आकार सिद्धांत

गणित में, आकार सिद्धांत इन फलनों के परिवर्तन के संबंध में $$\mathbb{R}^k$$ मूल्यवान संपन्न टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान के गुणों का अध्ययन करता रहता है| इस प्रकार फलन (गणित) अधिक औपचारिक रूप से होती हैं| और आकार सिद्धांत का विषय आकार जोड़े के मध्य प्राकृतिक छद्म दूरी का अध्ययन होता है| इस प्रकार आकार सिद्धांत का सर्वेक्षण इसमें पाया जा सकता है.

इतिहास और अनुप्रयोग
आकार सिद्धांत के प्रारंभ में फ्रोसिनी द्वारा प्रस्तुत आकार फलन की अवधारणा में यह निहित होता है। कि कंप्यूटर दृष्टि और पैटर्न पहचान में आकार की तुलना के लिए प्रारंभ में आकार फलन के उपयोग में गणितीय उपकरण के रूप में किया जाता है।

आकार फलन की अवधारणा का बीजगणितीय टोपोलॉजी के लिए विस्तार 1999 में फ्रोसिनी और मुलाज़ानी पेपर में किया गया था और जहां आकार के समरूप समूहों को $$\mathbb{R}^k$$ मूल्यवान फलन के लिए प्राकृतिक छद्म दूरी के साथ प्रस्तुत किया गया था| इस प्रकार होमोलॉजी सिद्धांत (आकार फ़ैक्टर) का विस्तार 2001 में प्रस्तुत किया गया था। और आकार होमोटॉपी समूह और आकार फ़ंक्टर दृढ़ता से सदैव होमोलॉजी समूह की अवधारणा से संबंधित होते रहते हैं और सदैव होमोलॉजी में इनका अध्ययन किया गया हैं। इस प्रकार यह इंगित करना उचित है कि आकार फलन $$0$$ सदैव होमोलॉजी समूह की रैंक होती है,और जबकि सदैव होमोलॉजी समूह और आकार होमोटॉपी समूह के मध्य का संबंध होमोलॉजी समूहों और होमोटॉपी समूहों के मध्य वर्तमान संबंध के अनुरूप होता है।

आकार सिद्धांत में, आकार फलनों और आकार समरूप समूहो को प्राकृतिक छद्म दूरी के लिए निचली सीमा की गणना करने के लिए उपकरण के रूप में देखा जाता है। क्योकि,निम्नलिखित लिंक आकार फलन $$\ell_{(N,\psi)}(\bar x,\bar y)$$,$$\ell_{(M,\varphi)}(\tilde x,\tilde y)$$, $$d((M,\varphi),(N,\psi))                                                                                                                                                                                       $$ द्वारा आकार जोड़े $$(M,\varphi),\  (N,\psi)$$ के मध्य में लिए गए मानों के मध्य उपस्थित होता है |

,$$\text{If }\ell_{(N,\psi)}(\bar x,\bar y)>\ell_{(M,\varphi)}(\tilde x,\tilde y)\text{ then }d((M,\varphi),(N,\psi))\ge \min\{\tilde x-\bar x,\bar y-\tilde y\}. $$

समान परिणाम आकार होमोटॉपी समूह के लिए होता है।

आकार सिद्धांत और सर्वोच्च मानदंड से भिन्न मानदंडों के लिए प्राकृतिक छद्म दूरी की अवधारणा को सामान्य बनाने के प्रयास ने अन्य पुनर्मूल्यांकन ने अपरिवर्तनीय मानदंडों के अध्ययन को जन्म दिया गया है।

यह भी देखें

 * आकृति फलन
 * प्राकृतिक छद्म दूरी
 * आकृति फ़ैक्टर
 * आकृति समरूप समूह
 * आकृति जोड़ी
 * श्रेणी के अनुसार दूरी