द्विपद सन्निकटन

द्विपद सन्निकटन 1 और छोटी संख्या x की राशियों के लगभग घातांक की गणना के लिए उपयोगी है। यह प्रकट करता है की
 * $$ (1 + x)^\alpha \approx 1 + \alpha x.$$

यह कब मान्य है $$|x|<1$$ और $$|\alpha x| \ll 1$$ कहाँ $$x$$ और $$\alpha$$ वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या हो सकती है।

इस सन्निकटन का लाभ यह है कि $$\alpha$$ घातांक से गुणक कारक में परिवर्तित हो जाता है। यह गणितीय अभिव्यक्तियों को बहुत सरल कर सकता है (जैसा कि #उदाहरण में है) और भौतिकी में सामान्य उपकरण है।

सन्निकटन को कई तरीकों से सिद्ध किया जा सकता है, और यह द्विपद प्रमेय से निकटता से संबंधित है। बर्नौली की असमानता से, सन्निकटन का बायाँ भाग दाएँ पक्ष से अधिक या उसके बराबर होता है जब भी $$x>-1$$ और $$\alpha \geq 1$$.

रैखिक सन्निकटन का प्रयोग
फलन
 * $$ f(x) = (1 + x)^{\alpha}$$

0 के पास x के लिए सहज कार्य है। इस प्रकार, कलन से मानक रैखिक सन्निकटन उपकरण प्रयुक्त होते हैं: एक है
 * $$ f'(x) = \alpha (1 + x)^{\alpha - 1}$$

इसलिए
 * $$ f'(0) = \alpha.$$

इस प्रकार
 * $$ f(x) \approx f(0) + f'(0)(x - 0) = 1 + \alpha x.$$

टेलर के प्रमेय द्वारा, इस सन्निकटन में त्रुटि के बराबर है $ \frac{\alpha(\alpha - 1) x^2}{2} \cdot (1 + \zeta)^{\alpha - 2}$ के कुछ मूल्य के लिए $$\zeta$$ जो 0 और के बीच होता है $x$. उदाहरण के लिए, यदि $$ x < 0 $$ और $$\alpha \geq 2$$ त्रुटि अधिकतम है $ \frac{\alpha(\alpha - 1) x^2}{2}$. बिग ओ नोटेशन में, कोई कह सकता है कि एरर है $$o(|x|)$$, अर्थ है कि $ \lim_{x \to 0} \frac{\textrm{error}}{|x|} = 0$.

टेलर श्रृंखला का उपयोग
फलन
 * $$ f(x) = (1+x)^\alpha $$

कहाँ $$x$$ और $$\alpha$$ वास्तविक या जटिल हो सकता है जिसे बिंदु शून्य के बारे में टेलर श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।


 * $$\begin{align}

f(x) &= \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\\ f(x) &= f(0) + f'(0) x + \frac{1}{2} f(0) x^2 + \frac{1}{6} f'(0) x^3 + \frac{1}{24} f^{(4)}(0) x^4 + \cdots\\ (1+x)^{\alpha} &= 1 + \alpha x + \frac{1}{2} \alpha (\alpha-1) x^2 + \frac{1}{6} \alpha (\alpha-1)(\alpha-2)x^3 + \frac{1}{24} \alpha (\alpha-1)(\alpha-2)(\alpha-3)x^4 + \cdots \end{align}$$ अगर $$|x| < 1$$ और $$|\alpha x| \ll 1$$, तब शृंखला में पद उत्तरोत्तर छोटे होते जाते हैं और इसे छोटा किया जा सकता है
 * $$(1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x .$$

उपरोक्त टेलर श्रृंखला से अतिरिक्त शर्तों को रखकर द्विपद सन्निकटन के इस परिणाम को हमेशा सुधारा जा सकता है। यह विशेष रूप से महत्वपूर्ण है जब $$|\alpha x|$$ एक के पास जाना प्रारंभ करता है, या अधिक जटिल अभिव्यक्ति का मूल्यांकन करते समय जहां टेलर श्रृंखला में पहले दो शब्द रद्द हो जाते हैं। (क्वाड्रैटिक उदाहरण)।

कभी-कभी यह गलत दावा किया जाता है $$|x| \ll 1$$ द्विपद सन्निकटन के लिए पर्याप्त स्थिति है। साधारण प्रति उदाहरण देना है $$x=10^{-6}$$ और $$\alpha=10^7$$. इस मामले में $$(1+x)^\alpha > 22,000$$ लेकिन द्विपद सन्निकटन पैदावार $$1 + \alpha x = 11$$. छोटे के लिए $$|x|$$ लेकिन बड़ा $$|\alpha x|$$, अच्छा सन्निकटन है:


 * $$ (1 + x)^\alpha \approx e^{\alpha x} .$$

उदाहरण
वर्गमूल के लिए द्विपद सन्निकटन, $$\sqrt{1+x} \approx 1+x/2$$, निम्नलिखित अभिव्यक्ति के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है,
 * $$	\frac{1}{\sqrt{a+b}} - \frac{1}{\sqrt{a-b}} $$

कहाँ $$a$$ और $$b$$ असली हैं लेकिन $$a \gg b$$.

द्विपद सन्निकटन के लिए गणितीय रूप को बड़ी अवधि को फैक्टर करके पुनर्प्राप्त किया जा सकता है $$a$$ और यह याद रखना कि वर्गमूल आधे की घात के बराबर होता है।


 * $$\begin{align}

\frac{1}{\sqrt{a+b}} - \frac{1}{\sqrt{a-b}} &= \frac{1}{\sqrt{a}} \left(\left(1+\frac{b}{a}\right)^{-1/2} - \left(1-\frac{b}{a}\right)^{-1/2}\right)\\ &\approx\frac{1}{\sqrt{a}} \left(\left(1+\left(-\frac{1}{2}\right)\frac{b}{a}\right) - \left(1-\left(-\frac{1}{2}\right)\frac{b}{a}\right)\right) \\ &\approx\frac{1}{\sqrt{a}} \left(1-\frac{b}{2a} - 1 -\frac{b}{2a}\right) \\ &\approx -\frac{b}{a \sqrt{a}} \end{align}$$ अभिव्यक्त है अभिव्यक्ति रैखिक है $$b$$ कब $$a \gg b$$ जो अन्यथा मूल अभिव्यक्ति से स्पष्ट नहीं है।

सामान्यीकरण
जबकि द्विपद सन्निकटन रैखिक है, इसे टेलर श्रृंखला में द्विघात शब्द रखने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:
 * $$ (1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x + (\alpha/2) (\alpha-1) x^2$$ वर्गमूल पर प्रयुक्त होने पर, इसका परिणाम होता है:
 * $$\sqrt{1+x} \approx 1 + x/2 - x^2 / 8.$$

द्विघात उदाहरण
अभिव्यक्ति पर विचार करें:
 * $$	(1 + \epsilon)^n - (1 - \epsilon)^{-n} $$

कहाँ $$|\epsilon|<1$$ और $$|n \epsilon| \ll 1$$. यदि द्विपद सन्निकटन से केवल रैखिक शब्द रखा जाता है $$(1+x)^\alpha \approx 1 + \alpha x$$ तो अभिव्यक्ति बेकार ढंग से शून्य तक सरल हो जाती है
 * $$\begin{align}

(1 + \epsilon)^n - (1 - \epsilon)^{-n} &\approx (1+ n \epsilon) - (1 - (-n) \epsilon)\\ &\approx (1+ n \epsilon) - (1 + n \epsilon)\\ &\approx 0. \end{align}$$ जबकि व्यंजक छोटा है, यह बिल्कुल शून्य नहीं है।

तो अब, द्विघात शब्द रखते हुए:
 * $$\begin{align}

(1+\epsilon)^n - (1 - \epsilon)^{-n}&\approx \left(1+ n \epsilon + \frac{1}{2} n (n-1) \epsilon^2\right) - \left(1 + (-n)(-\epsilon) + \frac{1}{2} (-n) (-n-1) (-\epsilon)^2\right)\\ &\approx \left(1+ n \epsilon + \frac{1}{2} n (n-1) \epsilon^2\right) - \left(1 + n \epsilon + \frac{1}{2} n (n+1) \epsilon^2\right)\\ &\approx \frac{1}{2} n (n-1) \epsilon^2 - \frac{1}{2} n (n+1) \epsilon^2\\ &\approx \frac{1}{2} n \epsilon^2 ((n-1) - (n+1)) \\ &\approx - n \epsilon^2 \end{align}$$ यह परिणाम द्विघात में है $$\epsilon$$ यही कारण है कि यह तब प्रकट नहीं हुआ जब केवल रेखीय पदों में $$\epsilon$$ रखा गया था।