अनहार्मोनिसिटी

शास्त्रीय यांत्रिकी में, अनहार्मोनिकिटी एक लयबद्ध दोलक होने से एक प्रणाली का विचलन (सांख्यिकी) है। एक थरथरानवाला जो सरल हार्मोनिक गति में दोलन नहीं कर रहा है, उसे अनहार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में जाना जाता है, जहां सिस्टम को एक हार्मोनिक थरथरानवाला के करीब लाया जा सकता है और गड़बड़ी सिद्धांत का उपयोग करके एनार्मोनिकिटी की गणना की जा सकती है। यदि असंगति बड़ी है, तो अन्य संख्यात्मक विश्लेषण का उपयोग करना होगा। वास्तव में सभी दोलन प्रणालियां अनहार्मोनिक हैं, लेकिन हार्मोनिक थरथरानवाला जितना करीब होगा, दोलन का आयाम उतना ही छोटा होगा।

परिणामस्वरूप, आवृत्तियों के साथ दोलन $$2\omega$$ और $$3\omega$$ आदि, कहाँ $$\omega$$ थरथरानवाला की मौलिक आवृत्ति है, प्रकट होते हैं। इसके अलावा, आवृत्ति $$\omega$$ आवृत्ति से भटक जाता है $$\omega_0$$ हार्मोनिक दोलनों का. इंटरमॉड्यूलेशन और संयोजन टोन भी देखें। पहले सन्निकटन के रूप में, आवृत्ति बदलाव $$\Delta \omega=\omega-\omega_0$$ दोलन आयाम के वर्ग के समानुपाती होता है $$A$$:


 * $$\Delta \omega\propto A^2$$

सामान्य मोड वाले ऑसिलेटर्स की एक प्रणाली में $$\omega_\alpha$$, $$\omega_\beta$$, ... असंबद्धता के परिणामस्वरूप आवृत्तियों के साथ अतिरिक्त दोलन होते हैं $$\omega_\alpha\pm \omega_\beta$$.

अनहार्मोनिकिटी अनुनाद वक्र की ऊर्जा प्रोफ़ाइल को भी संशोधित करती है, जिससे गैर-रेखीय अनुनाद और अतिहार्मोनिक  अनुनाद जैसी दिलचस्प घटनाएं सामने आती हैं।

सामान्य सिद्धांत


एक थरथरानवाला एक भौतिक प्रणाली है जो आवधिक गति की विशेषता रखती है, जैसे कि पेंडुलम, ट्यूनिंग कांटा, या कंपन डायटोमिक अणु। गणितीय रूप से कहें तो, एक थरथरानवाला की आवश्यक विशेषता कुछ समन्वय के लिए होती है $x$ सिस्टम का, एक बल जिसका परिमाण निर्भर करता है $x$ धक्का देगा $θ$ चरम मूल्यों से दूर और कुछ केंद्रीय मूल्य की ओर वापस $θ$, कारण $θ$ चरम सीमाओं के बीच दोलन करना। उदाहरण के लिए, $sin(θ)$ एक पेंडुलम के उसकी विश्राम स्थिति से विस्थापन का प्रतिनिधित्व कर सकता है $y = θ$. के निरपेक्ष मान के रूप में $y = sin(θ)$ बढ़ता है, इसलिए पेंडुलम के वजन पर कार्य करने वाला पुनर्स्थापन बल भी बढ़ता है जो इसे वापस अपनी आराम की स्थिति की ओर धकेलता है।

हार्मोनिक ऑसिलेटर्स में, पुनर्स्थापन बल परिमाण में विस्थापन के समानुपाती (और दिशा में विपरीत) होता है $θ$ अपनी प्राकृतिक स्थिति से $x$. परिणामी अंतर समीकरण का तात्पर्य यह है $x$ को समय के साथ साइनसोइडली रूप से दोलन करना चाहिए, दोलन की अवधि के साथ जो सिस्टम में अंतर्निहित है। $x$ किसी भी आयाम के साथ दोलन कर सकता है, लेकिन उसकी अवधि हमेशा समान होगी।

हालाँकि, अनहार्मोनिक ऑसिलेटर्स को विस्थापन x पर पुनर्स्थापना बल की गैर-रेखीय निर्भरता की विशेषता होती है। नतीजतन, अनहार्मोनिक ऑसिलेटर के दोलन की अवधि उसके दोलन के आयाम पर निर्भर हो सकती है।

एनार्मोनिक ऑसिलेटर्स की गैर-रैखिकता के परिणामस्वरूप, सिस्टम के विस्थापन के आधार पर कंपन आवृत्ति बदल सकती है। कंपन आवृत्ति में इन परिवर्तनों के परिणामस्वरूप ऊर्जा को पैरामीट्रिक युग्मन नामक प्रक्रिया के माध्यम से मौलिक कंपन आवृत्ति से अन्य आवृत्तियों के साथ जोड़ा जाता है।

अरेखीय पुनर्स्थापना बल को एक कार्य के रूप में मानना $x_{0}$ अपनी प्राकृतिक स्थिति से x के विस्थापन को, हम प्रतिस्थापित कर सकते हैं $x$ इसके रैखिक सन्निकटन द्वारा $x$शून्य विस्थापन पर. सन्निकटन फलन F1रैखिक है, इसलिए यह सरल आवर्त गति का वर्णन करेगा। इसके अलावा, यह फ़ंक्शन $x=0$ सटीक है जब $x$ छोटा है। इस कारण से, जब तक दोलन छोटे हैं तब तक अनहार्मोनिक गति को हार्मोनिक गति के रूप में अनुमानित किया जा सकता है।

भौतिकी में उदाहरण
भौतिक दुनिया भर में कई प्रणालियाँ हैं जिन्हें नॉनलाइनियर मास-स्प्रिंग सिस्टम के अलावा एनार्मोनिक ऑसिलेटर के रूप में मॉडल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक परमाणु, जिसमें एक सकारात्मक रूप से चार्ज किया गया नाभिक होता है, जो नकारात्मक रूप से चार्ज किए गए इलेक्ट्रॉनिक बादल से घिरा होता है, एक विद्युत क्षेत्र मौजूद होने पर नाभिक के द्रव्यमान के केंद्र और इलेक्ट्रॉनिक बादल के बीच विस्थापन का अनुभव करता है। उस विस्थापन की मात्रा, जिसे विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण कहा जाता है, छोटे क्षेत्रों के लिए लागू क्षेत्र से रैखिक रूप से संबंधित होती है, लेकिन जैसे-जैसे क्षेत्र का परिमाण बढ़ता है, यांत्रिक प्रणाली की तरह, क्षेत्र-द्विध्रुव आघूर्ण संबंध अरैखिक हो जाता है।

अनहार्मोनिक ऑसिलेटर्स के अन्य उदाहरणों में बड़े-कोण पेंडुलम शामिल हैं; कोई भी संतुलन अर्धचालक जिसमें एक बड़ी गर्म वाहक आबादी नहीं होती है, जो वाहक के प्रभावी द्रव्यमान से संबंधित विभिन्न प्रकार के गैर-रेखीय व्यवहार प्रदर्शित करता है; और आयनोस्फेरिक प्लाज़्मा, जो प्लाज़्मा की धार्मिकता, अनुप्रस्थ दोलन स्ट्रिंग (संगीत) के आधार पर गैर-रेखीय व्यवहार भी प्रदर्शित करते हैं। वास्तव में, वस्तुतः सभी ऑसिलेटर्स अनहार्मोनिक हो जाते हैं जब उनके पंप का आयाम कुछ सीमा से अधिक बढ़ जाता है, और परिणामस्वरूप उनके व्यवहार का वर्णन करने के लिए गति के गैर-रेखीय समीकरणों का उपयोग करना आवश्यक होता है।

अनहार्मोनिकिटी जाली और आणविक कंपन, क्वांटम दोलनों में एक भूमिका निभाती है, और ध्वनिकी में. किसी अणु या ठोस में परमाणु अपनी संतुलन स्थिति के बारे में कंपन करते हैं। जब इन कंपनों का आयाम छोटा होता है तो उन्हें हार्मोनिक ऑसिलेटर्स द्वारा वर्णित किया जा सकता है। हालाँकि, जब कंपन का आयाम बड़ा होता है, उदाहरण के लिए उच्च तापमान पर, अनहार्मोनिकिटी महत्वपूर्ण हो जाती है। एनार्मोनिकिटी के प्रभावों का एक उदाहरण ठोस पदार्थों का थर्मल विस्तार है, जिसका अध्ययन आमतौर पर अर्ध-हार्मोनिक सन्निकटन के भीतर किया जाता है। क्वांटम यांत्रिकी का उपयोग करके कंपन करने वाले एनार्मोनिक सिस्टम का अध्ययन करना एक कम्प्यूटेशनल रूप से मांग वाला कार्य है क्योंकि एनार्मोनिकिटी न केवल प्रत्येक ऑसिलेटर द्वारा अनुभव की जाने वाली क्षमता को और अधिक जटिल बनाती है, बल्कि ऑसिलेटर्स के बीच युग्मन भी पेश करती है। दोनों अणुओं में परमाणुओं द्वारा अनुभव की गई एनार्मोनिक क्षमता को मैप करने के लिए घनत्व-कार्यात्मक सिद्धांत जैसे प्रथम-सिद्धांत विधियों का उपयोग करना संभव है और ठोस. माध्य-क्षेत्र सिद्धांत के भीतर परमाणुओं के लिए एनार्मोनिक कंपन समीकरणों को हल करके सटीक एनार्मोनिक कंपन ऊर्जा प्राप्त की जा सकती है। अंत में, माध्य-क्षेत्र औपचारिकता से परे जाने के लिए मोलर-प्लेसेट गड़बड़ी सिद्धांत का उपयोग करना संभव है।

दोलन की अवधि
एक द्रव्यमान पर विचार करें $$m$$ एक संभावित कुएं में घूमना $$U(x)$$. दोलन काल निकाला जा सकता है $$T = \sqrt{2m} \int_{x_{-}}^{x_{+}} \frac{dx}{\sqrt{E - U(x)}}$$

यह भी देखें

 * असद्भाव
 * लयबद्ध दोलक
 * संगीत ध्वनिकी
 * अरेखीय अनुनाद
 * ट्रांसमोन