &:= \Delta^{(j-1)}y_{k+1} - \Delta^{(j-1)}y_k,\qquad k=0,\ldots,n-j,\ j=1,\dots,n. \end{align}$$ $$ \begin{matrix} y_0 &              &                   &                  \\ & \Delta y_0 &                  &                  \\ y_1 &              & \Delta^2 y_0 &                  \\ & \Delta y_1 &                  & \Delta^3 y_0\\ y_2 &              & \Delta^2 y_1 &                  \\ & \Delta y_2 &                  &                  \\ y_3 &              &                   &                  \\ \end{matrix} $$ विभाजित मतभेदों और आगे के मतभेदों के बीच संबंध है $$[y_0, y_1, \ldots, y_n] = \frac{1}{n!h^n}\Delta^{(n)}y_0.$$

यह भी देखें

 * अंतर भागफल
 * नेविल का एल्गोरिदम
 * बहुपद प्रक्षेप
 * विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय
 * नॉरलुंड-चावल अभिन्न
 * पास्कल का त्रिकोण

बाहरी संबंध

 * An implementation in Haskell.

Polynominterpolation