प्रतिच्छेद (ज्यामिति)

ज्यामिति में, एक प्रतिच्छेद एक बिंदु, रेखा या वक्र होता है जो दो या दो से अधिक वस्तुओं (जैसे रेखाएं, वक्र, समतल और सतह) के लिए सामान्य होता है। यूक्लिडियन ज्यामिति में सबसे सरल स्थिति दो अलग-अलग रेखाओं (ज्यामिति) के बीच रेखा-रेखा का प्रतिच्छेदन है, जो या तो एक बिंदु (ज्यामिति) है या उपस्थित नहीं है (यदि रेखाएँ समानांतर रेखाएँ हैं)। अन्य प्रकार के ज्यामितीय प्रतिच्छेदन में सम्मिलित हैं:
 * रेखा-समतल प्रतिच्छेद
 * रेखा-गोलाकार प्रतिच्छेद
 * एक रेखा के साथ बहुफलक का प्रतिच्छेदन
 * रेखा खंड प्रतिच्छेद
 * प्रतिच्छेद वक्र

फ्लैट (ज्यामिति) के प्रतिच्छेदन का निर्धारण - एक उच्च-आयामी अंतरिक्ष में एम्बेडेड रैखिक ज्यामितीय वस्तुएं - रैखिक बीजगणित का एक सरल कार्य है, अर्थात् रैखिक समीकरणों की प्रणाली का समाधान हैं। सामान्यतः एक प्रतिच्छेदन का निर्धारण गैर-रैखिक समीकरणों की ओर जाता है, जिसे न्यूटन पुनरावृत्ति का उपयोग करके उदाहरण के लिए संख्यात्मक रूप से समाधान किया जा सकता है। एक रेखा और एक शंक्वाकार खंड (वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय, आदि) या एक द्विघात (गोला, बेलन, अतिपरवलय, आदि) के बीच प्रतिच्छेदन समस्याएँ द्विघात समीकरणों की ओर ले जाती हैं जिन्हें आसानी से समाधान किया जा सकता है। चतुष्कोणों के बीच के चौराहों से चतुर्थक समीकरण बनते हैं जिन्हें बीजगणितीय समीकरण का समाधान किया जा सकता है।

दो पंक्तियाँ
दो गैर-समानांतर रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्धारण के लिए

$$a_1x+b_1y=c_1, \ a_2x+b_2y=c_2 $$

एक क्रैमर के नियम से या एक चर को प्रतिस्थापित करके, प्रतिच्छेदन बिंदु $$(x_s,y_s)$$ के निर्देशांक प्राप्त करता है:
 * $$ x_s=\frac{c_1b_2-c_2b_1}{a_1b_2-a_2b_1}, \quad y_s=\frac{a_1c_2-a_2c_1}{a_1b_2-a_2b_1}. \ $$
 * (यदि $$ a_1b_2-a_2b_1=0$$ रेखाएँ समानांतर हैं और इन सूत्रों का उपयोग नहीं किया जा सकता क्योंकि इनमें 0 से भाग देना सम्मिलित है।)

दो पंक्ति खंड
दो गैर-समानांतर रेखा खंडों के लिए $$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$$ और $$(x_3,y_3),(x_4,y_4)$$ वहाँ आवश्यक रूप से एक प्रतिच्छेद बिंदु नहीं है (आरेख देखें), क्योंकि प्रतिच्छेदन बिंदु $$(x_0,y_0)$$ संगत रेखाओं की संख्या को रेखाखंडों में सम्मिलित करने की आवश्यकता नहीं है। स्थिति की जांच करने के लिए लाइनों के पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व का उपयोग करता है:
 * $$ (x(s),y(s))=(x_1+s(x_2-x_1),y_1+s(y_2-y_1)),$$
 * $$ (x(t),y(t))=(x_3+t(x_4-x_3),y_3+t(y_4-y_3)). $$

रेखा खंड केवल एक सामान्य बिंदु $$(x_0,y_0)$$ पर प्रतिच्छेद करते हैं संबंधित लाइनों की यदि संबंधित पैरामीटर $$s_0,t_0$$ शर्त $$ 0\le s_0,t_0 \le 1 $$ पूरी करें।

पैरामीटर $$s_0,t_0 $$ रैखिक प्रणाली का समाधान हैं
 * $$s(x_2-x_1)-t(x_4-x_3)=x_3-x_1,$$
 * $$ s(y_2-y_1)-t(y_4-y_3)=y_3-y_1 \ .$$

इसे क्रैमर के नियम (#दो पंक्तियां देखें) का उपयोग करके s और t के लिए समाधान किया जा सकता है। यदि स्थिति $$ 0\le s_0,t_0 \le 1 $$ एक आवेषण पूरा हो गया है $$s_0$$ या $$t_0$$ संबंधित पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व में और प्रतिच्छेदन बिंदु $$(x_0,y_0)$$ प्राप्त करता है।

उदाहरण: रेखाखंडों के लिए $$(1,1),(3,2)$$ और $$(1,4),(2,-1)$$ एक रैखिक प्रणाली प्राप्त करता है
 * $$ 2s-t=0$$
 * $$s+5t=3$$

और $$s_0=\tfrac{3}{11}, t_0=\tfrac{6}{11}$$. इसका अर्थ है: रेखाएँ बिंदु $$(\tfrac{17}{11},\tfrac{14}{11})$$ पर प्रतिच्छेद करती है।

टिप्पणी: रेखाओं को ध्यान में रखते हुए, खंडों के अतिरिक्त, बिंदुओं के जोड़े द्वारा निर्धारित, प्रत्येक शर्त $$ 0\le s_0,t_0 \le 1 $$ गिराया जा सकता है और विधि रेखाओं (#दो पंक्तियां देखें) के प्रतिच्छेदन बिंदु को उत्पन्न करती है।



एक रेखा और एक वृत्त
प्रतिच्छेदन के लिए
 * रेखा $$ax+by=c$$ और घेरा $$x^2+y^2=r^2$$ one के लिए रेखा समीकरण को समाधान करता है $x$ या $y$ और प्रतिस्थापन (बीजगणित) इसे सर्कल के समीकरण में और समाधान के लिए मिलता है (द्विघात समीकरण के सूत्र का उपयोग करके) $$(x_1,y_1),(x_2,y_2)$$ साथ
 * $$x_{1/2}= \frac{ac\pm b\sqrt{r^2(a^2+b^2)-c^2}}{a^2+b^2} \ ,$$ :$$y_{1/2}= \frac{bc\mp a\sqrt{r^2(a^2+b^2)-c^2}}{a^2+b^2} \, $$

यदि $$ r^2(a^2+b^2)-c^2 > 0 \ .$$ यदि यह स्थिति सख्त असमानता के साथ रहती है, तो दो प्रतिच्छेदन बिंदु होते हैं; इस स्थिति में रेखा को वृत्त की छेदक रेखा कहा जाता है, और प्रतिच्छेदन बिंदुओं को जोड़ने वाले रेखाखंड को वृत्त की जीवा (ज्यामिति) कहा जाता है।

यदि $$ r^2(a^2+b^2)-c^2=0 $$ धारण करता है, केवल एक प्रतिच्छेदन बिंदु उपस्थित है और रेखा वृत्त की स्पर्शरेखा है। यदि कमजोर असमानता पकड़ में नहीं आती है, तो रेखा वृत्त को नहीं काटती है।

यदि वृत्त का मध्य बिंदु मूल बिंदु नहीं है, तो देखें। एक रेखा और एक परवलय या अतिपरवलय के प्रतिच्छेदन को समान रूप से माना जा सकता है।

दो वृत्त
दो हलकों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं का निर्धारण एक रेखा और एक वृत्त को प्रतिच्छेद करने के पिछले स्थिति में घटाया जा सकता है। दिए गए दो समीकरणों को घटाने पर एक रेखा समीकरण प्राप्त होता है:
 * $$(x-x_1)^2+(y-y_1)^2=r_1^2 ,\ \quad (x-x_2)^2+(y-y_2)^2=r_2^2$$
 * $$2(x_2-x_1)x+2(y_2-y_1)y=r_1^2-x_1^2-y_1^2-r_2^2+x_2^2+y_2^2. $$

यह विशेष रेखा दो वृत्तों की मूल रेखा है। विशेष स्थिति $$\;x_1=y_1=y_2=0 $$ : इस स्थिति में मूल बिंदु पहले वृत्त का केंद्र है और दूसरा केंद्र x-अक्ष (s. आरेख) पर स्थित है। कट्टरपंथी रेखा का समीकरण सरल करता है $$\;2x_2x=r_1^2-r_2^2+x_2^2\;$$ और प्रतिच्छेदन बिंदुओं को इस प्रकार लिखा जा सकता है $$(x_0,\pm y_0)$$ साथ
 * $$x_0=\frac{r_1^2-r_2^2+x_2^2}{2x_2},\quad y_0 =\sqrt{r_1^2-x_0^2}\ .$$

के स्थिति में $$r_1^2<x_0^2$$ वृत्तों का कोई उभयनिष्ठ बिंदु नहीं है। के स्थिति में $$r_1^2=x_0^2$$ वृत्तों का एक बिंदु उभयनिष्ठ है और मूल रेखा एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।

जैसा कि ऊपर लिखा गया है, कोई भी सामान्य स्थिति विशेष स्थिति में बदलाव और घुमाव से बदला जा सकता है।

दो डिस्क (गणित) (दो वृत्तों के आंतरिक भाग) का प्रतिच्छेदन एक आकार बनाता है जिसे लेंस (ज्यामिति) कहा जाता है।

दो शांकव खंड
एक दीर्घवृत्त/अतिपरवलय/परवलय के दूसरे शंकु खंड के साथ प्रतिच्छेदन की समस्या द्विघात समीकरणों की एक प्रणाली की ओर ले जाती है, जिसे विशेष मामलों में एक निर्देशांक को हटाकर आसानी से समाधान किया जा सकता है। शंकु परिच्छेदों के विशेष गुणों का उपयोग एक शंकु परिच्छेद प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।सामान्यतः प्रतिच्छेदन बिंदुओं को न्यूटन पुनरावृत्ति द्वारा समीकरण को समाधान करके निर्धारित किया जा सकता है। यदि a) दोनों शांकव निहित रूप से दिए गए हैं (एक समीकरण द्वारा) एक 2-आयामी न्यूटन पुनरावृत्ति b) एक अंतर्निहित रूप से और दूसरा पैरामीट्रिक रूप से दिया गया 1-आयामी न्यूटन पुनरावृत्ति आवश्यक है। अगला भाग देखें।

दो चिकने वक्र
दो वक्र अंदर $$\R^2$$ (द्वि-आयामी स्थान), जो लगातार भिन्न होते हैं (अर्थात कोई तेज मोड़ नहीं है), एक प्रतिच्छेद बिंदु है, अगर उनके पास समतल का एक सामान्य बिंदु है और इस बिंदु पर है
 * अ: विभिन्न स्पर्शरेखा रेखाएँ (ट्रांसवर्सलिटी (गणित) प्रतिच्छेदन), या
 * ब: आम में स्पर्शरेखा रेखा और वे एक दूसरे को पार (प्रतिच्छेदन को छूते हुए, चित्र देखें) कर रहे हैं।

यदि दोनों वक्रों में एक बिंदु है $S$ और स्पर्शरेखा रेखा वहाँ आम है किन्तु एक दूसरे को पार नहीं करते हैं, वे सिर्फ बिंदु पर स्पर्श कर रहे हैं $S$.

क्योंकि छूने वाले प्रतिच्छेदन शायद ही कभी दिखाई देते हैं और इससे निपटना कठिन होता है, निम्नलिखित विचार इस स्थिति को छोड़ देते हैं। किसी भी स्थिति में नीचे सभी आवश्यक अंतर शर्तों को माना जाता है। प्रतिच्छेदन बिंदुओं का निर्धारण हमेशा एक या दो गैर-रैखिक समीकरणों की ओर जाता है जिन्हें न्यूटन पुनरावृत्ति द्वारा समाधान किया जा सकता है। सामने आने वाले स्थितियों की सूची इस प्रकार है:




 * यदि दोनों वक्र स्पष्ट रूप से दिए गए हैं: $$ y=f_1(x), \ y=f_2(x)$$, उन्हें बराबर करने से समीकरण प्राप्त होता है
 * $$f_1(x)=f_2(x) \ .$$


 * यदि दोनों वक्र पैरामीट्रिक रूप से दिए गए हैं: $$C_1: (x_1(t),y_1(t)), \ C_2: (x_2(s),y_2(s)).$$
 * उनकी बराबरी करने से दो चरों में दो समीकरण प्राप्त होते हैं:
 * $$x_1(t)=x_2(s), \ y_1(t)=y_2(s) \ .$$


 * यदि एक वक्र पैरामीट्रिक रूप से और दूसरा अप्रत्यक्ष रूप से दिया गया है: $$C_1: (x_1(t),y_1(t)), \ C_2: f(x,y)=0.$$
 * स्पष्ट स्थिति के अलावा यह सबसे सरल स्थिति है। एक का पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व सम्मिलित करना है $$C_1$$ समीकरण में $$f(x,y)=0$$ वक्र का $$C_2$$ और एक समीकरण प्राप्त करता है:
 * $$f(x_1(t),y_2(t))=0 \ .$$


 * यदि दोनों वक्र निहित रूप से दिए गए हैं: $$C_1: f_1(x,y)=0, \ C_2: f_2(x,y)=0.$$
 * यहाँ, एक प्रतिच्छेदन बिंदु तंत्र का एक समाधान है
 * $$f_1(x,y)=0, \ f_2(x,y)=0 \ .$$

किसी भी न्यूटन पुनरावृत्ति के लिए सुविधाजनक आरंभिक मानों की आवश्यकता होती है, जिसे दोनों वक्रों के विज़ुअलाइज़ेशन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। किसी भी पैरामीटर के कारण पैरामीट्रिक या स्पष्ट रूप से दिए गए वक्र को आसानी से देखा जा सकता है क्योंकि क्रमशः किसी भी पैरामीटर $t$ या $x$  के लिए संबंधित बिंदु की गणना करना आसान है। निहित रूप से दिए गए वक्रों के लिए यह कार्य उतना आसान नहीं है। इस स्थिति में किसी को प्रारंभिक मानों और पुनरावृत्ति की सहायता से एक वक्र बिंदु निर्धारित करना होता है। देखो।

उदाहरण:
 * 1: $$C_1: (t,t^3)$$ और घेरा $$C_2: (x-1)^2+(y-1)^2-10=0$$ (आरेख देखें)।
 * न्यूटन पुनरावृत्ति $$t_{n+1}:=t_n-\frac{f(t_n)}{f'(t_n)}$$ फलन के लिए
 * $$f(t)=(t-1)^2+(t^3-1)^2-10$$ करना ही है। प्रारंभ मान के रूप में -1 और 1.5 चुन सकते हैं।
 * प्रतिच्छेदन बिंदु हैं: (-1.1073, -1.3578), (1.6011, 4.1046)
 * 2:$$C_1: f_1(x,y)=x^4+y^4-1=0,$$
 * $$C_2: f_2(x,y)=(x-0.5)^2+(y-0.5)^2-1=0 $$ (आरेख देखें)।
 * न्यूटन पुनरावृत्ति
 * $${x_{n+1}\choose y_{n+1}}={x_{n}+\delta_x\choose y_n+\delta_y}$$ किया जाना है, जहां $${\delta_x \choose \delta_y}$$ रैखिक प्रणाली का समाधान है
 * $$\begin{pmatrix}

\frac{\partial f_1}{\partial x} & \frac{\partial f_1}{\partial y} \\ \frac{\partial f_2}{\partial x} & \frac{\partial f_2}{\partial y} \end{pmatrix}{\delta_x \choose \delta_y}={-f_1\choose -f_2} $$ बिंदु पर $$(x_n,y_n)$$. प्रारंभिक मानों के रूप में (-0.5, -1) और (1, -0.5) चुन सकते हैं।
 * रैखिक प्रणाली को क्रैमर के नियम से समाधान किया जा सकता है।
 * प्रतिच्छेदन बिंदु (−0.3686, 0.9953) और (0.9953, −0.3686) हैं।

दो बहुभुज
यदि कोई दो बहुभुजों के प्रतिच्छेदन बिंदुओं को निर्धारित करना चाहता है, तो कोई बहुभुजों के रेखा खंडों के किसी भी जोड़े के प्रतिच्छेदन की जाँच कर सकता है (देखें #दो रेखा खंड)। कई खंडों वाले बहुभुजों के लिए यह विधि समय लेने वाली है। व्यवहार में विंडो टेस्ट का उपयोग करके इंटरसेक्शन एल्गोरिथम को तेज करता है। इस स्थिति में एक बहुभुज को छोटे उप-बहुभुजों में विभाजित करता है और किसी भी उप-बहुभुज के लिए सबसे छोटी खिड़की (समन्वय अक्षों के समानांतर पक्षों के साथ आयत) निर्धारित करता है। दो रेखा खंडों के प्रतिच्छेदन बिंदु के समय-उपभोक्ता निर्धारण को शुरू करने से पहले सामान्य बिंदुओं के लिए खिड़कियों की किसी भी जोड़ी का परीक्षण किया जाता है। देखो।

अंतरिक्ष में (तीन आयाम)
3-आयामी अंतरिक्ष में घटता और सतहों के बीच प्रतिच्छेदन बिंदु (सामान्य बिंदु) होते हैं। निम्नलिखित अनुभागों में हम केवल ट्रांसवर्सलिटी (गणित) प्रतिच्छेदन पर विचार करते हैं।

एक रेखा और एक तल
तीन आयामों में सामान्य स्थिति में एक रेखा और एक समतल का प्रतिच्छेदन एक बिंदु है।

सामान्यतः अंतरिक्ष में एक रेखा को पैरामीट्रिक रूप से $$ (x(t),y(t),z(t)) $$ और एक समीकरण $$ax+by+cz=d$$ द्वारा एक समतल का प्रतिनिधित्व करती है। पैरामीटर प्रतिनिधित्व को समीकरण में सम्मिलित करने से रेखीय समीकरण प्राप्त होता है
 * $$ax(t)+by(t)+cz(t)=d\ ,$$

प्रतिच्छेदन बिंदु $$(x(t_0),y(t_0),z(t_0))$$ के पैरामीटर $$t_0$$ के लिए।

यदि रैखिक समीकरण का कोई समाधान नहीं है, तो रेखा या तो समतल पर स्थित होती है या उसके समानांतर होती है।

तीन समतल
यदि एक रेखा को दो अन्तर्विभाजक समतलों $$\varepsilon_i: \ \vec n_i\cdot\vec x=d_i, \ i=1,2$$ द्वारा परिभाषित किया गया है और इसे तीसरे समतल $$\varepsilon_3: \ \vec n_3\cdot\vec x=d_3 $$ द्वारा प्रतिच्छेदित किया जाना चाहिए, तीन समतलों के सामान्य प्रतिच्छेदन बिंदु का मूल्यांकन किया जाना है।

तीन समतल $$\varepsilon_i: \ \vec n_i\cdot\vec x=d_i, \ i=1,2,3 $$ रैखिक स्वतंत्र सामान्य वैक्टर के साथ $$ \vec n_1,\vec n_2, \vec n_3$$ प्रतिच्छेदन बिंदु है
 * $$ \vec p_0=\frac{d_1(\vec n_2\times \vec n_3) +d_2(\vec n_3\times \vec n_1) + d_3(\vec n_1\times \vec n_2)}{\vec n_1\cdot(\vec n_2\times \vec n_3)} \ .$$
 * प्रमाण के लिए एक अदिश ट्रिपल उत्पाद के नियमों का उपयोग करके $$\vec n_i\cdot\vec p_0=d_i, \ i=1,2,3, $$ स्थापित करना चाहिए। यदि स्केलर ट्रिपल उत्पाद 0 के बराबर है, तो समतलों में ट्रिपल प्रतिच्छेद नहीं है या यह एक रेखा (या एक समतल, यदि सभी तीन समतल समान हैं) है।

एक वक्र और एक सतह
समतल स्थिति के अनुरूप निम्नलिखित स्थिति गैर-रैखिक प्रणालियों की ओर ले जाते हैं, जिन्हें 1- या 3-आयामी न्यूटन पुनरावृत्ति का उपयोग करके समाधान किया जा सकता है।
 * पैरामीट्रिक वक्र $$C: (x(t),y(t),z(t)) $$ और
 * पैरामीट्रिक सतह $$S: (x(u,v),y(u,v),z(u,v))\ ,$$


 * पैरामीट्रिक वक्र $$C: (x(t),y(t),z(t)) $$ और
 * अंतर्निहित सतह $$ S: f(x,y,z)=0\ .$$

उदाहरण:
 * पैरामीट्रिक वक्र $$C: (t,t^2,t^3)$$ और
 * अंतर्निहित सतह $$S: x^4+y^4+z^4-1=0$$ (सं। चित्र)।
 * प्रतिच्छेदन बिंदु हैं: (-0.8587,-0.7374,-0.6332), (0.8587,-0.7374,-0.6332)।

एक रेखा-गोला प्रतिच्छेद एक साधारण विशेष स्थिति है।

एक रेखा और एक समतल के स्थिति की तरह, वक्र के प्रतिच्छेदन और सामान्य स्थिति में एक सतह में असतत बिंदु होते हैं, किन्तु एक वक्र आंशिक रूप से या पूरी तरह से एक सतह में समाहित हो सकता है।

दो सतह
दो अनुप्रस्थ रूप से प्रतिच्छेद करने वाली सतहें एक प्रतिच्छेदन वक्र देती हैं। सबसे सरल स्थिति दो गैर-समानांतर समतलों की प्रतिच्छेदन रेखा है।

यह भी देखें

 * विश्लेषणात्मक ज्यामिति # प्रतिच्छेद
 * कम्प्यूटेशनल ज्यामिति
 * एक रेखा का समीकरण
 * प्रतिच्छेद (सेट सिद्धांत)
 * प्रतिच्छेदन सिद्धांत

आगे की पढाई

 * Nicholas M. Patrikalakis and Takashi Maekawa, Shape Interrogation for Computer Aided Design and Manufacturing, Springer, 2002, ISBN 3540424547, 9783540424543, pp. 408.