चक्रीय मॉड्यूल

गणित में, विशेष रूप से रिंग सिद्धांत में, एक चक्रीय मॉड्यूल या मोनोजेनस मॉड्यूल एक मॉड्यूल (गणित) है जो एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है। अवधारणा एक चक्रीय समूह की धारणा का एक सामान्यीकरण है, जो कि एक एबेलियन समूह (जिससे जेड-मॉड्यूल) है जो एक तत्व द्वारा उत्पन्न होता है।

परिभाषा
एक बाएं R-मॉड्यूल M को 'चक्रीय' कहा जाता है यदि M को एक तत्व द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है अर्थात r ∈ R} M में कुछ x के लिए। इसी तरह, एक सही R-मॉड्यूल एन चक्रीय है यदि N = yR कुछ y ∈ N के लिए है|

उदाहरण

 * Z-मॉड्यूल के रूप में 2Z एक चक्रीय मॉड्यूल है।
 * वास्तव में, प्रत्येक चक्रीय समूह एक चक्रीय Z-मॉड्यूल है।
 * हर सरल मॉड्यूल R '-मॉड्यूल ' M ' एक चक्रीय मॉड्यूल है क्योंकि ' M' के किसी भी गैर-शून्य तत्व 'x  ' द्वारा उत्पन्न उपमॉड्यूल आवश्यक रूप से संपूर्ण मॉड्यूल ' M' है । सामान्यतः एक मॉड्यूल सरल होता है यदि और केवल यदि यह गैर-शून्य है और इसके प्रत्येक गैर-शून्य तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है।
 * यदि रिंग R को अपने ऊपर एक बाएं मॉड्यूल के रूप में माना जाता है, तो इसके चक्रीय उपमॉड्यूल रिंग के रूप में इसके बाएं प्रमुख आदर्श हैं। R के लिए एक सही R-मॉड्यूल के रूप में भी यही है, यथोचित परिवर्तनों के रूप में समान है।
 * यदि R, F [x] है, एक क्षेत्र (गणित) F पर बहुपदों का वलय, और V एक R-मॉड्यूल है जो एक आयाम (रैखिक बीजगणित) भी है। F पर परिमित-आयामी सदिश स्थल, तो जॉर्डन ब्लॉक करता है V पर अभिनय करने वाले x चक्रीय उपमॉड्यूल हैं। (जॉर्डन ब्लॉक सभी समरूपतावाद हैं F[x] / (x − λ)n; अलग-अलग एनीहिलेटर (रिंग सिद्धांत ) के साथ अन्य चक्रीय उपमॉड्यूल भी हो सकते हैं; नीचे देखें।)

गुण

 * एक चक्रीय R-मॉड्यूल M दिया गया है जो x द्वारा उत्पन्न होता है, M और के बीच एक विहित समरूपता उपस्थित है R / AnnR x, जहाँ AnnR x R में x के समुच्छेदक को दर्शाता है।


 * प्रत्येक मॉड्यूल चक्रीय उपमॉड्यूल का योग है।

यह भी देखें

 * अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल