लघु तारकीय द्वादशफ़लक

ज्यामिति में, छोटा तारकीय द्वादशफलक एक केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा है। केप्लर-पोइन्सॉट पॉलीहेड्रोन, आर्थर केली द्वारा नामित और श्लाफली प्रतीक के साथ {$5/2$,5}. यह नियमित पॉलीटोप्स या गैर-उत्तल 2 की चार गैर-उत्तल सूची में से एक है। यह 12 पेंटाग्रामिक शीर्षों से बना है, जिसमें प्रत्येक शीर्ष पर पांच पेंटाग्राम मिलते हैं।

यह समान शीर्ष व्यवस्था को उत्तल नियमित विंशतिफलक के रूप में साझा करता है। यह महान आइकोसैहेड्रोन के साथ समान किनारे की व्यवस्था को भी साझा करता है, जिसके साथ यह ग्रेट कॉम्प्लेक्स इकोसिडोडेकाहेड्रॉन बनाता है।

यह द्वादशफ़लक के चार तारामंडलों में से दूसरा है (मूल द्वादशफलक सहित)।

कोर पॉलीटॉप के किनारों (1-चेहरे) के विस्तार के माध्यम से छोटे तारकीय डोडकाहेड्रॉन को पेंटाग्राम, इसके द्वि-आयामी एनालॉग के अनुरूप बनाया जा सकता है, जब तक कि वे उस बिंदु तक नहीं पहुंच जाते जहां वे प्रतिच्छेद करते हैं।

टोपोलॉजी
यदि पेंटाग्रामिक शीर्षों को 5 त्रिकोणीय शीर्षों के रूप में माना जाता है, तो यह समान सतह टोपोलॉजी को पेंटाकिस डोडेकाहेड्रॉन के रूप में साझा करता है, किंतु अधिक लम्बे समद्विबाहु त्रिभुज शीर्षों के साथ, पंचकोणीय पिरामिडों की ऊंचाई को समायोजित किया जाता है ताकि पेंटाग्राम में पांच त्रिकोण समतलीय बन जाएं। द्वादशफलक फलक के ऊपर क्रांतिक कोण अतान(2) है।

यदि हम इसे 12 पेंटाग्राम के चेहरे के रूप में मानते हैं, तो ये पेंटाग्राम 30 किनारों और 12 शीर्षों पर मिलते हैं, हम यूलर विशेषता का उपयोग करके इसके जीनस (गणित) की गणना कर सकते हैं। यूलर का सूत्र


 * $$V - E + F = 2 - 2g$$

और निष्कर्ष निकालते हैं कि छोटे तारकीय डोडेकाहेड्रॉन में जीनस 4 है। लुइस पॉइन्सॉट द्वारा किया गया यह अवलोकन, प्रारंभ में भ्रमित करने वाला था, किंतु फेलिक्स क्लेन ने 1877 में दिखाया कि छोटे तारकीय डोडेकाहेड्रॉन को रिमेंन क्षेत्र की एक रीमैन सतह द्वारा एक शाखित आवरण के रूप में देखा जा सकता है। जीनस 4, प्रत्येक पेंटाग्राम के केंद्र में शाखा बिंदुओं के साथ वास्तव में इस रीमैन सतह, जिसे ब्रिंग्स वक्र कहा जाता है, में जीनस 4 के किसी भी रीमैन सतह की सबसे बड़ी संख्या में समरूपता है: सममित समूह $$S_5$$ ऑटोमोर्फिज्म के रूप में कार्य करता है

कला में
1430 के लगभग पॉल बर्ड द्वारा सेंट मार्क बेसिलिका, वेनिस में एक फर्श मोज़ेक में एक छोटा तारकीय डोडेकाहेड्रॉन देखा जा सकता है। एम.सी. एस्चेर: कंट्रास्ट (ऑर्डर एंड कैओस) (1950) और गुरुत्वाकर्षण (एम.सी. एस्चेर) (1952) द्वारा दो लिथोग्राफ के लिए एक ही आकार केंद्रीय है।

संबंधित पॉलीहेड्रा
इसका उत्तल पतवार नियमित उत्तल आईकोसाहेड्रॉन है। यह अपने किनारों को महान आईकोसाहेड्रॉन के साथ भी साझा करता है; दोनों के साथ यौगिक महान जटिल आईकोसाइ द्वादशफ़लक है।

ट्रंकेशन की डिग्री के रूप में निर्मित चार संबंधित वर्दी पॉलीहेड्रा हैं। द्वैत एक महान द्वादशफलक है। डोडकैडोडेकाहेड्रॉन एक सुधार है, जहां किनारों को अंक तक छोटा कर दिया जाता है।

ट्रंकेशन (ज्यामिति) छोटे तारकीय डोडेकाहेड्रॉन को किनारों और शिखरों के मेल खाने के बाद से डीजेनेरेसी (गणित) माना जा सकता है, किंतु इसे पूर्णता के लिए सम्मिलित किया गया है। दृष्टिगत रूप से, यह सतह पर एक द्वादशफलक जैसा दिखता है, किंतु अतिव्यापी जोड़े में इसके 24 चेहरे हैं। स्पाइक्स को तब तक छोटा किया जाता है जब तक कि वे उनके नीचे पेंटाग्राम के तल तक नहीं पहुंच जाते। 24 चेहरे छंटे हुए कोने से 12 पंचकोण हैं और पहले 12 पेंटागन को अतिव्यापन करते हुए दोहरे घाव वाले पेंटागन का रूप लेते हुए 12 डेकागन हैं। बाद वाले चेहरे मूल पेंटाग्राम को छोटा करके बनते हैं। जब a$5/2$-गोन काट दिया जाता है, यह एक बन जाता है $5/2$-गॉन। उदाहरण के लिए, एक छोटा पेंटागन $\{{{frac|n|d}}\}$ एक दसभुज बन जाता है $\{{{frac|2n|d}}\}$, इसलिए पेंटाग्राम को छोटा कर रहा हूं $\{{{frac|5|1}}\}$ दोहरा-घाव पेंटागन बन जाता है $\{{{frac|10|1}}\}$ (10 और 2 के बीच उभयनिष्ठ कारक का मतलब है कि हम बहुभुज को पूरा करने के लिए प्रत्येक शीर्ष पर दो बार जाते हैं)।

यह भी देखें

 * छोटे तारकीय द्वादशफलक और महान द्वादशफलक का यौगिक