मेटालॉजिक

मेटालॉजिक लॉजिक के मेटा सिद्धांत का अध्ययन है। जबकि लॉजिक अध्ययन करता है कि वैधता (लॉजिक) और सुदृढ़ता लॉजिकों के निर्माण के लिए औपचारिक प्रणालियों का उपयोग कैसे किया जा सकता है मेटालोगिक तार्किक प्रणालियों के गुणों का अध्ययन करता है। लॉजिक उन सत्यों से संबंधित है जो तार्किक प्रणाली का उपयोग करके प्राप्त किए जा सकते हैं; धातु विज्ञान उन सत्यों से संबंधित है जो औपचारिक भाषा और प्रणालियों के बारे में प्राप्त किए जा सकते हैं जिनका उपयोग सत्य को व्यक्त करने के लिए किया जाता है।

मेटालॉजिकल अध्ययन की मूल वस्तुएँ औपचारिक भाषाएँ औपचारिक प्रणालियाँ और उनकी व्याख्या (लॉजिक) हैं। औपचारिक प्रणालियों की व्याख्या का अध्ययन गणितीय लॉजिक की शाखा है जिसे मॉडल सिद्धांत के रूप में जाना जाता है और निगमनात्मक प्रणालियों का अध्ययन वह शाखा है जिसे प्रमाण सिद्धांत के रूप में जाना जाता है।

औपचारिक भाषा
एक औपचारिक भाषा प्रतीक (औपचारिक) का एक संगठित समूह है जिसके प्रतीक इसे आकार और स्थान से स्पष्ट रूप से परिभाषित करते हैं। इस तरह की भाषा को इसके भावों के अर्थ (भाषाविज्ञान) के संदर्भ के बिना परिभाषित किया जा सकता है यह किसी भी व्याख्या (लॉजिक) को सौंपे जाने से पहले उपस्थित हो सकता है - जिससे इससे पहले कि इसका कोई अर्थ हो पहले क्रम का लॉजिक कुछ औपचारिक भाषा में व्यक्त किया जाता है। एक औपचारिक व्याकरण यह निर्धारित करता है कि औपचारिक भाषा में कौन से प्रतीकों और प्रतीकों के समूह अच्छी तरह से गठित सूत्र हैं।

एक औपचारिक भाषा को औपचारिक रूप से एक निश्चित वर्णमाला α पर स्ट्रिंग्स (परिमित अनुक्रम) के समुच्चय A के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। रुडोल्फ कार्नाप सहित कुछ लेखक भाषा को आदेशित जोड़ी <α, A> के रूप में परिभाषित करते हैं। कार्नैप की यह भी आवश्यकता है कि α का प्रत्येक तत्व A में कम से कम एक स्ट्रिंग में होना चाहिए।

गठन नियम
नियम निर्माण (औपचारिक व्याकरण भी कहा जाता है) औपचारिक भाषा के अच्छी तरह से गठित सूत्रों का एक स्पष्ट विवरण है। वे औपचारिक भाषा के वर्णमाला पर स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) के समुच्चय (गणित) के पर्यायवाची हैं जो अच्छी तरह से गठित सूत्र बनाते हैं। चूँकि यह उनके शब्दार्थ (अर्थात उनका क्या अर्थ है) का वर्णन नहीं करता है।

औपचारिक प्रणाली
एक औपचारिक प्रणाली (जिसे लॉजिकल कैलकुलस या लॉजिकल प्रणाली भी कहा जाता है) में वियोजक प्रणाली (जिसे वियोजक प्रणाली भी कहा जाता है) के साथ एक औपचारिक भाषा होती है। कटौतीत्मक तंत्र में अनुमानों के नियम (जिसे निष्कर्ष नियम भी कहा जाता है) या स्वयंसिद्ध का एक समुच्चय सम्मिलित हो सकता है, या दोनों हो सकते हैं। एक औपचारिक प्रणाली का उपयोग सिद्धांत को एक या एक से अधिक अन्य अभिव्यक्तियों से एक अभिव्यक्ति के लिए किया जाता है।

एक औपचारिक प्रणाली को औपचारिक रूप से एक आदेशित ट्रिपल <α, $$\mathcal{I}$$, $$\mathcal{D}$$ d> के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जहां $$\mathcal{D}$$d प्रत्यक्ष व्युत्पन्नता का संबंध है। इस संबंध को एक व्यापक अर्थ और संदर्भ में समझा जाता है जैसे औपचारिक प्रणाली के आदिम वाक्यों को वाक्यों के खाली समुच्चय से सीधे औपचारिक प्रमाण के रूप में लिया जाता है। प्रत्यक्ष व्युत्पन्नता एक वाक्य और एक परिमित संभवतः खाली वाक्यों के बीच का संबंध है। अभिगृहीत इस प्रकार चुने जाते हैं कि $$\mathcal{D}$$d  प्रत्येक प्रथम स्थान का सदस्य $$\mathcal{I}$$ का सदस्य होता है और हर दूसरे स्थान का सदस्य $$\mathcal{I}$$ का परिमित उपसमुच्चय है

एक औपचारिक प्रणाली को भी केवल संबंध $$\mathcal{D}$$d से परिभाषित किया जा सकता है। इस प्रकार व्याख्या की गई औपचारिक भाषा और व्याख्या की गई औपचारिक प्रणाली की परिभाषाओं में $$\mathcal{I}$$ और α को छोड़ा जा सकता है। चूँकि इस विधि को समझना और उपयोग करना अधिक कठिन हो सकता है।।

औपचारिक प्रमाण
एक औपचारिक प्रमाण एक औपचारिक भाषा के अच्छी तरह से गठित सूत्रों का एक क्रम है जिनमें से अंतिम एक औपचारिक प्रणाली का एक प्रमेय है। प्रमेय सभी सुगठित सूत्रों का एक तार्किक परिणाम है जो प्रमाण प्रणाली में इसके पहले आता है। प्रमाण के भाग के रूप में अर्हता प्राप्त करने के लिए एक अच्छी तरह से गठित सूत्र के लिए प्रमाण अनुक्रम में पिछले अच्छी तरह से गठित सूत्रों के लिए कुछ औपचारिक प्रणाली के निगमनात्मक उपकरण के नियम को प्रयुक्त करने का परिणाम होना चाहिए।

व्याख्या
एक औपचारिक प्रणाली की व्याख्या प्रतीकों और सत्य मूल्य | सत्य-मूल्यों को औपचारिक प्रणाली के वाक्यों के अर्थ का असाइनमेंट है। व्याख्याओं के अध्ययन को औपचारिक शब्दार्थ (लॉजिक) कहा जाता है। एक व्याख्या देना एक संरचना (गणितीय लॉजिक) के निर्माण का पर्याय है।

धातुभाषा-वस्तु भाषा
मेटलॉजिक में, औपचारिक भाषाओं को कभी-कभी वस्तु भाषा कहा जाता है। किसी वस्तु भाषा के बारे में बयान देने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली भाषा को धातुभाषा कहा जाता है। यह भेद लॉजिकशास्त्र और धातुविज्ञान के बीच एक महत्वपूर्ण अंतर है। जबकि लॉजिक एक औपचारिक प्रणाली में प्रमाण के साथ व्यवहार करता है, कुछ औपचारिक भाषा में व्यक्त किया जाता है, मेटलॉजिक एक औपचारिक प्रणाली के प्रमाण के साथ व्यवहार करता है जो कुछ वस्तु भाषा के बारे में धातुभाषा में व्यक्त किया जाता है।

वाक्य-विन्यास
मेटालॉजिक में, 'वाक्यविन्यास' का औपचारिक भाषाओं या औपचारिक प्रणालियों के साथ उनकी किसी भी व्याख्या के बिना करना होता है, जबकि 'शब्दार्थ' का औपचारिक भाषाओं की व्याख्याओं से लेना-देना होता है। 'सिंटैक्टिक' शब्द का 'प्रूफ-सैद्धांतिक' की तुलना में थोड़ा व्यापक दायरा है, क्योंकि इसे औपचारिक भाषाओं के गुणों के साथ-साथ औपचारिक प्रणालियों के बिना भी प्रयुक्त किया जा सकता है। 'सिमेंटिक' 'मॉडल-सैद्धांतिक' का पर्याय है।

उपयोग–उल्लेख
मेटलॉजिक में, शब्द 'उपयोग' और 'उल्लेख', उनके संज्ञा और क्रिया दोनों रूपों में, एक महत्वपूर्ण भेद की पहचान करने के लिए तकनीकी अर्थ लेते हैं। उपयोग-उल्लेख भेद (कभी-कभी शब्द-के-शब्द भेद के रूप में संदर्भित) एक शब्द (या वाक्यांश) का उपयोग करने और इसका उल्लेख करने के बीच का अंतर है। आमतौर पर यह इंगित किया जाता है कि एक अभिव्यक्ति का उपयोग उद्धरण चिह्नों में संलग्न करने, इसे इटैलिक में प्रिंट करने, या अभिव्यक्ति को स्वयं एक पंक्ति में समुच्चय करने के बजाय किया जा रहा है। किसी व्यंजक के उद्धरणों में संलग्न होने से हमें एक व्यंजक का नाम मिलता है, उदाहरण के लिए:


 * 'मेटालॉजिक' इस लेख का नाम है।
 * यह लेख मेटालॉजिक के बारे में है।

टाइप-टोकन
टाइप-टोकन भेद धातुविज्ञान में एक भेद है, जो एक अमूर्त अवधारणा को उन वस्तुओं से अलग करता है जो अवधारणा के विशेष उदाहरण हैं। उदाहरण के लिए, आपके गैरेज में विशेष साइकिल साइकिल के रूप में जानी जाने वाली चीज़ के प्रकार-टोकन भेद का एक टोकन है। जबकि, आपके गैरेज में साइकिल एक विशेष समय में एक विशेष स्थान पर है, यह वाक्य में प्रयुक्त साइकिल के लिए सही नहीं है: साइकिल हाल ही में अधिक लोकप्रिय हो गई है। औपचारिक भाषाओं के प्रतीक (औपचारिक) के अर्थ को स्पष्ट करने के लिए इस भेद का प्रयोग किया जाता है।

इतिहास
अरस्तू के समय से धातु संबंधी प्रश्न पूछे जाते रहे हैं। हालांकि, 19वीं सदी के अंत और 20वीं सदी की शुरुआत में औपचारिक भाषाओं के उदय के साथ ही लॉजिक की नींव की जांच फलने-फूलने लगी। 1904 में, डेविड हिल्बर्ट ने देखा कि गणित की नींव की जाँच में तार्किक धारणाएँ पूर्वकल्पित हैं, और इसलिए मेटालॉजिकल और मेटामैथमैटिक्स सिद्धांतों के एक साथ खाते की आवश्यकता थी। आज, मेटालोगिक और मेटामैथमैटिक्स काफी हद तक एक दूसरे के पर्यायवाची हैं, और दोनों को अकादमिक क्षेत्र में गणितीय लॉजिक द्वारा पर्याप्त रूप से सम्मिलित किया गया है। चार्ल्स सैंडर्स पियर्स और अन्य लाक्षणिकता के लेखन में एक संभावित वैकल्पिक, कम गणितीय मॉडल पाया जा सकता है।

परिणाम
मेटलॉजिक में परिणाम औपचारिक प्रमाण के रूप में ऐसी चीजों से मिलकर बनता है जो विशेष औपचारिक प्रणालियों की स्थिरता, पूर्णता (लॉजिक) और निर्णायकता (लॉजिक) का प्रदर्शन करता है।

मेटालॉजिक में प्रमुख परिणामों में सम्मिलित हैं:


 * प्राकृतिक संख्याओं के घात समुच्चय की बेशुमारता का प्रमाण (कैंटोर प्रमेय 1891)
 * लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय (लियोपोल्ड लोवेनहेम 1915 और थोराल्फ़ स्कोलेम 1919)
 * ट्रूथ-फंक्शनल प्रस्तावक कलन की निरंतरता का प्रमाण (एमिल लियोन पोस्ट 1920)
 * सत्य-कार्यात्मक प्रस्तावपरक लॉजिक की शब्दार्थ पूर्णता का प्रमाण (पॉल बर्नेज़ 1918), (एमिल पोस्ट 1920) * सत्य-कार्यात्मक प्रस्तावपरक लॉजिक की वाक्यात्मक पूर्णता का प्रमाण (एमिल पोस्ट 1920) * सत्य-कार्यात्मक प्रस्तावपरक लॉजिक की निर्णायकता का प्रमाण (एमिल पोस्ट 1920) * प्रथम-क्रम मोनाडिक विधेय कलन की संगति का प्रमाण (लियोपोल्ड लोवेनहेम 1915)
 * प्रथम-क्रम के मठिक विधेय लॉजिक (लियोपोल्ड लोवेनहेम 1915) की शब्दार्थ पूर्णता का प्रमाण
 * पहले क्रम के मठवासी विधेय लॉजिक की निर्णायकता का प्रमाण (लियोपोल्ड लोवेनहेम 1915)
 * प्रथम-क्रम विधेय लॉजिक की निरंतरता का प्रमाण (डेविड हिल्बर्ट और विल्हेम एकरमैन 1928)
 * प्रथम-क्रम विधेय लॉजिक की शब्दार्थ पूर्णता का प्रमाण (गोडेल की पूर्णता प्रमेय 1930)
 * अनुक्रमिक कैलकुलस के लिए कट-उन्मूलन प्रमेय का प्रमाण (गेरहार्ड जेंटजन का हाउप्ट्सत्ज़ 1934)
 * प्रथम-क्रम विधेय लॉजिक की अनिर्णयता का प्रमाण (Entscheidungsproblem|चर्च का प्रमेय 1936)
 * गोडेल की अपूर्णता प्रमेय#प्रथम अपूर्णता प्रमेय|गोडेल की प्रथम अपूर्णता प्रमेय 1931
 * गोडेल का अधूरापन प्रमेय#दूसरा अपूर्णता प्रमेय|गोडेल का दूसरा अपूर्णता प्रमेय 1931
 * टार्स्की की अनिर्धारणीयता प्रमेय (1930 के दशक में गोडेल और टार्स्की)

यह भी देखें

 * मेटालॉजिक प्रोग्रामिंग
 * मेटामैथमैटिक्स