चक्रज

ज्यामिति में, एक चक्रज (साइक्लोइड ) एक वृत्त पर एक बिंदु द्वारा  पता लगाया गया  वक्र होता है क्योंकि यह बिना स्पर्श के ही सीधी रेखा के साथ लुढ़कता है। साइक्लोइड एक  ट्रोकॉइड  का विशिष्ट रूप है और वक्र का उदाहरण है, जो एक वक्र दूसरे वक्र पर लुढ़कते हुए वक्र द्वारा उत्पन्न होता है।

साइक्लोइड का अर्थ - एकसमान गुरुत्वाकर्षण  ( ब्राचिस्टोक्रोन वक्र ) के तहत सबसे तेज़ वक्र है। यह वक्र का रूप भी है जिसके लिए वक्र के साथ सरल आवर्त गति (बार-बार ऊपर और नीचे लुढ़कना) में किसी वस्तु की अवधि (आवृत्ति) वस्तु की प्रारंभिक स्थिति ( टॉटोक्रोन वक्र ) पर निर्भर नहीं करती है।

इतिहास
साइक्लोइड को जियोमीटर का हेलेन ऑफ़ ट्रॉय  कहा जाता है क्योंकि यह 17 वीं शताब्दी के गणितज्ञों के बीच अक्सर झगड़े का कारण बनता है। गणित के इतिहासकारों ने चक्रवात के खोजकर्ता के लिए कई उम्मीदवारों का प्रस्ताव दिया है। गणितीय इतिहासकार पॉल टैनरी  ने सीरियाई दार्शनिक एंब्लिचस द्वारा इसी तरह के काम को सबूत के रूप में उद्धृत किया कि वक्र पुरातनता में जाना जाता था।  1679 में अंग्रेजी गणितज्ञ  जॉन वालिस  ने कूसा के निकोलस को खोज के लिए जिम्मेदार ठहराया, लेकिन बाद की विद्वता इंगित करती है कि या तो वालिस से गलती हुई थी या उसके द्वारा इस्तेमाल किए गए सबूत अब खो गए हैं।  19वीं सदी के अंत में  गैलिलियो गैलिली  का नाम सामने रखा गया था और कम से कम एक लेखक ने  मारिन Mersenne  को श्रेय दिए जाने की रिपोर्ट दी है।  मोरित्ज़ कैंटोर  के काम से शुरुआत और सीगमंड गेंथर | सिगमंड गुंथर, विद्वान अब फ्रांसीसी गणितज्ञ  चार्ल्स डी बोवेल्स  को प्राथमिकता देते हैं   1503 में प्रकाशित जियोमेट्रियम में अपने इंट्रोडक्टियो में साइक्लोइड के उनके विवरण के आधार पर।  इस काम में, बोवेल्स एक बड़े वृत्त के हिस्से के रूप में एक रोलिंग व्हील द्वारा ट्रेस किए गए आर्क को छोटे पहिये से 120% बड़ा त्रिज्या के साथ गलती करता है।

गैलीलियो ने साइक्लोइड शब्द की उत्पत्ति की और वक्र का गंभीर अध्ययन करने वाले पहले व्यक्ति थे। उनके छात्र  इवेंजेलिस्टा टोरिसेली  के अनुसार, 1599 में गैलीलियो ने एक असामान्य रूप से अनुभवजन्य दृष्टिकोण के साथ साइक्लोइड (चक्रवात के नीचे के क्षेत्र का निर्धारण) के  चतुर्भुज (गणित)  का प्रयास किया, जिसमें शीट मेटल पर जेनरेटिंग सर्कल और परिणामी साइक्लोइड दोनों का पता लगाना, उन्हें काटना और उनका वजन करना शामिल था। उन्होंने पाया कि अनुपात लगभग 3:1 था, जो कि सही मूल्य है, लेकिन उन्होंने गलत तरीके से निष्कर्ष निकाला कि अनुपात एक अपरिमेय अंश था, जिससे चतुर्भुज असंभव हो जाता।  1628 के आसपास,  गाइल्स डी रोबरवाल  ने संभवतः मारिन मेर्सन | पेरे मारिन मेर्सन से चतुर्भुज समस्या के बारे में सीखा और 1634 में कैवलियरी के सिद्धांत का उपयोग करके चतुर्भुज को प्रभावित किया।  हालांकि, यह काम 1693 तक प्रकाशित नहीं हुआ था (उनके ट्रैटे डेस इंडिविजिबल्स में)।

साइक्लॉयड की स्पर्शरेखा  का निर्माण अगस्त 1638 तक होता है जब मेर्सन को रॉबरवाल,  पियरे डी फ़र्माटा  और रेने डेसकार्टेस से अनूठी विधियाँ प्राप्त हुईं। मेर्सन ने इन परिणामों को गैलीलियो के साथ पारित किया, जिन्होंने उन्हें अपने छात्रों टोरिसेली और विवियाना को दिया, जो एक चतुर्भुज का उत्पादन करने में सक्षम थे। यह परिणाम और अन्य 1644 में टोरिसेली द्वारा प्रकाशित किए गए थे, जो साइक्लॉयड पर पहला मुद्रित कार्य भी है। इसके कारण रॉबरवाल ने टोरिसेली पर साहित्यिक चोरी का आरोप लगाया, 1647 में टोरिसेली की प्रारंभिक मृत्यु से विवाद कम हो गया।

1658 में, ब्लेज़ पास्कल ने धर्मशास्त्र के लिए गणित छोड़ दिया था, लेकिन दांत दर्द से पीड़ित होने के दौरान, साइक्लोइड से संबंधित कई समस्याओं पर विचार करना शुरू कर दिया। उनका दांत दर्द गायब हो गया, और उन्होंने अपने शोध को आगे बढ़ाने के लिए इसे एक स्वर्गीय संकेत के रूप में लिया। आठ दिन बाद उन्होंने अपना निबंध पूरा किया और परिणामों को प्रचारित करने के लिए एक प्रतियोगिता का प्रस्ताव रखा। पास्कल ने साइक्लॉयड के द्रव्यमान, क्षेत्रफल और आयतन के केंद्र से संबंधित तीन प्रश्नों का प्रस्ताव रखा, जिसमें विजेता या विजेताओं को 20 और 40 स्पेनिश डबलून  के पुरस्कार प्राप्त होंगे। पास्कल, रोबरवाल और सीनेटर कारकेवी न्यायाधीश थे, और दोनों में से कोई भी सबमिशन (जॉन वालिस और एंटोनी डी लालौवेरे द्वारा) पर्याप्त नहीं माना गया था।  जब प्रतियोगिता चल रही थी,  क्रिस्टोफर व्रेन  ने पास्कल को चक्रवात की चाप की लंबाई के प्रमाण के लिए एक प्रस्ताव भेजा; रोबरवाल ने तुरंत दावा किया कि वह वर्षों से सबूत के बारे में जानता था। वालिस ने वालिस के ट्रैक्टस डुओ में व्रेन के सबूत (क्रेडिटिंग व्रेन) को प्रकाशित किया, जिसमें पहले प्रकाशित सबूत के लिए व्रेन को प्राथमिकता दी गई।

पंद्रह साल बाद, क्रिस्टियान ह्यूजेंस  ने क्रोनोमीटर को बेहतर बनाने के लिए साइक्लोइडल पेंडुलम को तैनात किया था और यह पता लगाया था कि एक कण एक उल्टे साइक्लोइडल आर्क के एक खंड को उसी समय में पार करेगा, चाहे उसका प्रारंभिक बिंदु कुछ भी हो। 1686 में,  गॉटफ्राइड विल्हेम लिबनिज़ो  ने एकल समीकरण के साथ वक्र का वर्णन करने के लिए विश्लेषणात्मक ज्यामिति का उपयोग किया। 1696 में,  जोहान बर्नौली  ने ब्राचिस्टोक्रोन वक्र प्रस्तुत किया, जिसका समाधान एक चक्रज है।

समीकरण
मूल के माध्यम से चक्रज, त्रिज्या के एक चक्र द्वारा उत्पन्न $r$ पर लुढ़कना$x$-अक्ष सकारात्मक पक्ष पर ($y ≥ 0$), बिंदुओं से मिलकर बनता है $(x, y)$, साथ $$\begin{align} x &= r(t - \sin t) \\ y &= r(1 - \cos t), \end{align}$$ कहाँ पे $t$ उस कोण के अनुरूप एक वास्तविक पैरामीटर  है जिससे रोलिंग सर्कल घूमता है। माफ़ कर दिया $t$, वृत्त का केंद्र पर स्थित है $(x, y) = (rt, r)$.

कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को हल करके प्राप्त किया जाता है$y$के लिए समीकरण $t$ और में प्रतिस्थापित करना$x$-समीकरण:$$x = r \cos^{-1} \left(1 - \frac{y}{r}\right) - \sqrt{y(2r - y)},$$या, बहु-मूल्यवान प्रतिलोम कोज्या को समाप्त करना:"$r \cos\!\left(\frac{x+\sqrt{y(2r-y)}}{r}\right) + y = r.$|undefined"कब $y$ के एक समारोह के रूप में देखा जाता है $x$, साइक्लोइड पर Cusp (विलक्षणता) को छोड़कर हर जगह अवकलनीय कार्य है $x$-अक्ष, व्युत्पन्न प्रवृत्ति के साथ $$\infty$$ या $$-\infty$$ एक कुंड के पास। से नक्शा $t$ प्रति $(x, y)$ अलग-अलग है, वास्तव में वर्ग $C$undefined, व्युत्पन्न 0 के साथ क्यूप्स पर।

बिंदु पर चक्रज को स्पर्शरेखा का ढलान $$(x,y)$$ द्वारा दिया गया है $\frac{dy}{dx} = \cot(\frac{t}{2})$.

एक कुंड से दूसरे तक एक चक्रज खंड को चक्रज का एक चाप कहा जाता है, उदाहरण के लिए बिंदु के साथ $$0 \le t \le 2 \pi$$ तथा $$0 \leq x \leq 2\pi$$.

साइक्लॉयड को एक फलन का ग्राफ मानते हुए $$y = f(x)$$, यह साधारण अंतर समीकरण  को संतुष्ट करता है:
 * $$\left(\frac{dy}{dx}\right)^2 = \frac{2r}{y} - 1.$$

शामिल
साइक्लोइड के व्युत्क्रम में ठीक वैसा ही सर्वांगसमता (ज्यामिति)  होता है, जिस साइक्लोइड से यह उत्पन्न होता है। यह एक तार की नोक द्वारा पता लगाए गए पथ के रूप में देखा जा सकता है जो शुरू में साइक्लोइड के आधे आर्च पर पड़ा था: जब यह मूल साइक्लोइड के स्पर्शरेखा के दौरान अनियंत्रित होता है, तो यह एक नए साइक्लोइड का वर्णन करता है (साइक्लोइड # साइक्लोइडल पेंडुलम और साइक्लोइड # आर्क भी देखें) लंबाई)।

प्रदर्शन
यह प्रदर्शन चक्रज की रोलिंग-व्हील परिभाषा के साथ-साथ एक गतिमान बिंदु के तात्कालिक वेग वेक्टर का उपयोग करता है, जो इसके प्रक्षेपवक्र के स्पर्शरेखा है। बगल की तस्वीर में, $$P_1$$ तथा $$P_2$$ दो रोलिंग सर्कल से संबंधित दो बिंदु हैं, जिनमें से पहले का आधार दूसरे के शीर्ष के ठीक ऊपर है। शुरू में, $$P_1$$ तथा $$P_2$$ दो वृत्तों के प्रतिच्छेदन बिंदु पर मेल खाते हैं। जब वृत्त समान गति से क्षैतिज रूप से लुढ़कते हैं, $$P_1$$ तथा $$P_2$$ दो चक्रीय वक्रों को पार करें। जोड़ने वाली लाल रेखा को ध्यान में रखते हुए $$P_1$$ तथा $$P_2$$ एक निश्चित समय पर, कोई यह साबित करता है कि रेखा हमेशा निचले चाप पर स्पर्श करती है $$P_2$$ और ऊपरी चाप के लिए ओर्थोगोनल at $$P_1$$. होने देना $$Q$$ दिए गए समय में ऊपरी और निचले वृत्तों के बीच उभयनिष्ठ बिंदु हो। फिर:
 * $$P_1,Q,P_2$$ कॉलिनियर हैं: वास्तव में समान रोलिंग गति समान कोण देती है $$\widehat{P_1O_1Q}=\widehat{P_2O_2Q}$$, और इस तरह $$\widehat{O_1 Q P_1} = \widehat{O_2QP_2}$$ . बिंदु $$Q$$ लाइन पर है $$O_1O_2$$ इसलिए $$\widehat{P_1 Q O_1} + \widehat{P_1QO_2}=\pi$$ और इसी तरह $$\widehat{P_2QO_2}+\widehat{P_2QO_1}=\pi$$. की समानता से $$\widehat{O_1QP_1}$$ तथा $$\widehat{O_2QP_2}$$ एक के पास वो भी है $$\widehat{P_1QO_2}=\widehat{P_2QO_1}$$. का अनुसरण करना $$\widehat{P_1QO_1}+\widehat{P_2QO_1}=\pi$$.
 * यदि $$A$$ से लंबवत के बीच मिलन बिंदु है $$P_1$$ रेखा खंड के लिए $$O_1O_2$$ और वृत्त की स्पर्शरेखा at $$P_2$$, फिर त्रिभुज $$P_1AP_2$$ समद्विबाहु है, जैसा कि निर्माण से आसानी से देखा जा सकता है: $$\widehat{QP_2A}=\tfrac{1}{2}\widehat{P_2O_2Q}$$ तथा $$\widehat{QP_1A} = \tfrac{1}{2}\widehat{QO_1R}=$$$$\tfrac{1}{2}\widehat{QO_1P_1}$$ . के बीच पिछली विख्यात समानता के लिए $$\widehat{P_1O_1Q}$$ तथा $$\widehat{QO_2P_2}$$ फिर $$\widehat{QP_1A}=\widehat{QP_2A}$$ तथा $$P_1AP_2$$ समद्विबाहु है।
 * से ड्राइंग $$P_2$$ ओर्थोगोनल खंड करने के लिए $$O_1O_2$$, से $$P_1$$ ऊपरी सर्कल के लिए सीधी रेखा स्पर्शरेखा, और कॉलिंग $$B$$ बैठक बिंदु, कोई देखता है कि $$P_1AP_2B$$ एक समचतुर्भुज है जो समांतर रेखाओं के बीच के कोणों पर प्रमेयों का उपयोग करता है
 * अब वेग पर विचार करें $$V_2$$ का $$P_2$$ . इसे दो घटकों के योग के रूप में देखा जा सकता है, रोलिंग वेग $$V_a$$ और बहती वेग $$V_d$$, जो मापांक में बराबर हैं क्योंकि वृत्त बिना फिसले लुढ़कते हैं। $$V_d$$ इसके समानांतर $$P_1A$$, जबकि $$V_a$$ निचले वृत्त पर स्पर्शरेखा है $$P_2$$ और इसलिए . के समानांतर है $$P_2A$$. घटकों से गठित समचतुर्भुज $$V_d$$ तथा $$V_a$$ इसलिए समचतुर्भुज के समान (समान कोण) है $$BP_1AP_2$$ क्योंकि उनके समानांतर पक्ष हैं। फिर $$V_2$$, का कुल वेग $$P_2$$, के समानांतर है $$P_2P_1$$ क्योंकि दोनों समान्तर भुजाओं वाली दो समचतुर्भुजों के विकर्ण हैं और के साथ उभयनिष्ठ हैं $$P_1P_2$$ संपर्क बिंदु $$P_2$$. इस प्रकार वेग वेक्टर $$V_2$$ के दीर्घीकरण पर स्थित है $$P_1P_2$$ . इसलिये $$V_2$$ चक्रवात के स्पर्शरेखा है at $$P_2$$, यह इस प्रकार भी है $$P_1P_2$$ निचले चक्रवात के स्पर्शरेखा के साथ मेल खाता है $$P_2$$.
 * समान रूप से, यह आसानी से प्रदर्शित किया जा सकता है कि $$P_1P_2$$ यह ओर्थोगोनल है $$V_1$$ (चतुर्भुज का दूसरा विकर्ण)।
 * यह साबित करता है कि तार की नोक शुरू में निचले साइक्लोइड के आधे आर्च पर फैली हुई है और ऊपरी सर्कल में तय की गई है $$P_1$$ अपनी लंबाई को बदले बिना अपने पथ के साथ बिंदु का अनुसरण करेगा क्योंकि टिप की गति प्रत्येक क्षण तार के ओर्थोगोनल (कोई खिंचाव या संपीड़न नहीं) पर होती है। तार उसी समय स्पर्शरेखा पर होगा $$P_2$$ तनाव और ऊपर प्रदर्शित तथ्यों के कारण निचले चाप तक। (यदि यह स्पर्शरेखा नहीं होती तो पर एक असंततता होती $$P_2$$ और फलस्वरूप असंतुलित तनाव बल।)

क्षेत्र
उपरोक्त पैरामीटराइजेशन का उपयोग करना $  x = r(t - \sin t), \ y = r(1 - \cos t)$, एक मेहराब के नीचे का क्षेत्र, $$0 \leq t \leq 2\pi,$$ द्वारा दिया गया है: $$ A = \int_{x=0}^{2 \pi r} y \, dx     = \int_{t=0}^{2 \pi} r^2(1 - \cos t)^2 dt = 3 \pi r^2. $$ यह रोलिंग सर्कल के क्षेत्रफल का तीन गुना है। यह और इसी तरह के परिणाम मैमिकोन के दृश्य कलन द्वारा गणना के बिना ज्यामितीय रूप से प्राप्त किए जा सकते हैं।

चाप की लंबाई
चाप की लंबाई $S$ एक मेहराब द्वारा दिया गया है $$\begin{align} S &= \int_0^{2\pi} \sqrt{\left(\frac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\frac{dy}{dt}\right)^2} dt \\ &= \int_0^{2\pi} r \sqrt{2 - 2\cos t}\, dt \\ &= 2r\int_0^{2\pi} \sin \frac{t}{2}\, dt \\ &= 8r. \end{align}$$ साइक्लॉयड की लंबाई की गणना करने का एक और ज्यामितीय तरीका यह है कि जब एक #Involute का वर्णन करने वाला तार आधे आर्च से पूरी तरह से खोल दिया गया है, तो यह दो व्यास के साथ फैलता है, एक लंबाई $4r$. यह इस प्रकार मेहराब की आधी लंबाई के बराबर है, और एक पूर्ण मेहराब का है $8r$.

साइक्लोइडल पेंडुलम
यदि एक साधारण लंगर  को उल्टे चक्रज के पुच्छ से लटका दिया जाता है, जैसे कि स्ट्रिंग अपने मेहराब में से एक के स्पर्शरेखा के लिए विवश है, और पेंडुलम की लंबाई एल साइक्लोइड की चाप की आधी लंबाई के बराबर है (यानी, दो बार उत्पन्न करने वाले वृत्त का व्यास, L = 4r), लोलक का गोलक भी एक चक्रज पथ का अनुरेखण करता है। ऐसा पेंडुलम टॉटोक्रोन वक्र है, आयाम की परवाह किए बिना समान समय के झूलों के साथ। पुच्छल की स्थिति में केन्द्रित एक समन्वय प्रणाली का परिचय, गति का समीकरण निम्न द्वारा दिया गया है: $$\begin{align} x &= r[2\theta(t) + \sin 2\theta (t)] \\ y &= r[-3-\cos2\theta (t)], \end{align}$$ कहाँ पे $$\theta$$ ऊर्ध्वाधर अक्ष के संबंध में स्ट्रिंग के सीधे भाग का कोण है, और द्वारा दिया गया है $$\sin\theta (t) = A \cos(\omega t),\qquad \omega^2 = \frac{g}{L}=\frac{g}{4r},$$ कहाँ पे $A < 1$ आयाम है, $$\omega$$ लोलक की रेडियन आवृत्ति है और गुरुत्वीय त्वरण g है।

17वीं शताब्दी के डच गणितज्ञ क्रिस्टियान ह्यूजेंस#होरोलॉजी ने साइक्लोइड के इन गुणों की खोज की और उन्हें देशांतर का इतिहास  होने के लिए अधिक सटीक पेंडुलम घड़ी डिजाइन की खोज की।

संबंधित वक्र
कई वक्र साइक्लॉयड से संबंधित हैं।
 * ट्रोकॉइड: एक साइक्लोइड का सामान्यीकरण जिसमें वक्र को ट्रेस करने वाला बिंदु रोलिंग सर्कल (कर्टेट) के अंदर या बाहर (प्रोलेट) हो सकता है।
 * हाइपोसाइक्लोइड : एक साइक्लोइड का प्रकार जिसमें एक सर्कल एक लाइन के बजाय दूसरे सर्कल के अंदर की तरफ लुढ़कता है।
 * एपिसाइक्लोइड : एक चक्रज का प्रकार जिसमें एक वृत्त एक रेखा के बजाय दूसरे वृत्त के बाहर की ओर लुढ़कता है।
 * हाइपोट्रोकॉइड : एक हाइपोसाइक्लॉइड का सामान्यीकरण जहां जनक बिंदु रोलिंग सर्कल के किनारे पर नहीं हो सकता है।
 * एपिट्रोकॉइड : एक एपिसाइक्लॉइड का सामान्यीकरण जहां जनक बिंदु रोलिंग सर्कल के किनारे पर नहीं हो सकता है।

ये सभी वक्र रूले (वक्र) हैं, जिसमें एक समान वक्रता  के दूसरे वक्र के साथ एक वृत्त लुढ़का हुआ है। साइक्लोइड, एपिसाइक्लोइड्स और हाइपोसाइक्लोइड्स में यह गुण होता है कि प्रत्येक अपने विकास के लिए  समानता (ज्यामिति)  है। यदि q वृत्त की त्रिज्या के साथ उस वक्रता का गुणनफल (गणित) है, जो एपी- के लिए धनात्मक और हाइपो- के लिए ऋणात्मक हस्ताक्षरित है, तो वक्र का उत्क्रांति में समरूप परिवर्तन 1 + 2q है।

क्लासिक स्पाइरोग्राफ  खिलौना हाइपोट्रोकॉइड और एपिट्रोकॉइड वक्रों का पता लगाता है।

अन्य उपयोग
फोर्ट वर्थ, टेक्सास में किम्बेल कला संग्रहालय के लिए अपने डिजाइन में आर्किटेक्ट लुई कान द्वारा साइक्लोइडल आर्क का उपयोग किया गया था। इसका उपयोग वालेस के. हैरिसन द्वारा हनोवर, न्यू हैम्पशायर में डार्टमाउथ कॉलेज  में  कला के लिए हॉपकिंस केंद्र  के डिजाइन में भी किया गया था।

प्रारंभिक शोध से संकेत मिलता है कि स्वर्ण युग के वायलिन की प्लेटों के कुछ अनुप्रस्थ मेहराबदार वक्रों को कर्टेट साइक्लॉयड वक्रों द्वारा बारीकी से तैयार किया गया है। बाद के काम से संकेत मिलता है कि कर्ट साइक्लोइड इन वक्रों के लिए सामान्य मॉडल के रूप में काम नहीं करते हैं, जो काफी भिन्न होता है।

यह भी देखें

 * साइक्लोगोन
 * चक्रवात गियर
 * आवधिक कार्यों की सूची
 * तौटोक्रोन वक्र

अग्रिम पठन

 * An application from physics: Ghatak, A. & Mahadevan, L. Crack street: the cycloidal wake of a cylinder tearing through a sheet. Physical Review Letters, 91, (2003). link.aps.org
 * Edward Kasner & James Newman (1940) Mathematics and the Imagination, pp 196–200, Simon & Schuster.

बाहरी संबंध

 * Retrieved April 27, 2007.
 * Cycloids at cut-the-knot
 * A Treatise on The Cycloid and all forms of Cycloidal Curves, monograph by Richard A. Proctor, B.A. posted by Cornell University Library.
 * Cycloid Curves by Sean Madsen with contributions by David von Seggern, Wolfram Demonstrations Project.
 * Cycloid on PlanetPTC (Mathcad)
 * A VISUAL Approach to CALCULUS problems by Tom Apostol
 * A VISUAL Approach to CALCULUS problems by Tom Apostol