आंशिक तुल्यता संबंध

गणित में, एक आंशिक तुल्यता संबंध (अक्सर संक्षेप में प्रति के रूप में, पुराने साहित्य में प्रतिबंधित तुल्यता संबंध भी कहा जाता है) ) एक सजातीय द्विआधारी संबंध है जो सममित संबंध और सकर्मक संबंध है। यदि संबंध भी स्वतुल्य संबंध है, तो संबंध एक तुल्यता संबंध है।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, एक संबंध $$R$$ एक सेट पर $$X$$ एक प्रति है अगर यह सभी के लिए है $$a, b, c \in X$$ वह:


 * 1) अगर $$a R b$$, तब $$b R a$$ (समरूपता)
 * 2) अगर $$a R b$$ और $$b R c$$, तब $$a R c$$ (संक्रमणशीलता)

एक और अधिक सहज परिभाषा यह है कि $$R$$ एक सेट पर $$X$$ एक प्रति है अगर कुछ उपसमुच्चय है $$Y$$ का $$X$$ ऐसा है कि $$R \subseteq Y \times Y$$ और $$R$$ पर एक तुल्यता संबंध है $$Y$$. दो परिभाषाओं को लेने से समकक्ष देखा जाता है $$Y = \{ x \in X \mid x\,R\,x\}$$.

गुण और अनुप्रयोग
निम्नलिखित गुण आंशिक तुल्यता संबंध के लिए मान्य हैं $$R$$ एक सेट पर $$X$$:

इनमें से कोई भी गुण यह बताने के लिए पर्याप्त नहीं है कि संबंध एक PER है।
 * $$R$$ उपसमुच्चय पर एक तुल्यता संबंध है $$Y = \{ x \in X \mid x\,R\,x\} \subseteq X$$.
 * द्विक्रियात्मक संबंध: संबंध समुच्चय है $$\{(a,b) \mid f a = g b \}$$ दो आंशिक कार्यों के लिए $$f,g : X \rightharpoonup Y$$ और कुछ संकेतक सेट $$Y$$
 * दाएं और बाएं यूक्लिडियन संबंध: के लिए $$a,b,c \in X$$, $$a R b$$ और $$a R c$$ तात्पर्य $$b R c$$ और इसी तरह बाएं यूक्लिडियननेस के लिए $$b R a$$ और $$c R a$$ मतलब $$b R c$$
 * अर्ध-प्रतिवर्ती संबंध|अर्ध-प्रतिवर्ती संबंध: यदि $$x, y \in X$$ और $$x R y$$, तब $$x R x$$ और $$y R y$$.

गैर-सेट-सिद्धांत सेटिंग्स में
प्रकार सिद्धांत में, रचनात्मक गणित और कंप्यूटर विज्ञान के लिए उनके अनुप्रयोग, सबसेट के एनालॉग्स का निर्माण अक्सर समस्याग्रस्त होता है -इन संदर्भों में PER का अधिक सामान्य रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से सेटॉइड को परिभाषित करने के लिए, जिसे कभी-कभी आंशिक सेटॉइड कहा जाता है। एक प्रकार और प्रति से एक आंशिक सेटॉइड बनाना शास्त्रीय सेट-सैद्धांतिक गणित में उपसमुच्चय और भागफल बनाने के समान है।

सर्वांगसम संबंध की बीजगणितीय धारणा को भी आंशिक तुल्यता के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिससे उपसंगठन की धारणा उत्पन्न होती है, अर्थात एक समरूपी संबंध जो सममित और सकर्मक है, लेकिन अनिवार्य रूप से प्रतिवर्ती नहीं है।

उदाहरण
प्रति का एक सरल उदाहरण जो एक तुल्यता संबंध नहीं है, रिक्त संबंध है $$R=\emptyset$$, अगर $$X$$ खाली नहीं है।

आंशिक कार्यों के गुठली
अगर $$f$$ एक सेट पर एक आंशिक कार्य है $$A$$, फिर संबंध $$\approx$$ द्वारा परिभाषित
 * $$x \approx y$$ अगर $$f$$ पर परिभाषित किया गया है $$x$$, $$f$$ पर परिभाषित किया गया है $$y$$, और $$f(x) = f(y)$$

एक आंशिक तुल्यता संबंध है, क्योंकि यह स्पष्ट रूप से सममित और सकर्मक है।

अगर $$f$$ कुछ तत्वों पर अपरिभाषित है, तो $$\approx$$ तुल्यता संबंध नहीं है। यह if से रिफ्लेक्सिव नहीं है $$f(x)$$ तब परिभाषित नहीं किया गया है $$x \not\approx x$$ - वास्तव में, ऐसे के लिए $$x$$ कोई नहीं है $$y \in A$$ ऐसा है कि $$x \approx y$$. यह तुरंत अनुसरण करता है कि का सबसे बड़ा उपसमुच्चय $$A$$ जिस पर $$\approx$$ एक तुल्यता संबंध ठीक वही उपसमुच्चय है जिस पर $$f$$ परिभाषित किया गया।

तुल्यता संबंधों का सम्मान करने वाले कार्य
मान लीजिए कि X और Y तुल्यता संबंध (या PERs) से युक्त समुच्चय हैं $$\approx_X, \approx_Y$$. के लिए $$f,g : X \to Y$$, परिभाषित करना $$f \approx g$$ मतलब निकालना:


 * $$\forall x_0 \; x_1, \quad x_0 \approx_X x_1 \Rightarrow f(x_0) \approx_Y g(x_1)$$

तब $$f \approx f$$ का अर्थ है कि f भागफल के एक अच्छी तरह से परिभाषित कार्य को प्रेरित करता है $$X / {\approx_X} \; \to \; Y / {\approx_Y}$$. इस प्रकार, प्रति $$\approx$$ भागफल पर परिभाषितता के विचार और भागफल पर समान कार्य को प्रेरित करने वाले दो कार्यों को कैप्चर करता है।

IEEE फ़्लोटिंग पॉइंट मानों की समानता
IEEE 754:2008 IEEE फ़्लोटिंग पॉइंट फ़्लोटिंग पॉइंट मानों के लिए EQ संबंध को परिभाषित करता है। यह विधेय सममित और सकर्मक है, लेकिन NaN मानों की उपस्थिति के कारण प्रतिवर्त नहीं है जो स्वयं के लिए EQ नहीं हैं।