टॉर्क

भौतिकी और   यांत्रिकी  में, टॉर्क रैखिक   बल  के घूर्णी समकक्ष है इसे अध्ययन के क्षेत्र के आधार पर क्षण,बल का क्षण,घूर्णन बल या मोड़ प्रभाव के रूप में भी जाना जाता है। यह शरीर की घूर्णी गति में परिवर्तन उत्पन्न करने के लिए एक बल की क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है। अवधारणा की उत्पत्ति   आर्किमिडीज  द्वारा   लीवर  एस के उपयोग के अध्ययन के साथ हुई। जिस तरह एक रैखिक बल एक धक्का या एक खिंचाव है, उसी तरह एक टोक़ को एक विशिष्ट अक्ष के चारों ओर एक वस्तु के लिए एक मोड़ के रूप में माना जा सकता है। टॉर्क को बल के परिमाण के गुणनफल के रूप में परिभाषित किया गया है और   लाइन ऑफ एक्शन  की लंबवत दूरी को    रोटेशन  अक्ष के चारों ओर घुमाया जाता है। टोक़ के लिए प्रतीक आम तौर पर है $$\boldsymbol\tau$$, लोअरकेस    ग्रीक अक्षर    ताऊ  । जब    पल  बल के रूप में संदर्भित किया जाता है, तो इसे आमतौर पर द्वारा दर्शाया जाता है $M$.

तीन आयामों में, टोक़  स्यूडोवेक्टर  है;   बिंदु कण  के लिए, यह स्थिति वेक्टर के   क्रॉस उत्पाद  (   दूरी वेक्टर ) और बल वेक्टर द्वारा दिया गया है।   कठोर शरीर  के बल आघूर्ण का परिमाण तीन मात्राओं पर निर्भर करता है: लागू बल, लीवर आर्म वेक्टर उस बिंदु को जोड़ना जिसके बारे में बल के आवेदन के बिंदु पर टोक़ को मापा जा रहा है, और बल और लीवर आर्म वैक्टर के बीच का कोण। प्रतीकों में:
 * $$\tau = \|\mathbf{r}\|\,\|\mathbf{F}\|\sin \theta\,\!$$

कहाँ पे$$\boldsymbol\tau$$ is the torque vector and $$\tau$$ टोक़ का परिमाण है,$$ \mathbf{r} $$ स्थिति वेक्टर है (उस बिंदु से एक वेक्टर जिसके बारे में टोक़ को उस बिंदु तक मापा जा रहा है जहां बल लगाया जाता है),$$ \mathbf{F} $$ बल वेक्टर है,$$ \times $$  क्रॉस उत्पाद  को दर्शाता है, जो एक वेक्टर उत्पन्न करता है जो दोनों के लिए   लंबवत  है $r$ और $F$   दाहिने हाथ के नियम  का पालन करते हुए,$$ \theta$$ बल वेक्टर और लीवर आर्म वेक्टर के बीच का कोण है।

टॉर्क के लिए   एसआई यूनिट    न्यूटन-मीटर  (N⋅m) है। टोक़ की इकाइयों के बारे में अधिक जानकारी के लिए देखें.

शब्दावली परिभाषित करना
कहा जाता है कि टॉर्क ( लैटिन     टोरक्यूर  टू ट्विस्ट) शब्द का सुझाव    जेम्स थॉमसन  द्वारा दिया गया था और प्रिंट में दिखाई दिया अप्रैल, 1884  उपयोग उसी वर्ष   सिल्वेनस पी. थॉम्पसन  द्वारा डायनेमो-इलेक्ट्रिक मशीनरी के पहले संस्करण में प्रमाणित किया गया है। थॉम्पसन इस शब्द को निम्नानुसार प्रेरित करता है

"'Just as the Newtonian definition of force is that which produces or tends to produce motion (along a line), so torque may be defined as that which produces or tends to produce torsion (around an axis). It is better to use a term which treats this action as a single definite entity than to use terms like 'couple' and 'moment,' which suggest more complex ideas. The single notion of a twist applied to turn a shaft is better than the more complex notion of applying a linear force (or a pair of forces) with a certain leverage.'"

आज, भौगोलिक स्थिति और अध्ययन के क्षेत्र के आधार पर विभिन्न शब्दावली का उपयोग करने के लिए टोक़ को संदर्भित किया जाता है। यह लेख 'टॉर्क' शब्द के उपयोग में अमेरिकी भौतिकी में प्रयुक्त परिभाषा का अनुसरण करता है। यूके और यूएस में  मैकेनिकल इंजीनियरिंग  में, टॉर्क को बल के क्षण के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसे आमतौर पर पल तक छोटा किया जाता है। ये शब्द यूएस भौतिकी में विनिमेय हैं और यूके भौतिकी शब्दावली, यूएस मैकेनिकल इंजीनियरिंग के विपरीत, जहां 'टॉर्क' शब्द का प्रयोग    जोड़े  के निकट से संबंधित परिणामी क्षण के लिए किया जाता है।

यूएस मैकेनिकल इंजीनियरिंग शब्दावली में टोक़ और क्षण
यूएस मैकेनिकल इंजीनियरिंग में, टॉर्क को गणितीय रूप से एक वस्तु के  कोणीय गति  के परिवर्तन की दर के रूप में परिभाषित किया गया है (भौतिकी में इसे नेट टॉर्क कहा जाता है)। टोक़ की परिभाषा में कहा गया है कि किसी वस्तु के   कोणीय वेग  या   जड़ता  में से एक या दोनों बदल रहे हैं। क्षण एक सामान्य शब्द है जिसका प्रयोग एक या एक से अधिक   बल  एस की प्रवृत्ति के लिए किया जाता है जो किसी वस्तु को एक अक्ष के चारों ओर घुमाता है, लेकिन जरूरी नहीं कि वस्तु के कोणीय गति को बदलने के लिए (अवधारणा जिसे  टोक़ कहा जाता है) भौतिकी में) उदाहरण के लिए, शाफ्ट पर लगाया गया एक घूर्णी बल त्वरण का कारण बनता है, जैसे कि एक ड्रिल बिट आराम से तेज हो रहा है, जिसके परिणामस्वरूप एक पल में टॉर्क कहा जाता है। इसके विपरीत, बीम पर एक पार्श्व बल एक क्षण उत्पन्न करता है (जिसे   झुकने वाला क्षण  कहा जाता है), लेकिन चूंकि बीम की कोणीय गति नहीं बदल रही है, इसलिए इस झुकने वाले क्षण को टॉर्क' नहीं कहा जाता है। इसी प्रकार किसी वस्तु पर कोई बल युग्म जिसके कोणीय संवेग में कोई परिवर्तन नहीं होता है, ऐसे क्षण को भी टोक़'' नहीं कहा जाता है।

परिभाषा और कोणीय गति से संबंध


लीवर के फुलक्रम (  लीवर आर्म  की लंबाई) से इसकी दूरी से गुणा करके लीवर पर लंबवत रूप से लगाया गया बल इसका टॉर्क है। तीन    न्यूटन  के बल ने फुलक्रम से दो   मीटर  सेकेंड लगाए, उदाहरण के लिए, एक न्यूटन के बल के रूप में एक ही टोक़ को फुलक्रम से छह मीटर की दूरी पर लगाया जाता है। टॉर्क की दिशा   राइट हैंड ग्रिप नियम  का उपयोग करके निर्धारित की जा सकती है: यदि दाहिने हाथ की उंगलियों को लीवर आर्म की दिशा से बल की दिशा में घुमाया जाता है, तो अंगूठा किस दिशा में इंगित करता है टॉर्कः

आम तौर पर, एक बिंदु कण पर टोक़ (जिसकी स्थिति  r  कुछ संदर्भ फ्रेम में होती है) को  क्रॉस उत्पाद  के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:$$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F},$$ जहाँ F कण पर लगने वाला बल है। टोक़ का परिमाण τ द्वारा दिया जाता है$$\tau = rF\sin\theta,$$ जहां F लागू बल का परिमाण है, और θ स्थिति और बल सदिशों के बीच का कोण है। वैकल्पिक रूप से,$$\tau = rF_{\perp},$$ जहाँ F⊥ कण की स्थिति के लिए लंबवत निर्देशित बल की मात्रा है। कण की स्थिति वेक्टर के समानांतर निर्देशित कोई भी बल टोक़ उत्पन्न नहीं करता है<ref name="halliday_184-85

यह क्रॉस उत्पाद के गुणों से इस प्रकार है कि टॉर्क वेक्टर स्थिति और बल दोनों वैक्टरों के लंबवत है। इसके विपरीत, टॉर्क वेक्टर उस विमान को परिभाषित करता है जिसमें स्थिति और बल वेक्टर झूठ बोलते हैं। परिणामी टॉर्क वेक्टर दिशा दाहिने हाथ के नियम द्वारा निर्धारित होती है

एक शरीर पर शुद्ध टोक़ शरीर के  कोणीय गति  के परिवर्तन की दर निर्धारित करता है,$$\boldsymbol{\tau} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t}$$ जहां L कोणीय संवेग सदिश है और t समय है।

एक बिंदु कण की गति के लिए,$$\mathbf{L} = I\boldsymbol{\omega},$$ कहाँ पे $τ = r × F$ जड़ता का  क्षण है  और ω कक्षीय   कोणीय वेग  स्यूडोवेक्टर है। यह इस प्रकार है कि$$\boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}} = \frac{\mathrm{d}\mathbf{L}}{\mathrm{d}t} = \frac{\mathrm{d}(I\boldsymbol{\omega})}{\mathrm{d}t} = I\frac{\mathrm{d}\boldsymbol{\omega}}{\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}I}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\omega} = I\boldsymbol{\alpha} + \frac{\mathrm{d}(mr^2)}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\omega} = I\boldsymbol{\alpha} + 2rp_{||}\boldsymbol{\omega},$$ जहां α कण का  कोणीय त्वरण  है, और pundefined इसके   रैखिक संवेग  का रेडियल घटक है। यह समीकरण घूर्णन हैबिंदु कणों के लिए   न्यूटन के दूसरे नियम  का सामान्य एनालॉग, और किसी भी प्रकार के प्रक्षेपवक्र के लिए मान्य है। ध्यान दें कि यद्यपि बल और त्वरण हमेशा समानांतर और सीधे आनुपातिक होते हैं, टोक़ τ को कोणीय त्वरण α के समानांतर या सीधे आनुपातिक होने की आवश्यकता नहीं है। यह इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि यद्यपि द्रव्यमान हमेशा संरक्षित होता है, सामान्य रूप से जड़ता का क्षण नहीं होता है।

परिभाषाओं की तुल्यता का प्रमाण
एकल बिंदु कण के लिए कोणीय गति की परिभाषा है: \mathbf{L} = \mathbf{r} \times \mathbf{p} जहाँ p कण का  रैखिक संवेग  है और r मूल बिन्दु से स्थिति सदिश है। इसका समय-व्युत्पन्न है:  \ फ्रैक {\ गणित {डी} \ गणित एफ {एल}} {\ गणित {डी} टी} = \ गणित एफ {आर} \ गुना \ फ्रैक {\ गणित {डी} \ गणितबफ {पी}} {\mathrm{d}t} + \frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t} \times \mathbf{p}.

यह परिणाम वैक्टर को घटकों में विभाजित करके और  उत्पाद नियम  को लागू करके आसानी से सिद्ध किया जा सकता है। अब बल की परिभाषा का उपयोग करते हुए  \ फ्रैक {\ गणित {डी} \ गणित {एल}} {\ गणित {डी} टी} = \ गणित {आर} \ गुना \ गणित एफ {एफ} + \ गणित {वी} \ बार \ गणितबीएफ {पी}। 

संवेग का क्रॉस उत्पाद $$\mathbf{p}$$ with its associated velocity $$\mathbf{v}$$ शून्य है क्योंकि वेग और संवेग समानांतर हैं, इसलिए दूसरा पद लुप्त हो जाता है।

परिभाषा के अनुसार, टॉर्क τ = r × F। इसलिए, एक कण पर टॉर्क के बराबर होता है समय के संबंध में इसके कोणीय संवेग का प्रथम अवकलज ।

यदि कई बल लगाए जाते हैं, तो इसके बजाय न्यूटन का दूसरा नियम पढ़ता है Fnet = ma, और यह इस प्रकार है  \ फ्रैक {\ गणित {डी} \ गणित {एल}} {\ गणित {डी} टी} = \ गणित {आर} \ बार \ गणित {एफ} _ {\ गणित {नेट}} = \boldsymbol{\tau}_{\mathrm{net}}.

यह बिंदु कणों के लिए एक सामान्य प्रमाण है।

उपरोक्त प्रमाण को प्रत्येक बिंदु कणों पर लागू करके और फिर सभी बिंदु कणों को जोड़कर सबूत को बिंदु कणों की एक प्रणाली के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसी तरह, द्रव्यमान के भीतर प्रत्येक बिंदु पर उपरोक्त प्रमाण को लागू करके सबूत को निरंतर द्रव्यमान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और फिर   पूरे द्रव्यमान पर  को एकीकृत कर सकता है।

इकाइयां
टोक़ में   आयाम  बल समय   दूरी, प्रतीकात्मक रूप से है. हालांकि वे मौलिक आयाम  ऊर्जा  या    कार्य  के लिए समान हैं, आधिकारिक   एसआई  साहित्य इकाई   न्यूटन मीटर  (N⋅m) का उपयोग करने का सुझाव देता है और   जूल  कभी नहीं इकाई न्यूटन मीटर को सही ढंग से निरूपित किया जाता है N⋅m

टोक़ के लिए पारंपरिक इंपीरियल और यू.एस. प्रथागत इकाइयां   पाउंड फुट  (एलबीएफ-फीट), या छोटे मूल्यों के लिए पाउंड इंच (एलबीएफ-इन) हैं। अमेरिका में, टोक़ को आमतौर पर  फुट-पाउंड  (एलबी-फीट या फीट-एलबी के रूप में चिह्नित) और  इंच-पाउंड  (इन-एलबी के रूप में चिह्नित) के रूप में जाना जाता है। प्रैक्टिशनर यह जानने के लिए संदर्भ और संक्षिप्त नाम में हाइफ़न पर निर्भर करते हैं कि ये टोक़ को संदर्भित करते हैं न कि ऊर्जा या द्रव्यमान के क्षण को (जैसा कि प्रतीकवाद ft-lb ठीक से इंगित करेगा)।

पल हाथ सूत्र
एक बहुत ही उपयोगी विशेष मामला, जिसे अक्सर भौतिकी के अलावा अन्य क्षेत्रों में टोक़ की परिभाषा के रूप में दिया जाता है, इस प्रकार है:$$\tau = (\text{moment arm}) (\text{force}).$$

आघूर्ण भुजा का निर्माण ऊपर उल्लिखित सदिश r और F के साथ दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है। इस परिभाषा के साथ समस्या यह है कि यह टोक़ की दिशा नहीं बल्कि केवल परिमाण देता है, और इसलिए त्रि-आयामी मामलों में इसका उपयोग करना मुश्किल है। यदि बल विस्थापन सदिश r के लंबवत है, तो आघूर्ण भुजा केंद्र से दूरी के बराबर होगी, और दिए गए बल के लिए बल आघूर्ण अधिकतम होगा। एक लंबवत बल से उत्पन्न होने वाले टोक़ के परिमाण के लिए समीकरण:$$\tau = (\text{distance to centre}) (\text{force}).$$

उदाहरण के लिए, यदि कोई व्यक्ति 0.5 मीटर लंबे रिंच के अंतिम छोर पर 10 एन का बल लगाता है (या किसी भी लंबाई के रिंच के मोड़ बिंदु से ठीक 0.5 मीटर की दूरी पर 10 एन का बल), तो टॉर्क होगा 5 N⋅m - यह मानते हुए कि व्यक्ति गति के विमान में बल लगाकर और रिंच के लंबवत होकर रिंच को हिलाता है।



स्थिर संतुलन
किसी वस्तु के  स्थिर संतुलन  में होने के लिए, न केवल बलों का योग शून्य होना चाहिए, बल्कि किसी भी बिंदु के बारे में टोक़ (क्षण) का योग भी होना चाहिए। क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर बलों के साथ द्वि-आयामी स्थिति के लिए, बलों की आवश्यकता का योग दो समीकरण है: H = 0 और ΣV = 0, और टोक़ एक तीसरा समीकरण: Σ  = 0. अर्थात्,  को स्थिर रूप से निर्धारित  संतुलन समस्याओं को दो आयामों में हल करने के लिए, तीन समीकरणों का उपयोग किया जाता है।

शुद्ध बल बनाम बलाघूर्ण
जब तंत्र पर कुल बल शून्य होता है, तो अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु से मापा गया बल आघूर्ण समान होता है। उदाहरण के लिए, एक समान चुंबकीय क्षेत्र में वर्तमान-वाहक लूप पर टोक़ संदर्भ के बिंदु की परवाह किए बिना समान है। यदि शुद्ध बल $$\mathbf{F}$$ is not zero, and $$\boldsymbol{\tau}_1$$ is the torque measured from $$\mathbf{r}_1$$, then the torque measured from $$\mathbf{r}_2$$ है \boldsymbol{\tau}_2 = \boldsymbol{\tau}_1 + (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) \times \mathbf{F}

मशीन टॉर्क
टॉर्क  इंजन  के बुनियादी विनिर्देश का हिस्सा है:    पावर  इंजन के आउटपुट को इसके टॉर्क को धुरी की घूर्णी गति से गुणा करके व्यक्त किया जाता है।    आंतरिक-दहन  इंजन केवल सीमित घूर्णन गति (आमतौर पर एक छोटी कार के लिए लगभग 1,000-6,000 आरपीएम से) पर उपयोगी टोक़ का उत्पादन करते हैं। एक   डायनेमोमीटर  के साथ उस सीमा पर अलग-अलग टोक़ आउटपुट को माप सकता है, और इसे टोक़ वक्र के रूप में दिखा सकता है।

स्टीम इंजन एस और   इलेक्ट्रिक मोटर  एस शून्य आरपीएम के करीब अधिकतम टोक़ का उत्पादन करते हैं, साथ ही घूर्णी गति बढ़ने (बढ़ते घर्षण और अन्य बाधाओं के कारण) के साथ टोक़ कम हो जाता है। पारस्परिक भाप-इंजन और इलेक्ट्रिक मोटर बिना   क्लच  के शून्य आरपीएम से भारी भार शुरू कर सकते हैं।

टोक़, शक्ति और ऊर्जा के बीच संबंध
यदि एक  बल  को दूर से कार्य करने की अनुमति दी जाती है, तो यह   यांत्रिक कार्य  कर रहा है। इसी तरह, यदि टोक़ को घूर्णी दूरी के माध्यम से कार्य करने की अनुमति है, तो यह काम कर रहा है। गणितीय रूप से, द्रव्यमान ]] के  [[ केंद्र के माध्यम से एक निश्चित अक्ष के परितः घूर्णन के लिए, कार्य W को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है



जहां τ टॉर्क है, और θ1 और θ2 प्रारंभिक और अंतिम  कोणीय स्थिति  s का प्रतिनिधित्व करते हैं (क्रमशः) शरीर का<ref name="kleppner_267-68

सबूत
परिमित रैखिक विस्थापन पर कार्य करने वाले चर बल द्वारा किया गया कार्य $$s$$ is given by integrating the force with respect to an elemental linear displacement $$\mathrm{d}\mathbf{s}$$ $$W = \int_{s_1}^{s_2} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\mathbf{s}$$

तथापि, अतिसूक्ष्म रैखिक विस्थापन $$\mathrm{d}\mathbf{s}$$ is related to a corresponding angular displacement $$\mathrm{d}\boldsymbol{\theta}$$ and the radius vector $$\mathbf{r}$$ जैसा$$\mathrm{d}\mathbf{s} = \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\times\mathbf{r}$$

काम के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापन देता है$$W = \int_{s_1}^{s_2} \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta} \times \mathbf{r}$$

भाव $$\mathbf{F}\cdot\mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\times\mathbf{r}$$ is a scalar triple product given by $$\left[\mathbf{F}\,\mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\,\mathbf{r}\right]$$. समान अदिश त्रिगुण उत्पाद के लिए एक वैकल्पिक व्यंजक है$$\left[\mathbf{F} \, \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\,\mathbf{r}\right] = \mathbf{r} \times \mathbf{F} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}$$

लेकिन टोक़ की परिभाषा के अनुसार,$$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{r} \times \mathbf{F}$$

कार्य की अभिव्यक्ति में संगत प्रतिस्थापन देता है,$$W = \int_{s_1}^{s_2} \boldsymbol{\tau} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}$$

चूंकि एकीकरण के पैरामीटर को रैखिक विस्थापन से कोणीय विस्थापन में बदल दिया गया है, इसलिए एकीकरण की सीमाएं भी तदनुसार बदलती हैं, जिससे$$W = \int_{\theta _1}^{\theta _2} \boldsymbol{\tau} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}$$

यदि बलाघूर्ण और कोणीय विस्थापन एक ही दिशा में हैं, तो अदिश उत्पाद परिमाण के उत्पाद तक कम हो जाता है; अर्थात।, $$\boldsymbol{\tau}\cdot \mathrm{d}\boldsymbol{\theta} = \left|\boldsymbol{\tau}\right| \left| \mathrm{d}\boldsymbol{\theta}\right|\cos 0 = \tau \, \mathrm{d}\theta$$ दे रही है$$W = \int_{\theta _1}^{\theta _2} \tau \, \mathrm{d}\theta$$

यह  कार्य-ऊर्जा सिद्धांत  से अनुसरण करता है कि डब्ल्यू शरीर की    घूर्णी गतिज ऊर्जा  ईr में परिवर्तन का भी प्रतिनिधित्व करता है, जो किसके द्वारा दिया गया है



जहां मैं शरीर की जड़ता ]] का  क्षण है और ω इसकी  [[ कोणीय गति  है

शक्ति प्रति इकाई कार्य है   गुणा , द्वारा दिया गया है

जहाँ P शक्ति है, τ टोक़ है, ω  कोणीय वेग  है, और $$\cdot $$   अदिश उत्पाद  का प्रतिनिधित्व करता है।

बीजगणितीय रूप से, समीकरण को किसी दिए गए कोणीय गति और बिजली उत्पादन के लिए टोक़ की गणना करने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है। ध्यान दें कि टोक़ द्वारा इंजेक्ट की गई शक्ति केवल तात्कालिक कोणीय गति पर निर्भर करती है - इस पर नहीं कि टोक़ लागू होने के दौरान कोणीय गति बढ़ती है, घटती है, या स्थिर रहती है (यह रैखिक मामले के बराबर है जहां शक्ति एक बल द्वारा इंजेक्ट की जाती है केवल तात्कालिक गति पर निर्भर करता है - परिणामी त्वरण पर नहीं, यदि कोई हो)।

व्यवहार में, यह संबंध  साइकिल  सेकेंड में देखा जा सकता है: साइकिलें आम तौर पर दो सड़क पहियों, आगे और पीछे के गियर (  स्प्रोकेट  के रूप में संदर्भित) से बनी होती हैं, जो एक गोलाकार    श्रृंखला  और एक    डिरेलियर मैकेनिज्म  यदि साइकिल का ट्रांसमिशन सिस्टम कई गियर अनुपातों का उपयोग करने की अनुमति देता है (यानी    मल्टी-स्पीड साइकिल ), जो सभी    फ्रेम । एक   साइकिल चालक, जो व्यक्ति साइकिल की सवारी करता है, पैडल घुमाकर इनपुट शक्ति प्रदान करता है, जिससे    क्रैंकिंग  फ्रंट स्प्रोकेट (आमतौर पर    चेनिंग )। साइकिल चालक द्वारा प्रदान की गई इनपुट शक्ति    ताल  (यानी प्रति मिनट पेडल क्रांतियों की संख्या) के उत्पाद के बराबर है और साइकिल के   क्रैंकसेट  के    स्पिंडल  पर टोक़ है। साइकिल की    ड्राइवट्रेन  इनपुट पावर को   व्हील  तक पहुंचाती है, जो बदले में साइकिल की आउटपुट पावर के रूप में प्राप्त शक्ति को सड़क तक पहुंचाती है। साइकिल के   गियर अनुपात  के आधार पर, एक (टॉर्क, आरपीएम)इनपुट जोड़ी को (टॉर्क, आरपीएम)आउटपुट जोड़ी में बदल दिया जाता है। बड़े रियर गियर का उपयोग करके, या मल्टी-स्पीड साइकिल में निचले गियर पर स्विच करके, सड़क के पहियों की    कोणीय गति  कम हो जाती है, जबकि टॉर्क बढ़ जाता है, जिसका उत्पाद (यानी पावर) नहीं बदलता है।

संगत इकाइयों का उपयोग किया जाना चाहिए। मीट्रिक एसआई इकाइयों के लिए, शक्ति  वाट  सेकेंड है, टोक़   न्यूटन मीटर  सेकेंड है और कोणीय गति   रेडियन  सेकेंड प्रति सेकेंड है (आरपीएम नहीं और प्रति सेकेंड क्रांति नहीं)।

इसके अलावा, यूनिट न्यूटन मीटर   आयामी  से   जूल  के बराबर है, जो ऊर्जा की इकाई है। हालांकि, टोक़ के मामले में, इकाई को    वेक्टर  को सौंपा गया है, जबकि   ऊर्जा  के लिए, इसे    स्केलर  को सौंपा गया है। इसका अर्थ है कि न्यूटन मीटर और जूल की विमीय तुल्यता पूर्व में लागू की जा सकती है, लेकिन बाद के मामले में नहीं। इस समस्या को    ओरिएंटेशनल विश्लेषण  जो रेडियंस को एक आयाम रहित इकाई के बजाय आधार इकाई के रूप में मानता है

अन्य इकाइयों में रूपांतरण
शक्ति या टोक़ की विभिन्न इकाइयों का उपयोग करते समय एक रूपांतरण कारक आवश्यक हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि कोणीय गति (प्रति समय रेडियन) के स्थान पर  घूर्णी गति  (प्रति समय क्रांति) का उपयोग किया जाता है, तो हम एक कारक से गुणा करते हैं$\pi$ प्रति क्रांति रेडियन। निम्नलिखित सूत्रों में, P शक्ति है, τ टोक़ है, और ν (   ग्रीक अक्षर nu  ) घूर्णन गति है।$$P = \tau \cdot 2 \pi \cdot \nu$$

इकाइयाँ दिखा रहा है:$$ P ({\rm W}) = \tau {\rm (N \cdot m)} \cdot 2 \pi {\rm (rad/rev)} \cdot \nu {\rm (rev/sec)} $$

प्रति मिनट 60 सेकंड से विभाजित करने पर हमें निम्नलिखित मिलता है।$$ P ({\rm W}) = \frac{ \tau {\rm (N \cdot m)} \cdot 2 \pi {\rm (rad/rev)} \cdot \nu {\rm (rpm)} } {60} $$

जहां घूर्णन गति प्रति मिनट (आरपीएम) क्रांतियों में है।

कुछ लोग (जैसे, अमेरिकी ऑटोमोटिव इंजीनियर) बिजली के लिए  हॉर्स पावर  (मैकेनिकल), टॉर्क के लिए फुट-पाउंड (lbf⋅ft) और घूर्णी गति के लिए आरपीएम का उपयोग करते हैं। इसके परिणामस्वरूप सूत्र में परिवर्तन होता है:$$ P ({\rm hp}) = \frac{ \tau {\rm (lbf \cdot ft)} \cdot 2 \pi {\rm (rad/rev)} \cdot \nu ({\rm rpm})} {33,000}. $$

अश्वशक्ति की परिभाषा के साथ नीचे स्थिरांक (फुट-पाउंड प्रति मिनट में) बदलता है; उदाहरण के लिए, मीट्रिक अश्वशक्ति का उपयोग करके, यह लगभग 32,550 हो जाता है।

अन्य इकाइयों के उपयोग (उदाहरण के लिए, बिजली के लिए  बीटीयू  प्रति घंटे) के लिए एक अलग कस्टम रूपांतरण कारक की आवश्यकता होगी।

व्युत्पत्ति
एक घूर्णन वस्तु के लिए,  परिधि  पर तय की गई रैखिक दूरी कवर किए गए कोण के साथ त्रिज्या का गुणनफल है। अर्थात्: रैखिक दूरी = त्रिज्या × कोणीय दूरी। और परिभाषा के अनुसार, रैखिक दूरी = रैखिक गति × समय = त्रिज्या × कोणीय गति × समय।

टोक़ की परिभाषा के अनुसार: टोक़ = त्रिज्या × बल। हम बल = टोक़ त्रिज्या निर्धारित करने के लिए इसे पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं। इन दो मूल्यों को   पावर  की परिभाषा में प्रतिस्थापित किया जा सकता है:


 * 

\शुरू{संरेखण} \पाठ{शक्ति} और = \frac{\पाठ{बल} \cdot \पाठ{रैखिक दूरी}}{\पाठ{समय}} \\[6pt] & = \frac{\बाएं(\dfrac{\text{torque}} r \right) \cdot (r \cdot \text{angular speed} \cdot t)} t \\[6pt] & = \पाठ{टोक़} \cdot \पाठ{कोणीय गति}। \अंत{संरेखण} 

त्रिज्या r और समय t समीकरण से बाहर हो गए हैं। हालांकि, व्युत्पत्ति की शुरुआत में रैखिक गति और कोणीय गति के बीच प्रत्यक्ष संबंध के अनुसार, कोणीय गति समय की प्रति यूनिट रेडियन में होनी चाहिए। यदि घूर्णन गति को प्रति इकाई समय में परिक्रमण में मापा जाता है, तो रैखिक गति और दूरी आनुपातिक रूप से बढ़ जाती हैπ उपरोक्त व्युत्पत्ति में देने के लिए:


 * $$\text{power} = \text{torque} \cdot 2 \pi \cdot \text{rotational speed}. \,$$

यदि बलाघूर्ण न्यूटन मीटर में हो और घूर्णन गति प्रति सेकंड क्रांतियों में हो, तो उपरोक्त समीकरण न्यूटन मीटर प्रति सेकंड या वाट में शक्ति देता है। यदि इंपीरियल इकाइयों का उपयोग किया जाता है, और यदि टोक़ पाउंड-फोर्स फीट में है और प्रति मिनट क्रांतियों में घूर्णी गति है, तो उपरोक्त समीकरण फुट पाउंड-बल प्रति मिनट में शक्ति देता है। तब समीकरण का अश्वशक्ति रूप रूपांतरण कारक 33,000 ft⋅lbf/min प्रति अश्वशक्ति लागू करके प्राप्त किया जाता है:


 * 

\शुरू{संरेखण} \text{power} और = \text{torque} \cdot 2 \pi \cdot \text{रोटेशनल स्पीड} \cdot \frac{\text{ft}\cdot\text{lbf}}{\text{min}} \cdot \frac{\text{horspower}}{33,000 \cdot \frac{\text{ft}\cdot\text{lbf}}{\text{min}}} \\[6pt] और \लगभग \frac {\text{torque} \cdot \text{RPM}}{5,252} \अंत{संरेखण} 

क्योंकि $$5252.113122 \approx \frac {33,000} {2 \pi}. \,$$

क्षणों का सिद्धांत
पलों का सिद्धांत, जिसे   Varignon's theorem  (एक ही नाम के    ज्यामितीय प्रमेय  के साथ भ्रमित नहीं होना) के रूप में भी जाना जाता है, में कहा गया है कि कई बलों के कारण परिणामी टोक़ लगभग एक पर लागू होते हैं। बिंदु योगदान देने वाले टॉर्क के योग के बराबर है:$$\tau = \mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2\times\mathbf{F}_2 + \ldots + \mathbf{r}_N\times\mathbf{F}_N. $$

इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि किसी पिवट के चारों ओर कार्य करने वाले दो बलों से उत्पन्न बलाघूर्ण तब संतुलित होते हैं जब$$\mathbf{r}_1\times\mathbf{F}_1 + \mathbf{r}_2\times\mathbf{F}_2 = \mathbf{0}. $$

टॉर्क गुणक
टॉर्क को तीन तरीकों से गुणा किया जा सकता है: फुलक्रम का पता लगाकर जैसे कि लीवर की लंबाई बढ़ जाती है; एक लंबे लीवर का उपयोग करके; या गति कम करने वाले गियरसेट या  गियर बॉक्स  के उपयोग से। ऐसा तंत्र टोक़ को गुणा करता है, क्योंकि रोटेशन दर कम हो जाती है।