अर्ध-विभेदीकरण

गणना में, गणित की शाखा, वास्तविक चर के वास्तविक संख्या-मूल्य वाले फलन (गणित) f की एकपक्षीय भिन्नता और अर्ध-भिन्नता की धारणाएं भिन्नता से कमजोर होती हैं। विशेष रूप से, फलन f को बिंदु a पर सही अवकलनीय कहा जाता है, यदि, मोटे तौर पर कहा जा सकता है, तब व्युत्पन्न (गणित) को परिभाषित किया जा सकता है, जिससे कि फलन के तर्क x दाईं ओर से a की ओर जाता है, और बाएं ओर a पर भिन्न किया जा सकता है यदि व्युत्पन्न को x के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो बाएं ओर से a की ओर बढ़ता है।

एकल-आयामी स्थिति
गणित में, बायां व्युत्पन्न और दायां व्युत्पन्न विशेष प्रकार का व्युत्पन्न (किसी फलन के परिवर्तन की दर) होता हैं जो किसी फलन के तर्क द्वारा केवल दिशा (बाएं या दाएं, अर्थात् कम या उच्च मान) में आंदोलन के लिए परिभाषित होते हैं।

परिभाषाएँ
मान लीजिए f वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय I पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान फलन को दर्शाता है।

यदि $a &isin; I$, $I ∩$ $[a,∞)$ का सीमा बिंदु होता है और एकपक्षीय सीमा होती है।


 * $$\partial_+f(a):=\lim_\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

वास्तविक संख्या के रूप में उपस्तिथ होती है, तब f को a पर 'सही अवकलनीय ' कहा जाता है और सीमा ∂+f(a) को a पर f का 'सही अवकलज ' कहा जाता है।

यदि $a &isin; I$, $I ∩$ $(–∞,a]$ की सीमा बिंदु होती है और एकपक्षीय सीमा होती है।


 * $$\partial_-f(a):=\lim_\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

वास्तविक संख्या के रूप में उपस्तिथ है, तब f को a पर 'बायां अवकलनीय ' कहा जाता है और सीमा ∂–f(a) को a पर f का 'बायां अवकलज ' कहा जाता है।

यदि $a &isin; I$, $I ∩$ $[a,∞)$ की सीमा बिंदु होती है और यदि f, a पर बाएँ और दाएँ अवकलनीय होता है, तब f को a पर 'अर्ध-विभेदनीय ' कहा जाता है।

यदि बाएँ और दाएँ व्युत्पन्न समान हैं, तो उनका मान सामान्य (द्विदिशात्मक) व्युत्पन्न के समान है। कोई सममित व्युत्पन्न को भी परिभाषित कर सकता है, जो बाएं और दाएं व्युत्पन्न (जब वे दोनों उपस्तिथ हैं) के अंकगणितीय माध्य के सामान्तर होता है, इसलिए सममित व्युत्पन्न तब उपस्तिथ हो सकता है जब सामान्य व्युत्पन्न उपस्तिथ नहीं होता है।

टिप्पणियाँ और उदाहरण

 * फलन किसी फलन के डोमेन के आंतरिक बिंदु a पर व्युत्पन्न होता है यदि और केवल यदि यह a पर अर्ध-विभेदित होता है और बायां व्युत्पन्न दाएं व्युत्पन्न के सामान्तर होता है।
 * अर्ध-विभेदनीय फलन का उदाहरण, जो अवकलनीय नहीं है, निरपेक्ष मान फलन है $$ f(x)=|x| $$, a = 0 पर। हम आसानी से पाते हैं $$ \partial_-f(0)=-1, \partial_+f(0)=1. $$
 * यदि कोई फलन किसी बिंदु a पर अर्ध-विभेदनीय है, तो इसका तात्पर्य यह है कि यह a पर निरंतर है।
 * सूचक फलन 1[ 0,∞) प्रत्येक वास्तविक a पर सही अवकलनीय है, किन्तु शून्य पर असंतत है (ध्यान दें कि यह सूचक फलन शून्य पर अवकलनीय नहीं छोड़ा गया है)।

आवेदन
यदि वास्तविक रेखा के अंतराल I पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान, अवकलनीय फलन f का हर स्थान शून्य व्युत्पन्न है, तो यह स्थिर है, जैसा कि माध्य मान प्रमेय के अनुप्रयोग से पता चलता है। भिन्नता की धारणा को एफ की निरंतरता और एकतरफा भिन्नता के कारण कमजोर किया जा सकता है। दाएँ अवकलनीय कार्यों का संस्करण नीचे दिया गया है, बाएँ अवकलनीय कार्यों का संस्करण अनुरूप है।

$$

$$

बायीं या दायीं ओर काम करने वाले विभेदक ऑपरेटर
अन्य सामान्य उपयोग इन्फिक्स संकेतन में बाइनरी ऑपरेटरों के रूप में व्यवहार किए गए डेरिवेटिव का वर्णन करना है, जिसमें डेरिवेटिव को बाएं या दाएं ओपेरंड पर क्रियान्वित किया जाना है। यह उपयोगी है, उदाहरण के लिए, पॉइसन ब्रैकेट के सामान्यीकरण को परिभाषित करते समय। फलन f और g की जोड़ी के लिए, बाएँ और दाएँ डेरिवेटिव को क्रमशः इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$f \stackrel{\leftarrow }{\partial }_x g = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot g$$
 * $$f \stackrel{\rightarrow }{\partial }_x g = f \cdot \frac{\partial g}{\partial x}.$$

ब्रा-केट नोटेशन में, व्युत्पन्न ऑपरेटर दाएं ऑपरेंड पर नियमित व्युत्पन्न के रूप में या बाईं ओर ऋणात्मक व्युत्पन्न के रूप में कार्य कर सकता है।

उच्च-आयामी स्थिति
इस उपरोक्त परिभाषा को 'आर' के उपसमुच्चय पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।nदिशा व्युत्पन्न के कमजोर संस्करण का उपयोग करना। मान लीजिए a, f के प्रांत का आंतरिक बिंदु है। तब बिंदु a पर f को अर्ध-विभेदक कहा जाता है यदि प्रत्येक दिशा के लिए u ∈ 'R'nसीमा


 * $$\partial_uf(a)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h\, u)-f(a)}{h}$$

साथ $$ h \in $$ R वास्तविक संख्या के रूप में उपस्तिथ है।

इस प्रकार अर्ध-विभेदीकरण गेटॉक्स व्युत्पन्न की तुलना में कमजोर है, जिसके लिए कोई h को केवल धनात्मक मानों तक सीमित किए बिना h → 0 से ऊपर की सीमा लेता है।

उदाहरण के लिए, फलन $$f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$$ पर अर्ध-विभेद्य है $$(0, 0)$$, किन्तु गेटॉक्स वहां भिन्न नहीं है। वास्तव में, $$ f(hx,hy)=|h|f(x,y) \text{ and for } h \geq 0, f(hx,hy)=h f(x,y), f(hx,hy)/h=f(x,y), $$ साथ $$ a= 0, u=(x,y), \partial_uf(0)=f(x,y) $$ (ध्यान दें कि यह सामान्यीकरण n = 1 की मूल परिभाषा के सामान्तर नहीं है जिससे कि तरफा सीमा बिंदुओं की अवधारणा को आंतरिक बिंदुओं की मजबूत अवधारणा से बदल दिया गया है।)

गुण

 * आर के उत्तल खुले सेट पर कोई उत्तल फलनnअर्ध-विभेदनीय है।
 * जबकि चर का प्रत्येक अर्ध-विभेद्य फलन सतत होता है; यह अब अनेक चरों के लिए सत्य नहीं है।

सामान्यीकरण
वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शंस के अतिरिक्त, कोई R में मान लेने वाले फ़ंक्शंस पर विचार कर सकता हैnया बनच स्थान में।

यह भी देखें

 * व्युत्पन्न
 * दिशात्मक व्युत्पन्न
 * आंशिक व्युत्पन्न
 * ढाल
 * गैटेक्स व्युत्पन्न
 * फ़्रेचेट व्युत्पन्न
 * व्युत्पन्न (सामान्यीकरण)
 * चरण अंतरिक्ष सूत्रीकरण#स्टार उत्पाद
 * दीनी व्युत्पन्न