सिस्टोलिक ज्यामिति

गणित में सिस्टोलिक ज्यामिति विविध कार्य और बहुकोणीय आकृति सांस्थितिक के सिस्टोलिक अपरिवर्तनीय का अध्ययन है, जैसा कि आरम्भ में चार्ल्स लोवेनर के माध्यम से कल्पना की गई थी, और मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ), माइकल फ्रीडमैन, पीटर सरनक, मिखाइल काट्ज़, लैरी गुथ और अन्य के माध्यम से इसके अंकगणितीय ऊर्जापंथी और सांस्थितिक अभिव्यक्तियों में विकसित की गई थी। सिस्टोलिक ज्यामिति का अक्रियाशील गति वाला परिचय भी देखें।

सिस्टोल की धारणा
एक सघन समुच्चय मापीय स्थान X का सिस्टोल, X का एक मापीय अपरिवर्तनीय है, जिसे (अर्थात चक्र जिसे व्यापक स्थान X में किसी बिंदु पर अनुबंधित नहीं किया जा सकता है)। अत्यधिक विधि भाषा में हम X के मौलिक समूह में अ-साधारण संयुग्मी वर्गों का प्रतिनिधित्व करने वाले मुक्त चक्रों पर लंबाई को अल्पतर करते हैं। जब X लेखाचित्र है जिसे डब्ल्यू. टी. टुट्टे के माध्यम से परिधि पर 1947 के लेख के पश्चात् सामान्यतः अपरिवर्तनीय को परिधि के रूप में संदर्भित किया जाता है। संभवतः टुट्टे के लेख से प्रेरित होकर लोवेनर ने 1940 के दशक के अंत में सतहों पर सिस्टोलिक प्रश्नों के विषय में विचार करना प्रारंभ किया, जिसके परिणामस्वरूप उनके छात्र पाओ मिंग पुह्स के माध्यम से 1950 में अभिधारणा प्रस्तुत की गई थी। वास्तविक शब्द "सिस्टोल" एक चौथाई सदी पश्चात् भी मार्सेल बर्जर के माध्यम से निर्मित नहीं गया था।

अनुसंधान की इस नेतृत्व को स्पष्ट रूप से आर. अकोला और सी के पत्रों के प्रकाशन के तुरंत पश्चात् 1961-62 शैक्षणिक वर्ष के समय स्ट्रासबर्ग विश्वविद्यालय के पुस्तकालय में बर्जर के साथ वार्तालाप में रेने थॉम की टिप्पणी से और अत्यधिक प्रोत्साहन मिला। इन सिस्टोलिक असमानताओं से संबंधित थॉम ने कथित रूप से कहा कि यह परिणाम मौलिक महत्व के हैं।

इसके पश्चात् बर्जर ने वर्तमान ही में अमेरिकन मैथमैटिकल सोसाइटी के ज्ञापन के मार्च 2008 अंक में लेखों और पुस्तकों की श्रृंखला में इस विषय को लोकप्रिय बनाया (नीचे संदर्भ देखें) है। सिस्टोलिक ज्यामिति और सांस्थिति के लिए वेबसाइट पर ग्रन्थसूची संदर्भिका में वर्तमान में 160 से अत्यधिक लेख सम्मिलित हैं। सिस्टोलिक ज्यामिति शीघ्रता से विकसित होने वाला क्षेत्र है, जिसमें प्रमुख पत्रिकाओं में अनेक आधुनिक प्रकाशन सम्मिलित हैं। वर्तमान ही में (नीचे काट्ज़ और रुड्यक का 2006 का प्रपत्र देखें) लस्टर्निक-श्निरेलमैन श्रेणी का संपर्क सामने आया है। ऐसे संपर्क के अस्तित्व को सिस्टोलिक सांस्थिति में प्रमेय के रूप में विचार करा जा सकता है।

3-स्थान में केंद्रीय सममित बहुफलक का गुण
R3 में प्रत्येक उत्तल केंद्रीय सममित पॉलीहेड्रॉन P विपरीत (एंटीपोडल) बिंदुओं की युग्मन और उन्हें संचय वाली लंबाई L का मार्ग स्वीकार करता है और P की सीमा ∂P पर स्थित है, जो संतोषजनक है:


 * $$L^2 \leq \frac{\pi}{4} \mathrm{area}(\partial P).$$

एक वैकल्पिक सूत्रीकरण इस प्रकार है। सतह क्षेत्र A के किसी भी केंद्रीय सममित उत्तल निकाय को एक क्षेत्र के माध्यम से प्राप्त सबसे शक्तिशाली उपयुक्त के साथ लंबाई $$\sqrt{\pi A}$$, के बंधन के माध्यम से निष्पीडित जा सकता है। यह गुण पुह्स की असमानता (नीचे देखें) के विशेष स्थितिे के सामान है, जो प्रारंभिक सिस्टोलिक असमानताओं में से एक है।

अवधारणाएँ
क्षेत्र के अनुमान का प्रारंभिक विचार देने के लिए निम्नलिखित टिप्पणियाँ की जा सकती हैं। उपर्युक्त उद्धृत बर्जर के प्रति थॉम की टिप्पणी का मुख्य विषय निम्नलिखित प्रतीत होता है। जब भी किसी को ज्यामितीय अपरिवर्तनीयता से संबंधित असमानता का सामना करना पड़ता है तब ऐसी वृत्तांत अपने आप में रोचक होती है, और तब और भी रोचक होती है जब असमानता तीव्र (अर्थात, सर्वोत्तम) होती है। मौलिक समपरिमापीय (गणित) असमानता उचित उदाहरण है। सतहों के विषय में सिस्टोलिक प्रश्नों में, अभिन्न-ज्यामितीय समरूपता विशेष रूप से महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। साधारणतया रूप से वर्णन करे तब एक ओर अभिन्न समरूपता संबंधित क्षेत्र है, और दूसरी ओर चक्र के उपयुक्त परिवारिक ऊर्जा का औसत है। कॉची-श्वार्ज़ असमानता के अनुसार, लंबाई वर्ग के लिए ऊर्जा उपर्युक्त सीमा है। इसलिए सिस्टोल के क्षेत्रफल और वर्ग के मध्य असमानता प्राप्त होती है। ऐसा दृष्टिकोण लोवेनर असमानता दोनों के लिए काम करता है:


 * $$\mathrm{sys}^2 \le \frac{2}{\sqrt{3}}\cdot\mathrm{area}$$

टोरस के लिए, जिस स्थान पर समानता का स्थितिा समतल टोरस के माध्यम से प्राप्त किया जाता है। जिसका डेक परिवर्तन ईसेनस्टीन पूर्णांक का जालक बनाता है, और वास्तविक प्रक्षेप्य तल P2(R) के लिए पुस की असमानता के लिए:


 * $$\mathrm{sys}^2 \le \frac{\pi}{2}\cdot\mathrm{area}$$,

निरंतर गॉसियन वक्रता की मापीय की विशेषता वाली समानता के साथ है।

विचरण के लिए संगणनात्मक सूत्र का परिवर्तन वास्तव में आइसोसिस्टोलिक त्रुटि के साथ लोवेनर की टोरस असमानता का निम्नलिखित संस्करण उत्पन्न करता है:


 * $$\mathrm{area}-\frac{\sqrt{3}}{2}\mathrm{sys}^2\geq \mathrm{var}(f),$$

जिस स्थान पर f अपने अनुरूप वर्ग में इकाई क्षेत्र समतल मापीय के संबंध में मापीय का अनुरूप कारक है। इस असमानता को आइसोपेरिमेट्रिक त्रुटि के साथ बोन्सन की असमानता के अनुरूप माना जा सकता है, जो आइसोपेरिमेट्रिक असमानता को शक्तिशाली करता है।

इस प्रकार की अनेक नवीन असमानताएँ वर्तमान में शोध की गई हैं, जिनमें सार्वभौमिक आयतन निम्न सीमाएँ भी सम्मिलित हैं। सतहों के सिस्टोल पर अत्यधिक विवरण दिखाई देते हैं।

ग्रोमोव की सिस्टोलिक असमानता
क्षेत्र में सबसे प्रगाढ़ परिणाम ग्रोमोव की आवश्यक n-अनेक m के होमोटॉपी 1-सिस्टोल के लिए असमानता है:


 * $$ \operatorname{sys\pi}_1{}^n \leq C_n \operatorname{vol}(M),$$

जिस स्थान पर Cn सार्वभौमिक स्थिरांक है, जो मात्र M के आयाम पर निर्भर करता है। यहां होमोटॉपी सिस्टोल sysπ1 परिभाषा के अनुसार M में गैर-अनुबंध चक्र की सबसे न्यूनतम लंबाई है। किसी बहुविध को आवश्यक कहा जाता है, यदि उसका मौलिक वर्ग [M] उसके मौलिक समूह की समरूपता (गणित) में असाधारण वर्ग का प्रतिनिधित्व करता है। प्रमाण में नया अपरिवर्तनीय सम्मिलित है, जिसे ग्रोमोव के माध्यम से प्रस्तुत पूरण त्रिज्या कहा जाता है। जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।गुणांक वलय 'Z' या 'Z2' को A के माध्यम से निरूपित करें, यह इस तथ्य पर निर्भर करता है कि M उन्मुख है या नहीं है। तत्पश्चात सघन n-आकार बहुविध M का मूल वर्ग, जिसे [M ] कहा जाता है, $$H_n(M;A)=A$$ का संचालक है। यूक्लिडियन अंतराल E में M के समावेश को देखते हुए, हम नियत करते हैं:
 * $$ \mathrm{FillRad}(M\subset E) = \inf \left\{ \epsilon > 0 \left|\;\iota_\epsilon([M])=0\in H_n(U_\epsilon M) \right. \right\},$$

जिस स्थान पर ιε, E में इसके ε-पड़ोस Uε M में M को सम्मिलित करने से प्रेरित समावेश समरूपता है।

ऐसी स्थिति में पूर्ण भरने वाले त्रिज्या को परिभाषित करने के लिए जिस स्थान पर M रीमैनियन मापीय g ग्रोमोव से सुसज्जित है, और यह इस प्रकार से आगे बढ़ता है। सी. कुराटोस्की के कारण प्रक्रम अंतः स्थापन का लाभ उठाता है। M को बानाख (बीजगणित) अंतराल L∞(M) में M पर परिबद्ध बोरेल फ़ंक्शंस में सन्निहित करता है, जो आदर्श $$\|\;\|$$ से सुसज्जित है। अर्थात् हम समस्त y ∈ M के लिए सूत्र fx(y) = d(x,y) के माध्यम से परिभाषित फलन fx∈L∞(M) के लिए बिंदु x ∈ M को प्रतिचित्र करते हैं, जिस स्थान पर d मापीय के माध्यम से परिभाषित अंतर फलन है। त्रिभुज असमानता से हमारे पास $$d(x,y) = \| f_x - f_y \|,$$ है और इसलिए आंतरिक दूरी और परिवेश की दूरी व्यवस्थापन वाले स्पष्ट अर्थों में अंतर्संबंध दृढ़ता से सममितीय है। यदि व्यापक स्थान हिल्बर्ट स्थान है, तब भी जब M रीमैनियन क्षेत्र है (विपरीत बिंदुओं के मध्य की दूरी π होनी चाहिए, 2 नहीं!) तब इतनी दृढ़ता से सममितीय अंतः स्थापन असंभव है। तत्पश्चात हम उपरोक्त सूत्र में E = L∞(M) समुच्चय करते हैं और परिभाषित करते हैं:


 * $$\mathrm{FillRad}(M)=\mathrm{FillRad} \left( M\subset L^{\infty}(M) \right).$$

अर्थात्, ग्रोमोव ने सिस्टोल और भरण की त्रिज्या से संबंधित तीव्र असमानता सिद्ध की,


 * $$\mathrm{sys\pi}_1 \leq 6\; \mathrm{FillRad}(M),$$

समस्त आवश्यक विविध कार्य M के साथ-साथ असमानता के लिए भी मान्य है:


 * $$\mathrm{FillRad} \leq C_n \mathrm{vol}_n{}^{1/n}(M),$$

समस्त संवृत विविध कार्य के लिए मान्य M है:

एस. वेंगर के माध्यम से ज्यामितीय माप सिद्धांत में वर्तमान के परिणामों के आधार पर, एल. एम्ब्रोसियो और बी. किर्चहैम के पूर्व के कार्य पर आधारित प्रमाण का सारांश, नीचे संदर्भित सिस्टोलिक ज्यामिति और सांस्थिति पुस्तक की धारा 12.2 में दिखाई देता है। ग्रोमोव की असमानता के प्रमाण के लिए समस्त प्रकार से प्रथक दृष्टिकोण वर्तमान ही में लैरी गुथ के माध्यम से प्रस्तावित किया गया था।

ग्रोमोव की स्थिर असमानता
1-सिस्टोलिक अपरिवर्तनीय (चक्र की लंबाई के संदर्भ में परिभाषित) और उच्चतर, के-सिस्टोलिक अपरिवर्तनीय (चक्रों के क्षेत्रों आदि के संदर्भ में परिभाषित) के मध्य महत्वपूर्ण अंतर को विचार में रखा जाना चाहिए। चूँकि 1-सिस्टोल को सम्मिलित करते हुए अनेक सर्वोत्तम सिस्टोलिक असमानताएं अब तक प्राप्त की जा चुकी हैं, विशुद्ध रूप से उच्च के-सिस्टोल को सम्मिलित करने वाली एकमात्र सर्वोत्तम असमानता ग्रोमोव की सर्वोत्तम स्थिर 2-सिस्टोलिक असमानता है:


 * $$\mathrm{stsys}_2{}^n \leq n! \;\mathrm{vol}_{2n}(\mathbb{CP}^n)$$

जटिल प्रक्षेप्य स्थान के लिए, जिस स्थान पर क्वांटम यांत्रिकी के संपर्क की ओर संकेत करते हुए सममित फ़ुबिनी-अध्ययन मापीय के माध्यम से सर्वोत्तम सीमा प्राप्त की जाती है। यहां रीमैनियन बहुविध M के स्थिर 2-सिस्टोल को व्यवस्था के माध्यम से परिभाषित किया गया है:


 * $$\mathrm{stsys}_2 = \lambda_1\left(H_2(M,\mathbb{Z})_{\mathbb{R}}, \|\;\|\right),$$

कहाँ $$\|\;\|$$ स्थिर मानदंड है, चूँकि λ1 जाली के शून्येतर तत्व का न्यूनतम मानदंड है। ग्रोमोव की स्थिर असमानता कितनी असाधारण है, यह वर्तमान ही में स्पष्ट हुआ है। अर्थात् यह ज्ञात हुआ है कि अपेक्षा के विपरीत चतुर्धातुक प्रक्षेप्य तल पर सममित मापीय जटिल स्थितिे में 2-सिस्टोल के विपरीत इसकी सिस्टोलिक रूप से सर्वोत्तम मापीय नहीं है। चूँकि अपने सममित मापीय के साथ चतुर्धातुक प्रक्षेप्य तल का मध्य-आयामी स्थिर सिस्टोलिक अनुपात 10/3 है, जटिल प्रक्षेप्य 4-स्थान के सममित मापीय के लिए अनुरूप अनुपात 6 देता है, चूँकि ऐसे अनुपात के लिए सर्वोत्तम उपलब्ध उच्चतम परिबंध होता है। इन दोनों स्थानों पर इच्छानुसारा मापीय 14 है। यह उपर्युक्त परिबंध लाई बीजगणित E7 (गणित) के गुणों से संबंधित है। यदि असाधारण चक्र (7) होलोनॉमी और 4-वें बेट्टी संख्या 1 के साथ 8- बहुविध उपस्थित है, तब मान 14 वास्तव में सर्वोत्तम है। डोमिनिक जॉयस के माध्यम से चक्र(7) होलोनॉमी वाले बहुविध का गहन अध्ययन किया गया है।

2-सिस्टोल के लिए निम्नतर सीमा
इसी प्रकार, k=2 के साथ के-सिस्टोल के लिए एकमात्र असाधारण निम्नतर सीमा के विषय में, गेज सिद्धांत और जे-पूर्णसममितिक वक्र के हाल के काम का परिणाम है। जेक सोलोमन के माध्यम से 4-विविध कार्य के अनुरूप 2-सिस्टोल के लिए निम्नतर सीमा के अध्ययन से अवधि मानचित्र की छवि के घनत्व का सरलीकृत प्रमाण प्राप्त हुआ है।

शॉट्की समस्या
संभवतः सिस्टोल के सबसे उल्लेखनीय अनुप्रयोगों में से शॉट्की समस्या के संदर्भ में पी. बसर और पी. सरनाक के माध्यम से किया गया है, जिन्होंने मुख्य रूप से ध्रुवीकृत एबेलियन (गणित में विनिमेय समूह) विविधता के मध्य रीमैन सतह की जैकोबियन को प्रतिष्ठित किया, और सिस्टोलिक अंकगणित का आधार रखा है।

लस्टर्निक-श्निरेलमैन श्रेणी
सिस्टोलिक प्रश्न अनुरोध से अत्यधिक ांशतः संबंधित क्षेत्रों में प्रश्नों को प्रेरित करता है। इस प्रकार, बहुविध की सिस्टोलिक श्रेणी की धारणा को परिभाषित और अवलोकन करा गया है, जो लस्टर्निक-श्निरेलमैन श्रेणी (L S श्रेणी) से संबंध प्रदर्शित करती है। विचार करे कि सिस्टोलिक श्रेणी (एवं L S श्रेणी), परिभाषा के अनुसार, पूर्णांक है। दोनों श्रेणियों को सतहों और 3-विविध कार्य के लिए सन्निपतित होते हुए प्रकट करा गया है। इसके अतिरिक्त, उन्मुख 4-विविध कार्य के लिए, सिस्टोलिक श्रेणी L S श्रेणी के लिए निम्नतर सीमा है। एक समय मे संबंध स्थापित हो जाने पर, प्रभाव परस्पर होता है: L S श्रेणी के विषय में ज्ञात परिणाम सिस्टोलिक प्रश्नों को उत्तेजित करते हैं, और इसके विपरीत है।

नया अपरिवर्तनीय काट्ज़ और रुड्यक के माध्यम से प्रस्तुत करा गया था (नीचे देखें)। चूंकि अपरिवर्तनीय लस्टर्निक-श्निरेलमैन श्रेणी (L S श्रेणी) से निकटता से संबंधित है, इसलिए इसे सिस्टोलिक श्रेणी कहा जाता था।

बहुविध M की सिस्टोलिक श्रेणी को M के विभिन्न के-सिस्टोल के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। साधारणतया विचार इस प्रकार है। बहुविध M को देखते हुए, अनेक सिस्टोल के सबसे दीर्घतम परिणाम की अन्वेषण करता है, जो M की कुल मात्रा के लिए वक्रता-मुक्त निम्नतर सीमा (मापीय के निरंतर स्वतंत्र के साथ) देता है। परिभाषा में M के आवरण के सिस्टोलिक अपरिवर्तनीय को भी सम्मिलित करना स्वाभाविक है। इतने दीर्घतम परिणाम में कारकों की संख्या परिभाषा के अनुसार M की सिस्टोलिक श्रेणी है।

उदाहरण के रूप मे मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) ने प्रकट करा कि आवश्यक n- बहुविध होमोटॉपी 1-सिस्टोल की n उर्जा के संदर्भ में कम मात्रा में सीमित मात्रा को स्वीकार करता है (उपर्युक्त अनुभाग देखें)। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि आवश्यक n- बहुविध की सिस्टोलिक श्रेणी सम्पूर्ण रूप में n है। वास्तव में, संवृत n-विविध कार्य के लिए, L S श्रेणी और सिस्टोलिक श्रेणी दोनों का अत्यधिक तम मान एकसाथ प्राप्त होता है।

दोनों श्रेणियों के मध्य रोचकसंबंध के अस्तित्व का एक और संकेत अपरिवर्तनीय संबंध है, जिसे कपलेंथ कहा जाता है। इस प्रकार, वास्तविक कपलेंथ दोनों श्रेणियों के लिए निम्नतर सीमा बन जाती है।

अनेक स्थितियों में सिस्टोलिक श्रेणी एलएस श्रेणी से अनुरूप होती है, जिसमें आयाम 2 और 3 के बहुविध का स्थितिा भी सम्मिलित है।

अनेक स्थितियों में सिस्टोलिक श्रेणी L S श्रेणी के अनुरूप होती है, जिसमें आयाम 2 और 3 के बहुविध का स्थितिा भी सम्मिलित है। आयाम 4 में वर्तमान ही में यह प्रकट करा गया था कि सिस्टोलिक श्रेणी L S श्रेणी के लिए निम्नतर सीमा है।

सिस्टोलिक हाइपरबोलिक ज्यामिति
हाइपरबोलिक सतहों के सिस्टोल के व्यापक श्रेणी g के लिए अनंतस्पर्शी व्यवहार के अध्ययन से कुछ रोचक स्थिरांक का ज्ञात होता है। इस प्रकार, (2,3,7) अतिपरवलयिक त्रिभुज समूह के प्रमुख सर्वांगसम उपसमूहों के स्तंभ के माध्यम से परिभाषित हर्विट्ज़ सतह Σg सीमा को संतुष्ट करता है।


 * $$ \mathrm{sys}\pi_1(\Sigma_g) \geq \frac{4}{3} \log g,$$

और समरूप सीमा अत्यधिक तर सामान्य अंकगणितीय फ़ुचियन समूहों के लिए है। काट्ज़, शाप्स और विश्ने के माध्यम से 2007 का यह परिणाम है उनके 1994 के मौलिक प्रपत्र से Q पर परिभाषित अंकगणितीय समूहों के स्थितिे में पीटर बसर और पीटर सरनाक के परिणामों को सामान्यीकृत करता है।

हाइपरबोलिक ज्यामिति में सिस्टोल के लिए संदर्भग्रंथ सूची में वर्तमान में चालीस लेख हैं। रोचक उदाहरण बोल्ज़ा सतह, क्लेन चतुर्थक मैकबीथ सतह प्रथम हर्विट्ज़ त्रिज के माध्यम से प्रदान किए गए हैं।

एबल-जैकोबी मानचित्रों से संबंध
बुरगो और इवानोव की विधि के अनुप्रयोग के रूप में सर्वोत्तम सिस्टोलिक असमानताओं का कुटुम्ब प्राप्त किया जाता है, जो उपयुक्त एबेल-जैकोबी मानचित्रों का उपयोग करता है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

मान लीजिए कि M बहुविध है, π = π1(M), इसका मूल समूह है और f:π → πab इसका आबेलियनाइजेशन मानचित्र है। मान लीजिए कि πab का आघूर्ण बल उपसमूह है। मान लीजिए g: πab → πab/tor आघूर्ण बल के माध्यम से भागफल है। स्पष्टतः πab/tor=Zb, जिस स्थान पर b=b1 (M) है। मान लीजिए φ: π → Zb रचित समरूपता है।

परिभाषा: उपसमूह Ker(φ) ⊂ π के संगत बहुविध M के आवरण 1 को सार्वभौमिक (या अत्यधिक तम) मुक्त एबेलियन (गणित में विनिमेय समूह) आवरण कहा जाता है।

अब मान लें कि M के पास रीमैनियन मापीय है। मान लीजिए कि E, M पर गुणावृत्ति 1-रूपों का विस्तार है, जिसमें द्वि E* को H1(M,R) के साथ प्रामाणिक रूप से निर्धारित किया जाता है। आधार बिंदु x0∈ M से मार्गो के मध्य समाकलित गुणावृत्ति 1-प्रपत्र को एकीकृत करके हम वृत्त R/Z = S1 के लिए मानचित्र प्राप्त करते हैं।

इसी प्रकार सहसंरेखण का आधार चयन रहित मानचित्र M → H1((M,R))/H1(M,Z)R को परिभाषित करने के लिए, हम इस प्रकार तर्क देते हैं। माना कि M के सार्वभौमिक आवरण $$\tilde{M}$$ में x बिंदु है। इस प्रकार X को M के बिंदु के साथ X0 को मार्ग c के माध्यम से दर्शाया जाता है। मार्ग c के अनुदिश एकीकृत करके, हम E पर रैखिक रूप $$h\to \int_c h$$, प्राप्त करते हैं। इस प्रकार हमें मानचित्र $$\tilde{M}\to E^* = H_1(M,\mathbf{R})$$ प्राप्त होता है, जो एक मानचित्र पर अवतरित होता है।


 * $$ \overline{A}_M: \overline{M}\to E^*,\;\; c\mapsto \left(h\mapsto \int_c h \right),$$

जिस स्थान पर $$\overline{M}$$ विश्वव्यापी स्वतंत्र एबेलियन (गणित में विनिमेय समूह) आवरण है।

परिभाषा: M की जैकोबी विविधता (जैकोबी टोरस) टोरस J1(M)= H1(M,R)/H1(M,Z)R है।

परिभाषा: एबेल-जैकोबी मानचित्र $$A_M: M \to J_1(M),$$ उपरोक्त मानचित्र से भागफल को अस्थायी करके प्राप्त किया जाता है। एबेल-जैकोबी मानचित्र जैकोबी टोरस के अनुवादों तक अद्वितीय है।

उदाहरण के रूप मे डी. बुरागो, एस. इवानोव और मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) के कारण निम्नलिखित असमानता का संकेत दिया जा सकता है।

मान लीजिए कि M सर्वप्रथम बेट्टी संख्या n के साथ एक n-आयामी रीमैनियन बहुविध है, जैसे कि M से इसके जैकोबी टोरस तक के मानचित्र में शून्येतर उपाधि (निरंतर मानचित्र) है। तब M सर्वोत्तम स्थिर सिस्टोलिक असमानता को संतुष्ट करता है:


 * $$ \mathrm{stsys}_1{}^{n} \leq \gamma_n \mathrm{vol}_n(M),$$

जिस स्थान पर $$\gamma_n$$ मौलिक हर्मिट स्थिरांक है।

संबंधित क्षेत्र, खंड एन्ट्रापी
व्यापक वर्ग की सतहों के सिस्टोल के लिए अनंतस्पर्शी घटनाओं को रोचकऊर्जापंथी घटनाओं और अंकगणित समूह के सर्वांगसम उपसमूहों के गुणों से संबंधित प्रस्तुत करा गया है।

होमोटॉपी सिस्टोल के लिए ग्रोमोव की 1983 की असमानता विशेष रूप से इसके सिस्टोल के संदर्भ में गोलाकार सतह के क्षेत्र के लिए एक समान निम्नतर सीमा का तात्पर्य है। इस प्रकार की सीमा लोवनर और पुह की असमानताओं को अ-सर्वोत्तम प्रचलन में सामान्यीकृत करती है।

ग्रोमोव के मौलिक 1983 प्रपत्र में सिस्टोल और क्षेत्र से संबंधित अनंतस्पर्शी सीमाएँ भी सम्मिलित हैं, जो समान सीमा (समस्त आयामों में मान्य) में सुधार करती हैं।

यह वर्तमान में खोजा गया था (नीचे काट्ज़ और सबौरौ के माध्यम से प्रपत्र देखें) कि खंड एन्ट्रापी h है, h के लिए ए कटोक की सर्वोत्तम असमानता, उच्च वर्गों की सतहों के सिस्टोलिक अनुपात के लिए एम. ग्रोमोव के अनंतस्पर्शी बाध्यता के पारदर्शी प्रमाण में "सही" मध्यस्थ है।

ए कटोक के मौलिक परिणाम में कहा गया है, कि ऋणात्मक यूलर के साथ संवृत सतह M पर प्रत्येक मापीय एन्ट्रापी और क्षेत्र से संबंधित सर्वोत्तम असमानता को संतुष्ट करता है।

यह ज्ञात हुआ है कि एक संवृत सतह की न्यूनतम एन्ट्रापी उसके सर्वोत्तम सिस्टोलिक अनुपात से संबंधित हो सकती है। अर्थात्, सिस्टोलिक रूप से चरम सतह की एन्ट्रापी के लिए उसके सिस्टोल के संदर्भ में उपर्युक्त सीमा होती है। आयतन के संदर्भ में कटोक की सर्वोत्तम निम्नतर सीमा के साथ इस उपर्युक्त सीमा को संयोजित करके, व्यापक वर्ग की सतहों के सर्वोत्तम सिस्टोलिक अनुपात के लिए ग्रोमोव के अनंतस्पर्शी अनुमान का सरल वैकल्पिक प्रमाण प्राप्त होता है। इसके अतिरिक्त, इस प्रकार का दृष्टिकोण ग्रोमोव के प्रमेय में श्रेष्ठतर गुणक स्थिरांक उत्पन्न करता है।

एक अनुप्रयोग के रूप में, इस पद्धति का तात्पर्य है कि वर्ग की सतह पर प्रत्येक मापीय कम से कम 20 लोवेनर की टोरस असमानता को संतुष्ट करता है। यह 50 के सर्वोत्तम पूर्व अनुमान में सुधार करता है, जो ग्रोमोव के अनुमान से लिया गया था।

भरण क्षेत्र अनुमान
ग्रोमोव के भरण क्षेत्र अनुमान को हाइपरलिप्टिक व्यवस्था में सिद्ध किया गया है (नीचे बैंगर्ट एट अल के माध्यम से संदर्भ देखें)।

भरण क्षेत्र अनुमान का प्रमाणित है कि दृढ़ता से सममितीय गुण वाली सतह के माध्यम से 2π लंबाई के रीमैनियन वृत्त के सभी संभावित भरणों में से वृत्त गोलार्ध का क्षेत्रफल अल्पतम है। यहां रीमैनियन वृत्त कुल 1-खंड 2π और रीमैनियन व्यास π के अद्वितीय संवृत 1-आयामी रीमैनियन बहुविध को संदर्भित करता है।

अनुमान को व्याख्या के लिए, हम इस अवलोकन से आरम्भ करते हैं कि इकाई 2-वृत्तीय का भूमध्यरेखीय वृत्त, S2 ⊂ R3, लंबाई 2π और व्यास π का रीमैनियन वृत्त S1 है।

अत्यधिक स्पष्ट रूप से, S1 का रीमैनियन अन्तर फलन चक्र पर परिवेशी रीमैनियन दूरी का प्रतिबंध है। यह गुण यूक्लिडियन समतल में इकाई वृत्त के मानक अंतर्ग्रहण से संतुष्ट नहीं है, जिस स्थान पर विपरीत बिंदुओं की एक जोड़ी दूरी 2 पर है, π पर नहीं है।

हम एक सतह के माध्यम से S1 के सभी भरण पर विचार करते हैं, जैसे कि सतह की सीमा के रूप में वृत्त को सम्मिलित करने से परिभाषित प्रतिबंधित मापीय लंबाई 2π के वृत्त का रीमैनियन मापीय है। वृत्त को सीमा के रूप में सम्मिलित करने को वृत्त का दृढ़तापूर्वक सममितीय अंतर्विरोध कहा जाता है।1983 में ग्रोमोव ने अनुमान लगाया कि वृत्तीय गोलार्ध समस्त भरने वाली सतहों के मध्य वृत्त को रिक्त स्थान पूर्ति का उच्चतम विधि देता है।

सरलता से सम्बंधित भरण का स्थितिा पुह्स की असमानता के समरूप है। वर्तमान में वर्ग (गणित)-1 भरण के स्थितिे को भी सकारात्मक रूप से व्यवस्थित करा गया था (नीचे बैंगर्ट एट अल के माध्यम से संदर्भ देखें)। अर्थात्, यह पता चलता है कि कोई भी रूप अभिन्न ज्यामिति से जे. हर्श के आधी सदी पुराने सूत्र का उपयोग कर सकता है। अर्थात्, भूमध्य रेखा पर स्व-प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ, फ़ुटबॉल पर चित्र-8 चक्र के खंड पर विचार करें (लेख की प्रारंभ में चित्र देखें)। हर्श का सूत्र फुटबॉल के अनुरूप वर्ग में एक मापीय के क्षेत्र के खंड से आकृति -8 चक्र की ऊर्जा के औसत के रूप में व्यक्त करता है। रीमैन सतह के हाइपरलिप्टिक भागफल पर हर्श के सूत्र का अनुप्रयोग इस स्थितिे में रिक्त स्थान वाले पूर्ति वाले क्षेत्र अनुमान को सिद्ध करता है।

वर्ग 2 में हाइपरलिप्टिक वक्र के अन्य सिस्टोलिक प्रभावों की समरूपता की गई है।

सर्वेक्षण
क्षेत्र के सर्वेक्षणों में एम. बर्जर का सर्वेक्षण (1993), ग्रोमोव का सर्वेक्षण (1996), ग्रोमोव की पुस्तक (1999), बर्जर की पैनोरमिक पुस्तक (2003) एवं साथ ही काट्ज़ की पुस्तक (2007) सम्मिलित हैं। ये संदर्भ किसी प्रारंभिक को इस क्षेत्र में प्रवेश करने में सहायता कर सकते हैं। उनमें काम करने के लिए विवृत समस्याएं भी होती हैं।

यह भी देखें

 * भरण क्षेत्र अनुमान
 * प्रथम हर्विट्ज़ त्रिक
 * परिधि (कार्यात्मक विश्लेषण)
 * जटिल प्रक्षेप्य स्थान के लिए ग्रोमोव की असमानता
 * ग्रोमोव की आवश्यक विविधताओं के लिए सिस्टोलिक असमानता
 * विभेदक ज्यामिति विषयों की सूची
 * लोवेनर की टोरस असमानता
 * पुह्स की असमानता
 * सतहों का सिस्टोल
 * सिस्टोलिक स्वतंत्रता

बाहरी संबंध

 * AMS webpage for Mikhail Katz's book.
 * Website for systolic geometry and topology