स्टीन मैनिफोल्ड

गणित में, कई जटिल चर और जटिल मैनिफोल्ड के कार्य के सिद्धांत में, स्टीन मैनिफोल्ड एन जटिल संख्या आयामों के सदिश स्थल का एक जटिल सबमैनिफोल्ड है। इनका परिचय इनके नाम पर हुआ. स्टीन स्पेस स्टीन मैनिफोल्ड के समान है लेकिन इसमें विलक्षणताएं होने की अनुमति है। स्टीन रिक्त स्थान बीजगणितीय ज्यामिति में एफ़िन विविधता या एफ़िन योजनाओं के अनुरूप हैं।

परिभाषा
कल्पना करना $$X$$ जटिल आयामों की एक जटिल विविधता है $$n$$ और जाने $$\mathcal O(X)$$ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन की रिंग को निरूपित करें $$X.$$ हम बुलाते है $$X$$ यदि निम्नलिखित स्थितियाँ लागू होती हैं तो स्टीन मैनिफोल्ड:


 * $$X$$ होलोमोर्फिक रूप से उत्तल है, अर्थात प्रत्येक सघन स्थान  उपसमुच्चय के लिए $$K \subset X$$, तथाकथित होलोमोर्फिकली उत्तल पतवार,
 * $$\bar K = \left \{z \in X \,\left|\, |f(z)| \leq \sup_{w \in K} |f(w)| \ \forall f \in \mathcal O(X) \right. \right \},$$
 * का भी एक सघन उपसमुच्चय है $$X$$.


 * $$X$$ होलोमोर्फिक रूप से अलग करने योग्य है, यानी यदि $$x \neq y$$ में दो बिंदु हैं $$X$$, तो वहाँ मौजूद है $$f \in \mathcal O(X)$$ ऐसा है कि $$f(x) \neq f(y).$$

गैर-कॉम्पैक्ट रीमैन सतहें स्टीन मैनिफोल्ड्स
हैं

मान लीजिए कि X एक जुड़ा हुआ, गैर-कॉम्पैक्ट रीमैन सतह है। हेनरिक बेन्के और स्टीन (1948) के स्टीन मैनिफोल्ड्स पर एक गहरी बेह्नके-स्टीन प्रमेय का दावा है कि एक्स एक स्टीन मैनिफोल्ड है।

एक अन्य परिणाम, जिसका श्रेय हंस ग्राउर्ट और हेल्मुट रोहरल (1956) को दिया जाता है, यह बताता है कि एक्स पर प्रत्येक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल तुच्छ है। विशेष रूप से, प्रत्येक पंक्ति बंडल तुच्छ है, इसलिए $$H^1(X, \mathcal O_X^*) =0 $$. घातीय शीफ़ अनुक्रम निम्नलिखित सटीक अनुक्रम की ओर ले जाता है:


 * $$H^1(X, \mathcal O_X) \longrightarrow H^1(X, \mathcal O_X^*) \longrightarrow H^2(X, \Z) \longrightarrow H^2(X, \mathcal O_X) $$

अब कार्टन की प्रमेय A और B|कार्टन की प्रमेय B यह दर्शाती है $$H^1(X,\mathcal{O}_X)= H^2(X,\mathcal{O}_X)=0 $$, इसलिए $$H^2(X,\Z) =0$$.

यह कजिन समस्याओं के समाधान से संबंधित है।

स्टीन मैनिफोल्ड के गुण और उदाहरण

 * मानक जटिल स्थान $$\Complex^n$$ एक स्टीन मैनिफोल्ड है।


 * होलोमोर्फी का प्रत्येक डोमेन $$\Complex^n$$ एक स्टीन मैनिफोल्ड है।


 * यह काफी आसानी से दिखाया जा सकता है कि स्टीन मैनिफोल्ड का प्रत्येक बंद कॉम्प्लेक्स सबमैनिफोल्ड भी स्टीन मैनिफोल्ड है।


 * स्टीन मैनिफोल्ड्स के लिए एम्बेडिंग प्रमेय निम्नलिखित बताता है: प्रत्येक स्टीन मैनिफोल्ड $$X$$ जटिल आयाम का $$n$$ में एम्बेड किया जा सकता है $$\Complex^{2 n+1}$$ एक बायोलोमोर्फिक उचित मानचित्र द्वारा।

इन तथ्यों का अर्थ है कि स्टीन मैनिफोल्ड जटिल स्थान का एक बंद जटिल सबमैनिफोल्ड है, जिसकी जटिल संरचना परिवेशीय स्थान की है (क्योंकि एम्बेडिंग बिहोलोमोर्फिक है)।


 * (जटिल) आयाम n के प्रत्येक स्टीन मैनिफोल्ड में n-आयामी CW-कॉम्प्लेक्स का होमोटॉपी प्रकार होता है।


 * एक जटिल आयाम में स्टीन की स्थिति को सरल बनाया जा सकता है: एक जुड़ा हुआ रीमैन सतह एक स्टीन मैनिफोल्ड है यदि और केवल अगर यह कॉम्पैक्ट नहीं है। बेह्नके और स्टीन के कारण, रीमैन सतहों के लिए रनगे प्रमेय के एक संस्करण का उपयोग करके इसे साबित किया जा सकता है।


 * हर स्टीन कई गुना $$X$$ होलोमोर्फिक रूप से फैलने योग्य है, यानी हर बिंदु के लिए $$x \in X$$, वहाँ हैं $$n$$ होलोमोर्फिक फ़ंक्शंस सभी पर परिभाषित हैं $$X$$ जो कुछ खुले पड़ोस तक सीमित होने पर एक स्थानीय समन्वय प्रणाली बनाते हैं $$x$$.


 * स्टीन मैनिफोल्ड होना एक (जटिल) दृढ़ता से छद्म उत्तल मैनिफोल्ड होने के बराबर है। उत्तरार्द्ध का मतलब है कि इसमें एक दृढ़ता से स्यूडोकोनवेक्स (या प्लुरिसुबार्मोनिक फ़ंक्शन) संपूर्ण फ़ंक्शन है, यानी एक चिकनी वास्तविक फ़ंक्शन $$\psi$$ पर $$X$$ (जिसे मोर्स सिद्धांत माना जा सकता है) के साथ $$i \partial \bar \partial \psi >0$$, जैसे कि उपसमुच्चय $$\{z \in X \mid \psi (z)\leq c \}$$ में सघन हैं $$X$$ प्रत्येक वास्तविक संख्या के लिए $$c$$. यह तथाकथित लेवी समस्या का समाधान है, यूजेनियो एलिया लेवी (1911) के नाम पर रखा गया। कार्यक्रम $$\psi$$ 'स्टीन डोमेन' नामक सीमा के साथ कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड के संबंधित वर्ग के विचार के लिए स्टीन मैनिफोल्ड के सामान्यीकरण को आमंत्रित करता है। स्टीन डोमेन प्रीइमेज है $$\{z \mid -\infty\leq\psi(z)\leq c\}$$. कुछ लेखक ऐसे मैनिफोल्ड्स को सख्ती से स्यूडोकॉनवेक्स मैनिफोल्ड्स कहते हैं।


 * पिछले आइटम से संबंधित, जटिल आयाम 2 में एक और समकक्ष और अधिक टोपोलॉजिकल परिभाषा निम्नलिखित है: एक स्टीन सतह एक जटिल सतह एक्स है जिसमें एक्स पर वास्तविक-मूल्यवान मोर्स फ़ंक्शन एफ होता है, जो एफ के महत्वपूर्ण बिंदुओं से दूर होता है, पूर्वछवि के लिए जटिल स्पर्शरेखाओं का क्षेत्र $$X_c=f^{-1}(c)$$ एक संपर्क ज्यामिति है जो एक्स पर एक अभिविन्यास प्रेरित करती हैcकी सीमा के रूप में सामान्य अभिविन्यास से सहमत होना $$f^{-1}(-\infty, c).$$ वह है, $$f^{-1}(-\infty, c)$$ एक्स की स्टीन सिम्पेक्टिक फिलिंग हैc.

इस तरह के मैनिफोल्ड्स के कई और लक्षण मौजूद हैं, विशेष रूप से जटिल संख्याओं में मान लेने वाले उनके कई होलोमोर्फिक कार्यों की संपत्ति को कैप्चर करना। उदाहरण के लिए शीफ़ कोहोमोलोजी से संबंधित कार्टन के प्रमेय ए और बी देखें। आरंभिक प्रोत्साहन एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन की (अधिकतम) विश्लेषणात्मक निरंतरता की परिभाषा के क्षेत्र के गुणों का वर्णन करना था।

उपमाओं के GAGA सेट में, स्टीन मैनिफोल्ड्स एफ़िन किस्म के अनुरूप हैं।

जटिल विश्लेषण में स्टीन मैनिफोल्ड्स कुछ अर्थों में अण्डाकार मैनिफोल्ड्स से दोहरे होते हैं जो जटिल संख्याओं से कई होलोमोर्फिक कार्यों को स्वयं में स्वीकार करते हैं। यह ज्ञात है कि स्टीन मैनिफोल्ड अण्डाकार है यदि और केवल तभी जब यह तथाकथित होलोमोर्फिक होमोटॉपी सिद्धांत के अर्थ में रेशेदार वस्तु हो।

चिकनी मैनिफोल्ड से संबंध
आयाम 2n के प्रत्येक कॉम्पैक्ट स्मूथ मैनिफोल्ड, जिसमें केवल इंडेक्स ≤n के हैंडल होते हैं, में एक स्टीन संरचना प्रदान की गई n > 2 होती है, और जब n = 2 समान होती है, बशर्ते 2-हैंडल कुछ फ्रेमिंग (थर्स्टन से कम फ्रेमिंग) के साथ जुड़े हों -बेनेक्विन नंबर|थर्स्टन-बेनेक्विन फ्रेमिंग)। प्रत्येक बंद चिकनी 4-मैनिफोल्ड उनकी सामान्य सीमा के साथ चिपके हुए दो स्टीन 4-मैनिफोल्ड का एक संघ है।

संदर्भ

 * (including a proof of Behnke-Stein and Grauert–Röhrl theorems)
 * (including a proof of the embedding theorem)
 * (definitions and constructions of Stein domains and manifolds in dimension 4)
 * (including a proof of the embedding theorem)
 * (definitions and constructions of Stein domains and manifolds in dimension 4)