अन्तर्विफलता माध्य समय

विफलताओं के बीच औसत समय (एमटीबीएफ) सामान्य प्रणाली के संचालन के समय यांत्रिक या इलेक्ट्रॉनिक प्रणाली की अंतर्निहित विफलताओं के बीच अनुमानित बीता हुआ समय है। MTBF की गणना सिस्टम की विफलताओं के बीच अंकगणितीय माध्य (औसत) समय के रूप में की जा सकती है। शब्द का उपयोग मरम्मत योग्य प्रणालियों के लिए किया जाता है, जबकि विफलता का समय (MTTF) गैर-मरम्मत योग्य प्रणाली के लिए विफलता के लिए अपेक्षित समय को दर्शाता है। MTBF की परिभाषा उस परिभाषा पर निर्भर करती है जिसे विफलता माना जाता है। जटिल, मरम्मत योग्य प्रणालियों के लिए, विफलताओं को उन डिजाइन स्थितियों से बाहर माना जाता है जो सिस्टम को सेवा से बाहर और मरम्मत के लिए स्थिति में रखती हैं। विफलताएं जो होती हैं जिन्हें छोड़ दिया जा सकता है या बिना मरम्मत की स्थिति में बनाए रखा जा सकता है, और सिस्टम को सेवा से बाहर नहीं रखा जाता है, इस परिभाषा के अनुसार विफलताओं को नहीं माना जाता है। इसके अतिरिक्त, नियमित अनुसूचित रखरखाव या इन्वेंट्री नियंत्रण के लिए नीचे ले जाने वाली इकाइयों को विफलता की परिभाषा के अंतर्गत नहीं माना जाता है। MTBF जितना अधिक होगा, विफल होने से पहले सिस्टम के कार्य करने की संभावना उतनी ही अधिक होगी।

अवलोकन
विफलताओं के बीच औसत समय (एमटीबीएफ) को सही करने के योग्य प्रणाली के लिए दो विफलताओं के बीच अपेक्षित समय का वर्णन करता है। उदाहरण के लिए, तीन समान प्रणालियाँ 0 समय पर ठीक से कार्य करना प्रारंभ कर रही हैं और तब तक कार्य कर रही हैं जब तक कि वे सभी विफल न हो जाएँ। पहला सिस्टम 100 घंटे के बाद, दूसरा 120 घंटे के बाद और तीसरा 130 घंटे के बाद फेल हो जाता है। इस प्रणाली का MTBF तीन विफलता समय का औसत है, जो कि 116.667 घंटे है। यदि प्रणाली गैर-मरम्मत योग्य थे, तो विफलताओं के बीच उनका औसत समय एमटीबीएफ की भिन्नता 116.667 घंटे होगी।

सामान्य तौर पर, MTBF ऑपरेशन के समय मरम्मत योग्य सिस्टम की दो विफलता अवस्थाओं के बीच का अप-टाइम है जैसा कि यहां बताया गया है:

प्रत्येक अवलोकन के लिए, डाउन टाइम वह तात्कालिक समय होता है जब वह नीचे चला जाता है, जो ऊपर जाने के पल के बाद (अर्थात उससे अधिक) होता है, अप टाइम। अंतर (डाउन टाइम माइनस अप टाइम) वह समय है जब वह इन दो घटनाओं के बीच कार्य कर रहा था।

ऊपर दिए गए आंकड़े का मान देते हुए, घटक का एमटीबीएफ देखी गई विफलताओं की संख्या से विभाजित परिचालन अवधि की लंबाई का योग है:

\text{MTBF} = \frac{\sum{(\text{start of downtime} - \text{start of uptime})}}{\text{number of failures}}. $$ इसी तरह, मीन डाउन टाइम (एमडीटी) को इस रूप में परिभाषित किया जा सकता है

\text{MDT} = \frac{\sum{(\text{start of uptime} - \text{start of downtime})}}{\text{number of failures}}. $$

गणना
MTBF को विश्वसनीयता फ़ंक्शन के अंकगणितीय माध्य मान द्वारा परिभाषित किया गया है $$R(t)$$, जिसे घनत्व समारोह के अपेक्षित मूल्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$f(t)$$ विफलता तक का समय:
 * $$\text{MTBF} = \int_0^\infty R(t)\, dt = \int_0^\infty tf(t)\, dt$$

एमटीबीएफ की व्यावहारिक रूप से प्रासंगिक गणना या एमटीबीएफ पर आधारित संभाव्य विफलता भविष्यवाणी की आवश्यकता है कि प्रणाली अपने उपयोगी जीवन काल के भीतर कार्य कर रही है, जो अपेक्षाकृत स्थिर विफलता दर (बाथटब वक्र के मध्य भाग) की विशेषता है जब केवल यादृच्छिक विफलताएं हो रही हैं.

निरंतर विफलता दर मानते हुए $$\lambda$$ विफलता घनत्व समारोह में परिणाम इस प्रकार है: $$f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$$, जो, बदले में, सिस्टम की विफलता दर के व्युत्क्रम में MTBF की उपर्युक्त गणना को सरल करता है : $$\text{MTBF} = \frac{1}{\lambda}. \!$$

उपयोग की जाने वाली इकाइयाँ सामान्यतः घंटे या जीवनचक्र होती हैं। सिस्टम के एमटीबीएफ और इसकी विफलता दर के बीच यह महत्वपूर्ण संबंध साधारण रूपांतरण/गणना की अनुमति देता है जब दो मात्राओं में से ज्ञात हो और घातीय वितरण (निरंतर विफलता दर, अर्थात, कोई व्यवस्थित विफलता नहीं) माना जा सकता है। MTBF घातीय वितरण का अपेक्षित मान, औसत या माध्य है।

एक बार किसी सिस्टम का MTBF ज्ञात हो जाने पर, इस बात की संभावना का अनुमान लगाया जा सकता है कि कोई विशेष सिस्टम समय पर MTBF के बराबर कार्य करेगा। निरंतर विफलता दर की धारणा के अनुसार, कोई भी विशेष प्रणाली 36.8% की संभावना के साथ इसकी गणना की गई MTBF तक जीवित रहेगी (अर्थात, यह 63.2% की संभावना के साथ पहले विफल हो जाएगी)। इस समय अवधि के भीतर कार्य कर रहे सिस्टम के एमटीटीएफ पर भी यही बात लागू होती है।

आवेदन
MTBF मान का उपयोग सिस्टम विश्वसनीयता पैरामीटर के रूप में या विभिन्न प्रणालियों या डिज़ाइनों की तुलना करने के लिए किया जा सकता है। इस मान को केवल सशर्त रूप से "औसत जीवनकाल" (एक औसत मूल्य) के रूप में समझा जाना चाहिए, न कि कार्यशील और विफल इकाइयों के बीच मात्रात्मक पहचान के रूप में।

चूंकि एमटीबीएफ को "औसत जीवन (प्रत्याशा)" के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, कई इंजीनियरों का मानना ​​है कि 50% आइटम समय टी = एमटीबीएफ से विफल हो जाएंगे। यह अशुद्धि खराब डिज़ाइन निर्णयों का कारण बन सकती है। इसके अतिरिक्त, MTBF पर आधारित संभाव्य विफलता भविष्यवाणी का अर्थ है व्यवस्थित विफलताओं की कुल अनुपस्थिति (अर्थात, केवल आंतरिक, यादृच्छिक विफलताओं के साथ निरंतर विफलता दर), जिसे सत्यापित करना आसान नहीं है। कोई व्यवस्थित त्रुटि न मानते हुए, अवधि, T के समय सिस्टम के जीवित रहने की संभावना की गणना exp^(-T/MTBF) के रूप में की जाती है। इसलिए अवधि T के समय सिस्टम के विफल होने की प्रायिकता 1 - exp^(-T/MTBF) द्वारा दी जाती है।

MTBF मूल्य भविष्यवाणी उत्पादों के विकास में महत्वपूर्ण तत्व है। विश्वसनीयता अभियंता और डिज़ाइन अभियंता प्रायः विभिन्न विधियोंऔर मानकों (MIL-HDBK-217F, Telcordia SR332, Siemens SN 29500, FIDES, UTE 80-810 (RDF2000), आदि) के अनुसार किसी उत्पाद के MTBF की गणना करने के लिए विश्वसनीयता सॉफ़्टवेयर का उपयोग करते हैं। Mil-HDBK-217 विश्वसनीयता कैलकुलेटर मैनुअल RelCalc सॉफ़्टवेयर (या अन्य तुलनीय उपकरण) के संयोजन में डिज़ाइन के आधार पर MTBF विश्वसनीयता दरों की भविष्यवाणी करने में सक्षम बनाता है।

एक अवधारणा जो एमटीबीएफ से निकटता से संबंधित है, और एमटीबीएफ से जुड़े कंप्यूटेशंस में महत्वपूर्ण है, इसके अर्ताथ डाउन टाइम (एमडीटी) है। MDT को माध्य समय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो विफलता के बाद सिस्टम डाउन हो जाता है। सामान्यतः, MDT को MTTR (मीन टाइम टू रिपेयर) से अलग माना जाता है; विशेष रूप से, MDT में सामान्यतः संगठनात्मक और तार्किक कारक सम्मलित होते हैं (जैसे व्यावसायिक दिन या घटकों के आने की प्रतीक्षा करना) जबकि MTTR को सामान्यतः अधिक संकीर्ण और अधिक विधि के रूप में समझा जाता है।

एमटीबीएफ और एमडीटी घटकों के नेटवर्क के लिए
दो घटक $$c_1,c_2$$ (उदाहरण के लिए हार्ड ड्राइव, सर्वर, आदि) नेटवर्क में, श्रृंखला और समानांतर सर्किट में व्यवस्थित हो सकते हैं। शब्दावली का उपयोग यहां विद्युत परिपथों के निकट सादृश्य द्वारा किया जाता है, किन्तु इसका थोड़ा अलग अर्थ है। हम कहते हैं कि दो घटक श्रृंखला में हैं यदि किसी की विफलता नेटवर्क की विफलता का कारण बनती है, और यह कि वे समानांतर में हैं यदि केवल दोनों की विफलता के कारण नेटवर्क विफल हो जाता है। मरम्मत योग्य घटकों के साथ परिणामी दो-घटक नेटवर्क के MTBF की गणना निम्न सूत्रों के अनुसार की जा सकती है, यह मानते हुए कि दोनों व्यक्तिगत घटकों का MTBF ज्ञात है:
 * $$\text{mtbf}(c_1 ; c_2) = \frac{1}{\frac{1}{\text{mtbf}(c_1)} + \frac{1}{\text{mtbf}(c_2)}} = \frac{\text{mtbf}(c_1)\times \text{mtbf}(c_2)} {\text{mtbf}(c_1) + \text{mtbf}(c_2)}\;,$$

कहाँ $$c_1 ; c_2$$ वह नेटवर्क है जिसमें घटकों को श्रृंखला में व्यवस्थित किया जाता है।

समानांतर मरम्मत योग्य घटकों वाले नेटवर्क के लिए, पूरी प्रणाली के MTBF का पता लगाने के लिए, घटक MTBF के अतिरिक्त, उनके संबंधित MDTs को जानना भी आवश्यक है। फिर, यह मानते हुए कि एमटीबीएफ (जो सामान्यतः अभ्यास में खड़ा होता है) की तुलना में एमडीटी नगण्य हैं, दो समानांतर मरम्मत योग्य घटकों से मिलकर समानांतर प्रणाली के लिए एमटीबीएफ निम्नानुसार लिखा जा सकता है:

$$

\begin{align}\text{mtbf}(c_1 \parallel c_2) &= \frac{1}{\frac{1}{\text{mtbf}(c_1)}\times\text{PF}(c_2,\text{mdt}(c_1))+\frac{1}{\text{mtbf}(c_2)}\times\text{PF}(c_1,\text{mdt}(c_2))} \\[1em]&= \frac{1}{\frac{1}{\text{mtbf}(c_1)}\times\frac{\text{mdt}(c_1)}{\text{mtbf}(c_2)}+\frac{1}{\text{mtbf}(c_2)}\times\frac{\text{mdt}(c_2)}{\text{mtbf}(c_1)}} \\[1em]&= \frac{\text{mtbf}(c_1)\times \text{mtbf}(c_2)} {\text{mdt}(c_1) + \text{mdt}(c_2)}\;,

\end{align} $$

जहाँ $$c_1 \parallel c_2$$ वह नेटवर्क है जिसमें घटक समानांतर में व्यवस्थित होते हैं, और $$PF(c,t)$$ घटक की विफलता की संभावना है $$c$$ भेद्यता खिड़की के समय $$t$$।

सहज रूप से, इन दोनों सूत्रों को असफलता की संभावनाओं के दृष्टिकोण से समझाया जा सकता है। सबसे पहले, आइए ध्यान दें कि निश्चित समय सीमा के भीतर किसी सिस्टम के विफल होने की संभावना उसके MTBF का व्युत्क्रम है। फिर, घटकों की श्रृंखला पर विचार करते समय, किसी भी घटक की विफलता पूरे सिस्टम की विफलता की ओर ले जाती है, इसलिए (यह मानते हुए कि विफलता की संभावनाएं छोटी हैं, जो सामान्यतः होती है) किसी दिए गए अंतराल के भीतर पूरे सिस्टम की विफलता की संभावना हो सकती है घटकों की विफलता संभावनाओं के योग के रूप में अनुमानित। समानांतर घटकों के साथ स्थिति थोड़ी अधिक जटिल है: पूरी प्रणाली विफल हो जाएगी यदि और केवल घटक के विफल होने के बाद, दूसरा घटक विफल हो जाता है जबकि पहले घटक की मरम्मत की जा रही है; यह वह जगह है जहां एमडीटी खेल में आता है: पहले घटक की जितनी तेजी से मरम्मत की जाती है, दूसरे घटक के विफल होने के लिए भेद्यता खिड़की उतनी ही कम होती है।

समान तर्क का उपयोग करते हुए, दो सीरियल घटकों में से सिस्टम के लिए MDT की गणना इस प्रकार की जा सकती है: :$$\text{mdt}(c_1 ; c_2) = \frac{\text{mtbf}(c_1)\times \text{mdt}(c_2) + \text{mtbf}(c_2)\times \text{mdt}(c_1)} {\text{mtbf}(c_1) + \text{mtbf}(c_2)}\;,$$

और दो समानांतर घटकों में से प्रणाली के लिए MDT की गणना इस प्रकार की जा सकती है: :$$\text{mdt}(c_1 \parallel c_2) = \frac{\text{mdt}(c_1)\times \text{mdt}(c_2)} {\text{mdt}(c_1) + \text{mdt}(c_2)}\;.$$ इन चार फ़ार्मुलों के क्रमिक अनुप्रयोग के माध्यम से, मरम्मत योग्य घटकों के किसी भी नेटवर्क के MTBF और MDT की गणना की जा सकती है, बशर्ते कि MTBF और MDT प्रत्येक घटक के लिए जाना जाता हो। कई धारावाहिक घटकों के विशेष किन्तु सभी महत्वपूर्ण स्थिति में, एमटीबीएफ गणना को आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है
 * $$\text{mtbf}(c_1;\dots; c_n) = \left(\sum_{k=1}^n \frac 1{\text{mtbf}(c_k)}\right)^{-1}\;,$$

जिसे प्रेरण द्वारा दिखाया जा सकता है, और इसी तरह
 * $$\text{mdt}(c_1\parallel\dots\parallel c_n) = \left(\sum_{k=1}^n \frac 1{\text{mdt}(c_k)}\right)^{-1}\;,$$

चूंकि समानांतर में दो घटकों के एमडीटी के लिए सूत्र श्रृंखला में दो घटकों के लिए एमटीबीएफ के समान है।

एमटीबीएफ की विविधताएं
एमटीबीएफ की कई विविधताएं हैं, जैसे सिस्टम एबॉर्ट्स (एमटीबीएसए) के बीच औसत समय, महत्वपूर्ण विफलताओं के बीच औसत समय (एमटीबीसीएफ) या अनुसूचित निष्कासन (एमटीबीयूआर) के बीच औसत समय। इस प्रकार के नामकरण का उपयोग तब किया जाता है जब विफलताओं के प्रकार, जैसे महत्वपूर्ण और गैर-महत्वपूर्ण विफलताओं के बीच अंतर करना वांछनीय होता है। उदाहरण के लिए, ऑटोमोबाइल में, एफएम रेडियो की विफलता वाहन के प्राथमिक संचालन को नहीं रोकती है।

उन स्थिति में एमटीबीएफ के अतिरिक्त मीन टाइम टू फेलियर (एमटीटीएफ) का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है, जहां विफलता (गैर-मरम्मत योग्य प्रणाली) के बाद सिस्टम को परिवर्तित कर दिया जाता है, क्योंकि एमटीबीएफ सिस्टम में विफलताओं के बीच के समय को दर्शाता है जिसे मरम्मत की जा सकती है।

एमटीटीएफडी एमटीटीएफ का विस्तार है, और केवल विफलताओं के बारे में चिंतित है जिसके परिणामस्वरूप खतरनाक स्थिति होगी। इसकी गणना निम्नानुसार की जा सकती है:

\begin{align} \text{MTTF} & \approx \frac{B_{10}}{0.1n_\text{onm}}, \\[8pt] \text{MTTFd} & \approx \frac{B_{10d}}{0.1n_\text{op}}, \end{align} $$ जहां B10 संचालन की संख्या है कि उपकरण उन उपकरणों के नमूने के 10% से पहले कार्य करेगा जो विफल हो जाएंगे और nop संचालन की संख्या है। बी10d वही गणना है, किन्तु जहां 10% नमूना खतरे में विफल होगा। Nop वर्ष में संचालन/चक्र की संख्या है।

MTBF सेंसर करने पर विचार कर रहा है
वास्तव में एमटीबीएफ की गिनती केवल विफलताओं के साथ कम से कम कुछ सिस्टम अभी भी कार्य कर रही है जो अभी तक विफल नहीं हुई है, एमटीबीएफ को उन प्रणालियों के आंशिक जीवनकाल की गणना में सम्मलित करने में विफल होने से कम करके आंका गया है जो अभी तक विफल नहीं हुए हैं। ऐसे जीवनकालों के साथ, हम केवल इतना जानते हैं कि असफलता का समय उनके द्वारा चलाए जा रहे समय से अधिक है। इसे सेंसरिंग (सांख्यिकी) कहा जाता है। वास्तव में जीवनकाल के पैरामीट्रिक मॉडल के साथ, सेंसरिंग (सांख्यिकी)#संभावना:


 * $$L = \prod_i \lambda(u_i)^{\delta_i} S(u_i)$$,

जहाँ
 * $$u_i$$ विफलताओं के लिए विफलता का समय है और उन इकाइयों के लिए सेंसर करने का समय है जो अभी तक विफल नहीं हुई हैं,
 * $$\delta_i$$ = 1 विफलताओं के लिए और 0 सेंसरिंग समय के लिए,
 * $$S(u_i)$$ = संभावना है कि जीवनकाल अधिक हो जाता है $$u_i$$, जिसे सर्वाइवल फंक्शन कहा जाता है, और
 * $$\lambda(u_i) = f(u)/S(u)$$ विफलता दर # खतरा कार्य कहा जाता है, मृत्यु दर का तात्कालिक बल (जहां $$f(u)$$ = बंटन का प्रायिकता घनत्व फलन)।

एक निरंतर घातीय वितरण के लिए, खतरा, $$\lambda$$, स्थिर है। इस स्थिति में, एमबीटीएफ है


 * एमटीबीएफ = $$1 / \hat\lambda = \sum u_i / k$$,

जहाँ $$\hat\lambda$$ का अधिकतम संभावना अनुमान है $$\lambda$$, ऊपर दी गई संभावना को अधिकतम करना और $$k = \sum \sigma_i$$ बिना सेंसर किए गए अवलोकनों की संख्या है।

हम देखते हैं कि केवल विफलताओं पर विचार करने वाले एमटीबीएफ और सेंसर किए गए अवलोकनों सहित एमटीबीएफ के बीच का अंतर यह है कि सेंसरिंग समय अंश में जुड़ जाता है किन्तु एमटीबीएफ की गणना में भाजक नहीं।