विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण

विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण (यूजीन विग्नर और जीन विले | जीन-आंद्रे विले के बाद विग्नर फ़ंक्शन या विग्नर-विले वितरण भी कहा जाता है) एक क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण है। इसे 1932 में यूजीन विग्नर द्वारा पेश किया गया था शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी में मात्रा  सुधार का अध्ययन करना। लक्ष्य श्रोडिंगर के समीकरण में दिखाई देने वाले जनरेटिंग फ़ंक्शन को चरण स्थान में संभाव्यता वितरण से जोड़ना था।

यह किसी दिए गए क्वांटम-मैकेनिकल तरंग क्रिया  के सभी स्थानिक ऑटोसहसंबंध कार्यों के लिए एक उत्पादक कार्य है $ψ(x)$. इस प्रकार, यह मानचित्रण करता है 1927 में हरमन वेइल द्वारा प्रस्तुत वास्तविक चरण-अंतरिक्ष कार्यों और हर्मिटियन ऑपरेटरों के बीच मानचित्र में क्वांटम घनत्व मैट्रिक्स पर, गणित में समूह प्रतिनिधित्व से संबंधित एक संदर्भ में (वेइल परिमाणीकरण देखें)। वास्तव में, यह घनत्व मैट्रिक्स का विग्नर-वेइल रूपांतरण है, इसलिए चरण स्थान में उस ऑपरेटर की प्राप्ति होती है। इसे बाद में जीन विले द्वारा 1948 में एक द्विघात (सिग्नल में) विग्नर वितरण फ़ंक्शन के रूप में पुनः प्राप्त किया गया था | सिग्नल की स्थानीय समय-आवृत्ति ऊर्जा का प्रतिनिधित्व, प्रभावी रूप से एक spectrogram ।

1949 में, जोस एनरिक मोयल, जिन्होंने इसे स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया था, ने इसे क्वांटम क्षण-उत्पादक कार्यात्मक के रूप में मान्यता दी, और इस प्रकार चरण स्थान में सभी क्वांटम अपेक्षा मूल्यों और इसलिए क्वांटम यांत्रिकी के एक सुरुचिपूर्ण एन्कोडिंग के आधार के रूप में (चरण-अंतरिक्ष सूत्रीकरण देखें)। इसमें सांख्यिकीय यांत्रिकी, क्वांटम रसायन विज्ञान, क्वांटम प्रकाशिकी, शास्त्रीय प्रकाशिकी और सिग्नल विश्लेषण जैसे विभिन्न क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं, जैसे  विद्युत अभियन्त्रण , भूकंप विज्ञान, संगीत संकेतों के लिए समय-आवृत्ति विश्लेषण, जीव विज्ञान और भाषण प्रसंस्करण में स्पेक्ट्रोग्राम और झरना प्लॉट।

शास्त्रीय यांत्रिकी से संबंध
एक शास्त्रीय कण की एक निश्चित स्थिति और गति होती है, और इसलिए इसे चरण स्थान में एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। कणों के एक संग्रह (सांख्यिकीय संयोजन (गणितीय भौतिकी)) को देखते हुए, चरण स्थान में एक निश्चित स्थिति में एक कण खोजने की संभावना एक संभाव्यता वितरण, लिउविले घनत्व द्वारा निर्दिष्ट की जाती है। यह सख्त व्याख्या विफल हो जाती है एक क्वांटम कण के लिए, अनिश्चितता सिद्धांत के कारण। इसके बजाय, उपरोक्त अर्धसंभाव्यता विग्नर वितरण एक समान भूमिका निभाता है, लेकिन पारंपरिक संभाव्यता वितरण के सभी गुणों को संतुष्ट नहीं करता है; और, इसके विपरीत, शास्त्रीय वितरण के लिए अनुपलब्ध सीमा गुणों को संतुष्ट करता है।

उदाहरण के लिए, विग्नर वितरण उन राज्यों के लिए नकारात्मक मान ले सकता है और आमतौर पर लेता है जिनके पास कोई शास्त्रीय मॉडल नहीं है - और यह क्वांटम-मैकेनिकल हस्तक्षेप का एक सुविधाजनक संकेतक है। (शुद्ध अवस्थाओं के लक्षण वर्णन के लिए नीचे देखें जिनके विग्नर फ़ंक्शन गैर-नकारात्मक हैं।) से बड़े आकार के फिल्टर के माध्यम से विग्नर वितरण को सुचारू करना $ħ$ (उदाहरण के लिए, ए के साथ जुड़ना चरण-स्पेस गॉसियन, एक वीयरस्ट्रैस रूपांतरण, #अन्य संबंधित क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण, नीचे) उत्पन्न करने के लिए, एक सकारात्मक-अर्ध-निश्चित फ़ंक्शन में परिणत होता है, यानी, ऐसा माना जा सकता है कि इसे अर्ध-शास्त्रीय में मोटे किया गया है।

ऐसे नकारात्मक मान वाले क्षेत्रों को (एक छोटे गॉसियन के साथ जोड़कर) छोटा साबित किया जा सकता है: वे कुछ से बड़े क्षेत्रों तक विस्तारित नहीं हो सकते हैं $ħ$, और इसलिए शास्त्रीय सीमा में गायब हो जाते हैं। वे अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा परिरक्षित हैं, जो इससे छोटे चरण-अंतरिक्ष क्षेत्रों के भीतर सटीक स्थान की अनुमति नहीं देता है $ħ$, और इस प्रकार ऐसी नकारात्मक संभावना को कम विरोधाभासी बना देता है।

परिभाषा एवं अर्थ
विग्नेर वितरण $W(x,p)$शुद्ध अवस्था को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

कहाँ $ψ$ वेवफ़ंक्शन है, और $x$ और $p$ स्थिति और गति हैं, लेकिन कोई भी संयुग्मी चर जोड़ी हो सकती है (उदाहरण के लिए विद्युत क्षेत्र के वास्तविक और काल्पनिक भाग या सिग्नल की आवृत्ति और समय)। ध्यान दें कि इसमें समर्थन हो सकता है $x$यहां तक ​​कि उन क्षेत्रों में भी जहां $ψ$ में कोई समर्थन नहीं है $x$ ( धड़कता है )।

यह सममित है $x$ और $p$:
 * $$W(x, p) = \frac{1}{\pi\hbar} \int_{-\infty}^\infty \varphi^*(p + q) \varphi(p - q) e^{-2ixq/\hbar} \,dq,$$

कहाँ $φ$ सामान्यीकृत संवेग-अंतरिक्ष तरंग फ़ंक्शन है, जो फूरियर रूपांतरण के समानुपाती है $ψ$.

3डी में,
 * $$W(\vec{r}, \vec{p}) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int \psi^*(\vec{r} + \hbar\vec{s}/2) \psi(\vec{r} - \hbar\vec{s}/2) e^{i\vec{p} \cdot \vec{s}} \,d^3 s.$$

सामान्य स्थिति में, जिसमें मिश्रित अवस्थाएँ शामिल हैं, यह घनत्व मैट्रिक्स का विग्नर रूपांतरण है: $$W(x, p) = \frac{1}{\pi\hbar} \int_{-\infty}^\infty \langle x - y| \hat{\rho} |x + y \rangle e^{2ipy/\hbar} \,dy,$$ जहां ⟨x|ψ⟩ = $ψ(x)$. यह #विग्नर-वेइल परिवर्तन (या मानचित्र) वेइल परिमाणीकरण का उलटा है, जो वेइल परिमाणीकरण में चरण-अंतरिक्ष कार्यों को हिल्बर्ट स्थान  | हिल्बर्ट-स्पेस ऑपरेटरों में मैप करता है।

इस प्रकार, विग्नर फ़ंक्शन चरण स्थान में क्वांटम यांत्रिकी की आधारशिला है।

1949 में, जोस एनरिक मोयल ने स्पष्ट किया कि कैसे विग्नर फ़ंक्शन चरण-स्थान सी-नंबर फ़ंक्शंस से अपेक्षित मूल्य प्राप्त करने के लिए चरण स्थान में एकीकरण माप (संभावना घनत्व फ़ंक्शन के अनुरूप) प्रदान करता है। $g(x, p)$ उपयुक्त रूप से ऑर्डर किए गए ऑपरेटरों से विशिष्ट रूप से संबद्ध $Ĝ$ वेइल के परिवर्तन के माध्यम से (नीचे विग्नेर-वेइल परिवर्तन और संपत्ति 7 देखें), शास्त्रीय संभाव्यता सिद्धांत के विचारोत्तेजक तरीके से।

विशेष रूप से, एक ऑपरेटर का $Ĝ$ अपेक्षा मान उस ऑपरेटर के विग्नर ट्रांसफॉर्म का एक चरण-स्थान औसत है: $$\langle \hat{G} \rangle = \int dx\,dp\, W(x, p) g(x, p).$$

गणितीय गुण
1. W(x, p) एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है।

2. x और p संभाव्यता वितरण सीमांत वितरण द्वारा दिए गए हैं:
 * $$\int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) = \langle x|\hat{\rho}|x \rangle.$$ यदि सिस्टम को शुद्ध अवस्था द्वारा वर्णित किया जा सकता है, तो कोई प्राप्त करता है $$\int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) = |\psi(x)|^2.$$
 * $$\int_{-\infty}^\infty dx\, W(x, p) = \langle p|\hat{\rho}|p \rangle.$$ यदि सिस्टम को शुद्ध अवस्था द्वारा वर्णित किया जा सकता है, तो किसी के पास है $$\int_{-\infty}^{\infty} dx\, W(x, p) = |\varphi(p)|^2.$$
 * $$\int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) = \operatorname{Tr}(\hat{\rho}).$$
 * आमतौर पर घनत्व मैट्रिक्स का निशान$$\hat{\rho}$$1 के बराबर है.

3. W(x, p) में निम्नलिखित परावर्तन समरूपताएँ हैं:
 * समय समरूपता: $$\psi(x) \to \psi(x)^* \Rightarrow W(x, p) \to W(x, -p).$$
 * अंतरिक्ष समरूपता: $$\psi(x) \to \psi(-x) \Rightarrow W(x, p) \to W(-x, -p).$$

4. W(x, p) गैलिलियन परिवर्तन है|गैलीली-सहसंयोजक:
 * $$\psi(x) \to \psi(x + y) \Rightarrow W(x, p) \to W(x + y, p).$$
 * यह लोरेंत्ज़-सहसंयोजक नहीं है।

5. बलों की अनुपस्थिति में चरण स्थान में प्रत्येक बिंदु के लिए गति का समीकरण शास्त्रीय है:
 * $$\frac{\partial W(x, p)}{\partial t} = \frac{-p}{m} \frac{\partial W(x, p)}{\partial x}.$$
 * वास्तव में, हार्मोनिक बलों की उपस्थिति में भी यह शास्त्रीय है।

6. राज्य ओवरलैप की गणना इस प्रकार की जाती है
 * $$|\langle \psi|\theta \rangle|^2 = 2\pi\hbar \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dp\, W_\psi(x, p) W_\theta(x, p).$$

7. ऑपरेटर अपेक्षा मान (औसत) की गणना संबंधित विग्नर परिवर्तनों के चरण-स्थान औसत के रूप में की जाती है:
 * $$g(x, p) \equiv \int_{-\infty}^\infty dy\, \left\langle x - \frac{y}{2} \right| \hat{G} \left| x + \frac{y}{2} \right\rangle e^{ipy/\hbar},$$
 * $$\langle \psi|\hat{G}|\psi\rangle = \operatorname{Tr}(\hat{\rho} \hat{G}) = \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) g(x, p).$$

8. W(x, p) के लिए भौतिक (सकारात्मक) घनत्व मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करने के लिए, इसे संतुष्ट करना होगा
 * $$\int_{-\infty}^\infty dx\, \int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) W_\theta(x, p) \ge 0$$
 * सभी शुद्ध अवस्थाओं के लिए |θ⟩.

9. कॉची-श्वार्ज़ असमानता के आधार पर, एक शुद्ध राज्य के लिए, यह सीमित होने के लिए बाध्य है:
 * $$-\frac 2 h \leq W(x, p) \leq \frac 2 h.$$
 * यह सीमा शास्त्रीय सीमा में गायब हो जाती है, ħ → 0. इस सीमा में, W(x,p) समन्वय स्थान x में संभाव्यता घनत्व को कम कर देता है, आमतौर पर अत्यधिक स्थानीयकृत, डायराक डेल्टा फ़ंक्शन द्वारा गुणा किया जाता है |δ-गति में कार्य करता है: शास्त्रीय सीमा कांटेदार है. इस प्रकार, यह क्वांटम-मैकेनिकल बाउंड एक विग्नर फ़ंक्शन को रोकता है जो अनिश्चितता सिद्धांत के प्रतिबिंब के रूप में, चरण स्थान में एक पूरी तरह से स्थानीयकृत δ-फ़ंक्शन है।

10. विग्नर परिवर्तन केवल घनत्व मैट्रिक्स के प्रतिविकर्ण ्स का फूरियर रूपांतरण है, जब उस मैट्रिक्स को स्थिति के आधार पर व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण
होने देना $$|m\rangle \equiv \frac{a^{\dagger m}}{\sqrt{m!}} |0\rangle$$ हो $$m$$-क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर की फॉक अवस्था। ग्रोएनवॉल्ड (1946) ने आयामहीन चर में इसके संबद्ध विग्नर फ़ंक्शन की खोज की:
 * $$W_{|m\rangle}(x, p) = \frac{(-1)^m}{\pi} e^{-(x^2 + p^2)} L_m\big(2(p^2 + x^2)\big),$$

कहाँ $$L_m(x)$$ को दर्शाता है $$m$$-वें लैगुएरे बहुपद। यह स्थैतिक ईजेनस्टेट वेवफंक्शन के लिए अभिव्यक्ति से अनुसरण कर सकता है,
 * $$u_m(x) = \pi^{-1/4} H_m(x) e^{-x^2/2},$$

कहाँ $$H_m$$ है $$m$$-वें हर्मिट बहुपद। विग्नर फ़ंक्शन की उपरोक्त परिभाषा से, एकीकरण चर के परिवर्तन पर,
 * $$W_{|m\rangle}(x, p) = \frac{(-1)^m}{\pi^{3/2} 2^m m!} e^{-x^2 - p^2} \int_{-\infty}^\infty d\zeta\, e^{-\zeta^2} H_m(\zeta - ip + x) H_m(\zeta - ip - x).$$

फिर अभिव्यक्ति हर्मिट और लैगुएरे बहुपदों के बीच अभिन्न संबंध से होती है।

विग्नर फ़ंक्शन के लिए विकास समीकरण
विग्नर परिवर्तन एक ऑपरेटर का सामान्य उलटा परिवर्तन है $Ĝ$ हिल्बर्ट स्पेस पर एक फ़ंक्शन g(x,p) पर चरण स्पेस पर और द्वारा दिया गया है
 * $$g(x, p) = \int_{-\infty}^\infty ds\, e^{ips/\hbar} \left\langle x - \frac s2\right| \hat G \left|x + \frac s2\right\rangle.$$

हर्मिटियन ऑपरेटर वास्तविक कार्यों को मैप करते हैं। चरण स्थान से हिल्बर्ट स्थान तक इस परिवर्तन के व्युत्क्रम को विग्नर-वेइल परिवर्तन कहा जाता है:
 * $$\langle x | \hat G | y \rangle = \int_{-\infty}^\infty \frac{dp}{h} e^{ip(x - y)/\hbar} g\left(\frac{x + y}{2}, p\right)$$

(विशिष्ट वेइल परिवर्तन के साथ भ्रमित न हों)।

विग्नर फ़ंक्शन $W(x, p)$ इस प्रकार यहां चर्चा की गई है कि इसे घनत्व मैट्रिक्स ऑपरेटर ρ̂ का विग्नर रूपांतरण माना जाता है। इस प्रकार घनत्व मैट्रिक्स विग्नर के साथ एक ऑपरेटर का ट्रेस समतुल्य चरण-स्थान इंटीग्रल ओवरलैप में बदल जाता है $g(x, p)$ विग्नर फ़ंक्शन के साथ।

श्रोडिंगर चित्र में घनत्व मैट्रिक्स का विग्नर रूपांतरण विग्नर फ़ंक्शन के लिए मोयल का विकास समीकरण है:

कहाँ $H(x, p)$ हैमिल्टनियन है, और <नोविकी> मोयल ब्रैकेट है। शास्त्रीय सीमा में, $ħ → 0$, मोयल ब्रैकेट पॉइसन ब्रैकेट में कम हो जाता है, जबकि यह विकास समीकरण शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी के लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन) # पॉइसन ब्रैकेट में कम हो जाता है।

औपचारिक रूप से, शास्त्रीय लिउविले समीकरण को चरण-अंतरिक्ष कण प्रक्षेपवक्र के संदर्भ में हल किया जा सकता है जो शास्त्रीय हैमिल्टन समीकरणों के समाधान हैं। आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने की इस तकनीक को विशेषताओं की विधि के रूप में जाना जाता है। यह विधि क्वांटम सिस्टम में स्थानांतरित हो जाती है, जहां विशेषताओं के प्रक्षेपवक्र अब विग्नर कार्यों के विकास को निर्धारित करते हैं। विग्नर फ़ंक्शन के लिए मोयल इवोल्यूशन समीकरण का समाधान औपचारिक रूप से दर्शाया गया है
 * $$W(x, p, t) = W\big(\star\big(x_{-t}(x, p), p_{-t}(x, p)\big), 0\big),$$

कहाँ $$x_t(x, p)$$ और $$p_t(x, p)$$ प्रारंभिक स्थितियों के साथ क्वांटम विशेषताओं की विधि के अधीन विशेषता प्रक्षेपवक्र हैं $$x_{t=0}(x, p) = x$$ और $$p_{t=0}(x, p) = p$$, और जहां मोयल उत्पाद|$$\star$$-उत्पाद संरचना सभी तर्क कार्यों के लिए समझी जाती है।

तब से $$\star$$-फ़ंक्शंस की संरचना पूरी तरह से गैर-स्थानीय है (क्वांटम संभाव्यता द्रव फैलता है, जैसा कि मोयल द्वारा देखा गया है), विग्नर वितरण फ़ंक्शन के विकास में क्वांटम सिस्टम में स्थानीय प्रक्षेपवक्र के अवशेष मुश्किल से देखे जा सकते हैं। के अभिन्न प्रतिनिधित्व में $$\star$$-विग्नर फ़ंक्शन के विकास समीकरण को हल करने के लिए, उत्पादों, उनके द्वारा क्रमिक संचालन को एक चरण-अंतरिक्ष पथ अभिन्न अंग में अनुकूलित किया गया है (यह सभी देखें ). मोयल समय विकास की यह गैर-स्थानीय विशेषता नीचे दी गई गैलरी में दर्शाया गया है, हैमिल्टनवासियों के लिए यह हार्मोनिक ऑसिलेटर से भी अधिक जटिल है। शास्त्रीय सीमा में, विग्नर फ़ंक्शंस के समय विकास की प्रक्षेपवक्र प्रकृति अधिक से अधिक विशिष्ट हो जाती है। ħ = 0 पर, विशेषताओं के प्रक्षेप पथ चरण स्थान में कणों के शास्त्रीय प्रक्षेप पथ तक कम हो जाते हैं।

हार्मोनिक-ऑसिलेटर समय विकास
हालाँकि, क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के विशेष मामले में, विकास सरल है और शास्त्रीय गति के समान प्रतीत होता है: ऑसिलेटर आवृत्ति द्वारा दी गई आवृत्ति के साथ चरण स्थान में एक कठोर घुमाव। इसे नीचे गैलरी में दर्शाया गया है। इसी समय विकास क्वांटम ऑप्टिक्स के साथ होता है, जो हार्मोनिक ऑसिलेटर हैं।

शास्त्रीय सीमा
विग्नर फ़ंक्शन चरण स्थान में शास्त्रीय और क्वांटम गतिशीलता की तुलना की पेशकश करते हुए, शास्त्रीय सीमा का अध्ययन करने की अनुमति देता है। यह सुझाव दिया गया है कि विग्नर फ़ंक्शन दृष्टिकोण को 1932 में बर्नार्ड कूपमैन और जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा शुरू किए गए शास्त्रीय यांत्रिकी के संचालन सूत्रीकरण के क्वांटम सादृश्य के रूप में देखा जा सकता है: विग्नर फ़ंक्शन का समय विकास, सीमा ħ → 0 में आता है, एक शास्त्रीय कण के कूपमैन-वॉन न्यूमैन तरंग फ़ंक्शन का समय विकास।

विग्नर फ़ंक्शन की सकारात्मकता
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, क्वांटम अवस्था का विग्नर फ़ंक्शन आमतौर पर कुछ नकारात्मक मान लेता है। वास्तव में, एक चर में शुद्ध अवस्था के लिए, यदि $$W(x, p) \ge 0$$ सभी के लिए $$x$$ और $$p$$, तो तरंग फ़ंक्शन का रूप होना चाहिए
 * $$\psi(x) = e^{-ax^2+bx+c}$$

कुछ सम्मिश्र संख्याओं के लिए $$a, b, c$$ साथ $$\operatorname{Re}(a) > 0$$ (हडसन का प्रमेय ). ध्यान दें कि $$a$$ जटिल होने की अनुमति है, ताकि $$\psi$$ आवश्यक रूप से सामान्य अर्थ में गाऊसी तरंग पैकेट नहीं है। इस प्रकार, गैर-नकारात्मक विग्नर कार्यों वाली शुद्ध अवस्थाएं अनिश्चितता सिद्धांत के अर्थ में आवश्यक रूप से न्यूनतम-अनिश्चितता वाली अवस्थाएं नहीं हैं; बल्कि, वे रॉबर्टसन-श्रोडिंगर संबंध|श्रोडिंगर अनिश्चितता सूत्र में समानता देते हैं, जिसमें कम्यूटेटर शब्द के अलावा एक एंटीकम्यूटेटर शब्द भी शामिल है। (संबंधित भिन्नताओं की सावधानीपूर्वक परिभाषा के साथ, सभी शुद्ध-अवस्था विग्नर फ़ंक्शन हाइजेनबर्ग की असमानता को समान रूप से जन्म देते हैं।)

उच्च आयामों में, गैर-नकारात्मक विग्नर कार्यों के साथ शुद्ध अवस्थाओं का लक्षण वर्णन समान है; तरंग फ़ंक्शन का स्वरूप होना चाहिए
 * $$\psi(x) = e^{-(x,Ax)+b\cdot x+c},$$

कहाँ $$A$$ एक सममित जटिल मैट्रिक्स है जिसका वास्तविक भाग सकारात्मक-निश्चित है, $$b$$ एक जटिल वेक्टर है, और $c$ एक सम्मिश्र संख्या है. ऐसे किसी भी राज्य का विग्नर फ़ंक्शन चरण स्थान पर एक गाऊसी वितरण है।

सोटो और क्लेवेरी सेगल-बार्गमैन स्पेस#द सेगल-बार्गमैन ट्रांसफॉर्म|सेगल-बार्गमैन ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके इस लक्षण वर्णन का एक सुंदर प्रमाण दें। तर्क इस प्रकार है. हुसिमी क्यू का प्रतिनिधित्व $$\psi$$ की गणना सेगल-बार्गमैन परिवर्तन के वर्ग परिमाण के रूप में की जा सकती है $$\psi$$, गाऊसी से गुणा किया गया। इस बीच, हुसिमी क्यू फ़ंक्शन गॉसियन के साथ विग्नर फ़ंक्शन का कनवल्शन है। यदि विग्नर का कार्य $$\psi$$ चरण स्थान पर हर जगह गैर-नकारात्मक है, तो हुसिमी क्यू फ़ंक्शन चरण स्थान पर हर जगह सख्ती से सकारात्मक होगा। इस प्रकार, सेगल-बार्गमैन परिवर्तन $$F(x + ip)$$ का $$\psi$$ कहीं भी शून्य नहीं होगा. इस प्रकार, जटिल विश्लेषण से एक मानक परिणाम के द्वारा, हमारे पास है
 * $$F(x + ip) = e^{g(x+ip)}$$

कुछ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के लिए $$g$$. लेकिन के लिए $$F$$ सेगल-बार्गमैन स्पेस से संबंधित होने के लिए - यानी, के लिए $$F$$ गाऊसी माप के संबंध में वर्ग-अभिन्न होना-$$g$$ अनंत पर अधिकतम द्विघात वृद्धि होनी चाहिए। इससे यह दिखाने के लिए प्राथमिक जटिल विश्लेषण का उपयोग किया जा सकता है $$g$$ वास्तव में एक द्विघात बहुपद होना चाहिए। इस प्रकार, हम किसी भी शुद्ध अवस्था के सेगल-बार्गमैन परिवर्तन का एक स्पष्ट रूप प्राप्त करते हैं जिसका विग्नर फ़ंक्शन गैर-नकारात्मक है। फिर हम स्थिति तरंग फ़ंक्शन का दावा किया गया रूप प्राप्त करने के लिए सेगल-बार्गमैन परिवर्तन को उलट सकते हैं।

गैर-नकारात्मक विग्नर फ़ंक्शंस के साथ घनत्व मैट्रिक्स का कोई सरल लक्षण वर्णन प्रतीत नहीं होता है।

क्वांटम यांत्रिकी की अन्य व्याख्याओं के संबंध में विग्नर फ़ंक्शन
यह दिखाया गया है कि विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी डिस्ट्रीब्यूशन फ़ंक्शन को एक के रूप में माना जा सकता है $ħ$-एक अन्य चरण-अंतरिक्ष वितरण फ़ंक्शन का विरूपण सिद्धांत जो डी ब्रोगली-बोहम सिद्धांत के संयोजन का वर्णन करता है|डी ब्रोगली-बोहम कारण प्रक्षेप पथ। तुलसी हेली ने दिखाया है कि अर्ध-संभाव्यता वितरण को चरण स्थान में एक सेल की औसत स्थिति और गति के संदर्भ में फिर से व्यक्त घनत्व मैट्रिक्स के रूप में समझा जा सकता है, और डी ब्रोगली-बोहम व्याख्या किसी को इसकी गतिशीलता का वर्णन करने की अनुमति देती है। ऐसी कोशिकाओं के केंद्र. विग्नर फ़ंक्शन के संदर्भ में क्वांटम राज्यों के विवरण और पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों के संदर्भ में क्वांटम राज्यों के पुनर्निर्माण की एक विधि के बीच घनिष्ठ संबंध है।

क्वांटम यांत्रिकी के बाहर विग्नर फ़ंक्शन का उपयोग
* टेलीस्कोप या फाइबर दूरसंचार उपकरणों जैसे ऑप्टिकल सिस्टम के मॉडलिंग में, विग्नर फ़ंक्शन का उपयोग सरल रे ट्रेसिंग (भौतिकी) और सिस्टम के पूर्ण तरंग विश्लेषण के बीच अंतर को पाटने के लिए किया जाता है। यहाँ $p/ħ$ से प्रतिस्थापित किया गया है $k = |k| sin θ ≈ |k|θ$ छोटे-कोण (पैराएक्सियल) सन्निकटन में। इस संदर्भ में, विग्नर फ़ंक्शन स्थिति में किरणों के संदर्भ में सिस्टम का वर्णन करने के सबसे करीब है $x$ और कोण $θ$ जबकि अभी भी हस्तक्षेप के प्रभाव शामिल हैं। यदि यह किसी भी बिंदु पर नकारात्मक हो जाता है, तो सिस्टम को मॉडल करने के लिए साधारण किरण अनुरेखण पर्याप्त नहीं होगा। कहने का तात्पर्य यह है कि, इस फ़ंक्शन के नकारात्मक मान शास्त्रीय प्रकाश संकेत की गैबोर सीमा का एक लक्षण हैं, न कि इससे जुड़े प्रकाश की क्वांटम विशेषताओं का। $ħ$.
 * सिग्नल विश्लेषण में, समय-परिवर्तनशील विद्युत सिग्नल, यांत्रिक कंपन, या ध्वनि तरंग को विग्नर वितरण फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है। यहाँ, $x$ को समय के साथ बदल दिया जाता है, और $p/ħ$ को कोणीय आवृत्ति से प्रतिस्थापित किया जाता है $ω = 2πf$, कहाँ $f$ नियमित आवृत्ति है.
 * अल्ट्राफास्ट प्रकाशिकी में, छोटे लेजर पल्स को विग्नर फ़ंक्शन का उपयोग करके चित्रित किया जाता है $f$ और $t$ उपरोक्तानुसार प्रतिस्थापन। पल्स दोष जैसे चहचहाहट (समय के साथ आवृत्ति में परिवर्तन) को विग्नर फ़ंक्शन के साथ देखा जा सकता है। निकटवर्ती चित्र देखें।
 * क्वांटम प्रकाशिकी में, $x$ और $p/ħ$ को के साथ प्रतिस्थापित किया जाता है $X$ और $P$ चतुर्भुज, विद्युत क्षेत्र के वास्तविक और काल्पनिक घटक (सुसंगत स्थिति देखें)।

विग्नर फ़ंक्शन का माप

 * क्वांटम टोमोग्राफी
 * फ़्रीक्वेंसी-रिज़ॉल्यूशन वाली ऑप्टिकल गेटिंग गेटिंग

अन्य संबंधित अर्धसंभाव्यता वितरण
विग्नर वितरण तैयार किया जाने वाला पहला अर्धसंभाव्यता वितरण था, लेकिन इसके बाद और भी कई वितरण हुए, जो औपचारिक रूप से इसके बराबर और परिवर्तनीय थे (समय-आवृत्ति विश्लेषण में वितरण के बीच परिवर्तन देखें)। जैसा कि समन्वय प्रणालियों के मामले में, अलग-अलग गुणों के कारण, विशिष्ट अनुप्रयोगों के लिए इनमें से कई के विभिन्न फायदे हैं: फिर भी, कुछ अर्थों में, विग्नर वितरण इन सभी वितरणों के बीच एक विशेषाधिकार प्राप्त स्थान रखता है, क्योंकि यह एकमात्र ऐसा वितरण है जिसका अपेक्षित स्टार-उत्पाद अपेक्षा मूल्यों के मूल्यांकन में बाहर हो जाता है (प्रभावी एकता के लिए भागों द्वारा एकीकृत होता है), जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, और इसलिए इसे शास्त्रीय माप के अनुरूप एक अर्धसंभाव्यता माप के रूप में देखा जा सकता है।
 * ग्लौबर पी प्रतिनिधित्व
 * हुसिमी क्यू प्रतिनिधित्व

ऐतिहासिक टिप्पणी
जैसा कि संकेत दिया गया है, विग्नर फ़ंक्शन का सूत्र स्वतंत्र रूप से विभिन्न संदर्भों में कई बार प्राप्त किया गया था। वास्तव में, जाहिरा तौर पर, यूजीन विग्नर इस बात से अनभिज्ञ थे कि क्वांटम सिद्धांत के संदर्भ में भी, इसे पहले वर्नर हाइजेनबर्ग और पॉल डिराक द्वारा पेश किया गया था, यद्यपि विशुद्ध रूप से औपचारिक रूप से: इन दोनों ने इसके महत्व और इसके नकारात्मक मूल्यों को नजरअंदाज कर दिया, क्योंकि उन्होंने इसे केवल परमाणु जैसे सिस्टम के पूर्ण क्वांटम विवरण का एक अनुमान माना था। (संयोग से, डिराक बाद में अपनी बहन यूजीन विग्नर #मध्य वर्ष से शादी करके विग्नर का बहनोई बन गया।) सममित रूप से, 1940 के दशक के मध्य में जोस एनरिक मोयल के साथ अपने अधिकांश प्रसिद्ध 18 महीने के पत्राचार में, डिराक इस बात से अनभिज्ञ था कि मोयल की क्वांटम-मोमेंट जनरेटिंग फ़ंक्शन प्रभावी रूप से विग्नर फ़ंक्शन था, और यह मोयल ही था जिसने अंततः इसे अपने ध्यान में लाया।

यह भी देखें

 * हाइजेनबर्ग समूह
 * विग्नर-वेइल परिवर्तन
 * चरण स्थान सूत्रीकरण
 * मोयल ब्रैकेट
 * नकारात्मक संभावना
 * ऑप्टिकल तुल्यता प्रमेय
 * संशोधित विग्नर वितरण फ़ंक्शन
 * कोहेन का वर्ग वितरण फलन
 * विग्नर वितरण समारोह
 * समय-आवृत्ति विश्लेषण में वितरण के बीच परिवर्तन
 * निचोड़ा हुआ सुसंगत अवस्था
 * द्विरेखीय समय-आवृत्ति वितरण
 * सतत-परिवर्तनीय क्वांटम जानकारी

अग्रिम पठन

 * M. Levanda and V. Fleurov, "Wigner quasi-distribution function for charged particles in classical electromagnetic fields", Annals of Physics, 292, 199–231 (2001)..

बाहरी संबंध

 * wigner Wigner function implementation in QuTiP.
 * Quantum Optics Gallery.
 * Sonogram Visible Speech GPL-licensed freeware for the Wigner quasiprobability distribution of signal files.