डायोफैंटाइन समीकरण

गणित में, डायोफैंटाइन समीकरण बहुपद समीकरण है, जिसमें आमतौर पर दो या अधिक अपरिचित सम्मिलित होते हैं, जैसे कि ब्याज का एकमात्र समीकरण पूर्णांक हैं। रेखीय डायोफैंटाइन समीकरण दो या दो से अधिक एकपदीयों के योग के बराबर होता है, जिनमें से प्रत्येक एक बहुपद की डिग्री होती है। घातीय डायोफैंटाइन समीकरण वह है जिसमें अज्ञात घातांक में प्रकट हो सकते हैं।

डायोफैंटाइन समस्याओं में अज्ञात की तुलना में कम समीकरण होते हैं और इसमें पूर्णांकों को खोजना सम्मिलित होता है जो एक साथ सभी समीकरणों को हल करते हैं। जैसा कि समीकरणों की ऐसी प्रणालियाँ बीजगणितीय वक्र, बीजगणितीय सतहों, या अधिक सामान्यतः बीजगणितीय सेटों को परिभाषित करती हैं, उनका अध्ययन बीजगणितीय ज्यामिति का एक हिस्सा है जिसे 'डायोफैंटाइन ज्यामिति' कहा जाता है।

डायोफैंटाइन शब्द तीसरी शताब्दी के हेलेनिस्टिक गणितज्ञ, सिकंदरिया के डायोफैंटस, जिन्होंने इस तरह के समीकरणों का अध्ययन किया और बीजगणित में गणितीय प्रतीक पेश करने वाले पहले गणितज्ञों में से एक थे। डायोफैंटाइन समस्याओं का गणितीय अध्ययन जो डायोफैंटस ने प्रारंभ किया था, उसे अब डायोफैंटाइन विश्लेषण कहा जाता है।

जबकि व्यक्तिगत समीकरण एक प्रकार की पहेली पेश करते हैं और पूरे इतिहास में इस पर विचार किया गया है, डायोफैंटाइन समीकरणों (रैखिक और द्विघात समीकरण समीकरणों के मामले से परे) के सामान्य सिद्धांतों का सूत्रीकरण बीसवीं सदी की एक उपलब्धि थी।

उदाहरण
निम्नलिखित डायोफैंटाइन समीकरणों में, $a^{2} + b^{2} = c^{2}$, $w$, $x$, तथा $y$ अज्ञात हैं और अन्य अक्षरों को स्थिरांक दिया गया है:

एक समीकरण
सरलतम रेखीय डायोफैंटाइन समीकरण $z$ के रूप में होता है, जहां $ax + by = c$, $w^{3} + x^{3} = y^{3} + z^{3}$ तथा $x^{n} + y^{n} = z^{n}$ पूर्णांक दिए गए हैं। समाधान निम्नलिखित प्रमेय द्वारा वर्णित हैं:
 * इस डायोफैंटाइन समीकरण का समाधान है (जहाँ $x^{2} − ny^{2} = ±1$ तथा $4⁄n = 1⁄x + 1⁄y + 1⁄z$ पूर्णांक हैं) अगर c, a और b के सबसे बड़े सामान्य भाजक का गुणज है। इसके अलावा, यदि $x^{4} + y^{4} + z^{4} = w^{4}$ एक समाधान है, तो अन्य समाधानों का रूप है $ax + by = c$, जहाँ $a$ एक स्वेच्छ पूर्णांक है, u और v, a और b के भागफल हैं, (क्रमशः) a और b के महत्तम समापवर्तक द्वारा ।

प्रमाण: यदि $b$ सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है, तो बेजाउट की पहचान पूर्णांक $c$ तथा $x$ के अस्तित्व पर जोर देती है जैसे कि $y$। यदि $(x, y)$ का गुणज $(x + kv, y − ku)$ है, तो $k$ किसी पूर्णांक $d$ के लिए $e$ एक समाधान है। दूसरी ओर, पूर्णांक $f$ और $ae + bf = d$ के प्रत्येक युग्म के लिए सबसे बड़ा सामान्य विभाजक $c$ का $d$ तथा $c = dh$ विभाजित $h$. इस प्रकार, यदि समीकरण का हल है, तो $(eh, fh)$ का गुणज होना चाहिए $x$. यदि $y$ तथा $d$, फिर हर समाधान के लिए $a$, अपने पास

$b$ एक अन्य उपाय है। अंत में, दो समाधान दिए गए जैसे कि $ax + by$, एक यह निष्कर्ष निकालता है $c$. जैसा $d$ तथा $a = ud$ सह अभाज्य हैं, यूक्लिड की लेम्मा यह दर्शाती है $b = vd$ विभाजित $(x, y)$, और इस प्रकार एक पूर्णांक मौजूद है $a(x + kv) + b(y − ku) = ax + by + k(av − bu) = ax + by + k(udv − vdu) = ax + by$ ऐसा है कि $(x + kv, y − ku)$ तथा $ax_{1} + by_{1} = ax_{2} + by_{2} = c$. इसलिए, $u(x_{2} − x_{1}) + v(y_{2} − y_{1}) = 0$ तथा $u$, जो प्रमाण को पूरा करता है।

चीनी शेष प्रमेय
चीनी शेष प्रमेय समीकरणों के रैखिक डायोफैंटाइन सिस्टम के महत्वपूर्ण वर्ग का वर्णन करता है: चलो $v$ होना $v$ जोड़ो में एक से अधिक कोप्राइम पूर्णांक, $x_{2} − x_{1}$ होना $k$ मनमाना पूर्णांक, और $x_{2} − x_{1} = kv$ उत्पाद हो $y_{2} − y_{1} = −ku$. चीनी शेष प्रमेय का दावा है कि निम्नलिखित रैखिक डायोफैंटाइन प्रणाली का एक ही समाधान है $x_{2} = x_{1} + kv$ ऐसा है कि $y_{2} = y_{1} − ku$, और यह कि अन्य समाधान जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं $n_{1}, …, n_{k}$ का एक गुणक $k$:
 * $$\begin{align}

x &= a_1 + n_1\,x_1\\ &\;\;\vdots\\ x &= a_k + n_k\,x_k \end{align}$$

रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों की प्रणाली
आम तौर पर, रेखीय डायोफैंटाइन समीकरणों की प्रत्येक प्रणाली को उसके मैट्रिक्स के स्मिथ सामान्य रूप की गणना करके हल किया जा सकता है, जो एक क्षेत्र पर रैखिक समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए कम पंक्ति सोपानक रूप के उपयोग के समान है। मैट्रिक्स (गणित) # अंकन का उपयोग करते हुए रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों की प्रत्येक प्रणाली को लिखा जा सकता है

कहाँ पे $a_{1}, …, a_{k}$ एक $k$ पूर्णांकों का आव्यूह, $N$ एक $n_{1} ⋯ n_{k}$ अज्ञात का कॉलम मैट्रिक्स और $(x, x_{1}, …, x_{k})$ एक $0 ≤ x < N$ पूर्णांकों का स्तंभ मैट्रिक्स।

स्मिथ के सामान्य रूप की गणना $x$ दो यूनिमॉड्यूलर मैट्रिक्स प्रदान करता है (जो मैट्रिक्स है जो पूर्णांकों पर उलटा होता है और निर्धारक के रूप में ±1 होता है) $N$ तथा $A&thinsp;X = C$ संबंधित आयामों की $A$ तथा $m × n$, जैसे कि मैट्रिक्स

इस प्रकार कि $X$ के लिए शून्य नहीं है $n × 1$ किसी पूर्णांक से अधिक नहीं $C$, और अन्य सभी प्रविष्टियाँ शून्य हैं। हल की जाने वाली प्रणाली को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है

कॉलिंग $m × 1$ की प्रविष्टियाँ $A$ तथा $U$ उन लोगों के $V$, यह सिस्टम की ओर जाता है
 * $m × m$ के लिये $n × n$,
 * $B = [bi,j] = UAV$ के लिये $b_{i,i}$.

यह प्रणाली निम्नलिखित अर्थों में दिए गए एक के बराबर है: पूर्णांकों का एक स्तंभ मैट्रिक्स $i$ दी गई प्रणाली का एक समाधान है अगर और केवल अगर $k$ पूर्णांकों के कुछ स्तंभ मैट्रिक्स के लिए $B&thinsp;(VX) = UC$ ऐसा है कि $y_{i}$.

यह इस प्रकार है कि सिस्टम का एक समाधान है अगर और केवल अगर $VX$ विभाजित $d_{i}$ के लिये $D = UC$ तथा $b_{i,i}&thinsp;y_{i} = d_{i}$ के लिये $1 ≤ i ≤ k$. यदि यह स्थिति पूरी हो जाती है, तो दी गई प्रणाली के समाधान हैं
 * $$ V\,

\begin{bmatrix} \frac{d_1}{b_{1,1}}\\ \vdots\\ \frac{d_k}{b_{k,k}}\\ h_{k+1}\\ \vdots\\ h_n \end{bmatrix}\,, $$ कहाँ पे $0&thinsp;y_{i} = d_{i}$ मनमाना पूर्णांक हैं।

रेखीय डायोफैंटाइन समीकरणों की प्रणालियों को हल करने के लिए हर्मिट सामान्य रूप का भी उपयोग किया जा सकता है। हालाँकि, हर्मिट सामान्य रूप सीधे समाधान प्रदान नहीं करता है; हर्मिट सामान्य रूप से समाधान प्राप्त करने के लिए, कई रैखिक समीकरणों को क्रमिक रूप से हल करना होगा। फिर भी, रिचर्ड ज़िप्पल ने लिखा है कि स्मिथ का सामान्य रूप रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए वास्तव में आवश्यक से कुछ अधिक है। समीकरण को विकर्ण रूप में कम करने के बजाय, हमें केवल इसे त्रिकोणीय बनाने की आवश्यकता है, जिसे हर्मिट सामान्य रूप कहा जाता है। स्मिथ सामान्य रूप की तुलना में हर्मिट सामान्य रूप की गणना करना काफी आसान है। पूर्णांक रैखिक प्रोग्रामिंग रैखिक प्रणालियों के कुछ पूर्णांक समाधान (कुछ अर्थों में इष्टतम) खोजने के लिए है जिसमें असमानताएं भी सम्मिलित हैं। इस प्रकार रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों की प्रणालियाँ इस संदर्भ में बुनियादी हैं, और पूर्णांक प्रोग्रामिंग पर पाठ्यपुस्तकों में आमतौर पर रैखिक डायोफैंटाइन समीकरणों की प्रणालियों का उपचार होता है।

सजातीय समीकरण
एक सजातीय डायोफैंटाइन समीकरण एक डायोफैंटाइन समीकरण है जिसे एक सजातीय बहुपद द्वारा परिभाषित किया गया है। इस तरह का एक विशिष्ट समीकरण फर्मेट के अंतिम प्रमेय का समीकरण है
 * $$x^d+y^d -z^d=0.$$

में एक सजातीय बहुपद के रूप में $n$ अनिश्चित आयाम के प्रक्षेपी स्थान में एक प्रक्षेपी हाइपरसफेस को परिभाषित करता है $k < i ≤ n$, एक सजातीय डायोफैंटाइन समीकरण को हल करना एक प्रक्षेपी हाइपरसफेस के तर्कसंगत बिंदुओं को खोजने के समान है।

एक सजातीय डायोफैंटाइन समीकरण को हल करना आम तौर पर एक बहुत ही कठिन समस्या है, यहां तक ​​​​कि तीन अनिश्चित के सबसे सरल गैर-तुच्छ मामले में भी (दो अनिश्चित के मामले में समस्या परीक्षण के बराबर है यदि एक परिमेय संख्या है $d$किसी अन्य परिमेय संख्या की घात)। समस्या की कठिनाई का एक गवाह फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय है (के लिए $x$, उपरोक्त समीकरण का कोई पूर्णांक समाधान नहीं है), जिसे हल करने से पहले गणितज्ञों के तीन शताब्दियों से अधिक के प्रयासों की आवश्यकता थी।

तीन से अधिक डिग्री के लिए, अधिकांश ज्ञात परिणाम प्रमेय हैं जो दावा करते हैं कि कोई समाधान नहीं है (उदाहरण के लिए फर्मेट की अंतिम प्रमेय) या समाधान की संख्या परिमित है (उदाहरण के लिए फाल्टिंग प्रमेय)।

डिग्री तीन के लिए, सामान्य हल करने के तरीके हैं, जो व्यवहार में आने वाले लगभग सभी समीकरणों पर काम करते हैं, लेकिन कोई एल्गोरिदम ज्ञात नहीं है जो प्रत्येक घन समीकरण के लिए काम करता हो।

डिग्री दो
डिग्री दो के सजातीय डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करना आसान है। मानक समाधान विधि दो चरणों में आगे बढ़ती है। व्यक्ति को पहले एक समाधान खोजना होता है, या यह सिद्ध करना होता है कि कोई समाधान नहीं है। जब एक समाधान मिल जाता है, तब सभी समाधान निकाले जाते हैं।

यह साबित करने के लिए कि कोई समाधान नहीं है, कोई समीकरण मॉड्यूलर अंकगणित | मॉड्यूल को कम कर सकता है $p$. उदाहरण के लिए, डायोफैंटाइन समीकरण
 * $$x^2+y^2=3z^2,$$

तुच्छ समाधान के अलावा और कोई उपाय नहीं है $x = Vy$. वास्तव में, विभाजित करके $y$ तथा $z$ उनके सबसे बड़े सामान्य विभाजक द्वारा, कोई यह मान सकता है कि वे कोप्राइम हैं। वर्ग मोडुलो 4 0 और 1 के सर्वांगसम हैं। इस प्रकार समीकरण का बायां हाथ 0, 1, या 2 के अनुरूप है, और दाहिना हाथ 0 या 3 के अनुरूप है। इस प्रकार समानता केवल प्राप्त की जा सकती है यदि $By = D$ तथा $z$ सभी सम हैं, और इस प्रकार कोप्राइम नहीं हैं। इस प्रकार एकमात्र समाधान तुच्छ समाधान है $b_{i,i}$. इससे पता चलता है कि त्रिज्या के एक वृत्त पर कोई परिमेय बिंदु नहीं होता है $$\sqrt{3},$$ मूल पर केन्द्रित है।

अधिक आम तौर पर, हस्से सिद्धांत यह तय करने की अनुमति देता है कि क्या डिग्री दो के एक सजातीय डायोफैंटाइन समीकरण का एक पूर्णांक समाधान है, और यदि मौजूद है तो एक समाधान की गणना करता है।

यदि एक गैर-तुच्छ पूर्णांक समाधान ज्ञात है, तो निम्न तरीके से अन्य सभी समाधानों का उत्पादन किया जा सकता है।

ज्यामितीय व्याख्या
होने देना
 * $$Q(x_1, \ldots, x_n)=0$$

एक सजातीय डायोफैंटाइन समीकरण हो, जहां $$Q(x_1, \ldots, x_n)$$ एक द्विघात रूप है (अर्थात, डिग्री 2 का एक सजातीय बहुपद), पूर्णांक गुणांक के साथ। तुच्छ समाधान वह समाधान है जहाँ सभी $$x_i$$ शून्य हैं। यदि $$(a_1, \ldots, a_n)$$ तब इस समीकरण का एक गैर-तुच्छ पूर्णांक समाधान है $$\left(a_1, \ldots, a_n\right)$$ द्वारा परिभाषित हाइपरसफेस के एक तर्कसंगत बिंदु के सजातीय निर्देशांक हैं $Q$. इसके विपरीत यदि $\left(\frac {p_1}q, \ldots, \frac {p_n}q \right)$  इस हाइपरसफेस के तर्कसंगत बिंदु के सजातीय निर्देशांक हैं, जहां $$q, p_1, \ldots, p_n$$ पूर्णांक हैं, तो $$\left(p_1, \ldots, p_n\right)$$ डायोफैंटाइन समीकरण का एक पूर्णांक समाधान है। इसके अलावा, पूर्णांक समाधान जो किसी दिए गए परिमेय बिंदु को परिभाषित करते हैं, वे सभी रूप के क्रम हैं
 * $$\left(k\frac{p_1}d, \ldots, k\frac{p_n}d\right),$$

कहाँ पे $k$ कोई पूर्णांक है, और $d$ का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है $$p_i.$$ यह इस प्रकार है कि डायोफैंटाइन समीकरण को हल करना $$Q(x_1, \ldots, x_n)=0$$ संबंधित प्रोजेक्टिव हाइपरसफेस के तर्कसंगत बिंदुओं को खोजने के लिए पूरी तरह से कम हो गया है।

पैरामीटराइजेशन
अभी चलो $$A=\left(a_1, \ldots, a_n\right)$$ समीकरण का पूर्णांक हल हो $$Q(x_1, \ldots, x_n)=0.$$ जैसा $Q$ डिग्री दो का एक बहुपद है, एक रेखा से होकर गुजरती है $A$ हाइपरसफेस को एक अन्य बिंदु पर पार करता है, जो तर्कसंगत है अगर और केवल अगर लाइन तर्कसंगत है (यानी, अगर लाइन तर्कसंगत मापदंडों द्वारा परिभाषित की गई है)। इससे गुजरने वाली लाइनों द्वारा हाइपरसफेस को पैरामीटरेट करने की अनुमति मिलती है $A$, और परिमेय बिंदु वे हैं जो परिमेय रेखाओं से प्राप्त किए जाते हैं, अर्थात् वे जो प्राचलों के परिमेय मानों के संगत होते हैं।

अधिक सटीक रूप से, कोई निम्नानुसार आगे बढ़ सकता है।

सूचकांकों की अनुमति देकर, सामान्यता के नुकसान के बिना, यह माना जा सकता है कि $$a_n\ne 0.$$ इसके बाद परिभाषित एफ़िन बीजगणितीय विविधता पर विचार करके कोई एफ़िन मामले में जा सकता है
 * $$q(x_1,\ldots,x_{n-1})=Q(x_1, \ldots, x_{n-1},1),$$

जिसका तर्कसंगत बिंदु है
 * $$R= (r_1, \ldots, r_{n-1})=\left(\frac{a_1}{a_n}, \ldots, \frac{a_{n-1}}{a_n}\right).$$

यदि यह परिमेय बिंदु एक बीजगणितीय विविधता का एक विलक्षण बिंदु है, अर्थात यदि सभी आंशिक डेरिवेटिव शून्य पर हैं $R$, से गुजरने वाली सभी लाइनें $R$ हाइपरसफेस में समाहित हैं, और एक की शंक्वाकार सतह है। चरों का परिवर्तन
 * $$y_i=x_i-r_i$$

तर्कसंगत बिंदुओं को नहीं बदलता है, और रूपांतरित करता है $q$ में एक सजातीय बहुपद में $d_{i}$ चर। इस मामले में, कम चर वाले समीकरण के लिए विधि को लागू करके समस्या को हल किया जा सकता है।

यदि बहुपद $q$ रैखिक बहुपदों (संभवतः गैर-तर्कसंगत गुणांकों के साथ) का एक उत्पाद है, तो यह दो hyperplane को परिभाषित करता है। इन हाइपरप्लेन का प्रतिच्छेदन एक तर्कसंगत फ्लैट (ज्यामिति) है, और इसमें तर्कसंगत एकवचन बिंदु सम्मिलित हैं। इस प्रकार यह मामला पूर्ववर्ती मामले का एक विशेष उदाहरण है।

सामान्य स्थिति में, गुजरने वाली रेखा के पैरामीट्रिक समीकरण पर विचार करें $R$:
 * $$\begin{align}

x_2 &= r_2 + t_2(x_1-r_1)\\ &\;\;\vdots\\ x_{n-1} &= r_{n-1} + t_{n-1}(x_1-r_1). \end{align}$$ इसे में प्रतिस्थापित करना $q$, डिग्री दो का बहुपद प्राप्त होता है $$x_1,$$ इसके लिए शून्य है $$x_1=r_1.$$ यह इस प्रकार से विभाज्य है $$x_1-r_1,$$. भागफल रैखिक है $$x_1,$$ और व्यक्त करने के लिए हल किया जा सकता है $$x_1$$ अधिक से अधिक दो डिग्री के दो बहुपदों के भागफल के रूप में $$t_2, \ldots, t_{n-1},$$ पूर्णांक गुणांक के साथ:
 * $$x_1=\frac{f_1(t_2, \ldots, t_{n-1})}{f_n(t_2, \ldots, t_{n-1})}.$$

के भावों में इसे प्रतिस्थापित करना $$x_2, \ldots, x_{n-1},$$ एक के लिए मिलता है $i ≤ k$,
 * $$x_i=\frac{f_i(t_2, \ldots, t_{n-1})}{f_n(t_2, \ldots, t_{n-1})},$$

कहाँ पे $$f_1, \ldots, f_n$$ पूर्णांक गुणांकों के साथ अधिक से अधिक दो डिग्री वाले बहुपद हैं।

फिर, सजातीय मामले में वापस आ सकता है। चलो, के लिए $d_{i} = 0$,
 * $$F_i(t_1, \ldots, t_{n-1})=t_1^2 f_i\left(\frac{t_2}{t_1}, \ldots, \frac{t_{n-1}}{t_1} \right),$$

के एक बहुपद का समरूपीकरण हो $$f_i.$$ पूर्णांक गुणांक वाले ये द्विघात बहुपद, द्वारा परिभाषित प्रक्षेपी हाइपरसफेस का एक पैरामीटर बनाते हैं $Q$:
 * $$\begin{align}

x_1&= F_1(t_1, \ldots, t_{n-1})\\ &\;\;\vdots\\ x_n&= F_n(t_1, \ldots, t_{n-1}). \end{align}$$ द्वारा परिभाषित प्रोजेक्टिव हाइपरसफेस का एक बिंदु $Q$ तर्कसंगत है अगर और केवल अगर यह के तर्कसंगत मूल्यों से प्राप्त किया जा सकता है $$t_1, \ldots, t_{n-1}.$$ जैसा $$F_1, \ldots,F_n$$ सजातीय बहुपद हैं, यदि सभी बिंदु नहीं बदले हैं $$t_i$$ समान परिमेय संख्या से गुणा किया जाता है। इस प्रकार, कोई यह मान सकता है $$t_1, \ldots, t_{n-1}$$ कोप्राइम पूर्णांक हैं। यह इस प्रकार है कि डायोफैंटिन समीकरण के पूर्णांक समाधान बिल्कुल क्रम हैं $$(x_1, \ldots, x_n)$$ कहाँ, के लिए $i > k$,
 * $$x_i= k\,\frac{F_i(t_1, \ldots, t_{n-1})}{d},$$

कहाँ पे $k$ एक पूर्णांक है, $$t_1, \ldots, t_{n-1}$$ कोप्राइम पूर्णांक हैं, और $d$ का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है $n$ पूर्णांकों $$F_i(t_1, \ldots, t_{n-1}).$$ कोई उम्मीद कर सकता है कि की सह-प्रकृति $$t_i$$ इसका मतलब हो सकता है $h_{k+1}, …, h_{n}$. दुर्भाग्य से ऐसा नहीं है, जैसा कि अगले भाग में दिखाया गया है।

पाइथागोरस त्रिक का उदाहरण
समीकरण
 * $$x^2+y^2-z^2=0$$

शायद डिग्री दो का पहला सजातीय डायोफैंटाइन समीकरण है जिसका अध्ययन किया गया है। इसके समाधान पाइथागोरियन त्रिक हैं। यह यूनिट सर्कल का सजातीय समीकरण भी है। इस खंड में, हम दिखाते हैं कि कैसे उपरोक्त विधि पाइथागोरस त्रिक उत्पन्न करने के लिए यूक्लिड के सूत्र को पुनः प्राप्त करने की अनुमति देती है।

यूक्लिड के सूत्र को पुनः प्राप्त करने के लिए, हम समाधान से प्रारंभ करते हैं $n − 1$, बिंदु के अनुरूप $d > 2$ यूनिट सर्कल का। इस बिंदु से गुजरने वाली एक रेखा को इसके ढलान से परिचालित किया जा सकता है:
 * $$y=t(x+1).$$

इसे वृत्त समीकरण में रखने पर
 * $$x^2+y^2-1=0,$$

एक मिलता है
 * $$x^2-1 +t^2(x+1)^2=0.$$

द्वारा विभाजित करना $(0, 0, 0)$, का परिणाम
 * $$x-1+t^2(x+1)=0,$$

जिसमें हल करना आसान है $x$:
 * $$x=\frac{1-t^2}{1+t^2}.$$

का अनुसरण करना
 * $$y=t(x+1) = \frac{2t}{1+t^2}.$$

जैसा कि ऊपर बताया गया है, समरूपीकरण से सभी समाधान प्राप्त होते हैं
 * $$\begin{align}

x&=k\,\frac{s^2-t^2}{d}\\ y&=k\,\frac{2st}{d}\\ z&=k\,\frac{s^2+t^2}{d}, \end{align}$$ कहाँ पे $k$ कोई पूर्णांक है, $s$ तथा $t$ कोप्राइम पूर्णांक हैं, और $d$ तीन अंशों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है। वास्तव में, $x, y,$ यदि $s$ तथा $t$ दोनों विषम हैं, और $x, y,$ यदि एक विषम है और दूसरा सम है।

आदिम त्रिगुण वे समाधान हैं जहाँ $(0, 0, 0)$ तथा $n − 1$.

समाधानों का यह विवरण यूक्लिड के सूत्र से थोड़ा भिन्न है क्योंकि यूक्लिड का सूत्र केवल ऐसे समाधानों पर विचार करता है जो $i = 1, …, n − 1$ तथा $z$ सभी सकारात्मक हैं, और दो त्रिगुणों के बीच अंतर नहीं करते हैं जो के आदान-प्रदान से भिन्न होते हैं $x$ तथा $y$,

विशिष्ट प्रश्न
डायोफैंटाइन विश्लेषण में पूछे गए प्रश्नों में सम्मिलित हैं:


 * 1) क्या कोई उपाय है?
 * 2) क्या कुछ से परे कोई समाधान हैं जो गणितीय शब्दजाल #प्रूफ तकनीकों की सूची से आसानी से मिल जाते हैं?
 * 3) क्या परिमित या अपरिमित रूप से अनेक हल हैं?
 * 4) क्या सभी समाधान सिद्धांत में खोजे जा सकते हैं?
 * 5) क्या व्यवहार में कोई समाधान की पूरी सूची की गणना कर सकता है?

ये पारंपरिक समस्याएं प्रायः सदियों से अनसुलझी पड़ी रहती हैं, और गणितज्ञ धीरे-धीरे उनकी गहराई को समझने लगे (कुछ मामलों में), बजाय उन्हें पहेलियाँ मानने के।

विशिष्ट समस्या
दी गई जानकारी यह है कि एक पिता की आयु उसके पुत्र की आयु के दोगुने से 1 कम है, और वह अंक $i = 1, …, n$ पिता की उम्र बनाने से बेटे की उम्र में उल्टा हो जाता है (यानी $i = 1, ..., n$). यह समीकरण की ओर जाता है $d = 1$, इस प्रकार $(−1, 0, 1)$. निरीक्षण परिणाम देता है $(−1, 0)$, $x + 1$, और इस तरह $d = 2$ 73 साल के बराबर और $d = 1$ 37 साल के बराबर। कोई आसानी से दिखा सकता है कि इसके साथ कोई अन्य समाधान नहीं है $k = 1$ तथा $s > t > 0$ सकारात्मक पूर्णांक 10 से कम।

मनोरंजक गणित के क्षेत्र में कई प्रसिद्ध पहेलियाँ डायोफैंटाइन समीकरणों की ओर ले जाती हैं। उदाहरणों में तोप का गोला समस्या, आर्किमिडीज़ की मवेशी समस्या और बंदर और नारियल सम्मिलित हैं।

17वीं और 18वीं शताब्दी
1637 में, पियरे डी फर्मेट ने अंकगणित की अपनी प्रति के हाशिये पर लिखा: एक घन को दो घनों में, या एक चौथी शक्ति को दो चौथाई शक्तियों में, या सामान्य रूप से, दूसरी से अधिक किसी भी शक्ति को दो समान शक्तियों में अलग करना असंभव है।अधिक आधुनिक भाषा में कहा गया, समीकरण $x, y$ के पास किसी के लिए कोई समाधान नहीं है। इसके बाद, उन्होंने लिखा: मैंने इस प्रस्ताव का वास्तव में एक अद्भुत प्रमाण खोजा है, जो कि यह मार्जिन बहुत कम है। हालांकि, इस तरह के एक प्रमाण से गणितज्ञ सदियों तक दूर रहे, और इस तरह उनका बयान फ़र्मेट की अंतिम प्रमेय के रूप में प्रसिद्ध हुआ। यह 1995 तक नहीं था कि यह ब्रिटिश गणितज्ञ एंड्रयू विल्स द्वारा सिद्ध किया गया था।

1657 में, फ़र्मेट ने डायोफैंटाइन समीकरण को हल करने का प्रयास किया $AB$ (1000 साल पहले ब्रह्मगुप्त द्वारा हल)। 18 वीं शताब्दी की शुरुआत में समीकरण अंततः यूलर द्वारा हल किया गया था, जिसने कई अन्य डायोफैंटाइन समीकरणों को भी हल किया था। धनात्मक पूर्णांकों में इस समीकरण का सबसे छोटा हल है $BA$, $10A + B = 2(10B + A) − 1$ (देखें चक्रवला विधि)।

हिल्बर्ट की दसवीं समस्या
1900 में, डेविड हिल्बर्ट ने हिल्बर्ट की अपनी हिल्बर्ट की समस्याओं की दसवीं समस्या के रूप में सभी डायोफ़ैंटाइन समीकरणों की विलेयता का प्रस्ताव दिया। 1970 में, यूरी मटियासेविच ने इसे नकारात्मक रूप से हल किया, जूलिया रॉबिन्सन, मार्टिन डेविस (गणितज्ञ) और हिलेरी पटनम के काम पर निर्माण करके यह साबित करने के लिए कि सभी डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए एक सामान्य कलन विधि असंभवता का प्रमाण है।

डायोफैंटाइन ज्यामिति
डायोफैंटाइन ज्यामिति, जो इस क्षेत्र में बीजगणितीय ज्यामिति से तकनीकों का अनुप्रयोग है, इसके परिणामस्वरूप विकास जारी रहा है; चूंकि मनमाना समीकरणों का इलाज करना एक मृत अंत है, ऐसे समीकरणों की ओर ध्यान जाता है जिनका एक ज्यामितीय अर्थ भी होता है। डायोफैंटाइन ज्यामिति का केंद्रीय विचार एक परिमेय बिंदु का है, अर्थात् एक बहुपद समीकरण का समाधान या बहुपद समीकरणों की एक प्रणाली, जो एक निर्धारित क्षेत्र (गणित) में एक सदिश है। $19B − 8A = 1$, जब $A = 7$ बीजगणितीय रूप से बंद नहीं है।

आधुनिक अनुसंधान
कुछ सामान्य दृष्टिकोणों में से एक हस्से सिद्धांत के माध्यम से है। अनंत अवतरण पारंपरिक तरीका है, और इसे एक लंबा रास्ता तय किया गया है।

सामान्य डायोफैंटाइन समीकरणों के अध्ययन की गहराई को डायोफैंटाइन सेटों के लक्षण वर्णन द्वारा दिखाया गया है, जैसा कि पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य सेट के रूप में वर्णित है। दूसरे शब्दों में, डायोफैंटाइन विश्लेषण की सामान्य समस्या सार्वभौमिकता के साथ धन्य या अभिशप्त है, और किसी भी मामले में ऐसा कुछ नहीं है जो इसे अन्य शब्दों में फिर से व्यक्त करने के अलावा हल किया जाएगा।

डायोफैंटाइन सन्निकटन का क्षेत्र डायोफैंटाइन असमानताओं के मामलों से संबंधित है। यहाँ चरों को अभी भी अभिन्न माना जाता है, लेकिन कुछ गुणांक अपरिमेय संख्या हो सकते हैं, और समानता चिह्न को ऊपरी और निचले सीमा से बदल दिया जाता है।

इस क्षेत्र में एकमात्र सर्वाधिक चर्चित प्रश्न, अनुमान जिसे फर्मेट की अंतिम प्रमेय के रूप में जाना जाता है, विल्स द्वारा फर्मेट की अंतिम प्रमेय का प्रमाण था, पिछली शताब्दी के दौरान बीजगणितीय ज्यामिति से उपकरण का उपयोग संख्या सिद्धांत के बजाय विकसित किया गया था जहां अनुमान मूल रूप से तैयार किया गया था। फाल्टिंग्स प्रमेय जैसे अन्य प्रमुख परिणामों ने पुराने अनुमानों को समाप्त कर दिया है।

अनंत डायोफैंटाइन समीकरण
अनंत डायोफैंटाइन समीकरण का एक उदाहरण है:
 * $B = 3$, जिसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है कि पूर्णांक कितनी विधियों से दिया जा सकता है, $AB$ वर्ग के योग के रूप में दो बार एक वर्ग के साथ तीन बार एक वर्ग और इसी तरह लिखा जाएगा? यह प्रत्येक के लिए कितने तरीकों से किया जा सकता है $BA$ एक पूर्णांक अनुक्रम बनाता है। अनंत डायोफैंटाइन समीकरण थीटा कार्यों और अनंत आयामी जाली से संबंधित हैं। इस समीकरण में हमेशा किसी भी सकारात्मक का हल होता है $A$. इसकी तुलना करें:

जिसका हमेशा सकारात्मक समाधान नहीं होता है $B$.

घातीय डायोफैंटाइन समीकरण
यदि डायोफैंटाइन समीकरण में अतिरिक्त चर या घातांक के रूप में होने वाले चर हैं, तो यह घातीय डायोफैंटाइन समीकरण है। उदाहरणों-रामानुजन-नागल समीकरण सम्मिलित हैं, $a + b = c$, और फ़र्मेट-कातालान अनुमान और बील के अनुमान का समीकरण, $61x^{2} + 1 = y^{2}$ घातांक पर असमानता प्रतिबंधों के साथ। ऐसे समीकरणों के लिए एक सामान्य सिद्धांत उपलब्ध नहीं है; कैटलन के अनुमान जैसे विशेष मामलों को सुलझाया गया है। हालांकि, अधिकांश तदर्थ तरीकों जैसे स्टॉर्मर प्रमेय या यहां तक ​​कि परीक्षण और त्रुटि के माध्यम से हल किए जाते हैं।

यह भी देखें

 * साथ ही, दो अज्ञात में रेखीय डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए आर्यभट्ट का एल्गोरिद्म

अग्रिम पठन

 * Bashmakova, Izabella G. "Diophante et Fermat", Revue d'Histoire des Sciences 19 (1966), pp. 289–306
 * Bashmakova, Izabella G. Diophantus and Diophantine Equations. Moscow: Nauka 1972 [in Russian]. German translation: Diophant und diophantische Gleichungen. Birkhauser, Basel/ Stuttgart, 1974. English translation: Diophantus and Diophantine Equations. Translated by Abe Shenitzer with the editorial assistance of Hardy Grant and updated by Joseph Silverman. The Dolciani Mathematical Expositions, 20. Mathematical Association of America, Washington, DC. 1997.
 * Bashmakova, Izabella G. "Arithmetic of Algebraic Curves from Diophantus to Poincaré" Historia Mathematica 8 (1981), 393–416.
 * Bashmakova, Izabella G., Slavutin, E. I. History of Diophantine Analysis from Diophantus to Fermat. Moscow: Nauka 1984 [in Russian].
 * Bashmakova, Izabella G. "Diophantine Equations and the Evolution of Algebra", American Mathematical Society Translations 147 (2), 1990, pp. 85–100. Translated by A. Shenitzer and H. Grant.
 * Rashed, Roshdi, Houzel, Christian. Les Arithmétiques de Diophante : Lecture historique et mathématique, Berlin, New York : Walter de Gruyter, 2013.
 * Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classique : D'Abū Kāmil à Fermat, Berlin, New York : Walter de Gruyter.
 * Rashed, Roshdi, Histoire de l'analyse diophantienne classique : D'Abū Kāmil à Fermat, Berlin, New York : Walter de Gruyter.

बाहरी संबंध

 * Diophantine Equation. From MathWorld at Wolfram Research.
 * Dario Alpern's Online Calculator. Retrieved 18 March 2009
 * Dario Alpern's Online Calculator. Retrieved 18 March 2009