दिक्सूचक

जाइरोकम्पास एक प्रकार का गैर-चुंबकीय दिशा सूचक यंत्र  है जो स्वचालित रूप से भौगोलिक दिशा (ज्यामिति) खोजने के लिए तेजी से घूमने वाली डिस्क और पृथ्वी (या ब्रह्मांड में कहीं और उपयोग किए जाने वाले किसी अन्य ग्रह पिंड) के घूर्णन पर आधारित है। जाइरोकम्पास का उपयोग किसी वाहन की दिशा निर्धारित करने के सात मूलभूत तरीकों में से एक है। जाइरोस्कोप जाइरोकम्पास का एक अनिवार्य घटक है, लेकिन वे अलग-अलग उपकरण हैं; जाइरोकोमपास जाइरोस्कोपिक प्रीसेशन के प्रभाव का उपयोग करने के लिए बनाया गया है, जो सामान्य जाइरोस्कोपिक प्रभाव का एक विशिष्ट पहलू है।  जहाजों पर  मार्गदर्शन  के लिए जाइरोकम्पास का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, क्योंकि चुंबकीय कंपास की तुलना में उनके दो महत्वपूर्ण फायदे हैं: * वे पृथ्वी के घूर्णन की धुरी द्वारा निर्धारित वास्तविक उत्तर को खोजते हैं, जो चुंबकीय उत्तरी ध्रुव#चुंबकीय उत्तर और चुंबकीय झुकाव से भिन्न है, और नेविगेशन की दृष्टि से अधिक उपयोगी है, और
 * वे लौहचुंबकीय सामग्रियों से अप्रभावित रहते हैं, जैसे कि जहाज के इस्पात  पतवार (जलयान) में, जो चुंबकीय क्षेत्र को विकृत करते हैं।

विमान आमतौर पर नेविगेशन और ऊंचाई की निगरानी के लिए जाइरोस्कोपिक उपकरणों (लेकिन जाइरोकम्पास नहीं) का उपयोग करते हैं; विवरण के लिए, उड़ान उपकरण और जाइरोस्कोपिक ऑटोपायलट देखें।

इतिहास
पहला, अभी तक व्यावहारिक नहीं, जाइरोकोमपास के रूप का पेटेंट 1885 में मेरिनस जेरार्डस वैन डेन बोस द्वारा किया गया था। प्रयोग करने योग्य जाइरोकम्पास का आविष्कार 1906 में जर्मनी में हरमन अंसचुट्ज़-केम्फे द्वारा किया गया था, और 1908 में सफल परीक्षणों के बाद जर्मन इंपीरियल नेवी में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया जाने लगा। Anschütz-Kaempfe ने बड़े पैमाने पर जाइरोकोमपास का उत्पादन करने के लिए  पसंद  में रेथियॉन Anschütz|Anschütz & Co. कंपनी की स्थापना की; कंपनी आज रेथियॉन अंसचुट्ज़ जीएमबीएच है। जाइरोकम्पास समुद्री नेविगेशन के लिए एक महत्वपूर्ण आविष्कार था क्योंकि यह जहाज की गति, मौसम और जहाज के निर्माण में उपयोग किए जाने वाले स्टील की मात्रा की परवाह किए बिना हर समय जहाज के स्थान का सटीक निर्धारण करने की अनुमति देता था।

संयुक्त राज्य अमेरिका में, एल्मर एम्ब्रोस स्पेरी ने एक व्यावहारिक जाइरोकोमपास प्रणाली का निर्माण किया (1908: ), और स्पेरी कॉर्पोरेशन की स्थापना की। यूनिट को अमेरिकी नौसेना (1911) द्वारा अपनाया गया था ), और प्रथम विश्व युद्ध में एक प्रमुख भूमिका निभाई। नौसेना ने स्पेरी के मेटल माइक का उपयोग भी शुरू किया: पहला जाइरोस्कोप-निर्देशित ऑटोपायलट स्टीयरिंग सिस्टम। अगले दशकों में, इन और अन्य स्पेरी उपकरणों को स्टीमशिप जैसे जहाज़ों द्वारा अपनाया गया RMS Queen Mary, हवाई जहाज, और द्वितीय विश्व युद्ध के युद्धपोत। 1930 में उनकी मृत्यु के बाद नौसेना ने इसका नाम रखा USS Sperry उसके बाद।

इस बीच, 1913 में, सी. प्लाथ (सेक्स्टेंट और चुंबकीय कंपास सहित नेविगेशनल उपकरण के हैम्बर्ग, जर्मनी स्थित निर्माता) ने एक वाणिज्यिक जहाज पर स्थापित होने वाला पहला जाइरोकम्पास विकसित किया। सी. प्लाथ ने एनापोलिस, एमडी में नेविगेशन के लिए वेम्स स्कूल को कई जाइरोकम्पास बेचे और जल्द ही प्रत्येक संगठन के संस्थापकों ने एक गठबंधन बनाया और वेम्स एंड प्लाथ बन गए।

जाइरोकम्पास की सफलता से पहले, यूरोप में इसके स्थान पर जाइरोस्कोप का उपयोग करने के कई प्रयास किए गए थे। 1880 तक, विलियम थॉमसन, प्रथम बैरन केल्विन (लॉर्ड केल्विन) ने ब्रिटिश नौसेना को जाइरोस्टेट का प्रस्ताव देने की कोशिश की। 1889 में, आर्थर क्रेब्स ने फ्रांसीसी नौसेना के लिए डुमौलिन-फ्रोमेंट समुद्री जाइरोस्कोप में एक इलेक्ट्रिक मोटर को अनुकूलित किया। इससे फ्रांसीसी पनडुब्बी जिमनोट (Q1) पनडुब्बी को कई घंटों तक पानी के भीतर एक सीधी रेखा में रहने की क्षमता मिली, और इसने उसे [http://rbmn.free.fr/' की अनुमति दी।Gymnote_Blocus_1890.jpg 1890 में एक नौसैनिक अवरोध को बलपूर्वक लागू करना।

1923 में मैक्स शूलर ने अपना पेपर प्रकाशित किया जिसमें उनका अवलोकन था कि यदि जाइरोकम्पास में शूलर ट्यूनिंग ऐसी हो कि इसकी दोलन अवधि 84.4 मिनट हो (जो कि समुद्र तल पर पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा करने वाले एक काल्पनिक उपग्रह की कक्षीय अवधि है), तो यह हो सकता है पार्श्व गति के प्रति असंवेदनशील बना दिया गया है और दिशात्मक स्थिरता बनाए रखी गई है।

ऑपरेशन
जाइरोस्कोप, जिसे जाइरोकम्पास के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए, एक घूमने वाला पहिया है जो गिंबल्स के एक सेट पर लगाया जाता है ताकि इसकी धुरी किसी भी तरह से खुद को उन्मुख करने के लिए स्वतंत्र हो। जब इसे अपनी धुरी को किसी दिशा की ओर निर्देशित करते हुए गति से घुमाया जाता है, तो कोणीय गति के संरक्षण के नियम के कारण, ऐसा पहिया आम तौर पर बाहरी अंतरिक्ष में एक निश्चित बिंदु पर अपना मूल अभिविन्यास बनाए रखेगा (पृथ्वी पर एक निश्चित बिंदु पर नहीं). चूंकि पृथ्वी घूमती है, इसलिए पृथ्वी पर स्थिर पर्यवेक्षक को ऐसा प्रतीत होता है कि जाइरोस्कोप की धुरी हर 24 घंटे में एक बार पूर्ण घूर्णन पूरा कर रही है। ऐसे घूमने वाले जाइरोस्कोप का उपयोग कुछ मामलों में नेविगेशन के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए विमान पर, जहां इसे शीर्षक सूचक  या डायरेक्शनल जाइरो के रूप में जाना जाता है, लेकिन आमतौर पर इसका उपयोग लंबी अवधि के समुद्री नेविगेशन के लिए नहीं किया जा सकता है। जाइरोस्कोप को जाइरोकम्पास में बदलने के लिए महत्वपूर्ण अतिरिक्त घटक की आवश्यकता होती है, ताकि यह स्वचालित रूप से सही उत्तर की ओर स्थित हो जाए,  यह कुछ तंत्र है जिसके परिणामस्वरूप जब भी कंपास की धुरी उत्तर की ओर नहीं होती है तो एक  टॉर्कः  उत्पन्न होता है।

एक विधि आवश्यक टॉर्क लागू करने के लिए घर्षण का उपयोग करती है: जाइरोकम्पास में जाइरोस्कोप स्वयं को पुन: दिशा देने के लिए पूरी तरह से स्वतंत्र नहीं है; उदाहरण के लिए, यदि अक्ष से जुड़ा कोई उपकरण किसी चिपचिपे द्रव में डुबोया जाए, तो वह द्रव अक्ष के पुनर्अभिविन्यास का विरोध करेगा। द्रव के कारण होने वाले इस घर्षण बल के परिणामस्वरूप अक्ष पर एक टॉर्क कार्य करता है, जिससे अक्ष देशांतर की रेखा के साथ टॉर्क के ओर्थोगोनल दिशा में मुड़ जाता है (अर्थात, आगे बढ़ना)। एक बार जब अक्ष आकाशीय ध्रुव की ओर इंगित करेगा, तो यह स्थिर प्रतीत होगा और किसी भी अधिक घर्षण बल का अनुभव नहीं करेगा। ऐसा इसलिए है क्योंकि सच्चा उत्तर (या सच्चा दक्षिण) ही एकमात्र दिशा है जिसके लिए जाइरोस्कोप पृथ्वी की सतह पर रह सकता है और उसे बदलने की आवश्यकता नहीं होती है। इस अक्ष अभिविन्यास को न्यूनतम संभावित ऊर्जा का बिंदु माना जाता है।

एक और, अधिक व्यावहारिक, तरीका यह है कि कम्पास की धुरी को क्षैतिज (पृथ्वी के केंद्र की दिशा के लंबवत) रहने के लिए मजबूर करने के लिए वजन का उपयोग किया जाए, लेकिन अन्यथा इसे क्षैतिज विमान के भीतर स्वतंत्र रूप से घूमने की अनुमति दी जाए। इस मामले में, गुरुत्वाकर्षण एक टॉर्क लागू करेगा जो कम्पास की धुरी को वास्तविक उत्तर की ओर मजबूर करेगा। क्योंकि भार कम्पास की धुरी को पृथ्वी की सतह के संबंध में क्षैतिज तक सीमित कर देगा, धुरी कभी भी पृथ्वी की धुरी (भूमध्य रेखा को छोड़कर) के साथ संरेखित नहीं हो सकती है और पृथ्वी के घूमने पर उसे खुद को फिर से संरेखित करना होगा। लेकिन पृथ्वी की सतह के संबंध में, कम्पास स्थिर दिखाई देगा और पृथ्वी की सतह के साथ वास्तविक उत्तरी ध्रुव की ओर इशारा करेगा।

चूँकि जाइरोकम्पास का उत्तर-खोज कार्य पृथ्वी की धुरी के चारों ओर घूमने पर निर्भर करता है जो जाइरोस्कोपिक प्रीसेशन#टॉर्क-प्रेरित|टॉर्क-प्रेरित जाइरोस्कोपिक प्रीसेशन का कारण बनता है, यदि इसे पूर्व में बहुत तेजी से ले जाया जाता है तो यह सही उत्तर की ओर सही ढंग से उन्मुख नहीं हो पाएगा। पश्चिम दिशा की ओर, इस प्रकार पृथ्वी का घूर्णन अस्वीकार हो जाता है। हालाँकि, विमान आमतौर पर हेडिंग इंडिकेटर का उपयोग करते हैं, जो जाइरोकम्पास नहीं हैं और खुद को पूर्वता के माध्यम से उत्तर की ओर संरेखित नहीं करते हैं, लेकिन समय-समय पर मैन्युअल रूप से चुंबकीय उत्तर की ओर संरेखित होते हैं।

त्रुटियाँ
जाइरोकम्पास कुछ त्रुटियों के अधीन है। इनमें स्टीमिंग त्रुटि शामिल है, जहां पाठ्यक्रम, गति और अक्षांश में तेजी से बदलाव से जाइरो के खुद को समायोजित करने से पहले चुंबकीय विचलन होता है। अधिकांश आधुनिक जहाजों पर GPS  या अन्य नेविगेशनल सहायता जाइरोकम्पास को डेटा फीड करती है जिससे एक छोटा कंप्यूटर सुधार लागू कर सकता है। वैकल्पिक रूप से इनर्शियल नेविगेशन सिस्टम # स्ट्रैपडाउन सिस्टम (फाइबर ऑप्टिक जाइरोस्कोप, रिंग लेजर जाइरोस्कोप या अर्धगोलाकार गुंजयमान यंत्र जाइरोस्कोप और एक्सेलेरोमीटर के ट्रायड सहित) पर आधारित एक डिज़ाइन इन त्रुटियों को खत्म कर देगा, क्योंकि वे दर निर्धारित करने के लिए यांत्रिक भागों पर निर्भर नहीं होते हैं घूर्णन का.

गणितीय मॉडल
हम जाइरोकम्पास को एक जाइरोस्कोप के रूप में मानते हैं जो अपने समरूपता अक्षों में से एक के चारों ओर घूमने के लिए स्वतंत्र है, साथ ही पूरा घूमने वाला जाइरोस्कोप स्थानीय ऊर्ध्वाधर के बारे में क्षैतिज विमान पर घूमने के लिए स्वतंत्र है। इसलिए दो स्वतंत्र स्थानीय घुमाव हैं। इन घुमावों के अलावा हम पृथ्वी के उत्तर-दक्षिण (एनएस) अक्ष के बारे में घूमने पर विचार करते हैं, और हम ग्रह को एक आदर्श गोले के रूप में मॉडल करते हैं। हम घर्षण और सूर्य के चारों ओर पृथ्वी के घूर्णन की भी उपेक्षा करते हैं।

इस मामले में पृथ्वी के केंद्र में स्थित एक गैर-घूर्णन पर्यवेक्षक को एक जड़त्वीय फ्रेम के रूप में अनुमानित किया जा सकता है। हम कार्तीय निर्देशांक स्थापित करते हैं $$(X_{1},Y_{1},Z_{1})$$ ऐसे पर्यवेक्षक के लिए (जिसे हम 1-O नाम देते हैं), और जाइरोस्कोप का बैरीसेंटर कुछ दूरी पर स्थित है $$R$$ पृथ्वी के केंद्र से.

पहली बार-निर्भर रोटेशन
एक अन्य (गैर-जड़त्वीय) पर्यवेक्षक (2-O) पर विचार करें जो पृथ्वी के केंद्र पर स्थित है लेकिन NS-अक्ष के चारों ओर घूम रहा है $$\Omega.$$ हम इस पर्यवेक्षक से जुड़े निर्देशांक स्थापित करते हैं $$\begin{pmatrix} X_{2}\\ Y_{2}\\ Z_{2} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \cos\Omega t & \sin\Omega t & 0\\ -\sin\Omega t & \cos\Omega t & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_{1}\\ Y_{1}\\ Z_{1} \end{pmatrix}$$ ताकि इकाई $$\hat{X}_{1}$$ मैं मुड़ा $$(X_{1}=1,Y_{1}=0,Z_{1}=0)^{T}$$ बिंदु पर मैप किया गया है $$(X_{2} = \cos\Omega t, Y_{2}=-\sin\Omega t, Z_{2}=0)^{T}$$. 2-ओ के लिए न तो पृथ्वी और न ही जाइरोस्कोप का बैरीसेंटर घूम रहा है। 1-O के सापेक्ष 2-O का घूर्णन कोणीय वेग से किया जाता है $$\vec{\Omega}=(0,0,\Omega)^{T}$$. हम मानते हैं कि $$X_{2}$$ अक्ष शून्य देशांतर (प्रधान, या ग्रीनविच, मेरिडियन) वाले बिंदुओं को दर्शाता है।

दूसरा और तीसरा निश्चित घुमाव
अब हम इसके चारों ओर घूमते हैं $ Z_{2}$ अक्ष, ताकि $ X_{3}$ -अक्ष में बैरीसेंटर का देशांतर होता है। इस मामले में हमारे पास है $$\begin{pmatrix} X_{3}\\ Y_{3}\\ Z_{3} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\Phi & \sin\Phi & 0\\ -\sin\Phi & \cos\Phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{2}\\ Y_{2}\\ Z_{2} \end{pmatrix}.$$ अगले घूर्णन के साथ (अक्ष के बारे में) $ Y_{3}$ एक कोण का $ \delta$, सह-अक्षांश) हम लाते हैं $ Z_{3}$  स्थानीय आंचल के साथ अक्ष ($ Z_{4}$ -अक्ष) बैरीसेंटर का। इसे निम्नलिखित ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स (इकाई निर्धारक के साथ) द्वारा प्राप्त किया जा सकता है $$\begin{pmatrix} X_{4}\\ Y_{4}\\ Z_{4} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\delta & 0 & -\sin\delta\\ 0 & 1 & 0\\ \sin\delta & 0 & \cos\delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} X_{3}\\ Y_{3}\\ Z_{3} \end{pmatrix},$$ वैसा ही किया $\hat{Z}_{3}$  मैं मुड़ा $ (X_{3}=0,Y_{3}=0,Z_{3}=1)^{T}$  बिंदु पर मैप किया गया है $ (X_{4}=-\sin\delta,Y_{4}=0,Z_{4}=\cos\delta)^{T}.$

लगातार अनुवाद
अब हम एक और समन्वय आधार चुनते हैं जिसका मूल जाइरोस्कोप के बैरीसेंटर पर स्थित है। इसे आंचल अक्ष के साथ निम्नलिखित अनुवाद द्वारा निष्पादित किया जा सकता है $$\begin{pmatrix} X_{5}\\ Y_{5}\\ Z_{5} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} X_{4}\\ Y_{4}\\ Z_{4} \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ R \end{pmatrix},$$ ताकि नई प्रणाली की उत्पत्ति, $$(X_{5}=0,Y_{5}=0,Z_{5}=0)^{T}$$ बिंदु पर स्थित है $$(X_{4}=0,Y_{4}=0,Z_{4}=R)^{T},$$ और $$R$$ पृथ्वी की त्रिज्या है. अब $$X_{5}$$-अक्ष दक्षिण दिशा की ओर इंगित करता है।

चतुर्थ काल-निर्भर घूर्णन
अब हम आंचल के चारों ओर घूमते हैं $$Z_{5}$$-अक्ष ताकि नई समन्वय प्रणाली जाइरोस्कोप की संरचना से जुड़ी हो, ताकि इस समन्वय प्रणाली में आराम कर रहे एक पर्यवेक्षक के लिए, जाइरोकम्पास केवल समरूपता की अपनी धुरी के बारे में घूम सके। इस मामले में हम पाते हैं $$\begin{pmatrix} X_{6}\\ Y_{6}\\ Z_{6} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha & 0\\ -\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_{5}\\ Y_{5}\\ Z_{5} \end{pmatrix}.$$ जाइरोकम्पास की समरूपता की धुरी अब के अनुदिश है $$X_{6}$$-एक्सिस।

अंतिम समय-निर्भर रोटेशन
अंतिम घूर्णन, जाइरोस्कोप की समरूपता के अक्ष पर एक घूर्णन है $$\begin{pmatrix} X_{7}\\ Y_{7}\\ Z_{7} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\psi & \sin\psi\\ 0 & -\sin\psi & \cos\psi \end{pmatrix}\begin{pmatrix} X_{6}\\ Y_{6}\\ Z_{6} \end{pmatrix}.$$

सिस्टम की गतिशीलता
चूँकि जाइरोस्कोप के बैरीसेंटर की ऊँचाई नहीं बदलती (और समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति इसी बिंदु पर स्थित है), इसकी गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा स्थिर है। इसलिए यह लैग्रेंजियन है $$\mathcal{L}$$ इसकी गतिज ऊर्जा से मेल खाता है $$K$$ केवल। हमारे पास है $$\mathcal{L}=K=\frac{1}{2} \vec{\omega}^{T}I\vec\omega+\frac{1}{2} M \vec{v}_{\rm CM}^{2},$$ कहाँ $$M$$ जाइरोस्कोप का द्रव्यमान है, और $$\vec{v}_{\rm CM}^{2}=\Omega^2 R^2 \sin^2\delta={\rm constant}$$ अंतिम समन्वय प्रणाली (अर्थात द्रव्यमान का केंद्र) के निर्देशांक की उत्पत्ति की वर्ग जड़त्वीय गति है। यह स्थिर शब्द जाइरोस्कोप की गतिशीलता को प्रभावित नहीं करता है और इसे उपेक्षित किया जा सकता है। दूसरी ओर, जड़ता का टेंसर किसके द्वारा दिया जाता है $$I=\begin{pmatrix} I_{1}&0&0\\ 0 & I_{2}&0\\ 0 &0 & I_{2} \end{pmatrix}$$ और $$\begin{align} \vec{\omega}&=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\psi & \sin\psi\\ 0 & -\sin\psi & \cos\psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \dot{\psi}\\ 0\\ 0 \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\psi & \sin\psi\\ 0 & -\sin\psi & \cos\psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha & 0\\ -\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \dot{\alpha} \end{pmatrix}\\ &\qquad + \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & \cos\psi & \sin\psi\\ 0 & -\sin\psi & \cos\psi \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\alpha & \sin\alpha & 0\\ -\sin\alpha & \cos\alpha & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\delta & 0 & -\sin\delta\\ 0 & 1 & 0\\ \sin\delta & 0 & \cos\delta \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\Phi & \sin\Phi & 0\\ -\sin\Phi & \cos\Phi & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \cos\Omega t & \sin\Omega t & 0\\ -\sin\Omega t & \cos\Omega t & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0\\ 0\\ \Omega \end{pmatrix}\\ &= \begin{pmatrix} \dot{\psi}\\ 0\\ 0\\ \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} 0\\ \dot{\alpha}\sin\psi\\ \dot{\alpha}\cos\psi \end{pmatrix}+ \begin{pmatrix} -\Omega\sin\delta\cos\alpha\\ \Omega(\sin\delta\sin\alpha\cos\psi+\cos\delta\sin\psi)\\ \Omega(-\sin\delta\sin\alpha\sin\psi+\cos\delta\cos\psi) \end{pmatrix} \end{align}$$ इसलिए हम पाते हैं $$\begin{align} \mathcal{L} &= \frac{1}{2} \left [I_{1}\omega_{1}^{2}+I_{2} \left (\omega_{2}^{2}+\omega_{3}^{2} \right ) \right ]\\ &= \frac{1}{2} I_{1} \left (\dot{\psi}-\Omega\sin\delta\cos\alpha \right )^{2} +\frac{1}{2} I_{2} \left \{ \left [\dot{\alpha}\sin\psi+\Omega(\sin\delta\sin\alpha\cos\psi+\cos\delta\sin\psi) \right ]^{2} + \left [\dot{\alpha}\cos\psi+\Omega(-\sin\delta\sin\alpha\sin\psi+\cos\delta\cos\psi) \right ]^{2} \right \} \\ &= \frac{1}{2} I_{1} \left (\dot{\psi}-\Omega\sin\delta\cos\alpha \right )^{2}+\frac{1}{2} I_{2} \left \{ \dot{\alpha}^{2} +\Omega^{2} \left (\cos^{2}\delta+\sin^{2}\alpha\sin^{2}\delta \right ) +2\dot{\alpha}\Omega\cos\delta \right \} \end{align}$$ लैग्रेंजियन को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है $$\mathcal{L}=\mathcal{L}_{1}+\frac{1}{2} I_{2}\Omega^{2}\cos^{2}\delta+\frac{d}{dt}(I_{2}\alpha\Omega\cos\delta),$$ कहाँ $$\mathcal{L}_{1}=\frac{1}{2} I_{1} \left (\dot{\psi}-\Omega\sin\delta\cos\alpha \right )^{2}+\frac{1}{2} I_{2}\left (\dot{\alpha}^{2}+\Omega^{2}\sin^{2}\alpha\sin^{2}\delta \right )$$ सिस्टम की गतिशीलता के लिए जिम्मेदार लैग्रेंजियन का हिस्सा है। तब से $$\partial \mathcal{L}_1/\partial\psi = 0$$, हम देखतें है $$L_{x}\equiv\frac{\partial \mathcal{L}_1}{\partial\dot{\psi}}=I_1 \left (\dot{\psi}-\Omega\sin\delta\cos\alpha \right )=\mathrm{constant}.$$ कोणीय गति के बाद से $$\vec L$$ जाइरोकम्पास द्वारा दिया गया है $$\vec L=I\vec\omega,$$ हम देखते हैं कि स्थिरांक $$L_x$$ समरूपता अक्ष के परितः कोणीय संवेग का घटक है। इसके अलावा, हम चर के लिए गति का समीकरण पाते हैं $$\alpha$$ जैसा $$\frac{d}{dt} \left(\frac{\partial \mathcal{L}_{1}}{\partial\dot{\alpha}}\right)=\frac{\partial \mathcal{L}_{1}}{\partial\alpha},$$ या $$\begin{align} I_{2}\ddot{\alpha} &=I_{1}\Omega \left (\dot{\psi}-\Omega\sin\delta\cos\alpha \right )\sin\delta\sin\alpha+\frac{1}{2} I_{2} \Omega^{2}\sin^{2}\delta\sin2\alpha\\ &=L_{x}\Omega\sin\delta\sin\alpha+\frac{1}{2} I_{2} \Omega^{2}\sin^{2}\delta\sin2\alpha \end{align}$$

विशेष मामला: ध्रुव
ध्रुवों पर हम पाते हैं $$\sin\delta=0,$$ और गति के समीकरण बन जाते हैं $$\begin{align} L_{x} &=I_{1}\dot{\psi}=\mathrm{constant}\\ I_{2}\ddot{\alpha}&=0 \end{align}$$ इस सरल समाधान का अर्थ है कि जाइरोस्कोप ऊर्ध्वाधर और सममित अक्ष दोनों में निरंतर कोणीय वेग के साथ समान रूप से घूम रहा है।

सामान्य और शारीरिक रूप से प्रासंगिक मामला
चलिए अब मान लेते हैं कि $$\sin\delta\neq0$$ ओर वो $$\alpha\approx0$$, यानी जाइरोस्कोप की धुरी लगभग उत्तर-दक्षिण रेखा के साथ है, और आइए हम पैरामीटर स्पेस ढूंढें (यदि यह मौजूद है) जिसके लिए सिस्टम इसी रेखा के बारे में स्थिर छोटे दोलनों को स्वीकार करता है। यदि यह स्थिति होती है, तो जाइरोस्कोप हमेशा दिशा देते हुए लगभग उत्तर-दक्षिण रेखा के साथ संरेखित होगा। इस मामले में हम पाते हैं $$\begin{align} L_{x}&\approx I_{1} \left (\dot{\psi}-\Omega\sin\delta \right )\\ I_{2}\ddot{\alpha}&\approx \left (L_{x}\Omega\sin\delta+I_{2} \Omega^{2}\sin^{2}\delta \right) \alpha \end{align}$$ उस मामले पर विचार करें $$L_{x}<0,$$ और, इसके अलावा, हम तेज़ जाइरो-रोटेशन की अनुमति देते हैं, अर्थात $$\left |\dot{\psi} \right |\gg\Omega.$$ इसलिए, तेजी से घूमने के लिए, $$L_x<0$$ तात्पर्य $$\dot\psi<0.$$ इस मामले में, गति के समीकरण और सरल हो जाते हैं $$\begin{align} L_{x}             &\approx -I_{1} \left |\dot{\psi} \right | \approx \mathrm{constant}\\ I_{2}\ddot{\alpha} &\approx -I_{1} \left |\dot{\psi} \right |\Omega \sin\delta\alpha \end{align}$$ इसलिए, हम उत्तर-दक्षिण रेखा के बारे में छोटे-छोटे दोलन पाते हैं $$\alpha\approx A\sin(\tilde\omega t+B)$$, जहां उत्तर-दक्षिण रेखा के बारे में जाइरोकम्पास की समरूपता की धुरी की इस हार्मोनिक गति का कोणीय वेग दिया गया है $$\tilde\omega=\sqrt{\frac{I_{1}\sin\delta}{I_{2}}}\sqrt{\left |\dot{\psi} \right |\Omega},$$ जो कि दिए गए दोलनों की अवधि से मेल खाता है $$T=\frac{2\pi}{\sqrt{\left |\dot{\psi} \right |\Omega}}\sqrt{\frac{I_{2}}{I_{1}\sin\delta}}.$$ इसलिए $$\tilde\omega$$ पृथ्वी के ज्यामितीय माध्य और घूमने वाले कोणीय वेग के समानुपाती है। छोटे-छोटे दोलनों के लिए हमें इसकी आवश्यकता होती है $$\dot{\psi}<0$$, ताकि उत्तर घूमने वाली धुरी के दाहिनी ओर की दिशा में स्थित हो, जो कि नकारात्मक दिशा के साथ है $$X_7$$-अक्ष, समरूपता की धुरी. एक पार्श्व परिणाम के रूप में, मापने पर $$T$$ (और जानना $$\dot{\psi}$$), कोई स्थानीय सह-अक्षांश का अनुमान लगा सकता है $$\delta.$$

यह भी देखें

 * एवियोनिक्स में परिवर्णी शब्द और संक्षिप्ताक्षर
 * हेडिंग इंडिकेटर, जिसे दिशा संकेतक के रूप में भी जाना जाता है, विमान में इस्तेमाल किया जाने वाला एक हल्का जाइरोस्कोप (जाइरोकम्पास नहीं)
 * एचआरजी जाइरोकम्पास
 * फ्लक्सगेट कम्पास
 * फाइबर ऑप्टिक जाइरोकम्पास
 * जड़त्वीय नेविगेशन प्रणाली, एक अधिक जटिल प्रणाली जिसमें एक्सेलेरोमीटर भी शामिल है
 * शूलर ट्यूनिंग
 * शिखर

ग्रन्थसूची

 * : "Gyroscopic compass" by E. A. Sperry, filed June, 1911; issued September, 1918

बाहरी संबंध

 * Feynman's Tips on Physics - The gyrocompass
 * Case Files: Elmer A. Sperry at the Franklin Institute contains records concerning his 1914 Franklin Award for the gyroscopic compass