फ़्लोर होमोलॉजी

गणित में, फ़्लोर समरूपता सिंपलेक्टिक ज्यामिति और निम्न-आयामी सांस्थिति का अध्ययन करने के लिए एक उपकरण होता है। फ़्लोर समरूपता उपन्यास अपरिवर्तनीय होता है जो परिमित-आयामी मोर्स समरूपता के अनंत-आयामी कलन विधि के रूप में उत्पन्न होता है। एंड्रियास फ़्लोर ने फ़्लोर ज्यामिति में अर्नोल्ड प्राक्कलन के अपने प्रमाण में फ़्लोर समरूपता का पहला संस्करण प्रस्तुत किया था, जिसे अब लैग्रेंजियन फ़्लोर समरूपता कहा जाता है। फ़्लोअर ने सिंपलेक्टिक बहुरूपता के लैग्रेंजियन सबबहुरूपता के लिए निकट से संबंधित सिद्धांत भी विकसित किया था। तीसरा निर्माण, फ़्लोर के कारण भी, यांग-मिल्स सिद्धांत कार्यात्मक का उपयोग करके समरूपता समूहों को संवृत त्रि-आयामी बहुरूपता से जोड़ता है। ये निर्माण और उनके वंशज सिम्प्लेक्टिक और संपर्क बहुरूपता के साथ-साथ (सुचारू) तीन- और चार-आयामी बहुरूपता की सांस्थिति में वर्तमान जांच में मौलिक भूमिका निभाते हैं।

फ़्लोर समरूपता को सामान्यतः रुचि की वस्तु के साथ अनंत-आयामी बहुरूपता और उस पर वास्तविक मूल्यवान फलन को जोड़कर परिभाषित किया जाता है। सिंपलेक्टिक संस्करण में, यह सिंपलेक्टिक बहुरूपता का मुक्त लूप स्थान होता है जिसमें सिंपलेक्टिक कार्य फलन होता है। त्री-बहुरूपता के लिए ( तत्क्षण प्रभावी) संस्करण के लिए, यह चेर्न-साइमन्स फलन के साथ त्रि-आयामी बहुरूपता पर SU(2)-सम्बन्ध का स्थान होता है। शिथिल रूप से कहें तो, फ़्लोर समरूपता अनंत-आयामी बहुरूपता पर फलन की मोर्स समरूपता होती है। फ़्लोर श्रृंखला सम्मिश्र फलन के महत्वपूर्ण बिंदु (या संभवतः महत्वपूर्ण बिंदुओं के कुछ संग्रह) द्वारा फैले एबेलियन समूह से बनता है। श्रृंखला परिसर के विभेदक रूप को महत्वपूर्ण बिंदुओं (या उनके संग्रह) के कुछ जोड़े को जोड़ने वाले फलन की क्रमिक प्रवाह रेखाओं की गणना करके परिभाषित किया जाता है। फ़्लोर समरूपता इस श्रृंखला परिसर की समरूपता होती है।

क्रमिक प्रवाह रेखाएँ समीकरण, ऐसी स्थिति में जहां फ़्लोर के विचारों को सफलतापूर्वक प्रयुक्त किया जा सकता है, सामान्यतः ज्यामितीय रूप से सार्थक और विश्लेषणात्मक रूप से अन्वेषण करने योग्य समीकरण होते है। सिम्प्लेक्टिक फ़्लोअर समरूपता के लिए, लूपस्पेस में पथ के लिए क्रमिक प्रवाह समीकरण ब्याज के सिंपलेक्टिक बहुरूपता के लिए सिलेंडर (लूप के पथ का कुल स्थान) के मानचित्र के लिए कॉची-रीमैन समीकरण (का विकृत संस्करण) होता है; उपायों को स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्र के रूप में जाना जाता है। ग्रोमोव की सघननेस प्रमेय (सांस्थिति ) का उपयोग तब यह दिखाने के लिए किया जाता है कि विभेदन अच्छी तरह से परिभाषित होता है और शून्य का वर्ग होता है, जिससें फ़्लोर समरूपता को परिभाषित किया जा सकता है। तत्क्षण फ़्लोर समरूपता के लिए, क्रमिक प्रवाह समीकरण वास्तव में वास्तविक रेखा के साथ पार किए गए तीन गुना पर यांग-मिल्स समीकरण होता है।

सिम्पलेक्टिक फ़्लोर समरूपता
सिंपलेक्टिक फ़्लोर समरूपता (एसएफएच) समरूपता सिद्धांत है जो सिंपलेक्टिक बहुरूपता और इसके गैर-अपक्षयी लक्षणरूपता से जुड़ा होता है। यदि सिम्पलेक्टोमोर्फिज्म होता है, तो समरूपता सिम्पलेक्टिक बहुरूपता के मुक्त लूप स्थान (सार्वभौमिक आवरण) पर कार्यात्मक फ़्लोरपूर्ण क्रिया का अध्ययन करने से उत्पन्न होती है। एसएफएच सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के हैमिल्टनियन आइसोटोपी के तहत अपरिवर्तनीय होता है।

यहां, गैर-विक्षिप्तता का अर्थ है कि 1 इसके किसी भी निश्चित बिंदु पर सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के व्युत्पन्न का आइगेनमान नहीं है। इस उद्देश्य का तात्पर्य है कि निश्चित बिंदु भिन्न-भिन्न होते हैं। एसएफएच ऐसे सिम्पलेक्टोमोर्फिज्म के निश्चित बिंदु द्वारा उत्पन्न श्रृंखला परिसर की समरूपता है, जहां विभेदक वास्तविक रेखा के उत्पाद और सिम्पलेक्टोमोर्फिज्म के मानचित्र टोरस में कुछ स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्रों की गणना करता है। यह स्वयं मूल बहुरूपता से दो बड़े आयामों का सिम्प्लेक्टिक बहुरूपता होती है। न्यूनाधिक सम्मिश्र संरचना के उचित विकल्प के लिए, इसमें छिद्रित होलोमोर्फिक वक्र (परिमित ऊर्जा के) में सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के निश्चित बिंदुओं के अनुरूप मानचित्र टोरस में लूपों के लिए बेलनाकार सिरे होते हैं। सापेक्ष सूचकांक को निश्चित बिंदुओं के जोड़े के मध्य परिभाषित किया जा सकता है, और इस प्रकार विभेदक सापेक्ष सूचकांक 1 के साथ होलोमोर्फिक सिलेंडरों की संख्या की गणना करता है।

सघन बहुरूपता के हैमिल्टनियन सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म की सिंपलेक्टिक फ़्लोर समरूपता, अंतर्निहित बहुरूपता के एकवचन समरूपता के लिए समरूपी होता है। इस प्रकार, उस बहुरूपता की बेट्टी संख्याओं का योग गैर-अपक्षयी लक्षणवाद के लिए निश्चित बिंदुओं की संख्या के लिए अर्नोल्ड प्राक्कलन के संस्करण द्वारा प्राक्कलनित निचली सीमा उत्पन्न करता है। इस प्रकार हैमिल्टनियन सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के एसएफएच में पैंट जोड़ी का उत्पाद भी है जो क्वांटम सह-समरूपता के सामान्तर विकृत कप उत्पाद होता है। गैर-स्पष्ट सिंपलेक्टोमोर्फ्स के लिए उत्पाद का संस्करण भी उपस्थित होता है।

बहुरूपता M के कोटैंजेंट बंडल के लिए, फ़्लोर समरूपता इसकी गैर-सघन के कारण हैमिल्टनियन की रूचि पर निर्भर करती है। हैमिल्टनियन्स के लिए जो अनंत पर द्विघात होता हैं, फ़्लोर समरूपता M के मुक्त लूप स्थान की एकवचन समरूपता होती है (इस कथन के विभिन्न संस्करणों के प्रमाण विटर्बो, सलामोन-वेबर, एबोंडांडोलो-श्वार्ज़ और कोहेन के कारण होता हैं)। इस प्रकार कोटैंजेंट बंडल के फ़्लोर समरूपता पर अधिक सम्मिश्र संचालन होता हैं जो अंतर्निहित बहुरूपता के लूप स्पेस की समरूपता पर स्ट्रिंग सांस्थिति ऑपरेशन के अनुरूप होता हैं।

फ़्लोर समरूपता का सिंपलेक्टिक संस्करण समरूप दर्पण समरूपता प्राक्कलन के निर्माण में महत्वपूर्ण विधि से प्रत्यक्ष आता है।

पीएसएस समरूपता
1996 में एस. पियुनिखिन, डी. सलामोन और एम. श्वार्ज़ ने फ़्लोर समरूपता और क्वांटम सह-समरूपता रिंग के मध्य संबंध के बारे में परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जाता और निम्नलिखित के रूप में प्रदर्शित किया जाता है।


 * अर्ध-सकारात्मक सिम्पलेक्टिक बहुरूपता (M,ω) के लूप स्पेस के फ़्लोर सह-समरूपता समूह M के सामान्य सह-समरूपता के लिए स्वाभाविक रूप से समरूपी होता हैं, जो डेक परिवर्तन के समूह से जुड़े उपयुक्त नोविकोव रिंग द्वारा तन्य होता हैं।


 * यह समरूपता M के सह-समरूपता पर क्वांटम कप उत्पाद संरचना को फ़्लोर समरूपता पर जोड़ी-पैंट उत्पाद के साथ जोड़ती है।

अर्ध-सकारात्मक की उपरोक्त स्थिति और सिंपलेक्टिक बहुरूपता M की सघनता हमारे लिए क्वांटम सह-समरूपता नोविकोव रिंग प्राप्त करने और फ़्लोर समरूपता और क्वांटम सह-समरूपता दोनों की परिभाषा के लिए आवश्यक होती है। अर्ध-सकारात्मक स्थिति का वर्णन निम्न प्रकार किया जाता है (ध्यान दें कि तीन स्थिति असंयुक्त नहीं होता हैं):


 * $$\langle [\omega],A\rangle=\lambda\langle c_1,A\rangle$$ π2(M) में प्रत्येक A के लिए होता है जहाँ λ≥0 (M मोनोटोन है) होता है।


 * $$\langle c_1,A\rangle=0$$ π2(M) में प्रत्येक A के लिए होता है।


 * न्यूनतम चेर्न संख्या N ≥ 0 द्वारा परिभाषित $$\langle c_1,\pi_2(M)\rangle=N\mathbb{Z}$$ n − 2 से बड़ा या उसके सामान्तर होता है।

सिम्प्लेक्टिक बहुरूपता एम के क्वांटम सह-समरूपता समूह को नोविकोव रिंग Λ के साथ सामान्य सह-समरूपता के टेंसर उत्पादों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात्।

$$QH_*(M)=H_*(M)\otimes\Lambda.$$

फ़्लोर समरूपता का यह निर्माण M पर न्यूनाधिक सम्मिश्र संरचना की रूचि पर स्वतंत्रता और मोर्स सिद्धांत और स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्रों के विचारों से प्रदान की गई फ़्लोर समरूपता के समरूपता की व्याख्या करता है, जहां पृष्ठभूमि के रूप में समरूपता और सह-समरूपता के मध्य पोंकारे द्वंद्व को पहचाना जाता है।

त्री बहुरूपता की फ़्लोर समरूपता
त्री संवृत बहुरूपता से संबंधित कई समतुल्य फ़्लोअर समरूपताएँ उपस्थित होती हैं। प्रत्येक से तीन प्रकार के समरूपता समूह उत्पन्न होते हैं, जो त्रुटिहीन त्रिभुज में स्थापित होते हैं। त्री-बहुरूपता में ग्रंथि प्रत्येक सिद्धांत के श्रृंखला परिसर पर निस्पंदन प्रेरित करती है, जिसकी श्रृंखला समरूपता प्रकार ग्रंथि अपरिवर्तनीय होती है। (उनकी समरूपताएं संयुक्त रूप से परिभाषित खोवानोव समरूपता के समान औपचारिक गुणों को परितृप्त करती हैं।)

ये समरूपताएं 4-बहुरूपता के डोनाल्डसन और सीबर्ग इनवेरिएंट के साथ-साथ सिम्प्लेक्टिक 4-बहुरूपता के टाउब्स के ग्रोमोव इनवेरिएंट से निकटता से संबंधित होती हैं; इन सिद्धांतों के अनुरूप तीन गुना समरूपताओं के विभेदकों का अध्ययन प्रासंगिक विभेदक समीकरणों (क्रमशः यांग-मिल्स, सेइबर्ग-विटन और कॉची-रीमैन) के व्याख्या पर विचार करके किया जाता है। इस प्रकार 3-बहुरूपता क्रॉस आर फ़्लोर समरूपता को सीमा के साथ चार-बहुरूपता के लिए सापेक्ष इनवेरिएंट का लक्ष्य भी होना चाहिए, जो कि उनकी सीमाओं के साथ बंधे हुए 3-बहुरूपता को एक साथ जोड़कर प्राप्त किए गए बंद 4-बहुरूपता के इनवेरिएंट्स को ग्लूइंग निर्माण से संबंधित होता है।(टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत सिद्धांत की धारणा से निकटता से संबंधित है।) हीगार्ड फ़्लोर समरूपता के लिए, 3-बहुरूपता समरूपता को पहले परिभाषित किया गया था, और संवृत 4-बहुरूपता के लिए अपरिवर्तनीय को बाद में इसके संदर्भ में परिभाषित किया गया था। प्रतिबंध के साथ 3-बहुरूपता समरूपता का 3-बहुरूपता तक विस्तार भी है: बाधित फ़्लोर समरूपता और सीमाबद्ध फ़्लोर समरूपता  होती है। ये सीमा के साथ दो 3-बहुरूपता की सीमा के साथ संघ के रूप में वर्णित 3-बहुरूपता के फ़्लोर समरूपता के लिए ग्लूइंग फ़ार्मुलों द्वारा संवृत 3-बहुरूपता के लिए अपरिवर्तनीय से संबंधित होता हैं।

यदि त्रिगुणित संपर्क संरचना से सुसज्जित होता है, तो त्री-बहुरूपता फ़्लोर समरूपता भी समरूपता के विशिष्ट तत्व से सुसज्जित होता हैं। क्रोनहाइमर और म्रोका ने सबसे पहले सेइबर्ग-विटन मामले में संपर्क तत्व प्रस्तुत किया था। ओज़स्वाथ और स्जाबो ने कॉन्टैक्ट बहुरूपता और ओपन बुक अपघटन के मध्य गिरौक्स के संबंध का उपयोग करके हीगार्ड फ़्लोर समरूपता के लिए इसका निर्माण किया, और यह अंतर्निहित सम्पर्क समरूपता में विवृत समुच्चय के समरूपता वर्ग के रूप में मुफ्त में आता है। (जिसे, अन्य तीन के विपरीत, इसकी परिभाषा के लिए संपर्क समरूपता की आवश्यकता होती है। एम्बेडेड संपर्क समरूपता के लिए देखें । ये सभी सिद्धांत प्राथमिक सापेक्ष श्रेणीकरण से सुसज्जित होते हैं; इन्हें क्रोनहाइमर और म्रोका (एसडब्ल्यूएफ के लिए), ग्रिप और हुआंग (एचएफ के लिए), और हचिंग्स (ईसीएच के लिए) द्वारा पूर्ण श्रेणीकरण (उन्मुख 2-प्लेन क्षेत्र के समरूपता वर्गों द्वारा) तक पंहुचा दिया था। क्रिस्टोफ़ारो-गार्डिनर ने दिखाया है कि ईसीएच और सीबर्ग-विटन फ़्लोर सह-समरूपता के मध्य ताउब्स की समरूपता इन पूर्ण श्रेणीकरण को संरक्षित करती है।

इंस्टेंटन फ़्लोर समरूपता
यह फ़्लोअर द्वारा स्वयं प्रस्तुत डोनाल्डसन सिद्धांत से जुड़ा तीन गुना अपरिवर्तनीय होता है। यह चेर्न-साइमन्स सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है। चेर्न-साइमन्स प्रमुख बंडल एसयू(2)-बंडल पर सम्बन्ध के स्थान पर तीन-बहुरूपता (अधिक त्रुटिहीन रूप से, समरूपता 3-गोले) पर कार्य करता है। इसके महत्वपूर्ण बिंदु फ्लैट सम्बन्ध हैं और इसकी प्रवाह रेखाएं तात्कालिक होती हैं, अर्थात् वास्तविक रेखा के साथ पार किए गए तीन गुना पर एंटी-सेल्फ-डुअल सम्बंध इंस्टेंटन फ़्लोर समरूपता को कैसन अपरिवर्तनीय के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है क्योंकि फ़्लोर समरूपता की यूलर विशेषता कैसन इनवेरिएंट से सहमत होती है। फ़्लोर द्वारा फ़्लोर समरूपता की प्रारम्भ के शीघ्र पश्चात्, डोनाल्डसन को बताया कि कोबॉर्डिज़्म मानचित्र को प्रेरित करते हैं। यह संरचना का पहला उदाहरण था जिसे टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।

सेइबर्ग-विटन फ़्लोर समरूपता
सेबर्ग-विटन फ़्लोर समरूपता या एकध्रुवीय फ़्लोर समरूपता समतल 3-बहुरूपता (स्पिन-सी संरचना से सुसज्जित) का समरूपता सिद्धांत होता है। इसे त्री-बहुरूपता पर U(1) सम्बन्ध पर चेर्न-साइमन्स-डिराक फलन की मोर्स समरूपता के रूप में देखा जा सकता है। इस प्रकार संबंधित क्रमिक प्रवाह समीकरण वास्तविक रेखा के साथ पार किए गए 3-बहुरूपता पर सेबर्ग-विटन समीकरण से समरूप होता है। समान रूप से, श्रृंखला परिसर के जनरेटर 3-बहुरूपता और वास्तविक रेखा के उत्पाद पर सेइबर्ग-विटन समीकरणों (एकध्रुवीय के रूप में जाना जाता है) के अनुवाद-अपरिवर्तनीय व्याख्या हैं, और विभेदक उत्पाद पर सेइबर्ग-विटन समीकरणों के व्याख्या की गणना करता जो तीन गुना और वास्तविक रेखा की, जो अनंत और नकारात्मक अनंत पर अपरिवर्तनीय व्याख्याों के लिए स्पर्शोन्मुख होता हैं। सीबर्ग-विटन-फ़्लोर समरूपता का संस्करण पीटर क्रोनहाइमर और टॉमाज़ म्रोवका द्वारा मोनोग्राफ एकध्रुवीय और त्री-बहुरूपता में कठोरता से बनाया गया था, जहां इसे एकध्रुवीय फ़्लोर समरूपता के रूप में जाना जाता है। टौब्स ने दिखाया है कि एम्बेडेड संपर्क समरूपता के लिए यह समरूपी होता है। तर्कसंगत समरूपता 3-क्षेत्रों के लिए एसडब्ल्यूएफ के वैकल्पिक निर्माण और ; वे सहमत होने के लिए जाने जाते हैं।

हीगार्ड फ़्लोर
हीगार्ड फ़्लोर समरूपता पीटर ओज़स्वथ और ज़ोल्टन स्ज़ाबो (गणितज्ञ) के कारण अपरिवर्तनीय होती है | स्पिन से सुसज्जित संवृत 3-बहुरूपता का ज़ोल्टन स्पाइनc संरचना होती है। इसकी गणना लैग्रेंजियन फ़्लोर समरूपता के अनुरूप निर्माण के माध्यम से विभेदकिक्ष के हेगार्ड विभाजन का उपयोग करके की जाती है। ने प्रमाण की घोषणा की कि हीगार्ड फ़्लोर समरूपता सीबर्ग-विटन फ़्लोर समरूपता के समरूपी होती है, और  ने प्रमाण की घोषणा की कि हीगार्ड फ़्लोर समरूपता का धनात्मक-संस्करण (रिवर्स ओरिएंटेशन के साथ) एम्बेडेड संपर्क समरूपता के लिए समरूपी होता है।

त्री-बहुरूपता में ग्रंथि हीगार्ड फ़्लोर समरूपता समूहों पर निस्पंदन को प्रेरित करती है, और निस्पंदन किए गए समरूपता प्रकार के शक्तिशाली ग्रंथि अपरिवर्तनीय होते है, जिसे ग्रंथि फ़्लोर समरूपता कहा जाता है। यह अलेक्जेंडर बहुपद का वर्गीकरण करता है। ग्रंथि फ़्लोर समरूपता को परिभाषित और स्वतंत्र रूप से  किया गया था। यह ग्रंथि वंश का पता लगाने के लिए जाना जाता है। हीगार्ड स्प्लिटिंग के लिए ग्रिड आरेख का उपयोग करते हुए, ग्रंथि फ़्लोर समरूपता को संयोजनात्मक निर्माण  द्वारा किया गया था।

ग्रंथि पर शाखाबद्ध S^3 के दोहरे आवरण की हीगार्ड फ़्लोर समरूपता वर्णक्रमीय अनुक्रम द्वारा खोवानोव समरूपता से संबंधित होता है।

हीगार्ड फ़्लोर समरूपता के हैट संस्करण का संयुक्त रूप से वर्णन द्वारा किया गया था। हीगार्ड फ़्लोर समरूपता के धनात्मक और ऋणात्मक संस्करण, और संबंधित ओज़स्वथ-स्ज़ाबो चार-बहुरूपता इनवेरिएंट को संयुक्त रूप से भी वर्णित किया जा सकता है ।

एंबेडेड संपर्क समरूपता
एंबेडेड संपर्क समरूपता, माइकल हचिंग् के कारण, 3-बहुरूपता का अपरिवर्तनीय (एक प्रतिष्ठित दूसरे होमोलॉजी वर्ग के साथ, सेइबर्ग-विटन फ़्लोर होमोलॉजी में एक स्पिन संरचना की रूचि के अनुरूप) आइसोमोर्फिक (क्लिफोर्ड टौब्स के काम द्वारा) सेबर्ग-विटन फ़्लोअर सह-समरूपता और परिणामस्वरूप ( और ) हीगार्ड फ़्लोर समरूपता के धनात्मक-संस्करण के लिए (रिवर्स ओरिएंटेशन के साथ) होती है। इसे ताउब्स के ग्रोमोव इनवेरिएंट के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है, जिसे सीबर्ग-विटन इनवेरिएंट के समतुल्य माना जाता है, संवृत सिम्पलेक्टिक 4-बहुरूपता से लेकर कुछ गैर-सघन सिम्पलेक्टिक 4-बहुरूपता (अर्थात्, संपर्क तीन-बहुरूपता क्रॉस आर) होते है। इसका निर्माण फ़्लोर क्षेत्र सिद्धांत के अनुरूप होता है, जिसमें यह संवृत रीब कक्षाओं के कुछ संग्रहों द्वारा उत्पन्न होता है और इसका विभेदक रीब कक्षाओं के कुछ संग्रहों पर समाप्त होने वाले कुछ होलोमोर्फिक वक्रों की गणना करता है। यह रीब कक्षाओं के संग्रह पर तकनीकी स्थितियों में एसएफटी से भिन्न है जो इसे उत्पन्न करता है - और दिए गए सिरों के साथ फ्रेडहोम सूचकांक 1 के साथ सभी होलोमोर्फिक वक्रों की गिनती में नहीं, जबकि मात्र वे जो ईसीएच इंडेक्स द्वारा दी गई टोपोलॉजिकल स्थिति को परितृप्त करते हैं, जो विशेष रूप से तात्पर्य यह है कि विचार किए गए वक्र (मुख्य रूप से) विभेदक्निहित होते हैं।

वेनस्टीन का प्राक्कलन है कि संपर्क 4-कई गुना में किसी भी संपर्क फॉर्म के लिए संवृत रीब कक्षा होती है जो किसी भी बहुरूपता पर होती है जिसका ईसीएच गैर-तुच्छ है,और ईसीएच से निकटता से संबंधित तकनीकों का उपयोग करके ताउब्स द्वारा साबित किया गया था; इस कार्य के विस्तार से ईसीएच और एसडब्लूएफ के मध्य समरूपता उत्पन्न हुई। ईसीएच में कई निर्माण (इसकी अच्छी तरह से परिभाषितता सहित) इस समरूपता पर निर्भर करते हैं । ईसीएच के संपर्क तत्व का विशेष रूप से अच्छा रूप होता है: यह रीब कक्षाओं के विवृत संग्रह से जुड़ा चक्र होता है।

एम्बेडेड संपर्क समरूपता के कलन विधि को किसी सतह (संभवतः सीमा के साथ) के सिम्पलेक्टोमोर्फिज्म के टोरी के मानचित्र के लिए परिभाषित किया जा सकता है और इसे आवधिक फ़्लोर समरूपता के रूप में जाना जाता है, जो सतह सिम्पलेक्टोमोर्फिज़्म के सिम्पलेक्टिक फ़्लोर समरूपता को सामान्यीकृत करता है। अधिक सामान्यतः, इसे 3-बहुरूपता पर किसी भी स्थिर हैमिल्टनियन संरचना के संबंध में परिभाषित किया जा सकता है; संपर्क संरचनाओं की तरह, स्थिर हैमिल्टनियन संरचनाएं गैर-लुप्त सदिश क्षेत्र (रीब सदिश क्षेत्र) को परिभाषित करती हैं, और हचिंग्स और टौब्स ने उनके लिए वेनस्टीन प्राक्कलन का कलन विधि सिद्ध किया है, अर्थात् उनके पास हमेशा संवृत कक्षाएं होती हैं (जब तक कि वे 2 की टोरी की मानचित्र नहीं कर रहे हों) -टोरस)।

लैग्रेंजियन इंटरसेक्शन फ़्लोर समरूपता
सिंपलेक्टिक बहुरूपता के दो ट्रांसवर्सली इंटरसेक्टिंग लैग्रैन्जियन सबबहुरूपता की लैग्रैन्जियन फ्लोर समरूपता, दो सबबहुरूपता के प्रतिच्छेदन बिंदुओं द्वारा उत्पन्न चेन कॉम्प्लेक्स की समरूपता होती है और जिसका विभेदक स्यूडोहोलोमोर्फिक व्हिटनी डिस्क को गिनता है।

तीन लैग्रेंजियन सबबहुरूपता L0, L1,और L2 दिए गए हैं जो सिंपलेक्टिक बहुरूपता में, लैग्रेंजियन फ़्लोर समरूपता पर उत्पाद संरचना है:


 * $$HF(L_0, L_1) \otimes HF(L_1,L_2) \rightarrow HF(L_0,L_2), $$

जिसे होलोमोर्फिक त्रिकोणों की गिनती करके परिभाषित किया गया है (अर्थात, त्रिकोण के होलोमोर्फिक मानचित्र जिनके शीर्ष और किनारे उपयुक्त बिंदुओं और लैग्रेंजियन सबबहुरूपता पर मानचित्र होते हैं)।

इस विषय पर पेपर फुकाया, ओह, ओनो और ओह्टा के कारण हैं; लालोंडे और कॉर्निया के क्लस्टर समरूपता पर वर्तमान कार्य इसके लिए अलग दृष्टिकोण प्रस्तुत करता है। लैग्रेन्जियन सबमेनिफोल्ड्स की जोड़ी की फ़्लोर समरूपता सदैव उपस्थित नहीं हो सकती है; जब ऐसा होता है, तो यह हैमिल्टनियन आइसोटोपी का उपयोग करके लैग्रेंजियन को दूसरे से दूर आइसोटोप करने में बाधा उत्पन्न करता है।

फ़्लोर समरूपता के कई प्रकार लैग्रेंजियन फ़्लोर समरूपता के विशेष स्थितियां हैं। M के सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के सिंपलेक्टिक फ्लोर समरूपता को लैग्रेंजियन फ्लोर समरूपता के स्थितियों के रूप में माना जा सकता है जिसमें परिवेश बहुरूपता एम को एम के साथ पार किया जाता है और लैग्रेंजियन सबमेनिफोल्ड्स विकर्ण और सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म का ग्राफ होते हैं। हीगार्ड फ़्लोर समरूपता का निर्माण तीन-बहुरूपता के हीगार्ड विभाजन का उपयोग करके परिभाषित पूरी तरह से वास्तविक सबबहुरूपता के लिए लैग्रेंजियन फ़्लोर समरूपता के प्रकार पर आधारित होते है। सीडेल-स्मिथ और मैनोलेस्कु ने लैग्रेन्जियन फ़्लोर समरूपता के निश्चित स्थिति के रूप में लिंक इनवेरिएंट का निर्माण किया, जो प्राक्कलनित रूप से खोवानोव समरूपता से सहमत है, जो संयोजन-परिभाषित लिंक इनवेरिएंट होता है।

अतियाह-फ्लोअर प्राक्कलन
अतियाह-फ़्लोर प्राक्कलन इंस्टेंटन फ़्लोर समरूपता को लैग्रेंजियन इंटरसेक्शन फ़्लोर समरूपता से जोड़ता है। सतह (सांस्थिति )$$\Sigma$$ के साथ विभाजित हीगार्ड के साथ 3-बहुरूपता Y पर विचार करें। फिर फ्लैट सम्बन्ध का स्थान विद्यमान करें $$\Sigma$$ मॉड्यूलो गेज तुल्यता सिम्प्लेक्टिक बहुरूपता $$M(\Sigma)$$ के तुल्य होती है आयाम 6जी-6 का, जहां जी सतह $$\Sigma$$ का जीनस होता है। हीगार्ड पृथक्करण में, $$\Sigma$$ दो अलग-अलग 3-बहुरूपता को सीमित करता है; सीमा एम्बेड के साथ प्रत्येक 3-बहुरूपता पर फ्लैट सम्बन्ध मॉड्यूलो गेज तुल्यता का स्थान $$M(\Sigma)$$ लैग्रेंजियन सबबहुरूपता के रूप में। कोई लैग्रेंजियन इंटरसेक्शन फ़्लोर समरूपता पर विचार कर सकता है। वैकल्पिक रूप से, हम 3-बहुरूपता Y के इंस्टेंटन फ़्लोर समरूपता पर विचार कर सकते हैं। अतियाह-फ़्लोर प्राक्कलन का मानना है कि ये दो अपरिवर्तनीय समरूपी होते हैं। सलामन-वेहरहेम और डेमी-फुकाया इस प्राक्कलन को सिद्ध करने के लिए अपने कार्यक्रमों पर काम कर रहे हैं।

दर्पण समरूपता से संबंध
मैक्सिम कोनत्सेविच का होमोलॉजिकल मिरर समरूपता प्राक्कलन, कैलाबी-यॉ बहुरूपता में लैग्रैंगियंस के लैग्रैन्जियन फ़्लोर समरूपता के मध्य समानता की भविष्यवाणी करता है। $$X$$ और दर्पण कैलाबी-यॉ बहुरूपता पर सुसंगत हीप के विस्तारित समूह होता है। इस स्थिति में, किसी को फ़्लोर समरूपता समूहों पर नहीं जबकि फ़्लोर श्रृंखला समूहों पर ध्यान केंद्रित करना चाहिए। पैंट-पैंट उत्पाद के समान, कोई छद्म-होलोमोर्फिक एन-गॉन का उपयोग करके बहु-रचनाओं का निर्माण कर सकता है। ये रचनाएँ परितृप्त करती हैं $$A_\infty$$-संबंध सभी (अबाधित) लैग्रेंजियन सबमेनिफोल्ड्स की श्रेणी को सिम्प्लेक्टिक बहुरूपता में बनाते हैं $$A_\infty$$-श्रेणी, जिसे फुकाया श्रेणी कहा जाता है। अधिक त्रुटिहीन होने के लिए, किसी को लैग्रेंजियन में अतिरिक्त डेटा जोड़ना होगा - श्रेणीकरण और स्पिन संरचना। विभेदक्निहित भौतिकी के सम्मान में इन संरचनाओं के विकल्प वाले लैग्रेंजियन को अक्सर मेम्ब्रेन (एम-सिद्धांत) कहा जाता है। होमोलॉजिकल मिरर समरूपता प्राक्कलन में कहा गया है कि कैलाबी-यौ की फुकाया श्रेणी के मध्य प्रकार की व्युत्पन्न मोरिता तुल्यता है $$X$$ और दर्पण के सुसंगत हीपों की सीमाबद्ध व्युत्पन्न श्रेणी के विभेदक्गत डीजी श्रेणी, और इसके विपरीत होती है।

सिम्पलेक्टिक फील्ड सिद्धांत (एसएफटी)
यह उनके मध्य संपर्क विविधताओं और फ़्लोरपूर्ण सह-बॉर्डिज्म का अपरिवर्तनीय रूप होता है, जो मूल रूप से याकोव एलियाशबर्ग, अलेक्जेंडर गिवेनटल और हेल्मुट हॉफ़र के कारण होता है। फ़्लोर क्षेत्र सिद्धांत के साथ-साथ इसके उप-संकुल, तर्कसंगत फ़्लोर क्षेत्र सिद्धांत और संपर्क समरूपता को विभेदक बीजगणित की समरूपता के रूप में परिभाषित किया गया है, जो चुने हुए संपर्क प्रपत्र के रीब सदिश क्षेत्र की संवृत कक्षाओं द्वारा उत्पन्न होते हैं। विभेदक संपर्क बहुरूपता पर सिलेंडर में कुछ होलोमोर्फिक वक्रों की गणना करता है, जहां तुच्छ उदाहरण संवृत रीब कक्षाओं पर (तुच्छ) सिलेंडरों के शाखित आवरण हैं। इसमें आगे रैखिक समरूपता सिद्धांत सम्मिलित होता है, जिसे बेलनाकार या रैखिककृत संपर्क समरूपता कहा जाता है (कभी-कभी, संकेतन के दुरुपयोग से, केवल संपर्क समरूपता से), जिनके श्रृंखला समूह संवृत कक्षाओं द्वारा उत्पन्न सदिश स्थान होते हैं और जिनके विभेदक केवल होलोमोर्फिक सिलेंडरों की गिनती करते हैं। यघपि, होलोमोर्फिक डिस्क की उपस्थिति और नियमितता और ट्रांसवर्सलिटी परिणामों की कमी के कारण बेलनाकार संपर्क समरूपता को सदैव परिभाषित नहीं किया जाता है। इस प्रकार ऐसी स्थितियों में जहां बेलनाकार संपर्क समरूपता समझ में आती है, इसे मुक्त लूप स्थान पर क्रिया कार्यात्मक की (थोड़ा संशोधित) मोर्स समरूपता के रूप में देखा जा सकता है, जो लूप पर संपर्क प्रपत्र अल्फा के अभिन्न अंग के लिए लूप भेजता है। रीब कक्षाएँ इस कार्यात्मकता के महत्वपूर्ण बिंदु होता हैं।

एसएफटी सम्बन्ध बहुरूपता के लेजेंडरी सबबहुरूपता के सापेक्ष अपरिवर्तनीय को भी जोड़ता है जिसे सापेक्ष संपर्क समरूपता के रूप में जाना जाता है। इसके जनरेटर रीब कॉर्ड हैं, जो रीब सदिश क्षेत्र के प्रक्षेपवक्र हैं जो लैग्रेन्जियन पर प्रारम्भ और समाप्त होते हैं, और इसका विभेदक संपर्क बहुरूपता के सरलीकरण में कुछ होलोमोर्फिक स्ट्रिप्स की गणना करता है जिनके सिरे दिए गए रीब कॉर्ड के लिए स्पर्शोन्मुख होता हैं।

एसएफटी में संपर्क बहुरूपता को सिंपलेक्टोमोर्फिज्म के साथ सिंपलेक्टिक बहुरूपता के टोरस को मानचित्र करके प्रतिस्थापित किया जा सकता है। जबकि बेलनाकार संपर्क समरूपता को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है और सिम्पलेक्टोमोर्फिज्म की शक्तियों के फ़्लोरपूर्ण फ़्लोर समरूपता द्वारा दिया गया है, (तर्कसंगत) फ़्लोर क्षेत्र सिद्धांत और संपर्क समरूपता को सामान्यीकृत फ़्लोर फ़्लोर समरूपता के रूप में माना जा सकता है। इस प्रकार महत्वपूर्ण स्थिति में लक्षणवाद समय-निर्भर हैमिल्टनियन का समय-मानचित्र होता है, यघपि यह दिखाया गया था कि इन उच्च अपरिवर्तनीयों में कोई और जानकारी नहीं प्राप्त होती है।

फ़्लोर समरूपता
किसी वस्तु के फ़्लोर समरूपता सिद्धांत का निर्माण करने का कल्पनीय विधि संबंधित वर्णक्रम (समरूपता सिद्धांत) का निर्माण करना होगा, जिसकी सामान्य समरूपता वांछित फ़्लोर समरूपता होती है। ऐसे स्पेक्ट्रम (समरूप सिद्धांत) समरूपता सिद्धांतों को प्रयुक्त करने से अन्य रुचिकर अपरिवर्तनीयताएं प्राप्त हो सकती हैं। यह रणनीति राल्फ कोहेन, जॉन जोन्स और ग्रीम सहगल द्वारा प्रस्तावित की गई थी, और सेबर्ग-विटन-फ्लोर समरूपता के लिए कुछ स्थतियों में इसे प्रयुक्त किया गया था। और कोहेन द्वारा कोटैंजेंट बंडलों की सिम्प्लेक्टिक फ़्लोर समरूपता के लिए यह दृष्टिकोण मनोलेस्कु के 2013 के पिन (2)-इक्विवेरिएंट सेबर्ग-विटन फ़्लोर समरूपता के निर्माण का आधार था, जिसके साथ उन्होंने आयाम 5 और उच्चतर के कई गुना के लिए त्रिकोणीय प्राक्कलन को अस्वीकार कर दिया था।

विश्लेषणात्मक आधार
इनमें से कई फ़्लोअर समरूपताओं का पूरी तरह और कठोरता से निर्माण नहीं किया गया है, और कई प्राक्कलनित तुल्यताएँ सिद्ध नहीं की गई हैं। इसमें सम्मिलित विश्लेषण में तकनीकी कठिनाइयाँ आती हैं, विशेष रूप से स्यूडोहोलोमोर्फिक वक्रों के कॉम्पेक्टिफिकेशन (गणित) मॉड्यूलि रिक्त स्थान के निर्माण में। होफ़र ने, क्रिस वायसोकी और एडुआर्ड ज़ेन्डर के सहयोग से, बहुरूपी के अपने सिद्धांत और सामान्य फ्रेडहोम सिद्धांत के माध्यम से नई विश्लेषणात्मक नींव विकसित की है। यघपि पॉलीफोल्ड परियोजना अभी तक पूरी तरह से पूरी नहीं हुई है, कुछ महत्वपूर्ण स्थितियों में सरल विधियों का उपयोग करके ट्रांसवर्सेलिटी दिखाई गई है।

गणना
फ़्लोर समरूपता की स्पष्ट रूप से गणना करना सामान्यतः कठिन होता है। उदाहरण के लिए, सभी सतही लक्षणों के लिए सिंपलेक्टिक फ़्लोर समरूपता 2007 में ही पूरी हो गई थी। हीगार्ड फ़्लोर समरूपता इस संबंध में सफल कहानी रही है: शोधकर्ताओं ने 3-बहुरूपता के विभिन्न वर्गों के लिए इसकी गणना करने के लिए इसकी बीजगणितीय संरचना का उपयोग किया है और अधिकांश सिद्धांत का संयोजनात्मक पाया है। गणना के लिए कलन विधि यह उपस्थित अचल स्थति और संरचनाओं से भी जुड़ा हुआ होता है और इस प्रकार 3-बहुरूपता सांस्थिति में कई विभेदक्दृष्टि प्राप्त होती हैं।

शोध लेख

 * प्रोजेक्ट यूक्लिड
 * प्रोजेक्ट यूक्लिड
 * प्रोजेक्ट यूक्लिड