मेष उत्पादन



मेष पीढ़ी एक बहुभुज जाल बनाने का अभ्यास है, एक निरंतर ज्यामितीय स्थान का एक उपखंड असतत ज्यामितीय और सांस्थितिक कोशिकाओं में है। अक्सर ये कोशिकाएं एक साधारण जटिल बनाती हैं। आमतौर पर कोशिकाएं ज्यामितीय इनपुट डोमेन का विभाजन करती हैं। मेष कोशिकाओं का उपयोग बड़े डोमेन के असतत स्थानीय सन्निकटन के रूप में किया जाता है। मेश कंप्यूटर एल्गोरिदम द्वारा बनाए जाते हैं, अक्सर जीयूआई के माध्यम से मानव मार्गदर्शन के साथ, डोमेन की जटिलता और वांछित मेश के प्रकार पर निर्भर करता है। एक विशिष्ट लक्ष्य एक जाल बनाना है जो उच्च-गुणवत्ता (अच्छी तरह से आकार) कोशिकाओं के साथ इनपुट डोमेन ज्यामिति को सटीक रूप से कैप्चर करता है, और बाद की गणनाओं को अट्रैक्टिव बनाने के लिए इतने सारे सेल के बिना। बाद की गणना के लिए महत्वपूर्ण क्षेत्रों में जाल भी ठीक होना चाहिए (छोटे तत्व हैं)।

मेश का उपयोग कंप्यूटर स्क्रीन पर प्रतिपादन (कंप्यूटर ग्राफिक्स) के लिए और भौतिक सिमुलेशन जैसे कि परिमित तत्व विश्लेषण या कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी के लिए किया जाता है। मेष सरल कोशिकाओं से बने होते हैं जैसे त्रिकोण, क्योंकि, उदाहरण के लिए, हम जानते हैं कि त्रिकोण पर परिमित तत्व गणना (इंजीनियरिंग) या किरण अनुरेखण (कंप्यूटर ग्राफिक्स) जैसे संचालन कैसे करें, लेकिन हम नहीं जानते कि इन कार्यों को सीधे जटिल स्थानों पर कैसे किया जाए और सड़क पुल जैसी आकृतियाँ। हम प्रत्येक त्रिकोण पर गणना करके और त्रिकोणों के बीच की बातचीत की गणना करके पुल की ताकत का अनुकरण कर सकते हैं, या इसे कंप्यूटर स्क्रीन पर खींच सकते हैं।

एक बड़ा अंतर संरचित और असंरचित मेशिंग के बीच है। संरचित मेशिंग में जाल एक नियमित जाली है, जैसे कि एक सरणी, तत्वों के बीच निहित कनेक्टिविटी के साथ। असंरचित मेशिंग में, तत्व अनियमित पैटर्न में एक दूसरे से जुड़े हो सकते हैं, और अधिक जटिल डोमेन कैप्चर किए जा सकते हैं। यह पृष्ठ मुख्य रूप से असंरचित जालों के बारे में है। जबकि एक जाल एक त्रिकोणासन (ज्यामिति) हो सकता है, जाल लगाने की प्रक्रिया बिंदु सेट त्रिकोणासन से अलग होती है, जिसमें जाल में इनपुट में मौजूद वर्टिकल जोड़ने की स्वतंत्रता शामिल होती है। प्रारूपण के लिए कंप्यूटर-समर्थित डिज़ाइन मॉडल को फ़ेसटिंग (त्रिकोणीय) में शीर्षों को जोड़ने की समान स्वतंत्रता है, लेकिन लक्ष्य जितना संभव हो उतना कम त्रिकोणों का उपयोग करके आकार का सटीक रूप से प्रतिनिधित्व करना है और अलग-अलग त्रिकोणों का आकार महत्वपूर्ण नहीं है। बनावट और यथार्थवादी प्रकाश व्यवस्था के कंप्यूटर ग्राफिक्स रेंडरिंग इसके बजाय मेश का उपयोग करते हैं।

कई मेश जनरेशन सॉफ़्टवेयर को कंप्यूटर एडेड डिजाइन से जोड़ा जाता है जो इसके इनपुट को परिभाषित करता है, और इसके आउटपुट लेने के लिए सिमुलेशन सॉफ़्टवेयर। इनपुट बहुत भिन्न हो सकते हैं लेकिन सामान्य रूप हैं ठोस मॉडलिंग, ज्यामितीय मॉडलिंग, एनयूआरबीएस, बी प्रतिनिधि,  एसटीएल (फ़ाइल स्वरूप)  या पॉइंट क्लाउड।

शब्दावली
मेश जनरेशन, ग्रिड जनरेशन, मेशिंग और ग्रिडिंग शब्द अक्सर एक दूसरे के स्थान पर उपयोग किए जाते हैं, हालांकि बाद के दो शब्द व्यापक हैं और मेश सुधार को शामिल करते हैं: मेश को संख्यात्मक गणनाओं की गति या सटीकता बढ़ाने के लक्ष्य के साथ बदलना जो होगा इसके ऊपर प्रदर्शन किया। कंप्यूटर चित्रलेख रेंडरिंग और गणित में, एक मेश को कभी-कभी टेसलेशन (कंप्यूटर ग्राफ़िक्स) के रूप में संदर्भित किया जाता है।

मेष चेहरों (कोशिकाओं, संस्थाओं) के उनके आयाम और उस संदर्भ के आधार पर अलग-अलग नाम होते हैं जिसमें जाल का उपयोग किया जाएगा। परिमित तत्वों में, उच्चतम-आयामी जाल संस्थाओं को तत्व कहा जाता है, किनारों को 1D और नोड्स को 0D कहा जाता है। यदि तत्व 3D हैं, तो 2D निकाय फलक हैं। कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में, 0D बिंदुओं को शिखर कहा जाता है। टेट्राहेड्रा को अक्सर टेट्स के रूप में संक्षिप्त किया जाता है; त्रिभुज ट्रिस हैं, चतुर्भुज क्वाड हैं और हेक्साहेड्रा (टोपोलॉजिकल क्यूब्स) हेक्स हैं।

तकनीक
डेलाउने त्रिभुज के सिद्धांतों पर कई मेशिंग तकनीकों का निर्माण किया गया है, साथ में वर्टिकल जोड़ने के नियम, जैसे रूपर्ट के एल्गोरिथ्म। एक विशिष्ट विशेषता यह है कि पूरे स्थान का एक प्रारंभिक मोटा जाल बनता है, फिर कोने और त्रिकोण जोड़े जाते हैं। इसके विपरीत, आगे बढ़ने वाले एल्गोरिदम डोमेन सीमा से शुरू होते हैं, और तत्वों को आंतरिक रूप से भरते हुए जोड़ते हैं। हाइब्रिड तकनीक दोनों करते हैं। अग्रिम तकनीकों का एक विशेष वर्ग द्रव प्रवाह के लिए तत्वों की पतली सीमा परत बनाता है। स्ट्रक्चर्ड मेश जनरेशन में पूरा मेश एक जाली ग्राफ होता है, जैसे कि वर्गों का एक नियमित ग्रिड। ब्लॉक-स्ट्रक्चर्ड मेशिंग में, डोमेन को बड़े उप-क्षेत्रों में विभाजित किया जाता है, जिनमें से प्रत्येक एक स्ट्रक्चर्ड मेश है। कुछ प्रत्यक्ष विधियाँ एक ब्लॉक-संरचित जाल से शुरू होती हैं और फिर जाल को इनपुट के अनुरूप ले जाती हैं; polycube  पर आधारित ऑटोमैटिक हेक्स-मेश जेनरेशन देखें। डोमेन सीमा द्वारा संरचित कोशिकाओं को काटने के लिए एक और सीधा तरीका है; मार्चिंग क्यूब्स पर आधारित मूर्तिकला देखें।

कुछ प्रकार के मेश दूसरों की तुलना में बनाना अधिक कठिन होते हैं। सिंपलियल मेश क्यूबिकल मेश की तुलना में आसान होते हैं। एक महत्वपूर्ण श्रेणी एक निश्चित चतुर्भुज सतह जाल के अनुरूप एक हेक्स जाल उत्पन्न कर रही है; एक अनुसंधान उपक्षेत्र विशिष्ट छोटे विन्यासों के जालों के अस्तित्व और पीढ़ी का अध्ययन कर रहा है, जैसे कि चतुष्कोणीय समलम्बाकार। इस समस्या की कठिनाई के कारण, अच्छे ज्यामितीय अहसास पैदा करने की समस्या के अलावा संयोजी हेक्स मेश के अस्तित्व का अध्ययन किया गया है। जबकि ज्ञात एल्गोरिदम न्यूनतम गुणवत्ता की गारंटी के साथ सरल जाल उत्पन्न करते हैं, ऐसी गारंटी क्यूबिकल जाल के लिए दुर्लभ होती है, और कई लोकप्रिय कार्यान्वयन कुछ इनपुट से उलटा (अंदरूनी) हेक्स उत्पन्न करते हैं।

वर्कस्टेशन पर मेश अक्सर सीरियल में बनाए जाते हैं, तब भी जब मेश पर बाद की गणना सुपर-कंप्यूटर पर समानांतर कंप्यूटिंग में की जाएगी। यह दोनों इस सीमा के कारण है कि अधिकांश मेश जेनरेटर इंटरएक्टिव हैं, और क्योंकि सॉल्वर टाइम की तुलना में मेश जनरेशन रनटाइम आमतौर पर नगण्य है। हालाँकि, यदि किसी एकल सीरियल मशीन की मेमोरी में फिट होने के लिए मेश बहुत बड़ा है, या सिमुलेशन के दौरान मेश को बदलना (अनुकूलित) होना चाहिए, तो मेशिंग समानांतर में की जाती है।

बीजगणितीय तरीके
बीजगणितीय विधियों द्वारा ग्रिड निर्माण गणितीय प्रक्षेप समारोह पर आधारित है। यह मनमाने आकार के क्षेत्रों को लेकर एक, दो या तीन आयामों में ज्ञात कार्यों का उपयोग करके किया जाता है। कम्प्यूटेशनल डोमेन आयताकार नहीं हो सकता है, लेकिन सादगी के लिए, डोमेन को आयताकार माना जाता है। विधियों का मुख्य लाभ यह है कि वे भौतिक ग्रिड आकार और रिक्ति का स्पष्ट नियंत्रण प्रदान करते हैं। सरलतम प्रक्रिया जिसका उपयोग सीमा सज्जित कम्प्यूटेशनल जाल का उत्पादन करने के लिए किया जा सकता है, सामान्यीकरण परिवर्तन है। वर्णन समारोह के साथ एक नोजल के लिए $$y = x^2$$ वाई-दिशा में एकसमान विभाजन का उपयोग करके ग्रिड को आसानी से एक्स-दिशा में समान रूप से अंतर वृद्धि के साथ उत्पन्न किया जा सकता है, जिसे इसके द्वारा वर्णित किया गया है


 * $$\xi=x \, $$
 * $$\eta = \frac{y}{y_\max} \, $$

कहाँ $$y_\max$$ नोज़ल दीवार के y-निर्देशांक को दर्शाता है। के दिए गए मानों के लिए ($$\xi$$, $$\eta$$), के मान ($$x$$, $$y$$) आसानी से प्राप्त किया जा सकता है।

विभेदक समीकरण विधियाँ
बीजगणितीय विधियों की तरह, ग्रिड उत्पन्न करने के लिए अवकल समीकरण विधियों का भी उपयोग किया जाता है। आंशिक [[अंतर समीकरण]]ों (पीडीई) का उपयोग करने का लाभ यह है कि जाल उत्पन्न करने के लिए ग्रिड जनरेटिंग समीकरणों का समाधान किया जा सकता है। आंशिक अंतर समीकरणों के सभी तीन वर्गों का उपयोग करके ग्रिड निर्माण किया जा सकता है।

अण्डाकार योजनाएं
अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण आंशिक अंतर समीकरण में आम तौर पर बहुत चिकनी समाधान होते हैं जिससे चिकनी रूपरेखा होती है। एक लाभ के रूप में इसकी चिकनाई का उपयोग लाप्लास के समीकरणों को अधिमानतः उपयोग किया जा सकता है क्योंकि हार्मोनिक कार्यों के लिए अधिकतम सिद्धांत के परिणामस्वरूप जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक सकारात्मक पाए गए। क्रॉली (1962) और विंसलो (1966) द्वारा किए गए व्यापक कार्य के बाद पोइसन के समीकरण का उपयोग करते हुए भौतिक डोमेन को कम्प्यूटेशनल विमान में बदलकर पीडीई पर। पॉइसन का समीकरण, थॉम्पसन एट अल। (1974) ग्रिड उत्पन्न करने के लिए अंडाकार आंशिक अंतर समीकरण पर बड़े पैमाने पर काम किया है। पोइसन ग्रिड जनरेटर में, वांछित ग्रिड बिंदुओं को चिह्नित करके मानचित्रण पूरा किया जाता है $$(x,y)$$ भौतिक डोमेन की सीमा पर, नीचे लिखे समीकरणों के समाधान के माध्यम से निर्धारित आंतरिक बिंदु वितरण के साथ


 * $$ \xi_{xx} + \xi_{yy} = P(\xi, \eta)$$
 * $$ \eta_{xx} + \eta_{yy} = Q(\xi, \eta)$$

कहाँ, $$(\xi,\eta)$$ कम्प्यूटेशनल डोमेन में निर्देशांक हैं, जबकि पी और क्यू डी के भीतर बिंदु रिक्ति के लिए जिम्मेदार हैं। कम्प्यूटेशनल स्पेस में उपरोक्त समीकरणों को बदलने से फॉर्म के दो अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण का एक सेट प्राप्त होता है,


 * $$\alpha x_{\xi\xi} -2\beta x_{\xi\eta} + \gamma x_{\eta\eta} = -I^2 (Px_\xi + Qx_\eta) $$
 * $$\alpha y_{\xi\xi} -2\beta y_{\xi\eta} + \gamma y_{\eta\eta} = -I^2 (Py_\xi + Qy_\eta)$$

कहाँ



\begin{align} \alpha & = x^2_\eta + y^2_\eta \\ \beta & = x_\eta x_\xi + y_\xi y_\eta \\ \gamma & = x^2_\xi + y^2_\xi \\ I & = \frac{\delta(x, y)}{\delta(\xi, \eta)} = y_\eta x_\xi - y_\xi x_\eta \end{align} $$ समीकरणों की इन प्रणालियों को कम्प्यूटेशनल प्लेन में समान रूप से दूरी वाले ग्रिड पर हल किया जाता है जो हमें प्रदान करता है $$(x,y)$$ भौतिक स्थान में प्रत्येक बिंदु के निर्देशांक। अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरण का उपयोग करने का लाभ यह है कि उनसे जुड़ा समाधान चिकना है और परिणामी ग्रिड चिकना है। लेकिन, P और Q का विनिर्देशन एक कठिन कार्य बन जाता है और इस प्रकार इसके नुकसान भी जुड़ जाते हैं। इसके अलावा, ग्रिड की गणना हर बार कदम के बाद की जाती है जो कम्प्यूटेशनल समय तक जुड़ जाती है।

अतिशयोक्तिपूर्ण योजनाएं
यह ग्रिड निर्माण योजना आम तौर पर भौतिक समस्या का वर्णन करने वाले आंशिक अंतर समीकरण के प्रकार के अनुरूप खुले डोमेन वाली समस्याओं पर लागू होती है। अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण से जुड़ा लाभ यह है कि ग्रिड बनाने के लिए गवर्निंग समीकरणों को केवल एक बार हल करने की आवश्यकता होती है। प्रारंभिक बिंदु वितरण अनुमानित सीमा स्थितियों के साथ आवश्यक इनपुट बनाता है और समाधान तब बाहर की ओर मार्च किया जाता है। स्टीगर और सोरेनसन (1980) मेश जनरेशन के लिए हाइपरबोलिक पीडीई का उपयोग करने वाली वॉल्यूम ऑर्थोगोनलिटी विधि प्रस्तावित की। 2-डी समस्या के लिए, कम्प्यूटेशनल स्पेस को ध्यान में रखते हुए दिया जाना चाहिए $$\Delta\xi = \Delta\eta = 1 $$, जेकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक के व्युत्क्रम द्वारा दिया गया है,


 * $$x_\xi y_\eta - x_\eta y_\xi = I$$

कहाँ $$I$$ कम्प्यूटेशनल स्पेस में दिए गए क्षेत्र के लिए भौतिक स्थान में क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है। दूसरा समीकरण भौतिक स्थान में सीमा पर ग्रिड लाइनों की ओर्थोगोनलिटी को जोड़ता है जिसे इस रूप में लिखा जा सकता है


 * $$d\xi = 0 = \xi_x \, dx + \xi_y \, dy.$$

के लिए $$\xi$$ और $$\eta$$ सतहों का लंबवत होना समीकरण बन जाता है


 * $$x_\xi x_\eta + y_\xi y_\eta = 0.$$

समीकरणों की ऐसी प्रणाली से जुड़ी समस्या का विनिर्देशन है $$I$$. का खराब चयन $$I$$ जाल भर में इस जानकारी के झटके और असंतत प्रसार का कारण बन सकता है। जबकि मेश ऑर्थोगोनल होने के कारण बहुत तेजी से उत्पन्न होता है जो इस पद्धति के साथ एक लाभ के रूप में सामने आता है।

परवलयिक योजनाएं
हल करने की तकनीक अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण के समान है, जो अंत में सीमा शर्तों को संतुष्ट करने वाली प्रारंभिक डेटा सतह से समाधान को आगे बढ़ाता है। नाकामुरा (1982) और एडवर्ड्स (1985) ने परवलयिक ग्रिड निर्माण के लिए बुनियादी विचार विकसित किए। यह विचार या तो लाप्लास या पोइसन के समीकरण का उपयोग करता है और विशेष रूप से उन भागों का इलाज करता है जो अण्डाकार व्यवहार को नियंत्रित करते हैं। प्रारंभिक मान सतह के साथ बिंदु के निर्देशांक के रूप में दिए गए हैं $$\eta = 0$$ और साथ में सीमा शर्तों को संतुष्ट करने वाली वस्तु की बाहरी सतह पर समाधानों को आगे बढ़ाना $$\xi$$ किनारों।

ग्रिड रिक्ति के नियंत्रण का अब तक सुझाव नहीं दिया गया है। नाकामुरा और एडवर्ड्स, गैर-समान रिक्ति का उपयोग करके ग्रिड नियंत्रण पूरा किया गया। परवलयिक ग्रिड पीढ़ी अतिशयोक्तिपूर्ण ग्रिड पीढ़ी पर एक लाभ दिखाती है कि, कोई झटके या रुकावट नहीं होती है और ग्रिड अपेक्षाकृत चिकनी होती है। प्रारंभिक मूल्यों की विशिष्टताओं और ग्रिड बिंदुओं को नियंत्रित करने के लिए चरण आकार का चयन हालांकि समय लेने वाला होता है, लेकिन परिचित होने और अनुभव प्राप्त होने पर ये तकनीकें प्रभावी हो सकती हैं।

परिवर्तनशील तरीके
इस पद्धति में एक तकनीक शामिल है जो ग्रिड (स्थानिक सूचकांक) चिकनाई, ओर्थोगोनालिटी और वॉल्यूम भिन्नता को कम करती है। ग्रिड निर्माण की समस्याओं को हल करने के लिए यह विधि गणितीय मंच बनाती है। इस पद्धति में प्रत्येक पुनरावृत्ति के बाद एक नए जाल द्वारा एक वैकल्पिक ग्रिड उत्पन्न किया जाता है और पश्च अंतर विधि का उपयोग करके ग्रिड गति की गणना की जाती है। यह तकनीक एक शक्तिशाली तकनीक है जिसका एक नुकसान यह है कि ग्रिड से संबंधित समीकरणों को हल करने के लिए प्रयास की आवश्यकता होती है। सीपीयू समय को कम करने वाले अभिन्न  को कम करने के लिए और काम करने की जरूरत है।

असंरचित ग्रिड पीढ़ी
इस योजना का मुख्य महत्व यह है कि यह एक ऐसी विधि प्रदान करती है जो स्वचालित रूप से ग्रिड उत्पन्न करेगी। इस पद्धति का उपयोग करते हुए, ग्रिड को तत्व की सतह के अनुसार ब्लॉक में विभाजित किया जाता है और उपयुक्त कनेक्टिविटी सुनिश्चित करने के लिए एक संरचना प्रदान की जाती है। डेटा की व्याख्या करने के लिए द्रव गतिकी सॉल्वर का उपयोग किया जाता है। जब एक असंरचित योजना नियोजित की जाती है, तो मुख्य रुचि उपयोगकर्ता की मांग को पूरा करने के लिए होती है और इस कार्य को पूरा करने के लिए एक ग्रिड जनरेटर का उपयोग किया जाता है। संरचित योजना में सूचना भंडारण ग्रिड से ग्रिड के बजाय सेल (ज्यामिति) से सेल है और इसलिए अधिक मेमोरी स्पेस की आवश्यकता है। यादृच्छिक सेल स्थान के कारण, संरचित योजना की तुलना में असंरचित में सॉल्वर दक्षता कम है। ग्रिड निर्माण के समय कुछ बातों का ध्यान रखना आवश्यक है। उच्च रिज़ॉल्यूशन वाला ग्रिड बिंदु संरचित और असंरचित दोनों के लिए कठिनाई पैदा करता है। उदाहरण के लिए, सीमा परत के मामले में, संरचित योजना प्रवाह की दिशा में लम्बी ग्रिड बनाती है। दूसरी ओर, असंरचित ग्रिडों को सीमा परत में उच्च सेल घनत्व की आवश्यकता होती है क्योंकि त्रुटियों से बचने के लिए सेल को यथासंभव समबाहु होना चाहिए। हमें यह पहचानना चाहिए कि कम्प्यूटेशनल ग्रिड जाल में सेल और सेल के सभी पड़ोसियों की पहचान करने के लिए कौन सी जानकारी आवश्यक है। हम असंरचित ग्रिड के लिए कहीं भी मनमाने बिंदुओं का पता लगाने का विकल्प चुन सकते हैं। बिंदुओं को स्वतंत्र रूप से सम्मिलित करने के लिए एक बिंदु सम्मिलन योजना का उपयोग किया जाता है और सेल कनेक्टिविटी निर्धारित की जाती है। इससे पता चलता है कि जैसे ही वे डाले जाते हैं, बिंदु की पहचान की जाती है। बिंदुओं को सम्मिलित करने के बाद नई कनेक्टिविटी स्थापित करने के लिए तर्क निर्धारित किया जाता है। डेटा जो ग्रिड बिंदु बनाता है जो ग्रिड सेल की पहचान करता है, की आवश्यकता होती है। जैसा कि प्रत्येक सेल का निर्माण होता है, इसे क्रमांकित किया जाता है और अंक क्रमबद्ध होते हैं। इसके अलावा पड़ोसी सेल की जानकारी की जरूरत है।

अनुकूली ग्रिड
पिछले तरीकों का उपयोग करके आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने में एक समस्या यह है कि समाधान के विवरण ज्ञात होने से पहले ग्रिड का निर्माण किया जाता है और बिंदुओं को भौतिक डोमेन में वितरित किया जाता है। तो दी गई समस्या के लिए ग्रिड सबसे अच्छा हो भी सकता है और नहीं भी। समाधानों की सटीकता में सुधार के लिए अनुकूली विधियों का उपयोग किया जाता है। अनुकूली विधि को 'एच' विधि के रूप में संदर्भित किया जाता है यदि जाल शोधन का उपयोग किया जाता है, 'आर' विधि यदि ग्रिड बिंदु की संख्या तय की जाती है और पुनर्वितरित नहीं होती है और 'पी' यदि परिमित-तत्व सिद्धांत में समाधान योजना का क्रम बढ़ जाता है। समवितरण योजना का उपयोग करके बहुआयामी समस्याओं को कई तरीकों से पूरा किया जा सकता है। समझने में सबसे सरल पोइसन ग्रिड जेनरेटर हैं, जो वांछित सेल वॉल्यूम के एक से अधिक के रूप में प्रसार सेट के साथ वज़न फ़ंक्शन के समान वितरण के आधार पर नियंत्रण फ़ंक्शन के साथ हैं। समवितरण योजना को असंरचित समस्या पर भी लागू किया जा सकता है। समस्या यह है कि अगर मेश पॉइंट मूवमेंट बहुत बड़ा है तो कनेक्टिविटी बाधित होती है।

इस अनुकूली पद्धति के माध्यम से स्थिर प्रवाह और समय-सटीक प्रवाह गणना को हल किया जा सकता है। स्थिर प्रवाह समस्या में इसे अनुकूलित करने के लिए ग्रिड को परिष्कृत किया जाता है और पुनरावृत्ति की पूर्व निर्धारित संख्या के बाद। समाधान के अभिसरण होते ही ग्रिड परिवर्तनों के साथ तालमेल बिठाना बंद कर देगा। समय में भौतिक समस्या के आंशिक अंतर समीकरणों और ग्रिड आंदोलन का वर्णन करने वालों के सटीक मामले युग्मन की आवश्यकता होती है।

सेल टोपोलॉजी
आमतौर पर कोशिकाएँ बहुभुज या बहुतल  होती हैं और एक बहुभुज जाल बनाती हैं जो डोमेन को विभाजित करता है। द्वि-आयामी तत्वों के महत्वपूर्ण वर्गों में त्रिभुज (सरलीकृत) और चतुर्भुज (स्थलीय वर्ग) शामिल हैं। तीन आयामों में सबसे आम कोशिकाएं टेट्राहेड्रा (सरलीकृत) और हेक्साहेड्रा (टोपोलॉजिकल क्यूब्स) हैं। सिंप्लेक्स मेश किसी भी आयाम का हो सकता है और इसमें महत्वपूर्ण उदाहरण के रूप में त्रिकोण (2D) और टेट्राहेड्रा (3D) शामिल हैं। क्यूबिकल मेश पैन-डायमेंशनल श्रेणी है जिसमें क्वाड्स (2D) और हेक्स (3D) शामिल हैं। 3डी में, 4-तरफा पिरामिड और 3-तरफा प्रिज्म मिश्रित सेल प्रकार के अनुरूप जाल में दिखाई देते हैं।

सेल आयाम
जाल एक ज्यामितीय अंतरिक्ष में एम्बेडेड होता है जो आम तौर पर द्वि-आयामी अंतरिक्ष या त्रि-आयामी अंतरिक्ष होता है, हालांकि कभी-कभी समय-आयाम जोड़कर आयाम एक से बढ़ जाता है। आला संदर्भों में उच्च आयामी जाल का उपयोग किया जाता है। एक आयामी जाल भी उपयोगी होते हैं। एक महत्वपूर्ण श्रेणी सतह जाल है, जो एक घुमावदार सतह का प्रतिनिधित्व करने के लिए 3डी में एम्बेडेड 2डी जाल हैं।

द्वैत
मेशिंग में दोहरे रेखांकन की कई भूमिकाएँ होती हैं। एक Delaunay त्रिभुज सरल जाल को दोहराकर एक पॉलीहेड्रल वोरोनोई आरेख जाल बना सकता है। कोई सतहों की व्यवस्था उत्पन्न करके और प्रतिच्छेदन ग्राफ को दोहराकर एक घनाकार जाल बना सकता है; स्थानिक मोड़ निरंतरता देखें। कभी-कभी एक ही सिमुलेशन में प्राइमल मेष और इसके दोहरे जाल दोनों का उपयोग किया जाता है; हॉज स्टार ऑपरेटर देखें। यह विचलन और कर्ल (गणित) संचालकों से जुड़े भौतिकी से उत्पन्न होता है, जैसे फ्लक्स और vorticity या इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म | बिजली और चुंबकत्व, जहां एक चर स्वाभाविक रूप से मौलिक चेहरों पर रहता है और इसका समकक्ष दोहरे चेहरों पर रहता है।

उपयोग द्वारा मेश प्रकार
परिमित तत्व विश्लेषण के लिए बनाए गए त्रि-आयामी जाल में चतुर्पाश्वीय, पिरामिड (ज्यामिति), प्रिज्म (ज्यामिति) या षट्फलक शामिल होना चाहिए। परिमित आयतन विधि के लिए उपयोग किए जाने वालों में मनमाने पॉलीहेड्रॉन शामिल हो सकते हैं। परिमित अंतर विधियों के लिए उपयोग किए जाने वालों में हेक्साहेड्रा के टुकड़े-टुकड़े संरचित सरणियाँ होती हैं जिन्हें मल्टी-ब्लॉक स्ट्रक्चर्ड मेश के रूप में जाना जाता है। 4-पक्षीय पिरामिड हेक्स को टेट्स से अनुरूप रूप से जोड़ने के लिए उपयोगी होते हैं। 3-पक्षीय प्रिज्म का उपयोग वस्तु के दूर-आंतरिक भाग के टेट जाल के अनुरूप सीमा परतों के लिए किया जाता है।

सरफेस मेश कंप्यूटर ग्राफिक्स में उपयोगी होते हैं जहां वस्तुओं की सतह प्रकाश (उपसतह स्कैटरिंग भी) को दर्शाती है और एक पूर्ण 3डी मेश की आवश्यकता नहीं होती है। सरफेस मेश का उपयोग ऑटो मैन्युफैक्चरिंग में शीट मेटल जैसी पतली वस्तुओं को मॉडल करने और आर्किटेक्चर में एक्सटीरियर बनाने के लिए भी किया जाता है। उच्च (जैसे, 17) आयामी घनाकार जाल खगोल भौतिकी और स्ट्रिंग सिद्धांत में आम हैं।

गणितीय परिभाषा और वेरिएंट
जाल की सटीक परिभाषा क्या है? ऐसा कोई सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत गणितीय विवरण नहीं है जो सभी संदर्भों में लागू हो। हालाँकि, कुछ गणितीय वस्तुएँ स्पष्ट रूप से जाल हैं: एक सरल परिसर एक जाल है जो सरलताओं से बना है। अधिकांश पॉलीहेड्रल (जैसे क्यूबिकल) मेश कंफर्मल होते हैं, जिसका अर्थ है कि उनके पास सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स की सेल संरचना होती है, जो एक साधारण कॉम्प्लेक्स का सामान्यीकरण है। एक जाल को सरल होने की आवश्यकता नहीं है क्योंकि सेल के नोड्स का एक मनमाना उपसमुच्चय आवश्यक रूप से एक सेल नहीं है: उदाहरण के लिए, एक क्वाड के तीन नोड एक सेल को परिभाषित नहीं करते हैं। हालाँकि, दो कोशिकाएँ कोशिकाओं पर प्रतिच्छेद करती हैं: उदा। क्वाड के आंतरिक भाग में कोई नोड नहीं होता है। दो कोशिकाओं का प्रतिच्छेदन कई कोशिकाएं हो सकती हैं: उदाहरण के लिए, दो क्वाड दो किनारों को साझा कर सकते हैं। एक चौराहा एक से अधिक सेल होने के कारण कभी-कभी मना किया जाता है और शायद ही कभी वांछित होता है; कुछ मेश सुधार तकनीकों (जैसे पिलोइंग) का लक्ष्य इन कॉन्फ़िगरेशन को हटाना है। कुछ संदर्भों में, एक टोपोलॉजिकल जाल और एक ज्यामितीय जाल के बीच अंतर किया जाता है जिसका एम्बेडिंग कुछ गुणवत्ता मानदंडों को पूरा करता है।

महत्वपूर्ण जाल वेरिएंट जो सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स नहीं हैं, उनमें गैर-अनुरूप जाल शामिल हैं जहां कोशिकाएं सख्ती से आमने-सामने नहीं मिलती हैं, लेकिन फिर भी कोशिकाएं डोमेन का विभाजन करती हैं। इसका एक उदाहरण एक अष्टक  है, जहां तत्व के चेहरे को आसन्न तत्वों के चेहरों से विभाजित किया जा सकता है। इस तरह के मेश फ्लक्स-आधारित सिमुलेशन के लिए उपयोगी होते हैं। ओवरसेट ग्रिड में, कई कंफर्मल मेश होते हैं जो ज्यामितीय रूप से ओवरलैप होते हैं और डोमेन को विभाजित नहीं करते हैं; उदाहरण देखें, ओवरफ्लो (सॉफ्टवेयर) | ओवरफ्लो, ओवरसेट ग्रिड फ्लो सॉल्वर। तथाकथित मेशलेस या मेशफ्री तरीके अक्सर डोमेन के कुछ मेश-जैसे विवेक का उपयोग करते हैं, और अतिव्यापी समर्थन के साथ आधार कार्य करते हैं। कभी-कभी प्रत्येक सिमुलेशन डिग्री-ऑफ़-फ्रीडम पॉइंट के पास एक स्थानीय जाल बनाया जाता है, और ये जाल ओवरलैप हो सकते हैं और एक दूसरे के लिए गैर-अनुरूप हो सकते हैं।

अंतर्निहित त्रिभुज डेल्टा परिसर पर आधारित होते हैं: प्रत्येक त्रिकोण के किनारों की लंबाई, और चेहरे के किनारों के बीच एक ग्लूइंग मानचित्र। (कृपया विस्तार करें)

उच्च क्रम वाले तत्व
कई जाल रैखिक तत्वों का उपयोग करते हैं, जहां अमूर्त से वास्तविक तत्व तक मानचित्रण रैखिक होता है, और जाल के किनारे सीधे खंड होते हैं। उच्च क्रम बहुपद मानचित्रण आम हैं, विशेष रूप से द्विघात। उच्च-क्रम तत्वों के लिए एक प्राथमिक लक्ष्य डोमेन सीमा का अधिक सटीक रूप से प्रतिनिधित्व करना है, हालांकि जाल के इंटीरियर में भी उनके पास सटीकता लाभ है। क्यूबिकल मेश के लिए प्रेरणाओं में से एक यह है कि रैखिक क्यूबिकल तत्वों में द्विघात सरल तत्वों के समान संख्यात्मक लाभ होते हैं। समज्यामितीय विश्लेषण सिमुलेशन तकनीक में, डोमेन सीमा वाले मेश सेल एक रेखीय या बहुपद सन्निकटन के बजाय सीधे सीएडी प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं।

मेष सुधार
एक जाल में सुधार करने से इसकी असतत कनेक्टिविटी, इसकी कोशिकाओं की निरंतर ज्यामितीय स्थिति या दोनों को बदलना शामिल है। असतत परिवर्तनों के लिए, साधारण तत्वों के लिए एक किनारों को स्वैप करता है और नोड्स को सम्मिलित/हटाता है। क्यूबिकल (क्वाड/हेक्स) मेश के लिए एक ही प्रकार के ऑपरेशन किए जाते हैं, हालांकि कम संभव ऑपरेशन होते हैं और स्थानीय परिवर्तनों के वैश्विक परिणाम होते हैं। उदाहरण के लिए, एक हेक्साहेड्रल जाल के लिए, दो नोड्स को मिलाने से ऐसी कोशिकाएँ बनती हैं जो हेक्स नहीं हैं, लेकिन अगर चतुर्भुज पर तिरछे-विपरीत नोड्स को मिला दिया जाता है और यह हेक्स के पूरे चेहरे से जुड़े स्तंभ को ढहाने के लिए प्रचारित किया जाता है, तो शेष सभी कोशिकाएँ अभी भी होंगी हेक्स। अनुकूली जाल शोधन में, तत्वों को उन क्षेत्रों में विभाजित (एच-शोधन) किया जाता है जहां गणना की जा रही फ़ंक्शन में उच्च ढाल होती है। दक्षता के लिए तत्वों को हटाते हुए मेश भी मोटे होते हैं। मल्टीग्रिड विधि संख्यात्मक हल को तेज करने के लिए शोधन और मोटे होने के समान कुछ करती है, लेकिन वास्तव में जाल को बदले बिना।

निरंतर परिवर्तनों के लिए, तत्वों के बहुपद क्रम को बदलकर नोड्स को स्थानांतरित किया जाता है, या उच्च-आयामी चेहरों को स्थानांतरित किया जाता है। गुणवत्ता में सुधार के लिए नोड्स को हिलाने को स्मूथिंग या आर-रिफाइनमेंट कहा जाता है और तत्वों के क्रम को बढ़ाना पी-रिफाइनमेंट कहा जाता है। नोड्स को सिमुलेशन में भी ले जाया जाता है जहां समय के साथ वस्तुओं का आकार बदल जाता है। यह तत्वों के आकार को नीचा दिखाता है। यदि वस्तु पर्याप्त रूप से विकृत हो जाती है, तो पूरी वस्तु को हटा दिया जाता है और वर्तमान समाधान को पुराने जाल से नए जाल में मैप किया जाता है।

अभ्यासी
गणित, कंप्यूटर विज्ञान और अभियांत्रिकी में योगदान के साथ यह क्षेत्र अत्यधिक अंतःविषय है। मेशिंग आर एंड डी को असतत और निरंतर गणित और संगणना पर समान ध्यान देने से अलग किया जाता है, जैसा कि कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के साथ होता है, लेकिन ग्राफ सिद्धांत (असतत) और संख्यात्मक विश्लेषण (निरंतर) के विपरीत। मेष पीढ़ी भ्रामक रूप से कठिन है: मनुष्यों के लिए यह देखना आसान है कि किसी दिए गए ऑब्जेक्ट का जाल कैसे बनाया जाए, लेकिन मनमानी इनपुट के लिए अच्छे निर्णय लेने के लिए कंप्यूटर को प्रोग्राम करना मुश्किल है। प्रकृति और मानव निर्मित वस्तुओं में अनंत प्रकार की ज्यामिति पाई जाती है। कई मेश पीढ़ी के शोधकर्ता मेश के पहले उपयोगकर्ता थे। मेष पीढ़ी को व्यापक रूप से ध्यान, समर्थन और धन प्राप्त करना जारी है क्योंकि जाल बनाने के लिए मानव-समय मेष समाप्त होने के बाद गणना को स्थापित करने और हल करने के समय को बौना कर देता है। संख्यात्मक सिमुलेशन और कंप्यूटर ग्राफिक्स का आविष्कार होने के बाद से हमेशा यही स्थिति रही है, क्योंकि जैसे-जैसे कंप्यूटर हार्डवेयर और सरल समीकरण-समाधान सॉफ्टवेयर में सुधार हुआ है, लोगों को अधिक निष्ठा, वैज्ञानिक अंतर्दृष्टि के लिए एक ड्राइव में बड़े और अधिक जटिल ज्यामितीय मॉडल के लिए तैयार किया गया है। कलात्मक अभिव्यक्ति।

पत्रिकाओं
Meshing research is published in a broad range of journals. This is in keeping with the interdisciplinary nature of the research required to make progress, and also the wide variety of applications that make use of meshes. About 150 meshing publications appear each year across 20 journals, with at most 20 publications appearing in any one journal. There is no journal whose primary topic is meshing. The journals that publish at least 10 meshing papers per year are in bold.


 * Advances in Engineering Software
 * American Institute of Aeronautics and Astronautics Journal (AIAAJ)
 * Algorithmica
 * Applied Computational Electromagnetics Society Journal
 * Applied Numerical Mathematics
 * Astronomy and Computing
 * Computational Geometry: Theory and Applications
 * Computer-Aided Design, often including a special issue devoted to extended papers from the IMR (see conferences below)
 * Computer Aided Geometric Design (CAGD)
 * Computer Graphics Forum (Eurographics)
 * Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering
 * Discrete and Computational Geometry
 * Engineering with Computers
 * Finite Elements in Analysis and Design
 * International Journal for Numerical Methods in Engineering (IJNME)
 * International Journal for Numerical Methods in Fluids
 * International Journal for Numerical Methods in Biomedical Engineering
 * International Journal of Computational Geometry & Applications
 * Journal of Computational Physics (JCP)
 * Journal on Numerical Analysis
 * Journal on Scientific Computing (SISC)
 * Transactions on Graphics (ACM TOG)
 * Transactions on Mathematical Software (ACM TOMS)
 * Transactions on Visualization and Computer Graphics (IEEE TVCG)
 * ''Lecture Notes in Computational Science and Engineering (LNCSE)
 * ''Computational Mathematics and Mathematical Physics (CMMP)

सम्मेलन
(सम्मेलन जिनका प्राथमिक विषय मेशिंग है बोल्ड में हैं।)


 * वांतरिक्ष विज्ञान बैठक एआईएए (15 मेशिंग वार्ता/पत्र)
 * कम्प्यूटेशनल ज्यामिति CCCG पर कनाडा का सम्मेलन
 * CompIMAGE: छवियों में दर्शाई गई वस्तुओं की अंतर्राष्ट्रीय संगोष्ठी कम्प्यूटेशनल मॉडलिंग
 * कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी सम्मेलन एआईएए
 * कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी सम्मेलन ECCOMAS
 * कम्प्यूटेशनल साइंस एंड इंजीनियरिंग सीएस एंड ई
 * न्यूमेरिकल ग्रिड जनरेशन आईएसजीजी पर सम्मेलन
 * यूरोग्राफिक्स वार्षिक सम्मेलन (यूरोग्राफिक्स)] (कंप्यूटर ग्राफिक्स फोरम में कार्यवाही)
 * ज्यामितीय और भौतिक मॉडलिंग SIAM
 * आइसोजियोमेट्रिक विश्लेषण आईजीए पर अंतर्राष्ट्रीय सम्मेलन
 * कम्प्यूटेशनल ज्यामिति पर संगोष्ठी
 * न्यूमेरिकल ज्योमेट्री, ग्रिड जनरेशन एंड साइंटिफिक कंप्यूटिंग (NUMGRID) (कम्प्यूटेशनल विज्ञान और इंजीनियरिंग में व्याख्यान नोट्स में कार्यवाही)
 * SIAM इंटरनेशनल मेशिंग राउंडटेबल (SIAM IMR)। 1992-2021 से एक स्वतंत्र वार्षिक सम्मेलन, और 2022 से SIAM PP या SIAM CS&E के साथ एक SIAM कार्यशाला समवर्ती। कार्यवाही की समीक्षा की।
 * SIGGRAPH (ग्राफिक्स पर एसीएम लेनदेन में कार्यवाही)
 * ज्यामिति प्रसंस्करण (यूरोग्राफिक्स) पर संगोष्ठी (कंप्यूटर ग्राफिक्स फोरम में कार्यवाही)
 * इंजीनियरिंग पर विश्व कांग्रेस

वर्कशॉप
वर्कशॉप जिनका प्राथमिक विषय मेशिंग है बोल्ड में हैं।


 * ज्यामिति पर सम्मेलन: सिद्धांत और अनुप्रयोग सीजीटीए
 * कम्प्यूटेशनल ज्यामिति यूरोसीजी पर यूरोपीय कार्यशाला
 * कम्प्यूटेशनल ज्यामिति पर कार्यशाला
 * तरल पदार्थ FEF में परिमित तत्व
 * मेशट्रेंड्स संगोष्ठी (डब्ल्यूसीसीएम या यूएसएनसीसीएम वैकल्पिक वर्षों में)
 * गणित और इंजीनियरिंग में पॉलीटॉपल एलिमेंट मेथड्स
 * टेट्राहेड्रॉन कार्यशाला

यह भी देखें

 * डेलाउने त्रिभुज
 * फॉर्च्यून का एल्गोरिदम
 * ग्रिड वर्गीकरण
 * जाल पैरामीटरकरण
 * मेशफ्री तरीके
 * समानांतर जाल पीढ़ी
 * ग्रिड निर्माण के सिद्धांत
 * बहुभुज जाल
 * नियमित ग्रिड
 * रूपर्ट का एल्गोरिदम
 * फैली हुई ग्रिड विधि
 * टेसलेशन (कंप्यूटर ग्राफिक्स)
 * जाल के प्रकार
 * असंरचित ग्रिड

ग्रन्थसूची

 * CGAL The Computational Geometry Algorithms Library
 * CGAL The Computational Geometry Algorithms Library
 * CGAL The Computational Geometry Algorithms Library
 * CGAL The Computational Geometry Algorithms Library
 * CGAL The Computational Geometry Algorithms Library
 * CGAL The Computational Geometry Algorithms Library


 * Jan Brandts, Sergey Korotov, Michal Krizek: "Simplicial Partitions with Applications to the Finite Element Method", Springer Monographs in Mathematics,ISBN 978-3030556761 (2020). url="https://www.springer.com/gp/book/9783030556761"
 * Grid Generation Methods - Liseikin, Vladimir D.

बाहरी संबंध

 * Periodic Table of the Finite Elements
 * Literature on Mesh Generation
 * Conferences, Workshops, Summerschools

Many commercial product descriptions emphasize simulation rather than the meshing technology that enables simulation.
 * Mesh generators
 * Lists of mesh generators (external):
 * Free/open source mesh generators
 * Public domain and commercial mesh generators
 * ANSA Pre-processor
 * ANSYS
 * CD-adapco and Siemens DISW
 * Comet Solutions
 * CGAL Computational Geometry Algorithms Library
 * Mesh generation
 * 2D Conforming Triangulations and Meshes
 * 3D Mesh Generation
 * CUBIT Cubit_mesh_generation_logo_facsimile.png
 * Ennova
 * Gmsh
 * Hextreme meshes
 * MeshLab
 * MSC Software
 * Omega_h Tri/Tet Adaptivity
 * Open FOAM Mesh generation and conversion
 * Salome Mesh module
 * TetGen
 * TetWild
 * TRIANGLE Mesh generation and Delaunay triangulation

These tools generate the partitioned meshes required for multi-material finite element modelling.
 * Multi-domain partitioned mesh generators
 * MDM(Multiple Domain Meshing) generates unstructured tetrahedral and hexahedral meshes for a composite domain made up of heterogeneous materials, automatically and efficiently
 * QMDM (Quality Multi-Domain Meshing) produces a high quality, mutually consistent triangular surface meshes for multiple domains
 * QMDMNG, (Quality Multi-Domain Meshing with No Gap), produces a quality meshes with each one a two-dimensional manifold and no gap between two adjacent meshes.
 * SOFA_mesh_partitioning_tools generates partitioned tetrahedral meshes for multi-material FEM, based on CGAL.


 * Articles
 * Another Fine Mesh, MeshTrends Blog, Pointwise
 * Mesh Generation & Grid Generation on the Web
 * Mesh Generation group on LinkedIn


 * Research groups and people
 * Mesh Generation people on Google Scholar
 * David Bommes, Computer Graphics Group, University of Bern
 * David Eppstein's Geometry in Action, Mesh Generation
 * Jonathan Shewchuk's Meshing and Triangulation in Graphics, Engineering, and Modeling
 * Scott A. Mitchell
 * Robert Schneiders

Useful models (inputs) and meshes (outputs) for comparing meshing algorithms and meshes.
 * Models and meshes
 * HexaLab has models and meshes that have been published in research papers, reconstructed or from the original paper.
 * Princeton Shape Benchmark
 * Shape Retrieval Contest SHREC has different models each year, e.g.,
 * Shape Retrieval Contest of Non-rigid 3D Watertight Meshes 2011
 * Thingi10k meshed models from the Thingiverse

Modeling engines linked with mesh generation software to represent the domain geometry.
 * CAD models


 * ACIS by Spatial
 * Open Cascade

Common (output) file formats for describing meshes.
 * Mesh file formats
 * NetCDF
 * Genesis/Exodus
 * XDMF
 * VTK/VTU
 * MEDIT
 * MED/Salome
 * Gmsh
 * ANSYS mesh
 * OFF
 * Wavefront OBJ
 * PLY
 * STL
 * meshio can convert between all of the above formats.


 * Mesh visualizers
 * Blender
 * Mesh Viewer
 * Paraview


 * Tutorials
 * Cubit tutorials