प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत)

समुच्चय सिद्धांत में, दो समुच्चय का प्रतिच्छेदन (गणित) $$A$$ तथा $$B,$$ द्वारा चिह्नित $$A \cap B,$$ के सभी तत्वों से युक्त सेट है $$A$$ वह भी संबंधित है $$B$$ या समकक्ष, के सभी तत्व $$B$$ वह भी संबंधित है $$A.$$

संकेतन और शब्दावली
चौराहा प्रतीक का उपयोग करके लिखा गया है$$\cap$$शर्तों के बीच; यानी इंफिक्स नोटेशन में। उदाहरण के लिए: $$\{1,2,3\}\cap\{2,3,4\}=\{2,3\}$$ $$\{1,2,3\}\cap\{4,5,6\}=\varnothing$$ $$\Z\cap\N=\N$$ $$\{x\in\R:x^2=1\}\cap\N=\{1\}$$ दो से अधिक सेटों के प्रतिच्छेदन (सामान्यीकृत प्रतिच्छेदन) को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $$\bigcap_{i=1}^n A_i$$ जो कैपिटल-सिग्मा नोटेशन के समान है।

इस लेख में प्रयुक्त प्रतीकों की व्याख्या के लिए, गणितीय प्रतीकों की तालिका देखें।

परिभाषा
दो सेटों का चौराहा $$A$$ तथा $$B,$$ द्वारा चिह्नित $$A \cap B$$, उन सभी वस्तुओं का समुच्चय है जो दोनों समुच्चयों के सदस्य हैं $$A$$ तथा $$B.$$ प्रतीकों में: $$A \cap B = \{ x: x \in A \text{ and } x \in B\}.$$ वह है, $$x$$ चौराहे का एक तत्व है $$A \cap B$$ अगर और केवल अगर $$x$$ दोनों का एक तत्व है $$A$$ और का एक तत्व $$B.$$

उदाहरण के लिए:
 * समुच्चय {1, 2, 3} और {2, 3, 4} का प्रतिच्छेदन {2, 3} है।
 * अंक 9 है अभाज्य संख्याओं के समुच्चय {2, 3, 5, 7, 11, ...} और विषम संख्याओं के समुच्चय {1, 3, 5, 7, 9, 11, ...} के प्रतिच्छेदन में, क्योंकि 9 प्रधान नहीं है।

इंटरसेक्टिंग और डिसजॉइंट सेट
हम कहते हैं अगर कुछ मौजूद है $$x$$ वह दोनों का एक तत्व है $$A$$ तथा $$B,$$ ऐसे में हम भी यही कहते हैं. समान रूप से, $$A$$ काटती है $$B$$ अगर उनका चौराहा $$A \cap B$$ एक, जिसका अर्थ है कि कुछ मौजूद है $$x$$ ऐसा है कि $$x \in A \cap B.$$ हम कहते हैं यदि $$A$$ प्रतिच्छेद नहीं करता $$B.$$ सरल भाषा में, उनके पास सामान्य तत्व नहीं हैं। $$A$$ तथा $$B$$ असंयुक्त हैं यदि उनका चौराहा खाली सेट है, चिह्नित है $$A \cap B = \varnothing.$$ उदाहरण के लिए, सेट्स $$\{1, 2\}$$ तथा $$\{3, 4\}$$ असम्बद्ध हैं, जबकि सम संख्याओं का समुच्चय 3 के गुणक (गणित) के समुच्चय को 6 के गुणज में काटता है।

बीजगणितीय गुण
बाइनरी चौराहा एक साहचर्य ऑपरेशन है; यानी किसी भी सेट के लिए $$A, B,$$ तथा $$C,$$ किसी के पास

$$A \cap (B \cap C) = (A \cap B) \cap C.$$इस प्रकार अस्पष्टता के बिना कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है: उपरोक्त में से किसी को भी लिखा जा सकता है $$A \cap B \cap C$$. चौराहा भी कम्यूटेटिव संपत्ति है। यानी किसी के लिए $$A$$ तथा $$B,$$ किसी के पास$$A \cap B = B \cap A.$$ खाली सेट के साथ किसी भी सेट का प्रतिच्छेदन खाली सेट में परिणाम देता है; यानी कि किसी भी सेट के लिए $$A$$, $$A \cap \varnothing = \varnothing$$ इसके अलावा, चौराहा ऑपरेशन Idempotence है; यानी कोई भी सेट $$A$$ संतुष्ट करता है $$A \cap A = A$$. ये सभी गुण तार्किक संयोजन के बारे में समान तथ्यों से अनुसरण करते हैं।

इंटरसेक्शन डिस्ट्रीब्यूटिव प्रॉपर्टी ओवर यूनियन (सेट थ्योरी) और यूनियन डिस्ट्रीब्यूट ओवर इंटरसेक्शन। यानी किसी भी सेट के लिए $$A, B,$$ तथा $$C,$$ किसी के पास $$\begin{align} A \cap (B \cup C) = (A \cap B) \cup (A \cap C) \\ A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C) \end{align}$$ एक ब्रह्मांड के अंदर $$U,$$ कोई पूरक (सेट सिद्धांत) को परिभाषित कर सकता है $$A^c$$ का $$A$$ के सभी तत्वों का समुच्चय होना $$U$$ अंदर नही $$A.$$ इसके अलावा, का चौराहा $$A$$ तथा $$B$$ डी मॉर्गन के कानूनों से आसानी से प्राप्त उनके पूरक के संघ (सेट सिद्धांत) के पूरक के रूप में लिखा जा सकता है:$$A \cap B = \left(A^{c} \cup B^{c}\right)^c$$

मनमाना चौराहा
सबसे सामान्य धारणा मनमाना का प्रतिच्छेदन है सेट का संग्रह। यदि $$M$$ एक खाली सेट सेट है जिसके तत्व स्वयं सेट होते हैं $$x$$ का एक तत्व है का $$M$$ अगर और केवल अगर सार्वभौमिक परिमाणीकरण तत्व $$A$$ का $$M,$$ $$x$$ का एक तत्व है $$A.$$ प्रतीकों में: $$\left( x \in \bigcap_{A \in M} A \right) \Leftrightarrow \left( \forall A \in M, \ x \in A \right).$$ इस अंतिम अवधारणा के लिए अंकन काफी भिन्न हो सकते हैं। सेट थ्योरी कभी लिखेंगे$$\cap M$$, जबकि अन्य इसके बजाय लिखेंगे$$\cap_{A \in M} A$$. बाद के अंकन को सामान्यीकृत किया जा सकता है$$\cap_{i \in I} A_i$$, जो संग्रह के प्रतिच्छेदन को संदर्भित करता है $$\left\{ A_i : i \in I \right\}.$$ यहां $$I$$ एक गैर-खाली सेट है, और $$A_i$$ प्रत्येक के लिए एक सेट है $$i \in I.$$ मामले में कि सूचकांक सेट $$I$$ प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, अनंत गुणनफल के अनुरूप अंकन देखा जा सकता है: $$\bigcap_{i=1}^{\infty} A_i.$$ जब स्वरूपण कठिन हो, तो इसे भी लिखा जा सकता है$$A_1 \cap A_2 \cap A_3 \cap \cdots$$. यह अंतिम उदाहरण, अनगिनत सेटों का प्रतिच्छेदन, वास्तव में बहुत सामान्य है; उदाहरण के लिए, सिग्मा बीजगणित|σ-अलजेब्रा पर लेख देखें।

शून्य चौराहा
ध्यान दें कि पिछले अनुभाग में, हमने उस मामले को बाहर कर दिया था जहाँ $$M$$ खाली सेट था ($$\varnothing$$). कारण इस प्रकार है: संग्रह का प्रतिच्छेदन $$M$$ सेट के रूप में परिभाषित किया गया है (सेट-बिल्डर नोटेशन देखें) $$\bigcap_{A \in M} A = \{x : \text{ for all } A \in M, x \in A\}.$$ यदि $$M$$ खाली है, कोई सेट नहीं है $$A$$ में $$M,$$ तो सवाल बन जाता है कौन सा $$x$$ ' कथित शर्तों को पूरा करते हैं? उत्तर लगता है. कब $$M$$ खाली है, ऊपर दी गई शर्त एक खाली सच्चाई का उदाहरण है। तो खाली परिवार का चौराहा सार्वभौमिक सेट होना चाहिए (प्रतिच्छेदन के संचालन के लिए पहचान तत्व), लेकिन मानक (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत) सेट सिद्धांत में, सार्वभौमिक सेट मौजूद नहीं है।

प्रकार सिद्धांत में हालांकि, $$x$$ निर्धारित प्रकार का है $$\tau,$$ इसलिए चौराहा प्रकार का समझा जाता है $$\mathrm{set}\ \tau$$ (सेट का प्रकार जिसके तत्व अंदर हैं $$\tau$$), और हम परिभाषित कर सकते हैं $$\bigcap_{A \in \empty} A$$ का सार्वभौमिक सेट होना $$\mathrm{set}\ \tau$$ (वह समुच्चय जिसके तत्व सभी प्रकार के पद हैं $$\tau$$).