विरूपण (गणित)

गणित में, विरूपण सिद्धांत किसी समस्या के समाधान P को थोड़ा भिन्न समाधान Pε में परिवर्तन से जुड़ी छोटी-छोटी स्थितियों का अध्ययन है, जहां ε छोटी संख्या है, या छोटी मात्राओं का सदिश है। अपरिमित स्थितियां बाधा (गणित) के साथ समस्या को निवारण करने के लिए विभेदक कैलकुलस के दृष्टिकोण को प्रस्तावित करने का परिणाम अतिसूक्ष्म स्थितियाँ हैं। नाम अन्य-कठोर संरचनाओं का ऐसा सादृश्य है जो बाहरी शक्तियों को समायोजित करने के लिए अभियांत्रिकी)]] करता है।

कुछ विशिष्ट घटनाएँ हैं: ε मात्राओं को नगण्य वर्ग मानकर प्रथम-क्रम समीकरणों की व्युत्पत्ति; भिन्न-भिन्न समाधानों की संभावना, जिसमें भिन्न-भिन्न समाधान संभव नहीं हो सकता है, या कुछ भी नया नहीं लाता है; एवं सवाल यह है कि क्या असीम बाधाएं वास्तव में 'एकीकृत' होती हैं, जिससे उनका समाधान छोटे परिवर्तन प्रदान कर सके। किसी न किसी रूप में इन विचारों का गणित के साथ-साथ भौतिकी एवं इंजीनियरिंग में भी सदियों प्राचीन इतिहास है। उदाहरण के लिए, संख्याओं की ज्यामिति में परिणामों के वर्ग को भिन्नाव प्रमेय कहा जाता है, जिसे किसी दिए गए समाधान के चारों ओर विवृत कक्षा (समूह क्रिया (गणित)) की टोपोलॉजिकल व्याख्या के साथ मान्यता दी गई थी। त्रुटि सिद्धांत सामान्यतः ऑपरेटर (गणित) की विकृतियों पर भी ध्यान देता है।

जटिल अनेक गुनाओं की विकृतियाँ
गणित में सबसे प्रमुख विरूपण सिद्धांत जटिल मैनिफोल्ड्स एवं बीजगणितीय वर्ग का रहा है। इसे कुनिहिको कोदैरा एवं डोनाल्ड सी. स्पेंसर के मूलभूत कार्य द्वारा सशक्त आधार पर रखा गया था, जब विरूपण प्रौद्योगिकी को बीजीय ज्यामिति के इतालवी स्कूल में अधिक अस्थायी अनुप्रयोग प्राप्त हुआ था। सहज रूप से, कोई अपेक्षा करता है कि पनिवारणे क्रम के विरूपण सिद्धांत को ज़ारिस्की स्पर्शरेखा स्थान को मापांक स्थान के समान करना चाहिए। चूँकि, सामान्य स्थिति में घटनाएँ सूक्ष्म हो जाती हैं।

रीमैन सतहों के विषय में, कोई यह समझा सकता है कि रीमैन क्षेत्र पर जटिल संरचना पृथक है (कोई मॉड्यूल नहीं)। जीनस 1 के लिए, अण्डाकार वक्र में जटिल संरचनाओं का एक-पैरामीटर परिवार होता है, जैसा कि अण्डाकार फलन सिद्धांत में दिखाया गया है। सामान्य कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत विरूपण सिद्धांत की कुंजी के रूप में शीफ़ कोहोमोलोजी समूह की पहचान करता है,


 * $$ H^1(\Theta) \, $$

जहां Θ होलोमोर्फिक स्पर्शरेखा बंडल (वर्गों के जर्म (गणित) का शीफ) है। उसी शीफ के H2 में रुकावट है;; जो आयाम के सामान्य कारणों से वक्र के विषय में सदैव शून्य होता है। जीनस 0 के विषय में H1भी गायब हो जाता है. जीनस 1 के लिए आयाम हॉज नंबर h1,0 है, जो इसलिए 1 है। यह ज्ञात है कि जीनस एक के सभी वक्रों में y2 = x3 + ax + b के रूप के समीकरण होते हैं। ये स्पष्ट रूप से दो मापदंडों, a एवं b पर निर्भर करते हैं, जबकि ऐसे वक्रों के समरूपता वर्गों में केवल एक पैरामीटर होता है। इसलिए उन a एवं b से संबंधित समीकरण होना चाहिए जो आइसोमोर्फिक अण्डाकार वक्रों का वर्णन करता है। यह वह वक्र है जिसके लिए b2a−3 का मान समान है, समरूपी वक्रों का वर्णन करें। अर्थात a एवं b को भिन्न करना वक्र वाई की संरचना को विकृत करने का उपाय y2 = x3 + ax + b है, परन्तु a,b के सभी रूपांतर वास्तव में वक्र के समरूपता वर्ग को नहीं परिवर्तित करते हैं।

H1 से संबंधित करने के लिए सेरे द्वैत का उपयोग करते हुए, जीनस g > 1 के विषय में कोई आगे बढ़ सकता है,


 * $$ H^0(\Omega^{[2]}) $$

जहां Ω होलोमोर्फिक कोटैंजेंट बंडल एवं अंकन Ω है[2] का अर्थ टेंसर वर्ग (दूसरी बाहरी शक्ति नहीं)है। दूसरे शब्दों में, रीमैन सतह पर विकृतियों को होलोमोर्फिक द्विघात भिन्नताओं द्वारा नियंत्रित किया जाता है, जिसे फिर से शास्त्रीय रूप से जाना जाता है। मापांक स्पेस का आयाम, जिसे इस विषय में टीचमुलर स्पेस कहा जाता है, रीमैन-रोच प्रमेय द्वारा 3g-3 के रूप में गणना की जाती है।

ये उदाहरण किसी भी आयाम के जटिल मैनिफोल्ड्स के होलोमोर्फिक परिवारों पर प्रस्तावित होने वाले सिद्धांत का प्रारम्भ हैं। आगामी विकास में सम्मिलित विभेदक ज्यामिति की अन्य संरचनाओं के लिए स्पेंसर द्वारा प्रौद्योगिकी का विस्तार; ग्रोथेंडिक के अमूर्त बीजगणितीय ज्यामिति में कोडैरा-स्पेंसर सिद्धांत को आत्मसात करना हैं, जिसके परिणामस्वरूप पनिवारणे के कार्य की ठोस व्याख्या हुई; एवं अन्य संरचनाओं का विरूपण सिद्धांत, जैसे कि बीजगणित है।

विरूपण एवं समतल मानचित्र
विरूपण का सबसे सामान्य रूप समतल मानचित्र $$f:X \to S$$, जटिल-विश्लेषणात्मक स्थानों की, योजना (गणित), या किसी स्थान पर कार्यों के रोगाणु है। ग्रोथेंडिक विकृतियों के लिए इस दूरगामी सामान्यीकरण को खोजने वाले प्रथम व्यक्ति थे एवं उस संदर्भ में सिद्धांत विकसित किया। सामान्य विचार यह है कि सार्वभौमिक परिवार $$\mathfrak{X} \to B$$ का अस्तित्व होना चाहिए, जैसे कि किसी भी विकृति को अद्वितीय पुलबैक वर्ग के रूप में पाया जा सकता है,$$\begin{matrix} X & \to & \mathfrak{X} \\ \downarrow & & \downarrow \\ S & \to & B \end{matrix}$$कई विषयों में, यह सार्वभौमिक परिवार या तो हिल्बर्ट योजना या कोट योजना है, या उनमें से किसी का भागफल है। उदाहरण के लिए, वक्रों के मापांक के निर्माण में, इसका निर्माण हिल्बर्ट योजना में चिकने वक्रों के भागफल के रूप में किया गया है। यदि पुलबैक वर्ग अद्वितीय नहीं है, तो परिवार केवल बहुमुखी है।

विश्लेषणात्मक बीजगणित के रोगाणुओं की विकृतियाँ
विरूपण सिद्धांत के उपयोगी एवं सरलता से गणना योग्य क्षेत्रों में से जटिल स्थानों के रोगाणुओं के विरूपण सिद्धांत, जैसे कि स्टीन मैनिफोल्ड, कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड, या कॉम्प्लेक्स विश्लेषणात्मक विविधता से आता है। ध्यान दें कि इस सिद्धांत को होलोमोर्फिक फलन, स्पर्शरेखा रिक्त स्थान आदि के रोगाणुओं के संचय पर विचार करके जटिल मैनिफोल्ड्स एवं जटिल विश्लेषणात्मक स्थानों में वैश्वीकृत किया जा सकता है। ऐसे बीजगणित इस रूप में होते हैं$$A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots, z_n\}}{I}$$, जहाँ $$\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n \}$$ अभिसम्पूर्ण शक्ति-श्रृंखला का वलय है एवं $$I$$ आदर्श है, उदाहरण के लिए, कई लेखक विलक्षणता के कार्यों के रोगाणुओं का अध्ययन करते हैं, जैसे कि बीजगणित $$A \cong \frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n\}}{(y^2 - x^n)}$$ समतल-वक्र विलक्षणता का प्रतिनिधित्व करता है। विश्लेषणात्मक बीजगणित का रोगाणु ऐसे बीजगणित की विपरीत श्रेणी में वस्तु है। फिर, विश्लेषणात्मक बीजगणित के ऐसे रोगाणु का विरूपण $$X_0$$ विश्लेषणात्मक बीजगणित $$f:X \to S$$ के रोगाणुओं के समतल मानचित्र द्वारा दिया गया है, जहाँ $$S$$ विशिष्ट बिंदु $$0$$ है ऐसे कि $$X_0$$ पुलबैक वर्ग में उचित होता है,$$\begin{matrix} X_0 & \to & X \\ \downarrow & & \downarrow \\ \end{matrix}$$इन विकृतियों में क्रमविनिमेय वर्गों द्वारा दिया गया तुल्यता संबंध होता है, $$\begin{matrix} X'& \to & X \\ \downarrow & & \downarrow \\ S' & \to & S \end{matrix}$$ जहां क्षैतिज तीर समरूपताएं हैं। उदाहरण के लिए, विश्लेषणात्मक बीजगणित के क्रमविनिमेय आरेख के विपरीत आरेख द्वारा दी गई समतल वक्र विलक्षणता का विरूपण $$\begin{matrix} \frac{\mathbb {C} \{x,y\}}{(y^{2}-x^{n})} & \leftarrow & \frac{\mathbb {C} \{x,y, s\}}{(y^{2}-x^{n} + s)} \\ \uparrow & & \uparrow \\ \mathbb{C} & \leftarrow & \mathbb{C}\{s\} \end{matrix}$$है, वास्तव में, मिल्नोर ने ऐसी विकृतियों का अध्ययन किया, जहां विलक्षणता स्थिरांक द्वारा विकृत हो जाती है, इसलिए अन्य-शून्य पर फाइबर $$s$$ मिल्नोर फाइबर कहा जाता है।
 * & \xrightarrow[0]{} & S

विकृतियों की सह-समसामयिक व्याख्या
यह स्पष्ट होना चाहिए कि विश्लेषणात्मक कार्यों के रोगाणु में कई विकृतियाँ हो सकती हैं। इस कारण से, इस सम्पूर्ण ज्ञान को व्यवस्थित करने के लिए कुछ बही-खाता उपकरणों की आवश्यकता होती है। इन संगठनात्मक उपकरणों का निर्माण टेंगेंट कोहोमोलॉजी का उपयोग करके किया गया है। यह कोसज़ुल-टेट रिज़ॉल्यूशन का उपयोग करके एवं अन्य-नियमित बीजगणित $$A$$ के लिए अतिरिक्त जनरेटर जोड़कर इसे संभावित रूप से संशोधित करके बनाया गया है। विश्लेषणात्मक बीजगणित के विषय में इन संकल्पों को गणितज्ञ गैलिना ट्यूरिना के लिए तजुरिना संकल्प कहा जाता है, जिन्होंने सबसे पनिवारणे ऐसी वस्तुओं का अध्ययन किया था। यह ग्रेडेड-कम्यूटेटिव डिफरेंशियल ग्रेडेड बीजगणित $$(R_\bullet, s)$$ है, ऐसा कि $$R_0 \to A$$ विश्लेषणात्मक बीजगणित का विशेषण मानचित्र है, एवं यह मानचित्र सटीक अनुक्रम $$\cdots \xrightarrow{s} R_{-2} \xrightarrow{s} R_{-1} \xrightarrow{s} R_0 \xrightarrow{p} A \to 0$$ में उचित है, फिर, व्युत्पत्तियों के विभेदक श्रेणीबद्ध मॉड्यूल को लेकर $$(\text{Der}(R_\bullet), d)$$, इसकी सह-समरूपता विश्लेषणात्मक बीजगणित $$A$$ के रोगाणु की स्पर्शरेखा सह-समरूपता बनाती है। इन सहसंयोजी समूहों को $$T^k(A)$$ दर्शाया गया है। $$T^1(A)$$ में $$A$$ की सभी विकृतियों के विषय में ज्ञान सम्मिलित है एवं सटीक अनुक्रम $$0 \to T^0(A) \to \text{Der}(R_0) \xrightarrow{d} \text{Hom}_{R_0}(I,A) \to T^1(A) \to 0$$ का उपयोग करके सरलता से गणना की जा सकती है, यदि $$A$$ बीजगणित के लिए समरूपी $$\frac{\mathbb{C}\{z_1,\ldots,z_n\}}{(f_1,\ldots, f_m)}$$है तो इसकी विकृतियाँ"$T^1(A) \cong \frac{A^m}{df \cdot A^n}$ के समान होती हैं।"जहाँ $$df$$, $$f = (f_1,\ldots, f_m): \mathbb{C}^n \to \mathbb{C}^m$$का जैकोबियन मैट्रिक्स है। उदाहरण के लिए, हाइपरसतह की विकृतियाँ $$f$$ द्वारा दी गई हैं जो विकृतियाँ $$T^1(A) \cong \frac{A^n}{\left( \frac{\partial f}{\partial z_1}, \ldots, \frac{\partial f}{\partial z_n} \right)}$$ एकवचनता के लिए $$y^2 - x^3$$, यह मॉड्यूल $$\frac{A^2}{(y, x^2)}$$ है, इसलिए केवल स्थिरांक या रैखिक कारकों को जोड़कर विकृतियां दी जाती हैं, इसलिए $$f(x,y) = y^2 - x^3$$ की सामान्य विकृति $$F(x,y,a_1,a_2) = y^2 - x^3 + a_1 + a_2x $$ है, जहां $$a_i$$ विरूपण पैरामीटर हैं।

कार्यात्मक वर्णन
विरूपण सिद्धांत को औपचारिक बनाने की अन्य विधि श्रेणी $$\text{Art}_k$$ पर स्थानीय आर्टिन बीजगणित की फ़नकार पर उपयोग करना है।पूर्व-विरूपण फ़नकार को फ़नकार के रूप में परिभाषित किया गया है $$F: \text{Art}_k \to \text{Sets}$$ ऐसा है कि $$F(k)$$ बिंदु है। विचार यह है कि हम बिंदु के चारों ओर कुछ मापांक स्पेस की असीम संरचना का अध्ययन करना चाहते हैं जहां उस बिंदु के ऊपर रुचि का स्थान है। सामान्यतः ऐसा होता है कि वास्तविक स्थान खोजने के अतिरिक्त मापांक समस्या के लिए फ़ैक्टर का वर्णन करना सरल होता है। उदाहरण के लिए, यदि हम डिग्री $$d$$ में $$\mathbb{P}^n$$के हाइपरसर्फेस के मापांक-स्पेस पर विचार करना चाहते हैं, तो हम फ़नकार पर विचार कर सकते हैं,
 * $$F: \text{Sch} \to \text{Sets}$$

जहाँ

F(S) = \left\{ \begin{matrix} X \\ \downarrow \\ S \end{matrix}
 * \text{ each fiber is a degree } d \text{ hypersurface in }\mathbb{P}^n\right\}

$$ चूँकि सामान्यतः, समुच्चय के अतिरिक्त समूहबद्ध के फ़ैक्टर्स के साथ कार्य करना अधिक सुविधाजनक है। यह वक्रों के मापांक के लिए सत्य है।

अत्यंत सूक्ष्म के विषय में तकनीकी टिप्पणियाँ
कैलकुलस में अन्य-कठोर तर्कों के लिए गणितज्ञों द्वारा लंबे समय से इनफिनिटिमल्स का उपयोग किया जाता रहा है। विचार यह है कि यदि हम बहुपदों पर विचार करें $$F(x,\varepsilon)$$ एक अतिसूक्ष्म के साथ $$\varepsilon$$, तभी केवल प्रथम क्रम की शर्तें वास्तव में मायने रखती हैं; अर्थात् हम विचार कर सकते हैं
 * $$ F(x,\varepsilon) \equiv f(x) + \varepsilon g(x) + O(\varepsilon^2)$$

इसका एक सरल अनुप्रयोग यह है कि हम इनफिनिटिमल्स का उपयोग करके एकपदी के व्युत्पन्न पा सकते हैं:
 * $$ (x+\varepsilon)^3 = x^3 + 3x^2\varepsilon + O(\varepsilon^2)$$

$$\varepsilon$$ इस शब्द में एकपदी का व्युत्पन्न सम्मिलित है, जो कैलकुलस में इसके उपयोग को प्रदर्शित करता है। हम इस समीकरण की व्याख्या एकपदी के टेलर विस्तार के पनिवारणे दो पदों के रूप में भी कर सकते हैं। स्थानीय आर्टिन बीजगणित में निलपोटेंट तत्वों का उपयोग करके इनफिनिटिमल्स को कठोर बनाया जा सकता है। रिंग में $$k[y]/(y^2)$$ हम देखते हैं कि इनफिनिटिमल्स के साथ तर्क कार्य कर सकते हैं। यह अंकन को प्रेरित करता है $$k[\varepsilon] = k[y]/(y^2)$$, जिसे दोहरी संख्याओं का वलय कहा जाता है।

इसके अलावा, यदि हम टेलर सन्निकटन के उच्च-क्रम वाले शब्दों पर विचार करना चाहते हैं तो हम आर्टिन बीजगणित पर विचार कर सकते हैं $$k[y]/(y^k)$$. हमारे एकपदी के लिए, मान लीजिए कि हम दूसरे क्रम का विस्तार लिखना चाहते हैं
 * $$(x+\varepsilon)^3 = x^3 + 3x^2\varepsilon + 3x\varepsilon^2 + \varepsilon^3$$

याद रखें कि टेलर विस्तार (शून्य पर) को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$f(x) = f(0) + \frac{f^{(1)}(x)}{1!} + \frac{f^{(2)}(x)}{2!} + \frac{f^{(3)}(x)}{3!} + \cdots $$

इसलिए पिछले दो समीकरण दर्शाते हैं कि दूसरा व्युत्पन्न $$x^3$$ है $$6x$$.

सामान्यतः, चूंकि हम किसी भी संख्या में चर में टेलर विस्तार के मनमाने क्रम पर विचार करना चाहते हैं, हम एक क्षेत्र में सभी स्थानीय आर्टिन बीजगणित की श्रेणी पर विचार करेंगे।

प्रेरणा
पूर्व-विरूपण फ़ंक्टर की परिभाषा को प्रेरित करने के लिए, एक क्षेत्र पर प्रक्षेप्य हाइपरसतह पर विचार करें

\begin{matrix} \operatorname{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3]}{(x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4)} \right) \\ \downarrow \\ \operatorname{Spec}(k) \end{matrix} $$ यदि हम इस स्थान के एक अत्यंत छोटे विरूपण पर विचार करना चाहते हैं, तो हम एक कार्टेशियन वर्ग लिख सकते हैं

\begin{matrix} \operatorname{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3]}{(x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4)} \right) & \to & \operatorname{Proj}\left( \dfrac{ \mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3][\varepsilon]}{(x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4 + \varepsilon x_0^{a_0} x_1^{a_1} x_2^{a_2} x_3^{a_3}) } \right) \\ \downarrow & & \downarrow\\ \operatorname{Spec}(k) & \to & \operatorname{Spec}(k[\varepsilon]) \end{matrix} $$ जहाँ $$a_0 + a_1 + a_2 + a_3 = 4$$. फिर, दाहिने हाथ के कोने पर मौजूद स्थान एक अतिसूक्ष्म विरूपण का एक उदाहरण है: निलपोटेंट तत्वों की अतिरिक्त योजना सैद्धांतिक संरचना $$\operatorname{Spec}(k[\varepsilon])$$ (जो स्थलाकृतिक रूप से एक बिंदु है) हमें इस अतिसूक्ष्म डेटा को व्यवस्थित करने की अनुमति देता है। चूँकि हम सभी संभावित विस्तारों पर विचार करना चाहते हैं, इसलिए हम अपने पूर्वविरूपण फ़ैक्टर को वस्तुओं पर इस प्रकार परिभाषित करने देंगे

F(A) = \left\{ \begin{matrix} \operatorname{Proj}\left( \dfrac{\mathbb{C}[x_0,x_1,x_2,x_3]}{(x_0^4 + x_1^4 + x_2^4 + x_3^4)} \right) & \to & \mathfrak{X} \\ \downarrow & & \downarrow \\ \operatorname{Spec}(k) & \to & \operatorname{Spec}(A) \end{matrix} \right\} $$ जहाँ $$A$$ एक स्थानीय कलाकार है $$k$$-बीजगणित.

चिकना पूर्व-विरूपण फलनल
किसी भी प्रक्षेपण के लिए पूर्व-विरूपण फ़ैक्टर को चिकना कहा जाता है $$A' \to A$$ जैसे कि कर्नेल में किसी भी तत्व का वर्ग शून्य है, एक अनुमान है
 * $$F(A') \to F(A)$$

यह निम्नलिखित प्रश्न से प्रेरित है: एक विकृति दी गई है

\begin{matrix} X & \to & \mathfrak{X} \\ \downarrow & & \downarrow \\ \operatorname{Spec}(k) & \to & \operatorname{Spec}(A) \end{matrix} $$ क्या इस कार्तीय आरेख का कार्तीय आरेखों तक कोई विस्तार मौजूद है

\begin{matrix} X & \to & \mathfrak{X} & \to & \mathfrak{X}' \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow \\ \operatorname{Spec}(k) & \to & \operatorname{Spec}(A) & \to & \operatorname{Spec}(A') \end{matrix} $$ स्मूथ नाम योजनाओं के स्मूथ रूपवाद को उठाने की कसौटी से आया है।

स्पर्शरेखा स्थान
याद रखें कि किसी योजना का स्पर्शरेखा स्थान $$X$$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है $$\operatorname{Hom}$$-तय करना
 * $$TX := \operatorname{Hom}_{\text{Sch}/k}(\operatorname{Spec}(k[\varepsilon]),X)$$

जहां स्रोत एक मनमानी रिंग पर दोहरी संख्या#दोहरी संख्याओं की रिंग है। चूँकि हम कुछ मापांक स्पेस के एक बिंदु के स्पर्शरेखा स्थान पर विचार कर रहे हैं, हम अपने (पूर्व)-विरूपण फ़ैनक्टर के स्पर्शरेखा स्थान को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं
 * $$T_F := F(k[\varepsilon])$$

वक्रों के मापांक का आयाम
बीजगणितीय वक्रों के मापांक के पनिवारणे गुणों में से एक $$\mathcal{M}_g$$ प्रारंभिक विरूपण सिद्धांत का उपयोग करके अनुमान लगाया जा सकता है। इसके आयाम की गणना  के रूप में की जा सकती है$$\dim(\mathcal{M}_g) = \dim H^1(C,T_C)$$जीनस के एक मनमाने चिकने वक्र के लिए $$g$$ क्योंकि विरूपण स्थान मापांक स्थान का स्पर्शरेखा स्थान है। सेरे द्वैत का उपयोग करते हुए स्पर्शरेखा स्थान  के लिए समरूपी है$$\begin{align} H^1(C,T_C) &\cong H^0(C,T_C^* \otimes \omega_C)^\vee \\ &\cong H^0(C,\omega_C^{\otimes 2})^\vee \end{align}$$इसलिए रीमैन-रोच प्रमेय देता है$$\begin{align} h^0(C,\omega_C^{\otimes 2}) - h^1(C,\omega_C^{\otimes 2}) &= 2(2g - 2) - g + 1 \\ &= 3g - 3 \end{align}$$ जीनस के वक्रों के लिए $$g \geq 2$$ $$h^1(C,\omega_C^{\otimes 2}) = 0$$ क्योंकि$$h^1(C,\omega_C^{\otimes 2}) = h^0(C, (\omega_C^{\otimes 2})^{\vee}\otimes \omega_C) $$डिग्री  है$$\begin{align} \text{deg}((\omega_C^{\otimes 2})^\vee \otimes \omega_C) &= 4 - 4g + 2g - 2 \\ &= 2 - 2g \end{align}$$एवं $$h^0(L) = 0$$ नकारात्मक डिग्री के लाइन बंडलों के लिए। इसलिए मापांक स्पेस का आयाम है $$3g - 3$$.

मोड़ना एवं तोड़ना
बीजीय विविधता पर तर्कसंगत वक्रों के अस्तित्व का अध्ययन करने के लिए विरूपण सिद्धांत को महत्वपूर्ण सांस्कृतिक संपदा मोरी  द्वारा द्विवार्षिक ज्यामिति में प्रसिद्ध रूप से प्रस्तावित किया गया था। फ़ानो किस्म के सकारात्मक आयाम के लिए मोरी ने दिखाया कि प्रत्येक बिंदु से होकर गुजरने वाला एक तर्कसंगत वक्र है। प्रमाण की विधि को बाद में मोरी के मोड़ एवं तोड़ के नाम से जाना जाने लगा। मोटा विचार यह है कि किसी चुने हुए बिंदु के माध्यम से कुछ वक्र सी से शुरू किया जाए एवं इसे तब तक विकृत किया जाए जब तक कि यह कई अपरिवर्तनीय घटकों में टूट न जाए। घटकों में से किसी एक द्वारा सी को प्रतिस्थापित करने से वक्र के जीनस या सी की बीजगणितीय विविधता की डिग्री में कमी का प्रभाव पड़ता है। इसलिए प्रक्रिया के कई दोहराव के बाद, अंततः हम जीनस 0 का एक वक्र प्राप्त करेंगे, यानी एक तर्कसंगत वक्र। सी की विकृतियों के अस्तित्व एवं गुणों के लिए विरूपण सिद्धांत से तर्क एवं सकारात्मक विशेषता में कमी की आवश्यकता होती है।

अंकगणितीय विकृतियाँ
विरूपण सिद्धांत का एक प्रमुख अनुप्रयोग अंकगणित में है। इसका उपयोग निम्नलिखित प्रश्न का उत्तर देने के लिए किया जा सकता है: यदि हमारे पास विविधता है $$X/\mathbb{F}_p$$, संभावित एक्सटेंशन क्या हैं $$\mathfrak{X}/\mathbb{Z}_p$$? यदि हमारी विविधता वक्र है, तो लुप्त हो रही है $$H^2$$ तात्पर्य यह है कि प्रत्येक विकृति विभिन्नता उत्पन्न करती है $$\mathbb{Z}_p$$; अर्थात्, यदि हमारे पास एक चिकना वक्र है

\begin{matrix} X \\ \downarrow \\ \operatorname{Spec}(\mathbb{F}_p) \end{matrix} $$ एवं एक विकृति

\begin{matrix} X & \to & \mathfrak{X}_2 \\ \downarrow & & \downarrow \\ \operatorname{Spec}(\mathbb{F}_p) & \to & \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}/(p^2)) \end{matrix} $$ तब हम इसे सदैव प्रपत्र के आरेख तक विस्तारित कर सकते हैं

\begin{matrix} X & \to & \mathfrak{X}_2 & \to & \mathfrak{X}_3 & \to \cdots \\ \downarrow & & \downarrow & & \downarrow & \\ \operatorname{Spec}(\mathbb{F}_p) & \to & \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}/(p^2)) & \to & \operatorname{Spec}(\mathbb{Z}/(p^3)) & \to \cdots \end{matrix} $$ इसका तात्पर्य यह है कि हम एक औपचारिक योजना का निर्माण कर सकते हैं $$\mathfrak{X} = \operatorname{Spet}(\mathfrak{X}_\bullet)$$ ऊपर एक वक्र देना $$\mathbb{Z}_p$$.

एबेलियन योजनाओं की विकृतियाँ
मोटे तौर पर सेरे-टेट प्रमेय का दावा है कि एबेलियन किस्म ए की विकृतियाँ पी-विभाज्य समूह की विकृतियों द्वारा नियंत्रित होती हैं|पी-विभाज्य समूह $$A[p^\infty]$$ इसके पी-पावर मरोड़ बिंदु से मिलकर।

गैलोज़ विकृति
विरूपण सिद्धांत का एक अन्य अनुप्रयोग गैलोज़ विरूपण के साथ है। यह हमें प्रश्न का उत्तर देने की अनुमति देता है: यदि हमारे पास गैलोज़ प्रतिनिधित्व है
 * $$G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{F}_p)$$

हम इसे प्रतिनिधित्व तक कैसे बढ़ा सकते हैं
 * $$G \to \operatorname{GL}_n(\mathbb{Z}_p) \text{?}$$

स्ट्रिंग सिद्धांत से संबंध
बीजगणित (एवं होशचाइल्ड कोहोमोलॉजी) के संदर्भ में उत्पन्न होने वाले तथाकथित डेलिग्ने अनुमान ने स्ट्रिंग सिद्धांत के संबंध में विरूपण सिद्धांत में बहुत रुचि पैदा की (मोटे तौर पर, इस विचार को औपचारिक रूप देने के लिए कि एक स्ट्रिंग सिद्धांत को एक बिंदु के विरूपण के रूप में माना जा सकता है- कण सिद्धांत). प्रारंभिक घोषणाओं में कुछ रुकावटों के बाद अब इसे सिद्ध मान लिया गया है। मैक्सिम कोनत्सेविच उन लोगों में से हैं जिन्होंने इसका सामान्यतः स्वीकृत प्रमाण पेश किया है.

यह भी देखें

 * कोडैरा-स्पेंसर मानचित्र
 * दोहरी संख्या
 * श्लेसिंगर का प्रमेय
 * Exalcomm
 * कोटैंजेंट कॉम्प्लेक्स
 * ग्रोमोव-विटन अपरिवर्तनीय
 * बीजगणितीय वक्रों का मापांक
 * अध:पतन (बीजगणितीय ज्यामिति)

स्रोत

 * मरे गेर्स्टनहाबर|गेर्स्टनहाबर, मरे एवं जिम स्टैशेफ|स्टैशफ, जेम्स, संस्करण। (1992)। गणितीय भौतिकी के अनुप्रयोगों के साथ विरूपण सिद्धांत एवं क्वांटम समूह, अमेरिकन गणितीय सोसायटी (Google ईबुक) ISBN 0821851411
 * मरे गेर्स्टनहाबर|गेर्स्टनहाबर, मरे एवं जिम स्टैशेफ|स्टैशफ, जेम्स, संस्करण। (1992)। गणितीय भौतिकी के अनुप्रयोगों के साथ विरूपण सिद्धांत एवं क्वांटम समूह, अमेरिकन गणितीय सोसायटी (Google ईबुक) ISBN 0821851411

शैक्षिक

 * पलामोडोव, वी.पी., III. जटिल स्थानों की विकृतियाँ। जटिल चर IV (बहुत ही व्यावहारिक परिचय)
 * विरूपण सिद्धांत पर पाठ्यक्रम नोट्स (आर्टिन)
 * योजनाओं के विरूपण सिद्धांत का अध्ययन
 * विरूपण सिद्धांत पर हार्टशॉर्न पाठ्यक्रम से नोट्स
 * एमएसआरआई - बीजगणितीय ज्यामिति में विरूपण सिद्धांत एवं मोडुली
 * विरूपण सिद्धांत पर हार्टशॉर्न पाठ्यक्रम से नोट्स
 * एमएसआरआई - बीजगणितीय ज्यामिति में विरूपण सिद्धांत एवं मोडुली

बाहरी संबंध

 * , lecture notes by Brian Osserman