मॉड्यूलर वक्र

संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय ज्यामिति में, मॉड्यूलर वक्र Y(Γ) रीमैन सतह, या संबंधित बीजगणितीय वक्र है, जो मॉड्यूलर समूह के अनुकूल उपसमूह Γ की क्रिया द्वारा समष्टि अप्पर हल्फ प्लेन H के समूह क्रिया द्वारा भागफल के रूप में निर्मित होता है। यह अभिन्न 2×2 आव्युह एसएल(2, Z) होता हैं। मॉड्यूलर वक्र शब्द का उपयोग कॉम्पैक्टिफाइड मॉड्यूलर वक्रों को संदर्भित करने के लिए भी किया जा सकता है | जहाँ -X(Γ) जो कि इस भागफल में (विस्तारित समष्टि अप्पर हल्फ प्लेन पर क्रिया के माध्यम से) बहुत सारे बिंदु (जिसे Γ के क्यूप्स कहा जाता है) जोड़कर प्राप्त किए गए संघनन (गणित) होते हैं। मॉड्यूलर वक्र के बिंदु समूह Γ के आधार पर कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ,वृत्ताकार वक्रों के समरूपता वर्गों को पैरामीट्रिज करते हैं। यह व्याख्या किसी भी समष्टि संख्याओं के संदर्भ के अतिरिक्त, मॉड्यूलर वक्रों की पूर्ण रूप से बीजगणितीय परिभाषा देने की अनुमति देता है, और इसके अतिरिक्त, यह सिद्ध करती है कि मॉड्यूलर वक्र या तब तर्कसंगत संख्या Q के फ़ील्ड या साइक्लोटोमिक फ़ील्ड  Q(ζn) पर परिभाषित होते हैं। इसके पश्चात् तथ्य और इसके सामान्यीकरण संख्या सिद्धांत में मौलिक के महत्व हैं।

विश्लेषणात्मक परिभाषा
मॉड्यूलर समूह एसएल (2, Z) आंशिक रैखिक परिवर्तनों द्वारा अप्पर हल्फ प्लेन पर कार्य करता है। मॉड्यूलर वक्र की विश्लेषणात्मक परिभाषा में एसएल(2, Z) के अनुकूल उपसमूह Γ का विकल्प सम्मिलित होता है, अर्थात उपसमूह जिसमें कुछ धनात्मक पूर्णांक N के लिए स्तर N Γ(N) का प्रमुख अनुकूल उपसमूह होता है, जहां


 * $$\Gamma(N)=\left\{

\begin{pmatrix} a & b\\ c & d\\ \end{pmatrix} : \ a \equiv d \equiv 1 \mod N \text{ and } b, c \equiv0 \mod N \right\}.$$ ऐसे न्यूनतम N को Γ का स्तर कहा जाता है। गैर सघन रीमैन सतह जिसे सामान्यतः Y(Γ) कहा जाता है | इसे प्राप्त करने के लिए भागफल Γ\H पर समष्टि संरचना डाली जा सकती है।

संहतित मॉड्यूलर वक्र
Y(Γ) का सामान्य संघनन बहुत सारे बिंदुओं को जोड़कर प्राप्त किया जाता है जिन्हें Γ के क्यूप्स कहा जाता है। विशेष रूप से, यह विस्तारित समष्टि अप्पर हल्फ प्लेन H* = H ∪ Q ∪ {∞}. पर Γ की क्रिया पर विचार करके किया जाता है। हम इस आधार के रूप में H* पर टोपोलॉजी प्रस्तुत करते हैं |
 * H का प्रत्येक भी खुला उपसमुच्चय हैं |
 * सभी r > 0 के लिए, समुच्चय $$\{\infty\}\cup\{\tau\in \mathbf{H} \mid\text{Im}(\tau)>r\}$$ होता हैं |
 * सभी सहअभाज्य पूर्णांक a, c और सभी r > 0 के लिए, की क्रिया के अनुसार $$\{\infty\}\cup\{\tau\in \mathbf{H} \mid\text{Im}(\tau)>r\}$$ की छवि हैं |
 * $$\begin{pmatrix}a & -m\\c & n\end{pmatrix}$$
 * जहाँ m, n ऐसे पूर्णांक हैं कि a + सेमी = 1
 * जहाँ m, n ऐसे पूर्णांक हैं कि a + सेमी = 1

यह H* को टोपोलॉजिकल समिष्ट में परिवर्तित देता है जो रीमैन फ़ील्ड  P1(C) का उपसमुच्चय है। यह समूह Γ उपसमुच्चय Q ∪ {∞} पर कार्य करता है | यह इसे परिमित रूप से अनेक कक्षाओं में विभाजित करता है जिन्हें Γ का क्यूस्प्स कहा जाता है। यदि Γ Q ∪ {∞} पर सकर्मक रूप से कार्य करता है, तब स्थान Γ\H* Γ\H का अलेक्जेंड्रॉफ़ संघनन बन जाता है।और समष्टि संरचना को भागफल Γ\H* पर रखा जा सकता है, जिससे इसे X(Γ) नामक रीमैन सतह में परिवर्तित किया जा सकता है, जो वर्तमान में कॉम्पैक्ट है। यह स्थान Y(Γ) का संघनन होता है।

उदाहरण
सबसे सामान्य उदाहरण उपसमूह Γ(N), Γ0(N), और Γ1(N) से जुड़े वक्र X(N), X0(N), और X1(N) होते हैं।

मॉड्यूलर वक्र X(5) में जीनस 0 है | यह नियमित इकोसाहेड्रोन के शीर्ष पर स्थित 12 क्यूस्प्स वाला रीमैन फ़ील्ड होता है। और आवरण X(5) → X(1) का अनुभव रीमैन फ़ील्ड  पर इकोसाहेड्रल समूह की कार्यों से होता है। यह समूह A5 और पीएसएल(2,5) के क्रम 60 समरूपी का सरल समूह है।

मॉड्यूलर वक्र X(7) 24 क्यूप्स के साथ जीनस 3 का क्लेन क्वार्टिक है। इसे 24 हेप्टागोन्स द्वारा टाइल किए गए तीन हैंडल वाली सतह के रूप में समझा जा सकता है | जिसमें प्रत्येक चेहरे के केंद्र में टेल होता है। इन टाइलिंग को डेसिन्स डी एनफैंट्स और बेली फ़ंक्शंस के माध्यम से समझा जा सकता है | यह क्यूप्स ∞ (लाल बिंदु) के ऊपर स्थित बिंदु हैं, जबकि किनारों (काले और सफेद बिंदु) के शीर्ष और केंद्र 0 और 1 के ऊपर स्थित बिंदु हैं। यह आवरण X(7) → X(1) का गैलोज़ समूह पीएसएल (2, 7) के क्रम 168 समरूपी का सरल समूह है।

यह X0(N) के लिए स्पष्ट मौलिक मॉडल है | क्लासिकल मॉड्यूलर वक्र को कभी-कभी मॉड्यूलर वक्र भी कहा जाता है। और Γ(N) की परिभाषा को इस प्रकार दोहराया जा सकता है | यह मॉड्यूलर समूह का उपसमूह है जो अभाव मॉड्यूलो N का कर्नेल है। और फिर Γ0(N) आव्युह का बड़ा उपसमूह होता है जो ऊपरी त्रिकोणीय मॉड्यूलो N होता है |


 * $$\left \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} : \ c\equiv 0 \mod N \right \},$$

और Γ1(N) मध्यवर्ती समूह है जिसे निम्न द्वारा परिभाषित किया गया है |

इन वक्रों की समतल संरचना वाले वृत्ताकार वक्रों के लिए मॉड्यूल रिक्त स्थान के रूप में प्रत्यक्ष व्याख्या होती है और इस कारण से वे अंकगणितीय ज्यामिति में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। लेवल N मॉड्यूलर वक्र X(N) N-टोरसन के आधार के साथ वृत्ताकार वक्रों के लिए मॉड्यूलि समिष्ट होता है। और X0(N) और X1(N) के लिए, स्तर संरचना क्रमशः क्रम N का चक्रीय उपसमूह और क्रम N का बिंदु है। इन वक्रों का बहुत विस्तार से अध्ययन किया गया है, और विशेष रूप से, यह ज्ञात है कि X0(N) को Q के ऊपर परिभाषित किया जा सकता है।
 * $$\left \{ \begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix} : \ a\equiv d\equiv 1\mod N, c\equiv 0 \mod N \right \}.$$

मॉड्यूलर वक्रों को परिभाषित करने वाले समीकरण मॉड्यूलर समीकरणों के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं। यह "सर्वोत्तम मॉडल" प्रत्यक्ष वृत्ताकार फलन सिद्धांत से लिए गए मॉडल से बहुत भिन्न हो सकते हैं। मॉड्यूलर वक्रों के जोड़े को जोड़ने वाले पत्राचार (बीजगणितीय ज्यामिति) के रूप में, हेके ऑपरेटरों का ज्यामितीय रूप से अध्ययन किया जा सकता है।

'विवेचना': 'H ' के भागफल जो कॉम्पैक्ट होता हैं | यह मॉड्यूलर समूह के उपसमूहों के अतिरिक्त फुच्सियन समूहों Γ के लिए भी होते हैं | और चतुर्भुज बीजगणित से निर्मित उनमें से वर्ग भी संख्या सिद्धांत में रुचि रखता है।

जीनस
आवरण X(N) → X(1) गैलोज़ है | यह गैलोज़ समूह एसएल(2, N)/{1, −1} के साथ, जो पीएसएल(2, N) के सामान्य है यदि N अभाज्य होता है। रीमैन-हर्विट्ज़ सूत्र और गॉस-बोनट प्रमेय को प्रयुक्त करके, प्रत्येक X(N) के जीनस की गणना कर सकता है। यह अभाज्य संख्या स्तर p ≥ 5 के लिए हैं |


 * $$-\pi\chi(X(p)) = |G|\cdot D,$$

जहां χ = 2 − 2g यूलर विशेषता है, |G| = (p+1)p(p−1)/2 समूह पीएसएल(2, p), का क्रम है, और D = π − π/2 − π/3 − π/p गोलाकार (2,3,p) त्रिभुज का कोणीय (ज्यामिति) है। इससे सूत्र तैयार होता है |

इस प्रकार X(5) का वंश 0 होता है | और X(7) का वंश 3 है, और X(11) का वंश 26 है | और p = 2 या 3 के लिए, किसी को अतिरिक्त रूप से प्रभाव को ध्यान में रखना चाहिए | अर्थात्,पीएसएल(2, Z) में क्रम p तत्वों की उपस्थिति, और तथ्य यह है कि पीएसएल(2, 2) में 3 के अतिरिक्त क्रम 6 होता है। किसी भी स्तर N के मॉड्यूलर वक्र X(N) के जीनस के लिए अधिक समष्टि सूत्र है जिसमें N के विभाजक सम्मिलित होते हैं।।
 * ]\$$g = \tfrac{1}{24}(p+2)(p-3)(p-5).$$

जीनस शून्य
सामान्यतः मॉड्यूलर फलन फ़ील्ड मॉड्यूलर वक्र (या, कभी-कभी, किसी अन्य मॉड्यूलि समिष्ट का फलन फ़ील्ड होता है जो अपरिवर्तनीय विविधता बन जाता है)। जीनस ज़ीरो का कारण है कि ऐसे फलन फ़ील्ड में जनरेटर के रूप में एकल ट्रान्सेंडैंटल फलन होता है | उदाहरण के लिए जे-फलन X(1) = पीएसएल(2, Z)\H* का फलन फ़ील्ड उत्पन्न करता है। ऐसे जनरेटर का पारंपरिक नाम, जो मोबियस परिवर्तन के लिए अद्वितीय है और उचित रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है | और हौप्टमोडुल (मुख्य या प्रमुख मॉड्यूलर फलन, बहुवचन हौप्टमोडुलन) है।

रिक्त स्थान X1(n) में n = 1, ..., 10 और n = 12 के लिए जीनस शून्य है। चूँकि इनमें से प्रत्येक वक्र को Q पर परिभाषित किया गया है और इसका Q-तर्कसंगत बिंदु है | यह इस प्रकार है कि ऐसे प्रत्येक वक्र पर अनंत रूप से अनेक तर्क संगत बिंदु हैं, और इसलिए n के इन मानों के लिए n -टोशन के साथ Q पर अनंत रूप से अनेक वृत्ताकार वक्र परिभाषित होता हैं। इसके विपरीत कथन, कि केवल n के ये मान ही घटित हो सकते हैं यह मजूर टोशन थ्योरम है।

X0(N) का जीनस
मॉड्यूलर वक्र $$\textstyle X_0(N)$$ जीनस हैं यदि और केवल $$\textstyle N$$ निम्नलिखित तालिका में सूचीबद्ध 12 मानों में से इसके सामान्य है। तब $$\mathbb{Q}$$ पर वृत्ताकार वक्र के रूप में, उनके समीप न्यूनतम, अभिन्न वीयरस्ट्रैस मॉडल $$y^2 + a_1 x y + a_3 y = x^3 + a_2 x^2 + a_4 x + a_6$$ हैं। यह, $$\textstyle a_j\in\mathbb{Z}$$ होता है और विवेचक $$\Delta$$ का पूर्ण मान ही वक्र के लिए सभी अभिन्न वीयरस्ट्रैस मॉडल के मध्य न्यूनतम है। निम्नलिखित तालिका में अद्वितीय न्यूनतम, अभिन्न वीयरस्ट्रैस मॉडल सम्मिलित होता हैं, जिसका अर्थ $$\textstyle a_1, a_3\in\{0,1\}$$ और $$\textstyle a_2\in\{-1,0,1\}$$ होता हैं । इस तालिका का अंतिम कॉलम L-फलन और मॉड्यूलर फॉर्म डेटाबेस (एलएमएफडीबी) पर संबंधित वृत्ताकार मॉड्यूलर वक्र $$\textstyle X_0(N)$$ के होम पेज को संदर्भित करता है।

राक्षस समूह से संबंध
जीनस 0 के मॉड्यूलर वक्र, जो अधिक कठिन होते हैं | इसमें मॉन्स्टर मूनसाइन अनुमानों के संबंध में प्रमुख महत्व सिद्ध हुए हैं। उनके हाउप्टमोडुलन के q-विस्तार के प्रथम अनेक गुणांकों की गणना 19वीं शताब्दी में ही की गई थी | किन्तु यह विरक्त के रूप में आया कि वही बड़े पूर्णांक सबसे बड़े विकीर्ण सरल समूह मॉन्स्टर के प्रतिनिधित्व के आयाम के रूप में दिखाई देते हैं।

एक अन्य संबंध यह है कि एसएल(2, R) में Γ0(p) के सामान्यीकरण Γ0(p)+ के अनुरूप मॉड्यूलर वक्र में जीनस शून्य होता है यदि केवल p 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, 47, 59 या 71 है, और ये स्पष्ट रूप से मॉन्स्टर समूह के क्रम के प्रमुख कारक हैं। और इसके Γ0(p)+ के बारे में परिणाम 1970 के दशक में जीन पियरे सेरे, एंड्रयू ऑग और जॉन जी थॉम्पसन इसके कारण होता है | और इसके पश्चात् इसे मॉन्स्टर समूह से संबंधित अवलोकन ऑग के कारण होता है |जिन्होंने पेपर लिखा था जिसमें जैक डैनियल की व्हिस्की की बोतल प्रस्तुत की गई थी जो इस तथ्य को समझा सकता था | यह मॉन्स्टर मूनसाइन के सिद्धांत के लिए प्रारंभिक बिंदु था।

यह संबंध बहुत गहन है | और, जैसा कि रिचर्ड बोरचर्ड्स द्वारा प्रदर्शित किया गया है | इसमें सामान्यीकृत केएसी-मूडी बीजगणित भी सम्मिलित है। इस फ़ील्ड में कार्य ने मॉड्यूलर कार्यों के महत्व को रेखांकित किया जो मेरोमोर्फिक हैं और क्यूप्स पर ध्रुव हो सकते हैं | इसमें मॉड्यूलर रूपों के विपरीत, जो कि क्यूप्स समेत हर स्थान होलोमोर्फिक हैं, और 20 वीं शताब्दी के उत्तम भाग के लिए अध्ययन की मुख्य वस्तुएं थीं।

यह भी देखें

 * मैनिन-ड्रिनफेल्ड प्रमेय
 * वृत्ताकार वक्रों का मॉड्यूली स्टैक
 * मॉड्यूलैरिटी प्रमेय
 * शिमुरा वैराइटी, उच्च आयामों के लिए मॉड्यूलर वक्रों का सामान्यीकरण

संदर्भ

 * Steven D. Galbraith - Equations For Modular Curves