5-पॉलीटॉप

ज्यामिति में, एक पांच-आयामी पॉलीटॉप (या 5-पॉलीटॉप) पांच-आयामी अंतरिक्ष में एक polytope  है, जो (4-पॉलीटॉप) फ़ैसेट (ज्यामिति) से घिरा है, जिनमें से जोड़े एक चेहरा (ज्यामिति) #k-चेहरा साझा करते हैं।

परिभाषा
5-पॉलीटॉप वर्टेक्स (ज्यामिति), एज (ज्यामिति), चेहरा (ज्यामिति), और सेल (गणित), और 4-चेहरों के साथ एक बंद पांच-आयामी आकृति है। एक शीर्ष एक बिंदु (ज्यामिति) है जहां पांच या अधिक किनारे मिलते हैं। एक किनारा एक रेखा खंड है जहां चार या अधिक चेहरे मिलते हैं, और एक चेहरा एक बहुभुज होता है जहां तीन या अधिक कोशिकाएं मिलती हैं। एक सेल एक बहुतल  है, और एक 4-चेहरा 4-पॉलीटॉप है। इसके अलावा, निम्नलिखित आवश्यकताओं को पूरा किया जाना चाहिए:
 * 1) प्रत्येक सेल को ठीक दो 4-चेहरे में शामिल होना चाहिए।
 * 2) आसन्न 4-चेहरे एक ही चार-आयामी  hyperplane  में नहीं हैं।
 * 3) आंकड़ा अन्य आंकड़ों का योग नहीं है जो आवश्यकताओं को पूरा करते हैं।

विशेषताएं
किसी दिए गए 5-पॉलीटॉप की टोपोलॉजी को उसकी बेट्टी संख्या और मरोड़ गुणांक (टोपोलॉजी) द्वारा परिभाषित किया गया है। पॉलीहेड्रा की विशेषता के लिए उपयोग की जाने वाली यूलर विशेषता का मूल्य उच्च आयामों के लिए उपयोगी नहीं है, चाहे उनकी अंतर्निहित टोपोलॉजी कुछ भी हो। उच्च आयामों में विभिन्न टोपोलॉजी के बीच मज़बूती से अंतर करने के लिए यूलर विशेषता की यह अपर्याप्तता अधिक परिष्कृत बेट्टी संख्याओं की खोज का कारण बनी।

इसी तरह, पॉलीहेड्रॉन की ओरिएंटेबिलिटी की धारणा टोरॉयडल पॉलीटोप्स की सतह के घुमावों को चिह्नित करने के लिए अपर्याप्त है, और इससे मरोड़ गुणांक का उपयोग हुआ।

वर्गीकरण
उत्तल सेट और समरूपता जैसे गुणों के आधार पर 5-पॉलीटोप्स को वर्गीकृत किया जा सकता है।


 * एक 5-पॉलीटॉप उत्तल पॉलीटॉप है यदि इसकी सीमा (इसकी कोशिकाओं, चेहरों और किनारों सहित) खुद को नहीं काटती है और 5-पॉलीटॉप के किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाला रेखा खंड 5-पॉलीटोप या इसके इंटीरियर में समाहित है; अन्यथा, यह गैर-उत्तल है। स्व-प्रतिच्छेदित 5-पॉलीटोप्स को गैर-उत्तल केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा के स्टार-जैसे आकार के अनुरूप, स्टार पॉलीटॉप ्स के रूप में भी जाना जाता है।
 * एक 'यूनिफ़ॉर्म' 5-पॉलीटोप में एक समरूपता समूह होता है जिसके तहत सभी कोने समतुल्य होते हैं, और इसके पहलू समान 4-पॉलीटॉप होते हैं। एक समान पॉलीटॉप के चेहरे नियमित बहुभुज होने चाहिए।


 * एक अर्ध-नियमित 5-पॉलीटॉप में दो या दो से अधिक प्रकार के नियमित 4-पॉलीटॉप पहलू होते हैं। ऐसी केवल एक ही आकृति होती है, जिसे demipenteract कहा जाता है।
 * एक नियमित 5-पॉलीटॉप में सभी समान नियमित 4-पॉलीटॉप पहलू होते हैं। सभी नियमित 5-पॉलीटॉप्स उत्तल हैं।


 * एक प्रिज्मीय 5-पॉलीटॉप का निर्माण दो निम्न-आयामी पॉलीटोप्स के कार्टेशियन उत्पाद द्वारा किया जाता है। एक प्रिज्मीय 5-पॉलीटॉप एकसमान होता है यदि इसके कारक एकसमान हों। penteract प्रिज्मीय (एक वर्ग (ज्यामिति) और एक घन का उत्पाद) है, लेकिन इसे अलग से माना जाता है क्योंकि इसके कारकों से विरासत में मिली समरूपता के अलावा अन्य समरूपताएं हैं।
 * एक 4-स्पेस चौकोर चार आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष का पॉलीकोरल पहलुओं के एक नियमित ग्रिड में विभाजन है। कड़ाई से बोलते हुए, टेसलेशन पॉलीटोप्स नहीं हैं क्योंकि वे 5D वॉल्यूम को बाध्य नहीं करते हैं, लेकिन हम उन्हें पूर्णता के लिए यहां शामिल करते हैं क्योंकि वे पॉलीटोप्स के लिए कई तरह से समान हैं। एक यूनिफ़ॉर्म 4-स्पेस टेसलेशन वह है जिसका वर्टिकल एक अंतरिक्ष समूह  से संबंधित है और जिसके फ़ेसेट एकसमान 4-पॉलीटोप्स हैं।

नियमित 5-पॉलीटोप्स
प्रत्येक चेहरे (ज्यामिति) के चारों ओर s {p, q, r} पॉलीकोरल पहलू (गणित) के साथ, नियमित 5-पॉलीटोप्स को श्लाफली प्रतीक {p, q, r, s} द्वारा दर्शाया जा सकता है।

नियमित पॉलीटॉप्स की ठीक तीन ऐसी सूची हैं#Convex 4|convex नियमित 5-पॉलीटोप्स:
 * {3,3,3,3} - 5-सरल
 * {4,3,3,3} - 5-घन
 * {3,3,3,4} - 5-ऑर्थोप्लेक्स

3 उत्तल नियमित 5-पॉलीटोप्स और तीन सेमिरेगुलर 5-पॉलीटोप्स के लिए, उनके तत्व हैं:

एक समान 5-पॉलीटोप्स
सेमिरेगुलर 5-पॉलीटॉप में से तीन के लिए, उनके तत्व हैं:

विस्तारित 5-सिम्प्लेक्स एक समान 5-सिम्प्लेक्स मधुकोश का शीर्ष आंकड़ा है,. 5-डेमीक्यूब मधुकोश,, शीर्ष आकृति एक परिशोधित 5-ऑर्थोप्लेक्स है और पहलू (ज्यामिति) 5-ऑर्थोप्लेक्स और 5-डेमीक्यूब हैं।

पिरामिड
पिरामिड 5-पॉलीटॉप, या 5-पिरामिड, 4-पॉलीटॉप बेस द्वारा हाइपरप्लेन से दूर एक बिंदु से जुड़े 4-स्पेस हाइपरप्लेन में उत्पन्न किए जा सकते हैं। 5-सिम्प्लेक्स 4-सिम्प्लेक्स बेस के साथ सबसे सरल उदाहरण है।

यह भी देखें

 * नियमित पॉलीटोप्स की सूची # पांच आयामी नियमित पॉलीटोप्स और उच्चतर

संदर्भ

 * T. Gosset: On the Regular and Semi-Regular Figures in Space of n Dimensions, Messenger of Mathematics, Macmillan, 1900
 * A. Boole Stott: Geometrical deduction of semiregular from regular polytopes and space fillings, Verhandelingen of the Koninklijke academy van Wetenschappen width unit Amsterdam, Eerste Sectie 11,1, Amsterdam, 1910
 * H.S.M. Coxeter:
 * H.S.M. Coxeter, M.S. Longuet-Higgins und J.C.P. Miller: Uniform Polyhedra, Philosophical Transactions of the Royal Society of London, Londne, 1954
 * H.S.M. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd Edition, Dover New York, 1973
 * Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, edited by F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6
 * (Paper 22) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380–407, MR 2,10]
 * (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
 * (Paper 24) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes III, [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
 * N.W. Johnson: The Theory of Uniform Polytopes and Honeycombs, Ph.D. Dissertation, University of Toronto, 1966

बाहरी संबंध

 * Polytopes of Various Dimensions, Jonathan Bowers
 * Uniform Polytera, Jonathan Bowers
 * Multi-dimensional Glossary, Garrett Jones