शेफ़र अनुक्रम

गणित में, शेफ़र अनुक्रम या पॉवरॉइड एक बहुपद अनुक्रम है, यानी एक क्रम $(p_{n}(x) : n = 0, 1, 2, 3, ...)$ बहुपदों का, जिसमें प्रत्येक बहुपद का सूचकांक एक बहुपद की अपनी डिग्री के बराबर होता है, साहचर्य में अम्ब्रल कैलकुलस से संबंधित स्थितियों को संतुष्ट करता है। इनका नाम इसाडोर एम. शेफ़र के नाम पर रखा गया है।

परिभाषा
एक बहुपद अनुक्रम निश्चित करें (पृn). x में बहुपदों पर एक रैखिक संकारक Q को परिभाषित करें


 * $$Qp_n(x) = np_{n-1}(x)\, .$$

यह सभी बहुपदों पर Q निर्धारित करता है। बहुपद अनुक्रम पीn एक शेफ़र अनुक्रम है यदि अभी परिभाषित रैखिक ऑपरेटर Q शिफ्ट-समतुल्य है; ऐसा Q तब एक डेल्टा ऑपरेटर होता है। यहां, हम बहुपदों पर एक रैखिक संचालिका Q को शिफ्ट-समतुल्य परिभाषित करते हैं यदि, जब भी f(x) = g(x + a) = Ta g(x) g(x) का एक बदलाव है, तो (Qf)(x) = (Qg)(x + a); यानी, Q प्रत्येक शिफ्ट ऑपरेटर के साथ यात्रा करता है: Taक्यू = क्यूटीa.

गुण
सभी शेफ़र अनुक्रमों का सेट बहुपद अनुक्रमों की छत्र रचना के संचालन के तहत एक समूह (गणित) है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। मान लीजिए (पीn(x) : n = 0, 1, 2, 3...) और (qn(x) : n = 0, 1, 2, 3...) बहुपद अनुक्रम हैं, जो दिए गए हैं


 * $$p_n(x)=\sum_{k=0}^n a_{n,k}x^k\ \mbox{and}\ q_n(x)=\sum_{k=0}^n b_{n,k}x^k.$$

फिर छत्र रचना $$p \circ q$$ बहुपद अनुक्रम है जिसका nवाँ पद है


 * $$(p_n\circ q)(x) = \sum_{k=0}^n a_{n,k}q_k(x) = \sum_{0\le \ell \le k \le n} a_{n,k}b_{k,\ell}x^\ell$$

(सबस्क्रिप्ट n, p में दिखाई देता हैn, क्योंकि यह उस अनुक्रम का n पद है, लेकिन q में नहीं, क्योंकि यह अनुक्रम को उसके किसी एक पद के बजाय समग्र रूप से संदर्भित करता है)।

इस समूह का पहचान तत्व मानक एकपदी आधार है


 * $$e_n(x) = x^n = \sum_{k=0}^n \delta_{n,k} x^k.$$

दो महत्वपूर्ण उपसमूह एपेल अनुक्रमों का समूह हैं, जो वे अनुक्रम हैं जिनके लिए ऑपरेटर क्यू मात्र व्युत्पन्न है, और द्विपद प्रकार के अनुक्रमों का समूह, जो कि पहचान को संतुष्ट करते हैं
 * $$p_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}p_k(x)p_{n-k}(y).$$

एक शेफ़र अनुक्रम (पीn(x) : n = 0, 1, 2,...) द्विपद प्रकार का है यदि और केवल यदि दोनों


 * $$p_0(x) = 1\,$$

और


 * $$p_n(0) = 0\mbox{ for } n \ge 1. \,$$

एपेल अनुक्रमों का समूह एबेलियन समूह है; द्विपद प्रकार के अनुक्रमों का समूह नहीं है। एपेल अनुक्रमों का समूह एक सामान्य उपसमूह है; द्विपद प्रकार के अनुक्रमों का समूह नहीं है। शेफ़र अनुक्रमों का समूह एपेल अनुक्रमों के समूह और द्विपद प्रकार के अनुक्रमों के समूह का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है। यह इस प्रकार है कि एपेल अनुक्रमों के समूह के प्रत्येक सह समुच्चय  में द्विपद प्रकार का बिल्कुल एक अनुक्रम होता है। दो शेफ़र अनुक्रम एक ही ऐसे कोसेट में हैं यदि और केवल यदि ऊपर वर्णित ऑपरेटर Q - जिसे उस अनुक्रम का डेल्टा ऑपरेटर कहा जाता है - दोनों मामलों में एक ही रैखिक ऑपरेटर है। (आम तौर पर, एक डेल्टा ऑपरेटर बहुपदों पर एक शिफ्ट-समतुल्य रैखिक ऑपरेटर होता है जो डिग्री को एक से कम कर देता है। यह शब्द एफ. हिल्डेब्रांट के कारण है।)

यदि एसn(x) एक शेफ़र अनुक्रम है और pn(x) द्विपद प्रकार का एक अनुक्रम है जो समान डेल्टा ऑपरेटर को साझा करता है


 * $$s_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}p_k(x)s_{n-k}(y).$$

कभी-कभी शेफ़र अनुक्रम शब्द को ऐसे अनुक्रम के रूप में परिभाषित किया जाता है जो द्विपद प्रकार के कुछ अनुक्रम से इस संबंध को रखता है। विशेष रूप से, यदि ( sn(x) ) तो एक अपील अनुक्रम है


 * $$s_n(x+y)=\sum_{k=0}^n{n \choose k}x^ks_{n-k}(y).$$

हर्मिट बहुपदों का अनुक्रम, बर्नौली बहुपदों का अनुक्रम, और एकपदी (x)n : n = 0, 1, 2, ... ) अपील अनुक्रम के उदाहरण हैं।

एक शेफ़र अनुक्रम पीn इसकी विशेषता इसके घातांकीय सृजन कार्य द्वारा होती है


 * $$ \sum_{n=0}^\infty \frac{p_n(x)}{n!} t^n = A(t) \exp(x B(t)) \, $$

जहां ए और बी टी में (औपचारिक पावर श्रृंखला) पावर श्रृंखला हैं। शेफ़र अनुक्रम इस प्रकार सामान्यीकृत एपेल बहुपद के उदाहरण हैं और इसलिए एक संबद्ध पुनरावृत्ति संबंध है।

उदाहरण
शेफ़र अनुक्रम वाले बहुपद अनुक्रमों के उदाहरणों में शामिल हैं:
 * हाबिल बहुपद;
 * बर्नौली बहुपद;
 * यूलर बहुपद;
 * केंद्रीय तथ्यात्मक बहुपद;
 * हर्माइट बहुपद;
 * लैगुएरे बहुपद;
 * एकपदी (xn : n = 0, 1, 2, ... );
 * मॉट बहुपद;
 * दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद;
 * गिरती और बढ़ती फैक्टरियल;
 * लैगुएरे बहुपद;
 * टचर्ड बहुपद;
 * मिट्टाग-लेफ़लर बहुपद;

संदर्भ

 * Reprinted in the next reference.
 * Reprinted by Dover, 2005.
 * Reprinted by Dover, 2005.
 * Reprinted by Dover, 2005.