चतुर्थक समीकरण

गणित में, एक क्वार्टिक समीकरण वह होता है जिसे शून्य के बराबर 'चतुर्थक समारोह' के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। क्वार्टिक समीकरण का सामान्य रूप है

जहां एक ≠ 0।

'क्वार्टिक' उच्चतम क्रम बहुपद समीकरण है जिसे सामान्य मामले में एनवें रूट द्वारा हल किया जा सकता है (यानी, जिसमें गुणांक कोई मान ले सकता है)।

इतिहास
लोदोविको फेरारी को 1540 में क्वार्टिक के समाधान की खोज के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है, लेकिन चूंकि यह समाधान, क्वार्टिक के सभी बीजगणितीय समाधानों की तरह, एक घन समीकरण के समाधान की आवश्यकता है, इसे तुरंत प्रकाशित नहीं किया जा सका। अर्स मैग्ना (जेरोम कार्डानो) (1545) पुस्तक में फेरारी के सलाहकार गेरोलमो कार्डानो द्वारा क्वार्टिक का समाधान क्यूबिक के साथ प्रकाशित किया गया था।

यह प्रमाण कि यह उच्चतम क्रम का सामान्य बहुपद था जिसके लिए इस तरह के समाधान खोजे जा सकते थे, सबसे पहले 1824 में एबेल-रफिनी प्रमेय में दिया गया था, यह साबित करते हुए कि उच्च क्रम बहुपद को हल करने के सभी प्रयास व्यर्थ होंगे। 1832 में एक द्वंद्वयुद्ध में अपनी मृत्यु से पहले एवरिस्ट गैल्वा द्वारा छोड़े गए नोट्स ने बाद में बहुपदों की जड़ों के एक सुंदर गैल्वा सिद्धांत को जन्म दिया, जिसमें से यह प्रमेय एक परिणाम था।



एक चतुर्थांश समीकरण को हल करना, विशेष मामले
रूप में व्यक्त एक चतुर्थांश समीकरण पर विचार करें $$a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_3x+a_4=0 $$:

क्वार्टिक समीकरणों की जड़ों को खोजने के लिए एक सामान्य सूत्र मौजूद है, बशर्ते अग्रणी पद का गुणांक गैर-शून्य हो। हालांकि, चूंकि सामान्य विधि काफी जटिल है और निष्पादन में त्रुटियों के लिए अतिसंवेदनशील है, इसलिए यदि संभव हो तो नीचे सूचीबद्ध विशेष मामलों में से एक को लागू करना बेहतर होगा।

पतित मामला
यदि स्थिर पद a4= 0, तो जड़ों में से एक x = 0 है, और अन्य जड़ों को x से विभाजित करके और परिणामी घन समीकरण को हल करके पाया जा सकता है,
 * $$a_0x^3+a_1x^2+a_2x+a_3=0. \,$$

प्रत्यक्ष मूल: 1 और -1 और -k
हमारे चतुर्थांश बहुपद Q(x) को कॉल करें। चूँकि 1 किसी भी घात से बढ़ा हुआ 1 होता है, $$Q(1)=a_0+a_1+a_2+a_3+a_4$$. इस प्रकार यदि $$a_0+a_1+a_2+a_3+a_4=0$$, Q(1) = 0 और इसलिए x = 1, Q(x) का एक मूल है। इसी प्रकार यह दिखाया जा सकता है कि यदि $$a_0+a_2+a_4=a_1+a_3$$, x = −1 एक मूल है।

किसी भी मामले में पूर्ण क्वार्टिक को क्रमशः कारक (x − 1) या (x + 1) से विभाजित किया जा सकता है, जिससे एक नया क्यूबिक बहुपद प्राप्त होता है, जिसे क्वार्टिक की अन्य जड़ों को खोजने के लिए हल किया जा सकता है।

यदि $$a_1 = a_0 k $$, $$ a_2 = 0 $$ तथा $$ a_4= a_3 k$$, तो x = −k समीकरण का एक मूल है। पूर्ण क्वार्टिक को इस तरह से कारक बनाया जा सकता है:


 * $$a_0 x^4+ a_0 k x^3 + a_3 x + a_3 k = a_0 x^3 (x +k ) + a_3 (x+k) = (a_0 x^3 + a_3) (x+k). \,$$

यदि $$ a_1 = a_0 k $$, $$ a_3 = a_2 k $$ तथा $$ a_4 = 0$$, x = 0 और x = -k दो ज्ञात मूल हैं। Q(x) को x(x + k) से विभाजित करना एक द्विघात बहुपद है।

द्विवर्गीय समीकरण
एक चतुर्थांश समीकरण जहाँ a3 और ए1 0 के बराबर हैं रूप लेता है


 * $$a_0x^4+a_2x^2+a_4=0\,\!$$

और इस प्रकार एक द्विघात समीकरण है, जिसे हल करना आसान है: चलो $$z=x^2$$, तो हमारा समीकरण बदल जाता है


 * $$a_0z^2+a_2z+a_4=0\,\!$$

जो एक सरल द्विघात समीकरण है, जिसका हल द्विघात सूत्र का उपयोग करके आसानी से पाया जा सकता है:


 * $$z=\frac{-a_2\pm\sqrt{a_2^2-4a_0a_4}}{2a_0} \,\!$$

जब हम इसे हल कर लेते हैं (अर्थात ये दो z मान प्राप्त कर लेते हैं), तो हम उनसे x निकाल सकते हैं


 * $$x_1=+\sqrt{z_+}\,\!$$
 * $$x_2=-\sqrt{z_+}\,\!$$
 * $$x_3=+\sqrt{z_-}\,\!$$
 * $$x_4=-\sqrt{z_-}\,\!$$

यदि कोई भी z समाधान ऋणात्मक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो कुछ x हल सम्मिश्र संख्याएँ हैं।

अर्ध-सममित समीकरण

 * $$a_0x^4+a_1x^3+a_2x^2+a_1 m x+a_0 m^2=0 \,$$

कदम:


 * 1) एक्स द्वारा विभाजित करें 2।
 * 2) परिवर्तनशील परिवर्तन z = x + m/x का उपयोग करें।

एकाधिक जड़ें
यदि क्वार्टिक का एक बहुमूल है, तो इसे इसके व्युत्पन्न के साथ बहुपद का सबसे बड़ा सामान्य भाजक लेकर पाया जा सकता है। तब उन्हें विभाजित किया जा सकता है और परिणामी द्विघात समीकरण को हल किया जा सकता है।

सामान्य मामला
शुरू करने के लिए, क्वार्टिक को पहले एक उदास क्वार्टिक में परिवर्तित किया जाना चाहिए।

डिप्रेस्ड क्वार्टिक
में बदलना होने देना

सामान्य क्वार्टिक समीकरण बनें जिसे हल करना वांछित है। दोनों पक्षों को A से विभाजित करें,
 * $$ x^4 + {B \over A} x^3 + {C \over A} x^2 + {D \over A} x + {E \over A} = 0. $$

एक्स को खत्म करने के लिए पहला कदम होना चाहिए3 अवधि। ऐसा करने के लिए, चर को x से u में बदलें, जैसे कि
 * $$ x = u - {B \over 4 A}. $$

फिर
 * $$ \left( u - {B \over 4 A} \right)^4 + {B \over A} \left( u - {B \over 4 A} \right)^3 + {C \over A} \left( u - {B \over 4 A} \right)^2 + {D \over A} \left( u - {B \over 4 A} \right) + {E \over A} = 0. $$

द्विपदों की शक्तियों का विस्तार करने से उत्पादन होता है
 * $$ \left( u^4 - {B \over A} u^3 + {6 u^2 B^2 \over 16 A^2} - {4 u B^3 \over 64 A^3} + {B^4 \over 256 A^4} \right)

+ {B \over A} \left( u^3 - {3 u^2 B \over 4 A} + {3 u B^2 \over 16 A^2} - {B^3 \over 64 A^3} \right) + {C \over A} \left( u^2 - {u B \over 2 A} + {B^2 \over 16 A^2} \right) + {D \over A} \left( u - {B \over 4 A} \right) + {E \over A} = 0. $$ यू पैदावार की समान शक्तियों को एकत्रित करना
 * $$ u^4 + \left( {-3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A} \right) u^2 + \left( {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A} \right) u + \left( {-3 B^4 \over 256 A^4} + {C B^2 \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A} \right) = 0. $$

अब u के गुणांकों का नाम बदलें। होने देना
 * $$\begin{align}

\alpha & = {-3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A} ,\\ \beta & = {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A} ,\\ \gamma & = {-3 B^4 \over 256 A^4} + {C B^2 \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A}. \end{align}$$ परिणामी समीकरण है

जो एक अवनत चतुर्थक समीकरण है।

यदि $$\beta=0 \ $$ तब हमारे पास एक द्विघात समीकरण # द्विघात समीकरण है, जो (जैसा कि ऊपर बताया गया है) आसानी से हल हो गया है। सामान्य समाधान काम नहीं करेगा अगर β = 0।

किसी भी मामले में, यू के लिए पाए गए मानों को प्रतिस्थापित करना
 * $$ x = u - {B \over 4 A} $$

x के लिए मान देता है।

उदास क्वार्टिक को हल करना जब b≠0
उदास चतुर्थक समीकरण में बदलने के बाद
 * $$ x^4 + a x^2 + b x + c = 0 $$

और विशेष मामले को समाप्त करते हुए जब b=0, हम मानते हैं कि b≠0 इसके बाद। हम शर्तों को अलग कर देंगे
 * $$ x^4 = - a x^2 - b x - c $$

और दोनों पक्षों में ऐसे शब्द जोड़ें जो उन दोनों को वर्ग बनाते हैं। मान लीजिए y इस घन समीकरण का कोई हल है #Vieta का प्रतिस्थापन:
 * $$ 2 y^3 - a y^2 - 2 c y + ( a c - \tfrac14 b^2 ) = ( 2 y - a ) ( y^2 - c ) - \tfrac14 b^2 = 0 $$.

तब (b≠0 का प्रयोग करके)
 * $$ 2 y - a \neq 0 $$

इसलिए हम इसके द्वारा विभाजित कर सकते हैं, दे रहे हैं
 * $$ y^2 - c = \frac{ b^2 }{ 4 ( 2 y - a ) } $$.

फिर
 * $$ ( x^2 + y )^2 = x^4 + 2 y x^2 + y^2 = ( 2 y - a ) x^2 - b x + ( y^2 - c ) = ( 2 y - a ) x^2 - b x + \frac{ b^2 }{ 4 ( 2 y - a ) } = \left( \sqrt{ 2 y - a } \, x - \frac{ b }{ 2 \sqrt{ 2 y - a } } \right)^2 $$.

घटाने पर हमें दो वर्गों का अंतर प्राप्त होता है जो उनके मूलों के योग और अंतर का गुणनफल होता है
 * $$ ( x^2 + y )^2 - \left( \sqrt{ 2 y - a } \, x - \frac{ b }{ 2 \sqrt{ 2 y - a } } \right)^2 = \left( x^2 + \sqrt{ 2 y - a } \, x + y - \frac{ b }{ 2 \sqrt{ 2 y - a } } \right) \left( x^2 - \sqrt{ 2 y - a } \, x + y + \frac{ b }{ 2 \sqrt{ 2 y - a } } \right) = 0 $$

जिसे दो कारकों में से प्रत्येक के लिए द्विघात सूत्र लागू करके हल किया जा सकता है। अतः x के संभावित मान हैं:
 * $$ x = \tfrac12 \left( - \sqrt{ 2 y - a } + \sqrt{ -2 y - a + \frac{ 2 b }{ \sqrt{ 2 y - a } } } \right) $$,
 * $$ x = \tfrac12 \left( - \sqrt{ 2 y - a } - \sqrt{ -2 y - a + \frac{ 2 b }{ \sqrt{ 2 y - a } } } \right) $$,
 * $$ x = \tfrac12 \left( \sqrt{ 2 y - a } + \sqrt{ -2 y - a - \frac{ 2 b }{ \sqrt{ 2 y - a } } } \right) $$, या
 * $$ x = \tfrac12 \left( \sqrt{ 2 y - a } - \sqrt{ -2 y - a - \frac{ 2 b }{ \sqrt{ 2 y - a } } } \right) $$.

घन की तीन जड़ों में से एक और y का उपयोग करने से x के ये चार मान एक अलग क्रम में प्रकट होते हैं। घन के समाधान हैं:
 * $$ y = \frac{a}{6} + w - \frac{p}{3 w} $$
 * $$ w = \sqrt[3]{- \frac{q}{2} + \sqrt{ \frac{q^2}{4} + \frac{p^3}{27} } } $$ तीन घनमूलों में से कोई भी (w के निरपेक्ष मान को अधिकतम करने के लिए वर्गमूल का चिह्न चुनें)
 * $$ p = - \frac{a^2}{12} - c $$
 * $$ q = - \frac{a^3}{108} + \frac{a c}{3} - \frac{b^2}{8} $$.

फेरारी का समाधान
अन्यथा, लोदोविको फेरारी द्वारा खोजी गई विधि के माध्यम से उदास क्वार्टिक को हल किया जा सकता है। एक बार उदास क्वार्टिक प्राप्त हो जाने के बाद, अगला कदम वैध पहचान को जोड़ना है
 * $$ \left(u^2 + \alpha\right)^2 - u^4 - 2 \alpha u^2 = \alpha^2$$

समीकरण के लिए ($$), उपज

प्रभाव यू को फोल्ड करने का रहा है4 शब्द वर्ग संख्या में: (यू2 + क) 2। दूसरा कार्यकाल, αu 2 गायब नहीं हुआ, लेकिन इसका चिन्ह बदल गया है और इसे दाईं ओर ले जाया गया है।

अगला चरण समीकरण के बाईं ओर पूर्ण वर्ग में एक चर y सम्मिलित करना है ($$), और यू के गुणांक में एक संगत 2y2 दाहिनी ओर। इन सम्मिलनों को पूरा करने के लिए, निम्नलिखित मान्य सूत्र समीकरण में जोड़े जाएंगे ($$),

\begin{align} (u^2+\alpha+y)^2-(u^2+\alpha)^2 & = 2y(u^2+\alpha)+ y^2\ \ \\  & = 2yu^2+2y\alpha+y^2, \end{align} $$ तथा
 * $$ 0 = (\alpha + 2 y) u^2 - 2 y u^2 - \alpha u^2\,$$

ये दो सूत्र, एक साथ जुड़कर, उत्पादन करते हैं
 * $$ \left(u^2 + \alpha + y\right)^2 - \left(u^2 + \alpha\right)^2 = \left(\alpha + 2 y\right) u^2 - \alpha u^2 + 2 y \alpha + y^2 \qquad \qquad (y\hbox{-insertion})\,$$

जो समीकरण में जोड़ा गया ($$) पैदा करता है
 * $$ \left(u^2 + \alpha + y\right)^2 + \beta u + \gamma = \left(\alpha + 2 y\right) u^2 + \left(2 y \alpha + y^2 + \alpha^2\right).\,$$

यह इसके बराबर है

अब उद्देश्य y के लिए एक ऐसा मान चुनना है जिससे समीकरण के दाईं ओर ($$) एक पूर्ण वर्ग बन जाता है। यह द्विघात फलन के विविक्तकर को शून्य होने देकर किया जा सकता है। इसे समझाने के लिए, पहले एक पूर्ण वर्ग का विस्तार करें ताकि यह द्विघात फलन के बराबर हो:
 * $$ \left(s u + t\right)^2 = \left(s^2\right) u^2 + \left(2 s t\right) u + \left(t^2\right).\,$$

दाईं ओर द्विघात फलन के तीन गुणांक हैं। यह सत्यापित किया जा सकता है कि दूसरे गुणांक को चुकता करना और फिर पहले और तीसरे गुणांक के गुणनफल का चार गुना घटाना शून्य देता है:
 * $$ \left(2 s t\right)^2 - 4 \left(s^2\right) \left(t^2\right) = 0.\,$$

इसलिए समीकरण का दाहिना पक्ष बनाने के लिए ($$) एक पूर्ण वर्ग में, निम्नलिखित समीकरण को हल किया जाना चाहिए:
 * $$ (-\beta)^2 - 4 \left(2 y + \alpha\right) \left(y^2 + 2 y \alpha + \alpha^2 - \gamma\right) = 0.\,$$

द्विपद को बहुपद से गुणा कीजिए,
 * $$ \beta^2 - 4 \left(2 y^3 + 5 \alpha y^2 + \left(4 \alpha^2 - 2 \gamma\right) y + \left(\alpha^3 - \alpha \gamma\right)\right) = 0\,$$

दोनों पक्षों को −4 से विभाजित करें, और −β को स्थानांतरित करें2/4 दाईं ओर,
 * $$ 2 y^3 + 5 \alpha y^2

+ \left( 4 \alpha^2 - 2 \gamma \right) y + \left( \alpha^3 - \alpha \gamma - \frac{\beta^2}{4} \right) = 0 $$ दोनों पक्षों को 2 से भाग दें,

यह y में एक घन समीकरण है। ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए किसी भी विधि का उपयोग करके y के लिए हल करें (उदाहरण के लिए कम घन में रूपांतरण और कार्डानो के सूत्र का अनुप्रयोग)। तीन संभावित जड़ों में से कोई भी करेगा।

दूसरे पूर्ण वर्ग को मोड़ना
y के मान को इस प्रकार चुने जाने पर, अब यह ज्ञात हो गया है कि समीकरण का दाहिना पक्ष ($$) रूप का एक पूर्ण वर्ग है
 * $$\left(s^2\right)u^2 + (2st)u + \left(t^2\right) = \left(\left(\sqrt{s^2}\right)u + {(2st) \over 2\sqrt{s^2}}\right)^2$$
 * (यह वर्गमूल के दोनों चिह्नों के लिए सही है, जब तक कि दोनों वर्गमूलों के लिए एक ही चिह्न लिया जाता है। A ± निरर्थक है, क्योंकि यह इस पृष्ठ के नीचे कुछ अन्य ± कुछ समीकरणों द्वारा अवशोषित किया जाएगा।)

ताकि इसे फोल्ड किया जा सके:
 * $$ (\alpha + 2 y) u^2 + (- \beta) u + \left(y^2 + 2 y \alpha + \alpha^2 - \gamma \right) = \left( \left(\sqrt{\alpha + 2y}\right)u + {(-\beta) \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}} \right)^2.$$
 * नोट: अगर β ≠ 0 तो α + 2y ≠ 0. अगर β = 0 तो यह द्विवर्गीय समीकरण होगा, जिसे हमने पहले हल किया था।

इसलिए समीकरण ($$) बन जाता है

समीकरण ($$) में मुड़े हुए पूर्ण वर्गों की एक जोड़ी है, जो समीकरण के प्रत्येक तरफ एक है। दो पूर्ण वर्ग एक दूसरे को संतुलित करते हैं।

यदि दो वर्ग बराबर हैं, तो दोनों वर्गों की भुजाएँ भी बराबर होती हैं, जैसा कि निम्न द्वारा दिखाया गया है:

यू की शक्तियों को एकत्रित करने से पैदा होता है


 * नोट: का सबस्क्रिप्ट एस $$\pm_s$$ तथा $$\mp_s$$ यह ध्यान रखना है कि वे निर्भर हैं।

समीकरण ($$) यू के लिए एक द्विघात समीकरण है। इसका समाधान है
 * $$u=\frac{\pm_s\sqrt{\alpha + 2 y} \pm_t \sqrt{(\alpha + 2y) - 4\left(\alpha + y \pm_s {\beta \over 2\sqrt{\alpha + 2 y}}\right)}}{2}.$$

सरलीकरण, एक हो जाता है
 * $$u={\pm_s\sqrt{\alpha + 2 y} \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2y \pm_s {2\beta \over \sqrt{\alpha + 2 y}} \right)} \over 2}.$$

यह उदास क्वार्टिक का समाधान है, इसलिए मूल क्वार्टिक समीकरण के समाधान हैं


 * याद रखें: दो $$\pm_s$$ समीकरण में एक ही स्थान से आते हैं ($$), और दोनों का एक ही चिन्ह होना चाहिए, जबकि का चिन्ह $$\pm_t$$ स्वतंत्र है।

फेरारी की विधि का सारांश
क्वार्टिक समीकरण दिया गया है


 * $$ A x^4 + B x^3 + C x^2 + D x + E = 0, \,$$

इसका समाधान निम्नलिखित गणनाओं के माध्यम से पाया जा सकता है:


 * $$ \alpha = - {3 B^2 \over 8 A^2} + {C \over A}, $$
 * $$ \beta = {B^3 \over 8 A^3} - {B C \over 2 A^2} + {D \over A}, $$
 * $$ \gamma = - {3 B^4 \over 256 A^4} + {C B^2 \over 16 A^3} - {B D \over 4 A^2} + {E \over A}. $$

यदि $$\,\beta=0,$$ फिर


 * $$x=-{B\over 4A}\pm_s\sqrt{-\alpha\pm_t\sqrt{\alpha^2-4\gamma}\over 2}\qquad \mbox{(for } \beta=0 \mbox{ only)}.$$

अन्यथा, साथ जारी रखें


 * $$ P = - {\alpha^2 \over 12} - \gamma, $$
 * $$ Q = - {\alpha^3 \over 108} + {\alpha \gamma \over 3} - {\beta^2 \over 8}, $$
 * $$ R = -{Q\over 2} \pm \sqrt{{Q^{2}\over 4}+{P^{3}\over 27}},$$

(वर्गमूल का कोई भी चिन्ह काम करेगा)


 * $$ U = \sqrt[3]{R},$$

(यहां 3 जटिल जड़ें हैं, उनमें से कोई एक काम करेगा)


 * $$ y = - {5 \over 6} \alpha + \begin{cases}U=0 &\to -\sqrt[3]{Q}\\U\ne 0, &\to U - {P\over 3U} ,\end{cases} \quad\quad\quad $$
 * $$W=\sqrt{ \alpha + 2 y}$$
 * $$ x = - {B \over 4 A} + { \pm_s W \pm_t \sqrt{-\left(3\alpha + 2 y \pm_s {2\beta\over W} \right) }\over 2 }.$$
 * दो ±s एक ही चिह्न होना चाहिए, ±t स्वतंत्र है। सभी मूल प्राप्त करने के लिए ± के लिए x की गणना करेंs,±t = +,+ और +,− के लिए; और −,+ और −,− के लिए। यह सूत्र बिना किसी समस्या के बार-बार होने वाली जड़ों को संभालता है।

इन जटिल समाधानों में से एक की खोज करने वाला फेरारी पहला था. उन्होंने जो समीकरण हल किया वह था


 * $$ x^4 + 6 x^2 - 60 x + 36 = 0 $$

जो पहले से ही डिप्रेस्ड फॉर्म में था। इसमें समाधानों की एक जोड़ी है जो ऊपर दिखाए गए सूत्रों के सेट के साथ मिल सकती है।

वास्तविक गुणांकों के विशेष मामले में फेरारी का समाधान
यदि क्वार्टिक समीकरण के गुणांक वास्तविक हैं तो नेस्टेड अवनत घन समीकरण ($$) के वास्तविक गुणांक भी हैं, इस प्रकार इसकी कम से कम एक वास्तविक जड़ है।

इसके अलावा घन समारोह
 * $$ C(v) = v^3 + P v + Q,$$

जहां पी और क्यू द्वारा दिया जाता है ($$) के गुण होते हैं
 * $$ C\left({\alpha \over 3}\right) = {-\beta^2 \over 8} < 0 $$ तथा

$$\lim_{v\to \infty} C(v) = \infty,$$ जहां α और β द्वारा दिया जाता है ($$).

इस का मतलब है कि ($$) से बड़ा वास्तविक मूल है $$\alpha \over 3$$, और इसलिए कि ($$) से बड़ा वास्तविक मूल है $$-\alpha \over 2$$.

इस मूल शब्द का प्रयोग करना $$\sqrt{\alpha + 2 y}$$ में ($$) हमेशा वास्तविक होता है, जो सुनिश्चित करता है कि दो द्विघात समीकरण ($$) वास्तविक गुणांक हैं।

कठिन तरीके से वैकल्पिक समाधान प्राप्त करना
ऐसा हो सकता है कि उपरोक्त सूत्रों के माध्यम से केवल एक समाधान प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि चार समाधानों के लिए सभी चार साइन पैटर्न का प्रयास नहीं किया जाता है, और प्राप्त समाधान जटिल संख्या है। यह भी हो सकता है कि कोई केवल एक वास्तविक समाधान की तलाश कर रहा हो। चलो एक्स1 जटिल समाधान को निरूपित करें। यदि सभी मूल गुणांक ए, बी, सी, डी और ई वास्तविक हैं - जो तब होना चाहिए जब कोई केवल वास्तविक समाधान चाहता है - तो एक और जटिल समाधान x है2 जो x का जटिल संयुग्म है1. यदि अन्य दो जड़ों को x के रूप में निरूपित किया जाता है3 और एक्स4 तब चतुर्थक समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$ (x - x_1) (x - x_2) (x - x_3) (x - x_4) = 0, \,$$

लेकिन यह द्विघात समीकरण दो द्विघात समीकरणों के गुणनफल के बराबर है:

तथा

तब से
 * $$ x_2 = x_1^\star $$

फिर

\begin{align} (x-x_1)(x-x_2)&=x^2-(x_1+x_1^\star)x+x_1x_1^\star \\ &=x^2-2\operatorname{Re}(x_1)x+[\operatorname{Re}(x_1)]^2+[\operatorname{Im}(x_1)]^2. \end{align} $$ होने देना
 * $$ a = - 2\operatorname{Re}(x_1), $$
 * $$ b = \left[ \operatorname{Re}( x_1) \right]^{2} + \left[ \operatorname{Im}(x_1) \right]^{2} $$

ताकि समीकरण ($$) बन जाता है

मान लीजिए (अज्ञात) चर w और v ऐसे हैं कि समीकरण ($$) बन जाता है

गुणन समीकरण ($$) तथा ($$) पैदा करता है

तुलना समीकरण ($$) मूल चतुर्थक समीकरण के लिए, यह देखा जा सकता है
 * $$ a + w = {B \over A}, $$
 * $$ b + w a + v = {C \over A}, $$
 * $$ w b + v a = {D \over A}, $$

तथा
 * $$ v b = {E \over A}. $$

इसलिए
 * $$ w = {B \over A} - a = {B \over A} + 2 \operatorname{Re}(x_1), $$
 * $$ v = {E \over A b} = \frac{E}{A \left( \left[ \operatorname{Re}(x_1) \right]^2 + \left[ \operatorname{Im}(x_1) \right]^2 \right) }. $$

समीकरण ($$) x उपज के लिए हल किया जा सकता है
 * $$ x_3 = {-w + \sqrt{w^2 - 4 v} \over 2}, $$
 * $$ x_4 = {-w - \sqrt{w^2 - 4 v} \over 2}. $$

इन दो समाधानों में से एक वांछित वास्तविक समाधान होना चाहिए।

पहले सिद्धांतों से त्वरित और यादगार समाधान
क्वार्टिक समीकरण के अधिकांश पाठ्यपुस्तक समाधानों के लिए एक जादुई प्रतिस्थापन की आवश्यकता होती है जिसे याद रखना लगभग असंभव है। इसे समझने का एक तरीका यहां दिया गया है जिससे इसे समझना आसान हो जाता है।

काम पूरा हो गया है अगर हम क्वार्टिक समीकरण को दो द्विघात समीकरण के उत्पाद में कारक बना सकते हैं। होने देना



\begin{align} 0 &= x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e \\ &= \left(x^2 + px + q\right)\left(x^2 + rx + s\right) \\ &= x^4 + (p + r)x^3 + (q + s + pr)x^2 + (ps + qr)x + qs \end{align} $$ गुणांकों की बराबरी करके, इसके परिणामस्वरूप एक साथ समीकरणों के निम्नलिखित सेट होते हैं:

\begin{align} b & = p + r \\ c & = q + s + pr \\ d & = ps + qr \\ e & = qs \end{align} $$ इसे हल करना जितना दिखता है उससे कहीं अधिक कठिन है, लेकिन यदि हम फिर से एक क्वार्टिक समीकरण के साथ शुरू करते हैं#डिप्रेस्ड क्वार्टिक में परिवर्तित करना जहां $$b = 0$$, जिसे प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया जा सकता है $$(x - b/4)$$ के लिये $$x$$, फिर $$r = -p$$, तथा:

\begin{align} c + p^2 & = s + q \\ d/p & = s - q \\ e & = sq \end{align} $$ अब दोनों को खत्म करना आसान है $$s$$ तथा $$q$$ निम्नलिखित करके:

\begin{align} \left(c + p^2\right)^2 - (d/p)^2 & = (s + q)^2 - (s - q)^2 \\ & = 4sq \\ & = 4e \end{align} $$ अगर हम सेट करते हैं $$P = p^2$$, तब यह समीकरण घन समीकरण में बदल जाता है:
 * $$P^3 + 2cP^2 + \left(c^2 - 4e\right)P - d^2 = 0$$

जो कहीं और हल हो गया है। एक बार आपके पास है $$p$$, फिर:

\begin{align} r & = -p \\ 2s & = c + p^2 + d/p \\ 2q & = c + p^2 - d/p \end{align} $$ इस समाधान में समरूपता देखने में आसान है। क्यूबिक की तीन जड़ें हैं, तीन तरीकों से संबंधित है कि क्वार्टिक को दो क्वाड्रैटिक्स में विभाजित किया जा सकता है, और सकारात्मक या नकारात्मक मानों का चयन किया जा सकता है $$p$$ के वर्गमूल के लिए $$P$$ केवल दो चतुष्कोणों का एक दूसरे के साथ आदान-प्रदान करता है।

गाल्वा सिद्धांत और गुणनखंड
सममित समूह एस4 चार तत्वों पर सामान्य उपसमूह के रूप में क्लेन चार-समूह है। यह एक विलायक का उपयोग करने का सुझाव देता है जिसकी जड़ों को अलग-अलग फूरियर ट्रांसफॉर्म या जड़ों के हैडमार्ड मैट्रिक्स ट्रांसफॉर्म के रूप में वर्णित किया जा सकता है। मान लीजिए आरi i के लिए 0 से 3 तक के मूल हैं
 * $$x^4 + bx^3 + cx^2 + dx + e = 0\qquad (1)$$ अगर हम अब सेट करते हैं
 * $$ \begin{align}

s_0 &= \tfrac12(r_0 + r_1 + r_2 + r_3), \\ s_1 &= \tfrac12(r_0 - r_1 + r_2 - r_3), \\ s_2 &= \tfrac12(r_0 + r_1 - r_2 - r_3), \\ s_3 &= \tfrac12(r_0 - r_1 - r_2 + r_3), \end{align}$$ तब क्योंकि रूपान्तरण एक अंतर्वलन (गणित) है, हम मूलों को चार s के रूप में व्यक्त कर सकते हैंi ठीक उसी तरह। चूँकि हम मान s जानते हैं0 = −b/2, हमें वास्तव में केवल s के मानों की आवश्यकता है1, एस2 और एस3. इन्हें हम बहुपद का विस्तार करके प्राप्त कर सकते हैं
 * $$\left(z^2 - s_1^2\right)\left(z^2-s_2^2\right)\left(z^2-s_3^2\right)\qquad (2)$$

जो अगर हम सरल धारणा बनाते हैं कि b = 0, के बराबर है
 * $$z^6 + 2cz^4 + \left(c^2-4e\right) z^2 - d^2 \qquad(3)$$

यह बहुपद डिग्री छह का है, लेकिन z में केवल डिग्री तीन का है2, और इसलिए संगत समीकरण हल करने योग्य है। परीक्षण द्वारा हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि कौन सी तीन जड़ें सही हैं, और इसलिए क्वार्टिक के समाधान खोजें।

हम गुणनखंडन के लिए समान विलायक बहुपद के मूल का उपयोग करके परीक्षण के लिए किसी भी आवश्यकता को हटा सकते हैं; अगर डब्ल्यू (3) की कोई जड़ है, और अगर


 * $$F_1 = x^2+wx+\frac 1 2 w^2+\frac 1 2 c - \frac 1 2\cdot \frac {c^2 w}{d}-\frac 1 2 \cdot\frac {w^5}{d} - \frac{cw^3}{d} + 2\frac {ew}{d}$$
 * $$F_2 = x^2-wx + \frac 1 2 w^2 + \frac 1 2 c + \frac 1 2\cdot \frac{w^5}{d} + \frac {cw^3}{d} - 2\frac {ew}{d} + \frac 1 2\cdot \frac {c^2 w}{d}$$

फिर


 * $$F_1 F_2 = x^4 + cx^2 + dx + e\qquad\qquad (4)$$

इसलिए हम w के लिए हल करके और फिर द्विघात सूत्र का उपयोग करके दो कारकों की जड़ों को हल करके क्वार्टिक को हल कर सकते हैं।

अनुमानित तरीके
ऊपर वर्णित विधियाँ, सिद्धांत रूप में, सटीक विधियाँ हैं जो एक बार और सभी के लिए जड़ें खोज लेती हैं। उन तरीकों का उपयोग करना भी संभव है जो क्रमिक सन्निकटन देते हैं जो प्रत्येक पुनरावृत्ति के साथ उम्मीद से बेहतर होते हैं। एक बार ऐसी विधि डूरंड-कर्नर विधि है। क्विंटिक और उच्च समीकरणों को हल करने की कोशिश करते समय, विशेष मामलों के अलावा, ऐसी विधियां ही उपलब्ध हो सकती हैं।

यह भी देखें

 * रेखीय समीकरण
 * द्विघात समीकरण
 * घन समीकरण
 * पंचांग समीकरण
 * बहुपद
 * न्यूटन की विधि

संदर्भ

 * Ferrari's achievement

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * अंक शास्त्र
 * नवीं जड़
 * आर्स मैग्ना (गेरोलमो कार्डानो)
 * गाल्वा सिद्धांत
 * घन बहुपद
 * बहुपद का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक
 * भूलभुलैया
 * जटिल सन्युग्म
 * इन्वोल्यूशन (गणित)
 * क्विंटिक समीकरण

बाहरी संबंध

 * Calculator for solving Quartics