गणितीय सौंदर्य

गणितीय सौंदर्य गणित की अमूर्तता, शुद्धता, सरलता, गहराई या क्रमबद्धता से प्राप्त सौंदर्यशास्त्रीय आनंद है। गणितज्ञ गणित (या, कम से कम, गणित के कुछ पहलू) को सौंदर्य के रूप में वर्णित करके या गणित को एक कला के रूप में वर्णित करके इस खुशी को व्यक्त कर सकते हैं, (जी.एच. हार्डी द्वारा ली गई स्थिति) ) या, कम से कम, रचनात्मकता के रूप में। तुलना संगीत और कविता से की जाती है।

विधि में
गणितज्ञों  लालित्य के रूप में गणितीय प्रमाण की एक विशेष रूप से मनभावन विधि का वर्णन करें। संदर्भ के आधार पर, इसका अर्थ हो सकता है:


 * एक प्रमाण जो न्यूनतम अतिरिक्त मान्यताओं या पिछले परिणामों का उपयोग करता है।
 * एक प्रमाण जो असामान्य रूप से संक्षिप्त है।
 * एक सबूत जो एक आश्चर्यजनक तरीके से परिणाम प्राप्त करता है (उदाहरण के लिए, एक स्पष्ट रूप से असंबंधित प्रमेय या प्रमेय का संग्रह)।
 * एक प्रमाण जो नए और मूल अंतर्दृष्टि पर आधारित है।
 * सबूत की एक विधि जिसे समान समस्याओं वाले परिवार को हल करने के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है।

एक सुरुचिपूर्ण प्रमाण की खोज में, गणितज्ञ अक्सर किसी परिणाम को साबित करने के लिए अलग-अलग स्वतंत्र तरीकों की तलाश करें—क्योंकि जो पहला प्रमाण मिलता है, उसमें अक्सर सुधार किया जा सकता है। जिस प्रमेय के लिए विभिन्न प्रमाणों की सबसे बड़ी संख्या की खोज की गई है, वह संभवतः पाइथागोरस प्रमेय है, जिसके सैकड़ों प्रमाण आज तक प्रकाशित हो चुके हैं। एक और प्रमेय जो कई अलग-अलग तरीकों से सिद्ध किया गया है वह द्विघात पारस्परिकता का प्रमेय है। वास्तव में, अकेले कार्ल फ्रेडरिक गॉस के पास इस प्रमेय के आठ अलग-अलग प्रमाण थे, जिनमें से छह को उन्होंने प्रकाशित किया। इसके विपरीत, ऐसे परिणाम जो तार्किक रूप से सही हैं, लेकिन श्रमसाध्य गणना, अति-विस्तृत तरीके, अत्यधिक पारंपरिक दृष्टिकोण या बड़ी संख्या में शक्तिशाली स्वयंसिद्ध या पिछले परिणाम शामिल हैं, आमतौर पर सुरुचिपूर्ण नहीं माने जाते हैं, और यहां तक ​​कि उन्हें बदसूरत या अनाड़ी भी कहा जा सकता है।

परिणामों में
कुछ गणितज्ञ गणितीय परिणामों में सुंदरता देखते हैं जो गणित के दो क्षेत्रों के बीच संबंध स्थापित करते हैं जो पहली नज़र में असंबद्ध प्रतीत होते हैं। इन परिणामों को अक्सर गहन परिणाम के रूप में वर्णित किया जाता है। हालांकि इस बात पर सार्वभौमिक सहमति प्राप्त करना मुश्किल है कि क्या कोई परिणाम गहरा है, कुछ उदाहरण दूसरों की तुलना में अधिक सामान्यतः उद्धृत किए जाते हैं। ऐसा ही एक उदाहरण यूलर की पहचान है:

$$\displaystyle e^{i \pi} +1 = 0\, .$$ यह लालित्य अभिव्यक्ति दो सबसे आम गणितीय प्रतीकों (+, =) के साथ पांच सबसे महत्वपूर्ण गणितीय स्थिरांक (e, i, π, 1, और 0) को एक साथ जोड़ती है। यूलर की पहचान यूलर के सूत्र का एक विशेष मामला है, जिसे भौतिक विज्ञानी रिचर्ड फेनमैन ने हमारा गहना और गणित में सबसे उल्लेखनीय सूत्र कहा। आधुनिक उदाहरणों में मॉड्यूलरिटी प्रमेय शामिल है, जो अण्डाकार वक्रों और मॉड्यूलर रूपों के बीच एक महत्वपूर्ण संबंध स्थापित करता है (वह कार्य जिसके कारण एंड्रयू विल्स और रॉबर्ट लैंगलैंड्स को वुल्फ पुरस्कार दिया गया), और राक्षसी चांदनी, जो मॉन्स्टर समूह को मॉड्यूलर कार्यों से जोड़ता है स्ट्रिंग सिद्धांत  के माध्यम से (जिसके लिए रिचर्ड बोरचर्ड्स को  फील्ड मेडल  से सम्मानित किया गया था)।

गहरे परिणामों के अन्य उदाहरणों में गणितीय संरचनाओं में अप्रत्याशित अंतर्दृष्टि शामिल है। उदाहरण के लिए, गॉस का प्रमेय एग्रेगियम एक गहरा प्रमेय है जो एक स्थानीय घटना (वक्रता) को एक वैश्विक घटना (क्षेत्र) से आश्चर्यजनक तरीके से जोड़ता है। विशेष रूप से, एक घुमावदार सतह पर त्रिभुज का क्षेत्रफल त्रिभुज की अधिकता के समानुपाती होता है और आनुपातिकता वक्रता होती है। एक अन्य उदाहरण कलन का मूलभूत प्रमेय है (और ग्रीन के प्रमेय और स्टोक्स के प्रमेय सहित इसके वेक्टर संस्करण)।

गहरे के विपरीत तुच्छ है। एक तुच्छ प्रमेय एक परिणाम हो सकता है जो अन्य ज्ञात परिणामों से एक स्पष्ट और सीधे तरीके से प्राप्त किया जा सकता है, या जो केवल विशेष वस्तुओं के एक विशिष्ट सेट जैसे खाली सेट पर लागू होता है। हालांकि, कुछ अवसरों पर, एक प्रमेय का कथन इतना मौलिक हो सकता है कि उसे गहन माना जा सके—भले ही उसका प्रमाण काफी स्पष्ट हो।

अपने 1940 के निबंध ए मैथेमेटिशियन्स एपोलॉजी में, जी.एच. हार्डी ने सुझाव दिया कि एक सुंदर प्रमाण या परिणाम में अनिवार्यता, अप्रत्याशितता और मितव्ययिता होती है। 1997 में, जियान-कार्लो रोटा, सुंदरता के लिए पर्याप्त स्थिति के रूप में अप्रत्याशितता से असहमत थे और उन्होंने एक प्रति उदाहरण प्रस्तावित किया: "A great many theorems of mathematics, when first published, appear to be surprising; thus for example some twenty years ago [from 1977] the proof of the existence of non-equivalent differentiable structures on spheres of high dimension was thought to be surprising, but it did not occur to anyone to call such a fact beautiful, then or now." इसके विपरीत, मोनास्टिर्स्की ने 2001 में लिखा था: "It is very difficult to find an analogous invention in the past to Milnor's beautiful construction of the different differential structures on the seven-dimensional sphere... The original proof of Milnor was not very constructive, but later E. Briscorn showed that these differential structures can be described in an extremely explicit and beautiful form." यह असहमति गणितीय सुंदरता की व्यक्तिपरक प्रकृति और गणितीय परिणामों के साथ इसके संबंध दोनों को दर्शाती है: इस मामले में, न केवल विदेशी क्षेत्रों का अस्तित्व, बल्कि उनकी एक विशेष प्राप्ति भी है।

अनुभव में


अनुभवजन्य शोध अध्ययन से अलग शुद्ध गणित में रुचि ग्रीक गणित सहित गणित के इतिहास के अनुभव का हिस्सा रही है, जिसने इसकी सुंदरता के लिए गणित किया था। आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत में गणितीय भौतिकविदों द्वारा अनुभव किए जाने वाले सौन्दर्यपरक आनंद (दूसरों के बीच पॉल डिराक द्वारा) को इसकी महान गणितीय सुंदरता के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है। गणित की सुंदरता का अनुभव तब होता है जब वस्तुओं की वास्तविकता गणितीय मॉडल द्वारा प्रस्तुत की जाती है। बहुपद समीकरणों को हल करने के एकमात्र उद्देश्य के लिए 1800 के दशक की शुरुआत में समूह सिद्धांत, प्राथमिक कणों को वर्गीकृत करने का एक उपयोगी तरीका बन गया - पदार्थ के निर्माण खंड। इसी तरह, गाँठ सिद्धांत का अध्ययन स्ट्रिंग सिद्धांत और पाश क्वांटम गुरुत्वाकर्षण  में महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

कुछ का मानना ​​है कि गणित की सराहना करने के लिए, गणित करने में संलग्न होना चाहिए। उदाहरण के लिए, गणित मंडल स्कूल के बाद का एक समृद्ध कार्यक्रम है जहां छात्र खेल और गतिविधियों के माध्यम से गणित करते हैं; कुछ शिक्षक ऐसे भी हैं जो काइनेस्टेटिक लर्निंग में गणित पढ़ाकर छात्रों की व्यस्तता को प्रोत्साहित करते हैं। एक सामान्य गणित वृत्त पाठ में, छात्र अपनी खुद की गणितीय खोज करने के लिए पैटर्न खोज, अवलोकन और अन्वेषण का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, गणितीय सुंदरता दूसरी और तीसरी कक्षा के छात्रों के लिए डिज़ाइन की गई समरूपता पर मैथ सर्कल गतिविधि में उत्पन्न होती है, जहाँ छात्र कागज के एक चौकोर टुकड़े को मोड़कर और मुड़े हुए कागज़ के किनारों के साथ अपनी पसंद के डिज़ाइन काटकर अपने स्नोफ्लेक बनाते हैं। जब कागज को खोल दिया जाता है, तो एक सममित डिजाइन प्रकट होता है। दैनिक प्राथमिक विद्यालय की गणित कक्षा में, समरूपता को कलात्मक तरीके से प्रस्तुत किया जा सकता है जहाँ छात्र गणित में सौंदर्य की दृष्टि से मनभावन परिणाम देखते हैं।

कुछ शिक्षक गणित को सौन्दर्यपूर्ण तरीके से प्रस्तुत करने के लिए गणितीय जोड़तोड़ का उपयोग करना पसंद करते हैं। हेरफेर के उदाहरणों में बीजगणित टाइलें, व्यंजन की छड़ें और पैटर्न ब्लॉक शामिल हैं। उदाहरण के लिए, कोई बीजगणित टाइलों का उपयोग करके वर्ग को पूरा करने की विधि सिखा सकता है। व्यंजनों की छड़ों का उपयोग अंशों को पढ़ाने के लिए किया जा सकता है, और ज्यामिति को पढ़ाने के लिए पैटर्न ब्लॉकों का उपयोग किया जा सकता है। गणितीय जोड़तोड़ का उपयोग करने से छात्रों को एक वैचारिक समझ हासिल करने में मदद मिलती है जो लिखित गणितीय सूत्रों में तुरंत नहीं देखी जा सकती है। अनुभव में सुंदरता के एक अन्य उदाहरण में ORIGAMI का उपयोग शामिल है। ओरिगेमी, पेपर फोल्डिंग की कला में सौंदर्य संबंधी गुण और कई गणितीय कनेक्शन हैं। अनफोल्ड ओरिगेमी टुकड़ों पर क्रीज पैटर्न को देखकर कोई भी पेपर फोल्डिंग के गणित का अध्ययन कर सकता है। साहचर्य, गिनती का अध्ययन, कलात्मक प्रतिनिधित्व है जो कुछ गणितीय रूप से सुंदर खोजें। ऐसे कई दृश्य उदाहरण हैं जो संयोजक अवधारणाओं को स्पष्ट करते हैं। कॉम्बिनेटरिक्स पाठ्यक्रमों में दृश्य प्रतिनिधित्व के साथ देखे गए कुछ विषयों और वस्तुओं में शामिल हैं, दूसरों के बीच में चार रंग प्रमेय, युवा झांकी, पेर्मुटोहेड्रोन, ग्राफ सिद्धांत, एक सेट का विभाजन। सेमिर ज़ेकी और उनके सहयोगियों द्वारा किए गए ब्रेन इमेजिंग प्रयोग दिखाएँ कि गणितीय सौंदर्य का अनुभव, मस्तिष्क के औसत दर्जे का ऑर्बिटो-फ्रंटल कॉर्टेक्स (mOFC) के क्षेत्र A1 में एक तंत्रिका सहसंबंध, गतिविधि के रूप में है और यह गतिविधि पैरामीट्रिक रूप से सौंदर्य की घोषित तीव्रता से संबंधित है। गतिविधि का स्थान गतिविधि के स्थान के समान है जो अन्य स्रोतों से सौंदर्य के अनुभव से संबंधित है, जैसे कि संगीत या खुशी या दुःख। इसके अलावा, गणितज्ञ अपने साथियों द्वारा दी गई विरोधाभासी राय के आलोक में गणितीय सूत्र की सुंदरता के अपने निर्णय को संशोधित करने के लिए प्रतिरोधी प्रतीत होते हैं।

दर्शन में
कुछ गणितज्ञों का मत है कि गणित का कार्य आविष्कार की तुलना में खोज के अधिक निकट है, उदाहरण के लिए: "There is no scientific discoverer, no poet, no painter, no musician, who will not tell you that he found ready made his discovery or poem or picture—that it came to him from outside, and that he did not consciously create it from within." इन गणितज्ञों का मानना ​​है कि जिस ब्रह्मांड में हम रहते हैं, उस पर निर्भरता के बिना गणित के विस्तृत और सटीक परिणामों को यथोचित रूप से सत्य माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, वे तर्क देंगे कि प्राकृतिक संख्याओं का सिद्धांत मौलिक रूप से मान्य है, इस तरह से जिसके लिए किसी विशिष्ट संदर्भ की आवश्यकता नहीं है। कुछ गणितज्ञों ने इस दृष्टिकोण को आगे बढ़ाया है कि गणितीय सौंदर्य सत्य है, कुछ मामलों में रहस्यवाद बन जाता है।

प्लेटो के दर्शन में दो संसार थे, एक भौतिक संसार जिसमें हम रहते हैं और दूसरा अमूर्त संसार जिसमें गणित सहित अपरिवर्तनीय सत्य समाहित था। उनका मानना ​​था कि भौतिक दुनिया अधिक परिपूर्ण अमूर्त दुनिया का एक मात्र प्रतिबिंब थी। हंगरी के गणितज्ञ पॉल एर्डोस एक काल्पनिक किताब के बारे में बात की, जिसमें भगवान ने सभी सबसे सुंदर गणितीय प्रमाणों को लिखा है। जब एर्डोस किसी प्रमाण की विशेष प्रशंसा व्यक्त करना चाहते थे, तो वे इसे द बुक से कहते थे!

बीसवीं सदी के फ्रांसीसी दार्शनिक मुझे आँख चाहिए ने दावा किया कि सत्तामीमांसा गणित है। बादीउ गणित, कविता और दर्शन के बीच गहरे संबंधों में भी विश्वास करते हैं।

हालांकि, कई मामलों में, प्राकृतिक दार्शनिकों और अन्य वैज्ञानिकों ने, जिन्होंने गणित का व्यापक उपयोग किया है, सौंदर्य और भौतिक सत्य के बीच अनुमान लगाने की छलांग लगाई है जो गलत निकला। उदाहरण के लिए, अपने जीवन के एक चरण में, जोहान्स केप्लर का मानना ​​था कि सौर मंडल में तत्कालीन ज्ञात ग्रहों की कक्षाओं के अनुपात को भगवान द्वारा पाँच प्लेटोनिक ठोसों की एक संकेंद्रित व्यवस्था के अनुरूप व्यवस्थित किया गया है, प्रत्येक कक्षा पर स्थित है। एक बहुफलक का परिबद्ध गोला और दूसरे का खुदा हुआ गोला। जैसा कि वास्तव में पांच प्लेटोनिक ठोस हैं, केपलर की परिकल्पना केवल छह ग्रहों की कक्षाओं को समायोजित कर सकती है और अरुण ग्रह  की बाद की खोज से अस्वीकृत हो गई थी।

सूचना सिद्धांत में
1970 के दशक में, अब्राहम मोल्स और फ्रीडर नेक ने सुंदरता, सूचना प्रसंस्करण और सूचना सिद्धांत के बीच संबंधों का विश्लेषण किया। 1990 के दशक में, जुरगेन श्मिटहुबर ने एल्गोरिथम सूचना सिद्धांत के आधार पर पर्यवेक्षक-निर्भर व्यक्तिपरक सौंदर्य का एक गणितीय सिद्धांत तैयार किया: व्यक्तिपरक रूप से तुलनीय वस्तुओं के बीच सबसे सुंदर वस्तुओं में एल्गोरिथम सूचना सिद्धांत विवरण (यानी, कोलमोगोरोव जटिलता) है जो पर्यवेक्षक पहले से ही जानता है।   श्मिटहुबर स्पष्ट रूप से सुंदर और दिलचस्प के बीच अंतर करता है। उत्तरार्द्ध व्यक्तिपरक रूप से कथित सौंदर्य के पहले व्युत्पन्न से मेल खाता है: प्रेक्षक लगातार दोहराव और समरूपता और भग्न  स्व-समानता जैसी नियमितताओं की खोज करके अवलोकनों की भविष्यवाणी और डेटा संपीड़न में सुधार करने की कोशिश करता है। जब भी पर्यवेक्षक की सीखने की प्रक्रिया (संभवतः एक भविष्य कहनेवाला कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क) बेहतर डेटा संपीड़न की ओर जाता है जैसे कि अवलोकन अनुक्रम को पहले की तुलना में कम  अंश ्स द्वारा वर्णित किया जा सकता है, डेटा की अस्थायी दिलचस्पता संपीड़न प्रगति से मेल खाती है, और आनुपातिक है पर्यवेक्षक की आंतरिक जिज्ञासा इनाम।

संगीत
संगीत में गणित के उपयोग के उदाहरणों में इयानिस ज़ेनाकिस का स्टोकेस्टिक संगीत, टूल (बैंड) के लेटरलस (गीत) में फाइबोनैचि संख्या, जोहान सेबेस्टियन बाच का प्रतिरूप, पॉलीरिदमिक संरचनाएं (इगोर स्ट्राविंस्की की वसंत का संस्कार) शामिल हैं। इलियट कार्टर का मीट्रिक मॉड्यूलेशन, अर्नोल्ड स्कोनबर्ग के साथ शुरू होने वाले क्रमवाद में क्रमचय सिद्धांत, और कार्लहेंज स्टॉकहौसेन के भजन में शेपर्ड टोन का अनुप्रयोग। वे डेविड लेविन के सैद्धांतिक लेखन में संगीत में परिवर्तन के लिए समूह सिद्धांत के अनुप्रयोग को भी शामिल करते हैं।

दृश्य कला
दृश्य कलाओं में गणित के उपयोग के उदाहरणों में डिजिटल कला के लिए अराजकता सिद्धांत और फ्रैक्टल ज्यामिति के अनुप्रयोग शामिल हैं | कंप्यूटर जनित कला, लियोनार्डो दा विंसी के समरूपता अध्ययन, पुनर्जागरण कला के परिप्रेक्ष्य (ग्राफिकल) सिद्धांत के विकास में प्रक्षेपी ज्यामिति, ग्रिड (पेज लेआउट) कला पर  में, ऑप्टिकल ज्योमेट्री इन द अंधेरा कमरा ऑफ़ गिआम्बतिस्ता डेला पोर्टा, और मल्टीपल पर्सपेक्टिव इन एनालिटिक क्यूबिज्म एंड  भविष्यवाद ।

पवित्र ज्यामिति अपने आप में एक क्षेत्र है, जो अनगिनत कला रूपों को जन्म देता है, जिसमें कुछ सबसे प्रसिद्ध रहस्यवादी प्रतीक और धार्मिक रूपांकन शामिल हैं, और इस्लामी वास्तुकला में विशेष रूप से समृद्ध इतिहास है। यह ध्यान और चिंतन का साधन भी प्रदान करता है, उदाहरण के लिए कबला सेफिरोट (जीवन का वृक्ष) और मेटाट्रॉन क्यूब का अध्ययन; और खुद को चित्रित करने का कार्य भी।

डच ग्राफिक डिजाइनर एमसी एस्चर ने गणितीय रूप से प्रेरित वुडकट, लिथोग्राफ और मेजोटिन्ट्स बनाए। इनमें असंभव निर्माण, अनंत की खोज, वास्तुकला, दृश्य विरोधाभास और चौकोर शामिल हैं।

कुछ चित्रकार और मूर्तिकार एनामॉर्फोसिस के गणितीय सिद्धांतों के साथ विकृत काम करते हैं, जिसमें दक्षिण अफ्रीकी मूर्तिकार जोंटी हर्विट्ज भी शामिल हैं।

ब्रिटिश निर्माणवादी कलाकार जॉन अर्नेस्ट ने समूह सिद्धांत से प्रेरित राहतें और चित्र बनाए। एंथनी हिल (कलाकार) और पीटर लोवे (कलाकार) सहित प्रेरणा के स्रोत के रूप में निर्माणवादी और सिस्टम स्कूलों के कई अन्य ब्रिटिश कलाकार भी गणित के मॉडल और संरचनाओं को आकर्षित करते हैं। कंप्यूटर जनित कला गणितीय कलन विधि पर आधारित है।

गणितज्ञों द्वारा उद्धरण
बर्ट्रेंड रसेल ने गणितीय सुंदरता की अपनी भावना को इन शब्दों में व्यक्त किया:  सही ढंग से देखे जाने पर, गणित में न केवल सच्चाई है, बल्कि सर्वोच्च सौंदर्य भी है - एक ठंडा और कठोर सौंदर्य, मूर्तिकला की तरह, हमारी कमजोर प्रकृति के किसी भी हिस्से के लिए अपील के बिना, पेंटिंग या संगीत के भव्य आकर्षण के बिना, फिर भी बेहद शुद्ध और सक्षम एक कठोर पूर्णता की जैसे कि केवल सबसे बड़ी कला ही दिखा सकती है। आनंद की सच्ची भावना, उत्कर्ष, मनुष्य से बढ़कर होने का भाव, जो उच्चतम उत्कृष्टता की कसौटी है, गणित में निश्चित रूप से कविता के रूप में पाया जाता है। 

पॉल एर्डोस ने गणित की अक्षमता पर अपने विचार व्यक्त किए जब उन्होंने कहा, संख्याएँ सुंदर क्यों होती हैं? यह पूछने जैसा है कि सिम्फनी नंबर 9 (बीथोवेन)|बीथोवेन की नौवीं सिम्फनी सुंदर क्यों है। यदि आप कारण नहीं देखते हैं, तो कोई आपको नहीं बता सकता है। मुझे पता है कि नंबर खूबसूरत हैं। अगर वे खूबसूरत नहीं हैं तो कुछ भी नहीं है।

यह भी देखें

 * सौंदर्य से तर्क
 * सेलुलर automaton
 * वर्णनात्मक विज्ञान
 * प्रवाह अनुमानी
 * सुनहरा अनुपात
 * गणित और वास्तुकला
 * न्यूरोएस्थेटिक्स
 * सामान्य विज्ञान
 * गणित का दर्शन
 * सौंदर्य आनंद का प्रसंस्करण प्रवाह सिद्धांत
 * पाइथागोरसवाद
 * सब कुछ का सिद्धांत

संदर्भ

 * Aigner, Martin, and Ziegler, Gunter M. (2003), Proofs from THE BOOK, 3rd edition, Springer-Verlag.
 * Chandrasekhar, Subrahmanyan (1987), Truth and Beauty: Aesthetics and Motivations in Science, University of Chicago Press, Chicago, IL.
 * Hadamard, Jacques (1949), The Psychology of Invention in the Mathematical Field, 1st edition, Princeton University Press, Princeton, NJ. 2nd edition, 1949. Reprinted, Dover Publications, New York, NY, 1954.
 * Hardy, G.H. (1940), A Mathematician's Apology, 1st published, 1940. Reprinted, C. P. Snow (foreword), 1967. Reprinted, Cambridge University Press, Cambridge, UK, 1992.
 * Hoffman, Paul (1992), The Man Who Loved Only Numbers, Hyperion.
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 * Lang, Serge (1985). The Beauty of Doing Mathematics: Three Public Dialogues. New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-96149-6.
 * Loomis, Elisha Scott (1968), The Pythagorean Proposition, The National Council of Teachers of Mathematics. Contains 365 proofs of the Pythagorean Theorem.
 * Pandey, S.K. . The Humming of Mathematics: Melody of Mathematics. Independently Published, 2019. ISBN 1710134437.
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 * Strohmeier, John, and Westbrook, Peter (1999), Divine Harmony, The Life and Teachings of Pythagoras, Berkeley Hills Books, Berkeley, CA.
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बाहरी संबंध

 * Mathematics, Poetry and Beauty
 * Is Mathematics Beautiful? cut-the-knot.org
 * Justin Mullins.com
 * Edna St. Vincent Millay (poet): Euclid alone has looked on beauty bare
 * Terence Tao, What is good mathematics?
 * Mathbeauty Blog
 * A Mathematical Romance Jim Holt December 5, 2013 issue of The New York Review of Books review of Love and Math: The Heart of Hidden Reality by Edward Frenkel
 * A Mathematical Romance Jim Holt December 5, 2013 issue of The New York Review of Books review of Love and Math: The Heart of Hidden Reality by Edward Frenkel