घटाना

 घटाव एक अंकगणित # अंकगणितीय संक्रिया है जो एक संग्रह से वस्तुओं को हटाने के संचालन का प्रतिनिधित्व करता है। घटाव ऋण चिह्न द्वारा दर्शाया गया है, −. उदाहरण के लिए, आसन्न चित्र में, हैं 5 − 2 आड़ू—अर्थात् 5 आड़ू जिनमें से 2 निकाले गए, परिणामस्‍वरूप कुल 3 आड़ू। इसलिए, 5 और 2 का अंतर 3 है; वह है, 5 − 2 = 3. जबकि मुख्य रूप से अंकगणित  में प्राकृतिक संख्याओं से जुड़ा हुआ है, घटाव भी नकारात्मक संख्याओं,  अंश (गणित),  अपरिमेय संख्या ओं,  यूक्लिडियन वेक्टर , दशमलव, कार्यों और मैट्रिक्स सहित विभिन्न प्रकार की वस्तुओं का उपयोग करके भौतिक और अमूर्त मात्रा को हटाने या घटाने का प्रतिनिधित्व कर सकता है।

घटाव कई महत्वपूर्ण पैटर्न का अनुसरण करता है। यह प्रतिकम्यूटेटिव  है, जिसका अर्थ है कि क्रम बदलने से उत्तर का चिन्ह बदल जाता है। यह साहचर्यता भी नहीं है, जिसका अर्थ है कि जब कोई दो से अधिक संख्याओं को घटाता है, तो जिस क्रम में घटाव किया जाता है वह मायने रखता है। इसलिये   योग ात्मक पहचान है, इसे घटाने से कोई संख्या नहीं बदलती है। घटाव भी संबंधित कार्यों से संबंधित अनुमानित नियमों का पालन करता है, जैसे जोड़ और  गुणा । ये सभी नियम  गणितीय प्रमाण  हो सकते हैं, जो  पूर्णांकों  के घटाव से शुरू होते हैं और  वास्तविक संख्या ओं के माध्यम से और आगे सामान्यीकरण करते हैं। इन पैटर्नों का पालन करने वाले सामान्य  द्विआधारी संचालन  का  सार बीजगणित  में अध्ययन किया जाता है।

प्राकृतिक संख्याओं पर घटाव करना सबसे सरल संख्यात्मक कार्यों में से एक है। छोटे बच्चों के लिए बहुत छोटी संख्या का घटाव सुलभ है। उदाहरण के लिए प्राथमिक शिक्षा  में, छात्रों को  दशमलव  प्रणाली में संख्याओं को घटाना सिखाया जाता है, जो एक अंक से शुरू होता है और धीरे-धीरे अधिक कठिन समस्याओं से निपटता है।

उन्नत बीजगणित और कंप्यूटर बीजगणित  में, एक अभिव्यक्ति जिसमें घटाव शामिल है A − B आमतौर पर जोड़ के लिए शॉर्टहैंड नोटेशन के रूप में माना जाता है A + (−B). इस प्रकार, A − B इसमें दो शब्द हैं, अर्थात् A और -B। यह साहचर्य और क्रमविनिमेयता  के आसान उपयोग की अनुमति देता है।

संकेतन और शब्दावली
घटाव आमतौर पर ऋण चिह्न का उपयोग करके लिखा जाता है - शर्तों के बीच; यानी इंफिक्स नोटेशन  में। परिणाम एक  बराबर चिह्न  के साथ व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए,
 * $$2 - 1 = 1 $$ (उच्चारण के रूप में दो ऋण एक बराबर एक)
 * $$4 - 2 = 2 $$ (चार घटा दो बराबर दो के रूप में उच्चारित)
 * $$6 - 3 = 3 $$ (उच्चारण छह घटा तीन बराबर तीन )
 * $$4 - 6 = -2 $$ (चार माइनस सिक्स बराबर नेगेटिव दो के रूप में उच्चारित)

ऐसी भी स्थितियाँ होती हैं जहाँ घटाव समझा जाता है, भले ही कोई प्रतीक प्रकट न हो:
 * लाल रंग में निचली संख्या के साथ दो संख्याओं का एक स्तंभ, आमतौर पर इंगित करता है कि स्तंभ में निचली संख्या को एक पंक्ति के नीचे लिखे अंतर के साथ घटाया जाना है। यह लेखांकन में सबसे आम है।

औपचारिक रूप से, जिस संख्या को घटाया जा रहा है उसे घटाव के रूप में जाना जाता है, जबकि जिस संख्या से इसे घटाया जाता है वह लघु-अंत है।  परिणाम अंतर है।   वह है,
 * $$ {\rm minuend} - {\rm subtrahend} = {\rm difference} $$.

यह सभी शब्दावली लैटिन  से ली गई है। wikt:subtraction एक  अंग्रेजी भाषा  का शब्द है जो लैटिन  क्रिया  subtrahere से लिया गया है, जो बदले में sub from under और trahere to pull का एक  यौगिक (भाषाविज्ञान)  है। इस प्रकार, घटाना नीचे से निकालना है, या दूर करना है।  gerundive   Affix  -nd का उपयोग करने से सबट्रेंड में परिणाम होता है, जिसे घटाया जाना है इसी तरह मिन्यूएरे से कम या कम करने के लिए, व्यक्ति को मिन्यूएंड मिलता है, जिसका अर्थ है कम होना।

पूर्णांक
लंबाई b के एक  रेखा खंड  की कल्पना करें जिसके बाएँ सिरे पर a और दाएँ सिरे पर c लिखा हो। a से शुरू करके, c तक पहुँचने के लिए दाईं ओर b कदम उठाता है। दाईं ओर यह आंदोलन गणितीय रूप से अतिरिक्त रूप से तैयार किया गया है:
 * ए + बी = सी।

c से, वापस a पर जाने के लिए b कदम बाईं ओर ले जाता है। बाईं ओर यह आंदोलन घटाव द्वारा तैयार किया गया है:
 * सी - बी = ए।

अब, संख्याओं के साथ लेबल किया गया एक रेखा खंड, , तथा. स्थिति 3 से, यह 3 पर बने रहने के लिए बाईं ओर कोई कदम नहीं उठाता है, इसलिए 3 − 0 = 3. स्थिति 1 पर पहुंचने के लिए बाईं ओर 2 कदम लगते हैं, इसलिए 3 − 2 = 1. यह चित्र वर्णन करने के लिए अपर्याप्त है कि स्थिति 3 के बाईं ओर 3 कदम जाने के बाद क्या होगा। इस तरह के ऑपरेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए, रेखा को बढ़ाया जाना चाहिए।

मनमाना प्राकृतिक संख्या ओं को घटाने के लिए, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) वाली रेखा से शुरू होता है। 3 से, 0 तक पहुँचने के लिए बाईं ओर 3 कदम लगते हैं, इसलिए 3 − 3 = 0. परंतु 3 − 4 अभी भी अमान्य है, क्योंकि यह फिर से लाइन छोड़ देता है। प्राकृतिक संख्याएँ घटाव के लिए उपयोगी संदर्भ नहीं हैं।

समाधान पूर्णांक   संख्या रेखा  (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) पर विचार करना है। इस तरह, -1 तक पहुँचने के लिए 3 से बाईं ओर 4 कदम लगते हैं:
 * 3 − 4 = −1.

प्राकृतिक संख्या एं
प्राकृतिक संख्याओं का घटाव क्लोजर (गणित) नहीं है: अंतर एक प्राकृतिक संख्या नहीं है जब तक कि मिन्यूएंड सबट्रेंड से अधिक या उसके बराबर न हो। उदाहरण के लिए, एक प्राकृत संख्या देने के लिए 26 को 11 में से नहीं घटाया जा सकता। ऐसा मामला दो तरीकों में से एक का उपयोग करता है:
 * 1) निष्कर्ष निकालें कि 26 को 11 में से नहीं घटाया जा सकता; घटाव एक आंशिक कार्य बन जाता है।
 * 2) उत्तर को एक ऋणात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले पूर्णांक के रूप में दें, इसलिए 26 को 11 से घटाने पर −15 प्राप्त होता है।

वास्तविक संख्या
वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (गणित) को केवल दो द्विआधारी संक्रियाओं, जोड़ और गुणा को निर्दिष्ट करते हुए परिभाषित किया जा सकता है, साथ में योज्य प्रतिलोम और गुणक व्युत्क्रम उत्पन्न करने वाले एकल संक्रियाओं के साथ। एक अन्य (न्यूनतम) से एक वास्तविक संख्या (सबट्रेंड) का घटाव तब मिनीएंड के जोड़ और सबट्रेंड के योगात्मक व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $3 − π = 3 + (−π)$. वैकल्पिक रूप से, इन यूनरी ऑपरेशंस की आवश्यकता के बजाय, घटाव और डिवीजन (गणित)  के द्विआधारी संचालन को मूल के रूप में लिया जा सकता है।

विरोधी विरोधी क्रमविनिमेय िटी
घटाव विरोधी कम्यूटेटिव है, जिसका अर्थ है कि यदि कोई बाएं से दाएं के अंतर में शब्दों को उलट देता है, तो परिणाम मूल परिणाम का नकारात्मक होता है। प्रतीकात्मक रूप से, यदि a और b कोई दो संख्याएँ हैं, तो
 * ए - बी = -(बी - ए)।

गैर-सहयोगी
घटाव साहचर्य है | गैर-सहयोगी, जो तब सामने आता है जब कोई बार-बार घटाव को परिभाषित करने की कोशिश करता है। सामान्य तौर पर, अभिव्यक्ति
 * ए - बी - सी

को या तो (a − b) − c या a − (b − c) अर्थ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन इन दो संभावनाओं से अलग-अलग उत्तर मिलते हैं। इस समस्या को हल करने के लिए, अलग-अलग परिणाम देने वाले विभिन्न आदेशों के साथ, किसी को संचालन का क्रम स्थापित करना होगा।

पूर्ववर्ती
पूर्णांकों के संदर्भ में, 1 (संख्या)  का घटाव भी एक विशेष भूमिका निभाता है: किसी भी पूर्णांक a के लिए, पूर्णांक (a − 1) a से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक है, जिसे a के पूर्ववर्ती के रूप में भी जाना जाता है।

माप की इकाइयाँ
माप की इकाइयों जैसे कि किलोग्राम  या पाउंड (द्रव्यमान) के साथ दो संख्याओं को घटाते समय, उनकी एक ही इकाई होनी चाहिए। ज्यादातर मामलों में, अंतर की मूल संख्या के समान इकाई होगी।

प्रतिशत
प्रतिशत में परिवर्तन को कम से कम दो रूपों, प्रतिशत परिवर्तन  और प्रतिशत बिंदु परिवर्तन में सूचित किया जा सकता है। प्रतिशत परिवर्तन प्रतिशत के रूप में दो मात्राओं के बीच  सापेक्ष परिवर्तन  का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि प्रतिशत बिंदु परिवर्तन केवल दो प्रतिशत घटाकर प्राप्त की गई संख्या है। उदाहरण के तौर पर, मान लीजिए कि किसी फैक्ट्री में बने 30% विजेट खराब हैं। छह महीने बाद, 20% विजेट खराब हैं। प्रतिशत परिवर्तन है $20% − 30%⁄30%$ = −$1⁄3$ = $−33 1⁄3$%, जबकि प्रतिशत बिंदु परिवर्तन -10 प्रतिशत अंक है।

कंप्यूटिंग में
पूरक विधि एक ऐसी तकनीक है जिसका उपयोग केवल सकारात्मक संख्याओं के योग का उपयोग करके एक संख्या को दूसरे से घटाने के लिए किया जाता है। इस पद्धति का उपयोग आमतौर पर यांत्रिक कैलकुलेटर  में किया जाता था, और अभी भी आधुनिक  कंप्यूटर ों में इसका उपयोग किया जाता है।

एक बाइनरी संख्या y (सबट्रेंड) को किसी अन्य संख्या x (न्यूनतम) से घटाने के लिए, y के पूरक को x में जोड़ा जाता है और एक को योग में जोड़ा जाता है। इसके बाद परिणाम का अग्रणी अंक 1 हटा दिया जाता है।

पूरक की विधि बाइनरी (मूलांक 2) में विशेष रूप से उपयोगी है क्योंकि प्रत्येक बिट को उल्टा करके (0 से 1 और इसके विपरीत) बहुत आसानी से पूरक प्राप्त किया जाता है। और दो का पूरक प्राप्त करने के लिए 1 जोड़ना कम से कम महत्वपूर्ण बिट में कैरी का अनुकरण करके किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

01100100 (x, दशमलव 100 के बराबर है) - 00010110 (y, दशमलव 22 के बराबर है)

योग बन जाता है:

01100100 (एक्स) + 11101001 (वाई का पूरक) + 1 (दो का पूरक प्राप्त करने के लिए) ——————————— 101001110

प्रारंभिक 1 को छोड़ने पर उत्तर मिलता है: 01001110 (दशमलव 78 के बराबर)

स्कूलों में घटाव की पढ़ाई
प्राथमिक विद्यालय में घटाव सिखाने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली विधियाँ अलग-अलग देशों में अलग-अलग होती हैं, और एक देश के भीतर, अलग-अलग समय पर अलग-अलग तरीके अपनाए जाते हैं। जिसे संयुक्त राज्य अमेरिका में पारंपरिक गणित  के रूप में जाना जाता है, पहले वर्ष के अंत में (या दूसरे वर्ष के दौरान) छात्रों को बहु-अंकीय पूर्ण संख्याओं के उपयोग के लिए एक विशिष्ट प्रक्रिया सिखाई जाती है, और इसे चौथे या चौथे वर्ष में बढ़ाया जाता है। भिन्नात्मक संख्याओं के दशमलव निरूपण को शामिल करने के लिए पाँचवीं कक्षा।

अमेरिका में
लगभग सभी अमेरिकी स्कूल वर्तमान में उधार या पुनर्समूहन (अपघटन एल्गोरिथम) और बैसाखी नामक चिह्नों की एक प्रणाली का उपयोग करके घटाव की एक विधि सिखाते हैं। हालांकि उधार लेने की एक विधि पहले से ही पाठ्यपुस्तकों में जानी और प्रकाशित की गई थी, विलियम ए ब्राउनेल द्वारा एक अध्ययन प्रकाशित करने के बाद अमेरिकी स्कूलों में बैसाखी का उपयोग फैल गया - यह दावा करते हुए कि इस पद्धति का उपयोग करने वाले छात्रों के लिए बैसाखी फायदेमंद थी। यह प्रणाली उस समय अमेरिका में उपयोग में आने वाले घटाव के अन्य तरीकों को विस्थापित करते हुए तेजी से पकड़ी गई।

यूरोप में
कुछ यूरोपीय स्कूल ऑस्ट्रियन पद्धति नामक घटाव की एक विधि को नियोजित करते हैं, जिसे अतिरिक्त विधि के रूप में भी जाना जाता है। इस पद्धति में कोई उधार नहीं है। बैसाखी (स्मृति में सहायता के लिए चिह्न) भी हैं, जो देश के अनुसार अलग-अलग हैं।

दो मुख्य तरीकों की तुलना
ये दोनों विधियाँ स्थान मान द्वारा एक अंक घटाव की प्रक्रिया के रूप में घटाव को विभाजित करती हैं। कम से कम महत्वपूर्ण अंक से शुरू करते हुए, सबट्रेंड का घटाव:
 * एसj sj−1 ... एस1

मिनट से
 * एमk mk−1 ... एम1,

जहां प्रत्येक एसi और एमi एक अंक है, लिख कर आगे बढ़ता है m1 − s1, m2 − s2, और इसी तरह, जब तक एसi मी से अधिक नहीं हैi. अन्यथा, मi 10 से बढ़ा दिया गया है और इस वृद्धि के लिए कुछ अन्य अंक को सही करने के लिए संशोधित किया गया है। अमेरिकी पद्धति न्यूनतम अंक m. को कम करने का प्रयास करके सही करती हैi+1 एक से (या उधार को बाईं ओर तब तक जारी रखें जब तक कि कोई गैर-शून्य अंक न हो जिससे उधार लेना है)। यूरोपीय पद्धति सबट्रेंड अंक s को बढ़ाकर सही करती हैi+1 एक - एक करके।

उदाहरण: 704 − 512।

$$ लघुअंड 704 है, घटाव 512 है। लघुअंक अंक हैं m3 = 7, m2 = 0 तथा m1 = 4. सबट्रेंड अंक हैं s3 = 5, s2 = 1 तथा s1 = 2. एक के स्थान से शुरू करते हुए, 4, 2 से कम नहीं है, इसलिए अंतर 2 को परिणाम के एक के स्थान पर लिख दिया जाता है। दहाई के स्थान पर 0, 1 से कम है, इसलिए 0 को 10 से बढ़ा दिया जाता है, और 1 का अंतर, जो कि 9 है, दहाई के स्थान पर लिख दिया जाता है। अमेरिकी पद्धति में दस की वृद्धि के लिए न्यूनतम के सौ स्थान के अंक को एक से घटाकर सही किया जाता है। अर्थात्, 7 को मारा जाता है और 6 से बदल दिया जाता है। घटाव फिर सैकड़े के स्थान पर आगे बढ़ता है, जहाँ 6 5 से कम नहीं है, इसलिए अंतर को परिणाम के सैकड़े के स्थान पर लिखा जाता है। हम अब कर चुके हैं, परिणाम 192 है।

ऑस्ट्रियाई पद्धति 7 से 6 तक कम नहीं करती है। बल्कि यह सबट्रेंड सैकड़े के अंक को एक से बढ़ा देती है। इस अंक के पास या नीचे (विद्यालय के आधार पर) एक छोटा निशान बना दिया जाता है। फिर घटाव यह पूछते हुए आगे बढ़ता है कि किस संख्या में 1 से वृद्धि करने पर उसमें 5 जोड़ने पर 7 बनता है। उत्तर 1 है, और परिणाम के सैकड़े के स्थान पर लिख दिया जाता है।

इसमें एक अतिरिक्त सूक्ष्मता है कि अमेरिकी पद्धति में छात्र हमेशा एक मानसिक घटाव तालिका का उपयोग करता है। ऑस्ट्रियाई पद्धति अक्सर छात्र को विपरीत तालिका में मानसिक रूप से उपयोग करने के लिए प्रोत्साहित करती है। ऊपर दिए गए उदाहरण में, 1 में 5 जोड़ने, 6 प्राप्त करने और 7 से घटाने के बजाय, छात्र से यह विचार करने के लिए कहा जाता है कि किस संख्या को 1 से बढ़ाने और उसमें 5 जोड़ने पर 7 बनता है।

ऑस्ट्रियाई विधि
उदाहरण:

बाएँ से दाएँ घटाना
उदाहरण:

अमेरिकी विधि
इस पद्धति में, सबट्रेंड के प्रत्येक अंक को उसके ऊपर के अंक से दाएं से बाएं से घटाया जाता है। यदि ऊपर की संख्या इतनी छोटी है कि उसमें से नीचे की संख्या को घटाया जा सकता है, तो हम उसमें 10 जोड़ देते हैं; यह 10 ऊपर के अंक से बाईं ओर उधार लिया जाता है, जिसमें से हम 1 घटाते हैं। फिर हम अगले अंक को घटाते हैं और आवश्यकतानुसार उधार लेते हैं, जब तक कि प्रत्येक अंक घटाया न जाए। उदाहरण:

व्यापार पहले
अमेरिकी पद्धति का एक प्रकार जहां सभी घटाव से पहले सभी उधार लिया जाता है। उदाहरण:

आंशिक अंतर
आंशिक अंतर विधि अन्य लंबवत घटाव विधियों से अलग है क्योंकि कोई उधार या ले जाने नहीं होता है। उनके स्थान पर, एक स्थान प्लस या माइनस संकेत देता है जो इस बात पर निर्भर करता है कि माइन्यूएंड सबट्रेंड से बड़ा या छोटा है या नहीं। आंशिक अंतर का योग कुल अंतर है। उदाहरण:

गिन रहा है
अंक दर अंक का अंतर ज्ञात करने के बजाय, कोई भी उपवर्ग और लघु अंत के बीच की संख्याओं की गणना कर सकता है। उदाहरण: 1234 − 567 = निम्नलिखित चरणों से ज्ञात किया जा सकता है: कुल अंतर प्राप्त करने के लिए प्रत्येक चरण से मान जोड़ें: 3 + 30 + 400 + 234 = 667.
 * 567 + 3 = 570
 * 570 + 30 = 600
 * 600 + 400 = 1000
 * 1000 + 234 = 1234

घटाव को तोड़ना
एक अन्य विधि जो मानसिक गणना  के लिए उपयोगी है, घटाव को छोटे-छोटे चरणों में विभाजित करना है। उदाहरण: 1234 − 567 = को निम्नलिखित तरीके से हल किया जा सकता है:
 * 1234 − 500 = 734
 * 734 − 60 = 674
 * 674 − 7 = 667

वही परिवर्तन
वही परिवर्तन विधि इस तथ्य का उपयोग करती है कि मिन्यूएंड और सबट्रेंड से समान संख्या को जोड़ने या घटाने से उत्तर नहीं बदलता है। एक सबट्रेंड में शून्य प्राप्त करने के लिए आवश्यक राशि जोड़ता है। उदाहरण:

1234 - 567 = इस प्रकार हल किया जा सकता है:
 * 1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667

यह भी देखें

 * निरपेक्ष अंतर
 * के साथ: कमी
 * प्राथमिक अंकगणित
 * पूरक की विधि
 * ऋणात्मक संख्या
 * प्लस और माइनस संकेत

ग्रन्थसूची

 * Brownell, W.A. (1939). Learning as reorganization: An experimental study in third-grade arithmetic, Duke University Press.
 * Subtraction in the United States: An Historical Perspective, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, The Mathematics Educator, Vol. 8, No. 1 (original publication) and Vol. 10, No. 1 (reprint.) PDF

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

 * घटाव का चिन्ह
 * ऋणात्मक संख्या
 * संबद्धता
 * जोड़ने योग्य पहचान
 * आंशिक समारोह
 * समापन (गणित)
 * फील्ड (गणित)
 * यूनरी ऑपरेशंस
 * योगज प्रतिलोम
 * गुणात्मक प्रतिलोम
 * कार्रवाई के आदेश
 * पौंड (द्रव्यमान)
 * फ़ीसदी
 * पूरक की विधि
 * दशमलव प्रतिनिधित्व
 * प्राथमिक स्कूल
 * पूर्ण अंतर

बाहरी संबंध

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 * Subtraction Game at cut-the-knot
 * Subtraction on a Japanese abacus selected from Abacus: Mystery of the Bead
 * Subtraction on a Japanese abacus selected from Abacus: Mystery of the Bead