दर (गणित)

गणित में, एक दर विभिन्न इकाइयों में दो संबंधित मात्राओं के बीच का अनुपात के रूप में होता है। यदि अनुपात के हर को इन राशियों में से किसी एक की एकल इकाई के रूप में व्यक्त किया जाता है और यदि यह मान लिया जाए कि इस मात्रा को व्यवस्थित रूप से बदला जा सकता है अर्थात एक स्वतंत्र चर के रूप में होता है, तो अनुपात का अंश अन्य आश्रित चर में परिवर्तन की इसी दर को व्यक्त करता है।

एक सामान्य प्रकार की दर समय की प्रति इकाई के रूप में होती है, जैसे गति, हृदय गति और प्रवाह। गैर-समय भाजक वाले अनुपात में विनिमय दर, साक्षरता दर और विद्युत क्षेत्र वोल्ट प्रति मीटर के रूप में सम्मलित होते है।

दर की इकाइयों का वर्णन करने में प्रति शब्द का उपयोग दर की गणना करने के लिए उपयोग की जाने वाली दो मापों की इकाइयों को अलग करने के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए हृदय गति प्रति मिनट धड़कन के रूप में व्यक्त की जाती है। समान इकाइयों की दो संख्याओं का उपयोग करके परिभाषित एक दर जैसे कर की दरें या साक्षरता की दरें जैसी गणनाओं के परिणामस्वरूप एक आयाम रहित मात्रा के रूप में होती है, जिसे प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है, उदाहरण के लिए, 1998 में वैश्विक साक्षरता दर 80%, अंश (गणित), या एकाधिक (गणित) के रूप में था.

अधिकांशतः दर लय या आवृत्ति का एक पर्याय प्रति सेकंड एक गिनती अर्थात हर्ट्ज़ के रूप में होता है, उदाहरण के लिए, रेडियो फ्रीक्वेंसी, हृदय गति या नमूना दर इत्यादि के रूप में होते है

परिचय
दर और अनुपात अधिकांशतः समय, स्थान, वस्तुओं के एक समुच्चय के विशेष तत्व या उपसमुच्चय आदि के साथ भिन्न होते हैं। इस प्रकार वे अधिकांशतः फलन गणित के रूप में होते हैं।

एक दर या अनुपात को अधिकांशतः आउटपुट-इनपुट अनुपात, लाभ-लागत अनुपात के रूप में माना जा सकता है, सभी को व्यापक अर्थों में माना जाता है। उदाहरण के लिए, परिवहन में मील प्रति घंटा यात्रा के मील के संदर्भ में आउटपुट या लाभ के रूप में होता है, जो यात्रा के एक घंटे समय में लागत इस वेग पर खर्च करने से प्राप्त होता है।

अध्ययन के अनुसार अनुपात के एक समुच्चय के तत्वों या उपसमुच्चय की गणना करने के लिए अनुक्रमिक सूचकांकों का एक सेट उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, वित्त में, कंपनियों, राजनीतिक उपविभागों जैसे स्टेट को विभिन्न निवेशों आदि के लिए लगातार पूर्णांक निर्दिष्ट करके परिभाषित किया जा सकता है। सूचकांक I का उपयोग करने का कारण अनुपातों (i=0, N) का एक समुच्चय के रूप में है। अनुपातों के एक समुच्चय के औसत जैसे दरों के एक फलन की गणना करने के लिए एक समीकरण में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय से प्राप्त औसत वेगundefinedvIundefinedऊपर बताया गया है। औसत खोजने में भारित औसत का उपयोग करना और संभवतः अनुकूल माध्य का उपयोग करना सम्मलित हो सकता है।

अनुपात r=a/b में अंश a और भाजक b दोनों होते हैं। a और b का मान एक वास्तविक संख्या या पूर्णांक के रूप में होता है। अनुपात r का गुणक व्युत्क्रम 1/r = b/a के रूप में है। एक दर को उसके मूल्य के व्युत्क्रम के रूप में समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है, यदि उसकी इकाइयों का अनुपात भी व्युत्क्रम रूप में हो। उदाहरण के लिए, 5 मील प्रति किलोवाट-घंटा 1/5किलोवाटघंटा/मीलi या 200 वाट-घंटा/मील के अनुरूप होता है।

दरें रोजमर्रा की जिंदगी के कई पहलुओं के लिए प्रासंगिक रूप में हैं। उदाहरण के लिए:आप कितनी तेजी से गाड़ी चला रहे हैं? कार की गति अधिकांशतः मील प्रति घंटे में व्यक्त की जाती है एक दर के रूप में होती है। आपका बचत खाता आपको कितना ब्याज देता है? प्रति वर्ष भुगतान की जाने वाली ब्याज की राशि एक दर के रूप में होती है।

परिवर्तन की दर
उस स्थिति पर विचार करते है, जहां दर का अंश $$f$$ एक फलन $$f(a)$$ के रूप में होता है, जहां $$a$$ दर $$\delta f/\delta a$$. का विभाजक होता है, $$a$$ के संबंध में $$f$$ के परिवर्तन की दर होती है, जहां $$a$$ द्वारा बढ़ाया जाता है $$h$$ को औपचारिक रूप से दो तरह से परिभाषित किया जा सकता है

\begin{align} \mbox{Average rate of change} &= \frac{f(x + h) - f(x)}{h}\\ \mbox{Instantaneous rate of change} &= \lim_{h \to 0}\frac{f(x + h) - f(x)}{h} \end{align} $$ जहाँ f(x) a से a+h के अंतराल पर x के संबंध में फलन के रूप में होता है। परिवर्तन की तात्कालिक दर एक व्युत्पन्न के बराबर होती है।

उदाहरण के लिए, एक कार की औसत गति की गणना यात्रा के समय से विभाजित दो बिंदुओं के बीच तय की गई कुल दूरी का उपयोग करके की जाती है। इसके विपरीत, स्पीडोमीटर देखकर तात्कालिक वेग निर्धारित किया जा सकता है।

सामयिक दरें
रसायन विज्ञान और भौतिकी में,
 * गति, स्थिति परिवर्तन की दर वेक्टर या समय की प्रति इकाई स्थिति में परिवर्तन के रूप में होती है
 * त्वरण, गति में परिवर्तन की दर या समय की प्रति इकाई गति में परिवर्तन के रूप में होती है
 * शक्ति (भौतिकी), फलन की दर भौतिकी या ऊर्जा की मात्रा (भौतिकी) प्रति यूनिट समय में स्थानांतरित होती है
 * आवृत्ति, समय की प्रति इकाई एक दोहराई जाने वाली घटना की घटनाओं की संख्या के रूप में होती है
 * कोणीय आवृत्ति और घूमने की रफ़्तार गति, समय की प्रति यूनिट टर्न (कोण) की संख्या के रूप में होती है
 * प्रतिक्रिया दर, वह गति जिस पर रासायनिक प्रतिक्रिया होती है
 * वॉल्यूमेट्रिक प्रवाह दर, तरल पदार्थ की मात्रा जो किसी दी गई सतह से प्रति इकाई समय में गुजरती है; जैसे, घन मीटर प्रति सेकंड के रूप में होती है

गणना-प्रति-बार दरें

 * रेडियोधर्मी क्षय, रेडियोधर्मी सामग्री की वह मात्रा जिसमें प्रति सेकंड एक नाभिक क्षय होता है, जिसे बेक्यूरल में मापा जाता है

अभिकलन में,
 * बिट दर, बिट्स की संख्या, जो एक कंप्यूटर द्वारा समय की प्रति इकाई द्वारा संप्रेषित या संसाधित की जाती है
 * प्रतीक दर, प्रति सेकंड संचरण माध्यम में किए गए प्रतीक परिवर्तनों संकेत घटनाओं की संख्या के रूप में होते है
 * नमूनाकरण दर, प्रति सेकंड नमूनों की संख्या संकेत माप के रूप में होते है।

विविध परिभाषाएँ,
 * सुदृढीकरण की दर, समय की प्रति इकाई सुदृढीकरण की संख्या, सामान्यतः प्रति मिनट के रूप में होती है
 * हृदय गति, सामान्यतः धड़कन प्रति मिनट में मापी जाती है

अर्थशास्त्र/वित्त दर/अनुपात

 * विनिमय दर, एक मुद्रा का दूसरे के संदर्भ में कितना मूल्य है
 * मुद्रास्फीति की दर, एक वर्ष के दौरान सामान्य मूल्य स्तर में प्रारंभिक मूल्य स्तर में परिवर्तन का अनुपात होता है
 * ब्याज दर, वह मूल्य जो एक उधारकर्ता उस धन के उपयोग के लिए भुगतान करता है, जो उसके पास नहीं है उधार ली गई राशि के लिए भुगतान का अनुपात के रूप में होता है
 * मूल्य-आय अनुपात, स्टॉक के प्रति शेयर बाजार मूल्य को प्रति शेयर वार्षिक आय से विभाजित किया जाता है
 * वापसी की दर, निवेश की गई राशि के सापेक्ष निवेश पर लाभ या हानि का अनुपात होता है
 * कर दर, कर योग्य आय से विभाजित कर राशि के रूप में होता है
 * बेरोजगारी दर, श्रम बल में बेरोजगार लोगों की संख्या के अनुपात के रूप में होता है
 * मजदूरी, किसी निर्धारित समय पर कार्य करने अथवा भुगतान के समय पर किए गए कार्य के अनुपात में किए जाने के लिए अदा की जाने वाली राशि के रूप में होती है।

अन्य दरें

 * जन्म दर, और मृत्यु दर, समय की प्रति इकाई, उस जनसंख्या के आकार के अनुसार जन्म या मृत्यु की संख्या के रूप में होती है।
 * साक्षरता दर, पंद्रह वर्ष से अधिक आयु की जनसंख्या का अनुपात जो पढ़ और लिख सकता है
 * लिंग अनुपात या लिंग अनुपात, जनसंख्या में पुरुषों से महिलाओं का अनुपात होता है

यह भी देखें

 * व्युत्पन्न
 * ढाल
 * हर्ट्ज़
 * ढलान

संदर्भ
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