विश्लेषणात्मक मरोड़

गणित में, रीडेमिस्टर टोशन (या आर-टोशन, या रीडेमिस्टर-फ्रांज़ टोशन) कर्ट रीडेमिस्टर (रीडेमिस्टर 1935) द्वारा 3-मैनिफोल्ड्स के लिए पेश किए गए मैनिफोल्ड्स का टोपोलॉजिकल अपरिवर्तनीय है और वोल्फगैंग फ्रांज (1935) और जॉर्जेस डी राम द्वारा उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया गया है। (1936) एनालिटिक टोशन (या रे-सिंगर टोशन) डेनियल बी. रे और इसाडोर एम. सिंगर (1971, 1973ए, 1973बी) द्वारा रीडेमिस्टर टोशन के एक विश्लेषणात्मक एनालॉग के रूप में परिभाषित रीमानियन मैनिफोल्ड्स का अपरिवर्तनीय है। जेफ़ चीगर (1977, 1979) और वर्नर मुलर (1978) ने रे और सिंगर के अनुमान को साबित कर दिया कि रीडेमिस्टर टोशन और विश्लेषणात्मक टोशन कॉम्पैक्ट रीमानियन मैनिफोल्ड्स के लिए समान हैं।

रीडेमिस्टर टोशन बीजगणितीय टोपोलॉजी में पहला अपरिवर्तनीय था जो बंद मैनिफ़ोल्ड के बीच अंतर कर सकता था जो समरूप समतुल्य हैं लेकिन समरूपी नहीं हैं, और इस प्रकार इसे एक विशिष्ट क्षेत्र के रूप में ज्यामितीय टोपोलॉजी के उत्पत्ति के रूप में देखा जा सकता है। इसका उपयोग लेंस स्पेस को वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है। रिडेमिस्टर टोशन का व्हाइटहेड टोशन से गहरा संबंध है; देखें (मिल्नोर 1966)।

रिडेमिस्टर टोशन का व्हाइटहेड टोशन से गहरा संबंध है; देखें (मिल्नोर 1966)। इसने अंकगणितीय टोपोलॉजी को भी कुछ महत्वपूर्ण प्रेरणा दी है; देखें (मज़ूर)। टोशन पर अधिक हाल के काम के लिए किताबें (तुराएव 2002) और (निकोलेस्कु 2002, 2003) देखें।

विश्लेषणात्मक टोशन की परिभाषा
यदि M रीमैनियन मैनिफोल्ड है और E, M के ऊपर सदिश बंडल है, तो E में मानों के साथ k-फॉर्म पर कार्य करने वाला लाप्लासियन संकारक है। यदि k-फॉर्म पर आइगेनवैल्यू λj हैं, तो ज़ेटा फलन ζk को परिभाषित किया गया है।


 * $$\zeta_k(s) = \sum_{\lambda_j>0}\lambda_j^{-s}$$

s बड़े के लिए, और यह विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा सभी जटिल s तक विस्तारित है। k-फॉर्म पर कार्य करने वाले लैप्लासियन का जीटा नियमित निर्धारक है।


 * $$\Delta_k=\exp(-\zeta^\prime_k(0))$$

जो औपचारिक रूप से k-फॉर्म पर अभिनय करने वाले लैप्लासियन के धनात्मक आइगेनवैल्यू का गुणनफल है। विश्लेषणात्मक टोशन T(M,E) परिभाषित किया गया है।


 * $$T(M,E) = \exp\left(\sum_k (-1)^kk \zeta^\prime_k(0)/2\right) = \prod_k\Delta_k^{-(-1)^kk/2}.$$

रीडेमिस्टर टोशन की परिभाषा
मान लीजिये कि $$X$$ मौलिक समूह के साथ परिमित जुड़ा हुआ सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स है: $$\pi := \pi_1(X)$$$${\tilde X}$$, और $$U$$ को ऑर्थोगोनल परिमित होना चाहिए- आयामी $$\pi$$-प्रतिनिधित्व। मान लीजिए कि


 * $$H^\pi_n(X;U) := H_n(U \otimes_{\mathbf{Z}[\pi]} C_*({\tilde X})) = 0$$

सभी n के लिए यदि हम $$C_*({\tilde X})$$ के लिए सेलुलर आधार और $$U$$ के लिए ऑर्थोगोनल $$\mathbf{R}$$ -आधार तय करते हैं, तो $$D_* := U \otimes_{\mathbf{Z}[\pi]} C_*({\tilde X})$$ अनुबंधित परिमित आधारित मुक्त $$\mathbf{R}$$-जटिल श्रृंखला है। मान लीजिए कि $$\gamma_*: D_* \to D_{*+1}$$से D तक $$d_{n+1} \circ \gamma_n + \gamma_{n-1} \circ d_n = id_{D_n}$$का कोई श्रृंखला संकुचन है, यानी। सभी $$n$$ के लिए हम समरूपता प्राप्त करते हैं $$(d_* + \gamma_*)_\text{odd}: D_\text{odd} \to D_\text{even}$$ साथ $$D_\text{odd} := \oplus_{n \, odd} \, D_n$$, $$D_\text{even} := \oplus_{n \, \text{even}} \, D_n$$. हम रिडेमिस्टर टोशन को परिभाषित करते हैं।


 * $$\rho(X;U) := |\det(A)|^{-1} \in \mathbf{R}^{>0}$$

जहां A का मैट्रिक्स है $$(d_* + \gamma_*)_\text{odd}$$ दिए गए आधारों के संबंध में। रिडेमिस्टर टोशन $$\rho(X;U)$$ के लिए सेलुलर आधार की स्वतंत्र चयन $$C_*({\tilde X})$$, के लिए ऑर्थोगोनल आधार $$U$$ और श्रृंखला $$\gamma_*$$संकुचन है। मान लीजिये $$M$$ कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड बनें, और मान लीजिये $$\rho\colon\pi(M)\rightarrow GL(E)$$ एक यूनिमॉड्यूलर प्रतिनिधित्व हो। $$M$$ सहज त्रिभुज है। वॉल्यूम के किसी भी विकल्प के लिए $$\mu\in\det H_*(M)$$, हमें अपरिवर्तनीय मिलता है। फिर हम धनात्मक वास्तविक संख्या $$\tau_M(\rho:\mu)$$ को $$\rho$$ और $$\mu$$ के संबंध में मैनिफोल्ड $$M$$ का रीडमीस्टर टोशन कहते हैं।

रीडेमिस्टर टोशन का संक्षिप्त इतिहास
रीडेमिस्टर टोशन का उपयोग पहली बार 3-आयामी लेंस रिक्त स्थान को संयोजित रूप से वर्गीकृत करने के लिए किया गया था (रीडेमिस्टर 1935) रीडेमिस्टर द्वारा, और उच्च-आयामी स्थानों में फ्रांज द्वारा। वर्गीकरण में होमोटॉपी समकक्ष 3-आयामी मैनिफ़ोल्ड के उदाहरण सम्मिलित हैं जो होमियोमोर्फिक नहीं हैं - उस समय (1935) वर्गीकरण केवल पीएल होमियोमोर्फिज्म तक था, लेकिन बाद में ई.जे. ब्रॉडी (1960) ने दिखाया कि यह वास्तव में होमोमोर्फिज्म तक का एक वर्गीकरण था।

जे.एच.सी. व्हाइटहेड ने परिमित परिसरों के बीच समरूपता तुल्यता के "टोशन" को परिभाषित किया। यह रीडमिस्टर, फ्रांज और डी राम अवधारणा का प्रत्यक्ष सामान्यीकरण है; लेकिन यह एक अधिक अपरिवर्तनीय है। व्हाइटहेड टोशन गैर-तुच्छ मौलिक समूहों के साथ कॉम्बिनेटरियल या अलग-अलग मैनिफोल्ड के अध्ययन के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण प्रदान करता है और "सरल होमोटॉपी प्रकार" की अवधारणा से निकटता से संबंधित है, देखें (मिल्नोर 1966)।

1960 में मिल्नोर ने मैनिफोल्ड्स के टोशन वाले अपरिवर्तनीयों के द्वंद्व संबंध की खोज की और दिखाया कि गांठों का (मुड़ा हुआ) अलेक्जेंडर बहुपद $$S^3$$ में इसके आसंधि पूरक का रीडमीस्टर टोशन है। (मिल्नोर 1962) प्रत्येक q के लिए पोनकारे द्वैत $$P_o$$ प्रेरित करता है।
 * $$P_o\colon\operatorname{det}(H_q(M))\overset{\sim}{\,\longrightarrow\,}(\operatorname{det}(H_{n-q}(M)))^{-1}$$

और फिर हम प्राप्त करते हैं
 * $$\Delta(t)=\pm t^n\Delta(1/t).$$

आसंधि पूरक के मूल समूह का प्रतिनिधित्व उनमें केंद्रीय भूमिका निभाता है। यह आसंधि सिद्धांत और टोशन अपरिवर्तनीयों के बीच संबंध बताता है।

चीगर-मुलर प्रमेय
मान लीजिये कि $$(M,g)$$ आयाम n का ओरिएंटेबल कॉम्पैक्ट रीमैन मैनिफोल्ड है और $$\rho\colon \pi(M)\rightarrow\mathop{GL}(E)$$ आयाम N के वास्तविक सदिश स्पेस पर $$M$$ के मौलिक समूह का प्रतिनिधित्व है।  फिर हम डी राम कॉम्प्लेक्स को परिभाषित कर सकते हैं
 * $$\Lambda^0\stackrel{d_0}{\longrightarrow}\Lambda^1\stackrel{d_1}{\longrightarrow}\cdots\stackrel{d_{n-1}}{\longrightarrow}\Lambda^n$$

और $$E_q$$ की समतलता के कारण औपचारिक सहायक $$d_p$$ और $$\delta_p$$ हमेशा की तरह, हम हॉज लाप्लासियन को p-फॉर्म पर भी प्राप्त करते हैं।
 * $$\Delta_p=\delta_{p+1} d_p+d_{p-1}\delta_{p}.$$

यह मानते हुए कि $$\partial M=0$$, लाप्लासियन एक शुद्ध बिंदु स्पेक्ट्रम के साथ सममित धनात्मक अर्ध-धनात्मक दीर्घवृत्त संकारक है।
 * $$0\le\lambda_0\le\lambda_1\le\cdots\rightarrow\infty.$$

पहले की तरह, हम $$\Lambda^q(E)$$ पर लाप्लासियन $$\Delta_q$$ से जुड़े ज़ेटा फलन को परिभाषित कर सकते हैं।
 * $$\zeta_q(s;\rho)=\sum_{\lambda_j >0}\lambda_j^{-s}=\frac{1}{\Gamma(s)}\int^\infty_0 t^{s-1}\text{Tr}(e^{-t\Delta_q} - P_q)dt,\ \ \ \text{Re}(s)>\frac{n}{2}$$

जहां $$P$$ लाप्लासियन $$\Delta_q$$ के कर्नेल स्थान $$L^2 \Lambda(E)$$ का प्रक्षेपण $$\mathcal{H}^q(E)$$ है। इसके अलावा (सीली 1967) द्वारा यह दिखाया गया कि $$\zeta_q(s;\rho)$$$$s\in\mathbf{C}$$ के मेरोमोर्फिक फलन तक विस्तारित है जो $$s=0$$ पर होलोमोर्फिक है।

ऑर्थोगोनल प्रतिनिधित्व के स्तिथि में, हम विश्लेषणात्मक टोशन $$T_M(\rho;E)$$ को परिभाषित करते हैं।
 * $$T_M(\rho;E) = \exp\biggl(\frac{1}{2}\sum^n_{q=0}(-l)^qq\frac{d}{ds}\zeta_q(s;\rho)\biggl|_{s=0}\biggr).$$

1971 में डी.बी. रे और आई.एम. सिंगर ने यह अनुमान लगाया $$T_M(\rho;E)=\tau_M(\rho;\mu)$$ किसी भी एकात्मक प्रतिनिधित्व $$\rho$$ के लिए यह रे-सिंगर अनुमान अंततः चीगर (1977, 1979) और मुलर (1978) द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध हुआ। दोनों दृष्टिकोण टोशन और उनके निशान के लघुगणक पर ध्यान केंद्रित करते हैं। यह सम-आयामी स्तिथि की तुलना में विषम-आयामी मैनिफ़ोल्ड के लिए आसान है, जिसमें अतिरिक्त तकनीकी कठिनाइयाँ सम्मिलित हैं। यह चीगर-मुलर प्रमेय (कि टोशन की दो धारणाएँ समतुल्य हैं), तियाह-पटोदी-सिंगर प्रमेय के साथ, बाद में चेर्न-साइमन क्षोभ सिद्धांत के लिए आधार प्रदान किया था।

अनियमित निरूपण के लिए चीगर-मुलर प्रमेय का एक प्रमाण बाद में जे. एम. बिस्मुट और वेइपिंग झांग द्वारा दिया गया था। उनके प्रमाण में विटन विरूपण का उपयोग किया जाता है।

संदर्भ

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