हॉसडॉर्फ़ आयाम

गणित में, हॉसडॉर्फ़ आयाम खुरदरापन, या अधिक विशेष रूप से, फ्रैक्टल आयाम का एक माप है, जिसे 1918 में गणितज्ञ फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ द्वारा पेश किया गया था। उदाहरण के लिए, एक बिंदु (ज्यामिति) का हॉसडॉर्फ आयाम शून्य है, एक रेखा खंड का 1 है, एक वर्ग का 2 है, और एक घन का 3 है। यानी, बिंदुओं के सेट के लिए जो एक चिकनी आकृति या ए को परिभाषित करते हैं आकार जिसमें कोनों की एक छोटी संख्या होती है - पारंपरिक ज्यामिति और विज्ञान के आकार - हॉसडॉर्फ आयाम एक पूर्णांक है जो आयाम की सामान्य भावना से सहमत होता है, जिसे आगमनात्मक आयाम के रूप में भी जाना जाता है। हालाँकि, ऐसे सूत्र भी विकसित किए गए हैं जो अन्य कम सरल वस्तुओं के आयाम की गणना की अनुमति देते हैं, जहां, केवल स्केलिंग (ज्यामिति) और आत्म-समानता के उनके गुणों के आधार पर, किसी को इस निष्कर्ष पर पहुंचाया जाता है कि विशेष वस्तुएं - भग्न  सहित - गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयाम हैं। अब्राम समोइलोविच बेसिकोविच द्वारा की गई महत्वपूर्ण तकनीकी प्रगति के कारण, जो अत्यधिक अनियमित या खुरदरे सेटों के लिए आयामों की गणना की अनुमति देता है, इस आयाम को आमतौर पर हॉसडॉर्फ-बेसिकोविच आयाम के रूप में भी जाना जाता है।

अधिक विशेष रूप से, हॉसडॉर्फ़ आयाम एक मीट्रिक स्थान से जुड़ी एक आयामी संख्या है, यानी एक सेट जहां सभी सदस्यों के बीच की दूरी परिभाषित की जाती है। आयाम विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा से खींचा गया है, $$\overline{\mathbb{R}}$$, आयाम की अधिक सहज धारणा के विपरीत, जो सामान्य मीट्रिक रिक्त स्थान से संबद्ध नहीं है, और केवल गैर-नकारात्मक पूर्णांक में मान लेता है।

गणितीय शब्दों में, हॉसडॉर्फ़ आयाम एक वास्तविक सदिश स्थल के आयाम की धारणा को सामान्यीकृत करता है। अर्थात्, n-आयामी आंतरिक उत्पाद स्थान का हॉसडॉर्फ आयाम n के बराबर है। यह पहले के कथन को रेखांकित करता है कि एक बिंदु का हॉसडॉर्फ़ आयाम शून्य है, एक रेखा का एक है, आदि, और उस फ्रैक्टल में गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ़ आयाम हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाया गया कोच स्नोफ्लेक एक समबाहु त्रिभुज से निर्मित है; प्रत्येक पुनरावृत्ति में, इसके घटक रेखा खंडों को इकाई लंबाई के 3 खंडों में विभाजित किया जाता है, नव निर्मित मध्य खंड का उपयोग एक नए समबाहु त्रिभुज के आधार के रूप में किया जाता है जो बाहर की ओर इंगित करता है, और इस आधार खंड को अंतिम वस्तु को छोड़ने के लिए हटा दिया जाता है। 4 की इकाई लंबाई की पुनरावृत्ति. अर्थात्, पहले पुनरावृत्ति के बाद, प्रत्येक मूल रेखा खंड को N=4 से बदल दिया गया है, जहां प्रत्येक स्व-समान प्रतिलिपि मूल जितनी लंबी 1/S = 1/3 है। दूसरे तरीके से कहें तो, हमने यूक्लिडियन आयाम, डी के साथ एक वस्तु ली है, और प्रत्येक दिशा में इसके रैखिक पैमाने को 1/3 कम कर दिया है, ताकि इसकी लंबाई एन = एस तक बढ़ जाए।डी. इस समीकरण को डी के लिए आसानी से हल किया जा सकता है, जिससे आंकड़ों में दिखने वाले लघुगणक (या प्राकृतिक लघुगणक) का अनुपात प्राप्त होता है, और कोच और अन्य फ्रैक्टल मामलों में - इन वस्तुओं के लिए गैर-पूर्णांक आयाम मिलते हैं।

हॉसडॉर्फ़ आयाम सरल, लेकिन आमतौर पर समतुल्य, बॉक्स-गिनती या मिन्कोव्स्की-बौलीगैंड आयाम का उत्तराधिकारी है।

अंतर्ज्ञान
एक ज्यामितीय वस्तु के आयाम की सहज अवधारणा हालाँकि, दो मापदंडों द्वारा निर्दिष्ट किसी भी बिंदु को इसके बजाय एक द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है, क्योंकि वास्तविक विमान की प्रमुखता वास्तविक रेखा की कार्डिनैलिटी के बराबर होती है (इसे कैंटर के विकर्ण तर्क द्वारा देखा जा सकता है जिसमें दो संख्याओं के अंकों को आपस में जोड़ना शामिल है) समान जानकारी को एन्कोड करने वाला एक एकल नंबर)। स्थान-भरण वक्र  के उदाहरण से पता चलता है कि कोई वास्तविक रेखा को वास्तविक विमान पर भी मैप कर सकता है विशेषण फ़ंक्शन (एक वास्तविक संख्या को वास्तविक संख्याओं की एक जोड़ी में इस तरह से लेना कि संख्याओं के सभी जोड़े कवर हो जाएं) और लगातार, इसलिए कि एक-आयामी वस्तु एक उच्च-आयामी वस्तु को पूरी तरह से भर देती है।

प्रत्येक स्थान-भरने वाला वक्र कुछ बिंदुओं पर कई बार टकराता है और इसमें निरंतर व्युत्क्रम नहीं होता है। दो आयामों को एक पर इस तरह से मैप करना असंभव है जो निरंतर और लगातार उलटा हो। टोपोलॉजिकल आयाम, जिसे लेबेस्ग्यू कवरिंग आयाम भी कहा जाता है, बताता है कि क्यों। यह आयाम सबसे बड़ा पूर्णांक n है, जैसे कि छोटी खुली गेंदों द्वारा X के प्रत्येक आवरण में कम से कम एक बिंदु होता है जहां n + 1 गेंदें ओवरलैप होती हैं। उदाहरण के लिए, जब कोई छोटे खुले अंतराल के साथ एक रेखा को कवर करता है, तो कुछ बिंदुओं को दो बार कवर किया जाना चाहिए, जिससे आयाम n = 1 मिलता है।

लेकिन टोपोलॉजिकल आयाम किसी स्थान के स्थानीय आकार (एक बिंदु के पास का आकार) का एक बहुत ही अपरिष्कृत माप है। एक वक्र जो लगभग जगह भरता है, उसमें अभी भी टोपोलॉजिकल आयाम एक हो सकता है, भले ही वह किसी क्षेत्र के अधिकांश क्षेत्र को भरता हो। एक फ्रैक्टल में एक पूर्णांक टोपोलॉजिकल आयाम होता है, लेकिन इसके द्वारा घेरने वाली जगह की मात्रा के संदर्भ में, यह एक उच्च-आयामी स्थान की तरह व्यवहार करता है।

हॉसडॉर्फ़ आयाम बिंदुओं, मीट्रिक स्थान के बीच की दूरी को ध्यान में रखते हुए किसी स्थान के स्थानीय आकार को मापता है। एक्स को पूरी तरह से कवर करने के लिए आवश्यक अधिकतम आर त्रिज्या की गेंद (गणित) की संख्या एन (आर) पर विचार करें। जब r बहुत छोटा होता है, तो N(r) 1/r के साथ बहुपद रूप से बढ़ता है। पर्याप्त रूप से अच्छे व्यवहार वाले X के लिए, हॉसडॉर्फ़ आयाम अद्वितीय संख्या d है जैसे कि N(r) 1/r के रूप में बढ़ता हैdजैसे ही r शून्य के करीब पहुंचता है। अधिक सटीक रूप से, यह मिन्कोव्स्की-बौलीगैंड आयाम | बॉक्स-गिनती आयाम को परिभाषित करता है, जो हॉसडॉर्फ आयाम के बराबर होता है जब मूल्य डी विकास दर के बीच एक महत्वपूर्ण सीमा है जो अंतरिक्ष को कवर करने के लिए अपर्याप्त है, और विकास दर जो अत्यधिक प्रचुर मात्रा में हैं।

उन आकृतियों के लिए जो चिकनी हैं, या कम संख्या में कोनों वाली आकृतियाँ हैं, पारंपरिक ज्यामिति और विज्ञान की आकृतियाँ, हॉसडॉर्फ आयाम टोपोलॉजिकल आयाम से सहमत एक पूर्णांक है। लेकिन बेनोइट मैंडेलब्रोट ने देखा कि फ्रैक्टल, गैर-पूर्णांक हॉसडॉर्फ आयाम वाले सेट, प्रकृति में हर जगह पाए जाते हैं। उन्होंने देखा कि आपके आस-पास दिखाई देने वाली अधिकांश खुरदरी आकृतियों का उचित आदर्शीकरण चिकनी आदर्शीकृत आकृतियों के संदर्भ में नहीं है, बल्कि भग्न आदर्शीकृत आकृतियों के संदर्भ में है:

बादल गोले नहीं हैं, पहाड़ शंकु नहीं हैं, समुद्र तट वृत्त नहीं हैं, और छाल चिकनी नहीं है, न ही बिजली सीधी रेखा में चलती है। 

प्रकृति में होने वाले फ्रैक्टल्स के लिए, हॉसडॉर्फ और मिन्कोव्स्की-बौलीगैंड आयाम|बॉक्स-गिनती आयाम मेल खाते हैं। पैकिंग आयाम एक और समान धारणा है जो कई आकृतियों के लिए समान मूल्य देती है, लेकिन अच्छी तरह से प्रलेखित अपवाद हैं जहां ये सभी आयाम भिन्न होते हैं।

औपचारिक परिभाषा
हॉसडॉर्फ़ आयाम की औपचारिक परिभाषा पहले हॉसडॉर्फ़ माप को परिभाषित करके प्राप्त की जाती है, जो लेब्सग्यू माप का एक आंशिक-आयाम एनालॉग है। सबसे पहले, एक बाहरी माप का निर्माण किया जाता है: होने देना $$X$$ एक मीट्रिक स्थान बनें. अगर $$S\subset X$$ और $$d\in [0,\infty)$$,


 * $$H^d_\delta(S)=\inf\left \{\sum_{i=1}^\infty (\operatorname{diam} U_i)^d: \bigcup_{i=1}^\infty U_i\supseteq S, \operatorname{diam} U_i<\delta\right \},$$

जहां सभी गणनीय कवरों पर अनंत लिया जाता है $$U$$ का $$S$$. हॉसडॉर्फ़ बाहरी माप को तब परिभाषित किया गया है $$\mathcal{H}^d(S)=\lim_{\delta\to 0}H^d_\delta(S)$$, और गैर-मापने योग्य सेटों पर मैपिंग का प्रतिबंध इसे एक माप के रूप में उचित ठहराता है, जिसे कहा जाता है $$d$$-आयामी हॉसडॉर्फ माप।

हौसडॉर्फ़ आयाम
हॉसडॉर्फ़ आयाम $$\dim_{\operatorname{H}}{(X)}$$ का $$X$$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\dim_{\operatorname{H}}{(X)}:=\inf\{d\ge 0: \mathcal{H}^d(X)=0\}.$$

यह समुच्चय के सर्वोच्च के समान है $$d\in [0,\infty)$$ ऐसे कि $$d$$-आयामी हॉसडॉर्फ माप $$X$$ अनंत है (सिवाय इसके कि जब संख्याओं का यह बाद वाला सेट हो $$d$$ खाली है हॉसडॉर्फ आयाम शून्य है)।

हॉसडॉर्फ़ सामग्री
$$d$$वें>-आयामी असीमित हॉसडॉर्फ सामग्री $$S$$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$C_H^d(S):= H_\infty^d(S) = \inf\left \{ \sum_{k=1}^\infty (\operatorname{diam} U_k)^d: \bigcup_{k=1}^\infty U_k\supseteq S \right \}$$

दूसरे शब्दों में, $$C_H^d(S)$$ हॉसडॉर्फ माप का निर्माण किया गया है जहां कवरिंग सेट को मनमाने ढंग से बड़े आकार की अनुमति है (यहां, हम मानक सम्मेलन का उपयोग करते हैं जो कि न्यूनतम है |$$\inf\varnothing=\infty$$). हॉसडॉर्फ़ माप और हॉसडॉर्फ़ सामग्री दोनों का उपयोग किसी सेट के आयाम को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, लेकिन यदि सेट का माप गैर-शून्य है, तो उनके वास्तविक मान भिन्न हो सकते हैं।

उदाहरण
* गणनीय समुच्चयों का हॉसडॉर्फ आयाम 0 है। [[image:Great Britain Hausdorff.svg|thumb|upright=1.2|ब्रिटेन का तट कितना लंबा है के हॉसडॉर्फ आयाम का अनुमान लगाना? सांख्यिकीय स्व-समानता और भिन्नात्मक आयाम
 * यूक्लिडियन स्थान $$\R^n$$ हॉसडॉर्फ आयाम है $$n$$, और वृत्त $$S^1$$ हॉसडॉर्फ़ आयाम 1 है। * फ्रैक्टल अक्सर ऐसे स्थान होते हैं जिनका हॉसडॉर्फ आयाम सख्ती से टोपोलॉजिकल आयाम से अधिक होता है। उदाहरण के लिए, कैंटर सेट, एक शून्य-आयामी स्थान|शून्य-आयामी टोपोलॉजिकल स्पेस, स्वयं की दो प्रतियों का एक संघ है, प्रत्येक प्रतिलिपि कारक 1/3 द्वारा सिकुड़ी हुई है; इसलिए, यह दिखाया जा सकता है कि इसका हॉसडॉर्फ आयाम ln(2)/ln(3) ≈ 0.63 है। सिएरपिंस्की त्रिकोण स्वयं की तीन प्रतियों का एक संघ है, प्रत्येक प्रति 1/2 के कारक से सिकुड़ती है; इससे ln(3)/ln(2) ≈ 1.58 का हॉसडॉर्फ आयाम प्राप्त होता है। ये हॉसडॉर्फ आयाम एल्गोरिदम के विश्लेषण में पुनरावृत्ति संबंध को हल करने के लिए मास्टर प्रमेय (एल्गोरिदम का विश्लेषण) के महत्वपूर्ण प्रतिपादक से संबंधित हैं।
 * पीनो वक्र जैसे अंतरिक्ष-भरने वाले वक्रों का हौसडॉर्फ़ आयाम उनके द्वारा भरे जाने वाले स्थान के समान ही होता है।
 * आयाम 2 और उससे ऊपर में एक प्रकार कि गति का प्रक्षेपवक्र हॉसडॉर्फ आयाम 2 होने का अनुमान लगाया गया है।
 * लुईस फ्राई रिचर्डसन ने विभिन्न समुद्र तटों के लिए अनुमानित हॉसडॉर्फ आयाम को मापने के लिए विस्तृत प्रयोग किए हैं। उनके परिणाम दक्षिण अफ्रीका के समुद्र तट के लिए 1.02 से लेकर ग्रेट ब्रिटेन के पश्चिमी तट के लिए 1.25 तक भिन्न हैं।

हॉसडॉर्फ आयाम और आगमनात्मक आयाम
मान लीजिए कि X एक मनमाना वियोज्य स्थान मीट्रिक स्थान है। एक्स के लिए आगमनात्मक आयाम की एक टोपोलॉजी धारणा है जिसे पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है। यह हमेशा एक पूर्णांक (या +∞) होता है और इसे मंद दर्शाया जाता हैind(एक्स)।

'प्रमेय'. मान लीजिए कि X गैर-रिक्त है। तब
 * $$ \dim_{\mathrm{Haus}}(X) \geq \dim_{\operatorname{ind}}(X). $$

इसके अतिरिक्त,
 * $$ \inf_Y \dim_{\operatorname{Haus}}(Y) =\dim_{\operatorname{ind}}(X), $$

जहां Y मीट्रिक रिक्त स्थान से लेकर X तक होम्योमॉर्फिक है। दूसरे शब्दों में, X और Y में बिंदुओं का अंतर्निहित सेट और मीट्रिक d समान है।Y Y का स्थलाकृतिक रूप से d के समतुल्य हैX.

ये परिणाम मूल रूप से एडवर्ड स्ज़पिलराजन (1907-1976) द्वारा स्थापित किए गए थे, उदाहरण के लिए, ह्यूरेविक्ज़ और वॉलमैन, अध्याय VII देखें।

हॉसडॉर्फ आयाम और मिन्कोव्स्की आयाम
मिन्कोव्स्की आयाम हॉसडॉर्फ आयाम के समान है, और कम से कम उतना ही बड़ा है, और वे कई स्थितियों में समान हैं। हालाँकि, [0, 1] में परिमेय संख्या बिंदुओं के सेट में हॉसडॉर्फ आयाम शून्य और मिन्कोव्स्की आयाम एक है। ऐसे कॉम्पैक्ट सेट भी हैं जिनके लिए मिन्कोव्स्की आयाम हॉसडॉर्फ आयाम से सख्ती से बड़ा है।

हॉसडॉर्फ आयाम और फ्रॉस्टमैन माप
यदि कोई माप (गणित) है तो μ को बोरेल माप परिभाषित किया गया है, जो मीट्रिक स्पेसs कुछ स्थिरांक s > 0 और प्रत्येक गेंद B(x, r) के लिए X में रखता है, फिर मंदHaus(एक्स) ≥ एस. फ्रॉस्टमैन के लेम्मा द्वारा आंशिक बातचीत प्रदान की जाती है।

यूनियनों और उत्पादों के अंतर्गत व्यवहार
अगर $$X=\bigcup_{i\in I}X_i$$ तो, यह एक परिमित या गणनीय संघ है


 * $$ \dim_{\operatorname{Haus}}(X) =\sup_{i\in I} \dim_{\operatorname{Haus}}(X_i).$$

इसे सीधे परिभाषा से सत्यापित किया जा सकता है।

यदि X और Y गैर-रिक्त मीट्रिक स्थान हैं, तो उनके उत्पाद का हॉसडॉर्फ आयाम संतुष्ट करता है
 * $$ \dim_{\operatorname{Haus}}(X\times Y)\ge \dim_{\operatorname{Haus}}(X)+ \dim_{\operatorname{Haus}}(Y).$$

यह असमानता सख्त हो सकती है. आयाम 0 के दो सेट ढूंढना संभव है जिनके उत्पाद का आयाम 1 है। विपरीत दिशा में, यह ज्ञात होता है कि जब X और Y 'R' के बोरेल उपसमुच्चय हैंn, X × Y का हॉसडॉर्फ़ आयाम ऊपर से X के हॉसडॉर्फ़ आयाम और Y के पैकिंग आयाम से घिरा है। इन तथ्यों पर मटिला (1995) में चर्चा की गई है।

स्वयं-समान सेट
स्व-समानता स्थिति द्वारा परिभाषित कई सेटों में आयाम होते हैं जिन्हें स्पष्ट रूप से निर्धारित किया जा सकता है। मोटे तौर पर, एक सेट ई स्व-समान है यदि यह सेट-मूल्य परिवर्तन ψ का निश्चित बिंदु है, यानी ψ (ई) = ई, हालांकि सटीक परिभाषा नीचे दी गई है।

'प्रमेय'। कल्पना करना


 * $$ \psi_i: \mathbf{R}^n \rightarrow \mathbf{R}^n, \quad i=1, \ldots, m $$

आर पर संकुचन मानचित्रण  मैपिंग हैंnसंकुचन स्थिरांक r के साथj< 1. फिर एक अद्वितीय गैर-रिक्त कॉम्पैक्ट सेट ए है जैसे कि


 * $$ A = \bigcup_{i=1}^m \psi_i (A). $$



यह प्रमेय स्टीफ़न बानाच के संविदात्मक मानचित्रण प्रमेय से अनुसरण करता है जो आर के गैर-रिक्त कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के पूर्ण मीट्रिक स्थान पर लागू होता है।nहौसडॉर्फ़ दूरी के साथ।

खुले सेट की स्थिति
स्व-समान सेट ए (कुछ मामलों में) के आयाम को निर्धारित करने के लिए, हमें संकुचन के अनुक्रम पर ओपन सेट कंडीशन (ओएससी) नामक एक तकनीकी स्थिति की आवश्यकता होती है।i.

एक अपेक्षाकृत कॉम्पैक्ट ओपन सेट V ऐसा है


 * $$ \bigcup_{i=1}^m\psi_i (V) \subseteq V, $$

जहां बायीं ओर संयुक्त समुच्चय जोड़ीवार असंयुक्त समुच्चय हैं।

ओपन सेट स्थिति एक पृथक्करण स्थिति है जो छवियों को सुनिश्चित करती हैi(V) बहुत अधिक ओवरलैप न करें।

'प्रमेय'. मान लीजिए कि ओपन सेट की स्थिति कायम है और प्रत्येक ψi एक समानता है, जो किसी बिंदु के चारों ओर एक आइसोमेट्री और एक फैलाव (मीट्रिक स्थान) की संरचना है। फिर ψ का अद्वितीय निश्चित बिंदु एक सेट है जिसका हॉसडॉर्फ आयाम s है जहां s का अद्वितीय समाधान है
 * $$ \sum_{i=1}^m r_i^s = 1. $$

समरूपता का संकुचन गुणांक फैलाव का परिमाण है।

सामान्य तौर पर, एक सेट ई जो मैपिंग का एक निश्चित बिंदु है


 * $$ A \mapsto \psi(A) = \bigcup_{i=1}^m \psi_i(A) $$

स्व-समान है यदि और केवल यदि प्रतिच्छेदन


 * $$ H^s\left(\psi_i(E) \cap \psi_j(E)\right) =0, $$

जहां s, E और H का हॉसडॉर्फ आयाम हैsहॉसडॉर्फ माप को दर्शाता है। यह सीरपिंस्की गैसकेट के मामले में स्पष्ट है (चौराहे सिर्फ बिंदु हैं), लेकिन यह आम तौर पर भी सच है:

'प्रमेय'. पिछले प्रमेय की समान शर्तों के तहत, ψ का अद्वितीय निश्चित बिंदु स्व-समान है।

यह भी देखें

 * हॉसडॉर्फ आयाम द्वारा फ्रैक्टल्स की सूची नियतात्मक फ्रैक्टल्स, यादृच्छिक और प्राकृतिक फ्रैक्टल्स के उदाहरण।
 * असौद आयाम, फ्रैक्टल आयाम का एक और रूपांतर, जो हॉसडॉर्फ आयाम की तरह, गेंदों द्वारा कवरिंग का उपयोग करके परिभाषित किया गया है
 * आंतरिक आयाम
 * पैकिंग आयाम
 * भग्न आयाम

अग्रिम पठन

 * Several selections from this volume are reprinted in See chapters 9,10,11
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बाहरी संबंध

 * Hausdorff dimension at Encyclopedia of Mathematics
 * Hausdorff measure at Encyclopedia of Mathematics