वन-वे क्वांटम कंप्यूटर



वन-वे या माप-आधारित क्वांटम कंप्यूटर (एमबीक्यूसी) क्वांटम कम्प्यूटिंग की विधि है जो पूर्व क्वांटम जटिल संसाधन स्थिति तैयार करती है, सामान्यतः क्लस्टर अवस्था या आरेख स्थिति, फिर उस पर एकल क्युबिट मापन करती है। यह एक पक्षीय है क्योंकि माप से संसाधन स्थिति नष्ट हो जाती है।

प्रत्येक व्यक्तिगत माप का परिणाम यादृच्छिक होता है, परन्तु वे इस प्रकार से संबंधित होते हैं कि गणना सदैव सफल होती है। सामान्यतः बाद के मापन के लिए आधार (रैखिक बीजगणित) के विकल्प को पूर्व माप के परिणामों पर निर्भर करने की आवश्यकता होती है, और इसलिए सभी माप ही समय में नहीं किए जा सकते हैं।

एमबीक्यूसी का हार्डवेयर कार्यान्वयन मुख्य रूप से फोटोनिक्स पर निर्भर करता है, फोटॉनों के बीच जटिल के गुणों के कारण है। जटिल और माप की प्रक्रिया को आरेख (असतत गणित) और समूह सिद्धांत की सहायता से वर्णित किया जा सकता है, विशेष रूप से स्थिरक समूह के अवयवों द्वारा आदि।

परिभाषा
क्वांटम कंप्यूटिंग का उद्देश्य क्वांटम यांत्रिकी की विशेषताओं के साथ सूचना सिद्धांत के निर्माण पर केंद्रित है: सूचना (अंश) की द्विआधारी इकाई को एन्कोड करने के अतिरिक्त, जिसे 1 या 0 पर स्विच किया जा सकता है, क्वांटम अधिस्थापन नामक घटना के कारण सूचना की एक क्वांटम बाइनरी इकाई (क्यूबिट) एक ही समय में 0 और 1 में बदल सकती है।  क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए अन्य प्रमुख विशेषता क्वांटम के बीच क्वांटम जटिल पर निर्भर करती है।

क्वांटम लॉजिक गेट मॉडल में, क्युबिट का समूह, जिसे रजिस्टर कहा जाता है, संगणना की प्रारम्भ में तैयार किया जाता है, फिर एकात्मक आव्यूह द्वारा ले जाने वाले क्यूबिट पर लॉजिक संक्रिया का समूह लागू किया जाता है। माप-आधारित क्वांटम गणना में, एकात्मक परिवर्तनों के माध्यम से एक तर्क संचालन को कार्यान्वित करने के बजाय, एक ही संक्रिया को $$a$$ सहायक क्यूबिट के क्लस्टर के साथ इनपुट क्यूबिट की संख्या $$k$$ को जटिल निष्पादित किया जाता है, जिससे $$a+k=n$$ क्यूबिट की समग्र स्रोत स्थिति बनती है, और फिर उनमें से एक संख्या $$m$$ को मापना। मापे गए क्यूबिट के साथ जटिलता कारण शेष $$k=n-m$$ आउटपुट क्युबिट माप से प्रभावित होंगे। वन-वे कंप्यूटर सार्वभौमिक क्वांटम कंप्यूटर सिद्ध हुआ है, जिसका अर्थ है कि यह किसी भी एकात्मक संक्रिया को मनमानी संख्या में पुन: उत्पन्न कर सकता है।

सामान्य प्रक्रिया
माप-आधारित क्वांटम कंप्यूटिंग की मानक प्रक्रिया में तीन चरण होते हैं: क्यूबिट जटिलता, एंसिली (सहायक क्यूबिट) को मापें और आउटपुट को ठीक करें। पूर्व चरण में, स्रोत स्थिति तैयार करने के लिए क्युबिट जटिल है। दूसरे चरण में, अंसिलाई को मापा जाता है, जो आउटपुट क्युबिट की स्थिति को प्रभावित करता है। यद्यपि, क्वांटम यांत्रिकी की अनिर्धारित प्रकृति के कारण मापन आउटपुट गैर-नियतात्मक परिणाम हैं: नियतात्मक विधि से संगणना को आगे बढ़ाने के लिए, कुछ सुधार संचालक, जिन्हें उपोत्पाद कहा जाता है, प्रस्तुत किए जाते हैं।

स्रोत स्थिति तैयार करना
गणना के प्रारम्भ में, क्युबिट को दो श्रेणियों में विभाजित किया जा सकता है: इनपुट और सहायक क्युबिट। इनपुट सामान्य में निर्धारित क्युबिट $$| \psi \rangle = \alpha |0\rangle + \beta |1 \rangle$$ अवस्था का प्रतिनिधित्व करते हैं, जिस पर कुछ एकात्मक परिवर्तनों का कार्य किया जाना है। स्रोत अवस्था तैयार करने के लिए, सभी सहायक क्युबिट $$ |+\rangle $$ अवस्था में तैयार किया जाना चाहिए:
 * $$ |+\rangle = \tfrac{| 0 \rangle + | 1 \rangle}{\sqrt{2}}, $$

जहाँ $$ | 0 \rangle $$ और $$ | 1 \rangle  $$ उत्कृष्ट $$0$$ और $$1$$ बिट के लिए क्वांटम एन्कोडिंग हैं:
 * $$ | 0 \rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix};\quad | 1 \rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$।

$$n$$ के साथ रजिस्टर $$ | + \rangle^{\otimes n} $$ क्युबिट इसलिए समूहित किया जाएगा। तत्पश्चात, दो क्युबिट $$CZ$$ गेट संक्रिया के बीच जटिल को लागू करके निष्पादन किया जा सकता है। इस प्रकार के दो-क्युबिट संक्रियक का आव्यूह प्रतिनिधित्व
 * $$ CZ =\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} $$ द्वारा दर्शाया गया है।

$$CZ$$ की क्रिया निम्नलिखित प्रणाली द्वारा दो क्विबिट से अधिक गेट का वर्णन किया जा सकता है:

\begin{cases} CZ | 0+ \rangle = | 0+ \rangle \\ CZ | 0- \rangle = | 0- \rangle \\ CZ | 1+ \rangle = | 1- \rangle \\ CZ | 1- \rangle = | 1+ \rangle \end{cases} $$ $$CZ$$ का आवेदन करते समय $$|+ \rangle$$ अवस्था में दो सहायक द्वार, समग्र अवस्था
 * $$CZ| ++ \rangle = \frac{| 0+ \rangle + | 1- \rangle}{\sqrt 2}$$

क्युबिट के जटिल युग्म बन जाते है। जब दो सहायकों को आपस में उलझाते हैं, तो इस विषय में कोई महत्व नहीं दिया जाता है कि कौन सी नियंत्रण क्युबिट है और कौन सा लक्ष्य है, जहाँ तक परिणाम समान है। इसी प्रकार, $$CZ$$ के रूप में द्वार को विकर्ण रूप में दर्शाया गया है, वे सभी एक-दूसरे का आवागमन करते हैं, और इस विषय में कोई महत्व नहीं दिया जाता है कि कौन सी क्युबिट पूर्व उलझती है। जटिल भौतिक मात्राओं को तैयार करने के लिए फोटॉन सबसे सामान्य स्रोत हैं।

क्युबिट को मापना
एकल-कण अवस्था पर मापन की प्रक्रिया को प्रेक्षण योग्य के आइगेन सदिश पर अवस्था को प्रक्षेपित करके वर्णित किया जा सकता है। दो संभावित आइगेन सदिश के साथ एक अवलोकनीय $$O$$ पर विचार करें, जैसे $$| o_1 \rangle$$ और $$| o_2 \rangle$$ और एक बहु-कण क्वांटम प्रणाली $$| \Psi \rangle$$ से निपटने के लिए मान लें। $$O$$ अवलोकन योग्य द्वारा $$i$$-वें qubit को मापने का अर्थ है $$O$$: : $$ | \Psi' \rangle = |o_i \rangle \langle o_i | \Psi \rangle$$ के आइगेन सदिश पर $$| \Psi \rangle$$ स्थिति को प्रोजेक्ट करना। $$i$$-वें क्युबिट की वास्तविक स्थिति अब $$|o_i \rangle$$, है, जो माप के परिणाम के आधार पर $$ | o_1 \rangle$$ या $$ | o_2 \rangle$$, में बदल सकती है (जो क्वांटम यांत्रिकी में संभाव्य है)। माप प्रक्षेपण अवलोकन योग्य $$M(\theta) = \cos(\theta)X + \sin(\theta)Y$$ की आइगेन स्थिति पर किया जा सकता है :
 * $$ M(\theta) = \cos(\theta) \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} + \sin(\theta) \begin{bmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & e^{-i \theta} \\ e^{i \theta} & 0 \end{bmatrix} $$,

जहाँ $$X$$ और $$Y$$ पॉल आव्यूह से संबंधित हैं। $$M(\theta)$$ के आइगेन सदिश $$|\theta_\pm \rangle = |0 \rangle \pm e^{i \theta} |1 \rangle$$ हैं। $$X$$-$$Y$$ समतल, पर क्युबिट मापना अर्थात $$M(\theta)$$ द्वारा देखने योग्य, $$|\theta_+ \rangle$$ या $$|\theta_- \rangle$$ का अर्थ है इसे प्रोजेक्ट करना। एक पक्षीय क्वांटम कंप्यूटिंग में, बार क्यूबिट को मापने के बाद, गणना के प्रवाह में इसे पुनःचक्रण करने की कोई विधि नहीं है। इसलिए, $$|o_i \rangle \langle o_i |$$ का उपयोग करने के अतिरिक्त, $$i$$- वें क्युबिट पर प्रक्षेप्य माप को इंगित करने के लिए $$\langle o_i |$$ खोजना सामान्य बात है।

आउटपुट ठीक करना
सभी मापन किए जाने के बाद, प्रणाली को कम संख्या में क्युबिट में घटा दिया गया है, जो प्रणाली की आउटपुट स्थिति बनाते हैं। माप के संभाव्य परिणाम के कारण, प्रणाली नियतात्मक विधि से समूह नहीं होता है: $$X$$-$$Y$$ समतल पर माप के बाद, परिणाम बदल सकता है कि क्या परिणाम $$| \theta_+ \rangle $$ या $$| \theta_- \rangle $$ था। नियतात्मक संगणना करने के लिए, कुछ सुधार प्रस्तुत किए जाने चाहिए। सुधार संचालक, या उपोत्पाद संचालक, सभी मापों के निष्पादन के बाद आउटपुट क्यूबिट पर लागू होते हैं। उपोत्पाद संचालक जिन्हें कार्यान्वित किया जा सकता है वे $$X$$ और $$Z$$ हैं। माप के परिणाम के आधार पर, उपोत्पाद संक्रियक को आउटपुट स्थिति पर लागू किया जा सकता है या नहीं: $$j$$-वें क्युबिट पर $$X$$ सुधार, $$M(\theta)$$ अवलोकन के माध्यम से $$i$$-वें क्युबिट पर किए गए माप के परिणाम पर निर्भर करता है, $$X_j^{s_i}$$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जहाँ $$s_i$$ को $$0$$ पर समूहित किया गया है, यदि माप का परिणाम $$| \theta_+ \rangle$$ था, अन्यथा यदि यह $$| \theta_- \rangle$$ था तो $$1$$ है। पूर्व स्थिति में, कोई सुधार नहीं होगा, बाद वाले में $$X$$ संक्रियक को $$j$$-वें क्युबिट पर लागू किया जाएगा। अंततः, यद्यपि माप का परिणाम क्वांटम यांत्रिकी में नियतात्मक नहीं है, माप से परिणाम का उपयोग सुधार करने के लिए किया जा सकता है, और नियतात्मक संगणना को जारी रखा जा सकता है।

सीएमई प्रतिरूप
एकात्मक द्वारों को लागू करने के लिए जटिल, माप और सुधार के संचालन किए जा सकते हैं। परिपथ में किसी भी लॉजिक गेट के लिए इस प्रकार के संक्रिया समय-समय पर किए जा सकते हैं, या बल्कि ऐसे प्रतिरूप में जो प्रारम्भ में सभी जटिल संचालन को आवंटित करता है, मध्य में माप और परिपथ के अंत में सुधार आदि। गणना के ऐसे प्रतिरूप को सीएमई मानक प्रतिरूप कहा जाता है। सीएमई औपचारिकता में, $$i$$ और $$j$$ के बीच जटिलता $$E_{ij}$$ के संचालन को क्यूबिट कहा जाता है । $$i$$ पर माप क्यूबिट, $$X$$-$$Y$$ समतल में, $$\theta$$ के संबंध में कोण, $$M_i^\theta$$ के रूप में परिभाषित किया गया है । अंत में, $$X$$ $$i$$पर उपोत्पाद क्युबिट, $$j$$ क्यूबिट से अधिक माप के संबंध में, $$X_i^{s_j}$$ के रूप में वर्णित है , जहाँ $$s_j$$ $$0$$ के लिए समूह है यदि परिणाम $$| \theta_+ \rangle$$ अवस्था है , जब $$1$$ परिणाम $$| \theta_- \rangle$$ है । एक ही अंकन $$Z$$ उपोत्पाद के लिए है ।

सीएमई प्रतिरूप के बाद गणना करते समय, ऐसा हो सकता है कि दो माप $$M_i^{\theta_1}$$ और $$M_j^{\theta_2}$$ पर $$X$$-$$Y$$ समतल से दूसरे के परिणाम पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, माप $$j$$वें क्युबिट के कोण के सामने के चिह्न को माप के संबंध में $$i$$-वें क्युबिट पर फ़्लिप किया जा सकता है: ऐसी स्थिति में, अंकन को $$[M_j^{\theta_2}]^{s_i} M_i^{\theta_1}$$ के रूप में लिखा जाएगा, और इसलिए मापन की दो संक्रियाएं अब एक-दूसरे का स्थानान्तरण नहीं करती हैं। यदि $$s_i$$ $$0$$ के लिए समूह है , कोई $$\theta_2$$ संकेत फ्लिप नहीं होगा, अन्यथा (जब $$s_i=1$$) $$\theta_2$$ कोण पर $$-\theta_2$$ फ़्लिप किया जाएगा। अंकन $$[M_j^{\theta_2}]^{s_i}$$ इसलिए $$M_j^{(-)^{s_i}\theta_2}$$ के रूप में फिर से लिखा जा सकता है ।

एक उदाहरण: यूलर घूर्णन
उदाहरण के लिए, यूलर कोणों $$XZX$$ आधार पर विचार करें: क्वांटम गणना के गेट मॉडल में इस प्रकार के संक्रिया को, क्वांटम कम्प्यूटेशन के गेट मॉडल में वर्णित हैं
 * $$ e^{i \gamma}R_X(\phi) R_Z(\theta)R_X(\lambda) $$,

के रूप में वर्णित किया गया है, जहाँ $$\phi, \theta, \lambda$$ घूर्णन के लिए कोण हैं, जबकि $$\gamma$$ वैश्विक चरण को परिभाषित करता है जो गणना के लिए अप्रासंगिक है। इस प्रकार के संक्रिया को एकपक्षीय कंप्यूटिंग फ्रेम में करने के लिए, निम्नलिखित सीएमई प्रतिरूप को लागू करना संभव है:
 * $$Z_3^{s_1+s_3}X_3^{s_2+s_4} [M_4^{-\phi}]^{s_1+s_3} [M_3^{-\theta}]^{s_2} [M_2^{-\lambda}]^{s_1} M_1^{0} E_{4,5} E_{3,4} E_{2,3} E_{1,2}$$,

जहां इनपुट स्थिति $$| \psi \rangle = \alpha | 0 \rangle + \beta | 1 \rangle$$ क्युबिट $$1$$ है, अन्य सभी क्युबिट सहायक सहायक हैं और इसलिए उन्हें $$| + \rangle$$ अवस्था तैयार करना होगा । पूर्व चरण में, इनपुट स्थिति $$|\psi \rangle$$ दूसरी क्युबिट से जटिल होना चाहिए; इसके स्थान पर, दूसरी क्युबिट को तीसरे और इसी प्रकार से उलझाना चाहिए। जटिल संक्रिया $$E_{ij}$$ क्युबिट के बीच $$CZ$$ द्वार द्वारा किया जा सकता है।

दूसरे स्थान पर, पहली और दूसरी क्युबिट $$M(\theta)$$ देखने योग्य द्वारा मापा जाना चाहिए, जिसका अर्थ है कि उन्हें इस प्रकार के अवलोकनीय स्वदेशी अवस्थाओं $$| \theta \rangle $$ पर प्रक्षेपित किया जाना चाहिए। जब $$\theta$$ शून्य होता है, तो $$| \theta_\pm \rangle$$ स्थितियाँ $$|\pm \rangle$$तक कम हो जाती हैं, अर्थात $$X$$ पाउली संचालिका के लिए आइगेन सदिश । पहला माप $$M_1^{0}$$ क्यूबिट $$1$$ के साथ $$\theta=0$$ कोण पर किया जाता है, जिसका अर्थ है कि इसे $$\langle \pm |$$ अवस्थाओं पर प्रक्षेपित किया जाना है। दूसरा माप $$[M_2^{-\lambda}]^{s_1}$$ $$-\lambda$$ कोण के संबंध में किया जाता है, अर्थात दूसरे क्युबिट को $$\langle 0 | \pm e^{i \lambda} \langle 1 |$$ अवस्था पर प्रक्षेपित करना होता है। यद्यपि, यदि पूर्व माप का परिणाम $$\langle - |$$ रहा है, तो $$\lambda$$ कोण के चिह्न को फ़्लिप करना होगा, और दूसरी क्युबिट को $$\langle 0 | + e^{-i \lambda} \langle 1 |$$ अवस्था में प्रक्षेपित किया जाएगा; यदि पहले माप का परिणाम $$\langle + |$$ है, तो कोई फ्लिप करने की आवश्यकता नहीं है। संबंधित कोणों और साइन फ्लिप के अनुसार, तीसरे $$[M_3^{\theta}]^{s_2}$$ और चौथे $$[M_4^{\phi}]^{s_1+s_3}$$ माप के लिए समान संचालन दोहराया जाना चाहिए। $$\phi$$ कोण के ऊपर $$(-)^{s_1+s_3}$$ का चिन्ह निर्धारित है । अंततः पाँचवीं क्युबिट (मापने के लिए मात्र ही नहीं) के आंकड़े आउटपुट अवस्था हैं।

अंत में, $$Z_5^{s_1+s_3}X_5^{s_2+s_4}$$ सुधार आउटपुट अवस्था पर उपोत्पाद संक्रियकों के माध्यम से निष्पादन किया जाना है। उदाहरण के लिए, यदि दूसरी और चौथी क्युबिट पर माप $$\langle \phi_+ |$$ और $$\langle \lambda_+ |$$ हो जाते हैं, तो $$X_5$$ संक्रियक द्वारा कोई सुधार नहीं किया जाएगा, क्योंकि $$s_2=s_4=0$$। $$\langle \phi_- |$$ $$\langle \lambda_- |$$ परिणाम के लिए एक ही परिणाम है, जैसा कि $$s_2=s_4=1$$ और इस प्रकार स्क्वायर पाउली संक्रियक $$X^2$$ पहचान लौटाता है।

जैसा कि इस प्रकार के उदाहरण में देखा गया है, माप-आधारित गणना मॉडल में, भौतिक इनपुट क्यूबिट (पहला वाला) और आउटपुट क्यूबिट (तीसरा वाला) दूसरे से भिन्न हो सकते हैं।

क्वांटम परिपथ मॉडल और एमबीक्यूसी के बीच समानता
वन-वे क्वांटम कंप्यूटर जटिल और माप के संचालन के माध्यम से एकात्मक परिवर्तनों के परिपथ के कार्यान्वयन की अनुमति देता है। उसी समय, किसी भी क्वांटम परिपथ को बदले में सीएमई प्रतिरूप में परिवर्तित किया जा सकता है: क्वांटम परिपथ को माप के एमबीक्यूसी प्रतिरूप में अनुवाद करने की तकनीक वी. डैनोस एट अल द्वारा तैयार की गई है।

इस प्रकार के रूपांतरण को $$CZ$$ और $$J(\theta)$$ संक्रियकों द्वारा रचित लॉजिक गेट के एक सार्वभौमिक सेट का उपयोग करके किया जा सकता है: इसलिए, किसी भी परिपथ को $$CZ$$ और $$J(\theta)$$ के समूह में विघटित किया जा सकता है। $$J(\theta)$$ h> एकल-क्यूबिट संक्रियक को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:
 * $$J(\theta) = \frac{1}{\sqrt 2} \begin{pmatrix} 1 & e^{i \theta} \\ 1 & -e^{i\theta} \end{pmatrix}$$।
 * $$J(\theta)$$ h> को निम्नानुसार सीएमई प्रतिरूप में बदला जा सकता है:
 * $$J(\theta) = X_2 M_1^{-\theta} E_{1,2}$$

जिसका अर्थ है, $$J(\theta)$$ को लागू करना संक्रियक, इनपुट क्युबिट $$| \psi \rangle$$ अन्सिलिया क्युबिट $$| + \rangle$$ से उलझा होना चाहिए, इसलिए इनपुट को $$X$$-$$Y$$ समतल पर मापा जाना चाहिए , उसके बाद आउटपुट $$X_2$$ उपोत्पाद क्यूबिट द्वारा ठीक किया जाता है । एक बार जब प्रत्येक $$J(\theta)$$ गेट को सीएमई प्रतिरूप में विघटित कर दिया जाता है, तो समग्र गणना में संचालन में $$E_{ij}$$ जटिल, $$M_i^{-\theta_i}$$ माप और $$X_j$$ सुधार सम्मिलित होंगे।। गणना के पूर्ण प्रवाह को सीएमई प्रतिरूप में ले जाने के लिए, कुछ नियम प्रदान किए गए हैं।

मानकीकरण
सभी $$E_{ij}$$ को स्थानांतरित करने के लिए प्रक्रिया के प्रारम्भ में जटिल, कम्यूटेटर के कुछ नियम बताए जाने चाहिए:
 * $$E_{ij} Z_i^s = Z_i^s E_{ij}$$
 * $$E_{ij} X_i^s = X_i^s Z_j^s E_{ij}$$
 * $$E_{ij} A_k = A_k E_{ij}$$।

जटिल संचालक $$E_{ij}$$ $$Z$$ पाउली संक्रियकों और किसी अन्य संक्रियक $$A_k$$ के साथ क्युबिट $$k\neq i,j$$ पर क्रिया करते हुए आवागमन करता है, परन्तु $$X$$ पाउली संक्रियकों के साथ क्रिया $$i$$-वें या $$j$$-वें क्युबिट पर क्रिया नहीं करता है।

पाउली सरलीकरण
माप संचालन $$M_i^\theta$$ निम्नलिखित विधि से सुधार के साथ यात्रा करें:


 * $$M_i^\theta X_i^s = [M_i^\theta]^s$$
 * $$M_i^\theta Z_i^t = S_i^t M_i^\theta$$,

जहाँ $$[M_i^\theta]^s=M_i^{(-)^s\theta}$$। इस प्रकार के संक्रिया का अर्थ है कि, $$X$$ को शिफ्ट करते समय प्रतिरूप के अंत में सुधार, माप के बीच कुछ निर्भरताएँ हो सकती हैं। $$S_i^t$$ h> संक्रियक को संकेत परिवर्तन कहा जाता है, जिसकी क्रिया अगले अनुच्छेद में बताई जाएगी। विशेष रूप से $$\theta$$ कोण, कुछ सरलीकरण, जिन्हें पाउली सरलीकरण कहा जाता है, प्रस्तुत किए जा सकते हैं:


 * $$M_i^0 X_i^s = M_i^0$$
 * $$M_i^{\pi/2} X_i^s = M_i^{\pi/2} Z_i^s$$।

संकेत परिवर्तन
संकेत परिवर्तन संक्रियक $$S_i^t$$ की क्रिया इसके रूपांतरण के नियमों के माध्यम से समझाया जा सकता है:


 * $$X_i^{s} S_i^t = S_i^t X_i^{s[(s_i+t)/s_i]}$$
 * $$Z_i^{s} S_i^t = S_i^t Z_i^{s[(s_i+t)/s_i]}$$। $$s[(t+s_i)/s_i]$$ h> संक्रिया को समझाया जाना चाहिए: मान लीजिए कि संकेतों का एक क्रम है, जिसमें अनुक्रम $$s$$ में $$s_1 + s_2 + ... + s_i + ...$$ शामिल है, तो ऑपरेशन का अर्थ अनुक्रम $$s$$ में $$s_i+t$$ के साथ $$s[(t+s_i)/s_i]$$ को प्रतिस्थापित करना है, जो $$s_1 + s_2 + ... + s_i + t + ...$$ बन जाता है। यदि $$s$$ अनुक्रम में कोई $$s_i$$ प्रकट नहीं होता है, तो कोई प्रतिस्थापन नहीं होगा। ठीक सीएमई प्रतिरूप करने के लिए, हर संकेत परिवर्तन संक्रियक $$S_i^t$$ प्रतिरूप के अंत में अनुवाद किया जाना चाहिए।

स्थिरक औपचारिकता
जटिल क्युबिट के स्रोत स्थिति तैयार करते समय, स्थिरक समूह द्वारा आरेख प्रतिनिधित्व दिया जा सकता है। स्थिरक समूह $$\mathcal{S}_n$$ पाउली समूह का एबेलियन समूह उपसमूह $$\mathcal{P}_n$$ है, जिसे $$\{\pm 1, \pm i\} \times \{I,X,Y,Z\}^{\otimes n}$$ के जनक द्वारा वर्णित किया जा सकता है । स्थिरक अवस्था $$n$$-क्यूबिट अवस्था $$| \Psi \rangle $$है, जो उत्पाद $$S_i$$ की $$\mathcal{S}_n$$ स्थिरक समूह के लिए अद्वितीय आइगेन स्थिति है: :$$S_i | \Psi \rangle = | \Psi \rangle.$$

बिल्कुल, $$S_i \in \mathcal{S}_n \, \forall i$$।

कोणइसे $$n$$ परिभाषित करना संभव है क्यूबिट आरेख स्थिति $$| G \rangle$$ आरेख, अर्थात समूह से जुड़ी क्वांटम स्थिति $$G=(V,E)$$ के रूप में जिसका शीर्षो (आरेख सिद्धांत) $$V$$ क्यूबिट के अनुरूप, जबकि किनारे (आरेख सिद्धांत) $$E$$ क्युबिट के बीच जटिलों का प्रतिनिधित्व करते हैं। शीर्षों को $$i$$ सूचकांक द्वारा लेबल किया जा सकता है, जबकि किनारों, $$i$$-वें शीर्ष से $$j$$-वें को जोड़ने तथा दो-सूचकांक लेबल द्वारा, जैसे कि $$(i,j)$$। स्थिरक औपचारिकता में, ऐसी ग्राफ संरचना को $$\mathcal{S}_n$$ के $$K_i$$ जनक द्वारा एन्कोड किया जा सकता है, जिसे जहाँ $${j \in (i,j)}$$ सभी के लिए खड़ा है $$j$$ के साथ पड़ोसी क्युबिट $$i$$-वें, अर्थात $$j$$ ए से जुड़े हुए कोने $$(i,j)$$ के साथ बढ़त $$i$$ शिखर। प्रत्येक $$K_i$$ उत्पाद अन्य सभी के साथ यात्रा करता है। द्वारा रचित आरेख $$n$$ शिखरों द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$n$$ स्थिरक समूह से उत्पाद:
 * $$ K_i = X_i \prod_{j \in (i,j)} Z_j $$


 * $$\langle K_1, K_2, ..., K_n\rangle$$।

जबकि की संख्या $$X_i$$ प्रत्येक के लिए निर्धारित है $$K_i$$ उत्पाद, की संख्या $$Z_j$$ आरेख़ में किनारों द्वारा लागू किए गए कनेक्शन के संबंध में भिन्न हो सकते हैं।

क्लिफर्ड समूह
क्लिफर्ड समूह $$\mathcal{C}_n$$ अवयवों से बना है जो पाउली के समूह से अवयवों को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं $$\mathcal{P}_n$$:
 * $$\mathcal{C}_n = \{ U \in SU(2^n) \; | \; U S U^\dagger \in \mathcal{P}_n, S \in \mathcal{P}_n \}$$।

क्लिफर्ड समूह को तीन उत्पाद की आवश्यकता होती है, जिसे हैडमार्ड गेट के रूप में चुना जा सकता है $$H$$ और चरण घूर्णन $$S$$ सिंगल-क्विबिट गेट के लिए, और दूसरा दो-क्यूबिट गेट से $$CNOT$$ (नियंत्रित गेट नहीं) या $$CZ$$ (नियंत्रित चरण द्वार):
 * $$ H = \frac{1}{\sqrt 2} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{bmatrix}, \quad S = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & i \end{bmatrix}, \quad CNOT = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix} $$।

एक अवस्था पर विचार करें $$| G \rangle$$ जिसे स्थिरक्स के समूह द्वारा स्थिर किया जाता है $$S_i$$। अवयव के माध्यम से क्रिया $$U$$ क्लिफर्ड समूह से ऐसे अवस्था पर, निम्नलिखित समानताएँ हैं:
 * $$U|G\rangle = U S_i |G\rangle = U S_i U^\dagger U |G\rangle = S'_i U |G\rangle$$।

इसलिए $$U$$ संचालन मानचित्र $$|G\rangle$$ करने के लिए अवस्था $$U |G\rangle$$ और इसके $$S_i$$ स्थिरक्स को $$U S_i U^\dagger$$। इस प्रकार के संक्रिया के लिए अलग-अलग अभ्यावेदन हो सकते हैं $$K_i$$ स्थिरक समूह के उत्पाद।

गॉट्समैन-निल प्रमेय कहता है कि, क्लिफर्ड समूह से लॉजिक गेट का समूह दिया गया है, जिसके बाद $$Z$$ मापन, इस प्रकार की गणना को उत्कृष्ट कंप्यूटर पर मजबूत अर्थों में कुशलतापूर्वक अनुकरण किया जा सकता है, अर्थात गणना जो बहुपद-समय में संभाव्यता को विस्तृत करती है $$P(x)$$ किसी दिए गए आउटपुट के लिए $$x$$ परिपथ से।

टोपोलॉजिकल क्लस्टर अवस्था क्वांटम कंप्यूटर
आवधिक 3डी जाली क्लस्टर स्थिति पर माप-आधारित संगणना का उपयोग टोपोलॉजिकल क्वांटम त्रुटि सुधार को लागू करने के लिए किया जा सकता है। टोपोलॉजिकल क्लस्टर अवस्था कम्प्यूटेशन, कितेव के टोरिक कोड से निकटता से संबंधित है, क्योंकि 3 डी टोपोलॉजिकल क्लस्टर अवस्था का निर्माण किया जा सकता है और समय के साथ 2 डी एरे पर गेट के बार-बार अनुक्रम द्वारा मापा जा सकता है।

कार्यान्वयन
फोटोन के 2x2 क्लस्टर अवस्था पर 2 क्विट ग्रोवर के एल्गोरिथ्म को चलाकर एकपक्षीय क्वांटम संगणना का निष्पादन किया गया है। पक्षीय संगणना पर आधारित रैखिक ऑप्टिकल क्वांटम कंप्यूटिंग प्रस्तावित की गई है। ऑप्टिकल जाली में क्लस्टर अवस्था्स भी बनाए गए हैं, परन्तु अभिकलन के लिए उपयोग नहीं किया गया था क्योंकि व्यक्तिगत रूप से मापने के लिए परमाणु क्युबिट साथ बहुत करीब थे।

एक संसाधन के रूप में AKLT स्थिति
यह दिखाया गया है कि (स्पिन (भौतिकी) $$ \tfrac{3}{2}$$) 2डी मधुकोश जाली पर AKLT स्थिति का उपयोग एमबीक्यूसी के लिए संसाधन के रूप में किया जा सकता है। हाल ही में यह दिखाया गया है कि स्पिन-मिश्रण AKLT स्थिति को संसाधन के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * क्वांटम गेट टेलीपोर्टेशन
 * निरंतर-परिवर्तनीय क्वांटम जानकारी
 * क्वांटम एल्गोरिथ्म
 * क्वांटम लॉजिक गेट
 * रैखिक ऑप्टिकल क्वांटम कंप्यूटिंग
 * क्वांटम प्रकाशिकी
 * क्वांटम त्रुटि सुधार
 * क्वांटम ट्यूरिंग मशीन
 * स्थिरोष्म क्वांटम संगणना

संदर्भ

 * General


 * Non-cluster resource states
 * Measurement-based quantum computation, quantum carry-lookahead adder