गेज सहसंयोजक व्युत्पत्ति

भौतिकी में, गेज सहसंयोजक व्युत्पत्ति यह व्यक्त करने का एक साधन है कि फ़ील्ड (भौतिकी) एक स्थान से दूसरे स्थान पर कैसे बदलती है, इस तरह से कि कैसे एक भौतिक घटना का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली समन्वय प्रणाली स्वयं एक स्थान से दूसरे स्थान पर बदल सकती है। गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न का उपयोग भौतिकी के कई क्षेत्रों में किया जाता है, जिसमें क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और द्रव गतिकी और एक बहुत ही विशेष तरीके से सामान्य सापेक्षता शामिल है।

यदि एक भौतिक सिद्धांत स्थानीय फ्रेम की पसंद से स्वतंत्र है, तो स्थानीय फ्रेम परिवर्तन का समूह, गेज परिवर्तन, सिद्धांत की भौतिक सामग्री को अपरिवर्तित छोड़ते हुए सिद्धांत में क्षेत्रों पर कार्य करता है। इस तरह के गेज परिवर्तनों के तहत फ़ील्ड घटकों का सामान्य व्युत्पन्न अपरिवर्तनीय नहीं है, क्योंकि वे स्थानीय फ्रेम पर निर्भर करते हैं। हालांकि, जब गेज ट्रांसफ़ॉर्मेशन फ़ील्ड्स पर कार्य करते हैं और गेज सहसंयोजक यौगिक  एक साथ होते हैं, तो वे सिद्धांतों के गुणों को संरक्षित करते हैं जो फ्रेम पसंद पर निर्भर नहीं होते हैं और इसलिए भौतिकी के मान्य विवरण हैं। सामान्य सापेक्षता (जो विशेष मामला है) में उपयोग किए जाने वाले सहसंयोजक व्युत्पन्न की तरह, गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न स्थानीय निर्देशांक में एक कनेक्शन (वेक्टर बंडल) के लिए एक अभिव्यक्ति है, जिसमें शामिल क्षेत्रों के लिए एक फ्रेम का चयन किया जाता है, जो अक्सर सूचकांक संकेतन के रूप में होता है।

सिंहावलोकन
गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न को समझने के कई तरीके हैं। इस लेख में लिया गया दृष्टिकोण कई भौतिकी पाठ्यपुस्तकों में प्रयुक्त ऐतिहासिक रूप से पारंपरिक संकेतन पर आधारित है।  एक अन्य दृष्टिकोण गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न को एक प्रकार के कनेक्शन (गणित) के रूप में समझना है, और अधिक विशेष रूप से, एक संबंध संबंध।  Affine कनेक्शन दिलचस्प है क्योंकि इसे परिभाषित करने के लिए मीट्रिक टेंसर की किसी भी अवधारणा की आवश्यकता नहीं होती है; एक affine कनेक्शन की वक्रता को गेज क्षमता की क्षेत्र शक्ति के रूप में समझा जा सकता है। जब कोई मीट्रिक उपलब्ध होता है, तब कोई दूसरी दिशा में जा सकता है और फ़्रेम बंडल पर कनेक्शन परिभाषित कर सकता है. यह मार्ग सीधे सामान्य सापेक्षता की ओर जाता है; हालाँकि, इसके लिए एक मीट्रिक की आवश्यकता होती है, जो कण भौतिकी गेज सिद्धांत के पास नहीं है।

एक-दूसरे के सामान्यीकरण होने के बजाय, एफ़िन और मीट्रिक ज्यामिति अलग-अलग दिशाओं में जाती हैं: (छद्म-रिमेंनियन ज्यामिति|छद्म-)रीमैनियन ज्यामिति का गेज समूह सामान्य रूप से अनिश्चितकालीन ऑर्थोगोनल समूह O(s,r) होना चाहिए, या अंतरिक्ष-समय के लिए लोरेंत्ज़ समूह O(3,1)। ऐसा इसलिए है क्योंकि फ्रेम बंडल के तंतुओं को आवश्यक रूप से, परिभाषा के अनुसार, अंतरिक्ष-समय के [[स्पर्शरेखा स्थान]] और कोटेंगेंट रिक्त स्थान को जोड़ना चाहिए। इसके विपरीत, कण भौतिकी में नियोजित गेज समूह सिद्धांत रूप में कोई भी झूठ समूह हो सकता है, हालांकि व्यवहार में मानक मॉडल केवल यू (1), एसयू (2) और एसयू (3) का उपयोग करता है। ध्यान दें कि झूठ बोलने वाले समूह एक मीट्रिक से सुसज्जित नहीं होते हैं।

एक और अधिक जटिल, फिर भी अधिक सटीक और ज्यामितीय रूप से ज्ञानवर्धक, दृष्टिकोण यह समझने के लिए है कि गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न (बिल्कुल) वही है जो मुख्य बंडल के लिए संबंधित बंडल के एक खंड (फाइबर बंडल) पर बाहरी सहसंयोजक व्युत्पन्न के रूप में है। गेज सिद्धांत; और, स्पिनरों के मामले में, संबंधित बंडल स्पिन संरचना का एक स्पिन बंडल होगा। हालांकि अवधारणात्मक रूप से वही है, यह दृष्टिकोण संकेतन के एक बहुत अलग सेट का उपयोग करता है, और अंतर ज्यामिति के कई क्षेत्रों में कहीं अधिक उन्नत पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है।

गेज इनवेरियन के ज्यामितीयकरण में अंतिम चरण यह पहचानना है कि, क्वांटम सिद्धांत में, किसी को केवल प्रमुख फाइबर बंडल के पड़ोसी तंतुओं की तुलना करने की आवश्यकता होती है, और यह कि तंतु स्वयं एक अतिरिक्त अतिरिक्त विवरण प्रदान करते हैं। यह क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में गेज कनेक्शन के निकटतम विवरण के रूप में अतियाह बीजगणित प्राप्त करने के लिए गेज समूह को संशोधित करने के विचार की ओर जाता है। साधारण ले बीजगणित के लिए, अंतरिक्ष समरूपता पर गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न (छद्म- रीमैनियन कई गुना और सामान्य सापेक्षता के उन) को आंतरिक गेज समरूपता के साथ नहीं जोड़ा जा सकता है; अर्थात्, मीट्रिक ज्यामिति और एफ़िन ज्यामिति आवश्यक रूप से विशिष्ट गणितीय विषय हैं: यह कोलमैन-मंडुला प्रमेय की सामग्री है। हालांकि, इस प्रमेय का एक आधार लव सुपरएलजेब्रा (जो लाई अलजेब्रा नहीं हैं!) द्वारा उल्लंघन किया जाता है, इस प्रकार यह आशा प्रदान करता है कि एकल एकीकृत समरूपता स्थानिक और आंतरिक समरूपता दोनों का वर्णन कर सकती है: यह सुपरसममिति की नींव है।

अधिक गणितीय दृष्टिकोण एक इंडेक्स-मुक्त संकेतन का उपयोग करता है, जो गेज सिद्धांत की ज्यामितीय और बीजगणितीय संरचना पर बल देता है और लाइ बीजगणित और रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के साथ इसका संबंध है; उदाहरण के लिए, गेज सहप्रसरण को फाइबर बंडल के तंतुओं पर समप्रसरण के रूप में मानना। भौतिकी में उपयोग किए जाने वाले सूचकांक संकेतन इसे व्यावहारिक गणनाओं के लिए कहीं अधिक सुविधाजनक बनाते हैं, हालांकि यह सिद्धांत की समग्र ज्यामितीय संरचना को अधिक अपारदर्शी बनाता है। भौतिकी के दृष्टिकोण का एक शैक्षणिक लाभ भी है: एक गेज सिद्धांत की सामान्य संरचना को बहुभिन्नरूपी कलन में न्यूनतम पृष्ठभूमि के बाद उजागर किया जा सकता है, जबकि ज्यामितीय दृष्टिकोण के लिए अंतर ज्यामिति के सामान्य सिद्धांत, रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स, लाई बीजगणित में समय के बड़े निवेश की आवश्यकता होती है।, एक सामान्य समझ विकसित करने से पहले एक झूठ समूह और सिद्धांत बंडलों का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। अधिक उन्नत चर्चाओं में, दोनों संकेतन आमतौर पर मिश्रित होते हैं।

यह लेख भौतिक विज्ञान पाठ्यक्रम में आमतौर पर नियोजित संकेतन और भाषा के अधिक बारीकी से पालन करने का प्रयास करता है, केवल अधिक अमूर्त कनेक्शनों पर संक्षेप में स्पर्श करता है।

गेज सहप्रसरण आवश्यकता के माध्यम से सहसंयोजक व्युत्पन्न की प्रेरणा
एक सामान्य (संभवतः गैर-एबेलियन) गेज परिवर्तन पर विचार करें $$n$$ घटक क्षेत्र $$\phi = (\phi_a)_{a = 1..n}$$. फील्ड थ्योरी में मुख्य उदाहरणों में एक कॉम्पैक्ट गेज समूह है और हम सममिति ऑपरेटर को लिखते हैं $$U(x)= e^{i\alpha(x)}$$ कहाँ $$\alpha(x)$$ लाइ बीजगणित का एक तत्व है जो समरूपता परिवर्तनों के लाइ समूह से जुड़ा है, और इसे लाई बीजगणित के हेर्मिटियन जनरेटर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (अर्थात एक कारक तक) $$i$$गेज समूह के अपरिमेय जनरेटर), $$\{t_K\}_{K \in \mathcal{K}}$$, जैसा $$\alpha(x) = \alpha^K(x) t_K$$.

यह मैदान पर कार्य करता है $$\phi(x)$$ जैसा
 * $$ \phi(x) \rightarrow \phi'(x) = U(x) \phi(x) \equiv e^{i\alpha(x)} \phi(x), $$
 * $$ \phi^\dagger(x) \rightarrow \phi{'}^{\dagger} \equiv \phi^\dagger(x) U^\dagger (x) = \phi^\dagger(x) e^{-i\alpha(x)}, \qquad U^\dagger = U^{-1}. $$

अब आंशिक व्युत्पन्न $$\partial_\mu$$ तदनुसार, के रूप में बदल देता है
 * $$ \partial_\mu \phi(x)

\rightarrow \partial_\mu \phi'(x) = U(x) \partial_\mu \phi(x) + (\partial_\mu U) \phi(x) \equiv e^{i\alpha(x)} \partial_\mu \phi(x) + i (\partial_\mu \alpha) e^{i\alpha(x)} \phi(x) $$. इसलिए, रूप का एक गतिज शब्द $$ \phi^\dagger \partial_\mu \phi $$ एक Lagrangian में गेज परिवर्तनों के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है।

गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न
की परिभाषा

नॉन गेज इनवेरियन का मूल कारण यह है कि फील्ड लिखने में $$\phi = (\phi_1, \ldots \phi_n)$$ एक पंक्ति वेक्टर या सूचकांक अंकन  के रूप में $$\phi_a$$, हमने निश्चित रूप से बेस फ्रेम फील्ड का चुनाव किया है, यानी फील्ड का एक सेट $$\varphi^1(x),\ldots, \varphi^n(x)$$ जैसे कि हर क्षेत्र को विशिष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है $$\phi = \phi_a\varphi^a$$ कार्यों के लिए $$\phi_a(x)$$ (आइंस्टीन योग का उपयोग करके), और फ्रेम फ़ील्ड ग्रहण किया $$\varphi^a$$ स्थिर हैं। स्थानीय (यानी $$x$$ निर्भर) गेज इनवेरियन को फ्रेम की पसंद के तहत इनवेरियन माना जा सकता है। हालांकि, यदि एक आधार फ्रेम किसी अन्य गेज के बराबर के रूप में अच्छा है, तो हम फ्रेम फ़ील्ड को बिना स्थिर होने के लिए नहीं मान सकते हैं स्थानीय गेज समरूपता तोड़ना।

हम गेज सहसंयोजक डेरिवेटिव पेश कर सकते हैं $$D_\mu$$ के तौर पर आंशिक व्युत्पन्न का एक सामान्यीकरण $$\partial_\mu$$ जो सीधे मैदान में काम करता है $$\phi$$ इसके घटकों के बजाय $$\phi_a$$ फ्रेम की पसंद के संबंध में। एक गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न को एक उत्पाद नियम को संतुष्ट करने वाले ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$ D_\mu (f \phi) = (\partial_\mu f)\phi + f (D_\mu \phi) $$ हर सुचारू कार्य के लिए $$f$$ (यह एक कनेक्शन की परिभाषित संपत्ति है)।

इंडेक्स नोटेशन पर वापस जाने के लिए हम उत्पाद नियम का उपयोग करते हैं
 * $$ D_\mu \phi = D_\mu(\phi_a\varphi^a) = (\partial_\mu \phi_a)\varphi^a + \phi_a (D_\mu \varphi^a).$$.

एक निश्चित के लिए $$a$$, $$D_\mu \varphi^a$$ एक क्षेत्र है, इसलिए w.r.t का विस्तार किया जा सकता है। फ्रेम क्षेत्र। इसलिए एक गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न और फ्रेम क्षेत्र एक (संभवतः गैर एबेलियन) गेज क्षमता को परिभाषित करता है
 * $$D_\mu \varphi^a = -igA^a_{\mu b} \varphi^b$$

(कारण $$-ig$$ कॉम्पैक्ट गेज समूहों के लिए पारंपरिक है और इसे युग्मन स्थिरांक के रूप में व्याख्या किया गया है)। इसके विपरीत फ्रेम दिया $$\varphi^1, \ldots \varphi^n$$ और एक गेज क्षमता $$A^a_{\mu b}$$, यह विशिष्ट रूप से गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न को परिभाषित करता है। हम तब प्राप्त करते हैं
 * $$D_\mu\phi = (D_\mu\phi)_a\varphi^a = (\partial_\mu \phi_a -igA^b_{\mu a}\phi_b)\varphi^a$$.

और दबाए गए फ्रेम फ़ील्ड के साथ यह इंडेक्स नोटेशन में देता है
 * $$ (D_\mu \phi)_a = \partial_\mu \phi_a - ig A^b_{\mu a}\phi_b, $$

जो अंकन के दुरुपयोग द्वारा अक्सर लिखा जाता है
 * $$ D_\mu \phi_a = \partial_\mu \phi_a - ig A^b_{\mu a}\phi_b $$.

यह आमतौर पर भौतिकी में प्रस्तुत गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न की परिभाषा है। गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न को अक्सर अतिरिक्त संरचना को स्थिर बनाने वाली अतिरिक्त स्थितियों को संतुष्ट करने के लिए माना जाता है, इस अर्थ में कि सहसंयोजक व्युत्पन्न गायब हो जाता है। उदाहरण के लिए यदि हमारे पास हर्मिटियन उत्पाद है $$ h $$ खेतों पर (उदाहरण के लिए डायराक संयुग्म आंतरिक उत्पाद $$\bar \phi \psi$$ स्पिनरों के लिए) गेज समूह को एकात्मक समूह में घटाकर, हम हर्मिटियन कनेक्शन लगा सकते हैं
 * $$ \partial_\mu h(\phi, \psi) = h(D_\mu \phi, \psi) + h(\phi, D_\mu \psi)$$

हर्मिटियन उत्पाद को स्थिर बनाना। इसे एक स्थानीय के संबंध में लिख रहा हूं $$h$$-ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम फील्ड देता है
 * $$ \partial_\mu (\phi_a^* \psi_a) = \sum_a (D_\mu \phi)_a^* \psi_a + \phi_a^* (D_\mu \psi)_a $$,

और उपरोक्त का उपयोग करके हम देखते हैं $$A_\mu$$ हर्मिटियन होना चाहिए यानी $$A^b_{\mu a} = {A^a_{\mu b}}^*$$ (अतिरिक्त कारक को प्रेरित करना $$i$$). हर्मिटियन मेट्रिसेस हैं (कारक तक $$i$$) एकात्मक समूह के जनरेटर। अधिक आम तौर पर अगर गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न एक गेज समूह को संरक्षित करता है $$G$$ प्रतिनिधित्व के साथ अभिनय $$\rho$$, गेज सहसंयोजक कनेक्शन के रूप में लिखा जा सकता है
 * $$ (D_\mu \phi)_a = \partial_\mu \phi_a - ig A_\mu^K\rho'(t_K)^b_a\phi_b $$

कहाँ $$\rho'$$ समूह प्रतिनिधित्व से जुड़े झूठ बीजगणित का प्रतिनिधित्व है $$\rho$$ (स्थान। सीआईटी।)।

ध्यान दें कि एक भौतिक क्षेत्र के रूप में गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न (या इसकी गेज क्षमता) सहित, एक वक्र के स्पर्शरेखा के साथ शून्य गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ क्षेत्र $$\gamma$$:$$D_{\dot \gamma}\phi = (\frac{d}{dt} \gamma^\mu) D_\mu \phi = 0 $$ एक क्षेत्र की भौतिक रूप से अर्थपूर्ण परिभाषा है $$\phi$$ एक (चिकनी) वक्र के साथ स्थिर। इसलिए गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न समानांतर परिवहन को परिभाषित करता है (और द्वारा परिभाषित किया गया है)।

गेज फील्ड स्ट्रेंथ
आंशिक डेरिवेटिव के विपरीत, गेज सहसंयोजक डेरिवेटिव कम्यूट नहीं करते हैं। हालाँकि वे लगभग इस अर्थ में करते हैं कि कम्यूटेटर क्रम 2 का संचालक नहीं है, बल्कि क्रम 0 का है, अर्थात कार्यों पर रैखिक है:
 * $$ [D_\mu, D_\nu] (f \phi) = (\partial_\mu \partial_\nu f) \phi + \partial_\nu f D_\mu \phi + \partial_\mu f D_\nu \phi + f D_\mu D_\nu \phi - (\mu \leftrightarrow \nu) = f [D_\mu, D_\nu] \phi$$.

रेखीय नक्शा
 * $$ F_{\mu\nu} = -1/(ig) [D_\mu, D_\nu]$$ गेज फील्ड स्ट्रेंथ (लोक। सीआईटी) कहा जाता है।

इंडेक्स नोटेशन में, गेज पोटेंशिअल का उपयोग करते हुए
 * $$ F_{\mu\nu\,b}^{\ a} = \partial_\mu A^a_{\nu b} - \partial_\nu A^a_{\mu b} - ig(A^a_{\mu c}A^c_{\nu b} - A^a_{\nu c}A^c_{\mu b})$$.

अगर $$D_\mu$$ एक जी सहसंयोजक व्युत्पन्न है, बाद वाले शब्द की व्याख्या जी के लाइ बीजगणित में एक कम्यूटेटर के रूप में की जा सकती है और $$F_{\mu\nu}$$ के रूप में झूठ बीजगणित मूल्यवान (लोक। सीआईटी)।

गेज परिवर्तन के तहत व्युत्क्रम
गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न, गेज परिवर्तनों के तहत, यानी सभी के लिए सहसंयोजक रूप से रूपांतरित होता है $$\phi$$
 * $$ D_\mu \phi(x) \rightarrow D'_\mu \phi'(x) = D'_\mu U(x) \phi(x) = U(x) D_\mu \phi(x), $$

जो ऑपरेटर रूप में रूप लेता है
 * $$ D'_\mu U(x) = U(x) D_\mu$$

या
 * $$ D'_\mu = U(x) D_\mu U^{-1}(x).$$

विशेष रूप से (पर निर्भरता को दबाना $$x$$)
 * $$ -ig F'_{\mu\nu} = [D'_\mu, D'_\nu] = [UD_\mu U^{-1}, UD_\nu U^{-1}] = U[D_\mu, D_\nu]U^{-1} = -ig U F_{\mu\nu} U^{-1}$$.

इसके अलावा, (सूचकांकों को दबाना और उन्हें मैट्रिक्स गुणन द्वारा प्रतिस्थापित करना) यदि $$D_\mu = \partial_\mu - ig A_\mu$$ ऊपर का रूप है, $$D'_\mu$$ स्वरूप का है
 * $$ D'_\mu = \partial_\mu + (\partial_\mu U^{-1})U - igU A_\mu U^{-1} $$ या उपयोग करना $$U(x) = e^{i \alpha(x)}$$,
 * $$ D'_\mu = \partial_\mu - i\partial_\mu \alpha -ig U A_\mu U^{-1} $$ जो इस रूप का भी है।

एकात्मक गेज समूह के साथ हर्मिटियन मामले में $$ U^{-1} = U^\dagger$$ और हमने एक फर्स्ट ऑर्डर डिफरेंशियल ऑपरेटर पाया है $$D_\mu$$ साथ $$\partial_\mu$$ पहले आदेश शब्द के रूप में ऐसा है
 * $$ \phi^\dagger D_\mu \phi \rightarrow \phi'^\dagger D'_\mu \phi' = \phi^\dagger D_\mu \phi.$$.

गेज सिद्धांत
गेज सिद्धांत में, जो क्षेत्र (भौतिकी) के एक विशेष वर्ग का अध्ययन करता है, जो क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में महत्वपूर्ण हैं, स्थानीय गेज परिवर्तनों के तहत लैग्रैंगियन में विभिन्न क्षेत्रों का उपयोग किया जाता है। काइनेटिक शब्दों में फ़ील्ड के डेरिवेटिव शामिल होते हैं, जो उपरोक्त तर्कों से गेज सहसंयोजक डेरिवेटिव को शामिल करने की आवश्यकता होती है।

एबेलियन गेज थ्योरी
गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न $$D_\mu$$ एक जटिल अदिश क्षेत्र पर $$\phi = \phi_1 \varphi^1$$ (अर्थात। $$n = 1$$) प्रभार संबंधी $$q$$ एक है $$U(1)$$ संबंध। गेज क्षमता $$A_\mu$$ एक (1 x 1) मैट्रिक्स है, यानी एक स्केलर।
 * $$ (D_\mu \phi)_1 = (\partial_\mu \phi_1 - iq A_\mu \phi_1) $$

गेज क्षेत्र की ताकत है
 * $$ F_{\mu\nu} = \partial_\mu A_\nu -\partial_\nu A_\mu$$

गेज क्षमता की व्याख्या विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता  और गेज फील्ड स्ट्रेंथ को फैराडे टेंसर के रूप में की जा सकती है। चूँकि इसमें केवल क्षेत्र का आवेश शामिल होता है न कि चुंबकीय क्षण की तरह उच्च मल्टीपोल (और एक ढीले और गैर अनोखे तरीके से, क्योंकि यह प्रतिस्थापित करता है) $$\partial_\mu$$ द्वारा $$D_\mu$$ ) इसे न्यूनतम युग्मन कहा जाता है।

फोरा डिराक स्पिनर फील्ड $$ \psi $$ प्रभार संबंधी $$q$$ सहपरिवर्ती व्युत्पन्न भी एक है $$U(1)$$ कनेक्शन (क्योंकि इसे गामा मैट्रिक्स के साथ यात्रा करना है) और इसे परिभाषित किया गया है
 * $$ (D_\mu \psi)_\alpha := (\partial_\mu - i q A_\mu) \psi_\alpha$$

कहाँ फिर से $$A_\mu$$ विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता के रूप में व्याख्या की जाती है और $$F_{\mu\nu}$$ विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र टेंसर के रूप में। (माइनस साइन एक मिंकोस्की मीट्रिक हस्ताक्षर के लिए मान्य एक कन्वेंशन है (−, +, +, +), जो सामान्य सापेक्षता में आम है और नीचे प्रयोग किया जाता है। कण भौतिकी सम्मेलन के लिए (+, −, −, −), यह है $$ D_\mu := \partial_\mu + i q A_\mu $$. इलेक्ट्रॉन के आवेश को ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया गया है $$q_e=-|e|$$, जबकि डायराक क्षेत्र को सकारात्मक रूप से रूपांतरित करने के लिए परिभाषित किया गया है $$\psi(x) \rightarrow e^{iq\alpha(x)} \psi(x).$$)

क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स
यदि एक गेज परिवर्तन द्वारा दिया गया है
 * $$ \psi \mapsto e^{i\Lambda} \psi $$

और गेज क्षमता के लिए
 * $$ A_\mu \mapsto A_\mu + {1 \over e} (\partial_\mu \Lambda) $$

तब $$ D_\mu $$ के रूप में परिवर्तित हो जाता है
 * $$ D_\mu \mapsto \partial_\mu - i e A_\mu - i (\partial_\mu \Lambda) $$,

और $$ D_\mu \psi $$ के रूप में परिवर्तित हो जाता है
 * $$ D_\mu \psi \mapsto e^{i \Lambda} D_\mu \psi $$

और $$ \bar \psi := \psi^\dagger \gamma^0 $$ के रूप में परिवर्तित हो जाता है
 * $$ \bar \psi \mapsto \bar \psi e^{-i \Lambda} $$

ताकि
 * $$ \bar \psi D_\mu \psi \mapsto \bar \psi D_\mu \psi $$

और $$ \bar \psi D_\mu \psi $$ क्यूईडी लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) में इसलिए गेज इनवेरिएंट है, और गेज सहसंयोजक डेरिवेटिव को इस प्रकार उपयुक्त नाम दिया गया है।

दूसरी ओर, गैर-सहसंयोजक व्युत्पन्न $$ \partial_\mu $$ Lagrangian की गेज समरूपता को संरक्षित नहीं करेगा, क्योंकि
 * $$ \bar \psi \partial_\mu \psi \mapsto \bar \psi \partial_\mu \psi + i \bar \psi (\partial_\mu \Lambda) \psi $$.

क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स
क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में, गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न है
 * $$ D_\mu := \partial_\mu - i g_s \, G_\mu^\alpha \, \lambda_\alpha /2 $$

कहाँ $$g_s$$ मजबूत अंतःक्रिया का युग्मन स्थिरांक है, $$G$$ आठ अलग-अलग ग्लून्स के लिए ग्लूऑन गेज क्षेत्र है $$\alpha=1 \dots 8$$, और कहाँ $$\lambda_\alpha$$ आठ गेल-मान आव्यूहों में से एक है। गेल-मैन मैट्रिसेस रंग समरूपता समूह एसयू (3) के लाई समूह का प्रतिनिधित्व करते हैं। क्वार्क के लिए, प्रतिनिधित्व मौलिक प्रतिनिधित्व है, ग्लून्स के लिए, प्रतिनिधित्व आसन्न प्रतिनिधित्व है।

मानक मॉडल
मानक मॉडल में सहपरिवर्ती व्युत्पन्न विद्युत चुम्बकीय, कमजोर और मजबूत इंटरैक्शन को जोड़ती है। इसे निम्नलिखित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$ D_\mu := \partial_\mu - i \frac{g'}{2} Y \, B_\mu - i \frac{g}{2} \sigma_j \, W_\mu^j - i \frac{g_s}{2} \lambda_\alpha \, G_\mu^\alpha $$

यहां के गेज क्षेत्र विद्युत  लाइ समूह के मौलिक प्रतिनिधित्व से संबंधित हैं $$U(1)\times SU(2)$$ रंग समरूपता का गुना समूह SU(3). युग्मन स्थिरांक $$g'$$ हाइपरचार्ज का युग्मन प्रदान करता है $$Y$$ तक $$B$$ बोसोन और $$g$$ तीन वेक्टर बोसोन के माध्यम से युग्मन $$W^j$$ $$(j = 1,2,3)$$ कमजोर आइसोस्पिन के लिए, जिनके घटक यहां पॉल मैट्रिसेस के रूप में लिखे गए हैं $$\sigma_j$$. इलेक्ट्रोवीक इंटरैक्शन के माध्यम से, ये बोसोन क्षेत्र द्रव्यमान रहित विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र में संयोजित होते हैं $$A_\mu$$ और तीन विशाल सदिश बोसोन के लिए क्षेत्र $$W^\pm$$ और $$Z$$.

सामान्य सापेक्षता
सामान्य सापेक्षता में सहसंयोजक व्युत्पन्न गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न का एक विशेष उदाहरण है। यह स्पर्शरेखा बंडल (या फ्रेम बंडल) पर लाइट सिटी कनेक्शन  (एक विशेष रिमानियन कनेक्शन) से मेल खाता है यानी यह स्पर्शरेखा वेक्टर क्षेत्रों या अधिक आम तौर पर टेंसर पर कार्य करता है। यह आमतौर पर लिखा जाता है $$\nabla$$ के बजाय $$D$$. इस विशेष मामले में, (स्थानीय) निर्देशांक का एक विकल्प $$x^1,\ldots, x^d$$ न केवल आंशिक डेरिवेटिव देता है $$\partial_\mu$$, लेकिन वे स्पर्शरेखा सदिशों के एक फ्रेम के रूप में दोगुने हैं $$\partial_1, \ldots \partial_d$$ जिसमें एक वेक्टर क्षेत्र $$v$$ के रूप में विशिष्ट रूप से व्यक्त किया जा सकता है $$v = v^\mu\partial_\mu$$ (यह एक सदिश क्षेत्र की परिभाषा को सुचारू कार्यों पर एक ऑपरेटर के रूप में उपयोग करता है जो एक उत्पाद नियम यानी एक व्युत्पत्ति (अंतर बीजगणित) को संतुष्ट करता है)। इसलिए इस मामले में आंतरिक सूचकांक भी अंतरिक्ष समय सूचकांक हैं। थोड़ा अलग सामान्यीकरण (और अंकन) तक गेज क्षमता $$A^\lambda_{ \mu\nu}$$ द्वारा परिभाषित क्रिस्टोफेल प्रतीक है
 * $$ \nabla_\mu \partial_\nu = \Gamma^\lambda_{\mu \nu} \partial_\lambda$$.

यह सहपरिवर्ती व्युत्पन्न देता है
 * $$ (\nabla_\mu v)^\nu = (\nabla_\mu (v^\lambda\partial_\lambda))^\nu = ((\partial_\mu v^\lambda) \partial_\lambda + v^\lambda (\nabla_\mu \partial_\lambda))^\nu = \partial_\mu v^\nu + \Gamma^\nu_{\mu \lambda}v^\lambda $$.

गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न के साथ औपचारिक समानता तब अधिक स्पष्ट होती है जब निर्देशांक की पसंद को वेक्टर फ़ील्ड के फ्रेम की पसंद से अलग किया जाता है $$e_1 = e_1^\mu\partial_\mu, \ldots, e_d = e_d^\mu\partial_\mu$$. खासकर जब फ्रेम ऑर्थोनॉर्मल होता है, ऐसे फ्रेम को आमतौर पर सामान्य सापेक्षता में फ्रेम फील्ड कहा जाता है|डी-बीन। तब
 * $$ (\nabla_\mu v)^n = (\nabla_\mu (v^\ell e_\ell))^n = ((\partial_\mu v^\ell) e_\ell + v^\ell (\nabla_\mu e_\ell))^n = \partial_\mu v^n + \Gamma^n_{\mu \ell} v^\ell $$

कहाँ $$\nabla_\mu e_m = \Gamma^\ell_{\mu m} e_\ell$$. गेज सहसंयोजक व्युत्पत्ति की गेज स्वतंत्रता का प्रत्यक्ष एनालॉग अंतरिक्ष-समय में प्रत्येक बिंदु पर एक ऑर्थोनॉर्मल डी-बीन की पसंद की मनमानी है: स्थानीय लोरेंत्ज़ इनवेरिएंस. हालांकि, इस मामले में लेवी सिविटा कनेक्शन की परिभाषा के लिए निर्देशांकों की पसंद की अधिक सामान्य स्वतंत्रता भिन्नता या सामान्य समन्वय आक्रमण देती है।

द्रव गतिकी
द्रव गतिकी में, द्रव के गेज सहसंयोजक व्युत्पन्न को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 * $$ \nabla_t \mathbf{v}:= \partial_t \mathbf{v} + (\mathbf{v} \cdot \nabla) \mathbf{v}$$

कहाँ $$\mathbf{v}$$ द्रव का वेग सदिश क्षेत्र है।

यह भी देखें

 * काइनेटिक गति
 * कनेक्शन (गणित)
 * न्यूनतम युग्मन
 * घुंघराले पथरी

संदर्भ

 * Tsutomu Kambe, Gauge Principle For Ideal Fluids And Variational Principle. (PDF file.)