दृढ़ता मॉड्यूल

एक दृढ़ता मॉड्यूल निरंतर सजातीय और सांस्थितिक डेटा विश्लेषण में एक गणितीय संरचना है जो औपचारिक रूप से स्केल मापदंडों की एक श्रृंखला में किसी वस्तु की सांस्थितिक विशेषताओं की दृढ़ता को पकड़ती है। एक दृढ़ता मॉड्यूल में अधिकतर सांस्थितिक रिक्त स्थान के निस्पंदन (गणित) के अनुरूप सजातीय (गणित) (या कार्यक्षेत्र गुणांक का उपयोग करते समय वेक्टर रिक्त स्थान) का संग्रह होता है, और निस्पंदन के समावेशन से प्रेरित रैखिक मानचित्रों का संग्रह होता है।  दृढ़ता मॉड्यूल की अवधारणा को पहली बार 2005 में बहुपद रिंगों पर वर्गीकृत मॉड्यूल के अनुप्रयोग के रूप में प्रस्तुत किया गया था, इस प्रकार एकरूपता स्थापित करने के लिए शास्त्रीय क्रमविनिमेय बीजगणित सिद्धांत से अच्छी तरह से विकसित बीजगणितीय विचारों को आयात किया गया था। तब से, दृढ़ता मॉड्यूल उपयुक्त सांस्थिति के क्षेत्र में अध्ययन किए गए प्राथमिक बीजगणितीय संरचनाओं में से एक रहा है।

एकल प्राचल दृढ़ता मॉड्यूल
यह होने दिया $$P$$ आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया श्रेणी (पोसेट) हो और चलो $$K$$ एक क्षेत्र हो। पोसेट $$P$$ को कभी-कभी अनुक्रमण श्रेणी भी कहा जाता है। फिर एक दृढ़ता मॉड्यूल $$M$$ एक पदाधिकारी है $$M:P\to \mathbf{Vec}_K$$ पोसेट श्रेणी (गणित) से $$P$$ सदिश स्थानों की श्रेणी में $$K$$ और रैखिक मानचित्र। पूर्णांक जैसे असतत पॉसेट द्वारा अनुक्रमित एक दृढ़ता मॉड्यूल को रिक्त स्थान के आरेख के रूप में सहज रूप से दिखाया गया है: $$\cdots \to M_{-1} \to M_0 \to M_1 \to M_2 \to \cdots $$उपयोग किए जा रहे अनुक्रमण श्रेणी पर जोर देने के लिए, एक दृढ़ता मॉड्यूल द्वारा अनुक्रमित किया गया $$P$$ को कभी-कभी a कहा जाता है $$P$$-दृढ़ता मॉड्यूल, या बस एक $$P$$-मॉड्यूल। कोई वैकल्पिक रूप से एक दृढ़ता मॉड्यूल की श्रेणी सैद्धांतिक परिभाषा का उपयोग कर सकता है जो श्रेणीबद्ध दृष्टिकोण के बराबर है: एक दृढ़ता मॉड्यूल एक जोड़ी है $$(V,\pi) $$ कहाँ $$V $$ एक संग्रह है $$\{V_z\}_{z\in P} $$ का $$K $$-सदिश रिक्त स्थान और $$\pi $$ एक संग्रह है $$\{\pi_{y,z}\}_{y\leq z\in P} $$ रैखिक मानचित्रों का जहाँ $$\pi_{y,z} : V_y \to V_z $$ प्रत्येक के लिए $$y\leq z \in P $$, ऐसा कि $$\pi_{y,z} \circ \pi_{x,y} = \pi_{x,z} $$ किसी के लिए भी$$x \leq y \leq z \in P $$ (अर्थात, सभी मानचित्र चलते हैं)।

बहुप्राचल दृढ़ता मॉड्यूल
a के स्थिति में $$P$$-मापांक $$M$$ कहाँ $$P$$ एक एकल आंशिक रूप से अनुक्रम किया गया श्रेणी है (उदाहरण के लिए, $$\mathbb R, \mathbb Z, \mathbb N$$, आदि), हम कहते हैं $$M$$ एक एकल या 1-प्राचल दृढ़ता मॉड्यूल है। हालांकि, यदि इसके अतिरिक्त $$P$$ का एक उत्पाद है $$n$$ पूरी तरह से अनुक्रम,किए गए श्रेणी, अर्थात, $$P=T_1 \times \dots \times T_n$$ कुछ पूरी तरह से अनुक्रम किए गए श्रेणी के लिए $$T_i $$, फिर दान देकर $$P$$ द्वारा उत्पाद का आंशिक अनुक्रम दिया गया $$(s_1,\dots,s_n)\leq (t_1,\dots,t_n)$$ केवल यदि $$s_i \leq t_i$$ सभी के लिए $$i=1,\dots,n$$, हम अनुक्रमित एक बहुप्राचल दृढ़ता मॉड्यूल को परिभाषित कर सकते हैं $$P$$.

इस स्थिति में, a $$P$$-दृढ़ता मॉड्यूल को एक के रूप में जाना जाता है $$n$$-आयामी या $$n$$-प्राचल दृढ़ता मॉड्यूल, या बस एक बहुप्राचल या बहुआयामी मॉड्यूल यदि प्राचल की संख्या संदर्भ से पहले से ही स्पष्ट है। बहुआयामी दृढ़ता मॉड्यूल पहली बार 2009 में कार्लसन और ज़ोमोरोडियन द्वारा प्रस्तुत किए गए थे। तब से, बहुआयामी मॉड्यूल के साथ काम करने के सिद्धांत और अभ्यास में महत्वपूर्ण मात्रा में शोध हुआ है, क्योंकि वे डेटा के आकार का अध्ययन करने के लिए अधिक संरचना प्रदान करते हैं।  अर्थात्, बहुप्राचल मॉड्यूल में एकल-प्राचल मॉड्यूल की तुलना में ग़ैर के लिए अधिक घनत्व संवेदनशीलता और शक्ति हो सकती है, जो उन्हें डेटा विश्लेषण के लिए संभावित रूप से उपयोगी उपकरण बनाती है। बहुप्राचल दृढ़ता का एक नकारात्मक पक्ष इसकी अंतर्निहित जटिलता है। इससे बहुप्राचल दृढ़ता मॉड्यूल से संबंधित गणना करना कठिन हो जाता है। सबसे खराब स्थिति में, बहुआयामी सतत समरूपता की अभिकलनात्मक जटिलता घातीय है।

दो बहुप्राचल दृढ़ता मॉड्यूल की समानता को मापने का सबसे सामान्य तरीका अंतग्रंथन दूरी का उपयोग करना है, जो टोंटी दूरी का विस्तार है।

अनुरूपता मॉड्यूल
किसी क्षेत्र (गणित) में गुणांकों के साथ अनुरूपता (गणित) का उपयोग करते समय, एक अनुरूपता समूह (गणित) में एक सदिश स्थान की संरचना होती है। इसलिए, रिक्त स्थान का एक निस्पंदन (गणित) दिया गया है $$F:P \to \mathbf{Top} $$, प्रत्येक सूचकांक पर अनुरूपता कारकों को उपयुक्त करके हम एक दृढ़ता मॉड्यूल प्राप्त करते हैं $$H_i(F) : P \to \mathbf{Vec}_K $$ प्रत्येक के लिए $$i=1,2,\dots $$ कहा जाता है ($$i $$वें-आयामी) अनुरूपता मॉड्यूल $$F $$. अनुरूपता मॉड्यूल के सदिश रिक्त स्थान को सूचकांक-वार परिभाषित किया जा सकता है $$H_i(F)_z = H_i (F_z) $$ सभी के लिए $$z\in P $$, और रैखिक मानचित्र समावेशन मानचित्रों से प्रेरित होते हैं $$F $$.

अनुरूपता मॉड्यूल दृढ़ता मॉड्यूल के सबसे सर्वव्यापी उदाहरण हैं, क्योंकि वे किसी वस्तु की सांस्थिति विशेषताओं की संख्या और पैमाने के बारे में जानकारी को पूरी तरह से बीजगणितीय संरचना में कूटलेखन करते हैं (सामान्यता एक बिंदु समूह पर निस्पंदन के निर्माण से प्राप्त होते हैं), इस प्रकार के आकार को समझते हैं बीजगणितीय तकनीकों के लिए उपयुक्त डेटा, गणित के सुविकसित क्षेत्रों जैसे कि क्रमविनिमेय बीजगणित और प्रतिनिधित्व सिद्धांत से आयातित।

अंतराल मॉड्यूल
दृढ़ता मॉड्यूल के अध्ययन में एक प्राथमिक चिंता यह है कि क्या मॉड्यूल को मोटे तौर पर "सरल टुकड़ों " में विघटित किया जा सकता है। विशेष रूप से, यह बीजगणितीय और अभिकलनात्मक रूप से सुविधाजनक है यदि एक दृढ़ता मॉड्यूल को अंतराल मॉड्यूल के रूप में ज्ञात छोटे मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

होने देना $$J $$ किसी आंशिकतः क्रमित समुच्च्य का गैर-रिक्त उपसमुच्चय होना $$P $$. तब $$J $$ 'में एक अंतराल है$$P $$'' अगर


 * हर एक के लिए $$x,z \in J $$ अगर $$x \leq y \leq z \in P $$ तब $$y \in J $$
 * हर एक के लिए $$x,z \in J $$ तत्वों का एक क्रम है $$p_1,p_2,\dots, p_n \in J $$ ऐसा है कि $$p_1=x $$, $$p_n=z $$, और $$p_i, p_j $$ सभी के लिए तुलनीय हैं $$i,j \in \{1,\dots, n\} $$.

अब एक अंतराल दिया गया है $$J\subseteq P $$ हम एक दृढ़ता मॉड्यूल को परिभाषित कर सकते हैं $$\mathbb I^J $$सूचकांक-वार इस प्रकार है:

$$\mathbb I^J_z := \begin{cases} K & \text{if } z \in J\\ 0 & \text{otherwise } \end{cases} $$; $$\mathbb I^J_{y,z} := \begin{cases} \operatorname{id}_K & \text{if } y\leq z \in J\\ 0 & \text{otherwise } \end{cases} $$.

मॉड्यूल $$\mathbb I^J $$ अंतराल मॉड्यूल कहा जाता है.

मुक्त मॉड्यूल
यह होने दिया $$a\in P $$. तब हम एक दृढ़ता मॉड्यूल को परिभाषित कर सकते हैं $$Q^a $$ इसके संबंध में $$a $$ जहां रिक्त स्थान दिए गए हैं

$$Q^a_z := \begin{cases} K & \text{if } z \geq a\\ 0 & \text{otherwise } \end{cases} $$, और मानचित्रों के माध्यम से परिभाषित $$Q^a_{y,z} := \begin{cases} \operatorname{id}_K & \text{if } z \geq a\\ 0 & \text{otherwise } \end{cases} $$.

तब $$Q^a $$ एक मुक्त (दृढ़ता) मॉड्यूल के रूप में जाना जाता है।

कोई अंतराल मॉड्यूल में अपघटन के संदर्भ में एक मुक्त मॉड्यूल को भी परिभाषित कर सकता है। प्रत्येक के लिए $$a\in P $$ अंतराल को परिभाषित करें $$a^\llcorner := \{ b \in P \mid b \geq a \} $$, जिसे कभी-कभी "मुक्त अंतराल" भी कहा जाता है। फिर एक दृढ़ता मॉड्यूल $$F $$ यदि कोई बहुश्रेणी उपस्थित है तो यह एक मुक्त मॉड्यूल है $$\mathfrak J(F) \subseteq P $$ ऐसा है कि $$F = \bigoplus_{a\in \mathfrak J(F)}\mathbb I^{a^\llcorner} $$. दूसरे शब्दों में, एक मॉड्यूल एक मुक्त मॉड्यूल है यदि इसे मुक्त अंतराल मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित किया जा सकता है।

परिमित प्रकार की स्थिति
एक दृढ़ता मॉड्यूल $$M $$ पर अनुक्रमित किया गया $$\mathbb N $$ यदि निम्नलिखित स्थितियाँ सभी के लिए उपयुक्त होती हैं तो इसे परिमित प्रकार का कहा जाता है $$n \in \mathbb N $$:


 * 1) प्रत्येक सदिश स्थान $$M_n $$ परिमित-आयामी है.
 * 2) वह एक पूर्णांक उपस्थित है $$N $$ ऐसा कि मानचित्र $$M_{N,n} $$ सभी के लिए एक समरूपता है $$n \geq N $$.

यदि $$M $$ तो,फिर पहली स्थिति को पूरा करता है $$M $$ सामान्यता इसे बिंदुवार परिमित-आयामी (पी.एफ.डी.)' कहा जाता है।' बिंदुवार परिमित-आयामीता की धारणा तुरंत मनमाने अनुक्रमण श्रेणी तक विस्तारित होती है।

परिमित प्रकार की परिभाषा को निरंतर अनुक्रमण श्रेणी के लिए भी अनुकूलित किया जा सकता है। अर्थात्, एक मॉड्यूल $$M $$ को अनुक्रमित किया गया $$\mathbb R $$ परिमित प्रकार का है यदि $$M $$ पी.एफ.डी. है, और $$M $$ में अद्वितीय सदिश रिक्त स्थान की एक सीमित संख्या सम्मिलित होती है। औपचारिक रूप से कहें तो, इसके लिए सीमित संख्या के अतरिक्त सभी के लिए अंकों की आवश्यकता होती है $$x\in \mathbb R $$ एक पड़ोस है का $$N $$  $$x $$ ऐसा है कि $$M_y \cong M_z $$ सभी के लिए $$y,z \in N $$, और यह भी कि कुछ है $$w \in \mathbb R $$ ऐसा है कि $$M_v = 0 $$ सभी के लिए $$v \leq w $$. केवल पूर्व संपत्ति को संतुष्ट करने वाले मॉड्यूल को कभी-कभी अनिवार्य रूप से असतत लेबल किया जाता है, जबकि दोनों गुणों को संतुष्ट करने वाले मॉड्यूल को अनिवार्य रूप से परिमित के रूप में जाना जाता है।'

एक $$\mathbb R $$-दृढ़ता मॉड्यूल को यदि किसी के लिए अर्ध-निरंतर कहा जाता है $$x\in \mathbb R $$ और कोई भी $$y\leq x $$ के पास में $$x $$, मानचित्र $$M_{y,x}: M_y \to M_x $$ एक समरूपता है। ध्यान दें कि यदि उपरोक्त अन्य परिमित प्रकार की स्थितियां संतुष्ट हैं तो यह स्थिति अनावश्यक है, इसलिए यह सामान्यता परिभाषा में सम्मिलित नहीं है, लेकिन कुछ परिस्थितियों में प्रासंगिक है।

संरचना प्रमेय
दृढ़ता मॉड्यूल के अध्ययन में प्राथमिक लक्ष्यों में से एक मॉड्यूल को अंतराल मॉड्यूल में उनकी विघटनशीलता के अनुसार वर्गीकृत करना है। एक दृढ़ता मॉड्यूल जो अंतराल मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग के रूप में एक अपघटन को स्वीकार करता है उसे अधिकतर "अंतराल विघटित" कहा जाता है। इस दिशा में प्राथमिक परिणामों में से एक यह है कि कोई भी पी.एफ.डी. पूरी तरह से अनुक्रम किए गए श्रेणी पर अनुक्रमित दृढ़ता मॉड्यूल अंतराल विघटित होता है। इसे कभी-कभी "दृढ़ता मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय" के रूप में जाना जाता है।

स्थिति जब $$P $$ परिमित है एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय का एक सीधा अनुप्रयोग है। मॉड्यूल के लिए ऊपर अनुक्रमित $$\mathbb Z $$, संरचना प्रमेय का पहला ज्ञात प्रमाण वेब के कारण है। प्रमेय को $$K$$ स्थिति में विस्तारित किया गया था $$\mathbb R $$ (या कोई भी पूरी तरह से अनुक्रम किया गया सबश्रेणी जिसमें एक गणनीय उपसमुच्चय होता है जो सघन श्रेणी होता है $$\mathbb R $$ 2015 में क्रॉली-बोवे द्वारा अनुक्रम सांस्थिति के साथ)। संरचना प्रमेय का सामान्यीकृत संस्करण, अर्थात, पी.एफ.डी. के लिए। एकपक्षी ढंग से पूरी तरह से अनुक्रम किए गए श्रेणी पर अनुक्रमित मॉड्यूल, 2019 में बोटनान और क्रॉली-बोवे द्वारा स्थापित किया गया था।