सेमिनॉर्म

गणित में, विशेष रूप से कार्यात्मक विश्लेषण में, एक सेमिनोर्म एक मानक (गणित) है जिसे सकारात्मक निश्चित होने की आवश्यकता नहीं है। सेमिमानक उत्तल समुच्चय  के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़े हुए हैं: प्रत्येक सेमिमानक कुछ अवशोषित  समुच्चय  का मिंकोव्स्की कार्यात्मक है बिल्कुल उत्तल  समुच्चय  और, इसके विपरीत, ऐसे किसी भी समुच्चय का मिंकोव्स्की कार्यात्मक एक सेमिमानक है।

एक टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि स्थानीय रूप से उत्तल होता है यदि  और केवल  यदि  इसकी टोपोलॉजी सेमिनोर्म्स के एक परिवार द्वारा प्रेरित होती है।

परिभाषा
होने देना $$X$$ या तो वास्तविक संख्या पर एक सदिश समष्टि हो $$\R$$ या जटिल संख्या संख्या $$\Complex.$$ एक वास्तविक मूल्यवान कार्य $$p : X \to \R$$ ए कहा जाता है  यदि यह निम्नलिखित दो शर्तों को पूरा करता है:

ये दो शर्तें इसका मतलब हैं $$p(0) = 0$$ और वह हर सेमिमानक $$p$$ निम्नलिखित संपत्ति भी है: <ओल प्रारंभ = 3> नकारात्मक: $$p(x) \geq 0$$ सभी के लिए $$x \in X.$$ 
 * 1) उप-योगात्मक कार्य / त्रिभुज असमानता: $$p(x + y) \leq p(x) + p(y)$$ सभी के लिए $$x, y \in X.$$
 * 2) सजातीय कार्य: $$p(s x) =|s|p(x)$$ सभी के लिए $$x \in X$$ और सभी स्केलर्स $$s.$$

कुछ लेखकों में सेमिनोर्म (और कभी-कभी मानदंड) की परिभाषा के भाग के रूप में गैर-नकारात्मकता सम्मिलित है, यद्यपि  यह आवश्यक नहीं है क्योंकि यह अन्य दो गुणों से अनुसरण करता है।

परिभाषा के अनुसार, एक मानक (गणित) पर $$X$$ एक सेमिनोर्म है जो बिंदुओं को भी अलग करता है, जिसका अर्थ है कि इसमें निम्नलिखित अतिरिक्त गुण हैं: <ओल प्रारंभ = 4> सकारात्मक निश्चित / : सभी के लिए $$x \in X,$$ यदि $$p(x) = 0$$ फिर $$x = 0.$$ 

ए जोड़ी है $$(X, p)$$ एक सदिश स्थान से मिलकर $$X$$ और एक सेमिमानक $$p$$ पर $$X.$$ यदि सेमिमानक $$p$$ यह भी एक मानक है तो सेमिमानक स्पेस $$(X, p)$$ ए कहा जाता है.

चूँकि निरपेक्ष एकरूपता का तात्पर्य सकारात्मक एकरूपता से है, प्रत्येक सेमिनोर्म एक प्रकार का कार्य है जिसे एक उपरैखिक फलन कहा जाता है। एक मानचित्र $$p : X \to \R$$  कहा जाता है  यदि यह उप-योगात्मक और सकारात्मक सजातीय है। एक सेमिमानक के विपरीत, एक उपरैखिक फलन अनिवार्य रूप से गैर-नकारात्मक नहीं है। हाहन-बनाक प्रमेय के संदर्भ में उपरैखिक कार्यों का प्रायः सामना किया जाता है। एक वास्तविक मूल्यवान कार्य $$p : X \to \R$$ एक सेमिनोर्म है यदि  और केवल  यदि  यह एक उपरैखिक फलन और संतुलित फलन है।

उदाहरण
<उल>  }} पर $$X,$$ जो निरंतर को संदर्भित करता है $$0$$ मानचित्र पर $$X,$$ असतत टोपोलॉजी को प्रेरित करता है $$X.$$

यदि $$f$$ सदिश समष्टि पर कोई रैखिक रूप है तो उसका निरपेक्ष मान $$|f|,$$ द्वारा परिभाषित $$x \mapsto |f(x)|,$$ एक सेमिमानक है। एक उपरैखिक फलन $$f : X \to \R$$ एक वास्तविक सदिश स्थान पर $$X$$ एक सेमिनोर्म है यदि और केवल यदि यह एक है, जिसका अर्थ है कि $$f(-x) = f(x)$$ सभी के लिए $$x \in X.$$ प्रत्येक वास्तविक-मूल्यवान उपरैखिक फलन $$f : X \to \R$$ एक वास्तविक सदिश स्थान पर $$X$$ सेमिनोर्म उत्पन्न करता है $$p : X \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$p(x) := \max \{f(x), f(-x)\}.$$ सेमिमानक का कोई भी परिमित योग सेमिमानक होता है। एक सदिश उप-क्षेत्र के लिए एक सेमिमानक (क्रमशः,मानदंड) का प्रतिबंध एक बार फिर से एक सेमिमानक (क्रमशः, मानदंड) है। यदि $$p : X \to \R$$ तथा $$q : Y \to \R$$ सेमिमानक (क्रमशः, मानदंड) हैं $$X$$ तथा $$Y$$ फिर मानचित्र  $$r : X \times Y \to \R$$ द्वारा परिभाषित $$r(x, y) = p(x) + q(y)$$ एक सेमिमानक (क्रमशः, एक आदर्श) है $$X \times Y.$$ विशेष रूप से, मानचित्र पर $$X \times Y$$ द्वारा परिभाषित $$(x, y) \mapsto p(x)$$ तथा $$(x, y) \mapsto q(y)$$ दोनों सेमीनार पर हैं $$X \times Y.$$</ली> यदि $$p$$ तथा $$q$$ सेमीनार चल रहे हैं $$X$$ तो हैं $$(p \vee q)(x) = \max \{p(x), q(x)\} \quad \text{ and } \quad (p \wedge q)(x) := \inf \{p(y) + q(z) : x = y + z \text{ with } y, z \in X\}$$ कहाँ पे $$p \wedge q \leq p$$ तथा $$p \wedge q \leq q.$$ </ली>

सेमिमानक का स्थान $$X$$ उपरोक्त कार्यों के संबंध में सामान्यतः एक वितरण जाली नहीं है। उदाहरण के लिए, खत्म $$\R^2$$, $$p(x, y) := \max(|x|, |y|), q(x, y) := 2|x|, r(x, y) := 2|y| $$ ऐसे हैं$$((p \vee q) \wedge (p \vee r)) (x, y) = \inf \{\max(2|x_1|, |y_1|) + \max(|x_2|, 2|y_2|) : x = x_1 + x_2 \text{ and } y = y_1 + y_2\} \quad \text{ while } \quad (p \vee q \wedge r) (x, y) := \max(|x|, |y|)$$</ली> यदि $$L : X \to Y$$ एक रेखीय मानचित्र है और $$q : Y \to \R$$ पर एक सेमिनार है $$Y,$$ फिर $$q \circ L : X \to \R$$ पर एक सेमिनार है $$X.$$ सेमिमानक $$q \circ L$$ पर एक मानदंड होगा $$X$$  यदि  और केवल  यदि  $$L$$ इंजेक्शन और प्रतिबंध है $$q\big\vert_{L(X)}$$ पर एक आदर्श है </ul>$$L(X).$$</ली>

मिन्कोव्स्की कार्यात्मक और सेमिमानक्स
एक सदिश अंतरिक्ष पर सेमिनार $$X$$ मिंकोवस्की प्रकार्यात्मक के माध्यम से, के सब समुच्चय से घनिष्ठ रूप से बंधे हुए हैं $$X$$ जो उत्तल समुच्चय, संतुलित  समुच्चय और अवशोषक समुच्चय  हैं। ऐसा उपसमुच्चय दिया है $$D$$ का $$X,$$ मिन्कोवस्की की कार्यात्मकता $$D$$ एक सेमिनोर्म है। इसके विपरीत, एक सेमिनार दिया $$p$$ पर $$X,$$  समुच्चय $$\{x \in X : p(x) < 1\}$$ तथा $$\{x \in X : p(x) \leq 1\}$$ उत्तल, संतुलित और अवशोषित हैं और इसके अतिरिक्त, इन दो समुच्चय (साथ ही उनके बीच में पड़े किसी भी समुच्चय ) का मिंकोव्स्की कार्यात्मक है $$p.$$

बीजगणितीय गुण
प्रत्येक सेमिमानक एक उपरैखिक फलन है, और इस प्रकार सभी उपरैखिक फलन के गुण को संतुष्ट करता है, जिसमें निम्न सम्मिलित हैं: सेमिनोर्म्स के अन्य गुण
 * उत्तल कार्य
 * उत्क्रम त्रिकोण असमानता $$|p(x) - p(y)| \leq p(x - y)$$
 * किसी के लिए $$r > 0$$, $$x + \{y \in X : p(y) < r\} = \{y \in X : p(x - y) < r\}$$
 * किसी के लिए $$r > 0$$, $$\{x \in X : p(x) < r\}$$ एक अवशोषित समुच्चय बिल्कुल उत्तल समुच्चय है $$X$$
 * $$p(0) = 0$$
 * $$0 \leq \max \{p(x), p(-x)\}$$ तथा $$p(x) - p(y) \leq p(x - y)$$
 * यदि $$p$$ वास्तविक सदिश समष्टि पर एक उपरैखिक फलन है $$X$$ तो वहाँ एक रैखिक कार्यात्मक उपलब्ध है $$f$$ पर $$X$$ ऐसा है कि $$f \leq p$$
 * यदि $$X$$ एक वास्तविक सदिश स्थान है, $$f$$ पर एक रैखिक कार्यात्मक है $$X,$$ तथा $$p$$ पर एक उपरैखिक फलन है $$X,$$ फिर $$f \leq p$$ पर $$X$$ यदि और केवल  यदि  $$f^{-1}(1) \cap \{x \in X : p(x) < 1 = \varnothing\}$$

प्रत्येक सेमिनार एक संतुलित कार्य है।

यदि $$p : X \to [0, \infty)$$ पर एक सेमिनार है $$X$$ फिर: <उल>

$$p$$ पर एक आदर्श है $$X$$ यदि और केवल यदि $$\{x \in X : p(x) < 1\}$$ एक गैर-तुच्छ सदिश उप-स्थान सम्मिलित नहीं है।</li> $$p^{-1}(0)$$ की सदिश उपसमष्टि है $$X.$$</ली> किसी के लिए $$r > 0,$$ $$r \{x \in X : p(x) < 1\} = \{x \in X : p(x) < r\} = \left\{x \in X : \frac{1}{r} p(x) < 1 \right\}.$$</ली> यदि $$D$$ एक समुच्चय संतोषजनक है $$\{x \in X : p(x) < 1\} \subseteq D \subseteq \{x \in X : p(x) \leq 1\}$$ फिर $$D$$ अवशोषित कर रहा है $$X$$ तथा $$p = p_D$$ कहाँ पे  $$p_D$$ से जुड़े मिन्कोव्स्की कार्यात्मक को दर्शाता है $$D$$ (यानी, का गेज $$D$$). </ul>
 * विशेष रूप से, यदि $$D$$ ऊपर के रूप में है और $$q$$ क्या कोई सेमिनार चालू है $$X,$$ फिर $$q = p$$ यदि और केवल यदि $$\{x \in X : q(x) < 1\} \subseteq D \subseteq \{x \in X : q(x) \leq\}.$$</ली>

<उल>

यदि $$(X, \|\,\cdot\,\|)$$ एक आदर्श स्थान है और $$x, y \in X$$ फिर $$\|x - y\| = \|x - z\| + \|z - y\|$$ सभी के लिए $$z \in [x, y].$$</ली> प्रत्येक मानदंड एक उत्तल कार्य है और इसके परिणामस्वरूप, मानक-आधारित उद्देश्य फलन का वैश्विक अधिकतम खोजना कभी-कभी सुविधाजनक होता है।</li>

अन्य मानक जैसी अवधारणाओं से संबंध
होने देना $$p : X \to \R$$ एक गैर-नकारात्मक कार्य हो। निम्नलिखित समतुल्य हैं:  $$p$$ एक सेमिमानक है। $$p$$ उत्तल फलन F-सेमिमानक है$$F$$-सेमिनोर्म। $$p$$ एक उत्तल संतुलित मेट्रिज़ेबल टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि है | जी-सेमिमानक।</ली> </ओल>

यदि उपरोक्त शर्तों में से कोई भी लागू होता है, तो निम्नलिखित समतुल्य हैं:  $$p$$ एक आदर्श है; <ली>$$\{x \in X : p(x) < 1\}$$ एक गैर-तुच्छ सदिश उप-स्थान सम्मिलित नहीं है।</ली> <li>पर एक मानकड सदिश समष्टि उपलब्ध है $$X,$$ जिसके संबंध में, $$\{x \in X : p(x) < 1\}$$ घिरा हुआ है।</li> </ओल>

यदि $$p$$ वास्तविक सदिश समष्टि पर एक उपरैखिक फलन है $$X$$ उसके बाद निम्न बराबर हैं: <द> <ली>$$p$$ एक रैखिक कार्यात्मक है; <ली>$$p(x) + p(-x) \leq 0 \text{ for every } x \in X$$;</ली> <ली>$$p(x) + p(-x) = 0 \text{ for every } x \in X$$;</ली> </ अल>

सेमीमानक्स से जुड़ी असमानताएँ
यदि $$p, q : X \to [0, \infty)$$ सेमीनार चल रहे हैं $$X$$ फिर: <उल> <ली>$$p \leq q$$ यदि और केवल यदि  $$q(x) \leq 1$$ तात्पर्य $$p(x) \leq 1.$$</ली> <li>यदि  $$a > 0$$ तथा $$b > 0$$ ऐसे हैं $$p(x) < a$$ तात्पर्य $$q(x) \leq b,$$ फिर $$a q(x) \leq b p(x)$$ सभी के लिए $$x \in X.$$ </ली> <li>मान लीजिए $$a$$ तथा $$b$$ सकारात्मक वास्तविक संख्याएं हैं और $$q, p_1, \ldots, p_n$$ सेमीनार चल रहे हैं $$X$$ ऐसा कि प्रत्येक के लिए $$x \in X,$$ यदि $$\max \{p_1(x), \ldots, p_n(x)\} < a$$ फिर $$q(x) < b.$$ फिर $$a q \leq b \left(p_1 + \cdots + p_n\right).$$</ली> <li>यदि $$X$$ वास्तविक से अधिक एक सदिश स्थान है और $$f$$ एक गैर-शून्य रैखिक कार्यात्मक है $$X,$$ फिर $$f \leq p$$  यदि  और केवल यदि  $$\varnothing = f^{-1}(1) \cap \{x \in X : p(x) < 1\}.$$</</ul>ली>

यदि $$p$$ पर एक सेमिनार है $$X$$ तथा $$f$$ पर एक रैखिक कार्यात्मक है $$X$$ फिर: <उल> <ली>$$|f| \leq p$$ पर $$X$$ यदि और केवल यदि  $$\operatorname{Re} f \leq p$$ पर $$X$$ (प्रमाण के लिए फुटनोट देखें)। </ली> <ली>$$f \leq p$$ पर $$X$$ यदि और केवल  यदि  $$f^{-1}(1) \cap \{x \in X : p(x) < 1 = \varnothing\}.$$</ली>

<li>यदि $$a > 0$$ तथा $$b > 0$$ ऐसे हैं $$p(x) < a$$ तात्पर्य $$f(x) \neq b,$$ फिर $$a |f(x)| \leq b p(x)$$ सभी के लिए $$x \in X.$$</ली</ul>>

हैन-बनच प्रमेय सेमिनोर्म्स के लिए
सेमिमानक्स हन-बनाक प्रमेय का एक विशेष रूप से स्वच्छ सूत्रीकरण प्रदान करते हैं:
 * यदि $$M$$ एक सेमिनोर्म्ड समष्टि का एक सदिश सबस्पेस है $$(X, p)$$ और यदि $$f$$ पर एक सतत रैखिक कार्यात्मक है $$M,$$ फिर $$f$$ एक सतत रैखिक कार्यात्मक तक बढ़ाया जा सकता है $$F$$ पर $$X$$ जिसका वही मानदंड है $$f.$$

एक समान विस्तार संपत्ति भी सेमिनोर्म्स के लिए रखती है:

$$
 * प्रमाण : चलो $$S$$ का उत्तल पतवार हो $$\{m \in M : p(m) \leq 1\} \cup \{x \in X : q(x) \leq 1\}.$$ फिर $$S$$ एक अवशोषित समुच्चय बिल्कुल उत्तल समुच्चय है $$X$$और इसलिए मिन्कोव्स्की कार्यात्मक $$P$$ का $$S$$ पर एक सेमिनार है $$X.$$ यह सेमिनार संतुष्ट करता है $$p = P$$ पर $$M$$ तथा $$P \leq q$$ पर $$X.$$ $$\blacksquare$$

स्यूडोमेट्रिक्स और प्रेरित टोपोलॉजी
एक सेमिमानक $$p$$ पर $$X$$ एक टोपोलॉजी को प्रेरित करता है, जिसे कहा जाता है, कैनोनिकल अनुवाद अपरिवर्तनीय स्यूडोमेट्रिक स्पेस के माध्यम से $$d_p : X \times X \to \R$$; $$d_p(x, y) := p(x - y) = p(y - x).$$ यह टोपोलॉजी हॉसडॉर्फ स्पेस है यदि और केवल यदि  $$d_p$$ एक मीट्रिक है, जो तब और केवल तभी होता है $$p$$ एक आदर्श (गणित) है। यह टोपोलॉजी बनाती है $$X$$ एक स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि  मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल सदिश   स्पेस टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि जिसमें मूल के आस-पास एक परिबद्ध  समुच्चय (टोपोलॉजिकल सदिश समष्टि ) और मूल पर एक पड़ोस का आधार होता है, जिसमें निम्नलिखित खुली गेंदें (या बंद गेंदें) होती हैं। मूल: $$\{x \in X : p(x) < r\} \quad \text{ or } \quad \{x \in X : p(x) \leq r\}$$ जैसा $$r > 0$$ सकारात्मक वास्तविकताओं की सीमा होती है। हर अर्धवृत्ताकार स्थान $$(X, p)$$ जब तक अन्यथा संकेत न दिया जाए, तब तक इस टोपोलॉजी से संपन्न माना जाना चाहिए। एक टोपोलॉजिकल सदिश  स्पेस जिसकी टोपोलॉजी किसी सेमिमानक से प्रेरित होती है, कहलाती है.

समान रूप से, प्रत्येक सदिश स्थान $$X$$ सेमिनोर्म के साथ $$p$$ भागफल स्थान प्रेरित करता है (रैखिक बीजगणित) $$X / W,$$ कहाँ पे $$W$$ का उपक्षेत्र है $$X$$ सभी वैक्टर से मिलकर $$x \in X$$ साथ $$p(x) = 0.$$ फिर $$X / W$$ द्वारा परिभाषित मानदंड वहन करता है $$p(x + W) = p(v).$$ परिणामी टोपोलॉजी, पीछे खीचना टू $$X,$$ ठीक से प्रेरित टोपोलॉजी है $$p.$$ कोई भी सेमिमानक-प्रेरित टोपोलॉजी बनाता है $$X$$ स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक सदिश स्थान, निम्नानुसार है। यदि $$p$$ पर एक सेमिनार है $$X$$ तथा $$r \in \R,$$ समुच्चय  को बुलाओ $$\{x \in X : p(x) < r\}$$  ; इसी तरह त्रिज्या की बंद गेंद $$r$$ है $$\{x \in X : p(x) \leq r\}.$$ सभी खुले का  समुच्चय  (प्रतिक्रिया बंद) $$p$$-बॉल्स मूल रूप से उत्तल  समुच्चय  बैलेंस्ड  समुच्चय   समुच्चय  का एक पड़ोस आधार बनाता है जो खुले (उत्तर बंद) में होते हैं $$p$$-टोपोलॉजी चालू $$X.$$

मजबूत, कमजोर, और समतुल्य सेमीमानक्स
मजबूत और कमजोर सेमीमानक्स की धारणाएं मजबूत और कमजोर मानक (गणित) की धारणाओं के समान हैं। यदि $$p$$ तथा $$q$$ सेमीनार चल रहे हैं $$X,$$ तब हम कहते हैं $$q$$ है बजाय $$p$$ और कि $$p$$ है  बजाय $$q$$ यदि निम्न में से कोई भी समतुल्य स्थिति रखती है: सेमिनोर्म्स $$p$$ तथा $$q$$ कहा जाता है यदि वे दोनों एक दूसरे से कमजोर (या दोनों मजबूत) हैं। ऐसा तब होता है जब वे निम्नलिखित में से किसी भी स्थिति को पूरा करते हैं: <ओल>
 * 1) टोपोलॉजी चालू $$X$$ प्रेरक $$q$$ द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी से बेहतर है $$p.$$
 * 2) यदि $$x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}$$ में क्रम है $$X,$$ फिर $$q\left(x_{\bull}\right) := \left(q\left(x_i\right)\right)_{i=1}^{\infty} \to 0$$ में $$\R$$ तात्पर्य $$p\left(x_{\bull}\right) \to 0$$ में $$\R.$$
 * 3) यदि $$x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i \in I}$$ में एक नेट (गणित) है $$X,$$ फिर $$q\left(x_{\bull}\right) := \left(q\left(x_i\right)\right)_{i \in I} \to 0$$ में $$\R$$ तात्पर्य $$p\left(x_{\bull}\right) \to 0$$ में $$\R.$$
 * 4) $$p$$ पर आबद्ध है $$\{x \in X : q(x) < 1\}.$$
 * 5) यदि $$\inf{} \{q(x) : p(x) = 1, x \in X\} = 0$$ फिर $$p(x) = 0$$ सभी के लिए $$x \in X.$$
 * 6) एक वास्तविक मौजूद है $$K > 0$$ ऐसा है कि $$p \leq K q$$ पर $$X.$$

<li>टोपोलॉजी चालू है $$X$$ प्रेरक $$q$$ द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी के समान है $$p.$$</ली> <ली>$$q$$ से ज्यादा मजबूत है $$p$$ तथा $$p$$ से ज्यादा मजबूत है $$q.$$</ली> <li>यदि $$x_{\bull} = \left(x_i\right)_{i=1}^{\infty}$$ में क्रम है $$X$$ फिर $$q\left(x_{\bull}\right) := \left(q\left(x_i\right)\right)_{i=1}^{\infty} \to 0$$  यदि  और केवल  यदि  $$p\left(x_{\bull}\right) \to 0.$$</ली> <li>सकारात्मक वास्तविक संख्याएं मौजूद हैं $$r > 0$$ तथा $$R > 0$$ ऐसा है कि $$r q \leq p \leq R q.$$</ली> </ अल>

सामान्यता और अर्ध-सामान्यता
एक टोपोलॉजिकल सदिश  स्पेस (टीवीएस) कहा जाता है a  (क्रमशः, ए ) यदि इसकी टोपोलॉजी एकल सेमिमानक (प्रतिक्रिया एकल मानदंड) से प्रेरित है। एक TVS मानकल है यदि  और केवल  यदि  यह सेमिनोर्मेबल है और हॉसडॉर्फ या समकक्ष है,  यदि  और केवल  यदि  यह सेमिनोर्मेबल है और T1 स्पेस|टी1(क्योंकि एक टीवीएस हॉसडॉर्फ है  यदि  और केवल  यदि  यह एक टी 1 स्पेस है। टी1 अंतरिक्ष)। एएक टोपोलॉजिकल सदिश  स्पेस है जो मूल के एक सीमित पड़ोस के पास है।

टोपोलॉजिकल सदिश  रिक्त स्थान की सामान्यता कोल्मोगोरोव की मानकता कसौटी द्वारा विशेषता है। एक टीवीएस सेमिनोर्मेबल है यदि  और केवल  यदि  इसकी उत्पत्ति के उत्तल बाध्य पड़ोस है। इस प्रकार एक स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस सेमिनोर्मेबल है  यदि  और केवल  यदि  इसमें एक गैर-खाली बाउंडेड ओपन  समुच्चय  है। एक टीवीएस सामान्य है यदि  और केवल  यदि  यह एक टी1 स्पेस|टी है1 अंतरिक्ष और मूल के एक घिरे उत्तल पड़ोस को स्वीकार करता है।

यदि $$X$$ एक हॉउसडॉर्फ स्थानीय रूप से उत्तल टीवीएस है तो निम्नलिखित समतुल्य हैं: <ओल>

<ली>$$X$$ सामान्य है।</li> <ली>$$X$$ सेमिनोर्मेबल है। <ली>$$X$$ मूल का एक सीमाबद्ध पड़ोस है। <li>मजबूत दोहरा $$X^{\prime}_b$$ का $$X$$ सामान्य है।</ली> <li>मजबूत दोहरा $$X^{\prime}_b$$ का $$X$$ मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल सदिश  स्पेस है।</ली> </ओल> आगे, $$X$$ परिमित आयामी है यदि  और केवल  यदि  $$X^{\prime}_{\sigma}$$ सामान्य है (यहाँ $$X^{\prime}_{\sigma}$$ अर्थ है $$X^{\prime}$$ कमजोर- * टोपोलॉजी से संपन्न)।

असीम रूप से कई सेमिनोर्मेबल स्पेस का उत्पाद फिर से सेमिनोर्मेबल है यदि  और केवल  यदि  इन सभी जगहों में से कई छोटे हैं (यानी, 0-डायमेंशनल)।

सांस्थितिक गुण
<उल>

<li>यदि $$X$$ एक टीवीएस और है $$p$$ पर एक सतत सेमिनार है $$X,$$ फिर बंद $$\{x \in X : p(x) < r\}$$ में $$X$$ के बराबर है $$\{x \in X : p(x) \leq r\}.$$</ली> <li>का समापन $$\{0\}$$ स्थानीय रूप से उत्तल स्थान में $$X$$ जिसका टोपोलॉजी निरंतर सेमिनोर्म्स के एक परिवार द्वारा परिभाषित किया गया है $$\mathcal{P}$$ के बराबर है $$\bigcap_{p \in \mathcal{P}} p^{-1}(0).$$</ली> <li>एक उपसमुच्चय $$S$$ एक अर्धवृत्ताकार स्थान में $$(X, p)$$ बाउंडेड समुच्चय  (टोपोलॉजिकल सदिश   स्पेस) है  यदि  और केवल  यदि  $$p(S)$$ घिरा है।</ली> <li>यदि $$(X, p)$$ एक सेमिनोर्ड स्पेस है तो स्थानीय रूप से उत्तल टोपोलॉजी $$p$$ प्रवृत्त करता है $$X$$ बनाता है $$X$$ द्वारा दिए गए कैनोनिकल स्यूडोमेट्रिक के साथ मेट्रिजेबल टोपोलॉजिकल सदिश   स्पेस में $$d(x, y) := p(x - y)$$ सभी के लिए $$x, y \in X.$$</ली> <li>अनंत रूप से अनेक सेमिनोर्मेबल स्थानों का गुणनफल फिर से सेमिनोर्मेबल होता है यदि और केवल यदि इनमें से बहुत से रिक्त स्थान तुच्छ हैं (अर्थात, 0-आयामी)।</ली> </ul>

सेमिनोर्म्स की निरंतरता
यदि $$p$$ टोपोलॉजिकल सदिश  स्पेस पर एक सेमिनोर्म है $$X,$$ उसके बाद निम्न बराबर हैं: <द>

<ली>$$p$$ निरंतर है।</li> <ली>$$p$$ 0 पर निरंतर है;</ली> <ली>$$\{x \in X : p(x) < 1\}$$ में खुला है $$X$$;</ली> <ली>$$\{x \in X : p(x) \leq 1\}$$ में 0 का बंद पड़ोस है $$X$$;</ली> <ली>$$p$$ समान रूप से निरंतर है $$X$$;</ली> <li>एक सतत सेमिमानक मौजूद है $$q$$ पर $$X$$ ऐसा है कि $$p \leq q.$$</ली> </ओल>

विशेष रूप से, यदि  $$(X, p)$$ एक सेमीमानकड स्पेस है तो एक सेमिमानक $$q$$ पर $$X$$ निरंतर है  यदि  और केवल  यदि  $$q$$ के धनात्मक अदिश गुणक का प्रभुत्व है $$p.$$ यदि $$X$$ एक असली टीवीएस है, $$f$$ पर एक रैखिक कार्यात्मक है $$X,$$ तथा $$p$$ एक सतत सेमिमानक (या अधिक आम तौर पर, एक सबलाइनियर फ़ंक्शन) है $$X,$$ फिर $$f \leq p$$ पर $$X$$ इसका आशय है $$f$$ निरंतर है।

रैखिक मानचित्रों की निरंतरता
यदि $$F : (X, p) \to (Y, q)$$ सेमिनोर्म्ड रिक्त स्थान के बीच एक नक्शा है तो चलो $$\|F\|_{p,q} := \sup \{q(F(x)) : p(x) \leq 1, x \in X\}.$$ यदि $$F : (X, p) \to (Y, q)$$ सेमिनोर्म्ड रिक्त स्थान के बीच एक रेखीय नक्शा है तो निम्नलिखित समतुल्य हैं: <ओल>

<ली>$$F$$ निरंतर है;</li> <ली>$$\|F\|_{p,q} < \infty$$;</ली> <li>वहाँ एक वास्तविक मौजूद है $$K \geq 0$$ ऐसा है कि $$p \leq K q$$; </ओल> यदि $$F$$ तब निरंतर है $$q(F(x)) \leq \|F\|_{p,q} p(x)$$ सभी के लिए $$x \in X.$$ सभी निरंतर रैखिक मानचित्रों का स्थान $$F : (X, p) \to (Y, q)$$ सेमिनोर्म्ड रिक्त स्थान के बीच स्वयं सेमिनोर्म के तहत एक सेमिनोर्मड स्थान है $$\|F\|_{p,q}.$$ यह सेमिमानक एक आदर्श है यदि $$q$$ एक आदर्श है।
 * इस मामले में, $$\|F\|_{p,q} \leq K.$$</ली>

सामान्यीकरण
इसकी अवधारणा रचना में बीजगणित करता है  एक मानक के सामान्य गुणों को साझा करें।

एक रचना बीजगणित $$(A, *, N)$$ एक क्षेत्र पर एक बीजगणित के होते हैं $$A,$$ एक समावेशन (गणित) $$\,*,$$ और एक द्विघात रूप $$N,$$ जिसे मर्यादा कहते हैं। कई मामलों में $$N$$ एक आइसोट्रोपिक द्विघात रूप है ताकि $$A$$ कम से कम एक अशक्त सदिश  है, जो इस लेख में चर्चा किए गए सामान्य मानदंड के लिए आवश्यक बिंदुओं के पृथक्करण के विपरीत है।

एक या ए  एक सेमिनोर्म है $$p : X \to \R$$ वह भी संतुष्ट करता है $$p(x + y) \leq \max \{p(x), p(y)\} \text{ for all } x, y \in X.$$ कमजोर करने वाली उप-विषमता: अर्ध-सेमिनोर्म्स

नक्षा $$p : X \to \R$$ ए कहा जाता है  यदि  यह (बिल्कुल) सजातीय है और कुछ मौजूद है $$b \leq 1$$ ऐसा है कि $$p(x + y) \leq b p(p(x) + p(y)) \text{ for all } x, y \in X.$$ का सबसे छोटा मान $$b$$ जिसके लिए यह धारण कहा जाता है बिंदुओं को अलग करने वाले अर्ध-सम्मेलन को कहा जाता है पर $$X.$$ कमजोर पड़ रही एकरूपता- $$k$$-सेमिनोर्म्स

नक्षा $$p : X \to \R$$ ए कहा जाता है  यदि  यह सबएडिटिव है और मौजूद है $$k$$ ऐसा है कि $$0 < k \leq 1$$ और सभी के लिए $$x \in X$$ और अदिश $$s,$$$$p(s x) = |s|^k p(x)$$ A $$k$$-बिंदुओं को अलग करने वाले सेमीमानक को कहते हैं  पर $$X.$$ हमारे पास अर्ध-सेमिनार और के बीच निम्नलिखित संबंध हैं $$k$$-सेमिनोर्म्स:

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Proofs

बाहरी संबंध

 * Sublinear functions
 * The sandwich theorem for sublinear and super linear functionals