परवलयिक गति

प्रक्षेप्य गति एक वस्तु या कण (एक प्रक्षेप्य) द्वारा अनुभव की जाने वाली  गति (भौतिकी)  का एक रूप है जिसे  गुरुत्वाकर्षण  क्षेत्र में प्रक्षेपित किया जाता है, जैसे कि  पृथ्वी  की ग्रह सतह से, और केवल गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत एक घुमावदार पथ के साथ चलती है। पृथ्वी की प्रक्षेप्य गति के विशेष मामले में, अधिकांश गणनाएँ मानती हैं कि वायु प्रतिरोध के प्रभाव निष्क्रिय और नगण्य हैं। प्रक्षेप्य गति में वस्तुओं का घुमावदार मार्ग  गैलीलियो  द्वारा एक  परवलय  के रूप में दिखाया गया था, लेकिन विशेष मामले में एक सीधी रेखा भी हो सकती है जब इसे सीधे ऊपर की ओर फेंका जाता है। इस तरह की गतियों के अध्ययन को प्राक्षेपिकी कहा जाता है, और इस तरह के प्रक्षेपवक्र को बाहरी प्राक्षेपिकी कहा जाता है। गणितीय महत्व का एकमात्र बल जो वस्तु पर सक्रिय रूप से लगाया जाता है, गुरुत्वाकर्षण है, जो नीचे की ओर कार्य करता है, इस प्रकार वस्तु को पृथ्वी के द्रव्यमान के केंद्र की ओर नीचे की ओर  त्वरण  प्रदान करता है। वस्तु की  जड़ता  के कारण, वस्तु की गति के क्षैतिज वेग  वेक्टर घटक  को बनाए रखने के लिए किसी बाहरी बल की आवश्यकता नहीं होती है। अन्य बलों को ध्यान में रखते हुए, जैसे वायुगतिकीय ड्रैग या आंतरिक प्रणोदन (जैसे कि  राकेट  में), अतिरिक्त विश्लेषण की आवश्यकता होती है। एक  बोलिस्टीक्स   मिसाइल  उड़ान के अपेक्षाकृत संक्षिप्त प्रारंभिक  संचालित उड़ान  चरण के दौरान एक मिसाइल केवल  मिसाइल मार्गदर्शन  है, और जिसका शेष पाठ्यक्रम  शास्त्रीय यांत्रिकी  के नियमों द्वारा शासित होता है।

प्राक्षेपिकी  गतिकी (यांत्रिकी)  का विज्ञान है जो प्रक्षेप्य की उड़ान, व्यवहार और प्रभावों से संबंधित है, विशेष रूप से गोलियां, बिना निर्देशित बम, रॉकेट, या इसी तरह; वांछित प्रदर्शन प्राप्त करने के लिए प्रोजेक्टाइल को डिजाइन करने और तेज करने का विज्ञान या कला।

प्राक्षेपिकी के प्रारंभिक समीकरण प्रारंभिक वेग और अनुमानित निरंतर गुरुत्वाकर्षण त्वरण को छोड़कर लगभग हर कारक की उपेक्षा करते हैं। बैलिस्टिक्स समस्या के व्यावहारिक समाधान के लिए अक्सर वायु प्रतिरोध, क्रॉस विंड, लक्ष्य गति, गुरुत्वाकर्षण के कारण अलग-अलग त्वरण, और पृथ्वी पर एक बिंदु से दूसरे तक रॉकेट लॉन्च करने जैसी समस्याओं में पृथ्वी के घूर्णन पर विचार करने की आवश्यकता होती है। व्यावहारिक समस्याओं के विस्तृत गणितीय समाधानों में आमतौर पर बंद-रूप अभिव्यक्ति नहीं होती है | बंद-रूप समाधान होते हैं, और इसलिए उन्हें संबोधित करने के लिए संख्यात्मक तरीकों की आवश्यकता होती है।

गतिज मात्राएँ
प्रक्षेप्य गति में, क्षैतिज गति और ऊर्ध्वाधर गति एक दूसरे से स्वतंत्र होती है; यानी कोई भी गति दूसरे को प्रभावित नहीं करती है। यह 1638 में गैलीलियो द्वारा स्थापित यौगिक गति का सिद्धांत है, और उनके द्वारा प्रक्षेप्य गति के परवलयिक रूप को सिद्ध करने के लिए उपयोग किया गया। एक बैलिस्टिक प्रक्षेपवक्र सजातीय त्वरण के साथ एक पैराबोला है, जैसे अंतरिक्ष जहाज में अन्य बलों की अनुपस्थिति में निरंतर त्वरण के साथ। पृथ्वी पर त्वरण अक्षांश/देशांतर के साथ ऊंचाई और दिशा के साथ परिमाण बदलता है। यह एक दीर्घवृत्त प्रक्षेपवक्र का कारण बनता है, जो एक छोटे पैमाने पर एक परबोला के बहुत करीब है। हालाँकि, यदि कोई वस्तु फेंकी गई और पृथ्वी को अचानक समान द्रव्यमान के ब्लैक होल  से बदल दिया गया, तो यह स्पष्ट हो जाएगा कि बैलिस्टिक प्रक्षेपवक्र उस ब्लैक होल के चारों ओर एक अण्डाकार कक्षा का हिस्सा है, न कि एक परवलय जो अनंत तक फैला हुआ है। उच्च गति पर प्रक्षेपवक्र गोलाकार, परवलयिक या  अतिशयोक्ति  भी हो सकता है (जब तक कि चंद्रमा या सूर्य जैसी अन्य वस्तुओं द्वारा विकृत न हो)। इस लेख में एक सजातीय त्वरण माना जाता है।

त्वरण
चूंकि त्वरण केवल ऊर्ध्वाधर दिशा में होता है, क्षैतिज दिशा में वेग स्थिर होता है, बराबर होता है $$ \mathbf{v}_0 \cos\theta $$. प्रक्षेप्य की ऊर्ध्वाधर गति मुक्त गिरावट के दौरान एक कण की गति है। यहाँ त्वरण स्थिर है, g के बराबर है। त्वरण के घटक हैं:
 * $$ a_x = 0 $$,
 * $$ a_y = -g $$.

वेग
बता दें कि प्रक्षेप्य को प्रारंभिक वेग के साथ प्रक्षेपित किया जाता है $$\mathbf{v}(0) \equiv \mathbf{v}_0 $$, जिसे क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर घटकों के योग के रूप में निम्नानुसार व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$ \mathbf{v}_0 = v_{0x}\mathbf{\hat x} + v_{0y}\mathbf{\hat y} $$.

अवयव $$ v_{0x} $$ और $$ v_{0y} $$ पाया जा सकता है यदि प्रारंभिक प्रक्षेपण कोण, $$ \theta $$, ज्ञात है:
 * $$ v_{0x} = v_0\cos(\theta)$$,
 * $$ v_{0y} = v_0\sin(\theta)$$

गति के दौरान वस्तु के वेग का क्षैतिज घटक अपरिवर्तित रहता है। वेग का ऊर्ध्वाधर घटक रैखिक रूप से बदलता है, क्योंकि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण स्थिर है। x और y दिशाओं में त्वरणों को किसी भी समय t पर वेग के घटकों को हल करने के लिए निम्नानुसार एकीकृत किया जा सकता है:
 * $$ v_x = v_0 \cos(\theta) $$,
 * $$ v_y = v_0 \sin(\theta) - gt $$.

वेग का परिमाण (पाइथागोरस प्रमेय के अंतर्गत, जिसे त्रिभुज नियम भी कहा जाता है):
 * $$ v = \sqrt{v_x^2 + v_y^2 } $$.

विस्थापन
किसी भी समय $$ t $$, प्रक्षेप्य का क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन (वेक्टर)  हैं:
 * $$ x = v_0 t \cos(\theta) $$,
 * $$ y = v_0 t \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2 $$.

विस्थापन का परिमाण है:
 * $$ \Delta r=\sqrt{x^2 + y^2 } $$.

समीकरणों पर विचार करें,
 * $$ x = v_0 t \cos(\theta), y = v_0 t\sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2 $$.

यदि इन दो समीकरणों के बीच t को हटा दिया जाए तो निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है:
 * $$ y = \tan(\theta) \cdot x-\frac{g}{2v^2_{0}\cos^2 \theta} \cdot x^2 $$.

चूँकि g, θ , और v0 नियतांक हैं, उपरोक्त समीकरण का रूप है
 * $$ y=ax+bx^2 $$,

जिसमें a और b स्थिरांक हैं। यह एक परवलय का समीकरण है, इसलिए पथ परवलयिक है। परबोला का अक्ष लंबवत है।

यदि प्रक्षेप्य की स्थिति (x, y) और प्रक्षेपण कोण (θ या α) ज्ञात हैं, तो प्रारंभिक वेग को v के लिए हल करते हुए पाया जा सकता है0 उपरोक्त परवलयिक समीकरण में:


 * $$ v_0 = \sqrt{{x^2 g} \over {x \sin 2\theta - 2y \cos^2\theta}} $$.

ध्रुवीय निर्देशांक में विस्थापन
एक प्रक्षेप्य के परवलयिक प्रक्षेपवक्र को कार्तीय निर्देशांक के बजाय ध्रुवीय निर्देशांक में भी व्यक्त किया जा सकता है। इस मामले में, स्थिति का सामान्य सूत्र है
 * $$ r( \phi ) = \frac{2v_0^2 \cos^2\theta}{g} \left(\tan\theta\sec\phi -\tan\phi\sec\phi \right) $$.

इस समीकरण में, मूल प्रक्षेप्य की क्षैतिज सीमा का मध्य बिंदु है, और यदि जमीन समतल है, तो परवलयिक चाप को सीमा में प्लॉट किया जाता है $$ 0 \leq \phi \leq \pi $$. जैसा कि ऊपर कहा गया है, कार्टेशियन समीकरण को बदलकर यह अभिव्यक्ति प्राप्त की जा सकती है $$ y = r \sin\phi $$ और $$ x = r \cos\phi $$.

उड़ान का समय या पूरी यात्रा का कुल समय
कुल समय t जिसके लिए प्रक्षेप्य हवा में रहता है उसे उड़ान का समय कहा जाता है।
 * $$ y = v_0 t \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2 $$

उड़ान के बाद, प्रक्षेप्य क्षैतिज अक्ष (एक्स-अक्ष) पर लौटता है, इसलिए $$ y=0 $$.
 * $$ 0 = v_0 t \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt^2 $$
 * $$ v_0 t \sin(\theta) = \frac{1}{2}gt^2 $$
 * $$ v_0 \sin(\theta) = \frac{1}{2}gt $$
 * $$ t = \frac{2 v_0 \sin(\theta)}{g} $$

ध्यान दें कि हमने प्रक्षेप्य पर वायु प्रतिरोध की उपेक्षा की है।

यदि प्रारंभिक बिंदु ऊंचाई y पर है0 प्रभाव बिंदु के संबंध में, उड़ान का समय है:
 * $$ t = \frac{d}{v \cos\theta} = \frac{v \sin \theta + \sqrt{(v \sin \theta)^2 + 2gy_0}}{g} $$

ऊपर के रूप में, इस अभिव्यक्ति को कम किया जा सकता है


 * $$ t = \frac{v\sin{\theta} + \sqrt{(v\sin{\theta})^{2}}}{g} = \frac{v\sin{\theta} + v\sin{\theta}}{g} = \frac{2v\sin{\theta}}{g} = \frac{2v\sin{(45)}}{g} = \frac{2v\frac{\sqrt{2}}{2}}{g} = \frac{\sqrt{2}v}{g}$$

अगर θ 45° और y है0 0 है।

लक्ष्य की स्थिति के लिए उड़ान का समय
जैसा कि विस्थापन खंड में ऊपर दिखाया गया है, एक प्रक्षेप्य की क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर गति एक दूसरे से स्वतंत्र होती है।

इस वजह से, हम क्षैतिज वेग के लिए विस्थापन सूत्र का उपयोग करके किसी लक्ष्य तक पहुँचने का समय पा सकते हैं:

$$x = v_0 t \cos(\theta)$$

$$\frac{x}{t}=v_0\cos(\theta)$$

$$t=\frac{x}{v_0\cos(\theta)}$$ यह समीकरण वायु प्रतिरोध की उपेक्षा करते हुए, लक्ष्य के क्षैतिज विस्थापन तक पहुँचने के लिए प्रक्षेप्य को यात्रा करने में लगने वाला कुल समय देगा।

प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊंचाई
वस्तु जिस अधिकतम ऊँचाई तक पहुँचेगी उसे वस्तु की गति का शिखर कहा जाता है। ऊंचाई में वृद्धि तब तक रहेगी $$ v_y=0 $$, वह है,
 * $$ 0=v_0 \sin(\theta) - gt_h $$.

अधिकतम ऊंचाई तक पहुंचने का समय (एच):
 * $$ t_h = \frac{v_0 \sin(\theta)}{g} $$.

प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊंचाई के ऊर्ध्वाधर विस्थापन के लिए:
 * $$ h = v_0 t_h \sin(\theta) - \frac{1}{2} gt^2_h $$
 * $$ h = \frac{v_0^2 \sin^2(\theta)}{2g} $$

अधिकतम पहुंच योग्य ऊंचाई θ=90° के लिए प्राप्त की जाती है:
 * $$ h_{\mathrm{max}} = \frac{v_0^2}{2g} $$

क्षैतिज सीमा और अधिकतम ऊंचाई के बीच संबंध
क्षैतिज तल पर श्रेणी d के बीच संबंध और अधिकतम ऊंचाई h पर पहुंचा $$ \frac{t_d}{2} $$ है:
 * $$ h = \frac{d\tan\theta}{4} $$

$$ h = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} $$
 * $$ d = \frac{v_0^2\sin2\theta}{g} $$
 * $$ \frac{h}{d} = \frac{v_0^2\sin^2\theta}{2g} $$ × $$ \frac{g}{v_0^2\sin2\theta} $$
 * $$ \frac{h}{d} = \frac{\sin^2\theta}{4\sin\theta\cos\theta} $$

$$ h = \frac{d\tan\theta}{4} $$.

प्रक्षेप्य की अधिकतम दूरी
प्रक्षेप्य की सीमा और अधिकतम ऊंचाई उसके द्रव्यमान पर निर्भर नहीं करती है। इसलिए समान वेग और दिशा से फेंके जाने वाले सभी पिंडों के लिए परास और अधिकतम ऊंचाई समान होती है। प्रक्षेप्य की क्षैतिज सीमा d वह क्षैतिज दूरी है जो इसने तय की है जब यह अपनी प्रारंभिक ऊंचाई पर वापस आती है ($$y=0$$).
 * $$ 0 = v_0 t_d \sin(\theta) - \frac{1}{2}gt_d^2 $$.

जमीन पर पहुंचने का समय:
 * $$ t_d = \frac{2v_0 \sin(\theta)}{g} $$.

क्षैतिज विस्थापन से प्रक्षेप्य की अधिकतम दूरी:
 * $$ d = v_0 t_d \cos(\theta) $$,

इसलिए
 * $$ d = \frac{v_0^2}{g}\sin(2\theta) $$.

ध्यान दें कि d का अधिकतम मान कब होता है
 * $$ \sin 2\theta=1 $$,

जो अनिवार्य रूप से मेल खाता है
 * $$ 2\theta=90^\circ $$,

या
 * $$ \theta=45^\circ $$.

कुल क्षैतिज दूरी (d) तय की गई।


 * $$ d = \frac{v \cos \theta}{g} \left( v \sin \theta + \sqrt{(v \sin \theta)^2 + 2gy_0} \right) $$

जब सतह समतल हो (वस्तु की प्रारंभिक ऊंचाई शून्य हो), तो तय की गई दूरी:
 * $$ d = \frac{v^2 \sin(2 \theta)}{g} $$

इस प्रकार अधिकतम दूरी प्राप्त की जाती है यदि θ 45 डिग्री है। यह दूरी है:


 * $$ d_{\mathrm{max}} = \frac{v^2}{g} $$

कार्य ऊर्जा प्रमेय का अनुप्रयोग
कार्य (भौतिकी) के अनुसार #कार्य-ऊर्जा सिद्धांत|कार्य-ऊर्जा प्रमेय वेग का ऊर्ध्वाधर घटक है:
 * $$ v_y^2 = (v_0 \sin \theta)^2-2gy $$.

ये सूत्र वायुगतिकीय ड्रैग को अनदेखा करते हैं और यह भी मानते हैं कि लैंडिंग क्षेत्र समान ऊंचाई 0 पर है।

पहुंच का कोण
पहुंच का कोण वह कोण ( θ ) है जिस पर d दूरी जाने के लिए एक प्रक्षेप्य लॉन्च किया जाना चाहिए, प्रारंभिक वेग v।


 * $$ \sin(2\theta) = \frac{gd}{v^2} $$

दो समाधान हैं:
 * $$ \theta = \frac{1}{2} \arcsin \left( \frac{gd}{v^2} \right) $$ (उथला प्रक्षेपवक्र)

और
 * $$ \theta = \frac{1}{2} \arccos \left( \frac{gd}{v^2} \right) $$ (खड़ी प्रक्षेपवक्र)

कोण θ निर्देशांक हिट करने के लिए आवश्यक ( x, y )
रेंज x और ऊंचाई y पर एक लक्ष्य को हिट करने के लिए जब (0,0) और प्रारंभिक गति v से फायर किया जाता है, तो आवश्यक कोण लॉन्च के θ हैं:


 * $$ \theta = \arctan{\left(\frac{v^2\pm\sqrt{v^4-g(gx^2+2yv^2)}}{gx}\right)} $$

समीकरण की दो जड़ें दो संभावित प्रक्षेपण कोणों के अनुरूप हैं, जब तक कि वे काल्पनिक नहीं हैं, उस स्थिति में प्रारंभिक गति बिंदु तक पहुंचने के लिए पर्याप्त नहीं है ( x, वाई ) चुना गया। यह सूत्र बिना किसी प्रतिबंध के आवश्यक लॉन्च के कोण को खोजने की अनुमति देता है $$ y=0 $$.

कोई यह भी पूछ सकता है कि कौन सा लॉन्च कोण सबसे कम संभव लॉन्च वेग की अनुमति देता है। यह तब होता है जब उपरोक्त दो समाधान समान होते हैं, जिसका अर्थ है कि वर्गमूल चिह्न के तहत मात्रा शून्य है। इसके लिए द्विघात समीकरण को हल करने की आवश्यकता है $$ v^2 $$, और हम पाते हैं
 * $$ v^2/g=y+\sqrt{y^2+x^2}. $$

यह देता है
 * $$ \theta=\arctan\left(y/x+\sqrt{y^2/x^2+1}\right). $$

यदि हम उस कोण को निरूपित करते हैं जिसकी स्पर्श रेखा है $y/x$ द्वारा $α$, तब
 * $$ \tan\theta=\frac{\sin\alpha+1}{\cos\alpha} $$
 * $$ \tan(\pi/2-\theta)=\frac{\cos\alpha}{\sin\alpha+1} $$
 * $$ \cos^2(\pi/2-\theta)=\frac 12(\sin\alpha+1) $$
 * $$ 2\cos^2(\pi/2-\theta)-1=\cos(\pi/2-\alpha) $$

यह संकेत करता है
 * $$ \theta = \pi/2 - \frac 12(\pi/2-\alpha). $$

दूसरे शब्दों में, प्रक्षेपण लक्ष्य और जेनिथ (गुरुत्वाकर्षण के विपरीत वेक्टर) के बीच आधे रास्ते पर होना चाहिए।

प्रक्षेपवक्र की कुल पथ लंबाई
प्रक्षेप्य L द्वारा अनुरेखित परवलयिक चाप की लंबाई, यह देखते हुए कि प्रक्षेपण और लैंडिंग की ऊंचाई समान है और कोई वायु प्रतिरोध नहीं है, सूत्र द्वारा दिया गया है:


 * $$L = \frac{v_0^2}{2g} \left( 2\sin\theta + \cos^2\theta\cdot\ln \frac{1 + \sin\theta}{1 - \sin\theta} \right) = \frac{v_0^2}{g} \left( \sin\theta + \cos^2\theta\cdot\tanh^{-1}(\sin\theta) \right)$$

कहाँ पे $$v_0$$ प्रारंभिक वेग है, $$\theta$$ प्रक्षेपण कोण है और $$g$$ एक सकारात्मक मूल्य के रूप में गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है। प्रारंभिक और अंतिम विस्थापन (यानी 0 और प्रक्षेप्य की क्षैतिज सीमा के बीच) के बीच ऊंचाई-दूरी पैराबोला के लिए चाप की लंबाई का मूल्यांकन करके अभिव्यक्ति प्राप्त की जा सकती है:


 * $$L = \int_{0}^{\mathrm{range}} \sqrt{1 + \left ( \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} \right )^2}\,\mathrm{d}x = \int_{0}^{v_0^2 \sin(2\theta) / g} \sqrt{1 + \left ( -\frac{g}{v_0^2 \cos^2\theta}x + \tan\theta \right )^2}\,\mathrm{d}x$$.

वायु प्रतिरोध के साथ एक प्रक्षेप्य का प्रक्षेपवक्र
[[File:Inclinedthrow2.gif|thumb|400px|70° के कोण पर फेंके गए द्रव्यमान के प्रक्षेपवक्र:

ड्रैग के बिना (भौतिकी)

स्टोक्स के नियम के साथ|स्टोक्स का ड्रैग

न्यूटोनियन ड्रैग के साथ]]वायु प्रतिरोध एक बल बनाता है जो (सममित प्रोजेक्टाइल के लिए) हमेशा आसपास के माध्यम में गति की दिशा के विरुद्ध निर्देशित होता है और इसमें एक परिमाण होता है जो पूर्ण गति पर निर्भर करता है: $$\mathbf{F_{air}} = -f(v)\cdot\mathbf{\hat v}$$. घर्षण बल की गति-निर्भरता रैखिक है ($$f(v) \propto v$$) बहुत कम गति पर ( स्टोक्स ड्रैग ) और द्विघात ($$f(v) \propto v^2$$) बड़ी गति से (खींचें समीकरण)। इन व्यवहारों के बीच संक्रमण रेनॉल्ड्स संख्या  द्वारा निर्धारित किया जाता है, जो गति, वस्तु के आकार और माध्यम की कीनेमेटिक चिपचिपाहट पर निर्भर करता है। लगभग 1000 से नीचे रेनॉल्ड्स संख्या के लिए, निर्भरता रैखिक है, इसके ऊपर यह द्विघात हो जाता है। हवा में, जिसके चारों ओर कीनेमेटिक चिपचिपाहट होती है $$0.15\,\mathrm{cm^2/s}$$, इसका अर्थ है कि वेग और व्यास का गुणनफल लगभग से अधिक होने पर कर्षण बल v में द्विघात हो जाता है $$0.015\,\mathrm{m^2/s}$$, जो आमतौर पर प्रोजेक्टाइल के मामले में होता है।
 * स्टोक्स ड्रैग: $$\mathbf{F_{air}} = -k_{\mathrm{Stokes}}\cdot\mathbf{v}\qquad$$ (के लिए $$Re \lesssim 1000$$)
 * न्यूटन ड्रैग: $$\mathbf{F_{air}} = -k\,|\mathbf{v}|\cdot\mathbf{v}\qquad$$ (के लिए $$Re \gtrsim 1000$$)

दाईं ओर मुक्त शरीर आरेख एक प्रक्षेप्य के लिए है जो वायु प्रतिरोध और गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव का अनुभव करता है। यहाँ, वायु प्रतिरोध को प्रक्षेप्य के वेग के विपरीत दिशा में माना जाता है: $$\mathbf{F_{\mathrm{air}}} = -f(v)\cdot\mathbf{\hat v}$$

स्टोक्स ड्रैग
के साथ एक प्रक्षेप्य का प्रक्षेपवक्र स्टोक्स कहां घसीटते हैं $$\mathbf{F_{air}} \propto \mathbf{v}$$, केवल हवा में बहुत कम गति पर लागू होता है, और इस प्रकार प्रक्षेप्य के लिए विशिष्ट मामला नहीं है। हालाँकि, की रैखिक निर्भरता $$F_\mathrm{air}$$ पर $$v$$ गति के एक बहुत ही सरल अंतर समीकरण का कारण बनता है
 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\begin{pmatrix}v_x \\ v_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}-\mu\,v_x \\ -g-\mu\,v_y\end{pmatrix}$$

जिसमें दो कार्तीय घटक पूरी तरह से स्वतंत्र हो जाते हैं, और इस प्रकार हल करना आसान हो जाता है। यहां, $$v_0$$,$$v_x$$ और $$v_y$$ प्रारंभिक वेग, x की दिशा में वेग और y की दिशा में वेग को क्रमशः निरूपित करने के लिए उपयोग किया जाएगा। प्रक्षेप्य के द्रव्यमान को m द्वारा निरूपित किया जाएगा, और $$\mu:=k/m$$. व्युत्पत्ति के लिए केवल मामला जहां $$0^o \le \theta \le 180^o $$ माना जाता है। फिर से, प्रक्षेप्य को उत्पत्ति (0,0) से निकाल दिया जाता है।

रिश्ते जो कण की गति का प्रतिनिधित्व करते हैं, न्यूटन के दूसरे कानून द्वारा एक्स और वाई दोनों दिशाओं में प्राप्त किए जाते हैं। एक्स दिशा में $$ \Sigma F = -kv_x = ma_x $$ और वाई दिशा में $$ \Sigma F = -kv_y - mg = ma_y $$.

इसका अर्थ यह है कि:

$$ a_x = -\mu v_x = \frac{\mathrm{d}v_x}{\mathrm{d}t} $$ (1),

और

$$ a_y = -\mu v_y - g = \frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} $$ (2)

हल करना (1) एक प्राथमिक अंतर समीकरण  है, इस प्रकार v के लिए एक अद्वितीय समाधान के लिए कदमx और बाद में, x की गणना नहीं की जाएगी। प्रारंभिक स्थितियों को देखते हुए $$ v_x = v_{x0} $$ (जहां vx0 प्रारंभिक वेग का x घटक समझा जाता है) और $$ x=0 $$ के लिए $$ t=0 $$:

$$ v_x = v_{x0} e^{-\mu t} $$ (1ए)


 * $$ x(t) = \frac{v_{x0}}{\mu}\left(1-e^{-\mu t}\right) $$ (1बी)

जबकि (1) एक ही तरह से बहुत अधिक हल किया जाता है, (2) इसकी गैर-सजातीय प्रकृति के कारण विशिष्ट रुचि का है। इसलिए, हम व्यापक रूप से हल करेंगे (2)। ध्यान दें कि इस मामले में प्रारंभिक शर्तों का उपयोग किया जाता है $$ v_y=v_{y0} $$ और $$ y=0 $$ जब $$ t=0 $$.

$$ \frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} = -\mu v_y - g $$ (2)

$$ \frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} + \mu v_y = - g $$ (2क)

यह पहला क्रम, रैखिक, गैर-सजातीय अंतर समीकरण कई तरीकों से हल किया जा सकता है; हालाँकि, इस उदाहरण में, एक एकीकृत कारक  के माध्यम से समाधान तक पहुँचना तेज़ होगा $$ e^{\int \mu \,\mathrm{d}t} $$.

$$ e^{\mu t}(\frac{\mathrm{d}v_y}{\mathrm{d}t} + \mu v_y) = e^{\mu t}(-g) $$ (एस)

$$ (e^{\mu t}v_y)^\prime = e^{\mu t}(-g) $$ (शायद)

$$ \int{(e^{\mu t}v_y)^\prime \,\mathrm{d}t} = e^{\mu t}v_y = \int{ e^{\mu t}(-g) \,\mathrm{d}t} $$ (एक)

$$ e^{\mu t}v_y = \frac{1}{\mu} e^{\mu t}(-g) + C $$(एफ)

$$ v_y = \frac{-g}{\mu} + Ce^{-\mu t} $$ (2जी)

और एकीकरण से हम पाते हैं:

$$ y = -\frac{g}{\mu}t - \frac{1}{\mu}(v_{y0} + \frac{g}{\mu})e^{-\mu t} + C $$ (3)

हमारी प्रारंभिक स्थितियों के लिए समाधान:

$$ v_y(t) = -\frac{g}{\mu} + (v_{y0} + \frac{g}{\mu})e^{-\mu t} $$ (इ)

$$ y(t) = -\frac{g}{\mu}t - \frac{1}{\mu}(v_{y0} + \frac{g}{\mu})e^{-\mu t} + \frac{1}{\mu}(v_{y0} + \frac{g}{\mu}) $$ (3ए)

सरल बनाने के लिए थोड़े से बीजगणित के साथ (3a):


 * $$ y(t) = -\frac{g}{\mu}t + \frac{1}{\mu}\left(v_{y0} + \frac{g}{\mu}\right)\left(1 - e^{-\mu t}\right) $$ 3 बी

वायु प्रतिरोध की उपस्थिति में यात्रा का कुल समय (विशेष रूप से, कब $$F_{air}=-kv$$) ऊपर की तरह ही रणनीति द्वारा गणना की जा सकती है, अर्थात्, हम समीकरण को हल करते हैं $$y(t)=0$$. जबकि शून्य वायु प्रतिरोध के मामले में इस समीकरण को प्राथमिक रूप से हल किया जा सकता है, यहाँ हमें लैम्बर्ट डब्ल्यू समारोह  की आवश्यकता होगी। समीकरण $$y(t)= -\frac{g}{\mu}t + \frac{1}{\mu}(v_{y0} + \frac{g}{\mu})(1 - e^{-\mu t}) = 0$$ स्वरूप का है $$c_1t+c_2+c_3e^{c_4t}=0$$, और इस तरह के समीकरण को हल करने योग्य समीकरण में परिवर्तित किया जा सकता है $$W$$ फ़ंक्शन (ऐसे परिवर्तन का एक उदाहरण देखें Lambert_W_function#Solving_equations)। कुछ बीजगणित से पता चलता है कि बंद रूप में उड़ान का कुल समय इस प्रकार दिया जाता है


 * $$t=\frac{1}{\mu}\left(1+\frac{\mu}{g}v_{y0}+W\left(-\left(1+\frac{\mu}{g} v_{y0}\right)e^{-\left(1+\frac{\mu}{g} v_{y0}\right)}\right)\right)$$.

न्यूटन ड्रैग
के साथ एक प्रक्षेप्य का प्रक्षेपवक्र लगभग 1000 से ऊपर रेनॉल्ड्स संख्या के मामले में वायु प्रतिरोध का सबसे विशिष्ट मामला गति वर्ग के आनुपातिक ड्रैग बल के साथ न्यूटन ड्रैग है, $$F_{\mathrm{air}} = -k v^2$$. हवा में, जिसके चारों ओर कीनेमेटिक चिपचिपाहट होती है $$0.15\,\mathrm{cm^2/s}$$, इसका मतलब है कि गति और व्यास का उत्पाद लगभग से अधिक होना चाहिए $$0.015\,\mathrm{m^2/s}$$.

दुर्भाग्य से, इस मामले के लिए गति के समीकरणों को आसानी से विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। इसलिए, एक संख्यात्मक समाधान की जांच की जाएगी।

निम्नलिखित धारणाएँ बनाई जाती हैं:
 * लगातार गुरुत्वाकर्षण त्वरण
 * वायु प्रतिरोध निम्नलिखित ड्रैग समीकरण द्वारा दिया गया है,
 * $$\mathbf{F_D} = -\tfrac{1}{2} c \rho A\, v\,\mathbf{v}$$
 * कहाँ:


 * एफDड्रैग फोर्स है
 * c ड्रैग गुणांक है
 * ρ वायु घनत्व  है
 * A प्रक्षेप्य का अनुप्रस्थ काट क्षेत्र है
 * μ = k/m = cρA/(2m)

विशेष मामले
भले ही न्यूटन ड्रैग के साथ प्रक्षेप्य का सामान्य मामला विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है, कुछ विशेष मामलों को हल किया जा सकता है। यहां हम फ्री-फॉल के रूप में अंतिम गति  को निरूपित करते हैं $$v_\infty=\sqrt{g/\mu}$$ और विशेषता निपटान समय स्थिर $$t_f=1/\sqrt{g\mu}$$.
 * निकट-क्षैतिज गति: यदि गति लगभग क्षैतिज है, $$|v_x|\gg|v_y|$$, जैसे उड़ती हुई गोली, ऊर्ध्वाधर वेग घटक का क्षैतिज गति पर बहुत कम प्रभाव पड़ता है। इस मामले में:
 * $$\dot{v}_x(t) = -\mu\,v_x^2(t)$$
 * $$v_x(t) = \frac{1}{1/v_{x,0}+\mu\,t}$$
 * $$x(t) = \frac{1}{\mu}\ln(1+\mu\,v_{x,0}\cdot t)$$
 * गुरुत्वाकर्षण नगण्य होने पर किसी भी दिशा में एक रेखा के साथ घर्षण के साथ गति के लिए एक ही पैटर्न लागू होता है। यह तब भी लागू होता है जब ऊर्ध्वाधर गति को रोका जाता है, जैसे कि चलती कार के लिए जिसका इंजन बंद हो।


 * खड़ी गति ऊपर की ओर: ::$$\dot{v}_y(t) = -g-\mu\,v_y^2(t)$$
 * $$v_y(t) = v_\infty \tan\frac{t_{\mathrm{peak}}-t}{t_f}$$
 * $$y(t) = y_{\mathrm{peak}} + \frac{1}{\mu}\ln\left(\cos\frac{t_{\mathrm{peak}}-t}{t_f}\right)$$
 * यहां
 * $$v_\infty \equiv \sqrt{\frac{g}{\mu}},$$
 * $$t_f \equiv \frac{1}{\sqrt{\mu g}},$$
 * $$t_{\mathrm{peak}} \equiv t_f \arctan{\frac{v_{y,0}}{v_\infty}} = \frac{1}{\sqrt{\mu g}} \arctan{\left(\sqrt\frac{\mu}{g}v_{y,0}\right)},$$
 * और
 * $$y_{\mathrm{peak}} \equiv -\frac{1}{\mu}\ln{\cos{\frac{t_\mathrm{peak}}{t_f}}} = \frac{1}{2\mu}\ln{\left(1+\frac{\mu}{g} v_{y,0}^2\right)}$$
 * कहाँ पे $$v_{y,0}$$ पर प्रारंभिक उर्ध्व वेग है $$t = 0$$ और प्रारंभिक स्थिति है $$y(0) = 0$$.
 * एक प्रक्षेप्य से अधिक समय तक नहीं उठ सकता $$t_\mathrm{rise}=\frac{\pi}{2}t_f$$ शीर्ष पर पहुँचने से पहले लंबवत।


 * खड़ी गति नीचे की ओर: ::$$\dot{v}_y(t) = -g+\mu\,v_y^2(t)$$
 * $$v_y(t) = -v_\infty \tanh\frac{t-t_{\mathrm{peak}}}{t_f}$$
 * $$y(t) = y_{\mathrm{peak}} - \frac{1}{\mu}\ln\left(\cosh\frac{t-t_{\mathrm{peak}}}{t_f}\right)$$
 * कुछ समय के बाद $$t_f$$, प्रक्षेप्य लगभग टर्मिनल वेग तक पहुँच जाता है $$-v_\infty$$.

संख्यात्मक समाधान
ड्रैग के साथ एक प्रक्षेप्य गति को साधारण अंतर समीकरण  के सामान्य अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीकों से सामान्य रूप से गणना की जा सकती है, उदाहरण के लिए एक साधारण अंतर समीकरण # प्रथम-क्रम_प्रणाली में कमी | प्रथम-क्रम प्रणाली में कमी। हल किया जाने वाला समीकरण है


 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\begin{pmatrix}x \\ y \\ v_x \\ v_y\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}v_x \\ v_y \\ -\mu\,v_x\sqrt{v_x^2+v_y^2} \\ -g-\mu\,v_y\sqrt{v_x^2+v_y^2}\end{pmatrix}$$.

यह दृष्टिकोण गति-निर्भर ड्रैग गुणांक, ऊंचाई-निर्भर वायु घनत्व और स्थिति-निर्भर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के प्रभावों को जोड़ने की भी अनुमति देता है।

ऊंचा प्रक्षेपवक्र
एक रॉकेट के लिए एक बैलिस्टिक प्रक्षेपवक्र का एक विशेष मामला एक ऊंचा प्रक्षेपवक्र है, न्यूनतम कुल संभावित ऊर्जा सिद्धांत  से अधिक अपभू के साथ एक प्रक्षेपवक्र। समान श्रेणी के लिए न्यूनतम-ऊर्जा प्रक्षेपवक्र। दूसरे शब्दों में, रॉकेट अधिक ऊंची यात्रा करता है और ऐसा करने से वह उसी लैंडिंग बिंदु पर पहुंचने के लिए अधिक ऊर्जा का उपयोग करता है। यह विभिन्न कारणों से किया जा सकता है जैसे अधिक देखने/संचार रेंज देने के लिए क्षितिज की बढ़ती दूरी या उस कोण को बदलने के लिए जिसके साथ मिसाइल लैंडिंग पर प्रभाव डालेगी। लफ्टेड ट्रैजेक्टोरियों का उपयोग कभी-कभी मिसाइल रॉकेटरी और  अंतरिक्ष उड़ान  दोनों में किया जाता है।

ग्रहों के पैमाने पर प्रक्षेप्य गति
जब वायु प्रतिरोध के बिना एक प्रक्षेप्य पृथ्वी की त्रिज्या (≈100 किमी से ऊपर) की तुलना में महत्वपूर्ण सीमा की यात्रा करता है, तो पृथ्वी की वक्रता  और गैर-समान पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण पर विचार करना होगा। यह उदाहरण के लिए अंतरिक्ष यान या अंतरमहाद्वीपीय प्रक्षेप्य के मामले में है। प्रक्षेपवक्र तब पृथ्वी के केंद्र पर एक फोकस के साथ एक परवलय से केप्लर-दीर्घवृत्त तक सामान्य होता है। प्रक्षेप्य गति तब केपलर के ग्रहों की गति के नियमों का पालन करती है।

प्रक्षेपवक्र के मापदंडों को ऊपर बताए गए एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के मूल्यों से अनुकूलित करना होगा। पृथ्वी की त्रिज्या को R और g को मानक सतह गुरुत्व के रूप में लिया जाता है। होने देना $$\tilde v:=v/\sqrt{Rg}$$ पहले लौकिक वेग के सापेक्ष प्रक्षेपण वेग।

प्रक्षेपण और प्रभाव के बीच की कुल सीमा d :
 * $$ d = \frac{v^2 \sin(2 \theta)}{g} \Big/ \sqrt{1-\left(2-\tilde v^2\right)\tilde v^2\cos^2\theta}$$

इष्टतम प्रक्षेपण कोण के लिए प्रक्षेप्य की अधिकतम सीमा ($$\theta=\tfrac12\arccos\left(\tilde v^2/(2-\tilde v^2)\right)$$):
 * $$ d_{\mathrm{max}} = \frac{v^2}{g} \big/ \left(1-\tfrac12\tilde v^2\right)$$ साथ $$v<\sqrt{Rg}$$, पहला लौकिक वेग

ग्रह की सतह के ऊपर एक प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊंचाई:
 * $$ h = \frac{v^2 \sin^2\theta}{g} \Big/ \left(1-\tilde v^2+\sqrt{1-\left(2-\tilde v^2\right)\tilde v^2\cos^2\theta}\right) $$

ऊर्ध्वाधर प्रक्षेपण के लिए प्रक्षेप्य की अधिकतम ऊंचाई ($$\theta=90^\circ$$):
 * $$ h_{\mathrm{max}} = \frac{v^2}{2g} \big/ \left(1-\tfrac12\tilde v^2\right) $$ साथ $$v<\sqrt{2Rg}$$, दूसरा लौकिक वेग

उड़ान का समय:
 * $$ t = \frac{2v\sin\theta}{g} \cdot \frac{1}{2-\tilde v^2} \left(1 + \frac{1}{\sqrt{2-\tilde v^2}\,\tilde v\sin\theta}\arcsin\frac{\sqrt{2-\tilde v^2}\,\tilde v\sin\theta}{\sqrt{1-\left(2-\tilde v^2\right)\tilde v^2\cos^2\theta}}\right) $$

यह भी देखें

 * गति के समीकरण

बाहरी कड़ियाँ

 * A Calculator for Projectile Motion