केशिका तरंग

एक केशिका तरंग एक द्रव की चरण सीमा के साथ यात्रा करने वाली एक लहर है, जिसकी गतिशीलता (यांत्रिकी) और चरण वेग सतह तनाव के प्रभाव से प्रभावित होते हैं।

केशिका तरंगें प्रकृति में सामान्य हैं, और अक्सर उन्हें तरंग कहा जाता है। पानी पर केशिका तरंगों की तरंग दैर्ध्य आमतौर पर कुछ सेंटीमीटर से कम होती है, जिसकी चरण गति 0.2–0.3 मीटर / सेकंड से अधिक होती है।

द्रव इंटरफ़ेस पर एक लंबी तरंग दैर्ध्य के परिणामस्वरूप गुरुत्वाकर्षण-केशिका तरंगें होती हैं जो सतह तनाव और मानक गुरुत्वाकर्षण दोनों के साथ-साथ द्रव जड़ता से प्रभावित होती हैं। साधारण गुरुत्व तरंगों की तरंग दैर्ध्य अभी भी लंबी होती है।

खुले पानी में हल्की हवा से उत्पन्न होने पर, उनके लिए समुद्री नाम बिल्ली की पंजा तरंगें होती हैं। हल्की हवाएँ जो इस तरह की छोटी-छोटी लहरों को हिलाती हैं, उन्हें कभी-कभी बिल्ली के पंजे भी कहा जाता है। खुले समुद्र में, बहुत बड़ी पवन तरंगें (हवा की लहर और प्रफुल्लित (महासागर)) छोटी हवा के कारण होने वाली तरंग-तरंगों के सहसंयोजन के परिणामस्वरूप हो सकती हैं।

फैलाव संबंध
फैलाव संबंध तरंगों में तरंग दैर्ध्य और आवृत्ति के बीच संबंध का वर्णन करता है। शुद्ध केशिका तरंगों के बीच भेद किया जा सकता है - पूरी तरह से सतह तनाव के प्रभाव से प्रभावित - और गुरुत्वाकर्षण-केशिका तरंगें जो गुरुत्वाकर्षण से भी प्रभावित होती हैं।

केशिका तरंगें, उचित
केशिका तरंगों के लिए फैलाव संबंध है



\omega^2=\frac{\sigma}{\rho+\rho'}\, |k|^3,$$ कहाँ $$\omega$$ कोणीय आवृत्ति है, $$\sigma$$ सतही तनाव, $$\rho$$ का घनत्व भारी तरल पदार्थ, $$\rho'$$ लाइटर द्रव का घनत्व और $$k$$ तरंग संख्या। तरंग दैर्ध्य है $$ \lambda=\frac{2 \pi}{k}.$$ द्रव और निर्वात (मुक्त सतह) के बीच की सीमा के लिए, फैलाव संबंध कम हो जाता है

\omega^2=\frac{\sigma}{\rho}\, |k|^3.$$

गुरुत्व-केशिका तरंगें
जब केशिका तरंगें भी गुरुत्वाकर्षण से काफी हद तक प्रभावित होती हैं, तो उन्हें गुरुत्व-केशिका तरंगें कहा जाता है। अनंत गहराई के दो तरल पदार्थों के बीच इंटरफ़ेस पर तरंगों के लिए उनका फैलाव संबंध पढ़ता है:

\omega^2=|k|\left( \frac{\rho-\rho'}{\rho+\rho'}g+\frac{\sigma}{\rho+\rho'}k^2\right), $$ कहाँ $$g$$ मानक गुरुत्व के कारण त्वरण है, $$\rho$$ और $$\rho'$$ दो तरल पदार्थों का द्रव्यमान घनत्व है $$(\rho > \rho')$$. कारण $$(\rho-\rho')/(\rho+\rho')$$ पहले कार्यकाल में एटवुड नंबर है।

ग्रेविटी वेव रिजीम
बड़े तरंग दैर्ध्य के लिए (छोटा $$k = 2\pi/\lambda$$), केवल पहला शब्द प्रासंगिक है और एक में गुरुत्व तरंगें हैं। इस सीमा में, तरंगों का एक समूह वेग आधा चरण वेग होता है: एक समूह में एकल तरंग की शिखा के बाद समूह के पीछे दिखाई देने वाली लहर को देख सकते हैं, बढ़ते हुए और अंत में समूह के सामने गायब हो जाते हैं।

केशिका तरंग शासन
छोटा (बड़ा $$k$$) तरंगें (जैसे जल-वायु अंतरापृष्ठ के लिए 2 मिमी), जो उचित केशिका तरंगें हैं, इसके विपरीत करें: समूह के सामने एक व्यक्तिगत तरंग दिखाई देती है, समूह केंद्र की ओर बढ़ने पर बढ़ती है और अंत में पीछे गायब हो जाती है समूह। चरण वेग इस सीमा में समूह वेग का दो तिहाई है।

चरण वेग न्यूनतम
इन दो सीमाओं के बीच एक बिंदु है जिस पर गुरुत्वाकर्षण के कारण फैलाव केशिका प्रभाव के कारण फैलाव को रद्द कर देता है। एक निश्चित तरंग दैर्ध्य पर, समूह वेग चरण वेग के बराबर होता है, और कोई फैलाव नहीं होता है। ठीक इसी तरंग दैर्ध्य पर, तरंग दैर्ध्य (या तरंग संख्या) के एक समारोह के रूप में गुरुत्वाकर्षण-केशिका तरंगों का चरण वेग न्यूनतम होता है। इस महत्वपूर्ण तरंग दैर्ध्य की तुलना में बहुत कम तरंग दैर्ध्य वाली तरंगें $$\lambda_{m}$$ सतह के तनाव का प्रभुत्व है, और गुरुत्वाकर्षण से बहुत ऊपर है। इस तरंग दैर्ध्य का मान और संबंधित न्यूनतम चरण गति $$c_{m}$$ हैं:



\lambda_m = 2 \pi \sqrt{ \frac{\sigma}{(\rho-\rho') g}} \quad \text{and} \quad c_m = \sqrt{ \frac{2 \sqrt{ (\rho - \rho') g \sigma }}{\rho+\rho'} }. $$ हवा-पानी इंटरफेस के लिए, $$\lambda_{m}$$ होना पाया जाता है 1.7 cm, और $$c_{m}$$ है 0.23 m/s.

यदि कोई एक छोटे से पत्थर या बूंद को तरल में गिराता है, तो तरंगें आराम से द्रव के एक विस्तारित चक्र के बाहर फैलती हैं; यह चक्र एक कास्टिक (प्रकाशिकी) है जो न्यूनतम समूह वेग से मेल खाता है।

व्युत्पत्ति
जैसा कि रिचर्ड फेनमैन ने कहा, [जल तरंगें] जो आसानी से हर किसी के द्वारा देखी जाती हैं और जो आमतौर पर प्रारंभिक पाठ्यक्रमों में तरंगों के उदाहरण के रूप में उपयोग की जाती हैं [...] सबसे खराब संभव उदाहरण हैं [...]; उनमें वे सभी जटिलताएँ हैं जो लहरों में हो सकती हैं। सामान्य फैलाव संबंध की व्युत्पत्ति इसलिए काफी शामिल है।

ऊर्जा में तीन योगदान हैं, गुरुत्वाकर्षण के कारण, सतह के तनाव के लिए और जलगतिकी के लिए। पहले दो संभावित ऊर्जाएं हैं, और कोष्ठक के अंदर दो शब्दों के लिए जिम्मेदार हैं, जैसा कि की उपस्थिति से स्पष्ट है $$g$$ और $$\sigma$$. गुरुत्वाकर्षण के लिए, तरल पदार्थ के घनत्व के स्थिर होने (यानी, असंपीड़्यता) और इसी तरह से एक धारणा बनाई जाती है $$g$$ (तरंगें गुरुत्वाकर्षण के लिए पर्याप्त रूप से बदलने के लिए पर्याप्त नहीं हैं)। सतही तनाव के लिए, ग्रहों से विचलन (जैसा कि सतह के डेरिवेटिव द्वारा मापा जाता है) को छोटा माना जाता है। सामान्य तरंगों के लिए दोनों सन्निकटन काफी अच्छे हैं।

तीसरे योगदान में तरल पदार्थों की गतिज ऊर्जा शामिल है। यह सबसे जटिल है और हाइड्रोडायनामिक्स ढांचे की मांग करता है। असंपीड्यता फिर से शामिल है (जो संतुष्ट है अगर तरंगों की गति मीडिया में ध्वनि की गति से बहुत कम है), साथ में प्रवाह अघूर्णी होने के साथ - प्रवाह तब संभावित प्रवाह होता है। ये आम तौर पर सामान्य स्थितियों के लिए भी अच्छे अनुमान हैं।

क्षमता के लिए परिणामी समीकरण (जो लाप्लास समीकरण है) को उचित सीमा शर्तों के साथ हल किया जा सकता है। एक तरफ, वेग को सतह के नीचे अच्छी तरह से गायब हो जाना चाहिए (गहरे पानी के मामले में, जिस पर हम विचार करते हैं, अन्यथा एक अधिक शामिल परिणाम प्राप्त होता है, समुद्र की सतह की लहर#लहरों का विज्ञान देखें।) दूसरी तरफ, इसका लंबवत। घटक को सतह की गति से मेल खाना चाहिए। यह योगदान अतिरिक्त के लिए जिम्मेदार होता है $$k$$ कोष्टक के बाहर, जिसके कारण सभी व्यवस्थाएं बिखरी हुई हैं, दोनों के निम्न मूल्यों पर $$k$$, और उच्च वाले (उस एक मान को छोड़कर जिस पर दो फैलाव रद्द हो जाते हैं।)

यह भी देखें

 * केशिका की कार्रवाई
 * फैलाव (पानी की लहरें)
 * द्रव पाइप
 * समुद्र की सतह की लहर
 * थर्मल केशिका तरंग
 * दो चरण प्रवाह
 * तरंग निर्मित तरंग

बाहरी संबंध

 * Capillary waves entry at sklogwiki

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