बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी)

सैद्धांतिक भौतिकी में, विशेष रूप से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, एक बीटा फ़ंक्शन, β(g), किसी दिए गए ऊर्जा पैमाने, μ पर युग्मन स्थिरांक, g की निर्भरता को कूटबद्ध करता है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत द्वारा वर्णित भौतिक प्रक्रिया। इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$\beta(g) = \frac{\partial g}{\partial \ln(\mu)} ~,$$

और, अंतर्निहित पुनर्सामान्यीकरण समूह के कारण, इसकी μ पर कोई स्पष्ट निर्भरता नहीं है, इसलिए यह केवल g के माध्यम से परोक्ष रूप से μ पर निर्भर करता है। इस प्रकार निर्दिष्ट ऊर्जा पैमाने पर निर्भरता को युग्मन स्थिरांक # युग्मन पैरामीटर के रनिंग युग्मन के रूप में जाना जाता है, जो एक मौलिक है क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में स्केल-निर्भरता की विशेषता, और इसकी स्पष्ट गणना विभिन्न गणितीय तकनीकों के माध्यम से प्राप्त की जा सकती है।

स्केल अपरिवर्तनीयता
यदि क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के बीटा फ़ंक्शन गायब हो जाते हैं, आमतौर पर युग्मन मापदंडों के विशेष मूल्यों पर, तो सिद्धांत को स्केल इनवेरिएंस|स्केल-इनवेरिएंट कहा जाता है। लगभग सभी स्केल-अपरिवर्तनीय क्यूएफटी भी अनुरूप समरूपता हैं। ऐसे सिद्धांतों का अध्ययन अनुरूप क्षेत्र सिद्धांत है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के युग्मन पैरामीटर चल सकते हैं, भले ही संबंधित शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत स्केल-अपरिवर्तनीय हो। इस मामले में, गैर-शून्य बीटा फ़ंक्शन हमें बताता है कि शास्त्रीय पैमाने का अपरिवर्तनीयता अनुरूप विसंगति है।

उदाहरण
बीटा फ़ंक्शंस की गणना आमतौर पर किसी प्रकार की सन्निकटन योजना में की जाती है। एक उदाहरण पर्टर्बेशन सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) है, जहां कोई मानता है कि युग्मन पैरामीटर छोटे हैं। फिर कोई युग्मन मापदंडों की शक्तियों में विस्तार कर सकता है और उच्च-क्रम की शर्तों को छोटा कर सकता है (संबंधित फेनमैन ग्राफ़ में लूप की संख्या के कारण उच्च फेनमैन ग्राफ़ योगदान के रूप में भी जाना जाता है)।

गड़बड़ी सिद्धांत में गणना किए गए बीटा फ़ंक्शन के कुछ उदाहरण यहां दिए गए हैं:

क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स
क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स (QED) में वन-लूप बीटा फ़ंक्शन है

या, समकक्ष, प्राकृतिक इकाइयों में गैर-एसआई इकाइयों में ललित-संरचना स्थिरांक के संदर्भ में लिखा गया है, $α = e^{2}/4π$.
 * $$\beta(e)=\frac{e^3}{12\pi^2}~,$$
 * $$\beta(\alpha)=\frac{2\alpha^2}{3\pi}~,$$

यह बीटा फ़ंक्शन हमें बताता है कि बढ़ते ऊर्जा पैमाने के साथ युग्मन बढ़ता है, और QED उच्च ऊर्जा पर दृढ़ता से युग्मित हो जाता है। वास्तव में, युग्मन स्पष्ट रूप से कुछ सीमित ऊर्जा पर अनंत हो जाता है, जिसके परिणामस्वरूप लैंडौ ध्रुव बनता है। हालाँकि, कोई भी मजबूत युग्मन पर सटीक परिणाम देने के लिए पर्टर्बेटिव बीटा फ़ंक्शन की उम्मीद नहीं कर सकता है, और इसलिए यह संभावना है कि लैंडौ पोल ऐसी स्थिति में पर्टर्बेशन सिद्धांत को लागू करने की एक कलाकृति है जहां यह अब मान्य नहीं है।

क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स
क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में वन-लूप बीटा फ़ंक्शन $$n_f$$ स्वाद (कण भौतिकी)#क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स और $$n_s$$ अदिश रंग का बोसोन है
 * $$\beta(g)=-\left(11- \frac{n_s}{6} - \frac{2n_f}{3}\right)\frac{g^3}{16\pi^2}~,$$

या
 * $$\beta(\alpha_s)=-\left(11- \frac{n_s}{6}-\frac{2n_f}{3}\right)\frac{\alpha_s^2}{2\pi}~,$$

α के संदर्भ में लिखा गया हैs= $$g^2/4\pi$$.

यदि एनf ≤ 16, आगामी बीटा फ़ंक्शन यह निर्देश देता है कि बढ़ते ऊर्जा पैमाने के साथ युग्मन कम हो जाता है, एक घटना जिसे एसिम्प्टोटिक स्वतंत्रता के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, घटते ऊर्जा पैमाने के साथ युग्मन बढ़ता है। इसका मतलब यह है कि युग्मन कम ऊर्जा पर बड़ा हो जाता है, और कोई अब गड़बड़ी सिद्धांत पर भरोसा नहीं कर सकता है।

एसयू(एन) गैर-एबेलियन गेज सिद्धांत
जबकि QCD का (यांग-मिल्स) गेज समूह है $$SU(3)$$, और 3 रंग निर्धारित करता है, हम किसी भी संख्या में रंगों का सामान्यीकरण कर सकते हैं, $$N_c$$, एक गेज समूह के साथ $$G=SU(N_c)$$. फिर इस गेज समूह के लिए, लाई समूहों के प्रतिनिधित्व में डिराक फर्मियन के साथ $$R_f$$ का $$G$$ और एक प्रतिनिधित्व में जटिल अदिश के साथ $$R_s$$, वन-लूप बीटा फ़ंक्शन है
 * $$\beta(g)=-\left(\frac{11}{3}C_2(G)-\frac{1}{3}n_sT(R_s)-\frac{4}{3}n_f T(R_f)\right)\frac{g^3}{16\pi^2}~,$$

कहाँ $$C_2(G)$$ कासिमिर का अपरिवर्तनीय है $$G$$ और $$T(R)$$ द्वारा परिभाषित एक और कासिमिर अपरिवर्तनीय है $$Tr (T^a_RT^b_R) = T(R)\delta^{ab}$$ जनरेटर के लिए $$T^{a,b}_R$$ प्रतिनिधित्व में झूठ बीजगणित का। (वेल और मेजराना फर्मियन्स के, प्रतिस्थापित करें $$4/3$$ द्वारा $$2/3$$, और वास्तविक अदिशों के लिए, प्रतिस्थापित करें $$1/3$$ द्वारा $$1/6$$.) गेज फ़ील्ड (यानी ग्लूऑन) के लिए, आवश्यक रूप से एक झूठ समूह के आसन्न प्रतिनिधित्व में $$G$$, $$C_2(G) = N_c$$; मौलिक प्रतिनिधित्व (या मौलिक विरोधी) प्रतिनिधित्व में फर्मियन के लिए $$G$$, $$T(R) = 1/2$$. फिर क्यूसीडी के लिए, साथ में $$N_c = 3$$, उपरोक्त समीकरण क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स बीटा फ़ंक्शन के लिए सूचीबद्ध समीकरण को कम कर देता है।

यह प्रसिद्ध परिणाम 1973 में एच. डेविड पोलित्ज़र द्वारा लगभग एक साथ निकाला गया था, डेविड ग्रॉस और फ़्रैंक विलज़ेक, जिसके लिए तीनों को 2004 में भौतिकी में नोबेल पुरस्कार विजेताओं की सूची से सम्मानित किया गया। इन लेखकों से अनभिज्ञ, जेरार्ड 'टी हूफ़्ट|जी. 'टी हूफ़्ट ने जून 1972 में मार्सिले में एक छोटी बैठक में के. सिमानज़िक की बातचीत के बाद एक टिप्पणी में परिणाम की घोषणा की थी, लेकिन उन्होंने इसे कभी प्रकाशित नहीं किया।

मानक मॉडल हिग्स-युकावा कपलिंग
मानक मॉडल में, क्वार्क और लेप्टान की हिग्स बॉसन के साथ युकावा अंतःक्रिया होती है। ये कण का द्रव्यमान निर्धारित करते हैं। अधिकांश क्वार्क और लेप्टान के युकावा युग्मन शीर्ष क्वार्क के युकावा युग्मन की तुलना में छोटे होते हैं। ये युकावा कपलिंग अपने मूल्यों को उस ऊर्जा पैमाने के आधार पर बदलते हैं जिस पर उन्हें रेनॉर्मलाइज़ेशन समूह के माध्यम से मापा जाता है। क्वार्क के युकावा युग्मन की गतिशीलता सटीक पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण द्वारा निर्धारित की जाती है:

$$\mu \frac{\partial}{\partial\mu} y \approx \frac{y}{16\pi^2}\left(\frac{9}{2}y^2 - 8 g_3^2\right)$$,

कहाँ $$g_3$$ रंग प्रभार गेज सिद्धांत युग्मन है (जो इसका एक कार्य है $$\mu$$ और स्पर्शोन्मुख स्वतंत्रता से संबद्ध) और $$y$$ युकावा युग्मन है. यह समीकरण बताता है कि युकावा युग्मन ऊर्जा पैमाने के साथ कैसे बदलता है $$\mu$$.

ऊपर, नीचे, आकर्षण, अजीब और निचले क्वार्क के युकावा युग्म, ग्रैंड यूनिफाइड थ्योरी के अत्यंत उच्च ऊर्जा पैमाने पर छोटे हैं, $$ \mu \approx 10^{15} $$ GeV. इसलिए $$y^2$$ उपरोक्त समीकरण में पद की उपेक्षा की जा सकती है। हल करते हुए हम फिर उसे ढूंढते हैं $$y$$ निम्न ऊर्जा पैमाने पर, जिस पर क्वार्क द्रव्यमान हिग्स द्वारा उत्पन्न होता है, थोड़ा बढ़ जाता है, $$ \mu \approx 100 $$ GeV.

दूसरी ओर, बड़े प्रारंभिक मानों के लिए इस समीकरण का समाधान $$y$$ जैसे ही हम ऊर्जा पैमाने पर उतरते हैं, आरएचएस तेजी से छोटे मूल्यों तक पहुंचने का कारण बनता है। फिर उपरोक्त समीकरण लॉक हो जाता है $$y$$ क्यूसीडी युग्मन के लिए $$g_3$$. इसे युकावा युग्मन के लिए पुनर्सामान्यीकरण समूह समीकरण के (अवरक्त) अर्ध-निश्चित बिंदु के रूप में जाना जाता है। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि युग्मन का प्रारंभिक आरंभिक मान क्या है, यदि यह पर्याप्त रूप से बड़ा है तो यह इस अर्ध-निश्चित बिंदु मान तक पहुंच जाएगा, और संबंधित क्वार्क द्रव्यमान की भविष्यवाणी की जाती है।

अर्ध-निश्चित बिंदु का मान मानक मॉडल में काफी सटीक रूप से निर्धारित किया गया है, जिससे अनुमानित शीर्ष क्वार्क द्रव्यमान 230 GeV है। 174 GeV का देखा गया शीर्ष क्वार्क द्रव्यमान मानक मॉडल पूर्वानुमान से लगभग 30% कम है, जो बताता है कि एकल मानक मॉडल हिग्स बोसोन से अधिक हिग्स युगल हो सकते हैं।

न्यूनतम सुपरसिमेट्रिक मानक मॉडल
भव्य एकीकरण के न्यूनतम सुपरसिमेट्रिक मानक मॉडल (एमएसएसएम) और हिग्स-युकावा निश्चित बिंदुओं में पुनर्नामीकरण समूह अध्ययन बहुत उत्साहजनक थे कि सिद्धांत सही रास्ते पर था। हालाँकि, अब तक, लार्ज हैड्रान कोलाइडर  के प्रयोग में अनुमानित एमएसएसएम कणों का कोई प्रमाण सामने नहीं आया है।

यह भी देखें

 * बैंक-जैक्स निश्चित बिंदु
 * कॉलन-सिमांज़िक समीकरण
 * क्वांटम तुच्छता

अग्रिम पठन

 * Peskin, M and Schroeder, D.; An Introduction to Quantum Field Theory, Westview Press (1995). A standard introductory text, covering many topics in QFT including calculation of beta functions; see especially chapter 16.
 * Weinberg, Steven; The Quantum Theory of Fields, (3 volumes) Cambridge University Press (1995). A monumental treatise on QFT.
 * Zinn-Justin, Jean; Quantum Field Theory and Critical Phenomena, Oxford University Press (2002). Emphasis on the renormalization group and related topics.