प्रतिलोम समस्या

विज्ञान में एक उलटा समस्या अवलोकनों के एक सेट से गणना करने की प्रक्रिया है जो उन्हें उत्पन्न करने वाले कारण कारक हैं: उदाहरण के लिए, एक्स-रे कंप्यूटेड टोमोग्राफी में एक छवि की गणना, ध्वनिकी में ध्वनि स्रोत पुनर्निर्माण, या माप से पृथ्वी के घनत्व की गणना इसके गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की। इसे उलटा समस्या कहा जाता है क्योंकि यह प्रभावों से शुरू होता है और फिर कारणों की गणना करता है। यह आगे की समस्या का विलोम है, जो कारणों से शुरू होती है और फिर प्रभावों की गणना करती है।

व्युत्क्रम समस्याएं विज्ञान और गणित की सबसे महत्वपूर्ण गणितीय समस्याओं में से कुछ हैं क्योंकि वे हमें उन मापदंडों के बारे में बताती हैं जिनका हम सीधे निरीक्षण नहीं कर सकते हैं। उनके पास प्रणाली पहचान, प्रकाशिकी, राडार, ध्वनिकी, संचार सिद्धांत, संकेत आगे बढ़ाना, मेडिकल इमेजिंग, कंप्यूटर दृष्टि, में व्यापक अनुप्रयोग है।  भूभौतिकी, समुद्र विज्ञान, खगोल विज्ञान, सुदूर संवेदन, प्राकृतिक भाषा प्रसंस्करण,  यंत्र अधिगम , गैर-विनाशकारी परीक्षण, ढलान स्थिरता विश्लेषण और कई अन्य क्षेत्र।

इतिहास
कारणों की खोज के लिए प्रभावों के साथ शुरू करना सदियों से भौतिकविदों को चिंतित करता रहा है। एक ऐतिहासिक उदाहरण जॉन काउच एडम्स और शहरी ले वेरियर की गणना है, जिसने अरुण ग्रह  के परेशान प्रक्षेपवक्र से नेपच्यून की खोज की। हालांकि, 20वीं शताब्दी तक व्युत्क्रम समस्याओं का एक औपचारिक अध्ययन शुरू नहीं किया गया था।

व्युत्क्रम समस्या के समाधान के प्रारंभिक उदाहरणों में से एक हरमन वेइल द्वारा खोजा गया था और 1911 में प्रकाशित किया गया था, जिसमें लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर के ईजेनवैल्यूज़ के स्पर्शोन्मुख व्यवहार का वर्णन किया गया था। आज वेइल के कानून के रूप में जाना जाता है, यह शायद इस प्रश्न के जवाब के रूप में सबसे आसानी से समझा जा सकता है कि क्या ड्रम के आकार को सुनना संभव है। वेइल ने अनुमान लगाया कि एक ड्रम की ईजेनफ्रीक्वेंसी एक विशेष समीकरण द्वारा ड्रम के क्षेत्र और परिधि से संबंधित होगी, जिसके परिणामस्वरूप बाद के गणितज्ञों द्वारा संशोधन किया गया।

व्युत्क्रम समस्याओं के क्षेत्र को बाद में सोवियत संघ-अर्मेनियाई भौतिक विज्ञानी, विक्टर अम्बर्टसुमियन द्वारा छुआ गया था।

अभी भी एक छात्र के रूप में, अम्बार्टसुमियन ने परमाणु संरचना के सिद्धांत, ऊर्जा स्तरों के गठन, और श्रोडिंगर समीकरण और इसके गुणों का गहन अध्ययन किया, और जब उन्होंने अंतर समीकरणों के ईजेनवेल्यूज़ और ईजेनवेक्टरों के सिद्धांत में महारत हासिल की, तो उन्होंने असतत के बीच स्पष्ट सादृश्यता की ओर संकेत किया। ऊर्जा स्तर और अंतर समीकरणों के आइगेनवैल्यूज़। उन्होंने तब पूछा: आइगेनवैल्यू के एक परिवार को देखते हुए, क्या उन समीकरणों का रूप खोजना संभव है जिनके आइगेनवैल्यू हैं? अनिवार्य रूप से अम्बर्टसुमियन व्युत्क्रम स्टर्म-लिउविल समस्या की जांच कर रहे थे, जो एक कंपन स्ट्रिंग के समीकरणों को निर्धारित करने से संबंधित था। यह पत्र 1929 में जर्मन भौतिकी पत्रिका Zeitschrift für Physik में प्रकाशित हुआ था और काफी लंबे समय तक गुमनामी में रहा। कई दशकों के बाद इस स्थिति का वर्णन करते हुए, अम्बार्टसुमियन ने कहा, यदि कोई खगोलशास्त्री भौतिकी पत्रिका में गणितीय सामग्री के साथ एक लेख प्रकाशित करता है, तो सबसे अधिक संभावना यह है कि विस्मरण होगा।

फिर भी, द्वितीय विश्व युद्ध के अंत की ओर, 20 वर्षीय अंबार्टसुमियन द्वारा लिखित यह लेख स्वीडिश गणितज्ञों द्वारा पाया गया और व्युत्क्रम समस्याओं पर शोध के एक पूरे क्षेत्र के लिए प्रारंभिक बिंदु बन गया, जो एक संपूर्ण की नींव बन गया। अनुशासन।

तब विशेष रूप से सोवियत संघ में मार्चेंको समीकरण द्वारा व्युत्क्रम बिखरने की समस्या के प्रत्यक्ष समाधान के लिए महत्वपूर्ण प्रयास समर्पित किए गए हैं। उन्होंने समाधान का निर्धारण करने के लिए एक विश्लेषणात्मक रचनात्मक विधि प्रस्तावित की। जब कंप्यूटर उपलब्ध हो गए, तो कुछ लेखकों ने समान समस्याओं के लिए अपने दृष्टिकोण को प्रयुक्त करने की संभावना की जांच की, जैसे कि 1D तरंग समीकरण में व्युत्क्रम समस्या। लेकिन यह तेजी से निकला कि उलटा एक अस्थिर प्रक्रिया है: शोर और त्रुटियों को जबरदस्त रूप से बढ़ाया जा सकता है जिससे प्रत्यक्ष समाधान शायद ही व्यावहारिक हो। फिर, सत्तर के दशक के आसपास, सबसे कम-वर्ग और संभाव्य दृष्टिकोण आए और विभिन्न भौतिक प्रणालियों में सम्मिलित मापदंडों के निर्धारण के लिए बहुत मददगार साबित हुए। इस दृष्टिकोण को बहुत सफलता मिली। आजकल भौतिक विज्ञान के बाहर के क्षेत्रों जैसे रसायन विज्ञान, अर्थशास्त्र और कंप्यूटर विज्ञान में भी विपरीत समस्याओं की जांच की जाती है। आखिरकार, जैसा कि संख्यात्मक मॉडल समाज के कई हिस्सों में प्रचलित हो जाते हैं, हम इनमें से प्रत्येक संख्यात्मक मॉडल से जुड़ी एक व्युत्क्रम समस्या की उम्मीद कर सकते हैं।

वैचारिक समझ
न्यूटन के बाद से, वैज्ञानिकों ने बड़े पैमाने पर दुनिया को मॉडल बनाने का प्रयास किया है। विशेष रूप से, जब एक गणितीय मॉडल उपलब्ध होता है (उदाहरण के लिए, न्यूटन का गुरुत्वाकर्षण नियम या इलेक्ट्रोस्टैटिक्स के लिए कूलम्ब का समीकरण), हम भौतिक प्रणाली (जैसे द्रव्यमान का वितरण या विद्युत आवेशों का वितरण) का वर्णन करने वाले कुछ मापदंडों को देखते हुए देख सकते हैं। प्रणाली का व्यवहार। इस दृष्टिकोण को गणितीय मॉडलिंग के रूप में जाना जाता है और उपर्युक्त भौतिक मापदंडों को मॉडल पैरामीटर या केवल मॉडल कहा जाता है। स्पष्ट होने के लिए, हम भौतिक प्रणाली की स्थिति की धारणा का परिचय देते हैं: यह गणितीय मॉडल के समीकरण का समाधान है। इष्टतम नियंत्रण में, इन समीकरणों को राज्य-अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व के रूप में संदर्भित किया जाता है। कई स्थितियों में हम वास्तव में भौतिक स्थिति को जानने में रुचि नहीं रखते हैं, लेकिन केवल कुछ वस्तुओं पर इसके प्रभाव (उदाहरण के लिए, किसी विशिष्ट ग्रह पर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के प्रभाव) को जानने में रुचि रखते हैं। इसलिए हमें एक अन्य ऑपरेटर को पेश करना होगा, जिसे ऑब्जर्वेशन ऑपरेटर कहा जाता है, जो भौतिक प्रणाली की स्थिति (यहाँ अनुमानित गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र) को उस चीज़ में परिवर्तित करता है जिसे हम देखना चाहते हैं (यहाँ माने गए ग्रह की गति)। अब हम तथाकथित आगे की समस्या का परिचय दे सकते हैं, जिसमें दो चरण होते हैं: इससे दूसरे ऑपरेटर (गणित) का परिचय होता है $$F$$ (एफ आगे के लिए खड़ा है) जो मॉडल मापदंडों को मैप करता है $$p$$ में $$F(p)$$, वह डेटा जो मॉडल करता है $$p$$ भविष्यवाणी करता है कि इस दो-चरणीय प्रक्रिया का परिणाम है। ऑपरेटर $$F$$ फॉरवर्ड ऑपरेटर या फॉरवर्ड मैप कहा जाता है। इस दृष्टिकोण में हम मूल रूप से कारणों को जानकर प्रभावों की भविष्यवाणी करने का प्रयास करते हैं।
 * इसका वर्णन करने वाले भौतिक मापदंडों से प्रणाली की स्थिति का निर्धारण
 * प्रणाली की अनुमानित स्थिति के लिए अवलोकन ऑपरेटर का अनुप्रयोग जिससे हम जो निरीक्षण करना चाहते हैं उसके व्यवहार की भविष्यवाणी कर सकें।

नीचे दी गई तालिका दिखाती है, पृथ्वी को भौतिक प्रणाली के रूप में माना जाता है और विभिन्न भौतिक घटनाओं के लिए, मॉडल पैरामीटर जो प्रणाली का वर्णन करते हैं, भौतिक मात्रा जो भौतिक प्रणाली की स्थिति का वर्णन करती है और सामान्यतः प्रणाली की स्थिति पर किए गए अवलोकन। उलटा समस्या दृष्टिकोण में हम, मोटे तौर पर बोलते हुए, दिए गए प्रभावों के कारणों को जानने का प्रयास करते हैं।

प्रतिलोम समस्या का सामान्य कथन
व्युत्क्रम समस्या आगे की समस्या का व्युत्क्रम है: विशेष मॉडल मापदंडों द्वारा उत्पादित डेटा का निर्धारण करने के बजाय, हम डेटा उत्पन्न करने वाले मॉडल मापदंडों को निर्धारित करना चाहते हैं $$d_\text{obs}$$ यह वह अवलोकन है जिसे हमने रिकॉर्ड किया है (सबस्क्रिप्ट ऑब्जर्व का मतलब मनाया जाता है)।

हमारा लक्ष्य, दूसरे शब्दों में, मॉडल पैरामीटर निर्धारित करना है $$p$$ ऐसा कि (कम से कम लगभग) $$ d_\text{obs} = F(p)$$ जहाँ $$F$$ आगे का मानचित्र है। हम द्वारा निरूपित करते हैं $$M$$ (संभवतः अनंत) मॉडल मापदंडों की संख्या, और द्वारा $$N$$ रिकॉर्ड किए गए डेटा की संख्या। हम कुछ उपयोगी अवधारणाओं और संबंधित नोटेशन पेश करते हैं जिनका उपयोग नीचे किया जाएगा: अवशिष्टों की अवधारणा बहुत महत्वपूर्ण है: डेटा से मेल खाने वाले मॉडल को खोजने के दायरे में, उनके विश्लेषण से पता चलता है कि विचार किए गए मॉडल को यथार्थवादी माना जा सकता है या नहीं। डेटा और मॉडल प्रतिक्रियाओं के बीच व्यवस्थित अवास्तविक विसंगतियों से यह भी पता चलता है कि आगे का मानचित्र अपर्याप्त है और एक उत्तम आगे के मानचित्र के बारे में जानकारी दे सकता है।
 * द्वारा निरूपित मॉडल का स्थान $$P$$: मॉडल पैरामीटर द्वारा फैला सदिश स्थल ; यह है $$M$$ आयाम;
 * द्वारा निरूपित डेटा का स्थान $$D$$: $$D = \R^N$$ यदि हम मापे गए नमूनों को वेक्टर में व्यवस्थित करते हैं $$N$$ घटक (हमारे माप में कार्य सम्मिलित हैं, $$D$$ अनंत आयामों वाला एक सदिश स्थान है);
 * $$F(p)$$: मॉडल की प्रतिक्रिया $$p$$; इसमें मॉडल द्वारा अनुमानित डेटा सम्मिलित है $$p$$;
 * $$F(P)$$: की छवि $$P$$ आगे के मानचित्र से, यह का एक उपसमुच्चय है $$D$$ (लेकिन उप-स्थान नहीं जब तक $$F$$ रैखिक है) सभी मॉडलों की प्रतिक्रियाओं से बना है;
 * $$d_\text{obs} - F(p)$$: मॉडल से जुड़ा डेटा मिसफिट (या अवशिष्ट)। $$p$$: उन्हें एक सदिश के रूप में व्यवस्थित किया जा सकता है, का एक तत्व $$D$$.

जब ऑपरेटर $$F$$ रैखिक है, व्युत्क्रम समस्या रैखिक है। अन्यथा, यह सबसे अधिक बार होता है, उलटा समस्या अरैखिक होती है। साथ ही, मॉडलों को सदैव परिमित संख्या में पैरामीटर द्वारा वर्णित नहीं किया जा सकता है। यह मामला है जब हम वितरित पैरामीटर प्रणाली (उदाहरण के लिए तरंग-गति का वितरण) की तलाश करते हैं: ऐसी स्थितियों में उलटा समस्या का लक्ष्य एक या कई कार्यों को पुनः प्राप्त करना है। ऐसी प्रतिलोम समस्याएँ अनंत आयाम वाली प्रतिलोम समस्याएँ हैं।

 लीनियर इनवर्स प्रॉब्लम
एक रेखीय आगे के मानचित्र की स्थिति में और जब हम मॉडल मापदंडों की एक सीमित संख्या से निपटते हैं, तो आगे के मानचित्र को एक रेखीय प्रणाली के रूप में लिखा जा सकता है $$ d = Fp$$ जहाँ $$F$$ आव्यूह (गणित) है जो आगे के मानचित्र की विशेषता है।

एक प्रारंभिक उदाहरण: पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र
मॉडल पैरामीटर के संबंध में केवल कुछ भौतिक प्रणालियां वास्तव में रैखिक हैं। भूभौतिकी से ऐसी ही एक प्रणाली पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण | पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की है। पृथ्वी का गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र उपसतह में पृथ्वी के घनत्व वितरण द्वारा निर्धारित किया जाता है। क्योंकि पृथ्वी की लिथोलॉजी में काफी बदलाव आया है, हम पृथ्वी की सतह पर पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में सूक्ष्म अंतर देखने में सक्षम हैं। गुरुत्वाकर्षण (न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम) की हमारी समझ से, हम जानते हैं कि गुरुत्वाकर्षण के लिए गणितीय अभिव्यक्ति है: $$d= \frac{G p}{r^2};$$ यहाँ $$d$$ स्थानीय गुरुत्वाकर्षण त्वरण का एक उपाय है, $$G$$ गुरुत्वाकर्षण त्वरण है, $$p$$ उपसतह में चट्टान का स्थानीय द्रव्यमान (जो घनत्व से संबंधित है) है और $$r$$ द्रव्यमान से अवलोकन बिंदु की दूरी है।

उपरोक्त अभिव्यक्ति को असतत करके, हम पृथ्वी की सतह पर असतत डेटा टिप्पणियों को उपसतह में असतत मॉडल मापदंडों (घनत्व) से संबंधित करने में सक्षम हैं, जिसके बारे में हम और जानना चाहते हैं। उदाहरण के लिए, उस स्थिति पर विचार करें जहां हमने पृथ्वी की सतह पर 5 स्थानों पर मापन किया है। इस स्थिति में, हमारा डेटा वेक्टर, $$d$$ आयाम का एक स्तंभ सदिश है (5×1): इसकी $$i$$-वाँ घटक जुड़ा हुआ है $$i$$-वाँ अवलोकन स्थान। हम यह भी जानते हैं कि हमारे पास केवल पाँच अज्ञात द्रव्यमान हैं $$p_j$$ ज्ञात स्थान के साथ उपसतह में (अवास्तविक लेकिन अवधारणा को प्रदर्शित करने के लिए उपयोग किया जाता है): हम द्वारा निरूपित करते हैं $$r_{ij}$$ के बीच की दूरी $$i$$-वें अवलोकन स्थान और $$j$$-वाँ द्रव्यमान। इस प्रकार, हम पाँच अज्ञात द्रव्यमानों को पाँच डेटा बिंदुओं से संबंधित रैखिक प्रणाली का निर्माण इस प्रकार कर सकते हैं: $$d = F p, $$ $$d = \begin{bmatrix} d_1 \\ d_2 \\ d_3 \\ d_4 \\ d_5 \end{bmatrix}, \quad p = \begin{bmatrix} p_1 \\ p_2 \\ p_3 \\ p_4 \\ p_5 \end{bmatrix},$$ $$F = \begin{bmatrix} \frac{G}{r_{11}^2} & \frac{G}{r_{12}^2} & \frac{G}{r_{13}^2} & \frac{G}{r_{14}^2} & \frac{G}{r_{15}^2} \\ \frac{G}{r_{21}^2} & \frac{G}{r_{22}^2} & \frac{G}{r_{23}^2} & \frac{G}{r_{24}^2} & \frac{G}{r_{25}^2} \\ \frac{G}{r_{31}^2} & \frac{G}{r_{32}^2} & \frac{G}{r_{33}^2} & \frac{G}{r_{34}^2} & \frac{G}{r_{35}^2} \\ \frac{G}{r_{41}^2} & \frac{G}{r_{42}^2} & \frac{G}{r_{43}^2} & \frac{G}{r_{44}^2} & \frac{G}{r_{45}^2} \\ \frac{G}{r_{51}^2} & \frac{G}{r_{52}^2} & \frac{G}{r_{53}^2} & \frac{G}{r_{54}^2} & \frac{G}{r_{55}^2} \end{bmatrix}$$ हमारे डेटा में फिट होने वाले मॉडल मापदंडों को हल करने के लिए, हम आव्यूह को उलटने में सक्षम हो सकते हैं $$F$$ माप को सीधे हमारे मॉडल पैरामीटर में बदलने के लिए। उदाहरण के लिए: $$p = F^{-1} d_\text{obs} $$ पांच समीकरणों और पांच अज्ञात वाली प्रणाली एक बहुत ही विशिष्ट स्थिति है: हमारे उदाहरण को इस विशिष्टता के साथ समाप्त करने के लिए डिज़ाइन किया गया था। सामान्य तौर पर, डेटा और अज्ञात की संख्या भिन्न होती है जिससे आव्यूह $$F$$ वर्गाकार नहीं है।

चूंकि, एक वर्ग आव्यूह में भी कोई व्युत्क्रम नहीं हो सकता है: आव्यूह $$F$$ रैंक (रैखिक बीजगणित) की कमी हो सकती है (यानी शून्य आइगेनवैल्यूज़ ​​​​है) और प्रणाली का समाधान $$p = F^{-1} d_\text{obs} $$ अद्वितीय नहीं है। तब व्युत्क्रम समस्या का समाधान अनिर्धारित होगा। यह पहली कठिनाई है। अति-निर्धारित प्रणालियों (अज्ञात से अधिक समीकरण) में अन्य मुद्दे हैं। साथ ही शोर हमारे प्रेक्षणों को दूषित कर सकता है $$d$$ संभवतः अंतरिक्ष के बाहर $$F(P)$$ मॉडल मापदंडों के लिए संभावित प्रतिक्रियाओं की जिससे प्रणाली का समाधान $$p = F^{-1} d_\text{obs} $$ उपस्थित नहीं हो सकता है। यह एक और कठिनाई है।

पहली कठिनाई दूर करने के उपाय
पहली कठिनाई एक महत्वपूर्ण समस्या को दर्शाती है: हमारी टिप्पणियों में पर्याप्त जानकारी नहीं है और अतिरिक्त डेटा की आवश्यकता है। अतिरिक्त डेटा भौतिक पूर्व सूचना से पैरामीटर मानों पर, उनके स्थानिक वितरण पर या अधिक सामान्यतः, उनकी पारस्परिक निर्भरता पर आ सकता है। यह अन्य प्रयोगों से भी आ सकता है: उदाहरण के लिए, हम घनत्व के उत्तम अनुमान के लिए ग्रेविमीटर और सिस्मोग्राफ द्वारा रिकॉर्ड किए गए डेटा को एकीकृत करने के बारे में सोच सकते हैं।

इस अतिरिक्त जानकारी का एकीकरण मूल रूप से आँकड़ों की समस्या है। यह अनुशासन वह है जो प्रश्न का उत्तर दे सकता है: विभिन्न प्रकृति की मात्राओं को कैसे मिलाया जाए? हम नीचे दिए गए बायेसियन दृष्टिकोण के अनुभाग में अधिक स्पष्ट होंगे।

वितरित मापदंडों के संबंध में, उनके स्थानिक वितरण के बारे में पूर्व सूचना में अधिकांशतः इन वितरित मापदंडों के कुछ डेरिवेटिव के बारे में जानकारी होती है। इसके अलावा, यह सामान्य अभ्यास है, हालांकि कुछ हद तक कृत्रिम, सबसे सरल मॉडल की तलाश करना जो डेटा से उचित रूप से मेल खाता हो। यह सामान्यतः एलपी स्पेस | पेनल्टी विधि द्वारा प्राप्त किया जाता है$$L^1$$ मानकों के ढाल (या कुल भिन्नता) का मानदंड (इस दृष्टिकोण को एंट्रॉपी के अधिकतमकरण के रूप में भी जाना जाता है)। एक पैरामीट्रिजेशन के माध्यम से मॉडल को सरल भी बना सकता है जो आवश्यक होने पर ही स्वतंत्रता की डिग्री पेश करता है।

मॉडल पैरामीटर या उनके कुछ कार्यों पर असमानता बाधाओं के माध्यम से अतिरिक्त जानकारी भी एकीकृत की जा सकती है। मापदंडों के लिए अवास्तविक मूल्यों (उदाहरण के लिए नकारात्मक मान) से बचने के लिए ऐसी बाधाएं महत्वपूर्ण हैं। इस स्थिति में, मॉडल मापदंडों द्वारा फैला हुआ स्थान अब एक सदिश स्थान नहीं होगा, बल्कि स्वीकार्य मॉडल का एक उपसमूह होगा जिसे निरूपित किया जाएगा $$P_\text{adm}$$ अगली कड़ी में।

दूसरी कठिनाई दूर करने के उपाय
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, शोर ऐसा हो सकता है कि हमारे माप किसी मॉडल की छवि नहीं हैं, जिससे हम उस मॉडल की तलाश न कर सकें जो डेटा उत्पन्न करता है बल्कि मॉडल चयन की तलाश करता है | सबसे अच्छा (या इष्टतम) मॉडल: यानी, एक जो डेटा से सबसे अच्छा मेल खाता है। यह हमें एक उद्देश्य फलन को कम करने की ओर ले जाता है, अर्थात् एक कार्यात्मक (गणित) जो यह निर्धारित करता है कि अवशेष कितने बड़े हैं या अनुमानित डेटा प्रेक्षित डेटा से कितनी दूर हैं। बेशक, जब हमारे पास सही डेटा (यानी कोई शोर नहीं) होता है, तो बरामद मॉडल को देखे गए डेटा को पूरी तरह से फिट करना चाहिए। एक मानक उद्देश्य समारोह, $$\varphi$$, रूप है: $$\varphi(p) = \|F p-d_\text{obs} \|^2 $$ जहाँ $$\| \cdot \| $$ यूक्लिडियन मानदंड है (यह एलपी स्पेस होगा$$L^2$$ आदर्श जब माप अवशेषों के नमूने के बजाय कार्य होते हैं)। यह दृष्टिकोण कम से कम वर्गों का उपयोग करने के बराबर है, एक दृष्टिकोण जो आंकड़ों में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। चूंकि, यूक्लिडियन मानदंड आउटलेयर के प्रति बहुत संवेदनशील माना जाता है: इस कठिनाई से बचने के लिए हम अन्य दूरियों का उपयोग करने के बारे में सोच सकते हैं, उदाहरण के लिए $$L^1$$ मानदंड, के प्रतिस्थापन में $$L^2$$ मानदंड।

बायेसियन दृष्टिकोण
सबसे कम-वर्ग दृष्टिकोण के समान ही संभाव्य दृष्टिकोण है: यदि हम डेटा को दूषित करने वाले शोर के आंकड़ों को जानते हैं, तो हम सबसे संभावित मॉडल एम की मांग करने के बारे में सोच सकते हैं, जो मॉडल है जो अधिकतम संभावना अनुमान से मेल खाता है। यदि शोर सामान्य वितरण है, तो अधिकतम संभावना मानदंड न्यूनतम-वर्ग मानदंड के रूप में प्रकट होता है, डेटा स्थान में यूक्लिडियन स्केलर उत्पाद को एक स्केलर उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जा रहा है जिसमें सहप्रसरण सम्मिलित है। शोर का सह-प्रसरण। इसके अलावा, क्या मॉडल मापदंडों पर पूर्व सूचना उपलब्ध होनी चाहिए, हम उलटा समस्या का समाधान तैयार करने के लिए बायेसियन अनुमान का उपयोग करने के बारे में सोच सकते हैं। टारेंटोला की किताब में इस दृष्टिकोण का विस्तार से वर्णन किया गया है।

हमारे प्रारंभिक उदाहरण का संख्यात्मक समाधान
यहाँ हम यूक्लिडियन मानदंड का उपयोग डेटा मिसफिट को निर्धारित करने के लिए करते हैं। जैसा कि हम एक रैखिक व्युत्क्रम समस्या से निपटते हैं, उद्देश्य फलन द्विघात होता है। इसके न्यूनीकरण के लिए, समान तर्काधार का उपयोग करके इसके ग्रेडिएंट की गणना करना शास्त्रीय है (जैसा कि हम केवल एक चर के फलन को कम करना चाहते हैं)। इष्टतम मॉडल पर $$p_\text{opt}$$, यह ग्रेडिएंट गायब हो जाता है जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है: $$\nabla_p \varphi = 2 (F^\mathrm{T} F p_\text{opt} - F^\mathrm{T} d_\text{obs}) = 0 $$ जहां एफT F के आव्यूह स्थानान्तरण को दर्शाता है। यह समीकरण इसे सरल करता है: $$F^\mathrm{T} F p_\text{opt} = F^\mathrm{T} d_\text{obs} $$ इस व्यंजक को normal Equations के रूप में जाना जाता है और यह हमें उलटी समस्या का संभावित समाधान देता है। हमारे उदाहरण आव्यूह में $$F^\mathrm{T} F$$ सामान्यतः पूर्ण रैंक निकलता है जिससे उपरोक्त समीकरण समझ में आता है और विशिष्ट रूप से मॉडल पैरामीटर निर्धारित करता है: हमें एक अद्वितीय समाधान के साथ समाप्त करने के लिए अतिरिक्त जानकारी को एकीकृत करने की आवश्यकता नहीं है।

गणितीय और कम्प्यूटेशनल पहलुओं
सामान्यतः गणितीय मॉडलिंग में मिलने वाली अच्छी तरह से पेश की गई समस्याओं के विपरीत उलटा समस्याएं सामान्यतः बीमार होती हैं। जैक्स हैडमार्ड (अस्तित्व, विशिष्टता, और समाधान या समाधान की स्थिरता) द्वारा सुझाई गई एक अच्छी तरह से प्रस्तुत समस्या के लिए तीन शर्तों में से स्थिरता की स्थिति का अधिकांशतः उल्लंघन किया जाता है। कार्यात्मक विश्लेषण के अर्थ में, व्युत्क्रम समस्या को मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच मानचित्रण द्वारा दर्शाया जाता है। जबकि व्युत्क्रम समस्याएं अधिकांशतः अनंत आयामी स्थानों में तैयार की जाती हैं, माप की एक सीमित संख्या की सीमाएं, और केवल अज्ञात मापदंडों की एक सीमित संख्या को पुनर्प्राप्त करने का व्यावहारिक विचार, असतत रूप में पुन: उत्पन्न होने वाली समस्याओं को जन्म दे सकता है। इस स्थिति में उलटा समस्या सामान्यतः स्थिति संख्या | बीमार स्थिति वाली होगी। इन स्थितियों में, नियमितकरण (गणित) का उपयोग समाधान पर हल्की धारणाओं को पेश करने और overfitting को रोकने के लिए किया जा सकता है। नियमित प्रतिलोम समस्याओं के कई उदाहरणों की व्याख्या बायेसियन अनुमान के विशेष स्थितियों के रूप में की जा सकती है।

अनुकूलन समस्या का संख्यात्मक समाधान
कुछ व्युत्क्रम समस्याओं का एक बहुत ही सरल समाधान होता है, उदाहरण के लिए, जब किसी के पास अघुलनशील कार्यों का एक सेट होता है, जिसका अर्थ है $n$ ऐसे कार्य करता है जो उनका मूल्यांकन करता है $n$ अलग-अलग बिंदुओं से रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर का एक सेट प्राप्त होता है। इसका मतलब यह है कि इन कार्यों के एक रैखिक संयोजन को देखते हुए, गुणांक की गणना वैक्टर को आव्यूह के कॉलम के रूप में व्यवस्थित करके और फिर इस आव्यूह को उल्टा करके की जा सकती है। अविलयनशील फलनों का सबसे सरल उदाहरण बहुपदों का निर्माण है, जिसमें अविलयन प्रमेय का उपयोग किया जाता है, जिससे अविलयन हो सके। ठोस रूप से, यह वैंडरमोंड आव्यूह को उल्टा करके किया जाता है। लेकिन यह एक बहुत ही खास स्थिति है।

सामान्य तौर पर, उलटा समस्या के समाधान के लिए परिष्कृत अनुकूलन एल्गोरिदम की आवश्यकता होती है। जब मॉडल को बड़ी संख्या में पैरामीटर द्वारा वर्णित किया जाता है (कुछ विवर्तन टोमोग्राफी अनुप्रयोगों में सम्मिलित अज्ञात की संख्या एक अरब तक पहुंच सकती है), सामान्य समीकरणों से जुड़े रैखिक प्रणाली को हल करना बोझिल हो सकता है। अनुकूलन समस्या को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली संख्यात्मक विधि विशेष रूप से समाधान की गणना के लिए आवश्यक व्यय पर निर्भर करती है $$F p$$ आगे की समस्या का। एक बार आगे की समस्या को हल करने के लिए उपयुक्त एल्गोरिदम चुना गया (एक सीधा आव्यूह-वेक्टर गुणन पर्याप्त नहीं हो सकता है जब आव्यूह $$F$$ बहुत बड़ा है), न्यूनीकरण करने के लिए उपयुक्त एल्गोरिदम रैखिक प्रणालियों के समाधान के लिए संख्यात्मक विधियों से निपटने वाली पाठ्यपुस्तकों में और द्विघात कार्यों के न्यूनीकरण के लिए पाया जा सकता है (उदाहरण के लिए सियारलेट देखें या नोसेडल ).

साथ ही, उपयोगकर्ता मॉडलों में भौतिक बाधाओं को जोड़ना चाह सकते हैं: इस स्थिति में, उन्हें प्रतिबंधित अनुकूलन से परिचित होना होगा, जो कि स्वयं में एक विषय है। सभी स्थितियों में, अनुकूलन समस्या के समाधान के लिए उद्देश्य फलन के ढाल की गणना करना अधिकांशतः एक महत्वपूर्ण तत्व होता है। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, पैरामीट्रिजेशन के माध्यम से वितरित पैरामीटर के स्थानिक वितरण के बारे में जानकारी पेश की जा सकती है। अनुकूलन के दौरान कोई भी इस पैरामीट्रिजेशन को अपनाने के बारे में सोच सकता है। क्या उद्देश्य फलन यूक्लिडियन मानदंड के अलावा किसी अन्य मानदंड पर आधारित होना चाहिए, हमें द्विघात अनुकूलन के क्षेत्र को छोड़ना होगा। नतीजतन, अनुकूलन समस्या अधिक कठिन हो जाती है। विशेष रूप से, जब $$L^1$$ मानदंड का उपयोग डेटा मिसफिट को मापने के लिए किया जाता है उद्देश्य फलन अब अलग नहीं होता है: इसका ढाल अब और समझ में नहीं आता है। समर्पित तरीके (उदाहरण के लिए लेमारेचल देखें ) नॉन डिफरेंशियल ऑप्टिमाइज़ेशन से आते हैं।

एक बार इष्टतम मॉडल की गणना हो जाने के बाद हमें इस प्रश्न का समाधान करना होगा: क्या हम इस मॉडल पर भरोसा कर सकते हैं? प्रश्न को निम्नानुसार तैयार किया जा सकता है: मॉडल का सेट कितना बड़ा है जो डेटा के साथ-साथ इस मॉडल से भी मेल खाता है? द्विघात उद्देश्य कार्यों की स्थिति में, यह सेट एक हाइपर-एलिप्सिड, एक सबसेट में समाहित है $$R^M$$ ($$M$$ अज्ञात की संख्या है), जिसका आकार इस बात पर निर्भर करता है कि हम लगभग साथ ही क्या मतलब रखते हैं, जो कि शोर के स्तर पर है। इस दीर्घवृत्ताभ के सबसे बड़े अक्ष की दिशा $$F^T F$$) खराब निर्धारित घटकों की दिशा है: यदि हम इस दिशा का पालन करते हैं, तो हम उद्देश्य समारोह के मूल्य में महत्वपूर्ण बदलाव किए बिना मॉडल में एक मजबूत गड़बड़ी ला सकते हैं और इस तरह एक अलग अर्ध-इष्टतम मॉडल के साथ समाप्त हो सकते हैं। हम स्पष्ट रूप से देखते हैं कि प्रश्न का उत्तर क्या हम भरोसा कर सकते हैं कि यह मॉडल शोर के स्तर और ऑब्जेक्टिव फलन के हेसियन आव्यूह के ईगेनवेल्यूज़ द्वारा या समकक्ष रूप से नियंत्रित किया जाता है, उस स्थिति में जहां कोई नियमितीकरण एकीकृत नहीं किया गया है, के एकवचन मूल्यों द्वारा आव्यूह $$F$$. बेशक, नियमितीकरण (या अन्य प्रकार की पूर्व सूचना) का उपयोग लगभग इष्टतम समाधानों के सेट के आकार को कम करता है और बदले में, हम गणना किए गए समाधान में विश्वास बढ़ा सकते हैं।

अनंत आयाम में स्थिरता, नियमितीकरण और मॉडल विवेकीकरण
हम यहां वितरित पैरामीटर की पुनर्प्राप्ति पर ध्यान केंद्रित करते हैं। वितरित मापदंडों की तलाश करते समय हमें इन अज्ञात कार्यों को अलग करना होगा। ऐसा करने से, हम समस्या के आयाम को कुछ सीमित कर देते हैं। लेकिन अब, प्रश्न यह है: क्या हमारे द्वारा गणना किए गए समाधान और प्रारंभिक समस्या में से एक के बीच कोई संबंध है? फिर एक और प्रश्न: प्रारंभिक समस्या के समाधान से हमारा क्या तात्पर्य है? चूंकि डेटा की एक सीमित संख्या अज्ञात की अनंतता के निर्धारण की अनुमति नहीं देती है, समाधान की विशिष्टता सुनिश्चित करने के लिए मूल डेटा मिसफिट कार्यात्मक को नियमित किया जाना चाहिए। कई बार, अज्ञात को परिमित-आयामी स्थान में कम करने से पर्याप्त नियमितीकरण मिलेगा: गणना किया गया समाधान उस समाधान के असतत संस्करण की तरह दिखेगा जिसकी हम तलाश कर रहे थे। उदाहरण के लिए, एक भोली विवेकशीलता अधिकांशतः विसंक्रमण समस्या को हल करने के लिए काम करेगी: यह तब तक काम करेगी जब तक हम लापता आवृत्तियों को संख्यात्मक समाधान में दिखाने की अनुमति नहीं देते हैं। लेकिन कई बार, नियमितीकरण को वस्तुनिष्ठ कार्य में स्पष्ट रूप से एकीकृत करना पड़ता है।

यह समझने के लिए कि क्या हो सकता है, हमें यह ध्यान में रखना होगा कि इस तरह की रैखिक व्युत्क्रम समस्या को हल करना पहली तरह के फ्रेडहोम इंटीग्रल समीकरण को हल करने के बराबर है: $$d(x) = \int_\Omega K(x,y) p(y) dy$$ जहाँ $$K$$ कर्नेल है, $$x$$ और $$y$$ के सदिश हैं $$R^2$$, और $$\Omega$$ में एक डोमेन है $$R^2$$. यह एक 2D अनुप्रयोग के लिए है। एक 3D अनुप्रयोग के लिए, हम विचार करते हैं $$ x,y \in R^3$$. ध्यान दें कि यहां मॉडल पैरामीटर $$p$$ एक फलन से मिलकर बनता है और एक मॉडल की प्रतिक्रिया में एक फलन भी होता है जिसे निरूपित किया जाता है $$d(x)$$. यह समीकरण आव्यूह समीकरण के अनंत आयाम का विस्तार है $$d=Fp$$ असतत समस्याओं की स्थिति में दिया गया।

पर्याप्त चिकनाई के लिए $$K$$ ऊपर परिभाषित ऑपरेटर उचित Banach रिक्त स्थान जैसे Lp स्पेस पर कॉम्पैक्ट ऑपरेटर है$$L^2$$. कॉम्पैक्ट ऑपरेटर | एफ। रिज़्ज़ सिद्धांत कहता है कि इस तरह के एक ऑपरेटर के एकवचन मूल्यों के सेट में शून्य होता है (इसलिए शून्य-स्थान का अस्तित्व), परिमित या सबसे अधिक गणना योग्य होता है, और, बाद की स्थिति में, वे एक अनुक्रम बनाते हैं जो शून्य तक जाता है। एक सममित कर्नेल के स्थिति में, हमारे पास आइगेनवैल्यूज़ ​​​​की अनंतता है और संबद्ध eigenvectors एक हिल्बर्टियन आधार का गठन करते हैं $$L^2$$. इस प्रकार इस समीकरण का कोई भी समाधान शून्य-स्थान में एक योगात्मक कार्य के लिए निर्धारित होता है और, एकवचन मूल्यों की अनंतता की स्थिति में, समाधान (जिसमें मनमाना छोटे आइगेनवैल्यूज़ ​​​​का व्युत्क्रम सम्मिलित होता है) अस्थिर होता है: दो अवयव जो समाधान बनाते हैं इस अभिन्न समीकरण की एक विशिष्ट बीमार समस्या! चूंकि, हम सामान्यीकृत व्युत्क्रम के माध्यम से एक समाधान को परिभाषित कर सकते हैं। आगे के मानचित्र के छद्म-उलटा (फिर से एक मनमाने ढंग से योगात्मक कार्य तक)। जब आगे का मानचित्र कॉम्पैक्ट होता है, तो शास्त्रीय तिखोनोव नियमितीकरण काम करेगा यदि हम इसका उपयोग पूर्व सूचना को एकीकृत करने के लिए करते हैं, जिसमें कहा गया है कि $$L^2$$ समाधान का मानदंड जितना संभव हो उतना छोटा होना चाहिए: यह उलटा समस्या को अच्छी तरह से प्रस्तुत करेगा। फिर भी, जैसा कि परिमित आयाम की स्थिति में है, हमें उस विश्वास पर प्रश्न उठाना होगा जिसे हम संगणित समाधान में डाल सकते हैं। फिर से, मूल रूप से, जानकारी हेस्सियन ऑपरेटर के आइगेनवैल्यूज़ ​​​​में निहित है। यदि समाधान की गणना के लिए छोटे ईजेनवैल्यू से जुड़े ईजेनवेक्टर वाले उप-स्थानों का पता लगाया जाना चाहिए, तो समाधान पर शायद ही भरोसा किया जा सकता है: इसके कुछ घटकों को खराब तरीके से निर्धारित किया जाएगा। सबसे छोटा eigenvalue Tikhonov नियमितीकरण में पेश किए गए वजन के बराबर है।

अनियमित गुठली एक आगे का मानचित्र उत्पन्न कर सकती है जो कॉम्पैक्ट नहीं है और यहां तक ​​कि असीमित ऑपरेटर  भी है अगर हम मॉडल के स्थान को भोलेपन से लैस करते हैं $$L^2$$ मानदंड। ऐसी स्थितियों में, हेस्सियन एक परिबद्ध संकारक नहीं है और आइगेनवैल्यू की धारणा का अब कोई मतलब नहीं रह गया है। इसे एक परिबद्ध संचालक बनाने और एक अच्छी तरह से प्रस्तुत समस्या को डिजाइन करने के लिए एक गणितीय विश्लेषण की आवश्यकता होती है: इसमें एक उदाहरण पाया जा सकता है। फिर से, हमें उस विश्वास पर प्रश्न उठाना होगा जो हम गणना किए गए समाधान में डाल सकते हैं और हमें उत्तर पाने के लिए आइगेनवेल्यू की धारणा को सामान्य बनाना होगा।

हेसियन ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम का विश्लेषण इस प्रकार यह निर्धारित करने के लिए एक महत्वपूर्ण तत्व है कि गणना समाधान कितना विश्वसनीय है। चूंकि, ऐसा विश्लेषण सामान्यतः बहुत भारी काम होता है। इसने कई लेखकों को उस स्थिति में वैकल्पिक दृष्टिकोणों की जांच करने के लिए प्रेरित किया है जहां हम अज्ञात फलन के सभी घटकों में रुचि नहीं रखते हैं, लेकिन केवल उप-अज्ञात में जो एक रैखिक ऑपरेटर द्वारा अज्ञात फलन की छवियां हैं। इन दृष्टिकोणों को बैकस और गिल्बर्ट विधि कहा जाता है, जैक्स-लुई लायंस प्रहरी दृष्टिकोण, और सोला विधि: जैसा कि चावेंट में समझाया गया है, ये दृष्टिकोण एक दूसरे के साथ दृढ़ता से जुड़े हुए हैं अंत में, ऑप्टिकल संकल्प की अवधारणा, जिसे अधिकांशतः भौतिकविदों द्वारा प्रयुक्त किया जाता है, इस तथ्य का एक विशिष्ट दृष्टिकोण है कि कुछ खराब निर्धारित घटक समाधान को दूषित कर सकते हैं। लेकिन, सामान्यतः बोलते हुए, मॉडल के इन खराब निर्धारित घटकों को उच्च आवृत्तियों से जरूरी नहीं जोड़ा जाता है।

वितरित मापदंडों की वसूली के लिए कुछ शास्त्रीय रैखिक व्युत्क्रम समस्याएं
नीचे बताई गई समस्याएं फ्रेडहोम इंटीग्रल के विभिन्न संस्करणों के अनुरूप हैं: इनमें से प्रत्येक एक विशिष्ट कर्नेल से जुड़ा है $$K$$.

विखंडन
डीकनवोल्यूशन का लक्ष्य मूल छवि या सिग्नल का पुनर्निर्माण करना है $$p(x)$$ जो डेटा पर नॉइज़ और ब्लर के रूप में दिखाई देता है $$d(x)$$. गणितीय दृष्टिकोण से, Kernel $$K(x,y)$$ यहाँ केवल के बीच के अंतर पर निर्भर करता है $$x$$ और $$y$$.

टोमोग्राफिक तरीके
इन विधियों में हम एक वितरित पैरामीटर को पुनर्प्राप्त करने का प्रयास करते हैं, इस पैरामीटर के इंटीग्रल के माप में सम्मिलित अवलोकन लाइनों के एक परिवार के साथ किया जाता है। हम द्वारा निरूपित करते हैं $$\Gamma_x$$ माप बिंदु से जुड़ी इस परिवार की रेखा $$x$$. पर अवलोकन $$x$$ इस प्रकार लिखा जा सकता है: $$d(x) = \int_{\Gamma_x} w(x,y) p(y) \, dy$$ जहाँ $$s$$ साथ में चाप-लंबाई है $${\Gamma_x}$$ और $$w(x,y)$$ एक ज्ञात भार समारोह। उपरोक्त फ्रेडहोम इंटीग्रल के साथ इस समीकरण की तुलना करते हुए, हम देखते हैं कि कर्नेल $$K(x,y)$$ एक प्रकार का डिराक डेल्टा समारोह है जो लाइन पर चरम पर होता है $${\Gamma_x}$$. ऐसे कर्नेल के साथ, आगे का मानचित्र कॉम्पैक्ट नहीं होता है।

कंप्यूटेड टोमोग्राफी
एक्स-रे कंप्यूटेड टोमोग्राफी में जिन लाइनों पर पैरामीटर एकीकृत होता है वे सीधी रेखाएं होती हैं: पैरामीटर वितरण का टोमोग्राफिक पुनर्निर्माण रैडॉन रूपांतरण के व्युत्क्रम पर आधारित होता है। हालांकि एक सैद्धांतिक दृष्टिकोण से कई रैखिक व्युत्क्रम समस्याओं को अच्छी तरह से समझा जाता है, रैडॉन परिवर्तन और इसके सामान्यीकरण से जुड़ी समस्याएं अभी भी कई सैद्धांतिक चुनौतियां पेश करती हैं जिनमें डेटा की पर्याप्तता के प्रश्न अभी भी अनसुलझे हैं। इस तरह की समस्याओं में तीन आयामों में एक्स-रे ट्रांसफ़ॉर्म के लिए अधूरा डेटा और एक्स-रे ट्रांसफ़ॉर्म के टेन्सर फ़ील्ड के सामान्यीकरण से जुड़ी समस्याएं सम्मिलित हैं। खोजे गए समाधानों में बीजगणितीय पुनर्निर्माण तकनीक, फ़िल्टर्ड बैकप्रोजेक्शन, और जैसे-जैसे कंप्यूटिंग शक्ति में वृद्धि हुई है, SAMV (एल्गोरिदम) जैसे पुनरावृत्त पुनर्निर्माण के तरीके सम्मिलित हैं।

विवर्तन टोमोग्राफी
विवर्तन टोमोग्राफी अन्वेषण भूकम्प विज्ञान में एक शास्त्रीय रेखीय व्युत्क्रम समस्या है: किसी दिए गए स्रोत-रिसीवर जोड़ी के लिए एक समय में दर्ज किया गया आयाम बिंदुओं से उत्पन्न होने वाले योगदान का योग है, जैसे दूरी का योग, यात्रा के समय में मापा जाता है, स्रोत से और रिसीवर, क्रमशः, इसी रिकॉर्डिंग समय के बराबर है। 3डी में पैरामीटर को लाइनों के साथ नहीं बल्कि सतहों पर एकीकृत किया जाता है। प्रसार वेग स्थिर होना चाहिए, ऐसे बिंदुओं को दीर्घवृत्त पर वितरित किया जाता है। व्युत्क्रम समस्याओं में सर्वेक्षण के साथ रिकॉर्ड किए गए सिस्मोग्राम से विवर्तन बिंदुओं के वितरण को पुनः प्राप्त करना सम्मिलित है, वेग वितरण ज्ञात है। एक सीधा समाधान मूल रूप से Beylkin और Lambaré et al द्वारा प्रस्तावित किया गया है। ये कार्य दृष्टिकोण के प्रारंभिक बिंदु थे जिन्हें आयाम संरक्षित प्रवासन के रूप में जाना जाता है (बेयल्किन देखें और सीसा पत्थर ). क्या ज्यामितीय प्रकाशिकी तकनीकों (अर्थात Rays) का उपयोग तरंग समीकरण को हल करने के लिए किया जाना चाहिए, ये विधियाँ तथाकथित न्यूनतम-वर्गों से निकटता से संबंधित हैं। प्रवास के तरीके कम से कम वर्ग दृष्टिकोण से व्युत्पन्न (लेली देखें, टारेंटयुला ).

{{anchor|Doppler tomography}डॉपलर टोमोग्राफी (खगोल भौतिकी)
यदि हम एक घूमने वाली तारकीय वस्तु पर विचार करते हैं, तो वर्णक्रमीय रेखाएँ जिन्हें हम एक वर्णक्रमीय प्रोफ़ाइल पर देख सकते हैं, डॉपलर प्रभाव के कारण स्थानांतरित हो जाएंगी। डॉपलर टोमोग्राफी का उद्देश्य तारकीय वातावरण के उत्सर्जन (रेडियल वेग और आवधिक रोटेशन आंदोलन में चरण के एक समारोह के रूप में) की 2 डी छवि में वस्तु की वर्णक्रमीय निगरानी में निहित जानकारी को परिवर्तित करना है। जैसा कि टॉम मार्श (खगोलविद) द्वारा समझाया गया है यह रेखीय व्युत्क्रम समस्या टोमोग्राफी है जैसे: हमें एक वितरित पैरामीटर को पुनर्प्राप्त करना होगा जिसे रिकॉर्डिंग में इसके प्रभाव उत्पन्न करने के लिए लाइनों के साथ एकीकृत किया गया है।

उलटा ऊष्मा चालन
दफन तापमान सेंसर से वायुमंडलीय पुन: प्रवेश के दौरान सतह गर्मी प्रवाह का निर्धारण करने से उलटा गर्मी प्रवाहकत्त्व पर प्रारंभिक प्रकाशन उत्पन्न हुए। अन्य अनुप्रयोग जहां सतह ताप प्रवाह की आवश्यकता होती है लेकिन सतह सेंसर व्यावहारिक नहीं होते हैं उनमें सम्मिलित हैं: प्रत्यागामी इंजन के अंदर, रॉकेट इंजन के अंदर; और, परमाणु रिएक्टर घटकों का परीक्षण। तापमान संकेत में अवमंदन और पश्चताप के कारण होने वाली माप त्रुटि के प्रति अरुचिकरता और संवेदनशीलता को दूर करने के लिए विभिन्न प्रकार की संख्यात्मक तकनीकों का विकास किया गया है।

गैर-रैखिक उलटा समस्याएं
गैर-रेखीय व्युत्क्रम समस्याएं व्युत्क्रम समस्याओं के स्वाभाविक रूप से अधिक कठिन परिवार का गठन करती हैं। यहाँ आगे का मानचित्र $$F$$ एक गैर-रैखिक ऑपरेटर है। भौतिक घटनाओं की मॉडलिंग अधिकांशतः एक आंशिक अंतर समीकरण के समाधान पर निर्भर करती है (गुरुत्वाकर्षण कानून को छोड़कर ऊपर दी गई तालिका देखें): हालांकि ये आंशिक अंतर समीकरण अधिकांशतः रैखिक होते हैं, इन समीकरणों में दिखाई देने वाले भौतिक पैरामीटर एक गैर-रैखिक तरीके से निर्भर करते हैं प्रणाली की स्थिति और इसलिए हम उस पर किए गए अवलोकनों पर।

व्युत्क्रम बिखरने की समस्या
जबकि उन्नीसवीं शताब्दी के अंत में रैखिक प्रतिलोम समस्याओं को सैद्धांतिक दृष्टिकोण से पूरी तरह से हल कर लिया गया था, रूसी गणितीय स्कूल (मार्क ग्रिगोर्येविच करें, इज़राइल गेलफैंड, लेविटन, व्लादिमीर मार्चेंको) के मौलिक कार्य के बाद, 1970 से पहले गैर-रैखिक व्युत्क्रम समस्याओं का केवल एक वर्ग उलटा वर्णक्रमीय और (एक स्थान आयाम) उलटा बिखरने की समस्या थी।. परिणामों की एक बड़ी समीक्षा चाडन और सबेटियर ने अपनी पुस्तक इनवर्स प्रॉब्लम्स ऑफ क्वांटम स्कैटरिंग थ्योरी (अंग्रेजी में दो संस्करण, रूसी में एक) में दी है।

इस तरह की समस्या में, डेटा एक रैखिक ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम के गुण होते हैं जो बिखरने का वर्णन करते हैं। स्पेक्ट्रम आइगेनवैल्यूज़ ​​​​और eigenfunctions से बना है, जो असतत स्पेक्ट्रम और सामान्यीकरण को एक साथ बनाते हैं, जिसे निरंतर स्पेक्ट्रम कहा जाता है। बहुत ही उल्लेखनीय भौतिक बिंदु यह है कि प्रकीर्णन प्रयोग केवल निरंतर स्पेक्ट्रम के बारे में जानकारी देते हैं, और यह कि इसके पूर्ण स्पेक्ट्रम को जानना आवश्यक और बिखरने वाले ऑपरेटर को पुनर्प्राप्त करने के लिए पर्याप्त है। इसलिए हमारे पास अदृश्य पैरामीटर हैं, शून्य स्थान की तुलना में कहीं अधिक दिलचस्प है जिसमें रैखिक उलटा समस्याओं में समान संपत्ति है। इसके अलावा, ऐसी भौतिक गतियाँ होती हैं जिनमें ऐसी गति के परिणामस्वरूप ऐसे संचालिका का स्पेक्ट्रम संरक्षित रहता है। यह घटना विशेष अरैखिक आंशिक अंतर विकास समीकरणों द्वारा नियंत्रित होती है, उदाहरण के लिए कॉर्टेवेग-डी व्रीस समीकरण। यदि ऑपरेटर के स्पेक्ट्रम को एक सिंगल आइगेनवैल्यू तक कम कर दिया जाता है, तो इसकी संगत गति एक सिंगल बम्प की होती है जो निरंतर वेग से और विरूपण के बिना फैलती है, एक अकेली लहर जिसे सॉलिटन कहा जाता है।

कई संभावित अनुप्रयोगों के साथ, कॉर्टेवेग-डी वेरी समीकरण या अन्य पूर्णांक गैर-रैखिक आंशिक अंतर समीकरणों के लिए एक आदर्श संकेत और इसके सामान्यीकरण बहुत रुचि रखते हैं। 1970 के दशक से इस क्षेत्र का गणितीय भौतिकी की एक शाखा के रूप में अध्ययन किया गया है। अनुप्रयुक्त विज्ञान के कई क्षेत्रों (ध्वनिकी, यांत्रिकी, क्वांटम यांत्रिकी, विद्युत चुम्बकीय बिखरने - विशेष रूप से रडार ध्वनि, भूकंपीय ध्वनि, और लगभग सभी इमेजिंग विधियों) में गैर-रैखिक उलटा समस्याओं का भी अध्ययन किया जाता है।

रीमैन परिकल्पना से संबंधित एक अंतिम उदाहरण वू और स्प्रंग द्वारा दिया गया था, विचार यह है कि अर्ध-शास्त्रीय भौतिकी में पुराने क्वांटम सिद्धांत में हैमिल्टनियन के अंदर की क्षमता का व्युत्क्रम आइगेनवैल्यूज़ ​​​​(ऊर्जा) गिनती समारोह के आधे-व्युत्पन्न के समानुपाती होता है। (एक्स)।

तेल और गैस जलाशयों में पारगम्यता मिलान
लक्ष्य डिफ्यूजन समीकरण में प्रसार गुणांक को पुनर्प्राप्त करना है जो झरझरा मीडिया में एकल चरण द्रव प्रवाहित करता है। सत्तर के दशक के प्रारंभ में किए गए एक अग्रणी कार्य के बाद से यह समस्या कई अध्ययनों का विषय रही है। दो-चरण प्रवाह के संबंध में एक महत्वपूर्ण समस्या सापेक्ष पारगम्यता और केशिका दबावों का अनुमान लगाना है।

तरंग समीकरणों में व्युत्क्रम समस्याएं
लक्ष्य तरंग-गति (पी और एस तरंगों) और घनत्व वितरण को सीस्मोग्राम  से पुनर्प्राप्त करना है। इस तरह की उलटी समस्याएं भूकंप विज्ञान और अन्वेषण भूभौतिकी में प्रमुख रुचि हैं। हम मूल रूप से दो गणितीय मॉडल पर विचार कर सकते हैं: इन मूलभूत अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण को क्षीणन, असमदिग्वर्ती होने की दशा, को सम्मिलित करके उन्नत किया जा सकता है ...
 * वेव समीकरण (जिसमें अंतरिक्ष आयाम 2 या 3 होने पर एस तरंगों को नजरअंदाज कर दिया जाता है)
 * रैखिक लोच जिसमें पी और एस तरंग वेग लेमे पैरामीटर और घनत्व से प्राप्त किए जा सकते हैं।

1D तरंग समीकरण में व्युत्क्रम समस्या का समाधान कई अध्ययनों का विषय रहा है। यह बहुत कम अरैखिक व्युत्क्रम समस्याओं में से एक है जिसके लिए हम समाधान की अद्वितीयता को सिद्ध कर सकते हैं। समाधान की स्थिरता का विश्लेषण एक अन्य चुनौती थी। कम से कम वर्ग दृष्टिकोण का उपयोग करते हुए व्यावहारिक अनुप्रयोग विकसित किए गए थे।

80 के दशक से 2डी या 3डी समस्याओं और इलास्टोडायनामिक्स समीकरणों के विस्तार का प्रयास किया गया था लेकिन यह बहुत मुश्किल साबित हुआ! इस समस्या को अधिकांशतः फुल वेवफॉर्म इनवर्जन (FWI) के रूप में संदर्भित किया जाता है, अभी तक पूरी तरह से हल नहीं हुई है: मुख्य कठिनाइयों में सीस्मोग्राम में गैर-गाऊसी शोर का अस्तित्व, साइकिल-स्किपिंग मुद्दे (चरण अस्पष्टता के रूप में भी जाना जाता है), और अराजक हैं। डेटा मिसफिट फलन का व्यवहार। कुछ लेखकों ने व्युत्क्रम समस्या को संशोधनने की संभावना की जांच की है जिससे डेटा मिसफिट फलन की तुलना में उद्देश्य फलन को कम अराजक बनाया जा सके।

यात्रा-समय टोमोग्राफी
तरंग समीकरण में व्युत्क्रम समस्या कितनी कठिन है, यह समझते हुए, भूकम्प विज्ञानियों ने ज्यामितीय प्रकाशिकी का उपयोग करते हुए एक सरल दृष्टिकोण की जांच की। विशेष रूप से वे प्रसार वेग वितरण के लिए उलटा करने के उद्देश्य से थे, जो सिस्मोग्राम पर तरंग-मोर्चों के आगमन के समय को जानते थे। ये तरंग-मोर्चों को प्रत्यक्ष आगमन या परावर्तकों से जुड़े प्रतिबिंबों से जोड़ा जा सकता है जिनकी ज्यामिति निर्धारित की जानी है, संयुक्त रूप से वेग वितरण के साथ।

आगमन समय वितरण $${\tau}(x)$$ ($$x$$ भौतिक स्थान में एक बिंदु है) एक बिंदु स्रोत से जारी तरंग-मोर्चे का, इकोनल समीकरण को संतुष्ट करता है: $$\|\nabla \tau (x)\| = s(x),$$ जहाँ $$s(x)$$ धीमेपन (भूकम्प विज्ञान) (वेग का व्युत्क्रम) वितरण को दर्शाता है। की उपस्थिति $$\| \cdot \| $$ इस समीकरण को अरैखिक बनाता है। यह बिंदु स्रोत से रे ट्रेसिंग (भौतिकी) (प्रक्षेपवक्र जिसके बारे में आगमन का समय स्थिर है) की शूटिंग करके शास्त्रीय रूप से हल किया जाता है।

यह समस्या टोमोग्राफी है जैसे: मापा आगमन समय धीमेपन के रे-पथ के साथ अभिन्न हैं। लेकिन यह टोमोग्राफी जैसी समस्या अरैखिक है, मुख्यतः क्योंकि अज्ञात किरण-पथ ज्यामिति वेग (या धीमेपन) वितरण पर निर्भर करती है। अपने गैर-रैखिक चरित्र के बावजूद, यात्रा-समय टोमोग्राफी पृथ्वी या उपसतह में प्रसार वेग को निर्धारित करने के लिए बहुत प्रभावी साबित हुई, बाद वाला पहलू भूकंपीय इमेजिंग के लिए एक प्रमुख तत्व है, विशेष रूप से खंड विवर्तन टोमोग्राफी में वर्णित विधियों का उपयोग करके.

गणितीय पहलू: हैडमार्ड के प्रश्न
प्रश्नों का संबंध अच्छी स्थिति से है: क्या कम से कम वर्गों की समस्या का एक अनूठा समाधान है जो निरंतर डेटा (स्थिरता की समस्या) पर निर्भर करता है? यह पहला प्रश्न है, लेकिन इसकी गैर-रैखिकता के कारण यह कठिन भी है $$F$$.

यह देखने के लिए कि कठिनाइयाँ कहाँ से उत्पन्न होती हैं, चावेंट अवधारणात्मक रूप से डेटा मिसफिट फलन के न्यूनीकरण को निरंतर दो चरणों में विभाजित करने का प्रस्ताव है ($$P_\text{adm}$$ स्वीकार्य मॉडल का सबसेट है): कठिनाइयाँ - और सामान्यतः - दोनों चरणों में उत्पन्न हो सकती हैं: हम चावेंट का उल्लेख करते हैं इन बिंदुओं के गणितीय विश्लेषण के लिए।
 * प्रोजेक्शन स्टेप: दिया गया $$d_\text{obs}$$ पर एक प्रक्षेपण खोजें $$F(P_\text{adm})$$ (निकटतम बिंदु पर $$F(P_\text{adm})$$ उद्देश्य समारोह की परिभाषा में सम्मिलित दूरी के अनुसार)
 * इस प्रक्षेपण को देखते हुए एक पूर्व-छवि खोजें जो एक मॉडल है जिसकी छवि ऑपरेटर द्वारा है $$F$$ क्या यह प्रक्षेपण है।
 * 1) ऑपरेटर $$F$$ एक-से-एक होने की संभावना नहीं है, इसलिए एक से अधिक पूर्व-छवि हो सकती हैं,
 * 2) यहां तक ​​कि जब $$F$$ एक-से-एक है, इसका व्युत्क्रम निरंतर नहीं हो सकता है $$F(P)$$,
 * 3) प्रक्षेपण चालू $$F(P_\text{adm})$$ हो सकता है उपस्थित न हो, क्या यह सेट बंद नहीं होना चाहिए,
 * 4) प्रक्षेपण चालू $$F(P_\text{adm})$$ गैर-अद्वितीय हो सकता है और निरंतर नहीं हो सकता है क्योंकि यह गैर-रैखिकता के कारण गैर-उत्तल हो सकता है $$F$$.

एक गैर-उत्तल डेटा मिसफिट फलन
आगे का मानचित्र अरैखिक होने के कारण, डेटा मिसफिट फलन के गैर-उत्तल होने की संभावना है, जिससे स्थानीय न्यूनीकरण तकनीक अक्षम हो जाती है। इस कठिनाई को दूर करने के लिए कई दृष्टिकोणों की जांच की गई है:
 * वैश्विक अनुकूलन तकनीकों का उपयोग जैसे पश्च घनत्व समारोह का नमूनाकरण और व्युत्क्रम समस्या संभाव्य ढांचे में मेट्रोपोलिस-हेस्टिंग्स एल्गोरिथम, जेनेटिक एल्गोरिदम (अकेले या मेट्रोपोलिस एल्गोरिथम के संयोजन में: देखें पारगम्यता के निर्धारण के लिए एक आवेदन के लिए जो उपस्थिता पारगम्यता डेटा से मेल खाता है), तंत्रिका नेटवर्क, बहुस्तरीय विश्लेषण सहित नियमितीकरण तकनीक;
 * कम से कम वर्ग उद्देश्य समारोह का संशोधन जिससे इसे आसान बनाया जा सके (देखें तरंग समीकरणों में व्युत्क्रम समस्या के लिए।)

उद्देश्य फलन के ग्रेडिएंट की गणना
व्युत्क्रम समस्याएं, विशेष रूप से अनंत आयाम में, बड़े आकार की हो सकती हैं, इस प्रकार महत्वपूर्ण कंप्यूटिंग समय की आवश्यकता होती है। जब आगे का मानचित्र अरेखीय होता है, तो कम्प्यूटेशनल कठिनाइयाँ बढ़ जाती हैं और उद्देश्य समारोह को कम करना मुश्किल हो सकता है। रैखिक स्थिति के विपरीत, सामान्य समीकरणों को हल करने के लिए हेस्सियन आव्यूह का एक स्पष्ट उपयोग यहां समझ में नहीं आता है: हेस्सियन आव्यूह मॉडल के साथ भिन्न होता है। कुछ मॉडलों के लिए उद्देश्य समारोह के ढाल का मूल्यांकन अधिक प्रभावी है। जब हम जेकोबियन आव्यूह और निर्धारक (जिसे अधिकांशतः फ्रेचेट डेरिवेटिव कहा जाता है) की बहुत भारी गणना से बच सकते हैं, तो महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल प्रयास को बचाया जा सकता है: चावेंट और लायंस द्वारा प्रस्तावित आसन्न राज्य विधि, इस भारी संगणना से बचने का लक्ष्य है। यह अब बहुत व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

अनुप्रयोग
व्युत्क्रम समस्या सिद्धांत का मौसम की भविष्यवाणी, समुद्र विज्ञान, जल विज्ञान और पेट्रोलियम इंजीनियरिंग में बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है। उष्मा अंतरण के क्षेत्र में उलटी समस्याएँ भी पाई जाती हैं, जहाँ सतही ताप प्रवाह होता है एक कठोर शरीर के अंदर मापा गया तापमान डेटा से बाहर जाने का अनुमान है; और, पौधे-पदार्थ क्षय पर नियंत्रण को समझने में। रैखिक व्युत्क्रम समस्या वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान और आगमन की दिशा | सिग्नल प्रोसेसिंग में आगमन की दिशा (डीओए) अनुमान का मूल भी है।

अर्धचालक उपकरण निर्माण के लिए  photomask  डिजाइन में उलटा लिथोग्राफी का उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

 * वायुमंडलीय ध्वनि
 * बैकस-गिल्बर्ट विधि
 * परिकलित टोमोग्राफी
 * बीजगणितीय पुनर्निर्माण तकनीक
 * फ़िल्टर्ड बैकप्रोजेक्शन
 * पुनरावृत्त पुनर्निर्माण
 * डेटा आत्मसात
 * इंजीनियरिंग अनुकूलन
 * ग्रे बॉक्स मॉडल
 * गणितीय भूभौतिकी
 * इष्टतम अनुमान
 * भूकंपीय उलटा
 * तिखोनोव नियमितीकरण
 * संकुचित संवेदन

शैक्षणिक पत्रिकाएं
चार मुख्य अकादमिक पत्रिकाएँ सामान्य रूप से उलटी समस्याओं को कवर करती हैं: मेडिकल इमेजिंग, भूभौतिकी, गैर-विनाशकारी परीक्षण आदि पर कई पत्रिकाओं में उन क्षेत्रों में उलटी समस्याओं का बोलबाला है।
 * उलटा समस्याएं
 * जर्नल ऑफ़ इनवर्स एंड इल-पोज़्ड प्रॉब्लम्स
 * विज्ञान और इंजीनियरिंग में प्रतिलोम समस्याएं
 * उलटा समस्याएं और इमेजिंग

संदर्भ

 * Chadan, Khosrow & Sabatier, Pierre Célestin (1977). Inverse Problems in Quantum Scattering Theory. Springer-Verlag. ISBN 0-387-08092-9
 * Aster, Richard; Borchers, Brian, and Thurber, Clifford (2018). Parameter Estimation and Inverse Problems, Third Edition, Elsevier. ISBN 9780128134238, ISBN 9780128134238

अग्रिम पठन

 * Bunge, Mario. 2006. “From Z to A: Inverse Problems," in Mario Bunge, Chasing Reality: Strife over Realism (Toronto: University of Toronto Press).
 * Bunge, Mario. 2019. “Inverse Problems.” Foundations of Science 24(3): 483-525.

बाहरी संबंध

 * Inverse Problems International Association
 * Eurasian Association on Inverse Problems
 * Finnish Inverse Problems Society
 * Inverse Problems Network
 * Albert Tarantola's website, includes a free PDF version of his Inverse Problem Theory book, and some online articles on Inverse Problems
 * Inverse Problems page at the University of Alabama
 * Inverse Problems and Geostatistics Project, Niels Bohr Institute, University of Copenhagen
 * Andy Ganse's Geophysical Inverse Theory Resources Page
 * Finnish Centre of Excellence in Inverse Problems Research