पैरेटो फ्रंट

बहुउद्देश्यीय अनुकूलन में, पैरेटो फ्रंट सभी पारेटो कुशल समाधानों का समुच्चय है। इसे व्यापक रूप से अभियांत्रिकी में उपयोग किया जाता है। यह प्रारूपो को प्रत्येक पैरामीटर की पूरी श्रृंखला पर विचार करने के अतिरक्त कुशल विकल्पों के समुच्चय पर ध्यान केंद्रित करने और इस समुच्चय के भीतर दुविधा को अंत करने की अनुमति देता है।

परिभाषा
पेरेटो फ्रंटियर, P(Y), को अधिक औपचारिक रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है। फलन के एक प्रणाली पर विचार करें $$f: X \rightarrow \mathbb{R}^m$$, जहाँ X मीट्रिक स्थान में व्यवहार्य निर्णयों का एक स्थान है $$\mathbb{R}^n$$, और Y में मानदंड सदिश का व्यवहार्य समुच्चय है | $$\mathbb{R}^m$$इस प्रकार है कि $$Y = \{ y \in \mathbb{R}^m:\; y = f(x), x \in X\;\}$$.

हम मानते हैं कि मापदंड मानों की अधिमानित दिशाएँ ज्ञात हैं। एक बिंदु $$y^{\prime\prime} \in \mathbb{R}^m$$ दुसरे बिंदु $$y^{\prime} \in \mathbb{R}^m$$ के लिए इस प्रकार अधिमानित किया जाता है की  $$y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}$$ सत्य हो। पेरेटो सीमांत इस प्रकार लिखा गया है:


 * $$P(Y) = \{ y^\prime \in Y: \; \{y^{\prime\prime} \in Y:\; y^{\prime\prime} \succ y^{\prime}, y^\prime \neq y^{\prime\prime} \; \} = \empty \}. $$

प्रतिस्थापन की सीमांत दर
अर्थशास्त्र में पैरेटो फ्रंटियर का एक महत्वपूर्ण दृष्टीकोण यह है कि पारेतो-दक्ष आवंटन पर, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होती है। एम उपभोक्ताओं और एन वस्तुओं के साथ एक प्रणाली और प्रत्येक उपभोक्ता के उपयोगिता फलन के रूप में विचार करके औपचारिक वर्णन $$z_i=f^i(x^i)$$ प्राप्त किया जा सकता है जहां $$x^i=(x_1^i, x_2^i, \ldots, x_n^i)$$, सभी के लिए मान सदिश है तथा सभी के लिए व्यवहार्यता बाधा है $$\sum_{i=1}^m x_j^i = b_j$$ के लिए $$j=1,\ldots,n$$. पेरेटो इष्टतम आवंटन खोजने के लिए, हम लैग्रैंगियन यांत्रिकी का अधिकतम प्रयोग करते हैं:


 * $$L_i((x_j^k)_{k,j}, (\lambda_k)_k, (\mu_j)_j)=f^i(x^i)+\sum_{k=2}^m \lambda_k(z_k- f^k(x^k))+\sum_{j=1}^n \mu_j \left( b_j-\sum_{k=1}^m x_j^k \right)$$

जहाँ $$(\lambda_k)_k$$ और $$(\mu_j)_j$$ गुणक के सदिश हैं। प्रत्येक संबंध में लैग्रैंगियन का आंशिक व्युत्पन्न $$x_j^k$$ लेना $$j=1,\ldots,n$$ तथा  $$k=1,\ldots, m$$ प्रथम-क्रम स्थितियों की निम्नलिखित प्रणाली को संदर्भित करता है:


 * $$\frac{\partial L_i}{\partial x_j^i} = f_{x^i_j}^1-\mu_j=0\text{ for }j=1,\ldots,n,$$
 * $$\frac{\partial L_i}{\partial x_j^k} = -\lambda_k f_{x^k_j}^i-\mu_j=0 \text{ for }k= 2,\ldots,m \text{ and }j=1,\ldots,n,$$

जहाँ $$f_{x^i_j}$$, $$f$$ के आंशिक व्युत्पन्न को दर्शाता है  इसके संबंध में $$x_j^i$$. जहाँ $$k\neq i$$ और $$j,s\in \{1,\ldots,n\}$$. उपरोक्त प्रथम-क्रम की स्थिति का अर्थ


 * $$\frac{f_{x_j^i}^i}{f_{x_s^i}^i}=\frac{\mu_j}{\mu_s}=\frac{f_{x_j^k}^k}{f_{x_s^k}^k}.$$
 * है।

इस प्रकार, पारेतो-इष्टतम आवंटन में, प्रतिस्थापन की सीमांत दर सभी उपभोक्ताओं के लिए समान होनी चाहिए।

गणना
कंप्यूटर विज्ञान और उर्जा अभियांत्रिकी में विकल्पों के एक सीमित समुच्चय के पैरेटो फ्रंटियर की गणना के लिए कलन विधि का अध्ययन किया गया है।


 * अधिकतम सदिश समस्या या स्काईलाइन संकार्य ।
 * स्केलराइजेशन कलनविधि या भारित मूल्य की विधि।
 * $$\epsilon$$-प्रतिबंध विधि।

अनुमान
चूंकि सभी पारेटो फ्रंट को उत्पन्न करना प्रायः संगणनीय रूप से कठिन होता है, एक अनुमानित पारेटो-फ्रंट की गणना के लिए कलनविधियाँ होती हैं। उदाहरण के लिए, लेग्रियल एट अल। एक समुच्चय S को परेटो-फ्रंट P का 'ε-सन्निकटन' होता हैं, यदि S और P के बीच हॉसडॉर्फ की निर्देशित दूरी अधिक से अधिक ε है। तो d मानो में किसी भी पेरेटो फ्रंट P का ε-अनुमानन (1/ε)d का उपयोग करके पाया जा सकता है।

जित्लर, नोल्स और थिएले विभिन्न मानदंडों पर पारेटो- समुच्चय सन्निकटन के लिए कई कलनविधि की तुलना करते हैं जैसे मापन, एकरूपता और संगणनीय जटिलताए आदि।

बाहरी संबंध

 * Code to compute the Pareto front of a finite set of points in Julia: https://github.com/cossio/ParetoEfficiency.jl.