प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)

रैखिक बीजगणित और कार्यात्मक विश्लेषण में, प्रक्षेपण एक रैखिक परिवर्तन है $$P$$ एक सदिश स्थान से स्वयं (एक एंडोमोर्फिज्म) जैसे कि $$P\circ P=P$$. यानी जब भी $$P$$ किसी भी वेक्टर पर दो बार लागू किया जाता है, यह वही परिणाम देता है जैसे कि इसे एक बार लागू किया गया था (यानी। $$P$$ निर्बल है)। यह अपनी छवि (गणित) अपरिवर्तित छोड़ देता है। प्रक्षेपण की यह परिभाषा चित्रमय प्रक्षेपण के विचार को औपचारिक और सामान्य बनाती है। वस्तु में बिंदु (ज्यामिति) पर प्रक्षेपण के प्रभाव की जांच करके एक ज्यामितीय वस्तु पर प्रक्षेपण के प्रभाव पर भी विचार किया जा सकता है।

परिभाषाएँ
सदिश स्थान पर प्रक्षेपण $$V$$ एक रैखिक संकारक है $$P : V \to V$$ ऐसा है कि $$P^2 = P$$.

कब $$V$$ एक आंतरिक उत्पाद है और पूर्ण मीट्रिक स्थान है (अर्थात जब $$V$$ हिल्बर्ट अंतरिक्ष  है) ओर्थोगोनालिटी की अवधारणा का उपयोग किया जा सकता है। एक प्रक्षेपण $$P$$ हिल्बर्ट स्पेस पर $$V$$ यदि यह संतुष्ट होता है तो इसे ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन कहा जाता है $$\langle P \mathbf x, \mathbf y \rangle = \langle \mathbf x, P \mathbf y \rangle$$ सभी के लिए $$\mathbf x, \mathbf y \in V$$. हिल्बर्ट स्पेस पर एक प्रक्षेपण जो ऑर्थोगोनल नहीं है, उसे तिरछा प्रक्षेपण कहा जाता है।

प्रोजेक्शन मैट्रिक्स
प्रोजेक्शन मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​0 या 1 होना चाहिए।
 * आयाम (वेक्टर स्थान) में | परिमित-आयामी मामला, एक स्क्वायर मैट्रिक्स $$P$$ प्रोजेक्शन मैट्रिक्स कहा जाता है यदि यह इसके वर्ग के बराबर है, अर्थात यदि $$P^2 = P$$.
 * एक वर्ग मैट्रिक्स $$P$$ एक ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन मैट्रिक्स कहा जाता है अगर $$P^2 = P = P^{\mathrm T}$$ एक वास्तविक संख्या मैट्रिक्स (गणित) के लिए, और क्रमशः $$P^2 = P = P^{*}$$ एक जटिल संख्या मैट्रिक्स के लिए, जहाँ $$P^{\mathrm T}$$ के स्थानान्तरण को दर्शाता है $$P$$ और $$P^{*}$$ आसन्न या हर्मिटियन संक्रमण को दर्शाता है $$P$$.
 * एक प्रोजेक्शन मैट्रिक्स जो ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन मैट्रिक्स नहीं है, उसे ऑब्लिक प्रोजेक्शन मैट्रिक्स कहा जाता है।

ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन
उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन जो बिंदु को मैप करता है $$(x,y,z)$$ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में $$\mathbb{R}^3$$ मुद्दे पर $$(x,y,0)$$ xy-प्लेन पर एक ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन है। यह फ़ंक्शन मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया गया है $$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$$ एक स्वेच्छ यूक्लिडियन सदिश पर इस आव्यूह की क्रिया है $$P \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix}.$$ यह देखने के लिए $$P$$ वास्तव में एक प्रक्षेपण है, अर्थात, $$P = P^2$$, हम गणना करते हैं $$P^2 \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = P \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ 0 \end{bmatrix} = P\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}.$$ यह देखते हुए $$P^{\mathrm T} = P$$ दिखाता है कि प्रक्षेपण एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है।

तिरछा प्रक्षेपण
गैर-ऑर्थोगोनल (तिरछा) प्रक्षेपण का एक सरल उदाहरण है $$P = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix}.$$ मैट्रिक्स गुणन के माध्यम से, कोई यह देखता है $$P^2 = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ \alpha & 1 \end{bmatrix} = P.$$ दिखा रहा है $$P$$ वास्तव में एक प्रक्षेपण है।

प्रक्षेपण $$P$$ ऑर्थोगोनल है अगर और केवल अगर $$\alpha = 0$$ क्योंकि तभी $$P^{\mathrm T} = P.$$

अकर्मण्यता
परिभाषा के अनुसार, एक प्रक्षेपण $$P$$ निर्बल है (अर्थात् $$P^2 = P$$).

नक्शा खोलें
प्रत्येक प्रक्षेपण एक खुला नक्शा है, जिसका अर्थ है कि यह फ़ंक्शन के डोमेन में प्रत्येक खुले सेट को छवि (गणित) के उप-स्थान टोपोलॉजी में एक खुले सेट पर मैप करता है। अर्थात किसी सदिश के लिए $$\mathbf{x}$$ और कोई भी गेंद $$B_\mathbf{x}$$ (सकारात्मक त्रिज्या के साथ) पर केंद्रित $$\mathbf{x}$$, एक गेंद मौजूद है $$B_{P\mathbf{x}}$$ (सकारात्मक त्रिज्या के साथ) पर केंद्रित $$P\mathbf{x}$$ जो पूरी तरह से छवि में निहित है $$P(B_\mathbf{x})$$.

छवि और कर्नेल की पूरकता
होने देना $$W$$ एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष बनें और $$P$$ पर एक प्रक्षेपण हो $$W$$. रेखीय उपसमष्टि मान लीजिए $$U$$ और $$V$$ की छवि (गणित) और कर्नेल (रैखिक बीजगणित) हैं $$P$$ क्रमश। तब $$P$$ निम्नलिखित गुण हैं:

एक प्रक्षेपण की छवि और गिरी पूरक हैं, जैसा कि हैं $$P$$ और $$Q = I - P$$. परिचालक $$Q$$ की छवि और गिरी के रूप में भी एक प्रक्षेपण है $$P$$ की गिरी और छवि बन जाते हैं $$Q$$ और इसके विपरीत। हम कहते हैं $$P$$ साथ में एक प्रक्षेपण है $$V$$ पर $$U$$ (कर्नेल / छवि) और $$Q$$ साथ में एक प्रक्षेपण है $$U$$ पर $$V$$.
 * 1) $$P$$ पहचान ऑपरेटर है $$I$$ पर $$U$$: $$\forall \mathbf x \in U: P \mathbf x = \mathbf x.$$
 * 2) हमारे पास वेक्टर रिक्त स्थान का सीधा योग है $$W = U \oplus V$$. हर सदिश $$\mathbf x \in W$$ के रूप में विशिष्ट रूप से विघटित किया जा सकता है $$\mathbf x = \mathbf u + \mathbf v$$ साथ $$\mathbf u = P \mathbf x$$ और $$\mathbf v = \mathbf x - P \mathbf x = \left(I-P\right) \mathbf x$$, और कहाँ $$\mathbf u \in U, \mathbf v \in V.$$

स्पेक्ट्रम
अनंत-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान में, प्रक्षेपण के स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) में निहित है $$\{ 0, 1 \}$$ जैसा $$(\lambda I - P)^{-1} = \frac 1 \lambda I + \frac 1 {\lambda(\lambda-1)} P.$$ केवल 0 या 1 ही किसी प्रक्षेपण का आइगेन मान हो सकता है। इसका तात्पर्य है कि एक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण $$P$$ हमेशा एक सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स होता है। सामान्य तौर पर, संबंधित egenspace (क्रमशः) कर्नेल और प्रक्षेपण की सीमा होती है। सदिश समष्टि का प्रत्यक्ष योगों में अपघटन अद्वितीय नहीं है। इसलिए, एक उप-स्थान दिया गया है $$V$$, ऐसे कई अनुमान हो सकते हैं जिनकी सीमा (या कर्नेल) है $$V$$.

यदि प्रक्षेपण अनौपचारिक है तो इसमें न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित) है $$x^2 - x = x (x-1)$$, जो अलग-अलग रैखिक कारकों में कारक हैं, और इस प्रकार $$P$$ विकर्णीय है।

अनुमानों का उत्पाद
अनुमानों का उत्पाद सामान्य रूप से प्रक्षेपण नहीं है, भले ही वे ऑर्थोगोनल हों। यदि दो प्रोजेक्शन मेट्रिसेस को स्थानांतरित कर रहे हैं तो उनका उत्पाद एक प्रोजेक्शन है, लेकिन इसका विलोम (तर्क) गलत है: दो नॉन-कम्यूटिंग प्रोजेक्शन का उत्पाद प्रोजेक्शन हो सकता है।

यदि दो ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन कम्यूट करते हैं तो उनका उत्पाद एक ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन है। यदि दो ऑर्थोगोनल अनुमानों का उत्पाद एक ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन है, तो दो ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन कम्यूट करते हैं (अधिक आम तौर पर: दो स्व-आसन्न एंडोमोर्फिज्म कम्यूट करते हैं और केवल अगर उनका उत्पाद स्व-संलग्न है)।

ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन
जब सदिश स्थान $$W$$ एक आंतरिक उत्पाद है और पूर्ण है (हिल्बर्ट स्पेस है) ऑर्थोगोनलिटी की अवधारणा का उपयोग किया जा सकता है। एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण एक प्रक्षेपण है जिसके लिए सीमा $$U$$ और शून्य स्थान $$V$$ रूढ़िवादिता हैं। इस प्रकार, प्रत्येक के लिए $$\mathbf x$$ और $$\mathbf y$$ में $$W$$, $$ \langle P \mathbf x, (\mathbf y - P \mathbf y) \rangle = \langle (\mathbf x - P \mathbf x), P \mathbf y \rangle = 0$$. समान रूप से: $$ \langle \mathbf x, P \mathbf y \rangle = \langle P \mathbf x, P \mathbf y \rangle = \langle P \mathbf x, \mathbf y \rangle. $$ एक प्रक्षेपण ओर्थोगोनल है अगर और केवल अगर यह स्वयं-आसन्न ऑपरेटर है। स्व-संबद्ध। स्व-आसन्न और idempotent गुणों का उपयोग करना $$P$$, किसी के लिए $$\mathbf x$$ और $$\mathbf y$$ में $$W$$ अपने पास $$P\mathbf{x} \in U$$, $$\mathbf{y} - P\mathbf{y} \in V$$, और $$ \langle P \mathbf x, \mathbf y - P \mathbf y \rangle = \langle \mathbf x, \left(P-P^2\right) \mathbf y \rangle = 0$$ कहाँ $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ से जुड़ा आंतरिक उत्पाद है $$W$$. इसलिए, $$P $$ और $$I - P $$ ऑर्थोगोनल अनुमान हैं। दूसरी दिशा, अर्थात् यदि $$P$$ ओर्थोगोनल है तो यह स्व-संलग्न है, निहितार्थ से अनुसरण करता है $$\langle (\mathbf x - P \mathbf x), P \mathbf y \rangle = \langle P \mathbf x, (\mathbf y - P \mathbf y) \rangle = 0$$ को $$ \langle \mathbf x, P \mathbf y \rangle = \langle P \mathbf x, P\mathbf y \rangle = \langle P \mathbf x, \mathbf y \rangle = \langle \mathbf x, P^* \mathbf y \rangle $$ हरएक के लिए $$x$$ और $$y$$ में $$W$$; इस प्रकार $$P=P^*$$.

$$

गुण और विशेष मामले
एक ओर्थोगोनल प्रोजेक्शन एक परिबद्ध संचालिका है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रत्येक के लिए $$\mathbf v$$ हमारे पास सदिश स्थान में, कॉची-श्वार्ज असमानता द्वारा: $$\left \| P \mathbf v\right\|^2 = \langle P \mathbf v, P \mathbf v \rangle = \langle P \mathbf v, \mathbf v \rangle \leq \left\|P \mathbf v\right\| \cdot \left\|\mathbf v\right\|$$ इस प्रकार $$\left\|P \mathbf v\right\| \leq \left\|\mathbf v\right\|$$.

परिमित-आयामी जटिल या वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान के लिए, मानक आंतरिक उत्पाद को प्रतिस्थापित किया जा सकता है $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$.

सूत्र
एक साधारण मामला तब होता है जब ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन एक लाइन पर होता है। अगर $$\mathbf u$$ लाइन पर एक इकाई वेक्टर  है, तो प्रोजेक्शन बाहरी उत्पाद द्वारा दिया जाता है $$ P_\mathbf{u} = \mathbf u \mathbf u^\mathsf{T}.$$ (अगर $$\mathbf u$$ जटिल-मूल्यवान है, उपरोक्त समीकरण में स्थानान्तरण को एक हर्मिटियन स्थानान्तरण द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है)। यह ऑपरेटर यू अपरिवर्तनीय छोड़ देता है, और यह सभी वैक्टर ऑर्थोगोनल को नष्ट कर देता है $$\mathbf u$$, यह साबित करते हुए कि यह वास्तव में यू युक्त रेखा पर ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण है। इसे देखने का एक आसान तरीका एक मनमाना वेक्टर पर विचार करना है $$\mathbf x$$ रेखा पर एक घटक के योग के रूप में (अर्थात प्रक्षेपित सदिश जिसे हम चाहते हैं) और इसके लिए एक और लंबवत, $$\mathbf x = \mathbf x_\parallel + \mathbf x_\perp$$. प्रक्षेपण लागू करना, हम प्राप्त करते हैं $$ P_{\mathbf u} \mathbf x = \mathbf u \mathbf u^\mathsf{T} \mathbf x_\parallel + \mathbf u \mathbf u^\mathsf{T} \mathbf x_\perp = \mathbf u \left( \sgn\left(\mathbf u^\mathsf{T} \mathbf x_\parallel\right) \left \| \mathbf x_\parallel \right \| \right) + \mathbf u \cdot \mathbf 0 = \mathbf x_\parallel $$ समांतर और लंबवत वैक्टर के डॉट उत्पाद के गुणों से।

इस सूत्र को मनमाना आयाम (वेक्टर स्थान) के उप-स्थान पर ऑर्थोगोनल अनुमानों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। होने देना $$\mathbf u_1, \ldots, \mathbf u_k$$ उप-स्थान का एक अलौकिक आधार बनें $$U$$, इस धारणा के साथ कि पूर्णांक $$k \geq 1$$, और जाने $$A$$ निरूपित करें $$n \times k$$ मैट्रिक्स जिसके कॉलम हैं $$\mathbf u_1, \ldots, \mathbf u_k$$, अर्थात।, $$A = \begin{bmatrix} \mathbf u_1 & \cdots & \mathbf u_k \end{bmatrix}$$. तब प्रक्षेपण द्वारा दिया जाता है: $$P_A = A A^\mathsf{T}$$ जिसे फिर से लिखा जा सकता है $$P_A = \sum_i \langle \mathbf u_i, \cdot \rangle \mathbf u_i.$$ गणित का सवाल $$A^\mathsf{T}$$ आंशिक आइसोमेट्री है जो के ऑर्थोगोनल पूरक पर गायब हो जाती है $$U$$ और $$A$$ वह आइसोमेट्री है जो एम्बेड करता है $$U$$ अंतर्निहित वेक्टर अंतरिक्ष में। की सीमा $$P_A$$ इसलिए की अंतिम जगह है $$A$$. यह भी स्पष्ट है $$A A^{\mathsf T}$$ पहचान ऑपरेटर चालू है $$U$$.

ऑर्थोनॉर्मलिटी की स्थिति को भी गिराया जा सकता है। अगर $$\mathbf u_1, \ldots, \mathbf u_k$$ एक (जरूरी नहीं कि ऑर्थोनॉर्मल) आधार (रैखिक बीजगणित) है $$k \geq 1$$, और $$A$$ कॉलम के रूप में इन वैक्टरों के साथ मैट्रिक्स है, तो प्रक्षेपण है: $$P_A = A \left(A^\mathsf{T} A\right)^{-1} A^\mathsf{T}.$$ गणित का सवाल $$A$$ अभी भी एम्बेड करता है $$U$$ अंतर्निहित वेक्टर अंतरिक्ष में लेकिन अब सामान्य रूप से एक आइसोमेट्री नहीं है। गणित का सवाल $$\left(A^\mathsf{T}A\right)^{-1}$$ एक सामान्य कारक है जो आदर्श को ठीक करता है। उदाहरण के लिए, एक लीनियर ऑपरेटर-1 ऑपरेटर की रैंक $$\mathbf u \mathbf u^\mathsf{T}$$ एक प्रक्षेपण नहीं है अगर $$\left\|\mathbf u \right\| \neq 1.$$ द्वारा विभाजित करने के बाद $$\mathbf u^\mathsf{T} \mathbf u = \left\| \mathbf u \right\|^2,$$ हम प्रक्षेपण प्राप्त करते हैं $$\mathbf u \left(\mathbf u^\mathsf{T} \mathbf u \right)^{-1} \mathbf u^\mathsf{T}$$ द्वारा फैलाए गए उप-स्थान पर $$u$$.

सामान्य मामले में, हमारे पास मनमाना सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स हो सकता है $$D$$ एक आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करना $$\langle x, y \rangle_D = y^\dagger Dx$$, और प्रक्षेपण $$P_A$$ द्वारा दिया गया है $P_A x = \operatorname{argmin}_{y \in \operatorname{range}(A)} \left\|x - y\right\|^2_D$. तब $$P_A = A \left(A^\mathsf{T} D A\right)^{-1} A^\mathsf{T} D.$$ जब प्रक्षेपण का रेंज स्पेस एक वेक्टर स्पेस के फ्रेम द्वारा उत्पन्न होता है (अर्थात जनरेटर की संख्या इसके आयाम से अधिक है), प्रक्षेपण के लिए सूत्र रूप लेता है: $$P_A = A A^+$$. यहाँ $$A^+$$ मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स के लिए खड़ा है। यह प्रोजेक्शन ऑपरेटर के निर्माण के कई तरीकों में से एक है।

अगर $$\begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix}$$ एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स है और $$A^\mathsf{T}B = 0$$ (अर्थात।, $$B$$ का रिक्त स्थान मैट्रिक्स है $$A$$), निम्नलिखित धारण करता है: $$\begin{align} I &= \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix}^{-1}\begin{bmatrix} A^\mathsf{T} \\ B^\mathsf{T} \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} A^\mathsf{T} \\ B^\mathsf{T} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} \left( \begin{bmatrix} A^\mathsf{T} \\ B^\mathsf{T} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} \right )^{-1} \begin{bmatrix} A^\mathsf{T} \\B^\mathsf{T} \end{bmatrix} \\ &= \begin{bmatrix} A & B \end{bmatrix} \begin{bmatrix}A^\mathsf{T}A&O\\O&B^\mathsf{T}B\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} A^\mathsf{T} \\ B^\mathsf{T} \end{bmatrix}\\[4pt] &= A \left(A^\mathsf{T}A\right)^{-1} A^\mathsf{T} + B \left(B^\mathsf{T}B\right)^{-1} B^\mathsf{T} \end{align}$$ यदि ऑर्थोगोनल स्थिति को बढ़ाया जाता है $$A^\mathsf{T}W B = A^\mathsf{T}W^\mathsf{T}B = 0$$ साथ $$W$$ गैर विलक्षण, निम्नलिखित धारण करता है: $$I = \begin{bmatrix}A & B\end{bmatrix} \begin{bmatrix}\left(A^\mathsf{T} W A\right)^{-1} A^\mathsf{T} \\ \left(B^\mathsf{T} W B\right)^{-1} B^\mathsf{T} \end{bmatrix} W.$$ ये सभी सूत्र जटिल आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के लिए भी लागू होते हैं, बशर्ते कि स्थानांतरण के बजाय संयुग्म स्थानान्तरण का उपयोग किया जाता है। प्रोजेक्टर के योग के बारे में अधिक जानकारी बैनर्जी और रॉय (2014) में पाई जा सकती है। बनर्जी को भी देखें (2004) बेसिक गोलाकार त्रिकोणमिति में प्रोजेक्टर के योग के आवेदन के लिए।

तिरछा प्रक्षेपण
शब्द तिरछा प्रक्षेपण कभी-कभी गैर-ऑर्थोगोनल अनुमानों को संदर्भित करने के लिए प्रयोग किया जाता है। इन अनुमानों का उपयोग द्वि-आयामी चित्रों (तिरछे प्रक्षेपण देखें) में स्थानिक आंकड़ों का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जाता है, हालांकि ऑर्थोगोनल अनुमानों के रूप में अक्सर नहीं। जबकि एक साधारण न्यूनतम वर्ग प्रतिगमन के फिट किए गए मूल्य की गणना के लिए एक ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन की आवश्यकता होती है, इंस्ट्रूमेंटल_वेरिएबल के फिट किए गए मूल्य की गणना के लिए एक तिरछे प्रक्षेपण की आवश्यकता होती है।

अनुमानों को उनके रिक्त स्थान द्वारा परिभाषित किया जाता है और आधार वैक्टर उनकी सीमा को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है (जो रिक्त स्थान का पूरक है)। जब ये आधार वैक्टर शून्य स्थान के लिए ओर्थोगोनल होते हैं, तो प्रोजेक्शन एक ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन होता है। जब ये आधार सदिश शून्य स्थान के लिए ओर्थोगोनल नहीं होते हैं, तो प्रक्षेपण एक तिरछा प्रक्षेपण होता है, या केवल एक सामान्य प्रक्षेपण होता है।

एक अशून्य प्रक्षेपण ऑपरेटर के लिए एक मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व सूत्र
होने देना $$P$$ एक रैखिक ऑपरेटर बनें $$P : V \to V$$ ऐसा है कि $$P^2 = P$$ और मान लो  $$P : V \to V$$ शून्य संकारक नहीं है। चलो वैक्टर $$\mathbf u_1, \ldots, \mathbf u_k$$ प्रक्षेपण की सीमा के लिए आधार तैयार करें, और इन वैक्टरों को इसमें इकट्ठा करें $$n \times k$$ आव्यूह $$A$$. इसलिए पूर्णांक $$k \geq 1$$, अन्यथा $$k = 0$$ और $$P$$ शून्य संकारक है। सीमा और शून्य स्थान पूरक स्थान हैं, इसलिए शून्य स्थान का आयाम है $$n - k$$. यह इस प्रकार है कि शून्य स्थान के ऑर्थोगोनल पूरक का आयाम है $$k$$. होने देना $$\mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_k$$ प्रक्षेपण के शून्य स्थान के ऑर्थोगोनल पूरक के लिए एक आधार तैयार करें, और इन वैक्टरों को मैट्रिक्स में इकट्ठा करें $$B$$. फिर प्रक्षेपण $$P$$ (शर्त के साथ $$k \geq 1$$) द्वारा दिया गया है $$ P = A \left(B^\mathsf{T} A\right)^{-1} B^\mathsf{T}. $$ यह अभिव्यक्ति ऊपर दिए गए ओर्थोगोनल अनुमानों के सूत्र को सामान्यीकृत करती है। इस अभिव्यक्ति का एक मानक प्रमाण निम्नलिखित है। किसी भी वेक्टर के लिए $$\mathbf x$$ वेक्टर अंतरिक्ष में $$V$$, हम विघटित कर सकते हैं $$\mathbf{x} = \mathbf{x}_1 + \mathbf{x}_2$$, जहां वेक्टर $$\mathbf{x}_1 = P(\mathbf{x})$$ की छवि में है $$P$$, और वेक्टर $$\mathbf{x}_2 = \mathbf{x} - P(\mathbf{x})$$. इसलिए $$P(\mathbf{x}_2) = P(\mathbf{x}) - P^2(\mathbf{x})= \mathbf{0}$$, और तब $$\mathbf{x}_2$$ की रिक्त स्थान में है $$P$$. दूसरे शब्दों में, वेक्टर $$\mathbf{x}_1$$ के कॉलम स्पेस में है $$A$$, इसलिए $$\mathbf{x}_1 = A \mathbf{w}$$ कुछ के लिए $$k$$ आयाम वेक्टर $$\mathbf{w}$$ और वेक्टर $$\mathbf{x}_2$$ संतुष्ट $$B^\mathsf{T} \mathbf{x}_2=\mathbf{0}$$ के निर्माण से $$B$$. इन शर्तों को एक साथ रखें, और हम एक सदिश पाते हैं $$\mathbf{w}$$ ताकि $$B^\mathsf{T} (\mathbf{x}-A\mathbf{w})=\mathbf{0}$$. मेट्रिसेस के बाद से $$A$$ और $$B$$ फुल रैंक के हैं $$k$$ उनके निर्माण से, $$k\times k$$-आव्यूह $$B^\mathsf{T} A$$ उलटा है। तो समीकरण $$B^\mathsf{T} (\mathbf{x}-A\mathbf{w})=\mathbf{0}$$ वेक्टर देता है $$\mathbf{w}= (B^{\mathsf{T}}A)^{-1} B^{\mathsf{T}} \mathbf{x}.$$ इस प्रकार से, $$P\mathbf{x} = \mathbf{x}_1 = A\mathbf{w}= A(B^{\mathsf{T}}A)^{-1} B^{\mathsf{T}} \mathbf{x}$$ किसी भी वेक्टर के लिए $$\mathbf{x} \in V$$ और इसलिए $$P = A(B^{\mathsf{T}}A)^{-1} B^{\mathsf{T}}$$.

उस मामले में $$P$$ एक ओर्थोगोनल प्रक्षेपण है, हम ले सकते हैं $$A = B$$, और यह उसका अनुसरण करता है $$P=A \left(A^\mathsf{T} A\right)^{-1} A^\mathsf{T}$$. इस फॉर्मूले का इस्तेमाल करके कोई भी इसे आसानी से चेक कर सकता है  $$P=P^\mathsf{T}$$. सामान्य तौर पर, यदि सदिश स्थान जटिल संख्या क्षेत्र से अधिक है, तो एक हर्मिटियन ट्रांज़ोज़ का उपयोग करता है $$A^*$$ और सूत्र है $$P=A \left(A^* A\right)^{-1} A^*$$. याद रखें कि कोई मैट्रिक्स के मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम को परिभाषित कर सकता है $$A$$ द्वारा $$A^{+}= (A^*A)^{-1}A^*$$ तब से $$A$$ पूर्ण स्तंभ रैंक है, इसलिए  $$P=A A^{+}$$.

विलक्षण मूल्य
ध्यान दें कि $$I-P$$ तिरछा प्रक्षेपण भी है। के विलक्षण मूल्य $$P$$ और $$I-P$$ के एक असामान्य आधार द्वारा गणना की जा सकती है $$A$$. होने देना $$Q_A$$ का एक अलौकिक आधार हो $$A$$ और जाने $$Q_A^{\perp}$$ का ऑर्थोगोनल पूरक हो $$Q_A$$. मैट्रिक्स के विलक्षण मूल्यों को निरूपित करें $$Q_A^T A (B^T A)^{-1} B^T Q_A^{\perp} $$ सकारात्मक मूल्यों द्वारा $$\gamma_1 \ge \gamma_2 \ge \ldots \ge \gamma_k $$. इसके साथ, के लिए एकवचन मान $$P$$ हैं: $$\sigma_i = \begin{cases} \sqrt{1+\gamma_i^2} & 1 \le i \le k \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ और के लिए एकवचन मान $$I-P$$ हैं $$\sigma_i = \begin{cases} \sqrt{1+\gamma_i^2} 	& 1 \le i \le k \\ 1 				& k+1 \le i \le n-k \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases} $$ इसका तात्पर्य है कि का सबसे बड़ा एकवचन मूल्य $$P$$ और $$I-P$$ समान हैं, और इस प्रकार तिरछे अनुमानों के मैट्रिक्स मानदंड समान हैं। हालाँकि, शर्त संख्या संबंध को संतुष्ट करती है $$\kappa(I-P) = \frac{\sigma_1}{1} \ge \frac{\sigma_1}{\sigma_k} = \kappa(P)$$, और इसलिए जरूरी नहीं कि बराबर हो।

एक आंतरिक उत्पाद के साथ प्रक्षेपण ढूँढना
होने देना $$V$$ ऑर्थोगोनल वैक्टर द्वारा फैले एक वेक्टर स्पेस (इस मामले में एक विमान) हो $$\mathbf u_1, \mathbf u_2, \dots, \mathbf u_p$$. होने देना $$y$$ एक वेक्टर बनें। कोई एक प्रक्षेपण को परिभाषित कर सकता है $$\mathbf y$$ पर $$V$$ जैसा $$ \operatorname{proj}_V \mathbf y = \frac{\mathbf y \cdot \mathbf u^i}{\mathbf u^i \cdot \mathbf u^i } \mathbf u^i $$ जहां दोहराए गए सूचकांकों का योग किया जाता है ( आइंस्टीन संकेतन )। सदिश $$\mathbf y$$ एक ओर्थोगोनल योग के रूप में लिखा जा सकता है जैसे कि $$\mathbf y = \operatorname{proj}_V \mathbf y + \mathbf z$$. $$\operatorname{proj}_V \mathbf y$$ कभी-कभी के रूप में दर्शाया जाता है $$\hat{\mathbf y}$$. रैखिक बीजगणित में एक प्रमेय है जो बताता है कि यह $$\mathbf z$$ से सबसे छोटी दूरी (ऑर्थोगोनल दूरी) है $$\mathbf y$$ को $$V$$ और आमतौर पर यंत्र अधिगम  जैसे क्षेत्रों में उपयोग किया जाता है।



विहित रूप
कोई प्रक्षेपण $$P=P^2$$ आयाम के वेक्टर स्थान पर $$d$$ एक क्षेत्र पर (गणित) एक विकर्ण मैट्रिक्स है, क्योंकि इसकी न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित) विभाजित होती है $$x^2-x$$, जो अलग-अलग रैखिक कारकों में विभाजित होता है। इस प्रकार एक आधार मौजूद है जिसमें $$P$$ रूप है
 * $$P = I_r\oplus 0_{d-r}$$

कहाँ $$r$$ के रैखिक रूपांतरण की कोटि है $$P$$. यहाँ $$I_r$$ आकार की पहचान मैट्रिक्स है $$r$$, $$0_{d-r}$$ आकार का शून्य मैट्रिक्स है $$d-r$$, और $$\oplus$$ प्रत्यक्ष योग संचालिका है। यदि वेक्टर स्थान जटिल है और एक आंतरिक उत्पाद से सुसज्जित है, तो एक ऑर्थोनॉर्मल आधार है जिसमें P का मैट्रिक्स है
 * $$P = \begin{bmatrix}1&\sigma_1 \\ 0&0\end{bmatrix} \oplus \cdots \oplus \begin{bmatrix}1&\sigma_k \\ 0&0\end{bmatrix} \oplus I_m \oplus 0_s.$$

कहाँ $$\sigma_1 \geq \sigma_2\geq \dots \geq \sigma_k > 0$$. पूर्णांक $$k,s,m$$ और वास्तविक संख्याएँ $$\sigma_i$$ विशिष्ट रूप से निर्धारित हैं। ध्यान दें कि $$2k+s+m=d$$. कारण $$I_m \oplus 0_s$$ अधिकतम अपरिवर्तनीय उप-स्थान से मेल खाती है जिस पर $$P$$ एक ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन के रूप में कार्य करता है (ताकि पी स्वयं ऑर्थोगोनल हो और केवल अगर $$k=0$$) और यह $$\sigma_i$$-ब्लॉक तिरछे घटकों के अनुरूप हैं।

मानक वेक्टर रिक्त स्थान पर अनुमान
जब अंतर्निहित सदिश स्थान $$X$$ एक (जरूरी नहीं कि परिमित-आयामी) आदर्श सदिश स्थान है, विश्लेषणात्मक प्रश्न, परिमित-आयामी मामले में अप्रासंगिक हैं, पर विचार करने की आवश्यकता है। अभी मान लो $$X$$ एक बनच स्थान है।

ऊपर चर्चा किए गए कई बीजगणितीय परिणाम इस संदर्भ में पारित होने से बच जाते हैं। का एक प्रत्यक्ष योग अपघटन $$X$$ पूरक उप-स्थानों में अभी भी प्रक्षेपण निर्दिष्ट करता है, और इसके विपरीत। अगर $$X$$ प्रत्यक्ष योग है $$X = U \oplus V$$, फिर ऑपरेटर द्वारा परिभाषित $$P(u+v) = u$$ अभी भी सीमा के साथ एक प्रक्षेपण है $$U$$ और गिरी $$V$$. यह भी स्पष्ट है $$P^2 = P$$. इसके विपरीत यदि $$P$$ प्रक्षेपण है $$X$$, अर्थात। $$P^2 = P$$, तो यह आसानी से सत्यापित हो जाता है $$(1-P)^2 = (1-P)$$. दूसरे शब्दों में, $$1 - P$$ प्रक्षेपण भी है। रिश्ता $$P^2 = P$$ तात्पर्य $$1 = P + (1-P)$$ और $$X$$ प्रत्यक्ष योग है $$\operatorname{rg}(P) \oplus \operatorname{rg}(1 - P)$$.

हालांकि, परिमित-आयामी मामले के विपरीत, अनुमानों को सामान्य रूप से सीमित रैखिक ऑपरेटर नहीं होना चाहिए। यदि एक उपक्षेत्र $$U$$ का $$X$$ मानक टोपोलॉजी में बंद नहीं है, तो प्रक्षेपण पर $$U$$ निरंतर नहीं है। दूसरे शब्दों में, एक सतत प्रक्षेपण की सीमा $$P$$ एक बंद उप-स्थान होना चाहिए। इसके अलावा, एक सतत प्रक्षेपण का कर्नेल (वास्तव में, सामान्य रूप से एक सतत रैखिक ऑपरेटर) बंद है। इस प्रकार एक सतत प्रक्षेपण $$P$$ का अपघटन देता है $$X$$ दो पूरक बंद उप-स्थानों में: $$X = \operatorname{rg}(P) \oplus \ker(P) = \ker(1-P) \oplus \ker(P)$$.

एक अतिरिक्त धारणा के साथ इसका विलोम भी मान्य है। कल्पना करना $$U$$ की बंद उपसमष्टि है $$X$$. यदि कोई बंद उप-स्थान मौजूद है $$V$$ ऐसा है कि X = U ⊕ V, फिर प्रक्षेपण $$P$$ रेंज के साथ $$U$$ और गिरी $$V$$ निरंतर है। यह बंद ग्राफ प्रमेय से अनुसरण करता है। कल्पना करना xn → x और Pxn → y. इसे दिखाने की जरूरत है $$Px=y$$. तब से $$U$$ बंद है और {Pxn} ⊂ U, वाई में निहित है $$U$$, अर्थात। Py = y. भी, xn − Pxn = (I − P)xn → x − y. क्योंकि $$V$$ बंद है और {(I − P)xn} ⊂ V, अपने पास $$x-y \in V$$, अर्थात। $$P(x-y)=Px-Py=Px-y=0$$, जो दावे को साबित करता है।

उपरोक्त तर्क इस धारणा का उपयोग करता है कि दोनों $$U$$ और $$V$$ बंद हो जाती हैं। सामान्य तौर पर, एक बंद उप-स्थान दिया जाता है $$U$$, एक पूरक बंद उप-स्थान मौजूद होने की आवश्यकता नहीं है $$V$$, हालांकि हिल्बर्ट रिक्त स्थान के लिए यह हमेशा ऑर्थोगोनल पूरक लेकर किया जा सकता है। बनच रिक्त स्थान के लिए, एक आयामी उप-स्थान में हमेशा एक बंद पूरक उप-स्थान होता है। यह हैन-बनाक प्रमेय का एक तात्कालिक परिणाम है। होने देना $$U$$ की रैखिक अवधि हो $$u$$. हैन-बनच द्वारा, एक परिबद्ध रेखीय प्रकार्य मौजूद है $$\varphi$$ ऐसा है कि φ(u) = 1. परिचालक $$P(x)=\varphi(x)u$$ संतुष्ट $$P^2=P$$, यानी यह एक प्रक्षेपण है। की सीमाबद्धता $$\varphi$$ की निरंतरता का तात्पर्य है $$P$$ और इसलिए $$\ker(P) = \operatorname{rg}(I-P)$$ की एक बंद पूरक उपसमष्टि है $$U$$.

आवेदन और आगे के विचार
कुछ रैखिक बीजगणित समस्याओं के लिए अनुमान (ऑर्थोगोनल और अन्यथा) एल्गोरिदम में एक प्रमुख भूमिका निभाते हैं:
 * क्यूआर अपघटन (गृहस्थ परिवर्तन और ग्राम-श्मिट अपघटन देखें);
 * विलक्षण मान अपघटन
 * हेसनबर्ग मैट्रिक्स फॉर्म में कमी (कई आइगेनवैल्यू [[ कलन विधि ]] में पहला कदम)
 * रेखीय प्रतिगमन
 * ऑपरेटर के-सिद्धांत में कुछ के-समूहों के निर्माण में मैट्रिक्स बीजगणित के प्रक्षेपी तत्वों का उपयोग किया जाता है

जैसा कि ऊपर कहा गया है, अनुमान बेवकूफों का एक विशेष मामला है। विश्लेषणात्मक रूप से, ऑर्थोगोनल अनुमान विशेषता बहुपद के गैर-कम्यूटेटिव सामान्यीकरण हैं। उदाहरण के लिए, अर्धसरल बीजगणित को वर्गीकृत करने के लिए इम्पपोटेंट्स का उपयोग किया जाता है, जबकि माप सिद्धांत मापने योग्य सेटों के विशिष्ट कार्यों पर विचार करने के साथ शुरू होता है। इसलिए, जैसा कि कोई कल्पना कर सकता है, ऑपरेटर बीजगणित के संदर्भ में अनुमानों का अक्सर सामना किया जाता है। विशेष रूप से, एक वॉन न्यूमैन बीजगणित अनुमानों के पूर्ण जाली (क्रम) द्वारा उत्पन्न होता है।

सामान्यीकरण
अधिक आम तौर पर, आदर्श वेक्टर रिक्त स्थान के बीच एक मानचित्र दिया जाता है $$T\colon V \to W,$$ कोई भी इस मानचित्र को कर्नेल के ऑर्थोगोनल पूरक पर एक आइसोमेट्री होने के लिए समान रूप से पूछ सकता है: वह $$(\ker T)^\perp \to W$$ एक आइसोमेट्री बनें (आंशिक आइसोमेट्री की तुलना करें); विशेष रूप से यह विशेषण कार्य होना चाहिए। ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन का मामला तब होता है जब डब्ल्यू वी का एक उप-स्थान होता है। रिमेंनियन ज्यामिति में, इसका उपयोग रिमेंनियन पनडुब्बी की परिभाषा में किया जाता है।

यह भी देखें

 * केंद्रित मैट्रिक्स, जो प्रक्षेपण मैट्रिक्स का एक उदाहरण है।
 * Dykstra का प्रक्षेपण एल्गोरिथम सेट के एक चौराहे पर प्रक्षेपण की गणना करने के लिए
 * अपरिवर्तनीय उपस्थान
 * कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
 * ऑर्थोगोनलाइज़ेशन
 * ट्रेस (रैखिक बीजगणित) # गुण

बाहरी संबंध

 * , from MIT OpenCourseWare
 * , by Pavel Grinfeld.
 * Planar Geometric Projections Tutorial – a simple-to-follow tutorial explaining the different types of planar geometric projections.