विविक्त गणित



असतत गणित गणितीय संरचनाओं का अध्ययन है जिसे असतत माना जा सकता है (एक तरह से असतत चर के अनुरूप, प्राकृतिक संख्याओं के सेट के साथ एक जीवंत होना) के बजाय निरंतर (निरंतर कार्यों के अनुरूप)।असतत गणित में अध्ययन की गई वस्तुओं में पूर्णांक, रेखांकन और तर्क में बयान शामिल हैं।   इसके विपरीत, असतत गणित निरंतर गणित जैसे वास्तविक संख्या, कैलकुलस या यूक्लिडियन ज्यामिति में विषयों को बाहर करता है।असतत वस्तुओं को अक्सर पूर्णांक द्वारा गणना की जा सकती है;अधिक औपचारिक रूप से, असतत गणित को गणित की शाखा के रूप में चित्रित किया गया है। (परिमित सेट या प्राकृतिक संख्या के समान कार्डिनैलिटी के साथ सेट)।हालांकि, असतत गणित शब्द की कोई सटीक परिभाषा नहीं है। असतत गणित में अध्ययन की गई वस्तुओं का सेट परिमित या अनंत हो सकता है। परिमित गणित शब्द कभी -कभी असतत गणित के क्षेत्र के कुछ हिस्सों पर लागू होता है जो परिमित सेटों से संबंधित होता है, विशेष रूप से उन क्षेत्रों में जो व्यवसाय के लिए प्रासंगिक हैं।

असतत गणित में अनुसंधान बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में आंशिक रूप से डिजिटल कंप्यूटरों के विकास के कारण बढ़ा जो असतत चरणों में काम करता है और असतत बिट्स में डेटा स्टोर करता है। असतत गणित से अवधारणाएं और सूचनाएँ कंप्यूटर विज्ञान की शाखाओं में वस्तुओं और समस्याओं का अध्ययन करने और उनका वर्णन करने में उपयोगी हैं, जैसे कि कंप्यूटर एल्गोरिदम, प्रोग्रामिंग भाषाएं, क्रिप्टोग्राफी, स्वचालित प्रमेय साबित करना, और सॉफ्टवेयर विकास। इसके विपरीत, कंप्यूटर कार्यान्वयन असतत गणित से लेकर वास्तविक दुनिया की समस्याओं तक विचारों को लागू करने में महत्वपूर्ण हैं।

यद्यपि असतत गणित में अध्ययन की मुख्य वस्तुएं असतत वस्तुएं हैं, निरंतर गणित से विश्लेषणात्मक तरीकों को अक्सर नियोजित किया जाता है।

विश्वविद्यालय के पाठ्यक्रम में, असतत गणित 1980 के दशक में दिखाई दिया, शुरू में कंप्यूटर विज्ञान समर्थन पाठ्यक्रम के रूप में; उस समय इसकी सामग्री कुछ हद तक बेतरतीब थी। इसके बाद पाठ्यक्रम एसीएम और एमएए द्वारा एक पाठ्यक्रम में प्रयासों के साथ संयोजन के रूप में विकसित हुआ है जो मूल रूप से प्रथम वर्ष के छात्रों में गणितीय परिपक्वता विकसित करने के लिए है; इसलिए, यह आजकल कुछ विश्वविद्यालयों में गणित की बड़ी कंपनियों के लिए एक शर्त है। कुछ हाई-स्कूल-स्तरीय असतत गणित की पाठ्यपुस्तकें भी दिखाई दी हैं। इस स्तर पर, असतत गणित को कभी -कभी एक प्रारंभिक पाठ्यक्रम के रूप में देखा जाता है, न कि इस संबंध में पूर्ववर्ती के विपरीत। फुलकर्सन पुरस्कार को असतत गणित में उत्कृष्ट पत्रों के लिए सम्मानित किया जाता है।

भव्य चुनौतियां, अतीत और वर्तमान
असतत गणित के इतिहास में कई चुनौतीपूर्ण समस्याएं शामिल हैं, जिन्होंने क्षेत्र के क्षेत्रों के भीतर ध्यान केंद्रित किया है।ग्राफ सिद्धांत में, चार रंग प्रमेय को साबित करने के प्रयासों से बहुत अधिक शोध को प्रेरित किया गया था, पहली बार 1852 में कहा गया था, लेकिन 1976 तक साबित नहीं हुआ (केनेथ एपेल और वोल्फगैंग हैकेन द्वारा, पर्याप्त कंप्यूटर सहायता का उपयोग करके)।

In logic, the second problem on David Hilbert's list of open problems presented in 1900 was to prove that the axioms of arithmetic are consistent. Gödel's second incompleteness theorem, proved in 1931, showed that this was not possible – at least not within arithmetic itself. Hilbert's tenth problem was to determine whether a given polynomial Diophantine equation with integer coefficients has an integer solution. In 1970, Yuri Matiyasevich proved that this could not be done.

The need to break German codes in World War II led to advances in cryptography and theoretical computer science, with the first programmable digital electronic computer being developed at England's Bletchley Park with the guidance of Alan Turing and his seminal work, On Computable Numbers. शीत युद्ध का मतलब था कि क्रिप्टोग्राफी महत्वपूर्ण रही, जिसमें मौलिक प्रगति जैसे सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी अगले दशकों में विकसित की जा रही थी।दूरसंचार उद्योग ने भी असतत गणित में प्रगति को प्रेरित किया है, विशेष रूप से ग्राफ सिद्धांत और सूचना सिद्धांत में।लॉजिक में बयानों का औपचारिक सत्यापन सुरक्षा-आलोचनात्मक प्रणालियों के सॉफ्टवेयर विकास के लिए आवश्यक है, और स्वचालित प्रमेय में प्रगति इस आवश्यकता से प्रेरित है।

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति आधुनिक वीडियो गेम और कंप्यूटर एडेड डिज़ाइन टूल में शामिल कंप्यूटर ग्राफिक्स का एक महत्वपूर्ण हिस्सा रहा है।

असतत गणित के कई क्षेत्र, विशेष रूप से सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान, ग्राफ सिद्धांत और कॉम्बिनेटरिक्स, जीवन के पेड़ को समझने से जुड़ी चुनौतीपूर्ण जैव सूचना विज्ञान समस्याओं को संबोधित करने में महत्वपूर्ण हैं। वर्तमान में, सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में सबसे प्रसिद्ध खुली समस्याओं में से एक पी = एनपी समस्या है, जिसमें जटिलता वर्गों पी और एनपी के बीच संबंध शामिल है।क्ले मैथमेटिक्स इंस्टीट्यूट ने छह अन्य गणितीय समस्याओं के लिए पुरस्कार के साथ, पहले सही प्रमाण के लिए $ 1 मिलियन USD पुरस्कार की पेशकश की है।

सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान


सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में कंप्यूटिंग के लिए प्रासंगिक असतत गणित के क्षेत्र शामिल हैं।यह ग्राफ सिद्धांत और गणितीय तर्क पर भारी खींचता है।सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान के भीतर शामिल एल्गोरिदम और डेटा संरचनाओं का अध्ययन है।कम्प्यूटिबिलिटी अध्ययन जो सिद्धांत रूप में गणना की जा सकती है, और तर्क के साथ घनिष्ठ संबंध है, जबकि जटिलता गणना द्वारा लिए गए समय, स्थान और अन्य संसाधनों का अध्ययन करती है।ऑटोमेटा सिद्धांत और औपचारिक भाषा सिद्धांत कम्प्यूटिबिलिटी से निकटता से संबंधित हैं।पेट्री नेट और प्रक्रिया बीजगणित का उपयोग कंप्यूटर सिस्टम को मॉडल करने के लिए किया जाता है, और असतत गणित के तरीकों का उपयोग वीएलएसआई इलेक्ट्रॉनिक सर्किट का विश्लेषण करने में किया जाता है।कम्प्यूटेशनल ज्यामिति ज्यामितीय समस्याओं और ज्यामितीय वस्तुओं के प्रतिनिधित्व के लिए एल्गोरिदम को लागू करता है, जबकि कंप्यूटर छवि विश्लेषण उन्हें छवियों के प्रतिनिधित्व पर लागू करता है।सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में विभिन्न निरंतर कम्प्यूटेशनल विषयों का अध्ययन भी शामिल है।

सूचना सिद्धांत
सूचना सिद्धांत में सूचना की मात्रा का ठहराव शामिल है।बारीकी से संबंधित कोडिंग सिद्धांत है जिसका उपयोग कुशल और विश्वसनीय डेटा ट्रांसमिशन और भंडारण विधियों को डिजाइन करने के लिए किया जाता है।सूचना सिद्धांत में निरंतर विषय भी शामिल हैं जैसे: एनालॉग सिग्नल, एनालॉग कोडिंग, एनालॉग एन्क्रिप्शन।

तर्क
तर्क वैध तर्क और अनुमान के सिद्धांतों के साथ -साथ स्थिरता, ध्वनि और पूर्णता के सिद्धांतों का अध्ययन है।उदाहरण के लिए, तर्क के अधिकांश प्रणालियों में (लेकिन अंतर्ज्ञानवादी तर्क में नहीं) Peirce का नियम ((P → Q) → P) → P) एक प्रमेय है।शास्त्रीय तर्क के लिए, इसे एक सत्य तालिका के साथ आसानी से सत्यापित किया जा सकता है।गणितीय प्रमाण का अध्ययन तर्क में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, और इसमें स्वचालित प्रमेय साबित करने और सॉफ्टवेयर के औपचारिक सत्यापन के लिए अनुप्रयोग हैं।

अच्छी तरह से गठित सूत्र | तार्किक सूत्र असतत संरचनाएं हैं, जैसे कि प्रमाण हैं, जो परिमित पेड़ बनाते हैं या, अधिक आम तौर पर, निर्देशित एसाइक्लिक ग्राफ संरचनाएं (एक ही निष्कर्ष देने के लिए एक या एक से अधिक आधार शाखाओं के संयोजन के साथ प्रत्येक अनुमान के साथ)।तार्किक सूत्रों के सत्य मूल्य आमतौर पर एक परिमित सेट बनाते हैं, जो आम तौर पर दो मूल्यों तक सीमित होते हैं: सही और गलत, लेकिन तर्क भी निरंतर-मूल्यवान हो सकता है, जैसे, फजी तर्क।अनंत प्रमाण पेड़ों या अनंत व्युत्पत्ति पेड़ों जैसी अवधारणाओं का भी अध्ययन किया गया है, उदा।अनंत तर्क।

सेट सिद्धांत
सेट सिद्धांत गणित की शाखा है जो अध्ययन सेट करता है, जो वस्तुओं के संग्रह हैं, जैसे कि {नीला, सफेद, लाल} या (अनंत) सभी प्रमुख संख्याओं के सेट।आंशिक रूप से आदेशित सेट और अन्य संबंधों के साथ सेट में कई क्षेत्रों में आवेदन हैं।

असतत गणित में, काउंटेबल सेट (परिमित सेट सहित) मुख्य फोकस हैं।गणित की एक शाखा के रूप में सेट सिद्धांत की शुरुआत आमतौर पर जॉर्ज कैंटर के काम द्वारा विभिन्न प्रकार के अनंत सेट के बीच अंतर करती है, जो त्रिकोणमितीय श्रृंखला के अध्ययन से प्रेरित है, और अनंत सेट के सिद्धांत का आगे विकास असतत गणित के दायरे से बाहर है।वास्तव में, वर्णनात्मक सेट सिद्धांत में समकालीन कार्य पारंपरिक निरंतर गणित का व्यापक उपयोग करता है।

कॉम्बिनेटरिक्स
कॉम्बीनेटरिक्स उस तरीके से अध्ययन करता है जिसमें असतत संरचनाओं को संयुक्त या व्यवस्थित किया जा सकता है। Enumerative Combinatorics कुछ कॉम्बिनेटरियल ऑब्जेक्ट्स की संख्या की गिनती पर ध्यान केंद्रित करता है - उदा। बारहफोल्ड तरीका क्रमपरिवर्तन, संयोजनों और विभाजन की गिनती के लिए एक एकीकृत ढांचा प्रदान करता है। विश्लेषणात्मक कॉम्बीनेटरिक्स जटिल विश्लेषण और संभावना सिद्धांत से उपकरणों का उपयोग करके कॉम्बीनेटरियल संरचनाओं की गणना (यानी, संख्या का निर्धारण) की चिंता करता है। एन्यूमरेटिव कॉम्बिनेटरिक्स के विपरीत जो स्पष्ट कॉम्बिनेटरियल फ़ार्मुलों का उपयोग करता है और परिणामों का वर्णन करने के लिए कार्यों को उत्पन्न करता है, विश्लेषणात्मक कॉम्बिनेटरिक्स का उद्देश्य एसिम्प्टोटिक सूत्र प्राप्त करना है। टोपोलॉजिकल कॉम्बिनेटरिक्स को कॉम्बिनेटरिक्स में टोपोलॉजी और बीजीयिक टोपोलॉजी/कॉम्बीनेटरियल टोपोलॉजी से तकनीकों के उपयोग की चिंता है। डिजाइन सिद्धांत कॉम्बिनेटरियल डिजाइनों का एक अध्ययन है, जो कुछ चौराहे गुणों के साथ सबसेट के संग्रह हैं। विभाजन सिद्धांत पूर्णांक विभाजन से संबंधित विभिन्न गणना और स्पर्शोन्मुख समस्याओं का अध्ययन करता है, और क्यू-सीरीज़, विशेष कार्यों और ऑर्थोगोनल बहुपदों से निकटता से संबंधित है। मूल रूप से संख्या सिद्धांत और विश्लेषण का एक हिस्सा, विभाजन सिद्धांत को अब कॉम्बिनेटरिक्स या एक स्वतंत्र क्षेत्र का एक हिस्सा माना जाता है। ऑर्डर थ्योरी आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेटों का अध्ययन है, दोनों परिमित और अनंत।

ग्राफ सिद्धांत
ग्राफ सिद्धांत, ग्राफ़ और नेटवर्क का अध्ययन, अक्सर कॉम्बिनेटरिक्स का हिस्सा माना जाता है, लेकिन अपनी तरह की समस्याओं के साथ, पर्याप्त रूप से पर्याप्त और अलग -अलग हो गया है, जिसे अपने आप में एक विषय के रूप में माना जाता है। रेखांकन असतत गणित में अध्ययन की प्रमुख वस्तुओं में से एक है।वे प्राकृतिक और मानव निर्मित दोनों संरचनाओं के सबसे सर्वव्यापी मॉडल में से हैं।वे कई प्रकार के संबंधों को मॉडल कर सकते हैं और भौतिक, जैविक और सामाजिक प्रणालियों में गतिशीलता को संसाधित कर सकते हैं।कंप्यूटर विज्ञान में, वे संचार, डेटा संगठन, कम्प्यूटेशनल उपकरणों, संगणना का प्रवाह, आदि के नेटवर्क का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, गणित में, वे ज्यामिति और टोपोलॉजी के कुछ भागों में उपयोगी होते हैं, उदा।गाँठ सिद्धांत।बीजगणितीय ग्राफ सिद्धांत में समूह सिद्धांत के साथ करीबी संबंध हैं और टोपोलॉजिकल ग्राफ सिद्धांत में टोपोलॉजी के करीब संबंध हैं।निरंतर रेखांकन भी हैं;हालांकि, अधिकांश भाग के लिए, ग्राफ सिद्धांत में अनुसंधान असतत गणित के क्षेत्र में आता है।

संख्या सिद्धांत


संख्या सिद्धांत सामान्य रूप से संख्याओं के गुणों से संबंधित है, विशेष रूप से पूर्णांक।इसमें क्रिप्टोग्राफी और क्रिप्टेनालिसिस के लिए अनुप्रयोग हैं, विशेष रूप से मॉड्यूलर अंकगणित, डायोफेंटाइन समीकरणों, रैखिक और द्विघात बधाई, प्रमुख संख्या और आदिमता परीक्षण के संबंध में।संख्या सिद्धांत के अन्य असतत पहलुओं में संख्याओं की ज्यामिति शामिल है।विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में, निरंतर गणित की तकनीकों का भी उपयोग किया जाता है।असतत वस्तुओं से परे जाने वाले विषयों में ट्रान्सेंडैंटल नंबर, डायोफेंटाइन सन्निकटन, पी-एडिक विश्लेषण और फ़ंक्शन फ़ील्ड शामिल हैं।

बीजगणितीय संरचनाएं
बीजगणितीय संरचनाएं असतत उदाहरणों और निरंतर उदाहरण दोनों के रूप में होती हैं।असतत बीजगणित में शामिल हैं: बूलियन बीजगणित लॉजिक गेट्स और प्रोग्रामिंग में उपयोग किया जाता है;डेटाबेस में उपयोग किए जाने वाले संबंधपरक बीजगणित;समूहों, छल्ले और क्षेत्रों के असतत और परिमित संस्करण बीजगणितीय कोडिंग सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं;असतत सेमिग्रुप और मोनोइड औपचारिक भाषाओं के सिद्धांत में दिखाई देते हैं।

निरंतर गणित के असतत एनालॉग्स
निरंतर गणित में कई अवधारणाएं और सिद्धांत हैं जिनमें असतत संस्करण हैं, जैसे कि असतत कैलकुलस, असतत फूरियर ट्रांसफ़ॉर्म, असतत ज्यामिति, असतत लॉगरिदम, असतत अंतर ज्यामिति, असतत बाहरी पथरी, असतत मोर्स सिद्धांत, असतत अनुकूलन, असतत संभावना सिद्धांत, असतत संभावना, असततवितरण, अंतर समीकरण, असतत डायनेमिक सिस्टम, और शापले -टोकमैन लेम्मा#संभाव्यता और माप सिद्धांत | असतत वेक्टर & nbsp; उपाय।

परिमित अंतर, असतत विश्लेषण, और असतत कैलकुलस
का पथरी असतत कैलकुलस और परिमित अंतरों की पथरी में, पूर्णांक के अंतराल पर परिभाषित एक फ़ंक्शन को आमतौर पर एक अनुक्रम कहा जाता है। एक अनुक्रम डेटा स्रोत से एक परिमित अनुक्रम या असतत गतिशील प्रणाली से अनंत अनुक्रम हो सकता है। इस तरह के असतत फ़ंक्शन को एक सूची द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है (यदि इसका डोमेन परिमित है), या इसके सामान्य शब्द के लिए एक सूत्र द्वारा, या इसे पुनरावृत्ति संबंध या अंतर समीकरण द्वारा स्पष्ट रूप से दिया जा सकता है। अंतर समीकरण अंतर समीकरणों के समान हैं, लेकिन आसन्न शर्तों के बीच अंतर लेकर भेदभाव को बदलें; उनका उपयोग अंतर समीकरणों को अनुमानित करने के लिए किया जा सकता है या (अधिक बार) अपने आप में अध्ययन किया जाता है। अंतर समीकरणों से संबंधित कई प्रश्नों और विधियों में अंतर समीकरणों के लिए समकक्ष हैं। उदाहरण के लिए, जहां निरंतर कार्यों या एनालॉग संकेतों का अध्ययन करने के लिए हार्मोनिक विश्लेषण में अभिन्न रूपांतरण होते हैं, वहां असतत कार्यों या डिजिटल संकेतों के लिए असतत रूपांतरण होते हैं। साथ ही असतत मीट्रिक रिक्त स्थान, अधिक सामान्य असतत टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान, परिमित मीट्रिक स्थान, परिमित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं।

समय स्केल कैलकुलस अंतर समीकरणों के साथ अंतर समीकरणों के सिद्धांत का एक एकीकरण है, जिसमें असतत और निरंतर डेटा के एक साथ मॉडलिंग की आवश्यकता वाले क्षेत्रों के लिए अनुप्रयोग हैं। ऐसी स्थिति को मॉडलिंग करने का एक और तरीका हाइब्रिड डायनेमिक सिस्टम की धारणा है।

असतत ज्यामिति
असतत ज्यामिति और कॉम्बिनेटरियल ज्यामिति ज्यामितीय वस्तुओं के असतत संग्रह के संयोजन गुणों के बारे में हैं।असतत ज्यामिति में एक लंबे समय से चली आ रही विषय विमान की टाइलिंग है।

बीजगणितीय ज्यामिति में, एक वक्र की अवधारणा को उस क्षेत्र पर एफिन रिक्त स्थान के मॉडल होने के लिए परिमित क्षेत्रों पर बहुपद रिंगों के स्पेक्ट्रा को ले जाकर ज्यामिति को असतत करने के लिए बढ़ाया जा सकता है, और अन्य छल्ले के उप -भागों या स्पेक्ट्रा को वक्र प्रदान करते हैं जो झूठ बोलते हैं।वह स्थान।यद्यपि जिस स्थान पर वक्र दिखाई देते हैं, उसमें एक परिमित संख्या में अंक होते हैं, वक्र बिंदुओं के इतने सेट नहीं होते हैं कि निरंतर सेटिंग्स में वक्रों के एनालॉग्स के रूप में।उदाहरण के लिए, फॉर्म के प्रत्येक बिंदु $$V(x-c) \subset \operatorname{Spec} K[x] = \mathbb{A}^1$$ के लिये $$K$$ एक क्षेत्र का या तो अध्ययन किया जा सकता है $$\operatorname{Spec} K[x]/(x-c) \cong \operatorname{Spec} K$$, एक बिंदु, या स्पेक्ट्रम के रूप में $$\operatorname{Spec} K[x]_{(x-c)}$$ (एक्स-सी) पर स्थानीय रिंग में, इसके चारों ओर एक पड़ोस के साथ एक बिंदु।बीजगणितीय किस्मों में भी स्पर्शरेखा अंतरिक्ष की एक अच्छी तरह से परिभाषित धारणा होती है जिसे ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान कहा जाता है, जो परिमित सेटिंग्स में भी कैलकुलस की कई विशेषताएं लागू होती है।

असतत मॉडलिंग
लागू गणित में, असतत मॉडलिंग निरंतर मॉडलिंग का असतत एनालॉग है।असतत मॉडलिंग में, असतत सूत्र डेटा के लिए फिट हैं।मॉडलिंग के इस रूप में एक सामान्य विधि पुनरावृत्ति संबंध का उपयोग करना है।विवेकाधीन निरंतर मॉडल और समीकरणों को असतत समकक्षों में स्थानांतरित करने की प्रक्रिया की चिंता करता है, अक्सर अनुमानों का उपयोग करके गणना को आसान बनाने के उद्देश्यों के लिए।संख्यात्मक विश्लेषण एक महत्वपूर्ण उदाहरण प्रदान करता है।

यह भी देखें

 * असतत गणित की रूपरेखा
 * Cyberchase, एक शो जो बच्चों को असतत गणित सिखाता है

अग्रिम पठन

 * Ronald Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Concrete Mathematics.
 * Ronald Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Concrete Mathematics.
 * Ronald Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Concrete Mathematics.
 * Ronald Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Concrete Mathematics.

बाहरी संबंध

 * Discrete mathematics at the utk.edu Mathematics Archives, providing links to syllabi, tutorials, programs, etc.
 * Iowa Central: Electrical Technologies Program Discrete mathematics for Electrical engineering.
 * Iowa Central: Electrical Technologies Program Discrete mathematics for Electrical engineering.