इडेम्पोटेंट (रिंग थ्योरी)

वलय सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक निष्क्रिय तत्व या बस एक वलय का निष्क्रिय तत्व (गणित) एक ऐसा तत्व ए है जो a2 = a. अर्थात्, रिंग के गुणन के तहत तत्व निष्क्रिय है। गणितीय प्रेरण तो, कोई यह निष्कर्ष भी निकाल सकता है a = a2 = a3 = a4 = ... = an किसी भी धनात्मक पूर्णांक n के लिए। उदाहरण के लिए, मैट्रिक्स रिंग का एक निष्क्रिय तत्व वास्तव में एक निष्क्रिय मैट्रिक्स है।

सामान्य रिंगों के लिए, गुणन के तहत निष्क्रिय तत्व मॉड्यूल (गणित) के अपघटन में शामिल होते हैं, और रिंग के होमोलॉजिकल बीजगणित गुणों से जुड़े होते हैं। बूलियन बीजगणित में, अध्ययन की मुख्य वस्तुएं वलय हैं जिनमें सभी तत्व जोड़ और गुणा दोनों के तहत निष्क्रिय हैं।

Z के भागफल
कोई पूर्णांक मॉड्यूल n के वलय पर विचार कर सकता है जहां n वर्ग-मुक्त पूर्णांक है। चीनी शेषफल प्रमेय के अनुसार, यह वलय पूर्णांक मॉड्यूलो p के वलय के गुणनफल में कारक होता है जहां p अभाज्य संख्या है। अब इनमें से प्रत्येक कारक एक क्षेत्र (गणित) है, इसलिए यह स्पष्ट है कि कारकों के एकमात्र निष्क्रिय प्रभाव 0 और 1 होंगे। यानी, प्रत्येक कारक के दो निष्क्रिय कारक हैं। इसलिए यदि m गुणनखंड हैं, तो 2 होंगेमबेवकूफ़.

हम इसे पूर्णांक मॉड 6 के लिए जांच सकते हैं, R = Z/6Z. चूँकि 6 के दो अभाज्य गुणनखंड (2 और 3) हैं इसलिए इसका 2 होना चाहिए2बेवकूफ़.


 * 02 ≡ 0 ≡ 0 (मॉड 6)
 * 12 ≡ 1 ≡ 1 (मॉड 6)
 * 22 ≡ 4 ≡ 4 (मॉड 6)
 * 32 ≡ 9 ≡ 3 (मॉड 6)
 * 42 ≡ 16 ≡ 4 (मॉड 6)
 * 52 ≡ 25 ≡ 1 (मॉड 6)

इन गणनाओं से, 0, 1, 3, और 4 इस रिंग के निष्क्रिय हैं, जबकि 2 और 5 नहीं हैं। यह नीचे वर्णित अपघटन गुणों को भी प्रदर्शित करता है: क्योंकि 3 + 4 = 1 (mod 6), एक रिंग अपघटन है 3Z/6Z ⊕ 4Z/6Z. 3Z/6Z में पहचान 3+6Z है और 4Z/6Z में पहचान 4+6Z है।

बहुपद वलय का भागफल
एक अंगूठी दी $$R$$ और एक तत्व $$f \in R$$ ऐसा है कि $$f^2 \neq 0$$, फिर भागफल वलय
 * $$R/(f^2 - f)$$

निष्क्रिय है $$f$$. उदाहरण के लिए, इसे लागू किया जा सकता है $$x \in \mathbb{Z}[x]$$, या कोई बहुपद $$f \in k[x_1,\ldots, x_n]$$.

विभाजन-चतुर्थक रिंग्स में इडेम्पोटेंट्स
स्प्लिट-क्वाटर्नियन रिंग में इडेम्पोटेंट्स का एक कैटेनॉइड होता है।

रिंग इडेम्पोटेंट्स के प्रकार
महत्वपूर्ण प्रकार के बेरोजगारों की आंशिक सूची में शामिल हैं:
 * दो निष्क्रिय ए और बी को 'ऑर्थोगोनल' कहा जाता है यदि ab = ba = 0. यदि a रिंग R में निष्क्रिय है (रिंग_(गणित)#नोट्स_ऑन_द_डेफिनिशन के साथ), तो ऐसा ही है b = 1&thinsp;− a; इसके अलावा, ए और बी ऑर्थोगोनल हैं।
 * आर में एक निष्क्रिय ए को 'केंद्रीय निष्क्रिय' कहा जाता है यदि ax = xa R में सभी x के लिए, अर्थात, यदि a, R के केंद्र (रिंग सिद्धांत) में है।
 * एक 'तुच्छ निष्क्रिय' तत्व 0 और 1 में से किसी एक को संदर्भित करता है, जो हमेशा निष्क्रिय होते हैं।
 * रिंग आर का एक 'आदिम निष्क्रिय' एक गैर-शून्य निष्क्रिय है, जैसे कि एआर एक सही आर-मॉड्यूल के रूप में अविभाज्य मॉड्यूल है; यानी कि एआर दो शून्य मॉड्यूल सबमॉड्यूल के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग नहीं है। समान रूप से, यदि इसे ए = ई + एफ के रूप में नहीं लिखा जा सकता है, तो ए एक आदिम इडेम्पोटेंट है, जहां ई और एफ आर में गैर-शून्य ऑर्थोगोनल इडेम्पोटेंट हैं।
 * एक 'स्थानीय निष्क्रिय' एक निष्क्रिय व्यक्ति है जैसे कि एआरए एक स्थानीय वलय है। इसका तात्पर्य यह है कि एआर सीधे तौर पर अविभाज्य है, इसलिए स्थानीय निष्क्रियता भी आदिम है।
 * 'राइट इरेड्यूसिबल इडेम्पोटेंट' एक इडेम्पोटेंट है जिसके लिए एआर एक सरल मॉड्यूल है। शूर की लेम्मा द्वारा, EndR(aR) = aRa एक विभाजन वलय है, और इसलिए एक स्थानीय वलय है, इसलिए दाएँ (और बाएँ) इरेड्यूसिबल इडेम्पोटेंट स्थानीय हैं।
 * एक केंद्रीय रूप से आदिम निष्क्रिय एक केंद्रीय निष्क्रिय भावी ए है जिसे दो गैर-शून्य ऑर्थोगोनल केंद्रीय निष्क्रियता के योग के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।
 * एक नपुंसक a + I भागफल रिंग में R/I को 'लिफ्ट मोडुलो I' कहा जाता है यदि R में कोई निष्क्रिय b मौजूद है जैसे कि b + I = a + I.
 * R के एक निष्क्रिय व्यक्ति को 'पूर्ण निष्क्रिय' कहा जाता है यदि RaR = R.
 * एक पृथक्करण निष्क्रियता; वियोज्य बीजगणित देखें.

कोई भी गैर-तुच्छ निष्क्रिय ए एक शून्य विभाजक है (क्योंकि ab = 0 जिसमें न तो a और न ही b शून्य है, जहां b = 1&thinsp;− a). इससे पता चलता है कि अभिन्न डोमेन  और डिवीज़न रिंग्स में ऐसी निष्क्रियता नहीं होती है। स्थानीय रिंगों में भी ऐसे निरर्थक लोग नहीं हैं, लेकिन एक अलग कारण से। रिंग के  जैकबसन कट्टरपंथी  में निहित एकमात्र इडेम्पोटेंट 0 है।

इडेम्पोटेंट्स की विशेषता वाले छल्ले

 * एक वलय जिसमें सभी तत्व निष्क्रिय होते हैं, बूलियन वलय कहलाता है। कुछ लेखक इस प्रकार की अंगूठी के लिए इडेम्पोटेंट रिंग शब्द का उपयोग करते हैं। ऐसे वलय में, गुणन क्रमविनिमेय वलय है और प्रत्येक तत्व अपना योगात्मक व्युत्क्रम है।
 * एक वलय अर्धसरल वलय है यदि और केवल तभी यदि प्रत्येक दायां (या प्रत्येक बायां) आदर्श (रिंग सिद्धांत) एक निष्क्रिय व्यक्ति द्वारा उत्पन्न किया गया हो।
 * एक वलय वॉन न्यूमैन नियमित वलय है यदि और केवल यदि प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल दाएं (या प्रत्येक अंतिम रूप से उत्पन्न बाएं) आदर्श एक निष्क्रिय द्वारा उत्पन्न होता है।
 * एक रिंग जिसके लिए संहारक (रिंग सिद्धांत) r.Ann(S) R का प्रत्येक उपसमुच्चय S एक निष्क्रिय द्वारा उत्पन्न होता है, बेयर रिंग कहलाती है। यदि शर्त केवल R के सभी सिंगलटन (गणित) उपसमुच्चय के लिए लागू होती है, तो रिंग एक सही रिकार्ट रिंग है। ये दोनों प्रकार के छल्ले रिंग (बीजगणित) होने पर भी दिलचस्प हैं।
 * एक वलय जिसमें सभी निष्क्रिय केंद्र होते हैं (रिंग सिद्धांत) को 'एबेलियन वलय' कहा जाता है। ऐसे छल्लों को क्रमविनिमेय होने की आवश्यकता नहीं है।
 * एक वलय इरेड्यूसबल वलय है यदि और केवल यदि 0 और 1 ही एकमात्र केंद्रीय निष्क्रिय हैं।
 * एक वलय R को इस प्रकार लिखा जा सकता है e1R ⊕ e2R ⊕ ... ⊕ enR प्रत्येक ई के साथi एक स्थानीय निष्प्रभावी यदि और केवल यदि R एक अर्धपरिपूर्ण वलय है।
 * एक रिंग को 'एसबीआई रिंग' या 'लिफ्ट/रेड' रिंग कहा जाता है यदि आर के सभी निष्क्रिय मॉड्यूल जैकबसन रेडिकल को लिफ्ट करते हैं।
 * एक रिंग दाएं सीधे समन पर आरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करती है यदि और केवल तभी यदि रिंग बाएं प्रत्यक्ष समन पर अवरोही श्रृंखला की स्थिति को संतुष्ट करती है यदि और केवल यदि जोड़ीदार ऑर्थोगोनल इडेम्पोटेंट्स का प्रत्येक सेट परिमित है।
 * यदि a वलय R में निष्क्रिय है, तो aRa फिर से गुणक पहचान a के साथ एक वलय है। रिंग एआरए को अक्सर आर के 'कोने की अंगूठी' के रूप में जाना जाता है। कोने की अंगूठी एंडोमोर्फिज्म की अंगूठी के बाद से स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है EndR(aR) ≅ aRa.

विघटन में भूमिका
आर के निष्क्रिय तत्वों का आर-मॉड्यूल (गणित) के अपघटन से एक महत्वपूर्ण संबंध है। यदि एम एक आर-मॉड्यूल है और E = EndR(M) तो, इसकी एंडोमोर्फिज्म की अंगूठी है A ⊕ B = M यदि और केवल यदि ई में एक अद्वितीय निष्क्रिय ई है जैसे कि A = e(M) और B = (1&thinsp;− e)(M). स्पष्ट रूप से, एम सीधे तौर पर अविभाज्य है यदि और केवल यदि ई में 0 और 1 ही एकमात्र निष्क्रिय हैं।

मामले में जब M = R एंडोमोर्फिज्म रिंग EndR(R) = R, जहां प्रत्येक एंडोमोर्फिज्म एक निश्चित रिंग तत्व द्वारा बाएं गुणन के रूप में उत्पन्न होता है। अंकन के इस संशोधन के साथ, A ⊕ B = R सही मॉड्यूल के रूप में यदि और केवल यदि कोई अद्वितीय निष्क्रिय ई मौजूद है जैसे कि eR = A और (1&thinsp;− e)R = B. इस प्रकार R का प्रत्येक प्रत्यक्ष सारांश एक निष्क्रिय व्यक्ति द्वारा उत्पन्न होता है।

यदि ए एक केंद्रीय निष्क्रिय है, तो कोने की अंगूठी aRa = Ra गुणक पहचान के साथ एक अंगूठी है। जिस प्रकार इडेम्पोटेंट एक मॉड्यूल के रूप में आर के प्रत्यक्ष अपघटन को निर्धारित करते हैं, उसी प्रकार आर के केंद्रीय इडेम्पोटेंट रिंग के मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में आर के अपघटन को निर्धारित करते हैं। यदि R, वलय R का सीधा योग है1,...,आरn, फिर छल्ले के पहचान तत्व आरi आर में केंद्रीय निष्क्रियता हैं, जोड़ीदार ऑर्थोगोनल, और उनका योग 1 है। इसके विपरीत, केंद्रीय निष्क्रियता दी गई है1,...,एn आर में जो जोड़ीदार ऑर्थोगोनल हैं और उनका योग 1 है, तो आर रिंग रा का सीधा योग है1,…,रविn. इसलिए विशेष रूप से, आर में प्रत्येक केंद्रीय निष्क्रिय ए कोने के छल्ले एआरए के प्रत्यक्ष योग के रूप में आर के अपघटन को जन्म देता है और (1&thinsp;− a)R(1&thinsp;− a). परिणामस्वरूप, एक वलय R एक वलय के रूप में सीधे तौर पर अविभाज्य है यदि और केवल यदि पहचान 1 केंद्रीय रूप से आदिम है।

आगमनात्मक रूप से कार्य करते हुए, कोई 1 को केंद्रीय रूप से आदिम तत्वों के योग में विघटित करने का प्रयास कर सकता है। यदि 1 केंद्रीय रूप से आदिम है, तो हमारा काम हो गया। यदि नहीं, तो यह केंद्रीय ऑर्थोगोनल इडेम्पोटेंट का योग है, जो बदले में आदिम या अधिक केंद्रीय इडेम्पोटेंट का योग है, इत्यादि। समस्या यह हो सकती है कि यह अंतहीन रूप से जारी रह सकता है, जिससे केंद्रीय ऑर्थोगोनल इडेम्पोटेंट्स का एक अनंत परिवार तैयार हो सकता है। शर्त आर में केंद्रीय ऑर्थोगोनल इडेम्पोटेंट्स के अनंत सेट शामिल नहीं हैं, यह रिंग पर एक प्रकार की परिमितता की स्थिति है। इसे कई तरीकों से हासिल किया जा सकता है, जैसे कि रिंग का सही नोथेरियन अंगूठी होना आवश्यक है। यदि एक अपघटन R = c1R ⊕ c2R ⊕ ... ⊕ cnR प्रत्येक सी के साथ मौजूद हैi एक केंद्रीय रूप से आदिम निष्क्रिय, तो आर कोने के छल्ले सी का सीधा योग हैi&hairsp;आर सीi, जिनमें से प्रत्येक वलय अपरिवर्तनीय है।

एक क्षेत्र पर साहचर्य बीजगणित या जॉर्डन बीजगणित के लिए, पीयरस अपघटन एक बीजगणित का एक अपघटन है जो निष्क्रिय तत्वों के आइगेनस्पेस के योग के रूप में होता है।

आवर्तन के साथ संबंध
यदि ए एंडोमोर्फिज्म रिंग एंड का एक निष्क्रिय व्यक्ति हैR(एम), फिर एंडोमोर्फिज्म f = 1&thinsp;− 2a एम का एक आर-मॉड्यूल इनवोल्यूशन (गणित) है। यानी, एफ एक आर-मॉड्यूल समरूपता है जैसे कि एफ2एम की पहचान एंडोमोर्फिज्म है।

R का एक निष्क्रिय तत्व a और उससे जुड़ा इनवोल्यूशन f, मॉड्यूल R के दो इनवोल्यूशन को जन्म देता है, जो R को बाएँ या दाएँ मॉड्यूल के रूप में देखने पर निर्भर करता है। यदि r, R के एक मनमाने तत्व का प्रतिनिधित्व करता है, तो f को सही R-मॉड्यूल समरूपता के रूप में देखा जा सकता है r ↦ fr ताकि ffr = r, या एफ को बाएं आर-मॉड्यूल समरूपता के रूप में भी देखा जा सकता है r ↦ rf, कहाँ rff = r.

यदि 2 R का एक उलटा तत्व है तो इस प्रक्रिया को उलटा किया जा सकता है: यदि b एक इन्वोल्यूशन है, तो 2−1(1&thinsp;− b) और 2−1(1&thinsp;+ b) ओर्थोगोनल इडेम्पोटेंट हैं, जो ए और के अनुरूप हैं 1&thinsp;− a. इस प्रकार एक रिंग के लिए जिसमें 2 उलटा है, निष्क्रिय तत्व एक-से-एक तरीके से आक्रमणों पर आपत्ति जताते हैं।

आर-मॉड्यूल की श्रेणी
मॉड्यूल की श्रेणी|आर-मॉड्यूल की श्रेणी के लिए निष्क्रियता को उठाने के भी बड़े परिणाम होते हैं। सभी इडेम्पोटेंट मॉड्यूलो I को तभी उठाते हैं जब R/I के प्रत्येक R प्रत्यक्ष सारांश में R-मॉड्यूल के रूप में एक प्रक्षेप्य आवरण  होता है। Idempotent हमेशा modulo nil आदर्शों और रिंगों को उठाते हैं जिसके लिए R पूर्णता है (रिंग सिद्धांत)#क्रल टोपोलॉजी|I-एडिकली पूर्ण।

जब उठाना सबसे महत्वपूर्ण होता है I = J(R), आर का जैकबसन रेडिकल। सेमीपरफेक्ट रिंग्स का एक और लक्षण यह है कि वे अर्धस्थानीय वलय हैं जिनके निष्क्रिय मॉड्यूल जे (आर) उठाते हैं।

निष्क्रिय लोगों की जाली
कोई किसी रिंग के निष्क्रियता पर आंशिक क्रम को इस प्रकार परिभाषित कर सकता है: यदि ए और बी निष्क्रिय हैं, तो हम लिखते हैं a ≤ b अगर और केवल अगर ab = ba = a. इस क्रम के संबंध में, 0 सबसे छोटा और 1 सबसे बड़ा निष्क्रिय है। ऑर्थोगोनल इडेम्पोटेंट्स ए और बी के लिए, a + b भी निष्क्रिय है, और हमारे पास है a ≤ a + b और b ≤ a + b. इस आंशिक क्रम के परमाणु (आदेश सिद्धांत) बिल्कुल आदिम निष्क्रिय हैं।

जब उपरोक्त आंशिक क्रम आर के केंद्रीय निष्क्रियता तक सीमित है, तो एक जाली (आदेश) संरचना, या यहां तक ​​कि एक बूलियन बीजगणित संरचना भी दी जा सकती है। बूलियन बीजगणित#ऑपरेशंस के दो केंद्रीय निष्क्रिय ई और एफ के लिए ¬e = 1&thinsp;− e और ज्वाइन और मीट द्वारा दिया जाता है
 * e ∨ f = e + f − ef

और
 * e ∧ f = ef.

ऑर्डर देना अब सरल हो गया है e ≤ f अगर और केवल अगर eR ⊆ f&hairsp;R, और जुड़ना और मिलना संतुष्ट करता है (e ∨ f&thinsp;)&hairsp;R = eR + f&hairsp;R और (e ∧ f&thinsp;)&hairsp;R = eR ∩ f&hairsp;R = (eR)(f&hairsp;R). इसमें दिखाया गया है कि यदि आर वॉन न्यूमैन नियमित और सही इंजेक्शन मॉड्यूल#स्व-इंजेक्शन रिंग|स्वयं इंजेक्शन है, तो जाली एक पूर्ण जाली है।

टिप्पणियाँ
Idempotent and nilpotent were introduced by Benjamin Peirce in 1870.

संदर्भ

 * “idempotent” at FOLDOC
 * p. 443
 * Peirce, Benjamin.. Linear Associative Algebra 1870.
 * p. 443
 * Peirce, Benjamin.. Linear Associative Algebra 1870.
 * Peirce, Benjamin.. Linear Associative Algebra 1870.