स्थानीय रैखिक आरेख

आरेख सिद्धांत में स्थानीय रैखिक आरेख एक ऐसा अप्रत्यक्ष आरेख होता है जिसमें प्रत्येक किनारे ठीक त्रिकोण से संबंधित होते है। समतुल्य रूप से, आरेख के प्रत्येक शीर्ष के लिए इसके निकटतम शीर्ष प्रत्येक एक-दूसरे शीर्ष के निकट हैं इसलिए निकटतम शीर्षों को एक प्रेरित समतुल्य रेखा में जोड़ा जा सकता है। सामान्यतः स्थानीय रैखिक आरेख को रेखीय रेखांकन के रूप मे भी जाना जाता है।

स्थानीय रैखिक आरेख के लिए कई निर्माण ज्ञात हैं। स्थानीय रैखिक आरेख के उदाहरणों में त्रिकोणीय कैक्टस आरेख, 3-नियमित त्रिभुज-मुक्त आरेख के रेखा आरेख और छोटे स्थानीय रैखिक आरेख के कार्तीय गुणनफल सम्मिलित हैं। केनेसर आरेख और कुछ दृढ़ता से नियमित आरेख भी स्थानीय रैखिक आरेख होते हैं।

स्थानीय रैखिक आरेख के कितने शीर्ष हो सकते हैं यह सवाल रूज़सा-ज़ेमेरीडी समस्या के योगों में से एक है। हालांकि सघन आरेख में शीर्षो की संख्या के वर्ग के अनुपात में कई शीर्ष हो सकते हैं स्थानीय रैखिक आरेख में शीर्षों की संख्या कम होती है जो कम से कम एक छोटे से गैर-निरंतर फलन द्वारा वर्ग से कम होती है। स्थानीय रैखिक हो सकने वाले सघन समतल आरेख भी ज्ञात हैं। सबसे कम घने स्थानीय रैखिक आरेख त्रिकोणीय कैक्टस आरेख हैं।

ग्लूइंग और गुणनफल
मैत्री आरेख एक ही साझा शीर्ष पर त्रिभुजों के संग्रह को एक साथ जोड़कर बनाए गए आरेख स्थानीय रैखिक आरेख होते हैं। वे एकमात्र परिमित आरेख हैं जिनके पास विभिन्न विशेषताए है जो कि प्रत्येक युग्म के शीर्ष (आसन्न या नहीं) एक सामान्य निकटतम आरेख को साझा करते हैं। अधिक सामान्यतः प्रत्येक त्रिकोणीय कैक्टस आरेख अतिरिक्त किसी अतिरिक्त वृत्त के साझा किए गए शीर्षों पर त्रिकोणों का एक ग्लूइंग आरेख स्थानीय रैखिक होता है।

निम्न संक्रिया द्वारा स्थानीय रैखिक आरेख छोटे स्थानीय रैखिक आरेख से बन सकते हैं माना कि $$G$$ और $$H$$ कोई भी दो स्थानीय रेखीय आरेख हैं उनमें से प्रत्येक से एक त्रिकोण का चयन करें और दो चयनित त्रिकोणों में संबंधित युग्म को एक साथ मिलाकर दो आरेखों को ग्लूइंग मे रूपांतरित करें। जिससे परिणामी आरेख स्थानीय रैखिक रहता है।

किसी भी दो स्थानीय रैखिक आरेख का कार्तीय गुणनफल स्थानीय रूप से रेखीय रहता है क्योंकि गुणनफल में कोई भी त्रिकोण एक या दूसरे फलनों में त्रिकोण होते है। उदाहरण के लिए, 9 शीर्ष-पालेय आरेख (3-3 डुओप्रिज्म का आरेख) दो त्रिकोणों का कार्तीय गुणनफल है। हैमिंग आरेख $$H(d,3)$$ त्रिभुजों का कार्तीय गुणनफल और पुनः स्थानीय रैखिक है।

छोटे आरेख से
कुछ आरेख जो स्वयं स्थानीय रूप से रेखीय नहीं हैं उन्हें बड़े स्थानीय रैखिक आरेख बनाने के लिए एक संरचना के रूप में उपयोग किया जा सकता है। ऐसे ही एक निर्माण में रैखिक आरेख सम्मिलित हैं। किसी भी आरेख $$G$$ के लिए, रैखिक आरेख $$L(G)$$ एक ऐसा आरेख है जिसमें $$G$$ के प्रत्येक शीर्ष के लिए $$L(G)$$ एक शीर्ष है। $$L(G)$$ में दो शीर्ष आसन्न होते हैं जब $$G$$ में प्रतिनिधित्व करने वाले दो शीर्षों का एक सामान्य समापन बिंदु होता है। यदि $$G$$ 3-नियमित त्रिभुज-मुक्त आरेख है तो इसका रैखिक आरेख $$L(G)$$ 4-नियमित और स्थानीय रैखिक होता है। इसमें $$G$$ के प्रत्येक शीर्ष $$v$$ के लिए एक त्रिभुज है जिसमें त्रिभुज के शीर्ष $$v$$ से संबंधित तीन शीर्षों के अनुरूप हैं। प्रत्येक 4-नियमित स्थानीय रैखिक आरेख इस प्रकार से बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए घन अष्टफलक का आरेख घन का रेखा आरेख है इसलिए यह स्थानीय रैखिक है। कार्तीय गुणनफल के रूप में ऊपर निर्मित स्थानीय रैखिक 9 शीर्ष-पालेय आरेख, उपयोगिता आरेख $$K_{3,3}$$ के रैखिक आरेख के रूप में एक अलग तरीके से भी बनाया जा सकता है। इस निर्माण द्वारा पीटरसन आरेख का रैखिक आरेख भी स्थानीय रैखिक होता है। इसमें केज (आरेख सिद्धांत) के अनुरूप गुण होते है यह सबसे छोटा संभव आरेख है जिसमें सबसे बड़े क्लिक (आरेख सिद्धांत) में तीन शीर्ष होते हैं प्रत्येक शीर्ष दो शीर्ष-विच्छेद वाले क्लिक्स में है और अलग-अलग क्लिक्स के शीर्षों के साथ सबसे छोटा फ़लक पांच लंबाई का है।

प्लानर आरेख पर एक अधिक जटिल विस्तार प्रक्रिया लागू होती है। मान लीजिए कि $$G$$ समतल में एक समतलीय आरेख इस प्रकार सन्निहित है कि प्रत्येक फलक एक चतुर्भुज है, जैसे घन का आरेख। जी के प्रत्येक चेहरे पर एक वर्ग एंटीप्रिज्म को चिपकाना, और फिर जी के मूल शीर्षों को हटाना, एक नया स्थानीय रैखिक प्लानर आरेख तैयार करता है। परिणाम के शीर्षों और शीर्षों की संख्या की गणना यूलर के बहुफलकीय सूत्र से की जा सकती है यदि $$G$$ में $$n$$ शीर्ष हैं, इसके बिलकुल $$n-2$$ फलक हैं, और प्रतिप्रिज्म द्वारा $$G$$ के फलकों को प्रतिस्थापित करने का परिणाम है $$5(n-2)+2$$ कोने और $$12(n-2)$$ किनारे। उदाहरण के लिए, एक 4-चक्र के दो चेहरों (आंतरिक और बाहरी) से क्यूबोक्टाहेड्रॉन को फिर से इस तरह से बनाया जा सकता है। इस निर्माण के हटाए गए 4-चक्र को क्यूबोक्टाहेड्रोन पर इसके चौकोर चेहरों के चार विकर्णों के चक्र के रूप में देखा जा सकता है, जो पॉलीहेड्रॉन को द्विभाजित करता है।

बीजगणितीय रचनाएं
कुछ केनेसर आरेख, समान आकार के सेट के प्रतिच्छेदन पैटर्न से निर्मित आरेख, स्थानीय रूप से रेखीय होते हैं। नेसर आरेख को दो मापदंडों द्वारा वर्णित किया गया है, सेट का आकार जो वे प्रतिनिधित्व करते हैं और ब्रह्मांड का आकार जिससे ये सेट तैयार किए गए हैं। केनेसर आरेख $$KG_{a,b}$$ में $$\tbinom{a}{b}$$ शीर्ष हैं (द्विपद गुणांक के लिए मानक संकेतन में), a-तत्व के $$b$$-तत्व सबसेट का प्रतिनिधित्व करते हैं तय करना। इस आरेख में, दो कोने आसन्न होते हैं जब संगत उपसमुच्चय असंयुक्त सेट होते हैं, जिनमें कोई तत्व उभयनिष्ठ नहीं होता है। विशेष स्थिति में जब $$a=3b$$ परिणामी आरेख स्थानीय रूप से रेखीय होता है, क्योंकि प्रत्येक दो असंयुक्त होते हैं $$b$$-एलिमेंट सबसेट $$X$$ और $$Y$$ उन दोनों से ठीक एक अन्य बी-एलिमेंट सबसेट डिसजॉइंट है, जिसमें वे सभी एलिमेंट सम्मिलित हैं जो न तो $$X$$ में हैं और न ही $$Y$$ में। परिणामी स्थानीय रैखिक आरेख में $$\tbinom{3b}{b}$$ कोने और $$\tfrac{1}{2}\tbinom{3b}{b}\tbinom{2b}{b}$$ किनारे। उदाहरण के लिए, $$b=2$$ के लिए केनेसर आरेख $$KG_{6,2}$$ 15 शीर्षों और 45 शीर्षों के साथ स्थानीय रैखिक है।

स्थानीय रैखिक आरेख भी संख्याओं के प्रगति-मुक्त सेट से बनाए जा सकते हैं। $$p$$ को एक अभाज्य संख्या होने दें, और ए को संख्याओं के मॉड्यूलो पी का एक उपसमूह होने दें, जैसे कि ए के कोई भी तीन सदस्य अंकगणितीय प्रगति मॉड्यूलो $$p$$ नहीं बनाते हैं। (अर्थात् $$A$$ सलेम-स्पेंसर सेट मॉड्यूलो $$p$$ है।) इस सेट का उपयोग $$3p$$ कोने और {\displaystyle 3p\cdot |A|} शीर्षों के साथ एक त्रिपक्षीय आरेख बनाने के लिए किया जा सकता है जो स्थानीय रैखिक है। इस आरेख को बनाने के लिए, वर्टिकल के तीन सेट बनाएं, प्रत्येक को {\displaystyle 0} से $$p-1$$ तक क्रमांकित करें। $$0$$ से $$p-1$$ तक की श्रेणी में प्रत्येक संख्या x के लिए और $$A$$ के प्रत्येक तत्व के लिए, वर्टेक्स के पहले सेट में वर्टेक्स को संख्या x से जोड़ने वाला एक त्रिभुज बनाएँ, नंबर के साथ वर्टेक्स $$x+a$$ शीर्षों के दूसरे सेट में, और शीर्षों के तीसरे सेट में संख्या$$x+2a$$ के साथ शीर्ष। इन सभी त्रिभुजों के मिलन के रूप में एक आरेख बनाएँ। क्योंकि यह त्रिभुजों का एक संघ है, परिणामी आरेख का प्रत्येक किनारा एक त्रिभुज से संबंधित है। हालाँकि, इस तरह से बने त्रिभुजों के अलावा कोई अन्य त्रिभुज नहीं हो सकता है। किसी भी अन्य त्रिभुज के शीर्ष क्रमांकित होंगे $$(x,x+a,x+a+b)$$ जहां $$a$$, $$b$$ और $$c=(a+b)/2$$ सभी $$A$$ से संबंधित हैं, जो इस धारणा का उल्लंघन करता है कि $$A$$ में कोई अंकगणितीय श्रेढ़ी $$(a,c,b)$$ नहीं होनी चाहिए। [9] उदाहरण के लिए,$$p=3$$ और $$A=\{\pm 1\}$$ के साथ, इस निर्माण का परिणाम नौ-शीर्ष Paley आरेख है।

कुछ शीर्षों के साथ नियमित आरेख
एक आरेख नियमित आरेख होता है जब इसके सभी शीर्षों की डिग्री समान होती है, घटना शीर्षों की संख्या। प्रत्येक स्थानीय रैखिक आरेख में प्रत्येक शीर्ष पर सम डिग्री होनी चाहिए, क्योंकि प्रत्येक शीर्ष पर शीर्षों को त्रिभुजों में जोड़ा जा सकता है। दो स्थानीय रैखिक नियमित आरेख का कार्तीय गुणनफल फिर से स्थानीय रैखिक और नियमित होता है, जिसमें कारकों की डिग्री के योग के बराबर डिग्री होती है। इसलिए, कोई भी डिग्री दो (त्रिकोण) के स्थानीय रैखिक आरेख के कार्तीय गुणनफलों को हर डिग्री के नियमित स्थानीय रैखिक आरेख का उत्पादन करने के लिए ले सकता है।

$$2r$$ शीर्ष, क्योंकि किसी भी त्रिभुज और उसके पड़ोसियों के बीच इतने ही शीर्ष होते हैं। (त्रिभुज के कोई भी दो शीर्ष स्थानीय रैखिकता का उल्लंघन किए बिना एक पड़ोसी को साझा नहीं कर सकते हैं।) इतने सारे शीर्षों के साथ नियमित आरेख केवल तभी संभव होते हैं जब $$r$$ 1, 2, 3, या 5 हो, और इन चार मामलों में से प्रत्येक के लिए विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया हो। शीर्षों की संख्या पर इस सीमा को पूरा करने वाले चार नियमित आरेख हैं 3-शीर्ष 2-नियमित त्रिभुज $$K_3$$, 9-शीर्ष 4-नियमित Paley आरेख, 15-शीर्ष 6-नियमित केनेसर आरेख $$KG_{6,2}$$और श्लाफली आरेख का 27-शीर्ष 10-नियमित पूरक आरेख अंतिम 27-शीर्ष 10-नियमित आरेख भी घन सतह पर 27 रेखाओं के प्रतिच्छेदन आरेख का प्रतिनिधित्व करता है।

जोरदार नियमित आरेख
एक दृढ़ता से नियमित आरेख को चौगुनी मापदंडों द्वारा चित्रित किया जा सकता है $$(n,k,\lambda,\mu)$$ कहाँ $$n$$ शीर्षों की संख्या है, $$k$$ प्रति शीर्ष घटना शीर्षों की संख्या है, $$\lambda$$ शीर्षों के प्रत्येक सन्निकट युग्म के लिए साझा किए गए पड़ोसियों की संख्या है, और $$\mu$$ शीर्षों के प्रत्येक गैर-निकटवर्ती जोड़े के लिए साझा किए गए पड़ोसियों की संख्या है। कब $$\lambda=1$$ आरेख स्थानीय रैखिक है। ऊपर उल्लिखित स्थानीय रैखिक आरेख दृढ़ता से नियमित आरेख हैं और उनके पैरामीटर हैं अन्य स्थानीय रैखिक दृढ़ता से नियमित आरेख में सम्मिलित हैं $$\lambda=1$$ के साथ अन्य संभावित-वैध संयोजनों में (99,14,1,2) और (115,18,1,3) सम्मिलित हैं लेकिन यह अज्ञात है कि क्या उन मापदंडों के साथ दृढ़ता से नियमित आरेख मौजूद हैं। मापदंडों (99,14,1,2) के साथ एक दृढ़ता से नियमित आरेख के अस्तित्व का प्रश्न कॉनवे की 99-आरेख समस्या के रूप में जाना जाता है, और जॉन हॉर्टन कॉनवे ने इसके समाधान के लिए $1000 पुरस्कार की पेशकश की है।
 * त्रिकोण (3,2,1,0),
 * नौ-शीर्ष पाले आरेख (9,4,1,2),
 * केसर आरेख $$KG_{6,2}$$ (15,6,1,3), और
 * श्लाफली आरेख का पूरक (27,10,1,5)।
 * ब्राउवर-हेमर्स आरेख (81,20,1,6),
 * बेर्लेकैंप-वैन लिंट-सीडेल आरेख (243,22,1,2),
 * कोसिडेंटे-पेंटिला आरेख (378,52,1,8), और
 * खेलों का आरेख (729,112,1,20)।

दूरी-नियमित आरेख
डिग्री 4 या 6 के निश्चित रूप से कई दूरी-नियमित आरेख हैं जो स्थानीय रैखिक हैं। समान डिग्री के दृढ़ता से नियमित आरेख से परे, वे पीटरसन आरेख के रैखिक आरेख, हैमिंग आरेख $$H(3,3)$$ और आधा फोस्टर आरेख को भी सम्मिलित करते हैं।

घनत्व


रुज़सा-ज़ेमेरीडी समस्या का एक सूत्रीकरण शीर्षों की अधिकतम संख्या के लिए पूछता है एन-वर्टेक्स स्थानीय रैखिक आरेख। जैसा कि इमरे जेड. रूज़सा और एंड्रे ज़ेमेरीडी ने साबित किया, यह अधिकतम संख्या $$o(n^2)$$ है, लेकिन $$\Omega(n^{2-\varepsilon})$$ प्रत्येक $$\varepsilon>0$$ के लिए है। प्रगति-मुक्त सेटों से स्थानीय रैखिक आरेख का निर्माण स्थानीय स्तर पर ज्ञात रैखिक आरेख के साथ होता है $$n^2/\exp O(\sqrt{\log n})$$ किनारे। (इन सूत्रों में$$o$$, $$\Omega$$, और $$O$$ क्रमशः छोटे ओ नोटेशन, बिग ओमेगा नोटेशन और बिग ओ नोटेशन के उदाहरण हैं।

तलीय आरेखों में, स्थानीय रैखिक आरेख में $$n$$ शीर्षों के साथ शीर्षों की अधिकतम संख्या $$\tfrac{12}{5}(n-2)$$ है। क्यूबोक्टाहेड्रॉन का आरेख $$n=5k+2$$ वर्टिकल और $$\tfrac{12}{5}(n-2)=12k$$ शीर्षों के साथ पॉलीहेड्रल आरेख के अनंत अनुक्रम में पहला है, for …$$k=2,3,\dots$$ के चतुर्भुज फलकों को बढ़ाकर बनाया गया है $$K_{2,k}$$ एंटीप्रिज्म में। इन उदाहरणों से पता चलता है कि $$\tfrac{12}{5}(n-2)$$ ऊपरी सीमा प्राप्त की जा सकती है

प्रत्येक स्थानीय रैखिक आरेख में यह गुण होता है कि यह किसी भी मिलान को हटाने के बाद जुड़ा रहता है, क्योंकि आरेख के माध्यम से किसी भी पथ में, प्रत्येक मिलान वाले किनारे को उसके त्रिकोण के अन्य दो शीर्षों से बदला जा सकता है। इस गुण वाले आरेखों में, सबसे कम सघन त्रिकोणीय कैक्टस आरेख हैं, जो स्थानीय रैखिक आरेख भी सबसे कम घने हैं।।