उपसंरचना (गणित)

गणितीय तर्क में, एक (प्रेरित) उपसंरचना या (प्रेरित) उपबीजगणित एक संरचना (गणितीय तर्क) है जिसका डोमेन एक बड़ी संरचना का एक उपसमूह है, और जिसके कार्य और संबंध उपसंरचना के डोमेन तक ही सीमित हैं। उपबीजगणित के कुछ उदाहरण हैं उपसमूह, सबमोनॉइड, उपरिंग्स, फ़ील्ड विस्तार, किसी फ़ील्ड पर बीजगणित के उपबीजगणित, या ग्राफ़ सिद्धांत # सबग्राफ की प्रेरित शब्दावली। दृष्टिकोण को बदलते हुए, बड़ी संरचना को उसके उपसंरचना का विस्तार या अधिरचना कहा जाता है।

मॉडल सिद्धांत में, सबमॉडल शब्द का उपयोग अक्सर सबस्ट्रक्चर के पर्याय के रूप में किया जाता है, खासकर जब संदर्भ एक सिद्धांत का सुझाव देता है जिसमें दोनों संरचनाएं मॉडल हैं।

संबंधों की उपस्थिति में (अर्थात क्रमबद्ध समूहों या ग्राफ़ (अलग गणित) जैसी संरचनाओं के लिए, जिनके हस्ताक्षर (तर्क) कार्यात्मक नहीं हैं) उप-बीजगणित पर शर्तों को शिथिल करने का अर्थ हो सकता है ताकि कमजोर उप-संरचना (या कमजोर उप-बीजगणित) पर संबंध अधिकतम बड़ी संरचना से प्रेरित हों। सबग्राफ एक उदाहरण है जहां अंतर मायने रखता है, और सबग्राफ शब्द वास्तव में कमजोर सबस्ट्रक्चर को संदर्भित करता है। दूसरी ओर, आदेशित समूहों की यह विशेष संपत्ति होती है कि एक आदेशित समूह की प्रत्येक उपसंरचना, जो स्वयं एक आदेशित समूह है, एक प्रेरित उपसंरचना होती है।

परिभाषा
एक ही हस्ताक्षर (तर्क) σ की दो संरचनाओं (गणितीय तर्क) ए और बी को देखते हुए, ए को बी का 'कमजोर उपसंरचना', या बी का 'कमजोर उप-बीजगणित' कहा जाता है, यदि
 * A का प्रांत B के प्रांत का उपसमुच्चय है,
 * एफ ए=एफ बी|Anσ में प्रत्येक n-ary फ़ंक्शन प्रतीक f के लिए, और
 * आर ए $$\subseteq$$ R बी $$\cap$$ An प्रत्येक n-ary संबंध प्रतीक R के लिए σ में।

A को B का 'उपसंरचना' या B का 'उपबीजगणित' कहा जाता है, यदि A, B का कमजोर उपबीजगणित है और, इसके अलावा,
 * आर ए = आर बी $$\cap$$ An प्रत्येक n-ary संबंध प्रतीक R के लिए σ में।

यदि A, B की एक उपसंरचना है, तो B को A का 'अधिरचना' कहा जाता है या, विशेष रूप से यदि A एक प्रेरित उपसंरचना है, तो A का 'विस्तार' कहा जाता है।

उदाहरण
बाइनरी फ़ंक्शंस + और ×, बाइनरी रिलेशन <, और स्थिरांक 0 और 1 से युक्त भाषा में, संरचना (Q, +, ×, <, 0, 1) (R, +, ×, <, 0, 1) की एक उपसंरचना है। अधिक आम तौर पर, एक आदेशित क्षेत्र (या सिर्फ एक क्षेत्र (गणित)) की उपसंरचनाएं वास्तव में इसके उपक्षेत्र हैं। इसी प्रकार, भाषा में (×, −1, 1) समूहों की, एक समूह की उपसंरचना (गणित) उसके उपसमूह हैं। हालाँकि, मोनोइड्स की भाषा (×, 1) में, एक समूह की उपसंरचनाएँ इसके सबमोनॉइड्स हैं। उन्हें समूह होने की आवश्यकता नहीं है; और भले ही वे समूह हों, उन्हें उपसमूह होने की आवश्यकता नहीं है।

ग्राफ़ (अलग-अलग गणित) के मामले में (एक बाइनरी संबंध से युक्त हस्ताक्षर में), ग्राफ सिद्धांत # सबग्राफ की शब्दावली, और इसकी कमजोर उप-संरचनाएँ वास्तव में इसके सबग्राफ हैं।

उपवस्तुओं के रूप में
प्रत्येक हस्ताक्षर σ के लिए, σ-संरचनाओं की प्रेरित उप-संरचनाएं σ-संरचनाओं और संरचना (गणितीय तर्क)#समरूपता (और σ-संरचनाओं और σ-संरचना (गणितीय तर्क)#समरूपता की ठोस श्रेणी में भी) की ठोस श्रेणी में उप-वस्तुएं हैं। σ-संरचनाओं की कमजोर उप-संरचनाएं σ-संरचनाओं और संरचना (गणितीय तर्क) की ठोस श्रेणी में सामान्य अर्थों में #समरूपताएं हैं।

सबमॉडल
मॉडल सिद्धांत में, एक संरचना एम दी गई है जो सिद्धांत टी का एक मॉडल है, एक संकीर्ण अर्थ में एम का एक 'उपमॉडल' एम का एक उपसंरचना है जो टी का एक मॉडल भी है। उदाहरण के लिए, यदि टी हस्ताक्षर (+, 0) में एबेलियन समूहों का सिद्धांत है, तो पूर्णांकों के समूह ('जेड', +, 0) के उपमॉडल उपसंरचनाएं हैं जो एबेलियन समूह भी हैं। इस प्रकार प्राकृतिक संख्याएँ ('N', +, 0) ('Z', +, 0) की एक उपसंरचना बनाती हैं जो एक उपमॉडल नहीं है, जबकि सम संख्याएँ (2'Z', +, 0) एक उपमॉडल बनाती हैं।

अन्य उदाहरण:
 * 1) बीजीय संख्याएं बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों के सिद्धांत में जटिल संख्याओं का एक उपमॉडल बनाती हैं।
 * 2) क्षेत्र (गणित) के सिद्धांत में तर्कसंगत संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का एक उपमॉडल बनाती हैं।
 * 3) सिद्धांत T के मॉडल की प्रत्येक प्रारंभिक उपसंरचना भी T को संतुष्ट करती है; इसलिए यह एक उपमॉडल है।

किसी सिद्धांत के मॉडल और उनके बीच एम्बेडिंग की श्रेणी (गणित) में, किसी मॉडल के उपमॉडल उसके उप-विषय होते हैं।

यह भी देखें

 * प्राथमिक उपसंरचना
 * अंत विस्तार
 * लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय
 * प्रधान मॉडल