तार्किक संयोजन

तर्क, गणित और भाषा विज्ञान में, और ($$\wedge$$) सत्य समारोह| लॉजिकल कंजंक्शन का ट्रूथ-फंक्शनल ऑपरेटर है; ऑपरेंड के एक सेट का और सच है अगर और केवल अगर इसके ऑपरेंड के सभी सच हैं। इस ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करने वाले तार्किक संयोजक को आमतौर पर इस रूप में लिखा जाता है $$\wedge$$ या $⋅$.

$$A \land B$$ सच है अगर और केवल अगर $$A$$ सच है और $$B$$ सत्य है, अन्यथा असत्य है।

एक संयुग्मन का एक संकार्य एक संयोजन है।

तर्क से परे, संयोजन शब्द अन्य क्षेत्रों में समान अवधारणाओं को भी संदर्भित करता है:


 * प्राकृतिक भाषा में, अंग्रेजी भाषा और जैसे अभिव्यक्तियों का अर्थ।
 * प्रोग्रामिंग भाषाओं में, शॉर्ट सर्किट मूल्यांकन|शॉर्ट-सर्किट और नियंत्रण संरचना।
 * समुच्चय सिद्धान्त में, इंटरसेक्शन (सेट थ्योरी)।
 * जाली (क्रम) में, तार्किक संयोजन (सबसे बड़ी निचली सीमा)।
 * विधेय तर्क में, सार्वभौमिक परिमाणीकरण।

नोटेशन
और आमतौर पर एक इन्फिक्स ऑपरेटर द्वारा निरूपित किया जाता है: गणित और तर्क में, इसे निरूपित किया जाता है $$\wedge$$, $&$या$×$; इलेक्ट्रॉनिक्स में,$⋅$; और प्रोग्रामिंग भाषाओं में,, , या. जन लुकासिविक्ज़ के पोलिश अंकन#पोलिश अंकन में तर्क के लिए, ऑपरेटर K है, पोलिश युग्मन के लिए। विशेष रूप से, Microsoft Excel में, AND फ़ंक्शन एक पोस्टफ़िक्स ऑपरेटर है।

परिभाषा
तार्किक संयुग्मन दो तार्किक मूल्यों पर एक तार्किक संचालन है, आमतौर पर दो प्रस्तावों के मूल्य, जो 'सत्य' का मान उत्पन्न करते हैं यदि और केवल यदि इसके दोनों ऑपरेंड सत्य हैं।

संयोजक पहचान तत्व सत्य है, जिसका कहना है कि सत्य के साथ एक अभिव्यक्ति और अभिव्यक्ति के मूल्य को कभी नहीं बदलेगा। रिक्त सत्य की अवधारणा को ध्यान में रखते हुए, जब संयुग्मन को एक ऑपरेटर या मनमाने ढंग से काम करने के रूप में परिभाषित किया जाता है, खाली संयोजन (ऑपरेंड के खाली सेट पर और-आईएनजी) को अक्सर परिणाम सत्य होने के रूप में परिभाषित किया जाता है।

सत्य तालिका
की सत्य तालिका $$A \land B$$:

अन्य ऑपरेटरों द्वारा परिभाषित
उन प्रणालियों में जहां तार्किक संयुग्मन आदिम नहीं है, इसे इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 * $$A \land B = \neg(A \to \neg B) $$

या
 * $$A \land B = \neg(\neg A \lor \neg B).$$

परिचय और उन्मूलन नियम
अनुमान के नियम के रूप में, संयोजन परिचय शास्त्रीय रूप से वैधता (तर्क), सरल तर्क रूप है। तर्क रूप में दो परिसर हैं, ए और बी। सहज रूप से, यह उनके संयोजन के अनुमान की अनुमति देता है।


 * ए,
 * बी।
 * इसलिए, ए और बी।

या तार्किक ऑपरेटर नोटेशन में:
 * $$ A, $$
 * $$ B $$
 * $$ \vdash A \land B $$

यहाँ एक तर्क का उदाहरण दिया गया है जो संयोजन परिचय के रूप में फिट बैठता है:


 * बॉब को सेब पसंद है।
 * बॉब को संतरे पसंद हैं।
 * इसलिए, बॉब सेब पसंद करता है और बॉब संतरे पसंद करता है।

संयोजन विलोपन एक और शास्त्रीय रूप से वैधता (तर्क), सरल तर्क रूप है। सहज रूप से, यह उस संयोजन के किसी भी तत्व के संयोजन से अनुमान की अनुमति देता है।


 * ए और बी।
 * इसलिए, ए.

...या वैकल्पिक रूप से,


 * ए और बी।
 * इसलिए, बी.

लॉजिकल ऑपरेटर नोटेशन में:
 * $$ A \land B $$
 * $$ \vdash A $$

...या वैकल्पिक रूप से,


 * $$ A \land B $$
 * $$ \vdash B $$

परिभाषा
एक संयोजन $$A\land B$$ या तो स्थापित करके झूठा साबित होता है $$\neg A$$ या $$\neg B$$. वस्तु भाषा के संदर्भ में, यह पढ़ता है


 * $$\neg A\to\neg(A\land B)$$

इस सूत्र को एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है


 * $$(A\to C) \to ( (A\land B)\to C )$$

कब $$C$$ झूठा प्रस्ताव है।

अन्य सबूत रणनीतियों
अगर $$A$$ तात्पर्य $$\neg B$$, फिर दोनों $$\neg A$$ साथ ही $$A$$ संयोजन झूठा साबित करें:
 * $$(A\to\neg{}B)\to\neg(A\land B)$$

दूसरे शब्दों में, एक संयुग्मन वास्तव में केवल इसके संयोजनों के संबंध के बारे में जानकर झूठा साबित हो सकता है, और उनके सत्य मूल्यों के बारे में आवश्यक नहीं है।

इस सूत्र को एक विशेष मामले के रूप में देखा जा सकता है
 * $$(A\to(B\to C))\to ( (A\land B)\to C ) $$

कब $$C$$ झूठा प्रस्ताव है।

उपरोक्त में से कोई भी विरोधाभास द्वारा रचनात्मक रूप से मान्य प्रमाण हैं।

गुण
आने की संभावना: हाँ साहचर्य: हाँ वितरणशीलता: विभिन्न कार्यों के साथ, विशेष रूप से तार्किक संयोजन के साथ

आलस्य: हाँ


 * शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; बॉर्डर: 1px सॉलिड डार्कग्रे;
 * $$~A~$$
 * $$~\land~$$
 * $$~A~$$
 * $$\Leftrightarrow$$
 * $$A~$$
 * Venn01.svg|$$~\land~$$
 * Venn01.svg|    $$\Leftrightarrow$$
 * Venn01.svg|}
 * Venn01.svg|    $$\Leftrightarrow$$
 * Venn01.svg|}

मोनोटोनिक फ़ंक्शन # बूलियन फ़ंक्शंस में: हाँ


 * शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; बॉर्डर: 1px सॉलिड डार्कग्रे;
 * $$A \rightarrow B$$
 * $$\Rightarrow$$
 * $$(A \land C)$$
 * $$\rightarrow$$
 * $$(B \land C)$$
 * Venn 1011 1011.svg|    $$\Rightarrow$$
 * Venn 1111 1011.svg|    $$\Leftrightarrow$$
 * Venn 0000 0101.svg|$$\rightarrow$$
 * Venn 0000 0011.svg|}
 * Venn 1111 1011.svg|    $$\Leftrightarrow$$
 * Venn 0000 0101.svg|$$\rightarrow$$
 * Venn 0000 0011.svg|}

सत्य-संरक्षण: हाँ जब सभी इनपुट सत्य होते हैं, तो आउटपुट सत्य होता है।


 * शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; बॉर्डर: 1px सॉलिड डार्कग्रे;
 * $$A \land B$$
 * $$\Rightarrow$$
 * $$A \land B$$
 * Venn0001.svg|    $$\Rightarrow$$
 * Venn0001.svg|-
 * (to be tested)
 * }
 * (to be tested)
 * }
 * (to be tested)
 * }

झूठ-संरक्षण: हाँ जब सभी इनपुट झूठे होते हैं, तो आउटपुट गलत होता है।


 * शैली = पाठ-संरेखण: केंद्र; बॉर्डर: 1px सॉलिड डार्कग्रे;
 * $$A \land B$$
 * $$\Rightarrow$$
 * $$A \lor B$$
 * Venn0001.svg|    $$\Rightarrow$$
 * Venn0111.svg|-
 * (to be tested)
 * }
 * (to be tested)
 * }
 * }
 * }

हैडमार्ड रूपांतरण: (1,-1,-1,1)

नॉनलाइनियर # बूलियन फ़ंक्शंस: 1 (फ़ंक्शन तुला समारोह है)

यदि सत्य (1) और असत्य (0) के लिए द्विआधारी अंक प्रणाली मान का उपयोग किया जाता है, तो तार्किक संयोजन बिल्कुल सामान्य अंकगणितीय गुणन की तरह काम करता है।

कंप्यूटर इंजीनियरिंग में अनुप्रयोग
उच्च-स्तरीय कंप्यूटर प्रोग्रामिंग और डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स में, तार्किक संयोजन आमतौर पर एक इन्फिक्स ऑपरेटर द्वारा प्रस्तुत किया जाता है, आमतौर पर एक कीवर्ड के रूप में, एक बीजगणितीय गुणन, या एम्परसेंड प्रतीक  (कभी-कभी दोगुना हो जाता है  ). कई भाषाएँ शॉर्ट-सर्किट मूल्यांकन भी प्रदान करती हैं | तार्किक संयोजन के अनुरूप शॉर्ट-सर्किट नियंत्रण संरचनाएँ।

लॉजिकल कंजंक्शन का उपयोग अक्सर बिटवाइज़ ऑपरेशंस के लिए किया जाता है, जहाँ  असत्य और से मेल खाता है   सच करने के लिए:



ऑपरेशन को समान लंबाई के bitstring के रूप में देखे जाने वाले दो बाइनरी शब्दों पर भी लागू किया जा सकता है, बिटवाइज़ और बिट्स की प्रत्येक जोड़ी को संबंधित स्थिति में ले कर। उदाहरण के लिए:



इसका उपयोग मास्क (कंप्यूटिंग) का उपयोग करके बिटस्ट्रिंग के भाग का चयन करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,   =    8-बिट बिटस्ट्रिंग का पांचवां बिट निकालता है।

कम्प्यूटर नेट्वर्किंग में, आईपी पते और subnetwork # बाइनरी सबनेट मास्क को एंडिंग करके, किसी दिए गए आईपी पते से मौजूदा नेटवर्क के भीतर सबनेटवर्क के नेटवर्क पते को प्राप्त करने के लिए बिट मास्क का उपयोग किया जाता है।

तार्किक संयोजन डेटाबेस क्वेरीज़ बनाने के लिए SQL ऑपरेशंस में भी उपयोग किया जाता है।

करी-हावर्ड पत्राचार तार्किक संयोजन को उत्पाद प्रकारों से संबंधित करता है।

सेट-सैद्धांतिक पत्राचार
सेट सिद्धांत में एक चौराहे (सेट सिद्धांत) के एक तत्व की सदस्यता को एक तार्किक संयोजन के रूप में परिभाषित किया गया है: x ∈ A ∩ B अगर और केवल अगर (x ∈ A) ∧ (x ∈ B)। इस पत्राचार के माध्यम से, सेट-सैद्धांतिक प्रतिच्छेदन तार्किक संयोजन के साथ कई गुणों को साझा करता है, जैसे कि साहचर्य, क्रमविनिमेयता और निष्क्रियता।

प्राकृतिक भाषा
गणितीय तर्क में औपचारिक रूप से अन्य धारणाओं के साथ, तार्किक संयोजन और संबंधित है, लेकिन व्याकरणिक संयोजन और प्राकृतिक भाषाओं के समान नहीं है।

अंग्रेजी और तार्किक संयोजन द्वारा कब्जा नहीं किए गए गुण हैं। उदाहरण के लिए, और कभी-कभी इसका अर्थ है तब का अर्थ रखने वाला आदेश। उदाहरण के लिए, उनका विवाह हुआ और उनका एक बच्चा भी था।

यह शब्द और किसी चीज़ को भागों में विभाजित करने का संकेत भी दे सकता है, क्योंकि अमेरिकी ध्वज लाल, सफ़ेद और नीला है। यहाँ, इसका मतलब यह नहीं है कि झंडा एक साथ लाल, सफेद और नीला है, बल्कि यह है कि इसमें प्रत्येक रंग का एक हिस्सा है।

यह भी देखें

 * और-पलटनेवाला ग्राफ
 * और गेट
 * बिटवाइज़ और
 * बूलियन बीजगणित (तर्क)
 * बूलियन बीजगणित विषय
 * बूलियन संयोजक क्वेरी
 * बूलियन डोमेन
 * बूलियन समारोह
 * बूलियन-मूल्यवान फ़ंक्शन
 * संधि विलोपन
 * डी मॉर्गन के कानून
 * पहले क्रम का तर्क
 * फ्रेचेट असमानताएं
 * व्याकरणिक संयोजन
 * तार्किक वियोग
 * तार्किक निषेध
 * तार्किक ग्राफ
 * ऑपरेशन (गणित)
 * पीआनो-रसेल संकेतन
 * प्रस्तावक कलन

बाहरी संबंध

 * Wolfram MathWorld: Conjunction
 * Wolfram MathWorld: Conjunction