परिभाषाओं द्वारा विस्तार

गणितीय तर्क में, विशेष रूप से प्रथम-क्रम तर्क के प्रमाण सिद्धांत में, परिभाषाओं द्वारा विस्तार एक परिभाषा के माध्यम से नए प्रतीकों के प्रारम्भिक को औपचारिक बनाता है। उदाहरण के लिए, समुच्चय सिद्धांत में किसी प्रतीक का परिचय देना सामान्य है $$\emptyset$$ उस समुच्चय के लिए जिसमें कोई इकाई नहीं होती है। प्रथम-क्रम सिद्धांतों की औपचारिक सेटिंग में, सिद्धांत में एक नया स्थिरांक जोड़कर ऐसा किया जा सकता है $$\emptyset$$ और नया सूक्ति$$\forall x(x\notin\emptyset)$$, जिसका अर्थ है "सभी x के लिए, x इसकी इकाई नहीं होती है $$\emptyset$$। यह तब प्रमाणित किया जा सकता है कि ऐसा करने से पुराने सिद्धांत में अनिवार्य रूप से कुछ भी नहीं जुड़ता है, जैसा कि एक परिभाषा से उम्मीद की जानी चाहिए। अधिक त्रुटिहीन रूप से, नया सिद्धांत पुराने सिद्धांत का रूढ़िवादी विस्तार करता है।

संबंध प्रतीकों की परिभाषा
मान लीजिए $$T$$ प्रथम-क्रम सिद्धांत बनें और $$\phi(x_1,\dots,x_n)$$ का एक सुगठित सूत्र $$T$$ ऐसा है कि $$x_1$$, ..., $$x_n$$ अलग-अलग हैं और इसमें वेरिएबल मुक्त चर सम्मलित हैं $$\phi(x_1,\dots,x_n)$$. एक नया प्रथम-क्रम सिद्धांत तैयार करें $$T'$$ से $$T$$ एक नया जोड़कर $$n$$-एरी संबंध प्रतीक $$R$$, प्रतीक की विशेषता वाले तार्किक सूक्ति $$R$$ और नया सूक्ति
 * $$\forall x_1\dots\forall x_n(R(x_1,\dots,x_n)\leftrightarrow\phi(x_1,\dots,x_n))$$,

का परिभाषित सूक्ति कहा जाता है $$R$$.

अगर $$\psi$$ का एक सूत्र है $$T'$$, मान लीजिए $$\psi^\ast$$ का सूत्र हो $$T$$ से प्राप्त $$\psi$$ की किसी भी घटना को प्रतिस्थापित करके $$R(t_1,\dots,t_n)$$ द्वारा $$\phi(t_1,\dots,t_n)$$ ( बाध्य चर को बदलना $$\phi$$ यदि आवश्यक हो तो इसमें होने वाले परिवर्तन $$t_i$$ में बंधे नहीं हैं $$\phi(t_1,\dots,t_n)$$). फिर निम्नलिखित होल्ड करें:


 * 1) $$\psi\leftrightarrow\psi^\ast$$ में सिद्ध है $$T'$$, और
 * 2) $$T'$$ का रूढ़िवादी विस्तार है $$T$$

यह तथ्य कि $$T'$$ का रूढ़िवादी विस्तार है $$T$$ दर्शाता है कि परिभाषित सूक्ति $$R$$ नए प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए इसका उपयोग नहीं किया जा सकता। सूत्र $$\psi^\ast$$ का अनुवाद कहा जाता है $$\psi$$ में $$T$$. शब्दार्थ की दृष्टि से सूत्र $$\psi^\ast$$ जैसा ही अर्थ है $$\psi$$, किन्तु परिभाषित प्रतीक $$R$$ समाप्त कर दिया गया है

फ़ंलन प्रतीकों की परिभाषा
मान लीजिए $$T$$ प्रथम-क्रम सिद्धांत (समानता के साथ) हो और $$\phi(y,x_1,\dots,x_n)$$ का एक सूत्र $$T$$ ऐसा है कि $$y$$, $$x_1$$, ..., $$x_n$$ विशिष्ट हैं और इसमें मुक्त चर सम्मलित होते हैं $$\phi(y,x_1,\dots,x_n)$$. मान लीजिए कि हम प्रमाणित कर सकते हैं
 * $$\forall x_1\dots\forall x_n\exists !y\phi(y,x_1,\dots,x_n)$$

में $$T$$, अर्थात सभी के लिए $$x_1$$, ..., $$x_n$$, वहाँ एक अद्वितीय y सम्मलित होते है जैसे कि $$\phi(y,x_1,\dots,x_n)$$ एक नया प्रथम-क्रम सिद्धांत तैयार करें $$T'$$ से $$T$$ एक नया जोड़कर $$n$$-एरी फ़ंलन प्रतीक $$f$$, प्रतीक की विशेषता वाले तार्किक सूक्ति $$f$$ और नया सूक्ति
 * $$\forall x_1\dots\forall x_n\phi(f(x_1,\dots,x_n),x_1,\dots,x_n)$$,

को परिभाषित सूक्ति कहा जाता है $$f$$

मान लीजिए $$\psi$$ का कोई भी परमाणु सूत्र हो $$T'$$ हम सूत्र परिभाषित करते हैं $$\psi^\ast$$ का $$T$$ पुनरावर्ती रूप से इस प्रकार होता है। यदि नया प्रतीक $$f$$ में नहीं होता है $$\psi$$, मान लीजिए  $$\psi^\ast$$ होना $$\psi$$. अन्यथा, की एक घटना चुनें $$f(t_1,\dots,t_n)$$ में $$\psi$$ ऐसा है कि $$f$$ शर्तों में नहीं होता है $$t_i$$, और जाने $$\chi$$ से प्राप्त किया जा सकता है $$\psi$$ उस घटना को एक नए चर से प्रतिस्थापित करके $$z$$. तब से $$f$$ में होता है $$\chi$$ से एक समय कम $$\psi$$, सूत्र $$\chi^\ast$$ पहले ही परिभाषित किया जा चुका है, $$\psi^\ast$$ होना
 * $$\forall z(\phi(z,t_1,\dots,t_n)\rightarrow\chi^\ast)$$

(बाउंड वेरिएबल्स को बदलना $$\phi$$ यदि आवश्यक हो तो इसमें होने वाले परिवर्तन $$t_i$$ में बंधे नहीं हैं $$\phi(z,t_1,\dots,t_n)$$). एक सामान्य सूत्र के लिए $$\psi$$, सूत्र $$\psi^\ast$$ परमाणु उपसूत्र की प्रत्येक घटना को प्रतिस्थापित करके बनाया जाता है $$\chi$$ द्वारा $$\chi^\ast$$ फिर निम्नलिखित होल्ड करें:


 * 1) $$\psi\leftrightarrow\psi^\ast$$ में सिद्ध है $$T'$$, और
 * 2) $$T'$$ का रूढ़िवादी विस्तार है $$T$$.

सूत्र $$\psi^\ast$$ का अनुवाद कहा जाता है $$\psi$$ में $$T$$. जैसा कि संबंध प्रतीकों के मामले में होता है, सूत्र $$\psi^\ast$$ जैसा ही अर्थ है $$\psi$$, किन्तु नया प्रतीक $$f$$ समाप्त कर दिया गया है.

इस पैराग्राफ का निर्माण स्थिरांक के लिए भी काम करता है, जिसे 0-एरी फ़ंलन प्रतीकों के रूप में देखा जा सकता है।

परिभाषाओं के अनुसार विस्तार
प्रथम-क्रम सिद्धांत $$T'$$ से प्राप्त $$T$$ ऊपर दिए गए संबंध प्रतीकों और फ़ंलन प्रतीकों के क्रमिक परिचय को परिभाषाओं द्वारा विस्तार कहा जाता है $$T$$. तब $$T'$$ का रूढ़िवादी विस्तार है $$T$$, और किसी भी सूत्र के लिए $$\psi$$ का $$T'$$ हम एक सूत्र बना सकते हैं $$\psi^\ast$$ का $$T$$, का अनुवाद कहा जाता है $$\psi$$ में $$T$$, ऐसा है कि $$\psi\leftrightarrow\psi^\ast$$ में सिद्ध है $$T'$$. ऐसा कोई सूत्र अद्वितीय नहीं है, किन्तु उनमें से किन्हीं दो को T में समतुल्य प्रमाणित किया जा सकता है।

परिभाषाओं द्वारा एक विस्तार $$T'$$ का $$T$$ मूल सिद्धांत $$T$$ से अलग नहीं होता है। वास्तव में, के सूत्र $$T'$$ उनके अनुवादों को $$T$$ संक्षिप्त करने के रूप में सोचा जा सकता है। इन संक्षिप्ताक्षरों को वास्तविक सूत्रों के रूप में यह तथ्य उचित है कि परिभाषाओं द्वारा विस्तार रूढ़िवादी होते हैं।

उदाहरण

 * परंपरागत रूप से, प्रथम-क्रम सेट सिद्धांत ज़र्मेलो-फ़्रैन्केल सूक्ति होती है $$=$$ (समानता) और $$\in$$ (सदस्यता) इसके एकमात्र अभाज्य प्रतीकों के रूप में, और कोई फ़ंलन प्रतीक नहीं होता है। चूँकि, प्रतिदिन गणित में, कई अन्य प्रतीकों का उपयोग किया जाता है जैसे कि द्विआधारी संबंध प्रतीक $$\subseteq$$, स्थिरांक $$\emptyset$$, यूनरी फ़ंलन प्रतीक पी ( घात समुच्चय संचालन), आदि। ये सभी प्रतीक वास्तव में ZF की परिभाषाओं के अनुसार विस्तार से संबंधित होते हैं।
 * मान लीजिए $$T$$ समूह (गणित) के लिए प्रथम-क्रम सिद्धांत बनें जिसमें एकमात्र अभाज्य प्रतीक बाइनरी उत्पाद × होता है। T में, प्रमाणित कर सकते हैं कि एक अद्वितीय तत्व y सम्मलित होता है जैसे कि प्रत्येक x के लिए x×y = y×x = x। इसलिए हम T में एक नया स्थिरांक e और अभिगृहीत जोड़ सकते हैं
 * $$\forall x(x \times e = x\text{ and }e \times x = x)$$,
 * और जो हम प्राप्त करते हैं वह परिभाषाओं का विस्तार होता है $$T'$$ का $$T$$ में फिर $$T'$$ को हम प्रमाणित कर सकते हैं कि प्रत्येक x के लिए, एक अद्वितीय y सम्मलित होते है जैसे कि x×y=y×x=e। परिणामस्वरूप, प्रथम-क्रम सिद्धांत $$T''$$ से प्राप्त किया गया $$T'$$ एक यूनरी फ़ंलन प्रतीक को युग्मित कर्के $$f$$ और सूक्ति
 * $$\forall x(x \times f(x)=e\text{ and }f(x) \times x=e)$$
 * की परिभाषाओं का एक विस्तार है $$T$$ सामान्यतः, $$f(x)$$ को निरूपित किया जाता है $$x^{-1}$$

यह भी देखें

 * रूढ़िवादी विस्तार
 * नए स्थिरांक और फ़ंलन नामों द्वारा विस्तार

ग्रन्थसूची

 * S. C. Kleene (1952), Introduction to Metamathematics, D. Van Nostrand
 * E. Mendelson (1997). Introduction to Mathematical Logic (4th ed.), Chapman & Hall.
 * J. R. Shoenfield (1967). Mathematical Logic, Addison-Wesley Publishing Company (reprinted in 2001 by AK Peters)