केंद्रीय क्षण

प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, केंद्रीय क्षण यादृच्छिक चर के माध्य के बारे में एक यादृच्छिक चर के प्रायिकता वितरण का एक क्षण होता है; अर्थात, यह माध्य से यादृच्छिक चर के विचलन के निर्दिष्ट पूर्णांक के घात का अपेक्षित मान है। विभिन्न क्षण मानों का एक समुच्चय बनाते हैं जिसके द्वारा प्रायिकता वितरण के गुणों को उपयोगी रूप से चित्रित किया जा सकता है। केंद्रीय क्षणों का उपयोग सामान्य क्षणों की प्राथमिकता में किया जाता है, जिसकी गणना शून्य के अतिरिक्त माध्य से विचलन के संदर्भ में की जाती है, क्योंकि उच्च-क्रम वाले केंद्रीय क्षण अवस्थति मानदंड के स्थान पर केवल वितरण के प्रसार और आकार से संबंधित होते हैं।

केंद्रीय क्षणों के समुच्चय को अविभाज्य और बहुभिन्नरूपी वितरण, दोनों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

एकविचर क्षण
वास्तविक-मान वाले यादृच्छिक चर X के माध्य (या nवें 'केंद्रीय क्षण') के बारे में nवां क्षण मात्रा μn := E[(X − E[X])n] है जहां E अपेक्षित मान है। प्रायिकता घनत्व फलन f(x) के साथ निरंतर प्रायिकता वितरण अविभाज्य प्रायिकता वितरण के लिए, माध्य μ के लिए nवाँ क्षण निम्नलिखित है
 * $$ \mu_n = \operatorname{E} \left[ ( X - \operatorname{E}[X] )^n \right] = \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu)^n f(x)\,\mathrm{d} x. $$

उन यादृच्छिक चरों के लिए जिनका कोई माध्य नहीं है, जैसे कि कॉची वितरण, केंद्रीय क्षण परिभाषित नहीं हैं।

पहले कुछ केंद्रीय क्षणों की सहज व्याख्याएँ हैं:
 * शून्यवाँ केंद्रीय क्षण μ0, 1 है.
 * पहला केंद्रीय क्षण μ1, 0 है (पूर्व के प्राथमिक क्षण या अपेक्षित मान μ से भ्रमित न हों)।
 * दूसरा केंद्रीय क्षण μ2 को प्रसरण कहा जाता है, और सामान्यतः इसे σ2 से दर्शाया जाता है, जहां σ मानक विचलन का प्रतिनिधित्व करता है।
 * तीसरे और चौथे केंद्रीय क्षणों का उपयोग मानकीकृत क्षणो को परिभाषित करने के लिए किया जाता है जिनका उपयोग क्रमशः तिर्यकता और वक्रता मात्रा को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

गुण
nवाँ केंद्रीय क्षण अनुवाद-अपरिवर्तनीय है, अर्थात किसी भी यादृच्छिक चर X और किसी स्थिरांक c के लिए, हमारे पास


 * $$\mu_n(X+c)=\mu_n(X).\,$$ है।

सभी n के लिए, nवाँ केंद्रीय क्षण n क्रम का सजातीय फलन है:


 * $$\mu_n(cX)=c^n\mu_n(X).\,$$

केवल n के लिए जहां n 1, 2 या 3 के बराबर है, हमारे पास स्वतंत्रता विशेषता वाले अनिश्चित मान X और Y के लिए संयुक्तीवादिता गुणधर्म होता है:


 * $$\mu_n(X+Y)=\mu_n(X)+\mu_n(Y)\,$$ प्रदान किया गया n ∈ ${1, 2, 3}$.

एक संबंधित फलन जो nवें केंद्रीय क्षण के साथ अनुवाद-अपरिवर्तनीयता और समरूपता गुणों को साझा करता है, परंतु यह योज्यता गुण तब भी बना रहता है जब n ≥ 4 κn(X) के लिए nवाँ समुच्चय होता है। n = 1 के लिए, nवाँ समुच्चय केवल अपेक्षित मान है; n = 2 या 3 के लिए, nवाँ समुच्चय केवल nवाँ केंद्रीय क्षण है; n ≥ 4 के लिए, nवां समुच्चय पहले n क्षणों (शून्य के बारे में) में एक nवाँ-क्रम का एकल बहुपद है, तथा पहले n केंद्रीय क्षणों में एक nth-क्रम बहुपद भी है।

मूल क्षणों से संबंध
कभी-कभी मूल क्षणों को माध्य क्षणों में परिवर्तित करना सुविधाजनक होता है। मूल क्षण में nवें क्रम के क्षण को माध्य क्षण में परिवर्तित करने के लिए सामान्य समीकरण निम्नलिखित है



\mu_n = \operatorname{E}\left[\left(X - \operatorname{E}[X]\right)^n\right] = \sum_{j=0}^n {n \choose j} (-1) ^{n-j} \mu'_j \mu^{n-j}, $$ जहां μ वितरण का माध्य है, और मूल क्षण निम्नलिखित रूप में दिया गया है



\mu'_m = \int_{-\infty}^{+\infty} x^m f(x)\,dx = \operatorname{E}[X^m] = \sum_{j=0}^m {m \choose j} \mu_j \mu^{m-j}. $$ n = 2, 3, 4 के लिए - जो क्रमशः भिन्नता, तिर्यकता और वक्रता मात्रा के संबंधों के कारण सबसे अधिक रुचि रखते हैं - पुनः यह सूत्र बन


 * $$\mu_2 = \mu'_2 - \mu^2\,$$जाता है (ध्यान दें कि $$\mu = \mu'_1$$ और $$\mu'_0=1$$), जिसे सामान्यतः $$ \operatorname{Var}(X) = \operatorname{E}[X^2] - \left(\operatorname{E}[X]\right)^2$$ कहा जाता है।
 * $$\mu_3 = \mu'_3 - 3 \mu \mu'_2 +2 \mu^3\,$$
 * $$\mu_4 = \mu'_4 - 4 \mu \mu'_3 + 6 \mu^2 \mu'_2 - 3 \mu^4.\,$$

और इसी तरह, पास्कल के त्रिभुज का अनुसरण करते हुए, अर्थात्


 * $$\mu_5 = \mu'_5 - 5 \mu \mu'_4 + 10 \mu^2 \mu'_3 - 10 \mu^3 \mu'_2 + 4 \mu^5.\,$$

क्योंकि $$ 5\mu^4\mu'_1 - \mu^5 \mu'_0 = 5\mu^4\mu - \mu^5 = 5 \mu^5 - \mu^5 = 4 \mu^5$$

निम्नलिखित योग एक प्रसंभाव्य चर है जिसका यौगिक वितरण निम्नलिखित है


 * $$W = \sum_{i=1}^M Y_i, $$

जहां $$Y_i$$ समान सामान्य वितरण साझा करने वाले परस्पर स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं और $$M$$ से स्वतंत्र एक यादृच्छिक पूर्णांक चर $$Y_k$$ अपने स्वयं के वितरण के साथ. $$W$$ के क्षण के रूप में प्राप्त होते हैं


 * $$\operatorname{E}[W^n]= \sum_{i=0}^n\operatorname{E}\left[{M \choose i}\right]\sum_{j=0}^i {i \choose j}(-1)^{i-j}\operatorname{E} \left[ \left(\sum_{k=1}^j Y_k\right)^n \right],        $$

जहाँ $$\operatorname{E} \left[ \left(\sum_{k=1}^j Y_k\right)^n\right] $$ $$j=0$$ के लिए शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है।

सममित वितरण
उन वितरणों में जो सममित वितरण हैं जो माध्य प्रतिबिंब होने से अप्रभावित हैं; सभी विषम केंद्रीय क्षण जब भी स्थित होते हैं तो शून्य के बराबर होते हैं, क्योंकि n वें क्षण के सूत्र में, प्रत्येक पद में माध्य से X का न्यूनतम मान सम्मिलित होता है तथा एक निश्चित मान बिल्कुल उसी मान से माध्य से अधिक X के मान वाले पद को रद्द कर देती है।

बहुचर क्षण
एक सतत द्विचरी प्रायिकता वितरण के लिए जहां प्राथमिकता घनत्व फलन f(x,y) है, मान μ = (μX, μY) के (j,k) क्षण है:
 * $$ \mu_{j,k} = \operatorname{E} \left[ ( X - \operatorname{E}[X] )^j ( Y - \operatorname{E}[Y] )^k \right] = \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} (x - \mu_X)^j (y - \mu_Y)^k f(x,y )\,dx \,dy. $$

जटिल यादृच्छिक चर का केंद्रीय क्षण
किसी जटिल यादृच्छिक चर X के लिए nवें केंद्रीय क्षण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

X के पूर्ण nवें केंद्रीय क्षण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

द्वितीय-क्रम का केंद्रीय क्षण β2 X को X का चर प्रसरण कहा जाता है जबकि द्वितीय-क्रम का केंद्रीय क्षण α2 X का छद्म-प्रसरण होता है।

यह भी देखें

 * मानकीकृत क्षण
 * छवि क्षण
 * जटिल यादृच्छिक चर
 * जटिल यादृच्छिक चर

संदर्भ
Moment (mathématiques)