गोलाकार हार्मोनिक्स

गणित और भौतिक विज्ञान की में, गोलाकार हार्मोनिक्स एक गोले की सतह पर परिभाषित विशेष कार्य हैं। वे अक्सर कई वैज्ञानिक क्षेत्रों में आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने में कार्यरत होते हैं।

चूँकि गोलाकार हार्मोनिक्स ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन का एक पूरा सेट बनाते हैं और इस प्रकार एक ऑर्थोनॉर्मल आधार होता है, एक गोले की सतह पर परिभाषित प्रत्येक फ़ंक्शन को इन गोलाकार हार्मोनिक्स के योग के रूप में लिखा जा सकता है। यह एक वृत्त पर परिभाषित आवधिक कार्यों के समान है जिसे फूरियर श्रृंखला के माध्यम से त्रिकोणमितीय कार्यों (साइन और कोसाइन) के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। फूरियर श्रृंखला में ज्या और कोज्या की तरह, गोलाकार हार्मोनिक्स को (स्थानिक) कोणीय आवृत्ति द्वारा व्यवस्थित किया जा सकता है, जैसा कि दाईं ओर चित्रण में कार्यों की पंक्तियों में देखा गया है। इसके अलावा, गोलाकार हार्मोनिक्स रोटेशन समूह SO(3)|SO(3), तीन आयामों में रोटेशन के समूह (गणित) के इरेड्यूसिबल प्रतिनिधित्व के लिए आधार कार्य हैं, और इस प्रकार SO(3) के समूह सिद्धांत चर्चा में एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं।.

गोलाकार हार्मोनिक्स की उत्पत्ति गोलाकार डोमेन में लाप्लास के समीकरण को हल करने से होती है। ऐसे फलन जो लाप्लास के समीकरण के हल होते हैं हार्मोनिक फ़ंक्शन कहलाते हैं। उनके नाम के बावजूद, गोलाकार हार्मोनिक्स कार्टेशियन निर्देशांक में अपना सरलतम रूप लेते हैं, जहां उन्हें बहुपद की डिग्री के सजातीय बहुपद के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। $$\ell$$ में $$(x, y, z)$$ जो लाप्लास के समीकरण का पालन करते हैं। गोलाकार समन्वय प्रणाली के साथ संबंध तत्काल उत्पन्न होता है यदि कोई एकरूपता का उपयोग रेडियल निर्भरता के कारक को निकालने के लिए करता है $$r^\ell$$ डिग्री के उपर्युक्त बहुपद से $$\ell$$; शेष कारक को गोलाकार कोणीय निर्देशांक के कार्य के रूप में माना जा सकता है $$\theta$$ और $$\varphi$$ केवल, या समतुल्य अभिविन्यास (ज्यामिति) इकाई वेक्टर $$\mathbf r$$ इन कोणों द्वारा निर्दिष्ट। इस सेटिंग में, उन्हें तीन आयामों में लैपलेस के समीकरण के समाधान के एक सेट के कोणीय भाग के रूप में देखा जा सकता है, और इस दृष्टिकोण को अक्सर एक वैकल्पिक परिभाषा के रूप में लिया जाता है। हालाँकि, ध्यान दें कि गोलाकार हार्मोनिक्स गोले पर कार्य नहीं करते हैं जो गोले पर मानक गोल मीट्रिक के लिए लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर के संबंध में हार्मोनिक हैं: इस अर्थ में हार्मोनिक कार्यों के बाद से गोले पर केवल हार्मोनिक कार्य स्थिरांक हैं अधिकतम सिद्धांत को संतुष्ट करें। गोलाकार हार्मोनिक्स, क्षेत्र पर कार्यों के रूप में, लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर के ईजेनफंक्शन हैं (नीचे अनुभाग उच्च आयाम देखें)।

गोलाकार हार्मोनिक्स का एक विशिष्ट सेट, निरूपित $$Y_\ell^m(\theta,\varphi)$$ या $$Y_\ell^m({\mathbf r})$$, लैपलेस के गोलाकार हार्मोनिक्स के रूप में जाने जाते हैं, क्योंकि उन्हें पहली बार 1782 में पियरे साइमन डी लाप्लास द्वारा पेश किया गया था। ये कार्य एक ओर्थोगोनल प्रणाली का निर्माण करते हैं, और इस प्रकार उपरोक्त वर्णित क्षेत्र पर एक सामान्य कार्य के विस्तार के लिए बुनियादी हैं।

गोलाकार हार्मोनिक्स कई सैद्धांतिक और व्यावहारिक अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण हैं, जिसमें मल्टीपोल विस्तार इलेक्ट्रोस्टैटिक और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, इलेक्ट्रॉन विन्यास, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, जिओएड ्स, ग्रहों के पिंडों और सितारों के चुंबकीय क्षेत्र और ब्रह्मांडीय माइक्रोवेव पृष्ठभूमि विकिरण का प्रतिनिधित्व शामिल है। 3 डी कंप्यूटर ग्राफिक्स में, गोलाकार हार्मोनिक्स अप्रत्यक्ष प्रकाश (परिवेश रोड़ा, वैश्विक रोशनी, प्रीकंप्यूटेड रेडियंस ट्रांसफर इत्यादि) और 3डी आकृतियों के मॉडलिंग सहित विभिन्न प्रकार के विषयों में भूमिका निभाते हैं।

इतिहास
तीन आयामों में न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम की न्यूटोनियन क्षमता के संबंध में गोलाकार हार्मोनिक्स की पहली बार जांच की गई थी। 1782 में, पियरे-साइमन डी लाप्लास ने अपने मेकानिक सेलेस्टे में, गुरुत्वाकर्षण क्षमता को निर्धारित किया था $$\R^3 \to \R$$ एक बिंदु पर $x$ बिंदु द्रव्यमान के एक सेट से जुड़ा हुआ है $m_{i}$ बिंदुओं पर स्थित है $x_{i}$ द्वारा दिया गया था

$$V(\mathbf{x}) = \sum_i \frac{m_i}{|\mathbf{x}_i - \mathbf{x}|}.$$ उपरोक्त सारांश में प्रत्येक शब्द एक बिंदु द्रव्यमान के लिए एक व्यक्तिगत न्यूटोनियन क्षमता है। उस समय से ठीक पहले, एड्रियन मैरी लीजेंड्रे ने न्यूटोनियन क्षमता के विस्तार की शक्तियों की जांच की थी $r = |x|$ और $r_{1} = |x_{1}|$. उन्होंने पता लगाया कि अगर $r ≤ r_{1}$ तब

$$\frac{1}{|\mathbf{x}_1 - \mathbf{x}|} = P_0(\cos\gamma)\frac{1}{r_1} + P_1(\cos\gamma)\frac{r}{r_1^2} + P_2(\cos\gamma)\frac{r^2}{r_1^3}+\cdots$$ कहाँ $γ$ सदिशों के बीच का कोण है $x$ और $x_{1}$. कार्य $$P_i: [-1, 1] \to \R$$ लीजेंड्रे बहुपद हैं, और उन्हें गोलाकार हार्मोनिक्स के एक विशेष मामले के रूप में प्राप्त किया जा सकता है। इसके बाद, अपने 1782 के संस्मरण में, लैपलेस ने कोण का प्रतिनिधित्व करने के लिए गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करके इन गुणांकों की जांच की $γ$ बीच में $x_{1}$ और $x$. (अधिक विस्तृत विश्लेषण के लिए लेजेंड्रे पॉलीनॉमियल्स #फिजिक्स में लीजेंड्रे पॉलीनॉमियल्स के अनुप्रयोग देखें।)

1867 में, विलियम थॉमसन, प्रथम बैरन केल्विन (लॉर्ड केल्विन) और पीटर गुथरी टैट ने प्राकृतिक दर्शन पर अपने ग्रंथ में ठोस हार्मोनिक्स की शुरुआत की, और इन कार्यों के लिए सबसे पहले "गोलाकार हार्मोनिक्स" का नाम भी पेश किया। ठोस हार्मोनिक्स सजातीय कार्य बहुपद समाधान थे $$\R^3 \to \R$$ लाप्लास के समीकरण का $$\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} = 0.$$ गोलाकार निर्देशांक में लाप्लास के समीकरण की जांच करके, थॉमसन और टैट ने लाप्लास के गोलाकार हार्मोनिक्स को पुनः प्राप्त किया। (नीचे दिया गया अनुभाग देखें, "हार्मोनिक बहुपद प्रतिनिधित्व"।) शब्द "लाप्लास के गुणांक" विलियम व्हीवेल द्वारा इन पंक्तियों के साथ पेश किए गए समाधानों की विशेष प्रणाली का वर्णन करने के लिए नियोजित किया गया था, जबकि अन्य ने इस पद को जोनल गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए आरक्षित किया था जो ठीक से किया गया था लाप्लास और लीजेंड्रे द्वारा पेश किया गया।

फूरियर श्रृंखला के 19वीं शताब्दी के विकास ने आयताकार डोमेन में विभिन्न प्रकार की भौतिक समस्याओं का समाधान संभव बनाया, जैसे गर्मी समीकरण और तरंग समीकरण का समाधान। यह त्रिकोणमितीय कार्यों की श्रृंखला में कार्यों के विस्तार से प्राप्त किया जा सकता है। जबकि फूरियर श्रृंखला में त्रिकोणमितीय कार्य एक कंपन स्ट्रिंग में कंपन के मूलभूत तरीकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, गोलाकार हार्मोनिक्स वेव समीकरण # गोलाकार तरंगों के मूलभूत तरीकों का उसी तरह प्रतिनिधित्व करते हैं। त्रिकोणमितीय कार्यों के बजाय गोलाकार हार्मोनिक्स में विस्तार करके फूरियर श्रृंखला के सिद्धांत के कई पहलुओं को सामान्यीकृत किया जा सकता है। इसके अलावा, त्रिकोणमितीय कार्यों को समान रूप से यूलर के सूत्र के रूप में कैसे लिखा जा सकता है, गोलाकार हार्मोनिक्स में भी जटिल-मूल्यवान कार्यों के समान रूप होता है। यह गोलाकार समरूपता रखने वाली समस्याओं के लिए एक वरदान था, जैसे कि मूल रूप से लाप्लास और लिजेंड्रे द्वारा अध्ययन किए गए खगोलीय यांत्रिकी।

भौतिकी में पहले से ही गोलाकार हार्मोनिक्स की व्यापकता ने क्वांटम यांत्रिकी के 20वीं शताब्दी के जन्म में उनके बाद के महत्व के लिए मंच तैयार किया। (जटिल-मूल्यवान) गोलाकार हार्मोनिक्स $$S^2 \to \Complex$$ कोणीय संवेग संचालक संचालिका के वर्ग के eigenfunctions हैं $$-i\hbar\mathbf{r}\times\nabla,$$ और इसलिए वे परमाणु कक्षकों के विभिन्न कोणीय संवेग परिमाणीकरण विन्यासों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

लाप्लास का गोलाकार हार्मोनिक्स


लाप्लास का समीकरण यह बताता है कि लाप्लासियन एक अदिश क्षेत्र का है $f$ शून्य है। (यहाँ अदिश क्षेत्र को जटिल समझा जाता है, अर्थात एक (चिकनी) क्रिया के अनुरूप $$f:\R^3 \to \Complex$$।) गोलाकार समन्वय प्रणाली में यह है:

$$ \nabla^2 f = \frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r}\left(r^2 \frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2 \sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\left(\sin\theta \frac{\partial f}{\partial \theta}\right) + \frac{1}{r^2 \sin^2\theta} \frac{\partial^2 f}{\partial \varphi^2} = 0.$$ फॉर्म के समाधान खोजने की समस्या पर विचार करें $f(r, θ, φ) = R(r) Y(θ, φ)$. वेरिएबल्स के पृथक्करण से#पीडीई, लाप्लास के समीकरण को लागू करने के परिणामस्वरूप दो अंतर समीकरण: $$\frac{1}{R}\frac{d}{dr}\left(r^2\frac{dR}{dr}\right) = \lambda,\qquad \frac{1}{Y}\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial}{\partial\theta}\left(\sin\theta \frac{\partial Y}{\partial\theta}\right) + \frac{1}{Y}\frac{1}{\sin^2\theta}\frac{\partial^2Y}{\partial\varphi^2} = -\lambda.$$ इस धारणा के तहत दूसरे समीकरण को सरल बनाया जा सकता है $Y$ का रूप है $Y(θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ)$. चरों के पृथक्करण को फिर से दूसरे समीकरण में लागू करने से अवकल समीकरणों की जोड़ी का मार्ग प्रशस्त होता है

$$\frac{1}{\Phi} \frac{d^2 \Phi}{d\varphi^2} = -m^2$$ $$\lambda\sin^2\theta + \frac{\sin\theta}{\Theta} \frac{d}{d\theta} \left(\sin\theta \frac{d\Theta}{d\theta}\right) = m^2$$ कुछ संख्या के लिए $m$. पहला, $m$ एक जटिल स्थिरांक है, लेकिन क्योंकि $Φ$ एक आवधिक कार्य होना चाहिए जिसकी अवधि समान रूप से विभाजित हो $2π$, $m$ आवश्यक रूप से एक पूर्णांक है और $Φ$ जटिल घातांकों का एक रैखिक संयोजन है $e^{± imφ}$. समाधान समारोह $Y(θ, φ)$ गोले के ध्रुवों पर नियमित है, जहाँ $θ = 0, π$. इस नियमितता को समाधान में लागू करना Θ}डोमेन के सीमा बिंदुओं पर दूसरे समीकरण का एक स्टर्म-लिउविल समस्या है जो पैरामीटर को बल देती है $λ$ रूप का होना $λ = ℓ (ℓ + 1)$ कुछ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए $ℓ ≥ |m|$; इसे #कक्षक कोणीय संवेग को कोणीय संवेग संचालक के संदर्भ में भी समझाया गया है। इसके अलावा, चर का परिवर्तन $t = cos θ$ इस समीकरण को संबद्ध लिजेन्ड्रे फलन में रूपांतरित करता है, जिसका हल संबंधित लैजेन्ड्रे बहुपद का गुणज है $Pm ℓ(cos θ)$. अंत में, के लिए समीकरण $R$ के पास फॉर्म का समाधान है $R(r) = A r + B r$; पूरे समय नियमित रहने के लिए समाधान की आवश्यकता होती है $R^{3}$ ताकतों $B = 0$. यहाँ समाधान को विशेष रूप माना गया था $A = 0$. दिए गए मूल्य के लिए $Y(θ, φ) = Θ(θ) Φ(φ)$, वहाँ हैं $ℓ$ इस फॉर्म के स्वतंत्र समाधान, प्रत्येक पूर्णांक के लिए एक $2ℓ + 1$ साथ $m$. ये कोणीय समाधान $$Y_{\ell}^m : S^2 \to \Complex$$ त्रिकोणमितीय कार्यों का एक उत्पाद है, यहाँ एक यूलर के सूत्र के रूप में दर्शाया गया है, और संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं:

$$ Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = N e^{i m \varphi } P_\ell^m (\cos{\theta} )$$ जो पूरा करते हैं $$ r^2\nabla^2 Y_\ell^m (\theta, \varphi ) = -\ell (\ell + 1 ) Y_\ell^m (\theta, \varphi ).$$ यहाँ $$Y_{\ell}^m:S^2 \to \Complex$$ डिग्री का एक गोलाकार हार्मोनिक फ़ंक्शन कहा जाता है $−ℓ ≤ m ≤ ℓ$ और आदेश $ℓ$, $$P_{\ell}^m:[-1,1]\to \R$$ एक संबंधित लीजेंड्रे बहुपद है, $m$ एक सामान्यीकरण स्थिरांक है, और $N$ और $θ$ क्रमशः अक्षांश और देशांतर का प्रतिनिधित्व करते हैं। विशेष रूप से, समतलता $φ$, या ध्रुवीय कोण, से लेकर $θ$ उत्तरी ध्रुव पर, को $0$ भूमध्य रेखा पर, को $π/2$ दक्षिणी ध्रुव पर, और देशांतर पर $π$, या दिगंश, के साथ सभी मान ग्रहण कर सकते हैं $φ$. एक निश्चित पूर्णांक के लिए $0 ≤ φ < 2π$, हर समाधान $ℓ$, $$Y: S^2 \to \Complex$$आइगेनवैल्यू समस्या का $$ r^2\nabla^2 Y = -\ell (\ell + 1 ) Y$$ का एक रैखिक संयोजन है $$Y_\ell^m : S^2 \to \Complex$$. वास्तव में, ऐसे किसी भी समाधान के लिए, $Y(θ, φ)$ एक सजातीय बहुपद के गोलीय निर्देशांकों में व्यंजक है $$\R^3 \to \Complex$$ वह हार्मोनिक है (देखें #उच्च आयाम), और इसलिए गिनती के आयाम दिखाते हैं कि वहाँ हैं $r^{ℓ} Y(θ, φ)$ रैखिक रूप से स्वतंत्र ऐसे बहुपद।

सामान्य समाधान $$f:\R^3 \to \Complex$$ लाप्लास के समीकरण के लिए $$\Delta f = 0$$ मूल पर केन्द्रित एक गेंद में गोलाकार हार्मोनिक कार्यों का एक रैखिक संयोजन होता है जो उचित पैमाने के कारक से गुणा होता है $2ℓ + 1$,

$$ f(r, \theta, \varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell f_\ell^m r^\ell Y_\ell^m (\theta, \varphi ), $$ जहां $$f_{\ell}^m \in \Complex$$ स्थिरांक और कारक हैं $r^{ℓ}$ को (नियमित) ठोस हार्मोनिक्स के रूप में जाना जाता है $$\R^3 \to \Complex$$. इस तरह का विस्तार गेंद (गणित) में मान्य है

$$ r < R = \frac{1}{\limsup_{\ell\to\infty} |f_\ell^m|^{{1}/{\ell}}}.$$ के लिए $$ r > R$$, ठोस हार्मोनिक्स की नकारात्मक शक्तियों के साथ $$r$$ (अनियमित ठोस हार्मोनिक्स $$\R^3 \setminus \{ \mathbf{0} \} \to \Complex$$) के बजाय चुना जाता है। उस स्थिति में, लॉरेंट श्रृंखला में ज्ञात क्षेत्रों के समाधान का विस्तार करने की आवश्यकता है (लगभग $$r=\infty$$), टेलर श्रृंखला के बजाय (लगभग $$r = 0$$) ऊपर इस्तेमाल किया गया है, शर्तों से मेल खाने और श्रृंखला विस्तार गुणांक खोजने के लिए $$f^m_\ell \in \Complex$$.

कक्षीय कोणीय संवेग
क्वांटम यांत्रिकी में, लाप्लास के गोलाकार हार्मोनिक्स को कोणीय संवेग ऑपरेटर के रूप में समझा जाता है $$\mathbf{L} = -i\hbar (\mathbf{x}\times \mathbf{\nabla}) = L_x\mathbf{i} + L_y\mathbf{j}+L_z\mathbf{k}.$$ $r^{ℓ} Y_{ℓ}^{m}$} क्वांटम यांत्रिकी में पारंपरिक है; जिन इकाइयों में काम करना सुविधाजनक है $ħ$. गोलाकार हार्मोनिक्स कक्षीय कोणीय गति के वर्ग के eigenfunctions हैं $$\begin{align} \mathbf{L}^2 &= -r^2\nabla^2 + \left(r\frac{\partial}{\partial r}+1\right)r\frac{\partial}{\partial r}\\ &= -\frac{1}{\sin\theta} \frac{\partial}{\partial \theta}\sin\theta \frac{\partial}{\partial \theta} - \frac{1}{\sin^2\theta} \frac{\partial^2}{\partial \varphi^2}. \end{align}$$ लाप्लास के गोलाकार हार्मोनिक्स कक्षीय कोणीय गति के वर्ग के संयुक्त eigenfunctions और अज़ीमुथल धुरी के बारे में घूर्णन के जनरेटर हैं: $$\begin{align} L_z &= -i\left(x\frac{\partial}{\partial y} - y\frac{\partial}{\partial x}\right)\\ &=-i\frac{\partial}{\partial\varphi}. \end{align}$$ ये ऑपरेटर कम्यूट करते हैं, और एलपी स्पेस # वेटेड एलपी स्पेस पर सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर स्व-आसन्न ऑपरेटर हैं। 'आर' पर वेट फंक्शन के रूप में सामान्य वितरण के संबंध में फंक्शन्स का हिल्बर्ट अंतरिक्ष एफ स्क्वायर-इंटीग्रेबल है।3: $$\frac{1}{(2\pi)^{3/2}}\int_{\R^3} |f(x)|^2 e^{-|x|^2/2}\,dx < \infty.$$ इसके अलावा, एल2 एक धनात्मक संकारक है।

अगर $ħ = 1$ का एक संयुक्त eigenfunction है $Y$ और $L^{2}$, फिर परिभाषा के अनुसार $$\begin{align} \mathbf{L}^2Y &= \lambda Y\\ L_zY &= mY \end{align}$$ कुछ वास्तविक संख्याओं m और λ के लिए। यहाँ m वास्तव में एक पूर्णांक होना चाहिए, क्योंकि Y को निर्देशांक φ में आवधिक होना चाहिए, अवधि के साथ एक संख्या जो समान रूप से 2π को विभाजित करती है। इसके अलावा, चूंकि $$\mathbf{L}^2 = L_x^2 + L_y^2 + L_z^2$$ और प्रत्येक एलx, एलy, एलz स्वतः संलग्न हैं, यह इस प्रकार है $L_{z}$.

द्वारा इस संयुक्त आइगेनस्पेस को निरूपित करें $λ ≥ m^{2}$, और इसके द्वारा ऊपर उठाने और घटाने वाले ऑपरेटरों को परिभाषित करें $$\begin{align} L_+ &= L_x + iL_y\\ L_- &= L_x - iL_y \end{align}$$ तब $E_{λ,m}$ और $L_{+}$ के साथ यात्रा करें $L_{−}$, और झूठ बीजगणित द्वारा उत्पन्न $L^{2}$, $L_{+}$, $L_{−}$ क्रम 2 का विशेष रेखीय झूठ बीजगणित है, $$\mathfrak{sl}_2(\Complex)$$, रूपान्तरण संबंधों के साथ $$[L_z,L_+] = L_+,\quad [L_z,L_-] = -L_-, \quad [L_+,L_-] = 2L_z.$$ इस प्रकार $L_{z}$ (यह एक रेजिंग ऑपरेटर है) और $L_{+} : E_{λ,m} → E_{λ,m+1}$ (यह एक कम करने वाला ऑपरेटर है)। विशेष रूप से, $L_{−} : E_{λ,m} → E_{λ,m−1}$ पर्याप्त रूप से बड़े k के लिए शून्य होना चाहिए, क्योंकि असमानता $λ ≥ m^{2}$ प्रत्येक गैर-तुच्छ संयुक्त ईजेनस्पेस में होना चाहिए। होने देना $Y ∈ E_{λ,m}$ एक गैर-शून्य संयुक्त ईजेनफंक्शन हो, और चलो $k$ ऐसा सबसे छोटा पूर्णांक हो $$L_+^kY = 0.$$ तब से $$L_-L_+ = \mathbf{L}^2 - L_z^2 - L_z$$ यह इस प्रकार है कि $$0 = L_-L_+^k Y = (\lambda - (m+k)^2-(m+k))Y.$$ इस प्रकार $Lk + : E_{λ,m} → E_{λ,m+k}$ सकारात्मक पूर्णांक के लिए $λ = ℓ(ℓ + 1)$.

पूर्वगामी सभी को गोलाकार समन्वय प्रतिनिधित्व में काम किया गया है, $$\langle \theta, \varphi| l m\rangle = Y_l^m (\theta, \varphi)$$ लेकिन गोलाकार निर्देशांक में पूर्ण, ऑर्थोनॉर्मल एंगुलर मोमेंटम ऑपरेटर#ऑर्बिटल एंगुलर मोमेंटम में अधिक अमूर्त रूप से व्यक्त किया जा सकता है।

हार्मोनिक बहुपद प्रतिनिधित्व
गोलाकार हार्मोनिक्स को कुछ बहुपद कार्यों के इकाई क्षेत्र में प्रतिबंध के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\R^3 \to \Complex$$. विशेष रूप से, हम कहते हैं कि एक (जटिल-मूल्यवान) बहुपद समारोह $$p: \R^3 \to \Complex$$ डिग्री का सजातीय बहुपद है $$\ell$$ अगर $$p(\lambda\mathbf x)=\lambda^\ell p(\mathbf x)$$ सभी वास्तविक संख्याओं के लिए $$\lambda \in \R$$ और सभी $$x \in \R^3$$. हम कहते हैं $$p$$ हार्मोनिक फ़ंक्शन है अगर $$\Delta p=0,$$ कहाँ $$\Delta$$ लाप्लासियन है। फिर प्रत्येक के लिए $$\ell$$, हम परिभाषित करते हैं $$\mathbf{A}_\ell = \left\{\text{harmonic polynomials } \R^3 \to \Complex \text{ that are homogeneous of degree } \ell \right\}.$$ उदाहरण के लिए, कब $$\ell=1$$, $$\mathbf{A}_1$$ सभी रैखिक कार्यों का केवल 3-आयामी स्थान है $$\R^3 \to \Complex$$, क्योंकि ऐसा कोई भी कार्य स्वचालित रूप से हार्मोनिक होता है। इस बीच, जब $$\ell = 2$$, हमारे पास 5-आयामी स्थान है: $$\mathbf{A}_2 = \operatorname{span}_{\Complex}(x_1 x_2,\, x_1 x_3,\, x_2 x_3,\, x_1^2-x_2^2,\, x_1^2-x_3^2).$$ किसी के लिए $$\ell$$, अंतरिक्ष $$\mathbf{H}_{\ell}$$ डिग्री के गोलाकार हार्मोनिक्स की $$\ell$$ क्षेत्र के लिए प्रतिबंधों का स्थान मात्र है $$S^2$$ के तत्वों की $$\mathbf{A}_\ell$$. जैसा कि परिचय में सुझाया गया है, यह परिप्रेक्ष्य संभवतः "गोलाकार हार्मोनिक" शब्द का मूल है (यानी, एक हार्मोनिक फ़ंक्शन के क्षेत्र में प्रतिबंध)।

उदाहरण के लिए, किसी के लिए $$c \in \Complex$$ सूत्र $$p(x_1, x_2, x_3) = c(x_1 + ix_2)^\ell$$ डिग्री के एक सजातीय बहुपद को परिभाषित करता है $$\ell$$ डोमेन और कोडोमेन के साथ $$\R^3 \to \Complex$$, जो स्वतंत्र होता है $$x_3$$. यह बहुपद आसानी से हार्मोनिक देखा जाता है। अगर हम लिखते हैं $$p$$ गोलाकार निर्देशांक में $$(r,\theta,\varphi)$$ और फिर तक सीमित करें $$r = 1$$, हमने प्राप्त $$p(\theta,\varphi) = c \sin(\theta)^\ell (\cos(\varphi) + i \sin(\varphi))^\ell,$$ जिसे फिर से लिखा जा सकता है $$p(\theta,\varphi) = c\left(\sqrt{1-\cos^2(\theta)}\right)^\ell e^{i\ell\varphi}.$$ संबद्ध लिजेन्ड्रे बहुपदों के लिए सूत्र का उपयोग करने के बाद $$P^\ell_\ell$$, हम इसे गोलाकार हार्मोनिक के सूत्र के रूप में पहचान सकते हैं $$Y^\ell_\ell(\theta, \varphi).$$ (गोलीय हार्मोनिक्स के विशेष मामलों पर नीचे दिया गया अनुभाग देखें।)

रूढ़िवादिता और सामान्यीकरण
लाप्लास गोलाकार हार्मोनिक कार्यों के लिए कई अलग-अलग सामान्यीकरण सामान्य उपयोग में हैं $$S^2 \to \Complex$$. पूरे खंड में, हम उस मानक परिपाटी का उपयोग करते हैं जिसके लिए $$m>0$$ (संबद्ध लीजेंड्रे बहुपद देखें) $$P_\ell ^{-m} = (-1)^m \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!} P_\ell ^{m}$$ जो रोड्रिग्स के सूत्र द्वारा दिया गया प्राकृतिक सामान्यीकरण है। फ़ाइल: गोलाकार हार्मोनिक Y l^m(theta,phi) का प्लॉट n=2 और m=1 और phi= के साथpi in the complex plane from -2-2i to 2+2i with colors created with Mathematica 13.1 function ComplexPlot3D.svg|alt=Plot of the spherical harmonic Y l^m(theta,phi) with n=2 and m=1 and phi=pi जटिल समतल में -2-2i से 2+2i तक मेथेमेटिका 13.1 फंक्शन ComplexPlot3D|thumb|गोलाकार हार्मोनिक का प्लॉट $$Y_\ell^m(\theta,\varphi)$$ साथ $$\ell=2$$ और $$m=1$$ और $$\varphi=\pi$$ से जटिल विमान में $$-2-2i$$ को $$2+2i$$ मैथमैटिका 13.1 फ़ंक्शन कॉम्प्लेक्सप्लॉट 3 डी के साथ बनाए गए रंगों के साथ ध्वनिकी में, लाप्लास गोलाकार हार्मोनिक्स को आम तौर पर परिभाषित किया जाता है (यह इस आलेख में प्रयुक्त सम्मेलन है) $$ Y_\ell^m( \theta, \varphi ) = \sqrt{\frac{(2\ell+1)}{4\pi} \frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi } $$ जबकि क्वांटम यांत्रिकी में: $$ Y_\ell^m( \theta, \varphi ) = (-1)^m \sqrt{\frac{(2\ell+1)}{4\pi}\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_{\ell}^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi } $$ कहाँ $$P_{\ell}^{m}$$ कोंडोन-शॉर्टली चरण के बिना लीजेंड्रे बहुपद जुड़े हुए हैं (चरण को दो बार गिनने से बचने के लिए)।

दोनों परिभाषाओं में, गोलाकार हार्मोनिक्स ऑर्थोनॉर्मल हैं $$\int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'}{}^* \, d\Omega=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'},$$ कहाँ $ℓ = m + k$ क्रोनकर डेल्टा है और $δ_{ij}$. इस सामान्यीकरण का उपयोग क्वांटम यांत्रिकी में किया जाता है क्योंकि यह सुनिश्चित करता है कि प्रायिकता सामान्यीकृत है, अर्थात $$\int{|Y_\ell^m|^2 d\Omega} = 1.$$ भूमंडल नापने का शास्र के अनुशासन और वर्णक्रमीय विश्लेषण का उपयोग

$$ Y_\ell^m( \theta, \varphi ) = \sqrt{{(2\ell+1) }\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} )\, e^{i m \varphi } $$ जिनके पास इकाई शक्ति है

$$\frac{1}{4 \pi} \int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'}{}^* d\Omega=\delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}.$$ चुंबकत्व समुदाय, इसके विपरीत, श्मिट अर्ध-सामान्यीकृत हार्मोनिक्स का उपयोग करता है

$$ Y_\ell^m( \theta, \varphi ) = \sqrt{\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \, P_\ell^m ( \cos{\theta} ) \, e^{i m \varphi }$$ जिनका सामान्यीकरण है

$$ \int_{\theta=0}^\pi\int_{\varphi=0}^{2\pi}Y_\ell^m \, Y_{\ell'}^{m'}{}^*d\Omega = \frac{4 \pi}{(2 \ell + 1)} \delta_{\ell\ell'}\, \delta_{mm'}.$$ क्वांटम यांत्रिकी में इस सामान्यीकरण का कभी-कभी उपयोग भी किया जाता है, और गिउलिओ राकाह के बाद राका के सामान्यीकरण का नाम दिया गया है।

यह दिखाया जा सकता है कि उपरोक्त सभी सामान्यीकृत गोलाकार हार्मोनिक फ़ंक्शन संतुष्ट हैं

$$Y_\ell^{m}{}^* (\theta, \varphi) = (-1)^m Y_\ell^{-m} (\theta, \varphi),$$ जहां सुपरस्क्रिप्ट $dΩ = sin(θ) dφ dθ$ जटिल संयुग्मन को दर्शाता है। वैकल्पिक रूप से, यह समीकरण विग्नेर डी-मैट्रिक्स के साथ गोलाकार हार्मोनिक कार्यों के संबंध से आता है # गोलाकार हार्मोनिक्स और लीजेंड्रे बहुपदों से संबंध | विग्नर डी-मैट्रिक्स।

कोंडोन-शॉर्टले चरण
गोलाकार हार्मोनिक कार्यों की परिभाषा के साथ भ्रम का एक स्रोत एक चरण कारक से संबंधित है $$(-1)^m$$, आमतौर पर क्वांटम मैकेनिकल साहित्य में एडवर्ड कोंडोन -शॉर्टले चरण के रूप में जाना जाता है। क्वांटम यांत्रिकी समुदाय में, यह सामान्य अभ्यास है कि या तो संबंधित लेजेंड्रे बहुपदों की परिभाषा में इस चरण कारक को शामिल किया जाए, या इसे गोलाकार हार्मोनिक कार्यों की परिभाषा में जोड़ा जाए। गोलाकार हार्मोनिक कार्यों की परिभाषा में कोंडोन-शॉर्टली चरण का उपयोग करने की कोई आवश्यकता नहीं है, लेकिन इसमें शामिल कुछ क्वांटम यांत्रिक संचालन, विशेष रूप से सीढ़ी ऑपरेटर के आवेदन को सरल बना सकते हैं। भूगणित और मैग्नेटिक्स समुदायों ने गोलाकार हार्मोनिक कार्यों की अपनी परिभाषाओं में कॉन्डन-शॉर्टली चरण कारक को शामिल नहीं किया है और न ही संबद्ध लेजेंड्रे बहुपदों में।

असली रूप
गोलाकार हार्मोनिक्स का वास्तविक आधार $$Y_{\ell m}:S^2 \to \R$$ उनके जटिल समकक्षों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है $$Y_{\ell}^m: S^2 \to \Complex$$ व्यवस्थित करके $$\begin{align} Y_{\ell m} &= \begin{cases} \dfrac{i}{\sqrt{2}} \left(Y_\ell^{m} - (-1)^m\, Y_\ell^{-m}\right) & \text{if}\ m < 0\\ Y_\ell^0 & \text{if}\ m=0\\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-m} + (-1)^m\, Y_\ell^{m}\right) & \text{if}\ m > 0. \end{cases}\\ &= \begin{cases} \dfrac{i}{\sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-|m|} - (-1)^{m}\, Y_\ell^{|m|}\right) & \text{if}\ m < 0\\ Y_\ell^0 & \text{if}\ m=0\\ \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left(Y_\ell^{-|m|} + (-1)^{m}\, Y_\ell^{|m|}\right) & \text{if}\ m>0. \end{cases}\\ &= \begin{cases} \sqrt{2} \, (-1)^m \, \Im [{Y_\ell^{|m|}}] & \text{if}\ m<0\\ Y_\ell^0 & \text{if}\ m=0\\ \sqrt{2} \, (-1)^m \, \Re [{Y_\ell^m}] & \text{if}\ m>0. \end{cases} \end{align} $$ कॉन्डॉन-शॉर्टली चरण सम्मेलन का उपयोग यहां निरंतरता के लिए किया जाता है। जटिल गोलाकार हार्मोनिक्स को परिभाषित करने वाले संबंधित व्युत्क्रम समीकरण $$Y_{\ell}^m : S^2 \to \Complex$$ वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स के संदर्भ में $$Y_{\ell m}:S^2 \to \R$$ हैं $$ Y_{\ell}^{m} = \begin{cases} \dfrac{1}{\sqrt{2}} \left(Y_{\ell |m|} - i Y_{\ell,-|m|}\right) & \text{if}\ m<0 \\[4pt] Y_{\ell 0} &\text{if}\ m=0 \\[4pt] \dfrac{(-1)^m}{ \sqrt{2}} \left(Y_{\ell |m|} + i Y_{\ell,-|m|}\right) & \text{if}\ m>0. \end{cases} $$ असली गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_{\ell m}:S^2 \to \R$$ कभी-कभी टेसरल गोलाकार हार्मोनिक्स के रूप में जाना जाता है। इन कार्यों में जटिल लोगों के समान ऑर्थोनॉर्मलिटी गुण होते हैं $$Y_{\ell}^m : S^2 \to \Complex$$ ऊपर। असली गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_{\ell m}$$ साथ $$ कोज्या प्रकार के कहा जाता है, और जिनके साथ $m > 0$ साइन प्रकार का। इसका कारण लीजेंड्रे बहुपदों के संदर्भ में कार्यों को लिखकर देखा जा सकता है $$ Y_{\ell m} = \begin{cases} \left(-1\right)^m\sqrt{2} \sqrt{\dfrac{2\ell+1}{4\pi}\dfrac{(\ell-|m|)!}{(\ell+|m|)!}} \; P_\ell^{|m|}(\cos \theta) \ \sin( |m|\varphi ) &\text{if } m<0 \\[4pt] \sqrt{\dfrac{ 2\ell+1}{4\pi}} \ P_\ell^m(\cos \theta) & \text{if } m=0 \\[4pt] \left(-1\right)^m\sqrt{2} \sqrt{\dfrac{2\ell+1}{4\pi}\dfrac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}} \; P_\ell^m(\cos \theta) \ \cos( m\varphi ) & \text{if } m>0 \,. \end{cases} $$ कार्तीय प्रतिनिधित्व से संबंधित निम्नलिखित उपखंड में समान साइन और कोसाइन कारकों को भी देखा जा सकता है।

गोलाकार हार्मोनिक्स की तालिका देखें # वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स तक और सहित वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स की सूची के लिए $$\ell = 4$$, जिसे उपरोक्त समीकरणों के आउटपुट के अनुरूप देखा जा सकता है।

क्वांटम रसायन शास्त्र में प्रयोग
जैसा कि हाइड्रोजन परमाणु के लिए विश्लेषणात्मक समाधान से जाना जाता है, तरंग समारोह के कोणीय भाग के ईजेनफंक्शन गोलाकार हार्मोनिक्स हैं। हालांकि, चुंबकीय शब्दों के बिना गैर-सापेक्षवादी श्रोडिंगर समीकरण के समाधान को वास्तविक बनाया जा सकता है। यही कारण है कि वास्तविक रूपों का व्यापक रूप से क्वांटम रसायन विज्ञान के आधार कार्यों में उपयोग किया जाता है, क्योंकि कार्यक्रमों को तब जटिल बीजगणित का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं होती है। यहां, यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि वास्तविक कार्य उसी स्थान को फैलाते हैं जैसे जटिल होते हैं।

उदाहरण के लिए, जैसा कि गोलाकार हार्मोनिक्स#गोलाकार हार्मोनिक्स की तालिका से देखा जा सकता है, सामान्य $m < 0$ कार्य ($$\ell = 1$$) जटिल और मिश्रण अक्ष दिशाएं हैं, लेकिन गोलाकार हार्मोनिक्स की तालिका # वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स अनिवार्य रूप से न्यायसंगत हैं $p$, $x$, और $y$.

कार्तीय रूप में गोलाकार हार्मोनिक्स
जटिल गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_\ell^m$$ से विस्तार करके ठोस हार्मोनिक्स को जन्म दें $$S^2$$ सभी को $$\R^3$$ डिग्री के एक सजातीय कार्य के रूप में $$\ell$$, यानी सेटिंग $$R_\ell^m(v) := \|v\|^\ell Y_\ell^m\left(\frac{v}{\|v\|}\right)$$ यह पता चला है कि $$R_\ell^m$$ डिग्री के हार्मोनिक और सजातीय बहुपदों के स्थान का आधार है $$\ell$$. अधिक विशेष रूप से, यह घूर्णी समूह के इस प्रतिनिधित्व का (सामान्यीकरण तक अद्वितीय) गेलफैंड-सेटलिन-आधार है $$SO(3)$$ और एक ठोस हार्मोनिक्स#जटिल रूप के लिए $$R_\ell^m$$ कार्तीय निर्देशांक में उस तथ्य से प्राप्त किया जा सकता है।

हर्ग्लोट्ज़ जनरेटिंग फ़ंक्शन
यदि क्वांटम मैकेनिकल सम्मेलन के लिए अपनाया जाता है $$Y_{\ell}^m: S^2 \to \Complex$$, तब $$ e^{v{\mathbf a}\cdot{\mathbf r}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m = -\ell}^{\ell} \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell +1}} \frac{r^{\ell} v^{\ell} {\lambda^m}}{\sqrt{(\ell +m)!(\ell-m)!}} Y_{\ell}^m (\mathbf{r}/r). $$ यहाँ, $$\mathbf r$$ घटकों के साथ वेक्टर है $$(x, y, z) \in \R^3$$, $$r = |\mathbf{r}|$$, और $$ {\mathbf a} = {\mathbf{\hat z}} - \frac{\lambda}{2}\left({\mathbf{\hat x}} + i {\mathbf{\hat y}}\right) + \frac{1}{2\lambda}\left({\mathbf{\hat x}} - i {\mathbf{\hat y}}\right). $$ $$\mathbf a $$ जटिल निर्देशांक वाला एक वेक्टर है:

$$\mathbf a =[\frac{1}{2}(\frac{1}{\lambda}-\lambda),-\frac{i}{2 }(\frac{1}{\lambda} +\lambda),1      ] .$$ की आवश्यक संपत्ति $$\mathbf a$$ क्या यह शून्य है: $$\mathbf a \cdot \mathbf a = 0.$$ यह लेने के लिए पर्याप्त है $$v$$ और $$\lambda$$ वास्तविक मापदंडों के रूप में। गुस्ताव हर्ग्लोट्ज़ के नाम पर इस जनक फलन का नामकरण करने में, हम अनुसरण करते हैं, जो इसकी खोज के लिए उसके द्वारा अप्रकाशित नोटों को श्रेय देते हैं।

अनिवार्य रूप से गोलाकार हार्मोनिक्स के सभी गुण इस जनक फलन से प्राप्त किए जा सकते हैं। इस परिभाषा का एक तात्कालिक लाभ यह है कि यदि वेक्टर $$\mathbf r$$ क्वांटम मैकेनिकल स्पिन वेक्टर ऑपरेटर द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है $$\mathbf J$$, ऐसा है कि $$\mathcal{Y}_{\ell}^m({\mathbf J})$$ सॉलिड हार्मोनिक्स का ऑपरेटर एनालॉग है $$r^{\ell}Y_{\ell}^m (\mathbf{r}/r)$$, एक गोलाकार टेंसर ऑपरेटरों के मानकीकृत सेट के लिए एक जनरेटिंग फ़ंक्शन प्राप्त करता है, $$\mathcal{Y}_{\ell}^m({\mathbf J})$$:

$$ e^{v{\mathbf a}\cdot{\mathbf J}} = \sum_{\ell=0}^{\infty} \sum_{m = -\ell}^{\ell} \sqrt{\frac{4\pi}{2\ell +1}} \frac{v^{\ell} {\lambda^m}}{\sqrt{(\ell +m)!(\ell-m)!}} {\mathcal Y}_{\ell}^m({\mathbf J}). $$ दो परिभाषाओं की समानता यह सुनिश्चित करती है कि $$\mathcal{Y}_{\ell}^m$$रोटेशन के तहत परिवर्तन उसी तरह से होता है (नीचे देखें)। $$Y_{\ell}^m$$का, जो बदले में गारंटी देता है कि वे गोलाकार टेन्सर ऑपरेटर हैं, $$T^{(k)}_q$$, साथ $$k = {\ell}$$ और $$q = m$$, ऐसे ऑपरेटरों के सभी गुणों का पालन करना, जैसे कि क्लेब्स-गॉर्डन गुणांक | क्लेब्स-गॉर्डन रचना प्रमेय, और विग्नर-एकार्ट प्रमेय। इसके अलावा, वे एक निश्चित पैमाने या सामान्यीकरण के साथ एक मानकीकृत सेट हैं।

अलग कार्तीय रूप
हर्ग्लोट्ज़ियन परिभाषा बहुपद उत्पन्न करती है, जो कि, यदि कोई चाहे तो आगे के बहुपद में गुणनखंडित किया जा सकता है। $$z$$ और अन्य $$x$$ और $$y$$, निम्नानुसार (कोंडन-शॉर्टले चरण): $$ r^\ell\, \begin{pmatrix} Y_\ell^{m} \\ Y_\ell^{-m} \end{pmatrix} = \left[\frac{2\ell+1}{4\pi}\right]^{1/2} \bar{\Pi}^m_\ell(z) \begin{pmatrix} \left(-1\right)^m (A_m + i B_m) \\ (A_m - i B_m) \end{pmatrix} , \qquad m > 0. $$ और के लिए $z$: $$r^\ell\,Y_\ell^{0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} \bar{\Pi}^0_\ell .$$ यहाँ $$A_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \cos \left((m-p) \frac{\pi}{2}\right),$$ $$B_m(x,y) = \sum_{p=0}^m \binom{m}{p} x^p y^{m-p} \sin \left((m-p) \frac{\pi}{2}\right),$$ और $$ \bar{\Pi}^m_\ell(z) = \left[\frac{(\ell-m)!}{(\ell+m)!}\right]^{1/2} \sum_{k=0}^{\left \lfloor (\ell-m)/2\right \rfloor} (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \frac{(\ell-2k)!}{(\ell-2k-m)!} \; r^{2k}\; z^{\ell-2k-m}. $$ के लिए $$m = 0$$ यह कम हो जाता है $$ \bar{\Pi}^0_\ell(z) = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \ell/2\right \rfloor} (-1)^k 2^{-\ell} \binom{\ell}{k}\binom{2\ell-2k}{\ell} \; r^{2k}\; z^{\ell-2k}. $$ कारण $$\bar{\Pi}_\ell^m(z)$$ अनिवार्य रूप से संबद्ध लीजेंड्रे बहुपद है $$P_\ell^m(\cos\theta)$$, और कारक $$(A_m \pm i B_m)$$ अनिवार्य रूप से हैं $$e^{\pm i m\varphi}$$.

उदाहरण
के लिए भावों का उपयोग करना $$\bar{\Pi}_\ell^m(z)$$, $$A_m(x,y)$$, और $$B_m(x,y)$$ ऊपर स्पष्ट रूप से सूचीबद्ध हम प्राप्त करते हैं: $$ Y^1_3 = - \frac{1}{r^3} \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16} \right]^{1/2} \left(5z^2-r^2\right) \left(x+iy\right) = - \left[\tfrac{7}{4\pi}\cdot \tfrac{3}{16}\right]^{1/2} \left(5\cos^2\theta-1\right) \left(\sin\theta e^{i\varphi}\right) $$

$$ Y^{-2}_4 = \frac{1}{r^4} \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2} \left(7z^2-r^2\right) \left(x-iy\right)^2 = \left[\tfrac{9}{4\pi}\cdot\tfrac{5}{32}\right]^{1/2} \left(7 \cos^2\theta -1\right) \left(\sin^2\theta e^{-2 i \varphi}\right) $$ यह सत्यापित किया जा सकता है कि यह गोलाकार हार्मोनिक्स की तालिका # ℓ = 3 और गोलाकार हार्मोनिक्स की तालिका # ℓ = 4 सूचीबद्ध फ़ंक्शन से सहमत है।

असली रूप
वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स बनाने के लिए उपरोक्त समीकरणों का उपयोग करके, यह देखा जाता है कि के लिए $$m>0$$ केवल $$A_m$$ शर्तें (कोसाइन) शामिल हैं, और के लिए $$m<0$$ केवल $$B_m$$ शर्तें (साइन) शामिल हैं:

$$ r^\ell\, \begin{pmatrix} Y_{\ell m} \\ Y_{\ell -m} \end{pmatrix} = \sqrt{\frac{2\ell+1}{2\pi}} \bar{\Pi}^m_\ell(z) \begin{pmatrix} A_m \\ B_m \end{pmatrix} , \qquad m > 0. $$ और एम = 0 के लिए: $$ r^\ell\,Y_{\ell 0} \equiv \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} \bar{\Pi}^0_\ell. $$

विशेष मामले और मूल्य
= \frac{(\mp 1)^{\ell}}{2^{\ell}\ell!} \sqrt{\frac{(2\ell+1)!}{4\pi}} \sin^{\ell}\theta\, e^{\pm i\ell\varphi},$$ या अधिक सरलता से कार्तीय निर्देशांक में, $$r^{\ell} Y_{\ell}^{\pm\ell}({\mathbf r}) = \frac{(\mp 1)^{\ell}}{2^{\ell}\ell!} \sqrt{\frac{(2\ell+1)!}{4\pi}} (x \pm i y)^{\ell}.$$
 * 1) कब $$m = 0$$, गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_{\ell}^m: S^2 \to \Complex$$ साधारण लीजेंड्रे बहुपदों को कम करें: $$Y_{\ell}^0(\theta, \varphi) = \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} P_{\ell}(\cos\theta).$$
 * 2) कब $$m = \pm\ell$$, $$Y_{\ell}^{\pm\ell}(\theta,\varphi)
 * 1) उत्तरी ध्रुव पर, कहाँ $$ \theta = 0$$, और $$\varphi$$ अपरिभाषित है, सभी गोलाकार हार्मोनिक्स को छोड़कर $$m = 0$$ गायब होना: $$ Y_{\ell}^m(0,\varphi) = Y_{\ell}^m({\mathbf z}) = \sqrt{\frac{2\ell+1}{4\pi}} \delta_{m0}.$$

समरूपता गुण
स्थानिक उलटा (समता) और रोटेशन के संचालन के तहत गोलाकार हार्मोनिक्स में गहरे और परिणामी गुण होते हैं।

समानता
गोलाकार हार्मोनिक्स में निश्चित समता होती है। अर्थात्, वे मूल के बारे में व्युत्क्रम के संबंध में या तो सम या विषम हैं। उलटा ऑपरेटर द्वारा दर्शाया गया है $$P\Psi(\mathbf r) = \Psi(-\mathbf r)$$. फिर, जैसा कि कई तरीकों से देखा जा सकता है (शायद हर्ग्लोट्ज़ जनरेटिंग फ़ंक्शन से सबसे अधिक), साथ $$\mathbf r$$ एक इकाई वेक्टर होने के नाते, $$ Y_\ell^m(-\mathbf r) = (-1)^\ell Y_\ell^m(\mathbf r).$$ गोलाकार कोणों के संदर्भ में, समानता एक बिंदु को निर्देशांक के साथ बदल देती है $$\{\theta,\varphi\}$$ को $$\{\pi-\theta,\pi+\varphi\}$$. गोलाकार हार्मोनिक्स की समानता का बयान तब है $$Y_\ell^m(\theta,\varphi) \to Y_\ell^m(\pi-\theta,\pi+\varphi) = (-1)^\ell Y_\ell^m(\theta,\varphi)$$ (इसे निम्न प्रकार से देखा जा सकता है: संबंधित लीजेंड्रे बहुपद देता है $m = 0$ और हमारे पास घातीय कार्य से $(−1)^{ℓ+m}$, गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए एक साथ समानता देना $(−1)^{m}$.)

समानता वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए और उच्च आयामों में गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए जारी है: डिग्री के गोलाकार हार्मोनिक के लिए एक बिंदु प्रतिबिंब लागू करना $ℓ$ के कारक से चिह्न बदलता है $(−1)^{ℓ}$.

रोटेशन
एक घुमाव पर विचार करें $$\mathcal R$$ यूनिट वेक्टर भेजने वाले मूल के बारे में $$\mathbf r$$ को $$\mathbf r'$$. इस ऑपरेशन के तहत, डिग्री का एक गोलाकार हार्मोनिक $$\ell$$ और आदेश $$m$$ एक ही डिग्री के गोलाकार हार्मोनिक्स के रैखिक संयोजन में परिवर्तित हो जाता है। वह है, $$ Y_\ell^m({\mathbf r}') = \sum_{m' = -\ell}^\ell A_{mm'} Y_\ell^{m'}({\mathbf r}), $$ कहाँ $$A_{mm'}$$ व्यवस्था का एक मैट्रिक्स है $$(2\ell + 1)$$ जो रोटेशन पर निर्भर करता है $$\mathcal R$$. हालाँकि, यह इस संपत्ति को व्यक्त करने का मानक तरीका नहीं है। मानक तरीके से कोई लिखता है,

$$Y_\ell^m({\mathbf r}') = \sum_{m' = -\ell}^\ell [D^{(\ell)}_{mm'}({\mathcal R})]^* Y_\ell^{m'}({\mathbf r}),$$ कहाँ $$D^{(\ell)}_{mm'}({\mathcal R})^*$$ विग्नर डी-मैट्रिक्स के एक तत्व का जटिल संयुग्म है। विशेष रूप से जब $$\mathbf r'$$ एक है $$\phi_0$$ दिगंश के घूर्णन से हमें पहचान मिलती है,

$$Y_\ell^m({\mathbf r}') = Y_\ell^{m}({\mathbf r}) e^{i m \phi_0}.$$ गोलाकार हार्मोनिक्स का घूर्णी व्यवहार शायद समूह सिद्धांत के दृष्टिकोण से उनकी सर्वोत्कृष्ट विशेषता है। $$Y_\ell^m$$वें> की डिग्री $$\ell$$ आयाम के समूह SO(3) के अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के लिए कार्यों का एक आधार सेट प्रदान करें $$(2\ell + 1)$$. गोलाकार हार्मोनिक्स (जैसे अतिरिक्त प्रमेय) के बारे में कई तथ्य जो विश्लेषण के तरीकों का उपयोग करके श्रमसाध्य साबित होते हैं, समरूपता के तरीकों का उपयोग करके सरल प्रमाण और गहरा महत्व प्राप्त करते हैं।

गोलाकार हार्मोनिक्स विस्तार
लाप्लास गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_{\ell}^m:S^2 \to \Complex$$ ऑर्थोनॉर्मल फ़ंक्शंस का एक पूरा सेट बनाते हैं और इस तरह स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन के हिल्बर्ट स्पेस का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं $$L^2_{\Complex}(S^2)$$. इकाई क्षेत्र पर $$S^2$$, कोई वर्ग-अभिन्नीकरणीय फलन $$f:S^2 \to \Complex$$ इस प्रकार इनका एक रैखिक संयोजन के रूप में विस्तार किया जा सकता है:

$$f(\theta,\varphi)=\sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell f_\ell^m \, Y_\ell^m(\theta,\varphi).$$ यह विस्तार माध्य-स्क्वायर अभिसरण - एलपी स्पेस में अभिसरण | एल के अर्थ में हैगोले का 2 - कहने का तात्पर्य यह है कि

$$\lim_{N\to\infty} \int_0^{2\pi}\int_0^\pi \left|f(\theta,\varphi)-\sum_{\ell=0}^N \sum_{m=- \ell}^\ell f_\ell^m Y_\ell^m(\theta,\varphi)\right|^2\sin\theta\, d\theta \,d\varphi = 0.$$ विस्तार गुणांक फूरियर श्रृंखला के अनुरूप हैं, और एक गोलाकार हार्मोनिक के जटिल संयुग्म द्वारा उपरोक्त समीकरण को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है, ठोस कोण Ω पर एकीकृत किया जा सकता है, और उपरोक्त ऑर्थोगोनलिटी संबंधों का उपयोग किया जा सकता है। बुनियादी हिल्बर्ट अंतरिक्ष सिद्धांत द्वारा इसे कड़ाई से उचित ठहराया गया है। ऑर्थोनॉर्मलाइज़्ड हार्मोनिक्स के मामले में, यह देता है:

$$f_\ell^m=\int_{\Omega} f(\theta,\varphi)\, Y_\ell^{m*}(\theta,\varphi)\,d\Omega = \int_0^{2\pi}d\varphi\int_0^\pi \,d\theta\,\sin\theta f(\theta,\varphi)Y_\ell^{m*} (\theta,\varphi).$$ यदि गुणांक ℓ में पर्याप्त रूप से तेजी से घटते हैं - उदाहरण के लिए, घातीय क्षय - तो श्रृंखला भी एफ के समान अभिसरण करती है।

एक स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शन $$f:S^2 \to \R$$ वास्तविक हार्मोनिक्स के संदर्भ में भी विस्तारित किया जा सकता है $$Y_{\ell m}:S^2 \to \R$$ ऊपर एक राशि के रूप में

$$ f(\theta, \varphi) = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell f_{\ell m} \, Y_{\ell m}(\theta, \varphi). $$ श्रृंखला का अभिसरण फिर से उसी अर्थ में होता है, अर्थात् वास्तविक गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_{\ell m}:S^2 \to \R$$ ऑर्थोनॉर्मल फ़ंक्शंस का एक पूरा सेट बनाते हैं और इस तरह स्क्वायर-इंटीग्रेबल फ़ंक्शंस के हिल्बर्ट स्पेस का एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं $$L^2_{\R}(S^2)$$. वास्तविक हार्मोनिक कार्यों के संदर्भ में विस्तार का लाभ $$Y_{\ell m}$$ यह वास्तविक कार्यों के लिए है $$f:S^2 \to \R$$ विस्तार गुणांक $$f_{\ell m}$$ वास्तविक होने की गारंटी है, जबकि उनके गुणांक $$f_{\ell}^m$$ उनके विस्तार के संदर्भ में $$Y_{\ell}^m$$ (उन्हें कार्यों के रूप में मानते हुए $$f: S^2 \to \Complex \supset \R$$) के पास वह संपत्ति नहीं है।

संकेत आगे बढ़ाना में पावर स्पेक्ट्रम
किसी फ़ंक्शन f की कुल शक्ति को सिग्नल प्रोसेसिंग साहित्य में फ़ंक्शन स्क्वायर के अभिन्न अंग के रूप में परिभाषित किया गया है, जो इसके डोमेन के क्षेत्र से विभाजित है। वास्तविक इकाई-शक्ति गोलाकार हार्मोनिक कार्यों के orthonormality गुणों का उपयोग करना, यह सत्यापित करना सीधा है कि इकाई क्षेत्र पर परिभाषित फ़ंक्शन की कुल शक्ति पारसेवल के प्रमेय के सामान्यीकरण द्वारा इसके वर्णक्रमीय गुणांक से संबंधित है (यहाँ, प्रमेय कहा गया है) श्मिट अर्ध-सामान्यीकृत हार्मोनिक्स के लिए, ऑर्थोनॉर्मल हार्मोनिक्स के लिए संबंध थोड़ा अलग है):

$$\frac{1}{4 \, \pi} \int_\Omega |f(\Omega)|^2\, d\Omega = \sum_{\ell=0}^\infty S_{f\!f}(\ell),$$ कहाँ $$S_{f\!f}(\ell) = \frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell |f_{\ell m}|^2 $$ को कोणीय शक्ति स्पेक्ट्रम (श्मिट अर्ध-सामान्यीकृत हार्मोनिक्स के लिए) के रूप में परिभाषित किया गया है। इसी तरह, कोई भी दो कार्यों की क्रॉस-पावर को परिभाषित कर सकता है $$\frac{1}{4 \, \pi} \int_\Omega f(\Omega) \, g^\ast(\Omega) \, d\Omega = \sum_{\ell=0}^\infty S_{fg}(\ell),$$ कहाँ $$S_{fg}(\ell) = \frac{1}{2\ell+1}\sum_{m=-\ell}^\ell f_{\ell m} g^\ast_{\ell m} $$ क्रॉस-पावर स्पेक्ट्रम के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि कार्य करता है $(−1)^{ℓ}$ और $m = 0$ का माध्य शून्य है (अर्थात वर्णक्रमीय गुणांक $ℓ = 3$ और $f$ शून्य हैं), फिर $g$ और $f_{00}$ डिग्री के लिए फ़ंक्शन के विचरण और सहप्रसरण में योगदान का प्रतिनिधित्व करते हैं $ℓ$, क्रमश। यह सामान्य है कि (क्रॉस-) पावर स्पेक्ट्रम फॉर्म के पावर लॉ द्वारा अच्छी तरह अनुमानित है

$$S_{f\!f}(\ell) = C \, \ell^{\beta}.$$ कब $g_{00}$, स्पेक्ट्रम सफेद है क्योंकि प्रत्येक डिग्री में समान शक्ति होती है। कब $S_{ff}(ℓ)$, स्पेक्ट्रम को लाल कहा जाता है क्योंकि उच्च डिग्री की तुलना में लंबी तरंग दैर्ध्य के साथ कम डिग्री पर अधिक शक्ति होती है। अंत में, कब $S_{fg}(ℓ)$, स्पेक्ट्रम को नीला कहा जाता है। के विकास के क्रम पर स्थिति $β = 0$ की अवकलनीयता के क्रम से संबंधित है $β < 0$ अगले भाग में।

भिन्नता गुण
कोई मूल कार्य के व्युत्पन्न को भी समझ सकता है $β > 0$ के स्पर्शोन्मुख के संदर्भ में $S_{ff}(ℓ)$. विशेष रूप से, अगर $f$ के किसी भी तर्कसंगत कार्य की तुलना में तेजी से क्षय होता है $ℓ$ जैसा $f$, तब $S_{ff}(ℓ)$ अपरिमित रूप से अवकलनीय है। अगर, इसके अलावा, $S_{ff}(ℓ)$ तब घातीय रूप से क्षय होता है $ℓ → ∞$ वास्तव में क्षेत्र पर वास्तविक विश्लेषणात्मक है।

सामान्य तकनीक सोबोलिव रिक्त स्थान के सिद्धांत का उपयोग करना है। की वृद्धि से संबंधित कथन $f$ भिन्नता के लिए फिर फूरियर श्रृंखला के गुणांक के विकास पर समान परिणाम के समान हैं। विशेष रूप से, अगर $$\sum_{\ell=0}^\infty (1+\ell^2)^s S_{ff}(\ell) < \infty,$$ तब $S_{ff}(ℓ)$ सोबोलेव अंतरिक्ष में है $f$. विशेष रूप से, सोबोलेव एम्बेडिंग प्रमेय का अर्थ है $S_{ff}(ℓ)$ असीम रूप से अलग-अलग है बशर्ते कि $$S_{ff}(\ell) = O(\ell^{-s})\quad\rm{as\ }\ell\to\infty$$ सभी के लिए $f$.

जोड़ प्रमेय
काफी रुचि और उपयोग का गणितीय परिणाम गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए अतिरिक्त प्रमेय कहा जाता है। दो वैक्टर दिए गए हैं $H^{s}(S^{2})$ और $f$, गोलाकार निर्देशांक के साथ $$(r,\theta,\varphi)$$ और $$(r ', \theta ', \varphi ')$$, क्रमशः, कोण $$\gamma$$ उनके बीच संबंध द्वारा दिया जाता है $$\cos\gamma = \cos\theta'\cos\theta + \sin\theta\sin\theta' \cos(\varphi-\varphi')$$ जिसमें दाईं ओर दिखाई देने वाले त्रिकोणमितीय कार्यों की भूमिका गोलाकार हार्मोनिक्स द्वारा निभाई जाती है और बायीं ओर की भूमिका लीजेंड्रे बहुपदों द्वारा निभाई जाती है।

अतिरिक्त प्रमेय बताता है

कहाँ $s$ डिग्री का लीजेंड्रे बहुपद है $$. यह अभिव्यक्ति वास्तविक और जटिल हार्मोनिक्स दोनों के लिए मान्य है। परिणाम विश्लेषणात्मक रूप से सिद्ध किया जा सकता है, यूनिट बॉल में पोइसन कर्नेल  के गुणों का उपयोग करके, या ज्यामितीय रूप से वेक्टर y के लिए एक रोटेशन लागू करके ताकि यह 'z'-अक्ष के साथ इंगित हो, और फिर सीधे सही गणना कर सके- हाथ की तरफ। विशेष रूप से, कब $r$, यह अनसोल्ड प्रमेय देता है $$\sum_{m=-\ell}^\ell Y_{\ell m}^*(\mathbf{x}) \, Y_{\ell m}(\mathbf{x}) = \frac{2\ell + 1}{4\pi}$$ जो पहचान को सामान्यीकृत करता है $r′$ दो आयामों के लिए।

विस्तार में ($ℓ$), बाएँ हाथ की ओर $P_{ℓ}$ डिग्री का एक स्थिर गुणक है $ℓ$ जोनल गोलाकार हार्मोनिक। इस दृष्टिकोण से, उच्च आयामों के लिए निम्न सामान्यीकरण है। होने देना $4π$ अंतरिक्ष का एक मनमाना ऑर्थोनॉर्मल आधार हो $x = y$ डिग्री $$ गोलाकार हार्मोनिक्स पर $ℓ$-वृत्त। तब $$Z^{(\ell)}_{\mathbf{x}}$$, श्रेणी $ℓ$ जोनल हार्मोनिक यूनिट वेक्टर से संबंधित है $n$, के रूप में विघटित होता है

इसके अलावा, जोनल हार्मोनिक $$Z^{(\ell)}_{\mathbf{x}}({\mathbf{y}})$$ उपयुक्त Gegenbauer बहुपद के एक निरंतर गुणक के रूप में दिया गया है:

संयोजन ($ℓ$) और ($x$) देता है ($$) आयाम में $cos^{2}θ + sin^{2}θ = 1$ कब $P_{ℓ}(x⋅y)$ और $Y_{j}$ गोलाकार निर्देशांक में दर्शाए जाते हैं। अंत में, पर मूल्यांकन $H_{ℓ}$ कार्यात्मक पहचान देता है $$\frac{\dim \mathbf{H}_\ell}{\omega_{n-1}} = \sum_{j=1}^{\dim(\mathbf{H}_\ell)}|Y_j({\mathbf{x}})|^2$$ कहाँ $n = 2$ (n−1)-गोले का आयतन है।

संकुचन नियम
एक अन्य उपयोगी पहचान गोलाकार हार्मोनिक्स के योग के रूप में दो गोलाकार हार्मोनिक्स के उत्पाद को व्यक्त करती है $$ Y_{a,\alpha}\left(\theta,\varphi\right)Y_{b,\beta}\left(\theta,\varphi\right) = \sqrt{\frac{\left(2a+1\right) \left(2b+1\right)}{4\pi}}\sum_{c=0}^{\infty}\sum_{\gamma=-c}^{c}\left(-1\right)^{\gamma}\sqrt{2c+1}\begin{pmatrix} a & b & c\\ \alpha & \beta & -\gamma \end{pmatrix} \begin{pmatrix} a & b & c\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} Y_{c,\gamma}\left(\theta,\varphi\right). $$ इस राशि में से कई शर्तें तुच्छ रूप से शून्य हैं। के मान $$ c $$ और $$\gamma$$ इस योग में गैर-शून्य पदों के परिणाम 3j-प्रतीकों के लिए चयन नियमों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

क्लेबश-गॉर्डन गुणांक
क्लेबश-गॉर्डन गुणांक गोलाकार हार्मोनिक्स के संदर्भ में दो गोलाकार हार्मोनिक्स के उत्पाद के विस्तार में दिखाई देने वाले गुणांक हैं। अनिवार्य रूप से एक ही गणना करने के लिए विग्नेर 3-जेएम प्रतीक, राकाह गुणांक और स्लेटर अभिन्न  सहित कई प्रकार की तकनीकें उपलब्ध हैं। अमूर्त रूप से, क्लेब्स-गॉर्डन गुणांक रोटेशन समूह SO(3) के दो अलघुकरणीय निरूपणों के टेन्सर उत्पाद को अप्रासंगिक अभ्यावेदन के योग के रूप में व्यक्त करते हैं: उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत, गुणांक तब गुणक होते हैं।

गोलाकार हार्मोनिक्स का दृश्य


लाप्लास गोलाकार हार्मोनिक्स $$Y_\ell^m$$ उनकी नोडल रेखाओं पर विचार करके कल्पना की जा सकती है, अर्थात, गोले पर बिंदुओं का समूह जहाँ $$\Re [Y_\ell^m] = 0$$, या वैकल्पिक रूप से कहाँ $$\Im [Y_\ell^m] = 0$$. की नोडल रेखाएँ $$Y_\ell^m$$ ℓ मंडलियों से बने हैं: हैं $x$ देशांतर के साथ वृत्त और ℓ−|m| अक्षांशों के साथ वृत्त। के शून्यों की संख्या की गणना करके प्रत्येक प्रकार की नोडल रेखाओं की संख्या निर्धारित की जा सकती है $$Y_\ell^m$$ में $$\theta$$ और $$\varphi$$ निर्देश क्रमशः। मानते हुए $$Y_\ell^m$$ के एक समारोह के रूप में $$\theta$$, संबंधित लीजेन्ड्रे बहुपदों के वास्तविक और काल्पनिक घटक जिनमें से प्रत्येक में ℓ−|m| शून्य, प्रत्येक नोडल 'अक्षांश रेखा' को जन्म देता है। वहीं, विचार कर रहे हैं $$Y_\ell^m$$ के एक समारोह के रूप में $$\varphi$$, त्रिकोणमितीय sin और cos फलन में 2|m| है शून्य, जिनमें से प्रत्येक एक नोडल 'देशांतर रेखा' को जन्म देता है।

जब गोलाकार हार्मोनिक ऑर्डर एम शून्य होता है (आकृति में ऊपरी-बाएं), गोलाकार हार्मोनिक फ़ंक्शन देशांतर पर निर्भर नहीं होते हैं, और उन्हें 'ज़ोनल गोलाकार हार्मोनिक्स' कहा जाता है। इस तरह के गोलाकार हार्मोनिक्स आंचलिक गोलाकार कार्यों का एक विशेष मामला है। कब $y$ (आकृति में नीचे-दाईं ओर), अक्षांश में कोई शून्य क्रॉसिंग नहीं है, और कार्यों को क्षेत्रीय कहा जाता है। अन्य मामलों के लिए, कार्य अंग्रेजी क्षेत्र का मसौदा तैयार करता है, और उन्हें टेसरल कहा जाता है।

डिग्री के अधिक सामान्य गोलाकार हार्मोनिक्स $$ आवश्यक रूप से लाप्लास आधार के नहीं हैं $$Y_\ell^m$$, और उनके नोडल सेट काफी सामान्य प्रकार के हो सकते हैं।

गोलाकार हार्मोनिक्स की सूची
पहले कुछ ऑर्थोनॉर्मलाइज़्ड लाप्लास गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियाँ $$Y_{\ell}^m : S^2 \to \Complex$$ जो कॉन्डन-शॉर्टले चरण सम्मेलन का उपयोग करते हैं: $$Y_{0}^{0}(\theta,\varphi) = \frac{1}{2}\sqrt{\frac 1 \pi}$$

$$\begin{align} Y_{1}^{-1}(\theta,\varphi) &= \frac{1}{2}\sqrt{\frac 3 {2\pi}} \, \sin\theta \, e^{-i\varphi} \\ Y_{1}^{0}(\theta,\varphi) &= \frac{1}{2}\sqrt{\frac 3 \pi}\, \cos\theta \\ Y_{1}^{1}(\theta,\varphi) &= \frac{-1}{2}\sqrt{\frac 3 {2\pi}}\, \sin\theta\, e^{i\varphi} \end{align}$$

$$\begin{align} Y_{2}^{-2}(\theta,\varphi) &= \frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi}} \, \sin^{2}\theta \, e^{-2i\varphi} \\ Y_{2}^{-1}(\theta,\varphi) &= \frac{1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\, \sin\theta\, \cos\theta\, e^{-i\varphi} \\ Y_{2}^{0}(\theta,\varphi) &= \frac{1}{4} \sqrt{\frac 5 \pi}\, (3\cos^{2}\theta-1) \\ Y_{2}^{1}(\theta,\varphi) &= \frac{-1}{2}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\, \sin\theta\,\cos\theta\, e^{i\varphi} \\ Y_{2}^{2}(\theta,\varphi) &= \frac{1}{4}\sqrt{\frac{15}{2\pi}}\, \sin^{2}\theta \, e^{2i\varphi} \end{align}$$

उच्च आयाम
शास्त्रीय गोलाकार हार्मोनिक्स को इकाई क्षेत्र पर जटिल-मूल्यवान कार्यों के रूप में परिभाषित किया गया है $$S^2$$ त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष के अंदर $$\R^3$$. गोलाकार हार्मोनिक्स को उच्च-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में सामान्यीकृत किया जा सकता है $$\R^n$$ निम्नानुसार, कार्यों के लिए अग्रणी $$S^{n-1} \to \Complex$$. चलो पीℓ डिग्री के जटिल-मूल्यवान सजातीय बहुपदों के सदिश स्थल को निरूपित करें $$ में $$ वास्तविक चर, यहाँ कार्यों के रूप में माना जाता है $$\R^n \to \Complex$$. यानी एक बहुपद $x = y$ में है $ω_{n−1}$ बशर्ते कि किसी वास्तविक के लिए $$\lambda \in \R$$, किसी के पास

$$p(\lambda \mathbf{x}) = \lambda^\ell p(\mathbf{x}).$$ चलो एℓ P की उपसमष्टि को निरूपित करेंℓ सभी हार्मोनिक बहुपदों से मिलकर: $$\mathbf{A}_{\ell} := \{ p \in \mathbf{P}_{\ell} \,\mid\, \Delta p = 0 \} \,. $$ ये (नियमित) ठोस गोलाकार हार्मोनिक्स हैं। चलो एचℓ इकाई क्षेत्र पर कार्यों के स्थान को निरूपित करें $$S^{n-1} := \{\mathbf{x}\in\R^n\,\mid\, \left|x\right|=1\}$$ से प्रतिबंध द्वारा प्राप्त किया गया $n = 5$ $$\mathbf{H}_{\ell} := \left\{ f: S^{n-1} \to \Complex \,\mid\, \text{ for some }p \in \mathbf{A}_{\ell},\, f(\mathbf{x}) = p(\mathbf{x}) \text{ for all }\mathbf{x} \in S^{n-1} \right\} .$$ निम्नलिखित गुण धारण करते हैं: = r^{1-n}\frac{\partial}{\partial r}r^{n-1}\frac{\partial}{\partial r} + r^{-2}\Delta_{S^{n-1}} = \frac{\partial^2}{\partial r^2} + \frac{n-1}{r}\frac{\partial}{\partial r} + r^{-2}\Delta_{S^{n-1}}$$ \end{cases}$$ कहाँ $n = ℓ$. विशेष रूप से, $$\dim \mathbf{H}_\ell = \binom{n+\ell-1}{n-1}-\binom{n+\ell-3}{n- 1}.$$ गोलाकार लाप्लासियन के लिए स्टर्म-लिउविल समस्या को हल करके, चर के पृथक्करण की विधि द्वारा उच्च आयामों में गोलाकार हार्मोनिक्स का एक ऑर्थोगोनल आधार गणितीय प्रेरण का निर्माण किया जा सकता है। $$\Delta_{S^{n-1}} = \sin^{2-n}\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi}\sin^{n-2}\varphi\frac{\partial}{\partial\varphi} + \sin^{-2}\varphi \Delta_{S^{n-2}}$$ जहां φ एस पर गोलाकार समन्वय प्रणाली में अक्षीय समन्वय हैn−1. ऐसी प्रक्रिया का अंतिम परिणाम है $$Y_{\ell_1, \dots \ell_{n-1}} (\theta_1, \dots \theta_{n-1}) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{i \ell_1 \theta_1} \prod_{j = 2}^{n-1} {}_j \bar{P}^{\ell_{j-1}}_{\ell_j} (\theta_j)$$ जहां सूचकांक संतुष्ट होते हैं $|m|$ और eigenvalue है $ℓ = |m|$. उत्पाद में कार्यों को लीजेंड्रे समारोह के संदर्भ में परिभाषित किया गया है $${}_j \bar{P}^\ell_{L} (\theta) = \sqrt{\frac{2L+j-1}{2} \frac{(L+\ell+j-2)!}{(L-\ell)!}} \sin^{\frac{2-j}{2}} (\theta) P^{-\left(\ell + \frac{j-2}{2}\right)}_{L+\frac{j-2}{2}} (\cos \theta) \,.$$
 * रिक्त स्थान का योग $p$ सेट में घना सेट है $$C(S^{n-1})$$ निरंतर कार्यों पर $$S^{n-1}$$ स्टोन-वीयरस्ट्रास प्रमेय द्वारा एकसमान अभिसरण के संबंध में। नतीजतन, अंतरिक्ष में इन रिक्त स्थान का योग भी घना है $P_{ℓ}$ गोले पर वर्ग-अभिन्न कार्य। इस प्रकार गोले पर प्रत्येक वर्ग-पूर्णांकीय फलन विशिष्ट रूप से गोलाकार हार्मोनिक्स की एक श्रृंखला में विघटित हो जाता है, जहाँ श्रृंखला एक में परिवर्तित होती है $A_{ℓ}$ विवेक।
 * सभी के लिए $H_{ℓ}$, किसी के पास $$\Delta_{S^{n-1}}f = -\ell(\ell+n-2)f.$$ कहाँ $L^{2}(S^{n−1})$ लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर चालू है $L^{2}$. यह ऑपरेटर तीन आयामों में लाप्लासियन के कोणीय भाग का अनुरूप है; बुद्धि के लिए, लाप्लासियन इन $$ आयाम के रूप में विघटित होता है $$\nabla^2
 * यह स्टोक्स प्रमेय और पूर्ववर्ती संपत्ति से अनुसरण करता है कि रिक्त स्थान $f ∈ H_{ℓ}$ से आंतरिक उत्पाद के संबंध में ओर्थोगोनल हैं $Δ_{S^{n−1}}|undefined$. यानी, $$ \int_{S^{n-1}} f\bar{g} \, \mathrm{d}\Omega = 0$$ के लिए $S^{n−1}$ और $H_{ℓ}$ के लिए $L^{2}(S^{n−1})$.
 * इसके विपरीत, रिक्त स्थान $f ∈ H_{ℓ}$ सटीक रूप से के आइगेनस्पेस हैं $g ∈ H_{k}$. विशेष रूप से, स्पेक्ट्रल प्रमेय का एक अनुप्रयोग#कॉम्पैक्ट सेल्फ-एडजॉइंट ऑपरेटर्स टू द रिज क्षमता $$\Delta_{S^{n-1}}^{-1}$$ एक और सबूत देता है कि रिक्त स्थान $k ≠ ℓ$ जोड़ीदार ओर्थोगोनल हैं और पूर्ण हैं $H_{ℓ}$.
 * हर सजातीय बहुपद $Δ_{S^{n−1}}|undefined$ को विशिष्ट रूप में लिखा जा सकता है $$p(x) = p_\ell(x) + |x|^2p_{\ell-2} + \cdots + \begin{cases}
 * x|^\ell p_0 & \ell \rm{\ even}\\
 * x|^{\ell-1} p_1(x) & \ell\rm{\ odd}

प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ संबंध
अंतरिक्ष $H_{ℓ}$ डिग्री के गोलाकार हार्मोनिक्स का $m$ एक बिंदु (SO(3)) और इसके डबल-कवर विशेष एकात्मक समूह|SU(2) के चारों ओर घूर्णन के समरूपता समूह (गणित) का एक समूह प्रतिनिधित्व है। दरअसल, घूर्णन द्वि-आयामी क्षेत्र पर कार्य करता है, और इस प्रकार भी $L^{2}(S^{n−1})$ फ़ंक्शन संरचना द्वारा $$ \psi \mapsto \psi\circ\rho^{-1}$$ के लिए $ℓ$ एक गोलाकार हार्मोनिक और $ℓ$ एक घुमाव। प्रतिनिधित्व $p ∈ P_{ℓ}$ SO(3) का एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है। के तत्व $p_{j} ∈ A_{j}$ तत्वों के क्षेत्र में प्रतिबंध के रूप में उत्पन्न होता है $|ℓ_{1}| ≤ ℓ_{2} ≤ ⋯ ≤ ℓ_{n−1}$: डिग्री के हार्मोनिक बहुपद सजातीय $n$ त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर $−ℓ_{n−1}(ℓ_{n−1} + n−2)$. के एक बीजगणितीय रूप के ध्रुवीकरण द्वारा $H_{ℓ}$, गुणांक हैं $$\psi_{i_1\dots i_\ell}$$ सूचकांकों पर सममित, विशिष्ट रूप से आवश्यकता द्वारा निर्धारित $$\psi(x_1,\dots,x_n) = \sum_{i_1\dots i_\ell}\psi_{i_1\dots i_\ell}x_{i_1}\cdots x_{i_\ell}.$$ शर्त है कि $n$ हार्मोनिक होना इस बात के बराबर है कि टेन्सर  $$\psi_{i_1\dots i_\ell}$$ सूचकांकों के प्रत्येक जोड़े पर टेंसर संकुचन मुक्त होना चाहिए। इस प्रकार के एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के रूप में $H_{ℓ}$, $H_{ℓ}$ डिग्री के ट्रेसलेस सममित टेन्सर के स्थान के लिए आइसोमोर्फिक है $ℓ$.

अधिक आम तौर पर, समान कथन उच्च आयामों में होते हैं: अंतरिक्ष Hℓ}एन-क्षेत्र पर गोलाकार हार्मोनिक्स का}$ψ$-sphere का अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व है $H_{ℓ}$ ट्रैसलेस सममित के अनुरूप $ρ$-टेंसर। हालांकि, जबकि हर अलघुकरणीय टेंसर का प्रतिनिधित्व $A_{ℓ}$ और $R^{3}$ इस प्रकार का है, उच्च आयामों में विशेष ऑर्थोगोनल समूहों के पास अतिरिक्त अलघुकरणीय अभ्यावेदन हैं जो इस तरीके से उत्पन्न नहीं होते हैं।

विशेष ऑर्थोगोनल समूहों में अतिरिक्त स्पिन प्रतिनिधित्व होते हैं जो टेन्सर प्रतिनिधित्व नहीं होते हैं, और आमतौर पर गोलाकार हार्मोनिक्स नहीं होते हैं। एक अपवाद SO(3) का स्पिन प्रतिनिधित्व है: सख्ती से बोलना ये SO(3) के डबल कवर (टोपोलॉजी) SU(2) का प्रतिनिधित्व हैं। बदले में, SU(2) को इकाई चतुष्कोणों के समूह के साथ पहचाना जाता है, और इसलिए यह 3-गोले के साथ मेल खाता है। क्वाटरनियोनिक गुणा द्वारा क्रिया के संबंध में, 3-गोले पर गोलाकार हार्मोनिक्स के स्थान SO(3) के कुछ स्पिन प्रतिनिधित्व हैं।

गोलार्ध हार्मोनिक्स के साथ संबंध
गोलाकार हार्मोनिक्स को कार्यों के दो सेटों में विभाजित किया जा सकता है। एक गोलार्द्धीय कार्य (HSH), लंबकोणीय और गोलार्द्ध पर पूर्ण है। दूसरा पूरक गोलार्ध हार्मोनिक्स (CHSH) है।

सामान्यीकरण
अनुरूप ज्यामिति | दो-गोले के कोण-संरक्षण समरूपता का वर्णन मोबियस ट्रांसफ़ॉर्मेशन PSL(2,C) के समूह द्वारा किया गया है। इस समूह के संबंध में, गोला सामान्य रीमैन क्षेत्र के बराबर है। समूह पीएसएल (2, सी) (उचित) लोरेंत्ज़ समूह के लिए समरूप है, और दो-गोले पर इसकी कार्रवाई मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में आकाशीय क्षेत्र पर लोरेंत्ज़ समूह की कार्रवाई से सहमत है। लोरेंत्ज़ समूह के लिए गोलाकार हार्मोनिक्स का एनालॉग हाइपरजियोमेट्रिक श्रृंखला द्वारा दिया गया है; इसके अलावा, गोलाकार हार्मोनिक्स हाइपरज्यामितीय श्रृंखला श्रृंखला के रूप में फिर से व्यक्त किया जा सकता है $ψ ∈ A_{ℓ}$ का एक उपसमूह है $SO(3)$.

अधिक आम तौर पर, हाइपरज्यामितीय श्रृंखला को किसी भी सममित स्थान की समरूपता का वर्णन करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है; विशेष रूप से, किसी भी लाइ समूह के लिए हाइपरज्यामितीय श्रृंखला विकसित की जा सकती है।

यह भी देखें

 * क्यूबिक हार्मोनिक (कंप्यूटेशंस में गोलाकार हार्मोनिक्स के बजाय अक्सर उपयोग किया जाता है)
 * बेलनाकार हार्मोनिक्स
 * गोलाकार आधार
 * स्पिनर गोलाकार हार्मोनिक्स
 * स्पिन-भारित गोलाकार हार्मोनिक्स
 * स्टर्म-लिउविल सिद्धांत
 * गोलाकार हार्मोनिक्स की तालिका
 * वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स
 * परमाणु कक्षीय

सामान्य संदर्भ

 * ई.डब्ल्यू. हॉब्सन, द थ्योरी ऑफ़ स्फेरिकल एंड एलिपोसाइडल हार्मोनिक्स, (1955) चेल्सी पब। कं, ISBN 978-0-8284-0104-3.
 * सी. मुलर, स्फेरिकल हार्मोनिक्स, (1966) स्प्रिंगर, लेक्चर नोट्स इन मैथमैटिक्स, वॉल्यूम। 17, ISBN 978-3-540-03600-5.
 * ई.यू. कोंडोन और जी.एच. शॉर्टली, द थ्योरी ऑफ़ एटॉमिक स्पेक्ट्रा, (1970) कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस में, ISBN 0-521-09209-4, अध्याय 3 देखें।
 * जेडी जैक्सन, क्लासिकल इलेक्ट्रोडायनामिक्स, ISBN 0-471-30932-X
 * अल्बर्ट मसीहा, क्वांटम यांत्रिकी, खंड II। (2000) डोवर। ISBN 0-486-40924-4.
 * डी. ए. वार्शलोविच, ए. एन. मोस्कलेव, वी. के. खेरसॉन्स्की क्वांटम थ्योरी ऑफ़ एंगुलर मोमेंटम, (1988) वर्ल्ड साइंटिफिक पब्लिशिंग कंपनी, सिंगापुर ISBN 9971-5-0107-4
 * डी. ए. वार्शलोविच, ए. एन. मोस्कलेव, वी. के. खेरसॉन्स्की क्वांटम थ्योरी ऑफ़ एंगुलर मोमेंटम, (1988) वर्ल्ड साइंटिफिक पब्लिशिंग कंपनी, सिंगापुर ISBN 9971-5-0107-4

श्रेणी:परमाणु भौतिकी श्रेणी:फूरियर विश्लेषण श्रेणी:हार्मोनिक विश्लेषण श्रेणी:आंशिक अवकल समीकरण श्रेणी:घूर्णी समरूपता श्रेणी:विशेष अतिज्यामितीय कार्य

बाहरी संबंध

 * Spherical Harmonics at MathWorld
 * Spherical Harmonics 3D representation