त्रिकोणमितीय फलनों का विभेदन

त्रिकोणमितीय फलनों का अवकलन,एक त्रिकोणमितीय फलन के अवकलज या एक चर के संबंध में उसके परिवर्तन की दर का पता लगाने की गणितीय प्रक्रिया है। उदाहरण के लिए,साइन फलन का अवकलज sin'(a) = cos(a) के रूप में लिखा जाता है,इसका अर्थ है कि एक विशेष कोण x = a पर sin(x)की परिवर्तन दर को उस कोण के कोसाइन से दिया जाता है।

वृत्तीय त्रिकोणमितीय फलनों के सभी अवकलज sin(x) और cos(x) से tan(x) = sin(x)/cos(x) जैसे फलनों पर लागू होने वाले भागफल नियम के माध्यम से पाए जा सकते हैं।इन अवकलजों को जानने के लिए,व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलजों को अप्रत्य्क्ष अवकलन का उपयोग करके पाया जाता है।

जब θ को 0 के नजदीक ले जाते हैं, तो sin(θ)/θ की सीमा
दायीं ओर आरेख केंद्र o और त्रिज्या r = 1 के साथ एक वृत्त दिखाता है। दो त्रिज्याएँ OA और OB,θ रेडियन का एक चाप बनाते हैं। चूंकि हम सीमा को शून्य मान रहे हैं, इसलिए हम मान सकते हैं कि θ एक छोटी धनात्मक संख्या है, अर्थात्,0 < θ < ½ π पहले चतुर्थांश में है।

आरेख में,OAB त्रिभुज को R1, OAB वृत्तीय क्षेत्र को R2 और OAC त्रिभुज को R3 लें। OAB त्रिभुज का क्षेत्रफल है:


 * $$ \mathrm{Area}(R_1

) =\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |OB| \sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin\theta \, . $$ OAB वृत्तीय क्षेत्र का क्षेत्रफल  $$\mathrm{Area}(R_2) =\tfrac{1}{2}\theta$$ है, जबकि OAC त्रिभुज का क्षेत्रफल दिया गया है
 * $$ \mathrm{Area}(R_3

) =\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |AC| = \tfrac{1}{2} \tan\theta \, . $$ चूँकि प्रत्येक क्षेत्र अगले क्षेत्र में निहित है, इसलिए एक निम्न विधि होती है:$$\text{Area}(R_1) < \text{Area}(R_2) < \text{Area}(R_3) \implies \tfrac{1}{2}\sin\theta < \tfrac{1}{2}\theta < \tfrac{1}{2}\tan\theta \, . $$इसके अतिरिक्‍त, चूँकि पहले चतुर्थांश में sin θ > 0 होता है,हम ½ sin θ से भाग कर सकते हैं:
 * $$1 < \frac{\theta}{\sin\theta} < \frac{1}{\cos\theta} \implies 1 > \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos\theta \, . $$

अंतिम चरण में,असमिका को उलटते हुए, हमने तीन सकारात्मक मानों के व्युत्क्रम मान लिए हैं।

हम इस निष्कर्ष पर पहुंचते हैं कि 0 < θ < ½ π के लिए,राशि sin(θ)/θ हमेशा 1 से कम और हमेशा cos(θ) से अधिक होती है। इस प्रकार,जब θ 0 के पास आता है, sin(θ)/θ को 1 ऊँचाई पर छत और cos θ ऊँचाई पर फर्श के बीच "संकुचित" किया जाता है,जो 1 की ओर उठता है; इसलिए θ के धनात्मक दिशा से 0 की ओर पहुंचते ही sin(θ)/θ 1 की ओर प्रवृत्त होना चाहिए:

$$\lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \,. $$

इस मामले के लिए जहां θ एक छोटी ऋणात्मक संख्या हो -½ π < θ < 0,तब हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि साइन एक विषम फलन है:$$\lim_{\theta \to 0^-}\! \frac{\sin\theta}{\theta} \ =\ \lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin(-\theta)}{-\theta} \ =\ \lim_{\theta \to 0^+}\!\frac{-\sin\theta}{-\theta} \ =\ \lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin\theta}{\theta} \ =\ 1 \, . $$

जब θ को 0 के नजदीक ले जाते हैं, तो (cos(θ)-1)/θ की सीमा
अंतिम खंड हमें इस नई सीमा की अपेक्षाकृत आसानी से गणना करने में सक्षम बनाता है।इसे एक सरल चाल का उपयोग करके किया जाता है।इस गणना में, θ का चिह्न महत्त्वहीन है।$$ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos\theta - 1}{\theta} \ =\ \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos\theta - 1}{\theta} \right)\!\! \left( \frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right) \ =\ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos^2\!\theta - 1}{\theta\,(\cos\theta + 1)}. $$cos2θ – 1 = –sin2θ का उपयोग करते हुए,

तथ्य यह है कि एक गुणांक की सीमा सीमाओं का गुणांक होती है,और पिछले खंड से सीमा परिणाम मिलता है, हम पाते हैं कि:$$ \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\cos\theta - 1}{\theta} \ =\ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)} \ =\ \left( -\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right) \ =\ (-1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0 \,. $$

जब θ को 0 के नजदीक ले जाते हैं, तो tan(θ)/θ की सीमा
साइन फलन के लिए सीमा का उपयोग करते हुए,तथ्य यह है कि टैंजे़ंट फलन विषम है,तथ्य यह है कि एक गुणांक की सीमा सीमाओं का गुणांक है,हम पाते हैं:

\lim_{\theta\to 0} \frac{\tan\theta}{\theta} \ =\ \left(\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta\to 0} \frac{1}{\cos\theta}\right) \ =\ (1)(1) \ =\   1 \, . $$

साइन फलन का अवकलज
हम लिमिट परिभाषा से साइन फलनके अवकलज की गणना करते हैं:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0} \frac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} . $$

कोण समीकरण सूत्र sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α का उपयोग करते हुए,हमें निम्नलिखित मिलता है:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta} = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta + \frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta \right). $$ साइन और कोसाइन फलनोंकी सीमाओं का उपयोग करते हुए:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta

= (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \cos\theta \,. $$

अवकलज की परिभाषा से
हम फिर से लिमिट परिभाषा से कोसाइन फलनके अवकलज की गणना करते हैं:


 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\cos(\theta+\delta)-\cos\theta}{\delta}. $$ कोण जोड़ सूत्र cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β का उपयोग करते हुए,हमें निम्नलिखित मिलता है:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta} = \lim_{\delta \to 0} \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta \,-\, \frac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta \right). $$ साइन और कोसाइन फलनोंकी सीमाओं का उपयोग करते हुए:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= (0) \cos\theta - (1) \sin\theta = -\sin\theta \,. $$

श्रृंखला नियम से
श्रृंखला नियम से कोसाइन फलनके अवकलज की गणना करने के लिए,पहले निम्नलिखित तीन तथ्यों का ध्यान दें:
 * $$\cos\theta = \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$
 * $$\sin\theta = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\theta = \cos\theta$$

पहला और दूसरा तथ्य त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की समानताएं है,और तीसरा उपरोक्त प्रमाणित है।इन तीन तथ्यों का उपयोग करके हम निम्नलिखित लिख सकते हैं,
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$

हम श्रृंखला नियम का उपयोग करके अवकलन कर सकते हैं।यदि $$f(x) = \sin x,\ \ g(\theta) =\tfrac{\pi}{2}-\theta$$,तो हमारे पास यह होगा:


 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} f\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) = f^\prime\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) \cdot g^\prime\!\left(\theta\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right) \cdot (0-1) = -\sin\theta$$.

इसलिए,हमने सिद्ध किया है कि
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = -\sin\theta$$.

अवकलज की परिभाषा से
टैंजे़ंट फलनtan θ के अवकलज की गणना करने के लिए,हम प्राथमिक सिद्धांत का उपयोग करते हैं।परिभाषा के अनुसार:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\tan(\theta+\delta)-\tan\theta}{\delta} \right). $$ प्रसिद्ध कोण समीकरण सूत्र tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β) का उपयोग करते हुए,हमें निम्नलिखित मिलता है:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\frac{\tan\theta + \tan\delta}{1 - \tan\theta\tan\delta} - \tan\theta}{\delta} \right] = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\tan\theta + \tan\delta - \tan\theta + \tan^2\theta\tan\delta}{\delta \left( 1 - \tan\theta\tan\delta \right)} \right]. $$ इस तथ्य कि किसी उत्पाद की सीमा सीमाओं का उत्पाद है का उपयोग करते हुए:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \frac{\tan\delta}{\delta} \times \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - \tan\theta\tan\delta} \right). $$ टैंजे़ंट फलनकी सीमा का उपयोग करते हुए,और यह तथ्य की tan δ को 0 के पास ले जाते हुए δ को 0 के पास ले जाते हैं:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = 1 \times \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - 0} = 1 + \tan^2\theta. $$ हम तुरंत देखते हैं कि:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = 1 + \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} = \sec^2\theta \,. $$

भागफल नियम से
टैंजे़ंट फलन के अवकलज को भागफल नियम का उपयोग करके की गणना भी कर सकता है।$$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\left(\sin\theta\right)^\prime \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot \left(\cos\theta\right)^\prime}{ \cos^2 \theta } = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} $$

पायथागॉरियन सर्वसमिकाओं द्वारा अंश को1से सरलित किया जा सकता है,जिससे हमें निम्नलिखित मिलता है:
 * $$\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta$$

इसलिए,
 * $$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \sec^2 \theta$$

प्रतिवर्ती त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलजों का प्रमाण
निम्नलिखित अवकलजों को हम एक चर y को उस प्रतिवर्ती त्रिकोणमितीय फलनके समान रखकर प्राप्त करते हैं जिसका हम अवकलज लेना चाहते हैं।अंतर्निहित अवकलन का उपयोग करके और फिर dy/dx के लिए हल करके,प्रतिवर्ती फलन का अवकलज y के रूप में प्राप्त किया जाता है।dy/dx को फिर से x के रूप में प्रकट करने के लिए,हम एक इकाई वृत्त पर संदर्भ त्रिकोण बना सकते हैं,जहां y को θ के रूप में लेते हैं।पाइथागोरस प्रमेय और सामान्य त्रिकोणमितीय फलनके परिभाषा का उपयोग करके,हम अंततः dy/dx को x के आधार पर व्यक्त कर सकते हैं।

साइन के प्रतिवर्ती फलन को अवकलित करना
हम


 * $$y=\arcsin x\,\!$$

को लेते हैं, जहां


 * $$-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}$$

होता है। फिर


 * $$\sin y=x\,\!$$

दोनों पक्षों से $$x$$ के संबंध में अवकलज को लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:


 * $${d \over dx}\sin y={d \over dx}x$$
 * $$\cos y \cdot {dy \over dx} = 1\,\!$$

ऊपर से स्थानांतरण $$ \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}$$ करते हुए,


 * $$\sqrt{1-\sin^2 y} \cdot {dy \over dx} =1$$

ऊपर से स्थानांतरण $$x=\sin y$$ करते हुए,


 * $$\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1$$
 * $${dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

कोसाइन के प्रतिवर्ती फलनको अवकलित करना
हम


 * $$y=\arccos x\,\!$$

को लेते हैं, जहां


 * $$0 \le y \le \pi$$

होता है। फिर


 * $$\cos y=x\,\!$$

दोनों पक्षों से $$x$$ के संबंध में अवकलज को लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:


 * $${d \over dx}\cos y={d \over dx}x$$
 * $$-\sin y \cdot {dy \over dx} =1$$

ऊपर से स्थानांतरण $$\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}\,\!$$ करते हुए,


 * $$-\sqrt{1-\cos^2 y} \cdot {dy \over dx} =1$$

ऊपर से स्थानांतरण $$x=\cos y\,\!$$ करते हुए,


 * $$-\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1$$
 * $${dy \over dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

वैकल्पिक रूप से,एक बार जब $$\arcsin x$$ का अवकलज स्थापित हो जाता है,तो $$\arccos x$$ का अवकलज तुरंत अनुसरण करता है,इसके लिए सर्वसमिका $$\arcsin x+\arccos x=\pi/2$$ का अवकलन करें ताकि  $$(\arccos x)'=-(\arcsin x)'$$ हो।

टैंजे़ंट के प्रतिवर्ती फलनको अवकलित करना
हम


 * $$y=\arctan x\,\!$$

को लेते हैं,जहां


 * $$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

होता है।फिर,


 * $$\tan y=x\,\!$$

दोनों पक्षों से $$x$$ के संबंध में अवकलज को लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:


 * $${d \over dx}\tan y={d \over dx}x$$

बाईं तरफ:



{d \over dx}\tan y = \sec^2 y \cdot {dy \over dx} = (1 + \tan^2 y) {dy \over dx} $$,पायथागॉरियन सर्वसमिका का उपयोग करना

दाईं तरफ:


 * $${d \over dx}x = 1$$

इसलिए,


 * $$(1+\tan^2 y){dy \over dx}=1$$

ऊपर से स्थानांतरण $$x=\tan y\,\!$$ करते हुए,हमें मिलता है


 * $$(1+x^2){dy \over dx}=1$$
 * $${dy \over dx}=\frac{1}{1+x^2}$$

कोटैंजे़ंट के प्रतिवर्ती फलनको अवकलित करना
हम


 * $$y=\arccot x$$

को लेते हैं,जहां $$0<y<\pi$$

होता है।फिर,


 * $$\cot y=x$$

दोनों पक्षों से $$x$$ के संबंध में अवकलज को लेते हुए और dy/dx के लिए हल करते हुए:


 * $$\frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x$$

बाईं तरफ:



{d \over dx}\cot y = -\csc^2 y \cdot {dy \over dx} = -(1 + \cot^2 y) {dy \over dx} $$,पायथागॉरियन सर्वसमिका का उपयोग करके

दाईं तरफ:


 * $${d \over dx}x = 1$$

इसलिए,


 * $$-(1+\cot^2y)\frac{dy}{dx}=1$$

$$x=\cot y$$ स्थानांतरण करते हुए,


 * $$-(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1$$
 * $$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}$$

वैकल्पिक रूप से,जैसा कि ऊपर दिखाया गया है,$$\arctan x$$ का अवकलज प्राप्त होने के बाद,फिर तुरंत उस सर्वसमिका $$\arctan x+\arccot x=\dfrac{\pi}{2}$$ का उपयोग करते हुए,ताकि$$\begin{align} \dfrac{d}{dx}\arccot x &=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x\right)\\ &=-\dfrac{1}{1+x^2} \end{align}  $$हो।

अंतर्निहित अवकलन का उपयोग करना
माना


 * $$ y = \arcsec x\ \mid |x| \geq 1$$

को लेते हैं,जहां


 * $$ x = \sec y \mid \ y \in \left [0,\frac{\pi}{2} \right )\cup \left (\frac{\pi}{2},\pi \right]

$$होता है।फिर,
 * $$ \frac{dx}{dy} = \sec y \tan y = |x|\sqrt{x^2-1}$$

(अभिव्यक्ति में निरपेक्ष मान आवश्यक है क्योंकि y के अंतराल में सेकेंट और टैंजे़ंट का गुणनफल हमेशा गैर-नकारात्मक होता है,जबकि प्रमुख वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार वर्गमूल $$\sqrt{x^2-1}$$ हमेशा गैर-नकारात्मक होता है,इसलिए शेष गुणक भी गैर-नकारात्मक होना चाहिए,जो x के निरपेक्ष मान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।)
 * $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

श्रृंखला नियम का उपयोग करना
वैकल्पिक रूप से,आर्कसेकेंट के अवकलज श्रृंखला नियम का उपयोग करके आर्कोसाइन के अवकलज से लिया जा सकता है।

माना


 * $$ y = \arcsec x = \arccos \left(\frac{1}{x}\right) $$

को लेते हैं,जहां


 * $$ |x| \geq 1 $$ और $$ y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] $$

होता है।फिर, $$ \arccos \left(\frac{1}{x}\right) $$के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करते हुए:


 * $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)

= \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} $$

अंतर्निहित अवकलन का उपयोग करना
माना


 * $$y = \arccsc x\ \mid |x| \geq 1$$

को लेते हैं,जहां


 * $$ x = \csc y\ \mid \ y \in \left [-\frac{\pi}{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi}{2} \right]$$
 * होता है।फिर,
 * $$ \frac{dx}{dy} = -\csc y \cot y = -|x|\sqrt{x^2-1}$$

(अभिव्यक्ति में निरपेक्ष मान आवश्यक है क्योंकि y के अंतराल में कोसिकेंट और कोटैंजे़ंट का गुणनफल हमेशा गैर-नकारात्मक होता है,जबकि प्रमुख वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार वर्गमूल $$\sqrt{x^2-1}$$ हमेशा गैर-नकारात्मक होता है,इसलिए शेष गुणक भी गैर-नकारात्मक होना चाहिए,जो x के निरपेक्ष मान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।)
 * $$ \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

श्रृंखला नियम का उपयोग करना
वैकल्पिक रूप से,अर्कोसेकेंट के अवकलज श्रृंखला नियम का उपयोग करके आर्कसाइन के अवकलज से लिया जा सकता है।

माना


 * $$ y = \arccsc x = \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) $$

को लेते हैं,जहां


 * $$ |x| \geq 1 $$ और $$ y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] $$

होता है।फिर, $$ \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) $$के लिए श्रृंखला नियम को लागू करना


 * $$ \frac{dy}{dx} =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)

= -\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = -\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}} = -\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} $$

ग्रन्थसूची

 * Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)