रेडॉन माप

गणित में (विशेष रूप से माप सिद्धांत में), जोहान रेडॉन के नाम पर एक रेडॉन माप, हॉसडॉर्फ सांस्थितिक समष्टि X के बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित जो सभी पर परिमित सिग्मा बीजगणित पर एक माप (गणित) है| है कॉम्पैक्ट जगह समुच्चय, सभी बोरेल समुच्चय पर बाहरी नियमित माप, और खुले समुच्चय समुच्चय पर आंतरिक नियमित माप। ये स्थितियाँ गारंटी देती हैं कि माप अंतरिक्ष की टोपोलॉजी के अनुकूल है, और गणितीय विश्लेषण और संख्या सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले अधिकांश उपाय वास्तव में रेडॉन उपाय हैं।

प्रेरणा
एक सामान्य समस्या एक सांस्थितिक समष्टि पर माप की एक अच्छी धारणा को खोजना है जो कुछ अर्थों में टोपोलॉजी के साथ संगत है। ऐसा करने का एक तरीका सांस्थितिक समष्टि के बोरेल समुच्चय पर माप को परिभाषित करना है। सामान्य तौर पर इसमें कई समस्याएं हैं: उदाहरण के लिए, इस तरह के माप में एक अच्छी तरह से परिभाषित समर्थन (माप सिद्धांत) नहीं हो सकता है। सिद्धांत को मापने के लिए एक अन्य दृष्टिकोण स्थानीय रूप स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान तक सीमित है, और केवल उन उपायों पर विचार करें जो कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्यों के स्थान पर सकारात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं के अनुरूप हैं (कुछ लेखक इसे रेडॉन माप की परिभाषा के रूप में उपयोग करते हैं)। यह बिना किसी रोग संबंधी समस्या के एक अच्छा सिद्धांत पैदा करता है, लेकिन यह उन जगहों पर लागू नहीं होता है जो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं हैं। यदि गैर-नकारात्मक उपायों पर कोई प्रतिबंध नहीं है और जटिल उपायों की अनुमति है, तो रेडॉन उपायों को कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्यों के स्थान पर निरंतर दोहरे स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। यदि ऐसा रेडॉन माप वास्तविक है तो इसे दो सकारात्मक मापों के अंतर में विघटित किया जा सकता है। इसके अलावा, एक स्वैच्छिक रेडॉन माप को चार सकारात्मक रेडॉन उपायों में विघटित किया जा सकता है, जहां कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भाग दो सकारात्मक रेडॉन उपायों के अंतर हैं।

रेडॉन उपायों के सिद्धांत में स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान के लिए सामान्य सिद्धांत के अधिकांश अच्छे गुण हैं, लेकिन यह सभी हौसडॉर्फ सांस्थितिक रिक्त स्थान पर लागू होता है। रेडॉन माप की परिभाषा का विचार कुछ गुणों को खोजना है जो स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान पर उपायों को चिह्नित करते हैं जो सकारात्मक कार्यात्मकताओं के अनुरूप होते हैं, और इन गुणों का उपयोग मनमाने ढंग से हौसडॉर्फ अंतरिक्ष पर रेडॉन माप की परिभाषा के रूप में करते हैं।

परिभाषाएँ
हौसडॉर्फ सांस्थितिक समष्टि एक्स के बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित पर एम को माप दें।

माप m को 'आंतरिक नियमित माप' या 'तंग' कहा जाता है, यदि किसी खुले समुच्चय U के लिए, m(U) U के सभी कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय K पर m(K) का सर्वोच्च है।

माप m को 'नियमित माप' कहा जाता है, यदि किसी बोरेल समुच्चय B के लिए, m(B) सभी खुले समुच्चय U में B युक्त m(U) से कम हो।

माप m को 'स्थानीय रूप से परिमित माप' कहा जाता है यदि X के प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस U है जिसके लिए m(U) परिमित है।

यदि m स्थानीय रूप से परिमित है, तो यह अनुसरण करता है कि m कॉम्पैक्ट समुच्चय पर परिमित है, और स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान के लिए, बातचीत भी लागू होती है। इस प्रकार, इस मामले में, कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय पर स्थानीय परिमितता को समान रूप से परिमितता द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

माप m को 'रेडॉन माप' कहा जाता है यदि यह आंतरिक नियमित और स्थानीय रूप से परिमित है। कई स्थितियों में, जैसे स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान पर परिमित उपाय, यह बाहरी नियमितता का भी अर्थ है (रेडॉन माप #रेडॉन रिक्त स्थान भी देखें)।

(रेडॉन माप के सिद्धांत को गैर-हॉउसडॉर्फ स्थानों तक विस्तारित करना संभव है, अनिवार्य रूप से कॉम्पैक्ट शब्द को हर जगह बंद कॉम्पैक्ट द्वारा प्रतिस्थापित करके। हालांकि, इस विस्तार के लगभग कोई अनुप्रयोग प्रतीत नहीं होते हैं।)

रेडॉन स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्पेस
पर मापता है

जब अंतर्निहित माप स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट सांस्थितिक समष्टि होता है, तो रेडॉन माप की परिभाषा को निरंतर फ़ंक्शन रैखिक मैप फ़ंक्शंस के संदर्भ में समर्थन (गणित) # कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर फ़ंक्शन के स्थान पर व्यक्त किया जा सकता है। यह कार्यात्मक विश्लेषण के संदर्भ में माप और एकीकरण को विकसित करना संभव बनाता है, जो कि एक दृष्टिकोण है और कई अन्य लेखक।

उपाय
निम्नलिखित में X स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट सांस्थितिक समष्टि को दर्शाता है। समर्थन (गणित) के साथ निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन #X पर कॉम्पैक्ट समर्थन एक सदिश स्थल बनाता है $$\mathcal{K}(X)=C_C(X)$$, जिसे एक प्राकृतिक स्थानीय रूप से उत्तल अंतरिक्ष टोपोलॉजी दी जा सकती है। वास्तव में, $$\mathcal{K}(X)$$ रिक्त स्थान का संघ है $$\mathcal{K}(X,K)$$ कॉम्पैक्ट स्पेस समुच्चय में निहित समर्थन के साथ निरंतर कार्यों की K. प्रत्येक रिक्त स्थान $$\mathcal{K}(X,K)$$ स्वाभाविक रूप से समान अभिसरण की टोपोलॉजी वहन करती है, जो इसे बनच स्थान बनाती है। लेकिन सांस्थितिक समष्टि के संघ के रूप में सांस्थितिक समष्टि, स्पेस की सीधी सीमा का एक विशेष मामला है $$\mathcal{K}(X)$$ रिक्त स्थान से प्रेरित प्रत्यक्ष सीमा स्थानीय रूप से उत्तल सांस्थितिक वेक्टर स्पेस टोपोलॉजी से लैस किया जा सकता है $$\mathcal{K}(X,K)$$; यह टोपोलॉजी एकसमान अभिसरण की टोपोलॉजी से बेहतर है।

यदि m एक रेडॉन माप है $$X,$$ फिर मैपिंग


 * $$ I : f \mapsto \int f(x)\, m(\mathrm d x) $$

से एक सतत सकारात्मक रेखीय मानचित्र है $$\mathcal{K}(X)$$ आर के लिए। सकारात्मकता का अर्थ है कि आई(एफ) ≥ 0 जब भी एफ एक गैर-नकारात्मक कार्य है। ऊपर परिभाषित प्रत्यक्ष सीमा टोपोलॉजी के संबंध में निरंतरता निम्नलिखित स्थिति के बराबर है: X के प्रत्येक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय K के लिए एक स्थिर M मौजूद हैK ऐसा है कि, K में निहित समर्थन के साथ X पर प्रत्येक निरंतर वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन f के लिए,


 * $$ |I(f)| \leq M_K \sup_{x\in X} |f(x)|. $$

इसके विपरीत, रिज़-मार्कोव-काकुटानी प्रतिनिधित्व प्रमेय द्वारा, प्रत्येक सकारात्मक रैखिक रूप पर $$\mathcal{K}(X)$$ एक अद्वितीय नियमित बोरेल उपाय के संबंध में एकीकरण के रूप में उत्पन्न होता है।

एक वास्तविक-मूल्यवान रेडॉन माप को कोई भी निरंतर रेखीय रूप में परिभाषित किया गया है $$\mathcal{K}(X)$$; वे बिल्कुल दो रेडॉन उपायों के अंतर हैं। यह स्थानीय रूप से उत्तल स्थान के दोहरे स्थान के साथ वास्तविक-मूल्यवान रेडॉन उपायों की पहचान देता है $$\mathcal{K}(X)$$. इन वास्तविक-मूल्यवान रेडॉन उपायों को हस्ताक्षरित उपायों की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, sin(x)dx एक वास्तविक-मूल्यवान रेडॉन माप है, लेकिन यह एक विस्तारित हस्ताक्षरित माप भी नहीं है क्योंकि इसे दो मापों के अंतर के रूप में नहीं लिखा जा सकता है जिनमें से कम से कम एक परिमित है।

कुछ लेखक पूर्ववर्ती दृष्टिकोण का उपयोग परिभाषित करने के लिए (सकारात्मक) रेडॉन उपायों को सकारात्मक रैखिक रूपों पर करते हैं $$\mathcal{K}(X)$$; देखना, या. इस समुच्चय -अप में एक शब्दावली का उपयोग करना आम है जिसमें उपरोक्त अर्थों में रेडॉन के उपायों को सकारात्मक उपाय कहा जाता है और वास्तविक-मूल्य वाले रेडॉन उपायों को ऊपर (वास्तविक) उपाय कहा जाता है।

एकीकरण
कार्यात्मक-विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण से स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान के लिए माप सिद्धांत के निर्माण को पूरा करने के लिए, कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित निरंतर कार्यों से माप (अभिन्न) का विस्तार करना आवश्यक है। यह वास्तविक या जटिल-मूल्यवान कार्यों के लिए कई चरणों में निम्नानुसार किया जा सकता है:
 * 1) ऊपरी अभिन्न μ*(g) की परिभाषा एक निचले अर्ध-सकारात्मक धनात्मक (वास्तविक-मूल्यवान) फ़ंक्शन g की सकारात्मक संख्याओं के सर्वोच्च (संभवतः अनंत) के रूप में μ '(h) कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित निरंतर कार्यों h ≤ g के लिए
 * 2) अपर इंटीग्रल की परिभाषा μ*(f) एक मनमाने ढंग से सकारात्मक (वास्तविक-मूल्यवान) फ़ंक्शन f के लिए अपर इंटीग्रल μ*(g) के न्यूनतम के रूप में ) कम अर्ध-निरंतर कार्यों के लिए g ≥ f
 * 3) सदिश स्थान की परिभाषा F = F(X, μ) X पर सभी कार्यों के स्थान के रूप में f जिसके लिए ऊपरी अभिन्न μ*(|f|) निरपेक्ष मान परिमित है; निरपेक्ष मान का ऊपरी अभिन्न 'एफ' पर एक अर्ध-मानक को परिभाषित करता है, और 'एफ' अर्ध-मानक द्वारा परिभाषित टोपोलॉजी के संबंध में एक पूर्ण स्थान है
 * 4) अंतरिक्ष एल की परिभाषा1(X, μ) 'अभिन्न कार्य' का निरंतर कॉम्पैक्ट रूप से समर्थित कार्यों के स्थान के F के अंदर क्लोजर (टोपोलॉजी) के रूप में
 * 5) एल में कार्यों के लिए 'अभिन्न' की परिभाषा1(X, μ) निरंतरता द्वारा विस्तार के रूप में (यह सत्यापित करने के बाद कि μ L की टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर है1(एक्स, μ))
 * 6) समुच्चय के सूचक समारोह के अभिन्न (जब यह मौजूद है) के रूप में एक समुच्चय के माप की परिभाषा।

यह सत्यापित करना संभव है कि ये चरण सिद्धांत के समान एक सिद्धांत उत्पन्न करते हैं जो एक्स के प्रत्येक बोरेल समुच्चय को एक संख्या निर्दिष्ट करने वाले फ़ंक्शन के रूप में परिभाषित रेडॉन माप से शुरू होता है।

इस कार्यात्मक-विश्लेषणात्मक समुच्चय -अप में 'R' पर Lebesgue माप को कुछ तरीकों से पेश किया जा सकता है। सबसे पहले, यह संभव है कि कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्यों के इंटीग्रल के लिए डेनियल अभिन्न या रीमैन इंटीग्रल जैसे प्राथमिक इंटीग्रल पर भरोसा किया जाए, क्योंकि ये इंटीग्रल की सभी प्राथमिक परिभाषाओं के लिए इंटीग्रल हैं। प्राथमिक एकीकरण द्वारा परिभाषित माप (ऊपर परिभाषित अर्थ में) सटीक रूप से लेबेस्ग उपाय है। दूसरा, अगर कोई रीमैन या डेनियल इंटीग्रल या अन्य समान सिद्धांतों पर निर्भरता से बचना चाहता है, तो पहले हार उपायों के सामान्य सिद्धांत को विकसित करना संभव है और लेबेसेग माप को 'आर' पर हार उपाय λ के रूप में परिभाषित करना है जो सामान्यीकरण की स्थिति को संतुष्ट करता है λ ([0,1]) = 1.

उदाहरण
रेडॉन उपायों के सभी उदाहरण निम्नलिखित हैं:
 * यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर लेबेस्ग्यू उपाय (बोरेल सबसमुच्चय तक सीमित);
 * किसी भी स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट सामयिक समूह पर हार उपाय;
 * किसी भी सामयिक स्थान पर डायराक माप;
 * यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर गाऊसी माप $$\mathbb{R}^n$$ इसके बोरेल सिग्मा बीजगणित के साथ;
 * किसी भी पोलिश स्थान के बोरेल समुच्चय के σ-बीजगणित पर संभाव्यता उपाय। यह उदाहरण न केवल पिछले उदाहरण को सामान्यीकृत करता है, बल्कि गैर-स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट रिक्त स्थान पर कई उपायों को शामिल करता है, जैसे अंतराल [0,1] पर वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के स्थान पर वीनर माप।
 * एक उपाय $$\mathbb{R}$$ एक रेडॉन माप है यदि और केवल यदि यह स्थानीय रूप से परिमित माप बोरेल माप है।

निम्नलिखित रेडॉन उपायों के उदाहरण नहीं हैं:
 * यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर माप की गणना एक ऐसे माप का उदाहरण है जो रेडॉन माप नहीं है, क्योंकि यह स्थानीय रूप से परिमित नहीं है।
 * क्रमिक संख्या का स्थान अधिक से अधिक के बराबर $$\Omega$$, आदेश टोपोलॉजी के साथ पहला बेशुमार क्रमसूचक एक कॉम्पैक्ट सांस्थितिक समष्टि है। वह माप जो किसी भी बोरेल समुच्चय पर 1 के बराबर होता है जिसमें बेशुमार बंद उपसमुच्चय होता है $$[1,\Omega)$$, और 0 अन्यथा, बोरेल है लेकिन रेडॉन नहीं, एक बिंदु समुच्चय के रूप में $$\{\Omega\}$$ माप शून्य है लेकिन इसके किसी भी खुले पड़ोस में माप 1 है। देखें.
 * X को अंतराल होने दें [0, 1) आधे खुले अंतराल के संग्रह द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी से लैस $$\{ [a,b): 0\leq a< b\leq 1\}$$. इस टोपोलॉजी को कभी-कभी सोरगेनफ्रे लाइन भी कहा जाता है। इस सांस्थितिक समष्टि पर, मानक लेबेस्ग्यू उपाय रेडॉन नहीं है क्योंकि यह आंतरिक नियमित नहीं है, क्योंकि कॉम्पैक्ट समुच्चय सबसे अधिक गणना योग्य हैं।
 * मान लीजिए कि Z एक बर्नस्टीन समुच्चय है $$[0,1]$$ (या कोई पोलिश स्थान)। फिर कोई माप नहीं जो Z पर बिंदुओं पर गायब हो जाता है, एक रेडॉन माप है, क्योंकि Z में कोई भी कॉम्पैक्ट समुच्चय गणनीय है।
 * मानक उत्पाद माप पर $$(0,1)^\kappa$$ बेशुमार के लिए $$\kappa$$ रेडॉन माप नहीं है, क्योंकि कोई भी कॉम्पैक्ट समुच्चय बेशुमार रूप से कई बंद अंतरालों के उत्पाद के भीतर समाहित है, जिनमें से प्रत्येक 1 से छोटा है।

हम ध्यान दें कि, सहज रूप से, रेडॉन माप गणितीय वित्त में विशेष रूप से लेवी प्रक्रियाओं के साथ काम करने के लिए उपयोगी है क्योंकि इसमें लेबेसेग माप और डायराक उपाय दोनों के गुण हैं, जैसा कि लेबेसेग के विपरीत, एक बिंदु पर एक रेडॉन माप जरूरी नहीं है। उपाय 0.

मॉडरेटेड रेडॉन उपाय
किसी स्थान X पर एक रेडॉन माप m दिया गया है, हम एक अन्य माप M (बोरेल समुच्चय पर) लगाकर परिभाषित कर सकते हैं


 * $$M(B) = \inf\{ m(V) \mid V \text{ is an open set with } B \subseteq V \subseteq X \} .$$

माप एम बाहरी नियमित है, और स्थानीय रूप से परिमित है, और खुले समुच्चय के लिए आंतरिक नियमित है। यह कॉम्पैक्ट और ओपन समुच्चय पर एम के साथ मेल खाता है, और एम को एम से अद्वितीय आंतरिक नियमित माप के रूप में पुनर्निर्मित किया जा सकता है जो कॉम्पैक्ट समुच्चय पर एम के समान है। माप m को 'मॉडरेट' कहा जाता है यदि M σ-सीमित है; इस स्थिति में माप m और M समान हैं। (यदि m σ-परिमित है तो इसका मतलब यह नहीं है कि M σ-परिमित है, इसलिए संयमित होना σ-परिमित होने से अधिक मजबूत है।)

वंशानुगत रूप से लिंडेलोफ़ स्थान पर प्रत्येक रेडॉन माप को मॉडरेट किया जाता है।

माप m का एक उदाहरण जो σ-परिमित है लेकिन मॉडरेट नहीं है, द्वारा दिया गया है निम्नलिखित नुसार। सांस्थितिक समष्टि एक्स ने बिंदुओं (0, y) के वाई-अक्ष द्वारा दिए गए वास्तविक विमान के सबसमुच्चय को बिंदुओं (1/n, m/n) के साथ एक साथ समुच्चय किया है।2) m,n धनात्मक पूर्णांकों के साथ। टोपोलॉजी इस प्रकार दी गई है। एकल अंक (1/n,m/n2) सभी खुले समुच्चय हैं। बिंदु (0,y) के पड़ोस का एक आधार वेज द्वारा दिया जाता है जिसमें फॉर्म (u,v) के X में सभी बिंदु शामिल होते हैं |v − y| ≤ |यू| ≤ 1/n धनात्मक पूर्णांक n के लिए। यह स्पेस एक्स स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट है। माप m को y-अक्ष को माप 0 देकर और बिंदु (1/n,m/n) देकर दिया जाता है2) का माप 1/n है 3। यह माप आंतरिक नियमित और स्थानीय रूप से परिमित है, लेकिन बाहरी नियमित नहीं है क्योंकि y-अक्ष वाले किसी भी खुले समुच्चय में माप अनंत है। विशेष रूप से y-अक्ष का m-माप 0 है लेकिन M-माप अनंत है।

रेडॉन स्पेस
एक सांस्थितिक समष्टि को रेडॉन स्पेस कहा जाता है यदि प्रत्येक परिमित बोरेल माप एक रेडॉन माप है, और जोरदार रेडॉन यदि प्रत्येक स्थानीय रूप से परिमित बोरेल माप एक रेडॉन माप है। कोई भी सुस्लिन अंतरिक्ष जोरदार रेडॉन है, और इसके अलावा हर रेडॉन माप को मॉडरेट किया जाता है।

द्वैत
स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉउसडॉर्फ स्पेस पर, रेडॉन उपाय कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ निरंतर कार्यों के स्थान पर सकारात्मक रैखिक कार्यात्मकताओं के अनुरूप हैं। यह आश्चर्य की बात नहीं है क्योंकि यह संपत्ति रेडॉन माप की परिभाषा के लिए मुख्य प्रेरणा है।

मीट्रिक अंतरिक्ष संरचना
शंकु (रैखिक बीजगणित) $$\mathcal{M}_{+} (X)$$ सभी (सकारात्मक) रेडॉन उपायों पर $$X$$ दो उपायों के बीच रेडॉन दूरी को परिभाषित करके एक पूर्ण अंतरिक्ष मीट्रिक अंतरिक्ष की संरचना दी जा सकती है $$m_1, m_2 \in \mathcal{M}_{+} (X)$$ होना
 * $$\rho (m_{1}, m_{2}) := \sup \left\{ \left. \int_{X} f(x) (m_1 - m_2) (\mathrm d x) \ \right| \mathrm{continuous\,} f : X \to [-1, 1] \subset \mathbb{R} \right\}.$$

इस मीट्रिक की कुछ सीमाएँ हैं। उदाहरण के लिए, रेडॉन संभावना का स्थान पर उपाय करता है $$X$$,
 * $$\mathcal{P} (X) := \{ m \in \mathcal{M}_{+} (X) \mid m (X) = 1 \},$$

रेडॉन मीट्रिक के संबंध में कॉम्पैक्ट स्पेस नहीं है: यानी, यह गारंटी नहीं है कि संभाव्यता उपायों के किसी भी क्रम में रेडॉन मीट्रिक के संबंध में अभिसरण होगा, जो कुछ अनुप्रयोगों में कठिनाइयों को प्रस्तुत करता है। वहीं दूसरी ओर अगर $$X$$ एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक स्थान है, तो वासेरस्टीन मीट्रिक बदल जाता है $$\mathcal{P} (X)$$ एक कॉम्पैक्ट मीट्रिक अंतरिक्ष में।

रेडॉन मीट्रिक में अभिसरण का तात्पर्य उपायों के कमजोर अभिसरण से है:
 * $$\rho (m_{n}, m) \to 0 \Rightarrow m_{n} \rightharpoonup m,$$

लेकिन विपरीत निहितार्थ सामान्य रूप से झूठा है। रेडॉन मीट्रिक में उपायों के अभिसरण को कभी-कभी मजबूत अभिसरण के रूप में जाना जाता है, जैसा कि कमजोर अभिसरण के विपरीत होता है।

संदर्भ

 * Functional-analytic development of the theory of Radon measure and integral on locally compact spaces.
 * Functional-analytic development of the theory of Radon measure and integral on locally compact spaces.


 * Haar measure; Radon measures on general Hausdorff spaces and equivalence between the definitions in terms of linear functionals and locally finite inner regular measures on the Borel sigma-algebra.
 * Haar measure; Radon measures on general Hausdorff spaces and equivalence between the definitions in terms of linear functionals and locally finite inner regular measures on the Borel sigma-algebra.


 * Contains a simplified version of Bourbaki's approach, specialised to measures defined on separable metrizable spaces.
 * Contains a simplified version of Bourbaki's approach, specialised to measures defined on separable metrizable spaces.