ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय

यूक्लिडियन ज्यामिति में, ड्रोज़-फ़ार्नी लाइन प्रमेय एक मनमाना त्रिकोण के orthocenter के माध्यम से दो लंबवत रेखाओं की संपत्ति है।

होने देना $$T$$ शीर्षों के साथ एक त्रिभुज बनें $$A$$, $$B$$, और $$C$$, और जाने $$H$$ इसका लंबकेन्द्र (इसके तीन शीर्षलंब (त्रिकोण) का उभयनिष्ठ बिंदु) हो $$L_1$$ और $$L_2$$ किन्हीं भी दो परस्पर लम्बवत रेखाओं के बीच हो $$H$$. होने देना $$A_1$$, $$B_1$$, और $$C_1$$ वे बिंदु हों जहां $$L_1$$ पार्श्व रेखाओं को काटता है $$BC$$, $$CA$$, और $$AB$$, क्रमश। इसी तरह, चलो $$A_2$$, $$B_2$$, और $$C_2$$ वे बिंदु हों जहां $$L_2$$ उन पार्श्व रेखाओं को काटता है। Droz-Farny रेखा प्रमेय कहता है कि तीन खंडों के मध्य बिंदु $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$, और $$C_1C_2$$ संरेख हैं।

प्रमेय 1899 में अर्नोल्ड ड्रोज़-फ़ार्नी द्वारा कहा गया था, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि उसके पास सबूत था या नहीं।

गुर्माघटघ का सामान्यीकरण
ड्रोज़-फ़ार्नी लाइन प्रमेय का एक सामान्यीकरण 1930 में रेने गोरमाघट द्वारा सिद्ध किया गया था।

ऊपर के रूप में, चलो $$T$$ शीर्षों के साथ एक त्रिभुज बनें $$A$$, $$B$$, और $$C$$. होने देना $$P$$ किसी भी बिंदु से अलग हो $$A$$, $$B$$, और $$C$$, और $$L$$ किसी भी लाइन के माध्यम से हो $$P$$. होने देना $$A_1$$, $$B_1$$, और $$C_1$$ किनारे पर बिंदु बनें $$BC$$, $$CA$$, और $$AB$$, क्रमशः, जैसे कि लाइनें $$PA_1$$, $$PB_1$$, और $$PC_1$$ रेखाओं के चित्र हैं $$PA$$, $$PB$$, और $$PC$$, क्रमशः, रेखा के विरुद्ध प्रतिबिंब द्वारा $$L$$. गोरमाघटघ प्रमेय तब कहता है कि अंक $$A_1$$, $$B_1$$, और $$C_1$$ संरेख हैं।

Droz-Farny रेखा प्रमेय इस परिणाम का एक विशेष मामला है, जब $$P$$ त्रिभुज का लंबकेन्द्र है $$T$$.

दाओ का सामान्यीकरण
चाकू थान ओई द्वारा प्रमेय को और सामान्यीकृत किया गया था। सामान्यीकरण इस प्रकार है:

पहला सामान्यीकरण: ABC को एक त्रिभुज होने दें, P समतल पर एक बिंदु हो, तीन समानांतर खंड AA', BB', CC' इस तरह दें कि इसके मध्यबिंदु और P संरेख हों। फिर PA', PB', PC' क्रमशः 'BC, CA, AB'' से तीन संरेख बिंदुओं पर मिलते हैं।

दूसरा सामान्यीकरण: मान लीजिए कि समतल (ज्यामिति) पर एक शंकु S और एक बिंदु (ज्यामिति) P है। तीन रेखाएँ बनाएँ (ज्यामिति) da, डीb, डीc P से होकर इस प्रकार कि वे शंकु को A, A' पर मिलते हैं; बी, बी '; सी, सी 'क्रमशः। मान लीजिए D ध्रुव पर एक बिंदु है और बिंदु P का ध्रुव (S) के संबंध में है या D शंकु (S) पर स्थित है। माना DA' ∩ BC =A0; डीबी' ∩ एसी = बी0; DC' ∩ AB= C0. फिर एक0, बी0, सी0 संरेख हैं।