ऑटोमेटा सिद्धांत

ऑटोमेटा सिद्धांत संक्षेप मशीनों और ऑटोमेटा का अध्ययन है, साथ ही उन कम्प्यूटेशनल समस्याओं का भी अध्ययन है जिन्हें उनका उपयोग करके हल किया जा सकता है। यह सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में एक सिद्धांत है। ऑटोमेटा शब्द ग्रीक शब्द αὐτόματος से आया है, जिसका अर्थ है "स्व-अभिनय, स्व-इच्छाशक्ति, स्व-चालित"। ऑटोमेटन (बहुवचन में ऑटोमेटा) संक्षेप स्व-चालित कंप्यूटिंग उपकरण है जो स्वचालित रूप से संचालन के पूर्व निर्धारित अनुक्रम का अनुसरण करता है। अवस्थाओं की सीमित संख्या वाले ऑटोमेटन को परिमित ऑटोमेटन (एफए (FA)) या परिमित-अवस्था मशीन (एफएसएम (FSM)) कहा जाता है। दाईं ओर का आंकड़ा परिमित-अवस्था मशीन को दिखाता है, जो एक प्रसिद्ध प्रकार का ऑटोमेटन है। इस ऑटोमेटन में अवस्थाएँ (वृत्तों द्वारा चित्र में दर्शाई गई) और संक्रमण (तीर द्वारा दर्शाई गई) सम्मिलित हैं। चूंकि ऑटोमेटन इनपुट का प्रतीक देखता है, यह अपने संक्रमण फलन के अनुसार, किसी अन्य अवस्था में संक्रमण (या व्यतिक्रम) बनाता है, जो पिछली अवस्था और वर्तमान इनपुट प्रतीक को इसके तर्कों के रूप में लेता है।

ऑटोमेटा सिद्धांत औपचारिक भाषा सिद्धांत से निकटता से संबंधित है। इस संदर्भ में, ऑटोमेटा का उपयोग औपचारिक भाषाओं के सीमित निरूपण के रूप में किया जाता है जो अनंत हो सकती हैं। ऑटोमेटा को प्रायः औपचारिक भाषाओं के वर्ग द्वारा वर्गीकृत किया जाता है जिसे वे पहचान सकते हैं, जैसा कि चॉम्स्की पदानुक्रम में होता है, जो ऑटोमेटा के प्रमुख वर्गों के बीच नेस्टिंग संबंध का वर्णन करता है। संगणना, संकलक निर्माण, कृत्रिम बुद्धिमत्ता, पदव्याख्या और औपचारिक सत्यापन के सिद्धांत में ऑटोमेटा एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं।

इतिहास
अमूर्त ऑटोमेटा के सिद्धांत को 20वीं शताब्दी के मध्य में परिमित ऑटोमेटा के संबंध में विकसित किया गया था। ऑटोमेटा सिद्धांत को प्रारम्भ में गणितीय प्रणाली सिद्धांत की शाखा माना जाता था, जो असतत-पैरामीटर प्रणाली के व्यवहार का अध्ययन करता था। पदार्थ प्रणालियों का वर्णन करने के लिए अंतर कलन के स्थान पर सूचना प्रणाली का वर्णन करने के लिए संक्षेप बीजगणित का उपयोग करके प्रणाली पर पिछले कार्य से ऑटोमेटा सिद्धांत में प्रारंभिक कार्य भिन्न होता है। परिमित-अवस्था ट्रांसड्यूसर के सिद्धांत को विभिन्न अनुसंधान समुदायों द्वारा अलग-अलग नामों से विकसित किया गया था। ट्यूरिंग मशीन की पहले की अवधारणा को अनंत-अवस्था ऑटोमेटा के नए रूपों जैसे पुशडाउन ऑटोमेटा के साथ अनुशासन में भी सम्मिलित किया गया था।

1956 में ऑटोमेटा अध्ययनों का प्रकाशन देखा गया, जिसमें क्लॉड शैनन, डब्ल्यू. रॉस एशबी, जॉन वॉन न्यूमैन, मार्विन मिंस्की, एडवर्ड एफ मूर और स्टीफन कोल क्लेन सहित वैज्ञानिकों द्वारा काम एकत्र किया गया था। इस खंड के प्रकाशन के साथ, "ऑटोमेटा सिद्धांत अपेक्षाकृत स्वायत्त अनुशासन के रूप में उभरा"। पुस्तक में क्लेन द्वारा नियमित घटनाओं, या नियमित भाषाओं के क्रम का वर्णन, और शैनन द्वारा ट्यूरिंग मशीन प्रोग्रमों में जटिलता की अपेक्षाकृत स्थिर माप सम्मिलित थी। उसी वर्ष, नोम चॉम्स्की ने चॉम्स्की पदानुक्रम, ऑटोमेटा और औपचारिक व्याकरण के बीच पत्राचार का वर्णन किया, और रॉस एशबी ने साइबरनेटिक्स का परिचय प्रकाशित किया, जो सुलभ पाठ्यपुस्तक है जो ऑटोमेटा और बुनियादी क्रम सिद्धांत का उपयोग करके जानकारी की व्याख्या करती है।

रैखिक परिबद्ध ऑटोमेटा के अध्ययन ने माइहिल-नेरोड प्रमेय का नेतृत्व किया, जो औपचारिक भाषा के नियमित होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति देती है, और भाषा के लिए न्यूनतम मशीन में अवस्थाओं की संख्या की सटीक गणना करती है। नियमित भाषाओं के लिए पम्पिंग लेम्मा, नियमितता प्रमाणों में भी उपयोगी, इस अवधि में माइकल ओ. राबिन और दाना स्कॉट द्वारा नियतात्मक और गैर-नियतात्मक परिमित ऑटोमेटा को कम्प्यूटेशनल तुल्यता के साथ सिद्ध किया गया था।

1960 के दशक में, "संरचना सिद्धांत" या "बीजगणितीय अपघटन सिद्धांत" के रूप में जाना जाने वाला बीजगणितीय परिणामों का एक समूह उभरा, जो अंतर्संबंध द्वारा छोटी मशीनों से अनुक्रमिक मशीनों की प्राप्ति से संबंधित था। जबकि किसी भी परिमित ऑटोमेटन को सार्वभौमिक गेट सेट का उपयोग करके अनुरूप किया जा सकता है, इसके लिए यह आवश्यक है कि अनुकरण परिपथ में मनमाने ढंग से जटिलता के लूप हों। संरचना सिद्धांत मशीनों की "लूप-मुक्त" प्राप्ति से संबंधित है। 1960 के दशक में कम्प्यूटेशनल जटिलता के सिद्धांत ने भी आकार लिया। दशक के अंत तक, ऑटोमेटा सिद्धांत को "कंप्यूटर विज्ञान के शुद्ध गणित" के रूप में देखा जाने लगा।

ऑटोमेटा
ऑटोमेटन की एक सामान्य परिभाषा क्या है, जो एक प्रणाली  की व्यापक परिभाषा को असतत समय-चरणों में अभिनय के रूप में देखा जाता है, इसके राज्य व्यवहार और आउटपुट के साथ प्रत्येक चरण में केवल इसके राज्य और इनपुट के अपरिवर्तनीय कार्यों द्वारा परिभाषित किया जाता है।

अनौपचारिक विवरण
असतत (व्यक्तिगत) समय चरणों (या सिर्फ चरणों) में इनपुट के कुछ अनुक्रम दिए जाने पर एक ऑटोमेटन चलता है। एक automaton प्रतीक (औपचारिक) या अक्षरों के एक सेट से चुने गए एक इनपुट को संसाधित करता है, जिसे एक इनपुट वर्णमाला (कंप्यूटर विज्ञान) कहा जाता है। ऑटोमेटन द्वारा किसी भी चरण में इनपुट के रूप में प्राप्त किए गए प्रतीक शब्द नामक प्रतीकों का एक क्रम है। एक ऑटोमेटन में राज्यों का एक समूह होता है। ऑटोमेटन के एक रन के दौरान हर पल ऑटोमेटन अपने राज्यों में से एक में होता है। जब automaton नया इनपुट प्राप्त करता है तो यह एक संक्रमण फ़ंक्शन के आधार पर दूसरे राज्य (या संक्रमण) में जाता है जो पिछले राज्य और वर्तमान इनपुट प्रतीक को पैरामीटर के रूप में लेता है। उसी समय, एक अन्य फ़ंक्शन जिसे आउटपुट फ़ंक्शन कहा जाता है, आउटपुट वर्णमाला से प्रतीकों का उत्पादन करता है, वह भी पिछली स्थिति और वर्तमान इनपुट प्रतीक के अनुसार। automaton इनपुट शब्द के प्रतीकों को पढ़ता है और जब तक शब्द पूरी तरह से पढ़ा नहीं जाता है, तब तक राज्यों के बीच संक्रमण होता है, अगर यह लंबाई में परिमित है, जिस बिंदु पर automaton रुक जाता है। जिस अवस्था में ऑटोमेटन रुकता है उसे अंतिम अवस्था कहा जाता है।

औपचारिक भाषा सिद्धांत का उपयोग करके एक ऑटोमेटन में संभावित स्थिति/इनपुट/आउटपुट अनुक्रमों की जांच करने के लिए, एक मशीन को एक प्रारंभिक स्थिति और स्वीकार करने वाले राज्यों का एक सेट सौंपा जा सकता है। फिर, इस पर निर्भर करते हुए कि प्रारंभिक अवस्था से शुरू होने वाला रन एक स्वीकार्य स्थिति में समाप्त होता है, automaton को इनपुट अनुक्रम को स्वीकार या अस्वीकार करने के लिए कहा जा सकता है। ऑटोमेटन द्वारा स्वीकृत सभी शब्दों के सेट को ऑटोमेटन द्वारा मान्यता प्राप्त भाषा कहा जाता है। किसी भाषा को पहचानने वाली मशीन का एक परिचित उदाहरण एक इलेक्ट्रॉनिक_लॉक#न्यूमेरिकल_कोड,_पासवर्ड,_और_पासफ़्रेज़ है, जो सही कोड दर्ज करने के प्रयासों को स्वीकार या अस्वीकार करता है।

औपचारिक परिभाषा
ऑटोमेटन


 * एक automaton को औपचारिक रूप से N-tuple|5-tuple द्वारा दर्शाया जा सकता है $$M = \langle \Sigma, \Gamma, Q, \delta, \lambda \rangle$$, कहाँ:
 * $$\Sigma$$ प्रतीकों का एक परिमित सेट है, जिसे ऑटोमेटन का इनपुट वर्णमाला कहा जाता है,
 * $$\Gamma$$ प्रतीकों का एक और परिमित सेट है, जिसे ऑटोमेटन का आउटपुट अल्फाबेट कहा जाता है,
 * $$Q$$ राज्यों का एक समूह है,
 * $$\delta$$ अगला-राज्य कार्य या संक्रमण कार्य है $$\delta : Q \times \Sigma \to Q$$ राज्य-इनपुट जोड़े को उत्तराधिकारी राज्यों में मैप करना,
 * $$\lambda$$ अगला-आउटपुट फ़ंक्शन है $$\lambda : Q \times \Sigma \to \Gamma$$ आउटपुट के लिए स्टेट-इनपुट पेयर मैप करना।
 * अगर $$Q$$ परिमित है, तो $$M$$ एक परिमित automaton है।

इनपुट शब्द
 * एक automaton प्रतीकों का एक परिमित शब्द (गणित) पढ़ता है $$a_1a_2...a_n$$, कहाँ $$a_i \in \Sigma$$, जिसे एक इनपुट शब्द कहा जाता है। सभी शब्दों के समुच्चय को द्वारा निरूपित किया जाता है $$\Sigma^*$$.


 * दौड़ना
 * राज्यों का एक क्रम $$q_0,q_1,...,q_n$$, कहाँ $$q_i \in Q$$ ऐसा है कि $$q_i = \delta(q_{i-1}, a_i)$$ के लिए $$0 < i \le n$$, एक इनपुट पर ऑटोमेटन का रन है $$a_1a_2...a_n \in \Sigma^*$$ राज्य से शुरू $$q_0$$. दूसरे शब्दों में, सबसे पहले automaton प्रारंभ अवस्था में होता है $$q_0$$, और इनपुट प्राप्त करता है $$a_1$$. के लिए $$a_1$$ और प्रत्येक निम्नलिखित $$a_i$$ इनपुट स्ट्रिंग में, automaton अगला राज्य चुनता है $$q_i$$ संक्रमण समारोह के अनुसार $$\delta(q_{i-1},a_i)$$, अंतिम प्रतीक तक $$a_n$$ पढ़ा जा चुका है, मशीन को चलने की अंतिम अवस्था में छोड़कर, $$q_n$$. इसी तरह, प्रत्येक चरण पर, ऑटोमेटन आउटपुट फ़ंक्शन के अनुसार आउटपुट प्रतीक का उत्सर्जन करता है $$\lambda(q_{i-1},a_i)$$.


 * संक्रमण समारोह $$\delta$$ में आगमनात्मक रूप से विस्तारित किया गया है $$\overline\delta: Q \times \Sigma^* \to Q$$ पूरे इनपुट शब्द खिलाए जाने पर मशीन के व्यवहार का वर्णन करने के लिए। खाली स्ट्रिंग के लिए $$\varepsilon$$, $$\overline\delta(q, \varepsilon) = q$$ सभी राज्यों के लिए $$q$$, और तार के लिए $$wa$$ कहाँ $$a$$ अंतिम प्रतीक है और $$w$$ (संभावित रूप से खाली) शेष स्ट्रिंग है, $$\overline\delta(q, wa) = \delta(\overline\delta(q,w),a)$$. आउटपुट फ़ंक्शन $$\lambda$$ में समान रूप से बढ़ाया जा सकता है $$\overline\lambda(q,w)$$, जो वर्ड पर चलने पर मशीन का पूरा आउटपुट देता है $$w$$ राज्य से $$q$$.


 * स्वीकर्ता


 * औपचारिक भाषाओं के सिद्धांत के साथ एक ऑटोमेटन का अध्ययन करने के लिए, एक ऑटोमेटन को एक स्वीकर्ता के रूप में माना जा सकता है, जो आउटपुट वर्णमाला और फ़ंक्शन को प्रतिस्थापित करता है $$\Gamma$$ और $$\lambda$$ साथ
 * $$q_0 \in Q$$, एक नामित प्रारंभ स्थिति, और
 * $$F$$, राज्यों का एक सेट $$Q$$ (अर्थात। $$F \subseteq Q$$) स्वीकार राज्यों कहा जाता है।
 * यह निम्नलिखित को परिभाषित करने की अनुमति देता है:


 * स्वीकार करने वाला शब्द
 * शब्द $$w = a_1a_2...a_n \in \Sigma^*$$ automaton if के लिए एक स्वीकार्य शब्द है $$\overline\delta(q_0,w) \in F$$, यानी अगर पूरी स्ट्रिंग का सेवन करने के बाद $$w$$ मशीन एक स्वीकार स्थिति में है।

मान्यता प्राप्त भाषा
 * भाषा $$L \subseteq \Sigma^*$$ ऑटोमेटन द्वारा मान्यता प्राप्त सभी शब्दों का सेट है जो ऑटोमेटन द्वारा स्वीकार किए जाते हैं, $$L = \{w \in \Sigma^* \ |\ \overline\delta(q_0,w) \in F\}$$.
 * पहचानने योग्य भाषाएँ
 * पहचानने योग्य भाषाएँ उन भाषाओं का समूह होती हैं जिन्हें कुछ automaton द्वारा पहचाना जाता है। परिमित ऑटोमेटा के लिए पहचानने योग्य भाषाएँ नियमित भाषा हैं। विभिन्न प्रकार के ऑटोमेटा के लिए, पहचानने योग्य भाषाएँ भिन्न होती हैं।

ऑटोमेटा
की भिन्न परिभाषाएँ ऑटोमेटा को गणितीय औपचारिकता के तहत उपयोगी मशीनों का अध्ययन करने के लिए परिभाषित किया गया है। तो एक automaton की परिभाषा वास्तविक विश्व मशीन के अनुसार भिन्नताओं के लिए खुली है जिसे हम automaton का उपयोग करके मॉडल बनाना चाहते हैं। लोगों ने ऑटोमेटा के कई रूपों का अध्ययन किया है। ऑटोमेटा के विभिन्न घटकों की परिभाषा में निम्नलिखित कुछ लोकप्रिय बदलाव हैं।

इनपुट
 * परिमित इनपुट: एक ऑटोमेटन जो प्रतीकों के केवल परिमित अनुक्रमों को स्वीकार करता है। उपरोक्त परिचयात्मक परिभाषा में केवल परिमित शब्द शामिल हैं।
 * अनंत इनपुट: एक ऑटोमेटन जो अनंत शब्दों को स्वीकार करता है (Omega language|ω-words)। ऐसे ऑटोमेटा को ओमेगा ऑटोमेटन|ω-ऑटोमेटा कहा जाता है।
 * वृक्ष इनपुट: प्रतीकों के अनुक्रम के बजाय इनपुट एक पेड़ (ऑटोमेटा सिद्धांत) हो सकता है। इस मामले में प्रत्येक प्रतीक को पढ़ने के बाद, automaton इनपुट पेड़ में सभी उत्तराधिकारी प्रतीकों को पढ़ता है। ऐसा कहा जाता है कि ऑटोमेटन प्रत्येक उत्तराधिकारी के लिए स्वयं की एक प्रति बनाता है और ऐसी प्रत्येक प्रति ऑटोमेटन के संक्रमण संबंध के अनुसार राज्य के उत्तराधिकारी प्रतीकों में से एक पर चलने लगती है। ऐसे ऑटोमेटन को पेड़ automaton  कहा जाता है।
 * अनंत ट्री इनपुट: ऊपर दिए गए दो एक्सटेंशन को जोड़ा जा सकता है, इसलिए ऑटोमेटन ट्री स्ट्रक्चर को (इन) परिमित शाखाओं के साथ पढ़ता है। ऐसे ऑटोमेटन को अनंत ट्री ऑटोमेटन कहा जाता है।

राज्य
 * एकल राज्य: एक राज्य के साथ एक automaton, जिसे संयोजन सर्किट भी कहा जाता है, एक परिवर्तन करता है जो संयोजन तर्क को लागू कर सकता है। * परिमित अवस्थाएँ: एक ऑटोमेटन जिसमें केवल सीमित संख्या में अवस्थाएँ होती हैं।
 * अनंत अवस्थाएँ: एक ऑटोमेटन जिसमें राज्यों की सीमित संख्या या राज्यों की एक गणनीय संख्या भी नहीं हो सकती है। ऐसी मशीनों को परिमित विवरण देने के लिए विभिन्न प्रकार की अमूर्त स्मृति का उपयोग किया जा सकता है।
 * स्टैक मेमोरी: एक ऑटोमेटन में स्टैक (अमूर्त डेटा प्रकार) के रूप में कुछ अतिरिक्त मेमोरी भी हो सकती है जिसमें प्रतीकों को पुश और पॉप किया जा सकता है। इस तरह के ऑटोमेटन को पुशडाउन ऑटोमेटन कहा जाता है।
 * क्यू मेमोरी: एक ऑटोमेटन में क्यू (अमूर्त डेटा प्रकार) के रूप में मेमोरी हो सकती है। ऐसी मशीन को कतार मशीन  कहा जाता है और यह ट्यूरिंग-पूर्ण है।
 * टेप मेमोरी: ऑटोमेटा के इनपुट और आउटपुट को अक्सर इनपुट और आउटपुट टेप के रूप में वर्णित किया जाता है। कुछ मशीनों में ट्यूरिंग मशीन, रैखिक परिबद्ध automaton और लॉग-स्पेस ट्रांसड्यूसर सहित अतिरिक्त वर्किंग टेप होते हैं।

संक्रमण समारोह
 * नियतात्मक: किसी दिए गए वर्तमान स्थिति और एक इनपुट प्रतीक के लिए, यदि कोई ऑटोमेटन केवल एक और केवल एक राज्य में जा सकता है तो यह एक नियतात्मक ऑटोमेटन है।
 * गैर-नियतात्मक: एक ऑटोमेटन, जो एक इनपुट प्रतीक को पढ़ने के बाद, कई राज्यों में से किसी में भी कूद सकता है, जैसा कि इसके संक्रमण संबंध द्वारा लाइसेंस दिया गया है। ध्यान दें कि टर्म ट्रांज़िशन फ़ंक्शन को ट्रांज़िशन रिलेशन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है: automaton गैर-नियतात्मक रूप से अनुमत विकल्पों में से एक में कूदने का निर्णय लेता है। ऐसे ऑटोमेटा को गैर-नियतात्मक ऑटोमेटा कहा जाता है।
 * प्रत्यावर्तन: यह विचार काफी हद तक ट्री ऑटोमेटा के समान है लेकिन ऑर्थोगोनल है। ऑटोमेटन अपनी कई प्रतियाँ उसी अगले रीड सिंबल पर चला सकता है। ऐसे ऑटोमेटा को बारी-बारी से ऑटोमेटन  कहा जाता है। इनपुट को स्वीकार करने के लिए ऐसी प्रतियों के सभी रनों पर स्वीकृति शर्त पूरी होनी चाहिए।


 * स्वीकृति की स्थिति
 * परिमित शब्दों की स्वीकृति: उपरोक्त अनौपचारिक परिभाषा में वर्णित के समान।
 * अनंत शब्दों की स्वीकृति: एक ω-automaton की अंतिम स्थिति नहीं हो सकती, क्योंकि अनंत शब्द कभी समाप्त नहीं होते। बल्कि, रन के दौरान विज़िट किए गए राज्यों के अनंत अनुक्रम को देखकर शब्द की स्वीकृति तय की जाती है।
 * संभाव्य स्वीकृति: एक ऑटोमेटन को किसी इनपुट को सख्ती से स्वीकार या अस्वीकार करने की आवश्यकता नहीं है। यह शून्य और एक के बीच कुछ प्रायिकता के साथ इनपुट को स्वीकार कर सकता है। उदाहरण के लिए, क्वांटम परिमित ऑटोमेटा, ज्यामितीय ऑटोमेटा और मीट्रिक ऑटोमेटा  की संभाव्य स्वीकृति है।

उपरोक्त विविधताओं के विभिन्न संयोजन ऑटोमेटा के कई वर्ग उत्पन्न करते हैं।

ऑटोमेटा सिद्धांत एक विषय वस्तु है जो विभिन्न प्रकार के ऑटोमेटा के गुणों का अध्ययन करता है। उदाहरण के लिए, किसी दिए गए प्रकार के ऑटोमेटा के बारे में निम्नलिखित प्रश्नों का अध्ययन किया जाता है।


 * किसी प्रकार के ऑटोमेटा द्वारा औपचारिक भाषाओं का कौन सा वर्ग पहचाना जा सकता है? (पहचानने योग्य भाषाएं)
 * क्या कुछ ऑटोमेटा संघ, प्रतिच्छेदन, या औपचारिक भाषाओं के पूरक के तहत बंद हैं? (बंद गुण)
 * औपचारिक भाषाओं के एक वर्ग को पहचानने के संदर्भ में एक प्रकार का ऑटोमेटा कितना अभिव्यंजक है? और, उनकी सापेक्ष अभिव्यंजक शक्ति? (भाषा पदानुक्रम)

ऑटोमेटा सिद्धांत निम्नलिखित सूची के समान समस्याओं को हल करने के लिए किसी प्रभावी तरीके के अस्तित्व या अस्तित्व का भी अध्ययन करता है:


 * क्या ऑटोमेटन कम से कम एक इनपुट शब्द स्वीकार करता है? (खालीपन जांच)
 * क्या मान्यता प्राप्त भाषा को बदले बिना किसी दिए गए गैर-नियतात्मक ऑटोमेटन को एक नियतात्मक ऑटोमेटन में बदलना संभव है? (निर्धारण)
 * दी गई औपचारिक भाषा के लिए, इसे पहचानने वाला सबसे छोटा ऑटोमेटन कौन सा है? (डीएफए न्यूनीकरण)

ऑटोमेटा के प्रकार
निम्नलिखित ऑटोमेटा के प्रकारों की अपूर्ण सूची है।

असतत, निरंतर और हाइब्रिड ऑटोमेटा
आम तौर पर ऑटोमेटा सिद्धांत अमूर्त मशीनों की अवस्थाओं का वर्णन करता है, लेकिन असतत ऑटोमेटा, एनालॉग स्वचालित रूप से  या निरंतर ऑटोमेटा, या हाइब्रिड ऑटोमेटन | हाइब्रिड असतत-निरंतर ऑटोमेटा हैं, जो क्रमशः डिजिटल डेटा, एनालॉग डेटा या निरंतर समय, या डिजिटल और एनालॉग डेटा का उपयोग करते हैं।

शक्तियों के संदर्भ में पदानुक्रम
निम्नलिखित विभिन्न प्रकार की आभासी मशीनों की शक्तियों के संदर्भ में अपूर्ण पदानुक्रम है। पदानुक्रम उन भाषाओं की नेस्टेड श्रेणियों को दर्शाता है जिन्हें मशीनें स्वीकार करने में सक्षम हैं।

अनुप्रयोग
ऑटोमेटा सिद्धांत में प्रत्येक मॉडल कई अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। परिमित ऑटोमेटा का उपयोग पाठ प्रसंस्करण, कंपाइलर और हार्डवेयर डिजाइन में किया जाता है। प्रसंग-मुक्त व्याकरण (CFGs) प्रोग्रामिंग भाषा विशिष्टताओं और कृत्रिम बुद्धिमत्ता में उपयोग किया जाता है। मूल रूप से, CFG का उपयोग प्राकृतिक भाषाओं के अध्ययन में किया जाता था। कृत्रिम जीवन के क्षेत्र में सेल्यूलर आटोमेटा का उपयोग किया जाता है, सबसे प्रसिद्ध उदाहरण जॉन हॉर्टन कॉनवे का कॉनवे का गेम ऑफ लाइफ है। कुछ अन्य उदाहरण जिन्हें जीव विज्ञान में ऑटोमेटा सिद्धांत का उपयोग करके समझाया जा सकता है उनमें मोलस्क और पाइन कोन विकास और रंजकता पैटर्न शामिल हैं। आगे बढ़ते हुए, एक सिद्धांत का सुझाव है कि पूरे ब्रह्मांड की गणना किसी प्रकार के असतत automaton द्वारा की जाती है, कुछ वैज्ञानिकों द्वारा इसकी वकालत की जाती है। यह विचार कोनराड ज़्यूस के काम में उत्पन्न हुआ, और एडवर्ड फ्रेडकिन द्वारा अमेरिका में लोकप्रिय हुआ। ऑटोमेटा परिमित क्षेत्रों के सिद्धांत में भी प्रकट होता है: अलघुकरणीय बहुपदों का सेट जिसे डिग्री दो बहुपदों की रचना के रूप में लिखा जा सकता है, वास्तव में एक नियमित भाषा है। एक और समस्या जिसके लिए ऑटोमेटा का उपयोग किया जा सकता है वह है नियमित भाषाओं को शामिल करना।

ऑटोमेटा सिमुलेटर
ऑटोमेटा सिमुलेटर शैक्षणिक उपकरण हैं जिनका उपयोग ऑटोमेटा सिद्धांत को सिखाने, सीखने और शोध करने के लिए किया जाता है। एक ऑटोमेटा सिम्युलेटर एक ऑटोमेटन के विवरण को इनपुट के रूप में लेता है और फिर एक मनमाना इनपुट स्ट्रिंग के लिए इसके काम का अनुकरण करता है। ऑटोमेटन का विवरण कई तरीकों से दर्ज किया जा सकता है। एक automaton को एक सांकेतिक भाषा (प्रोग्रामिंग) में परिभाषित किया जा सकता है या इसके विनिर्देश को पूर्वनिर्धारित रूप में दर्ज किया जा सकता है या माउस को क्लिक करके और खींचकर इसका संक्रमण आरेख तैयार किया जा सकता है। प्रसिद्ध ऑटोमेटा सिमुलेटर में ट्यूरिंग वर्ल्ड, जेएफएलएपी, वीएएस, टैग्स और सिमस्टूडियो शामिल हैं।

श्रेणी सिद्धांत से संबंध
ऑटोमेटा की कई विशिष्ट श्रेणी (गणित) को परिभाषित किया जा सकता है पिछले अनुभाग में वर्णित विभिन्न प्रकारों में ऑटोमेटा वर्गीकरण का अनुसरण करना। नियतात्मक ऑटोमेटा, अनुक्रमिक मशीन या अनुक्रमिक ऑटोमेटा की गणितीय श्रेणी, और ऑटोमेटा समरूपता के साथ ट्यूरिंग मशीन ऑटोमेटा के बीच तीरों को परिभाषित करती है, एक कार्टेशियन बंद श्रेणी है, इसमें स्पष्ट सीमा (श्रेणी सिद्धांत) और कोलिमिट दोनों हैं। एक ऑटोमेटा होमोमोर्फिज्म एक ऑटोमेटन ए के क्विंटुपल को मैप करता हैi दूसरे ऑटोमेटन के क्विंटुपल पर एj. ऑटोमेटा होमोमोर्फिज्म को ऑटोमेटा ट्रांसफॉर्मेशन या semigroup  होमोमोर्फिज्म के रूप में भी माना जा सकता है, जब ऑटोमेटन के स्टेट स्पेस, 'एस' को सेमीग्रुप 'एस' के रूप में परिभाषित किया जाता है।g. मोनोइडल श्रेणी में मोनोइड्स को ऑटोमेटा के लिए उपयुक्त सेटिंग के रूप में भी माना जाता है। चर ऑटोमेटा की श्रेणियां एंडोमोर्फिज्म के माध्यम से द ह्यूमन यूज ऑफ ह्यूमन बीइंग पर अपनी पुस्तक नॉर्बर्ट वीनर के अर्थ में एक चर ऑटोमेटन को भी परिभाषित किया जा सकता है। $$A_{i}\to A_{i}$$. तब कोई दिखा सकता है कि इस तरह के चर ऑटोमेटा होमोमोर्फिज्म एक गणितीय समूह बनाते हैं। गैर-नियतात्मक, या अन्य जटिल प्रकार के ऑटोमेटा के मामले में, एंडोमोर्फिज्म का बाद वाला सेट, हालांकि, एक चर ऑटोमेटन ग्रुपॉयड बन सकता है। इसलिए, सबसे सामान्य मामले में, किसी भी प्रकार के चर ऑटोमेटा की श्रेणियां ग्रुपॉयड्स या ग्रुपॉयड श्रेणी की श्रेणियां हैं। इसके अलावा, प्रतिवर्ती ऑटोमेटा की श्रेणी तब होती है 2-श्रेणी, और 2-श्रेणी के ग्रुपोइड्स, या groupoid श्रेणी की एक उपश्रेणी भी।

यह भी देखें

 * बूलियन डिफरेंशियल कैलकुलस

अग्रिम पठन

 * Part One: Automata and Languages, chapters 1–2, pp. 29–122. Section 4.1: Decidable Languages, pp. 152–159. Section 5.1: Undecidable Problems from Language Theory, pp. 172–183.
 * John M. Howie (1991) Automata and Languages, Clarendon Press ISBN 0-19-853424-8
 * John M. Howie (1991) Automata and Languages, Clarendon Press ISBN 0-19-853424-8
 * John M. Howie (1991) Automata and Languages, Clarendon Press ISBN 0-19-853424-8
 * John M. Howie (1991) Automata and Languages, Clarendon Press ISBN 0-19-853424-8
 * John M. Howie (1991) Automata and Languages, Clarendon Press ISBN 0-19-853424-8
 * John M. Howie (1991) Automata and Languages, Clarendon Press ISBN 0-19-853424-8

बाहरी संबंध

 * dk.brics.automaton
 * libfa