बिंदु से समतल की दूरी

यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, एक बिंदु से एक विमान तक की दूरी एक दिए गए बिंदु और विमान पर उसके ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण के बीच की दूरी है, विमान पर निकटतम बिंदु की लंबवत दूरी।

यह उन चरों के परिवर्तन से शुरू हो सकता है जो मूल को दिए गए बिंदु के साथ मेल खाने के लिए ले जाते हैं, फिर स्थानांतरित विमान (गणित) पर बिंदु ढूंढते हैं। $$ax + by + cz = d$$ जो उत्पत्ति (गणित) के सबसे करीब है। परिणामी बिंदु में कार्टेशियन निर्देशांक हैं $$(x,y,z)$$:
 * $$\displaystyle x = \frac {ad}, \quad \quad \displaystyle y = \frac {bd}, \quad \quad \displaystyle z = \frac {cd}$$.

उत्पत्ति और बिंदु के बीच की दूरी $$(x,y,z)$$ है $$\sqrt{x^2+y^2+z^2}$$.

सामान्य समस्या को मूल से दूरी की समस्या में परिवर्तित करना
मान लीजिए कि हम विमान पर बिंदु के निकटतम बिंदु को खोजना चाहते हैं ($$X_0, Y_0, Z_0$$), जहां विमान द्वारा दिया जाता है $$aX + bY + cZ = D$$. हम परिभाषित करते हैं $$x = X - X_0$$, $$y = Y - Y_0$$, $$z = Z - Z_0$$, और $$d = D - aX_0 - bY_0 - cZ_0$$, प्राप्त करने के लिए $$ax + by + cz = d$$ रूपांतरित चर के संदर्भ में व्यक्त विमान के रूप में। अब समस्या इस तल पर मूल बिंदु के निकटतम बिंदु और मूल बिंदु से इसकी दूरी को खोजने की हो गई है। मूल निर्देशांक के संदर्भ में विमान पर बिंदु इस बिंदु से उपरोक्त संबंधों का उपयोग करके पाया जा सकता है $$x$$ और $$X$$, बीच में $$y$$ और $$Y$$, और बीच $$z$$ और $$Z$$; मूल निर्देशांक के संदर्भ में दूरी संशोधित निर्देशांक के संदर्भ में दूरी के समान है।

रैखिक बीजगणित का प्रयोग करते हुए पुनर्कथन
मूल के निकटतम बिंदु के सूत्र को रेखीय बीजगणित से अंकन का उपयोग करके अधिक संक्षेप में व्यक्त किया जा सकता है। इजहार $$ax+by+cz$$ एक विमान की परिभाषा में एक डॉट उत्पाद है $$(a,b,c)\cdot(x,y,z)$$, और अभिव्यक्ति $$a^2+b^2+c^2$$ समाधान में दिखने वाला वर्ग नॉर्म (गणित) है $$|(a,b,c)|^2$$. इस प्रकार, यदि $$\mathbf{v}=(a,b,c)$$ एक दिया हुआ सदिश है, तल को सदिशों के समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है $$\mathbf{w}$$ जिसके लिए $$\mathbf{v}\cdot\mathbf{w}=d$$ और इस तल पर मूल बिंदु का निकटतम बिंदु सदिश है
 * $$\mathbf{p}=\frac{\mathbf{v}d}{|\mathbf{v}|^2}$$.

मूल से समतल तक यूक्लिडियन दूरी इस बिंदु का मानदंड है,
 * $$\frac{|d|}{|\mathbf{v}|} = \frac{|d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$.

यह निकटतम बिंदु
क्यों है या तो समन्वय या सदिश योगों में, कोई यह सत्यापित कर सकता है कि दिया गया बिंदु दिए गए तल पर स्थित है, बिंदु को समतल के समीकरण में प्लग करके।

यह देखने के लिए कि यह विमान पर उत्पत्ति के निकटतम बिंदु है, इसे देखें $$\mathbf{p}$$ सदिश का एक अदिश गुणक है $$\mathbf{v}$$ समतल को परिभाषित करता है, और इसलिए तल के लिए ओर्थोगोनल है। इस प्रकार, यदि $$\mathbf{q}$$ के अलावा विमान पर कोई बिंदु है $$\mathbf{p}$$ स्वयं, फिर मूल से रेखा खंड $$\mathbf{p}$$ और से $$\mathbf{p}$$ को $$\mathbf{q}$$ एक समकोण त्रिभुज बनाते हैं, और पाइथागोरस प्रमेय द्वारा मूल से दूरी तक $$q$$ है
 * $$\sqrt{|\mathbf{p}|^2+|\mathbf{p}-\mathbf{q}|^2}$$.

तब से $$|\mathbf{p}-\mathbf{q}|^2$$ एक धनात्मक संख्या होनी चाहिए, यह दूरी इससे अधिक है $$|\mathbf{p}|$$, मूल से दूरी $$\mathbf{p}$$.

वैकल्पिक रूप से, डॉट उत्पादों का उपयोग करके विमान के समीकरण को फिर से लिखना संभव है $$\mathbf{p}$$ के साथ मूल डॉट उत्पाद के स्थान पर $$\mathbf{v}$$ (क्योंकि ये दोनों सदिश एक दूसरे के अदिश गुणक हैं) जिसके बाद तथ्य यह है कि $$\mathbf{p}$$ निकटतम बिंदु कॉची-श्वार्ज असमानता का तत्काल परिणाम बन जाता है।

एक hyperplane और मनमाना बिंदु
के लिए निकटतम बिंदु और दूरी

हाइपरप्लेन के लिए वेक्टर समीकरण $$n$$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $$\mathbb{R}^n$$ एक बिंदु के माध्यम से $$\mathbf{p}$$ सामान्य वेक्टर के साथ $$\mathbf{a} \ne \mathbf{0}$$ है $$(\mathbf{x}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a} = 0$$ या $$\mathbf{x}\cdot\mathbf{a}=d$$ कहाँ $$d=\mathbf{p}\cdot\mathbf{a}$$. संबंधित कार्तीय रूप है $$a_1x_1+a_2x_2+\cdots+a_nx_n=d$$ कहाँ $$d=\mathbf{p}\cdot\mathbf{a}=a_1p_1+a_2p_2+\cdots a_np_n$$.

इस हाइपरप्लेन पर एक मनमाना बिंदु के निकटतम बिंदु $$\mathbf{y}$$ है
 * $$\mathbf{x}=\mathbf{y}-\left[\dfrac{(\mathbf{y}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\right]\mathbf{a}=\mathbf{y}-\left[\dfrac{\mathbf{y}\cdot\mathbf{a}-d}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\right]\mathbf{a}$$

और से दूरी $$\mathbf{y}$$ हाइपरप्लेन के लिए है
 * $$\left\|\mathbf{x}-\mathbf{y}\right\| = \left\|\left[\dfrac{(\mathbf{y}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a}}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}\right]\mathbf{a}\right\|=\dfrac{\left|(\mathbf{y}-\mathbf{p})\cdot\mathbf{a}\right|}{\left\|\mathbf{a}\right\|}=\dfrac{\left|\mathbf{y}\cdot\mathbf{a}-d\right|}{\left\|\mathbf{a}\right\|}$$.

कार्तीय रूप में लिखा गया, निकटतम बिंदु द्वारा दिया गया है $$x_i=y_i-ka_i$$ के लिए $$1\le i\le n$$ कहाँ
 * $$k=\dfrac{\mathbf{y}\cdot\mathbf{a}-d}{\mathbf{a}\cdot\mathbf{a}}=\dfrac{a_1y_1+a_2y_2+\cdots a_ny_n-d}{a_1^2+a_2^2+\cdots a_n^2}$$,

और से दूरी $$\mathbf{y}$$ हाइपरप्लेन के लिए है
 * $$\dfrac{\left|a_1y_1+a_2y_2+\cdots a_ny_n-d\right|}{\sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots a_n^2}}$$.

इस प्रकार में $$\mathbb{R}^3$$ एक विमान पर बिंदु $$ax+by+cz=d$$ मनमाना बिंदु के सबसे करीब $$(x_1,y_1,z_1)$$ है $$(x,y,z)$$ द्वारा दिए गए
 * $$\left.\begin{array}{l}x=x_1-ka\\y=y_1-kb\\z=z_1-kc\end{array}\right\}$$

कहाँ
 * $$k=\dfrac{ax_1+by_1+cz_1-d}{a^2+b^2+c^2}$$,

और बिंदु से विमान की दूरी है
 * $$\dfrac{\left|ax_1+by_1+cz_1-d\right|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$$.

यह भी देखें

 * बिंदु से रेखा तक की दूरी
 * हेसे सामान्य रूप
 * तिरछी रेखाएँ # दूरी