हैमबर्गर क्षण समस्या

गणित में हंस लुडविग हैम्बर्गर के नाम पर हैमबर्गर क्षण समस्या को एक अनुक्रम (m0, m1, m2, ...) के अनुसार तैयार किया गया है, क्या कोई सकारात्मक बोरेल माप μ मौजूद है (उदाहरण के लिए, संचयी वितरण फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित माप एक यादृच्छिक चर का) वास्तविक रेखा पर इस प्रकार


 * $$m_n = \int_{-\infty}^\infty x^n\,d \mu(x) \text{ ?}$$

दूसरे शब्दों में, समस्या के सकारात्मक उत्तर का अर्थ है कि (m0, m1, m2, ...) कुछ सकारात्मक बोरेल माप μ के क्षणों का क्रम है।

स्टिल्टजेस क्षण समस्या, वोरोबयेव क्षण समस्या और हॉसडॉर्फ क्षण समस्या समान हैं लेकिन वास्तविक रेखा को $$[0,+\infty)$$ से प्रतिस्थापित करते हैं (स्टिल्टजेस और वोरोबयेव लेकिन वोरोबयेव मैट्रिक्स सिद्धांत के संदर्भ में समस्या तैयार करते हैं) या एक परिबद्ध अंतराल (हॉसडॉर्फ) )

लक्षण वर्णन
हैमबर्गर क्षण समस्या हल करने योग्य है (अर्थात, (एमएन) क्षणों का एक क्रम है) यदि और केवल यदि गैर-नकारात्मक पूर्णांकों पर संबंधित हेंकेल कर्नेल हो



A = \left(\begin{matrix} m_0 & m_1 & m_2 & \cdots    \\ m_1 & m_2 & m_3 & \cdots  \\ m_2 & m_3 & m_4 & \cdots  \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{matrix}\right)$$ सकारात्मक निश्चित कर्नेल है, अर्थात,


 * $$ \sum_{j,k\ge0}m_{j+k}c_j\overline{c_k}\ge0 $$

प्रत्येक मनमाना अनुक्रम के लिए (सीj)j ≥ 0 सम्मिश्र संख्याएँ जो परिमित हैं (अर्थात सीj= 0, j के बहुत सारे मानों को छोड़कर)।

दावों के एकमात्र भाग के लिए बस उस पर ध्यान दें


 * $$ \sum_{j,k\ge0}m_{j+k}c_j \overline{c_k} = \int_{-\infty}^\infty \left|\sum_{j\geq 0} c_j x^j\right|^2\,d \mu(x) $$

जो कि गैर-नकारात्मक है $$ \mu $$ गैर-नकारात्मक है.

हम इसके विपरीत के लिए एक तर्क प्रस्तुत करते हैं। मान लें कि Z+ गैरऋणात्मक पूर्णांक है और F0(Z+) वित्तीय समर्थन के साथ जटिल मूल्यवान अनुक्रमों के परिवार को दर्शाता है। सकारात्मक हेंकेल कर्नेल ए परिमित समर्थन के साथ जटिल-मूल्यवान अनुक्रमों के परिवार पर एक (संभवतः पतित) सेसक्विलिनियर उत्पाद को प्रेरित करता है। यह बदले में एक हिल्बर्ट स्थान देता है


 * $$(\mathcal{H}, \langle\;, \; \rangle)$$

जिसका विशिष्ट तत्व एक तुल्यता वर्ग है जिसे [f] द्वारा दर्शाया जाता है।

मान लीजिए कि F0(Z+) में तत्व en(m) = δnm द्वारा परिभाषित है। कोई उस पर ध्यान देता है


 * $$\langle [e_{n+1}], [e_m] \rangle = A_{m,n+1} = m_{m+n+1} = \langle [e_n], [e_{m+1}]\rangle.$$

इसलिए, T[en] = [en + 1] के साथ $$\mathcal{H}$$ पर "शिफ्ट" ऑपरेटर T, सममित है।

दूसरी ओर, वांछित अभिव्यक्ति


 * $$m_n = \int_{-\infty}^\infty x^n\,d \mu(x)$$

सुझाव देता है कि μ एक स्व-सहायक ऑपरेटर का वर्णक्रमीय माप है। (अधिक सटीक रूप से कहा गया है, μ नीचे परिभाषित एक ऑपरेटर $$\overline{T}$$ और वेक्टर [1] के लिए वर्णक्रमीय माप है, यदि हम एक "फ़ंक्शन मॉडल" पा सकते हैं जैसे कि सममित ऑपरेटर टी को एक्स से गुणा किया जाता है, तो टी के स्व-सहायक विस्तार का वर्णक्रमीय रिज़ॉल्यूशन दावा साबित करता है।

एक फ़ंक्शन मॉडल F0(Z+) से प्राकृतिक समरूपता द्वारा एक एकल वास्तविक चर में बहुपद के परिवार और n ≥ 0 के लिए जटिल गुणांक द्वारा दिया जाता है, xn के साथ en की पहचान करें। मॉडल में, ऑपरेटर टी को x से गुणा किया जाता है और एक सघन रूप से परिभाषित सममित ऑपरेटर होता है। यह दिखाया जा सकता है कि T में हमेशा स्व-सहायक एक्सटेंशन होते हैं। मान लीजिए कि $$\overline{T}$$ उनमें से एक है और μ इसका वर्णक्रमीय माप है।

इसलिए


 * $$\langle \overline{T}^n [1], [1] \rangle = \int x^n d \mu(x).$$

वहीं दूसरी ओर,


 * $$ \langle \overline{T}^n [1], [1] \rangle = \langle T^n [e_0], [e_0] \rangle = m_n. $$

अस्तित्व के वैकल्पिक प्रमाण के लिए जो केवल स्टिल्टजेस इंटीग्रल्स का उपयोग करता है, विशेष रूप से प्रमेय 3.2 में भी देखें।

समाधान की विशिष्टता
समाधान एक उत्तल सेट बनाते हैं, इसलिए समस्या के या तो अनंत रूप से कई समाधान होते हैं या एक अद्वितीय समाधान होता है।

(n + 1) × (n + 1) हैंकेल मैट्रिक्स पर विचार करें


 * $$\Delta_n = \left[\begin{matrix}

m_0 & m_1 & m_2 & \cdots & m_{n}   \\ m_1 & m_2 & m_3 & \cdots & m_{n+1} \\ m_2 & m_3 & m_4 & \cdots & m_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ m_{n} & m_{n+1} & m_{n+2} & \cdots & m_{2n} \end{matrix}\right].$$ A की सकारात्मकता का अर्थ है कि प्रत्येक n के लिए, det(Δn) ≥ 0. यदि det(Δn) = 0, कुछ n के लिए, तो


 * $$(\mathcal{H}, \langle \;, \; \rangle)$$

परिमित-आयामी है और T स्व-सहायक है। तो इस मामले में हैमबर्गर क्षण समस्या का समाधान अद्वितीय है और μ, टी का वर्णक्रमीय माप होने के कारण, सीमित समर्थन प्राप्त है।

अधिक सामान्यतः, समाधान अद्वितीय होता है यदि स्थिरांक C और D इस प्रकार हों कि सभी n, |mn| के लिए ≤ सीडीएनएन! यह अधिक सामान्य कार्लमैन की स्थिति से पता चलता है।

ऐसे उदाहरण हैं जहां समाधान अद्वितीय नहीं है, उदाहरण के लिए देखें।

आगे के परिणाम
कोई यह देख सकता है कि हैमबर्गर क्षण समस्या का वास्तविक रेखा पर ऑर्थोगोनल बहुपदों से गहरा संबंध है। ग्राम-श्मिट प्रक्रिया ऑर्थोगोनल बहुपद का आधार देती है जिसमें ऑपरेटर $$\overline{T}$$ के पास त्रिविकर्ण जैकोबी मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व होता है। यह बदले में सकारात्मक हेंकेल कर्नेल के एक त्रिविकर्ण मॉडल की ओर ले जाता है।

टी के केली परिवर्तन की एक स्पष्ट गणना बाएं आधे तल पर विश्लेषणात्मक कार्यों के नेवानलिन्ना वर्ग के साथ संबंध को दर्शाती है। गैर-कम्यूटेटिव सेटिंग की ओर बढ़ते हुए, यह क्रेइन के सूत्र को प्रेरित करता है जो आंशिक आइसोमेट्री के विस्तार को पैरामीट्रिज करता है।

संचयी वितरण फ़ंक्शन और संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन को अक्सर व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को क्षण उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन में लागू करके पाया जा सकता है:
 * $$m(t) = \sum_{n=0}m_n\frac{t^n}{n!},$$

बशर्ते कि यह फ़ंक्शन अभिसरण हो।