वेब्लेन फलन

गणित में, वेब्लेन फलन, सामान्य फलन का पदानुक्रम है (क्रमवाचक संख्या से क्रमांक तक कठोरता से बढ़ते फलन), जिसे में ओसवाल्ड वेब्लेन द्वारा प्रस्तुत किया गया। यदि φ0 कोई सामान्य कार्य है, तो किसी भी गैर-शून्य क्रमिक α के लिए, φα β<α के लिए φβ के सामान्य निश्चित बिंदुओं की गणना करने वाला कार्य है। ये सभी सामान्य कार्य हैं।

वेब्लेन पदानुक्रम
विशेष स्थिति में जब φ0(α) = ωα कार्यों के इस परिवार को वेब्लेन पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है। फलन φ1, ε फलन के समान है: φ1(α) = εα यदि $$\alpha < \beta \,,$$ तब $$\varphi_{\alpha}(\varphi_{\beta}(\gamma)) = \varphi_{\beta}(\gamma)$$ होता है। इससे और तथ्य यह है कि φβ कठोरता से बढ़ रहा है हम आदेश प्राप्त करते हैं: $$\varphi_\alpha(\beta) < \varphi_\gamma(\delta) $$ यदि और केवल यदि या तो ($$\alpha = \gamma $$ और $$\beta < \delta $$) या ($$\alpha < \gamma $$ और $$\beta < \varphi_\gamma(\delta) $$) या ($$\alpha > \gamma $$ और $$\varphi_\alpha(\beta) < \delta $$) होता है।

वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रम
cofinality ω के साथ क्रमसूचक के लिए मौलिक अनुक्रम  विशिष्ट रूप से बढ़ता हुआ ω-अनुक्रम है जिसकी सीमा के रूप में क्रमसूचक है। यदि किसी के पास α और सभी छोटे सीमा अध्यादेशों के लिए मौलिक अनुक्रम हैं, तो कोई ω और α के बीच  स्पष्ट रचनात्मक आक्षेप बना सकता है, (अर्थात पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग नहीं कर रहा है)। यहां हम ऑर्डिनल्स के वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रमों का वर्णन करेंगे। α के मौलिक अनुक्रम के तहत n की छवि α[n] द्वारा इंगित की जाएगी।

वेब्लेन पदानुक्रम के संबंध में उपयोग किए जाने वाले सामान्य अंकगणित # कैंटर सामान्य रूप की भिन्नता है - प्रत्येक गैर-शून्य क्रमिक संख्या α को विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है $$\alpha = \varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \varphi_{\beta_2}(\gamma_2) + \cdots + \varphi_{\beta_k}(\gamma_k)$$, जहाँ k>0 प्राकृत संख्या है और पहले के बाद का प्रत्येक पद पिछले पद से कम या बराबर है, $$\varphi_{\beta_m}(\gamma_m) \geq \varphi_{\beta_{m+1}}(\gamma_{m+1}) \,,$$ और प्रत्येक $$\gamma_m < \varphi_{\beta_m}(\gamma_m) \,.$$ यदि अंतिम पद के लिए  मौलिक अनुक्रम प्रदान किया जा सकता है, तो उस पद को प्राप्त करने के लिए ऐसे अनुक्रम से प्रतिस्थापित किया जा सकता है $$\alpha [n] = \varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \cdots + \varphi_{\beta_{k-1}}(\gamma_{k-1}) + (\varphi_{\beta_k}(\gamma_k) [n]) \,.$$ किसी भी β के लिए, यदि γ सीमा है $$\gamma < \varphi_{\beta} (\gamma) \,,$$ तो करने दें $$\varphi_{\beta}(\gamma) [n] = \varphi_{\beta}(\gamma [n]) \,.$$ ऐसा कोई क्रम प्रदान नहीं किया जा सकता है $$\varphi_0(0)$$ = ओ0 = 1 क्योंकि इसमें अंतिमता ω नहीं है।

के लिए $$\varphi_0(\gamma+1) = \omega ^{\gamma+1} = \omega^ \gamma \cdot \omega \,,$$ हम चुनते हैं $$\varphi_0(\gamma+1) [n] = \varphi_0(\gamma) \cdot n = \omega^{\gamma} \cdot n \,.$$ के लिए $$\varphi_{\beta+1}(0) \,,$$ हम उपयोग करते हैं $$\varphi_{\beta+1}(0) [0] = 0 $$ और $$\varphi_{\beta+1}(0) [n+1] = \varphi_{\beta}(\varphi_{\beta+1}(0) [n]) \,,$$ अर्थात। 0, $$\varphi_{\beta}(0)$$, $$\varphi_{\beta}(\varphi_{\beta}(0))$$, वगैरह..

के लिए $$\varphi_{\beta+1}(\gamma+1)$$, हम उपयोग करते हैं $$\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [0] = \varphi_{\beta+1}(\gamma)+1 $$ और $$\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [n+1] = \varphi_{\beta} (\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [n]) \,.$$ अब मान लीजिए कि β सीमा है:

यदि $$\beta < \varphi_{\beta}(0)$$, तो करने दें $$\varphi_{\beta}(0) [n] = \varphi_{\beta [n]}(0) \,.$$ के लिए $$\varphi_{\beta}(\gamma+1)$$, उपयोग $$\varphi_{\beta}(\gamma+1) [n] = \varphi_{\beta [n]}(\varphi_{\beta}(\gamma)+1) \,.$$ अन्यथा, छोटे अध्यादेशों के उपयोग के संदर्भ में क्रमसूचक का वर्णन नहीं किया जा सकता है $$\varphi$$ और यह योजना उस पर लागू नहीं होती है।

Γ समारोह
फ़ंक्शन Γ ऑर्डिनल्स α की गणना करता है जैसे कि φα(0) = ए। सी0 Feferman-Schütte क्रमसूचक है, अर्थात यह सबसे छोटा α है जैसे कि φα(0) = ए।

जी के लिए0, मौलिक अनुक्रम को चुना जा सकता है $$\Gamma_0 [0] = 0 $$ और $$\Gamma_0 [n+1] = \varphi_{\Gamma_0 [n]} (0) \,.$$ जी के लिएβ+1, होने देना $$\Gamma_{\beta+1} [0] = \Gamma_{\beta} + 1 $$ और $$\Gamma_{\beta+1} [n+1] = \varphi_{\Gamma_{\beta+1} [n]} (0) \,.$$ जी के लिएβ कहाँ $$\beta < \Gamma_{\beta} $$ सीमा है, चलो $$\Gamma_{\beta} [n] = \Gamma_{\beta [n]} \,.$$

अंत में कई चर
तर्कों की परिमित संख्या (अंतिम वेब्लेन फ़ंक्शन) के वेब्लेन फ़ंक्शन का निर्माण करने के लिए, बाइनरी फ़ंक्शन दें $$\varphi(\alpha, \gamma)$$ होना $$\varphi_\alpha(\gamma)$$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।

होने देना $$z$$ खाली स्ट्रिंग या  या  से अधिक अल्पविराम से अलग किए गए शून्य से युक्त  स्ट्रिंग हो $$0,0,...,0$$ और $$s$$  खाली स्ट्रिंग या  या  से अधिक कॉमा-सेपरेटेड ऑर्डिनल्स से युक्त स्ट्रिंग हो $$\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$$ साथ $$\alpha _{1}>0$$. बाइनरी फ़ंक्शन $$\varphi (\beta ,\gamma )$$ रूप में लिखा जा सकता है $$\varphi (s,\beta ,z,\gamma )$$ जहां दोनों $$s$$ और $$z$$ खाली तार हैं। अंतिम वेब्लेन कार्यों को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: उदाहरण के लिए, $$\varphi(1,0,\gamma)$$ है $$(1+\gamma)$$- कार्यों का निश्चित बिंदु $$\xi\mapsto\varphi(\xi,0)$$, अर्थात् $$\Gamma_\gamma$$; तब $$\varphi(1,1,\gamma)$$ उस फ़ंक्शन के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है, अर्थात $$\xi\mapsto\Gamma_\xi$$ समारोह; और $$\varphi(2,0,\gamma)$$ सभी के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है $$\xi\mapsto\varphi(1,\xi,0)$$. सामान्यीकृत वेब्लेन फ़ंक्शंस का प्रत्येक उदाहरण अंतिम नॉनज़रो वेरिएबल में निरंतर है (यानी, यदि वेरिएबल को अलग-अलग बनाया जाता है और बाद के सभी वेरिएबल्स को लगातार शून्य के बराबर रखा जाता है)।
 * $$\varphi (\gamma )=\omega ^{\gamma }$$
 * $$\varphi (z,s,\gamma )=\varphi (s,\gamma )$$
 * यदि $$\beta >0$$, तब $$\varphi (s,\beta ,z,\gamma )$$ दर्शाता है $$(1+\gamma )$$कार्यों का सामान्य निश्चित बिंदु $$\xi \mapsto \varphi (s,\delta ,\xi ,z)$$ प्रत्येक के लिए $$\delta <\beta$$

क्रमसूचक $$\varphi(1,0,0,0)$$ कभी-कभी एकरमैन ऑर्डिनल के रूप में जाना जाता है। की सीमा $$\varphi(1,0,...,0)$$ जहां शून्य की संख्या ω से अधिक होती है, उसे कभी-कभी छोटे वेब्लेन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है छोटा वेब्लेन ऑर्डिनल।

प्रत्येक गैर-शून्य क्रमसूचक $$\alpha$$ छोटे वेब्लेन ऑर्डिनल (एसवीओ) से कम विशिष्ट वेब्लेन फ़ंक्शन के लिए सामान्य रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है:

$$\alpha =\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k})$$ कहाँ
 * $$k$$ सकारात्मक पूर्णांक है
 * $$\varphi (s_{1})\geq \varphi (s_{2})\geq \cdots \geq \varphi (s_{k})$$
 * $$s_{m}$$ स्ट्रिंग है जिसमें  या  से अधिक कॉमा-सेपरेटेड ऑर्डिनल्स होते हैं $$\alpha _{m,1},\alpha _{m,2},...,\alpha _{m,n_{m}}$$ कहाँ $$\alpha _{m,1}>0$$ और प्रत्येक $$\alpha _{m,i}<\varphi (s_{m})$$

अंतिम वेब्लेन फ़ंक्शन
की सीमा क्रम के लिए मौलिक अनुक्रम

सीमा अध्यादेशों के लिए $$\alpha<SVO$$, परिमित वेब्लेन फ़ंक्शन के लिए सामान्य रूप में लिखा गया है: n \quad \text{if} \quad \gamma=1\\ \varphi(\gamma-1)\cdot n \quad \text{if} \quad \gamma \quad \text{is a successor ordinal}\\ \varphi(\gamma[n]) \quad \text{if} \quad \gamma \quad \text{is a limit ordinal}\\ \end{array}\right. $$,
 * $$(\varphi(s_1)+\varphi(s_2)+\cdots+\varphi(s_k))[n]=\varphi(s_1)+\varphi(s_2)+\cdots+\varphi(s_k)[n]$$,
 * $$\varphi(\gamma)[n]=\left\{\begin{array}{lcr}
 * $$\varphi(s,\beta,z,\gamma)[0]=0$$ और $$\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n+1]=\varphi(s,\beta-1,\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n],z)$$ यदि $$\gamma=0$$ और $$\beta$$ उत्तराधिकारी क्रमसूचक है,
 * $$\varphi(s,\beta,z,\gamma)[0]=\varphi(s,\beta,z,\gamma-1)+1$$ और $$\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n+1]=\varphi(s,\beta-1,\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n],z)$$ यदि $$\gamma$$ और $$\beta$$ उत्तराधिकारी अध्यादेश हैं,
 * $$\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n]=\varphi(s,\beta,z,\gamma[n])$$ यदि $$\gamma$$ सीमा क्रमसूचक है,
 * $$\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n]=\varphi(s,\beta[n],z,\gamma)$$ यदि $$\gamma=0$$ और $$\beta$$ सीमा क्रमसूचक है,
 * $$\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n]=\varphi(s,\beta[n],\varphi(s,\beta,z,\gamma-1)+1,z)$$ यदि $$\gamma$$ उत्तराधिकारी क्रमसूचक है और $$\beta$$  सीमा क्रमसूचक है।

ट्रांसफिनिटली कई वेरिएबल्स
अधिक आम तौर पर, वेब्लेन ने दिखाया कि φ को ऑर्डिनल्स α के ट्रांसफ़िनेट अनुक्रम के लिए भी परिभाषित किया जा सकता हैβ, बशर्ते कि उनमें से परिमित संख्या को छोड़कर सभी शून्य हों। ध्यान दें कि यदि ऑर्डिनल्स का ऐसा क्रम उन बेशुमार नियमित कार्डिनल κ से कम में से चुना जाता है, तो अनुक्रम को κ से कम एकल ऑर्डिनल के रूप में एन्कोड किया जा सकता है।k (क्रमिक घातांक)। अतः कोई k से  फलन φ को परिभाषित कर रहा हैκ में κ.

परिभाषा इस प्रकार दी जा सकती है: मान लीजिए α क्रमसूचकों का पार परिमित अनुक्रम है (अर्थात् परिमित समर्थन वाला  क्रमसूचक फलन) जो शून्य पर समाप्त होता है (अर्थात्, ऐसा कि α0=0), और माना α [γ@0] उसी फ़ंक्शन को इंगित करता है जहां अंतिम 0 को γ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। फिर γ↦φ( α [γ@0]) को फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित किया गया है जो सभी फ़ंक्शन के सामान्य निश्चित बिंदुओं की गणना करता है ξ↦φ( β ) जहां β उन सभी अनुक्रमों पर है जो α के सबसे छोटे-अनुक्रमित गैर-शून्य मान को घटाकर और कुछ छोटे-अनुक्रमित मान को अनिश्चित ξ (यानी, β ) के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है। =α[ζ@ι0, ξ@ι] का अर्थ है कि सबसे छोटी अनुक्रमणिका ι के लिए0 ऐसा है कि αι 0 अशून्य है बाद वाले को कुछ मान ζ<α से बदल दिया गया है उप>मैं0 और वह कुछ छोटे सूचकांक ι<ι के लिए उप>0, मान αι= 0 को ξ से बदल दिया गया है)।

उदाहरण के लिए, यदि α =(1@ω) ω और 0 पर मान 1 के साथ ट्रांसफिनिट अनुक्रम को दर्शाता है, तो φ(1@ω) सभी कार्यों का सबसे छोटा निश्चित बिंदु है ξ↦ φ(ξ,0,...,0) बहुत सारे अंतिम शून्य के साथ (यह φ(1,0,...,0) की सीमा भी है जिसमें बहुत सारे शून्य हैं, छोटा वेब्लेन क्रमसूचक)।

सबसे छोटा क्रमिक α ऐसा है कि α φ से अधिक है जो α में समर्थन के साथ किसी भी फ़ंक्शन पर लागू होता है (यानी, जिसे नीचे से कई चरों के वेब्लेन फ़ंक्शन का उपयोग करके नहीं पहुँचा जा सकता है) को कभी-कभी बड़े वेबलेन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है। बड़ा Veblen क्रमसूचक, या महान Veblen संख्या।

मूल्य
फलन कई प्रमुख मान लेता है:
 * $$\varphi(\omega,0)$$, सूक्ष्मता से कई फलन प्रतीकों के साथ पुनरावर्ती पथ क्रमों के क्रम प्रकारों पर सीमित होते है।
 * फेफ़रमैन-शुट्टे क्रमसूचक $$\Gamma_0$$ के समान $$\varphi(1,0,0)$$है।
 * लघु वेब्लेन क्रमसूचक $$\varphi\begin{pmatrix}1 \\ \omega\end{pmatrix}$$ के समान होता है।

संदर्भ

 * Hilbert Levitz, Transfinite Ordinals and Their Notations: For The Uninitiated, expository article (8 pages, in PostScript)
 * contains an informal description of the Veblen hierarchy.
 * contains an informal description of the Veblen hierarchy.
 * contains an informal description of the Veblen hierarchy.
 * contains an informal description of the Veblen hierarchy.