सममित बीजगणित

गणित में, सममित बीजगणित $S(V)$ (निरूपित भी $Sym(V))$ सदिश स्थान पर $V$ एक क्षेत्र पर (गणित) $K$ एक क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) है $K$ उसमें सम्मिलित है $V$, और कुछ अर्थों में, इस संपत्ति के लिए न्यूनतम है। यहाँ, न्यूनतम का अर्थ है $S(V)$ निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है: प्रत्येक रेखीय मानचित्र के लिए $f$ से $V$ क्रमविनिमेय बीजगणित के लिए $A$, एक अद्वितीय बीजगणित समरूपता है $g : S(V) → A$ ऐसा है कि $f = g ∘ i$, कहाँ $i$ का समावेश मानचित्र है $V$ में $S(V)$.

अगर $B$ का आधार है $V$, सममित बीजगणित $S(V)$ को एक विहित समरूपता के माध्यम से, बहुपद वलय में पहचाना जा सकता है $K[B]$, जहां के तत्व $B$ को अनिश्चित माना जाता है। इसलिए, सममित बीजगणित खत्म हो गया $V$ को एक समन्वय मुक्त बहुपद वलय के रूप में देखा जा सकता है $V$.

सममित बीजगणित $S(V)$ को टेंसर बीजगणित के भागफल वलय के रूप में बनाया जा सकता है $T(V)$ फॉर्म के तत्वों द्वारा उत्पन्न दो तरफा आदर्श द्वारा $x ⊗ y − y ⊗ x$.

ये सभी परिभाषाएँ और गुण स्वाभाविक रूप से उस मामले में विस्तारित होते हैं जहाँ $V$ क्रमविनिमेय वलय के ऊपर एक मॉड्यूल (गणित) (जरूरी नहीं कि मुक्त हो) है।

टेंसर बीजगणित से
टेंसर बीजगणित का उपयोग करना संभव है $T(V)$ सममित बीजगणित का वर्णन करने के लिए $S(V)$. वास्तव में, $S(V)$ के भागफल साहचर्य बीजगणित के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $T(V)$ कम्यूटेटर द्वारा उत्पन्न दो तरफा आदर्श द्वारा $$v\otimes w - w\otimes v.$$ यह सत्यापित करना सीधा है कि परिणामी बीजगणित परिचय में बताई गई सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है। टेंसर बीजगणित की सार्वभौमिक संपत्ति के कारण, एक रेखीय मानचित्र $f$ से $V$ क्रमविनिमेय बीजगणित के लिए $A$ एक बीजगणित समरूपता तक फैली हुई है $$T(V)\rightarrow A$$, जिसके माध्यम से कारक $S(V)$ क्योंकि $A$ क्रमविनिमेय है। का विस्तार $f$ एक बीजगणित समरूपता के लिए $$S(V)\rightarrow A$$ अद्वितीय है क्योंकि $V$ उत्पन्न करता है $A$ के तौर पर $K$-बीजगणित।

यह परिणाम सीधे श्रेणी सिद्धांत के एक सामान्य परिणाम से भी होता है, जो इस बात पर जोर देता है कि दो बाएं आसन्न फ़ैक्टरों की संरचना भी एक बाएं आसन्न फ़ैक्टर है। यहाँ, क्रमविनिमेय बीजगणित से वेक्टर रिक्त स्थान या मॉड्यूल (गुणन को भूल जाना) से भुलक्कड़ फ़ंक्टर क्रमविनिमेय बीजगणित से साहचर्य बीजगणित (कम्यूटेटिविटी को भूलना), और साहचर्य बीजगणित से वैक्टर या मॉड्यूल (गुणन को भूल जाना) से भुलक्कड़ फ़ंक्टर की संरचना है। जैसा कि टेन्सर बीजगणित और कम्यूटेटर द्वारा भागफल इन भुलक्कड़ फ़ैक्टरों के आस-पास छोड़ दिया जाता है, उनकी रचना कम्यूटेटिव बीजगणित से वैक्टर या मॉड्यूल तक भूलने वाले फ़ंक्टर के आस-पास छोड़ दी जाती है, और यह वांछित सार्वभौमिक संपत्ति को साबित करता है।

बहुपद वलय से
सममित बीजगणित $S(V)$ को बहुपद के छल्ले से भी बनाया जा सकता है।

अगर $V$ एक है $K$-वेक्टर स्पेस या फ्री मॉड्यूल | फ्री $K$-मॉड्यूल, एक आधार के साथ $B$, होने देना $K[B]$ वह बहुपद वलय हो जिसमें के अवयव हों $B$ अनिश्चित के रूप में। डिग्री एक के सजातीय बहुपद एक सदिश स्थान या एक मुक्त मॉड्यूल बनाते हैं जिसकी पहचान की जा सकती है $V$. यह सत्यापित करना आसान है कि यह बनाता है $K[B]$ परिचय में बताई गई सार्वभौमिक समस्या का समाधान। इसका अर्थ यह है कि $K[B]$ और $S(V)$ कैनोनिक रूप से आइसोमोर्फिक हैं, और इसलिए इन्हें पहचाना जा सकता है। यह श्रेणी सिद्धांत के सामान्य विचारों से भी तुरंत परिणाम देता है, क्योंकि मुक्त मॉड्यूल और बहुपद के छल्ले उनकी संबंधित श्रेणियों की मुक्त वस्तुएं हैं।

अगर $V$ एक मॉड्यूल है जो मुफ़्त नहीं है, इसे लिखा जा सकता है $$V=L/M,$$ कहाँ $L$ एक मुफ्त मॉड्यूल है, और $M$ का submodule है $L$. इस मामले में, एक है
 * $$S(V)=S(L/M)=S(L)/\langle M\rangle,$$

कहाँ $$\langle M\rangle$$ द्वारा उत्पन्न आदर्श है $M$. (यहाँ, समान संकेतों का अर्थ एक विहित समरूपता तक समानता है।) फिर से यह दिखा कर साबित किया जा सकता है कि किसी के पास सार्वभौमिक संपत्ति का समाधान है, और यह या तो एक सीधी लेकिन उबाऊ संगणना द्वारा किया जा सकता है, या श्रेणी सिद्धांत का उपयोग करके, और अधिक विशेष रूप से, तथ्य यह है कि भागफल morphisms के लिए सार्वभौमिक समस्या का समाधान है जो किसी दिए गए सबसेट को शून्य पर मैप करता है। (मामले के आधार पर, कर्नेल (बीजगणित) एक सामान्य उपसमूह, एक सबमॉड्यूल या एक आदर्श है, और भागफल की सामान्य परिभाषा को सार्वभौमिक समस्या के समाधान के अस्तित्व के प्रमाण के रूप में देखा जा सकता है।)

ग्रेडिंग
सममित बीजगणित एक वर्गीकृत बीजगणित है। यानी यह एक सीधा योग है
 * $$S(V)=\bigoplus_{n=0}^\infty S^n(V),$$

कहाँ $$S^n(V),$$ इसको कॉल किया गया n}की सममित शक्ति $V$, वेक्टर सबस्पेस या सबमॉड्यूल है जो उत्पादों द्वारा उत्पन्न होता है $n$ घटक $V$. (दूसरी सममित शक्ति $$S^2(V)$$ को कभी-कभी का सममित वर्ग कहा जाता है $V$).

यह विभिन्न माध्यमों से सिद्ध किया जा सकता है। टेंसर-बीजगणित निर्माण से एक अनुसरण करता है: चूंकि टेंसर बीजगणित को वर्गीकृत किया गया है, और सममित बीजगणित एक सजातीय आदर्श द्वारा इसका भागफल है: सभी द्वारा उत्पन्न आदर्श $$x \otimes y - y \otimes x,$$ कहाँ $x$ और $y$ में हैं $V$, यानी एक डिग्री का सजातीय।

एक सदिश स्थान या एक मुक्त मॉड्यूल के मामले में, ग्रेडेशन कुल डिग्री द्वारा बहुपदों का ग्रेडेशन है। एक गैर-मुक्त मॉड्यूल के रूप में लिखा जा सकता है $L / M$, कहाँ $L$ आधार का एक निःशुल्क मॉड्यूल है $B$; इसका सममित बीजगणित (वर्गीकृत) सममित बीजगणित का भागफल है $L$ (एक बहुपद वलय) के तत्वों द्वारा उत्पन्न सजातीय आदर्श द्वारा $M$, जो एक डिग्री के सजातीय हैं।

कोई परिभाषित भी कर सकता है $$S^n(V)$$ बहुरेखीय फलन के लिए सार्वभौम समस्या के समाधान के रूप में |$n$-रैखिक सममित कार्य $V$ एक सदिश स्थान या एक मॉड्यूल में, और फिर सत्यापित करें कि सभी का प्रत्यक्ष योग $$S^n(V)$$ सममित बीजगणित के लिए सार्वभौमिक समस्या को संतुष्ट करता है।

सममित टेंसरों के साथ संबंध
चूंकि सदिश स्थान का सममित बीजगणित टेंसर बीजगणित का भागफल है, सममित बीजगणित का एक तत्व टेंसर नहीं है, और विशेष रूप से, सममित टेंसर नहीं है। हालाँकि, सममित टेन्सर दृढ़ता से सममित बीजगणित से संबंधित हैं।

डिग्री का एक सममित टेंसर $n$ का एक तत्व है $Tn(V)$ जो सममित समूह की समूह क्रिया (गणित) के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है $$\mathcal S_n.$$ अधिक सटीक, दिया गया $$\sigma\in \mathcal S_n,$$ रूपान्तरण $$v_1\otimes \cdots \otimes v_n \mapsto v_{\sigma(1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}$$ के एक रेखीय एंडोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है $Tn(V)$. एक सममित टेन्सर एक टेन्सर है जो इन सभी एंडोमोर्फिज्म के तहत अपरिवर्तनीय है। डिग्री के सममित टेंसर $n$ सदिश उप-स्थान (या मॉड्यूल) बनाते हैं $Symn(V) ⊂ Tn(V)$. सममित टेंसर प्रत्यक्ष योग के तत्व हैं $$\textstyle \bigoplus_{n=0}^\infty \operatorname{Sym}^n(V),$$ जो एक ग्रेडेड वेक्टर स्पेस (या वर्गीकृत मॉड्यूल ) है। यह एक बीजगणित नहीं है, क्योंकि दो सममित टेंसरों का टेंसर उत्पाद सामान्य रूप से सममित नहीं है।

होने देना $$\pi_n$$ पर प्रतिबंध हो $Symn(V)$ विहित अनुमान के $$T^n(V)\to S^n(V).$$ अगर $n!$ ग्राउंड फील्ड (या रिंग) में उलटा है, फिर $$\pi_n$$ एक समरूपता है। यह हमेशा विशेषता (बीजगणित) शून्य के जमीनी क्षेत्र के मामले में होता है। प्रतिलोम फलन समाकृतिकता रैखिक मानचित्र परिभाषित है (के उत्पादों पर $n$ वैक्टर) समरूपता द्वारा
 * $$v_1\cdots v_n \mapsto \frac 1{n!} \sum_{\sigma \in S_n} v_{\sigma(1)}\otimes \cdots \otimes v_{\sigma(n)}.$$

वो नक्शा $$\pi_n$$ यदि विशेषता से कम है तो इंजेक्शन नहीं है $n$+1; उदाहरण के लिए $$\pi_n(x\otimes y+y\otimes x) = 2xy$$ विशेषता दो में शून्य है। विशेषता शून्य की एक अंगूठी पर, $$\pi_n$$ गैर विशेषण हो सकता है; उदाहरण के लिए, पूर्णांकों पर, यदि $x$ और $y$ के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र तत्व हैं $V = S1(V)$ जो अंदर नहीं हैं $2V$, तब $$xy\not\in \pi_n(\operatorname{Sym}^2(V)),$$ तब से $$\frac 12 (x\otimes y +y\otimes x) \not\in \operatorname{Sym}^2(V).$$ संक्षेप में, विशेषता शून्य के क्षेत्र में, सममित टेन्सर और सममित बीजगणित दो आइसोमोर्फिक ग्रेडेड वेक्टर रिक्त स्थान बनाते हैं। इस प्रकार जहां तक ​​केवल सदिश स्थान संरचना का संबंध है, उनकी पहचान की जा सकती है, लेकिन उत्पादों के शामिल होते ही उनकी पहचान नहीं की जा सकती। इसके अलावा, यह आइसोमोर्फिज्म सकारात्मक विशेषता वाले क्षेत्रों और उन रिंगों के मामलों तक नहीं फैलता है जिनमें परिमेय संख्याएं नहीं होती हैं।

श्रेणीबद्ध गुण
एक मॉड्यूल (गणित) दिया गया $V$ एक क्रमविनिमेय अंगूठी पर $K$, सममित बीजगणित $S(V)$ को निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:


 * हरएक के लिए $K$-रैखिक मानचित्र $f$ से $V$ क्रमविनिमेय के लिए $K$-बीजगणित $A$, एक अनूठा है $K$-बीजगणित समरूपता $$g:S(V)\to A$$ ऐसा है कि $$f=g\circ i,$$ कहाँ $i$ का समावेश है $V$ में $S(V)$.

प्रत्येक सार्वभौमिक संपत्ति के लिए, जैसे ही एक समाधान मौजूद होता है, यह विशिष्ट रूप से सममित बीजगणित को परिभाषित करता है, एक विहित समरूपता तक। यह इस प्रकार है कि सममित बीजगणित के सभी गुणों को सार्वभौमिक संपत्ति से घटाया जा सकता है। यह खंड मुख्य गुणों के लिए समर्पित है जो श्रेणी सिद्धांत से संबंधित हैं।

सममित बीजगणित की श्रेणी (गणित) से एक मज़ेदार है $K$-मॉड्यूल की श्रेणी के लिए $K$-कम्यूटेटिव बीजगणित, चूंकि सार्वभौमिक संपत्ति का अर्थ है कि प्रत्येक मॉड्यूल समरूपता $$f:V\to W$$ एक बीजगणित समरूपता के लिए विशिष्ट रूप से बढ़ाया जा सकता है $$S(f):S(V)\to S(W).$$ सार्वभौमिक संपत्ति को यह कहकर सुधारा जा सकता है कि सममित बीजगणित भुलक्कड़ फ़नकार के लिए एक बायाँ जोड़ है जो अपने अंतर्निहित मॉड्यूल के लिए एक कम्यूटेटिव बीजगणित भेजता है।

एक affine स्थान
का सममित बीजगणित एक समान स्थान पर सममित बीजगणित का निर्माण कर सकते हैं। मुख्य अंतर यह है कि एक संबधित स्थान का सममित बीजगणित एक श्रेणीबद्ध बीजगणित नहीं है, बल्कि एक फ़िल्टर किया हुआ बीजगणित है: कोई एक सजातीय स्थान पर एक बहुपद की डिग्री निर्धारित कर सकता है, लेकिन इसके सजातीय भागों को नहीं।

उदाहरण के लिए, एक सदिश स्थान पर एक रैखिक बहुपद दिया गया है, कोई 0. पर मूल्यांकन करके इसके निरंतर भाग को निर्धारित कर सकता है। एक सजातीय स्थान पर, कोई विशिष्ट बिंदु नहीं है, इसलिए कोई ऐसा नहीं कर सकता है (एक बिंदु का चयन एक सघन स्थान को सदिश में बदल देता है) अंतरिक्ष)।

बाहरी बीजगणित के साथ सादृश्य
एसk बाहरी शक्तियों की तुलना में कार्य करने वाले हैं; यहाँ, हालाँकि, आयाम (वेक्टर स्थान) k के साथ बढ़ता है; द्वारा दिया गया है
 * $$\operatorname{dim}(S^k(V)) = \binom{n+k-1}{k}$$

जहां n V का आयाम है। यह द्विपद गुणांक डिग्री k के n-चर मोनोमियल्स की संख्या है। वास्तव में, सममित बीजगणित और बाहरी बीजगणित की कार्रवाई के तुच्छ और सांकेतिक प्रतिनिधित्व के समस्थानिक घटकों के रूप में दिखाई देते हैं। $$S_n$$ टेंसर उत्पाद पर अभिनय $$V^{\otimes n}$$ (उदाहरण के लिए जटिल क्षेत्र में)

एक हॉफ बीजगणित
के रूप में सममित बीजगणित को हॉफ बीजगणित की संरचना दी जा सकती है। विवरण के लिए टेन्सर बीजगणित देखें।

एक सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित
के रूप में सममित बीजगणित एस (वी) एक एबेलियन लाइ बीजगणित का सार्वभौमिक लिफाफा बीजगणित है, यानी एक जिसमें लाइ ब्रैकेट समान रूप से 0 है।

यह भी देखें

 * बाहरी बीजगणित, वैकल्पिक बीजगणित एनालॉग
 * वर्गीकृत-सममित बीजगणित, एक सममित बीजगणित का एक सामान्य सामान्यीकरण और एक बाहरी बीजगणित
 * वेइल बीजगणित, सममित बीजगणित का एक क्वांटम समूह एक सहानुभूतिपूर्ण रूप से
 * क्लिफर्ड बीजगणित, द्विघात रूप से बाहरी बीजगणित का एक क्वांटम समूह