सामान्य स्थानिक प्रतिरूप

सामान्य स्थानिक प्रतिरूप (सीएसपी) गणितीय प्रक्रिया है जिसका उपयोग सिग्नल प्रोसेसिंग में बहुभिन्नरूपी विश्लेषण सिग्नल को योगात्मक मानचित्र उपघटकों में अलग करने के लिए किया जाता है, जिसमें दो विंडो फ़ंक्शन के बीच भिन्नता में अधिकतम अंतर होता है।

विवरण
मान लीजिये $$\mathbf{X}_1$$ आकार का $$(n,t_1)$$ और $$\mathbf{X}_2$$ आकार का $$(n,t_2)$$ बहुभिन्नरूपी सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग) की दो विंडो हों, जहां $$n$$ संकेतों की संख्या और $$t_1$$ और $$t_2$$ है नमूनों की संबंधित संख्या हैं।

सीएसपी एल्गोरिदम घटक $$\mathbf{w}^\text{T}$$को निर्धारित करता है ऐसा कि दो विंडो के बीच विचरण (या दूसरे क्रम के क्षण (गणित)) का अनुपात अधिकतम हो:
 * $$\mathbf{w}={\arg \max}_\mathbf{w} \frac{ \left\| \mathbf{wX}_1 \right\| ^2 } { \left\| \mathbf{wX}_2 \right\| ^2 }$$

समाधान दो सहप्रसरण आव्यूह की गणना करके दिया गया है:


 * $$\mathbf{R}_1=\frac{\mathbf{X}_1\mathbf{X}_1^\text{T}}{t_1}$$
 * $$\mathbf{R}_2=\frac{\mathbf{X}_2\mathbf{X}_2^\text{T}}{t_2}$$

फिर, उन दो आव्यूह (गणित) का एक साथ विकर्णीकरण (जिसे सामान्यीकृत आइगेनवैल्यू अपघटन भी कहा जाता है) का एहसास होता है। हम सदिश उप-स्थान $$\mathbf{P}=\begin{bmatrix} \mathbf{p}_1 & \cdots & \mathbf{p}_n \end{bmatrix}$$ के आव्यूह और आइगेनवैल्यू $$\{\lambda_1, \cdots, \lambda_n \}$$ के विकर्ण आव्यूह $$\mathbf{D}$$ को घटते क्रम में इस प्रकार पाते हैं:


 * $$\mathbf{P}^{\mathrm{T}} \mathbf{R}_1 \mathbf{P} = \mathbf{D}$$

और


 * $$\mathbf{P}^{\mathrm{T}} \mathbf{R}_2 \mathbf{P} = \mathbf{I}_n$$

साथ $$\mathbf{I}_n$$ पहचान आव्यूह.

यह $$\mathbf{R}_2^{-1} \mathbf{R}_1$$ के आव्यूह के स्वयं का विघटन के सामान्य है :


 * $$\mathbf{R}_2^{-1} \mathbf{R}_1=\mathbf{PDP}^{-1}$$
 * $$\mathbf{w}^\text{T}$$, $$\mathbf{P}$$के प्रथम कॉलम के अनुरूप होगा :


 * $$\mathbf{w}=\mathbf{p}_1^\text{T}$$

विचरण अनुपात और आइगेनवैल्यू के बीच संबंध
सदिश उप-स्थान रचना $$\mathbf{P}$$ कर रहे हैं दो विंडो के बीच भिन्नता अनुपात वाले घटक उनके संबंधित आइगेनवैल्यू के सामान्य हैं:


 * $$ \mathbf{\lambda}_i = \frac{ \left\| \mathbf{p}_i^\text{T} \mathbf{X}_1 \right\| ^2 }{ \left\| \mathbf{p}_i^\text{T} \mathbf{X}_2 \right\| ^2 } $$

अन्य घटक
$$i$$ प्रथम सदिश उप-स्थान $$\begin{bmatrix} \mathbf{p}_1 & \cdots & \mathbf{p}_i \end{bmatrix}$$ द्वारा उत्पन्न सदिश उपस्थान $$E_i$$, इससे संबंधित सभी घटकों के विचरण अनुपात को अधिकतम करने वाला उप-स्थान होगा:


 * $$E_i={\arg \max}_{E} \begin{pmatrix}\min_{p \in E} \frac{ \left\| \mathbf{p^\text{T} X}_1 \right\| ^2 }{ \left\| \mathbf{p^\text{T} X}_2 \right\| ^2}\end{pmatrix}$$

उसी तरह, अंतिम $$j$$ सदिश उप-स्थान $$\begin{bmatrix} \mathbf{p}_{n-j+1} & \cdots & \mathbf{p}_n \end{bmatrix}$$ द्वारा उत्पन्न वेक्टरियल उपस्थान $$F_j$$, इससे संबंधित सभी घटकों के विचरण अनुपात को न्यूनतम करने वाला उपस्थान होगा:


 * $$ F_j = {\arg \min}_{F} \begin{pmatrix}\max_{p \in F} \frac{ \left\| \mathbf{p^\text{T} X}_1 \right\| ^2 }{ \left\| \mathbf{p^\text{T} X}_2 \right\| ^2} \end{pmatrix} $$

भिन्नता या दूसरे क्रम का क्षण
विचरण अनुपात अनुकूलन को साकार करने के लिए संकेतों पर माध्य घटाव (उर्फ माध्य केन्द्रीकरण) के बाद सीएसपी प्रयुक्त किया जा सकता है। अन्यथा सीएसपी दूसरे क्रम के क्षण के अनुपात को अनुकूलित करता है।

विंडोज़ X1 और X2 का विकल्प

 * मानक उपयोग में स्रोतों के अलग-अलग सक्रियण (उदाहरण के लिए विश्राम के समय और किसी विशिष्ट कार्य के समय) के साथ समय की दो अवधियों के अनुरूप विंडोज़ का चयन करना सम्मिलित है।
 * विशिष्ट आवृत्ति प्रतिरूप वाले घटकों को खोजने के लिए दो अलग-अलग आवृत्ति बैंड के अनुरूप दो विंडो को चुनना भी संभव है। वे आवृत्ति बैंड अस्थायी या बारंबार आधार पर हो सकते हैं। आव्यूह $$\mathbf{P}$$ के बाद से केवल सहप्रसरण आव्यूह पर निर्भर करता है, यदि सिग्नल के फूरियर रूपांतरण पर प्रसंस्करण प्रयुक्त किया जाता है तो वही परिणाम प्राप्त किए जा सकते हैं।
 * वाई. वांग पहली विंडो $$\mathbf{X}_1$$ के लिए विशेष विकल्प का प्रस्ताव दिया है उन घटकों को निकालने के लिए जिनकी विशिष्ट अवधि होती है। किन्तु $$\mathbf{X}_1$$ जांचे गए संकेतों के लिए विभिन्न अवधियों का माध्य था।
 * यदि केवल एक ही विंडो $$\mathbf{R}_2$$ है, पहचान आव्यूह के रूप में माना जा सकता है और फिर सीएसपी प्रमुख घटक विश्लेषण से मेल खाता है।

एलडीए और सीएसपी के बीच संबंध
रैखिक विभेदक विश्लेषण (एलडीए) और सीएसपी विभिन्न परिस्थितियों में प्रयुक्त होते हैं।

एलडीए डेटा के दो सेटों के केंद्रों के बीच (सामान्यीकृत) दूरी को अधिकतम करने वाले घूर्णन को खोजकर, अलग-अलग साधनों वाले डेटा को अलग करता है। दूसरी ओर, सीएसपी साधनों की अनदेखी करता है। इस प्रकार सीएसपी उचित है, उदाहरण के लिए, घटना-संबंधित क्षमता (ईआरपी) प्रयोग में ध्वनि से सिग्नल को अलग करने में क्योंकि दोनों वितरणों का शून्य माध्य है और एलडीए को अलग करने के लिए कोई अंतर नहीं है। इस प्रकार सीएसपी प्रक्षेपण खोजता है जो औसत ईआरपी के घटकों के विचरण को जितना संभव हो उतना बड़ा बनाता है जिससे सिग्नल ध्वनि से ऊपर खड़ा हो।

अनुप्रयोग
सीएसपी विधि को सामान्यतः बहुभिन्नरूपी संकेतों पर प्रयुक्त किया जा सकता है, यह सामान्यतः इलेक्ट्रोएन्सेफलोग्राफी (ईईजी) संकेतों के अनुप्रयोग में पाया जाता है। विशेष रूप से, विधि का उपयोग अधिकांशतः ब्रेन-कंप्यूटर इंटरफेस में घटक संकेतों को पुनः प्राप्त करने के लिए किया जाता है जो किसी विशिष्ट कार्य (जैसे हाथ की गति) के लिए मस्तिष्क गतिविधि को सर्वोत्तम रूप से प्रसारित करते हैं। इसका उपयोग ईईजी संकेतों से कलाकृतियों को अलग करने के लिए भी किया जा सकता है।

सीएसपी को घटना-संबंधी संभावनाओं के विश्लेषण के लिए अनुकूलित किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * ब्लाइंड सिग्नल पृथक्करण