रूलेट (वक्र)

वक्र की विभेदक ज्यामिति में, रूलेट एक प्रकार का वक्र होता है, जो साइक्लॉइड, एपिसाइक्लोइड्स, हाइपोसाइक्लोइड, ट्रोचोइड्स, एपिट्रोकोइड, हाइपोट्रोकोइड और इनवॉल्यूट्स को सामान्यीकृत करता है।

अनौपचारिक परिभाषा
सामान्यतः कहें तो, रूलेट किसी दिए गए वक्र से जुड़े बिंदु (जिसे जनरेटर या पोल कहा जाता है) द्वारा वर्णित वक्र है क्योंकि वह वक्र बिना फिसले, दूसरे दिए गए वक्र के साथ घूमता है जो स्थिर है। अधिक स्पष्ट रूप से, विमान से जुड़ा वक्र दिया गया है जो घूम रहा है जिससे वक्र बिना फिसले, उसी स्थान पर रहने वाले निश्चित विमान से जुड़कर दिए गए वक्र के साथ घूम सके, फिर गतिमान तल से जुड़ा एक बिंदु स्थिर तल में एक वक्र का वर्णन करता है, जिसे रूलेट कहा जाता है।

विशेष स्थितियों और संबंधित अवधारणाएँ
ऐसी स्थितियों में जहां रोलिंग वक्र रेखा (ज्यामिति) है और जनरेटर रेखा पर बिंदु है, इस प्रकार रूलेट को निश्चित वक्र का इनवॉल्व कहा जाता है। यदि रोलिंग वक्र वृत्त है और स्थिर वक्र रेखा है तो रूलेट ट्रोचॉइड है। यदि, इस स्थिति में, बिंदु वृत्त पर स्थित है तो रूलेट साइक्लॉइड है।

एक संबंधित अवधारणा ग्लिसेट है, इस प्रकार किसी दिए गए वक्र से जुड़े बिंदु द्वारा वर्णित वक्र जब यह दो (या अधिक) दिए गए वक्रों के साथ स्लाइड करता है।

औपचारिक परिभाषा
औपचारिक रूप से कहें तो, वक्र यूक्लिडियन विमान में अवकलनीय फलन वक्र होने चाहिए। इस प्रकार स्थिर वक्र को अपरिवर्तनीय रखा जाता है; रोलिंग वक्र सतत कार्य सर्वांगसमता (ज्यामिति) परिवर्तन के अधीन है, जैसे कि प्रत्येक समय वक्र संपर्क के बिंदु पर स्पर्शरेखा होते हैं जो किसी भी वक्र के साथ ले जाने पर समान गति से चलते हैं (इस बाधा को व्यक्त करने की दूसरी विधि यह है कि बिंदु दो वक्रों के संपर्क का सर्वांगसम परिवर्तन के घूर्णन का तात्कालिक केंद्र है)। परिणामी रूलेट जनरेटर के लोकस (गणित) द्वारा सर्वांगसम परिवर्तनों के समान समुच्चय के अधीन बनता है।

मूल वक्रों को सम्मिश्र तल में वक्रों के रूप में मॉडलिंग करते हुए, $$r,f:\mathbb R\to\Complex$$ को रोलिंग ($r$) और निश्चित ($f$) वक्रों के दो प्राकृतिक मापदंड होने दें, जैसे कि सभी $$r(0)=f(0)$$, $$r'(0) = f'(0)$$ के लिए $$|r'(t)| = |f'(t)| \neq 0$$, और $$t$$। जनरेटर $$p\in\Complex$$ का रूलेट $$r$$ के रूप में $$f$$ पर घुमाया जाता है, फिर मैपिंग द्वारा दिया जाता है:


 * $$t\mapsto f(t)+(p-r(t)) {f'(t)\over r'(t)}.$$

सामान्यीकरण
यदि, बिंदु को रोलिंग वक्र से जुड़े होने के अतिरिक्त, एक और दिए गए वक्र को गतिशील विमान के साथ ले जाया जाता है, तो सर्वांगसम वक्रों का समूह उत्पन्न होता है। इस समूह के आवरण को रूलेट भी कहा जा सकता है।

उच्च स्थानों में रूलेट्स की निश्चित रूप से कल्पना की जा सकती है, किंतु स्पर्शरेखाओं से कहीं अधिक संरेखित करने की आवश्यकता है।

उदाहरण
यदि स्थिर वक्र कैटेनरी है और रोलिंग वक्र रेखा (गणित) है, तो हमारे पास है:


 * $$f(t)=t+i(\cosh(t)-1) \qquad r(t)=\sinh(t)$$
 * $$f'(t)=1+i\sinh(t) \qquad r'(t)=\cosh(t).$$

रेखा का मानकीकरण इसलिए चुना गया है
 * $$|f'(t)| = \sqrt{1^2+\sinh^2(t)} = \sqrt{\cosh^2(t)} = |r'(t)|. $$

उपरोक्त सूत्र को क्रियान्वित करने पर हमें प्राप्त होता है:


 * $$f(t)+(p-r(t)){f'(t)\over r'(t)}

=t-i+{p-\sinh(t)+i(1+p\sinh(t))\over\cosh(t)} =t-i+(p+i){1+i\sinh(t)\over\cosh(t)}.$$ यदि p = −i अभिव्यक्ति में स्थिर काल्पनिक भाग है (अर्थात् −i) और रूलेट क्षैतिज रेखा है। इसका रोचक अनुप्रयोग यह है कि चौकोर पहिया सड़क पर बिना उछले घूम सकता है जो कि कैटेनरी आर्क की सुमेलित श्रृंखला है।

यह भी देखें

 * रोलिंग
 * गियर
 * लोकस (गणित)
 * सुपरपोजिशन सिद्धांत
 * स्पाइरोग्राफ
 * तुसी युग्म
 * रोसेटा (कक्षा)

संदर्भ

 * W. H. Besant (1890) Notes on Roulettes and Glissettes from Cornell University Historical Math Monographs, originally published by Deighton, Bell & Co.

अग्रिम पठन

 * Roulette at 2dcurves.com
 * Base, roulante et roulettes d'un mouvement plan sur plan
 * Eine einheitliche Darstellung von ebenen, verallgemeinerten Rollbewegungen und deren Anwendungen