प्रवर्तक तरंग सिद्धांत

सैद्धांतिक भौतिकी में, प्रवर्तक तरंग सिद्धांत, जिसे बोहमियन यांत्रिकी के रूप में भी जाना जाता है, एक छिपे हुए चर सिद्धांत का पहला ज्ञात उदाहरण था, जिसे 1927 में लुई डी ब्रोगली द्वारा प्रस्तुत किया गया था। इसका अधिक आधुनिक संस्करण, डी ब्रोगली-बोहम सिद्धांत, परिमाण यांत्रिकी की व्याख्या करता है एक नियतिवादी सिद्धांत के रूप में, तरंग-कण द्वंद्व, तात्कालिक तरंग फलन पतन और श्रोडिंगर की बिल्ली के विरोधाभास जैसी परेशान करने वाली धारणाओं से बचना। इन समस्याओं को हल करने के लिए, सिद्धांत स्वाभाविक रूप से परिमाण गैर-स्थानीयता है।

डी ब्रोगली-बोहम प्रवर्तक तरंग सिद्धांत परिमाण यांत्रिकी (गैर-सापेक्षवादी) परिमाण यांत्रिकी की कई व्याख्याओं में से एक है।

डी ब्रोगली-बोहम सिद्धांत #स्पिन के साथ सापेक्षता का विस्तार 1990 के दशक से विकसित किया गया है।

इतिहास
प्रवर्तक तरंग सिद्धांत पर लुईस डी ब्रोगली के प्रारम्भिक परिणाम उनकी अभिधारणा (1924) में परमाणु कक्षाओं के संदर्भ में प्रस्तुत किए गए थे जहां तरंगें स्थिर हैं। सापेक्षतावादी तरंग समीकरण के संदर्भ में इन मार्गदर्शक तरंगों की गतिशीलता के लिए एक सामान्य सूत्रीकरण विकसित करने के प्रारम्भिक प्रयास तब तक असफल रहे जब तक कि 1926 में इरविन श्रोडिंगर ने अपना गैर-सापेक्षतावादी तरंग समीकरण विकसित नहीं कर लिया। उन्होंने आगे सुझाव दिया कि चूंकि समीकरण विन्यास स्थान में तरंगों का वर्णन करता है, इसलिए कण प्रतिरूप को छोड़ दिया जाना चाहिए। उसके बाद शीघ्र ही, मैक्स बोर्न ने सुझाव दिया कि श्रोडिंगर के तरंग समीकरण का तरंग फलन एक कण को ​​खोजने की संभावना घनत्व का प्रतिनिधित्व करता है। इन परिणामों के बाद, डी ब्रोगली ने अपने प्रवर्तक तरंग सिद्धांत के लिए गतिशील समीकरण विकसित किए। प्रारंभ में, डी ब्रोगली ने एक दोहरे समाधान दृष्टिकोण का प्रस्ताव रखा, जिसमें परिमाण वस्तु में वास्तविक दिक्स्थान में एक भौतिक तरंग (यू-तरंग) होती है जिसमें एक गोलाकार एकवचन क्षेत्र होता है जो कणतुल्य व्यवहार को उत्पन्न करता है; अपने सिद्धांत के इस प्रारंभिक रूप में उन्हें परिमाण कण के अस्तित्व की परिकल्पना नहीं करनी पड़ी। बाद में उन्होंने इसे एक सिद्धांत के रूप में तैयार किया जिसमें एक कण के साथ एक प्रवर्तक तरंग होती है।

डी ब्रोगली ने 1927 के सोल्वे सम्मेलन में प्रवर्तक तरंग सिद्धांत प्रस्तुत किया। हालाँकि, वोल्फगैंग पाउली ने सम्मेलन में इस पर आपत्ति जताते हुए कहा कि यह बेलोचदार बिखराव की स्तिथि से ठीक से नहीं निपटता है। डी ब्रोगली को इस आपत्ति का कोई जवाब नहीं मिला और उन्होंने प्रवर्तक-तरंग दृष्टिकोण को त्याग दिया। वर्षों बाद डेविड बोहम के विपरीत, डी ब्रोगली ने कई-कण स्तिथि को सम्मिलित करने के लिए अपने सिद्धांत को पूरा नहीं किया। कई-कण की स्तिथि गणितीय रूप से दर्शाती है कि अकुशल प्रकीर्णन में ऊर्जा अपव्यय को छिपे हुए चर के सिद्धांत के एक अभी तक अज्ञात तंत्र द्वारा आसपास के क्षेत्र संरचना में वितरित किया जा सकता है।

1932 में, जॉन वॉन न्यूमैन ने एक पुस्तक प्रकाशित की, जिसके एक भाग में यह सिद्ध करने का दावा किया गया कि सभी छिपे हुए चर सिद्धांत असंभव थे। इस परिणाम को तीन साल बाद ग्रेटे हरमन द्वारा त्रुटिपूर्ण पाया गया, हालांकि पचास वर्षों से अधिक समय तक भौतिकी समुदाय द्वारा इस पर ध्यान नहीं दिया गया।

1952 में, प्रचलित रूढ़िवाद से असंतुष्ट डेविड बोहम ने डी ब्रोगली के प्रवर्तक तरंग सिद्धांत को फिर से खोजा। बोहम ने प्रवर्तक तरंग सिद्धांत को विकसित किया जिसे अब डी ब्रोगली-बोहम सिद्धांत कहा जाता है। डी ब्रोगली-बोहम सिद्धांत स्वयं अधिकांश भौतिकविदों द्वारा ध्यान नहीं दिया गया होता, यदि जॉन स्टीवर्ट बेल ने इसका समर्थन नहीं किया होता, जिन्होंने इस पर आपत्तियों का भी प्रतिकार किया होता। 1987 में, जॉन बेल ने ग्रेटे हरमन के काम को फिर से खोजा, और इस प्रकार भौतिकी समुदाय को दिखाया गया कि पाउली और वॉन न्यूमैन की आपत्तियों से केवल यह पता चला कि प्रवर्तक तरंग सिद्धांत में स्थानीयता का सिद्धांत नहीं था।

यवेस कूडर और सहकर्मियों ने 2010 में सचल बूंदों के रूप में एक स्थूलदर्शी प्रवर्तक तरंग प्रणाली की सूचना दी। कहा जाता है कि यह प्रणाली एक प्रवर्तक तरंग के व्यवहार को प्रदर्शित करती है, जिसे अब तक सूक्ष्म घटनाओं के लिए आरक्षित माना जाता था। हालाँकि, बोह्र फैमिली (नील्स बोह्र के पोते) के नेतृत्व में दो अमेरिकी समूहों और एक डेनिश टीम द्वारा 2015 से अधिक सावधानीपूर्वक द्रव गतिशीलता प्रयोग किए गए हैं। इन नए प्रयोगों ने 2018 तक 2010 के प्रयोग के परिणामों को दोहराया नहीं है।

सिद्धांत
प्रवर्तक तरंग सिद्धांत एक छिपा हुआ-परिवर्तनीय सिद्धांत है। फलस्वरूप:
 * सिद्धांत में यथार्थवाद है (जिसका अर्थ है कि इसकी अवधारणाएं पर्यवेक्षक से स्वतंत्र रूप से उपस्थित हैं);
 * सिद्धांत में नियतिवाद है।

कणों की स्थिति को छिपे हुए चर माना जाता है। प्रेक्षक को इन चरों का सटीक मान नहीं पता होता है; वे उन्हें सटीक रूप से नहीं जान सकते क्योंकि कोई भी माप उन्हें परेशान करता है। दूसरी ओर, पर्यवेक्षक को उनके अपने परमाणुओं के तरंग कार्य से नहीं बल्कि परमाणुओं की स्थिति से परिभाषित किया जाता है। तो कोई अपने चारों ओर जो देखता है वह भी आस-पास की चीज़ों की स्थिति है, न कि उनकी तरंग क्रियाएँ हैं।

कणों के संग्रह में एक संबद्ध पदार्थ तरंग होती है जो श्रोडिंगर समीकरण के अनुसार विकसित होती है। प्रत्येक कण एक नियतात्मक प्रक्षेपवक्र का अनुसरण करता है, जो तरंग फलन द्वारा निर्देशित होता है; सामूहिक रूप से, कणों का घनत्व तरंग फलन के परिमाण के अनुरूप होता है। तरंग फलन कण से प्रभावित नहीं होता है और तरंग फलन के रूप में भी उपस्थित हो सकता है।

सिद्धांत परिमाण गैर-स्थानीयता को प्रकाश में लाता है जो परिमाण यांत्रिकी के गैर-सापेक्षवादी सूत्रीकरण में निहित है और बेल के प्रमेय को संतुष्ट करने के लिए इसका उपयोग करता है। इन गैर-स्थानीय प्रभावों को संचार-विहीन प्रमेय के अनुरूप दिखाया जा सकता है, जो प्रकाश से भी तीव्र संचार के लिए उनके उपयोग को रोकता है, और इसलिए अनुभवजन्य रूप से सापेक्षता के साथ संगत है।

स्थूलदर्शी समधर्मी
कूडर, फोर्ट, एट अल. ने दिखाया कि कंपनशील द्रव स्नान पर स्थूल तेल की बूंदों का उपयोग प्रवर्तक तरंगों के समधर्मी प्रतिरूप के रूप में किया जा सकता है; एक स्थानीयकृत बूंद अपने चारों ओर एक आवधिक तरंग क्षेत्र बनाती है। बूंद और उसके स्वयं के तरंग क्षेत्र के बीच गुंजयमान संपर्क परिमाण कणों के अनुरूप व्यवहार प्रदर्शित करता है: युग्म-रेखाछिद्र प्रयोग में हस्तक्षेप, अप्रत्याशित सुरंगन (जटिल तरीके से क्षेत्र की व्यावहारिक रूप से छिपी स्थिति पर निर्भर करता है), कक्षा परिमाणीकरण (कि एक कण को ​​उसके द्वारा उत्पन्न क्षेत्र गड़बड़ी के साथ 'प्रतिध्वनि ढूंढनी होती है' - एक कक्षा के बाद, उसके आंतरिक चरण को प्रारंभिक स्थिति में वापस आना होता है) और ज़ीमन प्रभाव है। अन्य एकल और युग्म स्लिट से पता चला है कि प्रवर्तक तरंग के विवर्तन या हस्तक्षेप के स्थान पर दीवार-सूक्ष्म बूँद का परस्पर प्रभाव देखे गए द्रवगतिकीय प्रतिरूप के लिए उत्तरदायी हो सकती है, जो परिमाण कणों द्वारा प्रदर्शित स्लिट-प्रेरित हस्तक्षेप प्रतिरूप से भिन्न हैं।

गणितीय आधार
एक इलेक्ट्रॉन के लिए डी ब्रोगली-बोहम प्रवर्तक-तरंग प्राप्त करने के लिए, परिमाण लैग्रेंजियन यांत्रिकी निम्न है


 * $$L(t)={\frac{1}{2}}mv^2-(V+Q),$$

जहाँ $$V$$ संभावित ऊर्जा है, $$v$$ वेग है और $$Q$$ परिमाण बल (तरंग फलन द्वारा धकेले जा रहे कण) से जुड़ी क्षमता है, जो ठीक एक पथ (जिसका इलेक्ट्रॉन वास्तव में अनुसरण करता है) के साथ एकीकृत होता है। इससे बोहम प्रचारक के लिए निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है:


 * $$K^Q(X_1, t_1; X_0, t_0) = \frac{1}{J(t)^ {\frac{1}{2}} } \exp\left[\frac{i}{\hbar}\int_{t_0}^{t_1}L(t)\,dt\right].$$

यह प्रचारक परिमाण क्षमता के प्रभाव में समय के साथ इलेक्ट्रॉन $$Q$$ को सटीक रूप से ट्रैक करने की अनुमति देता है।

श्रोडिंगर समीकरण की व्युत्पत्ति
प्रवर्तक तरंग सिद्धांत लैग्रेंजियन यांत्रिकी या हैमिल्टनियन गतिशीलता के स्थान पर हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण पर आधारित है। हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण का उपयोग निम्न में किया जाता है


 * $$ H\left(\,\vec{x}\,, \;\vec{\nabla}_{\!x}\, S\,, \;t \,\right) + {\partial S \over \partial t}\left(\,\vec{x},\, t\,\right) = 0$$

श्रोडिंगर समीकरण प्राप्त करना संभव है:

एक प्रतिष्ठित कण पर विचार करें - जिसकी स्थिति निश्चित रूप से ज्ञात नहीं है। हमें इससे सांख्यिकीय रूप से निपटना चाहिए, इसलिए केवल संभाव्यता घनत्व $$\rho (\vec{x},t)$$ ज्ञात है। संभाव्यता को संरक्षित किया जाना चाहिए, अर्थात प्रत्येक $$t$$ के लिए $$\int\rho\,\mathrm{d}^3\vec{x} = 1$$ है। इसलिए, इसे निरंतरता समीकरण को संतुष्ट करना होगा


 * $$\frac{\, \partial \rho \,}{ \partial t } = - \vec{\nabla} \cdot (\rho \,\vec{v} ) \qquad\qquad (1)$$

जहाँ $$\,\vec{v}(\vec{x},t)\,$$कण का वेग है।

प्रतिष्ठित यांत्रिकी के हैमिल्टन-जैकोबी सूत्रीकरण में, वेग $$\; \vec{v}(\vec{x},t) = \frac{1}{\,m\,} \, \vec{\nabla}_{\!x} S(\vec{x},\,t) \;$$द्वारा दी जाती है, जहाँ $$\, S(\vec{x},t) \,$$ निम्न हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण का एक समाधान है


 * $$- \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{\;\left|\,\nabla S\,\right|^2\,}{2m} + \tilde{V} \qquad\qquad (2)$$

$$\,(1)\,$$ और $$\,(2)\,$$ जटिल फलन को प्रस्तुत करके एकल जटिल समीकरण $$\; \psi = \sqrt{\rho\,} \, e^\frac{\,i\,S\,}{\hbar} \;$$ में जोड़ा जा सकता है, तो दोनों समीकरण समतुल्य हैं


 * $$i\, \hbar\, \frac{\,\partial \psi\,}{\partial t} = \left( - \frac{\hbar^2}{2m} \nabla^2 +\tilde{V} - Q \right)\psi \quad$$

साथ
 * $$ \; Q = - \frac{\;\hbar^2\,}{\,2m\,} \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho\,}}{\sqrt{\rho\,}}~.$$

यदि हम प्रारम्भ करें तो समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण $$\;\tilde{V} = V + Q \;,$$ अतिरिक्त परिमाण क्षमता के साथ सामान्य क्षमता $$Q$$ से प्राप्त होता है। परिमाण क्षमता परिमाण बल की क्षमता है, जो तरंग फलन के आयाम के एक फलन के वक्रता के लिए आनुपातिक (अनुमान में) है।

ध्यान दें कि यह क्षमता वही है जो मैडेलुंग समीकरण में दिखाई देती है, जो श्रोडिंगर समीकरण का एक प्रतिष्ठित समधर्मी है।

एकल कण के लिए गणितीय सूत्रीकरण
डी ब्रोगली की पदार्थ तरंग का वर्णन समय-निर्भर श्रोडिंगर समीकरण द्वारा किया गया है:


 * $$ i\, \hbar\, \frac{\,\partial \psi\,}{\partial t} = \left( - \frac{\hbar^2}{\,2m\,} \nabla^2 + V \right)\psi \quad$$

जटिल तरंग फलन को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:

$$\psi = \sqrt{\rho\,} \; \exp \left( \frac{i \, S}{\hbar} \right) ~$$

इसे श्रोडिंगर समीकरण में जोड़कर, कोई वास्तविक चर के लिए दो नए समीकरण प्राप्त कर सकता है। पहला परिमाण यांत्रिकी के लिए संभाव्यता धारा समीकरण $$\,\rho\,$$ है


 * $$\frac{\, \partial \rho \,}{\, \partial t \,} + \vec{\nabla} \cdot \left( \rho\, \vec{v} \right) = 0 ~ ,$$

जहां वेग क्षेत्र "मार्गदर्शन समीकरण" द्वारा निर्धारित किया जाता है


 * $$\vec{v}\left(\,\vec{r},\,t\,\right) = \frac{1}{\,m\,} \, \vec{\nabla} S\left(\, \vec{r},\, t \,\right) ~ .$$

प्रवर्तक तरंग सिद्धांत के अनुसार, बिंदु कण और पदार्थ तरंग दोनों वास्तविक और विशिष्ट भौतिक संस्थाएं हैं (मानक परिमाण यांत्रिकी के विपरीत, जहां कणों और तरंगों को एक ही इकाई माना जाता है, जो तरंग-कण द्वैत से जुड़े होते हैं)।

प्रवर्तक तरंग मार्गदर्शन समीकरण द्वारा वर्णित बिंदु कणों की गति का मार्गदर्शन करती है।

साधारण परिमाण यांत्रिकी और प्रवर्तक तरंग सिद्धांत समान आंशिक अंतर समीकरण पर आधारित हैं। मुख्य अंतर यह है कि सामान्य परिमाण यांत्रिकी में, श्रोडिंगर समीकरण बोर्न पोस्टुलेट द्वारा वास्तविकता से जुड़ा होता है, जिसमें कहा गया है कि कण की स्थिति की संभाव्यता घनत्व द्वारा $$\; \rho = |\psi|^2 ~ $$दी गई है। प्रवर्तक तरंग सिद्धांत मार्गदर्शन समीकरण को मौलिक नियम मानता है, और बोर्न नियम को एक व्युत्पन्न अवधारणा के रूप में देखता है।

दूसरा समीकरण क्रिया के लिए संशोधित हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण $S$ है:


 * $$- \frac{\partial S}{\partial t} = \frac{\;\left|\, \vec{\nabla} S \,\right|^2\,}{\,2m\,} + V + Q ~ ,$$

जहाँ $Q$ द्वारा परिभाषित परिमाण क्षमता है


 * $$ Q = - \frac{\hbar^2}{\,2m\,} \frac{\nabla^2 \sqrt{\rho \,} }{\sqrt{ \rho \,} } ~.$$

यदि हम $Q$ उपेक्षा करना चुनते हैं, हमारा समीकरण एक प्रतिष्ठित बिंदु कण के हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण में कम हो गया है। तो, परिमाण क्षमता परिमाण यांत्रिकी के सभी रहस्यमय प्रभावों के लिए उत्तरदायी है।

गति का अर्ध-न्यूटोनियन समीकरण प्राप्त करने के लिए संशोधित हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण को मार्गदर्शन समीकरण के साथ भी जोड़ा जा सकता है


 * $$m \, \frac{d}{dt} \, \vec{v} = - \vec{\nabla}( V + Q ) ~ ,$$

जहां द्रवगतिकीय समय व्युत्पन्न को परिभाषित किया गया है


 * $$\frac{d}{dt} = \frac{ \partial }{\, \partial t \,} + \vec{v} \cdot \vec{\nabla} ~ .$$

एकाधिक कणों के लिए गणितीय सूत्रीकरण
अनेक-निकाय तरंग फलन के लिए श्रोडिंगर समीकरण $$ \psi(\vec{r}_1, \vec{r}_2, \cdots, t) $$ द्वारा दिया गया है


 * $$ i \hbar \frac{\partial \psi}{\partial t} =\left( -\frac{\hbar^2}{2} \sum_{i=1}^{N} \frac{\nabla_i^2}{m_i} + V(\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\cdots\mathbf{r}_N) \right) \psi $$

जटिल तरंग फलन को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है:


 * $$\psi = \sqrt{\rho\,} \; \exp \left( \frac{i \, S}{\hbar} \right) $$

प्रवर्तक तरंग कणों की गति का मार्गदर्शन करती है। जेवें कण के लिए मार्गदर्शन समीकरण है:


 * $$ \vec{v}_j = \frac{\nabla_j S}{m_j}\; .$$

जेवें कण का वेग स्पष्ट रूप से अन्य कणों की स्थिति पर निर्भर करता है।

इसका अर्थ यह है कि सिद्धांत गैर-स्थानीय है।

खाली तरंग फलन
लुसिएन हार्डी और जॉन स्टीवर्ट बेल द्वारा इस बात पर जोर दिया गया है कि परिमाण यांत्रिकी के डी ब्रोगली-बोहम चित्र में खाली तरंगें उपस्थित हो सकती हैं, जो अंतरिक्ष और समय में फैलने वाले तरंग कार्यों द्वारा दर्शायी जाती हैं, लेकिन ऊर्जा या गति नहीं ले जाती हैं, और किसी कण से संबद्ध नहीं है। इसी अवधारणा को अल्बर्ट आइंस्टीन ने प्रतिच्छाया तरंगें (या गेस्पेंस्टरफेल्डर, प्रतिच्छाया क्षेत्र) कहा था। खाली तरंग फलन धारणा पर विवादास्पद रूप से चर्चा की गई है।  इसके विपरीत, परिमाण यांत्रिकी की कई-दुनिया की व्याख्या खाली तरंग कार्यों की मांग नहीं करती है।

यह भी देखें

 * द्रवगतिकीय परिमाण एनालॉग्स
 * परिमाण क्षमता

बाहरी संबंध

 * "Pilot waves, Bohmian metaphysics, and the foundations of quantum mechanics", lecture course on pilot wave theory by Mike Towler, Cambridge University (2009).
 * Klaus von Bloh’s Bohmian mechanics demonstrations in: Wolfram Demonstrations Project
 * Klaus von Bloh’s Bohmian mechanics demonstrations in: Wolfram Demonstrations Project