क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण

क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण क्वांटम यांत्रिकी में तकनीक है जो बीबीजीकेवाई पदानुक्रम समस्या को व्यवस्थित रूप से छोटा कर देती है जो तब उत्पन्न होती है जब इंटरैक्टिंग प्रणाली की क्वांटम गतिशीलता हल हो जाती है। इस प्रकार यह विधि संख्यात्मक रूप से गणना योग्य समीकरणों का संवृत समुच्चय तैयार करने के लिए उपयुक्त है जिसे विभिन्न प्रकार के मैनी-बॉडी और/या क्वांटम ऑप्टिक्स या क्वांटम-ऑप्टिकल समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इसे अर्धचालक क्वांटम प्रकाशिकी में व्यापक रूप से प्रयुक्त किया जाता है और इसे अर्धचालक बलोच समीकरणों अर्धचालक ल्यूमिनसेंस समीकरण को सामान्य बनाने के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है।

पृष्ठभूमि
इस प्रकार क्वांटम सिद्धांत अनिवार्य रूप से मौलिक रूप से स्पष्ट मानों को एक संभाव्य वितरण द्वारा प्रतिस्थापित करता है जिसे उदाहरण के लिए, एक तरंग क्रिया, एक घनत्व आव्यूह, या एक चरण-समष्टि वितरण का उपयोग करके तैयार किया जा सकता है। वैचारिक रूप से, मापे जाने वाले प्रत्येक अवलोकन के निकट सदैव, कम से कम औपचारिक रूप से, संभाव्यता वितरण होता है। पहले से ही 1889 में, क्वांटम भौतिकी तैयार होने से अधिक समय पहले, थोरवाल्ड एन. थीले ने कम्युलेंट्स का प्रस्ताव रखा था जो यथासंभव कम मान के साथ संभाव्य वितरण का वर्णन करता है; उन्होंने उन्हें अर्ध-अपरिवर्तनीय कहा। क्यूमुलेंट्स माध्य, विचरण, विषम, कर्टोसिस इत्यादि जैसी मानो का एक क्रम बनाते हैं, जो अधिक क्यूम्युलेंट का उपयोग होने पर बढ़ती स्पष्टता के साथ वितरण की पहचान करते हैं।

इस प्रकार परमाणु मेनी-बॉडी घटना का अध्ययन करने के उद्देश्य से फ्रिट्ज़ कोस्टर और हरमन कुम्मेल द्वारा क्यूमुलेंट्स के विचार को क्वांटम भौतिकी में परिवर्तित किया गया था। इसके पश्चात् में, जिरी सिज़ेक और जोसेफ पाल्डस ने सम्मिश्र परमाणुओं और अणुओं में मेनी-बॉडी की घटनाओं का वर्णन करने के लिए क्वांटम रसायन विज्ञान के दृष्टिकोण को बढ़ाया था। इस कार्य ने युग्मित-क्लस्टर दृष्टिकोण के लिए आधार प्रस्तुत किया जो मुख्य रूप से मैनी-बॉडी तरंग कार्यों के साथ संचालित होता है। इस प्रकार सम्मिश्र अणुओं की क्वांटम अवस्थाओं को हल करने के लिए युग्मित-क्लस्टर दृष्टिकोण सबसे सफल विधियों में से एक है।

इस प्रकार ठोस पदार्थों में, मैनी-बॉडी तरंगक्रिया की संरचना अत्यधिक सम्मिश्र होती है, जैसे कि प्रत्यक्ष तरंग-क्रिया-समाधान तकनीक कठिन होती है। क्लस्टर विस्तार युग्मित-क्लस्टर दृष्टिकोण का प्रकार है और यह अनुमानित तरंग क्रिया या घनत्व आव्यूह की क्वांटम गतिशीलता को हल करने का प्रयास करने के अतिरिक्त सहसंबंधों के गतिशील समीकरणों को हल करता है। यह मैनी-बॉडी प्रणाली और क्वांटम-ऑप्टिकल सहसंबंधों के गुणों के समाधान के लिए समान रूप से उपयुक्त है, जिसने इसे अर्धचालक क्वांटम ऑप्टिक्स के लिए बहुत उपयुक्त दृष्टिकोण बना दिया है।

इस प्रकार मैनी-बॉडी भौतिकी या क्वांटम प्रकाशिकी में प्रायः सदैव की तरह, इसमें सम्मिलित भौतिकी का वर्णन करने के लिए दूसरे परिमाणीकरण या द्वितीय-परिमाणीकरण औपचारिकता को प्रयुक्त करना सबसे सुविधाजनक है। उदाहरण के लिए, प्रकाश क्षेत्र का वर्णन बोसॉन निर्माण और विलुप्त संचालको $$\hat{B}^\dagger_\mathbf{q}$$ और $$\hat{B}_\mathbf{q}$$ के माध्यम से किया जाता है, जहां $$\hbar\mathbf{q}$$ एक फोटॉन की गति को परिभाषित करता है। $$B$$ के ऊपर "हैट" मान की संचालक प्रकृति को दर्शाता है। जब मैनी-बॉडी अवस्था में पदार्थ के इलेक्ट्रॉनिक उत्तेजना सम्मिलित होते हैं तो यह पूर्ण रूप से फर्मियन निर्माण और क्षय संचालको $$\hat{a}^\dagger_{\lambda,\mathbf{k}}$$ और $$\hat{a}_{\lambda,\mathbf{k}}$$ द्वारा परिभाषित होता है। जहां $$\hbar\mathbf{k}$$ कण की गति को संदर्भित करता है, जबकि $$\lambda$$ स्वतंत्रता की कुछ आंतरिक डिग्री है जैसे स्पिन या बैंड इंडेक्स का उपयोग किया जाता है

एन-कण योगदान का वर्गीकरण
जब मैनी-बॉडी प्रणाली का उसके क्वांटम-ऑप्टिकल गुणों के साथ अध्ययन किया जाता है, जिससे सभी मापनीय मान को 'एन-कण प्रत्याशित मान' के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$$ \langle \hat{N} \rangle \equiv \langle \hat{B}^\dagger_1 \cdots \hat{B}^\dagger_K \ \hat{a}^\dagger_1 \cdots \hat{a}^\dagger_{N_{\hat{a}}} \hat{a}_{N_{\hat{a}}} \cdots \hat{a}_{1} \ \hat{B}_{J} \cdots \hat{B}_1 \rangle $$

जहाँ $$N=N_{\hat{B}} +N_{\hat{a}}$$ और $$N_{\hat{B}}=J+K$$ जबकि संक्षिप्तता के लिए स्पष्ट गति सूचकांकों को विलुप्त कर दिया जाता है। इन मानो को सामान्यतः ऑर्डर किया जाता है, जिसका अर्थ है कि सभी निर्माण संचालक बाईं ओर हैं जबकि सभी क्षय संचालक अपेक्षित मान में दाईं ओर हैं। इस प्रकार यह दिखाना प्रत्यक्ष है कि यदि फर्मियन निर्माण और क्षय संचालको की मान समान नहीं है तो यह प्रत्याशित मान विलुप्त हो जाता है।

एक बार जब प्रणाली हैमिल्टनियन ज्ञात हो जाता है, तो कोई किसी दिए गए गतिशीलता को उत्पन्न करने के लिए गति के हाइजेनबर्ग समीकरण का उपयोग कर सकता है चूंकि, मैनी-बॉडी के साथ-साथ क्वांटम-ऑप्टिकल इंटरैक्शन $$N$$-कण मान को $$(N+1)$$-कण प्रत्याशित मान से युग्मित हैं, जिसे बोगोलीबॉव-बॉर्न-ग्रीन-किर्कवुड-यवोन (बीबीजीकेवाई) पदानुक्रम समस्या के रूप में जाना जाता है। अधिक गणितीय रूप से, सभी कण एक दूसरे के साथ परस्पर क्रिया करते हैं जिससे समीकरण संरचना बनती है

$$ \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \langle\hat{N}\rangle = \mathrm{T}\left[ \langle\hat{N}\rangle \right] + \mathrm{Hi}\left[ \langle\hat{N}+1\rangle \right] $$

जहां फलनात्मक (गणित) $$T$$ पदानुक्रम समस्या के बिना योगदान का प्रतीक है और पदानुक्रमित (एचआई) युग्मन के लिए फलनात्मक $$\mathrm{Hi}[\langle\hat{N}+1\rangle]$$ का प्रतीक है चूँकि प्रत्याशित मानो के सभी स्तर वास्तविक कण संख्या तक गैर-शून्य हो सकते हैं, इस समीकरण को बिना किसी विचार के प्रत्यक्ष रूप से छोटा नहीं किया जा सकता है।

क्लस्टर की पुनरावर्ती परिभाषा


इस प्रकार सहसंबद्ध समूहों की पहचान करने के पश्चात् पदानुक्रम समस्या को व्यवस्थित रूप से छोटा किया जा सकता है। इस प्रकार समूहों को पुनरावर्ती रूप से पहचानने के पश्चात् सबसे सरल परिभाषाएँ अनुसरण की जाती हैं। सबसे निचले स्तर पर, किसी को एकल-कण अपेक्षा मानो (एकल) का वर्ग मिलता है जो $$\langle 1\rangle$$ द्वारा दर्शाया जाता है। किसी भी दो-कण अपेक्षा मान $$\langle 2 \rangle$$ को गुणनखंडन $$\langle 2 \rangle_\mathrm{S} = \langle 1 \rangle \langle 1 \rangle$$ द्वारा अनुमानित किया जा सकता है जिसमें सभी संभावितों पर एक औपचारिक योग होता है एकल-कण अपेक्षा मानो के उत्पाद है। अधिक सामान्यतः$$\langle 1 \rangle$$ एकल को परिभाषित करता है और $$\langle N \rangle_\mathrm{S}$$ एक $$N$$-कण अपेक्षा मान का एकल गुणनखंड है। भौतिक रूप से, फर्मियन्स के मध्य एकल गुणनखंडन हार्ट्री-फॉक सन्निकटन उत्पन्न करता है जबकि बोसॉन के लिए यह मौलिक सन्निकटन उत्पन्न करता है जहां बोसॉन ऑपरेटरों को औपचारिक रूप से एक सुसंगत आयाम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, अर्थात, $$\hat{B} \rightarrow \langle \hat{B} \rangle$$ एकल गुणनखंडन क्लस्टर-विस्तार प्रतिनिधित्व के पहले स्तर का गठन करता है।

इस प्रकार $$\langle 2 \rangle$$ का सहसंबंधित भाग वास्तविक $$\langle 2 \rangle$$ और एकल गुणनखंड $$\langle 2 \rangle_\mathrm{S}$$ का अंतर है। अधिक गणितीय रूप से कोई पाता है

$$ \langle 2\rangle = \langle 2\rangle_\mathrm{S} + \Delta \langle 2\rangle $$

जहां $$\Delta$$ योगदान सहसंबद्ध भाग को दर्शाता है, अर्थात $$\Delta \langle 2\rangle = \langle 2\rangle-\langle 2\rangle_\mathrm{S}$$ पहचान के अगले स्तर को प्रयुक्त करने से पुनरावर्ती रूप से पालन होता है

$$ \begin{align} \langle 3\rangle &= \langle 3\rangle_\mathrm{S} + \langle 1\rangle\ \Delta \langle 2\rangle +\Delta \langle 3\rangle \,,   \\ \langle N\rangle &=      \langle N\rangle_\mathrm{S} \\ &\quad+ \langle N-2\rangle_\mathrm{S}\ \Delta \langle 2\rangle   \\ &\quad+ \langle N-4\rangle_\mathrm{S}\ \Delta \langle 2\rangle\ \Delta \langle 2\rangle  +\dots\\ &\quad+ \langle N-3\rangle_\mathrm{S}\ \Delta \langle 3\rangle  \\ &\quad+ \langle N-5\rangle_\mathrm{S}\ \Delta \langle 3\rangle\ \Delta \langle 2\rangle  +\dots\\ &\quad+ \Delta\langle N\rangle\,, \end{align} $$

जहां प्रत्येक उत्पाद शब्द प्रतीकात्मक रूप से एक गुणनखंडन का प्रतिनिधित्व करता है और इसमें पहचाने गए शब्दों के वर्ग के अन्दर सभी गुणनखंडों का योग सम्मिलित होता है। स्पष्ट रूप से सहसंबद्ध भाग को $$\Delta\langle N\rangle$$ द्वारा दर्शाया जाता है। इनमें से, दो-कण सहसंबंध $$\Delta \langle 2\rangle$$ द्वैत निर्धारित करते हैं जबकि तीन-कण सहसंबंध $$\Delta \langle 3\rangle$$ त्रिक कहलाते हैं।

चूंकि यह पहचान पुनरावर्ती रूप से प्रयुक्त की जाती है, कोई सामान्यतः पहचान सकता है कि पदानुक्रम समस्या में कौन से सहसंबंध दिखाई देते हैं। पुनः कोई सहसंबंधों की क्वांटम गतिशीलता निर्धारित करता है, जिससे परिणाम मिलता है

$$ \mathrm{i}\hbar \frac{\partial}{\partial t} \Delta \langle\hat{N}\rangle = \mathrm{T}\left[ \Delta \langle\hat{N}\rangle \right] + \mathrm{NL} \left[\langle\hat{1}\rangle, \Delta \langle\hat{2}\rangle,\cdots, \Delta \langle\hat{N}\rangle \right] + \mathrm{Hi}\left[ \Delta \langle\hat{N}+1\rangle \right]\,, $$

जहां गुणनखंड समूहों के मध्य $$\mathrm{NL} \left[ \cdots \right]$$ में एक अरेखीय युग्मन उत्पन्न करते हैं। इस प्रकार क्लस्टर का परिचय प्रत्यक्ष दृष्टिकोण की पदानुक्रम समस्या को दूर नहीं कर सकता क्योंकि पदानुक्रमित योगदान गतिशीलता में रहता है। यह प्रोपर्टी और अरेखीय शब्दों की उपस्थिति क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण की प्रयोज्यता के लिए सम्मिश्रता का विचार देती प्रतीत होती है।

चूंकि, प्रत्यक्ष प्रत्याशित-मान दृष्टिकोण में बड़े अंतर के रूप में, मैनी-बॉडी और क्वांटम-ऑप्टिकल इंटरैक्शन दोनों क्रमिक रूप से सहसंबंध उत्पन्न करते हैं।

विभिन्न प्रासंगिक समस्याओं में, वास्तव में ऐसी स्थिति होती है जहां केवल निम्नतम-क्रम वाले क्लस्टर प्रारंभ में विलुप्त नहीं होते हैं जबकि उच्च-क्रम वाले क्लस्टर निरंतर बनते हैं। इस स्थिति में, कोई $$C$$-कण समूहों से अधिक के स्तर पर पदानुक्रमित युग्मन, $$\mathrm{Hi}\left[ \Delta \langle\hat{C}+1\rangle \right]$$ को छोड़ सकता है। परिणामस्वरूप, समीकरण संवृत हो जाते हैं और प्रणाली के प्रासंगिक गुणों को समझाने के लिए केवल $$C$$-कण सहसंबंध तक की गतिशीलता की गणना करने की आवश्यकता होती है। चूँकि $$C$$ सामान्यतः समग्र कण संख्या से बहुत छोटा है, इस प्रकार क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण मैनी-बॉडी और क्वांटम-ऑप्टिक्स जांच के लिए एक व्यावहारिक और व्यवस्थित समाधान योजना उत्पन्न करता है।

विस्तार
इस प्रकार क्वांटम गतिशीलता का वर्णन करने के अतिरिक्त, कोई स्वाभाविक रूप से क्वांटम वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए क्लस्टर-विस्तार दृष्टिकोण को प्रयुक्त कर सकता है। एक संभावना क्लस्टर के संदर्भ में परिमाणित प्रकाश मोड के क्वांटम दोलन का प्रतिनिधित्व करना है, जिससे क्लस्टर-विस्तार प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है। वैकल्पिक रूप से, कोई उन्हें प्रत्याशित-मान प्रतिनिधित्व $$\langle [\hat{B}^\dagger]^J \hat{B}^K \rangle$$ के संदर्भ में व्यक्त कर सकता है। इस स्थिति में, $$\langle [\hat{B}^\dagger]^J \hat{B}^K \rangle$$ से घनत्व आव्यूह का सम्बन्ध अद्वितीय है, किन्तु इसका परिणाम हो सकता है एक संख्यात्मक रूप से अपसारी श्रृंखला है। इस प्रकार इस समस्या को क्लस्टर-विस्तार परिवर्तन (सीईटी) प्रारंभ करके हल किया जा सकता है जो गॉसियन के संदर्भ में वितरण का प्रतिनिधित्व करता है, जिसे एकल-द्वैत योगदान द्वारा परिभाषित किया जाता है, एक बहुपद से गुणा किया जाता है, जो उच्च-क्रम क्लस्टर द्वारा परिभाषित होता है। यह पता चलता है कि यह सूत्रीकरण प्रतिनिधित्व-से-प्रतिनिधित्व परिवर्तनों में अत्यधिक अभिसरण प्रदान करता है।

इस पूर्णतः गणितीय समस्या का प्रत्यक्ष भौतिक अनुप्रयोग है। इस प्रकार मौलिक माप को क्वांटम-ऑप्टिकल माप में सशक्त से प्रोजेक्ट करने के लिए क्लस्टर-विस्तार परिवर्तन को प्रयुक्त किया जा सकता है। इस प्रकार यह प्रोपर्टी अधिक सीमा तक सीईटी की किसी भी वितरण का उस रूप में वर्णन करने की क्षमता पर आधारित है जहां गाऊसी को बहुपद कारक से गुणा किया जाता है। इस प्रकार इस तकनीक का उपयोग पहले से ही मौलिक स्पेक्ट्रोस्कोपी माप के समुच्चय से क्वांटम-ऑप्टिकल स्पेक्ट्रोस्कोपी तक पहुंचने और प्राप्त करने के लिए किया जा रहा है, इस प्रकार जिसे उच्च गुणवत्ता वाले लेजर का उपयोग करके किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * बीबीजीकेवाई पदानुक्रम
 * क्वांटम-ऑप्टिकल स्पेक्ट्रोस्कोपी
 * अर्धचालक बलोच समीकरण
 * अर्धचालक ल्यूमिनसेंस समीकरण