सामान्यीकृत सममित समूह

गणित में सामान्यीकृत सममित समूह पुष्पांजलि उत्पाद है जिसमें $$S(m,n) := Z_m \wr S_n$$ यह आदेशित एम के चक्रीय समूह और आदेशित एन के सममित समूह का क्रम है।

उदाहरण
एम,एन सामान्यीकृत क्रमचय आव्यूह के रूप में जहां शून्येतर प्रविष्टियां एकता के एम-वें मूल में हैं जहाँ Z_{m}\cong \mu _{m}. इसमें प्रतिनिधित्व सिद्धांत का अध्ययन ओशिमा में 1966-1996 में किया गया है जैसा कि सममित समूह के साथ होता है वक्ता द्वारा प्रमापीय के संदर्भ में प्रतिनिधित्व का निर्माण किया जा सकता है।
 * जहाँ $$m=1,$$ सामान्यीकृत सममित समूह साधारण सममित समूह है जैसे$$S(1,n) = S_n.$$
 * $$m=2,$$ के चक्रीय समूह को सकारात्मक और नकारात्मक माना जा सकता है क्योंकि ($$Z_2 \cong \{\pm 1\}$$) तथा सामान्यीकृत सममित समूह की पहचान $$S(2,n)$$ हस्तांक्षरित सममित समूह के साथ होती है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
सिद्धांत के तत्वों का स्वाभाविक प्रतिनिधित्व $$S(m,n)$$ है जहॉं सामान्यीकृत गैर-शून्य प्रविष्टियां एकता की जडे़ं हैं तथा इसमें प्रतिनिधित्व सिद्धांत के बाद भी अध्ययन किया गया है।

संपादन करना इसमें S के तत्वों का स्वाभाविक प्रतिनिधित्व एम,एन है। यह एस(एम,एन)सामान्यीकृत क्रमचय आव्यूह के रूप में जहां शून्येतर प्रविष्टियां एकता के एम-वें मूल हैं में हैं। जब Z_{m}\cong \mu _{m}.

होमोलॉजी
ये समूह समरूपता समूह संयुग्मी हैं इसलिए इस समूह को एकरूपता समूह में समान रूप से चिन्हित करना चाहिए क्योंकि एकरूपता समूह के संयुग्मन में तुच्छ है तथा इसको चिन्हित भी किया जा सकता है जबकि सममित समूह पर हस्तान्तरित नक्शा उपज देता है तथा ये स्वतंत्र होता है और समूह उत्पन्न करता है इसलिए यह अपभ्रंश हैं।

दूसरा समरूपता समूह शास्त्रीय शब्दों में शून्य गुणक द्वारा दिया गया है जो इस प्रकार है-:
 * $$H_2(S(2k+1,n)) = \begin{cases} 1 & n < 4\\

\mathbf{Z}/2 & n \geq 4.\end{cases}$$
 * $$H_2(S(2k+2,n)) = \begin{cases} 1 & n = 0, 1\\

\mathbf{Z}/2 & n = 2\\ (\mathbf{Z}/2)^2 & n = 3\\ (\mathbf{Z}/2)^3 & n \geq 4. \end{cases}$$ जबकि यह n और m की समता पर निर्भर करता है$$H_2(S(2k+1,n)) \approx H_2(S(1,n))$$ और $$H_2(S(2k+2,n)) \approx H_2(S(2,n)),$$जो सममित समूह और हस्ताक्षरित सममित समूह के शून्य गुणक हैं।