हेरोनियन त्रिकोण

ज्यामिति में, एक हेरोनियन त्रिभुज (या हेरोन त्रिकोण) एक त्रिभुज है जिसकी भुजाएँ लंबी होती हैं $a$, $b$, और $c$ और क्षेत्र $A$ सभी पूर्णांक हैं। हेरोनियन त्रिकोणों का नाम अलेक्जेंड्रिया के हेरॉन के नाम पर रखा गया है, जो हेरोन के सूत्र के संबंध पर आधारित है, जिसे हेरोन ने भुजाओं के त्रिकोण के उदाहरण के साथ प्रदर्शित किया $13, 14, 15$ और क्षेत्र $84$. हीरोन के सूत्र का अर्थ है कि हेरोनियन त्रिकोण डायोफैंटाइन समीकरण के बिल्कुल सकारात्मक पूर्णांक समाधान हैं
 * $$16\,A^2=(a+b+c)(a+b-c)(b+c-a)(c+a-b);$$ अर्थात्, किसी भी हेरोनियन त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और क्षेत्रफल समीकरण को संतुष्ट करते हैं, और समीकरण का कोई भी धनात्मक पूर्णांक हल एक हेरोनियन त्रिभुज का वर्णन करता है।

यदि तीन भुजाओं की लंबाई सेटवाइज कोप्राइम है, तो हेरोनियन त्रिभुज को आदिम कहा जाता है।

ऐसे त्रिभुज जिनकी भुजाओं की लंबाई और क्षेत्रफल सभी परिमेय संख्याएँ हैं (उपरोक्त समीकरण के धनात्मक परिमेय समाधान) को कभी-कभी हेरोनियन त्रिभुज या परिमेय त्रिभुज भी कहा जाता है; इस लेख में, इन अधिक सामान्य त्रिभुजों को परिमेय हेरोनियन त्रिभुज कहा जाएगा। प्रत्येक (अभिन्न) हेरोनियन त्रिभुज एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज है। इसके विपरीत, प्रत्येक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज ठीक एक आदिम हेरोनियन त्रिभुज के समान (ज्यामिति) होता है।

किसी भी तर्कसंगत हेरोनियन त्रिकोण में, तीन ऊंचाई (त्रिकोण), परित्रिज्या, त्रिकोण के अंतर्वृत्त और बहिर्वृत्त, और तीन कोणों की साइन और कोसाइन भी सभी परिमेय संख्याएं हैं।

आदिम त्रिभुजों में स्केलिंग
स्केलिंग (ज्यामिति) एक त्रिकोण के एक कारक के साथ $s$ में इसकी पार्श्व लंबाई को गुणा करना शामिल है $s$; यह क्षेत्र को गुणा करता है $$s^2$$ और एक समानता (ज्यामिति) त्रिभुज का निर्माण करता है। एक तर्कसंगत संख्या कारक द्वारा एक तर्कसंगत हेरोनियन त्रिभुज को स्केल करना एक और तर्कसंगत हेरोनियन त्रिकोण पैदा करता है।

पार्श्व लंबाई के एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज को देखते हुए $\frac pd, \frac qd,\frac rd,$ पैमाना कारक $\frac d{\gcd(p,q,r)}$  एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज का निर्माण करें जैसे कि इसकी भुजा की लंबाई $a, b,c$  सेटवार कोप्राइम संख्या हैं। क्षेत्र के नीचे सिद्ध होता है $A$ एक पूर्णांक है, और इस प्रकार त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज है। ऐसे त्रिभुज को प्राय: आदिम हेरोनियन त्रिभुज कहा जाता है।

सारांश में, परिमेय हेरोनियन त्रिभुजों के प्रत्येक समानता तुल्यता वर्ग में ठीक एक आदिम हेरोनियन त्रिभुज होता है। प्रमाण का एक उपोत्पाद यह है कि आदिम हेरोनियन त्रिभुज की भुजाओं में से एक एक सम पूर्णांक है।

उपपत्ति: सिद्ध करना होगा कि, यदि भुजा की लम्बाई है $a, b,c$ एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज के कोप्राइम पूर्णांक हैं, फिर क्षेत्रफल $A$ भी एक पूर्णांक है और ठीक एक भुजा की लंबाई सम है।

परिचय में दिए गए डायोफैंटाइन समीकरण तुरंत यह दर्शाता है $$16A^2$$ एक पूर्णांक है। इसका वर्गमूल $$4A$$ एक पूर्णांक भी है, क्योंकि एक पूर्णांक का वर्गमूल या तो एक पूर्णांक या एक अपरिमेय संख्या है।

यदि किसी एक भुजा की लंबाई सम है, तो समीकरण के दाहिने पक्ष के सभी गुणनखंड सम होते हैं, और, समीकरण को इससे विभाजित करके $16$, वह मिलता है $$A^2$$ और $$A$$ पूर्णांक हैं।

जैसा कि साइड की लंबाई को कोप्राइम माना जाता है, एक मामले को छोड़ दिया जाता है जहां एक या तीन साइड की लंबाई विषम होती है। माना जा रहा है कि $c$ विषम है, डायोफैंटाइन समीकरण के दाहिने हाथ को फिर से लिखा जा सकता है
 * $$((a+b)^2-c^2)(c^2-(a-b)^2),$$

साथ $$a+b$$ और $$a-b$$ यहां तक ​​की। के रूप में एक विषम पूर्णांक का वर्ग मॉड्यूलर अंकगणितीय है $$1$$ मापांक $4$, समीकरण का दाहिना पक्ष सर्वांगसम होना चाहिए $$-1$$ मापांक $4$. इस प्रकार यह असंभव है, कि किसी के पास डायोफैंटिन समीकरण का समाधान है, क्योंकि $$16A^2$$ पूर्णांक का वर्ग होना चाहिए, और पूर्णांक का वर्ग सर्वांगसम होता है $0$ या $1$ मापांक $4$.

उदाहरण
कोई भी पाइथागोरस त्रिभुज एक हेरोनियन त्रिभुज है। परिभाषा के अनुसार, ऐसे त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई पूर्णांक होती है। ऐसे किसी त्रिभुज में, दो छोटी भुजाओं में से एक की लंबाई समान होती है, इसलिए क्षेत्रफल (इन दोनों भुजाओं का गुणनफल, दो से विभाजित) भी एक पूर्णांक होता है।

हेरोनियन त्रिभुजों के उदाहरण जो समकोण नहीं हैं, समद्विबाहु त्रिभुज हैं जो एक पाइथागोरस त्रिभुज और उसकी दर्पण छवि को समकोण के किनारे जोड़कर प्राप्त किया जाता है। पायथागॉरियन ट्रिपल से शुरू $3, 4, 5$ यह भुजाओं की लंबाई के साथ दो हेरोनियन त्रिभुज देता है $(5, 5, 6)$ और $(5, 5, 8)$ और क्षेत्र $12$.

अधिक आम तौर पर, दो पाइथागोरस त्रिक दिए गए हैं $$(a,b,c)$$ और $$(a,d,e)$$ सबसे बड़ी प्रविष्टियों के साथ $c$ और $e$, लंबाई की भुजाओं के साथ संगत त्रिभुजों को जोड़ा जा सकता है $a$ (आकृति देखें) पार्श्व लंबाई के साथ एक हेरोनियन त्रिभुज प्राप्त करने के लिए $$c,e,b+d$$ और क्षेत्र $\tfrac12a(b+d)$ (यह एक पूर्णांक है, क्योंकि पायथागॉरियन त्रिभुज का क्षेत्रफल एक पूर्णांक है)।

ऐसे हेरोनियन त्रिभुज हैं जिन्हें पायथागॉरियन त्रिभुजों में शामिल होने से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, भुजाओं की लंबाई का हेरोनियन त्रिभुज $$5, 29, 30$$ और क्षेत्रफल 72, क्योंकि इसकी कोई भी ऊँचाई पूर्णांक नहीं है। ऐसे हेरोनियन त्रिभुज कहलाते हैं. हालांकि, प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज को समकोण त्रिभुजों से तर्कसंगत संख्या पक्ष की लंबाई के साथ बनाया जा सकता है, और इस प्रकार यह एक विघटित हेरोनियन त्रिभुज के समान है। वास्तव में, त्रिभुज की कम से कम एक ऊँचाई त्रिभुज के अंदर होती है, और इसे दो समकोण त्रिभुजों में विभाजित करती है। इन त्रिभुजों के परिमेय पक्ष होते हैं, क्योंकि हेरोनियन त्रिभुज के कोणों की कोज्या और ज्या परिमेय संख्याएँ हैं, और, आकृति के अंकन के साथ, एक के पास है $$a=c\sin \alpha$$ और $$b=c\cos\alpha,$$ कहाँ $$\alpha$$ त्रिभुज का सबसे बायाँ कोण है।

तर्कसंगतता गुण
एक हेरोनियन त्रिभुज से संबंधित कई राशियाँ परिमेय संख्याएँ होती हैं। विशेष रूप से:


 * एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी शीर्ष परिमेय होते हैं। इसे इस तथ्य से देखा जा सकता है कि एक त्रिभुज का क्षेत्रफल उस ओर से उसकी ऊंचाई के एक भुजा के गुना का आधा होता है, और एक हेरोनियन त्रिभुज में पूर्णांक भुजाएँ और क्षेत्रफल होता है। कुछ हेरोनियन त्रिकोणों में तीन गैर-पूर्णांक ऊंचाई होती है, उदाहरण के लिए क्षेत्र 252 के साथ तीव्र (15, 34, 35) और क्षेत्रफल 72 के साथ अधिक (5, 29, 30)। कोई भी हेरोनियन त्रिकोण एक या अधिक गैर-पूर्णांक ऊंचाई के साथ हो सकता है। समानता (ज्यामिति) हेरोनियन त्रिकोण को तीन पूर्णांक ऊंचाई के साथ प्राप्त करने के लिए ऊंचाई के हर के कम से कम सामान्य गुणक के बराबर एक कारक द्वारा बढ़ाया जा सकता है।
 * एक हेरोनियन त्रिभुज के सभी समद्विभाजक#लम्ब समद्विभाजक परिमेय होते हैं: किसी भी त्रिभुज के लिए ये निम्नलिखित हैं $$p_a=\tfrac{2aA}{a^2+b^2-c^2},$$ $$p_b=\tfrac{2bA}{a^2+b^2-c^2},$$ और $$p_c=\tfrac{2cA}{a^2-b^2+c^2},$$ जहाँ भुजाएँ a ≥ b ≥ c हैं और क्षेत्रफल A है; एक हेरोनियन त्रिभुज में सभी a, b, c और A पूर्णांक हैं।
 * एक हेरोनियन त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण में एक परिमेय ज्या होती है। यह क्षेत्र सूत्र से निम्नानुसार है $Area = (1/2)ab sin C$, जिसमें क्षेत्रफल और भुजाएँ a और b पूर्णांक हैं, और समान रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लिए।
 * एक हेरोनियन त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण में एक परिमेय कोसाइन होता है। यह कोसाइन के नियम से अनुसरण करता है, $c^{2} = a^{2} + b^{2} − 2ab cos C$, जिसमें भुजाएँ a, b, और c पूर्णांक हैं, और समान रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लिए।
 * चूंकि सभी हेरोनियन त्रिभुजों में सभी आंतरिक कोणों की ज्या और कोसाइन परिमेय होते हैं, इसका तात्पर्य है कि प्रत्येक आंतरिक कोण की स्पर्शरेखा, कोटिस्पर्श, छेदक और व्युत्क्रमज्या या तो तर्कसंगत या अनंत है।
 * प्रत्येक आंतरिक कोण के आधे हिस्से में एक परिमेय स्पर्शरेखा होती है क्योंकि $tan C/2 = sin C / (1 + cos C)$, और समान रूप से अन्य आंतरिक कोणों के लिए। इन आधे-कोण स्पर्शरेखा मूल्यों का ज्ञान एक आदिम हेरोनियन त्रिकोण (हेरोनियन त्रिकोण # अर्ध-कोण स्पर्शरेखा से सभी हेरोनियन त्रिकोण) की भुजाओं की लंबाई को फिर से बनाने के लिए पर्याप्त है।
 * किसी भी त्रिभुज के लिए, परिवृत्त के परिकेंद्र से देखे जाने पर एक भुजा द्वारा फैला हुआ कोण भुजा के विपरीत त्रिभुज के शीर्ष के आंतरिक कोण का दुगुना होता है। क्योंकि एक हेरोनियन त्रिभुज के प्रत्येक आंतरिक कोण के लिए अर्ध-कोण स्पर्शरेखा परिमेय है, यह इस प्रकार है कि एक हेरोनियन त्रिभुज के ऐसे प्रत्येक केंद्रीय कोण का चौथाई-कोण स्पर्शरेखा परिमेय है। (साथ ही, ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज के केंद्रीय कोणों के लिए चौथाई-कोण स्पर्शरेखा तर्कसंगत हैं, लेकिन यह एक अनसुलझी समस्या है कि क्या यह सभी रॉबिन्स पेंटागन के लिए सही है।) आम तौर पर सभी चक्रीय बहुभुजों के लिए रिवर्स सच है; यदि ऐसे सभी केंद्रीय कोणों में उनके चौथाई कोणों के लिए तर्कसंगत स्पर्शरेखाएँ हैं, तो चक्रीय बहुभुज को एक साथ पूर्णांक भुजा लंबाई और पूर्णांक क्षेत्र तक बढ़ाया जा सकता है।
 * ऐसे कोई हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं जिनके तीन आंतरिक कोण अंकगणितीय प्रगति बनाते हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि अंकगणितीय प्रगति में आंतरिक कोण वाले सभी समतल त्रिभुजों में 60° का एक आंतरिक कोण होना चाहिए, जिसमें परिमेय ज्या नहीं होती है।
 * हेरोनियन त्रिभुज में उत्कीर्ण किसी भी वर्ग में परिमेय भुजाएँ होती हैं: एक सामान्य त्रिभुज के लिए त्रिभुज#लंबाई a की भुजा पर त्रिभुज में अंकित आकृतियों की लंबाई होती है $$\tfrac{2Aa}{a^2+2A}$$ जहाँ A त्रिभुज का क्षेत्रफल है; एक हेरोनियन त्रिभुज में, A और a दोनों पूर्णांक हैं।
 * प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज में एक परिमेय अंतर्त्रिज्या (इसके उत्कीर्ण वृत्त की त्रिज्या) होती है: एक सामान्य त्रिभुज के लिए अंतःत्रिज्या आधे परिधि के क्षेत्रफल का अनुपात होता है, और ये दोनों एक हेरोनियन त्रिभुज में परिमेय होते हैं।
 * प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज में एक परिमेय परिबद्ध वृत्त होता है#त्रिकोण (इसके परिबद्ध वृत्त की त्रिज्या): एक सामान्य त्रिभुज के लिए परित्रिज्या क्षेत्रफल द्वारा विभाजित भुजाओं के गुणनफल के एक-चौथाई के बराबर होता है; एक हेरोनियन त्रिभुज में भुजाएँ और क्षेत्रफल पूर्णांक होते हैं।
 * एक हेरोनियन त्रिभुज में केन्द्रक से प्रत्येक पक्ष की दूरी तर्कसंगत है क्योंकि, सभी त्रिभुजों के लिए, यह दूरी क्षेत्रफल के दोगुने से भुजा की लंबाई के तीन गुना के अनुपात में होती है। इसे यह कहते हुए सामान्यीकृत किया जा सकता है कि हेरोनियन त्रिभुजों से जुड़े सभी केंद्र जिनके बेरिकेंट्रिक समन्वय प्रणाली तर्कसंगत अनुपात हैं, प्रत्येक पक्ष के लिए एक तर्कसंगत दूरी है। इन केंद्रों में परिकेन्द्र, लंबकेन्द्र, नौ-बिंदु केंद्र, सिम्मेडियन बिंदु, गेर्गोन बिंदु और नागल बिंदु शामिल हैं।
 * प्रत्येक हेरोनियन त्रिभुज को एक जाली बिंदु पर प्रत्येक शीर्ष के साथ एक इकाई-पक्षीय वर्ग जाली पर रखा जा सकता है। एक उपप्रमेय के रूप में, प्रत्येक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज को सभी परिमेय-मूल्यवान निर्देशांकों के साथ द्वि-आयामी कार्तीय समन्वय प्रणाली में रखा जा सकता है।

पक्ष की लंबाई के गुण
यहाँ हेरोनियन त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई के कुछ गुण हैं, जिनकी भुजाएँ हैं $a, b, c$ और क्षेत्रफल है $A$.
 * प्रत्येक आदिम हेरोनियन त्रिभुज हेरोनियन त्रिभुज में एक सम और दो विषम भुजाएँ होती हैं (देखें ). इससे पता चलता है कि एक हेरोनियन त्रिभुज की एक या तीन भुजाएँ सम लंबाई की होती हैं, और यह कि आदिम हेरोनियन त्रिभुज की परिधि हमेशा एक सम संख्या होती है। * कोई समबाहु हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं, क्योंकि आदिम हेरोनियन त्रिभुज की एक सम भुजा लंबाई और दो विषम भुजा लंबाई होती है। *एक हेरोनियन त्रिभुज का क्षेत्रफल हमेशा 6 से विभाज्य होता है। * 1 या 2 भुजाओं वाली कोई हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं। *अनंत संख्या में आदिम हेरोनियन त्रिभुज मौजूद हैं जिनकी एक भुजा की लंबाई दी गई के बराबर है $8$, उसे उपलब्ध कराया $64$. * अर्धपरिधि s}एक हेरोनियन त्रिभुज का } अभाज्य नहीं हो सकता (as $$s(s-a)(s-b)(s-c)$$ क्षेत्र का वर्ग है, और क्षेत्र एक पूर्णांक है, यदि $c$ प्रधान होगा, इसे दूसरे कारक को विभाजित करना चाहिए; यह असंभव है क्योंकि ये सभी कारक इससे कम हैं $3$).
 * हेरोनियन त्रिकोण जिनमें कोई पूर्णांक ऊंचाई नहीं है (# भुजाओं की लंबाई और गैर-पाइथागोरस के गुण) ऐसे पक्ष हैं जो सभी प्रकार के अभाज्यों से विभाज्य हैं $3$. हालाँकि विघटित हेरोनियन त्रिभुजों में दो भुजाएँ होनी चाहिए जो पाइथागोरस त्रिभुजों का कर्ण हैं। इसलिए सभी हेरोनियन त्रिभुज जो पाइथागोरस के नहीं हैं, उनकी कम से कम दो भुजाएँ होती हैं जो इस रूप की अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होती हैं $a$. जो बचा है वह पायथागॉरियन त्रिभुज हैं। इसलिए, सभी हेरोनियन त्रिभुजों में कम से कम एक भुजा होती है जो कि प्रपत्र के अभाज्य संख्याओं से विभाज्य होती है $a > 2$. अंत में यदि एक हेरोनियन त्रिभुज का केवल एक पक्ष रूप के अभाज्यों से विभाज्य है $s$ यह पाइथागोरसियन होना चाहिए और कर्ण के रूप में पार्श्व होना चाहिए और कर्ण पाइथागोरसियन ट्रिपल#सामान्य गुण होना चाहिए।
 * ऐसे कोई हेरोनियन त्रिभुज नहीं हैं जिनकी भुजाओं की लंबाई एक ज्यामितीय प्रगति बनाती है।
 * यदि किसी हेरोनियन त्रिभुज की किन्हीं दो भुजाओं (लेकिन तीन नहीं) में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड है, तो वह गुणनखंड दो वर्गों का योग होना चाहिए।

पैरामीट्रिजेशन
एक पैरामीट्रिक समीकरण या हेरोनियन त्रिभुजों के पैरामीट्रिजेशन में एक त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई और क्षेत्र के कार्यों के रूप में अभिव्यक्ति होती है—आमतौर पर बहुपद कार्यकुछ मापदंडों का, जैसे कि त्रिकोण हेरोनियन है अगर और केवल अगर पैरामीटर कुछ बाधाओं को पूरा करते हैं—आमतौर पर, सकारात्मक पूर्णांक होने के लिए कुछ असमानताओं को संतुष्ट करते हैं। आम तौर पर यह भी जरूरी है कि सभी हेरोनियन त्रिकोण पैरामीटर के कुछ मूल्यों के लिए स्केलिंग तक प्राप्त किए जा सकते हैं, और ये मान अद्वितीय हैं, यदि त्रिकोण के किनारों पर एक आदेश निर्दिष्ट किया गया है।

इस तरह के पहले पैरामीट्रिजेशन की खोज ब्रह्मगुप्त (598-668 A.D.) ने की थी, जिन्होंने यह साबित नहीं किया कि सभी हेरोनियन त्रिकोण पैरामीट्रिजेशन द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं। 18वीं शताब्दी में, लियोनार्ड यूलर ने एक और पैरामीट्रिजेशन प्रदान किया और साबित किया कि यह सभी हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करता है। इन पैरामीट्रिजेशन का वर्णन अगले दो उपखंडों में किया गया है।

तीसरे उपखंड में, एक तर्कसंगत parametrization—वह एक पैरामीट्रिजेशन है जहां पैरामीटर धनात्मक परिमेय संख्याएं हैं— स्वाभाविक रूप से हेरोनियन त्रिभुजों के गुणों से प्राप्त होता है। ब्रह्मगुप्त और यूलर के पैरामीट्रिजेशन दोनों को इस तर्कसंगत पैरामीट्रिजेशन से समाशोधन हर द्वारा पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। यह एक प्रमाण प्रदान करता है कि ब्रह्मगुप्त और यूलर के पैरामीट्रिजेशन सभी हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करते हैं।

ब्रह्मगुप्त का पैरामीट्रिक समीकरण
भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त (598-668 A.D.) ने हेरोनियन त्रिकोण बनाने के लिए निम्नलिखित पैरामीट्रिक समीकरणों की खोज की, लेकिन यह सिद्ध नहीं किया कि हेरोनियन त्रिभुजों की प्रत्येक समरूपता (ज्यामिति) वर्ग को इस प्रकार प्राप्त किया जा सकता है।

तीन सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $A$, $c$ और $3$ जो कि कोप्राइम पूर्णांक हैं # समुच्चयों में सहप्रमुखता ($$\gcd(m,n,k)=1$$) और संतुष्ट $$mn > k^2$$ (सकारात्मक पक्ष की लंबाई की गारंटी के लिए) और $m \ge n$ (विशिष्टता के लिए):


 * $$\begin{align}

a &= n(m^2 + k^2), & s - a &= \tfrac12(b + c - a) = n(mn - k^2), \\ b &= m(n^2 + k^2), & s - b &= \tfrac12(c + a - b) = m(mn - k^2), \\ c &= (m + n)(mn - k^2), & s - c &= \tfrac12(a + b - c) = (m + n)k^2, \\ && s &= \tfrac12(a + b + c) = mn(m + n), \\ A &= mnk(m+n)(mn-k^{2}), & r &= k(mn - k^2), \\ \end{align}$$ कहाँ $3$ अर्धपरिधि है, $3$ क्षेत्र है, और $3$ अंतःत्रिज्या है।

परिणामी हेरोनियन त्रिकोण हमेशा आदिम नहीं होता है, और संबंधित आदिम त्रिकोण प्राप्त करने के लिए स्केलिंग की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, लेना $4k+1$, $4k+1$ और $4k+1$ के साथ एक त्रिकोण बनाता है $4k+1$, $m = 36$ और $n = 4$, जो के समान है $k = 3$ अनुपातिक गुणक के साथ हेरोनियन त्रिभुज $a = 5220$.

तथ्य यह है कि उत्पन्न त्रिभुज आदिम नहीं है, इस पैरामीट्रिजेशन का उपयोग करने के लिए सभी हेरोनियन त्रिकोणों को एक निश्चित सीमा से कम आकार के साथ उत्पन्न करने के लिए एक बाधा है (आकार के बाद से) $$\gcd(a,b,c)$$ भविष्यवाणी नहीं की जा सकती।

यूलर का पैरामीट्रिक समीकरण
लियोनार्ड यूलर द्वारा सभी हेरोनियन त्रिभुजों को उत्पन्न करने की निम्नलिखित विधि की खोज की गई थी, जो ऐसे सभी त्रिभुजों को साबित करने वाले पहले व्यक्ति थे।

चार धनात्मक पूर्णांकों के लिए $3$ कोप्राइम टू $s$ और $m$ कोप्राइम टू $n$ ($\gcd{(m, n)} = \gcd{(p, q)} = 1$) संतुष्टि देने वाला $$mp > nq$$ (सकारात्मक पक्ष की लंबाई की गारंटी के लिए):


 * $$\begin{align}

a &= mn(p^2 + q^2),     & s - a &= mq(mp - nq), \\ b &= pq(m^2 + n^2),     & s - b &= np(mp - nq), \\ c &= (mq + np)(mp - nq), & s - c &= nq(mq + np), \\ &                       &     s &= mp(mq + np), \\ A &= mnpq(mq + np)(mp - nq), & r &= nq(mp - nq), \\ \end{align}$$ कहाँ $k$ अर्धपरिधि है, $s$ क्षेत्र है, और $A$ अंतःत्रिज्या है।

यहां तक ​​कि जब $r$, $m$, $n$, और $p$ जोड़ीवार सहअभाज्य हैं, परिणामी हेरोनियन त्रिभुज आदिम नहीं हो सकता है। विशेष रूप से, अगर $q$, $s$, $A$, और $r$ सभी विषम हैं, तीनों भुजाएँ सम हैं। यह भी संभव है $m$, $n$, और $p$ के अलावा एक सामान्य विभाजक है $b = 900$. उदाहरण के लिए, साथ $c = 5400$, $(5, 29, 30)$, $180$, और $2$, मिलता है $m = 2$, जहां प्रत्येक भुजा की लंबाई का गुणक है $n = 1$; संबंधित आदिम ट्रिपल है $p = 7$, जिसे परिणामस्वरूप ट्रिपल को विभाजित करके भी प्राप्त किया जा सकता है $q = 4$ दो से, फिर अदला बदली $(a, b, c) = (130, 140, 150)$ और $10$.

आधा कोण स्पर्शरेखा पैरामीट्रिजेशन
होने देना $$a, b, c$$ त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई हो, मान लीजिए $$\alpha, \beta, \gamma$$ इन भुजाओं के विपरीत आंतरिक कोण बनें, और मान लें $t = \tan\frac\alpha2,$ $u = \tan\frac\beta2,$  और  आधा कोण स्पर्शरेखा हो। मूल्य $$t, u, v$$ सभी सकारात्मक और संतुष्ट हैं $$tu + uv + vt = 1$$; यह ट्रिपल स्पर्शरेखा पहचान मूल त्रिकोण पहचान के आधे कोण स्पर्शरेखा संस्करण के रूप में लिखी गई है $\frac\alpha 2 + \frac\beta 2 + \frac\gamma 2 = \frac\pi 2$  रेडियन (अर्थात, 90°), जैसा कि कोण योग सूत्रों का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। साइन्स के कानून और कोसाइन के कानून के द्वारा, सभी साइन्स और कोसाइन्स के $$\alpha, \beta, \gamma$$ परिमेय संख्याएँ हैं यदि त्रिभुज एक परिमेय हेरोनियन त्रिभुज है और इस प्रकार यह इस मामले में अनुसरण करता है कि स्पर्शरेखा अर्ध-कोण सूत्र | अर्ध-कोण स्पर्शरेखा भी परिमेय हैं।

इसके विपरीत यदि $$t, u, v$$ धनात्मक परिमेय संख्याएँ हैं जैसे कि $$tu + uv + vt = 1,$$ वे समान हेरोनियन त्रिभुजों के एक वर्ग के आंतरिक कोणों की अर्ध-कोण स्पर्शरेखाएँ हैं। स्थिति $$tu + uv + vt = 1$$ में पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है $v = \frac{1-tu}{t+u},$ और प्रतिबंध $$v > 0$$ आवश्यक है $$tu < 1.$$ इस प्रकार परिमेय हेरोनियन त्रिभुजों के समानता वर्गों और धनात्मक परिमेय संख्याओं के युग्मों के बीच एक आक्षेप है $$(t, u)$$ जिसका उत्पाद कम है $(13, 14, 15)$.

इस द्विभाजन को स्पष्ट करने के लिए, समानता वर्ग के एक विशिष्ट सदस्य के रूप में, एक इकाई-व्यास चक्र में अंकित त्रिकोण को विपरीत कोणों की साइन के बराबर लंबाई के साथ चुन सकते हैं:
 * $$\begin{align}

a &= \sin\alpha = \frac{2t}{1+t^2}, & s - a = \frac{2u(1-tu)}{(1+t^2)(1+u^2)}, \\[5mu] b &= \sin\beta = \frac{2u}{1+u^2}, & s - b = \frac{2t(1-tu)}{(1+t^2)(1+u^2)}, \\[5mu] c &= \sin\gamma = \frac{2(t+u)(1-tu)}{(1+t^2)(1+u^2)}, & s - c = \frac{2tu(t+u)}{(1+t^2)(1+u^2)}, \\[5mu] &                                      &     s = \frac{2(t+u)}{(1+t^2)(1+u^2)}, \\ A &= \frac{4tu(t+u)(1-tu)}{(1+t^2)^2(1+u^2)^2}, & r = \frac{2tu(1-tu)}{(1+t^2)(1+u^2)}, \end{align}$$ कहाँ $$s = \tfrac12(a + b + c)$$ अर्द्धपरिधि है, $$A = \tfrac12 ab \sin \gamma$$ क्षेत्र है, $$r = \sqrt{\tfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$$ अंतःत्रिज्या है, और ये सभी मूल्य तर्कसंगत हैं क्योंकि $$t$$ और $$u$$ तर्कसंगत हैं।

एक (अभिन्न) हेरोनियन त्रिभुज प्राप्त करने के लिए, के भाजक $q$, $m$, और $n$ समाशोधन भाजक। इसे करने बहुत सारे तरीके हैं। अगर $$t = m/n$$ और $$u = p/q,$$ साथ $$\gcd(m, n) = \gcd(p,q) = 1$$ (irreducible भिन्न), और त्रिभुज को बढ़ाया जाता है $$\tfrac12(m^2 + n^2)(p^2 + q^2),$$ इसका परिणाम यूलर का पैरामीट्रिजेशन है। अगर $$t = m/k$$ और $$u = n/k$$ साथ $$\gcd(m, n, k) = 1$$ (न्यूनतम आम भाजक), और त्रिकोण द्वारा बढ़ाया गया है $$(k^2 + m^2)(k^2 + n^2)/2k,$$ परिणाम समान है लेकिन ब्रह्मगुप्त के पैरामीट्रिजेशन के समान नहीं है। अगर, इसके बजाय, यह है $$1/t$$ और $$1/u$$ जो निम्नतम सामान्य भाजक तक कम हो जाते हैं, अर्थात यदि $$t = k/m$$ और $$u = k/n$$ साथ $$\gcd(m, n, k) = 1,$$ तब किसी को त्रिभुज को स्केल करके ब्रह्मगुप्त का पैरामीट्रिजेशन मिलता है $$(k^2 + m^2)(k^2 + n^2)/2k.$$ यह साबित करता है कि या तो पैरामीट्रिजेशन सभी हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करता है।

अन्य परिणाम
ने हेरोनियन त्रिकोण उत्पन्न करने के लिए तेज़ एल्गोरिदम प्राप्त किया है।

अंतःत्रिज्या के लिए पूर्णांक मानों के साथ असीम रूप से कई आदिम और अविघटनीय गैर-पाइथागोरियन हेरोनियन त्रिभुज हैं $$r$$ और तीनों अंतःत्रिज्या $$(r_a, r_b, r_c)$$, द्वारा उत्पन्न सहित


 * $$\begin{align}

a &= 5(5n^2 + n - 1),              & r_a &= 5n+3,     \\ b &= (5n + 3)(5n^2 - 4n + 1),      & r_b &= 5n^2+n-1, \\ c &= (5n - 2)(5n^2 + 6n + 2),      & r_c &= (5n - 2)(5n + 3)(5n^2 + n - 1), \\ &                                  & r &= 5n - 2, \\ A &= (5n - 2)(5n + 3)(5n^2 + n - 1) = r_c. \end{align}$$ असीम रूप से कई हेरोनियन त्रिकोण हैं जिन्हें एक जाली पर रखा जा सकता है जैसे कि न केवल जाली बिंदुओं पर कोने हैं, जैसा कि सभी हेरोनियन त्रिकोणों के लिए है, बल्कि इसके अतिरिक्त अंतःवृत्त और बहिर्वृत्त के केंद्र जाली बिंदुओं पर हैं। यह सभी देखें कुछ प्रकार के हेरोनियन त्रिभुजों के पैरामीट्रिजेशन के लिए।

उदाहरण
आदिम पूर्णांक हेरोनियन त्रिकोणों की सूची, क्षेत्र द्वारा क्रमबद्ध और, यदि यह वही है, परिमाप के अनुसार, निम्न तालिका के अनुसार शुरू होता है। आदिम का अर्थ है तीनों भुजाओं की लंबाई का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक 1 के बराबर है। आदिम हेरोनियन त्रिभुजों की सूची जिनकी भुजाएँ 6,000,000 से अधिक नहीं हैं, यहाँ पाई जा सकती हैं

सही वर्ग भुजाओं के साथ हेरोनियन त्रिकोण
पूर्ण वर्ग भुजाओं वाले हेरोनियन त्रिभुज पूर्ण घनाभ समस्या से संबंधित हैं। फरवरी 2021 तक, पूर्ण वर्ग भुजाओं वाले केवल दो आदिम हेरोनियन त्रिभुज ज्ञात हैं:

(1853², 4380², 4427², क्षेत्रफल=32918611718880), 2013 में प्रकाशित। (11789², 68104², 68595², क्षेत्रफल=284239560530875680), 2018 में प्रकाशित।

समान त्रिभुज
एक आकृति को सम आकार कहा जाता है यदि उसका क्षेत्रफल उसके परिमाप के बराबर हो। वास्तव में पाँच समान हेरोनियन त्रिभुज हैं: पार्श्व लंबाई वाले (5,12,13), (6,8,10), (6,25,29), (7,15,20), और (9,10), 17), हालांकि उनमें से केवल चार आदिम हैं।

लगभग-समबाहु हेरोनियन त्रिकोण
चूँकि परिमेय भुजाओं वाले एक समबाहु त्रिभुज का क्षेत्रफल एक अपरिमेय संख्या है, कोई भी समबाहु त्रिभुज हेरोनियन नहीं है। हालाँकि, समद्विबाहु हेरोनियन त्रिभुजों का एक क्रम जो लगभग समबाहु हैं, पायथागॉरियन ट्रिपल|समकोण त्रिभुजों के दोहराव से विकसित किया जा सकता है, जिसमें कर्ण पैरों में से एक से लगभग दोगुना लंबा होता है। इन लगभग-समबाहु त्रिभुजों के पहले कुछ उदाहरण निम्न तालिका में सूचीबद्ध हैं : हेरोनियन त्रिभुजों का एक अनूठा क्रम है जो लगभग समबाहु हैं क्योंकि तीन भुजाएँ n − 1, n, n +1 के रूप की हैं। निरंतर भिन्नों के आधार पर इस समस्या के सभी समाधानों को उत्पन्न करने के लिए एक विधि का वर्णन 1864 में एडवर्ड कंपनी  द्वारा किया गया था, और 1880 में रेनहोल्ड हॉपी ने समाधान के लिए एक बंद रूप अभिव्यक्ति दी। इन लगभग-समबाहु त्रिभुजों के पहले कुछ उदाहरण निम्न तालिका में सूचीबद्ध हैं : n के बाद के मान पिछले मान को 4 से गुणा करके, फिर उससे पहले के मान को घटाकर (52 = 4 × 14 - 4, 194 = 4 × 52 - 14, आदि) प्राप्त किया जा सकता है, इस प्रकार:


 * $$n_t = 4n_{t-1} - n_{t-2} \, ,$$

जहाँ t तालिका में किसी भी पंक्ति को दर्शाता है। यह एक लुकास क्रम है। वैकल्पिक रूप से, सूत्र $$(2 + \sqrt{3})^t + (2 - \sqrt{3})^t$$ धनात्मक पूर्णांक t के लिए सभी n उत्पन्न करता है। समतुल्य रूप से, माना A = क्षेत्रफल और y = अंतःत्रिज्या, फिर,


 * $$\big((n-1)^2+n^2+(n+1)^2\big)^2-2\big((n-1)^4+n^4+(n+1)^4\big) = (6n y)^2 = (4A)^2$$

जहां {n, y} n के समाधान हैं2 − 12y2 = 4. एक छोटा परिवर्तन n = 2x एक पारंपरिक पेल समीकरण x देता है2 − 3y2 = 1, जिसके समाधान के लिए निरंतर अंश विस्तार से प्राप्त किया जा सकता है $p$. चर n रूप का है $$n=\sqrt{2 + 2 k}$$, जहां के 7, 97, 1351, 18817, … है। इस क्रम की संख्याओं में यह गुण है कि k क्रमागत पूर्णांकों में समाकल मानक विचलन होता है।

यह भी देखें

 * हेरोनियन टेट्राहेड्रॉन
 * ब्रह्मगुप्त चतुर्भुज
 * रॉबिन्स पेंटागन
 * पूर्णांक त्रिभुज # हेरोनियन त्रिभुज

बाहरी संबंध

 * Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian
 * Online Encyclopedia of Integer Sequences Heronian