स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह का समूह बीजगणित

कार्यात्मक विश्लेषण और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, समूह बीजगणित विभिन्न निर्माणों में से एक है जो एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह को एक ऑपरेटर बीजगणित (या अधिक सामान्यतः एक बनच बीजगणित) प्रदान करने के लिए है, जैसे कि बीजगणित का प्रतिनिधित्व समूह के प्रतिनिधित्व से संबंधित है। जैसे, वे असतत समूह से जुड़े समूह वलय के समान हैं।

बीजगणित सीc(जी) कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्यों का
यदि जी एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह है, तो जी एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय बायां-अपरिवर्तनीय गिनती योगात्मक बोरेल माप μ को एक हार उपाय कहा जाता है। हार माप का उपयोग करके, कोई अंतरिक्ष सी पर एक कनवल्शन ऑपरेशन को परिभाषित कर सकता हैc(जी) कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ जी पर जटिल-मूल्यवान निरंतर कार्यों का; सीc(जी) को विभिन्न मानदंडों (गणित) में से कोई भी दिया जा सकता है और पूर्णता (आदेश सिद्धांत) एक समूह बीजगणित होगा।

कनवल्शन ऑपरेशन को परिभाषित करने के लिए, f और g को C में दो फंक्शन होने देंc(जी)। जी में टी के लिए, परिभाषित करें


 * $$ [f * g](t) = \int_G f(s) g \left (s^{-1} t \right )\, d \mu(s).$$

यह तथ्य कि $$f * g$$ निरंतर है वर्चस्व वाले अभिसरण प्रमेय से तत्काल है। भी


 * $$ \operatorname{Support}(f * g) \subseteq \operatorname{Support}(f) \cdot \operatorname{Support}(g) $$

जहां डॉट जी सी में उत्पाद के लिए खड़ा हैc(जी) में एक प्राकृतिक समावेशन (गणित) भी है जिसे परिभाषित किया गया है:


 * $$ f^*(s) = \overline{f(s^{-1})} \, \Delta(s^{-1}) $$

जहां Δ हार उपाय है # जी पर मॉड्यूलर फ़ंक्शन। इस समावेशन के साथ, यह एक *-बीजगणित है।

'प्रमेय'। मानदंड के साथ:


 * $$ \|f\|_1 := \int_G |f(s)| \, d\mu(s), $$

सीc(जी) एक अनुमानित पहचान के साथ एक समावेशी आदर्श बीजगणित बन जाता है।

कॉम्पैक्ट सेट से युक्त पहचान के पड़ोस के आधार पर अनुमानित पहचान को अनुक्रमित किया जा सकता है। वास्तव में, यदि V पहचान का एक सघन पड़ोस है, चलो fVवी में समर्थित एक गैर-नकारात्मक निरंतर कार्य हो जैसे कि


 * $$ \int_V f_{V}(g)\, d \mu(g) =1.$$

तब {फV}V एक अनुमानित पहचान है। एक समूह बीजगणित की एक पहचान होती है, केवल एक अनुमानित पहचान के विपरीत, अगर और केवल अगर समूह पर टोपोलॉजी असतत टोपोलॉजी है।

ध्यान दें कि असतत समूहों के लिए, सीc(जी) जटिल समूह अंगूठी 'सी' [जी] जैसा ही है।

समूह बीजगणित का महत्व यह है कि यह जी के एकात्मक प्रतिनिधित्व सिद्धांत को दर्शाता है जैसा कि निम्नलिखित में दिखाया गया है

'प्रमेय'। बता दें कि G स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह है। यदि यू एक हिल्बर्ट स्पेस एच पर जी का दृढ़ता से निरंतर एकात्मक प्रतिनिधित्व है, तो


 * $$ \pi_U (f) = \int_G f(g) U(g)\, d \mu(g)$$

मानक बीजगणित सी का एक गैर-पतित परिबद्ध *-प्रतिनिधित्व हैc(जी)। वो नक्शा


 * $$ U \mapsto \pi_U$$

जी के दृढ़ता से निरंतर एकात्मक प्रतिनिधित्व के सेट और सी के गैर-पतित बाध्य * -प्रतिनिधियों के बीच एक आक्षेप हैc(जी)। यह आपत्ति एकात्मक तुल्यता और मजबूत नियंत्रण का सम्मान करती है। विशेष रूप से, $\pi$U इर्रिड्यूसिबल है अगर और केवल अगर यू इर्रिड्यूसिबल है।

एक प्रतिनिधित्व की गैर अध: पतन π सी काc(जी) हिल्बर्ट स्पेस एच परπ मतलब कि


 * $$ \left \{\pi(f) \xi : f \in \operatorname{C}_c(G), \xi \in H_\pi \right \} $$

H में सघन हैπ.

कनवल्शन बीजगणित एल1(जी)
यह माप सिद्धांत का एक मानक प्रमेय है कि सी का पूरा होनाc(जी) एल में1(जी) मानक अंतरिक्ष एलपी अंतरिक्ष के लिए आइसोमोर्फिक है। एल1(G) कार्यों के समतुल्य वर्ग जो हार माप के संबंध में पूर्णांक हैं, जहां, हमेशा की तरह, दो कार्यों को समतुल्य माना जाता है यदि और केवल अगर वे हार माप शून्य के एक सेट पर भिन्न होते हैं।

"'प्रमेय'। एल1(G) एक बैनाच *-बीजगणित है, जिसमें कनवल्शन उत्पाद और इनवोल्यूशन ऊपर और एल के साथ परिभाषित किया गया है1 मानदंड। एल 1(G) की भी एक सीमित अनुमानित पहचान है।"

समूह सी * - बीजगणित सी * (जी)
चलो 'सी' [जी] असतत समूह जी की समूह अंगूठी बनें।

एक स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह G के लिए, G का समूह C*-बीजगणित C*(G) L के C*-आवरण बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया है1(जी), यानी सी का पूरा होनाc(जी) सबसे बड़े सी*-मानदंड के संबंध में:


 * $$ \|f\|_{C^*} := \sup_\pi \|\pi(f)\|,$$

कहाँ π सी के सभी गैर-पतित *-निरूपणों की सीमाएँc(जी) हिल्बर्ट रिक्त स्थान पर। जब G असतत है, तो यह त्रिभुज असमानता से अनुसरण करता है कि, किसी भी तरह के लिए π, किसी के पास:


 * $$ \|\pi (f)\| \leq \| f \|_1,$$

इसलिए मानदंड अच्छी तरह से परिभाषित है।

यह परिभाषा से इस प्रकार है कि, जब G एक असतत समूह है, C*(G) में निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति है: 'C'[G] से कुछ 'B'(H) तक कोई भी *-समरूपता (C*-बीजगणित) समावेशन मानचित्र के माध्यम से कुछ हिल्बर्ट अंतरिक्ष एच) कारकों पर बाध्य ऑपरेटरों की संख्या:


 * $$\mathbf{C}[G] \hookrightarrow C^*_{\max}(G).$$

घटा हुआ समूह C*-बीजगणित Cr*(जी)
घटा हुआ समूह C*-बीजगणित Cr*(जी) सी की पूर्णता हैc(जी) आदर्श के संबंध में


 * $$ \|f\|_{C^*_r} := \sup \left \{ \|f*g\|_2: \|g\|_2 = 1 \right \},$$

कहाँ


 * $$ \|f\|_2 = \sqrt{\int_G |f|^2 \, d\mu}$$

एल है2  मानदंड। सी के पूरा होने के बाद सेc(जी) एल के संबंध में 2 मानदंड एक हिल्बर्ट स्पेस है, Cr* मानदंड एल पर अभिनय करने वाले बाध्य ऑपरेटर का मानदंड है2(G) f के साथ कनवल्शन द्वारा और इस प्रकार एक C*-मानदंड।

समान रूप से, सीr*(G) ℓ पर बाएं नियमित प्रतिनिधित्व की छवि द्वारा उत्पन्न C*-बीजगणित है2(जी).

सामान्य तौर पर, सीr*(G) C*(G) का भागफल है। कम किया गया समूह C*-बीजगणित ऊपर परिभाषित गैर-कम किए गए समूह C*-बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है यदि और केवल अगर G अनुकूल समूह है।

वॉन न्यूमैन बीजगणित समूहों से जुड़े
G का समूह वॉन न्यूमैन बीजगणित W*(G) C*(G) का लिफाफा वॉन न्यूमैन बीजगणित है।

असतत समूह G के लिए, हम हिल्बर्ट स्पेस ℓ पर विचार कर सकते हैं2(G) जिसके लिए G एक अलौकिक आधार है। चूँकि G ℓ पर कार्य करता है2(G) आधार सदिशों की अनुमति देकर, हम जटिल समूह वलय 'C'[G] की पहचान ℓ पर परिबद्ध संचालकों के बीजगणित के एक उप-लजेब्रा के साथ कर सकते हैं2(जी). इस सबलजेब्रा, एनजी का कमजोर समापन वॉन न्यूमैन बीजगणित है।

एनजी के केंद्र को जी के उन तत्वों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है जिनके संयुग्मन वर्ग परिमित हैं। विशेष रूप से, यदि G का पहचान तत्व उस संपत्ति के साथ एकमात्र समूह तत्व है (अर्थात, G में अनंत संयुग्मन वर्ग गुण है), तो NG के केंद्र में केवल पहचान के जटिल गुणक होते हैं।

एनजी हाइपरफिनिट टाइप II-1 फैक्टर के लिए आइसोमॉर्फिक है। हाइपरफिनिट टाइप II1 कारक अगर और केवल अगर जी गणनीय है, उत्तरदायी समूह है, और अनंत संयुग्मन वर्ग की संपत्ति है।

यह भी देखें

 * ग्राफ बीजगणित
 * घटना बीजगणित
 * स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह का हेके बीजगणित
 * पथ बीजगणित
 * ग्रुपॉयड बीजगणित
 * स्टीरियोटाइप बीजगणित
 * स्टीरियोटाइप समूह बीजगणित
 * हॉफ बीजगणित