समूह वलय

बीजगणित में एक वलय तथा एक मुक्त मॉडुलेटर है जो वलय किसी समूह (गणित) में प्राकृतिक तरीके से निर्मित होता है। एक नि: शुल्क मॉडरेटर के रूप में अदिश रॉशि का वलय दिया जाता है और इसका आधार दिए गए समूह के तत्वों का सेट है। वलय योग के नियम का मुक्त मॉडुलेटर है और इसका गुणन रैखिकता द्वारा विस्तारित होता है। कम औपचारिक रूप से एक समूह का वलय जो प्रत्येक तत्व के दिये गये वलय के भार को जोड़कर समूह का सामान्यीकरण करता है।

यदि वलय क्रमविनिमेय है तो समूह वलय को बीजगणित भी कहा जाता है वलय की संरचना बीजगणित पर आधारित है बीजगणित में हॉफ बीजगणित की एक संरचना होती है जिसे एक समूह हॉफ बीजगणित कहा जाता है।

समूह के छल्ले का उपकरण समूह प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में विशेष रूप से उपयोगी है।

परिभाषा
जी एक समूह है जिसे गुणात्मक रूप में लिखा जाता है और आर को एक वलय होने का रूप दिया जाता है। आर पर जी समूह तथा वलय होता है जिसे हम आर या जी (आर जी) द्वारा निरूपित करते हैं जो कार्य करने का सेट है। एफ जी,आर का (गणित) सामान्यीकरण होता है (जी) तथा यह बहुत से तत्वों के लिए शून्य है जहां आर में एक स्केेैलर एल्फा के मॉडुलेटर स्केैलर उत्पाद एल्फा एफ और मैपिंग एफ को कार्य के रूप में परिभाषित किया गया है एक्स एल्फा, एफ -एक्स कार्यरत है एफ और जी के मॉडुलेटर समूह योग को कार्य के रूप में परिभाषित किया जाता है $$x \mapsto f(x) + g(x)$$. योगात्मक समूह आर व जी को एक वलय में बदलने के लिए हम एफ और जी के उत्पाद को कार्य के रूप में परिभाषित करते हैं।
 * $$x\mapsto\sum_{uv=x}f(u)g(v)=\sum_{u\in G}f(u)g(u^{-1}x).$$

यहाँ एफ और जी परिमित समर्थन के हैं और वलय स्वयंसिद्धों को आसानी से सत्यापित करता है।

जो इस प्रकार है जैसे f : G → R कभी-कभी जी के तत्वों को आर के गुणांक को औपचारिक रैखिक संयोजनों के रूप में लिखा जाता है।
 * $$\sum_{g\in G}f(g) g,$$

या
 * $$\sum_{g\in G}f_g g,$$

यदि वलय आर वास्तव में एक क्षेत्र में हैं तो समूह वलय संरचना मॉडुलेटर संरचना 'के' के ऊपर एक सदिश स्थान लेता है।

उदाहरण
1. माना जी एक क्रमांक 3 का चक्रीय समूह है जो विद्युत उत्पादक यंत्र के साथ ए तत्व एक सी, जी को तत्व आर के रूप में लिखा जा सकता है ।


 * $$r = z_0 1_G + z_1 a + z_2 a^2\,$$

जहां जटिल संख्यायें जेड0 साथ1 और जेड2 सी में हैं। यह चर में बहुपद वलय के समान है ए ऐसा है कि $$a^3=a^0=1$$ जो जी वलय सी के लिए समरूपी है। [$$a$$]/$$(a^3-1)$$

तत्व एस के रूप में उनका योग$$s=w_0 1_G +w_1 a +w_2 a^2$$


 * $$r + s = (z_0+w_0) 1_G + (z_1+w_1) a + (z_2+w_2) a^2\,$$

और उनका उत्पाद इस प्रकार है-


 * $$rs = (z_0w_0 + z_1w_2 + z_2w_1) 1_G +(z_0w_1 + z_1w_0 + z_2w_2)a +(z_0w_2 + z_2w_0 + z_1w_1)a^2.$$

तत्व 1जी का गुणांक वलय सी तथा जी में एक निहित फोर्किंग को प्रेरित करता है जबकि सख्ती से सी जी के गुणक तत्व 1⋅1 हैं जो पहला सी से और दूसरा जी से आता है। जिसका योज्य पहचान तत्व शून्य है।

जब जी एक गैर-कम्यूटेटिव समूह होता है तो शर्तों को गुणा करते समय समूह में तत्वों के क्रम को बनाए रखने के लिए सावधानी बरतनी चाहिए तथा गलती से उन्हें कम्यूट नहीं करना चाहिए।

2.उदाहरण एक वलय आर लॉरेंट बहुपद का है ये आर पर अनंत चक्रीय समूह जेड के वलय से ज्यादा या कम नहीं है।

3. क्यू तत्वों का चतुष्कोणीय समूह इस प्रकार है -$$\{e, \bar{e}, i, \bar{i}, j, \bar{j}, k, \bar{k}\}$$ जहाँ  आर वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है जो समूह वलय का तत्व है।


 * $$x_1 \cdot e + x_2 \cdot \bar{e} + x_3 \cdot i + x_4 \cdot \bar{i} + x_5 \cdot j + x_6 \cdot \bar{j} + x_7 \cdot k + x_8 \cdot \bar{k}$$

जहाँ $$x_i $$ एक वास्तविक संख्या है।

गुणन किसी अन्य वलय में होता है जो समूह संचालन के आधार पर परिभाषित किया जाता है उदाहरण के लिए


 * $$\begin{align} \big(3 \cdot e + \sqrt{2} \cdot i \big)\left(\frac{1}{2} \cdot \bar{j}\right) &= (3 \cdot e)\left(\frac{1}{2} \cdot \bar{j}\right) + (\sqrt{2} \cdot i)\left(\frac{1}{2} \cdot \bar{j}\right)\\

&= \frac{3}{2} \cdot \big((e)(\bar{j})\big) + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \big((i)(\bar{j})\big)\\ &= \frac{3}{2} \cdot \bar{j} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot k \end{align}.$$ माना कि आर क्यू आर चतुष्कोणों के तिरछे क्षेत्र के समान नहीं हैं। क्योंकि चतुष्कोणों का तिरछा क्षेत्र वलय के अतिरिक्त अन्य संबंधों को संतुष्ट करता है जैसे कि $$-1 \cdot i = -i$$ जबकि समूह का वलय आर क्यू में $$-1\cdot i$$ के बराबर नहीं है $$1\cdot \bar{i}$$. को अधिक विशिष्ट होने के लिए समूह आर को क्यू के स्थान को वास्तविक सदिश स्थान आयाम 8 के रूप में रखा जाता है जबकि चतुष्कोणों को तिरछे क्षेत्र के वास्तविक सदिश स्थान के रूप में आयाम 4के रूप में रखा जाता है।

4. गैर-अबेलियन समूह वलय का उदाहरण है जहाँ जेड तीन अक्षरों पर सममित समूह है। यह एक अभिन्न डोमेन नहीं है क्योंकि हमारे पास $$[1 - (12)]*[1+(12)] = 1 -(12)+(12) -(12)(12) = 1 - 1 = 0$$ ये तत्व $$(12)\in \mathbb{S}_3$$ टॉंर्सपोजीशियन के क्रम हैं जो केवल 1 और 2 को फ्रिज करता है। इसलिए अंतर्निहित वलय एक अभिन्न डोमेन पर नहीं होना चाहिए।

कुछ बुनियादी गुण
वलय आर की गुणात्मक पहचान को दर्शाने के लिए एक संख्या का उपयोग करना और समूह इकाई को एक जी द्वारा निरूपित करना वलय आर जी में आर के लिए एक सबरिंग आइसोमोर्फिक होता है और इसके उल्टे तत्वों के समूह में जी के लिए एक उपसमूह आइसोमोर्फिक होता है। जो एक संकेतक समारोह पर विचार करने के लिए एक जी सदिश एफ द्वारा परिभाषित करते हैं।
 * $$f(g)= 1\cdot 1_G + \sum_{g\not= 1_G}0 \cdot g= \mathbf{1}_{\{1_G\}}(g)=\begin{cases}

1 & g = 1_G \\ 0 & g \ne 1_G \end{cases},$$ एफ के सभी स्केलर गुणकों का सेट आर ,जी आइसोमोर्फिक में आर का एक सबरिंग है। यदि हम जी के प्रत्येक तत्व को {एस} सूचक समारोह में सही करते हैं जो एफ द्वारा परिभाषित नहीं किया गया तो-
 * $$f(g)= 1\cdot s + \sum_{g\not= s}0 \cdot g= \mathbf{1}_{\{s\}}(g)=\begin{cases}

1 & g = s \\ 0 & g \ne s \end{cases}$$ परिणामी मैपिंग एक इंजेक्शन समूह समरूपता है जो आर [जी] में गुणन के संबंध में नहीं।

यदि आर और जी दोनों अर्थात् आर क्रमविनिमेय है और जी एक पंक्ति समूह है तो

एच जी का एक उपसमूह होगा और आर (एच),आर (जी) का एक उपसमूह होगा इसी प्रकार यदि एस, आर का एक उपवलय है तो एस (जी) का एक उपवलय है।

यदि जी एक से अधिक क्रम का परिमित समूह है तो आर [जी] हमेशा शून्य विभाजक होते हैं। उदाहरण के लिए क्रम जी के तत्व जी पर विचार करें - एम >  फिर एक जी एक शून्य विभाजक है।



(1 - g)(1 + g+\cdots+g^{m-1}) = 1 - g^m = 1 - 1 =0. $$ उदाहरण के लिए समूह जेड [एस पर विचार करें ] और क्रम 3 का अवयव जी=123



(1 - (123))(1 + (123)+ (132)) = 1 - (123)^3 = 1 - 1 =0. $$ एक संबंधित परिणाम यदि समूह $$ K[G] $$ प्रधान वलय है तो जी की कोई पहचान परिमित सामान्य उपसमूह नहीं है विशेष रूप से जी अनंत होना चाहिए।

एच एक गैर-पहचान परिमित सामान्य उपसमूह है जो इस प्रकार है-$$ a = \sum_{h \in H} h $$. तब एच बराबर एच

जैसा कि हम जानते हैं कि $$ h \in H $$  इसलिए $$ a^2 = \sum_{h \in H} h a = |H|a $$, $$ b = |H|\,1 - a $$, $$ ab = 0 $$  तो $$ H $$ $$ a $$ के आधार पर हम यह लिख सकते हैं।
 * $$ aK[G]b=K[G]ab=0 $$.

यदि$$ a,b $$ शून्य नहीं है तो जी प्रधान नहीं है। यह मूल कथन को दर्शाता है।

एक परिमित समूह प्रतिनिधित्व के सिद्धांत में होते हैं। समूह बीजगणित में 'जी' क्षेत्र में अनिवार्य रूप से समूह वलय है जिसमें क्षेत्र के वलय का स्थान जी ले रहा है। एक समुच्चय और सदिश राशि के रूप में जो क्षेत्र 'के' के ऊपर जी पर मुक्त सदिश राशि है।
 * $$x=\sum_{g\in G} a_g g.$$

एक क्षेत्र संरचना पर बीजगणित के समूह में गुणन का उपयोग करके परिभाषित किया गया है।
 * $$g \cdot h = gh,$$

जहां बाईं ओर जी और एच समूह बीजगणित के तत्वों को इंगित करते हैं, जबकि दाईं ओर गुणन समूह संक्रिया है ।

इसलिए के ,जी के आधार पर सदिशों को ई के रूप में भी लिखा जा सकता है जिस स्थिति में गुणन को इस प्रकार लिख सकते हैं-
 * $$e_g \cdot e_h = e_{gh}.$$

कार्यों के रूप में व्याख्या
जी पर के-मूल्यवान कार्यों के रूप में मुक्त वेक्टर अंतरिक्ष के बारे में सोचते हुए बीजगणित गुणन कार्यों का दृढ़ संकल्प लेते हैं।

जबकि एक परिमित समूह कार्यों के साथ पहचाना जा सकता है एक अनंत समूह के लिए ये भिन्न होते हैं। समूह बीजगणित जिसमें परिमित योग होते हैं जो समूह के कार्यों से मेल खाता है तथा निश्चित रूप से कई बिंदुओं को गायब कर देता है कुछ उपयोग के रूप से (असतत टोपोलॉजी का उपयोग करके) ये कॉम्पैक्ट समर्थन वाले कार्यों के अनुरूप कार्य करता है।

जबकि समूह बीजगणित में के,जी के तत्वों के स्थान KG := Hom(G, K) दोहरे हैं समूह बीजगणित का एक तत्व दिया गया है जो इस प्रकार है-


 * $$x = \sum_{g\in G} a_g g$$

जबकि समूह पर एक समारोह f : G → K ये इसका एक तत्व देने के लिए इस प्रकार है-


 * $$(x,f) = \sum_{g\in G} a_g f(g),$$

जो एक परिभाषित योग है क्योंकि यह परिमित है।

एक समूह बीजगणित के प्रतिनिधित्व के ,जी को एक अमूर्त बीजगणित लेते हुए एक आयाम डी के 'के'-वेक्टर अंतरिक्ष वी पर कार्य करने वाले बीजगणित के समूह प्रतिनिधित्व के लिए कह सकता है। ऐसा प्रतिनिधित्व यह है


 * $$\tilde{\rho}:K[G]\rightarrow \mbox{End} (V)$$

समूह बीजगणित में एंडोमोर्फिज्म के होमोमोर्फिज्म हैं जो डी × डी मैट्रिक्स के वलय के लिए आइसोमोर्फिक है।जो $$\mathrm{End}(V)\cong M_{d}(K) $$ पर समतुल्य है, यह एक मॉड्यूल (गणित) है | बाएं के,जी मॉड्यूल एबेलियन समूह वी पर स्थित है

तदनुसार


 * $$\rho:G\rightarrow \mbox{Aut}(V),$$

जी से वी के रैखिक ऑटोमोर्फिज़्म के समूह के लिए एक समूह की समरूपता जो कि उलटा मेट्रिसेस के सामान्य रैखिक समूह के लिए आइसोमोर्फिक है $$\mathrm{Aut}(V)\cong \mathrm{GL}_d(K) $$ ऐसा कोई भी प्रतिनिधित्व बीजगणित को प्रेरित नहीं करता है।


 * $$\tilde{\rho}:K[G]\rightarrow \mbox{End}(V),$$

जब $$\tilde{\rho}(e_g) = \rho(g)$$ रैखिक रूप से फैल रहा हो तो इस प्रकार समूह के निरूपण बिल्कुल बीजगणित के निरूपण के अनुरूप होते हैं और दो सिद्धांत अनिवार्य रूप से समकक्ष हैं।

नियमित प्रतिनिधित्व
समूह बीजगणित आर और आर,जी मॉड्यूल पर अभ्यावेदन के पत्राचार के तहत यह समूह का नियमित प्रतिनिधित्व करता है।

एक प्रतिनिधित्व के रूप में ये लिखा गया कि यह प्रतिनिधित्व जी है जो इस प्रकार है $$\rho(g)\cdot e_h = e_{gh}$$, या


 * $$\rho(g)\cdot r = \sum_{h\in G} k_h \rho(g)\cdot e_h = \sum_{h\in G} k_h e_{gh}. $$

अर्ध-सरल अपघटन
सदिश राशि के जी का आयाम समूह में तत्वों की संख्या के बराबर है। जो क्षेत्र 'के' को आमतौर पर जटिल संख्या सी या वास्तविक संख्या आर के रूप में लिखा जाता है जिससे बीजगणित का कोई समूह सी (जी) या ऑर (जी) पर चर्चा कर सके।

समूह बीजगणित 'सी' [जी] सम्मिश्र संख्याओं पर परिमित समूह का एक अर्धसरल वलय है। यह परिणाम मास्चके प्रमेय, हमें 'सी', जी को 'सी' में अनुरेखण के साथ के छल्ले के परिमित उत्पाद के रूप में समझने की अनुमति देता है। यदि हम जी के जटिल अप्रासंगिक अभ्यवेदन को वी के रूप में सूचीबद्ध करते हैं जो समूह समरूपता के अनुरूप है। $$\rho_k: G\to \mathrm{Aut}(V_k)$$ और बीजगणित समरूपता के लिए $$\tilde\rho_k: \mathbb{C}[G]\to \mathrm{End}(V_k)$$ इन मानचित्रणों को जोड़ने से बीजगणित समरूपता प्राप्त होती है
 * $$\tilde\rho : \mathbb{C}[G] \to \bigoplus_{k=1}^m \mathrm{End}(V_k)

\cong \bigoplus_{k=1}^m M_{d_k}(\mathbb{C}), $$ जहां वी का आयाम के है सी (जी) का एल्जेब्रा ईएनडी वी के विचार से वलय परिभाषित हैं |
 * $$\epsilon_k = \frac{d_k}{|G|}\sum_{g\in G}\chi_k(g^{-1})\,g,  $$

जहाँ $$\chi_k(g)=\mathrm{tr}\,\rho_k(g) $$ वी का चरित्र सिद्धांत है के ये ट्रोगोनल इडेम्पोटेंट्स की एक पूरी प्रणाली बनाते हैं, जिससे $$\epsilon_k^2 =\epsilon_k  $$, $$\epsilon_j \epsilon_k = 0  $$     $$1 = \epsilon_1+\cdots+\epsilon_m   $$. समरूपता $$\tilde\rho$$ परिमित समूहों पर फूरियर रूपांतरण से निकटता से संबंधित है।

अधिक सामान्य क्षेत्र 'के' के लिए जब भी 'के' की विशेषता (बीजगणित) समूह जी के क्रम को विभाजित नहीं करती है तब के, जी अर्धसरल होता है। जब जी एक परिमित एबेलियन समूह किसी वलय के (जी) क्रमविनिमेय रूप में होता है तो इसकी संरचना को एकता की जड़ के रूप में व्यक्त करना आसान होता है।

जब 'के' विशेषता पी का एक क्षेत्र होता है जो जी के क्रम को विभाजित करता है तो समूह का वलय अर्ध-सरल नहीं होत है इसमें एक गैर-शून्य जैकबसन कट्टरपंथी होता है जो यह मॉड्यूलर प्रतिनिधित्व सिद्धांत से संबंधित विषय को अपना, गहरा चरित्र देता है।

एक समूह बीजगणित का केंद्र
समूह बीजगणित एक समूह का केंद्र है जो समूह बीजगणित के सभी तत्वों के साथ आवागमन करते हैं।
 * $$\mathrm{Z}(K[G]) := \left\{ z \in K[G] : \forall r \in K[G], zr = rz \right\}.$$

केंद्र वर्ग कार्यों के समुच्चय के बराबर है अर्थात उन तत्वों का समुच्चय जो प्रत्येक संयुग्मन वर्ग पर स्थिर होते हैं।
 * $$\mathrm{Z}(K[G]) = \left\{ \sum_{g \in G} a_g g : \forall g,h \in G, a_g = a_{h^{-1}gh}\right\}.$$

यदि के बराबर सी जी के अलघुकरणीय चरित्र सिद्धांत का सेट आंतरिक उत्पाद के संबंध में जेड के जी का एक असामान्य आधार है।
 * $$\left \langle \sum_{g \in G} a_g g, \sum_{g \in G} b_g g \right \rangle = \frac{1}{|G|} \sum_{g \in G} \bar{a}_g b_g.$$

समूह एक अनंत समूह पर बनता है जो उस जगहों में बहुत कम जाना जाता है और यह सक्रिय शोध का एक क्षेत्र है। तथा आर जटिल संख्याओं का क्षेत्र है जहाँ सबसे अच्छा अध्ययन किया गया है। इन जगहों में, इरविंग कपलान्स्की ने द्रढ़ किया कि यदि ए और बी 'सी' [जी] के तत्व हैं ab = 1, तब ba = 1 आर सकारात्मक विशेषता का क्षेत्र है जो अज्ञात रहता है।

कप्लान्स्की के अनुमान (1940) कहते हैं कि यदि जी एक मरोड़-मुक्त समूह है और के एक क्षेत्र है तो समूह वलय के(जी) में कोई गैर-तुच्छ शून्य विभाजक नहीं है। यह अनुमान के (जी) के समतुल्य है जिसमें के और जी के लिए समान परिकल्पना है।

जबकि स्थिति यह है कि के एक क्षेत्र है जिसे किसी भी वलय में शिथिल किया जा सकता है जिसे एक अभिन्न डोमेन में करने के लिए किया जा सकता है ।

जबकि मरोड़-मुक्त समूहों के कुछ विशेष जगहों को शून्य विभाजक में दिखाया गया है जो इसमें सम्मिलित है।


 * अनोखा उत्पाद समूह (उदाहरण के लिए ऑर्डर करने योग्य समूह, विशेष रूप से निःशुल्क समूह)
 * प्राथमिक अनुमन्य समूह (जैसे वस्तुतः एबेलियन समूह)
 * विशेष रूप से समूह जो स्वतंत्र रूप से आर पर असममित रूप से कार्य करते हैं और प्रक्षेपी विमान की एक दो या तीन प्रतियों के प्रत्यक्ष योगों के मूलभूत समूहों को छोड़कर सतह समूहों के मूलभूत समूह हैं।

स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह के लेख समूह बीजगणित में अधिक विस्तार हैं।

संलग्नक
श्रेणी सिद्धांत समूह वलय निर्माण इकाइयों के समूह से जुड़ा हुआ है निम्नलिखित कारक एक सहायक कारक है।
 * $$R[-]\colon \mathbf{Grp} \to R\mathbf{\text{-}Alg}$$
 * $$(-)^\times\colon R\mathbf{\text{-}Alg} \to \mathbf{Grp}$$

जहाँ$$R[-]$$ एक समूह उसके समूह वलय में ले जाता है और $$(-)^\times$$ इकाइयों के अपने समूह के लिए एक आर-बीजगणित में होता है।

जहाँ R = Zयह समूहों की श्रेणी और वलय की श्रेणी के बीच एक संयोजन देता है और संयोजन की इकाई समूह जी को उस समूह में ले जाती है जिसमें सत्वरहित इकाइयाँ होती हैं G × {±1} = {±g}.जबकि समूह के छल्ले में भी सत्वरहित इकाइयां होती हैं। यदि जी में तत्व ए और बी हैं जैसे कि $$a^n=1$$ और बी सामान्य नहीं है ।


 * $$x=(a-1)b \left (1+a+a^2+...+a^{n-1} \right )$$

इसलिए $$(1+x)(1-x)=1$$. तत्व 1 + x अनंत क्रम की एक इकाई है।

वैश्विक संपत्ति
उपरोक्त संयोजन समूह के छल्ले की एक सार्वभौमिक संपत्ति व्यक्त करता है। आर वलय बने जी समूह बने और एस आर बीजगणित बने किसी भी समूह समरूपता के लिए $$f:G\to S^\times$$ है आर बीजगणित समरूपता $$\overline{f}:R[G]\to S$$ है तो $$\overline{f}\circ i=f$$i समावेशन है।


 * $$\begin{align}

i:G &\longrightarrow R[G] \\ g &\longmapsto 1_Rg \end{align}$$ दूसरे शब्दों में, $$\overline{f}$$ अद्वितीय समाकारिता है जो निम्न रेखाचित्र को कम्यूट करती है।


 * [[Image:Group ring UMP.svg|200px]]इस संपत्ति को संतुष्ट करने वाली कोई अन्य वलय के लिए गणितीय शब्दावली आइसोमोर्फिक की सूची है।

आशा बीजगणित
समूह बीजगणित के,जी में आशा बीजगणित की एक प्राकृतिक संरचना है। सहगुणन द्वारा परिभाषित किया गया है कि $$\Delta(g)=g\otimes g $$ रैखिक रूप से विस्तारित और एंटीपोड है $$S(g)=g^{-1}$$ जो इस प्रकार बढ़ाया गया।

सामान्यीकरण
समूह बीजगणित मोनोलोड वलय के लिए सामान्यीकरण करता है जो श्रेणी बीजगणित घटना का उदाहरण है।

छानने का कार्य
यदि कोई समूह जेनरेटर का विकल्प है और कोई मेैट्रिक शब्द लेता है जैसा कॉक्सेटर समूह में होता है तो समूह का वलय एक जोड़ बीजगणित बन जाता है।

यह भी देखें

 * स्थानीय रूप से सम्पर्क समूह बीजगणित
 * मोनोलोड वलय
 * कपलान्सकी के अनुमान

प्रतिनिधित्व सिद्धांत

 * समूह का प्रतिनिधित्व किया
 * नियमित प्रतिनिधित्व

श्रेणी सिद्धांत

 * स्पष्ट बीजगणित
 * इकाइयों का समूह
 * घटना बीजगणित
 * तरकश (गणित)

संदर्भ

 * Milies, César Polcino; Sehgal, Sudarshan K. An introduction to group rings. Algebras and applications, Volume 1. Springer, 2002. ISBN 978-1-4020-0238-0
 * Charles W. Curtis, Irving Reiner. Representation theory of finite groups and associative algebras, Interscience (1962)
 * D.S. Passman, The algebraic structure of group rings, Wiley (1977)
 * D.S. Passman, The algebraic structure of group rings, Wiley (1977)

Monoidring