विधानात्मक हेतुफलानुमान (मॉडस पोनेंस)

प्रस्तावक गणना में,``पॉज़िटिंग मोड (MP), जिसे मॉडस पोनेन्डो विक्षनरी कहा जाता हैं, तथा इसे पोनेन्स के नाम से भी जाना जाता है (लैटिन में "रखकर उपयोग की जाने वाली विधि हैं") इसमें निहितार्थ उन्मूलन और पूर्ववृत्त की पुष्टि, निगमनात्मक तर्क तर्क रूप और अनुमान का नियम होता है। इसे P सामग्री सशर्त Q के रूप में संक्षेपित किया जा सकता है। जहाँ P सत्य है और इसलिए Q भी सत्य होना चाहिए।

मोडस पोनेंस तर्क के अन्य वैधता (तर्क) के रूप में, मोडस टोलेंस से निकटता से संबंधित होता है। दोनों के स्पष्ट रूप समान किन्तु अमान्य रूप में होते हैं जैसे कि परिणाम की पुष्टि करना,और पूर्ववर्ती को नकारना और अनुपस्थिति का प्रमाण देना चाहिए। रचनात्मक दुविधा मोडस पोनेंस का तार्किक संयोजन संस्करण होता है। काल्पनिक न्यायवाक्य मॉडस पोनेन्स से निकटता से संबंधित है और कभी-कभी इसे "डबल मोडस पोनेन्स" के रूप में माना जाता है।

मोडस पोनेंस का इतिहास प्राचीन काल में मौलिक पुरातनता में वापस चला जाता है। मॉडस पोनेंस के तर्क रूप का स्पष्ट रूप से वर्णन करने वाला पहला ठेओफ्रस्तुस था। और यह, मोडस टोलेंस के साथ, अनुमान के मानक पैटर्न में से है जिसे वांछित लक्ष्य तक ले जाने वाले निष्कर्षों की श्रृंखला को प्राप्त करने के लिए लागू किया जा सकता है।

स्पष्टीकरण
एक मोडस पोनेन्स तर्क का रूप दो परिसरों और निष्कर्ष के साथ न्यायवाक्य जैसा दिखाया जाता है :


 * 1) यदि P, तो Q.
 * P
 * 1) इसलिए Q

पहला आधार भौतिक सशर्त (यदि-तब) को प्रामाणित किया जाता है,जिसका यह अर्थ है कि P का तात्पर्य Q से है। दूसरा आधार अभिकथन है कि P, सशर्त अभिकथनों का पूर्ववर्ती (तर्क) स्थिति में होना चाहिए। इन दो परिसरों के यह तार्किक रूप से निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि Q, सशर्त अभिकथनों के परिणामस्वरूप, स्थिति में भी होता है।

एक तर्क का उदाहरण जो मोडस पोनेन्स के रूप में फिट बैठता है:


 * 1) यदि आज मंगलवार है, तो जॉन काम पर जाएगा।
 * 2) आज मंगलवार है।
 * 3) इसलिए जॉन काम पर जाएगा।

यह तर्क वैधता (तर्क) है, किन्तु इसका इस बात से कोई संबंध नहीं है कि तर्क में दिया गया कोई भी कथन वास्तव में सत्य है या नहीं है; मॉडस पोनेन्स के लिए ध्वनि तर्क होने के लिए, निष्कर्ष के किसी भी वास्तविक उदाहरण के लिए आधार वाक्य सही होना चाहिए तर्क मान्य हो सकता है किन्तु फिर भी या से अधिक परिसरों के झूठे होने पर निराधार हो सकता है; यदि कोई तर्क मान्य है और सभी परिसर सत्य हैं, तो तर्क ध्वनि है। उदाहरण के लिए, जॉन बुधवार को काम पर जा सकता है। इस स्थिति में, जॉन के काम पर जाने का तर्क सही नहीं है क्योंकि आज बुधवार है। इस तर्क में केवल मंगलवार के दिन जब जॉन काम पर जाता है तब इस पर ध्वनि पाई जाती है, किन्तु सप्ताह के हर दिन मान्य होता है। मोडस पोनेन्स का उपयोग करते हुए प्रस्तावात्मक तर्क को निगमनात्मक तर्क कहा जाता है।

एकल-निष्कर्ष अनुक्रम कलन में, मॉडस पोनेन्स कट का नियम है। कलन के लिए कट-उन्मूलन प्रमेय कहता है कि कट से जुड़े प्रत्येक प्रमाण को (सामान्यतः, रचनात्मक विधि द्वारा) बिना कट के प्रमाण में परिवर्तित किया जा सकता है, और इसलिए कट स्वीकार्य नियम है।

प्रूफ़ और प्रोग्राम के बीच करी-हावर्ड पत्राचार कार्यप्रणाली से संबंधित है: यदि f टाइप P → Q का फंक्शन है और x टाइप P का है, तो f x टाइप Q का है।

कृत्रिम होशियारी में, मोडस पोनेंस को अधिकांशतःआगे श्रृंखलन कहा जाता है।

औपचारिक संकेतन
मोडस पोनेन्स के नियम को अनुक्रमिक संकेतन में लिखा जा सकता है
 * $$P \to Q,\; P\;\; \vdash\;\; Q$$

जहां पी, क्यू और पी → क्यू औपचारिक भाषा में बयान (या प्रस्ताव) हैं और ⊢ धातु विज्ञान का प्रतीक है जिसका अर्थ है कि कुछ औपचारिक प्रणाली में P और P → Q का तार्किक परिणाम प्रकट करता है।

सत्य सूची के माध्यम से औचित्य
मौलिक टू-वैल्यू लॉजिक में मॉडस पोनेन्स की वैधता को सत्य सूची के उपयोग द्वारा स्पष्ट रूप से प्रदर्शित किया जा सकता है। मॉडस पोनेन्स के उदाहरणों में हम परिसर के रूप में मानते हैं कि p → q सत्य है और यहाँ p का मान सत्य है। सत्य सूची की केवल पंक्ति - पहली - इन दो शर्तों (p और p → q) को संतुष्ट करती है। इस रेखा पर q भी सत्य है। इसलिए, जब कभी p → q सत्य होता है और p सत्य होता है, q भी सत्य होना चाहिए।

स्थिति
जबकि मोडस पोनेन्स तर्क में सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले तर्क रूपों में से है, इसे तार्किक नियम के लिए गलत नहीं माना जाना चाहिए; बल्कि, यह कटौतीत्मक प्रमाणों के निर्माण के लिए स्वीकृत प्रणालियों में से है जिसमें "परिभाषा का नियम" और "प्रतिस्थापन का नियम" सम्मलित होते है। मोडस पोनेन्स किसी को औपचारिक प्रमाण (पूर्ववर्ती) से भौतिक सशर्त को खत्म करने की अनुमति देता है और इस तरह इन पूर्ववृत्तों को प्रतीकों की लंबी-लंबी श्रृंखला में आगे नहीं ले जाता है; इस कारण से मोडस पोनेंस को कभी-कभी 'अवरोध का नियम' कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एंडर्टन ने देखा कि मॉडस पोनेन्स लंबे फॉर्मूले से छोटे सूत्र तैयार कर सकते हैं, और रसेल के अनुमान के अनुसार इस प्रक्रिया को प्रतीकों में कम नहीं किया जा सकता है। इसका एकमात्र रिकॉर्ड ⊦q [परिणामस्वरूप] की घटना है ... अनुमान सच्चे आधार पर छोड़ दिया जाता है;और यह निहितार्थ का विघटन है।

अनुमान में विश्वास के लिए औचित्य यह विश्वास है कि यदि दो पूर्व अभिकथनों पूर्ववर्ती त्रुटि में नहीं हैं, तो अंतिम प्रामाणित [परिणामस्वरूप] त्रुटि में नहीं है। दूसरे शब्दों में: यदि कथन (तर्क) या प्रस्ताव सामग्री दूसरे को सशर्त करता है, और पहला कथन या प्रस्ताव सत्य है, तो दूसरा भी सत्य है। यदि P का तात्पर्य Q से है और P सत्य है, तो Q सत्य है।

बीजगणितीय शब्दार्थ
गणितीय तर्क में, बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) प्रत्येक वाक्य को क्रमबद्ध सेट में तत्व के नाम के रूप में मानता है। सामान्यतः, सेट को शीर्ष पर एकल तत्व ("हमेशा-सच") और दूसरे एकल तत्व ("हमेशा-गलत") के साथ जाली (क्रम) जैसी संरचना के रूप में देखा जा सकता है। तार्किक तुल्यता पहचान बन जाती है, जिससे कि कब $$\neg{(P \wedge Q)}$$ और $$\neg{P} \vee \neg{Q}$$, उदाहरण के लिए, समतुल्य हैं (जैसा कि मानक है), तब $$\neg{(P \wedge Q)} = \neg{P} \vee \neg{Q}$$. तार्किक निहितार्थ सापेक्ष स्थिति का विषय बन जाता है: $$P$$ तार्किक रूप से तात्पर्य है $$Q$$ संभवतः ज़रुरत पड़े $$P \leq Q$$, अर्थात, जब भी $$P = Q$$ वरना $$P$$ नीचे स्थित है $$Q$$ और ऊर्ध्वगामी मार्ग से उससे जुड़ा हुआ है।

इसी संदर्भ में यह कहना है कि $P$ और $$P \rightarrow  Q$$ साथ इसका अर्थ $$Q$$— है, जहाँ मॉडस पोनेन्स को मान्य मानने के लिए $$P \wedge (P \rightarrow  Q) \leq Q$$ के द्वारा प्रकट किया जाता हैं। मूल प्रस्तावपरक तर्क के लिए शब्दार्थ में, बीजगणित बूलियन बीजगणित (संरचना) है, जिसमें $$\rightarrow$$ भौतिक सशर्त के रूप में समझा गया: $$P \rightarrow  Q = \neg{P} \vee Q$$

इसकी पुष्टि $$P \wedge (P \rightarrow Q) \leq Q$$ तब सीधा है, क्योंकि $$P \wedge (P \rightarrow  Q) = P \wedge Q$$. के अन्य उपचारों के साथ $$\rightarrow$$, शब्दार्थ अधिक जटिल हो जाता है, बीजगणित गैर-बूलियन हो सकता है, और मॉडस पोनेन्स की वैधता को स्वीकार नहीं किया जा सकता है।

संभाव्यता कलन
मोडस पोनेन्स कुल संभाव्यता के नियम का उदाहरण प्रस्तुत करता है जो द्विआधारी चर के रूप में व्यक्त किया जाता है:

$$\Pr(Q)=\Pr(Q\mid P)\Pr(P)+\Pr(Q\mid \lnot P)\Pr(\lnot P)\,$$,

जहां उदा. $$\Pr(Q)$$ की संभावना को दर्शाता है $$Q$$ और सशर्त संभाव्यता $$\Pr(Q\mid P)$$ तार्किक निहितार्थ को सामान्य करता है $$P \to Q$$. ये मान लीजिए $$\Pr(Q) = 1$$ के बराबर है $$Q$$ सही होने के नाते, और वह $$\Pr(Q) = 0$$ के बराबर है $$Q$$ गलत मान देना हैं। तब यह देखना सरल हो जाता है कि $$\Pr(Q) = 1$$ कब $$\Pr(Q\mid P) = 1$$ और $$\Pr(P) = 1$$ मान देता हैं। इसलिए कुल संभाव्यता का नियम मॉडस पोनेंस के सामान्यीकरण का प्रतिनिधित्व करता है।

विषयगत तर्क
मोडस पोनेन्स व्यक्तिपरक तर्क में द्विपद कटौती ऑपरेटर के उदाहरण का प्रतिनिधित्व करता है:

$$\omega^{A}_{Q\|P}= (\omega^{A}_{Q|P},\omega^{A}_{Q|\lnot P})\circledcirc \omega^{A}_{P}\,$$,

कहाँ $$\omega^{A}_{P}$$ के बारे में व्यक्तिपरक मतानुसार को दर्शाता है $$P$$ जैसा कि स्रोत द्वारा व्यक्त किया गया है $$A$$, और सशर्त मतानुसार $$\omega^{A}_{Q|P}$$ होने पर तार्किक निहितार्थ को $$P \to Q$$. सामान्य करता है। इस कटौती में सीमांत मतानुसार $$Q$$ को $$\omega^{A}_{Q\|P}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है। जहां $$\omega^{A}_{P}$$ के बारे में बिल्कुल सही मतानुसार है और $$P$$ स्रोत $$A$$ के बराबर है, यहाँ पर $$P$$ का मान सही होता हैं, और स्थिति जहां $$\omega^{A}_{P}$$ के बारे में बिल्कुल गलत मत होते हैं, $$P$$ स्रोत $$A$$ के बराबर है,  यह कहते हुए कि $$P$$ का मान गलत होता हैं। कटौती ऑपरेटर $$\circledcirc$$ व्यक्तिपरक तर्क का पूर्ण सत्य निष्कर्षित मतानुसार $$\omega^{A}_{Q\|P}$$ का मान उत्पन्न करता है, जब सशर्त मतानुसार $$\omega^{A}_{Q|P}$$ पूर्ण सत्य और पूर्ववर्ती $$\omega^{A}_{P}$$ के मतानुसार है जो बिल्कुल सच है। इसलिए, सब्जेक्टिव लॉजिक डिडक्शन मोडस पोनेंस और कुल संभाव्यता के नियम दोनों के सामान्यीकरण का प्रतिनिधित्व करता है।

विफलता के कथित स्थिति
दार्शनिकों और भाषाविदों ने विभिन्न प्रकार के स्थितियों की पहचान की है जहां मोडस पोनेन्स असफल प्रतीत होते हैं। उदाहरण के लिए, जल मैक्गी ने तर्क दिया कि मोडस पोनेन्स उन सशर्तताओं के लिए विफल हो सकते हैं जिनके परिणाम स्वयं सशर्त हैं। निम्नलिखित उदाहरण है:


 * 1) शेक्सपियर या थॉमस हॉब्स ने छोटा गांव लिखा था।
 * 2) यदि शेक्सपियर या हॉब्स में से किसी ने हेमलेट लिखा है, तो यदि शेक्सपियर ने नहीं किया, तो हॉब्स ने लिखा।
 * 3) इसलिए, यदि शेक्सपियर ने हेमलेट नहीं लिखा, तो हॉब्स ने किया।

चूंकि शेक्सपियर ने हेमलेट लिखा था, पहला आधार सत्य है। दूसरा आधार वाक्य भी सही है, चूंकि केवल शेक्सपियर और हॉब्स तक सीमित संभावित लेखकों के समूह के साथ प्रारंभ करना और उनमें से को समाप्त करना केवल दूसरे को छोड़ देता है। चूंकि, निष्कर्ष गलत लगता है, क्योंकि हेमलेट के लेखक के रूप में शेक्सपियर को निरस्त करने से कई संभावित उम्मीदवार निकलेंगे, उनमें से कई हॉब्स की तुलना में अधिक प्रशंसनीय विकल्प हैं।

मैक्गी प्रकार के प्रति उदाहरणों का सामान्य रूप मॉडस पोनेन्स मान $$P, P \rightarrow (Q \rightarrow R)$$ के लिए सरल है, इसलिए $$Q \rightarrow R$$ है और यह आवश्यक नहीं है कि $$P$$ संयोजन हो, जैसा कि दिए गए उदाहरण में है। तर्कशास्त्रियों के बीच इस प्रकार के स्थितियों में कार्यप्रणाली की विफलता विवादास्पद विचार बना हुआ है, किन्तु स्थितियों को कैसे निपटाया जाना चाहिए, इस पर मतानुसार अलग-अलग है।

डोंटिक तर्क में, सशर्त दायित्व के कुछ उदाहरण भी मोडस पोनेन्स की विफलता की संभावना को बढ़ाते हैं। ये ऐसे स्थिति हैं जहां सशर्त आधार अनैतिक या अविवेकपूर्ण कार्रवाई पर आधारित दायित्व का वर्णन करता है, उदाहरण के लिए, "यदि डू अपनी मां की हत्या करता है, तो उसे ऐसा धीरे-धीरे करना चाहिए," जिसके लिए संदिग्ध बिना शर्त निष्कर्ष होगा कि डो को धीरे-धीरे अपनी मां की हत्या करनी चाहिए.

संभावित भ्रांतियां
परिणामी की पुष्टि करने की भ्रांति मोडस पोनेन्स की आम गलत व्याख्या है।

स्रोत

 * हर्बर्ट बी. एंडर्टन, 2001, ए मैथमेटिकल इंट्रोडक्शन टू लॉजिक सेकेंड एडिशन, हरकोर्ट एकेडमिक प्रेस, बर्लिंगटन एमए, ISBN 978-0-12-238452-3.
 * ऑडुन जोसांग, 2016, सब्जेक्टिव लॉजिक; अनिश्चितता के अनुसार तर्क के लिए औपचारिकता स्प्रिंगर, चाम, ISBN 978-3-319-42337-1
 * अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड और बर्ट्रेंड रसेल 1927 प्रिंसिपिया मैथेमेटिका से *56 (द्वितीय संस्करण) पेपरबैक संस्करण 1962, यूनिवर्सिटी प्रेस, लंदन यूके में कैम्ब्रिज। कोई आईएसबीएन नहीं, कोई एलसीसीसीएन नहीं।
 * अल्फ्रेड टार्स्की 1946 इंट्रोडक्शन टू लॉजिक एंड टू मेथडोलॉजी ऑफ़ द डिडक्टिव साइंसेस 2रा संस्करण, डोवर प्रकाशन, माइनोला एनवाई द्वारा पुनर्मुद्रित। ISBN 0-486-28462-X (पीबीके)।

बाहरी संबंध

 * Modus ponens at Wolfram MathWorld
 * Modus ponens at Wolfram MathWorld
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