पियरपोंट प्राइम

संख्या सिद्धांत में, पियरपॉन्ट प्राइम कुछ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए $u$ और $v$ के लिए $$2^u\cdot 3^v + 1\,$$ के रूप की एक अभाज्य संख्या है। अर्थात् वे अभाज्य संख्याएँ $p$ हैं जिसके लिए $p − 1$ 3-स्मूथ है। उनका नाम गणितज्ञ जेम्स पियरपोंट (गणितज्ञ) के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें उन नियमित बहुभुजों को चिह्नित करने के लिए उपयोग किया था जिन्हें शंकु वर्गों का उपयोग करके बनाया जा सकता है। समान लक्षण वर्णन उन बहुभुजों पर प्रायुक्त होता है जिनका निर्माण रूलर, कम्पास और कोण त्रिखंड का उपयोग करके या पेपर फोल्डिंग के गणित का उपयोग करके किया जा सकता है।

2 और फर्मेट प्राइम्स को छोड़कर, प्रत्येक पियरपोंट प्राइम 1 मॉड्यूलो 6 होना चाहिए। पहले कुछ पियरपोंट प्राइम्स हैं:

यह अनुमान लगाया गया है कि अनंत रूप से कई पियरपोंट अभाज्य हैं, किन्तु यह अप्रमाणित है।

वितरण
$v = 0$ के साथ एक पियरपोंट प्राइम $$2^u+1$$ के रूप में है, और इसलिए फर्मेट प्राइम (जब तक $u = 0$ न हो) हैं। यदि $v$ धनात्मक संख्या है तो $u$ भी धनात्मक (क्योंकि $$3^v+1$$ 2 से अधिक एक सम संख्या होगी और इसलिए अभाज्य नहीं है) होना चाहिए, और इसलिए गैर-फर्मेट पियरपोंट अभाज्य सभी का रूप $6k + 1$ होता है जब $k$ धनात्मक पूर्णांक (2 को छोड़कर, जब $u = v = 0$) होता है।

अनुभवजन्य रूप से, पियरपोंट प्राइम्स विशेष रूप से दुर्लभ या दुर्लभ रूप से वितरित नहीं लगते हैं; 106 से कम 42 पियरपोंट प्राइम्स, 109 से 65 कम, 1020 से 157 कम, और 10100 से 795 कम हैं। पियरपोंट प्राइम्स पर बीजगणितीय कारकों से कुछ प्रतिबंध हैं, इसलिए मेर्सन प्रीमियम स्थिति जैसी कोई आवश्यकता नहीं है कि एक्सपोनेंट प्राइम होना चाहिए। इस प्रकार, यह अपेक्षा की जाती है कि सही रूप $$2^u\cdot3^v+1$$ के $n$-अंकीय संख्याओं के बीच, इनमें से जो अंश अभाज्य हैं, वे $1/n$ के समानुपाती होने चाहिए, सभी $n$-अंकीय संख्याओं के बीच अभाज्य संख्याओं के अनुपात के समान अनुपात। जैसा कि इस श्रेणी में सही रूप के $$\Theta(n^{2})$$ संख्या हैं, वहाँ $$\Theta(n)$$ पियरपोंट प्राइम्स होना चाहिए।

एंड्रयू एम. ग्लीसन ने इस तर्क को स्पष्ट किया, यह अनुमान लगाते हुए कि असीम रूप से कई पियरपोंट प्राइम्स हैं, और अधिक विशेष रूप से कि लगभग $10^{n}$ तक लगभग $9n$ पियरपोंट प्राइम्स होने चाहिए। ग्लीसन के अनुमान के अनुसार $$\Theta(\log N)$$ पियरपोंट प्राइम्स N से छोटे हैं, जो उस सीमा में मेर्सन प्राइम्स की छोटी अनुमान संख्या $$O(\log \log N)$$ के विपरीत है।

प्राथमिक परीक्षण
जब $$2^u > 3^v$$, $$2^u\cdot 3^v + 1$$ प्रोथ संख्या है और इस प्रकार प्रोथ के प्रमेय द्वारा इसकी मौलिकता का परीक्षण किया जा सकता है। वहीं, जब $$2^u < 3^v$$ के लिए वैकल्पिक प्रारंभिक परीक्षण $$M=2^u\cdot 3^v + 1$$ के गुणनखंडन के आधार पर संभव हैं $$M-1$$ छोटी सम संख्या के रूप में 3 की बड़ी घात से गुणा किया जाता है।

पियरपोंट प्राइम फ़र्मेट संख्या के कारकों के रूप
फ़र्मेट संख्या के कारकों के लिए चल रही विश्वव्यापी खोज के भाग के रूप में, कुछ पियरपोंट प्राइम्स को कारकों के रूप में घोषित किया गया है। निम्न तालिका m, k, और n के मान देता है जैसे कि

बाईं ओर फर्मेट संख्या है; दाईं ओर पियरपोंट प्राइम है।

, सबसे बड़ा ज्ञात पियरपॉन्ट प्राइम 2 × 310852677 &hairsp;+ 1 (5,178,044 दशमलव अंक) है, जिसकी मौलिकता जनवरी 2023 में खोजी गई थी।

बहुभुज निर्माण
पेपर फ़ोल्डिंग के गणित में, हुज़िता-होतोरी स्वयंसिद्ध सात प्रकार के फ़ोल्ड में से छह को परिभाषित करते हैं। यह दिखाया गया है कि ये तह किसी भी घन समीकरण का समाधान करने वाले बिंदुओं के निर्माण की अनुमति देने के लिए पर्याप्त हैं।

यह इस प्रकार है कि वे $N$ पक्षों के किसी भी नियमित बहुभुज को बनने की अनुमति देते हैं, जब तक कि $N ≥ 3$ और रूप $2^{m}3^{n}ρ$ का है, जहां $ρ$ विशिष्ट पियरपोंट प्राइम्स का एक उत्पाद है। यह नियमित बहुभुजों का वही वर्ग है जो कम्पास, स्ट्रेटेज और एंगल ट्राइसेक्टर के साथ बनाया जा सकता है। यह नियमित बहुभुज जिनका निर्माण केवल कम्पास और स्ट्रेटेज (रचनात्मक बहुभुज) के साथ किया जा सकता है, वे विशेष स्थिति हैं जहाँ $n = 0$ और $ρ$ अलग फ़र्मेट प्राइम्स का उत्पाद है, जो स्वयं पियरपोंट प्राइम्स का सबसेट है।

1895 में, जेम्स पियरपोंट (गणितज्ञ) ने नियमित बहुभुजों की ही कक्षा का अध्ययन किया; उनका काम पियरपोंट प्राइम्स को नाम देता है। पियरपोंट ने कम्पास और स्ट्रेटेज निर्माणों को अलग विधि से सामान्यीकृत किया, शंकु वर्गों को आकर्षित करने की क्षमता जोड़कर जिनके गुणांक पहले निर्मित बिंदुओं से आते हैं। जैसा कि उन्होंने दिखाया, इन परिचालनों के साथ बनाए जा सकने वाले नियमित $N$-गॉन ऐसे हैं कि $N$ का टोटिएंट 3-स्मूथ है। चूँकि एक अभाज्य का योग उसमें से एक को घटाकर बनाया जाता है, अभाज्य $N$ जिसके लिए पियरपोंट का निर्माण कार्य वास्तव में पियरपोंट अभाज्य है। चूँकि, पियरपोंट ने 3-स्मूथ कुलियों के साथ समग्र संख्याओं के रूप का वर्णन नहीं किया था। जैसा कि ग्लीसन ने बाद में दिखाया, ये संख्याएं बिल्कुल ऊपर दिए गए रूप $2^{m}3^{n}ρ$ की ही हैं।

सबसे छोटा अभाज्य जो पियरपोंट (या फर्मेट) अभाज्य नहीं है, वह 11 है; इसलिए, हेंडेकैगन पहला नियमित बहुभुज है जिसे कम्पास, स्ट्रेटेज और एंगल ट्राइसेक्टर (या ओरिगेमी, या कॉनिक सेक्शन) के साथ नहीं बनाया जा सकता है। अन्य सभी नियमित $N$-गोंस साथ $3 ≤ N ≤ 21$ कम्पास, स्ट्रेटेज और ट्राइसेक्टर के साथ बनाया जा सकता है।

सामान्यीकरण
दूसरी तरह का एक पियरपोंट प्राइम रूप 2u3v − 1 का एक प्रमुख संख्या है। ये संख्याएं हैं

इस प्रकार के सबसे बड़े ज्ञात अभाज्य मेर्सेन अभाज्य हैं; वर्तमान में सबसे बड़ा ज्ञात $$2^{82589933}-1$$ (24,862,048 दशमलव अंक) है। दूसरी तरह का सबसे बड़ा ज्ञात पियरपोंट प्राइम जो मेर्सन प्राइम $$3\cdot 2^{18924988}-1$$ नहीं है, जो प्राइमग्रिड द्वारा पाया गया।

सामान्यीकृत पियरपॉन्ट प्राइम रूप $$p_1^{n_1} \!\cdot p_2^{n_2} \!\cdot p_3^{n_3} \!\cdot \ldots \cdot p_k^{n_k} + 1$$ का प्राइम है जिसमे k फिक्स्ड प्राइम p1 < p2 < p3 < ... < pk है। दूसरी तरह का सामान्यीकृत पियरपॉन्ट प्राइम रूप $$p_1^{n_1} \!\cdot p_2^{n_2} \!\cdot p_3^{n_3} \!\cdot \ldots \cdot p_k^{n_k} - 1$$ का प्राइम है जिसमें k फिक्स्ड प्राइम्स p1  k.$$