लीजेंड्रे बहुपद

गणित में, एड्रियन मैरी लीजेंड्रे (1782) के नाम पर लिजेंड्रे बहुपद, गणितीय गुणों की बड़ी संख्या और कई अनुप्रयोगों के साथ पूर्ण और ऑर्थोगोनल बहुपदों की एक प्रणाली है। उन्हें कई विधियों से परिभाषित किया जा सकता है, और विभिन्न परिभाषाएँ विभिन्न पहलुओं को प्रकाशित करती हैं और साथ ही विभिन्न गणितीय संरचनाओं और भौतिक और संख्यात्मक अनुप्रयोगों के लिए सामान्यीकरण और सम्बन्ध का सुझाव देती हैं।

लिजेन्ड्रे बहुपदों से निकटता से संबंधित लिजेन्ड्रे बहुपदों, लिजेन्ड्रे फलन, दूसरी तरह के लेजेंड्रे फलन, और संबंधित लेजेन्ड्रे फलन हैं।

ऑर्थोगोनल सिस्टम के रूप में निर्माण द्वारा परिभाषा

इस दृष्टिकोण में, बहुपदों को वजन फलन के संबंध में ऑर्थोगोनल प्रणाली के रूप में परिभाषित किया जाता है $$w(x) = 1$$ अंतराल पर $$ [-1,1]$$. वह है, $$P_n(x)$$ घात $$n$$ का बहुपद है, ऐसा है कि $$\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x) \,dx = 0 \quad \text{if } n \ne m.$$अतिरिक्त मानकीकरण शर्त $$P_n(1) = 1$$ के साथ, सभी बहुपद विशिष्ट रूप से निर्धारित किए जा सकते हैं। फिर हम निर्माण प्रक्रिया प्रारंभ करते हैं: $$P_0(x) = 1$$ घात 0 का एकमात्र सही विधि से मानकीकृत बहुपद है। $$P_1(x)$$ को $$P_0$$ के लिए ऑर्थोगोनल होना चाहिए, $$P_1(x) = x$$, और $$P_2(x)$$ के लिए अग्रणी $$P_0$$ और $$P_1$$ के लिए ऑर्थोगोनलिटी की मांग से निर्धारित होता है। $$P_n$$ के साथ सभी $$P_m$$ के लिए ऑर्थोगोनलिटी की मांग करके $$ m < n $$ तय किया गया हैं। यह देता है यह $$ n $$ स्थितियाँ देता है, जो मानकीकरण $$ P_n(1) = 1$$ के साथ है $$ P_n(x)$$में सभी $$ n+1$$ में गुणांकों को ठीक करता है। काम के साथ, प्रत्येक बहुपद के सभी गुणांकों को व्यवस्थित रूप से निर्धारित किया जा सकता है, जिससे नीचे दिए गए $$x$$ की शक्तियों में स्पष्ट प्रतिनिधित्व हो सके।

$$P_n$$की यह परिभाषा सबसे सरल है। यह अंतर समीकरणों के सिद्धांत के लिए अनुरोध नहीं करता है। दूसरा, बहुपदों की पूर्णता घातों 1, $$ x, x^2, x^3, \ldots$$. की पूर्णता से तुरंत अनुसरण करती है, अंत में, परिमित अंतराल पर सबसे स्पष्ट वजन फलन के संबंध में उन्हें ऑर्थोगोनलिटी के माध्यम से परिभाषित करके, यह तीन मौलिक ऑर्थोगोनल बहुपदों में से के रूप में लीजेंड्रे बहुपद स्थापित करता है। अन्य दो लैगुएरे बहुपद हैं, जो आधी रेखा $$[0,\infty)$$ पर ओर्थोगोनल हैं, और हर्मिट बहुपद, पूर्ण रेखा पर ओर्थोगोनल $$(-\infty,\infty)$$, भार फलनों के साथ जो सबसे प्राकृतिक विश्लेषणात्मक फलन हैं जो सभी अभिन्नताओं के अभिसरण को सुनिश्चित करते हैं।

फलन उत्पन्न करने के माध्यम से परिभाषा
लीजेंड्रे बहुपदों को जनरेटिंग फलन के $$t$$ की घातों में एक औपचारिक विस्तार में गुणांकों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है

$$t^n$$ का गुणांक $$ x $$ में घात $$n$$ वाला एक बहुपद है जिसमें $$|x| \leq 1$$ है। $$t^1$$ तक विस्तार करने पर प्राप्त होता है $$P_0(x) = 1 \,,\quad P_1(x) = x.$$उच्च क्रम में विस्तार तेजी से असुविधाजनक हो जाता है, किन्तु व्यवस्थित रूप से करना संभव है, और फिर से नीचे दिए गए स्पष्ट रूपों में से की ओर जाता है। चूंकि, टेलर श्रृंखला के प्रत्यक्ष विस्तार का सहारा लिए बिना उच्च $$P_n$$प्राप्त करना संभव है। सम $$ को दोनों तरफ $$ के संबंध में विभेदित किया गया है और प्राप्त करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया गया है $$\frac{x-t}{\sqrt{1-2xt+t^2}} = \left(1-2xt+t^2\right) \sum_{n=1}^\infty n P_n(x) t^{n-1} \,.$$ Eq।$t$ में इसकी परिभाषा के साथ वर्गमूल के भागफल को बदलना, और की शक्तियों के गुणांकों की बराबरी करना $t$ परिणामी विस्तार में बोनट का पुनरावर्तन सूत्र देता है $$ (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)\,.$$ यह संबंध, पहले दो बहुपदों के साथ $P_{0}$ और $P_{1}$, बाकी सभी को पुनरावर्ती रूप से उत्पन्न करने की अनुमति देता है।

जनरेटिंग फलन दृष्टिकोण सीधे इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में मल्टीपोल विस्तार से जुड़ा हुआ है, जैसा कि नीचे बताया गया है, और यह है कि 1782 में लीजेंड्रे द्वारा बहुपदों को पहली बार कैसे परिभाषित किया गया था।

अंतर समीकरण के माध्यम से परिभाषा
लीजेंड्रे के अंतर समीकरण के समाधान के संदर्भ में तीसरी परिभाषा है:

इस अंतर समीकरण में $x = ±1$ पर नियमित एकवचन बिंदु होते हैं, इसलिए यदि मानक फ्रोबेनियस या पावर श्रृंखला पद्धति का उपयोग करके एक समाधान की मांग की जाती है, तो मूल के बारे में एक श्रृंखला केवल $|x| < 1$ सामान्य रूप में केवल अभिसरण करेगी। जब $n$ पूर्णांक है, समाधान $P_{n}(x)$ जो $x = 1$ पर नियमित है $x = −1$ पर भी नियमित है, और इस समाधान के लिए श्रृंखला समाप्त हो जाती है (अर्थात यह बहुपद है)। इन समाधानों की रूढ़िवादिता और पूर्णता को स्टर्म-लिउविल सिद्धांत के दृष्टिकोण से सबसे अच्छा देखा जाता है। हम अवकल समीकरण को आइगेनवैल्यू समस्या के रूप में फिर से लिखते हैं, $$\frac{d}{dx} \left( \left(1-x^2\right) \frac{d}{dx} \right) P(x) = -\lambda P(x) \,,$$ जिसमे $$ n(n+1)$$ के स्थान पर आइगेनवैल्यू $$\lambda$$ होता है। यदि हम मांग करते हैं यदि हम मांग करते हैं कि समाधान $$x = \pm 1$$, पर नियमित हो तो वह बाईं ओर अवकल संकारक हर्मिटियन है। आइगेनवैल्यू $$n = 0, 1, 2, \ldots$$ के साथ $n(n + 1)$, के रूप में पाए जाते हैं और ईजेनफलन $$P_n(x)$$ हैं। समाधानों के इस समुच्चय की रूढ़िवादिता और पूर्णता स्टर्म-लिउविल सिद्धांत के बड़े संरचना से तुरंत अनुसरण करती है।

विभेदक समीकरण एक अन्य, गैर-बहुपद समाधान, दूसरी तरह के (Qn) $$Q_n$$के लीजेंड्रे कार्यों को स्वीकार करता हैं।

दो-पैरामीटर सामान्यीकरण (Eq।$$) को लिजेन्ड्रे का सामान्य अवकल समीकरण कहा जाता है, जिसे एसोसिएटेड लैजेन्ड्रे बहुपदों द्वारा समाधान किया जाता है। लेजेंड्रे फलन करता है गैर-पूर्णांक मापदंडों के साथ लीजेंड्रे आंशिक विभेदक समीकरण (सामान्यीकृत या नहीं) के समाधान हैं।

भौतिक सेटिंग में, लीजेंड्रे का विभेदक समीकरण स्वाभाविक रूप से तब उत्पन्न होता है जब कोई लाप्लास के समीकरण (और संबंधित आंशिक अवकल समीकरण) को गोलीय निर्देशांकों में चरों के पृथक्करण द्वारा समाधान करता है। इस दृष्टिकोण से, लाप्लासियन ऑपरेटर के कोणीय भाग के eigenफलन गोलाकार हार्मोनिक्स हैं, जिनमें से लीजेंड्रे बहुपद (गुणात्मक स्थिरांक तक) सबसेट हैं जो ध्रुवीय अक्ष के बारे में घुमावों द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है। बहुपद के रूप में दिखाई देते हैं $$P_n(\cos\theta)$$ जहाँ $$\theta$$ ध्रुवीय कोण है। लीजेंड्रे बहुपदों के लिए यह दृष्टिकोण घूर्णी समरूपता के लिए गहरा संबंध प्रदान करता है। उनके कई गुण जो श्रमपूर्वक विश्लेषण के विधियों के माध्यम से पाए जाते हैं - उदाहरण के लिए जोड़ प्रमेय - समरूपता और समूह सिद्धांत के विधियों का उपयोग करके अधिक आसानी से पाए जाते हैं, और गहरा भौतिक और ज्यामितीय अर्थ प्राप्त करते हैं।

रूढ़िवादिता और पूर्णता
मानकीकरण $$P_n(1) = 1$$ लीजेंड्रे बहुपदों के सामान्यीकरण को ठीक करता है (एल 2-मानदंड के संबंध में$L^{2}$ अंतराल पर मानदंड $−1 ≤ x ≤ 1$). चूंकि वे ही मानदंड, दो कथनों के संबंध में ऑर्थोगोनल फलन भी हैं को समीकरण में जोड़ा जा सकता है, $$\int_{-1}^1 P_m(x) P_n(x)\,dx = \frac{2}{2n + 1} \delta_{mn},$$ (जहाँ $δ_{mn}$ क्रोनकर डेल्टा को दर्शाता है, जो 1 यदि के बराबर है $m = n$ और 0 अन्यथा)। यह सामान्यीकरण सबसे आसानी से नीचे दिए गए रोड्रिग्स के सूत्र को प्रायुक्त करके पाया जाता है।

बहुपद पूर्ण होने का अर्थ निम्नलिखित है। किसी भी टुकड़े के निरंतर फलन को देखते हुए $$ f(x) $$ अंतराल में निश्चित रूप से कई विच्छिन्नता के साथ $$, रकम का क्रम $$ f_n(x) = \sum_{\ell=0}^n a_\ell P_\ell(x)$$ के मध्य में परिवर्तित हो जाता है $$ f(x) $$ जैसा $$ n \to \infty $$, परन्तु हम लें $$ a_\ell = \frac{2\ell + 1}{2} \int_{-1}^1 f(x) P_\ell(x)\,dx.$$ यह पूर्णता गुण इस लेख में चर्चा किए गए सभी विस्तारों को रेखांकित करती है, और अधिकांशतः इसे रूप में कहा जाता है $$\sum_{\ell=0}^\infty \frac{2\ell + 1}{2} P_\ell(x)P_\ell(y) = \delta(x-y), $$ साथ $−1 ≤ x ≤ 1$ और $−1 ≤ y ≤ 1$.

रोड्रिग्स का सूत्र और अन्य स्पष्ट सूत्र
लीजेंड्रे बहुपदों के लिए विशेष रूप से संक्षिप्त व्यंजक रोड्रिग्स के सूत्र द्वारा दिया गया है: $$P_n(x) = \frac{1}{2^n n!} \frac{d^n}{dx^n} (x^2 -1)^n \,.$$ यह सूत्र $$P_n$$'s के गुणों की एक बड़ी संख्या की व्युत्पत्ति को सक्षम बनाता है। इनमें स्पष्ट अभ्यावेदन जैसे हैं$$\begin{align} P_n(x)&= \frac{1}{2^n} \sum_{k=0}^n \binom{n}{k}^2 (x-1)^{n-k}(x+1)^k, \\ P_n(x)&=\sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{k} \left( \frac{x-1}{2} \right)^k, \\ P_n(x)&=\frac1{2^n}\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac n2\right\rfloor}(-1)^k\binom nk\binom{2n-2k}n x^{n-2k},\\ P_n(x)&= 2^n \sum_{k=0}^n x^k \binom{n}{k} \binom{\frac{n+k-1}{2}}{n}. \end{align}$$तीसरे प्रतिनिधित्व में, ⌊n/2⌋ n/2 से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है। अंतिम प्रतिनिधित्व, जो पुनरावर्तन सूत्र से भी अविलम्ब है, लेजेंड्रे बहुपदों को सरल मोनोमियल्स द्वारा व्यक्त करता है और द्विपद गुणांक सामान्यीकरण और द्विपद श्रृंखला से संबंध सम्मिलित करता है। पहले कुछ लीजेंड्रे बहुपद हैं: इन बहुपदों के रेखांकन (तक $n = 5$) नीचे दिखाए गए हैं:

1/r क्षमता का विस्तार
लीजेंड्रे बहुपदों को पहली बार 1782 में एड्रियन-मैरी लीजेंड्रे द्वारा न्यूटोनियन क्षमता के विस्तार में गुणांक के रूप में प्रस्तुत किया गया था। $$\frac{1}{\left| \mathbf{x}-\mathbf{x}' \right|} = \frac{1}{\sqrt{r^2+{r'}^2-2r{r'}\cos\gamma}} = \sum_{\ell=0}^\infty \frac{{r'}^\ell}{r^{\ell+1}} P_\ell(\cos \gamma),$$ जहाँ $r$ और $r′$ क्रमशः सदिशों $x$ और $x′$ की लंबाई हैं और $γ$ उन दो सदिशों के बीच का कोण है। श्रृंखला जब $r > r′$ अभिसरित होती हैं। व्यंजक बिंदु द्रव्यमान से जुड़ी गुरुत्वाकर्षण क्षमता या बिंदु आवेश से जुड़ी कूलम्ब क्षमता देती है। लेजेंड्रे बहुपदों का उपयोग करने वाला विस्तार उपयोगी हो सकता है, उदाहरण के लिए, इस व्यंजक को निरंतर द्रव्यमान या आवेश वितरण पर एकीकृत किया जाता है।

लीजेंड्रे बहुपद लाप्लास के स्थिर विद्युत क्षमता के समीकरण के समाधान में होते हैं, $∇^{2} Φ(x) = 0$, चरों के पृथक्करण की विधि का उपयोग करते हुए अंतरिक्ष के आवेश-मुक्त क्षेत्र में, जहां सीमा स्थितियों में अक्षीय समरूपता (दिगंश पर कोई निर्भरता नहीं) होती है। जहाँ $ẑ$ समरूपता का अक्ष है और $θ$ पर्यवेक्षक की स्थिति और $ẑ$ अक्ष (आंचलिक कोण) के बीच का कोण है, विभव का समाधान होगा $$\Phi(r,\theta) = \sum_{\ell=0}^\infty \left( A_\ell r^\ell + B_\ell r^{-(\ell+1)} \right) P_\ell(\cos\theta) \,.$$

$A_{l}$ और $B_{l}$ प्रत्येक समस्या की सीमा स्थिति के अनुसार निर्धारित किया जाना है।

केंद्रीय बल के लिए श्रोडिंगर समीकरण को तीन आयामों में समाधान करते समय भी वे दिखाई देते हैं।

बहुध्रुव विस्तार में लेजेंड्रे बहुपद
लिजेन्ड्रे बहुपद भी फॉर्म के विस्तार फलनों में उपयोगी होते हैं (यह पहले जैसा ही है, थोड़ा अलग विधि से लिखा गया है): $$\frac{1}{\sqrt{1 + \eta^2 - 2\eta x}} = \sum_{k=0}^\infty \eta^k P_k(x),$$ जो मल्टीपोल विस्तार में स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। समीकरण के बाईं ओर लेजेंड्रे बहुपदों के लिए जनक फलन है।

उदाहरण के रूप में, विद्युत क्षमता $Φ(r,θ)$ (गोलीय निर्देशांक में) पर स्थित बिंदु आवेश के कारण $z$-अक्ष पर $z = a$ (दाईं ओर आरेख देखें) भिन्न होता है $$\Phi (r, \theta ) \propto \frac{1}{R} = \frac{1}{\sqrt{r^2 + a^2 - 2ar \cos\theta}}.$$ यदि प्रेक्षण बिंदु $P$ की त्रिज्या r $a$ से अधिक है, तो लिजेन्ड्रे बहुपदों में विभव का विस्तार किया जा सकता है $$\Phi(r, \theta) \propto \frac{1}{r} \sum_{k=0}^\infty \left( \frac{a}{r} \right)^k P_k(\cos \theta),$$जहां हमने $η = a⁄r < 1$ और $x = cos θ$ परिभाषित किया है। इस विस्तार का उपयोग सामान्य मल्टीपोल विस्तार को विकसित करने के लिए किया जाता है।

इसके विपरीत, यदि प्रेक्षण बिंदु $P$ की त्रिज्या r, $a$ की तुलना में छोटा है, तब भी लिजेन्ड्रे बहुपदों में क्षमता का विस्तार किया जा सकता है जैसा कि ऊपर a और r के आदान-प्रदान के साथ किया गया है। यह विस्तार आंतरिक मल्टीपोल विस्तार का आधार है।

त्रिकोणमिति में लीजेंड्रे बहुपद
त्रिकोणमितीय फलन $cos nθ$, जिसे चेबीशेव बहुपद $T_{n}(cos θ) ≡ cos nθ$ के रूप में भी जाना जाता है, लीजेन्ड्रे बहुपदों $P_{n}(cos θ)$ द्वारा बहुध्रुव का विस्तार भी किया जा सकता है। पहले कई आदेश इस प्रकार हैं: $$\begin{align} T_0(\cos\theta)&=1          &&=P_0(\cos\theta),\\[4pt] T_1(\cos\theta)&=\cos \theta&&=P_1(\cos\theta),\\[4pt] T_2(\cos\theta)&=\cos 2\theta&&=\tfrac{1}{3}\bigl(4P_2(\cos\theta)-P_0(\cos\theta)\bigr),\\[4pt] T_3(\cos\theta)&=\cos 3\theta&&=\tfrac{1}{5}\bigl(8P_3(\cos\theta)-3P_1(\cos\theta)\bigr),\\[4pt] T_4(\cos\theta)&=\cos 4\theta&&=\tfrac{1}{105}\bigl(192P_4(\cos\theta)-80P_2(\cos\theta)-7P_0(\cos\theta)\bigr),\\[4pt] T_5(\cos\theta)&=\cos 5\theta&&=\tfrac{1}{63}\bigl(128P_5(\cos\theta)-56P_3(\cos\theta)-9P_1(\cos\theta)\bigr),\\[4pt] T_6(\cos\theta)&=\cos 6\theta&&=\tfrac{1}{1155}\bigl(2560P_6(\cos\theta)-1152P_4(\cos\theta)-220P_2(\cos\theta)-33P_0(\cos\theta)\bigr). \end{align}$$ एक अन्य गुण $sin (n + 1)θ$ के लिए व्यंजक है, जो है $$\frac{\sin (n+1)\theta}{\sin\theta}=\sum_{\ell=0}^n P_\ell(\cos\theta) P_{n-\ell}(\cos\theta).$$

आवर्तक तंत्रिका नेटवर्क में लेजेंड्रे बहुपद
आवर्ती तंत्रिका नेटवर्क जिसमें एक $d$-आयामी मेमोरी वेक्टर सम्मिलित होता है, $$\mathbf{m} \in \R^d$$, इस तरह से अनुकूलित किया जा सकता है कि इसकी तंत्रिका गतिविधियाँ निम्नलिखित राज्य-स्थान प्रतिनिधित्व द्वारा दी गई रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली का पालन करती हैं: $$\theta \dot{\mathbf{m}}(t) = A\mathbf{m}(t) + Bu(t),$$ $$\begin{align} A &= \left[ a \right]_{ij} \in \R^{d \times d} \text{,} \quad && a_{ij} = \left(2i + 1\right) \begin{cases} -1 & i < j \\ (-1)^{i-j+1} & i \ge j \end{cases},\\ B &= \left[ b \right]_i \in \R^{d \times 1} \text{,} \quad && b_i = (2i + 1) (-1)^i. \end{align}$$

इस स्थिति में, समय की पिछली $$\theta$$ इकाइयों में $$u$$ की स्लाइडिंग विंडो को पहले $$d$$ स्थानांतरित लीजेंड्रे बहुपदों के एक रैखिक संयोजन द्वारा अनुमानित (सन्निकटन सिद्धांत) किया जाता है, जो समय $$t$$ पर $$\mathbf{m}$$ के तत्वों द्वारा एक साथ भारित होता है: $$u(t - \theta') \approx \sum_{\ell=0}^{d-1} \widetilde{P}_\ell \left(\frac{\theta'}{\theta} \right) \, m_{\ell}(t), \quad 0 \le \theta' \le \theta .$$ जब सघन शिक्षण विधियों के साथ जोड़ा जाता है, तो इन नेटवर्कों को कम कम्प्यूटेशनल संसाधनों का उपयोग करते हुए लंबी अवधि की स्मृति इकाइयों और संबंधित आर्किटेक्चर से उत्तम प्रदर्शन करने के लिए प्रशिक्षित किया जा सकता है।

लीजेंड्रे बहुपदों के अतिरिक्त गुण
लीजेंड्रे बहुपदों में निश्चित समता होती है। अर्थात्, वे सम और विषम फलन हैं, के अनुसार $$P_n(-x) = (-1)^n P_n(x) \,.$$ अन्य उपयोगी गुण है $$\int_{-1}^1 P_n(x)\,dx = 0 \text{ for } n\ge1,$$ जो $$P_0(x) = 1$$ के साथ ओर्थोगोनलिटी संबंध पर विचार करने के बाद आता है। यह सुविधाजनक है जब लीजेंड्रे श्रृंखला $\sum_i a_i P_i$ किसी फलन या प्रायोगिक डेटा का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता है: अंतराल पर श्रृंखला का औसत $$ केवल प्रमुख विस्तार गुणांक $$a_0$$ द्वारा दिया जाता है.

चूंकि अवकल समीकरण और लांबिकता गुण स्केलिंग से स्वतंत्र हैं, लेजेंड्रे बहुपद की परिभाषाएं मानकीकृत हैं (कभी-कभी सामान्यीकरण कहा जाता है, किन्तु वास्तविक मानदंड 1 नहीं है) स्केल करके जिससे $$P_n(1) = 1 \,.$$ अंत बिंदु पर व्युत्पन्न द्वारा दिया गया है $$P_n'(1) = \frac{n(n+1)}{2} \,. $$ लीजेंड्रे बहुपदों के लिए आस्की-गैस्पर असमानता पढ़ता है $$\sum_{j=0}^n P_j(x) \ge 0 \quad \text{for }\quad x\ge -1 \,.$$ इकाई सदिशों के अदिश गुणनफल के लीजेन्ड्रे बहुपदों को गोलाकार हार्मोनिक्स का उपयोग करके विस्तारित किया जा सकता है $$P_\ell \left(r \cdot r'\right) = \frac{4\pi}{2\ell + 1} \sum_{m=-\ell}^\ell Y_{\ell m}(\theta,\varphi) Y_{\ell m}^*(\theta',\varphi')\,,$$ जहाँ इकाई सदिश $r$ और $r′$ के क्रमशः गोलीय निर्देशांक $(θ, φ)$ और $(θ′, φ′)$ हैं।

पुनरावृत्ति संबंध
जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, लीजेंड्रे बहुपद बोनट के पुनरावर्तन सूत्र के रूप में ज्ञात तीन-पद पुनरावृत्ति संबंध का पालन करते हैं, जो निम्न द्वारा दिया गया है $$ (n+1) P_{n+1}(x) = (2n+1) x P_n(x) - n P_{n-1}(x)$$ और $$ \frac{x^2-1}{n} \frac{d}{dx} P_n(x) = xP_n(x) - P_{n-1}(x) $$ या, वैकल्पिक व्यंजक के साथ, जो समापन बिंदुओं पर भी प्रायुक्त होती है $$ \frac{d}{dx} P_{n+1}(x) = (n+1)P_n(x) + x \frac{d}{dx}P_{n}(x) \,.$$ लीजेंड्रे बहुपदों के एकीकरण के लिए उपयोगी है $$(2n+1) P_n(x) = \frac{d}{dx} \bigl( P_{n+1}(x) - P_{n-1}(x) \bigr) \,.$$ ऊपर वाले से यह भी देखा जा सकता है $$\frac{d}{dx} P_{n+1}(x) = (2n+1) P_n(x) + \bigl(2(n-2)+1\bigr) P_{n-2}(x) + \bigl(2(n-4)+1\bigr) P_{n-4}(x) + \cdots$$ या समकक्ष $$\frac{d}{dx} P_{n+1}(x) = \frac{2 P_n(x)}{\left\| P_n \right\|^2} + \frac{2 P_{n-2}(x)}{\left\| P_{n-2} \right\|^2} + \cdots$$ जहाँ $\|P_{n}\|$ अंतराल $−1 ≤ x ≤ 1$ पर आदर्श है $$\| P_n \| = \sqrt{\int_{-1}^1 \bigl(P_n(x)\bigr)^2 \,dx} = \sqrt{\frac{2}{2 n + 1}} \,.$$

स्पर्शोन्मुख
असम्बद्ध रूप से, के लिए $$\ell \to \infty$$, लीजेंड्रे बहुपदों को इस रूप में लिखा जा सकता है $$\begin{align} P_\ell (\cos \theta) &= \sqrt{\frac{\theta}{\sin \theta}} \, J_0((\ell+1/2)\theta) + \mathcal{O}\left(\ell^{-1}\right) \\ &= \frac{2}{\sqrt{2\pi \ell\sin\theta}}\cos\left(\left(\ell + \tfrac12\right)\theta - \frac{\pi}{4}\right) + \mathcal{O}\left(\ell^{-3/2}\right), \quad \theta \in (0,\pi), \end{align}$$ और 1 से अधिक परिमाण के तर्कों के लिए $$\begin{align} P_\ell \left(\cosh\xi\right) &= \sqrt{\frac{\xi}{\sinh\xi}} I_0\left(\left(\ell+\frac{1}{2}\right)\xi\right)\left(1+\mathcal{O}\left(\ell^{-1}\right)\right)\,,\\ P_\ell \left(\frac{1}{\sqrt{1-e^2}}\right) &= \frac{1}{\sqrt{2\pi\ell e}} \frac{(1+e)^\frac{\ell+1}{2}}{(1-e)^\frac{\ell}{2}} + \mathcal{O}\left(\ell^{-1}\right) \end{align}$$ जहाँ $J_{0}$ और $I_{0}$ बेसेल फलन हैं।

शून्य
$$P_n(x)$$ के सभी $$ n$$ शून्य वास्तविक हैं, एक दूसरे से भिन्न हैं, और अंतराल $$(-1,1)$$ में स्थित हैं। इसके अतिरिक्त, यदि हम उन्हें अंतराल $$[-1,1]$$ को $$ n+1 $$ उपअंतरालों में विभाजित करने के रूप में मानते हैं, तो प्रत्येक उपअंतराल में $$P_{n+1}$$ का ठीक एक शून्य होगा। इसे इंटरलेसिंग प्रॉपर्टी के रूप में जाना जाता है। समानता गुण के कारण यह स्पष्ट है कि यदि $$x_k$$ $$P_n(x)$$ का शून्य है, तो $$-x_k$$ भी है। गॉसियन चतुर्भुज के आधार पर संख्यात्मक एकीकरण में ये शून्य महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। $$P_n$$ पर आधारित विशिष्ट चतुर्भुज को गॉस-लेजेंड्रे चतुर्भुज के रूप में जाना जाता है।

इस गुण और तथ्यों से कि $$ P_n(\pm 1) \ne 0 $$, यह उस $$ P_n(x) $$ का पालन करता है में $$ n-1 $$ स्थानीय न्यूनतम और अधिकतम में $$ (-1,1) $$ है। समान रूप से, $$ dP_n(x)/dx $$ में $$ (-1,1) $$ में $$ n -1 $$ शून्य है।

बिंदुवार मूल्यांकन
समता और सामान्यीकरण मानों को सीमाओं $$ x=\pm 1 $$ पर निहित करते हैं $$ P_n(1) = 1 \,, \quad P_n(-1) = \begin{cases} 1 & \text{for} \quad n = 2m \\   -1 & \text{for} \quad n = 2m+1 \,. \end{cases} $$ मूल में $$ x=0 $$ कोई दिखा सकता है कि मान किसके द्वारा दिए गए हैं $$ P_n(0) = \begin{cases} \frac{(-1)^{m}}{4^m} \tbinom{2m}{m} = \frac{(-1)^{m}}{2^{2m}} \frac{(2m)!}{\left(m!\right)^2} & \text{for} \quad n = 2m \\   0 & \text{for} \quad n = 2m+1 \,. \end{cases} $$

स्थानांतरित लीजेंड्रे बहुपद
स्थानांतरित लीजेंड्रे बहुपदों को इस रूप में परिभाषित किया गया है $$\widetilde{P}_n(x) = P_n(2x-1) \,.$$यहां स्थानांतरण फलन $x ↦ 2x − 1$ संबधित परिवर्तन है जो अंतराल $[−1, 1]$ को अंतराल $[−1, 1]$ पर विशेष रूप से माप करता है, जिसका अर्थ है कि बहुपद $P̃_{n}(x)$ $[0, 1]$ पर ओर्थोगोनल हैं: $$\int_0^1 \widetilde{P}_m(x) \widetilde{P}_n(x)\,dx = \frac{1}{2n + 1} \delta_{mn} \,.$$

स्थानांतरित किए गए लीजेंड्रे बहुपदों के लिए स्पष्ट व्यंजक द्वारा दिया गया है $$\widetilde{P}_n(x) = (-1)^n \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \binom{n+k}{k} (-x)^k \,.$$ स्थानांतरित लीजेंड्रे बहुपदों के लिए रोड्रिग्स के सूत्र का अनुरूप है $$\widetilde{P}_n(x) = \frac{1}{n!} \frac{d^n}{dx^n} \left(x^2 -x \right)^n \,.$$ पहले कुछ स्थानांतरित किए गए लीजेंड्रे बहुपद हैं:

पौराणिक तर्कसंगत फलन
लीजेंड्रे परिमेय फलन [0, ∞) पर लांबिक फलनों का क्रम है। वे लीजेंड्रे बहुपदों के साथ केली रूपांतरण की रचना करके प्राप्त किए जाते हैं।

घात n के तर्कसंगत लीजेंड्रे फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$R_n(x) = \frac{\sqrt{2}}{x+1}\,P_n\left(\frac{x-1}{x+1}\right)\,.$$ वे विलक्षण स्टर्म-लिउविल समस्या के आइगेनफलन हैं: $$(x+1)\partial_x(x\partial_x((x+1)v(x)))+\lambda v(x)=0$$ आइगेनवैल्यू के साथ $$\lambda_n=n(n+1)\,.$$

यह भी देखें

 * गाऊसी चतुर्भुज
 * गेगेनबॉयर बहुपद
 * तुरान की असमानताएँ
 * लीजेंड्रे वेवलेट
 * जैकोबी बहुपद
 * रोमानोव्स्की बहुपद
 * लाप्लास विस्तार (संभावित)

बाहरी संबंध

 * A quick informal derivation of the Legendre polynomial in the context of the quantum mechanics of hydrogen
 * Wolfram MathWorld entry on Legendre polynomials
 * Dr James B. Calvert's article on Legendre polynomials from his personal collection of mathematics
 * The Legendre Polynomials by Carlyle E. Moore
 * Legendre Polynomials from Hyperphysics
 * Legendre Polynomials from Hyperphysics