छवि आवेश की विधि

छवि आवेशों की विधि (प्रतिबिंबों की विधि और दर्पण आवेशों की विधि के रूप में भी जाना जाता है) इलेक्ट्रोस्टाटिक्स में एक बुनियादी समस्या-समाधान उपकरण है। नाम की उत्पत्ति मूल लेआउट में कुछ तत्वों को काल्पनिक आरोपों के साथ बदलने से हुई है, जो समस्या की सीमा स्थितियों को दोहराता है (डिरिचलेट सीमा स्थितियां या न्यूमैन सीमा स्थितियां देखें)।

छवि आवेशों की विधि की वैधता पॉइसन के समीकरण के लिए अद्वितीयता प्रमेय के परिणाम पर निर्भर करती है, जिसमें कहा गया है कि किसी आयतन V में विद्युत क्षमता विशिष्ट रूप से निर्धारित की जाती है यदि पूरे क्षेत्र में आवेश घनत्व और मान दोनों हों सभी सीमाओं पर विद्युत क्षमता निर्दिष्ट है। वैकल्पिक रूप से, गॉस के नियम के विभेदक रूप में इस परिणाम के अनुप्रयोग से पता चलता है कि कंडक्टरों से घिरे और एक निर्दिष्ट चार्ज घनत्व ρ वाले वॉल्यूम V में, विद्युत क्षेत्र विशिष्ट रूप से निर्धारित होता है यदि कुल चार्ज पर प्रत्येक कंडक्टर दिया गया है. विद्युत क्षमता या विद्युत क्षेत्र और संबंधित सीमा स्थितियों का ज्ञान होने पर हम उस चार्ज वितरण को स्वैप कर सकते हैं जिस पर हम विचार कर रहे हैं, एक कॉन्फ़िगरेशन के साथ जिसका विश्लेषण करना आसान है, जब तक कि यह रुचि के क्षेत्र में पॉइसन के समीकरण को संतुष्ट करता है और मानता है सीमाओं पर सही मान.

बिंदु शुल्क
छवि आवेशों की विधि का सबसे सरल उदाहरण एक बिंदु आवेश का है, जिसका आवेश q पर स्थित है $$(0,0,a)$$ एक अनंत भूमि (बिजली) के ऊपर (अर्थात्: $$V=0$$) xy-प्लेन में कंडक्टिंग प्लेट। इस समस्या को सरल बनाने के लिए, हम समविभव की प्लेट को आवेश -q से प्रतिस्थापित कर सकते हैं, जो स्थित है $$(0,0,-a)$$. यह व्यवस्था किसी भी बिंदु पर समान विद्युत क्षेत्र उत्पन्न करेगी $$z>0$$ (यानी, संचालन प्लेट के ऊपर), और सीमा शर्त को संतुष्ट करता है कि प्लेट के साथ क्षमता शून्य होनी चाहिए। यह स्थिति मूल सेटअप के समतुल्य है, और इसलिए वास्तविक आवेश पर बल की गणना अब दो बिंदु आवेशों के बीच कूलम्ब के नियम से की जा सकती है।

अंतरिक्ष में किसी भी बिंदु पर क्षमता, z-अक्ष पर +a पर +q और −a पर −q आवेश के इन दो बिंदु आवेशों के कारण, बेलनाकार निर्देशांक में दी गई है
 * $$V\left(\rho,\varphi,z\right) = \frac{1}{4 \pi \varepsilon_0} \left( \frac{q}{\sqrt{\rho^2 + \left(z-a \right)^2}} + \frac{-q}{\sqrt{\rho^2 + \left(z+a \right)^2}} \right) \,$$

ग्राउंडेड प्लेन पर सतह चार्ज घनत्व इसलिए दिया जाता है
 * $$\sigma = -\varepsilon_0 \left.\frac{\partial V}{\partial z} \right|_{z=0} = \frac{-q a}{2 \pi \left(\rho^2 + a^2\right)^{3/2} }$$

इसके अलावा, संचालन तल पर प्रेरित कुल आवेश पूरे तल पर आवेश घनत्व का अभिन्न अंग होगा, इसलिए:



\begin{align} Q_t & = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty \sigma\left(\rho\right)\, \rho\,d \rho\,d\theta \\[6pt] & = \frac{-qa}{2\pi} \int_0^{2\pi}d\theta \int_0^\infty \frac{\rho\,d \rho}{\left(\rho^2 + a^2\right)^{3/2}} \\[6pt] & = -q \end{align} $$ समतल पर प्रेरित कुल आवेश बस −q हो जाता है। इसे गॉस के नियम से भी देखा जा सकता है, यह देखते हुए कि द्विध्रुव क्षेत्र बड़ी दूरी पर दूरी के घन पर घटता है, और इसलिए एक असीम रूप से बड़े क्षेत्र के बावजूद क्षेत्र का कुल प्रवाह गायब हो जाता है।

चूँकि विद्युत क्षेत्र सुपरपोज़िशन सिद्धांत को संतुष्ट करते हैं, कई बिंदु आवेशों के नीचे एक संवाहक विमान को प्रत्येक आवेश की दर्पण छवियों द्वारा व्यक्तिगत रूप से प्रतिस्थापित किया जा सकता है, बिना किसी अन्य संशोधन के।

विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण
विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण p की छवि $$(0,0,a)$$ xy-प्लेन में एक अनंत ग्राउंडेड कंडक्टिंग प्लेन के ऊपर एक द्विध्रुवीय क्षण होता है $$(0,0,-a)$$ समान परिमाण और दिशा के साथ π द्वारा अज़ीमुथली घुमाया गया। अर्थात्, कार्तीय घटकों के साथ द्विध्रुव आघूर्ण $$(p\sin\theta\cos\phi,p\sin\theta\sin\phi,p\cos\theta)$$ छवि में द्विध्रुव आघूर्ण होगा $$(-p\sin\theta\cos\phi,-p\sin\theta\sin\phi,p\cos\theta)$$. द्विध्रुव z दिशा में एक बल का अनुभव करता है, जो कि दिया गया है
 * $$F = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{3p^2}{16a^4} \left(1 + \cos^2\theta\right)$$

और द्विध्रुव और संवाहक तल के लंबवत तल में एक टॉर्क,
 * $$\tau = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{p^2}{16a^3} \sin 2\theta$$

ढांकता हुआ तलीय इंटरफ़ेस में परावर्तन
संचालन तल के समान, दो अलग-अलग ढांकता हुआ मीडिया के बीच एक समतल इंटरफ़ेस के मामले पर विचार किया जा सकता है। यदि एक बिंदु प्रभार $$q$$ को ढांकता हुआ में रखा जाता है जिसमें ढांकता हुआ स्थिरांक होता है $$\epsilon_1$$, फिर इंटरफ़ेस (ढांकता हुआ के साथ जिसमें ढांकता हुआ स्थिरांक होता है $$\epsilon_2$$) एक बाध्य ध्रुवीकरण चार्ज विकसित करेगा। यह दिखाया जा सकता है कि कण युक्त ढांकता हुआ के अंदर परिणामी विद्युत क्षेत्र को इस तरह से संशोधित किया जाता है जिसे अन्य ढांकता हुआ के अंदर एक छवि चार्ज द्वारा वर्णित किया जा सकता है। हालाँकि, अन्य ढांकता हुआ के अंदर, छवि चार्ज मौजूद नहीं है।

धातु के मामले के विपरीत, छवि चार्ज $$q'$$ वास्तविक चार्ज के बिल्कुल विपरीत नहीं है: $q'=\frac{\varepsilon_1 - \varepsilon_2}{\varepsilon_1 + \varepsilon_2}q$. यदि आवेश को मजबूत ढांकता हुआ पदार्थ के अंदर रखा जाता है (आवेशों को कम ढांकता हुआ स्थिरांक के क्षेत्रों से दूर धकेल दिया जाता है) तो इसका वही संकेत हो सकता है। इसे सूत्र से देखा जा सकता है.

बिंदु शुल्क
छवियों की विधि को गोले पर भी लागू किया जा सकता है। वास्तव में, एक समतल में छवि आवेश का मामला एक गोले के लिए छवियों के मामले का एक विशेष मामला है। चित्र का संदर्भ लेते हुए, हम त्रिज्या आर के जमीन पर स्थित गोले के अंदर की क्षमता का पता लगाना चाहते हैं, जो मूल बिंदु पर केंद्रित है, गोले के अंदर स्थिति पर एक बिंदु आवेश के कारण $$\mathbf{p}$$ (विपरीत स्थिति के लिए, गोले के बाहर आवेश के कारण गोले के बाहर की क्षमता, विधि को इसी तरह लागू किया जाता है)। चित्र में, इसे हरे बिंदु द्वारा दर्शाया गया है। मान लीजिए q इस बिंदु का बिंदु आवेश है। ज़मीन पर स्थित गोले के संबंध में इस आवेश की छवि को लाल रंग में दिखाया गया है। इसका आवेश q′=−qR/p है और यह गोले के केंद्र और आंतरिक आवेश को वेक्टर स्थिति में जोड़ने वाली रेखा पर स्थित है $$\left(R^2 /p^2\right) \mathbf{p}$$. यह देखा जा सकता है कि त्रिज्या वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट बिंदु पर क्षमता $$\mathbf{r}$$ अकेले दोनों आवेशों के कारण विभवों का योग दिया जाता है:



4\pi\varepsilon_0 V(\mathbf{r}) = \frac{q}{|\mathbf{r}_1|} + \frac{(-qR/p)}{|\mathbf{r}_2|} = \frac{q}{\sqrt{r^2+p^2-2\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}}} + \frac{(-qR/p)}{\sqrt{r^2 +\frac{R^4}{p^2}-\frac{2R^2}{p^2}\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}}} $$ सबसे दाहिनी अभिव्यक्ति से गुणा करने पर प्राप्त होता है:



V(\mathbf{r})=\frac{1}{4\pi \varepsilon_0}\left[ \frac{q}{\sqrt{r^2+p^2-2\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}}}-\frac{q}{\sqrt{\frac{r^2p^2}{R^2}+R^2-2\mathbf{r}\cdot\mathbf{p}}}\right] $$ और यह देखा जा सकता है कि गोले की सतह पर (अर्थात जब r=R), क्षमता गायब हो जाती है। इस प्रकार गोले के अंदर की क्षमता दो आवेशों की क्षमता के लिए उपरोक्त अभिव्यक्ति द्वारा दी गई है। यह क्षमता गोले के बाहर मान्य नहीं होगी, क्योंकि छवि आवेश वास्तव में मौजूद नहीं है, बल्कि आंतरिक आवेश द्वारा गोले पर प्रेरित सतह आवेश घनत्व के लिए खड़ा है। $$\mathbf{p}$$. ग्राउंडेड गोले के बाहर की क्षमता केवल गोले के बाहर आवेश के वितरण से निर्धारित होगी और गोले के अंदर आवेश वितरण से स्वतंत्र होगी। यदि हम सरलता के लिए (सामान्यता की हानि के बिना) यह मान लें कि आंतरिक आवेश z-अक्ष पर स्थित है, तो प्रेरित आवेश घनत्व केवल गोलाकार निर्देशांक θ का एक कार्य होगा और इसे इस प्रकार दिया जाता है:



\sigma(\theta) = \varepsilon_0 \left.\frac{\partial V}{\partial r} \right|_{r=R} =\frac{-q\left(R^2-p^2\right)}{4\pi R\left(R^2+p^2-2pR\cos\theta\right)^{3/2}} $$ गोले पर कुल आवेश सभी कोणों को एकीकृत करके पाया जा सकता है:



Q_t=\int_0^\pi d\theta \int_0^{2\pi} d\phi\,\,\sigma(\theta) R^2\sin\theta = -q $$ ध्यान दें कि इस विधि से पारस्परिक समस्या का भी समाधान हो जाता है। यदि हमारे पास सदिश स्थिति पर आवेश q है $$\mathbf{p}$$ त्रिज्या R के एक ज़मीनी गोले के बाहर, गोले के बाहर की क्षमता आवेश की क्षमता और गोले के अंदर उसके छवि आवेश के योग द्वारा दी जाती है। पहले मामले की तरह, छवि चार्ज पर -qR/p चार्ज होगा और वेक्टर स्थिति पर स्थित होगा $$\left(R^2 / p^2\right) \mathbf{p}$$. गोले के अंदर की क्षमता केवल गोले के अंदर वास्तविक आवेश वितरण पर निर्भर करेगी। पहले मामले के विपरीत, अभिन्न का मान −qR/p होगा।

विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण
द्विध्रुव की छवि थोड़ी अधिक जटिल है। यदि द्विध्रुव को एक छोटी दूरी से अलग किए गए दो बड़े आवेशों के रूप में चित्रित किया गया है, तो द्विध्रुव की छवि में न केवल उपरोक्त प्रक्रिया द्वारा संशोधित आवेश होंगे, बल्कि उनके बीच की दूरी भी संशोधित होगी। उपरोक्त प्रक्रिया के बाद, यह पाया गया कि द्विध्रुव आघूर्ण वाला एक द्विध्रुव है $$M$$ वेक्टर स्थिति पर $$\mathbf{p}$$ त्रिज्या R के गोले के अंदर स्थित एक छवि वेक्टर स्थिति में स्थित होगी $$\left(R^2/p^2\right)\mathbf{p}$$ (अर्थात् साधारण चार्ज के समान) और इसका साधारण चार्ज होगा:



q'=\frac{R\mathbf{p}\cdot\mathbf{M}}{p^3} $$ और एक द्विध्रुव क्षण:



\mathbf{M}'=\left(\frac{R}{p}\right)^3\left[ -\mathbf{M} +\frac{2\mathbf{p}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{M})}{p^2} \right] $$

व्युत्क्रमण की विधि
किसी गोले के लिए छवियों की विधि सीधे व्युत्क्रमण की विधि की ओर ले जाती है। यदि हमारे पास स्थिति का एक हार्मोनिक फ़ंक्शन है $$\Phi(r,\theta,\phi)$$ कहाँ $$r,\theta,\phi$$ स्थिति के गोलाकार निर्देशांक हैं, तो मूल बिंदु के बारे में त्रिज्या आर के एक क्षेत्र में इस हार्मोनिक फ़ंक्शन की छवि होगी


 * $$\Phi'(r,\theta,\phi)=\frac{R}{r}\,\Phi{\left(\frac{R^2}{r},\theta,\phi\right)}$$

यदि क्षमता $$\Phi$$ परिमाण के आवेशों के एक समूह से उत्पन्न होता है $$q_i$$ पदों पर $$(r_i,\theta_i,\phi_i)$$, तो छवि क्षमता परिमाण के आरोपों की एक श्रृंखला का परिणाम होगी $$Rq_i/r_i$$ पदों पर $$(R^2/r_i,\theta_i,\phi_i)$$. यह इस प्रकार है कि यदि क्षमता $$\Phi$$ आवेश घनत्व से उत्पन्न होता है $$\rho(r,\theta,\phi)$$, तो छवि क्षमता चार्ज घनत्व का परिणाम होगी $$\rho'(r,\theta,\phi)=(R/r) \rho(R^2 / r,\theta,\phi)$$.

यह भी देखें

 * केल्विन परिवर्तन
 * कूलम्ब का नियम
 * विचलन प्रमेय
 * फ्लक्स
 * गाऊसी सतह
 * श्वार्ज प्रतिबिंब सिद्धांत
 * पॉइसन के समीकरण के लिए विशिष्टता प्रमेय
 * छवि एंटीना
 * सतह तुल्यता सिद्धांत