एन्सेम्बल (गणितीय भौतिकी)

भौतिकी में, विशेष रूप से सांख्यिकीय यांत्रिकी, एक पहनावा (सांख्यिकीय पहनावा भी) एक आदर्शीकरण है जिसमें एक प्रणाली की बड़ी संख्या में आभासी प्रतियां (कभी-कभी असीम रूप से कई) होती हैं, जिन्हें एक साथ माना जाता है, जिनमें से प्रत्येक एक संभावित स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है जो वास्तविक प्रणाली है। में हो सकता है। दूसरे शब्दों में, एक सांख्यिकीय पहनावा एकल का वर्णन करने के लिए सांख्यिकीय यांत्रिकी में उपयोग किए जाने वाले कणों की प्रणालियों का एक समूह है प्रणाली। पहनावा की अवधारणा विलार्ड गिब्स|जे द्वारा प्रस्तुत की गई थी। 1902 में विलार्ड गिब्स। एक थर्मोडायनामिक पहनावा एक विशिष्ट किस्म का सांख्यिकीय पहनावा है, जो अन्य गुणों के बीच, सांख्यिकीय संतुलन (नीचे परिभाषित) में है, और शास्त्रीय या क्वांटम यांत्रिकी के नियमों से थर्मोडायनामिक प्रणालियों के गुणों को प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जाता है।

शारीरिक विचार
पहनावा इस धारणा को औपचारिक रूप देता है कि एक प्रयोगकर्ता एक ही स्थूल स्थितियों के तहत बार-बार एक प्रयोग दोहराता है, लेकिन सूक्ष्म विवरणों को नियंत्रित करने में असमर्थ, विभिन्न परिणामों की एक श्रृंखला का निरीक्षण करने की उम्मीद कर सकता है।

ऊष्मप्रवैगिकी, सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी में पहनावा का अनुमानित आकार बहुत बड़ा हो सकता है, जिसमें हर संभव माइक्रोस्टेट (सांख्यिकीय यांत्रिकी) शामिल हो सकता है, जो सिस्टम अपने देखे गए मैक्रोस्कोपिक गुणों के अनुरूप हो सकता है। कई महत्वपूर्ण भौतिक मामलों के लिए, उचित विभाजन समारोह (गणित) के संदर्भ में, ब्याज की कई उष्मागतिक मात्राओं के लिए स्पष्ट सूत्र प्राप्त करने के लिए, पूरे ऊष्मप्रवैगिकी समेकन पर सीधे औसत की गणना करना संभव है।

एक संतुलन या स्थिर पहनावा की अवधारणा सांख्यिकीय समेकन के कई अनुप्रयोगों के लिए महत्वपूर्ण है। हालांकि एक यांत्रिक प्रणाली निश्चित रूप से समय के साथ विकसित होती है, यह जरूरी नहीं कि पहनावा विकसित हो। वास्तव में, पहनावा विकसित नहीं होगा यदि इसमें सिस्टम के सभी अतीत और भविष्य के चरण शामिल हैं। इस तरह के एक सांख्यिकीय समेकन, जो समय के साथ नहीं बदलता है, स्थिर कहा जाता है और इसे सांख्यिकीय संतुलन में कहा जा सकता है।

शब्दावली

 * संभावित राज्यों के पूर्ण सेट से सम्भावित नमूना (सांख्यिकी) के एक छोटे सेट के लिए पहनावा शब्द का भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, मार्कोव चेन मोंटे कार्लो पुनरावृत्ति में यादृच्छिक चलने का एक संग्रह कुछ साहित्य में एक पहनावा कहा जाता है।
 * पहनावा शब्द का प्रयोग अक्सर भौतिकी और भौतिकी-प्रभावित साहित्य में किया जाता है। संभाव्यता सिद्धांत में, संभाव्यता स्थान शब्द अधिक प्रचलित है।

मुख्य प्रकार
ऊष्मप्रवैगिकी का अध्ययन उन प्रणालियों से संबंधित है जो मानव धारणा को स्थिर (उनके आंतरिक भागों की गति के बावजूद) प्रतीत होते हैं, और जिन्हें मैक्रोस्कोपिक रूप से देखने योग्य चर के एक सेट द्वारा वर्णित किया जा सकता है। इन प्रणालियों को सांख्यिकीय समूहों द्वारा वर्णित किया जा सकता है जो कुछ अवलोकन योग्य मापदंडों पर निर्भर करते हैं, और जो सांख्यिकीय संतुलन में हैं। गिब्स ने नोट किया कि विभिन्न मैक्रोस्कोपिक बाधाएं विशेष सांख्यिकीय विशेषताओं के साथ विभिन्न प्रकार के समेकन की ओर ले जाती हैं। गिब्स द्वारा तीन महत्वपूर्ण ऊष्मप्रवैगिकी समूहों को परिभाषित किया गया था:


 * माइक्रोकैनोनिकल पहनावा (या एनवीई पहनावा) - एक सांख्यिकीय पहनावा जहां सिस्टम की कुल ऊर्जा और सिस्टम में कणों की संख्या प्रत्येक विशेष मूल्यों के लिए तय होती है; पहनावा के प्रत्येक सदस्य के लिए समान कुल ऊर्जा और कण संख्या होना आवश्यक है। सांख्यिकीय संतुलन में रहने के लिए सिस्टम को पूरी तरह से अलग रहना चाहिए (अपने पर्यावरण के साथ ऊर्जा या कणों का आदान-प्रदान करने में असमर्थ)। * विहित पहनावा (या NVT पहनावा) - एक सांख्यिकीय पहनावा जहाँ ऊर्जा ठीक से ज्ञात नहीं है लेकिन कणों की संख्या निश्चित है। ऊर्जा के स्थान पर, तापमान निर्दिष्ट किया गया है। विहित पहनावा एक बंद प्रणाली का वर्णन करने के लिए उपयुक्त है जो हीट बाथ के साथ कमजोर थर्मल संपर्क में है या रहा है। सांख्यिकीय संतुलन में रहने के लिए, सिस्टम को पूरी तरह से बंद रहना चाहिए (अपने पर्यावरण के साथ कणों का आदान-प्रदान करने में असमर्थ) और अन्य प्रणालियों के साथ कमजोर तापीय संपर्क में आ सकता है जो समान तापमान वाले पहनावा द्वारा वर्णित हैं। * ग्रैंड कैनोनिकल पहनावा (या μVT पहनावा) - एक सांख्यिकीय पहनावा जहां न तो ऊर्जा और न ही कण संख्या निश्चित होती है। उनके स्थान पर, तापमान और रासायनिक क्षमता निर्दिष्ट की जाती है। एक खुली प्रणाली का वर्णन करने के लिए भव्य विहित पहनावा उपयुक्त है: एक जो जलाशय (थर्मल संपर्क, रासायनिक संपर्क, विकिरण संपर्क, विद्युत संपर्क, आदि) के साथ कमजोर संपर्क में है या रहा है। पहनावा सांख्यिकीय संतुलन में रहता है यदि सिस्टम अन्य प्रणालियों के साथ कमजोर संपर्क में आता है जो समान तापमान और रासायनिक क्षमता वाले पहनावा द्वारा वर्णित हैं।

इनमें से प्रत्येक पहनावे का उपयोग करके की जा सकने वाली गणनाओं को उनके संबंधित लेखों में आगे खोजा गया है। अन्य ऊष्मप्रवैगिकी समेकन को भी परिभाषित किया जा सकता है, विभिन्न भौतिक आवश्यकताओं के अनुरूप, जिसके लिए समान सूत्र अक्सर समान रूप से प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिक्रिया समेकन में, कण संख्या में उतार-चढ़ाव केवल सिस्टम में मौजूद रासायनिक प्रतिक्रियाओं के स्तुईचिओमेटरी के अनुसार होने की अनुमति है।

प्रतिनिधित्व
एक सांख्यिकीय समेकन के लिए सटीक गणितीय अभिव्यक्ति का विचाराधीन यांत्रिकी के प्रकार (क्वांटम या शास्त्रीय) के आधार पर एक अलग रूप है। शास्त्रीय मामले में, पहनावा माइक्रोस्टेट्स पर एक संभाव्यता वितरण है। क्वांटम यांत्रिकी में, यह धारणा, जॉन वॉन न्यूमैन के कारण, ऑब्जर्वेबल्स के प्रत्येक पूर्ण सेट के परिणामों पर संभाव्यता वितरण प्रदान करने का एक तरीका है। शास्त्रीय यांत्रिकी में, पहनावा को चरण स्थान में संभाव्यता वितरण के रूप में लिखा जाता है; माइक्रोस्टेट समान आकार की इकाइयों में विभाजन चरण स्थान का परिणाम हैं, हालांकि इन इकाइयों का आकार कुछ हद तक मनमाने ढंग से चुना जा सकता है।

अभ्यावेदन के लिए आवश्यकताएँ
पल भर के लिए यह सवाल कि कैसे सांख्यिकीय पहनावा परिचालन की परिभाषा उत्पन्न करता है, हमें एक ही प्रणाली के ए, बी के पहनावे पर निम्नलिखित दो संचालन करने में सक्षम होना चाहिए:


 * परीक्षण करें कि ए, बी सांख्यिकीय रूप से समकक्ष हैं या नहीं।
 * यदि p एक वास्तविक संख्या है जैसे कि 0 <p <1, तो A से प्रायिकता p के साथ और B से प्रायिकता 1 - p के साथ संभाव्य नमूने द्वारा एक नया पहनावा तैयार करें।

कुछ शर्तों के तहत, इसलिए, सांख्यिकीय समेकन के समतुल्य वर्गों में एक उत्तल सेट की संरचना होती है।

क्वांटम मैकेनिकल
क्वांटम यांत्रिकी (एक मिश्रित अवस्था के रूप में भी जाना जाता है) में एक सांख्यिकीय पहनावा अक्सर एक घनत्व मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है, जिसे इसके द्वारा निरूपित किया जाता है। $$\hat{\rho}$$. घनत्व मैट्रिक्स एक पूरी तरह से सामान्य उपकरण प्रदान करता है जो क्वांटम अनिश्चितताओं (वर्तमान में भले ही सिस्टम की स्थिति पूरी तरह से ज्ञात हो) और शास्त्रीय अनिश्चितताओं (ज्ञान की कमी के कारण) को एकीकृत तरीके से शामिल कर सकता है। कोई भौतिक अवलोकन योग्य $X$ क्वांटम यांत्रिकी में एक ऑपरेटर के रूप में लिखा जा सकता है, $X̂$. सांख्यिकीय समेकन पर इस ऑपरेटर की अपेक्षा मूल्य $$ \rho $$ निम्नलिखित ट्रेस (रैखिक बीजगणित) द्वारा दिया गया है:
 * $$\langle X \rangle = \operatorname{Tr}(\hat X \rho).$$

इसका उपयोग औसत का मूल्यांकन करने के लिए किया जा सकता है (ऑपरेटर $X̂$), प्रसरण (ऑपरेटर $X̂^{ 2}$), सहप्रसरण (ऑपरेटर का उपयोग करके $X̂Ŷ$), आदि। घनत्व मैट्रिक्स में हमेशा 1 का निशान होना चाहिए: $$\operatorname{Tr}{\hat{\rho}}=1$$ (यह अनिवार्य रूप से शर्त है कि संभावनाओं को एक में जोड़ा जाना चाहिए)।

सामान्य तौर पर, पहनावा समय के साथ वॉन न्यूमैन समीकरण के अनुसार विकसित होता है।

संतुलन समूह (वे जो समय के साथ विकसित नहीं होते हैं, $$d\hat{\rho}/dt=0$$) केवल संरक्षित चर के कार्य के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, माइक्रोकैनोनिकल पहनावा और कैनोनिकल पहनावा कुल ऊर्जा का सख्ती से कार्य करता है, जिसे कुल ऊर्जा ऑपरेटर द्वारा मापा जाता है $Ĥ$ (हैमिल्टनियन)। भव्य विहित पहनावा अतिरिक्त रूप से कण संख्या का एक कार्य है, जिसे कुल कण संख्या ऑपरेटर द्वारा मापा जाता है $N̂$. इस तरह के संतुलन समेकन राज्यों के ऑर्थोगोनल आधार में एक विकर्ण मैट्रिक्स हैं जो एक साथ प्रत्येक संरक्षित चर को विकर्ण करते हैं। ब्रा-केट संकेतन में, घनत्व मैट्रिक्स है
 * $$\hat \rho = \sum_i P_i |\psi_i\rangle \langle \psi_i | $$

जहां $|ψ_{i}⟩$, द्वारा अनुक्रमित $i$, पूर्ण और ऑर्थोगोनल आधार के तत्व हैं। (ध्यान दें कि अन्य आधारों में, घनत्व मैट्रिक्स आवश्यक रूप से विकर्ण नहीं है।)

शास्त्रीय यांत्रिक
शास्त्रीय यांत्रिकी में, एक पहनावा सिस्टम के चरण स्थान पर परिभाषित संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है। जबकि एक व्यक्तिगत प्रणाली हैमिल्टन के समीकरणों के अनुसार विकसित होती है, लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) | लिउविल के समीकरण के अनुसार समय के साथ घनत्व कार्य (पहनावा) विकसित होता है।

एक हैमिल्टनियन यांत्रिकी में भागों की एक परिभाषित संख्या के साथ, चरण स्थान होता है $n$ सामान्यीकृत निर्देशांक कहा जाता है $q_{1}, ... q_{n}$, और $n$ संबंधित विहित गति कहा जाता है $p_{1}, ... p_{n}$. पहनावा तब एक संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है $ρ(p_{1}, ... p_{n}, q_{1}, ... q_{n})$.

यदि सिस्टम में भागों की संख्या को पहनावे में सिस्टम के बीच भिन्न होने की अनुमति है (जैसा कि एक भव्य पहनावा में जहां कणों की संख्या एक यादृच्छिक मात्रा है), तो यह एक विस्तारित चरण स्थान पर एक संभाव्यता वितरण है जिसमें आगे के चर शामिल हैं जैसे कण संख्या $N_{1}$ (पहली तरह का कण), $N_{2}$ (द्वितीय प्रकार का कण), और इतने पर $N_{s}$ (अंतिम प्रकार का कण; $s$ कितने विभिन्न प्रकार के कण हैं)। पहनावा तब एक संयुक्त संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है $ρ(N_{1}, ... N_{s}, p_{1}, ... p_{n}, q_{1}, ... q_{n})$. निर्देशांक की संख्या $n$ कणों की संख्या के साथ बदलता रहता है।

कोई यांत्रिक मात्रा $X$ को सिस्टम के चरण के एक समारोह के रूप में लिखा जा सकता है। इस तरह की किसी भी मात्रा का अपेक्षित मूल्य इस मात्रा के पूरे चरण स्थान पर एक अभिन्न द्वारा भारित द्वारा दिया जाता है $ρ$:
 * $$\langle X \rangle = \sum_{N_1 = 0}^{\infty} \ldots \sum_{N_s = 0}^{\infty} \int \ldots \int \rho X \, dp_1 \ldots dq_n.$$

संभाव्यता सामान्यीकरण की स्थिति लागू होती है, आवश्यकता होती है
 * $$\sum_{N_1 = 0}^{\infty} \ldots \sum_{N_s = 0}^{\infty} \int \ldots \int \rho \, dp_1 \ldots dq_n = 1.$$

चरण स्थान एक सतत स्थान है जिसमें किसी भी छोटे क्षेत्र के भीतर अनंत संख्या में अलग-अलग भौतिक अवस्थाएँ होती हैं। फेज स्पेस में प्रायिकता घनत्व को माइक्रोस्टेट्स पर प्रायिकता वितरण से जोड़ने के लिए, यह आवश्यक है कि किसी तरह फेज स्पेस को उन ब्लॉकों में विभाजित किया जाए जो सिस्टम के विभिन्न राज्यों का निष्पक्ष तरीके से प्रतिनिधित्व करते हुए वितरित किए जाते हैं। यह पता चला है कि ऐसा करने का सही तरीका विहित चरण स्थान के समान आकार के ब्लॉक में परिणाम देता है, और इसलिए शास्त्रीय यांत्रिकी में एक माइक्रोस्टेट विहित निर्देशांक के चरण स्थान में एक विस्तारित क्षेत्र है जिसमें एक विशेष मात्रा होती है। विशेष रूप से, प्रायिकता घनत्व समारोह चरण अंतरिक्ष में, $ρ$, माइक्रोस्टेट्स पर संभाव्यता वितरण से संबंधित है, $P$ कारक द्वारा
 * $$\rho = \frac{1}{h^n C} P,$$

कहाँ तब से $h$ मनमाने ढंग से चुना जा सकता है, माइक्रोस्टेट का अनुमानित आकार भी मनमाना है। फिर भी, का मूल्य $energy×time$ एंट्रॉपी और रासायनिक क्षमता जैसे मात्राओं के ऑफसेट को प्रभावित करता है, और इसलिए इसके मूल्य के अनुरूप होना महत्वपूर्ण है $ρ$ विभिन्न प्रणालियों की तुलना करते समय।
 * $h = 1 [energy unit]×[time unit]$ की इकाइयों के साथ एक मनमाना लेकिन पूर्व निर्धारित स्थिरांक है $h$, माइक्रोस्टेट की सीमा निर्धारित करना और सही आयाम प्रदान करना $C$.
 * $h$ एक अतिगणना सुधार कारक है (नीचे देखें), आम तौर पर कणों की संख्या और इसी तरह की चिंताओं पर निर्भर करता है।

फेज स्पेस में ओवरकाउंटिंग को ठीक करना
आमतौर पर, चरण स्थान में कई अलग-अलग स्थानों में समान भौतिक स्थिति के डुप्लिकेट होते हैं। यह इस बात का परिणाम है कि भौतिक अवस्था को गणितीय निर्देशांकों में कूटबद्ध किया जाता है; समन्वय प्रणाली का सबसे सरल विकल्प अक्सर एक राज्य को कई तरीकों से एन्कोड करने की अनुमति देता है। इसका एक उदाहरण समान कणों की एक गैस है जिसका राज्य कणों की व्यक्तिगत स्थिति और संवेग के संदर्भ में लिखा जाता है: जब दो कणों का आदान-प्रदान होता है, चरण अंतरिक्ष में परिणामी बिंदु अलग होता है, और फिर भी यह एक समान भौतिक स्थिति से मेल खाता है प्रणाली। सांख्यिकीय यांत्रिकी (भौतिक अवस्थाओं के बारे में एक सिद्धांत) में यह पहचानना महत्वपूर्ण है कि चरण स्थान केवल एक गणितीय निर्माण है, और चरण स्थान पर एकीकृत करते समय वास्तविक भौतिक अवस्थाओं से अधिक गणना नहीं करना है। ओवरकाउंटिंग से गंभीर समस्याएं हो सकती हैं:
 * समन्वय प्रणाली की पसंद पर व्युत्पन्न मात्राओं (जैसे एन्ट्रापी और रासायनिक क्षमता) की निर्भरता, क्योंकि एक समन्वय प्रणाली दूसरे की तुलना में अधिक या कम अधिक दिखा सकती है।
 * गलत निष्कर्ष जो भौतिक अनुभव के साथ असंगत हैं, जैसा कि मिश्रण विरोधाभास में है। * रासायनिक क्षमता और भव्य विहित पहनावा को परिभाषित करने में मूलभूत मुद्दे। एक समन्वय प्रणाली को खोजना सामान्य रूप से कठिन है जो प्रत्येक भौतिक अवस्था को विशिष्ट रूप से कूटबद्ध करता है। नतीजतन, आमतौर पर प्रत्येक राज्य की कई प्रतियों के साथ एक समन्वय प्रणाली का उपयोग करना और फिर ओवरकाउंटिंग को पहचानना और निकालना आवश्यक होता है।

ओवरकाउंटिंग को हटाने का एक कच्चा तरीका चरण स्थान के उप-क्षेत्र को मैन्युअल रूप से परिभाषित करना होगा जिसमें प्रत्येक भौतिक अवस्था को केवल एक बार शामिल किया जाता है और फिर चरण स्थान के अन्य सभी भागों को बाहर कर दिया जाता है। एक गैस में, उदाहरण के लिए, कोई केवल उन चरणों को शामिल कर सकता है जहां कण ' $h$ निर्देशांक आरोही क्रम में क्रमबद्ध हैं। हालांकि यह समस्या को हल कर देगा, परिणामी इंटीग्रल ओवर फेज स्पेस अपने असामान्य सीमा आकार के कारण प्रदर्शन करने के लिए थकाऊ होगा। (इस मामले में, कारक C}ऊपर पेश किया गया } पर सेट किया जाएगा $h$, और अभिन्न चरण स्थान के चयनित उपक्षेत्र तक ही सीमित रहेगा।)

ओवरकाउंटिंग को ठीक करने का एक सरल तरीका है कि सभी फेज स्पेस को एकीकृत किया जाए, लेकिन ओवरकाउंटिंग की भरपाई करने के लिए प्रत्येक फेज के वजन को कम किया जाए। यह कारक द्वारा पूरा किया जाता है $k log 2$ ऊपर प्रस्तुत किया गया है, जो एक पूर्ण संख्या है जो दर्शाती है कि चरण स्थान में भौतिक स्थिति को कितने तरीकों से दर्शाया जा सकता है। निरंतर विहित निर्देशांक के साथ इसका मान भिन्न नहीं होता है, इसलिए ओवरकाउंटिंग को कैनोनिकल कोऑर्डिनेट्स की पूरी रेंज को इंटीग्रेट करके, फिर ओवरकाउंटिंग फैक्टर से परिणाम को विभाजित करके ठीक किया जा सकता है। हालाँकि, $kT log 2$ असतत चर जैसे कणों की संख्या के साथ दृढ़ता से भिन्न होता है, और इसलिए इसे कण संख्याओं पर योग करने से पहले लागू किया जाना चाहिए।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, इस ओवरकाउंटिंग का उत्कृष्ट उदाहरण एक द्रव प्रणाली के लिए है जिसमें विभिन्न प्रकार के कण होते हैं, जहाँ एक ही प्रकार के दो कण अप्रभेद्य और विनिमेय होते हैं। जब स्थिति को कणों की अलग-अलग स्थिति और संवेग के संदर्भ में लिखा जाता है, तो समान कणों के आदान-प्रदान से संबंधित ओवरकाउंटिंग का उपयोग करके ठीक किया जाता है :$$C = N_1! N_2! \ldots N_s!.$$ इसे सही बोल्ट्जमैन काउंटिंग के रूप में जाना जाता है।

आँकड़ों में एनसेंबल
भौतिक विज्ञान में उपयोग किए जाने वाले सांख्यिकीय समुच्चयों का सूत्रीकरण अब अन्य क्षेत्रों में व्यापक रूप से अपनाया गया है, क्योंकि यह माना गया है कि विहित पहनावा या गिब्स उपाय एक प्रणाली की एन्ट्रापी को अधिकतम करने के लिए कार्य करता है, जो बाधाओं के एक सेट के अधीन है: यह है अधिकतम एन्ट्रापी का सिद्धांत। यह सिद्धांत अब व्यापक रूप से भाषाविज्ञान, रोबोटिक्स और इसी तरह की समस्याओं पर लागू किया गया है।

इसके अलावा, भौतिकी में सांख्यिकीय समेकन अक्सर स्थानीयता के सिद्धांत पर बनाए जाते हैं: सभी इंटरैक्शन केवल पड़ोसी परमाणुओं या आस-पास के अणुओं के बीच होते हैं। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, जाली मॉडल (भौतिकी), जैसे कि आइसिंग मॉडल, स्पिन के बीच निकटतम-पड़ोसी इंटरैक्शन के माध्यम से फेरोमैग्नेटिक सामग्री का मॉडल। स्थानीयता के सिद्धांत का सांख्यिकीय सूत्रीकरण अब व्यापक अर्थों में मार्कोव संपत्ति का एक रूप माना जाता है; निकटतम पड़ोसी अब मार्कोव कंबल हैं। इस प्रकार, निकटतम-पड़ोसी इंटरैक्शन के साथ एक सांख्यिकीय पहनावा की सामान्य धारणा मार्कोव यादृच्छिक क्षेत्रों की ओर ले जाती है, जो फिर से व्यापक प्रयोज्यता पाती है; उदाहरण के लिए हॉपफील्ड नेटवर्क में।

औसत पहनावा
सांख्यिकीय यांत्रिकी में, समेकन औसत को उस मात्रा के माध्य के रूप में परिभाषित किया जाता है जो इस सांख्यिकीय संग्रह (गणितीय भौतिकी) में इसके सूक्ष्म-राज्यों पर प्रणाली के वितरण के अनुसार, एक प्रणाली के माइक्रोस्टेट (सांख्यिकीय यांत्रिकी) का एक कार्य है।.

चूंकि पहनावा औसत चुने गए सांख्यिकीय पहनावा (गणितीय भौतिकी) पर निर्भर है, इसकी गणितीय अभिव्यक्ति पहनावा से पहनावा में भिन्न होती है। हालाँकि, किसी दिए गए भौतिक मात्रा के लिए प्राप्त माध्य थर्मोडायनामिक सीमा पर चुने गए पहनावा पर निर्भर नहीं करता है। ग्रैंड कैनोनिकल पहनावा थर्मोडायनामिक सिस्टम # ओपन सिस्टम का एक उदाहरण है।

शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी
अपने पर्यावरण के साथ थर्मल संतुलन में शास्त्रीय प्रणाली के लिए, पहनावा औसत प्रणाली के चरण स्थान पर एक अभिन्न अंग का रूप लेता है:


 * $$\bar{A}=\frac{\int{Ae^{-\beta H(q_1, q_2, ... q_M, p_1, p_2, ... p_N)}d\tau}}{\int{e^{-\beta H(q_1, q_2, ... q_M, p_1, p_2, ... p_N)}d\tau}}$$

कहाँ:


 * $$\bar{A}$$ सिस्टम संपत्ति ए का समेकन औसत है,


 * $$\beta$$ है $$\frac {1}{kT}$$, थर्मोडायनामिक बीटा के रूप में जाना जाता है,


 * H निर्देशांक के समुच्चय के संदर्भ में शास्त्रीय प्रणाली का हैमिल्टनियन यांत्रिकी है $$q_i$$ और उनके संयुग्म सामान्यीकृत संवेग $$p_i$$, और


 * $$d\tau$$ रुचि के शास्त्रीय चरण स्थान का आयतन तत्व है।

इस अभिव्यक्ति में विभाजक को विभाजन फ़ंक्शन (सांख्यिकीय यांत्रिकी) के रूप में जाना जाता है, और अक्षर Z द्वारा निरूपित किया जाता है।

क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी
क्वांटम सांख्यिकीय यांत्रिकी में, अपने पर्यावरण के साथ थर्मल संतुलन में एक क्वांटम प्रणाली के लिए, भारित औसत एक सतत अभिन्न के बजाय ऊर्जा eigenvalues ​​​​के योग का रूप लेता है:


 * $$\bar{A}=\frac{\sum_i{A_ie^{-\beta E_i}}}{\sum_i{e^{-\beta E_i}}}$$

विहित पहनावा औसत
विभाजन फ़ंक्शन (गणित) का सामान्यीकृत संस्करण ऊष्मप्रवैगिकी, सूचना सिद्धांत, सांख्यिकीय यांत्रिकी और क्वांटम यांत्रिकी में समेकन औसत के साथ काम करने के लिए पूर्ण रूपरेखा प्रदान करता है।

माइक्रोकैनोनिकल पहनावा एक पृथक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें ऊर्जा (ई), आयतन (वी) और कणों की संख्या (एन) सभी स्थिर हैं। विहित पहनावा एक बंद प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है जो अपने परिवेश (आमतौर पर एक गर्मी स्नान) के साथ ऊर्जा (ई) का आदान-प्रदान कर सकता है, लेकिन मात्रा (वी) और कणों की संख्या (एन) सभी स्थिर हैं। ग्रैंड कैनोनिकल पहनावा एक खुली प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है जो ऊर्जा (ई) के साथ-साथ कणों को अपने परिवेश के साथ विनिमय कर सकता है लेकिन मात्रा (वी) को स्थिर रखा जाता है।

परिचालन व्याख्या
अब तक की गई चर्चा में, कठोर होते हुए भी, हमने यह मान लिया है कि एक पहनावा की धारणा एक प्राथमिकता के रूप में मान्य है, जैसा कि आमतौर पर भौतिक संदर्भ में किया जाता है। जो नहीं दिखाया गया है वह यह है कि पहनावा स्वयं (परिणाम परिणाम नहीं) गणितीय रूप से एक सटीक परिभाषित वस्तु है। उदाहरण के लिए,


 * यह स्पष्ट नहीं है कि सिस्टम का इतना बड़ा सेट कहाँ मौजूद है (उदाहरण के लिए, क्या यह एक बॉक्स में गैस है?)
 * यह स्पष्ट नहीं है कि कैसे शारीरिक रूप से एक पहनावा उत्पन्न किया जाए।

इस खंड में, हम आंशिक रूप से इस प्रश्न का उत्तर देने का प्रयास करते हैं।

मान लीजिए हमारे पास भौतिकी में एक प्रणाली के लिए तैयारी प्रक्रिया है लैब: उदाहरण के लिए, प्रक्रिया में एक भौतिक उपकरण और शामिल हो सकता है उपकरण में हेरफेर करने के लिए कुछ प्रोटोकॉल। इस तैयारी प्रक्रिया के परिणामस्वरूप, कुछ system कुछ छोटी अवधि के लिए अलगाव में उत्पादित और बनाए रखा जाता है। इस प्रयोगशाला तैयारी प्रक्रिया को दोहराने से हमें एक प्राप्त होता है सिस्टम एक्स का अनुक्रम1, एक्स2, ....,एक्सk, जो हमारे गणितीय आदर्शीकरण में, हम मानते हैं कि सिस्टम का अनंत क्रम है। प्रणालियां समान हैं कि वे सभी एक ही तरह से उत्पादित की गई थीं। यह अनंत क्रम एक समूह है।

एक प्रयोगशाला सेटिंग में, इनमें से प्रत्येक तैयार सिस्टम को इनपुट के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है एक बाद की परीक्षण प्रक्रिया के लिए। फिर से, परीक्षण प्रक्रिया एक भौतिक उपकरण और कुछ प्रोटोकॉल शामिल हैं; के परिणामस्वरूप परीक्षण प्रक्रिया हमें हां या ना में उत्तर मिलता है। प्रत्येक तैयार प्रणाली पर लागू एक परीक्षण प्रक्रिया ई को देखते हुए, हम मूल्यों का एक क्रम प्राप्त करते हैं मीस (ई, एक्स1), मीस (ई, एक्स2), ..., मीस (ई, एक्सk). इनमें से प्रत्येक मान 0 (या नहीं) या 1 (हाँ) है।

मान लें कि निम्न समय औसत मौजूद है:
 * $$ \sigma(E) = \lim_{N \rightarrow \infty} \frac{1}{N} \sum_{k=1}^N \operatorname{Meas}(E, X_k) $$

क्वांटम मैकेनिकल सिस्टम के लिए, में बनाई गई एक महत्वपूर्ण धारणा क्वांटम यांत्रिकी के लिए क्वांटम तर्क दृष्टिकोण हां-नहीं प्रश्नों की पहचान है हिल्बर्ट अंतरिक्ष के बंद उप-स्थानों की जाली। कुछ अतिरिक्त के साथ तकनीकी मान्यताओं से कोई यह अनुमान लगा सकता है कि राज्य किसके द्वारा दिए गए हैं घनत्व ऑपरेटर एस ताकि:
 * $$ \sigma(E) = \operatorname{Tr}(E S). $$

हम देखते हैं कि यह सामान्य रूप से क्वांटम राज्यों की परिभाषा को दर्शाता है: एक क्वांटम राज्य वेधशालाओं से उनकी अपेक्षा के मूल्यों का मानचित्रण है।

यह भी देखें

 * घनत्व मैट्रिक्स
 * पहनावा (द्रव यांत्रिकी)
 * फेज स्पेस
 * लिउविल का प्रमेय (हैमिल्टनियन)
 * मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन सांख्यिकी
 * प्रतिकृति (सांख्यिकी)

बाहरी संबंध

 * Monte Carlo applet applied in statistical physics problems.