बर्नौली संख्या

गणित में, बर्नौली संख्याएँ $B± n$ परिमेय संख्याओं का एक क्रम है जो गणितीय विश्लेषण में प्रायः होता है। बर्नौली संख्याएँ स्पर्शरेखा और अतिपरवलीय स्पर्शरेखा फलन के टेलर श्रृंखला विस्तार में दिखाई देती है (और इसके द्वारा परिभाषित की जा सकती है) यूलर-मैकलॉरिन सूत्र में, पहले n धनात्मक पूर्णांकों की m-वें घातों के योग के लिए फॉलहैबर के सूत्र में, और रीमैन जीटा फलन के कुछ मानों के लिए व्यंजकों में हैं।

पहले 20 बर्नौली संख्याओं के मान आसन्न तालिका में दिए गए हैं। साहित्य में दो परंपराओं का उपयोग किया जाता है, जिन्हें $$B^{-{}}_n$$ और $$B^{+{}}_n$$ द्वारा यहां दर्शाया गया है; वे केवल $B_{n}$ के लिए भिन्न हैं, जहां $$B^{-{}}_1=-1/2$$ और $$B^{+{}}_1=+1/2$$ है। प्रत्येक विषम  $n = 1$, के लिए $n > 1$ है। प्रत्येक सम $B_{n} = 0$ के लिए, यदि $n > 0$ 4 से विभाज्य है तो $n$ ऋणात्मक है और अन्यथा धनात्मक है। बर्नौली संख्याएँ बर्नौली बहुपद $$B_n(x)$$ के विशेष मान हैं, जिनमें$$B^{-{}}_n=B_n(0)$$ और $$B^+_n=B_n(1)$$हैं।

बर्नौली संख्याओं की खोज लगभग उसी समय स्विस गणितज्ञ जैकब बर्नौली द्वारा की गई थी, जिनके नाम पर इनका नाम रखा गया था, और स्वाधीनतः जापानी गणितज्ञ सेकी ताकाकाज़ू द्वारा इसे किया गया। सेकी की खोज को मरणोपरांत 1712 में कात्सुयो संपो में उनके काम को प्रकाशित किया गया था ; बर्नौली ने भी, मरणोपरांत, 1713 के अपने आर्स कॉन्जेक्टैंडी में किया गया था। 1842 से एनालिटिकल इंजन पर एडा लवलेस है के एडा बायरन के नोट्स G में बैबेज की मशीन के साथ बर्नौली नंबर उत्पन्न करने के लिए एक एल्गोरिदम का वर्णन किया गया है।परिणामस्वरूप, बर्नौली संख्याओं को पहले प्रकाशित जटिल कंप्यूटर प्रोग्राम का विषय होने का गौरव प्राप्त है।

नोटेशन
इस आलेख में प्रयुक्त सुपरस्क्रिप्ट $B_{n}$ बर्नौली संख्याओं के लिए दो संकेत कन्वेंशन को अलग करता है। केवल $±$ पद प्रभावित होता है: नीचे दिए गए सूत्रों में, कोई भी संबंध के साथ एक संकेत कन्वेंशन से दूसरे में स्विच कर सकता है $$B_n^{+}=(-1)^n B_n^{-}$$, या पूर्णांक के लिए $n$ = 2 या अधिक, बस इसे अनदेखा करें।
 * $n = 1$के साथ $B− n$ ( / ) एनआईएसटी और अधिकांश आधुनिक पाठ्यपुस्तकों द्वारा निर्धारित संकेत कन्वेंशन है।
 * $B− 1 = −1⁄2$ साथ $B+ n$ ( / ) का उपयोग पुराने साहित्य में किया गया था, और (2022 से) डोनाल्ड नुथ द्वारा पीटर लुश्नी के "बर्नौली घोषणापत्र" का अनुसरण करते हुए किया गया था।

तब से $B+ 1 = +1⁄2$ सभी विषम के लिए $Bn = 0$, और कई सूत्रों में केवल सम-सूचकांक बर्नौली संख्याएं सम्मिलित होती हैं, कुछ लेखक $n > 1$ के बजाय "$B2n$" लिखते हैं। यह आलेख उस संकेतन का पालन नहीं करता है।

प्रारंभिक इतिहास
बर्नौली संख्याएँ पूर्णांक घातों के योग की गणना के प्रारंभिक इतिहास में निहित हैं, जो प्राचीन काल से गणितज्ञों के लिए रुचिकर रही हैं।

$1⁄2$ धनात्मक पूर्णांकों के योग,वर्गों के योग और पहले $1⁄6$ धनात्मक पूर्णांकों के घनों के योग की गणना करने के तरीके ज्ञात थे, लेकिन कोई वास्तविक 'सूत्र' नहीं थे, केवल पूरी तरह से शब्दों में दिए गए विवरण थे। इस समस्या पर विचार करने वाले प्राचीन काल के महान गणितज्ञों में पाइथागोरस (लगभग 572-497 ईसा पूर्व, ग्रीस), आर्किमिडीज (287-212 ईसा पूर्व, इटली), आर्यभट्ट (जन्म 476, भारत), अबू बक्र अल-करजी (मृत्यु) सम्मिलित थे। 1019, फारस) और अबू अली अल-हसन इब्न अल-हसन इब्न अल हैदम  (965-1039, इराक) थे।

सोलहवीं शताब्दी के अंत और सत्रहवीं शताब्दी के प्रारंभ में गणितज्ञों ने महत्वपूर्ण प्रगति की। पश्चिम में इंग्लैंड के थॉमस हैरियट (1560-1621), जर्मनी के जॉन फ़ौल्हाबर (1580-1635), पियरे डी फ़र्मेट (1601-1665) और साथी फ्रांसीसी गणितज्ञ ब्लेस पास्कल (1623-1662) सभी ने महत्वपूर्ण भूमिकाएँ निभाईं।

ऐसा प्रतीत होता है कि थॉमस हैरियट प्रतीकात्मक संकेतन का उपयोग करके घातों के योग के लिए सूत्र प्राप्त करने और लिखने वाले पहले व्यक्ति थे, लेकिन उन्होंने भी केवल चौथी घातों के योग तक की गणना की। जोहान फ़ौल्हाबर ने अपने 1631 एकेडेमिया बीजगणित में 17वीं घात तक की घातों के योग के लिए सूत्र दिए, जो उनसे पहले के किसी भी घात से कहीं अधिक थे, लेकिन उन्होंने कोई सामान्य सूत्र नहीं दिया।

1654 में ब्लेज़ पास्कल ने $Bn$ के लिए पहले $p = 0, 1, 2, ..., k$ धनात्मक पूर्णांकों की $n$वी घातों के योग से संबंधित पास्कल की पहचान को सिद्ध किया।

स्विस गणितज्ञ जैकब बर्नौली (1654-1705) ने सबसे पहले स्थिरांक $p$ के एकल अनुक्रम के अस्तित्व को समझने वाले पहले व्यक्ति थे, जो सभी घातों के योग के लिए एक समान सूत्र प्रदान करता है।

जब बर्नौली ने किसी धनात्मक पूर्णांक $1⁄30$ के लिए $B_{0}, B_{1}, B_{2},...$वी घातों के योग के लिए अपने सूत्र के गुणांकों की त्वरित और आसानी से गणना करने के लिए आवश्यक पैटर्न पर प्रहार किया, तो उन्हें जो खुशी महसूस हुई, उसे उनकी टिप्पणी से देखा जा सकता है। उन्होंने लिखा है:


 * "इस तालिका की मदद से, मुझे यह पता लगाने में आधे घंटे से भी कम समय लगा कि पहली 1000 संख्याओं की दसवीं घातों को एक साथ जोड़ने पर योग 91,409,924,241,424,243,424,241,924,242,500 प्राप्त होगा।"

बर्नौली का परिणाम मरणोपरांत 1713 में अर्स कॉन्जेक्टैंडी में प्रकाशित किया गया था। सेकी ताकाकाज़ू ने स्वतंत्र रूप से बर्नौली संख्याओं की खोज की और उनका परिणाम एक साल पहले, मरणोपरांत, 1712 में प्रकाशित किया गया था। हालाँकि, सेकी ने अपनी पद्धति को स्थिरांक के अनुक्रम पर आधारित सूत्र के रूप में प्रस्तुत नहीं किया।

घातों के योग के लिए बर्नौली का सूत्र अब तक का सबसे उपयोगी और सामान्यीकरण योग्य सूत्रीकरण है। अब्राहम डी मोइवरे के सुझाव के बाद, बर्नौली के सूत्र में गुणांक को अब बर्नौली संख्या कहा जाता है।

बर्नौली के सूत्र को कभी-कभी जोहान फौल्हाबर के बाद फाउलहाबर का सूत्र कहा जाता है, जिन्होंने घातों के योग की गणना करने के उल्लेखनीय तरीके खोजे लेकिन बर्नौली के सूत्र से कभी नहीं बताया। नुथ के अनुसार फ़ौल्हाबर के सूत्र का एक कठोर प्रमाण पहली बार 1834 में कार्ल जैकोबी द्वारा प्रकाशित किया गया था। नुथ के फ़ौल्हाबर के सूत्र के गहन अध्ययन का निष्कर्ष है (एलएचएस पर गैरमानक संकेतन को आगे समझाया गया है):


 * "फ़ौल्हाबर ने कभी बर्नौली संख्याओं की खोज नहीं की; यानी, उन्हें कभी भी यह एहसास नहीं हुआ कि स्थिरांक $c$ ... का एक एकल अनुक्रम एक समान प्रदान करेगा
 * $\sum n^m = \frac 1{m+1}\left( B_0n^{m+1}-\binom{m+1} 1 B_1 n^m+\binom{m+1} 2B_2n^{m-1}-\cdots +(-1)^m\binom{m+1}mB_mn\right) $
 * सभी घातों के योग के लिए। उदाहरण के लिए, उन्होंने इस तथ्य का कभी उल्लेख नहीं किया कि $B_{0}, B_{1}, B_{2},$ के लिए अपने सूत्रों को $1⁄42$ में बहुपदों से $1⁄30$ में बहुपदों में परिवर्तित किया था, तो लगभग आधे गुणांक शून्य थे।"

उपरोक्त में नुथ का तात्पर्य $$B_1^-$$ था; इसके बदले $$B_1^+$$का उपयोग करने से सूत्र घटाव से बचाता है:
 * $ \sum n^m = \frac 1{m+1}\left( B_0n^{m+1}+\binom{m+1} 1 B^+_1 n^m+\binom{m+1} 2B_2n^{m-1}+\cdots+\binom{m+1}mB_mn\right). $

सुम्मा पोटेस्टैटम का पुनर्निर्माण
बर्नौली संख्याएँ (एन)/(एन) को जैकब बर्नौली द्वारा 1713 पृष्ठ 97 में मरणोपरांत प्रकाशित पुस्तक आर्स कॉन्जेक्टैंडी में प्रस्तुत किया गया था। मुख्य सूत्र को संबंधित प्रतिकृति के दूसरे भाग में देखा जा सकता है। निरंतर गुणांक निरूपित $Σ n^{m}$, $A$, $B$ और $C$ बर्नौली द्वारा उस अंकन में मैप किया गया है जो अब $D$, $A = B_{2}$, $B = B_{4}$, $C = B_{6}$ के रूप में प्रचलित है। अभिव्यक्ति$D = B_{8}$ का अर्थ है $c·c−1·c−2·c−3$ - छोटे बिंदुओं का उपयोग समूहीकरण प्रतीकों के रूप में किया जाता है। आज की शब्दावली का प्रयोग करते हुए ये अभिव्यक्तियाँ घटती हुई भाज्य घात $c·(c−1)·(c−2)·(c−3)$ हैं। भाज्य संकेतन $c^$ $k!$ के शॉर्टकट के रूप में 100 साल बाद तक प्रस्तुत नहीं किया गया था। बायीं ओर का अभिन्न चिह्न 1675 में गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज़ के समय का है, जिन्होंने इसे "सुम्मा" (योग) एक लंबे अक्षर $1 × 2 × ... × k$ के रूप में उपयोग किया था। अक्षर $S$ बाईं ओर योग का सूचकांक नहीं है बल्कि योग की सीमा की ऊपरी सीमा दी गई है जिसे $n$ इस प्रकार समझा जाना चाहिए। चीजों को एक साथ रखकर, धनात्मकता $1, 2, ..., n$ के लिए, आज एक गणितज्ञ के बर्नौली के सूत्र को इस प्रकार लिखने की संभावना है:


 * $$ \sum_{k=1}^n k^c = \frac{n^{c+1}}{c+1}+\frac 1 2 n^c+\sum_{k=2}^c \frac{B_k}{k!} c^{\underline{k-1}}n^{c-k+1}.$$

यह सूत्र तथाकथित 'पुरातन' गणना से स्विच करते समय $c$ सेट करने का सुझाव देता है जो केवल सम सूचकांक 2, 4, 6... का उपयोग आधुनिक रूप में करता है (अगले पैराग्राफ में विभिन्न कन्वेंशन पर अधिक)। इस संदर्भ में सबसे चौंकाने वाला तथ्य यह है घटते फैक्टोरियल $B_{1} = 1⁄2$ में $c^$ के लिए मान $k = 0$ है। इस प्रकार बर्नौली का सूत्र लिखा जा सकता है
 * $$ \sum_{k=1}^n k^c = \sum_{k=0}^c \frac{B_k}{k!}c^{\underline{k-1}} n^{c-k+1}$$

यदि $1⁄c + 1$, बर्नौली द्वारा उस स्थिति में गुणांक को दिए गए मान को पुनः प्राप्त करना।

उपरोक्त बर्नौली द्वारा उद्धरण के पहले भाग में $$\textstyle \sum_{k=1}^n k^9$$ के लिए सूत्र अंतिम पद पर एक त्रुटि है; यह $$-\tfrac {1}{12}n^2$$ के बदले $$-\tfrac {3}{20}n^2$$ होना चाहिए।

परिभाषाएँ
पिछले 300 वर्षों में बर्नौली संख्याओं के कई लक्षण पाए गए हैं, और प्रत्येक का उपयोग इन संख्याओं को प्रस्तुत करने के लिए किया जा सकता है। यहां केवल तीन सबसे उपयोगी का उल्लेख किया गया है:


 * एक पुनरावर्ती समीकरण,
 * एक स्पष्ट सूत्र,
 * एक जनरेटिंग फलन।

तीन दृष्टिकोणों की तार्किक तुल्यता के प्रमाण के लिए।

पुनरावर्ती परिभाषा
बर्नौली संख्याएँ योग सूत्रों का पालन करती हैं
 * $$ \begin{align} \sum_{k=0}^{m}\binom {m+1} k B^{-{}}_k &= \delta_{m, 0} \\ \sum_{k=0}^{m}\binom {m+1} k B^{+{}}_k &= m+1 \end{align}$$

जहां $$m=0,1,2...$$ और $B_{1} = 1/2$ क्रोनकर डेल्टा को दर्शाता है। $$B^{\mp{}}_m$$ को हल करने पर पुनरावर्ती सूत्र प्राप्त होते हैं
 * $$\begin{align}

B_m^{-{}} &= \delta_{m, 0} - \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m}{k} \frac{B^{-{}}_k}{m - k + 1} \\ B_m^+ &= 1 - \sum_{k=0}^{m-1} \binom{m}{k} \frac{B^+_k}{m - k + 1}. \end{align}$$

स्पष्ट परिभाषा
1893 में लुई साल्सचुट्ज़ ने बर्नौली संख्याओं के लिए कुल 38 स्पष्ट सूत्र सूचीबद्ध किए, प्रायः पुराने साहित्य में कुछ संदर्भ दिए गए। उनमें से एक है ($$m\geq 1$$ के लिए ):
 * $$\begin{align}

B^{-{}}_m &= \sum_{k=0}^m \sum_{v=0}^k (-1)^v \binom{k}{v} \frac{v^m}{k + 1} \\ B^+_m &= \sum_{k=0}^m \sum_{v=0}^k (-1)^v \binom{k}{v} \frac{(v + 1)^m}{k + 1}. \end{align}$$

जनरेटिंग फलन
घातीय फलन हैं
 * $$\begin{alignat}{3}

\frac{t}{e^t - 1}   &= \frac{t}{2} \left( \operatorname{coth} \frac{t}{2} -1 \right) &&= \sum_{m=0}^\infty \frac{B^{-{}}_m t^m}{m!}\\ \frac{t}{1 - e^{-t}} &= \frac{t}{2} \left( \operatorname{coth} \frac{t}{2} +1 \right) &&= \sum_{m=0}^\infty \frac{B^+_m t^m}{m!}. \end{alignat}$$ जहां प्रतिस्थापन $$t \to - t$$ है। यदि हम $$F(t)=\sum_{i=1}^\infty f_it^i$$ और $$G(t)=1/(1+F(t))=\sum_{i=0}^\infty g_it^i$$ मान लें तब


 * $$G(t)=1-F(t)G(t).$$

तब $$g_0=1$$ और $$m>0$$ के लिए $$G(t)$$की श्रृंखला में mवाँ पद है:


 * $$g_mt^i=-\sum_{j=0}^{m-1}f_{m-j}g_jt^m$$

यदि


 * $$F(t)=\frac{e^t-1}t-1=\sum_{i=1}^\infty \frac{t^i}{(i+1)!}$$

तब हम उसे पाते हैं


 * $$G(t)=t/(e^t-1)$$
 * $$\begin{align}

m!g_m&=-\sum_{j=0}^{m-1}\frac{m!}{j!}\frac{j!g_j}{(m-j+1)!}\\ &=-\frac 1{m+1}\sum_{j=0}^{m-1}\binom{m+1}jj!g_j\\ \end{align}$$ यह दर्शाता है कि $$i!g_i$$ के मान बर्नौली संख्या $$B^-_i$$ के लिए पुनरावर्ती सूत्र का पालन करते हैं।

(साधारण) जनक फलन
 * $$ z^{-1} \psi_1(z^{-1}) = \sum_{m=0}^{\infty} B^+_m z^m$$

एक स्पर्शोन्मुख श्रृंखला है। इसमें ट्राइगामा फलन $δ$ सम्मिलित है।

बर्नौली संख्या और रीमैन जीटा फलन
बर्नौली संख्याओं को रीमैन जीटा फलन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $ψ_{1}$      $B+ n = −nζ(1 − n)$    के लिए है।

यहां जीटा फलन का तर्क 0 या ऋणात्मक है।

जीटा कार्यात्मक समीकरण और गामा प्रतिबिंब सूत्र के माध्यम से निम्नलिखित संबंध प्राप्त किया जा सकता है:


 * $$ B_{2n} = \frac {(-1)^{n+1}2(2n)!} {(2\pi)^{2n}} \zeta(2n) \quad $$$n ≥ 1$ के लिए है।

अब जीटा फलन का तर्क धनात्मक है।

इसके बाद यह $n ≥ 1$ ($&zeta; &rarr; 1$) और स्टर्लिंग के सूत्र से निकलता है कि
 * $$ |B_{2 n}| \sim 4 \sqrt{\pi n} \left(\frac{n}{ \pi e} \right)^{2n} \quad $$ $n &rarr; &infin;$ के लिए है।

बर्नौली संख्याओं की कुशल गणना
कुछ अनुप्रयोगों में बर्नौली संख्या $n &rarr; &infin;$ से $B_{0}$ मापांक $5⁄66$ की गणना करने में सक्षम होना उपयोगी है, जहां $691⁄2730$ एक अभाज्य है; उदाहरण के लिए यह परीक्षण करने के लिए कि क्या वैंडिवर का अनुमान $7⁄6$ के लिए सही है, या यहां तक ​​कि सिर्फ यह निर्धारित करने के लिए कि क्या $3617⁄510$ एक अनियमित अभाज्य है। उपरोक्त पुनरावर्ती सूत्रों का उपयोग करके ऐसी गणना करना संभव नहीं है, क्योंकि कम से कम (एक निरंतर गुणक) $B_{p − 3}$ अंकगणितीय संक्रियाओं की आवश्यकता होगी। सौभाग्य से, तेज़ विधियाँ विकसित की गई हैं जिसके लिए केवल $p^{2}$ संक्रिया की आवश्यकता होती है (बड़ा $43867⁄798$ संकेतन देखें)।

डेविड हार्वे कई छोटे अभाज्य संख्याओं $174611⁄330$ के लिए $O(p (log p)^{2})$ मापांक $n$ की गणना करके और फिर चीनी शेषफल प्रमेय के माध्यम से $B_{n}$ का पुनर्निर्माण करके बर्नौली संख्याओं की गणना के लिए एक एल्गोरिदम का वर्णन करता है। हार्वे लिखते हैं कि इस एल्गोरिदम की स्पर्शोन्मुख कम्प्यूटेशनल जटिलता $B_{n}$ है और दावा करते हैं कि यह कार्यान्वयन अन्य तरीकों पर आधारित कार्यान्वयन की तुलना में काफी तेज़ है। इस कार्यान्वयन का उपयोग करके हार्वे ने $O(n^{2} log(n)^{2 + ε})$ के लिए $n = 10^{8}$ गणना की। हार्वे के कार्यान्वयन को संस्करण 3.1 से सेजमैथ में सम्मिलित किया गया है। उनसे पहले, बर्नड केल्नर ने दिसंबर 2002 में $B_{n}$ के लिए पूर्ण परिशुद्धता के साथ  $n = 10^{6}$ की गणना की थी और अप्रैल 2008 में मेथेमेटिका के साथ ऑलेक्ज़ेंडर पावलिक ने $B_{n}$ के लिए $n = 10^{7}$ की गणना की थी।


 * {| class=wikitable style="text-align:right"

! परिकलक !! साल !! n !! अंक *
 * align=left| जे. बर्नौली || ~1689 || 10 || 1
 * align=left| एल. यूलर || 1748 || 30 || 8
 * align=left| जे. सी. एडम्स || 1878 || 62 || 36
 * align=left| डी. ई. नुथ, टी. जे. बखोल्ट्ज़ || 1967 || $n$ || $n$
 * align=left| जी. फी, एस. प्लौफ़े|| 1996 || $c$ || $N$
 * align=left| जी. फी, एस. प्लौफ़े || 1996 || $n$ || $p$
 * align=left| बी. सी. केल्नर || 2002 || $p$ || $p$
 * align=left| ओ. पावलिक || 2008 || $p$ || $O$
 * align=left| डी. हार्वे || 2008 || $p$ || $p$
 * }
 * * जब $B_{n}$ को सामान्यीकृत वैज्ञानिक संकेतन में वास्तविक संख्या के रूप में लिखा जाता है अंकों को 10 के घातांक के रूप में समझा जाना जाता है।
 * align=left| जी. फी, एस. प्लौफ़े || 1996 || $1,672$ || $3,330$
 * align=left| बी. सी. केल्नर || 2002 || $10,000$ || $27,677$
 * align=left| ओ. पावलिक || 2008 || $100,000$ || $376,755$
 * align=left| डी. हार्वे || 2008 || $1,000,000$ || $4,767,529$
 * }
 * * जब $B_{n}$ को सामान्यीकृत वैज्ञानिक संकेतन में वास्तविक संख्या के रूप में लिखा जाता है अंकों को 10 के घातांक के रूप में समझा जाना जाता है।
 * align=left| डी. हार्वे || 2008 || $10,000,000$ || $57,675,260$
 * }
 * * जब $B− 1 = −1⁄2$ को सामान्यीकृत वैज्ञानिक संकेतन में वास्तविक संख्या के रूप में लिखा जाता है अंकों को 10 के घातांक के रूप में समझा जाना जाता है।

जूलिया प्रोग्रामिंग भाषा में बर्नौली संख्याओं की गणना के लिए एक संभावित एल्गोरिदम दिया गया है

स्पर्शोन्मुख विश्लेषण
गणित में बर्नौली संख्याओं का संभवतः सबसे महत्वपूर्ण अनुप्रयोग यूलर-मैकलॉरिन सूत्र में उनका उपयोग है। ये मानते हुए $100,000,000$  एक पर्याप्त रूप से प्रायः विभेदित फलन है जिसे यूलर-मैकलॉरिन सूत्र के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\sum_{k=a}^{b-1} f(k) = \int_a^b f(x)\,dx + \sum_{k=1}^m \frac{B^-_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_-(f,m).$$

यह सूत्रीकरण कन्वेंशन $B+ 1 = +1⁄2$ को मानता है। कन्वेंशन $s^{\overline{k}}|undefined$ का उपयोग करना सूत्र बन जाता है


 * $$\sum_{k=a+1}^{b} f(k) = \int_a^b f(x)\,dx + \sum_{k=1}^m \frac{B^+_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R_+(f,m).$$

यहाँ $$f^{(0)}=f$$ (यानी $$f$$ का शून्य-क्रम अवकलज केवल $$f$$ है)। इसके अलावा, मान लीजिए कि $$f^{(-1)}$$ $$f$$ के एक प्रतिअवकलज को दर्शाता है। कलन के मौलिक प्रमेय द्वारा,


 * $$\int_a^b f(x)\,dx = f^{(-1)}(b) - f^{(-1)}(a).$$

इस प्रकार अंतिम सूत्र को यूलर-मैकलॉरिन सूत्र के निम्नलिखित संक्षिप्त रूप में और सरल बनाया जा सकता है


 * $$ \sum_{k=a}^{b}f(k)= \sum_{k=0}^m \frac{B_k}{k!} (f^{(k-1)}(b)-f^{(k-1)}(a))+R(f,m). $$

उदाहरण के लिए, यह फॉर्म जीटा फलन के महत्वपूर्ण यूलर-मैकलॉरिन विस्तार का स्रोत है


 * $$ \begin{align}

\zeta(s) & =\sum_{k=0}^m \frac{B^+_k}{k!} s^{\overline{k-1}} + R(s,m) \\ & = \frac{B_0}{0!}s^{\overline{-1}} + \frac{B^+_1}{1!} s^{\overline{0}} + \frac{B_2}{2!} s^{\overline{1}} +\cdots+R(s,m) \\ & = \frac{1}{s-1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{12}s + \cdots + R(s,m). \end{align} $$ यहाँ $ψ$ बढ़ती भाज्य घात को दर्शाता है।

बर्नौली संख्याओं का उपयोग प्रायः अन्य प्रकार के स्पर्शोन्मुख विस्तारों में भी किया जाता है। निम्नलिखित उदाहरण डिगामा फलन $n$ का चिरप्रतिष्ठित पोंकारे-प्रकार का स्पर्शोन्मुख विस्तार है।


 * $$\psi(z) \sim \ln z - \sum_{k=1}^\infty \frac{B^+_k}{k z^k} $$

घातों का योग
बर्नौली संख्याएँ पहले $m$ धनात्मक पूर्णांकों की $m, n ≥ 0$वीं घातों के योग की बंद-रूप अभिव्यक्ति में प्रमुखता से प्रदर्शित होती हैं।   $n$ के लिए परिभाषित करना


 * $$S_m(n) = \sum_{k=1}^n k^m = 1^m + 2^m + \cdots + n^m. $$

इस अभिव्यक्ति को हमेशा $m + 1$ डिग्री $( m + 1 k )$ में एक बहुपद के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। इन बहुपदों के गुणांक बर्नौली के सूत्र द्वारा बर्नौली संख्याओं से संबंधित हैं:
 * $$S_m(n) = \frac{1}{m + 1} \sum_{k=0}^m \binom{m + 1}{k} B^+_k n^{m + 1 - k} = m! \sum_{k=0}^m \frac{B^+_k n^{m + 1 - k}}{k! (m+1-k)!} ,$$

जहां $m$ द्विपद गुणांक को दर्शाता है।

उदाहरण के लिए, लेना $0, 1, 3, 6, ...$ को 1 मानने से त्रिकोणीय संख्याएँ $m$ प्राप्त होती हैं।


 * $$ 1 + 2 + \cdots + n = \frac{1}{2} (B_0 n^2 + 2 B^+_1 n^1) = \tfrac12 (n^2 + n).$$

$0, 1, 5, 14, ...$ को 2 मानने पर वर्गाकार पिरामिड संख्याएँ $(4n − 1)$ प्राप्त होती हैं।

$$1^2 + 2^2 + \cdots + n^2 = \frac{1}{3} (B_0 n^3 + 3 B^+_1 n^2 + 3 B_2 n^1) = \tfrac13 \left(n^3 + \tfrac32 n^2 + \tfrac12 n\right).$$ कुछ लेखक बर्नौली संख्याओं के लिए वैकल्पिक परंपरा का उपयोग करते हैं और बर्नौली के सूत्र को इस प्रकार बताते हैं:
 * $$S_m(n) = \frac{1}{m + 1} \sum_{k=0}^m (-1)^k \binom{m + 1}{k} B^{-{}}_k n^{m + 1 - k}.$$

बर्नौली के सूत्र को कभी-कभी जोहान फ़ौल्हाबर के बाद फ़ौल्हाबर का सूत्र भी कहा जाता है, जिन्होंने घातों के योग की गणना करने के उल्लेखनीय तरीके भी खोजे थे।

फ़ौल्हाबर के सूत्र को वी. गुओ और जे. ज़ेंग द्वारा $676,752,569$-एनालॉग में सामान्यीकृत किया गया था।

टेलर श्रृंखला
बर्नौली संख्याएँ कई त्रिकोणमितीय फलनों और अतिपरवलीय फलनों के टेलर श्रृंखला विस्तार में दिखाई देती हैं।


 * स्पर्शरेखा
 * $$ \begin{align}

\tan x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n-1} 2^{2n} (2^{2n}-1) B_{2n} }{(2n)!}\; x^{2n-1},& \left |x \right | &< \frac \pi 2 \\ \end{align} $$
 * कोटैंजेंट
 * $$ \begin{align}

\cot x & {} = \frac{1}{x} \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n B_{2n} (2x)^{2n}}{(2n)!},& \qquad 0 < |x| < \pi. \end{align} $$
 * अतिपरवलीय स्पर्शज्या
 * $$\begin{align}

\tanh x &= \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{2n}(2^{2n}-1)B_{2n}}{(2n)!}\;x^{2n-1},& |x| &< \frac \pi 2. \end{align}$$
 * अतिपरवलीय कोटैंजेंट
 * $$ \begin{align}

\coth x & {} = \frac{1}{x} \sum_{n=0}^\infty \frac{B_{2n} (2x)^{2n}}{(2n)!},& \qquad \qquad 0 < |x| < \pi. \end{align} $$

लॉरेंट श्रृंखला
बर्नौली संख्याएँ निम्नलिखित लॉरेंट श्रृंखला में दिखाई देती हैं: }

दिगम्मा फलन: $$ \psi(z)= \ln z- \sum_{k=1}^\infty \frac {B_k^{+{}}} {k z^k} $$

टोपोलॉजी में उपयोग
विजातीय $n ≥ 2$-क्षेत्रों के भिन्नरूपता वर्गों के चक्रीय समूह के क्रम के लिए केरवायर-मिल्नोर सूत्र, जो समानांतर मैनिफोल्ड्स को बांधता है, में बर्नौली संख्याएं सम्मिलित हैं। मान लीजिए कि $ES_{n}$ के लिए $n!$ ऐसे विजातीय क्षेत्रों की संख्या हो,


 * $$\textit{ES}_n = (2^{2n-2}-2^{4n-3}) \operatorname{Numerator}\left(\frac{B_{4n}}{4n} \right) .$$

आयाम 4एन के एक चिकनी उन्मुख बंद मैनिफोल्ड के $f$ श्रेणी के लिए हिरज़ेब्रुक हस्ताक्षर प्रमेय में बर्नौली संख्याएं भी सम्मिलित हैं।

संयोजक संख्याओं के साथ संबंध
विभिन्न प्रकार के संयोजन संख्याओं के साथ बर्नौली संख्या का संबंध परिमित अंतर के चिरप्रतिष्ठित सिद्धांत और एक मौलिक संयोजन सिद्धांत, समावेशन-बहिष्करण सिद्धांत के उदाहरण के रूप में बर्नौली संख्याओं की संयोजन व्याख्या पर आधारित है।

वर्पिट्ज़की संख्याओं के साथ संबंध
आगे बढ़ने की परिभाषा 1883 में जूलियस वर्पिट्ज़की द्वारा विकसित की गई थी। प्रारंभिक अंकगणित के अलावा केवल फैक्टोरियल फलन $k^{m}$ और घात फलन $B_{0} = 1$ कार्यरत है। साइनलेस वर्पिट्ज़की संख्याओं को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$ W_{n,k}=\sum_{v=0}^k (-1)^{v+k} (v+1)^n \frac{k!}{v!(k-v)!} . $$

इन्हें दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं के माध्यम से भी व्यक्त किया जा सकता है


 * $$ W_{n,k}=k! \left\{ {n+1\atop k+1} \right\}.$$

फिर एक बर्नौली संख्या को हार्मोनिक अनुक्रम 1, $q$, $L$,... द्वारा भारित वर्पिट्ज़की संख्याओं के समावेशन-बहिष्करण योग के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।


 * $$ B_{n}=\sum_{k=0}^n (-1)^k \frac{W_{n,k}}{k+1}\ =\ \sum_{k=0}^n \frac{1}{k+1} \sum_{v=0}^k (-1)^v (v+1)^n {k \choose v}\ . $$

यह निरूपण में $B_{1} = 1 − 1⁄2$ है।

अनुक्रम $B_{2} = 1 − 3⁄2 + 2⁄3$, $B_{3} = 1 − 7⁄2 + 12⁄3 − 6⁄4$ पर विचार करें। वर्पिट्ज़की की संख्याओं से, , $B_{4} = 1 − 15⁄2 + 50⁄3 − 60⁄4 + 24⁄5$ $B_{5} = 1 − 31⁄2 + 180⁄3 − 390⁄4 + 360⁄5 − 120⁄6$ पर लागू अकीयामा-तानिगावा परिवर्तन के समान है (हली तरह की स्टर्लिंग संख्याओं के साथ कनेक्शन देखें)। इसे तालिका के माध्यम से देखा जा सकता है:


 * {| style="text-align:center"

पहली पंक्ति $B_{6} = 1 − 63⁄2 + 602⁄3 − 2100⁄4 + 3360⁄5 − 2520⁄6 + 720⁄7$ का निरूपण करती है।
 * + वर्पिट्ज़की के निरूपण और अकीयामा-तानिगावा परिवर्तन की पहचान
 * 1|| || || || || ||0||1|| || || || ||0||0||1|| || || ||0||0||0||1|| || ||0||0||0||0||1||
 * 1||−1|| || || || ||0||2||−2|| || || ||0||0||3||−3|| || ||0||0||0||4||−4|| || || || || || ||
 * 1||−3||2|| || || ||0||4||−10||6|| || ||0||0||9||−21||12|| || || || || || || || || || || || ||
 * 1||−7||12||−6|| || ||0||8||−38||54||−24|| || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
 * 1||−15||50||−60||24|| || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
 * }
 * 1||−7||12||−6|| || ||0||8||−38||54||−24|| || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
 * 1||−15||50||−60||24|| || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
 * }
 * 1||−15||50||−60||24|| || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || || ||
 * }
 * }

इसलिए दूसरे भिन्नात्मक यूलर संख्याओं के लिए ($B+ 1 = +1⁄2$) /  ($s_{n}$):



वर्पिट्ज़की संख्याओं द्वारा बर्नौली संख्याओं का निरूपण करने वाला दूसरा सूत्र $n ≥ 0$ के लिए है


 * $$ B_n=\frac n {2^{n+1}-2}\sum_{k=0}^{n-1} (-2)^{-k}\, W_{n-1,k} . $$

दूसरे बर्नौली संख्याओं का सरलीकृत दूसरा वर्पिट्ज़की का निरूपण है:

($s_{0}, s_{0}, s_{1}, s_{0}, s_{1}, s_{2}, s_{0}, s_{1}, s_{2}, s_{3}, ...$) / ($s_{n}$) = $s_{0}, s_{1}, s_{2}, s_{3}, s_{4}$ × ($n$) / ($n + 1$)

जो दूसरे बर्नौली संख्याओं को दूसरे भिन्नात्मक यूलर संख्याओं से जोड़ता है। प्रारम्भ है:



प्रथम कोष्ठक के अंश हैं (पहली तरह के स्टर्लिंग संख्याओं के साथ कनेक्शन देखें)।

दूसरे प्रकार के स्टर्लिंग संख्याओं के साथ संबंध
यदि कोई बर्नौली बहुपद Bk(j) को इस प्रकार परिभाषित करता है:


 * $$ B_k(j)=k\sum_{m=0}^{k-1}\binom{j}{m+1}S(k-1,m)m!+B_k $$

जहां k = 0, 1, 2,... के लिए Bk बर्नौली संख्याएं हैं।

बर्नौली बहुपदों के लिए निम्नलिखित भी निहित है,


 * $$ B_k(j)=\sum_{n=0}^k \binom{k}{n} B_n j^{k-n}. $$

$E_{0} = 1$ में $1⁄2$ का गुणांक $E_{1} = 1 − 1⁄2$ है।

बर्नौली बहुपद के दो पदों में $1⁄3$ के गुणांक की तुलना करने पर, एक यह है:


 * $$ B_k=\sum_{m=0}^k (-1)^m \frac{m!}{m+1} S(k,m)$$

(जिसके परिणामस्वरूप $E_{2} = 1 − 3⁄2 + 2⁄4$) जो बर्नौली संख्याओं के लिए एक स्पष्ट सूत्र है और इसका उपयोग वॉन-स्टॉड क्लॉसन प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।

पहली तरह के स्टर्लिंग संख्याओं के साथ संबंध
पहली तरह के अहस्ताक्षरित स्टर्लिंग संख्याओं से संबंधित दो मुख्य सूत्र $E_{3} = 1 − 7⁄2 + 12⁄4 − 6⁄8$ बर्नौली संख्याओं के लिए (साथ $E_{4} = 1 − 15⁄2 + 50⁄4 − 60⁄8 + 24⁄16$) हैं


 * $$ \frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^{k} \left[{m+1\atop k+1}\right] B_k = \frac{1}{m+1}, $$

और इस राशि का व्युत्क्रम (के लिए) $E_{5} = 1 − 31⁄2 + 180⁄4 − 390⁄8 + 360⁄16 − 120⁄32$, $E_{6} = 1 − 63⁄2 + 602⁄4 − 2100⁄8 + 3360⁄16 − 2520⁄32 + 720⁄64$)


 * $$ \frac{1}{m!}\sum_{k=0}^m (-1)^k \left[{m+1\atop k+1}\right] B_{n+k} = A_{n,m}. $$

यहाँ नंबर है $n ≥ 1$ परिमेय अकीयामा-तानिगावा संख्याएं हैं, जिनमें से पहले कुछ निम्नलिखित तालिका में प्रदर्शित किए गए हैं।


 * {| class="wikitable" style="text-align=center"

! !!0!!1!!2!!3!!4 ! 0 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 अकियामा-तानिगावा संख्याएँ एक सरल पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करती हैं जिसका उपयोग बर्नौली संख्याओं की पुनरावृत्तीय गणना के लिए किया जा सकता है। यह उपरोक्त अनुभाग 'एल्गोरिदमिक विवरण' में दिखाए गए एल्गोरिदम की ओर ले जाता है। देखना /.
 * + Akiyama–Tanigawa number
 * 1 || $j$ || $j$ || $n$ || $m$
 * 0 || $1⁄2$ || ... || ... || ...
 * }
 * }

ऑटोसीक्वेंस एक अनुक्रम है जिसका व्युत्क्रम द्विपद परिवर्तन हस्ताक्षरित अनुक्रम के बराबर होता है। यदि मुख्य विकर्ण शून्य है =, ऑटोसीक्वेंस पहली तरह का है। उदाहरण: , फाइबोनैचि संख्याएँ। यदि मुख्य विकर्ण पहले ऊपरी विकर्ण को 2 से गुणा किया जाता है, तो यह दूसरे प्रकार का होता है। उदाहरण: /, दूसरा बर्नौली नंबर (देखें ). ते अकीयामा - तनिगावा टी-कॉलम एस फॉर्म ऐप $n + 1$ = 1/ ओर जाता है (एन) /  (एन + 1). इस तरह:


 * {| class="wikitable" style="text-align:center"

! !! 0 !! 1 !! 2 !! 3 !! 4 ! 0 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 देखना  और. ($n + 1$) / ($n + 1⁄2^{n + 2} − 2$) दूसरे (आंशिक) यूलर नंबर और दूसरे प्रकार का एक ऑटोसेक्वेंस हैं।
 * + Akiyama–Tanigawa transform for the second Euler numbers
 * 1 || $1⁄3$ || $1⁄4$ || $1⁄5$ || $1⁄2$
 * 0 || $1⁄3$ || $1⁄4$ || ... || ...
 * 0 || ... || ... || ... || ...
 * }



के लिए भी मूल्यवान है /  (वॉरपिट्ज़की नंबरों के साथ #कनेक्शन देखें)।

पास्कल के त्रिकोण के साथ संबंध
पास्कल के त्रिकोण को बर्नौली संख्याओं से जोड़ने वाले सूत्र हैं
 * $$ B^{+}_n=\frac{|A_n|}{(n+1)!}$$

जहां $$|A_n|$$ पास्कल त्रिभुज के n-by-n हेसेनबर्ग मैट्रिक्स भाग का निर्धारक है जिसके तत्व हैं: $$ a_{i, k} = \begin{cases} 0 & \text{if } k>1+i \\ {i+1 \choose k-1} & \text{otherwise} \end{cases} $$ उदाहरण:


 * $$ B^{+}_6 =\frac{\det\begin{pmatrix}

1& 2& 0& 0& 0& 0\\ 1& 3& 3& 0& 0& 0\\ 1& 4& 6& 4& 0& 0\\ 1& 5& 10& 10& 5& 0\\ 1& 6& 15& 20& 15& 6\\ 1& 7& 21& 35& 35& 21 \end{pmatrix}}{7!}=\frac{120}{5040}=\frac 1 {42} $$

यूलेरियन संख्याओं के साथ संबंध
यूलेरियन संख्याओं को जोड़ने वाले सूत्र हैं $n$ बर्नौली संख्या के लिए:


 * $$\begin{align}

\sum_{m=0}^n (-1)^m \left \langle {n\atop m} \right \rangle &= 2^{n+1} (2^{n+1}-1) \frac{B_{n+1}}{n+1}, \\ \sum_{m=0}^n (-1)^m \left \langle {n\atop m} \right \rangle \binom{n}{m}^{-1} &= (n+1) B_n. \end{align}$$ दोनों सूत्र मान्य हैं $n + 1$ यदि $1⁄2, 1⁄6, 0, −1⁄30, 0, 1⁄42, ... = (1⁄2, 1⁄3, 3⁄14, 2⁄15, 5⁄62, 1⁄21, ...) × (1, 1⁄2, 0, −1⁄4, 0, 1⁄2, ...)$ इसके लिए सेट है $1⁄5$. यदि $( j m + 1 )$ को - पर सेट किया गया है$1⁄6$ वे केवल के लिए मान्य हैं $(−1)^{m}⁄m + 1$ और $B_{1} = +1⁄2$ क्रमश।

एक द्विआधारी वृक्ष निरूपण
स्टर्लिंग बहुपद $[ n m ]$ बर्नौली संख्याओं से संबंधित हैं $B_{1} = +1⁄2$. एस. सी. वून ने गणना करने के लिए एक एल्गोरिदम का वर्णन किया $n ≥ 0$ एक बाइनरी ट्री के रूप में:


 * [[File:SCWoonTree.png]]वून का पुनरावर्ती एल्गोरिदम (के लिए) $m ≥ 0$) रूट नोड को असाइन करके प्रारंभ होता है $A_{n,m}$. एक नोड दिया गया $2^{−n}$ पेड़ का, नोड का बायां बच्चा है $n$ और सही बच्चा $n + 1$. एक नोड $n + 2$ के रूप में लिखा गया है $n + 2$ऊपर दर्शाए गए पेड़ के प्रारंभिक भाग में ± का चिह्न दर्शाया गया है $1⁄6, 0, −1⁄30, 0, 1⁄42, ...$.

एक नोड दिया गया $1⁄6$ का भाज्य $3⁄20$ परिभाषित किया जाता है


 * $$ N! = a_1 \prod_{k=2}^{\operatorname{length}(N)} a_k!. $$

नोड्स तक ही सीमित $1⁄30$ एक निश्चित वृक्ष-स्तर का $1⁄30$ कुल मिलाकर $2^{n + 3} − 2⁄n + 2$ है $3, 14⁄3, 15⁄2, 62⁄5, 21, ...$, इस प्रकार


 * $$ B_n = \sum_\stackrel{N \text{ node of}}{\text{ tree-level } n} \frac{n!}{N!}. $$

उदाहरण के लिए:

अभिन्न निरूपण और निरंतरता
अभिन्न
 * $$ b(s) = 2e^{s i \pi/2}\int_0^\infty \frac{st^s}{1-e^{2\pi t}} \frac{dt}{t} = \frac{s!}{2^{s-1}}\frac{\zeta(s)}{{  }\pi^s{  }}(-i)^s= \frac{2s!\zeta(s)}{(2\pi i)^s}$$

के विशेष मूल्य हैं $n + 1$ के लिए $n + 2$.

उदाहरण के लिए, $1⁄2, 0, −1⁄4, 0, 1⁄2, ...$ और $⟨ n m ⟩$. यहाँ, $n$ रीमैन जीटा फलन है, और $m$ काल्पनिक इकाई है. लियोनहार्ड यूलर (ओपेरा ओम्निया, क्रमांक 1, खंड 10, पृष्ठ 351) ने इन संख्याओं पर विचार किया और गणना की


 * $$ \begin{align}

p &= \frac{3}{2\pi^3}\left(1+\frac{1}{2^3}+\frac{1}{3^3}+\cdots \right) = 0.0581522\ldots \\ q &= \frac{15}{2\pi^5}\left(1+\frac{1}{2^5}+\frac{1}{3^5}+\cdots \right) = 0.0254132\ldots \end{align}$$ एक और समान अभिन्न निरूपण है
 * $$ b(s) = -\frac{e^{s i \pi/2}}{2^{s}-1}\int_0^\infty \frac{st^{s}}{\sinh\pi t} \frac{dt}{t}= \frac{2e^{s i \pi/2}}{2^{s}-1}\int_0^\infty \frac{e^{\pi t}st^s}{1-e^{2\pi t}} \frac{dt}{t}. $$

यूलर संख्याओं से संबंध और $\pi$
यूलर संख्याएँ पूर्णांकों का एक क्रम है जो बर्नौली संख्याओं के साथ घनिष्ठ रूप से जुड़ा हुआ है। तुलना कर रहे हैं बर्नौली और यूलर संख्याओं के स्पर्शोन्मुख विस्तार से पता चलता है कि यूलर संख्याएँ $n ≥ 0$ परिमाण में लगभग हैं $B_{1}$ बर्नौली संख्या से कई गुना बड़ा $B_{1}$. परिणामस्वरूप:


 * $$ \pi \sim 2 (2^{2n} - 4^{2n}) \frac{B_{2n}}{E_{2n}}. $$

यह स्पर्शोन्मुख समीकरण यह प्रकट करता है π बर्नौली और यूलर संख्या दोनों की सामान्य जड़ में निहित है। वास्तव में π की गणना इन परिमेय अनुमानों से की जा सकती है।

बर्नौली संख्याओं को यूलर संख्याओं के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है और इसके विपरीत। चूँकि, विषम के लिए $1⁄2$, $n ≥ 1$ (अपवाद के साथ $n ≥ 2$), जब मामले पर विचार करना पर्याप्त है $1⁄4$ सम है।


 * $$\begin{align}

B_n &= \sum_{k=0}^{n-1}\binom{n-1}{k} \frac{n}{4^n-2^n}E_k & n&=2, 4, 6, \ldots \\[6pt] E_n &= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k-1} \frac{2^k-4^k}{k} B_k & n&=2,4,6,\ldots \end{align}$$ ये रूपांतरण सूत्र बर्नौली और यूलर संख्याओं के बीच संबंध व्यक्त करते हैं। लेकिन इससे भी अधिक महत्वपूर्ण बात यह है कि दोनों प्रकार की संख्याओं में एक समान गहरी अंकगणितीय जड़ होती है, जिसे संख्याओं के अधिक मौलिक अनुक्रम के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है, जो बारीकी से जुड़ा हुआ है। π. इन नंबरों को परिभाषित किया गया है $σ_{n}(x)$ जैसा


 * $$ S_n = 2 \left(\frac{2}{\pi}\right)^n \sum_{k=-\infty}^\infty (4k+1)^{-n} \qquad k=0,-1,1,-2,2,\ldots $$

और $B_{n} = n!σ_{n}(1)$ रिवाज के सन्दर्भ मे। इन संख्याओं का जादू इस तथ्य में निहित है कि ये परिमेय संख्याएँ बन जाती हैं। यह पहली बार लियोनहार्ड यूलर द्वारा एक ऐतिहासिक पेपर डी सुमिस सेरीरम रेसिप्रोकैरम (पारस्परिक श्रृंखलाओं के योग पर) में सिद्ध किया गया था और तब से इसने गणितज्ञों को आकर्षित किया है। इनमें से पहली कुछ संख्याएँ हैं


 * $$ S_n = 1,1,\frac{1}{2},\frac{1}{3},\frac{5}{24}, \frac{2}{15},\frac{61}{720},\frac{17}{315},\frac{277}{8064},\frac{62}{2835},\ldots $$ ( / )

ये के विस्तार में गुणांक हैं $σ_{n}(1)$.

बर्नौली संख्या और यूलर संख्या को अनुक्रम से चयनित इन संख्याओं के विशेष दृश्यों के रूप में समझा जा सकता है $n ≥ 1$ और विशेष अनुप्रयोगों में उपयोग के लिए स्केल किया गया।


 * $$\begin{align}

B_{n} &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [ n \text{ even}] \frac{n! }{2^n - 4^n}\, S_{n}\, & n&= 2, 3, \ldots \\ E_n &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [ n \text{ even}] n! \, S_{n+1} & n &= 0, 1, \ldots \end{align}$$ इजहार [$N = [1,2]$even] का मान 1 है यदि $N = [a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}]$ सम है और 0 अन्यथा (इवरसन ब्रैकेट)।

इन पहचानों से पता चलता है कि इस खंड की शुरुआत में बर्नौली और यूलर संख्याओं का भागफल केवल विशेष मामला है $L(N) = [−a_{1}, a_{2} + 1, a_{3}, ..., a_{k}]$ कब $1⁄8$ सम है। वह $R(N) = [a_{1}, 2, a_{2}, ..., a_{k}]$ के लिए परिमेय अनुमान हैं π और दो क्रमिक पद हमेशा का सही मान दर्शाते हैं π. इसके साथ शुरुआत $N = [a_{1}, a_{2}, ..., a_{k}]$ क्रम शुरू होता है ( / ):


 * $$ 2, 4, 3, \frac{16}{5}, \frac{25}{8}, \frac{192}{61}, \frac{427}{136}, \frac{4352}{1385}, \frac{12465}{3968}, \frac{158720}{50521},\ldots \quad \longrightarrow \pi. $$

ये परिमेय संख्याएँ ऊपर उद्धृत यूलर के पेपर के अंतिम पैराग्राफ में भी दिखाई देती हैं।

अनुक्रम के लिए अकियामा-तानिगावा परिवर्तन पर विचार करें ($±[a_{2}, ..., a_{k}]$) /  ($a_{1}$):


 * {| class="wikitable" style="text-align:right;"

! 0 ! 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 5 ! 6 दूसरे से, पहले कॉलम के अंश यूलर के सूत्र के हर हैं। पहला कॉलम है -$1⁄16$ ×.
 * 1||$1⁄2$||0||−$1⁄2$||−$3⁄8$||−$1⁄4$||0
 * $1⁄4$|| 1|| $3⁄8$|| 0|| −$1⁄4$|| −$1⁄4$||
 * −1|| −$($1⁄N!$)⁄($σ_{n}(1)$)$|| −$($B_{1} = 1!(1⁄2!)$)⁄($B_{2} = 2!(−1⁄3! + 1⁄2!2!)$)$|| $1⁄2$|| || ||
 * 8|| $1⁄2$|| || || || ||
 * }
 * }

एक एल्गोरिथम दृश्य: सीडेल त्रिकोण
अनुक्रम एसn इसकी एक और अप्रत्याशित लेकिन महत्वपूर्ण संपत्ति है: एस के हरn भाज्य को विभाजित करें $B_{3} = 3!(1⁄4! − 1⁄2!3! − 1⁄3!2! + 1⁄2!2!2!)$. दूसरे शब्दों में: संख्याएँ $b(2n) = B_{2n}$, जिन्हें कभी-कभी वैकल्पिक क्रमपरिवर्तन कहा जाता है, पूर्णांक होते हैं।


 * $$ T_n = 1,\,1,\,1,\,2,\,5,\,16,\,61,\,272,\,1385,\,7936,\,50521,\,353792,\ldots \quad n=0, 1, 2, 3, \ldots $$ . देखना.

इस प्रकार बर्नौली और यूलर संख्याओं के उपरोक्त निरूपण को इस अनुक्रम के संदर्भ में फिर से लिखा जा सकता है


 * $$\begin{align}

B_n &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [n\text{ even}] \frac{n }{2^n-4^n}\, T_{n-1}\ & n &= 2, 3, \ldots \\ E_n &= (-1)^{\left\lfloor \frac{n}{2}\right\rfloor} [n\text{ even}] T_{n+1} & n &= 0, 1, \ldots \end{align}$$ ये पहचान बर्नौली और यूलर संख्याओं की गणना करना आसान बनाती हैं: यूलर संख्याएँ $n > 0$ द्वारा तुरंत दिए जाते हैं $b(3) = 3⁄2ζ(3)&pi;^{−3}i$ और बर्नौली संख्याएँ $b(5) = −15⁄2ζ(5)&pi;^{−5}i$से प्राप्त होते हैं $E_{2n}$ परिमेय अंकगणित से बचते हुए, कुछ आसान बदलावों द्वारा।

संख्याओं की गणना करने का एक सुविधाजनक तरीका ढूंढना बाकी है $2⁄π(4^{2n} − 2^{2n})$. हालाँकि, पहले से ही 1877 में फिलिप लुडविग वॉन सीडेल ने एक सरल एल्गोरिदम प्रकाशित किया था, जो गणना करना आसान बनाता है $B_{2n}$.


 * 1) पंक्ति 0 में 1 डालकर प्रारंभ करें और छोड़ें $B_{n} = E_{n} = 0$ वर्तमान में भरी जा रही पंक्ति की संख्या को निरूपित करें
 * 2) यदि $B_{1}$ विषम है, तो संख्या को पंक्ति के बाएँ छोर पर रखें $n > 1$पंक्ति की पहली स्थिति में $S_{1} = 1$, और पंक्ति को बाएँ से दाएँ भरें, प्रत्येक प्रविष्टि में बाएँ की संख्या और ऊपर की संख्या का योग हो
 * 3) पंक्ति के अंत में अंतिम संख्या को डुप्लिकेट करें।
 * 4) यदि $sec x + tan x$ सम है, दूसरी दिशा में भी समान रूप से आगे बढ़ें।

सीडेल का एल्गोरिदम वास्तव में बहुत अधिक सामान्य है (डोमिनिक ड्यूमॉन्ट की व्याख्या देखें)। ) और उसके बाद कई बार पुनः खोजा गया।

सीडेल के दृष्टिकोण के समान डी. ई. नुथ और टी. जे. बखोल्ट्ज़ ने संख्याओं के लिए एक पुनरावृत्ति समीकरण दिया $S_{n}$ और कंप्यूटिंग के लिए इस विधि की सिफारिश की $n$ और $n$ 'इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटर पर पूर्णांकों पर केवल सरल ऑपरेशन का उपयोग करना'।

वी. आई. अर्नोल्ड सीडेल के एल्गोरिदम को फिर से खोजा गया और बाद में मिलर, स्लोएन और यंग ने सीडेल के एल्गोरिदम को बुस्ट्रोफेडन परिवर्तन नाम से लोकप्रिय बनाया।

त्रिकोणीय रूप:


 * {| style="text-align:right"

केवल, एक 1 के साथ, और , दो 1 के साथ, OEIS में हैं।
 * || || || || || || 1|| || || || || ||
 * || || || || || 1|| || 1|| || || || ||
 * || || || || 2|| || 2|| || 1|| || || ||
 * || || || 2|| || 4|| || 5|| || 5|| || ||
 * || || 16|| || 16|| || 14|| || 10|| || 5|| ||
 * || 16|| || 32|| || 46|| || 56|| || 61|| || 61||
 * 272|| ||272|| ||256|| ||224|| ||178|| ||122|| || 61
 * }
 * || || 16|| || 16|| || 14|| || 10|| || 5|| ||
 * || 16|| || 32|| || 46|| || 56|| || 61|| || 61||
 * 272|| ||272|| ||256|| ||224|| ||178|| ||122|| || 61
 * }
 * 272|| ||272|| ||256|| ||224|| ||178|| ||122|| || 61
 * }

निम्नलिखित पंक्तियों में एक पूरक 1 और एक 0 के साथ वितरण:


 * {| style="text-align:right"

यह है, का एक हस्ताक्षरित संस्करण. मुख्य अंडकोणीय है. मुख्य विकर्ण है. केन्द्रीय स्तम्भ है. पंक्ति योग: 1, 1, −2, −5, 16, 61...देखें. नीचे 1, 1, 0, −2, 0, 16, 0 से शुरू होने वाली सरणी देखें।
 * || || || || || || 1|| || || || || ||
 * || || || || || 0|| || 1|| || || || ||
 * || || || || −1|| || −1|| || 0|| || || ||
 * || || || 0|| || −1|| || −2|| || −2|| || ||
 * || || 5|| ||  5|| ||  4|| ||  2|| ||  0|| ||
 * || 0|| || 5|| || 10|| || 14|| || 16|| || 16||
 * −61|| ||−61|| ||−56|| ||−46|| ||−32|| ||−16|| || 0
 * }
 * || || 5|| ||  5|| ||  4|| ||  2|| ||  0|| ||
 * || 0|| || 5|| || 10|| || 14|| || 16|| || 16||
 * −61|| ||−61|| ||−56|| ||−46|| ||−32|| ||−16|| || 0
 * }
 * −61|| ||−61|| ||−56|| ||−46|| ||−32|| ||−16|| || 0
 * }

अकीयामा-तानिगावा एल्गोरिदम लागू किया गया ($R_{n} = 2S_{n}⁄S_{n + 1}$) / ($R_{n}$) पैदावार:


 * {| style="text-align:right"

1. पहला कॉलम है. इसके द्विपद परिवर्तन की ओर जाता है:
 * 1|| 1|| $N$|| 0|| −$N$|| −$N$|| −$n$
 * 0|| 1|| $ζ$|| 1|| 0|| −$i$
 * −1|| −1|| $n$|| 4|| $n$
 * 0|| −5|| −$n$|| 1
 * 5|| 5|| −$1⁄2$
 * 0|| 61
 * −61
 * }
 * 5|| 5|| −$1⁄4$
 * 0|| 61
 * −61
 * }
 * −61
 * }


 * {| style="text-align:right"

इस सारणी की पहली पंक्ति है. बढ़ते प्रतिविकर्णों के निरपेक्ष मान हैं. प्रतिविकर्णों का योग है − ($n = 1$).
 * 1|| 1|| 0|| −2|| 0|| 16|| 0
 * 0||−1||−2||2||16||−16
 * −1||−1||4||14||−32
 * 0||5||10||−46
 * 5||5||−56
 * 0||−61
 * −61
 * }
 * 5||5||−56
 * 0||−61
 * −61
 * }
 * −61
 * }
 * }

2. दूसरा कॉलम है 1 1 −1 −5 5 61 −61 −1385 1385.... इसकी द्विपद परिवर्तन पैदावार:


 * {| style="text-align:right"

इस सारणी की पहली पंक्ति है 1 2 2 −4 −16 32 272 544 −7936 15872 353792 −707584.... दूसरे द्विखंड के निरपेक्ष मान पहले द्विखंड के निरपेक्ष मान के दोगुने हैं।
 * 1|| 2|| 2|| −4|| −16|| 32|| 272
 * 1||0||−6||−12||48||240
 * −1||−6||−6||60||192
 * −5||0||66||32
 * 5||66||66
 * 61||0
 * −61
 * }
 * 5||66||66
 * 61||0
 * −61
 * }
 * −61
 * }
 * }

अकियामा-तानिगावा एल्गोरिथ्म पर विचार करें जिसे लागू किया गया है ($n + 2$) / ( ($n + 1$) = एब्स( ($1⁄4$)) + 1 = 1, 2, 2, $1⁄8$, 1, $1⁄2$, $3⁄4$, $5⁄8$, 1, $3⁄4$, $1⁄2$, $1⁄2$....


 * {| style="text-align:right"

पहला स्तंभ जिसका निरपेक्ष मान हैं त्रिकोणमितीय फलन का अंश हो सकता है।
 * 1||2||2||$9⁄4$||1||$5⁄2$||$5⁄8$
 * −1||0||$7⁄2$||2||$3⁄4$||0
 * −1||−3||−$15⁄2$||3||$5⁄2$
 * 2||−3||−$11⁄2$||−13
 * 5||21||−$99⁄4$
 * −16||45
 * −61
 * }
 * 5||21||−$77⁄2$
 * −16||45
 * −61
 * }
 * −61
 * }

पहली तरह का एक स्वत: अनुक्रम है (मुख्य विकर्ण है ). संबंधित सरणी है:


 * {| style="text-align:right"

पहले दो ऊपरी विकर्ण हैं −1 3 −24 402... = $(n − 1)!$ × . प्रतिविकर्णों का योग है 0 −2 0 10... = 2 × (एन+1).
 * 0||−1||−1||2||5||−16||−61
 * −1||0||3||3||−21||−45
 * 1||3||0||−24||−24
 * 2||−3||−24||0
 * −5||−21||24
 * −16||45
 * −61
 * }
 * −5||−21||24
 * −16||45
 * −61
 * }
 * −61
 * }

− उदाहरण के लिए, दूसरे प्रकार का एक स्वत: अनुक्रम है /. इसलिए सरणी:


 * {| style="text-align:right"

मुख्य विकर्ण, यहाँ 2 −2 8 −92..., यहाँ पहले ऊपरी वाले का दोगुना है. प्रतिविकर्णों का योग है 2 0 −4 0... = 2 × ($T_{n} = S_{n}(n − 1)!$1). −  = 2 × .
 * 2||1||−1||−2||5||16||−61
 * −1||−2||−1||7||11||−77
 * −1||1||8||4||−88
 * 2||7||−4||−92
 * 5||−11||−88
 * −16||−77
 * −61
 * }
 * 5||−11||−88
 * −16||−77
 * −61
 * }
 * −61
 * }
 * }

एक संयुक्त दृश्य: वैकल्पिक क्रमपरिवर्तन
1880 के आसपास, सीडेल के एल्गोरिदम के प्रकाशन के तीन साल बाद, डेसिरे आंद्रे ने संयोजन विश्लेषण का अब एक उत्कृष्ट परिणाम साबित किया। त्रिकोणमितीय फलनों के टेलर विस्तार के प्रथम पदों को देखते हुए $E_{n}$ और $T_{2n + 1}$आंद्रे ने एक चौंकाने वाली खोज की।


 * $$\begin{align}

\tan x &= x + \frac{2x^3}{3!} + \frac{16x^5}{5!} + \frac{272x^7}{7!} + \frac{7936x^9}{9!} + \cdots\\[6pt] \sec x &= 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{5x^4}{4!} + \frac{61x^6}{6!} + \frac{1385x^8}{8!} + \frac{50521x^{10}}{10!} + \cdots \end{align}$$ गुणांक क्रमशः विषम और सम सूचकांक की यूलर संख्याएँ हैं। परिणामस्वरूप का सामान्य विस्तार $B_{2n}$ में गुणांक के रूप में परिमेय संख्याएँ होती हैं $T_{2n}$.


 * $$ \tan x + \sec x = 1 + x + \tfrac{1}{2}x^2 + \tfrac{1}{3}x^3 + \tfrac{5}{24}x^4 + \tfrac{2}{15}x^5 + \tfrac{61}{720}x^6 + \cdots $$

इसके बाद आंद्रे एक पुनरावृत्ति तर्क के माध्यम से यह दिखाने में सफल हुए कि विषम आकार के वैकल्पिक क्रमपरिवर्तन को विषम सूचकांक के यूलर संख्याओं द्वारा गिना जाता है (जिसे स्पर्शरेखा संख्या भी कहा जाता है) और सम आकार के वैकल्पिक क्रमपरिवर्तन को सम सूचकांक के यूलर संख्याओं द्वारा गिना जाता है (जिन्हें भी कहा जाता है) छेदक संख्याएँ)।

संबंधित क्रम
पहले और दूसरे बर्नौली संख्याओं का अंकगणित माध्य सहयोगी बर्नौली संख्याएँ हैं: $T_{n}$, $T_{n}$, $T_{n}$, $k$, $k$, / . इसके व्युत्क्रम अकीयामा-तानिगावा परिवर्तन की दूसरी पंक्ति के माध्यम से, वे बामर श्रृंखला की ओर ले जाते हैं  /.

ते अकीयामा - तनिगावा अल्गोरी थम् आह पाई डी और ($k − 1$) /  ($61⁄2$) बर्नौली संख्या की ओर ले जाता है  /,  / , या   बिना $k$, जिसे आंतरिक बर्नौली संख्या नाम दिया गया है $k$.


 * {| style="text-align:center; padding-left; padding-right: 2em;"

इसलिए आंतरिक बर्नौली संख्या और बामर श्रृंखला के बीच एक और लिंक ($T_{2n}$).
 * 1||$1⁄2$||$1⁄2$||$1⁄4$||$1⁄4$
 * 0||$1⁄8$||$3⁄2$||$3⁄4$||$3⁄2$
 * &minus;$15⁄4$||&minus;$15⁄2$||&minus;$51⁄2$||&minus;$n$||0
 * 0||&minus;$3⁄2$||&minus;$3⁄4$||&minus;$3⁄4$||&minus;$7⁄8$
 * }
 * 0||$17⁄16$||$17⁄16$||$33⁄32$||$3⁄2$
 * &minus;$3⁄4$||&minus;$3⁄4$||&minus;$3⁄2$||&minus;$5⁄4$||0
 * 0||&minus;$3⁄2$||&minus;$25⁄4$||&minus;$27⁄2$||&minus;$3⁄2$
 * }
 * 0||&minus;$n$||&minus;$5⁄6$||&minus;$3⁄4$||&minus;$7⁄10$
 * }

($B_{2n}$) = 0, 2, 1, 6,... गैर-ऋणात्मक संख्याओं का क्रमपरिवर्तन है।

पहली पंक्ति के पद f(n) = हैं $E_{2n}$. 2, f(n) दूसरी तरह का एक स्वत:अनुक्रम है। 3/2, f(n) अपने व्युत्क्रम द्विपद परिवर्तन से 3/2 −1/2 1/3 −1/4 1/5 ... = 1/2 + लघुगणक 2 की ओर जाता है।

g(n) = 1/2 - 1 / (n+2) = 0, 1/6, 1/4, 3/10, 1/3 पर विचार करें। अकियामा-तनागिवा परिवर्तन देता है:


 * {| style="text-align:center; padding-left; padding-right:2em;"

0, g(n), दूसरे प्रकार का स्वत:अनुक्रम है।
 * 0||$2⁄3$||$1⁄6$||$1⁄6$||$3⁄20$||$2⁄15$||...
 * &minus;$5⁄42$||&minus;$1⁄30$||&minus;$1⁄20$||&minus;$2⁄35$||&minus;$5⁄84$||&minus;$1⁄30$||...
 * 0||&minus;$1⁄30$||&minus;$3⁄140$||&minus;$1⁄105$||&minus;$1⁄42$||&minus;$1⁄28$||...
 * $4⁄105$||$1⁄28$||$1⁄6$||$1⁄4$||0||&minus;$3⁄10$||...
 * }
 * 0||&minus;$1⁄3$||&minus;$5⁄14$||&minus;$1⁄6$||&minus;$1⁄6$||&minus;$3⁄20$||...
 * $2⁄15$||$5⁄42$||$3⁄28$||$1⁄30$||0||&minus;$1⁄20$||...
 * }
 * }

यूलर ($n + 1$) /  ($n$) दूसरे पद के बिना ($2⁄35$) भिन्नात्मक आंतरिक यूलर संख्याएँ हैं $n + 1$ संगत अकियामा परिवर्तन है:


 * {| style="text-align:center; padding-left; padding-right: 2em;"

पहली पंक्ति है $n$. $n + 1$ शून्य से पहले आना पहली तरह का स्वत: अनुक्रम है। यह ओरेस्मे संख्याओं से जुड़ा हुआ है। दूसरी पंक्ति के अंश हैं 0 से पहले। अंतर तालिका है:
 * 1||1||$5⁄84$||$5⁄84$||$1⁄30$
 * 0||$1⁄30$||$3⁄140$||$1⁄105$||$1⁄140$
 * −$1⁄2$||−$7⁄8$||0||$3⁄4$||$21⁄32$
 * 0||−$1⁄4$||−$3⁄8$||−$3⁄8$||−$5⁄16$
 * }
 * −$1⁄4$||−$1⁄4$||0||$1⁄4$||$25⁄64$
 * 0||−$1⁄2$||−$3⁄4$||−$9⁄16$||−$5⁄32$
 * }
 * }
 * }
 * }


 * {| style="text-align:center; padding-left; padding-right: 2em;"


 * 0||1||1||$1⁄2$||$1⁄2$||$9⁄16$||$13⁄8$
 * 1||0||−$125⁄64$||−$7⁄8$||−$3⁄4$||−$21⁄32$||−$19⁄32$
 * −1||−$1⁄8$||0||$1⁄8$||$3⁄32$||$1⁄16$||$5⁄128$
 * }
 * −1||−$1⁄8$||0||$1⁄32$||$1⁄32$||$3⁄128$||$1⁄64$
 * }
 * }

बर्नौली संख्याओं के अंकगणितीय गुण
बर्नौली संख्याओं को रीमैन जीटा फलन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $(−1)^{n + 1}$पूर्णांकों के लिए $n +$ के लिए प्रदान की $tan x$ इजहार $sec x$ को सीमित मूल्य और सम्मेलन के रूप में समझा जाता है $tan x + sec x$ प्रयोग किया जाता है। यह उन्हें ऋणात्मक पूर्णांकों पर जीटा फलन के मानों से घनिष्ठ रूप से जोड़ता है। इस प्रकार, उनसे गहन अंकगणितीय गुण होने की उम्मीद की जा सकती है और होती भी है। उदाहरण के लिए, अगोह-गिउगा अनुमान यह बताता है $p$ एक अभाज्य संख्या है यदि और केवल यदि $S_{n}$ −1 मॉड्यूलो के सर्वांगसम है $p$. बर्नौली संख्याओं की विभाज्यता गुण कुमेर के प्रमेय द्वारा साइक्लोटोमिक क्षेत्रों के आदर्श वर्ग समूहों और हर्ब्रांड-रिबेट प्रमेय में इसकी मजबूती से संबंधित हैं, और एंकेनी-आर्टिन-चौला सर्वांगसमता द्वारा वास्तविक द्विघात क्षेत्रों की वर्ग संख्याओं से संबंधित हैं। एंकेनी-आर्टिन -चौला.

कुमेर प्रमेय
बर्नौली संख्याएँ गंभीर दुःख के प्रमेय द्वारा फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय (FLT) से संबंधित हैं, जो कहते हैं:


 * यदि विषम अभाज्य $p$ बर्नौली संख्याओं के किसी भी अंश को विभाजित नहीं करता है $B_{0} = 1$ तब $B_{1} = 0$ का शून्येतर पूर्णांकों में कोई समाधान नहीं है।

इस गुण वाली अभाज्य संख्याओं को नियमित अभाज्य संख्याएँ कहा जाता है। कुमेर का एक अन्य चिरप्रतिष्ठित परिणाम निम्नलिखित मॉड्यूलर अंकगणित # सर्वांगसमता है।


 * होने देना $p$ एक विषम अभाज्य हो और $b$ एक सम संख्या ऐसी कि $B_{2} = 1⁄6$ विभाजित नहीं होता $b$. फिर किसी भी गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए $k$
 * $$ \frac{B_{k(p-1)+b}}{k(p-1)+b} \equiv \frac{B_{b}}{b} \pmod{p}. $$

इन सर्वांगसमताओं का सामान्यीकरण के नाम से जाना जाता है $B_{3} = 0$-आदिक निरंतरता.

$B_{4} = −1⁄30$-आदिक सातत्य
यदि $b$, $m$ और $n$ ऐसे धनात्मक पूर्णांक हैं $m$ और $n$ से विभाज्य नहीं हैं $n + 4$ और $B_{1}$, तब


 * $$(1-p^{m-1})\frac{B_m}{m} \equiv (1-p^{n-1})\frac{B_n} n \pmod{p^b}.$$

तब से $B_{i}(n)$, यह भी लिखा जा सकता है


 * $$\left(1-p^{-u}\right)\zeta(u) \equiv \left(1-p^{-v}\right)\zeta(v) \pmod{p^b},$$

जहां $n$ और $n − 2$, ताकि $u$ और $v$ अपॉजिटिव हैं और 1 मॉड्यूलो के अनुरूप नहीं हैं $1⁄2 + 1⁄n + 2$. यह हमें बताता है कि रीमैन जीटा फलन, के साथ $n$ यूलर उत्पाद सूत्र से निकाला गया, पी-एडिक संख्या में निरंतर है|$p$-विषम ऋणात्मक पूर्णांकों पर समान संख्याएँ सर्वांगसम मॉड्यूलो $n + 1$ किसी विशेष के लिए $E_{i}(n) = 1, 0, −1⁄4, 0, 1⁄2, 0, −17⁄8, 0, ...$, और इसलिए इसे एक सतत फलन तक बढ़ाया जा सकता है $Eu(n)$ सभी के लिए $p$-आदिक पूर्णांक $$\mathbb{Z}_p,$$ पी-एडिक जीटा फलन|$p$-अर्थात, जीटा फलन।

रामानुजन की सर्वांगसमताएँ
निम्नलिखित संबंध, रामानुजन के कारण, बर्नौली संख्याओं की गणना के लिए एक विधि प्रदान करते हैं जो उनकी मूल पुनरावर्ती परिभाषा द्वारा दी गई तुलना में अधिक कुशल है:


 * $$\binom{m+3}{m} B_m=\begin{cases}

\frac{m+3}{3}-\sum\limits_{j=1}^\frac{m}{6}\binom{m+3}{m-6j}B_{m-6j}, & \text{if } m\equiv 0\pmod 6;\\ \frac{m+3}{3}-\sum\limits_{j=1}^\frac{m-2}{6}\binom{m+3}{m-6j}B_{m-6j}, & \text{if } m\equiv 2\pmod 6;\\ -\frac{m+3}{6}-\sum\limits_{j=1}^\frac{m-4}{6}\binom{m+3}{m-6j}B_{m-6j}, & \text{if } m\equiv 4\pmod 6.\end{cases}$$

वॉन स्टॉड्ट-क्लॉसेन प्रमेय
वॉन स्टॉड-क्लॉसन प्रमेय कार्ल जॉर्ज क्रिश्चियन वॉन स्टौड्ट द्वारा दिया गया था और थॉमस क्लॉसन (गणितज्ञ) स्वतंत्र रूप से 1840 में। प्रमेय कहता है कि प्रत्येक के लिए $Eu(n)$,
 * $$ B_{2n} + \sum_{(p-1)\,\mid\,2n} \frac1p$$

एक पूर्णांक है. योग सभी अभाज्य संख्याओं पर विस्तारित होता है $B_{n} = −nζ(1 − n)$ जिसके लिए $n ≥ 0$ बांटता है $n = 0$.

इसका एक परिणाम यह है कि का भाजक $−nζ(1 − n)$ सभी अभाज्य संख्याओं के गुणनफल द्वारा दिया जाता है $B_{1} = 1⁄2$ जिसके लिए $pB_{p − 1}$ बांटता है $B_{2}, B_{4}, ..., B_{p − 3}$. विशेष रूप से, ये हर वर्ग-मुक्त हैं और 6 से विभाज्य हैं।

विषम बर्नौली संख्याएँ क्यों लुप्त हो जाती हैं?
योग


 * $$\varphi_k(n) = \sum_{i=0}^n i^k - \frac{n^k} 2$$

सूचकांक के ऋणात्मक मूल्यों के लिए मूल्यांकन किया जा सकता है $x^{p} + y^{p} + z^{p} = 0$. ऐसा करने से पता चलेगा कि यह सम मानों के लिए एक विषम कार्य है $p − 1$, जिसका अर्थ है कि योग में केवल विषम सूचकांक के पद हैं। यह और बर्नौली योग का सूत्र यही दर्शाता है $p$ के लिए 0 है $p$ सम और $p − 1$; और वह शब्द के लिए $m ≡ n (mod p^{b − 1} (p − 1))$ घटाने से रद्द हो जाता है। वॉर्पिट्ज़की के निरूपण के साथ संयुक्त वॉन स्टॉड्ट-क्लॉसन प्रमेय भी इस प्रश्न का एक संयुक्त उत्तर देता है (n > 1 के लिए मान्य)।

वॉन स्टॉड्ट-क्लॉसन प्रमेय से यह ज्ञात होता है कि विषम के लिए $B_{n} = −nζ(1 − n)$ जो नंबर $u = 1 − m$ एक पूर्णांक है. यदि कोई पहले से जानता है कि प्रश्न में पूर्णांक शून्य है तो यह मामूली लगता है। हालाँकि, वर्पिट्ज़की का निरूपण लागू करने से व्यक्ति को मिलता है


 * $$ 2B_n =\sum_{m=0}^n (-1)^m \frac{2}{m+1}m! \left\{{n+1\atop m+1} \right\} = 0\quad(n>1 \text{ is odd})$$

पूर्णांकों के योग के रूप में, जो मामूली नहीं है। यहां एक संयुक्त तथ्य सामने आता है जो विषम सूचकांक पर बर्नौली संख्याओं के लुप्त होने की व्याख्या करता है। होने देना $v = 1 − n$ से विशेषण मानचित्रों की संख्या हो $p − 1$ को $1 − p^{−s}$, तब $p − 1$. अंतिम समीकरण केवल तभी कायम रह सकता है यदि


 * $$ \sum_{\text{odd }m=1}^{n-1} \frac 2 {m^2}S_{n,m}=\sum_{\text{even } m=2}^n \frac{2}{m^2} S_{n,m} \quad (n>2 \text{ is even}). $$

इस समीकरण को प्रेरण द्वारा सिद्ध किया जा सकता है। इस समीकरण के पहले दो उदाहरण हैं



इस प्रकार बर्नौली संख्याएं विषम सूचकांक पर गायब हो जाती हैं क्योंकि कुछ गैर-स्पष्ट संयोजक पहचान बर्नौली संख्याओं में सन्निहित हैं।

रीमैन परिकल्पना का पुनर्कथन
बर्नौली संख्याओं और रीमैन जीटा फलन के बीच का संबंध रीमैन परिकल्पना (आरएच) का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण प्रदान करने के लिए पर्याप्त मजबूत है जो केवल बर्नौली संख्याओं का उपयोग करता है। वास्तव में मार्सेल रिज़्ज़ ने साबित किया कि आरएच निम्नलिखित दावे के बराबर है:


 * हरएक के लिए $a ≢ 1 mod (p − 1)$ वहां एक स्थिरांक मौजूद है $ζ_{p}(s)$ (इस पर निर्भर करते हुए $n > 0$) ऐसा है कि $p$ जैसा $p − 1$.

यहाँ $2n$ रिज़्ज़ फलन है


 * $$ R(x) = 2 \sum_{k=1}^\infty

\frac{k^{\overline{k}} x^{k}}{(2\pi)^{2k}\left(\frac{B_{2k}}{2k}\right)} = 2\sum_{k=1}^\infty \frac{k^{\overline{k}}x^k}{(2\pi)^{2k}\beta_{2k}}. $$

$B_{2n}$ डी. ई. नुथ के नोटेशन में पोचहैमर प्रतीक#वैकल्पिक नोटेशन को दर्शाता है। संख्या $p$ जीटा फलन के अध्ययन में प्रायः होते हैं और इसलिए महत्वपूर्ण हैं $p − 1$ एक है $2n$-अभाज्य संख्याओं के लिए पूर्णांक $n$ जहां $k$ विभाजित नहीं होता $B_{2k + 1 − m}$. वह $m$विभाजित बर्नौली संख्याएँ कहलाती हैं।

 सामान्यीकृत बर्नौली संख्या
सामान्यीकृत बर्नौली संख्याएँ कुछ बीजगणितीय संख्याएँ हैं, जिन्हें बर्नौली संख्याओं के समान परिभाषित किया गया है, जो कि डिरिचलेट एल-फलन के एल-फलन के विशेष मूल्यों से संबंधित हैं। $L$-उसी तरह से कार्य करता है जैसे बर्नौली संख्याएं रीमैन जीटा फलन के विशेष मूल्यों से संबंधित हैं।

होने देना $χ$ एक डिरिचलेट चरित्र मॉड्यूलो बनें $f$. सामान्यीकृत बर्नौली संख्याएँ संलग्न हैं $χ$ द्वारा परिभाषित हैं


 * $$\sum_{a=1}^f \chi(a) \frac{te^{at}}{e^{ft}-1} = \sum_{k=0}^\infty B_{k,\chi}\frac{t^k}{k!}.$$

असाधारण के अलावा $2k + 1 − m > 1$, हमारे पास किसी भी डिरिचलेट चरित्र के लिए है $χ$, वह $B_{1}$ यदि $n > 1$.

गैर-धनात्मक पूर्णांकों पर बर्नौली संख्याओं और रीमैन जीटा फलन के मानों के बीच संबंध को सामान्यीकृत करते हुए, सभी पूर्णांकों के लिए एक है $2B_{n}$:


 * $$L(1-k,\chi)=-\frac{B_{k,\chi}}k,$$

जहां $S_{n,m}$ डिरिचलेट है $L$-के समारोह $χ$.

आइसेनस्टीन-क्रोनकर संख्या
ईसेनस्टीन-क्रोनकर संख्याएँ काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों के लिए सामान्यीकृत बर्नौली संख्याओं का एक एनालॉग हैं। वे हेके वर्णों के महत्वपूर्ण एल-मूल्यों से संबंधित हैं।

यह भी देखें

 * बर्नौली बहुपद
 * दूसरे प्रकार के बर्नौली बहुपद
 * घंटी नंबर
 * यूलर संख्या
 * जेनोची संख्या
 * कुमेर की सर्वांगसमताएँ
 * पॉली-बर्नौली संख्या
 * हर्विट्ज़ जीटा फलन
 * यूलर योग
 * स्टर्लिंग बहुपद
 * घातों का योग

संदर्भ


Footnotes

बाहरी संबंध

 * The first 498 Bernoulli Numbers from Project Gutenberg
 * A multimodular algorithm for computing Bernoulli numbers
 * The Bernoulli Number Page
 * Bernoulli number programs at LiteratePrograms
 * Bernoulli number programs at LiteratePrograms