आंतरिक बीजगणित

सार बीजगणित में, आंतरिक बीजगणित एक निश्चित प्रकार की बीजीय संरचना है जो एक सेट के टोपोलॉजिकल इंटीरियर के विचार को कूटबद्ध करता है। आंतरिक बीजगणित टोपोलॉजी और मोडल लॉजिक S4 के लिए हैं जो बूलियन बीजगणित सिद्धांत और साधारण प्रस्तावपरक तर्क निर्धारित करने के लिए हैं। आंतरिक बीजगणित विभिन्न प्रकार के मॉडल बीजगणित बनाते हैं।

परिभाषा
आंतरिक बीजगणितीय हस्ताक्षर के साथ एक बीजगणितीय संरचना है


 * ⟨S, ·, +, ′, 0, 1, I⟩

जहाँ


 * ⟨S, ·, +, ′, 0, 1⟩

एक बूलियन बीजगणित और प्रत्यय है I समरूपता को संतुष्ट करने वाले एक आंतरिक ऑपरेटर, आंतरिक ऑपरेटर को नामित करता है:


 * 1) xI ≤ x
 * 2) xII = xI
 * 3) (xy)I = xIyI
 * 4) 1I = 1

xI को x का अभ्यंतर कहा जाता है।

इंटीरियर ऑपरेटर का दोहरा क्लोजर ऑपरेटरC है जिसे xC = ((x′)I)′. xC द्वारा परिभाषित किया गया है। xC को x का संवरक कहते हैं। द्वैत के सिद्धांत के अनुसार, क्लोजर ऑपरेटर समरूपता को संतुष्ट करता है:


 * 1) xC ≥ x
 * 2) xCC = xC
 * 3) (x + y)C = xC + yC
 * 4) 0C = 0

अगर क्लोजर ऑपरेटर को प्रिमिटिव के रूप में लिया जाता है, तो इंटीरियर ऑपरेटर को xI = ((x′)C)′ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार आंतरिक बीजगणित के सिद्धांत को आंतरिक ऑपरेटर के बजाय क्लोजर ऑपरेटर का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है, इस मामले में फॉर्म के क्लोजर बीजगणित को ⟨S, ·, +, ′, 0, 1, C⟩, जहां ⟨S, ·, +, ′, 0, 1⟩ फिर से एक बूलियन बीजगणित है और C क्लोजर ऑपरेटर के लिए उपरोक्त समरूपता को संतुष्ट करता है। क्लोजर और आंतरिक बीजगणित दोहरी जोड़ी बनाते हैं, और "ऑपरेटरों के साथ बूलियन बीजगणित" के आदर्श उदाहरण हैं। इस विषय पर प्रारंभिक साहित्य (मुख्य रूप से पोलिश टोपोलॉजी) ने क्लोजर ऑपरेटरों का आह्वान किया, लेकिन विम ब्लोक के काम के बाद इंटीरियर ऑपरेटर फॉर्मूलेशन अंततः आदर्श बन गया है।

खुले और बंद अवयव
स्थिति xI = x को संतुष्ट करने वाले एक आंतरिक बीजगणित के तत्वों को खुला कहा जाता है। खुले तत्वों के पूरक को बंद कहा जाता है और स्थिति xC = x द्वारा विशेषता है। एक तत्व का एक इंटीरियर हमेशा खुला होता है और एक तत्व का बंद होना हमेशा बंद रहता है। बंद तत्वों के अंदरूनी हिस्सों को नियमित रूप से खुला कहा जाता है और खुले तत्वों के बंद होने को नियमित रूप से बंद कहा जाता है। खुले और बंद दोनों प्रकार के तत्व क्लोपेन कहलाते हैं। 0 और 1 क्लॉपेन हैं।

एक आंतरिक बीजगणित को बूलियन कहा जाता है यदि इसके सभी तत्व खुले हैं (और इसलिए क्लोपेन)। बूलियन आंतरिक बीजगणित को सामान्य बूलियन बीजगणित के साथ पहचाना जा सकता है क्योंकि उनके आंतरिक और बंद करने वाले ऑपरेटर कोई सार्थक अतिरिक्त संरचना प्रदान नहीं करते हैं। एक विशेष मामला तुच्छ आंतरिक बीजगणित का वर्ग है जो एकल-तत्व आंतरिक बीजगणित है जो पहचान 0 = 1 की विशेषता है।

समरूपता
आंतरिक बीजगणित, बीजगणितीय संरचनाओं के आधार पर, समरूपता है। दो आंतरिक बीजगणित ए और बी दिए गए हैं, एक मैप f : A → B एक आंतरिक बीजगणित समरूपता है अगर और केवल अगर f A और B के अंतर्निहित बूलियन बीजगणित के बीच एक समरूपता है, जो आंतरिक और बंद को भी संरक्षित करता है। इस तरह:


 * f(xI) = f(x)I;
 * f(xC) = f(x)C.

टोपोमोर्फिज्म
टोपोमोर्फिज्म एक अन्य महत्वपूर्ण, और अधिक सामान्य, आंतरिक बीजगणित के बीच आकारिकी का वर्ग है। एक नक्शा f : A → B एक टोपोमोर्फिज़्म है अगर और केवल अगर f बूलियन बीजगणित के बीच A और B के बीच एक समरूपता है, जो A के खुले और बंद तत्वों को भी संरक्षित करता है। इसलिए:


 * यदि x, A में विवृत्त है, तो f(x) B में विवृत है;
 * यदि x, A में बंद है, तो f(x) B में बंद है।

(इस तरह के आकारिकी को स्थिर समरूपता और संवृत बीजगणित अर्ध-समरूपता भी कहा जाता है।) प्रत्येक आंतरिक बीजगणित समरूपता एक शीर्षरूपता है, लेकिन प्रत्येक शीर्षरूपता आंतरिक बीजगणित समरूपता नहीं है।

बूलियन समरूपता
प्रारंभिक शोध में अक्सर आंतरिक बीजगणित के बीच मैपिंग पर विचार किया जाता था जो कि अंतर्निहित बूलियन बीजगणित के समरूपता थे लेकिन जो आवश्यक रूप से आंतरिक या क्लोजर ऑपरेटर को संरक्षित नहीं करते थे। ऐसे मानचित्रणों को बूलियन समरूपता कहा जाता था। (शब्द क्लोजर होमोमोर्फिज्म या टोपोलॉजिकल होमोमोर्फिज्म का उपयोग उस मामले में किया गया था जहां इन्हें संरक्षित किया गया था, लेकिन यह शब्दावली अब बेमानी है क्योंकि सार्वभौमिक बीजगणित में एक होमोमोर्फिज्म की मानक परिभाषा के लिए यह आवश्यक है कि यह सभी कार्यों को संरक्षित करे।) आंतरिक बीजगणित (में) जो गणनीय मिलते हैं और जुड़ते हैं हमेशा मौजूद होते हैं, जिन्हें σ-पूर्ण भी कहा जाता है) आमतौर पर गणनीय रूप से पूर्ण बूलियन समरूपता का उपयोग किया जाता है जिसे बूलियन σ-समरूपता भी कहा जाता है - ये गणनीय मिलने और जुड़ने को संरक्षित करते हैं।

निरंतर आकारिता
आंतरिक बीजगणित की निरंतरता का सबसे पहला सामान्यीकरण सिकोरस्की का एक निरंतर मानचित्र के व्युत्क्रम छवि मानचित्र पर आधारित था। यह एक बूलियन समरूपता है, जो अनुक्रमों के संघों को संरक्षित करता है और इसमें बंद होने की उलटी छवि में एक उलटा छवि बंद करना शामिल है। इस प्रकार सिकोरस्की ने एक निरंतर समरूपता को दो σ-पूर्ण आंतरिक बीजगणित के बीच एक बूलियन σ-समरूपता f के रूप में परिभाषित किया जैसे कि f(x)C ≤ f(xC)। इस परिभाषा में कई कठिनाइयाँ थीं: निर्माण एक सामान्यीकरण के बजाय एक निरंतर मानचित्र के दोहरे उत्पादन का काम करता है। एक तरफ, उलटा छवि मानचित्र (पूर्णता आवश्यक है) को चित्रित करने के लिए σ-पूर्णता बहुत कमजोर है, दूसरी तरफ, यह सामान्यीकरण के लिए बहुत ही सीमित है। (सिकोरस्की ने गैर-σ-पूर्ण समरूपता का उपयोग करने पर टिप्पणी की, लेकिन बंद बीजगणित के लिए अपने स्वयंसिद्धों में σ-पूर्णता शामिल की।) बाद में जे. श्मिट ने आंतरिक बीजगणित के लिए एक सतत समरूपता या निरंतर आकारिकी को दो आंतरिक बीजगणित f के बीच एक बूलियन समरूपता f के रूप में परिभाषित किया। f(xC) ≤ f(x)C यह एक सतत मानचित्र के आगे छवि मानचित्र को सामान्यीकृत करता है - छवि के बंद होने में बंद होने की छवि निहित होती है। यह निर्माण सहसंयोजक है लेकिन श्रेणी-सैद्धांतिक अनुप्रयोगों के लिए उपयुक्त नहीं है क्योंकि यह केवल द्विभाजन के मामले में निरंतर मानचित्रों से निरंतर आकारिकी के निर्माण की अनुमति देता है। (सी. नटुरमैन सिकोरस्की के दृष्टिकोण पर लौट आए, जबकि ऊपर परिभाषित टोपोमोर्फिज्म उत्पन्न करने के लिए σ-पूर्णता को छोड़ते हुए। इस शब्दावली में, सिकोरस्की के मूल "सतत समरूपता" σ-पूर्ण आंतरिक बीजगणित के बीच σ-पूर्ण टोपोमोर्फिज्म हैं।)

टोपोलॉजी
एक टोपोलॉजिकल स्पेस X = ⟨X, T⟩ दिया गया है, कोई भी X का सत्ता स्थापित बूलियन बीजगणित बना सकता है:


 * ⟨P(X), ∩, ∪, ′, ø, X⟩

और इसे आंतरिक बीजगणित तक विस्तारित करें


 * A(X) = ⟨P(X), ∩, ∪, ′, ø, X, I⟩,

जहाँ I सामान्य टोपोलॉजिकल इंटीरियर ऑपरेटर है। सभी S ⊆ X के लिए इसे परिभाषित किया गया है


 * SI = ∪ {O : O ⊆ S and O is open in X}

सभी S ⊆ X के लिए संबंधित क्लोजर ऑपरेटर द्वारा दिया गया है


 * SC = ∩ {C : S ⊆ C and C is closed in X}

SI S का सबसे बड़ा खुला उपसमुच्चय है और SC X में S का सबसे छोटा बंद सुपरसेट है। आंतरिक बीजगणित A(X) के खुले, बंद, नियमित खुले, नियमित रूप से बंद और क्लोपेन तत्व सिर्फ खुले, बंद, नियमित खुले हैं, सामान्य टोपोलॉजिकल अर्थों में क्रमशः एक्स के नियमित रूप से बंद और क्लोपेन उपसमुच्चय।

प्रत्येक पूर्ण परमाणु आंतरिक बीजगणित कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए फॉर्म A(X) के आंतरिक बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है। इसके अलावा, प्रत्येक आंतरिक बीजगणित को ऐसे आंतरिक बीजगणित में एम्बेड किया जा सकता है जो आंतरिक बीजगणित को सेट के सामयिक क्षेत्र के रूप में प्रस्तुत करता है। आंतरिक बीजगणित की परिभाषा के लिए संरचना A(X) के गुण बहुत प्रेरणा हैं। टोपोलॉजी के साथ इस घनिष्ठ संबंध के कारण, आंतरिक बीजगणित को टोपो-बूलियन बीजगणित या टोपोलॉजिकल बूलियन बीजगणित भी कहा जाता है।

दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच एक सतत मानचित्र दिया गया है


 * f : X → Y

हम एक पूर्णता (आदेश सिद्धांत) स्थलाकृतिकता को परिभाषित कर सकते हैं


 * A(f) : A(Y) → A(X)

द्वारा


 * A(f)(S) = f−1[S]

Y के सभी उपसमुच्चय S के लिए। दो पूर्ण परमाणु आंतरिक बीजगणित के बीच प्रत्येक पूर्ण टोपोमोर्फिज्म इस तरह से प्राप्त किया जा सकता है। यदि टॉप टोपोलॉजिकल स्पेस और निरंतर मानचित्रों की श्रेणी है और सिट पूर्ण परमाणु आंतरिक बीजगणित और पूर्ण टोपोमोर्फिज्म की श्रेणी है तो टॉप और सिट दो तरह से आइसोमॉर्फिक हैं और A : Top → Cit एक कॉन्ट्रावैरिएंट फ़ंक्टर है जो श्रेणियों का एक दोहरा आइसोमोर्फिज़्म है। A(f) एक समाकारिता है यदि और केवल यदि f एक सतत खुला मानचित्र है।

श्रेणियों के इस दोहरे समरूपतावाद के तहत कई प्राकृतिक सांस्थितिक गुण बीजगणितीय गुणों के अनुरूप होते हैं, विशेष रूप से संबद्धता गुण इरेड्यूसिबिलिटी गुणों के अनुरूप होते हैं:


 * X खाली सेट है अगर और केवल अगर A(X) छोटा है
 * X अविवेकपूर्ण स्थान है यदि और केवल यदि A(X) सरल बीजगणित है
 * X असतत स्थान है यदि और केवल यदि A(X) बूलियन है
 * X लगभग असतत स्थान है यदि और केवल यदि A(X) अर्ध-सरल बीजगणितीय समूह है
 * X अलेक्जेंडर टोपोलॉजी (एलेक्जेंड्रोव) है अगर और केवल अगर A(X) ऑपरेटर पूर्ण' है यानी इसके इंटीरियर और क्लोजर ऑपरेटर मनमाने ढंग से मिलते हैं और क्रमशः जुड़ते हैं
 * X जुड़ा हुआ स्थान है अगर और केवल अगर A(X) सीधे अपघटनीय है
 * X अल्ट्रा कनेक्टेड स्पेस है अगर और केवल अगर A(X) सूक्ष्म रूप से उप-प्रत्यक्ष रूप से अप्रासंगिक है
 * X कॉम्पैक्ट जगह अल्ट्रा-कनेक्टेड है अगर और केवल अगर A(X) उप-प्रत्यक्ष रूप से इर्रिड्यूसिबल है

सामान्यीकृत टोपोलॉजी
खुले उपसमूहों के टोपोलॉजिकल स्पेस के संदर्भ में टोपोलॉजिकल स्पेस का आधुनिक सूत्रीकरण, आंतरिक बीजगणित के वैकल्पिक फॉर्मूलेशन को प्रेरित करता है: एक सामान्यीकृत टोपोलॉजिकल स्पेस फॉर्म की बीजगणितीय संरचना है


 * ⟨B, ·, +, ′, 0, 1, T⟩

जहाँ ⟨B, ·, +, ′, 0, 1⟩ हमेशा की तरह एक बूलियन बीजगणित है, और T B (B का सबसेट) पर एक एकल संबंध है। ऐसा है कि:


 * 0,1 ∈ T
 * 1) T मनमाने ढंग से जुड़ने के तहत बंद है (यानी अगर T के मनमाने उपसमुच्चय का जुड़ाव मौजूद है तो यह T में होगा)
 * 2) T परिमित मिलने के तहत बंद है
 * 3) B के प्रत्येक अवयव b के लिए, जोड़ Σ{a ∈T : a ≤ b} मौजूद है

बूलियन बीजगणित में T ' को सामान्यीकृत टोपोलॉजी कहा जाता है।

एक आंतरिक बीजगणित को देखते हुए इसके खुले तत्व सामान्यीकृत टोपोलॉजी बनाते हैं। इसके विपरीत एक सामान्यीकृत टोपोलॉजिकल स्पेस दिया गया है


 * ⟨B, ·, +, ′, 0, 1, T⟩

हम B पर bI द्वारा एक इंटीरियर ऑपरेटर को परिभाषित कर सकते हैं bI = Σ{a ∈T : a ≤ b} जिससे एक आंतरिक बीजगणित का निर्माण होता है जिसके खुले तत्व सटीक रूप से T होते हैं। इस प्रकार सामान्यीकृत सामयिक स्थान आंतरिक बीजगणित के बराबर होते हैं।

आंतरिक बीजगणित को सामान्यीकृत टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान मानते हुए, टोपोमोर्फिज़्म तब बूलियन बीजगणित के मानक समरूपताएं हैं, ताकि सार्वभौमिक बीजगणित से मानक परिणाम लागू हो सकें।

नेबरहुड फंक्शन और नेबरहुड जालक
नेबरहुड की सामयिक अवधारणा को आंतरिक बीजगणित के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है: आंतरिक बीजगणित के एक तत्व y को एक तत्व x का नेबरहुड कहा जाता है यदि x ≤ yI। x के नेबरहुड का सेट N(x) द्वारा दर्शाया गया है और एक फिल्टर बनाता है। यह आंतरिक बीजगणित के एक और सूत्रीकरण की ओर जाता है:

बूलियन बीजगणित पर एक 'नेबरहुड का कार्य' इसके अंतर्निहित सेट B से इसके फ़िल्टर के सेट पर मैपिंग N है, जैसे कि:


 * 1) सभी x ∈ B के लिए, अधिकतम {y ∈ B : x ∈ N(y)} मौजूद है
 * 2) सभी के लिए x,y ∈ B, x ∈ N(y) अगर और केवल अगर वहाँ एक z ∈ B ऐसा है कि y ≤ z ≤ x और z ∈ N(z)।

एक आंतरिक बीजगणित के तत्वों की मैपिंग एन उनके पड़ोस के फिल्टर के लिए आंतरिक बीजगणित के अंतर्निहित बूलियन बीजगणित पर एक पड़ोस का कार्य है। इसके अलावा, अंतर्निहित सेट बी के साथ एक बूलियन बीजगणित पर पड़ोस फ़ंक्शन एन दिया गया है, हम एक आंतरिक ऑपरेटर को परिभाषित कर सकते हैं xI = अधिकतम {y ∈ B : x ∈ N(y)} जिससे एक आंतरिक बीजगणित प्राप्त होता है। N(x) तब इस आंतरिक बीजगणित में एक्स के पड़ोस का फ़िल्टर होगा। इस प्रकार आंतरिक बीजगणित निर्दिष्ट पड़ोस कार्यों के साथ बूलियन बीजगणित के बराबर हैं।

नेबरहुड के फंक्शन के संदर्भ में, खुले तत्व ठीक वे तत्व x हैं जैसे कि x ∈ N(x)। खुले तत्वों x ∈ N(y) के संदर्भ में यदि और केवल अगर कोई खुला तत्व z है जैसे कि y≤ z ≤ x।

नेबरहुड के फंक्शन को आम तौर पर अर्ध-जाल पर परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार आंतरिक बीजगणित को ठीक 'बूलियन नेबरहुड जालक' के रूप में देखा जा सकता है, अर्थात वे नेबरहुड जालक जिनके अंतर्निहित अर्ध-जाल एक बूलियन बीजगणित बनाता है।

मॉडल तर्क
मोडल लॉजिक 'S4' में एक सिद्धांत (औपचारिक वाक्यों का सेट) M को देखते हुए, हम इसका लिंडेनबाउम-टार्स्की बीजगणित बना सकते हैं:


 * L(M) = ⟨M / ~, ∧, ∨, ¬, F, T, □⟩

जहां ~ p ~ q द्वारा दिए गए M में वाक्यों पर तुल्यता संबंध है यदि और केवल यदि p और q M में तार्किक तुल्यता हैं, और M / ~ इस संबंध के अंतर्गत तुल्यता वर्गों का समुच्चय है। फिर L(M) एक आंतरिक बीजगणित है। इस मामले में इंटीरियर ऑपरेटर मोडल लॉजिक □ ('जरूरी') से मेल खाता है, जबकि क्लोजर ऑपरेटर ◊ ('संभवतः') से मेल खाता है। यह निर्माण मोडल बीजगणित और मोडल लॉजिक के लिए अधिक सामान्य परिणाम का एक विशेष मामला है।

L(M) के खुले तत्व उन वाक्यों के अनुरूप हैं जो केवल तभी सत्य होते हैं जब वे 'जरूरी' सत्य होते हैं, जबकि बंद तत्व उन लोगों के अनुरूप होते हैं जो केवल असत्य होते हैं यदि वे 'अनिवार्य रूप से' असत्य होते हैं।

S4 से उनके संबंध के कारण, आंतरिक बीजगणित को कभी-कभी तर्कशास्त्री सी.आई. लुईस के नाम पर S4 बीजगणित या लुईस बीजगणित कहा जाता है, जिन्होंने पहली बार मोडल लॉजिक्स S4 और S5 का प्रस्ताव रखा था।

प्राग्क्रम
चूंकि आंतरिक बीजगणित (सामान्य) बूलियन बीजगणित (संरचना) एकात्मक संचालन के साथ हैं, उन्हें उचित संबंधपरक संरचनाओं पर सेट के क्षेत्र द्वारा दर्शाया जा सकता है। विशेष रूप से, चूंकि वे मोडल बीजगणित हैं, इसलिए उन्हें सेट पर सेट के क्षेत्र के रूप में एकल बाइनरी संबंध के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है, जिसे कृपके शब्दार्थ कहा जाता है। आंतरिक बीजगणित के अनुरूप मोडल फ्रेम सटीक रूप से पूर्व आदेश हैं। प्रीऑर्डर (जिसे S4-फ़्रेम भी कहा जाता है) मोडल लॉजिक 'S4' का क्रिप्के शब्दार्थ प्रदान करता है, और आंतरिक बीजगणित और प्रीऑर्डर के बीच का संबंध मोडल लॉजिक के साथ उनके कनेक्शन से गहराई से संबंधित है।

एक प्रस्तावना X = ⟨X, «⟩ हम एक आंतरिक बीजगणित का निर्माण कर सकते हैं


 * B(X) = ⟨P(X), ∩, ∪, ′, ø, X, I⟩

एक्स के पावर सेट बूलियन बीजगणित (संरचना) से जहां इंटीरियर ऑपरेटर I द्वारा दिया गया है


 * SI = {x ∈ X : सभी के लिए y ∈ X, x « y तात्पर्य y ∈ S} सभी के लिए S ⊆ X.

संबंधित क्लोजर ऑपरेटर द्वारा दिया गया है


 * SC = {x ∈ X : प्रस्तुत हैं a y ∈ S साथ x « y} सभी के लिए S ⊆ X.

SI, S के बाहर की दुनिया से दुर्गम सभी दुनियाओं का सेट है, और SC, S में कुछ दुनिया से सुलभ सभी दुनियाओं का सेट है। उपर्युक्त प्रतिनिधित्व सेट के एक क्षेत्र के रूप में (एक प्रीऑर्डर फील्ड)।

यह निर्माण और प्रतिनिधित्व प्रमेय मोडल बीजगणित और मोडल फ्रेम के लिए अधिक सामान्य परिणाम का एक विशेष मामला है। इस संबंध में, टोपोलॉजी से उनके संबंध के कारण आंतरिक बीजगणित विशेष रूप से दिलचस्प हैं। निर्माण प्रीऑर्डर X को एक टोपोलॉजिकल स्पेस, एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी के साथ प्रदान करता है, जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस T(X) का उत्पादन करता है जिसका खुला सेट हैं:


 * {O ⊆ X : सभी x ∈ O और सभी y ∈ X के लिए, x « y का अर्थ है y ∈ O}।

संबंधित बंद सेट हैं:


 * {C ⊆ X : सभी x ∈ C और सभी y ∈ X के लिए, y « x का अर्थ है y ∈ C}।

दूसरे शब्दों में, खुले सेट वे होते हैं जिनकी दुनिया बाहर ('अप-सेट') से दुर्गम होती है, और बंद सेट वे होते हैं जिनके लिए हर बाहरी दुनिया अंदर से दुर्गम होती है ('डाउन-सेट')। इसके अलावा, B(X) = A(T(X))।

मोनाडिक बूलियन बीजगणित
किसी भी मोनैडिक बूलियन बीजगणित को एक आंतरिक बीजगणित माना जा सकता है जहां इंटीरियर ऑपरेटर सार्वभौमिक क्वांटिफायर है और क्लोजर ऑपरेटर अस्तित्वगत क्वांटिफायर है। मोनैडिक बूलियन बीजगणित तब ठीक आंतरिक बीजगणित की विविधता है जो पहचान xIC = xI को संतुष्ट करता है। दूसरे शब्दों में, वे ठीक आंतरिक बीजगणित हैं जिसमें प्रत्येक खुला तत्व बंद है या समकक्ष है, जिसमें प्रत्येक बंद तत्व खुला है। इसके अलावा, इस तरह के आंतरिक बीजगणित सटीक रूप से अर्ध-सरल आंतरिक बीजगणित होते हैं। वे मोडल लॉजिक S5 के अनुरूप आंतरिक बीजगणित भी हैं, और इसलिए उन्हें S5 बीजगणित भी कहा जाता है।

पूर्ववर्ती सेट और आंतरिक बीजगणित के बीच संबंध में, वे उस मामले के अनुरूप होते हैं जहां प्रीऑर्डर एक समानता संबंध है, इस तथ्य को दर्शाता है कि इस तरह के पूर्वनिर्धारित सेट S5 के लिए क्रिपके शब्दार्थ प्रदान करते हैं। यह क्वांटिफिकेशन के मोनाडिक लॉजिक (जिसके लिए मोनाडिक बूलियन एल्जेब्रा एक बीजगणितीय विवरण प्रदान करता है) और S5 के बीच संबंध को भी दर्शाता है जहां मोडल ऑपरेटर्स □ (जरूरी) और ◊ (संभवतः) क्रिप्के शब्दार्थ में मोनाडिक यूनिवर्सल और एक्ज़िस्टेंशियल क्वांटिफिकेशन का उपयोग करके व्याख्या की जा सकती है। क्रमशः, एक अभिगम्यता संबंध के संदर्भ के बिना।

हेयटिंग बीजगणित
एक आंतरिक बीजगणित के खुले तत्व हेयटिंग बीजगणित बनाते हैं और बंद तत्व दोहरी हेयटिंग बीजगणित बनाते हैं। नियमित रूप से खुले तत्व और नियमित रूप से बंद तत्व क्रमशः इन बीजगणितों के छद्म-पूरक तत्वों और दोहरे छद्म-पूरक तत्वों के अनुरूप होते हैं और इस प्रकार बूलियन बीजगणित बनाते हैं। क्लोपेन तत्व पूरक तत्वों के अनुरूप होते हैं और इन बूलियन बीजगणित के साथ-साथ आंतरिक बीजगणित का एक सामान्य उप-लजेब्रा बनाते हैं। हर हेयटिंग बीजगणित को आंतरिक बीजगणित के खुले तत्वों के रूप में दर्शाया जा सकता है और बाद वाले को इसके खुले तत्वों द्वारा उत्पन्न आंतरिक बीजगणित के लिए चुना जा सकता है -इस तरह के आंतरिक बीजगणित हेयटिंग बीजगणित (समरूपता तक) के साथ एक से एक के अनुरूप होते हैं जो बाद के मुक्त बूलियन विस्तार होते हैं।

हेयटिंग बीजगणित अंतर्ज्ञानवादी तर्क के लिए वही भूमिका निभाते हैं जो आंतरिक बीजगणित मोडल लॉजिक S4 के लिए खेलते हैं और बूलियन बीजगणित प्रस्तावपरक तर्क के लिए खेलते हैं। हेयटिंग बीजगणित और आंतरिक बीजगणित के बीच का संबंध अंतर्ज्ञानवादी तर्क और एस 4 के बीच संबंध को दर्शाता है, जिसमें व्यक्ति अंतर्ज्ञानवादी तर्क के सिद्धांतों की व्याख्या कर सकता है क्योंकि एस 4 सिद्धांत आवश्यकता के तहत बंद हो गए हैं। हेयटिंग बीजगणित और उनके खुले तत्वों द्वारा उत्पन्न आंतरिक बीजगणित के बीच एक-से-एक पत्राचार अंतर्ज्ञानवादी तर्क के विस्तार और मोडल तर्क S4.Grz के सामान्य विस्तार के बीच पत्राचार को दर्शाता है।

व्युत्पन्न बीजगणित
एक आंतरिक बीजगणित A दिया गया है, क्लोजर ऑपरेटर डेरिवेटिव ऑपरेटर, D के सिद्धांतों का पालन करता है। इसलिए हम डेरिवेटिव ऑपरेटर के रूप में क्लोजर ऑपरेटर का उपयोग करके A  के समान अंतर्निहित बूलियन बीजगणित के साथ व्युत्पन्न बीजगणित D(A बना सकते हैं।

इस प्रकार आंतरिक बीजगणित व्युत्पन्न बीजगणित हैं। इस दृष्टिकोण से, वे निश्चित रूप से व्युत्पन्न बीजगणित की विविधता हैं जो पहचान xD ≥ x को संतुष्ट करते हैं। व्युत्पन्न बीजगणित मोडल लॉजिक WK4 के लिए उपयुक्त बीजगणितीय शब्दार्थ प्रदान करते हैं। इसलिए व्युत्पन्न बीजगणित टोपोलॉजिकल व्युत्पन्न सेट के लिए खड़ा है और WK4 इंटीरियर / क्लोजर बीजगणित के रूप में टोपोलॉजिकल इंटीरियर / क्लोजर और S4 के लिए खड़ा है।

डेरिवेटिव ऑपरेटर D के साथ व्युत्पन्न बीजगणित V दिया गया है, हम एक आंतरिक बीजगणित I(V) बना सकते हैं जिसमें V के समान अंतर्निहित बूलियन बीजगणित है, जिसमें आंतरिक और क्लोजर ऑपरेटर  xI = x·x ′ D ′ और xC = x + xD द्वारा परिभाषित हैं। क्रमश। इस प्रकार प्रत्येक व्युत्पन्न बीजगणित को एक आंतरिक बीजगणित माना जा सकता है। इसके अलावा, एक आंतरिक बीजगणित A दिया गया है, हमारे पास I(D(A)) = A है। हालांकि, D(I(V)) = V जरूरी नहीं कि हर व्युत्पन्न बीजगणित V  के लिए सही हो।

स्टोन द्वैत और आंतरिक बीजगणित के लिए प्रतिनिधित्व
स्टोन द्वैत बूलियन बीजगणित और बूलियन रिक्त स्थान के रूप में जाना जाने वाले टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के वर्ग के बीच एक श्रेणी सैद्धांतिक द्वंद्व प्रदान करता है। संबंधपरक शब्दार्थ के नवजात विचारों पर निर्माण (बाद में शाऊल क्रिप्के द्वारा औपचारिक रूप दिया गया) और आर.एस. पियर्स, बजर्नी जोन्ससन|जॉनसन, अल्फ्रेड टार्स्की और जी. हंसौल के परिणाम ने बूलियन स्पेस को संबंधों से लैस करके ऑपरेटरों के साथ बूलियन बीजगणित के लिए पत्थर के द्वैत को बढ़ाया। समुच्चयों के क्षेत्र के माध्यम से संचालिकाएँ#जटिल बीजगणित और संबंधपरक संरचनाओं पर समुच्चयों के क्षेत्र। इंटीरियर अलजेब्रा के मामले में इंटीरियर (या क्लोजर) ऑपरेटर बूलियन स्पेस पर प्री-ऑर्डर के अनुरूप होता है। आंतरिक बीजगणित के बीच होमोमोर्फिज्म बूलियन रिक्त स्थान के बीच निरंतर मानचित्रों के एक वर्ग के अनुरूप होते हैं जिन्हें छद्म-एपिमोर्फिज्म या संक्षेप में पी-मॉर्फिज्म के रूप में जाना जाता है। जोंसन-तर्स्की प्रतिनिधित्व के आधार पर आंतरिक बीजगणित के लिए पत्थर के द्वैत के इस सामान्यीकरण की जांच लियो एसाकिया द्वारा की गई थी और इसे एस4-एलजेब्रा (आंतरिक बीजगणित) के लिए एसाकिया द्वैत के रूप में भी जाना जाता है और हेयटिंग के लिए एसाकिया द्वैत से निकटता से संबंधित है। बीजगणित।

जबकि स्टोन द्वैत का जोन्सन-टार्स्की सामान्यीकरण सामान्य रूप से ऑपरेटरों के साथ बूलियन बीजगणित पर लागू होता है, आंतरिक बीजगणित और टोपोलॉजी के बीच का संबंध स्टोन द्वैत को सामान्य बनाने की एक और विधि की अनुमति देता है जो आंतरिक बीजगणित के लिए अद्वितीय है। स्टोन द्वैत के विकास में एक मध्यवर्ती कदम बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय है | स्टोन का प्रतिनिधित्व प्रमेय जो सेट के क्षेत्र के रूप में बूलियन बीजगणित का प्रतिनिधित्व करता है। संबंधित बूलियन स्पेस की स्टोन टोपोलॉजी तब एक टोपोलॉजिकल आधार के रूप में सेट के क्षेत्र का उपयोग करके उत्पन्न होती है। लुईस के मोडल लॉजिक के लिए तांग त्साओ-चेन द्वारा पेश किए गए सामयिक शब्दार्थ पर निर्माण, जे.सी.सी. मैकिन्से और तर्स्की ने दिखाया कि एक आधार के रूप में खुले तत्वों के अनुरूप केवल परिसरों का उपयोग करने के बराबर एक टोपोलॉजी उत्पन्न करके, एक आंतरिक बीजगणित का प्रतिनिधित्व सेट के क्षेत्र के रूप में प्राप्त किया जाता है सेट के टोपोलॉजिकल क्षेत्र - एक सामयिक आधार सेट का क्षेत्र अंतरिक्ष जो अंदरूनी या बंद करने के संबंध में बंद है। समुच्चय के सांस्थितिक क्षेत्रों को फील्ड मैप्स के रूप में जाने जाने वाले उपयुक्त आकारिकी से लैस करके। सी। नेचरमैन ने दिखाया कि इस दृष्टिकोण को एक श्रेणी सैद्धांतिक स्टोन द्वैत के रूप में औपचारिक रूप दिया जा सकता है जिसमें बूलियन बीजगणित के लिए सामान्य स्टोन द्वैत आंतरिक बीजगणित के मामले से मेल खाता है जिसमें अनावश्यक आंतरिक ऑपरेटर होता है ( बूलियन आंतरिक बीजगणित)।

जोन्सन-टार्स्की दृष्टिकोण में प्राप्त पूर्व-आदेश S4 सिद्धांत के लिए क्रिपके शब्दार्थ में अभिगम्यता संबंध से मेल खाता है, जबकि सेट का मध्यवर्ती क्षेत्र संभव दुनिया के सेट का उपयोग करके सिद्धांत के लिए लिंडेनबाउम-टार्स्की बीजगणित के प्रतिनिधित्व से मेल खाता है। क्रिपके शब्दार्थ में जिसमें सिद्धांत के वाक्य हैं। सेट के क्षेत्र से बूलियन स्थान पर जाने से कुछ हद तक इस संबंध में बाधा आती है। पूर्व-आदेशों पर सेट के क्षेत्रों को अपने आप में एक श्रेणी के रूप में मानकर इस गहरे संबंध को एक श्रेणी-सैद्धांतिक द्वंद्व के रूप में तैयार किया जा सकता है जो टोपोलॉजी के बिना स्टोन प्रतिनिधित्व को सामान्य करता है। आर। गोल्डब्लाट ने दिखाया था कि उपयुक्त समरूपता के प्रतिबंधों के साथ इस तरह के द्वैत को मनमाना मोडल बीजगणित और मोडल फ्रेम के लिए तैयार किया जा सकता है। नेचरमैन ने दिखाया कि आंतरिक बीजगणित के मामले में, यह द्वैत अधिक सामान्य टोपोमोर्फिज़्म पर लागू होता है और सेट के सामयिक क्षेत्रों के साथ द्वैत के माध्यम से एक श्रेणी-सैद्धांतिक फ़ंक्टर के माध्यम से फ़ैक्टर किया जा सकता है। बाद वाला लिंडेनबाउम-टार्स्की बीजगणित का प्रतिनिधित्व करता है जो टोपोलॉजिकल सिमेंटिक्स में S4 सिद्धांत के संतोषजनक वाक्यों के सेट का उपयोग करता है। पूर्व-आदेश को मैकिन्से-टार्स्की टोपोलॉजी के विशेषज्ञता पूर्व-आदेश के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। Esakia द्वैत को एक मज़ेदार के माध्यम से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है जो सेट के क्षेत्र को बूलियन स्थान के साथ उत्पन्न करता है। एक फ़ंक्टर के माध्यम से जो पूर्व-आदेश को इसके संबंधित अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी के साथ बदल देता है, सेट के क्षेत्र के रूप में आंतरिक बीजगणित का एक वैकल्पिक प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है जहां टोपोलॉजी मैकिन्से-टार्स्की टोपोलॉजी का अलेक्जेंड्रोव बिको-प्रतिबिंब है। जोंसन-टार्स्की दृष्टिकोण के स्टोन टोपोलॉजी और द्वि-टोपोलॉजिकल स्पेस बनाने के लिए पूर्व-आदेश के एलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी दोनों का उपयोग करके आंतरिक बीजगणित के लिए एक टोपोलॉजिकल द्वंद्व तैयार करने के दृष्टिकोण की जांच जी. बेजानिश्विली, आर.माइन्स और द्वारा की गई है। पी जे मोरांडी। आंतरिक बीजगणित की मैकिन्से-टार्स्की टोपोलॉजी पूर्व की दो टोपोलॉजी का प्रतिच्छेदन है।

मेटामैथमैटिक्स
ग्रेज़गोर्कज़ीक ने बंद बीजगणित के प्रारंभिक सिद्धांत को अनिर्णनीय साबित कर दिया। नेचरमैन ने प्रदर्शित किया कि सिद्धांत वंशानुगत रूप से अनिर्णीत है (इसके सभी उप-सिद्धांत अनिर्णीत हैं) और आनुवंशिक रूप से अनिर्णीत सिद्धांतों के साथ आंतरिक बीजगणित के प्राथमिक वर्गों की एक अनंत श्रृंखला का प्रदर्शन किया।

संदर्भ

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