अति सूक्ष्म

गणित में, अतिसूक्ष्म संख्या वह मात्रा है जो किसी भी मानक की वास्तविक संख्या की तुलना में 0 के समीप रहती है, किन्तु शून्य नहीं होती है। इस शब्द के अनुसार अनंतता 17वीं सदी के न्यू लैटिन इन्फिनिटसिमस से आया है, जो मूल रूप से अनुक्रम में अनंत-क्रमिक संख्या (भाषाविज्ञान) आइटम को संदर्भित करता है।

मानक वास्तविक संख्या प्रणाली में अपरिमेय सम्मिलित नहीं होते हैं, किन्तु वे अन्य संख्या प्रणालियों में सम्मिलित होते हैं, जैसे कि वास्तविक संख्या और अतिवास्तविक संख्या, जिसे वास्तविक संख्या के रूप में माना जा सकता है, जो कि मुख्य रूप से इसकी अनंत मात्रा को दोनों के साथ संवर्धित करती है, इस संवर्द्धन में दूसरे के गुणात्मक व्युत्क्रम प्रदर्शित होते हैं।

कैलकुलस के इतिहास में अपरिमेय संख्याओं का परिचय दिया गया, जिसमें अवकलन की कल्पना सबसे पहले दो अतिसूक्ष्म राशियों के अनुपात के रूप में की गई थी। इस प्रकार यह परिभाषा कठोर गणितीय कठोरता नहीं थी। इस प्रकार जैसे-जैसे कैलकुलस का और विकास हुआ, इनफिनिटिमल्स को लिमिट (गणित) से बदल दिया गया, जिसकी गणना मानक वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके की जा सकती है।

अब्राहम रॉबिन्सन के गैर-मानक विश्लेषण और अतिवास्तविक संख्याओं के विकास के साथ 20वीं शताब्दी में इन्फिनिटिमल्स ने फिर से लोकप्रियता हासिल की, जिसने सदियों के विवाद के बाद दिखाया कि इन्फिनिटिमल कैलकुलस का औपचारिक उपचार संभव था। इसके बाद, गणितज्ञों ने अतियथार्थवादी संख्याएँ विकसित कीं हैं, जो अनंत और अतिसूक्ष्म संख्याओं से संबंधित औपचारिकता है जिसमें अतिवास्तविक कार्डिनल संख्या और क्रमसूचक संख्या दोनों सम्मिलित हैं, जो कि सबसे बड़ा क्रमित क्षेत्र है।

व्लादिमीर अर्नोल्ड ने 1990 में लिखा था:

"आजकल, विश्लेषण पढ़ाते समय, अतिसूक्ष्म मात्राओं के बारे में बात करना बहुत लोकप्रिय नहीं है। परिणामस्वरूप, वर्तमान समय के छात्र पूर्ण रूप से इस भाषा के कमांड में नहीं हैं। फिर भी, इसकी आज्ञा होना अभी भी आवश्यक है।"

महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि इनफिनिटिमल्स को व्यवहारिक गणितीय संस्थाओं के लिए यह था कि वे अभी भी कुछ गुणों जैसे कि कोण या प्रवणता को बनाए रख सकते हैं, भले ही ये इकाइयां मुख्य रूप से छोटी हों। गॉटफ्रीड लीबनिज द्वारा विकसित कैलकुलस में इनफिनिटिमल्स मौलिक घटक हैं, जिसमें निरंतरता का नियम और एकरूपता का अनुवांशिक नियम सम्मिलित होता है। इस प्रकार सामान्य भाषा में अतिसूक्ष्म वस्तु ऐसी वस्तु है जो किसी भी व्यवहारिक माप से छोटी है, किन्तु आकार में शून्य नहीं है - या इतनी छोटी है कि इसे किसी भी उपलब्ध माध्यम से शून्य से पृथक नहीं किया जा सकता है। इसलिए जब गणित में विशेषण के रूप में प्रयोग किया जाता है, तो अत्यल्प अतिसूक्ष्म का अर्थ होता है, इसके मुख्य रूप को छोटा करके किसी भी मानक वास्तविक संख्या से छोटा कर सकते हैं। इस प्रकार इनफिनिटिमल्स की तुलना अधिकांशतः समान आकार के अन्य इनफिनिटिमल्स से की जाती है, जैसा कि किसी फ़ंक्शन के व्युत्पन्न की जांच करने में होता है। इस प्रकार समाकलन की गणना करने के लिए अपरिमित संख्या में अपरिमित संख्याओं का योग किया जाता है।

इनफिनिटिमल्स की अवधारणा मूल रूप से 1670 के आसपास या तो निकोलस मर्केटर या गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज द्वारा प्रस्तुत की गई थी। आर्किमिडीज ने अपने कार्य यांत्रिक प्रमेयों की विधि में क्षेत्रों के क्षेत्रों और ठोस पदार्थों के आयतन को खोजने के लिए अंततः अविभाज्य की विधि के रूप में जाना जाने वाला उपयोग किया था। अपने औपचारिक प्रकाशित ग्रंथों में, आर्किमिडीज़ ने थकावट की विधि का उपयोग करके उसी समस्या को हल किया गया था। इस प्रकार 15वीं शताब्दी में क्यूसा के निकोलस के कार्य को देखा गया, जो 17वीं शताब्दी में जोहान्स केप्लर द्वारा विकसित किया गया था, इस प्रकार विशेष रूप से इसके बाद वाले रूप को अनंत-पक्षीय बहुभुज के रूप में प्रस्तुत करके वृत्त के क्षेत्रफल की गणना की गयी थी। इसके सोलहवीं शताब्दी में सभी संख्याओं के दशमलव निरूपण पर साइमन स्टीवन के कार्य ने वास्तविक सातत्य के लिए आधार तैयार किया गया था। बोनवेंट्योर कैवलियरी की अविभाज्यता की पद्धति ने मौलिक लेखकों के परिणामों के विस्तार का नेतृत्व किया गया था। ज्यामितीय आकृतियों से संबंधित अविभाज्यता की विधि को कोडिमेंशन 1 की संस्थाओं से बना है। जॉन वालिस के इनफिनिटिमल्स अविभाज्य से भिन्न थे कि वह ज्यामितीय आकृतियों को उसी आयाम के मुख्य रूप से पतले बिल्डिंग ब्लॉक्स में विघटित कर देता हैं, जो इंटीग्रल कैलकुलस के सामान्य तरीकों के लिए जमीन तैयार करता है। उन्होंने क्षेत्रफल की गणना में 1/∞ को इंगित करने वाले अतिसूक्ष्म का उपयोग किया गया था।

लीबनिज द्वारा इनफिनिटिमल्स का उपयोग हेयुरिस्टिक सिद्धांतों पर निर्भर करता है, जैसे कि निरंतरता का नियम: परिमित संख्याओं के लिए जो सफल होता है वह अनंत संख्याओं के लिए भी सफल होता है और इसके विपरीत और एकरूपता का अनुभवातीत नियम जो अनिर्दिष्ट मात्राओं वाले व्यंजकों को केवल आबंटित करने योग्य व्यंजकों से परिवर्तित करने की प्रक्रियाओं को निर्दिष्ट करता है। 18वीं शताब्दी में लियोनहार्ड यूलर और जोसेफ-लुई लाग्रेंज जैसे गणितज्ञों द्वारा इनफिनिटिमल्स का नियमित उपयोग देखा गया था। इस प्रकार ऑगस्टिन-लुई कॉची ने अपने कोर्ट्स डी'एनालिसिस में निरंतर कार्य को परिभाषित करने और डिराक डेल्टा फलन के प्रारंभिक रूप को परिभाषित करने के लिए इनफिनिटिमल्स का शोषण किया था। जैसा कि कैंटर और रिचर्ड डेडेकिंड स्टीविन के सातत्य के अधिक सार संस्करण विकसित कर रहे थे, पॉल डु बोइस-रेमंड ने कार्यों की विकास दर के आधार पर अत्यल्प-समृद्ध महाद्वीप पर कई पत्र लिखे गए थे। इस प्रकार डुबोइस-रेमंड के कार्य ने एमिल बोरेल और थोराल्फ़ स्कोलेम दोनों को प्रेरित किया था। बोरेल ने स्पष्ट रूप से डु बोइस-रेमंड के कार्य को कॉची के कार्य से संयोजित किया था, जो कि इनफिनिटिमल्स की वृद्धि दर पर है। स्कोलेम ने 1934 में अंकगणित के पहले गैर-मानक मॉडल विकसित किए थे। 1961 में अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा निरंतरता और अत्यल्पता के नियम दोनों का गणितीय कार्यान्वयन प्राप्त किया गया था, जिन्होंने 1948 में एडविन हेविट और 1955 में जेरज़ी लोश के पहले के कार्य के आधार पर गैर-मानक विश्लेषण विकसित किया गया था। अति वास्तविक संख्या अतिसूक्ष्म-समृद्ध सातत्य को लागू करती है और स्थानांतरण सिद्धांत लीबनिज के निरंतरता के नियम को लागू करता है। मानक भाग फ़ंक्शन फ़र्मेट की पर्याप्तता को लागू करता है।

अनंत का इतिहास
इलियटिक स्कूल द्वारा मुख्य रूप से छोटी मात्राओं की धारणा पर चर्चा की गई थी। ग्रीक गणित गणितज्ञ आर्किमिडीज़ (सी. 287 ईसा पूर्व – सी. 212 ई.पू.), द मेथड ऑफ़ मैकेनिकल थ्योरम्स में, सबसे पहले इन्फिनिटिमल्स की तार्किक रूप से कठोर परिभाषा प्रस्तावित करने वाले थे। उनकी आर्किमिडीयन संपत्ति संख्या x को अनंत के रूप में परिभाषित करती है, इस प्रकार यदि यह शर्तों को पूरा करती है, इस प्रकार |x|>1, |x|>1+1, |x|>1+1+1, ..., और अनंत है, इस कारण यदि x≠0 और a शर्तों का समान समूह x और धनात्मक पूर्णांकों के व्युत्क्रमों के लिए लागू होता है। इस संख्या प्रणाली को आर्किमिडीयन कहा जाता है यदि इसमें कोई अनंत या अपरिमेय सदस्य नहीं होते हैं।

अंग्रेजी गणितज्ञ जॉन वालिस ने अपनी 1655 की पुस्तक ट्रीटिस ऑन द कॉनिक सेक्शन में अभिव्यक्ति 1/∞ को प्रारंभ किया था। इसका प्रतीक ∞ के व्युत्क्रम, या व्युत्क्रम को दर्शाता है, अतिसूक्ष्म की गणितीय अवधारणा का प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व है। शांकव अनुभागों पर अपने ग्रंथ में, वालिस ने अत्यल्प 1/∞ के प्रतीकात्मक प्रतिनिधित्व के बीच संबंध की अवधारणा पर भी चर्चा की जिसे उन्होंने प्रस्तुत किया और इस प्रकार अनंत की अवधारणा जिसके लिए उन्होंने प्रतीक ∞ का प्रारंभ किया था। अवधारणा परिमित क्षेत्र बनाने के लिए मुख्य चौड़ाई के समानांतर चतुर्भुजों की अनंत संख्या के संयोजन का विचार प्रयोग सुझाती है। यह अवधारणा समाकलन गणित में उपयोग की जाने वाली एकीकरण की आधुनिक पद्धति की पूर्ववर्ती थी। इस प्रकार अतिसूक्ष्म 1/∞ की अवधारणा के वैचारिक उद्गम का पता एलिया के ग्रीक दार्शनिक ज़ेनो के रूप में लगाया जा सकता है, जिसका ज़ेनो का द्विभाजन विरोधाभास परिमित अंतराल और अंतराल के बीच के संबंध पर विचार करने वाली पहली गणितीय अवधारणा थी। जिसके लिए अतिसूक्ष्म आकार का अंतराल उपयोग में लिया जाता हैं।

17 वीं शताब्दी के यूरोप में इन्फिनिटिमल्स राजनीतिक और धार्मिक विवादों का विषय थे, जिसमें 1632 में रोम में मौलवियों द्वारा प्रस्तुत किए गए इनफिनिटिमल्स पर प्रतिबंध भी सम्मिलित था। कलन के आविष्कार से पहले गणितज्ञ पियरे डी फर्मेट की पर्याप्तता की विधि और रेने डेसकार्टेस की सामान्य पद्धति का उपयोग करके स्पर्श रेखाओं की गणना करने में सक्षम थे। विद्वानों के बीच इस बात को लेकर यह विवाद है कि क्या यह विधि अतिसूक्ष्म थी या प्रकृति में बीजगणितीय थी। इस प्रकार जब आइजैक न्यूटन और गॉटफ्राइड लीबनिज ने इनफिनिटिमल कैलकुलस का आविष्कार किया गया था, तो उन्होंने इनफिनिटिमल्स, न्यूटन के फ्लक्सन (गणित) और लीबनिज के अंतर (इनफिनिटिमल) का उपयोग किया था। इस प्रकार जॉर्ज बर्कले ने अपने कार्य विश्लेषक में इनफिनिटिमल्स के उपयोग पर गलत के रूप में हमला किया था। इन गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और इंजीनियरों ने सही परिणाम प्राप्त करने के लिए इनफिनिटिमल्स का उपयोग करना प्रस्तुत किया गया था। इस प्रकार उन्नीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध में, ऑगस्टिन-लुई कॉची, बर्नार्ड बोलजानो, कार्ल वीयरस्ट्रास, जॉर्ज कैंटर, रिचर्ड डेडेकिंड और अन्य लोगों द्वारा (ε, δ) - सीमा और समुच्चय सिद्धांत की परिभाषा का उपयोग करके कैलकुलस में सुधार किया गया था।

जबकि कैंटर, डेडेकिंड और वेइरस्ट्रास के अनुयायियों ने इनफिनिटिमल्स के विश्लेषण से छुटकारा पाने की मांग की थी, और बर्ट्रेंड रसेल और रुडोल्फ कार्नाप जैसे उनके दार्शनिक सहयोगियों ने घोषणा की कि इनफिनिटिमल्स स्यूडोकॉन्सेप्ट्स हैं, हरमन कोहेन और उनके नव-कांतियनवाद के मारबर्ग स्कूल ने इन कार्यों के तर्क विकसित करने की मांग की थी। इंफीनिमल्स फ़िलिप एर्लिच (2006) द्वारा प्रलेखित, उन्नीसवीं और बीसवीं शताब्दी के समय टुल्लियो लेवी-सिविता या लेवी-सिविता, ग्यूसेप वेरोनीज़, पॉल डू बोइस-रेमंड और अन्य के कार्य के माध्यम से इन्फिनिटिमल्स युक्त प्रणालियों का गणितीय अध्ययन प्रस्तुत किया था। इसके लिए 20वीं सदी में, यह पाया गया था कि इनफिनिटिमल्स कैलकुलस और विश्लेषण के लिए आधार के रूप में कार्य कर सकते हैं।

प्रथम-क्रम गुण
अनंत और अतिसूक्ष्म मात्राओं को सम्मिलित करने के लिए वास्तविक संख्याओं का विस्तार करने में, सामान्यतः उनके किसी भी प्राथमिक गुणों को न परिवर्तित किये जितना संभव हो उतना रूढ़िवादी होना चाहता है। यह गारंटी देता है कि यथासंभव अधिक से अधिक जाने-पहचाने परिणाम अभी भी उपलब्ध हैं। सामान्यतः इसका प्राथमिक अर्थ है कि समुच्चय (गणित) पर कोई परिमाणीकरण (तर्क) नहीं है, बल्कि केवल अवयवों पर है। यह सीमा किसी भी संख्या x के लिए प्रपत्र के कथनों की अनुमति देती है। उदाहरण के लिए, किसी भी संख्या x, x + 0 = x के लिए वर्णित अभिगृहीत अभी भी लागू होगा। यही बात कई संख्याओं के परिमाणीकरण के लिए भी सही है, उदाहरण के लिए, किसी भी संख्या x और y, xy = yx के लिए किया जाता हैं। चूंकि संख्या के किसी भी समुच्चय S के लिए फॉर्म के विवरण को प्रस्तुत नहीं रखा जा सकता है। परिमाणीकरण पर इस सीमा के साथ तर्क को प्रथम-क्रम तर्क कहा जाता है।

परिणामी विस्तारित संख्या प्रणाली उन सभी गुणों पर वास्तविक से सहमत नहीं हो सकती है जिन्हें समुच्चय पर परिमाणीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, क्योंकि इस प्रकार लक्ष्य गैर-आर्किमिडीयन प्रणाली का निर्माण करना है, और आर्किमिडीज़ सिद्धांत को समुच्चय पर परिमाणीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है। कोई भी सिद्धांतों को वास्तविक रूप से विस्तारित कर सकता है, इस प्रकार जिसमें समुच्चय सिद्धांत भी सम्मिलित है, इनफिनिटिमल्स को सम्मिलित करने के लिए, केवल स्वयंसिद्धों की अनगिनत अनंत सूची जोड़कर, जो यह प्रमाणित करता है कि संख्या 1/2, 1/3, 1/4, और इसी प्रकार से छोटी है। इसी प्रकार पूर्ण मीट्रिक समतल संपत्ति को आगे ले जाने की उम्मीद नहीं की जा सकती है, क्योंकि वास्तविक समरूपता तक अद्वितीय पूर्ण आदेशित क्षेत्र हैं।

हम तीन स्तरों में अंतर कर सकते हैं जिन पर गैर-आर्किमिडीयन संख्या प्रणाली में वास्तविक के साथ संगत प्रथम-क्रम गुण हो सकते हैं:


 * 1) एक आदेशित क्षेत्र वास्तविक संख्या प्रणाली के सभी सामान्य स्वयंसिद्धों का पालन करता है जिन्हें प्रथम-क्रम तर्क में कहा जा सकता है। उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेयता स्वयंसिद्ध x + y = y + x धारण करता है।
 * 2) एक वास्तविक बंद क्षेत्र में वास्तविक संख्या प्रणाली के सभी प्रथम-क्रम गुण होते हैं, भले ही उन्हें मूल आदेशित फ़ील्ड संबंधों +, ×, और ≤ से जुड़े बातों के लिए सामान्यतः स्वयंसिद्ध के रूप में लिया जाता है या नहीं इस बात का ध्यान रखते हैं। इस प्रकार आदेशित क्षेत्र के स्वयंसिद्धों का पालन करने की तुलना में यह मजबूत स्थिति है। इसे अधिक विशेष रूप में अतिरिक्त प्रथम-क्रम गुण सम्मिलित हैं, जैसे कि प्रत्येक विषम-डिग्री बहुपद के लिए रूट का अस्तित्व हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक संख्या का घनमूल होना चाहिए।
 * 3) सिस्टम में किसी भी संबंध से जुड़े बयानों के लिए वास्तविक संख्या प्रणाली के सभी प्रथम-क्रम गुण हो सकते हैं (भले ही उन संबंधों को +, × और ≤ का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है)। उदाहरण के लिए, एक उन लोगों के फ़ंक्शन होना चाहिए जो इस प्रकार अनंत इनपुट के लिए अच्छी तरह से परिभाषित होती हैं इसका प्रत्येक वास्तविक कार्य के लिए भी यही सत्य है।

स्पेक्ट्रम के कमजोर छोर पर श्रेणी 1 में सिस्टम के निर्माण के लिए अपेक्षाकृत सरल हैं, किन्तु न्यूटन और लाइबनिज की भावना में अपरिमेय का उपयोग करके मौलिक विश्लेषण के पूर्ण उपचार की अनुमति नहीं देते हैं। उदाहरण के लिए, पारलौकिक कार्यों को अनंत सीमित प्रक्रियाओं के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, और इस प्रकार इसलिए उन्हें पहले क्रम के तर्क में परिभाषित करने का कोई तरीका नहीं है। श्रेणी 2 और 3 में जाने से प्रणाली की विश्लेषणात्मक शक्ति में वृद्धि करते हुए हम पाते हैं कि उपचार का स्वाद कम रचनात्मक हो जाता है, और अनंत और अपरिमेय की पदानुक्रमित संरचना के बारे में कुछ भी ठोस कहना कठिन हो जाता है।

लॉरेंट श्रृंखला
उपरोक्त श्रेणी 1 का उदाहरण लॉरेंट श्रृंखला का क्षेत्र है जिसमें नकारात्मक-शक्ति शर्तों की सीमित संख्या है। उदाहरण के लिए, लॉरेंट श्रृंखला जिसमें केवल निरंतर शब्द 1 सम्मिलित है, वास्तविक संख्या 1 के साथ पहचाना जाता है, और केवल रैखिक शब्द x वाली श्रृंखला को सबसे सरल अपरिमेय माना जाता है, जिससे अन्य अपरिमेय निर्मित होते हैं। इसके लिए डिक्शनरी ऑर्डरिंग का उपयोग किया जाता है, जो निम्न शक्तियों की तुलना में x की उच्च शक्तियों को नगण्य मानने के बराबर है। इस कारण डेविड ओ टाल इस प्रणाली को सुपर-वास्तविक के रूप में संदर्भित करता है, डेल्स और वुडिन की सुपर-वास्तविक संख्या प्रणाली के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। चूँकि टेलर श्रृंखला का मूल्यांकन लॉरेंट श्रृंखला के साथ किया जाता है क्योंकि इसका तर्क अभी भी लॉरेंट श्रृंखला है, यदि वे विश्लेषणात्मक हैं तो प्रणाली का उपयोग पारलौकिक कार्यों पर कलन करने के लिए किया जा सकता है। इन अत्यणुओं के पहले-क्रम के गुण वास्तविक से भिन्न होते हैं, क्योंकि उदाहरण के लिए मौलिक अत्यल्प x का वर्गमूल नहीं होता है।

लेवी-सिविता क्षेत्र
लेवी-सिविता क्षेत्र लॉरेंट श्रृंखला के समान है, किन्तु बीजगणितीय रूप से बंद है। उदाहरण के लिए, बेसिक इनफिनिटिमल x का वर्गमूल है। इस प्रकार यह क्षेत्र पर्याप्त मात्रा में विश्लेषण करने की अनुमति देने के लिए पर्याप्त समृद्ध है, किन्तु इसके अवयवों को अभी भी कंप्यूटर पर उसी अर्थ में प्रदर्शित किया जा सकता है, जैसे वास्तविक संख्याओं को फ़्लोटिंग-पॉइंट में प्रदर्शित किया जा सकता है।

ट्रांस श्रृंखला
ट्रांस श्रृंखला का क्षेत्र लेवी-सिविता क्षेत्र से बड़ा है। ट्रांस श्रृंखला का उदाहरण है:


 * $$e^\sqrt{\ln\ln x}+\ln\ln x+\sum_{j=0}^\infty e^x x^{-j},$$

जहां आदेश देने के प्रयोजनों के लिए x को अनंत माना जाता है।

वास्तविक संख्या
कॉनवे की वास्तविक संख्याएँ श्रेणी 2 में आती हैं, सिवाय इसके कि वास्तविक संख्याएँ उचित वर्ग बनाती हैं न कि समुच्चय के लिए बनाती हैं। ये ऐसी प्रणाली हैं जो इस प्रकार संख्याओं के विभिन्न आकारों में जितना संभव हो उतना समृद्ध होने के लिए डिज़ाइन की गई हैं, किन्तु विश्लेषण करने में सुविधा के लिए आवश्यक नहीं है, इस प्रकार इस अर्थ में कि प्रत्येक आदेशित फ़ील्ड वास्तविक संख्याओं का उपक्षेत्र है। इस प्रकार वास्तविक संख्या के लिए घातीय कार्य का स्वाभाविक विस्तार है।

हाइपररियल्स
1960 के दशक में अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा विकसित इनफिनिटिमल्स को संभालने के लिए सबसे व्यापक तकनीक हाइपररियल्स है। वे उपरोक्त श्रेणी 3 में आते हैं, उन्हें इस तरह से डिज़ाइन किया गया है जिससे कि सभी मौलिक विश्लेषणों को वास्तविक से आगे ले जाया जा सके। इस प्रकार प्राकृतिक तरीके से सभी संबंधों को आगे बढ़ाने में सक्षम होने की इस संपत्ति को हस्तांतरण सिद्धांत के रूप में जाना जाता है, जिसे 1955 में जेर्जी लाॅस द्वारा सिद्ध किया गया था। उदाहरण के लिए, पारलौकिक कार्य sin का प्राकृतिक प्रतिपक्ष है जो अतिवास्तविक इनपुट लेता है और अतिवास्तविक देता है। इसके आउटपुट और इसी प्रकार की प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय $$\mathbb{N}$$ प्राकृतिक समकक्ष है इसके लिए $$^*\mathbb{N}$$, जिसमें परिमित और अनंत दोनों पूर्णांक हैं। इस प्रकार इसके प्रस्ताव जैसे $$\forall n \in \mathbb{N}, \sin n\pi=0$$ के रूप में हाइपररियल्स $$\forall n \in {}^*\mathbb{N}, {}^*\!\!\sin n\pi=0$$ को ले जाता है।

सुपररियल्स
डेल्स और वुडिन का सुपररियल संख्या प्रणाली हाइपररियल्स का सामान्यीकरण है। यह डेविड टॉल द्वारा परिभाषित सुपर रियल सिस्टम से अलग है।

दोहरी संख्या
रेखीय बीजगणित में, दोहरी संख्याएं अपरिमित को जोड़कर वास्तविक का विस्तार करती हैं, इसके लिए ε के मान के साथ नया अवयव ε2 = 0 अर्थात, ε शून्य है। प्रत्येक दोहरी संख्या का रूप z = a + bε होता है जिसमें a और b विशिष्ट रूप से निर्धारित वास्तविक संख्याएँ होती हैं।

इस प्रकार दोहरी संख्याओं का अनुप्रयोग स्वचालित विभेदीकरण है। एन-आयामी वेक्टर समतल के बाहरी बीजगणित का उपयोग करके, इस एप्लिकेशन को एन वेरिएबल्स में बहुपदों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

समतल अतिसूक्ष्म विश्लेषण
सिंथेटिक अंतर ज्यामिति या समतल अत्यल्प विश्लेषण की जड़ें श्रेणी सिद्धांत में हैं। यह दृष्टिकोण पारंपरिक गणित में उपयोग किए जाने वाले मौलिक तर्क से बहिष्कृत मध्य के नियम की सामान्य प्रयोज्यता को नकार कर अलग हो जाता है, अर्थात (a ≠ b) जिसका अर्थ a = b नहीं है। इस प्रकार निलस्क्वेयर या निलपोटेंट इन्फिनिटी को परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार यह संख्या x है जहाँ x2 = 0 सत्य है, किन्तु x = 0 का ही समय में सत्य होना आवश्यक नहीं है। चूंकि पृष्ठभूमि तर्क अंतर्ज्ञानवादी तर्क है, यह तुरंत स्पष्ट नहीं होता है कि इसके कक्षों के लिए 1, 2 और 3 के संबंध में इस प्रणाली को कैसे वर्गीकृत किया जाता हैं। इन वर्गों के अंतर्ज्ञानवादी अनुरूपों को पहले विकसित करना होगा।

इनफिनिटिमल डेल्टा फलन
कॉची ने अतिसूक्ष्म प्रयोग किया $$\alpha$$ इकाई आवेग, मुख्य रूप से लंबा और संकीर्ण डायराक-प्रकार डेल्टा फ़ंक्शन $$\int F(x)\delta_\alpha(x) = F(0)$$ लिखने के लिए $$\delta_\alpha$$ संतुष्टि देने वाला, 1827 में कई लेखों में लॉगविट्ज़ (1989) देखें जाते हैं। इस प्रकार कॉची ने 1821 (कोर्स डी एनालिसिस) में शून्य की ओर जाने वाले अनुक्रम के संदर्भ में अतिसूक्ष्म को परिभाषित किया था। इस प्रकार ऐसा अशक्त अनुक्रम कॉची और लाज़ारे कार्नोट की शब्दावली में अतिसूक्ष्म हो जाता है।

आधुनिक समुच्चय-सैद्धांतिक दृष्टिकोण व्यक्ति को अतिशक्ति निर्माण के माध्यम से अपरिमेय को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जहां उपयुक्त अल्ट्रा फिल्टर के संदर्भ में परिभाषित समतुल्य वर्ग मॉड्यूलो के अर्थ में अशक्त अनुक्रम अपरिमेय बन जाता है। इस प्रकार यमाशिता (2007) के लेख में हाइपररियल नंबर द्वारा प्रदान किए गए अतिसूक्ष्म-समृद्ध सातत्य के संदर्भ में आधुनिक डिराक डेल्टा कार्यों पर ग्रंथसूची सम्मिलित है।

तार्किक गुण
अमानक विश्लेषण में उपयोग किए जाने वाले प्रकार के अपरिमेय के निर्माण की विधि मॉडल सिद्धांत पर निर्भर करती है और स्वयंसिद्ध होने के किस संग्रह का उपयोग किया जाता है। इस प्रकार हम यहां उन प्रणालियों पर विचार करते हैं जहां पर इनफिनिटिमल्स को अस्तित्व में दिखाया जा सकता है।

1936 में अनातोली माल्टसेव ने कॉम्पैक्टनेस प्रमेय को प्रमाणित किया गया था। यह प्रमेय इनफिनिटिमल्स के अस्तित्व के लिए मौलिक है क्योंकि इस प्रकार यह प्रमाणित करता है कि उन्हें औपचारिक रूप देना संभव है। इस प्रमेय का परिणाम यह है कि यदि कोई संख्या प्रणाली है जिसमें यह सत्य है कि किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए धनात्मक संख्या x है, जैसे कि 0 < x < 1/n, तो उस संख्या प्रणाली का विस्तार सम्मिलित है जो यह सच है कि धनात्मक संख्या x सम्मिलित है, जैसे कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए हमारे पास 0 < x < 1/n है। इस प्रकार किसी मान के लिए स्विच करने की संभावना और वहां सम्मिलित है महत्वपूर्ण है। पहला कथन वास्तविक संख्याओं में सत्य है जैसा कि जेडएफसी समुच्चय सिद्धांत में दिया गया है: किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए 1/n और शून्य के बीच वास्तविक संख्या ज्ञात करना संभव है, किन्तु यह वास्तविक संख्या n पर निर्भर करती है। यहां, पहले n को चुना जाता है, फिर संबंधित x को ढूंढा जाता है। दूसरे व्यंजक में कथन कहता है कि x (कम से कम एक) पहले चुना गया है, जो किसी भी n के लिए 0 और 1/n के बीच है। इस स्थिति में x अपरिमेय है। जेडएफसी द्वारा दिए गए वास्तविक नंबरों ('R') में यह सच नहीं है। इसके अतिरिक्त इस प्रमेय से प्रमाणित किया जाता है कि यह मॉडल एक संख्या प्रणाली को प्रदर्शित करती है जिसमें इसका मान सत्य रहता है। यहाँ पर सवाल यह है कि यह मॉडल क्या है? इसके गुण क्या हैं? क्या ऐसा केवल ही मॉडल है?

वास्तव में इस प्रकार के आयाम का निर्माण करने के कई तरीके हैं। इन संख्याओं का आयामी रैखिक क्रम समुच्चय, किन्तु मूल रूप से, दो अलग-अलग दृष्टिकोण हैं:


 * 1) संख्या प्रणाली का विस्तार करें जिससे कि इसमें वास्तविक संख्याओं की तुलना में अधिक संख्याएँ हों।


 * 2) अभिगृहीतों का विस्तार करें (या भाषा का विस्तार करें) जिससे कि अपरिमित और गैर-अपरिमित के बीच अंतर स्वयं वास्तविक संख्याओं में किया जा सके।

1960 में, अब्राहम रॉबिन्सन ने पहले दृष्टिकोण का अनुसरण करते हुए उत्तर प्रदान किया था। विस्तारित समुच्चय को हाइपररियल नंबर कहा जाता है और इस प्रकार इसमें किसी भी धनात्मक वास्तविक संख्या की तुलना में निरपेक्ष मान में संख्या कम होती है। विधि को अपेक्षाकृत जटिल माना जा सकता है किन्तु यह प्रमाणित करता है कि जेडएफसी समुच्चय सिद्धांत के ब्रह्मांड में इनफिनिटिमल्स सम्मिलित हैं। वास्तविक संख्याओं को मानक संख्याएँ कहा जाता है और नए गैर-वास्तविक हाइपररिअल्स को अमानक विश्लेषण कहा जाता है।

1977 में एडवर्ड नेल्सन ने दूसरे दृष्टिकोण का अनुसरण करते हुए उत्तर प्रदान किया गया था। इसके विस्तारित स्वयंसिद्ध आईएसटी हैं, जो या तो आंतरिक समुच्चय सिद्धांत के लिए या तीन अतिरिक्त स्वयंसिद्धों के आद्याक्षर के लिए आदर्शीकरण, मानकीकरण, स्थानांतरण हैं। इस प्रकार इस प्रणाली में हम मानते हैं कि भाषा को इस प्रकार से विस्तारित किया जाता है कि हम अपरिमित के बारे में तथ्यों को व्यक्त कर सकें। वास्तविक संख्याएँ या तो मानक होती हैं या अमानक होती हैं। इसके अपरिमेय गैर-मानक वास्तविक संख्या है जो पूर्ण मान में किसी धनात्मक मानक वास्तविक संख्या से कम है।

2006 में कारेल हर्बसेक ने नेल्सन के दृष्टिकोण का विस्तार विकसित किया जिसमें वास्तविक संख्याएं (मुख्य रूप से) कई स्तरों में स्तरीकृत होती हैं; अर्थात सबसे स्थूल स्तर में, न तो अपरिमेय हैं और न ही असीमित संख्याएँ उपलब्ध हैं। इनफिनिटिमल्स उत्तम स्तर पर हैं और इस नए स्तर के संबंध में इनफिनिटिमल्स भी हैं।

शिक्षण में अनंत
इनफिनिटिमल्स पर आधारित कैलकुलस पाठ्यपुस्तकों में सिल्वेनस पी. थॉम्पसन द्वारा लिखित क्लासिक कैलकुलस मेड ईज़ी सम्मिलित है (आदर्श वाक्य के साथ कि मूर्ख दूसरा क्या कर सकता है ) और मशीन उद्योग में इंटरमीडिएट तकनीकी स्कूलों के लिए जर्मन पाठ गणित, आर. न्यूएनडॉर्फ द्वारा किया गया था। इस प्रकार अब्राहम रॉबिन्सन के इनफिनिटिमल्स पर आधारित पायनियरिंग कार्यों में कीथ स्ट्रॉयन (1972 से डेटिंग) और हावर्ड जेरोम केसलर (एलिमेंट्री कैलकुलस: एन इनफिनिटिमल एप्रोच) के ग्रंथ सम्मिलित हैं। इसमें छात्र सरलता से 1- 0.999... के अतिसूक्ष्म अंतर की सहज धारणा से संबंधित होते हैं, जहां 0.999... अपने मानक अर्थ से वास्तविक संख्या 1 के रूप में भिन्न होता है, और इसकी अनंत समाप्ति वाले विस्तारित दशमलव के रूप में पुनर्व्याख्या की जाती है जो 1 से सख्ती से कम है। इस प्रकार अन्य प्रारंभिक कैलकुलस टेक्स्ट जो रॉबिन्सन द्वारा विकसित इनफिनिटिमल्स के सिद्धांत का उपयोग करता है, हेनले और क्लेनबर्ग द्वारा इन्फिनिटिमल कैलकुलस है, जो इस प्रकार मूल रूप से 1979 में प्रकाशित हुआ था। लेखक प्रथम-क्रम तर्क की भाषा का परिचय देते हैं, और हाइपररियल संख्याओं के पहले क्रम के मॉडल के निर्माण का प्रदर्शन करते हैं। इस प्रकार इस पाठ के अनुक्रम और कार्यों की श्रृंखला सहित आयाम में अभिन्न और अंतर कलन की मूल बातें का परिचय प्रदान करता है। इस परिशिष्ट में, वे अपने मॉडल के विस्तार को हाइपरहाइपररियल्स में भी मानते हैं, और विस्तारित मॉडल के लिए कुछ अनुप्रयोगों को प्रदर्शित करते हैं।

बेल, जॉन एल. (2008) सुगम अतिसूक्ष्म विश्लेषण पर आधारित प्रारंभिक कलन पाठ है। इस प्रकार इस इन्फिनिटिमल एनालिसिस का प्राइमर का दूसरा संस्करण हैं। कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस. आईएसबीएन 9780521887182 इनफिनिटिमल्स का उपयोग करने वाला और हालिया कैलकुलस टेक्स्ट है, डावसन, सी ब्रायन (2022), कैलकुलस समुच्चय फ्री: इन्फिनिटिमल्स टू द रेस्क्यू, ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस आईएसबीएन 9780192895608 हैं।

शून्य की ओर किए जाने वाला फलन
एक संबंधित किन्तु कुछ अलग अर्थ में, जो मुख्य रूप से छोटी मात्रा के रूप में मुख्य की मूल परिभाषा से विकसित हुआ है, इस प्रकार इस शब्द का उपयोग शून्य की ओर जाने वाले कार्य को संदर्भित करने के लिए भी किया गया है। अधिक सटीक रूप से, लूमिस और स्टर्नबर्ग का उन्नत कैलकुलस इनफिनिटिमल्स के कार्य वर्ग को $$\mathfrak{I}$$ द्वारा परिभाषित करता है, इस फलन के उपसमुच्चयों के रूप में $$f:V\to W$$ द्वारा नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस के बीच $$\mathfrak{I}(V,W) = \{f:V\to W\ |\ f(0)=0, (\forall \epsilon>0) (\exists \delta>0) \ \backepsilon\ ||\xi||<\delta\implies \xi||\}$$, और "\ f(0)=0,\ \lim_{"समुच्चय समावेशन $$\mathfrak{o}(V,W)\subsetneq\mathfrak{O}(V,W)\subsetneq\mathfrak{I}(V,W)$$सामान्यतः उपयोग में लाया जाता हैं। इसका समावेशन उचित हैं यह वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान कार्यों द्वारा प्रदर्शित किया जाता है $$f:x\mapsto |x|^{1/2}$$, $$g:x\mapsto x $$, और $$h:x\mapsto x^2 $$:
 * f(\xi)||<\epsilon\}$$, साथ ही साथ दो संबंधित वर्ग $$\mathfrak{O},\mathfrak{o}$$ (देखें बिग ओ नोटेशन | बिग-ओ नोटेशन के द्वारा $$\mathfrak{O}(V,W) = \{f:V\to W\ |\ f(0)=0,\ (\exist r>0,c>0)\ \backepsilon\
 * \xi||< r \implies ||f(\xi)||\leq c||

$$f,g,h\in\mathfrak{I}(\mathbb{R},\mathbb{R}),\ g,h\in\mathfrak{O}(\mathbb{R},\mathbb{R}),\ h\in\mathfrak{o}(\mathbb{R},\mathbb{R})$$ किन्तु $$f,g\notin\mathfrak{o}(\mathbb{R},\mathbb{R})$$ और $$f\notin\mathfrak{O}(\mathbb{R},\mathbb{R})$$

इन परिभाषाओं के अनुप्रयोग के रूप में, मानचित्रण $$F:V\to W$$ नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस के बीच डिफरेंशियल होने के लिए परिभाषित किया गया है, इस प्रकार $$\alpha\in V$$

यदि यहां $$T\in\mathrm{Hom}(V,W)$$ है, अर्थात इस रैखिक क्षेत्र में $$V\to W$$ का मान इस प्रकार है कि "$[F(\alpha+\xi)-F(\alpha)]-T(\xi)\in \mathfrak{o}(V,W)$"इसके समीप में $$\alpha$$ यदि ऐसा नक्शा सम्मिलित है, तो यह अद्वितीय है, इस नक्शे को अंतर कहा जाता है और इसे $$dF_\alpha$$ द्वारा निरूपित किया जाता है, एफ के मुख्य रूप से छोटे टुकड़े के रूप में अंतर की मौलिक (चूंकि तार्किक रूप से त्रुटिपूर्ण) धारणा के लिए पारंपरिक संकेतन के साथ मेल खाता है। इस प्रकार यह परिभाषा यूक्लिडियन रिक्त स्थान के वेक्टर-मूल्यवान कार्यों (खुले उपसमुच्चयों) के लिए भिन्नता की सामान्य परिभाषा का प्रतिनिधित्व करती है।

यादृच्छिक वैरियेबल की श्रंख्ला
इन वैरियेबल के आधार पर $$(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})$$ संभावतः इसकी स्थिति के अनुसार $$n\in\mathbb{N}$$ श्रंख्ला में $$\{X_{n,k}:\Omega\to\mathbb{R}\mid 1\le k\le k_{n}\}$$ अनियमित परिवर्तनशील वस्तु की संख्या को यदि प्रत्येक के लिए इनफिनिटिमल कहा जाता है इसके लिए $$\epsilon>0$$ के लिए:
 * $$\max_{1\le k\le k_{n}}\mathbb{P}\{\omega\in\Omega\mid \vert X_{n,k}(\omega)\vert\geq\epsilon\}\to 0\text{ as } n\to\infty$$

कुछ केंद्रीय सीमा प्रमेयों में अतिसूक्ष्म सरणी की धारणा आवश्यक है और यह अपेक्षा संचालक की एकरसता से सरलता से देखा जा सकता है कि लिंडबर्ग की स्थिति को संतुष्ट करने वाला कोई भी सरणी मुख्य है, इस प्रकार केंद्रीय सीमा प्रमेय लिंडबर्ग सीएलटी या लिंडबर्ग की केंद्रीय सीमा प्रमेय में महत्वपूर्ण भूमिका निभा रहा है। इस प्रकार यह केंद्रीय सीमा प्रमेय का सामान्यीकरण हैं।

यह भी देखें

 * कैंटर फलन
 * विभेदक (अनंत)
 * अनिश्चित रूप
 * इनफिनिटिमल कैलकुलेशन
 * अनंत परिवर्तन
 * तुरंत
 * अमानक कैलकुलस
 * मॉडल सिद्धांत

संदर्भ

 * B. Crowell, "Calculus" (2003)
 * Dawson, C. Bryan, "Calculus Set Free: Infinitesimals to the Rescue" (2022) Oxford University Press
 * Ehrlich, P. (2006) The rise of non-Archimedean mathematics and the roots of a misconception. I. The emergence of non-Archimedean systems of magnitudes. Arch. Hist. Exact Sci. 60, no. 1, 1–121.
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 * J. Keisler, "Elementary Calculus" (2000) University of Wisconsin
 * K. Stroyan "Foundations of Infinitesimal Calculus" (1993)
 * Stroyan, K. D.; Luxemburg, W. A. J. Introduction to the theory of infinitesimals. Pure and Applied Mathematics, No. 72. Academic Press [Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1976.
 * Robert Goldblatt (1998) "Lectures on the hyperreals" Springer.
 * Cutland et al. "Nonstandard Methods and Applications in Mathematics" (2007) Lecture Notes in Logic 25, Association for Symbolic Logic.
 * "The Strength of Nonstandard Analysis" (2007) Springer.
 * Yamashita, H.: Comment on: "Pointwise analysis of scalar Fields: a nonstandard approach" [J. Math. Phys. 47 (2006), no. 9, 092301; 16 pp.]. J. Math. Phys. 48 (2007), no. 8, 084101, 1 page.
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