त्रिकोणमितीय अभिन्न







गणित में, त्रिकोणमितीय समाकल त्रिकोणमितीय कार्यों से जुड़े समाकलों का एक अनुक्रमित परिवार है।

ज्या अभिन्न
विभिन्न ज्या अभिन्न परिभाषाएँ हैं $$\operatorname{Si}(x) = \int_0^x\frac{\sin t}{t}\,dt$$ $$\operatorname{si}(x) = -\int_x^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt~.$$ ध्यान दें कि इंटीग्रैंड $$0 ≤ x ≤ 8 π$/$sin t$$ sinc फलन है, और शून्य बेसेल फलन#गोलाकार बेसेल फलन: jn.2C yn. तब से $t$ एक समान कार्य संपूर्ण कार्य है (संपूर्ण जटिल तल पर होलोमार्फिक ), $sinc$ संपूर्ण है, विषम है, और इसकी परिभाषा में समाकल को कॉची के समाकल प्रमेय के साथ अंतबिंदुओं को जोड़ते हुए लिया जा सकता है।

परिभाषा से, $Si$ का प्रतिपक्षी है $Si(x)$ जिसका मान शून्य है $sin x / x$, और $x = 0$ वह प्रतिपक्षी है जिसका मान शून्य पर है $si(x)$. उनका अंतर डिरिचलेट अभिन्न  द्वारा दिया गया है, $$\operatorname{Si}(x) - \operatorname{si}(x) = \int_0^\infty\frac{\sin t}{t}\,dt = \frac{\pi}{2} \quad \text{ or } \quad \operatorname{Si}(x) = \frac{\pi}{2} + \operatorname{si}(x) ~.$$ संकेत आगे बढ़ाना में, साइन इंटीग्रल के दोलनों के कारण sinc फिल्टर का उपयोग करते समय  ओवरशूट (संकेत)  और  बजती हुई कलाकृतियाँ, और लो पास फिल्टर के रूप में ट्रंकेटेड sinc फिल्टर का उपयोग करने पर  आवृत्ति डोमेन  रिंगिंग होती है।

संबंधित गिब्स घटना है: यदि साइन इंटीग्रल को भारी कदम समारोह के साथ sinc फ़ंक्शन के कनवल्शन के रूप में माना जाता है, तो यह फूरियर श्रृंखला को छोटा करने के अनुरूप है, जो गिब्स घटना का कारण है।

कोसाइन इंटीग्रल
विभिन्न कोज्या अभिन्न परिभाषाएँ हैं $$\operatorname{Cin}(x) = \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\,dt~,$$ $$\operatorname{Ci}(x) = -\int_x^\infty \frac{\cos t}{t}\,dt = \gamma + \ln x - \int_0^x \frac{1 - \cos t}{t}\,dt \qquad ~\text{ for } ~\left|\operatorname{Arg}(x)\right| < \pi~,$$ कहाँ $x = ∞$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है। कुछ ग्रंथ उपयोग करते हैं $Ci(x)$ के बजाय $γ ≈ 0.57721566 ...$.

$ci$ का प्रतिपक्षी है $Ci$ (जो गायब हो जाता है $$x \to \infty$$). दो परिभाषाओं से संबंधित हैं $$\operatorname{Ci}(x) = \gamma + \ln x - \operatorname{Cin}(x)~.$$

$Ci(x)$ एक सम और विषम कार्य है, संपूर्ण कार्य। इसी कारण से, कुछ ग्रंथ इलाज करते हैं $cos x / x$ प्राथमिक कार्य के रूप में, और प्राप्त करें $Cin$ के अनुसार $Cin$.

अतिशयोक्तिपूर्ण साइन इंटीग्रल
हाइपरबोलिक साइन इंटीग्रल को इस रूप में परिभाषित किया गया है $$\operatorname{Shi}(x) =\int_0^x \frac {\sinh (t)}{t}\,dt.$$ यह साधारण साइन इंटीग्रल से संबंधित है $$\operatorname{Si}(ix) = i\operatorname{Shi}(x).$$

हाइपरबोलिक कोसाइन इंटीग्रल
अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन अभिन्न है

$$\operatorname{Chi}(x) = \gamma+\ln x + \int_0^x\frac{\cosh t-1}{t}\,dt \qquad ~ \text{ for } ~ \left| \operatorname{Arg}(x) \right| < \pi~,$$ कहाँ $$\gamma$$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है।

इसका श्रृंखला विस्तार है $$\operatorname{Chi}(x) = \gamma + \ln(x) + \frac {x^2}{4} + \frac {x^4}{96} + \frac {x^6}{4320} + \frac {x^8}{322560} + \frac{x^{10}}{36288000} + O(x^{12}).$$

सहायक कार्य
त्रिकोणमितीय समाकलों को तथाकथित सहायक फलनों के संदर्भ में समझा जा सकता है $$ \begin{array}{rcl} f(x) &\equiv&\displaystyle \int_0^\infty \frac{\sin(t)}{t+x} \,dt &=&\displaystyle \int_0^\infty \frac{e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt &=& \quad \operatorname{Ci}(x) \sin(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \cos(x)~, \qquad \text{ and } \\ g(x) &\equiv&\displaystyle \int_0^\infty \frac{\cos(t)}{t+x} \,dt &=&\displaystyle \int_0^\infty \frac{t e^{-x t}}{t^2 + 1} \,dt &=& -\operatorname{Ci}(x) \cos(x) + \left[\frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) \right] \sin(x)~. \end{array} $$ इन कार्यों का उपयोग करके, त्रिकोणमितीय इंटीग्रल को फिर से व्यक्त किया जा सकता है (cf. अब्रामोविट्ज़ और स्टेगन, पृष्ठ 232) $$\begin{array}{rcl} \frac{\pi}{2} - \operatorname{Si}(x) = -\operatorname{si}(x) &=& f(x) \cos(x) + g(x) \sin(x)~, \qquad \text{ and } \\ \operatorname{Ci}(x) &=& f(x) \sin(x) - g(x) \cos(x)~. \\ \end{array}$$

नीलसन का सर्पिल
के पैरामीट्रिक प्लॉट द्वारा निर्मित सर्पिल $Ci$ नीलसन के सर्पिल के रूप में जाना जाता है। $$x(t) = a \times \operatorname{ci}(t)$$ $$y(t) = a \times \operatorname{si}(t)$$ सर्पिल फ्रेस्नेल अभिन्न और यूलर सर्पिल से निकटता से संबंधित है। नीलसन के सर्पिल में दृष्टि प्रसंस्करण, सड़क और ट्रैक निर्माण और अन्य क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं।

विस्तार
तर्क की सीमा के आधार पर त्रिकोणमितीय समाकलों के मूल्यांकन के लिए विभिन्न विस्तारों का उपयोग किया जा सकता है।

स्पर्शोन्मुख श्रृंखला (बड़े तर्क के लिए)
$$\operatorname{Si}(x) \sim \frac{\pi}{2} - \frac{\cos x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right) - \frac{\sin x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^3}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right)$$ $$\operatorname{Ci}(x) \sim \frac{\sin x}{x}\left(1-\frac{2!}{x^2}+\frac{4!}{x^4}-\frac{6!}{x^6}\cdots\right) - \frac{\cos x}{x}\left(\frac{1}{x}-\frac{3!}{x^{3}}+\frac{5!}{x^5}-\frac{7!}{x^7}\cdots\right) ~.$$ ये श्रृंखला स्पर्शोन्मुख श्रृंखला और भिन्न हैं, हालांकि अनुमानों और यहां तक ​​​​कि सटीक मूल्यांकन के लिए भी इस्तेमाल किया जा सकता है $Cin$.

अभिसरण श्रृंखला
$$\operatorname{Si}(x)= \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)(2n+1)!}=x-\frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}-\frac{x^7}{7! \cdot7}\pm\cdots$$ $$\operatorname{Ci}(x)= \gamma+\ln x+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}x^{2n}}{2n(2n)!}=\gamma+\ln x-\frac{x^2}{2!\cdot2} + \frac{x^4}{4! \cdot4}\mp\cdots$$ ये श्रृंखलाएँ किसी भी परिसर में अभिसारी होती हैं $x$, हालांकि के लिए $si, ci$, श्रृंखला शुरू में धीरे-धीरे अभिसरित होगी, जिसके लिए उच्च परिशुद्धता के लिए कई शब्दों की आवश्यकता होगी।

श्रृंखला विस्तार की व्युत्पत्ति
ज्या के मैक्लॉरिन श्रृंखला विस्तार से:$$\sin\,x = x - \frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}- \frac{x^7}{7!}+\frac{x^9}{9!}-\frac{x^{11}}{11!} + \cdots$$

$$\frac{\sin\,x}{x} = 1 - \frac{x^2}{3!}+\frac{x^4}{5!}- \frac{x^6}{7!}+\frac{x^8}{9!}-\frac{x^{10}}{11!}+\cdots$$

$$\therefore\int \frac{\sin\,x}{x}dx = x - \frac{x^3}{3!\cdot3}+\frac{x^5}{5!\cdot5}- \frac{x^7}{7!\cdot7}+\frac{x^9}{9!\cdot9}-\frac{x^{11}}{11!\cdot11}+\cdots $$

काल्पनिक तर्क के घातीय अभिन्न के साथ संबंध
कार्यक्रम $$\operatorname{E}_1(z) = \int_1^\infty \frac{\exp(-zt)}{t}\,dt \qquad~\text{ for }~ \Re(z) \ge 0 $$ घातीय समाकलन कहा जाता है। से घनिष्ठ संबंध है $ℜ(x) ≫ 1$ और $|x| ≫ 1$, $$ \operatorname{E}_1(i x) = i\left(-\frac{\pi}{2} + \operatorname{Si}(x)\right)-\operatorname{Ci}(x) = i \operatorname{si}(x) - \operatorname{ci}(x) \qquad ~\text{ for }~ x > 0 ~. $$ चूंकि तर्क के नकारात्मक मूल्यों में कटौती को छोड़कर प्रत्येक संबंधित कार्य विश्लेषणात्मक है, संबंध की वैधता के क्षेत्र को विस्तारित किया जाना चाहिए (इस सीमा के बाहर, अतिरिक्त शर्तें जो पूर्णांक कारक हैं) $Si$ अभिव्यक्ति में दिखाई देते हैं।)

सामान्यीकृत इंटीग्रो-एक्सपोनेंशियल फ़ंक्शन के काल्पनिक तर्क के मामले हैं $$ \int_1^\infty \cos(ax)\frac{\ln x}{x} \, dx = -\frac{\pi^2}{24}+\gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2a}{2} +\sum_{n\ge 1} \frac{(-a^2)^n}{(2n)!(2n)^2} ~, $$ जो का वास्तविक हिस्सा है $$ \int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x}\,dx = -\frac{\pi^2}{24} + \gamma\left(\frac{\gamma}{2}+\ln a\right)+\frac{\ln^2 a}{2} -\frac{\pi}{2}i\left(\gamma+\ln a\right) + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^n}{n!n^2} ~. $$ उसी प्रकार $$ \int_1^\infty e^{iax}\frac{\ln x}{x^2}\,dx = 1 + ia\left[ -\frac{\pi^2}{24} + \gamma \left( \frac{\gamma}{2} + \ln a - 1 \right) + \frac{\ln^2 a}{2} - \ln a + 1 \right] + \frac{\pi a}{2} \Bigl( \gamma+\ln a - 1 \Bigr) + \sum_{n\ge 1}\frac{(ia)^{n+1}}{(n+1)!n^2}~. $$

कुशल मूल्यांकन
अभिसरण टेलर श्रृंखला के पैड सन्निकटन छोटे तर्कों के लिए कार्यों का मूल्यांकन करने का एक कुशल तरीका प्रदान करते हैं। रोवे एट अल द्वारा दिए गए निम्नलिखित सूत्र। (2015), से बेहतर के लिए सटीक हैं $Ci$ के लिए $π$, $$\begin{array}{rcl} \operatorname{Si}(x) &\approx & x \cdot \left( \frac{ \begin{array}{l} 1 -4.54393409816329991\cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 1.15457225751016682\cdot 10^{-3} \cdot x^4 - 1.41018536821330254\cdot 10^{-5} \cdot x^6 \\ + 9.43280809438713025 \cdot 10^{-8} \cdot x^8 - 3.53201978997168357 \cdot 10^{-10} \cdot x^{10} + 7.08240282274875911 \cdot 10^{-13} \cdot x^{12} \\ - 6.05338212010422477 \cdot 10^{-16} \cdot x^{14} \end{array} } { \begin{array}{l} 1 + 1.01162145739225565 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 4.99175116169755106 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 1.55654986308745614 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\ + 3.28067571055789734 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 4.5049097575386581 \cdot 10^{-13} \cdot x^{10} + 3.21107051193712168 \cdot 10^{-16} \cdot x^{12} \end{array} } \right)\\ &~&\\ \operatorname{Ci}(x) &\approx & \gamma + \ln(x) +\\ && x^2 \cdot \left( \frac{ \begin{array}{l} -0.25 + 7.51851524438898291 \cdot 10^{-3} \cdot x^2 - 1.27528342240267686 \cdot 10^{-4} \cdot x^4 + 1.05297363846239184 \cdot 10^{-6} \cdot x^6 \\ -4.68889508144848019 \cdot 10^{-9} \cdot x^8 + 1.06480802891189243 \cdot 10^{-11} \cdot x^{10} - 9.93728488857585407 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\ \end{array} } { \begin{array}{l} 1 + 1.1592605689110735 \cdot 10^{-2} \cdot x^2 + 6.72126800814254432 \cdot 10^{-5} \cdot x^4 + 2.55533277086129636 \cdot 10^{-7} \cdot x^6 \\ + 6.97071295760958946 \cdot 10^{-10} \cdot x^8 + 1.38536352772778619 \cdot 10^{-12} \cdot x^{10} + 1.89106054713059759 \cdot 10^{-15} \cdot x^{12} \\ + 1.39759616731376855 \cdot 10^{-18} \cdot x^{14} \\ \end{array} } \right) \end{array}$$ इंटीग्रल का मूल्यांकन अप्रत्यक्ष रूप से सहायक कार्यों के माध्यम से किया जा सकता है $$f(x)$$ और $$g(x)$$द्वारा परिभाषित किया गया है

के लिए $$x \ge 4$$ Padé approximant|Padé तर्कसंगत फ़ंक्शन नीचे दिए गए अनुमानित हैं $$f(x)$$ और $$g(x)$$ 10 से कम त्रुटि के साथ−16:

$$\begin{array}{rcl} f(x) &\approx & \dfrac{1}{x} \cdot \left(\frac{ \begin{array}{l} 1 + 7.44437068161936700618 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1.96396372895146869801 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2.37750310125431834034 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\ + 1.43073403821274636888 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4.33736238870432522765 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 6.40533830574022022911 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\ + 4.20968180571076940208 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.00795182980368574617 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 4.94816688199951963482 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\ - 4.94701168645415959931 \cdot 10^{11} \cdot x^{-20} \end{array} }{ \begin{array}{l} 1 + 7.46437068161927678031 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 1.97865247031583951450 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 2.41535670165126845144 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\ + 1.47478952192985464958 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 4.58595115847765779830 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 7.08501308149515401563 \cdot 10^{11} \cdot x^{-12} \\ + 5.06084464593475076774 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.43468549171581016479 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 1.11535493509914254097 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18} \end{array} } \right) \\ & &\\ g(x) &\approx & \dfrac{1}{x^2} \cdot \left(\frac{ \begin{array}{l} 1 + 8.1359520115168615 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2.35239181626478200 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} +3.12557570795778731 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\ + 2.06297595146763354 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 6.83052205423625007 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1.09049528450362786 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\ + 7.57664583257834349 \cdot 10^{12} \cdot x^{-14} + 1.81004487464664575 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 6.43291613143049485 \cdot 10^{12} \cdot x^{-18} \\ - 1.36517137670871689 \cdot 10^{12} \cdot x^{-20} \end{array} }{ \begin{array}{l} 1 + 8.19595201151451564 \cdot 10^2 \cdot x^{-2} + 2.40036752835578777 \cdot 10^5 \cdot x^{-4} + 3.26026661647090822 \cdot 10^7 \cdot x^{-6} \\ + 2.23355543278099360 \cdot 10^9 \cdot x^{-8} + 7.87465017341829930 \cdot 10^{10} \cdot x^{-10} + 1.39866710696414565 \cdot 10^{12} \cdot x^{-12} \\ + 1.17164723371736605 \cdot 10^{13} \cdot x^{-14} + 4.01839087307656620 \cdot 10^{13} \cdot x^{-16} + 3.99653257887490811 \cdot 10^{13} \cdot x^{-18} \end{array} } \right) \\ \end{array}$$

यह भी देखें

 * लॉगरिदमिक इंटीग्रल
 * टैंक समारोह
 * तनहक समारोह
 * सिंह समारोह
 * कोश फ़ंक्शन

बाहरी संबंध

 * http://mathworld.wolfram.com/SineIntegral.html