रैखिक संपूरकता समस्या

गणितीय अनुकूलन (गणित) में, रैखिक संपूरकता समस्या (एलसीपी) कम्प्यूटेशनल यांत्रिकी में अक्सर उत्पन्न होती है और एक विशेष मामले के रूप में प्रसिद्ध द्विघात प्रोग्रामिंग को शामिल करती है। इसे 1968 में कॉटल और जॉर्ज डेंजिग द्वारा प्रस्तावित किया गया था।

सूत्रीकरण
एक वास्तविक मैट्रिक्स M और वेक्टर q को देखते हुए, रैखिक संपूरकता समस्या LCP(q, M) वेक्टर z और w की तलाश करती है जो निम्नलिखित बाधाओं को पूरा करते हैं:

इस समस्या के समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता के लिए एक पर्याप्त शर्त यह है कि एम सममित मैट्रिक्स सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स | सकारात्मक-निश्चित है। यदि M ऐसा है $LCP(q, M)$ के पास प्रत्येक q के लिए एक समाधान है, तो M एक q-मैट्रिक्स है। यदि M ऐसा है $LCP(q, M)$ प्रत्येक q के लिए एक अद्वितीय समाधान है, तो M एक पी-मैट्रिक्स है। ये दोनों लक्षण पर्याप्त एवं आवश्यक हैं।
 * $$w, z \geqslant 0,$$ (अर्थात, इन दोनों वैक्टरों का प्रत्येक घटक गैर-नकारात्मक है)
 * $$z^Tw = 0$$ या समकक्ष $$\sum\nolimits_i w_i z_i = 0.$$ यह संपूरकता सिद्धांत की स्थिति है, क्योंकि इसका तात्पर्य यह है कि, सभी के लिए $$i$$, अधिक से अधिक एक $$w_i$$ और $$z_i$$ सकारात्मक हो सकता है.
 * $$w = Mz + q$$

वेक्टर w एक सुस्त चर है, और इसलिए z पाए जाने के बाद आम तौर पर इसे छोड़ दिया जाता है। इस प्रकार, समस्या को इस प्रकार भी तैयार किया जा सकता है:


 * $$Mz+q \geqslant 0$$
 * $$z \geqslant 0$$
 * $$z^{\mathrm{T}}(Mz+q) = 0$$ (पूरक स्थिति)

उत्तल द्विघात-न्यूनीकरण: न्यूनतम शर्तें
रैखिक संपूरकता समस्या का समाधान खोजना द्विघात फलन को न्यूनतम करने से जुड़ा है


 * $$f(z) = z^T(Mz+q)$$

बाधाओं के अधीन


 * $${Mz}+q \geqslant 0$$
 * $$z \geqslant 0$$

ये बाधाएं सुनिश्चित करती हैं कि f हमेशा गैर-नकारात्मक है। z पर f का न्यूनतम मान 0 है यदि और केवल यदि z रैखिक संपूरकता समस्या को हल करता है।

यदि एम सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है, तो उत्तल द्विघात प्रोग्रामिंग को हल करने के लिए कोई भी एल्गोरिदम एलसीपी को हल कर सकता है। विशेष रूप से डिज़ाइन किए गए बेस-एक्सचेंज पिवोटिंग एल्गोरिदम, जैसे कि लेम्के एल्गोरिदम और सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म का एक संस्करण दशकों से उपयोग किया जा रहा है। बहुपद समय जटिलता के अलावा, आंतरिक-बिंदु विधियाँ व्यवहार में भी प्रभावी हैं।

इसके अलावा, एक द्विघात-प्रोग्रामिंग समस्या को न्यूनतम बताया गया है $$f(x)=c^Tx+\tfrac{1}{2} x^T Qx$$ का विषय है $$Ax \geqslant b$$ साथ ही $$x \geqslant 0$$ Q सममिति के साथ

एलसीपी को हल करने के समान ही है


 * $$q = \begin{bmatrix} c \\ -b \end{bmatrix}, \qquad M = \begin{bmatrix} Q & -A^T \\ A & 0 \end{bmatrix}$$

ऐसा इसलिए है क्योंकि QP समस्या की करुश-कुह्न-टकर स्थितियों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$\begin{cases}

v = Q x - A^T {\lambda} + c \\ s = A x - b \\ x, {\lambda}, v, s \geqslant 0 \\ x^{T} v+ {\lambda}^T s = 0 \end{cases}$$ गैर-नकारात्मकता बाधाओं पर लैग्रेंज मल्टीप्लायरों के साथ, λ असमानता बाधाओं पर गुणक, और असमानता बाधाओं के लिए सुस्त चर। चौथी स्थिति चरों के प्रत्येक समूह की संपूरकता से उत्पन्न होती है $(x, s)$ इसके केकेटी वैक्टर (इष्टतम लैग्रेंज मल्टीप्लायर) के सेट के साथ $(v, λ)$. उस मामले में,


 * $$z = \begin{bmatrix} x \\ \lambda \end{bmatrix}, \qquad w = \begin{bmatrix} v \\ s \end{bmatrix}$$

यदि x पर गैर-नकारात्मकता बाधा में ढील दी जाती है, तो LCP समस्या की आयामीता को असमानताओं की संख्या तक कम किया जा सकता है, जब तक कि Q गैर-एकवचन है (जो कि सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स होने पर गारंटी है)। गुणक v अब मौजूद नहीं हैं, और पहली केकेटी शर्तों को इस प्रकार फिर से लिखा जा सकता है:


 * $$Q x = A^{T} {\lambda} - c$$

या:


 * $$ x = Q^{-1}(A^{T} {\lambda} - c)$$

दोनों पक्षों को पहले A से गुणा करने और b घटाने पर हमें प्राप्त होता है:


 * $$ A x - b = A Q^{-1}(A^{T} {\lambda} - c) -b \,$$

दूसरी केकेटी स्थिति के कारण बाईं ओर, एस है। प्रतिस्थापित करना और पुनः व्यवस्थित करना:


 * $$ s = (A Q^{-1} A^{T}) {\lambda} + (- A Q^{-1} c - b )\,$$

अभी कॉल कर रहा हूँ


 * $$\begin{align}

M &:= (A Q^{-1} A^{T}) \\ q &:= (- A Q^{-1} c - b) \end{align}$$ स्लैक वेरिएबल्स और उनके लैग्रेंज गुणक λ के बीच संपूरकता के संबंध के कारण, हमारे पास एक एलसीपी है। एक बार जब हम इसे हल कर लेते हैं, तो हम पहली केकेटी स्थिति के माध्यम से λ से x का मान प्राप्त कर सकते हैं।

अंत में, अतिरिक्त समानता बाधाओं को संभालना भी संभव है:


 * $$A_{eq}x = b_{eq}$$

यह लैग्रेंज मल्टीप्लायरों μ के एक वेक्टर का परिचय देता है, जिसका आयाम समान है $$b_{eq}$$.

यह सत्यापित करना आसान है कि एलसीपी प्रणाली के लिए एम और क्यू $$ s = M {\lambda} + Q$$ अब इन्हें इस प्रकार व्यक्त किया गया है:


 * $$\begin{align}

M &:= \begin{bmatrix} A & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Q & A_{eq}^{T} \\ -A_{eq} & 0 \end{bmatrix}^{-1}  \begin{bmatrix} A^T \\ 0 \end{bmatrix}  \\ q &:= - \begin{bmatrix} A & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} Q & A_{eq}^{T} \\ -A_{eq} & 0 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} c \\ b_{eq} \end{bmatrix} - b \end{align}$$ λ से अब हम x और समानता के लैग्रेंज गुणक दोनों के मान पुनर्प्राप्त कर सकते हैं μ:


 * $$\begin{bmatrix} x \\ \mu \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Q & A_{eq}^{T} \\ -A_{eq} & 0 \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} A^T \lambda - c \\ -b_{eq} \end{bmatrix}$$

वास्तव में, अधिकांश क्यूपी सॉल्वर एलसीपी फॉर्मूलेशन पर काम करते हैं, जिसमें आंतरिक बिंदु विधि, प्रिंसिपल/पूरक पिवोटिंग और सक्रिय सेट विधियां शामिल हैं। एलसीपी समस्याओं को क्रिस-क्रॉस एल्गोरिथ्म द्वारा भी हल किया जा सकता है, इसके विपरीत, रैखिक संपूरकता समस्याओं के लिए, क्रिस-क्रॉस एल्गोरिथ्म केवल तभी समाप्त होता है जब मैट्रिक्स पर्याप्त मैट्रिक्स हो। पर्याप्त मैट्रिक्स एक सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स और पी-मैट्रिक्स दोनों का एक सामान्यीकरण है, जिसके प्रमुख नाबालिग प्रत्येक सकारात्मक हैं। ऐसे एलसीपी को तब हल किया जा सकता है जब उन्हें ओरिएंटेड मैट्रोइड|ओरिएंटेड-मैट्रोइड सिद्धांत का उपयोग करके अमूर्त रूप से तैयार किया जाता है।

यह भी देखें

 * पूरकता सिद्धांत
 * गेम के लिए भौतिकी इंजन आवेग/बाधा प्रकार के भौतिकी इंजन इस दृष्टिकोण का उपयोग करते हैं।
 * संपर्क गतिशीलता नॉनस्मूथ दृष्टिकोण के साथ संपर्क गतिशीलता।
 * बिमैट्रिक्स गेम्स को एलसीपी तक कम किया जा सकता है।

बाहरी संबंध

 * LCPSolve &mdash; A simple procedure in GAUSS to solve a linear complementarity problem
 * Siconos/Numerics open-source GPL implementation in C of Lemke's algorithm and other methods to solve LCPs and MLCPs