समूह प्रतिनिधित्व

प्रतिनिधित्व सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, समूह निरूपण सार समूह (गणित) का वर्णन सदिश स्थान के स्वयं के लिए विशेषण रैखिक परिवर्तनों के संदर्भ में करता है (अर्थात सदिश स्थान स्वसमाकृतिकता ); विशेष रूप से, उनका उपयोग समूह तत्वों को व्युत्क्रमणीय आव्यूह के रूप में प्रस्तुत करने के लिए किया जा सकता है ताकि समूह संचालन को आव्यूह गुणन द्वारा दर्शाया जा सके।

रसायन विज्ञान में, एक समूह प्रतिनिधित्व गणितीय समूह तत्वों को सममित घूर्णन और अणुओं के प्रतिबिंबों से संबंधित कर सकता है।

समूहों के प्रतिनिधित्व महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे कई समूह-सैद्धांतिक समस्याओं को रैखिक बीजगणित में समस्याओं को कम करने की अनुमति देते हैं, जो अच्छी तरह से समझ में आता है। वे भौतिकी में भी महत्वपूर्ण हैं क्योंकि, उदाहरण के लिए, वे वर्णन करते हैं कि कैसे एक भौतिक प्रणाली का समरूपता समूह उस प्रणाली का वर्णन करने वाले समीकरणों के समाधान को प्रभावित करता है।

किसी गणितीय वस्तु के परिवर्तनों के समूह के रूप में किसी समूह के किसी भी विवरण का अर्थ करने के लिए समूह का शब्द प्रतिनिधित्व भी अधिक सामान्य अर्थ में उपयोग किया जाता है। अधिक औपचारिक रूप से, एक प्रतिनिधित्व का अर्थ है समूह से किसी वस्तु के स्वसमाकृतिकता समूह में समरूपता। यदि वस्तु एक सदिश स्थान है तो हमारे पास एक रैखिक प्रतिनिधित्व है। कुछ लोग सामान्य धारणा के लिए बोध का उपयोग करते हैं और रेखीय निरूपण के विशेष सम्बन्ध के लिए प्रतिनिधित्व शब्द आरक्षित करते हैं। इस लेख का बड़ा हिस्सा रैखिक प्रतिनिधित्व सिद्धांत का वर्णन करता है; सामान्यीकरण के लिए अंतिम खंड देखें।

समूह प्रतिनिधित्व सिद्धांत की शाखाएँ
समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत का प्रतिनिधित्व किए जाने वाले समूह के प्रकार के आधार पर उप-सिद्धांतों में विभाजन होता है। विभिन्न सिद्धांत विस्तार से काफी भिन्न हैं, हालांकि कुछ बुनियादी परिभाषाएं और अवधारणाएं समान हैं। सबसे महत्वपूर्ण विभाग हैं:


 * परिमित समूह - परिमित समूहों के अध्ययन में समूह प्रतिनिधित्व एक बहुत ही महत्वपूर्ण उपकरण है। वे परिमित समूह सिद्धांत के क्रिस्टलिकी और ज्यामिति के अनुप्रयोगों में भी उत्पन्न होते हैं। यदि सदिश स्थल के अदिश के क्षेत्र (गणित) में विशेषता (बीजगणित) p है, और यदि p समूह के क्रम को विभाजित करता है, तो इसे प्रमापीय प्रतिनिधित्व सिद्धांत कहा जाता है; इस विशेष सम्बन्ध में बहुत भिन्न गुण हैं। परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत देखें।
 * संक्षिप्त समूह या स्थानीय रूप से संक्षिप्त समूह - परिमित समूह प्रतिनिधित्व सिद्धांत के कई परिणाम समूह के औसत से साबित होते हैं। इन सबूतों को एक अभिन्न के साथ औसत के प्रतिस्थापन द्वारा अनंत समूहों में ले जाया जा सकता है, बशर्ते कि अभिन्न की स्वीकार्य धारणा को परिभाषित किया जा सके। यह हार उपाय का उपयोग करके स्थानीय रूप से संक्षिप्त समूहों के लिए किया जा सकता है। परिणामी सिद्धांत सुसंगत विश्लेषण का एक केंद्रीय हिस्सा है। पोंट्रीगिन द्वैत एक सामान्यीकृत  फूरियर रूपांतरण के रूप में, क्रम विनिमेय समूहों के सिद्धांत का वर्णन करता है। इन्हें भी देखें: पीटर-वेइल प्रमेय।
 * निहित समूह - कई महत्वपूर्ण निहित समूह संक्षिप्त होते हैं, इसलिए संक्षिप्त प्रतिनिधित्व सिद्धांत के परिणाम उन पर लागू होते हैं। निहित समूहों के लिए विशिष्ट अन्य तकनीकों का भी उपयोग किया जाता है। भौतिकी और रसायन विज्ञान में महत्वपूर्ण अधिकांश समूह निहित समूह हैं, और उनका प्रतिनिधित्व सिद्धांत उन क्षेत्रों में समूह सिद्धांत के अनुप्रयोग के लिए महत्वपूर्ण है। निहित समूहों के प्रतिनिधित्व और निहित बीजगणित के प्रतिनिधित्व देखें।
 * रैखिक बीजगणितीय समूह (या अधिक सामान्यतः समूह योजनाएं) - ये निहित समूहों के अनुरूप हैं, लेकिन सिर्फ 'R ' या 'C ' की तुलना में अधिक सामान्य क्षेत्रों में। हालांकि रैखिक बीजगणितीय समूहों का एक वर्गीकरण है जो निहित समूहों के समान है, और निहित बीजगणित के समान परिवारों को जन्म देता है, उनके प्रतिनिधित्व अलग-अलग होते हैं (और बहुत कम अच्छी तरह से समझा जाता है)। निहित समूहों का अध्ययन करने के लिए उपयोग की जाने वाली विश्लेषणात्मक तकनीकों को बीजगणितीय ज्यामिति से तकनीकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए, जहां अपेक्षाकृत कमजोर जरिस्की सांस्थिति कई तकनीकी जटिलताओं का कारण बनती है।
 * गैर-संक्षिप्त सांस्थितिक समूह - गैर-संक्षिप्त समूहों का वर्ग किसी भी सामान्य प्रतिनिधित्व सिद्धांत का निर्माण करने के लिए बहुत व्यापक है, लेकिन कभी-कभी तदर्थ तकनीकों का उपयोग करते हुए विशिष्ट विशेष स्थितियों का अध्ययन किया गया है। अर्ध-सरल निहित समूहों का एक गहरा सिद्धांत है, जो संक्षिप्त स्थिति पर आधारित है। पूरक हल करने योग्य निहित समूहों को उसी तरह वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है। निहित समूहों के लिए सामान्य सिद्धांत मैकी सिद्धांत नामक सामान्य परिणामों के माध्यम से दो प्रकार के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पादों से संबंधित है, जो विग्नर के वर्गीकरण विधियों का सामान्यीकरण है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत भी सदिश स्थान के प्रकार पर बहुत अधिक निर्भर करता है जिस पर समूह कार्य करता है। एक परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व और अनंत-आयामी प्रतिनिधित्व के बीच अंतर करता है। अनंत-आयामी स्थिति में, अतिरिक्त संरचनाएं महत्वपूर्ण हैं।

किसी को उस प्रकार के क्षेत्र (गणित) पर भी विचार करना चाहिए जिस पर सदिश स्थान परिभाषित किया गया है। सबसे महत्वपूर्ण स्थिति जटिल संख्याओं का क्षेत्र है। अन्य महत्वपूर्ण स्थिति वास्तविक संख्या, परिमित क्षेत्र और p-अदिक संख्या के क्षेत्र हैं। सामान्य तौर पर, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों को गैर-बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों की तुलना में संभालना आसान होता है। क्षेत्र की विशेषता (बीजगणित) भी महत्वपूर्ण है; परिमित समूहों के लिए कई प्रमेय आदेश (समूह सिद्धांत) को विभाजित नहीं करने वाले क्षेत्र की विशेषता पर निर्भर करते हैं।

परिभाषाएँ
एक क्षेत्र (गणित) K पर एक सदिश स्थान V पर एक समूह (गणित) G का प्रतिनिधित्व G से GL(V') तक एक समूह समरूपता है '), सामान्य रेखीय समूह V पर सदिश स्थान का सामान्य रेखीय समूह। अर्थात्, प्रतिनिधित्व एक मानचित्र है
 * $$\rho \colon G \to \mathrm{GL}\left(V \right)$$ ऐसा है कि
 * $$\rho(g_1 g_2) = \rho(g_1) \rho(g_2), \qquad \text{for all }g_1,g_2 \in G.$$

यहाँ V को 'प्रतिनिधित्व स्थान' कहा जाता है और V के आयाम को प्रतिनिधित्व का 'आयाम' कहा जाता है। संदर्भ से समरूपता स्पष्ट होने पर प्रतिनिधित्व के रूप में v को संदर्भित करना सामान्य बात है।

ऐसे स्थिति में जहां V n का परिमित आयाम है, V के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) चुनना और GL(V) की पहचान करना सामान्य बात है GL(n, K), क्षेत्र K पर n-by-n उलटा आव्यूह का समूह।


 * यदि g एक सांस्थितिक समूह  है और v एक सांस्थितिक सदिश स्थल है, तो v पर g का 'निरंतर प्रतिनिधित्व' एक प्रतिनिधित्व ρ है जैसे कि आवेदन Φ : G × V → V द्वारा परिभाषित Φ(g, v) = ρ(g)(v)  निरंतर कार्य (सांस्थिति)  है।
 * एक समूह 'g' के प्रतिनिधित्व  ρ  के कर्नेल को g के सामान्य उपसमूह के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसकी छवि ρ के तहत पहचान परिवर्तन है:
 * $$\ker \rho = \left\{g \in G \mid \rho(g) = \mathrm{id}\right\}.$$
 * एक वफादार प्रतिनिधित्व वह है जिसमें समरूपता G → GL(V) अंतःक्षेपकहै; दूसरे शब्दों में, जिसका कर्नेल तुच्छ उपसमूह {e} है जिसमें केवल समूह का पहचान तत्व सम्मिलित है।


 * दो K सदिश रिक्त स्थान V और W को देखते हुए, दो प्रतिनिधित्व ρ : G → GL(V) और π : G → GL(W) को समतुल्य या समरूपी कहा जाता है यदि सदिश स्थल तदर्थता α : V → W मौजूद है। ताकि g के लिए सभी g,
 * $$\alpha \circ \rho(g) \circ \alpha^{-1} = \pi(g).$$

उदाहरण
सम्मिश्र संख्या u = e2πi / 3 पर विचार करें जिसका गुण u3 = 1 है। समुच्चय C3 = {1, u, u2} गुणन के तहत एक चक्रीय समूह बनाता है। इस समूह का प्रतिनिधित्व ρ पर $$\mathbb{C}^2$$के द्वारा दिया गया है :



\rho \left( 1 \right) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \qquad \rho \left( u \right) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & u \\ \end{bmatrix} \qquad \rho \left( u^2 \right) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & u^2 \\ \end{bmatrix}. $$ यह निरूपण विश्वसनीय है क्योंकि ρ एक-से-एक मानचित्र है।।

$$\mathbb{C}^2$$ पर C3 के लिए एक अन्य प्रस्तुतिकरण, पिछले वाले के समतुल्य, σ द्वारा दिया गया है:



\sigma \left( 1 \right) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \qquad \sigma \left( u \right) = \begin{bmatrix} u & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \qquad \sigma \left( u^2 \right) = \begin{bmatrix} u^2 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix}. $$ समूह C3 को भी $$\mathbb{R}^2$$ पर τ द्वारा दर्शाया जा सकता है:



\tau \left( 1 \right) = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ \end{bmatrix} \qquad \tau \left( u \right) = \begin{bmatrix} a & -b \\ b & a \\ \end{bmatrix} \qquad \tau \left( u^2 \right) = \begin{bmatrix} a & b \\ -b & a \\ \end{bmatrix} $$ जहाँ


 * $$a=\text{Re}(u)=-\tfrac{1}{2}, \qquad b=\text{Im}(u)=\tfrac{\sqrt{3}}{2}.$$

एक और उदाहरण:

मान लें $$V$$ परिवर्ती में सम्मिश्र संख्याओं पर सजातीय डिग्री-3 बहुपदों का स्थान $$x_1, x_2, x_3 $$ है

फिर $$S_3$$ पर कार्य करता है $$V$$ तीन चरों के क्रमचय द्वारा।

उदाहरण के लिए, $$(12)$$ $$x_{1}^3$$ को $$x_{2}^3$$.भेजता है

न्यूनीकरण
V का एक उपसमष्‍टि W को उप-प्रतिनिधित्व कहा जाता है जो कि समूह क्रिया (गणित) के तहत अपरिवर्तनीय है। यदि V के ठीक दो उपनिरूपण हैं, अर्थात् शून्य-आयामी उपसमष्टि और स्वयं V, तो निरूपण को 'अलघुकरणीय' कहा जाता है; यदि इसमें गैर-शून्य आयाम का उचित उप-निरूपण है, तो प्रतिनिधित्व को 'कम करने योग्य' कहा जाता है। आयाम शून्य का प्रतिनिधित्व न तो कम करने योग्य और न ही कम करने योग्य माना जाता है, जिस प्रकार संख्या 1 को न तो समग्र संख्या और न ही अभाज्य संख्या माना जाता है।

इस धारणा के तहत कि आधार K की विशेषता (बीजगणित) समूह के आकार को विभाजित नहीं करती है, परिमित समूहों के निरूपण को अप्रासंगिक उप-प्रतिनिधियों के समूहों के प्रत्यक्ष योग में विघटित किया जा सकता है (मास्चके प्रमेय देखें)। यह विशेष रूप से जटिल संख्याओं पर परिमित समूह के किसी भी प्रतिनिधित्व के लिए है, क्योंकि जटिल संख्याओं की विशेषता शून्य है, जो समूह के आकार को कभी विभाजित नहीं करती है।

ऊपर दिए गए उदाहरण में, दिए गए पहले दो प्रतिनिधित्व (ρ और σ) दोनों दो 1-आयामी उप-निरूपण में विघटित होते हैं, जबकि तीसरा प्रतिनिधित्व (τ) अलघुकरणीय है।

समुच्चय-सैद्धांतिक अभ्यावेदन
एक समुच्चय (गणित) X पर एक समूह (गणित) G का एक समुच्चय-सैद्धांतिक प्रतिनिधित्व (जिसे समूह क्रिया या क्रमचय प्रतिनिधित्व के रूप में भी जाना जाता है) एक प्रकार्य (गणित) ρ द्वारा : G → XX, X से X तक के कार्यों का समुच्चय दिया जाता है, जैसे कि सभी g1 के लिए, g2 G में और X में सभी x:


 * $$\rho(1)[x] = x$$
 * $$\rho(g_1 g_2)[x]=\rho(g_1)[\rho(g_2)[x]],$$

जहाँ $$1$$ G का पहचान तत्व है। यह स्थिति और एक समूह के लिए स्वयंसिद्धों का अर्थ है कि ρ (G) G में सभी g के लिए एक आक्षेप (या क्रमचय) है। इस प्रकार हम समान रूप से क्रमचय प्रतिनिधित्व को G से समूह समरूपता के रूप में परिभाषित कर सकते हैं सममित समूह X का SX ।

इस विषय पर अधिक जानकारी के लिए समूह क्रिया (गणित) पर लेख देखें।

अन्य श्रेणियों में प्रतिनिधित्व
प्रत्येक समूह G को एक वस्तु के साथ एक श्रेणी (गणित) के रूप में देखा जा सकता है; इस श्रेणी में आकारिता सिर्फ G के तत्व हैं। एक स्वेच्छाचारी श्रेणी C को देखते हुए, C में G का प्रतिनिधित्व G से C तक एक संचालक है। ऐसा प्रकार्यक C में एक वस्तु X और G से ओट(X) के लिए एक समूह समरूपता का चयन करता है। एक्स का स्वसमाकृतिकता समूह।

ऐसे स्थिति में जहां C, VectK क्षेत्रक K पर सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी है, यह परिभाषा एक रैखिक प्रतिनिधित्व के बराबर है। इसी तरह, एक सम्मुच्चय-सैद्धांतिक प्रतिनिधित्व सम्मुच्चय की श्रेणी में G का प्रतिनिधित्व मात्र है।

जब C 'Ab' एबेलियन समूहों की श्रेणी है, प्राप्त वस्तुओं को G- मापदंड कहा जाता है।

एक अन्य उदाहरण के लिए सांस्थितिक स्थल की श्रेणी, 'टॉप' पर विचार करें। 'टॉप' में प्रतिनिधित्व G से समरूपता समूह के एक स्थलीय स्थान X के समरूपी हैं।

रैखिक निरूपण से निकटता से संबंधित दो प्रकार के निरूपण हैं:
 * प्रक्षेपी अभ्यावेदन: प्रक्षेपी रिक्त स्थान की श्रेणी में। इन्हें अदिश परिवर्तनों तक रैखिक प्रतिनिधित्व के रूप में वर्णित किया जा सकता है।
 * सजातीय प्रतिनिधित्व : सजातीय रिक्त स्थान की श्रेणी में। उदाहरण के लिए, यूक्लिडीय समूह यूक्लिडीय अंतरिक्ष पर सजातीय रूप से कार्य करता है।

यह भी देखें

 * अलघुकरणीय अभ्यावेदन
 * विशेष्ता तालिका
 * विशेष्ता सिद्धांत
 * आणविक समरूपता
 * सुसंगत विश्लेषण विषयों की सूची
 * प्रतिनिधित्व सिद्धांत विषयों की सूची
 * परिमित समूहों का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
 * अर्ध-सरल प्रतिनिधित्व

संदर्भ

 * . Introduction to representation theory with emphasis on Lie groups.
 * Yurii I. Lyubich. Introduction to the Theory of Banach Representations of Groups. Translated from the 1985 Russian-language edition (Kharkov, Ukraine). Birkhäuser Verlag. 1988.