रिक्त समुच्चय

गणित में, रिक्त समुच्चय अद्वितीय समुच्चय (गणित) है जिसमें कोई तत्व नहीं है (गणित); इसका आकार या प्रमुखता  (एक सेट में तत्वों की गिनती)  0  है। कुछ स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत यह सुनिश्चित करते हैं कि खाली समुच्चय के एक स्वयंसिद्ध को शामिल करके खाली सेट मौजूद है, जबकि अन्य सिद्धांतों में, इसके अस्तित्व का अनुमान लगाया जा सकता है। समुच्चय के कई संभावित गुण रिक्त समुच्चय के लिए रिक्त रूप से सत्य हैं।

रिक्त समुच्चय के अतिरिक्त कोई भी समुच्चय अरिक्त कहलाता है।

कुछ पाठ्यपुस्तकों और लोकप्रियकरणों में, खाली सेट को नल सेट के रूप में संदर्भित किया जाता है। हालांकि,  शून्य सेट   माप सिद्धांत  के संदर्भ में एक अलग धारणा है, जिसमें यह माप शून्य के एक सेट का वर्णन करता है (जो आवश्यक रूप से खाली नहीं है)। रिक्त समुच्चय को शून्य समुच्चय भी कहा जा सकता है।

नोटेशन
खाली सेट के लिए सामान्य नोटेशन में {} शामिल है,$$\emptyset$$, और ∅। बाद के दो प्रतीकों को 1939 में बॉरबाकी समूह (विशेष रूप से आंद्रे वेइल) द्वारा पेश किया गया था, जो डेनिश वर्तनी  और  नॉर्वेजियन ऑर्थोग्राफी  वर्णमाला के अक्षर Ø से प्रेरित था। अतीत में, 0 को कभी-कभी खाली सेट के प्रतीक के रूप में इस्तेमाल किया जाता था, लेकिन अब इसे संकेतन का अनुचित उपयोग माना जाता है। प्रतीक ∅ यूनिकोड  बिंदु U+2205 पर उपलब्ध है। इसे  HTML  में कोडित किया जा सकता है &empty; और जैसे &#8709;. इसे LaTeX  में इस प्रकार कोडित किया जा सकता है: \varnothing. प्रतीक $$\emptyset$$ के रूप में LaTeX में कोडित है \emptyset.

डेनिश और नॉर्वेजियन जैसी भाषाओं में लिखते समय, जहां खाली सेट वर्ण को वर्णानुक्रमिक अक्षर Ø (भाषाविज्ञान में प्रतीक का उपयोग करते समय) के साथ भ्रमित किया जा सकता है, इसके बजाय यूनिकोड वर्ण U+29B0 उलटे खाली सेट का उपयोग किया जा सकता है।

गुण
मानक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत  में, विस्तार के स्वयंसिद्ध द्वारा, दो सेट समान होते हैं यदि उनके पास समान तत्व होते हैं। नतीजतन, बिना किसी तत्व के केवल एक सेट हो सकता है, इसलिए खाली सेट के बजाय खाली सेट का उपयोग किया जाता है।

खाली सेट में निम्नलिखित गुण होते हैं: किसी सेट ए के लिए: किसी भी संपत्ति (दर्शन)  के लिए पी:
 * इसका एकमात्र उपसमुच्चय खाली समुच्चय ही है:
 * $$\forall A: A \subseteq \varnothing \Rightarrow A = \varnothing $$
 * खाली सेट का सत्ता स्थापित  वह सेट होता है जिसमें केवल खाली सेट होता है:
 * $$2^{\varnothing } = \{\varnothing\}$$
 * खाली सेट के तत्वों की संख्या (यानी, इसकी कार्डिनैलिटी) शून्य है:
 * $$\mathrm{|}\varnothing\mathrm{|} = 0$$
 * खाली सेट ए का सबसेट  है:
 * $$\forall A: \varnothing \subseteq A$$
 * खाली सेट के साथ ए का संघ (सेट सिद्धांत)  ए है:
 * $$\forall A: A \cup \varnothing = A$$
 * खाली सेट के साथ A का चौराहा (सेट सिद्धांत)  खाली सेट है:
 * $$\forall A: A \cap \varnothing = \varnothing $$
 * ए और खाली सेट का कार्टेशियन उत्पाद खाली सेट है:
 * $$\forall A: A \times \varnothing = \varnothing $$
 * . के हर तत्व के लिए $$\varnothing$$, संपत्ति P धारण करती है (रिक्त सत्य)।
 * . का कोई तत्व नहीं है $$\varnothing$$ जिसके लिए संपत्ति पी रखती है।

इसके विपरीत, यदि कुछ गुण P और कुछ समुच्चय V के लिए, निम्नलिखित दो कथन धारण करते हैं: फिर $$V = \varnothing.$$ उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार, रिक्त समुच्चय किसी समुच्चय A का उपसमुच्चय होता है। तत्व x का $$\varnothing$$ ए से संबंधित है। वास्तव में, यदि यह सच नहीं था कि. का प्रत्येक तत्व $$\varnothing$$ A में है, तो कम से कम एक तत्व होगा $$\varnothing$$ वह ए में मौजूद नहीं है। चूंकि हैं के तत्व $$\varnothing$$ का कोई तत्व नहीं है $$\varnothing$$ वह ए में नहीं है। कोई भी कथन जो प्रत्येक तत्व के लिए शुरू होता है $$\varnothing$$कोई ठोस दावा नहीं कर रहा है; यह एक खाली सच है। यह अक्सर व्याख्या की जाती है क्योंकि खाली सेट के तत्वों के बारे में सब कुछ सच है।
 * वी के प्रत्येक तत्व के लिए संपत्ति पी रखती है
 * V का कोई अवयव नहीं है जिसके लिए गुण P धारण करता है

प्राकृतिक संख्याओं की सामान्य सेट-सैद्धांतिक परिभाषा में, शून्य को खाली सेट द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है।

खाली सेट पर संचालन
परिमित समुच्चय के तत्वों के योग  की बात करते समय, एक अनिवार्य रूप से इस सम्मेलन की ओर अग्रसर होता है कि रिक्त समुच्चय के तत्वों का योग शून्य है। इसका कारण यह है कि शून्य योग का तत्समक तत्व है। इसी तरह, खाली सेट के तत्वों के गुणन को  1 (संख्या)  माना जाना चाहिए ( खाली उत्पाद  देखें), क्योंकि गुणन के लिए एक  पहचान तत्व  है।

एक गड़बड़ी   निश्चित बिंदु (गणित)  के बिना एक सेट का क्रमचय है। रिक्त समुच्चय को स्वयं का विक्षोभ माना जा सकता है, क्योंकि इसमें केवल एक क्रमचय ($$0!=1$$), और यह स्पष्ट रूप से सच है कि कोई भी तत्व (खाली सेट का) नहीं पाया जा सकता है जो अपनी मूल स्थिति को बरकरार रखता है।

विस्तारित वास्तविक संख्या
चूंकि खाली सेट में कोई सदस्य नहीं होता है, जब इसे किसी ऑर्डर किए गए सेट के सबसेट के रूप में माना जाता है, तो उस सेट का प्रत्येक सदस्य खाली सेट के लिए ऊपरी बाउंड और निचला बाउंड होगा। उदाहरण के लिए, जब वास्तविक संख्याओं के सबसेट के रूप में माना जाता है, इसके सामान्य क्रम के साथ, वास्तविक संख्या रेखा  द्वारा दर्शाया जाता है, प्रत्येक वास्तविक संख्या खाली सेट के लिए ऊपरी और निचली सीमा दोनों होती है। जब वास्तविक संख्याओं (अर्थात् ऋणात्मक अनंत, निरूपित) में दो संख्याओं या बिंदुओं को जोड़कर गठित  विस्तारित वास्तविक ों का एक उपसमुच्चय माना जाता है $$-\infty\!\,,$$ जिसे हर दूसरे विस्तारित वास्तविक संख्या से कम के रूप में परिभाषित किया गया है, और  सकारात्मक अनंत, निरूपित किया गया है $$+\infty\!\,,$$ जिसे हर दूसरे विस्तारित वास्तविक संख्या से अधिक के रूप में परिभाषित किया गया है), हमारे पास वह है: $$\sup\varnothing=\min(\{-\infty, +\infty \} \cup \mathbb{R})=-\infty,$$ तथा $$\inf\varnothing=\max(\{-\infty, +\infty \} \cup \mathbb{R})=+\infty.$$ अर्थात्, खाली समुच्चय की सबसे छोटी ऊपरी सीमा (ऊपर या सर्वोच्च) ऋणात्मक अनंत है, जबकि सबसे बड़ी निचली सीमा (inf या infimum ) सकारात्मक अनंत है। उपरोक्त के अनुरूप, विस्तारित वास्तविक के क्षेत्र में, नकारात्मक अनंत अधिकतम और सर्वोच्च ऑपरेटरों के लिए पहचान तत्व है, जबकि सकारात्मक अनंत न्यूनतम और न्यूनतम ऑपरेटरों के लिए पहचान तत्व है।

टोपोलॉजी
किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस  एक्स में, खाली सेट परिभाषा के अनुसार  खुला सेट  है, जैसा कि एक्स है। चूंकि एक खुले सेट का  पूरक (सेट सिद्धांत)   बंद सेट  है और खाली सेट और एक्स एक दूसरे के पूरक हैं, खाली सेट भी है बंद, इसे एक  क्लोपेन सेट  बनाते हैं। इसके अलावा, खाली सेट इस तथ्य से  कॉम्पैक्ट सेट  है कि हर  परिमित सेट  कॉम्पैक्ट है।

खाली सेट का क्लोजर (गणित) खाली है। इसे अशक्त  संघ (सेट सिद्धांत) के संरक्षण के रूप में जाना जाता है।

श्रेणी सिद्धांत
यदि $$A$$ एक सेट है, तो ठीक एक फ़ंक्शन मौजूद है (गणित) $$f$$ से $$\varnothing$$ प्रति $$A,$$ खाली समारोह । नतीजतन, खाली सेट सेट और कार्यों के  श्रेणी सिद्धांत  की अनूठी  प्रारंभिक वस्तु  है।

खाली सेट को एक टोपोलॉजिकल स्पेस में बदल दिया जा सकता है, जिसे खाली स्थान कहा जाता है, केवल एक तरह से: खाली सेट को ओपन सेट के रूप में परिभाषित करके। यह खाली टोपोलॉजिकल स्पेस सतत कार्य (टोपोलॉजी)  के साथ  टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी  में अद्वितीय प्रारंभिक वस्तु है। वास्तव में, यह एक  सख्त प्रारंभिक वस्तु  है: केवल खाली सेट में खाली सेट के लिए एक फ़ंक्शन होता है।

सिद्धांत सेट करें
वॉन न्यूमैन ऑर्डिनल में, 0 को खाली सेट के रूप में परिभाषित किया गया है, और एक ऑर्डिनल के उत्तराधिकारी को परिभाषित किया गया है $$S(\alpha)=\alpha\cup\{\alpha\}$$. इस प्रकार, हमारे पास है $$0=\varnothing$$, $$1 = 0\cup\{0\}=\{\varnothing\}$$, $$2=1\cup\{1\}=\{\varnothing,\{\varnothing\}\}$$, और इसी तरह। वॉन न्यूमैन निर्माण, अनंत के स्वयंसिद्ध के साथ, जो कम से कम एक अनंत सेट के अस्तित्व की गारंटी देता है, का उपयोग प्राकृतिक संख्याओं के सेट के निर्माण के लिए किया जा सकता है, $$\N_0$$, जैसे कि अंकगणित के पीनो स्वयंसिद्ध  संतुष्ट हैं।

स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत
ज़र्मेलो सेट सिद्धांत में, खाली सेट के अस्तित्व को खाली सेट के स्वयंसिद्ध द्वारा आश्वासन दिया जाता है, और इसकी विशिष्टता विस्तार के स्वयंसिद्ध से होती है। हालाँकि, खाली सेट के स्वयंसिद्ध को कम से कम दो तरीकों से बेमानी दिखाया जा सकता है:
 * मानक प्रथम-क्रम तर्क का तात्पर्य केवल तार्किक स्वयंसिद्ध ों से है, कि  मौजूद है, और सेट थ्योरी की भाषा में, वह चीज़ एक सेट होनी चाहिए। अब रिक्त समुच्चय का अस्तित्व पृथक्करण के अभिगृहीत से सरलता से अनुसरण करता है।
 * यहां तक ​​​​कि मुक्त तर्क  का उपयोग करना (जिसका तार्किक रूप से यह अर्थ नहीं है कि कुछ मौजूद है), पहले से ही एक स्वयंसिद्ध है जो कम से कम एक सेट के अस्तित्व को दर्शाता है, अर्थात् अनंत का स्वयंसिद्ध।

दार्शनिक मुद्दे
जबकि खाली सेट एक मानक और व्यापक रूप से स्वीकृत गणितीय अवधारणा है, यह एक सत्तामूलक  जिज्ञासा बनी हुई है, जिसका अर्थ और उपयोगिता दार्शनिकों और तर्कशास्त्रियों द्वारा बहस की जाती है।

रिक्त समुच्चय समान नहीं है ; बल्कि, यह कुछ भी नहीं के साथ एक सेट है यह और एक सेट हमेशा होता है. एक सेट को बैग के रूप में देखने से इस समस्या को दूर किया जा सकता है - एक खाली बैग निस्संदेह अभी भी मौजूद है। डार्लिंग (2004) बताते हैं कि खाली सेट कुछ भी नहीं है, बल्कि चार भुजाओं वाले सभी त्रिकोणों का सेट है, सभी संख्याओं का सेट जो नौ से बड़ा है लेकिन आठ से छोटा है, और शतरंज  में सभी शतरंज के उद्घाटन का सेट है जिसमें शामिल है एक  राजा (शतरंज) ।

लोकप्रिय न्यायवाक्य
 * शाश्वत सुख से बढ़कर कुछ नहीं; एक हैम सैंडविच कुछ नहीं से बेहतर है; इसलिए, एक हैम सैंडविच हमेशा की खुशी से बेहतर है

अक्सर शून्य की अवधारणा और खाली सेट के बीच दार्शनिक संबंध को प्रदर्शित करने के लिए प्रयोग किया जाता है। डार्लिंग लिखते हैं कि बयानों को फिर से लिखकर विरोधाभास देखा जा सकता है शाश्वत खुशी से बेहतर कुछ भी नहीं है और [ए] हैम सैंडविच गणितीय स्वर में कुछ नहीं से बेहतर है। डार्लिंग के अनुसार, पूर्व उन सभी चीजों के समुच्चय के बराबर है जो शाश्वत सुख से बेहतर हैं $$\varnothing$$और बाद वाला सेट {हैम सैंडविच} सेट से बेहतर है $$\varnothing$$. पहला सेट के तत्वों की तुलना करता है, जबकि दूसरा सेट की तुलना स्वयं करता है। जोनाथन लोव े का तर्क है कि जबकि खाली सेट:
 * निस्संदेह गणित के इतिहास में एक महत्वपूर्ण मील का पत्थर था, ... हमें यह नहीं मान लेना चाहिए कि गणना में इसकी उपयोगिता वास्तव में किसी वस्तु को दर्शाने पर निर्भर है।

यह भी मामला है कि:
 * रिक्त समुच्चय के बारे में हमें केवल इतना बताया जाता है कि यह (1) एक समुच्चय है, (2) कोई सदस्य नहीं है, और (3) कोई सदस्य न होने के कारण समुच्चयों में अद्वितीय है। हालाँकि, ऐसी बहुत सी चीज़ें हैं जिनका 'कोई सदस्य नहीं है', सेट-सैद्धांतिक अर्थों में - अर्थात्, सभी गैर-सेट। यह बिल्कुल स्पष्ट है कि इन चीजों का कोई सदस्य क्यों नहीं है, क्योंकि वे समुच्चय नहीं हैं। जो स्पष्ट नहीं है वह कैसे हो सकता है, विशिष्ट रूप से सेट के बीच, ए जिसका कोई सदस्य नहीं है। हम केवल शर्त से ऐसी सत्ता को अस्तित्व में नहीं ला सकते।

जॉर्ज बूलोस ने तर्क दिया कि सेट थ्योरी द्वारा अब तक जो कुछ भी प्राप्त किया गया है, वह आसानी से व्यक्तियों पर  बहुवचन परिमाणीकरण  द्वारा आसानी से प्राप्त किया जा सकता है, बिना विक्ट: रिफिकेशन सेट के एकल संस्थाओं के सदस्यों के रूप में अन्य संस्थाओं के रूप में।

अग्रिम पठन

 * Halmos, Paul, Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition). Reprinted by Martino Fine Books, 2011. ISBN 978-1-61427-131-4 (paperback edition).