तरंगिका परिवर्तन



गणित में, एक तरंगिका श्रृंखला एक तरंगिका द्वारा उत्पन्न एक निश्चित ऑर्थोनॉर्मल श्रृंखला (गणित) द्वारा एक वर्ग-अभिन्न (वास्तविक संख्या- या जटिल संख्या-मूल्यवान) फ़ंक्शन (गणित) का प्रतिनिधित्व करती है। यह लेख ऑर्थोनॉर्मल छोटा लहर  और इंटीग्रल वेवलेट ट्रांसफॉर्म की औपचारिक, गणितीय परिभाषा प्रदान करता है।

परिभाषा
एक समारोह $$ \psi \,\in\, L^2(\mathbb{R})$$ इसे ऑर्थोनॉर्मल वेवलेट कहा जाता है यदि इसका उपयोग हिल्बर्ट स्थान #ऑर्थोनॉर्मल आधारों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जो कि हिल्बर्ट स्पेस के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार है $$ L^2\left(\mathbb{R}\right)$$ वर्ग-अभिन्न फ़ंक्शन फ़ंक्शंस का।

हिल्बर्ट आधार का निर्माण कार्यों के परिवार के रूप में किया गया है $$ \{\psi_{jk}:\, j,\, k \,\in\, \Z\}$$ डायडिक परिवर्तन ट्रांसलेशन (ज्यामिति) और फैलाव (ऑपरेटर सिद्धांत) के माध्यम से $$ \psi\,$$,
 * $$\psi_{jk}(x) = 2^\frac{j}{2} \psi\left(2^jx - k\right)\,$$

पूर्णांकों के लिए $$ j,\, k \,\in\, \mathbb{Z}$$.

यदि मानक आंतरिक उत्पाद के अंतर्गत $$ L^2\left(\mathbb{R}\right)$$,
 * $$\langle f, g\rangle = \int_{-\infty}^\infty f(x)\overline{g(x)}dx$$

यह परिवार ऑर्थोनॉर्मल है, यह एक ऑर्थोनॉर्मल प्रणाली है:
 * $$\begin{align}

\langle\psi_{jk},\psi_{lm}\rangle &= \int_{-\infty}^\infty \psi_{jk}(x)\overline{\psi_{lm}(x)}dx \\ &=\delta_{jl}\delta_{km} \end{align}$$ कहाँ $$ \delta_{jl}\,$$ क्रोनकर डेल्टा है।

प्रत्येक कार्य से पूर्णता संतुष्ट होती है $$ f \,\in\, L^2\left(\mathbb{R}\right)$$ के आधार पर विस्तारित किया जा सकता है
 * $$f(x) = \sum_{j, k=-\infty}^\infty c_{jk} \psi_{jk}(x)$$

श्रृंखला के अभिसरण के साथ मानक (गणित)#गुण समझा जाता है। एफ के इस तरह के प्रतिनिधित्व को 'वेवलेट श्रृंखला' के रूप में जाना जाता है। इसका तात्पर्य यह है कि एक ऑर्थोनॉर्मल वेवलेट दोहरी वेवलेट है|स्व-दोहरी है।

'इंटीग्रल वेवलेट ट्रांसफॉर्म' को अभिन्न परिवर्तन  के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\left[W_\psi f\right](a, b) = \frac{1}{\sqrt{|a|}} \int_{-\infty}^\infty \overline{\psi\left(\frac{x-b}{a}\right)}f(x)dx\,$$

तरंगिका गुणांक $$ c_{jk}$$ फिर द्वारा दिए जाते हैं


 * $$c_{jk} = \left[W_\psi f\right]\left(2^{-j}, k2^{-j}\right)$$

यहाँ, $$ a = 2^{-j}$$ बाइनरी फैलाव या डायडिक फैलाव कहा जाता है, और $$ b = k2^{-j}$$ बाइनरी या डायडिक स्थिति है।

सिद्धांत
तरंगिका परिवर्तन का मूल विचार यह है कि परिवर्तन को केवल समय विस्तार में परिवर्तन की अनुमति देनी चाहिए, लेकिन आकार में नहीं। इसे इसके लिए अनुमति देने वाले उपयुक्त आधार कार्यों को चुनकर हासिल किया जाता है। समय विस्तार में परिवर्तन आधार फ़ंक्शन की संगत विश्लेषण आवृत्ति के अनुरूप होने की उम्मीद है। अनिश्चितता सिद्धांत के आधार पर#सिग्नल प्रोसेसिंग का सिग्नल प्रोसेसिंग,


 * $$\Delta t \Delta \omega \geq \frac{1}{2}$$

कहाँ $$ t $$ समय का प्रतिनिधित्व करता है और $$ \omega $$ कोणीय आवृत्ति ($$\omega=2 \pi f $$, कहाँ $$ f$$ सामान्य आवृत्ति है)

समय में आवश्यक रिज़ॉल्यूशन जितना अधिक होगा, आवृत्ति में रिज़ॉल्यूशन उतना ही कम होगा। विश्लेषण विंडो फ़ंक्शन का विस्तार जितना बड़ा चुना जाएगा, उसका मान उतना ही बड़ा होगा $$ \Delta t$$.

कब $$ \Delta t $$ बड़ी है,
 * 1) बुरे समय का समाधान
 * 2) अच्छा आवृत्ति संकल्प
 * 3) कम आवृत्ति, बड़े स्केलिंग कारक

कब $$ \Delta t $$ छोटा है
 * 1) शुभ समय संकल्प
 * 2) ख़राब फ़्रीक्वेंसी रिज़ॉल्यूशन
 * 3) उच्च आवृत्ति, छोटा स्केलिंग कारक

दूसरे शब्दों में, आधार कार्य करता है $$ \psi $$ किसी सिस्टम की आवेग प्रतिक्रिया के रूप में माना जा सकता है जिसके साथ कार्य होता है $$ x(t) $$ फ़िल्टर कर दिया गया है. परिवर्तित सिग्नल समय और आवृत्ति के बारे में जानकारी प्रदान करता है। इसलिए, वेवलेट-ट्रांसफॉर्मेशन में शॉर्ट-टाइम फूरियर रूपांतरणेशन के समान जानकारी होती है, लेकिन वेवलेट्स के अतिरिक्त विशेष गुणों के साथ, जो बेस फ़ंक्शन के उच्च विश्लेषण आवृत्तियों पर समय में रिज़ॉल्यूशन पर दिखाई देते हैं। फूरियर ट्रांसफॉर्म और वेवलेट ट्रांसफॉर्म के लिए आरोही आवृत्तियों पर समय रिज़ॉल्यूशन में अंतर नीचे दिखाया गया है। हालाँकि, ध्यान दें कि बढ़ती आवृत्तियों के लिए आवृत्ति रिज़ॉल्यूशन कम हो रहा है जबकि अस्थायी रिज़ॉल्यूशन बढ़ता है। फूरियर अनिश्चितता सिद्धांत का यह परिणाम चित्र में सही ढंग से प्रदर्शित नहीं किया गया है।

इससे पता चलता है कि उच्च आवृत्तियों के समय रिज़ॉल्यूशन में तरंगिका परिवर्तन अच्छा है, जबकि धीरे-धीरे बदलते कार्यों के लिए, आवृत्ति रिज़ॉल्यूशन उल्लेखनीय है।

एक अन्य उदाहरण: तीन सुपरपोज़्ड साइनसॉइडल संकेतों का विश्लेषण $$ y(t) \;=\; \sin(2 \pi f_0 t) \;+\; \sin(4 \pi f_0 t) \;+\; \sin(8 \pi f_0 t)$$ एसटीएफटी और वेवलेट-परिवर्तन के साथ।



तरंगिका संपीड़न
वेवलेट संपीड़न डेटा संपीड़न का एक रूप है जो छवि संपीड़न (कभी-कभी वीडियो संपीड़न और ऑडियो संपीड़न (डेटा)) के लिए भी उपयुक्त है। स्थिर छवियों के लिए उल्लेखनीय कार्यान्वयन JPEG 2000, DjVu और ECW (फ़ाइल प्रारूप), JPEG XS, इस cineform  और बीबीसी का डिराक (कोडेक) हैं। लक्ष्य कम्प्यूटर फाइल में छवि डेटा को यथासंभव कम जगह में संग्रहीत करना है। वेवलेट संपीड़न या तो दोषरहित डेटा संपीड़न या हानिपूर्ण डेटा संपीड़न हो सकता है। तरंगिका परिवर्तन का उपयोग करते हुए, तरंगिका संपीड़न विधियाँ क्षणिक (ध्वनिकी) का प्रतिनिधित्व करने के लिए पर्याप्त हैं, जैसे कि ऑडियो में टक्कर ध्वनियाँ, या दो-आयामी छवियों में उच्च-आवृत्ति घटक, उदाहरण के लिए रात के आकाश पर सितारों की एक छवि। इसका मतलब यह है कि डेटा सिग्नल के क्षणिक तत्वों को जानकारी की एक छोटी मात्रा द्वारा दर्शाया जा सकता है, यदि कोई अन्य परिवर्तन, जैसे कि अधिक व्यापक असतत कोसाइन परिवर्तन, का उपयोग किया गया होता, तो ऐसा होता।

इलेक्ट्रोकार्डियोग्राफ़ (ईसीजी) संकेतों के संपीड़न के लिए असतत तरंगिका परिवर्तन को सफलतापूर्वक लागू किया गया है इस कार्य में, क्रमिक हृदय चक्रों के संकेतों के संबंधित तरंगिका गुणांक के बीच उच्च सहसंबंध का उपयोग रैखिक भविष्यवाणी को नियोजित करके किया जाता है। वेवलेट संपीड़न सभी प्रकार के डेटा के लिए प्रभावी नहीं है। वेवलेट संपीड़न क्षणिक संकेतों को अच्छी तरह से संभालता है। लेकिन सुचारू, आवधिक संकेतों को अन्य तरीकों का उपयोग करके बेहतर ढंग से संपीड़ित किया जाता है, विशेष रूप से फूरियर-संबंधित परिवर्तनों की सूची के साथ आवृत्ति डोमेन में पारंपरिक हार्मोनिक विश्लेषण|फूरियर-संबंधित परिवर्तनों। क्षणिक और आवधिक दोनों विशेषताओं वाले डेटा को संपीड़ित करना हाइब्रिड तकनीकों के साथ किया जा सकता है जो पारंपरिक हार्मोनिक विश्लेषण के साथ तरंगिकाओं का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, वॉर्बिस ऑडियो कोडेक मुख्य रूप से ऑडियो को संपीड़ित करने के लिए संशोधित असतत कोसाइन ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करता है (जो आम तौर पर सुचारू और आवधिक होता है), हालांकि ट्रांसिएंट की बेहतर ध्वनि गुणवत्ता के लिए हाइब्रिड वेवलेट फ़िल्टर बैंक को जोड़ने की अनुमति देता है। व्यावहारिक मुद्दों पर चर्चा के लिए डायरी ऑफ़ एन x264 डेवलपर: द प्रॉब्लम्स विद वेवलेट्स (2010) देखें वीडियो संपीड़न के लिए वेवलेट्स का उपयोग करने वाली वर्तमान विधियाँ।

विधि
सबसे पहले एक तरंगिका परिवर्तन लागू किया जाता है। यह उतने ही गुणांक उत्पन्न करता है जितने छवि में पिक्सेल हैं (यानी, अभी तक कोई संपीड़न नहीं है क्योंकि यह केवल एक परिवर्तन है)। फिर इन गुणांकों को अधिक आसानी से संपीड़ित किया जा सकता है क्योंकि जानकारी सांख्यिकीय रूप से केवल कुछ गुणांकों में केंद्रित होती है। इस सिद्धांत को कोडिंग को रूपांतरित करें  कहा जाता है। उसके बाद, गुणांक परिमाणीकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) हैं और परिमाणित मान एन्ट्रापी एन्कोडिंग और/या रन-लेंथ एन्कोडिंग हैं।

वेवलेट संपीड़न के कुछ 1डी और 2डी अनुप्रयोग वेवलेट फ़ुटप्रिंट्स नामक तकनीक का उपयोग करते हैं।

छवि संपीड़न के लिए आवश्यकता
अधिकांश प्राकृतिक छवियों के लिए, कम आवृत्ति का स्पेक्ट्रम घनत्व अधिक होता है। परिणामस्वरूप, कम आवृत्ति सिग्नल (संदर्भ सिग्नल) की जानकारी आम तौर पर संरक्षित रहती है, जबकि विस्तृत सिग्नल की जानकारी खारिज कर दी जाती है। छवि संपीड़न और पुनर्निर्माण के परिप्रेक्ष्य से, एक तरंगिका को छवि संपीड़न करते समय निम्नलिखित मानदंडों को पूरा करना चाहिए:


 * अधिक मूल छवि को संदर्भ संकेत में बदलने में सक्षम होना।
 * संदर्भ संकेत के आधार पर उच्चतम निष्ठा पुनर्निर्माण।
 * अकेले संदर्भ संकेत से पुनर्निर्मित छवि में कलाकृतियाँ नहीं होनी चाहिए।

शिफ्ट विचरण और रिंगिंग व्यवहार के लिए आवश्यकता
वेवलेट छवि संपीड़न प्रणाली में फिल्टर और डिकिमेशन शामिल है, इसलिए इसे एक रैखिक शिफ्ट-वेरिएंट प्रणाली के रूप में वर्णित किया जा सकता है। एक विशिष्ट तरंगिका परिवर्तन आरेख नीचे प्रदर्शित किया गया है:

परिवर्तन प्रणाली में दो विश्लेषण फ़िल्टर (एक कम पास फ़िल्टर) शामिल हैं $$h_0(n)$$ और एक हाई पास फिल्टर $$h_1(n)$$), एक क्षय प्रक्रिया, एक प्रक्षेप प्रक्रिया, और दो संश्लेषण फिल्टर ($$g_0(n)$$ और $$g_1(n)$$). संपीड़न और पुनर्निर्माण प्रणाली में आम तौर पर कम आवृत्ति वाले घटक शामिल होते हैं, जो विश्लेषण फ़िल्टर है $$h_0(n)$$ छवि संपीड़न और संश्लेषण फ़िल्टर के लिए $$g_0(n)$$ पुनर्निर्माण के लिए. ऐसी प्रणाली का मूल्यांकन करने के लिए, हम एक आवेग इनपुट कर सकते हैं $$\delta(n-n_i)$$ और इसके पुनर्निर्माण का निरीक्षण करें $$h(n-n_i)$$; इष्टतम वेवलेट वे हैं जो न्यूनतम शिफ्ट विचरण और साइडलोब लाते हैं $$h(n-n_i)$$. हालांकि सख्त शिफ्ट विचरण के साथ वेवलेट यथार्थवादी नहीं है, केवल मामूली शिफ्ट विचरण के साथ वेवलेट का चयन करना संभव है। उदाहरण के लिए, हम दो फ़िल्टर के शिफ्ट विचरण की तुलना कर सकते हैं: दो फिल्टर की आवेग प्रतिक्रियाओं को देखकर, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि दूसरा फिल्टर इनपुट स्थान के प्रति कम संवेदनशील है (यानी यह कम शिफ्ट वेरिएंट है)।

छवि संपीड़न और पुनर्निर्माण के लिए एक और महत्वपूर्ण मुद्दा सिस्टम का दोलन व्यवहार है, जो पुनर्निर्मित छवि में गंभीर अवांछित कलाकृतियों को जन्म दे सकता है। इसे प्राप्त करने के लिए, वेवलेट फिल्टर में साइडलोब अनुपात के लिए एक बड़ा शिखर होना चाहिए।

अब तक हमने छवि संपीड़न प्रणाली के एक-आयामी परिवर्तन के बारे में चर्चा की है। इस मुद्दे को दो आयामों तक बढ़ाया जा सकता है, जबकि एक अधिक सामान्य शब्द - शिफ्टेबल मल्टीस्केल ट्रांसफॉर्म - प्रस्तावित है।

आवेग प्रतिक्रिया की व्युत्पत्ति
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, छवि संपीड़न/पुनर्निर्माण प्रणाली का मूल्यांकन करने के लिए आवेग प्रतिक्रिया का उपयोग किया जा सकता है।

इनपुट अनुक्रम के लिए $$x(n)=\delta(n-n_i)$$, संदर्भ संकेत $$r_1(n)$$ विघटन के एक स्तर के बाद है $$x(n)*h_0(n)$$ जबकि, दो के कारक से विनाश होता है $$h_0(n)$$ एक निम्न पास फ़िल्टर है. इसी प्रकार, अगला संदर्भ संकेत $$r_2(n)$$ द्वारा प्राप्त किया जाता है $$r_1(n)*h_0(n)$$ दो के कारक द्वारा विनाश से गुजरता है। अपघटन (और क्षय) के एल स्तर के बाद, प्रत्येक में से एक को बनाए रखकर विश्लेषण प्रतिक्रिया प्राप्त की जाती है $$2^L$$ नमूने: $$h_A^{(L)}(n,n_i)=f_{h0}^{(L)}(n-n_i/2^L)$$.

दूसरी ओर, सिग्नल x(n) को फिर से बनाने के लिए, हम एक संदर्भ सिग्नल पर विचार कर सकते हैं $$r_L(n)=\delta(n-n_j)$$. यदि विवरण संकेत देता है $$d_i(n)$$ के लिए शून्य के बराबर हैं $$1\leq i \leq L$$, फिर पिछले चरण में संदर्भ संकेत ($$L-1$$ मंच) है $$r_{L-1}(n)=g_0(n-2n_j)$$, जो प्रक्षेप द्वारा प्राप्त किया जाता है $$r_L(n)$$ और के साथ उलझ रहा है $$g_0(n)$$. इसी प्रकार, संदर्भ संकेत प्राप्त करने के लिए प्रक्रिया को दोहराया जाता है $$r(n)$$ मंच पर $$L-2, L-3, ...., 1$$. एल पुनरावृत्तियों के बाद, संश्लेषण आवेग प्रतिक्रिया की गणना की जाती है: $$h_s^{(L)}(n,n_i)=f_{g0}^{(L)}(n/2^L-n_j)$$, जो संदर्भ संकेत से संबंधित है $$r_L(n)$$ और पुनर्निर्मित संकेत.

समग्र एल स्तर विश्लेषण/संश्लेषण प्रणाली प्राप्त करने के लिए, विश्लेषण और संश्लेषण प्रतिक्रियाओं को निम्नानुसार संयोजित किया गया है:

$$h_{AS}^{(L)}(n,n_i)=\sum_{k} f_{h0}^{(L)}(k-n_i/2^L)f_{g0}^{(L)}(n/2^L-k)$$.

अंत में, पहले साइडलोब अनुपात का शिखर और समग्र आवेग प्रतिक्रिया का औसत दूसरा साइडलोब $$h_{AS}^{(L)}(n,n_i)$$ तरंगिका छवि संपीड़न प्रदर्शन का मूल्यांकन करने के लिए उपयोग किया जा सकता है।

फूरियर रूपांतरण और समय-आवृत्ति विश्लेषण के साथ तुलना
विशिष्ट आवृत्तियों की जांच करते समय गणना को कम करने में फूरियर परिवर्तनों की तुलना में वेवलेट्स के कुछ मामूली लाभ हैं। हालाँकि, वे शायद ही कभी अधिक संवेदनशील होते हैं, और वास्तव में, सामान्य मोरलेट वेवलेट गणितीय रूप से गॉसियन विंडो फ़ंक्शन का उपयोग करके कम समय के फूरियर रूपांतरण के समान है। अपवाद तब होता है जब किसी ज्ञात, गैर-साइनसॉइडल आकार (जैसे, दिल की धड़कन) के संकेतों की खोज की जाती है; उस स्थिति में, मिलान किए गए वेवलेट्स का उपयोग मानक एसटीएफटी/मॉरलेट विश्लेषण से बेहतर प्रदर्शन कर सकता है।

अन्य व्यावहारिक अनुप्रयोग
तरंगिका परिवर्तन हमें संकेतों की आवृत्ति और उन आवृत्तियों से जुड़े समय प्रदान कर सकता है, जिससे कई क्षेत्रों में इसके अनुप्रयोग के लिए यह बहुत सुविधाजनक हो जाता है। उदाहरण के लिए, चाल विश्लेषण के लिए त्वरण की सिग्नल प्रोसेसिंग, गलती का पता लगाने के लिए, कम शक्ति वाले पेसमेकर के डिजाइन के लिए और अल्ट्रा-वाइडबैंड (यूडब्ल्यूबी) वायरलेस संचार में भी।

1. Discretizing of the $c-\tau$ axis

Applied the following discretization of frequency and time:
 * $\begin{align}

c_n &= c_0^n \\ \tau_m &= m \cdot T \cdot c_0^n \end{align}$

Leading to wavelets of the form, the discrete formula for the basis wavelet:
 * $\Psi(k, n, m) = \frac{1}{\sqrt{c_0^n}}\cdot\Psi\left[\frac{k - m c_0^n}{c_0^n}T\right] = \frac{1}{\sqrt{c_0^n}}\cdot\Psi\left[\left(\frac{k}{c_0^n} - m\right)T\right]$

Such discrete wavelets can be used for the transformation:
 * $Y_{DW}(n, m) = \frac{1}{\sqrt{c_0^n}}\cdot\sum_{k=0}^{K - 1} y(k)\cdot\Psi\left[\left(\frac{k}{c_0^n} - m\right)T\right]$
 * Implementation via the FFT (fast Fourier transform)

As apparent from wavelet-transformation representation (shown below)
 * $Y_W(c, \tau) = \frac{1}{\sqrt{c}}\cdot\int_{-\infty}^{\infty} y(t) \cdot \Psi\left(\frac{t - \tau}{c}\right)\, dt $

where $ c $ is scaling factor, $ \tau $ represents time shift factor

and as already mentioned in this context, the wavelet-transformation corresponds to a convolution of a function $y(t) $ and a wavelet-function. A convolution can be implemented as a multiplication in the frequency domain. With this the following approach of implementation results into:
 * Fourier-transformation of signal $y(k) $ with the FFT
 * Selection of a discrete scaling factor $c_n$
 * Scaling of the wavelet-basis-function by this factor $c_n$ and subsequent FFT of this function
 * Multiplication with the transformed signal YFFT of the first step
 * Inverse transformation of the product into the time domain results in $Y_W(c, \tau)$ for different discrete values of $ \tau $ and a discrete value of $c_n$
 * Back to the second step, until all discrete scaling values for $c_n$are processed

There are many different types of wavelet transforms for specific purposes. See also a full list of wavelet-related transforms but the common ones are listed below: Mexican hat wavelet, Haar Wavelet, Daubechies wavelet, triangular wavelet.
 * undefined

समय-कारण तरंगिकाएँ
वास्तविक समय में अस्थायी संकेतों को संसाधित करने के लिए, यह आवश्यक है कि वेवलेट फिल्टर भविष्य से सिग्नल मूल्यों तक न पहुंचें और साथ ही न्यूनतम अस्थायी विलंबता प्राप्त की जा सके। समय-कारण तरंगिका निरूपण Szu et al द्वारा विकसित किया गया है और लिंडेबर्ग, बाद वाली विधि में मेमोरी-कुशल समय-पुनरावर्ती कार्यान्वयन भी शामिल है।

सिंक्रो-निचोड़ परिवर्तन
सिंक्रो-स्क्वीज़्ड ट्रांसफ़ॉर्म पारंपरिक तरंगिका ट्रांसफ़ॉर्म का उपयोग करके प्राप्त समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व के अस्थायी और आवृत्ति रिज़ॉल्यूशन को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ा सकता है।

यह भी देखें

 * सतत तरंगिका परिवर्तन
 * असतत तरंगिका परिवर्तन
 * जटिल तरंगिका परिवर्तन
 * लगातार-क्यू परिवर्तन
 * स्थिर तरंगिका परिवर्तन
 * दोहरी तरंगिका
 * न्यूनतम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
 * बहुरिज़ॉल्यूशन विश्लेषण
 * श्रीएसआईडी, लॉस अलामोस राष्ट्रीय प्रयोगशाला  (एलएएनएल) में मूल तरंगिका संपीड़न अनुसंधान से विकसित छवि प्रारूप
 * ECW (फ़ाइल प्रारूप), गति और प्रसंस्करण दक्षता के लिए डिज़ाइन किया गया एक तरंगिका-आधारित भू-स्थानिक छवि प्रारूप
 * JPEG 2000, एक वेवलेट-आधारित छवि संपीड़न मानक
 * डीजेवीयू प्रारूप छवि संपीड़न के लिए वेवलेट-आधारित IW44 एल्गोरिदम का उपयोग करता है
 * स्केलोग्राम, एक प्रकार का spectrogram  जो कम समय के फूरियर रूपांतरण के बजाय तरंगिकाओं का उपयोग करके उत्पन्न होता है
 * तरंगिका
 * हार तरंगिका
 * डौबेचिस वेवलेट
 * द्विपद QMF (डौबेचिस वेवलेट के रूप में भी जाना जाता है)
 * मोरलेट वेवलेट
 * गैबोर वेवलेट
 * चिरप्लेट परिवर्तन
 * समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व
 * एस परिवर्तन
 * पदानुक्रमित पेड़ों में विभाजन सेट करें
 * अल्पकालीन फूरियर रूपांतरण
 * बायोर्थोगोनल लगभग कॉइफलेट आधार, जो दर्शाता है कि छवि संपीड़न के लिए वेवलेट लगभग कॉइफलेट (लगभग ऑर्थोगोनल) भी हो सकता है।

बाहरी संबंध

 * Concise Introduction to Wavelets by René Puschinger
 * Concise Introduction to Wavelets by René Puschinger
 * Concise Introduction to Wavelets by René Puschinger