एकल-कण प्रक्षेपवक्र

एकल-कण प्रक्षेपवक्र (एसपीटी) में समय के कारण क्रमिक असतत पसंद बिंदुओं का संग्रह होता है। ये प्रक्षेपवक्र प्रायोगिक डेटा में छवियों से प्राप्त किए गए हैं। कोशिका जीव विज्ञान के संदर्भ में, गतिमान अणु से जुड़े छोटे रंगों के एक लेजर द्वारा क्षणिक सक्रियण द्वारा प्रक्षेपवक्र प्राप्त किए जाते हैं।

अणु अब हाल के सुपर-रिज़ॉल्यूशन माइक्रोस्कोपी के आधार पर देखे जा सकते हैं, जो हजारों छोटे और लंबे प्रक्षेपवक्रों के नियमित संग्रह की अनुमति देते हैं। ये प्रक्षेपवक्र एक कोशिका के भाग का पता लगाते हैं, या तो झिल्ली पर या 3 आयामों में और उनके पथ गंभीर रूप से स्थानीय भीड़ वाले संगठन और कोशिका के अंदर आणविक संपर्क से प्रभावित होते हैं, जैसा कि विभिन्न प्रकार की कोशिकाओं जैसे न्यूरोनल कोशिकाओं में जोर दिया गया है, तारिकाकोशिका ्स,  प्रतिरक्षा तंत्र  सेल और कई अन्य।

एसपीटी आंकड़ों को इकट्ठा करने के लिए कोशिकाओं के अंदर गतिमान अणुओं को देखने की अनुमति देते हैं
एसपीटी ने गतिमान कणों का अवलोकन करने की अनुमति दी। इन प्रक्षेपवक्रों का उपयोग साइटोप्लाज्म या झिल्ली संगठन की जांच के लिए किया जाता है, बल्कि सेल न्यूक्लियस डायनामिक्स, रिमोडेलर डायनामिक्स या mRNA उत्पादन भी। इंस्ट्रूमेंटेशन के निरंतर सुधार के कारण, स्थानिक संकल्प लगातार कम हो रहा है, अब लगभग 20 एनएम के मूल्यों तक पहुंच रहा है, जबकि जीवित ऊतकों में होने वाली छोटी घटनाओं को पकड़ने के लिए अधिग्रहण का समय आमतौर पर 10 से 50 एमएस की सीमा में होता है। एसपीटीपीएलएम नामक सुपर-रिज़ॉल्यूशन माइक्रोस्कोपी का एक प्रकार कोशिकाओं में अणुओं के स्थानीय और गतिशील रूप से बदलते संगठन, या स्तनधारी नाभिक में ट्रांसक्रिप्शन कारकों द्वारा डीएनए बंधन की घटनाओं का पता लगाने के लिए उपयोग किया जाता है। उच्च गुणवत्ता वाले डेटा की गारंटी के लिए सुपर-रिज़ॉल्यूशन छवि अधिग्रहण और कण ट्रैकिंग महत्वपूर्ण हैं

ट्रैकिंग एल्गोरिदम के आधार पर एक प्रक्षेपवक्र में बिंदुओं को जोड़ना
एक बार अंक हासिल कर लेने के बाद, अगला कदम एक प्रक्षेपवक्र का पुनर्निर्माण करना है। यह चरण अर्जित बिंदुओं को जोड़ने के लिए ज्ञात ट्रैकिंग एल्गोरिदम द्वारा किया जाता है। ट्रैकिंग एल्गोरिदम एक योज्य यादृच्छिक शोर से परेशान ट्रैजेक्टोरियों के भौतिक मॉडल पर आधारित होते हैं।

अनावश्यक एसपीटी
से भौतिक पैरामीटर निकालें आणविक स्तर पर अनुभवजन्य डेटा से बायोफिजिकल सूचना मापदंडों को निकालने के लिए कई शॉर्ट (एसपीटी) की अतिरेक एक प्रमुख विशेषता है। इसके विपरीत, विभिन्न पदों से जुड़े प्राकृतिक स्थानिक विषमता को नष्ट करते हुए, प्रक्षेपवक्र के साथ जानकारी निकालने के लिए लंबे पृथक प्रक्षेपवक्र का उपयोग किया गया है। मुख्य सांख्यिकीय उपकरण माध्य वर्ग विस्थापन | माध्य-वर्ग विस्थापन (MSD) या दूसरे क्रम के सांख्यिकीय क्षण की गणना करना है:


 * $$\langle|X(t+\Delta t)- X(t)|^2\rangle \sim t^\alpha$$ (एवरेज ओवर रियलाइजेशन (संभावना)), जहां $$\alpha$$ विषम घातांक कहा जाता है।

ब्राउनियन गति के लिए, $$\langle|X(t+\Delta t)- X(t)|^2\rangle=2 n Dt$$, जहां डी प्रसार गुणांक है, एन अंतरिक्ष का आयाम है। कुछ अन्य गुण भी लंबे प्रक्षेपवक्र से पुनर्प्राप्त किए जा सकते हैं, जैसे सीमित गति के लिए परिरोध की त्रिज्या। MSD का व्यापक रूप से लंबे समय के शुरुआती अनुप्रयोगों में व्यापक रूप से उपयोग किया गया है, लेकिन जरूरी नहीं कि एक जैविक संदर्भ में अनावश्यक एकल-कण प्रक्षेपवक्र हो। हालाँकि, लंबे प्रक्षेपवक्र पर लागू MSD कई मुद्दों से ग्रस्त है। सबसे पहले, यह भाग में सटीक नहीं है क्योंकि मापे गए बिंदुओं को सहसंबद्ध किया जा सकता है। दूसरा, इसका उपयोग किसी भी भौतिक प्रसार गुणांक की गणना करने के लिए नहीं किया जा सकता है जब प्रक्षेपवक्र में स्विचिंग एपिसोड होते हैं उदाहरण के लिए मुक्त और सीमित प्रसार के बीच वैकल्पिक। देखे गए प्रक्षेपवक्र के कम स्पोटियोटेम्पोरल रिज़ॉल्यूशन पर, MSD समय के साथ सूक्ष्म रूप से व्यवहार करता है, एक प्रक्रिया जिसे विषम प्रसार के रूप में जाना जाता है, जो कण गति के विभिन्न चरणों के औसत के कारण होता है। सेलुलर परिवहन (अमीबोइड) के संदर्भ में, लंबे एसपीटी का उच्च रिज़ॉल्यूशन गति विश्लेषण बाधाओं वाले सूक्ष्म-द्रव कक्षों में विभिन्न प्रकार की कोशिका गतियों का पता चला। बाधा घनत्व के आधार पर: रेंगना बाधाओं और निर्देशित गति के कम घनत्व पर पाया गया और यादृच्छिक चरणों को भी विभेदित किया जा सकता है।

गति के एक मॉडल के रूप में लैंगविन और स्मोलुचोव्स्की समीकरण
एसपीटी से जानकारी निकालने के लिए सांख्यिकीय तरीके स्टोचैस्टिक मॉडल पर आधारित होते हैं, जैसे लैंगविन समीकरण या इसकी स्मोलुचोव्स्की की सीमा। स्मोलुचोव्स्की की सीमा और संबद्ध मॉडल जो अतिरिक्त स्थानीयकरण बिंदु पहचान शोर या मेमोरी कर्नेल के लिए खाते हैं। लैंग्विन समीकरण ब्राउनियन बल द्वारा संचालित एक स्टोकेस्टिक कण का वर्णन करता है $$\Xi$$ और अभिव्यक्ति के साथ बल का एक क्षेत्र (जैसे, इलेक्ट्रोस्टैटिक, मैकेनिकल, आदि)। $$F(x,t)$$:


 * $$m\ddot x+\Gamma \dot x-F(x,t)=\Xi,$$

जहाँ m कण का द्रव्यमान है और $$\Gamma= 6\pi a \rho$$एक विसरित कण का घर्षण गुणांक है, $$\rho$$ चिपचिपाहट। यहाँ $$\Xi$$ है $$\delta$$सहसंबद्ध गाऊसी सफेद शोर। बल एक संभावित कुएं यू से प्राप्त किया जा सकता है ताकि $$F(x,t)=- U'(x)$$ और उस स्थिति में, समीकरण रूप ले लेता है


 * $$m\frac{d^2 x}{dt^2} +\Gamma \frac{d x}{dt} +\nabla U(x)=\sqrt{2\varepsilon\gamma}\,\frac{d\eta}{dt},$$

कहाँ $$\varepsilon=k_\text{B} T,$$ ऊर्जा है और $$k_\text{B}$$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक और टी तापमान। लैंगविन के समीकरण का उपयोग ट्रैजेक्टोरियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है जहां जड़ता या त्वरण मायने रखता है। उदाहरण के लिए, बहुत ही कम समय में, जब एक अणु बाध्यकारी साइट से अलग हो जाता है या संभावित कुएं से निकल जाता है और जड़ता शब्द कणों को आकर्षित करने वाले से दूर जाने की अनुमति देता है और इस प्रकार तत्काल रिबाइंडिंग को रोकता है जो संख्यात्मक सिमुलेशन को प्लेग कर सकता है।

बड़ी घर्षण सीमा में $$\gamma\to\infty$$ प्रक्षेपवक्र $$x(t)$$ लैंगविन समीकरण की संभाव्यता स्मोलुचोव्स्की के समीकरण की संभाव्यता में अभिसरित होती है


 * $$\gamma \dot{x}+U^\prime (x)=\sqrt{2\varepsilon\gamma}\,\dot{w},$$

कहाँ $$\dot w(t) $$ है $$\delta$$-सहसंबद्ध। यह समीकरण तब प्राप्त होता है जब प्रसार गुणांक अंतरिक्ष में स्थिर होता है। जब ऐसा नहीं होता है, मोटे दाने वाले समीकरण (मोटे स्थानिक संकल्प पर) आणविक विचारों से प्राप्त किए जाने चाहिए। भौतिक बलों की व्याख्या आईटीओ बनाम स्ट्रैटोनोविच अभिन्न प्रतिनिधित्व या किसी अन्य द्वारा हल नहीं की जाती है।

सामान्य मॉडल समीकरण
प्रारंभिक आणविक टकराव की तुलना में बहुत लंबे समय के लिए, एक ट्रैक किए गए कण की स्थिति को लैंग्विन स्टोकेस्टिक मॉडल की अधिक सामान्य ओवरडैम्प्ड सीमा द्वारा वर्णित किया गया है। वास्तव में, यदि थर्मल उतार-चढ़ाव की तुलना में अनुभवजन्य दर्ज प्रक्षेपवक्र का अधिग्रहण समय बहुत कम है, तो डेटा में तेजी से घटनाओं का समाधान नहीं होता है। इस प्रकार इस मोटे स्पोटियोटेम्पोरल स्केल पर, गति विवरण को एक प्रभावी स्टोकेस्टिक समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है


 * $$\dot{X}(t)={b}(X(t)) +\sqrt{2}{B}_e(X(t))\dot{w}(t), \qquad\qquad (1) $$

कहाँ $${b}(X) $$ बहाव क्षेत्र है और $${B}_e $$प्रसार मैट्रिक्स। प्रभावी प्रसार टेंसर अंतरिक्ष में भिन्न हो सकता है $$D(X)=\frac{1}{2} B(X) B^T X^T$$ ($X^T $  के स्थानान्तरण को दर्शाता है $ X $ ). यह समीकरण व्युत्पन्न नहीं है बल्कि मान लिया गया है। हालाँकि प्रसार गुणांक पर्याप्त रूप से सुचारू होना चाहिए क्योंकि डी में किसी भी असततता को विच्छिन्नता के स्रोत (आमतौर पर निष्क्रिय बाधाओं या दो माध्यमों के बीच संक्रमण) का विश्लेषण करने के लिए एक स्थानिक स्केलिंग द्वारा हल किया जाना चाहिए। देखा गया प्रभावी प्रसार टेंसर आवश्यक रूप से आइसोट्रोपिक नहीं है और राज्य-निर्भर हो सकता है, जबकि घर्षण गुणांक $$\gamma$$ जब तक माध्यम समान रहता है तब तक स्थिर रहता है और सूक्ष्म प्रसार गुणांक (या टेन्सर) समदैशिक रह सकता है।

इन प्रक्षेपवक्रों का सांख्यिकीय विश्लेषण
सांख्यिकीय विधियों का विकास स्टोचैस्टिक मॉडल पर आधारित है, जो प्रक्षेपवक्रों पर लागू एक संभावित विसंक्रमण प्रक्रिया है। संख्यात्मक सिमुलेशन का उपयोग उन विशिष्ट विशेषताओं की पहचान करने के लिए भी किया जा सकता है जिन्हें एकल-कण प्रक्षेपवक्र डेटा से निकाला जा सकता है। एसपीटीएस डेटा से एक सांख्यिकीय पहनावा बनाने का लक्ष्य कणों के स्थानीय भौतिक गुणों का निरीक्षण करना है, जैसे कि वेग, प्रसार, कारावास या उनके स्थानीय नैनोमीटर वातावरण के साथ कणों की बातचीत को दर्शाते हुए बलों को आकर्षित करना। प्रसार गुणांक (या टेन्सर) से विभिन्न आकारों की जैविक वस्तुओं की उपस्थिति को दर्शाती बाधाओं के परिसीमन या स्थानीय घनत्व से निर्माण करने के लिए स्टोकेस्टिक मॉडलिंग का उपयोग करना संभव है।

एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के बहाव और प्रसार टेंसर के लिए अनुभवजन्य अनुमान
कई अनुभवजन्य अनुमानकों को संभावित कुओं जैसे बहाव में स्थानीय प्रसार गुणांक, वेक्टर क्षेत्र और यहां तक ​​​​कि संगठित पैटर्न को पुनर्प्राप्त करने का प्रस्ताव दिया गया है। अनुभवजन्य अनुमानकों का निर्माण जो पैरामीट्रिक और गैर-पैरामीट्रिक आंकड़ों से भौतिक गुणों को पुनर्प्राप्त करने के लिए कार्य करता है। एक आयामी समय श्रृंखला के आँकड़ों से प्रसार प्रक्रिया के सांख्यिकीय मापदंडों को पुनः प्राप्त करना पहले क्षण के अनुमानक या बायेसियन अनुमान का उपयोग करता है।

मॉडल और विश्लेषण मानते हैं कि प्रक्रियाएं स्थिर हैं, ताकि प्रक्षेपवक्र के सांख्यिकीय गुण समय के साथ न बदलें। व्यवहार में, यह धारणा तब संतुष्ट होती है जब एक मिनट से भी कम समय के लिए प्रक्षेपवक्र प्राप्त किए जाते हैं, जहां उदाहरण के लिए न्यूरॉन की सतह पर केवल कुछ धीमे परिवर्तन हो सकते हैं। क्रमिक अधिग्रहणों के बीच दसियों मिनट की देरी के साथ, समय-व्यतीत विश्लेषण का उपयोग करके गैर-स्थिर व्यवहार देखा जाता है।

मोटे दाने वाला मॉडल Eq। 1 वेतन वृद्धि की गणना करके प्रक्षेपवक्र के सशर्त क्षणों से पुनर्प्राप्त किया जाता है $$\Delta X= X(t+\Delta t)- X(t)$$:


 * $$a( x)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{E[\Delta X(t)\mid X(t)= x]}{\Delta t},$$
 * $$D( x)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{E[\Delta X(t)^T\,\Delta X(t)\mid X(t)= x]}{2\,\Delta t}.$$

यहाँ अंकन $$E[\cdot\,|\, X(t)= x]$$यानी समय t पर बिंदु x पर आने वाले सभी प्रक्षेपवक्रों का औसत निकालना। Smoluchowski समीकरण के गुणांकों को समय t पर बिंदु x के पड़ोस में इसके प्रक्षेपवक्र के असीम रूप से बड़े नमूने से प्रत्येक बिंदु x पर सांख्यिकीय रूप से अनुमानित किया जा सकता है।

अनुभवजन्य अनुमान
व्यवहार में, ए और डी के लिए अपेक्षाओं का अनुमान परिमित नमूना औसत और द्वारा लगाया जाता है$$\Delta t$$ रिकॉर्ड किए गए प्रक्षेपवक्र का समय-संकल्प है। ए और डी के सूत्र समय कदम पर अनुमानित हैं $$\Delta t$$, जहां दसियों से सैकड़ों अंक किसी भी बिन में गिरते हैं। यह आमतौर पर अनुमान के लिए पर्याप्त है।

स्थानीय बहाव और प्रसार गुणांक का अनुमान लगाने के लिए, प्रक्षेपवक्र को पहले एक छोटे से पड़ोस में समूहीकृत किया जाता है। अवलोकन के क्षेत्र को वर्ग डिब्बे में विभाजित किया गया है $$S( x_k,r)$$पक्ष आर और केंद्र की $$x_k$$ और प्रत्येक वर्ग के लिए स्थानीय बहाव और प्रसार का अनुमान लगाया गया है। के साथ एक नमूने पर विचार कर रहे हैं $$N_t$$ ट्रेजेकटोरीज़ $$\{x^i(t_1),\dots, x^i(t_{N_s}) \},$$ कहाँ $$t_j$$ नमूने के समय हैं, बहाव के लिए समीकरण का विवेक $$a(x_k)=(a_x(x_k),a_y(x_k))$$स्थिति पर $$x_k$$ द्वारा x और y अक्ष पर प्रत्येक स्थानिक प्रक्षेपण के लिए दिया गया है


 * $$a_x(x_k) \approx \frac{1}{N_k}\sum_{j=1}^{N_t} \sum_{i=0, \tilde x^j_i\in S(x_k,r)}^{N_s-1}\left(\frac{ x^j_{i+1}- x^j_i}{\Delta t} \right)$$
 * $$a_y(x_k) \approx \frac{1}{N_k}\sum_{j=1}^{N_t}\sum_{i=0, \tilde x^j_i\in S(x_k,r)}^{N_s-1} \left(\frac{ y^j_{i+1}- y^j_i}{\Delta t}\right),$$

कहाँ $$N_k$$वर्ग में गिरने वाले प्रक्षेपवक्र के बिंदुओं की संख्या है $$S( x_k,r)$$. इसी प्रकार, प्रभावी प्रसार टेन्सर के घटक $$D( x_k)$$ अनुभवजन्य योगों द्वारा अनुमानित हैं


 * $$D_{xx}(x_k) \approx \frac{1}{N_k} \sum_{j=1}^{N_t} \sum_{i=0, x_i\in S(x_k,r)}^{N_s-1} \frac{(x^j_{i+1}-x^j_i)^2} {2\,\Delta t},$$
 * $$D_{yy}(x_k) \approx \frac{1}{N_k} \sum_{j=1}^{N_t} \sum_{i=0,x_i\in S(x_k,r)}^{N_s-1} \frac{(y^j_{i+1}-y^j_i)^2} {2\,\Delta t},$$
 * $$D_{xy}(x_k) \approx \frac{1}{N_k}\sum_{j=1}^{N_t}\sum_{i=0,x_i\in S(x_k,r)}^{N_s-1}\frac{(x^j_{i+1}-x^j_i)(y^j_{i+1}-y^j_i)}{2\,\Delta t}.$$

पल के अनुमान के लिए प्रत्येक बिंदु से गुजरने वाली बड़ी संख्या में प्रक्षेपवक्र की आवश्यकता होती है, जो जैविक नमूनों पर sptPALM तकनीक द्वारा प्राप्त किए गए एक निश्चित प्रकार के सुपर-रिज़ॉल्यूशन डेटा द्वारा उत्पन्न बड़े पैमाने पर डेटा के साथ सटीक रूप से सहमत होते हैं। लागेनविन के समीकरण का सटीक व्युत्क्रम सिद्धांत में मांग करता है कि ब्याज के किसी भी बिंदु x से गुजरने वाले प्रक्षेपवक्र की एक अनंत संख्या है। व्यवहार में, एक क्षेत्र को त्रिज्या आर के एक वर्ग ग्रिड द्वारा उप-विभाजित करने के बाद या स्लाइडिंग विंडो (50 से 100 एनएम के क्रम में) को स्थानांतरित करने के बाद बहाव और प्रसार टेंसर की वसूली प्राप्त की जाती है।

एक नैनोडोमेन
की सीमा की स्वचालित पुनर्प्राप्ति प्रक्षेपवक्र से निकाले गए बिंदुओं के घनत्व के मानचित्रण पर आधारित एल्गोरिदम स्थानीय बाध्यकारी और तस्करी की बातचीत और गतिशील उपकोशिकीय साइटों के संगठन को प्रकट करने की अनुमति देते हैं। एसपीटी द्वारा प्रकट किए गए उच्च घनत्व वाले क्षेत्रों का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम को लागू किया जा सकता है। उदाहरण ऑर्गेनेल हैं जैसे एंडोप्लाज्मिक रेटिकुलम या सेल मेम्ब्रेन। विधि सैकड़ों नैनोमीटर मापने वाले डोमेन के लिए स्थानीय वास्तुकला और उच्च घनत्व वाले क्षेत्रों की सीमाओं का पता लगाने के लिए स्पोटियोटेम्पोरल विभाजन पर आधारित है।