चक्रवाला विधि

चक्रवाला विधि (चक्रवाल विधि) पेल के समीकरण सहित अनिश्चित समीकरण द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए चक्रीय कलन विधि है। इसका श्रेय आमतौर पर भास्कर द्वितीय को दिया जाता है, (लगभग 1114 - 1185 सीई) हालाँकि कुछ लोग इसका श्रेय जयदेव (गणितज्ञ) (लगभग 950 ~ 1000 ई.पू.) को देते हैं। जयदेव ने बताया कि इस प्रकार के समीकरणों को हल करने के लिए ब्रह्मगुप्त के दृष्टिकोण को सामान्यीकृत किया जा सकता है, और फिर उन्होंने इस सामान्य विधि का वर्णन किया, जिसे बाद में भास्कर द्वितीय ने अपने बीजगणित ग्रंथ में परिष्कृत किया। उन्होंने इसे चक्रवाला विधि कहा: संस्कृत में चक्र का अर्थ पहिया है, जो एल्गोरिदम की चक्रीय प्रकृति का संदर्भ है। सी.-ओ. सेलेनियस का मानना ​​था कि भास्कर के समय या उसके बहुत बाद का कोई भी यूरोपीय प्रदर्शन गणितीय जटिलता की अपनी अद्भुत ऊंचाई को पार नहीं कर सका।

इस विधि को चक्रीय विधि के रूप में भी जाना जाता है और इसमें गणितीय प्रेरण के निशान शामिल हैं।

इतिहास
संस्कृत में चक्र का अर्थ चक्र होता है। लोकप्रिय किंवदंती के अनुसार, चक्रवाला पहाड़ों की पौराणिक श्रृंखला को इंगित करता है जो दीवार की तरह पृथ्वी के चारों ओर परिक्रमा करती है और प्रकाश और अंधेरे से सीमित नहीं है। 628 ई. में ब्रह्मगुप्त ने पेल के समीकरण सहित अनिश्चित द्विघात समीकरणों का अध्ययन किया


 * $$\,x^2 = Ny^2 + 1,$$

न्यूनतम पूर्णांक x और y के लिए. ब्रह्मगुप्त इसे कई एन के लिए हल कर सके, लेकिन सभी के लिए नहीं।

जयदेव (9वीं शताब्दी) और भास्कर (12वीं शताब्दी) ने चक्रवाला विधि का उपयोग करके समीकरण का पहला पूर्ण समाधान प्रस्तुत किया। $$\,x^2 = 61y^2 + 1,$$ समाधान


 * $$\,x = 1 766 319 049, y = 226 153 980.$$

यह मामला अपनी कठिनाई के लिए कुख्यात था, और इसे पहली बार यूरोप में 1657-58 में पियरे डी फ़र्मेट की चुनौती के जवाब में विलियम ब्रौनकर, द्वितीय विस्काउंट ब्रौंकर द्वारा निरंतर भिन्नों का उपयोग करके हल किया गया था। सामान्य समस्या के लिए विधि को पहली बार 1766 में लैग्रेंज द्वारा पूरी तरह से सख्ती से वर्णित किया गया था। हालाँकि, लैग्रेंज की विधि में 61 के वर्गमूल के लिए निरंतर अंश के 21 क्रमिक अभिसरणों की गणना की आवश्यकता होती है, जबकि चक्रवाला विधि बहुत सरल है। सेलेनियस, चक्रवाला विधि के अपने मूल्यांकन में कहते हैं


 * यह विधि न्यूनतम लंबाई के सर्वोत्तम सन्निकटन एल्गोरिदम का प्रतिनिधित्व करती है, जो कई न्यूनतमकरण गुणों के कारण, न्यूनतम प्रयास के साथ और बड़ी संख्या से बचने के साथ स्वचालित रूप से समीकरण का सर्वोत्तम समाधान उत्पन्न करती है। चक्रवाला पद्धति ने हजार वर्ष से भी अधिक समय तक यूरोपीय पद्धतियों का अनुमान लगाया। लेकिन भास्कर के बाद के समय में बीजगणित के पूरे क्षेत्र में कोई भी यूरोपीय प्रदर्शन, हमारे समय के लगभग बराबर, चक्रवाला की अद्भुत जटिलता और सरलता की बराबरी नहीं कर सका।

हरमन हैंकेल चक्रवाला विधि कहते हैं
 * लैग्रेंज से पहले संख्याओं के सिद्धांत में हासिल की गई बेहतरीन चीज़।

विधि
ब्रह्मगुप्त की पहचान से, हम देखते हैं कि दिए गए N के लिए,


 * $$(x_1x_2 + Ny_1y_2)^2 - N(x_1y_2 + x_2y_1)^2 = (x_1^2 - Ny_1^2)(x_2^2 - Ny_2^2)$$

समीकरण के लिए $$x^2 - Ny^2 = k$$, यह दो समाधान त्रिगुणों की संरचना (समासा) की अनुमति देता है $$(x_1, y_1, k_1)$$ और $$(x_2, y_2, k_2)$$ नये त्रिक में


 * $$(x_1x_2 + Ny_1y_2 \,,\, x_1y_2 + x_2y_1 \,,\, k_1k_2).$$

सामान्य विधि में, मुख्य विचार यह है कि कोई भी त्रिक $$(a,b,k)$$ (अर्थात् जो संतुष्ट करता हो $$a^2 - Nb^2 = k$$) की रचना तुच्छ त्रिगुण से की जा सकती है $$(m, 1, m^2 - N)$$ नया ट्रिपल पाने के लिए $$(am + Nb, a+bm, k(m^2-N))$$ किसी भी एम के लिए मान लीजिए कि हमने इसके लिए ट्रिपल से शुरुआत की $$\gcd(a,b)=1$$, इसे k द्वारा छोटा किया जा सकता है (यह भास्कर का लेम्मा है):


 * $$a^2 - Nb^2 = k \Rightarrow \left(\frac{am+Nb}{k}\right)^2 - N\left(\frac{a+bm}{k}\right)^2 = \frac{m^2-N}{k}$$

चूँकि वर्गों के अंदर के चिह्न कोई मायने नहीं रखते, निम्नलिखित प्रतिस्थापन संभव हैं:


 * $$a\leftarrow\frac{am+Nb}{|k|}, b\leftarrow\frac{a+bm}{|k|}, k\leftarrow\frac{m^2-N}{k}$$

जब धनात्मक पूर्णांक m चुना जाता है ताकि (a+bm)/k पूर्णांक हो, तो त्रिक में अन्य दो संख्याएँ भी पूर्णांक होती हैं। ऐसे m में से, विधि उस विधि को चुनती है जो m के निरपेक्ष मान को न्यूनतम करती है2 − N और इसलिए (m) का2 − N)/k. फिर चुने गए मान के बराबर m के लिए प्रतिस्थापन संबंध लागू किए जाते हैं। इसका परिणाम नया त्रिक (ए, बी, के) होता है। यह प्रक्रिया त्रिगुण तक दोहराई जाती है $$k=1$$ पाया जाता है। यह विधि हमेशा समाधान के साथ समाप्त होती है (1768 में लैग्रेंज द्वारा सिद्ध)। वैकल्पिक रूप से, हम तब रुक सकते हैं जब k ±1, ±2, या ±4 हो, क्योंकि ब्रह्मगुप्त का दृष्टिकोण उन मामलों के लिए समाधान देता है।

ब्रह्मगुप्त की रचना विधि
628 ई. में ब्रह्मगुप्त ने सामान्य रास्ता खोजा $$x$$ और $$y$$ का $$x^2 = Ny^2 + 1,$$ जब दिया गया $$a^2 = Nb^2 + k$$, जब k ±1, ±2, या ±4 है।

के = -1
त्रिगुण की रचना करने के लिए, ब्रह्मगुप्त की पहचान का उपयोग करना $$(a,b,k)$$ स्वयं के साथ:

$$(a^2+Nb^2)^2-N(2ab)^2=k^2$$ $$\Rightarrow$$ $$(2a^2-k)^2-N(2ab)^2=k^2$$ नये त्रिक को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है $$(2a^2-k,2ab,k^2)$$. स्थानापन्न $$k=-1$$ समाधान पाने के लिए:

$$x=2a^2+1, y=2ab$$

के = ±2
पुनः समीकरण का उपयोग करते हुए, $$(2a^2-k)^2-N(2ab)^2=k^2$$$$\Rightarrow$$$$ \left( \frac{2a^2-k}{k} \right)^2-N \left (\frac{2ab}{k} \right)^2=1$$ स्थानापन्न $$k=2$$,

$$x=a^2-1, y=ab$$ स्थानापन्न $$k=-2$$,

$$x=a^2+1, y=ab$$

के = 4
स्थानापन्न $$k=4$$ समीकरण में $$(\frac{2a^2-4}{4})^2-N(\frac{2ab}{4})^2=1$$ त्रिगुण बनाता है $$(\frac{a^2-2}{2},\frac{ab}{2},1)$$.

जो समाधान है यदि $$a$$ सम है:

$$x=\frac{a^2-2}{2}, y=\frac{ab}{2} $$ यदि a विषम है, तो समीकरणों से प्रारंभ करें $$(\frac{a}{2})^2-N(\frac{b}{2})^2=1$$ और $$(\frac{2a^2-4}{4})^2-N(\frac{2ab}{4})^2=1$$.

त्रिगुणों की ओर ले जाना $$(\frac{a}{2},\frac{b}{2},1)$$ और $$(\frac{a^2-2}{2},\frac{ab}{2},1)$$. त्रिगुणों की रचना करने से लाभ मिलता है $$(\frac{a}{2}(a^2-3))^2-N(\frac{b}{2}(a^2-1))^2=1$$ कब $$a$$ अजीब है,

$$x=\frac{a}{2}(a^2-3)), y=(\frac{b}{2}(a^2-1))$$

के = -4
कब $$k=-4$$, तब $$(\frac{a}{2})^2-N(\frac{b}{2})^2=-1$$. स्वयं के साथ रचना करने से लाभ मिलता है $$(\frac{a^2+Nb^2}{4})^2-N(\frac{ab}{2})^2=1$$$$\Rightarrow$$$$(\frac{a^2+2}{2})^2-N(\frac{ab}{2})^2=1$$.

फिर से रचना करने से ही लाभ मिलता है $$(\frac{(a^2+2)^2+Na^2b^2)}{4})^2-N(\frac{ab(a^2+2)}{2})^2=1$$$$\Rightarrow$$ $$(\frac{a^4+4a^2+2}{2})^2-N(\frac{ab(a^2+2)}{2})^2=1$$ अंत में, पहले के समीकरणों से, त्रिगुणों की रचना करें $$(\frac{a^2+2}{2},\frac{ab}{2},1)$$ और $$(\frac{a^4+4a^2+2}{2},\frac{ab(a^2+2)}{2},1)$$, पाने के

$$(\frac{(a^2+2)(a^4+4a^2+2)+Na^2b^2 (a^2+2)}{4})^2-N(\frac{ab(a^4+4a^2+3)}{2})^2=1$$$$\Rightarrow$$$$(\frac{(a^2+2)(a^4+4a^2+1)}{2})^2-N(\frac{ab(a^2+3)(a^2+1)}{2})^2=1$$$$\Rightarrow$$$$(\frac{(a^2+2)[(a^2+1)(a^2+3)-2)]}{2})^2-N(\frac{ab(a^2+3)(a^2+1)}{2})^2=1$$.

इससे हमें समाधान मिलता है

$$x=\frac{(a^2+2)[(a^2+1)(a^2+3)-2)]}{2} y=\frac{ab(a^2+3)(a^2+1)}{2}$$ (टिप्पणी, $$k=-4$$ पेल के समीकरण|पेल के समीकरण का समाधान खोजने के लिए उपयोगी है, लेकिन यह हमेशा सबसे छोटा पूर्णांक युग्म नहीं होता है। जैसे $$36^2-52*5^2=-4$$. समीकरण आपको देगा $$x=1093436498,y=151632270$$, जिसे पेल के समीकरण में डालने पर परिणाम मिलता है $$1195601955878350801-1195601955878350800 = 1$$, जो काम करता है, लेकिन ऐसा करता है $$x = 649,y=90$$ के लिए $$N=52$$.

एन = 61
n = 61 मामला (एक पूर्णांक समाधान संतोषजनक निर्धारित करना $$a^2 - 61b^2 = 1$$), कई सदियों बाद फ़र्मेट द्वारा चुनौती के रूप में जारी किया गया, भास्कर द्वारा उदाहरण के रूप में दिया गया था।

हम समाधान से शुरुआत करते हैं $$a^2 - 61b^2 = k$$ किसी भी माध्यम से पाए गए किसी भी k के लिए। इस मामले में हम b को 1 होने दे सकते हैं, इस प्रकार, चूँकि $$8^2 - 61\cdot1^2 = 3$$, हमारे पास त्रिगुण है $$(a,b,k) = (8, 1, 3)$$. इसके साथ रचना कर रहा हूँ $$(m, 1, m^2-61)$$ त्रिगुण देता है $$(8m+61, 8+m, 3(m^2-61))$$, जिसे प्राप्त करने के लिए इसे छोटा किया गया है (या भास्कर की लेम्मा का सीधे उपयोग किया गया है):
 * $$\left( \frac{8m+61}{3}, \frac{8+m}{3}, \frac{m^2-61}{3} \right).$$

3 से विभाजित करने के लिए $$8+m$$ और $$|m^2-61|$$ न्यूनतम होने के लिए, हम चुनते हैं $$m=7$$, ताकि हमारे पास त्रिगुण हो $$(39, 5, -4)$$. अब चूँकि k -4 है, हम ब्रह्मगुप्त के विचार का उपयोग कर सकते हैं: इसे तर्कसंगत समाधान तक बढ़ाया जा सकता है $$(39/2, 5/2, -1)\,$$, जिसने स्वयं के साथ तीन बार रचना की $$m={7,11,9}$$ क्रमशः, जब k वर्गाकार हो जाता है और स्केलिंग लागू की जा सकती है, तो यह मिलता है $$(1523/2, 195/2, 1)\,$$. अंत में, समाधान मिलने तक ऐसी प्रक्रिया दोहराई जा सकती है (9 अतिरिक्त स्व-रचनाओं और 4 अतिरिक्त वर्ग-स्केलिंग की आवश्यकता होगी): $$(1766319049,\, 226153980,\, 1)$$. यह न्यूनतम पूर्णांक समाधान है.

एन = 67
मान लीजिए हमें हल करना है $$x^2 - 67y^2 = 1$$ x और y के लिए. हम समाधान से शुरुआत करते हैं $$a^2 - 67b^2 = k$$ किसी भी माध्यम से पाए गए किसी भी k के लिए; इस मामले में हम b को 1 होने दे सकते हैं, इस प्रकार उत्पादन हो सकता है $$8^2 - 67\cdot1^2 = -3$$. प्रत्येक चरण में, हमें m > 0 इस प्रकार मिलता है कि k, a + bm और |m को विभाजित करता है2 - 67| न्यूनतम है. फिर हम a, b, और k को अपडेट करते हैं $$\frac{am+Nb}{|k|}, \frac{a+bm}{|k|}$$ और $$\frac{m^2-N}{k}$$ क्रमश।

अपने पास $$(a,b,k) = (8,1,-3)$$. हम धनात्मक पूर्णांक m चाहते हैं जिससे कि k, a + bm को विभाजित करता है, अर्थात 3, 8 + m को विभाजित करता है, और |m2 - 67| न्यूनतम है. पहली शर्त का तात्पर्य है कि m फॉर्म 3t + 1 (यानी 1, 4, 7, 10,… आदि) का है, और ऐसे m के बीच, m = 7 के लिए न्यूनतम मान प्राप्त होता है। (a, b, k) को प्रतिस्थापित करना $$\left(\frac{am+Nb}{|k|}, \frac{a+bm}{|k|}, \frac{m^2-N}{k}\right)$$, हमें नए मूल्य मिलते हैं $$a = (8\cdot7+67\cdot1)/3 = 41, b = (8 + 1\cdot7)/3 = 5, k = (7^2-67)/(-3) = 6$$. यानी, हमारे पास नया समाधान है:
 * पहला पुनरावृत्ति
 * $$41^2 - 67\cdot(5)^2 = 6.$$

इस बिंदु पर, चक्रीय एल्गोरिथ्म का दौर पूरा हो गया है।

अब हम प्रक्रिया दोहराते हैं। अपने पास $$(a,b,k) = (41,5,6)$$. हम m > 0 चाहते हैं जैसे कि k a + bm को विभाजित करता है, अर्थात 6, 41 + 5m को विभाजित करता है, और |m2 - 67| न्यूनतम है. पहली शर्त का तात्पर्य है कि m 6t + 5 (अर्थात 5, 11, 17,… आदि) के रूप का है, और ऐसे m के बीच, |m2 - 67| m = 5 के लिए न्यूनतम है। इससे नया समाधान मिलता है a = (41⋅5 + 67⋅5)/6, आदि:
 * दूसरा पुनरावृत्ति


 * $$90^2 - 67 \cdot 11^2 = -7.$$

7 से 90 + 11m को विभाजित करने के लिए, हमारे पास m = 2+7t (अर्थात् 2, 9, 16,…आदि) होना चाहिए और ऐसे m में से हम m = 9 चुनते हैं।
 * तीसरी पुनरावृत्ति


 * $$221^2 - 67\cdot 27^2 = -2.$$

इस बिंदु पर, हम चक्रीय विधि को जारी रख सकते हैं (और यह सात पुनरावृत्तियों के बाद समाप्त हो जाएगी), लेकिन चूंकि दाईं ओर ±1, ±2, ±4 के बीच है, इसलिए हम सीधे ब्रह्मगुप्त के अवलोकन का भी उपयोग कर सकते हैं। त्रिक (221, 27, −2) को स्वयं से संयोजित करने पर, हमें प्राप्त होता है
 * अंतिम समाधान
 * $$ \left(\frac{221^2 + 67\cdot27^2}{2}\right)^2 - 67\cdot(221\cdot27)^2 = 1,$$

अर्थात्, हमारे पास पूर्णांक समाधान है:
 * $$ 48842^2 - 67 \cdot 5967^2 = 1.$$

यह समीकरण अनुमानित है $$\sqrt{67}$$ जैसा $$ \frac{48842}{5967}$$ के बारे में मार्जिन के भीतर $$ 2 \times 10^{-9}$$.

संदर्भ

 * Florian Cajori (1918), Origin of the Name "Mathematical Induction", The American Mathematical Monthly 25 (5), p. 197-201.
 * George Gheverghese Joseph, The Crest of the Peacock: Non-European Roots of Mathematics (1975).
 * G. R. Kaye, "Indian Mathematics", Isis 2:2 (1919), p. 326–356.
 * Clas-Olaf Selenius, "Rationale of the chakravala process of Jayadeva and Bhaskara II", Historia Mathematica 2 (1975), pp. 167–184.
 * Clas-Olaf Selenius, "Kettenbruchtheoretische Erklärung der zyklischen Methode zur Lösung der Bhaskara-Pell-Gleichung", Acta Acad. Abo. Math. Phys. 23 (10) (1963), pp. 1–44.
 * Hoiberg, Dale & Ramchandani, Indu (2000). Students' Britannica India. Mumbai: Popular Prakashan. ISBN 0-85229-760-2
 * Goonatilake, Susantha (1998). Toward a Global Science: Mining Civilizational Knowledge. Indiana: Indiana University Press. ISBN 0-253-33388-1.
 * Kumar, Narendra (2004). Science in Ancient India. Delhi: Anmol Publications Pvt Ltd. ISBN 81-261-2056-8
 * Ploker, Kim (2007) "Mathematics in India". The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook New Jersey: Princeton University Press. ISBN 0-691-11485-4

बाहरी संबंध

 * Introduction to chakravala