त्रिकोणमितीय फलनों का विभेदन

त्रिकोणमितीय कार्यों का विभेदन एक त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के व्युत्पन्न, या एक चर के संबंध में इसके परिवर्तन की दर को खोजने की गणितीय प्रक्रिया है। उदाहरण के लिए, साइन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को पाप'(ए) = कॉस(ए) लिखा जाता है, जिसका अर्थ है कि एक विशेष कोण पर पाप(x) के परिवर्तन की दर ' 'x = a'' उस कोण की कोज्या द्वारा दिया जाता है।

वृत्ताकार त्रिकोणमितीय फलनों के सभी व्युत्पन्न tan(x) और cos(x) से प्राप्त किए जा सकते हैं, जो tan(x) = syn जैसे फलनों पर लागू भागफल नियम के माध्यम से पाए जा सकते हैं। (x)/cos(x). इन व्युत्पन्नों को जानकर, अंतर्निहित विभेदन का उपयोग करके व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के व्युत्पन्न पाए जाते हैं।

sin की सीमा(θ)/θ क्योंकि θ 0
की ओर प्रवृत्त होता है दाईं ओर का चित्र केंद्र O और त्रिज्या r = 1 वाला एक वृत्त दिखाता है। मान लीजिए कि दो त्रिज्याएँ OA और OB θ रेडियन का एक चाप बनाते हैं। चूँकि हम सीमा पर विचार कर रहे हैं क्योंकि θ शून्य की ओर जाता है, हम मान सकते हैं कि θ एक छोटी धनात्मक संख्या है, मान लीजिए पहले चतुर्थांश में 0 < θ < ½ π है।

आरेख में, मान लीजिए R1 त्रिभुज OAB, R हो2 वृत्ताकार क्षेत्र OAB, और R3 त्रिकोण OAC. त्रिभुज#त्रिकोण OAB के क्षेत्रफल की गणना है:


 * $$ \mathrm{Area}(R_1

) =\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |OB| \sin\theta = \tfrac{1}{2}\sin\theta \, . $$ वृत्ताकार क्षेत्र#क्षेत्र OAB है $$\mathrm{Area}(R_2) =\tfrac{1}{2}\theta$$, जबकि त्रिभुज OAC का क्षेत्रफल इस प्रकार दिया गया है
 * $$ \mathrm{Area}(R_3

) =\tfrac{1}{2} \ |OA| \ |AC| = \tfrac{1}{2} \tan\theta \, . $$ चूँकि प्रत्येक क्षेत्र अगले में समाहित है, इसलिए किसी के पास:


 * $$\text{Area}(R_1) < \text{Area}(R_2) < \text{Area}(R_3) \implies

\tfrac{1}{2}\sin\theta < \tfrac{1}{2}\theta < \tfrac{1}{2}\tan\theta \,. $$ इसके अलावा, तब से sin θ > 0 पहले चतुर्थांश में, हम ½ से विभाजित कर सकते हैं sin θ, देते हुए:
 * $$1 < \frac{\theta}{\sin\theta} < \frac{1}{\cos\theta} \implies 1 > \frac{\sin\theta}{\theta} > \cos\theta \, . $$

अंतिम चरण में हमने असमानताओं को उलटते हुए, तीन सकारात्मक शब्दों का व्युत्क्रम लिया।

हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि 0 < θ < ½ π के लिए, मात्रा sin(θ)/θ हमेशा 1 से कम और हमेशा cos(θ) से बड़ा होता है। इस प्रकार, जैसे-जैसे θ 0 के करीब पहुंचता है, sin(θ)/θ ऊंचाई 1 पर छत और ऊंचाई पर एक मंजिल के बीच निचोड़ प्रमेय है cos θ, जो 1 की ओर बढ़ता है; इसलिए पाप(θ)/θ को 1 की ओर प्रवृत्त होना चाहिए क्योंकि θ सकारात्मक पक्ष से 0 की ओर प्रवृत्त होता है:"$\lim_{\theta \to 0^+} \frac{\sin\theta}{\theta} = 1 \, . $"ऐसी स्थिति के लिए जहां θ एक छोटी ऋणात्मक संख्या है -½ π < θ < 0, हम इस तथ्य का उपयोग करते हैं कि साइन एक विषम फलन है:


 * $$\lim_{\theta \to 0^-}\! \frac{\sin\theta}{\theta}

\ =\ \lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin(-\theta)}{-\theta} \ =\ \lim_{\theta \to 0^+}\!\frac{-\sin\theta}{-\theta} \ =\ \lim_{\theta\to 0^+}\!\frac{\sin\theta}{\theta} \ =\ 1 \, . $$

(cos(θ)-1)/θ की सीमा क्योंकि θ 0 की ओर प्रवृत्त होती है
अंतिम खंड हमें अपेक्षाकृत आसानी से इस नई सीमा की गणना करने में सक्षम बनाता है। यह एक सरल तरकीब अपनाकर किया जाता है। इस गणना में, θ का चिह्न महत्वहीन है।
 * $$ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos\theta - 1}{\theta}

\ =\ \lim_{\theta \to 0} \left( \frac{\cos\theta - 1}{\theta} \right)\!\! \left( \frac{\cos\theta + 1}{\cos\theta + 1} \right) \ =\ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{\cos^2\!\theta - 1}{\theta\,(\cos\theta + 1)}. $$ का उपयोग करते हुए cos2θ – 1 = –sin2θ, तथ्य यह है कि किसी उत्पाद की सीमा सीमाओं का उत्पाद है, और पिछले अनुभाग से सीमा परिणाम, हम पाते हैं कि:


 * $$ \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\cos\theta - 1}{\theta}

\ =\ \lim_{\theta \to 0}\, \frac{-\sin^2\theta}{\theta(\cos\theta+1)} \ =\ \left( -\lim_{\theta \to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta \to 0}\,\frac{\sin\theta}{\cos\theta + 1} \right) \ =\ (-1)\left(\frac{0}{2}\right) = 0 \,. $$

tan(θ)/θ की सीमा क्योंकि θ 0
की ओर प्रवृत्त होती है
 * 1) Limit_of_as फ़ंक्शन के लिए सीमा का उपयोग करते हुए, यह तथ्य कि स्पर्शरेखा फ़ंक्शन विषम है, और यह तथ्य कि किसी उत्पाद की सीमा सीमा का उत्पाद है, हम पाते हैं:

\lim_{\theta\to 0} \frac{\tan\theta}{\theta} \ =\ \left(\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin\theta}{\theta}\right)\! \left( \lim_{\theta\to 0} \frac{1}{\cos\theta}\right) \ =\ (1)(1) \ =\   1 \, . $$

साइन फलन का व्युत्पन्न
हम अंतर भागफल के माध्यम से व्युत्पन्न#परिभाषा से साइन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta = \lim_{\delta \to 0} \frac{\sin(\theta + \delta) - \sin \theta}{\delta} . $$

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची#कोण योग और अंतर सर्वसमिकाओं का उपयोग करना sin(α+β) = sin α cos β + sin β cos α, अपने पास:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\sin\theta\cos\delta + \sin\delta\cos\theta-\sin\theta}{\delta} = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\sin\delta}{\delta} \cos\theta + \frac{\cos\delta -1}{\delta}\sin\theta \right). $$
 * 1) Limit_of_as और #Limit_of_as_2 फ़ंक्शंस के लिए सीमाओं का उपयोग करना:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\sin\theta

= (1)\cos\theta + (0)\sin\theta = \cos\theta \,. $$

व्युत्पन्न की परिभाषा से
हम फिर से सीमा परिभाषा से कोसाइन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करते हैं:


 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\cos(\theta+\delta)-\cos\theta}{\delta}. $$ कोण जोड़ सूत्र का उपयोग करना cos(α+β) = cos α cos β – sin α sin β, अपने पास:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= \lim_{\delta \to 0} \frac{\cos\theta\cos\delta - \sin\theta\sin\delta-\cos\theta}{\delta} = \lim_{\delta \to 0} \left(\frac{\cos\delta -1}{\delta}\cos\theta \,-\, \frac{\sin\delta}{\delta} \sin\theta \right). $$
 * 1) Limit_of_as और #Limit_of_as_2 फ़ंक्शंस के लिए सीमाओं का उपयोग करना:
 * $$ \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\cos\theta

= (0) \cos\theta - (1) \sin\theta = -\sin\theta \,. $$

श्रृंखला नियम से
श्रृंखला नियम से कोसाइन फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना करने के लिए, पहले निम्नलिखित तीन तथ्यों का अवलोकन करें:
 * $$\cos\theta = \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$
 * $$\sin\theta = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\theta = \cos\theta$$

पहला और दूसरा त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची#समरूपता है, और तीसरा ऊपर सिद्ध है। इन तीन तथ्यों का उपयोग करके हम निम्नलिखित लिख सकते हैं,
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = \tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \sin\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right)$$

हम श्रृंखला नियम का उपयोग करके इसे अलग कर सकते हैं। दे $$f(x) = \sin x,\ \ g(\theta) =\tfrac{\pi}{2}-\theta$$, अपने पास:


 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} f\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) = f^\prime\!\left(g\!\left(\theta\right)\right) \cdot g^\prime\!\left(\theta\right) = \cos\left(\tfrac{\pi}{2}-\theta\right) \cdot (0-1) = -\sin\theta$$.

इसलिए, हमने यह साबित कर दिया है।'
 * $$\tfrac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \cos\theta = -\sin\theta$$.

व्युत्पन्न की परिभाषा से
स्पर्शरेखा फ़ंक्शन tan θ के अवकलज की गणना करने के लिए, हम अंतर भागफल के माध्यम से Derivative#Definition का उपयोग करते हैं। परिभाषा से:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{\tan(\theta+\delta)-\tan\theta}{\delta} \right). $$ प्रसिद्ध कोण सूत्र का उपयोग करना tan(α+β) = (tan α + tan β) / (1 - tan α tan β), अपने पास:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\frac{\tan\theta + \tan\delta}{1 - \tan\theta\tan\delta} - \tan\theta}{\delta} \right] = \lim_{\delta \to 0} \left[ \frac{\tan\theta + \tan\delta - \tan\theta + \tan^2\theta\tan\delta}{\delta \left( 1 - \tan\theta\tan\delta \right)} \right]. $$ इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि किसी उत्पाद की सीमा सीमाओं का उत्पाद है:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = \lim_{\delta \to 0} \frac{\tan\delta}{\delta} \times \lim_{\delta \to 0} \left( \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - \tan\theta\tan\delta} \right). $$
 * 1) Limit_of_as_3 फ़ंक्शन के लिए सीमा का उपयोग करना, और यह तथ्य कि tan δ 0 की ओर प्रवृत्त होता है क्योंकि δ 0 की ओर प्रवृत्त होता है:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = 1 \times \frac{1 + \tan^2\theta}{1 - 0} = 1 + \tan^2\theta. $$ हम तुरंत देखते हैं कि:

\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta}\,\tan\theta = 1 + \frac{\sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{\cos^2\theta + \sin^2\theta}{\cos^2\theta} = \frac{1}{\cos^2\theta} = \sec^2\theta \,. $$

भागफल नियम से
कोई व्यक्ति भागफल नियम का उपयोग करके स्पर्शरेखा फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की गणना भी कर सकता है।
 * $$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta

= \frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \frac{\sin\theta}{\cos\theta} = \frac{\left(\sin\theta\right)^\prime \cdot \cos\theta - \sin\theta \cdot \left(\cos\theta\right)^\prime}{ \cos^2 \theta } = \frac{\cos^2 \theta + \sin^2 \theta}{\cos^2 \theta} $$ त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची#पायथागॉरियन सर्वसमिकाओं द्वारा अंश को 1 तक सरल बनाया जा सकता है, जो हमें देता है,
 * $$\frac{1}{\cos^2 \theta} = \sec^2 \theta$$

इसलिए,
 * $$\frac{\operatorname{d}}{\operatorname{d}\!\theta} \tan\theta = \sec^2 \theta$$

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के अवकलजों का प्रमाण
निम्नलिखित व्युत्पन्न एक चर (गणित) y को व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन के बराबर सेट करके पाए जाते हैं जिसका हम व्युत्पन्न लेना चाहते हैं। अंतर्निहित विभेदन का उपयोग करके और फिर dy/dx को हल करके, व्युत्क्रम फ़ंक्शन का व्युत्पन्न y के संदर्भ में पाया जाता है। डाई/डीएक्स को वापस एक्स के संदर्भ में परिवर्तित करने के लिए, हम यूनिट सर्कल पर एक संदर्भ त्रिकोण बना सकते हैं, जिससे θ को वाई माना जा सकता है। पाइथागोरस प्रमेय और नियमित त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा का उपयोग करके, हम अंततः x के संदर्भ में dy/dx को व्यक्त कर सकते हैं।

प्रतिलोम ज्या फलन को विभेदित करना
हम जाने


 * $$y=\arcsin x\,\!$$

कहाँ


 * $$-\frac{\pi}{2}\le y \le \frac{\pi}{2}$$

तब


 * $$\sin y=x\,\!$$

के संबंध में व्युत्पन्न लेना $$x$$ दोनों तरफ और dy/dx के लिए समाधान:


 * $${d \over dx}\sin y={d \over dx}x$$
 * $$\cos y \cdot {dy \over dx} = 1\,\!$$

स्थानापन्न $$ \cos y = \sqrt{1-\sin^2 y}$$ ऊपर से,


 * $$\sqrt{1-\sin^2 y} \cdot {dy \over dx} =1$$

स्थानापन्न $$x=\sin y$$ ऊपर से,


 * $$\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1$$
 * $${dy \over dx}=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

प्रतिलोम कोज्या फलन को विभेदित करना
हम जाने


 * $$y=\arccos x\,\!$$

कहाँ


 * $$0 \le y \le \pi$$

तब


 * $$\cos y=x\,\!$$

के संबंध में व्युत्पन्न लेना $$x$$ दोनों तरफ और dy/dx के लिए समाधान:


 * $${d \over dx}\cos y={d \over dx}x$$
 * $$-\sin y \cdot {dy \over dx} =1$$

स्थानापन्न $$\sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}\,\!$$ ऊपर से, हमें मिलता है


 * $$-\sqrt{1-\cos^2 y} \cdot {dy \over dx} =1$$

स्थानापन्न $$x=\cos y\,\!$$ ऊपर से, हमें मिलता है


 * $$-\sqrt{1-x^2} \cdot {dy \over dx} =1$$
 * $${dy \over dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$$

वैकल्पिक रूप से, एक बार व्युत्पन्न $$\arcsin x$$ स्थापित है, का व्युत्पन्न $$\arccos x$$ पहचान को अलग करके तुरंत अनुसरण करता है $$\arcsin x+\arccos x=\pi/2$$ ताकि $$(\arccos x)'=-(\arcsin x)'$$.

प्रतिलोम स्पर्शरेखा फलन को विभेदित करना
हम जाने


 * $$y=\arctan x\,\!$$

कहाँ


 * $$-\frac{\pi}{2} < y < \frac{\pi}{2}$$

तब


 * $$\tan y=x\,\!$$

के संबंध में व्युत्पन्न लेना $$x$$ दोनों तरफ और dy/dx के लिए समाधान:


 * $${d \over dx}\tan y={d \over dx}x$$

बाईं तरफ:



{d \over dx}\tan y = \sec^2 y \cdot {dy \over dx} = (1 + \tan^2 y) {dy \over dx} $$ पायथागॉरियन पहचान का उपयोग करना

दाईं ओर:


 * $${d \over dx}x = 1$$

इसलिए,


 * $$(1+\tan^2 y){dy \over dx}=1$$

स्थानापन्न $$x=\tan y\,\!$$ ऊपर से, हमें मिलता है


 * $$(1+x^2){dy \over dx}=1$$
 * $${dy \over dx}=\frac{1}{1+x^2}$$

प्रतिलोम कोटैंजेंट फ़ंक्शन को विभेदित करना
हम जाने


 * $$y=\arccot x$$

कहाँ $$0<y<\pi$$. तब


 * $$\cot y=x$$

के संबंध में व्युत्पन्न लेना $$x$$ दोनों तरफ और dy/dx के लिए समाधान:


 * $$\frac{d}{dx}\cot y=\frac{d}{dx}x$$

बाईं तरफ:



{d \over dx}\cot y = -\csc^2 y \cdot {dy \over dx} = -(1 + \cot^2 y) {dy \over dx} $$ पायथागॉरियन पहचान का उपयोग करना

दाईं ओर:


 * $${d \over dx}x = 1$$

इसलिए,


 * $$-(1+\cot^2y)\frac{dy}{dx}=1$$

स्थानापन्न $$x=\cot y$$,


 * $$-(1+x^2)\frac{dy}{dx}=1$$
 * $$\frac{dy}{dx}=-\frac{1}{1+x^2}$$

वैकल्पिक रूप से, के व्युत्पन्न के रूप में $$\arctan x$$ जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, फिर पहचान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है $$\arctan x+\arccot x=\dfrac{\pi}{2}$$ उसका तुरंत अनुसरण करता है$$\begin{align} \dfrac{d}{dx}\arccot x &=\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{\pi}{2}-\arctan x\right)\\ &=-\dfrac{1}{1+x^2} \end{align}$$

अंतर्निहित विभेदन का उपयोग करना
होने देना


 * $$ y = \arcsec x\ \mid |x| \geq 1$$

तब


 * $$ x = \sec y \mid \ y \in \left [0,\frac{\pi}{2} \right )\cup \left (\frac{\pi}{2},\pi \right]

$$
 * $$ \frac{dx}{dy} = \sec y \tan y = |x|\sqrt{x^2-1}$$

(अभिव्यक्ति में पूर्ण मान आवश्यक है क्योंकि y के अंतराल में छेदक और स्पर्शरेखा का गुणनफल हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, जबकि मूलांक $$\sqrt{x^2-1}$$ मुख्य वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, इसलिए शेष कारक भी गैर-नकारात्मक होना चाहिए, जो x के निरपेक्ष मान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।)


 * $$ \frac{dy}{dx} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

श्रृंखला नियम का उपयोग करना
वैकल्पिक रूप से, आर्कसेकेंट का व्युत्पन्न श्रृंखला नियम का उपयोग करके आर्ककोसाइन के व्युत्पन्न से प्राप्त किया जा सकता है।

होने देना


 * $$ y = \arcsec x = \arccos \left(\frac{1}{x}\right) $$

कहाँ


 * $$ |x| \geq 1 $$ और $$ y \in \left[0, \frac{\pi}{2}\right) \cup \left(\frac{\pi}{2}, \pi\right] $$

फिर, श्रृंखला नियम को लागू करना $$ \arccos \left(\frac{1}{x}\right) $$:


 * $$ \frac{dy}{dx} = -\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)

= \frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = \frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}} = \frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}} = \frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} $$

अंतर्निहित विभेदन का उपयोग करना
होने देना


 * $$y = \arccsc x\ \mid |x| \geq 1$$

तब


 * $$ x = \csc y\ \mid \ y \in \left [-\frac{\pi}{2},0 \right )\cup \left (0,\frac{\pi}{2} \right]$$
 * $$ \frac{dx}{dy} = -\csc y \cot y = -|x|\sqrt{x^2-1}$$

(अभिव्यक्ति में निरपेक्ष मान आवश्यक है क्योंकि y के अंतराल में कोसेकेंट और कोटैंजेंट का गुणनफल हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, जबकि रेडिकल $$\sqrt{x^2-1}$$ मुख्य वर्गमूल की परिभाषा के अनुसार हमेशा गैर-नकारात्मक होता है, इसलिए शेष कारक भी गैर-नकारात्मक होना चाहिए, जो x के निरपेक्ष मान का उपयोग करके प्राप्त किया जाता है।)
 * $$ \frac{dy}{dx} = \frac{-1}{|x|\sqrt{x^2-1}}$$

श्रृंखला नियम का उपयोग करना
वैकल्पिक रूप से, आर्ककोसेकेंट का व्युत्पन्न श्रृंखला नियम का उपयोग करके आर्क्साइन के व्युत्पन्न से प्राप्त किया जा सकता है।

होने देना


 * $$ y = \arccsc x = \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) $$

कहाँ


 * $$ |x| \geq 1 $$ और $$ y \in \left[-\frac{\pi}{2}, 0\right) \cup \left(0, \frac{\pi}{2}\right] $$

फिर, श्रृंखला नियम को लागू करना $$ \arcsin \left(\frac{1}{x}\right) $$:


 * $$ \frac{dy}{dx} =\frac{1}{\sqrt{1-(\frac{1}{x})^2}} \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)

= -\frac{1}{x^2\sqrt{1-\frac{1}{x^2}}} = -\frac{1}{x^2\frac{\sqrt{x^2-1}}{\sqrt{x^2}}} = -\frac{1}{\sqrt{x^2}\sqrt{x^2-1}} = -\frac{1}{|x|\sqrt{x^2-1}} $$

ग्रन्थसूची

 * Handbook of Mathematical Functions, Edited by Abramowitz and Stegun, National Bureau of Standards, Applied Mathematics Series, 55 (1964)