क्वांटम यांत्रिकी



क्वांटम यांत्रिकी भौतिकी में एक मौलिक सिद्धांत है जो परमाणुओं और उप -परमाणु कणों के पैमाने पर प्रकृति के भौतिक गुणों का विवरण प्रदान करता है। यह क्वांटम रसायन विज्ञान, क्वांटम फील्ड थ्योरी, क्वांटम प्रौद्योगिकी और क्वांटम सूचना विज्ञान सहित सभी क्वांटम भौतिकी की नींव है।

शास्त्रीय भौतिकी, क्वांटम यांत्रिकी के आगमन से पहले मौजूद सिद्धांतों का संग्रह, एक साधारण (मैक्रोस्कोपिक) पैमाने पर प्रकृति के कई पहलुओं का वर्णन करता है, लेकिन छोटे (परमाणु और उप -परमाणु) तराजू पर उनका वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं है।शास्त्रीय भौतिकी में अधिकांश सिद्धांतों को क्वांटम यांत्रिकी से बड़े (मैक्रोस्कोपिक) पैमाने पर मान्य एक अनुमान के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। क्वांटम यांत्रिकी उस ऊर्जा में शास्त्रीय भौतिकी से भिन्न होता है, गति, गति, कोणीय गति, और एक बाध्य प्रणाली की अन्य मात्राओं को असतत मूल्यों (परिमाणीकरण) तक सीमित कर दिया जाता है, वस्तुओं में कणों और तरंगों (तरंग -कण द्वंद्व) दोनों की विशेषताएं होती हैं, और सीमाएं होती हैं, और सीमाएं होती हैं। प्रारंभिक स्थितियों (अनिश्चितता सिद्धांत) का एक पूरा सेट देखते हुए, इसके माप से पहले भौतिक मात्रा के मूल्य की भविष्यवाणी की जा सकती है।

क्वांटम यांत्रिकी धीरे-धीरे सिद्धांतों से उत्पन्न हुई, जो उन टिप्पणियों को समझाने के लिए जो शास्त्रीय भौतिकी के साथ सामंजस्य स्थापित नहीं की जा सकती थी, जैसे कि 1900 में मैक्स प्लैंक के समाधान को ब्लैक-बॉडी विकिरण समस्या के लिए, और अल्बर्ट आइंस्टीन के 1905 पेपर में ऊर्जा और आवृत्ति के बीच पत्राचार जो फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव की व्याख्या करता है । माइक्रोस्कोपिक घटनाओं को समझने के लिए ये शुरुआती प्रयास, जिसे अब पुराने क्वांटम सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, ने 1920 के दशक के मध्य में नील्स बोहर, इरविन श्रोडिंगर, वर्नर हाइजेनबर्ग, मैक्स जन्म, पॉल डिरक और अन्य द्वारा क्वांटम यांत्रिकी के पूर्ण विकास का नेतृत्व किया। आधुनिक सिद्धांत विभिन्न विशेष रूप से विकसित गणितीय औपचारिकताओं में तैयार किया गया है। उनमें से एक में, वेव फ़ंक्शन नामक एक गणितीय इकाई जानकारी प्रदान करती है, संभाव्यता आयाम के रूप में, एक कण की ऊर्जा, गति और अन्य भौतिक गुणों के माप के बारे में, इस बारे में कि क्या माप हो सकता है।

अवलोकन और मौलिक अवधारणाएं
क्वांटम यांत्रिकी भौतिक प्रणालियों के गुणों और व्यवहार की गणना की अनुमति देता है।यह आमतौर पर सूक्ष्म प्रणालियों पर लागू होता है: अणु, परमाणु और उप-परमाणु कण।हजारों परमाणुओं के साथ जटिल अणुओं के लिए यह प्रदर्शन किया गया है, लेकिन मनुष्यों के लिए इसका आवेदन दार्शनिक समस्याओं को बढ़ाता है, जैसे कि विग्नर के दोस्त, और ब्रह्मांड के लिए इसका आवेदन एक पूरे के रूप में सट्टा रहता है। क्वांटम यांत्रिकी की भविष्यवाणियों को प्रयोगात्मक रूप से एक उच्च स्तर की सटीकता के लिए सत्यापित किया गया है। सिद्धांत की एक मौलिक विशेषता यह है कि यह आमतौर पर निश्चितता के साथ भविष्यवाणी नहीं कर सकता है कि क्या होगा, लेकिन केवल संभावनाएं दें। गणितीय रूप से, एक संभावना एक जटिल संख्या के निरपेक्ष मान के वर्ग को लेने से एक संभावना पाई जाती है, जिसे संभावना आयाम के रूप में जाना जाता है। इसे जन्म के नियम के रूप में जाना जाता है, जिसका नाम भौतिक विज्ञानी मैक्स के नाम पर रखा गया है। उदाहरण के लिए, एक इलेक्ट्रॉन की तरह एक क्वांटम कण को ​​एक तरंग फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु को एक संभावना आयाम में जोड़ता है। इन आयामों में जन्मे नियम को लागू करने से उस स्थिति के लिए एक संभावना घनत्व कार्य मिलता है जो इलेक्ट्रॉन को मापने के लिए एक प्रयोग किया जाता है। यह सबसे अच्छा सिद्धांत है जो कर सकता है; यह निश्चित रूप से नहीं कह सकता कि इलेक्ट्रॉन कहां मिलेगा। श्रोडिंगर समीकरण संभाव्यता आयाम के संग्रह से संबंधित है जो समय के एक क्षण से संबंधित संभावना आयाम के संग्रह से संबंधित है जो दूसरे से संबंधित है।

क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय नियमों का एक परिणाम विभिन्न औसत दर्जे की मात्रा के बीच भविष्यवाणी में एक व्यापार है। इस अनिश्चितता सिद्धांत का सबसे प्रसिद्ध रूप कहता है कि कोई फर्क नहीं पड़ता कि एक क्वांटम कण कैसे तैयार किया जाता है या इस पर ध्यान से प्रयोग कैसे किया जाता है, इसकी स्थिति के माप के लिए एक सटीक भविष्यवाणी होना असंभव है और एक ही समय में एक माप के लिए भी इसकी गति का।

क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय नियमों का एक और परिणाम क्वांटम हस्तक्षेप की घटना है, जिसे अक्सर डबल-स्लिट प्रयोग के साथ चित्रित किया जाता है। इस प्रयोग के मूल संस्करण में, एक सुसंगत प्रकाश स्रोत, जैसे कि एक लेजर बीम, दो समानांतर स्लिट्स द्वारा छेदा जाने वाली प्लेट को रोशन करता है, और स्लिट्स के माध्यम से गुजरने वाला प्रकाश प्लेट के पीछे एक स्क्रीन पर देखा जाता है।  प्रकाश की लहर प्रकृति दो स्लिट्स से गुजरने वाली प्रकाश तरंगों का कारण बनती है, जो स्क्रीन पर उज्ज्वल और अंधेरे बैंड का उत्पादन करती है - एक परिणाम जो उम्मीद नहीं की जाएगी अगर प्रकाश शास्त्रीय कणों से मिलकर बनता है। हालांकि, प्रकाश को हमेशा असतत बिंदुओं पर स्क्रीन पर अवशोषित किया जाता है, लहरों के बजाय व्यक्तिगत कणों के रूप में;हस्तक्षेप पैटर्न स्क्रीन पर इन कण हिट के अलग -अलग घनत्व के माध्यम से दिखाई देता है।इसके अलावा, प्रयोग के संस्करण जिसमें स्लिट्स में डिटेक्टरों को शामिल किया गया है, यह पाया गया है कि प्रत्येक का पता चला फोटॉन एक स्लिट (जैसा कि एक शास्त्रीय कण होगा) से गुजरता है, और दोनों स्लिट्स के माध्यम से नहीं (जैसा कि एक लहर होगी)। <रेफ नाम = müller-Kirsten> हालांकि, डबल-स्लिट प्रयोग#कौन सा तरीका | इस तरह के प्रयोगों से पता चलता है कि कण हस्तक्षेप पैटर्न नहीं बनाते हैं यदि कोई यह पता लगाता है कि वे किस से गुजरते हैं।अन्य परमाणु-पैमाने पर संस्थाएं, जैसे कि इलेक्ट्रॉनों, को एक ही व्यवहार का प्रदर्शन करने के लिए पाया जाता है जब एक डबल स्लिट की ओर निकाल दिया जाता है। इस व्यवहार को तरंग -कण द्वंद्व के रूप में जाना जाता है।

क्वांटम मैकेनिक्स द्वारा भविष्यवाणी की गई एक और काउंटर-सहज ज्ञान युक्त घटना क्वांटम टनलिंग है: एक कण जो एक संभावित अवरोध के खिलाफ जाता है, इसे पार कर सकता है, भले ही इसकी गतिज ऊर्जा क्षमता की अधिकतम से छोटी हो। शास्त्रीय यांत्रिकी में यह कण फंस जाएगा।क्वांटम टनलिंग के कई महत्वपूर्ण परिणाम हैं, जो रेडियोधर्मी क्षय को सक्षम करते हैं, सितारों में परमाणु संलयन, और स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोपी और टनल डायोड जैसे अनुप्रयोग। जब क्वांटम सिस्टम बातचीत करते हैं, तो परिणाम क्वांटम उलझाव का निर्माण हो सकता है: उनके गुण इतने परस्पर जुड़ जाते हैं कि पूरी तरह से व्यक्तिगत भागों के संदर्भ में पूरी तरह से विवरण संभव नहीं है।इरविन श्रोडिंगर ने उलझाव कहा ... क्वांटम यांत्रिकी की विशेषता विशेषता, वह जो अपने पूरे प्रस्थान को विचार की शास्त्रीय लाइनों से लागू करता है। क्वांटम उलझाव क्वांटम स्यूडो-टीलेपैथी के काउंटर-सहज ज्ञान युक्त गुणों को सक्षम करता है, और संचार प्रोटोकॉल में एक मूल्यवान संसाधन हो सकता है, जैसे कि क्वांटम कुंजी वितरण और सुपरडेंस कोडिंग। लोकप्रिय गलतफहमी के विपरीत, उलझाव संकेतों को तेजी से प्रकाश भेजने की अनुमति नहीं देता है। प्रकाश की तुलना में तेजी से, जैसा कि नो-कम्युनिकेशन प्रमेय द्वारा प्रदर्शित किया गया है।

उलझाव द्वारा खोला गया एक और संभावना छिपे हुए चर के लिए परीक्षण कर रही है, काल्पनिक सिद्धांत में संबोधित मात्राओं की तुलना में काल्पनिक गुण अधिक मौलिक हैं, जिसका ज्ञान क्वांटम सिद्धांत की तुलना में अधिक सटीक भविष्यवाणियों की अनुमति देगा।परिणामों का एक संग्रह, सबसे महत्वपूर्ण रूप से बेल के प्रमेय ने प्रदर्शित किया है कि इस तरह के छिपे हुए-चर सिद्धांतों के व्यापक वर्ग वास्तव में क्वांटम भौतिकी के साथ असंगत हैं।बेल के प्रमेय के अनुसार, यदि प्रकृति वास्तव में स्थानीय छिपे हुए चर के किसी भी सिद्धांत के अनुरूप काम करती है, तो बेल परीक्षण के परिणाम एक विशेष, मात्रात्मक तरीके से विवश होंगे।उलझे हुए कणों का उपयोग करते हुए कई घंटी परीक्षण किए गए हैं, और उन्होंने स्थानीय छिपे हुए चर द्वारा लगाए गए बाधाओं के साथ असंगत परिणाम दिखाए हैं। शामिल वास्तविक गणित को शामिल किए बिना इन अवधारणाओं को एक सतही तरीके से अधिक प्रस्तुत करना संभव नहीं है;क्वांटम यांत्रिकी को समझने के लिए न केवल जटिल संख्याओं में हेरफेर करने की आवश्यकता होती है, बल्कि रैखिक बीजगणित, अंतर समीकरण, समूह सिद्धांत और अन्य अधिक उन्नत विषय भी होते हैं। तदनुसार, यह लेख क्वांटम यांत्रिकी का एक गणितीय सूत्रीकरण प्रस्तुत करेगा और इसके आवेदन का सर्वेक्षण कुछ उपयोगी और बार-बार-अध्ययन किए गए उदाहरणों के लिए करेगा।

गणितीय सूत्रीकरण
क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय रूप से कठोर सूत्रीकरण में, एक क्वांटम यांत्रिक प्रणाली की स्थिति एक वेक्टर है $$\psi$$ एक (अलग) जटिल हिल्बर्ट अंतरिक्ष से संबंधित $$\mathcal H$$।इस वेक्टर को हिल्बर्ट स्पेस इनर प्रोडक्ट के तहत सामान्यीकृत करने के लिए पोस्ट किया गया है, यानी यह पालन करता है $$\langle \psi,\psi \rangle = 1$$, और यह मापांक 1 (वैश्विक चरण) की एक जटिल संख्या तक अच्छी तरह से परिभाषित है, अर्थात्, $$\psi$$ तथा $$e^{i\alpha}\psi$$ उसी भौतिक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं।दूसरे शब्दों में, संभावित राज्य एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष के अनुमानित स्थान में बिंदु हैं, जिसे आमतौर पर जटिल प्रोजेक्टिव स्पेस कहा जाता है।इस हिल्बर्ट अंतरिक्ष की सटीक प्रकृति सिस्टम & nbsp पर निर्भर है;-उदाहरण के लिए, स्थिति का वर्णन करने के लिए और हिल्बर्ट स्पेस जटिल वर्ग-एकीकृत कार्यों का स्थान है $$L^2(\mathbb C)$$, जबकि एक एकल प्रोटॉन के स्पिन के लिए हिल्बर्ट स्पेस बस दो-आयामी जटिल वैक्टर का स्थान है $$\mathbb C^2$$ सामान्य आंतरिक उत्पाद के साथ।

भौतिक मात्रा – स्थिति, गति, ऊर्जा, स्पिन – वेधशालाओं द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है, जो कि हर्मिटियन (अधिक सटीक रूप से, स्व-adjoint ऑपरेटर | सेल्फ-एडजॉइंट) रैखिक ऑपरेटर हैं जो हिल्बर्ट स्पेस पर काम कर रहे हैं।एक क्वांटम राज्य एक अवलोकन का एक eigenvector हो सकता है, जिस स्थिति में इसे एक eigenstate कहा जाता है, और संबंधित eigenvalue उस eigenstate में अवलोकन के मूल्य से मेल खाता है।अधिक आम तौर पर, एक क्वांटम राज्य आइजेंस्टेट्स का एक रैखिक संयोजन होगा, जिसे क्वांटम सुपरपोजिशन के रूप में जाना जाता है।जब एक अवलोकनीय मापा जाता है, तो परिणाम जन्म के नियम द्वारा दी गई संभावना के साथ इसके eigenvalues में से एक होगा: सबसे सरल मामले में eigenvalue $$\lambda$$ गैर-पतित है और संभावना द्वारा दी गई है $$|\langle \vec\lambda,\psi\rangle|^2$$, कहाँ पे $$ \vec\lambda$$ इसका संबद्ध eigenvector है।अधिक आम तौर पर, eigenvalue पतित है और संभावना दी जाती है $$\langle \psi,P_\lambda\psi\rangle$$, कहाँ पे $$P_\lambda$$ इसके संबद्ध eigenspace पर प्रोजेक्टर है।निरंतर मामले में, ये सूत्र संभावना घनत्व के बजाय देते हैं।

माप के बाद, यदि परिणाम $$\lambda$$ प्राप्त किया गया था, क्वांटम राज्य को पतन के लिए पोस्ट किया गया है $$ \vec\lambda$$, गैर-संघटित मामले में, या $$P_\lambda\psi/\sqrt{\langle \psi,P_\lambda\psi\rangle}$$, सामान्य मामले में।क्वांटम यांत्रिकी की संभाव्य प्रकृति इस प्रकार माप के कार्य से उपजी है।यह समझने के लिए क्वांटम सिस्टम के सबसे कठिन पहलुओं में से एक है।यह प्रसिद्ध बोहर -आइंस्टीन बहस में केंद्रीय विषय था, जिसमें दोनों वैज्ञानिकों ने विचार प्रयोगों के माध्यम से इन मौलिक सिद्धांतों को स्पष्ट करने का प्रयास किया।क्वांटम यांत्रिकी के निर्माण के बाद के दशकों में, एक माप का गठन करने के सवाल का बड़े पैमाने पर अध्ययन किया गया है।क्वांटम यांत्रिकी की नई व्याख्याओं को तैयार किया गया है जो तरंग फ़ंक्शन पतन की अवधारणा के साथ दूर करते हैं (देखें, उदाहरण के लिए, कई दुनिया की व्याख्या)।मूल विचार यह है कि जब एक क्वांटम सिस्टम एक मापने वाले तंत्र के साथ बातचीत करता है, तो उनके संबंधित तरंग कार्य उलझ जाते हैं ताकि मूल क्वांटम सिस्टम एक स्वतंत्र इकाई के रूप में मौजूद हो।विवरण के लिए, क्वांटम यांत्रिकी में माप पर लेख देखें। एक क्वांटम राज्य का समय विकास Schrödinger समीकरण द्वारा वर्णित है:
 * $$i\hbar {\frac {d}{dt}} \psi (t) =H \psi (t). $$

यहां $$H$$ हैमिल्टन को दर्शाता है, सिस्टम की कुल ऊर्जा के अनुरूप अवलोकन, और $$\hbar$$ कम प्लैंक स्थिरांक है।अटल $$i\hbar$$ पेश किया जाता है ताकि हैमिल्टनियन को उन मामलों में शास्त्रीय हैमिल्टनियन में कम कर दिया जाता है जहां क्वांटम सिस्टम को एक शास्त्रीय प्रणाली द्वारा अनुमानित किया जा सकता है;कुछ सीमाओं में इस तरह के सन्निकटन को बनाने की क्षमता को पत्राचार सिद्धांत कहा जाता है।

इस अंतर समीकरण का समाधान द्वारा दिया गया है
 * $$ \psi(t) = e^{-iHt/\hbar }\psi(0). $$

परिचालक $$U(t) = e^{-iHt/\hbar } $$ समय-विकास ऑपरेटर के रूप में जाना जाता है, और इसमें महत्वपूर्ण संपत्ति है कि यह एकात्मक है।इस बार विकास इस अर्थ में नियतात्मक है कि & nbsp; - एक प्रारंभिक क्वांटम राज्य दिया गया है $$\psi(0)$$ & nbsp; - यह क्वांटम राज्य की एक निश्चित भविष्यवाणी करता है $$\psi(t)$$ किसी भी समय बाद में होगा।

कुछ तरंग फ़ंक्शंस संभावना वितरण का उत्पादन करते हैं जो समय से स्वतंत्र होते हैं, जैसे कि eigenstate#Schrödinger समीकरण | हैमिल्टनियन के eigenstates।शास्त्रीय यांत्रिकी में गतिशील रूप से इलाज किए जाने वाले कई प्रणालियों को ऐसे स्थैतिक तरंग कार्यों द्वारा वर्णित किया जाता है।उदाहरण के लिए, एक अस्पष्टीकृत परमाणु में एक एकल इलेक्ट्रॉन को परमाणु नाभिक के चारों ओर एक गोलाकार प्रक्षेपवक्र में एक कण के रूप में शास्त्रीय रूप से चित्रित किया जाता है, जबकि क्वांटम यांत्रिकी में, यह नाभिक के आसपास एक स्थिर तरंग फ़ंक्शन द्वारा वर्णित किया गया है।उदाहरण के लिए, एक अस्पष्टीकृत हाइड्रोजन परमाणु के लिए इलेक्ट्रॉन तरंग फ़ंक्शन एक गोलाकार सममित कार्य है जिसे एस ऑर्बिटल के रूप में जाना जाता है ([[:File:Atomic-orbital-clouds spd m0.png|चित्र एक)।

श्रोडिंगर समीकरण के विश्लेषणात्मक समाधानों को विश्लेषणात्मक समाधानों के साथ क्वांटम-मैकेनिकल सिस्टम की सूची के लिए जाना जाता है। क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर, एक बॉक्स में कण, डायहाइड्रोजन केशन और हाइड्रोजन परमाणु सहित बहुत कम अपेक्षाकृत सरल मॉडल हैमिल्टनियन। यहां तक ​​कि हीलियम एटम & nbsp; - जिसमें सिर्फ दो इलेक्ट्रॉनों & nbsp; - ने पूरी तरह से विश्लेषणात्मक उपचार में सभी प्रयासों को परिभाषित किया है।

हालांकि, अनुमानित समाधान खोजने के लिए तकनीकें हैं। एक विधि, जिसे गड़बड़ी सिद्धांत कहा जाता है, एक साधारण क्वांटम मैकेनिकल मॉडल के लिए विश्लेषणात्मक परिणाम का उपयोग करता है, जो एक संबंधित लेकिन अधिक जटिल मॉडल (उदाहरण के लिए) एक कमजोर संभावित ऊर्जा के अतिरिक्त के लिए एक परिणाम बनाने के लिए बनाता है। एक अन्य विधि को गति का अर्ध-शास्त्रीय समीकरण कहा जाता है, जो उन प्रणालियों पर लागू होता है जिनके लिए क्वांटम यांत्रिकी शास्त्रीय व्यवहार से केवल छोटे विचलन का उत्पादन करता है। इन विचलन को तब शास्त्रीय गति के आधार पर गणना की जा सकती है। यह दृष्टिकोण क्वांटम अराजकता के क्षेत्र में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है।

अनिश्चितता सिद्धांत
मूल क्वांटम औपचारिकता का एक परिणाम अनिश्चितता सिद्धांत है।अपने सबसे परिचित रूप में, यह बताता है कि क्वांटम कण की कोई भी तैयारी एक साथ सटीक भविष्यवाणियां नहीं कर सकती है, जो इसकी स्थिति के माप के लिए और इसकी गति के माप के लिए दोनों की सटीक भविष्यवाणियां कर सकती है। स्थिति और गति दोनों वेधशालाएं हैं, जिसका अर्थ है कि वे हर्मिटियन ऑपरेटरों द्वारा प्रतिनिधित्व करते हैं।स्थिति ऑपरेटर $$\hat{X}$$ और गति संचालक $$\hat{P}$$ कम्यूट न करें, बल्कि कैनोनिकल कम्यूटेशन रिलेशन को संतुष्ट करें:
 * $$[\hat{X}, \hat{P}] = i\hbar.$$

एक क्वांटम राज्य को देखते हुए, जन्म का नियम हमें दोनों के लिए अपेक्षा मूल्यों की गणना करने देता है $$X$$ तथा $$P$$, और उनमें से शक्तियों के लिए।परिभाषित एक मानक विचलन द्वारा एक अवलोकन के लिए अनिश्चितता, हमारे पास है
 * $$\sigma_X=\sqrt{\langle {X}^2 \rangle-\langle {X}\rangle^2},$$

और इसी तरह गति के लिए:
 * $$\sigma_P=\sqrt{\langle {P}^2 \rangle-\langle {P}\rangle^2}.$$

अनिश्चितता सिद्धांत बताता है कि
 * $$\sigma_X \sigma_P \geq \frac{\hbar}{2}.$$

या तो मानक विचलन सिद्धांत रूप में मनमाने ढंग से छोटा बनाया जा सकता है, लेकिन दोनों एक साथ नहीं। यह असमानता स्व-एडजॉइंट ऑपरेटरों की मनमानी जोड़े को सामान्य करती है $$A$$ तथा $$B$$।इन दोनों ऑपरेटरों का कम्यूटेटर है
 * $$[A,B]=AB-BA,$$

और यह मानक विचलन के उत्पाद पर निचली सीमा प्रदान करता है:
 * $$\sigma_A \sigma_B \geq \frac{1}{2}\left|\langle[A,B]\rangle \right|.$$

कैनोनिकल कम्यूटेशन रिलेशन का एक और परिणाम यह है कि स्थिति और गति ऑपरेटर एक -दूसरे के फूरियर रूपांतरण होते हैं, ताकि इसकी गति के अनुसार किसी वस्तु का विवरण इसकी स्थिति के अनुसार इसके विवरण का फूरियर रूपांतरण है।तथ्य यह है कि गति में निर्भरता स्थिति में निर्भरता का फूरियर रूपांतरण है, इसका मतलब है कि गति ऑपरेटर समतुल्य है (एक तक $$i/\hbar$$ कारक) स्थिति के अनुसार व्युत्पन्न लेने के लिए, क्योंकि फूरियर विश्लेषण में भेदभाव दोहरे स्थान में गुणा से मेल खाता है।यही कारण है कि स्थिति अंतरिक्ष में क्वांटम समीकरणों में, गति $$ p_i$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$-i \hbar \frac {\partial}{\partial x}$$, और विशेष रूप से श्रोडिंगर समीकरण में#समीकरण में | नॉन-रिलेटिविस्टिक श्रोडिंगर समीकरण इन पोजीशन स्पेस $$-\hbar^2$$.

समग्र प्रणाली और उलझाव
जब दो अलग -अलग क्वांटम सिस्टम को एक साथ माना जाता है, तो संयुक्त प्रणाली का हिल्बर्ट स्पेस दो घटकों के हिल्बर्ट रिक्त स्थान का टेंसर उत्पाद है।उदाहरण के लिए, चलो $A$ तथा $B$ हिल्बर्ट रिक्त स्थान के साथ दो क्वांटम सिस्टम हो, $$ \mathcal H_A $$ तथा $$ \mathcal H_B $$, क्रमश।समग्र प्रणाली का हिल्बर्ट स्पेस तब है
 * $$ \mathcal H_{AB} = \mathcal H_A \otimes \mathcal H_B.$$

यदि पहली प्रणाली के लिए राज्य वेक्टर है $$\psi_A$$ और दूसरी प्रणाली के लिए राज्य है $$\psi_B$$, फिर समग्र प्रणाली की स्थिति है
 * $$\psi_A \otimes \psi_B.$$

संयुक्त हिल्बर्ट अंतरिक्ष में सभी राज्य नहीं $$\mathcal H_{AB}$$ हालांकि, इस रूप में लिखा जा सकता है, क्योंकि सुपरपोजिशन सिद्धांत का अर्थ है कि इन अलग -अलग या उत्पाद राज्यों के रैखिक संयोजन भी मान्य हैं।उदाहरण के लिए, यदि $$\psi_A$$ तथा $$\phi_A$$ सिस्टम के लिए दोनों संभावित राज्य हैं $$A$$, और इसी तरह $$\psi_B$$ तथा $$\phi_B$$ सिस्टम के लिए दोनों संभावित राज्य हैं $$B$$, फिर
 * $$\tfrac{1}{\sqrt{2}} \left ( \psi_A \otimes \psi_B + \phi_A \otimes \phi_B \right )$$

एक वैध संयुक्त स्थिति है जो अलग नहीं है।जो राज्य अलग -अलग नहीं हैं, उन्हें उलझा दिया जाता है।

यदि एक समग्र प्रणाली के लिए राज्य उलझा हुआ है, तो घटक प्रणाली का वर्णन करना असंभव है $A$ या प्रणाली $B$ एक राज्य वेक्टर द्वारा।इसके बजाय कम घनत्व वाले मैट्रिसेस को परिभाषित किया जा सकता है जो उन आंकड़ों का वर्णन करते हैं जो अकेले घटक प्रणाली पर माप करके प्राप्त किए जा सकते हैं।यह आवश्यक रूप से जानकारी का नुकसान का कारण बनता है, हालांकि: व्यक्तिगत प्रणालियों के कम घनत्व मैट्रिसेस को जानना समग्र प्रणाली की स्थिति को फिर से बनाने के लिए पर्याप्त नहीं है। जिस तरह घनत्व मैट्रिसेस एक बड़ी प्रणाली के एक सबसिस्टम की स्थिति को निर्दिष्ट करते हैं, अनुरूप रूप से, सकारात्मक ऑपरेटर-मूल्यवान उपाय (POVMs) एक बड़ी प्रणाली पर किए गए माप के एक सबसिस्टम पर प्रभाव का वर्णन करते हैं।POVMs क्वांटम सूचना सिद्धांत में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं। जैसा कि ऊपर वर्णित है, उलझाव माप प्रक्रियाओं के मॉडल की एक प्रमुख विशेषता है जिसमें एक तंत्र मापा जा रहा सिस्टम के साथ उलझ जाता है।सिस्टम उस वातावरण के साथ बातचीत करता है जिसमें वे रहते हैं, आम तौर पर उस वातावरण से उलझ जाते हैं, एक घटना जिसे क्वांटम डिकेरेंस के रूप में जाना जाता है।यह समझा सकता है कि क्यों, व्यवहार में, क्वांटम प्रभाव सूक्ष्म से बड़े सिस्टम में निरीक्षण करना मुश्किल है।

योगों के बीच तुल्यता
क्वांटम यांत्रिकी के कई गणितीय रूप से समतुल्य योग हैं।सबसे पुराने और सबसे आम में से एक पॉल डिराक द्वारा प्रस्तावित परिवर्तन सिद्धांत है, जो क्वांटम यांत्रिकी और एनबीएसपी के दो शुरुआती योगों को एकजुट और सामान्य करता है; - मैट्रिक्स मैकेनिक्स (वर्नर हाइजेनबर्ग द्वारा आविष्कार किया गया) और श्रोडिंगर समीकरण | वेव मैकेनिक्स (इरविन स्क्रोडिंगर द्वारा आविष्कार)। क्वांटम यांत्रिकी का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण फेनमैन का पथ अभिन्न सूत्रीकरण है, जिसमें प्रारंभिक और अंतिम राज्यों के बीच सभी संभावित शास्त्रीय और गैर-शास्त्रीय पथों पर एक क्वांटम-मैकेनिकल आयाम को एक योग माना जाता है।यह शास्त्रीय यांत्रिकी में एक्शन सिद्धांत का क्वांटम-मैकेनिकल समकक्ष है।

समरूपता और संरक्षण कानून
हैमिल्टनियन $$H$$ समय विकास के जनरेटर के रूप में जाना जाता है, क्योंकि यह एक एकात्मक समय-विकास ऑपरेटर को परिभाषित करता है $$U(t) = e^{-iHt/\hbar}$$ के प्रत्येक मूल्य के लिए $$t$$।के बीच इस संबंध से $$U(t)$$ तथा $$H$$, यह इस प्रकार है कि कोई भी अवलोकनीय है $$A$$ इसके साथ आता है $$H$$ संरक्षित किया जाएगा: समय के साथ इसकी अपेक्षा मूल्य नहीं बदलेगा।यह कथन गणितीय रूप से, किसी भी हर्मिटियन ऑपरेटर के रूप में सामान्य करता है $$A$$ एक चर द्वारा पैरामीटर किए गए एकात्मक ऑपरेटरों के परिवार को उत्पन्न कर सकते हैं $$t$$।द्वारा उत्पन्न विकास के तहत $$A$$, कोई भी अवलोकनीय $$B$$ इसके साथ आता है $$A$$ संरक्षित किया जाएगा।इसके अलावा, अगर $$B$$ के तहत विकास द्वारा संरक्षित है $$A$$, फिर $$A$$ द्वारा उत्पन्न विकास के तहत संरक्षित है $$B$$।इसका मतलब है कि एमी नूथर द्वारा शास्त्रीय (लैग्रैन्जियन) मैकेनिक्स में सिद्ध परिणाम का एक क्वांटम संस्करण: हैमिल्टनियन के प्रत्येक अलग -अलग समरूपता के लिए, एक समान संरक्षण कानून मौजूद है।

मुक्त कण
स्वतंत्रता की स्थिति की डिग्री के साथ क्वांटम सिस्टम का सबसे सरल उदाहरण एकल स्थानिक आयाम में एक मुक्त कण है।एक मुक्त कण वह है जो बाहरी प्रभावों के अधीन नहीं है, ताकि इसके हैमिल्टन में केवल इसकी गतिज ऊर्जा होती है:
 * $$H = \frac{1}{2m}P^2 = - \frac {\hbar ^2}{2m} \frac {d ^2}{dx^2}. $$

श्रोडिंगर समीकरण का सामान्य समाधान द्वारा दिया गया है
 * $$\psi (x,t)=\frac {1}{\sqrt {2\pi }}\int _{-\infty}^\infty{\hat {\psi }}(k,0)e^{i(kx -\frac{\hbar k^2}{2m} t)}\mathrm{d}k,$$

जो सभी संभावित विमान तरंगों का एक सुपरपोजिशन है $$e^{i(kx -\frac{\hbar k^2}{2m} t)}$$, जो गति के साथ गति ऑपरेटर के eigenstates हैं $$p = \hbar k $$।सुपरपोजिशन के गुणांक हैं $$ \hat {\psi }(k,0) $$, जो प्रारंभिक क्वांटम राज्य का फूरियर रूपांतरण है $$\psi(x,0)$$।

समाधान के लिए एक एकल गति eigenstate, या एक एकल स्थिति eigenstate होना संभव नहीं है, क्योंकि ये सामान्य रूप से क्वांटम राज्य नहीं हैं। इसके बजाय, हम एक गौसियन वेव पैकेट पर विचार कर सकते हैं:
 * $$\psi(x,0) = \frac{1}{\sqrt[4]{\pi a}}e^{-\frac{x^2}{2a}} $$

जिसमें फूरियर रूपांतरण है, और इसलिए गति वितरण है
 * $$\hat \psi(k,0) = \sqrt[4]{\frac{a}{\pi}}e^{-\frac{a k^2}{2}}. $$

हम देखते हैं कि हम बनाते हैं $$a$$ स्थिति में छोटा फैलना छोटा हो जाता है, लेकिन गति में फैलना बड़ा हो जाता है।इसके विपरीत, बनाकर $$a$$ बड़ा हम गति में प्रसार को छोटा कर देते हैं, लेकिन स्थिति में प्रसार बड़ा हो जाता है।यह अनिश्चितता सिद्धांत को दिखाता है।

जैसा कि हम गॉसियन वेव पैकेट को समय में विकसित होने देते हैं, हम देखते हैं कि इसका केंद्र एक निरंतर वेग पर अंतरिक्ष के माध्यम से चलता है (जैसे कि उस पर अभिनय करने वाली कोई बलों के साथ एक शास्त्रीय कण)।हालांकि, समय बढ़ने के साथ वेव पैकेट भी फैल जाएगा, जिसका अर्थ है कि स्थिति अधिक से अधिक अनिश्चित हो जाती है।गति में अनिश्चितता, हालांकि, स्थिर रहती है।

एक बॉक्स में कण


एक-आयामी संभावित ऊर्जा बॉक्स में कण सबसे अधिक गणितीय रूप से सरल उदाहरण है जहां संयम ऊर्जा स्तरों की मात्रा का कारण बनता है।बॉक्स को एक निश्चित क्षेत्र के अंदर हर जगह शून्य संभावित ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है, और इसलिए उस क्षेत्र के बाहर हर जगह अनंत संभावित ऊर्जा। में एक आयामी मामले के लिए $$x$$ दिशा, समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण लिखा जा सकता है


 * $$ - \frac {\hbar ^2}{2m} \frac {d ^2 \psi}{dx^2} = E \psi.$$

द्वारा परिभाषित अंतर ऑपरेटर के साथ


 * $$ \hat{p}_x = -i\hbar\frac{d}{dx} $$

पिछला समीकरण क्लासिक गतिज ऊर्जा एनालॉग का उद्घोषक है,


 * $$ \frac{1}{2m} \hat{p}_x^2 = E,$$

राज्य के साथ $$\psi$$ इस मामले में ऊर्जा है $$E$$ कण की गतिज ऊर्जा के साथ संयोग।

एक बॉक्स में कण के लिए श्रोडिंगर समीकरण के सामान्य समाधान हैं


 * $$ \psi(x) = A e^{ikx} + B e ^{-ikx} \qquad\qquad E = \frac{\hbar^2 k^2}{2m}$$

या, यूलर के सूत्र से,


 * $$ \psi(x) = C \sin(kx) + D \cos(kx).\!$$

बॉक्स की अनंत संभावित दीवारें के मूल्यों को निर्धारित करती हैं $$C, D, $$ तथा $$k$$ पर $$x=0$$ तथा $$x=L$$ कहाँ पे $$\psi$$ शून्य होना चाहिए।इस प्रकार, पर $$x=0$$,


 * $$\psi(0) = 0 = C\sin(0) + D\cos(0) = D$$

तथा $$D=0$$।पर $$x=L$$,


 * $$ \psi(L) = 0 = C\sin(kL),$$

जिसमें $$C$$ शून्य नहीं हो सकता क्योंकि यह उस पोस्ट के साथ संघर्ष करेगा $$\psi$$ मानदंड 1. इसलिए, इसलिए, $$\sin(kL)=0$$, $$kL$$ एक पूर्णांक कई होना चाहिए $$\pi$$,


 * $$k = \frac{n\pi}{L}\qquad\qquad n=1,2,3,\ldots.$$

इस बाधा पर $$k$$ ऊर्जा के स्तर पर एक बाधा, उपज का तात्पर्य है

$$E_n = \frac{\hbar^2 \pi^2 n^2}{2mL^2} = \frac{n^2h^2}{8mL^2}.$$ एक परिमित क्षमता अच्छी तरह से परिमित गहराई वाले संभावित कुओं के लिए अनंत संभावित अच्छी समस्या का सामान्यीकरण है।परिमित क्षमता अच्छी तरह से समस्या गणितीय रूप से अनंत कण-इन-द-बॉक्स समस्या की तुलना में अधिक जटिल है क्योंकि वेव फ़ंक्शन को कुएं की दीवारों पर शून्य पर पिन नहीं किया जाता है।इसके बजाय, वेव फ़ंक्शन को अधिक जटिल गणितीय सीमा स्थितियों को पूरा करना चाहिए क्योंकि यह कुएं के बाहर के क्षेत्रों में नॉनज़ेरो है।एक अन्य संबंधित समस्या आयताकार संभावित बाधा है, जो क्वांटम टनलिंग प्रभाव के लिए एक मॉडल प्रस्तुत करती है जो फ्लैश मेमोरी और स्कैनिंग टनलिंग माइक्रोस्कोपी जैसी आधुनिक प्रौद्योगिकियों के प्रदर्शन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है।

हार्मोनिक ऑसिलेटर
जैसा कि शास्त्रीय मामले में, क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए क्षमता दी गई है


 * $$V(x)=\frac{1}{2}m\omega^2x^2.$$

इस समस्या का इलाज या तो श्रोडिंगर समीकरण को सीधे हल करके किया जा सकता है, जो तुच्छ नहीं है, या पॉल डीरेक द्वारा प्रस्तावित अधिक सुरुचिपूर्ण सीढ़ी विधि का उपयोग करके।Eigenstates द्वारा दिए गए हैं


 * $$ \psi_n(x) = \sqrt{\frac{1}{2^n\, n!}} \cdot \left(\frac{m\omega}{\pi \hbar}\right)^{1/4} \cdot e^{

- \frac{m\omega x^2}{2 \hbar}} \cdot H_n\left(\sqrt{\frac{m\omega}{\hbar}} x \right), \qquad $$
 * $$n = 0,1,2,\ldots. $$

जहां एचnहरमाइट बहुपद हैं


 * $$H_n(x)=(-1)^n e^{x^2}\frac{d^n}{dx^n}\left(e^{-x^2}\right),$$

और इसी ऊर्जा स्तर हैं
 * $$ E_n = \hbar \omega \left(n + {1\over 2}\right).$$

यह एक और उदाहरण है जो बाध्य राज्यों के लिए ऊर्जा के विवेक को दर्शाता है।

मच -ज़ेन्डर इंटरफेरोमीटर
मच -ज़ेन्डर इंटरफेरोमीटर (MZI) अंतर समीकरणों के बजाय आयाम 2 में रैखिक बीजगणित के साथ सुपरपोज़िशन और हस्तक्षेप की अवधारणाओं को दिखाता है।इसे डबल-स्लिट प्रयोग के एक सरलीकृत संस्करण के रूप में देखा जा सकता है, लेकिन यह अपने आप में रुचि है, उदाहरण के लिए विलंबित विकल्प क्वांटम इरेज़र, एलिट्ज़ुर-वैडमैन बम परीक्षक और क्वांटम उलझाव के अध्ययन में। हम एक फोटॉन को इंटरफेरोमीटर से गुजरने के लिए मॉडल कर सकते हैं, यह देखते हुए कि प्रत्येक बिंदु पर यह केवल दो रास्तों के सुपरपोजिशन में हो सकता है: निचला रास्ता जो बाईं ओर से शुरू होता है, दोनों बीम स्प्लिटर्स के माध्यम से सीधे चला जाता है, और शीर्ष पर समाप्त होता है, और समाप्त होता है, औरऊपरी पथ जो नीचे से शुरू होता है, दोनों बीम स्प्लिटर्स के माध्यम से सीधे चला जाता है, और दाईं ओर समाप्त होता है।फोटॉन की क्वांटम राज्य इसलिए एक वेक्टर है $$\psi \in \mathbb{C}^2$$ यह निचले रास्ते का एक सुपरपोजिशन है $$\psi_l = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix}$$ और ऊपरी पथ $$\psi_u = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$, वह है, $$\psi = \alpha \psi_l + \beta \psi_u$$ जटिल $$\alpha,\beta$$।इसके लिए पोस्ट का सम्मान करने के लिए $$\langle \psi,\psi\rangle = 1$$ हमें इसकी आवश्यकता है $$|\alpha|^2+|\beta|^2 = 1$$।

दोनों बीम स्प्लिटर्स को एकात्मक मैट्रिक्स के रूप में तैयार किया गया है $$B = \frac1{\sqrt2}\begin{pmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{pmatrix}$$, जिसका अर्थ है कि जब एक फोटॉन बीम स्प्लिटर से मिलता है तो यह या तो एक ही रास्ते पर एक संभावना आयाम के साथ रहेगा $$1/\sqrt{2}$$, या की संभावना आयाम के साथ दूसरे पथ पर परिलक्षित किया जाता है $$i/\sqrt{2}$$।ऊपरी बांह पर चरण शिफ्टर को एकात्मक मैट्रिक्स के रूप में तैयार किया गया है $$P = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & e^{i\Delta\Phi} \end{pmatrix}$$, जिसका अर्थ है कि अगर फोटॉन ऊपरी रास्ते पर है तो यह एक सापेक्ष चरण प्राप्त करेगा $$\Delta\Phi$$, और अगर यह निचले रास्ते में है तो यह अपरिवर्तित रहेगा।

एक फोटॉन जो बाईं ओर से इंटरफेरोमीटर में प्रवेश करता है, फिर एक बीम स्प्लिटर के साथ कार्रवाई की जाएगी $$B$$, एक चरण शिफ्टर $$P$$, और एक और बीम स्प्लिटर $$B$$, और इसलिए राज्य में समाप्त हो गया
 * $$BPB\psi_l = ie^{i\Delta\Phi/2} \begin{pmatrix} -\sin(\Delta\Phi/2) \\ \cos(\Delta\Phi/2) \end{pmatrix},$$

और यह संभावनाएं कि यह दाईं ओर या शीर्ष पर पाया जाएगा
 * $$ p(u) = |\langle \psi_u, BPB\psi_l \rangle|^2 = \cos^2 \frac{\Delta \Phi}{2},$$
 * $$ p(l) = |\langle \psi_l, BPB\psi_l \rangle|^2 = \sin^2 \frac{\Delta \Phi}{2}.$$

इसलिए इन संभावनाओं का अनुमान लगाकर चरण बदलाव का अनुमान लगाने के लिए मच -ज़ेन्डर इंटरफेरोमीटर का उपयोग कर सकते हैं।

यह विचार करना दिलचस्प है कि क्या होगा यदि फोटॉन निश्चित रूप से बीम स्प्लिटर्स के बीच निचले या ऊपरी रास्तों में थे।यह एक पथ को अवरुद्ध करके, या समकक्ष रूप से पहले बीम स्प्लिटर को हटाकर (और वांछित या नीचे से फोटॉन को खिलाकर, वांछित के रूप में) को पूरा करके पूरा किया जा सकता है।दोनों ही मामलों में पथों के बीच कोई हस्तक्षेप नहीं होगा, और संभावनाएं दी जाती हैं $$p(u)=p(l) = 1/2$$, स्वतंत्र रूप से चरण के $$\Delta\Phi$$।इससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि फोटॉन पहले बीम स्प्लिटर के बाद एक रास्ता या दूसरा नहीं लेता है, बल्कि यह कि यह दो रास्तों के वास्तविक क्वांटम सुपरपोजिशन में है।

अनुप्रयोग
क्वांटम यांत्रिकी को हमारे ब्रह्मांड की कई विशेषताओं को समझाने में बहुत सफलता मिली है, छोटे पैमाने पर और असतत मात्रा और बातचीत के संबंध में, जिन्हें शास्त्रीय तरीकों से नहीं समझाया जा सकता है। क्वांटम यांत्रिकी अक्सर एकमात्र सिद्धांत है जो उप -परमाणु कणों के व्यक्तिगत व्यवहार को प्रकट कर सकता है जो सभी प्रकार के पदार्थ (इलेक्ट्रॉनों, प्रोटॉन, न्यूट्रॉन, फोटॉन और अन्य) को बनाते हैं।ठोस-राज्य भौतिकी और सामग्री विज्ञान क्वांटम यांत्रिकी पर निर्भर हैं। कई पहलुओं में आधुनिक तकनीक एक पैमाने पर संचालित होती है जहां क्वांटम प्रभाव महत्वपूर्ण होते हैं।क्वांटम थ्योरी के महत्वपूर्ण अनुप्रयोगों में क्वांटम रसायन विज्ञान, क्वांटम ऑप्टिक्स, क्वांटम कंप्यूटिंग, सुपरकंडक्टिंग मैग्नेट, लाइट-एमिटिंग डायोड, ऑप्टिकल एम्पलीफायर और लेजर, ट्रांजिस्टर और सेमीकंडक्टर्स जैसे कि माइक्रोप्रोसेसर, मेडिकल और रिसर्च इमेजिंग जैसे चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग और इलेक्ट्रॉन शामिल हैं।माइक्रोस्कोपी। कई जैविक और भौतिक घटनाओं के लिए स्पष्टीकरण रासायनिक बंधन की प्रकृति में निहित हैं, विशेष रूप से मैक्रो-अणु डीएनए।

शास्त्रीय यांत्रिकी
क्वांटम यांत्रिकी के नियम यह कहते हैं कि एक प्रणाली का राज्य स्थान एक हिल्बर्ट स्पेस है और यह कि सिस्टम के वेधशालाएं उस स्थान और nbsp में वैक्टर पर अभिनय करने वाले हर्मिटियन ऑपरेटर हैं, हालांकि वे हमें यह नहीं बताते हैं कि कौन से हिल्बर्ट स्पेस या कौन से ऑपरेटर हैं।इन्हें एक क्वांटम सिस्टम का मात्रात्मक विवरण प्राप्त करने के लिए उचित रूप से चुना जा सकता है, भौतिक भविष्यवाणियों को बनाने में एक आवश्यक कदम।इन विकल्पों को बनाने के लिए एक महत्वपूर्ण मार्गदर्शिका पत्राचार सिद्धांत है, एक अनुमानी जो बताती है कि क्वांटम यांत्रिकी की भविष्यवाणियां बड़े क्वांटम संख्याओं के शासन में शास्त्रीय यांत्रिकी के लोगों को कम करती हैं। एक भी एक विशेष प्रणाली के एक स्थापित शास्त्रीय मॉडल से शुरू हो सकता है, और फिर अंतर्निहित क्वांटम मॉडल का अनुमान लगाने की कोशिश कर सकता है जो पत्राचार सीमा में शास्त्रीय मॉडल को जन्म देगा। इस दृष्टिकोण को परिमाणीकरण के रूप में जाना जाता है।

जब क्वांटम यांत्रिकी मूल रूप से तैयार की गई थी, तो इसे उन मॉडलों पर लागू किया गया था जिनकी पत्राचार सीमा गैर-सापेक्षतावादी शास्त्रीय यांत्रिकी थी। उदाहरण के लिए, क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर का प्रसिद्ध मॉडल ऑसिलेटर की गतिज ऊर्जा के लिए एक स्पष्ट रूप से गैर-सापेक्षतावादी अभिव्यक्ति का उपयोग करता है, और इस प्रकार शास्त्रीय हार्मोनिक ऑसिलेटर का एक क्वांटम संस्करण है।

अराजक प्रणालियों के साथ जटिलताएं उत्पन्न होती हैं, जिनमें अच्छी क्वांटम संख्या नहीं होती है, और क्वांटम अराजकता इन प्रणालियों में शास्त्रीय और क्वांटम विवरणों के बीच संबंध का अध्ययन करती है।

क्वांटम डिकॉरेंस एक ऐसा तंत्र है जिसके माध्यम से क्वांटम सिस्टम सुसंगतता खो देते हैं, और इस प्रकार कई आमतौर पर क्वांटम प्रभाव प्रदर्शित करने में असमर्थ हो जाते हैं: क्वांटम सुपरपोजिशन केवल संभाव्य मिश्रण बन जाते हैं, और क्वांटम उलझाव केवल शास्त्रीय सहसंबंध बन जाता है। क्वांटम सुसंगतता आमतौर पर मैक्रोस्कोपिक पैमानों पर स्पष्ट नहीं होती है, शायद तापमान पर पूर्ण शून्य पर पहुंचने के अलावा, जिस पर क्वांटम व्यवहार मैक्रोस्कोपिक रूप से प्रकट हो सकता है। एक शास्त्रीय प्रणाली के कई मैक्रोस्कोपिक गुण इसके भागों के क्वांटम व्यवहार का प्रत्यक्ष परिणाम हैं।उदाहरण के लिए, थोक पदार्थ की स्थिरता (परमाणुओं और अणुओं से मिलकर जो जल्दी से अकेले बिजली बलों के तहत ढह जाएगी), ठोस पदार्थों की कठोरता, और पदार्थ के यांत्रिक, थर्मल, रासायनिक, ऑप्टिकल और चुंबकीय गुण सभी परिणाम हैं जो बातचीत के सभी परिणाम हैं।क्वांटम यांत्रिकी के नियमों के तहत विद्युत शुल्क।

विशेष सापेक्षता और इलेक्ट्रोडायनामिक्स
विशेष सापेक्षता के साथ क्वांटम यांत्रिकी को विलय करने के शुरुआती प्रयासों में क्लेन -गॉर्डन समीकरण या डीआईआरएसी समीकरण जैसे कोवर्टेंट समीकरण के साथ श्रोडिंगर समीकरण के प्रतिस्थापन को शामिल किया गया था।जबकि ये सिद्धांत कई प्रयोगात्मक परिणामों को समझाने में सफल रहे, उनके पास कुछ असंतोषजनक गुण थे जो सापेक्ष निर्माण और कणों के विनाश की उपेक्षा से उपजी थे।एक पूरी तरह से सापेक्षतावादी क्वांटम सिद्धांत को क्वांटम फील्ड सिद्धांत के विकास की आवश्यकता होती है, जो एक क्षेत्र (कणों के एक निश्चित सेट के बजाय) के लिए परिमाणीकरण को लागू करता है।पहला पूर्ण क्वांटम फील्ड थ्योरी, क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स, इलेक्ट्रोमैग्नेटिक इंटरैक्शन का पूरी तरह से क्वांटम विवरण प्रदान करता है।क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स, सामान्य सापेक्षता के साथ, अब तक के सबसे सटीक भौतिक सिद्धांतों में से एक है। क्वांटम फील्ड थ्योरी का पूर्ण तंत्र अक्सर इलेक्ट्रोडायनामिक सिस्टम का वर्णन करने के लिए अनावश्यक होता है।एक सरल दृष्टिकोण, जो कि क्वांटम यांत्रिकी की स्थापना के बाद से उपयोग किया गया है, चार्ज कणों का इलाज करने के लिए क्वांटम यांत्रिक वस्तुओं के रूप में एक शास्त्रीय विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र द्वारा कार्य किया जा रहा है।उदाहरण के लिए, हाइड्रोजन परमाणु का प्राथमिक क्वांटम मॉडल एक शास्त्रीय का उपयोग करके हाइड्रोजन परमाणु के विद्युत क्षेत्र का वर्णन करता है $$\textstyle -e^2/(4 \pi\epsilon_{_0}r)$$ कूलम्ब क्षमता।यह अर्ध-शास्त्रीय दृष्टिकोण विफल हो जाता है यदि विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में क्वांटम में उतार-चढ़ाव एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, जैसे कि चार्ज किए गए कणों द्वारा फोटॉनों के उत्सर्जन में।

मजबूत परमाणु बल और कमजोर परमाणु बल के लिए क्वांटम क्षेत्र के सिद्धांत भी विकसित किए गए हैं।मजबूत परमाणु बल के क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स कहा जाता है, और क्वार्क और ग्लून्स जैसे सबन्यूक्लियर कणों की बातचीत का वर्णन करता है।कमजोर परमाणु बल और विद्युत चुम्बकीय बल को उनके परिमाणित रूपों में, एक एकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत (इलेक्ट्रोकेक थ्योरी के रूप में जाना जाता है) में, भौतिकविदों के अब्दुस सलाम, शेल्डन ग्लैशो और स्टीवन वेनबर्ग द्वारा एकीकृत किया गया था।

सामान्य सापेक्षता से संबंध
भले ही क्वांटम थ्योरी और सामान्य सापेक्षता दोनों की भविष्यवाणियों को कठोर और बार -बार अनुभवजन्य साक्ष्य द्वारा समर्थित किया गया है, उनके अमूर्त औपचारिकता एक -दूसरे के विपरीत हैं और वे एक सुसंगत, सामंजस्यपूर्ण मॉडल में शामिल करने के लिए बेहद मुश्किल साबित हुए हैं। कण भौतिकी के कई क्षेत्रों में गुरुत्वाकर्षण नगण्य है, ताकि सामान्य सापेक्षता और क्वांटम यांत्रिकी के बीच एकीकरण उन विशेष अनुप्रयोगों में एक जरूरी मुद्दा नहीं है। हालांकि, क्वांटम गुरुत्वाकर्षण के एक सही सिद्धांत की कमी भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान में एक महत्वपूर्ण मुद्दा है और भौतिकविदों द्वारा हर चीज (पैर की अंगुली) के एक सुरुचिपूर्ण सिद्धांत के लिए खोज। नतीजतन, दोनों सिद्धांतों के बीच विसंगतियों को हल करना 20 वीं और 21 वीं सदी के भौतिकी का एक प्रमुख लक्ष्य रहा है। यह पैर की अंगुली न केवल उप -परमाणु भौतिकी के मॉडल को जोड़ती है, बल्कि एक ही बल या घटना से प्रकृति के चार मूलभूत बलों को भी प्राप्त करती है।

ऐसा करने के लिए एक प्रस्ताव स्ट्रिंग थ्योरी है, जो यह बताता है कि कण भौतिकी के बिंदु-जैसे कणों को एक-आयामी वस्तुओं द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जिसे स्ट्रिंग्स कहा जाता है। स्ट्रिंग सिद्धांत बताता है कि ये तार अंतरिक्ष के माध्यम से कैसे प्रचार करते हैं और एक दूसरे के साथ बातचीत करते हैं। स्ट्रिंग स्केल की तुलना में दूरी के तराजू पर, एक स्ट्रिंग एक साधारण कण की तरह दिखता है, इसके द्रव्यमान, आवेश और स्ट्रिंग के कंपन अवस्था द्वारा निर्धारित अन्य गुणों के साथ। स्ट्रिंग सिद्धांत में, स्ट्रिंग के कई कंपन राज्यों में से एक ग्रेविटॉन से मेल खाती है, एक क्वांटम यांत्रिक कण जो गुरुत्वाकर्षण बल को वहन करता है। एक अन्य लोकप्रिय सिद्धांत लूप क्वांटम गुरुत्व (LQG) है, जो गुरुत्वाकर्षण के क्वांटम गुणों का वर्णन करता है और इस प्रकार क्वांटम स्पेसटाइम का एक सिद्धांत है।LQG मानक क्वांटम यांत्रिकी और मानक सामान्य सापेक्षता को मर्ज और अनुकूलित करने का एक प्रयास है।यह सिद्धांत स्पिन नेटवर्क नामक परिमित छोरों के बुने हुए एक बेहद बढ़िया कपड़े के रूप में अंतरिक्ष का वर्णन करता है।समय के साथ एक स्पिन नेटवर्क के विकास को स्पिन फोम कहा जाता है।एक स्पिन फोम की विशेषता लंबाई पैमाना प्लैंक लंबाई है, लगभग 1.616 × 10−35 m, और इसलिए प्लैंक की लंबाई से कम लंबाई LQG में शारीरिक रूप से सार्थक नहीं है।

दार्शनिक निहितार्थ
अपनी स्थापना के बाद से, क्वांटम यांत्रिकी के कई काउंटर-सहज ज्ञान युक्त पहलुओं और परिणामों ने मजबूत दार्शनिक बहस और कई व्याख्याओं को उकसाया है।क्वांटम यांत्रिकी की संभाव्य प्रकृति, वेवफंक्शन के पतन और संबंधित माप समस्या, और क्वांटम गैर -गैर -मान्यता के साथ तर्क केंद्र।शायद इन मुद्दों के बारे में मौजूद एकमात्र आम सहमति यह है कि कोई सहमति नहीं है।रिचर्ड फेनमैन ने एक बार कहा था, मुझे लगता है कि मैं सुरक्षित रूप से कह सकता हूं कि कोई भी क्वांटम यांत्रिकी को नहीं समझता है। स्टीवन वेनबर्ग के अनुसार, अब मेरी राय में क्वांटम यांत्रिकी की पूरी तरह से संतोषजनक व्याख्या नहीं है। नील्स बोहर, वर्नर हाइजेनबर्ग और अन्य भौतिकविदों के विचारों को अक्सर कोपेनहेगन व्याख्या के रूप में एक साथ समूहीकृत किया जाता है। इन विचारों के अनुसार, क्वांटम यांत्रिकी की संभाव्य प्रकृति एक अस्थायी विशेषता नहीं है जिसे अंततः एक नियतात्मक सिद्धांत द्वारा प्रतिस्थापित किया जाएगा, लेकिन इसके बजाय कार्य -कारण के शास्त्रीय विचार का अंतिम त्याग है।BOHR ने विशेष रूप से इस बात पर जोर दिया कि क्वांटम यांत्रिक औपचारिकता के किसी भी अच्छी तरह से परिभाषित अनुप्रयोग को हमेशा प्रयोगात्मक व्यवस्था का संदर्भ देना चाहिए, विभिन्न प्रयोगात्मक स्थितियों के तहत प्राप्त साक्ष्य की पूरक प्रकृति के कारण।21 वीं सदी में कोपेनहेगन-प्रकार की व्याख्याएं लोकप्रिय हैं।

अल्बर्ट आइंस्टीन, खुद क्वांटम थ्योरी के संस्थापकों में से एक, कुछ पोषित तत्वमीमांसा सिद्धांतों, जैसे नियतत्ववाद और इलाके का सम्मान करने के लिए अपनी स्पष्ट विफलता से परेशान थे।क्वांटम यांत्रिकी के अर्थ और स्थिति के बारे में बोहर के साथ आइंस्टीन के लंबे समय से चल रहे एक्सचेंजों को अब बोहर-आइंस्टीन बहस के रूप में जाना जाता है।आइंस्टीन का मानना था कि अंतर्निहित क्वांटम यांत्रिकी एक सिद्धांत होना चाहिए जो स्पष्ट रूप से कुछ दूरी पर कार्रवाई को मना करता है।उन्होंने तर्क दिया कि क्वांटम यांत्रिकी अधूरा था, एक सिद्धांत जो वैध था, लेकिन मौलिक नहीं था, इस बात के अनुरूप था कि थर्मोडायनामिक्स कैसे मान्य है, लेकिन इसके पीछे का मौलिक सिद्धांत सांख्यिकीय यांत्रिकी है।1935 में, आइंस्टीन और उनके सहयोगी बोरिस पोडोल्स्की और नाथन रोसेन ने एक तर्क प्रकाशित किया कि इलाके का सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी की अपूर्णता का अर्थ है, एक विचार प्रयोग ने बाद में आइंस्टीन -पॉडोलस्की -रोसेन पैराडॉक्स कहा। 1964 में, जॉन बेल ने दिखाया कि ईपीआर के स्थानीयता के सिद्धांत, नियतत्ववाद के साथ, वास्तव में क्वांटम यांत्रिकी के साथ असंगत थे: उन्होंने दूरी प्रणालियों द्वारा उत्पादित सहसंबंधों पर बाधाओं को निहित किया, जिसे अब घंटी असमानताओं के रूप में जाना जाता है, जिसका उल्लंघन कणों द्वारा उल्लंघन किया जा सकता है। तब से इन सहसंबंधों को प्राप्त करने के लिए कई प्रयोग किए गए हैं, जिसके परिणामस्वरूप वे वास्तव में घंटी असमानताओं का उल्लंघन करते हैं, और इस तरह नियतत्व के साथ इलाके के संयोजन को गलत साबित करते हैं।

बोहमियन यांत्रिकी से पता चलता है कि क्वांटम यांत्रिकी में सुधार करना संभव है, ताकि यह स्पष्ट रूप से गैर -नॉनलोकल बनाने की कीमत पर हो।यह न केवल एक भौतिक प्रणाली के लिए एक तरंग फ़ंक्शन का श्रेय देता है, बल्कि एक वास्तविक स्थिति के अलावा, जो एक गैर -मार्गदर्शक समीकरण के तहत नियत रूप से विकसित होता है।एक भौतिक प्रणाली का विकास हर समय श्रोडिंगर समीकरण द्वारा मार्गदर्शक समीकरण के साथ दिया जाता है;तरंग फ़ंक्शन का पतन कभी नहीं होता है।यह माप समस्या को हल करता है। 1956 में तैयार किए गए एवरेट की कई दुनिया की व्याख्या, यह मानती है कि क्वांटम सिद्धांत द्वारा वर्णित सभी संभावनाएं एक साथ एक मल्टीवर्स में होती हैं जो ज्यादातर स्वतंत्र समानांतर ब्रह्मांडों से बनी होती हैं। यह वेव पैकेट के पतन के स्वयंसिद्ध को हटाने का एक परिणाम है।मापा प्रणाली के सभी संभावित राज्य और मापने वाले उपकरण, पर्यवेक्षक के साथ मिलकर, एक वास्तविक भौतिक क्वांटम सुपरपोजिशन में मौजूद हैं।जबकि मल्टीवर्स नियतात्मक है, हम संभावनाओं द्वारा शासित गैर-नियतात्मक व्यवहार को देखते हैं, क्योंकि हम एक पूरे के रूप में मल्टीवर्स का निरीक्षण नहीं करते हैं, लेकिन एक समय में केवल एक समानांतर ब्रह्मांड।वास्तव में यह कैसे काम करने के लिए माना जाता है बहुत बहस का विषय रहा है।इस बारे में समझने और जन्मे नियम को प्राप्त करने के लिए कई प्रयास किए गए हैं, इस पर कोई सहमति नहीं है कि क्या वे सफल रहे हैं। संबंधपरक क्वांटम यांत्रिकी 1990 के दशक के उत्तरार्ध में कोपेनहेगन-प्रकार के विचारों के आधुनिक व्युत्पन्न के रूप में दिखाई दिए, और कुछ साल बाद QBism विकसित किया गया था।

इतिहास
क्वांटम यांत्रिकी को 20 वीं शताब्दी के शुरुआती दशकों में विकसित किया गया था, जो घटनाओं को समझाने की आवश्यकता से प्रेरित था, कुछ मामलों में, पहले के समय में देखा गया था।प्रकाश की लहर प्रकृति की वैज्ञानिक जांच 17 वीं और 18 वीं शताब्दी में शुरू हुई, जब रॉबर्ट हुक, क्रिस्टियान ह्यूजेंस और लियोनहार्ड यूलर जैसे वैज्ञानिकों ने प्रयोगात्मक टिप्पणियों के आधार पर प्रकाश की एक लहर सिद्धांत का प्रस्ताव किया। 1803 में अंग्रेजी पॉलीमथ थॉमस यंग ने प्रसिद्ध यंग के हस्तक्षेप प्रयोग का वर्णन किया। डबल-स्लिट प्रयोग। इस प्रयोग ने प्रकाश की लहर सिद्धांत की सामान्य स्वीकृति में एक प्रमुख भूमिका निभाई।

19 वीं शताब्दी की शुरुआत में, जॉन डेल्टन और अमेडियो एवोगैड्रो द्वारा रासायनिक अनुसंधान ने परमाणु सिद्धांत के परमाणु सिद्धांत के लिए वजन दिया, एक विचार कि जेम्स क्लर्क मैक्सवेल, लुडविग बोल्ट्ज़मैन और अन्य लोगों ने गैसों के गतिज सिद्धांत को स्थापित करने के लिए बनाया।गतिज सिद्धांत की सफलताओं ने इस विचार को और अधिक विश्वास दिलाया कि मामला परमाणुओं से बना है, फिर भी सिद्धांत में कमियां भी थीं जो केवल क्वांटम यांत्रिकी के विकास द्वारा हल की जाएगी। जबकि ग्रीक दर्शन से परमाणुओं की प्रारंभिक अवधारणा यह थी कि वे अविभाज्य इकाइयां थीं – अचूक के लिए ग्रीक से व्युत्पन्न शब्द –  19 वीं शताब्दी में उप -परमाणु संरचना के बारे में परिकल्पनाओं का निर्माण देखा गया।उस संबंध में एक महत्वपूर्ण खोज माइकल फैराडे की 1838 में कम दबाव में गैस युक्त कांच की ट्यूब के अंदर एक विद्युत निर्वहन के कारण एक चमक का अवलोकन था।जूलियस प्लुकर, जोहान विल्हेम हिटॉर्फ और यूजेन गोल्डस्टीन ने फैराडे के काम में सुधार किया और सुधार किया, जिससे कैथोड किरणों की पहचान हुई, जिसे जे। जे। थॉमसन ने सबटोमिक कणों से मिलकर पाया, जिन्हें इलेक्ट्रॉन कहा जाएगा।  1859 में गुस्ताव किरचॉफ द्वारा ब्लैक-बॉडी विकिरण समस्या की खोज की गई थी। 1900 में, मैक्स प्लैंक ने इस परिकल्पना का प्रस्ताव दिया कि ऊर्जा को विकीर्ण किया जाता है और असतत क्वांटा (या ऊर्जा पैकेट) में अवशोषित किया जाता है, एक गणना की उपज जो ब्लैक-बॉडी के अवलोकन पैटर्न से मेल खाती है।विकिरण। क्वांटम शब्द लैटिन से निकलता है, जिसका अर्थ है कि कितना महान या कितना। प्लैंक के अनुसार, ऊर्जा की मात्रा को उन तत्वों में विभाजित माना जा सकता है जिनका आकार (ई) उनकी आवृत्ति (ν) के लिए आनुपातिक होगा:
 * $$ E = h \nu\ $$,

जहां एच प्लैंक का स्थिरांक है।प्लैंक ने सावधानी से जोर देकर कहा कि यह केवल विकिरण के अवशोषण और उत्सर्जन की प्रक्रियाओं का एक पहलू था और विकिरण की भौतिक वास्तविकता नहीं थी। वास्तव में, उन्होंने अपनी क्वांटम परिकल्पना को एक गणितीय ट्रिक माना, जो एक बड़ी खोज के बजाय सही उत्तर प्राप्त करने के लिए है। हालांकि, 1905 में अल्बर्ट आइंस्टीन ने प्लैंक की क्वांटम परिकल्पना की वास्तविक रूप से व्याख्या की और इसका उपयोग फोटोइलेक्ट्रिक प्रभाव को समझाने के लिए किया, जिसमें कुछ सामग्रियों पर चमकती हुई रोशनी सामग्री से इलेक्ट्रॉनों को बाहर निकाल सकती है।नील्स बोहर ने तब हाइड्रोजन परमाणु के एक मॉडल में विकिरण के बारे में प्लैंक के विचारों को विकसित किया, जिसने सफलतापूर्वक हाइड्रोजन की वर्णक्रमीय लाइनों की भविष्यवाणी की। आइंस्टीन ने इस विचार को और विकसित किया कि यह दिखाने के लिए कि प्रकाश जैसे एक विद्युत चुम्बकीय तरंग को एक कण (बाद में फोटॉन कहा जाता है) के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है, ऊर्जा की असतत मात्रा के साथ जो इसकी आवृत्ति पर निर्भर करता है। विकिरण के क्वांटम सिद्धांत पर अपने पेपर में, आइंस्टीन ने परमाणुओं द्वारा ऊर्जा के अवशोषण और उत्सर्जन को समझाने के लिए ऊर्जा और पदार्थ के बीच बातचीत पर विस्तार किया।यद्यपि सापेक्षता के अपने सामान्य सिद्धांत द्वारा उस समय की देखरेख की गई थी, इस पत्र ने विकिरण के उत्तेजित उत्सर्जन को अंतर्निहित तंत्र को स्पष्ट किया, जो लेजर का आधार बन गया।

इस चरण को पुराने क्वांटम सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।कभी भी पूर्ण या आत्म-संगत नहीं, पुराने क्वांटम सिद्धांत बल्कि शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए अनुमानी सुधार का एक सेट था। सिद्धांत को अब एक WKB सन्निकटन के रूप में समझा जाता है#schr.c3.b6dinger समीकरण के लिए आवेदन | अर्ध-शास्त्रीय सन्निकटन आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी के लिए। इस अवधि के उल्लेखनीय परिणामों में शामिल हैं, प्लैंक, आइंस्टीन और बोहर के काम के अलावा, ऊपर उल्लेख किया गया है, आइंस्टीन और पीटर डेबी के काम ठोस, बोहर और हेंड्रिका जोहान वैन लीउवेन के बोहर -वैन लीउवेन प्रमेय की विशिष्ट गर्मी पर काम कर सकते हैं।डायमैग्नेटिज्म के लिए खाता, और अर्नोल्ड सोमरफेल्ड के बोह्र मॉडल के विस्तार के लिए विशेष-सापेक्ष प्रभाव शामिल करने के लिए।

1920 के दशक के मध्य में क्वांटम यांत्रिकी परमाणु भौतिकी के लिए मानक सूत्रीकरण बनने के लिए विकसित किया गया था।1923 में, फ्रांसीसी भौतिक विज्ञानी लुईस-विक्टर डी ब्रोगली | लुईस डी ब्रोगली ने यह कहते हुए कि कणों की लहरों की विशेषताओं को प्रदर्शित कर सकते हैं और इसके विपरीत, मामले की तरंगों के अपने सिद्धांत को आगे बढ़ाया।डी ब्रोगली के दृष्टिकोण पर निर्माण, आधुनिक क्वांटम यांत्रिकी का जन्म 1925 में हुआ था, जब जर्मन भौतिक विज्ञानी वर्नर हाइजेनबर्ग, मैक्स बॉर्न, और पास्कल जॉर्डन विकसित मैट्रिक्स यांत्रिकी और ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी इरविन श्रोडिंगर ने श्रोडिंगर समीकरण का आविष्कार किया। वेव मैकेनिक्स।बॉर्न ने जुलाई 1926 में श्रोडिंगर के वेव फंक्शन की संभाव्य व्याख्या की शुरुआत की। इस प्रकार, क्वांटम भौतिकी का पूरा क्षेत्र उभरा, जिससे 1927 में पांचवें सोलवे सम्मेलन में इसकी व्यापक स्वीकृति हुई। 1930 तक क्वांटम मैकेनिक्स को डेविड हिल्बर्ट, पॉल डीरेक और जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा आगे एकीकृत और औपचारिक रूप दिया गया था माप पर अधिक जोर देने के साथ, वास्तविकता के हमारे ज्ञान की सांख्यिकीय प्रकृति, और 'पर्यवेक्षक' के बारे में दार्शनिक अटकलें।इसने कई विषयों को अनुमति दी है, जिसमें क्वांटम रसायन विज्ञान, क्वांटम इलेक्ट्रॉनिक्स, क्वांटम ऑप्टिक्स और क्वांटम सूचना विज्ञान शामिल हैं।यह तत्वों की आधुनिक आवर्त सारणी की कई विशेषताओं के लिए एक उपयोगी रूपरेखा भी प्रदान करता है, और रासायनिक संबंध के दौरान परमाणुओं के व्यवहार और कंप्यूटर अर्धचालक में इलेक्ट्रॉनों के प्रवाह का वर्णन करता है, और इसलिए कई आधुनिक प्रौद्योगिकियों में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।जबकि क्वांटम यांत्रिकी का निर्माण बहुत छोटे की दुनिया का वर्णन करने के लिए किया गया था, यह भी सुपरकंडक्टर्स जैसे कुछ मैक्रोस्कोपिक घटनाओं को समझाने की आवश्यकता है और सुपरफ्लुइड्स।

यह भी देखें

 * ब्रा -केट नोटेशन
 * आइंस्टीन के विचार प्रयोग
 * शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी पर पाठ्यपुस्तकों की सूची
 * मैक्रोस्कोपिक क्वांटम घटना
 * चरण-स्थान निर्माण
 * नियमितीकरण (भौतिकी)
 * दो-राज्य क्वांटम सिस्टम

अग्रिम पठन
The following titles, all by working physicists, attempt to communicate quantum theory to lay people, using a minimum of technical apparatus.

More technical:
 * Chester, Marvin (1987). Primer of Quantum Mechanics. John Wiley. ISBN 0-486-42878-8
 * Richard Feynman, 1985. QED: The Strange Theory of Light and Matter, Princeton University Press. ISBN 0-691-08388-6. Four elementary lectures on quantum electrodynamics and quantum field theory, yet containing many insights for the expert.
 * Ghirardi, GianCarlo, 2004. Sneaking a Look at God's Cards, Gerald Malsbary, trans. Princeton Univ. Press. The most technical of the works cited here. Passages using algebra, trigonometry, and bra–ket notation can be passed over on a first reading.
 * N. David Mermin, 1990, "Spooky actions at a distance: mysteries of the QT" in his Boojums All the Way Through. Cambridge University Press: 110–76.
 * Victor Stenger, 2000. Timeless Reality: Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Buffalo, NY: Prometheus Books. Chpts. 5–8. Includes cosmological and philosophical considerations.
 * Victor Stenger, 2000. Timeless Reality: Symmetry, Simplicity, and Multiple Universes. Buffalo, NY: Prometheus Books. Chpts. 5–8. Includes cosmological and philosophical considerations.
 * Bryce DeWitt, R. Neill Graham, eds., 1973. The Many-Worlds Interpretation of Quantum Mechanics, Princeton Series in Physics, Princeton University Press. ISBN 0-691-08131-X
 * D. Greenberger, K. Hentschel, F. Weinert, eds., 2009. Compendium of quantum physics, Concepts, experiments, history and philosophy, Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg.
 * A standard undergraduate text.
 * Max Jammer, 1966. The Conceptual Development of Quantum Mechanics. McGraw Hill.
 * Hagen Kleinert, 2004. Path Integrals in Quantum Mechanics, Statistics, Polymer Physics, and Financial Markets, 3rd ed. Singapore: World Scientific. Draft of 4th edition.
 * Online copy
 * Gunther Ludwig, 1968. Wave Mechanics. London: Pergamon Press. ISBN 0-08-203204-1
 * George Mackey (2004). The mathematical foundations of quantum mechanics. Dover Publications. ISBN 0-486-43517-2.
 * Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G.M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons. Cf. chpt. IV, section III. online
 * Scerri, Eric R., 2006. The Periodic Table: Its Story and Its Significance. Oxford University Press. Considers the extent to which chemistry and the periodic system have been reduced to quantum mechanics. ISBN 0-19-530573-6
 * Veltman, Martinus J.G. (2003), Facts and Mysteries in Elementary Particle Physics.
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 * Albert Messiah, 1966. Quantum Mechanics (Vol. I), English translation from French by G.M. Temmer. North Holland, John Wiley & Sons. Cf. chpt. IV, section III. online
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On Wikibooks
 * This Quantum World

बाहरी संबंध

 * J. O'Connor and E. F. Robertson: A history of quantum mechanics.
 * Introduction to Quantum Theory at Quantiki.
 * Quantum Physics Made Relatively Simple: three video lectures by Hans Bethe


 * Course material
 * Quantum Cook Book and PHYS 201: Fundamentals of Physics II by Ramamurti Shankar, Yale OpenCourseware
 * The Modern Revolution in Physics – an online textbook.
 * MIT OpenCourseWare: Chemistry and Physics. See 8.04, 8.05 and 8.06
 * 5½ Examples in Quantum Mechanics
 * Imperial College Quantum Mechanics Course.


 * Philosophy