स्टोकेस्टिक ट्रांसिटिविटी

प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल   अध्ययन किए गए द्विआधारी संबंधों की पारगमनता गुणधर्म के प्रसंभाव्य संस्करण हैं। प्रसंभाव्य पारगमनता के कई मॉडल होते हैं और युग्मित तुलनाओं के प्रयोगों में सम्मिलित संभावनाओं का वर्णन करने के लिए उनका उपयोग किया गया है, विशेषतः उन परिदृश्यों में जहां पारगमनता अपेक्षित है, यद्यपि, द्विआधारी संबंध का अनुभवजन्य अवलोकन संभाव्य है। उदाहरण के लिए, किसी खेल में खिलाड़ियों का कौशल पारगमन होने की अपेक्षा की जा सकती है, अर्थात "यदि खिलाड़ी A, B से उत्तम है और B, C से उत्तम है, तो खिलाड़ी A को C से उत्तम होना चाहिए"; यद्यपि किसी भी मैच में एक दुर्बल खिलाड़ी भी सकारात्मक संभावना के साथ विजय प्राप्त कर सकता है। दृढ़ता से सुमेलित खिलाड़ी को इस व्युत्क्रम के अवलोकन की अधिक संभावना हो सकती है, जबकि कौशल में विशाल अंतर वाले खिलाड़ी इन व्युत्क्रम को संभवतः प्रेक्षित कर पाएंगे। प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल संभावनाओं (उदाहरण के लिए, किसी खेल का निष्कर्ष) और अंतर्निहित पारगमन संबंध (उदाहरण के लिए खिलाड़ियों के कौशल) के बीच ऐसे संबंधों को औपचारिक बनाते हैं।

समुच्चय $$\mathcal{A}$$ पर द्विआधारी संबंध $\succsim$ को मानक गैर-प्रसंभाव्य अर्थ में पारगमन कहा जाता है, यदि $$\mathcal{A}$$ के सभी सदस्यों $$a,b,c$$ के लिए $$a \succsim b$$ और $$b \succsim c$$ तात्पर्य $$a \succsim c$$ हैं।.

पारगमनता के प्रसंभाव्य संस्करणों में सम्मिलित हैं:
 * 1) अशक्त प्रसंभाव्य पारगमनता (डबल्यूएसटी): ' $$\mathbb{P}(a\succsim b)\geq \tfrac{1}{2}$$ और $$\mathbb{P}(b\succsim c)\geq \tfrac{1}{2}$$ तात्पर्य $$\mathbb{P}(a\succsim c)\geq \tfrac{1}{2}$$, सभी के लिए $$a,b,c \in \mathcal{A}$$;
 * 2) मजबूत स्टोकेस्टिक ट्रांज़िटिविटी (एसएसटी): $$\mathbb{P}(a\succsim b)\geq \tfrac{1}{2}$$ और $$\mathbb{P}(b\succsim c)\geq \tfrac{1}{2}$$ तात्पर्य $$\mathbb{P}(a\succsim c)\geq \max \{\mathbb{P}(a\succsim b),\mathbb{P}(b\succsim c)\}$$, सभी के लिए $$a,b,c \in \mathcal{A}$$;
 * 3) रैखिक स्टोकेस्टिक ट्रांज़िटिविटी (एलएसटी): $$\mathbb{P}(a\succsim b) = F(\mu(a) - \mu(b))$$, सभी के लिए $$a,b \in \mathcal{A}$$, कहाँ $$F:\mathbb{R} \to [0,1]$$ कुछ बढ़ता हुआ कार्य है और  फ़ंक्शन (तुलना फ़ंक्शन कहा जाता है), और $$\mu: \mathcal{A}\to \mathbb{R}$$ सेट से कुछ मैपिंग है $$\mathcal{A}$$ वास्तविक रेखा के विकल्पों का (जिसे योग्यता फलन कहा जाता है)।

एक खिलौने का उदाहरण
संगमरमर का खेल - मान लें कि दो बच्चे, बिली और गैब्रिएला मार्बल एकत्रित करते हैं। बिली नीले मार्बल और गैब्रिएला हरे मार्बल एकत्र करता है। वे एकत्र होकर एक खेल खेलते हैं जहां वे अपने सभी मार्बल को एक थैले में मिश्रित करते हैं और यादृच्छिक रूप से एक का नमूना लेते हैं। यदि नमूना लिया गया मार्बल हरा है तो गैब्रिएला विजयी होती है और यदि नीला है, तो बिली विजय होता है। यदि थैली में $$B$$ नीले मार्बल की संख्या है और $$G$$ हरे मार्बल की संख्या है, तो गैब्रिएला के विरुद्ध बिली के विजयी की प्रायिकता $$\mathbb{P}(\text{Billy} \succsim \text{Gabriela})$$ है

$$\mathbb{P}(\text{Billy} \succsim \text{Gabriela}) = \frac{B}{B+G} = \frac{e^{\ln(B)}}{e^{\ln(B)}+e^{\ln(G)}} = \frac{1}{1+e^{\ln(G)-\ln(B)}}$$.

इस उदाहरण में, संगमरमर का खेल रैखिक प्रसंभाव्य पारगमनता को संतुष्ट करता है, जहाँ तुलना फलन $$F:\mathbb{R} \to [0,1]$$ द्वारा दिया गया है $$F(x) = \frac{1}{1+e^{-x }}$$ और योग्यता फलन $$\mu: \mathcal{A}\to \mathbb{R}$$, $$\mu(M) = \ln(M)$$,द्वारा दिया गया है, जहाँ $$M$$ खिलाड़ी के मार्बल की संख्या है। यह खेल ब्रैडली-टेरी मॉडल का एक उदाहरण है।

अनुप्रयोग

 * श्रेणीकरण और सन्‍निर्धारण - प्रसंभाव्य पारगमनता मॉडल का उपयोग कई श्रेणीकरण और सन्‍निर्धारण प्रणालियों के आधार के रूप में किया गया है। उदाहरणों में शतरंज, गो और अन्य शास्त्रीय खेलों में उपयोग की जाने वाली एलो रेटिंग प्रणाली के साथ-साथ एक्सबॉक्स गेमिंग प्लेटफ़ॉर्म के लिए उपयोग की जाने वाली माइक्रोसॉफ्ट की ट्रूस्किल सम्मिलित है।
 * मनोविज्ञान और तर्कसंगतता के मॉडल - थर्स्टोनियन मॉडल (तुलनात्मक निर्णय के नियम में केस 5 देखें), फेचनेरियन मॉडल और लूस की वरण सिद्धांत ऐसे सिद्धांत हैं जिनका आधार प्रसंभाव्य पारगमनता के गणित पर है। इसके अलावा, तर्कसंगत विकल्प सिद्धांत के मॉडल प्राथमिकताओं की परिवर्तनशीलता की धारणा पर आधारित हैं (देखें वॉन न्यूमैन-मॉर्गनस्टर्न उपयोगिता प्रमेय|वॉन न्यूमैन की उपयोगिता और डेब्रू प्रमेय|डेब्रू के प्रमेय), हालांकि, ये प्राथमिकताएं अक्सर स्टोकेस्टिक तरीके से शोर के साथ प्रकट होती हैं.
 * मशीन लर्निंग और आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस (रैंकिंग के लिए लर्निंग देखें) - जबकि एलो और ट्रूस्किल विशिष्ट एलएसटी मॉडल पर भरोसा करते हैं, मशीन लर्निंग मॉडल को अंतर्निहित स्टोकेस्टिक ट्रांज़िटिविटी मॉडल के पूर्व ज्ञान के बिना या स्टोकेस्टिक ट्रांज़िटिविटी पर सामान्य धारणाओं से कमज़ोर के तहत रैंक करने के लिए विकसित किया गया है। .  युग्मित तुलनाओं से सीखना भी दिलचस्प है क्योंकि यह एआई एजेंटों को अन्य एजेंटों की अंतर्निहित प्राथमिकताओं को जानने की अनुमति देता है।
 * गेम थ्योरी - यादृच्छिक नॉकआउट टूर्नामेंट की निष्पक्षता अंतर्निहित स्टोकेस्टिक ट्रांज़िटिविटी मॉडल पर दृढ़ता से निर्भर है।  सामाजिक चयन सिद्धांत की भी नींव है जो स्टोकेस्टिक ट्रांज़िटिविटी मॉडल पर निर्भर करती है।

मॉडलों के बीच संबंध
सकारात्मक नतीजे:

नकारात्मक परिणाम:
 * 1) प्रत्येक मॉडल जो रैखिक स्टोकेस्टिक ट्रांज़िटिविटी को संतुष्ट करता है, उसे मजबूत स्टोकेस्टिक ट्रांज़िटिविटी को भी संतुष्ट करना होगा, जिसके बदले में उसे कमजोर स्टोकेस्टिक ट्रांज़िटिविटी को भी संतुष्ट करना होगा। इसे इस प्रकार दर्शाया गया है: एलएसटी $$\implies$$ एसएसटी$$\implies$$डब्ल्यूएसटी;
 * 2) ब्रैडली-टेरी मॉडल और थर्स्टन के केस वी मॉडल के बाद से एलएसटी मॉडल हैं, वे एसएसटी और डब्लूएसटी को भी संतुष्ट करते हैं;
 * 3) की सुविधा के कारण, कुछ लेखक     स्वयंसिद्ध की पहचान की है  रैखिक स्टोकेस्टिक ट्रांज़िटिविटी (और अन्य मॉडल) के, सबसे विशेष रूप से जेरार्ड डेब्रू ने दिखाया कि:      +    $$\implies$$ एलएसटी (डेब्रू प्रमेय भी देखें);
 * 4) व्युत्क्रमणीय फ़ंक्शन तुलना फ़ंक्शन द्वारा दिए गए दो एलएसटी मॉडल  $$F(x)$$ और  $$G(x)$$ हैं  अगर और केवल अगर  $$F(x) = G(\kappa x)$$कुछ के लिए $$\kappa \geq 0.$$


 * 1) स्टोकेस्टिक ट्रांज़िटिविटी मॉडल अनुभवजन्य हैं, हालाँकि, वे मिथ्याकरणीय हो सकते हैं;
 * 2)  एलएसटी तुलना कार्यों के बीच  $$F(x)$$ और  $$G(x)$$ यह असंभव हो सकता है भले ही एक सीमित संख्या में अनंत मात्रा में डेटा प्रदान किया गया हो ;
 * 3) {{clarify span|estimation problem|date=February 2020}WST, SST और LST मॉडल के लिए 20}} सामान्यतः NP-कठोरता|NP-हार्ड हैं, हालाँकि, एसएसटी और एलएसटी मॉडल के लिए लगभग इष्टतम बहुपदीय गणना योग्य आकलन प्रक्रियाएं ज्ञात हैं।

यह भी देखें

 * असंक्रमणीय खेल
 * निर्णय सिद्धांत
 * उपयोगितावाद