भाजक (बीजगणितीय ज्यामिति)

बीजगणितीय ज्यामिति में, विभाजक बीजगणितीय किस्मों की कोडिमेशन-1 उप-किस्मों का सामान्यीकरण है। दो अलग-अलग सामान्यीकरण आम उपयोग में हैं, कार्टियर विभाजक और वेइल विभाजक ( डेविड मम्फोर्ड  द्वारा पियरे कार्टियर (गणितज्ञ) और आंद्रे वेइल के नाम पर)। दोनों पूर्णांक और बीजगणितीय संख्या क्षेत्रों में विभाज्यता की धारणा से प्राप्त हुए हैं।

विश्व स्तर पर, प्रक्षेप्य स्थान के प्रत्येक कोडिमेशन-1 उपविविधता को सजातीय बहुपद के लुप्त होने से परिभाषित किया जाता है; इसके विपरीत, जब आर 1 से अधिक होता है, तो   संहिताकरण -आर उपविविधता को केवल आर समीकरणों द्वारा परिभाषित करने की आवश्यकता नहीं होती है। (अर्थात्, प्रक्षेप्य स्थान की प्रत्येक उपविविधता  पूर्ण प्रतिच्छेदन नहीं है। ) स्थानीय रूप से,  सुचारु योजना के प्रत्येक कोडिमेशन-1 उपप्रकार को प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में  समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। फिर, समान कथन उच्च-संकेतन उप-किस्मों के लिए विफल रहता है। इस संपत्ति के परिणामस्वरूप, बीजगणितीय ज्यामिति का अधिकांश हिस्सा इसके कोडिमेशन-1 उप-किस्मों और संबंधित लाइन बंडलों का विश्लेषण करके  मनमानी विविधता का अध्ययन करता है।

वचन किस्मों पर, यह संपत्ति भी विफल हो सकती है, और इसलिए किसी को कोडिमेंशन-1 उप-किस्मों और किस्मों के मध्य अंतर करना होगा जिन्हें स्थानीय रूप से समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। पूर्व वेइल विभाजक हैं जबकि बाद वाले कार्टियर विभाजक हैं।

टोपोलॉजिकल रूप से, वेइल डिवाइडर होमोलॉजी (गणित) कक्षाओं की भूमिका निभाते हैं, जबकि कार्टियर डिवाइडर सह-समरूपता  कक्षाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं।  सहज विविधता (या अधिक सामान्यतः  नियमित योजना) पर, पोंकारे द्वैत के अनुरूप परिणाम कहता है कि वेइल और कार्टियर विभाजक समान हैं।

नाम विभाजक रिचर्ड डेडेकाइंड और हेनरिक एम. वेबर के काम पर आधारित है, जिन्होंने बीजगणितीय वक्रों के अध्ययन के लिए डेडेकाइंड डोमेन की प्रासंगिकता दिखाई थी। वक्र पर विभाजकों का समूह (सभी विभाजकों द्वारा उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह) डेडेकाइंड डोमेन के लिए भिन्नात्मक आदर्शों के समूह से निकटता से संबंधित है।

बीजगणितीय चक्र भाजक का  उच्च कोडिमेंशन सामान्यीकरण है; परिभाषा के अनुसार,  वेइल विभाजक संहिता 1 का  चक्र है।

रीमैन सतह पर विभाजक
रीमैन सतह 1-आयामी जटिल मैनिफोल्ड है, और इसलिए इसके कोडिमेंशन-1 सबमैनिफोल्ड्स का आयाम 0 है।   सघन स्थान  रीमैन सतह ्स पर विभाजकों का समूह ्स के बिंदुओं पर मुक्त एबेलियन समूह है।

समान रूप से, कॉम्पैक्ट रीमैन सतह ्स पर  विभाजक पूर्णांक गुणांक के साथ ्स के बिंदुओं का  सीमित रैखिक संयोजन है। X पर भाजक की 'डिग्री' उसके गुणांकों का योग है।

्स पर किसी भी गैर-शून्य मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन एफ के लिए, कोई ्स में बिंदु पी पर एफ के गायब होने के क्रम को परिभाषित कर सकता है, याp(एफ)। यदि f का ध्रुव p पर है तो यह  पूर्णांक, ऋणात्मक है। कॉम्पैक्ट रीमैन सतह X पर  गैर-शून्य मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन f के विभाजक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$(f):=\sum_{p \in X} \operatorname{ord}_p(f) p,$$

जो सीमित राशि है. प्रपत्र (f) के भाजक को 'प्रधान भाजक' भी कहा जाता है। चूँकि (fg) = (f) + (g), प्रमुख भाजक का समुच्चय भाजक के समूह का उपसमूह है। दो भाजक जो  मुख्य भाजक से भिन्न होते हैं उन्हें 'रैखिक समतुल्य' कहा जाता है।

सघन रीमैन सतह पर, मुख्य भाजक की डिग्री शून्य होती है; अर्थात्, मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन के शून्यों की संख्या बहुलता के साथ गिने जाने वाले ध्रुवों की संख्या के बराबर होती है। परिणामस्वरूप, विभाजक के रैखिक तुल्यता वर्गों पर डिग्री अच्छी तरह से परिभाषित होती है।

कॉम्पैक्ट रीमैन सतह0(X, O(D)) या D से संबंधित 'लाइन बंडल के अनुभागों का स्थान'। D की डिग्री इस वेक्टर स्थान के आयाम के बारे में बहुत कुछ कहती है। उदाहरण के लिए, यदि D की डिग्री ऋणात्मक है, तो यह सदिश समष्टि शून्य है (क्योंकि मेरोमोर्फिक फ़ंक्शन में ध्रुवों से अधिक शून्य नहीं हो सकते हैं)। यदि D के पास धनात्मक डिग्री है, तो H का आयाम0(X, O(mD)) m के लिए पर्याप्त रूप से बड़े होने पर m में रैखिक रूप से बढ़ता है। रीमैन-रोच प्रमेय इन पंक्तियों के साथ  अधिक सटीक कथन है। दूसरी ओर, एच का सटीक आयाम0(X, O(D)) कम डिग्री के विभाजक D के लिए सूक्ष्म है, और पूरी तरह से D की डिग्री से निर्धारित नहीं होता है।  कॉम्पैक्ट रीमैन सतह की विशिष्ट विशेषताएं इन आयामों में परिलक्षित होती हैं।

कॉम्पैक्ट रीमैन सतह पर प्रमुख विभाजक विहित विभाजक है। इसे परिभाषित करने के लिए, सबसे पहले उपरोक्त पंक्तियों के साथ  गैर-शून्य मेरोमोर्फिक 1-फॉर्म के विभाजक को परिभाषित करें। चूँकि मेरोमोर्फिक 1-रूपों का स्थान मेरोमोर्फिक कार्यों के क्षेत्र (गणित) पर  1-आयामी वेक्टर स्थान है, कोई भी दो गैर-शून्य मेरोमोर्फिक 1-रूप रैखिक रूप से समतुल्य विभाजक उत्पन्न करते हैं। इस रैखिक तुल्यता वर्ग में किसी भी भाजक को X, K का 'विहित भाजक' कहा जाता हैX. X के जीनस (गणित) g को विहित विभाजक से पढ़ा जा सकता है: अर्थात्, KX इसकी डिग्री 2g है - 2. कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों X के मध्य मुख्य ट्राइकोटॉमी यह है कि क्या विहित विभाजक में नकारात्मक डिग्री है (इसलिए उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करता है कि क्या X के पास सकारात्मक अनुभागीय वक्रता, शून्य वक्रता, या नकारात्मक वक्रता वाला काहलर मीट्रिक है। विहित विभाजक की डिग्री ऋणात्मक है यदि और केवल यदि X रीमैन क्षेत्र 'CP' के लिए समरूपी है1.

वेइल विभाजक
मान लीजिए कि X स्थानीय रूप से नोथेरियन योजना अभिन्न योजना है। X पर  'प्राइम विभाजक' या 'इरेड्यूसिबल डिवाइजर' बीजगणितीय ज्यामिति # इंटीग्रल क्लोज्ड सबस्कीम Z की कोडिमेंशन 1 इन ्स की शब्दावली है।
 * $$\sum_Z n_Z Z,$$

जहां संग्रह $$\{Z : n_Z \neq 0\}$$ स्थानीय रूप से सीमित है. यदि X अर्ध-कॉम्पैक्ट है, तो स्थानीय परिमितता इसके बराबर है $$\{Z : n_Z \neq 0\}$$ परिमित होना. सभी वेइल विभाजकों के समूह को दर्शाया गया है $Div(X)$. यदि सभी गुणांक गैर-नकारात्मक हैं तो वेइल विभाजक डी 'प्रभावी' है।  लिखता है $D ≥ D′$ यदि अंतर है $D − D′$ ये प्रभावी है।

उदाहरण के लिए, किसी क्षेत्र के बीजगणितीय वक्र पर विभाजक सीमित रूप से कई बंद बिंदुओं का  औपचारिक योग होता है। पर  भाजक $Spec Z$ पूर्णांक गुणांक के साथ अभाज्य संख्याओं का  औपचारिक योग है और इसलिए Q में  गैर-शून्य भिन्नात्मक आदर्श से मेल खाता है।  समान लक्षण वर्णन भाजक के लिए सच है $$\operatorname{Spec} \mathcal{O}_K,$$ जहाँ K  संख्या क्षेत्र है।

यदि Z ⊂ X अभाज्य भाजक है, तो स्थानीय वलय $$\mathcal{O}_{X,Z}$$ क्रुल आयाम  है। यदि $$f \in \mathcal{O}_{X,Z}$$ गैर-शून्य है, तो Z के साथ f के लुप्त होने का क्रम लिखा जाता है $ord_{Z}(f)$,  मॉड्यूल की लंबाई है $$\mathcal{O}_{X,Z}/(f).$$ यह लंबाई सीमित है, और यह गुणन के संबंध में योगात्मक है, अर्थात, $ord_{Z}(fg) = ord_{Z}(f) + ord_{Z}(g)$. यदि k(X) X पर बीजगणितीय किस्म का फ़ंक्शन फ़ील्ड है, तो कोई भी गैर-शून्य $f ∈ k(X)$ को भागफल के रूप में लिखा जा सकता है $g / h$, जहां जी और एच अंदर हैं $$\mathcal{O}_{X,Z},$$ और f के लुप्त होने के क्रम को परिभाषित किया गया है $ord_{Z}(g) − ord_{Z}(h)$. इस परिभाषा के साथ, लुप्त होने का क्रम फलन है $ord_{Z} : k(X)^{×} → Z$. यदि ्स सामान्य योजना है, तो स्थानीय रिंग $$\mathcal{O}_{X,Z}$$ अलग मूल्यांकन रिंग और कार्य है $ord_{Z}$ संगत मूल्यांकन है. ्स पर गैर-शून्य तर्कसंगत फ़ंक्शन एफ के लिए, एफ से जुड़े 'प्रमुख वेइल विभाजक' को वेइल विभाजक के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\operatorname{div} f = \sum_Z \operatorname{ord}_Z(f) Z.$$

यह दिखाया जा सकता है कि यह योग स्थानीय रूप से सीमित है और इसलिए यह वास्तव में वेइल विभाजक को परिभाषित करता है। एफ से जुड़े प्रमुख वेइल विभाजक को भी नोट किया गया है $(f)$. यदि f नियमित फलन है, तो इसका प्रमुख वेइल विभाजक प्रभावी है, किन्तु सामान्यतः यह सत्य नहीं है। लुप्त होने वाले फलन के क्रम की योज्यता का तात्पर्य यह है


 * $$\operatorname{div} fg = \operatorname{div} f + \operatorname{div} g.$$

फलस्वरूप $div$ समरूपता है, और विशेष रूप से इसकी छवि सभी वेइल विभाजकों के समूह का  उपसमूह है।

मान लीजिए कि X सामान्य इंटीग्रल नॉथेरियन योजना है। प्रत्येक वेइल विभाजक डी  सुसंगत शीफ निर्धारित करता है $$\mathcal{O}_X(D)$$ ्स पर। ठोस रूप से इसे तर्कसंगत कार्यों के शीफ के उपशीफ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 * $$\Gamma(U, \mathcal{O}_X(D)) = \{ f \in k(X) : f = 0 \text{ or } \operatorname{div}(f) + D \ge 0 \text{ on } U \}.$$

अर्थात्, शून्येतर परिमेय फलन f का  खंड है $$\mathcal{O}_X(D)$$ U से अधिक यदि और केवल यदि किसी अभाज्य भाजक Z के लिए जो U को प्रतिच्छेद करता है,


 * $$\operatorname{ord}_Z(f) \ge -n_Z$$

कहां एनZD में Z का गुणांक है। यदि D प्रमुख है, इसलिए D परिमेय फलन g का विभाजक है, तो  समरूपता है


 * $$\begin{cases} \mathcal{O}(D) \to \mathcal{O}_X \\ f \mapsto fg \end{cases}$$ तब से $$\operatorname{div}(fg)$$ प्रभावी विभाजक है इत्यादि $$fg$$ ्स की सामान्यता के कारण नियमित है। इसके विपरीत, यदि $$\mathcal{O}(D)$$ के लिए समरूपी है $$\mathcal{O}_X$$  के रूप में $$\mathcal{O}_X$$-मॉड्यूल, तो D प्रमुख है। इसका तात्पर्य यह है कि D स्थानीय रूप से प्रमुख है यदि और केवल यदि $$\mathcal{O}(D)$$ उलटा है; अर्थात  लाइन बंडल.

यदि D प्रभावी भाजक है जो $$\mathcal{O}(-D).$$इससे प्रायः प्रयुक्त लघु सटीक अनुक्रम प्राप्त होता है,


 * $$0 \to \mathcal{O}_X(-D) \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_D \to 0.$$

इस क्रम की शीफ सहसंरचना यह दर्शाती है $$H^1(X, \mathcal{O}_X(-D))$$ इसमें इस बात की जानकारी सम्मिलित है कि क्या D पर नियमित कार्य X पर नियमित कार्य के प्रतिबंध हैं।

इसमें ढेरों का भी समावेश है


 * $$0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(D).$$

यह विहित तत्व प्रस्तुत करता है $$\Gamma(X, \mathcal{O}_X(D)),$$ अर्थात्, वैश्विक खंड 1 की छवि। इसे विहित खंड कहा जाता है और इसे एस से दर्शाया जा सकता हैD. जबकि विहित अनुभाग कहीं लुप्त न होने वाले तर्कसंगत फ़ंक्शन की छवि है, इसकी छवि $$\mathcal{O}(D)$$ डी के साथ गायब हो जाता है क्योंकि संक्रमण कार्य डी के साथ गायब हो जाते हैं। जब डी चिकनी कार्टियर विभाजक है, तो उपरोक्त समावेशन के कोकर्नेल की पहचान की जा सकती है; नीचे #कार्टियर विभाजक देखें।

मान लें कि ्स क्षेत्र पर परिमित प्रकार की  सामान्य अभिन्न पृथक योजना है। मान लीजिए D  वेइल विभाजक है। तब $$\mathcal{O}(D)$$  रैंक वन रिफ्लेक्सिव शीफ है, और तब से $$\mathcal{O}(D)$$ के उपशीर्षक के रूप में परिभाषित किया गया है $$\mathcal{M}_X,$$ यह  भिन्नात्मक आदर्श शीफ है (नीचे देखें)। इसके विपरीत, प्रत्येक रैंक  रिफ्लेक्सिव शीफ  वेइल विभाजक से मेल खाता है: शीफ को नियमित लोकस तक सीमित किया जा सकता है, जहां यह मुक्त हो जाता है और इसलिए कार्टियर विभाजक से मेल खाता है (फिर से, नीचे देखें), और क्योंकि वचन लोकस में कम से कम कोडिमेंशन होता है दो, कार्टियर विभाजक का बंद होना  वेइल विभाजक है।

भाजक वर्ग समूह
वेइल विभाजक वर्ग समूह सीएल(्स) सभी प्रमुख वेइल भाजक के उपसमूह द्वारा डिव(्स) का भागफल है। दो विभाजकों को रैखिक रूप से समतुल्य कहा जाता है यदि उनका अंतर प्रमुख है, इसलिए विभाजक वर्ग समूह भाजक मॉड्यूलो रैखिक तुल्यता का समूह है। किसी फ़ील्ड पर आयाम n की विविधता X के लिए, विभाजक वर्ग समूह चाउ समूह है; अर्थात्, सीएल(्स) चाउ समूह सीएच हैn−1(X) का (n−1)-आयामी चक्र।

मान लीजिए Z, X का बंद उपसमुच्चय है। यदि Z, कोड आयाम  का अपरिवर्तनीय है, तो Cl(X - Z) Z के वर्ग द्वारा Cl(X) के भागफल समूह के लिए समरूपी है। यदि Z का कोड आयाम X में कम से कम 2 है, तो प्रतिबंध सीएल(्स) → सीएल(्स − जेड)  समरूपता है। (ये तथ्य चाउ समूह के विशेष मामले हैं#चाउ समूहों के लिए कार्यात्मकता।)

सामान्य इंटीग्रल नोथेरियन स्कीम ्स पर, दो वेइल विभाजक डी, ई रैखिक रूप से समतुल्य हैं यदि और केवल यदि $$\mathcal{O}(D)$$ और $$\mathcal{O}(E)$$ के रूप में समरूपी हैं $$\mathcal{O}_X$$-मॉड्यूल. ्स पर रिफ्लेक्सिव शीव्स के आइसोमोर्फिज्म वर्ग मोनोइड बनाते हैं जिसमें उत्पाद को टेंसर उत्पाद के रिफ्लेक्सिव पतवार के रूप में दिया जाता है। तब $$D \mapsto \mathcal{O}_X(D)$$ ्स के वेइल विभाजक वर्ग समूह से ्स पर रैंक-वन रिफ्लेक्सिव शीव्स के आइसोमोर्फिज्म वर्गों के मोनोइड तक  मोनोइड आइसोमोर्फिज्म को परिभाषित करता है।

उदाहरण

 * मान लीजिए k फ़ील्ड है, और मान लीजिए n  धनात्मक पूर्णांक है। चूँकि बहुपद वलय k[x1, ..., ्सn]  अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन है, एफ़िन स्पेस 'ए' का विभाजक वर्ग समूहnk से अधिक शून्य के बराबर है। चूँकि प्रक्षेप्य स्थान Pnk से अधिक  हाइपरप्लेन H, 'A' के समरूपी हैn, इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि 'P' का विभाजक वर्ग समूहn H के वर्ग द्वारा उत्पन्न होता है। वहां से, यह जांचना सीधा है कि Cl('P'n) वास्तव में H द्वारा उत्पन्न पूर्णांक 'Z' के समरूपी है। सीधे तौर पर, इसका मतलब है कि 'P' का प्रत्येक कोडिमेशन-1 सबवेरिटीn को ल सजातीय बहुपद के लुप्त होने से परिभाषित किया गया है।


 * मान लीजिए कि X फ़ील्ड k पर  बीजगणितीय वक्र है। ्स में प्रत्येक बंद बिंदु पी में के के कुछ परिमित विस्तार क्षेत्र ई के लिए स्पेक ई का रूप है, और पी की 'डिग्री' को के के ऊपर ई के क्षेत्र विस्तार की डिग्री के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे रैखिकता द्वारा विस्तारित करने से X पर  भाजक के लिए 'डिग्री' की धारणा मिलती है। यदि X, k पर  प्रक्षेप्य विविधता वक्र है, तो X पर  गैर-शून्य तर्कसंगत फ़ंक्शन f के भाजक की डिग्री शून्य है। परिणामस्वरूप,  प्रक्षेप्य वक्र X के लिए, डिग्री  समरूपता डिग्री देती है: Cl(X) → 'Z'।


 * प्रक्षेप्य रेखा 'पी' के लिए1 फ़ील्ड k पर, डिग्री समरूपता सीएल('पी') देती है1) ≅ Z. ​​k-तर्कसंगत बिंदु के साथ किसी भी चिकने प्रक्षेप्य वक्र X के लिए, डिग्री समरूपता विशेषण है, और कर्नेल k के समूह के लिए समरूपी है - ्स की जैकोबियन किस्म पर बिंदु, जो ्स के जीनस के बराबर आयाम की  एबेलियन किस्म है। उदाहरण के लिए, यह इस प्रकार है कि  जटिल अण्डाकार वक्र का विभाजक वर्ग समूह  बेशुमार एबेलियन समूह है।


 * पिछले उदाहरण को सामान्यीकृत करना: फ़ील्ड k पर किसी भी सहज प्रक्षेप्य विविधता X के लिए, जैसे कि X में k-तर्कसंगत बिंदु है, विभाजक वर्ग समूह सीएल( X) जुड़े हुए समूह योजना के k-बिंदुओं के समूह द्वारा  सूक्ष्म रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह, नेरॉन-सेवेरी समूह का विस्तार है। $$\operatorname{Pic}^0_{X/k}.$$ विशेषता शून्य के k के लिए, $$\operatorname{Pic}^0_{X/k}$$  एबेलियन किस्म है, ्स की पिकार्ड किस्म।


 * आर के लिए किसी संख्या क्षेत्र के पूर्णांकों का वलय, विभाजक वर्ग समूह सीएल(आर) := सीएल(स्पेक आर) को आर का आदर्श वर्ग समूह भी कहा जाता है। यह परिमित एबेलियन समूह है। आदर्श वर्ग समूहों को समझना बीजगणितीय संख्या सिद्धांत का  केंद्रीय लक्ष्य है।


 * Elliptical Cone Quadric.Pngमान लीजिए कि X आयाम 2 का चतुर्भुज शंकु है, जो समीकरण xy = z द्वारा परिभाषित है2 क्षेत्र के ऊपर एफ़िन 3-स्पेस में। फिर x = z = 0 द्वारा परिभाषित X में रेखा D मूल बिंदु के निकट X पर प्रमुख नहीं है। ध्यान दें कि D को X पर समीकरण द्वारा सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात् x = 0; किन्तु X पर फ़ंक्शन x, D के अनुदिश क्रम 2 पर लुप्त हो जाता है, और इसलिए हम केवल यह पाते हैं कि 2D, X पर कार्टियर (जैसा कि नीचे परिभाषित है) है। वास्तव में, विभाजक वर्ग समूह Cl(X) चक्रीय समूह 'Z' के लिए समरूपी है। /2, डी की कक्षा द्वारा उत्पन्न।
 * मान लीजिए कि X आयाम 3 का चतुर्भुज शंकु है, जो क्षेत्र के ऊपर 4-स्पेस में समीकरण xy = zw द्वारा परिभाषित है। फिर x = z = 0 द्वारा परिभाषित X में समतल D को मूल बिंदु के निकट  समीकरण द्वारा, यहां तक ​​कि  सेट के रूप में भी, X में परिभाषित नहीं किया जा सकता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि D, X पर 'Q-कार्टियर' नहीं है; अर्थात्, D का कोई भी धनात्मक गुणज कार्टियर नहीं है। वास्तव में, विभाजक वर्ग समूह सीएल(्स) डी के वर्ग द्वारा उत्पन्न पूर्णांक 'जेड' के समरूपी है।

विहित भाजक

मान लीजिए कि X आदर्श क्षेत्र में  सामान्य किस्म है। X की सुचारू योजना लोकस U  खुला उपसमुच्चय है जिसके पूरक का कोड आयाम कम से कम 2 है। मान लीजिए कि j: U → X समावेशन मानचित्र है, तो प्रतिबंध समरूपता:


 * $$j^*: \operatorname{Cl}(X) \to \operatorname{Cl}(U) = \operatorname{Pic}(U)$$

समरूपता है, क्योंकि X - U का X में कोड आयाम कम से कम 2 है। उदाहरण के लिए, कोई विहित विभाजक K को परिभाषित करने के लिए इस समरूपता का उपयोग कर सकता हैX ्स का: यह यू पर शीर्ष डिग्री के अंतर रूपों के लाइन बंडल के अनुरूप वेइल विभाजक (रैखिक तुल्यता तक) है। समतुल्य रूप से, शीफ $$\mathcal{O}(K_X)$$ ्स पर प्रत्यक्ष छवि शीफ है $$j_*\Omega^n_U,$$ जहाँ n, X का आयाम है।

'उदाहरण': मान लीजिए X = 'P'nसजातीय निर्देशांक x के साथ प्रक्षेप्य n-स्थान बनें0, ..., ्सn. माना U = {x0 ≠ 0}. फिर यू निर्देशांक y के साथ एफ़िन एन-स्पेस के लिए समरूपी हैi= ्सi/्स0. होने देना


 * $$\omega = { dy_1 \over y_1 } \wedge \dots \wedge {dy_n \over y_n}.$$

तब ω यू पर तर्कसंगत अंतर रूप है; इस प्रकार, यह का  तर्कसंगत खंड है $$\Omega^n_{\mathbf{P}^n}$$ जिसमें Z के अनुदिश सरल ध्रुव हैंi= {्सi= 0}, मैं = 1, ..., एन. अलग एफ़िन चार्ट पर स्विच करने से केवल ω का चिह्न बदलता है और इसलिए हम देखते हैं कि ω में Z के साथ सरल ध्रुव है0 भी। इस प्रकार, ω का भाजक है


 * $$\operatorname{div}(\omega) = -Z_0 - \dots - Z_n$$

और इसका विभाजक वर्ग है


 * $$K_{\mathbf{P}^n} = [\operatorname{div}(\omega)] = -(n+1) [H]$$

जहां [एच] = [जेडi], मैं = 0, ..., एन। (यूलर अनुक्रम भी देखें।)

कार्टियर विभाजक
मान लीजिए कि X अभिन्न नोथेरियन योजना है। तब X के पास तर्कसंगत कार्यों का  समूह है $$\mathcal{M}_X.$$ सभी नियमित कार्य तर्कसंगत कार्य हैं, जो  संक्षिप्त सटीक अनुक्रम की ओर ले जाते हैं


 * $$0 \to \mathcal{O}_X^\times \to \mathcal{M}_X^\times \to \mathcal{M}_X^\times / \mathcal{O}_X^\times \to 0.$$

X पर कार्टियर विभाजक वैश्विक खंड है $$\mathcal{M}_X^\times / \mathcal{O}_X^\times.$$  समतुल्य विवरण यह है कि कार्टियर विभाजक  संग्रह है $$\{(U_i, f_i)\},$$ कहाँ $$\{U_i\}$$ का  खुला आवरण है $$X, f_i$$ का  भाग है $$\mathcal M_X^\times$$ पर $$U_i,$$ और $$f_i=f_j$$ पर $$U_i \cap U_j$$ के  भाग से गुणा तक $$\mathcal O_X^\times.$$ कार्टियर डिवाइडर में शीफ-सैद्धांतिक विवरण भी होता है। भिन्नात्मक आदर्श शीफ  उप- है$$\mathcal O_X$$-मॉड्यूल का $$\mathcal{M}_X.$$  भिन्नात्मक आदर्श शीफ़ J 'उलटा' है यदि, X में प्रत्येक x के लिए, x का  खुला पड़ोस U मौजूद है जिस पर J से U का प्रतिबंध बराबर है $$\mathcal{O}_U \cdot f,$$ कहाँ $$f \in \mathcal{M}_X^{\times}(U)$$ और उत्पाद अंदर ले लिया जाता है $$\mathcal{M}_X.$$ प्रत्येक कार्टियर विभाजक  संग्रह के रूप में कार्टियर विभाजक के विवरण का उपयोग करके  उलटा भिन्नात्मक आदर्श शीफ को परिभाषित करता है $$\{(U_i, f_i)\},$$ और इसके विपरीत, व्युत्क्रमणीय भिन्नात्मक आदर्श शीव्स कार्टियर विभाजक को परिभाषित करते हैं। यदि कार्टियर विभाजक को डी निरूपित किया जाता है, तो संबंधित भिन्नात्मक आदर्श शीफ को निरूपित किया जाता है $$\mathcal{O}(D)$$ या एल(डी).

उपरोक्त सटीक अनुक्रम के अनुसार, शीफ़ कोहोलॉजी समूहों का सटीक अनुक्रम है:


 * $$H^0(X, \mathcal{M}^\times_X) \to H^0(X, \mathcal{M}^\times_X / \mathcal{O}^\times_X) \to H^1(X, \mathcal O^\times_X) = \operatorname{Pic}(X).$$

कार्टियर विभाजक को प्रमुख कहा जाता है यदि यह समरूपता की छवि में है $$H^0(X,\mathcal{M}_X^{\times}) \to H^0(X, \mathcal{M}_X^{\times}/\mathcal{O}_X^{\times}),$$ अर्थात्, यदि यह X पर परिमेय फलन का भाजक है। दो कार्टियर भाजक 'रैखिक रूप से समतुल्य' हैं यदि उनका अंतर मूलधन है। इंटीग्रल नोथेरियन स्कीम ्स पर प्रत्येक लाइन बंडल एल कुछ कार्टियर विभाजक का वर्ग है। नतीजतन, उपरोक्त सटीक अनुक्रम कार्टियर डिवाइजर्स मॉड्यूलो रैखिक तुल्यता के समूह के साथ  अभिन्न नोथेरियन योजना ्स पर लाइन बंडलों के पिकार्ड समूह की पहचान करता है। यह सामान्यतः कम नोथेरियन योजनाओं, या नोथेरियन रिंग पर अर्ध-प्रोजेक्टिव योजनाओं के लिए लागू होता है, किन्तु यह सामान्य रूप से विफल हो सकता है (यहां तक ​​कि सी से अधिक उचित योजनाओं के लिए भी), जो पूरी व्यापकता में कार्टियर विभाजकों की रुचि को कम कर देता है। मान लें कि D प्रभावी कार्टियर विभाजक है। फिर  संक्षिप्त सटीक क्रम है


 * $$0 \to \mathcal{O}_X \to \mathcal{O}_X(D) \to \mathcal{O}_D(D) \to 0.$$

यह क्रम $$\mathcal{O}(D)$$ स्थानीय रूप से मुफ़्त है, और इसलिए उस अनुक्रम को सीमित किया जा रहा है $$\mathcal{O}(D)$$ और संक्षिप्त सटीक अनुक्रम उत्पन्न होता है, ऊपर वाला। जब D चिकना हो, $$O_D(D)$$ X में D का सामान्य बंडल है।

वेइल विभाजक और कार्टियर विभाजक की तुलना
वेइल विभाजक डी को 'कार्टियर' कहा जाता है यदि और केवल यदि शीफ $$\mathcal{O}(D)$$ उलटा है. जब ऐसा होता है, $$\mathcal{O}(D)$$ (एम में इसके एम्बेडिंग के साथ)X) कार्टियर विभाजक से संबद्ध रेखा बंडल है। अधिक सटीक रूप से, यदि $$\mathcal{O}(D)$$ उलटा है, तो खुला आवरण मौजूद है {यूi} ऐसा है कि $$\mathcal{O}(D)$$ प्रत्येक खुले सेट पर  तुच्छ बंडल तक सीमित है। प्रत्येक यू के लिएi,  समरूपता चुनें $$\mathcal{O}_{U_i} \to \mathcal{O}(D)|_{U_i}.$$ की छवि $$1 \in \Gamma(U_i, \mathcal{O}_{U_i}) = \Gamma(U_i, \mathcal{O}_X)$$ इस मानचित्र के अंतर्गत  भाग है $$\mathcal{O}(D)$$ वह यूi. क्योंकि $$\mathcal{O}(D)$$ तर्कसंगत कार्यों के समूह के उपशीर्षक के रूप में परिभाषित किया गया है, 1 की छवि को कुछ तर्कसंगत कार्यों के साथ पहचाना जा सकता हैi. संग्रह $$\{(U_i, f_i)\}$$ तब कार्टियर विभाजक है। यह अच्छी तरह से परिभाषित है क्योंकि इसमें सम्मिलित मात्र विकल्प कवरिंग और समरूपता के थे, जिनमें से कोई भी कार्टियर विभाजक को नहीं बदलता है। इस कार्टियर विभाजक का उपयोग  शीफ का उत्पादन करने के लिए किया जा सकता है, जिसे भेद के लिए हम एल (डी) नोट करेंगे। की  समरूपता है $$\mathcal{O}(D)$$ खुले कवर {यू' पर काम करके परिभाषित एल(डी) के साथi}. यह जाँचने के लिए मुख्य कारक कि संक्रमण कार्य कहाँ है $$\mathcal{O}(D)$$ और एल(डी) संगत हैं, और इसका मतलब यह है कि इन सभी कार्यों का रूप है $$f_i/f_j.$$ विपरीत दिशा में, कार्टियर विभाजक $$\{(U_i, f_i)\}$$ इंटीग्रल नोथेरियन स्कीम पर ्स, लागू करके, प्राकृतिक तरीके से ्स पर  वेइल विभाजक निर्धारित करता है $$\operatorname{div} $$ कार्यों के लिए एफiखुले सेट पर यूi.

यदि

नोएथेरियन स्कीम ्स को 'फैक्टोरियल' कहा जाता है यदि ्स के सभी स्थानीय रिंग अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन हैं। (कुछ लेखक स्थानीय रूप से फैक्टोरियल कहते हैं।) विशेष रूप से, प्रत्येक नियमित योजना फैक्टोरियल होती है। फैक्टोरियल स्कीम ्स पर, प्रत्येक वेइल विभाजक डी स्थानीय रूप से प्रिंसिपल है, और इसी तरह $$\mathcal{O}(D)$$ हमेशा लाइन बंडल होता है. हालाँकि, सामान्यतः, सामान्य योजना पर  वेइल विभाजक को स्थानीय रूप से प्रमुख होने की आवश्यकता नहीं होती है; ऊपर चतुर्भुज शंकु के उदाहरण देखें।

प्रभावी कार्टियर विभाजक
प्रभावी कार्टियर विभाजक वे होते हैं जो आदर्श शीव्स के अनुरूप होते हैं। वास्तव में, प्रभावी कार्टियर विभाजक के सिद्धांत को तर्कसंगत कार्यों के समूह या आंशिक आदर्श समूह के संदर्भ के बिना विकसित किया जा सकता है।

मान लीजिए कि X योजना है। X पर  'प्रभावी कार्टियर विभाजक'  आदर्श शीफ I है जो उलटा है और ऐसा है कि X में प्रत्येक बिंदु x के लिए, डंठल Ixप्रमुख है. यह आवश्यक है कि प्रत्येक x के आसपास, खुला एफ़िन उपसमुच्चय मौजूद हो $U = Spec A$ ऐसा है कि $U ∩ D = Spec A / (f)$, जहां ए में एफ  गैर-शून्य भाजक है। दो प्रभावी कार्टियर भाजक का योग आदर्श शीव्स के गुणन से मेल खाता है।

प्रभावी कार्टियर विभाजक के परिवारों का अच्छा सिद्धांत है। होने देना $φ : X → S$  रूपवाद हो. S के ऊपर X के लिए सापेक्ष प्रभावी कार्टियर विभाजक X पर  प्रभावी कार्टियर विभाजक D है जो S के ऊपर सपाट है। समतलता धारणा के कारण, प्रत्येक के लिए $$S'\to S,$$ D से  पुलबैक है $$X \times_S S',$$ और यह पुलबैक  प्रभावी कार्टियर विभाजक है। विशेष रूप से, यह φ के तंतुओं के लिए सच है।

कोडैरा की लेम्मा
(बड़े) कार्टियर विभाजक के मूल परिणाम के रूप में, कोडैरा का लेम्मा नामक परिणाम होता है:

"Let $X$ be a irreducible projective variety and let $D$ be a big Cartier divisor on $X$ and let $H$ be an arbitrary effective Cartier divisor on $X$. Then


 * $H^{0} (X, \mathcal{O}_{X} (mD - H)) \neq 0$.

for all sufficiently large $m \in N (X,D)$."

कोदैरा की प्रमेयिका बड़े भाजक के बारे में कुछ परिणाम देती है।

कार्यात्मकता
होने देना $φ : X → Y$ अभिन्न स्थानीय नोथेरियन योजनाओं का रूपवाद बनें। विभाजक D को  योजना से दूसरी योजना में स्थानांतरित करने के लिए φ का उपयोग करना प्रायः—किन्तु हमेशा नहीं—संभव होता है। क्या यह संभव है यह इस बात पर निर्भर करता है कि भाजक  वेइल या कार्टियर भाजक है, क्या भाजक को X से Y या इसके विपरीत स्थानांतरित किया जाना है, और φ में कौन से अतिरिक्त गुण हो सकते हैं।

यदि Z, X पर अभाज्य वेइल विभाजक है, तो $$\overline{\varphi(Z)}$$ Y का  बंद इरेड्यूसिबल उपयोजना है। φ के आधार पर, यह प्राइम वेइल विभाजक हो भी सकता है और नहीं भी। उदाहरण के लिए, यदि φ समतल में किसी बिंदु का ब्लो अप है और Z असाधारण भाजक है, तो इसकी छवि वेइल भाजक नहीं है। इसलिए, φ*Z को परिभाषित किया गया है $$\overline{\varphi(Z)}$$ यदि वह उपयोजना  अभाज्य भाजक है और अन्यथा उसे शून्य भाजक के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे रैखिकता द्वारा विस्तारित करने पर, यह मानते हुए कि X अर्ध-कॉम्पैक्ट है,  समरूपता को परिभाषित करेगा $Div(X) → Div(Y)$ पुशफॉरवर्ड कहा जाता है। (यदि X अर्ध-कॉम्पैक्ट नहीं है, तो पुशफॉरवर्ड स्थानीय रूप से सीमित योग होने में विफल हो सकता है।) यह चाउ समूहों पर पुशफॉरवर्ड का  विशेष मामला है।

यदि Z कार्टियर विभाजक है, तो φ पर हल्की परिकल्पना के अंतर्गत,  पुलबैक है $$\varphi^*Z$$. शीफ़-सैद्धांतिक रूप से, जब कोई पुलबैक मानचित्र होता है $$\varphi^{-1}\mathcal{M}_Y \to \mathcal{M}_X$$, तो इस पुलबैक का उपयोग कार्टियर विभाजकों के पुलबैक को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। स्थानीय अनुभागों के संदर्भ में, का पुलबैक $$\{(U_i, f_i)\}$$ होने के लिए परिभाषित किया गया है $$\{(\varphi ^{-1}(U_i), f_i \circ \varphi)\}$$. यदि φ प्रभावी है तो पुलबैक को हमेशा परिभाषित किया जाता है, किन्तु इसे सामान्य रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि $X = Z$ और φ, Y में Z का समावेश है, फिर φ*Z अपरिभाषित है क्योंकि संबंधित स्थानीय अनुभाग हर जगह शून्य होंगे। (हालाँकि, संबंधित लाइन बंडल का पुलबैक परिभाषित है।)

यदि φ समतल है, तो वेइल डिवाइडर का पुलबैक परिभाषित किया गया है। इस मामले में, Z का पुलबैक है $φ^{*}Z = φ^{&minus;1}(Z)$. φ की समतलता यह सुनिश्चित करती है कि Z की व्युत्क्रम छवि का कोड आयाम बना रहे। यह उन आकृतियों के लिए विफल हो सकता है जो समतल नहीं हैं, उदाहरण के लिए,  छोटे संकुचन के लिए।

प्रथम चेर्न वर्ग
अभिन्न नोथेरियन योजना


 * $$ c_1 : \operatorname{Pic}(X) \to \operatorname{Cl}(X),$$

प्रथम चेर्न वर्ग के रूप में जाना जाता है। यदि X सामान्य है तो पहला चेर्न वर्ग इंजेक्शन है, और यदि X फैक्टोरियल है (जैसा कि ऊपर परिभाषित है) तो यह  समरूपता है। विशेष रूप से, कार्टियर विभाजक को किसी भी नियमित योजना पर वेइल विभाजक के साथ पहचाना जा सकता है, और इसलिए पहला चेर्न वर्ग ्स नियमित के लिए  समरूपता है।

स्पष्ट रूप से, प्रथम चेर्न वर्ग को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है। इंटीग्रल नोथेरियन स्कीम ) परिमेय फलन के भाजक के अनुरूप X पर। तब एल के पहले चेर्न वर्ग को विभाजक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। परिमेय खंड s को बदलने से यह भाजक रैखिक तुल्यता द्वारा बदल जाता है, क्योंकि (fs) = (f) + (s)  गैर-शून्य परिमेय फलन f और L के  गैर-शून्य परिमेय खंड s के लिए। तो तत्व c1(एल) सीएल(्स) में अच्छी तरह से परिभाषित है।

आयाम n की जटिल किस्म


 * $$\operatorname{Cl}(X) \to H_{2n-2}^{\operatorname{BM}}(X, \mathbf{Z}).$$

बाद वाले समूह को इसकी शास्त्रीय (यूक्लिडियन) टोपोलॉजी के साथ, ्स के जटिल बिंदुओं के स्थान ्स ('सी') का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। इसी तरह, पिकार्ड समूह टोपोलॉजिकल अर्थ में प्रथम चेर्न वर्ग द्वारा वचन कोहोमोलॉजी का मानचित्रण करता है:


 * $$\operatorname{Pic}(X) \to H^2(X, \mathbf{Z}).$$

दो समरूपताएं क्रमविनिमेय आरेख से संबंधित हैं, जहां सही ऊर्ध्वाधर मानचित्र बोरेल-मूर होमोलॉजी में ्स के मौलिक वर्ग के साथ कैप उत्पाद है:


 * $$ \begin{array}{ccc}

\operatorname{Pic}(X) & \longrightarrow & H^2(X,\mathbf{Z})\\ \downarrow & & \downarrow \\ \operatorname{Cl}(X) &\longrightarrow & H_{2n-2}^{\operatorname{BM}}(X,\mathbf{Z}) \end{array} $$ 'सी' पर ्स स्मूथ के लिए, दोनों ऊर्ध्वाधर मानचित्र समरूपता हैं।

लाइन बंडलों और रैखिक प्रणालियों के वैश्विक खंड
कार्टियर विभाजक प्रभावी होता है यदि इसका स्थानीय परिभाषित कार्य f होi नियमित हैं (केवल तर्कसंगत कार्य नहीं)। उस स्थिति में, कार्टियर विभाजक को ्स में कोडिमेंशन 1 की बंद उप-योजना के साथ पहचाना जा सकता है, उप-योजना एफ द्वारा स्थानीय रूप से परिभाषित की गई हैi = 0. कार्टियर विभाजक डी प्रभावी विभाजक के रैखिक रूप से समतुल्य है यदि और केवल यदि इसकी संबद्ध रेखा बंडल हो $$\mathcal{O}(D)$$  गैर-शून्य वैश्विक अनुभाग है; तब D, s के शून्य बिंदुपथ के रैखिक रूप से समतुल्य है।

मान लीजिए कि X फ़ील्ड k पर  प्रक्षेप्य किस्म है। फिर  वैश्विक खंड को गुणा करना $$\mathcal{O}(D)$$ k में  शून्येतर अदिश द्वारा इसका शून्य स्थान नहीं बदलता है। परिणामस्वरूप, वैश्विक खंड एच के के-वेक्टर स्थान में रेखाओं का प्रक्षेप्य स्थान0(X, O(D)) को D के रैखिक रूप से समतुल्य प्रभावी विभाजकों के सेट से पहचाना जा सकता है, जिसे D का 'पूर्ण रैखिक प्रणाली' कहा जाता है। इस प्रक्षेप्य स्थान के  प्रक्षेप्य रैखिक उपस्थान को  रैखिक प्रणाली कहा जाता है विभाजकों का.

लाइन बंडल के वैश्विक खंडों के स्थान का अध्ययन करने का कारण किसी दिए गए विविधता से लेकर प्रक्षेप्य स्थान तक के संभावित मानचित्रों को समझना है। बीजगणितीय किस्मों के वर्गीकरण के लिए यह आवश्यक है। स्पष्ट रूप से, विविधता X से प्रक्षेप्य स्थान 'P' तक  रूपवादn फ़ील्ड k पर X पर  लाइन बंडल L निर्धारित करता है, जो मानक लाइन बंडल का पुलबैक बंडल है $$\mathcal{O}(1)$$ पी परn. इसके अतिरिक्त, L n+1 अनुभागों के साथ आता है जिनका आधार स्थान (उनके शून्य सेटों का प्रतिच्छेदन) खाली है। इसके विपरीत, n+1 वैश्विक खंडों वाला कोई भी लाइन बंडल L जिसका सामान्य आधार स्थान खाली है, रूपवाद X → 'P' निर्धारित करता हैn. ये अवलोकन कार्टियर विभाजक (या लाइन बंडल) के लिए सकारात्मकता की कई धारणाओं को जन्म देते हैं, जैसे कि पर्याप्त विभाजक और नेफ विभाजक। फ़ील्ड k पर प्रक्षेप्य विविधता X पर विभाजक D के लिए, k-वेक्टर स्थान H0(X, O(D)) का आयाम सीमित है। रीमैन-रोच प्रमेय इस वेक्टर स्थान के आयाम की गणना करने के लिए मौलिक उपकरण है जब ्स  प्रक्षेप्य वक्र है। क्रमिक सामान्यीकरण, हिरज़ेब्रुच-रीमैन-रोच प्रमेय और ग्रोथेंडिक-रीमैन-रोच प्रमेय, एच के आयाम के बारे में कुछ जानकारी देते हैं।0(X, O(D)) किसी क्षेत्र पर किसी भी आयाम की प्रक्षेप्य किस्म X के लिए।

क्योंकि विहित विभाजक आंतरिक रूप से किस्म से जुड़ा होता है, किस्मों के वर्गीकरण में  महत्वपूर्ण भूमिका K द्वारा दिए गए प्रक्षेप्य स्थान के मानचित्रों द्वारा निभाई जाती है।X और इसके सकारात्मक गुणज। ्स का कोडैरा आयाम  प्रमुख द्विवार्षिक ज्यामिति अपरिवर्तनीय है, जो वेक्टर रिक्त स्थान एच की वृद्धि को मापता है0(्स, एमकेX) (अर्थ एच0(्स, ओ(एमकेX))) जैसे-जैसे m बढ़ता है। कोडैरा आयाम सभी n-आयामी किस्मों को n+2 वर्गों में विभाजित करता है, जो (बहुत मोटे तौर पर) सकारात्मक वक्रता से नकारात्मक वक्रता की ओर जाते हैं।

क्यू-विभाजक
माना कि X सामान्य किस्म है। ए (वेइल) 'क्यू'-विभाजक तर्कसंगत गुणांक के साथ ्स की इरेड्यूसबल कोडिमेंशन-1 उप-किस्मों का  सीमित औपचारिक रैखिक संयोजन है। ( 'आर'-भाजक को इसी तरह परिभाषित किया गया है।) यदि गुणांक गैर-नकारात्मक हैं तो  'क्यू'-भाजक 'प्रभावी' है।  'क्यू'-विभाजक डी 'क्यू-कार्टियर' है यदि एमडी कुछ सकारात्मक पूर्णांक एम के लिए कार्टियर विभाजक है। यदि X सुचारू है, तो प्रत्येक 'Q'-विभाजक 'Q'-कार्टियर है।

अगर


 * $$D= \sum_j a_j Z_j$$

क्यू-विभाजक है, तो इसका राउंड-डाउन भाजक है


 * $$\lfloor D\rfloor = \sum \lfloor a_j \rfloor Z_j,$$

कहाँ $$\lfloor a \rfloor$$ a से कम या उसके बराबर सबसे बड़ा पूर्णांक है। पूला $$\mathcal{O}(D)$$ फिर परिभाषित किया गया है $$\mathcal{O}(\lfloor D\rfloor).$$

ग्रोथेंडि-लेफ़्सचेत्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय
लेफ्शेट्ज़ हाइपरप्लेन प्रमेय का तात्पर्य है कि कम से कम 4 आयाम की चिकनी जटिल प्रक्षेप्य किस्म उदाहरण के लिए, यदि Y जटिल प्रक्षेप्य स्थान में कम से कम 3 आयाम का  सहज पूर्ण प्रतिच्छेदन प्रकार है, तो Y का पिकार्ड समूह 'Z' के समरूपी है, जो प्रक्षेप्य स्थान पर लाइन बंडल O(1) के प्रतिबंध से उत्पन्न होता है।

अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने लेफ्शेट्ज़ के प्रमेय को कई दिशाओं में सामान्यीकृत किया, जिसमें मनमाना आधार क्षेत्र, वचन किस्में और प्रक्षेपी किस्मों के अतिरिक्त स्थानीय रिंगों पर परिणाम सम्मिलित थे। विशेष रूप से, यदि R पूर्ण प्रतिच्छेदन वलय स्थानीय वलय है, जो अधिकतम 3 कोड आयाम में भाज्य है (उदाहरण के लिए, यदि R के गैर-नियमित स्थान का कोड आयाम कम से कम 4 है), तो R  अद्वितीय गुणनखंड डोमेन है (और इसलिए प्रत्येक Spec(R) पर वेइल विभाजक कार्टियर है)। यहां बंधा हुआ आयाम इष्टतम है, जैसा कि ऊपर दिए गए 3-आयामी क्वाड्रिक शंकु के उदाहरण से दिखाया गया है।

संदर्भ

 * Section II.6 of
 * Section II.6 of
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 * Section II.6 of
 * Section II.6 of