गणितीय प्रमाण

प्रमाण एक गणितीय प्रमाण एक प्रस्ताव के लिए एक निष्कर्ष तर्क-कटौती-सबूत भेद है, यह दर्शाता है कि कथित धारणाएं तार्किक रूप से निष्कर्ष की प्रत्याभुति देती हैं। तर्क पहले से स्थापित अन्य कथनों का उपयोग कर सकता है, जैसे कि प्रमेय; लेकिन हर प्रमाण, सिद्धांत रूप में, केवल कुछ बुनियादी या मूल मान्यताओं का उपयोग करके निर्मित किया जा सकता है, जिन्हें अभिगृहीत कहा जाता है, अनुमान के स्वीकृत नियमों के साथ। प्रमाण कटौतीत्मक तर्क के उदाहरण हैं जो तार्किक निश्चितता स्थापित करते हैं, अनुभवजन्य साक्ष्य तर्कों या गैर-संपूर्ण आगमनात्मक तर्क से अलग होने के लिए जो उचित अपेक्षा स्थापित करते हैं। ऐसे कई मामलों को प्रस्तुत करना जिनमें कथन मान्य है, एक प्रमाण के लिए पर्याप्त नहीं है, जो यह प्रदर्शित करे कि कथन सभी संभावित मामलों में सत्य है। एक प्रस्ताव जिसे सिद्ध नहीं किया गया है लेकिन माना जाता है कि यह सच है, एक अनुमान के रूप में जाना जाता है, या एक परिकल्पना के रूप में जाना जाता है, जिसे आगे के गणितीय कार्यों के लिए अक्सर एक धारणा के रूप में उपयोग किया जाता है।

प्रमाण प्राकृतिक भाषा के साथ-साथ गणितीय प्रतीकों में व्यक्त तर्क को नियोजित करते हैं जो आमतौर पर कुछ अस्पष्टता को स्वीकार करते हैं। अधिकांश गणितीय साहित्य में, प्रमाणों को कठोरता विषियों में अनौपचारिक तर्कशास्त्र के संदर्भ में लिखा जाता है। प्राकृतिक भाषा की भागीदारी के बिना पूरी तरह से प्रतीकात्मक भाषा (गणित) में लिखे गए विशुद्ध रूप से औपचारिक प्रमाणों को प्रमाण सिद्धांत में माना जाता है। प्रमाण सिद्धांत # औपचारिक और अनौपचारिक प्रमाण के बीच अंतर ने वर्तमान और ऐतिहासिक गणितीय अभ्यास, गणित में अर्ध-अनुभववाद, और तथाकथित गणितीय लोककथाओं, मुख्यधारा के गणितीय समुदाय या अन्य संस्कृतियों में मौखिक परंपराओं की बहुत अधिक जांच की है। गणित का दर्शन प्रमाणों में भाषा और तर्क की भूमिका से संबंधित, गणित एक भाषा के रूप में है।

इतिहास और व्युत्पत्ति
शब्द प्रमाण लैटिन प्रोबारे (परीक्षण करने के लिए) से आता है। संबंधित आधुनिक शब्द अंग्रेजी जांच, परिवीक्षा और संभाव्यता, स्पेनिश प्रोबार (सूंघने या स्वाद के लिए, या कभी-कभी स्पर्श या परीक्षण करने के लिए), इतालवी प्रोवारे (कोशिश करने के लिए), और जर्मन प्रोबिरेन (कोशिश करने के लिए हैं)। कानूनी शब्द सत्यनिष्ठा का अर्थ, अधिकार या विश्वसनीयता, प्रतिष्ठा या स्थिति के व्यक्तियों द्वारा दिए जाने पर तथ्यों को साबित करने की गवाही की शक्ति है। चित्रों और उपमाओं जैसे अनुमानी उपकरणों का उपयोग करते हुए संभाव्यता तर्क सख्त गणितीय प्रमाण से पहले थे। यह संभव है कि किसी निष्कर्ष को प्रदर्शित करने का विचार सबसे पहले ज्यामिति के संबंध में उत्पन्न हुआ, जिसकी उत्पत्ति भूमि मापन की व्यावहारिक समस्याओं से हुई। गणितीय प्रमाण का विकास मुख्य रूप से ग्रीक गणित का उत्पाद है, और इसकी सबसे बड़ी उपलब्धियों में से एक है। थेल्स (624-546 ईसा पूर्व) और चिओस के हिप्पोक्रेट्स (सी. 470-410 ईसा पूर्व) ने ज्यामिति में प्रमेयों के कुछ पहले ज्ञात प्रमाण दिए। कनिडस के यूडोक्सस (408-355 ईसा पूर्व) और थेएटेटस (गणितज्ञ) (417-369 ईसा पूर्व) ने प्रमेय तैयार किए लेकिन उन्हें सिद्ध नहीं किया। अरस्तू (384-322 ई.पू.) ने कहा कि परिभाषाओं को पहले से ज्ञात अन्य अवधारणाओं के संदर्भ में परिभाषित अवधारणा का वर्णन करना चाहिए।

यूक्लिड (300 ईसा पूर्व) द्वारा गणितीय प्रमाण में क्रांति ला दी गई थी, जिसने आज भी उपयोग में आने वाली स्वयंसिद्ध पद्धति की शुरुआत की। यह अपरिभाषित शर्तों और स्वयंसिद्धों के साथ शुरू होता है, अपरिभाषित शब्दों से संबंधित प्रस्ताव जो स्वयं-स्पष्ट रूप से सत्य (ग्रीक एक्सिओस से, कुछ योग्य) माना जाता है। इस आधार से, विधि निगमनात्मक तर्क का उपयोग करके प्रमेयों को सिद्ध करती है। यूक्लिड की पुस्तक, यूक्लिड के तत्व, 20वीं शताब्दी के मध्य तक पश्चिम में शिक्षित माने जाने वाले किसी भी व्यक्ति द्वारा पढ़ी गई थी। ज्यामिति के प्रमेयों के अलावा, जैसे पाइथागोरस प्रमेय, तत्वों में संख्या सिद्धांत भी शामिल है, जिसमें एक प्रमाण शामिल है कि दो का वर्गमूल अपरिमेय संख्या है और एक प्रमाण है कि अपरिमित रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं।

मध्यकालीन इस्लाम में गणित के क्षेत्र में और प्रगति हुई। जबकि पहले ग्रीक प्रमाण बड़े पैमाने पर ज्यामितीय प्रदर्शन थे, इस्लामी गणितज्ञों द्वारा अंकगणित और बीजगणित के विकास ने ज्यामितीय अंतर्ज्ञान पर निर्भरता के बिना अधिक सामान्य प्रमाणों की अनुमति दी थी। 10 वीं शताब्दी सीई में, इराकी गणितज्ञ अल-हाशमी ने संख्या के साथ काम किया, जिसे "रेखाएं" कहा जाता है, लेकिन जरूरी नहीं कि इसे ज्यामितीय वस्तुओं के माप के रूप में माना जाए, ताकि अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व सहित गुणन, विभाजन आदि से संबंधित बीजगणितीय प्रस्तावों को साबित किया जा सके। गैराज द्वारा अल-फखरी (1000) में अंकगणितीय प्रगति के लिए एक गणितीय आगमन पेश किया गया था, जिन्होंने इसका उपयोग द्विपद प्रमेय और पास्कल के त्रिकोण के गुणों को साबित करने के लिए किया था। यूक्लिडियन ज्यामिति समानांतर अभिधारणा को साबित करने के पहले प्रयास के रूप में, अल्हज़ेन ने विरोधाभास द्वारा प्रमाण की विधि भी विकसित की। आधुनिक प्रमाण सिद्धांत प्रमाणों को आगमनात्मक रूप से परिभाषित डेटा संरचनाओं के रूप में मानता है, इस धारणा की आवश्यकता नहीं है कि स्वयंसिद्ध किसी भी अर्थ में सत्य हैं। यह समानांतर गणितीय सिद्धांतों को दी गई सहज अवधारणा के औपचारिक प्रतिरूप के रूप में अनुमति देता है, जो स्वयंसिद्धों के वैकल्पिक सेटों पर आधारित है, उदाहरण के लिए स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति।

प्रकृति और उद्देश्य
जैसा कि अभ्यास किया जाता है, एक प्रमाण प्राकृतिक भाषा में व्यक्त किया जाता है और एक कठोर तर्क है जिसका उद्देश्य दर्शकों को किसी कथन की सच्चाई को समझाना है। कठोरता का मानक पूर्ण नहीं है और पूरे इतिहास में भिन्न है। इच्छित दर्शकों के आधार पर एक प्रमाण को अलग-अलग तरीके से प्रस्तुत किया जा सकता है। स्वीकृति प्राप्त करने के लिए, एक प्रमाण को कठोरता के सांप्रदायिक मानकों को पूरा करना होता है; अस्पष्ट या अपूर्ण माने जाने वाले तर्क को अस्वीकार किया जा सकता है।

गणितीय तर्क के क्षेत्र में प्रमाण की अवधारणा को औपचारिक रूप दिया गया है। एक औपचारिक प्रमाण प्राकृतिक भाषा के बजाय औपचारिक भाषा में लिखा जाता है। एक औपचारिक प्रमाण एक औपचारिक भाषा में अच्छी तरह से गठित सूत्र का एक क्रम है, जो एक धारणा से शुरू होता है, और प्रत्येक बाद के सूत्र के साथ पिछले वाले का एक तार्किक परिणाम होता है। यह परिभाषा अध्ययन के लिए प्रमाण की अवधारणा को उत्तरदायी बनाती है। वास्तव में, प्रमाण सिद्धांत का क्षेत्र औपचारिक प्रमाणों और उनके गुणों का अध्ययन करता है, सबसे प्रसिद्ध और आश्चर्यजनक यह है कि लगभग सभी स्वयंसिद्ध प्रणालियाँ कुछ स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) उत्पन्न कर सकती हैं जो प्रणाली के भीतर सिद्ध नहीं हो सकती हैं।

एक औपचारिक प्रमाण की परिभाषा का उद्देश्य गणित के अभ्यास में लिखी गई प्रमाणों की अवधारणा को ग्रहण करना है। इस परिभाषा की मजबूती इस विश्वास के बराबर है कि एक प्रकाशित प्रमाण, सिद्धांत रूप में, एक औपचारिक प्रमाण में परिवर्तित हो सकता है। हालांकि, स्वचालित प्रूफ सहायकों के क्षेत्र के बाहर, व्यवहार में ऐसा शायद ही कभी किया जाता है। दर्शनशास्त्र में एक उत्कृष्ट प्रश्न पूछता है कि क्या गणितीय प्रमाण विश्लेषणात्मक तर्कवाक्य हैं या संश्लिष्ट तर्कवाक्य। इम्मैनुएल कांत, जिन्होंने विश्लेषणात्मक-सिंथेटिक भेद पेश किया, का मानना ​​​​था कि गणितीय प्रमाण सिंथेटिक हैं, जबकि विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन ने अपने 1951 के अनुभववाद के दो हठधर्मिता में तर्क दिया कि ऐसा भेद अस्थिर है। उनके गणितीय सौंदर्य के लिए प्रमाणों की प्रशंसा की जा सकती है। गणितज्ञ पॉल एर्डोस को प्रमाणों का वर्णन करने के लिए जाना जाता था, जिसे उन्होंने द बुक से आने के रूप में विशेष रूप से सुरुचिपूर्ण पाया, प्रत्येक प्रमेय को साबित करने की सबसे सुंदर विधि (ओं) से युक्त एक काल्पनिक टोम। 2003 में प्रकाशित पुस्तक पुस्तक से प्रमाण, 32 प्रमाणों को प्रस्तुत करने के लिए समर्पित है, जो इसके संपादकों को विशेष रूप से भाते हैं।

प्रत्यक्ष प्रमाण
प्रत्यक्ष प्रमाण में, निष्कर्ष तार्किक रूप से स्वयंसिद्धों, परिभाषाओं और पहले के प्रमेयों को जोड़कर स्थापित किया जाता है। उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष प्रमाण का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि दो समता (गणित) पूर्णांकों का योग हमेशा सम होता है:


 * दो सम पूर्णांकों x और y पर विचार कीजिए। चूँकि वे सम हैं, उन्हें कुछ पूर्णांक a और b के लिए क्रमशः x = 2a और y = 2b के रूप में लिखा जा सकता है। फिर योग x + y = 2a + 2b = 2(a+b) है। इसलिए x+y में भाजक के रूप में 2 है और, परिभाषा के अनुसार, सम है। अतः किन्हीं भी दो सम पूर्णांकों का योग सम होता है।

यह प्रमाण सम पूर्णांकों की परिभाषा का उपयोग करता है, जोड़ और गुणन के तहत क्लोजर (गणित) के पूर्णांक गुण और वितरण गुण।

गणितीय आगमन द्वारा उपपत्ति
अपने नाम के बावजूद, गणितीय आगमन निगमनात्मक तर्क का एक तरीका है, आगमनात्मक तर्क का एक रूप नहीं। गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण में, एक एकल आधार मामला सिद्ध होता है, और एक प्रेरण नियम सिद्ध होता है जो यह स्थापित करता है कि कोई भी मनमाना मामला सामग्री सशर्त अगले मामले में है। चूंकि सिद्धांत रूप में प्रेरण नियम को बार-बार लागू किया जा सकता है (सिद्ध आधार मामले से शुरू), यह इस प्रकार है कि सभी (आमतौर पर अनंत सेट कई) मामले सिद्ध होते हैं। यह प्रत्येक मामले को अलग-अलग साबित करने से बचा जाता है। गणितीय प्रेरण का एक प्रकार अनंत वंश द्वारा प्रमाण है, जिसका उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, तर्कहीनता के 2#प्रमाणों के वर्गमूल को सिद्ध करने के लिए।

गणितीय प्रेरण द्वारा प्रमाण का एक सामान्य अनुप्रयोग यह साबित करना है कि एक संख्या के लिए ज्ञात गुण सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए धारण करता है: होने देना $N = {1, 2, 3, 4, ...}$ प्राकृत संख्याओं का समुच्चय हो, और मान लीजिए $P(n)$ एक गणितीय कथन बनें जिसमें प्राकृतिक संख्या शामिल हो $n$ से संबंधित $N$ ऐसा है कि
 * (मैं) $P(1)$ सत्य है, अर्थात् $P(n)$ के लिए सत्य है $n = 1$.
 * (द्वितीय) $P(n+1)$ सच है जब भी $P(n)$ सत्य है, अर्थात् $P(n)$ सत्य है का तात्पर्य है $P(n+1)$ सच हैं।
 * फिर $P(n)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है $n$.

उदाहरण के लिए, हम आगमन द्वारा सिद्ध कर सकते हैं कि रूप के सभी सकारात्मक पूर्णांक $2n − 1$ समता (गणित) हैं। होने देना $P(n)$ प्रतिनिधित्व करना$2n − 1$ अजीब है :
 * (मैं के लिए $n = 1$, $2n − 1 = 2(1) − 1 = 1$, तथा $1$ विषम है, क्योंकि यह शेष छोड़ता है $1$ जब विभाजित किया गया $2$. इस प्रकार $P(1)$ सच हैं।
 * (ii) किसी के लिए $n$, यदि $2n − 1$ अजीब है ($P(n)$), फिर $(2n − 1) + 2$ विषम भी होना चाहिए, क्योंकि जोड़ना $2$ विषम संख्या का परिणाम विषम संख्या में होता है। परंतु $(2n − 1) + 2 = 2n + 1 = 2(n+1) − 1$, इसलिए $2(n+1) − 1$ अजीब है ($P(n+1)$). इसलिए $P(n)$ तात्पर्य $P(n+1)$.
 * इस प्रकार $2n − 1$ विषम है, सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $n$.

इंडक्शन द्वारा छोटे वाक्यांश प्रमाण का उपयोग अक्सर गणितीय इंडक्शन द्वारा प्रूफ के बजाय किया जाता है।

विक्षेपण द्वारा प्रमाण
तार्किक रूप से समतुल्य प्रति-धनात्मक स्थापित करके कथन के अनुमान के विपरीत नियम द्वारा प्रमाण यदि p तो q है: यदि q नहीं तो p नहीं।

उदाहरण के लिए, दिए गए पूर्णांक को स्थापित करने के लिए गर्भनिरोधक का उपयोग किया जा सकता है $$x$$, यदि $$ x^2 $$ तब भी है $$x$$ सम है:


 * मान लीजिए $$x$$ भी नहीं है। फिर $$x$$ अजीब है। अतः दो विषम संख्याओं का गुणनफल विषम होता है $$ x^2 = x\cdot x $$ अजीब है। इस प्रकार $$ x^2 $$ भी नहीं है। इस प्रकार, यदि $$ x^2 $$ सम है, तो अनुमान झूठा होना चाहिए, इसलिए $$ x $$ सम होना चाहिए।

विरोधाभास द्वारा प्रमाण
विरोधाभास द्वारा प्रमाण में, जिसे लैटिन वाक्यांश रिडक्टियो एड बेतुका (बेतुके को कम करके) के रूप में भी जाना जाता है, यह दिखाया गया है कि यदि कुछ कथन को सत्य मान लिया जाता है, तो एक विरोधाभास होता है, इसलिए कथन गलत होना चाहिए। एक प्रसिद्ध उदाहरण में यह प्रमाण शामिल है कि $$\sqrt{2}$$ एक अपरिमेय संख्या है:


 * मान लो कि $$\sqrt{2}$$ एक परिमेय संख्या थी। तब इसे निम्नतम शब्दों में लिखा जा सकता है $$\sqrt{2} = {a\over b}$$ जहाँ a और b सहअभाज्य के साथ गैर-शून्य पूर्णांक हैं। इस प्रकार, $$b\sqrt{2} = a$$. दोनों पक्षों का वर्ग करने पर 2b प्राप्त होता है2 = ए2। चूँकि 2 बायीं ओर के व्यंजक को विभाजित करता है, 2 को दायीं ओर के समान व्यंजक को भी विभाजित करना होगा। वह 2 सम है, जिसका अर्थ है कि a को भी सम होना चाहिए, जैसा कि ऊपर दिए गए प्रस्ताव में देखा गया है (#Proof by contraposition)। अतः हम a = 2c लिख सकते हैं, जहाँ c भी एक पूर्णांक है। मूल समीकरण में प्रतिस्थापन से 2b प्राप्त होता है2 = (2सी) 2 = 4सी2। दोनों पक्षों को 2 से विभाजित करने पर b प्राप्त होता है 2 = 2सी 2। लेकिन फिर, पहले की तरह उसी तर्क से, 2 b को विभाजित करता है 2, इसलिए b सम होना चाहिए। हालाँकि, यदि a और b दोनों सम हैं, तो उनके पास 2 एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है। यह हमारे पिछले बयान का खंडन करता है कि ए और बी में कोई सामान्य कारक नहीं है, इसलिए हमें यह निष्कर्ष निकालना चाहिए $$\sqrt{2}$$ एक अपरिमेय संख्या है।

व्याख्या करना: यदि कोई लिख सकता है $$\sqrt{2}$$ भिन्न के रूप में, इस भिन्न को कभी भी निम्नतम शब्दों में नहीं लिखा जा सकता है, क्योंकि 2 को अंश और हर से हमेशा गुणनखंडित किया जा सकता है।

निर्माण द्वारा सबूत
निर्माण द्वारा प्रमाण, या उदाहरण के द्वारा प्रमाण, एक संपत्ति के साथ एक ठोस उदाहरण का निर्माण है, यह दिखाने के लिए कि उस संपत्ति में कुछ मौजूद है। उदाहरण के लिए, जोसेफ लिउविल ने लिउविल संख्या का निर्माण करके पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व को सिद्ध किया। इसका उपयोग एक प्रस्ताव का खंडन करने के लिए एक काउंटर उदाहरण बनाने के लिए भी किया जा सकता है कि सभी तत्वों की एक निश्चित संपत्ति होती है।

थकावट से सबूत
थकावट द्वारा प्रमाण में, निष्कर्ष को सीमित संख्या में मामलों में विभाजित करके और प्रत्येक को अलग-अलग साबित करके स्थापित किया जाता है। मामलों की संख्या कभी-कभी बहुत बड़ी हो सकती है। उदाहरण के लिए, चार रंग प्रमेय का पहला प्रमाण 1,936 मामलों के साथ थकावट का प्रमाण था। यह प्रमाण विवादास्पद था क्योंकि अधिकांश मामलों की जाँच कंप्यूटर प्रोग्राम द्वारा की गई थी, हाथ से नहीं। चार रंग प्रमेय का सबसे छोटा ज्ञात प्रमाण अभी भी 600 से अधिक मामले हैं।

संभाव्य प्रमाण
एक संभाव्यता प्रमाण वह है जिसमें संभाव्यता सिद्धांत के तरीकों का उपयोग करके एक उदाहरण को निश्चित रूप से मौजूद दिखाया गया है। संभाव्य प्रमाण, जैसे निर्माण द्वारा प्रमाण, अस्तित्व प्रमेयों को सिद्ध करने के कई तरीकों में से एक है।

संभाव्य पद्धति में, एक व्यक्ति एक दी गई संपत्ति वाले वस्तु की तलाश करता है, जो उम्मीदवारों के एक बड़े समूह से शुरू होता है। एक प्रत्येक उम्मीदवार को चुने जाने के लिए एक निश्चित संभावना प्रदान करता है, और फिर यह साबित करता है कि एक गैर-शून्य संभावना है कि एक चुने हुए उम्मीदवार के पास वांछित संपत्ति होगी। यह निर्दिष्ट नहीं करता है कि किस उम्मीदवार के पास संपत्ति है, लेकिन कम से कम एक के बिना संभावना सकारात्मक नहीं हो सकती।

एक संभाव्य प्रमाण को एक तर्क के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए कि एक प्रमेय 'शायद' सत्य है, एक 'संभावना तर्क' है। Collatz अनुमान पर काम दिखाता है कि वास्तविक प्रमाण से कितनी दूर की संभावना है। जबकि अधिकांश गणितज्ञ यह नहीं सोचते हैं कि किसी दिए गए वस्तु के गुणों के लिए संभाव्य साक्ष्य एक वास्तविक गणितीय प्रमाण के रूप में गिना जाता है, कुछ गणितज्ञों और दार्शनिकों ने तर्क दिया है कि कम से कम कुछ प्रकार के संभाव्य साक्ष्य (जैसे कि राबिन के प्रारंभिक परीक्षण के लिए संभाव्यता एल्गोरिथ्म) इस प्रकार हैं वास्तविक गणितीय प्रमाण के रूप में अच्छा है।

मिश्रित प्रमाण
एक संयोजक प्रमाण अलग-अलग अभिव्यक्तियों की समानता को यह दिखा कर स्थापित करता है कि वे एक ही वस्तु को अलग-अलग तरीकों से गिनते हैं। अक्सर दो सेट (गणित) के बीच एक आपत्ति का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि उनके दो आकारों के भाव समान हैं। वैकल्पिक रूप से, एक दोहरी गिनती (सबूत तकनीक) एक सेट के आकार के लिए दो अलग-अलग अभिव्यक्तियाँ प्रदान करती है, फिर से दिखाती है कि दो अभिव्यक्तियाँ समान हैं।

अरचनात्मक प्रमाण
एक गैर-रचनात्मक प्रमाण यह स्थापित करता है कि एक निश्चित संपत्ति के साथ एक गणितीय वस्तु मौजूद है - बिना यह बताए कि ऐसी वस्तु कैसे पाई जा सकती है। बहुधा यह अंतर्विरोध द्वारा एक प्रमाण का रूप ले लेता है जिसमें वस्तु का न होना असम्भव सिद्ध होता है। इसके विपरीत, एक रचनात्मक प्रमाण यह स्थापित करता है कि किसी विशेष वस्तु को खोजने का एक तरीका प्रदान करके मौजूद है। एक गैर-रचनात्मक प्रमाण के निम्नलिखित प्रसिद्ध उदाहरण से पता चलता है कि दो अपरिमेय संख्याएँ a और b मौजूद हैं $$a^b$$ एक परिमेय संख्या है। यह प्रमाण उसका उपयोग करता है $$\sqrt{2}$$ तर्कहीन है (यूक्लिड के बाद से एक आसान सबूत जाना जाता है), लेकिन वह नहीं $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ तर्कहीन है (यह सच है, लेकिन प्रमाण प्राथमिक नहीं है)।
 * या $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ एक परिमेय संख्या है और हम कर रहे हैं (ले $$a=b=\sqrt{2}$$), या $$\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ तर्कहीन है इसलिए हम लिख सकते हैं $$a=\sqrt{2}^{\sqrt{2}}$$ तथा $$b=\sqrt{2}$$. यह तब देता है $$\left (\sqrt{2}^{\sqrt{2}}\right )^{\sqrt{2}}=\sqrt{2}^{2}=2$$, जो इस प्रकार रूप की एक परिमेय संख्या है $$a^b.$$

शुद्ध गणित में सांख्यिकीय प्रमाण
अभिव्यक्ति सांख्यिकीय प्रमाण का उपयोग शुद्ध गणित के क्षेत्रों में तकनीकी या बोलचाल में किया जा सकता है, जैसे क्रिप्टोग्राफी, अराजक श्रृंखला, और संभाव्य या विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत।  गणितीय सांख्यिकी के रूप में जानी जाने वाली गणित की शाखा में गणितीय प्रमाण को संदर्भित करने के लिए इसका आमतौर पर कम उपयोग किया जाता है। नीचे दिए गए डेटा अनुभाग का उपयोग करके #बोलचाल का उपयोग, सांख्यिकीय प्रमाण भी देखें।

कंप्यूटर से सहायता प्राप्त सबूत
बीसवीं शताब्दी तक यह माना जाता था कि किसी भी प्रमाण की वैधता की पुष्टि करने के लिए एक सक्षम गणितज्ञ द्वारा सिद्धांत रूप में उसकी जाँच की जा सकती है। हालाँकि, अब कंप्यूटर का उपयोग प्रमेयों को सिद्ध करने और उन गणनाओं को करने के लिए किया जाता है जो किसी भी मानव या मनुष्यों की टीम की जाँच के लिए बहुत लंबी हैं; चार रंग प्रमेय का पहला प्रमाण कंप्यूटर की सहायता से प्रमाण का एक उदाहरण है। कुछ गणितज्ञ चिंतित हैं कि कंप्यूटर प्रोग्राम में त्रुटि की संभावना या इसकी गणना में रन-टाइम त्रुटि ऐसे कंप्यूटर-सहायता वाले प्रमाणों की वैधता पर सवाल उठाती है। व्यवहार में, कंप्यूटर-सहायता वाले प्रमाण को अमान्य करने में त्रुटि की संभावना को गणनाओं में अतिरेक और स्व-जांच को शामिल करके, और कई स्वतंत्र दृष्टिकोणों और कार्यक्रमों को विकसित करके कम किया जा सकता है। मनुष्यों द्वारा प्रमाण के सत्यापन के मामले में भी त्रुटियों को पूरी तरह से खारिज नहीं किया जा सकता है, खासकर यदि सबूत में प्राकृतिक भाषा है और इसमें शामिल संभावित छिपी धारणाओं और भ्रमों को उजागर करने के लिए गहन गणितीय अंतर्दृष्टि की आवश्यकता है।

अनिर्णायक कथन
एक कथन जो न तो साबित करने योग्य है और न ही स्वयंसिद्धों के एक सेट से असिद्ध करने योग्य है, अनिर्णीत (उन स्वयंसिद्धों से) कहा जाता है। एक उदाहरण समानांतर अवधारणा है, जो यूक्लिडियन ज्यामिति के शेष स्वयंसिद्धों से न तो सिद्ध है और न ही खंडन योग्य है।

गणितज्ञों ने दिखाया है कि ऐसे कई कथन हैं जो ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी में पसंद के स्वयंसिद्ध (ZFC) के साथ न तो सिद्ध हैं और न ही असिद्ध हैं, गणित में सेट सिद्धांत की मानक प्रणाली (यह मानते हुए कि ZFC सुसंगत है); ZFC में अनिर्णीत बयानों की सूची देखें।

गोडेल की अपूर्णता प्रमेय | गोडेल की (प्रथम) अपूर्णता प्रमेय दर्शाती है कि गणितीय अभिरुचि के कई अभिगृहीत तंत्रों में अनिर्णीत कथन होंगे।

ह्यूरिस्टिक गणित और प्रयोगात्मक गणित
यूक्लिड से लेकर 19वीं और 20वीं शताब्दी के अंत में मूलभूत गणित के विकास तक, जबकि यूडोक्सस ऑफ कनिडस जैसे प्रारंभिक गणितज्ञों ने प्रमाणों का उपयोग नहीं किया, प्रमाण गणित का एक अनिवार्य हिस्सा थे। 1960 के दशक में कंप्यूटिंग शक्ति में वृद्धि के साथ, प्रूफ-प्रमेय ढांचे के बाहर गणितीय वस्तुओं की जांच करने के लिए महत्वपूर्ण कार्य किया जाने लगा, प्रायोगिक गणित में। इन तरीकों के शुरुआती अग्रदूतों का इरादा काम को अंततः क्लासिकल प्रूफ-प्रमेय ढांचे में एम्बेड करना था, उदा। भग्न ज्यामिति का प्रारंभिक विकास, जो अंततः इतना अंतर्निहित था।

दृश्य प्रमाण
यद्यपि औपचारिक प्रमाण नहीं है, गणितीय प्रमेय के दृश्य प्रदर्शन को कभी-कभी शब्दों के बिना प्रमाण कहा जाता है। नीचे बाईं ओर की तस्वीर (3,4,5) त्रिकोण के मामले में पाइथागोरस प्रमेय के ऐतिहासिक दृश्य प्रमाण का एक उदाहरण है।

कुछ भ्रमपूर्ण दृश्य प्रमाण, जैसे लापता वर्ग पहेली, को इस तरह से बनाया जा सकता है जो एक अनुमानित गणितीय तथ्य को साबित करने के लिए प्रतीत होता है लेकिन केवल छोटी त्रुटियों की उपस्थिति में ऐसा करता है (उदाहरण के लिए, माना जाता है कि सीधी रेखाएं जो वास्तव में थोड़ी सी झुकती हैं) जब तक पूरी तस्वीर की बारीकी से जांच नहीं की जाती है, लंबाई और कोणों को सटीक रूप से मापा या गणना किया जाता है।

प्रारंभिक प्रमाण
एक प्रारंभिक प्रमाण एक प्रमाण है जो केवल बुनियादी तकनीकों का उपयोग करता है। अधिक विशेष रूप से, इस शब्द का उपयोग संख्या सिद्धांत में उन प्रमाणों के संदर्भ में किया जाता है जो जटिल विश्लेषण का कोई उपयोग नहीं करते हैं। कुछ समय के लिए यह सोचा गया था कि कुछ प्रमेय, जैसे अभाज्य संख्या प्रमेय, केवल उच्च गणित का उपयोग करके ही सिद्ध किए जा सकते हैं। हालांकि, समय के साथ, इनमें से कई परिणामों को केवल प्राथमिक तकनीकों का उपयोग करके सुधारा गया है।

दो-स्तंभ प्रमाण
संयुक्त राज्य अमेरिका में प्रारंभिक ज्यामिति कक्षाओं में दो समानांतर स्तंभों का उपयोग करके एक प्रमाण को व्यवस्थित करने का एक विशेष तरीका अक्सर गणितीय अभ्यास के रूप में उपयोग किया जाता है। प्रमाण दो स्तंभों में पंक्तियों की एक श्रृंखला के रूप में लिखा गया है। प्रत्येक पंक्ति में, बाएँ हाथ के स्तंभ में एक प्रस्ताव होता है, जबकि दाएँ हाथ के स्तंभ में एक संक्षिप्त विवरण होता है कि कैसे बाएँ हाथ के स्तंभ में संबंधित प्रस्ताव या तो एक स्वयंसिद्ध, एक परिकल्पना है, या पिछले प्रस्तावों से तार्किक रूप से प्राप्त किया जा सकता है।. बाएं हाथ के कॉलम में आमतौर पर स्टेटमेंट्स होते हैं और दाएं हाथ के कॉलम में आमतौर पर कारण होते हैं।

गणितीय प्रमाण का बोलचाल में प्रयोग
अभिव्यक्ति गणितीय प्रमाण का उपयोग आम लोगों द्वारा गणितीय विधियों का उपयोग करने या गणितीय वस्तुओं के साथ बहस करने के लिए किया जानकारी है, जैसे कि संख्याएँ, रोजमर्रा की जिंदगी के बारे में कुछ प्रदर्शित करने के लिए, या जब किसी तर्क में प्रयुक्त डेटा संख्यात्मक होता है। यह कभी-कभी एक सांख्यिकीय प्रमाण (नीचे) के लिए भी प्रयोग किया जाता है, खासकर जब डेटा से बहस करने के लिए उपयोग किया जाता है।

डेटा का उपयोग करके सांख्यिकीय प्रमाण
डेटा से सांख्यिकीय प्रमाण डेटा की संभावना के बारे में प्रस्तावों का अनुमान लगाने के लिए सांख्यिकी, डेटा विश्लेषण या बायेसियन विश्लेषण के अनुप्रयोग को संदर्भित करता है। आंकड़ों में प्रमेयों को स्थापित करने के लिए गणितीय प्रमाण का उपयोग करते समय, यह आमतौर पर एक गणितीय प्रमाण नहीं होता है, जिसमें उन मान्यताओं को सत्यापित करने के लिए बाहरी गणित से अनुभवजन्य साक्ष्य की आवश्यकता होती है, जिनसे संभाव्यता कथन प्राप्त होते हैं। भौतिक विज्ञान में, सांख्यिकीय विधियों के अलावा, सांख्यिकीय प्रमाण भौतिकी के विशेष गणितीय तरीकों का उल्लेख कर सकते हैं जो भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान में कण भौतिकी प्रयोग या अवलोकन संबंधी अध्ययन में डेटा का विश्लेषण करने के लिए लागू होते हैं। सांख्यिकीय प्रमाण कच्चे डेटा या डेटा से जुड़े एक ठोस आरेख को भी संदर्भित कर सकता है, जैसे स्कैटर प्लॉट, जब डेटा या आरेख आगे के विश्लेषण के बिना पर्याप्त रूप से आश्वस्त हो।

आगमनात्मक तर्क प्रमाण और बायेसियन विश्लेषण
आगमनात्मक तर्क का उपयोग करने वाले सबूत, जबकि प्रकृति में गणितीय माने जाते हैं, निश्चितता की डिग्री के साथ प्रस्ताव स्थापित करना चाहते हैं, जो संभावना के समान तरीके से कार्य करता है, और पूर्ण निश्चितता से कम हो सकता है। आगमनात्मक तर्क को गणितीय आगमन के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

बायेसियन विश्लेषण नए साक्ष्य या जानकारी प्राप्त होने पर किसी व्यक्ति की परिकल्पना की बायेसियन संभावना को अद्यतन करने के लिए बेयस प्रमेय का उपयोग करता है।

मानसिक वस्तुओं के रूप में प्रमाण
मनोविज्ञान गणितीय प्रमाणों को मनोवैज्ञानिक या मानसिक वस्तुओं के रूप में देखता है। गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज, भगवान फ्रीज का शुक्र है और कार्नेप जैसे गणितज्ञ दार्शनिकों ने इस दृष्टिकोण की विभिन्न रूप से आलोचना की है और जिसे वे विचार की भाषा मानते हैं, उसके लिए शब्दार्थ विकसित करने का प्रयास किया है, जिससे अनुभवजन्य विज्ञान पर गणितीय प्रमाण के मानकों को लागू किया जा सकता है।

गणित के बाहर गणितीय प्रमाण विधियों का प्रभाव
स्पिनोजा जैसे दार्शनिक-गणितज्ञों ने स्वयंसिद्ध तरीके से दर्शन के तर्कों को तैयार करने का प्रयास किया है, जिससे सामान्य दर्शन में तर्क के लिए गणितीय प्रमाण मानकों को लागू किया जा सकता है। अन्य गणितज्ञ-दार्शनिकों ने गणितीय सबूत और कारण के मानकों का उपयोग करने की कोशिश की है, अनुभववाद के बिना, गणित के बाहर के बयानों पर पहुंचने के लिए, लेकिन गणितीय प्रमाण में कटौती की गई प्रस्तावों की निश्चितता, जैसे कि डेसकार्टेस का कोगिटो एर्गो योग तर्क।

एक प्रमाण समाप्त करना
कभी-कभी, संक्षिप्त नाम Q.E.D. एक प्रमाण के अंत को इंगित करने के लिए लिखा गया है। यह संक्षिप्त नाम क्वॉड एराट डेमोनस्ट्रैंडम के लिए खड़ा है, जो कि प्रदर्शित होने के लिए लैटिन है। एक अधिक सामान्य विकल्प एक वर्ग या एक आयत का उपयोग करना है, जैसे कि □ या ∎, जिसे समाधि का पत्थर (टाइपोग्राफी) के रूप में जाना जाता है या इसके नाम पॉल हेल्मोस के बाद हैल्मोस। अक्सर, जो दिखाया जाना था, मौखिक प्रस्तुति के दौरान क्यूईडी, □, या ∎ लिखते समय मौखिक रूप से कहा गया है। यूनिकोड स्पष्ट रूप से प्रूफ वर्ण का अंत प्रदान करता है, U+220E (∎) (220E(hex) = 8718(dec))।

यह भी देखें
• Automated theorem proving

• Invalid proof

• List of incomplete proofs

• List of long proofs

• List of mathematical proofs

• Nonconstructive proof

• Proof by intimidation

• Termination analysis

• Thought experiment

• What the Tortoise Said to Achilles

• Zero-knowledge proof

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बाहरी संबंध

 * Proofs in Mathematics: Simple, Charming and Fallacious
 * A lesson about proofs, in a course from Wikiversity
 * A lesson about proofs, in a course from Wikiversity