शून्य की घात शून्य

शून्य की घात शून्य, द्वारा निरूपित $0^{0}$, एक अभिव्यक्ति (गणित) है जिसका कोई सहमत-मूल्य (गणित) नहीं है। सबसे आम संभावनाएं हैं 1#Mathematics या अभिव्यक्ति को अपरिभाषित (गणित) छोड़ना, संदर्भ के आधार पर प्रत्येक के लिए मौजूद औचित्य के साथ। बीजगणित और साहचर्य में, आम तौर पर सहमत मूल्य है$0^{0} = 1$, जबकि गणितीय विश्लेषण में, अभिव्यक्ति को कभी-कभी अपरिभाषित छोड़ दिया जाता है। प्रोग्रामिंग भाषा और सॉफ्टवेयर में भी इस एक्सप्रेशन को हैंडल करने वाले कंप्यूटर्स पर #ट्रीटमेंट होता है।

असतत घातांक
प्राकृतिक संख्या से जुड़े कई व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले फ़ार्मुलों | प्राकृतिक-संख्या घातांक की आवश्यकता होती है $0^{0}$ के रूप में परिभाषित किया जाना है $1$. उदाहरण के लिए, निम्नलिखित तीन व्याख्याएँ $b0$ के लिए उतना ही समझ में आता है $b = 0$ जैसा कि वे धनात्मक पूर्णांकों के लिए करते हैं $b$:
 * की व्याख्या $b0$ एक खाली उत्पाद के रूप में इसे मान निर्दिष्ट करता है $1$.
 * घातांक#संयोजन की व्याख्या $b^{0}$ ट्यूपल की संख्या है | 0-टपल तत्वों की एक से $b$-तत्व सेट; ठीक एक 0-टपल है।
 * घातांक#ओवर सेट|सेट-सैद्धांतिक व्याख्या $b^{0}$ खाली सेट से a तक फ़ंक्शन (गणित) की संख्या है $b$-तत्व सेट; ऐसा ही एक कार्य है, अर्थात् खाली कार्य। ये तीनों देने में माहिर हैं $00 = 1$.

बहुपद और शक्ति श्रृंखला
बहुपदों का मूल्यांकन करते समय, इसे परिभाषित करना सुविधाजनक होता है $0^{0}$ जैसा $1$. ए (वास्तविक) बहुपद रूप की अभिव्यक्ति है $a_{0}x^{0} + ⋅⋅⋅ + a_{n}x^{n}$, कहाँ पे $x$ एक अनिश्चित है, और गुणांक $a_{i}$ वास्तविक संख्याएँ हैं। बहुपदों को शब्दवार जोड़ा जाता है, और वितरण कानून और घातांक के सामान्य नियमों को लागू करके गुणा किया जाता है। इन संक्रियाओं के साथ, बहुपद एक बहुपद वलय बनाते हैं $R[x]$. की गुणक पहचान $R[x]$ बहुपद है $x^{0}$; वह है, $x^{0}$ किसी भी बहुपद का गुना $p(x)$ सिर्फ $p(x)$. साथ ही, विशेषज्ञता द्वारा बहुपदों का मूल्यांकन किया जा सकता है $x$ एक वास्तविक संख्या के लिए। अधिक सटीक, किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $r$, एक अद्वितीय एकात्मक बीजगणित समरूपता है$R$-बीजगणित समरूपता $ev_{r} : R[x] → R$ ऐसा है कि $ev_{r}(x) = r$. इसलिये $ev_{r}$ एकात्मक है, $ev_{r}(x^{0}) = 1$. वह है, $r^{0} = 1$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए $r$, 0 सहित। वही तर्क लागू होता है $R$ किसी भी अंगूठी (गणित) द्वारा प्रतिस्थापित।

परिभाषित $0^{0} = 1$ कई बहुपद सर्वसमिकाओं के लिए आवश्यक है। उदाहरण के लिए, द्विपद प्रमेय $(1 + x)^{n} = Σn k=0 (n k) x^{k}$ के लिए रखता है $x = 0$ केवल $0^{0} = 1$.

इसी प्रकार, शक्ति श्रृंखला के छल्ले की आवश्यकता होती है $x^{0}$ की सभी विशेषज्ञताओं के लिए 1 के रूप में परिभाषित किया जाना है $x$. उदाहरण के लिए, पहचान जैसे $1⁄1−x = Σ∞ n=0 x^{n}$ तथा $e^{x} = Σ∞ n=0 x^{n}⁄n!$ के लिए पकड़े $x = 0$ केवल $0^{0} = 1$.

बहुपद के क्रम में $x^{0}$ एक सतत समारोह को परिभाषित करने के लिए $R → R$, परिभाषित करना चाहिए $0^{0} = 1$.

अवकलन कलन में, शक्ति नियम $d⁄dxx^{n} = nx^{n−1}$ के लिए मान्य है $n = 1$ पर $x = 0$ केवल $0^{0} = 1$.

निरंतर घातांक
छवि: एक्स ^y.png|right|thumb|300px|टुकड़ा $z = x$. लाल घटता (के साथ $z$ स्थिर) अलग-अलग सीमाएँ उत्पन्न करते हैं $(x, y)$ दृष्टिकोण $(0, 0)$. हरे वक्र (परिमित स्थिर ढलान के, $y = ax$) सभी की एक सीमा होती है $1$.

बीजगणितीय संक्रियाओं से जुड़ी सीमाओं का अक्सर उप-अभिव्यक्तियों को उनकी सीमाओं द्वारा प्रतिस्थापित करके मूल्यांकन किया जा सकता है; यदि परिणामी अभिव्यक्ति मूल सीमा निर्धारित नहीं करती है, तो अभिव्यक्ति को अनिश्चित रूप के रूप में जाना जाता है। भावाभिव्यक्ति $00$ एक अनिश्चित रूप है: वास्तविक मूल्यवान कार्यों को देखते हुए $f(t)$ तथा $g(t)$ आ $0$ (जैसा $t$ एक वास्तविक संख्या तक पहुँचता है या $±∞$) साथ $f(t) > 0$, की सीमा $f(t)^{g(t)}$ कोई भी गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या हो सकती है या $+∞$, या यह (गणित) को सीमित कर सकता है, पर निर्भर करता है $f$ तथा $g$. उदाहरण के लिए, नीचे दी गई प्रत्येक सीमा में एक फ़ंक्शन शामिल है $f(t)^{g(t)}$ साथ $f(t), g(t) → 0$ जैसा $t → 0^{+}$ (एकतरफा सीमा), लेकिन उनके मान भिन्न हैं: $$ \lim_{t \to 0^+} {t}^{t} = 1 ,$$ $$ \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-1/t^2}\right)^t = 0, $$ $$ \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-1/t^2}\right)^{-t} = +\infty, $$ $$ \lim_{t \to 0^+} \left(e^{-1/t}\right)^{at} = e^{-a} .$$ इस प्रकार, दो चर समारोह $x$, हालांकि सेट पर लगातार ${(x, y) : x > 0}$, डिसकंटीन्युटीज का वर्गीकरण # एसेंशियल डिसकंटिन्यूटी टू अ कॉन्टिन्यूअस फंक्शन ऑन ${(x, y) : x > 0} ∪ {(0, 0)}$, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कोई कैसे परिभाषित करना चुनता है $0^{0}$.

वहीं दूसरी ओर अगर $f$ तथा $g$ किसी संख्या के खुले पड़ोस पर विश्लेषणात्मक कार्य हैं $c$, फिर $f(t)^{g(t)} → 1$ जैसा $t$ दृष्टिकोण $c$ जिस पर किसी भी तरफ से $f$ सकारात्मक है। यह और अधिक सामान्य परिणाम फ़ंक्शन के सीमित व्यवहार का अध्ययन करके प्राप्त किए जा सकते हैं $ln(f(t)^{g(t)}) = g(t) ln f(t)$.

जटिल घातांक
जटिल डोमेन में, function $z$ को अशून्य के लिए परिभाषित किया जा सकता है $z$ एक जटिल लघुगणक # के जटिल लघुगणक की शाखाओं को चुनकर $log z$ और परिभाषित करना $z$ जैसा $e$. यह परिभाषित नहीं करता है $0^{w}$ चूंकि इसकी कोई शाखा नहीं है $log z$ पर परिभाषित किया गया $z = 0$, के पड़ोस में अकेले रहने दें $0$.

मूल्य के रूप में
1752 में, लियोनहार्ड यूलर ने लिखा था कि इनफिनिटिमल्स के विश्लेषण के परिचय में $a0 = 1$ और इसका स्पष्ट उल्लेख किया $00 = 1$. एनोटेशन एट्रिब्यूट किया गया यूलर की पुस्तक अंतर कलन के संस्थान के 1787 संस्करण में लोरेंजो माशेरोनी को औचित्य प्रस्तुत किया $$0^0 = (a-a)^{n-n} = \frac{(a-a)^n}{(a-a)^n} = 1$$ साथ ही एक और अधिक शामिल औचित्य। 1830 के दशक में, सोमाजा से गुग्लिल्मो लिब्री कारुची दावे को सही ठहराने का प्रयास करते हुए कई और तर्क प्रकाशित किए $0^{0} = 1$, हालांकि ये विश्वास करने से बहुत दूर थे, यहां तक ​​कि उस समय कठोरता के मानकों से भी।

एक सीमित रूप
के रूप में यूलर, सेटिंग करते समय $00 = 1$, उल्लेख किया है कि फलस्वरूप फ़ंक्शन के मान $0x$ से एक बड़ी छलांग लगाओ $∞$ के लिये $x < 0$, प्रति $1$ पर $x = 0$, प्रति $0$ के लिये $x > 0$. 1814 में, जोहान फ्रेडरिक फाफ ने यह साबित करने के लिए एक निचोड़ प्रमेय तर्क का इस्तेमाल किया $xx → 1$ जैसा $x → 0+$.

दूसरी ओर, 1821 में कॉची समझाया क्यों की सीमा $xy$ सकारात्मक संख्या के रूप में $x$ तथा $y$ दृष्टिकोण $0$ जबकि कुछ निश्चित संबंध से विवश होने के बीच किसी भी मूल्य को ग्रहण करने के लिए बनाया जा सकता है $0$ तथा $∞$ उचित रूप से संबंध चुनकर। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि पूर्ण दो-चर फलन की सीमा $xy$ निर्दिष्ट बाधा के बिना अनिश्चित है। इस औचित्य के साथ, उन्होंने सूचीबद्ध किया $0^{0}$ जैसे भावों के साथ $0⁄0$ एक अनिश्चित रूप में # अनिश्चित रूपों की सूची।

कॉची के काम से जाहिर तौर पर अनभिज्ञ, अगस्त फर्डिनेंड मोबियस|मोबियस 1834 में, Pfaff के तर्क के आधार पर, गलत दावा किया $f(x)^{g(x)} → 1$ जब भी $f(x),g(x) → 0$ जैसा $x$ एक संख्या तक पहुँचता है $c$ (शायद $f$ से सकारात्मक माना जाता है $c$). मोबियस मामले में कम हो गया $c = 0$, लेकिन फिर यह मानने की गलती की कि इनमें से प्रत्येक $f$ तथा $g$ रूप में व्यक्त किया जा सकता है $Pxn$ कुछ निरंतर कार्य के लिए $P$ पर गायब नहीं $0$ और कुछ गैर-नकारात्मक पूर्णांक $n$, जो विश्लेषणात्मक कार्यों के लिए सही है, लेकिन सामान्य तौर पर नहीं। एक अनाम टिप्पणीकार ने अनुचित कदम की ओर इशारा किया; फिर एक अन्य टिप्पणीकार जिसने अपने नाम पर केवल S के रूप में हस्ताक्षर किए, ने स्पष्ट प्रतिपक्ष प्रदान किया $(e^{−1/x})^{x} → e−1$ तथा $(e^{−1/x})^{2x} → e−2$ जैसा $x → 0+$ और उस स्थिति को लिखकर व्यक्त किया$00$ के कई अलग-अलग मान हो सकते हैं।

वर्तमान स्थिति

 * कुछ लेखक परिभाषित करते हैं $0^{0}$ जैसा $1$ क्योंकि यह कई प्रमेय कथनों को सरल करता है। बेन्सन (1999) के अनुसार, परिभाषित करने का विकल्प $0^{0}$ सुविधा पर आधारित है, शुद्धता पर नहीं। अगर हम परिभाषित करने से बचते हैं $0^{0}$, तब कुछ दावे अनावश्यक रूप से अटपटे हो जाते हैं। ... परिभाषा का उपयोग करने के लिए आम सहमति है $0^{0} = 1$, हालांकि ऐसी पाठ्यपुस्तकें हैं जो परिभाषित करने से बचती हैं $0^{0}$. डोनाल्ड नुथ (1992) इसका अधिक मजबूती से विरोध करता है $0^{0}$ होना ही पड़ेगा $1$; वह मूल्य के बीच अंतर करता है $0^{0}$, जो बराबर होना चाहिए $1$, और सीमित रूप $0^{0}$ (की सीमा के लिए एक संक्षिप्त नाम $f(t)^{g(t)}$ कहाँ पे $f(t), g(t) → 0$), जो एक अनिश्चित रूप है: कॉची और लिब्री दोनों सही थे, लेकिन लिब्री और उनके रक्षक यह नहीं समझ पाए कि सच्चाई उनके पक्ष में क्यों थी। * अन्य लेखक चले जाते हैं $0^{0}$ अपरिभाषित क्योंकि $0^{0}$ एक अनिश्चित रूप है: $f(t), g(t) → 0$ मतलब नहीं है $f(t)^{g(t)} → 1$.

ऐसा लगता है कि कोई लेखक असाइन नहीं कर रहा है $0^{0}$ 1 के अलावा एक विशिष्ट मूल्य।

आईईईई फ़्लोटिंग-पॉइंट मानक
IEEE 754-2008 फ़्लोटिंग-पॉइंट मानक का उपयोग अधिकांश फ़्लोटिंग-पॉइंट लाइब्रेरीज़ के डिज़ाइन में किया जाता है। यह शक्ति की गणना के लिए कई परिचालनों की सिफारिश करता है:
 * (जिसका प्रतिपादक एक पूर्णांक है) व्यवहार करता है $0^{0}$ जैसा $1$; देखना.
 * (जिसका इरादा गैर-नाएन परिणाम वापस करना है जब एक्सपोनेंट एक पूर्णांक है, जैसे ) व्यवहार करता है $0^{0}$ जैसा $1$.
 * व्यवहार करता है $0^{0}$ अनिश्चित रूप के कारण NaN (नॉट-ए-नंबर) के रूप में; देखना .  e> वैरिएंट से प्रेरित है   मुख्य रूप से अनुकूलता के लिए C99 से कार्य करता है। यह ज्यादातर एकल पावर फ़ंक्शन वाली भाषाओं के लिए उपयोगी है।   ई> और   पावर फ़ंक्शंस के परस्पर विरोधी उपयोग और विभिन्न दृष्टिकोणों (जैसा कि ऊपर कहा गया है) के कारण वेरिएंट पेश किए गए हैं।

प्रोग्रामिंग लैंग्वेज
C और C++ मानक के परिणाम निर्दिष्ट नहीं करते हैं $0^{0}$ (एक डोमेन त्रुटि हो सकती है)। लेकिन C के लिए, C99 के रूप में, यदि मानक अनुलग्नक F समर्थित है, तो वास्तविक फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रकारों के लिए परिणाम होना आवश्यक है $1$ क्योंकि ऐसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं जिनके लिए यह मान NaN से अधिक उपयोगी है (उदाहरण के लिए, #Discrete_exponents के साथ); जटिल प्रकारों पर परिणाम निर्दिष्ट नहीं है, भले ही जानकारीपूर्ण अनुलग्नक जी समर्थित हो। जावा (प्रोग्रामिंग भाषा) मानक, .NET फ्रेमवर्क विधि (कंप्यूटर विज्ञान), जूलिया (प्रोग्रामिंग भाषा), और पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा)  इलाज भी करें $0^{0}$ जैसा $1$. कुछ भाषाएँ दस्तावेज करती हैं कि उनकी घातांक संक्रिया इसके अनुरूप है  सी गणितीय कार्यों से कार्य; यह लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा) के मामले में है और पर्ल   ऑपरेटर (जहां यह स्पष्ट रूप से उल्लेख किया गया है कि का परिणाम   प्लेटफ़ॉर्म-निर्भर है)।

गणितीय और वैज्ञानिक सॉफ्टवेयर
एपीएल (प्रोग्रामिंग भाषा), आर (प्रोग्रामिंग भाषा), था, सेजमैथ, मतलब, मैग्मा (कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली), GAP (कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली), एकवचन (सॉफ्टवेयर), PARI/GP, और जीएनयू ऑक्टेव मूल्यांकन $x0$ प्रति $1$. मेथेमेटिका और मैकसिमा सरल करें $x0$ प्रति $1$ भले ही कोई प्रतिबंध न लगाया गया हो $x$; हालांकि, यदि $00$ सीधे दर्ज किया जाता है, तो इसे त्रुटि या अनिश्चित के रूप में माना जाता है। सेजमैथ सरल नहीं करता है $0x$. मेपल (सॉफ्टवेयर), गणित और पारी/जीपी आगे पूर्णांक और फ़्लोटिंग-पॉइंट मानों के बीच अंतर करें: यदि प्रतिपादक पूर्णांक प्रकार का शून्य है, तो वे वापस लौटते हैं $1$ आधार के प्रकार; मूल्य शून्य के फ्लोटिंग-पॉइंट एक्सपोनेंट के साथ एक्सपोनेंटिएशन को अपरिभाषित, अनिश्चित या त्रुटि के रूप में माना जाता है।

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * समारोह (गणित)
 * खाली समारोह
 * बहुपद की अंगूठी
 * बिजली की श्रृंखला
 * निरंतर कार्य
 * अंतर कलन
 * सीमा (गणित)
 * एक तरफा सीमा
 * इनफिनिटिमल्स के विश्लेषण का परिचय
 * नेन
 * मानक का
 * सेज मठ
 * जीएपी (कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली)

बाहरी संबंध

 * sci.math FAQ: What is $0$?
 * What does $A[(X_{i})_{i∈I}]$ (zero to the zeroth power) equal? on AskAMathematician.com