आंशिक गणना

फ्रैक्शनल कैलकुलस गणितीय विश्लेषण की एक शाखा है जो यौगिक  ऑपरेटर (गणित) की वास्तविक संख्या शक्तियों या जटिल संख्या शक्तियों को परिभाषित करने की कई अलग-अलग संभावनाओं का अध्ययन करता है। $$D$$ :$$D f(x) = \frac{d}{dx} f(x)\,,$$ और अभिन्न ऑपरेटर की $$J$$
 * $$J f(x) = \int_0^x f(s) \,ds\,,$$

और शास्त्रीय एक को सामान्य बनाने वाले ऐसे ऑपरेटरों के लिए एक कलन विकसित करना।

इस संदर्भ में, शब्द शक्तियां एक रैखिक ऑपरेटर के पुनरावृत्त अनुप्रयोग को संदर्भित करती हैं $$D$$ एक समारोह के लिए (गणित) $$f$$, यानी बार-बार समारोह रचना $$D$$ स्वयं के साथ, जैसा कि $$D^n(f) = (\underbrace{D\circ D\circ D\circ\cdots \circ D}_n)(f) = \underbrace{D(D(D(\cdots D}_n (f)\cdots)))$$.

उदाहरण के लिए, कोई अर्थपूर्ण व्याख्या के लिए कह सकता है
 * $$\sqrt{D} = D^\frac12$$

विभेदन ऑपरेटर के लिए कार्यात्मक वर्गमूल के एक एनालॉग के रूप में, अर्थात्, कुछ रैखिक ऑपरेटर के लिए एक अभिव्यक्ति, जो किसी भी फ़ंक्शन पर दो बार लागू होने पर, व्युत्पन्न के समान प्रभाव होगा। अधिक आम तौर पर, कोई रैखिक ऑपरेटर को परिभाषित करने के प्रश्न को देख सकता है
 * $$D^a$$

प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए $$a$$ इस प्रकार, जब $$a$$ एक पूर्णांक मान लेता है $$n\in\mathbb{Z}$$, यह सामान्य के साथ मेल खाता है $$n$$-गुना विभेदन $$D$$ अगर $$n>0$$, और के साथ $$n$$-वीं शक्ति $$J$$ कब $$n<0$$.

विभेदीकरण ऑपरेटर के इस प्रकार के विस्तार के परिचय और अध्ययन के पीछे की प्रेरणाओं में से एक $$D$$ यह ऑपरेटर शक्तियों का सेट (गणित) है $$\{D^a\mid a\in\R\}$$ इस तरह से परिभाषित पैरामीटर के साथ निरंतर semigroup  हैं $$a$$, जिनमें से मूल असतत अर्धसमूह $$\{D^n\mid n\in\Z\}$$ पूर्णांक के लिए $$n$$ एक गणनीय समुच्चय उपसमूह है: चूंकि निरंतर अर्धसमूहों में एक अच्छी तरह से विकसित गणितीय सिद्धांत है, उन्हें गणित की अन्य शाखाओं पर लागू किया जा सकता है।

भिन्नात्मक अवकल समीकरण, जिसे असाधारण अवकल समीकरण भी कहा जाता है, भिन्नात्मक कलन के अनुप्रयोग के माध्यम से अवकल समीकरणों का सामान्यीकरण है।

ऐतिहासिक नोट्स
अनुप्रयुक्त गणित और गणितीय विश्लेषण में, भिन्नात्मक अवकलज किसी भी स्वेच्छ क्रम, वास्तविक या जटिल का व्युत्पन्न है। इसकी पहली उपस्थिति 1695 में गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज द्वारा गिलाउम डे ल'होपिटल को लिखे गए एक पत्र में है। लगभग उसी समय, लीबनिज ने दो कार्यों के उत्पाद के भिन्नात्मक व्युत्पन्न के लिए द्विपद प्रमेय और लीबनिज़ नियम के बीच समानता का वर्णन करते हुए बर्नौली भाइयों में से एक को लिखा।  नील्स हेनरिक एबेल के शुरुआती पत्रों में से एक में भिन्नात्मक कलन का परिचय दिया गया था जहां सभी तत्व पाए जा सकते हैं: भिन्नात्मक-क्रम एकीकरण और विभेदन का विचार, उनके बीच पारस्परिक रूप से व्युत्क्रम संबंध, यह समझ कि भिन्नात्मक-क्रम विभेदीकरण और एकीकरण को एक ही सामान्यीकृत ऑपरेशन के रूप में माना जा सकता है, और विभेदन के लिए एकीकृत संकेतन भी और मनमाने वास्तविक क्रम का एकीकरण। स्वतंत्र रूप से, इस विषय की नींव 1832 में लिउविल द्वारा एक पेपर में रखी गई थी। autodidact ओलिवर हीविसाइड ने 1890 के लगभग विद्युत संचरण लाइन विश्लेषण में परिचालन कलन के व्यावहारिक उपयोग की शुरुआत की। 19वीं और 20वीं शताब्दी में भिन्नात्मक कलन के सिद्धांत और अनुप्रयोगों का बहुत विस्तार हुआ, और कई योगदानकर्ताओं ने भिन्नात्मक डेरिवेटिव और इंटीग्रल के लिए अलग-अलग परिभाषाएं दी हैं।

भिन्नात्मक व्युत्पन्न की प्रकृति
$$a$$वें>-वें एक समारोह के व्युत्पन्न $$f$$ एक बिंदु पर $$x$$ केवल तभी एक स्थानीय संपत्ति है $$a$$ एक पूर्णांक है; यह गैर-पूर्णांक पावर डेरिवेटिव के मामले में नहीं है। दूसरे शब्दों में, का एक गैर-पूर्णांक भिन्नात्मक व्युत्पन्न $$f$$ पर $$x=a$$ के सभी मूल्यों पर निर्भर करता है $$f$$, उनसे भी जो दूर हैं $$a$$. इसलिए, यह उम्मीद की जाती है कि भिन्नात्मक डेरिवेटिव ऑपरेशन में कुछ प्रकार की सीमा शर्तें शामिल होती हैं, जिसमें फ़ंक्शन के बारे में जानकारी शामिल होती है। आदेश के एक समारोह का आंशिक व्युत्पन्न $$a$$ आजकल अक्सर फूरियर रूपांतरण या मध्य परिवर्तन इंटीग्रल ट्रांसफॉर्म के माध्यम से परिभाषित किया जाता है।

ह्यूरिस्टिक्स
पूछने के लिए एक काफी स्वाभाविक सवाल यह है कि क्या कोई रैखिक ऑपरेटर मौजूद है $H$, या अर्ध-व्युत्पन्न, जैसे कि
 * $$H^2 f(x) = D f(x) = \dfrac{d}{dx} f(x) = f'(x) \,.$$

यह पता चला है कि ऐसा एक ऑपरेटर है, और वास्तव में किसी के लिए भी $a > 0$, एक ऑपरेटर मौजूद है $P$ ऐसा है कि
 * $$\left(P ^ a f\right)(x) = f'(x),$$

या इसे दूसरे तरीके से रखने के लिए, की परिभाषा $d^{n}y⁄dx^{n}$ के सभी वास्तविक मूल्यों तक बढ़ाया जा सकता है $n$.

होने देना $f(x)$ के लिए परिभाषित एक समारोह हो $x > 0$. 0 से निश्चित समाकल बनाइए $x$. इसे कॉल करें
 * $$( J f ) ( x ) = \int_0^x f(t) \, dt \,.$$

इस प्रक्रिया को दोहराने से मिलता है
 * $$\left( J^2 f \right) (x) = \int_0^x (Jf)(t) \,dt = \int_0^x \left(\int_0^t f(s) \,ds \right) dt \,,$$

और इसे मनमाने ढंग से बढ़ाया जा सकता है।

बार-बार समाकलन के लिए कॉची सूत्र, अर्थात्
 * $$\left(J^n f\right) ( x ) = \frac{1}{ (n-1) ! } \int_0^x \left(x-t\right)^{n-1} f(t) \, dt \,,$$

वास्तविक के लिए एक सामान्यीकरण के लिए एक सीधा तरीका है $n$.

फैक्टोरियल फ़ंक्शन की असतत प्रकृति को हटाने के लिए गामा समारोह का उपयोग करना हमें अभिन्न ऑपरेटर के भिन्नात्मक अनुप्रयोगों के लिए एक स्वाभाविक उम्मीदवार देता है।
 * $$\left(J^\alpha f\right) ( x ) = \frac{1}{ \Gamma ( \alpha ) } \int_0^x \left(x-t\right)^{\alpha-1} f(t) \, dt \,.$$

यह वास्तव में एक अच्छी तरह से परिभाषित ऑपरेटर है।

यह दिखाना सीधा है कि $J$ ऑपरेटर संतुष्ट
 * $$\left(J^\alpha\right) \left(J^\beta f\right)(x) = \left(J^\beta\right) \left(J^\alpha f\right)(x) = \left(J^{\alpha+\beta} f\right)(x) = \frac{1}{ \Gamma ( \alpha + \beta) } \int_0^x \left(x-t\right)^{\alpha+\beta-1} f(t) \, dt \,.$$

$$

इस संबंध को भिन्न भिन्न समाकल संकारकों का अर्धसमूह गुण कहा जाता है। दुर्भाग्य से, व्युत्पन्न ऑपरेटर के लिए तुलनीय प्रक्रिया $D$ काफी अधिक जटिल है, लेकिन यह दिखाया जा सकता है $D$ सामान्य रूप से न तो क्रमविनिमेय और न ही योज्य मानचित्र है।

रीमैन-लिउविल आंशिक अभिन्न
भिन्नात्मक कलन का शास्त्रीय रूप रीमैन-लिउविल इंटीग्रल द्वारा दिया गया है, जो अनिवार्य रूप से ऊपर वर्णित किया गया है। आवधिक कार्यों के लिए भिन्नात्मक एकीकरण का सिद्धांत (इसलिए एक अवधि के बाद दोहराने की सीमा स्थिति सहित) वेइल अभिन्न द्वारा दिया गया है। इसे फूरियर श्रृंखला पर परिभाषित किया गया है, और गायब होने के लिए निरंतर फूरियर गुणांक की आवश्यकता होती है (इस प्रकार, यह यूनिट सर्कल पर उन कार्यों पर लागू होता है जिनके इंटीग्रल शून्य का मूल्यांकन करते हैं)। रीमैन-लिउविल इंटीग्रल दो रूपों में मौजूद है, ऊपरी और निचला। अंतराल को ध्यान में रखते हुए $[a,b]$, अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$_aD_t^{-\alpha} f(t)={}_aI_t^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_a^t \left(t-\tau\right)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau $$
 * $$_tD_b^{-\alpha} f(t)={}_tI_b^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_t^b \left(\tau-t\right)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau $$

जहां पूर्व के लिए मान्य है $f(s)$ और बाद वाला मान्य है $t = s + (x − s)r$. इसके विपरीत ग्रुन्वाल्ड-लेटनिकोव व्युत्पन्न अभिन्न के बजाय व्युत्पन्न के साथ शुरू होता है।

हैडमार्ड भिन्नात्मक अभिन्न
हैडमार्ड फ्रैक्शनल इंटीग्रल जैक्स हैडमार्ड द्वारा पेश किया गया था और निम्नलिखित सूत्र द्वारा दिया गया है,
 * $$_a\mathbf{D}_t^{-\alpha} f(t) = \frac{1}{\Gamma(\alpha)} \int_a^t \left(\log\frac{t}{\tau} \right)^{\alpha -1} f(\tau)\frac{d\tau}{\tau}, \qquad t > a\,.$$

अतांगना-बलेनु आंशिक अभिन्न
अटंगना-बालेनु एक सतत समारोह के भिन्नात्मक अभिन्न को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$^{AB}{}_aI_t^\alpha f(t)=\frac{1-\alpha}{AB(\alpha)}f(t)+\frac{\alpha}{AB(\alpha)\Gamma(\alpha)}\int_a^t \left(t-\tau\right)^{\alpha-1} f(\tau) \, d\tau $$

आंशिक डेरिवेटिव्स
शास्त्रीय न्यूटोनियन डेरिवेटिव के विपरीत, भिन्नात्मक डेरिवेटिव को कई अलग-अलग तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, जो अक्सर सभी समान कार्यों के लिए समान परिणाम नहीं देते हैं। इनमें से कुछ को भिन्नात्मक समाकलन द्वारा परिभाषित किया गया है। परिभाषाओं की असंगति के कारण, यह स्पष्ट होना अक्सर आवश्यक होता है कि किस परिभाषा का उपयोग किया जाता है।

रीमैन-लिउविल आंशिक व्युत्पन्न
अवकल संकारकों के लिए लैग्रेंज के नियम का उपयोग करके संबंधित व्युत्पन्न की गणना की जाती है। कम्प्यूटिंग n}ऑर्डर के इंटीग्रल पर }वां ऑर्डर डेरिवेटिव $t > a$, द $α$ आदेश व्युत्पन्न प्राप्त होता है। यह टिप्पणी करना महत्वपूर्ण है $n$ से बड़ा सबसे छोटा पूर्णांक है $α$ (वह है, $t < b$). रीमैन-लिउविल इंटीग्रल की परिभाषाओं के समान, डेरिवेटिव में ऊपरी और निचले वेरिएंट हैं।
 * $$_aD_t^\alpha f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_aD_t^{-(n-\alpha)}f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_aI_t^{n-\alpha} f(t)$$
 * $$_tD_b^\alpha f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_tD_b^{-(n-\alpha)}f(t)=\frac{d^n}{dt^n} {}_tI_b^{n-\alpha} f(t)$$

Caputo आंशिक व्युत्पन्न
भिन्नात्मक डेरिवेटिव की गणना के लिए एक अन्य विकल्प Caputo भिन्नात्मक व्युत्पन्न है। इसे माइकल कैपुटो ने अपने 1967 के पेपर में पेश किया था। Riemann-Liouville भिन्नात्मक व्युत्पन्न के विपरीत, Caputo की परिभाषा का उपयोग करते हुए विभेदक समीकरणों को हल करते समय, भिन्नात्मक क्रम की प्रारंभिक स्थितियों को परिभाषित करना आवश्यक नहीं है। Caputo की परिभाषा इस प्रकार सचित्र है, जहां फिर से $(n − α)$:
 * $${}^C D_t^\alpha f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\alpha)} \int_0^t \frac{f^{(n)}(\tau)}{\left(t-\tau\right)^{\alpha+1-n}}\, d\tau.$$

Caputo भिन्नात्मक व्युत्पन्न को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $${} D^\nu f(t)=\frac{1}{\Gamma(n-\nu)} \int_0^t (t-u)^{(n-\nu-1)}f^{(n)}(u)\, du \qquad (n-1)<\nu<n$$

जिसका लाभ शून्य है जब $n = ⌈α⌉$ स्थिर है और इसका लाप्लास रूपांतरण फलन के आरंभिक मूल्यों और इसके व्युत्पन्न के माध्यम से व्यक्त किया जाता है। इसके अलावा, वितरित क्रम के Caputo भिन्नात्मक व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $${}_a^b D^\nu f(t)=\int_a^b \phi(\nu)\left[D^{(\nu)}f(t)\right]\,d\nu=\int_a^b\left[\frac{\phi(\nu)}{\Gamma(1-\nu)}\int_0^t \left(t-u\right)^{-\nu}f'(u)\,du \right]\,d\nu $$

कहाँ $n = ⌈α⌉$ एक वज़न फ़ंक्शन है और जिसका उपयोग गणितीय रूप से एकाधिक स्मृति औपचारिकताओं की उपस्थिति का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है।

कैपुटो-फैब्रीज़ियो आंशिक व्युत्पन्न
2015 के एक पेपर में, M. Caputo और M. Fabrizio ने एक फ़ंक्शन के लिए, एक गैर विलक्षण कर्नेल के साथ भिन्नात्मक डेरिवेटिव की परिभाषा प्रस्तुत की $$f(t)$$ का $$C^1$$ द्वारा दिए गए:
 * $$_a^{CF} D_t^\alpha f(t)=\frac{1}{1-\alpha} \int_a^t f'(\tau) \ e^\left(-\alpha\frac{t-\tau}{1-\alpha}\right) \ d\tau,$$

कहाँ $$a < 0, \alpha \in (0,1] $$

अटंगाना-बलेनु आंशिक व्युत्पन्न
2016 में, Atangana और Baleanu ने सामान्यीकृत Mittag-Leffler फ़ंक्शन के आधार पर विभेदक ऑपरेटरों का सुझाव दिया। इसका उद्देश्य गैर-एकवचन गैर-स्थानीय कर्नेल के साथ भिन्नात्मक अंतर ऑपरेटरों को पेश करना था। उनके भिन्नात्मक विभेदक संचालिका क्रमशः रीमैन-लिउविल अर्थ और कैपुतो अर्थ में नीचे दिए गए हैं। एक समारोह के लिए $$f(t)$$ का $$C^1$$ द्वारा दिए गए
 * $$_a^{ABC} D_t^\alpha f(t)=\frac{AB(\alpha)}{1-\alpha} \int_a^t f'(\tau)E_{\alpha}\left(-\alpha\frac{(t-\tau)^{\alpha}}{1-\alpha}\right)d\tau,$$

यदि कार्य निरंतर है, तो रीमैन-लिउविल अर्थ में अटंगाना-बालेनु व्युत्पन्न निम्न द्वारा दिया गया है:
 * $$_a^{ABC} D_t^\alpha f(t)=\frac{AB(\alpha)}{1-\alpha} \frac{d}{dt}\int_a^t f(\tau)E_{\alpha}\left(-\alpha\frac{(t-\tau)^{\alpha}}{1-\alpha}\right)d\tau,$$

Atangana-Baleanu भिन्नात्मक डेरिवेटिव में प्रयुक्त कर्नेल में एक संचयी वितरण फ़ंक्शन के कुछ गुण हैं। उदाहरण के लिए, सभी के लिए $$\alpha \in (0, 1]$$, कार्यक्रम $$E_\alpha$$ वास्तविक रेखा पर बढ़ रहा है, अभिसरण करता है $$0$$ में $$- \infty$$, और $$E_\alpha (0) = 1$$. इसलिए, हमारे पास वह कार्य है $$x \mapsto 1-E_\alpha (-x^\alpha)$$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर प्रायिकता माप का संचयी बंटन फलन है। वितरण इसलिए परिभाषित किया गया है, और इसके गुणकों में से किसी को ऑर्डर का मित्तग-लेफ़लर वितरण कहा जाता है $$\alpha$$. यह भी सर्वविदित है कि, ये सभी संभाव्यता वितरण पूर्ण निरंतरता हैं। विशेष रूप से, Mittag-Leffler समारोह का एक विशेष मामला है $$E_1$$, जो चरघातांकी फलन है, ऑर्डर का Mittag-Leffler बंटन $$1$$ इसलिए एक घातीय वितरण है। हालाँकि, के लिए $$\alpha \in (0, 1)$$, Mittag-Leffler बंटन भारी पूंछ वितरण |हैवी-टेल्ड हैं। उनके लाप्लास परिवर्तन द्वारा दिया गया है:
 * $$\mathbb{E} (e^{- \lambda X_\alpha}) = \frac{1}{1+\lambda^\alpha},$$

इसका सीधा तात्पर्य है कि, के लिए $$\alpha \in (0, 1)$$, अपेक्षा अनंत है। इसके अलावा, ये वितरण ज्यामितीय स्थिर वितरण हैं।

रिज व्युत्पन्न
रिज्ज़ डेरिवेटिव को इस रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$ \mathcal{F} \left\{ \frac{\partial^\alpha u}{\partial \left|x\right|^\alpha} \right\}(k) = -\left|k\right|^{\alpha} \mathcal{F} \{u \}(k), $$

कहाँ $$\mathcal{F}$$ फूरियर रूपांतरण को दर्शाता है।

अन्य प्रकार
शास्त्रीय आंशिक डेरिवेटिव में शामिल हैं: नए भिन्नात्मक डेरिवेटिव में शामिल हैं:
 * ग्रुनवल्ड-लेटनिकोव व्युत्पन्न
 * सोनिन-लेटनिकोव डेरिवेटिव * लिउविल व्युत्पन्न * डिफरेंटेरल * हैडमार्ड व्युत्पन्न
 * मार्चौड व्युत्पन्न * रिज व्युत्पन्न * मिलर-रॉस डेरिवेटिव * वेइल इंटीग्रल * एर्देली-केबर ऑपरेटर | एर्देली-केबर व्युत्पन्न *भग्न कलन|$$F^{\alpha}$$-व्युत्पन्न
 * कोइम्बरा व्युत्पन्न * कटुगमपोला भिन्नात्मक संचालक
 * सहायक व्युत्पन्न * डेविडसन व्युत्पन्न * चेन व्युत्पन्न * कैपुटो फैब्रीज़ियो व्युत्पन्न
 * अतांगना-बलेआनो व्युत्पन्न

ट्रांसिल्वेनिया-केबर ऑपरेटर
एर्डेली-केबर ऑपरेटर आर्थर एर्डेली (1940) द्वारा पेश किया गया एक अभिन्न ऑपरेटर है। और हरमन केबर (1940) और द्वारा दिया गया है
 * $$\frac{x^{-\nu-\alpha+1}}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x \left(t-x\right)^{\alpha-1}t^{-\alpha-\nu}f(t) \,dt\,, $$

जो #फ्रैक्शनल इंटीग्रल | रीमैन-लिउविल फ्रैक्शनल इंटीग्रल और वेइल इंटीग्रल का सामान्यीकरण करता है।

कार्यात्मक पथरी
कार्यात्मक विश्लेषण के संदर्भ में, कार्य $f(t)$ वर्णक्रमीय प्रमेय के कार्यात्मक कलन में शक्तियों से अधिक सामान्य अध्ययन किया जाता है। छद्म अंतर ऑपरेटर का सिद्धांत भी किसी की शक्तियों पर विचार करने की अनुमति देता है $D$. उत्पन्न होने वाले संकारक एकवचन समाकल संकारकों के उदाहरण हैं; और शास्त्रीय सिद्धांत के उच्च आयामों के सामान्यीकरण को रिज क्षमता का सिद्धांत कहा जाता है। इसलिए कई समकालीन सिद्धांत उपलब्ध हैं, जिनके अंतर्गत भिन्नात्मक कलन पर चर्चा की जा सकती है। एर्डेली-केबर ऑपरेटर भी देखें, विशेष कार्य सिद्धांत में महत्वपूर्ण,.

द्रव्यमान का आंशिक संरक्षण
जैसा कि व्हीटक्राफ्ट और मीर्सचर्ट (2008) द्वारा वर्णित है, जब विषमता के पैमाने की तुलना में नियंत्रण मात्रा काफी बड़ी नहीं होती है और जब नियंत्रण मात्रा के भीतर प्रवाह गैर-रैखिक होता है, तो द्रव प्रवाह को मॉडल करने के लिए द्रव्यमान समीकरण के एक आंशिक संरक्षण की आवश्यकता होती है। संदर्भित कागज में, द्रव प्रवाह के लिए द्रव्यमान समीकरण का आंशिक संरक्षण है:
 * $$-\rho \left(\nabla^\alpha \cdot \vec{u} \right) = \Gamma(\alpha +1)\Delta x^{1-\alpha} \rho \left (\beta_s+\phi \beta_w \right ) \frac{\partial p}{\partial t} $$

विद्युत रासायनिक विश्लेषण
समाधान में एक सब्सट्रेट के रेडॉक्स व्यवहार का अध्ययन करते समय, इलेक्ट्रोड सतह पर इलेक्ट्रोड और सब्सट्रेट के बीच इलेक्ट्रॉन हस्तांतरण को मजबूर करने के लिए एक वोल्टेज लागू किया जाता है। परिणामी इलेक्ट्रॉन स्थानांतरण को वर्तमान के रूप में मापा जाता है। वर्तमान इलेक्ट्रोड सतह पर सब्सट्रेट की एकाग्रता पर निर्भर करता है। जैसा कि सब्सट्रेट का सेवन किया जाता है, फ़िक के प्रसार के नियमों के अनुसार ताजा सब्सट्रेट इलेक्ट्रोड में फैलता है। फ़िक के दूसरे नियम के लाप्लास परिवर्तन को लेने से एक सामान्य द्वितीय-क्रम अंतर समीकरण प्राप्त होता है (यहाँ आयाम रहित रूप में):
 * $$\frac{d^2}{d x^2} C(x,s) = sC(x,s) $$

जिसका समाधान सी (एक्स, एस) में एस पर आधा शक्ति निर्भरता होती है। सी (एक्स, एस) के व्युत्पन्न और फिर व्युत्क्रम लाप्लास रूपांतरण से निम्न संबंध प्राप्त होता है:
 * $$\frac{d}{d x} C(x,t) = \frac{d^{\frac{1}{2}}}{d t^{\frac{1}{2}}}C(x,t) $$

जो इलेक्ट्रोड सतह पर सब्सट्रेट की एकाग्रता को वर्तमान से संबंधित करता है। यंत्रवत व्यवहार को स्पष्ट करने के लिए इस रिश्ते को इलेक्ट्रोकेमिकल कैनेटीक्स में लागू किया जाता है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग इलेक्ट्रोकेमिकल कमी पर सबस्ट्रेट्स के डिमराइजेशन की दर का अध्ययन करने के लिए किया गया है।

भूजल प्रवाह की समस्या
2013-2014 में अतांगना एट अल। भिन्नात्मक क्रम वाले व्युत्पन्न की अवधारणा का उपयोग करते हुए कुछ भूजल प्रवाह समस्याओं का वर्णन किया। इन कार्यों में, शास्त्रीय डार्सी कानून को पीज़ोमेट्रिक हेड के गैर-पूर्णांक ऑर्डर व्युत्पन्न के कार्य के रूप में जल प्रवाह के संबंध में सामान्यीकृत किया जाता है। इस सामान्यीकृत कानून और द्रव्यमान के संरक्षण के कानून का उपयोग भूजल प्रवाह के लिए एक नया समीकरण प्राप्त करने के लिए किया जाता है।

आंशिक संवहन फैलाव समीकरण
यह समीकरण विषम झरझरा मीडिया में दूषित प्रवाह मॉडलिंग के लिए उपयोगी दिखाया गया है। अतांगना और किलिकमैन ने भिन्नात्मक संवहन फैलाव समीकरण को एक चर क्रम समीकरण में विस्तारित किया। उनके काम में, हाइड्रोडायनेमिक फैलाव समीकरण को एक भिन्नता क्रम व्युत्पन्न की अवधारणा का उपयोग करके सामान्यीकृत किया गया था। क्रैंक-निकोलसन पद्धति के माध्यम से संशोधित समीकरण को संख्यात्मक रूप से हल किया गया था। संख्यात्मक सिमुलेशन में स्थिरता और अभिसरण से पता चला है कि संशोधित समीकरण निरंतर आंशिक और पूर्णांक डेरिवेटिव वाले समीकरणों की तुलना में विकृत जलभृतों में प्रदूषण की गति की भविष्यवाणी करने में अधिक विश्वसनीय है।

समय-स्थान भिन्नात्मक प्रसार समीकरण मॉडल
भिन्नात्मक-क्रम प्रसार समीकरण मॉडल का उपयोग करके जटिल मीडिया में विषम प्रसार प्रक्रियाओं को अच्छी तरह से चित्रित किया जा सकता है। समय व्युत्पन्न शब्द लंबे समय तक भारी पूंछ क्षय और प्रसार गैर-स्थानीयता के लिए स्थानिक व्युत्पन्न से मेल खाता है। टाइम-स्पेस फ्रैक्शनल डिफ्यूजन गवर्निंग इक्वेशन को इस रूप में लिखा जा सकता है
 * $$ \frac{\partial^\alpha u}{\partial t^\alpha}=-K (-\Delta)^\beta u.$$

भिन्नात्मक व्युत्पन्न का एक सरल विस्तार चर-क्रम भिन्नात्मक व्युत्पन्न है, $α$ और $β$ में बदल जाते हैं $φ(ν)$ और $f(D)$. विषम प्रसार मॉडलिंग में इसके अनुप्रयोग संदर्भ में पाए जा सकते हैं।

संरचनात्मक भिगोना मॉडल
फ्रैक्शनल डेरिवेटिव्स का उपयोग कुछ प्रकार की सामग्रियों जैसे पॉलिमर में viscoelastic डंपिंग के मॉडल के लिए किया जाता है।

पीआईडी ​​​​नियंत्रक
आंशिक आदेशों का उपयोग करने के लिए पीआईडी ​​​​नियंत्रकों का सामान्यीकरण उनकी स्वतंत्रता की डिग्री बढ़ा सकता है। नियंत्रण चर से संबंधित नया समीकरण $α(x, t)$ मापा त्रुटि मान के संदर्भ में $β(x, t)$ के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$u(t) = K_\mathrm{p} e(t) + K_\mathrm{i} D_t^{-\alpha} e(t) + K_\mathrm{d} D_t^{\beta} e(t)$$

कहाँ $α$ और $u(t)$ सकारात्मक भिन्नात्मक आदेश हैं और $e(t)$, $β$, और $K_{p}$, सभी गैर-नकारात्मक, क्रमशः आनुपातिक नियंत्रण, अभिन्न और व्युत्पन्न शब्दों के गुणांकों को निरूपित करते हैं (कभी-कभी निरूपित) $P$, $I$, और $D$).

जटिल मीडिया के लिए ध्वनिक तरंग समीकरण
जटिल मीडिया में ध्वनिक तरंगों का प्रसार, जैसे कि जैविक ऊतक में, आमतौर पर एक आवृत्ति शक्ति-कानून का पालन करने वाले क्षीणन का तात्पर्य है। इस तरह की घटना को एक कारण तरंग समीकरण का उपयोग करके वर्णित किया जा सकता है जिसमें भिन्नात्मक समय डेरिवेटिव शामिल हैं:
 * $$\nabla^2 u -\dfrac 1{c_0^2} \frac{\partial^2 u}{\partial t^2} + \tau_\sigma^\alpha \dfrac{\partial^\alpha}{\partial t^\alpha}\nabla^2 u - \dfrac {\tau_\epsilon^\beta}{c_0^2} \dfrac{\partial^{\beta+2} u}{\partial t^{\beta+2}} = 0\,.$$

होल्म एंड नैशोलम भी देखें (2011) और उसमें संदर्भ। इस तरह के मॉडल आमतौर पर मान्यता प्राप्त परिकल्पना से जुड़े होते हैं कि कई विश्राम घटनाएं जटिल मीडिया में मापी गई क्षीणन को जन्म देती हैं। इस कड़ी का आगे नैशोल्म एंड होल्म (2011b) में वर्णन किया गया है और सर्वेक्षण पत्र में, साथ ही ध्वनिक क्षीणन लेख। होल्म एंड नैशोलम देखें (2013) एक पेपर के लिए जो फ्रैक्शनल वेव इक्वेशन की तुलना करता है जो पावर-लॉ एटेन्यूएशन को मॉडल करता है। पावर-लॉ एटेन्यूएशन पर यह पुस्तक भी इस विषय को अधिक विस्तार से कवर करती है। पांडे और होल्म ने भिन्नात्मक अवकल समीकरणों को भौतिक सिद्धांतों से प्राप्त करके और ध्वनिक मीडिया के मापदंडों के संदर्भ में भिन्नात्मक-क्रम की व्याख्या करके एक भौतिक अर्थ दिया, उदाहरण के लिए द्रव-संतृप्त दानेदार असंपिंडित समुद्री तलछट। दिलचस्प बात यह है कि पांडे और होल्म ने फ्रैक्शनल कैलकुलस के ढांचे का उपयोग करते हुए सिन्ना लोम्निट्ज़ | भूकंप विज्ञान में लोम्निट्ज़ का नियम और गैर-न्यूटोनियन तरल पदार्थ में न्यूटिंग का नियम | नॉन-न्यूटोनियन रियोलॉजी को व्युत्पन्न किया। फ्रैक्शनल डेरिवेटिव्स का उपयोग करके समुद्री तलछट में तरंग प्रसार को मॉडल करने के लिए न्यूटिंग के नियम का उपयोग किया गया था।

क्वांटम सिद्धांत में आंशिक श्रोडिंगर समीकरण
भिन्नात्मक श्रोडिंगर समीकरण, भिन्नात्मक क्वांटम यांत्रिकी का एक मौलिक समीकरण, के निम्न रूप हैं:
 * $$i\hbar \frac{\partial \psi (\mathbf{r},t)}{\partial t}=D_{\alpha } \left(-\hbar^2\Delta \right)^{\frac{\alpha}{2}}\psi (\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi (\mathbf{r},t)\,.$$

जहां समीकरण का हल तरंग क्रिया  है $K_{i}$ - कण के लिए दी गई स्थिति सदिश होने के लिए क्वांटम यांत्रिक संभाव्यता आयाम $K_{d}$ दिये गये समय पर $t$, और $ħ$ घटा हुआ प्लैंक स्थिरांक है। संभावित ऊर्जा समारोह $ψ(r, t)$ सिस्टम पर निर्भर करता है।

आगे, $r$ लाप्लास ऑपरेटर है, और $D_{α}$ भौतिक आयामी विश्लेषण के साथ एक पैमाना स्थिरांक है $V(r, t)$, (पर $Δ = ∂^{2}⁄∂r^{2}$, $[D_{α}] = J^{1 − α}·m^{α}·s^{−α} = kg^{1 − α}·m^{2 − α}·s^{α − 2}$ द्रव्यमान के एक कण के लिए $m$), और ऑपरेटर $α = 2$ द्वारा परिभाषित 3-आयामी भिन्नात्मक क्वांटम रिज्ज़ डेरिवेटिव है
 * $$(-\hbar^2\Delta)^\frac{\alpha}{2}\psi (\mathbf{r},t) = \frac 1 {(2\pi \hbar)^3} \int d^3 p e^{\frac{i}{\hbar} \mathbf{p}\cdot\mathbf{r}}|\mathbf{p}|^\alpha \varphi (\mathbf{p},t) \,.$$

अनुक्रमणिका $α$ भिन्नात्मक श्रोडिंगर समीकरण में लेवी सूचकांक है, $D_{2} = 1⁄2m$.

चर-क्रम भिन्नात्मक श्रोडिंगर समीकरण
भिन्नात्मक श्रोडिंगर समीकरण के एक प्राकृतिक सामान्यीकरण के रूप में, भिन्नात्मक क्वांटम घटना का अध्ययन करने के लिए चर-क्रम भिन्नात्मक श्रोडिंगर समीकरण का उपयोग किया गया है:
 * $$i\hbar \frac{\partial \psi^{\alpha(\mathbf{r})} (\mathbf{r},t)}{\partial t^{\alpha(\mathbf{r})} } = \left(-\hbar^2\Delta \right)^{\frac{\beta(t)}{2}}\psi (\mathbf{r},t)+V(\mathbf{r},t)\psi (\mathbf{r},t),$$

कहाँ $(−ħ^{2}Δ)^{α/2}$ लाप्लास ऑपरेटर और ऑपरेटर है $1 < α ≤ 2$ चर-क्रम भिन्नात्मक क्वांटम रिज्ज़ व्युत्पन्न है।

यह भी देखें

 * ध्वनिक क्षीणन
 * ऑटोरेग्रेसिव आंशिक रूप से एकीकृत मूविंग एवरेज
 * प्रारंभिक भिन्नात्मक कलन
 * गैर-स्थानीय ऑपरेटर

अन्य आंशिक सिद्धांत

 * आंशिक-आदेश प्रणाली
 * आंशिक फूरियर रूपांतरण

बाहरी संबंध

 * From MathWorld:
 * Specialized journals
 * Fractional Calculus and Applied Analysis 1998–2014
 * Fractional Calculus and Applied Analysis 2015—
 * Fractional Differential Calculus (FDC) 2011–
 * Communications in Fractional Calculus
 * Journal of Fractional Calculus and Applications (JFCA) 2011—
 * collection of books, articles, preprints, etc.
 * Fractional Calculus Modelling
 * Introductory Notes on Fractional Calculus
 * Power Law & Fractional Dynamics
 * The CRONE Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable
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 * Fractional Calculus Modelling
 * Introductory Notes on Fractional Calculus
 * Power Law & Fractional Dynamics
 * The CRONE Toolbox, a Matlab and Simulink Toolbox dedicated to fractional calculus, which is freely downloadable
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