शंकु अनुकूलन

कॉनिक ऑप्टिमाइज़ेशन उत्तल अनुकूलन का एक उपक्षेत्र है जो एक affine उपक्षेत्र और उत्तल शंकु के चौराहे पर उत्तल फ़ंक्शन को कम करने वाली समस्याओं का अध्ययन करता है।

शंकु अनुकूलन समस्याओं के वर्ग में उत्तल अनुकूलन समस्याओं के कुछ सबसे प्रसिद्ध वर्ग शामिल हैं, अर्थात् रैखिक प्रोग्रामिंग और अर्ध निश्चित प्रोग्रामिंग।

परिभाषा
एक वास्तविक संख्या सदिश स्थान X दिया गया है, एक उत्तल फलन, वास्तविक-मूल्यवान फलन (गणित)


 * $$f:C \to \mathbb R$$

एक उत्तल शंकु पर परिभाषित $$C \subset X$$, और एक affine उप-स्थान $$\mathcal{H}$$ Affine रूपांतरण बाधाओं के एक सेट द्वारा परिभाषित $$h_i(x) = 0 \ $$, बिंदु खोजने के लिए एक शंकु अनुकूलन समस्या है $$x$$ में $$C \cap \mathcal{H} $$ जिसके लिए संख्या $$f(x)$$ सबसे छोटा है।

इसके उदाहरण $$ C $$ सकारात्मक orthant शामिल करें $$\mathbb{R}_+^n = \left\{ x \in \mathbb{R}^n : \, x \geq \mathbf{0}\right\} $$, धनात्मक-अर्ध-परिमित मैट्रिक्स आव्यूह $$\mathbb{S}^n_{+}$$, और दूसरे क्रम का शंकु $$\left \{ (x,t) \in \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R} : \lVert x \rVert \leq t \right \} $$. अक्सर $$f \ $$ एक रेखीय कार्य है, जिस स्थिति में शांकव अनुकूलन समस्या क्रमशः एक रेखीय कार्यक्रम, एक अर्ध-निश्चित प्रोग्रामिंग और एक दूसरे क्रम के शंकु प्रोग्रामिंग में कम हो जाती है।

द्वैत
शंकु अनुकूलन समस्याओं के कुछ विशेष मामलों में उनकी दोहरी समस्याओं के उल्लेखनीय बंद-रूप अभिव्यक्तियां हैं।

शांकव एलपी
शंकु रैखिक कार्यक्रम का दोहरा


 * छोटा करना $$c^T x \ $$
 * का विषय है $$Ax = b, x \in C \ $$

है


 * अधिकतम करें $$b^T y \ $$
 * का विषय है $$A^T y + s= c, s \in C^* \ $$

कहाँ $$C^*$$ के दोहरे शंकु को दर्शाता है $$C \ $$.

जबकि कमजोर द्वैत शांकव रैखिक प्रोग्रामिंग में होता है, मजबूत द्वैत जरूरी नहीं है।

अर्ध-परिमित कार्यक्रम
असमानता के रूप में एक अर्ध-निश्चित कार्यक्रम का दोहरा


 * छोटा करना $$c^T x \ $$ : का विषय है $$x_1 F_1 + \cdots + x_n F_n + G \leq 0$$

द्वारा दिया गया है


 * अधिकतम करें $$\mathrm{tr}\ (GZ)\ $$ : का विषय है $$\mathrm{tr}\ (F_i Z) +c_i =0,\quad i=1,\dots,n$$
 * $$Z \geq0$$

बाहरी संबंध

 * MOSEK Software capable of solving conic optimization problems.
 * MOSEK Software capable of solving conic optimization problems.