मूल अक्ष (रेडिकल अक्ष)

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रेडिकल अक्ष पर किसी भी बिंदु के लिए स्पर्श रेखाएँ लंबाई में बराबर होनी चाहिए: $$|PT_1|=|PT_2|.$$ अगर $M1, M2$ फिर एक उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा पर स्थित हों $P$ का मध्यबिंदु है $P$]]यूक्लिडियन ज्यामिति में, दो गैर-संकेंद्रित वृत्तों की मूल धुरी उन बिंदुओं का समूह है, जिनकी मंडलियों के संबंध में एक बिंदु की शक्ति बराबर होती है। इस कारण मूल अक्ष को दो वृत्तों की विद्युत रेखा या शक्ति द्विभाजक भी कहा जाता है। विस्तार से:

दो हलकों के लिए $P, T1, T2$ केंद्रों के साथ $c1, c2$ और त्रिज्या $M1, M2$ एक बिंदु की शक्तियां $P$ मंडलियों के संबंध में हैं
 * $$\Pi_1(P)=|PM_1|^2 - r_1^2,\qquad \Pi_2(P)= |PM_2|^2 - r_2^2.$$

बिंदु $\overline{T_1T_2}.$ रेडिकल अक्ष से संबंधित है, यदि
 * $$\Pi_1(P)=\Pi_2(P).$$

यदि वृत्तों में दो बिंदु उभयनिष्ठ हैं, तो मूल अक्ष वृत्तों की उभयनिष्ठ छेदक रेखा है। अगर बिंदु $P$ मंडलियों के बाहर है, $P$ की दोनों वृत्तों से समान स्पर्शरेखा दूरी है। यदि त्रिज्या बराबर हैं, तो रेडिकल अक्ष रेखा खंड का द्विभाजक है $r1, r2$. किसी भी मामले में कट्टरपंथी अक्ष एक लंबवत रेखा है $$\overline{M_1M_2}.$$ नोटेशन पर नोटेशन रेडिकल एक्सिस का उपयोग फ्रांसीसी गणितज्ञ मिशेल चेसल्स | एम द्वारा किया गया था। एक्स रेडिकल के रूप में चासल्स। जीन-विक्टर पोंसेलेट|जे.वी. पोंसलेट का इस्तेमाल किया chorde ideale. जूलियस प्लकर|जे. प्लकर ने इस शब्द की शुरुआत की Chordale. जेकब स्टेनर|जे. स्टेनर ने समान शक्तियों की मूल अक्ष रेखा को कहा (Linie der gleichen Potenzen) जिसके कारण बिजली लाइन (Potenzgerade).

ज्यामितीय आकार और उसकी स्थिति
होने देना $$\vec x,\vec m_1,\vec m_2$$ बिंदुओं के स्थिति वैक्टर बनें $$P,M_1,M_2$$. तब कट्टरपंथी रेखा के परिभाषित समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$(\vec x-\vec m_1)^2-r_1^2=(\vec x-\vec m_2)^2-r_2^2 \quad \leftrightarrow

\quad 2\vec x\cdot(\vec m_2-\vec m_1)+\vec m_1^2-\vec m_2^2+r_2^2-r_1^2=0$$ सही समीकरण से मिलता है ($$\vec m_2-\vec m_1$$ रेडिकल अक्ष के लिए एक सामान्य वेक्टर है!)
 * रेडिकल एक्सिस का पॉइंटसेट वास्तव में एक रेखा है और सर्कल केंद्रों के माध्यम से रेखा के लंबवत है।

द्वारा समीकरण को विभाजित करना $$2|\vec m_2-\vec m_1|$$, हेस्सियन सामान्य रूप प्राप्त करता है। केंद्रों की स्थिति सदिशों को सम्मिलित करने से केंद्रों की दूरी रेडिकल अक्ष तक पहुंच जाती है:
 * $$d_1 = \frac{d^2+{r_1}^2-{r_2}^2}{2d}\ ,\qquad d_2 = \frac{d^2+{r_2}^2-{r_1}^2}{2d}$$,
 * साथ $$d = |M_1 M_2|$$.

($$d_i$$ नकारात्मक हो सकता है अगर $$L$$ बीच नहीं है $$M_1,M_2$$.)

यदि वृत्त दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद कर रहे हैं, तो मूल रेखा सामान्य बिंदुओं से होकर गुजरती है। यदि वे केवल एक दूसरे को स्पर्श करते हैं, तो मूल रेखा सामान्य स्पर्श रेखा होती है।

विशेष पद
* दो प्रतिच्छेदी वृत्तों की मूल अक्ष उनकी उभयनिष्ठ छेदक रेखा होती है।
 * दो स्पर्श करने वाले वृत्तों की मूल अक्ष उनकी उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा होती है।
 * दो अप्रतिच्छेदित वृत्तों की मूल अक्ष दो सुविधाजनक समशक्ति वृत्तों की उभयनिष्ठ छेदक रेखा है (नीचे देखें)।

ओर्थोगोनल सर्कल
* एक बिंदु के लिए $$P$$ एक घेरे के बाहर $$c_i$$ और दो स्पर्शरेखा बिंदु $$S_i,T_i$$ समीकरण $$|PS_i|^2=|PT_i|^2=\Pi_i(P)$$ रखता है और $$S_i,T_i$$ घेरे पर लेट जाओ $$c_o$$ केंद्र के साथ $$P$$ और त्रिज्या $$\sqrt{\Pi_i(P)}$$. घेरा $$c_o$$ काटती है $$c_i$$ ओर्थोगोनल। इस तरह:
 * अगर $$P$$ कट्टरपंथी अक्ष का एक बिंदु है, फिर चार बिंदु $$S_1,T_1, S_2,T_2$$ घेरे पर लेट जाओ $$c_o$$, जो दिए गए वृत्तों को काटता है $$c_1,c_2$$ ओर्थोगोनली।


 * रेडिकल अक्ष में वृत्तों के सभी केंद्र होते हैं, जो दिए गए वृत्तों को लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करते हैं।

ओर्थोगोनल हलकों की प्रणाली
सर्कल के एक पेंसिल के निर्माण के लिए पिछले खंड में वर्णित विधि, जो दो दिए गए मंडलियों को लंबवत रूप से छेड़छाड़ करती है, को सर्कल के दो ऑर्थोगोनली इंटरसेक्टिंग सिस्टम के निर्माण के लिए बढ़ाया जा सकता है: होने देना $$c_1,c_2$$ दो अलग-अलग लेटे हुए घेरे (जैसा कि पिछले खंड में है), $$M_1,M_2,r_1,r_2$$ उनके केंद्र और त्रिज्या और $$g_{12}$$ उनकी कट्टरपंथी धुरी। अब सभी सर्किलों का निर्धारण सेंटर्स के साथ ऑनलाइन होगा $$\overline{M_1M_2}$$, जिसके साथ है $$c_1$$ पंक्ति $$g_{12}$$ रेडिकल एक्सिस के रूप में भी। अगर $$\gamma_2$$ एक ऐसा वृत्त है, जिसके केंद्र की दूरी है  $$\delta$$ केंद्र को $$M_1$$ और त्रिज्या $$\rho_2$$. पिछले अनुभाग में परिणाम से समीकरण प्राप्त होता है
 * $$d_1=\frac{\delta^2+r_1^2-\rho_2^2}{2\delta} \quad$$, कहाँ $$d_1>r_1$$ फिक्स किए गए हैं।

साथ $$\delta_2=\delta-d_1$$ समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है:
 * $$\delta_2^2=d_1^2-r_1^2+\rho_2^2$$.

यदि त्रिज्या $$\rho_2$$ दिया गया है, इस समीकरण से दूरी का पता चलता है $$\delta_2$$ नए केंद्र के (स्थिर) कट्टरपंथी धुरी के लिए। आरेख में नए वृत्तों का रंग बैंगनी है। किसी भी हरे वृत्त (आरेख देखें) का केंद्र मूल अक्ष पर होता है और वृत्तों को प्रतिच्छेद करता है $$c_1,c_2$$ ऑर्थोगोनली और इसलिए सभी नए सर्कल (बैंगनी) भी। (लाल) रेडिकल अक्ष को y-अक्ष और रेखा के रूप में चुनना $$\overline{M_1M_2}$$ x-अक्ष के रूप में, वृत्तों की दो पेंसिलों के समीकरण हैं:
 * बैंगनी: $$\ \ \ (x-\delta_2)^2+y^2=\delta_2^2+r_1^2-d_1^2 $$
 * हरा: $$\ x^2+(y-y_g)^2=y_g^2+d_1^2-r_1^2\ .$$

($$\; (0,y_g)$$ एक हरे वृत्त का केंद्र है।)

गुण: a) किन्हीं भी दो हरे वृत्त x-अक्ष पर बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं $$P_{1/2}=\big(\pm\sqrt{d_1^2-r_1^2},0\big)$$, हलकों की ऑर्थोगोनल प्रणाली के ध्रुव। इसका अर्थ है, x-अक्ष हरे वृत्तों की मूल रेखा है। 'बी)' बैंगनी हलकों में कोई बिंदु सामान्य नहीं है। लेकिन, यदि कोई वास्तविक तल को जटिल तल का हिस्सा मानता है, तो कोई भी दो बैंगनी वृत्त y-अक्ष (उनकी सामान्य मूल अक्ष) पर बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। $$Q_{1/2}=\big(0,\pm i \sqrt{d_1^2-r_1^2}\big)$$. विशेष मामले: ए) के मामले में $$d_1=r_1$$ हरे रंग के वृत्त एक-दूसरे को मूल स्पर्शरेखा के रूप में x-अक्ष के साथ स्पर्श कर रहे हैं और बैंगनी वृत्तों में y-अक्ष उभयनिष्ठ स्पर्शरेखा है। वृत्तों की ऐसी प्रणाली को कोअक्सल परवलयिक वृत्त (नीचे देखें) कहा जाता है। 'बी)' सिकुड़ रहा है $$c_1$$ इसके केंद्र के लिए $$M_1$$, अर्थात। $$r_1=0$$, समीकरण अधिक सरल रूप में बदल जाते हैं और एक प्राप्त होता है  $$M_1=P_1$$.

निष्कर्ष: ए) किसी भी वास्तविक के लिए $$w$$ हलकों की पेंसिल
 * $$\;c(\xi):\; (x-\xi)^2+y^2-\xi^2-w=0\ : $$
 * का गुण है: y-अक्ष का मूल अक्ष है $$c(\xi_1),c(\xi_2)$$.
 * के मामले में $$w>0$$ हलकों $$c(\xi_1),c(\xi_2)$$ बिन्दुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं $$P_{1/2}=(0,\pm\sqrt w)$$.
 * के मामले में $$w<0$$ उनके पास कोई बिंदु नहीं है।
 * के मामले में $$w=0$$ वे स्पर्श करते हैं $$(0,0)$$ और y-अक्ष उनकी उभयनिष्ठ स्पर्श रेखा है।

बी) किसी भी वास्तविक के लिए $$w$$ मंडलियों की दो पेंसिलें
 * $$c_1(\xi):\; (x-\xi)^2+y^2-\xi^2-w=0\ ,$$
 * $$c_2(\eta):\; x^2+(y-\eta)^2-\eta^2 + w=0 \ $$
 * ऑर्थोगोनल सर्कल की एक प्रणाली बनाएं। इसका अर्थ है: कोई भी दो वृत्त $$c_1(\xi),c_2(\eta)$$ लंबवत रूप से प्रतिच्छेद करें।

सी) बी में समीकरणों से), एक समन्वय मुक्त प्रतिनिधित्व प्राप्त करता है: : दिए गए बिंदुओं के लिए $$P_1,P_2$$, उनका मध्यबिंदु $$O$$ और उनका रेखाखंड द्विभाजक $$g_{12}$$ दो समीकरण
 * $$|XM|^2=|OM|^2-|OP_1|^2\, $$
 * $$|XN|^2=|ON|^2+|OP_1|^2=|NP_1|^2 $$
 * साथ $$M$$ पर $$\overline{P_1P_2}$$, लेकिन बीच में नहीं $$P_1,P_2$$, और $$N$$ पर $$g_{12}$$
 * द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित मंडलियों की ओर्थोगोनल प्रणाली का वर्णन करें $$P_1,P_2$$ जो सिस्टम के ध्रुव हैं।
 * के लिए $$P_1=P_2=O$$ कुल्हाड़ियों को निर्धारित करना होगा $$a_1,a_2$$ सिस्टम का भी। प्रणाली परवलयिक है:
 * $$|XM|^2=|OM|^2\, \quad |XN|^2=|ON|^2$$
 * साथ $$M$$ पर $$a_1$$ और $$N$$ पर $$a_2$$.

सीधा किनारा और कम्पास निर्माण: ऑर्थोगोनल मंडलियों की एक प्रणाली विशिष्ट रूप से इसके ध्रुवों द्वारा निर्धारित की जाती है $$P_1,P_2$$: के मामले में $$P_1=P_2$$ कुल्हाड़ियों को अतिरिक्त रूप से चुना जाना है। प्रणाली परवलयिक है और इसे आसानी से खींचा जा सकता है।
 * 1) अक्ष (कट्टरपंथी अक्ष) रेखाएँ हैं $$\overline{P_1P_2}$$ और रेखा खंड द्विभाजक $$g_{12}$$ डंडे का।
 * 2) वृत्त (आरेख में हरा) के माध्यम से  $$P_1,P_2$$ उनके केंद्र चालू हैं $$g_{12}$$. इन्हें आसानी से खींचा जा सकता है। एक बिंदु के लिए $$N$$ त्रिज्या है $$\;r_N=|NP_1|\;$$.
 * 3) केंद्र के साथ दूसरी पेंसिल (आरेख नीले रंग में) का एक चक्र बनाने के लिए $$M$$ पर $$\overline{P_1P_2}$$, एक त्रिज्या निर्धारित करता है $$r_M$$ पाइथागोरस के प्रमेय को लागू करना: $$\; r_M^2=|OM|^2-|OP_1|^2\; $$ (आरेख देखें)।

समाक्षीय वृत्त
परिभाषा और गुण:

होने देना $$c_1,c_2$$ दो वृत्त हो और $$\Pi_1,\Pi_2$$ उनके शक्ति कार्य। फिर किसी के लिए $$\lambda\ne 1$$ एक वृत्त का समीकरण है $$c(\lambda)$$ (नीचे देखें)। वृत्तों की ऐसी प्रणाली को वृत्तों द्वारा उत्पन्न समाक्षीय वृत्त कहते हैं $$c_1,c_2$$. (के मामले में $$\lambda=1$$ समीकरण के कट्टरपंथी अक्ष का वर्णन करता है $$c_1,c_2$$.) का शक्ति कार्य $$c(\lambda)$$ है
 * $$\Pi_1(x,y)-\lambda\Pi_2(x,y)=0$$
 * $$\ \Pi(\lambda,x,y)=\frac{\Pi_1(x,y)-\lambda\Pi_2(x,y)}{1-\lambda}$$.

आदर्श समीकरण (के गुणांक $$x^2,y^2$$ हैं $$1$$) का $$c(\lambda)$$ है $$\ \Pi(\lambda,x,y)=0$$.

एक साधारण गणना से पता चलता है:
 * $$c(\lambda),c(\mu),\ \lambda\ne\mu\, $$ के समान मूल अक्ष है $$c_1,c_2$$.

की अनुमति दे $$\lambda$$ अनंत तक जाने के लिए, कोई पहचानता है, कि $$c_1,c_2$$ समाक्षीय हलकों की प्रणाली के सदस्य हैं: $$c_1=c(0),\; c_2=c(\infty)$$.

(ई): अगर $$c_1,c_2$$ दो बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करें $$P_1,P_2$$, कोई वृत्त $$c(\lambda)$$ रोकना $$P_1,P_2$$, भी, और रेखा $$\overline{P_1P_2}$$ उनकी सामान्य कट्टरपंथी धुरी है। ऐसी प्रणाली को दीर्घवृत्त कहा जाता है। '(पी):' अगर $$c_1,c_2$$ स्पर्शरेखा हैं $$P$$, कोई भी वृत्त स्पर्शरेखा है $$c_1,c_2$$ बिंदु पर $$P$$, बहुत। सामान्य स्पर्शरेखा उनकी सामान्य मूल अक्ष है। ऐसी प्रणाली को परवलयिक कहा जाता है। '(ह यदि $$c_1,c_2$$ सामान्य में कोई बात नहीं है, फिर सिस्टम की कोई भी जोड़ी भी। वृत्तों के किसी भी युग्म का मूल अक्ष, का मूल अक्ष होता है $$c_1,c_2$$. प्रणाली को अतिशयोक्तिपूर्ण कहा जाता है।

'विस्तार से:'

परिचय इस तरह के निर्देशांक
 * $$c_1: (x-d_1)^2+y^2=r_1^2 $$
 * $$c_2: (x-d_2)^2+y^2= d_2^2+r_1^2-d_1^2 $$,

तब y-अक्ष उनका मूल अक्ष है (ऊपर देखें)।

शक्ति समारोह की गणना $$\Pi(\lambda,x,y)$$ नॉर्म्ड सर्कल समीकरण देता है:
 * $$c(\lambda): \ x^2+y^2-2\tfrac{d_1-\lambda d_2}{1-\lambda}\; x +d_1^2-r_1^2=0\ .    $$

वर्ग को पूरा करना और प्रतिस्थापन $$\delta_2=\tfrac{d_1-\lambda d_2}{1-\lambda} $$ (केन्द्र का x-निर्देशांक) समीकरण का केन्द्रित रूप प्राप्त करता है
 * $$c(\lambda): \ (x-\delta_2)^2+y^2=\delta_2^2+r_1^2-d_1^2 $$.

के मामले में $$r_1>d_1$$ हलकों $$c_1,c_2,c(\lambda)$$ दो बिंदु हैं
 * $$ P_1=\big(0,\sqrt{r_1^2-d_1^2}\big),\quad P_2=\big(0,-\sqrt{r_1^2-d_1^2}\big)$$

आम में और समाक्षीय हलकों की प्रणाली अण्डाकार है।

के मामले में $$r_1=d_1$$ हलकों  $$c_1,c_2,c(\lambda)$$ बात है $$ P_0=(0,0)$$ आम में और प्रणाली परवलयिक है।

के मामले में $$r_1<d_1$$ हलकों $$c_1,c_2,c(\lambda)$$ कोई समानता नहीं है और प्रणाली अतिशयोक्तिपूर्ण है।

'वैकल्पिक समीकरण:' '1)' हलकों की एक समाक्षीय प्रणाली के परिभाषित समीकरण में शक्ति कार्यों के गुणकों का भी उपयोग किया जा सकता है। '2)' किसी एक वृत्त के समीकरण को वांछित मूल अक्ष के समीकरण से बदला जा सकता है। रेडिकल अक्ष को असीम रूप से बड़े त्रिज्या वाले एक वृत्त के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए:
 * $$(x-x_1)^2+y^2-r^2_1\ - \ \lambda\; 2(x-x_2)\ =0\ \Leftrightarrow$$
 * $$(x-(x_1+\lambda))^2+y^2 =(x_1+\lambda)^2+r_1^2-x_1^2-2\lambda x_2$$,

उन सभी वृत्तों का वर्णन करता है, जिनमें पहले वृत्त के साथ रेखा होती है $$x=x_2$$ कट्टरपंथी धुरी के रूप में। 3) दो हलकों की समान स्थिति को व्यक्त करने के लिए, निम्नलिखित रूप का अक्सर उपयोग किया जाता है:
 * $$\mu\Pi_1(x,y)+\nu\Pi_2(x,y)=0\; .$$

लेकिन इस मामले में मापदंडों द्वारा एक वृत्त का प्रतिनिधित्व $$\mu,\nu$$ अद्वितीय नहीं है।

'अनुप्रयोग:' 'ए)' सर्किल उलटा और मोबियस परिवर्तन कोण और मोबियस परिवर्तन को संरक्षित करता है। इसलिए इन मैपिंग पर जांच के साथ मंडलियों की ऑर्थोगोनल प्रणाली एक आवश्यक भूमिका निभाती है। ख) विद्युत चुंबकत्व में समाक्षीय वृत्त क्षेत्र रेखाओं के रूप में प्रकट होते हैं।

तीन वृत्तों का मूलकेन्द्र, मूलक अक्ष का निर्माण
* तीन हलकों के लिए $$c_1,c_2,c_3$$, जिनमें से कोई भी दो संकेंद्रित नहीं हैं, तीन मूल अक्ष हैं $$g_{12},g_{23},g_{31}$$. यदि वृत्त केंद्र एक रेखा पर स्थित नहीं हैं, तो मूल अक्ष एक सामान्य बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं $$R$$, तीन हलकों का कट्टरपंथी केंद्र। ओर्थोगोनल सर्कल चारों ओर केंद्रित है $$R$$ दो सर्किलों का तीसरे सर्कल के लिए ऑर्थोगोनल भी है (रेडिकल सर्कल)।
 * प्रमाण: मूल अक्ष $$g_{ik}$$ इसमें वे सभी बिंदु होते हैं जिनकी वृत्तों से समान स्पर्शरेखा दूरी होती है $$c_i,c_k$$. चौराहा बिंदु $$R$$ का $$g_{12}$$ और $$g_{23}$$ तीनों वृत्तों के लिए समान स्पर्शरेखा की दूरी है। इस तरह $$R$$ कट्टरपंथी अक्ष का एक बिंदु है $$g_{31}$$, बहुत।
 * यह गुण किसी को दो गैर-प्रतिच्छेदित वृत्तों के मूल अक्ष के निर्माण की अनुमति देता है $$c_1,c_2$$ केंद्रों के साथ $$M_1,M_2$$: एक तीसरा वृत्त बनाएं $$c_3$$ केंद्र के साथ दिए गए केंद्रों के समरेख नहीं हैं जो प्रतिच्छेद करते हैं $$c_1,c_2$$. कट्टरपंथी कुल्हाड़ियों $$g_{13},g_{23}$$ क्या खींचा जा सकता है। उनका चौराहा बिंदु कट्टरपंथी केंद्र है $$R$$ तीन मंडलियों में से और पर स्थित है $$g_{12}$$. के माध्यम से लाइन $$R$$ जो लंबवत है $$\overline{M_1M_2}$$ मूल अक्ष है $$g_{12}$$.

अतिरिक्त निर्माण विधि: सभी बिंदु जिनकी शक्ति किसी दिए गए वृत्त के लिए समान है $$c$$ के संकेंद्रित एक वृत्त पर लेट जाएं $$c$$. आइए हम इसे एक इक्विपॉवर सर्कल कहते हैं। इस गुण का उपयोग दो वृत्तों के मूल अक्ष की एक अतिरिक्त निर्माण विधि के लिए किया जा सकता है:

दो अप्रतिच्छेदित वृत्तों के लिए $$c_1,c_2$$, दो समान वृत्त खींचे जा सकते हैं $$c'_1,c'_2$$, जिसके संबंध में समान शक्ति है $$c_1,c_2$$ (आरेख देखें)। विस्तार से: $$\Pi_1(P_1)=\Pi_2(P_2)$$. यदि शक्ति काफी बड़ी है, तो मंडलियां $$c'_1,c'_2$$ दो बिंदु उभयनिष्ठ हैं, जो मूल अक्ष पर स्थित हैं $$g_{12}$$.

द्विध्रुवी निर्देशांक से संबंध
सामान्य तौर पर, किन्हीं दो असंयुक्त, गैर-संकेंद्रित वृत्तों को द्विध्रुवी निर्देशांकों की प्रणाली के वृत्तों के साथ संरेखित किया जा सकता है। उस स्थिति में, रेडिकल एक्सिस बस है $$y$$निर्देशांक की इस प्रणाली का अक्ष। अक्ष पर प्रत्येक वृत्त जो समन्वय प्रणाली के दो foci से होकर गुजरता है, दो वृत्तों को लंबवत रूप से काटता है। वृत्तों का एक अधिकतम संग्रह, जिसके सभी केंद्र एक दी गई रेखा पर हों और सभी युग्मों में एक ही मूल अक्ष हो, समाक्षीय वृत्तों की पेंसिल (गणित) के रूप में जाना जाता है।

ट्रिलिनियर निर्देशांक में रेडिकल सेंटर
यदि हलकों को सामान्य तरीके से त्रिरेखीय निर्देशांक में दर्शाया जाता है, तो उनके मूल केंद्र को एक निश्चित निर्धारक के रूप में सुविधाजनक रूप से दिया जाता है। विशेष रूप से, X = x : y : z भुजाओं a = |BC|, b = |CA|, c = |AB| वाले त्रिभुज ABC के तल में एक चर बिंदु को दर्शाता है, और वृत्तों को निम्नानुसार दर्शाता है:


 * (dx + ey + fz)(ax + by + cz) + g(ayz + bzx + cxy) = 0


 * (Hx + iy + jz)(ax + by + cz) + k(ayz + bzx + cxy) = 0


 * (lx + my + nz)(ax + by + cz) + p(ayz + bzx + cxy) = 0

फिर कट्टरपंथी केंद्र बिंदु है


 * $$ \det \begin{bmatrix}g&k&p\\

e&i&m\\f&j&n\end{bmatrix} : \det \begin{bmatrix}g&k&p\\ f&j&n\\d&h&l\end{bmatrix} : \det \begin{bmatrix}g&k&p\\ d&h&l\\e&i&m\end{bmatrix}.$$

रेडिकल प्लेन और हाइपरप्लेन
तीन आयामों में दो गैर-केंद्रित क्षेत्रों के कट्टरपंथी विमान को समान रूप से परिभाषित किया गया है: यह उन बिंदुओं का स्थान है जहां से दो क्षेत्रों में स्पर्शरेखाओं की लंबाई समान होती है। तथ्य यह है कि यह ठिकाना एक विमान है जो इस तथ्य से तीसरे आयाम में घूमता है कि मूल अक्ष एक सीधी रेखा है।

किसी भी आयाम के यूक्लिडियन अंतरिक्ष में अति क्षेत्र  के लिए एक ही परिभाषा लागू की जा सकती है, जिससे दो गैर-केंद्रित हाइपरस्फीयर के रेडिकल हाइपरप्लेन मिलते हैं।

अग्रिम पठन

 * Clark Kimberling, "Triangle Centers and Central Triangles," Congressus Numerantium 129 (1998) i–xxv, 1–295.
 * Clark Kimberling, "Triangle Centers and Central Triangles," Congressus Numerantium 129 (1998) i–xxv, 1–295.
 * Clark Kimberling, "Triangle Centers and Central Triangles," Congressus Numerantium 129 (1998) i–xxv, 1–295.

बाहरी संबंध

 * Animation at Cut-the-knot
 * Animation at Cut-the-knot
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