हाइपरहोमोलॉजी

होमोलॉजिकल बीजगणित में, हाइपरहोमोलॉजी या हाइपरकोहोमोलॉजी ($$\mathbb{H}_*(-), \mathbb{H}^*(-)$$) (सह)होमोलॉजी फ़ैक्टर्स का एक सामान्यीकरण है जो इनपुट के रूप में एबेलियन श्रेणी में वस्तुओं को नहीं लेता है $$\mathcal{A}$$ लेकिन इसके बजाय वस्तुओं के श्रृंखला परिसरों, इसलिए वस्तुओं में $$\text{Ch}(\mathcal{A})$$. यह किसी वस्तु के व्युत्पन्न फ़ंक्टर कोहोमोलॉजी और चेन कॉम्प्लेक्स की होमोलॉजी के बीच एक प्रकार का क्रॉस है क्योंकि हाइपरकोहोलॉजी व्युत्पन्न वैश्विक अनुभाग फ़ैक्टर फ़ंक्टर $$\mathbf{R}^*\Gamma(-)$$ से मेल खाती है।.

हाइपरहोमोलॉजी का अब अधिक उपयोग नहीं किया जाता है: लगभग 1970 के बाद से इसे बड़े पैमाने पर व्युत्पन्न श्रेणियों के बीच व्युत्पन्न फ़ंक्टर की लगभग समकक्ष अवधारणा द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

प्रेरणा
हाइपरकोहोमोलॉजी के लिए प्रेरणाओं में से एक इस तथ्य से आती है कि छोटे सटीक अनुक्रमों से जुड़े कोहोमोलॉजिकल लंबे सटीक अनुक्रमों का कोई स्पष्ट सामान्यीकरण नहीं है $$0 \to M' \to M \to M'' \to 0$$

अर्थात. इससे जुड़ा एक लंबा सटीक अनुक्रम है

$$0 \to H^0(M') \to H^0(M) \to H^0(M'')\to H^1(M') \to \cdots $$

यह पता चला है कि हाइपरकोहोमोलॉजी एक मनमाने ढंग से लंबे सटीक अनुक्रम से एक समान कोहोमोलॉजिकल संबंधित लंबे सटीक अनुक्रम के निर्माण के लिए तकनीक प्रदान करती है$$0 \to M_1 \to M_2\to \cdots \to M_k \to 0$$चूँकि इसके इनपुट केवल एबेलियन श्रेणी की वस्तुओं के बजाय श्रृंखला परिसरों द्वारा दिए गए हैं। हम इस श्रृंखला परिसर को एक विशिष्ट त्रिभुज में बदल सकते हैं (व्युत्पन्न श्रेणी पर त्रिकोणीय श्रेणियों की भाषा का उपयोग करके)$$M_1 \to [M_2 \to \cdots \to M_{k-1}] \to M_k[-k+3] \xrightarrow{+1}$$

जिसे हम निरूपित करते हैं\mathcal{M}'_\bullet \to \mathcal{M}_\bullet \to \mathcal{M}''_\bullet \xrightarrow{+1}फिर, व्युत्पन्न वैश्विक अनुभागों को लेते हुए $$\mathbf{R}^*\Gamma(-)$$ एक लंबा सटीक अनुक्रम देता है, जो हाइपरकोहोमोलॉजी समूहों का एक लंबा सटीक अनुक्रम है।

परिभाषा
हम हाइपरकोहोमोलॉजी की परिभाषा देते हैं क्योंकि यह अधिक सामान्य है। हमेशा की तरह, हाइपरकोहोमोलॉजी और हाइपरहोमोलॉजी अनिवार्य रूप से एक ही हैं: एक को दोहरेकरण द्वारा दूसरे में परिवर्तित किया जाता है, यानी सभी तीरों की दिशा बदलकर, इंजेक्टिव ऑब्जेक्ट को प्रोजेक्टिव वाले से बदल दिया जाता है, और इसी तरह।

मान लीजिए कि A, Injective_object#Enough_injectives के साथ एक एबेलियन श्रेणी है और F एक अन्य एबेलियन श्रेणी B के लिए बायां सटीक फ़ंक्टर है। यदि C बायीं ओर से घिरा A की वस्तुओं का एक जटिल है, तो 'हाइपरकोहोमोलॉजी'


 * 'एच'मैं(सी)

C का (एक पूर्णांक i के लिए) है इस प्रकार गणना की गई:
 * 1) एक अर्ध-समरूपता लें Φ : C → I, यहां I, A के इंजेक्शन तत्वों का एक जटिल है।
 * 2) हाइपरकोहोमोलॉजी 'एच'C का i(C) तो कोहोमोलॉजी H हैi(F(I)) कॉम्प्लेक्स F(I) का।

सी की हाइपरकोहोमोलॉजी अद्वितीय आइसोमोर्फिज्म तक, अर्ध-आइसोमोर्फिज्म की पसंद से स्वतंत्र है।

हाइपरकोहोमोलॉजी को व्युत्पन्न श्रेणी का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता है: सी की हाइपरकोहोमोलॉजी सिर्फ आरएफ (सी) की कोहोमोलॉजी है जिसे बी की व्युत्पन्न श्रेणी के एक तत्व के रूप में माना जाता है।

नकारात्मक सूचकांकों के लिए गायब होने वाले कॉम्प्लेक्स के लिए, हाइपरकोहोमोलॉजी को 'एच' के व्युत्पन्न फ़ैक्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।0 = एफएच0 = एच0एफ.

हाइपरकोहोमोलॉजी वर्णक्रमीय अनुक्रम
दो हाइपरकोहोमोलॉजी वर्णक्रमीय अनुक्रम हैं; ई के साथ एक2 अवधि


 * $$R^iF(H^j(C))$$

और दूसरा ई के साथ1 अवधि


 * $$R^jF(C^i)$$

और ई2 अवधि


 * $$H^i(R^jF(C))$$ दोनों हाइपरकोहोमोलॉजी में परिवर्तित हो रहे हैं


 * $$H^{i+j}(RF(C))$$,

जहां आरjF, F का दाएँ व्युत्पन्न फ़ैक्टर है।

अनुप्रयोग
हाइपरकोहोमोलॉजी वर्णक्रमीय अनुक्रमों का एक अनुप्रयोग पुलिंदा के अध्ययन में है। याद रखें कि किसी स्थान पर रैंक n वेक्टर बंडल हैं $$X$$ Cech-cohomology समूह के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है $$H^1(X,\underline{GL}_n)$$. गेर्ब्स के पीछे मुख्य विचार इस विचार को कोहोमोलॉजिकल रूप से विस्तारित करना है, इसलिए लेने के बजाय $$H^1(X,\textbf{R}^0F)$$ किसी फ़नकार के लिए $$F$$, इसके बजाय हम कोहोमोलॉजी समूह पर विचार करते हैं $$H^1(X,\textbf{R}^1F)$$, इसलिए यह उन वस्तुओं को वर्गीकृत करता है जो मूल वर्गीकरण समूह में वस्तुओं से चिपकी होती हैं। एक निकट से संबंधित विषय जो गेर्ब्स और हाइपरकोहोमोलॉजी का अध्ययन करता है वह है डेलिग्ने कोहोमोलॉजी|डेलिग्ने-कोहोमोलॉजी।

उदाहरण
• For a variety X over a field k, the second spectral sequence from above gives the Hodge-de Rham spectral sequence for algebraic de Rham cohomology:
 * $E_1^{p,q}=H^q(X,\Omega_X^p)\Rightarrow \mathbf{H}^{p+q}(X,\Omega_X^{\bullet})=:H_{DR}^{p+q}(X/k)$.

• Another example comes from the holomorphic log complex on a complex manifold. Let X be a complex algebraic manifold and $ j: X\hookrightarrow Y $ a good compactification. This means that Y is a compact algebraic manifold and $ D = Y-X $ is a divisor on $ Y $ with simple normal crossings. The natural inclusion of complexes of sheaves
 * $ \Omega^{\bullet}_Y(\log D)\rightarrow j_*\Omega_{X}^{\bullet} $

turns out to be a quasi-isomorphism and induces an isomorphism
 * $ H^k(X;\mathbb{C})\rightarrow \mathbf{H}^k(Y, \Omega^{\bullet}_Y(\log D))$.

यह भी देखें

 * कार्टन-एलेनबर्ग संकल्प
 * टैनिंग

संदर्भ

 * H. Cartan,  S. Eilenberg,   Homological algebra ISBN 0-691-04991-2
 * A. Grothendieck,  Sur quelques points d'algèbre homologique Tohoku Math. J. 9  (1957)  pp. 119-221
 * A. Grothendieck,  Sur quelques points d'algèbre homologique Tohoku Math. J. 9  (1957)  pp. 119-221