गणितीय प्रेरण

गणितीय आगमन गणितीय प्रमाण के लिए एक विधि है कि एक कथन $$P(n)$$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए सत्य है $$n$$, अर्थात्, अपरिमित रूप से बहुत से मामले $$P(0),P(1),P(2),P(3),\dots$$सब पकड़। अनौपचारिक रूपक इस तकनीक को समझाने में मदद करते हैं, जैसे डोमिनोज़ गिरना या सीढ़ी चढ़ना: "गणितीय प्रेरण यह साबित करता है कि हम सीढ़ी पर जितना चाहें उतना ऊपर चढ़ सकते हैं, यह साबित करके कि हम निचले पायदान (आधार) पर चढ़ सकते हैं और प्रत्येक पायदान से हम अगले पायदान पर चढ़ सकते हैं ( कदम''')।"

प्रेरण द्वारा सबूत में दो मामले होते हैं। पहला, आधार मामला, के लिए कथन को सिद्ध करता है $$n=0$$ अन्य मामलों के ज्ञान के बिना। दूसरा मामला, प्रेरण चरण, यह साबित करता है कि यदि कथन किसी दिए गए मामले के लिए मान्य है $$n=k$$, तो इसे अगले मामले के लिए भी लागू होना चाहिए $$n=k+1$$. ये दो चरण स्थापित करते हैं कि कथन प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए लागू होता है $$n$$. आधार मामला आवश्यक रूप से शुरू नहीं होता है $$n=0$$, लेकिन अक्सर साथ $$n=1$$, और संभवतः किसी निश्चित प्राकृतिक संख्या के साथ $$n=N$$, सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए कथन की सत्यता स्थापित करना $$n\geq N$$.

अधिक सामान्य अच्छी तरह से स्थापित संरचनाओं, जैसे वृक्ष (सेट सिद्धांत); यह सामान्यीकरण, जिसे संरचनात्मक प्रेरण के रूप में जाना जाता है, का उपयोग गणितीय तर्क और कंप्यूटर विज्ञान में किया जाता है। इस विस्तारित अर्थ में गणितीय आगमन पुनरावर्तन से निकटता से संबंधित है। गणितीय आगमन अनुमान नियम है जिसका उपयोग औपचारिक प्रमाणों में किया जाता है, और यह कंप्यूटर प्रोग्रामों के लिए अधिकांश शुद्धता (कंप्यूटर विज्ञान) प्रमाणों का आधार है। यद्यपि इसका नाम अन्यथा सुझाव दे सकता है, गणितीय आगमन को आगमनात्मक तर्क के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जैसा कि दर्शनशास्त्र में प्रयोग किया जाता है (प्रेरण की समस्या देखें)। गणितीय पद्धति सामान्य कथन को सिद्ध करने के लिए असीम रूप से कई मामलों की जांच करती है, लेकिन ऐसा वेरिएबल (गणित) को शामिल करने वाली निगमनात्मक तर्क की परिमित श्रृंखला द्वारा करती है। $$n$$, जो अपरिमित रूप से अनेक मान ले सकता है।

इतिहास
370 ई.पू. में, प्लेटो के परमेनाइड्स (संवाद) में निहित आगमनात्मक प्रमाण के प्रारंभिक उदाहरण के निशान शामिल हो सकते हैं। विपरीत पुनरावृत्त तकनीक, ऊपर की बजाय नीचे की ओर गिनना, सॉराइट्स विरोधाभास में पाया जाता है, जहां यह तर्क दिया गया था कि यदि रेत के 1,000,000 दाने ढेर बनाते हैं, और ढेर से दाने को हटाने से यह ढेर बन जाता है, तो रेत का दाना (या कोई दाना भी नहीं) ढेर बनाता है। गणितीय आगमन द्वारा सबसे पहला अंतर्निहित प्रमाण गेराज द्वारा 1000 ईस्वी के आसपास लिखे गए अल-फखरी में है, जिन्होंने पास्कल के त्रिकोण के द्विपद प्रमेय और गुणों को साबित करने के लिए इसे अंकगणितीय प्रगति पर लागू किया। जैसा कि काट्ज़ कहते हैं "अल-कराजी द्वारा पेश किया गया और अल-सामावल और अन्य लोगों द्वारा जारी रखा गया एक और महत्वपूर्ण विचार कुछ अंकगणितीय अनुक्रमों से निपटने के लिए एक आगमनात्मक तर्क था। इस प्रकार अल-कराजी ने आर्यभट्ट को पहले से ही ज्ञात अभिन्न घनों के योग पर परिणाम साबित करने के लिए इस तरह के तर्क का इस्तेमाल किया, हालांकि, अल-कराजी ने मनमाने ढंग से एन के लिए एक सामान्य परिणाम नहीं बताया। . उन्होंने विशेष पूर्णांक 10 के लिए अपना प्रमेय बताया [...] उनका प्रमाण, फिर भी, स्पष्ट रूप से किसी अन्य पूर्णांक तक विस्तार योग्य होने के लिए डिज़ाइन किया गया था। [...] अल-करजी के तर्क में संक्षेप में प्रेरण द्वारा आधुनिक तर्क के दो बुनियादी घटक शामिल हैं, अर्थात् n = 1 (1 = 1 3<) के लिए कथन का सत्य /sup>) और n = k से n = k के लिए सत्य की व्युत्पत्ति - 1. बेशक, यह दूसरा घटक स्पष्ट नहीं है क्योंकि, कुछ अर्थों में, अल-काराजी का तर्क उलटा है; यानी, वह n = 10 से शुरू करता है और ऊपर की ओर बढ़ने के बजाय नीचे 1 तक जाता है। फिर भी, अल-फखरी में उनका तर्क पूर्णांक घनों का योग सूत्र का सबसे पुराना प्रमाण है।"

भारत में, भास्कर द्वितीय की चक्रवला विधि में गणितीय आगमन द्वारा प्रारंभिक अंतर्निहित प्रमाण दिखाई देते हैं। हालांकि, इन प्राचीन गणितज्ञों में से किसी ने भी आगमन परिकल्पना को स्पष्ट रूप से नहीं बताया। इसी तरह का और मामला (वैका ने जो लिखा है, उसके विपरीत, जैसा कि फ्रायडेंथल ने ध्यान से दिखाया है) फ्रांसिस मौरोलिको की अपनी अरिथमेटिकोरम लिब्री डुओ (1575) में थी, जिसने यह साबित करने के लिए तकनीक का इस्तेमाल किया था कि पहले n समता (गणित) पूर्णांकों का योग n है 2।

इंडक्शन का सबसे पहला कठोर #गणितीय_प्रमाण उपयोग गर्सोनाइडेस (1288-1344) द्वारा किया गया था। इंडक्शन के सिद्धांत का पहला स्पष्ट सूत्रीकरण ब्लेस पास्कल ने अपने ट्रेटे डु त्रिकोण अंकगणित (1665) में दिया था। अन्य फ्रांसीसी, पियरे डी फर्मेट ने संबंधित सिद्धांत का पर्याप्त उपयोग किया: अनंत वंश द्वारा अप्रत्यक्ष प्रमाण।

प्रेरण परिकल्पना को स्विस जैकब बर्नौली द्वारा भी नियोजित किया गया था, और तभी से यह अच्छी तरह से जाना जाने लगा। सिद्धांत का आधुनिक औपचारिक उपचार केवल 19वीं शताब्दी में जॉर्ज बूले के साथ आया, ऑगस्टस डी मॉर्गन, चार्ल्स सैंडर्स पियर्स, जोसेफ पीनो, और रिचर्ड डेडेकिंड।

विवरण
गणितीय आगमन का सबसे सरल और सबसे सामान्य रूप अनुमान लगाता है कि कथन जिसमें प्राकृतिक संख्या शामिल है $n$ (यानी पूर्णांक $n ≥ 0$ या 1) के सभी मूल्यों के लिए धारण करता है $n$. प्रमाण में दो चरण होते हैं:
 * 1) आधार मामला (या प्रारंभिक मामला): सिद्ध करें कि कथन 0 या 1 के लिए है।
 * 2) प्रेरण कदम (या आगमनात्मक कदम, या कदम का मामला): साबित करें कि हर के लिए $n$, यदि कथन के लिए है $n$, तो यह धारण करता है $n +&thinsp;1$. दूसरे शब्दों में, मान लें कि बयान कुछ मनमानी प्राकृतिक संख्या के लिए है $n$, और साबित करें कि कथन के लिए है $n +&thinsp;1$.

प्रेरण चरण में परिकल्पना, कि कथन किसी विशेष के लिए धारण करता है $n$, प्रेरण परिकल्पना या आगमनात्मक परिकल्पना कहलाती है। इंडक्शन स्टेप को साबित करने के लिए, इंडक्शन परिकल्पना को मान लिया जाता है $n$ और फिर इस धारणा का उपयोग यह साबित करने के लिए करता है कि कथन के लिए है $n +&thinsp;1$.

लेखक जो प्राकृतिक संख्याओं को 0 से शुरू करने के लिए परिभाषित करना पसंद करते हैं, आधार मामले में उस मान का उपयोग करते हैं; जो 1 से शुरू होने वाली प्राकृत संख्याओं को परिभाषित करते हैं वे उस मान का उपयोग करते हैं।

क्रमागत प्राकृत संख्याओं का योग
सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए निम्नलिखित कथन P(n) को सिद्ध करने के लिए गणितीय आगमन का उपयोग किया जा सकता है।
 * $$P(n)\!:\ \ 0 + 1 + 2 + \cdots + n = \frac{n(n + 1)}{2}.$$

यह दी गई संख्या से कम या उसके बराबर प्राकृतिक संख्याओं के योग के लिए सामान्य सूत्र बताता है; वास्तव में बयानों का अनंत क्रम: $$0 = \tfrac{(0)(0+1)}2$$, $$0+1 = \tfrac{(1)(1+1)}2$$, $$0+1+2 = \tfrac{(2)(2+1)}2$$, आदि।

प्रस्ताव। प्रत्येक के लिए $$n\in\mathbb{N}$$, $$0 + 1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n + 1)}{2}.$$ सबूत। मान लीजिए P(n) कथन है $$0 + 1 + 2 + \cdots + n = \tfrac{n(n + 1)}{2}.$$ हम n पर आगमन द्वारा उपपत्ति देते हैं।

आधार मामला: दिखाएँ कि कथन सबसे छोटी प्राकृतिक संख्या n = 0 के लिए है।

पी (0) स्पष्ट रूप से सच है: $$0 = \tfrac{0(0 + 1)}{2}\,.$$ प्रेरण चरण: दिखाएँ कि प्रत्येक k ≥ 0 के लिए, यदि P(k) धारण करता है, तो P(k + 1) भी धारण करता है।

प्रेरण परिकल्पना मान लें कि किसी विशेष k के लिए, एकल मामला n = k धारण करता है, जिसका अर्थ है P(k) सत्य है:"$0 + 1 + \cdots + k = \frac{k(k+1)}2.$"यह इस प्रकार है:
 * $$(0 + 1 + 2 + \cdots + k )+ (k+1) = \frac{k(k+1)}2 + (k+1).$$

बीजगणितीय रूप से, दाहिने हाथ की ओर सरल करता है:
 * $$\begin{align}

\frac{k(k+1)}{2} + (k+1) &= \frac{k(k+1) + 2(k+1)}{2} \\ &= \frac{(k+1)(k+2)}{2} \\ &= \frac{(k+1)((k+1) + 1)}{2}. \end{align}$$ चरम बाएँ और दाएँ पक्ष की बराबरी करते हुए, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:"$0 + 1 + 2 + \cdots + k + (k+1) = \frac{(k+1)((k+1)+1)}2.$"अर्थात्, कथन P(k + 1) भी सत्य है, जो प्रेरण चरण की स्थापना करता है।

निष्कर्ष: चूँकि बेस केस और इंडक्शन स्टेप दोनों ही सही साबित हुए हैं, गणितीय इंडक्शन द्वारा स्टेटमेंट P(n) हर प्राकृतिक संख्या n के लिए है। क्यू.ई.डी.|∎

त्रिकोणमितीय असमानता
इंडक्शन का उपयोग अक्सर असमानता (गणित) को साबित करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के रूप में, हम यह साबित करते हैं $$|\!\sin nx| \leq n\,|\!\sin x|$$ किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $$x$$ और प्राकृतिक संख्या $$n$$.

पहली नज़र में, ऐसा प्रतीत हो सकता है कि अधिक सामान्य संस्करण, $$|\!\sin nx| \leq n\,|\!\sin x|$$ किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $$n,x$$, प्रेरण के बिना सिद्ध किया जा सकता है; लेकिन मामला $n=\frac{1}{2},\, x=\pi$ दिखाता है कि के गैर-पूर्णांक मानों के लिए यह असत्य हो सकता है $$n$$. इससे पता चलता है कि हम विशेष रूप से के प्राकृतिक मूल्यों के लिए बयान की जांच करते हैं $$n$$, और प्रेरण सबसे आसान उपकरण है।

प्रस्ताव। किसी के लिए भी $$x \in \mathbb{R}$$ और $$n \in \mathbb{N}$$, $$|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$$.

सबूत। मनमाना वास्तविक संख्या तय करें $$x$$, और जाने $$P(n)$$ बयान हो $$|\!\sin nx|\leq n\,|\!\sin x|$$. हम शामिल करते हैं $$n$$.

आधार मामला: गणना $$|\!\sin 0x| = 0 \leq 0 = 0\,|\!\sin x|$$ पुष्टि करता है $$P(0)$$.

प्रेरण कदम: हम निहितार्थ (तर्क) दिखाते हैं $$P(k) \implies P(k+1)$$ किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए $$k$$. प्रेरण परिकल्पना मानें: किसी दिए गए मान के लिए $$n = k \geq 0$$, एकल मामला $$P(k)$$ क्या सच है। त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची और निरपेक्ष मान#वास्तविक संख्याओं का उपयोग करके, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं:
 * $$\begin{array}{rcll}

&= & |\!\sin kx\,\cos x+\sin x\,\cos kx\,| & \text{(angle addition)} \\ &\leq & |\!\sin kx\,\cos x| + |\!\sin x\,\cos kx| & \text{(triangle inequality)} \\ &= & |\!\sin kx|\,|\!\cos x|+|\!\sin x|\,|\!\cos kx|& \\ &\leq & |\!\sin kx| + |\!\sin x| & (|\!\cos t| \leq 1) \\ &\leq & k\,|\!\sin x|+|\!\sin x| & \text{(induction hypothesis})\\ &= & (k+1)\,|\!\sin x|. & \end{array}$$ चरम बाएँ और दाएँ हाथ की मात्राओं के बीच असमानता यह दर्शाती है $$P(k+1)$$ सत्य है, जो प्रेरण चरण को पूरा करता है।
 * \!\sin(k+1)x|

निष्कर्ष: प्रस्ताव $$P(n)$$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए धारण करता है $$n$$. ∎

वेरिएंट
व्यवहार में, इंडक्शन द्वारा प्रूफ को अक्सर अलग तरह से संरचित किया जाता है, जो कि सिद्ध की जाने वाली संपत्ति की सटीक प्रकृति पर निर्भर करता है। इंडक्शन के सभी प्रकार ट्रांसफिनिट इंडक्शन के विशेष मामले हैं; #ट्रांसफिनिट इंडक्शन देखें।

0 या 1
के अलावा बेस केस यदि कोई कथन सिद्ध करना चाहता है, तो सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए नहीं, बल्कि केवल सभी संख्याओं के लिए $n$ किसी निश्चित संख्या से अधिक या उसके बराबर $b$, तो प्रेरण द्वारा प्रमाण में निम्नलिखित शामिल हैं: इसका उपयोग, उदाहरण के लिए, यह दिखाने के लिए किया जा सकता है $n = b$ के लिए $n ≥ b$.
 * 1) दिखा रहा है कि बयान कब धारण करता है $n +&thinsp;1$.
 * 2) दिखा रहा है कि यदि कथन मनमाना संख्या के लिए है $2^{n} ≥ n + 5$, तो वही कथन भी मान्य है $n ≥ 3$.

इस प्रकार, कोई उस कथन को सिद्ध कर सकता है $P(n)$ सभी के लिए रखता है $n ≥ 1$, या सभी के लिए भी $n ≥ −5$. गणितीय आगमन का यह रूप वास्तव में पिछले रूप का विशेष मामला है, क्योंकि यदि कथन को सिद्ध किया जाना है $P(n)$ तो इन दो नियमों के साथ इसे साबित करना साबित करने के बराबर है $P(n + b)$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए $n$ इंडक्शन बेस केस के साथ $0$.

उदाहरण: सिक्कों द्वारा डॉलर की राशि बनाना
4- और 5-डॉलर के सिक्कों की अनंत आपूर्ति मान लें। इंडक्शन का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि डॉलर की कोई भी पूरी राशि इससे अधिक या बराबर है $12$ ऐसे सिक्कों के संयोजन से बनाया जा सकता है। होने देना $S(k)$ कथन को निरूपित करें$k$ डॉलर को 4- और 5-डॉलर के सिक्कों के संयोजन से बनाया जा सकता है। इसका प्रमाण $S(k)$ सभी के लिए सत्य है $k ≥ 12$ फिर प्रेरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है $k$ निम्नलिखित नुसार:

आधार मामला: दिखा रहा है $S(k)$ के लिए रखता है $k = 12$ सरल है: तीन 4-डॉलर के सिक्के लें।

प्रेरण चरण: यह देखते हुए $S(k)$ के कुछ मूल्य के लिए रखता है $k ≥ 12$ (प्रेरण परिकल्पना), साबित करें $S(k +&thinsp;1)$ भी रखता है। मान लीजिए $S(k)$ कुछ मनमानी के लिए सच है $k ≥ 12$. अगर इसका कोई उपाय है $k$ डॉलर जिसमें कम से कम 4-डॉलर का सिक्का शामिल है, इसे बनाने के लिए 5-डॉलर के सिक्के से बदलें $k +&thinsp;1$ डॉलर। अन्यथा, यदि केवल 5-डॉलर के सिक्कों का उपयोग किया जाता है, $k$ 5 का गुणक होना चाहिए और इसलिए कम से कम 15 होना चाहिए; लेकिन फिर हम बनाने के लिए तीन 5-डॉलर के सिक्कों को चार 4-डॉलर के सिक्कों से बदल सकते हैं $k +&thinsp;1$ डॉलर। हर मामले में, $S(k +&thinsp;1)$ क्या सच है।

इसलिए, प्रेरण के सिद्धांत द्वारा, $S(k)$ सभी के लिए रखता है $k ≥ 12$, और सबूत पूरा हो गया है।

हालांकि इस उदाहरण में $S(k)$ के लिए भी रखता है $k \in \{ 4, 5, 8, 9, 10 \}$, उपरोक्त प्रमाण की न्यूनतम राशि को बदलने के लिए संशोधित नहीं किया जा सकता है $12$ डॉलर किसी भी कम मूल्य के लिए $m$. के लिए $m = 11$, आधार मामला वास्तव में झूठा है; के लिए $m = 10$, प्रेरण चरण में दूसरा मामला (तीन 5- को चार 4-डॉलर के सिक्कों से बदलना) काम नहीं करेगा; और भी कम के लिए अकेले रहने दो $m$.

से अधिक काउंटरों पर इंडक्शन
प्रेरण प्रक्रिया को पुनरावृत्त करके, कभी-कभी दो प्राकृतिक संख्याओं, एन और एम से जुड़े बयान को साबित करना वांछनीय होता है। यही है, आधार मामले और एन के लिए प्रेरण कदम साबित होता है, और उनमें से प्रत्येक में आधार मामला और एम के लिए प्रेरण कदम साबित होता है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं के योग के साथ प्राकृतिक संख्याओं के योग को शामिल करने वाले प्रमाण देखें। तीन या अधिक काउंटरों से जुड़े अधिक जटिल तर्क भी संभव हैं।

अनंत वंश
अनंत वंश की विधि गणितीय प्रेरण का रूपांतर है जिसका उपयोग पियरे डी फर्मेट द्वारा किया गया था। इसका प्रयोग यह दर्शाने के लिए किया जाता है कि कुछ कथन Q(n) सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए असत्य है। इसके पारंपरिक रूप में यह दिखाया गया है कि यदि क्यू (एन) कुछ प्राकृतिक संख्या एन के लिए सत्य है, तो यह कुछ सख्ती से छोटी प्राकृतिक संख्या एम के लिए भी लागू होता है। क्योंकि प्राकृतिक संख्याओं का कोई अनंत घटता हुआ क्रम नहीं है, यह स्थिति असंभव होगी, जिससे (विरोधाभास द्वारा प्रमाण) दिखाया जाएगा कि Q(n) किसी भी n के लिए सत्य नहीं हो सकता है।

इस पद्धति की वैधता को गणितीय आगमन के सामान्य सिद्धांत से सत्यापित किया जा सकता है। क्यू(एम) के रूप में परिभाषित बयान पी (एन) पर गणितीय आगमन का उपयोग सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए गलत है जो एन से कम या बराबर है, यह निम्नानुसार है कि पी (एन) सभी एन के लिए है, जिसका अर्थ है कि क्यू (एन) है हर प्राकृतिक संख्या n के लिए असत्य।

उपसर्ग प्रेरण
गणितीय आगमन द्वारा प्रमाण के सबसे सामान्य रूप में प्रेरण चरण में सिद्ध करने की आवश्यकता होती है कि
 * $$\forall k (P(k) \to P(k+1))$$

जहां प्रेरण सिद्धांत पी (0) से पी (एन) तक पहुंचने में इस चरण के एन अनुप्रयोगों को स्वचालित करता है। इसे पूर्ववर्ती प्रेरण कहा जा सकता है क्योंकि प्रत्येक चरण उस संख्या के पूर्ववर्ती के बारे में कुछ से किसी संख्या के बारे में कुछ साबित करता है।

कम्प्यूटेशनल जटिलता में रुचि का प्रकार उपसर्ग प्रेरण है, जिसमें कोई प्रेरण चरण में निम्नलिखित कथन को सिद्ध करता है:
 * $$\forall k (P(k) \to P(2k) \land P(2k+1))$$

या समकक्ष
 * $$\forall k \left( P\!\left(\left\lfloor \frac{k}{2} \right\rfloor \right) \to P(k) \right)$$

प्रेरण सिद्धांत तब द्विआधारी लघुगणक | लॉग को स्वचालित करता है2पी (0) से पी (एन) तक प्राप्त करने में इस अनुमान के आवेदन। वास्तव में, इसे उपसर्ग प्रेरण कहा जाता है क्योंकि प्रत्येक चरण उस संख्या के उपसर्ग के बारे में कुछ से संख्या के बारे में कुछ साबित करता है - जैसा कि इसके बाइनरी प्रतिनिधित्व के निम्न बिट को काटकर बनाया गया है। इसे बाइनरी प्रतिनिधित्व की लंबाई पर पारंपरिक प्रेरण के आवेदन के रूप में भी देखा जा सकता है।

यदि पारंपरिक पूर्ववर्ती इंडक्शन को कम्प्यूटेशनल रूप से एन-स्टेप लूप के रूप में व्याख्यायित किया जाता है, तो प्रीफिक्स इंडक्शन लॉग-एन-स्टेप लूप के अनुरूप होगा। इसके कारण, पूर्ववर्ती प्रेरण का उपयोग करने वाले प्रमाणों की तुलना में उपसर्ग प्रेरण का उपयोग करने वाले प्रमाण अधिक रचनात्मक रूप से रचनात्मक हैं।

पूर्ववर्ती प्रेरण ही कथन पर उपसर्ग प्रेरण को तुच्छ रूप से अनुकरण कर सकता है। उपसर्ग इंडक्शन पूर्ववर्ती इंडक्शन का अनुकरण कर सकता है, लेकिन केवल स्टेटमेंट को सिंटैक्टिकली कॉम्प्लेक्स ( परिबद्ध क्वांटिफायर यूनिवर्सल क्वांटिफायर जोड़कर) बनाने की कीमत पर, इसलिए प्रीफिक्स इंडक्शन से बहुपदी समय फलन कम्प्यूटेशन से संबंधित दिलचस्प परिणाम अनबाउंड क्वांटिफायर को पूरी तरह से बाहर करने और सीमित करने पर निर्भर करते हैं। बयान में अनुमत बाउंडेड यूनिवर्सल और अस्तित्वगत परिमाणक क्वांटिफायर्स का प्रत्यावर्तन। कोई इस विचार को कदम आगे ले जा सकता है: उसे सिद्ध करना होगा
 * $$\forall k \left( P\!\left( \left\lfloor \sqrt{k} \right\rfloor \right) \to P(k) \right)$$

जहां प्रेरण सिद्धांत पी (0) से पी (एन) तक प्राप्त करने में इस अनुमान के लॉग लॉग एन अनुप्रयोगों को स्वचालित करता है। लॉग-टाइम समानांतर संगणना का अध्ययन करने के लिए, प्रेरण के इस रूप का उपयोग किया गया है।

पूर्ण (मजबूत) प्रेरण
अन्य प्रकार, जिसे पूर्ण प्रेरण कहा जाता है, मूल्य प्रेरण या मजबूत प्रेरण का कोर्स (इसके विपरीत प्रेरण का मूल रूप कभी-कभी कमजोर प्रेरण के रूप में जाना जाता है), मजबूत परिकल्पना का उपयोग करके प्रेरण चरण को साबित करना आसान बनाता है: कथन को सिद्ध करता है $$P(m+1)$$ इस धारणा के तहत $$P(n)$$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए धारण करता है $$n$$ से कम $$m+1$$; इसके विपरीत, मूल रूप केवल ग्रहण करता है $$P(m)$$. मजबूत इंडक्शन नाम का मतलब यह नहीं है कि यह विधि कमजोर इंडक्शन से अधिक साबित हो सकती है, लेकिन केवल इंडक्शन चरण में उपयोग की जाने वाली मजबूत परिकल्पना को संदर्भित करती है।

वास्तव में, यह दिखाया जा सकता है कि दो विधियाँ वास्तव में समतुल्य हैं, जैसा कि नीचे बताया गया है। पूर्ण आगमन के इस रूप में, व्यक्ति को अभी भी आधार स्थिति को सिद्ध करना होता है, $$P(0)$$, और अतिरिक्त-आधार मामलों को साबित करना भी आवश्यक हो सकता है जैसे कि $$P(1)$$ सामान्य तर्क लागू होने से पहले, जैसा कि फिबोनाची संख्या के नीचे दिए गए उदाहरण में है $$F_{n}$$.

हालांकि अभी बताए गए फॉर्म में आधार मामले को साबित करने की आवश्यकता है, अगर कोई साबित कर सकता है तो यह अनावश्यक है $$P(m)$$ (मान लिया $$P(n)$$ सभी के लिए कम $$n$$) सबके लिए $$m\geq 0$$. यह नीचे वर्णित के रूप में #ट्रांसफिनिट इंडक्शन का विशेष मामला है, हालांकि यह अब सामान्य इंडक्शन के बराबर नहीं है। इस रूप में आधार केस को केस द्वारा सम्‍मिलित किया जाता है $$m=0$$, कहाँ $$P(0)$$ किसी अन्य के साथ सिद्ध नहीं होता है $$P(n)$$ मान लिया; इस मामले को अलग से संभालने की आवश्यकता हो सकती है, लेकिन कभी-कभी वही तर्क लागू होता है $$m=0$$ और $$m>0$$, जिससे प्रूफ़ सरल और अधिक सुरुचिपूर्ण हो जाता है। हालांकि, इस पद्धति में, यह सुनिश्चित करना महत्वपूर्ण है कि इसका प्रमाण $$P(m)$$ परोक्ष रूप से यह नहीं मानता $$m>0$$, उदा. कहकर मनमाना चुनें $$n<m$$, या यह मानकर कि m तत्वों के समुच्चय में तत्व है।

पूर्ण आगमन सामान्य गणितीय आगमन के समान है, जैसा कि ऊपर वर्णित है, इस अर्थ में कि विधि द्वारा प्रमाण को दूसरे द्वारा प्रमाण में परिवर्तित किया जा सकता है। मान लीजिए इसका प्रमाण है $$P(n)$$ पूर्ण प्रेरण द्वारा। होने देना $$Q(n)$$ बयान हो$$P(m)$$ सभी के लिए रखता है $$m$$ ऐसा है कि $$0\leq m \leq n$$. तब $$Q(n)$$ सभी के लिए रखता है $$n$$ अगर और केवल अगर $$P(n)$$ सभी के लिए रखता है $$n$$, और हमारे सबूत $$P(n)$$ के प्रमाण में आसानी से परिवर्तित हो जाता है $$Q(n)$$ (साधारण) प्रेरण द्वारा। यदि, दूसरी ओर, $$P(n)$$ सामान्य प्रेरण द्वारा सिद्ध किया गया था, प्रमाण पहले से ही पूर्ण प्रेरण द्वारा प्रभावी रूप से होगा: $$P(0)$$ बिना किसी पूर्वधारणा के आधार मामले में सिद्ध होता है, और $$P(n+1)$$ इंडक्शन स्टेप में साबित होता है, जिसमें कोई पहले के सभी मामलों को मान सकता है लेकिन केवल केस का उपयोग करने की आवश्यकता होती है $$P(n)$$.

उदाहरण: फाइबोनैचि संख्याएं
पूर्ण प्रेरण सबसे उपयोगी होता है जब प्रत्येक प्रेरण चरण के लिए आगमनात्मक परिकल्पना के कई उदाहरण आवश्यक होते हैं। उदाहरण के लिए, यह दिखाने के लिए पूर्ण प्रेरण का उपयोग किया जा सकता है
 * $$ F_n = \frac{\varphi^n - \psi^n}{\varphi - \psi}$$

कहाँ $$F_n$$ nवां फाइबोनैचि संख्या है, और $\varphi = { {1 + \sqrt 5} \over 2}$ (सुनहरा अनुपात) और $\psi = { {1 - \sqrt 5} \over 2}$  बहुपद के बहुपद की जड़ हैं $$x^2-x-1$$. इस तथ्य का उपयोग करके कि $$F_{n+2} = F_{n+1} + F_{n}$$ प्रत्येक के लिए $$n \in \Bbb{N}$$, उपरोक्त पहचान के लिए प्रत्यक्ष गणना द्वारा सत्यापित किया जा सकता है $F_{n+2}$ अगर कोई मानता है कि यह पहले से ही दोनों के लिए है $F_{n+1}$  और $F_n$. प्रमाण को पूरा करने के लिए, पहचान को दो आधार स्थितियों में सत्यापित किया जाना चाहिए: $$n=0$$ और $n=1$.

उदाहरण: प्रधान गुणनखंड
पूर्ण प्रेरण द्वारा अन्य प्रमाण उस परिकल्पना का उपयोग करता है जो कथन सभी छोटे लोगों के लिए रखता है $$n$$ अधिक अच्छी तरह। इस कथन पर विचार करें कि 1 से अधिक प्रत्येक प्राकृतिक संख्या ( या अधिक) अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है, जो कि अंकगणित का मौलिक प्रमेय है # अंकगणित के मौलिक प्रमेय का अस्तित्व भाग है। इंडक्शन स्टेप को साबित करने के लिए, इंडक्शन परिकल्पना यह है कि किसी दिए गए के लिए $$n>1$$ बयान सभी छोटे के लिए है $$n>1$$. यदि $$m$$ प्राइम है तो यह निश्चित रूप से प्राइम्स का उत्पाद है, और यदि नहीं, तो परिभाषा के अनुसार यह उत्पाद है: $$m=n_1 n_2$$, जहां कोई भी कारक 1 के बराबर नहीं है; इसलिए कोई भी बराबर नहीं है $$m$$, और इसलिए दोनों 1 से बड़े और उससे छोटे हैं $$m$$. प्रेरण परिकल्पना अब लागू होती है $$n_1$$ और $$n_2$$, इसलिए प्रत्येक अभाज्य संख्या का गुणनफल है। इस प्रकार $$m$$ प्राइम्स के उत्पादों का उत्पाद है, और इसलिए विस्तार से खुद प्राइम्स का उत्पाद है।

उदाहरण: डॉलर राशियों पर दोबारा गौर किया गया
हम उसी उदाहरण को #उदाहरण के रूप में साबित करने की कोशिश करेंगे: सिक्कों द्वारा डॉलर की राशि बनाना, इस बार मजबूत प्रेरण के साथ। कथन वही रहता है:
 * $$S(n): \,\,n \geq 12 \implies \,\exists\, a,b\in\mathbb{N}. \,\, n = 4a+5b$$

हालांकि, विस्तारित आधार मामले से शुरू होने वाले प्रमाण की संरचना और मान्यताओं में थोड़ा अंतर होगा।

सबूत।

बेस केस: वो दिखाओ $$S(k)$$ के लिए रखता है $$k = 12,13,14,15$$.
 * $$\begin{align}

4 \cdot 3+5 \cdot 0=12\\ 4 \cdot 2+5 \cdot 1=13\\ 4 \cdot 1+5 \cdot 2=14\\ 4 \cdot 0+5 \cdot 3=15 \end{align}$$ आधार मामला रखता है।

प्रेरण कदम: कुछ दिया $$j>15$$, मान लीजिए $$S(m)$$ सभी के लिए रखता है $$m$$ साथ $$12\leq m< j$$. साबित करें कि $$S(j)$$ रखती है।

का चयन $$m=j-4$$, और वह देख रहा है $$15< j \implies 12\leq j-4<j$$ पता चलता है कि $$S(j-4)$$ आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा धारण करता है। अर्थात् योग $$j-4$$ के कुछ संयोजन द्वारा बनाया जा सकता है $$4$$ और $$5$$ डॉलर के सिक्के। फिर, बस जोड़ना $$4$$ डॉलर का सिक्का उस संयोजन का योग देता है $$j$$. वह है, $$S(j)$$ रखती है। ∎

फॉरवर्ड-बैकवर्ड इंडक्शन
कभी-कभी, कथन को सिद्ध करते हुए, पीछे की ओर घटाना अधिक सुविधाजनक होता है $$n-1$$, के लिए इसकी वैधता दी $$n$$. हालांकि, आधार मामले को स्थापित करने के लिए किसी संख्या के लिए बयान की वैधता साबित करना पर्याप्त नहीं है; इसके बजाय, किसी को प्राकृतिक संख्याओं के अनंत उपसमुच्चय के लिए कथन को सिद्ध करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, ऑगस्टिन लुइस कॉची ने पहली बार आगे (नियमित) इंडक्शन को साबित करने के लिए इस्तेमाल किया अंकगणित और ज्यामितीय साधनों की असमानता # कॉची द्वारा 2 की सभी शक्तियों के लिए आगे-पीछे प्रेरण का उपयोग करके सबूत, और फिर इसे सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए दिखाने के लिए पीछे की ओर प्रेरण का उपयोग किया जाता है।

प्रेरण चरण में त्रुटि का उदाहरण
एन के सभी मूल्यों के लिए प्रेरण चरण सिद्ध होना चाहिए। इसका वर्णन करने के लिए, जोएल ई. कोहेन ने निम्नलिखित तर्क का प्रस्ताव रखा, जो गणितीय आगमन द्वारा यह साबित करने के लिए है कि सभी घोड़े ही रंग के होते हैं: बेस केस: केवल घोड़े के सेट में, केवल ही रंग होता है।

इंडक्शन स्टेप: इंडक्शन परिकल्पना के रूप में मान लें कि किसी भी सेट के भीतर $$n$$ घोड़ों का ही रंग होता है। अब इसके किसी भी सेट को देखें $$n+1$$ घोड़े। उन्हें नंबर दें: $$1, 2, 3, \dotsc, n, n+1$$. सेट्स पर विचार करें $\left\{1, 2, 3, \dotsc, n\right\}$ और $\left\{2, 3, 4, \dotsc, n+1\right\}$. प्रत्येक केवल का सेट है $$n$$ घोड़े, इसलिए प्रत्येक के भीतर केवल रंग होता है। लेकिन दो सेट ओवरलैप करते हैं, इसलिए सभी के बीच केवल ही रंग होना चाहिए $$n+1$$ घोड़े।

आधार मामला $$n=1$$ तुच्छ है, और प्रेरण कदम सभी मामलों में सही है $$n > 1$$. हालाँकि, इंडक्शन स्टेप में इस्तेमाल किया गया तर्क गलत है $$n+1=2$$, क्योंकि बयान है कि दो सेट ओवरलैप के लिए गलत है $\left\{1\right\}$ और $\left\{2\right\}$.

औपचारिकता
दूसरे क्रम के तर्क में, आगमन के स्वयंसिद्ध को निम्नानुसार लिखा जा सकता है:
 * $$\forall P\Bigl( P(0) \land \forall k \bigl( P(k) \to P(k+1)\bigr ) \to \forall n \bigl(P(n)\bigr)\Bigr)$$,

जहाँ P(.) प्राकृतिक संख्या वाले विधेय के लिए चर है और प्राकृतिक संख्याओं के लिए k और n चर हैं।

शब्दों में, आधार मामला $P(0)$ और इंडक्शन स्टेप (अर्थात्, इंडक्शन परिकल्पना $P(k)$ तात्पर्य $P(k +&thinsp;1)$) साथ इसका मतलब है $P(n)$ किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए $n$. प्रेरण का स्वयंसिद्ध अनुमान लगाने की वैधता पर जोर देता है $P(n)$ किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए धारण करता है $n$ बेस केस और इंडक्शन स्टेप से।

स्वयंसिद्ध में पहला क्वांटिफायर अलग-अलग संख्याओं के बजाय विधेय पर आधारित है। यह दूसरे क्रम का क्वांटिफायर है, जिसका अर्थ है कि यह स्वयंसिद्ध दूसरे क्रम के तर्क में कहा गया है। प्रथम-क्रम तर्क में अंकगणितीय प्रेरण को स्वयंसिद्ध करने के लिए स्वयंसिद्ध स्कीमा की आवश्यकता होती है जिसमें प्रत्येक संभावित विधेय के लिए अलग स्वयंसिद्ध हो। लेख पियानो सिद्धांत में इस मुद्दे पर आगे की चर्चा शामिल है।

प्राकृतिक संख्याओं के लिए संरचनात्मक प्रेरण का सिद्धांत सबसे पहले पीनो द्वारा तैयार किया गया था, जिन्होंने इसका उपयोग निम्नलिखित चार अन्य स्वयंसिद्धों के साथ प्राकृतिक संख्याओं को निर्दिष्ट करने के लिए किया था:


 * 1) 0 प्राकृतिक संख्या है।
 * 2) उत्तराधिकारी समारोह $s$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का प्राकृतिक संख्या प्राप्त होती है $(s(x) = x + 1)$.
 * 3) उत्तराधिकारी कार्य इंजेक्शन है।
 * 4) 0 के समारोह की सीमा में नहीं है $s$.

प्रथम-क्रम तर्क में | प्रथम-क्रम ZFC सेट सिद्धांत, विधेय पर परिमाणीकरण की अनुमति नहीं है, लेकिन कोई भी सेट पर परिमाणीकरण द्वारा प्रेरण व्यक्त कर सकता है:
 * $$\forall A \Bigl( 0 \in A \land \forall k \in \N \bigl( k \in A \to (k+1) \in A \bigr) \to \N\subseteq A\Bigr)$$

$A$ प्रस्ताव का प्रतिनिधित्व करने वाले सेट के रूप में पढ़ा जा सकता है, और इसमें प्राकृतिक संख्याएँ होती हैं, जिसके लिए प्रस्ताव रखता है। यह स्वयंसिद्ध नहीं है, बल्कि प्रमेय है, यह देखते हुए कि पीनो के अनुरूप, स्वयंसिद्धों द्वारा ZFC सेट सिद्धांत की भाषा में प्राकृतिक संख्याओं को परिभाषित किया गया है।

ट्रांसफिनिट इंडक्शन
पूर्ण प्रेरण के सिद्धांत की भिन्नता किसी भी अच्छी तरह से स्थापित सेट के तत्वों के बारे में बयानों के लिए सामान्यीकृत की जा सकती है, अर्थात, प्रतिवर्त संबंध वाला सेट < जिसमें कोई अनंत अवरोही श्रृंखला नहीं है। क्रमिक संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाला प्रत्येक सेट अच्छी तरह से स्थापित है, प्राकृतिक संख्याओं का सेट उनमें से है।

अच्छी तरह से स्थापित सेट के लिए लागू, ट्रांसफिनिट इंडक्शन को कदम के रूप में तैयार किया जा सकता है। यह साबित करने के लिए कि कथन P(n) प्रत्येक क्रमिक संख्या के लिए है:
 * 1) दिखाएँ, प्रत्येक क्रम संख्या n के लिए, कि यदि P(m) सभी के लिए लागू होता है m < n, तो P(n) भी धारण करता है।

इंडक्शन का यह रूप, जब क्रमिक संख्याओं के सेट पर लागू होता है (जो सुव्यवस्थित और इसलिए अच्छी तरह से स्थापित वर्ग (समुच्चय सिद्धान्त) बनाता है), को ट्रांसफिनिट इंडक्शन कहा जाता है। यह सेट थ्योरी, टोपोलॉजी और अन्य क्षेत्रों में महत्वपूर्ण प्रूफ तकनीक है।

ट्रांसफिनिट इंडक्शन द्वारा सबूत आम तौर पर तीन मामलों में अंतर करते हैं:
 * 1) जब n न्यूनतम तत्व है, यानी n से छोटा कोई तत्व नहीं है;
 * 2) जब n का प्रत्यक्ष पूर्ववर्ती होता है, अर्थात तत्वों का समूह जो n से छोटा होता है, उसमें सबसे बड़ा तत्व होता है;
 * 3) जब n का कोई प्रत्यक्ष पूर्ववर्ती नहीं है, अर्थात n तथाकथित सीमा क्रमसूचक है।

कड़ाई से बोलते हुए, आधार मामले को साबित करने के लिए ट्रांसफ़िनिटी इंडक्शन में यह आवश्यक नहीं है, क्योंकि यह प्रस्ताव का विशेष मामला है कि यदि P सभी के लिए सत्य है n < m, तो P, m के लिए सत्य है। यह रिक्त रूप से सत्य है क्योंकि इसका कोई मान नहीं है n < m यह प्रति उदाहरण के रूप में काम कर सकता है। तो विशेष मामले सामान्य मामले के विशेष मामले हैं।

सुव्यवस्थित सिद्धांत से संबंध
गणितीय आगमन के सिद्धांत को आमतौर पर प्राकृतिक संख्याओं के स्वयंसिद्ध के रूप में कहा जाता है; पीआनो स्वयंसिद्ध देखें। यह अन्य पीआनो अभिगृहीतों के संदर्भ में सुव्यवस्थित सिद्धांत से सख्त रूप से मजबूत है। निम्नलिखित मान लीजिए:
 * ट्राइकोटॉमी (गणित) स्वयंसिद्ध: किसी भी प्राकृतिक संख्या n और m के लिए, n, m से कम या उसके बराबर है यदि और केवल यदि m, n से कम नहीं है।
 * किसी प्राकृत संख्या n के लिए, $n +&thinsp;1$ ज्यादा होता है than n.
 * किसी प्राकृत संख्या n के लिए कोई प्राकृत संख्या नहीं है between n और $n +&thinsp;1$.
 * कोई प्राकृत संख्या शून्य से कम नहीं होती।

इसके बाद यह साबित किया जा सकता है कि उपरोक्त सूचीबद्ध सूक्तियों को देखते हुए प्रेरण, अच्छी तरह से आदेश देने वाले सिद्धांत का तात्पर्य है। निम्नलिखित प्रमाण पूर्ण आगमन और पहले और चौथे स्वयंसिद्धों का उपयोग करता है।

सबूत। मान लीजिए कि प्राकृतिक संख्याओं का खाली सेट मौजूद है। बता दें P(n) यह दावा है कि n S में नहीं है। तब P(0) सत्य है, क्योंकि यदि यह असत्य था तो 0 S का सबसे छोटा अवयव है। इसके अलावा, मान लें कि n प्राकृतिक संख्या है, और मान लीजिए कि P(m) सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए सत्य है, m से कम $n +&thinsp;1$. तो अगर $P(n +&thinsp;1)$ गलत है $n +&thinsp;1$ एस में है, इस प्रकार एस में न्यूनतम तत्व है, विरोधाभास है। इस प्रकार $P(n +&thinsp;1)$ क्या सच है। इसलिए, पूर्ण आगमन सिद्धांत द्वारा, P(n) सभी प्राकृत संख्याओं n पर लागू होता है; तो एस खाली है, विरोधाभास। ∎

दूसरी ओर, सेट $$\{(0, n) : n \in \mathbb{N}\} \cup \{(1, n) : n \in \mathbb{N}\}$$, चित्र में दिखाया गया है, सुव्यवस्थित है लेक्सिकोग्राफिक ऑर्डर द्वारा। इसके अलावा, आगमन अभिगृहीत को छोड़कर, यह सभी पीआनो अभिगृहीतों को संतुष्ट करता है, जहां पीआनो के स्थिरांक 0 की व्याख्या जोड़ी (0, 0) के रूप में की जाती है, और पीआनो के उत्तराधिकारी फलन को जोड़े पर परिभाषित किया जाता है ${(0, n): n ∈ $\mathbb{N}$} ∪ {(1, n): n ∈ $\mathbb{N}$}$ सभी के लिए $$x \in \{0,1\}$$ और $$n \in \mathbb{N}$$. प्रेरण सिद्धांत के उल्लंघन के उदाहरण के रूप में, भविष्यवाणी को परिभाषित करें $succ(x, n) = (x, n +&thinsp;1)$ जैसा $P(x, n)$ या $(x, n) = (0, 0)$ कुछ के लिए $$y \in \{0,1\}$$ और $$m \in \mathbb{N}$$. तब आधार मामला P(0, 0) तुच्छ रूप से सत्य है, और ऐसा ही प्रेरण चरण भी है: यदि $(x, n) = succ(y, m)$, तब $P(x, n)$. हालाँकि, सेट में सभी जोड़ियों के लिए P सही नहीं है।

अधिष्ठापन सिद्धांत के साथ पियानो के अभिगृहीत विशिष्ट रूप से प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिरूपण करते हैं। प्रेरण सिद्धांत को सुव्यवस्थित सिद्धांत के साथ बदलने से अधिक विदेशी मॉडल की अनुमति मिलती है जो सभी स्वयंसिद्धों को पूरा करते हैं। यह गलती से कई किताबों में छप गया है और सूत्रों का कहना है कि सुव्यवस्थित सिद्धांत प्रेरण सिद्धांत के बराबर है। अन्य पियानो अभिगृहीतों के संदर्भ में, यह स्थिति नहीं है, लेकिन अन्य अभिगृहीतों के संदर्भ में, वे समतुल्य हैं; विशेष रूप से, सुव्यवस्थित सिद्धांत का तात्पर्य पहले दो उपरोक्त सूचीबद्ध स्वयंसिद्धों के संदर्भ में आगमन अभिगृहीत से है और
 * प्रत्येक प्राकृत संख्या या तो 0 होती है या $P(succ(x, n))$ कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए $n$.

कई गलत प्रमाणों में सामान्य गलती यह मान लेना है $n +&thinsp;1$ अनूठी और अच्छी तरह से परिभाषित प्राकृतिक संख्या है, संपत्ति जो अन्य पीआनो स्वयंसिद्धों द्वारा निहित नहीं है।

यह भी देखें

 * संयुक्त प्रमाण
 * प्रेरण पहेली
 * थकावट से सबूत
 * रिकर्सन
 * रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान)
 * संरचनात्मक प्रेरण
 * ट्रांसफिनिट इंडक्शन

परिचय

 * (अध्याय 8.)
 * (धारा 1.2.1: गणितीय आगमन, पीपी। 11-21।)
 * (धारा 3.8: ट्रांसफिनिट इंडक्शन, पीपी। 28-29।)
 * (धारा 1.2.1: गणितीय आगमन, पीपी। 11-21।)
 * (धारा 3.8: ट्रांसफिनिट इंडक्शन, पीपी। 28-29।)

इतिहास

 * पुनर्मुद्रित (CP 3.252–288), (W 4:299–309)
 * पुनर्मुद्रित (CP 3.252–288), (W 4:299–309)
 * पुनर्मुद्रित (CP 3.252–288), (W 4:299–309)
 * पुनर्मुद्रित (CP 3.252–288), (W 4:299–309)
 * पुनर्मुद्रित (CP 3.252–288), (W 4:299–309)
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 * पुनर्मुद्रित (CP 3.252–288), (W 4:299–309)

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