भूजल प्रवाह समीकरण

भूजल विज्ञान में उपयोग किया जाता है, भूजल प्रवाह समीकरण गणित का संबंध है जिसका उपयोग जलभृत के माध्यम से भूजल के प्रवाह का वर्णन करने के लिए किया जाता है। भूजल के क्षणिक राज्य प्रवाह को प्रसार समीकरण के एक रूप द्वारा वर्णित किया जाता है, जैसा कि एक ठोस (गर्मी चालन) में गर्मी के प्रवाह का वर्णन करने के लिए गर्मी हस्तांतरण में उपयोग किया जाता है। भूजल के स्थिर-अवस्था प्रवाह को लाप्लास समीकरण के एक रूप द्वारा वर्णित किया गया है, जो संभावित प्रवाह का एक रूप है और कई क्षेत्रों में इसके अनुरूप है।

भूजल प्रवाह समीकरण अक्सर एक छोटे प्रतिनिधि मौलिक मात्रा (आरईवी) के लिए व्युत्पन्न होता है, जहां माध्यम के गुणों को प्रभावी रूप से स्थिर माना जाता है। इस छोटी मात्रा में पानी के अंदर और बाहर बहने पर एक द्रव्यमान संतुलन किया जाता है, रिश्ते में फ्लक्स शर्तों को डार्सी के नियम नामक संवैधानिक समीकरण का उपयोग करके सिर के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, जिसके लिए आवश्यक है कि प्रवाह लामिनार प्रवाह हो। लामिनार। अन्य दृष्टिकोण कार्स्ट या खंडित चट्टानों (यानी ज्वालामुखीय) जैसे जटिल सिस्टम  एक्विफायर के प्रभाव को शामिल करने के लिए एजेंट-आधारित मॉडल पर आधारित हैं।

द्रव्यमान संतुलन
क्षणिक भूजल प्रवाह समीकरण पर पहुंचने के लिए, बड़े पैमाने पर संतुलन किया जाना चाहिए, और डार्सी के कानून के साथ प्रयोग किया जाना चाहिए। यह संतुलन ऊष्मा समीकरण में आने के लिए ऊष्मा हस्तांतरण में प्रयुक्त ऊर्जा संतुलन के अनुरूप है। यह केवल लेखांकन का एक बयान है, कि किसी दिए गए नियंत्रण मात्रा के लिए, स्रोतों या सिंक के अलावा द्रव्यमान को बनाया या नष्ट नहीं किया जा सकता है। द्रव्यमान के संरक्षण में कहा गया है कि, समय की एक निश्चित वृद्धि (Δt) के लिए, सीमाओं के पार बहने वाले द्रव्यमान, सीमाओं के पार बहने वाले द्रव्यमान और आयतन के भीतर के स्रोतों के बीच का अंतर, भंडारण में परिवर्तन है।


 * $$ \frac{\Delta M_{stor}}{\Delta t} = \frac{M_{in}}{\Delta t} - \frac{M_{out}}{\Delta t} - \frac{M_{gen}}{\Delta t}$$

प्रसार समीकरण (क्षणिक प्रवाह)
द्रव्यमान को घनत्व गुणा आयतन के रूप में दर्शाया जा सकता है, और अधिकांश स्थितियों में, पानी को असंपीड्य माना जा सकता है (घनत्व दबाव पर निर्भर नहीं करता है)। द्रव्यमान सीमाओं के पार प्रवाहित होता है और फिर आयतन प्रवाह बन जाता है (जैसा कि डार्सी के नियम में पाया जाता है)। नियंत्रण आयतन की सीमाओं के भीतर और बाहर प्रवाह की शर्तों का प्रतिनिधित्व करने के लिए टेलर श्रृंखला का उपयोग करना, और विचलन प्रमेय का उपयोग करके सीमा के पार प्रवाह को संपूर्ण मात्रा में एक प्रवाह में बदलना, भूजल प्रवाह समीकरण का अंतिम रूप (अंतर में) रूप) है:


 * $$S_s \frac{\partial h}{\partial t} = -\nabla \cdot q - G. $$

इसे अन्य क्षेत्रों में प्रसार समीकरण या ऊष्मा समीकरण के रूप में जाना जाता है, यह एक परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण (PDE) है। यह गणितीय कथन इंगित करता है कि समय के साथ हाइड्रोलिक हेड में परिवर्तन (बाएं हाथ की ओर) फ्लक्स (क्यू) और स्रोत शर्तों (जी) के नकारात्मक विचलन के बराबर है। इस समीकरण में हेड और फ्लक्स दोनों अज्ञात हैं, लेकिन डार्सी का नियम फ्लक्स को हाइड्रोलिक हेड्स से संबंधित करता है, इसलिए इसे फ्लक्स (क्यू) के लिए प्रतिस्थापित करने से होता है


 * $$S_s \frac{\partial h}{\partial t} = -\nabla \cdot (-K\nabla h) - G. $$

अब अगर हाइड्रोलिक चालकता (K) स्थानिक रूप से एक समान और आइसोट्रोपिक (एक टेन्सर  के बजाय) है, तो इसे स्थानिक व्युत्पन्न से बाहर निकाला जा सकता है, उन्हें लाप्लासियन में सरल बनाया जा सकता है, यह समीकरण बनाता है


 * $$S_s \frac{\partial h}{\partial t} = K\nabla^2 h - G.$$

विशिष्ट भंडारण द्वारा विभाजित (एसs), हाइड्रोलिक विसारकता डालता है (α = K/Ssया समकक्ष, α = T/S) दाहिने हाथ की ओर। हाइड्रोलिक प्रसार उस गति के समानुपाती होता है जिस पर सिस्टम के माध्यम से एक परिमित दबाव नाड़ी फैलती है (α के बड़े मान संकेतों के तेजी से प्रसार के लिए)। भूजल प्रवाह समीकरण तब बन जाता है


 * $$\frac{\partial h}{\partial t} = \alpha\nabla^2 h - G.$$

जहां सिंक/स्रोत शब्द, जी, में अब समान इकाइयां हैं, लेकिन उपयुक्त भंडारण अवधि से विभाजित है (जैसा कि हाइड्रोलिक विसारकता प्रतिस्थापन द्वारा परिभाषित किया गया है)।

आयताकार कार्तीय निर्देशांक
विशेष रूप से आयताकार ग्रिड परिमित-अंतर मॉडल (जैसे USGS द्वारा बनाए गए मोडफ्लो ) का उपयोग करते समय, हम कार्टेशियन निर्देशांक से निपटते हैं। इन निर्देशांकों में सामान्य लाप्लासियन ऑपरेटर विशेष रूप से (त्रि-आयामी प्रवाह के लिए) बन जाता है


 * $$\frac{\partial h}{\partial t} = \alpha \left[ \frac{\partial^2 h}{\partial x^2} +\frac{\partial^2 h}{\partial y^2} +\frac{\partial^2 h}{\partial z^2}\right] - G. $$

मॉडफ्लो कोड गवर्निंग ग्राउंडवाटर फ्लो इक्वेशन के एक ओर्थोगोनल  3-डी फॉर्म को अलग करता है और अनुकरण करता है। हालाँकि, यदि उपयोगकर्ता ऐसा करना चाहता है तो उसके पास अर्ध-3D मोड में चलने का विकल्प है; इस मामले में मॉडल k और S के बजाय लंबवत औसत T और S से संबंधित हैs. अर्ध-3डी मोड में, रिसाव की अवधारणा का उपयोग करके 2डी क्षैतिज परतों के बीच प्रवाह की गणना की जाती है।

परिपत्र बेलनाकार निर्देशांक
एक अन्य उपयोगी समन्वय प्रणाली 3डी बेलनाकार निर्देशांक है (आमतौर पर जहां एक पम्पिंग पानी का कुआ  मूल पर स्थित एक लाइन स्रोत है - जेड अक्ष के समानांतर - अभिसरण रेडियल प्रवाह के कारण)। इन शर्तों के तहत उपरोक्त समीकरण बन जाता है (आर रेडियल दूरी और θ कोण होने के नाते),


 * $$\frac{\partial h}{\partial t} = \alpha \left[ \frac{\partial^2 h}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial h}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 h}{\partial \theta^2} +\frac{\partial^2 h}{\partial z^2} \right] - G. $$

अनुमान
यह समीकरण मूल बिंदु पर स्थित पंपिंग कुएं (ताकत जी का एक सिंक) के प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है। यह समीकरण और उपरोक्त कार्टेशियन संस्करण दोनों ही भूजल प्रवाह में मूलभूत समीकरण हैं, लेकिन इस बिंदु पर पहुंचने के लिए काफी सरलीकरण की आवश्यकता है। कुछ मुख्य धारणाएँ जो इन दोनों समीकरणों से जुड़ी हैं:


 * एक्वीफर सामग्री असम्पीडित है (दबाव में परिवर्तन के कारण मैट्रिक्स में कोई परिवर्तन नहीं - उर्फ ​​​​अवतलन),
 * पानी निरंतर घनत्व (असंपीड़ित) का है,
 * जलभृत पर कोई बाहरी भार (जैसे, पल्ला झुकना, वायुमंडलीय दबाव) स्थिर हैं,
 * 1डी रेडियल समस्या के लिए पम्पिंग कुआँ पूरी तरह से एक गैर-छिले हुए जलभृत में प्रवेश कर रहा है,
 * भूजल धीरे-धीरे बह रहा है (रेनॉल्ड्स संख्या एकता से कम है), और
 * हाइड्रोलिक चालकता (के) एक समदैशिक  स्केलर (भौतिकी) है।

इन बड़ी मान्यताओं के बावजूद, भूजल प्रवाह समीकरण स्रोतों और सिंक के क्षणिक वितरण के कारण एक्वीफर्स में हेड्स के वितरण का प्रतिनिधित्व करने का अच्छा काम करता है।

लाप्लास समीकरण (स्थिर अवस्था प्रवाह)
यदि एक्वीफर में रिचार्जिंग सीमा स्थितियां हैं तो एक स्थिर स्थिति तक पहुंचा जा सकता है (या इसे कई मामलों में अनुमान के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है), और प्रसार समीकरण (ऊपर) लाप्लास समीकरण को सरल करता है।


 * $$0 = \alpha\nabla^2 h$$

यह समीकरण बताता है कि हाइड्रोलिक हेड एक हार्मोनिक फ़ंक्शन है, और अन्य क्षेत्रों में इसके कई एनालॉग हैं। लाप्लास समीकरण को तकनीकों का उपयोग करके हल किया जा सकता है, ऊपर बताई गई समान मान्यताओं का उपयोग करते हुए, लेकिन एक स्थिर-अवस्था प्रवाह क्षेत्र की अतिरिक्त आवश्यकताओं के साथ।

असैनिक अभियंत्रण और मृदा यांत्रिकी में इस समीकरण के समाधान के लिए एक सामान्य तरीका है ड्राइंग फ्लोनेट की ग्राफिकल तकनीक का उपयोग करना; जहां हाइड्रॉलिक हेड की  समोच्च रेखा  और स्ट्रीम फंक्शन एक घुमावदार ग्रिड बनाते हैं, जिससे जटिल ज्यामिति को लगभग हल किया जा सकता है।

एक पम्पिंग कुएं के लिए स्थिर-अवस्था प्रवाह (जो वास्तव में कभी नहीं होता है, लेकिन कभी-कभी एक उपयोगी सन्निकटन होता है) को आमतौर पर एक्विफर परीक्षण#स्थिर-अवस्था थिएम समाधान कहा जाता है।

द्वि-आयामी भूजल प्रवाह
उपरोक्त भूजल प्रवाह समीकरण तीन आयामी प्रवाह के लिए मान्य हैं। अपुष्ट जलभृतों में, समीकरण के 3डी रूप का समाधान एक मुक्त सतह जल तालिका सीमा स्थिति की उपस्थिति से जटिल होता है: शीर्षों के स्थानिक वितरण के लिए हल करने के अलावा, इस सतह का स्थान भी एक अज्ञात है। यह एक गैर-रैखिक समस्या है, भले ही शासकीय समीकरण रैखिक है।

डुपिट-फोर्चहाइमर धारणा को लागू करके भूजल प्रवाह समीकरण का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण प्राप्त किया जा सकता है, जहां यह माना जाता है कि शीर्ष ऊर्ध्वाधर दिशा में भिन्न नहीं होते हैं (अर्थात, $$\partial h/\partial z=0$$). एक क्षैतिज जल संतुलन क्षेत्र के साथ एक लंबे ऊर्ध्वाधर स्तंभ पर लागू होता है $$\delta x \delta y$$ जलभृत आधार से असंतृप्त सतह तक विस्तार। इस दूरी को संतृप्त मोटाई, बी के रूप में जाना जाता है। एक सीमित जलभृत में, संतृप्त मोटाई जलभृत, एच की ऊंचाई से निर्धारित होती है, और दबाव सिर हर जगह गैर-शून्य होता है। एक असीमित जलभृत में, संतृप्त मोटाई को जल तालिका की सतह और जलभृत आधार के बीच ऊर्ध्वाधर दूरी के रूप में परिभाषित किया जाता है। अगर $$\partial h/\partial z=0$$, और जलभृत आधार शून्य आधार पर है, तो असंबद्ध संतृप्त मोटाई शीर्ष के बराबर है, अर्थात, b=h।

हाइड्रोलिक चालकता और प्रवाह के क्षैतिज घटकों दोनों को मानते हुए एक्वीफर की संपूर्ण संतृप्त मोटाई के साथ समान हैं (अर्थात, $$\partial q_x /\partial z=0$$ और $$\partial K /\partial z=0$$), हम एकीकृत भूजल निर्वहन, क्यू के संदर्भ में डार्सी के कानून को व्यक्त कर सकते हैंxऔर क्यूy:


 * $$ Q_x=\int_0^b q_x dz = -K b\frac{\partial h}{\partial x}$$
 * $$ Q_y=\int_0^b q_y dz = -K b\frac{\partial h}{\partial y}$$

इन्हें हमारे द्रव्यमान संतुलन अभिव्यक्ति में सम्मिलित करते हुए, हम असम्पीडित संतृप्त भूजल प्रवाह के लिए सामान्य 2D शासी समीकरण प्राप्त करते हैं:


 * $$\frac{\partial nb}{\partial t} = \nabla \cdot (K b \nabla h) + N. $$

जहाँ n एक्वीफर सरंध्रता है। स्रोत शब्द, एन (लंबाई प्रति समय), ऊर्ध्वाधर दिशा में पानी के अतिरिक्त (जैसे, पुनर्भरण) का प्रतिनिधित्व करता है। संतृप्त मोटाई, विशिष्ट भंडारण और विशिष्ट उपज के लिए सही परिभाषाओं को शामिल करके, हम इसे सीमित और अपरिमित स्थितियों के लिए दो अद्वितीय शासी समीकरणों में बदल सकते हैं:


 * $$S \frac{\partial h}{\partial t} = \nabla \cdot (K b \nabla h) + N. $$

(सीमित), जहां एस = एसsबी जलभृत भंडारण है और


 * $$S_y\frac{\partial h}{\partial t} = \nabla \cdot (K h \nabla h) + N. $$

(अपरिबद्ध), जहां एसyएक्वीफर की विशिष्ट उपज है।

ध्यान दें कि अपरिरुद्ध स्थिति में आंशिक अवकल समीकरण गैर-रैखिक होता है, जबकि सीमित स्थिति में यह रैखिक होता है। असीमित स्थिर-अवस्था प्रवाह के लिए, इस गैर-रैखिकता को पीडीई को शीर्ष वर्ग के संदर्भ में व्यक्त करके हटाया जा सकता है:


 * $$ \nabla \cdot (K \nabla h^2) = - 2N. $$

या, सजातीय जलवाही स्तर के लिए,


 * $$ \nabla^2 h^2 = - \frac{2N}{K}. $$

यह फॉर्मूलेशन हमें असीमित प्रवाह के मामले में रैखिक पीडीई को हल करने के लिए मानक तरीकों को लागू करने की अनुमति देता है। बिना पुनर्भरण वाले विषम जलभृतों के लिए, मिश्रित सीमित/अपरिबद्ध मामलों के लिए संभावित प्रवाह विधियों को लागू किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * विश्लेषणात्मक तत्व विधि
 * आंशिक अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियों के लिए प्रयुक्त एक संख्यात्मक विधि
 * डुपिट-फोर्चाइमर धारणा
 * ऊर्ध्वाधर प्रवाह के संबंध में भूजल प्रवाह समीकरण का सरलीकरण
 * भूजल ऊर्जा संतुलन
 * ऊर्जा संतुलन पर आधारित भूजल प्रवाह समीकरण
 * रिचर्ड्स समीकरण

अग्रिम पठन

 * H. F. Wang and M.P. Anderson Introduction to Groundwater Modeling: Finite Difference and Finite Element Methods
 * An excellent beginner's read for groundwater modeling. Covers all the basic concepts, with simple examples in FORTRAN 77.
 * Freeze, R. Allan; Cherry, John A. (1979). Groundwater. Prentice Hall. ISBN 978-0133653120.

बाहरी संबंध

 * USGS groundwater software &mdash; free groundwater modeling software like MODFLOW
 * Groundwater Hydrology (MIT OpenCourseware)