मोनोइडल टी-नॉर्म लॉजिक

गणितीय तर्क में, मोनोइडल टी-मानदंड आधारित तर्क (या एमटीएल), बाएं-निरंतर टी-मानदंडों का तर्क, टी-मानदंड स्वानुशासित तर्क में से एक है। यह अवसंरचनात्मक तर्क के व्यापक वर्ग से संबंधित है, या अवशिष्ट लैटिस के तर्क से संबंधित है; यह क्रम विनिमेय बाध्य संपूर्ण रेसिड्यूएटेड लैटिस के तर्क को (होहले के मोनोइडल तर्क के रूप में जाना जाता है, ओनो का FLew, या अंतर्ज्ञानवादी तर्क संकुचन के बिना) प्रारंभिकता के स्वयंसिद्ध द्वारा बढ़ाता है।

प्रेरणा
स्वानुशासित तर्क में, कथनों को सत्य या असत्य मानने के स्थान पर, हम प्रत्येक कथन को उस कथन में एक संख्यात्मक विश्वास के साथ जोड़ते हैं। परिपाटी के अनुसार इकाई अंतराल पर विश्वास की सीमा $$[0,1]$$ होती है, जहां अधिकतम आत्मविश्वास $$1$$ सच्चे और न्यूनतम आत्मविश्वास की पारम्परिक अवधारणा से मेल खाती है $$0$$ असत्य की पारम्परिक अवधारणा से मेल खाता है।

टी-मानदंड वास्तविक इकाई अंतराल [0, 1] पर द्विआधारी कार्य हैं, जो फ़ज़ी लॉजिक में अक्सर एक तार्किक संयोजन संयोजक का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है; अगर $$a,b \in [0,1]$$ वे विश्वास हैं जो हम बयानों के लिए देते हैं $$A$$ और $$B$$ क्रमशः, तो कोई टी-मानदंड का उपयोग करता है $$*$$ आत्मविश्वास की गणना करने के लिए $$a*b$$ यौगिक कथन के लिए जिम्मेदार '$$A$$ और $$B$$'। एक टी-मानदंड $$*$$ के गुणों को पूरा करना है
 * क्रमविनिमेयता $$ a*b = b*a $$,
 * साहचर्य $$ (a*b)*c = a*(b*c) $$,
 * मोनोटोनिसिटी - अगर $$ a \leqslant b $$ और $$ c \leqslant d $$ तब $$ a*c \leqslant b*d $$,
 * और पहचान तत्व के रूप में 1 होना $$ 1*a = a $$.

इस सूची से विशेष रूप से अनुपस्थित है, यह आलस्य की संपत्ति है $$ a*a = a $$; सबसे करीब वही मिलता है $$ a*a \leqslant 1*a = a $$. 'कम कॉन्फिडेंट होना अजीब लग सकता है'$$A$$ और $$A$$' बस की तुलना में $$A$$, लेकिन हम आम तौर पर विश्वास करने की अनुमति देना चाहते हैं $$a*b$$ एक संयुक्त 'में$$A$$ और $$B$$' दोनों का कॉन्फिडेंस कम हो $$a$$ में $$A$$ और आत्मविश्वास $$b$$ में $$B$$, और फिर आदेश $$ a*b < a \leqslant b $$ एकरसता की आवश्यकता है $$ a*a \leqslant a*b < a $$. इसे रखने का दूसरा तरीका यह है कि टी-मानदंड केवल विश्वासों को संख्याओं के रूप में ध्यान में रख सकता है, उन कारणों को नहीं जो उन विश्वासों को आरोपित करने के पीछे हो सकते हैं; इस प्रकार यह इलाज नहीं कर सकता '$$A$$ और $$A$$'से अलग'$$A$$ और $$B$$, जहां हम दोनों में समान रूप से आश्वस्त हैं'।

क्योंकि प्रतीक $$\wedge$$ जाली (आदेश) सिद्धांत में इसके उपयोग के माध्यम से निष्क्रियता संपत्ति के साथ बहुत निकटता से जुड़ा हुआ है, यह संयुग्मन के लिए एक अलग प्रतीक पर स्विच करने के लिए उपयोगी हो सकता है जो आवश्यक रूप से बेवकूफ नहीं है। फ़ज़ी लॉजिक परंपरा में कभी-कभी उपयोग किया जाता है $$\&$$ इस मजबूत संयोजन के लिए, लेकिन यह लेख उपयोग करने की आधारभूत तर्क परंपरा का पालन करता है $$\otimes$$ मजबूत संयोजन के लिए; इस प्रकार $$a*b$$ वह विश्वास है जो हम कथन के लिए देते हैं $$A \otimes B$$ (अभी भी पढ़ा '$$A$$ और $$B$$', शायद 'और' की योग्यता के रूप में 'मजबूत' या 'गुणक' के साथ)।

औपचारिक संयोजन होना $$\otimes$$, एक अन्य संयोजकों के साथ जारी रखना चाहता है। ऐसा करने का एक तरीका यह है कि नकारात्मकता को ऑर्डर-रिवर्सिंग मैप के रूप में पेश किया जाए $$[0,1] \longrightarrow [0,1]$$, फिर डी मॉर्गन के नियमों, भौतिक निहितार्थ (अनुमान का नियम) और इसी तरह के अन्य का उपयोग करके शेष संयोजकों को परिभाषित करना। ऐसा करने में एक समस्या यह है कि परिणामी तर्क में अवांछनीय गुण हो सकते हैं: वे पारम्परिक तर्क के बहुत करीब हो सकते हैं, या यदि इसके विपरीत अपेक्षित अनुमान नियमों का समर्थन नहीं करते हैं। एक विकल्प जो विभिन्न विकल्पों के परिणामों को अधिक अनुमानित बनाता है, इसके स्थान पर भौतिक सशर्त के साथ जारी रखना है $$\to$$ दूसरे संयोजक के रूप में: यह समग्र रूप से तर्क के स्वयंसिद्धों में सबसे आम संबंध है, और अधिकांश अन्य संयोजकों की तुलना में इसका तर्क के निगमनात्मक पहलुओं से घनिष्ठ संबंध है। एक आत्मविश्वास समकक्ष $$\Rightarrow$$ निहितार्थ संयोजक वास्तव में सीधे टी-मानक # टी-मानदंड के अवशेष के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

संयुग्मन और निहितार्थ के बीच तार्किक लिंक कुछ मौलिक रूप से प्रदान किया जाता है जैसे कि अनुमान नियम मूड सेट करना $$A, A \to B \vdash B$$: से $$A$$ और $$A \to B$$ इस प्रकार $$B$$. फ़ज़ी लॉजिक मामले में जो अधिक सख्ती से लिखा गया है $$A \otimes (A \to B) \vdash B$$, क्योंकि यह स्पष्ट करता है कि यहाँ आधार (ओं) के लिए हमारा विश्वास वह है $$A \otimes (A \to B)$$, उनमें नहीं $$A$$ और $$A \to B$$ अलग से। तो यदि $$a$$ और $$b$$ में हमारे विश्वास हैं $$A$$ और $$B$$ क्रमशः, फिर $$a \Rightarrow b$$ में मांगा गया विश्वास है $$A \to B$$, और $$ a * (a \Rightarrow b) $$ में संयुक्त विश्वास है $$A \otimes (A \to B)$$. हमें इसकी आवश्यकता है
 * $$ a * (a \mathbin{\Rightarrow} b) \leqslant b $$

हमारे आत्मविश्वास के बाद से $$b$$ के लिए $$B$$ हमारे आत्मविश्वास से कम नहीं होना चाहिए $$ a * (a \Rightarrow b) $$ बयान में $$A \otimes (A \to B)$$ किस से $$B$$ तार्किक रूप से अनुसरण करता है। यह मांगे गए विश्वास को सीमित करता है $$a \Rightarrow b$$, और मुड़ने के लिए एक दृष्टिकोण $$\Rightarrow$$ एक बाइनरी ऑपरेशन में जैसे $$*$$ इस सीमा का सम्मान करते हुए इसे जितना संभव हो उतना बड़ा बनाना होगा:
 * $$ a \mathbin{\Rightarrow} b \equiv  \sup \left\{ x \in [0,1] \;\big|\; a*x \leqslant b \right\} $$.

ले रहा $$x=0$$ देता है $$ a*x = a*0 \leqslant 1*0 = 0 \leqslant b $$, इसलिए Infimum_and_supremum#Infima_and_suprema_of_real_numbers हमेशा एक गैर-खाली बाउंडेड सेट होता है और इस प्रकार अच्छी तरह से परिभाषित होता है। एक सामान्य टी-मानदंड के लिए संभावना बनी हुई है $$ f_a(x) = a*x $$ पर जंप डिसकंटीन्युटी है $$ x = a \mathbin{\Rightarrow} b $$, किस स्थिति में $$ a * (a \mathbin{\Rightarrow} b) $$ से सख्ती से बड़ा निकल सकता है $$b$$ चाहे $$ a \mathbin{\Rightarrow} b $$ की कम से कम ऊपरी सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है $$x$$संतोषजनक है $$ a*x \leqslant b $$; इसे रोकने के लिए और अपेक्षित रूप से निर्माण कार्य करने के लिए, हमें उस टी-मानदंड की आवश्यकता है $$*$$ वाम-निरंतर है। बाएं-निरंतर टी-मानदंड के अवशेषों को सबसे कमजोर कार्य के रूप में वर्णित किया जा सकता है जो फ़ज़ी मोडस पोनेंस को वैध बनाता है, जो इसे फ़ज़ी लॉजिक में निहितार्थ के लिए एक उपयुक्त सत्य कार्य बनाता है।

अधिक बीजगणितीय रूप से, हम कहते हैं कि एक संक्रिया $$\Rightarrow$$ एक टी-नॉर्म है # टी-नॉर्म का अवशेष $$*$$ अगर सभी के लिए $$a$$, $$b$$, और $$c$$ यह संतुष्ट करता है
 * $$a*b\le c$$ अगर और केवल अगर $$a\le (b \mathbin{\Rightarrow} c)$$.

संख्यात्मक तुलनाओं की यह तुल्यता अनिवार्यताओं की तुल्यता को प्रतिबिम्बित करती है
 * $$ A \otimes B \vdash C $$ अगर और केवल अगर $$ A \vdash B \to C $$

यह मौजूद है क्योंकि इसका कोई सबूत है $$C$$ आधार से $$A \otimes B$$ के प्रमाण में परिवर्तित किया जा सकता है $$B \to C$$ आधार से $$A$$ एक अतिरिक्त निहितार्थ परिचय कदम करके, और इसके विपरीत कोई सबूत $$B \to C$$ आधार से $$A$$ के प्रमाण में परिवर्तित किया जा सकता है $$C$$ आधार से $$A \otimes B$$ एक अतिरिक्त निहितार्थ उन्मूलन कदम करके। टी-मानदंड संयोजन और इसके अवशिष्ट निहितार्थ के बीच इस संबंध के लिए टी-मानदंड की वाम-निरंतरता आवश्यक और पर्याप्त शर्त है।

आगे के प्रस्तावक संयोजकों के सत्य कार्यों को टी-मानदंड और इसके अवशेषों के माध्यम से परिभाषित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए अवशिष्ट निषेध $$\neg x=(x\mathbin{\Rightarrow} 0).$$ इस तरह, बाएं-निरंतर टी-मानदंड, इसका अवशेष, और अतिरिक्त प्रस्तावात्मक संयोजकों के सत्य कार्य (नीचे दिए गए अनुभाग #मानक शब्दार्थ देखें) [0, 1] में जटिल तर्कवाक्य सूत्रों के सत्य मूल्यों को निर्धारित करते हैं। सूत्र जो हमेशा 1 का मूल्यांकन करते हैं, उन्हें दिए गए बाएं-निरंतर टी-मानदंड के संबंध में टॉटोलॉजी (तर्क) कहा जाता है $$*,$$ या$$*\mbox{-}$$tautology. सभी का सेट $$*\mbox{-}$$टॉटोलॉजी को टी-नॉर्म का तर्क कहा जाता है $$*,$$ चूंकि ये सूत्र फ़ज़ी लॉजिक (टी-मानदंड द्वारा निर्धारित) के नियमों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो परमाणु सूत्रों की सत्य डिग्री की परवाह किए बिना (1 डिग्री तक) धारण करते हैं। कुछ सूत्र सभी वाम-निरंतर टी-मानदंडों के संबंध में पुनरुत्पादन हैं: वे प्रस्तावित फ़ज़ी लॉजिक के सामान्य कानूनों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो किसी विशेष वाम-निरंतर टी-मानदंड की पसंद से स्वतंत्र होते हैं। ये सूत्र तर्क एमटीएल बनाते हैं, जिसे इस प्रकार बाएं-निरंतर टी-मानदंडों के तर्क के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

भाषा
प्रोपोज़िशनल लॉजिक एमटीएल की भाषा में गणनीय कई प्रस्तावक चर और निम्नलिखित आदिम तार्किक संयोजक शामिल हैं: निम्नलिखित सबसे आम परिभाषित तार्किक संयोजक हैं:
 * निहितार्थ $$\rightarrow$$ (धैर्य)
 * प्रबल योग $$\otimes$$ (बाइनरी)। साइन एंड फ़ज़ी लॉजिक पर साहित्य में मजबूत संयोजन के लिए एक अधिक पारंपरिक संकेतन है, जबकि संकेतन $$\otimes$$ सबस्ट्रक्चरल तर्क की परंपरा का पालन करता है।
 * कमजोर संयोग $$\wedge$$ (बाइनरी), जिसे जाली संयुग्मन भी कहा जाता है (जैसा कि बीजगणितीय शब्दार्थ में मीट (गणित) के जाली (क्रम) संचालन द्वारा हमेशा महसूस किया जाता है)। बुनियादी फ़ज़ी लॉजिक और मज़बूत फ़ज़ी लॉजिक के विपरीत, कमजोर संयोजन MTL में निश्चित नहीं है और इसे आदिम संयोजकों में शामिल किया जाना है।
 * तल $$\bot$$ (शून्य - एक स्थिरांक (गणित); $$0$$ या $$\overline{0}$$ सामान्य वैकल्पिक टोकन हैं और शून्य प्रस्तावक स्थिरांक के लिए एक सामान्य वैकल्पिक नाम है (क्योंकि अवसंरचनात्मक तर्क के स्थिरांक नीचे और शून्य एमटीएल में मेल खाते हैं)।
 * निषेध $$\neg$$ ( एकात्मक ऑपरेशन ), के रूप में परिभाषित किया गया
 * $$\neg A \equiv A \rightarrow \bot$$


 * समानता $$\leftrightarrow$$ (बाइनरी), के रूप में परिभाषित किया गया
 * $$A \leftrightarrow B \equiv (A \rightarrow B) \wedge (B \rightarrow A)$$
 * MTL में, परिभाषा इसके समकक्ष है $$(A \rightarrow B) \otimes (B \rightarrow A).$$


 * (कमजोर) संयोजन $$\vee$$ (बाइनरी), जिसे लैटिस डिसजंक्शन भी कहा जाता है (जैसा कि बीजगणितीय शब्दार्थ में ज्वाइन (गणित) के लैटिस (ऑर्डर) ऑपरेशन द्वारा हमेशा महसूस किया जाता है), के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$A \vee B \equiv ((A \rightarrow B) \rightarrow B) \wedge ((B \rightarrow A) \rightarrow A)$$


 * ऊपर $$\top$$ (शून्य), जिसे एक भी कहा जाता है और इसके द्वारा निरूपित किया जाता है $$1$$ या $$\overline{1}$$ (एमटीएल में अवसंरचनात्मक तर्क के स्थिरांक शीर्ष और शून्य के रूप में मेल खाते हैं), के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$\top \equiv \bot \rightarrow \bot$$

एमटीएल के अच्छी तरह से गठित सूत्रों को सामान्य रूप से प्रस्तावपरक तर्क में परिभाषित किया गया है। कोष्ठकों को बचाने के लिए, वरीयता के निम्नलिखित क्रम का उपयोग करना आम है:
 * यूनरी कनेक्टिव्स (सबसे बारीकी से बांधें)
 * निहितार्थ और तुल्यता के अलावा अन्य बाइनरी संयोजक
 * निहितार्थ और तुल्यता (सबसे शिथिल बाँधें)

अभिगृहीत
एस्टेवा और गोडो (2001) द्वारा एमटीएल के लिए एक हिल्बर्ट-शैली की कटौती प्रणाली शुरू की गई है। इसका एकल व्युत्पत्ति नियम मॉडस पोनेन्स है:
 * से $$A$$ और $$A \rightarrow B$$ निकाले जाते हैं $$B.$$

इसकी स्वयंसिद्ध योजनाएँ निम्नलिखित हैं:
 * $$\begin{array}{ll}

{\rm (MTL1)}\colon & (A \rightarrow B) \rightarrow ((B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow C)) \\ {\rm (MTL2)}\colon & A \otimes B \rightarrow A\\ {\rm (MTL3)}\colon & A \otimes B \rightarrow B \otimes A\\ {\rm (MTL4a)}\colon & A \wedge B \rightarrow A\\ {\rm (MTL4b)}\colon & A \wedge B \rightarrow B \wedge A\\ {\rm (MTL4c)}\colon & A \otimes (A \rightarrow B) \rightarrow A \wedge B\\ {\rm (MTL5a)}\colon & (A \rightarrow (B \rightarrow C)) \rightarrow (A \otimes B \rightarrow C)\\ {\rm (MTL5b)}\colon & (A \otimes B \rightarrow C) \rightarrow (A \rightarrow (B \rightarrow C))\\ {\rm (MTL6)}\colon & ((A \rightarrow B) \rightarrow C) \rightarrow (((B \rightarrow A) \rightarrow C) \rightarrow C)\\ {\rm (MTL7)}\colon & \bot \rightarrow A \end{array}$$ बाएँ स्तंभ में दी गई अभिगृहीतों की पारंपरिक संख्या, पेट्र हाजेक|हाजेक के मूल फ़ज़ी लॉजिक बीएल के अभिगृहीतों की संख्या से ली गई है। अभिगृहीत (MTL4a)-(MTL4c) BL की विभाज्यता की अभिगृहीत (BL4) को प्रतिस्थापित करते हैं। अभिगृहीत (MTL5a) और (MTL5b) अवशिष्ट जाली के नियम को व्यक्त करते हैं और अभिगृहीत (MTL6) पूर्वरेखीयता की स्थिति से मेल खाती है। मूल स्वयंसिद्ध प्रणाली के स्वयंसिद्धों (MTL2) और (MTL3) को निरर्थक दिखाया गया था (च्वालोव्स्की, 2012) और (सिंटुला, 2005)। अन्य सभी स्वयंसिद्धों को स्वतंत्र दिखाया गया था (च्वालोवस्की, 2012)।

शब्दार्थ
अन्य प्रस्तावित टी-नॉर्म फ़ज़ी लॉजिक की तरह, बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) मुख्य रूप से एमटीएल के लिए उपयोग किया जाता है, जिसमें बीजगणितीय संरचना के तीन मुख्य वर्ग होते हैं जिसके संबंध में तर्क पूर्णता (तर्क) है:
 * सामान्य शब्दार्थ, सभी 'एमटीएल-अल्जेब्रस' से बनता है - यानी, सभी बीजगणित जिसके लिए साउंडनेस प्रमेय तर्क है
 * रेखीय शब्दार्थ, सभी 'रैखिक' एमटीएल-अल्जेब्रस से बनता है - यानी, सभी एमटीएल-एलजेब्रा जिसका जाली (क्रम) क्रम कुल क्रम है
 * मानक शब्दार्थ, सभी मानक MTL-अल्जेब्रस से बनते हैं - यानी, सभी MTL-एलजेब्रा जिनकी जाली रिडक्ट सामान्य क्रम के साथ वास्तविक इकाई अंतराल [0, 1] है; वे विशिष्ट रूप से उस फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित किए जाते हैं जो मजबूत संयोजन की व्याख्या करता है, जो कि कोई भी बाएं-निरंतर टी-मानदंड हो सकता है

एमटीएल-बीजगणित
बीजगणित जिसके लिए तर्क एमटीएल ध्वनि है एमटीएल-बीजगणित कहा जाता है। उन्हें प्रीलीनियर क्रम विनिमेय बाउंडेड संपूर्ण रेसिड्यूएटेड लैटिस के रूप में चित्रित किया जा सकता है। अधिक विस्तार से, एक बीजगणितीय संरचना $$(L,\wedge,\vee,\ast,\Rightarrow,0,1)$$ एक एमटीएल-बीजगणित है अगर
 * $$(L,\wedge,\vee,0,1)$$ शीर्ष तत्व 0 और निचला तत्व 1 के साथ एक जाली (क्रम) है
 * $$(L,\ast,1)$$ एक क्रमविनिमेयता  मोनोइड है
 * $$\ast$$ और $$\Rightarrow$$ गाल्वा कनेक्शन बनाएं, यानी, $$z*x\le y$$ अगर और केवल अगर $$z\le x\Rightarrow y,$$ कहाँ $$\le$$ का जाली क्रम है $$(L,\wedge,\vee),$$ सभी x, y, और z in के लिए $$L$$, (अवशेष स्थिति)
 * $$(x\Rightarrow y)\vee(y\Rightarrow x)=1$$ L में सभी x और y के लिए है (प्रारंभिक स्थिति)

एमटीएल बीजगणित के महत्वपूर्ण उदाहरण वास्तविक इकाई अंतराल [0, 1] पर मानक एमटीएल-बीजगणित हैं। आगे के उदाहरणों में सभी बूलियन बीजगणित (संरचना) शामिल हैं, सभी रैखिक हेटिंग बीजगणित (दोनों के साथ $$\ast=\wedge$$), सभी एमवी-बीजगणित, सभी बीएल (तर्क)-अलजेब्रा, आदि। चूंकि अवशेषों की स्थिति समान रूप से सर्वसमिकाओं द्वारा व्यक्त की जा सकती है, एमटीएल-बीजगणित एक किस्म (सार्वभौमिक बीजगणित) बनाते हैं।

एमटीएल-अल्जेब्रस में लॉजिक एमटीएल की व्याख्या
MTL के संयोजकों की व्याख्या MTL-अल्जेब्रा में इस प्रकार की जाती है:
 * मोनोइडल ऑपरेशन द्वारा मजबूत संयोजन $$\ast$$
 * ऑपरेशन द्वारा निहितार्थ $$\Rightarrow$$ (जिसे अवशेष कहा जाता है $$\ast$$)
 * जाली संचालन द्वारा कमजोर संयोजन और कमजोर संयोजन $$\wedge$$ और $$\vee,$$ क्रमशः (आमतौर पर संयोजकों के समान प्रतीकों द्वारा निरूपित किया जाता है, यदि कोई भ्रम उत्पन्न नहीं हो सकता है)
 * सत्य शून्य (ऊपर) और एक (नीचे) को स्थिरांक 0 और 1 द्वारा स्थिर करता है
 * तुल्यता संयोजक की व्याख्या संक्रिया द्वारा की जाती है $$\Leftrightarrow$$ के रूप में परिभाषित
 * $$x\Leftrightarrow y \equiv (x\Rightarrow y)\wedge(y\Rightarrow x)$$
 * पूर्व-रैखिकता की स्थिति के कारण, यह परिभाषा उपयोग करने वाले के बराबर है $$\ast$$ के स्थान पर $$\wedge,$$ इस प्रकार
 * $$x\Leftrightarrow y \equiv (x\Rightarrow y)\ast(y\Rightarrow x)$$

संयोजकों की इस व्याख्या के साथ, कोई भी मूल्यांकन ईv एल में प्रस्तावित चर का विशिष्ट रूप से एमटीएल के सभी अच्छी तरह से गठित सूत्रों के मूल्यांकन ई तक फैला हुआ है, निम्नलिखित आगमनात्मक परिभाषा (जो सत्य के सिमेंटिक सिद्धांत को सामान्यीकृत करता है। टार्स्की की सत्य की स्थिति), किसी भी सूत्र ए, बी, और किसी भी प्रस्तावक चर पी के लिए :
 * नकार की व्याख्या परिभाष्य संक्रिया द्वारा की जाती है $$-x \equiv x\Rightarrow 0$$
 * $$\begin{array}{rcl}

e(p)                 &=& e_{\mathrm v}(p) \\ e(\bot)              &=& 0 \\ e(\top)              &=& 1 \\ e(A\otimes B)        &=& e(A) \ast e(B) \\ e(A\rightarrow B)    &=& e(A) \Rightarrow e(B) \\ e(A\wedge B)         &=& e(A) \wedge e(B) \\ e(A\vee B)           &=& e(A) \vee e(B) \\ e(A\leftrightarrow B) &=& e(A) \Leftrightarrow e(B) \\ e(\neg A)            &=& e(A) \Rightarrow 0 \end{array}$$ अनौपचारिक रूप से, सत्य मान 1 पूर्ण सत्य का प्रतिनिधित्व करता है और सत्य मान 0 पूर्ण असत्यता का प्रतिनिधित्व करता है; मध्यवर्ती सत्य मूल्य सत्य की मध्यवर्ती डिग्री का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस प्रकार एक सूत्र को एक मूल्यांकन ई के तहत पूरी तरह से सही माना जाता है यदि ई (ए) = 1। एक सूत्र ए को एमटीएल-बीजगणित एल में मान्य कहा जाता है यदि यह एल में सभी मूल्यांकनों के तहत पूरी तरह से सच है, अर्थात, यदि ई ( A) = 1 सभी मूल्यांकनों के लिए e in L. कुछ सूत्र (उदाहरण के लिए, p → p) किसी भी MTL-बीजगणित में मान्य हैं; इन्हें MTL का टॉटोलॉजी कहा जाता है।

एमटीएल के लिए वैश्विक प्रवेश (या: वैश्विक परिणाम संबंध) की धारणा को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: सूत्रों का एक सेट Γ में एक सूत्र A शामिल है (या: A Γ का वैश्विक परिणाम है), प्रतीकों में $$\Gamma\models A,$$ यदि किसी एमटीएल-बीजगणित में किसी भी मूल्यांकन ई के लिए, जब भी ई(बी) = 1 सभी फॉर्मूले बी के लिए Γ में, तो भी ई(ए) = 1। अनौपचारिक रूप से, वैश्विक परिणाम संबंध किसी भी एमटीएल में पूर्ण सत्य के संचरण का प्रतिनिधित्व करता है- सत्य मूल्यों का बीजगणित।

सामान्य सुदृढ़ता और पूर्णता प्रमेय
तर्क एमटीएल सभी एमटीएल-अल्जेब्रा (एस्टेवा और गोडो, 2001) के वर्ग के संबंध में सुदृढ़ता प्रमेय और पूर्णता (तर्क) है:
 * एमटीएल में एक सूत्र साबित होता है अगर और केवल अगर यह सभी एमटीएल-बीजगणित में मान्य है।

एमटीएल-बीजगणित की धारणा वास्तव में इतनी परिभाषित है कि एमटीएल-बीजगणित सभी बीजगणितों का वर्ग बनाते हैं जिसके लिए तर्क एमटीएल ध्वनि है। इसके अलावा, मजबूत पूर्णता प्रमेय धारण करता है:
 * एक सूत्र A सूत्र के एक सेट के MTL में एक वैश्विक परिणाम है Γ यदि और केवल यदि A MTL में Γ से व्युत्पन्न है।

रैखिक शब्दार्थ
अन्य स्वानुशासित तर्क के लिए बीजगणित की तरह, एमटीएल-बीजगणित निम्नलिखित रैखिक उपप्रत्यक्ष अपघटन संपत्ति का आनंद लेते हैं:
 * प्रत्येक एमटीएल-बीजगणित रैखिक रूप से आदेशित एमटीएल-बीजगणित का एक उप-प्रत्यक्ष उत्पाद है।

(एक उप-प्रत्यक्ष उत्पाद प्रत्यक्ष उत्पाद का एक उप-लजेब्रा है जैसे कि सभी प्रक्षेपण (गणित) विशेषण कार्य हैं। एक एमटीएल-बीजगणित को रैखिक रूप से आदेश दिया जाता है यदि इसकी जाली (क्रम) कुल क्रम है।)

सभी एमटीएल-अलजेब्रा के रैखिक उपप्रत्यक्ष अपघटन गुण के परिणामस्वरूप, लीनियर एमटीएल-एलजेब्रा (एस्टेवा और गोडो, 2001) के संबंध में पूर्णता प्रमेय धारण करता है:
 * एमटीएल में एक फॉर्मूला साबित होता है अगर और केवल अगर यह सभी रैखिक एमटीएल-बीजगणित में मान्य है।
 * एक सूत्र A सूत्र के एक सेट से MTL में व्युत्पन्न होता है Γ यदि और केवल यदि A Γ के सभी रैखिक MTL-बीजगणित में एक वैश्विक परिणाम है।

मानक शब्दार्थ
मानक उन एमटीएल-बीजगणित कहलाते हैं जिनकी जाली कमी वास्तविक इकाई अंतराल [0, 1] है। वे वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं जो मजबूत संयोजन की व्याख्या करता है, जो कि कोई भी बाएं-निरंतर टी-मानदंड हो सकता है $$\ast$$. मानक MTL-बीजगणित एक बाएँ-निरंतर t-मानदंड द्वारा निर्धारित किया जाता है $$\ast$$ आमतौर पर द्वारा निरूपित किया जाता है $$[0,1]_{\ast}.$$ में $$[0,1]_{\ast},$$ निहितार्थ टी-मानक#अवशेष द्वारा दर्शाया गया है $$\ast,$$ न्यूनतम और अधिकतम द्वारा क्रमशः कमजोर संयोजन और संयोजन, और वास्तविक संख्या 0 और 1 द्वारा क्रमशः शून्य और एक को स्थिर करता है।

तर्क एमटीएल मानक एमटीएल-बीजगणित के संबंध में पूर्ण है; यह तथ्य मानक पूर्णता प्रमेय (जेनेई और मोंटागना, 2002) द्वारा व्यक्त किया गया है:
 * एमटीएल में एक सूत्र सिद्ध होता है यदि और केवल यदि यह सभी मानक एमटीएल-बीजगणित में मान्य है।

चूंकि एमटीएल मानक एमटीएल-अल्जेब्रा के संबंध में पूर्ण है, जो बाएं-निरंतर टी-मानदंडों द्वारा निर्धारित किया जाता है, एमटीएल को अक्सर बाएं-निरंतर टी-मानदंडों के तर्क के रूप में संदर्भित किया जाता है (इसी तरह बीएल (तर्क) निरंतर का तर्क है टी-मानदंड)।

ग्रन्थसूची

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