साधारण फलन

वास्तविक विश्लेषण गणित के क्षेत्र में, साधारण फलन मुख्य रूप से ऐसी वास्तविक संख्या या जटिल संख्या है, जो किसी वास्तविक रेखा के उपसमुच्चयों पर किसी फलन की ओर उपयोग किए जाने के लिए मूल्यांकित फलन या साधारण फलन को पर्याप्त रूप से उपयोग करता हैं जिससे कि इसका उपयोग गणितीय तर्क, सिद्धांत और प्रमाण को प्राप्त करने के लिए सरल हो जाता हैं। इस प्रकार उदाहरण के लिए साधारण फलन केवल सीमित संख्या में विभिन्न मानों को प्राप्त करते हैं। कुछ लेखकों को मापने योग्य फलन को साधारण फलनों की भी आवश्यकता होती है, जैसा कि व्यवहारिक रूप से उपयोग किया जाता है, ये सदैव इसमें उपलब्ध रहते हैं।

किसी साधारण फलन का मूल उदाहरण अर्ध कोष्ठकों के अंतराल जैसे [1, 9) पर फ्लोर फलन को रूप में उपयोग होते हैं, जिसका मान {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। इसके अधिक उन्नत उदाहरण वास्तविक रेखा पर डिरिचलेट फलन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता हैं, जिसका मान 1 रहता है, इसके लिए यदि x परिमेय संख्या को प्रदर्शित करता है जिसका मान 0 रहता है। इस प्रकार साधारण फलन के सरल का तकनीकी अर्थ कुछ सीमा तक सामान्य भाषा के साथ है। इसके सभी चरण साधारण फलन के रूप में उपयोग किए जाते हैं।

किसी अभिन्न मूल के सिद्धांत के विकास में साधारण फलनों का उपयोग करने के लिए पहले चरण के रूप में इसका उपयोग किया जाता है, जैसे कि लेबेस्ग इंटीग्रल क्योंकि साधारण फलन के लिए एकीकरण को परिभाषित करना सरल है, और साधारण फलनों के अनुक्रमों द्वारा अधिक सामान्य फलनों को अनुमानित करना भी सरल होता है।

परिभाषा
औपचारिक रूप से साधारण फलन मापने योग्य समुच्चयों के सूचक फलनों का परिमित रेखीय संयोजन होता है। इसके अधिक सही रूप को प्राप्त करने के लिए मान लीजिए (X, Σ) सिग्मा-बीजगणित का उपयोग करते है। इस प्रकार a1, ..., an ∈ Σ असंयुक्त मापने योग्य समुच्चयों का क्रम होता हैं, और मान लीजिए a1, ..., an वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं का क्रम होता हैं। इसका साधारण फलन फलन $$f: X \to \mathbb{C}$$ से प्रदर्शीत किया जाता है, इसके प्रारूप को इस प्रकार प्रदर्शित किया जाता हैं-


 * $$f(x)=\sum_{k=1}^n a_k {\mathbf 1}_{A_k}(x),$$

जहाँ $${\mathbf 1}_A$$ समुच्चय a का सूचक फलन होता है।

साधारण फलनों के गुण
दो साधारण फलनों का योग, अंतर और गुणनफल पुनः साधारण फलन के रूप में परिवर्तित हो जाता हैं, और स्थिरांक से गुणा करने से साधारण फलन सरल हो जाता है, इसलिए यह अनुसरण करता है कि किसी दिए गए मापने योग्य स्थान पर सभी साधारण फलनों का संग्रह क्षेत्र $$\mathbb{C}$$ के ऊपर बीजगणित बनाता है।

साधारण फलनों का एकीकरण
यदि माप (गणित) μ को समतल (X, Σ) पर परिभाषित किया गया है, तो μ के संबंध में f का लेबेस्ग्यू अभिन्न अंग है


 * $$\sum_{k=1}^na_k\mu(A_k),$$

यदि सभी योग परिमित हैं।

लेबेसेग एकीकरण से संबंध
साधारण फलनों के उपरोक्त अभिन्न को फलनों के अधिक सामान्य वर्ग तक बढ़ाया जा सकता है, जो कि लेबेस्ग इंटीग्रल को परिभाषित किया गया है। यह विस्तार निम्नलिखित तथ्य पर आधारित है।


 * प्रमेय। कोई भी धनात्मक मान को जानने के लिए फलन $$f\colon X \to\mathbb{R}^{+}$$ धनात्मक साधारण फलनों के मोनोटोनिक बढ़ते क्रम की बिंदु सीमा उपयोग की जाती है।

यह प्रमाणित किया जाता हैं कि सह-डोमेन में सिग्मा-बीजगणित $$\mathbb{R}^{+}$$ बोरेल σ-बीजगणित का प्रतिबंध है, जो $$\mathfrak{B}(\mathbb{R})$$ को $$\mathbb{R}^{+}$$के रूप में प्रयोग किया जाता हैं। इसके प्रमाण के अनुसार इसे निम्नानुसार आगे बढ़ाया जाता है। इस प्रकार $$f$$ माप स्थान पर परिभाषित धनात्मक औसत सीमा का फलन $$(X, \Sigma,\mu)$$ रहता हैं। इस प्रकार प्रत्येक $$n\in\mathbb N$$ के लिए, इसके सह-डोमेन को उप-विभाजित करते हैं, जिसके लिए $$f$$ में $$2^{2n}+1$$ अंतराल, $$2^{2n}$$ जिसकी लम्बाई $$2^{-n}$$ है, अर्ताथ प्रत्येक के लिए $$n$$ के मान को इस प्रकार परिभाषित करते हैं-
 * $$I_{n,k}=\left[\frac{k-1}{2^n},\frac{k}{2^n}\right)$$ के लिए $$k=1,2,\ldots,2^{2n}$$, और $$I_{n,2^{2n}+1}=[2^n,\infty)$$,

जो अलग हैं और धनात्मक वास्तविक रेखा ($$\mathbb{R}^{+} \subseteq \cup_{k}I_{n,k}, \forall n \in \mathbb{N}$$) को सीमित करते हैं।

अब समुच्चय को इस प्रकार परिभाषित करते हैं-
 * $$A_{n,k}=f^{-1}(I_{n,k}) \,$$ के लिए $$k=1,2,\ldots,2^{2n}+1,$$

($$A_{n,k}\in \Sigma$$) का मान मापने योग्य रहता हैं, क्योंकि $$f$$ मापने योग्य माना जाता है।

फिर साधारण फलनों का बढ़ता क्रम इस प्रकार रहता हैं-
 * $$f_n=\sum_{k=1}^{2^{2n}+1}\frac{k-1}{2^n}{\mathbf 1}_{A_{n,k}}$$ बिंदु अभिसरण करता है, इस कारण$$f$$ जैसा $$n\to\infty$$ के रूप में प्रदर्शित किया जाता हैं। यहाँ पर ध्यान दें कि जब $$f$$ घिरा हुआ है, इस स्थिति में अभिसरण एकसमान रहता है।

यह भी देखें
बाॅच्नर औसत दर्जे का फलन

संदर्भ

 * 🇦🇹. Introduction to Measure and Probability, 1966, Cambridge.
 * 🇦🇹. Real and Functional Analysis, 1993, Springer-Verlag.
 * 🇦🇹. Real and Complex Analysis, 1987, McGraw-Hill.
 * 🇦🇹. Real Analysis, 1968, Collier Macmillan.