प्राकृतिक घनत्व

संख्या सिद्धांत में, प्राकृतिक घनत्व (जिसे एसिम्प्टोटिक घनत्व या अंकगणितीय घनत्व भी कहा जाता है) यह मापने का एक तरीका है कि प्राकृतिक संख्याओं के सबसेट (गणित) का एक उपसमूह कितना बड़ा है। यह मुख्य रूप से अंतराल (गणित) के माध्यम से खोजते समय वांछित उपसमूह के सदस्यों का सामना करने की संभावना पर निर्भर करता है। $[1, n]$ जैसा $n$ बड़ा हो जाता है.

सहज रूप से, यह माना जाता है कि वर्ग संख्याओं की तुलना में अधिक सकारात्मक पूर्णांक होते हैं, क्योंकि प्रत्येक पूर्ण वर्ग पहले से ही सकारात्मक होता है, और इसके अलावा कई अन्य सकारात्मक पूर्णांक मौजूद होते हैं। हालाँकि, धनात्मक पूर्णांकों का समुच्चय वास्तव में पूर्ण वर्गों के समुच्चय से बड़ा नहीं है: दोनों समुच्चय अनंत समुच्चय और गणनीय हैं और इसलिए उन्हें एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। फिर भी यदि कोई प्राकृतिक संख्याओं पर गौर करता है, तो वर्ग तेजी से दुर्लभ हो जाते हैं। प्राकृतिक घनत्व की धारणा इस अंतर्ज्ञान को कई लोगों के लिए सटीक बनाती है, लेकिन सभी के लिए नहीं, प्राकृतिक के सबसेट (श्निरेलमैन घनत्व देखें, जो प्राकृतिक घनत्व के समान है लेकिन सभी उपसमूहों के लिए परिभाषित है) $$\mathbb{N}$$).

यदि एक पूर्णांक को अंतराल से यादृच्छिक रूप से चुना जाता है $[1, n]$, तो प्रायिकता यह है कि यह किसका है $A$ के तत्वों की संख्या का अनुपात है $A$ में $[1, n]$ में तत्वों की कुल संख्या के लिए $[1, n]$. यदि यह प्रायिकता किसी सीमा (गणित) की ओर प्रवृत्त होती है $n$ अनंत की ओर प्रवृत्त होता है, तो इस सीमा को स्पर्शोन्मुख घनत्व कहा जाता है $A$. इस धारणा को समुच्चय से किसी संख्या को चुनने की एक प्रकार की संभावना के रूप में समझा जा सकता है $A$. दरअसल, संभाव्य संख्या सिद्धांत में स्पर्शोन्मुख घनत्व (साथ ही कुछ अन्य प्रकार के घनत्व) का अध्ययन किया जाता है।

परिभाषा
उपसमुच्चय $A$ धनात्मक पूर्णांकों का प्राकृतिक घनत्व होता है $α$ यदि के तत्वों का अनुपात $A$ 1 से लेकर सभी प्राकृत संख्याओं में से $n$ में एकत्रित हो जाता है $α$ जैसा $n$ अनंत की ओर प्रवृत्त होता है।

अधिक स्पष्ट रूप से, यदि कोई किसी प्राकृतिक संख्या को परिभाषित करता है $n$ गिनती का कार्य (गणित) $a(n)$ के तत्वों की संख्या के रूप में $A$ से कम या बराबर $n$, तो प्राकृतिक घनत्व $A$ प्राणी $α$ बिल्कुल यही मतलब है

परिभाषा से यह निष्कर्ष निकलता है कि यदि कोई समुच्चय है $A$ प्राकृतिक घनत्व है $α$ तब $a(n)/n → α$.

ऊपरी और निचला स्पर्शोन्मुख घनत्व
होने देना $$A$$ प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का एक उपसमुच्चय बनें $$\mathbb{N}=\{1,2,\ldots\}.$$ किसी के लिए $$n \in \mathbb{N}$$, परिभाषित करना $$A(n)$$ चौराहा होना $$A(n)=\{1,2,\ldots,n\} \cap A,$$ और जाने $$a(n)=|A(n)|$$ के तत्वों की संख्या हो $$A$$ से कम या बराबर $$n$$.

ऊपरी स्पर्शोन्मुख घनत्व को परिभाषित करें $$\overline{d}(A)$$ का $$A$$ (ऊपरी घनत्व भी कहा जाता है) द्वारा $$ \overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n} $$ जहां लिम सुपर सीमा श्रेष्ठ है।

इसी प्रकार, निम्न स्पर्शोन्मुख घनत्व को परिभाषित करें $$\underline{d}(A)$$ का $$A$$ (जिसे निम्न घनत्व भी कहा जाता है) द्वारा $$ \underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{ a(n) }{n} $$ जहां लिम इन्फ़ सीमा हीन है। कोई कह सकता है $$A$$ स्पर्शोन्मुख घनत्व है $$d(A)$$ अगर $$\underline{d}(A)=\overline{d}(A)$$, किस स्थिति में $$d(A)$$ इस सामान्य मान के बराबर है.

इस परिभाषा को निम्नलिखित तरीके से पुनः प्रस्तुत किया जा सकता है: $$ d(A)=\lim_{n \rightarrow \infty} \frac{a(n)}{n} $$ यदि यह सीमा मौजूद है. इन परिभाषाओं को निम्नलिखित प्रकार से समान रूप से व्यक्त किया जा सकता है। एक उपसमुच्चय दिया गया $$A$$ का $$\mathbb{N}$$, इसे प्राकृतिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित बढ़ते क्रम के रूप में लिखें: $$A = \{a_1 < a_2 < \ldots\}.$$ तब $$\underline{d}(A) = \liminf_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n},$$ $$\overline{d}(A) = \limsup_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n}$$ और $$d(A) = \lim_{n \rightarrow \infty} \frac{n}{a_n}$$ यदि सीमा मौजूद है.

घनत्व की कुछ हद तक कमजोर धारणा ऊपरी बनच घनत्व है $$d^*(A)$$ एक सेट का $$A \subseteq \mathbb{N}.$$ इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$ d^*(A) = \limsup_{N-M \rightarrow \infty} \frac{| A \cap \{M, M+1, \ldots, N\}|}{N-M+1}. $$

गुण और उदाहरण

 * धनात्मक पूर्णांकों के किसी भी परिमित समुच्चय F के लिए, d(F) = 0.

\max\{d(A),d(B)\} \leq d(A\cup B) \leq \min\{d(A)+d(B),1\}.$$
 * यदि कुछ सेट ए और ए के लिए डी (ए) मौजूद हैcके संबंध में इसके पूरक (सेट सिद्धांत) को दर्शाता है $$\N$$, फिर डी(एसी) = 1 − डी(ए).
 * परिणाम: यदि $$F\subset \N $$ परिमित है (मामले सहित)। $$F=\emptyset$$), $$d(\N \setminus F)=1.$$
 * अगर $$d(A), d(B),$$ और $$d(A \cup B)$$ अस्तित्व में है, तो $$
 * अगर $$A = \{n^2 : n \in \N\}$$ सभी वर्गों का समुच्चय है, तो d(A) = 0.


 * अगर $$A = \{2n : n \in \N\}$$ सभी सम संख्याओं का समुच्चय है, तो d(A) = 0.5. इसी प्रकार, किसी भी अंकगणितीय प्रगति के लिए $$A = \{an + b : n \in \N\}$$ हम पाते हैं $$d(A) = \tfrac{1}{a}.$$
 * सभी अभाज्य संख्याओं के समुच्चय P के लिए हमें अभाज्य संख्या प्रमेय से पता चलता है कि d(P) = 0.


 * सभी वर्ग-मुक्त पूर्णांकों के समुच्चय में घनत्व होता है $$\tfrac{6}{\pi^2}.$$ अधिक सामान्यतः, सभी n का समुच्चयवें-किसी भी प्राकृतिक n के लिए शक्ति-मुक्त संख्याओं का घनत्व होता है $$\tfrac{1}{\zeta(n)},$$ कहाँ $$\zeta(n)$$ रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन है।


 * प्रचुर संख्याओं के समुच्चय का घनत्व शून्येतर होता है। मार्क डेलेग्लिज़ ने 1998 में दिखाया कि प्रचुर संख्याओं के सेट का घनत्व 0.2474 और 0.2480 के बीच है।
 * सेट
 * $$A=\bigcup_{n=0}^\infty \left \{2^{2n},\ldots,2^{2n+1}-1 \right \}$$ :ऐसी संख्याएँ जिनके द्विआधारी विस्तार में विषम संख्या में अंक होते हैं, एक ऐसे सेट का उदाहरण है जिसमें एक स्पर्शोन्मुख घनत्व नहीं है, क्योंकि इस सेट का ऊपरी घनत्व है
 * $$\overline d(A)=\lim_{m \to \infty}\frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+1}-1}=\lim_{m \to\infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+1}-1)} = \frac 23,$$
 * जबकि इसका घनत्व कम है
 * $$\underline d(A)=\lim_{m \to\infty}\frac{1+2^2+\cdots +2^{2m}}{2^{2m+2}-1}=\lim_{m \to\infty} \frac{2^{2m+2}-1}{3(2^{2m+2}-1)} = \frac 13.$$


 * संख्याओं का समूह जिसका दशमलव विस्तार अंक 1 से शुरू होता है, उसमें कोई प्राकृतिक घनत्व नहीं होता है: निचला घनत्व 1/9 है और ऊपरी घनत्व 5/9 है। (बेनफोर्ड का नियम देखें।)


 * एक समान वितरित अनुक्रम पर विचार करें $$\{\alpha_n\}_{n\in\N}$$ में $$[0,1]$$ और एक नीरस परिवार को परिभाषित करें $$\{A_x\}_{x\in[0,1]}$$ सेट की:
 * $$A_x:=\{n\in\N : \alpha_n<x \}.$$
 * फिर, परिभाषा के अनुसार, $$d(A_x)= x$$ सभी के लिए $$x$$.


 * यदि एस सकारात्मक ऊपरी घनत्व का एक सेट है तो स्ज़ेमेरीडी के प्रमेय में कहा गया है कि एस में मनमाने ढंग से बड़ी परिमित अंकगणितीय प्रगति होती है, और फर्स्टनबर्ग-सारकोजी प्रमेय में कहा गया है कि एस के कुछ दो सदस्य एक वर्ग संख्या से भिन्न होते हैं।

अन्य घनत्व कार्य
प्राकृतिक संख्याओं के उपसमुच्चय पर अन्य घनत्व कार्यों को अनुरूप रूप से परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सेट ए के लघुगणकीय घनत्व को सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है (यदि यह मौजूद है)


 * $$\mathbf{\delta}(A) = \lim_{x \rightarrow \infty} \frac{1}{\log x} \sum_{n \in A, n \le x} \frac{1}{n} \ . $$

ऊपरी और निचले लघुगणकीय घनत्व को भी समान रूप से परिभाषित किया गया है।

पूर्णांक अनुक्रम के गुणकों के सेट के लिए, डेवनपोर्ट-एर्डोस प्रमेय बताता है कि प्राकृतिक घनत्व, जब यह मौजूद होता है, लघुगणक घनत्व के बराबर होता है।

यह भी देखें

 * डिरिचलेट घनत्व
 * अंकगणितीय प्रगति पर एर्दो का अनुमान