असतत-समय फूरियर रूपांतरण

गणित में, असतत-समय फूरियर रूपांतरण (डीटीएफटी ), जिसे परिमित फूरियर रूपांतरण भी कहा जाता है, फूरियर विश्लेषण का एक रूप है जो मूल्यों के अनुक्रम पर प्रयुक्त होता है।

डीटीएफटी का उपयोग अधिकांशतः एक सतत कार्य के नमूनों का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। असतत-समय' शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि परिवर्तन असतत डेटा पर संचालित होता है, अधिकांशतः ऐसे नमूने जिनके अंतराल में समय की इकाइयाँ होती हैं। समान रूप से दूरी वाले नमूनों से यह आवृत्ति का एक कार्य उत्पन्न करता है जो मूल निरंतर कार्य के निरंतर फूरियर रूपांतरण का आवधिक योग है। नमूनाकरण प्रमेय द्वारा वर्णित कुछ सैद्धांतिक स्थितियों के अनुसार, मूल निरंतर कार्य को डीटीएफटी से और इस प्रकार मूल असतत नमूनों से पूरी तरह से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। डीटीएफटी स्वयं आवृत्ति का एक सतत कार्य है, किन्तु इसके असतत नमूने असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी) के माध्यम से आसानी से गणना किए जा सकते हैं (देखें डीटीएफटी का नमूना लेना), जो आधुनिक फूरियर विश्लेषण का अब तक का सबसे आम विधि है।

दोनों परिवर्तन उलटे हैं। प्रतिलोम डीटीएफटी मूल नमूनाकृत डेटा अनुक्रम है। उलटा डीएफटी मूल अनुक्रम का आवधिक योग है। फास्ट फूरियर परिवर्तन (एफएफटी) डीएफटी के एक चक्र की गणना के लिए एक एल्गोरिदम है, और इसका व्युत्क्रम उलटा डीएफटी के एक चक्र का उत्पादन करता है।

परिभाषा
असतत-समय फूरियर वास्तविक या जटिल संख्याओं के असतत अनुक्रम का रूपांतरण करता है $x[n]$, सभी संख्या या पूर्णांकों के लिए $n$, एक त्रिकोणमितीय श्रृंखला है, जो एक आवृत्ति चर के आवधिक कार्य का उत्पादन करती है। जब आवृत्ति चर, ω, में रेडियंस/नमूने की सामान्यीकृत आवृत्ति (डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग) होती है, तो आवधिकता होती है $2π$, और डीटीएफटी श्रृंखला है:

असतत-समय फूरियर परिवर्तन एक फूरियर श्रृंखला के अनुरूप है, समय के आवधिक कार्य के साथ प्रारंभिक करने और आवृत्ति पर असतत अनुक्रम का उत्पादन करने के अतिरिक्त, यह समय में असतत अनुक्रम से प्रारंभिक होता है और आवृत्ति में आवधिक कार्य उत्पन्न करता है। इस फ्रीक्वेंसी डोमेन फलन की उपयोगिता पॉइसन योग सूत्र में निहित है। होने देना $X(f)$ किसी भी समारोह का फूरियर रूपांतरण हो, $x(t)$, जिनके नमूने कुछ अंतराल पर $$ (सेकंड) के बराबर (या आनुपातिक) हैं $x[n]$ क्रम, अर्थात $T⋅x(nT) = x[n]$. फिर फूरियर श्रृंखला द्वारा प्रस्तुत आवधिक कार्य एक आवधिक योग है $X(f)$ आवृत्ति के संदर्भ में $T$ हेटर्स  में (चक्र/सेकंड)':'

पूर्णांक $f$ में चक्र/नमूने की इकाइयाँ हैं, और $1/T$ नमूना-दर है, $T$ (नमूने/सेकंड)। इसलिए $X_{1/T}(f)$ की स्पष्ट प्रतियां सम्मिलित  हैं $X(f)$ जो के गुणकों द्वारा स्थानांतरित किया जाता है $f$ हर्ट्ज और इसके अतिरिक्त संयुक्त। अधिक बड़े के लिए $$ द $k = 0$ शब्द क्षेत्र में देखा जा सकता है $k$ अन्य शर्तों से बहुत कम या कोई विकृति (अलियासिंग)  नहीं है। चित्र 1 में, ऊपरी बाएँ कोने में वितरण के चरम को आवधिक योग (निचले बाएँ) में अलियासिंग द्वारा छिपाया गया है।

हम यह भी नोट करते हैं $e^{−i2πfTn}$ का फूरियर रूपांतरण है $δ(t − nT)$. इसलिए, डीटीएफटी की एक वैकल्पिक परिभाषा है:

संग्राहक डिराक कोंब समारोह एक गणितीय अमूर्तता है जिसे कभी-कभी आवेग नमूनाकरण कहा जाता है।

उलटा परिवर्तन
एक ऑपरेशन जो डीटीएफटी फलन से असतत डेटा अनुक्रम को पुनर्प्राप्त करता है, उसे व्युत्क्रम डीटीएफटी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, दोनों पक्षों के व्युत्क्रम निरंतर फूरियर रूपांतरण $f_{s}$ संग्राहक डिराक कोंब फलन के रूप में अनुक्रम उत्पन्न करता है:


 * $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta(t-n T) = \mathcal{F}^{-1}\left \{X_{1/T}(f)\right\} \ \triangleq \int_{-\infty}^\infty X_{1/T}(f)\cdot e^{i 2 \pi f t} df.$$

चूंकि, यह देखते हुए $X_{1/T}(f)$ आवधिक है, सभी आवश्यक जानकारी लंबाई के किसी भी अंतराल के अंदर समाहित है $1/T$. दोनों में $f_{s}$ और $f_{s}$, n पर योग गुणांक के साथ एक फूरियर श्रृंखला है $x[n]$. फूरियर गुणांक के मानक सूत्र भी व्युत्क्रम परिवर्तन हैं:

आवधिक डेटा
जब इनपुट डेटा अनुक्रम $x[n]$ है $[−f_{s}/2, f_{s}/2]$-आवधिक, $$ कम्प्यूटेशनल रूप से असतत फूरियर परिवर्तन (डीएफटी) में कम किया जा सकता है, क्योंकि:
 * सभी उपलब्ध जानकारी अंदर $$ नमूने समाहित है।
 * $X_{1/T}(f)$ के पूर्णांक गुणकों को छोड़कर हर स्थान शून्य में परिवर्तित हो जाता है $1/(NT)$, लयबद्ध  आवृत्तियों के रूप में जाना जाता है। उन आवृत्तियों पर, डीटीएफटी विभिन्न आवृत्ति-निर्भर दरों पर विचलन करता है। और वे दरें  $x[n]$ अनुक्रम एक चक्र के डीएफटी द्वारा दी गई हैं।
 * डीटीएफटी आवधिक है, इसलिए अद्वितीय हार्मोनिक एम्पलीट्यूड की अधिकतम संख्या $(1/T) / (1/(NT)) = N$ है |

डीएफटी गुणांक द्वारा दिया जाता है:


 * $$X[k] \triangleq \underbrace{\sum_{N} x(nT)\cdot e^{-i 2 \pi \frac{k}{N}n}}_{\text{any n-sequence of length N}},$$ और डीटीएफटी है:


 * $$X_{1/T}(f) = \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X[k] \cdot \delta\left(f-\frac{k}{NT}\right).$$

इस अभिव्यक्ति को व्युत्क्रम परिवर्तन सूत्र में प्रतिस्थापित करने से पुष्टि होती है:


 * $$\int_{\frac{1}{T}} X_{1/T}(f)\cdot e^{i 2 \pi f nT} df\ =\ \frac{1}{N} \underbrace{\sum_{N} X[k] \cdot e^{i 2 \pi \frac{n}{N}k}}_{\text{any k-sequence of length N}}\ \equiv\ x(nT), \quad n\in\mathbb{Z}\,$$ (संख्या या पूर्णांक)

आशा के अनुसार। उपरोक्त रेखा में उलटा डीएफटी को कभी-कभी असतत फूरियर श्रृंखला (डीएफएस) के रूप में जाना जाता है।

डीटीएफटी का नमूना लेना
जब डीटीएफटी निरंतर होता है, तो आवधिक फलन $X_{1/T}$ के एक चक्र के नमूने ($$) की मनमानी संख्या की गणना करना एक सामान्य अभ्यास है:



\begin{align} \underbrace{X_{1/T}\left(\frac{k}{NT}\right)}_{X_k} &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]\cdot e^{-i 2\pi \frac{k}{N}n} \quad \quad k = 0, \dots, N-1 \\ &= \underbrace{\sum_{N} x_{_N}[n]\cdot e^{-i 2\pi \frac{k}{N}n},}_{\text{DFT}}\quad \scriptstyle{\text{(sum over any }n\text{-sequence of length }N)} \end{align} $$ जहाँ $$x_{_N}$$ एक आवधिक योग है:


 * $$x_{_N}[n]\ \triangleq\ \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[n-mN].$$ (असतत फूरियर श्रृंखला देखें)
 * $$x_{_N}$$अनुक्रम व्युत्क्रम डीएफटी है। इस प्रकार, डीटीएफटी के हमारे नमूने के कारण व्युत्क्रम परिवर्तन आवधिक हो जाता है। $|X_{k}|^{2}$ मानों की सरणी को पीरियोग्राम और पैरामीटर के रूप में जाना जाता हैऔर उसी नाम के मैटलैब फलन में पैरामीटर N को एनएफएफटी कहा जाता है। ।

संख्यात्मक रूप से $$x_{_N}$$ के एक चक्र का मूल्यांकन करने के लिए, हमें परिमित-लंबाई की $x[n]$ अनुक्रम की आवश्यकता होती है  । उदाहरण के लिए, एक लंबे अनुक्रम को $$ लंबाई के विंडो फलन  द्वारा छोटा किया जा सकता है  जिसके परिणामस्वरूप तीन स्थितियों विशेष उल्लेख के योग्य हैं। सांकेतिक सादगी के लिए, विंडो फलन द्वारा संशोधित मानों का प्रतिनिधित्व करने के लिए नीचे दिए गए मान $x[n]$मानों पर विचार करें।

स्थितिया : आवृत्ति क्षय। $L = N ⋅ I$, कुछ पूर्णांक के लिए $$ (सामान्यतः 6 या 8)
$$x_{_N}$$का एक चक्र लंबाई $$ के $N$ खंडों के योग तक कम हो जाता है। डीएफटी तब विभिन्न नामों से जाता है जैसे:
 * विंडो-प्रीसम एफएफटी
 * वजन, ओवरलैप, ऐड (वोला)


 * पॉलीफ़ेज़ डीएफटी
 * पॉलीफ़ेज़ फ़िल्टर बैंक
 * मल्टीपल ब्लॉक विंडोिंग और टाइम-अलियासिंग।

याद रखें कि एक डोमेन (समय या आवृत्ति) में नमूनाकृत डेटा का क्षय दूसरे में अधिव्यापन(कभी-कभी अलियासिंग के रूप में जाना जाता है) और इसके विपरीत उत्पन्न करता है। ए की तुलना में $$-लंबाई डीएफटी, द $$x_{_N}$$ योग/अधिव्यापनआवृत्ति में कमी का कारण बनता है,, केवल डीटीएफटी नमूने वर्णक्रमीय रिसाव से कम प्रभावित होते हैं। एफएफटी  फ़िल्टर बैंक | फिल्टर-बैंक (चैनलाइजर) प्रयुक्त करते समय यह सामान्यतः प्राथमिकता होती है। लंबाई $N$ के पारंपरिक विंडो फलन के साथ , स्पेक्ट्रल लीकेज या विंडो ट्रेडऑफ़ अस्वीकार्य होंगे। इसलिए फिल्टर के लिए डिजाइन उपकरण का उपयोग करके बहु-ब्लॉक विंडो बनाई जाती हैं।  उनकी आवृत्ति प्रोफ़ाइल उच्चतम बिंदु पर सपाट है और शेष डीटीएफटी नमूनों के मध्य बिंदु पर जल्दी से गिर जाती है। पैरामीटर $N$ का मान जितना बड़ा होगा , संभावित प्रदर्शन जितना उत्तम  होगा।

स्थितिया : $L = N+1$.
जब एक सममित, $L$-लंबाई विंडो फलन ($$x$$) को 1 गुणांक द्वारा छोटा किया जाता है, इसे विंडो फलन या समरूपता|आवधिक या डीएफटी-सम कहा जाता है। कटाव डीटीएफटी को प्रभावित करता है। काटे गए अनुक्रम का एक डीएफटी $1/N$ के आवृत्ति अंतराल पर डीटीएफटी का नमूने लेता है. तुलना के लिए समान आवृत्तियों पर, $$x$$ का नमूना लेने के लिए, डीएफटी की गणना आवधिक योग,$$x_{_N}.$$ के एक चक्र के लिए की जाती है,



स्थितिया: आवृत्ति प्रक्षेप।। $e^{i2πn/8}$
इस स्थितियोंमें, डीएफटी एक अधिक परिचित रूप में सरल हो जाता है:


 * $$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\cdot e^{-i 2\pi \frac{k}{N}n}.$$

डीएफटी की गणना के लिए एक तेज फूरियर परिवर्तन एल्गोरिथम का लाभ उठाने के लिए, योग सामान्यतः सभी पर किया जाता है $L$ शर्तें, तथापि N − L}उनमें से } शून्य हैं। इसलिए स्थितिया  $L = 64$ को अधिकांशतः जीरो-पैडिंग कहा जाता है।

स्पेक्ट्रल रिसाव, जो बढ़ता है $I$ घटता है, कुछ महत्वपूर्ण प्रदर्शन मेट्रिक्स के लिए हानिकारक है, जैसे कि कई आवृत्ति घटकों का रिज़ॉल्यूशन और प्रत्येक डीटीएफटी नमूने द्वारा मापी गई ध्वनि की मात्रा। किन्तु वे चीजें सदैव मायने नहीं रखतीं, उदाहरण के लिए जब $N = 256$ अनुक्रम एक नीरव साइनसॉइड (या एक स्थिरांक) है, जिसे विंडो फलन द्वारा आकार दिया गया है। फिर विंडो फ़ंक्शंस के विस्तृत रिसाव पैटर्न को ग्राफ़िक रूप से प्रदर्शित करने और तुलना करने के लिए शून्य-पैडिंग का उपयोग करना एक सामान्य अभ्यास है। उदाहरण के लिए कि एक आयताकार खिड़की के लिए, अनुक्रम पर विचार करें:


 * $$x[n] = e^{i 2\pi \frac{1}{8} n},\quad $$ और $$L=64.$$

आंकड़े 2 और 3 दो अलग-अलग आकार के डीएफटी के परिमाण के प्लॉट हैं, जैसा कि उनके लेबल में दर्शाया गया है। दोनों ही स्थितियों में, प्रमुख घटक संकेत आवृत्ति पर है: $e^{i2πn/8}$. चित्र 2 में भी दिखाई देने वाला वर्णक्रमीय रिसाव पैटर्न है $L = 64$ आयताकार खिड़की। चित्र 3 में भ्रम डीटीएफटी को इसके शून्य-क्रॉसिंग पर नमूना लेने का परिणाम है। परिमित-लंबाई अनुक्रम के डीटीएफटी के अतिरिक्त, यह एक असीम रूप से लंबे साइनसोइडल अनुक्रम का आभास देता है। भ्रम में योगदान करने वाले कारकों में एक आयताकार खिड़की का उपयोग होता है, और एक आवृत्ति (1/8 = 8/64) का विकल्प ठीक 8 (एक पूर्णांक) चक्र प्रति 64 नमूनों के साथ होता है। एक विंडो फलन या  हन विंडो एक समान परिणाम देगा, सिवाय शिखर को 3 नमूनों तक चौड़ा किया जाएगा (देखें )।

कनवल्शन
अनुक्रमों के लिए दृढ़ संकल्प प्रमेय है:

एक महत्वपूर्ण विशेष स्थितिया अनुक्रमों का गोलाकार कनवल्शन है $N$ और $I$ द्वारा परिभाषित $$x_{_N}*y,$$ कहाँ $$x_{_N}$$ एक आवधिक योग है। की असतत-आवृत्ति प्रकृति $$\scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{x_{_N}\}$$ इसका कारण है कि निरंतर कार्य करने वाला उत्पाद $$\scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{y\}$$ असतत भी है, जिसके परिणामस्वरूप व्युत्क्रम परिवर्तन का अधिक सरलीकरण होता है:
 * $$x * y\ =\ \scriptstyle{\rm DTFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{y\}\right].$$


 * $$x_{_N} * y\ =\ \scriptstyle{\rm DTFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{x_{_N}\}\cdot \scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle{\rm DFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle{\rm DFT} \displaystyle \{x_{_N}\}\cdot \scriptstyle{\rm DFT} \displaystyle \{y_{_N}\}\right].$$

के लिए $L$ और $L$ अनुक्रम जिनकी गैर-शून्य अवधि इससे कम या इसके बराबर है $I$, एक अंतिम सरलीकरण है:


 * $$x_{_N} * y\ =\ \scriptstyle{\rm DFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle{\rm DFT} \displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle{\rm DFT} \displaystyle \{y\}\right].$$

इस परिणाम के महत्व को सर्कुलर कनवल्शन या उदाहरण और कनवल्शन या फास्ट कनवल्शन एल्गोरिदम में समझाया गया है।

समरूपता गुण
जब एक जटिल कार्य के वास्तविक और काल्पनिक भागों को उनके सम और विषम कार्यों या  सम-विषम अपघटन में विघटित किया जाता है, तो चार घटक होते हैं, जिन्हें सबस्क्रिप्ट आरई, आरओ, आईई और आईओ द्वारा निरूपित किया जाता है। और एक जटिल समय समारोह के चार घटकों और इसके जटिल आवृत्ति परिवर्तन के चार घटकों के बीच एक-से-एक मानचित्रण होता है:

$$ \begin{align} \mathsf{Time\ domain} \quad &\ x \quad &= \quad & x_{_{RE}} \quad &+ \quad & x_{_{RO}} \quad &+ \quad i\ & x_{_{IE}} \quad &+ \quad &\underbrace{i\ x_{_{IO}}} \\ &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F}\\ \mathsf{Frequency\ domain} \quad &X \quad &= \quad & X_{RE} \quad &+ \quad &\overbrace{i\ X_{IO}} \quad &+ \quad i\ & X_{IE} \quad &+ \quad & X_{RO} \end{align} $$

इससे विभिन्न संबंध स्पष्ट होते हैं, उदाहरण के लिए:
 * वास्तविक-मूल्यवान फलन का रूपांतरण ($N = 64$) सम और विषम फलन या जटिल-मूल्यवान फलन फलन है $L ≤ N$. इसके विपरीत, एक सम-सममित परिवर्तन का तात्पर्य वास्तविक-मूल्यवान समय-डोमेन से है।
 * एक काल्पनिक-मूल्यवान फलन का रूपांतरण ($L < N$) सम और विषम फलन या जटिल-मूल्यवान फलन फलन है $x[n]$, और इसका विलोम सत्य है।
 * सम-सममित फलन का परिवर्तन ($f = 1/8 = 0.125$) वास्तविक-मूल्यवान फलन है $L = 64$, और इसका विलोम सत्य है।
 * एक विषम-सममित फलन का रूपांतरण ($xRE+ xRO$) काल्पनिक-मूल्यवान कार्य है $XRE+ i XIO$, और इसका विलोम सत्य है।

जेड-परिवर्तन
से संबंध $$X_{2\pi}(\omega)$$ एक फूरियर श्रृंखला है जिसे द्विपक्षीय जेड-रूपांतरण के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है। अर्थात।:


 * $$X_{2\pi}(\omega) = \left. \widehat X(z) \, \right|_{z = e^{i \omega}} = \widehat X(e^{i \omega}),$$

जहां $$\widehat X$$ संकेतन जेड-परिवर्तन को फूरियर परिवर्तन से अलग करता है। इसलिए, हम फूरियर रूपांतरण के संदर्भ में Z-रूपांतरण के एक हिस्से को भी व्यक्त कर सकते हैं:



\begin{align} \widehat X(e^{i \omega}) &= \ X_{1/T}\left(\tfrac{\omega}{2\pi T}\right) \ = \ \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\tfrac{\omega}{2\pi T} - k/T\right)\\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\tfrac{\omega - 2\pi k}{2\pi T} \right). \end{align} $$ ध्यान दें कि जब पैरामीटर $N$ परिवर्तन, की शर्तें $$X_{2\pi}(\omega)$$ निरंतर अलगाव बने रहें $$2 \pi$$ अलग, और उनकी चौड़ाई ऊपर या नीचे होती है। की शर्ते $i xIE+ i xIO$ एक स्थिर चौड़ाई और उनका पृथक्करण बना रहता है $XRO+ i XIE$ स्केल ऊपर या नीचे।

असतत-समय फूरियर रूपांतरण की तालिका
कुछ सामान्य रूपांतरण जोड़े नीचे दी गई तालिका में दिखाए गए हैं। निम्नलिखित अंकन प्रयुक्त होता है:

1 & |n|\leq L/2 \\ 0 & |n| > L/2 \end{cases}$$
 * $$\omega=2 \pi f T$$ निरंतर कोणीय आवृत्ति (प्रति नमूना रेडियंस में) का प्रतिनिधित्व करने वाली वास्तविक संख्या है। ($$f$$ चक्र/सेकंड में है, और $$T$$ सेकंड/नमूने में है।) तालिका में सभी स्थितियों में, डीटीएफटी 2π-आवधिक (में) है $$\omega$$).
 * $$X_{2\pi}(\omega)$$ पर परिभाषित एक फलन निर्दिष्ट करता है $$-\infty < \omega < \infty $$.
 * $$X_o(\omega)$$ पर परिभाषित एक फलन निर्दिष्ट करता है $$-\pi < \omega \le \pi$$, और शून्य कहीं और। तब: $$X_{2\pi}(\omega)\ \triangleq \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_o(\omega - 2\pi k).$$
 * $$\delta ( \omega )$$ डिराक डेल्टा समारोह है
 * $$\operatorname{sinc} (t)$$ सामान्यीकृत sinc कार्य है
 * $$\operatorname{rect}\left[{n \over L}\right] \triangleq \begin{cases}
 * $$\operatorname{tri} (t)$$ त्रिभुज कार्य है
 * $L$ असतत-समय डोमेन (नमूने में) का प्रतिनिधित्व करने वाला एक पूर्णांक है
 * $$u[n]$$ डिस्क्रीट-टाइम हीविसाइड स्टेप फलन या असतत रूप है
 * $$\delta[n]$$ क्रोनकर डेल्टा है $$\delta_{n,0}$$

गुण
यह तालिका समय डोमेन में कुछ गणितीय संचालन और आवृत्ति डोमेन में संबंधित प्रभाव दिखाती है।
 * $$*\!$$ दो क्रमों का कनवल्शन या असतत कनवल्शन है
 * $$x[n]^{*}$$ का जटिल संयुग्म है $xRE+ i xIO$.

यह भी देखें

 * कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
 * बहुआयामी परिवर्तन
 * ज़क परिवर्तन