आदिम भाग और सामग्री

बीजगणित में, पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद की सामग्री (या, सम्मिलित, एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन में गुणांक के साथ) इसके गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है। इस तरह के बहुपद का आदिम भाग बहुपद का भागफल होता है। इस प्रकार एक बहुपद इसके आदिम भाग और इसकी सामग्री का उत्पाद है, और यह गुणन गुणांक की अंगूठी (गणित) की एक इकाई (रिंग थ्योरी) द्वारा सामग्री के गुणन तक अद्वितीय है (और आदिम भाग का गुणन) इकाई के गुणक व्युत्क्रम द्वारा)।

एक बहुपद आदिम है यदि इसकी सामग्री 1 के बराबर है। इस प्रकार एक बहुपद का आदिम भाग एक आदिम बहुपद है।

गॉस की प्रमेयिका (बहुपद) | बहुपदों के लिए गॉस की प्रमेयिका बताती है कि आदिम बहुपदों का गुणनफल (समान अद्वितीय गुणनखंड डोमेन में गुणांक के साथ) भी आदिम है। इसका तात्पर्य यह है कि दो बहुपदों के उत्पाद की सामग्री और आदिम भाग क्रमशः सामग्री का उत्पाद और आदिम भागों का उत्पाद है।

जैसा कि सबसे बड़े आम विभाजकों की गणना बहुपद गुणनखंडन की तुलना में आम तौर पर बहुत आसान है, बहुपद गुणनखंड एल्गोरिथ्म का पहला चरण आम तौर पर इसके आदिम भाग-सामग्री गुणनखंड की गणना है (देखें ). फिर सामग्री और आदिम भाग को अलग-अलग करने के लिए गुणनखंडन समस्या को कम किया जाता है।

सामग्री और आदिम भाग को तर्कसंगत संख्याओं पर बहुपदों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, और अधिक आम तौर पर, एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन के अंशों के क्षेत्र में बहुपदों के लिए। बीजगणित में, पूर्णांक गुणांक वाले एक शून्येतर बहुपद की सामग्री (या, अधिक सामान्यतः, एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन में गुणांक के साथ) इसके गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है। इस तरह के बहुपद का आदिम भाग बहुपद का भागफल होता है। यह अनिवार्य रूप से परिमेय संख्याओं पर पूर्णांकों और बहुपदों पर बहुपदों के गुणनखंडन और बहुपदों के सबसे बड़े सामान्य विभाजक की गणना की समस्याओं को समतुल्य बनाता है।

पूर्णांक से अधिक
पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के लिए, सामग्री या तो गुणांक का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक या इसका योगात्मक व्युत्क्रम हो सकता है। पसंद मनमाना है, और एक और सम्मेलन पर निर्भर हो सकता है, जो सम्मिलित आदिम भाग का अग्रणी गुणांक सकारात्मक होता है।

उदाहरण के लिए, की सामग्री $$-12x^3+30x-20$$ या तो 2 या −2 हो सकता है, क्योंकि 2 −12, 30 और −20 का महत्तम समापवर्तक है। यदि कोई 2 को सामग्री के रूप में चुनता है, तो इस बहुपद का आदिम भाग है
 * $$-6x^3+15x-10 = \frac{-12x^3+30x-20}{2},$$

और इस प्रकार आदिम-भाग-सामग्री गुणनखंड है
 * $$-12x^3+30x-20 = 2 (-6x^3+15x-10).$$

सौन्दर्य संबंधी कारणों से, कोई अक्सर एक नकारात्मक सामग्री को चुनना पसंद करता है, यहाँ -2, आदिम-भाग-सामग्री गुणनखंड देता है
 * $$-12x^3+30x-20 =-2 (6x^3-15x+10).$$

गुण
इस लेख के शेष भाग में, हम एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन पर बहुपदों पर विचार करते हैं $R$, जो सम्मिलित पूर्णांक # बीजगणितीय गुणों का वलय हो सकता है, या एक क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद वलय हो सकता है। में $R$, सबसे बड़ा सामान्य विभाजक # कम्यूटेटिव रिंग्स में अच्छी तरह से परिभाषित हैं, और एक यूनिट (रिंग थ्योरी) द्वारा गुणा करने के लिए अद्वितीय हैं $R$.

यो विषय वस्तु $c(P)$ बहुपद का $P$ में गुणांक के साथ $R$ इसके गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है, और, जैसे, एक इकाई द्वारा गुणन तक परिभाषित किया गया है। आदिम भाग $pp(P)$ का $P$ भागफल है $P/c(P)$ का $P$ इसकी सामग्री द्वारा; यह एक बहुपद है जिसमें गुणांक हैं $R$, जो एक इकाई द्वारा गुणा करने के लिए अद्वितीय है। यदि सामग्री को एक इकाई द्वारा गुणा करके बदल दिया जाता है $u$, तो समानता बनाए रखने के लिए आदिम भाग को उसी इकाई से विभाजित करके बदला जाना चाहिए $$P = c(P) \operatorname{pp}(P),$$ जिसे प्रिमिटिव-पार्ट-कंटेंट फैक्टराइजेशन कहा जाता है $P$.

सामग्री और आदिम भाग के मुख्य गुण गॉस के लेम्मा (बहुपद) | गॉस के लेम्मा के परिणाम हैं, जो दावा करता है कि दो आदिम बहुपदों का उत्पाद आदिम है, जहां एक बहुपद आदिम है यदि 1 इसके गुणांकों का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक है। यह संकेत करता है:
 * बहुपदों के उत्पाद की सामग्री उनकी सामग्री का उत्पाद है: $$c(P_1 P_2) = c(P_1) c(P_2).$$
 * बहुपदों के गुणनफल का आदिम भाग उनके आदिम भागों का गुणनफल होता है: $$ \operatorname{pp}(P_1 P_2) = \operatorname{pp}(P_1) \operatorname{pp}(P_2).$$
 * बहुपदों के महानतम सामान्य भाजक की सामग्री सबसे बड़ा सामान्य भाजक (में $R$) उनकी सामग्री का: $$ c(\operatorname{gcd}(P_1, P_2)) = \operatorname{gcd}(c(P_1), c(P_2)).$$
 * बहुपदों के महानतम सामान्य भाजक का आदिम भाग सबसे बड़ा सामान्य भाजक (में $R$) उनके आदिम भागों में: $$ \operatorname{pp}(\operatorname{gcd}(P_1, P_2)) = \operatorname{gcd}(\operatorname{pp}(P_1), \operatorname{pp}(P_2)).$$
 * एक बहुपद के बहुपदों का पूर्ण गुणनखंडन $R$ गुणनखंड का उत्पाद है (में $R$) आदिम भाग की सामग्री और गुणनखंडन (बहुपद वलय में)।

अंतिम संपत्ति का अर्थ है कि एक बहुपद के आदिम-भाग-सामग्री के गुणन की गणना सामग्री के अलग-अलग गुणनखंड और आदिम भाग के पूर्ण गुणन की गणना को कम कर देती है। यह आम तौर पर दिलचस्प है, क्योंकि प्राइम-पार्ट-कंटेंट फ़ैक्टराइज़ेशन की गणना में केवल सबसे बड़ा सामान्य विभाजक संगणना शामिल है $R$, जो सम्मिलित गुणनखंडन से कहीं अधिक आसान है।

तर्कसंगत से अधिक
प्रिमिटिव-पार्ट-कंटेंट फैक्टराइजेशन को परिमेय गुणांक वाले बहुपदों तक इस प्रकार बढ़ाया जा सकता है।

एक बहुपद दिया $P$ परिमेय गुणांकों के साथ, समान भाजक के साथ इसके गुणांकों को फिर से लिखकर $d$, कोई फिर से लिख सकता है $P$ जैसा
 * $$P=\frac{Q}{d},$$

कहाँ $Q$ पूर्णांक गुणांक वाला एक बहुपद है। की सामग्री $P$ द्वारा भागफल है $d$ की सामग्री $Q$, वह है
 * $$c(P)=\frac{c(Q)}{d},$$

और आदिम भाग $P$ का आदिम भाग है $Q$:
 * $$\operatorname{pp}(P) = \operatorname{pp}(Q).$$

यह दिखाना आसान है कि यह परिभाषा सामान्य विभाजक की पसंद पर निर्भर नहीं करती है, और यह कि आदिम-भाग-सामग्री कारक मान्य रहता है:
 * $$P=c(P)\operatorname{pp}(P).$$

इससे पता चलता है कि परिमेय पर प्रत्येक बहुपद पूर्णांक पर एक अद्वितीय आदिम बहुपद के साथ सहयोगी तत्व है, और यह कि यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म इस आदिम बहुपद की गणना की अनुमति देता है।

एक परिणाम यह है कि परिमेय पर बहुपदों का गुणनखंडन पूर्णांकों पर आदिम बहुपदों के गुणनखंडन के बराबर है। चूंकि एक क्षेत्र में गुणांक वाले बहुपद पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों की तुलना में अधिक सामान्य हैं, ऐसा लग सकता है कि इस तुल्यता का उपयोग पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के गुणनखंड के लिए किया जा सकता है। वास्तव में, सच्चाई बिल्कुल विपरीत है: तर्कसंगत गुणांक वाले बहुपदों को फैक्टर करने के लिए प्रत्येक ज्ञात कुशल एल्गोरिदम समस्या मॉड्यूलर अंकगणित को कुछ प्रमुख संख्या को कम करने के लिए इस समानता का उपयोग करता है। $p$ (बहुपदों का गुणनखंड देखें)।

इस तुल्यता का उपयोग बहुपदों के महानतम सामान्य विभाजकों की गणना के लिए भी किया जाता है, हालांकि यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को परिमेय गुणांक वाले बहुपदों के लिए परिभाषित किया गया है। वास्तव में, इस मामले में, यूक्लिडियन एल्गोरिथम को कई भिन्नों के अलघुकरणीय अंश की गणना करने की आवश्यकता होती है, और यह यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म को एल्गोरिदम की तुलना में कम कुशल बनाता है जो केवल पूर्णांकों पर बहुपदों के साथ काम करता है (बहुपद सबसे बड़ा सामान्य विभाजक देखें)।

अंशों के क्षेत्र में
पूर्ववर्ती खंड के परिणाम मान्य रहते हैं यदि पूर्णांक # बीजगणितीय गुणों की अंगूठी और परिमेय के क्षेत्र को क्रमशः किसी अद्वितीय गुणनखंड डोमेन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $R$ और इसके अंशों का क्षेत्र $K$.

यह सम्मिलित बहुभिन्नरूपी बहुपदों को फैक्टर करने के लिए उपयोग किया जाता है, और गणितीय प्रमाण के लिए कि एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन पर बहुपद की अंगूठी भी एक अद्वितीय गुणनखंड डोमेन है।

बहुपद वलयों का अद्वितीय गुणनखंडन गुण
एक क्षेत्र (गणित) पर एक बहुपद वलय एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन है। एक अद्वितीय कारककरण डोमेन पर बहुपद अंगूठी के लिए भी यही सच है। इसे साबित करने के लिए, यह अविभाज्य मामले पर विचार करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि सामान्य मामले को गणितीय प्रेरण द्वारा अनिश्चितताओं की संख्या से घटाया जा सकता है।

यूक्लिड की लेम्मा का एक सीधा परिणाम अद्वितीय गुणनखंड है: यदि एक अलघुकरणीय तत्व किसी उत्पाद को विभाजित करता है, तो यह कारकों में से एक को विभाजित करता है। एक क्षेत्र पर एकतरफा बहुपदों के लिए, यह बेज़ाउट की पहचान से उत्पन्न होता है, जो स्वयं यूक्लिडियन एल्गोरिथम से उत्पन्न होता है।

तो चलो $R$ एक अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन हो, जो एक फ़ील्ड नहीं है, और $R[X]$ अविभाजित बहुपद वलय $R$. एक अलघुकरणीय तत्व $r$ में $R[X]$ या तो एक अप्रासंगिक तत्व है $R$ या एक अलघुकरणीय आदिम बहुपद।

अगर $r$ में है $R$ और एक उत्पाद को विभाजित करता है $$P_1P_2$$ दो बहुपदों का, फिर यह सामग्री को विभाजित करता है $$c(P_1P_2) = c(P_1)c(P_2).$$ इस प्रकार, यूक्लिड की लेम्मा द्वारा $R$, यह सामग्री में से एक को विभाजित करता है, और इसलिए बहुपदों में से एक।

अगर $r$ क्या नहीं है $R$, यह एक आदिम बहुपद है (क्योंकि यह अप्रासंगिक है)। फिर यूक्लिड की लेम्मा इन $R[X]$ यूक्लिड की लेम्मा से तुरंत परिणाम देता है $K[X]$, कहाँ $K$ के अंशों का क्षेत्र है $R$.

बहुभिन्नरूपी बहुपदों का गुणनखंड
एक क्षेत्र या पूर्णांक पर एक बहुभिन्नरूपी बहुपद को फ़ैक्टर करने के लिए, इसे एक बहुपद बहुपद के रूप में एक बहुपद बहुपद के रूप में माना जा सकता है जिसमें एक कम अनिश्चित है। फिर प्राथमिक भाग और सामग्री को अलग-अलग करने के लिए गुणनखंड को कम किया जाता है। चूंकि सामग्री में एक कम अनिश्चित है, इसे विधि पुनरावर्तन (कंप्यूटर विज्ञान) को लागू करके कारक बनाया जा सकता है। आदिम भाग को गुणनखंडित करने के लिए, मानक विधि में गुणांकों के अनिर्धारकों के लिए पूर्णांकों को इस तरह से प्रतिस्थापित करना शामिल है, जो शेष चर में बहुपद की डिग्री को नहीं बदलता है, परिणामी अविभाज्य बहुपद को गुणनखंडित करता है, और परिणाम को गुणनखंड में ऊपर उठाता है। आदिम भाग।

यह भी देखें

 * वाजिब जड़ प्रमेय

संदर्भ

 * Page 181 of
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