व्युत्क्रम अतिपरवलयिक फलन

गणित में, प्रतिलोम अतिपरवलयिक फलन अतिपरवलयिक फलनों के व्युत्क्रम फलन होते हैं।

हाइपरबॉलिक कार्य के दिए गए मान के लिए, संबंधित उलटा अतिशयोक्तिपूर्ण समारोह संबंधित हाइपरबॉलिक कोण प्रदान करता है। अतिशयोक्तिपूर्ण कोण का आकार अतिशयोक्ति  के संगत  अतिशयोक्तिपूर्ण क्षेत्र  के क्षेत्रफल के बराबर होता है xy = 1, या इकाई हाइपरबोला के संबंधित क्षेत्र के क्षेत्र का दोगुना x2 − y2 = 1, ठीक वैसे ही जैसे एक कोण इकाई वृत्त के वृत्तीय त्रिज्यखंड के क्षेत्रफल का दुगुना होता है। कुछ लेखकों ने अतिशयोक्तिपूर्ण कोणों को अनुभूत करने के लिए व्युत्क्रम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों को क्षेत्र कार्य कहा है।

अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति में कोणों और दूरियों की गणना में अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य होते हैं। यह कई रेखीय अंतर समीकरणों के समाधान में भी होता है (जैसे कि एक ज़ंजीर का  को परिभाषित करने वाला समीकरण), क्यूबिक समीकरण और कार्टेशियन निर्देशांक में लाप्लास का समीकरण। लाप्लास के समीकरण भौतिकी के कई क्षेत्रों में महत्वपूर्ण हैं, जिनमें विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत, गर्मी हस्तांतरण, द्रव गतिकी और विशेष सापेक्षता सम्मिलित  हैं।

नोटेशन
ISO 80000-2 मानक संक्षिप्ताक्षरों में एआर- के बाद संबंधित अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य (जैसे, आर्कसिंह, आर्ककोश) का संक्षिप्त नाम सम्मिलित है।

पूर्वयोजन एआरसी- इसके बाद संबंधित हाइपरबॉलिक कार्य (उदाहरण के लिए, आर्कसिंह, आर्ककोश) भी सामान्यतः व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए नामकरण के अनुरूप देखा जाता है। ये मिथ्या नाम हैं, क्योंकि उपसर्ग आर्क आर्कस का संक्षिप्त नाम है, जबकि उपसर्ग आर क्षेत्र के लिए है; अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य सीधे चाप से संबंधित नहीं हैं।

अन्य लेखक संकेतन अर्गसिंह, अर्गकोश, अर्गतन्ह, इत्यादि का उपयोग करना पसंद करते हैं, जहाँ उपसर्ग एआरजी लैटिन तर्क का संक्षिप्त नाम है। कंप्यूटर विज्ञान में, इसे अधिकांशतः असिंह के रूप में संक्षिप्त किया जाता है।

अंकन sinh−1(x), cosh−1(x), आदि का भी प्रयोग किया जाता है,  इस तथ्य के अतिरिक्त कि सुपरस्क्रिप्ट -1 की एक शक्ति के रूप में गलत व्याख्या से बचने के लिए देखभाल की जानी चाहिए, जैसा कि विपरीत कार्य को दर्शाने के लिए एक आशुलिपि के विपरीत है (उदाहरण के लिए, cosh−1(x) बनाम cosh(x)−1).

लघुगणक के संदर्भ में परिभाषाएँ
चूँकि अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य तर्कसंगत कार्य हैं $e^{x}$ जिनके अंश और भाजक अधिक से अधिक दो डिग्री के हैं, इन कार्यों को के संदर्भ में हल किया जा सकता है $e^{x}$, द्विघात सूत्र का उपयोग करके; फिर, प्राकृतिक लघुगणक लेने से व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कार्यों के लिए निम्नलिखित भाव मिलते हैं।

जटिल संख्या तर्कों के लिए, प्रतिलोम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य, वर्गमूल और लघुगणक बहु-मूल्यवान कार्य हैं, और अगले उपखंडों की समानता को बहु-मूल्यवान कार्यों की समानता के रूप में देखा जा सकता है।

सभी व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कार्यों के लिए (प्रतिलोम अतिपरवलयिक कोटिस्पर्श और व्युत्क्रम अतिपरवलयिक व्युत्क्रमज्या को बचाएं), वास्तविक कार्य का डोमेन जुड़ा हुआ स्थान है।

व्युत्क्रम अतिपरवलयिक साइन
इनवर्स हाइपरबोलिक साइन (उर्फ एरिया हाइपरबोलिक साइन) (लैटिन: एरिया साइनस हाइपरबोलिकस):


 * $$  \operatorname{arsinh} x  =\ln \left ( x + \sqrt{x^2 + 1} \right )

$$ डोमेन वास्तविक संख्या है।

व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कोसाइन
इनवर्स हाइपरबोलिक कोसाइन (उर्फ एरिया हाइपरबोलिक कोसाइन) (लैटिन: एरिया कोसिनस हाइपरबोलिकस):


 * $$  \operatorname{arcosh} x  =\ln \left ( x + \sqrt{x^2 - 1} \right )

$$ डोमेन बंद अंतराल है $[1, +∞ )$.

प्रतिलोम अतिपरवलयिक स्पर्शज्या
व्युत्क्रम अतिपरवलयिक स्पर्शरेखा (उर्फ क्षेत्र अतिपरवलयिक स्पर्शरेखा) (लैटिन: क्षेत्र स्पर्शरेखा हाइपरबोलिकस):



\operatorname{artanh} x =\frac12\ln\left(\frac{1+x}{1-x}\right) $$ डोमेन खुला अंतराल है $(−1, 1)$.

व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कोटिस्पर्श
उलटा हाइपरबोलिक कोटैंजेंट (उर्फ, एरिया हाइपरबोलिक कोटैंजेंट) (लैटिन: एरिया कोटैंगेंस हाइपरबोलिकस):



\operatorname{arcoth} x = \frac12\ln\left(\frac{x+1}{x-1}\right) $$ डोमेन खुले अंतराल का संघ है $(−∞, −1)$ और  $(1, +∞)$.

प्रतिलोम अतिपरवलयिक छेदक
व्युत्क्रम अतिपरवलयिक छेदक (उर्फ, क्षेत्र अतिपरवलयिक छेदक) (लैटिन: क्षेत्र secans hyperbolicus):



\operatorname{arsech} x = \ln \left( \frac{1}{x}+\sqrt{\frac{1}{x^2}- 1} \right) = \ln \left( \frac{1 +\sqrt{1- x^2}}{x} \right) $$ डोमेन अर्ध-खुला अंतराल है $(0, 1]$.

व्युत्क्रम अतिपरवलयिक व्युत्क्रमज्या
व्युत्क्रम अतिपरवलयिक व्युत्क्रमज्या (उर्फ, क्षेत्र अतिपरवलयिक व्युत्क्रमज्या) (लैटिन: क्षेत्र कोसेकैन हाइपरबोलिकस):



\operatorname{arcsch} x = \ln \left( \frac{1}{x} + \sqrt{\frac{1}{x^2}+ 1} \right) $$ डोमेन 0 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याएँ हैं।

जोड़ सूत्र

 * $$\operatorname{arsinh} u \pm \operatorname{arsinh} v = \operatorname{arsinh} \left(u \sqrt{1 + v^2} \pm v \sqrt{1 + u^2}\right)$$
 * $$\operatorname{arcosh} u \pm \operatorname{arcosh} v = \operatorname{arcosh} \left(u v \pm \sqrt{(u^2 - 1) (v^2 - 1)}\right)$$
 * $$\operatorname{artanh} u \pm \operatorname{artanh} v = \operatorname{artanh} \left( \frac{u \pm v}{1 \pm uv} \right)$$
 * $$\operatorname{arcoth} u \pm \operatorname{arcoth} v = \operatorname{arcoth} \left( \frac{1 \pm uv}{u \pm v} \right)$$
 * $$\begin{align}\operatorname{arsinh} u + \operatorname{arcosh} v & = \operatorname{arsinh} \left(u v + \sqrt{(1 + u^2) (v^2 - 1)}\right) \\

& = \operatorname{arcosh} \left(v \sqrt{1 + u^2} + u \sqrt{v^2 - 1}\right) \end{align}$$

अन्य पहचान


\begin{align} 2\operatorname{arcosh}x&=\operatorname{arcosh}(2x^2-1)     &\quad \hbox{ for }x\geq 1 \\ 4\operatorname{arcosh}x&=\operatorname{arcosh}(8x^4-8x^2+1) &\quad \hbox{ for }x\geq 1 \\ 2\operatorname{arsinh}x&=\operatorname{arcosh}(2x^2+1)     &\quad \hbox{ for }x\geq 0 \\ 4\operatorname{arsinh}x&=\operatorname{arcosh}(8x^4+8x^2+1) &\quad \hbox{ for }x\geq 0 \end{align} $$

\ln(x) = \operatorname{arcosh} \left( \frac{x^2 + 1}{2x}\right) = \operatorname{arsinh} \left( \frac{x^2 - 1}{2x}\right) = \operatorname{artanh} \left( \frac{x^2 - 1}{x^2 + 1}\right) $$

अतिशयोक्तिपूर्ण और प्रतिलोम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की संरचना

 * $$\begin{align}

&\sinh(\operatorname{arcosh}x) = \sqrt{x^{2} - 1} \quad \text{for} \quad |x| > 1 \\ &\sinh(\operatorname{artanh}x) = \frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 < x < 1 \\ &\cosh(\operatorname{arsinh}x) = \sqrt{1+x^{2}} \\ &\cosh(\operatorname{artanh}x) = \frac{1}{\sqrt{1-x^{2}}} \quad \text{for} \quad -1 < x < 1 \\ &\tanh(\operatorname{arsinh}x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^{2}}} \\ &\tanh(\operatorname{arcosh}x) = \frac{\sqrt{x^{2} - 1}}{x} \quad \text{for} \quad |x| > 1 \end{align}$$

उलटा अतिशयोक्तिपूर्ण और त्रिकोणमितीय कार्यों की संरचना


\operatorname{arsinh} \left( \tan \alpha \right) = \operatorname{artanh} \left( \sin \alpha  \right) = \ln\left( \frac{ 1 + \sin \alpha }{ \cos  \alpha } \right) = \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac {1} {\cos \alpha }\right) $$

\ln \left( \left| \tan \alpha \right|\right) = -\operatorname{artanh} \left( \cos 2 \alpha  \right) $$

रूपांतरण


\ln x = \operatorname{artanh} \left( \frac{x^2-1}{x^2+1}\right) = \operatorname{arsinh} \left( \frac{x^2-1}{2 x}\right) = \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac{x^2+1}{2 x}\right) $$

\operatorname{artanh} x = \operatorname{arsinh} \left( \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \pm \operatorname{arcosh} \left( \frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) $$

\operatorname{arsinh} x = \operatorname{artanh} \left( \frac{x}{\sqrt{1+x^2}}\right) = \pm \operatorname{arcosh} \left( \sqrt{1+x^2}\right) $$

\operatorname{arcosh} x = \left| \operatorname{arsinh} \left( \sqrt{x^2-1}\right) \right| = \left| \operatorname{artanh} \left(  \frac{\sqrt{x^2-1}}{x} \right) \right| $$

डेरिवेटिव्स


\begin{align} \frac{d}{dx} \operatorname{arsinh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2+1}}, \text{ for all real } x\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcosh} x & {}= \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}, \text{ for all real } x>1\\ \frac{d}{dx} \operatorname{artanh} x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \text{ for all real } |x|<1\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcoth} x & {}= \frac{1}{1-x^2}, \text{ for all real } |x|>1\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arsech} x & {}= \frac{-1}{x\sqrt{1-x^2}}, \text{ for all real } x \in (0,1)\\ \frac{d}{dx} \operatorname{arcsch} x & {}= \frac{-1}{|x|\sqrt{1+x^2}}, \text{ for all real } x\text{, except } 0\\ \end{align}$$ एक उदाहरण अवकलन के लिए: मान लीजिए θ = arsinh x, इसलिए (जहां sinh2 θ = (sinh θ)2):
 * $$\frac{d\,\operatorname{arsinh} x}{dx} = \frac{d \theta}{d \sinh \theta} = \frac{1} {\cosh \theta} = \frac{1} {\sqrt{1+\sinh^2 \theta}} = \frac{1}{\sqrt{1+x^2}}.$$

श्रृंखला विस्तार
उपरोक्त कार्यों के लिए विस्तार श्रृंखला प्राप्त की जा सकती है:


 * $$\begin{align}\operatorname{arsinh} x & = x - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^3} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^5} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^7} {7} \pm\cdots \\

& = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n+1}} {2n+1}, \qquad \left| x \right| < 1 \end{align} $$
 * $$\begin{align}\operatorname{arcosh} x & = \ln(2x) - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-6}} {6} +\cdots \right) \\

& = \ln(2x) - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-2n}} {2n}, \qquad \left| x \right| > 1 \end{align} $$
 * $$\begin{align}\operatorname{artanh} x & = x + \frac {x^3} {3} + \frac {x^5} {5} + \frac {x^7} {7} +\cdots \\

& = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{2n+1}} {2n+1}, \qquad \left| x \right| < 1 \end{align} $$
 * $$\begin{align}\operatorname{arcsch} x = \operatorname{arsinh} \frac1x & = x^{-1} - \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{-3}} {3} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{-5}} {5} - \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{-7}} {7} \pm\cdots \\

& = \sum_{n=0}^\infty \left( \frac {(-1)^n(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{-(2n+1)}} {2n+1}, \qquad \left| x \right| > 1 \end{align} $$
 * $$\begin{align}\operatorname{arsech} x = \operatorname{arcosh} \frac1x & = \ln \frac{2}{x} - \left( \left( \frac {1} {2} \right) \frac {x^{2}} {2} + \left( \frac {1 \cdot 3} {2 \cdot 4} \right) \frac {x^{4}} {4} + \left( \frac {1 \cdot 3 \cdot 5} {2 \cdot 4 \cdot 6} \right) \frac {x^{6}} {6} +\cdots \right) \\

& = \ln \frac{2}{x} - \sum_{n=1}^\infty \left( \frac {(2n)!} {2^{2n}(n!)^2} \right) \frac {x^{2n}} {2n}, \qquad 0 < x \le 1 \end{align} $$
 * $$\begin{align}\operatorname{arcoth} x = \operatorname{artanh} \frac1x & = x^{-1} + \frac {x^{-3}} {3} + \frac {x^{-5}} {5} + \frac {x^{-7}} {7} +\cdots \\

& = \sum_{n=0}^\infty \frac {x^{-(2n+1)}} {2n+1}, \qquad \left| x \right| > 1 \end{align} $$ arsinh के लिए एक स्पर्शोन्मुख विस्तार द्वारा दिया गया है


 * $$\operatorname{arsinh} x = \ln(2x) + \sum\limits_{n = 1}^\infty {\left( { - 1} \right)^{n - 1} \frac} \frac{1}$$

कॉम्प्लेक्स प्लेन में प्रिंसिपल वैल्यू
एक जटिल चर के कार्यों के रूप में, उलटा अतिपरवलयिक कार्य बहुविकल्पीय कार्य होते हैं जो विश्लेषणात्मक कार्य होते हैं, बिंदुओं की सीमित संख्या को छोड़कर। इस तरह के एक समारोह के लिए, एक प्रमुख मूल्य को परिभाषित करना आम है, जो एक एकल मूल्यवान विश्लेषणात्मक कार्य है जो बहुविकल्पीय कार्य की एक विशिष्ट शाखा के साथ मेल खाता है, जटिल विमान से युक्त एक डोमेन पर जिसमें चाप (ज्यामिति) की एक परिमित संख्या होती है। (सामान्यतः आधी लाइन या रेखा खंड ) हटा दिए गए हैं। इन आर्क्स को  शाखा काटी  कहा जाता है। शाखा को निर्दिष्ट करने के लिए, अर्थात्, प्रत्येक बिंदु पर बहुविकल्पी समारोह का कौन सा मान माना जाता है, इसे परिभाषित करने के लिए, सामान्यतः इसे एक विशेष बिंदु पर परिभाषित किया जाता है, और विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा प्रमुख मूल्य की परिभाषा के डोमेन में हर स्थान मूल्य घटाया जाता है। जब संभव हो, मुख्य मूल्य को सीधे परिभाषित करना उत्तम होता है—विश्लेषणात्मक निरंतरता का जिक्र किए बिना।

उदाहरण के लिए, वर्गमूल के लिए, मुख्य मान को उस वर्गमूल के रूप में परिभाषित किया जाता है जिसका एक धनात्मक वास्तविक भाग होता है। यह एक एकल मूल्यवान विश्लेषणात्मक कार्य को परिभाषित करता है, जिसे चर के गैर-सकारात्मक वास्तविक मानों को छोड़कर (जहां दो वर्गमूलों का शून्य वास्तविक भाग होता है) को छोड़कर, हर स्थान परिभाषित किया जाता है। वर्गमूल फलन के इस मुख्य मान को निरूपित किया जाता है $$\sqrt x$$ जो आगे हुआ। इसी तरह, लघुगणक का मुख्य मूल्य, निरूपित $$\operatorname{Log}$$ निम्नलिखित में, उस मान के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए काल्पनिक भाग का सबसे छोटा निरपेक्ष मान है। यह चर के गैर-सकारात्मक वास्तविक मूल्यों को छोड़कर हर स्थान परिभाषित किया गया है, जिसके लिए लघुगणक के दो अलग-अलग मान न्यूनतम तक पहुँचते हैं।

सभी व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कार्यों के लिए, मुख्य मूल्य को वर्गमूल के प्रमुख मूल्यों और लघुगणक समारोह के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। चूँकि, कुछ स्थितियों में, के सूत्र परिभाषा का एक डोमेन देने के रूप में एक सही प्रिंसिपल वैल्यू नहीं देते हैं, जो बहुत छोटा है और, एक स्थितियोंे में कनेक्टेड स्पेस | नॉन-कनेक्टेड।

व्युत्क्रम अतिपरवलय ज्या का मूल मूल्य
व्युत्क्रम अतिपरवलय ज्या का मुख्य मूल्य द्वारा दिया जाता है
 * $$\operatorname{arsinh} z = \operatorname{Log}(z + \sqrt{z^2 + 1} \,)\,.$$

वर्गमूल का तर्क एक गैर-सकारात्मक वास्तविक संख्या है, यदि और केवल यदि $z$ अंतराल में से एक के अंतर्गत आता है $[i, +i∞)$ और $(−i∞, −i]$ काल्पनिक अक्ष का। यदि लघुगणक का तर्क वास्तविक है, तो यह धनात्मक है। इस प्रकार यह सूत्र शाखाओं में कटौती के साथ अरसिंह के लिए एक प्रमुख मूल्य को परिभाषित करता है $[i, +i∞)$ और  $(−i∞, −i]$. यह इष्टतम है, क्योंकि शाखा कटौती को एकवचन बिंदुओं को जोड़ना चाहिए $i$ और $−i$ अनंत तक।

व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कोसाइन का मूल मूल्य
व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कोज्या के लिए सूत्र दिया गया है सुविधाजनक नहीं है, क्योंकि लघुगणक और वर्गमूल के प्रमुख मानों के समान, चाप का मुख्य मान काल्पनिक के लिए परिभाषित नहीं किया जाएगा $z$. इस प्रकार वर्गमूल को कारक बनाना होगा, जिसके कारण
 * $$\operatorname{arcosh} z = \operatorname{Log}(z + \sqrt{z+1} \sqrt{z-1} \,)\,.$$

वर्गमूलों के प्रमुख मान दोनों परिभाषित हैं, यदि को छोड़कर $z$ वास्तविक अंतराल से संबंधित है $(−∞, 1]$. यदि लघुगणक का तर्क वास्तविक है, तब $z$ वास्तविक है और उसका चिह्न समान है। इस प्रकार, उपरोक्त सूत्र वास्तविक अंतराल के बाहर आर्कोश के एक प्रमुख मूल्य को परिभाषित करता है $(−∞, 1]$, जो इस प्रकार अद्वितीय शाखा कट है।

प्रतिलोम अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के प्रमुख मूल्य
में दिए गए सूत्र सुझाता है

\begin{align} \operatorname{artanh} z &=\frac12\operatorname{Log}\left(\frac{1+z}{1-z}\right) \\ \operatorname{arcoth} z &= \frac12\operatorname{Log}\left(\frac{z+1}{z-1}\right) \end{align} $$ व्युत्क्रम अतिपरवलयिक स्पर्शरेखा और कोटिस्पर्श के प्रमुख मूल्यों की परिभाषा के लिए। इन सूत्रों में, लघुगणक का तर्क वास्तविक है यदि और केवल यदि $z$ यह सचमुच का है। अर्तन्ह के लिए, यह तर्क वास्तविक अंतराल में है $(−∞, 0]$, यदि $z$ या तो से संबंधित है $(−∞, −1]$ या करने के लिए $[1, ∞)$. आर्कोथ के लिए, लघुगणक का तर्क अंदर है $(−∞, 0]$, यदि और केवल यदि $z$ वास्तविक अंतराल से संबंधित है $[−1, 1]$.

इसलिए, ये सूत्र सुविधाजनक प्रमुख मूल्यों को परिभाषित करते हैं, जिसके लिए शाखा कटौती होती है $(−∞, −1]$ और $[1, ∞)$ व्युत्क्रम अतिपरवलयिक स्पर्शरेखा के लिए, और $[−1, 1]$ प्रतिलोम अतिपरवलयिक कोटिस्पर्शज्या के लिए।

शाखा कटौती के पास उत्तम संख्यात्मक मूल्यांकन को देखते हुए, कुछ लेखक प्रमुख मूल्यों की निम्नलिखित परिभाषाओं का उपयोग करें, चूंकि दूसरा एक हटाने योग्य विलक्षणता का परिचय देता है $z = 0$. की दो परिभाषाएँ $$ \operatorname {artanh} $$ के वास्तविक मूल्यों के लिए भिन्न हैं $$ z $$ साथ $$ z > 1 $$. वाले $$ \operatorname {arcoth} $$ के वास्तविक मूल्यों के लिए भिन्न हैं $$ z $$ साथ $$ z \in [0, 1) $$.

\begin{align} \operatorname{artanh} z &= \tfrac12\operatorname{Log}\left({1+z}\right) - \tfrac12\operatorname{Log}\left({1-z}\right) \\   \operatorname{arcoth} z &= \tfrac12\operatorname{Log}\left({1+\frac{1}{z} }\right) -   \tfrac12\operatorname{Log}\left({1-\frac{1}{z}}\right) \end{align} $$

प्रतिलोम अतिपरवलयिक व्युत्क्रमज्या का मुख्य मूल्य
व्युत्क्रम अतिपरवलयिक व्युत्क्रमज्या के लिए, मुख्य मान को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है
 * $$\operatorname{arcsch} z = \operatorname{Log}\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z^2} +1 } \,\right)$$.

इसे तब परिभाषित किया जाता है जब लघुगणक और वर्गमूल के तर्क गैर-धनात्मक वास्तविक संख्याएँ नहीं होते हैं। वर्गमूल का मुख्य मान इस प्रकार अंतराल के बाहर परिभाषित किया गया है $[−i, i]$ काल्पनिक रेखा का। यदि लघुगणक का तर्क वास्तविक है, तब $z$ एक गैर-शून्य वास्तविक संख्या है, और इसका तात्पर्य है कि लघुगणक का तर्क धनात्मक है।

इस प्रकार, प्रमुख मूल्य अंतराल से मिलकर शाखा कट के बाहर उपरोक्त सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है $[−i, i]$ काल्पनिक रेखा का।

के लिए $z = 0$, एक विलक्षण बिंदु है जो शाखा कट में सम्मिलित है।

प्रतिलोम अतिपरवलयिक छेदक का मुख्य मूल्य
यहाँ, जैसा कि व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कोसाइन के स्थितियों में है, हमें वर्गमूल का गुणनखंडन करना होगा। यह मुख्य मूल्य देता है

\operatorname{arsech} z = \operatorname{Log}\left( \frac{1}{z} + \sqrt{ \frac{1}{z} + 1 } \, \sqrt{ \frac{1}{z} -1 } \right). $$ यदि वर्गमूल का तर्क वास्तविक है, तब $z$ वास्तविक है, और यह अनुसरण करता है कि वर्गमूल के दोनों प्रमुख मान परिभाषित हैं, यदि को छोड़कर $z$ वास्तविक है और एक अंतराल से संबंधित है $(−∞, 0]$ और $[1, +∞)$. यदि लघुगणक का तर्क वास्तविक और ऋणात्मक है, तब $z$ भी वास्तविक और नकारात्मक है। यह इस प्रकार है कि दो शाखा कटौती के बाहर उपरोक्त सूत्र द्वारा, वास्तविक अंतराल, आर्सेक का मुख्य मूल्य अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है $(−∞, 0]$ और $[1, +∞)$.

के लिए $z = 0$, एक विलक्षण बिंदु है जो एक शाखा कटौती में सम्मिलित है।

ग्राफिकल प्रतिनिधित्व
व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कार्यों के प्रमुख मूल्यों के निम्नलिखित चित्रमय प्रतिनिधित्व में, शाखा कटौती रंग की असततता के रूप में दिखाई देती है। तथ्य यह है कि पूरी शाखा कटौती विच्छेदन के रूप में दिखाई देती है, यह दर्शाता है कि इन प्रमुख मूल्यों को बड़े डोमेन पर परिभाषित विश्लेषणात्मक कार्यों में विस्तारित नहीं किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, ऊपर परिभाषित शाखाओं में कटौती न्यूनतम है।

यह भी देखें

 * जटिल लघुगणक
 * अतिशयोक्तिपूर्ण छेदक वितरण
 * आईएसओ 80000-2
 * प्रतिलोम अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के इंटीग्रल की सूची

ग्रन्थसूची

 * Herbert Busemann and Paul J. Kelly (1953) Projective Geometry and Projective Metrics, page 207, Academic Press.