क्रॉसिंग नंबर (ग्राफ़ सिद्धांत)

ग्राफ़ सिद्धांत में, क्रॉसिंग संख्या $cr(G) = 3$ एक ग्राफ़ का (अलग गणित) $G$ ग्राफ़ के समतल ग्राफ़ आरेखण के किनारे क्रॉसिंग की सबसे कम संख्या है $G$. उदाहरण के लिए, एक ग्राफ़ समतलीय ग्राफ़ है यदि और केवल तभी जब इसकी क्रॉसिंग संख्या शून्य हो। ग्राफ़ ड्राइंग में क्रॉसिंग संख्या का निर्धारण बहुत महत्वपूर्ण है, क्योंकि उपयोगकर्ता अध्ययनों से पता चला है कि कुछ क्रॉसिंग के साथ ग्राफ़ खींचने से लोगों के लिए ड्राइंग को समझना आसान हो जाता है।

क्रॉसिंग नंबरों का अध्ययन तुरान की ईंट फैक्ट्री समस्या में उत्पन्न हुआ, जिसमें पाल तुरान ने एक फैक्ट्री योजना के लिए कहा, जो ईंट भट्टों को भंडारण स्थलों से जोड़ने वाले ट्रैक के बीच क्रॉसिंग की संख्या को कम कर दे। गणितीय रूप से, इस समस्या को पूर्ण द्विदलीय ग्राफ की क्रॉसिंग संख्या पूछने के रूप में औपचारिक रूप दिया जा सकता है। सोशियोग्राम के निर्माण के संबंध में एक ही समस्या लगभग एक ही समय में समाजशास्त्र में स्वतंत्र रूप से उत्पन्न हुई। पूर्ण द्विदलीय ग्राफ़ की क्रॉसिंग संख्याओं के लिए तुरान का अनुमानित सूत्र अप्रमाणित रहता है, जैसा कि पूर्ण ग्राफ़ के लिए एक अनुरूप सूत्र है।

क्रॉसिंग संख्या असमानता बताती है कि, ग्राफ़ के लिए जहां संख्या e}एज (ग्राफ़ सिद्धांत) की } संख्या से पर्याप्त रूप से बड़ी है $n$ वर्टेक्स (ग्राफ सिद्धांत) की, क्रॉसिंग संख्या कम से कम आनुपातिकता (गणित) है $cr(G)$. इसमें वीएलएसआई डिज़ाइन और घटना ज्यामिति में अनुप्रयोग हैं।

आगे की योग्यता के बिना, क्रॉसिंग संख्या उन चित्रों की अनुमति देती है जिनमें किनारों को मनमाने वक्रों द्वारा दर्शाया जा सकता है। इस अवधारणा का एक रूपांतर, रेक्टिलिनियर क्रॉसिंग नंबर, के लिए सभी किनारों को सीधी रेखा खंड होना आवश्यक है, और क्रॉसिंग नंबर से भिन्न हो सकता है। विशेष रूप से, एक पूर्ण ग्राफ़ की आयताकार क्रॉसिंग संख्या अनिवार्य रूप से एक सेट द्वारा निर्धारित उत्तल बहुभुज चतुर्भुजों की न्यूनतम संख्या के समान होती है। $n$ सामान्य स्थिति में अंक. इस संख्या को निर्धारित करने की समस्या का सुखद अंत की समस्या से गहरा संबंध है।

परिभाषाएँ
क्रॉसिंग संख्या को परिभाषित करने के प्रयोजनों के लिए, एक अप्रत्यक्ष ग्राफ़ का चित्रण ग्राफ़ के शीर्षों से लेकर समतल में असंयुक्त बिंदुओं तक और ग्राफ़ के किनारों से लेकर उनके दो अंतिम बिंदुओं को जोड़ने वाले वक्रों तक का मानचित्रण है। किसी भी शीर्ष को उस किनारे पर मैप नहीं किया जाना चाहिए जिसका वह समापन बिंदु नहीं है, और जब भी दो किनारों पर वक्र होते हैं जो प्रतिच्छेद करते हैं (एक साझा समापन बिंदु के अलावा) तो उनके प्रतिच्छेदन को उचित क्रॉसिंग का एक सीमित सेट बनाना चाहिए, जहां दो वक्र ट्रांसवर्सलिटी हैं ( अंक शास्त्र)। इनमें से प्रत्येक क्रॉसिंग बिंदु के लिए, क्रॉस करने वाले किनारों के प्रत्येक जोड़े के लिए एक क्रॉसिंग को अलग से गिना जाता है। किसी ग्राफ़ की क्रॉसिंग संख्या, ऐसे सभी रेखाचित्रों पर, किसी ड्राइंग में क्रॉसिंग की संख्या की न्यूनतम होती है।

कुछ लेखक ड्राइंग की परिभाषा में और अधिक बाधाएँ जोड़ते हैं, उदाहरण के लिए कि किनारों की प्रत्येक जोड़ी में अधिकतम एक प्रतिच्छेदन बिंदु (एक साझा समापन बिंदु या क्रॉसिंग) होता है। ऊपर परिभाषित क्रॉसिंग संख्या के लिए, इन बाधाओं से कोई फर्क नहीं पड़ता, क्योंकि क्रॉसिंग-न्यूनतम ड्राइंग में एकाधिक चौराहे बिंदुओं वाले किनारे नहीं हो सकते हैं। यदि साझा समापन बिंदु वाले दो किनारे क्रॉस करते हैं, तो ड्राइंग को स्थानीय रूप से क्रॉसिंग बिंदु पर बदला जा सकता है, शेष ड्राइंग को अपरिवर्तित छोड़कर, एक कम क्रॉसिंग के साथ एक अलग ड्राइंग तैयार की जा सकती है। और इसी तरह, यदि दो किनारे दो या अधिक बार क्रॉस करते हैं, तो दो कम क्रॉसिंग के साथ एक अलग ड्राइंग बनाने के लिए ड्राइंग को दो क्रॉसिंग बिंदुओं पर स्थानीय रूप से बदला जा सकता है। हालाँकि, ये बाधाएँ क्रॉसिंग संख्या की विभिन्न परिभाषाओं के लिए प्रासंगिक हैं, उदाहरण के लिए, क्रॉसिंग की संख्या के बजाय केवल किनारों के जोड़े की संख्या की गणना करते हैं जो क्रॉस करते हैं।

विशेष मामले
अप्रैल 2015 तक, बहुत कम ग्राफ़ परिवारों के लिए क्रॉसिंग नंबर ज्ञात हैं। विशेष रूप से, कुछ प्रारंभिक मामलों को छोड़कर, पूर्ण ग्राफ़ की क्रॉसिंग संख्या, द्विदलीय पूर्ण ग्राफ़ और चक्रों के उत्पाद सभी अज्ञात रहते हैं, हालांकि निचली सीमाओं पर कुछ प्रगति हुई है।

पूर्ण द्विदलीय ग्राफ


द्वितीय विश्व युद्ध के दौरान, हंगेरियन गणितज्ञ पाल तुरान को एक ईंट कारखाने में काम करने के लिए मजबूर किया गया था, जिसमें भट्टियों से भंडारण स्थलों तक ईंटों के वैगन लोड को धकेलना था। कारखाने में प्रत्येक भट्ठे से प्रत्येक भंडारण स्थल तक ट्रैक थे, और वैगनों को उन बिंदुओं पर धक्का देना कठिन था जहां ट्रैक एक-दूसरे को पार करते थे, जिससे तुरान को अपनी ईंट कारखाने की समस्या पूछने के लिए प्रेरित किया गया: भट्ठे, भंडारण स्थल और ट्रैक कैसे हो सकते हैं क्रॉसिंग की कुल संख्या को न्यूनतम करने की व्यवस्था की जाए? गणितीय रूप से, भट्टियों और भंडारण स्थलों को एक पूर्ण द्विदलीय ग्राफ के शीर्ष के रूप में औपचारिक रूप दिया जा सकता है, जिसके किनारों के रूप में ट्रैक होते हैं। फ़ैक्टरी लेआउट को इस ग्राफ़ के चित्र के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए समस्या यह हो जाती है: एक पूर्ण द्विदलीय ग्राफ के रेखांकन में क्रॉसिंग की न्यूनतम संभव संख्या क्या है?

काज़िमिर्ज़ ज़ारांकिविज़ ने तुरान की ईंट फैक्ट्री की समस्या को हल करने का प्रयास किया; उनके प्रमाण में एक त्रुटि थी, लेकिन उन्होंने एक वैध ऊपरी और निचली सीमा स्थापित की


 * $$\textrm{cr}(K_{m,n}) \le \left\lfloor\frac{n}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{n-1}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{m-1}{2}\right\rfloor$$

संपूर्ण द्विदलीय ग्राफ की क्रॉसिंग संख्या के लिए $K_{m,n}$. इस सीमा को सभी पूर्ण द्विदलीय ग्राफ़ के लिए क्रॉसिंग की इष्टतम संख्या होने का अनुमान लगाया गया है।

पूर्ण ग्राफ़ और ग्राफ़ रंग
संपूर्ण ग्राफ़ की क्रॉसिंग संख्या निर्धारित करने की समस्या सबसे पहले एंथोनी हिल (कलाकार) द्वारा प्रस्तुत की गई थी, और 1960 में प्रिंट में दिखाई दी। हिल और उनके सहयोगी जॉन अर्नेस्ट दो रचनावाद (कला) गणित से आकर्षित थे। उन्होंने न केवल इस समस्या को तैयार किया बल्कि इस क्रॉसिंग नंबर के लिए एक अनुमानित सूत्र भी तैयार किया, जिसे रिचर्ड के. गाइ ने 1960 में प्रकाशित किया। अर्थात्, यह ज्ञात है कि हमेशा एक चित्र मौजूद रहता है
 * $$\textrm{cr}(K_p) \le \frac{1}{4} \left\lfloor\frac{p}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{p-1}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{p-2}{2}\right\rfloor\left\lfloor\frac{p-3}{2}\right\rfloor$$

क्रॉसिंग. यह सूत्र का मान देता है $e3/n2$ के लिए $K_{4,7}$; अनुक्रम देखें पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में। अनुमान यह है कि इससे बेहतर कोई रेखांकन नहीं हो सकता है, इसलिए यह सूत्र संपूर्ण ग्राफ़ के लिए क्रॉसिंग की इष्टतम संख्या देता है। इसी अनुमान का एक स्वतंत्र सूत्रीकरण 1964 में थॉमस एल. सैटी द्वारा किया गया था।

साती ने आगे सत्यापित किया कि यह सूत्र क्रॉसिंग की इष्टतम संख्या देता है $1, 3, 9, 18, 36, 60, 100, 150$ और पैन और रिक्टर ने दिखाया कि यह भी इसके लिए इष्टतम है $p = 5, ..., 12$.

2007 में माइकल ओ. अल्बर्टसन द्वारा तैयार अल्बर्टसन अनुमान में कहा गया है कि, रंगीन संख्या वाले सभी ग्राफ़ के बीच $n$, पूरा ग्राफ $K_{n}$ में क्रॉसिंग की न्यूनतम संख्या है। अर्थात्, यदि संपूर्ण ग्राफ़ की क्रॉसिंग संख्या के लिए अनुमानित सूत्र सही है, तो प्रत्येक $n$-क्रोमैटिक ग्राफ़ में क्रॉसिंग संख्या कम से कम समान सूत्र के बराबर होती है। अल्बर्टसन अनुमान अब मान्य होने के लिए जाना जाता है $p ≤ 10$.

घन ग्राफ़
क्रॉसिंग संख्या 1-8 और 11 वाले सबसे छोटे घन ग्राफ़ ज्ञात हैं. सबसे छोटा 1-क्रॉसिंग क्यूबिक ग्राफ़ पूर्ण द्विदलीय ग्राफ़ है $p = 11, 12$, 6 शीर्षों के साथ। सबसे छोटा 2-क्रॉसिंग क्यूबिक ग्राफ़ पीटरसन ग्राफ़ है, जिसमें 10 शीर्ष हैं। सबसे छोटा 3-क्रॉसिंग क्यूबिक ग्राफ हेवुड ग्राफ है, जिसमें 14 शीर्ष हैं। सबसे छोटा 4-क्रॉसिंग क्यूबिक ग्राफ़ मोबियस-कांटोर ग्राफ़ है, जिसमें 16 शीर्ष हैं। सबसे छोटा 5-क्रॉसिंग क्यूबिक ग्राफ पप्पस ग्राफ है, जिसमें 18 शीर्ष हैं। सबसे छोटा 6-क्रॉसिंग क्यूबिक ग्राफ़ Desargues ग्राफ है, जिसमें 20 शीर्ष हैं। 22 शीर्षों वाले चार 7-क्रॉसिंग क्यूबिक ग्राफ़ों में से कोई भी प्रसिद्ध नहीं है। सबसे छोटे 8-क्रॉसिंग क्यूबिक ग्राफ़ में 24 शीर्षों के साथ नाउरू ग्राफ़ और मैक्गी ग्राफ़ या (3,7)- पिंजरे का ग्राफ ़ शामिल हैं। सबसे छोटे 11-क्रॉसिंग क्यूबिक ग्राफ़ में 28 शीर्षों वाला कॉक्सेटर ग्राफ़ शामिल है।

2009 में, पेग और एक्सू ने अनुमान लगाया कि क्रॉसिंग नंबर 13 के साथ सबसे छोटा क्यूबिक ग्राफ टुटे-कॉक्सेटर ग्राफ है और क्रॉसिंग नंबर 170 के साथ सबसे छोटा क्यूबिक ग्राफ सभी 12-पिंजरे है।

द्विभाजन चौड़ाई से कनेक्शन
2/3-द्विखंड चौड़ाई $$b(G)$$ एक साधारण ग्राफ का $$G$$ किनारों की न्यूनतम संख्या है जिसके हटाने के परिणामस्वरूप शीर्ष सेट को दो अलग-अलग सेटों में विभाजित किया जाता है ताकि किसी भी सेट में इससे अधिक न हो $$2n/3$$शिखर. कम्प्यूटिंग $$b(G)$$ एनपी-हार्ड है. एफ. थॉमसन लीटन ने यह साबित किया $$ cr(G)+n=\Omega(b^2(G))$$, उसे उपलब्ध कराया $$G$$ शीर्ष डिग्रियों से घिरा हुआ है। इस मौलिक असमानता का उपयोग एसिम्प्टोटिक निचली सीमा प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है $$cr(G)$$, कब $$b(G)$$, या इसका एक अनुमान ज्ञात है। इसके अलावा, इस असमानता में एल्गोरिथम अनुप्रयोग है। विशेष रूप से, भट्ट और लीटन ने इसका उपयोग (पहली बार) एक ड्राइंग में किनारे क्रॉसिंग की संख्या पर ऊपरी सीमा प्राप्त करने के लिए किया था, जो कंप्यूटिंग के लिए विभाजन और जीत सन्निकटन एल्गोरिदम द्वारा प्राप्त किया जाता है। $$cr(G)$$.

जटिलता और सन्निकटन
सामान्य तौर पर, किसी ग्राफ़ की क्रॉसिंग संख्या निर्धारित करना कठिन होता है; माइकल गैरी और डेविड एस. जॉनसन ने 1983 में दिखाया कि यह एक एनपी कठिन  समस्या है। वास्तव में क्यूबिक ग्राफ़ तक सीमित होने पर भी समस्या एनपी-हार्ड बनी रहती है और इन-प्लानर ग्राफ़ (ग्राफ़ जो एक किनारे को हटाने के बाद समतल हो जाता है)। एक निकट से संबंधित समस्या, रेक्टिलिनियर क्रॉसिंग संख्या का निर्धारण, वास्तविकताओं के अस्तित्व संबंधी सिद्धांत के लिए पूर्ण (जटिलता) है।

सकारात्मक पक्ष पर, यह निर्धारित करने के लिए कुशल एल्गोरिदम हैं कि क्या क्रॉसिंग संख्या एक निश्चित स्थिरांक से कम है $k$. दूसरे शब्दों में, समस्या निश्चित-पैरामीटर सुव्यवस्थित है।बड़े लोगों के लिए यह मुश्किल बना हुआ है $k$, जैसे कि $n ≤ 16$. सन्निकटन के लिए कुशल सन्निकटन एल्गोरिदम भी हैं $$cr(G)+n $$ बंधी हुई डिग्री के ग्राफ़ पर जो भट्ट और लीटन के सामान्य और पहले से विकसित ढांचे का उपयोग करते हैं। व्यवहार में अनुमानी एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है, जैसे कि सरल एल्गोरिदम जो बिना किसी किनारे के शुरू होता है और लगातार प्रत्येक नए किनारे को इस तरह से जोड़ता है जिससे कम से कम अतिरिक्त क्रॉसिंग संभव हो। इन एल्गोरिदम का उपयोग रेक्टिलिनियर क्रॉसिंग नंबर वितरित कंप्यूटिंग प्रोजेक्ट में किया जाता है।

क्रॉसिंग संख्या असमानता
एक अप्रत्यक्ष सरल ग्राफ के लिए $G$ साथ $n$ शीर्ष और $e$किनारे ऐसे कि $K_{3,3}$क्रॉसिंग नंबर हमेशा कम से कम होता है
 * $$\operatorname{cr}(G) \geq \frac{e^3}{29 n^2}.$$

किनारों, शीर्षों और क्रॉसिंग संख्या के बीच इस संबंध की खोज स्वतंत्र रूप से मिक्लोस अजताई, वैक्लाव च्वाटल|च्वाटल, न्यूबॉर्न और एंड्रे ज़ेमेरेडी|सेमेरेडी द्वारा की गई थी। और लीटन द्वारा। इसे क्रॉसिंग संख्या असमानता या क्रॉसिंग लेम्मा के रूप में जाना जाता है।

अटल $k = |V|/2$ आज तक ज्ञात सबसे अच्छा है, और एकरमैन के कारण है। अटल $e > 7n$ तक कम किया जा सकता है $29$, लेकिन प्रतिस्थापन की कीमत पर $7$ के बदतर स्थिरांक के साथ $4$.

क्रॉसिंग नंबरों का अध्ययन करने में लीटन की प्रेरणा सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में वीएलएसआई डिजाइन के अनुप्रयोगों के लिए थी। बाद में, शेकली को यह भी एहसास हुआ कि इस असमानता से घटना (ज्यामिति) में कुछ महत्वपूर्ण प्रमेयों के बहुत ही सरल प्रमाण मिले हैं, जैसे बेक का प्रमेय (ज्यामिति)|बेक का प्रमेय और ज़ेमेरेडी-ट्रॉटर प्रमेय, और तमाल दिवस ने इसका उपयोग K-सेट (ज्यामिति)|ज्यामितीय k-सेट पर ऊपरी सीमा साबित करने के लिए किया।

भिन्नताएँ
यदि किनारों को मनमाने वक्रों के बजाय सीधी रेखा खंडों के रूप में खींचने की आवश्यकता है, तो कुछ ग्राफ़ को अधिक क्रॉसिंग की आवश्यकता होती है। रेक्टिलिनियर क्रॉसिंग नंबर को इस प्रकार की ड्राइंग में क्रॉसिंग की न्यूनतम संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है। यह हमेशा कम से कम क्रॉसिंग संख्या जितना बड़ा होता है, और कुछ ग्राफ़ के लिए बड़ा होता है। यह ज्ञात है कि, सामान्य तौर पर, रेक्टिलिनियर क्रॉसिंग नंबर को क्रॉसिंग नंबर के किसी फ़ंक्शन द्वारा सीमित नहीं किया जा सकता है। के लिए सरलरेखीय क्रॉसिंग संख्याएँ $29$ द्वारा $64$ हैं $K_{5}$, और मान तक $K_{12}$ ज्ञात हैं, साथ $1, 3, 9, 19, 36, 62, 102, 153$या तो 7233 या 7234 क्रॉसिंग की आवश्यकता है। आगे के मान रेक्टिलिनियर क्रॉसिंग नंबर प्रोजेक्ट द्वारा एकत्र किए जाते हैं।

एक ग्राफ़ में 1-तलीय ग्राफ होता है $k$ यदि इसे अधिक से अधिक खींचा जा सकता है $k$ प्रति किनारे क्रॉसिंग, लेकिन कम नहीं। वे ग्राफ़ जिनसे अधिक से अधिक खींचा जा सकता है $k$ क्रॉसिंग प्रति किनारा भी कहा जाता है $k$-प्लानर.

क्रॉसिंग नंबर के अन्य प्रकारों में जोड़ीदार क्रॉसिंग नंबर (किसी भी ड्राइंग में किनारों के जोड़े की न्यूनतम संख्या जो क्रॉस करते हैं) और विषम क्रॉसिंग नंबर (किनारों के जोड़े की संख्या जो किसी भी ड्राइंग में विषम संख्या में क्रॉस करते हैं) शामिल हैं। विषम क्रॉसिंग संख्या अधिक से अधिक जोड़ीवार क्रॉसिंग संख्या के बराबर होती है, जो अधिक से अधिक क्रॉसिंग संख्या के बराबर होती है। हालाँकि, हनानी-टुटे प्रमेय के अनुसार, जब भी इनमें से एक संख्या शून्य होती है, तो वे सभी शून्य होती हैं। ऐसे कई वेरिएंट का सर्वेक्षण करता है।

यह भी देखें

 * तलीयकरण, प्रत्येक क्रॉसिंग को एक नए शीर्ष द्वारा प्रतिस्थापित करके बनाया गया एक समतलीय ग्राफ़
 * तीन उपयोगिताओं की समस्या, पहेली जो पूछती है कि क्या $K_{27}$ 0 क्रॉसिंग के साथ खींचा जा सकता है