एलपी स्पेस

गणित में एलपी स्पेस समारोह का विशेष स्थान हैं जिन्हें सामान्य गत पी साधरणतया प्राकृतिक सामान्यीकरण का उपयोग करके परिभाषित गया है पी परिमित आयामी सदिश के लिए मानदंड है उन्हें कभी-कभी लेबेस्गु स्पेस भी कहा जाता है जिसका नाम हेनरी लेबेस्ग्यू के नाम पर रखा गया है  जबकि निकोलस बोरबाकी समूह के बोर बाकी 1927वें सबसे पहले फ्राइजेस रेज्जि द्वारा पेश किए गए।.

एलपी रिक्त स्थान कार्यात्मक विश्लेषण और सदिश स्थान में रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण वर्ग बनाते हैं जो माप और संभाव्यता रिक्त स्थान के गणितीय विश्लेषण में उनकी महत्वपूर्ण भूमिका के कारण भौतिकी, सांख्यिकी, अर्थशास्त्र, वित्त, इंजीनियरिंग और अन्य विषयों में समस्याओं की सैद्धांतिक चर्चा में भी लेबेस्गु द्वारा रिक्त स्थान का उपयोग किया जाता है।

सांख्यिकी
आँकड़ों में केंद्रीय प्रवृत्ति की माप और सांख्यिकीय फैलाव और मानक विचलन को किस संदर्भ में परिभाषित किया जाता है एलपी फलन और केंद्रीय प्रवृत्ति के उपायों को केंद्रीय प्रवृत्ति तथा संख्याओं की सारिणी को परिवर्तनशील समस्याओं के समाधान के रूप में चित्रित किया जा सकता है।

दंडित प्रतिगमन में एल 1 जुर्माना और एल 2 जुर्माना गाड़ी के अगले भाग में ज्यामिति को दंडित करने का संदर्भ देता है ।

हिल्बर्ट रिक्त स्थान
प्रमात्रा यांत्रिकी को लेकर प्रसंभाव्य गणना तक हिल्बर्ट अंतरिक्ष कई अनुप्रयोगों के लिए केंद्रीय हैं तथा इसमें $$L^2$$ और $$\ell^2$$ दोनों हिल्बर्ट रिक्त स्थान हैं वास्तव में हिल्बर्ट आधार विश्लेषण $$E,$$जबकि एक अधिकतम प्रसामान्य विश्लेषण $$L^2$$ या कोई हिल्बर्ट स्पेस लोकप्रिय होता है।

$p$}-परिमित आयामों में मानदंड
एक सदिश की लंबाई $$x = (x_1, x_2, \dots, x_n)$$ में $$n$$-आयामी वास्तविक संख्या सदिश अंतरिक्ष $$\Reals^n$$ अधिकतर यूक्लिडियन मानदंड द्वारा दिया जाता है: $$\|x\|_2 = \left({x_1}^2 + {x_2}^2 + \dotsb + {x_n}^2\right)^{1/2}.$$ दो बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी $$x$$ और $$y$$ है $$\|x - y\|_2$$ दो बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा कई स्थितियों में किसी दिए गए स्थान में वास्तविक दूरी को पकड़ने के लिए यूक्लिडियन दूरी अपर्याप्त है इसका एक सादृश्य टैक्सी चालक द्वारा एक विद्युत वितरण योजना में सुझाया गया है जिन्हें दूरी को अपने गंतव्य तक सीधी रेखा की लंबाई के संदर्भ में नहीं बल्कि चालक के संदर्भ में मापना चाहिए जो इस बात को ध्यान में रखता है कि सड़कें या तो घुमावदार हैं या एक दूसरे के समानांतर हैं वर्ग $$p$$-मानदंड इन दो उदाहरणों का सामान्यीकरण करते हैं और गणित भौतिकी और कंप्यूटर विज्ञान के कई हिस्सों में इसके अनुप्रयोगों की आवश्यकता है।

परिभाषा
वास्तविक संख्या के लिए $$p \geq 1,$$ $$p$$मानक या$$L^p$$मानक $$x$$ द्वारा परिभाषित किया गया है $$\|x\|_p = \left(|x_1|^p + |x_2|^p + \dotsb + |x_n|^p\right)^{1/p}.$$ निरपेक्ष मान तब गिराए जा सकते हैं जब $$p$$ एक परिमेय संख्या है जिसका एक सम अंश इसके घटे हुए रूप में है और $$x$$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय या उसके किसी एक उपसमुच्चय से निकाला जाता है।

ऊपर से यूक्लिडियन मानदंड इस वर्ग में आता है और यह है $$2$$और $$1$$वह मानदंड है जो गाड़ी चालक से मेल खाता है। $$(x_n) \mapsto \sum_n 2^{-n} \frac{|x_n|}{1 +|x_n|},$$ जिस पर मेट्रिक लीनियर स्पेस में स्टीफ़न रोलविक्ज़ द्वारा चर्चा की गई है। $$\ell_0$$वें>-सामान्य स्थान का अध्ययन कार्यात्मक विश्लेषण, संभाव्यता सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण में किया जाता है।

एक और समारोह कहा जाता था $$\ell_0$$ डेविड डोनोहो द्वारा मानदंड - जिसका उद्धरण चिह्न चेतावनी देता है कि यह फ़ंक्शन एक उचित मानदंड नहीं है - वेक्टर की गैर-शून्य प्रविष्टियों की संख्या है $$x.$$ कई लेखक उद्धरण चिह्नों को छोड़ कर शब्दावली का दुरुपयोग करते हैं। शून्य की घात शून्य की परिभाषा |$$0^0 = 0,$$का शून्य मानदंड $$x$$ के बराबर है $$|x_1|^0 + |x_2|^0 + \cdots + |x_n|^0 .$$

यह एक आदर्श (गणित) नहीं है क्योंकि यह सजातीय कार्य नहीं है। उदाहरण के लिए, वेक्टर स्केलिंग $$x$$ एक सकारात्मक स्थिरांक से मानदंड नहीं बदलता है। गणितीय मानदंड के रूप में इन दोषों के बावजूद, गैर-शून्य गणना मानदंड का वैज्ञानिक कंप्यूटिंग, सूचना सिद्धांत और सांख्यिकी में उपयोग होता है - विशेष रूप से संकेत आगे बढ़ाना और कम्प्यूटेशनल हार्मोनिक विश्लेषण में संपीड़ित संवेदन में। मानक नहीं होने के बावजूद, संबंधित मीट्रिक, जिसे हैमिंग दूरी के रूप में जाना जाता है, एक मान्य दूरी है, क्योंकि दूरी के लिए समरूपता की आवश्यकता नहीं होती है।

अनुक्रम स्थान $p$
$$p$$th>-norm को उन सदिशों तक बढ़ाया जा सकता है जिनमें अनंत संख्या में घटक अनुक्रम होते हैं जो स्थान उत्पन्न करते हैं $$\ell^p.$$इसमें विशेष जगहों के रूप में सम्मिलित हैं
 * $$\ell^1,$$अनुक्रमों का स्थान जिसकी श्रृंखला पूर्ण अभिसरण है
 * $$\ell^2,$$ वर्ग-संकलन योग्य अनुक्रमों का स्थान जो एक हिल्बर्ट स्थान है
 * $$\ell^\infty,$$ बंधे हुए अनुक्रमों का स्थान है।

$$\left(1, \frac{1}{2}, \ldots, \frac{1}{n}, \frac{1}{n+1}, \ldots\right)$$

$$\langle \left(x_i\right)_{i}, \left(y_n\right)_{i} \rangle_{\ell^2} ~=~ \sum_i x_i \overline{y_i}$$

जबकि अंतरिक्ष के लिए $$L^2(X, \mu)$$ एक माप (गणित) के साथ संबद्ध $$(X, \Sigma, \mu),$$ जिसमें सभी स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन शामिल हैं, यह है $$\langle f, g \rangle_{L^2} = \int_X f(x) \overline{g(x)}\, \mathrm dx.$$ अब मामले पर विचार करें $$p = \infty.$$ परिभाषित करना $$\ell^\infty(I)=\{x\in \mathbb K^I : \sup\operatorname{range}|x|<+\infty\},$$ जहां सभी के लिए $$x$$ $$\|x\|_\infty\equiv\inf\{C \in \Reals_{\geq 0}:|x_i| \leq C\text{ for all } i \in I\} = \begin{cases}\sup\operatorname{range}|x|&\text{if } X\neq\varnothing,\\0&\text{if } X=\varnothing.\end{cases}$$ सूचकांक सेट $$I$$ इसे Σ-बीजगणित#सरल सेट-आधारित उदाहरण|असतत σ-बीजगणित और गिनती के उपाय देकर माप स्थान में बदला जा सकता है। फिर अंतरिक्ष $$\ell^p(I)$$ अधिक सामान्य का सिर्फ एक विशेष मामला है $$L^p$$-स्पेस (नीचे परिभाषित)।

एलp रिक्त स्थान और Lebesgue इंटीग्रल
एक $$L^p$$ अंतरिक्ष को मापने योग्य कार्यों के स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसके लिए $$p$$निरपेक्ष मूल्य की -थ शक्ति लेबेस्ग इंटीग्रेबल है, जहां ऐसे कार्यों की पहचान की जाती है जो लगभग हर जगह सहमत होते हैं। अधिक आम तौर पर, चलो $$(S, \Sigma, \mu)$$ एक माप स्थान हो और $$1 \leq p \leq \infty.$$ कब $$p$$ वास्तविक है (अर्थात, $$p \neq \infty$$), सेट पर विचार करें $$\mathcal{L}^p(S,\, \mu)$$ सभी मापने योग्य कार्यों की $$f$$ से $$S$$ को $$\Complex$$ या $$\Reals$$ जिसका निरपेक्ष मान को बढ़ा दिया गया है $$p$$-वें शक्ति का एक परिमित अभिन्न, या समकक्ष है, वह $$\|f\|_p ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \left(\int_S |f|^p\;\mathrm{d}\mu\right)^{1/p} < \infty.$$ के लिए $$p = \infty,$$ अंतरिक्ष $$\mathcal{L}^\infty(S,\mu)$$ मापने योग्य कार्यों का स्थान है $$f$$ लगभग हर जगह घिरा हुआ है, जिसका सेमिनोर्म $$\|f\|_\infty$$ इन सीमाओं का (पूर्ण मान) सबसे कम है, जो कब $$\mu(S) \neq 0$$ इसके पूर्ण मूल्य के आवश्यक उच्चतम के समान है: $$\|f\|_\infty ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \inf \{C \in \Reals_{\geq 0} : |f(s)| \leq C \text{ for almost every } s\} = \begin{cases}\operatorname{esssup}|f| & \text{if } 0 < \mu(S),\\ 0 & \text{if } 0 = \mu(S).\end{cases}$$ दो कार्य $$f$$ और $$g$$ पर परिभाषित $$S$$ कहा जाता है, लिखा हुआ , अगर सेट $$\{s \in S : f(s) \neq g(s)\}$$ मापने योग्य है और इसका माप शून्य है। इसी प्रकार, उपरोक्त परिभाषा में,$$|f(s)| \leq C$$ लगभग हर के लिए $$s$$इसका मतलब है कि (जरूरी) औसत दर्जे का सेट $$\{s \in S : |f(s)| > C\}$$ माप शून्य है।

उदाहरण के लिए, यदि $$f$$ एक मापने योग्य कार्य है जो इसके बराबर है $$0$$ लगभग हर जगह तब $$\|f\|_p = 0$$ हरएक के लिए $$p$$ और इस तरह $$f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu)$$ सभी के लिए $$p.$$ का सेमिनोर्म्ड स्थान $$p$$-थ पावर इंटीग्रेबल फंक्शन

कार्यों का प्रत्येक सेट $$\mathcal{L}^p(S,\, \mu)$$ जब जोड़ और अदिश गुणन को बिंदुवार परिभाषित किया जाता है, तो एक सदिश समष्टि बनाता है। वह दो का योग है $$p$$-थ पावर इंटीग्रेबल फंक्शन $$f$$ और $$g$$ फिर से है $$p$$-सम्पूर्ण शक्ति इससे प्रवाहित होती है $\|f + g\|_p^p \leq 2^{p-1} \left(\|f\|_p^p + \|g\|_p^p\right),$ हालांकि यह भी मिन्कोव्स्की असमानता|मिन्कोव्स्की की असमानता का परिणाम है $$\|f + g\|_p \leq \|f\|_p + \|g\|_p$$ जो यह स्थापित करता है $$\|\cdot\|_p$$ के लिए त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है $$1 \leq p \leq \infty$$ (त्रिभुज असमानता धारण नहीं करती है $$0 < p < 1$$). वह $$\mathcal{L}^p(S,\, \mu)$$ अदिश गुणन के अंतर्गत संवृत है, जिसके कारण है $$\|\cdot\|_p$$ पूर्ण समरूपता, जिसका अर्थ है $$\|s f\|_p = |s| \|f\|_p$$ प्रत्येक अदिश के लिए $$s$$ और हर समारोह $$f.$$ पूर्ण एकरूपता, त्रिभुज असमानता और गैर-नकारात्मकता एक सेमिनोर्म के परिभाषित गुण हैं। इस प्रकार $$\|\cdot\|_p$$ एक सेमिनॉर्म और सेट है $$\mathcal{L}^p(S,\, \mu)$$ का $$p$$-थ पावर इंटीग्रेबल फंक्शन फंक्शन के साथ मिलकर काम करता है $$\|\cdot\|_p$$ एक सेमीनॉर्मड वेक्टर स्पेस को परिभाषित करता है। सामान्य तौर पर, सेमिनॉर्म $$\|\cdot\|_p$$ एक सामान्य (गणित) नहीं है क्योंकि मापने योग्य कार्य मौजूद हो सकते हैं $$f$$ जो संतुष्ट करता है $$\|f\|_p = 0$$ लेकिन नहीं हैं के बराबर $$0$$ ($$\|\cdot\|_p$$ एक आदर्श है अगर और केवल अगर ऐसा नहीं है $$f$$ मौजूद)।

के शून्य सेट $$p$$-सेमिनोर्म्स

अगर $$f$$ मापने योग्य और बराबर है $$0$$ ए.ई. तब $$\|f\|_p = 0$$ सभी सकारात्मक के लिए $$p \leq \infty.$$ वहीं दूसरी ओर अगर $$f$$ एक मापने योग्य कार्य है जिसके लिए कुछ मौजूद है $$0 < p \leq \infty$$ ऐसा है कि $$\|f\|_p = 0$$ तब $$f = 0$$ लगभग हर जगह। कब $$p$$ परिमित है तो यह इस प्रकार से है $$p = 1$$ मामला और सूत्र $$\|f\|_p^p = \||f|^p\|_1,$$ जो स्वयं से अनुसरण करता है $$\|f\|_p^r = \|f^r\|_{p/r},$$ जो कभी भी धारण करता है $$f \geq 0$$ मापने योग्य है, $$r > 0$$ वास्तविक है, और $$0 < p \leq \infty$$ (कहाँ $$\infty / r \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; \infty$$ कब $$p = \infty$$).

इस प्रकार यदि $$p \leq \infty$$ सकारात्मक है और $$f$$ कोई मापने योग्य कार्य है, फिर $$\|f\|_p = 0$$ अगर और केवल अगर $$f = 0$$ लगभग हर जगह। चूंकि दाहिने हाथ की ओर ($$f = 0$$ a.e.) का उल्लेख नहीं है $$p,$$ यह सब इस प्रकार है $$\|\cdot\|_p$$ एक ही शून्य सेट है (यह निर्भर नहीं करता है $$p$$). तो इस सामान्य सेट को निरूपित करें $$\mathcal{N} \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; \{f : f = 0 \ \mu\text{-almost everywhere} \} = \{f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu) : \|f\|_p = 0\} \qquad \forall \ p.$$ यह समुच्चय की सदिश उपसमष्टि है $$\mathcal{L}^p(S,\, \mu)$$ प्रत्येक सकारात्मक के लिए $$p \leq \infty.$$ भागफल वेक्टर स्थान

हर सेमिनॉर्म की तरह, सेमिनॉर्म $$\|\cdot\|_p$$ के विहित भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) पर एक मानदंड (गणित) (शीघ्र ही परिभाषित) को प्रेरित करता है $$\mathcal{L}^p(S,\, \mu)$$ इसके वेक्टर सबस्पेस द्वारा $\mathcal{N} = \{f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu) : \|f\|_p = 0\}.$ इस नॉर्म्ड कोशेंट स्पेस को कहा जाता है और यह इस लेख का विषय है। हम भागफल सदिश समष्टि को परिभाषित करके प्रारंभ करते हैं।

कोई दिया $$f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu),$$ सह समुच्चय  $$f + \mathcal{N} \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; \{f + h : h \in \mathcal{N}\}$$ सभी मापने योग्य कार्यों के होते हैं $$g$$ कि बराबर हैं $$f$$ लगभग हर जगह। सभी सहसमुच्चयों का समुच्चय, जिसे विशिष्ट रूप से निरूपित किया जाता है $$\mathcal{L}^p(S, \mu) / \mathcal{N} \stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=} \{f + \mathcal{N} : f \in \mathcal{L}^p(S, \mu)\},$$ सदिश समष्टि बनाता है जब सदिश योग और अदिश गुणन द्वारा परिभाषित किया जाता है $$(f + \mathcal{N}) + (g + \mathcal{N}) \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; (f + g) + \mathcal{N}$$ और $$s (f + \mathcal{N}) \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; (s f) + \mathcal{N}.$$ यह विशेष भागफल सदिश स्थान द्वारा निरूपित किया जाएगा $$L^p(S,\, \mu) ~\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}~ \mathcal{L}^p(S, \mu) / \mathcal{N}.$$ दो कोसेट बराबर हैं $$f + \mathcal{N} = g + \mathcal{N}$$ अगर और केवल अगर $$g \in f + \mathcal{N}$$ (या समकक्ष, $$f - g \in \mathcal{N}$$), जो होता है अगर और केवल अगर $$f = g$$ लगभग हर जगह; अगर ऐसा है तो $$f$$ और $$g$$ भागफल स्थान में पहचाने जाते हैं। $$p$$वें>- भागफल सदिश स्थान पर मानदंड

कोई दिया $$f \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu),$$ सेमिनोर्म का मूल्य $$\|\cdot\|_p$$ कोसेट पर $$f + \mathcal{N} = \{f + h : h \in \mathcal{N}\}$$ स्थिर और बराबर है $$\|f\|_p;$$ द्वारा इस अद्वितीय मूल्य को निरूपित करें $$\|f + \mathcal{N}\|_p,$$ ताकि: $$\|f + \mathcal{N}\|_p \;\stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=}\; \|f\|_p.$$ यह असाइनमेंट $$f + \mathcal{N} \mapsto \|f + \mathcal{N}\|_p$$ एक मानचित्र को परिभाषित करता है, जिसे इसके द्वारा भी दर्शाया जाएगा $$\|\cdot\|_p,$$ भागफल स्थान पर (रैखिक बीजगणित) $$L^p(S, \mu) \stackrel{\scriptscriptstyle\text{def}}{=} \mathcal{L}^p(S, \mu) / \mathcal{N} ~=~ \{f + \mathcal{N} : f \in \mathcal{L}^p(S, \mu)\}.$$ यह नक्शा एक नॉर्म (गणित) पर है $$L^p(S, \mu)$$ इसको कॉल किया गया. मूल्य $$\|f + \mathcal{N}\|_p$$ एक कोसेट का $$f + \mathcal{N}$$ विशेष कार्य से स्वतंत्र है $$f$$ जिसे कोसेट का प्रतिनिधित्व करने के लिए चुना गया था, जिसका अर्थ है कि यदि $$\mathcal{C} \in L^p(S, \mu)$$ कोई सहसमुच्चय है $$\|\mathcal{C}\|_p = \|f\|_p$$ हरएक के लिए $$f \in \mathcal{C}$$ (तब से $$\mathcal{C} = f + \mathcal{N}$$ हरएक के लिए $$f \in \mathcal{C}$$).

लेबेस्ग्यू $$L^p$$ अंतरिक्ष

नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस $$\left(L^p(S, \mu), \|\cdot\|_p\right)$$ कहा जाता है या  का $$p$$-थ पावर इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस और यह हर किसी के लिए एक बैनच स्पेस है $$1 \leq p \leq \infty$$ (जिसका अर्थ है कि यह एक पूर्ण मीट्रिक स्थान है, एक परिणाम जिसे कभी-कभी रिज-फिशर प्रमेय कहा जाता है)। जब अंतर्निहित स्थान को मापता है $$S$$ तब समझा जाता है $$L^p(S, \mu)$$ अक्सर संक्षिप्त किया जाता है $$L^p(\mu),$$ या यहाँ तक कि बस $$L^p.$$ लेखक के आधार पर, सबस्क्रिप्ट नोटेशन $$L_p$$ या तो निरूपित कर सकता है $$L^p(S, \mu)$$ या $$L^{1/p}(S, \mu).$$ यदि सेमिनॉर्म $$\|\cdot\|_p$$ पर $$\mathcal{L}^p(S,\, \mu)$$ एक मानक होता है (जो होता है अगर और केवल अगर $$\mathcal{N} = \{0\}$$) फिर मानदंड स्थान $$\left(\mathcal{L}^p(S,\, \mu), \|\cdot\|_p\right)$$ रैखिक मानचित्र isometrically isomorphic to the normaled quotient space होगा $$\left(L^p(S, \mu), \|\cdot\|_p\right)$$ कैनोनिकल मानचित्र के माध्यम से $$g \in \mathcal{L}^p(S,\, \mu) \mapsto \{g\}$$ (तब से $$g + \mathcal{N} = \{g\}$$); दूसरे शब्दों में, वे, एक रेखीय समरूपता तक, समान मानक स्थान होंगे और इसलिए वे दोनों कहे जा सकते हैं$$L^p$$ अंतरिक्ष ।

उपरोक्त परिभाषाएँ Bochner रिक्त स्थान के लिए सामान्यीकृत हैं।

सामान्य तौर पर, इस प्रक्रिया को उलटा नहीं किया जा सकता है: के प्रत्येक सहसमुच्चय के एक विहित प्रतिनिधि को परिभाषित करने का कोई सुसंगत तरीका नहीं है $$\mathcal{N}$$ में $$L^p.$$ के लिए $$L^\infty,$$ हालांकि, ऐसी वसूली को सक्षम करने वाला एक भारोत्तोलन सिद्धांत है।

विशेष मामले
के समान $$\ell^p$$ रिक्त स्थान, $$L^2$$ के बीच एकमात्र हिल्बर्ट स्थान है $$L^p$$ रिक्त स्थान। जटिल मामले में, आंतरिक उत्पाद चालू $$L^2$$ द्वारा परिभाषित किया गया है $$\langle f, g \rangle = \int_S f(x) \overline{g(x)} \, \mathrm{d}\mu(x)$$ अतिरिक्त आंतरिक उत्पाद संरचना एक समृद्ध सिद्धांत की अनुमति देती है, उदाहरण के लिए, फूरियर श्रृंखला और क्वांटम यांत्रिकी के अनुप्रयोगों के साथ। में कार्य करता है $$L^2$$ कभी-कभी स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन, क्वाड्रेटिक रूप से इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस या स्क्वायर-संक्षिप्त फ़ंक्शन कहा जाता है, लेकिन कभी-कभी ये शब्द ऐसे फ़ंक्शन के लिए आरक्षित होते हैं जो किसी अन्य अर्थ में स्क्वायर-इंटीग्रेबल होते हैं, जैसे रीमैन इंटीग्रल के अर्थ में.

यदि हम जटिल-मूल्यवान कार्यों का उपयोग करते हैं, तो space $$L^\infty$$ बिंदुवार गुणन और संयुग्मन के साथ एक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित है। कई माप स्थानों के लिए, सभी सिग्मा-परिमित वाले सहित, यह वास्तव में एक कम्यूटेटिव वॉन न्यूमैन बीजगणित है। का एक तत्व $$L^\infty$$ किसी पर एक बाध्य ऑपरेटर को परिभाषित करता है $$L^p$$ गुणा ऑपरेटर द्वारा अंतरिक्ष।

के लिए $$1 \leq p \leq \infty$$ $$\ell^p$$ रिक्त स्थान का एक विशेष मामला है $$L^p$$ रिक्त स्थान, जब $$S = \mathbf{N})$$ प्राकृतिक संख्याओं से मिलकर बनता है और $$\mu$$ मतगणना चालू है $$\mathbf{N}.$$अधिक आम तौर पर, अगर कोई किसी सेट पर विचार करता है $$S$$ गिनती के उपाय के साथ, परिणामी $$L^p$$ अंतरिक्ष को दर्शाया गया है $$\ell^p(S).$$ उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष $$\ell^p(\mathbf{Z})$$पूर्णांकों द्वारा अनुक्रमित सभी अनुक्रमों का स्थान है, और परिभाषित करते समय $$p$$-ऐसी जगह पर मानदंड, सभी पूर्णांकों पर योग करता है। अंतरिक्ष $$\ell^p(n),$$ कहाँ $$n$$ के साथ सेट है $$n$$ तत्व, है $$\Reals^n$$ के साथ $$p$$-मानदंड जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है। किसी भी हिल्बर्ट स्पेस की तरह, हर स्पेस $$L^2$$ एक उपयुक्त के लिए रैखिक रूप से आइसोमेट्रिक है $$\ell^2(I),$$ जहां सेट की प्रमुखता $$I$$ इस विशेष के लिए मनमाने ढंग से हिल्बर्टियन आधार की प्रमुखता है $$L^2.$$

एल के गुण पी  रिक्त स्थान
असतत मामले में, यदि मौजूद है $$q < \infty$$ ऐसा है कि $$f \in L^\infty(S, \mu) \cap L^q(S, \mu),$$ तब $$\|f\|_\infty = \lim_{p \to \infty}\|f\|_p.$$ होल्डर की असमानता

कल्पना करना $$p, q, r \in [1, \infty]$$ संतुष्ट करना $$\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = \tfrac{1}{r}$$ (कहाँ $$\tfrac{1}{\infty} := 0$$). अगर $$f \in L^p(S, \mu)$$ और $$g \in L^q(S, \mu)$$ तब $$f g \in L^r(S, \mu)$$ और $$\|f g\|_r ~\leq~ \|f\|_p \, \|g\|_q.$$ यह असमानता, जिसे होल्डर की असमानता कहा जाता है, एक मायने में इष्टतम है अगर के बाद से $$r = 1$$ (इसलिए $$\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1$$) और $$f$$ एक मापने योग्य कार्य है जैसे कि $$\sup_{\|g\|_q \leq 1} \, \int_S |f g| \, \mathrm{d} \mu ~<~ \infty$$ जहां सुप्रीमम को बंद यूनिट बॉल पर ले जाया जाता है $$L^q(S, \mu),$$ तब $$f \in L^p(S, \mu)$$ और $$\|f\|_p ~=~ \sup_{\|g\|_q \leq 1} \, \int_S f g \, \mathrm{d} \mu.$$ मिन्कोव्स्की असमानता

Minkowski असमानता, जो बताता है कि $$\|\cdot\|_p$$ त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है, सामान्यीकृत किया जा सकता है: यदि मापने योग्य कार्य $$F : S_1 \times S_2 \to \Reals$$ तो सभी के लिए गैर-नकारात्मक है $$1 \leq p \leq q \leq \infty,$$ $$\left\|\left\|F(\,\cdot, s_2)\right\|_{L^p(S_1, \mu_1)}\right\|_{L^q(S_2, \mu_2)} ~\leq~ \left\|\left\|F(s_1, \cdot)\right\|_{L^q(S_2, \mu_2)}\right\|_{L^p(S_1, \mu_1)} \ .$$

परमाणु अपघटन
अगर $$1 \leq p < \infty$$ फिर हर गैर-नकारात्मक $$f \in L^p(\mu)$$ एक है, का अर्थ है कि एक अनुक्रम मौजूद है $$(r_n)_{n \in \Z}$$ गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का और गैर-ऋणात्मक कार्यों का एक क्रम $$(f_n)_{n \in \Z},$$ बुलाया , जिसका समर्थन करता है $$\left(\operatorname{supp} f_n\right)_{n \in \Z}$$ माप के असंयुक्त सेट हैं $$\mu\left(\operatorname{supp} f_n\right) \leq 2^{n+1},$$ ऐसा है कि $$f ~=~ \sum_{n \in \Z} r_n \, f_n \, ,$$ और प्रत्येक पूर्णांक के लिए $$n \in \Z,$$ $$\|f_n\|_\infty ~\leq~ 2^{-\tfrac{n}{p}} \, ,$$ और $$\tfrac{1}{2} \|f\|_p^p ~\leq~ \sum_{n \in \Z} r_n^p ~\leq~ 2 \|f\|^p_p \, ,$$ और जहाँ इसके अलावा, कार्यों का क्रम $$(r_n f_n)_{n \in \Z}$$ पर ही निर्भर करता है $$f$$ (यह स्वतंत्र है $$p$$). ये असमानताएं इसकी गारंटी देती हैं $$\|f_n\|_p^p \leq 2$$ सभी पूर्णांकों के लिए $$n$$ जबकि का समर्थन करता है $$(f_n)_{n \in \Z}$$ जोड़ो में असंयुक्त होने का तात्पर्य है $$\|f\|_p^p ~=~ \sum_{n \in \Z} r_n^p \, \|f_n\|^p_p \, .$$ प्रत्येक पूर्णांक के लिए पहले परिभाषित करके एक परमाणु अपघटन स्पष्ट रूप से दिया जा सकता है $$n \in \Z,$$ $$t_n = \inf \{t \in \Reals : \mu(f > t) < 2^n\}$$ (यह infinum द्वारा प्राप्त किया जाता है $$t_n;$$ वह है, $$\mu(f > t_n) < 2^n$$ रखता है) और फिर दे रहा है $$r_n ~=~ 2^{n/p} \, t_n ~ \text{ and } \quad f_n ~=~ \frac{f}{r_n} \, \mathbf{1}_{(t_{n+1} < f \leq t_n)}$$ कहाँ $$\mu(f > t) = \mu(\{s : f(s) > t\})$$ सेट के माप को दर्शाता है $$(f > t) := \{s \in S : f(s) > t\}$$ और $$\mathbf{1}_{(t_{n+1} < f \leq t_n)}$$ सेट के सूचक समारोह को दर्शाता है $$(t_{n+1} < f \leq t_n) := \{s \in S : t_{n+1} < f(s) \leq t_n\}.$$ क्रम $$(t_n)_{n \in \Z}$$ घट रहा है और में मिल रहा है $$0$$ जैसा $$n \to \infty.$$ नतीजतन, अगर $$t_n = 0$$ तब $$t_{n+1} = 0$$ और $$(t_{n+1} < f \leq t_n) = \varnothing$$ ताकि $$f_n = \frac{1}{r_n} \, f \,\mathbf{1}_{(t_{n+1} < f \leq t_n)}$$ के समान है $$0$$ (विशेष रूप से, विभाजन $$\tfrac{1}{r_n}$$ द्वारा $$r_n = 0$$ कोई समस्या नहीं पैदा करता है)।

पूरक संचयी वितरण समारोह $$t \in \Reals \mapsto \mu(|f| > t)$$ का $$|f| = f$$ जिसका उपयोग परिभाषित करने के लिए किया गया था $$t_n$$ कमजोर की परिभाषा में भी दिखाई देता है $$L^p$$-नॉर्म (नीचे दिया गया है) और इसे व्यक्त करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है $$p$$-आदर्श $$\|\cdot\|_p$$ (के लिए $$1 \leq p < \infty$$) का $$f \in L^p(S, \mu)$$ अभिन्न के रूप में $$\|f\|_p^p ~=~ p \, \int_0^\infty t^{p-1} \mu(|f| > t) \, \mathrm{d} t \, ,$$ जहां एकीकरण सामान्य लेबेसेग माप के संबंध में है $$(0, \infty).$$

दोहरी रिक्त स्थान
निरंतर दोहरी (सभी निरंतर रैखिक कार्यात्मकताओं का बनच स्थान)। $$L^p(\mu)$$ के लिए $$1 < p < \infty$$ के साथ एक प्राकृतिक समरूपता है $$L^q(\mu),$$ कहाँ $$q$$ इस प्रकार कि $$\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} = 1$$ (अर्थात। $$q = \tfrac{p}{p-1}$$). यह समरूपता सहयोगी है $$g \in L^q(\mu)$$ कार्यात्मक के साथ $$\kappa_p(g) \in L^p(\mu)^*$$ द्वारा परिभाषित $$f \mapsto \kappa_p(g)(f) = \int f g \, \mathrm{d}\mu$$ हरएक के लिए $$f \in L^p(\mu).$$ यह तथ्य कि $$\kappa_p(g)$$ धारक की असमानता से अच्छी तरह से परिभाषित और निरंतर अनुसरण करता है। $$\kappa_p : L^q(\mu) \to L^p(\mu)^*$$ एक रेखीय मानचित्रण है जो होल्डर की असमानता द्वारा एक आइसोमेट्री है # होल्डर की असमानता की चरम समानता। यह दिखाना भी संभव है (उदाहरण के लिए रेडॉन-निकोडीम प्रमेय के साथ, देखें ) कि कोई $$G \in L^p(\mu)^*$$ इस तरह व्यक्त किया जा सकता है: यानी, वह $$\kappa_p$$ चालू है। तब से $$\kappa_p$$ ऑन और आइसोमेट्रिक है, यह बनच स्पेस का एक समाकृतिकता है। इस (सममितीय) समरूपता को ध्यान में रखते हुए, सामान्य रूप से बस यही कहना है $$L^q(\mu)$$ की निरंतर दोहरी जगह है $$L^p(\mu).$$ के लिए $$1 < p < \infty,$$ अंतरिक्ष $$L^p(\mu)$$ प्रतिवर्त स्थान है। होने देना $$\kappa_p$$ ऊपर के रूप में रहो और चलो $$\kappa_q : L^p(\mu) \to L^q(\mu)^*$$ संगत रेखीय सममिति हो। से मानचित्र पर विचार करें $$L^p(\mu)$$ को $$L^p(\mu)^{**},$$ रचना करके प्राप्त किया $$\kappa_q$$ दोहरे स्थान के साथ # के व्युत्क्रम के एक निरंतर रेखीय मानचित्र (या आसन्न) का स्थानांतरण $$\kappa_p:$$

$$j_p : L^p(\mu) \mathrel{\overset{\kappa_q}{\longrightarrow}} L^q(\mu)^* \mathrel{\overset{\left(\kappa_p^{-1}\right)^*}{\longrightarrow}} L^p(\mu)^{**}$$ यह नक्शा रिफ्लेक्सिव स्पेस#परिभाषाओं के साथ मेल खाता है $$J$$ का $$L^p(\mu)$$ इसकी बोली में। इसके अलावा, नक्शा $$j_p$$ दो पर आइसोमेट्री की संरचना के रूप में चालू है, और यह रिफ्लेक्सिविटी साबित करता है।

यदि माप $$\mu$$ पर $$S$$ सिग्मा-परिमित है, फिर का दोहरा $$L^1(\mu)$$ isometrically isomorphic है $$L^\infty(\mu)$$ (अधिक सटीक, नक्शा $$\kappa_1$$ तदनुसार $$p = 1$$ से एक आइसोमेट्री है $$L^\infty(\mu)$$ पर $$L^1(\mu)^*.$$ का द्वैत $$L^\infty(\mu)$$ सूक्ष्मतर है। घटक $$L^\infty(\mu)^*$$ परिबद्ध रूप से हस्ताक्षरित परिमित योगात्मक उपायों से पहचाना जा सकता है $$S$$ के संबंध में बिल्कुल निरंतर हैं $$\mu.$$ अधिक जानकारी के लिए बा अंतरिक्ष  देखें। यदि हम पसंद के स्वयंसिद्ध मान लें, तो यह स्थान इससे बहुत बड़ा है $$L^1(\mu)$$ कुछ तुच्छ मामलों को छोड़कर। हालांकि, सहारों शेलाह ने साबित किया कि ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी के अपेक्षाकृत सुसंगत विस्तार हैं (ZF + आश्रित पसंद का स्वयंसिद्ध + वास्तविक संख्याओं के प्रत्येक उपसमुच्चय में बायर संपत्ति है) जिसमें दोहरी का $$\ell^\infty$$ है $$\ell^1.$$

एम्बेडिंग
बोलचाल में, अगर $$1 \leq p < q \leq \infty,$$ तब $$L^p(S, \mu)$$ ऐसे कार्य शामिल हैं जो अधिक स्थानीय रूप से एकवचन हैं, जबकि के तत्व $$L^q(S, \mu)$$ अधिक फैलाया जा सकता है। अर्ध रेखा पर लेबेस्गु माप पर विचार करें $$(0, \infty).$$ में एक सतत कार्य $$L^1$$ के पास फट सकता है $$0$$ लेकिन अनंत की ओर पर्याप्त तेजी से क्षय होना चाहिए। दूसरी ओर, निरंतर कार्य करता है $$L^\infty$$ बिल्कुल भी क्षय की आवश्यकता नहीं है, लेकिन विस्फोट की अनुमति नहीं है। सटीक तकनीकी परिणाम निम्नलिखित है। लगता है कि $$0 < p < q \leq \infty.$$ तब:


 * 1) $$L^q(S, \mu) \subseteq L^p(S, \mu)$$ अगर और केवल अगर $$S$$ परिमित के सेट नहीं होते हैं लेकिन मनमाने ढंग से बड़े माप (उदाहरण के लिए कोई परिमित माप)।
 * 2) $$L^p(S, \mu) \subseteq L^q(S, \mu)$$ अगर और केवल अगर $$S$$ गैर-शून्य के सेट शामिल नहीं हैं लेकिन मनमाने ढंग से छोटे उपाय (गिनती के उपाय, उदाहरण के लिए)।

Lebesgue माप के साथ वास्तविक रेखा के लिए कोई भी शर्त नहीं है, जबकि दोनों स्थितियाँ किसी परिमित सेट पर गिनती माप के लिए हैं। दोनों ही मामलों में एम्बेडिंग निरंतर है, जिसमें पहचान ऑपरेटर एक सीमित रैखिक मानचित्र है $$L^q$$ को $$L^p$$ पहले मामले में, और $$L^p$$ को $$L^q$$ क्षण में। (यह बंद ग्राफ प्रमेय और गुणों का परिणाम है $$L^p$$ रिक्त स्थान।) दरअसल, अगर डोमेन $$S$$ परिमित माप है, होल्डर की असमानता का उपयोग करके निम्नलिखित स्पष्ट गणना की जा सकती है $$\ \|\mathbf{1}f^p\|_1 \leq \|\mathbf{1}\|_{q/(q-p)} \|f^p\|_{q/p}$$ के लिए अग्रणी $$\ \|f\|_p \leq \mu(S)^{1/p - 1/q} \|f\|_q .$$ उपरोक्त असमानता में दिखाई देने वाला निरंतर इष्टतम है, इस अर्थ में कि पहचान का ऑपरेटर मानदंड $$I : L^q(S, \mu) \to L^p(S, \mu)$$ ठीक है $$\|I\|_{q,p} = \mu(S)^{1/p - 1/q}$$ समानता का मामला ठीक उसी समय प्राप्त किया जा रहा है $$f = 1$$ $$\mu$$-लगभग हर जगह।

सघन उपस्थान
इस पूरे खंड में हम यह मानते हैं $$1 \leq p < \infty.$$ होने देना $$(S, \Sigma, \mu)$$ एक माप स्थान बनें। एक पूर्णांक सरल कार्य $$f$$ पर $$S$$ एक रूप है $$f = \sum_{j=1}^n a_j \mathbf{1}_{A_j}$$ कहाँ $$a_j$$ अदिश हैं, $$A_j \in \Sigma$$ परिमित उपाय है और $${\mathbf 1}_{A_j}$$ सेट का सूचक कार्य है $$A_j,$$ के लिए $$j = 1, \dots, n.$$ Lebesgue एकीकरण के निर्माण से, समाकलनीय सरल फलनों का सदिश स्थान सघन होता है $$L^p(S, \Sigma, \mu).$$ अधिक कहा जा सकता है जब $$S$$ एक सामान्य स्थान सामयिक स्थान है और $$\Sigma$$ यह बोरेल बीजगणित है | बोरेल $\sigma$–बीजगणित, यानी सबसे छोटा 𝜎–के सबसेट का बीजगणित $$S$$ खुले सेट युक्त।

कल्पना करना $$V \subseteq S$$ के साथ एक खुला सेट है $$\mu(V) < \infty.$$ यह साबित किया जा सकता है कि हर बोरेल सेट के लिए $$A \in \Sigma$$ में निहित $$V,$$ और प्रत्येक के लिए $$\varepsilon > 0,$$ एक बंद सेट मौजूद है $$F$$ और एक खुला सेट $$U$$ ऐसा है कि $$F \subseteq A \subseteq U \subseteq V \quad \text{and} \quad \mu(U) - \mu(F) = \mu(U \setminus F) < \varepsilon$$ यह इस प्रकार है कि एक निरंतर उरीसोहन की लेम्मा#औपचारिक बयान मौजूद है $$0 \leq \varphi \leq 1$$ पर $$S$$ वह है $$1$$ पर $$F$$ और $$0$$ पर $$S \setminus U,$$ साथ $$\int_S |\mathbf{1}_A - \varphi| \, \mathrm{d}\mu < \varepsilon \, .$$ अगर $$S$$ बढ़ते अनुक्रम द्वारा कवर किया जा सकता है $$(V_n)$$ खुले सेटों का परिमित माप है, फिर का स्थान $$p$$-अभिन्न निरंतर कार्य सघन है $$L^p(S, \Sigma, \mu).$$ अधिक सटीक रूप से, कोई भी सीमित निरंतर कार्यों का उपयोग कर सकता है जो खुले सेटों में से एक के बाहर गायब हो जाते हैं $$V_n.$$ यह विशेष रूप से तब लागू होता है जब $$S = \Reals^d$$ और जब $$\mu$$ लेबेस्ग उपाय है। निरंतर और कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कार्यों का स्थान सघन है $$L^p(\Reals^d).$$ इसी तरह, इंटीग्रेबल स्टेप फ़ंक्शंस का स्थान सघन है $$L^p(\Reals^d);$$ यह स्थान परिबद्ध अंतरालों के संकेतक कार्यों की रैखिक अवधि है जब $$d = 1,$$ घिरे हुए आयतों का जब $$d = 2$$ और आमतौर पर परिबद्ध अंतरालों के उत्पादों की।

में सामान्य कार्यों के कई गुण $$L^p(\Reals^d)$$ पहले निरंतर और कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कार्यों (कभी-कभी चरण कार्यों के लिए) के लिए सिद्ध होते हैं, फिर घनत्व द्वारा सभी कार्यों के लिए विस्तारित होते हैं। उदाहरण के लिए, यह इस तरह सिद्ध होता है कि अनुवाद निरंतर जारी है $$L^p(\Reals^d),$$ निम्नलिखित अर्थ में: $$\forall f \in L^p \left(\Reals^d\right) : \quad \left\|\tau_t f - f \right\|_p \to 0,\quad \text{as } \Reals^d \ni t \to 0,$$ कहाँ $$(\tau_t f)(x) = f(x - t).$$

बंद उप-स्थान
अगर $$\mu$$ मापने योग्य स्थान पर एक संभाव्यता माप है $$(S, \Sigma),$$ $$0 < p < \infty$$ कोई सकारात्मक वास्तविक संख्या है, और $$V \subseteq L^\infty(\mu)$$ एक सदिश उपसमष्टि है, तब $$V$$ की बंद उपसमष्टि है $$L^p(\mu)$$ अगर और केवल अगर $$V$$ परिमित-आयामी है (ध्यान दें कि $$V$$ से स्वतंत्र चुना गया था $$p$$). इस प्रमेय में, जो अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक के कारण है, यह महत्वपूर्ण है कि सदिश स्थान $$V$$ का उपसमुच्चय हो $$L^\infty$$ क्योंकि अनंत-विमीय बंद सदिश उपसमष्टि का निर्माण संभव है $$L^1\left(S^1, \tfrac{1}{2\pi}\lambda\right)$$ (यह भी का एक सबसेट है $$L^4$$), कहाँ $$\lambda$$ यूनिट सर्कल पर Lebesgue माप है $$S^1$$ और $$\tfrac{1}{2\pi} \lambda$$ संभाव्यता माप है जो इसे इसके द्रव्यमान से विभाजित करने का परिणाम है $$\lambda(S^1) = 2 \pi.$$

$ℓ$
होने देना $$(S, \Sigma, \mu)$$ एक माप स्थान बनें। अगर $$0 < p < 1,$$ तब $$L^p(\mu)$$ ऊपर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है: यह उन औसत दर्जे के कार्यों का भागफल वेक्टर स्थान है $$f$$ ऐसा है कि $$N_p(f) = \int_S |f|^p\, d\mu < \infty.$$ पहले की तरह, हम पेश कर सकते हैं $$p$$-आदर्श $$\|f\|_p = N_p(f)^{1/p},$$ लेकिन $$\|\cdot\|_p$$ इस मामले में त्रिभुज असमानता को संतुष्ट नहीं करता है, और केवल अर्ध-मानक को परिभाषित करता है। असमानता $$(a + b)^p \leq a^p + b^p,$$ के लिए मान्य $$a, b \geq 0,$$ इसका आशय है $$N_p(f + g) \leq N_p(f) + N_p(g)$$ और इसलिए समारोह $$d_p(f ,g) = N_p(f - g) = \|f - g\|_p^p$$ पर एक मीट्रिक है $$L^p(\mu).$$ परिणामी मीट्रिक स्थान पूर्ण मीट्रिक स्थान है; सत्यापन परिचित मामले के समान है जब $$p \geq 1.$$ गेंदें $$B_r = \{f \in L^p : N_p(f) < r\}$$ इस टोपोलॉजी के मूल में एक स्थानीय आधार बनाते हैं, जैसे $$r > 0$$ सकारात्मक वास्तविकताओं की सीमा होती है। ये गेंदें संतुष्ट करती हैं $$B_r = r^{1/p} B_1$$ सभी वास्तविक के लिए $$r > 0,$$ जो विशेष रूप से दर्शाता है $$B_1$$ उत्पत्ति का एक घिरा हुआ सेट (टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस) पड़ोस है; दूसरे शब्दों में, यह स्थान स्थानीय रूप से बँधा हुआ है, वैसे ही हर आदर्श स्थान के बावजूद $$\|\cdot\|_p$$ आदर्श नहीं होना।

इस सेटिंग में $$L^p$$ विपरीत मिन्कोव्स्की असमानता को संतुष्ट करता है, जो कि के लिए है $$u, v \in L^p$$ $$\Big\||u| + |v|\Big\|_p \geq \|u\|_p + \|v\|_p$$ इस परिणाम का उपयोग क्लार्कसन की असमानताओं को साबित करने के लिए किया जा सकता है, जो बदले में रिक्त स्थान के समान उत्तल स्थान को स्थापित करने के लिए उपयोग किया जाता है। $$L^p$$ के लिए $$1 < p < \infty$$.

अंतरिक्ष $$L^p$$ के लिए $$0 < p < 1$$ एक एफ-स्पेस है: यह एक पूर्ण ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट मीट्रिक को स्वीकार करता है जिसके संबंध में वेक्टर स्पेस ऑपरेशंस निरंतर हैं। यह एक एफ-स्पेस का प्रोटोटाइपिकल उदाहरण है, जो कि अधिकांश उचित माप स्थानों के लिए, स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस नहीं है: $$\ell^p$$ या $$L^p([0, 1]),$$ प्रत्येक खुला उत्तल सेट युक्त $$0$$ समारोह के लिए असीमित है $$p$$-अर्ध-आदर्श; इसलिए $$0$$ वेक्टर के पास उत्तल पड़ोस की मूलभूत प्रणाली नहीं है। विशेष रूप से, यह सच है यदि माप स्थान $$S$$ परिमित सकारात्मक माप के मापने योग्य सेटों का एक अनंत परिवार शामिल है।

केवल गैर-खाली उत्तल खुला सेट $$L^p([0, 1])$$ संपूर्ण स्थान है. एक विशेष परिणाम के रूप में, कोई गैर-शून्य निरंतर रैखिक कार्य नहीं हैं $$L^p([0, 1]);$$ सतत द्वैत स्थान शून्य स्थान है। प्राकृतिक संख्याओं पर गिनती माप के मामले में (अनुक्रम स्थान का निर्माण $$L^p(\mu) = \ell^p$$), पर परिबद्ध रेखीय कार्य $$\ell^p$$ ठीक वही हैं जो बंधे हुए हैं $$\ell^1,$$ अर्थात् वे जो क्रम में दिए गए हैं $$\ell^\infty.$$ यद्यपि $$\ell^p$$ गैर-तुच्छ उत्तल खुले सेट होते हैं, यह टोपोलॉजी के लिए आधार देने के लिए उनमें से पर्याप्त होने में विफल रहता है।

विश्लेषण करने के प्रयोजनों के लिए कोई रैखिक कार्य नहीं होने की स्थिति अत्यधिक अवांछनीय है। Lebesgue माप के मामले में $$\Reals^n,$$ साथ काम करने के बजाय $$L^p$$ के लिए $$0 < p < 1,$$ हार्डी स्पेस के साथ काम करना आम बात है $ℓ$ जब भी संभव हो, क्योंकि इसमें काफी कुछ रैखिक कार्य हैं: बिंदुओं को एक दूसरे से अलग करने के लिए पर्याप्त। हालांकि, हन-बनच प्रमेय अभी भी विफल रहता है $L^{p}(μ) ⊂ L^{q}(μ)$ के लिए $$p < 1$$.

$L^{p} (0 < p < 1)$, मापने योग्य कार्यों का स्थान
मापने योग्य कार्यों का वेक्टर स्थान (तुल्यता वर्ग)। $$(S, \Sigma, \mu)$$ निरूपित किया जाता है $$L^0(S, \Sigma, \mu)$$. परिभाषा के अनुसार, इसमें सभी शामिल हैं $$L^p,$$ और माप में अभिसरण की टोपोलॉजी से सुसज्जित है। कब $$\mu$$ एक संभाव्यता उपाय है (यानी, $$\mu(S) = 1$$), अभिसरण के इस तरीके को संभाव्यता में अभिसरण कहा जाता है।

वर्णन आसान है जब $$\mu$$ परिमित है। अगर $$\mu$$ पर एक परिमित उपाय है $$(S, \Sigma),$$ $$0$$ समारोह पड़ोस के निम्नलिखित मौलिक प्रणाली को मापने में अभिसरण के लिए स्वीकार करता है $$V_\varepsilon = \Bigl\{f : \mu \bigl(\{x : |f(x)| > \varepsilon\} \bigr) < \varepsilon \Bigr\}, \qquad \varepsilon > 0.$$ टोपोलॉजी को किसी भी मीट्रिक द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $$d$$ फार्म का $$d(f, g) = \int_S \varphi \bigl(|f(x) - g(x)|\bigr)\, \mathrm{d}\mu(x)$$ कहाँ $$\varphi$$ निरंतर अवतल और गैर-घटते हुए घिरा हुआ है $$[0, \infty),$$ साथ $$\varphi(0) = 0$$ और $$\varphi(t) > 0$$ कब $$t > 0$$ (उदाहरण के लिए, $$\varphi(t) = \min(t, 1).$$ इस तरह के एक मीट्रिक को पॉल लेवी (गणितज्ञ) कहा जाता है|लेवी-मीट्रिक के लिए $$L^0.$$ इस मीट्रिक के तहत अंतरिक्ष $$L^0$$ पूरा हो गया है (यह फिर से एक एफ-स्पेस है)। अंतरिक्ष $$L^0$$ सामान्य रूप से स्थानीय रूप से बाध्य नहीं है, और स्थानीय रूप से उत्तल नहीं है।

अनंत Lebesgue उपाय के लिए $$\lambda$$ पर $$\Reals^n,$$ पड़ोस की मूलभूत प्रणाली की परिभाषा को निम्नानुसार संशोधित किया जा सकता है $$W_\varepsilon = \left\{f : \lambda \left(\left\{x : |f(x)| > \varepsilon \text{ and } |x| < \tfrac{1}{\varepsilon}\right\}\right) < \varepsilon\right\}$$ परिणामी स्थान $$L^0(\Reals^n, \lambda)$$ टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के साथ मेल खाता है $$L^0(\Reals^n, g(x) \, \mathrm{d}\lambda(x)),$$ किसी सकारात्मक के लिए $$\lambda$$-पूर्ण घनत्व $$g.$$

कमजोर $H$
होने देना $$(S, \Sigma, \mu)$$ एक माप स्थान बनें, और $$f$$ वास्तविक या जटिल मूल्यों के साथ एक औसत दर्जे का कार्य $$S.$$ का संचयी वितरण समारोह $$f$$ के लिए परिभाषित किया गया है $$t \geq 0$$ द्वारा $$\lambda_f(t) = \mu\{x \in S : |f(x)| > t\}.$$ अगर $$f$$ में है $$L^p(S, \mu)$$ कुछ के लिए $$p$$ साथ $$1 \leq p < \infty,$$ फिर मार्कोव की असमानता से, $$\lambda_f(t) \leq \frac{\|f\|_p^p}{t^p}$$ एक समारोह $$f$$ अंतरिक्ष में कमजोर कहा जाता है $$L^p(S, \mu)$$, या $$L^{p,w}(S, \mu),$$ यदि कोई स्थिरांक है $$C > 0$$ ऐसा कि, सभी के लिए $$T > 0,$$ $$\lambda_f(t) \leq \frac{C^p}{t^p}$$ सबसे अच्छा स्थिरांक $$C$$ इस असमानता के लिए है $$L^{p,w}$$-मानक $$f,$$ और द्वारा दर्शाया गया है $$\|f\|_{p,w} = \sup_{t > 0} ~ t \lambda_f^{1/p}(t).$$ कमज़ोर $$L^p$$ लोरेंत्ज़ रिक्त स्थान के साथ मेल खाता है $$L^{p,\infty},$$ इसलिए इस संकेतन का उपयोग उन्हें निरूपित करने के लिए भी किया जाता है। $$L^{p,w}$$वें>-मानदंड सही मानदंड नहीं है, क्योंकि त्रिकोण असमानता धारण करने में विफल रहती है। फिर भी, के लिए $$f$$ में $$L^p(S, \mu),$$ $$\|f\|_{p,w} \leq \|f\|_p$$ खास तरीके से $$L^p(S, \mu) \subset L^{p,w}(S, \mu).$$ वास्तव में, एक है $$\|f\|^p_{L^p} = \int |f(x)|^p d\mu(x) \geq \int_{\{|f(x)| > t \}} t^p + \int_{\{|f(x)| \leq t \}} |f|^p \geq t^p \mu(\{|f| > t \}),$$ और सत्ता में वृद्धि $$1/p$$ और सुप्रीमम को अंदर ले जाना $$t$$ किसी के पास $$\|f\|_{L^p} \geq \sup_{t > 0} t \; \mu(\{|f| > t \})^{1/p} = \|f\|_{L^{p,w}}.$$ सम्मेलन के तहत कि दो कार्य समान हैं यदि वे समान हैं $$\mu$$ लगभग हर जगह, फिर रिक्त स्थान $$L^{p,w}$$ पूर्ण हैं.

किसी के लिए $$0 < r < p$$ इजहार $$\|| f |\|_{L^{p,\infty}} = \sup_{0<\mu(E)<\infty} \mu(E)^{-1/r + 1/p} \left(\int_E |f|^r\, d\mu\right)^{1/r}$$ की तुलना में है $$L^{p,w}$$-आदर्श। मामले में आगे $$p > 1,$$ यह अभिव्यक्ति एक मानदंड को परिभाषित करती है $$r = 1.$$ इसलिए के लिए $$p > 1$$ कमज़ोर $$L^p$$ रिक्त स्थान बनच स्थान हैं.

एक प्रमुख परिणाम जो उपयोग करता है $$L^{p,w}$$-स्पेस मार्सिंक्यूविज़ इंटरपोलेशन है, जिसमें हार्मोनिक विश्लेषण और एकवचन इंटीग्रल के अध्ययन के लिए व्यापक अनुप्रयोग हैं।

भारित $H$ रिक्त स्थान
पहले की तरह, माप स्थान पर विचार करें $$(S, \Sigma, \mu).$$ होने देना $$w : S \to [a, \infty), a > 0$$ एक मापने योग्य कार्य हो। $$w$$वें> भारित $$L^p$$ अंतरिक्ष के रूप में परिभाषित किया गया है $$L^p(S, w \, \mathrm{d} \mu),$$ कहाँ $$w \, \mathrm{d} \mu$$ मतलब पैमाना $$\nu$$ द्वारा परिभाषित $$\nu(A) \equiv \int_A w(x) \, \mathrm{d} \mu (x), \qquad A \in \Sigma,$$ या, रैडॉन-निकोडिम प्रमेय के संदर्भ में | रैडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न, $$w = \tfrac{\mathrm{d} \nu}{\mathrm{d} \mu}$$ के लिए सामान्य (गणित)। $$L^p(S, w \, \mathrm{d} \mu)$$ स्पष्ट रूप से है $$\|u\|_{L^p(S, w \, \mathrm{d} \mu)} \equiv \left(\int_S w(x) |u(x)|^p \, \mathrm{d} \mu(x)\right)^{1/p}$$ जैसा $$L^p$$-स्पेस, वेटेड स्पेस में कुछ खास नहीं है, क्योंकि $$L^p(S, w \, \mathrm{d} \mu)$$ के बराबर है $$L^p(S, \mathrm{d} \nu).$$ लेकिन वे हार्मोनिक विश्लेषण में कई परिणामों के लिए प्राकृतिक रूपरेखा हैं ; वे उदाहरण के लिए मुकेनहोउट वजन: फॉर में दिखाई देते हैं $$1 < p < \infty,$$ शास्त्रीय हिल्बर्ट परिवर्तन पर परिभाषित किया गया है $$L^p(\mathbf{T}, \lambda)$$ कहाँ $$\mathbf{T}$$ यूनिट सर्कल को दर्शाता है और $$\lambda$$ लेबेस्ग उपाय; (नॉनलाइनियर) हार्डी-लिटिलवुड मैक्सिमल ऑपरेटर बाउंडेड है $$L^p(\Reals^n, \lambda).$$ मकेनहाउप्ट प्रमेय वजन का वर्णन करता है $$w$$ ऐसा है कि हिल्बर्ट परिवर्तन पर बँधा रहता है $$L^p(\mathbf{T}, w \, \mathrm{d} \lambda)$$ और अधिकतम ऑपरेटर चालू $$L^p(\Reals^n, w \, \mathrm{d} \lambda).$$

$L^{0}$ कई गुना पर रिक्त स्थान
कोई रिक्त स्थान भी परिभाषित कर सकता है $$L^p(M)$$ कई गुना पर आंतरिक कहा जाता है $$L^p$$ मैनिफोल्ड पर घनत्व का उपयोग करते हुए मैनिफोल्ड के रिक्त स्थान निम्न हैं।

वेक्टर-मूल्यवान $L^{p}$ रिक्त स्थान
एक माप स्थान दिया गया $$(\Omega, \Sigma, \mu)$$ और स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक सदिश स्थान $$E$$ (यहां पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस माना जाता है), इसके रिक्त स्थान को परिभाषित करना संभव है $$p$$-पूर्ण करने योग्य $$E$$-मूल्यवान कार्यों पर $$\Omega$$ कई तरह से। एक तरीका यह है कि Bochner इंटीग्रल और पेटीस अभिन्न फ़ंक्शंस के स्पेस को परिभाषित किया जाए, और फिर उन्हें स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस वेक्टर टोपोलॉजी के साथ संपन्न किया जाए। TVS-टोपोलॉजी जो (प्रत्येक अपने तरीके से) सामान्य का एक प्राकृतिक सामान्यीकरण है $$L^p$$ टोपोलॉजी। दूसरे तरीके में टोपोलॉजिकल टेन्सर उत्पाद शामिल हैं $$L^p(\Omega, \Sigma, \mu)$$ साथ $$E.$$ वेक्टर अंतरिक्ष का तत्व $$L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes E$$ सरल टेन्सर के परिमित योग हैं $$f_1 \otimes e_1 + \cdots + f_n \otimes e_n,$$ जहां प्रत्येक साधारण टेन्सर $$f \times e$$ समारोह से पहचाना जा सकता है $$\Omega \to E$$ जो भेजता है $$x \mapsto e f(x).$$ यह टेंसर उत्पाद $$L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes E$$ इसके बाद स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजी के साथ संपन्न होता है जो इसे एक टोपोलॉजिकल टेन्सर उत्पाद में बदल देता है, जिनमें से सबसे आम प्रक्षेपी टेन्सर उत्पाद हैं, जिन्हें इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $$L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes_\pi E,$$ और इंजेक्शन टेन्सर उत्पाद, द्वारा निरूपित $$L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \otimes_\varepsilon E.$$ सामान्य तौर पर, इनमें से कोई भी स्थान पूर्ण नहीं होता है, इसलिए उनका पूर्ण टोपोलॉजिकल वेक्टर स्थान निर्मित होता है, जिसे क्रमशः निरूपित किया जाता है $$L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \widehat{\otimes}_\pi E$$ और $$L^p(\Omega, \Sigma, \mu) \widehat{\otimes}_\varepsilon E$$ (यह स्केलर-मूल्यवान सरल कार्यों की जगह के समान है $$\Omega,$$ जब किसी के द्वारा अर्धवृत्ताकार $$\|\cdot\|_p,$$ पूर्ण नहीं है इसलिए एक पूर्णता का निर्माण किया जाता है, जिसके द्वारा उद्धृत किए जाने के बाद $$\ker \|\cdot\|_p,$$ बनच स्थान के लिए आइसोमेट्रिक रूप से आइसोमोर्फिक है $$L^p(\Omega, \mu)$$). अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने दिखाया कि कब $$E$$ एक परमाणु स्थान है (एक अवधारणा जिसे उन्होंने पेश किया), फिर ये दो निर्माण क्रमशः, कैनोनिक रूप से टीवीएस-आइसोमॉर्फिक हैं, जिसमें बोचनर और पेटीस अभिन्न कार्यों के स्थान पहले उल्लेखित हैं; संक्षेप में, वे अप्रभेद्य हैं।

बाहरी संबंध

 * Proof that Lp spaces are complete
 * Proof that Lp spaces are complete