सम्मिश्र माप

गणित में, विशेष रूप से सिद्धांत को मापने के लिए, एक जटिल माप माप (गणित) की अवधारणा को जटिल संख्या मान देकर सामान्यीकृत करता है। दूसरे शब्दों में, कोई सेट (गणित) की अनुमति देता है जिसका आकार (लंबाई, क्षेत्रफल, आयतन) एक सम्मिश्र संख्या है।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, एक जटिल उपाय $$ \mu $$ एक सिग्मा-बीजगणित पर $$ (X,\Sigma) $$ एक जटिल-मूल्यवान कार्य है (गणित)


 * $$\mu: \Sigma \to \mathbb{C}$$

वह है सिग्मा योगात्मकता |सिग्मा-एडिटिव। दूसरे शब्दों में, किसी भी क्रम के लिए $$(A_{n})_{n \in \mathbb{N}}$$ से संबंधित अलग सेट की $$ \Sigma $$, किसी के पास


 * $$\sum_{n = 1}^{\infty} \mu(A_{n}) = \mu \left( \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_{n} \right) \in \mathbb{C}.$$

जैसा $$\displaystyle \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_{n} = \bigcup_{n = 1}^{\infty} A_{\sigma(n)}$$ किसी भी क्रमपरिवर्तन (आक्षेप) के लिए $$ \sigma: \mathbb{N} \to \mathbb{N} $$, यह इस प्रकार है कि $$\displaystyle \sum_{n = 1}^{\infty} \mu(A_{n})$$ बिना शर्त अभिसरण (इसलिए पूर्ण अभिसरण)।

एक जटिल माप के संबंध में एकीकरण
एक जटिल माप के संबंध में एक जटिल-मूल्यवान मापने योग्य फ़ंक्शन के अभिन्न अंग को उसी तरह से परिभाषित किया जा सकता है जैसे लेबेसेग एक माप (गणित) के संबंध में एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान मापने योग्य फ़ंक्शन का अभिन्न अंग है। गैर-नकारात्मक उपाय, अनुमानित करके सरल कार्यों के साथ एक औसत दर्जे का कार्य। साधारण एकीकरण के मामले में, यह अधिक सामान्य अभिन्न अस्तित्व में विफल हो सकता है, या इसका मान अनंत हो सकता है (रीमैन क्षेत्र)।

एक अन्य दृष्टिकोण खरोंच से एकीकरण के सिद्धांत को विकसित नहीं करना है, बल्कि गैर-नकारात्मक माप के संबंध में वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के अभिन्न अंग की पहले से उपलब्ध अवधारणा का उपयोग करना है। उस अंत तक, यह एक त्वरित जाँच है कि वास्तविक और काल्पनिक भाग μ1 और μ2 एक जटिल माप μ परिमित-मूल्यवान हस्ताक्षरित उपाय हैं। हन अपघटन प्रमेय | हैन-जॉर्डन अपघटन को इन उपायों के रूप में विभाजित करने के लिए लागू किया जा सकता है


 * $$\mu_1=\mu_1^+-\mu_1^-$$

और


 * $$\mu_2=\mu_2^+-\mu_2^-$$

कहाँ μ1+, एम1−, म2+, एम2− परिमित-मूल्यवान गैर-नकारात्मक उपाय हैं (जो कुछ अर्थों में अद्वितीय हैं)। फिर, एक मापने योग्य फ़ंक्शन f के लिए जो इस समय के लिए वास्तविक-मूल्यवान है, कोई भी परिभाषित कर सकता है


 * $$\int_X \! f \, d\mu = \left(\int_X \! f \, d\mu_1^+ - \int_X \! f \, d\mu_1^-\right) + i \left(\int_X \! f \, d\mu_2^+ - \int_X \! f \, d\mu_2^-\right) $$

जब तक दायीं ओर की अभिव्यक्ति परिभाषित है, यानी, सभी चार इंटीग्रल मौजूद हैं और जब उन्हें जोड़ते हैं तो अनिश्चित रूप से ∞−∞ का सामना नहीं होता है।

अब एक जटिल-मूल्यवान औसत दर्जे का कार्य दिया गया है, कोई भी इसके वास्तविक और काल्पनिक घटकों को अलग से एकीकृत कर सकता है जैसा कि ऊपर दिखाया गया है और परिभाषित किया गया है, जैसा कि अपेक्षित है,


 * $$\int_X \! f \, d\mu = \int_X \! \Re(f) \, d\mu + i \int_X \! \Im(f) \, d\mu.$$

एक जटिल माप और ध्रुवीय अपघटन की भिन्नता
एक जटिल माप μ के लिए, कोई इसकी विविधता, या पूर्ण मान को परिभाषित करता है, |μ| सूत्र द्वारा


 * $$|\mu|(A)= \sup\sum_{n=1}^\infty |\mu(A_n)|$$

जहाँ A Σ में है और अंतिम असम्बद्ध सेट के सभी अनुक्रमों पर चलता है (An)n जिसका संघ (सेट सिद्धांत) ए है। सेट ए के केवल परिमित विभाजन को मापने योग्य सेट में लेते हुए, एक समान परिभाषा प्राप्त करता है।

यह पता चला है कि |μ| एक गैर-नकारात्मक परिमित उपाय है। उसी तरह जैसे एक जटिल संख्या को एक जटिल संख्या में दर्शाया जा सकता है, एक जटिल माप के लिए एक ध्रुवीय अपघटन होता है: वास्तविक मूल्यों के साथ एक औसत दर्जे का कार्य मौजूद होता है जैसे कि


 * $$d\mu = e ^{i \theta}d |\mu|,$$

अर्थ


 * $$\int_X f\, d\mu = \int_X f e ^{i \theta} \, d |\mu|$$

किसी भी पूरी तरह से पूर्णांक मापने योग्य फ़ंक्शन f के लिए, यानी f संतोषजनक


 * $$\int_X |f|\, d|\mu|<\infty.$$

रेडॉन-निकोडीम प्रमेय का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि भिन्नता एक उपाय है और ध्रुवीय अपघटन का अस्तित्व है।

जटिल उपायों का स्थान
दो जटिल उपायों का योग एक जटिल उपाय है, जैसा कि एक जटिल संख्या द्वारा एक जटिल माप का उत्पाद है। कहने का तात्पर्य यह है कि किसी माप स्थान (X, Σ) पर सभी जटिल मापों का समुच्चय जटिल संख्याओं के ऊपर एक सदिश स्थान बनाता है। इसके अलावा, कुल भिन्नता $$\|\cdot\|$$ के रूप में परिभाषित


 * $$\|\mu\| = |\mu| (X)\, $$

एक सामान्य (गणित) है, जिसके संबंध में जटिल उपायों का स्थान एक बनच स्थान है।

यह भी देखें

 * रिज्ज़-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय
 * हस्ताक्षरित उपाय
 * वेक्टर माप

बाहरी संबंध

 * Complex measure on MathWorld