लचीलापन (गणित)

गणितीय मॉडलिंग में, लचीलापन एक प्रणाली की अस्तव्यस्तता से उबरने और अपनी मूल स्थिरता (गणित) स्थिर स्थिति में लौटने की क्षमता को संदर्भित करता है। इस प्रकार यह परिवर्तन या अस्तव्यस्तता की स्थिति में किसी प्रणाली की स्थिरता और मजबूती की माप है। यदि कोई प्रणाली पर्याप्त रूप से लचीली नहीं है, इस प्रकार तब यह अस्तव्यस्तता के प्रति अधिक संवेदनशील है और अधिक आसानी से एक महत्वपूर्ण परिवर्तन से गुजर सकती है। संतुलन के लचीलेपन की अवधारणा को समझाने के लिए उपयोग की जाने वाली एक सामान्य सादृश्य घाटी में एक गेंद है। इस प्रकार एक लचीली स्थिर स्थिति एक गहरी घाटी में एक गेंद से मेल खाती है, इसलिए कोई भी धक्का या अस्तव्यस्तता गेंद को बहुत जल्दी आराम बिंदु पर वापस ले जाएगी जहां से यह प्रारंभ हुई थी। दूसरी ओर, एक कम लचीली स्थिर अवस्था एक उथली घाटी में एक गेंद से मेल खाती है, इसलिए गेंद को अस्तव्यस्तता के पश्चात् संतुलन में लौटने में बहुत अधिक समय लगेगा।

लचीलेपन की अवधारणा उन प्रणालियों में विशेष रूप से उपयोगी है जो जलवायु प्रणाली गणितीय सिद्धांत में टिपिंग बिंदुओं को प्रदर्शित करती हैं, इस प्रकार जिनके अध्ययन का एक लंबा इतिहास है जिसे आपदा सिद्धांत में खोजा जा सकता है। चूँकि इस सिद्धांत को प्रारंभ में अत्यधिक प्रचारित किया गया था और समर्थन से बाहर हो गया था, इसकी गणितीय नींव मजबूत बनी हुई है और अब इसे अनेक भिन्न-भिन्न प्रणालियों के लिए प्रासंगिक माना जाता है।

इतिहास
साल 1973 में, कनाडाई पारिस्थितिकीविज्ञानी सी.एस. हॉलिंग ने पारिस्थितिक प्रणालियों के संदर्भ में लचीलेपन की एक परिभाषा प्रस्तावित की। हॉलिंग के अनुसार, लचीलापन "प्रणालियों की दृढ़ता और परिवर्तन और अशांति को अवशोषित करने की उनकी क्षमता का एक माप है और फिर भी जनसंख्या या राज्य चर के मध्य समान संबंध बनाए रखता है।" इस प्रकार हॉलिंग ने दो प्रकार के लचीलेपन को प्रतिष्ठित किया: इंजीनियरिंग लचीलापन और पारिस्थितिक लचीलापन।

इंजीनियरिंग लचीलापन किसी अस्तव्यस्तता के पश्चात् किसी पद्धति की अपनी मूल स्थिति में लौटने की क्षमता को संदर्भित करता है, जैसे कि एक पुल जिसे भूकंप के पश्चात् मरम्मत किया जा सकता है। इस प्रकार दूसरी ओर, पारिस्थितिक लचीलापन, किसी अस्तव्यस्तता के अतिरिक्त अपनी पहचान और कार्य को बनाए रखने की प्रणाली की क्षमता को संदर्भित करता है, जैसे कि एक जंगल जो अपनी जैव विविधता और पारिस्थितिकी तंत्र सेवाओं को बनाए रखते हुए जंगल की आग के पश्चात् पुनर्जीवित हो सकता है। इस प्रकार समय के साथ, लचीलेपन की एक बार अच्छी तरह से परिभाषित और स्पष्ट अवधारणा ने अपनी स्पष्टता में क्रमिक क्षरण का अनुभव किया है, जो एक विशिष्ट ठोस उपाय की तुलना में अधिक अस्पष्ट और एक छत्र शब्द के करीब हो गया है।

परिभाषा
गणितीय रूप से, लचीलेपन का अनुमान संतुलन पर लौटने के समय के व्युत्क्रम से लगाया जा सकता है  द्वारा दिए गए

$$\text{resilience} \equiv -\text{Re}(\lambda_1(\textbf{A})))$$

कहाँ $\lambda_1$ मैट्रिक्स का अधिकतम आइगेनवैल्यू है $\textbf{A}$.

यह मान जितना बड़ा होता है, पद्धति उतनी ही तेजी से मूल स्थिर स्थिर स्थिति में लौटता है, या दूसरे शब्दों में, उतनी ही तेजी से अस्तव्यस्तता का क्षय होता है।

अनुप्रयोग और उदाहरण
सैद्धांतिक पारिस्थितिकी में, लचीलापन आग, सूखा, या आक्रामक प्रजातियों की प्रारंभ जैसी अस्तव्यस्तता से उबरने के लिए पारिस्थितिकी तंत्र की क्षमता को संदर्भित कर सकता है। इस प्रकार एक लचीला पारिस्थितिकी तंत्र वह होगा जो इन परिवर्तनों को अनुकूलित करने और कार्य करना जारी रखने में सक्षम है, जबकि एक कम लचीला पारिस्थितिकी तंत्र अपरिवर्तनीय क्षति या पतन का अनुभव कर सकता है। इस प्रकार लचीलेपन की त्रुटिहीन परिभाषा व्यावहारिक स्थितियों के लिए अस्पष्ट बनी हुई है, जिसके कारण पारिस्थितिक तंत्र के प्रबंधन के लिए इसकी अंतर्दृष्टि का धीमा और उचित अनुप्रयोग हुआ है।

गणितीय महामारी विज्ञान में, लचीलापन एक स्वस्थ समुदाय की संक्रमित व्यक्तियों के आने से उबरने की क्षमता को संदर्भित कर सकता है।

जटिल प्रणालियों के अध्ययन में लचीलापन एक महत्वपूर्ण अवधारणा है, जहां अनेक परस्पर क्रिया करने वाले घटक होते हैं जो अप्रत्याशित तरीकों से एक दूसरे को प्रभावित कर सकते हैं। इस प्रकार ऐसी प्रणालियों के लचीलेपन का पता लगाने और पर्यावरण या अन्य परिवर्तनों की स्थिति में उनके लचीलेपन में सुधार के लिए रणनीतियों की पहचान करने के लिए गणितीय मॉडल का उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जटिल नेटवर्क की मॉडलिंग करते समय नोड्स के हानि के लिए नेटवर्क लचीलापन, या नेटवर्क साइंस नेटवर्क मजबूती को मापने में सक्षम होना अधिकांशतः महत्वपूर्ण होता है। इस प्रकार स्केल-मुक्त नेटवर्क विशेष रूप से लचीले होते हैं चूँकि उनके अधिकांश नोड्स में कुछ लिंक हैं। इसका कारण यह है कि यदि कुछ नोड्स को यादृच्छिक रूप से हटा दिया जाता है, तब यह अधिक संभावना है कि कम कनेक्शन वाले नोड्स को हटा दिया जाता है, इस प्रकार नेटवर्क के प्रमुख गुणों को संरक्षित किया जाता है।

यह भी देखें

 * लचीलापन (इंजीनियरिंग और निर्माण)
 * पारिस्थितिक लचीलापन
 * गंभीर संक्रमण
 * द्विभाजन सिद्धांत