डिरैक डेल्टा फलन



गणितीय भौतिकी में, डिराक डेल्टा वितरण ($δ$ वितरण), जिसे इकाई आवेग के रूप में भी जाना जाता है, वास्तविक संख्याओं पर एक सामान्यीकृत फलन या वितरण (गणित) है, जिसका मान शून्य को छोड़कर हर जगह शून्य है, और जिसका संपूर्ण वास्तविक रेखा पर समाकल एक के समान है।

इकाई आवेग की वर्तमान समझ एक रैखिकफलन के रूप में है जो प्रत्येक सतत फलन (उदाहरण के लिए, $$f(x)$$) को उसके डोमेन $$f(0)$$) के शून्य पर मूल्य पर मानचित्र करती है, या बम्प फलन के अनुक्रम की दुर्बल सीमा के रूप में (उदाहरण के लिए, $$\delta(x) = \lim_{b \to 0} \frac{1}{|b|\sqrt{\pi}}e^{-(x/b)^2}$$), जो अधिकांश वास्तविक रेखा पर शून्य हैं, जिनके मूल में एक लंबा स्पाइक है। इस प्रकार बम्प फलन को कभी-कभी  अनुमानित  या  उदीयमान  डेल्टा वितरण कहा जाता है।

डेल्टा फलन को भौतिक विज्ञानी पॉल डिराक द्वारा सदिश अवस्था के सामान्यीकरण के लिए एक उपकरण के रूप में प्रस्तावित किया गया था। प्रायिकता सिद्धांत और सिग्नल संसाधन में भी इसका उपयोग होता है। इसकी मान्यता तब तक विवादित रही जब तक लॉरेंट श्वार्ट्ज ने वितरण के सिद्धांत को विकसित नहीं किया जहां इसे फलनों पर कार्य करने वाले एक रैखिक रूप में परिभाषित किया गया है।

क्रोनकर डेल्टा फलन, जिसे सामान्यतः एक अलग डोमेन पर परिभाषित किया जाता है और 0 और 1 मान लेता है, डिराक डेल्टा फलन का अलग एनालॉग है।

प्रेरणा और समीक्षा
डिराक डेल्टा का आलेख सामान्यतः संपूर्ण x-अक्ष और धनात्मक y-अक्ष का अनुसरण करने वाला माना जाता है। डिराक डेल्टा का उपयोग एक लंबे संकीर्ण स्पाइक फलन (एक आवेग), और अन्य समान अमूर्त जैसे बिंदु आवेश, बिंदु द्रव्यमान या इलेक्ट्रॉन बिंदु को प्रतिरूप करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, बिलियर्ड गेंद पर प्रहार की गतिशीलता की गणना करने के लिए, कोई डायराक डेल्टा द्वारा प्रभाव के बल का अनुमान लगा सकता है। ऐसा करने से, कोई न केवल समीकरणों को सरल बनाता है, लेकिन कोई उपपरमाण्विक स्तरों (उदाहरण के लिए) पर सभी प्रत्यास्थ ऊर्जा हस्तांतरण के विस्तृत प्रतिरूप के बिना केवल संघट्ट के कुल आवेग पर विचार करके गेंद की गति (भौतिकी) की गणना करने में भी सक्षम होता है।

विशिष्ट रूप से, मान लीजिए कि एक बिलियर्ड गेंद आराम की स्थिति में है। समय $$t=0$$ पर यह एक अन्य गेंद से टकराता है, जिससे इकाई kg⋅m⋅s−1 के साथ संवेग $P$ प्रदान होता है। संवेग का आदान-प्रदान वास्तव में तात्क्षणिक नहीं है, आणविक और उपपरमाण्विक स्तर पर प्रत्सास्थ प्रक्रियाओं द्वारा मध्यस्थ होने के कारण, लेकिन व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए उस ऊर्जा हस्तांतरण को प्रभावी रूप से तात्क्षणिक मानना ​​​​सुविधाजनक है। इसलिए बल $P δ(t)$ है; $δ(t)$ की इकाइयाँ s−1 है।

इस स्थिति को और अधिक कठोरता से प्रतिरूप करने के लिए, मान लीजिए कि इसके बदले बल को एक छोटे समय अंतराल $\Delta t = [0,T]$ पर समान रूप से वितरित किया जाता है। वह,

$$F_{\Delta t}(t) = \begin{cases} P/\Delta t& 0 0\\ 0 & t < 0.\end{cases}$$ यहाँ फलन $$F_{\Delta t}$$ को संवेग के तात्क्षणिक स्थानांतरण के विचार के लिए उपयोगी सन्निकटन के रूप में माना जाता है।

डेल्टा फलन हमें इन सन्निकटन की एक आदर्श सीमा बनाने की अनुमति देता है। दुर्भाग्य से, फलनों की वास्तविक सीमा (बिंदुवार अभिसरण के अर्थ में) $\lim_{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}$ हर जगह शून्य है लेकिन एक बिंदु है, जहां यह अनंत है। डिराक डेल्टा की उचित समझ बनाने के लिए, हमें इसके बदले गुण पर जोर देना चाहिए

$$\int_{-\infty}^\infty F_{\Delta t}(t)\,dt = P,$$ जो सभी $\Delta t>0$ के लिए है, उसे सीमा में बनाए रखना चाहिए। तो, समीकरण $F(t)=P\,\delta(t)=\lim_{\Delta t\to 0}F_{\Delta t}(t)$ में, यह समझा जाता है कि सीमा को हमेशा समाकल के बाहर लिया जाता है।

व्यावहारिक गणित में, जैसा कि हमने यहां किया है, डेल्टा फलन को प्रायः फलनों के अनुक्रम की एक प्रकार की सीमा (एक दुर्बल सीमा) के रूप में प्रकलित किया जाता है, जिसके प्रत्येक सदस्य के मूल में एक लंबा स्पाइक होता है: उदाहरण के लिए, गॉसियन वितरणों का एक क्रम मूल बिंदु पर केन्द्रित है और विचरण शून्य की ओर है।

डिराक डेल्टा वास्तव में एक फलन नहीं है, कम से कम वास्तविक संख्याओं में डोमेन और श्रैणी वाला सामान्य फलन नहीं है। उदाहरण के लिए, वस्तुएं $f(x) = δ(x)$ और $g(x) = 0$, $x = 0$ को छोड़कर सभी जगह समान हैं, फिर भी इनके समाकल जो भिन्न हैं। लेबेस्ग एकीकरण सिद्धांत के अनुसार, यदि $f$ और $g$ ऐसे फलन हैं कि लगभग हर जगह $f = g$ है, तब $f$ पूर्णांक है यदि और केवल यदि $g$ पूर्णांक है और $f$ और $g$ के पूर्णांक समरूप हैं। डिराक डेल्टा फलन को अपने आप में एक गणितीय वस्तु के रूप में मानने के लिए एक परिशुद्ध दृष्टिकोण के लिए माप सिद्धांत या वितरण (गणित) के सिद्धांत की आवश्यकता होती है।

इतिहास
जोसेफ फूरियर ने जिसे अब फूरियर समाकल प्रमेय कहा जाता है उसे अपने ग्रंथ थियोरी एनालिटिक डे ला चैलूर में इस रूप में प्रस्तुत किया:

$$f(x)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^\infty\ \ d\alpha \, f(\alpha) \ \int_{-\infty}^\infty dp\ \cos (px-p\alpha)\, $$ जो विधि में $δ$-फलन की प्रास्ताविक के समान है:

$$\delta(x-\alpha)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty dp\ \cos (px-p\alpha) \. $$ बाद में, ऑगस्टिन कॉची ने घातांक का उपयोग करके प्रमेय व्यक्त किया:

$$f(x)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty} ^ \infty \ e^{ipx}\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-ip\alpha }f(\alpha)\,d \alpha \right) \,dp. $$ कॉची ने बताया कि कुछ परिस्थितियों में एकीकरण का क्रम इस परिणाम में महत्वपूर्ण है (फुबिनी के प्रमेय के विपरीत)।

जैसा कि वितरण के सिद्धांत का उपयोग करके तर्कसंगत किया गया है, कॉची समीकरण को फूरियर के मूल सूत्रीकरण के समान पुन: व्यवस्थित किया जा सकता है और δ-फलन को इस प्रकार दिखाया गया है

$$\begin{align} f(x)&=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ipx}\left(\int_{-\infty}^\infty e^{-ip\alpha }f(\alpha)\,d \alpha \right) \,dp \\[4pt] &=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty \left(\int_{-\infty}^\infty e^{ipx} e^{-ip\alpha } \,dp \right)f(\alpha)\,d \alpha =\int_{-\infty}^\infty \delta (x-\alpha) f(\alpha) \,d \alpha, \end{align}$$ जहां δ-फलन को इस प्रकार व्यक्त किया जाता है

$$\delta(x-\alpha)=\frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^\infty e^{ip(x-\alpha)}\,dp \. $$ घातीय रूप की परिशुद्ध व्याख्या और इसके अनुप्रयोग के लिए आवश्यक फलन f की विभिन्न सीमाएं कई सदियों तक विस्तारित है। शास्त्रीय व्याख्या की समस्याओं को इस प्रकार समझाया गया है:
 * शास्त्रीय फूरियर परिवर्तन का सबसे बड़ी कमी फलनों (मूल) का एक संकीर्ण वर्ग है जिसके लिए इसे प्रभावी रूप से गणना की जा सकती है। अर्थात्, यह आवश्यक है कि फूरियर समाकल के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए यह आवश्यक है कि ये फलन पर्याप्त तेज़ी से शून्य (अनंत के पड़ोस में) तक कम हो जाता है। उदाहरण के लिए, बहुपद जैसे सरल फलनों का फूरियर रूपांतरण शास्त्रीय अर्थ में उपस्थित नहीं है। वितरणों में शास्त्रीय फूरियर परिवर्तन के विस्तार ने उन फलनों के वर्ग को अत्याधिक विवर्धित किया जिन्हें रूपांतरित किया जा सकता था और इसने कई अवरोध को दूर किया है।

यह द्विसमानता की तुलना में पूर्णतः स्थूलतर है (अर्थात् यह एक अधिसमुच्चय है) आगे के विकास में फूरियर समाकल का सामान्यीकरण सम्मिलित है,  प्लांचरेल के पथप्रदर्शक L''2-सिद्धांत (1910) से आरंभ करते हुए, वीनर और बोचनर के फलनों को सतत रखा (1930 के आसपास) और एल. श्वार्ट्ज के वितरण के सिद्धांत (1945) में समामेलन के साथ समाप्त हुआ..., और डिराक डेल्टा फलन के औपचारिक विकास की ओर अग्रसर हुआ है।

एक असीम रूप से लंबे, इकाई आवेग डेल्टा फलन (कॉची वितरण का अनंत संस्करण) के लिए एक अत्यंत छोटा सूत्र स्पष्ट रूप से ऑगस्टिन लुई कॉची के 1827 के पाठ में दिखाई देता है। सिमोन डेनिस पॉइसन ने तरंग प्रसार के अध्ययन के संबंध में इस मुद्दे पर विचार किया जैसा कि कुछ समय बाद गुस्ताव किरचॉफ ने कुछ समय बाद किया था। किरचॉफ और हरमन वॉन हेल्महोल्ट्ज़ ने इकाई आवेग को गाऊसी की सीमा के रूप में भी प्रस्तावित किया, जो लॉर्ड केल्विन की बिंदु ताप स्रोत की धारणा के अनुरूप था। 19वीं शताब्दी के अंत में, ओलिवर हेविसाइड ने इकाई आवेग में प्रकलित करने के लिए औपचारिक फूरियर श्रृंखला का उपयोग किया था। डिराक डेल्टा फलन को पॉल डिराक ने अपने 1927 के दस्तावेज़ क्वांटम डायनेमिक्स की भौतिक व्याख्या में प्रस्तावित किया था और अपनी पाठ्यपुस्तक क्वांटम यांत्रिकी के सिद्धांत में इसका उपयोग किया था। इसे डेल्टा फलन कहा क्योंकि उन्होंने इसे असतत क्रोनकर डेल्टा के सतत एनालॉग के रूप में उपयोग किया था।

परिभाषाएँ
डिराक डेल्टा फलन $$\delta (x)$$ को वास्तविक रेखा पर एक फलन के रूप में सोचा जा सकता है जो मूल बिंदु को छोड़कर हर जगह शून्य है, जहां यह अनंत है,

$$\delta(x) \simeq \begin{cases} +\infty, & x = 0 \\ 0, & x \ne 0 \end{cases}$$ और जो तत्समक को संतुष्ट करने के लिए भी सीमित है

$$\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1.$$ यह केवल एक अनुमानी लक्षण वर्णन है। डिराक डेल्टा पारंपरिक अर्थों में एक फलन नहीं है क्योंकि वास्तविक संख्याओं पर परिभाषित किसी भी फलन में ये गुण नहीं होते हैं।

डिराक डेल्टा फलन की एक और तुल्य परिभाषा: $$\delta (x)$$ फलन है (एक शिथिल अर्थ में) जो संतुष्ट करता है

$$\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \, dx = 1, \ \int_{-\infty}^\infty \delta (x) g(x) dx = g(0) $$जहां g(x) एक सुव्यवस्थित फलन है। इस परिभाषा में दूसरी प्रतिबंध उपरोक्त पहली परिभाषा से प्राप्त किया जा सकता है:$$\int_{-\infty}^\infty \delta (x) g(x) dx = \lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\epsilon}^\epsilon \delta (x) g(x) dx = g(0)\lim_{\epsilon \to 0} \int_{-\epsilon}^\epsilon \delta (x) dx = g(0). $$डिराक डेल्टा फलन को या तो वितरण के रूप में या नीचे वर्णित माप के रूप में यथार्थ रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

मापक के रूप में
डिराक डेल्टा फलन की धारणा को कठोरता से पकड़ने का एक प्रकार माप (गणित) को परिभाषित करना है, जिसे डिराक माप कहा जाता है, जो वास्तविक रेखा $R$ के उपसमुच्चय $A$ को एक तर्क के रूप में स्वीकार करता है, और यदि $0 ∈ A$ है तो $δ(A) = 1$ देता है, और अन्यथा $δ(A) = 0$ देता है। डेल्टा फलन को 0 पर एक आदर्श बिंदु द्रव्यमान के मॉडलिंग के रूप में संकल्पित किया गया है, तब $δ(A)$ समुच्चय $A$ में निहित द्रव्यमान का प्रतिनिधित्व करता है। कोई इस द्रव्यमान वितरण के प्रति किसी फलन के समाकल वितरण के रूप में $δ$ के प्रति समाकल एक फलन के समाकल को परिभाषित कर सकता है। औपचारिक रूप से, लेब्सग समाकल आवश्यक विश्लेषणात्मक उपकरण प्रदान करता है। माप $δ$ के संबंध में लेब्सेग समाकल

$$\int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(dx) = f(0)$$ सभी सतत सघन रूप से समर्थित फलन $f$ को संतुष्ट करता है। माप $δ$ लेब्सेग माप के संबंध में यथार्थतः सतत नहीं है - वास्तव में, यह एक अद्वितीय माप है। परिणामस्वरूप, डेल्टा माप में कोई रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न नहीं है (लेबेस्ग माप के संबंध में) - कोई वास्तविक फलन नहीं जिसके लिए गुण संचालित करती है।

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\, \delta(x)\, dx = f(0)$$ परिणामस्वरूप, बाद वाले संकेतन का एक सुविधाजनक दुरुपयोग है, और एक मानक (रीमैन या लेबेस्ग) समाकल नहीं है।

$R$ पर प्रायिकता माप के रूप में, डेल्टा माप को इसके संचयी वितरण फलन की विशेषता है, जो इकाई सोपान फलन है।

$$H(x) = \begin{cases} 1 & \text{if } x\ge 0\\ 0 & \text{if } x < 0. \end{cases}$$ इसका अर्थ यह है कि $H(x)$ माप $δ$ के संबंध में संचयी संकेतक फलन $1_{(−∞, x]}$ का समाकल है; बुद्धि के लिए,

$$H(x) = \int_{\mathbf{R}}\mathbf{1}_{(-\infty,x]}(t)\,\delta(dt) = \delta(-\infty,x],$$ अनुवर्ती इस अंतराल का माप है; अधिक औपचारिक रूप से, $δ((−∞, x])$ है। इस प्रकार विशेष रूप से एक सतत फलन के प्रति डेल्टा फलन के एकीकरण को रीमैन-स्टिल्टजेस समाकल के रूप में ठीक से समझा जा सकता है:

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\,\delta(dx) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \,dH(x).$$ $δ$ के सभी उच्चतर क्षण (गणित) शून्य हैं। विशेष रूप से, विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) और क्षण उत्पन्न करने वाला फलन दोनों एक समान हैं।

वितरण के रूप में
वितरण (गणित) के सिद्धांत में, एक सामान्यीकृत फलन को अपने आप में एक फलन नहीं माना जाता है, बल्कि केवल इसके बारे में माना जाता है कि यह अन्य फलन को कैसे प्रभावित करता है जब उनके प्रति एकीकृत किया जाता है। इस सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, डेल्टा फलन को ठीक से परिभाषित करने के लिए, यह कहना पर्याप्त है कि पर्याप्त रूप से अच्छे परीक्षण फलन $φ$ के प्रति डेल्टा फलन का समाकल क्या हैं। परीक्षण फलन को बम्प फलन के रूप में भी जाना जाता है। यदि डेल्टा फलन को पहले से ही एक माप के रूप में समझा जाता है, तो उस माप के प्रति एक परीक्षण फलन का लेबेस्ग समाकल आवश्यक समाकल प्रदान करता है।

परीक्षण फलन के एक विशिष्ट समष्टि सघन समर्थन के साथ $R$ पर सभी सुचारू फलन सम्मिलित होते हैं जिसमें आवश्यकतानुसार कई व्युत्पन्न होते हैं। वितरण के रूप में, डिराक डेल्टा परीक्षण फलन के समष्टि पर एक रैखिक कार्यात्मक है और इसे परिभाषित किया गया है।

प्रत्येक परीक्षण फलन $$ के लिए है।

$φ$ के उचित वितरण के लिए, इसे परीक्षण फलन के समष्टि पर एक उपयुक्त टोपोलॉजी में सतत होता है। सामान्य रूप में, वितरण को परिभाषित करने के लिए परीक्षण फलनों के समष्टि पर एक रैखिक कार्यात्मक $δ$ के लिए, यह आवश्यक और पर्याप्त है कि प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक $S$ के लिए एक पूर्णांक $M_{N}$ और एक स्थिर $N$ होता है, जिससे प्रत्येक परीक्षण फलन $C_{N}$ के लिए असमानता होती है।

$$\left|S[\varphi]\right| \le C_N \sum_{k=0}^{M_N}\sup_{x\in [-N,N]} \left|\varphi^{(k)}(x)\right|$$ जहाँ $sup$ सर्वोच्च का प्रतिनिधित्व करता है। $φ$ वितरण के साथ, सभी $δ$ के लिए $M_{N} = 0$ के साथ ऐसी असमानता ($C_{N} = 1$ के साथ) होती है। इस प्रकार $N$ क्रम शून्य का वितरण है। इसके अलावा, यह सघन समर्थन वाला एक वितरण है (समर्थन$\{0\}$है)।

डेल्टा वितरण को कई समान प्रकार से भी परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह हेविसाइड सोपान फलन का वितरणात्मक व्युत्पन्न है। इसका अर्थ है कि प्रत्येक परीक्षण फलन के लिए $δ$, एक है।

$$\delta[\varphi] = -\int_{-\infty}^\infty \varphi'(x)\,H(x)\,dx.$$ सहज रूप से, यदि भागों द्वारा एकीकरण की अनुमति दी गई थी, तो बाद वाले समाकल को सरल बनाना चाहिए

$$\int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,H'(x)\,dx = \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,\delta(x)\,dx,$$ और वास्तव में, स्टिल्टजेस समाकल के लिए भागों द्वारा एकीकरण के एक रूप की अनुमति है, और उस प्रकरण में, किसी के पास

$$-\int_{-\infty}^\infty \varphi'(x)\,H(x)\, dx = \int_{-\infty}^\infty \varphi(x)\,dH(x).$$ माप सिद्धांत के संदर्भ में, डिराक माप एकीकरण द्वारा वितरण को वृद्धि किया जाता है। इसके विपरीत, समीकरण ($φ$) सभी सघन रूप से समर्थित सतत फलनों के समष्टि पर एक डेनियल समाकल को परिभाषित करता है $$ जो, रिज़्ज़ प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा, कुछ रेडॉन माप के संबंध में $φ$ के लेबेस्ग समाकल के रूप में दर्शाया जा सकता है।

सामान्यतः, जब डिराक डेल्टा फलन शब्द का उपयोग किया जाता है, तो यह मापक के बदले वितरण के अर्थ में होता है, डिराक माप, माप सिद्धांत में संबंधित धारणा के लिए कई शब्दों में से एक होता है। कुछ स्रोत डिराक डेल्टा वितरण शब्द का भी उपयोग कर सकते हैं।

सामान्यीकरण
डेल्टा फलन को $φ$-विमीय यूक्लिडियन समष्टि $R^{n}$ में इस तरह के माप के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

$$\int_{\mathbf{R}^n} f(\mathbf{x})\,\delta(d\mathbf{x}) = f(\mathbf{0})$$ प्रत्येक सघन रूप से समर्थित सतत फलन $n$ के लिए है। एक माप के रूप में, $f$-विमीय डेल्टा फलन प्रत्येक चर में अलग-अलग 1-विमीय डेल्टा फलन का उत्पाद माप है। इस प्रकार, औपचारिक रूप से, $x = (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})$ के साथ, किसी के पास है

डेल्टा फलन को एक-विमीय प्रकरण में ऊपर बताए अनुसार वितरण के अर्थ में भी परिभाषित किया जा सकता है। हालाँकि, इंजीनियरिंग संदर्भों में व्यापक उपयोग के बदले, ($n$) में सावधानी से प्रकलित किया जाना चाहिए, क्योंकि वितरण के उत्पाद को केवल अत्यन्त संकीर्ण परिस्थितियों में ही परिभाषित किया जा सकता है।

डिराक माप की धारणा किसी भी समुच्चय पर समझ में आती है। इस प्रकार यदि $$ एक समुच्चय है, $x_{0} ∈ X$ एक चिह्नित बिंदु है, और $Σ$, $$ के उपसमुच्चय का कोई सिग्मा बीजगणित है, तो समुच्चय $A ∈ Σ$ पर परिभाषित माप

$$\delta_{x_0}(A)=\begin{cases} 1 &\text{if }x_0\in A\\ 0 &\text{if }x_0\notin A \end{cases}$$ डेल्टा माप या इकाई द्रव्यमान $x_{0}$ पर केंद्रित है।

डेल्टा फलन का एक और सामान्य सामान्यीकरण एक विभेदक बहुरूप है जहां वितरण के रूप में इसके अधिकांश गुणों का भी विभेदक संरचना के कारण पराक्रम किया जा सकता है। बिंदु $x_{0} ∈ M$ पर केन्द्रित बहुरूपता $X$ पर डेल्टा फलन को निम्नलिखित वितरण के रूप में परिभाषित किया गया है:

$X$ पर सभी सघन रूप से समर्थित सुचारू वास्तविक-मूल्यवान फलन $M$ के लिए हैं। इस निर्माण का एक सामान्य विशेष प्रकरण वह प्रकरण है जिसमें $$ यूक्लिडियन समष्टि $R^{n}$ में एक विवृत समुच्चय हैं।

स्थानीय रूप से सघन हॉसडॉर्फ़ समष्टि $M$ पर, एक बिंदु $φ$ पर केंद्रित डिराक डेल्टा माप, सघन रूप से समर्थित सतत फलन $M$ पर डेनियल समाकल ($X$) से जुड़ा रेडॉन माप हैं। व्यापकता के इस स्तर पर, कैलकुलस अब संभव नहीं है, हालांकि अमूर्त विश्लेषण से लेकर विभिन्न प्रकार की तकनीकें उपलब्ध हैं। उदाहरण के लिए, मानचित्रण $$x_0\mapsto \delta_{x_0}$$अपनी अस्पष्ट टोपोलॉजी से सुसज्जित, $x$ पर परिमित रेडॉन माप के समष्टि में $φ$ का सतत अंतःस्थापन है। इसके अलावा, इस अंतःस्थापन के अंतर्गत $$ के प्रतिबिंब का अवमुख समावरक $X$ पर प्रायिकता माप के प्रायिकता माप के समष्टि में सघन हैं।

सोपान और समरूपता
डेल्टा फलन गैर-शून्य स्केलर $X$ के लिए निम्नलिखित सोपान गुण को संतुष्ट करता है :

$$\int_{-\infty}^\infty \delta(\alpha x)\,dx =\int_{-\infty}^\infty \delta(u)\,\frac{du}{|\alpha|} =\frac{1}{|\alpha|}$$ इसलिए

सोपान गुण प्रमाण:$$\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx\ g(x) \delta (ax) = \frac{1}{a}\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx'\ g(\frac{x'}{a}) \delta (x') $$जहां चर $x&prime; = ax$ में परिवर्तन का उपयोग किया जाता है। यदि $X$ ऋणात्मक है, अर्थात्, $a = &minus;|a|$, तो $$\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx\ g(x) \delta (ax) = \frac{1}{-\left \vert a \right \vert}\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx'\ g(\frac{x'}{a}) \delta (x') = \frac{1}{\left \vert a \right \vert}\int\limits_{-\infty}^{\infty} dx'\ g(\frac{x'}{a}) \delta (x') = \frac{1}{\left \vert a \right \vert}g(0). $$ इस प्रकार, $\delta (ax) = \frac{1}{\left \vert a \right \vert} \delta(x)$.

विशेष रूप से, डेल्टा फलन एक समान वितरण (समरूपता) है, इस अर्थ में

$$\delta(-x) = \delta(x)$$ जो घात $&minus;1$ का सजातीय है।

बीजगणितीय गुण
$X$ के साथ $α$ का वितरणात्मक उत्पाद शून्य के समान है:

$$x\,\delta(x) = 0.$$अधिक सामान्यतः, सभी धनात्मक पूर्णांक n के लिए (x−a)nE(x−a)=0 है। इसके विपरीत, यदि $xf(x) = xg(x)$, जहां $$ और $a$ वितरण हैं, तो

$$f(x) = g(x) +c \delta(x)$$ कुछ स्थिरांक $x$ के लिए है।

अनुवाद
समय-विलंबित डिराक डेल्टा का समाकल है

$$\int_{-\infty}^\infty f(t) \,\delta(t-T)\,dt = f(T).$$ इसे कभी-कभी विचालन गुण या प्रतिदर्श गुण के रूप में जाना जाता है। डेल्टा फलन के बारे में कहा जाता है कि यह t = T पर f(t) के मान को "विचालन" देता है।।

इसका तात्पर्य यह है कि किसी फलन $f(t)$ को समय-विलंबित डिराक डेल्टा $$ \delta_T(t) = \delta(t-T)$$ के साथ संयोजित करने का प्रभाव $f(t)$ को समान मात्रा में समय-विलंबित करना है:

$$\begin{align} (f * \delta_T)(t) \ &\stackrel{\mathrm{def}}{=}\ \int_{-\infty}^\infty f(\tau)\, \delta(t-T-\tau) \, d\tau \\ &= \int_{-\infty}^\infty f(\tau) \,\delta(\tau-(t-T)) \,d\tau \qquad \text{since}~ \delta(-x) = \delta(x)  \text{by (4)}\\ &= f(t-T). \end{align}$$ स्थानांतरण गुण स्पष्ट प्रतिबंध के अंतर्गत है कि $δ$ एक संस्कारित वितरण है (नीचे फूरियर रूपांतरण की परिचर्चा देखें)। उदाहरण के लिए, एक विशेष प्रकरण के रूप में, हमारे पास तत्समक है (वितरण अर्थ में समझी गई)

$$\int_{-\infty}^\infty \delta (\xi-x) \delta(x-\eta) \,dx = \delta(\eta-\xi).$$

फलन के साथ रचना
अधिक सामान्यतः, डेल्टा वितरण एक सुचारु फलन $g(x)$ के साथ इस तरह से बनाया जा सकता है कि चर सूत्र का परिचित परिवर्तन का मानना है कि

$$\int_{\R} \delta\bigl(g(x)\bigr) f\bigl(g(x)\bigr) \left|g'(x)\right| dx = \int_{g(\R)} \delta(u)\,f(u)\,du$$ बशर्ते कि $f$ एक सतत अवकलनीय फलन है जिसमें $g&prime;$ कहीं भी शून्य नहीं है। अर्थात, वितरण $$\delta\circ g$$ को अर्थ निर्दिष्ट करने का एक अद्वितीय प्रकार है ताकि यह तत्समक सभी सघन रूप से समर्थित परीक्षण फलन $g$ के लिए बना रहता है। इसलिए, $g&prime; = 0$ बिंदु को बाहर करने के लिए डोमेन तोड़ा जाता है। यह वितरण $δ(g(x)) = 0$ को संतुष्ट करता है यदि $c$ कहीं भी शून्य नहीं है, और अन्यथा यदि $f$ का वास्तविक मूल $x_{0}$ पर है, तो

$$\delta(g(x)) = \frac{\delta(x-x_0)}{|g'(x_0)|}.$$ इसलिए सतत भिन्न-भिन्न फलनों $g$ के लिए संघटन $δ(g(x))$ को परिभाषित करना स्वाभाविक है

$$\delta(g(x)) = \sum_i \frac{\delta(x-x_i)}{|g'(x_i)|}$$ जहां योग $f$ के सभी मूलों (अर्थात्, सभी अलग-अलग) पर विस्तारित होता है, जिन्हें सरल माना जाता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए

$$\delta\left(x^2-\alpha^2\right) = \frac{1}{2|\alpha|} \Big[\delta\left(x+\alpha\right)+\delta\left(x-\alpha\right)\Big].$$ समाकल रूप में, सामान्यीकृत सोपान गुण को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ \int_{-\infty}^\infty f(x) \, \delta(g(x)) \, dx = \sum_{i}\frac{f(x_i)}{|g'(x_i)|}. $$

अनिश्चित समाकल
एक स्थिरांक $a ∈ &reals;$ और एक "अच्छे व्यवहार वाले" स्वेच्छाचारी वास्तविक-मूल्यवान फलन $y(x)$ के लिए यह सत्य है कि: $$\displaystyle{\int}y(x)\delta(x-a)dx = y(a)H(x-a) + \mathbf{C}$$ $H(x)$ के साथ हेविसाइड सोपान फलन है और $C$ पारंपरिक एकीकरण स्थिरांक है।

n आयामों में गुण
$g$-विमीय समष्टि में डेल्टा वितरण इसके बदले निम्नलिखित सोपान गुण को संतुष्ट करता है, $$\delta(\alpha\mathbf{x}) = |\alpha|^{-n}\delta(\mathbf{x}) ~,$$ ताकि $g$ डिग्री $&minus;n$ का एक सजातीय वितरण है।

किसी भी प्रतिबिंब या घूर्णन $g$ के अंतर्गत, डेल्टा फलन अपरिवर्तनीय है, $$\delta(\rho \mathbf{x}) = \delta(\mathbf{x})~.$$ जैसा कि एक-चर प्रकरण में, द्वि-लिप्सचिट्ज़ फलन $g: R^{n} → R^{n}$ के साथ $g(x)$ की संरचना को विशिष्ट रूप से परिभाषित करना संभव है ताकि तत्समक $$\int_{\R^n} \delta(g(\mathbf{x}))\, f(g(\mathbf{x}))\left|\det g'(\mathbf{x})\right| d\mathbf{x} = \int_{g(\R^n)} \delta(\mathbf{u}) f(\mathbf{u})\,d\mathbf{u}$$ सभी सघन रूप से समर्थित फलन $n$ के लिए है।

ज्यामितीय माप सिद्धांत से कोएरिया सूत्र का उपयोग करके, एक यूक्लिडियन समष्टि से दूसरे विभिन्न आयामों में निमज्जन (गणित) के साथ डेल्टा फलन की संरचना को भी परिभाषित किया जा सकता है; परिणाम एक प्रकार का करंट (गणित) है। सतत विभेदक फलन $g : R^{n} → R$ के विशेष प्रकरण में जैसे कि $δ$ का प्रवणता कहीं भी शून्य नहीं है, निम्नलिखित तत्समक संचालित है। $$\int_{\R^n} f(\mathbf{x}) \, \delta(g(\mathbf{x})) \,d\mathbf{x} = \int_{g^{-1}(0)}\frac{f(\mathbf{x})}{|\mathbf{\nabla}g|}\,d\sigma(\mathbf{x}) $$ जहां दाहिनी ओर का समाकल $g^{−1}(0)$ से अधिक है, मिन्कोव्स्की विषय सूची माप के संबंध में $(n − 1)$-विमीय सतह $g(x) = 0$ द्वारा परिभाषित है। इसे सरल स्तर समाकल के रूप में जाना जाता है।

अधिक सामान्यतः, यदि $ρ$, $R^{n}$ की एक सुचारू अधिपृष्ठ है, तो हम $δ$ से उस वितरण को संबद्ध कर सकते हैं जो $f$ पर किसी भी सघन रूप से समर्थित सुचारू फलन $g$ को एकीकृत करता है: $$\delta_S[g] = \int_S g(\mathbf{s})\,d\sigma(\mathbf{s})$$ जहां $S$ $S$ से संबंधित अधिपृष्ठ माप है। यह सामान्यीकरण $S$ पर सरल परत क्षमता के संभावित सिद्धांत से जुड़ा है। यदि $g$ सुचारू सीमा $σ$ के साथ $R^{n}$ में एक डोमेन है, तो $δ_{S}$ वितरण अर्थ में $S$ के संकेतक फलन के सामान्य व्युत्पन्न के समान है,

$$-\int_{\R^n}g(\mathbf{x})\,\frac{\partial 1_D(\mathbf{x})}{\partial n}\,d\mathbf{x}=\int_S\,g(\mathbf{s})\, d\sigma(\mathbf{s}),$$ जहाँ $S$ बाह्य सामान्य है। प्रमाण के लिए, उदाहरण देखें सतह डेल्टा फलन पर आलेख है।

तीन विमीय में, डेल्टा फलन को गोलाकार निर्देशांक में दर्शाया गया है:

$$\delta(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0) = \begin{cases} \displaystyle\frac{1}{r^2\sin\theta}\delta(r-r_0) \delta(\theta-\theta_0)\delta(\phi-\phi_0)& x_0,y_0,z_0 \ne 0 \\ \displaystyle\frac{1}{2\pi r^2\sin\theta}\delta(r-r_0) \delta(\theta-\theta_0)& x_0=y_0=0,\ z_0 \ne 0 \\ \displaystyle\frac{1}{4\pi r^2}\delta(r-r_0) & x_0=y_0=z_0 = 0 \end{cases}$$

फूरिये रूपांतर
डेल्टा फलन एक टेम्पर्ड वितरण है, और इसलिए इसमें एक अच्छी तरह से परिभाषित फूरियर रूपांतर है। औपचारिक रूप से, कोई ढूँढ़ें

$$\widehat{\delta}(\xi)=\int_{-\infty}^\infty e^{-2\pi i x \xi} \,\delta(x)dx = 1.$$ उचित रूप से कहें तो, एक वितरण के फूरियर रूपांतरण को श्वार्ट्ज फलनों के साथ टेम्पर्ड वितरणों के द्वंद्व युग्मन $$\langle\cdot,\cdot\rangle$$ के अंतर्गत फूरियर रूपांतरण की स्व-संयुक्तता को उपयोजित करके परिभाषित किया गया है। इस प्रकार $$\widehat{\delta}$$ को अद्वितीय टेम्पर्ड वितरण संतोषजनक के रूप में परिभाषित किया गया है

$$\langle\widehat{\delta},\varphi\rangle = \langle\delta,\widehat{\varphi}\rangle$$ सभी श्वार्ट्ज फलनों $D$ के लिए है। वास्तव में इससे $$\widehat{\delta}=1$$ निष्कर्ष निकलता है।

इस तत्समक के परिणामस्वरूप, किसी अन्य टेम्पर्ड वितरण $S$ के साथ डेल्टा फलन का संवलन केवल $D$ है:

$$S*\delta = S.$$ यह तात्पर्य है कि टेम्पर्ड वितरण पर संवलन के लिए $n$ एक तत्समक तत्व है, और वास्तव में, संवलन के अंतर्गत सघन रूप से समर्थित वितरण का समष्टि डेल्टा फलन की तत्समक के साथ एक सहयोगी बीजगणित है। यह गुण सिग्नल संसाधन में मौलिक है, क्योंकि टेम्पर्ड वितरण के साथ संवलन एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली है, और रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को उपयोजित करने से इसकी आवेग अनुक्रिया मापी जाती है। आवेग अनुक्रिया की गणना $φ$ के लिए उपयुक्त सन्निकटन का चयन करके सटीकता की किसी भी वांछित डिग्री तक की जा सकती है, और एक बार यह ज्ञात हो जाए तो यह प्रणाली को पूरी तरह से चित्रित करता है।

टेम्पर्ड वितरण $f(ξ) = 1$ का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण डेल्टा फलन है। औपचारिक रूप से, इसे इस प्रकार व्यक्त किया जाता है $$\int_{-\infty}^\infty 1 \cdot e^{2\pi i x\xi}\,d\xi = \delta(x)$$ और अधिक परिशुद्ध से, यह तब से अनुसरण करता है $$\langle 1, \widehat{f}\rangle = f(0) = \langle\delta,f\rangle$$ सभी श्वार्ट्ज फलनों $S$ के लिए है।

इन शब्दों में, डेल्टा फलन $R$ फूरियर कर्नेल की लंबकोणीयता गुण का एक सांकेतिक विवरण प्रदान करता है। औपचारिक रूप से, किसी के पास है $$\int_{-\infty}^\infty e^{i 2\pi \xi_1 t} \left[e^{i 2\pi \xi_2 t}\right]^*\,dt = \int_{-\infty}^\infty e^{-i 2\pi (\xi_2 - \xi_1) t} \,dt = \delta(\xi_2 - \xi_1).$$ निःसंदेह, यह इस अभिकथन का आशुलिपि है कि फूरियर टेम्पर्ड वितरण का रूपांतरण करता $$f(t) = e^{i2\pi\xi_1 t}$$ है $$\widehat{f}(\xi_2) = \delta(\xi_1-\xi_2)$$ जो फिर से फूरियर परिवर्तन के आत्म-संबद्धता को उपयोजित करके अनुसरण करता है।

फूरियर रूपांतर की विश्लेषणात्मक निरंतरता से डेल्टा फलन का लाप्लास परिवर्तन पाया जाता है। $$ \int_{0}^{\infty}\delta(t-a)\,e^{-st} \, dt=e^{-sa}.$$

डिराक डेल्टा फलन के व्युत्पन्न
डिराक डेल्टा वितरण का व्युत्पन्न, जिसे $δ&prime;$ दर्शाया गया है और इसे डिराक डेल्टा मूल या डिराक डेल्टा व्युत्पन्न भी कहा जाता है जैसा कि संकेतक के लाप्लासियन में वर्णित है, इसे सघन रूप से समर्थित सुचारू परीक्षण फलन $S$ द्वारा परिभाषित किया गया है $$\delta'[\varphi] = -\delta[\varphi']=-\varphi'(0).$$ यहां पहली समानता भागों द्वारा एक प्रकार का एकीकरण है, यदि $δ$ तब एक सत्य फलन होता $$\int_{-\infty}^\infty \delta'(x)\varphi(x)\,dx = \delta(x)\varphi(x)|_{-\infty}^{\infty} -\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \varphi'(x)\,dx = -\int_{-\infty}^\infty \delta(x) \varphi'(x)\,dx. = -\varphi'(0)$$गणितीय प्रेरण द्वारा, $δ$ के $f$-वें व्युत्पन्न को परीक्षण फलनों पर दिए गए वितरण के समान ही परिभाषित किया गया है$$\delta^{(k)}[\varphi] = (-1)^k \varphi^{(k)}(0).$$ विशेष रूप से, δ अनंततः भिन्न वितरण है।

डेल्टा फलन का पहला व्युत्पन्न अंतर भागफल की वितरण सीमा है: $$\delta'(x) = \lim_{h\to 0} \frac{\delta(x+h)-\delta(x)}{h}.$$ अधिक ठीक से, किसी के पास है $$\delta' = \lim_{h\to 0} \frac{1}{h}(\tau_h\delta - \delta)$$ जहां $φ$ अनुवाद प्रचालक है, जिसे $τ_{h}φ(x) = φ(x + h)$ द्वारा फलन और वितरण $δ$ पर परिभाषित किया गया है। $$(\tau_h S)[\varphi] = S[\tau_{-h}\varphi].$$ विद्युत चुंबकत्व के सिद्धांत में, डेल्टा फलन का पहला व्युत्पन्न मूल बिंदु पर स्थित एक बिंदु चुंबकीय द्विध्रुव का प्रतिनिधित्व करता है। परिस्थिति के अनुसार, इसे द्विध्रुव या द्विक फलन कहा जाता है।

डेल्टा फलन का व्युत्पन्न कई आधारिक गुणों को संतुष्ट करता है, जिनमें सम्मिलित हैं: $$ \begin{align} \delta'(-x) &= -\delta'(x) \\ x\delta'(x) &= -\delta(x) \end{align} $$ जिसे परीक्षण फलन उपयोजित करके और भागों द्वारा एकीकृत करके दिखाया जा सकता है।

इन गुणों में से बाद वाले को वितरणात्मक व्युत्पन्न परिभाषा, लिब्निट्ज़ के प्रमेय और आंतरिक उत्पाद की रैखिकता को उपयोजित करके भी प्रदर्शित किया जा सकता है:

$$ \begin{align} \langle x\delta', \varphi \rangle \, &= \, \langle \delta', x\varphi \rangle \, = \, -\langle\delta,(x\varphi)'\rangle \, = \, - \langle \delta, x'\varphi + x\varphi'\rangle \, = \, - \langle \delta, x'\varphi\rangle  - \langle\delta, x\varphi'\rangle  \, =  \, - x'(0)\varphi(0) - x(0)\varphi'(0) \\ &= \, -x'(0) \langle \delta, \varphi \rangle - x(0) \langle \delta, \varphi' \rangle \, = \, -x'(0) \langle \delta,\varphi\rangle + x(0) \langle \delta', \varphi \rangle \, = \, \langle x(0)\delta' - x'(0)\delta, \varphi \rangle \\ \Longrightarrow x(t)\delta'(t) &= x(0)\delta'(t) - x'(0)\delta(t) = -x'(0)\delta(t) = -\delta(t) \end{align} $$ इसके अलावा, एक सघन रूप से समर्थित, सुचारू फलन $δ$ के साथ $k|k$ का संवलन है

$$\delta'*f = \delta*f' = f',$$ जो संवलन के वितरणात्मक व्युत्पन्न के गुणों से अनुसरण करता है।

उच्चतर आयाम
अधिक सामान्यतः, $τ_{h}$-विमीय यूक्लिडियन समष्टि $&reals;^{n}$ में विवृत समुच्चय $S$ पर एक बिंदु पर केंद्रित डिराक डेल्टा वितरण $a ∈ U$ को सभी द्वारा परिभाषित किया गया है। $$\delta_a[\varphi]=\varphi(a)$$ $$\varphi \in C_c^\infty(U)$$ के लिए परिभाषित किया गया है, $f$ पर सघन समर्थन के साथ सभी सुचारू फलनों की समष्टि है। अगर $$\alpha = (\alpha_1, \ldots, \alpha_n)$$ $$ |\alpha|=\alpha_1+\cdots+\alpha_n$$ के साथ कोई बहु-सूचकांक है और $$\partial^\alpha$$ संबद्ध मिश्रित आंशिक व्युत्पन्न प्रचालक को दर्शाता है, तो $δ&prime;$ का $n$-वां व्युत्पन्न $U$ द्वारा दिया जाता है।

$$\left\langle \partial^\alpha \delta_{a}, \, \varphi \right\rangle = (-1)^{| \alpha |} \left\langle \delta_{a}, \partial^{\alpha} \varphi \right\rangle = (-1)^{| \alpha |} \partial^\alpha \varphi (x) \Big|_{x = a} \quad \text{ for all } \varphi \in C_c^\infty(U).$$ अर्थात्, $U$ का $δ_{a}$-वां व्युत्पन्न वह वितरण है जिसका किसी भी परीक्षण फलन $α$ पर मान $∂^{α}δ_{a}$ (उचित धनात्मक या ऋणात्मक चिह्न के साथ) पर $δ_{a}$ का $α$-वां व्युत्पन्न है।

डेल्टा फलन के पहले आंशिक व्युत्पन्न को समन्वय समतल के साथ दोहरी परतों के रूप में माना जाता है। अधिक सामान्यतः, किसी सतह पर समर्थित एक साधारण परत का सामान्य व्युत्पन्न उस सतह पर समर्थित एक दोहरी परत होती है और एक लामिना चुंबकीय मोनोपोल का प्रतिनिधित्व करता है। डेल्टा फलन के उच्च व्युत्पन्न को भौतिकी में मल्टीपोल के रूप में जाना जाता है।

उच्च व्युत्पन्न बिंदु समर्थन के साथ वितरण की पूरी संरचना के लिए बिल्डिंग ब्लॉक के रूप में स्वाभाविक रूप से गणित में प्रवेश करते हैं। यदि $φ$ एकल बिंदु वाले समुच्चय$\{a\}$ पर समर्थित $a$ पर कोई वितरण है, तब तो एक पूर्णांक $φ$ और गुणांक $α$ है जैसे कि $$S = \sum_{|\alpha|\le m} c_\alpha \partial^\alpha\delta_a.$$

डेल्टा फलन का प्रतिनिधित्व
डेल्टा फलन को फलनों के अनुक्रम की सीमा के रूप में देखा जा सकता है

$$\delta (x) = \lim_{\varepsilon\to 0^+} \eta_\varepsilon(x), $$ जहां $η_{ε}(x)$ को कभी-कभी नवागत डेल्टा फलन कहा जाता हैं। इस सीमा का अर्थ कमजोर अर्थ में है: या तो वह

सघन समर्थन वाले सभी सतत फलन $S$ के लिए, या यह सीमा सघन समर्थन वाले सभी सुचारु फलन $U$ के लिए है। दुर्बल अभिसरण के इन दो अलग-अलग प्रकार के मध्य का अंतर प्रायः सूक्ष्म होता है: पहला मापों की अस्पष्ट टोपोलॉजी में अभिसरण है, और दूसरा वितरण के अर्थ में अभिसरण है।

तत्समक का अनुमान
सामान्यतः एक नवागत डेल्टा फलन $m$ का निर्माण निम्नलिखित प्रकार से किया जा सकता है। मान लीजिए $c_{α}$ कुल समाकल $1$ के $R$ पर एक पूर्णतया समाकलनीय फलन है, और $$\eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-1} \eta \left (\frac{x}{\varepsilon} \right). $$ $$ आयाम में, कोई इसके बदले सोपान का उपयोग किया जाता है $$\eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-n} \eta \left (\frac{x}{\varepsilon} \right). $$ फिर चरों का एक साधारण परिवर्तन से पता चलता है कि $f$ का अभिन्न भी समाकल $1$ है। कोई यह दिखा सकता है कि ($f$) सभी सतत सघन रूप से समर्थित फलन $η_{ε}$ के लिए है, और इसलिए $η$ मापक के अर्थ में कमजोर रूप से $n$ में परिवर्तित हो जाता है।

इस तरह से निर्मित $η_{ε}$ को तत्समक के सन्निकटन के रूप में जाना जाता है। यह शब्दावली इसलिए है क्योंकि पूर्णतः समाकलनीय फलनों का समष्टि L1(R) फलनों के संवलन के अंतर्गत बंद है: $f ∗ g ∈ L^{1}(R)$ जब भी $$ और $f$ $L^{1}(R)$ में होता हैं। हालाँकि, संवलन उत्पाद के लिए $L^{1}(R)$ में कोई तत्समक नहीं है: कोई तत्व $η_{ε}$ ऐसा नहीं है कि सभी $δ$ के लिए $f ∗ h = f$ हैं। फिर भी, अनुक्रम $η_{ε}$ इस अर्थ में ऐसी तत्समक का अनुमान लगाता है

$$f*\eta_\varepsilon \to f \quad \text{as }\varepsilon\to 0.$$ यह सीमा माध्य अभिसरण ($L^{1}$ में अभिसरण ) के अर्थ में उपयोजित होती है। $f$ पर आगे के प्रतिबंध, उदाहरण के लिए कि यह एक सघन रूप से समर्थित फलन से जुड़ा एक मोलिफ़ायर है, लगभग हर जगह बिंदुवार अभिसरण सुनिश्चित करने की आवश्यकता है।

यदि प्रारंभिक $η = η_{1}$स्वयं सुचारू और सघन रूप से समर्थित है तो अनुक्रम को मोलिफ़ायर कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक उपयुक्त सामान्यीकृत बम्प फलन के रूप में η का चयन करके मानक मोलिफ़ायर प्राप्त किया जाता है।

$$\eta(x) = \begin{cases} e^{-\frac{1}{1-|x|^2}}& \text{if } |x| < 1\\ 0                    & \text{if } |x|\geq 1. \end{cases}$$ संख्यात्मक विश्लेषण जैसी कुछ स्थितियों में, तत्समक के लिए खंडशः में रैखिक सन्निकटन वांछनीय है। इसे $η = η_{1}$ को हैट फलन मानकर प्राप्त किया जा सकता है। $η_{1}$ के इस विकल्प के साथ, किसी के पास है

$$ \eta_\varepsilon(x) = \varepsilon^{-1}\max \left (1-\left|\frac{x}{\varepsilon}\right|,0 \right) $$ जो सभी सतत और सघन रूप से समर्थित हैं, हालांकि सुचारू नहीं हैं और इसलिए मोलीफ़ायर भी नहीं हैं।

संभाव्य विचार
प्रायिकता सिद्धांत के संदर्भ में, अतिरिक्त प्रतिबंध लगाना स्वाभाविक है कि तत्समक के सन्निकटन में प्रारंभिक $η_{1}$ धनात्मक होना चाहिए, क्योंकि ऐसा फलन तब प्रायिकता वितरण का प्रतिनिधित्व करता है। प्रायिकता वितरण के साथ संवलन कभी-कभी अनुकूल होता है क्योंकि इसके परिणामस्वरूप ओवरशूट (संकेत) या अंडरशूट नहीं होता है, क्योंकि निर्गत निवेश मानों का उत्तल संयोजन होता है, और इस प्रकार निवेश फलन के अधिकतम और न्यूनतम के मध्य आता है। $η_{1}$ को किसी भी प्रायिकता वितरण के रूप में लेना, और उपरोक्त के अनुसार $η_{1}$ देने से तत्समक का अनुमान लगाया जा सकता है। सामान्य रूप में यह अधिक तेजी से डेल्टा फलन में परिवर्तित हो जाता है, यदि, इसके अतिरिक्त, $g$ का अर्थ $η_{ε}(x) = η_{1}(x/ε)/ε$ है और इसमें छोटे उच्च क्षण हैं। उदाहरण के लिए, यदि $0$ $\left[-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right]$ पर एक समान वितरण है, जिसे आयताकार फलन भी कहा जाता है, फिर: $$ \eta_\varepsilon(x) = \frac{1}{\varepsilon}\operatorname{rect}\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)= \begin{cases} \frac{1}{\varepsilon},&-\frac{\varepsilon}{2}<x<\frac{\varepsilon}{2}, \\ 0,                   &\text{otherwise}. \end{cases}$$ एक अन्य उदाहरण विग्नर अर्धवृत्त वितरण के साथ है $$\eta_\varepsilon(x)= \begin{cases} \frac{2}{\pi \varepsilon^2}\sqrt{\varepsilon^2 - x^2}, & -\varepsilon < x < \varepsilon, \\ 0, & \text{otherwise}. \end{cases}$$ यह सतत और सघन रूप से समर्थित है, लेकिन मोलिफ़ायर नहीं है क्योंकि यह सुचारू नहीं है।

अर्धसमूह
नवागत डेल्टा फलन प्रायः संवलन अर्धसमूह के रूप में उत्पन्न होता हैं। यह आगे के प्रतिबंध के समान है जो कि $h$ के साथ $f$ का संवलन सभी $$\eta_\varepsilon * \eta_\delta = \eta_{\varepsilon+\delta}$$ $η_{1}$ के लिए संतुष्ट होता हैं। $ε, δ > 0$ में संवलन अर्धसमूह जो एक नवागत डेल्टा फलन बनाते हैं, वे हमेशा उपरोक्त अर्थ में तत्समक का एक अनुमान होते हैं, हालांकि अर्धसमूह स्थिति अत्यन्त मजबूत प्रतिबंध है।

व्यवहार में, डेल्टा फलन का अनुमान लगाने वाले अर्धसमूह भौतिक रूप से प्रेरित दीर्घवृत्तीय या परवलयिक आंशिक अवकल समीकरणों के लिए मौलिक समाधान या ग्रीन के फलनों के रूप में उत्पन्न होते हैं। अनुप्रयुक्त गणित के संदर्भ में, अर्धसमूह एक रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली के निर्गत के रूप में उत्पन्न होते हैं। संक्षेप में, यदि A एक रैखिक प्रचालक है जो x के फलनों पर कार्य करता है, तो प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान करने से एक संवलन अर्धसमूह उत्पन्न होता है

$$\begin{cases} \dfrac{\partial}{\partial t}\eta(t,x) = A\eta(t,x), \quad t>0 \\[5pt] \displaystyle\lim_{t\to 0^+} \eta(t,x) = \delta(x) \end{cases}$$ जिसमें सीमा को हमेशा की तरह कमजोर अर्थ में समझा जाता है। $L^{1}$ समायोजन संबंधित नवागत डेल्टा फलन मिलता है।

ऐसे मौलिक समाधान से उत्पन्न होने वाले भौतिक रूप से महत्वपूर्ण संवलन अर्धसमूह के कुछ उदाहरणों में निम्नलिखित सम्मिलित हैं।

हीट कर्नेल
हीट कर्नेल, द्वारा परिभाषित

$$\eta_\varepsilon(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi\varepsilon}} \mathrm{e}^{-\frac{x^2}{2\varepsilon}}$$ समय $η_{ε}(x) = η(ε, x)$ पर एक अनंत तार में तापमान का प्रतिनिधित्व करता है, यदि समय $t > 0$ पर तार के मूल में ऊष्मा ऊर्जा की एक इकाई संग्रहीत होती है। यह अर्धसमूह एक-विमीय ताप समीकरण के अनुसार विकसित होता है:

$$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{1}{2}\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.$$

प्रायिकता सिद्धांत में, $t = 0$ विचरण $η_{ε}$ और माध्य $η_{ε}(x)$ का एक सामान्य वितरण है। यह एक मानक ब्राउनियन गति के बाद मूल से आरंभिक होने वाले कण की स्थिति के समय $0$ पर प्रायिकता घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है। इस संदर्भ में, अर्धसमूह स्थिति ब्राउनियन गति की मार्कोव गुण की अभिव्यक्ति है।

उच्च-विमीय यूक्लिडियन समष्टि $t = ε$ में, हीट कर्नेल है $$\eta_\varepsilon = \frac{1}{(2\pi\varepsilon)^{n/2}}\mathrm{e}^{-\frac{x\cdot x}{2\varepsilon}},$$ और इसकी वही भौतिक व्याख्या है, यथावश्यक परिवर्तन सहित है। यह इस अर्थ में एक नवागत डेल्टा फलन का भी प्रतिनिधित्व करता है कि $R^{n}$ वितरण अर्थ में $η_{ε} → δ$ के रूप में है।

पॉइसन कर्नेल
पॉइसन कर्नेल $$\eta_\varepsilon(x) = \frac{1}{\pi}\mathrm{Im}\left\{\frac{1}{x-\mathrm{i}\varepsilon}\right\}=\frac{1}{\pi} \frac{\varepsilon}{\varepsilon^2 + x^2}=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}\mathrm{e}^{\mathrm{i} \xi x-|\varepsilon \xi|}\,d\xi$$ ऊपरी आधे तल में लाप्लास समीकरण का मूल समाधान है। यह एक अर्ध-अनंत प्लेट में इलेक्ट्रोस्टैटिक क्षमता का प्रतिनिधित्व करता है जिसकी किनारे के साथ क्षमता डेल्टा फलन पर स्थिर होता है। पॉइसन कर्नेल का कॉची वितरण और एपानेचनिकोव और गॉसियन कर्नेल फलन से भी निकटता से संबंधित होता है। यह अर्धसमूह समीकरण के अनुसार विकसित होता है $$\frac{\partial u}{\partial t} = -\left (-\frac{\partial^2}{\partial x^2} \right)^{\frac{1}{2}}u(t,x)$$ जहां प्रचालक को यथार्थ रूप से फूरियर गुणक के रूप में परिभाषित किया गया है $$\mathcal{F}\left[\left(-\frac{\partial^2}{\partial x^2} \right)^{\frac{1}{2}}f\right](\xi) = |2\pi\xi|\mathcal{F}f(\xi).$$

ऑसिलेटरी समाकल
तरंग संचरण और तरंग यांत्रिकी जैसे भौतिकी के क्षेत्रों में, इसमें सम्मिलित समीकरण अतिशयोक्तिपूर्ण हैं और इसलिए उनके अधिक अद्वितीय समाधान होता हैं। परिणामस्वरूप, संबंधित कॉची समस्याओं के मौलिक समाधान के रूप में उत्पन्न होने वाले नवागत डेल्टा फलन सामान्यतः दोलन संबंधी समाकल होते हैं। एक उदाहरण, जो ट्रांसोनिक गैस गतिशीलता के यूलर-ट्राइकोमी समीकरण के समाधान से आता है, पुन: स्केल किया गया एयरी फलन है $$\varepsilon^{-1/3}\operatorname{Ai}\left (x\varepsilon^{-1/3} \right). $$ यद्यपि फूरियर रूपांतरण का उपयोग करते हुए, यह देखना आसान है कि यह कुछ अर्थों में एक अर्धसमूह उत्पन्न करता है - यह यथार्थतः एकीकृत नहीं है और इसलिए उपरोक्त मजबूत अर्थों में एक अर्धसमूह को परिभाषित नहीं किया जा सकता है। ऑसिलेटरी समाकल्स के रूप में निर्मित कई नवागत डेल्टा फलन मापक के अर्थ के बदले केवल वितरण के अर्थ में अभिसरण करते हैं (एक उदाहरण नीचे डिरिचलेट कर्नेल है)।

एक अन्य उदाहरण $ε → 0$ तरंग समीकरण के लिए कॉची समस्या है: $$ \begin{align} c^{-2}\frac{\partial^2u}{\partial t^2} - \Delta u &= 0\\ u=0,\quad \frac{\partial u}{\partial t} = \delta &\qquad \text{for }t=0. \end{align} $$ समाधान $η_{ε}$ मूल बिंदु पर प्रारंभिक विक्षोभ के साथ, एक अनंत प्रत्यास्थ स्ट्रिंग के संतुलन से विस्थापन का प्रतिनिधित्व करते है।

इस प्रकार की तत्समक के अन्य अनुमानों में सिनक फलन (इलेक्ट्रॉनिक्स और दूरसंचार में व्यापक रूप से उपयोग किया जाने वाला) सम्मिलित है। $$\eta_\varepsilon(x)=\frac{1}{\pi x}\sin\left(\frac{x}{\varepsilon}\right)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\frac{1}{\varepsilon}}^{\frac{1}{\varepsilon}} \cos(kx)\,dk $$ और बेसेल फलन है। $$ \eta_\varepsilon(x) =  \frac{1}{\varepsilon}J_{\frac{1}{\varepsilon}} \left(\frac{x+1}{\varepsilon}\right). $$

समतल तरंग अपघटन
रैखिक आंशिक अवकल समीकरण के अध्ययन के लिए एक दृष्टिकोण $$L[u]=f,$$ जहां $η$, $R^{1+1}$ पर एक विभेदक प्रचालक है, सबसे पहले एक मौलिक समाधान खोजना है, जो समीकरण का एक समाधान है $$L[u]=\delta.$$ जब $η_{δ}$ विशेष रूप से सरल है, तो इस समस्या को प्रायः सीधे फूरियर रूपांतर का उपयोग करके हल किया जा सकता है (जैसा कि पॉइसन कर्नेल और हीट कर्नेल के प्रकरण में पहले ही उल्लेख किया गया है)। अधिक सम्मिश्र प्रचालकों के लिए, पहले फॉर्म के समीकरण पर विचार करना कभी-कभी आसान होता है $$L[u]=h$$ जहाँ $η_{ε}$ एक समतल तरंग फलन है, जिसका अर्थ है कि इसका रूप है $$h = h(x\cdot\xi)$$ कुछ सदिश $ε$ के लिए है। ऐसे समीकरण को कॉची-कोवालेव्स्काया प्रमेय द्वारा (यदि $u$ के गुणांक विश्लेषणात्मक फलन हैं) या (यदि $L$ के गुणांक स्थिर हैं) चतुर्भुज द्वारा हल किया जा सकता है। इसलिए, यदि डेल्टा फलन को समतल तरंगों में विघटित किया जा सकता है, तो कोई सिद्धांत रूप से रैखिक आंशिक अंतर समीकरणों को हल कर सकता है।

डेल्टा फलन का समतल तरंगों में इस तरह का अपघटन एक सामान्य तकनीक का भाग था जिसे पहले अनिवार्य रूप से जोहान रेडॉन द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और फिर फ़्रिट्ज़ जॉन (1955) द्वारा इस रूप में विकसित किया गया था। $L$ का चयन करे ताकि $R^{n}$ एक सम पूर्णांक है, और एक वास्तविक संख्या $h$ के लिए, लगाएं $$g(s) = \operatorname{Re}\left[\frac{-s^k\log(-is)}{k!(2\pi i)^n}\right] =\begin{cases} \frac{|s|^k}{4k!(2\pi i)^{n-1}}  &n \text{ odd}\\[5pt] -\frac{|s|^k\log|s|}{k!(2\pi i)^n}&n \text{ even.} \end{cases}$$ तब इकाई क्षेत्र $n + k$ में $ξ$ के लिए $S^{n−1}$ के इकाई क्षेत्र माप $L$ के संबंध में लाप्लासियन की शक्ति को उपयोजित करके $L$ प्राप्त किया जाता है: $$\delta(x) = \Delta_x^{(n+k)/2} \int_{S^{n-1}} g(x\cdot\xi)\,d\omega_\xi.$$ यहां लाप्लासियन की व्याख्या एक कमजोर व्युत्पन्न के रूप में की गई है, ताकि इस समीकरण का अर्थ यह निकाला जा सके कि, किसी भी परीक्षण फलन $k$ के लिए, $$\varphi(x) = \int_{\mathbf{R}^n}\varphi(y)\,dy\,\Delta_x^{\frac{n+k}{2}} \int_{S^{n-1}} g((x-y)\cdot\xi)\,d\omega_\xi.$$ परिणाम न्यूटोनियन क्षमता (पॉइसन समीकरण का मौलिक समाधान) के सूत्र से होता है। यह मूल रूप से रेडॉन परिवर्तन के लिए व्युत्क्रम सूत्र का एक रूप है क्योंकि यह अधिसमतल पर अपने समाकल से $g(x · ξ)$ का मान पुनर्प्राप्त करता है। उदाहरण के लिए, यदि $s$ विषम है और $φ(x)$ है, तो दाहिनी ओर पूर्णांक है $$ \begin{align} & c_n \Delta^{\frac{n+1}{2}}_x\iint_{S^{n-1}} \varphi(y)|(y-x) \cdot \xi| \, d\omega_\xi \, dy \\[5pt] & \qquad = c_n \Delta^{(n+1)/2}_x \int_{S^{n-1}} \, d\omega_\xi \int_{-\infty}^\infty |p| R\varphi(\xi,p+x\cdot\xi)\,dp \end{align} $$ जहां $k = 1$ $ξ$ का रैडॉन रूपांतरण है: $$R\varphi(\xi,p) = \int_{x\cdot\xi=p} f(x)\,d^{n-1}x.$$ समतल तरंग अपघटन की एक वैकल्पिक समतुल्य अभिव्यक्ति है: $$\delta(x) = \begin{cases} \frac{(n-1)!}{(2\pi i)^n}\displaystyle\int_{S^{n-1}}(x\cdot\xi)^{-n} \, d\omega_\xi & n\text{ even} \\ \frac{1}{2(2\pi i)^{n-1}}\displaystyle\int_{S^{n-1}}\delta^{(n-1)}(x\cdot\xi)\,d\omega_\xi & n\text{ odd}. \end{cases}$$

फूरियर कर्नेल
फूरियर श्रृंखला के अध्ययन में, एक प्रमुख प्रश्न यह निर्धारित करना है कि क्या और किस अर्थ में आवधिक फलन से जुड़ी फूरियर श्रृंखला फलन में परिवर्तित होती है। अवधि $Rφ(ξ, p)$ के फलन $dω$ की फूरियर श्रृंखला का $δ$-वां आंशिक योग डिरिचलेट कर्नेल के साथ संवलन (अंतराल $φ$ पर) द्वारा परिभाषित किया गया है: $$D_N(x) = \sum_{n=-N}^N e^{inx} = \frac{\sin\left(\left(N+\frac12\right)x\right)}{\sin(x/2)}.$$ इस प्रकार, $$s_N(f)(x) = D_N*f(x) = \sum_{n=-N}^N a_n e^{inx}$$ जहाँ $$a_n = \frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^\pi f(y)e^{-iny}\,dy.$$ प्राथमिक फूरियर श्रृंखला का एक मौलिक परिणाम में कहा गया है कि डिरिचलेट कर्नेल अंतराल $n$ तक सीमित है, जो $2π$ के रूप में डेल्टा फलन के गुणज की ओर जाता है। इसकी व्याख्या वितरण अर्थ में की जाती है $$s_N(f)(0) = \int_{-\pi}^{\pi} D_N(x)f(x)\,dx \to 2\pi f(0)$$ प्रत्येक सघन रूप से समर्थित फलन $φ$ के लिए है। इस प्रकार, औपचारिक रूप से किसी के पास है $$\delta(x) = \frac1{2\pi} \sum_{n=-\infty}^\infty e^{inx}$$ अंतराल पर $f$ है।

इसके बदले, परिणाम सभी सघन रूप से समर्थित फलन के लिए मान्य नहीं है: अर्थात् $N → ∞$ मापक के अर्थ में कमजोर रूप से अभिसरण नहीं करती है। फूरियर श्रृंखला के अभिसरण की कमी के कारण अभिसरण उत्पन्न करने के लिए विभिन्न प्रकार की योग्‍यता विधियों का प्रारंभ हुआ है। सेसरो योग की विधि फेजर कर्नेल की ओर ले जाती है।

$$F_N(x) = \frac1N\sum_{n=0}^{N-1} D_n(x) = \frac{1}{N}\left(\frac{\sin \frac{Nx}{2}}{\sin \frac{x}{2}}\right)^2.$$ फेजर कर्नेल एक मजबूत अर्थ में डेल्टा फलन की ओर प्रवृत्त होती है।

$$\int_{-\pi}^{\pi} F_N(x)f(x)\,dx \to 2\pi f(0)$$ प्रत्येक सघन रूप से समर्थित फलन $n$ के लिए है। निहितार्थ यह है कि किसी भी सतत फलन की फूरियर श्रृंखला प्रत्येक बिंदु पर फलन के मान के योग के अनुसार होती है।

हिल्बर्ट समष्टि सिद्धांत
डिराक डेल्टा वितरण वर्ग-समाकल फलनों के हिल्बर्ट समष्टि L2 पर एक सघन रूप से परिभाषित असीमित रैखिक कार्यात्मक है। वास्तव में, सुचारु रूप से समर्थित फलन $D_{N}$ में सघन हैं, और ऐसे फलनों पर डेल्टा वितरण की कार्रवाई अच्छी तरह से परिभाषित है। कई अनुप्रयोगों में, $L^{2}$ के उपसमष्‍टि की तत्समक करना संभव है और एक मजबूत टोपोलॉजी देना संभव है, जिस पर डेल्टा फलन एक बंधे हुए रैखिक कार्यात्मक को परिभाषित करता है।

सोबोलेव समष्टि
वास्तविक रेखा $L^{2}$ पर सोबोलेव समष्टि के लिए सोबोलेव एम्बेडिंग प्रमेय का तात्पर्य यह है कि कोई भी वर्ग-समाकल फलन $[−π,π]$ जैसे कि

$$\|f\|_{H^1}^2 = \int_{-\infty}^\infty |\widehat{f}(\xi)|^2 (1+|\xi|^2)\,d\xi < \infty$$ स्वचालित रूप से सतत है, और विशेष रूप से संतुष्ट करता है

$$\delta[f]=|f(0)| < C \|f\|_{H^1}.$$ इस प्रकार $[−π,π]$ सोबोलेव समष्टि $R$ पर एक परिबद्ध रैखिक कार्यात्मक है। समान रूप से $f$, $H^{1}$ के सतत दोहरे समष्टि $H^{1}$का एक तत्व है। अधिक सामान्यतः $[−π,π]$ आयाम में, किसी के पास $H^{−1}$ है बशर्ते $δ ∈ H^{−s}(R^{n})$ है।

होलोमोर्फिक फलन के समष्टि
सम्मिश्र विश्लेषण में, डेल्टा फलन कॉची के समाकल सूत्र के माध्यम से प्रवेश करता है, जो दृढतापूर्वक कहता है कि यदि $f$ सुचारू सीमा के साथ सम्मिश्र समतल में एक डोमेन है, तो

$$f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta-z},\quad z\in D$$ $f$ में सभी होलोमोर्फिक फलन $δ$ के लिए जो $δ$ के संवरक होने पर सतत है। परिणामस्वरूप, डेल्टा फलन $s > n⁄2$ को कॉची समाकल द्वारा होलोमोर्फिक फलन के इस वर्ग में दर्शाया गया है:

$$\delta_z[f] = f(z) = \frac{1}{2\pi i} \oint_{\partial D} \frac{f(\zeta)\,d\zeta}{\zeta-z}.$$ इसके अलावा, मान लीजिए कि $δ_{z}$ हार्डी समष्टि है, जिसमें $n$ की सीमा तक सतत $D$ में सभी होलोमोर्फिक फलन को $H^{2}(∂D)$ में संवरक करना सम्मिलित है। $L^{2}(∂D)$ में फलन विशिष्ट रूप से $D$ में होलोमोर्फिक फलन तक विस्तारित होते हैं, और कॉची समाकल सूत्र संचालित है। विशेष रूप से $H^{2}(∂D)$ के लिए, डेल्टा फलन $f$ $z ∈ D$ पर एक सतत रैखिक कार्यात्मक है। यह कई सम्मिश्र चरों में स्थिति का एक विशेष प्रकरण है, जिसमें सुचारू डोमेन $D$ के लिए, स्ज़ेगो कर्नेल कॉची समाकल की भूमिका निभाता है।

तत्समक के संकल्प
एक अलग हिल्बर्ट समष्टि में फलन$H^{2}(∂D)$ के पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल आधार समुच्चय को देखते हुए, उदाहरण के लिए, सघन स्वयं-एडजॉइंट प्रचालक के सामान्यीकृत आइजन्सदिश, किसी भी सदिश $D$ को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है $$f = \sum_{n=1}^\infty \alpha_n \varphi_n. $$ गुणांक {αn} के रूप में पाए जाते हैं $$\alpha_n = \langle \varphi_n, f \rangle,$$ जिसे संकेतन द्वारा दर्शाया जा सकता है: $$\alpha_n = \varphi_n^\dagger f, $$ डिराक के ब्रा-केट संकेतन का एक रूप है। इस संकेतन को अपनाने पर, $D$ का विस्तार डायडिक रूप लेता है:

$$f = \sum_{n=1}^\infty \varphi_n \left ( \varphi_n^\dagger f \right). $$ मान लीजिए कि $D$ हिल्बर्ट समष्टि पर तत्समक प्रचालक को निरूपित करता है, अभिव्यक्ति

$$I = \sum_{n=1}^\infty \varphi_n \varphi_n^\dagger, $$ तत्समक का संकल्प कहलाता है। जब हिल्बर्ट समष्टि डोमेन $δ_{z}$ पर वर्ग-समाकल फलनों का समष्टि $\{φ_{n}\}$ है, तो मात्रा:

$$\varphi_n \varphi_n^\dagger, $$ एक समाकल प्रचालक है, और $D$ के लिए अभिव्यक्ति को पुनः लिखा जा सकता है

$$f(x) = \sum_{n=1}^\infty \int_D\, \left( \varphi_n (x) \varphi_n^*(\xi)\right) f(\xi) \, d \xi.$$ दाहिनी भाग $L^{2}(D)$ अर्थ में $f$ में परिवर्तित होता है। इसे बिंदुवार अर्थ में रखने की आवश्यकता नहीं है, तब भी जब $f$ एक सतत फलन है। तथापि, संकेतन का दुरुपयोग करना और लिखना सामान्य बात है

$$f(x) = \int \, \delta(x-\xi) f (\xi)\, d\xi, $$ जिसके परिणामस्वरूप डेल्टा फलन का प्रतिनिधित्व होता है:

$$\delta(x-\xi) = \sum_{n=1}^\infty \varphi_n (x) \varphi_n^*(\xi). $$ एक उपयुक्त रिग्ड हिल्बर्ट समष्टि $L^{2}$ के साथ जहां $(Φ, L^{2}(D), Φ*)$ में सभी सघन रूप से समर्थित सुचारु फलन सम्मिलित हैं, यह योग आधार $Φ ⊂ L^{2}(D)$ के गुणों के आधार पर $φ_{n}$ में परिवर्तित हो सकता है। व्यावहारिक रुचि के अधिकांश प्रकरण में, ऑर्थोनॉर्मल आधार एक समाकल या विभेदक प्रचालक से आता है, जिस स्थिति में श्रृंखला वितरण अर्थ में परिवर्तित होता है।

अत्युणु डेल्टा फलन
कॉची ने 1827 में कई लेखों में एक इकाई आवेग, अपरिमित लंबा और संकीर्ण डायराक-प्रकार डेल्टा फलन $I$ को संतुष्ट करने वाले $\int F(x)\delta_\alpha(x) \,dx = F(0)$ को लिखने के लिए एक अपरिमित छोटे $D$ का उपयोग किया है। कॉची ने कौर्स d'विश्लेशण (1827) में शून्य की ओर प्रवृत्त अनुक्रम के संदर्भ में एक अतिसूक्ष्म को परिभाषित करता है। अर्थात्, कॉची और लज़ारे कार्नोट की शब्दावली में ऐसा शून्य अनुक्रम एक अत्यंत छोटा अनुक्रम बन जाता है।

गैर-मानक विश्लेषण किसी को अतिसूक्ष्म के साथ कठोरता से व्यवहार करने की अनुमति देता है। के लेख में हाइपररियल द्वारा प्रदान किए गए एक अनंत-समृद्ध सातत्य के संदर्भ में आधुनिक डिराक डेल्टा फलन पर एक ग्रंथ सूची सम्मिलित है। यहां डिराक डेल्टा को एक वास्तविक फलन द्वारा दिया जा सकता है, जिसमें यह गुण होता है कि प्रत्येक वास्तविक फलन $f$ के लिए $\int F(x)\delta_\alpha(x) \, dx = F(0)$  होता है, जैसा कि फूरियर और कॉची द्वारा प्रत्याशित होता है।

डिराक कॉम्ब
डिराक डेल्टा माप की एक तथाकथित समान पल्स ट्रेन, जिसे डिराक कॉम्ब या शा वितरण के रूप में जाना जाता है, एक प्रतिदर्श (सिग्नल संसाधन) फलन बनाता है, जिसका उपयोग प्रायः डिजिटल सिग्नल प्रसंस्करण (डीएसपी) और असतत समय सिग्नल विश्लेषण में किया जाता है। डिराक कॉम्ब को अनंत योग के रूप में दिया गया है, जिसकी सीमा वितरण अर्थ में समझी जाती है,

$$\operatorname{III}(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty \delta(x-n),$$ जो प्रत्येक पूर्णांक पर बिंदु द्रव्यमान का एक क्रम है।

समग्र सामान्यीकरण स्थिरांक तक, डिराक कॉम्ब अपने स्वयं के फूरियर रूपांतरण के समान है। यह महत्वपूर्ण है क्योंकि यदि $f$ कोई श्वार्ट्ज फलन है, तो $f$ की अवधि संवलन द्वारा दी गई है $$(f * \operatorname{III})(x) = \sum_{n=-\infty}^\infty f(x-n).$$ विशेष रूप से, $$(f*\operatorname{III})^\wedge = \widehat{f}\widehat{\operatorname{III}} = \widehat{f}\operatorname{III}$$ यह यथार्थतः पॉइसन योग सूत्र है। अधिक सामान्यतः, यह सूत्र सत्य रहता है यदि $δ_{α}$ तीव्र अवतरण का एक संयमित वितरण है या तुल्य, यदि $$\widehat{f}$$ टेम्पर्ड वितरण के क्षेत्र में एक धीरे-धीरे बढ़ने वाला, सामान्य फलन है।

सोखोत्स्की-प्लेमेलज प्रमेय
क्वांटम यांत्रिकी में महत्वपूर्ण सोखोटस्की-प्लेमेलज प्रमेय, डेल्टा फलन को वितरण $Φ*$ से संबंधित करता है, फलन $p.v. 1⁄x$ का कॉची प्रमुख मूल्य, द्वारा परिभाषित

$$\left\langle\operatorname{p.v.}\frac{1}{x}, \varphi\right\rangle = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\int_{|x|>\varepsilon} \frac{\varphi(x)}{x}\,dx.$$ सोखोत्स्की का सूत्र यह बताता है

$$\lim_{\varepsilon\to 0^+} \frac{1}{x\pm i\varepsilon} = \operatorname{p.v.}\frac{1}{x} \mp i\pi\delta(x),$$ यहां सीमा को वितरण अर्थ में समझा जाता है, जो कि सभी सघन रूप से समर्थित सुचारू फलनों $α$ के लिए है,

$$\int_{-\infty}^{\infty}\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\frac{f(x)}{x\pm i\varepsilon}\,dx=\mp i\pi f(0)+\lim_{\varepsilon\to0^{+}}\int_{|x|>\varepsilon}\frac{f(x)}{x}\,dx.$$

क्रोनकर डेल्टा से संबंध
क्रोनकर डेल्टा $F$ द्वारा परिभाषित मात्रा है

$$\delta_{ij} = \begin{cases} 1 & i=j\\ 0 &i\not=j \end{cases} $$ सभी पूर्णांकों $T$, $f$ के लिए है। यह फलन तब सिफ्टिंग गुण के निम्नलिखित एनालॉग को संतुष्ट करता है: यदि $f$ (सभी पूर्णांकों के समुच्चय में $f$ के लिए) कोई दोगुना-अनंत अनुक्रम है, तो

$$\sum_{i=-\infty}^\infty a_i \delta_{ik}=a_k.$$ इसी प्रकार, $1⁄x$ पर किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र मूल्य वाले सतत फलन $f$ के लिए, डिराक डेल्टा सिफ्टिंग गुण को संतुष्ट करता है

$$\int_{-\infty}^\infty f(x)\delta(x-x_0)\,dx=f(x_0).$$ यह क्रोनेकर डेल्टा फलन को डिराक डेल्टा फलन के एक अलग एनालॉग के रूप में प्रदर्शित करता है।

प्रायिकता सिद्धांत
प्रायिकता सिद्धांत और सांख्यिकी में, डिराक डेल्टा फलन का उपयोग प्रायिकता घनत्व फलन (जो सामान्यतः यथार्थतः सतत वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है) का उपयोग करके असतत वितरण, या आंशिक रूप से असतत, आंशिक रूप से सतत वितरण का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक असतत वितरण की प्रायिकता घनत्व फलन $R$ जिसमें बिंदु $f(x)$ सम्मिलित है, संबंधित संभावनाओं $x = \{x_{1}, ..., x_{n}\}$ के साथ, इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$f(x) = \sum_{i=1}^n p_i \delta(x-x_i).$$ एक अन्य उदाहरण के रूप में, एक वितरण पर विचार करें जिसमें 6/10 समय एक मानक सामान्य वितरण लौटाता है, और 4/10 समय यथार्थतः मान 3.5 (अर्थात् आंशिक रूप से सतत, आंशिक रूप से असतत मिश्रण वितरण) लौटाता है। इस वितरण का घनत्व फलन इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$f(x) = 0.6 \, \frac {1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{x^2}{2}} + 0.4 \, \delta(x-3.5).$$ डेल्टा फलन का उपयोग यादृच्छिक चर के परिणामी प्रायिकता घनत्व फलन का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जाता है जो लगातार भिन्न फलन द्वारा परिवर्तित होता है। यदि $p_{1}, ..., p_{n}$ एक सतत अवकलनीय फलन है, तो $δ_{ij}$ का घनत्व इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$f_Y(y) = \int_{-\infty}^{+\infty} f_X(x) \delta(y-g(x)) \,dx. $$ डेल्टा फलन का उपयोग प्रसार प्रक्रिया (जैसे ब्राउनियन गति) के स्थानीय समय (गणित) को दर्शाने के लिए पूरी तरह से अलग प्रकार से किया जाता है। स्टोकेस्टिक प्रक्रिया का स्थानीय समय $Y = g(X)$ द्वारा दिया गया है $$\ell(x,t) = \int_0^t \delta(x-B(s))\,ds$$ और उस समय की मात्रा को दर्शाता है जो प्रक्रिया की सीमा में बिंदु $i$ पर खर्च करती है। अधिक सटीक रूप से, एक आयाम में यह समाकल लिखा जा सकता है $$\ell(x,t) = \lim_{\varepsilon\to 0^+}\frac{1}{2\varepsilon}\int_0^t \mathbf{1}_{[x-\varepsilon,x+\varepsilon]}(B(s))\,ds$$ जहां $$\mathbf{1}_{[x-\varepsilon,x+\varepsilon]}$$ अंतराल $$[x-\varepsilon,x+\varepsilon].$$ का सूचक फलन है।

क्वांटम यांत्रिकी
क्वांटम यांत्रिकी में डेल्टा फलन योग्य है। किसी कण का तरंग फलन समष्टि के किसी दिए गए क्षेत्र के अंतर्गत एक कण को ​​खोजने की संभावना आयाम देता है। तरंग फलनों को हिल्बर्ट समष्टि $B(t)$ के तत्व माना जाता है, और किसी दिए गए अंतराल के अंतर्गत एक कण को ​​खोजने की कुल संभावना अंतराल पर तरंग फलन के वर्ग के परिमाण का समाकल है। तरंग फलनों का एक समुच्चय $L^{2}$ लंबात्मक होता है यदि उन्हें इसके द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है

$$\langle\varphi_n \mid \varphi_m\rangle = \delta_{nm}$$ जहां $j$ क्रोनकर डेल्टा है। यदि किसी तरंग फलन $\{|φ_{n}\rangle\}$ को सम्मिश्र गुणांक के साथ $|ψ\rangle$ के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, तो ऑर्थोनॉर्मल तरंग फलनों का एक समुच्चय वर्ग-अभिन्न फलन के स्थान में पूरा हो जाता है:

$$ \psi = \sum c_n \varphi_n, $$ $\{|φ_{n}\rangle\}$ के साथ है। तरंग फलनों की पूर्ण ऑर्थोनॉर्मल प्रणालियाँ स्वाभाविक रूप से क्वांटम यांत्रिकी में हैमिल्टनियन (एक बाध्य अवस्था के) के अभिलक्षणिक फलन के रूप में दिखाई देती हैं जो ऊर्जा के स्तर को मापती हैं, जिन्हें अभिलक्षणिक मान कहा जाता है। इस प्रकरण में, अभिलक्षणिक मान ​​​​के समुच्चय को हैमिल्टनियन के स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है। ब्रा-केट संकेतन में, जैसा कि ऊपर दिया गया है, यह समानता तत्समक के समाधान को दर्शाती है:

$$I = \sum |\varphi_n\rangle\langle\varphi_n|.$$ यहां अभिलक्षणिक मान ​​​​को असतत माना जाता है, लेकिन एक अवलोकन के अभिलक्षणिक मान ​​​​का समुच्चय असतत के बदले सतत हो सकता है। एक उदाहरण $ψ⟩$ देखने योग्य अवस्था है। स्थिति का स्पेक्ट्रम (एक आयाम में) संपूर्ण वास्तविक रेखा है और इसे सतत स्पेक्ट्रम कहा जाता है। हालाँकि, हैमिल्टनियन के विपरीत, स्थिति प्रचालक में उचित अभिलक्षणिक फलन का अभाव है। इस कमी को दूर करने का पारंपरिक प्रकार वितरण की अनुमति देकर उपलब्ध फलनों के वर्ग का विस्तार करना है: अर्थात्, क्वांटम यांत्रिकी के हिल्बर्ट समष्टि को एक उपयुक्त रिग्ड हिल्बर्ट समष्टि के साथ प्रतिस्थापित करना है। इस संदर्भ में, स्थिति प्रचालक के पास ईजेन-वितरण का एक पूरा समुच्चय होता है, जिसे वास्तविक रेखा के बिंदु $a_{i}$ द्वारा लेबल किया जाता है,

$$\varphi_y(x) = \delta(x-y).$$ स्थिति के अभिलक्षणिक फलन को डिराक संकेतन में $Qψ(x) = xψ(x)$ द्वारा निरूपित किया जाता है और स्थिति अभिलक्षणिक अवस्था के रूप में जाना जाता है।

इसी तरह के विचार संवेग संचालक के अभिलक्षणिक अवस्था, या वास्तव में हिल्बर्ट समष्टि पर किसी अन्य स्व-सहायक अपरिबद्धि प्रचालक $i$ पर उपयोजित होते हैं, बशर्ते कि $f$ का स्पेक्ट्रम सतत है और कोई विकृत अभिलक्षणिक मान नहीं हैं। उस स्थिति में, वास्तविक संख्याओं (स्पेक्ट्रम) का एक समुच्चय $φ_{y} = |y\rangle$ है, और $Ω$ के तत्वों द्वारा अनुक्रमित वितरण का एक संग्रह $Y$ है, जैसे कि

$$P\varphi_y = y\varphi_y.$$ अर्थात्, $x$, $δ$ के अभिलक्षणिक सदिश हैं। यदि अभिलक्षणिक सदिश को सामान्यीकृत किया जाता है तो

$$\langle \varphi_y,\varphi_{y'}\rangle = \delta(y-y')$$ वितरण अर्थ में, किसी भी परीक्षण फलन $y$ के लिए,

$$ \psi(x) = \int_\Omega c(y) \varphi_y(x) \, dy$$ जहां $Ω$ है। अर्थात्, असतत प्रकरण की तरह, तत्समक का एक समाधान है

$$I = \int_\Omega |\varphi_y\rangle\, \langle\varphi_y|\,dy$$ जहां प्रचालक-मूल्यवान समाकल को फिर से कमजोर अर्थ में समझा जाता है। यदि $P$ का स्पेक्ट्रम में सतत और असतत दोनों भाग होते हैं, तो तत्समक के समाधान में असतत स्पेक्ट्रम पर एक योग और सतत स्पेक्ट्रम पर एक समाकल सम्मिलित होता है।

डेल्टा फलन के क्वांटम यांत्रिकी में कई और विशिष्ट अनुप्रयोग भी हैं, जैसे एकल और दोहरी क्षमता वाले डेल्टा संभावित प्रतिरूप भी है।

संरचनात्मक यांत्रिकी
डेल्टा फलन का उपयोग संरचनात्मक यांत्रिकी में संरचनाओं पर अभिनय करने वाले क्षणिक भार या बिंदु भार का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। समय $c(y) = ⟨ψ, φ_{y}⟩$ पर आकस्मिक बल आवेग $P$ से उत्तेजित एक सरल द्रव्यमान-स्प्रिंग प्रणाली का गवर्निंग समीकरण (भौतिकी) लिखा जा सकता है।

$$m \frac{d^2 \xi}{dt^2} + k \xi = I \delta(t),$$ जहाँ $φ_{y}$ द्रव्यमान है, $φ_{y}$ विक्षेपण है, और $P$ स्प्रिंग स्थिरांक है।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, यूलर-बर्नौली सिद्धांत के अनुसार, एक तनु बीम (संरचना) के स्थिर विक्षेपण को नियंत्रित करने वाला समीकरण है,

$$EI \frac{d^4 w}{dx^4} = q(x),$$ जहां $ψ$ बीम की झुकाव कठोरता है, $P$ विक्षेपण (इंजीनियरिंग) है, $I$ स्थानिक समन्वय है, और $t = 0$ भार वितरण है। यदि एक बीम को एक बिंदु बल $m$ द्वारा $q(x)$ पर लोड किया जाता है, तो लोड वितरण लिखा जाता है।

$$q(x) = F \delta(x-x_0).$$ डेल्टा फलन के एकीकरण के परिणामस्वरूप हेविसाइड पद फलन होता है, यह इस प्रकार है कि एकाधिक बिंदु भार के अधीन एक पतली बीम के स्थैतिक विक्षेपण को खंडशः बहुपदों के एक समुच्चय द्वारा वर्णित किया गया है।

साथ ही, बीम पर कार्य करने वाले एक बिंदु क्षण को डेल्टा फलन द्वारा वर्णित किया जा सकता है। दूरी $ξ$ पर दो विरोधी बिंदु बलों $k$ पर विचार किया जा सकता है। फिर वे बीम पर कार्य करते हुए एक क्षण $x = x_{0}$ उत्पन्न करते हैं। अब दूरी $EI$ को सीमा शून्य तक पहुंचने दें, जबकि $w$ स्थिर रखा गया हैं। भार वितरण, $M = Fd$ पर कार्य करने वाले दक्षिणावर्त क्षण को मानते हुए लिखा जाता है।

$$\begin{align} q(x) &= \lim_{d \to 0} \Big( F \delta(x) - F \delta(x-d) \Big) \\[4pt] &= \lim_{d \to 0} \left( \frac{M}{d} \delta(x) - \frac{M}{d} \delta(x-d) \right) \\[4pt] &= M \lim_{d \to 0} \frac{\delta(x) - \delta(x - d)}{d}\\[4pt] &= M \delta'(x). \end{align}$$ इस प्रकार बिंदु क्षणों को डेल्टा फलन के व्युत्पन्न द्वारा दर्शाया जा सकता है। बीम समीकरण के एकीकरण से फिर से खंडशः बहुपद विक्षेपण होता है।

यह भी देखें

 * परमाणु (माप सिद्धांत)
 * सूचक का लाप्लासियन

बाहरी संबंध

 * KhanAcademy.org video lesson
 * The Dirac Delta function, a tutorial on the Dirac delta function.
 * Video Lectures – Lecture 23, a lecture by Arthur Mattuck.
 * The Dirac delta measure is a hyperfunction
 * We show the existence of a unique solution and analyze a finite element approximation when the source term is a Dirac delta measure
 * Non-Lebesgue measures on R. Lebesgue-Stieltjes measure, Dirac delta measure.
 * We show the existence of a unique solution and analyze a finite element approximation when the source term is a Dirac delta measure
 * Non-Lebesgue measures on R. Lebesgue-Stieltjes measure, Dirac delta measure.