टेलीफोन नंबर (गणित)

यह लेख पूर्णांक अनुक्रम के बारे में है। फ़ोन नेटवर्क एड्रैस के लिए, टेलीफोन संख्या (गणित) देखें। गणित में, टेलीफोन संख्या (गणित) या अंतर्वलन संख्या पूर्णांकों का एक क्रम बनाते हैं जो उन तरीकों की गणना करते हैं जिनसे n लोग व्यक्ति-से-व्यक्ति टेलीफोन (दूरभाष) कॉल द्वारा जुड़े हो सकते हैं। ये संख्याएँ n शीर्षों पर एक पूर्ण आलेख के मिलानों की संख्या (होसोया सूचकांक) का भी वर्णन करती हैं, और n तत्वों पर क्रमपरिवर्तन की संख्या, जो अंतर्वलन हैं, हर्मिट बहुपदों के गुणांकों के निरपेक्ष मानो का योग, मानक नवोदित सारणी की संख्या n सेल के साथ, और सममित समूह के अखंडनीय निरूपण की डिग्री का योग होता है। हेनरिक ऑगस्ट रोथ द्वारा 1800 में पहली बार अंतर्वलन संख्याओ का अध्ययन किया गया था, जिन्होंने एक पुनरावृत्ति समीकरण दिया था जिसके द्वारा उन्हें मान (n = 0 से प्रारंभ) देकर गणना की जा सकती है

1, 1, 2, 4, 10, 26, 76, 232, 764, 2620, 9496, ... (ओईआईएस में अनुक्रम A000085) सम्मिलित है।

अनुप्रयोग
जॉन रिओर्डन (गणितज्ञ) इन संख्याओं के लिए निम्नलिखित स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं: मान लीजिए कि $n$ लोग एक टेलीफोन सेवा की सदस्यता लेते हैं जो उनमें से किन्हीं दो को एक कॉल से जोड़ सकती है, लेकिन दो से अधिक लोगों को जोड़ने वाली एक कॉल नहीं कर सकती। सम्पर्क के कितने अलग-अलग पैटर्न संभव हैं? उदाहरण के लिए, तीन ग्राहकों के साथ, एक टेलीफोन कॉल करने के तीन तरीके हैं, और कुल चार पैटर्न के लिए एक अतिरिक्त पैटर्न जिसमें कोई कॉल नहीं की जा रही है। इस कारण से, कितने पैटर्न संभव हैं, यह गिनने वाले संख्याओ को कभी-कभी टेलीफोन संख्या कहा जाता है।

युग्‍मानूसार सम्पर्क के बीच प्रत्येक पैटर्न $n$ लोग एक समावेशन (गणित) को परिभाषित करते हैं, लोगों का एक क्रमचय है जो इसका अपना व्युत्क्रम है। इस क्रमपरिवर्तन में, एक-दूसरे को कॉल करने वाले प्रत्येक दो लोगों की विनिमेयता की जाती है, और कॉल में सम्मिलित नहीं होने वाले लोग अपने स्थान पर स्थिर रहते हैं। इसके विपरीत, प्रत्येक संभव आक्रमण में इस प्रकार के युग्‍मानूसार विनिमय के समुच्चय का रूप होता है। इसलिए, टेलीफोन संख्या भी निवेशों की गणना करते हैं। 1800 में रोथ द्वारा अध्ययन की गई गणना की समस्या मूल संयोजी गणना समस्या थी और इन संख्याओ को अंतर्वलन संख्या भी कहा गया है।

आलेख सिद्धांत में, आलेख के कोरों का एक उपसमुच्चय जो प्रत्येक शीर्ष को एक से अधिक बार स्पर्श करता है, उसे मिलान (आलेख सिद्धांत) कहा जाता है। किसी दिए गए आलेख के मिलान की गणना करना रासायनिक आलेख सिद्धांत में महत्वपूर्ण है, जहाँ आलेख मॉडल अणु और मिलान की संख्या होसोया सूचकांक है। एक का सबसे बड़ा संभव होसोया सूचकांक $n$-शीर्ष आरेख पूर्ण आरेख द्वारा दिया जाता है, जिसके लिए युग्‍मानूसार सम्पर्क का कोई भी पैटर्न संभव है; इस प्रकार n शीर्षों पर एक पूर्ण आरेख का होसोया सूचकांक nवें टेलीफोन संख्या के समान है।

एक फेरर्स आरेख एक ज्यामितीय आकृति है जो विमान में n वर्गों के संग्रह द्वारा बनाई गई है, एक क्षैतिज शीर्ष कोरों, एक ऊर्ध्वाधर बाएं कोरों और कोरों की एक एकल एकदिष्ट श्रृंखला के साथ एक पॉलीओमिनो में समूहीकृत है। इन वर्गों में 1 से n तक की संख्याओं को इस प्रकार रखकर एक मानक नवोदित सारणी बनाई जाती है कि पूरी सारणी में संख्याएँ बाएँ से दाएँ और ऊपर से नीचे तक बढ़ती हैं। रॉबिन्सन-शेंस्टेड पत्राचार के अनुसार, क्रमपरिवर्तन मानक नवोदित सारणी के क्रमिक युग्म के साथ एक-से-एक के अनुरूप हैं। एक क्रमचय को व्युत्क्रम करना दो सारणियों की विनिमेयता के समान है, और इसलिए स्व-प्रतिलोम क्रमपरिवर्तन एकल सारणी के अनुरूप हैं, जो स्वयं के साथ युग्म जाते हैं। इस प्रकार, टेलीफोन संख्या भी n वर्गों के साथ नवोदित सारणी की संख्या की गणना करते हैं। प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, फेरर्स आरेख क्रमपरिवर्तन के सममित समूह के अखंडनीय निरूपण के अनुरूप होते हैं, और किसी दिए गए आकार के साथ नवोदित सारणी उस आकृति के साथ अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व का आधार होती है। इसलिए, टेलीफोन संख्या अखंडनीय निरूपण की डिग्री का योग देते हैं। गणितीय शतरंज के गणित में, टेलीफोन संख्या n × n शतरंज की बिसात पर n चालाक खिलाड़ी को रखने के तरीकों की संख्या को इस तरह से गिनते हैं कि कोई भी दो चालाक खिलाड़ी एक दूसरे पर आक्षेप न करें तथाकथित आठ चालाक खिलाड़ी पहेली, और इस तरह से बोर्ड के विकर्ण प्रतिबिंब के अंतर्गत चालाक खिलाड़ी का विन्यास सममित है। पोल्या गणना प्रमेय के माध्यम से, ये संख्याएं परस्पर गैर-आक्रमणकारी चालाक खिलाड़ी के "अनिवार्य रूप से भिन्न" विन्यासों की समग्र संख्या के लिए एक सूत्र के प्रमुख घटकों में से एक हैं, जहां दो विन्यासों को अनिवार्य रूप से भिन्न के रूप में गिना जाता है यदि कोई समरूपता नहीं है बोर्ड जो एक को दूसरे में ले जाता है।

पुनरावृत्ति
टेलीफोन संख्या पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करते हैं $$T(n) = T(n-1) + (n-1)T(n-2),$$ पहली बार 1800 में हेनरिक अगस्त रोथ द्वारा प्रकाशित किया गया था, जिसके द्वारा उनकी आसानी से गणना की जा सकती है। इस पुनरावृत्ति की व्याख्या करने का एक तरीका यह है कि n ग्राहकों के टेलीफोन प्रणाली के T(n) संयोजन पैटर्न को ऐसे पैटर्न में विभाजित किया जाए जिसमें पहला व्यक्ति किसी और को कॉल नहीं कर रहा है, ऐसे T(n − 1) संयोजन पैटर्न हैं जिनमें पहला व्यक्ति वियोजित हो जाता है, जो पुनरावृत्ति के पहले शब्द की व्याख्या करता है। यदि पहला व्यक्ति किसी से जुड़ा हुआ है, तो उस व्यक्ति के लिए n − 1 विकल्प हैं, और शेष n − 2 लोगों के लिए संयोजन के T(n − 2) पैटर्न हैं, जो पुनरावृत्ति की दूसरी अवधि की व्याख्या करते हैं।

योग सूत्र और सन्निकटन
टेलीफोन संख्याओ को परिशुद्ध रूप से योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$T(n) = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k}(2k-1)!! = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{n!}{2^k (n-2k)! k!}.$$ प्रथम योग के प्रत्येक पद में, $$k$$ मिलान किए गए युग्मों की संख्या देता है, द्विपद गुणांक $$\tbinom{n}{2k}$$ मिलान किए जाने वाले $$2k$$ तत्वों को चयन के तरीकों की संख्या और दोहरे भाज्य की गणना करता है। $$(2k-1)!!=\frac{(2k)!}{2^k\,k!}$$ अपने तर्क तक विषम पूर्णांकों का गुणनफल है और पूरी तरह से मिलान करने के तरीकों की संख्या $2k$ चयनित तत्व की गणना करता है। यह संकलन सूत्र और स्टर्लिंग के सन्निकटन से अनुसरण करता है कि, स्पर्शोन्मुख विश्लेषण से, $$T(n) \sim \left(\frac{n}{e}\right)^{n/2} \frac{e^{\sqrt{n}}}{(4e)^{1/4}}\,.$$

जनक फलन (जनरेटिंग फ़ंक्शन)
टेलीफोन संख्याओ का घातीय जनक फलन है $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{T(n)x^n}{n!}=\exp\left(\frac{x^2}{2}+x\right).$$ दूसरे शब्दों में, टेलीफोन संख्याओ को $x^{d} = 1$ की टेलर श्रृंखला के गुणांक के रूप में पढ़ा जा सकता है, और nवी टेलीफ़ोन संख्या इस फलन के nवें अवकल के शून्य पर मान है। यह फलन हर्मिट बहुपदों के चरघातांकी जनक फलन से निकटता से संबंधित है, जो पूर्ण रेखांकन के अनुरूप वाले बहुपद हैं। nवें (प्रायिकतावादी) हर्मिट बहुपद के गुणांकों के निरपेक्ष मानो का योग nवीं टेलीफोन संख्या है, और टेलीफोन संख्याओ को हर्मिट बहुपदों के कुछ विशेष मानो के रूप में भी अनुभव किया जा सकता है: $$T(n)=\frac{\mathit{He}_n(i)}{i^n}.$$

प्रमुख कारक
n के बड़े मानों के लिए, nवां टेलीफोन संख्या दो, 2n/4 + O(1) की बड़ी घात से विभाज्य है। अधिक परिशुद्ध रूप से, T(4k) और T(4k + 1) का 2-अंकीय क्रम (प्रमुख गुणनखंड में दो के कारकों की संख्या) k है; और T(4k + 2) के लिए यह k + 1 है, और T(4k + 3) के लिए यह k + 2 है।

किसी भी अभाज्य संख्या p के लिए, कोई यह परीक्षण कर सकता है कि टेलीफोन संख्या मापांक p के अनुक्रम के लिए पुनरावृत्ति की गणना करके या तो शून्य तक पहुँचने तक या एक चक्र का पता लगाने के लिए p से विभाज्य कोई टेलीफोन संख्या सम्मिलित है या नहीं है। वे अभाज्य संख्याएँ जो कम से कम एक टेलीफोन संख्या को विभाजित करती हैं,

2, 5, 13, 19, 23, 29, 31, 43, 53, 59, ... (ओईआईएस में अनुक्रम ए264737) सम्मिलित है।

इस क्रम में विषम अभाज्य संख्याओं को अक्षम कहा गया है। उनमें से प्रत्येक अधिकतम रूप मे कई टेलीफोन संख्याओ को विभाजित करता है।