वर्णक्रमीय क्रम

होमोलॉजिकल बीजगणित और बीजगणितीय टोपोलॉजी में, एक वर्णक्रमीय अनुक्रम क्रमिक सन्निकटन लेकर होमोलॉजी समूहों की गणना करने का एक साधन है। स्पेक्ट्रल अनुक्रम सटीक अनुक्रमों का एक सामान्यीकरण है, और उनके परिचय के बाद से, वे महत्वपूर्ण कम्प्यूटेशनल उपकरण बन गए हैं, विशेष रूप से बीजीय टोपोलॉजी, बीजगणितीय ज्यामिति और समरूप बीजगणित में।

डिस्कवरी और प्रेरणा
बीजगणितीय टोपोलॉजी में समस्याओं से प्रेरित, जीन लेरे ने एक शीफ (गणित) की धारणा पेश की और खुद को कंप्यूटिंग शीफ कोहोलॉजी की समस्या का सामना करना पड़ा। शेफ कोहोलॉजी की गणना करने के लिए, लेरे ने एक कम्प्यूटेशनल तकनीक पेश की जिसे अब लेरे वर्णक्रमीय अनुक्रम के रूप में जाना जाता है। इसने एक शीफ के कोहोलॉजी समूहों और एक शीफ की प्रत्यक्ष छवि के कोहोलॉजी समूहों के बीच एक संबंध दिया। संबंध में एक अनंत प्रक्रिया शामिल थी। लेरे ने पाया कि पुशफॉरवर्ड के कोहोलॉजी समूहों ने एक प्राकृतिक श्रृंखला परिसर का गठन किया, ताकि वह कोहोलॉजी के कोहोलॉजी को ले सकें। यह अभी भी मूल पूले का कोहोलॉजी नहीं था, लेकिन यह एक मायने में एक कदम और करीब था। कोहोलॉजी के कोहोलॉजी ने फिर से एक चेन कॉम्प्लेक्स का गठन किया, और इसके कोहोलॉजी ने एक चेन कॉम्प्लेक्स का निर्माण किया, और इसी तरह। इस अनंत प्रक्रिया की सीमा अनिवार्य रूप से वही थी जो मूल शीफ के कोहोलॉजी समूहों के रूप में थी।

जल्द ही यह महसूस किया गया कि लेरे की कम्प्यूटेशनल तकनीक एक अधिक सामान्य घटना का एक उदाहरण थी। विभिन्न स्थितियों में स्पेक्ट्रल अनुक्रम पाए गए, और उन्होंने होमोलॉजी और कोहोलॉजी समूहों के बीच जटिल संबंध दिए, जो ज्यामितीय स्थितियों जैसे कंपन और बीजगणितीय स्थितियों से व्युत्पन्न फ़ंक्टर से जुड़े थे। जबकि व्युत्पन्न श्रेणी की शुरुआत के बाद से उनका सैद्धांतिक महत्व कम हो गया है, वे अभी भी सबसे प्रभावी कम्प्यूटेशनल उपकरण उपलब्ध हैं। यह तब भी सत्य है जब वर्णक्रमीय अनुक्रम के कई पद अगणनीय हैं।

दुर्भाग्य से, बड़ी मात्रा में सूचना वर्णक्रमीय अनुक्रमों में ले जाने के कारण, उन्हें समझना मुश्किल है। यह जानकारी आमतौर पर एबेलियन समूहों या मॉड्यूल (गणित) के रैंक तीन जाली में निहित होती है। निपटने के लिए सबसे आसान मामले वे हैं जिनमें वर्णक्रमीय अनुक्रम अंततः ढह जाता है, जिसका अर्थ है कि अनुक्रम में आगे जाने से कोई नई जानकारी नहीं मिलती है। यहां तक ​​कि जब ऐसा नहीं होता है, तब भी विभिन्न तरकीबों से वर्णक्रमीय अनुक्रम से उपयोगी जानकारी प्राप्त करना अक्सर संभव होता है।

कोहोलॉजिकल स्पेक्ट्रल अनुक्रम
एक एबेलियन श्रेणी को ठीक करें, जैसे कि एक अंगूठी (गणित) पर मॉड्यूल (गणित) की श्रेणी, और एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक $$r_0$$. कोहोलॉजिकल स्पेक्ट्रल अनुक्रम एक अनुक्रम है $$ \{E_r, d_r\}_{r\geq r_0} $$ वस्तुओं का $$ E_r $$ और एंडोमोर्फिज्म $$ d_r : E_r \to E_r $$, ऐसा कि प्रत्येक के लिए $$ r\geq r_0 $$ आमतौर पर समरूपताओं को दबा दिया जाता है और हम लिखते हैं $$ E_{r+1} = H_{*}(E_r, d_r) $$ बजाय। एक वस्तु $$ E_r $$ शीट कहा जाता है (कागज की शीट के रूप में), या कभी-कभी एक पृष्ठ या शब्द; एक एंडोमोर्फिज्म $$ d_r $$ सीमा मानचित्र या अंतर कहा जाता है। कभी-कभी $$E_{r+1}$$ की व्युत्पन्न वस्तु कहलाती है $$E_r$$.
 * 1) $$ d_r \circ d_r = 0 $$,
 * 2) $$ E_{r+1}  \cong H_{*}(E_r, d_r) $$, की समरूपता (गणित)। $$E_r$$ इसके संबंध में $$d_r$$.

बिग्रेडेड स्पेक्ट्रल अनुक्रम
वास्तव में स्पेक्ट्रल अनुक्रम ज्यादातर एक रिंग (गणित) आर (या डबल ग्रेडेड शीफ (गणित) मॉड्यूल के रिंग्स के एक शीफ पर) पर डबल ग्रेडेड मॉड्यूल (गणित) की श्रेणी में होते हैं, यानी प्रत्येक शीट एक बीग्रेडेड आर-मॉड्यूल है $ E_r = \bigoplus_{p,q \in \mathbb{Z}^2} E_r^{p,q}. $ तो इस मामले में एक cohomological वर्णक्रमीय अनुक्रम एक अनुक्रम है $$ \{E_r, d_r\}_{r\geq r_0} $$ बीग्रेडेड आर-मॉड्यूल की $$ \{E_r^{p,q}\}_{p,q} $$ और प्रत्येक मॉड्यूल के लिए एंडोमोर्फिज्म का प्रत्यक्ष योग $$ d_r = (d_r^{p,q} : E_r^{p,q} \to E_r^{p+r,q-r+1})_{p,q \in \mathbb{Z}^2} $$ बिग्रेडी का $$ (r,1-r) $$, ऐसा कि प्रत्येक के लिए $$ r\geq r_0 $$ यह मानता है कि: यहाँ प्रयुक्त अंकन को पूरक डिग्री कहा जाता है। कुछ लेखक लिखते हैं $$ E_r^{d,q} $$ इसके बजाय, कहाँ $$ d = p + q $$ कुल डिग्री है। स्पेक्ट्रल अनुक्रम के आधार पर, पहली शीट पर सीमा मानचित्र में एक डिग्री हो सकती है जो आर = 0, आर = 1, या आर = 2 से मेल खाती है। उदाहरण के लिए, फ़िल्टर किए गए परिसर के स्पेक्ट्रल अनुक्रम के लिए, नीचे वर्णित, आर0 = 0, लेकिन ग्रोथेंडिक स्पेक्ट्रल अनुक्रम के लिए, आर0 = 2. आमतौर पर आर0 शून्य, एक या दो है। ऊपर वर्णित अश्रेणीकृत स्थिति में, r0 अप्रासंगिक है।
 * 1) $$ d_r^{p+r,q-r+1} \circ d_r^{p,q} = 0 $$,
 * 2) $$ E_{r+1}  \cong H_{*}(E_r, d_r) $$.

सजातीय वर्णक्रमीय अनुक्रम
अधिकतर जिन वस्तुओं के बारे में हम बात कर रहे हैं वे चेन कॉम्प्लेक्स हैं, जो अवरोही (जैसे ऊपर) या आरोही क्रम में होती हैं। बाद के मामले में, प्रतिस्थापित करके $$ E_r^{p,q} $$ साथ $$ E^r_{p,q} $$ और $$ d_r^{p,q} : E_r^{p,q} \to E_r^{p+r,q-r+1} $$ साथ $$ d^r_{p,q} : E^r_{p,q}  \to E^r_{p-r,q+r-1} $$ (बिडिग्री $$ (-r,r-1) $$), कोहोलॉजिकल केस के अनुरूप एक होमोलॉजिकल स्पेक्ट्रल अनुक्रम की परिभाषा प्राप्त करता है।

एक श्रृंखला परिसर से स्पेक्ट्रल अनुक्रम
अनग्रेडेड स्थिति में सबसे प्राथमिक उदाहरण एक चेन कॉम्प्लेक्स सी है•. एक वस्तु सी•चेन कॉम्प्लेक्स की एबेलियन श्रेणी में स्वाभाविक रूप से एक अंतर डी के साथ आता है। चलो आर0 = 0, और मान लीजिए E0 सी हो•. यह बल ई1 जटिल होने के लिए एच (सी•): i ' वें स्थान पर यह ' th अनुरूपता समूह C का है•. इस नए कॉम्प्लेक्स पर एकमात्र प्राकृतिक अंतर शून्य नक्शा है, इसलिए हम डी करते हैं1 = 0. यह बल देता है $$E_2$$ बराबर करने के लिए $$E_1$$, और फिर से हमारा एकमात्र प्राकृतिक अंतर शून्य मानचित्र है। हमारी बाकी सभी शीटों पर शून्य अंतर डालने से वर्णक्रमीय क्रम मिलता है जिसकी शर्तें हैं:


 * इ0 = सी•* औरr= एच (सी•) सभी आर ≥ 1 के लिए।

इस वर्णक्रमीय अनुक्रम की शर्तें पहली शीट पर स्थिर होती हैं क्योंकि इसका एकमात्र नॉनट्रिविअल डिफरेंशियल ज़ीरोथ शीट पर था। नतीजतन, हम बाद के चरणों में और अधिक जानकारी प्राप्त नहीं कर सकते हैं। आमतौर पर, बाद की शीट्स से उपयोगी जानकारी प्राप्त करने के लिए, हमें इस पर अतिरिक्त संरचना की आवश्यकता होती है $$E_r$$.

विज़ुअलाइज़ेशन
एक डबल ग्रेडेड स्पेक्ट्रल अनुक्रम में ट्रैक रखने के लिए डेटा की जबरदस्त मात्रा होती है, लेकिन एक सामान्य विज़ुअलाइज़ेशन तकनीक है जो स्पेक्ट्रल अनुक्रम की संरचना को स्पष्ट बनाती है। हमारे पास तीन सूचकांक हैं, आर, पी और क्यू। एक वस्तु $$E_r$$ रूप में देखा जा सकता है $$r^{th}$$ किसी किताब का चेकदार पन्ना। इन शीटों पर, हम p को क्षैतिज दिशा और q को उर्ध्वाधर दिशा मानेंगे। प्रत्येक जाली बिंदु पर हमारे पास वस्तु है $$E_r^{p,q}$$. अब अगले पृष्ठ की ओर मुड़ने का अर्थ है समरूपता लेना, अर्थात $$(r+1)^{th}$$ पृष्ठ का एक उपभाग है $$r^{th}$$ पृष्ठ। कुल डिग्री n = p + q प्रत्येक शीट के पार तिरछे, उत्तर-पश्चिम से दक्षिण-पूर्व तक चलता है। समरूपी मामले में, अवकलों का द्विपद (−r, r − 1) होता है, इसलिए वे n से एक घटाते हैं। कोहोलॉजिकल मामले में, एन एक से बढ़ जाता है। r के संबंध में अवकल प्रत्येक मोड़ के साथ अपनी दिशा बदलते हैं। लाल तीर पहले चतुर्थांश अनुक्रम के मामले को प्रदर्शित करता है (उदाहरण वर्णक्रमीय अनुक्रम # प्रथम-चतुर्थांश शीट देखें), जहां केवल पहले चतुर्थांश की वस्तुएं गैर-शून्य हैं। पृष्ठों को पलटते समय, सभी अंतरों का डोमेन या कोडोमेन शून्य हो जाता है।

श्रेणीबद्ध गुण
कोहोमोलॉजिकल स्पेक्ट्रल अनुक्रमों का सेट एक श्रेणी बनाता है: स्पेक्ट्रल अनुक्रमों का एक रूपवाद $$ f : E \to E' $$ परिभाषा के अनुसार नक्शों का एक संग्रह है $$ f_r : E_r \to E'_r $$ जो अंतर के साथ संगत हैं, अर्थात $$ f_r \circ d_r = d'_r \circ f_r $$, और दिए गए समरूपताओं के साथ क्रमशः ई और ई' की आरवें चरण और (आर + 1) वीं शीट के कोहोलॉजी के बीच: $$ f_{r+1}(E_{r+1}) \,=\, f_{r+1}(H(E_r)) \,=\, H(f_r(E_r)) $$. बिग्रेडेड मामले में, उन्हें स्नातक का भी सम्मान करना चाहिए: $$ f_r(E_r^{p,q}) \subset {E'_r}^{p,q}. $$

गुणक संरचना
एक कप उत्पाद कोहोलॉजी समूह को एक रिंग (गणित) देता है, इसे एक कोहोलॉजी रिंग में बदल देता है। इस प्रकार, रिंग संरचना के साथ-साथ वर्णक्रमीय अनुक्रम पर विचार करना स्वाभाविक है। होने देना $$E^{p, q}_r$$ कोहोलॉजिकल प्रकार का एक वर्णक्रमीय अनुक्रम हो। हम कहते हैं कि इसकी गुणात्मक संरचना है यदि (i) $$E_r$$ हैं (डबल ग्रेडेड) अंतर वर्गीकृत बीजगणित और (ii) मल्टीप्लिकेशन ऑन $$E_{r+1}$$ उसी से प्रेरित है $$E_r$$ कोहोलॉजी के मार्ग के माध्यम से।

एक विशिष्ट उदाहरण एक कंपन के लिए कोहोमोलॉजिकल सेरे स्पेक्ट्रल अनुक्रम है $$F \to E \to B$$, जब गुणांक समूह एक वलय R है। इसमें फाइबर के कप उत्पादों और आधार पर गुणक संरचना होती है $$E_{2}$$-पृष्ठ। हालांकि, सामान्य तौर पर सीमित शब्द $$E_{\infty}$$ एच (ई; आर) के लिए एक वर्गीकृत बीजगणित के रूप में आइसोमोर्फिक नहीं है। गुणात्मक संरचना अनुक्रम पर अवकलन की गणना के लिए बहुत उपयोगी हो सकती है।

वर्णक्रमीय अनुक्रमों का निर्माण
स्पेक्ट्रल दृश्यों का निर्माण विभिन्न तरीकों से किया जा सकता है। बीजगणितीय टोपोलॉजी में, एक सटीक युगल शायद निर्माण के लिए सबसे आम उपकरण है। बीजगणितीय ज्यामिति में, वर्णक्रमीय अनुक्रम आमतौर पर कोचेन परिसरों के निस्पंदन से निर्मित होते हैं।

एक सटीक जोड़े का वर्णक्रमीय अनुक्रम
वर्णक्रमीय अनुक्रमों के निर्माण के लिए एक और तकनीक विलियम शूमाकर मैसी की सटीक जोड़ों की विधि है। बीजगणितीय टोपोलॉजी में सटीक जोड़े विशेष रूप से आम हैं। इसके बावजूद वे अमूर्त बीजगणित में अलोकप्रिय हैं, जहां अधिकांश वर्णक्रमीय अनुक्रम फ़िल्टर किए गए परिसरों से आते हैं।

सटीक जोड़ों को परिभाषित करने के लिए, हम फिर से एक एबेलियन श्रेणी से शुरू करते हैं। पहले की तरह, व्यवहार में यह आमतौर पर रिंग के ऊपर दोगुने ग्रेड वाले मॉड्यूल की श्रेणी है। एक सटीक युगल वस्तुओं की एक जोड़ी है (A, C), साथ में इन वस्तुओं के बीच तीन समरूपताएं हैं: f : A → A,  g : A → C और h : C → A कुछ सटीक शर्तों के अधीन:


 * छवि (गणित) एफ = कर्नेल (बीजगणित) जी
 * छवि जी = कर्नेल एच
 * छवि एच = कर्नेल एफ

हम इस डेटा को (A, C, f, g, h) द्वारा संक्षिप्त करेंगे। सटीक जोड़े को आमतौर पर त्रिकोण के रूप में दर्शाया जाता है। हम देखेंगे कि सी ई के अनुरूप है0 स्पेक्ट्रल अनुक्रम की अवधि और ए कुछ सहायक डेटा है।

वर्णक्रमीय अनुक्रम की अगली शीट पर जाने के लिए, हम 'व्युत्पन्न युगल' बनाएंगे। हमलोग तैयार हैं:


 * डी = जी o एच
 * ए ' = f(A)
 * C ' = Ker d / Im d
 * f ' = f|A ', f से A ' का प्रतिबंध
 * h ' : C ' → A ' h से प्रेरित है। यह देखना सीधा है कि h ऐसे मानचित्र को प्रेरित करता है।
 * g ' : A ' → C ' को तत्वों पर इस प्रकार परिभाषित किया गया है: A ' में प्रत्येक के लिए, A में कुछ b के लिए a को f(b) के रूप में लिखें। g ' (a) को C ' में g(b) की छवि के रूप में परिभाषित किया गया है। सामान्य तौर पर, एबेलियन श्रेणियों के लिए एम्बेडिंग प्रमेयों में से एक का उपयोग करके g ' का निर्माण किया जा सकता है।

यहां से यह जांचना आसान है कि (A ', C ' , f ' , g ' , h ' ) एक सटीक जोड़ी है। C ' E से मेल खाता है1वर्णक्रमीय अनुक्रम की अवधि। हम सटीक युगल प्राप्त करने के लिए इस प्रक्रिया को दोहरा सकते हैं (A(एन), सी(एन), एफ(एन), जी(एन), एच(एन)).

स्पेक्ट्रल अनुक्रम बनाने के लिए, ईnसी हो(एन) और डीnनिवेदन करना (एन)  o h (एन) ।

इस पद्धति से निर्मित स्पेक्ट्रल अनुक्रम

 * सेरे स्पेक्ट्रल अनुक्रम - एक कंपन की समरूपता की गणना (सह) करने के लिए उपयोग किया जाता है
 * अत्यायाह-हिर्जेब्रूच स्पेक्ट्रल अनुक्रम - असाधारण कोहोलॉजी सिद्धांतों की गणना (सह) समरूपता के लिए उपयोग किया जाता है, जैसे कि के-सिद्धांत
 * बॉकस्टीन वर्णक्रमीय अनुक्रम।
 * फ़िल्टर किए गए परिसरों के वर्णक्रमीय क्रम

फ़िल्टर किए गए परिसर का वर्णक्रमीय अनुक्रम
एक बहुत ही सामान्य प्रकार का स्पेक्ट्रल अनुक्रम फिल्ट्रेशन (अमूर्त बीजगणित) कोचेन कॉम्प्लेक्स से आता है, क्योंकि यह स्वाभाविक रूप से एक बड़ी श्रेणी वाली वस्तु को प्रेरित करता है। एक कोचेन कॉम्प्लेक्स पर विचार करें $$ (C^{\bullet}, d) $$ एक अवरोही निस्पंदन के साथ, $ ... \supset\, F^{-2}C^{\bullet} \,\supset\, F^{-1}C^{\bullet} \supset F^{0}C^{\bullet} \,\supset\, F^{1}C^{\bullet} \,\supset\, F^{2}C^{\bullet} \,\supset\, F^{3}C^{\bullet} \,\supset... \, $. हमें आवश्यकता है कि सीमा मानचित्र निस्पंदन के अनुकूल हो, अर्थात $ d(F^pC^n) \subset F^pC^{n+1}$, और यह कि निस्पंदन संपूर्ण है, अर्थात सभी के समुच्चय का मिलन $F^pC^{\bullet}$ संपूर्ण श्रृंखला परिसर है $C^{\bullet}$. फिर वहाँ के साथ एक वर्णक्रमीय अनुक्रम मौजूद है $ E_0^{p,q} = F^{p}C^{p+q}/F^{p+1}C^{p+q} $ और $ E_1^{p,q} = H^{p+q}(F^{p}C^{\bullet}/F^{p+1}C^{\bullet}) $. बाद में, हम यह भी मान लेंगे कि निस्पंदन हॉसडॉर्फ या अलग है, अर्थात सभी के सेट का प्रतिच्छेदन $F^pC^{\bullet}$ शून्य है।

निस्यंदन उपयोगी है क्योंकि यह शून्य की निकटता का माप देता है: जैसे-जैसे p बढ़ता है, $F^pC^{\bullet}$ शून्य के और करीब आता जाता है। हम इस फिल्ट्रेशन से एक वर्णक्रमीय अनुक्रम का निर्माण करेंगे जहां बाद की शीट्स में कोबाउंड्री और कोसाइकिल मूल परिसर में कोबाउंडरी और कोसाइकल के करीब और करीब आते हैं। इस वर्णक्रमीय अनुक्रम को निस्पंदन डिग्री पी और पूरक डिग्री द्वारा दोगुना वर्गीकृत किया गया है $q = n &minus; p$.

निर्माण
$$ C^{\bullet} $$ केवल एक ग्रेडिंग और एक फिल्ट्रेशन है, इसलिए हम पहले वर्णक्रमीय अनुक्रम के पहले पृष्ठ के लिए एक दोगुनी श्रेणीबद्ध वस्तु का निर्माण करते हैं। दूसरी ग्रेडिंग प्राप्त करने के लिए, हम फिल्ट्रेशन के संबंध में संबंधित ग्रेडेड ऑब्जेक्ट लेंगे। हम इसे एक असामान्य तरीके से लिखेंगे जो कि उचित होगा $$ E_1 $$ कदम:


 * $$Z_{-1}^{p,q} = Z_0^{p,q} = F^p C^{p+q}$$
 * $$B_0^{p,q} = 0$$
 * $$E_0^{p,q} = \frac{Z_0^{p,q}}{B_0^{p,q} + Z_{-1}^{p+1,q-1}} = \frac{F^p C^{p+q}}{F^{p+1} C^{p+q}}$$
 * $$E_0 = \bigoplus_{p,q\in\mathbf{Z}} E_0^{p,q}$$

चूँकि हमने मान लिया था कि सीमा मानचित्र फिल्ट्रेशन के अनुकूल था, $$ E_0 $$ एक दोगुनी वर्गीकृत वस्तु है और एक प्राकृतिक दोगुनी वर्गीकृत सीमा मानचित्र है $$ d_0 $$ पर $$ E_0 $$. पाने के $$ E_1 $$, हम की होमोलॉजी लेते हैं $$ E_0 $$.


 * $$\bar{Z}_1^{p,q} = \ker d_0^{p,q} : E_0^{p,q} \rightarrow E_0^{p,q+1} = \ker d_0^{p,q} : F^p C^{p+q}/F^{p+1} C^{p+q} \rightarrow F^p C^{p+q+1}/F^{p+1} C^{p+q+1}$$
 * $$\bar{B}_1^{p,q} = \mbox{im } d_0^{p,q-1} : E_0^{p,q-1} \rightarrow E_0^{p,q} = \mbox{im } d_0^{p,q-1} : F^p C^{p+q-1}/F^{p+1} C^{p+q-1} \rightarrow F^p C^{p+q}/F^{p+1} C^{p+q}$$
 * $$E_1^{p,q} = \frac{\bar{Z}_1^{p,q}}{\bar{B}_1^{p,q}} = \frac{\ker d_0^{p,q} : E_0^{p,q} \rightarrow E_0^{p,q+1}}{\mbox{im } d_0^{p,q-1} : E_0^{p,q-1} \rightarrow E_0^{p,q}}$$
 * $$E_1 = \bigoplus_{p,q\in\mathbf{Z}} E_1^{p,q} = \bigoplus_{p,q\in\mathbf{Z}} \frac{\bar{Z}_1^{p,q}}{\bar{B}_1^{p,q}}$$

नोटिस जो $$\bar{Z}_1^{p,q}$$ और $$\bar{B}_1^{p,q}$$ छवियों के रूप में लिखा जा सकता है $$E_0^{p,q}$$ का
 * $$Z_1^{p,q} = \ker d_0^{p,q} : F^p C^{p+q} \rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+1} C^{p+q+1}$$
 * $$B_1^{p,q} = (\mbox{im } d_0^{p,q-1} : F^p C^{p+q-1} \rightarrow C^{p+q}) \cap F^p C^{p+q}$$

और फिर हमारे पास है


 * $$E_1^{p,q} = \frac{Z_1^{p,q}}{B_1^{p,q} + Z_0^{p+1,q-1}}.$$

$$Z_1^{p,q}$$ वास्तव में वे तत्व हैं जो अंतर निस्पंदन में एक स्तर ऊपर धकेलते हैं, और $$B_1^{p,q}$$ वास्तव में उन तत्वों की छवि हैं जो अंतर निस्पंदन में शून्य स्तर ऊपर धकेलते हैं। इससे पता चलता है कि हमें चुनना चाहिए $$Z_r^{p,q}$$ तत्व होने के लिए जो अंतर निस्पंदन में r स्तरों को ऊपर धकेलता है और $$B_r^{p,q}$$ उन तत्वों की छवि बनने के लिए जो अंतर निस्पंदन में r-1 स्तर को ऊपर धकेलता है। दूसरे शब्दों में, वर्णक्रमीय अनुक्रम को संतुष्ट करना चाहिए


 * $$Z_r^{p,q} = \ker d_0^{p,q} : F^p C^{p+q} \rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r} C^{p+q+1}$$
 * $$B_r^{p,q} = (\mbox{im } d_0^{p-r+1,q+r-2} : F^{p-r+1} C^{p+q-1} \rightarrow C^{p+q}) \cap F^p C^{p+q}$$
 * $$E_r^{p,q} = \frac{Z_r^{p,q}}{B_r^{p,q} + Z_{r-1}^{p+1,q-1}}$$

और हमें रिश्ता रखना चाहिए


 * $$B_r^{p,q} = d_0^{p,q}(Z_{r-1}^{p-r+1,q+r-2}).$$

इसे समझने के लिए, हमें एक अंतर खोजना होगा $$ d_r $$ सभी के ऊपर $$ E_r $$ और सत्यापित करें कि यह समरूपी समरूपता की ओर ले जाता है $$ E_{r+1} $$. अंतर
 * $$d_r^{p,q} : E_r^{p,q} \rightarrow E_r^{p+r,q-r+1}$$

मूल अंतर को प्रतिबंधित करके परिभाषित किया गया है $$ d $$ पर परिभाषित $$C^{p+q}$$ विषय के लिए $$Z_r^{p,q}$$. यह जाँचना सीधा है कि की समरूपता $$ E_r $$ इस अंतर के संबंध में है $$ E_{r+1} $$, तो यह एक वर्णक्रमीय अनुक्रम देता है। दुर्भाग्य से, अंतर बहुत स्पष्ट नहीं है। वर्णक्रमीय अनुक्रम को सफलतापूर्वक लागू करने के लिए अंतर निर्धारित करना या उनके आसपास काम करने के तरीके खोजना मुख्य चुनौतियों में से एक है।

इस पद्धति से निर्मित स्पेक्ट्रल अनुक्रम

 * हॉज-डे राम वर्णक्रमीय अनुक्रम
 * एक दोहरे परिसर का वर्णक्रमीय क्रम
 * मिश्रित हॉज संरचनाओं के निर्माण के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है

एक दोहरे परिसर का वर्णक्रमीय अनुक्रम
एक अन्य सामान्य वर्णक्रमीय अनुक्रम एक दोहरे परिसर का वर्णक्रमीय क्रम है। एक डबल कॉम्प्लेक्स वस्तुओं का एक संग्रह है '' सीi,jदो अंतरों के साथ सभी पूर्णांकों i और j के लिए, d मैं और डी द्वितीय । डी I i, और d को घटाने के लिए माना जाता है II को घटता हुआ माना जाता है। इसके अलावा, हम मानते हैं कि अंतर एंटीकोम्यूट है, ताकि d मैं डी II + डी II डी I = 0. हमारा लक्ष्य पुनरावृत्त समरूपताओं की तुलना करना है $$H^I_i(H^{II}_j(C_{\bullet,\bullet}))$$ और $$H^{II}_j(H^I_i(C_{\bullet,\bullet}))$$. हम अपने डबल कॉम्प्लेक्स को दो अलग-अलग तरीकों से फ़िल्टर करके ऐसा करेंगे। यहां हमारे फ़िल्टर हैं:


 * $$(C_{i,j}^I)_p = \begin{cases}

0 & \text{if } i < p \\ C_{i,j} & \text{if } i \ge p \end{cases}$$
 * $$(C_{i,j}^{II})_p = \begin{cases}

0 & \text{if } j < p \\ C_{i,j} & \text{if } j \ge p \end{cases}$$ स्पेक्ट्रल अनुक्रम प्राप्त करने के लिए, हम पिछले उदाहरण को कम कर देंगे। हम कुल जटिल T(C) को परिभाषित करते हैं•,•) वह सम्मिश्र हो जिसका n ' वाँ पद है $$\bigoplus_{i+j=n} C_{i,j}$$ और जिसका अवकलन d है मैं + डी द्वितीय । यह एक जटिल है क्योंकि डी मैं और डी II एंटीकम्यूटिंग डिफरेंशियल हैं। C पर दो फिल्ट्रेशनi,jकुल परिसर पर दो फ़िल्टरिंग दें:


 * $$T_n(C_{\bullet,\bullet})^I_p = \bigoplus_{i+j=n \atop i > p-1} C_{i,j}$$
 * $$T_n(C_{\bullet,\bullet})^{II}_p = \bigoplus_{i+j=n \atop j > p-1} C_{i,j}$$

यह दिखाने के लिए कि ये वर्णक्रमीय अनुक्रम पुनरावृत्त समरूपता के बारे में जानकारी देते हैं, हम ई0, ई 1, और ई2 T(C) पर I फिल्ट्रेशन की शर्तें•,•). ई0 शब्द स्पष्ट है:


 * $${}^IE^0_{p,q} =

T_n(C_{\bullet,\bullet})^I_p / T_n(C_{\bullet,\bullet})^I_{p+1} = \bigoplus_{i+j=n \atop i > p-1} C_{i,j} \Big/ \bigoplus_{i+j=n \atop i > p} C_{i,j} = C_{p,q},$$ कहाँ.

ई खोजने के लिए1 पद, हमें d निर्धारित करने की आवश्यकता है मैं + डी ई पर द्वितीय 0। ध्यान दें कि n के संबंध में अंतर की डिग्री -1 होनी चाहिए, इसलिए हमें एक नक्शा मिलता है


 * $$d^I_{p,q} + d^{II}_{p,q} :

T_n(C_{\bullet,\bullet})^I_p / T_n(C_{\bullet,\bullet})^I_{p+1} = C_{p,q} \rightarrow T_{n-1}(C_{\bullet,\bullet})^I_p / T_{n-1}(C_{\bullet,\bullet})^I_{p+1} = C_{p,q-1}$$ नतीजतन, ई पर अंतर0 मैप सी हैp,q → सीp,q&minus;1 डी द्वारा प्रेरित मैं + डी द्वितीय । लेकिन डी मैं इस तरह के नक्शे को प्रेरित करने के लिए गलत डिग्री है, इसलिए डी I E पर शून्य होना चाहिए0। इसका मतलब है कि अंतर बिल्कुल डी है II, तो हमें मिलता है


 * $${}^IE^1_{p,q} = H^{II}_q(C_{p,\bullet}).$$

ई खोजने के लिए2, हमें निर्धारित करने की आवश्यकता है


 * $$d^I_{p,q} + d^{II}_{p,q} :

H^{II}_q(C_{p,\bullet}) \rightarrow H^{II}_q(C_{p+1,\bullet})$$ क्योंकि ई1 d के संबंध में सटीक समरूपता थी द्वितीय, डी II E पर शून्य है 1। नतीजतन, हम प्राप्त करते हैं


 * $${}^IE^2_{p,q} = H^I_p(H^{II}_q(C_{\bullet,\bullet})).$$

अन्य निस्पंदन का उपयोग करने से हमें समान ई के साथ एक अलग वर्णक्रमीय क्रम मिलता है2 अवधि:


 * $${}^{II}E^2_{p,q} = H^{II}_q(H^{I}_p(C_{\bullet,\bullet})).$$

इन दो वर्णक्रमीय अनुक्रमों के बीच संबंध खोजने के लिए क्या बचा है। यह पता चलेगा कि जैसे-जैसे r बढ़ता है, उपयोगी तुलना की अनुमति देने के लिए दो क्रम समान हो जाएंगे।

चक्रों और सीमाओं के निस्पंदन के रूप में व्याख्या
चलो ईr एक स्पेक्ट्रल अनुक्रम हो, आर = 1 से शुरू हो। फिर सबोबजेक्ट्स का अनुक्रम होता है
 * $$0 = B_0 \subset B_1 \subset B_{2} \subset \dots \subset B_r \subset \dots \subset Z_r \subset \dots \subset Z_2 \subset Z_1 \subset Z_0 = E_1$$

ऐसा है कि $$E_r \simeq Z_{r-1}/B_{r-1}$$; वास्तव में, पुनरावर्ती रूप से हम करते हैं $$Z_0 = E_1, B_0 = 0$$ और जाने $$Z_r, B_r$$ ऐसा हो कि $$Z_r/B_{r-1}, B_r/B_{r-1}$$ कर्नेल और की छवि हैं $$E_r \overset{d_r}\to E_r.$$ हमने फिर जाने दिया $$Z_{\infty} = \cap_r Z_r, B_{\infty} = \cup_r B_r$$ और
 * $$E_{\infty} = Z_{\infty}/B_{\infty}$$;

इसे सीमित अवधि कहा जाता है। (बेशक, ऐसे $$E_{\infty}$$ श्रेणी में मौजूद होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह आमतौर पर एक गैर-मुद्दा है क्योंकि उदाहरण के लिए मॉड्यूल की श्रेणी में ऐसी सीमाएं मौजूद हैं या चूंकि व्यवहार में एक वर्णक्रमीय अनुक्रम पतित होने की प्रवृत्ति के साथ काम करता है; ऊपर दिए गए क्रम में केवल सूक्ष्म रूप से कई समावेशन हैं।)

अभिसरण की शर्तें
हम कहते हैं कि यदि कोई श्रेणीबद्ध वस्तु है तो एक वर्णक्रमीय अनुक्रम कमजोर रूप से अभिसरण करता है $$ H^{\bullet} $$ एक छानने के साथ $$ F^{\bullet} H^{n} $$ हरएक के लिए $$ n $$, और प्रत्येक के लिए $$ p $$ एक समरूपता मौजूद है $$ E_{\infty}^{p,q} \cong F^pH^{p+q}/F^{p+1}H^{p+q} $$. यह अभिसरण करता है $$ H^{\bullet} $$ अगर छानना $$ F^{\bullet} H^{n} $$ हौसडॉर्फ है, यानी $$ \cap_{p}F^pC^{\bullet}=0 $$. हम लिखते हैं
 * $$E_r^{p,q} \Rightarrow_p E_\infty^n$$

इसका अर्थ यह है कि जब भी p + q = n, $$E_r^{p,q}$$ में विलीन हो जाता है $$E_\infty^{p,q}$$. हम कहते हैं कि एक वर्णक्रमीय अनुक्रम $$E_r^{p,q}$$ के पास है $$E_\infty^{p,q}$$ यदि प्रत्येक के लिए $$ p,q $$ वहाँ है $$ r(p,q) $$ ऐसा कि सभी के लिए $$r \geq r(p,q)$$, $$E_r^{p,q} = E_{r(p,q)}^{p,q}$$. तब $$E_{r(p,q)}^{p,q} = E_\infty^{p,q}$$ सीमित पद है। वर्णक्रमीय क्रम नियमित या पतित होता है $$ r_0 $$ यदि अंतर $$d_r^{p,q}$$ सभी के लिए शून्य हैं $$ r \geq r_0 $$. अगर विशेष रूप से है $$ r_0 \geq 2 $$, ऐसा है कि $$ r_0^{th} $$ शीट एक पंक्ति या एक स्तंभ पर केंद्रित होती है, तो हम कहते हैं कि यह ढह जाती है। प्रतीकों में हम लिखते हैं:


 * $$E_r^{p,q} \Rightarrow_p E_\infty^{p,q}$$

पी निस्पंदन सूचकांक को इंगित करता है। लिखना बहुत आम बात है $$E_2^{p,q}$$ एब्यूमेंट के बायीं ओर का शब्द, क्योंकि यह अधिकांश वर्णक्रमीय अनुक्रमों का सबसे उपयोगी शब्द है। एक अनफ़िल्टर्ड चेन कॉम्प्लेक्स का स्पेक्ट्रल अनुक्रम पहली शीट पर खराब हो जाता है (पहला उदाहरण देखें): चूंकि ज़ीरोथ शीट के बाद कुछ भी नहीं होता है, लिमिटिंग शीट $$ E_{\infty} $$ वैसा ही है जैसा कि $$ E_1 $$.

वर्णक्रमीय अनुक्रम का पांच-अवधि का सटीक अनुक्रम कुछ निम्न-डिग्री शर्तों से संबंधित है और ई∞ शर्तें।

फ़िल्टर किए गए परिसर का वर्णक्रमीय अनुक्रम, जारी
ध्यान दें कि हमारे पास समावेशन की एक श्रृंखला है:


 * $$Z_0^{p,q} \supe Z_1^{p,q} \supe Z_2^{p,q}\supe\cdots\supe B_2^{p,q} \supe B_1^{p,q} \supe B_0^{p,q}$$

हम पूछ सकते हैं कि अगर हम परिभाषित करते हैं तो क्या होता है


 * $$Z_\infty^{p,q} = \bigcap_{r=0}^\infty Z_r^{p,q},$$
 * $$B_\infty^{p,q} = \bigcup_{r=0}^\infty B_r^{p,q},$$
 * $$E_\infty^{p,q} = \frac{Z_\infty^{p,q}}{B_\infty^{p,q}+Z_\infty^{p+1,q-1}}.$$

$$E_\infty^{p,q}$$ इस वर्णक्रमीय अनुक्रम के निरस्तीकरण के लिए एक स्वाभाविक उम्मीदवार है। अभिसरण स्वत: नहीं होता है, लेकिन कई मामलों में होता है। विशेष रूप से, यदि निस्पंदन परिमित है और इसमें ठीक r गैर-तुच्छ चरण होते हैं, तो वर्णक्रमीय क्रम rth शीट के बाद पतित हो जाता है। अभिसरण तब भी होता है जब कॉम्प्लेक्स और फिल्ट्रेशन दोनों नीचे से बंधे होते हैं या दोनों ऊपर से बंधे होते हैं।

अधिक विस्तार से हमारे वर्णक्रमीय अनुक्रम के निरस्तीकरण का वर्णन करने के लिए, ध्यान दें कि हमारे पास सूत्र हैं:


 * $$Z_\infty^{p,q} = \bigcap_{r=0}^\infty Z_r^{p,q} = \bigcap_{r=0}^\infty \ker(F^p C^{p+q} \rightarrow C^{p+q+1}/F^{p+r} C^{p+q+1})$$
 * $$B_\infty^{p,q} = \bigcup_{r=0}^\infty B_r^{p,q} = \bigcup_{r=0}^\infty (\mbox{im } d^{p,q-r} : F^{p-r} C^{p+q-1} \rightarrow C^{p+q}) \cap F^p C^{p+q}$$

यह देखने के लिए कि इसका क्या तात्पर्य है $$Z_\infty^{p,q}$$ याद रखें कि हमने मान लिया था कि निस्पंदन अलग हो गया था। इसका तात्पर्य यह है कि जैसे-जैसे r बढ़ता है, गुठली सिकुड़ती जाती है, जब तक कि हमारे पास नहीं रह जाती $$Z_\infty^{p,q} = \ker(F^p C^{p+q} \rightarrow C^{p+q+1})$$. के लिए $$B_\infty^{p,q}$$, याद रखें कि हमने माना था कि फिल्ट्रेशन संपूर्ण था। इसका तात्पर्य यह है कि जैसे-जैसे r बढ़ता है, तब तक छवियां बढ़ती हैं जब तक हम पहुंच नहीं जाते $$B_\infty^{p,q} = \text{im }(C^{p+q-1} \rightarrow C^{p+q}) \cap F^p C^{p+q}$$. हम निष्कर्ष निकालते हैं


 * $$E_\infty^{p,q} = \mbox{gr}_p H^{p+q}(C^\bull)$$,

अर्थात्, वर्णक्रमीय अनुक्रम का निरसन, सी के (p+q)वें होमोलॉजी का pth श्रेणीबद्ध भाग है। यदि हमारा वर्णक्रमीय अनुक्रम अभिसरण करता है, तो हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:


 * $$E_r^{p,q} \Rightarrow_p H^{p+q}(C^\bull)$$

लंबे सटीक क्रम
फ़िल्टर किए गए परिसर के वर्णक्रमीय अनुक्रम का उपयोग करके, हम लंबे सटीक अनुक्रमों के अस्तित्व को प्राप्त कर सकते हैं। कोचेन कॉम्प्लेक्स 0 → ए का एक छोटा सटीक अनुक्रम चुनें• → बी• → सी• → 0, और पहले मानचित्र को f कहते हैं• : ए• → बी•. हमें होमोलॉजी ऑब्जेक्ट्स एच के प्राकृतिक मानचित्र मिलते हैंएन(ए•) → एचएन(बी•) → एचएन(सी•), और हम जानते हैं कि यह ठीक बीच में है। हम कनेक्टिंग होमोमोर्फिज्म को खोजने के लिए फ़िल्टर किए गए कॉम्प्लेक्स के स्पेक्ट्रल अनुक्रम का उपयोग करेंगे और यह साबित करने के लिए कि परिणामी अनुक्रम सटीक है। शुरू करने के लिए, हम बी फ़िल्टर करते हैं•:


 * $$F^0 B^n = B^n$$
 * $$F^1 B^n = A^n$$
 * $$F^2 B^n = 0$$

यह देता है:


 * $$E^{p,q}_0

= \frac{F^p B^{p+q}}{F^{p+1} B^{p+q}} = \begin{cases} 0 & \text{if } p < 0 \text{ or } p > 1 \\ C^q & \text{if } p = 0 \\ A^{q+1} & \text{if } p = 1 \end{cases}$$
 * $$E^{p,q}_1

= \begin{cases} 0 & \text{if } p < 0 \text{ or } p > 1 \\ H^q(C^\bull) & \text{if } p = 0 \\ H^{q+1}(A^\bull) & \text{if } p = 1 \end{cases}$$ डिफरेंशियल में बाइडिग्री (1, 0) है, इसलिए d0,q: एचक्ष(सी•) → एचक्यू+1(ए•). ये सांप लेम्मा से कनेक्टिंग होमोमोर्फिज्म हैं, और साथ में नक्शे ए• → बी• → सी•, वे एक क्रम देते हैं:


 * $$\cdots\rightarrow H^q(B^\bull) \rightarrow H^q(C^\bull) \rightarrow H^{q+1}(A^\bull) \rightarrow H^{q+1}(B^\bull) \rightarrow\cdots$$

यह दिखाना बाकी है कि यह क्रम ए और सी स्पॉट पर सटीक है। ध्यान दें कि यह वर्णक्रमीय क्रम E पर पतित होता है2 पद क्योंकि अवकलों का द्विपद (2, −1) होता है। नतीजतन, ई2 शब्द ई के समान है∞ अवधि:


 * $$E^{p,q}_2

\cong \text{gr}_p H^{p+q}(B^\bull) = \begin{cases} 0 & \text{if } p < 0 \text{ or } p > 1 \\ H^q(B^\bull)/H^q(A^\bull) & \text{if } p = 0 \\ \text{im } H^{q+1}f^\bull : H^{q+1}(A^\bull) \rightarrow H^{q+1}(B^\bull) &\text{if } p = 1 \end{cases}$$ लेकिन हमारे पास ई कोलाई का सीधा विवरण भी है2 ई की होमोलॉजी के रूप में शब्द1 अवधि। ये दो विवरण आइसोमॉर्फिक होने चाहिए:


 * $$ H^q(B^\bull)/H^q(A^\bull) \cong \ker d^1_{0,q} : H^q(C^\bull) \rightarrow H^{q+1}(A^\bull)$$
 * $$ \text{im } H^{q+1}f^\bull : H^{q+1}(A^\bull) \rightarrow H^{q+1}(B^\bull) \cong H^{q+1}(A^\bull) / (\mbox{im } d^1_{0,q} : H^q(C^\bull) \rightarrow H^{q+1}(A^\bull))$$

पूर्व सी स्थान पर सटीकता देता है, और बाद वाला ए स्थान पर सटीकता देता है।

एक दोहरे परिसर का वर्णक्रमीय अनुक्रम, जारी
फ़िल्टर्ड कॉम्प्लेक्स के लिए एबटमेंट का उपयोग करते हुए, हम पाते हैं कि:


 * $$H^I_p(H^{II}_q(C_{\bull,\bull})) \Rightarrow_p H^{p+q}(T(C_{\bull,\bull}))$$
 * $$H^{II}_q(H^I_p(C_{\bull,\bull})) \Rightarrow_q H^{p+q}(T(C_{\bull,\bull}))$$

सामान्य तौर पर, एच पर दो ग्रेडिंगपी+क्यू(टी(सी•,•)) अलग हैं। इसके बावजूद, इन दो स्पेक्ट्रल अनुक्रमों से उपयोगी जानकारी प्राप्त करना अभी भी संभव है।

Tor की क्रमविनिमेयता
आर को रिंग होने दें, एम को राइट आर-मॉड्यूल और एन को लेफ्ट आर-मॉड्यूल होने दें। याद रखें कि टेंसर उत्पाद के व्युत्पन्न फ़ंक्टर को टोर काम करता है के रूप में दर्शाया गया है। टॉर को इसके पहले तर्क के प्रक्षेपी संकल्प का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। हालाँकि, यह पता चला है $$\operatorname{Tor}_i(M,N) =\operatorname{Tor}_i(N,M)$$. जबकि यह वर्णक्रमीय अनुक्रम के बिना सत्यापित किया जा सकता है, यह वर्णक्रमीय अनुक्रमों के साथ बहुत आसान है।

अनुमानित संकल्प चुनें $$P_\bull$$ और $$Q_\bull$$ एम और एन की, क्रमशः। इन्हें ऐसे परिसरों के रूप में मानें जो क्रमशः डी और ई के अंतर वाले नकारात्मक डिग्री में गायब हो जाते हैं। हम एक डबल कॉम्प्लेक्स का निर्माण कर सकते हैं जिसकी शर्तें हैं $$C_{i,j} = P_i \otimes Q_j$$ और किसके अंतर हैं $$d \otimes 1$$ और $$(-1)^i(1 \otimes e)$$. (-1 का कारक इतना है कि अंतर एंटीकॉम्यूट है।) चूंकि प्रोजेक्टिव मॉड्यूल फ्लैट हैं, एक प्रोजेक्टिव मॉड्यूल के साथ टेंसर उत्पाद लेना होमोलॉजी लेने के साथ शुरू होता है, इसलिए हम प्राप्त करते हैं:


 * $$H^I_p(H^{II}_q(P_\bull \otimes Q_\bull)) = H^I_p(P_\bull \otimes H^{II}_q(Q_\bull))$$
 * $$H^{II}_q(H^I_p(P_\bull \otimes Q_\bull)) = H^{II}_q(H^I_p(P_\bull) \otimes Q_\bull)$$

चूंकि दो परिसर संकल्प हैं, उनकी होमोलॉजी डिग्री शून्य के बाहर गायब हो जाती है। डिग्री शून्य में, हम साथ रह गए हैं


 * $$H^I_p(P_\bull \otimes N) = \operatorname{Tor}_p(M,N)$$
 * $$H^{II}_q(M \otimes Q_\bull) = \operatorname{Tor}_q(N,M)$$

विशेष रूप से, $$E^2_{p,q}$$ लाइन q = 0 (I स्पेक्ट्रल अनुक्रम के लिए) और p = 0 (II स्पेक्ट्रल अनुक्रम के लिए) को छोड़कर शब्द गायब हो जाते हैं। इसका तात्पर्य यह है कि वर्णक्रमीय क्रम दूसरी शीट पर पतित हो जाता है, इसलिए ई∞ पद E के लिए तुल्याकारी हैं2 शर्तें:


 * $$\operatorname{Tor}_p(M,N) \cong E^\infty_p = H_p(T(C_{\bull,\bull}))$$
 * $$\operatorname{Tor}_q(N,M) \cong E^\infty_q = H_q(T(C_{\bull,\bull}))$$

अंत में, जब p और q बराबर होते हैं, तो दाएँ हाथ की दो भुजाएँ बराबर होती हैं, और Tor की क्रमविनिमेयता इस प्रकार होती है।

प्रथम-चतुर्थांश शीट
एक वर्णक्रमीय अनुक्रम पर विचार करें जहाँ $$E_r^{p,q}$$ सभी के लिए मिट जाता है $$ p $$ कुछ से कम $$ p_0 $$ और सभी के लिए $$ q $$ कुछ से कम $$ q_0 $$. अगर $$ p_0 $$ और $$ q_0 $$ शून्य के रूप में चुना जा सकता है, इसे प्रथम-चतुर्थांश वर्णक्रमीय अनुक्रम कहा जाता है। क्रम समाप्त हो जाता है क्योंकि $$ E_{r+i}^{p,q} = E_r^{p,q} $$ सभी के लिए रखता है $$ i\geq 0 $$ अगर $$ r>p $$ और $$ r>q+1 $$. इसे देखने के लिए, ध्यान दें कि माने गए मामलों के लिए या तो अंतर का डोमेन या कोडोमेन शून्य है। दृश्य शब्दों में, चादरें एक बढ़ती हुई आयत में स्थिर हो जाती हैं (ऊपर चित्र देखें)। हालाँकि, वर्णक्रमीय अनुक्रम को पतित होने की आवश्यकता नहीं है, क्योंकि अंतर मानचित्र सभी एक बार में शून्य नहीं हो सकते हैं। इसी प्रकार, वर्णक्रमीय क्रम भी अभिसरण करता है यदि $$E_r^{p,q}$$ सभी के लिए मिट जाता है $$ p $$ कुछ से बड़ा $$ p_0 $$ और सभी के लिए $$ q $$ कुछ से बड़ा $$ q_0 $$.

2 गैर-शून्य आसन्न कॉलम
होने देना $$E^r_{p, q}$$ एक सजातीय वर्णक्रमीय अनुक्रम हो जैसे कि $$E^2_{p, q} = 0$$ 0, 1 के अलावा सभी p के लिए। दृष्टिगत रूप से, यह वर्णक्रमीय अनुक्रम है $$E^2$$-पृष्ठ
 * $$\begin{matrix}

& \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \\ \cdots & 0 & E^2_{0,2} & E^2_{1,2} & 0 & \cdots \\ \cdots & 0 & E^2_{0,1} & E^2_{1,1} & 0 & \cdots \\ \cdots & 0 & E^2_{0,0} & E^2_{1,0} & 0 & \cdots \\ \cdots & 0 & E^2_{0,-1} & E^2_{1,-1} & 0 & \cdots \\ & \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \end{matrix}$$ दूसरे पृष्ठ पर अंतर की डिग्री (-2, 1) है, इसलिए वे फॉर्म के हैं
 * $$d^2_{p,q}:E^2_{p,q} \to E^2_{p-2,q+1}$$

ये मानचित्र सभी शून्य हैं क्योंकि वे हैं
 * $$d^2_{0,q}:E^2_{0,q} \to 0$$, $$d^2_{1,q}:E^2_{1,q} \to 0$$

इसलिए वर्णक्रमीय अनुक्रम पतित होता है: $$E^{\infty} = E^2$$. कहते हैं, यह अभिसरण करता है $$H_*$$ एक छानने के साथ
 * $$0 = F_{-1} H_n \subset F_0 H_n \subset \dots \subset F_n H_n = H_n$$

ऐसा है कि $$E^{\infty}_{p, q} = F_p H_{p+q}/F_{p-1} H_{p+q}$$. तब $$F_0 H_n = E^2_{0, n}$$, $$F_1 H_n / F_0 H_n = E^2_{1, n -1}$$, $$F_2 H_n / F_1 H_n = 0$$, $$F_3 H_n / F_2 H_n = 0$$, आदि। इस प्रकार, सटीक क्रम है:
 * $$0 \to E^2_{0, n} \to H_n \to E^2_{1, n - 1} \to 0$$.

अगला, चलो $$E^r_{p, q}$$ एक वर्णक्रमीय अनुक्रम हो जिसके दूसरे पृष्ठ में केवल दो पंक्तियाँ q = 0, 1 हों। यह दूसरे पृष्ठ पर पतित होने की आवश्यकता नहीं है, लेकिन यह अभी भी तीसरे पृष्ठ पर पतित होता है क्योंकि अंतर में डिग्री (-3, 2) होती है। टिप्पणी $$E^3_{p, 0} = \operatorname{ker} (d: E^2_{p, 0} \to E^2_{p - 2, 1})$$, क्योंकि भाजक शून्य है। इसी प्रकार, $$E^3_{p, 1} = \operatorname{coker}(d: E^2_{p+2, 0} \to E^2_{p, 1})$$. इस प्रकार,
 * $$0 \to E^{\infty}_{p, 0} \to E^2_{p, 0} \overset{d}\to E^2_{p-2, 1} \to E^{\infty}_{p-2, 1} \to 0$$.

अब, कहते हैं, वर्णक्रमीय अनुक्रम पिछले उदाहरण की तरह एक निस्पंदन एफ के साथ एच में परिवर्तित हो जाता है। तब से $$F_{p-2} H_{p} / F_{p-3} H_{p} = E^{\infty}_{p-2, 2} = 0$$, $$F_{p-3} H_p / F_{p-4} H_p = 0$$, आदि, हमारे पास है: $$0 \to E^{\infty}_{p - 1, 1} \to H_p \to E^{\infty}_{p, 0} \to 0$$. सब कुछ एक साथ रखकर, एक मिलता है:
 * $$\cdots \to H_{p+1} \to E^2_{p + 1, 0} \overset{d}\to E^2_{p - 1, 1} \to H_p \to E^2_{p, 0} \overset{d}\to E^2_{p - 2, 1} \to H_{p-1} \to \dots.$$

वांग अनुक्रम
पिछले खंड में की गई गणना सीधे तरीके से सामान्यीकरण करती है। एक क्षेत्र पर एक कंपन पर विचार करें:
 * $$F \overset{i}\to E \overset{p}\to S^n$$

एन के साथ कम से कम 2। सेर स्पेक्ट्रल अनुक्रम है:
 * $$E^2_{p, q} = H_p(S^n; H_q(F)) \Rightarrow H_{p+q}(E)$$;

यानी, $$E^{\infty}_{p, q} = F_p H_{p+q}(E)/F_{p-1} H_{p+q}(E)$$ कुछ छानने के साथ $$F_\bullet$$.

तब से $$H_p(S^n)$$ केवल शून्येतर होता है जब p शून्य या n होता है और उस स्थिति में 'Z' के बराबर होता है, हम देखते हैं $$E^2_{p, q}$$ केवल दो पंक्तियों से मिलकर बनता है $$p = 0,n$$, इसलिए $$E^2$$-पेज द्वारा दिया गया है
 * $$\begin{matrix}

& \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots  & \vdots & \vdots & \\ \cdots & 0 & E^2_{0,2} & 0 & \cdots & 0 & E^2_{n,2} & 0 & \cdots \\ \cdots & 0 & E^2_{0,1} & 0 & \cdots & 0 & E^2_{n,1} & 0 & \cdots \\ \cdots & 0 & E^2_{0,0} & 0 & \cdots & 0 & E^2_{n,0} & 0 & \cdots \\ \end{matrix}$$ इसके अलावा, चूंकि
 * $$E^2_{p, q} = H_p(S^n;H_q(F)) = H_q(F)$$

के लिए $$p = 0,n$$ सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय द्वारा, $$E^2$$ पेज जैसा दिखता है
 * $$\begin{matrix}

& \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots  & \vdots & \vdots & \\ \cdots & 0 & H_2(F) & 0 & \cdots & 0 & H_2(F) & 0 & \cdots \\ \cdots & 0 & H_1(F) & 0 & \cdots & 0 & H_1(F) & 0 & \cdots \\ \cdots & 0 & H_0(F) & 0 & \cdots & 0 & H_0(F) & 0 & \cdots \\ \end{matrix}$$ चूंकि केवल गैर-शून्य अंतर पर हैं $$E^n$$-पेज, द्वारा दिया गया
 * $$d^n_{n,q}:E^n_{n,q} \to E^n_{0,q+n-1}$$

जो है
 * $$d^n_{n,q}:H_q(F) \to H_{q+n-1}(F)$$

वर्णक्रमीय अनुक्रम अभिसरण करता है $$E^{n+1} = E^{\infty}$$. गणना करके $$E^{n+1}$$ हमें एक सटीक क्रम मिलता है
 * $$0 \to E^{\infty}_{n, q-n} \to E^n_{n, q-n} \overset{d}\to E^n_{0, q-1} \to E^{\infty}_{0, q-1} \to 0.$$

और होमोलॉजी समूहों का उपयोग करके लिखा गया है, यह है
 * $$0 \to E^{\infty}_{n, q-n} \to H_{q-n}(F) \overset{d}\to H_{q-1}(F) \to E^{\infty}_{0, q-1} \to 0.$$

दोनों क्या स्थापित करने के लिए $$E^\infty$$-शर्तें हैं, लिखो $$H = H(E)$$, और तबसे $$F_1 H_q/F_0 H_q = E^{\infty}_{1, q - 1} = 0$$, आदि, हमारे पास है: $$E^{\infty}_{n, q-n} = F_n H_q / F_0 H_q$$ और इस प्रकार, के बाद से $$F_n H_q = H_q$$,
 * $$0 \to E^{\infty}_{0, q} \to H_q \to E^{\infty}_{n, q - n} \to 0.$$

यह ठीक क्रम है
 * $$0 \to H_q(F) \to H_q(E) \to H_{q-n}(F)\to 0.$$

सभी गणनाओं को एक साथ रखकर, एक प्राप्त होता है:
 * $$\dots \to H_q(F) \overset{i_*}\to H_q(E) \to H_{q-n}(F) \overset{d}\to H_{q-1}(F) \overset{i_*}\to H_{q-1}(E) \to H_{q-n -1}(F) \to \dots$$

(ग्य्सिन अनुक्रम इसी तरह से प्राप्त किया जाता है।)

कम-डिग्री शर्तें
एक स्पष्ट सांकेतिक परिवर्तन के साथ, पिछले उदाहरणों में संगणना के प्रकार को कोहोमोलॉजिकल स्पेक्ट्रल अनुक्रम के लिए भी किया जा सकता है। होने देना $$E_r^{p, q}$$ घटते निस्पंदन के साथ H में परिवर्तित होने वाला प्रथम-चतुर्थांश वर्णक्रमीय क्रम हो
 * $$0 = F^{n+1} H^n \subset F^n H^n \subset \dots \subset F^0 H^n = H^n$$

ताकि $$E_{\infty}^{p,q} = F^p H^{p+q}/F^{p+1} H^{p+q}.$$ तब से $$E_2^{p, q}$$ शून्य है यदि p या q ऋणात्मक है, हमारे पास:
 * $$0 \to E^{0, 1}_{\infty} \to E^{0, 1}_2 \overset{d}\to E^{2, 0}_2 \to E^{2, 0}_{\infty} \to 0.$$

तब से $$E_{\infty}^{1, 0} = E_2^{1, 0}$$ उसी कारण से और तब से $$F^2 H^1 = 0,$$
 * $$0 \to E_2^{1, 0} \to H^1 \to E^{0, 1}_{\infty} \to 0$$.

तब से $$F^3 H^2 = 0$$, $$E^{2, 0}_{\infty} \subset H^2$$. अनुक्रमों को एक साथ जोड़कर, हम तथाकथित पांच-अवधि सटीक अनुक्रम प्राप्त करते हैं:
 * $$0 \to E^{1, 0}_2 \to H^1 \to E^{0, 1}_2 \overset{d}\to E^{2, 0}_2 \to H^2.$$

होमोलॉजिकल स्पेक्ट्रल अनुक्रम
होने देना $$E^r_{p, q}$$ एक वर्णक्रमीय अनुक्रम हो। अगर $$E^r_{p, q} = 0$$ प्रत्येक q < 0 के लिए, तो यह होना चाहिए: r ≥ 2 के लिए,
 * $$E^{r+1}_{p, 0} = \operatorname{ker}(d: E^r_{p, 0} \to E^r_{p-r, r-1})$$

क्योंकि भाजक शून्य है। इसलिए, मोनोमोर्फिज़्म का एक क्रम है:
 * $$E^{r}_{p, 0} \to E^{r-1}_{p, 0} \to \dots \to E^3_{p, 0} \to E^2_{p, 0}$$.

उन्हें किनारे के नक्शे कहा जाता है। इसी प्रकार यदि $$E^r_{p, q} = 0$$ प्रत्येक पी <0 के लिए, फिर एपिमोर्फिज्म का एक क्रम होता है (जिसे एज मैप भी कहा जाता है):
 * $$E^2_{0, q} \to E^3_{0, q} \to \dots \to E^{r-1}_{0, q} \to E^r_{0, q}$$.

अपराध मानचित्र आंशिक रूप से परिभाषित मानचित्र है (अधिक सटीक, एक योजक संबंध)
 * $$\tau: E^2_{p, 0} \to E^2_{0, p - 1}$$

रचना के रूप में दिया $$E^2_{p, 0} \to E^p_{p, 0} \overset{d}\to E^p_{0, p-1} \to E^2_{0, p - 1}$$, पहला और आखिरी नक्शा किनारे के नक्शे के व्युत्क्रम हैं।

कोहोलॉजिकल स्पेक्ट्रल अनुक्रम
वर्णक्रमीय अनुक्रम के लिए $$E_r^{p, q}$$ कोहोलॉजिकल प्रकार के, अनुरूप कथन धारण करते हैं। अगर $$E_r^{p, q} = 0$$ प्रत्येक q < 0 के लिए, फिर एपिमोर्फिज्म का एक क्रम होता है
 * $$E_{2}^{p, 0} \to E_{3}^{p, 0} \to \dots \to E_{r-1}^{p, 0} \to E_r^{p, 0}$$.

और अगर $$E_r^{p, q} = 0$$ प्रत्येक p < 0 के लिए, मोनोमोर्फिज्म का एक क्रम होता है:
 * $$E_{r}^{0, q} \to E_{r-1}^{0, q} \to \dots \to E_{3}^{0, q} \to E_2^{0, q}$$.

अपराध जरूरी अच्छी तरह से परिभाषित नक्शा नहीं है:
 * $$\tau: E_2^{0, q-1} \to E_2^{q, 0}$$

प्रेरक $$d: E_q^{0, q-1} \to E_q^{q, 0}$$.

आवेदन
इन नक्शों का निर्धारण Serre वर्णक्रमीय अनुक्रम में कई अंतरों की गणना के लिए मौलिक है। उदाहरण के लिए अपराध मानचित्र अंतर को निर्धारित करता है
 * $$d_n:E_{n,0}^n \to E_{0,n-1}^n$$

होमोलॉजिकल वर्णक्रमीय अनुक्रम के लिए, इसलिए कंपन के लिए सेरे वर्णक्रमीय अनुक्रम पर $$F \to E \to B$$ नक्शा देता है
 * $$d_n:H_n(B) \to H_{n-1}(F)$$.

आगे के उदाहरण
कुछ उल्लेखनीय वर्णक्रमीय अनुक्रम हैं:

टोपोलॉजी और ज्यामिति

 * एक असाधारण कोहोलॉजी सिद्धांत का अतियाह-हिर्जेब्रुक स्पेक्ट्रल अनुक्रम
 * एक समूह के वर्गीकरण स्थान की समरूपता के लिए बार वर्णक्रमीय अनुक्रम।
 * बॉकस्टीन स्पेक्ट्रल अनुक्रम, मॉड पी गुणांक के साथ होमोलॉजी से संबंधित है और होमोलॉजी ने मॉड पी को कम कर दिया है।
 * कार्टन-लेरे स्पेक्ट्रल अनुक्रम भागफल स्थान के होमोलॉजी में परिवर्तित हो रहा है।
 * एक कंपन के ठहराना  के एकवचन कोहोलॉजी के लिए ईलेनबर्ग-मूर वर्णक्रमीय अनुक्रम
 * एक कंपन का गंभीर वर्णक्रमीय क्रम

होमोटॉपी सिद्धांत

 * स्थिर समरूपता सिद्धांत में ईएचपी वर्णक्रमीय अनुक्रम
 * एडम्स-नोविकोव स्पेक्ट्रल अनुक्रम, असाधारण कोहोलॉजी सिद्धांत के लिए एक सामान्यीकरण।
 * बैराट स्पेक्ट्रल अनुक्रम एक कोफिब्रेशन के प्रारंभिक स्थान के होमोटॉपी में परिवर्तित हो रहा है।
 * बाउसफ़ील्ड-कान स्पेक्ट्रल अनुक्रम एक फ़ैक्टर के होमोटॉपी कोलिमिट में परिवर्तित हो रहा है।
 * एडम्स-नोविकोव स्पेक्ट्रल अनुक्रम की प्रारंभिक शर्तों की गणना होमोटॉपी निश्चित बिंदु वर्णक्रमीय अनुक्रम
 * कोबर स्पेक्ट्रल अनुक्रम
 * ईएचपी स्पेक्ट्रल अनुक्रम क्षेत्रों के स्थिर होमोटोपी समूहों में परिवर्तित हो रहा है
 * फेडरर स्पेक्ट्रल अनुक्रम एक फ़ंक्शन स्पेस के होमोटॉपी समूहों में परिवर्तित हो रहा है।
 * होमोटॉपी फिक्स्ड फेडरर वर्णक्रमीय अनुक्रम
 * Hurewicz स्पेक्ट्रल अनुक्रम किसी स्थान की समरूपता की समरूपता की गणना के लिए।
 * मिलर वर्णक्रमीय अनुक्रम एक अंतरिक्ष के मॉड पी स्थिर होमोलॉजी में परिवर्तित हो रहा है।
 * मिल्नोर स्पेक्ट्रल अनुक्रम बार स्पेक्ट्रल अनुक्रम का दूसरा नाम है।
 * मूर स्पेक्ट्रल अनुक्रम बार स्पेक्ट्रल अनुक्रम का दूसरा नाम है।
 * एक साधारण समूह की होमोटॉपी की गणना के लिए क्विलन वर्णक्रमीय अनुक्रम
 * रोथेनबर्ग-स्टीनरोड स्पेक्ट्रल अनुक्रम बार स्पेक्ट्रल अनुक्रम का दूसरा नाम है।
 * वैन कम्पेन स्पेक्ट्रल अनुक्रम रिक्त स्थान की कील की होमोटॉपी की गणना के लिए।

बीजगणित

 * चेक कोहोलॉजी से शीफ कोहोलॉजी तक चेक-टू-डेराइव्ड फंक्शनल स्पेक्ट्रल सीक्वेंस।
 * मॉड्यूल के टोर और एक्सटी समूहों की गणना के लिए रिंग स्पेक्ट्रल अनुक्रमों का परिवर्तन।
 * एक बीजगणित के चक्रीय समरूपता में अभिसरण कोन्स वर्णक्रमीय अनुक्रम।
 * गेर्स्टन-विट स्पेक्ट्रल अनुक्रम
 * कोहोलॉजी शर्ट के लिए ग्रीन का स्पेक्ट्रल अनुक्रम
 * व्युत्पन्न फंक्टर बनाने के लिए ग्रोथेंडिक स्पेक्ट्रल अनुक्रम
 * हाइपरहोमोलॉजी की गणना के लिए हाइपरहोमोलॉजी वर्णक्रमीय अनुक्रम
 * अंतर बीजगणित के टेंसर उत्पाद के होमोलॉजी की गणना के लिए कुनेथ वर्णक्रमीय अनुक्रम।
 * लेरे स्पेक्ट्रल अनुक्रम एक शीफ के कोहोलॉजी में परिवर्तित हो रहा है।
 * स्थानीय-से-वैश्विक एक्सट स्पेक्ट्रल अनुक्रम
 * लिंडन-होच्स्चाइल्ड-सेरे स्पेक्ट्रल सीक्वेंस इन समूह कोहोलॉजी |ग्रुप (को)होमोलॉजी
 * एक बीजगणित के Tor या Ext समूहों की गणना के लिए मई वर्णक्रमीय अनुक्रम
 * एक विभेदक फ़िल्टर समूह का वर्णक्रमीय क्रम: इस लेख में वर्णित है।
 * एक दोहरे परिसर का वर्णक्रमीय क्रम: इस लेख में वर्णित है।
 * एक सटीक युगल का वर्णक्रमीय क्रम: इस लेख में वर्णित है।
 * सार्वभौमिक गुणांक वर्णक्रमीय अनुक्रम
 * वैन एस्ट स्पेक्ट्रल अनुक्रम सापेक्ष लाई बीजगणित कोहोलॉजी में परिवर्तित हो रहा है।

जटिल और बीजगणितीय ज्यामिति

 * एकवचन सिद्धांत में अर्नोल्ड का वर्णक्रमीय क्रम।
 * बलोच-लिक्टेनबौम स्पेक्ट्रल अनुक्रम एक क्षेत्र के बीजगणितीय के-सिद्धांत में परिवर्तित हो रहा है।
 * Frölicher स्पेक्ट्रल अनुक्रम Dolbeault cohomology से शुरू होता है और विभिन्न प्रकार के बीजगणितीय de Rham cohomology में परिवर्तित होता है।
 * हॉज-डी राम स्पेक्ट्रल अनुक्रम विभिन्न प्रकार के बीजगणितीय डी राम कोहोलॉजी में परिवर्तित हो रहा है।
 * मोटिविक-टू-के-थ्योरी स्पेक्ट्रल सीक्वेंस|मोटिविक-टू-के-थ्योरी स्पेक्ट्रल सीक्वेंस