भार फलन

एक वज़न फ़ंक्शन एक गणितीय उपकरण है जिसका उपयोग कुछ तत्वों को एक ही सेट में अन्य तत्वों की तुलना में परिणाम पर अधिक वजन या प्रभाव देने के लिए योग, अभिन्न या औसत प्रदर्शन करते समय किया जाता है। भार फलन के इस अनुप्रयोग का परिणाम भारित योग या भारित औसत है। वजन कार्य सांख्यिकी और गणितीय विश्लेषण में अक्सर होते हैं, और एक माप (गणित) की अवधारणा से निकटता से संबंधित होते हैं। वजन कार्यों को असतत और निरंतर सेटिंग्स दोनों में नियोजित किया जा सकता है। वे वेटेड कैलकुलस नामक कैलकुलस की प्रणालियों के निर्माण के लिए उपयोग किए जा सकते हैं और मेटा-कैलकुलस।

सामान्य परिभाषा
असतत सेटिंग में, एक वजन समारोह $$w \colon A \to \R^+$$ असतत गणित सेट (गणित) पर परिभाषित एक सकारात्मक कार्य है $$A$$, जो आमतौर पर परिमित समुच्चय या गणनीय होता है। वजन समारोह $$w(a) := 1$$ अभारित स्थिति से मेल खाती है जिसमें सभी तत्वों का वजन समान होता है। फिर इस वजन को विभिन्न अवधारणाओं पर लागू किया जा सकता है।

यदि समारोह $$f\colon A \to \R$$ एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान गणितीय फलन है, फिर का भारित योग $$f$$ पर $$A$$परिभाषित किया जाता है


 * $$\sum_{a \in A} f(a);$$

लेकिन एक वजन समारोह दिया $$w\colon A \to \R^+$$भारित योग या शंक्वाकार संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\sum_{a \in A} f(a) w(a).$$

संख्यात्मक एकीकरण में भारित रकम का एक सामान्य अनुप्रयोग उत्पन्न होता है।

यदि B, A का परिमित सेट उपसमुच्चय है, तो कोई भारित प्रमुखता |B| को प्रतिस्थापित कर सकता है भारित कार्डिनैलिटी द्वारा B का


 * $$\sum_{a \in B} w(a).$$

यदि ए एक परिमित सेट गैर-रिक्त सेट है, तो कोई भारित औसत या औसत को प्रतिस्थापित कर सकता है


 * $$\frac{1}{|A|} \sum_{a \in A} f(a)$$

भारित माध्य या भारित औसत द्वारा


 * $$ \frac{\sum_{a \in A} f(a) w(a)}{\sum_{a \in A} w(a)}.$$

इस मामले में केवल सापेक्ष भार प्रासंगिक हैं।

सांख्यिकी
बाईस_(सांख्यिकी) की उपस्थिति की भरपाई करने के लिए आमतौर पर आँकड़ों में भारित साधनों का उपयोग किया जाता है। एक मात्रा के लिए $$f$$ कई स्वतंत्र समय मापा $$f_i$$ विचरण के साथ $$\sigma^2_i$$, वजन के साथ सभी मापों का औसत करके संकेत का सबसे अच्छा अनुमान प्राप्त किया जाता है $w_i = 1 / {\sigma_i^2}$, और परिणामी विचरण प्रत्येक स्वतंत्र माप से छोटा है $ \sigma^2 = 1 / \sum_i w_i$. अधिकतम संभावना पद्धति फिट और समान भार का उपयोग कर डेटा के बीच अंतर को भारित करती है $w_i$.

एक यादृच्छिक चर का अपेक्षित मान संभावित मानों का भारित औसत होता है, जिसमें वजन संबंधित संभावना होती है। अधिक आम तौर पर, एक यादृच्छिक चर के एक फ़ंक्शन का अपेक्षित मान उन मानों की संभाव्यता-भारित औसत है जो फ़ंक्शन यादृच्छिक चर के प्रत्येक संभावित मान के लिए लेता है।

रैखिक प्रतिगमन में जिसमें आश्रित चर को स्वतंत्र चर के वर्तमान और पश्चगामी (अतीत) दोनों मूल्यों से प्रभावित माना जाता है, एक वितरित अंतराल समारोह का अनुमान लगाया जाता है, यह कार्य वर्तमान और विभिन्न अंतराल स्वतंत्र चर मूल्यों का भारित औसत होता है। इसी तरह, एक चलती औसत मॉडल  एक विकसित चर को वर्तमान के भारित औसत और यादृच्छिक चर के विभिन्न लैग्ड मानों के रूप में निर्दिष्ट करता है।

यांत्रिकी
शब्दावली वजन कार्य यांत्रिकी से उत्पन्न होता है: यदि किसी के पास संग्रह है $$n$$ वजन के साथ उत्तोलक पर वस्तुएं $$w_1, \ldots, w_n$$ (जहाँ वजन की अब भौतिक अर्थ में व्याख्या की जाती है) और स्थान $\boldsymbol{x}_1,\dotsc,\boldsymbol{x}_n$, तो लीवर संतुलन में होगा यदि लीवर का लीवर द्रव्यमान के केंद्र में है


 * $$\frac{\sum_{i=1}^n w_i \boldsymbol{x}_i}{\sum_{i=1}^n w_i},$$

जो पदों का भारित औसत भी है $\boldsymbol{x}_i$.

निरंतर वजन
निरंतर सेटिंग में, वजन एक सकारात्मक उपाय (गणित) है जैसे $$w(x) \, dx$$ कुछ डोमेन पर (गणितीय विश्लेषण) $$\Omega$$, जो आमतौर पर यूक्लिडियन अंतरिक्ष  का एक सबसेट है $$\R^n$$, उदाहरण के लिए $$\Omega$$ एक अंतराल हो सकता है (गणित) $$[a,b]$$. यहाँ $$dx$$ Lebesgue उपाय है और $$w\colon \Omega \to \R^+$$ एक गैर-नकारात्मक मापने योग्य गणितीय कार्य है। इस संदर्भ में वजन समारोह $$w(x)$$ कभी-कभी घनत्व के रूप में संदर्भित किया जाता है।

सामान्य परिभाषा
अगर $$f\colon \Omega \to \R$$ एक वास्तविक संख्या-मूल्यवान गणितीय फलन है, फिर भारित समाकल है


 * $$\int_\Omega f(x)\ dx$$

भारित अभिन्न के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है


 * $$\int_\Omega f(x) w(x)\, dx$$

ध्यान दें कि किसी को आवश्यकता हो सकती है $$f$$ वजन के संबंध में पूरी तरह से अभिन्न कार्य होना $$w(x) \, dx$$ इस अभिन्न को परिमित करने के लिए।

भारित मात्रा
यदि ई का उपसमुच्चय है $$\Omega$$, तो E के आयतन खंड (E) को भारित आयतन के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है
 * $$ \int_E w(x)\ dx,$$

भारित औसत
अगर $$\Omega$$ परिमित गैर-शून्य भारित आयतन है, तो हम भारित औसत को प्रतिस्थापित कर सकते हैं


 * $$\frac{1}{\mathrm{vol}(\Omega)} \int_\Omega f(x)\ dx$$

भारित औसत द्वारा


 * $$ \frac{\int_\Omega f(x)\, w(x) \, dx}{\int_\Omega w(x) \, dx}$$

द्विरेखीय रूप
अगर $$ f\colon \Omega \to {\mathbb R}$$ और $$ g\colon \Omega \to {\mathbb R}$$ दो कार्य हैं, कोई भी भारित द्विरेखीय रूप को सामान्य कर सकता है


 * $$\langle f, g \rangle := \int_\Omega f(x) g(x)\ dx$$

एक भारित द्विरेखीय रूप में


 * $$\langle f, g \rangle := \int_\Omega f(x) g(x)\ w(x)\ dx.$$

भारित ओर्थोगोनल कार्यों के उदाहरणों के लिए ओर्थोगोनल बहुपद पर प्रविष्टि देखें।

यह भी देखें

 * सेंटर ऑफ मास
 * संख्यात्मक एकीकरण
 * ओर्थोगोनालिटी
 * भारित माध्य
 * रैखिक संयोजन
 * कर्नेल (सांख्यिकी)
 * उपाय (गणित)
 * रिमेंन-स्टील्टजेस इंटीग्रल
 * तौलना
 * विंडो फंक्शन