घूर्णन-लहर सन्निकटन

घूर्णन-लहर सन्निकटन परमाणु प्रकाशिकी और परमाणु चुंबकीय अनुनाद में प्रयुक्त एक सन्निकटन है। इस सन्निकटन में, हैमिल्टनियन (परिमाण यांत्रिकी) में शब्द जो तीव्रता से दोलन करते हैं, वे उपेक्षित हैं। यह एक वैध सन्निकटन है जब लागू विद्युत चुम्बकीय विकिरण एक परमाणु परिवर्तन के साथ अनुनाद के निकट है, और तीव्रता कम है। स्पष्ट रूप से, हैमिल्टनियन में शब्द जो आवृत्तियों $$\omega_L + \omega_0$$ के साथ दोलन करते हैं वे उपेक्षित हैं, जबकि $$\omega_L - \omega_0$$0 आवृत्तियों के साथ दोलन करने वाले पदों को रखा जाता है, जहाँ $$\omega_L$$ प्रकाश आवृत्ति है, और $$\omega_0$$ एक परिवर्तन आवृत्ति है।

जैसा कि नीचे दिखाया गया है, अंतःक्रिया चित्र में हैमिल्टनियन के रूप से सन्निकटन का नाम उपजा है। इस तस्वीर पर परिवर्तन करके संबंधित परमाणु हैमिल्टनियन के कारण एक परमाणु का विकास प्रणाली डिरैक चिन्हांकन में अवशोषित हो जाता है, केवल प्रकाश क्षेत्र के साथ परमाणु की पारस्परिक प्रभाव के कारण विकास को छोड़कर विचार किया जाता है। यह इस तस्वीर में है कि पहले उल्लेखित तीव्रता से दोलन करने वाले शब्दों की उपेक्षा की जा सकती है। चूँकि कुछ अर्थों में अंतःक्रियात्मक चित्र को प्रणाली केट के साथ घूमने के बारे में सोचा जा सकता है, केवल विद्युत चुम्बकीय तरंग का वह भाग जो लगभग सह-घूर्णन रखता है; प्रतिघूर्णी घटक को छोड़ दिया जाता है।

घूर्णन-लहर सन्निकटन, दीर्घकालिक सन्निकटन से निकटता से संबंधित है, लेकिन इससे भिन्न\ भी है।

गणितीय सूत्रीकरण
सादगी के लिए जमीनी अवस्था और उत्तेजित अवस्था वाले दो-स्तरीय परमाणु प्रणाली $$|\text{g}\rangle$$ और $$|\text{e}\rangle$$, क्रमशः (डिरैक चिन्हांकन का उपयोग करके) पर विचार करें। मान लीजिए कि अवस्थाओं के बीच ऊर्जा का अंतर $$\hbar\omega_0$$ है ताकि $$\omega_0$$ तंत्र की परिवर्तन  आवृत्ति हो। तब परमाणु के अविचलित हैमिल्टनियन (परिमाण यांत्रिकी) को निम्न रूप में लिखा जा सकता है


 * $$H_0 = \frac{\hbar\omega_0}{2}|\text{e}\rangle\langle\text{e}|-\frac{\hbar\omega_0}{2}|\text{g}\rangle\langle\text{g}|$$.

मान लीजिए कि परमाणु आवृत्ति के बाहरी पारम्परिक विद्युत क्षेत्र $$\omega_L$$ का अनुभव करता है, जो $$\vec{E}(t) = \vec{E}_0 e^{-i\omega_Lt} +\vec{E}_0^* e^{i\omega_Lt}$$ द्वारा दिए गए हैं; उदाहरण के लिए, एक समतल तरंग स्थल में फैलती है। तब द्विध्रुवीय सन्निकटन के अंतर्गत परमाणु और विद्युत क्षेत्र के बीच परस्पर क्रिया हैमिल्टन को निम्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$H_1 = -\vec{d} \cdot \vec{E}$$,

जहाँ $$\vec{d}$$ परमाणु का परिवर्तन द्विध्रुवीय क्षण है। परमाणु-प्रकाश प्रणाली के लिए कुल हैमिल्टनियन इसलिए $$H = H_0 + H_1$$ है। परमाणु के पास एक द्विध्रुव क्षण नहीं होता है जब वह एक ऊर्जा ईजेनस्टेट में होता है, इसलिए $$\left\langle\text{e}\left|\vec{d}\right|\text{e}\right\rangle = \left\langle\text{g}\left|\vec{d}\right|\text{g}\right\rangle = 0$$ है। इसका अर्थ है कि $$\vec{d}_\text{eg} \mathrel{:=} \left\langle\text{e}\left|\vec{d}\right|\text{g}\right\rangle$$ को परिभाषित करना द्विध्रुवीय संचालक को निम्न रूप में लिखे जाने की अनुमति देता है


 * $$\vec{d} = \vec{d}_\text{eg}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| + \vec{d}_\text{eg}^*|\text{g}\rangle\langle\text{e}|$$

( $$^*$$ के साथ जटिल संयुग्म को दर्शाता है)। हैमिल्टनियन की परस्पर क्रिया को तब निम्नलिखित दिखाया जा सकता है


 * $$H_1 =

-\hbar\left(\Omega e^{-i\omega_Lt} + \tilde{\Omega}e^{i\omega_Lt}\right)|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\left(\tilde{\Omega}^* e^{-i\omega_Lt} + \Omega^*e^{i\omega_Lt}\right)|\text{g}\rangle\langle\text{e}| $$ जहाँ $$\Omega = \hbar^{-1}\vec{d}_\text{eg} \cdot \vec{E}_0$$ रबी आवृत्ति है और $$\tilde{\Omega} \mathrel{:=} \hbar^{-1}\vec{d}_\text{eg} \cdot \vec{E}_0^*$$ प्रति-घूर्णन आवृत्ति है। यह देखने के लिए कि क्यों $$\tilde{\Omega}$$ स्तिथियों को प्रतिघूर्णी कहा जाता है, जहां पारस्परिक प्रभाव के लिए एक एकात्मक परिवर्तन पर विचार किया जाता है, जहां रूपांतरित हैमिल्टनियन $$H_{1,I}$$ निम्नलिखित द्वारा दिया गया है।


 * $$H_{1,I} =

-\hbar\left(\Omega e^{-i\Delta \omega t} + \tilde{\Omega}e^{i(\omega_L + \omega_0)t}\right)|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\left(\tilde{\Omega}^* e^{-i(\omega_L + \omega_0)t} + \Omega^* e^{i\Delta \omega t}\right)|\text{g}\rangle\langle\text{e}|, $$ जहाँ $$\Delta \omega \mathrel{:=} \omega_L - \omega_0$$ प्रकाश क्षेत्र और परमाणु के बीच विस्वरण है।

सन्निकटन निर्माण
यह वह बिंदु है जिस पर घूर्णन तरंग सन्निकटन किया जाता है। द्विध्रुव सन्निकटन मान लिया गया है, और इसके लिए वैध रहने के लिए विद्युत क्षेत्र को परमाणु परिवर्तन के साथ अनुनाद के निकट होना चाहिए। इस का अर्थ है कि $$\Delta \omega \ll \omega_L + \omega_0$$ और जटिल घातीय गुणन $$\tilde{\Omega}$$ और $$\tilde{\Omega}^*$$ तीव्रता से दोलन माना जा सकता है। इसलिए किसी भी सुप्रेक्ष्य समय के मापक्रम पर, दोलन जल्दी से 0 औसत के हो जाएंगे। घूर्णन तरंग सन्निकटन इस प्रकार दावा है कि इन शब्दों की उपेक्षा की जा सकती है और इस प्रकार हैमिल्टन को अंतःक्रिया चित्र में लिखा जा सकता है


 * $$H_{1,I}^{\text{RWA}} =

-\hbar\Omega e^{-i\Delta \omega t}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\Omega^* e^{i\Delta \omega t}|\text{g}\rangle\langle\text{e}|. $$ अंत में, श्रोडिंगर तस्वीर में वापस बदलते हुए, हैमिल्टनियन निम्न द्वारा दिया गया है


 * $$H^\text{RWA} =

\frac{\hbar\omega_0}{2}|\text{e}\rangle\langle\text{e}| - \frac{\hbar\omega_0}{2}|\text{g}\rangle\langle\text{g}| - \hbar\Omega e^{-i\omega_Lt}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| - \hbar\Omega^* e^{i\omega_Lt}|\text{g}\rangle\langle\text{e}|. $$ तरंग सन्निकटन को घुमाने के लिए एक अन्य मानदंड शक्तिहीन युग्मन स्थिति है, अर्थात, रबी आवृत्ति परिवर्तन आवृत्ति से बहुत कम होनी चाहिए।

इस बिंदु पर घूर्णन तरंग सन्निकटन पूरा हो गया है। इससे परे एक सामान्य पहला कदम एक अन्य एकात्मक परिवर्तन के माध्यम से हैमिल्टनियन में शेष समय की निर्भरता को दूर करना है।

व्युत्पत्ति
उपरोक्त परिभाषाओं को देखते हुए हैमिल्टनियन पारस्परिक प्रभाव निम्न है


 * $$\begin{align}

H_1 = -\vec{d}\cdot\vec{E} &= -\left(\vec{d}_\text{eg}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| + \vec{d}_\text{eg}^*|\text{g}\rangle\langle\text{e}|\right) \cdot \left(\vec{E}_0 e^{-i\omega_Lt} + \vec{E}_0^* e^{i\omega_Lt}\right) \\ &= -\left(\vec{d}_\text{eg} \cdot \vec{E}_0 e^{-i\omega_Lt}        +\vec{d}_\text{eg} \cdot \vec{E}_0^* e^{i\omega_Lt}\right)|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\left(\vec{d}_\text{eg}^* \cdot \vec{E}_0 e^{-i\omega_Lt}        +\vec{d}_\text{eg}^* \cdot \vec{E}_0^* e^{i\omega_Lt}\right)|\text{g}\rangle\langle\text{e}| \\ &= -\hbar\left(\Omega e^{-i\omega_Lt} + \tilde{\Omega} e^{i\omega_Lt}\right)|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\left(\tilde{\Omega}^* e^{-i\omega_Lt} + \Omega^* e^{i\omega_Lt}\right)|\text{g}\rangle\langle\text{e}|, \end{align}$$ जैसा कि निश्चित कहा गया है। अगला कदम पारस्परिक प्रभाव तस्वीर $$H_{1,I}$$ में हैमिल्टनियन को ढूंढना है। आवश्यक एकात्मक परिवर्तन निम्न है


 * $$U =

e^{iH_0t/\hbar} = e^{i \omega_0 t |\text{e}\rangle \langle\text{e}|} = |\text{g}\rangle \langle\text{g}| + e^{i \omega_0 t} |\text{e}\rangle \langle\text{e}| $$,

जहां अंतिम चरण का पालन करने के लिए देखा जा सकता है उदा. टेलर श्रृंखला के विस्तार से इस तथ्य के साथ कि $$|\text{g}\rangle\langle\text{g}| + |\text{e}\rangle\langle\text{e}| = 1$$ होता है, और स्तिथियों की रूढ़िवादिता के कारण $$|\text{g}\rangle$$ और $$|\text{e}\rangle$$. के लिए प्रतिस्थापन $$H_0$$ दूसरे चरण में पिछले खंड में दी गई परिभाषा से अलग होने को या तो समग्र ऊर्जा स्तरों को स्थानांतरित करके उचित ठहराया जा सकता है जैसे कि $$|\text{g}\rangle$$ ऊर्जा है $$0$$ और $$|\text{e}\rangle$$ ऊर्जा $$\hbar\omega_0$$ है, या यह देखते हुए कि एक समग्र चरण द्वारा गुणा ($$e^{i \omega_0 t/2}$$ इस मामले में) एकात्मक संचालक पर अंतर्निहित भौतिकी को प्रभावित नहीं करता है। अब हमारे पास निम्न है


 * $$\begin{align}

H_{1,I} &\equiv U H_1 U^\dagger \\ &= -\hbar\left(\Omega e^{-i\omega_Lt} + \tilde{\Omega}e^{i\omega_Lt}\right)e^{i\omega_0t}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\left(\tilde{\Omega}^* e^{-i\omega_Lt} + \Omega^*e^{i\omega_Lt}\right)|\text{g}\rangle\langle\text{e}|e^{-i\omega_0t} \\ &= -\hbar\left(\Omega e^{-i\Delta \omega t} + \tilde{\Omega}e^{i(\omega_L + \omega_0)t}\right)|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\left(\tilde{\Omega}^*e^{-i(\omega_L + \omega_0)t} + \Omega^* e^{i\Delta \omega t}\right)|\text{g}\rangle\langle\text{e}|\. \end{align}$$ अब हम RWA को लागू करते हैं, जैसा कि पिछले अनुभाग में बताया गया है, प्रति-घूर्णन स्तिथियों को समाप्त करके, और अंत में अनुमानित हैमिल्टनियन $$H_{1,I}^{\text{RWA}}$$ को श्रोडिंगर चित्र पर वापस रूपांतरित करते हैं :


 * $$\begin{align}

H_1^\text{RWA} &= U^\dagger H_{1,I}^{\text{RWA}} U \\ &= -\hbar\Omega e^{-i\Delta \omega t}e^{-i\omega_0 t}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\Omega^* e^{i\Delta \omega t}|\text{g}\rangle\langle\text{e}|e^{i\omega_0t} \\ &= -\hbar\Omega e^{-i\omega_Lt}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\Omega^* e^{i\omega_Lt}|\text{g}\rangle\langle\text{e}|. \end{align}$$ परमाणु हैमिल्टन सन्निकटन से अप्रभावित था, इसलिए घूर्णन तरंग सन्निकटन के अंतर्गत श्रोडिंगर चित्र में कुल हैमिल्टनियन है



H^\text{RWA} = H_0 + H_1^\text{RWA} = \frac{\hbar\omega_0}{2}|\text{e}\rangle\langle\text{e}| - \frac{\hbar\omega_0}{2}|\text{g}\rangle\langle\text{g}| - \hbar\Omega e^{-i\omega_Lt}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| - \hbar\Omega^*e^{i\omega_Lt}|\text{g}\rangle\langle\text{e}|. $$