अपूर्ण गामा फलन

गणित में छोटे और बड़े अपूर्ण गामा फलन विशेष प्रकार के फलन होते हैं जो विभिन्न गणितीय समस्याओं जैसे कि कुछ समाकलन के समाधान के रूप में उत्पन्न होते हैं। इनके संबंधित नाम प्रायः इनकी समाकलन परिभाषाओं से उत्पन्न होते हैं, जिन्हें गामा फलन के समान परिभाषित किया गया है लेकिन अलग-अलग या "अपूर्ण" समाकलन सीमाओं के साथ गामा फलन को शून्य से अनंत तक के समाकलन भाग के रूप में परिभाषित किया गया है। यह छोटे अपूर्ण गामा फलन के विपरीत होते है, जिसे शून्य से चर की ऊपरी सीमा तक एक समाकलन भाग के रूप में परिभाषित किया गया है। इसी प्रकार बड़े अपूर्ण गामा फलन को चर की निचली सीमा से अनंत तक एक समाकलन भाग के रूप में परिभाषित किया गया है।

परिभाषा
बड़े अपूर्ण गामा फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$ \Gamma(s,x) = \int_x^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\, dt ,$$ जबकि छोटे अपूर्ण गामा फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$ \gamma(s,x) = \int_0^x t^{s-1}\,e^{-t}\, dt .$$ दोनों स्थितियों में $s$ एक समिश्र विश्लेषण है, जैसे कि $s$ का वास्तविक भाग धनात्मक है।

विशेषताएँ
भागफलों के समाकलन से हम पुनरावृत्ति संबंध प्राप्त करते हैं:

$$\Gamma(s+1,x)= s\Gamma(s,x) + x^{s} e^{-x}$$ और $$ \gamma(s+1,x) =s\gamma(s,x) - x^{s} e^{-x}.$$ चूंकि साधारण गामा फलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$ \Gamma(s) = \int_0^{\infty} t^{s-1}\,e^{-t}\, dt$$ या $$ \Gamma(s) = \Gamma(s,0) = \lim_{x\to \infty} \gamma(s,x)$$ और $$ \gamma(s,x) + \Gamma(s,x) = \Gamma(s).$$

समिश्र मानों की निरंतरता
वास्तविक धनात्मक $x$ और $s$ के लिए परिभाषित छोटे अपूर्ण गामा फलन और बड़े अपूर्ण गामा फलनों को $s$ और $x$ दोनों के संबंध में पूर्णसममितिक फलन में विकसित किया जा सकता है, जो समिश्र $x$ और $s$ के लगभग सभी संयोजनों के लिए परिभाषित है। समिश्र विश्लेषण से पता चलता है कि वास्तविक अपूर्ण गामा फलन के गुण उनके पूर्णसममितिक समकक्षों तक कैसे विस्तारित होते हैं।

पूर्णसममितिक विस्तारण
छोटे अपूर्ण गामा फलन के लिए पुनरावृत्ति संबंध को पुनः प्रयुक्त करने से घात श्रेणी का विस्तार होता है:

$$\gamma(s, x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{x^s e^{-x} x^k}{s(s+1)\cdots(s+k)} = x^s \, \Gamma(s) \, e^{-x} \sum_{k=0}^\infty\frac{x^k}{\Gamma(s+k+1)}.$$Γ(z + k) के निरपेक्ष मान में तीव्र वृद्धि को देखते हुए जब k → ∞ और Γ(z) का व्युत्क्रम एक संपूर्ण फलन है तब सबसे दाहिने योग में गुणांक अच्छी तरह से परिभाषित होते हैं और स्थानीय रूप से योग को परिवर्तित करते है सभी संक्षिप्त $s$ और $x$ के लिए समान रूप से वीएरस्ट्रा ß के एक प्रमेय द्वारा सीमित फलन जिसे कभी-कभी $γ$ के रूप में दर्शाया जाता है:$$\gamma^*(s, z) := e^{-z}\sum_{k=0}^\infty\frac{z^k}{\Gamma(s+k+1)}$$

दोनों $z$ (निश्चित $s$ के लिए) और $s$ (निश्चित $z$ के लिए) के संबंध में पूर्ण है और इस प्रकार हार्टोग के प्रमेय द्वारा $C × C$ पर पूर्णसममितिक है। इसलिए निम्नलिखित विभाजन दिया गया है:


 * $$\gamma(s,z) = z^s \, \Gamma(s) \, \gamma^*(s,z)$$ ,

वास्तविक छोटे अपूर्ण गामा फलन को पूर्णसममितिक फलन के रूप में विस्तारित करता है, दोनों संयुक्त रूप से और अलग-अलग $z$ और $s$ में यह $$z^s$$ और Γ-फलन के गुणों से पता चलता है कि पहले दो कारक $$\gamma(s,z)$$ को $z = 0$ या $s$ एक गैर-धनात्मक पूर्णांक पर विशिष्टता को अधिकृत करते हैं जबकि अंतिम कारक इसके शून्य में योगदान देता है।

बहु-मूल्यांकन
समिश्र लघुगणक $log z = log |z| + i arg z$ केवल $2πi$ के गुणज तक निर्धारित होता है, जो इसे बहु-मूल्यवान बनाता है। समिश्र लघुगणक से संबद्ध फलन सामान्यतः इस विशेषता को प्राप्त करते हैं। इनमें से समिश्र घात हैं चूंकि $z^{s}$ इसके अपघटन में $γ$-फलन भी प्रकट होता है।

बहु-मूल्यवान फलनों की अनिश्चितता समिश्रताओं का परिचय देती है, क्योंकि यह बताया जाना चाहिए कि मान का चयन कैसे किया जा सकता है। इसे संरक्षित करने की कई स्थितियाँ हैं:
 * सबसे सामान्य तरीका बहु-मूल्यवान फलनों के डोमेन C को रीमैन सतह नामक $C × C$ में एक उपयुक्त बहु-मूल्यवान फलन से परिवर्तित करें। हालाँकि यह बहु-मूल्यांकन को दूर करता है, लेकिन इसके पीछे के सिद्धांत को जानना आवश्यक होता है।
 * डोमेन को इस प्रकार प्रतिबंधित करें कि एक बहु-मूल्यवान फलन अलग-अलग एकल-मूल्यवान शाखाओं में विघटित हो जाए जिन्हें व्यक्तिगत रूप से नियंत्रित किया जा सके।

इस वर्गों में सूत्रों की सही व्याख्या करने के लिए नियमों के निम्नलिखित समूह का उपयोग किया जा सकता है। यदि उल्लेख नहीं किया गया है, तो निम्नलिखित मानों को लिया जा सकता है:

क्षेत्र
क्षेत्र $C$ में शीर्ष $z = 0$ पर है प्रायः समिश्र अभिव्यक्तियों के लिए उपयुक्त डोमेन सिद्ध होते हैं। एक क्षेत्र $D$ में कुछ $α$ और $0 < δ ≤ π$ के साथ $z ≠ 0$ और $α − δ < arg z < α + δ$ को पूरा करने वाले सभी समिश्र $z$ सम्मिलित हैं। प्रायः α को अपेक्षाकृत रूप से चुना जा सकता है और तब निर्दिष्ट नहीं किया जाता है। यदि $δ$ नहीं दिया गया है, तो इसे $\pi$ माना जाता है और क्षेत्र वास्तव में संपूर्ण समतल $C$ है, $z = 0$ पर उत्पन्न होने वाली और $−α$ की दिशा की ओर इंगित करने वाली एक अर्ध-रेखा के रूपांतरण के साथ सामान्यतः एक के रूप में कार्य करता है। शाखा विभाजन कई अनुप्रयोगों और ग्रंथों में $α$ को 0 के रूप में लिया जाता है, जो क्षेत्र को धनात्मक वास्तविक अक्ष के आसपास केंद्रित करता है।

शाखाएँ
विशेष रूप से ऐसे किसी भी क्षेत्र $D$ पर एक एकल-मूल्यवान और पूर्णसममितिक लघुगणक सम्मिलित होता है, जिसका काल्पनिक भाग सीमा $(α − δ, α + δ)$ से संबद्ध होता है। ऐसे प्रतिबंधित लघुगणक के आधार पर $z^{s}$ और अपूर्ण गामा फलन में $D$ या $C×D$ पर एकल-मूल्यवान, पूर्णसममितिक फलन में परिवर्तित हो जाते हैं, जिन्हें D पर उनके बहु-मूल्यवान समकक्षों की शाखाएं कहा जाता है। $α$ में $2π$ का गुणज जोड़ना एक ही समूह $D$ पर सहसंबद्ध शाखाओं का एक अलग समूह उत्पन्न होता है। हालाँकि यहां किसी भी संदर्भ में $α$ को निश्चित माना जाता है और इसमें सम्मिलित सभी शाखाएं इससे संबद्ध होती हैं तब $|α| < δ$ शाखाओं को मुख्य घटक विश्लेषण कहा जाता है क्योंकि वे धनात्मक वास्तविक अक्ष पर अपने वास्तविक घटक के बराबर होती हैं। ध्यान दें कि कई अनुप्रयोगों और ग्रंथों में सूत्र केवल प्रमुख शाखाओं के लिए होते हैं।

शाखाओं के बीच संबंध
समिश्र घात फलन और छोटे अपूर्ण गामा फलन दोनों की विभिन्न शाखाओं के मान एक उपयुक्त पूर्णांक k के लिए $$e^{2\pi iks}$$ के गुणन द्वारा एक दूसरे से प्राप्त किए जा सकते हैं।

शाखा बिंदु के निकट अनुप्रयोग
ऊपर दिए गए अनुप्रयोगों से पता चलता है कि γ, $z = 0$ के निकट यह स्पर्शोन्मुख रूप से व्यवहार करता है: $$\gamma(s, z) \asymp z^s \, \Gamma(s) \, \gamma^*(s, 0) = z^s \, \Gamma(s)/\Gamma(s+1) = z^s/s.$$ धनात्मक वास्तविक $x$, $y$ और $s$ के लिए $x^{y}/y → 0$, जब $(x, y) → (0, s)$ ऐसा लगता है कि यह वास्तविक $s > 0$ के लिए $γ(s, 0) = 0$ की सेटिंग को उपयुक्त रूप से प्रयुक्त करता है। हालाँकि समिश्र क्षेत्र में कुछ स्थितियाँ अलग हैं। यदि (a) $s$ का वास्तविक भाग धनात्मक है, और (b) मान uv शाखाओं के एक सीमित समूह से लिया गया है, तो उन्हें $(u, v) → (0, s)$ के रूप में शून्य में परिवर्तित होने की संभावना है और इसी प्रकार $γ(u, v)$ भी करता है। $γ(b)$ की एक ही शाखा पर स्वाभाविक रूप से पूर्ति होती है। इसलिए धनात्मक वास्तविक भाग के साथ $s$ के लिए $γ(s, 0) = 0$ एक सतत सीमा है। यह भी ध्यान दें कि ऐसी निरंतरता किसी भी प्रकार से विश्लेषणात्मक नहीं है।

बीजगणितीय संबंध
वास्तविक $γ(s, z)$ द्वारा देखे गए सभी बीजगणितीय संबंध और अंतर समीकरण इसके पूर्णसममितिक समकक्ष के लिए भी मान्य हैं। यह पहचान प्रमेय का परिणाम है, जिसमें कहा गया है कि वास्तविक अंतराल पर मान्य पूर्णसममितिक फलनों के बीच समीकरण प्रत्येक फलन पर प्रयुक्त होते हैं। विशेष रूप से पुनरावृत्ति संबंध और $∂γ(s, z)/∂z = z^{s−1} e^{−z}$ संबंधित शाखाओं पर संरक्षित हैं।

समाकलन प्रतिनिधित्व
अंतिम संबंध हमें बताता है कि निश्चित $s$ के लिए $γ$ पूर्णसममितिक फलन $z^{s−1} e^{−z}$ का एक प्राथमिक अवकलन है जिसके परिणामस्वरूप किसी भी समिश्र $u, v ≠ 0$ के लिए निम्न है:$$\int_u^v t^{s-1}\,e^{-t}\, dt = \gamma(s,v) - \gamma(s,u)$$

यह तब तक धारण करता है, जब तक समाकलन का पथ पूरी तरह से समाकलन की एक शाखा के डोमेन में समाहित है। यदि इसके अतिरिक्त s का वास्तविक भाग धनात्मक है तो lim$γ(s, u) → 0$ के लिए $u → 0$ प्रयुक्त होती है अंततः $γ$ की समिश्र समाकलन परिभाषा के अनुसार निम्न है:

$$\gamma(s, z) = \int_0^z t^{s-1}\,e^{-t}\, dt, \, \Re(s) > 0. $$ समाकलन का कोई भी पथ जिसमें प्रारम्भ में केवल 0 होता है, अन्यथा समाकलन की एक शाखा के डोमेन तक सीमित होता है, उदाहरण के लिए $0$ और $z$ को जोड़ने वाली प्रत्यक्ष रेखा मान्य है:

वास्तविक मान
$z → +∞$ की एक प्रमुख शाखा के समाकलन प्रतिनिधित्व को देखते हुए, निम्नलिखित समीकरण सभी धनात्मक वास्तविक $s$, $x$ के लिए मान्य है: $$\Gamma(s) = \int_0^\infty t^{s-1}\,e^{-t}\, dt = \lim_{x \to \infty} \gamma(s, x)$$

s समिश्र
यह परिणाम संक्षिप्त $s$ तक विस्तृत है, माना कि $γ$ और $1 ≤ Re(s) ≤ 2$ तब,$$|\gamma(s, b) - \gamma(s, a)| \le \int_a^b |t^{s-1}| e^{-t}\, dt = \int_a^b t^{\Re s-1} e^{-t}\, dt \le \int_a^b t e^{-t}\, dt$$

जहां निम्नलिखित फलन के बीच में प्रयोग किया गया है: $$|z^s| = |z|^{\Re s}\,e^{-\Im s\arg z}$$ चूंकि अंतिम समाकलन अपेक्षाकृत रूप से छोटा हो जाता है यदि केवल $a$, $1 < a < b$ से बड़ा है तब एक पूर्णसममितिक फलन की ओर विभाजन $γ(s, x)$ पर $1 ≤ Re(s) ≤ 2$ के लिए समान रूप से परिवर्तित होता है। जो Γ या s होना चाहिए) पहचान प्रमेय के कारण पुनरावृत्ति संबंध $x → ∞$ में सीमा लेते हुए और ध्यान दें कि $γ(s, x) = (s − 1) γ(s − 1, x) − x^{s − 1} e^{−x}$ के लिए lim $x → ∞$ है और सभी $n$, दर्शाते है कि $x^{n} e^{−x} = 0$ के बाहर भी Γ-फलन के पुनरावृत्ति संबंध का अनुसरण करने वाले फलन की ओर अभिसरण करता है। यह इस प्रकार है:$$\Gamma(s) = \lim_{x \to \infty} \gamma(s, x)$$सभी सम्मिश्रों के लिए $s$ एक गैर-धनात्मक पूर्णांक नहीं है $x$ वास्तविक फलन और $γ(s, x)$ मूल फलन है।

क्षेत्रवृत अभिसरण
क्षेत्र $u$ मे $γ$ कुछ निश्चित बिन्दु $δ$ ($|arg z| < δ < π/2$) के साथ, $α = 0$ इस क्षेत्र की प्रमुख के लिए निम्नलिखित देखें: $$\Gamma(s) - \gamma(s, u) = \Gamma(s) - \gamma(s, |u|) + \gamma(s, |u|) - \gamma(s, u).$$ जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, पहला अंतर अपेक्षाकृत रूप से छोटा किया जा सकता है, यदि $γ$ पर्याप्त रूप से बड़ा है और दूसरा अंतर निम्नलिखित अनुमान की स्वीकृति देता है:

$$|\gamma(s, |u|) - \gamma(s, u)| \le \int_u^{|u|} |z^{s-1} e^{-z}|\, dz = \int_u^{|u|} |z|^{\Re s - 1}\,e^{-\Im s\,\arg z}\,e^{-\Re z} \, dz,$$ जहां $|u|$ के समाकलन प्रतिनिधित्व $γ$ के सूत्र का उपयोग किया है यदि हम त्रिज्या $|z^{s}|$ के साथ चाप को एकीकृत करते हैं तो $u$ और $R = |u|$ को जोड़ने वाला लगभग 0 है, तो अंतिम समाकलन है:

$$\le R \left|\arg u\right| R^{\Re s - 1}\, e^{\Im s\,|\arg u|}\,e^{-R\cos\arg u} \le \delta\,R^{\Re s}\,e^{\Im s\,\delta}\,e^{-R\cos\delta} = M\,(R\,\cos\delta)^{\Re s}\,e^{-R\cos\delta}$$ जहां $|u|$, $u$ या $R$ से एक स्थिर स्वतंत्र है। फिर से बड़े $x$ के लिए $M = δ(cos δ)^{−Re s} e^{Im sδ}$ के व्यवहार का अनुसरण करते हुए, हम देखते हैं कि अंतिम अभिव्यक्ति 0 के निकट है क्योंकि $R$ $x^{n} e^{−x}$ की ओर बढ़ता है। अंततः अब कुल फलन हमारे पास है:

$$\Gamma(s) = \lim_{|z| \to \infty} \gamma(s, z), \quad \left|\arg z\right| < \pi/2 - \epsilon,$$यदि $s$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक नहीं है, तो $∞$ अपेक्षाकृत रूप से छोटा है, लेकिन निश्चित है और $0 < ε < π/2$ इस डोमेन पर प्रमुख शाखा को दर्शाता है।

समीक्षा
$$\gamma(s, z)$$ है:
 * निश्चित धनात्मक पूर्णांक $s$ के लिए $z$ में पूर्ण है।
 * निश्चित $s$ के लिए $z$ में बहु-मूल्यवान पूर्णसममितिक $γ$ पर एक शाखा बिंदु के साथ एक पूर्णांक नहीं है।
 * निश्चित $z = 0$ के लिए $s$ में प्रत्येक शाखा मेरोमोर्फिक फलन पर गैर-धनात्मक पूर्णांक s पर सरल ध्रुवों के साथ है।

बड़े अपूर्ण गामा फलन
बड़े अपूर्ण गामा फलन के लिए $z$ या $s$ के संबंध में एक पूर्णसममितिक विस्तार निम्न फलन द्वारा दिया गया है: $$\Gamma(s,z) = \Gamma(s) - \gamma(s, z)$$ बिंदुओं $z ≠ 0$ पर जहां दाहिना पक्ष सम्मिलित है चूंकि $$\gamma$$ बहु-मूल्यवान है, यही प्रक्रिया $$\Gamma$$ के लिए भी प्रयुक्त होती है, लेकिन प्रमुख मानों पर प्रतिबंध से केवल $$\Gamma$$ की एकल-मूल्यवान प्रमुख शाखा प्राप्त होती है।

जब उपरोक्त समीकरण में $s$ एक गैर-धनात्मक पूर्णांक है, तो अंतर का कोई भी भाग परिभाषित नहीं किया गया है और एक सीमित प्रक्रिया यहां $(s, z)$ के लिए विकसित की गई है जो लुप्त मानों को पूर्ण करती है। समिश्र विश्लेषण होलोमोर्फिस का दायित्व करती है क्योंकि $$\Gamma(s,z)$$ एक निश्चित z के लिए उस सीमा के निकट में घिरा हुआ सिद्ध होता है।

सीमा निर्धारित करने के लिए $s → 0$ पर $$\gamma^*$$ की घात श्रृंखला उपयोगी है। $$\gamma$$ की समाकलन परिभाषा में इसकी घात श्रृंखला द्वारा $$e^{-x}$$ को प्रतिस्थापित करने पर निम्न मान प्राप्त होता है अभी के लिए $x$, $s$ को धनात्मक वास्तविक मान सकते है:

$$\gamma(s, x) = \int_0^x t^{s-1} e^{-t} \, dt = \int_0^x \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,\frac{t^{s+k-1}}{k!} \, dt = \sum_{k=0}^\infty (-1)^k\,\frac{x^{s+k}}{k!(s+k)} = x^s\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-x)^k}{k!(s+k)}$$ या $$\gamma^*(s,x) = \sum_{k=0}^\infty \frac{(-x)^k}{k!\,\Gamma(s)(s+k)}.$$ जो संपूर्ण $$\gamma^*$$ फलन के श्रृंखला प्रतिनिधित्व के रूप में सभी संक्षिप्त $x$ और सभी संक्षिप्त $s$ एक गैर-धनात्मक पूर्णांक के लिए अभिसरण करता है और वास्तविक मानों पर प्रतिबंध हटाने के साथ श्रृंखला विस्तार की स्वीकृति देता है:

$$\gamma(s, z) - \frac{1}{s} = -\frac{1}{s} + z^s\,\sum_{k=0}^\infty \frac{(-z)^k}{k!(s+k)} = \frac{z^s-1}{s} + z^s\, \sum_{k=1}^\infty \frac{(-z)^k}{k!(s+k)},\quad \Re(s) > -1, \,s \ne 0.$$ जब $z = 0$: $$\frac{z^s-1}{s} \to \ln(z),\quad \Gamma(s) - \frac{1}{s} = \frac{1}{s} - \gamma + O(s) - \frac{1}{s} \to -\gamma,$$ $$\gamma$$ यहाँ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है, इसलिए, $$\Gamma(0,z) = \lim_{s \to 0}\left(\Gamma(s) - \tfrac{1}{s} - (\gamma(s, z) - \tfrac{1}{s})\right) = -\gamma-\ln(z) - \sum_{k=1}^\infty \frac{(-z)^k}{k\,(k!)}$$ बड़े अपूर्ण गामा फलन के लिए $s → 0$ के रूप में सीमित फलन है, जिसे घातीय समाकलन $$E_1(z)$$ के रूप में भी जाना जाता है। पुनरावृत्ति संबंध के माध्यम से धनात्मक पूर्णांक n के लिए $$\Gamma(-n, z)$$ का मान इस परिणाम से प्राप्त किया जा सकता है:

$$\Gamma(-n, z) = \frac{1}{n!} \left(\frac{e^{-z}}{z^n} \sum_{k = 0}^{n - 1} (-1)^k (n - k - 1)! \, z^k + (-1)^n \Gamma(0, z)\right)$$ इसलिए सभी s और $s → 0$ के लिए $z$ और $s$ दोनों के संबंध में बड़े अपूर्ण गामा फलन अस्तित्व में है और पूर्णसममितिक सिद्ध होते है।

जहां $$\Gamma(s, z)$$ है:
 * निश्चित धनात्मक समाकलन $s$ के लिए $z$ में संपूर्ण है।
 * निश्चित $s$ के लिए $z$ में बहु-मूल्यवान पूर्णसममितिक, $z ≠ 0$ पर एक शाखा बिंदु के साथ गैर-शून्य और एक धनात्मक पूर्णांक नहीं है।
 * धनात्मक वास्तविक भाग और $z = 0$ के साथ s के लिए $$\Gamma(s)$$ के बराबर (सीमा जब $$(s_i,z_i) \to (s, 0)$$ लेकिन यह एक सतत विस्तार विश्लेषणात्मक नहीं है, एक वास्तविक $z = 0$ के लिए मान्य नहीं है।
 * प्रत्येक शाखा पर निश्चित $s < 0$ के लिए संपूर्ण $s$ फलन है।

विशेष मान

 * $$\Gamma(s+1,1) = \frac{\lfloor es! \rfloor}{e} $$, यदि $s$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
 * $$\Gamma(s,x) = (s-1)!\, e^{-x} \sum_{k=0}^{s-1} \frac{x^k}{k!}$$, यदि $s$ एक धनात्मक पूर्णांक है।
 * $$ \Gamma(s,0) = \Gamma(s), \Re(s) > 0$$,
 * $$\Gamma(1,x) = e^{-x}$$,
 * $$\gamma(1,x) = 1 - e^{-x}$$,
 * $$\Gamma(0,x) = -\operatorname{Ei}(-x)$$ के लिए $$x>0$$,
 * $$\Gamma(s,x) = x^s \operatorname{E}_{1-s}(x)$$,
 * $$\Gamma\left(\tfrac{1}{2}, x\right) = \sqrt\pi \operatorname{erfc}\left(\sqrt x\right)$$,
 * $$\gamma\left(\tfrac{1}{2}, x\right) = \sqrt\pi \operatorname{erf}\left(\sqrt x\right)$$.

यहां $$\operatorname{Ei}$$ घातीय समाकलन है, $$\operatorname{E}_n$$ सामान्यीकृत घातीय समाकलन है, $$\operatorname{erf}$$ त्रुटि फलन है और $$\operatorname{erfc}$$ पूरक त्रुटि फलन $$\operatorname{erfc}(x) = 1 - \operatorname{erf}(x)$$ है।

स्पर्शोन्मुख अनुप्रयोग

 * $$\frac{\gamma(s,x)}{x^s} \to \frac{1}{s}$$ जैसे $$x \to 0$$,
 * $$\frac{\Gamma(s,x)}{x^s} \to -\frac{1}{s}$$ जैसे $$x \to 0$$ और $$\Re (s) < 0$$ (वास्तव में $z ≠ 0$ की त्रुटि $s$, $Γ(s, x) ~ −x^{s} / s$ के क्रम मे है यदि $O(x^{min{s + 1, 0}})|undefined$ और यदि $s ≠ −1$ $O(ln(x))$) है।
 * $$\Gamma(s,x) \sim \Gamma(s) - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{s+n}}{n!(s+n)}$$, जहां $$x\to0^+$$ और $$s\neq 0,-1,-2,\dots$$.एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में है।
 * $$\Gamma(-N,x) \sim C_N + \frac{(-1)^{N+1}}{N!} \ln x - \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{n-N}}{n!(n-N)}$$, जहां $$x \to 0^+$$ और $$N = 1, 2, \dots$$,एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में है।
 * $C_N = \frac{(-1)^{N+1}}{N!} \left( \gamma - \sum_{n=1}^N \frac{1}{n} \right)$, जहाँ $$\gamma$$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है।
 * $$\gamma(s,x) \to \Gamma(s)$$ जैसे $$x \to \infty$$,
 * $$\frac{\Gamma(s,x)}{x^{s-1} e^{-x}} \to 1$$ जैसे $$x \to \infty$$,
 * $$\Gamma(s,z) \sim z^{s-1} e^{-z} \sum_{k=0} \frac {\Gamma(s)} {\Gamma(s-k)} z^{-k}$$, जहां $$|z| \to \infty$$ और $$\left|\arg z\right| < \tfrac{3}{2} \pi$$ एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला के रूप में है।

मूल्यांकन सूत्र
निम्न गामा फलन का मूल्यांकन घात श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके किया जा सकता है: $$\gamma(s, z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^s e^{-z} z^k}{s (s+1) \dots (s+k)}=z^s e^{-z}\sum_{k=0}^\infty\dfrac{z^k}{s^{\overline{k+1}}}$$ जहां $$s^{\overline{k+1}}$$ पोचहैमर प्रतीक है और एक वैकल्पिक विस्तार है:$$\gamma(s,z)= \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \frac{z^{s+k}}{s+k}= \frac{z^s}{s} M(s, s+1,-z),$$ जहां $s = −1$ कुमेर का समिश्र हाइपरजियोमेट्रिक फलन है।

कुमेर के समिश्र हाइपरजियोमेट्रिक फलन के साथ संबंध
जब $z$ का वास्तविक भाग धनात्मक हो:$$\gamma(s,z) = s^{-1} z^s e^{-z} M(1,s+1,z)$$

जहाँ$$ M(1, s+1, z) = 1 + \frac{z}{(s+1)} + \frac{z^2}{(s+1)(s+2)} + \frac{z^3}{(s+1)(s+2)(s+3)} + \cdots$$ अभिसरण की अनंत त्रिज्या है।

पुनः मिश्रित हाइपरज्यामितीय फलनों के साथ कुमेर के पहचान फलन को नियोजित करते हुए,$$\begin{align} \Gamma(s,z) &= e^{-z} U(1-s,1-s,z) = \frac{z^s e^{-z}}{\Gamma(1-s)} \int_0^\infty \frac{e^{-u}}{u^s (z+u)} du \\ &= e^{-z} z^s U(1,1+s,z) = e^{-z} \int_0^\infty e^{-u} (z+u)^{s-1} du = e^{-z} z^s \int_0^\infty e^{-z u} (1+u)^{s-1} du. \end{align}$$ संख्यात्मक मानों की वास्तविक गणना के लिए गॉस का निरंतर समीकरण एक उपयोगी विस्तार प्रदान करता है:

$$ \gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{s - \cfrac{s z}{s+1 + \cfrac{z}{s+2 - \cfrac{(s+1)z} {s+3 + \cfrac{2z}{s+4 - \cfrac{(s+2)z}{s+5 + \cfrac{3z}{s+6 - \ddots}}}}}}}. $$ यह निरंतर समीकरण सभी समिश्र फलन $z$ के लिए अभिसरण करता है कि $s$ एक ऋणात्मक पूर्णांक न हो, बड़े गामा फलन में निरंतर समिश्र फलन निम्न है: $$ \Gamma(s, z) = \cfrac{z^s e^{-z}}{z+\cfrac{1-s}{1 + \cfrac{1}{z + \cfrac{2-s} {1 + \cfrac{2}{z+ \cfrac{3-s}{1+ \ddots}}}}}} $$ और $$ \Gamma(s, z)= \cfrac{z^s e^{-z}}{1+z-s+ \cfrac{s-1}{3+z-s+ \cfrac{2(s-2)}{5+z-s+ \cfrac{3(s-3)} {7+z-s+ \cfrac{4(s-4)}{9+z-s+ \ddots}}}}} $$

गुणन प्रमेय
निम्नलि:खित गुणन प्रमेय सत्य है: $$\Gamma(s,z) = \frac 1 {t^s} \sum_{i=0}^{\infty} \frac{\left(1-\frac 1 t \right)^i}{i!} \Gamma(s+i,t z) = \Gamma(s,t z) -(t z)^s e^{-t z} \sum_{i=1}^{\infty} \frac{\left(\frac 1 t-1 \right)^i}{i} L_{i-1}^{(s-i)}(t z).$$

सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन
अपूर्ण गामा फलन विभिन्न कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में उपलब्ध हैं। हालाँकि, सामान्यतः अनुपलब्ध होने पर भी अपूर्ण फलन मानों की गणना सामान्यतः स्प्रेडशीट (और कंप्यूटर बीजगणित पैकेज) में सम्मिलित फलन का उपयोग करके की जा सकती है। उदाहरण के लिए माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल में इनकी गणना गामा वितरण फलन के साथ संयुक्त गामा फलन का उपयोग करके की जा सकती है। ये गामा वितरण के संचयी वितरण फलन की परिभाषा से अनुसरण करते हैं।
 * छोटे अपूर्ण फलन: $$ \gamma(s, x) $$.
 * बड़े अपूर्ण फलन: $$ \Gamma(s, x) $$.

पायथन में हालांकि scipy.special के अंतर्गत अपूर्ण गामा फलन का कार्यान्वयन प्रदान किया जाता है, यह पहले तर्क के लिए ऋणात्मक मानों का समर्थन नहीं करता है। ऐसी स्थितियों में एक समाधान लाइब्रेरी  से फलन   का उपयोग किया जाता है।

नियमित गामा फलन और पॉइसन यादृच्छिक चर
दो संबंधित फलन नियमित गामा फलन हैं:

$$P(s,x)=\frac{\gamma(s,x)}{\Gamma(s)},$$और $$Q(s,x)=\frac{\Gamma(s,x)}{\Gamma(s)} = 1 - P(s,x).$$

$$P(s,x)$$ आकार पैरामीटर $$s$$ और अदिश पैरामीटर 1 के साथ गामा यादृच्छिक चर के लिए संचयी वितरण फलन है। जब $$s$$ एक पूर्णांक है तब $$Q(s, \lambda)$$ पॉइसन यादृच्छिक चर के लिए संचयी वितरण फलन है यदि $$X$$ एक $$\mathrm{Poi}(\lambda)$$ यादृच्छिक चर है तब,

$$ \Pr(X 1) $$जहां $$\mathfrak{N}_{\alpha}(\nu)$$ आकार $$ \alpha = 1/s < 1$$ का एक मानक स्थिर गणना वितरण है जहां $$P(s,x)$$ और $$Q(s, x)$$ को में   और   के रूप में कार्यान्वित किया जाता है।

व्युत्पन्न
उपरोक्त समाकलन प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हुए, बड़े अपूर्ण गामा फलन का व्युत्पन्न $$ \Gamma (s,x) $$ इसके संबंध में $x$ है: $$ \frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial x} = - x^{s-1} e^{-x}$$ इसके पहले तर्क के संबंध में व्युत्पन्न $$s$$ द्वारा दिया गया है: $$\frac{\partial \Gamma (s,x) }{\partial s} = \ln x \Gamma (s,x) + x\,T(3,s,x)$$ और दूसरा व्युत्पन्न, $$\frac{\partial^2 \Gamma (s,x) }{\partial s^2} = \ln^2 x \Gamma (s,x) + 2 x[\ln x\,T(3,s,x) + T(4,s,x) ]$$ जहां फलन $$T(m,s,x)$$ मीजर जी-फलन की एक विशेष स्थिति है: $$T(m,s,x) = G_{m-1,\,m}^{\,m,\,0} \!\left( \left. \begin{matrix} 0, 0, \dots, 0 \\ s-1, -1, \dots, -1 \end{matrix} \; \right| \, x \right).$$ इस विशेष स्थितियों में इसके अपने स्वयं के आंतरिक समापन गुण हैं क्योंकि इसका उपयोग सामान्यतः सभी क्रमिक व्युत्पन्न को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है: $$\frac{\partial^m \Gamma (s,x) }{\partial s^m} = \ln^m x \Gamma (s,x) + m x\,\sum_{n=0}^{m-1} P_n^{m-1} \ln^{m-n-1} x\,T(3+n,s,x)$$ जहाँ $$ P_j^n $$ पोचहैमर प्रतीक द्वारा परिभाषित क्रम परिवर्तन है: $$P_j^n = \binom{n}{j} j! = \frac{n!}{(n-j)!}.$$ ऐसे सभी व्युत्पन्न क्रमिक रूप से उत्पन्न किए जा सकते हैं: $$\frac{\partial T (m,s,x) }{\partial s} = \ln x ~ T(m,s,x) + (m-1) T(m+1,s,x)$$ और $$\frac{\partial T (m,s,x) }{\partial x} = -\frac{1}{x} [T(m-1,s,x) + T(m,s,x)]$$ फलन $$T(m,s,x)$$ की गणना $$ |z| < 1 $$ के लिए इसकी क्रमिक श्रृंखला प्रतिनिधित्व से की जा सकती है: $$T(m,s,z) = - \frac{(-1)^{m-1} }{(m-2)! } \left.\frac{d^{m-2} }{dt^{m-2} } \left[\Gamma (s-t) z^{t-1}\right]\right|_{t=0} + \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n z^{s-1+n}}{n! (-s-n)^{m-1} }$$ इस समझ के साथ कि $s$ कोई ऋणात्मक पूर्णांक या शून्य नहीं है। ऐसे में व्यक्ति को एक सीमा का उपयोग करना चाहिए। $$ |z| \ge 1 $$ के लिए परिणाम को विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। इस फलन की कुछ विशेष स्थितियों को सरल बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए $$T(2,s,x)=\Gamma(s,x)/x$$, $$x\,T(3,1,x) = \mathrm{E}_1(x)$$, जहां $$\mathrm{E}_1(x)$$ घातांकीय समाकलन है। ये व्युत्पन्न और फलन $$T(m,s,x)$$ बड़े अपूर्ण गामा फलन की समाकलन परिभाषा के पुनः समाकलन द्वारा कई समाकलनों का शुद्ध समाधान प्रदान करते हैं।

उदाहरण के लिए, $$ \int_{x}^{\infty} \frac{t^{s-1} \ln^m t}{e^t} dt= \frac{\partial^m}{\partial s^m} \int_{x}^{\infty} \frac{t^{s-1}}{e^t} dt = \frac{\partial^m}{\partial s^m} \Gamma (s,x)$$ इस सूत्र को लाप्लास परिवर्तनों और मेलिन परिवर्तनों के एक विशाल वर्ग के लिए और अधिक बढ़ाया या सामान्यीकृत किया जा सकता है। जब इसे कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के साथ जोड़ा जाता है, तो विशेष फलनों का शोषण विशेष रूप से व्यावहारिक इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों द्वारा सामना किए जाने वाले निश्चित समाकलन को हल करने के लिए एक प्रभावशाली तरीका प्रदान करता है। अधिक विवरण के लिए प्रतीकात्मक समाकलन देखें।

अनिश्चित और निश्चित समाकलन
समिश्र फलनो द्वारा समाकलन का उपयोग करके निम्नलिखित अनिश्चितकालीन समाकलन भाग आसानी से प्राप्त किए जा सकते हैं। दोनों स्थितियों में समाकलन के स्थिरांक को छोड़ दिया गया है:

$$\int x^{b-1} \gamma(s,x) dx = \frac{1}{b} \left( x^b \gamma(s,x) - \gamma(s+b,x) \right),$$ $$\int x^{b-1} \Gamma(s,x) dx = \frac{1}{b} \left( x^b \Gamma(s,x) - \Gamma(s+b,x) \right).$$ छोटे और बड़े अपूर्ण गामा फलन फूरियर रूपांतरण के माध्यम से संबद्ध होते हैं:

$$\int_{-\infty}^\infty \frac {\gamma\left(\frac s 2, z^2 \pi \right)} {(z^2 \pi)^\frac s 2} e^{-2 \pi i k z} dz = \frac {\Gamma\left(\frac {1-s} 2, k^2 \pi \right)} {(k^2 \pi)^\frac {1-s} 2}.$$ उदाहरण के लिए यह फलन की उपयुक्त विशेषताओ का अनुसरण करता है।

संदर्भ

 * §6.5.
 * G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
 * (See also www.netlib.org/toms/654).
 * G. Arfken and H. Weber. Mathematical Methods for Physicists. Harcourt/Academic Press, 2000. (See Chapter 10.)
 * (See also www.netlib.org/toms/654).
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 * (See also www.netlib.org/toms/654).
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बाहरी संबंध

 * $$P(a,x)$$ — Regularized Lower Incomplete Gamma Function Calculator
 * $$Q(a,x)$$ — Regularized Upper Incomplete Gamma Function Calculator
 * $$\gamma(a,x)$$ — Lower Incomplete Gamma Function Calculator
 * $$\Gamma(a,x)$$ — Upper Incomplete Gamma Function Calculator
 * formulas and identities of the Incomplete Gamma Function functions.wolfram.com