डिफियोमोर्फिज्म

गणित में, डिफेओमोर्फिज्म चिकनी प्रतिलिपि का समाकृतिकता है। यह व्युत्क्रम फ़ंक्शन गणित है जो अलग-अलग कई परतों मानचित्र करता है, जैसे कि फ़ंक्शन और इसके व्युत्क्रम अवकलनीय हैं।



परिभाषा
दो गुण दिए गए हैं $$M$$ और $$N$$, अवकलनीय फलन मानचित्र (गणित) $$f \colon M \rightarrow N $$ यदि आक्षेप और इसका व्युत्क्रम है, तो इसे डिफियोमोर्फिज्म कहा जाता है ।$$f^{-1} \colon N \rightarrow M$$ यह अवकलनीय भी है। यदि ये कार्य हैं $$r$$ समय लगातार अलग-अलग, $$f$$ ए कहा जाता है $$C^r$$-विरूपण है।

दो कई परतों $$M$$ और $$N$$ डिफियोमॉर्फिक हैं सामान्यतः निरूपित $$M \simeq N$$) यदि कोई भिन्नता है $$f$$ से $$M$$ को $$N$$. वे हैं $$C^r$$-डिफियोमॉर्फिक यदि कोई है $$ r $$ उनके बीच बार लगातार अलग-अलग विशेषण मानचित्र जिसका व्युत्क्रम भी है $$r$$ बार लगातार अलग-अलग है।

कई परतों के उप-समूचय का डिफियोमोर्फिज्म
उपसमुच्चय दिया $$X$$ कई परतों $$M$$ और उपसमुच्चय $$Y$$ कई परतों $$N$$, फंक्शन $$f:X\to Y$$ कहा जाता है कि यदि सभी के लिए चिकना हो $$p$$ में $$X$$ निकट है गणित $$U\subset M$$ का $$p$$ और चिकना कार्य $$g:U\to N$$ ऐसा है कि प्रतिबंध (गणित) सहमत हैं। $$g_{|U \cap X} = f_{|U \cap X}$$ ध्यान दें कि $$g$$ का विस्तार है $$f$$. कार्यक्रम $$f$$ यदि यह विशेषण चिकना है और इसका व्युत्क्रम चिकना है, तो इसे भिन्नता कहा जाता है।

स्थानीय विवरण
यदि $$U$$, $$V$$ जुड़ा हुआ स्थान का खुला समूह हैं $$\R^n$$ ऐसा है कि $$V$$ बस जुड़ा हुआ है, यौगिक मानचित्र $$f:U\to V$$ यदि यह उचित मानचित्र है और यदि बढ़ना (अंतर) है तो यह भिन्नता है $$Df_x:\R^n\to\R^n$$ प्रत्येक बिंदु पर विशेषण और इसलिए रैखिक समरूपता है $$x$$ में $$U$$. के लिए अति आवश्यक है $$V$$ फंक्शन के लिए बस जुड़े रहने के लिए $$f$$ विश्व स्तर पर उलटा होना मात्र स्थिति के अनुसार कि इसका व्युत्पन्न प्रत्येक बिंदु पर विशेषण मानचित्र हो। उदाहरण के लिए, जटिल संख्या वर्ग फ़ंक्शन की प्राप्ति पर विचार करें
 * हैडमार्ड-कैसिओपोली प्रमेय
 * पहली टिप्पणी
 * $$\begin{cases}

f : \R^2 \setminus \{(0,0)\} \to \R^2 \setminus \{(0,0)\} \\ (x,y)\mapsto(x^2-y^2,2xy). \end{cases}$$ फिर $$f$$ विशेषण है और यह संतुष्ट करता है
 * $$\det Df_x = 4(x^2+y^2) \neq 0.$$ इस प्रकार, यद्यपि $$Df_x$$ प्रत्येक बिंदु पर विशेषण है, $$f$$ व्युत्क्रमणीय नहीं है क्योंकि यह अंतःक्षेपी होने में विफल रहता है। उदाहरण$$f(1,0)=(1,0)=f(-1,0)$$).

बिंदु पर अंतर के बाद से अलग फंक्शन के लिए,
 * दूसरी टिप्पणी
 * $$Df_x : T_xU \to T_{f(x)}V$$ रैखिक मानचित्र है, इसमें अच्छी प्रकार से परिभाषित उलटा है, केवल यदि $$Df_x$$ आपत्ति है। आव्यूह (गणित) का प्रतिनिधित्व $$Df_x$$ है $$n\times n$$ प्रथम-क्रम आंशिक व्युत्पन्न का आव्यूह जिसकी प्रविष्टि में $$i$$-वीं पंक्ति और $$j$$-वाँ स्तंभ है $$\partial f_i / \partial x_j$$. यह तथाकथित जैकबियन आव्यूह अधिकांशतः स्पष्ट संगणनाओं के लिए उपयोग किया जाता है।

डिफियोमोर्फिज्म अनिवार्य रूप से ही आयाम के कई परतों के बीच होते हैं। कल्पना करना $$f$$ आयाम से जा रहा है $$n$$ आयाम के लिए $$k$$. यदि $$nk$$ तब $$Df_x$$ अन्तःक्षेपण कभी नहीं हो सकता। इसलिए, दोनों ही स्थितियों में $$Df_x$$ आपत्ति होने में विफल रहता है। यदि $$Df_x$$ पर आपत्ति है $$x$$ तब $$f$$ स्थानीय भिन्नता कहा जाता है चूंकि, निरंतरता से $$Df_y$$ भी सभी के लिए विशेषण $$y$$ और $$x$$बहुत समीप होगा। आयाम से सरल मानचित्र दिया $$n$$ आयाम के लिए $$k$$, यदि $$Df$$, स्थानीय रूप से, $$Df_x$$ विशेषण है, $$f$$ जलमग्न गणित, स्थानीय रूप से स्थानीय जलमग्न कहा जाता है और यदि $$Df$$ , स्थानीय रूप से $$Df_x$$ अन्तःक्षेपण है, $$f$$ विसर्जन (गणित) , स्थानीय रूप से, स्थानीय विसर्जन कहा जाता है। अलग-अलग आक्षेप जरूरी नहीं कि भिन्नता है। $$f(x)=x^3$$, उदाहरण के लिए से भिन्नता नहीं है, $$\R$$ क्योंकि इसका व्युत्पन्न 0 पर लुप्त हो जाता है और इसलिए इसका व्युत्क्रम 0 पर अवकलनीय नहीं है। यह होमियोमोर्फिज्म का उदाहरण है जो डिफियोमोर्फिज्म नहीं है। कब $$f$$ अवकल कई परतों के बीच मानचित्र है, डिफियोमॉर्फिक $$f$$ होमियोमॉर्फिक की तुलना में शक्तिशाली स्थिति है $$f$$. डिफियोमोर्फिज्म के लिए, $$f$$ और इसके व्युत्क्रम को अवकल कई परत अवकल फंक्शन होना चाहिए, होमियोमोर्फिज्म के लिए, $$f$$ और इसके व्युत्क्रम को केवल निरंतर कार्य होना चाहिए। प्रत्येक भिन्नता होमियोमोर्फिज्म है, किन्तु प्रत्येक होमियोमोर्फिज्म भिन्नता नहीं है।
 * तीसरी टिप्पणी
 * चौथी टिप्पणी
 * पांचवीं टिप्पणी
 * छठी टिप्पणी
 * सातवीं टिप्पणी

$$f:M\to N$$ डिफियोमोर्फिज्म कहा जाता है, यदि कई परत किन्तुविभेदक कई परतों में, यह उपरोक्त परिभाषा को पूरा करता है। अधिक सटीक का कोई भी आवरण चुनें $$M$$ संगत कई परत द्वारा अलग-अलग कई परत और इसके लिए भी ऐसा ही करें $$N$$. माना कि $$\phi$$ और $$\psi$$ क्रमशः चार्ट बनें, $$M$$ और $$N$$, साथ $$U$$ और $$V$$ के रूप में, क्रमशः, छवियां $$\phi$$ और $$\psi$$. वो मानचित्र $$\psi f\phi^{-1}:U\to V$$ ऊपर की परिभाषा के अनुसार, जब भी, भिन्नता है $$f(\phi^{-1}(U))\subseteq\psi^{-1}(V)$$.

उदाहरण
चूंकि किसी भी कई परत को स्थानीय रूप से पैरामिट्रीकृत किया जा सकता है, इसलिए हम कुछ स्पष्ट मानचित्रों पर विचार कर सकते हैं $$\R^2$$ में $$\R^2$$.


 * माना कि
 * $$f(x,y) = \left (x^2 + y^3, x^2 - y^3 \right ).$$ हम जैकबियन आव्यूह की गणना कर सकते हैं।
 * $$ J_f = \begin{pmatrix} 2x & 3y^2 \\ 2x & -3y^2 \end{pmatrix} . $$
 * जेकोबियन आव्यूह में शून्य सारणिक होता है यदि और केवल यदि $$xy=0$$. हम देखते है कि $$f$$ से केवल भिन्नता हो सकती है $$x$$-अक्ष और $$y$$- अक्ष। चूँकि, $$f$$ के बाद से विशेषण नहीं है $$f(x,y)=f(-x,y)$$, और इस प्रकार यह भिन्नता नहीं हो सकती।


 * माना कि
 * $$g(x,y) = \left (a_0 + a_{1,0}x + a_{0,1}y + \cdots, \ b_0 + b_{1,0}x + b_{0,1}y + \cdots \right )$$ : जहां $$a_{i,j}$$ और $$b_{i,j}$$ मनमाना वास्तविक संख्या एं हैं, और छोड़े गए शब्द x और y में कम से कम दो डिग्री के हैं। हम जैकबियन आव्यूह की गणना '0' पर कर सकते हैं।
 * $$ J_g(0,0) = \begin{pmatrix} a_{1,0} & a_{0,1} \\ b_{1,0} & b_{0,1} \end{pmatrix}. $$
 * हम देखते हैं कि जी '0' पर स्थानीय भिन्नता है, यदि और केवल यदि,
 * $$a_{1,0}b_{0,1} - a_{0,1}b_{1,0} \neq 0,$$
 * अर्थात जी के घटकों में रैखिक शब्द बहुपद के रूप में रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं।


 * माना कि
 * $$h(x,y) = \left (\sin(x^2 + y^2), \cos(x^2 + y^2) \right ).$$
 * हम जैकबियन आव्यूह की गणना कर सकते हैं।
 * $$ J_h = \begin{pmatrix} 2x\cos(x^2 + y^2) & 2y\cos(x^2 + y^2) \\ -2x\sin(x^2+y^2) & -2y\sin(x^2 + y^2) \end{pmatrix} . $$
 * जेकोबियन आव्यूह में हर जगह शून्य निर्धारक है! वास्तव में हम देखते हैं कि h का प्रतिबिम्ब इकाई वृत्त है।

सतह विकृति
यांत्रिकी में तनाव-प्रेरित परिवर्तन को विरूपण (यांत्रिकी) कहा जाता है और इसे भिन्नता द्वारा वर्णित किया जा सकता है। भिन्नता $$f:U\to V$$ दो सतह (सांस्थिति) के बीच $$U$$ और $$V$$ जैकबियन आव्यूह है $$Df$$ यह उलटा आव्यूह है। वास्तव में यह आवश्यक है कि $$p$$ में $$U$$, का निकट (सांस्थिति) है $$p$$ जिसमें जैकोबियन $$Df$$ उलटा आव्यूह | अ- वचन रहता है। मान लीजिए कि सतह के चार्ट में, $$f(x,y) = (u,v).$$यू का कुल अंतर है
 * $$du = \frac{\partial u}{\partial x} dx + \frac{\partial u}{\partial y} dy$$, और इसी प्रकार वी के लिए।

फिर छवि $$ (du, dv) = (dx, dy) Df $$ रैखिक परिवर्तन है, मूल को ठीक करना और विशेष प्रकार की जटिल संख्या की क्रिया के रूप में अभिव्यक्त करना। जब डीएक्स,-डीई को उस प्रकार की जटिल संख्या के रूप में भी व्याख्या किया जाता है, तो क्रिया उचित जटिल संख्या विमान में जटिल गुणन की होती है। जैसे, प्रकार का कोण, अतिशयोक्तिपूर्ण कोण , ढलान है जो इस प्रकार के गुणन में संरक्षित है। D f व्युत्क्रमणीय होने के कारण सम्मिश्र संख्या का प्रकार सतह पर समान होता है। परिणाम स्वरुप , सतहों के विरूपण और भिन्नता के संरक्षण उचित प्रकार के कोणों की 'अनुरूप संपत्ति' होती है।

डिफियोमोर्फिज्म समूह
माना कि $$M$$ अलग करने योग्य कई परतों हो जो कि दूसरी-गणनीय और हौसडॉर्फ स्थान है। डिफियोमोर्फिज्म समूह $$M$$ सभी का समूह (गणित) है $$C^r$$ के डिफियोमोर्फिज्म $$M$$ स्वयं के लिए द्वारा निरूपित $$\text{Diff}^r(M)$$, जब $$r$$ विदित है, $$\text{Diff}(M)$$. यह बड़ा समूह है, इस अर्थ में कि—प्रदान किया गया $$M$$ शून्य-आयामी नहीं है—यह स्थानीय रूप से सघन नहीं है।

सांस्थिति
डिफियोमोर्फिज्म समूह में दो प्राकृतिक संस्थानिक स्थान हैं। कमजोर और शक्तिशाली । जब कई परत सघन जगह होता है, तो ये दो सांस्थिति सहमत होती हैं। कमजोर सांस्थिति सदैव मेट्रिजेबल जगह होती है। जब कई परत सघन नहीं होता है, तो शक्तिशाली सांस्थिति अनंत पर कार्यों के व्यवहार को पकड़ लेती है और मेट्रिजेबल नहीं होती है। चूंकि, यह अभी भी बाहर की जगह है।

रिमेंनियन दशांश चालू कर रहा हूँ $$M$$ कमजोर सांस्थिति मेट्रिक्स के परिवार द्वारा प्रेरित सांस्थिति है।
 * $$d_K(f,g) = \sup\nolimits_{x\in K} d(f(x),g(x)) + \sum\nolimits_{1\le p\le r} \sup\nolimits_{x\in K} \left \|D^pf(x) - D^pg(x) \right \|$$

जैसा $$K$$ के सघन उप-समूचय में भिन्न होता है $$M$$. वास्तव में तब से $$M$$ है $$\sigma$$-सघन उप-समूचय का क्रम है $$K_n$$ जिसका संघ (समूह सिद्धांत) है $$M$$. फिर।
 * $$d(f,g) = \sum\nolimits_n 2^{-n}\frac{d_{K_n}(f,g)}{1+d_{K_n}(f,g)}.$$

अपनी कमजोर सांस्थिति से लैस डिफोमोर्फिज्म समूह स्थानीय रूप से स्थान के लिए होमोमोर्फिक है। $$C^r$$ वेक्टर क्षेत्र. के सघन उप-समूचय पर $$M$$, इसके बाद रिमेंनियन मेट्रिक को निश्चित किया जाता है $$M$$ और उस दशांश के लिए घातीय मानचित्र रीमैनियन ज्यामिति का उपयोग करना। यदि $$r$$ परिमित है और कई परतों सघन है, सदिश क्षेत्रों का स्थान बनच स्थान है। इसके अतिरिक्त, इस एटलस के चार्ट से दूसरे चार्ट में संक्रमण के मानचित्र सुचारू हैं, जो डिफियोमोर्फिज्म समूह को बनच कई परतों में सुचारू रूप से सही अनुवाद के साथ बनाते हैं, बाएं अनुवाद और व्युत्क्रम केवल निरंतर हैं। यदि $$r=\infty$$, सदिश क्षेत्रों का स्थान फ्रेचेट स्थान है। इसके अतिरिक्त, संक्रमण मानचित्र सुचारू हैं, डिफियोमोर्फिज्म समूह को फ्रेचेट कई परत में और यहां तक ​​कि सुविधाजनक वेक्टर जगह नियमित झूठ समूह में बनाते हैं। यदि कई परतों है $$\sigma$$-सघन और पूर्ण भिन्नता समूह दो सांस्थिति में से किसी के लिए स्थानीय रूप से अनुबंधित नहीं है। विविधता समूह प्राप्त करने के लिए अनंत के पास की पहचान से विचलन को नियंत्रित करके समूह को प्रतिबंधित करना होगा जो कि कई परतों है। देखो.

झूठ बीजगणित
डिफियोमोर्फिज्म समूह का झूठ बीजगणित $$M$$ सभी वेक्टर क्षेत्र सम्मलित हैं $$M$$ सदिश क्षेत्रों के देर ब्रैकेट से सुसज्जित है। कुछ सीमा तक औपचारिक रूप से इसे निर्देशांक में छोटा परिवर्तन करके देखा जाता है। $$x$$ स्थान में प्रत्येक बिंदु पर:
 * $$x^{\mu} \mapsto x^{\mu} + \varepsilon h^{\mu}(x)$$

अत: अतिसूक्ष्म जनित्र सदिश क्षेत्र हैं,
 * $$ L_{h} = h^{\mu}(x)\frac{\partial}{\partial x^\mu}.$$

उदाहरण

 * जब $$M=G$$ झूठ समूह स्वाभाविक समावेश है $$G$$ वाम-अनुवाद के माध्यम से अपने स्वयं के डिफोमोर्फिज्म समूह में। माना कि $$\text{Diff}(G)$$ के डिफोमोर्फिज्म समूह को निरूपित करें $$G$$, तब विभाजन होता है $$\text{Diff}(G)\simeq G\times\text{Diff}(G,e)$$, जहां $$\text{Diff}(G,e)$$ का उपसमूह है $$\text{Diff}(G)$$ जो समूह के पहचान तत्व को ठीक करता है।
 * यूक्लिडियन स्थान का डिफियोमोर्फिज्म समूह $$\R^n$$ इसमें दो घटक होते हैं, जिसमें अभिविन्यास-संरक्षण और अभिविन्यास-उलटा चला डिफियोमोर्फिज्म सम्मलित हैं। वास्तव में सामान्य रेखीय समूह उपसमूह का विरूपण पीछे हटना है। $$\text{Diff}(\R^n,0)$$ मानचित्र के नीचे उत्पत्ति को ठीक करने वाले डिफियोमोर्फिज्म $$f(x)\to f(tx)/t, t\in(0,1]$$. विशेष रूप से, सामान्य रेखीय समूह भी पूर्ण अंतररूपता समूह का विरूपण प्रतिगमन है।
 * अंकों के परिमित समूह (गणित) के लिए भिन्नता समूह केवल सममित समूह है। इसी प्रकार यदि $$M$$ क्या कई परतों है समूह विस्तार है $$0\to\text{Diff}_0(M)\to\text{Diff}(M)\to\Sigma(\pi_0(M))$$. यहां $$\text{Diff}_0(M)$$ का उपसमूह है $$\text{Diff}(M)$$ जो सभी घटकों को सुरक्षित रखता है $$M$$, और $$\Sigma(\pi_0(M))$$ समूह का क्रमपरिवर्तन समूह है $$\pi_0(M)$$ के घटक $$M$$। इसके अतिरिक्त मानचित्र की छवि $$\text{Diff}(M)\to\Sigma(\pi_0(M))$$ की आपत्ति है $$\pi_0(M)$$ जो डिफोमोर्फिज्म क्लासेस को संरक्षित करता है।

संक्रमणशीलता
जुड़े कई परतों के लिए $$M$$, डिफियोमोर्फिज्म ग्रुप ग्रुप ्शन (गणित) Group_action#Types_of_actions on $$M$$. अधिक आम तौर पर, भिन्नता समूह विन्यास स्थान (भौतिकी) पर सकर्मक रूप से कार्य करता है $$C_k M$$. यदि $$M$$ कम से कम द्वि-आयामी है, डिफोमोर्फिज्म समूह विन्यास स्थान (भौतिकी) पर सकर्मक रूप से कार्य करता है $$F_k M$$ और कार्रवाई चालू $$M$$ समूह क्रिया है (गणित)#कार्रवाई के प्रकार.

डिफियोमोर्फिज्म का विस्तार
1926 में टिबोर राडो ने पूछा कि क्या इकाई डिस्क के इकाई वृत्त के किसी भी होमोमोर्फिज्म और डिफियोमोर्फिज्म का पोइसन अभिन्न विवृत डिस्क पर डिफियोमोर्फिज्म उत्पन्न करता है। कुछ ही समय बाद हेलमथ केसर द्वारा सुंदर प्रमाण प्रदान किया गया। 1945 में, गुस्ताव चॉक्वेट, स्पष्ट रूप से इस परिणाम से अनभिज्ञ थे, उन्होंने पूरी प्रकार से अलग प्रमाण प्रस्तुत किया।

वृत्त का अभिविन्यास-संरक्षण डिफियोमोर्फिज्म समूह पथ के अनुसार जुड़ा हुआ है। इसे इस बात पर ध्यान देकर देखा जा सकता है कि इस प्रकार के किसी भी भिन्नता को भिन्नता के रूप में उठाया जा सकता है $$f$$ वास्तविक संतोषजनक $$[f(x+1)=f(x)+1]$$, यह स्थान उत्तल है और इसलिए पथ से जुड़ा हुआ है। पहचान के लिए चिकनी, अंततः निरंतर पथ वृत्त से विवृत इकाई डिस्क अलेक्जेंडर चाल का विशेष स्थिति के लिए भिन्नता का विस्तार करने का दूसरा और प्राथमिक विधि देता है। इसके अतिरिक्त, वृत्त के डिफोमोर्फिज्म ग्रुप में ऑर्थोगोनल समूह का होमोटॉपी-प्रकार $$O(2)$$ है।

उच्च-आयामी क्षेत्रों के डिफियोमोर्फिज्म के लिए संगत विस्तार समस्या $$S^{n-1}$$ 1950 और 1960 के दशक में रेने थॉम, जॉन मिल्नोर और स्टीफन गंध के उल्लेखनीय योगदान के साथ बहुत अधिक अध्ययन किया गया था। परिमित एबेलियन समूह द्वारा इस प्रकार के विस्तार में बाधा दी जाती है $$\Gamma_n$$,विदेशी क्षेत्र मुड़ क्षेत्र, गेंद के डिफियोमोर्फिज्म तक फैले वर्गों के उपसमूह द्वारा डिफेओमोर्फिज्म समूह के एबेलियन घटक समूह $$B^n$$ के भागफल समूह के रूप में परिभाषित किया गया।

जुड़ाव
कई परतों के लिए भिन्नता समूह सामान्यतः जुड़ा नहीं होता है। इसके घटक समूह को मानचित्रण वर्ग समूह कहा जाता है। आयाम 2 अर्थात सतह sसांस्थिति में मानचित्रण वर्ग समूह खिंचाव मोड़, मैक्स डेहन, डब्ल्यू.बी.आर. लिकोरिश, एलन हैचर द्वारा उत्पन्न सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह है। मैक्स डेहन और जैकब नीलसन (गणितज्ञ) ने दिखाया कि इसे सतह के मौलिक समूह के बाहरी ऑटोमोर्फिज़्म समूह के साथ पहचाना जा सकता है।

विलियम थर्स्टन ने नीलसन-थर्स्टन वर्गीकरण द्वारा इस विश्लेषण को तीन प्रकारों में परिष्कृत किया। वे आवधिक कार्य के समतुल्य आवधिक मानचित्रण भिन्नता, साधारण बंद वक्र अपरिवर्तनीय छोड़ने वाले डिफियोमोर्फिज्म के समतुल्य और छद्म-अनोसोव मानचित्र|छद्म-अनोसोव डिफेओमोर्फिज्म के समतुल्य टोरस्र्स के स्थितियों में $$S^1\times S^1=\R^2/\Z^2$$, मानचित्रण वर्ग समूह केवल मॉड्यूलर समूह है $$\text{SL}(2,\Z)$$ और वर्गीकरण मोबियस परिवर्तन अण्डाकार परिवर्तन, परवलयिक परिवर्तन और मोबियस ट्रांसफॉर्मेशन हाइपरबोलिक ट्रांसफॉर्म मैट्रिसेस के संदर्भ में शास्त्रीय हो जाता है। थर्स्टन ने यह देखते हुए अपने वर्गीकरण को पूरा किया कि मानचित्रण वर्ग समूह ने स्वाभाविक रूप से टेकमुलर स्थान के संघनन (गणित) पर कार्य किया। चूंकि यह बढ़ा हुआ स्थान बंद गेंद के लिए होमियोमॉर्फिक था, इसलिए ब्रोवर लगाना्ड-पॉइंट प्रमेय लागू हो गया। गंध ने अनुमान लगाया कि यदि $$M$$ उन्मुखता है उन्मुखता कई परतों चिकना बंद कई परत, अभिविन्यास-संरक्षण डिफियोमोर्फिज्म के समूह का पहचान घटक सरल समूह है। यह पहली बार मिशेल हरमन द्वारा हलकों के उत्पाद के लिए सिद्ध किया गया था, यह थर्स्टन द्वारा पूर्ण सामान्यता में सिद्ध किया गया था।

समरूपता प्रकार

 * डिफियोमोर्फिज्म का समूह $$S^2$$ उपसमूह का होमोटोपी-प्रकार $$O(3)$$ है। यह स्टीव गंध द्वारा सिद्ध किया गया था। टोरस के डिफोमोर्फिज्म समूह में इसके रैखिक ऑटोमोर्फिज्म का होमोटोपी-प्रकार है। $$S^1\times S^1\times\text{GL}(2,\Z)$$.
 * जीनस (गणित) की उन्मुख सतहों के भिन्नता समूह $$g>1$$ उनके मानचित्रण वर्ग समूहों का होमोटॉपी-प्रकार है, अर्थात घटक संविदात्मक हैं।
 * इवानोव, हैचर, गबाई और रुबिनस्टीन के काम के माध्यम से 3-कई परतों के डिफोमोर्फिज्म समूहों के होमोटोपी-प्रकार को काफी अच्छी प्रकार से समझा जाता है, चूँकि कुछ उत्कृष्ट खुले स्थितियों हैं मुख्य रूप से परिमित मौलिक समूहों के साथ 3-कई परत है।
 * होमोटॉपी-प्रकार के डिफियोमोर्फिज्म समूह $$n$$- के लिए कई परतों $$n>3$$ खराब समझे जाते हैं। उदाहरण के लिए यह खुली समस्या है या नहीं $$\text{Diff}(S^4)$$ दो से अधिक घटक हैं। मिलनोर, क्हान और एंटोनेली के माध्यम से, चूँकि, यह ज्ञात है कि प्रदान किया गया $$n>6$$, $$\text{Diff}(S^n)$$ परिमित स.ग.-जटिल का होमोटॉपी-प्रकार नहीं है।

होमोमोर्फिज्म और डिफियोमोर्फिज्म
चूंकि प्रत्येक भिन्नता होमोमोर्फिज्म है। प्रत्येक डिफियोमोर्फिक कई परत होमोमोर्फिक हैं, किन्तु इसका विलोम सत्य नहीं है। जबकि होमियोमॉर्फिज्म को ढूंढना आसान है जो अ-डिफियोमोर्फिज्म हैं, होमियोमॉर्फिक कई परतों की जोड़ी को ढूंढना अधिक कठिन है जो डिफियोमॉर्फिक नहीं हैं। आयाम 1, 2 और 3 में होमियोमॉर्फिक चिकना कई परतों की कोई भी जोड़ी अलग-अलग होती है। आयाम 4 और उससे अधिक में होमियोमॉर्फिक के उदाहरण हैं, किन्तु डिफियोमॉर्फिक जोड़े नहीं पाए गए हैं। इस प्रकार का पहला उदाहरण जॉन मिल्नोर द्वारा आयाम 7 में बनाया गया था। उन्होंने चिकनी 7-आयामी कई परत जिसे अब मिलनोर का गोला कहा जाता है आयाम का निर्माण किया जो कि मानक 7-गोले के लिए होमियोमॉर्फिक है, किन्तु इसके लिए भिन्न नहीं है। वास्तव में, 7-गोले के लिए कई परतों होमोमोर्फिक के 28 उन्मुख भिन्नता वर्ग हैं उनमें से प्रत्येक 4-गोले पर फाइबर बंडल का कुल स्थान है जिसमें 3-क्षेत्र फाइबर के रूप में है।

अधिक असामान्य घटनाएं 4-कई परतों के लिए होती हैं। 1980 के दशक की प्रारंभिक में, साइमन डोनाल्डसन और माइकल फ्रीडमैन के परिणाम के संयोजन ने विदेशी R4 की खोज का नेतृत्व किया $$\R^4$$: अगणनीय समूह जोड़ीदार अ-डिफियोमॉर्फिक विवृत उप-समूचय हैं $$\R^4$$ जिनमें से प्रत्येक होमोमोर्फिक है $$\R^4$$ और यह भी कि अगणनीय रूप से कई जोड़ीदार अ-डिफियोमॉर्फिक अवकल कई परतों होमियोमॉर्फिक हैं $$\R^4$$ जो विभेदक सांस्थितिको लागू $$\R^4$$नहीं करता है।

यह भी देखें

 * बड़ा अंतररूपवाद जैसे कि अर्नोल्ड का कैटमैप
 * डिफियो विसंगति को गुरुत्वीय विसंगति के रूप में भी जाना जाता है, क्वांटम यांत्रिकी में प्रकार की विसंगति (भौतिकी)
 * डिफियोलॉजी, समूह पर सुचारू पैरामीटरीकरण, जो डिफोलॉजिकल जगह बनाता है
 * डिफियोमोर्फोमेट्री, अभिकलनात्मक एनाटॉमी में आकार और रूप का दशांश अध्ययन
 * एटेल मोर्फिज्म
 * विशाल भिन्नता
 * स्थानीय भिन्नता
 * सुपरमानिफॉल्ड