विमीय विश्लेषण

अभियांत्रिकी और विज्ञान में, विमीय विश्लेषण विभिन्न भौतिक राशियों के बीच उनके आधार राशियों और माप की इकाइयों का विश्लेषण करता है। जैसे लंबाई, द्रव्यमान, समय और विद्युत प्रवाह माप की इकाइयों जैसे मील बनाम किलोमीटर, या पाउंड बनाम किलोग्राम होता है। और गणना या तुलना के रूप में इस विमा का अनुसरण करता है। और सभी इकाइयों में नियमित 10-आधार होने के कारण, मीट्रिक प्रणाली या इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली के अंदर इकाइयों को एक विमीय से दूसरी इकाइयों में रूपांतरण करना प्राय:आसान होता है।

आनुपातिक भौतिक राशियाँ एक प्रकार की होती हैं और उनका एक ही विमीय होता है, इनकी तुलना सीधे-सीधे एक-दूसरे से की जा सकती है, चाहे ये माप की विभिन्न इकाइयों में व्यक्त की गई हों। उदाहरण गज, मीटर, पाउंड (द्रव्यमान) को किलोग्राम, सेकंड को वर्ष के रूप में व्यक्त करते है। अतुलनीय भौतिक राशियाँ विभिन्न प्रकार की होती हैं और उनके अलग-अलग विमीय होते हैं, और सीधे एक दूसरे से तुलना नहीं की जा सकती, चाहे वे किसी भी इकाई में व्यक्त की गई हों, उदाहरण, मीटर और किलोग्राम, सेकंड और किलोग्राम, मीटर और सेकंड। उदाहरण के लिए, यह पूछना कि क्या एक किलोग्राम एक घंटे से बड़ा है, अर्थहीन है।

किसी भी भौतिक रूप से अर्थपूर्ण समीकरण, या असमानता के बाएँ और दाएँ पक्ष में समान विमीय होने चाहिए, इस गुण को विमीय समरूपता के रूप में जाना जाता है। विमीय समरूपता की जाँच विमीय विश्लेषण का सामान्य अनुप्रयोग होता है, जो व्युत्पन्न समीकरणों और संगणनाओं पर व्यवहार्यता जाँच के रूप में कार्य करता है। जो अधिक कठोर व्युत्पत्ति के अभाव में यह एक मार्गदर्शक तथा समीकरणों को प्राप्त करने में बाधक है।

1822 में जोसेफ फूरियर द्वारा भौतिक विमीय और विमीय विश्लेषण की अवधारणा पेश की गई थी।

सूत्रीकरण
बकिंघम π प्रमेय वर्णन करता है कि किस प्रकार n चर वाले भौतिक रूप से अर्थपूर्ण समीकरण को एक समीकरण के रूप में समान रूप से फिर से लिखा जा सकता है। n − m विमीय रहित मापदण्ड, जहां m विमीय मैट्रिक्स का रैंक है। इसके अतिरिक्त, सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि दिए गए चरों से इन विमीय रहित मापदण्डों की गणना करने के लिए एक विधि का उपयोग करता है।

एक विमीय समीकरण में विमीय को कम या समाप्त किया जा सकता है, जो विमीय विश्लेषण से शुरू होता है, और इस प्रणाली की विशिष्ट इकाइयों या प्राकृतिक इकाइयों द्वारा प्रवर्धन राशियाँ सम्मिलित की जाती है। यह प्रणाली में उपास्थित मौलिक गुणों की जानकारी दे सकता है, जैसा कि नीचे उदाहरण में दिखाया गया है।

भौतिक राशियो के विमीय को आधार भौतिक के विमा जैसे लंबाई, द्रव्यमान और समय के परिणाम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, प्रत्येक को एक पूर्णांक और कभी-कभी तर्क संगत संख्या शक्ति तक बढ़ाया जाता है। भौतिक मात्रा का विमीय उस भौतिक राशियों को व्यक्त करने के लिए उपयोग किए जाने वाले माप के कुछ पैमाने या इकाइयों की तुलना में अधिक मौलिक है। उदाहरण के लिए, द्रव्यमान एक विमीय है, जबकि किलोग्राम द्रव्यमान की मात्रा को व्यक्त करने के लिए चुनी गई एक विशेष संदर्भ मात्रा है। इकाई का विकल्प यादृच्छिक है, और इसका विकल्प मुख्यता ऐतिहासिक विकल्पों पर आधारित होता है। प्राकृतिक इकाइयां, केवल सार्वभौमिक नियतांकों पर आधारित होने वाली प्राकृतिक इकाइयों को कम स्वेच्छाचारी माना जा सकता है।

आधार भौतिक विमा के कई संभावित विकल्प हैं। इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली निम्नलिखित विमा और संबंधित प्रतीकों का चयन करती है, समय (T), लंबाई (L), द्रव्यमान (M), विद्युत प्रवाह (I), पूर्ण तापमान (Θ), पदार्थ की मात्रा (N) और दीप्त तीव्रता  (J)। और इनके प्रतीकों को अधिकांशता रोमन सैन्स सेरिफ़ टाइपफेस में लिखा जाता है। गणितीय रूप से, विमीय राशि Q द्वारा दी गई है


 * $$\operatorname{dim}Q = \mathsf{T}^a\mathsf{L}^b\mathsf{M}^c\mathsf{I}^d\mathsf{\Theta}^e\mathsf{N}^f\mathsf{J}^g$$

जहाँ a, b, c, d, e, f, g विमीय घातांक हैं। अन्य भौतिक राशियों को आधार मात्रा के रूप में परिभाषित किया जाता है, जब तक कि वे एक रैखिक रूप से स्वतंत्र आधार (रैखिक बीजगणित) बनाते हैं, उदाहरण के लिए, कोई एसआई आधार के विद्युत प्रवाह के विमीय (I) को एक विमीय (क्यू) के साथ बदल सकता है। आवेश, चूंकि Q = TI.

उदाहरण के तौर पर, भौतिक मात्रा गति v का विमीय है
 * $$\operatorname{dim}v = \frac{\text{length}}{\text{time}} = \frac{\mathsf{L}}{\mathsf{T}} = \mathsf{T}^{-1}\mathsf{L}$$

तथा भौतिक राशियाँ बल (भौतिकी) F के विमीय है।
 * $$\operatorname{dim}F = \text{mass} \times \text{acceleration} = \text{mass} \times \frac{\text{length}}{\text{time}^2} = \frac{\mathsf{L}\mathsf{M}}{\mathsf{T}^2} = \mathsf{T}^{-2}\mathsf{L}\mathsf{M}$$

भौतिक मात्रा और उसके विमीय को व्यक्त करने के लिए चुनी गई इकाई संबंधित हैं, लेकिन समान अवधारणाएं नहीं हैं। एक भौतिक मात्रा की इकाइयाँ रूपांतरण द्वारा परिभाषित की जाती हैं और कुछ मानक से संबंधित होती हैं, उदाहरण के लिए, लंबाई में मीटर, फीट, इंच, मील या माइक्रोमीटर की इकाइयाँ हो सकती हैं, लेकिन किसी भी लंबाई में सदैव एल का विमीय होता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि लंबाई की इकाइयों को इसे व्यक्त करने के लिए चुना जाता है। एक ही भौतिक मात्रा की दो अलग-अलग इकाइयों में उन इकाइयों का रूपांतरण होता है जो उनसे संबंधित होती हैं। उदाहरण के लिए, इस सन्दर्भ में 2.54 सेमी/इंच रूपांतरण कारक है, जो स्वयं विमीयहीन होते है। इसलिए, उस रूपांतरण खंड से गुणा करने से भौतिक राशियों के विमीय नहीं बदलते हैं।

ऐसे भौतिक विज्ञानी, जिन्होंने भौतिक राशि के असंगत मौलिक विमा के अस्तित्व पर ही संदेह व्यक्त किया, चूँकि, यह विमीय विश्लेषण की उपयोगिता को अमान्य नहीं करता है।

रेलेय (Rayleigh's) की विधि
विमीय विश्लेषण में, रेलेय की विधि भौतिकी, रसायन विज्ञान और अभियान्त्रिकी में उपयोग किया जाने वाला एक वैचारिक उपकरण है। यह एक घातीय समीकरण के रूप में कुछ चर (गणित) के कार्यात्मक संबंध को व्यक्त करता है। इसका नाम लॉर्ड रेलेय के नाम पर रखा गया था।

विधि में निम्नलिखित चरण सम्मिलित हैं।
 * 1) उन सभी स्वतंत्र चरो को एकत्रित करते है और जो आश्रित चर को प्रभावित कर सकते हैं।
 * 2) यदि R एक चर है जो स्वतंत्र चर R पर निर्भर करते है। R1, R2, R3, ..., Rn, तो कार्यात्मक समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है R = F(R1, R2, R3, ..., Rn).
 * 3) उपरोक्त समीकरण के रूप में लिखते है R = C R1a R2b R3c ... Rnm, जहाँ C एक विमाहीन नियतांक है और a, b, c, ..., m स्वेच्छ घातांक हैं।
 * 4) समीकरण में प्रत्येक राशि को किसी आधार इकाई (माप) में व्यक्त करते है जिसमें समाधान की आवश्यकता होती है।
 * 5) विमीय विश्लेषण का उपयोग करके विमीय समरूपता, समीकरणों का एक साथ समुच्चय (गणित) प्राप्त करते है जिसमें घातांक a, b, c, ..., m सम्मिलित हैं।
 * 6) घातांक a, b, c, ..., m का मान ज्ञात करने के लिए इन समीकरणों को हल करते है
 * 7) मुख्य समीकरण में घातांकों के मानों को प्रतिस्थापित करते है और समान घातांक वाले चरों को समूहीकृत करके गैर-विमीय मापदण्ड बनाते हैं।

इससे भी कमी के रूप में, रेलेच की पद्धति विमीय विश्लेषण के परिणामस्वरूप प्राप्त किए जाने वाले विमीयहीन समूहों की संख्या के बारे में कोई सूचना उपलब्ध नहीं कराती है।

ठोस संख्याएँ और आधार इकाइयाँ
भौतिक विज्ञान और अभियान्त्रिकी में कई मापदंडों और मापों को एक ठोस संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है - एक संख्यात्मक राशि और एक समरूपी विमीय इकाई के रूप में व्यक्त किया जाता है। मुख्यता मात्रा को कई अन्य राशियों के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, उदाहरण के लिए, गति लंबाई और समय का एक संयोजन है। उदाहरण, 60 किलोमीटर प्रति घंटा या 1.4 किलोमीटर प्रति सेकंड है। और यौगिक संबंध प्रति विभाजन द्वारा व्यक्त किए जाते हैं, उदाहरण, 60 किमी/1 घंटे। अन्य संबंधों में गुणन सम्मिलित हो सकता है मुख्यता एक केंद्रित बिंदु या जुक्सपोज़िशन गणित के साथ दिखाया जाता है, शक्तियां जैसे मी2 वर्ग मीटर के लिए, या उसके संयोजन के साथ है।

मापन प्रणाली के लिए आधार इकाइयों का समुच्चय इकाइयों का एक पारंपरिक रूप से चुना हुआ समुच्चय होता है, इनमे से किसी को भी अन्य इकाइयों के संयोजन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है और इस संदर्भ में प्रणाली की सभी शेष इकाइयों को व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, लंबाई और समय की इकाइयों को अधिकांशता आधार इकाइयों के रूप में चुना जाता है। चूँकि, आयतन की इकाइयों को लंबाई की आधार इकाइयों (m3) में विभाजित किया जाता है, इस प्रकार उन्हें व्युत्पन्न या मिश्रित इकाइयाँ माना जाता है।

कभी-कभी इकाइयों के नाम इस तथ्य को अस्पष्ट कर देते हैं कि वे व्युत्पन्न इकाइयाँ हैं। उदाहरण के लिए न्यूटन (इकाई (एन) बल का मात्रक है, जिसे यूनिट किलो और त्वरण के साथ द्रव्यमान केपरिणाम के रूप में व्यक्त किया जाता है. न्यूटन के रूप में परिभाषित किया गया है 1 N = 1 kg⋅m⋅s−2.

प्रतिशत, व्युत्पन्न और समाकल
प्रतिशत मात्रा विमीयरहित राशियाँ होती है, क्योंकि समान विमा वाली दो राशियों के अनुपात होता हैं। दूसरे शब्दों में, % चिह्न को सौवें के रूप में पढ़ा जा सकता है, क्योंकि 1% = 1/100.

मात्रा के संबंध में व्युत्पन्न होने से विमीय को उस चर के विमीय से विभाजित किया जाता है जिसके चर राशि के साथ विभेद किया जाता है। ये इस प्रकार है इसी प्रकार एक एकीकृत रूप में चर का विमीय जुड़ जाता है पर वह अंश में भी जुड़ जाता है।
 * स्थिति (x) का विमीय L (लंबाई) है।
 * समय के संबंध में स्थिति का व्युत्पन्न (dx/dt, वेग ) वेग की स्थिति से विमीय T−1L है लंबाई, ढाल के कारण समय है।
 * दूसरा व्युत्पन्न (d2x/dt2 = d(dx/dt) / dt, त्वरण का विमीय T−2L है
 * बल का विमीय है T−2LM (द्रव्यमान त्वरण से गुणा)
 * वस्तु द्वारा तय की गई दूरी (s) के संबंध में बल का समाकलन ($$\textstyle\int F\ ds$$, कार्य ) भौतिकी गणितीय गणना का विमीय T−2L2M.है।.

अर्थशास्त्र में, स्टॉक और प्रवाह के बीच अंतर एक स्टॉक की एक इकाई होती है विगेट्स या डॉलर कहते हैं, जबकि एक प्रवाह एक स्टॉक का व्युत्पन्न होता है, और थीइस इकाई के रूप की एक इकाई होती है जिसे एक समय से विभाजित किया जाता है  डॉलर/वर्ष कहते हैं)।

कुछ संदर्भों में, विमीय राशियों को कुछ विमा को छोड़ कर विमीयरहित मात्रा या प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, ऋण-से-जीडीपी अनुपात सामान्तया प्रतिशत के रूप में व्यक्त किए जाते हैं, मुद्रा के सकल घरेलूपरिणाम की कुल बकाया मुद्रा को मुद्रा के प्रवाह से विभाजित किया जाता है, लेकिन कोई तर्क दे सकता है कि किसी स्टॉक की तुलना करते समय सकल घरेलूपरिणाम का आकार मुद्रा/समय के विमीय हैं। (उदाहरण के लिए, डॉलर/वर्ष) और इस प्रकार ऋण से प्रति वर्ष सकल घरेलूपरिणाम होना चाहिए, जिसमें ऋण का भुगतान करने के लिए निरंतर जीडीपी के लिए आवश्यक वर्षों की संख्या होनी चाहिए, यदि सभी जीडीपी ऋण पर खर्च किया जाता है और ऋण अन्यथा अपरिवर्तित होता है।

विमीय एकरूपता
विमीय विश्लेषण का सबसे मौलिक नियम विमीय एकरूपता का है।

चूँकि, विमीय गुणन के अनुसार एक एबेलियन समूह का निर्माण करती है, इसलिए

उदाहरण के लिए, इसका कोई अर्थ नहीं है कि 1 घंटा अधिक है, या 1 किलोमीटर से कम, क्योंकि इनके अलग-अलग विमाएँ हैं, और न ही 1 घंटे 1 किलोमीटर जोड़ना है। चूँकि, यह पूछना सही है कि एक मील अधिक है या एक किलोमीटर से कम, यह भौतिक मात्रा एक विमीय है चूँकि इकाइयां भिन्न हैं। और दूसरी ओर, यदि कोई वस्तु 2 घंटे में 100 किमी की यात्रा करती है, तो उसे विभाजित करके यह निष्कर्ष निअवधिा जा सकता है कि वस्तु की औसत गति 50 किमी प्रति घंटा थी।

इस नियम का तात्पर्य यह है कि भौतिक रूप से सार्थक अभिव्यक्ति में केवल समान विमाओ की राशियों को जोड़ा,घटाया या तुलना किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यदि mman, mrat और Lman निरूपित, क्रमशः किसी व्यक्ति का द्रव्यमान, चूहे के द्रव्यमान और उस व्यक्ति की लंबाई, विमीय रूप से सजातीय अभिव्यक्त करता है। mman + mrat ये सार्थक है, लेकिन विषम अभिव्यक्ति mman + Lman ये अर्थहीन है। चूँकि, mman/L2man नियम सत्य है। इस प्रकार, विमीय विश्लेषण का प्रयोग भौतिक समीकरणों की विवेकपूर्ण जांच के रूप में किया जाता है। किसी भी समीकरण के दोनों पक्षों को संगत होना चाहिए या उनका एक ही व्यास होना चाहिए।

इसका तात्पर्य यह है कि अधिकांश गणितीय कार्यों, विशेष रूप से अनुवांशिक कार्यों में एक विमीयहीन मात्रा, एक शुद्ध संख्या, तर्क के रूप में अवश्य होनी चाहिए और एक परिणाम के रूप में परिमाप रहित संख्या वापस करनी चाहिए।.इससे यह स्पष्ट है कि कई अनुवांशिक कार्यों को विमीयहीन गुणांक वाले अनंत शक्ति श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

$$f(x) = \sum_{n=0}^\infty a_n x^n = a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + a_3 x^3 + \cdots$$शर्तों के अनुरूप होने के लिए x की सभी पावर में समान विमा होना चाहिए। लेकिन यदि x विमीयहीन नहीं है, तो x की विभिन्न पावर के अलग-अलग, अतुलनीय विमा होना चाहिए। चूँकि, वर्गमूल सहित घातांक पावर फलन में एक विमीय तर्क हो सकते हैं और परिणाम वाला विमीय लौटाएगा जो तर्क विमीय वही पावर होती है। इसका कारण यह है कि पावर के रूप में कार्य करने वाले और मूल कार्य, धीमी गति से, राशियों के गुणन की अभिव्यक्ति मात्र होते हैं।

भले ही दो भौतिक राशियों के विमीय समान हों, फिर भी उनकी तुलना करना या जोड़ना अर्थहीन हो सकता है। उदाहरण के लिए, बल आघूर्ण और ऊर्जा विमीय T−2L2M हैं, वे मौलिक रूप से भिन्न भौतिक राशियाँ हैं।

विभिन्न इकाइयों में अभिव्यक्त किंतु समान विमा से तुलना करने, जोड़ने या राशियों को घटाने के लिए मानक प्रक्रिया पहले इन सबको एक ही इकाई में परिवर्तित करती है।। उदाहरण के लिए 32 मीटर की दूरी 35 गज के साथ तुलना करने के लिए 1 यार्ड = 0.9144 मी. का प्रयोग 35 गज से 32.004 मी.तक करते है।

भौतिक नियम से संबंधित सिद्धांत यह है कि कोई भी, जो यथार्थ रूप से वास्तविक जगत् का सटीक वर्णन करने वाला कोई भी, भौतिक चर को मापने के लिए प्रयुक्त इकाइयों से स्वतंत्र होना चाहिए। उदाहरण के लिए, न्यूटन के गति नियमों की अच्छी समझ होनी चाहिए जैसा कि दूरी को मील या किलोमीटर में मापा जाता है। यह सिद्धांत इस रूप को जन्म देता है कि समान विमीय को मापने वाली इकाई के बीच रूपांतरण कारक को आवश्यक रूप में लिया जाना चाहिए यह समानता भी सुनिश्चित करता है। उदाहरण के लिए, यदि दो भवन फ़ीट में समान ऊँचाई के हैं, तो उनकी ऊँचाई मीटर में समान होनी चाहिए।

रूपांतरण कारक
विमीय विश्लेषण में, वह अनुपात जो माप की एक इकाई को मात्रा में परिवर्तन किए बिना दूसरी इकाई में परिवर्तित करता है, रूपांतरण कारक कहलाता है। उदाहरण के लिए, केपीए और बीएआर (bar) दोनों दाब की इकाइयाँ हैं, और 100 केपीए = 1 बीएआर।.बीजगणित के नियम किसी समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही व्यंजक से विभाजित करने की अनुमति देते हैं।

बीजगणित के नियम किसी समीकरण के दोनों पक्षों को एक ही अभिव्यक्ति से भाग करने की अनुमति देते हैं, इसलिए यह इसके बराबर है। 100 केपीए / 1 बीएआर = 1. चूँकि किसी भी मात्रा को बिना बदले 1 से गुणा किया जा सकता है, व्यंजक 100 केपीए / 1 बीएआर इकाई सहित, परिवर्तित की जाने वाली मात्रा से गुणा करके बीएआर से केपीए में परिवर्तित करने के लिए उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, 5 बीएआर × 100 केपीए / 1 बार = 500 केपीए, इसलिये 5 × 100 / 1 = 500, और बीएआर/बीएआर को रद्द कर देता है, इसलिए 5 बीएआर = 500 केपीए हैं।

अनुप्रयोग
विमीय विश्लेषण का उपयोग सदैव भौतिकी और रसायन विज्ञान और उसके गणित में किया जाता है, लेकिन इसका प्रयोग उन क्षेत्रों से बाहर भी किया जाता है।

गणित
गणित के लिए विमीय विश्लेषण का एक सरल अनुप्रयोग n विमीय में एक ठोस गेंद के आयतन के रूप की गणना करना है या इसकी सतह का क्षेत्रफल n गोला एक n विमीय होता है। आकृति में, आयतन का परिमाण$$x^n,$$ है, जबकि सतह क्षेत्र, $$(n-1)$$ विमीय परिमाण के रूप में होता है, $$x^{n-1}.$$ इस प्रकार त्रिज्या के संदर्भ में n-गेंद का आयतन है $$C_nr^n,$$ कुछ नियतांक के लिए $$C_n.$$ नियतांक का निर्धारण करने के लिए अधिक कठिन गणित की आवश्यकता होती है, लेकिन केवल विमीय विश्लेषण द्वारा परिकलित और परीक्षित किया जा सकता है।

वित्त, अर्थशास्त्र और लेखा
वित्त, अर्थशास्त्र और लेखांकन में, स्टॉक और प्रवाह के बीच अंतर के संदर्भ में विमीय विश्लेषण को सामान्यतया संदर्भित किया जाता है। सामान्यतया, विमीय विश्लेषण का प्रयोग विभिन्न वित्तीय अनुपातों, अर्थशास्त्र अनुपातों और लेखा-अनुपातों की व्याख्या में किया जाता है।
 * उदाहरण के लिए, पी/ई अनुपात में समय के विमीय होते हैं (इकाई: वर्ष), और इसकी व्याख्या प्रदत्त की गई कीमत अर्जित करने के लिए कमाई के वर्षों" के रूप में की जा सकती है।
 * अर्थशास्त्र में, ऋण-से-जीडीपी अनुपात में इकाई वर्ष भी होता है, ऋण में मुद्रा की एक इकाई होती है, सकल घरेलूपरिणाम में मुद्रा/वर्ष की एक इकाई होती है।
 * पैसे के वेग की एक इकाई 1/वर्ष है जीडीपी/मुद्रा आपूर्ति में मुद्रा/वर्ष मुद्रा की एक इकाई है, अर्थात मुद्रा की एक इकाई प्रति वर्ष कितनी बार परिचालित होती है।
 * वार्षिक लगातार चक्रवृद्धि ब्याज दरें और साधारण ब्याज दर को प्रायः प्रतिशत के रूप में व्यक्त किया जाता है। जबकि समय को एक विमीय मात्रा के रूप में व्यक्त किया जाता है जिसमें वर्षों की संख्या सम्मिलित होती है। चूँकि, यदि समय में वर्ष को माप की इकाई के रूप में सम्मिलित किया गया हो, तो दर का विमीय 1/वर्ष होता है। निस्संदेह, समय की इकाई के रूप में वर्ष का उपयोग करने के बारे में सामान्य चलन के अतिरिक्त अन्य कोई विशेष बात नहीं है। इसके अतिरिक्त, यदि दर और समय माप की इकाइयों में सम्मिलित होती है तो प्रत्येक के लिए विभिन्न इकाइयों के उपयोग कठिन नहीं है, इसके विपरीत, दर और समय के लिए एक सामान्य अवधि का संदर्भित करने की आवश्यकता होती है यदि वे अनुकूल हों। ध्यान रखें कि प्रभावी ब्याज दरों को केवल व्यावसायिक मात्रा के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।
 * वित्तीय विश्लेषण में, बंध की अवधि को (डीवी/डीआर)/वी के रूप में परिभाषित किया जाता है, जहां V बंध पोर्टफोलियो का मान है, r लगातार चक्रवृद्धि ब्याज दर है और डी. वी./डी.आर एक अवकलज है। पिछले बिंदु से, r का विमीय 1/समय है। इसलिए अवधि का विमीय सामान्यता वर्षों में व्यक्त किया जाता है क्योंकि dr अवकलज के "हर" में होते हैं।

द्रव यांत्रिकी
द्रव यांत्रिकी में, विमीय रहित पीआई शब्द या समूह प्राप्त करने के लिए विमीय विश्लेषण किया जाता है। विमीय विश्लेषण के सिद्धांतों के अनुसार, किसी भी प्रतिमान को इन शब्दों या समूहों की एक श्रृंखला द्वारा वर्णित करते हैं। जो प्रणाली के व्यवहार का वर्णन करते हैं। उपयुक्त पीआई शब्दों या समूहों का उपयोग करके, समान विमीय संबंधों वाले मॉडल के लिए पीआई शब्दों का समान समुच्चय विकसित करना संभव है। दूसरे शब्दों में, पीआई शब्द एक निश्चित प्रतिमान का प्रतिनिधित्व करने वाले मॉडल को विकसित करने के लिए लघुपथ प्रदान करते हैं। द्रव यांत्रिकी में सामान्य विमीयरहित समूहों में सम्मिलित होते हैं।


 * रेनॉल्ड्स संख्या (रे), सामान्तया सभी प्रकार की द्रव समस्याओं में महत्वपूर्ण है $$\mathrm{Re} = \frac{\rho\,ud}{\mu}.$$
 * फ्रॉड नंबर (Fr), मुक्त सतह के साथ मॉडलिंग प्रवाह होता है$$\mathrm{Fr} = \frac{u}{\sqrt{g\,L}}.$$
 * यूलर नंबर (भौतिकी) (ईयू), उन समस्याओं में प्रयुक्त होता है जिनमें दबाव रुचि का होता है$$\mathrm{Eu} = \frac{\Delta p}{\rho u^2}.$$
 * मच संख्या (एमए), उच्च गति प्रवाह में महत्वपूर्ण होती है जहां वेग ध्वनि की स्थानीय गति तक पहुंचता है या उससे अधिक होता है।$$\mathrm{Ma} = \frac{u}{c},$$ जहाँ पे $c$ ध्वनि की स्थानीय गति होती है।

इतिहास
विमीय विश्लेषण की उत्पत्ति इतिहासकारों द्वारा विवादित रही है।

विमीय विश्लेषण के पहले लिखित अनुप्रयोग का श्रेय ट्यूरिन अकादमी ऑफ साइंस में फ्रांकोइस डेविट के एक लेख को दिया गया है। शिक्षक के रूप में डेविट के पास मास्टर लग्रेंज की उपाधि निहित थी। उनके मौलिक लेखन कार्य 1799 दिनांकित अकादमी के एक्ट में निहित है।

इससे यह निष्कर्ष निकला कि अर्थपूर्ण नियम को उनकी माप की विभिन्न इकाइयों में सजातीय समीकरण भी होना चाहिए, जिसके परिणामस्वरूप बाद में बकिंघम π प्रमेय में औपचारिक रूप से दिया गया है, 1811 और 1833 के अपने ग्रंथ में (आयतन I, पृष्ठ 39) में शिमोन पोइसन ने डेविट द्वारा समांतर चतुर्भुज नियम की इसी समस्या को अभिक्रियित किया है। 1833 के दूसरे संस्करण में, पोइसन ने स्पष्ट रूप से डेविएट एकरूपता के अतिरिक्त विमीय शब्द का परिचय दिया।

1822 में, महत्वपूर्ण नेपोलियन वैज्ञानिक जोसेफ फूरियर ने पहला महत्वपूर्ण योगदान दिया इस विचार के आधार पर कि न्यूटन के दूसरे नियम जैसे भौतिक नियम, F = ma भौतिक चरों को मापने के लिए नियोजित इकाइयों में स्वतंत्र होना चाहिए।

जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने अन्य इकाइयों को उद्धृत करते हुए, द्रव्यमान, लंबाई और समय को मौलिक इकाइयों के रूप में संदर्भित करके विमीय विश्लेषण के आधुनिक प्रयोग की स्थापना में महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। चूँकि मैक्सवेल ने लंबाई, समय और द्रव्यमान को तीन मूलभूत इकाइयों के रूप में परिभाषित किया, फिर भी उन्होंने यह उल्लेख किया है कि गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान को न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम को मान कर लंबाई और समय से प्राप्त किया जा सकता है, जिसमें गुरुत्वाकर्षण नियतांक G को इकाई के रूप में लिया जाता है। M = T−2L3. कूलॉम के नियम का रूप मान कर, जिसमें कूलॉम नियतांक ke को इकाई के रूप में लिया जाता है, मैक्सवैल ने यह निर्धारित किया कि स्थिर वैद्युत् इकाई के विमीय Q = T−1L3/2M1/2, होते थे, जो, द्रव्यमान के लिए अपने M = T−2L3 समीकरण को प्रतिस्थापित करने के बाद, द्रव्यमान के समान विमीय वाले आवेश का परिणाम होता है, अर्थात। Q = T−2L3।

विमीय विश्लेषण का उपयोग भौतिक राशियों के बीच संबंधों को प्राप्त करने के लिए भी किया जाता है जो किसी विशेष घटना में सम्मिलित होते हैं, जिसे समझना और चिह्नित करना चाहता है। इसका इस्तेमाल पहली बार 1872 में लॉर्ड रेलेय द्वारा किया गया था, जो यह समझने की कोशिश कर रहे थे कि आकाश नीला क्यों है। रेलेय ने पहली बार अपनी 1877 की पुस्तक द थ्योरी ऑफ साउंड में इस तकनीक को प्रकाशित किया।

विमीय शब्द का मूल अर्थ, फूरियर के थ्योरी डे ला चालूर में, आधार इकाइयों के प्रतिपादकों का संख्यात्मक मान था। उदाहरण के लिए, त्वरण को लंबाई की इकाई के संबंध में विमीय 1 और समय की इकाई के संबंध में विमीय-2 माना जाता था। यह मैक्सवेल द्वारा थोड़ा बदला गया था, जिन्होंने कहा कि त्वरण के विमीय T−2L, हैं, केवल घातांक के बजाय।

एक साधारण उदाहरण: सरल आवृत की दोलक अवधि
आवर्त दोलक की अवधि क्या है $T$ एक द्रव्यमान का $m$ स्प्रिंग नियतांक के साथ एक आदर्श रैखिक स्प्रिंग से जुड़ा हुआ है $k$ शक्ति के गुरुत्वाकर्षण में निलंबित $g$ है। वह अवधि इसका समाधान $T$ चरों में कुछ विमाहीन समीकरण का $T$, $m$, $k$, तथा $g$.है। चार राशियों के निम्नलिखित विमीय हैं T [T], m [M], k [M/T2] तथा g [L/T2], इनसे हम अपने चुने हुए चरों की शक्तियों का केवल एक विमीय परिणाम $$G_1$$ = $$T^2 k/m$$ [T2 · M/T2 / M = 1] बना सकते हैं, और आरोपित कर $$G_1 = C$$ के कुछ विमाहीन नियतांक के लिए C वांछित विमाहीन समीकरण देता है। चर की शक्तियों के विमीय परिणाम को कभी-कभी चर के विमीय समूह के रूप में संदर्भित किया जाता है, यहाँ समूह शब्द का अर्थ गणितीय समूह के अतिरिक्त संग्रह है और इन्हे विमाहीन संख्याएँ भी कहा जाता है।

ध्यान दें कि चर $g$ समूह में नहीं होता है। यह देखना आसान है कि संयोजन करने वाली शक्तियों का विमीयरहित परिणाम बनाना असंभव है g के साथ k, m और T है, चूंकि g ही एकमात्र ऐसी राशि है जिसमें विमीय L सम्मिलित होते है। इसका तात्पर्य है कि इस  निर्मेय में जी अप्रासंगिक है। विमीय विश्लेषण में कभी-कभी किसी निर्मेय में कुछ राशियों की अप्रासंगिकता के बारे में अच्छा वर्णन कर सकता है, या अतिरिक्त मापदंडों की आवश्यकता होती है। और यदि हमने समस्या का ठीक से वर्णन करने के लिए पर्याप्त चर चुने लेते हैं, अर्थात हम इस युक्ति से यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि स्प्रिंग पर द्रव्यमान की अवधि $g$ से स्वतंत्र है: यह पृथ्वी या चंद्रमा पर समान है। हमारी समस्या के लिए शक्तियों के परिणाम के अस्तित्व को प्रदर्शित करने वाला समीकरण पूरी तरह से समकक्ष तरीके से लिखा जा सकता है $$T = \kappa \sqrt\tfrac{m}{k}$$, कुछ विमीय हीन नियतांक के लिए $κ$ (के बराबर $$\sqrt{C}$$ मूल विमीयरहित समीकरण से)।

जब एक ऐसे सन्दर्भ का सामना करना पड़ता है जहां विमीय विश्लेषण एक चर को अस्वीकार करता है, $g$, यहां एक सहज रूप से स्थिति के भौतिक विवरण में सम्मिलित होने की अपेक्षा करता है, दूसरी संभावना यह है कि अस्वीकृत चर वास्तव में प्रासंगिक है, लेकिन कुछ अन्य प्रासंगिक चर को छोड़ दिया जाता है, जो अस्वीकृत चर के साथ मिलकर एक विमीय हीन बना सकता है, राशियो में चूँकि ऐसा नहीं है।

जब विमीय विश्लेषण केवल विमीय हीन समूह उत्पन्न करता है, जैसा कि यहां कोई अज्ञात कार्य नहीं है, और समाधान को पूर्ण कहा जाता है, चूँकि इसमें अभी भी अज्ञात विमीयरहित नियतांक सम्मिलित हो सकते हैं, जैसे कि $κ$.

एक अधिक जटिल उदाहरण: एक कंपन तार की ऊर्जा
एक कंपन तार के सन्दर्भ पर विचार करें लंबाई ℓ (L), जो एक विमीय A (L) के साथ कंपन कर रहा है। तार का रैखिक घनत्व ρ (M/L) है और यह तनाव (भौतिकी) s (LM/T2) के अंतर्गत होता है, और हम तार में ऊर्जा E (L2M/T2) जानना चाहते हैं। फिर π1 और π2 द्वारा चुने गए चर की शक्तियों के दो विमीयरहित परिणाम होते है।


 * $$\begin{align}

\pi_1 &= \frac{E}{As} \\ \pi_2 &= \frac{\ell}{A}. \end{align}$$ तार का रैखिक घनत्व सम्मिलित नहीं है। पाए गए दो समूहों को एक समीकरण के रूप में एक समान रूप में जोड़ा जा सकता है।
 * $$F\left(\frac{E}{As}, \frac{\ell}{A}\right) = 0 ,$$

जहाँ F एक अज्ञात फलन है या समतुल्य रूप में है।
 * $$E = As f\left(\frac{\ell}{A}\right) ,$$

जहाँ f कोई अन्य अज्ञात फलन है। यहां अज्ञात फलन का अर्थ है कि हमारा समाधान अभी अपूर्ण है, लेकिन विमीय विश्लेषण ने हमें कुछ ऐसा दिया है जो स्पष्ट नहीं हो सकता है, ऊर्जा तनाव की पहली शक्ति के समानुपाती होती है। आगे के विश्लेषण को छोड़कर, हम अज्ञात फलन f के रूप की खोज के लिए प्रयोग कर सकते हैं। लेकिन हमारे प्रयोग विमीय विश्लेषण के अभाव में सरल हैं। हम यह सत्यापित करने के लिए कोई कार्य नहीं करेंगे कि ऊर्जा तनाव के समानुपाती होती है। या हम अनुमान लगा सकते हैं कि ऊर्जा ℓ के समानुपाती होती है, और इसलिए यह अनुमान लगाया जाता है कि E = ℓs. प्रयोग करने और परिकल्पना बनाने में सहायता के रूप में विमीय विश्लेषण की शक्ति स्पष्ट हो जाती है।

विमीय विश्लेषण की शक्ति वास्तव में तब स्पष्ट हो जाती है। जब उपरोक्त स्थितियों के विपरीत, जो अधिक जटिल होते हैं, इसमें सम्बद्ध चरों का समुच्चय स्पष्ट नहीं होता है, और अंतर्निहित समीकरण निराशाजनक रूप से जटिल होते हैं। उदाहरण के लिए, एक नदी के तल पर बैठे एक छोटे कंकड़ पर विचार करें। यदि नदी पर्याप्त तेज बहती है, तो यह वास्तव में कंकड़ उठाती है और इसे पानी के साथ बहा देती है। और क्या महत्वपूर्ण वेग पर यह घटित होगा अर्थात अनुमानित चरों का पृथक्करण पहले जितना आसान नहीं है। लेकिन इस तरह की समस्याओं को समझने में विमीय विश्लेषण अधिक सहायक के रूप में हो सकता है, और सामान्यता जटिल समस्याओं पर लागू होने वाला पहला उपकरण है। जहां अंतर्निहित समीकरण और बाधाएं खराब समझी जाती हैं। ऐसे स्थितियो में, उत्तर एक विमीय हीन संख्या जैसे रेनॉल्ड्स संख्या पर निर्भर हो सकता है, जिसे विमीय विश्लेषण द्वारा व्याख्या किया जा सकता है।

तीसरा उदाहरण: घूर्णन डिस्क के लिए मांग बनाम क्षमता
अक्षीय मोटाई t (L) और त्रिज्या R (L).की पतली, ठोस, समांतर पार्श्‍व घूर्णन डिस्क के सन्दर्भ पर विचार करें। डिस्क में घनत्व ρ (M/L3) होता है जो कोणीय वेग ω (T−1) पर घूमता है और यह भौतिक में तनाव S (T−2L−1M) नियंत्रक) होता है। लैम द्वारा दिया गया सैद्धांतिक रैखिक लोचदार समाधान है इस समस्या के लिए, जब डिस्क अपनी त्रिज्या के सापेक्ष क्षीण होती है, तो डिस्क के पृष्ठ अक्षीय रूप से स्थानांतरित करने के लिए स्वतंत्र होते हैं, और समतल प्रतिबल संबंधों को मान्य माना जाता है। और जैसे-जैसे डिस्क त्रिज्या के सापेक्ष मोटी होती जाती है, तो समतल प्रतिबल विलयन टूट जाता है। यदि डिस्क को उसके मुक्त फलकों पर अक्षीय रूप से नियंत्रित किया जाता है। तो समतल विकृति की स्थिति उत्पन्न होती है। चूँकि, यदि ऐसा नहीं है तो प्रतिबल की स्थिति केवल त्रि-विमीय लोच पर विचार करके निर्धारित की जा सकती है और इस सन्दर्भ के लिए कोई ज्ञात सैद्धांतिक समाधान नहीं है। इसलिए, एक अभियान्ता की रुचि पांच चरों के बीच संबंध स्थापित करने में हो सकती है। इस सन्दर्भ के लिए विमीय विश्लेषण निम्नलिखित (5 - 3 = 2) गैर-विमीय समूहों की ओर ले जाता है।


 * मांग/क्षमता = ρR2ω2/S
 * मोटाई/त्रिज्या या अभिमुखता अनुपात = t/R

संख्यात्मक प्रयोगों के उपयोग के माध्यम से, उदाहरण के लिए, परिमित तत्व विधि, दो गैर-विमीय समूहों के बीच संबंध की प्रकृति प्राप्त की जा सकती है जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। चूंकि इस स्थिति,में केवल दो गैर-विमीय समूह सम्मिलित होते हैं, पूरी तस्वीर एक ही प्लॉट के रूप में प्रदान की जाती है और इसे घूर्णन डिस्क के लिए चित्रित/मूल्यांकन नक़्शा के रूप में उपयोग किया जा सकता है।

गणितीय गुण
भौतिक विमा के दिए गए संग्रह से बनने वाले विमीय, जैसे टी, एल, और एम, एक एबेलियन समूह बनाते हैं, पहचान तत्व को 1 के रूप में लिखा जाता है; L0 = 1, और L का व्युत्क्रम 1/L या L-1 है, L किसी भी तर्कसंगत शक्ति तक बढ़ा हुआ p समूह का सदस्य है। जिसका विलोम L−p या 1/Lp है, यहाँ समूह का संचालन गुणन है जिसमें घातांक प्रबंधन के सामान्य नियम हैं (Ln × Lm = Ln+m)।

इस समूह को परिमेय संख्याओं पर विमीय प्रतीक के साथ एक सदिश क्षेत्र के रूप में वर्णित किया जा सकता है Ti Lj  Mk सदिश के अनुरूप (i, j, k). जब भौतिक मापित राशियाँ चाहे वे समान-विमीय हों या असमान-विमीय हों को एक-दूसरे से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो उनकी विमीय इकाइयों को भी गुणा या विभाजित किया जाता है; यह सदिश क्षेत्र में जोड़ या घटाव के अनुरूप है। जब मापने योग्य राशियों को तर्कसंगत शक्ति तक बढ़ाया जाता है, तो उन राशियों से जुड़े विमीय प्रतीकों के साथ भी ऐसा ही किया जाता है; यह सदिश क्षेत्र में अदिश गुणन से मेल खाती है।

विमीय प्रतीकों के ऐसे सदिश क्षेत्र के आधार को आधार राशियों का एक समुच्चय कहा जाता है, और अन्य सभी सदिश को व्युत्पन्न इकाइयाँ कहा जाता है। किसी भी सदिश क्षेत्र की तरह, कोई भी अलग-अलग आधार रैखिक बीजगणित को चुन सकता है, जो इकाइयों की विभिन्न प्रणालियों को उत्पन्न करता है। उदाहरण के लिए, यह चयनित करना कि क्या आवेश की इकाई धारा से ली गई है, या इसके विपरीत ली गई है।

समूह की इकाई, विमीयरहित राशियों का विमीय, जो इस सदिश क्षेत्र में उत्पत्ति से मेल खाता है।

किसी निर्मेय में सम्मिलित भौतिक राशियों की इकाइयों का समुच्चय सदिशों या मैट्रिक्स के समुच्चय के अनुरूप होता है। शून्यता कुछ संख्याओं का वर्णन करती है, उदाहरण के लिए इन सदिशों को एक शून्य सदिश बनाने के लिए संयोजित किया जा सकता है। ये कई विमीयरहित राशियों के परिणामन माप के अनुरूप हैं, $\{π_{1}, ..., π_{m}\}$ .वास्तव में ये तरीके दूसरे भिन्न क्षेत्र के शून्य उपसक्षेत्र को माप की शक्तियों का पूर्णतया विस्तृत कर देते हैं। एक ही इकाई के साथ कुछ उत्पादन करने के लिए मापी गई मात्राओं को एक साथ गुणा और घातांक करने का हर संभव तरीका कुछ व्युत्पन्न मात्रा X को सामान्य रूप में व्यक्त किया जा सकता है।


 * $$X = \prod_{i=1}^m (\pi_i)^{k_i}\,.$$

परिणाम स्वरुप, प्रणाली के भौतिकी के लिए हर संभव अनुरूप समीकरण के रूप में फिर से लिखा जा सकता है।


 * $$f(\pi_1,\pi_2, ..., \pi_m)=0\,.$$

इस प्रतिबंध को जानना प्रणाली में नई अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए एक शक्तिशाली उपकरण हो सकता है।

यांत्रिकी
यांत्रिकी की भौतिक में, राशियॉ के विमीय आधार को विमा के संदर्भ में T, L, और M के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, ये एक 3-विमीय सदिश क्षेत्र बनाते हैं। यह आधार विमा का एकमात्र मान्य विकल्प नहीं है, लेकिन यह सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला विकल्प है। उदाहरण के लिए बल, लंबाई और द्रव्यमान को आधार विमा के रूप में चुन सकता है जैसा कि कुछ ने किया है, संबद्ध विमा के साथ F, L और M है, यह एक अलग आधार से मेल खाता है, और कोई इन प्रतिनिधित्वों के बीच आधार के परिवर्तन से परिवर्तित हो सकता है। विमा के आधार समुच्चय का विकल्प है, इस प्रकार आयनिक उपयोगिता और  अंतरंगता के लाभ के साथ एक चलन है। आधार विमा का विकल्प पूरी तरह से यादृच्छिक नहीं है, क्योंकि उन्हें एक आधार बनाना चाहिए। उन्हें क्षेत्र का विस्तार करना चाहिए, और रैखिक रूप से स्वतंत्र होना चाहिए।

उदाहरण के लिए, F, L, M मूलभूत विमा का एक समुच्चय बनाते हैं क्योंकि वे आधार बनाते हैं जो T, L, M के समतुल्य है, पूर्व को [F = LM/T2 ] L, M के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जबकि बाद वाले को [T = (LM/F)1/2] L, M के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

दूसरी ओर, लंबाई, वेग और समय (T, L, V) दो कारणों से यांत्रिकी के लिए आधार विमा का एक समुच्चय नहीं बनाते हैं।
 * द्रव्यमान प्राप्त करने का कोई तरीका नहीं है या इससे प्राप्त कुछ भी, जैसे बल और आधार विमीय पेश किए बिना, इस प्रकार, के यह क्षेत्र का विस्तार नहीं करते हैं।
 * गति, लंबाई और समय के संदर्भ में अभिव्यक्त किया जा रहा है (V = L/T), अनावश्यक है, समुच्चय रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं है।

भौतिकी और रसायन विज्ञान के अन्य क्षेत्र
भौतिक विज्ञान के क्षेत्र के आधार पर, विमीय संकेतों के किसी एक या दूसरे विस्तारित समुच्चय को चुनना लाभदायक हो सकता है। उदाहरण के लिए विद्युत चुंबकत्व में, T, l, M और Q के विमा का प्रयोग करना उपयोगी हो सकता है, जहां Q विद्युत ऊर्जा के विमीय का प्रतिनिधित्व करता है। ऊष्मागतिकी में, विमा के आधार समुच्चय को मुख्यता तापमान के लिए विमीय सम्मिलित करने के लिए बढ़ाया जाता है। रसायन विज्ञान में, पदार्थ की मात्रा ( अवोगाद्रो नियतांक से विभाजित अणुओं की संख्या, ≈ 6.02×1023 mol−1 को आधार विमीय के रूप में भी परिभाषित किया जाता है। N मजबूत लेजर स्पंदों के साथ आपेक्षिक प्लाज्मा की अन्योन्य क्रिया में एक आयामरहित आपेक्षिक सापेक्षिक समानता पैरामीटर, जो कोटनालेस व्लासोव समीकरण के समरूपता गुणों से संबंधित होता है, विद्युत चुम्बकीय सदिश क्षमता के अतिरिक्त प्लाज्मा-, इलेक्ट्रॉन- और महत्वपूर्ण-घनत्व से निर्मित होता है। भौतिकी के विभिन्न क्षेत्रों में उपयोग किए जाने वाले विमा या विमीय की संख्या का विकल्प कुछ क्षेत्र तक यादृच्छिक ढंग से किया जाता है, लेकिन संचार के प्रयोग में संगति और सहजता सामान्य और आवश्यक लक्षण हैं।

बहुपद और अनुवांशिक कार्य
अतींद्रिय कार्यों के लिए अदिश प्रयोजन जैसे कि घातीय, त्रिकोणमितीय और लघुगणकीय कार्य या विषम बहुपदों के लिए विमीय रहित राशियाँ होनी चाहिए ध्यान दें नीचे वर्णित सिआनो के प्राच्य विश्लेषण में यह कुछ हद तक कमजोर है, जिसमें कुछ विमीय राशियों के वर्ग विमीय रहित होते है।

जबकि विमीयहीन संख्याओं के बारे में सबसे अधिक गणितीय सर्वसमिकाओं का विमीय राशि में सीधे तरीके से अनुवाद किया जा सकता है, जबकि लघुगणक अनुपात के साथ ही यह ध्यान में रखा जाना चाहिए। सर्वसमिका log(a/b) = log a − log b, जहाँ लघुगणक किसी भी आधार में लिया जाता है, यह a और b को नियंत्रित करता है। परंतु इसके बावजूद a और b विमीय नहीं होते है क्योंकि इस स्थिति में बाएँ हाथ की ओर भली-भांति परिभाषित किया गया है किंतु दायां हाथ नहीं दिया गया है।

इसी प्रकार, जहां विमीय राशियों के एकपदी (xn) का मूल्यांकन किया जा सकता है, कोई भी मिश्रित घात के बहुपदों का मूल्यांकन विमीय राशियों पर विमीय हीन गुणांक के साथ नहीं कर सकता है। x2 के लिए व्यंजक (3 m)2 = 9 m2 एक क्षेत्र के रूप में समझ में आता है, जबकि x2 + x के लिए व्यंजक (3 m)2 + 3 m = 9 m2 + 3 m का कोई मतलब नहीं है।

चूँकि, मिश्रित घात के बहुपद समझ में आ सकते हैं यदि गुणांक उपयुक्त रूप से भौतिक राशियों का चयन किया जाता है जो विमीय हीन नहीं हैं। उदाहरण के लिए,


 * $$ \tfrac{1}{2} \cdot (\mathrm{-9.8~m/s^2}) \cdot t^2 + (\mathrm{500~m/s}) \cdot t. $$

यह वह ऊँचाई है जिस तक कोई वस्तु t समय में ऊपर उठती है यदि गुरुत्वाकर्षण का त्वरण 9.8 मीटर प्रति सेकंड प्रति सेकंड है और प्रारंभिक उर्ध्व गति 500 ​​मीटर प्रति सेकंड है। t सेकंड में होना जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, मान लें कि t = 0.01 मिनट है। तो यह पहला कार्यकाल होगा


 * $$\begin{align}

&\tfrac{1}{2} \cdot (\mathrm{-9.8~m/s^2}) \cdot (\mathrm{0.01~min})^2 \\[10pt] ={} &\tfrac{1}{2} \cdot -9.8 \cdot \left(0.01^2\right) (\mathrm{min/s})^2 \cdot \mathrm{m} \\[10pt] ={} &\tfrac{1}{2} \cdot -9.8 \cdot \left(0.01^2\right) \cdot 60^2 \cdot \mathrm{m}. \end{align}$$

इकाइयों को सम्मिलित करना
विमीय भौतिक मात्रा Z का मान विमीय के भीतर माप की एक इकाई [Z] और विमीयरहित संख्यात्मक कारक, n के परिणाम के रूप में लिखा जाता है।
 * $$Z = n \times [Z] = n [Z]$$

जब समान राशियों वाली राशियाँ जोड़ी घटाई या तुलना की जाती हैं, तो उन्हें एक ही इकाई में व्यक्त करना आसान होता है चूँकि इन राशियों के संख्यात्मक मान सीधे जोड़े या घटाए जा सकें। लेकिन, अवधारणा में अलग-अलग इकाइयों में व्यक्त समान विमीय की राशियों को जोड़ने में कोई समस्या नहीं है। उदाहरण के लिए, 1 फुट में 1 मीटर की लंबाई जोड़ना एक लंबाई है, लेकिन केवल 1 और 1 को जोड़कर उस लंबाई को प्राप्त नहीं किया जा सकता है। इकाइयों का रूपांतरण, जो समान-विमीय वाली राशियों का अनुपात है और विमीयरहित इकाई के बराबर इसकी आवश्यकता होती है।


 * $$ 1 \ \mbox{ft} = 0.3048 \ \text{m} \ $$ के समान है $$ 1 = \frac{0.3048 \ \text{m}}{1 \ \text{ft}}.\ $$

कारक $$ 0.3048 \ \frac{\text{m}}{\mbox{ft}} $$ विमीयरहित 1 के समान है, इसलिए इस रूपांतरण कारक से गुणा करने पर कुछ भी नहीं बदलता है। फिर समान विमीय की दो राशियाँ को जोड़ते हैं, लेकिन इसे विभिन्न इकाइयों में व्यक्त किया जाता है, उपयुक्त रूपांतरण कारक, जो अनिवार्य रूप से विमीय रहित 1 है, और इसका उपयोग राशियों को एक ही इकाई में बदलने के लिए किया जाता है ताकि उनके संख्यात्मक मान जोड़े या घटाए जा सकें।

केवल इसी तरीके से अलग-अलग इकाइयों की समान विमीय वाली राशियों को जोड़ने की बात करना सार्थक है।

स्थिति बनाम विस्थापन
विमीय विश्लेषण की कुछ चर्चाएं सभी राशियों को गणितीय सदिशों के रूप में परोक्ष रूप से वर्णित करती हैं। गणित में अदिश को सदिशों का एक विशेष कारक,माना जाता है सदिशों को अन्य सदिशों में जोड़ा या घटाया जा सकता है, और अन्य बातों के साथ-साथ अदिश से गुणा या भाग किया जा सकता है। यदि किसी स्थिति को परिभाषित करने के लिए एक सदिश का उपयोग किया जाता है, तो यह संदर्भ के अंतर्निहित बिन्दु को ग्रहण करता है एक मूल चूँकि यह उपयोगी है और मुख्यता पूरी तरह से पर्याप्त है, जिससे कई महत्वपूर्ण त्रुटियों को पकड़ा जा सकता है, यह भौतिकी के कुछ पहलुओं के मॉडल में विफल रहता है। ये अधिक कठोर दृष्टिकोण के लिए स्थिति और विस्थापन या समय बनाम अवधि, या पूर्ण तापमान बनाम तापमान परिवर्तन के बीच अंतर करने की अनिवार्यता होती है।

एक रेखा के बिंदुओं पर विचार करें, तो प्रत्येक दिए गए मूल के संबंध में एक स्थिति के साथ उनके बीच की दूरी स्थिति और विस्थापन सभी में लंबाई की इकाई होती है, लेकिन उनका अर्थ विनिमेय नहीं होता है यह एफ़िन मात्राओं के बीच सूक्ष्म अंतर को दर्शाता है। ऐसी स्थितियाँ जो एक सघन स्थान द्वारा प्रतिरूपित की जाती हैं, जैसे कि स्थिति और सदिश राशियाँ, विस्थापन जैसे सदिश स्थान द्वारा प्रतिरूपित होती है।
 * दो विस्थापन जोड़ने से एक नया विस्थापन होना चाहिए (दस क़दम चलने पर बीस क़दम चलने से तीस क़दम आगे बढ़ जाते हैं।
 * किसी स्थिति में विस्थापन को जोड़ने से एक नई स्थिति मिलनी चाहिए (एक चौराहे से सड़क के नीचे एक ब्लॉक चलना आपको अगले चौराहे पर ले जाता है।
 * दो पदों को घटाने पर विस्थापन प्राप्त होता है।
 * लेकिन कोई दो पदों को नहीं जोड़ सकता है।
 * सदिश राशियों को एक दूसरे में जोड़ा जा सकता है, एक नई सदिश राशि उत्पन्न करना और एक सदिश राशि को एक उपयुक्त एफ़िन मात्रा में जोड़ा जा सकता है, सदिश क्षेत्र एफ़िन क्षेत्र पर कार्य करता है, यह एक नई एफ़िन राशि उत्पन्न करता है।
 * एफ़िन राशियों को जोड़ा नहीं जा सकता है, लेकिन घटाया जा सकता है, सापेक्ष राशियाँ जो कि सदिश हैं, और इन सापेक्ष अंतरों को एक दूसरे में या एक एफ़िन राशियों में जोड़ा जा सकता है।

तब स्थिति में एफ़िन लंबाई की विमीय होते है, जबकि विस्थापन के पास सदिश लंबाई का विमीय होता है। एफ़िन इकाई को कोई संख्या निर्दिष्ट करने के लिए अभिकलन इकाई को न केवल मापन की इकाई का चयन करना चाहिए, बल्कि निर्देश बिंदु का भी चयन करना चाहिए, जब एक सदिश इकाई को एक संख्या निर्दिष्ट करने के लिए केवल माप की इकाई की आवश्यकता होती है।

तब स्थिति में एफिन लंबाई की आयाम होते है जबकि विस्थापन के पास सदिश लंबाई का आयाम होता है।वाफ इकाई को कोई संख्या प्रदान करने के लिए अभिकलन इकाई को न केवल मापन की इकाई का चयन करना चाहिए, बल्कि निर्देश बिंदु का भी चयन करना चाहिए, जब एक सदिश इकाई को एक संख्या निर्दिष्ट करने के लिए केवल माप की इकाई की आवश्यकता होती है।

इस प्रकार कुछ भौतिक राशियाँ सदिश राशियों की तुलना में बेहतर होती हैं, जबकि अन्य को एफाइन प्रतिनिधित्व की आवश्यकता होती है, और अंतर उनके विमीय विश्लेषण में परिलक्षित होता है।

तापमान के सन्दर्भ में यह अंतर विशेष रूप से महत्वपूर्ण है, जिसके लिए कुछ पैमानों में निरपेक्ष शून्य का संख्यात्मक मान मूल 0 नहीं है। निरपेक्ष शून्य के लिए,
 * −273.15 °C ≘ 0 K = 0 °R ≘ −459.67 °F,

जहां प्रतीक ≘ का अर्थ संगत है, चूंकि संबंधित तापमान पैमाने पर ये मान मेल खाते हैं, वे अलग-अलग राशियों का उसी तरह प्रतिनिधित्व करते हैं जैसे कि अलग-अलग शुरुआती बिंदुओं से अंत बिंदु तक की दूरी अलग-अलग मात्रा की होती है, और सामान्य रूप से समान नहीं हो सकती।

तापमान अंतर के लिए,
 * 1 के = 1 डिग्री सेल्सियस ≠ 1 डिग्री फारेनहाइट = 1 डिग्री आर।

(यहाँ R रैंकिन पैमाने को संदर्भित करता है, न कि रेउमुर स्केल)। तापमान अंतर के लिए इकाई रूपांतरण केवल गुणा करने की बात है, उदाहरण के लिए, 1 °F / 1 K चूँकि अनुपात एक स्थिर मान नहीं है। लेकिन क्योंकि इनमें से कुछ पैमानों की उत्पत्ति हुई है जो पूर्ण शून्य के अनुरूप नहीं हैं, तापमान पैमाने से दूसरे में रूपांतरण के लिए उसके लेखांकन की आवश्यकता होती है। परिणामस्वरूप, सरल विमीय विश्लेषण त्रुटियों को जन्म दे सकता है यदि यह अस्पष्ट है कि क्या 1 K का अर्थ −272.15 °C के बराबर पूर्ण तापमान या 1 °C के बराबर तापमान अंतर है।

संगठित और संदर्भ का ढांचा
संदर्भ बिंदु के मुद्दे के समान ही संगठित का मुद्दा है, 2 या 3 विमा में विस्थापन मात्र एक लंबाई नहीं है, बल्कि दिशा के साथ एक लंबाई है। यह मुद्दा 1 विमीय में उत्पन्न नहीं होता है, या सकारात्मक और नकारात्मक के बीच अंतर के बराबर है। इस प्रकार, बहु-विमीय क्षेत्र में दो विमीय राशियों की तुलना या संयोजन करने के लिए किसी को भी एक संगठित की आवश्यकता होती है, उन्हें तुलना करने की आवश्यकता होती है संदर्भ के एक फ्रेम के लिए।

यह नीचे चर्चा किए गए वर्धन की ओर जाता है, अर्थात् हंटले के निर्देशित विमीय और सियानो के संगठितविश्लेषण का विस्तार हुआ है।

हंटले का विस्तार
हंटले ने बताया है कि विचाराधीन राशियों में नए स्वतंत्र विमा की खोज करके विमीय विश्लेषण अधिक शक्तिशाली हो सकता है, इस प्रकार क्रम में वृद्धि हो सकती है $$m$$ विमीय मैट्रिक्स के। उन्होंने दो दृष्टिकोण पेश किए।


 * सदिश घटकों के राशियों को विमीय रूप से स्वतंत्र माना जाता है। उदाहरण के लिए, अविभेदित लंबाई विमीय L के अतिरिक्त, हमारे पास Lx हो सकता है एक्स-दिशा में विमीय का प्रतिनिधित्व करते हैं, और यह आवश्यकता अंततः आवश्यकता से उत्पन्न होती है, भौतिक रूप से सार्थक समीकरण का प्रत्येक घटक (अदिश, सदिश, या प्रदिश) विमीय रूप से संगत होता है।
 * पदार्थ की मात्रा के माप के रूप में द्रव्यमान को द्रव्यमान से निष्क्रियता के माप के रूप में विमीय रूप से स्वतंत्र माना जाता है।

निर्देशित विमीय
पहले दृष्टिकोण की उपयोगिता के उदाहरण के रूप में, मान लीजिए हम उस दूरी की गणना करना चाहते हैं जब एक ऊर्ध्वाधर वेग घटक के साथ एक तोप का गोला चलता है $$V_\mathrm{y}$$ और एक क्षैतिज वेग घटक $$V_\mathrm{x}$$, यह मानते हुए कि यह एक सपाट सतह पर निकाल दिया गया है। निर्देशित लंबाई का कोई उपयोग नहीं मानते हुए, ब्याज की मात्रा $R$ है, तय की गई दूरी, विमीय L के साथ, $$V_\mathrm{x}$$, $$V_\mathrm{y}$$, दोनों का विमीय T−1L,है और $g$ गुरुत्वाकर्षण का अधोमुखी त्वरण है, जिसका विमीय T−2L. है।

इन चार राशियों के साथ, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि श्रेणी के लिए समीकरण $R$ लिखा जा सकता है।


 * $$R \propto V_\text{x}^a\,V_\text{y}^b\,g^c.\,$$

या विमीय रूप से


 * $$\mathsf{L} = \left(\frac{\mathsf{L}}{\mathsf{T}}\right)^{a+b} \left(\frac{\mathsf{L}}{\mathsf{T}^2}\right)^c\,$$

जिससे हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं $$a + b + c = 1$$ तथा $$a + b + 2c = 0$$, जो एक घातांक को अनिर्धारित छोड़ देता है। इसकी उम्मीद की जानी चाहिए क्योंकि हमारे पास एक समीकरण के साथ दो मौलिक विमीय T और L, और चार मापदण्ड होते है।

चूँकि, यदि हम निर्देशित लंबाई विमा का उपयोग करते हैं, तो $$V_\mathrm{x}$$ T−1Lx के रूप में विमियति किया जाएगा-1 $$V_\mathrm{y}$$ जैसा T−1Ly, $R$ एल के रूप में Lx तथा $g$ टी के रूप में- T−2Ly. विमीय समीकरण बन जाता है



\mathsf{L}_\mathrm{x} = \left(\frac{\mathsf{L}_\mathrm{x}}{\mathsf{T}}\right)^a \left(\frac{\mathsf{L}_\mathrm{y}}{\mathsf{T}}\right)^b \left(\frac{\mathsf{L}_\mathrm{y}}{\mathsf{T}^2}\right)^c $$ और हम पूरी तरह से हल कर सकते हैं $$a = 1$$, $$b = 1$$ तथा $$c = -1$$. निर्देशित लंबाई विमा के उपयोग से प्राप्त निगमनात्मक शक्ति में वृद्धि स्पष्ट होती है।

हंटले की निर्देशित लंबाई विमा की अवधारणा की कुछ गंभीर क्षेत्र एँ हैं।


 * यह क्रॉसपरिणाम से जुड़े सदिश समीकरणों के साथ अच्छा व्यवहार नहीं करता है,
 * न ही यह भौतिक चर के रूप में कोणों के उपयोग को अच्छी तरह से नियंत्रण करता है।

ब्याज की समस्या में शम्मिलित भौतिक चरों के लिए L, Lx, Ly, Lz प्रतीकों को निर्दिष्ट करना भी कभी कभी काफी कठिन होता है।। वह एक ऐसी प्रक्रिया का आह्वान करता है जिसमें भौतिक समस्या की समरूपता सम्मिलित है। यह मुख्यता मज़बूती से लागू करना बहुत मुश्किल होता है, यह स्पष्ट नहीं है कि समस्या के किन हिस्सों में समरूपता की धारणा लागू की जा रही है। क्या यह भौतिक शरीर की समरूपता है जिस पर बल कार्य कर रहे हैं, या उन बिंदुओं, रेखाओं या क्षेत्रों पर जहां बल लागू किए जा रहे हैं, क्या होगा यदि एक से अधिक शरीर विभिन्न समरूपताओं के साथ सम्मिलित होता है

एक बेलनाकार ट्यूब से जुड़े गोलाकार बुलबुले पर विचार करें, जहां दो भागों में दबाव अंतर के एक फलन के रूप में हवा की प्रवाह दर चाहते हैं। हंटले से जुड़े भागों में निहित हवा की स्थिरता के विस्तारित आयाम क्या हैं दो भागों के दबाव के विस्तारित विमीय क्या हैं, क्या वे वही हैं या अलग हैं। ये कठिनाइयाँ वास्तविक समस्याओं के लिए हंटले के निर्देशित लंबाई विमा के सीमित अनुप्रयोग के लिए उत्तरदायी हैं।

पदार्थ की मात्रा
हंटले के दूसरे दृष्टिकोण में, वे मानते हैं कि कभी-कभी द्रव यांत्रिकी और ऊष्मप्रवैगिकी में जड़ता या जड़त्वीय द्रव्यमान और द्रव्य की राशियो के माप के रूप में द्रव्यमान में अंतर करना उपयोगी होता है। जड़त्वीय द्रव्यमान के अनुपात में, हन्टले द्वारा पदार्थ की राशियो की परिभाषा की जाती है। (ए) जड़त्वीय द्रव्यमान के अनुपात में, लेकिन (बी) जड़त्वीय गुणों को निहित नहीं करता है।इसकी परिभाषा में आगे कोई प्रतिबंध नहीं जोड़ा गया है।

उदाहरण के लिए, पॉइज़ुइल के नियम की व्युत्पत्ति पर विचार करने पर। हम एक गोलाकार पाइप के माध्यम से एक स्थिरता द्रव के द्रव्यमान प्रवाह की दर का पता लगाना चाहते हैं। जड़त्वीय और पर्याप्त द्रव्यमान के बीच भेद किए बिना, हम प्रासंगिक चर के रूप में चुन सकते हैं। तीन मूलभूत चर हैं, इसलिए उपरोक्त पांच समीकरणों से दो स्वतंत्र विमीयरहित चर प्राप्त होंगे।
 * $$\pi_1 = \frac{\dot{m}}{\eta r}$$
 * $$\pi_2 = \frac{p_\mathrm{x}\rho r^5}{\dot{m}^2}$$

यदि हम विमीय के साथ जड़त्वीय द्रव्यमान के बीच अंतर करते हैं $$M_\text{i}$$ और विमीय के साथ पदार्थ की मात्रा $$M_\text{m}$$, तब द्रव्यमान प्रवाह दर और घनत्व पदार्थ की मात्रा को द्रव्यमान मापदण्ड के रूप में उपयोग करता है, जबकि दबाव प्रवणता और स्थिरता का गुणांक जड़त्वीय द्रव्यमान का उपयोग करता है। अब हमारे पास चार मौलिक मापदण्ड हैं, और एक विमीय हीन नियतांक है, ताकि विमीय समीकरण लिखा जा सके।


 * $$C = \frac{p_\mathrm{x}\rho r^4}{\eta \dot{m}}$$

जहां केवल $ρ$ एक अनिर्धारित नियतांक है (विमीय विश्लेषण के तरीकों से $$\pi/8$$ के समान पाया जाता है)। पोसीउल सिद्धांत से, समीकरण के द्रव्यमान प्रवाह दर को संपन्न करने के लिए उपयोग किया जाता है।

स्वतंत्र मात्रा विमीय के रूप में पदार्थ की मात्रा की हंटले की मान्यता उन समस्याओं में स्पष्ट रूप से सफल है जहां यह लागू है, लेकिन पदार्थ की मात्रा की उनकी परिभाषा व्याख्या के लिए खुली है, क्योंकि इसमें दो आवश्यकताओं (ए) और (बी) से परे विशिष्टता का अभाव है। इसके लिए नियत किसी दिए गए पदार्थ के लिए, इकाई मोल के साथ पदार्थ की एसआई विमीय मात्रा, पदार्थ की मात्रा के माप के रूप में हंटले की दो बातो को पूरा करती है, और विमीय विश्लेषण की किसी भी समस्या में पदार्थ की मात्रा के रूप में इस्तेमाल किया जाता है जहां हंटले की अवधारणा उपयुक्त होती है।

सियानो का विस्तार: प्राच्य विश्लेषण
परिपाटी के अनुसार, कोण को विमाहीन राशियाँ माना जाता है। उदाहरण के रूप में, प्रक्षेप्य से जुड़े अभ्यास पर विचार करने पर, यह मूल बिंदु से बिंदु के द्रव्यमान पर प्रक्षेपित हो जाता है $(x, y) = (0, 0)$ एक गति v कोण $θ$. से x-अक्ष के शीर्ष पर गुरुत्वाकर्षण के बल के साथ नकारात्मक होती है। और ये y-अक्ष के साथ निर्देशित होकर क्षेत्र $R$, को पाने के लिए वांछित होती है। तथा जिस बिंदु पर द्रव्यमान x-अक्ष पर वापस आता है। और पारंपरिक विश्लेषण से विमीयरहित परिवर्तनीय $π = R g/v^{2}$ को दर्शाया जाता है, लेकिन $R$ तथा $θ$ के बीच संबंधों में कोई अंतर्दृष्टि प्रदान नहीं करता है।

सिआनो ने सुझाव दिया है कि हंटले के निर्देशित विमा के स्थान पर सदिश दिशाओं को व्यक्त करने के लिए संगठित ी प्रतीकों $1_{x} 1_{y} 1_{z}$ का प्रयोग किया जाता है,10 ।. इस प्रकार, इस प्रकार, हंटले का L$x$ L1$x$ बन जाता है, जिसमें L लंबाई के विमा को 1x संगठित के रूप में निर्दिष्ट करता है। सियानो आगे दर्शाता है कि संगठित प्रतीकों में भी बीजगणित चलता रहता है। आवश्यकता के साथ कि $1_{i}^{−1} = 1_{i}$,संगठित प्रतीकों के लिए निम्नलिखित गुणन तालिका परिणाम होता है।

ध्यान दें कि संगठित ी प्रतीक एक ग्रुप (क्लेन चार-समूह या वीरग्रुप) का निर्माण करते हैं। इस प्रणाली में, अदिश तत्व की पहचान मुख्य्ता वही होता है जो प्रयोग की सममिति से स्वतंत्र होता है, सदिश की भौतिक मात्राएं उसकी दिशा प्रत्याशित होती है, जो  Z-दिशा में एक बल या वेग $1_{z}$. का संगठित करती है।.कोणों के लिए, एक कोण θ पर विचार करें जो z-तल में स्थित है। जेड-समतल में एक समकोण त्रिभुज बनाएं जिसमें θ न्यून कोणों में से एक हो। फिर कोण से सटे समकोण त्रिभुज की भुजा का एक संगठित होता है $1_{x}$ और विपरीत पक्ष का एक संगठित है $1_{y}$. चूंकि (उपयोग $~$ संगठित समकक्ष इंगित करने के लिए) $tan(θ) = θ + ... ~ 1_{y}/1_{x}$ हैं। हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि xy-तल में एक कोण का संगठित होना चाहिए $1_{y}/1_{x} = 1_{z}$, जो अनुचित नहीं है। इसके अनुरूप तर्क इस निष्कर्ष को बल देता है कि $sin(θ)$ का संगठित $1_{z}$ है जबकि $cos(θ)$ का संगठित 10. है, ये अलग-अलग हैं, इसलिए एक (सही ढंग से) निष्कर्ष निअवधिता है, उदाहरण के लिए, भौतिक समीकरणों का कोई समाधान नहीं है जो फॉर्म के हैं $a cos(θ) + b sin(θ)$, कहाँ पे $η$ तथा $r$ असली स्केलर हैं। ध्यान दें कि एक अभिव्यक्ति हैं, जैसे $$\sin(\theta+\pi/2)=\cos(\theta)$$ विमीय रूप से असंगत नहीं है क्योंकि यह कोण सूत्र के योग का एक विशेष कारक है और इसे सही ढंग से लिखा जाना चाहिए:



\sin\left(a\,1_\text{z} + b\,1_\text{z}\right) = \sin\left(a\,1_\text{z}) \cos(b\,1_\text{z}\right) + \sin\left(b\,1_\text{z}) \cos(a\,1_\text{z}\right), $$ जिसके लिए $$a = \theta$$ तथा $$b = \pi/2$$ पैदावार $$\sin(\theta\,1_\text{z} + [\pi/2]\,1_\text{z}) = 1_\text{z}\cos(\theta\,1_\text{z})$$. सियानो ज्यामितीय कोणों के बीच अंतर करता है, जिसमें 3-विमीय क्षेत्र में संगठित होता है, और समय-आधारित दोलनों से जुड़े चरण कोण होते हैं, जिनके पास कोई स्थानिक संगठन नहीं होता है, अर्थात एक चरण कोण का संगठित $$1_0$$ है

भौतिक मात्राओं में उन्मुख प्रतीकों का नियतन तथा भौतिक समीकरणों का संरचनात्मक समरूप होने की आवश्यकता का वस्तुतः इस प्रकार प्रयोग किया जा सकता है कि भौतिक प्रयोगो के स्वीकार्य समाधान के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त की जा सके। इस दृष्टिकोण में, प्रत्येक व्यक्ति जहां तक संभव हो विमीय समीकरण को हल करता है। यदि एक भौतिक चर की निम्नतम शक्ति आंशिक है, तो समाधान के दोनों पक्षों को एक ऐसी शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है कि सभी शक्तियां अभिन्न होती हैं, और उसे सामान्य रूप दे देती हैं। इस प्रकार संगठित समीकरण को हल कर लिया जाता है, चूँकि इसमे प्राचनात्मक प्रतीकों की अज्ञात शक्तियों को प्रतिबंधात्मक स्थिति के रूप दी जा सके। तब इसका मूल्यांकन,उस विमीय विश्लेषण से भी अधिक पूर्ण होता है। अधिकांशता, जानकारी यह है कि एक निश्चित चर की शक्तियों में से एक सम या विषम होती है।

एक उदाहरण के रूप में, प्रक्षेप्य समस्या के लिए, प्राच्य प्रतीकों का उपयोग करते हुए, $θ$, xy-तल में होने के कारण इसका विमीयहोगा $1_{z}$ और प्रक्षेप्य की क्षेत्र $C$ रूप का होगा:


 * $$R = g^a\,v^b\,\theta^c\text{ which means }\mathsf{L}\,1_\mathrm{x} \sim

\left(\frac{\mathsf{L}\,1_\text{y}}{\mathsf{T}^2}\right)^a \left(\frac{\mathsf{L}}{\mathsf{T}}\right)^b\,1_\mathsf{z}^c.\,$$ विमीय समरूपता अब अच्छी तरह से निकलेगी $a = −1$ तथा $b = 2$, और संगठित समरूपता की आवश्यकता है $$1_x /(1_y^a 1_z^c)=1_z^{c+1}=1$$. दूसरे शब्दों में, यह $a$ एक विषम पूर्णांक ही होगा। वास्तव में, थीटा का आवश्यक कार्य $sin(θ)cos(θ)$ जो $b$ की विषम शक्तियों से मिलकर एक श्रृंखला बनती है

यह देखा गया है कि टेलर श्रृंखला $sin(θ)$ तथा $cos(θ)$ उपरोक्त गुणन तालिका का उपयोग करते हुए संगठित रूप से सजातीय हैं, जबकि अभिव्यक्ति जैसे $cos(θ) + sin(θ)$ तथा $exp(θ)$ नहीं कर रहे हैं, और (सही ढंग से) अभौतिक समझे जाते हैं।

सियानो का संगठन विश्लेषण विमीयहीन होने के रूप में कोणीय मात्राओं की मूलता अवधारणा के अनुकूल है, और संगठित विश्लेषण के अंदर, रेडियन को अभी भी एक विमीयहीन इकाई माना जा सकता है। एक राशी समीकरण का संगठित विश्लेषण सामान्य विमीय विश्लेषण से अलग किया जाता है, जो विमीय विश्लेषण को पूरक करने वाली जानकारी प्रदान करता है।

नियतांक
प्राप्त परिणामों में विमीय रहित स्थिरांक उत्पन्न होते हैं, जैसे कि पॉइज़ुइल नियम के अभ्यास में $$\kappa$$ स्प्रिंग के अभ्यास में वाद-विवाद की समस्याओं में, अंतर्निहित भौतिकी के अधिक विस्तृत विश्लेषण से आते हैं और मुख्यता कुछ अंतर समीकरणों को एकीकृत करने से उत्पन्न होती हैं। इन नियतांकों के बारे में स्वयं विमीय विश्लेषण के बारे में कुछ नहीं कहा जा सकता है, लेकिन यह जानना उपयोगी है कि इन सब गुणों में बहुधा क्रमबद्ध एकता की विशालता होती है। यह अवलोकन किसी व्यक्ति को कभी-कभी लिफाफा गणनाओं का परिकलन करने की अनुमति देता है और इस प्रकार प्रयोग की जानकारी को मापने तथा यह जानने के लिए कि क्या यह महत्त्वपूर्ण है, अधिक कुशलता से डिज़ाइन कर सकता है।

औपचारिकताएं
विरोधाभासी रूप से, विमीय विश्लेषण एक उपयोगी उपकरण हो सकता है, भले ही अंतर्निहित सिद्धांत में सभी मापदण्ड विमीय हीन हों, उदाहरण के लिए, जाली मॉडल जैसे कि आइसिंग मॉडल का उपयोग चरण संक्रमण और महत्वपूर्ण घटनाओं का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है। इस तरह के मॉडल पूरी तरह विमीयरहित तरीके से तैयार किए जा सकते हैं। जब हम विवेचनात्मक बिंदु पर पहुंचते हैं तो लैटिस मॉडल में चर की दूरी एक-दूसरे से सम्बद्ध होती है। (तथाकथित सहसंबंध लंबाई, $$\xi$$ ) बड़ा और बड़ा हो जाता है। अब, सहसंबंध की लंबाई महत्वपूर्ण घटनाओं से संबंधित प्रासंगिक लंबाई का पैमाना होता है, जैसे किसी भी जाली पर मुक्त ऊर्जा का विश्लेषणात्मक भाग $$\sim 1/\xi^{d}$$ में होना चाहिए, जहां $$d$$ जाली का विमीय है।

यह कुछ भौतिकविदों द्वारा तर्क दिया गया है, उदाहरण के लिए एम जे डफ, कि भौतिकी के नियम स्वाभाविक रूप से विमीयरहित होते हैं। इस तथ्य के अनुसार, यह है कि लम्बाई, समय और द्रव्यमान के लिए असंगत विमीय निर्दिष्ट किए हैं, इस दृष्टिकोण के अनुसार, मूल का विषय, जो इस तथ्य से स्पष्ट है कि आधुनिक भौतिकी के आगमन से पहले द्रव्यमान, लंबाई और समय को एक दूसरे से जोड़ने का कोई मार्ग नहीं था। तीन स्वतंत्र विमीय नियतांक c प्रकाश की गति, ħ प्लैंक नियतांक, और G गुरुत्वाकर्षण नियतांक, भौतिकी के मौलिक समीकरणों में द्रव्यमान, समय और लंबाई को एक दूसरे में परिवर्तित करने के लिए मात्र रूपांतरण कारकों के रूप में देखा जाना चाहिए।

जैसा कि लॅटीस मॉडल के महत्वपूर्ण गुणों के सन्दर्भ में, उचित प्रवर्धन क्षेत्र में विमीय विश्लेषण के परिणाम पुनर्प्राप्त कर सकते हैं, उदाहरण के लिए, यांत्रिकी में विमीय विश्लेषण को नियतांक ħ, c, और G को पुनः प्रविष्ट करके प्राप्त किया जा सकता है (लेकिन अब हम उन्हें विमीय हीन मान सकते हैं) और मांग कर सकते हैं कि मात्रा के बीच एक विलक्षण संबंध क्षेत्र में सम्मलित होते है। $$c\rightarrow \infty$$, $$\hbar\rightarrow 0$$ तथा $$G\rightarrow 0$$. गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र से जुड़ी अभ्यास में बाद की क्षेत्र को इस तरह लिया जाना चाहिए कि क्षेत्र परिमित रहे।

विमीय समकक्ष
ऊर्जा, संवेग और बल के विमा से संबंधित भौतिकी में सामान्यता होने वाली अभिव्यक्तियों की तालिकाएँ निम्नलिखित हैं।

प्राकृतिक इकाइयाँ
यदि c = ħ = 1, जहां c प्रकाश की गति है और ħ कम प्लैंक नियतांक है, और ऊर्जा की एक उपयुक्त निश्चित इकाई को चुना जाता है, तो समय T, लंबाई L और द्रव्यमान M की सभी राशियों को ऊर्जा E की शक्ति के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।, क्योंकि लंबाई, द्रव्यमान और समय को गति v, क्रिया S और ऊर्जा E का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है


 * $$t = \frac{S}{E},\quad L = \frac{Sv}{E}, \quad M = \frac{E}{v^2}$$

चूँकि गति और क्रिया विमीय हीन हैं (v = c = 1 तथा S = ħ = 1) - तो विमीय के साथ केवल शेष राशि ऊर्जा है। विमा की शक्तियों के संदर्भ में,


 * $$\mathsf{E}^n = \mathsf{T}^p\mathsf{L}^q\mathsf{M}^r = \mathsf{E}^{-p-q+r} $$

यह कण भौतिकी और उच्च ऊर्जा भौतिकी में विशेष रूप से उपयोगी है, इस सन्दर्भ में ऊर्जा इकाई इलेक्ट्रॉन वोल्ट (ईवी) है। इस प्रणाली में विमीय जांच और अनुमान बहुत सरल हो जाते हैं।

चूँकि, यदि विद्युत आवेश और धाराएँ सम्मिलित हैं, तो तय की जाने वाली अन्य इकाई विद्युत आवेश के लिए है, जो सामान्य रूप से इलेक्ट्रॉन आवेश e को चुना जाना संभव होता है।

यह भी देखें

 * बकिंघम π प्रमेय
 * द्रव यांत्रिकी में विमीयरहित संख्याएँ
 * फर्मी समस्या - विमीय विश्लेषण सिखाने के लिए प्रयोग किया जाता है
 * संख्यात्मक-मूल्य समीकरण
 * रेलेय की विमीय विश्लेषण विधि
 * समानता (मॉडल) - विमीय विश्लेषण का एक अनुप्रयोग
 * माप की प्रणाली

गणित के संबंधित क्षेत्र

 * सहप्रसरण और सदिशों का अंतर्विरोध
 * बाहरी बीजगणित
 * ज्यामितीय बीजगणित
 * मात्रा अभिकलन

प्रोग्रामिंग लैंग्वेज
1977 से टाइप प्रणाली टाइप चेकिंग के हिस्से के रूप में विमीय शुद्धता का अध्ययन किया गया है। ADA के लिए कार्यान्वयन और सी++ 1985 और 1988 में वर्णित किया गया था। कैनेडी की 1996 की थीसिस मानक एमएल में कार्यान्वयन का वर्णन करती है, और बाद में एफ शार्प प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में। हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा) के लिए कार्यान्वयन हैं, ओसीएएमएल  l, और जंग (प्रोग्रामिंग भाषा), पायथन, और फोरट्रान के लिए एक कोड चेकर है। ग्रिफिओन की 2019 थीसिस ने हार्ट के मैट्रिस का समर्थन करने के लिए कैनेडी की हिंडले-मिलनर की प्रणाली का विस्तार किया। मैकब्राइड और नॉर्डवॉल-फोर्सबर्ग बताते हैं कि माप की इकाइयों कुछ प्रकार की प्रणालियों का विस्तार करने के लिए निर्भर प्रकारों का उपयोग कैसे किया जाए।

संदर्भ

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बाहरी संबंध

 * List of dimensions for variety of physical quantities
 * Unicalc Live web calculator doing units conversion by dimensional analysis
 * A C++ implementation of compile-time dimensional analysis in the Boost open-source libraries
 * Buckingham's pi-theorem
 * Quantity System calculator for units conversion based on dimensional approach
 * Units, quantities, and fundamental constants project dimensional analysis maps

इकाइयों को परिवर्तित करना

 * यूनिकैल्क लाइव वेब कैलकुलेटर विमीय विश्लेषण द्वारा इकाइयों का रूपांतरण कर रहा है
 * गणित कौशल समीक्षा
 * U.S. EPA ट्यूटोरियल
 * इकाइयों की चर्चा
 * इकाई रूपांतरण के लिए लघु मार्गदर्शिका
 * रद्द करना इकाई पाठ
 * अध्याय 11: गैसों का व्यवहार रसायन विज्ञान: अवधारणाएं और अनुप्रयोग, डेंटन स्वतंत्र स्कूल जिला
 * वायु फैलाव मॉडलिंग रूपांतरण और सूत्र
 * www.gnu.org/software/units नि:शुल्क कार्यक्रम, बहुत व्यावहारिक

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