घूर्णन-लहर सन्निकटन

रोटेटिंग-वेव सन्निकटन परमाणु प्रकाशिकी और परमाणु चुंबकीय अनुनाद में प्रयुक्त एक सन्निकटन है। इस सन्निकटन में, हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) में शब्द जो तेजी से दोलन करते हैं, उपेक्षित हैं। यह एक वैध सन्निकटन है जब लागू विद्युत चुम्बकीय विकिरण एक परमाणु संक्रमण के साथ अनुनाद के निकट है, और तीव्रता कम है। स्पष्ट रूप से, हैमिल्टनियन में शब्द जो आवृत्तियों के साथ दोलन करते हैं $$\omega_L + \omega_0$$ उपेक्षित हैं, जबकि शब्द जो आवृत्तियों के साथ दोलन करते हैं $$\omega_L - \omega_0$$ रखा जाता है, कहाँ $$\omega_L$$ प्रकाश आवृत्ति है, और $$\omega_0$$ एक संक्रमण आवृत्ति है।

जैसा कि नीचे दिखाया गया है, अंतःक्रिया चित्र में हैमिल्टनियन के रूप से सन्निकटन का नाम उपजा है। इस तस्वीर पर स्विच करके संबंधित परमाणु हैमिल्टनियन के कारण एक परमाणु का विकास सिस्टम ब्रा-केट नोटेशन में अवशोषित हो जाता है, केवल प्रकाश क्षेत्र के साथ परमाणु की बातचीत के कारण विकास को छोड़कर विचार किया जाता है। यह इस तस्वीर में है कि पहले उल्लेखित तेजी से दोलन करने वाले शब्दों की उपेक्षा की जा सकती है। चूँकि कुछ अर्थों में अंतःक्रियात्मक चित्र को सिस्टम केट के साथ घूमने के बारे में सोचा जा सकता है, केवल विद्युत चुम्बकीय तरंग का वह भाग जो लगभग सह-घूर्णन रखता है; काउंटर-रोटेटिंग घटक को छोड़ दिया जाता है।

रोटेटिंग-वेव सन्निकटन, Redfield_equation#Secular_approximation से निकटता से संबंधित है, लेकिन इससे भिन्न है।

गणितीय सूत्रीकरण
सादगी के लिए दो-राज्य क्वांटम प्रणाली पर विचार करें | जमीनी अवस्था और उत्तेजित अवस्था वाले दो-स्तरीय परमाणु प्रणाली $$|\text{g}\rangle$$ और $$|\text{e}\rangle$$, क्रमशः (ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करके)। राज्यों के बीच ऊर्जा अंतर होने दें $$\hbar\omega_0$$ ताकि $$\omega_0$$ प्रणाली की संक्रमण आवृत्ति है। तब परमाणु के अविचलित हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) को इस रूप में लिखा जा सकता है


 * $$H_0 = \frac{\hbar\omega_0}{2}|\text{e}\rangle\langle\text{e}|-\frac{\hbar\omega_0}{2}|\text{g}\rangle\langle\text{g}|$$.

मान लीजिए कि परमाणु आवृत्ति के बाहरी शास्त्रीय विद्युत क्षेत्र का अनुभव करता है $$\omega_L$$, द्वारा दिए गए $$\vec{E}(t) = \vec{E}_0 e^{-i\omega_Lt} +\vec{E}_0^* e^{i\omega_Lt}$$; उदाहरण के लिए, एक समतल तरंग अंतरिक्ष में फैलती है। फिर द्विध्रुवीय # टोक़ के तहत एक द्विध्रुवीय पर परमाणु और विद्युत क्षेत्र के बीच बातचीत हैमिल्टन को व्यक्त किया जा सकता है


 * $$H_1 = -\vec{d} \cdot \vec{E}$$,

कहाँ $$\vec{d}$$ परमाणु का संक्रमण द्विध्रुवीय क्षण है। परमाणु-प्रकाश प्रणाली के लिए कुल हैमिल्टनियन इसलिए है $$H = H_0 + H_1.$$ परमाणु के पास एक द्विध्रुव क्षण नहीं होता है जब वह एक ऊर्जा ईजेनस्टेट में होता है, इसलिए $$\left\langle\text{e}\left|\vec{d}\right|\text{e}\right\rangle = \left\langle\text{g}\left|\vec{d}\right|\text{g}\right\rangle = 0.$$ इसका मतलब है कि परिभाषित करना $$\vec{d}_\text{eg} \mathrel{:=} \left\langle\text{e}\left|\vec{d}\right|\text{g}\right\rangle$$ द्विध्रुवीय ऑपरेटर को इस रूप में लिखे जाने की अनुमति देता है


 * $$\vec{d} = \vec{d}_\text{eg}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| + \vec{d}_\text{eg}^*|\text{g}\rangle\langle\text{e}|$$

(साथ $$^*$$ जटिल संयुग्म को दर्शाते हुए)। # व्युत्पत्ति


 * $$H_1 =

-\hbar\left(\Omega e^{-i\omega_Lt} + \tilde{\Omega}e^{i\omega_Lt}\right)|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\left(\tilde{\Omega}^* e^{-i\omega_Lt} + \Omega^*e^{i\omega_Lt}\right)|\text{g}\rangle\langle\text{e}| $$ कहाँ $$\Omega = \hbar^{-1}\vec{d}_\text{eg} \cdot \vec{E}_0$$ रबी आवृत्ति है और $$\tilde{\Omega} \mathrel{:=} \hbar^{-1}\vec{d}_\text{eg} \cdot \vec{E}_0^*$$ प्रति-घूर्णन आवृत्ति है। यह देखने के लिए कि क्यों $$\tilde{\Omega}$$ शर्तों को काउंटर-रोटेटिंग कहा जाता है, जहां बातचीत की तस्वीर के लिए एक एकात्मक परिवर्तन पर विचार किया जाता है, जहां हैमिल्टनियन रूपांतरित होता है $$H_{1,I}$$ द्वारा दिया गया है


 * $$H_{1,I} =

-\hbar\left(\Omega e^{-i\Delta \omega t} + \tilde{\Omega}e^{i(\omega_L + \omega_0)t}\right)|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\left(\tilde{\Omega}^* e^{-i(\omega_L + \omega_0)t} + \Omega^* e^{i\Delta \omega t}\right)|\text{g}\rangle\langle\text{e}|, $$ कहाँ $$\Delta \omega \mathrel{:=} \omega_L - \omega_0$$ प्रकाश क्षेत्र और परमाणु के बीच detuning है।

सन्निकटन करना
यह वह बिंदु है जिस पर घूर्णन तरंग सन्निकटन किया जाता है। द्विध्रुव सन्निकटन मान लिया गया है, और इसके लिए वैध रहने के लिए विद्युत क्षेत्र को परमाणु संक्रमण के साथ अनुनाद के निकट होना चाहिए। इस का मतलब है कि $$\Delta \omega \ll \omega_L + \omega_0$$ और जटिल घातीय गुणन $$\tilde{\Omega}$$ और $$\tilde{\Omega}^*$$ तेजी से दोलन माना जा सकता है। इसलिए किसी भी सराहनीय समय के पैमाने पर, दोलन जल्दी से 0. तक औसत हो जाएंगे। घूर्णन तरंग सन्निकटन इस प्रकार दावा है कि इन शब्दों की उपेक्षा की जा सकती है और इस प्रकार हैमिल्टन को अंतःक्रिया चित्र में लिखा जा सकता है


 * $$H_{1,I}^{\text{RWA}} =

-\hbar\Omega e^{-i\Delta \omega t}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\Omega^* e^{i\Delta \omega t}|\text{g}\rangle\langle\text{e}|. $$ अंत में, श्रोडिंगर तस्वीर में वापस बदलते हुए, हैमिल्टनियन द्वारा दिया गया है


 * $$H^\text{RWA} =

\frac{\hbar\omega_0}{2}|\text{e}\rangle\langle\text{e}| - \frac{\hbar\omega_0}{2}|\text{g}\rangle\langle\text{g}| - \hbar\Omega e^{-i\omega_Lt}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| - \hbar\Omega^* e^{i\omega_Lt}|\text{g}\rangle\langle\text{e}|. $$ तरंग सन्निकटन को घुमाने के लिए एक अन्य मानदंड कमजोर युग्मन स्थिति है, अर्थात, रबी आवृत्ति संक्रमण आवृत्ति से बहुत कम होनी चाहिए।

इस बिंदु पर घूर्णन तरंग सन्निकटन पूरा हो गया है। इससे परे एक आम पहला कदम एक अन्य एकात्मक परिवर्तन के माध्यम से हैमिल्टनियन में शेष समय की निर्भरता को दूर करना है।

व्युत्पत्ति
उपरोक्त परिभाषाओं को देखते हुए हैमिल्टनियन बातचीत है


 * $$\begin{align}

H_1 = -\vec{d}\cdot\vec{E} &= -\left(\vec{d}_\text{eg}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| + \vec{d}_\text{eg}^*|\text{g}\rangle\langle\text{e}|\right) \cdot \left(\vec{E}_0 e^{-i\omega_Lt} + \vec{E}_0^* e^{i\omega_Lt}\right) \\ &= -\left(\vec{d}_\text{eg} \cdot \vec{E}_0 e^{-i\omega_Lt}        +\vec{d}_\text{eg} \cdot \vec{E}_0^* e^{i\omega_Lt}\right)|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\left(\vec{d}_\text{eg}^* \cdot \vec{E}_0 e^{-i\omega_Lt}        +\vec{d}_\text{eg}^* \cdot \vec{E}_0^* e^{i\omega_Lt}\right)|\text{g}\rangle\langle\text{e}| \\ &= -\hbar\left(\Omega e^{-i\omega_Lt} + \tilde{\Omega} e^{i\omega_Lt}\right)|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\left(\tilde{\Omega}^* e^{-i\omega_Lt} + \Omega^* e^{i\omega_Lt}\right)|\text{g}\rangle\langle\text{e}|, \end{align}$$ जैसा कि कहा गया। अगला कदम इंटरेक्शन तस्वीर में हैमिल्टनियन को ढूंढना है, $$H_{1,I}$$. आवश्यक एकात्मक परिवर्तन है


 * $$U =

e^{iH_0t/\hbar} = e^{i \omega_0 t |\text{e}\rangle \langle\text{e}|} = |\text{g}\rangle \langle\text{g}| + e^{i \omega_0 t} |\text{e}\rangle \langle\text{e}| $$,

जहां अंतिम चरण का पालन करने के लिए देखा जा सकता है उदा। टेलर श्रृंखला के विस्तार से इस तथ्य के साथ कि $$|\text{g}\rangle\langle\text{g}| + |\text{e}\rangle\langle\text{e}| = 1$$, और राज्यों की रूढ़िवादिता के कारण $$|\text{g}\rangle$$ और $$|\text{e}\rangle$$. के लिए प्रतिस्थापन $$H_0$$ दूसरे चरण में पिछले खंड में दी गई परिभाषा से अलग होने को या तो समग्र ऊर्जा स्तरों को स्थानांतरित करके उचित ठहराया जा सकता है जैसे कि $$|\text{g}\rangle$$ ऊर्जा है $$0$$ और $$|\text{e}\rangle$$ ऊर्जा है $$\hbar\omega_0$$, या यह देखते हुए कि एक समग्र चरण द्वारा गुणा ($$e^{i \omega_0 t/2}$$ इस मामले में) एकात्मक ऑपरेटर पर अंतर्निहित भौतिकी को प्रभावित नहीं करता है। अब हमारे पास है


 * $$\begin{align}

H_{1,I} &\equiv U H_1 U^\dagger \\ &= -\hbar\left(\Omega e^{-i\omega_Lt} + \tilde{\Omega}e^{i\omega_Lt}\right)e^{i\omega_0t}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\left(\tilde{\Omega}^* e^{-i\omega_Lt} + \Omega^*e^{i\omega_Lt}\right)|\text{g}\rangle\langle\text{e}|e^{-i\omega_0t} \\ &= -\hbar\left(\Omega e^{-i\Delta \omega t} + \tilde{\Omega}e^{i(\omega_L + \omega_0)t}\right)|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\left(\tilde{\Omega}^*e^{-i(\omega_L + \omega_0)t} + \Omega^* e^{i\Delta \omega t}\right)|\text{g}\rangle\langle\text{e}|\. \end{align}$$ अब हम RWA को लागू करते हैं, जैसा कि पिछले अनुभाग में बताया गया है, प्रति-घूर्णन शर्तों को समाप्त करके, और अंत में अनुमानित हैमिल्टनियन को रूपांतरित करते हैं $$H_{1,I}^{\text{RWA}}$$ श्रोडिंगर चित्र पर वापस:


 * $$\begin{align}

H_1^\text{RWA} &= U^\dagger H_{1,I}^{\text{RWA}} U \\ &= -\hbar\Omega e^{-i\Delta \omega t}e^{-i\omega_0 t}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\Omega^* e^{i\Delta \omega t}|\text{g}\rangle\langle\text{e}|e^{i\omega_0t} \\ &= -\hbar\Omega e^{-i\omega_Lt}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| -\hbar\Omega^* e^{i\omega_Lt}|\text{g}\rangle\langle\text{e}|. \end{align}$$ परमाणु हैमिल्टन सन्निकटन से अप्रभावित था, इसलिए घूर्णन तरंग सन्निकटन के तहत श्रोडिंगर चित्र में कुल हैमिल्टनियन है



H^\text{RWA} = H_0 + H_1^\text{RWA} = \frac{\hbar\omega_0}{2}|\text{e}\rangle\langle\text{e}| - \frac{\hbar\omega_0}{2}|\text{g}\rangle\langle\text{g}| - \hbar\Omega e^{-i\omega_Lt}|\text{e}\rangle\langle\text{g}| - \hbar\Omega^*e^{i\omega_Lt}|\text{g}\rangle\langle\text{e}|. $$