पार स्पेक्ट्रम

समय श्रृंखला विश्लेषण में क्रॉस-स्पेक्ट्रम का उपयोग दो समय श्रृंखलाओं के बीच क्रॉस-सहसंबंध या क्रॉस-सहप्रसरण के आवृत्ति डोमेन विश्लेषण के भाग के रूप में किया जाता है।

परिभाषा
मान लीजिए $$(X_t,Y_t)$$ स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं की जोड़ी का प्रतिनिधित्व करता है जो संयुक्त रूप से ऑटोकोवेरिएंस फलन $$\gamma_{xx}$$और $$\gamma_{yy}$$ और क्रॉस-कोवेरिएंस फलन के साथ व्यापक अर्थ स्थिर हैं। जिसमे $$\gamma_{xy}$$ फिर क्रॉस-स्पेक्ट्रम $$\Gamma_{xy}$$ को $$\gamma_{xy}$$ के फूरियर रूपांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है।

\Gamma_{xy}(f)= \mathcal{F}\{\gamma_{xy}\}(f) = \sum_{\tau=-\infty}^\infty \,\gamma_{xy}(\tau) \,e^{-2\,\pi\,i\,\tau\,f} , $$ जहाँ
 * $$\gamma_{xy}(\tau) = \operatorname{E}[(x_t - \mu_x)(y_{t+\tau} - \mu_y)]$$.

क्रॉस-स्पेक्ट्रम का प्रतिनिधित्व (i) इसके वास्तविक भाग (सह-स्पेक्ट्रम) और (ii) इसके काल्पनिक भाग (चतुर्भुज स्पेक्ट्रम) में अपघटन के रूप में होता है।

\Gamma_{xy}(f)= \Lambda_{xy}(f) - i \Psi_{xy}(f) , $$ और (ii) ध्रुवीय निर्देशांक में

\Gamma_{xy}(f)= A_{xy}(f) \,e^{i \phi_{xy}(f) }. $$ यहाँ, आयाम स्पेक्ट्रम $$A_{xy}$$ द्वारा दिया गया है
 * $$A_{xy}(f)= (\Lambda_{xy}(f)^2 + \Psi_{xy}(f)^2)^\frac{1}{2} ,$$

और फेज स्पेक्ट्रम $$\Phi_{xy}$$ द्वारा दिया गया है
 * $$\begin{cases}

\tan^{-1} ( \Psi_{xy}(f) / \Lambda_{xy}(f)  )     & \text{if } \Psi_{xy}(f) \ne 0 \text{ and } \Lambda_{xy}(f) \ne 0 \\ 0    & \text{if } \Psi_{xy}(f) = 0 \text{ and } \Lambda_{xy}(f) > 0 \\ \pm \pi & \text{if } \Psi_{xy}(f) = 0 \text{ and } \Lambda_{xy}(f) < 0 \\ \pi/2 & \text{if } \Psi_{xy}(f) > 0 \text{ and } \Lambda_{xy}(f) = 0 \\ -\pi/2 & \text{if } \Psi_{xy}(f) < 0 \text{ and } \Lambda_{xy}(f) = 0 \\ \end{cases}$$

वर्गाकार सुसंगति स्पेक्ट्रम
वर्गाकार सुसंगतता (सिग्नल प्रोसेसिंग) द्वारा दी गई है

\kappa_{xy}(f)= \frac{A_{xy}^2}{ \Gamma_{xx}(f) \Gamma_{yy}(f)} , $$ जो आयामहीन इकाइयों में आयाम स्पेक्ट्रम को व्यक्त करता है।

यह भी देखें

 * क्रॉस-कोवेरिएंस
 * पावर स्पेक्ट्रम
 * स्केल्ड सहसंबंध