बोल्ट्जमैन समीकरण

बोल्ट्जमैन समीकरण या बोल्ट्जमैन परिवहन समीकरण (बीटीई) एक थर्मोडायनामिक प्रणाली  के सांख्यिकीय व्यवहार का वर्णन करता है जो 1872 में  लुडविग बोल्ट्जमैन  द्वारा तैयार  थर्मोडायनामिक संतुलन  की स्थिति में नहीं है। इस तरह की प्रणाली का उत्कृष्ट उदाहरण अंतरिक्ष में तापमान प्रवणता  के साथ एक तरल पदार्थ है, जिससे उस तरल पदार्थ को बनाने वाले  कण ों के यादृच्छिक लेकिन पक्षपाती परिवहन द्वारा गर्म क्षेत्रों से ठंडे क्षेत्रों में गर्मी प्रवाहित होती है। आधुनिक साहित्य में बोल्ट्जमैन समीकरण शब्द का प्रयोग अक्सर अधिक सामान्य अर्थों में किया जाता है, किसी भी  गति ज समीकरण का जिक्र करते हुए जो थर्मोडायनामिक प्रणाली में एक मैक्रोस्कोपिक मात्रा के परिवर्तन का वर्णन करता है, जैसे कि ऊर्जा, आवेश या कण संख्या।

समीकरण अलग-अलग स्थिति वैक्टर और द्रव  में प्रत्येक कण की गति का विश्लेषण करके नहीं बल्कि एक विशिष्ट कण की स्थिति और संवेग के लिए एक संभाव्यता वितरण पर विचार करके उत्पन्न होता है - अर्थात,  संभावना  है कि कण अंतरिक्ष के दिए गए असीम क्षेत्र पर कब्जा कर लेता है। (गणितीय रूप से आयतन तत्व $$d^3 \mathbf{r}$$) स्थिति पर केंद्रित है $$\mathbf{r}$$, और संवेग किसी दिए गए संवेग सदिश के लगभग बराबर है $$ \mathbf{p}$$ (इस प्रकार संवेग स्थान के एक बहुत छोटे क्षेत्र पर कब्जा कर लिया $$d^3 \mathbf{p}$$), एक पल में।

बोल्ट्ज़मैन समीकरण का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि भौतिक मात्राएँ कैसे बदलती हैं, जैसे कि ऊष्मा ऊर्जा और संवेग, जब कोई द्रव परिवहन में होता है। तरल पदार्थ जैसे चिपचिपापन, तापीय चालकता और विद्युत चालकता  (गैस के रूप में सामग्री में आवेश वाहकों का इलाज करके) जैसे अन्य गुणों को भी प्राप्त किया जा सकता है। संवहन-प्रसार समीकरण भी देखें।

समीकरण एक नॉनलाइनियर सिस्टम   अभिन्न-विभेदक समीकरण  है, और समीकरण में अज्ञात फ़ंक्शन एक कण स्थिति और संवेग के छह-आयामी स्थान में एक प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है। अस्तित्व की समस्या और समाधानों की विशिष्टता अभी भी पूरी तरह से हल नहीं हुई है, लेकिन हाल के कुछ परिणाम काफी आशाजनक हैं।

चरण स्थान और घनत्व समारोह
सभी संभावित स्थितियों r और संवेग p के समुच्चय को सिस्टम का चरण स्थान कहा जाता है; दूसरे शब्दों में प्रत्येक स्थिति के लिए तीन निर्देशांकों का एक सेट समन्वय x, y, z, और प्रत्येक गति घटक के लिए तीन और $p_{x}$, $p_{y}$, $p_{z}$. संपूर्ण स्थान 6- आयाम ी है: इस स्थान में एक बिंदु है $(r, p) = (x, y, z, p_{x}, p_{y}, p_{z})$, और प्रत्येक निर्देशांक समय टी द्वारा पैरामीट्रिक समीकरण  है। छोटी मात्रा (अंतर मात्रा तत्व) लिखा है $$ d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p} = dx \, dy \, dz \, dp_x \, dp_y \, dp_z. $$ चूंकि की संभावना है $N$ अणु, जो सभी के पास है $r$ और $p$ अंदर $$ d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p}$$प्रश्न में है, समीकरण के केंद्र में एक मात्रा है $f$ जो इस संभाव्यता को प्रति इकाई चरण-स्थान आयतन देता है, या प्रति इकाई लंबाई घन प्रति इकाई संवेग घन, समय के एक पल में संभावना देता है $t$. यह प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है: $f(r, p, t)$, परिभाषित किया गया है ताकि, $$dN = f (\mathbf{r},\mathbf{p},t) \, d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p}$$ अणुओं की संख्या है, जिनकी सभी स्थितियाँ एक आयतन तत्व के भीतर होती हैं $$ d^3\mathbf{r}$$ के बारे में $r$ और मोमेंटा एक मोमेंटम स्पेस एलिमेंट के भीतर पड़ा हुआ है $$ d^3\mathbf{p}$$ के बारे में $p$, समय पर $t$. स्थिति स्थान और संवेग स्थान के एक क्षेत्र पर एकीकरण (पथरी) उस क्षेत्र में स्थिति और गति वाले कणों की कुल संख्या देता है:

$$\begin{align} N & = \int\limits_\mathrm{momenta} d^3\mathbf{p} \int\limits_\mathrm{positions} d^3\mathbf{r}\,f (\mathbf{r},\mathbf{p},t) \\[5pt] & = \iiint\limits_\mathrm{momenta} \quad \iiint\limits_\mathrm{positions} f(x,y,z, p_x,p_y,p_z, t) \, dx \, dy \, dz \, dp_x \, dp_y \, dp_z \end{align}$$ जो एक बहु समाकल है | 6 गुना समाकल। जबकि $f$ कई कणों से जुड़ा हुआ है, चरण स्थान एक-कण के लिए है (उन सभी के लिए नहीं, जो आमतौर पर नियतात्मक   कई शरीर की समस्या  के मामले में होता है। कई-शरीर प्रणाली), क्योंकि केवल एक $r$ और $p$ विचाराधीन है। यह उपयोग करने के लिए विश्लेषण का हिस्सा नहीं है $r_{1}$, $p_{1}$ कण 1 के लिए, $r_{2}$, $p_{2}$ कण 2, आदि के लिए। अप करने के लिए $r_{N}$, $p_{N}$ कण एन के लिए

यह माना जाता है कि सिस्टम में कण समान हैं (इसलिए प्रत्येक का एक समान द्रव्यमान  है $m$). एक से अधिक रासायनिक प्रजातियों के मिश्रण के लिए, प्रत्येक के लिए एक वितरण आवश्यक है, नीचे देखें।

प्रधान वक्तव्य
सामान्य समीकरण तब के रूप में लिखा जा सकता है $$ \frac{df}{dt} = \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\text{force} + \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\text{diff} + \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\text{coll}, $$ जहां बल शब्द बाहरी प्रभाव (स्वयं कणों द्वारा नहीं) द्वारा कणों पर लगाए गए बलों से मेल खाता है, भिन्न शब्द कणों के प्रसार  का प्रतिनिधित्व करता है, और कोल टकराव शब्द है - टकराव में कणों के बीच कार्य करने वाली शक्तियों के लिए लेखांकन। दाईं ओर प्रत्येक पद के लिए भाव नीचे दिए गए हैं।

ध्यान दें कि कुछ लेखक कण वेग का उपयोग करते हैं $v$ गति के बजाय $p$; वे संवेग की परिभाषा में संबंधित हैं $p = mv$.

बल और प्रसार की शर्तें
द्वारा वर्णित कणों पर विचार करें $f$, प्रत्येक एक बाहरी शक्ति का अनुभव कर रहा है $F$ अन्य कणों के कारण नहीं (बाद के उपचार के लिए टकराव शब्द देखें)।

मान लीजिए समय पर $t$ कुछ कणों की सभी स्थिति होती है $r$ तत्व के भीतर $$ d^3\mathbf{r}$$ और गति $p$ अंदर $$ d^3\mathbf{p}$$. अगर एक बल $F$ तुरंत प्रत्येक कण पर कार्य करता है, फिर समय पर $t + Δt$ उनकी स्थिति होगी $$ \mathbf{r} + \Delta \mathbf{r} = \mathbf{r} +\frac{\mathbf{p}}{m} \, \Delta t $$ और गति $p + Δp = p + FΔt$. फिर, टक्करों के अभाव में, $f$ संतुष्ट करना चाहिए

$$ f \left (\mathbf{r}+\frac{\mathbf{p}}{m} \, \Delta t,\mathbf{p}+\mathbf{F} \, \Delta t, t+\Delta t \right )\,d^3\mathbf{r}\,d^3\mathbf{p} = f(\mathbf{r}, \mathbf{p},t) \, d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p} $$ ध्यान दें कि हमने इस तथ्य का उपयोग किया है कि चरण स्थान आयतन तत्व $$ d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p}$$ स्थिर है, जिसे हैमिल्टन के समीकरणों का उपयोग करके दिखाया जा सकता है (लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) के तहत चर्चा देखें। लिउविल के प्रमेय)। हालांकि, चूंकि टकराव होते हैं, चरण-स्थान मात्रा में कण घनत्व $$ d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p}$$ परिवर्तन, इसलिए

कहां $Δf$ में पूर्ण परिवर्तन है $f$. विभाजित करना ($$) द्वारा $$ d^3\mathbf{r} \, d^3\mathbf{p} \, \Delta t$$ और सीमाएँ लेना $Δt → 0$ और $Δf → 0$, अपने पास

के एक समारोह का कुल अंतर $f$ है:

कहां $∇$ ढाल  ऑपरेटर है, $·$  डॉट उत्पाद  है, $$ \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} = \mathbf{\hat{e}}_x\frac{\partial f}{\partial p_x} + \mathbf{\hat{e}}_y\frac{\partial f}{\partial p_y} + \mathbf{\hat{e}}_z \frac{\partial f}{\partial p_z}= \nabla_\mathbf{p}f $$ के संवेग अनुरूप के लिए एक आशुलिपि है $∇$, और $ê_{x}$, $ê_{y}$, $ê_{z}$ कार्तीय निर्देशांक  इकाई वैक्टर हैं।

अंतिम वक्तव्य
विभाजित करना ($$) द्वारा $dt$ और में प्रतिस्थापन ($$) देता है:

$$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\mathbf{p}}{m}\cdot\nabla f + \mathbf{F} \cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} = \left(\frac{\partial f}{\partial t} \right)_\mathrm{coll}$$ इस संदर्भ में, $F(r, t)$ बल क्षेत्र (रसायन विज्ञान)  द्रव में कणों पर कार्य कर रहा है, और $$ कणों का द्रव्यमान है। कणों के बीच टकराव के प्रभाव का वर्णन करने के लिए दाहिनी ओर शब्द जोड़ा गया है; यदि यह शून्य है तो कण आपस में नहीं टकराते। टकराव रहित बोल्ट्जमैन समीकरण, जहां अलग-अलग टकरावों को लंबी दूरी की एकत्रित बातचीत से बदल दिया जाता है, उदा।  कूलम्ब इंटरेक्शन, को अक्सर  व्लासोव समीकरण  कहा जाता है।

यह समीकरण उपरोक्त प्रिंसिपल की तुलना में अधिक उपयोगी है, फिर भी अभी भी अधूरा है $f$ टकराव की अवधि में जब तक हल नहीं किया जा सकता $f$ ज्ञात है। यह शब्द आसानी से या आम तौर पर दूसरों के रूप में नहीं पाया जा सकता है - यह कण टकराव का प्रतिनिधित्व करने वाला एक सांख्यिकीय शब्द है, और मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन वितरण | मैक्सवेल-बोल्ट्जमैन, फर्मी-डिराक वितरण | फर्मी जैसे कणों का पालन करने वाले आंकड़ों के ज्ञान की आवश्यकता होती है। -डिराक या बोस-आइंस्टीन वितरण|बोस-आइंस्टीन वितरण।

दो-निकाय टकराव शब्द
लुडविग बोल्ट्जमैन द्वारा लागू की गई एक महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि टकराव की अवधि निर्धारित करने के लिए थी, जिसके परिणामस्वरूप कणों के बीच केवल दो-निकाय टकराव होते हैं जिन्हें टक्कर से पहले असंबद्ध माना जाता है। इस धारणा को बोल्ट्जमैन ने इस रूप में संदर्भित किया थाStosszahlansatzऔर आणविक अराजकता  धारणा के रूप में भी जाना जाता है। इस धारणा के तहत टकराव शब्द को एक-कण वितरण कार्यों के उत्पाद पर एक गति-अंतरिक्ष अभिन्न के रूप में लिखा जा सकता है: $$ \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\text{coll} = \iint g I(g, \Omega)[f(\mathbf{r},\mathbf{p'}_A, t) f(\mathbf{r},\mathbf{p'}_B,t) - f(\mathbf{r},\mathbf{p}_A,t) f(\mathbf{r},\mathbf{p}_B,t)] \,d\Omega \,d^3\mathbf{p}_B, $$ कहां $p_{A}$ और $p_{B}$ टकराव से पहले किन्हीं दो कणों (सुविधा के लिए A और B के रूप में लेबल किए गए) के संवेग हैं, $p&prime;_{A}$ और $p&prime;_{B}$ टक्कर के बाद क्षण हैं, $$ g = |\mathbf{p}_B - \mathbf{p}_A| = |\mathbf{p'}_B - \mathbf{p'}_A| $$ सापेक्ष संवेग का परिमाण है (इस अवधारणा पर अधिक जानकारी के लिए सापेक्ष वेग  देखें), और $I(g, Ω)$ टक्कर का विभेदक क्रॉस सेक्शन है, जिसमें टकराने वाले कणों का सापेक्ष संवेग एक कोण से घूमता है $$  ठोस कोण  के तत्व में $dΩ$, टक्कर के कारण।

टक्कर शब्द का सरलीकरण
चूंकि बोल्ट्ज़मैन समीकरण को हल करने में अधिकांश चुनौती जटिल टकराव की अवधि से उत्पन्न होती है, टकराव की अवधि को मॉडल और सरल बनाने के प्रयास किए गए हैं। सबसे प्रसिद्ध मॉडल समीकरण भटनागर, सकल और क्रूक के कारण है। बीजीके सन्निकटन में धारणा यह है कि आणविक टकराव का प्रभाव भौतिक स्थान में एक बिंदु पर एक गैर-संतुलन वितरण फ़ंक्शन को मैक्सवेलियन संतुलन वितरण फ़ंक्शन पर वापस लाने के लिए है और जिस दर पर यह होता है वह आणविक टकराव आवृत्ति के समानुपाती होता है।. इसलिए बोल्ट्जमान समीकरण को बीजीके रूप में संशोधित किया गया है:

$$\frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\mathbf{p}}{m}\cdot\nabla f + \mathbf{F} \cdot \frac{\partial f}{\partial \mathbf{p}} = \nu (f_0 - f),$$ कहां $$\nu$$ आणविक टक्कर आवृत्ति है, और $$f_0$$ अंतरिक्ष में इस बिंदु पर गैस का तापमान दिया गया स्थानीय मैक्सवेलियन वितरण समारोह है।

सामान्य समीकरण (मिश्रण के लिए)
सूचकांकों द्वारा लेबल की गई रासायनिक प्रजातियों के मिश्रण के लिए $i = 1, 2, 3, ..., n$ प्रजातियों के लिए समीकरण $m$ है

$$\frac{\partial f_i}{\partial t} + \frac{\mathbf{p}_i}{m_i} \cdot \nabla f_i + \mathbf{F} \cdot \frac{\partial f_i}{\partial \mathbf{p}_i} = \left(\frac{\partial f_i}{\partial t} \right)_\text{coll},$$ कहां $f_{i} = f_{i}(r, p_{i}, t)$, और टक्कर शब्द है

$$ \left(\frac{\partial f_i}{\partial t} \right)_{\mathrm{coll}} = \sum_{j=1}^n \iint g_{ij} I_{ij}(g_{ij}, \Omega)[f'_i f'_j - f_i f_j] \,d\Omega\,d^3\mathbf{p'},$$ कहां $f&prime; = f&prime;(p&prime;_{i}, t)$, सापेक्ष संवेग का परिमाण है

$$g_{ij} = |\mathbf{p}_i - \mathbf{p}_j| = |\mathbf{p'}_i - \mathbf{p'}_j|,$$ और $I_{ij}$ पहले की तरह, कणों i और j के बीच का अंतर क्रॉस-सेक्शन है। एकीकरण इंटीग्रैंड में संवेग घटकों पर है (जिन्हें i और j लेबल किया गया है)। इंटीग्रल्स का योग चरण-स्थान तत्व में या बाहर प्रजातियों के कणों के प्रवेश और निकास का वर्णन करता है।

संरक्षण समीकरण
द्रव्यमान, आवेश, संवेग और ऊर्जा के लिए तरल गतिशील संरक्षण कानूनों को प्राप्त करने के लिए बोल्ट्जमैन समीकरण का उपयोग किया जा सकता है। केवल एक प्रकार के कण से बने द्रव के लिए, संख्या घनत्व $θ$ द्वारा दिया गया है $$n = \int f \,d^3\mathbf{p}.$$ किसी भी समारोह का औसत मूल्य $A$ है $$\langle A \rangle = \frac 1 n \int A f \,d^3\mathbf{p}.$$ चूंकि संरक्षण समीकरणों में टेन्सर शामिल हैं, आइंस्टीन समेशन कन्वेंशन का उपयोग किया जाएगा, जहां किसी उत्पाद में दोहराए गए इंडेक्स उन इंडेक्स पर योग का संकेत देते हैं। इस प्रकार $$\mathbf{x} \mapsto x_i$$ और $$\mathbf{p} \mapsto p_i = m w_i$$, कहां $$w_i$$ कण वेग वेक्टर है। परिभाषित करना $$A(p_i)$$ गति के कुछ कार्य के रूप में $$p_i$$ केवल, जो टकराव में संरक्षित है। यह भी मान लें कि बल $$F_i$$ केवल स्थिति का कार्य है, और वह f शून्य है $$p_i \to \pm\infty$$. बोल्ट्ज़मैन समीकरण को ए से गुणा करने और गति से अधिक एकीकरण करने से चार पद प्राप्त होते हैं, जिन्हें भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है

$$\int A \frac{\partial f}{\partial t} \,d^3\mathbf{p} = \frac{\partial }{\partial t} (n \langle A \rangle),$$

$$\int \frac{p_j A}{m}\frac{\partial f}{\partial x_j} \,d^3\mathbf{p} = \frac{1}{m}\frac{\partial}{\partial x_j}(n\langle A p_j \rangle),$$

$$\int A F_j \frac{\partial f}{\partial p_j} \,d^3\mathbf{p} = -n F_j\left\langle \frac{\partial A}{\partial p_j}\right\rangle,$$

$$\int A \left(\frac{\partial f}{\partial t}\right)_\text{coll} \,d^3\mathbf{p} = 0,$$ जहाँ अंतिम पद शून्य है, चूँकि $A$ टकराव में संरक्षित है। के मान $A$ वेग के आघूर्ण (गणित) के अनुरूप $$v_i$$ (और गति $$p_i$$, क्योंकि वे रैखिक रूप से निर्भर हैं)।

शून्य क्षण
दे $$A = m(v_i)^0 = m$$, कण का द्रव्यमान, एकीकृत बोल्ट्जमैन समीकरण द्रव्यमान समीकरण का संरक्षण बन जाता है: $$\frac{\partial}{\partial t}\rho + \frac{\partial}{\partial x_j}(\rho V_j) = 0,$$ कहां $$\rho = mn$$ द्रव्यमान घनत्व है, और $$V_i = \langle w_i\rangle$$ औसत द्रव वेग है।

पहला क्षण
दे $$A = m(v_i)^1 = p_i$$, कण की गति, एकीकृत बोल्ट्जमैन समीकरण संवेग समीकरण का संरक्षण बन जाता है:

$$\frac{\partial}{\partial t}(\rho V_i) + \frac{\partial}{\partial x_j}(\rho V_i V_j+P_{ij}) - n F_i = 0,$$ कहां $$P_{ij} = \rho \langle (w_i-V_i) (w_j-V_j) \rangle$$ दबाव  टेंसर ( चिपचिपा तनाव टेंसर  प्लस हाइड्रोस्टैटिक दबाव) है।

दूसरा क्षण
दे $$A = \frac{m(v_i)^2}{2} = \frac{p_i p_i}{2m}$$, कण की गतिज ऊर्जा, एकीकृत बोल्ट्जमैन समीकरण ऊर्जा समीकरण का संरक्षण बन जाता है:

$$\frac{\partial}{\partial t}(u + \tfrac{1}{2}\rho V_i V_i) + \frac{\partial}{\partial x_j} (uV_j + \tfrac{1}{2}\rho V_i V_i V_j + J_{qj} + P_{ij}V_i) - nF_iV_i = 0,$$ कहां $u = \tfrac{1}{2} \rho \langle (w_i-V_i) (w_i-V_i) \rangle$ गतिज तापीय ऊर्जा घनत्व है, और $J_{qi} = \tfrac{1}{2} \rho \langle(w_i - V_i)(w_k - V_k)(w_k - V_k)\rangle$  ऊष्मा प्रवाह वेक्टर है।

हैमिल्टनियन यांत्रिकी
हैमिल्टनियन यांत्रिकी में, बोल्ट्जमैन समीकरण को अक्सर अधिक सामान्य रूप से लिखा जाता है $$\hat{\mathbf{L}}[f]=\mathbf{C}[f], $$ कहां $L$ लिउविल ऑपरेटर  है (लिउविल ऑपरेटर के बीच एक असंगत परिभाषा है जैसा कि यहां परिभाषित किया गया है और लिंक किए गए आलेख में से एक है) एक चरण अंतरिक्ष मात्रा के विकास का वर्णन करता है और $C$ टक्कर संचालक है। का गैर-सापेक्ष रूप $L$ है $$\hat{\mathbf{L}}_\mathrm{NR} = \frac{\partial}{\partial t} + \frac{\mathbf{p}}{m} \cdot \nabla + \mathbf{F}\cdot\frac{\partial}{\partial \mathbf{p}}\,.$$

क्वांटम सिद्धांत और कण संख्या संरक्षण का उल्लंघन
क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत क्वांटम सिस्टम के लिए रिलेटिविस्टिक  क्वांटम बोल्ट्जमैन समीकरण  लिखना संभव है जिसमें कणों की संख्या टकराव में संरक्षित नहीं होती है। भौतिक ब्रह्माण्ड विज्ञान में इसके कई अनुप्रयोग हैं,  बिग बैंग न्यूक्लियोसिंथेसिस  में प्रकाश तत्वों का निर्माण,  काला पदार्थ  और  बेरियोजेनेसिस  का उत्पादन शामिल है। यह एक प्राथमिकता स्पष्ट नहीं है कि एक क्वांटम प्रणाली की स्थिति को शास्त्रीय चरण अंतरिक्ष घनत्व एफ द्वारा वर्णित किया जा सकता है। हालांकि, अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रेणी के लिए एफ का एक अच्छी तरह से परिभाषित सामान्यीकरण मौजूद है जो एक प्रभावी बोल्ट्जमान समीकरण का समाधान है जिसे क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पहले सिद्धांतों से प्राप्त किया जा सकता है।

सामान्य सापेक्षता और खगोल विज्ञान
बोल्ट्जमैन समीकरण गांगेय गतिकी में उपयोग का है। एक आकाशगंगा, कुछ धारणाओं के तहत, एक सतत द्रव के रूप में सन्निकट हो सकती है; इसके बड़े पैमाने पर वितरण को f द्वारा दर्शाया गया है; आकाशगंगाओं में, तारों के बीच भौतिक टकराव बहुत कम होता है, और गुरुत्वीय टकरावों के प्रभाव को ब्रह्मांड की आयु  से कहीं अधिक लंबे समय तक उपेक्षित किया जा सकता है।

सामान्य सापेक्षता में इसका सामान्यीकरण। है $$\hat{\mathbf{L}}_\mathrm{GR} = p^\alpha\frac{\partial}{\partial x^\alpha} - \Gamma^\alpha{}_{\beta\gamma} p^\beta p^\gamma \frac{\partial}{\partial p^\alpha},$$ कहां $Γ^{α}_{βγ}$ दूसरी तरह का क्रिस्टोफ़ेल प्रतीक है (यह मानता है कि कोई बाहरी बल नहीं हैं, ताकि कण टकराव की अनुपस्थिति में जियोडेसिक्स के साथ आगे बढ़ें), महत्वपूर्ण सूक्ष्मता के साथ कि घनत्व मिश्रित विपरीत-सहसंयोजक में एक कार्य है $(x^{i}, p_{i})$ चरण स्थान पूरी तरह से विपरीत के विपरीत $(x^{i}, p^{i})$ चरण स्थान। भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान में ब्रह्मांडीय माइक्रोवेव पृष्ठभूमि विकिरण का अध्ययन करने के लिए पूरी तरह से सहसंयोजक दृष्टिकोण का उपयोग किया गया है। अधिक सामान्य रूप से प्रारंभिक ब्रह्मांड  में प्रक्रियाओं का अध्ययन अक्सर  क्वांटम यांत्रिकी  और सामान्य सापेक्षता के प्रभावों को ध्यान में रखने का प्रयास करता है।  महा विस्फोट  के बाद आदिम प्लाज्मा द्वारा गठित बहुत घने माध्यम में, कण लगातार बनते और नष्ट होते रहते हैं। ऐसे वातावरण में  क्वांटम सुसंगतता  और  तरंग क्रिया  का स्थानिक विस्तार गतिशीलता को प्रभावित कर सकता है, जिससे यह संदेहास्पद हो जाता है कि क्या शास्त्रीय चरण अंतरिक्ष वितरण f जो बोल्ट्जमैन समीकरण में प्रकट होता है, प्रणाली का वर्णन करने के लिए उपयुक्त है। हालांकि, कई मामलों में, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के पहले सिद्धांतों से सामान्यीकृत वितरण समारोह के लिए एक प्रभावी बोल्ट्जमैन समीकरण प्राप्त करना संभव है। इसमें बिग बैंग न्यूक्लियोसिंथेसिस में प्रकाश तत्वों का निर्माण, डार्क मैटर और बेरियोजेनेसिस का उत्पादन शामिल है।

समीकरण को हल करना
कुछ मामलों में बोल्ट्ज़मान समीकरणों के सटीक समाधान मौजूद साबित हुए हैं; यह विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, लेकिन व्यावहारिक समस्याओं में आम तौर पर प्रयोग करने योग्य नहीं है।

इसके बजाय, द्रव यांत्रिकी में संख्यात्मक तरीकों ( परिमित तत्व ों और जाली बोल्ट्ज़मैन विधियों सहित) का उपयोग आम तौर पर बोल्ट्जमैन समीकरण के विभिन्न रूपों के अनुमानित समाधान खोजने के लिए किया जाता है। दुर्लभ गैस प्रवाह में हाइपरसोनिक गति  से उदाहरण अनुप्रयोगों की सीमा होती है  प्लाज्मा प्रवाह के लिए। इलेक्ट्रोडायनामिक्स में बोल्ट्जमैन समीकरण का एक अनुप्रयोग विद्युत चालकता की गणना है - परिणाम अग्रणी क्रम में अर्धशास्त्रीय परिणाम के समान है। गैर-संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी के करीब # स्थानीय ऊष्मप्रवैगिकी संतुलन, बोल्ट्जमैन समीकरण के समाधान को नुडसन संख्या की शक्तियों में एक स्पर्शोन्मुख विस्तार  द्वारा दर्शाया जा सकता है (चैपमैन-एनस्कॉग सिद्धांत। चैपमैन-एनस्कॉग विस्तार) ). इस विस्तार के पहले दो पद  यूलर समीकरण (द्रव गतिकी)  और नेवियर-स्टोक्स समीकरण देते हैं। उच्च पदों में विलक्षणताएँ होती हैं। गणितीय रूप से सीमित प्रक्रियाओं को विकसित करने की समस्या, जो एटमिस्टिक व्यू (बोल्ट्ज़मान के समीकरण द्वारा प्रस्तुत) से निरंतरता की गति के नियमों तक ले जाती है, हिल्बर्ट की छठी समस्या का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है।

बोल्ट्जमैन समीकरण की सीमाएं और आगे के उपयोग
बोल्ट्जमैन समीकरण केवल कई धारणाओं के तहत मान्य है। उदाहरण के लिए, कणों को बिंदु जैसा माना जाता है, अर्थात बिना परिमित आकार के। बोल्ट्जमैन समीकरण का एक सामान्यीकरण मौजूद है जिसे एनस्कॉग समीकरण कहा जाता है। टक्कर शब्द को एन्स्कोग समीकरणों में संशोधित किया गया है जैसे कि कणों का परिमित आकार, उदाहरण के लिए कण एक निश्चित त्रिज्या वाले क्षेत्र हो सकते हैं।

कणों के लिए स्थानांतरीय गति के अलावा और किसी प्रकार की स्वतंत्रता की कल्पना नहीं की जाती है। यदि स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री है, तो बोल्ट्जमैन समीकरण को सामान्यीकृत किया जाना चाहिए और इसमें अयोग्य टकराव हो सकते हैं।

तरल पदार्थ या सघन गैसों जैसे कई वास्तविक तरल पदार्थों में टकराव के अधिक जटिल रूपों के ऊपर उल्लिखित सुविधाओं के अलावा, न केवल बाइनरी, बल्कि टर्नरी और उच्च क्रम के टकराव भी होंगे। इन्हें  बीबीजीकेवाई पदानुक्रम  का उपयोग करके प्राप्त किया जाना चाहिए।

सेल (जीव विज्ञान) के संचलन के लिए बोल्ट्जमैन जैसे समीकरणों का भी उपयोग किया जाता है। चूंकि कोशिकाएं संमिश्र कण हैं जो स्वतंत्रता की आंतरिक डिग्री को ले जाती हैं, सामान्यीकृत बोल्ट्ज़मैन समीकरणों में अनैच्छिक टक्कर अभिन्न अंग होने चाहिए। इस तरह के समीकरण ऊतक,  रूपजनन  और केमोटैक्सिस-संबंधी प्रभावों में  कैंसर  कोशिकाओं के आक्रमण का वर्णन कर सकते हैं।

यह भी देखें

 * व्लासोव समीकरण
 * Vlasov समीकरण#Vlasov-Poisson समीकरण|Vlasov-Poisson समीकरण
 * फोकर-प्लैंक समीकरण
 * विलियम्स स्प्रे समीकरण|विलियम्स-बोल्ट्जमैन समीकरण
 * लैटिस बोल्ट्ज़मन पद्धतियाँ # असतत LBE से नेवियर-स्टोक्स समीकरण की व्युत्पत्ति| LBE से नेवियर-स्टोक्स समीकरण की व्युत्पत्ति
 * जीन्स समीकरण # बोल्ट्जमैन समीकरण से व्युत्पत्ति
 * जीन्स की प्रमेय
 * एच-प्रमेय

संदर्भ

 * . Very inexpensive introduction to the modern framework (starting from a formal deduction from Liouville and the Bogoliubov–Born–Green–Kirkwood–Yvon hierarchy (BBGKY) in which the Boltzmann equation is placed). Most statistical mechanics textbooks like Huang still treat the topic using Boltzmann's original arguments. To derive the equation, these books use a heuristic explanation that does not bring out the range of validity and the characteristic assumptions that distinguish Boltzmann's from other transport equations like Fokker–Planck or Landau equations.





बाहरी कड़ियाँ

 * The Boltzmann Transport Equation by Franz Vesely
 * Boltzmann gaseous behaviors solved