सेमिग्रुप

गणित में, सेमीग्रुप या अर्द्धसमूह एक समुच्चय पर साहचर्य आंतरिक द्विआधारी संक्रियायुक्त बीजगणितीय संरचना है।

अर्द्धसमूह के द्विआधारी संक्रिया को प्रायः x·y, या केवल xy गुणन के रूप में दर्शाया जाता है, जो अर्द्धसमूह संक्रिया को क्रमित युग्म (x, y) पर प्रयुक्त करने के परिणाम को दर्शाता है। साह्चर्यता औपचारिक रूप से इस रूप में व्यक्त की जाती है कि अर्द्धसमूह में सभी x, y और z के लिए, (x·y)·z = x·(y·z)।

अर्द्धसमूहों को मैग्माओं की एक विशेष स्थिति, जहाँ संक्रिया साहचर्य है, या तत्समक तत्व या व्युत्क्रम के अस्तित्व की आवश्यकता के बिना समूहों के सामान्यीकरण के रूप में माना जा सकता है। समूहों या मैग्माओं की स्थिति में, अर्द्धसमूह संक्रिया के क्रमविनिमेय होने की आवश्यकता नहीं होती है, इसलिए x·y आवश्यक रूप से y·x के बराबर नहीं है; आव्यूह गुणन एक ऐसी संक्रिया का प्रसिद्ध उदाहरण है, जो साहचर्य तो है परन्तु क्रम-विनिमेय नहीं है। यदि अर्द्धसमूह संक्रिया क्रम-विनिमेय है, तो अर्द्धसमूह को क्रम-विनिमेय अर्द्धसमूह कहा जाता है या (समूहों की समान स्थिति की तुलना में प्रायः कम) इसे एबेलियन अर्द्धसमूह कहा जा सकता है।

एकाभ, अर्द्धसमूह और समूहों के बीच एक मध्यवर्ती बीजगणितीय संरचना है, और यह एक अर्द्धसमूह भी है जिसमें एक तत्समक तत्व होता है, इस प्रकार समूह के सभी स्वयंसिद्धों का पालन करता है: व्युत्क्रमों के अस्तित्व के लिए एक एकाभ की आवश्यकता नहीं होती है। एक प्राकृतिक उदाहरण द्विआधारी संक्रिया के रूप में संयोजन के साथ स्ट्रिंग हैं, और तत्समक तत्व के रूप में रिक्त स्ट्रिंग है। अरिक्त स्ट्रिंगों तक सीमित करना एक अर्द्धसमूह का उदाहरण प्रदान करता है जो एक एकाभ नहीं है। योग के साथ धनात्मक पूर्णांक एक क्रमविनिमेय अर्धसमूह बनाते हैं जो एक एकाभ नहीं है, जबकि गैर-ऋणात्मक पूर्णांक एक एकाभ बनाते हैं। तत्समक तत्व के बिना एक अर्धसमूह को केवल एक तत्समक तत्व जोड़कर आसानी से एक एकाभ में परिवर्तित किया जा सकता है। परिणामस्वरूप, एकाभों का अध्ययन समूह सिद्धांत के स्थान पर अर्द्धसमूह सिद्धांत में किया जाता है। अर्धसमूहों को क्वासीसमूहों के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो एक अलग दिशा में समूहों का एक सामान्यीकरण है; एक क्वासीसमूह में संक्रिया के साहचर्य होने की आवश्यकता नहीं होती है, लेकिन क्वासीसमूह समूहों से विभाजन की धारणा को संरक्षित करते हैं। अर्द्धसमूहों (या एकाभों) में विभाजन सामान्य रूप से संभव नहीं है।

अर्धसमूहों का औपचारिक अध्ययन 20वीं शताब्दी के प्रारंभ में प्रारंभ हुआ। इसके प्रारंभिक परिणामों में अर्धसमूहों के लिए एक कैले प्रमेय सम्मिलित है, जो किसी भी अर्द्धसमूह को रूपांतरण अर्द्धसमूह के रूप में साकार करता है, जिसमें स्वेच्छ फलन समूह सिद्धांत से एकैकी आच्छादन की भूमिका को प्रतिस्थापित करते हैं। क्रोन-रोड्स सिद्धांत, परिमित अर्धसमूहों के वर्गीकरण में एक गहन परिणाम है, जो परिमित समूहों के लिए जॉर्डन-होल्डर वियोजन के अनुरूप है। अर्द्धसमूहों के अध्ययन के लिए ग्रीन के संबंध जैसी कुछ अन्य तकनीकें समूह सिद्धांत में किसी भी वस्तु को समान नहीं करती हैं।

1950 के दशक के बाद से सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में परिमित अर्धसमूहों के सिद्धांत का विशेष महत्व रहा है क्योंकि परिमित अर्धसमूहों और परिमित ऑटोमेटा के बीच सिंटैक्टिक एकाभ के माध्यम से प्राकृतिक संबंध है। प्रायिकता सिद्धांत में, अर्द्धसमूह मार्कोव प्रक्रियाओं से जुड़े हैं। अनुप्रयुक्त गणित के अन्य क्षेत्रों में, अर्धसमूह रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के लिए मौलिक मॉडल हैं। आंशिक अवकल समीकरणों में, एक अर्धसमूह ऐसी किसी भी समीकरण से जुड़ा होता है जिसका स्थानिक मूलकलन समय से स्वतंत्र होता है।

अर्द्धसमूहों के कई विशेष वर्ग हैं, अतिरिक्त गुणों वाले अर्द्धसमूह, जो विशेष अनुप्रयोगों में दिखाई देते हैं। इनमें से कुछ वर्ग समूह के कुछ अतिरिक्त लेकिन सभी गुणों को प्रदर्शित न करके समूहों के और भी समीप हैं। इनमें से हम, नियमित अर्द्धसमूहों, ऑर्थोडॉक्स अर्द्धसमूहों, प्रत्यावर्तनयुक्त अर्द्धसमूहों, प्रतिलोम अर्धसमूहों और रद्दीकरण अर्धसमूहों का उल्लेख करते हैं। अर्द्धसमूहों के कुछ रोचक वर्ग भी हैं जिनमें तुच्छ समूह को छोड़कर कोई समूह नहीं होता है; बैंड और इनके क्रमविनिमेय उपवर्ग-अर्द्धजालक बाद वाले प्रकार के उदाहरण हैं, जो क्रमित बीजगणितीय संरचनाएँ भी हैं।

परिभाषा
अर्द्धसमूह एक द्विआधारी संक्रिया "$$\cdot$$" (अर्थात्, एक फलन $$\cdot:S\times S\rightarrow S$$) के साथ एक समुच्चय $$S$$ है, जो साहचर्य संक्रिया को संतुष्ट करता है:


 * सभी $$a,b,c\in S$$ के लिए, समीकरण $$(a\cdot b)\cdot c = a\cdot(b\cdot c)$$ सत्य है।

अधिक संक्षिप्त रूप से, अर्धसमूह एक साहचर्य मैग्मा है।

अर्द्धसमूहों के उदाहरण

 * रिक्त अर्द्धसमूह: रिक्त समुच्चय द्विआधारी संक्रिया के रूप में रिक्त फलन के साथ रिक्त अर्धसमूह बनाता है।
 * एक तत्वयुक्त अर्द्धसमूह: एकल {a}, संक्रिया a · a = a के साथ अनिवार्य रूप से केवल एक (विशेष रूप से, समरूपता तक केवल एक), अर्द्धसमूह है।
 * दो तत्वयुक्त अर्द्धसमूह: ऐसे पाँच अर्धसमूह हैं जो अनिवार्य रूप से भिन्न हैं।
 * "फ्लिप-फ्लॉप" एकाभ: तीन तत्वों वाला एक अर्द्धसमूह एक स्विच पर तीन संक्रियाओं - निर्धारण, पुनर्निर्धारण और कुछ न करना का प्रतिनिधित्व करता है।
 * योग के साथ धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय। (0 के सम्मिलित होने पर, यह एक एकाभ बन जाता है।)
 * न्यूनतम या अधिकतम के साथ पूर्णांकों का समुच्चय। (धनात्मक/ऋणात्मक अनंतता सम्मिलित होने पर, यह एक एकाभ बन जाता है।)
 * आव्यूह गुणन के साथ दिए गए आकार का वर्ग गैर-नकारात्मक आव्यूह
 * वलय के गुणन के साथ वलय (बीजगणित) का कोई आदर्श।
 * संक्रिया के रूप में स्ट्रिंग्स के संयोजन के साथ एक निश्चित वर्णमाला Σ पर सभी परिमित स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) का सेट - Σ पर तथाकथित मुक्त अर्द्धसमूह। खाली स्ट्रिंग शामिल होने के साथ, यह अर्द्धसमूह Σ पर मुक्त एकाभ बन जाता है।
 * अर्द्धसमूह संक्रिया के रूप में स्ट्रिंगों के संयोजन के साथ एक निश्चित वर्णमाला Σ पर सभी परिमित स्ट्रिंगों का समुच्चय - तथाकथित "Σ पर मुक्त अर्द्धसमूह"। रिक्त स्ट्रिंग सम्मिलित होने पर यह अर्द्धसमूह Σ पर मुक्त एकाभ बन जाता है।


 * संक्रिया के रूप में संवलन के साथ F की सभी संवलन घातों के साथ एक प्रायिकता वितरण F। इसे संवलन अर्द्धसमूह कहा जाता है।
 * रूपान्तरण अर्धसमूह और एकाभ।
 * फलनों के संयोजन के साथ एक सांस्थितीय अंतरिक्ष से सतत फलन का समुच्चय तत्सम के रूप में कार्य करने वाले तत्समक फलन के साथ एक एकाभ बनाता है। अधिक सामान्यतः, किसी वर्ग के किसी वस्तु के अन्तःरूपण संयोजन के तहत एक एकाभ बनाते हैं।
 * अतिसमतलों की व्यवस्था के फलकों का गुणनफल।

तत्समक और शून्य
अर्द्धसमूह $$S$$ (या अधिक सामान्यतः, मैग्मा) का वाम तत्समक, एक तत्व $$e$$ इस प्रकार है, कि $$S$$ में सभी $$x$$ के लिए, $$ex = x$$। इसी प्रकार, दक्षिण तत्समक, एक तत्व $$f$$ इस प्रकार है, कि $$S$$ में सभी $$x$$ के लिए, $$xf = x$$ । वाम और दक्षिण तत्समकों दोनों को एक-पक्षीय तत्समक कहा जाता है। एक अर्धसमूह में एक या अधिक वाम तत्समक हो सकते हैं, लेकिन कोई दक्षिण तत्समक नहीं हो सकता हैं, और इसके विपरीत भी।

द्वि-पक्षीय तत्समक (या केवल तत्समक) एक ऐसा तत्व है, जो वाम और दक्षिण दोनों तत्समक है। द्वि-पक्षीय तत्समक वाले अर्द्धसमूहों को एकाभ कहा जाता है। एक अर्धसमूह में अधिकतम एक द्वि-पक्षीय तत्समक हो सकता है। यदि एक अर्धसमूह में द्वि-पक्षीय तत्समक है, तो यह द्वि-पक्षीय तत्समक, उस अर्धसमूह में केवल एक-पक्षीय तत्समक होता है। यदि एक अर्धसमूह में वाम और दक्षिण तत्समक दोनों हैं, तो इसमें द्वि-पक्षीय तत्समक होता है (जो कि इस प्रकार अद्वितीय एक-पक्षीय तत्समक है)।

एक तत्समक-विहीन अर्द्धसमूह $$S$$ को $$S$$ में एक तत्व $$e \notin S$$ को संलग्न करने और सभी $$s \in S \cup \{e\}$$ के लिए $$e \cdot s = s \cdot e = s$$ को परिभाषित करने से निर्मित एक एकाभ में अंतःस्थापित किया जा सकता है। संकेतन $$S^1$$, आवश्यक होने पर एक तत्समक के संलग्नन द्वारा $$S$$ से प्राप्त एक एकाभ को दर्शाता है, (एक एकाभ के लिए $$S^1 = S$$)।

इसी प्रकार, प्रत्येक मैग्मा में अधिक से अधिक एक अवशोषक तत्व होता है, जिसे अर्धसमूह सिद्धांत में शून्य कहा जाता है। उपरोक्त रचना के अनुरूप, प्रत्येक अर्द्धसमूह $$S$$ के लिए, $$S^0$$ को एक ऐसे अर्द्धसमूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जो 0 युक्त एक अर्द्धसमूह है, जो $$S$$ को अंतःस्थापित करता है।

उपसमूह और आदर्श
अर्द्धसमूह संक्रिया अपने उपसमुच्चयों के संग्रह पर एक संक्रिया को प्रेरित करती है: अर्द्धसमूह S के दिए गए उपसमुच्चयों A और B के लिए, इनका गुणनफल A · B, जिसे सामान्यतः AB के रूप में लिखा जाता है, समुच्चय { ab है। (इस धारणा को समूहों के लिए समान रूप से परिभाषित किया गया है।) इस संक्रिया के संदर्भ में, एक उपसमुच्चय A,
 * एक 'उपअर्द्धसमूह ' यदि AA, A का एक उपसमुच्चय है,
 * एक 'दक्षिण आदर्श ' यदि AS, A का एक उपसमुच्चय है, और
 * एक 'वाम आदर्श ' यदि SA, A का एक उपसमुच्चय है।

कहलाता है।

यदि A एक वाम आदर्श और दक्षिण आदर्श दोनों है, तो इसे एक आदर्श (या द्वि-पक्षीय आदर्श) कहा जाता है।

यदि S एक अर्द्धसमूह है, तो S के उपसमूहों के किसी भी संग्रह का सर्वनिष्ठ भी S का एक उपसमूह होता है। इसलिए S के उपसमूह एक पूर्ण-जालक बनाते हैं।

बिना न्यूनतम आदर्श वाले अर्द्धसमूह का एक उदाहरण योग के तहत धनात्मक पूर्णांकों का समूह है। क्रमविनिमेय अर्द्धसमूह का न्यूनतम आदर्श एक समूह होता है, जब यह अस्तित्व में होता है।

ग्रीन के संबंध, पाँच तुल्यता संबंधों का एक समुच्चय, जो तत्वों को उनके द्वारा उत्पन्न किए गए प्रमुख आदर्शों के संदर्भ में चिह्नित करता है, एक अर्धसमूह के आदर्शों और संरचना के संबंधित विचारों का विश्लेषण करने के लिए महत्वपूर्ण उपकरण हैं।

प्रत्येक तत्व अर्द्धसमूह के किसी अन्य तत्व के साथ क्रम-विनिमेय करता है, इस गुण वाला उपसमुच्चय अर्द्धसमूह का केंद्र कहलाता है। एक अर्द्धसमूह का केंद्र वास्तव में एक उपअर्द्धसमूह होता है।

समरूपता और सर्वांगसमताएं
एक सेमीग्रुप होमोमोर्फिज्म एक ऐसा कार्य है जो सेमीग्रुप संरचना को संरक्षित करता है। एक समारोह f: S → T यदि समीकरण दो अर्धसमूहों के बीच एक समरूपता है
 * f(ab) = f(a)f(b).

एस में सभी तत्वों ए, बी के लिए होल्ड करता है, यानी परिणाम वही होता है जब नक्शा एफ लागू करने के बाद या उससे पहले सेमीग्रुप ऑपरेशन करते हैं।

मोनॉइड्स के बीच एक सेमीग्रुप होमोमोर्फिज्म पहचान को बरकरार रखता है यदि यह एक मोनॉइड होमोमोर्फिज्म है। लेकिन ऐसे सेमीग्रुप होमोमोर्फिज्म हैं जो मोनोइड समरूपता नहीं हैं, उदा। एक सेमीग्रुप का विहित एम्बेडिंग $$S$$ में पहचान के बिना $$S^1$$. मोनोइड समरूपता की विशेषता वाली स्थितियों पर आगे चर्चा की गई है। होने देना $$f:S_0\to S_1$$ एक अर्धसमूह समरूपता हो। की छवि $$f$$ एक अर्धसमूह भी है। यदि $$S_0$$ एक पहचान तत्व के साथ एक मोनोइड है $$e_0$$, फिर $$f(e_0)$$ की छवि में पहचान तत्व है $$f$$. यदि $$S_1$$ एक पहचान तत्व के साथ एक मोनोइड भी है $$e_1$$ तथा $$e_1$$ की छवि के अंतर्गत आता है $$f$$, फिर $$f(e_0)=e_1$$, अर्थात। $$f$$ एक मोनोइड समरूपता है। खासकर अगर $$f$$ आच्छादक है, तो यह एक मोनोइड समरूपता है।

दो अर्धसमूहों एस और टी को 'समरूपता' कहा जाता है यदि एक विशेषण अर्धसमूह समाकारिता मौजूद है f : S → T. आइसोमॉर्फिक सेमीग्रुप की संरचना समान होती है।

एक अर्धसमूह समरूपता $$\sim$$ एक तुल्यता संबंध है जो सेमीग्रुप ऑपरेशन के अनुकूल है। यानी एक उपसमुच्चय $$\sim\;\subseteq S\times S$$ यह एक तुल्यता संबंध है और $$x\sim y\,$$ तथा $$u\sim v\,$$ तात्पर्य $$xu\sim yv\,$$ हरएक के लिए $$x,y,u,v$$ एस में। किसी भी तुल्यता संबंध की तरह, एक अर्धसमूह सर्वांगसमता $$\sim$$ तुल्यता वर्गों को प्रेरित करता है


 * $$[a]_\sim = \{x \in S \mid x \sim a\}$$

और सेमीग्रुप ऑपरेशन एक बाइनरी ऑपरेशन को प्रेरित करता है $$\circ$$ सर्वांगसमता वर्गों पर:


 * $$[u]_\sim\circ [v]_\sim = [uv]_\sim$$

इसलिये $$\sim$$ एक सर्वांगसमता है, के सभी सर्वांगसमता वर्गों का समुच्चय $$\sim$$ के साथ एक अर्धसमूह बनाता है $$\circ$$भागफल अर्धसमूह या कारक अर्धसमूह कहा जाता है, और निरूपित किया जाता है $$S/\!\!\sim$$. मानचित्रण $$x \mapsto [x]_\sim$$ एक अर्धसमूह समरूपता है, जिसे भागफल मानचित्र, विहित अनुमान या प्रक्षेपण कहा जाता है; यदि S एक मोनॉइड है तो भागफल सेमीग्रुप पहचान के साथ एक मोनोइड है $$[1]_\sim$$. इसके विपरीत, किसी भी अर्धसमूह समरूपता का कर्नेल (सेट सिद्धांत) एक अर्धसमूह सर्वांगसमता है। ये परिणाम समरूपता प्रमेय #प्रथम समरूपता प्रमेय 4 के एक विशेषीकरण से ज्यादा कुछ नहीं हैं। स्ट्रिंग पुनर्लेखन प्रणालियों में सर्वांगसमता वर्ग और कारक मोनोइड्स अध्ययन की वस्तुएं हैं।

S पर एक नाभिकीय सर्वांगसमता वह है जो S के एंडोमोर्फिज्म का मूल है।

समरूपता और सर्वांगसमता
एक अर्द्धसमूह समरूपता एक ऐसा फलन है, जो अर्द्धसमूह संरचना को संरक्षित करता है। एक फलन f: S → T, दो अर्धसमूहों के बीच एक समरूपता है यदि समीकरण

f(ab) = f(a)f(b)

S में सभी तत्वों a, b के लिए सत्य है, अर्थात् परिणाम वही होता है, जब अर्द्धसमूह संक्रिया को प्रतिचित्रण f प्रयुक्त करने के बाद या इससे पहले क्रियान्वित करते हैं।

एकाभों के बीच एक अर्द्धसमूह समरूपता तत्समक को संरक्षित रखती है यदि यह एक एकाभ समरूपता है। लेकिन ऐसी अर्द्धसमूह समरूपताएँ भी हैं, जो एकाभ समरूपता नहीं हैं, उदाहरण, $$S^1$$ में तत्समक के बिना अर्द्धसमूह $$S$$ का विहित अंतःस्थापन। एकाभ समरूपता की विशेषता वाली स्थितियों पर आगे चर्चा की गई है। माना $$f:S_0\to S_1$$ एक अर्द्धसमूह समरूपता है। $$f$$ का प्रतिबिम्ब भी एक अर्द्धसमूह है। यदि $$S_0$$ तत्समक तत्व $$e_0$$ वाला एक एकाभ है, तो $$f(e_0)$$, $$f$$ के प्रतिबिम्ब में तत्समक तत्व है। यदि $$S^1$$भी, एक तत्समक तत्व $$e_1$$ वाला एक एकाभ है और $$e_1$$, $$f$$ के प्रतिबिम्ब से संबंधित है, तब $$f(e_0)=e_1$$, अर्थात् $$f$$ एक एकाभ समरूपता है। विशेष रूप से, यदि $$f$$ आच्छादक है, तो यह एक एकाभ समरूपता है।

दो अर्धसमूहों S और T को तुल्याकारी कहा जाता है, यदि एक एकैकी-आच्छादक अर्धसमूह समरूपता f: S → T का अस्तित्व है। तुल्याकारी अर्धसमूहों की संरचना समान होती है।

एक अर्द्धसमूह सर्वांगसमता $$\sim$$ एक समतुल्य संबंध है, जो अर्द्धसमूह संक्रिया के साथ संगत है। अर्थात्, एक उपसमुच्चय $$\sim\;\subseteq S\times S$$, जो एक तुल्यता संबंध है और $$x\sim y\,$$ और $$u\sim v\,$$, S में प्रत्येक $$x,y,u,v$$ के लिए $$xu\sim yv\,$$ को इंगित करते हैं। किसी भी तुल्यता संबंध के समान, एक अर्धसमूह सर्वांगसमता $$\sim$$, सर्वांगसमता वर्ग को प्रेरित करती है।

$$[a]_\sim = \{x \in S \mid x \sim a\}$$

और अर्द्धसमूह संक्रिया, सर्वांगसमता वर्गों पर एक द्विआधारी संक्रिया $$\circ$$ को प्रेरित करती है:

$$[u]_\sim\circ [v]_\sim = [uv]_\sim$$

चूँकि $$\sim$$ एक सर्वांगसमता है, $$\sim$$ के सभी सर्वांगसम वर्गों का समुच्चय $$\circ$$ के साथ एक अर्धसमूह बनाता है, जिसे भागफल अर्द्धसमूह या गुणनखंड अर्द्धसमूह कहा जाता है, और $$S/\!\!\sim$$ को निरूपित करता है। प्रतिचित्रण $$x \mapsto [x]_\sim$$ एक अर्द्धसमूह समरूपता है, जिसे भागफल प्रतिचित्र, विहित आच्छादन या प्रक्षेपण कहा जाता है; यदि S एक एकाभ है तो भागफल अर्द्धसमूह $$[1]_\sim$$ तत्समक वाला एक एकाभ है इसके विपरीत, किसी भी अर्धसमूह समरूपता की अष्ठि एक अर्धसमूह सर्वांगसमता है। ये परिणाम सार्वभौमिक बीजगणित में पहली समरूपता प्रमेय की विशिष्टता से अधिक कुछ नहीं हैं। सर्वांगसमता वर्ग और गुणनखंड एकाभ स्ट्रिंग पुनर्लेखन प्रणाली में अध्ययन की वस्तुएँ हैं।

S पर नाभिकीय सर्वांगसमता वह सर्वांगसमता है, जो S की अन्तःरूपता की अष्ठि है।

एक अर्द्धसमूह S 'सर्वांगसमता पर अधिकतम स्थिति ' को संतुष्ट करता है, यदि समावेशन द्वारा क्रमित S पर सर्वांगसमता के किसी भी परिवार में एक अधिकतम तत्व है। ज़ोर्न की प्रमेयिका द्वारा, यह कहना समतुल्य है कि आरोही श्रृंखला की स्थिति सत्य है: S पर सर्वांगसमता की कोई अनंत आरोही श्रृंखला नहीं है।

अर्द्धसमूह का प्रत्येक आदर्श I, एक गुणनखंड अर्द्धसमूह, रीस गुणनखंड अर्द्धसमूह को सर्वांगसमता ρ द्वारा प्रेरित करता है, जो x ρ y द्वारा परिभाषित है, यदि x = y, या x और y दोनों I में हैं।

भागफल और विभाजन
निम्नलिखित धारणाएँ इस विचार का परिचय देती हैं कि एक अर्धसमूह दूसरे में समाहित है।

अर्द्धसमूह T, एक अर्द्धसमूह S का भागफल है यदि S से T में एक आच्छादक अर्द्धसमूह आकारिता है। उदाहरण के लिए, एक पूर्णांक के शेष मॉड्यूल 2 को लेने वाले आकारिता का उपयोग करते हुए $$(\mathbb Z/2\mathbb Z,+)$$, $$(\mathbb Z/4\mathbb Z,+)$$ का भागफल है।

अर्द्धसमूह T एक अर्द्धसमूह S को विभाजित करता है, $$T\preceq S$$ पर ध्यान दें, यदि T एक उपअर्द्धसमूह S का भागफल है। विशेष रूप से, S के उपअर्द्धसमूह T को विभाजित करते हैं, जबकि यह स्थिति आवश्यक नहीं है कि इसमें S के भागफल हैं।

ये दोनों संबंध संक्रामक होते हैं।

अर्द्धसमूहों की संरचना
S के किसी उपसमुच्चय A के लिए S का सबसे छोटा उपसमूह T है जिसमें A सम्मिलित है, और हम कहते हैं कि A, T को उत्पन्न करता है। S का एक एकल तत्व x, उपसमूह {xn | n ∈ Z+ } को उत्पन्न करता है। यदि यह परिमित है, तो x को परिमित क्रम का कहा जाता है, अन्यथा यह अनंत क्रम का होता है। एक अर्धसमूह को आवर्ती कहा जाता है यदि इसके सभी तत्व परिमित क्रम के हों। एकल तत्व द्वारा उत्पन्न एक अर्धसमूह को मोनोजेनिक (या चक्रीय) कहा जाता है। यदि एक मोनोजेनिक अर्द्धसमूह अनंत है तो यह योग की संक्रिया के साथ धनात्मक पूर्णांकों के अर्द्धसमूह के लिए समरूप होता है। यदि यह परिमित और अरिक्त है, तो इसमें कम से कम एक को वर्गसम होना चाहिए। यह इस प्रकार है कि प्रत्येक अरिक्त आवर्ती अर्धसमूह में कम से कम एक वर्गसम होता है।

एक उपअर्द्धसमूह, जो एक समूह भी है, उपसमूह कहलाता है। एक अर्धसमूह के उपसमूहों और इसके आदर्शों के बीच घनिष्ठ संबंध होता है। प्रत्येक उपसमूह में केवल एक आदर्श, अर्थात् उपसमूह का तत्समक तत्व होता है। अर्द्धसमूह के प्रत्येक वर्गसम e के लिए e को सम्मिलित करने वाला एक अद्वितीय अधिकतम उपसमूह होता है। प्रत्येक अधिकतम उपसमूह इस प्रकार से उत्पन्न होता है, इसलिए आदर्श और अधिकतम उपसमूहों के बीच एक-से-एक अंतःक्रिया होती है। यहाँ अधिकतम उपसमूह शब्द समूह सिद्धांत में इसके मानक उपयोग से भिन्न है।

क्रम परिमित होने पर प्रायः और भी कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक अरिक्त परिमित अर्धसमूह आवर्ती होता है, और इसमें न्यूनतम आदर्श और कम से कम एक वर्गसम होता है। किसी दिए गए आकार (1 से अधिक) के परिमित अर्धसमूहों की संख्या (स्पष्ट रूप से) समान आकार के समूहों की संख्या से अधिक होती है। उदाहरण के लिए, दो तत्वों {a, b}, के एक समुच्चय के लिए सोलह संभावित "गुणन सारणियों" में, आठ सेमीग्रुप का निर्माण करते हैं, जबकि इनमें से केवल चार एकाभ होते हैं और केवल दो, समूहों का निर्माण करते हैं। परिमित अर्धसमूहों की संरचना के बारे में अधिक जानने के लिए, क्रोहन-रोड्स सिद्धांत देखें।

अर्द्धसमूहों के विशेष वर्ग

 * एकाभ एक तत्समक तत्व वाला एक अर्धसमूह है।
 * एक समूह (गणित) एक एकाभ है, जिसमें प्रत्येक तत्व का एक व्युत्क्रम तत्व होता है।
 * उपअर्द्धसमूह, अर्द्धसमूह का एक उपसमुच्चय है, जो अर्धसमूह संक्रिया के तहत विवृत है।
 * निरस्तीकरण अर्द्धसमूह, वह अर्द्धसमूह होता है जिसमें निरस्तीकरण गुण होता है: a · b = a · c का तात्पर्य b = c और इसी प्रकार b · a = c · a के लिए। प्रत्येक समूह एक निरस्तीकरण अर्धसमूह होता है, और प्रत्येक परिमित निरस्तीकरण अर्धसमूह एक समूह होता है।
 * बैंड (बीजगणित) एक ऐसा अर्द्धसमूह है, जिसकी संक्रिया वर्गसम है।
 * अर्द्धजालक एक ऐसा अर्द्धसमूह है, जिसकी संक्रिया वर्गसम और क्रम-विनिमेय है।
 * 0-सामान्य अर्धसमूह।
 * रूपान्तरण अर्द्धसमूह: किसी भी परिमित अर्धसमूह S को एक (स्थिति-) समुच्चय Q के अधिकतम $|S|$ + 1 के रूपान्तरणों द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। S का प्रत्येक तत्व x, तब Q को स्वयं में प्रतिचित्रित करता है, अर्थात् x: Q → Q, और अनुक्रम xy को Q में प्रत्येक q के लिए q(xy) = (qx)y द्वारा परिभाषित किया गया है। अनुक्रम स्पष्टतः एक साहचर्य संक्रिया है, जो यहाँ फलनों के संयोजन के समतुल्य है। यह निरूपण किसी भी स्वचालन या परिमित-अवस्था मशीन (एफएसएम) के लिए मौलिक है।
 * द्विचक्रीय अर्द्धसमूह वास्तव में एक एकाभ है, जिसे संबंध pq = 1 के तहत दो उत्पादकों p और q पर मुक्त अर्द्धसमूह के रूप में वर्णित किया जा सकता है।
 * C0-अर्धसमूह।
 * नियमित अर्धसमूह: प्रत्येक तत्त्व x में कम से कम एक व्युत्क्रम y ऐसा होता है, जो xyx=x तथा yxy=y को संतुष्ट करता है; तत्व x और y को कभी-कभी "परस्पर व्युत्क्रम" कहा जाता है।
 * व्युत्क्रम अर्धसमूह ऐसे नियमित अर्धसमूह होते हैं, जिनमें प्रत्येक तत्व का केवल एक व्युत्क्रम होता है। वैकल्पिक रूप से, एक नियमित अर्द्धसमूह व्युत्क्रम होता है, यदि और केवल यदि कोई दो वर्गसम क्रमविनिमेय होते हैं।
 * एफाइन अर्द्धसमूह: एक ऐसा अर्द्धसमूह, जो Zd के परिमित रूप से उत्पन्न एक उपसमूह के लिए समरूप होता है। इन अर्द्धसमूहों में क्रमविनिमेय बीजगणित के अनुप्रयोग हैं।

क्रमविनिमेय अर्धसमूहों के लिए संरचना प्रमेय
अर्द्धजालकों के सन्दर्भ में क्रमविनिमेय अर्धसमूहों के लिए एक संरचना प्रमेय है। एक अर्द्धजालक (या अधिक सटीक रूप से एक मीट-अर्द्धजालक) $$ (L, \le) $$ एक आंशिकतः क्रमित समुच्चय है, जिसमें तत्वों के प्रत्येक युग्म $$a,b \in L$$ में महत्तम निम्न परिबंध है, जिसे $$a \wedge b$$ के रूप में दर्शाया गया है। संक्रिया $$\wedge$$, $$ L$$ को एक अर्द्धसमूह में बनाती है, जो योग के वर्गसमता नियम $$ a \wedge a = a $$ को संतुष्ट करता है।

एक स्वेच्छ अर्धसमूह से एक अर्धजालक में दी गयी एक समरूपता $$ f: S \to L $$ के लिए, प्रत्येक व्युत्क्रम प्रतिबिम्ब $$ S_a = f^{-1} \{a \} $$ एक (संभवतः रिक्त) अर्धसमूह है। इसके अतिरिक्त, $$ S$$, $$ L$$ द्वारा इस अर्थ में वर्गीकृत हो जाता है, कि


 * $$ S_a S_b \subseteq S_{a \wedge b}. $$

यदि $$ f $$ आच्छादक है, तो अर्द्धजालक $$ L$$ तुल्यता संबंध $$ \sim $$ द्वारा $$S$$ के भागफल के लिए इस प्रकार समरूप है, कि $$ x \sim y $$ यदि और केवल यदि $$ f(x) = f(y) $$। जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, कि यह तुल्यता संबंध एक अर्धसमूह सर्वांगसमता है।

जब भी हम किसी क्रमविनिमेय अर्धसमूह के भागफल को सर्वांगसमता से लेते हैं, तो हमें एक अन्य क्रमविनिमेय अर्धसमूह प्राप्त होता है। संरचना प्रमेय कहती है कि किसी भी क्रमविनिमेय अर्धसमूह $$S$$ के लिए, एक उत्तम सर्वांगसमता $$ \sim $$ इस प्रकार है, कि इस तुल्यता संबंध द्वारा $$ S$$ का भागफल एक अर्धजालक है। इस अर्धजालक को $$ L $$ द्वारा प्रदर्शित करने पर, हमें $$S$$ से $$ L $$ पर एक समरूपता $$ f $$ प्राप्त होती है। जैसा कि उल्लेख किया गया है, $$S$$ इस अर्धजालक द्वारा वर्गीकृत हो जाता है।

इसके अतिरिक्त, घटक $$ S_a $$ सभी आर्किमिडीय अर्द्धसमूह हैं। एक आर्किमिडीय अर्द्धसमूह वह अर्द्धसमूह है, जिसमें दिए गए तत्वों के किसी युग्म $$ x, y $$ के लिए, एक तत्व $$ z$$ और $$ n > 0 $$ का अस्तित्व इस प्रकार है, कि $$ x^n = y z $$।

आर्किमिडीय गुण, अर्धजालक $$ L$$ में क्रमण से तत्काल पालन करता है, क्योंकि इस क्रमण के साथ, हमारे पास $$ f(x) \le f(y) $$ है, यदि और केवल यदि $$ x^n = y z $$, कुछ $$ z$$ और $$ n > 0 $$ के लिए।

भिन्नों का समूह
समूह G = G(S), अर्द्धसमूह S के भिन्नों का समूह या समूह समापन है जो S के तत्वों द्वारा उत्पादक के रूप में और सभी समीकरणों xy = z द्वारा उत्पन्न होता है, जो S में सम्बन्ध के रूप में सत्य होते हैं। j : S &rarr; G(S), एक स्पष्ट अर्धसमूह समरूपता है जो S के प्रत्येक तत्व को संबंधित उत्पादक को भेजता है। इसमें S से एक समूह की आकारिता के लिए एक सार्वभौमिक गुण होता है: दिए गए किसी समूह H और अर्धसमूह समरूपता k : S &rarr; H के लिए, k=fj के साथ एक अद्वितीय समूह समरूपता f : G &rarr; H उपस्थित होती है। हम G को "सबसे सामान्य" समूह के रूप में सोच सकते हैं जिसमें S का समरूप प्रतिबिम्ब होता है।

एक महत्वपूर्ण प्रश्न उन अर्धसमूहों को चिह्नित करना है, जिनके लिए यह प्रतिचित्रण एक अन्तःस्थापन है। इसे हमेशा स्थिति होने की आवश्यकता नहीं होती है: उदाहरण के लिए, S को द्विआधारी संक्रिया के रूप में समुच्चय-सैद्धांतिक सर्वनिष्ठ के साथ किसी समुच्चय X के उपसमुच्चय के अर्द्धसमूह के रूप में लें (यह अर्द्धजालक का एक उदाहरण है)। चूँकि A.A = A, S के सभी तत्वों के लिए सत्य है, यह G(S) के सभी उत्पादकों के लिए भी सत्य होना चाहिए: जो इस प्रकार तुच्छ समूह है। अंतर्निहित करने की क्षमता के लिए यह स्पष्ट रूप से आवश्यक है कि S के पास निरस्तीकरण गुण हो। जब S क्रमविनिमेय होता है तो यह स्थिति भी पर्याप्त होती है और अर्द्धसमूह का ग्रोथेंडीक समूह भिन्नों के समूह का निर्माण प्रदान करता है। गैर-क्रम-विनिमेय अर्द्धसमूहों के लिए समस्या का पता अर्द्धसमूहों पर पहले पर्याप्त पृष्ठ से लगाया जा सकता है। अनातोली माल्टसेव ने वर्ष 1937 में अन्तःस्थापन के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें प्रदान कीं।

आंशिक अवकल समीकरणों में अर्द्धसमूह विधियाँ
आंशिक अवकल समीकरणों के क्षेत्र में कुछ समस्याओं का अध्ययन करने के लिए अर्द्धसमूह सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है। सामान्य रूप से बोलते हुए, अर्द्धसमूह दृष्टिकोण एक समय-निर्भर आंशिक अवकल समीकरण को फलन समष्टि पर सामान्य अवकल समीकरण के रूप में मानना ​​​​है। उदाहरण के लिए, स्थानिक अंतराल (0, 1) ⊂ R और समय t ≥ 0 पर ऊष्मा समीकरण के लिए निम्न प्रारंभिक/सीमा मान समस्या पर विचार करें:


 * $$\begin{cases} \partial_{t} u(t, x) = \partial_{x}^{2} u(t, x), & x \in (0, 1), t > 0; \\ u(t, x) = 0, & x \in \{ 0, 1 \}, t > 0; \\ u(t, x) = u_{0} (x), & x \in (0, 1), t = 0. \end{cases}$$

माना X = L2((0, 1) R) प्रांत अंतराल (0, 1) के साथ वर्ग-समाकलनीय वास्तविक-मान फलनों का Lp समष्टि है और माना A प्रांत


 * $$D(A) = \big\{ u \in H^{2} ((0, 1); \mathbf{R}) \big| u(0) = u(1) = 0 \big\},$$ के साथ द्वितीय-अवकलज ऑपरेटर बनें

जहाँ H2 एक सोबोलेव समष्टि है। फिर उपरोक्त प्रारंभिक/सीमा मान समस्या को समष्टि X पर एक साधारण अवकल समीकरण के लिए प्रारंभिक मान समस्या के रूप में वर्णित किया जा सकता है:


 * $$\begin{cases} \dot{u}(t) = A u (t); \\ u(0) = u_{0}. \end{cases}$$

अनुमानित स्तर पर, इस समस्या का समाधान u(t) = exp(tA)u0 होना "चाहिए"। हालांकि, एक कठोर व्यवहार के लिए, tA के घातांक को एक अर्थ दिया जाना चाहिए। t के एक फलन के रूप में, exp(tA), समय t = 0 पर प्रारंभिक स्थिति u0 को समय t पर स्थिति u(t) = exp(tA)u0 लेने पर X से स्वयं पर ऑपरेटरों का एक अर्धसमूह है। ऑपरेटर A को अर्धसमूह का अतिसूक्ष्म उत्पादक कहा जाता है।

इतिहास
अर्द्धसमूहों का अध्ययन अन्य बीजगणितीय संरचनाओं के पीछे अधिक जटिल स्वयंसिद्धों जैसे समूहों या वलयों के साथ होता है। कई स्रोत इस शब्द के प्रथम प्रयोग (फ्रांसीसी में) का श्रेय वर्ष 1904 में अमूर्त समूहों के सिद्धांत के तत्वों में जे.-ए डी सेगुएर को देते हैं। अंग्रेजी में इस शब्द का प्रयोग वर्ष 1908 में हेरोल्ड हिंटन के परिमित कोटि के समूहों के सिद्धांत में किया गया है।

एंटन सुशकेविच ने अर्द्धसमूह के बारे में प्रथम गैर-तुच्छ परिणाम प्राप्त किया। वर्ष 1928 के इनके पेपर "अद्वितीय व्युत्क्रमता के नियम के बिना परिमित समूहों पर" ने परिमित सामान्य अर्द्धसमूहों की संरचना निर्धारित की और प्रदर्शित किया कि एक परिमित अर्धसमूह का न्यूनतम आदर्श (या ग्रीन के संबंध जे-वर्ग) सामान्य है। उस समय से, अर्द्धसमूह सिद्धांत की नींव आगे डेविड रीस (गणितज्ञ), जेम्स अलेक्जेंडर ग्रीन, एवगेनी सर्गेइविच लायपिन, अल्फ्रेड एच. क्लिफर्ड और गॉर्डन प्रेस्टन द्वारा रखी गई थी। बाद वाले दो गणितज्ञों ने क्रमशः वर्ष 1961 और 1967 में अर्द्धसमूह सिद्धांत पर दो-भाग मोनोग्राफ प्रकाशित किया। वर्ष 1970 में, अर्द्धसमूह फोरम (वर्तमान में स्प्रिंगर वरलैग द्वारा संपादित) नामक एक नई पत्रिका अर्द्धसमूह सिद्धांत पर पूर्णतः समर्पित कुछ गणितीय पत्रिकाओं में से एक बन गई।

अर्द्धसमूहों का निरूपण सिद्धांत वर्ष 1963 में बोरिस शेन द्वारा विकसित किया गया था, जिसमें समुच्चय A और अर्द्धसमूह गुणन के लिए संबंधों के संयोजन पर द्विआधारी संबंधों का उपयोग किया गया था। वर्ष 1972 में एक बीजगणितीय सम्मेलन में स्कीन ने A पर संबंधों के अर्धसमूह BA पर साहित्य का सर्वेक्षण किया। वर्ष 1997 में शेन और राल्फ मैकेंजी ने यह सिद्ध किया कि प्रत्येक अर्धसमूह द्विआधारी संबंधों के एक संक्रामक अर्धसमूह के लिए समरूप होता है।

हाल के वर्षों में इस क्षेत्र के शोधकर्ता अर्द्धसमूहों के महत्वपूर्ण वर्गों, जैसे व्युत्क्रम अर्द्धसमूहों, साथ ही बीजगणितीय ऑटोमेटा सिद्धांत में अनुप्रयोगों पर ध्यान केंद्रित करने वाले मोनोग्राफ, विशेष रूप से परिमित ऑटोमेटा के लिए, और कार्यात्मक विश्लेषण में भी समर्पित मोनोग्राफ के साथ अधिक विशिष्ट हो गए हैं।

सामान्यीकरण
If the associativity axiom of a semigroup is dropped, the result is a magma, which is nothing more than a set M equipped with a binary operation that is closed $M × M → M$.

यदि एक अर्द्धसमूह की साहचर्यता अभिगृहीत को छोड़ दिया जाता है, तो इसका परिणाम एक मैग्मा होता है, जो एक समुच्चय M से अधिक कुछ नहीं होता है जो द्विआधारी संक्रिया से सुसज्जित विवृत $M × M → M$ होता है।

एक n-ऐरी अर्द्धसमूह (n-अर्द्धसमूह, बहुविकल्पी अर्द्धसमूह या मल्टीऐरी अर्द्धसमूह भी) द्विआधारी संक्रिया के स्थान पर n-ऐरी संक्रिया के साथ एक समुच्चय G के अर्द्धसमूह का सामान्यीकरण, एक अलग दिशा में सामान्यीकरण है। साहचर्य नियम को इस प्रकार सामान्यीकृत किया जाता है: त्रिआधारी साहचर्यता $(abc)de = a(bcd)e = ab(cde)$, अर्थात् स्ट्रिंग abcde, जिसमें किन्हीं तीन आसन्न तत्वों को कोष्ठक में रखा गया हो। n-ऐरी साहचर्यता $n + (n − 1)$ लंबाई की एक स्ट्रिंग है जिसमें किन्हीं भी n आसन्न तत्वों को कोष्ठीकृत किया गया है। एक 2-ऐरी अर्द्धसमूह सिर्फ एक अर्द्धसमूह होता है। आगे के अभिगृहीत एक n-ऐरी समूह की ओर जाते हैं।

अर्द्धसमूहाभ, एक तीसरा सामान्यीकरण है, जिसमें द्विआधारी के कुल होने की आवश्यकता को हटा दिया जाता है। चूंकि श्रेणियाँ एकाभों को इसी प्रकार सामान्यीकृत करती हैं, एक अर्द्धसमूहाभ एक श्रेणी की तरह व्यवहार करता है लेकिन तत्समता की कमी होती है।

क्रमविनिमेय अर्धसमूहों के अनंत सामान्यीकरणों पर कभी-कभी विभिन्न लेखकों द्वारा विचार किया गया है।

यह भी देखें

 * अवशोषण तत्त्व
 * द्विक्रमित समुच्चय
 * रिक्त अर्धसमूह
 * सामान्यीकृत प्रतिलोम
 * तत्समक तत्व
 * प्रकाश की साहचर्यता परीक्षण
 * क्वांटम गतिशील अर्द्धसमूह
 * अर्द्धसमूह वलय
 * निर्बल प्रतिलोम

विशिष्ट संदर्भ
श्रेणी:अर्धसमूह सिद्धांत श्रेणी:बीजगणितीय संरचनाएं