अनुकूल माध्य

गणित में, अनुकूल माध्य औसत के कई प्रकारों में से एक है, और विशेष रूप से, पायथागॉरियन माध्यों में से एक है। यह कभी-कभी परिस्थितियों के लिए उपयुक्त होता है जब औसत दर (गणित) वांछित है।

अनुकूल माध्य को प्रेक्षणों के दिए गए समुच्चय के व्युत्क्रम के समान्तर माध्य के गुणक व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक साधारण उदाहरण के रूप में, 1, 4 और 4 का अनुकूल माध्य है
 * $$\left(\frac{1^{-1} + 4^{-1} + 4^{-1}}{3}\right)^{-1} = \frac{3}{\frac{1}{1} + \frac{1}{4} + \frac{1}{4}} = \frac{3}{1.5} = 2\,.$$

परिभाषा
धनात्मक वास्तविक संख्याओं का अनुकूल माध्य H $$x_1, x_2, \ldots, x_n$$ इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$H = \frac{n}{\frac1{x_1} + \frac1{x_2} + \cdots + \frac1{x_n}} = \frac{n}{\sum\limits_{i=1}^n \frac1{x_i}} = \left(\frac{\sum\limits_{i=1}^n x_i^{-1}}{n}\right)^{-1}.$$

उपरोक्त समीकरण में तीसरा सूत्र अनुकूल माध्य को व्युत्क्रम के समान्तर माध्य के व्युत्क्रम के रूप में व्यक्त करता है।

निम्नलिखित सूत्र से:


 * $$H = \frac{n\cdot \prod\limits_{j=1}^n x_j}{ \sum\limits_{i=1}^n \left\{\frac{1}{x_i}{\prod\limits_{j=1}^n x_j}\right\}}.$$

यह स्पष्ट है कि अनुकूल माध्य समान्तर माध्य और गुणोत्तर माध्य से संबंधित है। यह धनात्मक आदानों के लिए समान्तर माध्य का पारस्परिक द्वैतता (गणित) है:


 * $$1/H(1/x_1 \ldots 1/x_n) = A(x_1 \ldots x_n)$$

अनुकूल माध्य एक शूर-अवतल फलन है, और इसके न्यूनतम तर्कों का वर्चस्व है, इस अर्थ में कि तर्कों के किसी भी धनात्मक समुच्यय के लिए, $$\min(x_1 \ldots x_n) \le H(x_1 \ldots x_n) \le n \min(x_1 \ldots x_n)$$. इस प्रकार, अनुकूल माध्य को कुछ मानों को बड़े मानों में बदलकर अक्रमतः बड़ा नहीं बनाया जा सकता है (कम से कम एक मान अपरिवर्तित होने पर)।

अनुकूल माध्य अवतल फलन भी है, जो शूर-अवतलता से भी अधिक प्रबल गुण है। चूंकि केवल धनात्मक संख्याओं का उपयोग करने के लिए ध्यान रखना होगा, क्योंकि ऋणात्मक मानों का उपयोग किए जाने पर माध्य अवतल होने में विफल रहता है।

अन्य माध्य से संबंध
अनुकूल माध्य तीन पायथागॉरियन माध्य में से एक है। सभी धनात्मक डेटा समुच्यय के लिए कम से कम एक जोड़ी गैर-बराबर मान, अनुकूल माध्य हमेशा तीन माध्य में से कम से कम होता है, जबकि समान्तर माध्य हमेशा तीनों में से सबसे बड़ा होता है और ज्यामितीय माध्य हमेशा बीच में होता है। (यदि एक गैर-खाली डेटासेट में सभी मान समान हैं, तो तीन माध्य हमेशा एक दूसरे के बराबर होते हैं, उदाहरण के लिए, {2, 2, 2} के अनुकूल, ज्यामितीय और अंकगणितीय माध्य सभी 2 हैं।)

यह विशेष स्थिति M−1 सामान्यीकृत माध्य:


 * $$H\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) = M_{-1}\left(x_1, x_2, \ldots, x_n\right) = \frac{n}{x_1^{-1} + x_2^{-1} + \cdots + x_n^{-1}}$$

चूंकि संख्याओं की सूची का अनुकूल माध्य सूची के कम से कम तत्वों की ओर दृढ़ता से झुकता है, यह बड़े आउटलेयर के प्रभाव को कम करने और छोटे के प्रभाव को बढ़ाने के लिए (अंकगणित माध्य की तुलना में) जाता है।

समान्तर माध्य अधिकांशतः गलती से अनुकूल माध्य के लिए कॉल करने वाले स्थानों में उपयोग किया जाता है। गति के उदाहरण के लिए, 40 का समान्तर माध्य गलत है, और बहुत बड़ा है।

अनुकूल माध्य अन्य पायथागॉरियन माध्य से संबंधित है, जैसा कि नीचे दिए गए समीकरण में देखा गया है। इसे भाजक की व्याख्या n बार संख्याओं के गुणनफल के समान्तर माध्य के रूप में करके देखा जा सकता है, लेकिन हर बार j-वें पद को छोड़ दिया जाता है। अर्थात्, पहले पद के लिए, हम पहले को छोड़कर सभी n संख्याओं को गुणा करते हैं, दूसरे के लिए, हम दूसरे को छोड़कर सभी n संख्याओं को गुणा करते हैं, और इसी तरह अंश, n को छोड़कर, जो समान्तर माध्य के साथ जाता है, घात n का ज्यामितीय माध्य है। इस प्रकार n-वें अनुकूल माध्य n-वें ज्यामितीय और अंकगणितीय माध्य से संबंधित है। सामान्य सूत्र है


 * $$H\left(x_1, \ldots, x_n\right) =

\frac{\left(G\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)^n} {A\left(x_2 x_3 \cdots x_n, x_1 x_3 \cdots x_n, \ldots, x_1 x_2 \cdots x_{n-1}\right)} = \frac{\left(G\left(x_1, \ldots, x_n\right)\right)^n} {A\left(        \frac{1}{x_1} {\prod\limits_{i=1}^n x_i},         \frac{1}{x_2} {\prod\limits_{i=1}^n x_i},         \ldots,         \frac{1}{x_n} {\prod\limits_{i=1}^n x_i}       \right)}. $$ यदि गैर-समान संख्याओं का समुच्यय एक माध्य-संरक्षण प्रसार के अधीन है - अर्थात, समुच्यय के दो या दो से अधिक तत्व समान्तर माध्य को अपरिवर्तित छोड़ते हुए एक दूसरे से अलग हो जाते हैं - तब अनुकूल माध्य हमेशा घटता है।

दो नंबर
सिर्फ दो नंबरों के विशेष मामले के लिए, $$x_1$$ और $$x_2$$, अनुकूल माध्य लिखा जा सकता है
 * $$H = \frac{2x_1 x_2}{x_1 + x_2} \qquad $$ या   $$ \qquad \frac{1}{H} = \frac{(1/x_1) + (1/x_2)}{2}.$$

इस विशेष मामले में, अनुकूल माध्य समान्तर माध्य से संबंधित है $$A = \frac{x_1 + x_2}{2}$$ और ज्यामितीय माध्य $$G = \sqrt{x_1 x_2},$$ द्वारा
 * $$H = \frac{G^2}{A} = G\left(\frac{G}{A}\right).$$

तब से $$\tfrac{G}{A} \le 1$$ अंकगणित और गुणोत्तर माध्य की असमानता से, यह n = 2 मामले के लिए दिखाता है कि H ≤ G (गुण जो वास्तव में सभी n के लिए है)। इसका अनुसरण भी करता है $$G = \sqrt{AH}$$, जिसका अर्थ है कि दो संख्याओं का ज्यामितीय माध्य उनके अंकगणितीय और अनुकूल माध्य के ज्यामितीय माध्य के बराबर होता है।

तीन नंबर
तीन संख्याओं के विशेष मामले के लिए, $$x_1$$, $$x_2$$ और $$x_3$$, अनुकूल माध्य लिखा जा सकता है
 * $$H = \frac{3 x_1 x_2 x_3}{x_1 x_2 + x_1 x_3 + x_2 x_3}.$$

तीन धनात्मक संख्याएँ H, G, और A क्रमशः तीन धनात्मक संख्याओं के अनुकूल, ज्यामितीय और अंकगणितीय माध्य हैं यदि और केवल यदि निम्नलिखित असमानता रखती है


 * $$\frac{A^3}{G^3} + \frac{G^3}{H^3} + 1 \le \frac3{4} \left(1 + \frac{A}{H}\right)^2.$$

भारित अनुकूल माध्य
यदि भार का समुच्यय $$w_1$$, ..., $$w_n$$ डेटासेट $$x_1$$, ..., $$x_n$$ से जुड़ा हुआ है, भारित अनुकूल माध्य परिभाषित किया गया है

H = \frac{\sum\limits_{i=1}^n w_i}{\sum\limits_{i=1}^n \frac{w_i}{x_i}} = \left( \frac{\sum\limits_{i=1}^n w_i x_i^{-1}}{\sum\limits_{i=1}^n w_i} \right)^{-1}. $$ अभारित अनुकूल माध्य को विशेष मामले के रूप में माना जा सकता है जहां सभी भार समान होते हैं।

औसत गति
दर (गणित) और अनुपात से जुड़ी कई स्थितियों में, अनुकूल माध्य सही औसत प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यदि कोई वाहन एक निश्चित दूरी d बाहर की ओर गति x (जैसे 60 किमी/घंटा) से यात्रा करता है और उसी दूरी को y गति (जैसे 20 किमी/घंटा) से वापस करता है, तो इसकी औसत गति x और y (30 किमी/घंटा) का अनुकूल माध्य है, समान्तर माध्य (40 किमी/घंटा) नहीं है। कुल यात्रा का समय वही है जैसे कि उसने उस औसत गति से पूरी दूरी तय की थी। इसे इस प्रकार सिद्ध किया जा सकता है:

पूरी यात्रा के लिए औसत गति=

$तय की गई कुल दूरी⁄प्रत्येक खंड के लिए समय का योग$ = $2d⁄d⁄x + d⁄y$ = $2⁄1⁄x+1⁄y$

हालाँकि, यदि वाहन एक निश्चित समय के लिए गति x पर और फिर समान समय के लिए गति y पर यात्रा करता है, तो इसकी औसत गति x और y का समान्तर माध्य है, जो उपरोक्त उदाहरण में 40 किमी/घंटा है।

पूरी यात्रा के लिए औसत गति =

$तय की गई कुल दूरी⁄प्रत्येक खंड के लिए समय का योग$ = $xt+yt⁄2t$ = $x+y⁄2$

एक ही सिद्धांत दो से अधिक खंडों पर लागू होता है: अलग-अलग गति पर उप-यात्राओं की श्रृंखला दी गई है, यदि प्रत्येक उप-यात्रा समान दूरी तय करती है, तो औसत गति सभी उप-यात्रा गति का अनुकूल माध्य है, और यदि प्रत्येक उप-यात्रा में समान समय लगता है, तो औसत गति सभी उप-यात्रा गतियों का समान्तर माध्य है। (यदि कोई भी स्थिति नहीं है, तो भारित अनुकूल माध्य या भारित समान्तर माध्य की आवश्यकता होती है। समान्तर माध्य के लिए, यात्रा के प्रत्येक भाग की गति उस भाग की अवधि से भारित होती है, जबकि अनुकूल माध्य के लिए संगत भार दूरी है। दोनों ही स्थितियों में, परिणामी सूत्र कुल दूरी को कुल समय से विभाजित करने के लिए कम हो जाता है।)

चूंकि, दूरी द्वारा भार के मामले में अनुकूल माध्य के उपयोग से बचा जा सकता है। समस्या को यात्रा की धीमी गति ज्ञात करने के रूप में प्रस्तुत करें जहाँ मंद गति (घंटे प्रति किलोमीटर में) गति का व्युत्क्रम है। जब यात्रा की धीमी गति पाई जाती है, तो इसे उलट दें जिससे कि यात्रा की वास्तविक औसत गति का पता लगाया जा सके। प्रत्येक यात्रा खंड i के लिए, मंद गति si = 1/speedi, फिर si  का भारित समान्तर माध्य लें, का उनकी संबंधित दूरियों द्वारा भारित किया जाता है (वैकल्पिक रूप से सामान्यीकृत भारों के साथ जिससे कि उन्हें यात्रा की लंबाई से विभाजित करके उनका योग 1 हो जाए)। यह सही औसत मंद गति (प्रति किलोमीटर समय में) देता है। यह पता चला है कि यह प्रक्रिया, जो अनुकूल माध्य के ज्ञान के बिना की जा सकती है, उसी गणितीय संचालन के बराबर होती है, जैसा कि अनुकूल माध्य का उपयोग करके इस समस्या को हल करने में उपयोग किया जाएगा। इस प्रकार यह दिखाता है कि इस मामले में अनुकूल माध्य क्यों काम करता है।

घनत्व
इसी तरह, यदि कोई मिश्रधातु के घनत्व को उसके घटक तत्वों और उनके द्रव्यमान अंशों (या, समतुल्य, द्रव्यमान द्वारा प्रतिशत) के घनत्व का अनुमान लगाना चाहता है, तो मिश्र धातु का अनुमानित घनत्व (परमाणु के कारण आम तौर पर मामूली मात्रा में परिवर्तन को छोड़कर) पैकिंग प्रभाव) व्यक्तिगत घनत्व का भारित अनुकूल माध्य है, भारित समान्तर माध्य के अतिरिक्त द्रव्यमान द्वारा भारित होता है, जैसा कि पहली बार में उम्मीद की जा सकती है। भारित समान्तर माध्य का उपयोग करने के लिए, घनत्वों को आयतन द्वारा भारित करना होगा। द्रव्यमान इकाइयों को तत्व द्वारा लेबल करते हुए समस्या का आयामी विश्लेषण लागू करना और यह सुनिश्चित करना कि केवल तत्व-द्रव्यमान रद्द करना ही इसे स्पष्ट करता है।

बिजली
यदि कोई दो विद्युत प्रतिरोधों को समानांतर में जोड़ता है, एक का प्रतिरोध x (जैसे, 60Ω) और एक का प्रतिरोध y (जैसे, 40 Ω), तो प्रभाव वैसा ही होता है जैसे कि एक ही प्रतिरोध वाले दो प्रतिरोधों का उपयोग किया गया हो, दोनों x और y (48 Ω) के अनुकूल माध्य के बराबर: समतुल्य प्रतिरोध, दोनों ही स्थितियों में, 24 Ω (अनुकूल माध्य का आधा) है। यही सिद्धांत श्रृंखला में संधारित्र या समानांतर में प्रेरक पर लागू होता है।

चूंकि, यदि कोई प्रतिरोधों को श्रृंखला में जोड़ता है, तो औसत प्रतिरोध x और y (50 Ω) का समान्तर माध्य होता है, कुल प्रतिरोध इसके दोगुने के बराबर होता है, x और y (100 Ω) का योग। यह सिद्धांत समानांतर में कैपेसिटर या श्रृंखला में प्रेरक पर लागू होता है।

पिछले उदाहरण की तरह, यही सिद्धांत तब लागू होता है जब दो से अधिक प्रतिरोधक, कैपेसिटर या प्रेरक जुड़े होते हैं, बशर्ते कि सभी समानांतर में हों या सभी श्रृंखला में हों।

अर्धचालक की चालकता प्रभावी द्रव्यमान को तीन क्रिस्टलोग्राफिक दिशाओं के साथ प्रभावी द्रव्यमान के अनुकूल माध्य के रूप में भी परिभाषित किया गया है।

प्रकाशिकी
अन्य ऑप्टिक समीकरण के लिए, पतली लेंस समीकरण $1⁄f$ = $1⁄u$ + $1⁄v$ इस तरह से फिर से लिखा जा सकता है कि फोकल लंबाई f लेंस से सब्जेक्ट u और ऑब्जेक्ट v की दूरी के अनुकूल माध्य का आधा है।

वित्त में
भारित अनुकूल माध्य गुणकों के औसत के लिए बेहतर तरीका है, जैसे मूल्य-आय अनुपात (पी/ई)। यदि इन अनुपातों को भारित समान्तर माध्य का उपयोग करके औसत किया जाता है, तो उच्च डेटा बिंदुओं को निम्न डेटा बिंदुओं की तुलना में अधिक भार दिया जाता है। भारित अनुकूल माध्य, दूसरी ओर, प्रत्येक डेटा बिंदु को सही ढंग से भारित करता है। साधारण भारित समान्तर माध्य जब गैर-मूल्य सामान्यीकृत अनुपातों जैसे पी/ई पर लागू किया जाता है तो यह ऊपर की ओर अभिनत होता है और इसे संख्यात्मक रूप से उचित नहीं ठहराया जा सकता है, क्योंकि यह समान आय पर आधारित है, जिस तरह वाहनों की गति को राउंडट्रिप यात्रा के लिए औसत नहीं किया जा सकता है (ऊपर देखें)।

उदाहरण के लिए, दो फर्मों पर विचार करें, जिनमें से एक $150 बिलियन के बाजार पूंजीकरण और $5 बिलियन (30 का पी/ई) की कमाई और एक $1 बिलियन के बाजार पूंजीकरण और $1 मिलियन (1000 का पी/ई) की कमाई के साथ है। दो शेयरों से बने सूचकांक (वित्त) पर विचार करें, जिसमें पहले में 30% निवेश किया गया और दूसरे में 70% निवेश किया गया। हम इस सूचकांक के पी/ई अनुपात की गणना करना चाहते हैं।

भारित समान्तर माध्य का उपयोग करना (गलत):
 * $$P/E = 0.3 \times 30 + 0.7 \times 1000 = 709$$

भारित अनुकूल माध्य (सही) का उपयोग करना:
 * $$P/E = \frac{0.3 + 0.7}{0.3/30 + 0.7/1000} \approx 93.46$$

इस प्रकार, इस सूचकांक का 93.46 का सही पी/ई केवल भारित अनुकूल माध्य का उपयोग करके पाया जा सकता है, जबकि भारित समान्तर माध्य इसे महत्वपूर्ण रूप से अधिक अनुमानित करेगा।

ज्यामिति में
किसी त्रिभुज में, त्रिभुज के अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त की त्रिज्या ऊंचाई (त्रिकोण) के अनुकूल माध्य का एक तिहाई है।

एक समबाहु त्रिभुज ABC के लघु वृत्त चाप (ज्यामिति) BC पर किसी भी बिंदु P के लिए, क्रमशः B और C से दूरी q और t के साथ, और PA और BC का प्रतिच्छेदन बिंदु P से y दूरी पर होने के साथ, हमारे पास है वह y, q और t का आधा अनुकूल माध्य है।

एक समकोण त्रिभुज में लेग a और b और ऊँचाई (त्रिकोण) h कर्ण से समकोण तक, $h²$ का आधा अनुकूल माध्य $a²$ और $b²$ है।

मान लीजिए कि t और s (t > s) कर्ण c वाले समकोण त्रिभुज में दो अंकित वर्गों की भुजाएँ हैं। फिर $s²$ के आधे अनुकूल माध्य $c²$ और $t²$ के बराबर है।

मान लीजिए कि एक समलम्ब चतुर्भुज के शीर्ष A, B, C, और D क्रम में हैं और समानांतर भुजाएँ AB और CD हैं। मान लीजिए E विकर्ण का प्रतिच्छेदन है, और F भुजा DA पर है और G भुजा BC पर इस प्रकार है कि FEG, AB और CD के समांतर है। फिर FG AB और DC का अनुकूल माध्य है। (यह समरूप त्रिभुजों का प्रयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।)

इस समलम्ब चतुर्भुज परिणाम का एक अनुप्रयोग क्रॉस्ड लैडर समस्या में है, जहाँ दो लैडर एक वीथि के विपरीत स्थित होती हैं, जिनमें से प्रत्येक एक साइडवॉल के आधार पर होती है, जिसमें से एक ऊंचाई A पर दीवार के सहारे झुकती है और दूसरी विपरीत दीवार के सहारे झुकती है। ऊंचाई B, जैसा कि दिखाया गया है। लैडर वीथि के तल से h की ऊँचाई पर पार करती हैं। फिर h, A और B का आधा अनुकूल माध्य है। यह परिणाम अभी भी मान्य है यदि दीवारें तिरछी हैं लेकिन अभी भी समानांतर हैं और ऊँचाई A, B, और h को दीवारों के समानांतर रेखाओं के साथ फर्श से दूरी के रूप में मापा जाता है। यह समलम्ब चतुर्भुज के क्षेत्रफल सूत्र और क्षेत्रफल योग सूत्र का उपयोग करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है।

एक दीर्घवृत्त में, अर्ध-सीधी तरफ (लघु अक्ष के समानांतर रेखा के साथ दीर्घवृत्त की फोकस से दूरी) फोकस से दीर्घवृत्त की अधिकतम और न्यूनतम दूरी का अनुकूल माध्य है।

अन्य विज्ञानों में
कंप्यूटर विज्ञान में, विशेष रूप से सूचना पुनर्प्राप्ति और यंत्र शिक्षण, परिशुद्धता (अनुमानित सकारात्मक प्रति वास्तविक सकारात्मक) और रिकॉल (सच्चा सकारात्मक का अनुकूल माध्य अधिकांशतः कलन गणित और प्रणाली के मूल्यांकन के लिए एक समग्र प्रदर्शन स्कोर के रूप में उपयोग किया जाता है: एफ 1 स्कोर (या एफ-माप)। इसका उपयोग सूचना पुनर्प्राप्ति में किया जाता है क्योंकि केवल धनात्मक वर्ग ही प्रासंगिक होता है, जबकि ऋणात्मक की संख्या, सामान्य रूप से, बड़ी और अज्ञात होती है। इस प्रकार यह एक व्यापार-बंद है कि क्या सही धनात्मक भविष्यवाणियों को अनुमानित धनात्मक या वास्तविक धनात्मक की संख्या के संबंध में मापा जाना चाहिए, इसलिए इसे धनात्मक संख्या के विरुद्ध मापा जाता है जो दो संभावित भाजक का समान्तर माध्य है।

समस्याओं में बुनियादी बीजगणित से परिणाम उत्पन्न होता है जहां लोग या प्रणाली एक साथ काम करते हैं। उदाहरण के तौर पर, यदि गैस से चलने वाला पंप किसी पूल को 4 घंटे में खाली कर सकता है और बैटरी से चलने वाला पंप उसी पूल को 6 घंटे में खाली कर सकता है, तो इसमें दोनों पंप लगेंगे $6·4⁄6 + 4$, जो पूल को एक साथ खाली करने के लिए 2.4 घंटे के बराबर है। यह 6 और 4 के अनुकूल माध्य का आधा है: $2·6·4⁄6 + 4 = 4.8$. अर्थात्, दो प्रकार के पंपों के लिए उपयुक्त औसत अनुकूल माध्य है, और पंपों की जोड़ी (दो पंप) के साथ, यह अनुकूल माध्य समय का आधा लेता है, जबकि दो जोड़े पंपों (चार पंपों) के साथ यह अनुकूल माध्य समय का चौथाई ले जाएगा।

जल विज्ञान में, अनुकूल माध्य का उपयोग समान रूप से प्रवाह के लिए हाइड्रोलिक चालकता मूल्यों को औसत करने के लिए किया जाता है जो परतों (जैसे, भूगर्भीय या मिट्टी) के लंबवत होता है - परतों के समानांतर प्रवाह समान्तर माध्य का उपयोग करता है। औसत में यह स्पष्ट अंतर इस तथ्य से समझाया गया है कि जल विज्ञान चालकता का उपयोग करता है, जो प्रतिरोधकता का व्युत्क्रम है।

सेबरमेट्रिक्स में, एक खिलाड़ी का पावर-स्पीड नंबर (पीएसएन) उनके होम रन और स्टोलेन बेसयोग का अनुकूल माध्य होता है।

जनसंख्या आनुवंशिकी में, प्रभावी जनसंख्या आकार पर जनगणना जनसंख्या आकार में उतार-चढ़ाव के प्रभावों की गणना करते समय अनुकूल माध्य का उपयोग किया जाता है। अनुकूल माध्य इस तथ्य को ध्यान में रखता है कि जनसंख्या विकट जैसी घटनाएं: अड़चनें दर आनुवंशिक बहाव को बढ़ाती हैं और जनसंख्या में आनुवंशिक भिन्नता की मात्रा को कम करती हैं। यह इस तथ्य का परिणाम है कि आने वाली कई पीढ़ियों के लिए आबादी में सम्मलित आनुवंशिक भिन्नता को सीमित करने वाले जीन पूल में बहुत कम व्यक्ति योगदान करते हैं।

ऑटोमोबाइल में ईंधन की बचत पर विचार करते समय सामान्यतः दो उपायों का उपयोग किया जाता है - मील प्रति गैलन (mpg), और लीटर प्रति 100 किमी। चूंकि इन मात्राओं के आयाम एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं (एक मात्रा प्रति दूरी है, दूसरी मात्रा प्रति दूरी है) कारों की श्रृंखला की ईंधन अर्थव्यवस्था का औसत मूल्य लेते समय एक उपाय दूसरे के अनुकूल माध्य का उत्पादन करेगा - अर्थात, लीटर प्रति 100 किमी में अभिव्यक्त ईंधन अर्थव्यवस्था के औसत मूल्य को मील प्रति गैलन में परिवर्तित करने से मील प्रति गैलन में अभिव्यक्त ईंधन अर्थव्यवस्था का अनुकूल माध्य प्राप्त होगा। व्यक्तिगत ईंधन की खपत से वाहनों के बेड़े की औसत ईंधन खपत की गणना के लिए, यदि बेड़े मील प्रति गैलन का उपयोग करता है, तो अनुकूल माध्य का उपयोग किया जाना चाहिए, जबकि समान्तर माध्य का उपयोग किया जाना चाहिए, यदि फ्लीट प्रति 100 किमी लीटर का उपयोग करता है। संयुक्त राज्य अमेरिका में सीएएफई मानक (संघीय ऑटोमोबाइल ईंधन खपत मानक) अनुकूल माध्य का उपयोग करते हैं।

रसायन विज्ञान और परमाणु भौतिकी में विभिन्न प्रजातियों (जैसे, अणु या समस्थानिक) से बने मिश्रण के कण का औसत द्रव्यमान उनके संबंधित द्रव्यमान अंश द्वारा भारित व्यक्तिगत प्रजातियों के द्रव्यमान के अनुकूल माध्य द्वारा दिया जाता है।

β वितरण
फ़ाइल: β वितरण के लिए अनुकूल माध्य बैंगनी = H (X), पीला =H1 − X,

छोटे मान α और β सामने - J. Rodal.jpg|thumb|β वितरण के लिए अनुकूल माध्य बैंगनी = H (X), पीला =H1 − X, छोटे मान α और β सामने फ़ाइल: β वितरण के लिए अनुकूल माध्य बैंगनी = H (X), पीला =H1 − X, larger values α and β in front - J. Rodal.jpg|thumb|β वितरण के लिए अनुकूल माध्य बैंगनी = H (X), पीला = H1 − X, बड़े मूल्य α और β सामने

आकार मापदण्ड α और β के साथ β वितरण का अनुकूल माध्य है:


 * $$H = \frac{\alpha - 1}{\alpha + \beta - 1} \text{ conditional on } \alpha > 1 \, \, \& \, \, \beta > 0 $$

α <1 के साथ अनुकूल माध्य अपरिभाषित है क्योंकि इसकी परिभाषित अभिव्यक्ति [0, 1] में सीमित नहीं है।

माना α = β


 * $$H = \frac{\alpha - 1}{2 \alpha - 1}$$

दिखा रहा है कि α = β के लिए अनुकूल माध्य 0 से α = β = 1 के लिए, α = β → ∞ के लिए 1/2 तक है।

निम्नलिखित मापदण्ड परिमित (गैर-शून्य) के साथ सीमाएँ हैं और अन्य मापदण्ड इन सीमाओं तक पहुँच रहे हैं:


 * $$\begin{align}

\lim_{\alpha \to 0} H &= \text{ undefined } \\ \lim_{\alpha \to 1} H &= \lim_{\beta \to \infty} H = 0 \\ \lim_{\beta \to 0} H &= \lim_{\alpha \to \infty} H = 1 \end{align}$$ ज्यामितीय माध्य के साथ चार मापदण्ड मामले में अनुकूल माध्य अधिकतम संभावना अनुमान में उपयोगी हो सकता है।

एक दूसरा अनुकूल माध्य (H1 − X) इस वितरण के लिए भी सम्मलित है


 * $$H_{1-X} = \frac{\beta - 1}{\alpha + \beta - 1} \text{ conditional on } \beta > 1 \, \, \& \, \, \alpha > 0$$

β <1 वाला यह अनुकूल माध्य अपरिभाषित है क्योंकि इसकी परिभाषित अभिव्यक्ति [0, 1] में सीमित नहीं है।

उपरोक्त अभिव्यक्ति में α = β देना


 * $$H_{1-X} = \frac{\beta - 1}{2 \beta - 1} $$

दिखा रहा है कि α = β के लिए अनुकूल माध्य 0 से है, α = β = 1 के लिए, 1/2 के लिए, α = β → ∞ के लिए।

निम्नलिखित एक मापदण्ड परिमित (गैर शून्य) के साथ सीमाएँ हैं और अन्य इन सीमाओं के करीब हैं:


 * $$\begin{align}

\lim_{\beta \to 0} H_{1-X} &= \text{ undefined } \\ \lim_{\beta \to 1} H_{1-X} &= \lim_{\alpha \to \infty} H_{1-X} = 0 \\ \lim_{\alpha \to 0} H_{1-X} &= \lim_{\beta \to \infty} H_{1-X} = 1 \end{align}$$ चूंकि दोनों अनुकूल माध्य असममित हैं, जब α = β दोनों माध्य बराबर होते हैं।

तार्किक वितरण
एक यादृच्छिक चर X के लॉगनॉर्मल वितरण का अनुकूल माध्य (H) है
 * $$H = \exp \left( \mu - \frac{1}{2} \sigma^2 \right),$$

जहां μ और σ2 वितरण के मापदण्ड हैं, अर्थात X के प्राकृतिक लघुगणक के वितरण का माध्य और प्रसरण।

वितरण के अनुकूल और अंकगणितीय माध्य संबंधित हैं


 * $$\frac{\mu^*}{H} = 1 + C_v^2 \, ,$$

जहां सीv और μ* भिन्नता का गुणांक और वितरण का माध्य क्रमशः हैं।

वितरण के ज्यामितीय (जी), अंकगणितीय और अनुकूल माध्य से संबंधित हैं
 * $$H \mu^* = G^2.$$

परेटो वितरण
टाइप 1 पेरेटो वितरण का अनुकूल माध्य है
 * $$H = k \left( 1 + \frac{1}{\alpha} \right)$$

जहाँ k पैमाने का मापदण्ड है और α आकार मापदण्ड है।

सांख्यिकी
यादृच्छिक नमूने के लिए, अनुकूल माध्य की गणना ऊपर की तरह की जाती है। अपेक्षित मान और प्रसरण दोनों अनंत हो सकते हैं (यदि इसमें 1/0 रूप का कम से कम एक पद सम्मलित है)।

माध्य और प्रसरण का प्रतिचयन वितरण
प्रतिचयन m का मतलब असमान रूप से सामान्य रूप से प्रसरण s2 के साथ वितरित किया जाता है।
 * $$s^2 = \frac{m \left[\operatorname{E}\left(\frac{1}{x} - 1\right)\right]}{m^2 n}$$

माध्य का प्रसरण ही है
 * $$\operatorname{Var}\left(\frac{1}{x}\right) = \frac{m \left[\operatorname{E}\left(\frac{1}{x} - 1\right)\right]}{n m^2}$$

जहाँ m व्युत्क्रमों का समान्तर माध्य है, x चर हैं, n जनसंख्या का आकार है और E अपेक्षा संकारक है।

डेल्टा विधि
यह मानते हुए कि प्रसरण अनंत नहीं है और यह कि केंद्रीय सीमा प्रमेय नमूने पर लागू होता है, फिर डेल्टा विधि का उपयोग करते हुए, प्रसरण है


 * $$\operatorname{Var}(H) = \frac{1}{n}\frac{s^2}{m^4}$$

जहाँ H अनुकूल माध्य है, m व्युत्क्रम का समान्तर माध्य है


 * $$m = \frac{1}{n} \sum{ \frac{1}{x} }.$$

s2 डेटा के व्युत्क्रम का प्रसरण है


 * $$s^2 = \operatorname{Var}\left( \frac{1}{x} \right) $$

और n नमूने में डेटा बिंदुओं की संख्या है।

जैकनाइफ विधि
यदि माध्य ज्ञात हो, तो प्रसरण का अनुमान लगाने जैकनाइफ विधि संभव है। यह विधि 'डिलीट m' संस्करण के अतिरिक्त सामान्य 'डिलीट 1' है।

इस विधि में पहले नमूने के माध्य (m) की गणना की आवश्यकता होती है
 * $$m = \frac{n}{ \sum{ \frac{1}{x} } }$$

जहाँ x प्रतिचयन मान हैं।

मूल्य wi की श्रृंखला गणना की जाती है
 * $$w_i = \frac{n - 1}{ \sum_{j \neq i} \frac{1}{x} }.$$

wi का माध्य (h) तब लिया जाता है:
 * $$h = \frac{1}{n} \sum{w_i}$$

माध्य का प्रसरण है
 * $$\frac{n - 1}{n} \sum{(m - w_i)}^2.$$

माध्य के लिए महत्व परीक्षण और कॉन्फिडेंस इंटरवल का अनुमान t परीक्षण के साथ लगाया जा सकता है।

आकार अभिनत नमूनाकरण
मान लें कि यादृच्छिक चर का वितरण f( x ) है। यह भी मान लें कि किसी चर के चुने जाने की संभावना उसके मूल्य के समानुपाती होती है। इसे लंबाई आधारित या आकार अभिनत नमूनाकरण के रूप में जाना जाता है।

माना μ जनसंख्या का माध्य है। तब प्रायिकता घनत्व फलन f*( x ) आकार अभिनत जनसंख्या का है
 * $$f^*(x) = \frac{x f(x)}{\mu}$$

इस लंबाई के अभिनत वितरण की अपेक्षा E*( x ) है :

$$\operatorname{E}^*(x) = \mu \left[ 1 + \frac{\sigma^2}{\mu^2} \right]$$

जहां σ2 प्रसरण है।

अनुकूल माध्य की अपेक्षा गैर-लम्बाई अभिनत संस्करण E( x ) के समान है
 * $$ E^*( x^{ -1 } ) = E( x )^{ -1 } $$

कपड़ा निर्माण सहित कई क्षेत्रों में लंबाई अभिनत नमूनाकरण की समस्या उत्पन्न होती है वंशावली विश्लेषण और उत्तरजीविता विश्लेषण

अकमन एट अल नमूनों में लंबाई आधारित अभिनत का पता लगाने के लिए परीक्षण विकसित किया है।

स्थानांतरित चर
यदि X धनात्मक यादृच्छिक चर है और q > 0 है तो सभी ε > 0 के लिए
 * $$\operatorname{Var} \left[\frac{1}{(X + \epsilon)^q}\right] < \operatorname{Var} \left(\frac{1}{X^q}\right) .$$

क्षण
यह मानते हुए कि X और E(X) > 0 हैं :

$$\operatorname{E}\left[ \frac{1}{X} \right] \ge \frac{1}{ \operatorname{E}(X) }$$

यह जेन्सेन की असमानता से अनुसरण करता है।

गुरलैंड ने दिखाया है वितरण के लिए जो केवल धनात्मक मान लेता है, किसी भी n > 0 के लिए
 * $$\operatorname{E} \left(X^{-1}\right) \ge \frac{\operatorname{E} \left(X^{n-1}\right)}{\operatorname{E}\left(X^n\right)} .$$

कुछ शर्तों के अनुसार
 * $$\operatorname{E}(a + X)^{-n} \sim \operatorname{E}\left(a + X^{-n}\right)$$

जहाँ ~ का अर्थ लगभग बराबर है।

प्रतिचयन गुण
यह मानते हुए कि चर (x) एक सामान्य वितरण से तैयार किए गए हैं, H के लिए कई संभावित अनुमानक हैं:


 * $$\begin{align}

H_1 &= \frac{n}{ \sum\left(\frac{1}{x}\right) } \\ H_2 &= \frac{\left( \exp\left[ \frac{1}{n} \sum \log_e(x) \right] \right)^2}{ \frac{1}{n} \sum(x) } \\ H_3 &= \exp \left(m - \frac{1}{2} s^2 \right) \end{align}$$ जहा
 * $$m = \frac{1}{n} \sum \log_e (x)$$
 * $$s^2 = \frac{1}{n} \sum \left(\log_e (x) - m\right)^2$$

इनमें H3 शायद 25 या अधिक के नमूनों के लिए सबसे अच्छा अनुमानक है।

अभिनत और भिन्नता अनुमानक
अभिनत औरH1 के प्रसरण के लिए प्रथम क्रम सन्निकटन हैं
 * $$\begin{align}

\operatorname{bias}\left[ H_1 \right] &= \frac{H C_v}{n} \\ \operatorname{Var}\left[ H_1 \right] &= \frac{H^2 C_v}{n} \end{align}$$ जहां Cv भिन्नता का गुणांक है।

इसी तरह H3 के अभिनत और प्रसरण के लिए प्रथम क्रम सन्निकटन हैं


 * $$\begin{align}

\frac{H \log_e \left(1 + C_v\right)}{2n} \left[ 1 + \frac{1 + C_v^2}{2} \right] \\ \frac{H \log_e \left(1 + C_v\right)}{n} \left[ 1 + \frac{1 + C_v^2}{4} \right] \end{align}$$ संख्यात्मक प्रयोगों में H3, H1 की तुलना में सामान्यतः अनुकूल माध्य का बेहतर अनुमानक है. H2 ऐसे अनुमान उत्पन्न करता है जो काफी हद तक H1 के समान हैं।

टिप्पणियाँ
The Environmental Protection Agency recommends the use of the harmonic mean in setting maximum toxin levels in water.

In geophysical reservoir engineering studies, the harmonic mean is widely used.

यह भी देखें

 * कॉन्ट्राहार्मोनिक मतलब
 * सामान्यीकृत माध्य
 * अनुकूल संख्या
 * दर (गणित)
 * भारित माध्य
 * समानांतर योग
 * जियोमेट्रिक माध्य
 * भारित ज्यामितीय माध्य
 * एचएम-जीएम-एएम-क्यूएम असमानताएं

बाहरी कड़ियाँ

 * Averages, Arithmetic and Harmonic Means at cut-the-knot
 * Averages, Arithmetic and Harmonic Means at cut-the-knot