भाज्य क्षण

संभाव्यता सिद्धांत में, भाज्य क्षण गणितीय मात्रा है जिसे यादृच्छिक चर के गिरते भाज्य के अपेक्षित मूल्य या औसत के रूप में परिभाषित किया गया है। गैर-नकारात्मक पूर्णांक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का अध्ययन करने के भाज्य क्षण उपयोगी होते हैं, और असतत यादृच्छिक चर के क्षणों को प्राप्त करने के लिए संभाव्यता-उत्पादक कार्यों के उपयोग में उत्पन्न होते हैं।

भाज्य क्षण कॉम्बिनेटरिक्स के गणितीय क्षेत्र में विश्लेषणात्मक उपकरण के रूप में कार्य करते हैं, जो असतत गणितीय संरचनाओं का अध्ययन है।

==परिभाषा                                                                                                                                                                                                                              == एक प्राकृतिक संख्या के लिए $r$, -वास्तविक या सम्मिश्र संख्याओं पर संभाव्यता वितरण का $r$-वाँ तथ्यात्मक क्षण, या, दूसरे शब्दों में, यादृच्छिक चर $X$ उस संभाव्यता वितरण के साथ है
 * $$\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] = \operatorname{E}\bigl[ X(X-1)(X-2)\cdots(X-r+1)\bigr],$$

जहां $E$ अपेक्षित संचालक है और


 * $$(x)_r := \underbrace{x(x-1)(x-2)\cdots(x-r+1)}_{r \text{ factors}} \equiv \frac{x!}{(x-r)!}$$

स्खलन भाज्य है, जो नाम को जन्म देता है, यद्यपि संकेतन $(x)_{r}$ गणितीय क्षेत्र के आधार पर भिन्न होता है।  परिभाषा के लिए आवश्यक है कि अपेक्षा सार्थक हो, जो कि $(x)_{r}$ या $x(x - 1)(x - 2) ... (x - r + 1)$ स्थिति है.

यदि $(X)_{r} ≥ 0$, $E [$ परीक्षणों में सफलताओं की संख्या है और $X$ संभावना है कि $n$ परीक्षणों में से कोई भी $p_{r}$ सभी सफल हैं,
 * $$\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] = n(n-1)(n-2)\cdots(n-r+1)p_r$$

==उदाहरण                                                                                                                                                                                                                                  ==

पॉइसन वितरण
यदि यादृच्छिक चर $n$ में मापदंड λ के साथ पॉइसन वितरण है, फिर के भाज्य क्षण $r$ हैं


 * $$\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] =\lambda^r,$$

जो पॉइसन वितरण उच्च क्षणों की तुलना में सरल रूप में हैं, जिसमें दूसरे प्रकार की स्टर्लिंग संख्याएं सम्मिलित हैं।

द्विपद बंटन
यदि यादृच्छिक चर $X$ सफलता की संभावना के साथ द्विपद वितरण है $X$$[0,1]$ और परीक्षणों की संख्या $X$, फिर के तथ्यात्मक क्षण $p ∈$ हैं
 * $$\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] = \binom{n}{r} p^r r! = (n)_r p^r,$$

जहां सम्मेलन द्वारा, $$\textstyle{\binom{n}{r}} $$ और $$(n)_r$$ यदि r > n हो तो शून्य समझा जाता है।

हाइपरज्यामितीय वितरण
यदि यादृच्छिक चर $n$ में जनसंख्या आकार के साथ हाइपरज्यामितीय वितरण $X$ है, सफलता की स्थिति की संख्या $X$ जनसंख्या में, और खींचता n ∈ {0,...,N}} है , फिर के तथ्यात्मक क्षण $N$ हैं


 * $$\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] = \frac{\binom{K}{r}\binom{n}{r}r!}{\binom{N}{r}} = \frac{(K)_r (n)_r}{(N)_r}. $$

बीटा-द्विपद बंटन
यदि यादृच्छिक चर $K ∈ {0,...,N}$ में मापदंडों के साथ बीटा-द्विपद वितरण $X$, $X$ है, और परीक्षणों की संख्या $α > 0$, फिर के तथ्यात्मक क्षण $β > 0$  हैं


 * $$\operatorname{E}\bigl[(X)_r\bigr] = \binom{n}{r}\frac{B(\alpha+r,\beta)r!}{B(\alpha,\beta)} =

(n)_r \frac{B(\alpha+r,\beta)}{B(\alpha,\beta)} $$

क्षणों की गणना
एक यादृच्छिक चर X का वां कच्चा क्षण सूत्र द्वारा इसके भाज्य क्षणों के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$\operatorname{E}[X^r] = \sum_{j=0}^r \left\{ {r \atop j} \right\} \operatorname{E}[(X)_j], $$

जहां तरंगित ब्रेसिज़ दूसरी तरह की स्टर्लिंग संख्याओं को दर्शाते हैं।

यह भी देखें

 * भाज्य क्षण माप
 * क्षण (गणित)
 * संचयक
 * भाज्य मोमेंट जनरेटिंग फलन