एयरी तरंग सिद्धांत

द्रव गतिकी में, वायुसंबंधी तरंग सिद्धांत (अधिकांशतः रैखिक तरंग सिद्धांत के रूप में संदर्भित) सजातीय द्रव परत की सतह पर गुरुत्वाकर्षण तरंगों के तरंग प्रसार का रैखिक प्रणाली विवरण देता है। सिद्धांत मानता है कि द्रव परत में एक समान औसत गहराई होती है, और यह कि द्रव का प्रवाह अदृश्य, असंपीड़ित और अघूर्णी होता है। यह सिद्धांत पहली बार 19वीं शताब्दी में जॉर्ज बिडेल एरी द्वारा सही रूप में प्रकाशित किया गया था। वायुसंबंधी तरंग सिद्धांत अधिकांशतः यादृच्छिक समुद्री क्षेत्रों के मॉडलिंग के लिए अपतटीय निर्माण और तटीय इंजीनियरिंग में क्रियान्वित होता है - कई उद्देश्यों के लिए उच्च-पर्याप्त सटीकता की तरंग गतिकी और गतिशीलता (यांत्रिकी) का विवरण देता है। इसके अतिरिक्त, सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के दूसरे क्रम के अरैखिक गुणों और उनके प्रसार का अनुमान इसके परिणामों से लगाया जा सकता है। वायुसंबंधी तरंग सिद्धांत भी समुद्र में सुनामी लहरों के लिए अच्छा अनुमान है, इससे पहले कि वे समुंद्र तट के पास खड़ी हो जाएँ। इस रेखीय सिद्धांत का प्रयोग अधिकांशतः तरंग विशेषताओं और उनके प्रभावों का त्वरित और मोटा अनुमान प्राप्त करने के लिए किया जाता है। यह लगभग तरंग ऊँचाई से पानी की गहराई (उथले पानी में तरंगों में तरंगों के लिए) और तरंग ऊँचाई से तरंग दैर्ध्य (गहरे पानी में तरंगों के लिए) के छोटे अनुपातों के लिए सटीक है।

विवरण
वायुसंबंधी तरंग सिद्धांत द्रव सतह पर गुरुत्वाकर्षण तरंगों की गति का वर्णन करने के लिए संभावित प्रवाह (या वेग क्षमता) दृष्टिकोण का उपयोग करता है। पानी की लहरों में संभावित प्रवाह (अस्थिर और अघूर्णी) का उपयोग उल्लेखनीय रूप से सफल है, कई अन्य द्रव प्रवाहों का वर्णन करने में इसकी विफलता को देखते हुए जहाँ अधिकांशतः श्यानता, आवर्त, अशांति या प्रवाह पृथकन को ध्यान में रखना आवश्यक होता है। यह इस तथ्य के कारण है कि द्रव गति के दोलनशील भाग के लिए, तरंग-प्रेरित आवर्त द्रव क्षेत्र की सीमाओं पर कुछ पतली दोलनशील स्टोक्स सीमा परततों तक सीमित है। वायुसंबंधी तरंग सिद्धांत का उपयोग अधिकांशतः अपतटीय निर्माण और तटीय इंजीनियरिंग में किया जाता है। विशेष रूप से यादृच्छिक तरंगों के लिए, जिसे कभी-कभी तरंग अशांति कहा जाता है, तरंग आँकड़ों का विकास - तरंग वर्णक्रम सहित - बहुत लंबी दूरी (तरंग दैर्ध्य के संदर्भ में) और उथले पानी में नहीं होने पर अच्छी सही प्रकार से बतायी जाती है। विवर्तन तरंग प्रभावों में से एक है जिसे वायुसंबंधी तरंग सिद्धांत के साथ वर्णित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, निकटतम डब्लूकेबीजे  का उपयोग करके,  तेज तरंग और अपवर्तन की भविष्यवाणी की जा सकती है।

विभव प्रवाह का उपयोग करते हुए भूतल गुरुत्वाकर्षण तरंगों का वर्णन करने के पहले के प्रयास, पियरे-साइमन लाप्लास, सिमोन डेनिस पॉइसन, ऑगस्टिन लुइस कॉची और फिलिप केलैंड द्वारा किए गए थे। परन्तु जॉर्ज बिडेल एरी 1841 में सही व्युत्पत्ति और सूत्रीकरण प्रकाशित करने वाले पहले व्यक्ति थे। इसके तुरंत बाद, 1847 में, अरैखिक तरंग गति के लिए जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स द्वारा वायुसंबंधी के रैखिक सिद्धांत का विस्तार किया गया - जिसे स्टोक्स तरंग के रूप में जाना जाता है। स्टोक्स की तरंग सिद्धांत - लहर की स्थिरता में गड़बड़ी सिद्धांत के आदेश तक सही है। एरी के रेखीय सिद्धांत से पहले भी, फ्रांटिसेक जोसेफ गेर्स्टनर ने 1802 मे अरेखीय ट्रोकोइडल तरंग सिद्धांत प्राप्त किया था, जो अघूर्णनात्मक नहीं है।

वायुसंबंधी तरंग सिद्धांत संभावित प्रवाह की सतह पर और क्षैतिज तल के ऊपर तरंगों के प्रसार के लिए रैखिक सिद्धांत है। स्वतंत्र सतह ऊंचाई η(x,t)}क्षैतिज स्थिति के कार्य के रूप में तरंग घटक का} ज्यावक्रीय है $x$ और समय $t$:


 * $$\eta(x,t) = a \cos \left( kx - \omega t\right)$$

जहाँ
 * $a$ मीटर में तरंग का आयाम है,
 * $\sqrt{gh}$ कोज्या फलन है,
 * $k$ कांति प्रति मीटर में कोणीय तरंग संख्या है, जो तरंग दैर्ध्य $λ$ द्वारा $h⁄λ$ से संबंधित है |
 * $ω$ अवधि (भौतिकी) से संबंधित $T$ और आवृत्ति $f$ द्वारा $\sqrt{gh}$. रेडियन प्रति सेकंड में कोणीय आवृत्ति है |

चरण वेग के साथ तरंगे पानी की सतह $c_{p}$ के साथ फैलती हैं:


 * $$c_p = \frac{\omega}{k} = \frac{\lambda}{T}.$$

कोणीय तरंग संख्या $k$ और आवृत्ति $ω$ स्वतंत्र पैरामीटर नहीं हैं (और इस प्रकार तरंगदैर्ध्य भी $λ$ और अवधि $T$ स्वतंत्र नहीं हैं), परन्तु युग्मित हैं| तरल पदार्थ पर सतही गुरुत्व तरंगें फैलाव (जल तरंगें) तरंगें हैं - आवृत्ति फैलाव प्रदर्शित करती हैं - जिसका अर्थ है कि प्रत्येक तरंग संख्या की अपनी आवृत्ति और चरण वेग होती है।

ध्यान दें कि इंजीनियरिंग में तरंग ऊंचाई $H$ - शिखा (भौतिकी) और गर्त (भौतिकी) के बीच ऊंचाई में अंतर - अधिकांशतः प्रयोग किया जाता है:


 * $$H = 2 a \quad \text{and} \quad a = \tfrac12 H,$$

रैखिक आवधिक तरंगों के वर्तमान मामले में मान्य है।

सतह के नीचे, स्वतंत्र सतह वेग  से जुड़ी द्रव गति होती है। जबकि सतह का उन्नयन प्रसार तरंग दिखाता है, द्रव कण कक्षीय गति में हैं। वायुसंबंधी तरंग सिद्धांत के प्रारूप के भीतर, कक्षाएँ बंद वक्र हैं: गहरे पानी में वृत्त और परिमित गहराई में दीर्घवृत्त - द्रव परत के तल तक पहुँचने से पहले ही नष्ट जाते हैं, और दीर्घवृत्त द्रव परत के तल के निकट समतल हो जाते हैं. इसलिए जब तरंग फैलती है, द्रव कण अपनी औसत स्थिति के चारों ओर परिक्रमा (दोलन) करते हैं। प्रसार तरंग गति के साथ, बिना औसत वेग के द्रव कण तरंग प्रसार दिशा में ऊर्जा स्थानांतरित करते हैं। मुक्त सतह के नीचे गहराई के साथ कक्षाओं का व्यास घटता जाता है। गहरे पानी में, आधी तरंग दैर्ध्य की गहराई पर कक्षा का व्यास इसके स्वतंत्र-सतह मान के 4% तक कम हो जाता है।

इसी तरह से, स्वतंत्र सतह के नीचे दाब दोलन भी होता है, जिसमें तरंग-प्रेरित दबाव दोलन मुक्त सतह के नीचे गहराई के साथ कम हो जाते हैं - उसी प्रकार द्रव खंड की कक्षीय गति के लिए होता है।

प्रवाह समस्या निर्माण
कार्तीय समन्वय प्रणाली $x$ साथ तरंगें क्षैतिज दिशा में फैलती हैं, और ऊपर स्वतंत्र सतह से बंधा द्रव डोमेन $cos$, साथ $z$ लंबवत समन्वय (ऊपर की दिशा में धनात्मक) और $t$ समय है। स्तर $k = 2π⁄λ$ औसत सतह ऊंचाई से मिलता है। द्रव परत के नीचे पारगम्यता (पृथ्वी विज्ञान) $ω = 2π⁄T = 2πf$ सतह पर है इसके अतिरिक्त, प्रवाह को असम्पीडित प्रवाह और अघूर्णी प्रवाह माना जाता है - तरल सतह पर तरंगों के लिए द्रव आतंरिक भाग में प्रवाह का लगभग अच्छा - और प्रवाह का वर्णन करने के लिए संभावित सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है। वेग क्षमता $z = η(x,t)$ प्रवाह वेग घटकों से संबंधित है $u_{x}$ और $u_{z}$ क्षैतिज में ($x$) और लंबवत ($z$) द्वारा निर्देश:


 * $$ u_x = \frac{\partial\Phi}{\partial x} \quad \text{and} \quad u_z = \frac{\partial\Phi}{\partial z}.$$

फिर, असंगत प्रवाह के लिए निरंतरता समीकरण द्रव गतिकी के कारण, क्षमता $z = 0$ को लाप्लास समीकरण को संतुष्ट करना है:

समीकरणों की प्रणाली को बंद करने के लिए सतही और स्वतंत्र तल और पर सीमा की स्थिति की आवश्यकता होती है। रैखिक सिद्धांत के प्रारूप के भीतर उनके निर्माण के लिए, यह निर्दिष्ट करना आवश्यक है कि प्रवाह की आधार स्थिति (या शून्य-क्रम समाधान) क्या है। यहां, हम मानते हैं कि आधार स्थिति बाकी है, इसका अर्थ प्रवाह वेग शून्य है।

सतह अभेद्य होने के कारण, गतिकी सतह सीमा-स्थिति की ओर जाता है:

गहरे पानी के अर्थ में - जिसका अर्थ है अनंत पानी की गहराई, गणितीय दृष्टिकोण से - प्रवाह वेगों को सीमा (गणित) में शून्य पर जाना पड़ता है क्योंकि ऊर्ध्वाधर समन्वय शून्य से $z = −h$ अनंत तक जाता है:

स्वतंत्र सतह पर, अतिसूक्ष्म तरंगों के लिए, प्रवाह की ऊर्ध्वाधर गति स्वतंत्र सतह के ऊर्ध्वाधर वेग के बराबर होनी चाहिए। यह गतिकी स्वतंत्र-सतह सीमा-स्थिति की ओर जाता है:

यदि स्वतंत्र सतह ऊंचाई $Φ(x, z, t)$ ज्ञात कार्य था, यह प्रवाह की समस्या को सिद्ध करने के लिए पर्याप्त होगा। चूँकि, सतह की ऊँचाई अतिरिक्त अज्ञात है, जिसके लिए अतिरिक्त सीमा शर्त की आवश्यकता होती है। यह बरनौली के सिद्धांत अस्थिर संभावित प्रवाह द्वारा प्रदान किया गया है, स्वतंत्र सतह के ऊपर दाब स्थिर माना जाता है। यह निरंतर दाब सामान्यता के हानि के बिना शून्य के बराबर लिया जाता है, क्योंकि इस प्रकार के निरंतर दाब का स्तर प्रवाह को नहीं बदलता है। रैखिककरण के बाद, यह गतिकी (भौतिकी) स्वतंत्र-सतह सीमा की स्थिति देता है:

क्योंकि यह रैखिक सिद्धांत है, दोनों स्वतंत्र-सतह सीमा स्थितियों में - गतिज और गतिशील, समीकरण ($$) और ($$) - का मान $Φ$ है स्वतंत्र-सतह और $z → −∞$ निश्चित माध्य स्तर पर $η(x,t)$ प्रयोग किया जाता है।

प्रगतिशील एकवर्णी तरंग के लिए समाधान
एकल आवृत्ति की प्रसार तरंग के लिए - एकवर्णी तरंग - सतह की ऊँचाई का रूप है:


 * $$\eta = a \cos ( k x - \omega t ).$$

संयुक्त वेग क्षमता, द्रव आतंरिक भाग में लाप्लास समीकरण (1) को संतुष्ट करने के साथ-साथ स्वतंत्र सतह (2), और सतह (3) पर गतिज सीमा की स्थिति है:


 * $$\Phi = \frac{\omega}{k} a \frac{\cosh k (z+h) }{\sinh k h} \sin ( k x - \omega t),$$

साथ sinh और cosh अतिपरवलयकार ज्या और अतिपरवलयकार कोज्या फ़ंक्शन है। परन्तु $$ और $Φ$ को गतिशील सीमा की स्थिति को भी पूरा करना होता है, जिसके परिणामस्वरूप तरंग आयाम के लिए अतुच्छ (अशून्य) मान होते हैं $$ सिर्फ रैखिक फैलाव (जल तरंगें) संतुष्ट हैं:


 * $$\omega^2 = g k \tanh k h ,$$

साथ $∂Φ⁄∂z$ अतिपरवलयकार स्पर्शरेखा है। तो कोणीय आवृत्ति $$ और तरंग संख्या $$ - या समतुल्य अवधि $η$ और तरंग दैर्ध्य $a$ - स्वतंत्र रूप से नहीं चुना जा सकता है, परन्तु संबंधित हैं। इसका अर्थ यह है कि द्रव की सतह पर तरंग प्रसार आइगेनसमस्या है। जब $ω$ और $k$ फैलाव संबंध, तरंग आयाम को संतुष्ट करें $T$ स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है (परन्तु वायुसंबंधी तरंग सिद्धांत के लिए मान्य निकटतम होने के लिए काफी छोटा है)।

तरंग मात्रा की तालिका
नीचे दी गई तालिका में वायु तरंग सिद्धांत के अनुसार कई प्रवाह मात्राएं और पैरामीटर दिए गए हैं। ऊपर दिए गए समाधान के लिए दी गई मात्रा थोड़ी अत्यधिक सामान्य स्थिति के लिए है। सबसे पहले,  तरंगें आपने आप $z = 0$ सतह क्षैतिज दिशा में फैल सकती हैं। तरंग संख्या $Φ$ वेक्टर है, और शिखा (भौतिकी) के कैमों के लंबवत है। दूसरे, औसत $tanh$ प्रवाह वेग के लिए भत्ता दिया जाता है, $λ$ क्षैतिज दिशा में और गहराई से अत्यधिक (स्वतंत्र) समान है। यह फैलाव संबंधों में डॉपलर बदलाव का परिचय देता है। पृथ्वी-स्थिर स्थान पर, देखी गई कोणीय आवृत्ति $ω$ (या पूर्ण कोणीय आवृत्ति) है | दूसरी तरफ, $x = (x,y)$ संदर्भ के फ्रेम में औसत वेग के साथ चलती है (इसलिए इस संदर्भ फ्रेम से देखा गया औसत वेग शून्य है), कोणीय आवृत्ति अलग है। इसे आंतरिक कोणीय आवृत्ति (या सापेक्ष कोणीय आवृत्ति) कहा जाता है, जिसे $k$ निरूपित किया जाता है | तो शुद्ध तरंग गति में, साथ $k$, दोनों आवृत्तियों $a$ और $z$ बराबर हैं। तरंग संख्या $ω$ (और तरंग दैर्ध्य $σ$) संदर्भ के फ्रेम से स्वतंत्र हैं, और कोई डॉप्लर शिफ्ट नहीं है (एकवर्णी तरंगों के लिए)।

तालिका केवल प्रवाह मात्राओं के दोलनशील भागों को देती है - वेग, कण भ्रमण और दबाव - और उनका औसत मूल्य या बहाव नहीं है। दोलनशील कण भ्रमण $U$ और $U$ ,$U = 0$ और $ξ_{x}$ क्रमशदोलनशील प्रवाह वेग के समय के अभिन्न हैं।

पानी की गहराई को तीन शासनों में वर्गीकृत किया गया है: गहरे और उथले पानी के सीमित कथनों में, समाधान के लिए सरल अनुमान लगाया जा सकता है। जबकि मध्यवर्ती गहराई के लिए, पूर्ण योगों का उपयोग करना पड़ता है।
 * गहरा पानी - आधे तरंगदैर्घ्य से बड़े पानी की गहराई के लिए, $ξ_{z}$, तरंगों की चरण वेग संभवतः ही गहराई से प्रभावित होती है (समुद्र और समुद्र की सतह पर अधिकांश पवन तरंगों के लिए यही स्थिति है),
 * उथला पानी - तरंग दैर्ध्य के 5% से कम पानी की गहराई के लिए, $u_{x}$, तरंगों की चरण वेग केवल पानी की गहराई पर निर्भर है, और अब आवधिक कार्य या तरंग दैर्ध्य का कार्य नहीं है; और
 * मध्यवर्ती गहराई - अन्य सभी कथन, $u_{z}$, जहां पानी की गहराई और अवधि (या तरंग दैर्ध्य) दोनों का वायुसंबंधी तरंग सिद्धांत के समाधान पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ता है।

भूतल प्रतिबल प्रभाव


सतही प्रतिबल के कारण, फैलाव संबंध बदल जाता है:
 * $$\tilde{g} = g + \frac{\gamma}{\rho} k^2.$$

सतही प्रतिबल के कारण तरंगें तेजी से फैलती हैं। जल-वायु अंतरापृष्ठ के कथन में कुछ डेसीमीटर से कम तरंग दैर्ध्य के साथ, सतही प्रतिबल का केवल छोटी तरंगों के लिए प्रभाव होता है। बहुत कम तरंग दैर्ध्य के लिए - 2 मिमी या उससे कम, हवा और पानी के बीच अंतराफलक के कथन में - गुरुत्वाकर्षण प्रभाव नगण्य हैं। ध्यान दें कि सतही प्रतिबल पृष्ठसक्रियकारकों द्वारा बदला जा सकता है।

समूह वेग $ω$ केशिका तरंगों की - सतह प्रतिबल प्रभाव से प्रभावित - चरण वेग $h > 1⁄2λ$ से अत्यधिक हैl यह सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों की स्थिति के विपरीत है (गुरुत्वाकर्षण के प्रभावों की तुलना में सतह प्रतिबल नगण्य है) जहां चरण वेग समूह वेग से अत्यधिक है।

अंतरापृष्ठीय तरंगें
सतह तरंगें विभिन्न घनत्व के दो तरल पदार्थों के बीच अंतःपृष्ठ (रसायन विज्ञान) पर अंतरापृष्ठीय तरंगों का विशेष कथन है।

अनंत गहराई की दो परतें
अंतराफलक द्वारा अलग किए गए और आगे की सीमाओं के बिनादो तरल पदार्थों पर विचार करना है। फिर उनका फैलाव संबंध $h > 1⁄2λ$ द्वारा दिया जाता है
 * $$ \Omega^2(k) = |k| \left( \frac{\rho-\rho'}{\rho+\rho'} g + \frac{\gamma}{\rho+\rho'} k^2 \right),$$

जहाँ $σ$ और $h < 1⁄20λ$ दो तरल पदार्थों के घनत्व हैं, नीचे ($k$) और ऊपर दिए गए ($h < 1⁄20λ$) अंतरापृष्ठ, क्रमशः आगे γ अंतरापृष्ठ पर सतह प्रतिबल है।

अंतरपृष्ठीय तरंगों के अस्तित्व के लिए, निचली परत $1⁄20λ < h < 1⁄2λ$ को ऊपरी परत से भारी होना पड़ता है, अन्यथा, अंतरापृष्ठ अस्थिर है और रेले-टेलर अस्थिरता विकसित होती है।

क्षैतिज कठोर समतलों के बीच दो परतें
औसत मोटाई के तरल पदार्थ की दो सजातीय परतों के लिए $λ$ अंतरापृष्ठ के नीचे और $h > 1⁄2λ$ ऊपर - गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत और क्षैतिज कठोर दीवारों से ऊपर और नीचे घिरा - फैलाव संबंध {{ ω{{sup|2}} {{=}} Ω{{sup|2}}(k)}गुरुत्वाकर्षण तरंगों के लिए } द्वारा प्रदान किया जाता है:
 * $$ \Omega^2(k) = \frac{g k (\rho - \rho')}{\rho \coth k h  + \rho' \coth k h'},$$

जहाँ फिर से $h$ और $h < 1⁄20λ$ अंतराफलक के नीचे और ऊपर घनत्व हैं, जबकि $4√gσ / ρ$ अतिपरवलयकार स्पर्शरेखा फलन है। कथन के लिए $1⁄λ√σ / ρg$ शून्य है यह परिमित गहराई के पानी पर सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों के फैलाव संबंध $λ$ को कम करता है|

स्वतंत्र सतह द्वारा ऊपर की ओर बंधी दो परतें
इस कथन में फैलाव संबंध दो मोड के लिए अनुमति देता है: दाबघनत्वी मोड जहां स्वतंत्र सतह का आयाम अन्तरापृष्ठीय तरंग के आयाम की तुलना में बड़ा होता है, और दाबप्रणविक मोड जहां विपरीत स्थिति होती है - स्वतंत्र सतह लहर के साथ अन्तरापृष्ठीय तरंग एंटीपेज़ से अत्यधिक होती है। इस कथन के लिए फैलाव संबंध अत्यधिक जटिल रूप का है।

द्वितीय क्रम तरंग गुण
द्वितीय-क्रम तरंग गुण, जो कि $h$ तरंग आयाम में द्विघात कार्य हैं, सीधे वायुसंबंधी तरंग सिद्धांत से प्राप्त किया जा सकता है। वे कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण हैं, जैसे तरंग की स्थिति का पूर्वानुमान है। लगभग डब्ल्यूकेबीजे का उपयोग करते हुए, द्वितीय-क्रम तरंग गुण भी धीरे-धीरे बदलती बेथीमेट्री (गाम्भीर्य मापक) के कथनों में तरंगों का वर्णन करने और धाराओं और सतह की ऊंचाई के औसत-प्रवाह भिन्नता के कथनों में अपने अनुप्रयोगों को ढूंढते हैं। साथ ही तरंग क्षेत्र के आयाम, आवृत्ति, तरंग दैर्ध्य और दिशा में समय और स्थान-भिन्नताओं के कारण तरंग और माध्य-प्रवाह अंतःक्रियाओं के विवरण में है।

द्वितीय क्रम तरंग गुणों की तालिका
नीचे दी गई तालिका में, कई द्वितीय-क्रम तरंग गुण - साथ ही वे गतिशील समीकरण जो स्पेस और समय में धीरे-धीरे बदलती स्थितियों के कथनों में संतुष्ट होते हैं - दिए गए हैं। इनके बारे में अत्यधिक जानकारी नीचे पाई जा सकती है। तालिका क्षैतिज स्थानिक आयाम में तरंग प्रसार के परिणाम देती है। इस खंड में आगे, द्वि-आयामी क्षैतिज स्थान में प्रसार के सामान्य कथन के लिए अत्यधिक विस्तृत विवरण और परिणाम दिए गए हैं।

पिछले चार समीकरण औसत प्रवाह के साथ अंतःक्रिया में बाथिमेट्री (गाम्भीर्य मापक) पर धीरे-धीरे बदलती तरंग ट्रेनों के विकास का वर्णन करते हैं, और गेराल्ड बी. विथम की औसत लग्रांगियन विधि परिवर्तनशील सिद्धांत से प्राप्त किया जा सकता है | माध्य क्षैतिज-संवेग समीकरण में, $σ$ अभी भी पानी की गहराई है,अर्थात द्रव परत के नीचे की परत $Ω⁄k$ पर स्थित है | ध्यान दें कि द्रव्यमान और संवेग समीकरणों में माध्य-प्रवाह वेग द्रव्यमान परिवहन वेग $c_{p}$  है, क्षैतिज द्रव्यमान परिवहन पर तरंगों के स्पलैश-ज़ोन (आस्फालन क्षेत्र) प्रभाव सहित, न कि मीन लग्रांगियन और यूलेरियन निर्देशांक वेग है (उदाहरण के लिए, निश्चित प्रवाह मीटर के साथ मापा गया)।

तरंग ऊर्जा घनत्व
तरंग ऊर्जा प्राथमिक रुचि की मात्रा है, क्योंकि यह एक प्राथमिक मात्रा है जिसे तरंग ट्रेनों के साथ ले जाया जाता है। जैसा कि ऊपर देखा जा सकता है, सतह की ऊंचाई और कक्षीय वेग जैसी कई तरंग मात्राएं प्रकृति में शून्य माध्य (रैखिक सिद्धांत के प्रारूप के भीतर) के साथ दोलनशील हैं। जल तरंगों में, सबसे अत्यधिक उपयोग किया जाने वाला ऊर्जा माप प्रति इकाई क्षैतिज क्षेत्र में औसत तरंग ऊर्जा घनत्व है। यह गतिज ऊर्जा और संभावित ऊर्जा घनत्व का योग है, जो द्रव परत की गहराई पर एकीकृत है और तरंग चरण पर औसत है। प्राप्त करने के लिए सरलतम औसत संभावित ऊर्जा घनत्व $ω^{2} = Ω^{2}(k)$ प्रति इकाई क्षैतिज क्षेत्र है, सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगें, जो तरंगों की उपस्थिति के कारण संभावित ऊर्जा का विचलन है: संभावित और गतिशील योगदान जोड़ना, $ρ′$ और $ρ′$, प्रति इकाई क्षैतिज क्षेत्र में औसत ऊर्जा घनत्व {{E}तरंग गति का } है:


 * $$E = E_\text{pot} + E_\text{kin} = \tfrac12 \rho g a^2.$$

सतह प्रतिबल प्रभाव नगण्य नहीं होने की स्थिति में, उनका योगदान संभावित और गतिज ऊर्जा घनत्व में भी जुड़ जाता है, जिससे
 * $$\frac{\partial \mathcal{A}}{\partial t} + \nabla\cdot\left[ \left(\mathbf{U}+\mathbf{c}_g\right) \mathcal{A}\right] = 0,$$

साथ $ρ > ρ′$ क्रिया प्रवाह और $h′$ समूह वेग वेक्टर है। क्रिया संचरण कई वायु तरंग मॉडल और तरंग विक्षोभ मॉडल के लिए आधार बनाता है। यह उथले तरंग की गणना के लिए तटीय इंजीनियरिंग मॉडल का आधार भी है। उपरोक्त तरंग क्रिया संचरण समीकरण का विस्तार तरंग ऊर्जा घनत्व के लिए निम्नलिखित विकास समीकरण की ओर ले जाता है:

\begin{align} \boldsymbol{S} &= \begin{pmatrix} S_{xx} & S_{xy} \\ S_{yx} & S_{yy} \end{pmatrix} = \boldsymbol{I} \left( \frac{c_g}{c_p} - \frac12 \right) E   + \frac{1}{k^2} \begin{pmatrix} k_x k_x & k_x k_y \\[2ex] k_y k_x & k_y k_y \end{pmatrix} \frac{c_g}{c_p} E,  \\[6px] \boldsymbol{I} &= \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}, \\[6px] \nabla \mathbf{U} &= \begin{pmatrix} \displaystyle \frac{\partial U_x}{\partial x} & \displaystyle \frac{\partial U_y}{\partial x}     \\[2ex] \displaystyle \frac{\partial U_x}{\partial y} & \displaystyle \frac{\partial U_y}{\partial y}   \end{pmatrix}, \end{align} $$ साथ $c_{g}$ और $∂Ω⁄∂k$ तरंग संख्या वेक्टर के घटक $ρ′$ और इसी प्रकार $ρ$ और $ρ$ माध्य तरंग सदिश $k = 2π⁄λ$ के घटक है।

वेव मास फ्लक्स और वेव मोमेंटम
प्रति इकाई क्षेत्र में औसत क्षैतिज गति M तरंग गति से प्रेरित - और तरंग प्रेरित द्रव्यमान प्रवाह या जन परिवहन घटना (इंजीनियरिंग और भौतिकी) - है:

जो आवधिक प्रगतिशील जल तरंगों के लिए एक सटीक परिणाम है, जो अरैखिक तरंगों के लिए भी मान्य है। हालांकि, इसकी वैधता दृढ़ता से इस बात पर निर्भर करती है कि तरंग गति और द्रव्यमान प्रवाह को कैसे परिभाषित किया जाता है। जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स ने पहले से ही आवधिक अरैखिक तरंगों के लिए चरण वेग की दो संभावित परिभाषाओं की पहचान की है:*वेव फेज वेलोसिटी (S1) की स्टोक्स की पहली परिभाषा - लैग्रेंगियन और यूलेरियन माध्य के साथ सभी उन्नयन के लिए शून्य के बराबर निर्देशांक z' वेव क्रेस्ट (भौतिकी) के नीचे, और


 * वेव सेलेरिटी (S2) की स्टोक्स दूसरी परिभाषा - शून्य के बराबर औसत जन परिवहन के साथ।

तरंग द्रव्यमान प्रवाह और तरंग गति प्रति इकाई क्षेत्र में औसत क्षैतिज गति $c_{p} = Ω(k)⁄k$ तरंग गति से प्रेरित - और तरंग प्रेरित द्रव्यमान प्रवाह या द्रव्यमान अभिगमन घटना (इंजीनियरिंग और भौतिकी) - है:


 * $$\begin{align}

\mathbf{M} &= \overline{\int_{-h}^\eta \rho \left( \mathbf{U}+\mathbf{u}_x\right)\, \mathrm{d}z} - \int_{-h}^0 \rho \mathbf{U}\, \mathrm{d}z \\[6px] &= \frac{E}{c_p} \mathbf{e}_k, \end{align}$$ जो आवधिक प्रगतिशील जल तरंगों के लिए सटीक परिणाम है, जो अरैखिक तरंगों के लिए भी मान्य है। चूँकि, इसकी वैधता दृढ़ता से इस बात पर निर्भर करती है कि तरंग गति और द्रव्यमान प्रवाह को कैसे परिभाषित किया जाता है। जॉर्ज गेब्रियल स्टोक्स ने पहले से ही आवधिक अरैखिक तरंगों के लिए चरण वेग की दो संभावित परिभाषाओं की पहचान की है: *वेव फेज वेलोसिटी (S1) की स्टोक्स की पहली परिभाषा - लैग्रेंगियन और यूलेरियन माध्य के साथ सभी उन्नयन के लिए शून्य के बराबर निर्देशांक $h$' तरंग शिखर (भौतिकी) के नीचे, और तरंग गति के बीच उपरोक्त संबंध $h′$ और तरंग ऊर्जा घनत्व $ρ$ स्टोक्स की पहली परिभाषा के दायरे में मान्य है।
 * तरंग वेग (S2) की स्टोक्स दूसरी परिभाषा - शून्य के बराबर औसत द्रव्यमान अभिगमन के साथ है।

चूँकि, तट रेखा या बंद प्रयोगशाला तरंग चैनल में लंबवत तरंगों के लिए, दूसरी परिभाषा (S2) अत्यधिक उपयुक्त है। दूसरी परिभाषा का उपयोग करते समय इन तरंग प्रणालियों में शून्य द्रव्यमान प्रवाह और गति होती है। इसके विपरीत, स्टोक्स की पहली परिभाषा (S1) के अनुसार, तरंग प्रसार दिशा में तरंग-प्रेरित द्रव्यमान प्रवाह होता है, जिसे माध्य प्रवाह द्वारा संतुलित किया जाना होता है। $ρ′$ विपरीत दिशा में - उपक्रम (तरंग क्रिया) कहा जाता है।

तो सामान्य तौर पर, इसमें कुछ सूक्ष्मताएँ सम्मिलित होती हैं। इसलिए भी तरंग संवेग के स्थान पर तरंगों के छद्म संवेग का प्रयोग किया जाता है।

द्रव्यमान और संवेग विकास समीकरण
धीरे-धीरे अलग-अलग बाथिमेट्री (गांभीर्य मापक) तरंग और माध्य-प्रवाह क्षेत्र के लिए, माध्य प्रवाह के विकास को माध्य द्रव्यमान-विस्थापन वेग के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। $coth$ के रूप में परिभाषित होता है:


 * $$\tilde{\mathbf U} = \mathbf{U} + \frac{\mathbf{M}}{\rho h}.$$

ध्यान दें कि गहरे पानी के लिए, जब औसत गहराई $a$ अनंत तक जाता है, माध्य ऑयलेरियन वेग $ρ′$ और अर्थ है कि परिवहन वेग $d(x)$ बराबर हो जाता है।

सामूहिक संचरण के लिए समीकरण है:


 * $$ \frac{\partial}{\partial t}\left( \rho h \right) + \nabla \cdot \left( \rho h\tilde{\mathbf{U}} \right)  = 0,$$

जहाँ $z = −d$ पानी की औसत गहराई है, जो स्थान और समय में धीरे-धीरे बदलती रहती है।

इसी प्रकार, औसत क्षैतिज गति इस प्रकार विकसित होती है:


 * $$ \frac{\partial}{\partial t}\left( \rho h \tilde{\mathbf{U}}\right)  + \nabla \cdot \left( \rho h \tilde{\mathbf{U}} \otimes \tilde{\mathbf{U}} + \tfrac12\rho gh^2\boldsymbol{I} + \boldsymbol{S} \right)   = \rho g h \nabla d,$$

साथ $λ$ शांत पानी की गहराई (समुद्र तल पर है $E_{pot}$), $k$ तरंग विकिरण-प्रतिबल टेंसर है, $g$ पहचान आव्यूह है और $E_{pot}$ डाइडिक उत्पाद है:


 * $$ \tilde{\mathbf{U}} \otimes \tilde{\mathbf{U}} =

\begin{pmatrix} \tilde{U}_x \tilde{U}_x & \tilde{U}_x \tilde{U}_y \\ \tilde{U}_y \tilde{U}_x & \tilde{U}_y \tilde{U}_y \end{pmatrix}.$$ ध्यान दें कि औसत क्षैतिज गति केवल तभी संरक्षित होती है जब समुद्र तल क्षैतिज (अभी भी पानी की गहराई) हो $c_{p}$ स्थिरांक है), नोएदर के प्रमेय के अनुसार है।

तरंगों के विवरण के माध्यम से समीकरणों की प्रणाली बंद हो जाती है। तरंग-क्रिया संचरण समीकरण के माध्यम से तरंग ऊर्जा प्रसार का वर्णन किया गया है (बिना अपव्यय और अरैखिक तरंग अंतःक्रियाओं के):


 * $$ \frac{\partial}{\partial t} \left( \frac{E}{\sigma} \right)  + \nabla \cdot \left[ \left( \mathbf{U} +\mathbf{c}_g \right) \frac{E}{\sigma} \right]  = 0.$$

तरंग गतिकी को तरंग-शिखर संचरण संरक्षण समीकरण के माध्यम से वर्णित किया गया है:
 * $$\frac{\partial \mathbf{k}}{\partial t} + \nabla \omega = \mathbf{0},$$

कोणीय आवृत्ति $h$ के साथ (कोणीय) तरंग संख्या $E_{kin}$ का कार्य, फैलाव (जल तरंगों) के माध्यम से संबंधित है। यह संभव हो सके, इसके लिए तरंग क्षेत्र का सुसंगति (भौतिकी) होना आवश्यक है। तरंग-शिखर संचरण के कर्ल (गणित) को लेने से, यह देखा जा सकता है कि प्रारंभिक रूप से अघूर्णी तरंगसंख्या क्षेत्र अघूर्णी रहता है।

स्टोक्स बहाव
शुद्ध तरंग गति में ($(U + c_{g}) \mathcal{A}$) कण का अनुसरण करते समय, रेखीय वायुसंबंधी तरंग सिद्धांत के अनुसार, पहला निकटतम पानी के कणों के लिए बंद अण्डाकार कक्षाएँ देता है। चूँकि, अरैखिक तरंगों के लिए, कण स्टोक्स के बहाव को प्रदर्शित करते हैं, जिसके लिए वायुसंबंधी तरंग सिद्धांत के परिणामों से एक दूसरे क्रम की अभिव्यक्ति प्राप्त की जा सकती है (द्वितीय-क्रम तरंग गुणों पर तालिका देखें)। स्टोक्स बहाव वेग $c_{g} = c_{g}e_{k}$, जो आवधिक फलन द्वारा विभाजित तरंग चक्र के बाद कण बहाव है, का अनुमान रैखिक सिद्धांत के परिणामों का उपयोग करके लगाया जा सकता है:


 * $$\bar{\mathbf{u}}_S = \tfrac12 \sigma k a^2 \frac{\cosh 2k(z+h)}{\sinh^2 kh} \mathbf{e}_k,$$

इसलिए यह ऊंचाई के कार्य के रूप में भिन्न होता है। दिया गया सूत्र स्टोक्स के लिए तरंग गति की पहली परिभाषा है। जब $k$ गहराई से अभिन्न है, माध्य तरंग गति के लिए अभिव्यंजना $U$ मिला हुआ है।

यह भी देखें

 * निकटतम बोउसीनेस्क (जल तरंगें) - लहरों और उथले पानी में तरंगों के लिए अरैखिक सिद्धांत।
 * केशिका तरंग - सतही प्रतिबल की क्रिया के तहत सतह तरंगें
 * नोइडल तरंग - उथले पानी में अरैखिक आवधिक तरंगें, कोर्तवेग-डी वेरी समीकरण के समाधान
 * माइल्ड-स्लोप समीकरण - अलग-अलग गहराई पर सतह तरंगों का अपवर्तन और विवर्तन
 * समुद्र की सतह की तरंगे- समुद्र और समुद्र में दिखाई देने वाली वास्तविक जल तरंगें
 * स्टोक्स तरंग - गैर-उथले पानी में गैर-रैखिक आवधिक तरंगें
 * तरंग शक्ति - बिजली उत्पादन के लिए समुद्र और समुद्र की तरंगों का उपयोग करना।

ऐतिहासिक

 * इसके अलावा: त्रिकोणमिति, ऑन द फिगर ऑफ द अर्थ, टाइड एंड वेव्स, 396 पीपी।
 * {{cite journal | first=G. G. | last=Stokes | author-link=George Gabriel Stokes | year= 1847 | title= दोलन तरंगों के सिद्धांत पर| journal= Transactions of the Cambridge Philosophical Society | volume= 8 | pages= 441–455 } इसमें पुनर्मुद्रित:

अग्रिम पठन

 * Two parts, 967 pages.
 * Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.
 * 504 pp.
 * Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.
 * 504 pp.
 * 504 pp.

बाहरी संबंध

 * Linear theory of ocean surface waves on WikiWaves.
 * Water waves at MIT.