आवागमन मैट्रिसेस

.रैखिक बीजगणित में, दो आव्यूह A और B को यात्रा करने के लिए उचित कहा जाता है यदि AB=BA समकक्ष हो और यदि उनका कम्यूटेटर [A,B]= AB-BA शून्य है। $$A_1, \ldots, A_k$$ को अलग रूप में भी कहा जाता है  यदि वे जोड़ीदार यात्रा करते हैं, जिसका अर्थ है कि सेट मेंआव्यूह की प्रत्येक जोड़ी एक दूसरे के साथ यात्रा करती है।

विशेषताएँ और गुण

 * कम्यूटिंग मैट्रिसेस एक-दूसरे के आइगैन स्पेस को सुरक्षित रखते हैं। परिणामस्वरूप, बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर कम्यूटिंगआव्यूह एक साथ त्रिकोणीय होती प्रतीत होती हैं; अर्थात्, ऐसे आधार हैं जिन पर वे दोनों ऊपरी त्रिकोणीय हैं। दूसरे शब्दों में, यदि दूसरे शब्दों में, यदि $$A_1,\ldots,A_k$$ आवागमन एक समानताआव्यूह के रूप में उपस्थित है यदि $$P$$ ऐसा है कि $$P^{-1} A_i P$$ सभी के लिए ऊपरी त्रिकोणीय है $$i \in \{1,\ldots,k\}$$.इसका उलटा (तर्क) आवश्यक रूप से सत्य नहीं है, जैसा कि निम्नलिखित प्रतिउदाहरण से पता चलता है:
 * $$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \ne \begin{bmatrix} 1 & 5 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}.$$
 * यद्यपि यदि दोआव्यूह के कम्यूटेटर का वर्ग शून्य है,अर्थात, $$[A,B]^2 = 0$$, तो विपरीत सत्य है।


 * दो विकर्णीय आव्यूह $$A$$ और $$B$$ का आना जाना समान है($$AB=BA$$) यदि वे एक साथ विकर्णीय हैं (अर्थात्, एक व्युत्क्रमणीयआव्यूह उपस्थित है $$P$$ दोनों $$P^{-1} A P$$ और $$P^{-1}B P$$ का विकर्णआव्यूह हैं)। ; इसका विपरीत भी सत्य है अर्थात्, यदि दो विकर्णीय आव्यूह गति करते हैं, तो वे एक साथ विकर्णीय होते हैं। परन्तु यदि आप किन्हीं दो आव्यूहों को लेते हैं जो आवागमन करते हैं (और यह नहीं मानते हैं कि वे दो विकर्ण आव्यूह हैं) तो वे पहले से ही एक साथ विकर्णीय हैं यदि उनमें से एक आव्यूह में कोई एकाधिक  आइगैन मान  ​​​​नहीं है।
 * यदि $$A$$ और $$B$$ आवागमन, उनके पास एक सामान्य आइजनवेक्टर है।यदि $$A$$के अलग-अलग आइगैन मान  ​​​​हैं, और $$A$$ और $$B$$ आवागमन $$A$$ और B के आइगैन वेक्टर हैं.
 * यदि किसी आव्यूह में यह गुण है कि उसका न्यूनतम बहुपद उसके विशिष्ट बहुपद के साथ मेल खाता है (अर्थात्, इसकी अधिकतम डिग्री होती है), जो विशेष रूप से तब होता है जब विशेषता बहुपद में केवल बहुलता होती है इसके मूल की बहुलता बहुपद, तो दूसरे आव्यूह को दर्शाती है इसे पहले बहुपद के रूप में लिखा जा सकता है।
 * एक साथ त्रिकोणीयता के प्रत्यक्ष परिणाम के रूप में, दो आने वाले जटिल संख्या वालेआव्यूह A,B के आइगैन मान ​​​​को उनकी बीजगणितीय बहुलता (उनके विशिष्ट बहुपदों की जड़ों के एकाधिक सेट) के साथ मिलान किया जा सकता है $$\alpha_i\leftrightarrow\beta_i$$ इस प्रकार कि किसी भी बहुपद के आइगैन मान  ​​​​का बहुसमूह $$P(A,B)$$ दो आव्यूहों में मानों का बहुसमूह है $$P(\alpha_i,\beta_i)$$ यह प्रमेय फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस के कारण है।
 * दो हर्मिटियनआव्यूह आव्यूह आवागमन करते हैं यदि उनके आइगैन स्थान मेल खाते हैं। विशेष रूप से, एकाधिक आइगेनमान के बिना दो हर्मिटियन आव्यूह यदि वे वेक्टरों का एक ही सेट साझा करते हैं, तो आवागमन करते हैं। यह दोनों आव्यूहों के आइगेनमान अपघटन पर विचार करने के बाद $$A$$ और $$B$$ दो हर्मिटियन आव्यूह बनाते हैं जब उन्हें इस प्रकार लिखा जा सकता है तो उनके पास सामान्य आइगैन स्थान  होते हैं $$A = U \Lambda_1 U^\dagger$$ और $$B = U \Lambda_2 U^\dagger$$. इसके बाद यह अनुसरण करता है
 * $$AB = U \Lambda_1 U^\dagger U \Lambda_2 U^\dagger = U \Lambda_1 \Lambda_2 U^\dagger = U \Lambda_2 \Lambda_1 U^\dagger = U \Lambda_2 U^\dagger U \Lambda_1 U^\dagger = BA.$$
 * दो आव्यूहों के आवागमन का गुण सकर्मक नहीं है: एक आव्यूह A दोनों के साथ यात्रा कर सकता है बंध Cऔर अभी भी बंध B एक दूसरे के साथ आवागमन नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए, सर्वसमता आव्यूह सभी आव्यूहों के साथ संचारित होता है, जिनके बीच सभी आवागमन नहीं होते हैं। यदि माना गया  आव्यूह का सेट कई आइगेनमान के बिना हर्मिटियन आव्यूह तक ही सीमित है, तो आइगेनसदिश के संदर्भ में लक्षण वर्णन के परिणामस्वरूप, कम्यूटेटिविटी सकर्मक है।
 * लाई की प्रमेय, जो दर्शाती है कि हल करने योग्य लाई बीजगणित का कोई भी प्रतिनिधित्व एक साथ ऊपरी त्रिकोणीय है, इसे सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।
 * एक n × n आव्यूह A प्रत्येक अन्य n × n आव्यूह के साथ आवागमन करता है यदि और केवल यदि यह एक अदिश आव्यूह है,अर्थात एक अन्य रूप का एक आव्यूह है लैम्ब्डा मैं, जहाँ n × n पहचान आव्यूह है और लैम्ब्डा एक अदिश राशि है। दूसरे शब्दों में, गुणन के अंतर्गत n × n आव्यूहों के समूह का केंद्र अदिश आव्यूहों का उपसमूह है।

उदाहरण

 * पहचानआव्यूह सभीआव्यूह के साथ चलता है।
 * जॉर्डन ब्लॉक ऊपरी त्रिकोणीयआव्यूह के साथ चलते हैं जिनका बंध के साथ समान मूल्य होता है।
 * यदि दो सममितआव्यूह का उत्पाद सममित है, तो उन्हें कम्यूट करना होगा। इसका अर्थ यह भी है कि प्रत्येक विकर्णआव्यूह अन्य सभी विकर्णआव्यूह के साथ संचार करता है।
 * परिसंचारीआव्यूह आवागमन एक क्रमविनिमेय वलय बनाते हैं क्योंकि दो परिसंचारी आव्यूहों का योग परिवर्ती होता है।

इतिहास
न्यूनीकरण आव्यूह की धारणा केली द्वारा आव्यूह के सिद्धांत पर अपने संस्मरण में पेश की गई थी, जिसने आव्यूह का पहला स्वयंसिद्धीकरण भी प्रदान किया था। उन पर पहला महत्वपूर्ण परिणाम 1878 में फ्रोबेनियस का उपरोक्त परिणाम साबित हुआ।