एंटीथेटिक वैरिएबल

आँकड़ों में, एंटीथेटिक वेरिएट्स विधि मोंटे कार्लो विधियों में उपयोग की जाने वाली एक विचरण कमी तकनीक है। यह ध्यान में रखते हुए कि सिम्युलेटेड सिग्नल (मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग करके) में त्रुटि में अनुक्रम की एक से अधिक वर्गमूल सीमा होती है, सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए बहुत बड़ी संख्या में नमूना (सांख्यिकी) पथ की आवश्यकता होती है। एंटीथेटिक वेरिएट्स विधि सिमुलेशन परिणामों के विचरण को कम करती है।

अंतर्निहित सिद्धांत
एंटीथेटिक वेरिएट्स तकनीक में प्राप्त प्रत्येक नमूना पथ के लिए, उसका एंटीथेटिक पथ लेना शामिल है - जिसे एक पथ दिया जाता है $$\{\varepsilon_1,\dots,\varepsilon_M\}$$ भी लेना है $$\{-\varepsilon_1,\dots,-\varepsilon_M\}$$. इस तकनीक का लाभ दोगुना है: यह एन पथ उत्पन्न करने के लिए लिए जाने वाले सामान्य नमूनों की संख्या को कम करता है, और यह नमूना पथों के विचरण को कम करता है, जिससे सटीकता में सुधार होता है।

मान लीजिए कि हम अनुमान लगाना चाहेंगे
 * $$\theta = \mathrm{E}( h(X) ) = \mathrm{E}( Y ) \, $$

उसके लिए हमने दो नमूने तैयार किए हैं


 * $$Y_1\text{ and }Y_2 \, $$

का एक निष्पक्ष अनुमान $${\theta}$$ द्वारा दिया गया है


 * $$\hat \theta = \frac{Y_1 + Y_2}{2}. $$

और
 * $$\text{Var}(\hat \theta) = \frac{\text{Var}(Y_1) + \text{Var}(Y_2) + 2\text{Cov}(Y_1,Y_2)}{4} $$

इसलिए विचरण कम हो जाता है $$\text{Cov}(Y_1,Y_2)$$ नकारात्मक है.

उदाहरण 1
यदि चर X का नियम [0, 1] के साथ एक समान वितरण (निरंतर) का पालन करता है, तो पहला नमूना होगा  $$u_1, \ldots, u_n$$, जहां, किसी दिए गए i के लिए, $$u_i$$ U(0, 1) से प्राप्त होता है। दूसरा नमूना से बनाया गया है   $$u'_1, \ldots, u'_n$$, कहां, किसी दिए गए i के लिए: $$u'_i = 1-u_i$$. यदि सेट $$u_i$$ [0, 1] के साथ एक समान है, इसलिए हैं $$u'_i$$. इसके अलावा, सहप्रसरण नकारात्मक है, जो प्रारंभिक विचरण में कमी की अनुमति देता है।

उदाहरण 2: अभिन्न गणना
हम अनुमान लगाना चाहेंगे
 * $$I = \int_0^1 \frac{1}{1+x} \, \mathrm{d}x.$$

सटीक परिणाम है  $$I=\ln 2 \approx 0.69314718$$. इस अभिन्न को अपेक्षित मूल्य के रूप में देखा जा सकता है $$f(U)$$,  कहाँ


 * $$f(x) = \frac{1}{1+x}$$

और यू एक समान वितरण (निरंतर) [0, 1] का पालन करता है।

निम्न तालिका शास्त्रीय मोंटे कार्लो अनुमान (नमूना आकार: 2n, जहां n = 1500) की तुलना एंटीथेटिक वेरिएट्स अनुमान (नमूना आकार: n, रूपांतरित नमूना 1 - u के साथ पूरा) से करती हैi):


 * {| cellspacing="1" border="1"

परिणाम का अनुमान लगाने के लिए एंटीथेटिक वेरिएट्स विधि का उपयोग एक महत्वपूर्ण भिन्नता में कमी दर्शाता है।
 * align="right" | Estimate
 * align="right" | Standard deviation
 * Classical Estimate
 * align="right" | 0.69365
 * align="right" | 0.00255
 * Antithetic Variates 
 * align="right" | 0.69399
 * align="right" | 0.00063
 * }
 * align="right" | 0.69399
 * align="right" | 0.00063
 * }

यह भी देखें

 * विभिन्नताओं पर नियंत्रण रखें