व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित)

गणित में, व्युत्पत्ति बीजगणित का फलन है जो अवकलज की कुछ विशेषताओं को सामान्यीकृत करता है। विशेष रूप से, वलय (गणित) या क्षेत्र (गणित) K पर बीजगणित A दिया गया है, K-व्युत्पत्ति एक K-रैखिक मानचित्र है D : A → A जो लीबनिज का नियम को आपूर्ति करता है:


 * $$ D(ab) = a D(b) + D(a) b.$$

सामान्यतः यदि M एक A-द्विप्रतिरूपक है, तो K-रैखिक मानचित्र D : A → M जो लीबनिज नियम को आपूर्ति करता है उसे व्युत्पत्ति भी कहा जाता है। A के सभी K-व्युत्पत्ति का संग्रह DerK(A) द्वारा निरूपित किया जाता है। A-मापांक M में A के K-व्युत्पत्ति का संग्रह DerK(A, M) द्वारा दर्शाया गया है।

गणित के विविध क्षेत्रों में कई अलग-अलग संदर्भों में व्युत्पत्ति होती हैं। एक चर के संबंध में आंशिक व्युत्पत्ति Rn पर वास्तविक- मान अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक R-व्युत्पत्ति । एक सदिश क्षेत्र के संबंध में लाई व्युत्पत्ति अलग-अलग डिफरेंशियल मैनिफोल्ड पर अलग-अलग फलन के बीजगणित पर एक R-व्युत्पत्ति है; सामान्यतः यह कई गुना अधिक के प्रदिश बीजगणित पर व्युत्पत्ति है। यह इस प्रकार है कि लाई बीजगणित का संलग्न प्रतिरूपण उस बीजगणित पर व्युत्पत्ति है। पिंचरले व्युत्पत्ति अमूर्त बीजगणित में व्युत्पत्ति का एक उदाहरण है। यदि बीजगणित A गैर विनिमेय है, तो बीजगणित A के तत्व के संबंध में दिक्परिवर्तक A के रैखिक अंतःरूपता को परिभाषित करता है, जो कि K पर व्युत्पत्ति है।
 * $$[FG,N]=[F,N]G+F[G,N]$$

जहाँ $$[\cdot,N]$$ के संबंध में कम्यूटेटर है$$N$$। बीजगणित A एक विशिष्ट व्युत्पत्ति से सुसज्जित है जो अवकल बीजगणित बनाता है, और यह स्वयं अंतर गैलोज़ सिद्धांत जैसे क्षेत्रों में अध्ययन का एक महत्वपूर्ण उद्देश्य है।

गुण
यदि A एक K-बीजगणित है, K के लिए एक वलय है, और $D: A → A$ एक K-व्युत्पत्ति है, फिर


 * यदि A की इकाई 1 है, तो D(1) = D(12) = 2D(1), जिससे कि D(1) = 0, इस प्रकार K-रैखिकता द्वारा, D(k) = 0 सभी $k ∈ K$ के लिए
 * यदि A क्रमविनिमेय है, तो D(x2) = xD(x) + D(x)x = 2xD(x), और D(xn) = nxn−1D(x), लीबनिज़ नियम द्वारा।
 * सामान्यतः किसी के लिए $x_{1}, x_{2}, …, x_{n} ∈ A$, यह गणितीय आगमन द्वारा अनुसरण करता है
 * $$D(x_1x_2\cdots x_n) = \sum_i x_1\cdots x_{i-1}D(x_i)x_{i+1}\cdots x_n $$
 * जो है $\sum_i D(x_i)\prod_{j\neq i}x_j$ यदि $i$ सभी के लिए, $D(x_{i})$, $$x_1,x_2,\ldots, x_{i-1}$$के साथ अभिगम है


 * n > 1 के लिए, Dn व्युत्पत्ति नहीं है, इसके बजाय उच्च-क्रम लीबनिज़ नियम को आपूर्ति करता है:
 * $$D^n(uv) = \sum_{k=0}^n \binom{n}{k} \cdot D^{n-k}(u)\cdot D^k(v).$$
 * इसके अतिरिक्त, यदि M एक A-द्विप्रतिरूपक है, तो लिखें
 * $$ \operatorname{Der}_K(A,M)$$
 * A से M तक K-व्युत्पत्ति के समुच्चय के लिए।


 * DerK(A, M), K के ऊपर मापांक (गणित) है।
 * DerK(A) दिक्परिवर्तक द्वारा परिभाषित लाई ब्रैकेट के साथ लाई बीजगणित है:
 * $$[D_1,D_2] = D_1\circ D_2 - D_2\circ D_1.$$
 * चूंकि यह आसानी से सत्यापित है कि दो व्युत्पत्तियों का दिक्परिवर्तक फिर से एक व्युत्पत्ति है।


 * A-मापांक $Ω_{A/K}$ है (कह्लर अवकलन कहा जाता है) K-व्युत्पत्ति के साथ $d: A → Ω_{A/K}$ जिसके माध्यम से कोई व्युत्पत्ति $D: A → M$ कारक है। यही है, किसी भी व्युत्पत्ति D के लिए A-मापांक मैप $φ$ है
 * $$ D: A\stackrel{d}{\longrightarrow} \Omega_{A/K}\stackrel{\varphi}{\longrightarrow} M $$
 * समतुल्यता $$ D\leftrightarrow \varphi$$ A-मापांक का समरूपता है:
 * $$ \operatorname{Der}_K(A,M)\simeq \operatorname{Hom}_{A}(\Omega_{A/K},M)$$


 * यदि $k ⊂ K$ एक सबरिंग है, तो A को k-बीजगणित संरचना आनुवंसिक है, इसलिए इसमें समावेश है
 * $$\operatorname{Der}_K(A,M)\subset \operatorname{Der}_k(A,M) ,$$
 * चूँकि कोई भी K-व्युत्पत्ति एक फोर्टियरी k-व्युत्पत्ति है।

वर्गीकृत व्युत्पत्ति
वर्गीकृत बीजगणित A और वर्गीकरण के सजातीय रैखिक मानचित्र D को देखते हुए $|D|$ A पर, D सजातीय व्युत्पत्ति है यदि
 * $${D(ab)=D(a)b+\varepsilon^{|a||D|}aD(b)}$$

दिक्परिवर्तक कारक के लिए प्रत्येक सजातीय तत्व a और A के प्रत्येक तत्व b के लिए ε = ±1, वर्गीकृत व्युत्पत्ति समान ε वाले सजातीय व्युत्पत्तियों का योग है।

यदि ε = 1, यह परिभाषा सामान्य मामले में कम हो जाती है। यदि ε = &minus;1, तथापि, तब
 * $${D(ab)=D(a)b+(-1)^{|a|}aD(b)}$$
 * विषम के लिए $|D|$, और D को विरोधी-व्युत्पत्ति कहा जाता है।

विरोधी व्युत्पत्तियों के उदाहरणों में बाह्य व्युत्पत्ति और विभेदक रूप पर कार्यकारी करने वाले आंतरिक उत्पाद सम्मिलित हैं।

सुपरएलजेब्रा की श्रेणीबद्ध व्युत्पत्ति (अर्थात Z2-श्रेणीबद्ध बीजगणित) को अधिकांशतः सुपरडेरिवेशन कहा जाता है।

संबंधित धारणाएं
हस्से-श्मिट व्युत्पत्ति K-बीजगणित समाकारिता हैं


 * $$A \to At.$$

मानचित्र के साथ आगे रचना करना जो औपचारिक शक्ति श्रृंखला भेजता है $$\sum a_n t^n$$ गुणांक के लिए $$a_1$$ व्युत्पत्ति देता है।

यह भी देखें

 * अवकल ज्यामिति व्युत्पत्ति में टेंगेंट स्पेस डेफिनिशन वाया व्युत्पत्ति है
 * काहलर अवकल
 * हस्से व्युत्पत्ति
 * p-व्युत्पत्ति
 * विर्टिंगर व्युत्पत्ति
 * घातीय मानचित्र का व्युत्पत्ति