गिनती का माप

गणित में, विशेष रूप से माप सिद्धांत में, गिनती माप किसी भी [[सबसेट (गणित)]] पर माप (गणित) लगाने का एक सहज तरीका है - एक उपसमुच्चय का आकार उपसमुच्चय में तत्वों की संख्या के रूप में लिया जाता है यदि उपसमुच्चय में सीमित रूप से कई हैं तत्व, और अनंत प्रतीक|अनंत $$\infty$$यदि उपसमुच्चय अनंत समुच्चय है। गिनती के माप को किसी भी मापने योग्य स्थान (अर्थात, किसी भी सेट) पर परिभाषित किया जा सकता है $$X$$ सिग्मा-बीजगणित के साथ) लेकिन इसका उपयोग अधिकतर गणनीय सेटों पर किया जाता है।

औपचारिक संकेतन में, हम किसी भी सेट को बदल सकते हैं $$X$$ का सत्ता स्थापित  लेकर मापने योग्य स्थान में $$X$$ सिग्मा-बीजगणित के रूप में $$\Sigma;$$ अर्थात्, के सभी उपसमुच्चय $$X$$ मापने योग्य सेट हैं. फिर गिनती का माप $$\mu$$ इस मापने योग्य स्थान पर $$(X,\Sigma)$$ सकारात्मक माप है $$\Sigma \to [0,+\infty]$$ द्वारा परिभाषित $$ \mu(A) = \begin{cases} \vert A \vert & \text{if } A \text{ is finite}\\ +\infty & \text{if } A \text{ is infinite} \end{cases} $$ सभी के लिए $$A\in\Sigma,$$ कहाँ $$\vert A\vert$$ सेट की प्रमुखता को दर्शाता है $$A.$$ गिनती जारी है $$(X,\Sigma)$$ σ-परिमित है यदि और केवल यदि स्थान $$X$$ गणनीय है.

चर्चा
गिनती का माप अधिक सामान्य निर्माण का एक विशेष मामला है। उपरोक्त संकेतन के साथ, कोई भी फ़ंक्शन $$f : X \to [0, \infty)$$ एक माप को परिभाषित करता है $$\mu$$ पर $$(X, \Sigma)$$ के जरिए $$\mu(A):=\sum_{a \in A} f(a)\quad \text{ for all } A \subseteq X,$$ जहाँ वास्तविक संख्याओं के संभवतः बेशुमार योग को सभी परिमित उपसमुच्चयों के योगों के सर्वोच्च के रूप में परिभाषित किया गया है, अर्थात, $$\sum_{y\,\in\,Y\!\ \subseteq\,\mathbb R} y\ :=\ \sup_{F \subseteq Y,\, |F| < \infty} \left\{ \sum_{y \in F} y \right\}.$$ ले रहा $$f(x) = 1$$ सभी के लिए $$x \in X$$ गिनती का माप देता है.