कार्टेशियन संवृत श्रेणी

श्रेणी सिद्धांत में, एक श्रेणी (गणित) कार्टेशियन बंद है, यदि स्थूल रूप से बोलना हो तो, दो वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) के उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) पर परिभाषित किसी भी आकारिकी को स्वाभाविक रूप से कारकों में से एक पर परिभाषित आकारिकी के साथ पहचाना जा सकता है। ये श्रेणियां गणितीय तर्क और प्रोग्रामिंग के सिद्धांत में विशेष रूप से महत्वपूर्ण हैं, जिसमें उनकी आंतरिक भाषा सरल रूप से टाइप की गई लैम्ब्डा कैलकुलस है। वे बंद मोनोइडल श्रेणी द्वारा सामान्यीकृत हैं, जिनकी आंतरिक भाषा, रैखिक प्रकार की प्रणालियाँ, क्वांटम और शास्त्रीय संगणना दोनों के लिए उपयुक्त हैं।

व्युत्पत्ति
(1596-1650), फ्रांसीसी दार्शनिक, गणितज्ञ और वैज्ञानिक के नाम पर, जिनके विश्लेषणात्मक ज्यामिति के निर्माण ने कार्टेशियन उत्पाद की अवधारणा को जन्म दिया, जिसे बाद में श्रेणीबद्ध उत्पाद की धारणा के लिए सामान्यीकृत किया गया।

परिभाषा
श्रेणी सी को कार्तीय बंद कहा जाता है अगर और केवल अगर यह निम्नलिखित तीन गुणों को संतुष्ट करता है:
 * इसमें एक टर्मिनल वस्तु  है।
 * C की किन्हीं दो वस्तुओं X और Y का उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) C में X ×Y है।
 * C की किन्हीं दो वस्तुओं Y और Z में C में एक घातीय वस्तु ZY है।

पहली दो स्थितियों को एकल आवश्यकता के साथ जोड़ा जा सकता है कि C की वस्तुओं का कोई भी परिमित (संभवतः रिक्त) परिवार C में एक उत्पाद स्वीकार करता है, क्योंकि श्रेणीगत उत्पाद की प्राकृतिक संबद्धता के कारण और क्योंकि किसी श्रेणी में रिक्त उत्पाद उस श्रेणी का टर्मिनल वस्तु है।

तीसरी शर्त आवश्यकता के बराबर है कि ऑपरेटर - ×Y (अर्थात C से C तक ऑपरेटर जो ऑब्जेक्ट X से X ×Y और आकारिकी φ से φ × idY को मैप करता है) में एक सहायक कारक होता है, आमतौर पर निरूपित -Y, सभी वस्तुओं के लिए C में Y है।

स्थानीय रूप से छोटी श्रेणियों (गणित) के लिए, यह होम सेट के बीच एक आक्षेप के अस्तित्व द्वारा व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\mathrm{Hom}(X\times Y,Z) \cong \mathrm{Hom}(X,Z^Y)$$

जो X, Y और Z में प्राकृतिक परिवर्तन है।

इस बात का ध्यान रखें कि एक कार्तीय बंद श्रेणी की परिमित सीमाएँ होने की आवश्यकता नहीं है; केवल सीमित उत्पादों का प्रत्याभूत है।

यदि किसी श्रेणी के पास यह गुण है कि उसकी सभी स्लाइस श्रेणियां कार्टेशियन बंद हैं, तो इसे स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद कहा जाता है। ध्यान दें कि यदि सी स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद है, तो इसे वास्तव में कार्टेशियन बंद होने की आवश्यकता नहीं है; ऐसा तब होता है जब और केवल तभी होता है जब सी में टर्मिनल ऑब्जेक्ट हो।

मूल्यांकन
प्रत्येक वस्तु Y के लिए, घातीय संयोजन की गणना एक प्राकृतिक परिवर्तन है
 * $$ \mathrm{ev}_{Y,Z} : Z^Y \times Y \to Z$$

(आंतरिक) मूल्यांकन मानचित्र कहा जाता है। अधिक सामान्यतः, हम आंशिक अनुप्रयोग मानचित्र को समग्र के रूप में बना सकते हैं
 * $$ \mathrm{papply}_{X,Y,Z} : Z^{X \times Y} \times X \cong (Z^Y)^{X} \times X \xrightarrow{\mathrm{ev}_{X, Z^Y}} Z^Y.$$

श्रेणी सेट के विशेष मामले में, ये सामान्य परिचालनों को कम करते हैं:
 * $$ \mathrm{ev}_{Y,Z}(f,y) = f(y).$$

रचना
आकारिकी p : X → Y पर एक तर्क में घातांक का मूल्यांकन करने पर आकारिकी मिलती है
 * $$p^Z : X^Z \to Y^Z,$$
 * $$Z^p : Z^Y \to Z^X,$$

पी के साथ रचना के संचालन के अनुरूप। संक्रिया pZ के लिए वैकल्पिक संकेतन में p* और p∘- शामिल हैं। ऑपरेशन Zp के लिए वैकल्पिक नोटेशन में p* और -∘p शामिल हैं।

मूल्यांकन मानचित्रों को इस रूप में श्रृंखलित किया जा सकता है
 * $$Z^Y \times Y^X \times X \xrightarrow{\mathrm{id} \times \mathrm{ev}_{X,Y}} Z^Y \times Y \xrightarrow{\mathrm{ev}_{Y,Z}} Z$$

घातीय संयोजन के तहत संबंधित तीर
 * $$c_{X,Y,Z} : Z^Y \times Y^X \to Z^X$$

(आंतरिक) संयोजन मानचित्र कहा जाता है।

श्रेणी सेट के विशेष मामले में, यह सामान्य संयोजन संक्रिया है:
 * $$c_{X,Y,Z}(g,f) = g \circ f.$$

खंड
आकृतिवाद p:X → Y के लिए, मान लें कि निम्न पुलबैक वर्ग मौजूद है, जो मानचित्रों के अनुरूप XY के सबऑब्जेक्ट को परिभाषित करता है, जिसका संयोजन p के साथ पहचान है:
 * $$\begin{array}{ccc}

\Gamma_Y(p) &\to& X^Y \\ \downarrow & & \downarrow \\ 1 &\to& Y^Y \end{array}$$ जहां दाईं ओर का तीर pY है और नीचे का तीर Y पर पहचान के अनुरूप है। तब ΓY(p) को p के 'अनुभाग (फाइबर बंडल)' कहा जाता है। इसे अक्सर ΓY(X)  के रूप में संक्षिप्त किया जाता है।

यदि ΓY(p) कोडोमेन Y के साथ प्रत्येक मोर्फिज्म p के लिए मौजूद है, तो इसे स्लाइस श्रेणी पर एक फ़ैक्टर ΓY : C/Y → C में इकट्ठा किया जा सकता है जो उत्पाद फ़ंक्टर के एक संस्करण के ठीक बगल में है:
 * $$\hom_{C/Y}(X \times Y \xrightarrow{\pi_2} Y, Z \xrightarrow{p} Y) \cong \hom_C(X, \Gamma_Y(p)).$$

Y द्वारा घातीय वर्गों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$Z^Y \cong \Gamma_Y(Z \times Y \xrightarrow{\pi_2} Y).$$

उदाहरण
कार्तीय बंद श्रेणियों के उदाहरणों में शामिल हैं:
 * आकारिकी के रूप में फलन (गणित) के साथ सभी समुच्चयों (गणित) का श्रेणी समुच्चय, कार्टेशियन बंद है। उत्पाद X × Y, X और Y का कार्तीय उत्पाद है, और ZY, Y से Z तक के सभी फलन का समुच्चय है। सन्निकटता निम्नलिखित तथ्य द्वारा व्यक्त की जाती है: फलन f : X×Y → Z स्वाभाविक रूप से करींग फलन g : X → ZY के साथ पहचाना जाता है x के लिए g(x)(y) = f(x,y) द्वारा X में सभी x और Y में y के लिए परिभाषित किया गया है।
 * आकारिकी के रूप में फलन के साथ परिमित सेट की श्रेणी, कार्टेशियन उसी कारण से बंद है।
 * यदि G एक समूह (गणित) है, तो सभी G-सेट की श्रेणी कार्टेशियन बंद है। यदि Y और Z दो G-सेट हैं, तो ZY, Y से Z तक सभी फलन का सेट है, जिसमें G, F में सभी g के लिए (g.F)(y) = F(g−1.y) द्वारा परिभाषित G क्रिया है: F:Y → Z और y Y में।
 * परिमित जी-सेट की श्रेणी भी कार्तीय बंद है।
 * सभी छोटी श्रेणियों की कैटेगरी कैट (मॉर्फिज्म के रूप में फंक्शनलर्स के साथ) कार्टेशियन बंद है; एक्सपोनेंशियल सीडी को फंक्शनल श्रेणी द्वारा दिया जाता है, जिसमें डी से सी तक के सभी फंक्शनल होते हैं, प्राकृतिक रूपांतरों के रूप में।
 * यदि C एक छोटी श्रेणी है, तो फ़ंक्टर श्रेणी 'सेट'C जिसमें C से सेट की श्रेणी में सभी सहसंयोजक फलनकारि शामिल हैं, प्राकृतिक परिवर्तनों के साथ आकारिकी के रूप में, यदि F और G, C से सेट तक दो फ़ैक्टर हैं, तो एक्सपोनेंशियल FG फ़ंक्टर है, जिसका C के ऑब्जेक्ट X पर मान (X,−) × G से F तक सभी प्राकृतिक परिवर्तनों के सेट द्वारा दिया गया है।
 * G-सेट के पहले के उदाहरण को फ़ंक्टर श्रेणियों के एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है: प्रत्येक समूह को एक-ऑब्जेक्ट श्रेणी के रूप में माना जा सकता है, और जी-सेट इस श्रेणी से फ़ैक्टर के अलावा और कुछ नहीं हैं
 * सभी ग्राफ सिद्धांत की श्रेणी कार्तीय बंद है; यह एक फ़ंक्टर श्रेणी है जैसा कि फ़ैक्टर श्रेणी के अंतर्गत समझाया गया है।
 * विशेष रूप से, सरलीकृत सेटों की श्रेणी (जो फ़ैक्टर X : Δop → सेट) कार्टेशियन बंद है।
 * इससे भी अधिक आम तौर पर, प्रत्येक प्राथमिक टोपोस(श्रेणी) कार्टेशियन बंद होता है।
 * बीजगणितीय टोपोलॉजी में, कार्टेशियन बंद श्रेणियां विशेष रूप से काम करने में आसान होती हैं। निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) मानचित्रों के साथ न तो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी और न ही निर्विघ्ऩ मानचित्रों के साथ निर्विघ्ऩ कई गुना की श्रेणी कार्टेशियन बंद है। इसलिए स्थानापन्न श्रेणियों पर विचार किया गया है: सघन रूप से उत्पन्न हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान की श्रेणी कार्टेशियन बंद है, जैसा कि फ्रोलीचर रिक्त स्थान की श्रेणी है।
 * आदेश सिद्धांत में, पूर्ण आंशिक आदेश (सीपीओएस) में एक प्राकृतिक टोपोलॉजी है, स्कॉट टोपोलॉजी, जिसके निरंतर मानचित्र एक कार्टेशियन बंद श्रेणी बनाते हैं (यानी, वस्तुएं सीपीओ हैं, और आकारिकी स्कॉट निरंतर मानचित्र हैं)। करीइंग और अप्लाई (गणित में फ़ंक्शन ) दोनों ही स्कॉट टोपोलॉजी में निरंतर कार्य करते हैं, और करींग, अप्लाई के साथ, संलग्न प्रदान करते हैं।
 * एक हेटिंग बीजगणित एक कार्तीय बंद (परिबद्ध) जाली (क्रम) है। टोपोलॉजिकल स्पेस से एक महत्वपूर्ण उदाहरण सामने आता है। यदि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, तो X में खुले सेट एक श्रेणी O (X) की वस्तुओं का निर्माण करते हैं, जिसके लिए U से V तक एक अद्वितीय आकारिकी है यदि U, V का एक उपसमुच्चय है और अन्यथा कोई आकारिकी नहीं है। यह poset एक कार्तीय बंद श्रेणी है: U और V का गुणनफल U और V का प्रतिच्छेदन है और चरघातांकी UV का आंतरिक (टोपोलॉजी) है $U∪(X\V)$.
 * शून्य वस्तु वाली एक श्रेणी कार्टेशियन बंद है अगर और केवल अगर यह केवल एक वस्तु और एक पहचान रूपवाद वाली श्रेणी के बराबर है। दरअसल, अगर 0 प्रारंभिक वस्तु है और 1 अंतिम वस्तु है और हमारे पास है $$ 0 \cong 1 $$, तब $$\mathrm{Hom}(X, Y) \cong \mathrm{Hom}(1, Y^X) \cong \mathrm{Hom}(0, Y^X) \cong 1 $$ जिसमें केवल एक ही तत्व हो।
 * विशेष रूप से, शून्य वस्तु वाली कोई गैर-तुच्छ श्रेणी, जैसे एबेलियन श्रेणी, कार्टेशियन बंद नहीं है। तो मॉड्यूल (गणित) की श्रेणी कार्टेशियन बंद नहीं है। हालांकि, functor टेंसर उत्पाद $$-\otimes M$$ एक निश्चित मॉड्यूल के साथ एक Tensor-hom adjunction होता है। टेंसर उत्पाद एक श्रेणीबद्ध उत्पाद नहीं है, इसलिए यह उपरोक्त का खंडन नहीं करता है। हम इसके बजाय प्राप्त करते हैं कि मॉड्यूल की श्रेणी मोनोइडल बंद श्रेणी है।

स्थानीय रूप से कार्तीय बंद श्रेणियों के उदाहरणों में शामिल हैं:
 * हर प्राथमिक टोपोस स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद है। इस उदाहरण में जी- समूह के लिए सेट, फिनसेट, जी-सेट, साथ ही छोटी श्रेणियों C के लिए सेट C शामिल हैं।
 * श्रेणी LH जिसकी वस्तुएँ टोपोलॉजिकल स्पेस हैं और जिनकी आकृतियाँ स्थानीय होमोमोर्फिज़्म हैं, स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद है, क्योंकि LH / X शीशों की श्रेणी के बराबर है $Sh(X)$. हालांकि, एलएच के पास टर्मिनल ऑब्जेक्ट नहीं है, और इस प्रकार कार्टेशियन बंद नहीं है।
 * यदि C में पुलबैक हैं और प्रत्येक तीर p : X → Y के लिए, पुलबैक लेकर दिए गए फ़ंक्टर p* : C/Y → C/X का दाहिना सन्निकट है, तो C स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद है।
 * यदि C स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद है, तो इसकी सभी स्लाइस श्रेणियां C/X भी स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद हैं।

स्थानीय रूप से कार्तीय बंद श्रेणियों के गैर-उदाहरणों में शामिल हैं:
 * 'कैट' स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद नहीं है।

अनुप्रयोग
कार्तीय बंद श्रेणियों में, एक दो चरों का एक फलन (एक आकारिकी f : X×Y → Z) हमेशा एक चर के फलन के रूप में दर्शाया किया जा सकता है (आकृतिवाद λf : X → ZY)। कंप्यूटर विज्ञान अनुप्रयोगों में, इसे करींग (गणित) के रूप में जाना जाता है; इससे यह अहसास हुआ है कि सामान्य रूप से टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुलस की व्याख्या किसी भी कार्टेशियन बंद श्रेणी में की जा सकती है।

करी-हावर्ड-लैम्बेक पत्राचार अंतर्ज्ञानवादी तर्क, सरल रूप से टाइप किए गए लैम्ब्डा कैलकुलस और कार्टेशियन बंद श्रेणियों के बीच एक गहरी समरूपता प्रदान करता है।।

कुछ कार्तीय बंद श्रेणियां, टोपोई, को पारंपरिक सेट सिद्धांत के बजाय गणित के लिए एक सामान्य सेटिंग के रूप में प्रस्तावित किया गया है।

प्रसिद्ध कंप्यूटर वैज्ञानिक जॉन बैकस ने एक चर-मुक्त संकेतन, या फंक्शन-लेवल प्रोग्रामिंग की वकालत की है, जो पूर्वव्यापी रूप से कार्टेशियन बंद श्रेणियों की आंतरिक भाषा में कुछ समानता रखता है। कैमल(प्रोग्रामिंग भाषा) अधिक सचेत रूप से कार्टेशियन बंद श्रेणियों पर आधारित है।

निर्भर राशि और उत्पाद
बता दें कि C स्थानीय रूप से कार्टेशियन बंद श्रेणी है। फिर C में सभी पुलबैक हैं, क्योंकि कोडोमेन Z के साथ दो तीरों का पुलबैक C/Z में उत्पाद द्वारा दिया गया है।

प्रत्येक तीर p : X → Y, के लिए, मान लीजिए कि P, C/Y की संबंधित वस्तु को निरूपित करता है। p के साथ पुलबैक लेने से एक फ़ैक्टर p* : C/Y → C/X मिलता है जिसमें एक बाएँ और दाएँ दोनों संलग्न होते हैं।

बायां जोड़ $$\Sigma_p : C/X \to C/Y$$ आश्रित योग कहा जाता है और रचना द्वारा दिया जाता है $$p \circ (-)$$.

दाहिना जोड़ $$\Pi_p : C/X \to C/Y$$ आश्रित उत्पाद कहा जाता है।

C/Y में P द्वारा घातांक सूत्र द्वारा निर्भर उत्पाद के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $$Q^P \cong \Pi_p(p^*(Q))$$.

इन नामों का कारण यह है कि जब P की व्याख्या एक आश्रित प्रकार के रूप में की जाती है $$ y : Y \vdash P(y) : \mathrm{Type} $$, फलन $$\Sigma_p$$ और $$\Pi_p$$ टाइप फॉर्मेशन के अनुरूप है $$\Sigma_{x : P(y)}$$ और $$\Pi_{x : P(y)}$$ क्रमशः।

समतामूलक सिद्धांत
प्रत्येक कार्टेशियन बंद श्रेणी में (घातीय संकेतन का उपयोग करते हुए),(XY)Z और (XZ)Y सभी वस्तुओं X, Y और Z के लिए आइसोमोर्फिक हैं। हम इसे "समीकरण" के रूप में लिखते हैं।


 * (xy)z = (xz)y.

कोई यह पूछ सकता है कि ऐसे और कौन से समीकरण सभी कार्तीय संवृत्त श्रेणियों में मान्य हैं। यह पता चला है कि ये सभी निम्नलिखित स्वयंसिद्धों से तार्किक रूप से अनुसरण करते हैं:
 * x×(y×z) = (x×y)×z
 * x×y = y×x
 * x×1 = x (यहाँ 1 C के टर्मिनल ऑब्जेक्ट को दर्शाता है)
 * 1x = 1
 * x1 = x
 * (x×y)z = xz×yz
 * (xy)z = x(y×z)

द्विकार्तीय बंद श्रेणियां
बिकार्टेशियन बंद श्रेणियां कार्टेशियन बंद श्रेणियों को बाइनरी सहउत्पाद और एक प्रारंभिक वस्तु के साथ विस्तारित करती हैं, जिसमें उत्पादों को कोप्रोडक्ट्स पर वितरित किया जाता है। उनके समीकरण सिद्धांत को निम्नलिखित स्वयंसिद्धों के साथ विस्तारित किया गया है, जो टार्स्की के उच्च विद्यालय के स्वयंसिद्धों के समान है, लेकिन एक शून्य के साथ:
 * x + y = y + x
 * (एक्स + वाई) + जेड = एक्स + (वाई + जेड)
 * x×(y + z) = x×y + x×z
 * एक्स(वाई + जेड)  = एक्स वाई×x जेड
 * 0 + एक्स = एक्स
 * x×0 = 0
 * एक्स0 = 1

हालाँकि ध्यान दें कि उपरोक्त सूची पूर्ण नहीं है; मुक्त बीसीसीसी में टाइप आइसोमोर्फिज्म सूक्ष्म रूप से स्वयंसिद्ध नहीं है, और इसकी निर्णायकता अभी भी एक खुली समस्या है।