अलेक्जेंड्रोफ़ विस्तारण

टोपोलॉजी के गणित क्षेत्र में, अलेक्जेंड्रोफ़ एक्सटेंशन एक एकल बिंदु से सटे हुए एक गैर-कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस को इस तरह विस्तारित करने का एक तरीका है कि परिणामी स्थान सघन स्थान  हो। इसका नाम रूसी गणितज्ञ पावेल अलेक्जेंड्रोफ़ के नाम पर रखा गया है। अधिक सटीक रूप से, X को एक टोपोलॉजिकल स्पेस होने दें। फिर X का अलेक्जेंड्रॉफ एक्सटेंशन एक निश्चित कॉम्पैक्ट स्पेस X* है, साथ में एक मैपिंग खोलें  एम्बेडिंग (टोपोलॉजी) c : X → X* ऐसा है कि X* में X के पूरक में एक एकल बिंदु होता है, जिसे आमतौर पर ∞ दर्शाया जाता है। मानचित्र सी हॉसडॉर्फ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन (गणित) है यदि और केवल यदि एक्स स्थानीय रूप स्थानीय रूप से सघन, नॉनकॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्थान है। ऐसे स्थानों के लिए अलेक्जेंड्रॉफ एक्सटेंशन को वन-पॉइंट कॉम्पेक्टिफिकेशन या अलेक्जेंड्रोफ कॉम्पेक्टिफिकेशन कहा जाता है। अलेक्जेंड्रोफ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन के फायदे इसकी सरल, अक्सर ज्यामितीय रूप से सार्थक संरचना में निहित हैं और यह तथ्य कि यह सभी कॉम्पेक्टिफिकेशन के बीच एक सटीक अर्थ में न्यूनतम है; नुकसान इस तथ्य में निहित है कि यह केवल स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट, गैर-कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ रिक्त स्थान के वर्ग पर हॉसडॉर्फ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन देता है, स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन के विपरीत जो किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए मौजूद है (लेकिन स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन#यूनिवर्सल प्रॉपर्टी और कार्यात्मकता बिल्कुल टाइकोनोफ़ स्थान लिए है) अंतरिक्ष)।

उदाहरण: व्युत्क्रम त्रिविम प्रक्षेपण
एक-बिंदु संघनन का ज्यामितीय रूप से आकर्षक उदाहरण व्युत्क्रम त्रिविम प्रक्षेपण द्वारा दिया गया है। याद रखें कि स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण एस इकाई क्षेत्र से उत्तरी ध्रुव (0,0,1) को घटाकर यूक्लिडियन विमान तक एक स्पष्ट होमोमोर्फिज्म देता है। व्युत्क्रम त्रिविम प्रक्षेपण $$S^{-1}: \mathbb{R}^2 \hookrightarrow S^2$$ अतिरिक्त बिंदु से सटे हुए एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान में एक खुला, घना एम्बेडिंग है $$\infty = (0,0,1)$$. त्रिविम प्रक्षेपण के अंतर्गत अक्षांशीय वृत्त $$z = c$$ समतलीय वृत्तों में मैप करें $r = \sqrt{(1+c)/(1-c)}$. यह इस प्रकार है कि हटाए गए पड़ोस का आधार $$(0,0,1)$$ छिद्रित गोलाकार टोपियों द्वारा दिया गया $$c \leq z < 1$$ बंद समतलीय डिस्क के पूरक से मेल खाता है $r \geq \sqrt{(1+c)/(1-c)}$. अधिक गुणात्मक रूप से, पड़ोस के आधार पर $$\infty$$ सेट द्वारा सुसज्जित है $$S^{-1}(\mathbb{R}^2 \setminus K) \cup \{ \infty \}$$ जैसा कि K के सघन उपसमुच्चय के माध्यम से होता है $$\mathbb{R}^2$$. इस उदाहरण में पहले से ही सामान्य मामले की प्रमुख अवधारणाएँ शामिल हैं।

प्रेरणा
होने देना $$c: X \hookrightarrow Y$$ सघन छवि और एक-बिंदु शेष के साथ, टोपोलॉजिकल स्पेस $$\{ \infty \} = Y \setminus c(X)$$. फिर c(X) एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ स्पेस में खुला है, इसलिए यह स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ है, इसलिए इसका होमियोमोर्फिक प्रीइमेज X भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ है। इसके अलावा, यदि X सघन होता तो c(X) Y में बंद होता और इसलिए सघन नहीं होता। इस प्रकार एक स्थान केवल हॉसडॉर्फ़ एक-बिंदु कॉम्पैक्टीफिकेशन को स्वीकार कर सकता है यदि यह स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट, नॉनकॉम्पैक्ट और हॉसडॉर्फ़ है। इसके अलावा, इस तरह के एक-बिंदु संघनन में यह बंद है—के खुले पड़ोस $$\infty$$ सभी सेट संलग्न होकर प्राप्त होने चाहिए $$\infty$$ कॉम्पैक्ट पूरक के साथ एक्स के सबसेट के सी के तहत छवि के लिए।

अलेक्जेंड्रोफ़ एक्सटेंशन
होने देना $$X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस बनें। रखना $$X^* = X \cup \{\infty \},$$ और टोपोलॉजी $$X^*$$ फॉर्म के सभी सेटों के साथ एक्स के सभी खुले उपसमुच्चय यू को खुले सेट के रूप में लेकर $$V = (X \setminus C) \cup \{\infty \}$$ जहां C बंद है और X में सघन है। यहां, $$X \setminus C$$ के पूरक को दर्शाता है $$ C$$ में $$X.$$ ध्यान दें कि $$V$$ का खुला पड़ोस है $$\infty,$$ और इस प्रकार कोई भी खुला आवरण $$\{\infty \}$$ एक संहत उपसमुच्चय को छोड़कर सभी शामिल होंगे $$C$$ का $$X^*,$$ इसका तात्पर्य यह है कि $$X^*$$ सघन है.

अंतरिक्ष $$X^*$$ एक्स (विलार्ड, 19ए) का अलेक्जेंड्रोफ़ एक्सटेंशन कहा जाता है। कभी-कभी समावेशन मानचित्र के लिए एक ही नाम का उपयोग किया जाता है $$c: X\to X^*.$$ नीचे दी गई संपत्तियाँ उपरोक्त चर्चा से अनुसरण करती हैं:


 * मानचित्र c सतत और खुला है: यह X को खुले उपसमुच्चय के रूप में एम्बेड करता है $$X^*$$.
 * अंतरिक्ष $$X^*$$ सघन है.
 * छवि c(X) सघन है $$X^*$$, यदि X नॉनकॉम्पैक्ट है।
 * अंतरिक्ष $$X^*$$ हॉसडॉर्फ़ स्थान है यदि और केवल यदि एक्स हॉसडॉर्फ़ है और स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है।
 * अंतरिक्ष $$X^*$$ T1 स्पेस है|T1यदि और केवल यदि X, T है1.

एक-बिंदु संघनन
विशेष रूप से, अलेक्जेंड्रोफ़ एक्सटेंशन $$c: X \rightarrow X^*$$ यदि और केवल यदि इस मामले में इसे एक्स का 'वन-पॉइंट कॉम्पेक्टिफिकेशन' या 'अलेक्जेंडरॉफ कॉम्पेक्टिफिकेशन' कहा जाता है।

उपरोक्त चर्चा से याद करें कि एक बिंदु शेष के साथ कोई भी हॉसडॉर्फ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन आवश्यक रूप से एलेक्ज़ेंडरॉफ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन के लिए आइसोमोर्फिक है। विशेषकर, यदि $$X$$ एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्थान है और $$p$$ का एक सीमा बिंदु है $$X$$ (अर्थात् कोई पृथक बिंदु नहीं $$X$$), $$X$$ एलेक्जेंड्रोफ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन का है $$X\setminus\{p\}$$.

मान लीजिए कि X कोई गैर-कॉम्पैक्ट टाइकोनॉफ़ स्थान है। सेट पर प्राकृतिक आंशिक ऑर्डर के तहत $$\mathcal{C}(X)$$ कॉम्पेक्टिफिकेशन के समतुल्य वर्गों में, कोई भी न्यूनतम तत्व अलेक्जेंड्रोफ़ एक्सटेंशन (एंगेलकिंग, प्रमेय 3.5.12) के बराबर है। यह इस प्रकार है कि एक गैर-कॉम्पैक्ट टाइकोनॉफ़ स्पेस न्यूनतम कॉम्पैक्टिफिकेशन को स्वीकार करता है यदि और केवल तभी जब यह स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हो।

गैर-हॉसडॉर्फ़ एक-बिंदु संघनन
होने देना $$(X,\tau)$$ एक मनमाना नॉनकॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस बनें। हो सकता है कि कोई व्यक्ति सभी कॉम्पेक्टिफिकेशन (जरूरी नहीं कि हॉसडॉर्फ) को निर्धारित करना चाहे $$X$$ एक बिंदु जोड़कर प्राप्त किया जाता है, जिसे इस संदर्भ में एक-बिंदु संघनन भी कहा जा सकता है। इसलिए कोई देने के सभी संभावित तरीके निर्धारित करना चाहता है $$X^*=X\cup\{\infty\}$$ ऐसी एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजी $$X$$ इसमें सघनता है और उप-स्थान टोपोलॉजी चालू है $$X$$ से प्रेरित $$X^*$$ मूल टोपोलॉजी के समान ही है. टोपोलॉजी पर अंतिम संगतता स्थिति स्वचालित रूप से इसका तात्पर्य करती है $$X$$ में सघन है $$X^*$$, क्योंकि $$X$$ यह सघन नहीं है, इसलिए इसे सघन स्थान में बंद नहीं किया जा सकता। साथ ही, यह भी एक तथ्य है कि समावेशन मानचित्र $$c:X\to X^*$$ आवश्यक रूप से एक खुला मानचित्र एम्बेडिंग है, अर्थात, $$X$$ में खुला होना चाहिए $$X^*$$ और टोपोलॉजी चालू है $$X^*$$ प्रत्येक सदस्य को शामिल करना होगा का $$\tau$$. तो टोपोलॉजी चालू है $$X^*$$ के पड़ोस द्वारा निर्धारित किया जाता है $$\infty$$. का कोई भी पड़ोस $$\infty$$ आवश्यक रूप से पूरक है $$X^*$$ के एक बंद कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय का $$X$$, जैसा कि पहले चर्चा की गई थी।

टोपोलॉजी चालू है $$X^*$$ जो इसे एक संघनन बनाता है $$X$$ निम्नानुसार हैं:
 * अलेक्जेंड्रोफ़ का विस्तार $$X$$ ऊपर परिभाषित. यहां हम सभी बंद कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के पूरक लेते हैं $$X$$ के पड़ोस के रूप में $$\infty$$. यह सबसे बड़ी टोपोलॉजी है जो बनाती है $$X^*$$ का एक-बिंदु संघनन $$X$$.
 * ओपन एक्सटेंशन टोपोलॉजी। यहां हम एक एकल पड़ोस जोड़ते हैं $$\infty$$, अर्थात् संपूर्ण स्थान $$X^*$$. यह सबसे छोटी टोपोलॉजी है जो बनाती है $$X^*$$ का एक-बिंदु संघनन $$X$$.
 * उपरोक्त दो टोपोलॉजी के बीच कोई भी टोपोलॉजी मध्यवर्ती। के पड़ोस के लिए $$\infty$$ किसी को सभी बंद कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के पूरकों में से एक उपयुक्त उपपरिवार चुनना होगा $$X$$; उदाहरण के लिए, सभी परिमित बंद संहत उपसमुच्चय के पूरक, या सभी गणनीय बंद संहत उपसमुच्चय के पूरक।

असतत स्थानों का संघनन

 * धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय का एक-बिंदु संघनन K = {0} U {1/n | से युक्त स्थान के लिए समरूपता है। ऑर्डर टोपोलॉजी के साथ n एक धनात्मक पूर्णांक है।
 * एक क्रम $$\{a_n\}$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस में $$X$$ एक बिंदु पर एकत्रित हो जाता है $$a$$ में $$X$$, यदि और केवल यदि मानचित्र $$f\colon\mathbb N^*\to X$$ द्वारा दिए गए $$f(n) = a_n$$ के लिए $$n$$ में $$\mathbb N$$ और $$f(\infty) = a$$ सतत है. यहाँ $$\mathbb N$$ असतत टोपोलॉजी है।
 * पॉलीडिक स्थान को टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में परिभाषित किया गया है जो एक अलग, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ स्पेस के एक-बिंदु कॉम्पैक्टिफिकेशन की शक्ति की निरंतर छवि है।

सतत स्थानों का संघनन

 * एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस 'आर' का एक-बिंदु संघननnn-क्षेत्र S के लिए समरूपी हैn. जैसा कि ऊपर बताया गया है, मानचित्र को स्पष्ट रूप से एन-आयामी व्युत्क्रम स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण के रूप में दिया जा सकता है।
 * के उत्पाद का एक-बिंदु संघनन $$\kappa$$ आधे-बंद अंतराल की प्रतियां [0,1), यानी, की $$[0,1)^\kappa$$, है (होमियोमॉर्फिक टू) $$[0,1]^\kappa$$.
 * चूंकि एक कनेक्टेड सबसेट का क्लोजर जुड़ा हुआ है, एक नॉनकॉम्पैक्ट कनेक्टेड स्पेस का अलेक्जेंड्रॉफ़ एक्सटेंशन जुड़ा हुआ है। हालाँकि एक-बिंदु संघनन एक असंयुक्त स्थान को जोड़ सकता है: उदाहरण के लिए एक परिमित संख्या के असंयुक्त संघ का एक-बिंदु संघनन $$n$$ अंतराल की प्रतियों का (0,1) वृत्तों का एक गुलदस्ता|कील है $$n$$ वृत्त.
 * अंतराल (0,1) की प्रतियों की गणनीय संख्या के असंयुक्त संघ का एक-बिंदु संघनन हवाईयन बाली है। यह असंख्य वृत्तों के पच्चर से भिन्न है, जो सघन नहीं है।
 * दिया गया $$X$$ कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ और $$C$$ का कोई भी बंद उपसमुच्चय $$X$$, का एक-बिंदु संघनन $$X\setminus C$$ है $$X/C$$, जहां फॉरवर्ड स्लैश भागफल स्थान (टोपोलॉजी) को दर्शाता है।
 * अगर $$X$$ और $$Y$$ फिर, स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ हैं $$(X\times Y)^* = X^* \wedge Y^*$$ कहाँ $$\wedge$$ स्मैश उत्पाद है. याद रखें कि स्मैश उत्पाद की परिभाषा:$$A\wedge B = (A \times B) / (A \vee B)$$ कहाँ $$A \vee B$$ वेज योग है, और फिर, / भागफल स्थान को दर्शाता है।

एक फ़नकार के रूप में
अलेक्जेंड्रोफ़ एक्सटेंशन को टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी से एक ऑपरेटर के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें उचित निरंतर मानचित्रों को उस श्रेणी में रूपवाद के रूप में देखा जा सकता है, जिनकी वस्तुएं निरंतर मानचित्र हैं $$c\colon X \rightarrow Y$$ और जिसके लिए रूपवाद से $$c_1\colon X_1 \rightarrow Y_1$$ को $$c_2\colon X_2 \rightarrow Y_2$$ सतत मानचित्रों के जोड़े हैं $$f_X\colon X_1 \rightarrow X_2, \ f_Y\colon Y_1 \rightarrow Y_2$$ ऐसा है कि $$f_Y \circ c_1 = c_2 \circ f_X$$. विशेष रूप से, होमियोमोर्फिक रिक्त स्थान में आइसोमोर्फिक अलेक्जेंड्रॉफ़ एक्सटेंशन होते हैं।

संदर्भ