अर्ध-सीमित क्षेत्र

गणित में, अर्ध-सीमित क्षेत्र  परिमित क्षेत्र का सामान्यीकरण है। मानक स्थानीय वर्ग क्षेत्र सिद्धांत आम तौर पर पूर्ण मूल्यवान क्षेत्रों से संबंधित होता है जिनका अवशेष क्षेत्र परिमित होता है (यानी गैर-आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र), लेकिन सिद्धांत समान रूप से लागू होता है जब अवशेष क्षेत्र को केवल अर्ध-परिमित माना जाता है।

औपचारिक परिभाषा
अर्ध-परिमित क्षेत्र टोपोलॉजिकल समूहों की समरूपता के साथ आदर्श क्षेत्र K है
 * $$\phi : \hat{\mathbb Z} \to \operatorname{Gal}(K_s/K),$$

जहां केs K का बीजगणितीय समापन है (आवश्यक रूप से अलग करने योग्य क्योंकि K पूर्ण है)। क्षेत्र विस्तार केs/K अनंत है, और गैलोज़ समूह को तदनुसार क्रुल टोपोलॉजी दी गई है। समूह $$\widehat{\mathbb{Z}}$$ परिमित सूचकांक के उपसमूहों के संबंध में पूर्णांकों की अनंत पूर्णता है।

यह परिभाषा यह कहने के बराबर है कि K का अद्वितीय (आवश्यक रूप से चक्रीय विस्तार) विस्तार K हैn प्रत्येक पूर्णांक n ≥ 1 के लिए डिग्री n की, और इन ्सटेंशनों का मिलन K के बराबर हैs. इसके अलावा, अर्ध-परिमित क्षेत्र की संरचना के हिस्से के रूप में, जनरेटर एफ हैn प्रत्येक गैल(K) के लिएn/K), और जनरेटर सुसंगत होने चाहिए, इस अर्थ में कि यदि n, m को विभाजित करता है, तो F का प्रतिबंधm के कोn F के बराबर हैn.

उदाहरण
सबसे बुनियादी उदाहरण, जो परिभाषा को प्रेरित करता है, परिमित क्षेत्र K = 'GF'(q) है। इसमें डिग्री n, अर्थात् K का अद्वितीय चक्रीय विस्तार हैn = जीएफ(क्यूn). के का संघn बीजगणितीय समापन K हैs. हम एफ लेते हैंn फ्रोबेनियस तत्व होना; यानी एफn(्स) = ्सक्यू.

अन्य उदाहरण K = 'C'((T)) है, जो सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र 'C' के ऊपर T में औपचारिक लॉरेंट श्रृंखला का वलय है। (ये केवल औपचारिक शक्ति श्रृंखला हैं जिसमें हम नकारात्मक डिग्री के सीमित कई पदों की भी अनुमति देते हैं।) फिर K का अद्वितीय चक्रीय विस्तार है
 * $$K_n = \mathbf C((T^{1/n}))$$

प्रत्येक n ≥ 1 के लिए डिग्री n का, जिसका मिलन K का बीजगणितीय समापन है जिसे पुइसेक्स श्रृंखला का क्षेत्र कहा जाता है, और यह गैल (K) का  जनरेटर हैn/K) द्वारा दिया गया है
 * $$F_n(T^{1/n}) = e^{2\pi i/n} T^{1/n}.$$

यह निर्माण तब काम करता है जब C को विशेषता शून्य के किसी बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड C से बदल दिया जाता है।