एक वलय में कण

क्वांटम यांत्रिकी में, एक-आयामी रिंग में एक कण का मामला एक बॉक्स में कण के समान होता है। एक मुक्त कण के लिए श्रोडिंगर समीकरण जो एक वलय तक सीमित है (तकनीकी रूप से, जिसका विन्यास स्थान (भौतिकी) वृत्त है) $$S^1$$) है


 * $$ -\frac{\hbar^2}{2m}\nabla^2 \psi = E\psi $$

तरंग फ़ंक्शन
त्रिज्या R के 1-आयामी वलय पर ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करते हुए, तरंग फ़ंक्शन केवल कोण निर्देशांक पर निर्भर करता है, और इसी तरह
 * $$ \nabla^2 = \frac{1}{R^2} \frac{\partial^2}{\partial \theta^2} $$

यह आवश्यक है कि तरंग फ़ंक्शन आवधिक कार्य हो $$ \ \theta $$ एक अवधि के साथ $$ 2 \pi$$ (इस मांग से कि तरंग कार्य वृत्त पर एकल-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) हों), और यह कि वे स्थिरांक को सामान्य कर रहे हैं, स्थितियों की ओर ले जाता है


 * $$ \int_{0}^{2 \pi} \left| \psi ( \theta ) \right|^2 \, d\theta = 1\ $$,

और


 * $$ \ \psi (\theta) = \ \psi ( \theta + 2\pi)$$

इन शर्तों के तहत, श्रोडिंगर समीकरण का समाधान दिया गया है


 * $$ \psi_{\pm}(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi }}\, e^{\pm i \frac{R}{\hbar} \sqrt{2 m E} \theta } $$

ऊर्जा eigenvalues
ऊर्जा eigenvalues $$ E $$ आवधिक सीमा स्थितियों के कारण परिमाणीकरण (भौतिकी) डी हैं, और उन्हें संतुष्ट करना आवश्यक है


 * $$ e^{\pm i \frac{R}{\hbar} \sqrt{2 m E} \theta } =  e^{\pm i \frac{R}{\hbar} \sqrt{2 m E} (\theta +2 \pi)}$$, या
 * $$ e^{\pm i 2 \pi \frac{R}{\hbar} \sqrt{2 m E} } = 1 = e^{i 2 \pi n}$$

eigenfunction और eigenenergies हैं
 * $$ \psi(\theta) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi R}} \, e^{\pm i n \theta }$$
 * $$ E_n = \frac{n^2 \hbar^2}{2 m R^2} $$ कहाँ $$n = 0,\pm 1,\pm 2,\pm 3, \ldots$$

इसलिए, प्रत्येक मूल्य के लिए दो पतित क्वांटम अवस्थाएँ हैं $$ n>0 $$ (तदनुसार $$ \ e^{\pm i n \theta}$$). इसलिए, संख्या n द्वारा अनुक्रमित ऊर्जा तक की ऊर्जा वाले 2n+1 राज्य हैं।

एक-आयामी रिंग में एक कण का मामला एक शिक्षाप्रद उदाहरण है, जब परमाणु नाभिक की परिक्रमा करने वाले एक इलेक्ट्रॉन के लिए कोणीय गति के परिमाणीकरण (भौतिकी) का अध्ययन किया जाता है। उस स्थिति में दिगंश तरंग कार्य एक वलय पर कण के ऊर्जा eigenfunctions के समान होते हैं।

यह कथन कि रिंग पर कण के लिए किसी भी तरंग फ़ंक्शन को ऊर्जा आइजनफंक्शन के जितना कि सुपरइम्पोज़िशन  के रूप में लिखा जा सकता है, फूरियर श्रृंखला में किसी भी आवधिक फ़ंक्शन (गणित) के विकास के बारे में फूरियर प्रमेय के बिल्कुल समान है।

इस सरल मॉडल का उपयोग बेंजीन जैसे कुछ रिंग अणुओं के अनुमानित ऊर्जा स्तर को खोजने के लिए किया जा सकता है।

आवेदन
[[कार्बनिक रसायन विज्ञान]] में, सुगंधित यौगिकों में परमाणु वलय होते हैं, जैसे बेंजीन वलय (फ्रेडरिक अगस्त केकुले वॉन स्ट्रैडोनित्ज़|केकुले संरचना) जिसमें पांच या छह, आमतौर पर कार्बन, परमाणु होते हैं। बकीबॉल (बकमिनस्टरफुलरीन) की सतह भी वैसी ही है। यह वलय एक गोलाकार वेवगाइड की तरह व्यवहार करता है, जिसमें वैलेंस इलेक्ट्रॉन दोनों दिशाओं में परिक्रमा करते हैं। n तक के सभी ऊर्जा स्तरों को भरने के लिए इसकी आवश्यकता होती है $$2\times(2n+1)=4n+2$$ इलेक्ट्रॉनों, क्योंकि इलेक्ट्रॉनों के स्पिन के अतिरिक्त दो संभावित अभिविन्यास होते हैं। यह असाधारण स्थिरता (सुगंधित) देता है, और इसे हकेल नियम के रूप में जाना जाता है।

इसके अलावा घूर्णी स्पेक्ट्रोस्कोपी में इस मॉडल का उपयोग घूर्णी ऊर्जा स्तरों के अनुमान के रूप में किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * कोनेदार गति
 * हार्मोनिक विश्लेषण
 * एक आयामी आवधिक मामला
 * अर्धवृत्ताकार क्षमता अच्छी तरह से
 * गोलाकार क्षमता अच्छी तरह से

श्रेणी:क्वांटम मॉडल