अतिशयोक्तिपूर्ण मीट्रिक स्थान

गणित में, एक अतिशयोक्तिपूर्ण मीट्रिक स्थान एक मीट्रिक स्थान है जो बिंदुओं के बीच कुछ मीट्रिक संबंधों (मात्रात्मक रूप से एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या δ पर निर्भर करता है) को संतुष्ट करता है। मिखाइल लियोनिदोविच ग्रोमोव द्वारा पेश की गई परिभाषा, शास्त्रीय अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति और ट्री (ग्राफ सिद्धांत) के मीट्रिक गुणों का सामान्यीकरण करती है। अतिशयोक्ति एक बड़े पैमाने की संपत्ति है, और कुछ अनंत समूह (गणित) के अध्ययन के लिए बहुत उपयोगी है जिसे ग्रोमोव-हाइपरबोलिक समूह कहा जाता है।

परिभाषाएँ
इस अनुच्छेद में हम a की विभिन्न परिभाषाएँ देते हैं $$\delta$$-हाइपरबोलिक स्पेस। एक मीट्रिक स्थान को (ग्रोमोव-) अतिशयोक्तिपूर्ण कहा जाता है यदि यह है $$\delta$$-कुछ के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण $$\delta > 0$$.

ग्रोमोव उत्पाद
का उपयोग करके परिभाषा

होने देना $$(X,d)$$ एक मीट्रिक स्थान बनें। दो बिंदुओं का ग्रोमोव उत्पाद $$y, z \in X$$ किसी तीसरे के संबंध में $$x \in X$$ सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$(y,z)_x = \frac 1 2 \left( d(x, y) + d(x, z) - d(y, z) \right).$$

हाइपरबॉलिक मीट्रिक स्पेस की ग्रोमोव की परिभाषा इस प्रकार है: $$X$$ है $$\delta$$-हाइपरबोलिक अगर और केवल अगर सभी $$x,y,z,w \in X$$ चार सूत्री शर्त को पूरा करें


 * $$ (x,z)_w \ge \min \left( (x,y)_w, (y,z)_w \right) - \delta$$

ध्यान दें कि यदि यह स्थिति सभी के लिए संतुष्ट है $$x,y,z \in X$$ और एक निश्चित आधार बिंदु $$w_0$$, तो यह सभी के लिए संतुष्ट है $$$$ एक स्थिरांक के साथ $$2\delta$$. इस प्रकार अतिशयोक्ति की स्थिति को केवल एक निश्चित आधार बिंदु के लिए सत्यापित करने की आवश्यकता है; इस कारण से, आधार बिंदु के लिए सबस्क्रिप्ट को अक्सर ग्रोमोव उत्पाद से हटा दिया जाता है।

त्रिकोणों का उपयोग करके परिभाषाएँ
बदलने तक $$\delta$$ एक निरंतर गुणक द्वारा, एक समतुल्य ज्यामितीय परिभाषा होती है जिसमें मीट्रिक स्थान होने पर त्रिभुज शामिल होते हैं $$X$$ जियोडेसिक है, यानी कोई दो बिंदु $$x, y \in X$$ जियोडेसिक खंड के अंत बिंदु हैं $$[x,y]$$ (कॉम्पैक्ट सबइंटरवल की एक आइसोमेट्रिक छवि $$[a,b]$$ असली का)।  ध्यान दें कि ग्रोमोव उत्पादों के माध्यम से परिभाषा के लिए अंतरिक्ष को जियोडेसिक होने की आवश्यकता नहीं है।

होने देना $$x, y, z \in X$$. शीर्षों के साथ एक जियोडेसिक त्रिभुज $$x,y,z$$ तीन जियोडेसिक सेगमेंट का मिलन है $$[x,y], [y,z], [z,x]$$ (कहाँ $$[p,q]$$ एंडपॉइंट्स के साथ एक सेगमेंट को दर्शाता है $$p$$ और $$q$$).

अगर किसी बिंदु के लिए $$m \in [x,y]$$ में एक बिंदु है $$[y,z] \cup [z,x]$$ से कम दूरी पर $$\delta$$ का $$m$$, और इसी तरह अन्य किनारों पर बिंदुओं के लिए, और $$\delta \ge 0$$ तो त्रिकोण कहा जाता है$$\delta$$-छरहरा ।

ए की परिभाषा $$\delta$$-हाइपरबॉलिक स्पेस तब एक जियोडेसिक मेट्रिक स्पेस होता है, जिसके सभी जियोडेसिक त्रिकोण होते हैं $$\delta$$-छरहरा। इस परिभाषा का श्रेय आमतौर पर एलियाहू चीरता है  को दिया जाता है।

की धारणा का उपयोग करके एक और परिभाषा दी जा सकती है $$C$$- एक जियोडेसिक त्रिकोण का अनुमानित केंद्र: यह एक ऐसा बिंदु है जो सबसे अधिक दूरी पर है $$C$$ त्रिभुज के किसी भी किनारे का (केंद्र का एक अनुमानित संस्करण)। एक स्थान है $$\delta$$-हाइपरबोलिक अगर हर जियोडेसिक त्रिकोण में एक है $$\delta$$-केंद्र।

ए की ये दो परिभाषाएँ $$\delta$$-हाइपरबॉलिक स्पेस जियोडेसिक त्रिकोण का उपयोग बिल्कुल समकक्ष नहीं है, लेकिन मौजूद है $$k > 1$$ ऐसा कि ए $$\delta$$-हाइपरबोलिक स्पेस पहले अर्थ में है $$ k \cdot \delta$$-हाइपरबोलिक दूसरे में, और इसके विपरीत। इस प्रकार अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान की धारणा चुनी हुई परिभाषा से स्वतंत्र है।

उदाहरण
अतिशयोक्तिपूर्ण तल अतिशयोक्तिपूर्ण है: वास्तव में एक भूगर्भीय त्रिभुज का अंतःवृत्त त्रिभुज में समाहित सबसे बड़े व्यास का चक्र है और प्रत्येक भूगर्भीय त्रिभुज एक आदर्श त्रिभुज के आंतरिक भाग में स्थित है, जो सभी व्यास 2 लॉग 3 के अंतःवृत्त के साथ सममितीय हैं। ध्यान दें कि इस मामले में ग्रोमोव उत्पाद की एक भूगर्भीय त्रिभुज के अंतर्वृत्त के संदर्भ में एक सरल व्याख्या भी है। वास्तव में मात्रा $(A,B)_{C}$ केवल अतिशयोक्तिपूर्ण दूरी है $p$ से $C$ आसन्न पक्षों के साथ अंतर्वृत्त के संपर्क के बिंदुओं में से किसी एक के लिए: आरेख से $c = (a – p) + (b – p)$, ताकि $p = (a + b – c)/2 = (A,B)_{C}$. यूक्लिडियन विमान अतिशयोक्तिपूर्ण नहीं है, उदाहरण के लिए होमोथेटिक परिवर्तन के अस्तित्व के कारण।

अतिशयोक्तिपूर्ण रिक्त स्थान के दो विकृत उदाहरण परिबद्ध व्यास वाले स्थान हैं (उदाहरण के लिए परिमित या कॉम्पैक्ट स्थान) और वास्तविक रेखा।

मेट्रिक ट्री (ग्राफ थ्योरी) और अधिक आम तौर पर वास्तविक पेड़ हाइपरबोलिक स्पेस के सबसे सरल दिलचस्प उदाहरण हैं क्योंकि वे 0-हाइपरबोलिक हैं (अर्थात सभी त्रिकोण तिपाई हैं)।

यूक्लिडियन समबाहु त्रिभुजों द्वारा त्रिभुज का 1-कंकाल अतिशयोक्तिपूर्ण नहीं है (यह वास्तव में यूक्लिडियन तल के लिए अर्ध-सममितीय है)। विमान का एक त्रिभुज $$\mathbb R^2$$ एक अतिशयोक्तिपूर्ण 1-कंकाल है यदि प्रत्येक शीर्ष की डिग्री 7 या अधिक है।

द्वि-आयामी ग्रिड अतिशयोक्तिपूर्ण नहीं है (यह यूक्लिडियन विमान के लिए अर्ध-सममितीय है)। यह टोरस्र्स  के मौलिक समूह का केली ग्राफ है; उच्च जीनस की सतह के मौलिक समूहों के केली ग्राफ अतिशयोक्तिपूर्ण हैं (यह वास्तव में अतिशयोक्तिपूर्ण तल के लिए अर्ध-सममितीय है)।

अतिशयोक्ति और वक्रता
अतिशयोक्तिपूर्ण विमान (और अधिक आम तौर पर अनुभागीय वक्रता के किसी भी हैडमार्ड कई गुना $$\le -1$$) है $$2$$-अतिपरवलिक। यदि हम रिमेंनियन मीट्रिक को एक कारक द्वारा स्केल करते हैं $$\lambda > 0$$ फिर दूरियों को गुणा किया जाता है $$\lambda$$ और इस प्रकार हमें एक स्थान मिलता है जो है $$\lambda\cdot\delta$$-अतिपरवलिक। चूँकि वक्रता को गुणा किया जाता है $$\lambda^{-1}$$ हम देखते हैं कि इस उदाहरण में स्थान जितना अधिक (नकारात्मक रूप से) वक्रित होता है, अतिशयोक्ति स्थिरांक उतना ही कम होता है।

इसी प्रकार के उदाहरण ऋणात्मक वक्रता के CAT स्थान हैं। वक्रता और अतिशयोक्ति के संबंध में यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि हालांकि वक्रता एक संपत्ति है जो अनिवार्य रूप से स्थानीय है, अतिशयोक्ति एक बड़े पैमाने की संपत्ति है जो स्थानीय (अर्थात एक बंधे हुए क्षेत्र में हो रही) मीट्रिक घटना को नहीं देखती है। उदाहरण के लिए, हाइपरबोलिक स्पेस का कॉम्पेक्ट स्पेस के साथ किसी भी मेट्रिक के साथ मूल का विस्तार हाइपरबोलिक रहता है।

अर्ध isometry
के तहत इनवेरियन

बड़े पैमाने के अर्थ को सटीक करने का एक तरीका अर्ध-आइसोमेट्री के तहत अपरिवर्तनीयता की आवश्यकता है। यह अतिशयोक्ति का सच है।


 * यदि एक जियोडेसिक मीट्रिक स्थान $$Y$$ a के लिए अर्ध-सममितीय है $$\delta$$-हाइपरबोलिक स्पेस $$X$$ तो वहाँ मौजूद है $$\delta'$$ ऐसा है कि $$Y$$ है $$\delta'$$-अतिपरवलिक।

अटल $$\delta'$$ पर निर्भर करता है $$\delta$$ और क्वैसी-आइसोमेट्री के लिए गुणक और योज्य स्थिरांक पर।

हाइपरबॉलिक रिक्त स्थान में अनुमानित पेड़
ग्रोमोव उत्पाद के संदर्भ में एक अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान की परिभाषा को यह कहते हुए देखा जा सकता है कि किसी भी चार बिंदुओं के बीच मीट्रिक संबंध समान हैं जैसे वे एक पेड़ में होंगे, योगात्मक स्थिरांक तक $$\delta$$. आम तौर पर निम्नलिखित संपत्ति से पता चलता है कि अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान का कोई परिमित उपसमुच्चय एक परिमित वृक्ष की तरह दिखता है।


 * किसी के लिए $$n, \delta$$ एक स्थिर है $$C$$ ऐसा है कि निम्नलिखित धारण करता है: यदि $$x_1, \ldots, x_n$$ ए में बिंदु हैं $$\delta$$-हाइपरबोलिक स्पेस $$X$$ एक परिमित वृक्ष है $$T$$ और एक एम्बेडिंग $$f : T \to X$$ ऐसा है कि $$x_i \in f(T)$$ सभी के लिए $$i = 1, \ldots, n$$ और
 * $$\forall i, j : d(f^{-1}(x_i), f^{-1}(x_j)) \le d(x_i, x_j) \le d(f^{-1}(x_i), f^{-1}(x_j)) + C $$

अटल $$C$$ होने के लिए लिया जा सकता है $$\delta \cdot h(n)$$ साथ $$h(n) = O(\log n)$$ और यह इष्टतम है।

दूरी और समपरिमितीय असमानताओं की घातीय वृद्धि
एक अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान में $$X$$ हमारे पास निम्नलिखित संपत्ति है:


 * वहाँ हैं $$\mu, K > 0$$ ऐसा कि सभी के लिए $$p, x, y \in X$$ साथ $$d(p, x) = d(p, y) =: r$$, हर रास्ता $$\alpha$$ में शामिल होने $$x$$ को $$y$$ और कम से कम दूरी बनाकर रहें $$r$$ का $$p$$ लंबाई कम से कम है $$e^{\mu \cdot d(x,y)} - K$$.

अनौपचारिक रूप से इसका अर्थ है कि त्रिज्या के एक वृत्त की परिधि $$r$$ के साथ चरघातांकी रूप से बढ़ता है $$r$$. यह आइसोपेरिमेट्रिक असमानता # विमान में आइसोपेरिमेट्रिक समस्या की याद दिलाता है। यहाँ इस आशय का एक अधिक विशिष्ट कथन है।
 * लगता है कि $$X$$ आयाम 2 का एक कोशिका परिसर  है जैसे कि इसका 1-कंकाल अतिशयोक्तिपूर्ण है, और मौजूद है $$C$$ जैसे कि किसी भी 2-सेल की सीमा में अधिक से अधिक हो $$C$$ 1-कोशिकाएँ। तब एक स्थिरांक होता है $$\lambda > 0$$ ऐसा कि किसी परिमित उपसमुच्चय के लिए $$Y \subset X$$ अपने पास
 * $$ \operatorname{area}(Y) \le \lambda \cdot \operatorname{length(\partial Y)} $$

यहां 2-कॉम्प्लेक्स का क्षेत्रफल 2-कोशिकाओं की संख्या है और 1-कॉम्प्लेक्स की लंबाई 1-कोशिकाओं की संख्या है। उपरोक्त कथन एक रेखीय समपरिमितीय असमानता है; यह पता चला है कि ऐसी आइसोपेरिमेट्रिक असमानता ग्रोमोव-हाइपरबॉलिक रिक्त स्थान की विशेषता है। रेखीय समपरिमितीय असमानताएं संयोजी समूह सिद्धांत से लघु निरस्तीकरण सिद्धांत की स्थितियों से प्रेरित थीं।

क्वासिकोनवेक्स सबस्पेस
एक उपस्थान $$Y$$ एक जियोडेसिक मीट्रिक स्थान का $$X$$ यदि स्थिरांक हो तो अर्धउत्तल कहा जाता है $$C$$ ऐसा है कि किसी भी जियोडेसिक में $$x$$ के दो बिंदुओं के बीच $$Y$$ दूरी में रहता है $$C$$ का $$Y$$.


 * एक अतिपरवलयिक स्थान का अर्ध-उत्तल उपस्थान अतिशयोक्तिपूर्ण है।

स्पर्शोन्मुख शंकु
अतिपरवलयिक स्थान के सभी अल्ट्रालिमिट#असिम्प्टोटिक शंकु वास्तविक वृक्ष हैं। यह संपत्ति अतिशयोक्तिपूर्ण रिक्त स्थान की विशेषता है।

एक अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान की सीमा
एक साधारण पेड़ के अंत (ग्राफ सिद्धांत) के निर्माण को सामान्यीकृत करना अतिपरवलयिक रिक्त स्थान के लिए अनंत पर सीमा की एक प्राकृतिक धारणा है, जो समूह क्रियाओं का विश्लेषण करने के लिए बहुत उपयोगी साबित हुई है।

इस पैराग्राफ में $$X$$ एक जियोडेसिक मीट्रिक स्पेस है जो हाइपरबोलिक है।

ग्रोमोव उत्पाद
का उपयोग करके परिभाषा

एक क्रम $$(x_n) \in X^{\mathbb N}$$ कुछ (या किसी भी) बिंदु के लिए अनंत तक अभिसरण करने के लिए कहा जाता है $$p$$ हमारे पास वह है $$(x_n, x_m)_p \rightarrow \infty$$ जैसे कि दोनों $$n$$ और $$m$$ अनंत तक जाओ। दो क्रम $$(x_n), (y_n)$$ अनंत में अभिसरण को समतुल्य माना जाता है जब $$\lim_{n\to +\infty}(x_n, y_n)_p = +\infty$$ (कुछ या किसी के लिए $$p$$). की सीमा $$X$$ अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों का समुच्चय है जो अनंत तक अभिसरित होते हैं, जिसे दर्शाया गया है $$\partial X$$.

अगर $$\xi, \eta$$ सीमा पर दो बिंदु हैं तो उनके ग्रोमोव उत्पाद को परिभाषित किया गया है:


 * $$ (\xi, \eta)_p = \sup_{(x_n)=\xi, (y_n)=\eta} \left( \liminf_{n, m\to +\infty} (x_n, y_m)_p \right)$$

जो परिमित iff है $$\xi \neq \eta$$. इसके बाद एक टोपोलॉजी को परिभाषित किया जा सकता है $$\partial X$$ कार्यों का उपयोग करना $$(\cdot, \xi)$$. यह टोपोलॉजी चालू है $$\partial X$$ मेट्रिसेबल है और ग्रोमोव उत्पाद का उपयोग करके परिभाषित मेट्रिक्स का एक विशिष्ट परिवार है।

किरणों का उपयोग कर उचित रिक्त स्थान के लिए परिभाषा
होने देना $$\alpha, \beta$$ दो क्वैसी-आइसोमेट्री|क्वासी-आइसोमेट्रिक एंबेडिंग हो $$[0, +\infty[$$ में $$X$$ (अर्ध-जियोडेसिक किरणें)। यदि और केवल कार्य करते हैं तो उन्हें समतुल्य माना जाता है $$t \mapsto d(\alpha(t), \beta(t))$$ पर आबद्ध है $$[0, +\infty[$$. यदि अंतरिक्ष $$X$$ उचित है तो इस तरह के सभी एम्बेडिंग मॉडुलो समतुल्यता का सेट अपनी प्राकृतिक टोपोलॉजी के साथ होमियोमॉर्फिक है $$\partial X$$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।

एक समान अहसास एक आधार बिंदु को ठीक करना है और केवल इस बिंदु से उत्पन्न होने वाली अर्ध-जियोडेसिक किरणों पर विचार करना है। यदि $$X$$ जियोडेसिक है और उचित भी वास्तविक जियोडेसिक किरणों तक सीमित हो सकता है।

उदाहरण
कब $$X = T$$ एक साधारण नियमित पेड़ है सीमा सिर्फ सिरों का स्थान है, जो एक कैंटर सेट है। एक बिंदु फिक्सिंग $$x \in T$$ पर प्राकृतिक दूरी पैदा करता है $$\partial T$$: किरणों द्वारा दर्शाए गए दो बिंदु $$\alpha, \beta$$ पर शुरू हो रहा है $$x$$ दूरी पर हैं $$\exp(-\operatorname{Length}(\alpha \cap \beta))$$.

कब $$X$$ यूनिट डिस्क है, यानी हाइपरबोलिक प्लेन के लिए पॉइंकेयर डिस्क मॉडल, डिस्क पर हाइपरबोलिक मेट्रिक है


 * $$ ds^2 = {4|dz|^2\over (1-|z|^2)^2}$$

और ग्रोमोव सीमा को यूनिट सर्कल से पहचाना जा सकता है।

की सीमा $$n$$-डायमेंशनल हाइपरबोलिक स्पेस होमियोमॉर्फिक है $$n-1$$-आयामी क्षेत्र और मेट्रिक्स उपरोक्त के समान हैं।

बुसेमैन फ़ंक्शन
अगर $$X$$ उचित है तो इसकी सीमा बुसेमैन कार्यों के स्थान के लिए होमियोमॉर्फिक है $$X$$ मॉड्यूलो अनुवाद।

सीमा पर आइसोमेट्री की क्रिया और उनका वर्गीकरण
दो अतिशयोक्तिपूर्ण स्थानों के बीच अर्ध-सममिति $$X, Y$$ सीमाओं के बीच एक होमियोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है।

विशेष रूप से आइसोमेट्री का समूह $$X$$ होमोमोर्फिज्म द्वारा कार्य करता है $$\partial X$$. इस क्रिया का उपयोग किया जा सकता है सीमा पर उनके गतिशील व्यवहार के अनुसार आइसोमेट्री को वर्गीकृत करने के लिए, पेड़ों और शास्त्रीय अतिशयोक्तिपूर्ण स्थानों के लिए सामान्यीकरण करना। होने देना $$g$$ की एक आइसोमेट्री हो $$X$$, तब निम्न में से कोई एक स्थिति उत्पन्न होती है:


 * पहला मामला: $$g$$ पर परिबद्ध कक्षा है $$X$$ (यदि $$X$$ उचित है इसका तात्पर्य है $$g$$ में एक निश्चित बिंदु है $$X$$). तब इसे अण्डाकार आइसोमेट्री कहा जाता है।
 * दूसरा मामला: $$g$$ ठीक दो निश्चित बिंदु हैं $$\xi_+, \xi_-$$ पर $$\partial X$$ और हर सकारात्मक कक्षा $$\{g^n\xi : n \ge 0\}, \xi \not= \xi_-$$ पर ही जमा होता है $$\xi_+$$. तब $$g$$ हाइपरबोलिक आइसोमेट्री कहा जाता है।
 * तीसरा मामला: $$g$$ सीमा पर ठीक एक निश्चित बिंदु है और इस बिंदु पर सभी कक्षाएँ जमा होती हैं। तब इसे परवलयिक आइसोमेट्री कहा जाता है।

अधिक उदाहरण
अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के सिद्धांत के सबसेट का उपयोग अतिपरवलयिक रिक्त स्थान के अधिक उदाहरण देने के लिए किया जा सकता है, उदाहरण के लिए लघु रद्दीकरण सिद्धांत के केली ग्राफ। यह भी ज्ञात है कि यादृच्छिक समूहों के कुछ मॉडलों के केली ग्राफ़ (जो वास्तव में यादृच्छिक रूप से उत्पन्न अनंत नियमित ग्राफ़ हैं) अक्सर अतिशयोक्तिपूर्ण होते हैं।

यह साबित करना मुश्किल और दिलचस्प हो सकता है कि कुछ स्थान अतिशयोक्तिपूर्ण हैं। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित अतिशयोक्तिपूर्ण परिणामों ने उन पर कार्य करने वाले समूहों के लिए नई घटनाओं की खोज की है।


 * वक्र परिसर की अतिशयोक्ति मैपिंग वर्ग समूह पर नए परिणाम दिए हैं।
 * इसी प्रकार, कुछ ग्राफों की अतिशयोक्ति बाहरी ऑटोमोर्फिज्म समूह आउट (Fn) से जुड़े इस समूह पर नए परिणाम आए हैं।

यह भी देखें

 * नकारात्मक रूप से घुमावदार समूह
 * आदर्श त्रिकोण