क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी

क्वांटम सूचना सिद्धांत में, क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी दो क्वांटम अवस्थाओं के बीच भिन्नता का एक परिमाण है। यह सापेक्ष एन्ट्रापी का क्वांटम यांत्रिक अनुरूप है।

अभिप्रेरण
सरलता के लिए, यह मान लिया जाएगा कि लेख में सभी वस्तुएं परिमित-आयामी हैं।

सबसे पहले हम चिरसम्मत स्थितियों पर चर्चा करते हैं। मान लीजिए कि घटनाओं के परिमित अनुक्रम की संभावनाएं प्रायिकता वितरण P = {p1...pn} द्वारा दी गई हैं, लेकिन किसी तरह हमने गलती से इसे Q = {q1...qn} मान लिया। उदाहरण के लिए, हम एक अनुचित सिक्के को उचित सिक्के के रूप में गलत समझ सकते हैं। इस गलत धारणा के अनुसार, जे-वें घटना के बारे में हमारी अनिश्चितता, या समतुल्य, जे-वें घटना को देखने के बाद प्रदान की जाने वाली जानकारी की मात्रा है


 * $$\; - \log q_j.$$

सभी संभावित घटनाओं की (अनुमानित) औसत अनिश्चितता तब है


 * $$\; - \sum_j p_j \log q_j.$$

दूसरी ओर, प्रायिकता वितरण p की शैनन एन्ट्रापी, द्वारा परिभाषित


 * $$\; - \sum_j p_j \log p_j,$$

अवलोकन से पहले अनिश्चितता की वास्तविक मात्रा है। इसलिए इन दोनों मात्राओं के बीच का अंतर


 * $$\; - \sum_j p_j \log q_j - \left(- \sum_j p_j \log p_j\right) = \sum_j p_j \log p_j - \sum_j p_j \log q_j$$

दो प्रायिकता वितरण p और q की भिन्नता का परिमाण है। यह चिरसम्मत सापेक्ष एंट्रॉपी, या कुल्बैक-लीब्लर विचलन है-


 * $$D_{\mathrm{KL}}(P\|Q) = \sum_j p_j \log \frac{p_j}{q_j} \!.$$

टिप्पणी
 * 1) ऊपर दी गई परिभाषाओं में, अभिसमय है कि 0·log 0 = 0 माना जाता है, क्योंकि $$\lim_{x \searrow 0} x \log(x) = 0$$। सहज रूप से, किसी को अपेक्षा होगी कि शून्य प्रायिकता की घटना एन्ट्रापी की दिशा में कुछ भी योगदान नहीं देगी।
 * 2) सापेक्ष एंट्रॉपी मैट्रिक नहीं है। उदाहरण के लिए, यह सममित नहीं है। एक उचित सिक्के को गलत समझने में अनिश्चितता की विसंगति विपरीत स्थिति के समान नहीं है।

परिभाषा
क्वांटम सूचना सिद्धांत में कई अन्य वस्तुओं के साथ, क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रॉपी को प्रायिकता वितरण से लेकर घनत्व मैट्रिक्स तक चिरसम्मत परिभाषा का विस्तार करके परिभाषित किया गया है। माना कि ρ एक घनत्व मैट्रिक्स है। ρ का वॉन न्यूमैन एंट्रॉपी, जो शैनन एंट्रॉपी का क्वांटम यांत्रिक अनुरूप है, द्वारा दिया गया है


 * $$S(\rho) = - \operatorname{Tr} \rho \log \rho.$$

दो घनत्व आव्यूह ρ और σ के लिए, σ के संबंध में ρ की क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रॉपी को परिभाषित किया गया है



S(\rho \| \sigma) = - \operatorname{Tr} \rho \log \sigma - S(\rho) = \operatorname{Tr} \rho \log \rho - \operatorname{Tr} \rho \log \sigma = \operatorname{Tr}\rho (\log \rho - \log \sigma). $$ हम देखते हैं कि, जब अवस्था चिरसम्मत रूप से संबंधित होती हैं, अर्थात ρσ = σρ, परिभाषा चिरसम्मत स्थिति के साथ मेल खाती है, इस अर्थ में कि यदि $$\rho = S D_1 S^{\mathsf{T}}$$ और $$\sigma = S D_2 S^{\mathsf{T}}$$ $$D_1 = \text{diag}(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$$ और $$D_2 = \text{diag}(\mu_1, \ldots, \mu_n)$$ के साथ (क्योंकि $$\rho$$ और $$\sigma$$ कम्यूट करते हैं, वे एक साथ विकर्ण करने योग्य हैं), तो $$S(\rho \| \sigma) = \sum_{j = 1}^{n} \lambda_j \ln\left(\frac{\lambda_j}{\mu_j}\right)$$ प्रायिकता सदिश $$(\lambda_1, \ldots, \lambda_n)$$ के संबंध में प्रायिकता सदिश $$(\mu_1, \ldots, \mu_n)$$ का सामान्य कुल्बैक-लीब्लर विचलन है)।

गैर-परिमित (विचलन) सापेक्ष एन्ट्रॉपी
सामान्य तौर पर, मैट्रिक्स M का समर्थन इसके कर्नेल का ऑर्थोगोनल पूरक होता है, अर्थात $$\text{supp}(M) = \text{ker}(M)^\perp $$। क्वांटम सापेक्ष एंट्रॉपी पर विचार करते समय, हम मानते हैं कि −s · log 0 = ∞ किसी भी s > 0 के लिए। यह परिभाषा की ओर जाता है कि


 * $$S(\rho \| \sigma) = \infty$$

जब


 * $$\text{supp}(\rho) \cap \text{ker}(\sigma) \neq \{ 0 \}.$$

इसे निम्न प्रकार से समझा जा सकता है। अनौपचारिक रूप से, क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रॉपी दो क्वांटम अवस्थाओं में अंतर करने की हमारी क्षमता का परिमाण है जहां बड़े मान उन अवस्थाओं को इंगित करते हैं जो अधिक भिन्न हैं। ऑर्थोगोनल होना सबसे अलग क्वांटम अवस्थाओं का प्रतिनिधित्व करता है। यह ऑर्थोगोनल क्वांटम अवस्थाओं के लिए गैर-परिमित क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी द्वारा परिलक्षित होता है। अभिप्रेरण अनुभाग में दिए गए तर्क का पालन करते हुए, यदि हम गलती से मान लेते हैं कि अवस्था $$\rho$$ को $$\text{ker}(\sigma)$$ में समर्थन प्राप्त है, तो यह एक ऐसी त्रुटि है जिससे ठीक होना असंभव है।

हालांकि, किसी को सावधान रहना चाहिए कि यह निष्कर्ष न निकाला जाए कि क्वांटम सापेक्ष एंट्रॉपी $$S(\rho\|\sigma)$$ का विचलन यह दर्शाता है कि अवस्था $$\rho$$ और $$\sigma$$ ऑर्थोगोनल हैं या अन्य परिमाणों से भी बहुत भिन्न हैं। विशेष रूप से, जब $$\rho$$ और $$\sigma$$ कुछ मानक द्वारा मापी गई लुप्त हो रही अल्प मात्रा से भिन्न होते हैं, तो $$S(\rho\|\sigma)$$ विचलन कर सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि $$\sigma$$ का विकर्ण निरूपण है

$$\sigma=\sum_{n}\lambda_n|f_n\rangle\langle f_n|$$

$$\lambda_n>0$$ के लिए $$n=0,1,2,\ldots$$ और $$\lambda_n=0$$ के लिए $$n=-1,-2,\ldots$$ के साथ जहां $$\{|f_n\rangle, n\in \Z\}$$ ऑर्थोनॉर्मल समुच्चय है। $$\sigma$$ का कर्नेल समुच्चय $$\{|f_{n}\rangle, n=-1,-2,\ldots\}$$ द्वारा विस्तृत स्थान है। अगला माना

$$   \rho=\sigma+\epsilon|f_{-1}\rangle\langle f_{-1}| - \epsilon|f_1\rangle\langle f_1|$$

छोटी धनात्मक संख्या $$\epsilon$$ के लिए। चूंकि $$\rho$$ को $$\sigma$$ के कर्नेल में समर्थन (अर्थात् अवस्था $$|f_{-1}\rangle$$) है, $$S(\rho\|\sigma)$$ विचलन है, यद्यपि अंतर $$(\rho-\sigma)$$ का ट्रेस मानदंड $$2\epsilon$$ है। इसका अर्थ यह है कि ट्रेस मानदंड द्वारा मापे गए $$\rho$$ और $$\sigma$$ के बीच का अंतर $$\epsilon\to 0$$ के रूप में लुप्त हो जाता है, यद्यपि $$S(\rho\|\sigma)$$ विचलन (अर्थात अनंत) हो। क्वांटम सापेक्ष एंट्रॉपी का यह गुण सावधानी के साथ अभिक्रियित न किए जाने पर गंभीर कमी का प्रतिनिधित्व करता है।

संगत चिरसम्मत कथन
चिरसम्मत कुल्बैक-लीब्लर विचलन के लिए, यह दिखाया जा सकता है


 * $$D_{\mathrm{KL}}(P\|Q) = \sum_j p_j \log \frac{p_j}{q_j} \geq 0,$$

और समानता धारण करती है यदि और केवल यदि P = Q। संवादात्मक रूप से, इसका अर्थ यह है कि गलत धारणाओं का उपयोग करके अनिश्चितता की गणना हमेशा अनिश्चितता की वास्तविक मात्रा से अधिक होती है।

असमानता दिखाने के लिए, हम फिर से लिखते हैं


 * $$D_{\mathrm{KL}}(P\|Q) = \sum_j p_j \log \frac{p_j}{q_j} = \sum_j (- \log \frac{q_j}{p_j})(p_j).$$

ध्यान दें कि log एक अवतल फलन है। अतः -log उत्तल है। जेन्सेन की असमानता को लागू करने पर, हमें प्राप्त होता है



D_{\mathrm{KL}}(P\|Q) = \sum_j (- \log \frac{q_j}{p_j})(p_j) \geq - \log ( \sum_j \frac{q_j}{p_j} p_j ) = 0. $$ जेन्सेन की असमानता यह भी बताती है कि समानता तभी और केवल तभी लागू होती है, जब सभी i, qi = (Σqj) pi, अर्थात p = q के लिए।

परिणाम
क्लेन की असमानता बताती है कि क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी



S(\rho \| \sigma) = \operatorname{Tr}\rho (\log \rho - \log \sigma). $$ सामान्य रूप से गैर-ऋणात्मकता है। यह शून्य होता है यदि और केवल यदि ρ = σ।

प्रमाण
माना ρ और σ में वर्णक्रमीय अपघटन हैं


 * $$\rho = \sum_i p_i v_i v_i ^* \;, \; \sigma = \sum_i q_i w_i w_i ^*.$$

इसलिए


 * $$\log \rho = \sum_i (\log p_i) v_i v_i ^* \;, \; \log \sigma = \sum_i (\log q_i)w_i w_i ^*.$$

प्रत्यक्ष गणना देता है


 * $$S(\rho \| \sigma)= \sum_k p_k \log p_k - \sum_{i,j} (p_i \log q_j) | v_i ^* w_j |^2$$
 * $$\qquad \quad \; = \sum_i p_i ( \log p_i - \sum_j \log q_j | v_i ^* w_j |^2)$$
 * $$\qquad \quad \; = \sum_i p_i (\log p_i - \sum_j (\log q_j )P_{ij}),$$

जहां Pi j = |vi*wj|2

चूंकि मैट्रिक्स (Pi j)i j दोगुना प्रसंभाव्यता मैट्रिक्स है और -log उत्तल फलन है, उपरोक्त अभिव्यक्ति है


 * $$\geq \sum_i p_i (\log p_i - \log (\sum_j q_j P_{ij})).$$

ri = Σjqj Pi j. परिभाषित करें। तब {ri} एक प्रायिकता वितरण है। चिरसम्मत सापेक्ष एन्ट्रॉपी की गैर-ऋणात्मकता से, हमारे पास है


 * $$S(\rho \| \sigma) \geq \sum_i p_i \log \frac{p_i}{r_i} \geq 0.$$

दावे का दूसरा भाग इस तथ्य से अनुसरण करता है कि, चूंकि -log पूर्णता उत्तल है, इसलिए समानता प्राप्त की जाती है



\sum_i p_i (\log p_i - \sum_j (\log q_j )P_{ij}) \geq \sum_i p_i (\log p_i - \log (\sum_j q_j P_{ij})) $$ यदि और केवल यदि (Pi j) क्रमचय मैट्रिक्स है, जिसका अर्थ है ρ = σ, अभिलाक्षणिक सदिश {vi} और {wi} की उपयुक्त लेबलिंग के बाद।

सापेक्ष एन्ट्रॉपी की संयुक्त उत्तलता
सापेक्ष एन्ट्रॉपी संयुक्त रूप से उत्तल है। $$0\leq \lambda\leq 1$$ और अवस्थाओं $$\rho_{1(2)}, \sigma_{1(2)}$$ के लिए हमारे पास है

$$D(\lambda\rho_1+(1-\lambda)\rho_2\|\lambda\sigma_1+(1-\lambda)\sigma_2)\leq \lambda D(\rho_1\|\sigma_1)+(1-\lambda)D(\rho_2\|\sigma_2)$$

सापेक्ष एन्ट्रापी की एकदिष्टता
घनत्व आव्यूह पर पूरी तरह से धनात्मक ट्रेस संरक्षण (सीपीटीपी) संचालन $$\mathcal{N}$$ के तहत सापेक्ष एन्ट्रापी नीरस रूप से घट जाती है,

$$S(\mathcal{N}(\rho)\|\mathcal{N}(\sigma))\leq S(\rho\|\sigma)$$.

इस असमानता को क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रॉपी की एकदिष्टता कहा जाता है और इसे सबसे पहले लिंडब्लैड द्वारा सिद्ध किया गया था।

जटिलता परिमाण
माना कि समग्र क्वांटम प्रणाली में अवस्था स्थान है


 * $$H = \otimes _k H_k$$

और ρ H पर कार्य करने वाला एक घनत्व मैट्रिक्स हो।

ρ की जटिलता की सापेक्ष एन्ट्रापी द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\; D_{\mathrm{REE}} (\rho) = \min_{\sigma} S(\rho \| \sigma)$$

जहां अलग-अलग अवस्थाओं के समूह पर न्यूनतम लिया जाता है। मात्रा की भौतिक व्याख्या अलग-अलग अवस्थाओं से अवस्था ρ की इष्टतम भिन्नता है।

स्पष्ट रूप से, जब ρ उलझा हुआ नहीं है


 * $$\; D_{\mathrm{REE}} (\rho) = 0$$

क्लेन असमानता द्वारा।

अन्य क्वांटम सूचना मात्राओं से संबंध
क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी उपयोगी होने का एक कारण यह है कि कई अन्य महत्वपूर्ण क्वांटम सूचना मात्राएँ इसकी विशेष स्थितियाँ हैं। प्रायः, प्रमेयों को क्वांटम सापेक्ष एन्ट्रापी के संदर्भ में कहा जाता है, जो अन्य मात्राओं के संबंध में तत्काल परिणाम की ओर ले जाती है। नीचे, हम इनमें से कुछ संबंधों को सूचीबद्ध करते हैं।

माना ρAB आयाम nA के उपप्रणाली A और आयाम nB के B के साथ द्विभागी प्रणाली की संयुक्त अवस्था है। माना ρA, ρB संबंधित घटी हुई अवस्थाएँ हैं, और IA, IB संबंधित सर्वसमिकाएँ हैं। अधिकतम मिश्रित अवस्थाएँ IA/nA और IB/nB हैं। तब प्रत्यक्ष संगणना से यह दिखाना संभव है कि


 * $$S(\rho_{A} || I_{A}/n_A) = \mathrm{log}(n_A)- S(\rho_{A}), \;$$
 * $$S(\rho_{AB} || \rho_{A} \otimes \rho_{B}) = S(\rho_{A}) + S(\rho_{B}) - S(\rho_{AB}) = I(A:B), $$
 * $$S(\rho_{AB} || \rho_{A} \otimes I_{B}/n_B) = \mathrm{log}(n_B) + S(\rho_{A}) - S(\rho_{AB}) = \mathrm{log}(n_B)- S(B|A), $$

जहां I(A:B) क्वांटम पारस्परिक सूचना है और S(B|A) क्वांटम सशर्त एन्ट्रापी है।

संदर्भ

 * Michael A. Nielsen, Isaac L. Chuang, "Quantum Computation and Quantum Information"
 * Marco Tomamichel, "Quantum Information Processing with Finite Resources -- Mathematical Foundations". arXiv:1504.00233
 * Marco Tomamichel, "Quantum Information Processing with Finite Resources -- Mathematical Foundations". arXiv:1504.00233