फाइबोनैचि कोडिंग

गणित और कंप्यूटिंग में फाइबोनैचि कोडिंग एक सार्वभौमिक कोड के रूप में डेटा संपीड़न है जो धनात्मक पूर्णांकों को बाइनरी कोड शब्दों में कूटबद्ध करता है। यह फाइबोनैचि संख्याओं के आधार पर पूर्णांकों के  प्रतिनिधित्व के रूप में एक उदाहरण है। प्रत्येक कोड शब्द 11 के साथ समाप्त होता है और इसमें अंत से पहले 11 का कोई अन्य उदाहरण नहीं होता है।

फाइबोनैचि कोड ज़ेकेंडोर्फ प्रतिनिधित्व के रूप में निकटता से संबंधित है, एक स्थितीय अंक प्रणाली जो ज़ेकेंडोर्फ के प्रमेय के रूप में उपयोग करता है और इसमें यह गुण होता है कि किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व लगातार 1s के रूप में नहीं होता है। किसी विशेष पूर्णांक के लिए फाइबोनैचि कोड शब्द वास्तव में पूर्णांक का ज़ेकेंडोर्फ प्रतिनिधित्व है जिसके अंकों का क्रम उलटा होता है और इसमें अंत में एक अतिरिक्त "1" जोड़ दिया जाता है।

परिभाषा
एक नंबर के लिए $$N\!$$, यदि $$d(0),d(1),\ldots,d(k-1),d(k)\!$$ प्रतिनिधित्व करने वाले कोड शब्द के अंकों को निरूपित करते हैं। $$N\!$$ तो हमारे पास हैं:


 * $$N = \sum_{i=0}^{k-1} d(i) F(i+2),\text{ and }d(k-1)=d(k)=1.\!$$

जहाँ $F(i)$ है $i$वें फाइबोनैचि संख्या, और इसी प्रकार $F(i+2)$ है $i$वीं विशिष्ट फाइबोनैचि संख्या से प्रारंभ होती है $$1,2,3,5,8,13,\ldots$$. आखिरी बिट $$d(k)$$ यह निरंतर 1 का एक संलग्न बिट के रूप में होता है और इसमें स्थानीय मान नहीं होता है।

यह दिखाया जा सकता है कि ऐसी कोडिंग अद्वितीय है, और किसी भी कोड शब्द में 11 की एकमात्र घटना अंत में होती है अर्थात d(k−1) और d(k) अंतिम बिट सबसे महत्वपूर्ण बिट है और पहला बिट सबसे कम महत्वपूर्ण बिट है। इसके अतिरिक्त अग्रणी शून्यों को छोड़ा नहीं जा सकता है.जैसा कि उदाहरण के रूप में दशमलव संख्या में कर सकते हैं।

पहले कुछ फाइबोनैचि कोड नीचे दिखाए गए हैं, और उनके तथाकथित यूनिवर्सल कोड डेटा संपीड़न व्यावहारिक संपीड़न से संबंध,करते है प्रत्येक संख्या का मान जिसमें फाइबोनैचि कोडिंग में न्यूनतम आकार कोड के रूप में होते है।

किसी पूर्णांक N को एन्कोड करने के लिए:
 * 1) N के समतुल्य या उससे कम की सबसे बड़ी फाइबोनैचि संख्या ज्ञात करें; शेषफल का हिसाब रखते हुए, इस संख्या को N से घटाएँ।
 * 2) यदि घटाई गई संख्या 1वीं फाइबोनैचि संख्या F(i) थी, तो कोड शब्द में i−2 के स्थान पर 1 लगाएं सबसे बाएं अंक को 0 के रूप में गिनें जाते है।
 * 3) N के लिए शेषफल प्रतिस्थापित करते हुए पिछले चरणों को दोहराएँ, जब तक कि शेषफल 0 के रूप में  न पहुँच जाए।
 * 4) कोड शब्द में सबसे दाहिने अंक के बाद एक अतिरिक्त 1 लगाएं।

किसी कोड शब्द को डिकोड करने के लिए अंतिम 1 को हटा दें और शेष मानों को 1,2,3,5,8,13... को कोड शब्द में बिट्स के रूप में निर्दिष्ट करते है और फाइबोनैचि संख्या 1 के मानों का योग करते है.

अन्य सार्वभौमिक कोड के साथ तुलना
फाइबोनैचि कोडिंग में एक उपयोगी गुण होता है जो कभी-कभी इसे अन्य सार्वभौमिक कोड की तुलना में आकर्षक बनाता है: यह एक स्व-सिंक्रनाइज़िंग कोड का एक उदाहरण है, जो क्षतिग्रस्त स्ट्रीम से डेटा को पुनर्प्राप्त करना आसान बनाता है। अधिकांश अन्य सार्वभौमिक कोडों के साथ, यदि एक भी बिट बदल दिया जाता है, तो उसके बाद आने वाला कोई भी डेटा सही ढंग से नहीं पढ़ा जाएगा। दूसरी ओर, फाइबोनैचि कोडिंग के साथ एक परिवर्तित बिट के कारण एक टोकन को दो के रूप में पढ़ा जा सकता है या दो टोकन को गलत विधि से एक के रूप में पढ़ा जा सकता है, लेकिन स्ट्रीम से 0 पढ़ने से त्रुटियों को आगे बढ़ने से रोका जा सकेगा। चूंकि एकमात्र स्ट्रीम जिसमें 0 नहीं है, वह 11 टोकन की स्ट्रीम है, एक बिट त्रुटि से क्षतिग्रस्त स्ट्रीम और मूल स्ट्रीम के बीच कुल संपादन दूरी अधिकतम तीन है।

यह दृष्टिकोण - प्रतीकों के अनुक्रम का उपयोग करके एन्कोडिंग जिसमें कुछ पैटर्न जैसे 11 निषिद्ध हैं, को स्वतंत्र रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है।

उदाहरण
निम्न तालिका से पता चलता है कि संख्या 65 को फाइबोनैचि कोडिंग में 0100100011 के रूप में दर्शाया गया है, क्योंकि 65 = 2 + 8 + 55. पहले दो फाइबोनैचि संख्याओं 0 और 1 का उपयोग नहीं किया जाता है और एक अतिरिक्त 1 निरंतर जोड़ा जाता है।


 * $$\begin{array}{ccccccccccc|c}

\hline 0 & 1 & 1 & 2 & 3 & 5 & 8 & 13 & 21 & 34 & 55 & - \\ \hline F(0) & F(1) & F(2) & F(3) & F(4) & F(5) & F(6) & F(7) & F(8) & F(9) & F(10) & \scriptstyle\text{additional} \\ \hline - & - & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ \hline \end{array}$$

सामान्यीकरण
धनात्मक पूर्णांकों के लिए फाइबोनैचि एन्कोडिंग बाइनरी स्ट्रिंग के रूप में हैं, जो 11 के साथ समाप्त होती हैं और जिसमें "11" का कोई अन्य उदाहरण नहीं होता है। इसे बाइनरी स्ट्रिंग्स के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जो N क्रमागत 1 के साथ समाप्त होता हैं और इसमें क्रमागत N 1 का कोई अन्य उदाहरण नहीं होता है। उदाहरण के लिए, N = 3 के लिए धनात्मक पूर्णांकों को 111, 0111, 00111, 10111, 000111, 100111, 010111, 110111, 0000111, 1000111, 0100111, .. के रूप में एन्कोड किया गया है। इस मामले में, स्ट्रिंग की लंबाई के एक फलन के रूप में एन्कोडिंग की संख्या ट्राइबोनैचि संख्याओं के अनुक्रम द्वारा दी गई है।

किसी दिए गए प्रतीक के बाद कौन से प्रतीकों की अनुमति है, इसे परिभाषित करने वाली सामान्य बाधाओं के लिए अधिकतम एन्ट्रॉपी यादृच्छिक प्रक्रिया का उपयोग करके पहले इष्टतम संक्रमण संभावनाओं को ढूंढकर अधिकतम सूचना दर प्राप्त की जा सकती है, फिर एक संदेश को एनकोड करने के लिए एन्ट्रापी कोडर डिकोडर के साथ स्विच किए गए एनकोडर के साथ का उपयोग कर सकते है और इष्टतम संक्रमण संभावनाओं को पूरा करने वाले प्रतीकों का अनुक्रम किया जा सकता है.

यह भी देखें

 * स्वर्णिम अनुपात आधार
 * नेगाफाइबोनैचि कोडिंग
 * ओस्ट्रोवस्की संकेत पद्धति
 * यूनिवर्सल कोड (डेटा संपीड़न)
 * वेरीकोड, एक प्रायोगिक अनुप्रयोग
 * ज़ेकेंडोर्फ का प्रमेय
 * अधिकतम एन्ट्रापी यादृच्छिक प्रक्रिया