K-फ़ंक्शन

गणित में,$k$-फलन, जिसे सामान्यतः K(z) कहा जाता है, हाइपरफैक्टोरियल से जटिल संख्याओं का सामान्यीकरण है, जो गामा फलन के लिए फ़ैक्टोरियल के सामान्यीकरण के समान है।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, $K$-फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$K(z)=(2\pi)^{-\frac{z-1}2} \exp\left[\binom{z}{2}+\int_0^{z-1} \ln \Gamma(t + 1)\,dt\right].$$

इसे संवृत रूप में भी दिया जा सकता है


 * $$K(z)=\exp\bigl[\zeta'(-1,z)-\zeta'(-1)\bigr]$$

जहाँ $&zeta;′(z)$ रीमैन ज़ेटा फलन के व्युत्पन्न को दर्शाता है, $&zeta;(a,z)$ हर्विट्ज़ ज़ेटा फलन को दर्शाता है और


 * $$\zeta'(a,z)\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \left.\frac{\partial\zeta(s,z)}{\partial s}\right|_{s=a}.$$

पॉलीगामा फलन का उपयोग करने वाली और अभिव्यक्ति है


 * $$K(z)=\exp\left[\psi^{(-2)}(z)+\frac{z^2-z}{2}-\frac {z}{2} \ln 2\pi \right]$$

या पॉलीगामा फलन के संतुलित सामान्यीकरण का उपयोग करता है :
 * $$K(z)=A \exp\left[\psi(-2,z)+\frac{z^2-z}{2}\right]$$

जहाँ $K$ ग्लैशर स्थिरांक है।

गामा फलन के लिए बोहर-मोलेरुप प्रमेय के समान, लॉग के-फलन अद्वितीय (एक योगात्मक स्थिरांक तक) अंततः समीकरण $$\Delta f(x)=x\ln(x)$$ का 2-उत्तल समाधान है जहाँ $$\Delta$$ फॉरवर्ड डिफरेंस संचालक है।

गुण
इसके $α > 0$ लिए यह दिखाया जा सकता है :


 * $$\int_\alpha^{\alpha+1}\ln K(x)\,dx-\int_0^1\ln K(x)\,dx=\tfrac{1}{2}\alpha^2\left(\ln\alpha-\tfrac{1}{2}\right)$$

इसे किसी फलन $A$ को परिभाषित करके दिखाया जा सकता है ऐसा है कि:


 * $$f(\alpha)=\int_\alpha^{\alpha+1}\ln K(x)\,dx$$

$f$ प्रस्तुतीकरण के संबंध में अब इस पहचान को अलग करता है:


 * $$f'(\alpha)=\ln K(\alpha+1)-\ln K(\alpha)$$

लघुगणक नियम प्रयुक्त करने पर हमें प्राप्त होता है


 * $$f'(\alpha)=\ln\frac{K(\alpha+1)}{K(\alpha)}$$

$α$-फलन की परिभाषा के अनुसार हम लिखते हैं


 * $$f'(\alpha)=\alpha\ln\alpha$$

इसलिए


 * $$f(\alpha)=\tfrac12\alpha^2\left(\ln\alpha-\tfrac12\right)+C$$

समायोजन $α = 0$ करने पर


 * $$\int_0^1 \ln K(x)\,dx=\lim_{t\rightarrow0}\left[\tfrac12 t^2\left(\ln t-\tfrac12\right)\right]+C \ =C$$

$K$-फलन गामा फलन और हमारे पास उपस्थित प्राकृतिक संख्या के लिए बार्न्स $K}|K$-फलन से निकटता से संबंधित है


 * $$K(n)=\frac{\bigl(\Gamma(n)\bigr)^{n-1}}{G(n)}.$$

अधिक व्यावहारिक रूप से, कोई लिख सकता है


 * $$K(n+1)=1^1 \cdot 2^2 \cdot 3^3 \cdots n^n.$$

प्रथम मान हैं
 * 1, 4, 108, 27648, 86400000, 4031078400000, 3319766398771200000, ....

संदर्भ
==बाहरी संबंध                                                                                                                                                                                                           ==