अवकल गणित



गणित में, अंतर कैलकुलस, कैलकुलस का उपक्षेत्र है जो उन दरों का अध्ययन करता है जिन पर मात्राएँ बदलती हैं। यह कैलकुलस के दो पारंपरिक विभाजन में से एक है, दूसरा समाकलन गणित है - वक्र के नीचे के क्षेत्र का अध्ययन है।

अंतर कैलकुलस में अध्ययन की प्राथमिक वस्तुएँ फलन (गणित) के व्युत्पन्न हैं, संबंधित धारणाएँ जैसे कि फलन का अंतर और उनके अनुप्रयोग। किसी चुने हुए इनपुट मान पर किसी फलन का व्युत्पन्न उस इनपुट मान के पास फलन के परिवर्तन की दर का वर्णन करता है। व्युत्पन्न खोजने की प्रक्रिया को भेदभाव कहा जाता है। ज्यामितीय रूप से, बिंदु पर व्युत्पन्न उस बिंदु पर फलन के ग्राफ़ के स्पर्शरेखा का ढलान है, परंतु कि व्युत्पन्न उपस्थित हो और उस बिंदु पर परिभाषित हो। वास्तविक चर के वास्तविक-मूल्यवान फलन के लिए, बिंदु पर फलन का व्युत्पन्न सामान्यतः उस बिंदु पर फलन के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन निर्धारित करता है।

अंतर कैलकुलस और इंटीग्रल कैलकुलस, कैलकुलस के मौलिक प्रमेय द्वारा जुड़े हुए हैं, जो बताता है कि भेदभाव एकीकरण (गणित) की उल्टी प्रक्रिया है।

विभेदन का अनुप्रयोग लगभग सभी परिमाणात्मक विषयों में होता है। भौतिकी में, समय के संबंध में गतिमान पिंड के विस्थापन (वेक्टर) का व्युत्पन्न पिंड का वेग है, और समय के संबंध में वेग का व्युत्पन्न त्वरण है। समय के संबंध में किसी पिंड के संवेग की व्युत्पत्ति उस पिंड पर लगाए गए बल के बराबर होती है; इस व्युत्पन्न कथन को पुनर्व्यवस्थित करने से प्रसिद्ध होता है $F = ma$ न्यूटन के गति के नियमों से जुड़ा समीकरण न्यूटन का गति का दूसरा नियम रासायनिक प्रतिक्रिया की प्रतिक्रिया दर व्युत्पन्न है। संचालन अनुसंधान में, डेरिवेटिव सामग्री और डिजाइन कारखानों के परिवहन के लिए सबसे कुशल विधियाँ निर्धारित करते हैं।

किसी फलन के अधिकतम और न्यूनतम को खोजने के लिए अधिकांशतः डेरिवेटिव का उपयोग किया जाता है। डेरिवेटिव वाले समीकरण अवकल समीकरण कहलाते हैं और प्राकृतिक घटना का वर्णन करने में मौलिक हैं। डेरिवेटिव और उनके सामान्यीकरण गणित के कई क्षेत्रों में दिखाई देते हैं, जैसे जटिल विश्लेषण, कार्यात्मक विश्लेषण, अंतर ज्यामिति, माप सिद्धांत और अमूर्त बीजगणित है।

व्युत्पन्न
व्युत्पन्न $$f(x)$$ बिंदु पर $$x=a$$ की स्पर्शरेखा का ढाल है $$(a,f(a))$$. इसके लिए अंतर्ज्ञान प्राप्त करने के लिए, किसी को पहले रेखीय समीकरण के ढलान को खोजने के लिए परिचित होना चाहिए, जो फॉर्म में लिखा गया है $$y=mx+b$$. समीकरण की ढलान इसकी स्थिरता है। इसे किसी भी दो बिंदुओं को चुनकर और परिवर्तन को विभाजित करके पाया जा सकता है $$y$$ में बदलाव से $$x$$, जिसका अर्थ है कि $$\text{slope } =\frac{\text{ change in }y}{\text{change in }x}$$. के लिए, का ग्राफ $$y=-2x+13$$ का ढाल है $$-2$$, जैसा कि नीचे चित्र में दिखाया गया है:

फ़ाइल: y = का ग्राफ-2x+13 का ग्राफ $$y=-2x+13$$:$$\frac{\text{change in }y}{\text{change in }x}=\frac{-6}{+3}=-2$$ है

संक्षिप्तता के लिए, $$\frac{\text{change in }y}{\text{change in }x}$$ अधिकांशतः के रूप में लिखा जाता है $$\frac{\Delta y}{\Delta x}$$, साथ $$\Delta$$ ग्रीक अक्षर डेल्टा होने के संबंधी, जिसका अर्थ है 'परिवर्तन' रेखीय समीकरण का ढलान स्थिर है, जिसका अर्थ है कि ढलान हर जगह समान है। चूंकि, कई रेखांकन जैसे $$y=x^2$$ उनकी स्थिरता में भिन्नता है। इसका अर्थ यह है कि अब आप कोई भी दो मनमाना बिंदु नहीं चुन सकते हैं और ढलान की गणना कर सकते हैं। इसके अतिरिक्त, ग्राफ़ की ढलान की गणना स्पर्शरेखा रेखा पर विचार करके की जा सकती है - ऐसी रेखा जो किसी विशेष बिंदु को 'बस स्पर्श' करती है। किसी विशेष बिंदु पर वक्र का ढलान उस बिंदु पर स्पर्शरेखा के ढलान के बराबर होता है। उदाहरण के लिए, $$y=x^2$$ का ढाल है $$4$$ पर $$x=2$$ क्योंकि उस बिंदु पर स्पर्शरेखा की ढलान के बराबर है।

फ़ाइल: फलन का ग्राफ़ f(x)=x^2 खींची गई स्पर्श रेखा के साथ (2,4) का ग्राफ $$y=x^2$$ सीधी रेखा के साथ जो स्पर्शरेखा है $$(2,4)$$. स्पर्श रेखा की प्रवणता के बराबर होती है $$4$$. (ध्यान दें कि ग्राफ़ के अक्ष 1:1 स्केल का उपयोग नहीं करते हैं।)

फलन (गणित) का व्युत्पन्न तो बस इस स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है। भले ही स्पर्शरेखा रेखा स्पर्शरेखा के बिंदु पर केवल बिंदु को छूती है, इसे दो बिंदुओं से होकर जाने वाली रेखा द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। इसे छेदक रेखा के रूप में जाना जाता है। यदि छेदक रेखा जिस दो बिंदुओं से होकर गुजरती है, वे एक दूसरे के समीप हैं, तो छेदक रेखा स्पर्श रेखा के समान है, और, परिणामस्वरूप, इसकी ढलान भी बहुत समान है:

छेदक रेखा का उपयोग करने का लाभ यह है कि इसकी ढलान की गणना सीधे की जा सकती है। ग्राफ पर दो बिंदुओं पर विचार करें $$(x,f(x))$$ तथा $$(x+\Delta x,f(x+\Delta x))$$, जहाँ पर $$\Delta x$$ छोटी संख्या है। पहले की तरह, इन दो बिंदुओं से गुजरने वाली रेखा के ढलान की गणना सूत्र से की जा सकती है। खींची गई स्पर्श रेखा के साथ $$\text{slope } = \frac{\Delta y}{\Delta x}$$. यह देता है।


 * $$\text{slope} = \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

जैसा $$\Delta x$$ के और निकट होता जाता है $$0$$, छेदक रेखा का ढाल स्पर्श रेखा के ढाल के और निकट आता जाता है। इसे औपचारिक रूप से लिखा जाता है।


 * $$\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$$

उपरोक्त अभिव्यक्ति का अर्थ 'जैसा' है $$\Delta x$$ 0 के समीप और समीप जाता है, छेदक रेखा का ढलान निश्चित मूल्य के समीप और समीप होता जाता है'। जिस मूल्य से संपर्क किया जा रहा है वह व्युत्पन्न है $$f(x)$$; इसे इस रूप में लिखा जा सकता है $$f'(x)$$. यदि $$y=f(x)$$व्युत्पन्न के रूप में भी लिखा जा सकता है $$\frac{dy}{dx}$$, साथ $$d$$ अतिसूक्ष्म परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करना। उदाहरण के लिए, $$dx$$ x में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। संक्षेप में, अगर $$y=f(x)$$, फिर का व्युत्पन्न $$f(x)$$ है।



\frac{dy}{dx}=f'(x)=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} $$ परंतु ऐसी सीमा उपस्थित हो। इस प्रकार हम फलन के व्युत्पन्न को ठीक से परिभाषित करने में सफल हुए हैं, जिसका अर्थ है कि 'स्पर्श रेखा की ढलान' का अब सही गणितीय अर्थ है। उपरोक्त परिभाषा का उपयोग करके किसी फलन को अलग करना पहले सिद्धांतों से भिन्नता के रूप में जाना जाता है। यहाँ प्रमाण है, पहले सिद्धांतों से भिन्नता का उपयोग करते हुए, कि व्युत्पन्न $$y=x^2$$ है $$2x$$ है।



\begin{align} \frac{dy}{dx}&=\lim_{\Delta x \to 0}\frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{(x+\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{x^2+2x\Delta x+(\Delta x)^2-x^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}\frac{2x\Delta x+(\Delta x)^2}{\Delta x} \\ &= \lim_{\Delta x \to 0}2x+\Delta x \\ \end{align} $$ जैसा $$\Delta x$$ दृष्टिकोण $$0$$, $$2x+\Delta x$$ दृष्टिकोण $$2x$$. इसलिए, $$\frac{dy}{dx}=2x$$. यह दिखाने के लिए इस प्रमाण को सामान्यीकृत किया जा सकता है। $$\frac{d(ax^n)}{dx}=anx^{n-1}$$ यदि $$a$$ तथा $$n$$ स्थिर (गणित) हैं। इसे शक्ति नियम के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, $$\frac{d}{dx}(5x^4)=5(4)x^3=20x^3$$. चूंकि, कई अन्य कार्यों को बहुपद के रूप में सरलता से विभेदित नहीं किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि किसी फलन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए कभी-कभी और तकनीकों की आवश्यकता होती है। इन तकनीकों में श्रृंखला नियम, उत्पाद नियम और भागफल नियम सम्मिलित हैं। भिन्नता की अवधारणा को जन्म देते हुए, अन्य कार्यों को बिल्कुल भी विभेदित नहीं किया जा सकता है।

किसी फलन के अवकलज से निकटता से संबंधित अवधारणा उसका अवकलन (गणित) है। कब $x$ तथा $y$ वास्तविक चर हैं, के व्युत्पन्न $f$ पर $x$ के ग्राफ की स्पर्श रेखा का ढाल है $f$ पर $x$. क्योंकि स्रोत और लक्ष्य $f$ आयामी हैं, के व्युत्पन्न $f$ वास्तविक संख्या है। यदि $x$ तथा $y$ वैक्टर हैं, तो के ग्राफ के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन $f$ कैसे पर निर्भर करता है $f$ साथ कई दिशाओं में परिवर्तन दिशा में सर्वोत्तम रैखिक सन्निकटन लेने से आंशिक व्युत्पन्न निर्धारित होता है, जिसे सामान्यतः निरूपित किया जाता है $∂y⁄∂x$. का रैखिककरण $f$ सभी दिशाओं में एक बार में कुल व्युत्पन्न कहा जाता है।

भेदभाव का इतिहास
स्पर्श रेखा के अर्थ में व्युत्पन्न की अवधारणा बहुत पुरानी है, जो यूक्लिड (c. 300 ईसा पूर्व), आर्किमिडीज़ (c. 287-212 ईसा पूर्व) और पेर्गा के एपोलोनियस (c. 262-190 ईसा पूर्व)। आर्किमिडीज ने कैवलियरी के सिद्धांत का भी उपयोग किया, चूंकि ये मुख्य रूप से डेरिवेटिव और स्पर्शरेखा के अतिरिक्त क्षेत्रों और मात्राओं का अध्ययन करने के लिए उपयोग किए गए थे। (मैकेनिकल प्रमेयों की विधि देखें)

परिवर्तन की दरों का अध्ययन करने के लिए इनफिनिटिमल्स का उपयोग भारतीय गणित में पाया जा सकता है, शायद 500 ईस्वी पूर्व में, जब खगोलशास्त्री और गणितज्ञ आर्यभट्ट (476-550) ने चंद्रमा की कक्षा का अध्ययन करने के लिए इनफिनिटिमल्स का उपयोग किया था। भास्कर II (1114-1185) द्वारा परिवर्तन की दरों की गणना करने के लिए इनफिनिटिमल्स का उपयोग महत्वपूर्ण रूप से विकसित किया गया था; वास्तव में, यह तर्क दिया गया है। कि अंतर कैलकुलस की कई प्रमुख धारणाएँ उनके काम में पाई जा सकती हैं, जैसे कि रोले की प्रमेय।

गणितज्ञ, शराफ अल-दीन अल-तुसी (1135-1213) ने समीकरणों पर अपने ग्रंथ में, कुछ घन समीकरणों के समाधान के लिए शर्तों की स्थापना की, उचित घन बहुपदों की अधिकतमता को ढूंढकर। उन्होंने प्राप्त किया, उदाहरण के लिए, अधिकतम (सकारात्मक के लिए $x$) घन का $ax^{2} – x^{3}$ तब होता है जब $x = 2a / 3$, और निष्कर्ष निकाला कि समीकरण $ax^{2} = x^{3} + c$ ठीक सकारात्मक समाधान है जब $c = 4a^{3} / 27$, और दो सकारात्मक समाधान जब भी $0 < c < 4a^{3} / 27$. विज्ञान के इतिहासकार, रुश्दी राशिद, ने तर्क दिया है कि इस परिणाम को प्राप्त करने के लिए अल-तुसी ने घन के व्युत्पन्न का उपयोग किया होगा। राशेड के निष्कर्ष को अन्य विद्वानों द्वारा चुनौती दी गई है, चूंकि, उनका तर्क है कि वह अन्य विधियों से परिणाम प्राप्त कर सकता था जिसके लिए फलन के व्युत्पन्न को ज्ञात करने की आवश्यकता नहीं होती है।

कैलकुलस के आधुनिक विकास का श्रेय सामान्यतः आइजैक न्यूटन (1643-1727) और गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज (1646-1716) को दिया जाता है, जिन्होंने स्वतंत्र गणना प्रदान की। और भेदभाव और डेरिवेटिव के लिए एकीकृत दृष्टिकोण है। चूंकि, प्रमुख अंतर्दृष्टि, जिसने उन्हें यह श्रेय अर्जित किया, वह विभेदीकरण और एकीकरण से संबंधित कैलकुलस का मौलिक प्रमेय था: इसने क्षेत्रों और मात्राओं की गणना के लिए अप्रचलित सबसे पुरानी विधियों का प्रतिपादन किया, जिसे इब्न अल-हेथम (अलहज़ेन) के समय से महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाया नहीं गया था। डेरिवेटिव्स पर अपने विचारों के लिए, न्यूटन और लाइबनिज दोनों ने पियरे डी फर्मेट (1607-1665), आइजैक बैरो (1630-1677), रेने डेसकार्टेस (1596-1650), क्रिस्टियान ह्यूजेंस (1629-1695) जैसे गणितज्ञों द्वारा महत्वपूर्ण पहले के काम पर बनाया ), ब्लेस पास्कल (1623-1662) और जॉन वालिस (1616-1703)। फर्मेट के प्रभाव के बारे में, न्यूटन ने एक बार पत्र में लिखा था कि मुझे इस विधि [फ्लक्सन] का संकेत फर्मेट के स्पर्शरेखा खींचने के विधियाँ से मिला था, और इसे अमूर्त समीकरणों पर सीधे और उल्टे रूप में प्रयुक्त करके, मैंने इसे सामान्य बना दिया। इसहाक बैरो को सामान्यतः डेरिवेटिव के प्रारंभिक विकास का श्रेय दिया जाता है। फिर भी, न्यूटन और लीबनिज भेदभाव के इतिहास में प्रमुख व्यक्ति बने हुए हैं, कम से कम नहीं क्योंकि न्यूटन सैद्धांतिक भौतिकी में भेदभाव प्रयुक्त करने वाले पहले व्यक्ति थे, जबकि लीबनिज ने व्यवस्थित रूप से आज भी उपयोग किए जाने वाले अधिकांश अंकन विकसित किए गये है।

17वीं शताब्दी के बाद से कई गणितज्ञों ने विभेदीकरण के सिद्धांत में योगदान दिया है। 19वीं शताब्दी में, ऑगस्टिन लुइस कॉची (1789-1857), बर्नहार्ड रीमैन (1826-1866), और कार्ल वीयरस्ट्रास (1815-1897) जैसे गणितज्ञों द्वारा कैलकुलस को और अधिक कठोर आधार पर रखा गया था। यह इस अवधि के समय भी था कि भेदभाव को यूक्लिडियन अंतरिक्ष और जटिल विमान के लिए सामान्यीकृत किया गया था।

अनुकूलन
यदि $f$ पर अवकलनीय फलन है $ℝ$ (या खुला अंतराल) और $x$ स्थानीय अधिकतम या $f$ स्थानीय न्यूनतम है $f$, फिर का व्युत्पन्न $f$ पर $x$ शून्य है। अंक जहां $f ' (x) = 0$ महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) या स्थिर बिंदु कहलाते हैं (और का मान $f$ पर $x$ महत्वपूर्ण मान कहा जाता है)। यदि $f$ हर जगह अलग-अलग नहीं माना जाता है, तो जिन बिंदुओं पर यह अलग-अलग होने में विफल रहता है उन्हें भी महत्वपूर्ण बिंदु कहा जाता है।

यदि $f$ दो बार अवकलनीय है, तो इसके विपरीत, महत्वपूर्ण बिंदु $x$ का $f$ के दूसरे व्युत्पन्न पर विचार करके विश्लेषण किया जा सकता है $f$ पर $x$ : है। इसे दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण कहा जाता है। वैकल्पिक दृष्टिकोण, जिसे प्रथम व्युत्पन्न परीक्षण कहा जाता है, के चिह्न पर विचार करना सम्मिलित है $x$ महत्वपूर्ण बिंदु के प्रत्येक तरफ। डेरिवेटिव लेना और महत्वपूर्ण बिंदुओं के लिए हल करना अधिकांशतः स्थानीय न्यूनतम या अधिकतम खोजने का सरल विधि है, जो अनुकूलन (गणित) में उपयोगी हो सकता है। चरम मूल्य प्रमेय द्वारा, बंद अंतराल पर सतत कार्य को कम से कम एक बार न्यूनतम और अधिकतम मान प्राप्त करना चाहिए। यदि फलन अलग-अलग है, तो न्यूनतम और अधिकतम बिंदु केवल महत्वपूर्ण बिंदुओं या समापन बिंदुओं पर ही हो सकते हैं।
 * यदि यह सकारात्मक है, $x$ स्थानीय न्यूनतम है।
 * यदि यह नकारात्मक है, $x$ स्थानीय अधिकतम है।
 * यदि यह शून्य है, तो $f(x) = x^{3}$ स्थानीय न्यूनतम, स्थानीय अधिकतम या कोई भी नहीं हो सकता है। (उदाहरण के लिए, $x = 0$ पर महत्वपूर्ण बिंदु है $f(x) = ± x^{4}$, लेकिन इसमें न तो अधिकतम और न ही न्यूनतम है, जबकि $x = 0$ पर महत्वपूर्ण बिंदु है $f '$ और न्यूनतम और अधिकतम, क्रमशः, वहां।)

इसमें ग्राफ़ स्केचिंग में भी अनुप्रयोग हैं: एक बार स्थानीय न्यूनतम और अलग-अलग फलन के अधिकतम मिल जाने के बाद, ग्राफ का मोटा प्लॉट अवलोकन से प्राप्त किया जा सकता है कि यह महत्वपूर्ण बिंदुओं के बीच या तो बढ़ रहा है या घट रहा है।

उच्च आयाम में, स्केलर (गणित) d फलन का महत्वपूर्ण बिंदु वह बिंदु होता है जिस पर ढाल शून्य होता है। महत्वपूर्ण बिंदु पर फलन के दूसरे आंशिक डेरिवेटिव के हेसियन मैट्रिक्स के आइजन मान ​​​​पर विचार करके महत्वपूर्ण बिंदुओं का विश्लेषण करने के लिए दूसरा व्युत्पन्न परीक्षण अभी भी उपयोग किया जा सकता है। यदि सभी आइजन मान ​​​​धनात्मक हैं, तो बिंदु स्थानीय न्यूनतम है; यदि सभी नकारात्मक हैं, तो यह स्थानीय अधिकतम है। यदि कुछ सकारात्मक और कुछ नकारात्मक आइजन मान ​​​​हैं, तो महत्वपूर्ण बिंदु को लादने की सीमा कहा जाता है, और यदि इनमें से कोई भी स्थिति पकड़ में नहीं आता है (अर्थात्, कुछ आइजन मान ​​​​शून्य हैं) तो परीक्षण को अनिर्णायक माना जाता है।

विविधताओं की गणना
अनुकूलन समस्या का उदाहरण है: सतह पर दो बिंदुओं के बीच सबसे छोटा वक्र खोजें, यह मानते हुए कि वक्र भी सतह पर स्थित होना चाहिए। यदि सतह समतल है, तो सबसे छोटा वक्र रेखा है। लेकिन अगर सतह, उदाहरण के लिए, अंडे के आकार की है, तो सबसे छोटा पथ समस्या तुरंत स्पष्ट नहीं होती है। इन रास्तों को जियोडेसिक कहा जाता है, और विविधताओं की गणना में सबसे मूलभूत समस्याओं में से जियोडेसिक्स की खोज है। एक और उदाहरण है: अंतरिक्ष में बंद वक्र में भरने वाली सतह का सबसे छोटा क्षेत्र खोजें। इस सतह को न्यूनतम सतह कहा जाता है और यह भी, विविधताओं की कलन का उपयोग करके पाया जा सकता है।

भौतिकी
भौतिकी में कैलकुलस का बहुत महत्व है: कई भौतिक प्रक्रियाओं का वर्णन डेरिवेटिव वाले समीकरणों द्वारा किया जाता है, जिन्हें अंतर समीकरण कहा जाता है। भौतिकी विशेष रूप से समय के साथ मात्रा में परिवर्तन और विकास के विधियाँ से संबंधित है, और समय व्युत्पन्न की अवधारणा - समय के साथ परिवर्तन की दर - कई महत्वपूर्ण अवधारणाओं की सही परिभाषा के लिए आवश्यक है। विशेष रूप से, न्यूटोनियन भौतिकी में किसी वस्तु की स्थिति का समय व्युत्पन्न महत्वपूर्ण है:


 * वेग किसी वस्तु के विस्थापन (मूल स्थिति से दूरी) का व्युत्पन्न (समय के संबंध में) है
 * त्वरण किसी वस्तु के वेग का व्युत्पन्न (समय के संबंध में) है, अर्थात किसी वस्तु की स्थिति का दूसरा व्युत्पन्न (समय के संबंध में)

उदाहरण के लिए, यदि एक रेखा पर किसी वस्तु की स्थिति द्वारा दी गई है।


 * $$x(t) = -16t^2 + 16t + 32, \,\!$$

तो वस्तु का वेग है।


 * $$\dot x(t) = x'(t) = -32t + 16, \,\!$$

और वस्तु का त्वरण है।


 * $$\ddot x(t) = x''(t) = -32, \,\!$$

जो स्थिर है।

विभेदक समीकरण
अवकल समीकरण फलनों के संग्रह और उनके अवकलजों के बीच का संबंध है।साधारण अंतर समीकरण अंतर समीकरण है जो चर के कार्यों को उस चर के संबंध में उनके डेरिवेटिव से संबंधित करता है। आंशिक अंतर समीकरण अंतर समीकरण है जो एक से अधिक चर के कार्यों को उनके आंशिक डेरिवेटिव से संबंधित करता है। भौतिक विज्ञानों में, गणितीय मॉडलिंग में और गणित के अन्दर ही विभेदक समीकरण स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, न्यूटन का दूसरा नियम, जो त्वरण और बल के बीच संबंध का वर्णन करता है, को साधारण अवकल समीकरण के रूप में कहा जा सकता है।
 * $$F(t) = m\frac{d^2x}{dt^2}.$$

अंतरिक्ष चर में ऊष्मा समीकरण, जो बताता है कि सीधी छड़ के माध्यम से ऊष्मा कैसे फैलती है, आंशिक अंतर समीकरण है।
 * $$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.$$

यहां $u(x,t)$ स्थिति में रॉड का तापमान है $x$ और समय $t$ तथा $α$ स्थिरांक है जो इस बात पर निर्भर करता है कि छड़ के माध्यम से कितनी तेजी से गर्मी फैलती है।

औसत मूल्य प्रमेय
औसत मूल्य प्रमेय व्युत्पन्न के मूल्यों और मूल कार्य के मूल्यों के बीच संबंध देता है। यदि $f(x)$ वास्तविक मूल्यवान कार्य है और $a$ तथा $b$ के साथ नंबर हैं $a < b$, तो औसत मूल्य प्रमेय कहता है कि हल्के अनुमानों के अंतर्गत, दो बिंदुओं के बीच ढलान $(a, f(a))$ तथा $(b, f(b))$ स्पर्श रेखा के ढाल के बराबर है। $f$ किन्हीं बिंदुओं पर $c$ के बीच $a$ तथा $b$. दूसरे शब्दों में,
 * $$f'(c) = \frac{f(b) - f(a)}{b - a}.$$

व्यवहार में, औसत मूल्य प्रमेय क्या करता है इसके व्युत्पन्न के संदर्भ में फलन को नियंत्रित करता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए $f$ व्युत्पन्न शून्य के बराबर प्रत्येक बिंदु पर है। इसका अर्थ है कि इसकी स्पर्श रेखा प्रत्येक बिंदु पर क्षैतिज है, अतः फलन भी क्षैतिज होना चाहिए। औसत मूल्य प्रमेय यह सिद्ध करता है कि यह सच होना चाहिए: के ग्राफ पर किन्हीं दो बिंदुओं के बीच का ढलान $f$ की स्पर्शरेखा रेखाओं में से किसी के ढलान के बराबर होना चाहिए $f$. वे सभी ढलान शून्य हैं, इसलिए ग्राफ़ पर बिंदु से दूसरे बिंदु तक किसी भी रेखा का ढलान भी शून्य होगा। लेकिन वह कहता है कि फलन ऊपर या नीचे नहीं जाता है, इसलिए यह क्षैतिज रेखा होनी चाहिए। व्युत्पन्न पर अधिक जटिल स्थितियां मूल कार्य के बारे में कम सही लेकिन फिर भी अत्यधिक उपयोगी जानकारी देती हैं।

टेलर बहुपद और टेलर श्रृंखला
व्युत्पन्न किसी दिए गए बिंदु पर किसी फलन का सर्वोत्तम संभव रैखिक सन्निकटन देता है, लेकिन यह मूल फलन से बहुत भिन्न हो सकता है। सन्निकटन में सुधार का विधि द्विघात सन्निकटन लेना है। यही कहना है, वास्तविक-मूल्यवान फलन का रैखिककरण $f(x)$ बिंदु पर $x_{0}$ रैखिक बहुपद है। $a + b(x − x_{0})$, और द्विघात बहुपद पर विचार करके अच्छा सन्निकटन प्राप्त करना संभव हो सकता है $a + b(x − x_{0}) + c(x − x_{0})^{2}$. फिर भी घन बहुपद अच्छा हो सकता है $a + b(x − x_{0}) + c(x − x_{0})^{2} + d(x − x_{0})^{3}$, और इस विचार को मनमाने ढंग से उच्च कोटि के बहुपदों तक बढ़ाया जा सकता है। इन बहुपदों में से प्रत्येक के लिए, गुणांकों का सर्वोत्तम संभव विकल्प होना चाहिए $a$, $b$, $c$, तथा $d$ यह सन्निकटन को यथासंभव अच्छा बनाता है।

के पड़ोस (गणित) में $x_{0}$, के लिये $a$ सर्वोत्तम संभव विकल्प हमेशा होता है $f(x_{0})$, और के लिए $b$ सर्वोत्तम संभव विकल्प हमेशा होता है $f ' (x_{0})$. के लिये $c$, $d$, और उच्च-डिग्री गुणांक, ये गुणांक उच्च डेरिवेटिव द्वारा निर्धारित किए जाते हैं $f$. $c$ हमेशा होना चाहिए $f (x''_{0})⁄2$, तथा $d$ हमेशा होना चाहिए $f ' (x''_{0})⁄3!$. इन गुणांकों का उपयोग करने से टेलर का बहुपद प्राप्त होता है $f$. डिग्री का टेलर बहुपद $d$ डिग्री का बहुपद है $d$ जो सबसे अच्छा अनुमानित है $f$, और इसके गुणांकों को उपरोक्त सूत्रों के सामान्यीकरण द्वारा पाया जा सकता है। टेलर का प्रमेय इस बात की सही सीमा देता है कि सन्निकटन कितना अच्छा है। यदि $f$ से कम या बराबर डिग्री का बहुपद है $d$, फिर डिग्री का टेलर बहुपद $d$ बराबरी $f$ है।

टेलर बहुपद की सीमा अनंत श्रृंखला है जिसे टेलर श्रृंखला कहा जाता है। टेलर श्रृंखला अधिकांशतः मूल कार्य के लिए बहुत अच्छा सन्निकटन है। वे कार्य जो उनकी टेलर श्रृंखला के बराबर होते हैं, विश्लेषणात्मक कार्य कहलाते हैं। विच्छिन्नता या तीक्ष्ण कोनों वाले कार्यों का विश्लेषणात्मक होना असंभव है; इसके अलावा, ऐसे सुचारू कार्य उपस्थित हैं जो विश्लेषणात्मक भी नहीं हैं।

अंतर्निहित कार्य प्रमेय
कुछ प्राकृतिक ज्यामितीय आकृतियाँ, जैसे वृत्त, किसी फलन के ग्राफ़ के रूप में नहीं खींची जा सकतीं। उदाहरण के लिए, अगर $f(x, y) = x^{2} + y^{2} − 1$, तो वृत्त सभी युग्मों का समुच्चय है $(x, y)$ ऐसा है कि $f(x, y) = 0$. इस समुच्चय को शून्य समुच्चय कहते हैं $f$, और के ग्राफ़ के समान नहीं है $f$, जो परवलयज है। अंतर्निहित कार्य प्रमेय जैसे संबंधों को रूपांतरित करता है $f(x, y) = 0$ कार्यों में। इसमें कहा गया है कि अगर $f$ निरंतर अवकलनीय है, तो अधिकांश बिंदुओं के आसपास, का शून्य सेट $f$ साथ चिपकाए गए कार्यों के ग्राफ जैसा दिखता है। जिन बिंदुओं पर यह सत्य नहीं है, उनके व्युत्पन्न पर शर्त द्वारा निर्धारित किया जाता है $f$. उदाहरण के लिए, सर्कल को दो कार्यों के ग्राफ से एक साथ चिपकाया जा सकता है $± √1 - x^{2}$. वृत्त पर हर बिंदु के पड़ोस में छोड़कर तथा, इन दो कार्यों में से में ग्राफ़ है जो वृत्त की तरह दिखता है। (ये दोनों कार्य भी मिलने के लिए होते हैं  तथा , लेकिन यह अंतर्निहित कार्य प्रमेय द्वारा गारंटीकृत नहीं है।)

अंतर्निहित फलन प्रमेय, व्युत्क्रम फलन प्रमेय से निकटता से संबंधित है, जो बताता है कि जब कोई फलन साथ चिपकाए गए व्युत्क्रमणीय कार्यों के ग्राफ़ जैसा दिखता है।

यह भी देखें

 * अंतर (गणित) | अंतर (कैलकुलस)
 * संख्यात्मक भेदभाव
 * विभेदीकरण की तकनीकें
 * पथरी विषयों की सूची
 * विभेदीकरण के लिए संकेतन

अन्य स्रोत

 * बोमन, यूजीन, और रॉबर्ट रोजर्स। अंतर कैलकुलस: फ्रॉम प्रैक्टिस टू थ्योरी। 2022, personal.psu.edu/ecb5/DiffCalc.pdf ।
 * बोमन, यूजीन, और रॉबर्ट रोजर्स। अंतर कैलकुलस: फ्रॉम प्रैक्टिस टू थ्योरी। 2022, personal.psu.edu/ecb5/DiffCalc.pdf ।

श्रेणी:अंतर कलन

श्रेणी:गणना