गणितीय आकृतिविज्ञान

गणितीय आकृति विज्ञान (एमएम) समुच्चय सिद्धान्त, जालक सिद्धांत, सांस्थिति विज्ञान और यादृच्छिक फलनो के आधार पर ज्यामिति संरचनाओं के विश्लेषण और प्रसंस्करण के लिए एक सिद्धांत और तकनीक है। एमएम आमतौर पर अंकीय प्रतिबिंबबो पर लागू होता है, लेकिन इसे ग्राफ, सतह जाल, ठोस और कई अन्य स्थानिक संरचनाओं पर भी नियोजित किया जा सकता है।

सांस्थिति विज्ञान और ज्यामितीय सतत-समष्टि अवधारणाएं जैसे आकार, प्रतिरूप, उत्तलता, संयोजकता और अल्पांतरी दूरी, एमएम द्वारा निरंतर और असतत दोनों विविक्‍तसमष्‍टियो पर पेश किए गए थे। एमएम रूपात्मक प्रतिबिंब प्रक्रमण की नींव भी है, जिसमें संचालको का एक समुच्चय होता है जो उपरोक्त विशेषताओं के अनुसार प्रतिबिम्बो को रूपांतरित करता है।

मूल रूपात्मक संचालक अपरदन, फैलाव, उद्घाटन और समापन हैं।

एमएम मूल रूप से द्विआधारी प्रतिबिम्बो के लिए विकसित किया गया था, और बाद में इसेग्रेस्केल फलनो और प्रतिबिम्बो तक बढ़ा दिया गया था। पूरी जालक के बाद के सामान्यीकरण को आज एमएम के सैद्धांतिक नींव के रूप में व्यापक रूप से स्वीकार किया जाता है।

इतिहास
1964 में इकोले डेस माइन्स डे पेरिस, फ्रांस में जॉर्जेस माथेरॉन और जॉन सेरा के सहयोगात्मक कार्य द्वारा गणितीय आकृति विज्ञान का विकास किया गया था। माथेरॉन ने सेरा की पीएचडी अभिधारणा का पर्यवेक्षण किया, जो पतले अनुप्रस्थ काट से खनिज विशेषताओं की मात्रा का ठहराव के लिए समर्पित था, और इस काम के परिणामस्वरूप एक उपन्यास व्यावहारिक दृष्टिकोण सामने आया, साथ ही अभिन्न ज्यामिति और सांस्थिति विज्ञान में सैद्धांतिक प्रगति भी हुई।

1968 में, माथेरॉन और सेरा के नेतृत्व में फॉनटेनब्लियू, फ्रांस में इकोले डेस माइन्स डे पेरिस द्वारा सेंटर डी आकृति विज्ञान गणित की स्थापना की गई थी।

शेष 1960 के दशक और अधिकांश 1970 के दशक के दौरान, एमएम अनिवार्य रूप से द्विआधारी प्रतिबिम्बो के साथ काम करता था, जिसे समुच्चय के रूप में माना गया था, और बड़ी संख्या में द्विआधारी संचालको और तकनीकों को उत्पन्न करता था, लापरवाही से किये गये रूपांतरण, फैलाव, कटाव, उद्घाटन, समापन, कणमिति, विरलन, शैलमृदाभवन, परम क्षरण, सशर्त द्विभाजक और अन्य है। उपन्यास प्रतिबिम्ब प्रारूप के आधार पर एक यादृच्छिक दृष्टिकोण भी विकसित किया गया था। उस अवधि का अधिकांश कार्य फॉनटेनब्लियू में विकसित किया गया था।

1970 के दशक के मध्य से 1980 के दशक के मध्य तक, एमएम को ग्रेस्केल फलनो और प्रतिबिम्बो के लिए भी सामान्यीकृत किया गया था। फलनो के लिए मुख्य अवधारणाओं (जैसे फैलाव, कटाव, आदि) को विस्तारित करने के अलावा, इस सामान्यीकरण ने नए प्रचालको, जैसे रूपात्मक ढाल, शीर्ष-परिवर्तन और जल विभाजक (एमएम का मुख्य विभाजन दृष्टिकोण) को जन्म दिया।

1980 और 1990 के दशक में, एमएम को एक व्यापक पहचान मिली, क्योंकि कई देशों के अनुसंधान केंद्रों ने इस पद्धति को स्वीकृत करना और उसकी जांच करना शुरू किया। एमएम को बड़ी संख्या में प्रतिबिंबन समस्याओं और अनुप्रयोगों, विशेष रूप से शोर प्रतिबिम्बो के अरैखिक निस्यंदन के क्षेत्र में लागू किया जाना शुरू हुआ।

1986 में, सेरा ने एमएम को इस बार पूर्ण जालक पर आधारित एक सैद्धांतिक ढांचे के लिए सामान्यीकृत किया। यह सामान्यीकरण सिद्धांत में लचीलापन लाया, इसके अनुप्रयोग को बहुत बड़ी संख्या में संरचनाओं में सक्षम किया, जिसमें रंगीन प्रतिबिंब, वीडियो, ग्राफ, मेष आदि सम्मिलित हैं। साथ ही, माथेरॉन और सेरा ने नए जालक ढांचे के आधार पर रूपात्मक निस्यंदन के लिए एक सिद्धांत भी तैयार किया।

1990 और 2000 के दशक में सम्बन्ध और स्तरीकरण की अवधारणाओं सहित आगे की सैद्धांतिक प्रगति भी देखी गई।

1993 में, गणितीय आकृति विज्ञान (आईएसएमएम) पर पहली अंतर्राष्ट्रीय संगोष्ठी बार्सिलोना, स्पेन में हुई। तब से, आईएसएमएम प्रत्येक 2-3 वर्षों में इन जगहों पर आयोजित किए जाते हैं, फॉनटेनब्लियू, फ्रांस (1994), अटलांटा, सीए, यूएसए (1996), एम्स्टर्डम, नीदरलैंड्स (1998), पाल आल्टो, सीए, यूएसए (2000), सिडनी, ऑस्ट्रेलिया (2002), पेरिस, फ्रांस (2005), रियो डी जनेरियो, ब्राज़िल (2007), ग्रोनिंगन, नीदरलैंड्स (2009), इंट्रा (वर्बानिया), इटली (2011), अपसला, स्वीडन (2013), रिक्जेविक, आइसलैंड (2015), और फॉनटेनब्लियू, फ्रांस (2017)।

संदर्भ

 * "Introduction" by Pierre Soille, in (Serra et al. (Eds.) 1994), pgs. 1-4.
 * "Appendix A: The 'Centre de Morphologie Mathématique', an overview" by Jean Serra, in (Serra et al. (Eds.) 1994), pgs. 369-374.
 * "Foreword" in (Ronse et al. (Eds.) 2005)

बाइनरी आकृति विज्ञान
द्विआधारी आकृति विज्ञान में, एक प्रतिबिम्ब को कुछ आयाम d के लिए यूक्लिडियन समष्टि $$\mathbb{R}^d$$ या पूर्णांक जालक $$\mathbb{Z}^d$$के उपसमुच्चय के रूप में देखा जाता है।

संरचना तत्वउपयुक्त
द्विआधारी आकार विज्ञान में मूल विचार एक प्रतिबिम्ब को एक सरल, पूर्व-परिभाषित आकार के साथ जांचकर, यह निष्कर्ष निकालना है कि यह आकार प्रतिबिम्ब में कैसे उपयुक्त बैठता है या आकार में छूट जाता है। इस सरल जांच को संरचनात्मक तत्व कहा जाता है, और यह स्वयं एक द्विआधारी प्रतिबिम्ब है (यानी, समष्टि या जालक का उपसमुच्चय)।

यहां व्यापक रूप से उपयोग किए जाने वाले संरचनात्मक तत्वों के कुछ उदाहरण दिए गए हैं (बी द्वारा चिह्नित),


 * मान लीजिए $$E = \mathbb{R}^2$$, B त्रिज्या r की एक खुली चर्किका है, जो मूल बिंदु पर केंद्रित है।
 * मान लीजिए $$E = \mathbb{Z}^2$$, B एक 3 × 3 वर्ग है, अर्थात, B = {(-1, -1), (-1, 0), (-1, 1), (0, -1), (0, 0), ( 0, 1), (1, −1), (1, 0), (1, 1)}।
 * मान लीजिए $$E = \mathbb{Z}^2$$, B, B = {(−1, 0), (0, -1), (0, 0), (0, 1), (1, 0)} द्वारा दिया गया अनुप्रस्थ है।

मूलभूत संचालक
मूल संचालन परिवर्तनशील (अनुवाद संबंधी व्युत्क्रम) संचालक हैं जो मिन्कोव्स्की जोड़ से दृढ़ता से संबंधित हैं।

E को यूक्लिडियन समष्टि या पूर्णांक जालक होने दें, और A तथा E में एक द्विआधारी प्रतिबिम्ब होने दें।

क्षरण
संरचनात्मक तत्व बी द्वारा द्विआधारी प्रतिबिम्ब A के क्षरण $$A \ominus B = \{z\in E | B_{z} \subseteq A\},$$

द्वारा परिभाषित किया गया है जहां Bz सदिश z द्वारा B का अनुवाद है, अर्थात, $$B_z = \{b + z \mid b \in B\}$$, $$\forall z \in E$$।

जब संरचनात्मक तत्व B का एक केंद्र होता है (उदाहरण के लिए, B एक चक्रिका या वर्ग है), और यह केंद्र E की उत्पत्ति पर स्थित है, तो A द्वारा B के क्षरण को B के केंद्र द्वारा B के केंद्र तक पहुँचने वाले बिंदुओं के स्थान के रूप में समझा जा सकता है जब B, A के अंदर चला जाता है। उदाहरण के लिए, मूल पर केंद्रित 10 भुजा के वर्ग का क्षरण, त्रिज्या 2 की एक चक्रिका द्वारा, जो मूल पर केंद्रित है, मूल पर केंद्रित भुजा 6 का एक वर्ग है।

B द्वारा A का अपक्षरण भी व्यंजक $$A \ominus B = \bigcap_{b \in B} A_{-b}$$ द्वारा दिया जाता है।

उदाहरण आवेदन, मान लें कि हमें एक डार्क फोटोकॉपी का फैक्स प्राप्त हुआ है। सब कुछ ऐसा लगता है जैसे यह एक कलम के साथ लिखा गया था, जिसमे (कलम में) खून बह रहा है। कटाव प्रक्रिया मोटी रेखाओं को पतला होने देगी और ओ अक्षर के अंदर छेद का पता लगाएगी।

फैलाव
संरचनात्मक तत्व B द्वारा A का फैलाव


 * $$A \oplus B = \bigcup_{b \in B} A_b.$$
 * द्वारा परिभाषित किया गया है। फैलाव क्रमविनिमेय है, जिसे $$A \oplus B = B \oplus A = \bigcup_{a \in A} B_a$$ द्वारा दिया जाता है।

यदि B का केंद्र पहले की तरह मूल बिंदु पर है, तो A द्वारा B के फैलाव को B द्वारा आवृत किए गए बिंदुओं के स्थान के रूप में समझा जा सकता है, जब B का केंद्र A के अंदर चला जाता है। उपरोक्त उदाहरण में, त्रिज्या 2 की चक्रिका द्वारा भुजा 10 के वर्ग का फैलाव मूल पर केंद्रित गोल कोनों के साथ, भुजा 14 भुजा का एक वर्ग है। गोल कोनों की त्रिज्या 2 है।

तफैलाव $$A \oplus B = \{z \in E \mid (B^s)_z \cap A \neq \varnothing\}$$ द्वारा भी प्राप्त किया जा सकता है, जहां Bs B की घूर्णी समरूपता को दर्शाता है, अर्थात, $$B^s = \{x \in E \mid -x \in B\}$$।

उदाहरण अनुप्रयोग, फैलाव अपरदन की दोहरी क्रिया है। बहुत हल्के ढंग से खींचे गए आंकड़े "पतले" होने पर मोटे हो जाते हैं। इसका वर्णन करने का सबसे आसान तरीका यह कल्पना करना है कि उसी फैक्स/टेक्स्ट को मोटे पेन से लिखा गया है।

उद्घाटन
A द्वारा B का उद्घाटन A द्वारा B के क्षरण द्वारा प्राप्त किया जाता है, जिसके परिणामस्वरूप B द्वारा परिणामी प्रतिबिम्ब का फैलाव होता है,


 * $$A \circ B = (A \ominus B) \oplus B.$$

उद्घाटन भी $$A \circ B = \bigcup_{B_x \subseteq A} B_x$$ द्वारा दिया गया है, जिसका अर्थ है कि यह प्रतिबिम्ब A के अंदर संरचनात्मक तत्व B के अनुवाद का स्थान है। 10 भुजा के वर्ग की स्थिति में, और त्रिज्या 2 की एक चक्रिका संरचना तत्व के रूप में, उद्घाटन गोल कोनों के साथ 10 भुजा का एक वर्ग है, जहाँ कोने की त्रिज्या 2 है।

उदाहरण अनुप्रयोग, मान लें कि किसी ने एक गैर-भिगोने वाले कागज पर एक नोट लिखा है और यह लेखन ऐसा दिखता है जैसे कि यह छोटे बालों वाली जड़ों को बढ़ा रहा हो। अनिवार्य रूप से उद्घाटन बाहरी छोटी अतिसूक्षम रेखा लीक को हटा देता है और पाठ को पुनर्स्थापित करता है। दुष्प्रभाव यह है कि यह चीजों को गोल कर देता है। तब तीक्ष्ण कोर गायब होने लगते हैं।

समापन
A द्वारा B का समापन A द्वारा B के फैलाव द्वारा प्राप्त किया जाता है, इसके बाद B द्वारा परिणामी संरचना का क्षरण होता है


 * $$A \bullet B = (A \oplus B) \ominus B.$$

समापन $$A \bullet B = (A^c \circ B^s)^c$$ द्वारा भी प्राप्त किया जा सकता है, जहां Xc, E के सापेक्ष X के पूरक को दर्शाता है (अर्थात, $$X^c = \{x \in E \mid x \notin X\}$$)। उपरोक्त का अर्थ है कि समापन प्रतिबिम्ब A के बाहर संरचनात्मक तत्व के सममित के अनुवाद के बिन्दुपथ का पूरक है।

मूल प्रचालको के गुण
यहाँ मूल द्विआधारी रूपात्मक संचालकों (विस्तार, कटाव, उद्घाटन और समापन) के कुछ गुण हैं,


 * वे अनुवाद अपरिवर्तनीय हैं।
 * वे बढ़ रहे हैं, अर्थात यदि $$A\subseteq C$$, तब $$A\oplus B \subseteq C\oplus B$$, और $$A\ominus B \subseteq C\ominus B$$, आदि है।
 * फैलाव क्रमविनिमेय है, $$A\oplus B = B\oplus A$$।
 * यदि E की उत्पत्ति संरचनात्मक तत्व B से संबंधित है, तो $$A\ominus B\subseteq A\circ B\subseteq A\subseteq A\bullet B\subseteq A\oplus B$$।
 * फैलाव साहचर्य है, अर्थात, $$(A\oplus B)\oplus C = A\oplus (B\oplus C)$$। इसके अलावा, कटाव $$(A\ominus B)\ominus C = A\ominus (B\oplus C)$$ संतुष्ट करता है।
 * कटाव और फैलाव द्वैत $$A \oplus B = (A^{c} \ominus B^{s})^{c}$$ को संतुष्ट करते हैं।
 * उद्घाटन और समापन द्वैत $$A \bullet B = (A^{c} \circ B^{s})^{c}$$ को संतुष्ट करता है।
 * फैलाव समुच्चय संयोग पर वितरण है
 * कटाव समुच्चय सर्वनिष्ठ पर वितरण है
 * फैलाव अपरदन का छद्म-प्रतिलोम है, और इसके विपरीत, निम्नलिखित अर्थों में, $$A\subseteq (C\ominus B)$$ यदि और केवल $$(A\oplus B)\subseteq C$$।
 * उद्घाटन और समापन उदासीन हैं।
 * उद्घाटन पनिंग विरोधी व्यापक है, यानी, $$A\circ B\subseteq A$$, जबकि समापन व्यापक है, अर्थात, $$A\subseteq A\bullet B$$।

अन्य संचालक और उपकरण

 * लापरवाही से किया गया रूपांतरण
 * छंटाई परिवर्तन
 * रूपात्मक सारांश
 * पुनर्निर्माण द्वारा निस्यंदन
 * अंतिम कटाव और सशर्त द्विभाजक
 * कणमिति
 * अल्पान्तरी दूरी फलन

ग्रेस्केल आकृति विज्ञान
ग्रेस्केल आकारिकी में, प्रतिबिम्ब यूक्लिडियन समष्टि या जालक E को $$\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}$$ में मानचित्र करने वाले फलन हैं, जहां $$\mathbb{R}$$ वास्तविक का समुच्चय है, $$\infty$$ किसी भी वास्तविक संख्या से बड़ा तत्व है, और $$-\infty$$ किसी भी वास्तविक संख्या से छोटा तत्व है।

ग्रेस्केल संरचना तत्व भी उसी प्रारूप के फलन हैं, जिन्हें संरचना फलन कहा जाता है।

एक प्रतिबिम्ब को f(x) द्वारा संरचना फलन को b(x) द्वारा और g को B द्वारा समर्थित करने पर, f द्वारा b का ग्रेस्केल फैलाव


 * $$(f \oplus b)(x) = \sup_{y \in B}[f(y) + b(x - y)],$$

द्वारा दिया जाता है, जहां sup सर्वोच्चता को दर्शाता है।

इसी तरह, b द्वारा f का क्षरण


 * $$(f \ominus b)(x) = \inf_{y \in B}[f(y) - b(y - x)],$$

द्वारा दिया जाता है, जहां "inf" न्यूनतम को दर्शाता है।

द्विआधारी आकृति विज्ञान की तरह, ही उद्घाटन और समापन क्रमशः


 * $$f \circ b = (f \ominus b) \oplus b,$$
 * $$f \bullet b = (f \oplus b) \ominus b.$$

द्वारा दिए गए हैं।

समतल संरचना फलन
रूपात्मक अनुप्रयोगों में समतल संरचना वाले तत्वों का उपयोग करना सामान्य है। समतल संरचना वाले फलन b(x) के रूप में फलन


 * $$b(x) = \begin{cases}

0, & x \in B, \\ -\infty & \text{otherwise}, \end{cases}$$ हैं, जहाँ $$B \subseteq E$$।

इस स्थिति में, फैलाव और क्षरण को बहुत सरल किया जाता है, और क्रमशः


 * $$(f \oplus b)(x) = \sup_{z \in B^s} f(x + z),$$
 * $$(f \ominus b)(x) = \inf_{z \in B} f(x + z).$$

द्वारा दिया जाता है। परिबद्ध, असतत स्थिति में (E एक जालक है और B परिबद्ध है), सर्वोच्च और न्यूनतम प्रचालको को अधिकतम और न्यूनतम द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इस प्रकार, फैलाव और कटाव क्रम सांख्यिकी निस्यंदन की विशेष स्थिति हैं, जिसमें फैलाव एक चलती हुई खिड़की के भीतर अधिकतम मूल्य लौटाता है (संरचना फलन का सममित समर्थन B), और चलती खिड़की B के भीतर न्यूनतम मूल्य लौटाता है।

समतल संरचना वाले तत्व की स्थिति में, रूपात्मक संचालक उनके संख्यात्मक मानों की परवाह किए बिना केवल पिक्सेल मानों के सापेक्ष क्रम पर निर्भर करते हैं, और इसलिए विशेष रूप से द्विआधारी प्रतिबिम्बो और ग्रेस्केल प्रतिबिम्बो के प्रसंस्करण के लिए उपयुक्त होते हैं जिनके प्रकाश हस्तांतरण फलन ज्ञात नहीं होते हैं।

अन्य संचालक और उपकरण

 * आकृति संबंधी प्रवणता
 * शीर्ष रूपांतरण
 * जल विभाजक कलन विधि

इन प्रचालको के संयोजन से कई प्रतिबिंब प्रक्रमण फलनो के लिए कलन विधि प्राप्त किया जा सकता है, जैसे विशेष गुण पहचान, प्रतिबिम्ब विभाजन, प्रतिबिम्ब सुस्पष्टता, प्रतिबिम्ब निस्यंदन, और वर्गीकरण। इस रेखा के साथ-साथ सतत आकृति विज्ञान पर भी ध्यान देना चाहिए

पूर्ण जालक पर गणितीय आकारिकी
पूर्ण जालक आंशिक रूप से आदेशित समुच्चय हैं, जहां प्रत्येक उपसमुच्चय में एक न्यूनतम और एक उच्चतम है। विशेष रूप से, इसमें कम से कम तत्व और सबसे बड़ा तत्व होता है (जिसे ब्रह्मांड भी कहा जाता है)।

संयोजन (विस्तार और कटाव)
क्रमशः $$\wedge$$ और $$\vee$$ के प्रतीक के रूप में न्यूनतम और उच्चतम के साथ, मान लो $$(L,\leq)$$ एक पूर्ण जालक हो। इसका ब्रह्मांड और सबसे छोटा तत्व क्रमशः U और $$\emptyset$$ द्वारा दर्शाया गया है। इसके अलावा, $$\{ X_{i} \}$$ को L से तत्वों का एक संग्रह होने दें।

एक फैलाव कोई संचालक $$\delta\colon L\rightarrow L$$ है जो सर्वोच्च पर वितरित करता है, और कम से कम तत्व को संरक्षित करता है, अर्थात,
 * $$\bigvee_{i}\delta(X_i)=\delta\left(\bigvee_{i} X_i\right)$$,
 * $$\delta(\emptyset)=\emptyset$$।

अपरदन कोई संचालक $$\varepsilon\colon L\rightarrow L$$ है जो न्यूनतम पर वितरित करता है, और ब्रह्मांड को संरक्षित करता है। अर्थात, फैलाव और कटाव गाल्वा सम्बन्ध बनाते हैं। अर्थात्, प्रत्येक फैलाव के लिए $$\delta$$ एक क्षरण है जो $$\varepsilon$$ को सभी
 * $$\bigwedge_{i}\varepsilon(X_i)=\varepsilon\left(\bigwedge_{i} X_i\right)$$,
 * $$\varepsilon(U)=U$$।


 * $$X\leq \varepsilon(Y)\Leftrightarrow \delta(X)\leq Y$$

$$X,Y\in L$$ के लिए संतुष्ट करता है।

इसी प्रकार, प्रत्येक अपरदन के लिए उपरोक्त संबंध को संतुष्ट करने वाला एक और फैलाव होता है।

इसके अलावा, यदि दो संचालक सम्बन्ध को संतुष्ट करते हैं, तब $$\delta$$ एक फैलाव होना चाहिए, और $$\varepsilon$$ एक क्षरण होना चाहिए।

उपरोक्त सम्बन्ध को संतुष्ट करने वाले कटाव और फैलाव के जोड़े को संयोजन कहा जाता है, और इसके विपरीत कटाव को फैलाव का आसन्न क्षरण कहा जाता है।

उद्घाटन और समापन
प्रत्येक संयोजन $$(\varepsilon,\delta)$$ के लिए, रूपात्मक उद्घाटन $$\gamma \colon L \to L$$ और रूपात्मक समापन $$\phi \colon L \to L$$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है,


 * $$\gamma = \delta\varepsilon,$$
 * $$\phi = \varepsilon\delta.$$

रूपात्मक उद्घाटन और समापन बीजगणितीय उद्घाटन (या आसानी से उद्घाटन) और बीजगणितीय समापन (या आसानी से समापन) की विशेष स्थिति हैं। बीजगणितीय उद्घाटन L में संचालक हैं जो निष्क्रिय, बढ़ते और विरोधी व्यापक हैं। बीजगणितीय समापन L में संचालक हैं जो निष्क्रिय, बढ़ते और व्यापक हैं।

विशेष स्थिति
द्विआधारी आकृति विज्ञान जालक आकारिकी की एक विशेष स्थिति है, जहां L E (यूक्लिडियन समष्टि या जालक ) का घात समुच्चय है, यानी L E के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय है, और $$\leq$$ समुच्चय समावेशन है। इस स्थिति में, न्यूनतम समुच्चय सर्वनिष्ठ है, और उच्चतम समुच्चय सम्मिलन है।

इसी तरह, ग्रेस्केल आकृति विज्ञान एक और विशेष स्थिति है, जहां L, E को $$\mathbb{R}\cup\{\infty,-\infty\}$$, और $$\leq$$, $$\vee$$, और $$\wedge$$, में मानचित्रित करने वाले फलनो का समुच्चय है, क्रमशः बिंदु-वार क्रम, सर्वोच्च और न्यूनतम हैं। अर्थात्, f और g, L में फलन हैं, तब $$f\leq g$$ यदि केवल  $$f(x)\leq g(x),\forall x\in E$$, सबसे कम $$f\wedge g$$ द्वारा दिया गया है $$(f\wedge g)(x)=f(x)\wedge g(x)$$, और सर्वोच्च $$f\vee g$$ द्वारा दिया गया है $$(f\vee g)(x)=f(x)\vee g(x)$$।

यह भी देखें

 * एच-उच्चतम परिवर्तन

संदर्भ

 * Image Analysis and Mathematical Morphology by Jean Serra, ISBN 0-12-637240-3 (1982)
 * Image Analysis and Mathematical Morphology, Volume 2: Theoretical Advances by Jean Serra, ISBN 0-12-637241-1 (1988)
 * An Introduction to Morphological Image Processing by Edward R. Dougherty, ISBN 0-8194-0845-X (1992)
 * Morphological Image Analysis; Principles and Applications by Pierre Soille, ISBN 3-540-65671-5 (1999), 2nd edition (2003)
 * Mathematical Morphology and its Application to Signal Processing, J. Serra and Ph. Salembier (Eds.), proceedings of the 1st International workshop on mathematical morphology and its applications to signal processing (ISएमएम'93), ISBN 84-7653-271-7 (1993)
 * Mathematical Morphology and Its Applications to Image Processing, J. Serra and P. Soille (Eds.), proceedings of the 2nd international symposium on mathematical morphology (ISMM'94), ISBN 0-7923-3093-5 (1994)
 * Mathematical Morphology and its Applications to Image and Signal Processing, Henk J.A.M. Heijmans and Jos B.T.M. Roerdink (Eds.), proceedings of the 4th international symposium on mathematical morphology (ISएमएम'98), ISBN 0-7923-5133-9 (1998)
 * Mathematical Morphology: 40 Years On, Christian Ronse, Laurent Najman, and Etienne Decencière (Eds.), ISBN 1-4020-3442-3 (2005)
 * Mathematical Morphology and its Applications to Signal and Image Processing, Gerald J.F. Banon, Junior Barrera, Ulisses M. Braga-Neto (Eds.), proceedings of the 8th international symposium on mathematical morphology (ISएमएम'07), ISBN 978-85-17-00032-4 (2007)
 * Mathematical morphology: from theory to applications, Laurent Najman and Hugues Talbot (Eds). ISTE-Wiley. ISBN 978-1-84821-215-2. (520 pp.) June 2010

बाहरी संबंध

 * Online course on mathematical morphology, by Jean Serra (in English, French, and Spanish)
 * Center of Mathematical Morphology, Paris School of Mines
 * History of Mathematical Morphology, by Georges Matheron and Jean Serra
 * Morphology Digest, a newsletter on mathematical morphology, by Pierre Soille
 * Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lectures 16-18 are on Mathematical Morphology, by Alan Peters
 * Mathematical Morphology; from Computer Vision lectures, by Robyn Owens
 * SMIL - A Simple (but efficient) Morphological Image Library (from Ecole des Mines de Paris)
 * Free SIMD Optimized Image processing library
 * Java applet demonstration
 * FILTERS : a free open source image processing library
 * Fast morphological erosions, dilations, openings, and closings
 * Morphological analysis of neurons using Matlab