यूक्लिडियन स्पेस

यूक्लिडियन अंतरिक्ष ज्यामिति का मूलभूत स्थान है, जिसका उद्देश्य भौतिक स्थान का प्रतिनिधित्व करना है। मूल रूप से, यूक्लिड के तत्वों में, यह यूक्लिडियन ज्यामिति का त्रि-आयामी स्थान था, लेकिन आधुनिक गणित में किसी भी सकारात्मक पूर्णांक आयाम के यूक्लिडियन स्थान हैं, जिसमें त्रि-आयामी अंतरिक्ष और यूक्लिडीय अंतरिक्ष (आयाम दो) शामिल हैं। ). क्वालीफायर "यूक्लिडियन" का उपयोग यूक्लिडियन रिक्त स्थान को अन्य रिक्त स्थान से अलग करने के लिए किया जाता है जिसे बाद में भौतिकी और आधुनिक गणित में माना जाता था।

प्राचीन ग्रीक जियोमीटर ने भौतिक स्थान के मॉडलिंग के लिए यूक्लिडियन स्थान का परिचय दिया। उनके काम को प्राचीन ग्रीक गणितज्ञ यूक्लिड ने अपने तत्वों में एकत्र किया था, अंतरिक्ष के सभी गुणों को प्रमेय के रूप में सिद्ध करने के महान नवाचार के साथ, कुछ मौलिक गुणों से शुरू करके, जिन्हें अभिधारणा कहा जाता है, जिन्हें या तो स्पष्ट माना जाता था (के लिए) उदाहरण के लिए, दो बिंदुओं से होकर गुजरने वाली बिल्कुल एक सीधी रेखा है), या सिद्ध करना असंभव प्रतीत होता है (समानांतर अभिधारणा)।

19वीं शताब्दी के अंत में गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की शुरुआत के बाद, स्वयंसिद्ध सिद्धांत के माध्यम से यूक्लिडियन रिक्त स्थान को परिभाषित करने के लिए पुराने अभिधारणाओं को फिर से औपचारिक रूप दिया गया। वेक्टर रिक्त स्थान और रैखिक बीजगणित के माध्यम से यूक्लिडियन रिक्त स्थान की एक अन्य परिभाषा को स्वयंसिद्ध परिभाषा के समतुल्य दिखाया गया है। यह वह परिभाषा है जो आधुनिक गणित में अधिक सामान्यतः उपयोग की जाती है, और इस लेख में विस्तृत है। सभी परिभाषाओं में, यूक्लिडियन रिक्त स्थान में बिंदु होते हैं, जो केवल उन गुणों से परिभाषित होते हैं जो यूक्लिडियन स्थान बनाने के लिए उनके पास होने चाहिए।

अनिवार्य रूप से प्रत्येक आयाम का केवल एक यूक्लिडियन स्थान होता है; अर्थात्, किसी दिए गए आयाम के सभी यूक्लिडियन स्थान तुल्याकारी होते हैं। इसलिए, कई मामलों में, एक विशिष्ट यूक्लिडियन स्पेस के साथ काम करना संभव है, जो आम तौर पर वास्तविक $n$-अंतरिक्ष है $$\R^n,$$ बिंदु गुणन से सुसज्जित है। यूक्लिडियन स्पेस से $$\R^n$$ के लिए एक आइसोमोर्फिज़्म प्रत्येक बिंदु के साथ वास्तविक संख्याओं का एक $n$-ट्यूपल संबद्ध करता है जो यूक्लिडियन स्पेस में उस बिंदु का पता लगाते हैं और हैं उस बिंदु के कार्तीय निर्देशांक कहलाते हैं।

परिभाषा का इतिहास
यूक्लिडियन अंतरिक्ष को प्राचीन यूनानियों द्वारा हमारे भौतिक स्थान के एक अमूर्त के रूप में पेश किया गया था। यूक्लिड के तत्वों में दिखाई देने वाला उनका महान नवाचार कुछ बहुत ही बुनियादी गुणों से शुरू करके सभी ज्यामिति का निर्माण और सिद्ध करना था, जो भौतिक दुनिया से अलग हैं, और अधिक बुनियादी उपकरणों की कमी के कारण गणितीय रूप से सिद्ध नहीं किया जा सकता है। इन गुणों को आधुनिक भाषा में अभिगृहीत या स्वयंसिद्ध कहा जाता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष को परिभाषित करने का यह तरीका अभी भी सिंथेटिक ज्यामिति के नाम से प्रयोग में है।

1637 में, रेने डेसकार्टेस ने कार्टेशियन निर्देशांक पेश किए और दिखाया कि यह संख्याओं के साथ बीजगणितीय संगणनाओं के लिए ज्यामितीय समस्याओं को कम करने की अनुमति देता है। बीजगणित में ज्यामिति की यह कमी दृष्टिकोण में एक बड़ा बदलाव था, क्योंकि तब तक, वास्तविक संख्याएं लंबाई और दूरी के संदर्भ में परिभाषित की जाती थीं।

19वीं शताब्दी तक यूक्लिडियन ज्यामिति को तीन से अधिक आयाम वाले स्थानों में लागू नहीं किया गया था। लुडविग श्लाफली ने सिंथेटिक और बीजगणितीय दोनों तरीकों का उपयोग करते हुए आयाम $n$ के रिक्त स्थान के लिए यूक्लिडियन ज्यामिति को सामान्यीकृत किया, और सभी नियमित बहुफलक (प्लेटोनिक ठोस के उच्च-आयामी अनुरूप) की खोज की जो किसी भी आयाम के यूक्लिडियन रिक्त स्थान में मौजूद हैं।

डेसकार्टेस के दृष्टिकोण के व्यापक उपयोग के बावजूद, जिसे विश्लेषणात्मक ज्यामिति कहा जाता था, यूक्लिडियन अंतरिक्ष की परिभाषा 19वीं सदी के अंत तक अपरिवर्तित रही। सार वेक्टर रिक्त स्थान की शुरूआत ने यूक्लिडियन रिक्त स्थान को विशुद्ध रूप से बीजगणितीय परिभाषा के साथ परिभाषित करने में उनके उपयोग की अनुमति दी। इस नई परिभाषा को ज्यामितीय स्वयंसिद्धों के संदर्भ में शास्त्रीय परिभाषा के समकक्ष दिखाया गया है। यह बीजगणितीय परिभाषा है जो अब यूक्लिडियन रिक्त स्थान को प्रस्तुत करने के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाती है।

आधुनिक परिभाषा की प्रेरणा
यूक्लिडियन विमान के बारे में सोचने का एक तरीका बिंदुओं के एक समुच्चय के रूप में है जो कुछ संबंधों को संतुष्ट करता है, जिसे दूरी और कोणों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, विमान पर दो मौलिक संचालन (गति के रूप में संदर्भित) होते हैं। एक अनुवाद है, जिसका अर्थ है विमान का स्थानांतरण ताकि हर बिंदु एक ही दिशा में और समान दूरी से स्थानांतरित हो। दूसरा विमान में एक निश्चित बिंदु के चारों ओर घूमना है, जिसमें विमान के सभी बिंदु एक ही कोण से उस निश्चित बिंदु के चारों ओर घूमते हैं। यूक्लिडियन ज्यामिति के मूल सिद्धांतों में से एक यह है कि विमान के दो आंकड़े (आमतौर पर उपसमुच्चय के रूप में माने जाते हैं) को समतुल्य (सर्वांगसम) माना जाना चाहिए, यदि एक को अनुवाद, घुमाव और प्रतिबिंब के कुछ अनुक्रम द्वारा दूसरे में रूपांतरित किया जा सकता है (नीचे देखें)।

इन सभी को गणितीय रूप से सटीक बनाने के लिए, सिद्धांत को स्पष्ट रूप से परिभाषित करना चाहिए कि यूक्लिडियन स्थान क्या है, और दूरी, कोण, अनुवाद और रोटेशन की संबंधित धारणाएँ क्या हैं। भौतिक सिद्धांतों में उपयोग किए जाने पर भी, यूक्लिडियन स्थान वास्तविक भौतिक स्थानों, विशिष्ट संदर्भ फ़्रेमों, माप उपकरणों, और इसी तरह से अलग एक अमूर्त है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष की विशुद्ध रूप से गणितीय परिभाषा भी लंबाई और अन्य भौतिक विमाओं की इकाइयों के प्रश्नों की उपेक्षा करती है: "गणितीय" स्थान में दूरी एक संख्या है, इंच या मीटर में व्यक्त कुछ नहीं।

यूक्लिडियन स्थान को गणितीय रूप से परिभाषित करने का मानक तरीका, जैसा कि इस लेख के शेष भाग में किया गया है, बिंदुओं के एक सेट के रूप में है, जिस पर एक वास्तविक सदिश अंतरिक्ष कार्य करता है, अनुवाद का स्थान जो एक आंतरिक गुणन से सुसज्जित है। अनुवाद की क्रिया अंतरिक्ष को एक समृद्ध स्थान बनाती है, और यह रेखाओं, विमानों, उप-स्थानों, आयाम और समानता को परिभाषित करने की अनुमति देती है। आंतरिक उत्पाद दूरी और कोणों को परिभाषित करने की अनुमति देता है।

सेट $$\R^n$$ वास्तविक संख्याओं के $n$-ट्यूपल का बिंदु गुणन से सुसज्जित आयाम $n$ का एक यूक्लिडियन स्थान है। इसके विपरीत, एक बिंदु का चुनाव जिसे उत्पत्ति कहा जाता है और अनुवाद के स्थान का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार आयाम $n$ और $$\R^n$$को यूक्लिडियन स्थान के रूप में देखा गया।

इससे पता चलता है कि यूक्लिडियन स्पेस के बारे में जो कुछ भी कहा जा सकता है, वह $$\R^n$$ के बारे में भी कहा जा सकता है। इसलिए, कई लेखक, विशेष रूप से प्रारंभिक स्तर पर, $$\R^n$$ को आयाम $n$ का मानक यूक्लिडियन स्थान कहते हैं, या केवल यूक्लिडियन स्थान आयाम $n$।

$$\R^n$$ के बजाय इसके साथ काम करने के लिए यूक्लिडियन स्पेस की ऐसी अमूर्त परिभाषा पेश करने का एक कारण यह है कि इसमें काम करना अक्सर बेहतर होता है एक समन्वय-मुक्त और मूल-मुक्त तरीका (यानी, पसंदीदा आधार और पसंदीदा मूल को चुने बिना)। दूसरा कारण यह है कि भौतिक संसार में न तो कोई उत्पत्ति है और न ही कोई आधार।

तकनीकी परिभाषा
एक यूक्लिडियन सदिश स्थान वास्तविक संख्याओं पर एक परिमित-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान है।

एक यूक्लिडियन स्पेस रियल के ऊपर एक एफाइन स्पेस है जैसे कि संबद्ध वेक्टर स्पेस एक यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस है। यूक्लिडियन रिक्त स्थान को कभी-कभी यूक्लिडियन सदिश स्थान से अलग करने के लिए यूक्लिडियन एफाइन स्थान कहा जाता है।

यदि $E$ एक यूक्लिडियन स्पेस है, तो इससे जुड़ी वेक्टर स्पेस (यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस) को अक्सर $$\overrightarrow E$$ के रूप में दर्शाया जाता है।} यूक्लिडियन स्पेस का आयाम है इसके संबंधित वेक्टर अंतरिक्ष का आयाम।

$E$ के तत्वों को बिंदु कहा जाता है और आमतौर पर बड़े अक्षरों द्वारा निरूपित किया जाता है। $$\overrightarrow E$$ के तत्वों को यूक्लिडियन वैक्टर या फ्री वैक्टर कहा जाता है। उन्हें अनुवाद भी कहा जाता है, हालांकि, ठीक से बोलते हुए, एक अनुवाद यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर यूक्लिडियन वेक्टर की समूह क्रिया के परिणामस्वरूप ज्यामितीय परिवर्तन होता है।

एक बिंदु $P$ पर अनुवाद $v$ की क्रिया एक बिंदु प्रदान करती है जिसे $P + v$ के रूप में निरूपित किया जाता है। यह क्रिया संतुष्ट करती है$$P+(v+w)= (P+v)+w.$$नोट: दूसरा $+$ बाईं ओर एक सदिश जोड़ है; अन्य सभी $+$ एक बिंदु पर एक सदिश की क्रिया को निरूपित करते हैं। यह संकेतन अस्पष्ट नहीं है, क्योंकि, $+$ के दो अर्थों के बीच अंतर करने के लिए, यह इसके वाम तर्क की प्रकृति को देखने के लिए पर्याप्त है।

तथ्य यह है कि क्रिया स्वतंत्र और सकर्मक है, इसका अर्थ है कि बिंदुओं के प्रत्येक जोड़े $(P, Q)$ के लिए ठीक एक सदिश $v$ है जैसे कि $P + v = Q$। इस सदिश $v$ को $Q − P$ या $$\overrightarrow {PQ}.$$

जैसा कि पहले बताया गया है, यूक्लिडियन रिक्त स्थान के कुछ मूल गुण परिशोधित स्थान की संरचना का परिणाम हैं। वे और उसके उपखंडों में वर्णित हैं। आंतरिक उत्पाद से उत्पन्न गुणों को  और उसके उपखंडों में समझाया गया है।

आद्य उदाहरण
किसी भी सदिश समष्टि के लिए, योग सदिश समष्टि पर स्वतंत्र रूप से और सकर्मक रूप से कार्य करता है। इस प्रकार एक यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस को एक यूक्लिडियन स्पेस के रूप में देखा जा सकता है जो स्वयं संबंधित वेक्टर स्पेस के रूप में है।

यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस का एक विशिष्ट मामला है एक आंतरिक उत्पाद के रूप में डॉट उत्पाद से लैस वेक्टर स्पेस के रूप में देखा जाता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के इस विशेष उदाहरण का महत्व इस तथ्य में निहित है कि प्रत्येक यूक्लिडियन स्थान इसके लिए समरूपता है। अधिक सटीक रूप से, एक यूक्लिडियन स्थान दिया गया  आयाम का, एक बिंदु का चुनाव, जिसे मूल कहा जाता है और का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार  यूक्लिडियन रिक्त स्थान के एक समरूपता को परिभाषित करता है  प्रति

यूक्लिडियन सदिश स्थान का एक विशिष्ट मामला है $$\R^n$$ को सदिश स्थान के रूप में देखा जाता है, जिसमें एक आंतरिक उत्पाद के रूप में डॉट उत्पाद होता है। यूक्लिडियन स्थान के इस विशेष उदाहरण का महत्व इस तथ्य में निहित है कि प्रत्येक यूक्लिडियन स्थान इसके लिए समरूप है। अधिक सटीक रूप से, आयाम $n$ का एक यूक्लिडियन स्थान $E$ दिया गया है, एक बिंदु का चुनाव, जिसे मूल कहा जाता है और $$\overrightarrow E$$ का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार परिभाषित करता है $E$ से $$\R^n$$ तक यूक्लिडियन रिक्त स्थान की समरूपता।

चूंकि आयाम $n$ का प्रत्येक यूक्लिडियन स्थान इसके लिए समरूप है, यूक्लिडियन स्थान $$\R^n$$ को कभी-कभी आयाम $n$ का मानक यूक्लिडियन स्थान कहा जाता है।

एफाइन संरचना
यूक्लिडियन रिक्त स्थान के कुछ मूल गुण केवल इस तथ्य पर निर्भर करते हैं कि एक यूक्लिडियन स्थान एक सजातीय स्थान है। उन्हें affine गुण कहा जाता है और इसमें रेखाओं, उप-स्थानों और समानता की अवधारणाएं शामिल होती हैं, जो अगले उपखंडों में विस्तृत हैं।

उप-स्थान
मान लीजिए $E$ एक यूक्लिडियन स्पेस और $$\overrightarrow E$$ इससे जुड़ी वेक्टर स्पेस है।

$E$ का एक फ्लैट, यूक्लिडियन सबस्पेस या एफाइन सबस्पेस $E$ का एक सबसेट $F$ है जैसे कि$$\overrightarrow F = \left\{\overrightarrow {PQ}\mid P\in F, Q\in F \right\}$$क्योंकि $F$ की संबद्ध सदिश समष्टि $$\overrightarrow E$$ की एक रेखीय उप-समष्टि (वेक्टर उप-समष्टि) है। $$\overrightarrow F$$ $F$ संबंधित सदिश स्थान के रूप में। इस लीनियर सबस्पेस {\displaystyle {\overrightarrow {F}}}\overrightarrow F को $F$ की दिशा भी कहा जाता है।

यदि $P$ का एक बिंदु है $F$ फिर

$$F = \left\{P+v \mid v\in \overrightarrow F \right\}.$$ इसके विपरीत यदि $P$ का एक बिंदु है $E$ तथा $$\overrightarrow V$$ का एक रैखिक उप-समष्टि है $$\overrightarrow E,$$ फिर

$$P + V = \left\{P + v \mid v\in V \right\}$$ दिशा का एक यूक्लिडियन उप-स्थान है $$\overrightarrow V$$. (इस उप-समष्टि का संबद्ध सदिश समष्टि है $$\overrightarrow V$$।)

एक यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस $$\overrightarrow E$$ (यानी, एक यूक्लिडियन स्पेस जो $$\overrightarrow E$$ के बराबर है में दो प्रकार के सबस्पेस होते हैं: इसका यूक्लिडियन सबस्पेस और इसका लीनियर सबस्पेस। रैखिक उप-स्थान यूक्लिडियन उप-स्थान हैं और एक यूक्लिडियन उप-स्थान एक रैखिक उप-स्थान है यदि और केवल यदि इसमें शून्य वेक्टर शामिल है।

रेखाएं और खंड
यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, एक रेखा एक आयाम का यूक्लिडियन उप-स्थान है। चूँकि आयाम एक का सदिश स्थान किसी भी अशून्य वेक्टर द्वारा फैला हुआ है, एक रेखा रूप का एक सेट है

$$\left\{P + \lambda \overrightarrow{PQ} \mid \lambda \in \R \right\},$$ जहाँ $P$ तथा $Q$ रेखा के एक भाग के रूप में यूक्लिडियन अंतरिक्ष के दो अलग-अलग बिंदु हैं।

यह इस प्रकार है कि वास्तव में एक रेखा है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से गुजरती है (इसमें शामिल है)। इसका तात्पर्य है कि दो अलग-अलग रेखाएँ अधिकतम एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

$P$ तथा $Q$ से गुजरने वाली रेखा का अधिक सममित निरूपण है$$\left\{O + (1-\lambda)\overrightarrow{OP} + \lambda \overrightarrow{OQ} \mid \lambda \in \R \right\},$$जहाँ $O$ एक स्वेच्छ बिंदु है (रेखा पर आवश्यक नहीं)।

एक यूक्लिडियन सदिश समष्टि में, $O$ के लिए आमतौर पर शून्य सदिश चुना जाता है; यह पिछले सूत्र को सरल बनाने की अनुमति देता है$$\left\{(1-\lambda) P + \lambda Q \mid \lambda \in \R\right\}.$$एक मानक परिपाटी प्रत्येक यूक्लिडियन स्थान में इस सूत्र का उपयोग करने की अनुमति देती है, देखें।

बिंदु $P$ और $Q$ को मिलाने वाला रेखा खंड, या केवल खंड, पिछले सूत्रों में $0 ≤ 𝜆 ≤ 1$ जैसे बिंदुओं का उपसमुच्चय है। इसे $PQ$ या $QP$ निरूपित किया जाता है; वह है$$PQ = QP = \left\{P+\lambda \overrightarrow{PQ} \mid 0 \le \lambda \le 1\right\}.$$

समानांतरवाद
एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक ही आयाम के दो उपस्थान $S$ और $T$ समानांतर हैं यदि उनके पास एक ही दिशा है (यानी, एक ही संबंधित वेक्टर स्पेस)। समतुल्य रूप से, वे समानांतर हैं, यदि कोई अनुवाद वेक्टर $v$ है जो एक दूसरे को मैप करता है: $$T= S+v.$$एक बिंदु P और एक उप-स्थान S दिया गया है, ठीक एक उप-स्थान मौजूद है जिसमें $P$ शामिल है और $S$ के समानांतर है, जो कि $$P + \overrightarrow S$$ उस स्थिति में जहाँ $S$ एक रेखा है (आयाम एक की उपसमष्टि), यह गुण Playfair का स्वयंसिद्ध है।

यह इस प्रकार है कि एक यूक्लिडियन विमान में, दो रेखाएँ या तो एक बिंदु पर मिलती हैं या समानांतर होती हैं।

समांतर उप-स्थानों की अवधारणा को विभिन्न आयामों के उप-स्थानों तक विस्तारित किया गया है: दो उप-स्थान समानांतर हैं यदि उनमें से एक की दिशा दूसरे की दिशा में निहित है।

मीट्रिक संरचना
सदिश अंतरिक्ष $$\overrightarrow E$$ एक यूक्लिडियन स्थान $E$ से संबद्ध एक आंतरिक उत्पाद स्थान है। इसका तात्पर्य एक सममित द्विरेखीय रूप से है$$\begin{align} \overrightarrow E \times \overrightarrow E &\to \R\\ (x,y)&\mapsto \langle x,y \rangle \end{align}$$यह धनात्मक निश्चित है (अर्थात $$\langle x,x \rangle$$ के लिए सदैव सकारात्मक रहता है $x ≠ 0$).

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के आंतरिक उत्पाद को अक्सर डॉट उत्पाद कहा जाता है और $x ⋅ y$ को निरूपित किया जाता है। यह विशेष रूप से मामला है जब एक कार्तीय समन्वय प्रणाली को चुना गया है, जैसा कि, इस मामले में, दो वैक्टरों का आंतरिक उत्पाद उनके समन्वय वैक्टरों का डॉट उत्पाद है। इस कारण से, और ऐतिहासिक कारणों से, यूक्लिडियन रिक्त स्थान के आंतरिक उत्पाद के लिए ब्रैकेट नोटेशन की तुलना में डॉट नोटेशन का अधिक सामान्य रूप से उपयोग किया जाता है। यह लेख इस प्रयोग का अनुसरण करेगा; अर्थात $$\langle x,y \rangle$$ को इस लेख के शेष भाग में $x ⋅ y$ के रूप में दर्शाया जाएगा।

सदिश $x$ का यूक्लिडियन मानदंड है$$\|x\| = \sqrt {x \cdot x}.$$आंतरिक उत्पाद और मानदंड यूक्लिडियन ज्यामिति के मीट्रिक और सांस्थितीय गुणों को व्यक्त करने और सिद्ध करने की अनुमति देता है। अगला उपखंड सबसे मौलिक का वर्णन करता है। इन उपखंडों में, $E$ एक मनमाने ढंग से यूक्लिडियन स्थान को दर्शाता है, और $$\overrightarrow E$$ अनुवाद के अपने वेक्टर स्थान को दर्शाता है।

दूरी और लंबाई
यूक्लिडियन अंतरिक्ष के दो बिंदुओं के बीच की दूरी (अधिक सटीक रूप से यूक्लिडियन दूरी) अनुवाद वेक्टर का मानदंड है जो एक बिंदु को दूसरे बिंदु पर मैप करता है; वह है$$d(P,Q) = \Bigl\|\overrightarrow {PQ}\vphantom{\frac|{}}\Bigr\|.$$एक खंड $PQ$ की लंबाई उसके अंतिम बिंदुओं के बीच की दूरी $d(P, Q)$ है। इसे अक्सर $$|PQ|$$ के रूप में दर्शाया जाता है।

दूरी एक मीट्रिक है, क्योंकि यह सकारात्मक निश्चित, सममित है और त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करती है$$d(P,Q)\le d(P,R) + d(R, Q).$$इसके अलावा, समानता सही है अगर और केवल अगर $R$ खंड $PQ$ से संबंधित है। इस असमानता का अर्थ है कि त्रिभुज के किसी किनारे की लंबाई अन्य किनारों की लंबाई के योग से छोटी है। यह त्रिभुज असमानता शब्द की उत्पत्ति है।

यूक्लिडियन दूरी के साथ, प्रत्येक यूक्लिडियन स्थान एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है।

लम्बता
$$\overrightarrow E$$ के दो गैर-शून्य वैक्टर $u$ और $v$ लंबवत या ओर्थोगोनल हैं यदि उनका आंतरिक उत्पाद शून्य है:$$ u \cdot v =0$$$$\overrightarrow E$$ के दो रेखीय उपस्थान ओर्थोगोनल होते हैं यदि पहले वाले का प्रत्येक शून्येतर वेक्टर दूसरे के प्रत्येक शून्येतर वेक्टर के लंबवत हो। इसका तात्पर्य यह है कि रैखिक उपसमष्टि का प्रतिच्छेदन शून्य सदिश तक कम हो जाता है।

दो रेखाएं, और अधिक आम तौर पर दो यूक्लिडियन उप-स्थान ओर्थोगोनल हैं यदि उनकी दिशा ओर्थोगोनल है। दो ओर्थोगोनल रेखाएँ जो प्रतिच्छेद करती हैं, लंब कहलाती हैं।

दो खंड $AB$ और $AC$ जो एक सामान्य समापन बिंदु साझा करते हैं, लंबवत हैं या एक समकोण बनाते हैं यदि वेक्टर $$\overrightarrow {AB}$$ और $$\overrightarrow {AC}$$ ओर्थोगोनल हैं।

यदि $AB$ और $AC$ एक समकोण बनाते हैं, तो एक के पास होता है$$|BC|^2 = |AB|^2 + |AC|^2.$$यह पाइथागोरस प्रमेय है। इस संदर्भ में इसका प्रमाण आसान है, जैसा कि आंतरिक उत्पाद के संदर्भ में इसे व्यक्त करते हुए, आंतरिक उत्पाद की समरूपता और समरूपता का उपयोग करते हुए:$$\begin{align} &=\left(\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AC}\right ) \cdot \left(\overrightarrow {BA}+\overrightarrow {AC}\right)\\ &=\overrightarrow {BA}\cdot \overrightarrow {BA}+ \overrightarrow {AC}\cdot \overrightarrow {AC} -2 \overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AC}\\ &=\overrightarrow {AB}\cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC}\cdot\overrightarrow {AC}\\ &=|AB|^2 + |AC|^2. \end{align}$$
 * BC|^2 &= \overrightarrow {BC}\cdot \overrightarrow {BC}\\

कोण
$$\overrightarrow E$$ में दो अशून्य सदिशों $x$ और $y$ के बीच (गैर-उन्मुख) कोण $θ$ है

$$\theta = \arccos\left(\frac{x\cdot y}{\left\|x\right\| \left\|y\right\|}\right)$$जहां $arccos$, आर्ककोज्या फलन का मुख्य मान है। कॉची-श्वार्ज असमानता के अनुसार चापकोज्या का तर्क अंतराल $[−1, 1]$ में है। इसलिए $θ$ वास्तविक है, और $0 ≤ θ ≤ π$ (या $0 ≤ θ ≤ 180$ यदि कोणों को डिग्री में मापा जाता है)।

यूक्लिडियन रेखा में कोण उपयोगी नहीं होते हैं, क्योंकि वे केवल 0 या $\pi$ हो सकते हैं।

एक उन्मुख यूक्लिडियन विमान में, दो सदिशों के उन्मुख कोण को परिभाषित किया जा सकता है। दो सदिशों $x$ और $y$ का उन्मुख कोण तब $y$ और $x$ के उन्मुख कोण के विपरीत होता है। इस स्थिति में, दो सदिशों के कोण का कोई भी मान हो सकता है जो $2π$ का एक पूर्णांक गुणांक हो। विशेष रूप से, एक प्रतिवर्ती कोण $π < θ < 2π$ ऋणात्मक कोण $−π < θ − 2π < 0$ के बराबर होता है।

यदि दो सदिशों को धनात्मक संख्याओं से गुणा किया जाए तो उनका कोण नहीं बदलता है। अधिक सटीक रूप से, यदि $x$ और $y$ दो सदिश हैं, और $λ$ और $μ$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो$$\operatorname{angle}(\lambda x, \mu y)= \begin{cases} \operatorname{angle}(x, y) \qquad\qquad \text{if } \lambda \text{ and } \mu \text{ have the same sign}\\ \pi - \operatorname{angle}(x, y)\qquad \text{otherwise}. \end{cases}$$यदि $A$, $B$, और $C$ एक यूक्लिडियन स्थान में तीन बिंदु हैं, तो $AB$ और $AC$ खंडों का कोण सदिशों का कोण है $$\overrightarrow {AB}$$ और $$\overrightarrow {AC}.$$ चूंकि धनात्मक संख्याओं द्वारा सदिशों के गुणन से कोण नहीं बदलता है, प्रारंभिक बिंदु के साथ दो अर्ध-रेखाओं का कोण $A$ को परिभाषित किया जा सकता है: यह खंडों $AB$ और $AC$ का कोण है, जहां $B$ और $C$ मनमाना बिंदु हैं, प्रत्येक अर्ध-रेखा पर एक। हालांकि यह कम उपयोग किया जाता है, इसी तरह खंडों या अर्ध-रेखाओं के कोण को परिभाषित किया जा सकता है जो प्रारंभिक बिंदुओं को साझा नहीं करते हैं।

दो रेखाओं के कोण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। यदि $θ$ दो खंडों का कोण है, प्रत्येक रेखा पर एक, तो किसी भी दो अन्य खंडों का कोण, प्रत्येक रेखा पर एक, या तो $θ$ या $π − θ$ है। इनमें से एक कोण अंतराल $[0, π/2]$ में है, और दूसरा $[π/2, π]$ में है। दो रेखाओं का गैर-उन्मुख कोण अंतराल $[0, π/2]$ में एक है। एक उन्मुख यूक्लिडियन विमान में, दो रेखाओं का उन्मुख कोण अंतराल $[−π/2, π/2]$ से संबंधित होता है।

कार्तीय निर्देशांक
प्रत्येक यूक्लिडियन सदिश स्थान का एक ओर्थोनॉर्मल आधार होता है (वास्तव में, अपरिमित रूप से एक से अधिक आयाम में और एक आयाम में दो), जो एक आधार है $$(e_1, \dots, e_n) $$ इकाई वेक्टर के ($$\|e_i\| = 1$$) जो जोड़ो में ओर्थोगोनल हैं ($$e_i\cdot e_j = 0$$ $i ≠ j$ के लिए)। अधिक सटीक रूप से, किसी भी आधार $$(b_1, \dots, b_n),$$ ग्राम-श्मिट प्रक्रिया की गणना करता है एक ऑर्थोनॉर्मल आधार जैसे कि, प्रत्येक $i$ के लिए, $$(e_1, \dots, e_i)$$ का रैखिक विस्तार और $$(b_1, \dots, b_i)$$ बराबर हैं।

एक यूक्लिडियन स्पेस $E$ दिया गया है, एक कार्टेशियन फ्रेम डेटा का एक सेट है जिसमें $$\overrightarrow E,$$ का ऑर्थोनॉर्मल आधार और E का एक बिंदु शामिल है। मूलबिंदु कहा जाता है और प्रायः $O$ को निरूपित करता है।

$E$ और $$\overrightarrow E$$ दोनों के लिए कार्तीय निर्देशांक को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित करने की अनुमति देता है। एक कार्तीय फ्रेम $$(O, e_1, \dots, e_n)$$ $E$ दोनों के लिए कार्तीय निर्देशांक परिभाषित करने की अनुमति देता है और $$\overrightarrow E,$$ निम्नलिखित तरीके से।

सदिश $v$ के कार्तीय निर्देशांक $$e_1, \dots, e_n.$$ के आधार पर $v$ के गुणांक हैं। आधार ऑर्थोनॉर्मल है, $i$वें गुणांक डॉट उत्पाद $$v\cdot e_i.$$ है

$E$ के बिंदु $P$ के कार्तीय निर्देशांक सदिश के कार्तीय निर्देशांक $$\overrightarrow {OP}.$$ हैं

अन्य निर्देशांक


जैसा कि यूक्लिडियन स्पेस एक एफ़िन स्पेस है, कोई उस पर एक एफाइन फ्रेम पर विचार कर सकता है, जो यूक्लिडियन फ्रेम के समान है, सिवाय इसके कि आधार को ऑर्थोनॉर्मल होने की आवश्यकता नहीं है। यह affine निर्देशांक को परिभाषित करता है, कभी-कभी इस बात पर बल देने के लिए तिरछा निर्देशांक कहा जाता है कि आधार वैक्टर जोड़ीदार ऑर्थोगोनल नहीं हैं।

आयाम $n$ के यूक्लिडियन स्थान का एक सजातीय आधार $n + 1$ बिंदुओं का एक सेट है जो एक हाइपरप्लेन में समाहित नहीं है। एक एफाइन आधार प्रत्येक बिंदु के लिए बैरीसेंट्रिक निर्देशांक परिभाषित करता है।

कई अन्य निर्देशांक प्रणालियों को निम्नलिखित तरीके से आयाम $n$ के यूक्लिडियन अंतरिक्ष $E$ पर परिभाषित किया जा सकता है। मान लीजिए $f$ एक समरूपता (या, अधिक बार, एक डिफियोमोर्फिज्म) है जो E के सघन खुले उपसमुच्चय से $$\R^n.$$ के खुले उपसमुच्चय में है। $E$ के बिंदु $x$ के निर्देशांक $f(x)$ के घटक हैं। ध्रुवीय निर्देशांक निकाय (आयाम 2) और गोलाकार निर्देशांक निकाय और बेलनाकार निर्देशांक निकाय (आयाम 3) को इस तरह परिभाषित किया गया है।

उन बिंदुओं के लिए जो $f$ के डोमेन के बाहर हैं, निर्देशांक को कभी-कभी पड़ोसी बिंदुओं के निर्देशांक की सीमा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन ये निर्देशांक विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं हो सकते हैं, और बिंदु के पड़ोस में निरंतर नहीं हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, गोलाकार समन्वय प्रणाली के लिए, देशांतर को ध्रुव पर परिभाषित नहीं किया गया है, और प्रतियाम्योत्तर (एंटीमैरीडियन) पर, देशांतर -180° से +180° तक लगातार गुजरता है।

निर्देशांक को परिभाषित करने का यह तरीका आसानी से अन्य गणितीय संरचनाओं तक और विशेष रूप से कई गुना तक फैला हुआ है।

आइसोमेट्री
दो मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच एक आइसोमेट्री दूरी को संरक्षित करने वाला एक आक्षेप है, अर्थात्$$d(f(x), f(y))= d(x,y).$$यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस के मामले में, एक आइसोमेट्री जो मूल को मूल से मैप करती है, मानक को संरक्षित करती है$$\|f(x)\| = \|x\|,$$चूँकि सदिश का मान शून्य सदिश से इसकी दूरी है। यह आंतरिक उत्पाद को भी संरक्षित करता है$$f(x)\cdot f(y)=x\cdot y,$$क्योंकि$$x \cdot y=\frac 1 2 \left(\|x+y\|^2-\|x\|^2-\|y\|^2\right).$$यूक्लिडियन वेक्टर रिक्त स्थान की एक आइसोमेट्री एक रैखिक समरूपता है।

यूक्लिडियन रिक्त स्थान की एक आइसोमेट्री $$f\colon E\to F$$ एक आइसोमेट्री परिभाषित करती है $$\overrightarrow f \colon \overrightarrow E \to \overrightarrow F$$से संबंधित यूक्लिडियन वेक्टर स्पेस। इसका तात्पर्य है कि दो आइसोमेट्रिक यूक्लिडियन रिक्त स्थान समान आयाम वाले हैं। इसके विपरीत, यदि $f$ और $E$ यूक्लिडियन रिक्त स्थान हैं, तो $O ∈ E$, $O' ∈ F$, और $$\overrightarrow f\colon \overrightarrow E\to \overrightarrow F$$ एक आइसोमेट्री है, तो मैप $$f\colon E\to F$$ द्वारा परिभाषित$$f(P)=O' + \overrightarrow f\left(\overrightarrow{OP}\right)$$यूक्लिडियन रिक्त स्थान का एक आइसोमेट्री है।

यह पूर्ववर्ती परिणामों से अनुसरण करता है कि यूक्लिडियन रिक्त स्थान की एक आइसोमेट्री लाइनों को लाइनों में मैप करती है, और अधिक सामान्यतः यूक्लिडियन उप-स्थानों को समान आयाम के यूक्लिडियन उप-स्थानों के लिए, और यह कि इन उप-स्थानों पर आइसोमेट्री का प्रतिबंध इन उप-स्थानों के आइसोमेट्री हैं।

प्रोटोटाइपिक उदाहरणों के साथ आइसोमेट्री
अगर $F$ एक यूक्लिडियन स्पेस है, तो इससे जुड़ी वेक्टर स्पेस $$\overrightarrow E$$ को यूक्लिडियन स्पेस माना जा सकता है। हर बिंदु $O ∈ E$ यूक्लिडियन रिक्त स्थान की एक आइसोमेट्री को परिभाषित करता है$$P\mapsto \overrightarrow {OP},$$जो $E$ को शून्य वेक्टर पर मैप करता है और संबंधित रैखिक मानचित्र के रूप में पहचान रखता है। उलटा आइसोमेट्री नक्शा है$$v\mapsto O+v.$$एक यूक्लिडियन फ्रेम $O$ मानचित्र को परिभाषित करने की अनुमति देता है$$\begin{align} E&\to \R^n\\ P&\mapsto \left(e_1\cdot \overrightarrow {OP}, \dots, e_n\cdot\overrightarrow {OP}\right), \end{align}$$जो यूक्लिडियन रिक्त स्थान का एक आइसोमेट्री है। उलटा आइसोमेट्री है$$\begin{align} \R^n&\to E \\ (x_1\dots, x_n)&\mapsto \left(O+x_1e_1+ \dots + x_ne_n\right). \end{align}$$इसका मतलब यह है कि, एक तुल्याकारिता तक, दिए गए आयाम का ठीक एक यूक्लिडियन स्थान होता है।

यह इस बात को सही ठहराता है कि कई लेखक $$\R^n$$ आयाम $(O, e_1, \dots, e_n)$ के यूक्लिडियन स्थान के रूप में बात करते हैं।

यूक्लिडियन समूह
यूक्लिडियन अंतरिक्ष से स्वयं पर एक आइसोमेट्री को यूक्लिडियन आइसोमेट्री, यूक्लिडियन परिवर्तन या कठोर परिवर्तन कहा जाता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष के कठोर परिवर्तन एक समूह (रचना के तहत) बनाते हैं, जिसे यूक्लिडियन समूह कहा जाता है और प्रायः $ISO(n)$ के $E(n)$ को निरूपित किया जाता है।

सबसे सरल यूक्लिडियन रूपांतरण अनुवाद हैं$$P \to P+v.$$वे वैक्टर के साथ विशेषण पत्राचार में हैं। अनुवाद के स्थान को यूक्लिडियन स्थान से जुड़ा सदिश स्थान कहने का यह एक कारण है। अनुवाद यूक्लिडियन समूह का एक सामान्य उपसमूह बनाते हैं।

यूक्लिडियन स्पेस $n$ का एक यूक्लिडियन आइसोमेट्री $E$ संबंधित वेक्टर स्पेस के रैखिक आइसोमेट्री $$\overrightarrow f$$ को परिभाषित करता है (रैखिक आइसोमेट्री द्वारा, इसका मतलब एक आइसोमेट्री है वह भी एक रेखीय नक्शा है) निम्नलिखित तरीके से: $Q – P$ द्वारा वेक्टर $$\overrightarrow {PQ}$$, यदि $f$, $O$ का एक मनमाना बिंदु है, किसी के पास$$\overrightarrow f(\overrightarrow {OP})= f(P)-f(O).$$यह सिद्ध करना सीधा है कि यह एक रेखीय नक्शा है जो $E$ की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

नक्शा $$f \to \overrightarrow f$$यूक्लिडियन समूह से लीनियर आइसोमेट्री के समूह पर एक समूह समरूपता है, जिसे ऑर्थोगोनल समूह कहा जाता है। इस समरूपता का मूल अनुवाद समूह है, जो दर्शाता है कि यह यूक्लिडियन समूह का एक सामान्य उपसमूह है।

आइसोमेट्रीज़ जो किसी दिए गए बिंदु $O.$ को ठीक करती हैं, $P$ के संबंध में यूक्लिडियन समूह के स्टेबलाइजर उपसमूह का निर्माण करती हैं। उपरोक्त समूह समरूपता के इस स्टेबलाइज़र के लिए प्रतिबंध एक समरूपता है। तो आइसोमेट्री जो किसी दिए गए बिंदु को ठीक करती हैं, ऑर्थोगोनल समूह के लिए एक आइसोमोर्फिक समूह बनाती हैं।

मान लीजिए कि $P$ एक बिंदु है, $P$ एक आइसोमेट्री है, और $f$ अनुवाद है जो $t$ को $f(P)$ में मैप करता है। आइसोमेट्री $$g=t^{-1}\circ f$$ $P$ को ठीक करती है। इसलिए $$f= t\circ g,$$ और यूक्लिडियन समूह अनुवाद समूह और ऑर्थोगोनल समूह का अर्ध-प्रत्यक्ष गुणन है।

विशेष ऑर्थोगोनल समूह ओर्थोगोनल समूह का सामान्य उपसमूह होता है जो अभिविन्यास को बनाए रखता है। यह ओर्थोगोनल समूह के सूचकांक दो का एक उपसमूह है। समूह समरूपता $$f \to \overrightarrow f$$ द्वारा इसकी उलटी छवि यूक्लिडियन समूह के सूचकांक दो का एक सामान्य उपसमूह है, जिसे कहा जाता है विशेष यूक्लिडियन समूह या विस्थापन समूह। इसके तत्वों को कठोर गति या विस्थापन कहा जाता है।

दृढ गतियों में पहचान, अनुवाद, घुमाव (कठोर गति जो कम से कम एक बिंदु को ठीक करती है), और पेंच गति भी शामिल हैं।

कठोर परिवर्तनों के विशिष्ट उदाहरण जो कठोर गति नहीं हैं, प्रतिबिंब हैं, जो कठोर परिवर्तन हैं जो हाइपरप्लेन को ठीक करते हैं और पहचान नहीं हैं। वे कुछ यूक्लिडियन फ्रेम पर एक समन्वय के चिह्न को बदलने में शामिल परिवर्तन भी हैं।

जैसा कि विशेष यूक्लिडियन समूह यूक्लिडियन समूह के सूचकांक दो का एक उपसमूह है, एक प्रतिबिंब r दिया गया है, प्रत्येक कठोर परिवर्तन जो कठोर गति नहीं है, r और कठोर गति का उत्पाद है। ग्लाइड रिफ्लेक्शन एक कठोर परिवर्तन का एक उदाहरण है जो कठोर गति या प्रतिबिंब नहीं है।

इस खंड में जिन सभी समूहों पर विचार किया गया है, वे झूठ समूह और बीजगणितीय समूह हैं।

टोपोलॉजी
यूक्लिडियन दूरी एक यूक्लिडियन स्थान को एक मीट्रिक स्थान बनाती है, और इस प्रकार एक स्थलीय स्थान बनाती है। इस टोपोलॉजी को यूक्लिडियन टोपोलॉजी कहा जाता है। $$\mathbb R^n,$$ के मामले में, यह टोपोलॉजी भी उत्पाद टोपोलॉजी है।

खुले सेट वे उपसमुच्चय होते हैं जिनमें उनके प्रत्येक बिंदु के चारों ओर एक खुली गेंद होती है। दूसरे शब्दों में, खुली गेंदें टोपोलॉजी का आधार बनाती हैं।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष का सामयिक आयाम इसके आयाम के बराबर है। इसका तात्पर्य है कि विभिन्न आयामों के यूक्लिडियन स्थान होमोमोर्फिक नहीं हैं। इसके अलावा, डोमेन के निश्चरता के प्रमेय का दावा है कि एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष का एक उपसमुच्चय खुला है (उप-स्थान टोपोलॉजी के लिए) अगर और केवल अगर यह समान आयाम के यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक खुले उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक है।

यूक्लिडियन स्थान पूर्ण और स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हैं। अर्थात्, यूक्लिडियन स्थान का एक बंद उपसमुच्चय कॉम्पैक्ट होता है यदि यह घिरा हुआ है (अर्थात, एक गेंद में समाहित है)। विशेष रूप से, बंद गेंदें कॉम्पैक्ट होती हैं।

स्वयंसिद्ध परिभाषाएँ
इस आलेख में वर्णित यूक्लिडियन रिक्त स्थान की परिभाषा मौलिक रूप से यूक्लिड की परिभाषा से भिन्न है। वास्तव में, यूक्लिड ने औपचारिक रूप से अंतरिक्ष को परिभाषित नहीं किया, क्योंकि यह भौतिक दुनिया के वर्णन के रूप में सोचा गया था जो मानव मन से स्वतंत्र रूप से मौजूद है। एक औपचारिक परिभाषा की आवश्यकता केवल 19वीं शताब्दी के अंत में गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की शुरूआत के साथ दिखाई दी।

दो अलग-अलग तरीकों का इस्तेमाल किया गया है। फेलिक्स क्लेन ने ज्यामिति को उनकी सममितियों के माध्यम से परिभाषित करने का सुझाव दिया। इस आलेख में दी गई यूक्लिडियन रिक्त स्थान की प्रस्तुति अनिवार्य रूप से उनके एरलांगेन कार्यक्रम से जारी की गई है, जिसमें अनुवाद और आइसोमेट्री के समूहों पर जोर दिया गया है।

दूसरी ओर, डेविड हिल्बर्ट ने यूक्लिड की अभिधारणाओं से प्रेरित होकर स्वयंसिद्धों का एक समूह प्रस्तावित किया। वे सिंथेटिक ज्यामिति से संबंधित हैं, क्योंकि उनमें वास्तविक संख्याओं की कोई परिभाषा शामिल नहीं है। बाद में जी.डी. बिरखॉफ और अल्फ्रेड टार्स्की ने स्वयंसिद्धों के सरल सेट प्रस्तावित किए, जो वास्तविक संख्याओं का उपयोग करते हैं (देखें बिरखॉफ के स्वयंसिद्ध और टार्स्की के स्वयंसिद्ध)।

ज्यामितीय बीजगणित में, एमिल आर्टिन ने साबित किया है कि यूक्लिडियन अंतरिक्ष की ये सभी परिभाषाएँ समतुल्य हैं। यह साबित करना आसान है कि यूक्लिडियन रिक्त स्थान की सभी परिभाषाएं हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती हैं, और यह कि वास्तविक संख्याओं (ऊपर दी गई परिभाषा सहित) को शामिल करने वाले समतुल्य हैं। आर्टिन के प्रमाण का कठिन हिस्सा निम्नलिखित है। हिल्बर्ट के स्वयंसिद्धों में, सर्वांगसमता खंडों पर एक तुल्यता संबंध है। इस प्रकार एक खंड की लंबाई को इसके समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार किसी को यह साबित करना चाहिए कि यह लंबाई उन गुणों को संतुष्ट करती है जो गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं को दर्शाती हैं। आर्टिन ने इसे हिल्बर्ट के समतुल्य स्वयंसिद्धों के साथ सिद्ध किया।

उपयोग
प्राचीन यूनानियों के बाद से, यूक्लिडियन अंतरिक्ष का उपयोग भौतिक दुनिया में मॉडलिंग आकृतियों के लिए किया जाता है। इस प्रकार यह भौतिकी, यांत्रिकी और खगोल विज्ञान जैसे कई विज्ञानों में प्रयोग किया जाता है। यह उन सभी तकनीकी क्षेत्रों में भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है जो आकार, आकृति, स्थान और स्थिति से संबंधित हैं, जैसे वास्तुकला, भूगणित, स्थलाकृति, पथ प्रदर्शन (नेविगेशन), औद्योगिक डिजाइन या तकनीकी ड्राइंग।

भौतिकी के कई आधुनिक सिद्धांतों में तीन से अधिक आयामों का स्थान होता है; उच्च आयाम देखें। वे भौतिक प्रणालियों के विन्यास स्थान में भी होते हैं।

यूक्लिडियन ज्यामिति के अलावा, यूक्लिडियन रिक्त स्थान भी गणित के अन्य क्षेत्रों में व्यापक रूप से उपयोग किए जाते हैं। अलग-अलग मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा स्थान यूक्लिडियन वेक्टर स्थान हैं। अधिक आम तौर पर, कई गुना एक स्थान है जो यूक्लिडियन रिक्त स्थान द्वारा स्थानीय रूप से अनुमानित है। अधिकांश गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति को कई गुना द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है, और उच्च आयाम के यूक्लिडियन स्थान में एम्बेडिंग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक दीर्घवृत्तीय स्थान को दीर्घवृत्ताभ द्वारा प्रतिरूपित किया जा सकता है। यूक्लिडियन अंतरिक्ष गणितीय वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करना आम है जो एक ज्यामितीय प्रकृति की प्राथमिकता नहीं है। कई के बीच एक उदाहरण रेखांकन (असतत गणित) का सामान्य प्रतिनिधित्व है।

अन्य ज्यामितीय अंतरिक्ष
19वीं शताब्दी के अंत में, गैर-यूक्लिडियन ज्यामितीयों की शुरूआत के बाद से, कई प्रकार के रिक्त स्थान पर विचार किया गया है, जिसके बारे में यूक्लिडियन रिक्त स्थान के समान ही ज्यामितीय तर्क कर सकते हैं। सामान्य तौर पर, वे यूक्लिडियन रिक्त स्थान के साथ कुछ गुण साझा करते हैं, लेकिन ऐसे गुण भी हो सकते हैं जो अजीब लग सकते हैं। इनमें से कुछ स्थान अपनी परिभाषा के लिए यूक्लिडियन ज्यामिति का उपयोग करते हैं, या उच्च आयाम के यूक्लिडियन स्थान के उप-स्थान के रूप में तैयार किए जा सकते हैं। जब ऐसी जगह को ज्यामितीय सिद्धांतों द्वारा परिभाषित किया जाता है, तो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में अंतरिक्ष को एम्बेड करना इसकी परिभाषा की स्थिरता साबित करने का एक मानक तरीका है, या यह साबित करने के लिए अधिक सटीक रूप से साबित करने के लिए कि इसका सिद्धांत सुसंगत है, यदि यूक्लिडियन ज्यामिति सुसंगत है (जिसे सिद्ध नहीं किया जा सकता है)

एफ़िन अंतरिक्ष
एक यूक्लिडियन स्पेस एक मीट्रिक से लैस एक एफाइन स्पेस है। गणित में Affine रिक्त स्थान के कई अन्य उपयोग हैं। विशेष रूप से, जैसा कि वे किसी भी क्षेत्र में परिभाषित हैं, वे अन्य संदर्भों में ज्यामिति करने की अनुमति देते हैं।

जैसे ही गैर-रैखिक प्रश्नों पर विचार किया जाता है, यह आम तौर पर यूक्लिडियन रिक्त स्थान के विस्तार के रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर परिबद्ध स्थानों पर विचार करने के लिए उपयोगी होता है। उदाहरण के लिए, जटिल एफ़िन स्पेस में एक वृत्त और एक रेखा में हमेशा दो चौराहे बिंदु (संभवतः अलग नहीं) होते हैं। इसलिए, बीजगणितीय ज्योमेट्री का अधिकांश भाग बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड्स पर जटिल एफ़िन स्पेस और एफ़िन स्पेस में बनाया गया है। इन सजातीय स्थानों में बीजगणितीय ज्यामिति में जिन आकृतियों का अध्ययन किया जाता है, उन्हें सजातीय बीजगणितीय किस्में कहा जाता है।

परिमेय संख्याओं पर एफ़िन रिक्त स्थान और अधिक सामान्यतः बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों पर (बीजीय) ज्यामिति और संख्या सिद्धांत के बीच एक लिंक प्रदान करते हैं। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय को कहा जा सकता है "दो से अधिक डिग्री के एक फर्मेट वक्र का परिमेय तल पर संबंध तल में कोई बिंदु नहीं है।"

परिमित क्षेत्रों में परिमित स्थानों में ज्यामिति का भी व्यापक अध्ययन किया गया है। उदाहरण के लिए, क्रिप्टोग्राफी में परिमित क्षेत्रों पर दीर्घवृत्तीय वक्रों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

प्रक्षेपीय अंतरिक्ष
मूल रूप से, प्रोजेक्टिव स्पेस को यूक्लिडियन स्पेस में "पॉइंट्स एट इनफिनिटी" जोड़कर पेश किया गया है, और अधिक आम तौर पर स्पेस को एफ़िन करने के लिए, "दो समतलीय रेखाएँ बिल्कुल एक पॉइंट में मिलते हैं" को सही बनाने के लिए। यूक्लिडियन और एफाइन स्पेस के साथ प्रोजेक्टिव स्पेस शेयर समदैशिक (आइसोट्रोपिक) होने का गुण है, यानी स्पेस का कोई गुण नहीं है जो दो बिंदुओं या दो रेखाओं के बीच अंतर करने की अनुमति देता है। इसलिए, एक अधिक आइसोट्रोपिक परिभाषा का आमतौर पर उपयोग किया जाता है, जिसमें एक प्रक्षेपी स्थान को परिभाषित करने के रूप में एक वेक्टर अंतरिक्ष में वेक्टर लाइनों के सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है।

एफ़िन रिक्त स्थान के लिए, प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान किसी भी क्षेत्र पर परिभाषित होते हैं, और बीजगणितीय ज्यामिति के मूलभूत स्थान होते हैं।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति
गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति आमतौर पर ज्यामितीय रिक्त स्थान को संदर्भित करती है जहां समांतर अभिधारणा झूठी होती है। इनमें अण्डाकार ज्यामिति शामिल है, जहाँ त्रिभुज के कोणों का योग 180° से अधिक है, और अतिपरवलयिक ज्यामिति, जहाँ यह योग 180° से कम है। 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में उनका परिचय, और यह प्रमाण कि उनका सिद्धांत सुसंगत है (यदि यूक्लिडियन ज्यामिति विरोधाभासी नहीं है) उन विरोधाभासों में से एक है जो 20वीं शताब्दी की शुरुआत के गणित में मूलभूत संकट के मूल में हैं, और गणित में स्वयंसिद्ध सिद्धांतों के व्यवस्थितकरण को प्रेरित किया।

वक्राकार स्थान
मैनिफोल्ड एक ऐसा स्थान है जो प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक यूक्लिडियन स्थान जैसा दिखता है। तकनीकी शब्दों में, मैनिफोल्ड एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, जैसे कि प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस है जो यूक्लिडियन स्पेस के एक खुले उपसमुच्चय के लिए होमोमोर्फिक है। मैनिफोल्ड्स को इस "समानता" की डिग्री को टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड, डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स, स्मूथ मैनिफोल्ड्स और विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड्स में वर्गीकृत किया जा सकता है। हालाँकि, इनमें से कोई भी "समानता" दूरियों और कोणों का सम्मान नहीं करती है, यहाँ तक कि लगभग भी।

कई गुना बिंदुओं पर स्पर्शरेखा रिक्त स्थान पर सुचारू रूप से भिन्न यूक्लिडियन मीट्रिक प्रदान करके दूरियों और कोणों को एक चिकनी कई गुना पर परिभाषित किया जा सकता है (ये स्पर्शरेखा स्थान इस प्रकार यूक्लिडियन वेक्टर स्थान हैं)। इसका परिणाम रीमैनियन मैनिफोल्ड में होता है। आम तौर पर, सीधी रेखाएं रिमेंनियन मैनिफोल्ड में मौजूद नहीं होती हैं, लेकिन उनकी भूमिका भूगणित (जियोडेसिक्स) द्वारा निभाई जाती है, जो दो बिंदुओं के बीच "सबसे छोटा रास्ता" है। यह दूरियों को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जो कि जियोडेसिक्स के साथ मापी जाती हैं, और जियोडेसिक्स के बीच के कोण, जो उनके चौराहे पर स्पर्शरेखा स्थान में उनके स्पर्शरेखा के कोण हैं। तो, रीमैनियन मैनिफोल्ड्स स्थानीय रूप से एक यूक्लिडियन स्थान की तरह व्यवहार करते हैं जो मुड़ा हुआ है।

यूक्लिडियन रिक्त स्थान तुच्छ रूप से रीमैनियन मैनिफोल्ड हैं। इस कूप को दर्शाने वाला एक उदाहरण गोले की सतह है। इस मामले में, जियोडेसिक्स वृहत वृत्त के चाप हैं, जिन्हें नेविगेशन के संदर्भ में ऑर्थोड्रोम कहा जाता है। अधिक आम तौर पर, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के रिक्त स्थान को रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के रूप में महसूस किया जा सकता है।

छद्म-यूक्लिडियन स्थान
एक वास्तविक वेक्टर अंतरिक्ष का एक आंतरिक उत्पाद एक सकारात्मक निश्चित द्विरेखीय रूप है, और इसलिए एक सकारात्मक निश्चित द्विघात रूप की विशेषता है। एक छद्म-यूक्लिडियन अंतरिक्ष एक गैर-पतित द्विघात रूप (जो अनिश्चित हो सकता है) से सुसज्जित वास्तविक सदिश स्थान के साथ एक सजातीय स्थान है।

इस तरह के अंतरिक्ष का एक मौलिक उदाहरण मिंकोस्की अंतरिक्ष है, जो अल्बर्ट आइंस्टीन की विशेष सापेक्षता का अंतरिक्ष-समय है। यह एक चार आयामी स्थान है, जहाँ मीट्रिक को द्विघात रूप से परिभाषित किया गया है$$x^2+y^2+z^2-t^2,$$जहां अंतिम निर्देशांक (t) अस्थायी है, और अन्य तीन (x, y, z) स्थानिक हैं।

गुरुत्वाकर्षण को ध्यान में रखने के लिए, सामान्य सापेक्षता एक छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड का उपयोग करती है जिसमें मिन्कोस्की रिक्त स्थान को स्पर्शरेखा स्थान के रूप में रखा गया है। एक बिंदु पर इस कई गुना की वक्रता इस बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के मान का एक कार्य है।

यह भी देखें

 * हिल्बर्ट अंतरिक्ष, अनंत आयाम के लिए एक सामान्यीकरण, कार्यात्मक विश्लेषण में प्रयोग किया जाता है