विभेदक ऑपरेटर

गणित में, अवकल संकारक एक संकारक होता है जिसे अवकल संकारक के फलन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह सहायक है, पहले अंकन के रूप में, अवकलन को एक संक्षेप संकारक के रूप में माना जाता है जो फलन को स्वीकार करता है और एक अन्य फलन (कंप्यूटर विज्ञान में उच्च-क्रम फलन की शैली में) देता है।

यह लेख मुख्य रूप से रैखिक अवकल संकारकों पर विचार करता है, जो कि सबसे सामान्य प्रकार हैं। हालांकि, अरैखिक अवकल संकारक भी उपस्थित हैं, जैसे श्वार्जियन व्युत्पन्न।

परिभाषा
क्रम-$$m$$ रैखिक अवकल संकारक फलन स्थान $$\mathcal{F}_1$$ से दूसरे फलन स्थान $$\mathcal{F}_2$$ तक का मानचित्र $$A$$ है जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है-$$A = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) D^\alpha\ ,$$जहाँ $$\alpha = (\alpha_1,\alpha_2,\cdots,\alpha_n)$$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का बहु-सूचकांक है, $$|\alpha| = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n$$ और प्रत्येक अल्फ़ा के लिए, $$\alpha$$, $$a_\alpha(x)$$ n-आयामी स्थान में कुछ खुले क्षेत्र पर एक फलन है।संकारक $$D^\alpha$$ की व्याख्या इस प्रकार की जाती है$$D^\alpha = \frac{\partial^{|\alpha|}}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}$$इस प्रकार फलन $$f \in \mathcal{F}_1$$ के लिए-$$ A f = \sum_{|\alpha|\le m}a_\alpha(x) \frac{\partial^{|\alpha|}f}{\partial x_1^{\alpha_1}\partial x_2^{\alpha_2}\cdots\partial x_n^{\alpha_n}}$$दो फलनों $$D(g,f)$$ पर काम करने वाले अवकल संकारक को द्विविभेद संकारक भी कहा जाता है।

अंकन
सबसे सामान्य अवकल संकारक व्युत्पन्न लेने की क्रिया है। चर x के संबंध में प्रथम व्युत्पन्न लेने के लिए सामान्य संकेतन में सम्मिलित हैं-


 * $${d \over dx}$$, $$D$$, $$D_x,$$ और $$\partial_x$$.

उच्च, nवें क्रम के व्युत्पन्न लेते समय, संकारक को लिखा जा सकता है-


 * $${d^n \over dx^n}$$, $$D^n$$, $$D^n_x$$, या $$\partial_x^n$$.

तर्क x के फलन f का व्युत्पन्न कभी-कभी निम्नलिखित में से किसी एक के रूप में दिया जाता है-


 * $$[f(x)]'$$
 * $$f'(x).$$

D अंकन का उपयोग और निर्माण का श्रेय ओलिवर हीविसाइड को दिया जाता है, जिन्होंने फॉर्म के अवकल संकारकों पर विचार किया था


 * $$\sum_{k=0}^n c_k D^k$$

अवकल समीकरणों के अपने अध्ययन में।

सबसे अधिक बार देखे जाने वाले अवकल संकारकों में से एक लाप्लासियन संकारक है, जिसे इसके द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\Delta = \nabla^2 = \sum_{k=1}^n \frac{\partial^2}{\partial x_k^2}.$$

अन्य अवकल संकारक Θ संकारक या थीटा संकारक है, जिसे परिभाषित किया गया है
 * $$\Theta = z {d \over dz}.$$

इसे कभी-कभी एकरूपता संकारक भी कहा जाता है, क्योंकि इसके अभिलाक्षणिक फलन (आइगेन फंक्शन) z में एकपद हैं-$$\Theta (z^k) = k z^k,\quad k=0,1,2,\dots $$n चरों में समरूपता संकारक द्वारा दिया गया है$$\Theta = \sum_{k=1}^n x_k \frac{\partial}{\partial x_k}.$$जैसा कि एक चर में है, Θ की अभिलक्षणिकसमष्‍टियां समघात फलनों का स्थान हैं। (यूलर की समघात फलन प्रमेय)

लिखित रूप में, सामान्य गणितीय अभिसमय का पालन करते हुए, अवकल संकारक के तर्क को प्रायः संकारक के स्वयं के दाहिनी ओर रखा जाता है। कभी-कभी एक वैकल्पिक संकेतन का उपयोग किया जाता है- संकारक के बाईं ओर और संकारक के दाईं ओर फलन पर संकारक को लागू करने का परिणाम, और अवकल संकारक को दोनों पक्षों के फलनों में लागू करने पर प्राप्त अंतर को तीर द्वारा निम्नानुसार दर्शाया गया है-
 * $$f \overleftarrow{\partial_x} g = g \cdot \partial_x f$$
 * $$f \overrightarrow{\partial_x} g = f \cdot \partial_x g$$
 * $$f \overleftrightarrow{\partial_x} g = f \cdot \partial_x g - g \cdot \partial_x f.$$

क्वांटम यांत्रिकी की संभाव्यता धारा का वर्णन करने के लिए इस तरह के एक द्विदिश-तीर संकेतन का उपयोग प्रायः किया जाता है।

डेल
अवकल समीकरण डेल, जिसे नब्ला भी कहा जाता है, एक महत्वपूर्ण वेक्टर अवरव समीकरण है। यह भौतिकी में प्रायः मैक्सवेल के समीकरणों के अवकल रूप जैसे स्थानों में प्रकट होता है। त्रि-आयामी कार्तीय निर्देशांक में, डेल को इस रूप में परिभाषित किया गया है$$\nabla = \mathbf{\hat{x}} {\partial \over \partial x} + \mathbf{\hat{y}} {\partial \over \partial y} + \mathbf{\hat{z}} {\partial \over \partial z}.$$डेल प्रवणता को परिभाषित करता है, और इसका उपयोग विभिन्न वस्तुओं के कर्ल, विचलन और लाप्लासियन की गणना करने के लिए किया जाता है।

एक ऑपरेटर का जोड़
एक रैखिक अंतर ऑपरेटर दिया गया $$T$$ $$Tu = \sum_{k=0}^n a_k(x) D^k u$$ इस ऑपरेटर के हर्मिटियन आसन्न को ऑपरेटर के रूप में परिभाषित किया गया है $$T^*$$ ऐसा है कि $$\langle Tu,v \rangle = \langle u, T^*v \rangle$$ जहां अंकन $$\langle\cdot,\cdot\rangle$$ स्केलर उत्पाद या आंतरिक उत्पाद के लिए प्रयोग किया जाता है। यह परिभाषा इसलिए स्केलर उत्पाद (या आंतरिक उत्पाद) की परिभाषा पर निर्भर करती है।

एक चर
में औपचारिक जोड़

वास्तविक संख्या अंतराल (गणित) पर वर्ग-पूर्णांक कार्यों के कार्यात्मक स्थान में $(a, b)$, स्केलर उत्पाद द्वारा परिभाषित किया गया है $$\langle f, g \rangle = \int_a^b \overline{f(x)} \,g(x) \,dx, $$ जहाँ f(x) के ऊपर की रेखा f(x) के सम्मिश्र संयुग्म को दर्शाती है। यदि कोई और शर्त जोड़ता है कि f या g के रूप में गायब हो जाता है $$x \to a$$ और $$x \to b$$, कोई T के आसन्न को भी परिभाषित कर सकता है $$T^*u = \sum_{k=0}^n (-1)^k D^k \left[ \overline{a_k(x)} u \right].$$ यह सूत्र स्केलर उत्पाद की परिभाषा पर स्पष्ट रूप से निर्भर नहीं करता है। इसलिए इसे कभी-कभी आसन्न संकारक की परिभाषा के रूप में चुना जाता है। कब $$T^*$$ इस सूत्र के अनुसार परिभाषित किया जाता है, इसे T का औपचारिक संलग्नक कहते हैं।

A (औपचारिक रूप से) स्व-आसन्न संकारक | स्व-आसन्न संकारक अपने स्वयं के (औपचारिक) अनुलग्न के बराबर संकारक है।

कई चर
अगर Ω R में एक डोमेन हैn, और P Ω पर एक अवकल संकारक है, तो P के निकटस्थ को Lp स्पेस|L में परिभाषित किया गया है2(Ω) समान रूप से द्वैत द्वारा:


 * $$\langle f, P^* g\rangle_{L^2(\Omega)} = \langle P f, g\rangle_{L^2(\Omega)}$$

सभी चिकनी एल के लिए2 कार्य च, जी। चूँकि चिकने कार्य L में सघन होते हैं2, यह एल के सघन उपसमुच्चय पर आसन्न को परिभाषित करता है2: पी* सघन रूप से परिभाषित ऑपरेटर है।

उदाहरण
Sturm-Liouville सिद्धांत|Sturm-Liouville ऑपरेटर एक औपचारिक स्व-संलग्न ऑपरेटर का एक प्रसिद्ध उदाहरण है। इस दूसरे क्रम के लीनियर डिफरेंशियल ऑपरेटर L को फॉर्म में लिखा जा सकता है


 * $$Lu = -(pu')'+qu=-(pu+p'u')+qu=-pu-p'u'+qu=(-p) D^2 u +(-p') D u + (q)u.$$

उपरोक्त औपचारिक संलग्न परिभाषा का उपयोग करके इस संपत्ति को सिद्ध किया जा सकता है।


 * $$\begin{align}

L^*u & {} = (-1)^2 D^2 [(-p)u] + (-1)^1 D [(-p')u] + (-1)^0 (qu) \\ & {} = -D^2(pu) + D(p'u)+qu \\ & {} = -(pu)''+(p'u)'+qu \\ & {} = -pu-2p'u'-pu+p''u+p'u'+qu \\ & {} = -p'u'-pu''+qu \\ & {} = -(pu')'+qu \\ & {} = Lu \end{align}$$ यह ऑपरेटर स्टर्म-लिउविल सिद्धांत के लिए केंद्रीय है जहां इस ऑपरेटर के ईजेनफंक्शन (egenvectors के अनुरूप) पर विचार किया जाता है।

अंतर ऑपरेटरों के गुण
विभेदीकरण रेखीय मानचित्र है, अर्थात


 * $$D(f+g) = (Df)+(Dg),$$
 * $$D(af) = a(Df),$$

जहाँ f और g फलन हैं, और a एक स्थिरांक है।

फ़ंक्शन गुणांक वाले डी में कोई बहुपद भी एक अंतर संकारक है। हम नियम द्वारा संरचना अंतर ऑपरेटरों को भी कार्य कर सकते हैं


 * $$(D_1 \circ D_2)(f) = D_1(D_2(f)).$$

तब कुछ देखभाल की आवश्यकता होती है: सबसे पहले ऑपरेटर डी में कोई फ़ंक्शन गुणांक2 डी के आवेदन के रूप में कई बार अलग-अलग कार्य होना चाहिए1 आवश्यकता है। ऐसे ऑपरेटरों की अंगूठी (गणित) प्राप्त करने के लिए हमें इस्तेमाल किए गए गुणांक के सभी आदेशों के डेरिवेटिव्स को मानना ​​​​चाहिए। दूसरा, यह अंगूठी क्रमविनिमेय अंगूठी नहीं होगी: एक ऑपरेटर जीडी सामान्य रूप से डीजी के समान नहीं है। उदाहरण के लिए हमारे पास क्वांटम यांत्रिकी में बुनियादी संबंध है:
 * $$Dx - xD = 1.$$

संकारकों का सबरिंग, जो स्थिर गुणांकों के साथ D में बहुपद हैं, इसके विपरीत, क्रमविनिमेय है। इसे दूसरे तरीके से चित्रित किया जा सकता है: इसमें ट्रांसलेशन-इनवेरिएंट ऑपरेटर्स होते हैं।

डिफरेंशियल ऑपरेटर्स भी शिफ्ट प्रमेय का पालन करते हैं।

कई चर
एक ही निर्माण को आंशिक डेरिवेटिव के साथ किया जा सकता है, अलग-अलग चर के संबंध में भिन्नता ऑपरेटरों को जन्म देती है जो कम्यूट करती है (दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता देखें)।

अविभाजित बहुपद अंतर ऑपरेटरों की अंगूठी
यदि R एक वलय है, तो मान लीजिए $$R\langle D,X \rangle$$ वेरिएबल्स डी और एक्स में आर पर गैर-कम्यूटेटिव बहुपद रिंग बनें, और मैं डीएक्स - एक्सडी - 1 द्वारा उत्पन्न दो तरफा आदर्श (रिंग थ्योरी) हूं। फिर आर पर एकतरफा बहुपद अंतर ऑपरेटरों की अंगूठी भागफल अंगूठी है $$R\langle D,X\rangle/I$$. यह है एक non-commutative साधारण अंगूठी। प्रत्येक तत्व को एक अनोखे तरीके से फॉर्म के मोनोमियल्स के आर-रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है $$X^a D^b \text{ mod } I$$. यह बहुपदों के यूक्लिडियन विभाजन के अनुरूप का समर्थन करता है।

विभेदक मॉड्यूल ऊपर $$R[X]$$ (मानक व्युत्पत्ति के लिए) को मॉड्यूल (गणित) के साथ पहचाना जा सकता है $$R\langle D,X\rangle/I$$.

बहुभिन्नरूपी बहुपद अवकल संकारकों का वलय
यदि R एक वलय है, तो मान लीजिए $$R\langle D_1,\ldots,D_n,X_1,\ldots,X_n\rangle$$ चरों में R के ऊपर गैर-विनिमेय बहुपद वलय हो $$D_1,\ldots,D_n,X_1,\ldots,X_n$$, और मैं तत्वों द्वारा उत्पन्न दो तरफा आदर्श
 * $$(D_i X_j-X_j D_i)-\delta_{i,j},\ \ \ D_i D_j -D_j D_i,\ \ \ X_i X_j - X_j X_i$$

सभी के लिए $$1 \le i,j \le n,$$ कहाँ $$\delta$$ क्रोनकर डेल्टा है। फिर R के ऊपर बहुभिन्नरूपी बहुपद अंतर संचालकों का वलय भागफल वलय है $R\langle D_1,\ldots,D_n,X_1,\ldots,X_n\rangle/I$. यह है एक non-commutative साधारण अंगूठी। प्रत्येक तत्व को एक अनोखे तरीके से फॉर्म के मोनोमियल्स के आर-रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है $X_1^{a_1} \ldots X_n^{a_n} D_1^{b_1} \ldots D_n^{b_n}$.

समन्वय-स्वतंत्र विवरण
अवकल ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति में दो सदिश बंडलों के बीच अवकल संकारकों का एक समन्वय-स्वतंत्र विवरण होना अक्सर सुविधाजनक होता है। बता दें कि ई और एफ एक अलग-अलग कई गुना एम पर दो वेक्टर बंडल हैं। वेक्टर बंडल का एक 'आर'-रैखिक मानचित्रण P : Γ(E) → Γ(F) इसे kवें क्रम का रैखिक अवकल संचालिका कहा जाता है, यदि यह जेट बंडल J को कारक बनाता हैकश्मीर(ई). दूसरे शब्दों में, वेक्टर बंडलों की एक रेखीय मैपिंग मौजूद है


 * $$i_P: J^k(E) \to F$$

ऐसा है कि


 * $$P = i_P\circ j^k$$

कहाँ jk: Γ(E) → Γ(Jk(E)) दीर्घीकरण है जो E के किसी भी भाग को इसके जेट (गणित)|k-जेट से जोड़ता है।

इसका मतलब यह है कि E के दिए गए सदिश बंडल s के लिए, बिंदु x ∈ M पर P(s) का मान पूरी तरह से x में s के k-क्रम अत्यल्प व्यवहार द्वारा निर्धारित होता है। विशेष रूप से इसका तात्पर्य है कि P(s)(x) x में s के शीफ (गणित) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसे यह कहकर व्यक्त किया जाता है कि अवकल संकारक स्थानीय हैं। एक मूलभूत परिणाम पीटर प्रमेय है जो दिखा रहा है कि विपरीत भी सत्य है: कोई भी (रैखिक) स्थानीय ऑपरेटर अंतर है।

क्रमविनिमेय बीजगणित से संबंध
एक समतुल्य, लेकिन रैखिक अंतर संचालकों का विशुद्ध रूप से बीजगणितीय विवरण इस प्रकार है: एक आर-रैखिक मानचित्र P एक kवाँ-क्रम रैखिक अंतर संचालिका है, यदि किसी भी k + 1 के लिए कार्य $$f_0,\ldots,f_k \in C^\infty(M)$$ अपने पास


 * $$[f_k,[f_{k-1},[\cdots[f_0,P]\cdots]]=0.$$

यहाँ कोष्ठक $$[f,P]:\Gamma(E)\to \Gamma(F)$$ कम्यूटेटर के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$[f,P](s)=P(f\cdot s)-f\cdot P(s).$$

लीनियर डिफरेंशियल ऑपरेटर्स के इस लक्षण वर्णन से पता चलता है कि वे एक कम्यूटेटिव बीजगणित (संरचना) पर मॉड्यूल (गणित) के बीच विशेष मैपिंग हैं, जिससे अवधारणा को कम्यूटेटिव बीजगणित के एक भाग के रूप में देखा जा सकता है।

उदाहरण

 * भौतिक विज्ञान के अनुप्रयोगों में, लाप्लास ऑपरेटर जैसे ऑपरेटर आंशिक अंतर समीकरणों को स्थापित करने और हल करने में प्रमुख भूमिका निभाते हैं।
 * अंतर टोपोलॉजी में, बाहरी व्युत्पन्न और झूठ व्युत्पन्न ऑपरेटरों का आंतरिक अर्थ होता है।
 * अमूर्त बीजगणित में, व्युत्पत्ति (अमूर्त बीजगणित) की अवधारणा अवकल संचालकों के सामान्यीकरण की अनुमति देती है, जिसमें कलन के उपयोग की आवश्यकता नहीं होती है। अक्सर इस तरह के सामान्यीकरण बीजगणितीय ज्यामिति और क्रमविनिमेय बीजगणित में नियोजित होते हैं। जेट (गणित) भी देखें।
 * एक जटिल चर z = x + i y के होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के विकास में, कभी-कभी एक जटिल कार्य को दो वास्तविक चर x और y का एक कार्य माना जाता है। विर्टिंगर डेरिवेटिव्स का उपयोग किया जाता है, जो आंशिक अंतर ऑपरेटर हैं: $$ \frac{\partial}{\partial z} = \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} - i \frac{\partial}{\partial y} \right) \ ,\quad \frac{\partial}{\partial\bar{z}}= \frac{1}{2} \left( \frac{\partial}{\partial x} + i \frac{\partial}{\partial y} \right) \ .$$ इस दृष्टिकोण का उपयोग कई जटिल चरों के कार्यों और एक मोटर चर के कार्यों का अध्ययन करने के लिए भी किया जाता है।

इतिहास
1800 में लुइस फ्रांकोइस एंटोनी अर्बोगस्ट को फ्री-स्टैंडिंग के रूप में डिफरेंशियल ऑपरेटर लिखने का वैचारिक कदम जिम्मेदार ठहराया गया है।

यह भी देखें

 * अंतर ऑपरेटर
 * डेल्टा ऑपरेटर
 * अण्डाकार ऑपरेटर
 * कर्ल (गणित)
 * भिन्नात्मक कलन
 * अपरिवर्तनीय अंतर ऑपरेटर
 * क्रमविनिमेय बीजगणित पर विभेदक कलन
 * Lagrangian प्रणाली
 * वर्णक्रमीय सिद्धांत
 * ऊर्जा संचालक
 * क्षण संचालिका
 * डीबीएआर ऑपरेटर