विभेदक वक्र

डिफरेंशियल ज्योमेट्री ऑफ कर्व्स, ज्योमेट्री की वह शाखा है जो डिफरेंशियल कैलकुलस और इंटीग्रल कैलकुलस के तरीकों से यूक्लिडियन प्लेन और यूक्लिडियन स्पेस में स्मूथनेस (गणित) कर्व्स से संबंधित है।

सिंथेटिक ज्यामिति का उपयोग करके वक्रों की कई सूची की गहन जांच की गई है। डिफरेंशियल ज्योमेट्री एक और रास्ता अपनाती है: कर्व्स को पैरामीट्रिक समीकरण में दर्शाया जाता है, और उनके ज्यामितीय गुण और उनसे जुड़ी विभिन्न मात्राएं, जैसे कि वक्रता और चाप की लंबाई, वेक्टर कैलकुलस का उपयोग करके डेरिवेटिव और इंटीग्रल के माध्यम से व्यक्त की जाती हैं। वक्र का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे महत्वपूर्ण उपकरणों में से एक फ्रेनेट फ्रेम है, एक चलती फ्रेम जो वक्र के प्रत्येक बिंदु पर एक समन्वय प्रणाली प्रदान करती है जो उस बिंदु के पास वक्र के लिए सबसे अच्छी तरह अनुकूलित होती है।

वक्रों का सिद्धांत सतहों की अंतर ज्यामिति और इसके उच्च-आयामी सामान्यीकरण की तुलना में बहुत सरल और संकीर्ण है क्योंकि यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक नियमित वक्र में कोई आंतरिक ज्यामिति नहीं होती है। किसी भी नियमित वक्र को चाप की लंबाई ("प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन") द्वारा पैरामीट्रिज किया जा सकता है। वक्र पर एक परीक्षण कण के दृष्टिकोण से जो परिवेश स्थान के बारे में कुछ भी नहीं जानता है, सभी वक्र समान दिखाई देंगे। अलग-अलग स्पेस कर्व केवल इस बात से अलग होते हैं कि वे कैसे झुकते और मुड़ते हैं। मात्रात्मक रूप से, यह एक वक्र के वक्रता और वक्रों का मरोड़ कहे जाने वाले विभेदक-ज्यामितीय अपरिवर्तनीयों द्वारा मापा जाता है। वक्रों का मूल सिद्धांत इस बात पर जोर देता है कि इन अपरिवर्तनीयों का ज्ञान वक्र को पूरी तरह से निर्धारित करता है।

परिभाषाएं
एक पैरामीट्रिक $C^{r}$-वक्र या ए $C^{r}$-पैरामेट्राइज़ेशन एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन है
 * $$\gamma: I \to \mathbb{R}^{n}$$

वह है $r$-समय लगातार अलग-अलग (अर्थात, के घटक कार्य) $γ$ लगातार अलग-अलग होते हैं), जहां $$n \isin \mathbb{N}$$, $$r \isin \mathbb{N} \cup \{\infty\}$$, तथा $I$ वास्तविक संख्याओं का एक गैर-रिक्त अंतराल (गणित) है। }} पैरामीट्रिक वक्र का है $$\gamma[I] \subseteq \mathbb{R}^n$$. पैरामीट्रिक वक्र $γ$ और इसकी छवि $γ[I]$ अलग किया जाना चाहिए क्योंकि का दिया गया सबसेट $$\mathbb{R}^n$$ कई अलग-अलग पैरामीट्रिक वक्रों की छवि हो सकती है। पैरामीटर $t$ में $γ(t)$ समय का प्रतिनिधित्व करने के रूप में सोचा जा सकता है, और $γ$ अंतरिक्ष में एक गतिमान बिंदु का प्रक्षेपवक्र। कब $I$ एक बंद अंतराल है $[a,b]$, $γ(a)$ प्रारंभिक बिंदु कहा जाता है और $γ(b)$ का समापन बिंदु है $γ$. यदि प्रारंभ और अंत बिंदु मेल खाते हैं (अर्थात, $γ(a) = γ(b)$), फिर $γ$ एक बंद वक्र या एक लूप है। होना चाहिए $C^{r}$-लूप, फंक्शन $γ$ होना चाहिए $r$-समय लगातार भिन्न और संतुष्ट $γ^{(k)}(a) = γ^{(k)}(b)$ के लिये $0 ≤ k ≤ r$.

पैरामीट्रिक वक्र है यदि
 * $$ \gamma|_{(a,b)}: (a,b) \to \mathbb{R}^{n} $$

इंजेक्शन है। यह है यदि प्रत्येक घटक कार्य करता है $γ$ एक विश्लेषणात्मक कार्य है, अर्थात यह वर्ग का है $C^{ω}$.

वक्र $γ$ आदेश का नियमित है $m$ (कहाँ पे $m ≤ r$) यदि, प्रत्येक के लिए $t ∈ I$,
 * $$\left\{ \gamma'(t),\gamma''(t),\ldots,{\gamma^{(m)}}(t) \right\}$$

का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र उपसमुच्चय है $$\mathbb{R}^n$$. विशेष रूप से, एक पैरामीट्रिक $C^{1}$-वक्र $γ$ है अगर और केवल अगर $γ(t) ≠ 0$ किसी के लिए $t ∈ I$.

पुन: parametrization और तुल्यता संबंध
पैरामीट्रिक वक्र की छवि को देखते हुए, पैरामीट्रिक वक्र के कई अलग-अलग पैरामीटर हैं। डिफरेंशियल ज्योमेट्री का उद्देश्य पैरामीट्रिक कर्व्स के गुणों का वर्णन करना है जो कि कुछ रिपैरेट्रिजेशन के तहत अपरिवर्तनीय हैं। सभी पैरामीट्रिक वक्रों के सेट पर एक उपयुक्त तुल्यता संबंध परिभाषित किया जाना चाहिए। एक पैरामीट्रिक वक्र के अंतर-ज्यामितीय गुण (जैसे कि इसकी लंबाई, इसका #फ्रेनेट फ्रेम, और इसकी सामान्यीकृत वक्रता) पुनरावर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं और इसलिए समकक्ष वर्ग के गुण हैं। तुल्यता वर्ग कहलाते हैं $C^{r}$-वक्र और वक्र के अंतर ज्यामिति में अध्ययन की जाने वाली केंद्रीय वस्तुएं हैं।

दो पैरामीट्रिक $C^{r}$-वक्र, $$\gamma_1 : I_1 \to \mathbb{R}^n$$ तथा $$\gamma_2 : I_2 \to \mathbb{R}^n$$, कहा जाता है यदि और केवल यदि कोई विशेषण मौजूद है $C^{r}$-नक्शा $φ : I_{1} → I_{2}$ ऐसा है कि
 * $$\forall t \in I_1: \quad \varphi'(t) \neq 0$$

तथा
 * $$\forall t \in I_1: \quad \gamma_2\bigl(\varphi(t)\bigr) = \gamma_1(t).$$

$γ_{2}$ तब a. कहा जाता है का $γ_{1}$.

पुन: पैरामीट्रिजेशन सभी पैरामीट्रिक के सेट पर एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है $C^{r}$-वर्ग के वक्र $C^{r}$. इस संबंध का तुल्यता वर्ग बस a $C^{r}$-वक्र।

उन्मुख पैरामीट्रिक का एक और भी बेहतर तुल्यता संबंध $C^{r}$-वक्रों को आवश्यकता द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $φ$ को पूरा करने के $φ(t) > 0$.

समतुल्य पैरामीट्रिक $C^{r}$-वक्रों की एक ही छवि होती है, और समकक्ष उन्मुख पैरामीट्रिक $C^{r}$-वक्र भी छवि को उसी दिशा में पार करते हैं।

लंबाई और प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन
लंबाई $l$ एक पैरामीट्रिक का $C^{1}$-वक्र $$\gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^n$$ की तरह परिभाषित किया गया है
 * $$l ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \int_a^b \left\| \gamma'(t) \right\| \, \mathrm{d}{t}.$$

पैरामीट्रिक वक्र की लंबाई पुनरावर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है और इसलिए पैरामीट्रिक वक्र की एक अंतर-ज्यामितीय संपत्ति है।

प्रत्येक नियमित पैरामीट्रिक के लिए $C^{r}$-वक्र $$\gamma : [a, b] \to \mathbb{R}^n$$, कहाँ पे $r ≥ 1$, फ़ंक्शन परिभाषित किया गया है
 * $$\forall t \in [a,b]: \quad s(t) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \int_a^t \left\| \gamma'(x) \right\| \, \mathrm{d}{x}.$$

लिख रहे हैं $\overline{γ}(s) = γ(t(s))$, कहाँ पे $t(s)$ का उलटा कार्य है $s(t)$. यह एक पुन: पैरामीट्रिजेशन है $\overline{γ}$ का $γ$ जिसे अनी कहा जाता हैarc-length parametrization, प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन, यूनिट-स्पीड पैरामीट्रिजेशन। पैरामीटर $s(t)$ कहा जाता है का $γ$.

यह पैरामीट्रिजेशन पसंद किया जाता है क्योंकि प्राकृतिक पैरामीटर $s(t)$ की छवि को पार करता है $γ$ इकाई गति से, ताकि
 * $$\forall t \in I: \quad \left\| \overline{\gamma}'\bigl(s(t)\bigr) \right\| = 1.$$

व्यवहार में, पैरामीट्रिक वक्र के प्राकृतिक पैरामीट्रिजेशन की गणना करना अक्सर बहुत कठिन होता है, लेकिन यह सैद्धांतिक तर्कों के लिए उपयोगी है।

दिए गए पैरामीट्रिक वक्र के लिए $γ$, प्राकृतिक parametrization पैरामीटर की एक पारी तक अद्वितीय है।

मात्रा
 * $$E(\gamma) ~ \stackrel{\text{def}}{=} ~ \frac{1}{2} \int_a^b \left\| \gamma'(t) \right\|^2 ~ \mathrm{d}{t}$$

कभी कभी कहा जाता है या वक्र की क्रिया (भौतिकी); यह नाम उचित है क्योंकि जियोडेसिक समीकरण इस क्रिया के लिए गति के यूलर-लैग्रेंज समीकरण हैं।

फ्रेनेट फ्रेम
एक फ्रेनेट फ्रेम एक चलती फ्रेम है $T$ ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर $P$ जो प्रत्येक बिंदु पर स्थानीय रूप से एक वक्र का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है $B$. यह घटता के विभेदक ज्यामितीय उपचार में मुख्य उपकरण है क्योंकि स्थानीय संदर्भ प्रणाली के संदर्भ में स्थानीय गुणों (जैसे वक्रता, मरोड़) का वर्णन करना कहीं अधिक आसान और अधिक प्राकृतिक है जैसे कि यूक्लिडियन निर्देशांक जैसे वैश्विक का उपयोग करना।

दिया गया $n$-वक्र $e_{i}(t)$ में $$\mathbb{R}^n$$ जो नियमित है $γ(t)$ वक्र के लिए फ्रेनेट फ्रेम ऑर्थोनॉर्मल वैक्टर का सेट है
 * $$\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)$$

फ्रेनेट-सेरेट सूत्र कहलाते हैं। वे के डेरिवेटिव से निर्मित होते हैं $C^{n + 1}$ ग्राम-श्मिट प्रक्रिया का उपयोग करना|ग्राम-श्मिट ऑर्थोगोनलाइज़ेशन एल्गोरिथ्म के साथ


 * $$\begin{align}

\mathbf{e}_1(t) &= \frac{\boldsymbol{\gamma}'(t)}{\left\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \right\|} \\[8px] \mathbf{e}_{j}(t) &= \frac{\overline{\mathbf{e}_{j}}(t)}{\left\|\overline{\mathbf{e}_{j}}(t) \right\|}, \quad \overline{\mathbf{e}_{j}}(t) = \boldsymbol{\gamma}^{(j)}(t) - \sum _{i=1}^{j-1} \left\langle \boldsymbol{\gamma}^{(j)}(t), \mathbf{e}_i(t) \right\rangle \, \mathbf{e}_i(t) \end{align}$$ वास्तविक मूल्यवान कार्य $γ$ सामान्यीकृत वक्रताएँ कहलाती हैं और इन्हें इस प्रकार परिभाषित किया जाता है:


 * $$\chi_i(t) = \frac{\bigl\langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \bigr\rangle}{\left\| \boldsymbol{\gamma}^'(t) \right\|} $$

फ्रेनेट फ्रेम और सामान्यीकृत वक्रताएं पुनरावर्तन के तहत अपरिवर्तनीय हैं और इसलिए वक्र के अंतर ज्यामितीय गुण हैं। वक्र के लिए $$\mathbb R^3$$ $$\chi_1(t)$$ वक्रता है और $$\chi_2(t)$$ मरोड़ है।

बर्ट्रेंड वक्र
एक बर्ट्रेंड वक्र एक नियमित वक्र है $$\mathbb R^3$$ अतिरिक्त संपत्ति के साथ कि एक दूसरा वक्र है $$\mathbb R^3$$ जैसे कि इन दो वक्रों के #सामान्य या वक्रता वेक्टर प्रत्येक संगत बिंदु पर समान होते हैं। दूसरे शब्दों में, यदि $n$ तथा $γ(t)$ में दो वक्र हैं $$\mathbb R^3$$ ऐसा कि किसी के लिए $t$, दो प्रमुख मानदंड $χ_{i}(t)$ बराबर हैं, तो $γ_{1}(t)$ तथा $γ_{2}(t)$ बर्ट्रेंड वक्र हैं, और $N_{1}(t), N_{2}(t)$ का बर्ट्रेंड मेट कहा जाता है $γ_{1}$. हम लिख सकते हैं $γ_{2}$ कुछ स्थिरांक के लिए $γ_{2}$. कुहनेल के डिफरेंशियल ज्योमेट्री कर्व्स - सर्फेस - मैनिफोल्ड्स में समस्या 25 के अनुसार, यह भी सच है कि दो बर्ट्रेंड वक्र जो एक ही दो-आयामी विमान में नहीं होते हैं, एक रैखिक संबंध के अस्तित्व की विशेषता है। $γ_{1}$ कहाँ पे $γ_{2}(t) = γ_{1}(t) + r N_{1}(t)$ तथा $r$ की वक्रता और मरोड़ हैं $a κ(t) + b τ(t) = 1$ तथा $a$ तथा $b$ के साथ वास्तविक स्थिरांक हैं $κ(t)$. इसके अलावा, बर्ट्रेंड युग्म के वक्रों के #Torsions का गुणनफल स्थिर होता है। यदि $τ(t)$ उसके पास एक से अधिक बर्ट्रेंड साथी हैं तो उसके पास असीम रूप से कई हैं। यह तभी होता है जब $γ_{1}(t)$ एक गोलाकार हेलिक्स है।

विशेष फ्रेनेट वैक्टर और सामान्यीकृत वक्रता
पहले तीन फ्रेनेट वैक्टर और सामान्यीकृत वक्रता को त्रि-आयामी अंतरिक्ष में देखा जा सकता है। उनके पास अतिरिक्त नाम और उनसे जुड़ी अधिक अर्थ संबंधी जानकारी है।

स्पर्शरेखा सदिश
अगर एक वक्र $a ≠ 0$ एक कण के पथ का प्रतिनिधित्व करता है, तो एक निश्चित बिंदु पर कण का तात्कालिक वेग $γ_{1}$ एक वेक्टर (ज्यामितीय) द्वारा व्यक्त किया जाता है, जिसे वक्र पर स्पर्शरेखा वेक्टर कहा जाता है $γ_{1}$. गणितीय रूप से, एक पैरामीट्रिज्ड दिया गया $γ$ वक्र $P$, हर मूल्य के लिए $P$ पैरामीटर का, वेक्टर


 * $$ \gamma'(t_0) = \left.\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\boldsymbol{\gamma}(t)\right|_{t=t_0} $$

बिंदु पर स्पर्शरेखा सदिश है $C^{1}$. सामान्यतया, स्पर्शरेखा सदिश शून्य सदिश हो सकता है। स्पर्शरेखा सदिश का परिमाण


 * $$\left\|\boldsymbol{\gamma}'(t_0)\right\|$$

उस समय गति है $γ = γ(t)$.

पहला फ्रेनेट वेक्टर $t = t_{0}$ एक ही दिशा में इकाई स्पर्शरेखा सदिश है, जिसे के प्रत्येक नियमित बिंदु पर परिभाषित किया गया है $P = γ(t_{0})$:


 * $$\mathbf{e}_{1}(t) = \frac{ \boldsymbol{\gamma}'(t) }{ \left\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \right\|}.$$

यदि $t_{0}$ प्राकृतिक पैरामीटर है, तो स्पर्शरेखा वेक्टर की इकाई लंबाई होती है। सूत्र सरल करता है:


 * $$\mathbf{e}_{1}(s) = \boldsymbol{\gamma}'(s)$$.

इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर पैरामीटर के बढ़ते मूल्यों के अनुरूप, वक्र के उन्मुखीकरण, या आगे की दिशा को निर्धारित करता है। वक्र के रूप में लिया गया इकाई स्पर्शरेखा वेक्टर मूल वक्र की गोलाकार छवि का पता लगाता है।

सामान्य वेक्टर या वक्रता वेक्टर
एक वक्र सामान्य सदिश, जिसे कभी-कभी 'वक्रता सदिश' कहा जाता है, एक सीधी रेखा होने से वक्र के विचलन को इंगित करता है। इसे परिभाषित किया गया है
 * $$\overline{\mathbf{e}_2}(t) = \boldsymbol{\gamma}(t) - \bigl\langle \boldsymbol{\gamma}(t), \mathbf{e}_1(t) \bigr\rangle \, \mathbf{e}_1(t).$$

इसका सामान्यीकृत रूप, इकाई सामान्य वेक्टर, दूसरा फ्रेनेट वेक्टर है $e_{1}(t)$ और के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\mathbf{e}_2(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_2}(t)} {\left\| \overline{\mathbf{e}_2}(t) \right\|}.$$

बिंदु पर स्पर्शरेखा और सामान्य वेक्टर $γ$ बिंदु पर दोलन विमान को परिभाषित करें $t = s$.

यह दिखाया जा सकता है कि $e_{2}(t)$. इसलिए,
 * $$\mathbf{e}_2(t) = \frac{\mathbf{e}_1'(t)}{\left\| \mathbf{e}_1'(t) \right\|}.$$

वक्रता
पहली सामान्यीकृत वक्रता $t$ वक्रता कहलाती है और के विचलन को मापती है $t$ दोलन तल के सापेक्ष एक सीधी रेखा होने से। इसे परिभाषित किया गया है


 * $$\kappa(t) = \chi_1(t) = \frac{\bigl\langle \mathbf{e}_1'(t), \mathbf{e}_2(t) \bigr\rangle}{\left\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \right\|}$$

और की वक्रता कहलाती है $ē_{2}(t) ∝ e_{1}(t)$ बिंदु पर $χ_{1}(t)$. यह दिखाया जा सकता है कि
 * $$\kappa(t) = \frac{\left\| \mathbf{e}_1'(t) \right\|}{\left\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \right\|}.$$

वक्रता का गुणन प्रतिलोम
 * $$\frac{1}{\kappa(t)}$$

वक्रता त्रिज्या (गणित) कहलाती है।

त्रिज्या वाला एक वृत्त $γ$ की निरंतर वक्रता है
 * $$\kappa(t) = \frac{1}{r}$$

जबकि एक रेखा की वक्रता 0 होती है।

द्विअसामान्य सदिश
इकाई द्विअसामान्य सदिश तीसरा फ्रेनेट वेक्टर है $γ$. यह हमेशा इकाई स्पर्शरेखा और सामान्य वैक्टर के लिए ऑर्थोगोनल होता है $t$. इसे परिभाषित किया गया है


 * $$\mathbf{e}_3(t) = \frac{\overline{\mathbf{e}_3}(t)} {\| \overline{\mathbf{e}_3}(t) \|}

, \quad \overline{\mathbf{e}_3}(t) = \boldsymbol{\gamma}(t) - \bigr\langle \boldsymbol{\gamma}(t), \mathbf{e}_1(t) \bigr\rangle \, \mathbf{e}_1(t) - \bigl\langle \boldsymbol{\gamma}'''(t), \mathbf{e}_2(t) \bigr\rangle \,\mathbf{e}_2(t) $$ 3-आयामी अंतरिक्ष में, समीकरण को सरल करता है
 * $$\mathbf{e}_3(t) = \mathbf{e}_1(t) \times \mathbf{e}_2(t)$$

या करने के लिए
 * $$\mathbf{e}_3(t) = -\mathbf{e}_1(t) \times \mathbf{e}_2(t),$$

दोनों में से कोई भी संकेत हो सकता है, यह दाएं हाथ के हेलिक्स और बाएं हाथ के हेलिक्स के उदाहरणों से स्पष्ट होता है।

मरोड़
दूसरा सामान्यीकृत वक्रता $r$ कहा जाता है और के विचलन को मापता है $e_{3}(t)$ समतल वक्र होने से। दूसरे शब्दों में, यदि मरोड़ शून्य है, तो वक्र पूरी तरह से एक ही दोलन तल में होता है (प्रत्येक बिंदु के लिए केवल एक दोलन तल होता है) $t$) इसे परिभाषित किया गया है


 * $$\tau(t) = \chi_2(t) = \frac{\bigl\langle \mathbf{e}_2'(t), \mathbf{e}_3(t) \bigr\rangle}{\left\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \right\|}$$

और का मरोड़ (डिफरेंशियल ज्योमेट्री) कहा जाता है $χ_{2}(t)$ बिंदु पर $γ$.

अब्रेंसी
तीसरे व्युत्पन्न का उपयोग एबरेन्सी को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, एक वक्र की सर्कल | गैर-गोलाकारता का एक मीट्रिक।

वक्र सिद्धांत का मुख्य प्रमेय
दिया गया $t$ कार्य:
 * $$\chi_i \in C^{n-i}([a,b],\mathbb{R}^n), \quad \chi_i(t) > 0 ,\quad 1 \leq i \leq n-1$$

तब एक अद्वितीय मौजूद है (यूक्लिडियन समूह का उपयोग करके परिवर्तन तक) $γ$-वक्र $t$ जो क्रम n का नियमित है और इसमें निम्नलिखित गुण हैं:


 * $$\begin{align}

\|\gamma'(t)\| &= 1 & t \in [a,b] \\ \chi_i(t) &= \frac{ \langle \mathbf{e}_i'(t), \mathbf{e}_{i+1}(t) \rangle}{\| \boldsymbol{\gamma}'(t) \|} \end{align}$$ जहां सेट
 * $$\mathbf{e}_1(t), \ldots, \mathbf{e}_n(t)$$

वक्र के लिए फ्रेनेट फ्रेम है।

अतिरिक्त रूप से एक शुरुआत प्रदान करके $n − 1$ में $C^{n + 1}$, एक प्रारंभिक बिंदु $γ$ में $$\mathbb{R}^n$$ और एक प्रारंभिक सकारात्मक ऑर्थोनॉर्मल फ्रेनेट फ्रेम $t_{0}$ साथ


 * $$\begin{align}

\boldsymbol{\gamma}(t_0) &= \mathbf{p}_0 \\ \mathbf{e}_i(t_0) &= \mathbf{e}_i ,\quad 1 \leq i \leq n-1 \end{align}$$ एक अद्वितीय वक्र प्राप्त करने के लिए यूक्लिडियन परिवर्तनों को समाप्त कर दिया जाता है $I$.

फ्रेनेट-सेरेट सूत्र
फ्रेनेट-सेरेट सूत्र पहले क्रम के साधारण अंतर समीकरणों का एक समूह है। समाधान सामान्यीकृत वक्रता कार्यों द्वारा निर्दिष्ट वक्र का वर्णन करने वाले फ्रेनेट वैक्टर का सेट है $p_{0}$.

2 आयाम


\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1'(t) \\ \mathbf{e}_2'(t) \\ \end{bmatrix}

=

\left\Vert \gamma'\left(t\right) \right\Vert

\begin{bmatrix} 0 & \kappa(t) \\ -\kappa(t) &        0 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1(t) \\ \mathbf{e}_2(t) \\ \end{bmatrix} $$

3 आयाम


\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1'(t) \\ \mathbf{e}_2'(t) \\ \mathbf{e}_3'(t) \\ \end{bmatrix}

=

\left\Vert \gamma'\left(t\right) \right\Vert

\begin{bmatrix} 0 & \kappa(t) &        0 \\ -\kappa(t) &         0 & \tau(t)  \\ 0 &  -\tau(t) &        0 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1(t) \\ \mathbf{e}_2(t) \\ \mathbf{e}_3(t) \\ \end{bmatrix} $$

$\{e_{1}, ..., e_{n − 1}\}$ आयाम (सामान्य सूत्र)


\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1'(t) \\ \mathbf{e}_2'(t) \\ \vdots \\ \mathbf{e}_{n-1}'(t) \\ \mathbf{e}_n'(t) \\ \end{bmatrix}

=

\left\Vert \gamma'\left(t\right) \right\Vert

\begin{bmatrix} 0 & \chi_1(t) & \cdots &              0 &             0 \\ -\chi_1(t) &         0 & \cdots &              0 &             0 \\ \vdots &    \vdots & \ddots &         \vdots &        \vdots \\ 0 &         0 & \cdots &              0 & \chi_{n-1}(t) \\ 0 &         0 & \cdots & -\chi_{n-1}(t) &             0 \\ \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} \mathbf{e}_1(t) \\ \mathbf{e}_2(t) \\ \vdots \\ \mathbf{e}_{n-1}(t) \\ \mathbf{e}_n(t) \\ \end{bmatrix} $$

यह भी देखें

 * वक्र विषयों की सूची

अग्रिम पठन

 * Chapter II is a classical treatment of Theory of Curves in 3-dimensions.