संख्यात्मक निरंतरता

संख्यात्मक निरंतरता पैरामीटरयुक्त अरेखीय समीकरणों की प्रणाली के अनुमानित समाधानों की गणना करने की विधि है,
 * $$F(\mathbf u,\lambda) = 0.$$

पैरामीटर $$\lambda$$ सामान्यतः वास्तविक अदिश (गणित), एवं समाधान $$\mathbf u$$,n-वेक्टर होता है। निश्चित पैरामीटर मान के लिए $$\lambda$$, $$F(\ast,\lambda)$$ यूक्लिडियन एन-स्पेस को स्वयं में मैप करता है।

प्रायः मूल मानचित्रण $$F$$ स्वयं में बनच स्थान से है, एवं यूक्लिडियन n स्पेस परिमित आयामी बानाच स्पेस है।

प्रवाह (गणित) या मानचित्र (गणित) के पैरामीटरयुक्त परिवार की स्थिर स्थिति, या निश्चित बिंदु (गणित), इस रूप के होते हैं, एवं प्रवाह के विवेकाधीन प्रक्षेपवक्र या मानचित्र को पुनरावृत्त करके, आवधिक कक्षाएँएवं हेटरोक्लिनिक कक्षाएँ को भी $$F=0$$ के समाधान के रूप में प्रस्तुत किया गया है।

अन्य रूप
कुछ अरेखीय प्रणालियों में, पैरामीटर स्पष्ट होते हैं। दूसरों में वे अंतर्निहित हैं, एवं अरैखिक समीकरणों की प्रणाली लिखी गई है


 * $$F(\mathbf u) = 0$$

जहाँ $$\mathbf u$$, n-वेक्टर है, एवं इसकी छवि $$F(\mathbf u)$$, n-1 वेक्टर है।

स्पष्ट पैरामीटर स्थान के बिना यह फॉर्मूलेशन सामान्यतः निम्नलिखित अनुभागों में फॉर्मूलेशन के लिए उपयुक्त नहीं है, क्योंकि वे फॉर्म के पैरामीटरयुक्त स्वायत्त अन्य-रेखीय गतिशील प्रणाली को,


 * $$\mathbf u' = F(\mathbf u,\lambda)$$ के रूप में संदर्भित करते हैं।

चूँकि, बीजगणितीय प्रणाली में अज्ञात $$\mathbf u$$ एवं पैरामीटर के मध्य कोई भिन्नता नहीं है।

आवधिक गतियाँ
आवधिक गति चरण स्थान में संवृत वक्र है। अर्थात् कुछ अवधि $$T$$ के लिए,


 * $$\mathbf u' = F(\mathbf u,\lambda),\, \mathbf u(0) = \mathbf u(T)$$ है।

आवर्त गति का पाठ्यपुस्तक उदाहरण अवमंदित लोलक है।

यदि चरण स्थान एक या अधिक निर्देशांक में आवधिक है, तो कहें $$\mathbf u(t) = \mathbf u(t + \Omega)$$, साथ $$\Omega$$ सदिश, तो दूसरी प्रकार की आवधिक गति है जिसे प्रत्येक पूर्णांक के $$N$$ लिए परिभाषित किया गया है,


 * $$\mathbf u' = \mathbf F(\mathbf u,\lambda),\, \mathbf u(0) = \mathbf u(T + N.\Omega)$$,


 * [[Image:PeriodicMotion.gif]][[Image:PeriodicOrbitTime.gif]]किसी आवधिक गति के लिए अंतर्निहित प्रणाली लिखने में प्रथम चरण अवधि को $$T$$ सीमा स्थितियों से लेकर साधारण अंतर समीकरण तक स्थानांतरित करना है:


 * $$\mathbf u' = T\mathbf F(\mathbf u,\lambda),\, \mathbf u(0)=\mathbf u(1 + N.\Omega),$$

दूसरा चरण अतिरिक्त समीकरण, एक चरण बाधा जोड़ना है, जिसे अवधि निर्धारित करने के रूप में सोचा जा सकता है। यह आवश्यक है क्योंकि उपरोक्त सीमा मूल्य समस्या के किसी भी समाधान को समय में स्थानांतरित किया जा सकता है (समय परिभाषित समीकरणों में प्रकट नहीं होता है, गतिशील प्रणाली को स्वायत्त कहा जाता है)।

चरण बाधा के लिए कई विकल्प हैं। अगर $$\mathbf u_0(t)$$ पैरामीटर मान पर ज्ञात आवधिक कक्षा है, $$\lambda_0$$ पास में $$\lambda$$, फिर, पोंकारे का उपयोग किया गया


 * $$\langle \mathbf u(0) - \mathbf u_0(0),\mathbf F(\mathbf u_0(0),\lambda_0)\rangle = 0,$$ है।

वह कौन सी स्थिति है जिसमें $$\mathbf u$$ ऐसे तल में स्थित है जो संवृत वक्र के स्पर्शरेखा सदिश का लंबकोणीय है। इस विमान को पोंकारे सेक्शन कहा जाता है।
 * [[Image:PoincareSection.gif]] सामान्य समस्या के लिए उत्तम चरण बाधा यूसेबियस डोएडेल द्वारा प्रारम्भ की गई ऐसी अभिन्न बाधा है, जो चरण का चयन करती है जिससे ज्ञात एवं अज्ञात कक्षाओं के मध्य की दूरी कम से कम हो जैसे


 * $$\int_0^1 \langle\mathbf u(t) - \mathbf u_0(t),\mathbf F(\mathbf u_0(t),\lambda_0)\rangle dt = 0,$$ है।

होमोक्लिनिक एवं हेटरोक्लिनिक गतियाँ

 * [[Image:HomoclinicOrbit.gif]][[Image:HomoclinicOrbitTime.gif]]

समाधान घटक
समाधान घटक $$\Gamma(\mathbf u_0,\lambda_0)$$ अरेखीय प्रणाली का $$F$$ बिंदुओं का समुच्चय $$(\mathbf u,\lambda)$$है जो $$F(\mathbf u,\lambda)=0$$ को संतुष्ट करता है एवं प्रारंभिक समाधान $$(\mathbf u_0,\lambda_0)$$ से जुड़े हुए हैं  समाधान के मार्ग से $$(\mathbf u(s),\lambda(s))$$ जिसके लिए $$(\mathbf u(0),\lambda(0))=(\mathbf u_0,\lambda_0),\, (\mathbf u(1),\lambda(1)) = (\mathbf u,\lambda)$$ एवं $$F(\mathbf u(s),\lambda(s))=0$$ होता है।

संख्यात्मक निरंतरता ऐसा एल्गोरिथ्म है जो इनपुट के रूप में पैरामीट्रिज्ड अन्य-रेखीय समीकरणों की प्रणाली एवं प्रारंभिक समाधान लेता है $$(\mathbf u_0,\lambda_0)$$, $$F(\mathbf u_0,\lambda_0)=0$$, एवं समाधान घटक पर बिंदुओं $$\Gamma(\mathbf u_0,\lambda_0)$$ का समुच्चय तैयार करता है।

नियमित बिंदु
नियमित बिंदु $$F$$ का बिंदु $$(\mathbf u,\lambda)$$ है, जिस पर जैकोबियन मैट्रिक्स एवं निर्धारक $$F$$ पूर्ण रैंक $$(n)$$ है।

नियमित बिंदु के पास समाधान घटक नियमित बिंदु (अंतर्निहित फलन प्रमेय) से निकलने वाला पृथक वक्र है। उपरोक्त चित्र में बिंदु $$(\mathbf u_0,\lambda_0)$$ नियमित बिंदु है।

एकवचन बिंदु
विलक्षण बिंदु $$F$$ का बिंदु $$(\mathbf u,\lambda)$$ है, जिस पर जेकोबियन मैट्रिक्स एवं $$F$$ का निर्धारक पूर्ण रैंक नहीं है।

विलक्षण बिंदु के पास समाधान घटक नियमित बिंदु से निकलने वाला पृथक वक्र नहीं हो सकता है। स्थानीय संरचना उच्च डेरिवेटिव $$F$$ द्वारा निर्धारित होती है, उपरोक्त चित्र में वह बिंदु जहां दो नीले वक्र प्रतिच्छेद करते हैं, विलक्षण बिंदु है।

सामान्य समाधान घटकों में $$\Gamma$$ शाखित वक्र हैं, शाखा बिंदु एकवचन बिंदु हैं। विलक्षण बिंदु को छोड़कर समाधान वक्र ज्ञात करने को शाखा स्विचिंग कहा जाता है, एवं द्विभाजन सिद्धांत (एकवचन सिद्धांत, आपदा सिद्धांत) से प्रौद्योगिकी का उपयोग करता है।

परिमित आयामी प्रणालियों के लिए (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है) लायपुनोव श्मिट अपघटन का उपयोग दो प्रणालियों का उत्पादन करने के लिए किया जा सकता है जिन पर अंतर्निहित फलन प्रमेय प्रस्तावित होता है। लायपुनोव श्मिट अपघटन जैकोबियन के शून्य स्थान एवं जैकोबियन की सीमा के पूरक के लिए प्रणाली के प्रतिबंध का उपयोग करता है।

यदि मैट्रिक्स के कॉलम $$\Phi$$ के शून्य स्थान के लिए लंबात्मक आधार हैं
 * $$J=\left[

\begin{array}{cc} F_x & F_{\lambda}\\ \end{array} \right]$$ हैं, एवं मैट्रिक्स के कॉलम $$\Psi$$ के बाएँ शून्य स्थान के लिए लंबात्मक आधार $$J$$ हैं, तब प्रणाली $$F(x,\lambda)=0$$ के रूप में पुनः लिखा जा सकता है

\left[ \begin{array}{l} (I-\Psi\Psi^T)F(x+\Phi\xi + \eta)\\ \Psi^T F(x+\Phi\xi + \eta)\\ \end{array} \right]=0, $$ जहाँ $$\eta$$ के शून्य स्थान के पूरक में है $$J$$ $$(\Phi^T\,\eta=0)$$ है।

पूर्व समीकरण में, जो जैकोबियन ($$\xi$$) के शून्य स्थान द्वारा पैरामीट्रिज्ड है, जैकोबियन के संबंध में $$\eta$$ अन्य-एकवचन है। तो अंतर्निहित फलन प्रमेय बताता है कि मैपिंग $$\eta(\xi)$$ है, ऐसा है कि $$\eta(0)=0$$ एवं $$(I-\Psi\Psi^T)F(x+\Phi\xi+\eta(\xi))=0)$$ होता है। दूसरा समीकरण ( $$\eta(\xi)$$ प्रतिस्थापित) को द्विभाजन समीकरण कहा जाता है (चूँकि यह समीकरणों की प्रणाली हो सकती है)।

द्विभाजन समीकरण में टेलर विस्तार है जिसमें स्थिरांक एवं रैखिक पदों का अभाव है। मूल प्रणाली के जैकोबियन के समीकरणों एवं शून्य स्थान को स्केल करके अन्य-एकवचन जैकोबियन के साथ प्रणाली पाई जा सकती है। स्केल किए गए द्विभाजन समीकरण की टेलर श्रृंखला में स्थिर पद को बीजगणितीय द्विभाजन समीकरण कहा जाता है, एवं द्विभाजन समीकरणों को प्रस्तावित करने वाले अंतर्निहित फलन प्रमेय में कहा गया है कि बीजगणितीय द्विभाजन समीकरण के प्रत्येक पृथक समाधान के लिए मूल समस्या के समाधान की शाखा होती है जो एकवचन बिंदु से होकर निकलता है।

किसी अन्य प्रकार का एकवचन बिंदु मोड़ बिंदु द्विभाजन, या सैडल-नोड द्विभाजन है, जहां पैरामीटर की दिशा $$\lambda$$ वक्र का अनुसरण करते ही विपरीत हो जाता है। उपरोक्त चित्र में लाल वक्र महत्वपूर्ण मोड़ को प्रदर्शित करता है।

प्राकृतिक पैरामीटर निरंतरता
समीकरणों की अरेखीय प्रणालियों के समाधान की अधिकांश विधियाँ पुनरावृत्तीय विधियाँ हैं। किसी विशेष पैरामीटर मान के लिए $$\lambda_0$$ प्रारंभिक अनुमान $$\mathbf u_0$$ के लिए मैपिंग को पुनः प्रस्तावित किया जाता है। यदि विधि अभिसरण करती है, एवं सुसंगत है, तो सीमित पुनरावृत्ति $$F(\mathbf u,\lambda_0)=0$$ के समाधान तक पहुंचता है।

प्राकृतिक पैरामीटर निरंतरता पैरामीट्रिज्ड समस्या के लिए पुनरावृत्त सॉल्वर का सरल अनुकूलन है। $$\lambda$$ का उपयोग समाधान के लिए प्रारंभिक अनुमान $$\lambda+\Delta \lambda$$ के रूप में उपयोग किया जाताहै। साथ $$\Delta \lambda$$ प्रारंभिक अनुमान एकाग्र पर प्रस्तावित पुनरावृत्ति पर्याप्त रूप से छोटी होनी चाहिए।


 * [[Image:NaturalParameter.gif]]प्राकृतिक पैरामीटर निरंतरता का लाभ यह है कि यह समस्या के लिए ब्लैक बॉक्स के रूप में समाधान विधि का उपयोग करता है। इतना आवश्यक है कि प्रारंभिक समाधान दिया जाए (कुछ सॉल्वर सदैव निश्चित प्रारंभिक अनुमान पर प्रारम्भ करते थे)। ब्लैक बॉक्स सॉल्वरों में अधिक परिष्कृत एल्गोरिदम प्रस्तावित करने पर बड़े स्तर पर निरंतरता के क्षेत्र में बहुत कार्य किया गया है (उदाहरण देखें LOCA)।

चूँकि, प्राकृतिक पैरामीटर निरंतरता ऐसे मोड़ों पर विफल हो जाती है, जहाँ समाधान की शाखा गोल हो जाती है। इसलिए टर्निंग पॉइंट की समस्याओं के लिए, छद्म-आर्कलेंथ निरंतरता जैसी अधिक परिष्कृत विधि का उपयोग किया जाना चाहिए।

सरल या टुकड़े-टुकड़े रैखिक निरंतरता
सरल निरंतरता, या टुकड़े-टुकड़े रैखिक निरंतरता (ऑलगॉवर एवं जॉर्ज) तीन बुनियादी परिणामों पर आधारित है।

प्रथम परिणाम है:
 * {| class="wikitable"

दूसरा परिणाम है:
 * यदि F(x) IR^n को IR^(n-1) में मैप करता है, तो (n-1)-आयामी सिम्प्लेक्स पर अद्वितीय रैखिक इंटरपोलेंट होता है जो सिंप्लेक्स के शीर्ष पर फलन मानों से सहमत होता है।
 * }
 * }
 * {| class="wikitable"

विवरण के लिए कृपया टुकड़ेवार रैखिक निरंतरता पर लेख देखें।
 * (एन-1)-आयामी सिम्प्लेक्स का परीक्षण यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि अद्वितीय रैखिक इंटरपोलेंट सिंप्लेक्स के अंदर 0 मान लेता है या नहीं लेता है।
 * }
 * }

इन दो परिचालनों के साथ इस निरंतरता एल्गोरिदम को बताना सरल है (चूँकि निश्चित रूप से कुशल कार्यान्वयन के लिए अधिक परिष्कृत दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। देखें [बी1])। यह माना जाता है कि प्रारंभिक सिंप्लेक्स, संदर्भ सरलीकृत अपघटन $$\mathbb{R}^n$$ से दिया गया है। प्रारंभिक सिम्प्लेक्स में कम से कम चेहरा होना चाहिए जिसमें उस चेहरे पर अद्वितीय रैखिक इंटरपोलेंट का शून्य हो। फिर सिम्प्लेक्स के अन्य चेहरों का परीक्षण किया जाता है, एवं सामान्यतः आंतरिक शून्य के साथ अतिरिक्त चेहरा होगा। प्रारंभिक सिम्प्लेक्स को फिर सिंप्लेक्स द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है जो शून्य वाले किसी भी चेहरे पर स्थित होता है, एवं प्रक्रिया दोहराई जाती है।


 * [[Image:Simplicial.gif]] संदर्भ: ऑलगॉवर एवं जॉर्ज [बी1] एल्गोरिथम का स्पष्ट, स्पष्ट विवरण प्रदान करता है।

छद्म-आर्कलेंथ निरंतरता
यह विधि इस अवलोकन पर आधारित है कि वक्र का आदर्श मानकीकरण आर्कलेंथ है। छद्म-आर्कलेंथ वक्र के स्पर्शरेखा स्थान में आर्कलेंथ का अनुमान है। परिणामी संशोधित प्राकृतिक निरंतरता विधि छद्म-आर्कलेंथ में चरण $$\lambda$$ बनाती है। पुनरावृत्त सॉल्वर को दिए गए छद्म-आर्कलेंथ पर बिंदु खोजने की आवश्यकता होती है, जिसके लिए n+1 जैकोबियन द्वारा n में अतिरिक्त  बाधा (छद्म-आर्कलेंथ बाधा) जोड़ने की आवश्यकता होती है। यह वर्गाकार जैकोबियन का निर्माण करता है, एवं यदि चरण का आकार पर्याप्त रूप से छोटा है तो संशोधित जैकोबियन पूर्ण रैंक है।

1960 के दशक के अंत में परिमित तत्व अनुप्रयोगों के लिए एडवर्ड रिक्स एवं गेराल्ड वेम्पनर द्वारा छद्म-आर्कलेंथ निरंतरता को स्वतंत्र रूप से विकसित किया गया था, एवं 1970 के दशक की प्रारम्भ में एच.बी. द्वारा पत्रिकाओं में प्रकाशित किया गया था। केलर. इन प्रारंभिक विकासों का विस्तृत विवरण एम. ए. क्रिसफील्ड द्वारा पाठ्यपुस्तक में प्रदान किया गया: ठोस एवं संरचनाओं का अन्य-रेखीय परिमित तत्व विश्लेषण, खंड 1: मूल अवधारणाएं, विले, 1991 है। क्रिसफील्ड उपायों के इस वर्ग के सबसे सक्रिय डेवलपर्स था, जो अब तक वाणिज्यिक अन्य-रेखीय परिमित तत्व कार्यक्रम की मानक प्रक्रियाएं हैं।
 * [[Image:PseudoArclength.gif]]एल्गोरिथम भविष्यवक्ता-सुधारक विधि है। पूर्वानुमान चरण बिंदु (IR^(n+1) में) पाता है जो चरण $$\Delta s$$ है, वर्तमान सूचक पर स्पर्शरेखा वेक्टर के साथ। अन्य-रेखीय प्रणाली का निवारण करने के लिए सुधारक सामान्यतः न्यूटन की विधि या कुछ प्रकार का होता है,

\begin{array}{l} F(u,\lambda)=0\\ \dot u^*_0(u-u_0)+\dot \lambda_0 (\lambda-\lambda_0) = \Delta s\\ \end{array} $$ जहाँ $$(\dot u_0,\dot\lambda_0)$$ पर स्पर्श रेखा सदिश $$(u_0,\lambda_0)$$ है। इस प्रणाली का जैकोबियन सीमाबद्ध मैट्रिक्स
 * $$\left[

\begin{array}{cc} F_u & F_{\lambda}\\ \dot u^* & \dot \lambda\\ \end{array} \right]$$ है। नियमित बिंदुओं पर, जहां असंशोधित जैकोबियन पूर्ण रैंक है, स्पर्शरेखा वेक्टर इस नए जैकोबियन की शीर्ष पंक्ति के शून्य स्थान को विस्तारित करता है। अंतिम पंक्ति के रूप में स्पर्शरेखा वेक्टर को जोड़ने को न्यूटन प्रणाली के सामान्य समाधान में शून्य वेक्टर के गुणांक को निर्धारित करने के रूप में देखा जा सकता है (विशेष समाधान एवं शून्य वेक्टर का गुणक)।

गॉस-न्यूटन निरंतरता
यह विधि छद्म-आर्कलेंथ निरंतरता का प्रकार है। आर्कलेंथ बाधा में प्रारंभिक बिंदु पर स्पर्शरेखा का उपयोग करने के अतिरिक्त, वर्तमान समाधान पर स्पर्शरेखा का उपयोग किया जाता है। यह न्यूटन की विधि में जैकोबियन के छद्म-व्युत्क्रम का उपयोग करने के समान है, एवं लंबे चरण उठाने की अनुमति देता है। [बी17]

एक से अधिक पैरामीटर में निरंतरता
पैरामीटर $$\lambda$$ ऊपर वर्णित एल्गोरिदम में वास्तविक अदिश राशि है। अधिकांश भौतिक एवं डिज़ाइन समस्याओं में सामान्यतः अधिक पैरामीटर होते हैं। उच्च-आयामी निरंतरता उस विषय को संदर्भित करती है जब $$\lambda$$, k-वेक्टर है।

वही शब्दावली प्रस्तावित होती है। नियमित समाधान ऐसा समाधान है जिस पर जैकोबियन पूर्ण रैंक $$(n)$$पर है। एकवचन समाधान वह समाधान है जिस पर जैकोबियन पूर्ण रैंक से कम है।

नियमित समाधान k-आयामी सतह पर स्थित होता है, जिसे स्पर्शरेखा स्थान (जेकोबियन का शून्य स्थान) में बिंदु द्वारा पैरामीटराइज़ किया जा सकता है। यह अंतर्निहित कार्य प्रमेय का सीधा अनुप्रयोग है।

संख्यात्मक निरंतरता प्रौद्योगिकी के अनुप्रयोग
संख्यात्मक निरंतरता प्रौद्योगिकी को अराजक गतिशील प्रणालियों एवं आपदा सिद्धांत के दायरे से संबंधित विभिन्न अन्य प्रणालियों के अध्ययन में अधिक सीमा तक स्वीकृति प्राप्त हुई है। इस प्रकार के उपयोग का कारण इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि विभिन्न अन्य-रेखीय गतिशील प्रणालियाँ प्रणाली के समीकरणों में सम्मिलित मापदंडों की श्रृंखला के अंदर नियतात्मक एवं पूर्वानुमानित उपाय से व्यवहार करती हैं। चूँकि, निश्चित पैरामीटर मान के लिए प्रणाली अव्यवस्थित रूप से व्यवहार करना प्रारम्भ कर देता है एवं इसलिए जब प्रणाली अन्य-अनुमानित होने लगता है, एवं वास्तव में (सैद्धांतिक रूप से) प्रणाली क्या बनता है, इसकी घटनाओं को समझने में सक्षम होने के लिए पैरामीटर का पालन करना आवश्यक हो गया है।

पैरामीटर निरंतरता के विश्लेषण से स्थिर महत्वपूर्ण बिंदु विभाजन के विषय में अधिक जानकारी मिल सकती है। स्थिर समाधानों के सैडल-नोड, ट्रांसक्रिटिकल, पिच-फोर्क, अवधि दोहरीकरण, हॉपफ, माध्यमिक हॉपफ (नीमार्क) द्विभाजन का अध्ययन महत्वपूर्ण बिंदुओं पर उत्पन्न होने वाली परिस्थितियों एवं घटनाओं की सैद्धांतिक चर्चा की अनुमति देता है। पैरामीटर निरंतरता गतिशील प्रणाली का विश्लेषण करने के लिए अधिक विश्वसनीय प्रणाली भी देती है क्योंकि यह अधिक इंटरैक्टिव, समय-चरणबद्ध संख्यात्मक समाधानों की तुलना में अधिक स्थिर है। विशेष रूप से ऐसे विषयों में जहां गतिशील प्रणाली कुछ पैरामीटर मानों (या कई पैरामीटरों के लिए मानों के संयोजन) पर व्यर्थ होने की संभावना होती है। यह अन्य रेखीय आंशिक विभेदक समीकरणों के अध्ययन में स्थिर समाधानों (आकर्षित या प्रतिकर्षित करने) की उपस्थिति के विषय में अत्यधिक व्यावहारिक है, जहां क्रैंक निकोलसन एल्गोरिदम के रूप में चरण उठाने में अत्यधिक समय लगता है एवं साथ ही अन्य-रेखीय विकास के विषयों में अस्थिर भी होता है। प्रणाली में आश्रित चरअशांति का अध्ययन अन्य क्षेत्र है जहां कम रेनॉल्ड्स संख्या से प्रारम्भ होने वाली प्रणाली में अशांति के आगमन का अध्ययन करने के लिए संख्यात्मक निरंतरता प्रौद्योगिकी का उपयोग किया गया है। इसके अतिरिक्त, इन प्रौद्योगिकी का उपयोग करने वाले अनुसंधान ने न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण में प्रतिबंधित तीन शरीर समस्या के विषय में इनवेरिएंट टोरी को स्थिर मैनिफोल्ड्स एवं द्विभाजन खोजने की संभावना प्रदान की है एवं लोरेंज जैसी प्रणालियों के व्यवहार में अतिरिक्त एवं गहरी अंतर्दृष्टि भी प्रदान की है।

सॉफ्टवेयर
(निर्माणाधीन) डायनामिकल प्रणाली्स की सूची पर सियाम गतिविधि समूह भी देखें http://www.dynamicalsystems.org/sw/sw/


 * ऑटो: अभिन्न बाधाओं के साथ दो बिंदु सीमा मूल्य समस्याओं (टीपीबीवीपी) के समाधान की गणना। https://sourceforge.net/projects/auto-07p/ सोर्सफोर्ज पर उपलब्ध है।
 * होमकॉन्ट: होमोक्लिनिक एवं हेट्रोक्लिनिक कक्षाओं की गणना। ऑटो में सम्मिलित है
 * MATCONT: संख्यात्मक निरंतरता एवं द्विभाजन के लिए मैटलैब टूलबॉक्स सोर्सफोर्ज पर उपलब्ध है।
 * DDEBIFTOOL: विलंब विभेदक समीकरणों के समाधान की गणना। एक MATLAB पैकेज. के. यू. ल्यूवेन से उपलब्ध
 * PyCont: संख्यात्मक निरंतरता एवं द्विभाजन के लिए एक पायथन टूलबॉक्स। निश्चित बिंदु निरंतरता के लिए मूल पायथन एल्गोरिदम, अन्य प्रकार की समस्या के लिए ऑटो के लिए परिष्कृत इंटरफ़ेस। PyDSTool के भाग के रूप में सम्मिलित
 * कैंडीज़/क्यूए: यूनिवर्सिटेट पॉट्सडैम से उपलब्ध [ए16]
 * मैनपाक: नेटलिब से उपलब्ध [ए15]
 * PDDE-CONT: http://seis.bris.ac.uk/~rs1909/pdde/
 * मल्टीफ़ारियो: http://multifario.sourceforge.net/
 * लोका: https://trilinos.org/packages/nox-and-loca/
 * डीएसटीओल
 * जीएआईओ
 * OSCILL8: Oscill8 एक गतिशील प्रणाली उपकरण है जो उपयोगकर्ता को द्विभाजन विश्लेषणात्मक प्रौद्योगिकी का उपयोग करके अन्य-रेखीय ODE के उच्च-आयामी पैरामीटर स्थान का पता लगाने की अनुमति देता है। सोर्सफोर्ज से उपलब्ध।
 * MANLAB: समाधान शाखा के फूरियर श्रृंखला (हार्मोनिक संतुलन विधि) विकास एवं टेलर श्रृंखला विकास (एसिम्प्टोटिक संख्यात्मक विधि) का उपयोग करके अंतर समीकरणों के संतुलन, आवधिक एवं अर्ध-आवधिक समाधान की गणना। एलएमए मार्सिले से उपलब्ध है।
 * BifurcationKit.jl: इस जूलिया पैकेज का उद्देश्य पुनरावृत्त उपायों, विरल फॉर्मूलेशन एवं विशिष्ट हार्डवेयर (जैसे जीपीयू) का लाभ उठाकर बड़े आयामी समीकरणों F(u,λ)=0 जहां λ∈ℝ का स्वचालित द्विभाजन विश्लेषण करना है।

उदाहरण
यह समस्या, उन बिंदुओं को खोजने की, जिन्हें F मूल में मैप करता है, कंप्यूटर चित्रलेख  में समोच्च मानचित्र (n = 2), या  आइसोसतह  (n = 3) खींचने की समस्याओं के रूप में दिखाई देता है। मान h वाला समोच्च F-h=0 के सभी समाधान घटकों का समुच्चय है

पुस्तकें
[बी1] संख्यात्मक निरंतरता विधियों का परिचय, यूजीन एल. ऑलगॉवर एवं कर्ट जॉर्ज, SIAM क्लासिक्स इन अनुप्रयुक्त गणित 45. 2003.

[बी2] डायनामिकल इक्विलिब्रिया के द्विभाजन के लिए संख्यात्मक उपाय, विली जे.एफ. गोवार्ट्स, सियाम 2000।

[बी3] लायपुनोव-श्मिट मेथड्स इन अन्य-रेखीय एनालिसिस एंड एप्लिकेशन, निकोले सिदोरोव, बोरिस लॉगिनोव, अलेक्जेंडर सिनित्सिन, एवं माइकल फलालीव, क्लूवर एकेडमिक पब्लिशर्स, 2002।

[बी4] द्विभाजन सिद्धांत के उपाय, शुई-नी चाउ एवं जैक के. हेल, स्प्रिंगर-वेरलाग 1982।

[बी5] एप्लाइड द्विभाजन सिद्धांत के तत्व, यूरी ए. कुनेत्सोव, स्प्रिंगर-वेरलाग एप्लाइड गणितीय विज्ञान 112, 1995।

[बी6] अन्य-रेखीय ऑसिलेशन्स, डायनामिकल प्रणाली्स, एवं वेक्टर फील्ड्स का द्विभाजन, जॉन गुकेनहाइमर एवं फिलिप होम्स, स्प्रिंगर-वेरलाग एप्लाइड गणितीय विज्ञान 42, 1983।

[बी7] प्राथमिक स्थिरता एवं द्विभाजन सिद्धांत, जेरार्ड इओस एवं डैनियल डी. जोसेफ, स्प्रिंगर-वेरलाग गणित में स्नातक पाठ, 1980।

[बी8] विलक्षणता सिद्धांत एवं आपदा सिद्धांत का एक परिचय, युंग-चेन लू, स्प्रिंगर-वेरलाग, 1976।

[बी9] वैश्विक विभाजन एवं अराजकता, विश्लेषणात्मक उपाय, एस. विगिन्स, स्प्रिंगर-वेरलाग एप्लाइड गणितीय विज्ञान 73, 1988।

[बी10] द्विभाजन सिद्धांत में विलक्षणताएं एवं समूह, खंड I, मार्टी गोलूबिट्स्की एवं डेविड जी. शेफ़र, स्प्रिंगर-वेरलाग एप्लाइड गणितीय विज्ञान 51, 1985।

[बी11] द्विभाजन सिद्धांत में विलक्षणताएं एवं समूह, खंड II, मार्टी गोलूबिट्स्की, इयान स्टीवर्ट एवं डेविड जी. शेफ़र, स्प्रिंगर-वेरलाग एप्लाइड गणितीय विज्ञान 69, 1988।

[बी12] इंजीनियरिंग एवं वैज्ञानिक समस्याओं के लिए निरंतरता का उपयोग करके बहुपद प्रणालियों को निवारण करना, अलेक्जेंडर मॉर्गन, प्रेंटिस-हॉल, एंगलवुड क्लिफ्स, एन.जे. 1987।

[बी13] समाधान, निश्चित बिंदु एवं संतुलन के रास्ते, सी.बी. गार्सिया एवं डब्ल्यू.आई. जांगविल, प्रेंटिस-हॉल, 1981।

[बी14] अंतर्निहित कार्य प्रमेय: इतिहास, सिद्धांत एवं अनुप्रयोग, स्टीवन जी. क्रांत्ज़ एवं हेरोल्ड आर. पार्क, बिरखौसर, 2002।

[बी15] नॉनलीनियर फंक्शनल एनालिसिस, जे. टी. श्वार्ट्ज, गॉर्डन एवं ब्रीच साइंस पब्लिशर्स, गणित एवं उसके अनुप्रयोगों पर नोट्स, 1969।

[बी16] अन्य-रेखीय फंक्शनल एनालिसिस में विषय, लुई निरेनबर्ग (राल्फ ए. आर्टिनो द्वारा नोट्स), गणित में एएमएस कूरेंट लेक्चर नोट्स 6, 1974।

[बी17] नॉनलीनियर समस्याओं के लिए न्यूटन विधियाँ - एफ़िन इनवेरिएंस एवं एडाप्टिव एल्गोरिदम, पी. ड्यूफ़लहार्ड, श्रृंखला कम्प्यूटेशनल गणित 35, स्प्रिंगर, 2006।

जर्नल लेख
[ए1] स्पष्ट रूप से परिभाषित दो-आयामी सतहों के टुकड़े-टुकड़े रैखिक अनुमान के लिए एक एल्गोरिदम, यूजीन एल. ऑलगॉवर एवं स्टीफन गुटज़मैन, संख्यात्मक विश्लेषण पर सियाम जर्नल, खंड 24, संख्या 2, 452-469, 1987।

[ए2] समीकरणों की प्रणालियों के अनुमान, निश्चित बिंदु एवं समाधान के लिए सरल एवं निरंतरता विधियां, ईएल ऑलगॉवर एवं के. जॉर्ज, सियाम समीक्षा, खंड 22, 28-85, 1980।

[ए3] एन एल्गोरिथम फॉर पीसवाइज-लीनियर एप्रोक्सिमेशन ऑफ एन इंप्लिसिटली डिफाइंड मैनिफोल्ड, यूजीन एल. ऑलगॉवर एवं फिलिप एच. श्मिट, संख्यात्मक विश्लेषण पर एसआईएएम जर्नल, खंड 22, संख्या 2, 322-346, अप्रैल 1985।

[ए4] पीसवाइज लीनियर एप्रोक्सिमेशन्स द्वारा कंटूर ट्रेसिंग, डेविड पी. डोबकिन, सिल्वियो वी.एफ. लेवी, विलियम थर्स्टन|विलियम पी. थर्स्टन एवं एलन आर. विल्क्स, ग्राफिक्स पर एसीएम लेनदेन, 9(4) 389-423, 1990।

[ए5] द्विभाजन एवं अरेखीय आइजनवैल्यू समस्याओं का संख्यात्मक समाधान, एच.बी. केलर, द्विभाजन सिद्धांत के अनुप्रयोगों में, पी. रैबिनोविट्ज़ संस्करण, अकादमिक प्रेस, 1977।

[ए6] एक स्थानीय रूप से पैरामीटरयुक्त निरंतरता प्रक्रिया, डब्ल्यू.सी. रीनबोल्ड्ट एवं जे.वी. बुर्कार्ड्ट, गणितीय सॉफ्टवेयर पर एसीएम लेनदेन, खंड 9, 236-246, 1983।

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श्रेणी:संख्यात्मक विश्लेषण श्रेणी:गतिशील प्रणालियाँ