पीरियडोग्राम

पीरियडोग्राम सिग्नल के वर्णक्रमीय घनत्व का अनुमान है। यह शब्द 1898 में आर्थर शूस्टर द्वारा गढ़ा गया था। आज, पीरियडोग्राम अधिक परिष्कृत विधियों का घटक है (वर्णक्रमीय अनुमान देखें) फिल्टर के लिए और विंडो के कार्य के आयाम बनाम आवृत्ति विशेषताओं की जांच करने के लिए यह सबसे सामान्य उपकरण है। स्पेकट्रूम विशेष्यग्य को पीरियडोग्राम के समय-अनुक्रम के रूप में भी प्रयुक्त किया जाता है।

परिभाषा
आज कम से कम दो अलग-अलग परिभाषाएँ उपयोग में हैं। उनमें से एक में समय-औसत सम्मिलित है, और एक नहीं। समय-औसत भी अन्य लेखों (बार्टलेट की विधि और वेल्च की विधि) का क्षेत्र है। यह लेख समय-औसत के बारे में नहीं है। यहाँ ब्याज की परिभाषा यह है कि सतत कार्य की शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व, अपने ऑटो-सहसंबंध फलन का फूरियर रूपांतरण है (फूरियर ट्रांसफॉर्म क्रॉस-सहसंबंध प्रमेय क्रॉस-सहसंबंध प्रमेय, स्पेक्ट्रल घनत्व पावर स्पेक्ट्रल घनत्व, और वीनर-खिनचिन प्रमेय देखें)


 * $$\mathcal{F}\{x(t)\circledast x^*(-t)\} = X(f)\cdot X^*(f) = \left| X(f) \right|^2.$$

संगणना
पैरामीटर $T,$ के पर्याप्त छोटे मूल्यों के लिए के लिए क्षेत्र $X(f)$ मनमाना ढंग- सही सन्निकटन क्षेत्र में देखा जा सकता है।$$-\tfrac{1}{2T} < f < \tfrac{1}{2T}$$ फलन का:


 * $$X_{1/T}(f)\ \triangleq \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(f - k/T\right),$$

जो नमूनों $x(nT)$ द्वारा सही रूप से निर्धारित किया जाता है जो $x(t)$ गैर-शून्य अवधि का विस्तार करता है (असतत-समय फूरियर रूपांतरण देखें)

और पैरामीटर $N$, के पर्याप्त बड़े मूल्यों के लिए $$X_{1/T}(f)$$ प्रपत्र के योग द्वारा मनमाने ढंग से निकट आवृत्ति पर मूल्यांकन किया जा सकता है।


 * $$X_{1/T}\left(\tfrac{k}{NT}\right) = \sum_{n=-\infty}^\infty \underbrace{T\cdot x(nT)}_{x[n]}\cdot e^{-i 2\pi \frac{kn}{N}},$$

जहाँ $k$ पूर्णांक है। की आवधिकता $$e^{-i 2\pi \frac{kn}{N}}$$असतत फूरियर रूपांतरण के संदर्भ में इसे बहुत सरलता से लिखा जा सकता है:


 * $$X_{1/T}\left(\tfrac{k}{NT}\right) = \underbrace{\sum_{n} x_{_N}[n]\cdot e^{-i 2\pi \frac{kn}{N}},}_{DFT}\quad \scriptstyle{\text{(sum over any }n\text{-sequence of length }N)},$$

जहाँ $$x_{_N}$$ आवधिक योग है:$$x_{_N}[n]\ \triangleq \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[n-mN].$$

जब सभी पूर्णांकों के लिए मूल्यांकन किया जाता है, $k$,और के बीच 0 $N$-1, सरणी:


 * $$S\left(\tfrac{k}{NT}\right) = \left| \sum_{n} x_{_N}[n]\cdot e^{-i 2\pi \frac{kn}{N}} \right|^2$$

पीरियोग्राम है।

अनुप्रयोग
जब प्राथमिकी फिल्टर या विंडो फलन की विस्तृत विशेषताओं की जांच करने के लिए पीरियडोग्राम का उपयोग किया जाता है, तो पैरामीटर $N$ को $x[n]$ गैर-शून्य अवधि के कई गुणकों के रूप में चुना जाता है अनुक्रम, की गैर-शून्य अवधि के कई गुणकों के रूप में चुना जाता है, जिसे शून्य-पैडिंग कहा जाता है (देखें ). जब फ़िल्टर बैंक को प्रयुक्त करने के लिए तो $x[n]$ अनुक्रम की गैर-शून्य अवधि के कई उप-गुणक होते हैं। (देखें )

पीरियडोग्राम की कमियों में से एक यह है कि गणना में उपयोग किए जाने वाले नमूनों की संख्या बढ़ने पर दी गई आवृत्ति पर विचरण कम नहीं होता है। यह कम सिग्नल-टू-शोर अनुपात पर नोइज़लाइक सिग्नल या यहां तक ​​कि साइनसोइड्स का विश्लेषण करने के लिए आवश्यक औसत प्रदान नहीं करता है। विंडो फलन और फ़िल्टर आवेग प्रतिक्रियाएँ नीरव हैं, लेकिन कई अन्य संकेतों के लिए वर्णक्रमीय अनुमान के अधिक परिष्कृत तरीकों की आवश्यकता होती है। प्रक्रिया के भागों के रूप में विकल्पों में से दो पीरियडोग्राम का उपयोग करते हैं।
 * औसत पीरियडोग्राम की विधि, अधिक सामान्यतः वेल्च की विधि के रूप में जाना जाता है, लंबे x [n] अनुक्रम को कई छोटे, और संभवतः अतिव्यापी, बाद में विभाजित करता है। यह प्रत्येक के विंडोड पीरियडोग्राम की गणना करता है, और सरणी औसत की गणना करता है, यद्दपि सरणी जहां प्रत्येक तत्व सभी पीरियडोग्राम के संबंधित तत्वों का औसत होता है। स्थिर प्रक्रियाओं के लिए, यह प्रत्येक तत्व के शोर भिन्नता को पीरियोडोग्राम की संख्या के व्युत्क्रम के बराबर लगभग कारक से कम कर देता है।
 * स्मूथिंग समय के अतिरिक्त आवृत्ति में औसत तकनीक है। स्मूथेड पीरियडोग्राम को कभी-कभी स्पेक्ट्रल प्लॉट के रूप में जाना जाता है।

पेरियोडोग्राम-आधारित तकनीकें छोटे पूर्वाग्रहों का परिचय देती हैं जो कुछ अनुप्रयोगों में अस्वीकार्य हैं। अन्य तकनीकें जो पीरियडोग्राम्स पर विश्वास नहीं करती हैं, वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान लेख में प्रस्तुत की जाती हैं।

यह भी देखें

 * मिलान फ़िल्टर
 * रेडॉन ट्रांसफ़ॉर्म (रेडॉन ट्रांसफ़ॉर्म)
 * वेल्च की विधि
 * बार्टलेट की विधि
 * असतत-समय फूरियर रूपांतरण
 * कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण, डेटा में पीरियडोग्राम की गणना के लिए जो समान दूरी पर नहीं है
 * MUSIC_(एल्गोरिदम) (MUSIC), लोकप्रिय पैरामीट्रिक सुपर-रिज़ॉल्यूशन इमेजिंग विधि
 * एसएएमवी (एल्गोरिदम)