सजातीय उपसमष्‍टि

गणित में, एक सजातीय स्थान एक ज्यामितीय संरचना है जो केवल  समानांतर (ज्यामिति)  से संबंधित गुणों और समानांतर  रेखा खंडो के लिए लंबाई के अनुपात को ध्यान में रखते हुए,  यूक्लिडियन स्थान  के कुछ गुणों को इस तरह से सामान्यीकृत करती है कि ये दूरी और कोणों की माप की अवधारणाओं से स्वतंत्र हैं।

एक सजातीय स्थान में, कोई विशिष्ट बिंदु नहीं है जो मूल बिंदु के रूप में कार्य करता है। इसलिए, किसी भी सदिश का एक निश्चित मूल बिंदु नहीं है और कोई भी सदिश एक बिंदु से विशिष्ट रूप से संबद्ध नहीं हो सकता है। एक सघन स्थान में, स्थान के दो बिंदुओं के बीच विस्थापन सदिश, जिसे  अनुवाद (ज्यामिति)  सदिश या केवल अनुवाद भी कहा जाता है। इस प्रकार, अनुवाद सदिश त्रिविम क्षेत्र के दो बिंदुओं को घटाने की और संकेत करता है  , लेकिन त्रिविम क्षेत्र के दो बिंदुओं को जोड़ने का कोई अर्थ नहीं है। इसी तरह, यह एक विस्थापन सदिश  को एक सजातीय क्षेत्र के बिंदु पर जोड़ने के लिए समझ में आता है, जिसके परिणामस्वरूप उस सदिश  द्वारा शुरुआती बिंदु से अनुवादित एक नया बिंदु होता है।

किसी सदिश स्थान को एक सजातीय स्थान के रूप में देखा जा सकता है; यह शून्य सदिश की विशेष भूमिका को भूलने जैसा है। इस विषय में, सदिश स्थान के तत्वों को या तो सजातीय स्थान के बिंदुओं के रूप में या विस्थापन सदिश  या अनुवाद के रूप में देखा जा सकता है। जब शून्य सदिश  को  एक बिंदु के रूप में माना जाता है, तो इसे मूल बिंदु कहा जाता है। एक सदिश स्थान के एक रेखीय उप-स्थान के तत्वों में एक निश्चित सदिश जोड़ने से एक सजातीय उप-स्थान उत्पन्न होता है। सामान्यतः कहा जाता है कि यह  रैखिक उपक्षेत्र  अनुवाद सदिश  द्वारा रैखिक उप-स्थान (मूल बिंदु से दूर) अनुवाद करके प्राप्त किया गया है। परिमित आयामों में, इस तरह के एक सजातीय उप-स्थान असजातीय प्रणाली रैखिक प्रणाली का समाधान समुच्चय है। उस सजातीय स्थान के लिए विस्थापन सदिश  संबंधित सजातीय रैखिक प्रणाली के समाधान हैं, जो एक रैखिक उप-स्थान है। इसके विपरीत, रेखीय उपसमष्टि में सदैव सदिश समष्टि का उद्गम होता है।

सजातीय स्थान के आयाम को, इसके अनुवाद के आयाम ( सदिश स्थल ) के रूप में परिभाषित किया गया है। इकाई आयाम का एक सजातीय स्थान एक 'सजातीय रेखा' है। आयाम 2 का एक सजातीय स्थान एक "सजातीय तल" है। $n – 1$ आयाम का एक सजातीय उप-स्थान, एक सजातीय स्थान या सदिश क्षेत्र में $n$ आयाम का एक सजातीय हाइपरप्लेन है।

अनौपचारिक विवरण
सामान्य औपचारिक परिभाषा की तुलना में निम्नलिखित लक्षण वर्णन (गणित)  को समझना आसान हो सकता है: एक सजातीय क्षेत्र वह होता है जो एक सदिश  क्षेत्र के बाद छोड़ दिया जाता है जो भूल जाता है कि कौन सा बिंदु मूल है (या, फ्रांसीसी गणितज्ञ  मार्सेल बर्गर  के शब्दों में, एक सजातीय क्षेत्र एक सदिश  क्षेत्र से ज्यादा कुछ नहीं है, जिसकी उत्पत्ति हम रैखिक मानचित्रों में अनुवाद (ज्यामिति) जोड़कर भूलने की कोशिश करते हैं ). कल्पना कीजिए कि ऐलिस जानता है कि एक निश्चित बिंदु वास्तविक मूल है, लेकिन बॉब का मानना ​​​​है कि एक और बिंदु-इसे कहते हैं $p$- मूल है। दो सदिश, $a$ तथा $b$, जोड़े जाने हैं। बॉब बिंदु से एक तीर खींचता है $p$ बात करने के लिए $a$ और बिंदु से एक और तीर $p$ बात करने के लिए $b$, और बॉब जो सोचता है उसे खोजने के लिए समांतर चतुर्भुज को पूरा करता है $a + b$, लेकिन ऐलिस जानता है कि उसने वास्तव में गणना की है

इसी तरह, ऐलिस और बॉब  के किसी भी  रैखिक संयोजन  का मूल्यांकन कर सकते हैं $p + (a − p) + (b − p)$ तथा $a$, या सदिश  के किसी भी परिमित समुच्चय के, और सामान्यतः अलग-अलग उत्तर प्राप्त करेंगे। हालांकि, यदि एक रैखिक संयोजन में गुणांकों का योग 1 है, तो ऐलिस और बॉब एक ​​ही उत्तर पर पहुंचेंगे।

अगर ऐलिस यात्रा करता है

तो बॉब इसी तरह यात्रा कर सकता है

इस शर्त के तहत, सभी गुणांकों के लिए $b$, ऐलिस और बॉब अलग-अलग उत्पत्ति का उपयोग करने के बावजूद समान रैखिक संयोजन के साथ एक ही बिंदु का वर्णन करते हैं।

जबकि केवल ऐलिस रेखीय संरचना को जानता है, ऐलिस और बॉब दोनों ही संबधित संरचना को जानते हैं—i.e. सजातीय संयोजनों के मान, रैखिक संयोजनों के रूप में परिभाषित किए गए हैं जिनमें गुणांकों का योग 1 है। सजातीय संरचना वाला एक समुच्चय एक सजातीय स्थान है।

परिभाषा
$λa + (1 − λ)b$ एक सदिश त्रिविम क्षेत्र के साथ $$\overrightarrow{A}$$, एक सजातीय क्षेत्र एक समुच्चय है और योगात्मक समूह की एक संक्रमणीय और मुक्त समूह क्रिया (गणित) $$\overrightarrow{A}$$ मंच पर $p + λ(a − p) + (1 − λ)(b − p) = λa + (1 − λ)b$. सजातीय क्षेत्र के तत्व $λ + (1 − λ) = 1$ बिंदु कहलाते हैं। सदिश त्रिविम क्षेत्र $$\overrightarrow{A}$$ सजातीय क्षेत्र से संबंधित कहा जाता है, और इसके तत्वों को सदिश, अनुवाद, या कभी-कभी मुक्त सदिश  कहा जाता है।

स्पष्ट रूप से, उपरोक्त परिभाषा का अर्थ है कि क्रिया एक मानचित्रण है, जिसे सामान्यतः एक जोड़ के रूप में दर्शाया जाता है,

\begin{align} A \times \overrightarrow{A} &\to A \\ (a,v)\; &\mapsto a + v, \end{align} $$ जिसके निम्नलिखित गुण हों।
 * 1) सही पहचान:
 * $$\forall a \in A,\; a+0 = a$$, ( जहाँ $A$ $$\overrightarrow{A}$$ में शून्य सदिश है )
 * 1) सहयोगिता:
 * $$\forall v,w \in \overrightarrow{A}, \forall a \in A,\; (a + v) + w = a + (v + w)$$ (यहाँ अंतिम $A$ $$\overrightarrow{A}$$में जोड़ है )
 * नि: शुल्क और संक्रमणीय क्रिया:
 * प्रत्येक के लिए $$a \in A$$, प्रतिचित्रण $$\overrightarrow A \to A \colon v \mapsto a + v$$ एक एकैक आच्छादन है।

पहले दो गुण केवल एक (दाएं) समूह क्रिया के गुणों को परिभाषित कर रहे हैं। तीसरी गुण मुक्त और संक्रमणीय क्रियाओं की विशेषता है, संक्रमणीयता से आने वाला गुणों, और फिर क्रिया मुक्त होने से द्विभाजन  गुणों का अनुसरण करता है। एक चौथी गुण है जो ऊपर 1, 2 से आती है:
 * 1) एक-से-एक अनुवाद (ज्यामिति) का अस्तित्व
 * सभी के लिए $$v \in \overrightarrow A$$, प्रतिचित्रण $$A \to A \colon a \mapsto a + v$$ एक एकैक आच्छादन है।

गुण 3 सामान्यतः निम्नलिखित समकक्ष रूप में प्रयोग किया जाता है।
 * 1) घटाव:
 * प्रत्येक के लिए $A$ में $A$, एक अद्वितीय उपस्थित है $$v\in\overrightarrow A$$, निरूपित $0$, ऐसा है कि $$b = a + v$$.

परिभाषा को व्यक्त करने का एक और तरीका यह है कि एक सजातीय क्षेत्र एक सदिश क्षेत्र के योजक समूह की कार्रवाई के लिए एक  प्रमुख सजातीय स्थान  है। सजातीय रिक्त स्थान परिभाषा के अनुसार एक संक्रमणीय समूह क्रिया के साथ संपन्न होते हैं, और एक प्रमुख सजातीय स्थान के लिए ऐसी संक्रमणीय क्रिया परिभाषा मुक्त होती है।

घटाव और वील के अभिगृहीत
समूह क्रिया के गुण किसी दिए गए $A$ के बिन्दुओ के क्रमित युग्म $+$ से $$\overrightarrow{A}$$ सदिश उत्पन्न करते हुए घटाव की परिभाषा की अनुमति देते हैं $$b - a$$ या $$\overrightarrow{ab}$$ से निरूपित यह सदिश, $$\overrightarrow{A}$$  अद्वितीय सदिश  के रूप में इस प्रकार परिभाषित किया गया है कि
 * $$a + (b - a) = b.$$

अस्तित्व क्रिया की परिवर्तनशीलता से अनुगमन करता है, और अद्वितीयता अनुगमन करती है क्योंकि क्रिया मुक्त है।

इस घटाव में निम्नलिखित दो गुण हैं, जिन्हें प्रत्येकमन वेयलो के स्वयंसिद्ध कहा जाता है: यूक्लिडियन ज्यामिति में, दूसरे वेइल के अभिगृहीत को सामान्यतः समांतर चतुर्भुज नियम कहा जाता है।
 * 1) $$\forall a \in A,\; \forall v\in \overrightarrow{A}$$, एक अनूठा बिंदु है $$b \in A$$ ऐसा है कि $$b - a = v.$$
 * 2) $$\forall a,b,c \in A,\; (c - b) + (b - a)  = c - a.$$

सजातीय रिक्त स्थान को समान रूप से बिंदु समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $a, b$, एक सदिश त्रिविम क्षेत्र के साथ $$\overrightarrow{A}$$, और वेइल के स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाला घटाव। इस विषय में, एक बिंदु के लिए एक सदिश  के अतिरिक्त पहले वेइल के स्वयंसिद्धों से परिभाषित किया गया है।

सजातीय उप-स्थान और समानता
एक सजातीय उप-स्थान (जिसे कुछ संदर्भों में, एक रैखिक विविधता, एक समतल (ज्यामिति), या वास्तविक संख्याओं पर, एक रैखिक भी कहा जाता है)  $b – a$ एक सजातीय स्थान का  $(b, a)$ का उपसमुच्चय है कुछ इस तरह से है कि $A$ में किसी दिए हुए बिन्दु के लिए  $$a \in B$$, सदिश  का समुच्चय $$\overrightarrow{B} = \{b - a \mid b \in B\}$$ का एक रैखिक उप-समष्टि है $$\overrightarrow{A}$$. यह गुण, जो की पसंद पर निर्भर नहीं करती है $B$, इसका आशय है $A$ एक सजातीय क्षेत्र है, जिसमें $$\overrightarrow{B}$$ इसके संबद्ध सदिश स्थान के रूप में।

सजातीय उप-स्थान $A$ के उपसमुच्चय $a$ हैं जो कुछ इस रूप का है
 * $$a + V = \{a + w: w \in V\},$$

जहाँ $B$ का एक बिंदु है $A$, तथा $A$ की एक रेखीय उपसमष्टि $$\overrightarrow{A}$$.

एक सजातीय उप-स्थान से जुड़े रैखिक उप-स्थान को सामान्यतः इसकी दिशा कहा जाता है, और एक ही दिशा साझा करने वाले दो उपस्थानों को समानांतर कहा जाता है।

इसका तात्पर्य प्लेफेयर का एक्सिओम के निम्नलिखित सामान्यीकरण से है: एक दिशा दी गई है $a$, किसी भी बिंदु के लिए $A$ का $V$ दिशा का एक और केवल एक ही उपक्षेत्र है $V$, जिससे होकर गुजरता है $a$, अर्थात् उप-स्थान $A$.

प्रत्येक अनुवाद $$A \to A: a \mapsto a + v$$ किसी भी सजातीय उप स्थान को समानांतर उप स्थान में प्रतिचित्रण करता है।

समानांतर शब्द का प्रयोग दो सजातीय उप-स्थानों के लिए भी किया जाता है जैसे कि एक की दिशा दूसरे की दिशा में सम्मिलित होती है।

सजातीय प्रतिचित्रण
दो सजातीय रिक्त स्थान दिए गए $V$ तथा $a$ जिनके संबद्ध सदिश स्थान हैं $$\overrightarrow{A}$$ तथा $$\overrightarrow{B}$$, सजातीय प्रतिचित्रणया सजातीय समाकारिता से $a + V$ प्रति $A$ एक प्रतिचित्रण है
 * $$f: A \to B$$

ऐसा है कि

\begin{align} \overrightarrow{f}: \overrightarrow{A} &\to \overrightarrow{B}\\ b - a &\mapsto f(b) - f(a) \end{align} $$ एक सुपरिभाषित रैखिक मानचित्र है। द्वारा $$f$$ अच्छी तरह से परिभाषित होने का अर्थ है $B$ तात्पर्य $A$.

इसका तात्पर्य है कि, एक बिंदु के लिए $$a \in A$$ और एक सदिश $$v \in \overrightarrow{A}$$, किसी के लिए
 * $$f(a + v) = f(a) + \overrightarrow{f}(v).$$

इसलिए, चूंकि किसी $A$ दिए गए $b$ के लिए, $B$ एक अद्वितीय $v$ के लिए , $b – a = d – c$ पूरी तरह से एक बिंदु और संबंधित रैखिक मानचित्र $$\overrightarrow{f}$$ पर इसके मूल्य द्वारा परिभाषित किया गया है।

अंतःरूपांतरण
एक सघन स्थान का एक सजातीय परिवर्तन या अंतःरूपांतरण $$A$$ उस स्थान से अपने आप में एक सम्बद्ध मानचित्र है। उदाहरणों का एक महत्वपूर्ण परिवार अनुवाद है: एक  दिया गया सदिश $$\overrightarrow{v}$$के लिए, अनुवाद मानचित्र $$T_{\overrightarrow{v}}: A\rightarrow A$$  जो $$A$$  में प्रत्येक $$a$$  के लिए  $$a\mapsto a + \overrightarrow{v}$$ भेजता है,  एक सजातीय प्रतिचित्रण है। उदाहरणोंका एक अन्य महत्वपूर्ण परिवार एक मूल पर केंद्रित रेखीय मानचित्र हैं: किसी दिए गए एक बिंदु $$b$$ और एक रेखीय प्रतिचित्रण $$M$$ के लिए  , कोई एक सजातीय प्रतिचित्रण  $$L_{M,b}:A\rightarrow A$$ द्वारा  $$A$$ प्रत्येक $$a $$ के लिए कुछ इस तरह से परिभाषित कर सकता है $$L_{M,b}(a) = b + M(a-b)$$मूल बिन्दु $$b$$ का चुनाव करने के बाद, किसी भी सजातीय मानचित्र को विशिष्ट रूप से अनुवाद और $$b$$ पर केंद्रित एक रेखीय मानचित्र  के संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है.

सदिश स्थान सजातीय स्थान के रूप में
प्रत्येक सदिश स्थान $f(b) – f(a) = f(d) – f(c)$ अपने आप में एक आत्मीय स्थान के रूप में माना जा सकता है। इसका अर्थ है कि $b = a + v$ का प्रत्येक तत्व, एक बिंदु या सदिश  के रूप में माना जा सकता है। इस संबंध स्थान को कभी-कभी $f$ से तत्वों की दोप्रत्येकी भूमिका पर बल देने के लिए, निरूपित किया जाता है जब शून्य सदिश को एक बिंदु के रूप में माना जाता है, तो शून्य सदिश को सामान्यतः  $V$ (या $V$, जब अंक के लिए अपर-केस अक्षरों का उपयोग किया जाता है)  से निरूपित किया जाता है और इसे मूल कहा जाता है।

यदि $(V, V)$ उसी सदिश समष्टि पर एक और परिबद्ध स्थान है (अर्थात $$V = \overrightarrow{A}$$) $o$ में किसी भी बिंदु $O$ का चुनाव में, एक अद्वितीय सजातीय समाकृतिकता को परिभाषित करता है, जो $A$ और प्रतिचित्रण $A$ से  $a$ की पहचान है दूसरे शब्दों में, $V$ में मूल $a$ के चुनाव में विहित समरूपता  तक $o$ तथा $A$  को हमें पहचानने की अनुमति देता है। इस गुण का प्रतिरूप यह है कि सजातीय स्थान  $a$ सदिश  स्थान $A$ के साथ पहचाना जा सकता है  जिसमें मूल स्थान को भुला दिया गया है।

यूक्लिडियन रिक्त स्थान की परिभाषा
यूक्लिडियन रिक्त स्थान (एक-आयामी रेखा, दो-आयामी विमान, और त्रि-आयामी त्रिविम क्षेत्र सहित सामान्यतः प्राथमिक ज्यामिति में अध्ययन किया जाता है, साथ ही साथ उच्च-आयामी अनुरूप) सजातीय रिक्त स्थान हैं।

वास्तव में, अधिकांश आधुनिक परिभाषाओं में, एक यूक्लिडियन स्थान को एक परिबद्ध स्थान के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि संबंधित सदिश स्थान परिमित आयाम का एक वास्तविक  आंतरिक उत्पाद स्थान  है, जो कि धनात्मक-निश्चित द्विघात रूप के साथ वास्तविक पर एक सदिश  स्थान है। $(V, V)$. दो सदिश का आंतरिक उत्पाद $x$ तथा $y$ सममित द्विरेखीय रूप का मान है
 * $$x \cdot y = \frac 12 (q(x + y) - q(x) - q(y)).$$

दो बिंदुओं के बीच सामान्य यूक्लिडियन दूरी  $A$ तथा $B$ है
 * $$d(A, B) = \sqrt{q(B - A)}.$$

संशेलेषित ज्यामिति के माध्यम से यूक्लिडियन रिक्त स्थान की पुरानी परिभाषा में, सदिशों को समतुल्यता (ज्यामिति) के तहत बिंदुओं के आदेशित जोड़े के समतुल्य वर्गों के रूप में परिभाषित किया गया है (जोड़े $A$ तथा $V$ समसामयिक हैं यदि अंक $q(x)$ (इस क्रम में) एक समांतर चतुर्भुज बनाते हैं)। यह सत्यापित करना सरल है कि सदिश एक सदिश  स्थान बनाते हैं, यूक्लिडियन दूरी का वर्ग सदिश  के स्थान पर एक द्विघात रूप है, और यूक्लिडियन रिक्त स्थान की दो परिभाषाएँ समान हैं।

सजातीय गुण
यूक्लिडियन ज्यामिति में, सामान्य वाक्यांश सजातीय गुण एक ऐसी गुण को संदर्भित करती है जिसे सजातीय रिक्त स्थान में साबित किया जा सकता है, अर्थात, इसे द्विघात रूप और इसके संबंधित आंतरिक उत्पाद का उपयोग किए बिना साबित किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, एक सजातीय गुण एक ऐसी गुण है जिसमें लंबाई और कोण सम्मिलित नहीं होते हैं। विशिष्ट उदाहरण समानांतर (ज्यामिति), और स्पर्शरेखा की परिभाषा हैं। एक गैर-उदाहरण एक सामान्य (ज्यामिति) की परिभाषा है।

समान रूप से, एक सजातीय गुण एक गुण है जो यूक्लिडियन त्रिविम क्षेत्र के सजातीय परिवर्तनों के अंतर्ग्रत अपरिवर्तनीय है।

सजातीय संयोजन और बैरीसेंटर
माना $(A, B)$  एक सजातीय क्षेत्र में $(C, D)$ बिन्दुओ का संग्रह है ,और $$\lambda_1, \dots, \lambda_n$$ बाह्य क्षेत्र के $A, B, D, C$  तत्व है।

मान लो कि $$\lambda_1 + \dots + \lambda_n = 0$$. किन्हीं दो बिंदुओं $a_{1}, ..., a_{n}$ तथा $n$ के लिए
 * $$\lambda_1 \overrightarrow{oa_1} + \dots + \lambda_n \overrightarrow{oa_n} = \lambda_1 \overrightarrow{o'a_1} + \dots + \lambda_n \overrightarrow{o'a_n}.$$

इस प्रकार, यह योग मूल के चुनाव से स्वतंत्र है, और परिणामी सदिश को निरूपित किया जा सकता है
 * $$\lambda_1 a_1 + \dots + \lambda_n a_n .$$

जब $$n = 2, \lambda_1 = 1, \lambda_2 = -1$$, एक अंक के घटाव की परिभाषा को पुनः प्राप्त करता है।

अब मान लीजिए कि इसके अतिरिक्त क्षेत्र (गणित)  तत्व $$\lambda_1 + \dots + \lambda_n = 1$$ संतुष्ट करते हैं।  मूल $n$ के कुछ विकल्प के लिए, $$g$$ द्वारा निरूपित, अद्वितीय बिंदु ऐसा है
 * $$\lambda_1 \overrightarrow{oa_1} + \dots + \lambda_n \overrightarrow{oa_n} = \overrightarrow{og}.$$

कोई यह साबित कर सकता है कि $$g$$, $o$ की पसंद से स्वतंत्र है. इसलिए, यदि
 * $$\lambda_1 + \dots + \lambda_n = 1,$$

कोई यह लिख सकता है
 * $$g = \lambda_1 a_1 + \dots + \lambda_n a_n.$$

बिंदु $$g$$, $$a_i$$ का केन्द्रक  कहा जाता है। $$\lambda_i$$ वजन के लिए,  एक यह भी कहता है $$g$$, $$\lambda_i$$ गुणांक के साथ $$a_i$$ का एक सजातीय संयोजन है ।

उदाहरणों

 * जब बच्चों को सवालों ( जैसे $o'$ या $o$) के जवाब किसी संख्या रेखा  पर दाएँ या बाएँ गिनकर मिल जाते हैं, वे संख्या रेखा को एक आयामी सजातीय स्थान के रूप में मान रहे होते हैं।
 * ऊर्जाओं का स्थान $$\mathbb{R}$$ के लिए एक परिबद्ध स्थान है, चूंकि पूर्ण ऊर्जा के बारे में बात करना सामान्यतः अर्थपूर्ण नहीं होता है, लेकिन ऊर्जा अंतरों के बारे में बात करना सार्थक होता है। परिभाषित होने पर निर्वात ऊर्जा  एक विहित मूल को चुनती है।
 * भौतिक स्थान को सामान्यतः गैर-सापेक्षतावादी समायोजन में $$\mathbb{R}^3$$ और सापेक्षतावादी समायोजन में $$\mathbb{R}^{1,3}$$ स्थान के रूप में प्रतिरूपित किया जाता है। उन्हें सदिश स्थान से अलग करने के लिए इन्हें कभी-कभी यूक्लिडियन स्थान $$\text{E}(3)$$ तथा $$\text{E}(1,3)$$ कहा जाता है.
 * उप-स्थान का कोई सह समुच्चय  $V$ सदिश स्थान का उस उप-स्थान पर एक सजातीय स्थान है।
 * यदि $T$ एक मैट्रिक्स (गणित)  है और $o$ इसके  स्तंभ स्थान  में निहित है, समीकरण के समाधान का समुच्चय $4 + 3$ के समाधान के उप-स्थान पर एक परिबद्ध स्थान है $4 − 2$.
 * एक अमानवीय रैखिक अवकल समीकरण के समाधान संगत समरूप रैखिक समीकरण के समाधानों पर एक परिबद्ध स्थान बनाते हैं।
 * उपरोक्त सभी का सामान्यीकरण, यदि $b$ एक रैखिक प्रतिचित्रण है और $Tx = b$ इसकी छवि में निहित है, समाधान का समुच्चय $Tx = 0$ समीकरण के लिए $T : V → W$ के कर्नेल का एक उप -समुच्चय $T$ है, और इसलिए एक सजातीय क्षेत्र $y$ है
 * एक सदिश उप-समष्टि के (रैखिक) पूरक उप-स्थान $x ∈ V$ का स्थान एक सदिश  त्रिविम क्षेत्र $Tx = y$ में  एक सजातीय स्थान है,  $Ker T$. मतलब  अगर $V$ सदिश  रिक्त स्थान का एक छोटा सटीक अनुक्रम है, तो सटीक अनुक्रम के सभी विभाजित सटीक अनुक्रम का स्थान स्वाभाविक रूप से एक सजातीय क्षेत्र की संरचना को $W$ से ऊपर ले जाता है.
 * जुडाव का स्थान ($$E\xrightarrow{\pi}M$$ सदिश  बंडल  से देखा गया, जहाँ $$M$$ एक  चिकना मैनिफोल्ड  है) $$\text{End}(E)$$ मूल्यवान 1-रूप के सदिश  क्षेत्र के लिए एक सजातीय क्षेत्र है । जुडाव का स्थान (प्रमुख बंडल $$P\xrightarrow{\pi}M$$ से देखा गया ) $$\text{ad}(P)$$-मूल्यवान 1-रूप के सदिश समष्टि के लिए एक परिबद्ध स्थान है , जहां $$\text{ad}(P)$$  संबंधित सदिश  गठरी है।

सजातीय विस्तार और आधार
एक सजातीय स्थान $होम (W/V, V)$ के किसी $0 → V → W → X → 0$ उपसमुच्चय के  लिए,  सबसे छोटा सजातीय उप स्थान जो इसमें  सम्मिलित होता है  , उसे $होम(X, V)$ का सजातीय विस्तार कहा जाता है  यह $A$ युक्त सभी सजातीय उप-स्थानों का प्रतिच्छेदन है, और इसकी दिशा उन सजातीय उप-स्थानों की दिशाओं का प्रतिच्छेदन है जिनमें $X$ सम्मिलित हैं

$X$ की सजातीय अवधि $X$ के बिंदुओं के सभी (परिमित) सजातीय संयोजनों का समुच्चय है, और इसकी दिशा $X$, $X$ तथा $X$ के लिये  $X$ की  रैखिक अवधि  है. यदि कोई एक विशेष बिंदु $x$ चुनता है, $y$ अवधि की दिशा $x − y$ में $x_{0}$ के लिये $X$ की रैखिक अवधि भी है.

एक यह भी कहता है कि $X$ सजातीय की अवधि $x$ द्वारा उत्पन्न होता है और वह  $x – x_{0}$ स्वयं के  सजातीय विस्तार को उत्पन्न करने वाला समुच्चय है।

एक सजातीय स्थान के बिन्दुओं का एक समुच्चय $X$, आत्मीयता से स्वतंत्र या, बस, स्वतंत्र कहा जाता है, यदि  किसी  सख्त उपसमुच्चय  का संबंध $X$ अवधि  सजातीय अवधि का एक सख्त उपसमुच्चय है. एक संबंध आधार या बैरीसेंट्रिक फ्रेम (देखें, नीचे) एक सजातीय क्षेत्र का एक जनरेटिंग समुच्चय है जो स्वतंत्र भी है (जो कि न्यूनतम जनरेटिंग समुच्चय है)।

याद रखें कि एक सजातीय क्षेत्र का आयाम इसके संबंधित सदिश क्षेत्र का आयाम है। परिमित $X$ आयाम के एक सजातीय स्थान का आधार $X$ तत्व के उपसमुच्चय से स्वतंत्र  हैं, या, समकक्ष, $X$ तत्व  के उत्पन्न करने वाले उपसमुच्चय, समान रूप से, $n$ किसी संबधित स्थान का एक संबधित आधार है यदि और केवल यदि $n + 1$ संबद्ध सदिश समष्टि का एक रेखीय आधार है।

निर्देशांक
दृढ़ता से संबंधित दो समन्वय प्रणालियां हैं जिन्हें सजातीय रिक्त स्थान पर परिभाषित किया जा सकता है।

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक
माना $n + 1$, एक ${x_{0}, ..., x_{n}}|undefined$ क्षेत्र के ऊपर  ${x_{1} − x_{0}, ..., x_{n} − x_{0}}|undefined$ आयाम का एक सजातीय क्षेत्र है , तथा $$\{x_0, \dots, x_n\}$$ $A$ का एक सजातीय आधार हो, एक संबंध आधार के गुणों का अर्थ है कि प्रत्येक के लिए $k$ में $n$ एक अनूठा है $A$-टुपल $$(\lambda_0, \dots, \lambda_n)$$ के तत्वों की $x$ ऐसा है कि
 * $$\lambda_0 + \dots + \lambda_n = 1$$

तथा
 * $$x = \lambda_0 x_0 + \dots + \lambda_n x_n.$$

$$\lambda_i$$ सजातीय के आधार पर $$\{x_0, \dots, x_n\}$$ $A$ के बैरसेंट्रिक निर्देशांक कहलाते हैं यदि $(n + 1)$ वजन (या द्रव्यमान) वाले निकायों के रूप में देखा जाता है $$\lambda_i$$, बिंदु $k$ इस प्रकार का केन्द्रक है $x$, और यह बेरिकेंट्रिक निर्देशांक शब्द की उत्पत्ति की व्याख्या करता है।

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक सजातीय क्षेत्र $x_{i}$ और सजातीय उप-स्थान $x$ के बीच एक सजातीय समरूपता को परिभाषित करते हैं जो इस समीकरण द्वारा परिभाषित है $$\lambda_0 + \dots + \lambda_n = 1$$.

अनंत आयाम के सजातीय रिक्त स्थान के लिए, वही परिभाषा लागू होती है, केवल परिमित राशियों का उपयोग करते हुए। इसका अर्थ है कि प्रत्येक बिंदु के लिए, निर्देशांक की केवल एक सीमित संख्या गैर-शून्य है।

सजातीय निर्देशांक
एक सजातीय क्षेत्र के एक सजातीय फ्रेम में एक बिंदु होता है, जिसे 'मूल' कहा जाता है, और संबंधित सदिश क्षेत्र का एक रैखिक आधार होता है। अधिक सटीक, एक सजातीय क्षेत्र के लिए $x_{i}$ संबद्ध सदिश  स्थान के साथ $$\overrightarrow{A}$$, मूल $A$ का है $k^{n + 1}$, और रैखिक आधार एक आधार है $A$ का $$\overrightarrow{A}$$ (संकेतन की सरलता के लिए, हम केवल परिमित आयाम के विषय पर विचार करते हैं, सामान्य विषय समान है)।

प्रत्येक बिंदु के लिए $o$ का $A$, एक अनूठा क्रम है $$\lambda_1, \dots, \lambda_n$$ जमीनी क्षेत्र के तत्वों की जैसे कि
 * $$p = o + \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n,$$

या समकक्ष
 * $$\overrightarrow{op} = \lambda_1 v_1 + \dots + \lambda_n v_n.$$

$$\lambda_i$$ h> के सजातीय निर्देशांक कहलाते हैं $(v_{1}, ..., v_{n})$ सजातीय फ्रेम के ऊपर $p$.

उदाहरण: यूक्लिडियन ज्यामिति में, कार्टेशियन निर्देशांक एक ऑर्थोनॉर्मल फ्रेम के सापेक्ष सजातीय निर्देशांक होते हैं, जो कि एक सजातीय फ्रेम है $A$ ऐसा है कि $p$ n ऑर्थोनॉर्मल आधार है।

बेरिसेंट्रिक और सजातीय निर्देशांक के बीच संबंध
बैरीसेंट्रिक निर्देशांक और सजातीय निर्देशांक दृढ़ता से संबंधित हैं, और इन्हें समकक्ष माना जा सकता है।

वास्तव में, एक बैरीसेंट्रिक फ्रेम दिया गया है
 * $$(x_0, \dots, x_n),$$

एक तुरंत सजातीय फ्रेम को कम करता है
 * $$(x_0, \overrightarrow{x_0 x_1}, \dots, \overrightarrow{x_0 x_n}) = \left(x_0, x_1 - x_0, \dots, x_n - x_0\right),$$

और अगर
 * $$\left(\lambda_0, \lambda_1, \dots, \lambda_n\right)$$

बैरसेंट्रिक फ्रेम के ऊपर एक बिंदु के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक हैं, तो सजातीय फ्रेम पर एक ही बिंदु के सजातीय निर्देशांक हैं
 * $$\left(\lambda_1, \dots, \lambda_n\right).$$

इसके विपरीत यदि
 * $$\left(o, v_1, \dots, v_n\right)$$

एक सजातीय फ्रेम है, तो
 * $$\left(o, o + v_1, \dots, o + v_n\right)$$

एक बेरिकेंट्रिक फ्रेम है। यदि
 * $$\left(\lambda_1, \dots, \lambda_n\right)$$

सजातीय फ्रेम के ऊपर एक बिंदु के सजातीय निर्देशांक हैं, तो इसके barycentric निर्देशांक barycentric फ्रेम पर हैं
 * $$\left(1 - \lambda_1 - \dots - \lambda_n, \lambda_1, \dots, \lambda_n\right).$$

इसलिए, बैरीसेंट्रिक और सजातीय निर्देशांक लगभग बराबर हैं। अधिकांश अनुप्रयोगों में, सजातीय निर्देशांक को प्राथमिकता दी जाती है, क्योंकि स्वतंत्र निर्देशांक कम होते हैं। हालांकि, ऐसी स्थितियों में जहां अध्ययन की गई समस्या के महत्वपूर्ण बिंदु आत्मीयता से स्वतंत्र हैं, बेरिसेंट्रिक निर्देशांक सरल गणना का कारण बन सकते हैं, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों में है।

त्रिभुज का उदाहरणों
एक गैर-सपाट त्रिभुज के शीर्ष यूक्लिडियन विमान  का एक परिबद्ध आधार बनाते हैं। बैरीसेंट्रिक निर्देशांक त्रिभुज के तत्वों के आसान लक्षण वर्णन की अनुमति देता है जिसमें कोण या दूरी सम्मिलित नहीं होती है:

शिखर बेरिएन्ट्रिक निर्देशांक के $(o, v_{1}, ..., v_{n})$, $(o, v_{1}, ..., v_{n})$ तथा  $(v_{1}, ..., v_{n})$ बिंदु हैं।  किनारों का समर्थन करने वाली रेखाएँ वे बिंदु हैं जिनका शून्य समन्वय है। किनारे स्वयं वे बिंदु होते हैं जिनमें एक शून्य निर्देशांक और दो गैर-नकारात्मक निर्देशांक होते हैं। त्रिभुज का अभ्यंतर वे बिंदु होते हैं जिनके सभी निर्देशांक धनात्मक होते हैं।  माध्यिका (ज्यामिति)  वे बिंदु हैं जिनके दो समान निर्देशांक हैं, और केन्द्रक निर्देशांक का बिंदु $(1, 0, 0)$  है।

छवि और फाइबर
माना

$$f \colon E \to F$$, $$\overrightarrow {f} \colon \overrightarrow{E} \to \overrightarrow{F}$$ के साथ एक समरूप समरूपता हो,

संबद्ध रैखिक मानचित्र के रूप में।

$(0, 1, 0)$ की छवि सजातीय उप-स्थान  $F$  $(0, 0, 1)$ का है, जो है $$\overrightarrow{f}(\overrightarrow{E})$$ संबंधित सदिश  क्षेत्र के रूप में। चूंकि सजातीय क्षेत्र में  शून्य तत्व  नहीं होता है, इसलिए सजातीय होमोमोर्फिज्म में कर्नेल (बीजगणित) नहीं होता है। हालांकि, किसी भी बिंदु के लिए $(1⁄3, 1⁄3, 1⁄3)$ का $f$, उलटी छवि $f(E)$ की एक उप-स्थान है $x$, दिशा का $$\overrightarrow{f}^{-1}(x)$$. इस सजातीय उप-स्थान को $f(E)$ का तंतु (गणित) कहा जाता है।

प्रक्षेपण
एक महत्वपूर्ण उदाहरण एक सजातीय उप स्थान पर कुछ दिशा के समानांतर प्रक्षेपण है। इस उदाहरण का महत्व इस तथ्य में निहित है कि यूक्लिडियन रिक्त स्थान सजातीय रिक्त स्थान हैं, और इस प्रकार के अनुमान यूक्लिडियन ज्यामिति में मौलिक हैं।

अधिक सटीक रूप से, एक सजातीय क्षेत्र $f^{–1}(x)$ संबद्ध सदिश  स्थान के साथ $$\overrightarrow{E}$$ दिया गया , माना $E$ दिशा का एक सजातीय उप स्थान $$\overrightarrow{F}$$ बनें , तथा $x$ ,$$\overrightarrow{E}$$ में$$\overrightarrow{F}$$की पूरक उपसमष्टि हो   (इसका अर्थ है कि $$\overrightarrow{E}$$ का प्रत्येक सदिश $$\overrightarrow{F}$$ के एक तत्व और $E$ के  एक तत्व के योग के रूप में एक अद्वितीय तरीके से विघटित किया जा सकता है )।  $F$ के प्रत्येक बिंदु $D$ के लिए , इसके $D$ के समानांतर प्रक्षेपण $E$ के लिए ,  $x$ में  अद्वितीय बिंदु $D$ है   ऐसा है कि
 * $$p(x) - x \in D.$$

यह एक सजातीय समरूपता है जिसका संबद्ध रेखीय मानचित्र है $$\overrightarrow{p}$$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\overrightarrow{p}(x - y) = p(x) - p(y),$$

$E$ में $x$ तथा $y$ के लिये,

इस प्रक्षेपण की छवि $F$ है , और इसके तंतु $F$ दिशा के उप-स्थान हैं।

भागफल स्थान
सामान्यतः सजातीय रिक्त स्थान के लिए कर्नेल परिभाषित नहीं हैं, भागफल रिक्त स्थान परिभाषित किए गए हैं। यह इस तथ्य का परिणाम है कि एक समान समरूपता के एक ही फाइबर से संबंधित एक तुल्यता संबंध है।

माना $p(x)$ एक सजातीय क्षेत्र है, और  $F$ संबद्ध सदिश समष्टि की एक रेखीय उपसमष्टि $$\overrightarrow{E}$$ हो।  $D$ द्वारा  $E$  का भागफल  $D$ के तुल्यता संबंध द्वारा भागफल $E$ है    तुल्यता संबंध  से ऐसा है कि $x$ तथा $y$ बराबर हैं अगर
 * $$x - y \in D.$$

यह भागफल एक सजातीय स्थान है, जिसमें है $$\overrightarrow{E}/D$$ संबंधित सदिश क्षेत्र के रूप में।

प्रत्येक सजातीय समरूपता के लिए $$E \to F$$, संबद्ध रेखीय मानचित्र के कर्नेल द्वारा $D$ छवि के भागफल के लिए आइसोमॉर्फिक है । यह सजातीय रिक्त स्थान के लिए पहला समरूपता प्रमेय  है।

स्वयंसिद्ध
सजातीय रिक्त स्थान को सामान्यतः निर्देशांक या समकक्ष सदिश रिक्त स्थान का उपयोग करके विश्लेषणात्मक ज्यामिति द्वारा अध्ययन किया जाता है। स्वयंसिद्धों को लिखकर उनका कृत्रिम ज्यामिति के रूप में भी अध्ययन किया जा सकता है, सामान्यता यह दृष्टिकोण बहुत कम उपयोग में है। सजातीय क्षेत्र के लिए स्वयंसिद्धों की कई अलग-अलग प्रणालियाँ हैं।

कॉक्सेटर (1969, पृष्ठ 192) आदेशित ज्यामिति के साथ-साथ डेसर्ग्यूज़ के प्रमेय के एक सजातीय रूप और एक स्वयंसिद्ध के रूप में वास्तविक पर सजातीय ज्यामिति के विशेष विषय को स्वयंसिद्ध करता है, जिसमें कहा गया है कि एक विमान में किसी दिए गए बिंदु के माध्यम से अधिकतम एक पंक्ति होती है जो किसी दी गई रेखा से नहीं मिलती है।

सजातीय विमान निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं (कैमरून 1991, अध्याय 2):(जिसमें दो रेखाएँ समांतर कहलाती हैं यदि वे समान हों या अलग हो ): साथ ही साथ क्षेत्र (या विभाजन के वलय ) पर सजातीय विमान, इन सिद्धांतों को संतुष्ट करने वाले कई गैर-डेसर्ग्यूशियन विमान भी हैं। (कैमरून 1991, अध्याय 3) उच्च-आयामी सजातीय रिक्त स्थान के लिए सिद्धांत देता है।
 * कोई भी दो अलग-अलग बिंदु एक अद्वितीय रेखा पर स्थित होते हैं।
 * एक बिंदु और रेखा को देखते हुए एक अद्वितीय रेखा होती है जिसमें बिंदु होता है और रेखा के समानांतर होता है
 * तीन असंरेख बिन्दु होते हैं।

विशुद्ध रूप से स्वयंसिद्ध सजातीय ज्यामिति, सजातीय रिक्त स्थान की तुलना में अधिक सामान्य है और एक अलग अनुच्छेद की तरह माना जाता है

प्रक्षेपीय क्षेत्र से संबंध
सजातीय रिक्त स्थान प्रक्षेपीय रिक्त स्थान में समाहित हैं। उदाहरण के लिए, किसी प्रक्षेपी समूह  से एक रेखा और उस पर के सभी बिंदुओं को हटाकर एक संबंद्ध तल प्राप्त किया जा सकता है, और इसके विपरीत किसी प्रक्षेपी तल का उपयोग  समापन  (गणित) के रूप में अनंत पर एक रेखा जोड़कर प्रक्षेपी तल के निर्माण के लिए किया जा सकता है जिसका अंक समांतर रेखाओं के समतुल्य वर्गों के अनुरूप हैं। समान निर्माण उच्च आयामों में होते हैं।

इसके अतिरिक्त, प्रक्षेप्य स्थान के परिवर्तन जो सजातीय क्षेत्र को संरक्षित करते हैं (समतुल्य रूप से, जो हाइपरप्लेन अनंत पर अपरिवर्तनीय समुच्चय पर छोड़ते हैं) सजातीय क्षेत्र के ट्रांसरूपेशन देते हैं। इसके विपरीत, कोई भी सजातीय रैखिक परिवर्तन विशिष्ट रूप से प्रक्षेपीय रैखिक परिवर्तन तक फैलता है, इसलिए सजातीय समूह प्रक्षेपीय समूह का एक उपसमूह है। उदाहरण के लिए, मोबियस ट्रांसरूपेशन (जटिल प्रक्षेप्य विमान, या रीमैन क्षेत्र के परिवर्तन) सजातीय (जटिल विमान के परिवर्तन) हैं और केवल अगर वे अनंत पर बिंदु को ठीक करते हैं।

सजातीय बीजीय ज्यामिति
बीजगणितीय ज्यामिति में, एक सजातीय विविधता (या, अधिक सामान्यतः, एक सजातीय बीजगणितीय समुच्चय) को एक सजातीय क्षेत्र के सबसमुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो कि सजातीय क्षेत्र पर तथाकथित बहुपद कार्यों के एक समुच्चय के सामान्य शून्य का समुच्चय होता है। सजातीय क्षेत्र पर एक बहुपद फलन को परिभाषित करने के लिए, किसी को एक सजातीय फ्रेम चुनना होता है। फिर, एक बहुपद फलन एक ऐसा फलन होता है कि किसी भी बिंदु का प्रतिबिंब बिंदु के निर्देशांकों के कुछ बहुभिन्नरूपी बहुपद फलन का मान होता है। सजातीय निर्देशांक के परिवर्तन के रूप में निर्देशांक के रैखिक कार्यों (अधिक सटीक सजातीय फलनो ) द्वारा व्यक्त किया जा सकता है, यह परिभाषा निर्देशांक की एक विशेष पसंद से स्वतंत्र है।

सजातीय की एक प्रणाली का चुनाव एक सजातीय स्थान $E/D$ आयाम का $$\mathbb{A}_k^n$$ के लिए निर्देशांक करता है  एक $E$  क्षेत्र के ऊपर (गणित) $$\mathbb{A}_k^n$$ और सजातीय समन्वय स्थान $E$ के बीच एक सजातीय समरूपता को प्रेरित करता है यह बताता है कि क्यों, सरलीकरण के लिए, कई पाठ्यपुस्तकें लिखती हैं $$\mathbb{A}_k^n = k^n$$, और सजातीय बीजगणितीय विविधताओ को $n$ बहुपद फलनो के सामान्य शून्य के रूप में पेश करते हैं चूंकि संपूर्ण सजातीय क्षेत्र शून्य बहुपद  के सामान्य शून्य का समुच्चय है, सजातीय क्षेत्र सजातीय बीजीय विविधताए  हैं।

बहुपद कार्यों की वलय
ऊपर दी गई परिभाषा के अनुसार, एक सजातीय क्षेत्र के सजातीय फ्रेम का चुनाव $$\mathbb{A}_k^n$$, किसी $$\mathbb{A}_k^n$$ बहुपद फलनो में से $k$ चर के बहुपद फलनो की पहचान करने की अनुमति देता है, iवां  चर उस फलन का प्रतिनिधित्व करता है जो एक बिंदु को इसके $k^{n}$वें निर्देशांक  से प्रतिचित्रण करता है। यह इस प्रकार है कि बहुपद फलनो $$\mathbb{A}_k^n$$ का समुच्चय $k^{n}$-अलजेब्रा ($$k\left[\mathbb{A}_k^n\right]$$ से निरूपित) है, जो बहुपद वलय $$k\left[X_1, \dots, X_n\right]$$ के लिए समरूप है.

जब कोई निर्देशांक बदलता है, तो $$k\left[\mathbb{A}_k^n\right]$$ तथा $$k[X_1, \dots, X_n]$$ के बीच समरूपता तदनुसार बदलती है, और यह एक ऑटोमोर्फिज्म $$k\left[X_1, \dots, X_n\right]$$ को प्रेरित करता है, जो प्रत्येक अनिश्चित को इकाई  डिग्री के बहुपद के लिए प्रतिचित्रण करता है। यह इस प्रकार है कि कुल डिग्री $k\left[\mathbb A_k^n\right]$ एक  निस्पंदन (गणित)  को परिभाषित करता है , जो निर्देशांक की पसंद से स्वतंत्र है। कुल डिग्री भी एक  वर्गीकृत वलय को परिभाषित करता है, लेकिन यह निर्देशांक की पसंद पर निर्भर करता है, क्योंकि सजातीय निर्देशांक में परिवर्तन गैर- सजातीय बहुपदो पर अनिश्चित मानचित्र कर सकता है।

जारिस्की टोपोलॉजी
वास्तविक या जटिल संख्याओं जैसे टोपोलॉजिकल क्षेत्रों पर सजातीय रिक्त स्थान, एक प्राकृतिक टोपोलॉजी (संरचना)  है। ज़ारिस्की टोपोलॉजी, जिसे किसी भी क्षेत्र में सजातीय रिक्त स्थान के लिए परिभाषित किया गया है, किसी भी विषय में टोपोलॉजिकल विधियों का उपयोग करने की अनुमति देता है। ज़ारिस्की टोपोलॉजी एक सजातीय क्षेत्र पर अद्वितीय टोपोलॉजी है जिसका बंद समुच्चय सजातीय बीजगणितीय समुच्चय हैं (जो सजातीय समुच्चय पर बहुपद कार्यों के सामान्य शून्य के समुच्चय हैं)। जैसा कि एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र में, बहुपद कार्य निरंतर होते हैं, प्रत्येक ज़रिस्की बंद समुच्चय सामान्य टोपोलॉजी के लिए बंद होता है, यदि कोई हो। दूसरे शब्दों में, एक टोपोलॉजिकल क्षेत्र में, ज़ारिस्की टोपोलॉजी प्राकृतिक टोपोलॉजी की तुलना में मोटे टोपोलॉजी है।

बहुपद कार्यों की वलय के प्रमुख आदर्शों (जो कि वलय का स्पेक्ट्रम है) के समुच्चय में एक सजातीय क्षेत्र से एक प्राकृतिक इंजेक्शन फलन होता है। जब सजातीय निर्देशांक चुने जाते हैं, तो यह फलन निर्देशांक के बिंदु को प्रतिचित्रण करता है $$\left(a_1, \dots, a_n\right)$$ अधिकतम आदर् के लिए $$\left\langle X_1 - a_1, \dots, X_n - a_n\right\rangle$$. यह फलन फलन की छवि पर सजातीय स्थान का एक होमियोमोर्फिज्म  (सजातीय क्षेत्र की ज़ारिस्की टोपोलॉजी और बहुपद कार्यों की वलय के स्पेक्ट्रम के लिए) है।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र का विषय बीजगणितीय ज्यामिति में विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, क्योंकि, इस विषय में, उपरोक्त होमोमोर्फिज्म सजातीय क्षेत्र और फ़ंक्शंस की वलय के सभी अधिकतम आदर्शों के समुच्चय के बीच एक प्रतिचित्रण है (यह हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट्ज़ है)।

यह ग्रोथेंडिक  के  योजना सिद्धांत  का प्रारंभिक विचार है, जिसमें बीजगणितीय विविधताओ का अध्ययन करने के लिए, बिंदुओं के रूप में विचार करने के लिए, न केवल सजातीय क्षेत्र के बिंदु, बल्कि स्पेक्ट्रम के सभी प्रमुख आदर्श भी सम्मिलित हैं। यह बीजीय विविधताओ को उसी तरह एक साथ चिपकाने की अनुमति देता है, जैसे कि  विविध  के लिए,  चार्ट (टोपोलॉजी)  को मैनिफोल्ड बनाने के लिए एक साथ चिपकाया जाता है।

सह-समरूपता
सभी सजातीय विविधताओ की तरह, एक सजातीय स्थान पर स्थानीय डेटा को हमेशा विश्व स्तर पर एक साथ पैच किया जा सकता है: सजातीय स्थान का सह-विज्ञान नगण्य है। ज्यादा सटीक, $$H^i\left(\mathbb{A}_k^n,\mathbf{F}\right) = 0$$ सभी सुसंगत ढेरों F और पूर्णांकों के लिए $$i > 0$$. इस गुण का आनंद अन्य सभी सजातीय विविधताओ द्वारा भी लिया जाता है। लेकिन सजातीय क्षेत्र पर सभी ईटेल कोहोलॉजी समूह नगण्य हैं। विशेष रूप से, प्रत्येक पंक्ति बंडल उपेक्षणीय है। अधिक सामान्यतः, क्विलेन-सुस्लिन प्रमेय का तात्पर्य है कि प्रत्येक बीजगणितीय सदिश बंडल एक सजातीय स्थान पर नगण्य है।

यह भी देखें

 * एफ़िन हल - सबसे छोटा एफ़िन सबस्पेस जिसमें एक सबसेट होता है
 * कॉम्प्लेक्स एफ़िन स्पेस - कॉम्प्लेक्स नंबरों पर एफ़िन स्पेस
 * एक्सोटिक एफाइन स्पेस - समान आयाम का वास्तविक एफाइन स्पेस जो एक जटिल एफाइन स्पेस के लिए आइसोमोर्फिक नहीं है
 * स्पेस (गणित) - कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ गणितीय सेट
 * बैरीसेंट्रिक समन्वय प्रणाली