आंशिक अवकलज

गणित में, कई चरों के एक फलन का आंशिक अवकलज उन चरों में से एक के संबंध में इसका अवकलज है, जिसमें अन्य स्थिर रखा जाता है (कुल अवकलज के विपरीत, जिसमें सभी चर भिन्न हो सकते हैं)। आंशिक अवकलज का उपयोग सदिश कलन और अवकल ज्यामिति में किया जाता है।

चर $$x$$ के संबंध में $$f(x, y, \dots)$$ का आंशिक अवकलज विभिन्न प्रकार से

द्वारा दर्शाया जाता है। इसका अनुमान $$x$$ दिशा में फलन के परिवर्तन की दर के रूप में लगाया जा सकता है।

कभी-कभी, $$z=f(x, y, \ldots)$$ के लिए, $$x$$ के संबंध में $$z$$ का आंशिक अवकलज $$\tfrac{\partial z}{\partial x}.$$के रूप में दर्शाया जाता है। चूंकि आंशिक अवकलज में आम तौर पर मूल फलन के समान तर्क होते हैं, इसलिए इसकी कार्यात्मक निर्भरता को कभी-कभी संकेतन द्वारा स्पष्ट रूप से दर्शाया जाता है, जैसे कि,


 * $$f'_x(x, y, \ldots), \frac{\partial f}{\partial x} (x, y, \ldots).$$

आंशिक अवकलज को निरूपित करने के लिए प्रयुक्त प्रतीक ∂ है। गणित में इस प्रतीक के पहले ज्ञात उपयोगों में से एक 1770 से मार्क्विस डी कोंडोरसेट का है, जिन्होंने इसका उपयोग आंशिक अंतर के लिए किया था। आधुनिक आंशिक अवकलज संकेतन एड्रियन मैरी लीजेंड्रे (1786) द्वारा बनाया गया था, हालांकि बाद में उन्होंने इसे छोड़ दिया, तब कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी ने 1841 में प्रतीक को फिर से प्रस्तुत किया।

परिभाषा
सामान्य डेरिवेटिव की तरह, आंशिक डेरिवेटिव को फ़ंक्शन की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है। चलो यू का एक खुला सेट हो $$\R^n$$ और $$f:U\to\R$$ एक समारोह। बिंदु पर f का आंशिक व्युत्पन्न $$\mathbf{a}=(a_1, \ldots, a_n) \in U$$ i-वें चर x के संबंध मेंi की तरह परिभाषित किया गया है


 * $$\begin{align}

\frac{\partial }{\partial x_i }f(\mathbf{a}) & = \lim_{h \to 0} \frac{f(a_1, \ldots, a_{i-1}, a_i+h, a_{i+1}, \ldots ,a_n) - f(a_1, \ldots, a_i, \dots ,a_n)}{h} \\ & = \lim_{h \to 0} \frac{f(\mathbf{a}+h\mathbf{e_i}) - f(\mathbf{a})}{h} \end{align}$$ भले ही सभी आंशिक डेरिवेटिव ∂f/∂xi(ए) किसी दिए गए बिंदु पर मौजूद है, फ़ंक्शन को वहां निरंतर कार्य करने की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, यदि सभी आंशिक डेरिवेटिव a के एक पड़ोस (टोपोलॉजी) में मौजूद हैं और वहाँ निरंतर हैं, तो f उस पड़ोस में कुल व्युत्पन्न है और कुल व्युत्पन्न निरंतर है। इस स्थिति में, यह कहा जाता है कि f एक C है1 समारोह। इसका उपयोग सदिश मूल्यवान कार्यों के लिए सामान्यीकृत करने के लिए किया जा सकता है, $f:U \to \R^m$, एक घटकवार तर्क का सावधानीपूर्वक उपयोग करके।

आंशिक व्युत्पन्न $$\frac{\partial f}{\partial x}$$ यू पर परिभाषित एक अन्य फ़ंक्शन के रूप में देखा जा सकता है और फिर से आंशिक रूप से विभेदित किया जा सकता है। यदि सभी मिश्रित दूसरे क्रम के आंशिक डेरिवेटिव एक बिंदु (या एक सेट पर) पर निरंतर होते हैं, तो f को C कहा जाता है2 उस बिंदु पर कार्य करता है (या उस सेट पर); इस मामले में, आंशिक डेरिवेटिव को दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता से बदला जा सकता है#Clairaut.27s theorem|Clairaut's theorem:


 * $$\frac{\partial^2f}{\partial x_i \partial x_j} = \frac{\partial^2f} {\partial x_j \partial x_i}.$$

नोटेशन
निम्नलिखित उदाहरणों के लिए, आइए $$f$$ में एक समारोह हो $$x, y$$ और $$z$$.

प्रथम-क्रम आंशिक डेरिवेटिव:


 * $$\frac{ \partial f}{ \partial x} = f'_x = \partial_x f.$$

द्वितीय क्रम आंशिक डेरिवेटिव:


 * $$\frac{ \partial^2 f}{ \partial x^2} = f''_{xx} = \partial_{xx} f = \partial_x^2 f.$$

दूसरे क्रम के मिश्रित डेरिवेटिव:


 * $$\frac{\partial^2 f}{\partial y \,\partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial f}{\partial x} \right) = (f'_{x})'_{y} = f''_{xy} = \partial_{yx} f = \partial_y \partial_x f .$$

उच्च-क्रम आंशिक और मिश्रित डेरिवेटिव:


 * $$\frac{\partial^{i+j+k} f}{\partial x^i \partial y^j \partial z^k } = f^{(i, j, k)} = \partial_x^i \partial_y^j \partial_z^k f.$$

कई चर के कार्यों के साथ काम करते समय, इनमें से कुछ चर एक-दूसरे से संबंधित हो सकते हैं, इस प्रकार यह स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करना आवश्यक हो सकता है कि अस्पष्टता से बचने के लिए किन चरों को स्थिर रखा जा रहा है। सांख्यिकीय यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों में, का आंशिक व्युत्पन्न $$f$$ इसके संबंध में $$x$$, धारण करना $$y$$ और $$z$$ स्थिर, अक्सर के रूप में व्यक्त किया जाता है


 * $$\left( \frac{\partial f}{\partial x} \right)_{y,z} .$$

पारंपरिक रूप से, अंकन की स्पष्टता और सरलता के लिए, आंशिक व्युत्पन्न फलन और एक विशिष्ट बिंदु पर फलन का मान, आंशिक व्युत्पन्न प्रतीक (लीबनिज़ संकेतन) का उपयोग किए जाने पर फलन तर्कों को शामिल करके अंकन का दुरुपयोग है। इस प्रकार, एक अभिव्यक्ति की तरह


 * $$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}$$ समारोह के लिए प्रयोग किया जाता है, जबकि


 * $$\frac{\partial f(u,v,w)}{\partial u}$$ बिंदु पर समारोह के मूल्य के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है $$(x,y,z)=(u,v,w)$$. हालाँकि, यह परिपाटी तब टूट जाती है जब हम एक बिंदु पर आंशिक व्युत्पन्न का मूल्यांकन करना चाहते हैं $$(x,y,z)=(17, u+v, v^2)$$. ऐसे मामले में, फ़ंक्शन का मूल्यांकन एक बोझल तरीके से व्यक्त किया जाना चाहिए


 * $$\frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}(17, u+v, v^2)$$ या


 * $$\left. \frac{\partial f(x,y,z)}{\partial x}\right |_{(x,y,z)=(17, u+v, v^2)}$$ लीबनिज संकेतन का उपयोग करने के लिए। इस प्रकार, इन मामलों में, यूलर डिफरेंशियल ऑपरेटर नोटेशन का उपयोग करना बेहतर हो सकता है $$D_i$$ iवें चर के संबंध में आंशिक व्युत्पन्न प्रतीक के रूप में। उदाहरण के लिए, कोई लिखेगा $$D_1 f(17, u+v, v^2)$$ ऊपर वर्णित उदाहरण के लिए, जबकि अभिव्यक्ति $$D_1 f$$ पहले चर के संबंध में आंशिक डेरिवेटिव फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करता है।

परिभाषा
सामान्य अवकलज की तरह, आंशिक अवकलज को एक सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है। मान लीजिए कि $$U$$, $$\mathbb {R} ^{n}$$ का एक विवृत उपसमुच्चय है और $$ {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} }$$ एक फलन है। i-वें चर $${\displaystyle x_{i}}$$के संबंध में बिंदु $$ {\displaystyle \mathbf {a} =(a_{1},\ldots ,a_{n})\in U}$$1 पर f का आंशिक अवकलज

$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}f(\mathbf {a} )&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{i-1},a_{i}+h,a_{i+1},\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{i},\dots ,a_{n})}{h}}\\&=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {a} +h\mathbf {e_{i}} )-f(\mathbf {a} )}{h}}\,.\end{aligned}}}$$

के रूप में परिभाषित किया गया है। भले ही सभी आंशिक अवकलज $$ {\displaystyle \partial f/\partial x_{i}(a)}$$ किसी दिए गए बिंदु $$a$$ पर उपस्थित हों, लेकिन फलन को वहां निरंतर होने की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, यदि सभी आंशिक अवकलज $$a$$ के प्रतिवेश में उपस्थित हैं और वहां निरंतर हैं, तो उस प्रतिवेश में $$f$$ पूरी तरह से अवलकनीय है और कुल अवकलज निरंतर है। इस स्थिति में, यह कहा जाता है कि $$f$$ एक $$ \mathbb {C} ^{1}$$फलन है। इसका उपयोग घटकवार तर्क का सावधानीपूर्वक उपयोग करके सदिश मूल्यवान फलनो, $$ {\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ^{m}}$$ के लिए सामान्यीकरण करने के लिए किया जा सकता है।

आंशिक अवकलज $$ {\textstyle {\frac {\partial f}{\partial x}}} $$ को $$U$$ पर परिभाषित एक अन्य फलन के रूप में देखा जा सकता है और फिर से आंशिक रूप से अवकलित किया जा सकता है। यदि अवकलज की दिशा दोहराई नहीं जाती है, तो इसे मिश्रित आंशिक अवकलज कहा जाता है। यदि सभी मिश्रित दूसरे क्रम के आंशिक अवकलज एक बिंदु (या एक समुच्चय पर) पर निरंतर हैं, तो $$f $$ को उस बिंदु पर (या उस समुच्चय पर) $$ \mathbb {C} ^{2}$$ फलन कहा जाता है, इस स्थिति में, आंशिक व्युत्पन्न का आदान-प्रदान क्लैरौट के प्रमेय द्वारा किया जा सकता है,

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}}={\frac {\partial ^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}}.}$$

संकेतन
अधिक जानकारी, ∂

निम्नलिखित उदाहरणों के लिए, मान लीजिए कि x, y और z में f एक फलन है।

प्रथम-क्रम आंशिक अवकलज

$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x}}=f'_{x}=\partial _{x}f.}$$

दूसरे क्रम का आंशिक अवकलज,

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}=f''_{xx}=\partial _{xx}f=\partial _{x}^{2}f.} $$

दूसरे क्रम के मिश्रित अवकलज,

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}f}{\partial y\,\partial x}}={\frac {\partial }{\partial y}}\left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)=(f'_{x})'_{y}=f''_{xy}=\partial _{yx}f=\partial _{y}\partial _{x}f.} $$

उच्च-क्रम आंशिक और मिश्रित अवकलज,

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{i+j+k}f}{\partial x^{i}\partial y^{j}\partial z^{k}}}=f^{(i,j,k)}=\partial _{x}^{i}\partial _{y}^{j}\partial _{z}^{k}f.} $$

एकाधिक चर वाले फलनो का वितरण करते समय, इनमें से कुछ चर एक-दूसरे से संबंधित हो सकते हैं, इस प्रकार यह स्पष्ट रूप से निर्दिष्ट करना आवश्यक हो सकता है कि अस्पष्टता से बचने के लिए कौन से चर स्थिर रखे जा रहे हैं। सांख्यिकीय यांत्रिकी जैसे क्षेत्रों में, x के संबंध में f का आंशिक अवकलज, y और z स्थिरांक रखते हुए, प्रायः $${\displaystyle \left({\frac {\partial f}{\partial x}}\right)_{y,z}.}$$ के रूप में व्यक्त किया जाता है।

परंपरागत रूप से, संकेतन की स्पष्टता और सरलता के लिए, आंशिक अवकलज फलन और एक विशिष्ट बिंदु पर फलन के मूल्य को आंशिक अवकलज प्रतीक (लीबनिज़ संकेतन) का उपयोग करने पर फलन तर्कों को सम्मिलित करके संयोजित किया जाता है। इस प्रकार, फलन के लिए $${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}} $$ जैसे व्यंजक का उपयोग किया जाता है, जबकि बिंदु $${\displaystyle (x,y,z)=(u,v,w)}$$ पर फलन के मान के लिए $${\displaystyle {\frac {\partial f(u,v,w)}{\partial u}}} $$ का उपयोग किया जा सकता है। हालाँकि, यह समझौता तब टूट जाता है जब हम $${\displaystyle (x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}$$ जैसे बिंदु पर आंशिक अवकलज का मूल्यांकन करना चाहते हैं। ऐसे स्थिति में, लीबनिज़ संकेतन का उपयोग करने के लिए फलन का मूल्यांकन

$${\displaystyle {\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}(17,u+v,v^{2})} $$ या

$${\displaystyle \left.{\frac {\partial f(x,y,z)}{\partial x}}\right|_{(x,y,z)=(17,u+v,v^{2})}} $$

के रूप में एक भारी तरीके से व्यक्त किया जाना चाहिए। इस प्रकार, इन स्थितियों में, i-वें चर के संबंध में आंशिक अवकलज प्रतीक के रूप में $$D_{i}$$ के साथ ऑयलर अवकल संचालक संकेतन का उपयोग करना बेहतर हो सकता है। उदाहरण के लिए, कोई ऊपर वर्णित उदाहरण के लिए $$ {\displaystyle D_{1}f(17,u+v,v^{2})}$$लिखेगा, जबकि व्यंजक $${\displaystyle D_{1}f}$$ पहले चर के संबंध में आंशिक अवकलज फलन का प्रतिनिधित्व करता है।

उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज के लिए, jवें चर के संबंध में $$D_i f$$ का आंशिक अवकलज (फलन) $$D_j(D_i f)=D_{i,j} f$$ दर्शाया गया है। अर्थात्, $$D_j\circ D_i =D_{i,j}$$, चरों को उसी क्रम में सूचीबद्ध किया जाए जिसमें अवकलज लिए गए हैं, और इस प्रकार, संचालको की संरचना आमतौर पर इसके विपरीत क्रम में कैसे अंकित की जाती है। निःसंदेह, क्लेराट के प्रमेय का तात्पर्य यह है कि $$D_{i,j}=D_{j,i}$$, f पर तुलनात्मक रूप से हल्की नियमितता की स्थिति संतुष्ट करता है।

प्रवणता
कई चरों वाले फलन का एक महत्वपूर्ण उदाहरण यूक्लिडियन समष्टि $$\R^n$$ (e.g., पर $$\R^2$$ या $$\R^3$$) में एक प्रक्षेत्र पर अदिश-मूल्यवान फलन f(x1, ..., xn) की स्थिति है। इस स्थिति में f में प्रत्येक चर xj के संबंध में आंशिक अवकलज ∂f/∂xj है। बिंदु a पर, ये आंशिक अवकलज सदिश


 * $$\nabla f(a) = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}(a), \ldots, \frac{\partial f}{\partial x_n}(a)\right).$$

को परिभाषित करते हैं। इस सदिश को a पर f की प्रवणता कहा जाता है। यदि किसी प्रक्षेत्र में प्रत्येक बिंदु f पर अवकलनीय है, तो प्रवणता एक सदिश-मूल्यवान फलन ∇f होगी जो बिंदु a को सदिश ∇f(a) पर ले जाता है। परिणामस्वरूप, प्रवणता एक सदिश क्षेत्र उत्पन्न करता है।

अंकन का एक सामान्य दुरुपयोग डेल संचालक (∇) को इस प्रकार परिभाषित करना है, जो एकांक सदिश $$\hat{\mathbf{i}}, \hat{\mathbf{j}}, \hat{\mathbf{k}}$$ के साथ त्रि-आयामी यूक्लिडियन समष्टि $$\R^3$$में निम्नानुसार है,


 * $$\nabla = \left[{\frac{\partial}{\partial x}} \right] \hat{\mathbf{i}} + \left[{\frac{\partial}{\partial y}} \right] \hat{\mathbf{j}} + \left[{\frac{\partial}{\partial z}}\right] \hat{\mathbf{k}}$$

या, अधिक आम तौर पर, निर्देशांक $$x_1, \ldots, x_n$$ और एकांक सदिश $$\hat{\mathbf{e}}_1, \ldots, \hat{\mathbf{e}}_n$$  के साथ n-आयामी यूक्लिडियन समष्टि $$\R^n$$ के लिए,


 * $$\nabla = \sum_{j=1}^n \left[\frac{\partial}{\partial x_j} \right] \hat{\mathbf{e}}_j = \left[\frac{\partial}{\partial x_1} \right] \hat{\mathbf{e}}_1 + \left[\frac{\partial}{\partial x_2} \right] \hat{\mathbf{e}}_2 + \dots + \left[\frac{\partial}{\partial x_n} \right] \hat{\mathbf{e}}_n$$

यह खंड दिशात्मक व्युत्पन्न § परिभाषा से एक अंश है।
एक सदिश $${\displaystyle \mathbf {v} =(v_{1},\ldots ,v_{n})}$$ के साथ एक अदिश फलन $${\displaystyle f(\mathbf {x} )=f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}$$ का दिक् अवकलज सीमा $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}(\mathbf {x} )=\lim _{h\to 0}{\frac {f(\mathbf {x} +h\mathbf {v} )-f(\mathbf {x} )}{h}}.}$$ द्वारा परिभाषित फलन $${\displaystyle \nabla _{\mathbf {v} }{f}} $$ है।

यह परिभाषा संदर्भों की एक विस्तृत श्रृंखला में मान्य है, उदाहरण के लिए जहां एक सदिश (और इसलिए एक एकांक सदिश) का मानदंड अपरिभाषित है।

उदाहरण
मान लीजिए कि f एक से अधिक चरों का एक फलन है। उदाहरण के लिए,


 * $$z = f(x,y) = x^2 + xy + y^2$$.

इस फलन का ग्राफ़ यूक्लिडियन समष्टि में एक सतह को परिभाषित करता है। इस सतह के प्रत्येक बिंदु पर अनंत संख्या में स्पर्श रेखाएँ होती हैं। आंशिक अवकलन इन रेखाओं में से किसी एक को चुनने और उसकी प्रवणता ज्ञात करने की विधि है। आमतौर पर, अधिक रुचि वाली रेखाएँ वे होती हैं जो $$xz$$-तल के समानांतर होती हैं, और वे जो $$yz$$-तल (जो क्रमशः $$y$$ या $$x$$ स्थिरांक रखने से उत्पन्न होता है) के समानांतर होती हैं।

$$P(1, 1)$$ पर फलन की स्पर्श रेखा की और $$xz$$ -तल के समानांतर रेखा की प्रवणता खोजने के लिए, हम $$y$$ को एक स्थिरांक मानते हैं।

ग्राफ और इस तल को दाईं ओर दिखाया गया है। नीचे, हम देखते हैं कि फलन तल $$y = 1$$ पर कैसा दिखता है। यह मानते हुए कि $$y$$ एक स्थिरांक है, समीकरण का अवकलज ज्ञात करके, हम पाते हैं कि बिंदु $$(x, y)$$ पर $$f$$ की प्रवणता है,
 * $$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y.$$

तो $$(1, 1)$$ पर, प्रतिस्थापन द्वारा, प्रवणता 3 है। इसलिए, बिंदु पर $$(1, 1)$$ पर


 * $$\frac{\partial z}{\partial x} = 3$$।

अर्थात्, $$(1, 1)$$ पर $$x$$ के संबंध में $$z$$ का आंशिक अवकलज 3 है, जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है।

फलन f की अन्य चर द्वारा अनुक्रमित एक चर के फलनो के समुह के रूप में पुन: व्याख्या की जा सकती है,


 * $$f(x,y) = f_y(x) = x^2 + xy + y^2.$$

दूसरे शब्दों में, y का प्रत्येक मान एक फलन को परिभाषित करता है, जिसे fy कहा जाता है, जो एक चर x का फलन है। अर्थात,


 * $$f_y(x) = x^2 + xy + y^2.$$

इस अनुभाग में पादांकित संकेतन fy, y के निश्चित मान पर निर्भर एक फलन को दर्शाता है, न कि आंशिक अवकलज को।

एक बार जब y का मान चुना जाता है, मान लीजिए a, तो f(x,y) एक फलन fa निर्धारित करता है जो $$xz$$ -तल पर एक वक्र x2 + ax +a2 का पता लगाता है,


 * $$f_a(x) = x^2 + ax + a^2.$$

इस व्यंजक में, a एक स्थिर है, चर नहीं है, इसलिए faकेवल एक वास्तविक चर का फलन है, जो कि x है। परिणामस्वरूप, एक चर के एक फलन के लिए अवकलज की परिभाषा लागू होती है,


 * $$f_a'(x) = 2x + a.$$

उपरोक्त प्रक्रिया किसी भी विकल्प के लिए की जा सकती है। अवकलज को एक साथ एक फलन में इकट्ठा करना एक ऐसा फलन मिलता है जो x दिशा में f की भिन्नता का वर्णन करता है,


 * $$\frac{\partial f}{\partial x}(x,y) = 2x + y.$$

यह x के संबंध में f का आंशिक अवकलज है। यहाँ ∂ एक गोलाकार d है जिसे आंशिक अवकलज प्रतीक कहा जाता है, इसे d अक्षर से इसे अलग करने के लिए, ∂ को कभी-कभी आंशिक उच्चारित किया जाता है।

उच्चतर कोटि आंशिक अवकलज
दूसरे और उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज को एकचर फलनो के उच्चतर कोटि के अवकलज के अनुरूप परिभाषित किया गया है। फलन $$f(x, y, ...)$$ के लिए x के संबंध में स्वयं का दूसरा आंशिक अवकलज केवल आंशिक अवकलज (दोनों x के संबंध में) का आंशिक अवकलज है,
 * $$\frac{\partial ^2 f}{\partial x^2} \equiv \partial \frac \equiv \frac \equiv f_{xx}.$$

x और y के संबंध में क्रॉस आंशिक अवकलज, x के संबंध में f का आंशिक अवकलज लेकर प्राप्त किया जाता है, और फिर


 * $$\frac{\partial ^2 f}{\partial y\, \partial x} \equiv \partial \frac{\partial f / \partial x}{\partial y} \equiv \frac{\partial f_x}{\partial y} \equiv f_{xy}.$$

प्राप्त करने के लिए y के संबंध में परिणाम का आंशिक अवकलज लिया जाता है। श्वार्ज की प्रमेय में कहा गया है कि यदि दूसरा अवकलज निरंतर है, तो क्रॉस आंशिक अवकलज के लिए व्यंजक इस बात से अप्रभावित रहता है कि किस चर के संबंध में आंशिक अवकलज को पहले लिया गया है और किसको दूसरे के संबंध में लिया गया है। अर्थात,


 * $$\frac {\partial ^2 f}{\partial x\, \partial y} = \frac{\partial ^2 f}{\partial y\, \partial x}$$

या समकक्ष $$f_{yx} = f_{xy}.$$

हेसियन आव्यूह में स्वयं और क्रॉस आंशिक अवकलज दिखाई देते हैं जिसका उपयोगअनुकूलन समस्याओं में दूसरे क्रम की स्थितियों में उपयोग किया जाता है। उच्चतर कोटि के आंशिक अवकलज क्रमिक अवकलन द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं

antiderivative एनालॉग
आंशिक अवकलज के लिए एक अवधारणा है जो नियमित अवकलज के लिए एंटीअवकलज के अनुरूप है। आंशिक अवकलज को देखते हुए, यह मूल कार्य की आंशिक वसूली की अनुमति देता है।

के उदाहरण पर विचार करें


 * $$\frac{\partial z}{\partial x} = 2x+y.$$

आंशिक समाकल को x के संबंध में लिया जा सकता है (y को स्थिर मानते हुए, आंशिक विभेदन के समान तरीके से):


 * $$z = \int \frac{\partial z}{\partial x} \,dx = x^2 + xy + g(y).$$

यहाँ, समाकलन का स्थिरांक| एकीकरण का स्थिरांक अब स्थिर नहीं है, बल्कि x को छोड़कर मूल कार्य के सभी चरों का एक कार्य है। इसका कारण यह है कि आंशिक अवकलज लेते समय अन्य सभी चरों को स्थिर माना जाता है, इसलिए कोई भी कार्य जिसमें सम्मिलित नहीं होता है $$x$$ आंशिक अवकलज लेते समय गायब हो जाएगा, और जब हम एंटीअवकलज लेते हैं तो हमें इसका हिसाब देना होगा। इसका प्रतिनिधित्व करने का सबसे सामान्य तरीका यह है कि स्थिरांक अन्य सभी चरों के अज्ञात फलन का प्रतिनिधित्व करता है।

इस प्रकार फलनो का सेट $$x^2 + xy + g(y)$$, जहाँ g कोई एक-तर्क फलन है, चर x, y में फलनो के पूरे सेट का प्रतिनिधित्व करता है जो x-आंशिक अवकलज का उत्पादन कर सकता था $$2x + y$$.

यदि किसी फलन के सभी आंशिक अवकलज ज्ञात हैं (उदाहरण के लिए, प्रवणता के साथ), तो एंटीअवकलज्स को उपरोक्त प्रक्रिया के माध्यम से एक स्थिरांक तक मूल फलन को फिर से बनाने के लिए मिलान किया जा सकता है। एकल-चर स्थिति के विपरीत, हालांकि, फलन का प्रत्येक सेट एकल फलन के सभी (प्रथम) आंशिक अवकलज का सेट नहीं हो सकता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक सदिश फ़ील्ड रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र नहीं है।

ज्यामिति
एक शंकु (ज्यामिति) का आयतन V सूत्र के अनुसार शंकु की ऊँचाई h और उसकी त्रिज्या r पर निर्भर करता है


 * $$V(r, h) = \frac{\pi r^2 h}{3}.$$

आर के संबंध में वी का आंशिक अवकलज है


 * $$\frac{ \partial V}{\partial r} = \frac{ 2 \pi r h}{3},$$

जो उस दर का प्रतिनिधित्व करता है जिसके साथ शंकु का आयतन बदलता है यदि इसकी त्रिज्या भिन्न होती है और इसकी ऊंचाई स्थिर रहती है। के संबंध में आंशिक अवकलज $$h$$ बराबरी $$\frac{\pi r^2}{3},$$ जो उस दर का प्रतिनिधित्व करता है जिसके साथ मात्रा बदलती है यदि इसकी ऊंचाई भिन्न होती है और इसकी त्रिज्या स्थिर रहती है।

इसके विपरीत, r और h के संबंध में V का कुल अवकलज क्रमशः है


 * $$\frac{dV}{dr} = \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r} + \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial h}\frac{dh}{dr}$$

और


 * $$\frac{dV}{dh} = \overbrace{\frac{\pi r^2}{3}}^\frac{\partial V}{\partial h} + \overbrace{\frac{2 \pi r h}{3}}^\frac{ \partial V}{\partial r}\frac{dr}{dh}$$

कुल और आंशिक अवकलज के बीच का अंतर आंशिक अवकलज में चर के बीच अप्रत्यक्ष निर्भरता का उन्मूलन है।

अगर (किसी मनमाने कारण से) शंकु के अनुपात को वही रहना है, और ऊंचाई और त्रिज्या एक निश्चित अनुपात k में हैं,


 * $$k = \frac{h}{r} = \frac{dh}{dr}.$$

यह आर के संबंध में कुल अवकलज देता है:


 * $$\frac{dV}{dr} = \frac{2 \pi r h}{3} + \frac{\pi r^2}{3}k$$

जो सरल करता है:


 * $$\frac{dV}{dr} = k \pi r^2$$

इसी प्रकार, एच के संबंध में कुल अवकलज है:


 * $$\frac{dV}{dh} = \pi r^2$$

इन दो वेरिएबल्स के स्केलर फलन के रूप में इच्छित मात्रा के आर और एच दोनों के संबंध में कुल अवकलज ढाल सदिश द्वारा दिया गया है


 * $$\nabla V = \left(\frac{\partial V}{\partial r},\frac{\partial V}{\partial h}\right) = \left(\frac{2}{3}\pi rh, \frac{1}{3}\pi r^2\right).$$

अनुकूलन
आंशिक अवकलज किसी भी कलन-आधारित अनुकूलन समस्या में एक से अधिक विकल्प चर के साथ दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, अर्थशास्त्र में एक फर्म दो अलग-अलग प्रकार के आउटपुट की मात्रा x और y की पसंद के संबंध में लाभ (अर्थशास्त्र) π(x, y) को अधिकतम करने की इच्छा कर सकती है। इस अनुकूलन के लिए पहली ऑर्डर की शर्तें π हैंx = 0 = पीy. चूंकि दोनों आंशिक अवकलज πx और πy आम तौर पर स्वयं दोनों तर्कों x और y के कार्य होंगे, ये दो प्रथम क्रम की शर्तें समीकरणों की एक प्रणाली बनाती हैं।

ऊष्मप्रवैगिकी, क्वांटम यांत्रिकी और गणितीय भौतिकी
आंशिक अवकलज थर्मोडायनामिक समीकरणों जैसे गिब्स-डुहेम समीकरण, क्वांटम यांत्रिकी में श्रोडिंगर समीकरण के साथ-साथ गणितीय भौतिकी के अन्य समीकरणों में दिखाई देते हैं। यहां आंशिक अवकलज में चर को स्थिर रखा जा सकता है, जो मोल अंश x जैसे सरल चर का अनुपात हो सकता हैiनिम्नलिखित उदाहरण में एक टर्नरी मिश्रण प्रणाली में गिब्स ऊर्जा सम्मिलित है:


 * $$\bar{G_2}= G + (1-x_2) \left(\frac\right)_{\frac{x_1}{x_3}} $$

एक घटक के मोल अंशों को अन्य घटकों के मोल अंश और बाइनरी मोल अनुपात के फलनो के रूप में व्यक्त करें:


 * $$x_1 = \frac{1-x_2}{1+\frac{x_3}{x_1}}$$
 * $$x_3 = \frac{1-x_2}{1+\frac{x_1}{x_3}}$$

उपरोक्त की तरह स्थिर अनुपात में विभेदक भागफल बनाए जा सकते हैं:


 * $$\left(\frac{\partial x_1}{\partial x_2}\right)_{\frac{x_1}{x_3}} = - \frac{x_1}{1-x_2}$$
 * $$\left(\frac{\partial x_3}{\partial x_2}\right)_{\frac{x_1}{x_3}} = - \frac{x_3}{1-x_2}$$

मोल अंशों के अनुपात X, Y, Z को त्रिगुट और बहुघटक प्रणालियों के लिए लिखा जा सकता है:


 * $$X = \frac{x_3}{x_1 + x_3}$$
 * $$Y = \frac{x_3}{x_2 + x_3}$$
 * $$Z = \frac{x_2}{x_1 + x_2}$$

जिसका उपयोग आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए किया जा सकता है:


 * $$\left(\frac{\partial \mu_2}{\partial n_1}\right)_{n_2, n_3} = \left(\frac{\partial \mu_1}{\partial n_2}\right)_{n_1, n_3}$$

इस समानता को एक तरफ मोल अंशों के अंतर भागफल के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है।

छवि का आकार बदलना
आंशिक अवकलज लक्ष्य-जागरूक छवि आकार बदलने वाले एल्गोरिदम के लिए महत्वपूर्ण हैं। व्यापक रूप से सीम नक्काशी के रूप में जाना जाता है, इन एल्गोरिदम को ऑर्थोगोनल आसन्न पिक्सल के खिलाफ उनकी असमानता का वर्णन करने के लिए एक छवि में प्रत्येक पिक्सेल को एक संख्यात्मक 'ऊर्जा' निर्दिष्ट करने की आवश्यकता होती है। कलन विधि फिर सबसे कम ऊर्जा वाली पंक्तियों या स्तंभों को उत्तरोत्तर हटाता है। एक पिक्सेल की ऊर्जा (पिक्सेल पर प्रवणता का परिमाण) निर्धारित करने के लिए स्थापित सूत्र आंशिक अवकलज के निर्माण पर बहुत अधिक निर्भर करता है।

अर्थशास्त्र
आंशिक अवकलज अर्थशास्त्र में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं, जिसमें आर्थिक व्यवहार का वर्णन करने वाले अधिकांश कार्य यह मानते हैं कि व्यवहार एक से अधिक चर पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, एक सामाजिक उपभोग फलन आय और धन दोनों के आधार पर उपभोक्ता वस्तुओं पर खर्च की गई राशि का वर्णन कर सकता है; उपभोग करने के लिए सीमांत प्रवृत्ति तो आय के संबंध में उपभोग फलन का आंशिक अवकलज है।

यह भी देखें

 * डी'अलेम्बर्टियन ऑपरेटर
 * श्रृंखला नियम
 * कर्ल (गणित)
 * विचलन
 * बाहरी व्युत्पन्न
 * पुनरावृत्त अभिन्न
 * जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक
 * लाप्लासियन
 * बहुभिन्नरूपी कैलकुलस
 * दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता
 * ट्रिपल उत्पाद नियम, जिसे चक्रीय श्रृंखला नियम भी कहा जाता है।

बाहरी कड़ियाँ

 * Partial Derivatives at MathWorld
 * Partial Derivatives at MathWorld