बोस गैस

आदर्श बोस गैस पदार्थ का क्वांटम-यांत्रिक चरण है, जो मौलिक आदर्श गैस के समान है। यह बोसोन से बना है, जिसमें स्पिन का पूर्णांक मान होता है, और बोस-आइंस्टीन आँकड़ों का पालन करता है। फोटॉन गैस के लिए सत्येन्द्र नाथ बोस  द्वारा बोसोन के सांख्यिकीय यांत्रिकी को विकसित किया गया था, और अल्बर्ट आइंस्टीन द्वारा बड़े पैमाने पर कणों तक विस्तारित किया गया था, जिन्होंने अनुभव किया था कि बोसोन की आदर्श गैस मौलिक आदर्श गैस के विपरीत कम पर्याप्त तापमान पर घनीभूत हो जाएगी। इस कंडेनसेट को बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट के रूप में जाना जाता है।

परिचय और उदाहरण
बोसोन क्वांटम यांत्रिकी कण हैं जो बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी का पालन करते हैं, या समकक्ष, जिसमें पूर्णांक स्पिन (भौतिकी) होता है। इन कणों को प्राथमिक के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है: ये हैं हिग्स बोसॉन, फोटॉन, ग्लूऑन, डब्ल्यू और जेड बोसॉन और काल्पनिक गुरुत्वाकर्षण; या हाइड्रोजन के परमाणु की तरह मिश्रित, का परमाणु 16O, ड्यूटेरियम का केंद्रक, मेसन आदि। इसके अतिरिक्त, अधिक जटिल प्रणालियों में कुछ क्विसिपआर्टिकल को भी बोसोन माना जा सकता है जैसे प्लसमोन (प्लाज्मा दोलन का क्वांटा)।

सत्येंद्र नाथ बोस द्वारा विकसित पहला मॉडल जिसने कई बोसोन के साथ गैस का उपचार किया, वह फोटॉन गैस थी, फोटॉन की गैस थी। यह मॉडल प्लैंक के नियम और श्याम पिंडों से उत्पन्न विकिरण  की अच्छी समझ की ओर ले जाता है। फोटॉन गैस को किसी भी तरह के बड़े पैमाने पर गैर-अंतःक्रियात्मक बोसोन के समूह में सरलता से विस्तारित किया जा सकता है। फोनन गैस, जिसे डेबी मॉडल के रूप में भी जाना जाता है, एक उदाहरण है जहां धातु के क्रिस्टल जाली के कंपन के सामान्य विधियों को प्रभावी द्रव्यमान रहित बोसोन के रूप में माना जा सकता है। पीटर डेबी ने कम तापमान पर धातुओं की ताप क्षमता के व्यवहार को समझाने के लिए फोनन गैस मॉडल का प्रयोग किया।

बोस गैस का दिलचस्प उदाहरण हीलियम -4 परमाणुओं का समूह है। जब की प्रणाली 4He परमाणुओं को पूर्ण शून्य के समीप तापमान तक ठंडा किया जाता है, कई क्वांटम यांत्रिक प्रभाव उपस्थित होते हैं। 2.17 केल्विन से नीचे, पहनावा सुपरफ्लुइड हीलियम -4 के रूप में व्यवहार करना प्रारंभ कर देता है, लगभग शून्य चिपचिपाहट वाला तरल पदार्थ। बोस गैस सबसे सरल मात्रात्मक मॉडल है जो इस चरण संक्रमण की व्याख्या करता है। मुख्य रूप से जब बोसोन की गैस को ठंडा किया जाता है, तो यह बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट बनाता है, ऐसी स्थिति जहां बड़ी संख्या में बोसोन सबसे कम ऊर्जा, जमीनी अवस्था पर कब्जा कर लेते हैं, और क्वांटम प्रभाव मैक्रोस्कोपिक रूप से तरंग हस्तक्षेप की तरह दिखाई देते हैं।

बोस-आइंस्टीन संघनित और बोस गैसों का सिद्धांत भी अतिचालकता  की कुछ विशेषताओं की व्याख्या कर सकता है जहां आवेश वाहक जोड़े (कूपर जोड़े) में युगल होते हैं और बोसॉन की तरह व्यवहार करते हैं। परिणामस्वरूप, सुपरकंडक्टर्स कम तापमान पर विद्युत प्रतिरोधकता और चालकता नहीं होने जैसा व्यवहार करते हैं।

अर्ध-पूर्णांक कणों (जैसे इलेक्ट्रॉन या हीलियम -3 परमाणुओं) के समतुल्य मॉडल, जो फर्मी-डिराक आंकड़ों का पालन करते हैं, को फर्मी गैस (गैर-अंतःक्रियात्मक फर्मों का समूह) कहा जाता है। कम पर्याप्त कण संख्या घनत्व और उच्च तापमान पर, फर्मी गैस और बोस गैस दोनों मौलिक आदर्श गैस की तरह व्यवहार करते हैं।

स्थूल सीमा
आदर्श बोस गैस के ऊष्मप्रवैगिकी की सबसे अच्छी गणना भव्य विहित पहनावा का उपयोग करके की जाती है। बोस गैस के लिए भव्य क्षमता निम्न द्वारा दी गई है:


 * $$\Omega=-\ln(\mathcal{Z}) = \sum_i g_i \ln\left(1-ze^{-\beta\epsilon_i}\right).$$

जहां योग का प्रत्येक पद विशेष एकल-कण ऊर्जा स्तर ε से मेल खाता है εi; gi ऊर्जा ε वाले राज्यों की संख्या है εi; z   पूर्ण गतिविधि (या उग्रता) है, जिसे परिभाषित करके रासायनिक क्षमता μ के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$z(\beta,\mu)= e^{\beta \mu}$$

और β के रूप में परिभाषित:


 * $$\beta = \frac{1}{k_{\rm B}T}$$

जहां kBबोल्ट्ज़मैन स्थिरांक है और T  तापमान है। सभी थर्मोडायनामिक मात्राएँ भव्य क्षमता से प्राप्त की जा सकती हैं और हम सभी थर्मोडायनामिक मात्राओं को केवल तीन चर z, β (या T), और V के कार्यों के रूप में मानेंगे। सभी आंशिक डेरिवेटिव इन तीन चरों में से एक के संबंध में लिए जाते हैं जबकि अन्य दो को स्थिर रखा जाता है।

Z की अनुमेय सीमा ऋणात्मक अनन्तता से +1 तक है, क्योंकि इससे परे कोई भी मान 0 के ऊर्जा स्तर वाले राज्यों को अनंत संख्या में कण देगा (यह माना जाता है कि ऊर्जा स्तरों को ऑफसेट कर दिया गया है जिससे निम्नतम ऊर्जा स्तर 0 है)।

मैक्रोस्कोपिक सीमा, असंघनित अंश के लिए परिणाम
बॉक्स लेख में गैस में वर्णित प्रक्रिया का पालन करते हुए, हम बॉक्स में गैस में प्रयुक्त कर सकते हैं। थॉमस-फर्मी सन्निकटन जो मानता है कि स्तरों के बीच ऊर्जा अंतर की तुलना में औसत ऊर्जा बड़ी है जिससे उपरोक्त योग को एक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सके। अभिन्न यह प्रतिस्थापन मैक्रोस्कोपिक भव्य संभावित कार्य देता है $$\Omega_m$$, जो $$\Omega$$: समीप है


 * $$\Omega_{\rm m} = \int_0^\infty \ln\left(1-ze^{-\beta E}\right)\,dg \approx \Omega.$$

अध: पतन dg  को सामान्य सूत्र द्वारा कई अलग-अलग स्थितियों के लिए व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$dg = \frac{1}{\Gamma(\alpha)}\,\frac{E^{\,\alpha-1}}{ E_{\rm c}^{\alpha}} ~dE$$

जहां α स्थिर है, Ec क्रांतिक ऊर्जा है और Γ गामा फलन है। उदाहरण के लिए, बॉक्स में बड़े पैमाने पर बोस गैस के लिए, α=3/2 और महत्वपूर्ण ऊर्जा इस प्रकार दी जाती है:


 * $$\frac{1}{(\beta E_{\rm c})^\alpha}=\frac{Vf}{\Lambda^3}$$

जहां Λ तापीय तरंग दैर्ध्य है, और f अध: पतन कारक है (सरल स्पिनलेस बोसोन के लिए f = 1)। हार्मोनिक जाल में बड़े पैमाने पर बोस गैस के लिए हमारे पास α=3 होगा और महत्वपूर्ण ऊर्जा इसके द्वारा दी गई है:


 * $$\frac{1}{(\beta E_c)^\alpha}=\frac{f}{(\hbar\omega\beta)^3}$$

जहां V(r)=mω2r2/2  हार्मोनिक क्षमता है। यह देखा गया है कि Ec केवल मात्रा का कार्य है।

भव्य क्षमता के लिए यह अभिन्न अभिव्यक्ति इसका मूल्यांकन करती है:
 * $$\Omega_{\rm m} = -\frac{\textrm{Li}_{\alpha+1}(z)}{\left(\beta E_c\right)^\alpha},$$

जहां Lis(x) बहुलघुगणक फलन है।

बोस गैस के लिए इस सातत्य सन्निकटन के साथ समस्या यह है कि जमीनी अवस्था को प्रभावी ढंग से नजरअंदाज कर दिया गया है, जिससे शून्य ऊर्जा के लिए शून्य की गिरावट होती है। बोस-आइंस्टीन संघनित के साथ व्यवहार करते समय यह अशुद्धि गंभीर हो जाती है और अगले अनुभागों में इससे निपटा जाएगा। जैसा कि देखा जाएगा, कम तापमान पर भी उपरोक्त परिणाम अभी भी गैस के बिना संघनित भागों के ऊष्मप्रवैगिकी का सटीक वर्णन करने के लिए उपयोगी है।

असंघनित चरण में कणों की संख्या पर सीमा, महत्वपूर्ण तापमान
ग्रैंड पोटेंशियल से टोटल कण संख्या  पाया जाता है
 * $$N_{\rm m} = -z\frac{\partial\Omega_m}{\partial z} = \frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{(\beta E_c)^\alpha}.$$

यह z के साथ नीरस रूप से बढ़ता है (अधिकतम z = +1 तक)। Z = 1 तक पहुंचने पर व्यवहार महत्वपूर्ण रूप से α के मान पर निर्भर करता है (यानी, यह निर्भर करता है कि गैस 1D, 2D, 3D है, चाहे वह फ्लैट या हार्मोनिक क्षमता में हो)।

α > 1 के लिए, कणों की संख्या केवल परिमित अधिकतम मान तक बढ़ती है, अर्थात, $$N_{\rm m}$$ z = 1 पर परिमित है:


 * $$N_{\rm m, max} = \frac{\zeta(\alpha)}{(\beta E_{\rm c})^\alpha},$$

जहां ζ(α) रीमैन जीटा फलन है Liα(1) = ζ(α)). इस प्रकार, कणों की निश्चित संख्या के लिए $$N_{\rm m}$$, β का सबसे बड़ा संभावित मान महत्वपूर्ण मान βc हो सकता हैc. यह एक महत्वपूर्ण तापमान T से मेल खाता है Tc=1/kBβc, जिसके नीचे थॉमस-फर्मी सन्निकटन टूट जाता है (राज्यों की निरंतरता अब कम तापमान पर इतने सारे कणों का समर्थन नहीं कर सकती है)। उपरोक्त समीकरण को महत्वपूर्ण तापमान के लिए हल किया जा सकता है:


 * $$T_{\rm c}=\left(\frac{N}{\zeta(\alpha)}\right)^{1/\alpha}\frac{E_{\rm c}}{k_{\rm B}}$$

उदाहरण के लिए, बॉक्स में त्रि-आयामी बोस गैस के लिए ($$\alpha=3/2$$ और के ऊपर उल्लेख मूल्य का उपयोग कर $E_{\rm c}$ ) हम पाते हैं:


 * $$T_{\rm c}=\left(\frac{N}{Vf\zeta(3/2)}\right)^{2/3}\frac{h^2}{2\pi m k_{\rm B}}$$

α ≤ 1 के लिए, कणों की संख्या पर कोई ऊपरी सीमा नहीं है ($$N_{\rm m}$$ जैसे-जैसे z 1 की ओर अग्रसर होता है), और इस प्रकार उदाहरण के लिए एक या दो-आयामी बॉक्स में गैस के लिए ($$\alpha=1/2$$ और $$\alpha=1$$ क्रमशः) कोई महत्वपूर्ण तापमान नहीं है।

जमीनी स्थिति का समावेश
उपरोक्त समस्या α> 1 के लिए प्रश्न उठाती है: यदि कणों की निश्चित संख्या वाली बोस गैस को महत्वपूर्ण तापमान से नीचे उतारा जाता है, तो क्या होता है?

यहाँ समस्या यह है कि थॉमस-फर्मी सन्निकटन ने जमीनी अवस्था की गिरावट को शून्य पर सेट कर दिया है, जो गलत है। घनीभूत को स्वीकार करने के लिए कोई जमीनी अवस्था नहीं है और इसलिए कण स्थितियों की निरंतरता से 'गायब' हो जाते हैं। चुकीं, यह पता चला है कि मैक्रोस्कोपिक समीकरण उत्तेजित अवस्थाओं में कणों की संख्या का सटीक अनुमान देता है, और यह निरंतरता से बाहर आने वाले कणों को स्वीकार करने के लिए केवल जमीनी स्थिति से निपटने के लिए बुरा सन्निकटन नहीं है:


 * $$N = N_0+ N_{\rm m} = N_0 + \frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{(\beta E_{\rm c})^\alpha}$$

जहां N0 घनीभूत अवस्था में कणों की संख्या है।

इस प्रकार स्थूल सीमा में, जब T < Tc, z का मान 1 और N0 पर पिन किया गया है0 शेष कणों को ग्रहण करता है।  T > Tc  के लिए c एन के साथ सामान्य व्यवहार है N0 = 0 यह दृष्टिकोण स्थूल सीमा में संघनित कणों का अंश देता है:


 * $$\frac{N_0}{N} =

\begin{cases} 1 - \left(\frac{T}{T_{\rm c}}\right)^\alpha &\mbox{if } \alpha > 1 \mbox{ and } T < T_{\rm c}, \\ 0 & \mbox{otherwise}. \end{cases} $$

मैक्रोस्कोपिक बोस गैस मॉडल की सीमाएं
मैक्रोस्कोपिक बोस गैस का उपरोक्त मानक उपचार सीधे-आगे है, लेकिन जमीनी अवस्था का समावेश कुछ हद तक अप्रासंगिक है। अन्य दृष्टिकोण जमीनी स्थिति को स्पष्ट रूप से सम्मिलित करना है (भव्य क्षमता में शब्द का योगदान, जैसा कि नीचे के खंड में है), यह अवास्तविक उतार-चढ़ाव की तबाही को जन्म देता है: किसी भी राज्य में कणों की संख्या ज्यामितीय वितरण का पालन करती है, जिसका अर्थ है कि जब संघनन T < Tc पर होता है और अधिकांश कण अवस्था में हैं, कणों की कुल संख्या में भारी अनिश्चितता है। यह इस तथ्य से संबंधित है कि T < Tc के लिए संपीड्यता असीमित हो जाती है. इसके अतिरिक्त गणना विहित पहनावे में की जा सकती है, जो कुल कण संख्या को ठीक करता है, चुकीं गणना उतनी सरलता नहीं है।

व्यावहारिक रूप से चुकीं, उपरोक्त सैद्धांतिक दोष साधारण मुद्दा है, क्योंकि सबसे अवास्तविक धारणा बोसोन के बीच गैर-बातचीत की है। बोसोन गैसों की प्रायोगिक प्राप्ति में हमेशा महत्वपूर्ण अंतःक्रिया होती है, अर्थात वे गैर-आदर्श गैसें होती हैं। अंतःक्रियाओं ने भौतिक विज्ञान को महत्वपूर्ण रूप से बदल दिया है कि कैसे बोसोन का घनीभूत व्यवहार करता है: जमीनी अवस्था फैल जाती है, रासायनिक क्षमता शून्य तापमान पर भी सकारात्मक मान तक संतृप्त हो जाती है, और उतार-चढ़ाव की समस्या गायब हो जाती है (संपीड़नीयता परिमित हो जाती है)। बोस-आइंस्टीन कंडेनसेट लेख देखें।

छोटे बोस गैसों में अनुमानित व्यवहार
छोटे, मेसोस्कोपिक भौतिकी, प्रणालियों (उदाहरण के लिए, केवल हजारों कणों के साथ) के लिए, ग्राउंड स्टेट शब्द को भव्य क्षमता में ऊर्जा ε=0 पर वास्तविक असतत स्तर में जोड़कर अधिक स्पष्ट रूप से अनुमानित किया जा सकता है:


 * $$\Omega = g_0\ln(1-z) + \Omega_{\rm m}$$

जो बदले में देता है $$N_0 = \frac{g_0\,z}{1-z}$$. अब, महत्वपूर्ण तापमान को पार करते समय व्यवहार सहज होता है, और z 1 के बहुत समीप पहुंचता है, लेकिन उस तक नहीं पहुंचता है।

इसे अब तापमान में पूर्ण शून्य तक हल किया जा सकता है। चित्रा 1 α=3/2,k=εc=1के साथ इस समीकरण के समाधान के परिणाम दिखाता है c=1 जो बॉक्स में गैस के अनुरूप है। ठोस काली रेखा उत्तेजित अवस्थाओं 1-N का अंश है 1-N0/N, N = 10,000 के लिए और बिंदीदार काली रेखा N = 1000 के लिए समाधान है। नीली रेखाएँ संघनित कणों N का अंश हैं N0/N लाल रेखाएँ के मानों को दर्शाती हैं

रासायनिक क्षमता का ऋणात्मक μ और हरी रेखाएँ z के संबंधित मानों को प्लॉट करती हैं। क्षैतिज अक्ष सामान्यीकृत तापमान τ द्वारा परिभाषित है


 * $$\tau=\frac{T}{T_{\rm c}}$$

यह देखा जा सकता है कि इनमें से प्रत्येक पैरामीटर ταमें रैखिक हो जाता है कम तापमान की सीमा में और, रासायनिक क्षमता को छोड़कर,1/ταमें रैखिक उच्च तापमान की सीमा में। जैसे-जैसे कणों की संख्या बढ़ती है, संघनित और उत्तेजित अंश महत्वपूर्ण तापमान पर विच्छिन्नता की ओर बढ़ते हैं।

सामान्यीकृत तापमान के संदर्भ में कणों की संख्या के समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$N = \frac{g_0\,z}{1-z}+N~\frac{\textrm{Li}_\alpha(z)}{\zeta(\alpha)}~\tau^\alpha$$

दिए गए N  और τ के लिए, इस समीकरण को τα के लिए हल किया जा सकता है और फिर z  के लिए श्रृंखला समाधान श्रृंखला के व्युत्क्रम की विधि द्वारा पाया जा सकता है, या तो τα की शक्तियों में या τα की व्युत्क्रम शक्तियों में उपगामी विस्तार के रूप में इन विस्तारों से, हम T =0 के पास गैस के व्यवहार का पता लगा सकते हैं और मैक्सवेल-बोल्ट्ज़मान में T  अनंत तक पहुंचते हैं। विशेष रूप से, हम सीमा में रुचि रखते हैं क्योंकि N अनंत तक पहुंचता है, जिसे इन विस्तारों से सरलताी से निर्धारित किया जा सकता है।

छोटी प्रणालियों के मॉडलिंग के लिए यह दृष्टिकोण वास्तव में अवास्तविक हो सकता है, चुकीं, जमीनी अवस्था में कणों की संख्या में भिन्नता कणों की संख्या के बराबर बहुत बड़ी है। इसके विपरीत, सामान्य गैस में कण संख्या का प्रसरण केवल कण संख्या का वर्गमूल होता है, यही कारण है कि इसे सामान्य रूप से अनदेखा किया जा सकता है। यह उच्च विचरण घनीभूत अवस्था सहित संपूर्ण प्रणाली के लिए भव्य विहित पहनावा का उपयोग करने के विकल्प के कारण है।

छोटी गैसों की ऊष्मप्रवैगिकी
विस्तारित, भव्य क्षमता है:


 * $$\Omega = g_0\ln(1-z)-\frac{\textrm{Li}_{\alpha+1}(z)}{\left(\beta E_{\rm c}\right)^\alpha}$$

इस क्षमता से सभी थर्मोडायनामिक गुणों की गणना की जा सकती है। निम्न तालिका निम्न तापमान और उच्च तापमान की सीमा में और अनंत कण संख्या की सीमा में गणना की गई विभिन्न थर्मोडायनामिक मात्राओं को सूचीबद्ध करती है। एक समान चिह्न (=) सटीक परिणाम इंगित करता है, जबकि सन्निकटन प्रतीक इंगित करता है कि श्रृंखला के केवल पहले कुछ पद $$\tau^\alpha$$ दिखाई जा रही है।

यह देखा गया है कि सभी मात्राएँ मौलिक आदर्श गैस के मूल्यों के समीप पहुँचती हैं बड़े तापमान की सीमा। उपरोक्त मूल्यों का उपयोग अन्य की गणना के लिए किया जा सकता है

थर्मोडायनामिक मात्रा उदाहरण के लिए, आंतरिक ऊर्जा और के बीच संबंध

दाब और आयतन का गुणनफल उसी प्रकार होता है जैसा मौलिक आदर्श गैस के लिए होता है

सभी तापमान:


 * $$U=\frac{\partial \Omega}{\partial \beta}=\alpha PV$$

इसी तरह की स्थिति स्थिर आयतन पर विशिष्ट ऊष्मा के लिए होती है


 * $$C_V=\frac{\partial U}{\partial T}=k_{\rm B}(\alpha+1)\,U\beta$$

एन्ट्रॉपी द्वारा दिया जाता है:


 * $$TS=U+PV-G\,$$

ध्यान दें कि उच्च तापमान की सीमा में, हमारे पास है


 * $$TS=(\alpha+1)+\ln\left(\frac{\tau^\alpha}{\zeta(\alpha)}\right)$$

जो, α=3/2 के लिए केवल सैकुर-टेट्रोड समीकरण का पुनर्कथन है। आयाम में डेल्टा इंटरेक्शन वाले बोसोन फ़र्मियन के रूप में व्यवहार करते हैं, वे पाउली अपवर्जन सिद्धांत का पालन करते हैं। डेल्टा इंटरेक्शन के साथ आयाम में बोस गैस को बेथे दृष्टिकोण द्वारा ठीक से हल किया जा सकता है। थोक मुक्त ऊर्जा और थर्मोडायनामिक क्षमता की गणना  चेन-नी वो यांग  द्वारा की गई थी। आयामी स्थितियों में सहसंबंध कार्यों का भी मूल्यांकन किया गया। आयाम में बोस गैस क्वांटम अरैखिक श्रोडिंगर समीकरण के समतुल्य है।

यह भी देखें

 * टोंक्स-गिरार्दो गैस

सामान्य संदर्भ
श्रेणी:बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी श्रेणी:आदर्श गैस श्रेणी:क्वांटम यांत्रिकी श्रेणी:ऊष्मागतिकी श्रेणी:सत्येंद्र नाथ बोस