संबंध बीजगणित

गणित और सार बीजगणित में, एक संबंध बीजगणित अवक्षेपण (गणित) के साथ अवशिष्ट बूलियन बीजगणित घटाव होता है जिसे कॉनवर्स, एक यूनरी ऑपरेशन कहा जाता है। किसी संबंध बीजगणित के प्रेरक उदाहरण को X समुच्चय पर सभी द्विआधारी संबंधों में 2X² बीजगणित कहते हैं, अर्थात कार्तीय वर्ग X2 के उपसमुच्चय, जिसमें R•S के साथ संबंध R और S की सामान्य संरचना के रूप में व्याख्यायित किया जाता है तथा R को अन्योन्य संबंध कहा जाता है।

संबंध बीजगणित ऑगस्टस डी मॉर्गन और चार्ल्स सैंडर्स पियर्स के 19 वीं शताब्दी के काम में उभरा, जिसका समापन अर्नस्ट श्रोडर(गणितज्ञ) के बीजगणितीय तर्क में समाप्त हुआ था। 1940 के दशक में शुरू होने वाले संबंध बीजगणित के समतुल्य रूप को अल्फ्रेड टार्स्की और उनके छात्रों द्वारा विकसित किया गया था। तर्स्की और गिवंत (1987) ने संबंध बीजगणित को स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के चर-मुक्त उपचार के लिए लागू किया, इस निहितार्थ के साथ कि समुच्चय सिद्धांत पर स्थापित गणित स्वयं चर के बिना आयोजित किया जा सकता है।

परिभाषा
एक संबंध बीजगणित $(L, ∧, ∨, ^{&minus;}, 0, 1, •, I, ˘)$ बीजगणितीय संरचना है जो संयोजन X∧y, वियोजन X∨y, और निषेध X के बूलियन संचालन से लैस है, बूलियन स्थिरांक 0 और 1, रचना X • y और इसका विपरीत X˘ के संबंधपरक संचालन, और संबंधपरक स्थिरांक $I$, जैसे कि ये संचालन और स्थिरांक कुछ समीकरणों को संतुष्ट करते हैं, जो संबंधों के एक पथरी के स्वयंसिद्धता का निर्माण करते हैं। मोटे तौर पर, संबंध बीजगणित समुच्चय पर द्विआधारी संबंधों की प्रणाली है जिसमें खाली संबंध (0), सार्वभौमिक संबंध (1), और पहचान संबंध शामिल हैं। $(I)$ समूह (गणित) के रूप में इन पांच परिचालनों के तहत संबंध और बंद समुच्चय के क्रमपरिवर्तन की प्रणाली है जिसमें पहचान क्रमपरिवर्तन होता है और रचना और व्युत्क्रम के तहत बंद होता है। हालाँकि, संबंध बीजगणित का प्रथम-क्रम तर्क सिद्धांत (तर्क) द्विआधारी संबंधों की ऐसी प्रणालियों के लिए पूर्णता (तर्क) नहीं है।

जॉनसन और सिनाकिस (1993) के अनुसार अतिरिक्त संक्रियाओं x◁y = x•y˘, और, दोहरे रूप से, x▷y = x˘•y को परिभाषित करना सुविधाजनक है। जॉनसन और सिनाकिस ने दिखाया कि $I◁x = x▷I$, और यह कि दोनों x˘ के बराबर थे। इसलिए एक संबंध बीजगणित को समान रूप से एक बीजगणितीय संरचना $(L, ∧, ∨, ^{&minus;}, 0, 1, •, I, ◁, ▷)$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। सामान्य हस्ताक्षर पर इस हस्ताक्षर (तर्क) का लाभ यह है कि जिसके लिए $I◁x$ एक अंतर्वलन है, अर्थात, $I◁(I◁x) = x$ का एक संबंध बीजगणित को पूर्ण रूप से एक अवशिष्ट बूलियन बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। बाद की स्थिति को साधारण अंकगणितीय पारस्परिक के लिए समीकरण 1/(1/x) = x के संबंधपरक प्रतिरूप के रूप में माना जा सकता है, और कुछ लेखक व्युत्क्रम को बातचीत के पर्याय के रूप में उपयोग करते हैं।

चूंकि अवशिष्ट बूलियन बीजगणित परिमित रूप से अनेक सर्वसमिकाओं के साथ अभिगृहीत होते हैं, इसलिए संबंध बीजगणित होते हैं। आरऐ उत्तरार्द्ध विविधता (सार्वभौमिक बीजगणित) के विभिन्न प्रकारों का समुच्चय बनाता है। उपर्युक्त परिभाषा को समीकरणों के रूप में विस्तारित करने से निम्नलिखित परिमित स्वयंसिद्धता प्राप्त होती है।

अभिगृहीत
नीचे दिए गए अभिगृहीत B1-B10 जीवांत (2006: 283) से अनुकूलित हैं, और पहली बार 1948 में टार्स्की द्वारा निर्धारित किए गए थे।

L बाइनरी अलगाव के तहत एकबूलियन बीजगणित (संरचना) है, ∨, और एकात्मक पूरकता -:
 * B1: A ∨ B = B ∨ A
 * B2: A ∨ (B ∨ C) = (A ∨ B) ∨ C
 * B3: (A− ∨ B)− ∨ (A− ∨ B−)− = A

बूलियन बीजगणित का यह स्वसिद्धीकरण एडवर्ड वर्मिली हंटिंगटन (1933) के कारण है। ध्यान दें कि निहित बूलियन बीजगणित का मिलन • ऑपरेटर नहीं है, (भले ही यह ∨ पर वितरित करता है जैसे एक मिलन करता है) न ही बूलियन बीजगणित का 1 $I$ स्थिरांक है।

L द्विआधारी संरचना (•) और अशक्त पहचान $I$ के तहत एक मोनोइड है:
 * B4: A•(B•C) = (A•B)•C
 * B5: A•I = A

यूनरी कन्वर्स ˘ रचना के संबंध में एक अंतर्वलन है:
 * B6: A˘˘ = A
 * B7: (A•B)˘ = B˘•A˘

अभिगृहीत B6 रूपांतरण को एक समावेशन(गणित) के रूप में परिभाषित करता है, जबकि B7 रचना के सापेक्ष रूपांतरण के प्रतिपक्षी गुण को व्यक्त करता है।

संयोजन पर बातचीत और संरचना वितरण:
 * B8: (A∨B)˘ = A˘∨B˘
 * B9: (A∨B)•C = (A•C)∨(B•C)

B10 ऑगस्टस डी मॉर्गन द्वारा खोजे गए तथ्य का टार्स्की का समीकरण रूप है A•B ≤ C− ↔ A˘•C ≤ B− ↔ C•B˘ ≤ A−
 * B10: (A˘•(A•B)−)∨B− = B−

ये अभिगृहीत ज़ैडएफसी प्रमेय हैं; विशुद्ध रूप से बूलियन बी1-बी3 के लिए, यह तथ्य तुच्छ है। निम्नलिखित में से प्रत्येक स्वयंसिद्ध के बाद सपेस (1960) के अध्याय 3 में संबंधित प्रमेय की संख्या दिखाई गई है, ज़ैडएफसी की एक प्रदर्शनी: B4 27, B5 45, B6 14, B7 26, B8 16, B9 23 है।

आरए में द्विआधारी संबंधों के गुण व्यक्त करना
निम्न तालिका दर्शाती है कि द्विआधारी संबंधों के कितने सामान्य गुणों को संक्षिप्त आरए समानता या असमानता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। नीचे, A ≤ B फ़ॉर्म की असमानता बूलियन समीकरण के लिए शॉर्टहैंड है $A∨B = B$.

इस प्रकृति के परिणामों का सबसे पूर्ण समुच्चय कार्नाप (1958) का अध्याय C है, जहां संकेतन इस प्रविष्टि से काफी दूर है। सपेस (1960) के अध्याय 3.2 में कम परिणाम शामिल हैं, जो ZFC प्रमेय के रूप में प्रस्तुत किए गए हैं और एक नोटेशन का उपयोग कर रहे हैं जो इस प्रविष्टि के समान है। इस प्रविष्टि के RA का उपयोग करके या एक समान तरीके से न तो कार्नैप और न ही सपेस ने अपने परिणाम तैयार किए थे।

अभिव्यंजक घात
गिवंत (2006) के अधिक संक्षेप में RA के मेटामैथमैटिक्स पर तार्स्की और गिवंत (1987) में विस्तार से चर्चा की गई है।

आरए में पूरी तरह से समान प्रतिस्थापन और समान के लिए समान के प्रतिस्थापन से अधिक कुछ नहीं का उपयोग करके हेरफेर किए गए समीकरण शामिल हैं। दोनों नियम स्कूली गणित और अमूर्त बीजगणित से पूरी तरह परिचित हैं। इसलिए आरए प्रमाणों को सभी गणितज्ञों से परिचित तरीके से किया जाता है, आम तौर पर गणितीय तर्क के मामले के विपरीत।

RA में पूरी तरह से समान प्रतिस्थापन और समान के लिए समान के प्रतिस्थापन से अधिक कुछ नहीं का उपयोग करके हेरफेर किए गए समीकरण शामिल हैं। दोनों नियम स्कूली गणित और अमूर्त बीजगणित से पूरी तरह परिचित हैं, इसलिए आम तौर पर गणितीय तर्क के मामले के विपरीत RA प्रमाणों को सभी गणितज्ञों से परिचित तरीके से किया जाता है।

RA किसी भी (और तार्किक तुल्यता तक, बिल्कुल) प्रथम-क्रम तर्क (एफओएल) सूत्रों को व्यक्त कर सकता है जिसमें तीन से अधिक चर नहीं होते हैं। (एक दिए गए चर को कई बार परिमाणित किया जा सकता है और इसलिए परिमाणकों को "पुन: उपयोग" चर द्वारा मनमाने ढंग से गहराई से नेस्ट किया जा सकता है।) हैरानी की बात है कि एफओएल का यह टुकड़ा पियानो अंकगणित और लगभग सभी स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांतों को कभी भी प्रस्तावित करने के लिए पर्याप्त है, इसलिए RA वास्तव में लगभग सभी गणित को बीजगणित करने का तरीका है, जबकि एफओएल और इसके तार्किक संयोजक, परिमाणक (तर्क) एस, घूमने वाला दरवाज़ा (प्रतीक), और मूड समुच्चय करना के साथ वितरण करता है, क्योंकि RA पीनो अंकगणित और समुच्चय सिद्धांत को व्यक्त कर सकता है, गोडेल की अपूर्णता प्रमेय इस पर लागू होती है; RA गोडेल की अपूर्णता प्रमेय, अपूर्ण और अनिर्णीत समस्या है। (एन.बी. RA का बूलियन बीजगणित अंश पूर्ण और निर्णायक है।)

प्रतिनिधित्व करने योग्य संबंध बीजगणित, वर्ग RRA का निर्माण करते हैं, वे संबंध बीजगणित हैं जो कुछ समुच्चय पर द्विआधारी संबंधों से युक्त कुछ संबंध बीजगणित के समरूप होते हैं, और आरए संचालन की इच्छित व्याख्या के तहत बंद हो जाते हैं। यह आसानी से दिखाया जाता है, उदाहरण के लिए छद्मप्राथमिक वर्गों की विधि का उपयोग करते हुए, कि RRA अर्धविविधता है, जो कि सार्वभौमिक हॉर्न सिद्धांत द्वारा स्वयंसिद्ध है। 1950 में, रोजर लिंडन ने RRA में धारण करने वाले समीकरणों के अस्तित्व को सिद्ध किया जो RA में नहीं था, इसलिए RRA द्वारा सृजित विविधता आरए किस्म की उचित उप-किस्म है। 1955 में, अल्फ्रेड टार्स्की ने दिखाया कि आरआरए अपने आप में किस्म है। 1964 में, डोनाल्ड मोंक ने दिखाया कि RRA के पास RA के विपरीत कोई परिमित स्वयंसिद्ध नहीं है, जो कि परिभाषा के अनुसार अंतिम रूप से स्वयंसिद्ध है।

क्यू-संबंध बीजगणित
RA, Q-संबंध बीजगणित (QRA) है, यदि B1-B10 के अलावा, कुछ A और B मौजूद हैं, जैसे कि (टार्स्की और गिवंत 1987: §8.4):

अनिवार्य रूप से इन स्वयंसिद्धों का अर्थ है कि ब्रह्मांड में एक (गैर-प्रत्यक्ष) युग्म संबंध है जिसका प्रक्षेपण ए और बी हैं। यह एक प्रमेय है कि प्रत्येक QRA एक RRA है (मैडक्स द्वारा प्रमाण, टार्स्की और गिवेंट 1987 देखें: 8.4 (iii))।
 * Q0: A˘•A ≤ I
 * Q1: B˘•B ≤ I
 * Q2: A˘•B = 1

प्रत्येक क्यूआरए प्रतिनिधित्व योग्य (तर्स्की और गिवंत 1987) है। यह कि प्रत्येक संबंध बीजगणित प्रतिनिधित्व योग्य नहीं है, एक मौलिक तरीका है RA, QRA और बूलियन बीजगणित से भिन्न है, जो बूलियन बीजगणित के लिए स्टोन के प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा, हमेशा कुछ समुच्चय के उपसमुच्चय के समुच्चय के रूप में प्रतिनिधित्व योग्य होते हैं, संघ, चौराहे और पूरक के तहत बंद होते हैं।

उदाहरण

 * 1) किसी भी बूलियन बीजगणित को संयोजन (मोनॉयड गुणा •) के रूप में संयोजन की व्याख्या करके RA में बदला जा सकता है, यानी x•y को x∧y के रूप में परिभाषित किया गया है, इस व्याख्या के लिए आवश्यक है कि विपरीत व्याख्या पहचान (ў = y), और दोनों अवशिष्ट y\x और x/y सशर्त y→x (यानी, ¬y∨x) की व्याख्या की जा सकती है।
 * 2) एक संबंध बीजगणित का प्रेरक उदाहरण किसी भी उपसमुच्चय के रूप में समुच्चय 'एक्स' पर द्विआधारी संबंध 'आर' की परिभाषा पर निर्भर करता है $R˘•R ≤ I$, जहाँ $I ≤ R•R˘$ X का कार्टेशियन वर्ग है। घात समुच्चय 2X² जिसमें X पर सभी द्विआधारी संबंध शामिल हैं, बूलियन बीजगणित है। जबकि  $R•R˘ ≤ I$ लेकर संबंध बीजगणित बनाया जा सकता है $I ≤ R˘•R$ ऊपर उदाहरण (1) के अनुसार, • की मानक व्याख्या इसके बजाय है $R˘•R = R•R˘ = I$. अर्थात्, क्रमित युग्म (x, z) संबंध R•S से संबंधित है, जब वहाँ मौजूद है $R•R ≤ R$  ऐसा है कि $I ≤ R$ और $R ≤ I$. यह व्याख्या विशिष्ट रूप से R\S को सभी जोड़े (y, z) से मिलकर निर्धारित करती है जैसे कि सभी के लिए $R &and; I = 0$, अगर xRy तो xSz वास्तव में, S/R में सभी जोड़े (x,y) होते हैं जैसे कि सभी z ∈ X के लिए, यदि yRz तो xSz अनुवाद $R˘ = R$ फिर R के विलोम R˘ को सभी जोड़े (y,x) से मिलकर स्थापित करता है जैसे कि (x,y) ∈ R को स्थापित किया जाता है।
 * 3) पिछले उदाहरण का एक महत्वपूर्ण सामान्यीकरण घात समुच्चय 2E है जहां E ⊆ X² समुच्चय X पर कोई तुल्यता संबंध है। यह एक सामान्यीकरण है क्योंकि X² अपने आप में एक तुल्यता संबंध है, अर्थात् सभी जोड़ियों से युक्त पूर्ण संबंध, जबकि 2E, 2X² का एक सबलजेब्रा नहीं है, जब E ≠ X² (चूंकि उस मामले में इसमें संबंध X² नहीं है, शीर्ष तत्व 1 X² के बजाय E है), फिर भी इसे समान परिभाषाओं का उपयोग करके संबंध बीजगणित में बदल दिया जाता है। इसका महत्व एक प्रतिनिधित्व योग्य संबंध बीजगणित की परिभाषा में रहता है क्योंकि किसी भी समुच्चय पर कुछ समतुल्य संबंध ई के लिए संबंध बीजगणित 2E के एक सबलजेब्रा के लिए कोई संबंध बीजगणित समसामयिक है। पिछला खंड प्रासंगिक मेटामैथमेटिक्स के बारे में अधिक बताता है।
 * 4) माना G एक समूह है। फिर बिजली समुच्चय $$2^G$$ स्पष्ट बूलियन बीजगणित संचालन के साथ संबंध बीजगणित है, समूह उपसमुच्चय के उत्पाद द्वारा दी गई संरचना, व्युत्क्रम उपसमुच्चय द्वारा विलोम ($$A^{-1} = \{a^{-1}\mid a\in A\}$$), और सिंगलटन सबसमुच्चय द्वारा पहचान $$\{e\}$$, संबंध बीजगणित समरूपता एम्बेडिंग है $$2^G$$ में $$2^{G\times G}$$ जो प्रत्येक सबसमुच्चय भेजता है $$A\subset G$$ संबंध के लिए $$R_A = \{(g, h)\in G \times G\mid h\in A g\}$$, इस समरूपता की छवि G पर सभी सही-अपरिवर्तनीय संबंधों का समुच्चय है।
 * 5) यदि समूह योग या गुणनफल रचना की व्याख्या करता है, समूह प्रतिलोम विलोम की व्याख्या करता है, समूह पहचान $R &and; R˘ ≤ I$ की व्याख्या करता है, और यदि R एक-से-एक पत्राचार है, ताकि $R &and; R˘ = 0$, तो L एक समूह होने के साथ-साथ एक मोनोइड भी है। B4-B7 समूह सिद्धांत के प्रसिद्ध प्रमेय बन जाते हैं, जिससे RA समूह सिद्धांत के साथ-साथ बूलियन बीजगणित का एक उचित विस्तार बन जाता है।

ऐतिहासिक टिप्पणी
डी मॉर्गन ने 1860 में RA की स्थापना की, लेकिन सी. एस. पियर्स ने इसे और आगे बढ़ाया और इसकी दार्शनिक शक्ति से मोहित हो गए थे। डी मॉर्गन और पियर्स के काम को मुख्य रूप से विस्तारित और निश्चित रूप में जाना जाता है, जिसे अर्नस्ट श्रोडर ने उनके वोरलेसुंगेन के वॉल्यूम 3 (1890-1905) में दिया था। प्रिंसिपिया मैथेमेटिका ने श्रोडर के RA पर दृढ़ता से आकर्षित किया, लेकिन उसे केवल संकेतन के आविष्कारक के रूप में स्वीकार किया था। 1912 में, एल्विन कोर्सेल्ट ने साबित किया कि एक विशेष सूत्र जिसमें क्वांटिफायर को चार गहरे में नेस्टेड किया गया था, उसका कोई RA समतुल्य नहीं था। इस तथ्य के कारण RA में दिलचस्पी कम हो गई जब तक कि टार्स्की (1941) ने इसके बारे में लिखना शुरू नहीं किया था। उनके छात्रों ने आज तक RA को विकसित करना जारी रखा है। टार्स्की 1970 के दशक में स्टीवन गिवेंट की मदद से RA में लौट आए; इस सहयोग के परिणामस्वरूप टार्स्की और गिवंत (1987) द्वारा मोनोग्राफ तैयार किया गया, जो इस विषय के लिए निश्चित संदर्भ था। RA के इतिहास पर अधिक जानकारी के लिए, मैडक्स (1991, 2006) देख सकते है।

सॉफ्टवेयर

 * कंप्यूटर विज्ञान में RelMICS / संबंधपरक तरीके को Wolfram Kahl द्वारा अनुरक्षित किया गया
 * कार्स्टन सिंज़: ARA / स्वचालित प्रमेय प्रदाता संबंध बीजगणित के लिए
 * Stef Joosten, एम्परसैंड कंपाइलर का उपयोग करके प्रोग्रामिंग भाषा के रूप में संबंध बीजगणित, जर्नल ऑफ़ लॉजिकल और प्रोग्रामिंग में बीजगणितीय तरीके, खंड 100, अप्रैल 2018, पृष्ठ 113–129। (https://ampersandtarski.gitbook.io/documentation भी देखें)

यह भी देखें

 * बीजगणितीय तर्क
 * रूपक (श्रेणी सिद्धांत)
 * द्विआधारी संबंध
 * कार्तीय गुणन
 * कार्तीय वर्ग
 * बेलनाकार बीजगणित
 * विस्तार (विधेय तर्क)
 * इन्वोल्यूशन (गणित)
 * रिश्तेदारों का तर्क
 * तार्किक मैट्रिक्स
 * विधेय कारक तर्क
 * कितने
 * संबंध (गणित)
 * संबंध निर्माण
 * संबंधपरक गणना
 * संबंधपरक बीजगणित
 * अवशिष्ट बूलियन बीजगणित
 * स्थानिक-लौकिक तर्क
 * संबंधों का सिद्धांत
 * त्रिक संबंध

संदर्भ

 * Schein, Boris M. (1970) "Relation algebras and function semigroups", Semigroup Forum 1: 1–62
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बाहरी संबंध

 * Yohji AKAMA, Yasuo Kawahara, and Hitoshi Furusawa, "Constructing Allegory from Relation Algebra and Representation Theorems."
 * Richard Bird, Oege de Moor, Paul Hoogendijk, "Generic Programming with Relations and Functors."
 * R.P. de Freitas and Viana, "A Completeness Result for Relation Algebra with Binders."
 * Peter Jipsen:
 * Relation algebras
 * "Foundations of Relations and Kleene Algebra."
 * "Computer Aided Investigations of Relation Algebras."
 * "A Gentzen System And Decidability For Residuated Lattices."
 * Vaughan Pratt:
 * "Origins of the Calculus of Binary Relations." A historical treatment.
 * "The Second Calculus of Binary Relations."
 * Priss, Uta:
 * "An FCA interpretation of Relation Algebra."
 * "Relation Algebra and FCA" Links to publications and software
 * Kahl, Wolfram and Gunther Schmidt: Exploring (Finite) Relation Algebras Using Tools Written in Haskell. and Relation Algebra Tools with Haskell from McMaster University.