ताऊ-लीपिंग (τ-लीपिंग)

संभाव्यता सिद्धांत में, ताऊ-लीपिंग, या τ-लीपिंग, स्टोकेस्टिक प्रणाली के कंप्यूटर सिमुलेशन के लिए एक अनुमानित तरीका है। यह गिलेस्पी एल्गोरिथम पर आधारित है, प्रवृत्ति कार्यों को अद्यतन करने से पहले लंबाई ताऊ के अंतराल के लिए सभी प्रतिक्रियाओं का प्रदर्शन करता है। दरों को कम बार अपडेट करने से यह कभी-कभी अधिक कुशल अनुकरण की अनुमति देता है और इस प्रकार बड़ी प्रणालियों पर विचार किया जाता है।

बुनियादी एल्गोरिथम के कई प्रकारों पर विचार किया गया है।

एल्गोरिथम
नियतात्मक प्रणालियों के लिए एल्गोरिथम यूलर विधि के अनुरूप है, लेकिन एक निश्चित परिवर्तन करने के बजाय

$$x(t+\tau)=x(t)+\tau x'(t)$$ परिवर्तन है

$$x(t+\tau)=x(t)+P(\tau x'(t))$$ कहाँ $$P(\tau x'(t))$$ माध्य के साथ एक प्वासों बंटन वितरित यादृच्छिक चर है $$\tau x'(t)$$.

एक राज्य दिया $$\mathbf{x}(t)=\{X_i(t)\}$$ घटनाओं के साथ $$E_j$$ दर से हो रहा है $$R_j(\mathbf{x}(t))$$ और राज्य परिवर्तन वैक्टर के साथ $$\mathbf{v}_{ij}$$ (कहाँ $$i$$ राज्य चर को अनुक्रमित करता है, और $$j$$ घटनाओं को अनुक्रमित करता है), विधि इस प्रकार है:


 * 1) शुरुआती शर्तों के साथ मॉडल को इनिशियलाइज़ करें $$\mathbf{x}(t_0)=\{X_i(t_0)\}$$.
 * 2) घटना दरों की गणना करें $$R_j(\mathbf{x}(t))$$.
 * 3) एक समय कदम चुनें $$\tau$$. इसे ठीक किया जा सकता है, या कुछ एल्गोरिथम द्वारा विभिन्न घटना दरों पर निर्भर किया जा सकता है।
 * 4) प्रत्येक घटना के लिए $$E_j$$ बनाना $$K_j \sim \text{Poisson}(R_j\tau)$$, जो समय अंतराल के दौरान प्रत्येक घटना के घटित होने की संख्या है $$[t,t+\tau)$$.
 * 5) द्वारा राज्य को अपडेट करें
 * $$\mathbf{x}(t+\tau)=\mathbf{x}(t)+\sum_j K_jv_{ij}$$
 * कहाँ $$v_{ij}$$ राज्य चर पर परिवर्तन है $$X_i$$ घटना के कारण $$E_j$$. इस बिंदु पर यह जाँचना आवश्यक हो सकता है कि कोई भी आबादी अवास्तविक मूल्यों तक नहीं पहुँची है (जैसे कि पोइसन चर की असीमित प्रकृति के कारण जनसंख्या नकारात्मक हो रही है $$K_j$$).
 * 1) चरण 2 से तब तक दोहराएं जब तक कि कुछ वांछित स्थिति पूरी न हो जाए (उदाहरण के लिए एक विशेष राज्य चर 0, या समय तक पहुंच जाता है $$t_1$$ पहुंच गया)।

कुशल चरण आकार चयन के लिए एल्गोरिथम
यह एल्गोरिथ्म काओ एट अल द्वारा वर्णित है। विचार प्रत्येक घटना दर में सापेक्ष परिवर्तन को बाध्य करना है $$R_j$$ एक निर्दिष्ट सहिष्णुता द्वारा $$\epsilon$$ (काओ एट अल। अनुशंसा करते हैं $$\epsilon=0.03$$, हालांकि यह मॉडल की बारीकियों पर निर्भर हो सकता है)। यह प्रत्येक राज्य चर में सापेक्ष परिवर्तन को बाध्य करके प्राप्त किया जाता है $$X_i$$ द्वारा $$\epsilon/g_i$$, कहाँ $$g_i$$ उस दर पर निर्भर करता है जो किसी दिए गए परिवर्तन के लिए सबसे अधिक बदलता है $$X_i$$. आम तौर पर $$g_i$$ उच्चतम क्रम घटना दर के बराबर है, लेकिन यह विभिन्न स्थितियों में अधिक जटिल हो सकता है (विशेष रूप से गैर-रैखिक घटना दर वाले महामारी विज्ञान मॉडल)।

इस एल्गोरिथ्म को आमतौर पर कंप्यूटिंग की आवश्यकता होती है $$2N$$ सहायक मूल्य (जहाँ $$N$$ राज्य चर की संख्या है $$X_i$$), और केवल पहले से परिकलित मानों का पुन: उपयोग करने की आवश्यकता होनी चाहिए $$R_j(\mathbf{x})$$. इसके बाद से एक महत्वपूर्ण कारक $$X_i$$ एक पूर्णांक मान है, तो एक न्यूनतम मान है जिसके द्वारा यह बदल सकता है, सापेक्ष परिवर्तन को रोक सकता है $$R_j$$ 0 से घिरा हुआ है, जिसका परिणाम होगा $$\tau$$ 0 की ओर भी अग्रसर है।

यह गणना $$\tau$$ तब के चरण 3 में उपयोग किया जाता है $$\tau$$ उछाल एल्गोरिदम।
 * 1) प्रत्येक राज्य चर के लिए $$X_i$$, सहायक मूल्यों की गणना करें
 * $$\mu_i(\mathbf{x}) = \sum_j v_{ij} R_j(\mathbf{x})$$
 * $$\sigma_i^2(\mathbf{x}) = \sum_j v_{ij}^2 R_j(\mathbf{x})$$
 * 1) प्रत्येक राज्य चर के लिए $$X_i$$, उच्चतम क्रम घटना निर्धारित करें जिसमें यह शामिल है, और प्राप्त करें $$g_i$$
 * 2) समय कदम की गणना करें $$\tau$$ जैसा
 * $$\tau = \min_i {\left\{ \frac{\max{\{\epsilon X_i / g_i, 1\}}}{|\mu_i(\mathbf{x})|}, \frac{\max{\{\epsilon X_i / g_i, 1\}}^2}{\sigma_i^2(\mathbf{x})} \right\}}$$