मध्य वोटर प्रमेय

माध्य मतदाता प्रमेय 1948 में डंकन ब्लैक द्वारा प्रस्तुत रैंकिंग वोटिंग से संबंधित एक प्रस्ताव है। इसमें कहा गया है कि अगर मतदाताओं और नीतियों को एक आयामी राजनीतिक स्पेक्ट्रम के साथ वितरित किया जाता है, मतदाताओं की निकटता के क्रम में विकल्पों की रैंकिंग के साथ, तो कोई भी मतदान पद्धति जो कोंडोरसेट मानदंड को पूरा करती है, उम्मीदवार को औसत मतदाता के निकटतम उम्मीदवार का चुनाव करेगी। विशेष रूप से, दो विकल्पों के बीच बहुमत ऐसा करेगा।

प्रमेय सार्वजनिक पसंद और सांख्यिकीय राजनीति विज्ञान से जुड़ा है। पार्थ दासगुप्ता और एरिक मस्किन  ने तर्क दिया है कि यह कॉन्डोर्सेट मानदंड के आधार पर मतदान के तरीकों के लिए एक शक्तिशाली औचित्य प्रदान करता है। प्लॉट का बहुमत नियम संतुलन प्रमेय इसे दो आयामों तक बढ़ाता है।

हेरोल्ड होटलिंग द्वारा पहले (1929 में) एक ढीला-ढाला दावा किया गया था। यह एक वास्तविक प्रमेय नहीं है और इसे औसत मतदाता सिद्धांत या औसत मतदाता मॉडल के रूप में जाना जाता है। इसमें कहा गया है कि एक प्रतिनिधि लोकतंत्र में, राजनेता औसत मतदाता के दृष्टिकोण से अभिसरण करेंगे।

प्रमेय का कथन और प्रमाण
मान लें कि विषम संख्या में मतदाता हैं और कम से कम दो उम्मीदवार हैं, और मान लें कि राय एक स्पेक्ट्रम के साथ वितरित की जाती है। मान लें कि प्रत्येक मतदाता उम्मीदवारों को निकटता के क्रम में रैंक करता है जैसे कि मतदाता के निकटतम उम्मीदवार को उनकी पहली वरीयता प्राप्त होती है, अगले निकटतम को उनकी दूसरी वरीयता प्राप्त होती है, और आगे भी। फिर एक औसत मतदाता है और हम दिखाएंगे कि चुनाव उस उम्मीदवार द्वारा जीता जाएगा जो उसके सबसे निकट होगा।

कोंडोरसेट मानदंड को किसी भी मतदान पद्धति से संतुष्ट होने के रूप में परिभाषित किया गया है जो यह सुनिश्चित करता है कि एक उम्मीदवार जो अधिकांश मतदाताओं द्वारा हर दूसरे उम्मीदवार को पसंद किया जाता है, वह विजेता होगा, और चार्ल्स के मामले में ठीक यही स्थिति है; इसलिए यह इस प्रकार है कि चार्ल्स कॉन्डोर्सेट कसौटी को संतुष्ट करने वाली विधि का उपयोग करके आयोजित किसी भी चुनाव को जीतेंगे।

इसलिए किसी भी मतदान पद्धति के तहत जो कोंडोरसेट मानदंड को पूरा करता है, विजेता वह उम्मीदवार होगा जो औसत मतदाता द्वारा पसंद किया जाता है। द्विआधारी निर्णय के लिए बहुमत वोट कसौटी पर खरे उतरते हैं; मल्टीवे वोट के लिए कई तरीके इसे संतुष्ट करते हैं (देखें कोंडोरसेट विधि)।

प्रमाण - बता दें कि माध्यिका मतदाता मार्लीन है। जो उम्मीदवार उसके सबसे करीब होगा उसे उसकी पहली वरीयता का वोट मिलेगा। मान लीजिए कि यह उम्मीदवार चार्ल्स है और वह उसके बाईं ओर झूठ बोलता है। तब मार्लीन और उसके बाईं ओर के सभी मतदाता (मतदाताओं का बहुमत शामिल) चार्ल्स को उसके दाईं ओर के सभी उम्मीदवारों को पसंद करेंगे, और मार्लीन और उसके दाईं ओर के सभी मतदाता चार्ल्स को उसके बाईं ओर के सभी उम्मीदवारों को पसंद करेंगे।

अनुमान
प्रमेय तब भी लागू होता है जब मतदाताओं की संख्या सम होती है, लेकिन विवरण इस बात पर निर्भर करता है कि संबंधों को कैसे सुलझाया जाता है।

यह धारणा कि वरीयताएँ निकटता के क्रम में डाली जाती हैं, केवल यह कहने में ढील दी जा सकती है कि वे एकल शिखर वाली प्राथमिकताएँ हैं। यह धारणा कि विचार एक वास्तविक रेखा के साथ स्थित हैं, को अधिक सामान्य टोपोलॉजी की अनुमति देने के लिए शिथिल किया जा सकता है। स्थानिक / वैलेंस मॉडल: मान लीजिए कि प्रत्येक उम्मीदवार के पास अंतरिक्ष में उसकी स्थिति के अलावा एक वैलेंस पॉलिटिक्स (आकर्षण) है, और मान लीजिए कि मतदाता i उम्मीदवारों को j रैंक देता है वी के घटते क्रम मेंj- डीijजहां विjj की संयोजकता है और diji से j की दूरी है। तब माध्यिका मतदाता प्रमेय अभी भी लागू होता है: कोंडोरसेट विधियाँ माध्यिका मतदाता द्वारा मतदान किए गए उम्मीदवार का चुनाव करेंगी।

इतिहास
प्रमेय पहली बार 1948 में डंकन ब्लैक द्वारा निर्धारित किया गया था। उन्होंने लिखा है कि उन्होंने आर्थिक सिद्धांत में एक बड़ा अंतर देखा कि कैसे मतदान राजनीतिक निर्णयों सहित निर्णयों के परिणाम को निर्धारित करता है। ब्लैक के पेपर ने शोध को गति दी कि कैसे अर्थशास्त्र वोटिंग सिस्टम की व्याख्या कर सकता है। 1957 में एंथोनी डाउन्स ने अपनी पुस्तक एन इकोनॉमिक थ्योरी ऑफ डेमोक्रेसी में माध्यिका मतदाता प्रमेय पर विस्तार से बताया।

औसत मतदाता संपत्ति
हम कहेंगे कि एक मतदान पद्धति में एक आयाम में औसत मतदाता संपत्ति होती है यदि यह हमेशा एक आयामी स्थानिक मॉडल के तहत औसत मतदाता के निकटतम उम्मीदवार का चुनाव करती है। हम औसत मतदाता प्रमेय को संक्षेप में कह सकते हैं कि सभी कॉन्डोर्सेट विधियों में एक आयाम में औसत मतदाता संपत्ति होती है।

यह पता चला है कि कॉन्डोर्सेट के तरीके इस मामले में अद्वितीय नहीं हैं: कॉम्ब्स की विधि कॉन्डोर्सेट-संगत नहीं है, लेकिन फिर भी एक आयाम में औसत मतदाता संपत्ति को संतुष्ट करती है।

एक से अधिक आयामों में वितरण का विस्तार
मध्य मतदाता प्रमेय किसी भी आयाम के रिक्त स्थान में मतदाता राय के वितरण के लिए प्रतिबंधित रूप में लागू होता है। एक से अधिक आयामों में वितरण के लिए जरूरी नहीं कि सभी दिशाओं में एक माध्यिका हो (जिसे 'सर्वदिशात्मक माध्यिका' कहा जा सकता है); हालाँकि बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण सहित घूर्णी रूप से सममित वितरण के एक व्यापक वर्ग में इस प्रकार का माध्यिका होता है। जब भी मतदाताओं के वितरण का सभी दिशाओं में एक अनूठा माध्यिका होता है, और मतदाता निकटता के क्रम में उम्मीदवारों को रैंक करते हैं, तो माध्यिका मतदाता प्रमेय लागू होता है: माध्यिका के निकटतम उम्मीदवार को उसके या उसके सभी प्रतिद्वंद्वियों पर बहुमत पसंद होगा, और निर्वाचित किया जाएगा किसी भी मतदान पद्धति द्वारा माध्यिका मतदाता संपत्ति को एक आयाम में संतुष्ट करना। (यहाँ अद्वितीयता एक ही आयाम में नमूना आकार की विषमता द्वारा गारंटीकृत संपत्ति को सामान्य बनाती है।)

यह इस प्रकार है कि सभी कॉन्डोर्सेट विधियां - और कूम्ब्स भी - सर्वदिशात्मक मध्यस्थों के साथ मतदाता वितरण के लिए किसी भी आयाम के रिक्त स्थान में औसत मतदाता संपत्ति को संतुष्ट करती हैं।

मतदाता वितरण का निर्माण करना आसान है, जिसमें सभी दिशाओं में माध्यिका नहीं है। सबसे सरल उदाहरण में 3 बिंदुओं तक सीमित वितरण होता है जो एक सीधी रेखा में नहीं होता है, जैसे कि दूसरे आरेख में 1, 2 और 3। प्रत्येक मतदाता स्थान एक-आयामी अनुमानों के एक निश्चित सेट के तहत माध्यिका के साथ मेल खाता है। यदि ए, बी और सी उम्मीदवार हैं, तो '1' वोट ए-बी-सी, '2' वोट बी-सी-ए, और '3' सी-ए-बी वोट देगा, एक कॉन्डोर्सेट चक्र दे रहा है। यह मैककेल्वे-स्कोफील्ड कैओस प्रमेय का विषय है|मैककेल्वे-स्कोफील्ड प्रमेय।

सबूत। आरेख देखें, जिसमें ग्रे डिस्क एक वृत्त के ऊपर समान रूप से मतदाता वितरण का प्रतिनिधित्व करती है और M सभी दिशाओं में माध्यिका है। बता दें कि ए और बी दो उम्मीदवार हैं, जिनमें से ए माध्यिका के सबसे करीब है। तब मतदाता जो A को B से ऊपर रैंक करते हैं, ठीक वही हैं जो ठोस लाल रेखा के बाईं ओर (अर्थात 'A' पक्ष) हैं; और चूँकि A, B से M के अधिक निकट है, माध्यिका भी इस रेखा के बाईं ओर है।

अब, चूंकि एम सभी दिशाओं में एक माध्यिका है, यह नीले तीर द्वारा दिखाए गए दिशा के विशेष मामले में एक आयामी माध्यिका के साथ मेल खाता है, जो ठोस लाल रेखा के लंबवत है। इस प्रकार यदि हम नीले तीर के लंबवत M से होकर एक टूटी हुई लाल रेखा खींचते हैं, तो हम कह सकते हैं कि आधे मतदाता इस रेखा के बाईं ओर स्थित हैं। लेकिन चूँकि यह रेखा स्वयं ठोस लाल रेखा के बायीं ओर है, इसका अर्थ यह है कि आधे से अधिक मतदाता A को B से ऊपर स्थान देंगे।

सभी दिशाओं में माध्यिका और ज्यामितीय माध्यिका के बीच संबंध
जब भी कोई अद्वितीय सर्वदिशात्मक मध्यिका मौजूद होती है, तो यह कॉन्डोर्सेट मतदान विधियों के परिणाम को निर्धारित करती है। साथ ही मेडियन#बहुभिन्नरूपी_मीडियन को वरीयता वाले चुनाव के आदर्श विजेता के रूप में पहचाना जा सकता है (चुनाव प्रणालियों की तुलना देखें)। इसलिए दोनों के बीच के संबंध को जानना जरूरी है। वास्तव में जब भी सभी दिशाओं में एक माध्यिका मौजूद होती है (कम से कम असतत वितरण के मामले में), यह ज्यामितीय माध्यिका के साथ मेल खाता है।

लेम्मा। जब भी किसी डिस्क्रीट डिस्ट्रीब्यूशन में सभी दिशाओं में माध्यिका M होती है, तो M  पर स्थित नहीं होने वाले डेटा बिंदुओं को संतुलित जोड़े (A,A ' ) पर आना चाहिए संपत्ति के साथ एम के दोनों तरफ ए- एम- ए ' एक सीधी रेखा है (यानी 'ए' की तरह नहीं '0- एम - ए2 आरेख में)।

सबूत। यह परिणाम 1967 में चार्ल्स प्लॉट द्वारा बीजगणितीय रूप से सिद्ध किया गया था। यहां हम दो विमाओं में विरोधाभास द्वारा सरल ज्यामितीय प्रमाण देते हैं।

मान लीजिए, इसके विपरीत, बिंदुओं का एक समूह A हैiजिनके पास सभी दिशाओं में माध्य के रूप में M है, लेकिन जिनके लिए बिंदु M के साथ मेल नहीं खाता है, वे संतुलित जोड़े में नहीं आते हैं। फिर हम इस सेट से एम पर किसी भी बिंदु को हटा सकते हैं, और एम के बारे में किसी भी संतुलित जोड़े को बिना एम किसी भी दिशा में माध्यिका बने रह सकते हैं; इसलिए M  सर्वदिशात्मक माध्यिका बनी रहती है।

यदि शेष बिंदुओं की संख्या विषम है, तो हम M  के माध्यम से आसानी से एक रेखा खींच सकते हैं जैसे कि अधिकांश बिंदु इसके एक तरफ हों, जो M की माध्यिका संपत्ति के विपरीत हो।

यदि संख्या सम है, मान लीजिए 2n, तो हम बिंदुओं को A नाम दे सकते हैं0, ए1,... दक्षिणावर्त क्रम में M  के बारे में किसी भी बिंदु से शुरू होता है (आरेख देखें)। माना θ चाप द्वारा M –A से बनाया गया कोण है0 एम-ए के लिएn. फिर यदि θ < 180° जैसा कि दिखाया गया है, हम M  के माध्यम से टूटी हुई लाल रेखा के समान एक रेखा खींच सकते हैं, जिसके एक तरफ अधिकांश डेटा बिंदु हैं, फिर से M  की औसत संपत्ति का खंडन करते हैं; जबकि यदि θ> 180° दूसरी ओर के अधिकांश बिंदुओं के साथ यही लागू होता है। और अगर θ = 180°, तो A0 और एn एक अन्य धारणा का खंडन करते हुए एक संतुलित जोड़ी बनाएं।

प्रमेय। जब भी किसी डिस्क्रीट डिस्ट्रीब्यूशन में सभी दिशाओं में माध्यिका 'M'  होती है, तो यह अपने ज्यामितीय माध्यिका के साथ मेल खाता है।

सबूत। संतुलित जोड़े (A,A ' ) में डेटा बिंदुओं के एक सेट के लिए किसी भी बिंदु P  से दूरियों का योग लंबाई 'A का योग है– पी – ए '। जब लाइन सीधी होती है तो इस फ़ॉर्म की प्रत्येक व्यक्तिगत लंबाई P'  पर कम से कम हो जाती है, जैसा कि तब होता है जब P M के साथ मेल खाता है। P  से M पर स्थित किसी भी डेटा बिंदु की दूरियों का योग इसी तरह कम किया जाता है जब P  और M  मेल खाते हैं। इस प्रकार जब P M के साथ मेल खाता है, तो डेटा बिंदुओं से P तक की दूरी कम हो जाती है।

होटलिंग का नियम
अधिक अनौपचारिक अभिकथन - औसत मतदाता मॉडल - हेरोल्ड होटलिंग से संबंधित है| इसमें कहा गया है कि राजनेता औसत मतदाता के कब्जे वाली स्थिति की ओर बढ़ते हैं, या आम तौर पर चुनावी प्रणाली द्वारा समर्थित स्थिति की ओर बढ़ते हैं। 1929 में होटलिंग द्वारा इसे पहली बार (एक अवलोकन के रूप में, बिना किसी कठोरता के दावे के) सामने रखा गया था। होटललिंग ने राजनीतिज्ञों के व्यवहार को एक अर्थशास्त्री की दृष्टि से देखा। वह इस तथ्य से चकित थे कि एक विशेष सामान बेचने वाली दुकानें अक्सर एक कस्बे के एक ही हिस्से में एकत्रित होती हैं, और उन्होंने इसे राजनीतिक दलों के अभिसरण के रूप में देखा। दोनों ही मामलों में यह बाजार हिस्सेदारी को अधिकतम करने के लिए एक तर्कसंगत नीति हो सकती है।

मानव प्रेरणा के किसी भी लक्षण वर्णन के साथ यह मनोवैज्ञानिक कारकों पर निर्भर करता है जो आसानी से अनुमानित नहीं होते हैं, और कई अपवादों के अधीन होते हैं। यह मतदान प्रणाली पर भी निर्भर है: जब तक चुनावी प्रक्रिया ऐसा नहीं करती है, तब तक राजनेता औसत मतदाता के साथ अभिसरण नहीं करेंगे।

माध्यिका मतदाता प्रमेय का उपयोग
प्रमेय उस प्रकाश के लिए मूल्यवान है जो यह कुछ मतदान प्रणालियों की इष्टतमता (और इष्टतमता की सीमा) पर डालता है।

वेलेरियो डोट्टी आवेदन के व्यापक क्षेत्रों की ओर इशारा करते हैं: औसत मतदाता प्रमेय राजनीतिक अर्थव्यवस्था साहित्य में बेहद लोकप्रिय साबित हुआ। मुख्य कारण यह है कि इसे राजनीतिक प्रक्रिया की अन्य विशेषताओं से अलग करते हुए, मतदान आबादी की कुछ विशेषताओं और नीतिगत परिणामों के बीच संबंध के बारे में परीक्षण योग्य निहितार्थ प्राप्त करने के लिए अपनाया जा सकता है। 

वह कहते हैं कि... औसत मतदाता परिणाम अविश्वसनीय किस्म के प्रश्नों पर लागू किया गया है। पुनर्वितरण नीतियों में आय असमानता और सरकारी हस्तक्षेप के आकार के बीच संबंध का विश्लेषण इसके उदाहरण हैं (मेल्टज़र और रिचर्ड, 1981), अप्रवास नीतियों के निर्धारकों का अध्ययन (राज़िन और सदका, 1999), आय के विभिन्न प्रकारों पर कराधान की सीमा (बैसेटो और बेन्हाबीब, 2006), और भी बहुत कुछ।

यह भी देखें

 * तीर की असंभवता प्रमेय
 * मैककेल्वे-शोफिल्ड कैओस प्रमेय
 * मध्य तंत्र
 * रैंक वोटिंग

अग्रिम पठन

 * Dasgupta, Partha and Eric Maskin, "On the Robustness of Majority Rule", Journal of the European Economic Association, 2008.
 * Dasgupta, Partha and Eric Maskin, "On the Robustness of Majority Rule", Journal of the European Economic Association, 2008.
 * Dasgupta, Partha and Eric Maskin, "On the Robustness of Majority Rule", Journal of the European Economic Association, 2008.
 * Dasgupta, Partha and Eric Maskin, "On the Robustness of Majority Rule", Journal of the European Economic Association, 2008.

बाहरी लिंक

 * औसत मतदाता मॉडल

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