हॉकी-स्टिक की पहचान

संयुक्त गणित में, हॉकी-स्टिक की पहचान, क्रिसमस स्टॉकिंग पहचान, बूमरैंग की पहचान, फ़र्मेट की पहचान अथवा चू की प्रमेय में कहा गया है कि यदि $$n \geq r \ge 0$$ पूर्णांक हैं, तो


 * $$\binom{r}{r} + \binom{r+1}{r} + \binom{r+2}{r} + \cdots + \binom{n}{r} = \binom{n+1}{r+1}. $$

नाम पास्कल के त्रिकोण पर पहचान के चित्रमय प्रतिनिधित्व से उत्पन्न होता है: जब योग में दर्शाए गए जोड़ और योग को प्रमुखता से दर्शाया जाता है, तो प्रकट आकार उन वस्तुओं का स्मरण करवाता है (हाँकी स्टिक, क्रिसमस स्टॉकिंग देखें)।

सूत्रीकरण
सिग्मा संकेतन का उपयोग करते हुए, पहचान बताई गई है-


 * $$\sum^n_{i=r}{i\choose r}={n+1\choose r+1} \qquad \text{ for } n,r\in\mathbb{N}, \quad n\geq r$$

अथवा समकक्ष, प्रतिस्थापन $$j\to i-r$$ द्वारा दर्पण-छवि है:


 * $$\sum^{n-r}_{j=0}{j+r\choose r}=\sum^{n-r}_{j=0}{j+r\choose j}={n+1\choose n-r} \qquad \text{ for } n,r\in\mathbb{N}, \quad n\geq r.$$

फलन प्रमाण उत्पन्न करना
हमारे निकट है-


 * $$X^r + X^{r+1} + \dots + X^{n} = \frac{X^r-X^{n+1}}{1-X}$$

मान लीजिए कि $$X=1+x$$ है और $$x^r$$ के गुणांकों की तुलना करें।

आगमनात्मक और बीजगणितीय प्रमाण
आगमनात्मक और बीजगणितीय प्रमाण दोनों पास्कल की पहचान का उपयोग करते हैं:


 * $${n \choose k}={n-1\choose k-1}+{n-1\choose k}.$$

आगमनात्मक प्रमाण
यह पहचान $$n$$ पर गणितीय प्रेरण द्वारा सिद्ध की जा सकती है

मूल स्थिति

मान लीजिए कि $$n=r$$ है


 * $$\sum^n_{i=r} {i\choose r} = \sum^r_{i=r}{i\choose r}={r\choose r} = 1 = {r+1\choose r+1} = {n+1\choose r+1}. $$

आगमनात्मक चरण

मान लीजिए, कुछ $$k\in\mathbb{N}, k \geqslant r$$ के लिए,


 * $$\sum^k_{i=r}{i\choose r}={k+1\choose r+1}$$

तब


 * $$\sum^{k+1}_{i=r} {i\choose r} = \left(\sum^k_{i=r} {i\choose r} \right) + {k+1\choose r}={k+1\choose r+1}+{k+1\choose r}={k+2\choose r+1}.$$

बीजगणितीय प्रमाण
हम योग की गणना को सरल बनाने के लिए टेलीस्कोपिंग श्रृंखला तर्क का उपयोग करते हैं:



\begin{align} \sum_{t=\color{blue}0}^n \binom{t}{k} =\sum_{t=\color{blue}k}^n\binom tk &= \sum_{t=k}^n\left[ \binom {t+1}{k+1}-\binom {t}{k+1}\right]\\ &=\sum_{t=\color{green}k}^{\color{green}n}\binom {\color{green}{t+1}}{k+1} - \sum_{t=k}^n \binom t{k+1}\\ &=\sum_{t=\color{green}{k+1}}^{\color{green}{n+1}}\binom {\color{green}{t}}{k+1} - \sum_{t=k}^n \binom t{k+1}\\ &=\binom{n+1}{k+1}-\underbrace{\binom k{k+1}}_0&&\text{by telescoping}\\ &=\binom{n+1}{k+1}. \end{align} $$

प्रमाण 1
कल्पना करें कि हम $$k$$ भिन्न-भिन्न बालकों को $$n$$ अविभाज्य कैंडी वितरित कर रहे हैं। स्टार्स और बार्स (कॉम्बिनेटरिक्स) विधि के प्रत्यक्ष अनुप्रयोग द्वारा, निम्नलिखित समीकरण प्राप्त होता है-


 * $$\binom{n+k-1}{ k-1}$$

इस प्रकार इसकी कई विधियाँ हैं। वैकल्पिक रूप से, हम सर्वप्रथम सबसे बड़े बालक को $$0\leqslant i\leqslant n$$ कैंडी दे सकते हैं जिससे कि हम अनिवार्य रूप से $$k-1$$ बालकों को $$n-i$$ कैंडी दे सकें और तब, सितारों और बार एवं दोहरी गणना (प्रूफ़ तकनीक) के साथ, हमारे निकट है


 * $$\binom{n+k-1}{ k-1}=\sum_{i=0}^n\binom{n+k-2-i}{k-2},$$

जो $$n' = n+k-2$$ और $$r=k-2$$ लेकर और $$n'-n = k-2=r$$ को ध्यान में रखते हुए वांछित परिणाम को सरल बनाता है:


 * $$\binom{n'+1}{ r+1}=\sum_{i=0}^n \binom {n'-i}r = \sum_{i=r}^{n'} \binom {i}r .$$

प्रमाण 2
हम निम्नलिखित विधियों से $$n+1$$ व्यक्तियों के समूह से $$k+1$$ आकार की समिति बना सकते हैं:


 * $$ \binom{n+1}{k+1}$$

अब हम $$n+1$$ व्यक्तियों की संख्या $$1,2,3,\dots,n-k+1$$ से $$n-k+1$$ तक समर्पित करते हैं। हम इसे $$n-k+1$$ असंयुक्त स्थितियों में विभाजित कर सकते हैं। सामान्य रूप से $$x$$ की स्थिति में, $$1\leqslant x\leqslant n-k+1$$ व्यक्ति $$x$$ समिति में है और व्यक्ति $$1,2,3,\dots, x-1$$ समिति में नहीं हैं। यह निम्नलिखित विधि से किया जा सकता है-


 * $$\binom{n-x+1}{k}$$

अब हम इन $$n-k+1$$ असंयुक्त स्थितियों के मानों का योग प्राप्त कर सकते हैं-


 * $$ \binom{n+1}{k+1} = \binom n k + \binom {n-1} k + \binom{n-2} k + \cdots + \binom{k+1} k+ \binom k k.$$

यह भी देखें

 * पास्कल की पहचान
 * पास्कल का त्रिकोण
 * लाइबनिज़ त्रिकोण
 * वेंडरमोंडे की पहचान

बाहरी संबंध

 * On AOPS
 * On StackExchange, Mathematics
 * Pascal's Ladder on the Dyalog Chat Forum