तीन चरणों का प्रमेय

सिविल इंजीनियरिंग और संरचनात्मक विश्लेषण में बेनोइट पॉल एमिल क्लैपेरॉन का तीन क्षणों का प्रमेय एक क्षैतिज बीम के लगातार तीन समर्थनों पर झुकने वाले क्षणों के बीच एक संबंध है।

मान लीजिए ए,बी,सी-डी समर्थन के तीन लगातार बिंदु हैं, और एबी की लंबाई को एल से निरूपित करें और $$l'$$ BC की लंबाई, w और द्वारा $$w'$$ इन खंडों में लंबाई की प्रति इकाई भार। तब झुकने वाले क्षण $$M_A,\, M_B,\, M_C$$ तीन बिंदुओं पर संबंधित हैं:


 * $$M_A l + 2 M_B (l+l') +M_C l' = \frac{1}{4} w l^3 + \frac{1}{4} w' (l')^3.$$

इस समीकरण को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है
 * $$M_A l + 2 M_B (l+l') +M_C l' = \frac{6 a_1 x_1}{l} + \frac{6 a_2 x_2}{l'}$$

जहाँ एक1 एबी पर ऊर्ध्वाधर भार के कारण कतरनी और क्षण आरेख पर क्षेत्र है, ए2 BC, x पर भार के कारण क्षेत्रफल है1 बीम AB, x के बंकन आघूर्ण आरेख के A से केन्द्रक तक की दूरी है2 बीम BC के बंकन आघूर्ण आरेख के क्षेत्र के C से केन्द्रक तक की दूरी है।

दूसरा समीकरण अधिक सामान्य है क्योंकि इसमें प्रत्येक खंड का भार समान रूप से वितरित करने की आवश्यकता नहीं है।

तीन आघूर्ण समीकरणों की व्युत्पत्ति
क्रिश्चियन ओटो मोहर|मोहर का प्रमेय तीन क्षण प्रमेय को प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जा सकता है (टीएमटी)।

मोहर का पहला प्रमेय
एक बीम के दो बिंदुओं के बीच विक्षेपण (भौतिकी) वक्र के ढलान में परिवर्तन उन दो बिंदुओं के बीच एम/ईआई आरेख के क्षेत्र के बराबर होता है। (चित्रा 02)

मोहर का दूसरा प्रमेय
एक बीम (संरचना) पर दो बिंदुओं k1 और k2 पर विचार करें। K1 और k2 पर स्पर्शरेखा और k1 के माध्यम से ऊर्ध्वाधर के बीच प्रतिच्छेदन बिंदु के सापेक्ष k1 और k2 का विक्षेपण (भौतिकी) k1 और k2 के बीच k1 के बारे में M/EI आरेख के क्षण के बराबर है। (चित्र 03) तीन क्षण समीकरण एक निरंतर बीम के तीन क्रमिक समर्थनों पर झुकने वाले क्षणों के बीच संबंध को व्यक्त करता है, जो समर्थन के निपटान (संरचनात्मक) के साथ या उसके बिना दो आसन्न अवधि पर लोडिंग के अधीन है।

संकेत परिपाटी
चित्र 04 के अनुसार,
 * 1) क्षण M1, M2, और M3 सकारात्मक होंगे यदि वे बीम के ऊपरी भाग में संपीड़न (भौतिक) का कारण बनते हैं। (:विकट:सैगिंग पॉजिटिव)
 * 2) विक्षेपण (भौतिकी) नीचे की ओर सकारात्मक। (डाउनवर्ड सेटलमेंट सकारात्मक)
 * 3) माना ABC एक :wikt:निरंतर किरण है जिसका समर्थन A,B, और C पर है। फिर A,B, और C पर आघूर्ण क्रमशः M1, M2 और M3 हैं।
 * 4) मान लीजिए कि समर्थन निपटान (संरचनात्मक) के कारण A' B' और C' बीम ABC की अंतिम स्थिति हैं।

तीन क्षण प्रमेय की व्युत्पत्ति
पीबी'क्यू बीम (संरचना) एबीसी के अंतिम लोच (भौतिकी) वक्र ए'बी'सी' के लिए बी' पर खींची गई एक स्पर्शरेखा है। RB'S, B' से होकर खींची गई एक क्षैतिज रेखा है। त्रिभुज RB'P और QB'S पर विचार करें।


 * $$\dfrac{PR}{RB'} = \dfrac{SQ}{B'S},$$

(1), (2), और (3) से,
 * $$\dfrac{\Delta B - \Delta A + PA'}{L1} = \dfrac{\Delta C - \Delta B - QC'}{L2}$$

PA' और QC' ज्ञात करने के लिए M/EI आरेख बनाएं। मोहर के दूसरे प्रमेय से

पीए' = ए के बारे में ए और बी के बीच एम/ईआई आरेख के क्षेत्र का पहला क्षण।
 * $$PA' = \left(\frac{1}{2} \times \frac{M_1}{E_1 I_1} \times L_1\right)\times L_1\times \frac{1}{3} + \left(\frac{1}{2} \times \frac{M_2}{E_2 I_2} \times L_1\right)\times L_1\times\frac{2}{3}+ \frac{A_1 X_1}{E_1 I_1}$$

QC' = C के बारे में B और C के बीच M/EI आरेख के क्षेत्रफल का पहला क्षण।
 * $$QC' = \left(\frac{1}{2} \times \frac{M_3}{E_2 I_2} \times L_2\right)\times L_2\times\frac{1}{3} + \left(\frac{1}{2} \times \frac{M_2}{E_2 I_2} \times L_2\right)\times L_2\times\frac{2}{3}+ \frac{A_2 X_2}{E_2 I_2}$$

समीकरण (ए) पर पीए' और क्यूसी' को प्रतिस्थापित करने पर, तीन क्षण प्रमेय (टीएमटी) प्राप्त किया जा सकता है।

तीन क्षण समीकरण

 * $$\frac{M_1 L_1}{E_1 I_1}+ 2M_2\left(\frac{L_1}{E_1 I_1} + \frac{L_2}{E_2 I_2}\right)+\frac{M_3 L_2}{E_2 I_2} = 6 [\frac{\Delta A - \Delta B}{L_1} + \frac{\Delta C - \Delta B}{L_2}] - 6 [\frac{A_1 X_1}{E_1 I_1 L_1} + \frac{A_2 X_2}{E_2 I_2 L_2}]$$

बाहरी संबंध

 * CodeCogs: Continuous beams with more than one span