विरल शब्दकोश अधिगम

विरल शब्दकोश अधिगम (जिसे विरल संकेतन या एसडीएल के रूप में भी जाना जाता है) एक प्रतिनिधिता सीखने का तरीका है जिसका उद्देश्य निविष्ट आँकड़े की विरल प्रतिनिधिता की खोज करना होता है, जो मूल तत्वों के रूप में एक रैखिक संयोजन और वे मूल तत्व खुद के रूप में होते हैं। इन तत्वों को परम्परागत रूप से परमाणु कहा जाता है और वे एक शब्दकोश बनाते हैं। शब्दकोश में परमाणुओं को लंबकोणीय आधार पर होने की आवश्यकता नहीं होती है, और ये एक अति-पूर्ण विस्तरित आकृति हो सकते हैं। यह समस्या व्यवस्था यह भी अनुमति देता है कि प्रतिनिधित संकेत की आयामिता प्रतिमित संकेत की आयामिता से अधिक हो। उपरोक्त दो गुणों से स्थापित होता है कि ऐसे प्रतिमानु के बनने का कारण लगता है जो एक ही संकेत की विभिन्न प्रतिनिधिताओं की अनुमति देते हैं, लेकिन उन प्रतिनिधिताओं की विरलता और प्रतिनिधिता की लचीलाता में सुधार प्रदान करते हैं।

विरल शब्दकोश सीखने का सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में से एक संकुचित अनुभव या संकेत पुनर्प्राप्ति के क्षेत्र में है। संक्षिप्त संवेदन में, एक उच्च-आयामी संकेत को कुछ ही रैखिक मापों के साथ पुनर्प्राप्त किया जा सकता है, प्रायः जब संकेत विरल या लगभग विरल हो। यह सत्य है कि सभी संकेत इस विरलता की स्थिति को संतुष्ट नहीं करते हैं, इसलिए उस संकेत की विरल प्रतिनिधि की खोज करना महत्वपूर्ण है, जैसे कि तरंगिका परिवर्तन या रेखापुंज आव्यूह की दिशात्मक ढाल। एक बार जब किसी आव्यूह या उच्च आयामी सदिश को विरल स्थान पर स्थानांतरित किया जाता है, विभिन्न पुनर्प्राप्ति कलन विधि जैसे कि आधार अनुसरण, कोसैंप या त्वरित गैर-आवर्ती कलन विधि का उपयोग संकेत को पुनर्प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

शब्दकोश सीखने के एक मुख्य सिद्धांतों में से एक यह है कि शब्दकोश को निविष्ट आँकड़ा से निष्कर्षित किया जाना चाहिए। विरल शब्दकोश सीखने के तरीकों के उद्भव इस तथ्य से प्रेरित था कि संकेत संसाधन में कोई सामान्यता यथासंभव कम घटकों का उपयोग करके निविष्ट आँकड़ा का प्रतिनिधित्व करना चाहता है। इस दृष्टिकोण से पहले सामान्य अभ्यास पूर्वनिर्धारित शब्दकोशों का उपयोग किया जाता था (जैसे फूरियर या तरंगिका रूपांतरण )। हालाँकि, कुछ उदाहरण में एक ऐसा शब्दकोश जो निविष्ट आँकड़ा के अनुसार प्रशिक्षित होता है, विरलता में बहुत सुधार कर सकता है, जिसमें आँकड़े अपघटन, संकुचन और विश्लेषण में उपयोग होता हैं और इसका उपयोग छवि निरूपण और वर्गीकरण, वीडियो और श्रव्य प्रसंस्करण के क्षेत्रों में उपयोग किया गया है। विरलता और अतिपूर्ण शब्दकोशों का छवि संकुचन, छवि संयोजन और चित्रकारी में विशिष्ट अनुप्रयोग होते हैं।

समस्या कथन
दिए गए निविष्ट आँकड़ा समुच्चय $$X = [x_1, ..., x_K], x_i \in \mathbb{R}^d$$ है,हमें एक शब्दकोश ढूंढना चाहिए $$\mathbf{D} \in \mathbb{R}^{d \times n}: D = [d_1, ..., d_n]$$ और एक प्रतिनिधिता $$R = [r_1,...,r_K], r_i \in \mathbb{R}^n$$ की आवश्यकता है, जिसके साथ दोनों $$\|X-\mathbf{D}R\|^2_F$$ को कम किया जा सकता है और प्रतिनिधिताएँ $$r_i$$ अति विरल होती हैं। यह निम्नलिखित अनुकूलन समस्या के रूप में सूचित किया जा सकता है:

$$\underset{\mathbf{D} \in \mathcal{C}, r_i \in \mathbb{R}^n}{\text{argmin}} \sum_{i=1}^K\|x_i-\mathbf{D}r_i\|_2^2+\lambda \|r_i\|_0$$, कहाँ $$\mathcal{C} \equiv \{\mathbf{D} \in \mathbb{R}^{d \times n}: \|d_i\|_2 \leq 1 \,\, \forall i =1,...,n \}$$, $$\lambda>0$$

संकेत दीवारण $$\mathcal{C}$$ की आवश्यकता होती है $$\mathbf{D}$$ ताकि वे अणु स्वेच्छाचारी उच्च मानों तक न पहुँच सकें, जिससे कि वे स्वेच्छाचारी कम मानों (लेकिन गैर-शून्य) की अनुमति दें, जैसे कि $$r_i$$.$$\lambda$$ विरलता और न्यूनतमीकरण त्रुटि के बीच संघटन के निर्धारण को नियंत्रित करता है।

उपरोक्त न्यूनतमकरण समस्या ℓ0 "मानदंड" के कारण उत्तल नहीं है और इस समस्या को हल करना एनपी-दृढ़ है। कुछ मामलों में L1-मानदंड विरलता सुनिश्चित करने के लिए जाना जाता है और इसलिए उपरोक्त प्रत्येक चर के संबंध में एक उत्तल अनुकूलन समस्या बन जाती है $$\mathbf{D}$$ और $$\mathbf{R}$$ जब दूसरा स्थिर हो, लेकिन यह संयुक्त रूप से उत्तल नहीं होता है $$(\mathbf{D}, \mathbf{R})$$.

शब्दकोश के गुण
उपर वर्णित शब्दकोश $$\mathbf{D}$$ "अपूर्ण" हो सकता है यदि $$n < d$$ या स्थिति में "अपूर्ण" $$n>d$$ उत्तरार्द्ध एक विरल शब्दकोश सीखने की समस्या के लिए एक विशिष्ट धारणा है। संपूर्ण शब्दकोश की स्थिति प्रतिनिधानिक दृष्टिकोण से कोई सुधार प्रदान नहीं करता है और इसलिए इसलिए इसे विचार में नहीं लिया जाता है।

अपूर्ण शब्दकोश उस व्यवस्था को प्रतिनिधित करते हैं जिसमें वास्तविक निविष्ट आँकड़ा का अवस्थित होता है एक निम्न-आयामी स्थान में। यह स्थिति आयामीता घटन और प्रमुख घटक विश्लेषण जैसी तकनीकों से दृढ़ता रूप से संबंधित होता है जोकि अणु $$d_1,...,d_n$$ को लंबकोणीय होने की आवश्यकता होती है। इन उपशवकों की चयन सरल नहीं होता, लेकिन कुशल आयामी घटन के लिए महत्वपूर्ण होता है। और शब्दकोश प्रतिनिधिता पर आधारित आयामी घटन को आंकड़े विश्लेषण या वर्गीकरण जैसे विशिष्ट कार्यों को को पता करने के लिए विस्तारित किया जा सकता है। हालाँकि, उनका मुख्य दुष्प्रभाव अणु की चयन की सीमा होती है।

विपरीत संघट शब्दकोश, हालांकि, अणु को लंबकोणीय होने की आवश्यकता नहीं होती है (वे कभी भी एक आधार (रैखिक बीजगणित) नहीं होते हैं) इसलिए अधिक लचीले शब्दकोशों और समृद्ध आंकड़े प्रतिनिधिता की अनुमति देते है।

एक पूर्ण संघट शब्दकोश जिसमें संकेत की विरल प्रतिनिधि होने की अनुमति होती है, एक प्रसिद्ध परिवर्तन आव्यूह(तरंगिका रूपांतर, फूरियर रूपांतर) हो सकता है या ऐसा सूत्र बनाया जा सकता है जिससे कि उसके तत्व ऐसे बदल जाते हैं कि वह दिए गए संकेत को श्रेष्ठ तरीके से विरल रूप में प्रतिनिधित करें। सीखे गए शब्दकोष पूर्वनिर्धारित परिवर्तन आव्यूह की तुलना में विरल समाधान प्रदान करने की क्षमता रखते हैं।

कलन विधि
जैसा कि ऊपर वर्णित अनुकूलन समस्या को या तो शब्दकोश के प्रति एक कूटलेखन के संबंध में उत्तल समस्या के रूप में हल किया जा सकता है, जबकि दोनों में से एक को ठीक किया गया है, अधिकांश कलन विधि एक और फिर दूसरे को पुनरावृत्त रूप से अद्यतनीकरण करने के विचार पर आधारित होते हैं।

इष्टतम विरल कूटलेखन खोजने की समस्या $$R$$ किसी दिए गए शब्दकोश के साथ $$\mathbf{D}$$ को विरल सन्निकटन (या कभी-कभी केवल विरल कूटलेखन समस्या) के रूप में जाना जाता है। इसका समाधान करने के लिए कई कलन विधि विकसित किए गए हैं (जैसे मिलान खोज और लैस्सो (सांख्यिकी)) और नीचे वर्णित कलन विधि में सम्मिलित किए गए हैं।

आदर्श दिशाओं की विधि (एमओडी)
आदर्श दिशाओं की विधि (या एमओडी) विरल शब्दकोश सीखने की समस्या का समाधान करने के लिए पहले प्रस्तुत किए गए तरीकों में से एक था। इसका मुख्य विचार प्रतिनिधिता सदिश के गैर-शून्य घटकों की सीमित संख्या के अधीन न्यूनतमीकरण समस्या को हल करना है:

$$\min_{\mathbf{D}, R}\{\|X-\mathbf{D}R\|^2_F\} \,\, \text{s.t.}\,\, \forall i \,\,\|r_i\|_0 \leq T $$

यहाँ, $$F$$ फ्रोबेनियस मानदंड को प्रकट करता है। एमओडी मिलान खोज जैसी एक विधि का उपयोग करके विरल संकेतन को प्राप्त करने और समस्या के विश्लेषणात्मक समाधान की गणना करके शब्दकोश को अद्यतन करने के बीच वैकल्पिक करता है। $$\mathbf{D} = XR^+ $$ कहाँ $$R^+ $$ एक मूर-पेनरोज़ छद्म व्युत्क्रम है। इस अद्यतन के बाद $$\mathbf{D} $$ बाधाओं को उपयुक्त करने के लिए पुनर्निर्धारित किया गया है और नई विरल कूटलेखन फिर से प्राप्त की जाती है। यह प्रक्रिया को अभिसरण तक (या पर्याप्त रूप से छोटे अवशेष तक) दोहराया जाता है।

आधुनिक ने यह सिद्ध किया है कि यह कम-आयामी निविष्ट आँकड़ा $$X $$ के लिए एक बहुत ही कुशल तरीका है, जिसमें संघटन के लिए कुछ ही आवृत्तियों की आवश्यकता होती है। हालाँकि, आव्यूह-व्युत्क्रम संचालन की उच्च जटिलता के कारण, उच्च-आयामी स्थितियो में छद्म व्युत्क्रम की गणना करना कई स्थितियो में कठिन है। इस कमी ने अन्य शब्दकोश सीखने के तरीकों के विकास को प्रेरित किया है।

के-एसवीडी
के-एसवीडी एक कलन विधि है जो शब्दकोश के अणुओं को एक-एक करके अद्यतन करने के लिए अपने मूल में एसवीडी करता और मूल रूप से K- साधनो का सामान्यीकरण है। यह लागू करता है कि निविष्ट आँकड़ा का प्रत्येक तत्व $$x_i$$ से अधिक नहीं के रैखिक संयोजन द्वारा कूटलेखन किया गया है $$T_0 $$ तत्व एक तरह से आधुनिक दृष्टिकोण के समान हैं:

$$\min_{\mathbf{D}, R}\{\|X-\mathbf{D}R\|^2_F\} \,\, \text{s.t.}\,\, \forall i \,\,\|r_i\|_0 \leq T_0 $$

इस कलन विधि का मूल तत्व पहले शब्दकोश को स्थिर करना है, उपरोक्त प्रतिबंधन के तहत संभावित सर्वोत्तम $$R $$ पता लगाना (लंबकोणीय मिलान अनुसरण का उपयोग करके) और फिर पुनरावलोकनात्मक रूप से निम्नलिखित तरीके से शब्दकोश के अणुओं को अद्यतन करना है $$\mathbf{D}$$:

$$ \|X - \mathbf{D}R\|^2_F = \left| X - \sum_{i = 1}^K d_i x^i_T\right|^2_F = \| E_k - d_k x^k_T\|^2_F $$

कलन विधि के अगले चरणों में अवशिष्ट आव्यूह का रैंक सन्निकटन सम्मिलित है $$ E_k $$, अद्यतीकरण हो रहा है $$ d_k $$ और विरलता को लागू करना अद्यतन के बाद $$ x_k $$. इस कलन विधि को शब्दकोश सीखने के लिए मानक माना जाता है और इसका उपयोग विभिन्न अनुप्रयोगों में किया जाता है। हालाँकि, यह एमओडी के साथ विफलताओं को साझा करता है, केवल उन संकेतन के लिए कुशल होने की संभावना है जिनकी आयामी कम होती है और स्थानिक न्यूनतम पर पकड़ने की संभावना होती है।

प्रसंभाव्य प्रवणता अवरोहण
इस समस्या को हल करने के लिए कोई व्यक्ति पुनरावृत्ती प्रक्षेपण के साथ व्यापक प्रसंभाव्य प्रवणता अवरोहण विधि भी लागू कर सकता है। इस पद्धति का विचार पहले क्रम के प्रसंभाव्य प्रवणता का उपयोग करके शब्दकोश को अद्यतन करना और इसे प्रतिबंधन समूह $$\mathcal{C}$$ पर परियोजनित किया जाता है। i-वें आवृत्ति में होने वाला कदम इस अभिव्यक्ति द्वारा वर्णित होता है:

$$\mathbf{D}_i = \text{proj}_{\mathcal{C}} \left\{\mathbf{D}_{i-1}-\delta_i\nabla_{\mathbf{D}}\sum_{i \in S}\|x_i-\mathbf{D}r_i\|_2^2+\lambda\|r_i\|_1 \right\}$$, कहाँ $$S$$ का एक यादृच्छिक उपसमुच्चय है $$\{1...K\}$$ और $$\delta_i$$ एक क्रमिक कदम है.

लैग्रेंज दोहरी विधि
दोहरी लैग्रेन्जियन समस्या को हल करने पर आधारित एक कलन विधि शब्दकोश के लिए हल करने का एक कुशल तरीका प्रदान करता है जिसमें विरलता फलन से प्रेरित कोई जटिलता नहीं होती है। निम्नलिखित लैग्रेंजियन का विचार करें:

$$\mathcal{L}(\mathbf{D}, \Lambda) = \text{tr}\left((X-\mathbf{D}R)^T(X-\mathbf{D}R)\right) + \sum_{j=1}^n\lambda_j \left({\sum_{i=1}^d\mathbf{D}_{ij}^2-c} \right)$$, जहाँ $$c$$ अणुओं की मानदंड पर एक प्रतिबंधन है और $$\lambda_i$$ उनके द्वारा विकर्ण आव्यूह बनाने वाले उपनामित द्विगुणी परिवर्तन हैं, बा$$\Lambda$$ े हैं.

हम फिर से लैग्रण के बाद: $$\mathbf{D}$$:

$$\mathcal{D}(\Lambda) = \min_{\mathbf{D}}\mathcal{L}(\mathbf{D}, \Lambda) = \text{tr}(X^TX-XR^T(RR^T+\Lambda)^{-1}(XR^T)^T-c\Lambda)$$.

के मान को किसी भी अनुकूलन विधि (जैसे न्यूटन का तरीका या संयुगी नियामक) को लागू करने के बाद हम अणुओं की दोहरे $$\mathbf{D}$$:

$$\mathbf{D}^T=(RR^T+\Lambda)^{-1}(XR^T)^T$$

लैसो
इस दृष्टिकोण में, अनुकूलन समस्या निम्नलिखित रूप में सूचित किया जाता है:

$$\min_{r \in \mathbb{R}^n}\{\,\,\|r\|_1\} \,\, \text{subject to}\,\,\|X-\mathbf{D}R\|^2_F < \epsilon $$, जहाँ $$\epsilon $$ बनाए गए पुनर्निर्माण LASSO में अनुमति दी गई त्रुटि है।

यह एक आकलन प्राप्त करता है

$$r_i $$ की, न्यूनतम सबसे कम वर्गमूल त्रुटि को न्यूनतमिकरण समाधान सदिश में एक L1-मानदंड प्रतिबंधन बंधन के तहत, जिसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया गया है:

$$\min_{r \in \mathbb{R}^n} \,\, \dfrac{1}{2}\,\,\|X-\mathbf{D}r\|^2_F + \lambda \,\,\|r\|_1 $$, जहाँ

$$\lambda > 0 $$ विरलता और पुनर्निर्माण त्रुटि के बीच विनिमय का नियंत्रण करता है। यह वैश्विक श्रेष्ठ समाधान प्रदान करता है। और साथ ही "विरल कूटलेखन के लिए  लाइन – आरुढ़  शब्दकोश अधिगम" देखें

प्राचलिक प्रशिक्षण विधियाँ
प्राचलिक प्रशिक्षण विधियों का उद्देश्य दोनों दुनियों का सर्वश्रेष्ठ सम्मिलित करना है - विश्लेषणात्मक रूप से निर्मित शब्दकोश और सीखे गए शब्दकोशों का। इससे शक्तिशाली सामान्यीकृत शब्दकोश निर्मित किए जा सकते हैं जो संभावत: विशेष आकार के संकेतों के स्थितियो में लागू किए जा सकते है। महत्वपूर्ण दृष्टिकोणों में निम्नलिखित दृष्टिकोण सम्मिलित हैं:
 * अनुवाद-अपरिवर्तनीय शब्दकोश। ये शब्दकोष एक सीमित-आकार के संकेत यथेच्छ के लिए निर्मित शब्दकोष से उत्पन्न परमाणुओं के अनुवादों से बने हैं। इसके परिणामस्वरूप बनने वाले शब्दकोश को विशेष आकार के संकेत के लिए प्रतिनिधान प्रदान करने की क्षमता होती है।
 * बहुस्तरीय शब्दकोश। यह विधि एक ऐसे शब्दकोश का निर्माण पर केंद्रित है जो विरलता में सुधार के लिए अलग-अलग पैमाने के शब्दकोशों से बना है।
 * विरल शब्दकोश। इस विधि में केवल विरल प्रतिनिधान प्रदान करने पर केंद्रित है बल्कि एक विरल शब्दकोश का निर्माण भी करती है जिसे अभिव्यक्ति द्वारा प्रयोजित किया जाता है $$\mathbf{D} = \mathbf{B}\mathbf{A} $$ जहाँ $$\mathbf{B}$$ कुछ पूर्व-निर्धारित विश्लेषणात्मक शब्दकोष है जिसमें वांछनीय गुण हैं जिसमें त्वरित गणना और $$\mathbf{A}$$ एक विरल आव्यूह है। ऐसे रूप को सीधे विश्लेषणात्मक शब्दकोश की त्वरित प्रयासना के साथ संयोजित करने की अनुमति देते हैं जो विरल दृष्टिकोण की लचीलता के साथ होती है।

लाइन – आरुढ़ शब्दकोश अधिगम (LASSO दृष्टिकोण)
विरल शब्दकोश सीखने के कई सामान्य दृष्टिकोण इस तथ्य पर निर्भर करते हैं कि संपूर्ण निविष्ट आँकड़ा कलन विधि के लिए $$X$$ (या कम से कम एक बड़ा पर्याप्त प्रशिक्षण आंकड़ा समुच्चय) उपलब्ध है। हालाँकि, यह वास्तविक दुनिया के परिदृश्य में ऐसा नहीं हो सकता है क्योंकि निविष्ट आँकड़ा का आकार इसे स्मृतिमें उपयुक्त करने के लिए बहुत बड़ा हो सकता है। दूसरी स्थिति जहां यह धारणा नहीं बनाई जा सकती वह तब है जब निविष्ट आँकड़ा एक वर्ग के रूप में आता है। ऐसे स्थिति लाइन – आरुढ़ शिक्षण के अध्ययन के क्षेत्र में हैं जो अनिवार्य रूप से नए आँकड़े बिंदुओं पर निदर्श को पुनरावृत्त रूप से अद्यतन करने का सुझाव देता है $$x$$ उपलब्ध हो रहा है।

एक शब्दकोश को लाइन – आरुढ़ तरीके से निम्नलिखित तरीके से सीखा जा सकता है: यह विधि हमें धीरे-धीरे शब्दकोश को अद्यतन करने की अनुमति देती है क्योंकि नया आँकड़े विरल प्रतिनिधित्व सीखने के लिए उपलब्ध हो जाता है और आंकड़ा समुच्चय(जिसका आकार अधिकतर बड़ा होता है) को संग्रहीत करने के लिए आवश्यक स्मृति की मात्रा को बहुत कम करने में मदद करता है।
 * 1) के लिए $$t = 1...T:$$
 * 2) एक नया प्रतिरूप बनाएं $$x_t$$
 * 3) न्यूनतम-कोण प्रतिगमन का उपयोग करके एक विरल कूटलेखन ढूंढें: $$r_t = \underset{r \in \mathbb{R}^n}{\text{argmin}}\left(\frac{1}{2}\|x_t-\mathbf{D}_{t-1}r\|+\lambda\|r\|_1\right)$$
 * 4) खण्डक समन्वय दृष्टिकोण का उपयोग करके शब्दकोश अद्यतन करें: $$\mathbf{D}_t = \underset{\mathbf{D} \in \mathcal{C}}{\text{argmin}}\frac{1}{t}\sum_{i=1}^t\left(\frac{1}{2}\|x_i-\mathbf{D}r_i\|^2_2+\lambda\|r_i\|_1\right)$$

अनुप्रयोग
शब्दकोश सीखने की रूपरेखा, अर्थात् आंकड़ा से सीखे गए कुछ आधार तत्वों का उपयोग करके निविष्ट संकेत का रैखिक विभाजन, ने विभिन्न छवि और वीडियो प्रसंस्करण कार्यों में अत्याधुनिक परिणाम प्राप्त किए हैं। यह तकनीक वर्गीकरण समस्याओं में भी लागू की जा सकती है एक तरीके से, जैसे कि यदि हमने प्रत्येक वर्ग के लिए विशिष्ट शब्दकोश बनाया है, तो निविष्ट संकेत को उस शब्दकोश का पता लगाकर वर्गीकृत किया जा सकता है जिसकी सबसे पूरी प्रतिनिधिता होती है।

इसमें यह गुण भी हैं जो संकेत को दर्शाने के लिए उपयोगी होता हैं क्योंकि सामान्यता कोई निविष्ट संकेत के सार्थक भाग को विरल तरीके से प्रस्तुत करने के लिए एक शब्दकोश सीखा जा सकता है लेकिन निविष्ट में रव का विरल प्रतिनिधित रूप कम तरीके से होता है।

विरल शब्दकोश शिक्षण को विभिन्न छवि, वीडियो और श्रव्य प्रसंस्करण कार्यों के साथ-साथ बनावट संश्लेषण और अनपर्यवेक्षित गुच्छन पर सफलतापूर्वक लागू किया गया है।। बैग- का- शब्द निदर्श के साथ मूल्यांकन में,  उद्देश्य श्रेणी पहचान कार्यों पर अन्य कूटलेखन दृष्टिकोणों से बेहतर प्रदर्शन करने के लिए विरल कूटलेखन को अनुभवजन्य रूप से पाया गया था।

चिकित्सा संकेतों का विस्तार से विश्लेषण करने के लिए शब्दकोश सीखने का उपयोग किया जाता है। ऐसे चिकित्सा संकेतों में विद्युत् मस्तिष्क लेखन (ईईजी),  विद्युत ह्रदयलेख (ईसीजी), चुंबकीय अनुनाद  प्रतिबिंबन (एमआरआई), कार्यात्मक एमआरआई (एफएमआरआई), निरंतर ग्लूकोज मॉनिटर और  पराध्वनि कंप्यूटर टोमोग्राफी (यूएससीटी) सम्मिलित हैं, जहां प्रत्येक संकेत का विश्लेषण करने के लिए विभिन्न मान्यताओं का उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

 * विरल सन्निकटन
 * विरल पीसीए
 * के-एसवीडी
 * आव्यूहगुणनखंडन
 * विरल कूटलेखन