स्थानीय रैखिक आरेख

ग्राफ़ सिद्धांत में, एक स्थानीय रेखीय ग्राफ़ एक अप्रत्यक्ष ग्राफ होता है जिसमें प्रत्येक किनारे ठीक एक त्रिकोण से संबंधित होता है। समतुल्य रूप से, ग्राफ के प्रत्येक शीर्ष के लिए, इसके पड़ोसी प्रत्येक एक दूसरे पड़ोसी के निकट हैं, इसलिए पड़ोसियों को एक प्रेरित मिलान में जोड़ा जा सकता है। स्थानीय रूप से रैखिक रेखांकन को स्थानीय रूप से मिलान किए गए रेखांकन भी कहा जाता है।

स्थानीय रेखीय रेखांकन के लिए कई निर्माण ज्ञात हैं। स्थानीय रेखीय ग्राफ़ के उदाहरणों में त्रिकोणीय कैक्टस ग्राफ, 3-नियमित त्रिभुज-मुक्त ग्राफ़ के रेखा ग्राफ़ और छोटे स्थानीय रेखीय ग्राफ़ के कार्टेशियन उत्पाद शामिल हैं। कुछ केनेसर ग्राफ़, और कुछ दृढ़ता से नियमित ग्राफ भी स्थानीय रूप से रेखीय होते हैं।

स्थानीय रूप से रेखीय रेखांकन के कितने किनारे हो सकते हैं, यह सवाल रूज़सा-ज़ेमेरीडी समस्या के योगों में से एक है। हालांकि सघन ग्राफ़ में कोने की संख्या के वर्ग के अनुपात में कई किनारे हो सकते हैं, स्थानीय रेखीय ग्राफ़ में किनारों की संख्या कम होती है, जो कम से कम एक छोटे से गैर-निरंतर कारक द्वारा वर्ग से कम होता है। स्थानीय रूप से रैखिक हो सकने वाले सघन प्लानर ग्राफ़ भी ज्ञात हैं। सबसे कम घने स्थानीय रेखीय ग्राफ त्रिकोणीय कैक्टस ग्राफ हैं।

ग्लूइंग और उत्पाद
मैत्री रेखांकन, एक ही साझा शीर्ष पर त्रिभुजों के संग्रह को एक साथ जोड़कर बनाए गए रेखांकन, स्थानीय रूप से रैखिक होते हैं। वे एकमात्र परिमित ग्राफ़ हैं जिनके पास मजबूत संपत्ति है कि हर जोड़ी के कोने (आसन्न या नहीं) एक सामान्य पड़ोसी को साझा करते हैं। अधिक आम तौर पर हर त्रिकोणीय कैक्टस ग्राफ, बिना किसी अतिरिक्त चक्र के साझा किए गए शीर्षों पर त्रिकोणों को चिपकाने वाला एक ग्राफ स्थानीय रूप से रैखिक होता है।

निम्न ऑपरेशन द्वारा स्थानीय रूप से रैखिक ग्राफ़ छोटे स्थानीय रेखीय ग्राफ़ से बन सकते हैं, ग्राफ़ पर क्लिक-सम ऑपरेशन का एक रूप। $$G$$ और $$H$$ को कोई भी दो स्थानीय रेखीय ग्राफ़ होने दें, उनमें से प्रत्येक से एक त्रिभुज का चयन करें, और दो ग्राफ़ को दो चयनित त्रिभुजों में संबंधित जोड़े को एक साथ मिला कर गोंद करें। फिर परिणामी ग्राफ स्थानीय रूप से रैखिक रहता है।

किसी भी दो स्थानीय रेखीय ग्राफ़ का कार्टेशियन उत्पाद स्थानीय रूप से रेखीय रहता है, क्योंकि उत्पाद में कोई भी त्रिकोण एक या दूसरे कारकों में त्रिकोण से आता है। उदाहरण के लिए, नौ-शीर्ष पाले ग्राफ (3-3 डुओप्रिज्म का ग्राफ) दो त्रिकोणों का कार्टेशियन उत्पाद है। हैमिंग ग्राफ $$H(d,3)$$ त्रिभुजों का कार्तीय गुणनफल है, और फिर से स्थानीय रूप से रैखिक है।

छोटे रेखांकन से
कुछ ग्राफ़ जो स्वयं स्थानीय रूप से रेखीय नहीं हैं, उन्हें बड़े स्थानीय रेखीय ग्राफ़ बनाने के लिए एक ढाँचे के रूप में उपयोग किया जा सकता है। ऐसे ही एक निर्माण में लाइन ग्राफ़ शामिल हैं। किसी भी ग्राफ़ $$G$$ के लिए, लाइन ग्राफ़ $$L(G)$$ एक ऐसा ग्राफ़ है जिसमें $$G$$ के प्रत्येक किनारे के लिए एक शीर्ष है।$$L(G)$$ में दो कोने आसन्न होते हैं जब $$G$$ में प्रतिनिधित्व करने वाले दो किनारों का एक सामान्य समापन बिंदु होता है। यदि $$G$$ एक 3-नियमित त्रिभुज-मुक्त ग्राफ़ है, तो इसका रेखा ग्राफ़$$L(G)$$ 4-नियमित और स्थानीय रूप से रैखिक है। इसमें $$G$$ के प्रत्येक शीर्ष $$v$$ के लिए एक त्रिभुज है जिसमें त्रिभुज के कोने $$v$$ से संबंधित तीन किनारों के अनुरूप हैं। प्रत्येक 4-नियमित स्थानीय रूप से रैखिक ग्राफ इस तरह से बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, क्यूबोक्टेहेड्रोन का ग्राफ घन का रेखा ग्राफ है, इसलिए यह स्थानीय रूप से रैखिक है। कार्टेशियन उत्पाद के रूप में ऊपर निर्मित स्थानीय रूप से रैखिक नौ-वर्टेक्स पाले ग्राफ, उपयोगिता ग्राफ $$K_{3,3}$$ के रेखा ग्राफ के रूप में एक अलग तरीके से भी बनाया जा सकता है। इस निर्माण द्वारा पीटरसन ग्राफ का लाइन ग्राफ भी स्थानीय रूप से रैखिक है। इसमें केज (ग्राफ सिद्धांत) के अनुरूप गुण है: यह सबसे छोटा संभव ग्राफ है जिसमें सबसे बड़े क्लिक (ग्राफ सिद्धांत) में तीन कोने हैं, प्रत्येक वर्टेक्स बिल्कुल दो किनारे-विच्छेद वाले क्लिक्स में है, और अलग-अलग क्लिक्स के किनारों के साथ सबसे छोटा चक्र पांच लंबाई का है।

प्लानर ग्राफ़ पर एक अधिक जटिल विस्तार प्रक्रिया लागू होती है। मान लीजिए कि $$G$$ समतल में एक समतलीय ग्राफ़ इस प्रकार सन्निहित है कि प्रत्येक फलक एक चतुर्भुज है, जैसे घन का ग्राफ़। जी के प्रत्येक चेहरे पर एक वर्ग एंटीप्रिज्म को चिपकाना, और फिर जी के मूल किनारों को हटाना, एक नया स्थानीय रैखिक प्लानर ग्राफ तैयार करता है। परिणाम के किनारों और शीर्षों की संख्या की गणना यूलर के बहुफलकीय सूत्र से की जा सकती है यदि $$G$$ में $$n$$ शीर्ष हैं, इसके बिलकुल $$n-2$$ फलक हैं, और प्रतिप्रिज्म द्वारा $$G$$ के फलकों को प्रतिस्थापित करने का परिणाम है $$5(n-2)+2$$ कोने और $$12(n-2)$$ किनारे। उदाहरण के लिए, एक 4-चक्र के दो चेहरों (आंतरिक और बाहरी) से क्यूबोक्टाहेड्रॉन को फिर से इस तरह से बनाया जा सकता है। इस निर्माण के हटाए गए 4-चक्र को क्यूबोक्टाहेड्रोन पर इसके चौकोर चेहरों के चार विकर्णों के चक्र के रूप में देखा जा सकता है, जो पॉलीहेड्रॉन को द्विभाजित करता है।

बीजगणितीय रचनाएं
कुछ केनेसर ग्राफ़, समान आकार के सेट के प्रतिच्छेदन पैटर्न से निर्मित ग्राफ़, स्थानीय रूप से रेखीय होते हैं। नेसर ग्राफ़ को दो मापदंडों द्वारा वर्णित किया गया है, सेट का आकार जो वे प्रतिनिधित्व करते हैं और ब्रह्मांड का आकार जिससे ये सेट तैयार किए गए हैं। केनेसर ग्राफ़ $$KG_{a,b}$$ में $$\tbinom{a}{b}$$ शीर्ष हैं (द्विपद गुणांक के लिए मानक संकेतन में), a-तत्व के $$b$$-तत्व सबसेट का प्रतिनिधित्व करते हैं तय करना। इस ग्राफ में, दो कोने आसन्न होते हैं जब संगत उपसमुच्चय असंयुक्त सेट होते हैं, जिनमें कोई तत्व उभयनिष्ठ नहीं होता है। विशेष स्थिति में जब $$a=3b$$ परिणामी ग्राफ़ स्थानीय रूप से रेखीय होता है, क्योंकि प्रत्येक दो असंयुक्त होते हैं $$b$$-एलिमेंट सबसेट $$X$$ और $$Y$$ उन दोनों से ठीक एक अन्य बी-एलिमेंट सबसेट डिसजॉइंट है, जिसमें वे सभी एलिमेंट शामिल हैं जो न तो $$X$$ में हैं और न ही $$Y$$ में। परिणामी स्थानीय रैखिक ग्राफ में $$\tbinom{3b}{b}$$ कोने और $$\tfrac{1}{2}\tbinom{3b}{b}\tbinom{2b}{b}$$ किनारे। उदाहरण के लिए, $$b=2$$ के लिए केनेसर ग्राफ $$KG_{6,2}$$ 15 शीर्षों और 45 किनारों के साथ स्थानीय रूप से रैखिक है।

स्थानीय रूप से रेखीय ग्राफ़ भी संख्याओं के प्रगति-मुक्त सेट से बनाए जा सकते हैं। $$p$$ को एक अभाज्य संख्या होने दें, और ए को संख्याओं के मॉड्यूलो पी का एक उपसमूह होने दें, जैसे कि ए के कोई भी तीन सदस्य अंकगणितीय प्रगति मॉड्यूलो $$p$$ नहीं बनाते हैं। (अर्थात् $$A$$ सलेम-स्पेंसर सेट मॉड्यूलो $$p$$ है।) इस सेट का उपयोग $$3p$$ कोने और {\displaystyle 3p\cdot |A|} किनारों के साथ एक त्रिपक्षीय ग्राफ़ बनाने के लिए किया जा सकता है जो स्थानीय रूप से रैखिक है। इस ग्राफ़ को बनाने के लिए, वर्टिकल के तीन सेट बनाएं, प्रत्येक को {\displaystyle 0} से $$p-1$$ तक क्रमांकित करें। $$0$$ से $$p-1$$ तक की श्रेणी में प्रत्येक संख्या x के लिए और $$A$$ के प्रत्येक तत्व के लिए, वर्टेक्स के पहले सेट में वर्टेक्स को संख्या x से जोड़ने वाला एक त्रिभुज बनाएँ, नंबर के साथ वर्टेक्स $$x+a$$ शीर्षों के दूसरे सेट में, और शीर्षों के तीसरे सेट में संख्या$$x+2a$$ के साथ शीर्ष। इन सभी त्रिभुजों के मिलन के रूप में एक ग्राफ बनाएँ। क्योंकि यह त्रिभुजों का एक संघ है, परिणामी ग्राफ का प्रत्येक किनारा एक त्रिभुज से संबंधित है। हालाँकि, इस तरह से बने त्रिभुजों के अलावा कोई अन्य त्रिभुज नहीं हो सकता है। किसी भी अन्य त्रिभुज के शीर्ष क्रमांकित होंगे $$(x,x+a,x+a+b)$$ जहां $$a$$, $$b$$ और $$c=(a+b)/2$$ सभी $$A$$ से संबंधित हैं, जो इस धारणा का उल्लंघन करता है कि $$A$$ में कोई अंकगणितीय श्रेढ़ी $$(a,c,b)$$ नहीं होनी चाहिए। [9] उदाहरण के लिए,$$p=3$$ और $$A=\{\pm 1\}$$ के साथ, इस निर्माण का परिणाम नौ-शीर्ष Paley ग्राफ है।

कुछ शीर्षों के साथ नियमित रेखांकन
एक ग्राफ नियमित ग्राफ होता है जब इसके सभी शीर्षों की डिग्री समान होती है, घटना किनारों की संख्या। प्रत्येक स्थानीय रेखीय ग्राफ में प्रत्येक शीर्ष पर सम डिग्री होनी चाहिए, क्योंकि प्रत्येक शीर्ष पर किनारों को त्रिभुजों में जोड़ा जा सकता है। दो स्थानीय रैखिक नियमित ग्राफ़ का कार्टेशियन उत्पाद फिर से स्थानीय रूप से रैखिक और नियमित होता है, जिसमें कारकों की डिग्री के योग के बराबर डिग्री होती है। इसलिए, कोई भी डिग्री दो (त्रिकोण) के स्थानीय रैखिक ग्राफ़ के कार्टेशियन उत्पादों को हर डिग्री के नियमित स्थानीय रैखिक ग्राफ़ का उत्पादन करने के लिए ले सकता है।

$$2r$$ शीर्ष, क्योंकि किसी भी त्रिभुज और उसके पड़ोसियों के बीच इतने ही शीर्ष होते हैं। (त्रिभुज के कोई भी दो शीर्ष स्थानीय रैखिकता का उल्लंघन किए बिना एक पड़ोसी को साझा नहीं कर सकते हैं।) इतने सारे शीर्षों के साथ नियमित ग्राफ़ केवल तभी संभव होते हैं जब $$r$$ 1, 2, 3, या 5 हो, और इन चार मामलों में से प्रत्येक के लिए विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया हो। शीर्षों की संख्या पर इस सीमा को पूरा करने वाले चार नियमित ग्राफ़ हैं 3-शीर्ष 2-नियमित त्रिभुज $$K_3$$, 9-शीर्ष 4-नियमित Paley ग्राफ़, 15-शीर्ष 6-नियमित केनेसर ग्राफ़ $$KG_{6,2}$$और श्लाफली ग्राफ का 27-शीर्ष 10-नियमित पूरक ग्राफ अंतिम 27-शीर्ष 10-नियमित ग्राफ़ भी घन सतह पर 27 रेखाओं के प्रतिच्छेदन ग्राफ़ का प्रतिनिधित्व करता है।

जोरदार नियमित रेखांकन
एक दृढ़ता से नियमित ग्राफ को चौगुनी मापदंडों द्वारा चित्रित किया जा सकता है $$(n,k,\lambda,\mu)$$ कहाँ $$n$$ शीर्षों की संख्या है, $$k$$ प्रति शीर्ष घटना किनारों की संख्या है, $$\lambda$$ शीर्षों के प्रत्येक सन्निकट युग्म के लिए साझा किए गए पड़ोसियों की संख्या है, और $$\mu$$ शीर्षों के प्रत्येक गैर-निकटवर्ती जोड़े के लिए साझा किए गए पड़ोसियों की संख्या है। कब $$\lambda=1$$ ग्राफ स्थानीय रूप से रैखिक है। ऊपर उल्लिखित स्थानीय रेखीय ग्राफ़ दृढ़ता से नियमित ग्राफ़ हैं और उनके पैरामीटर हैं अन्य स्थानीय रूप से रैखिक दृढ़ता से नियमित रेखांकन में शामिल हैं $$\lambda=1$$ के साथ अन्य संभावित-वैध संयोजनों में (99,14,1,2) और (115,18,1,3) शामिल हैं लेकिन यह अज्ञात है कि क्या उन मापदंडों के साथ दृढ़ता से नियमित ग्राफ मौजूद हैं। मापदंडों (99,14,1,2) के साथ एक दृढ़ता से नियमित ग्राफ के अस्तित्व का प्रश्न कॉनवे की 99-ग्राफ समस्या के रूप में जाना जाता है, और जॉन हॉर्टन कॉनवे ने इसके समाधान के लिए $1000 पुरस्कार की पेशकश की है।
 * त्रिकोण (3,2,1,0),
 * नौ-शीर्ष पाले ग्राफ (9,4,1,2),
 * केसर ग्राफ $$KG_{6,2}$$ (15,6,1,3), और
 * श्लाफली ग्राफ का पूरक (27,10,1,5)।
 * ब्राउवर-हेमर्स ग्राफ (81,20,1,6),
 * बेर्लेकैंप-वैन लिंट-सीडेल ग्राफ (243,22,1,2),
 * कोसिडेंटे-पेंटिला ग्राफ (378,52,1,8), और
 * खेलों का ग्राफ (729,112,1,20)।

दूरी-नियमित रेखांकन
डिग्री 4 या 6 के निश्चित रूप से कई दूरी-नियमित ग्राफ हैं जो स्थानीय रूप से रैखिक हैं। समान डिग्री के दृढ़ता से नियमित ग्राफ़ से परे, वे पीटरसन ग्राफ़ के लाइन ग्राफ़, हैमिंग ग्राफ़ $$H(3,3)$$ और आधा फोस्टर ग्राफ़ को भी शामिल करते हैं।

घनत्व


रुज़सा-ज़ेमेरीडी समस्या का एक सूत्रीकरण किनारों की अधिकतम संख्या के लिए पूछता है एन-वर्टेक्स स्थानीय रूप से रैखिक ग्राफ। जैसा कि इमरे जेड. रूज़सा और एंड्रे ज़ेमेरीडी ने साबित किया, यह अधिकतम संख्या $$o(n^2)$$ है, लेकिन $$\Omega(n^{2-\varepsilon})$$ प्रत्येक $$\varepsilon>0$$ के लिए है। प्रगति-मुक्त सेटों से स्थानीय रूप से रेखीय ग्राफ़ का निर्माण स्थानीय स्तर पर ज्ञात रेखीय ग्राफ़ के साथ होता है $$n^2/\exp O(\sqrt{\log n})$$ किनारे। (इन सूत्रों में$$o$$, $$\Omega$$, और $$O$$ क्रमशः छोटे ओ नोटेशन, बिग ओमेगा नोटेशन और बिग ओ नोटेशन के उदाहरण हैं।

तलीय ग्राफ़ों में, स्थानीय रेखीय ग्राफ़ में $$n$$ शीर्षों के साथ किनारों की अधिकतम संख्या $$\tfrac{12}{5}(n-2)$$ है। क्यूबोक्टाहेड्रॉन का ग्राफ $$n=5k+2$$ वर्टिकल और $$\tfrac{12}{5}(n-2)=12k$$ किनारों के साथ पॉलीहेड्रल ग्राफ़ के अनंत अनुक्रम में पहला है, for …$$k=2,3,\dots$$ के चतुर्भुज फलकों को बढ़ाकर बनाया गया है $$K_{2,k}$$ एंटीप्रिज्म में। इन उदाहरणों से पता चलता है कि $$\tfrac{12}{5}(n-2)$$ ऊपरी सीमा प्राप्त की जा सकती है

प्रत्येक स्थानीय रेखीय ग्राफ में यह गुण होता है कि यह किसी भी मिलान को हटाने के बाद जुड़ा रहता है, क्योंकि ग्राफ के माध्यम से किसी भी पथ में, प्रत्येक मिलान वाले किनारे को उसके त्रिकोण के अन्य दो किनारों से बदला जा सकता है। इस गुण वाले ग्राफ़ों में, सबसे कम सघन त्रिकोणीय कैक्टस ग्राफ़ हैं, जो स्थानीय रेखीय ग्राफ़ भी सबसे कम घने हैं।।