अभिविन्यास (वेक्टर स्थान)

एक वास्तविक सदिश समष्टि का अभिविन्यास(ओरिएंटेशन ऑफ़ रियल सदिश स्पेस) या एक सदिश समष्टि का अभिविन्यास मनमाना विकल्प है जिसके क्रमबद्ध आधारक (रैखिक बीजगणित) सकारात्मक रूप से अभिविन्यस्त होते हैं तथा नकारात्मक रूप से अभिविन्यस्त होते हैं। त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में, दक्षिणवर्ती आधारक को आम तौर पर सकारात्मक रूप से अभिविन्यस्त घोषित किया गया है, लेकिन यह स्वेच्छाचारी विकल्प है, क्योंकि उन्हें नकारात्मक अभिविन्यास भी निर्दिष्ट किया जा सकता है। चयनित अभिविन्यास के साथ एक सदिश स्थल को एक अभिविन्यस्त सदिश स्थल कहा जाता है, जबकि बिना अभिविन्यास चयनित सदिश स्थल को अनिश्चित कहा जाता है।

गणित में, अभिविन्यास एक व्यापक धारणा है, जो दो आयामों में, यह कहने की अनुमति देती है कि जब एक विपाश(संस्थिलिकी) दक्षिणावर्त या वामावर्त दिशा में घूमता है, और तीन आयामों में, जब कोई आकृति वामावर्त या दक्षिणावर्ती होती है। वास्तविक संख्याओं पर रैखिक बीजगणित में, अभिविन्यास की धारणा स्वेच्छाचारी परिमित आयाम में समझ में आती है, और यह एक प्रकार की असममिति(असिमेट्री) है, जो एक साधारण विस्थापन के माध्यम से प्रतिबिंब (गणित) कि प्रतिलिपि बनाने में असक्षम बना देता है। इस प्रकार, तीन आयामों में, एक मानव आकृति के वामावर्त को केवल विस्थापन लागू करके आकृति के दक्षिणावर्त में बनाना असंभव है,परन्तु दर्पण में आकृति को प्रतिबिंबित करके ऐसा करना संभव है। नतीजतन, त्रि-आयामी यूक्लिडियन स्पेस में, दो संभावित आधारक अभिविन्यासों को दक्षिणावर्त एवं वामावर्त नियम कहा जाता है (या दाएं-चिरल और बाएं-चिरल)।

परिभाषा
मान लीजिए वी एक परिमित-विमीय वास्तविक सदिश समष्टि है और मान लीजिए बी1 और बी2, वी के लिए दो आदेशित आधारक हैं। यह रैखिक बीजगणित में एक मानक परिणाम है, कि एक अद्वितीय रैखिक परिवर्तन मौजूद होता है: वी → वी जो बी1 को बी2 तक लेकर जाता है। आधारक बी1 और बी2 के लिए कहा जाता है, कि उनका एक ही अभिविन्यास है (या लगातार अभिविन्यस्त होना) यदि ए एक सकारात्मक निर्धारक है; अन्यथा उनकी विपरीत अभिविन्यास होती हैं। समान अभिविन्यास होने कि विशेशता वी के लिए सभी क्रमित आधारकों के समुच्चय पर एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है। यदि वी गैर-शून्य है, तो इस संबंध द्वारा निश्चित रूप से दो तुल्यता वर्ग निर्धारित होते हैं। वी पर 'अभिविन्यास ', एक तुल्यता वर्ग के लिए +1 और दूसरे के लिए −1 का नियतन है।

प्रत्येक आदेशित आधारक किसी एक तुल्यता वर्ग या अन्य में रहता है। इस प्रकार वी के लिए विशेषाधिकार तर्कसंग आधारक का विकल्प एक अभिविन्यास निर्धारित करता है: विशेषाधिकार प्राप्त आधारक के अभिविन्यास वर्ग को सकारात्मक घोषित किया गया है।

उदाहरण के लिए, आरn पर मानक आधारक आरn पर 'मानक अभिविन्यास' प्रदान करता है (बदले में, मानक आधारक का अभिविन्यास, कार्तीय(कार्टेशियन) निर्देशांक प्रणाली के अभिविन्यास पर निर्भर करता है, जिस पर इसे बनाया गया है)। वी और आरn के बीच रैखिक समाकृतिकता का कोई भी विकल्प, तब वी पर एक अभिविन्यास प्रदान करेगा।

आधारक में तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण होता है। भिन्न क्रम वाले दो आधारक कुछ क्रमचय से भिन्न होते हैं। इस क्रमचय कि समता(क्रमपरिवर्तन) ±1 है या नहीं, इसके अनुसार उनके समान/विपरीत अभिविन्यास होंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि क्रमचय सारणी का निर्धारक संबंधित क्रमचय कि समता के बराबर होता है।

इसी तरह, मान लीजिए ए सदिश समष्टि 'आर'एन से 'आर'एन का एक गैर-एकवचन रैखिक मानचित्रण है। यदि इसका निर्धारक सकारात्मक है, तो यह मानचित्रण 'अभिविन्यास-संरक्षण' है। उदाहरण के लिए, आर3 में जेड कार्तीय अक्ष के चारों ओर α कोण से घूर्णन अभिविन्यास-संरक्षण है: $$ \mathbf {A}_1 = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha & 0 \\ \sin \alpha & \cos \alpha & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} $$ जबकि एक्सवाई कार्तीय चनार द्वारा प्रतिबिंब अभिविन्यास-संरक्षण नहीं है: $$ \mathbf {A}_2 = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\  0 & 0 & -1  \end{pmatrix} $$

शून्य-आयामी मामला
अभिविन्यास की अवधारणा शून्य-आयामी मामले में पतित हो जाती है। एक शून्य-आयामी सदिश समष्टि में केवल एक बिंदु होता है, शून्य सदिश। नतीजतन, शून्य-आयामी सदिश स्थान का एकमात्र आधारक रिक्त समुच्चय है $$\emptyset$$। इसलिए, क्रमबद्ध आधारकों का एक एकल तुल्यता वर्ग है, अर्थात् वर्ग $$\{\emptyset\}$$ जिसका एकमात्र सदस्य खाली समुच्चय है। इसका मतलब है कि शून्य-आयामी समष्टि का अभिविन्यास एक फलन है। $$\{\{\emptyset\}\} \to \{\pm 1\}. $$ इसलिए एक बिंदु को दो अलग-अलग तरीकों से, सकारात्मक और नकारात्मक, अभिविन्य करना संभव है।

क्योंकि केवल एक ही आदेशित आधारक $$\emptyset$$ है, एक शून्य-आयामी सदिश समष्टि आदेशित आधारक के साथ शून्य-आयामी सदिश समष्टि के समान होता है। $$\{\emptyset\} \mapsto +1$$ या $$\{\emptyset\} \mapsto -1$$ का चयन, इसलिए प्रत्येक शून्य-आयामी सदिश समष्टि के प्रत्येक आधारक का एक अभिविन्यास चुनता है। यदि सभी शून्य-आयामी सदिश समष्टि इस अभिविन्यास को निर्धारित किया जाता है, तो, क्योंकि शून्य-आयामी सदिश समष्टि के बीच, सभी समाकृतिकता, आदेशित आधार को संरक्षित करते हैं, वे अभिविन्यास को भी संरक्षित करते हैं। यह उच्च-आयामी सदिश समष्टि के मामले के विपरीत है, जहां अभिविन्यास चुनने का कोई तरीका नहीं है ताकि यह सभी समाकृतिकता के तहत संरक्षित रहें।

हालांकि, ऐसी स्थितियां हैं, जहां अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग अभिविन्यास देना वांछनीय है। उदाहरण के लिए, कलन की मूलभूत प्रमेय को स्टोक्स की प्रमेय के उदाहरण के रूप में लिया जाये। एक बंद अंतराल $[a, b]$ सीमा के साथ एक विमीय विविध है, और समुच्चय इसकी सीमा है ${a, b}$. कलन के मौलिक प्रमेय का सही कथन प्राप्त करने के लिए, बिंदु $b$ सकारात्मक रूप से अभिविन्यस्त होना चाहिए, जबकि बिंदु $a$ नकारात्मक दिशा में अभिविन्यस्त होना चाहिए।

एक लाइन पर
एक विमीय मामला एक ऐसी रेखा से संबंधित है जिसे दो दिशाओं में से एक में चंक्रमण किया जा सकता है। एक रेखा (ज्यामिति) के लिए दो अभिविन्यास होते हैं, जैसे कि एक चक्र में दो अभिविन्यास होते हैं। एक रेखा खंड (एक रेखा का एक जुड़ा हुआ उपसमुच्चय) के मामले में, दो संभावित अभिविन्यास के परिणामस्वरूप दिष्‍ट रेखा खंड होता है। एक अभिविन्यसनीय सतह में कभी-कभी चयनित अभिविन्यास होता है, जो सतह पर लंबवत रेखा के अभिविन्यास द्वारा इंगित किया जाता है।

बहुरेखीय बीजगणित
किसी भी बहु-विमीय पूर्णतः सदिश समष्टि V के लिए हम V की kth- बाहरी शक्ति बना सकते हैं, जिसे ΛKV द्वारा दर्शाया गया है।. यह आयाम का वास्तविक सदिश समष्टि है$$\tbinom{n}{k}$$| सदिश समष्टि ΛnV (जिसे शीर्ष बाहरी शक्ति कहा जाता है) का आयाम एक है। अर्थात, ΛnV केवल एक वास्तविक रेखा है। इस रेखा पर कौन सी दिशा सकारात्मक है इसका कोई प्राथमिक विकल्प नहीं है। एक अभिविन्यास सिर्फ एक ऐसा विकल्प है।. पर कोई भी अशून्य रैखिक रूप nV ω(x) > 0 होने पर यह घोषित करके कि x धनात्मक दिशा में है, V का अभिविन्यास निर्धारित करता है। आधार बिंदु के दृष्टिकोण से जुड़ने के लिए हम कहते हैं कि सकारात्मक रूप से अभिविन्यस्त आधार वे हैं जिन पर ω मूल्यांकन करता है एक सकारात्मक संख्या के लिए (चूंकि ω एक एन-फॉर्म है, हम इसे 'आर' का तत्व देकर एन वैक्टर के आदेशित सेट पर मूल्यांकन कर सकते हैं)। फॉर्म ω को 'अभिविन्यास फॉर्म' कहा जाता है। यदि {ईi} V और {e के लिए एक विशेषाधिकार प्राप्त आधार हैi∗}  दोहरा आधार  है, तो मानक अभिविन्यास देने वाला अभिविन्यास रूप है e1∗ ∧ e2∗ ∧ … ∧ en∗.

निर्धारक दृष्टिकोण के साथ इसका संबंध है: एक एंडोमोर्फिज्म  का निर्धारक $$T : V \to V$$ शीर्ष बाहरी शक्ति पर प्रेरित क्रिया के रूप में व्याख्या की जा सकती है।

झूठ समूह सिद्धांत
मान लीजिए B, V के लिए सभी क्रमित आधारों का समुच्चय है। फिर सामान्य रैखिक समूह  GL(V)  समूह क्रिया (गणित)  B पर स्वतंत्र रूप से और संक्रमणीय रूप से। (फैंसी भाषा में, B एक GL(V) - torsor  है)। इसका मतलब यह है कि कई गुना के रूप में, बी (गैर-विहित)  होमियोमॉर्फिक  से जीएल (वी) है। ध्यान दें कि समूह जीएल (वी) जुड़ा हुआ स्थान नहीं है, बल्कि इसके अनुसार दो जुड़े हुए स्थान हैं कि क्या परिवर्तन का निर्धारक सकारात्मक या नकारात्मक है (जीएल को छोड़कर)0, जो तुच्छ समूह है और इस प्रकार एक जुड़ा हुआ घटक है; यह शून्य-आयामी सदिश अंतरिक्ष पर विहित अभिविन्यास से मेल खाता है)। जीएल (वी) के  पहचान घटक  को जीएल द्वारा निरूपित किया जाता है+(V) और सकारात्मक निर्धारक के साथ उन परिवर्तनों से मिलकर बनता है। GL . की कार्रवाई+(V) B पर सकर्मक नहीं है: दो कक्षाएँ हैं जो B के जुड़े घटकों के अनुरूप हैं। ये कक्षाएँ ठीक ऊपर उल्लिखित समकक्ष वर्ग हैं। चूँकि B का कोई विशिष्ट तत्व नहीं है (अर्थात एक विशेषाधिकार प्राप्त आधार) इसलिए कोई स्वाभाविक विकल्प नहीं है कि कौन सा घटक सकारात्मक है। इसकी तुलना जीएल (वी) से करें, जिसमें एक विशेषाधिकार प्राप्त घटक है: पहचान का घटक। बी और जीएल (वी) के बीच होमोमोर्फिज्म का एक विशिष्ट विकल्प विशेषाधिकार प्राप्त आधार के विकल्प के बराबर है और इसलिए एक अभिविन्यास निर्धारित करता है।

अधिक औपचारिक रूप से: $$\pi_0(\operatorname{GL}(V)) = (\operatorname{GL}(V)/\operatorname{GL}^+(V) = \{\pm 1\}$$, और स्टिफ़ेल कई गुना  ऑफ़ एन-फ़्रेम्स इन $$V$$ एक है $$\operatorname{GL}(V)$$-टोरसर, तो $$V_n(V)/\operatorname{GL}^+(V)$$ एक टॉर्सर ओवर है $$\{\pm 1\}$$, यानी इसके 2 बिंदु, और उनमें से एक का चुनाव एक अभिविन्यास है।

ज्यामितीय बीजगणित
ज्यामितीय बीजगणित की विभिन्न वस्तुओं को तीन विशेषताओं या विशेषताओं से चार्ज किया जाता है: रवैया, अभिविन्यास और परिमाण। उदाहरण के लिए, एक यूक्लिडियन सदिश के पास उसके समानांतर एक सीधी रेखा द्वारा दिया गया दृष्टिकोण होता है, इसकी भावना द्वारा दिया गया एक अभिविन्यास (अक्सर तीर के सिरे द्वारा इंगित किया जाता है) और इसकी लंबाई द्वारा दिया गया एक परिमाण। इसी तरह, तीन आयामों में एक  bivector  के पास इसके साथ जुड़े विमान (ज्यामिति) के परिवार द्वारा दिया गया एक रवैया है (संभवतः इन विमानों के लिए  स्पर्शरेखा और सामान्य घटक ों द्वारा निर्दिष्ट) ), एक अभिविन्यास (कभी-कभी विमान में एक घुमावदार तीर द्वारा चिह्नित) अपनी सीमा (इसके परिसंचरण) के ट्रैवर्सल की भावना के विकल्प का संकेत देता है, और इसके दो वैक्टरों द्वारा परिभाषित समांतर चतुर्भुज के क्षेत्र द्वारा दिया गया एक परिमाण।

कई गुना पर अभिविन्यास
File:Surface Orientation.pdf|thumb|वॉल्यूम का अभिविन्यास इसकी सीमा पर अभिविन्यास द्वारा निर्धारित किया जा सकता है, जो परिसंचारी तीरों द्वारा इंगित किया गया है।

एन-डायमेंशनल डिफरेंशियल मैनिफोल्ड पर प्रत्येक बिंदु पी में एक स्पर्शरेखा स्थान  टी होता हैpM जो एक n-आयामी वास्तविक सदिश समष्टि है। इनमें से प्रत्येक सदिश रिक्त स्थान को एक अभिविन्यास सौंपा जा सकता है। कुछ अभिविन्यास बिंदु से बिंदु तक आसानी से भिन्न होते हैं। कुछ  टोपोलॉजी  प्रतिबंधों के कारण, यह हमेशा संभव नहीं होता है। एक मैनिफोल्ड जो अपने स्पर्शरेखा स्थानों के लिए उन्मुखता के एक सहज विकल्प को स्वीकार करता है उसे ओरिएंटेबिलिटी कहा जाता है।

यह भी देखें

 * संकेत सम्मेलन
 * तीन आयामों में रोटेशन औपचारिकता एं
 * चिरायता (गणित)
 * दाएँ हाथ का नियम
 * सम और विषम क्रमपरिवर्तन
 * कार्तीय समन्वय प्रणाली
 * स्यूडोवेक्टर
 * एक सदिश बंडल का अभिविन्यास