उपबीजगणित

गणित में, एक उपबीजगणित एक बीजगणित का एक उपसमुच्चय है, जो इसके सभी संक्रियाओं के अंतर्गत बंद होता है, और प्रेरित संक्रियाओं को वहन करता है। "बीजगणित",जब किसी संरचना का जिक्र होता है, तो इसका मतलब प्रायः एक सदिश स्थान या अतिरिक्त बिलिनियर ऑपरेशन से सुसज्जित मॉड्यूल होता है। सार्वभौमिक बीजगणित में बीजगणित कहीं अधिक सामान्य हैं:यह सभी बीजगणितीय संरचनाओं का एक सामान्य सामान्यीकरण हैं। इसमें "सबलेजेब्रा" किसी भी मामले को संदर्भित कर सकता है

किसी रिंग या फ़ील्ड पर बीजगणित के लिए उप-बीजगणित
एक क्रमविनिमेय वलय या क्षेत्र पर बीजगणित का एक उपबीजगणित एक सदिश उपस्थान है जो सदिशों के गुणन के तहत बंद होता है। बीजगणित गुणन का प्रतिबंध इसे एक ही वलय या क्षेत्र पर बीजगणित बनाता है। यह धारणा अधिकांश विशेषज्ञताओं पर भी लागू होती है, जहां गुणन को अपने अतिरिक्त गुणों को संतुष्ट करना होगा, जैसे साहचर्य बीजगणित या असत्य बीजगणित के लिए यह संतुष्ट किया जाता है। केवल एकात्मक बीजगणित के लिए यह एकात्मक उपबीजगणित की एक मजबूत धारणा है, जिसके लिए यह भी आवश्यक है कि उपबीजगणित की इकाई बड़े बीजगणित की इकाई हो।

उदाहरण
वास्तविक पर 2×2-आव्यूह स्पष्ट तरीके से एक इकाई बीजगणित बनाते हैं। 2×2-आव्यूह जिसके विकर्ण पर पहले वाले को छोड़कर सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं, ये एक उपबीजगणित योग बनाते हैं। यह एकात्मक भी है, लेकिन यह एकात्मक उपबीजगणित नहीं है।

सार्वभौमिक बीजगणित में उप-बीजगणित
सार्वभौमिक बीजगणित में, बीजगणित A का एक उप-बीजगणित, A का एक उपसमूह S होता है जिसमें उसी प्रकार के बीजगणित की संरचना भी होती है जब बीजगणितीय संक्रियाएँ S तक सीमित होती हैं। यदि एक प्रकार की बीजीय संरचना के कानून के स्वयंसिद्धों को समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है जैसा कि प्रायः सार्वभौमिक बीजगणित में होता है, तो केवल एक चीज जिसे जांचने की आवश्यकता है वह यह है कि S संचालन के तहत बंद है।

कुछ लेखक बीजगणित को आंशिक फलन वाला मानते हैं। इनके लिए उपबीजगणित को परिभाषित करने के विभिन्न तरीके हैं। बीजगणित का कार्य एक अन्य सामान्यीकरण संबंधों की अनुमति देना है। इन अधिक सामान्य बीजगणितों को प्रायः संरचनाएं कहा जाता है, और इनका अध्ययन मॉडल सिद्धांत और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में किया जाता है। संबंधों वाली संरचनाओं के लिए दुर्बल और प्रेरित उपसंरचनाओं की धारणाएं प्रदर्शित की जाती हैं।

उदाहरण
उदाहरण के लिए, सार्वभौमिक बीजगणित में समूहों के लिए मानक हस्ताक्षर (•, −1, 1) है। (समरूपता की सही धारणा प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रम और इकाई की आवश्यकता होती है ताकि समूह नियमो को समीकरणों के रूप में व्यक्त किया जा सके।) इसलिए, समूह G का एक उपसमूह G का एक उपसमूह S है जैसे कि:
 * G की पहचान e, S से संबंधित है (ताकि S पहचान स्थिरांक संचालन के तहत बंद हो);
 * जब भी x, S से संबंधित होता है, तो x−1 भी होता है (ताकि S व्युत्क्रम संक्रिया के तहत बंद हो);
 * जब भी x और y, S से संबंधित होते हैं, तो x • y भी होता है (ताकि S समूह के गुणन ऑपरेशन के तहत बंद हो जाए)।