ब्राचिस्टोक्रोन वक्र

भौतिकी और गणित में, एक ब्राचिस्टोक्रोन वक्र, या सबसे तेज़ अवतरण का वक्र, एक बिंदु A और एक निचले बिंदु B के बीच तल पर पड़ा हुआ है, जहाँ B, A के ठीक नीचे नहीं है, जिस पर एक मनका एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के प्रभाव में किसी दिए गए अंत बिंदु पर घर्षण रहित रूप से स्लाइड करता है कम से कम समय में। यह समस्या 1696 में जोहान बर्नौली द्वारा प्रस्तुत की गई थी।

ब्राचिस्टोक्रोन वक्र टॉटोक्रोन वक्र के समान आकार का होता है; दोनों साइक्लोइड हैं। हालांकि, दोनों में से प्रत्येक के लिए इस्तेमाल किए जाने वाले साइक्लॉयड का हिस्सा अलग-अलग होता है। अधिक विशेष रूप से, ब्राचिस्टोक्रोन साइक्लोइड के पूर्ण रोटेशन तक उपयोग कर सकता है (उस सीमा पर जब ए और बी एक ही स्तर पर होते हैं), लेकिन हमेशा एक क्यूस्प (विलक्षणता) पर शुरू होता है। इसके विपरीत, टॉटोक्रोन समस्या केवल पहले आधे रोटेशन तक ही उपयोग कर सकती है, और हमेशा क्षैतिज पर समाप्त होती है। विविधताओं के कलन से उपकरणों का उपयोग करके समस्या का समाधान किया जा सकता है और इष्टतम नियंत्रण। वक्र परीक्षण निकाय के द्रव्यमान और गुरुत्वाकर्षण की स्थानीय शक्ति दोनों से स्वतंत्र है। केवल एक पैरामीटर चुना जाता है ताकि वक्र प्रारंभिक बिंदु A और अंतिम बिंदु B पर फिट हो जाए। यदि शरीर को ए पर प्रारंभिक वेग दिया जाता है, या यदि घर्षण को ध्यान में रखा जाता है, तो समय को कम करने वाला वक्र टॉटोक्रोन वक्र से भिन्न होता है।

इतिहास
जोहान बर्नौली ने जून, 1696 में एक्टा एरुडिटोरम के पाठकों के लिए ब्रैचिस्टोक्रोन की समस्या को प्रस्तुत किया। Solutions to Johann Bernoulli's problem of 1696:
 * Isaac Newton (January 1697) "De ratione temporis quo grave labitur per rectam data duo puncta conjungentem, ad tempus brevissimum quo, vi gravitatis, transit ab horum uno ad alterum per arcum cycloidis" (On a proof [that] the time in which a weight slides by a line joining two given points [is] the shortest in terms of time when it passes, via gravitational force, from one of these [points] to the other through a cycloidal arc), Philosophical Transactions of the Royal Society of London, 19 : 424-425.
 * G.G.L. (Gottfried Wilhelm Leibniz) (May 1697) "Communicatio suae pariter, duarumque alienarum ad edendum sibi primum a Dn. Jo. Bernoullio, deinde a Dn. Marchione Hospitalio communicatarum solutionum problematis curva celerrimi descensus a Dn. Jo. Bernoullio Geometris publice propositi, una cum solutione sua problematis alterius ab eodem postea propositi." (His communication together with [those] of two others in a report to him first from Johann Bernoulli, [and] then from the Marquis de l'Hôpital, of reported solutions of the problem of the curve of quickest descent, [which was] publicly proposed by Johann Bernoulli, geometer — one with a solution of his other problem proposed afterward by the same [person].), Acta Eruditorum, 19 : 201–205.
 * Johann Bernoulli (May 1697) "Curvatura radii in diaphanis non uniformibus, Solutioque Problematis a se in Actis 1696, p. 269, propositi, de invenienda Linea Brachystochrona, id est, in qua grave a dato puncto ad datum punctum brevissimo tempore decurrit, & de curva Synchrona seu radiorum unda construenda." (The curvature of [light] rays in non-uniform media, and a solution of the problem [which was] proposed by me in the Acta Eruditorum of 1696, p. 269, from which is to be found the brachistochrone line [i.e., curve], that is, in which a weight descends from a given point to a given point in the shortest time, and on constructing the tautochrone or the wave of [light] rays.), Acta Eruditorum, 19 : 206–211.
 * Jacob Bernoulli (May 1697) "Solutio problematum fraternorum, … " (A solution of [my] brother's problems, … ), Acta Eruditorum, 19 : 211–214.
 * Marquis de l'Hôpital (May 1697) "Domini Marchionis Hospitalii solutio problematis de linea celerrimi descensus" (Lord Marquis de l'Hôpital's solution of the problem of the line of fastest descent), Acta Eruditorum, 19 : 217-220.
 * reprinted: Isaac Newton (May 1697)  "Excerpta ex Transactionibus Philos. Anglic. M. Jan. 1697." (Excerpt from the English Philosophical Transactions of the month of January in 1697), Acta Eruditorum, 19 :  223–224. उसने बोला:

"I, Johann Bernoulli, address the most brilliant mathematicians in the world. Nothing is more attractive to intelligent people than an honest, challenging problem, whose possible solution will bestow fame and remain as a lasting monument. Following the example set by Pascal, Fermat, etc., I hope to gain the gratitude of the whole scientific community by placing before the finest mathematicians of our time a problem which will test their methods and the strength of their intellect. If someone communicates to me the solution of the proposed problem, I shall publicly declare him worthy of praise"

बर्नौली ने समस्या कथन को इस प्रकार लिखा:

"Given two points A and B in a vertical plane, what is the curve traced out by a point acted on only by gravity, which starts at A and reaches B in the shortest time''."

जोहान और उनके भाई जैकब बर्नौली ने एक ही समाधान निकाला, लेकिन जोहान की व्युत्पत्ति गलत थी, और उन्होंने जैकब के समाधान को अपना मानने की कोशिश की। जोहान ने अगले वर्ष मई में पत्रिका में समाधान प्रकाशित किया, और नोट किया कि समाधान ह्यूजेन्स के टॉटोक्रोन वक्र के समान वक्र है। नीचे दी गई विधि द्वारा वक्र के लिए अवकल समीकरण प्राप्त करने के बाद, उन्होंने दिखाया कि यह एक चक्रज उत्पन्न करता है। हालांकि, तीन स्थिरांक के बजाय एक स्थिरांक के उपयोग से उसका प्रमाण खराब हो जाता है, vm, 2 जी और डी, नीचे।

बर्नौली ने समाधान के लिए छह महीने का समय दिया लेकिन इस अवधि के दौरान कोई भी प्राप्त नहीं हुआ। लाइबनिज़ के अनुरोध पर, समय को सार्वजनिक रूप से डेढ़ साल के लिए बढ़ा दिया गया था। 4 बजे। 29 जनवरी 1697 को जब वे रॉयल मिंट से घर पहुंचे, तो आइजैक न्यूटन को जोहान बर्नौली के एक पत्र में चुनौती मिली। न्यूटन इसे हल करने के लिए पूरी रात जागते रहे और अगली पोस्ट द्वारा समाधान को गुमनाम रूप से मेल कर दिया। समाधान पढ़ने पर, बर्नौली ने तुरंत अपने लेखक को पहचान लिया, यह कहते हुए कि वह अपने पंजे के निशान से एक शेर को पहचानता है। यह कहानी न्यूटन की शक्ति का कुछ अंदाजा देती है, क्योंकि जोहान बर्नौली ने इसे हल करने में दो सप्ताह का समय लिया। न्यूटन ने यह भी लिखा, मुझे गणित की चीजों के बारे में विदेशियों द्वारा ठगा जाना और चिढ़ाना पसंद नहीं है... और न्यूटन ने न्यूटन की न्यूनतम प्रतिरोध समस्या को पहले ही हल कर लिया था, जिसे विविधताओं के कैलकुलस में इस तरह का पहला माना जाता है।

अंत में, पांच गणितज्ञों ने समाधान के साथ जवाब दिया: न्यूटन, जैकब बर्नौली, गॉटफ्रीड लाइबनिज़, एहरनफ्राइड वाल्थर वॉन त्सचिर्नहॉस और गिलाउम डी ल'हॉपिटल। चार समाधान (ल'हॉपिटल्स को छोड़कर) पत्रिका के उसी संस्करण में प्रकाशित किए गए थे जो जोहान बर्नौली के रूप में थे। अपने पेपर में, जैकब बर्नौली ने यह दिखाने से पहले कि इसका समाधान एक चक्रवात है, कम से कम समय के लिए इसी तरह की स्थिति का प्रमाण दिया। न्यूटोनियन विद्वान टॉम व्हाईटसाइड के अनुसार, अपने भाई से आगे निकलने के प्रयास में, जैकब बर्नौली ने ब्रैचिस्टोक्रोन समस्या का एक कठिन संस्करण बनाया। इसे हल करने में, उन्होंने नए तरीके विकसित किए जिन्हें लियोनहार्ड यूलर द्वारा परिष्कृत किया गया था जिसे बाद में (1766 में) विविधताओं का कैलकुलस कहा गया था। जोसेफ-लुई लैग्रेंज ने आगे काम किया जिसके परिणामस्वरूप आधुनिक इनफिनिटिमल कैलकुलस हुआ।

इससे पहले, 1638 में, गैलीलियो ने अपने टू न्यू साइंसेज में एक बिंदु से एक दीवार तक सबसे तेज़ वंश के मार्ग के लिए इसी तरह की समस्या को हल करने का प्रयास किया था। वह यह निष्कर्ष निकालता है कि एक वृत्त का चाप उसकी जीवाओं की किसी भी संख्या से तेज होता है, पूर्ववर्ती से यह अनुमान लगाया जा सकता है कि एक बिंदु से दूसरे बिंदु तक सभी [लेशनेम ऑम्नियम वेलोसिसिमम] का सबसे तेज़ मार्ग, सबसे छोटा रास्ता नहीं है, अर्थात् एक सीधी रेखा, बल्कि एक वृत्त का चाप है। ... नतीजतन, उत्कीर्ण बहुभुज एक सर्कल के जितना करीब पहुंचता है, ए से सी तक उतरने के लिए उतना ही कम समय लगता है। क्वाड्रंट के लिए जो साबित हुआ है वह छोटे चापों के लिए भी सही है; तर्क वही है।

दो नए विज्ञानों के प्रमेय 6 के ठीक बाद, गैलीलियो ने संभावित भ्रांतियों और उच्च विज्ञान की आवश्यकता की चेतावनी दी। इस संवाद में गैलीलियो अपने काम की समीक्षा करते हैं। गैलीलियो ने चक्रवात का अध्ययन किया और उसे इसका नाम दिया, लेकिन इसके और उसकी समस्या के बीच संबंध को गणित में प्रगति के लिए इंतजार करना पड़ा। गैलीलियो का अनुमान है कि "सभी का सबसे छोटा समय [एक जंगम शरीर के लिए] चाप एडीबी [एक चौथाई सर्कल के] के साथ गिरने का होगा और इसी तरह के गुणों को सबसे कम से ऊपर की ओर ले जाने वाले सभी छोटे चापों के लिए होल्डिंग के रूप में समझा जाना चाहिए। सीमा बी।"

चित्र 1 में, "दो मुख्य विश्व प्रणालियों के संबंध में संवाद" से, गैलीलियो का दावा है कि ए से बी तक एक चौथाई सर्कल के गोलाकार चाप के साथ फिसलने वाला शरीर कम समय में बी तक पहुंच जाएगा, अगर उसने कोई अन्य रास्ता अपनाया हो ए से बी। इसी तरह, आकृति 2 में, चाप एबी पर किसी भी बिंदु डी से, वह दावा करता है कि कम चाप डीबी के साथ समय डी से बी तक किसी भी अन्य पथ के लिए कम होगा। वास्तव में, से सबसे तेज पथ ए से बी या डी से बी तक, ब्राचिस्टोक्रोन, एक साइक्लोइडल चाप है, जो चित्र 3 में ए से बी के पथ के लिए दिखाया गया है, और चित्र 4 में डी से बी के पथ के लिए संबंधित गोलाकार चाप पर लगाया गया है।.

परिचय
L'Hôpital, (21/12/1696) को लिखे एक पत्र में, बर्नौली ने कहा कि जब सबसे तेज अवतरण की वक्र की समस्या पर विचार किया गया, तो केवल 2 दिनों के बाद उन्होंने एक जिज्ञासु आत्मीयता या किसी अन्य के साथ संबंध देखा, जो कम उल्लेखनीय समस्या नहीं थी। समाधान की 'अप्रत्यक्ष विधि'। फिर कुछ ही समय बाद उन्होंने एक 'प्रत्यक्ष विधि' की खोज की।

प्रत्यक्ष विधि
30 मार्च 1697 को बेसल पब्लिक लाइब्रेरी विश्वविद्यालय में आयोजित हेनरी बस्नेज को लिखे एक पत्र में, जोहान बर्नौली ने कहा कि उन्हें यह दिखाने के लिए दो तरीके (हमेशा प्रत्यक्ष और अप्रत्यक्ष रूप से संदर्भित) मिले हैं कि ब्रैचिस्टोक्रोन सामान्य साइक्लोइड था, साथ ही रूले कहा जाता है। लीबनिज़ की सलाह के बाद, उन्होंने मई 1697 के एक्टा एरुडिटोरम लिप्सिडे में केवल अप्रत्यक्ष विधि को शामिल किया। उन्होंने लिखा कि यह आंशिक रूप से था क्योंकि उनका मानना ​​​​था कि यह निष्कर्ष पर संदेह करने वाले किसी को भी समझाने के लिए पर्याप्त था, आंशिक रूप से क्योंकि इसने प्रकाशिकी में दो प्रसिद्ध समस्याओं का समाधान भी किया था। कि स्वर्गीय मिस्टर ह्यूजेंस ने प्रकाश पर अपने ग्रंथ में उठाया था। उसी पत्र में उन्होंने अपने तरीके को छिपाने के लिए न्यूटन की आलोचना की।

अपनी परोक्ष पद्धति के अतिरिक्त उन्होंने प्राप्त हुई समस्या के पाँच अन्य उत्तरों को भी प्रकाशित किया।

जोहान बर्नौली की प्रत्यक्ष विधि इस बात के प्रमाण के रूप में ऐतिहासिक रूप से महत्वपूर्ण है कि ब्राचिस्टोक्रोन साइक्लोइड है। विधि प्रत्येक बिंदु पर वक्र की वक्रता निर्धारित करना है। न्यूटन (जो उस समय प्रकट नहीं हुआ था) सहित अन्य सभी प्रमाण प्रत्येक बिंदु पर ढाल खोजने पर आधारित हैं।

1718 में, बर्नौली ने बताया कि कैसे उन्होंने अपनी सीधी विधि से ब्राचिस्टोक्रोन समस्या को हल किया। उन्होंने समझाया कि उन्होंने इसे 1697 में प्रकाशित नहीं किया था, उन कारणों से जो अब 1718 में लागू नहीं हुए थे। इस पेपर को 1904 तक काफी हद तक नजरअंदाज कर दिया गया था, जब कॉन्स्टेंटिन कैराथेओडोरी ने पहली बार विधि की गहराई की सराहना की, जिन्होंने कहा कि यह दर्शाता है कि साइक्लोइड है सबसे तेज अवतरण का एकमात्र संभव वक्र। उनके अनुसार, अन्य समाधानों का सीधा सा अर्थ यह है कि वंश का समय चक्रवात के लिए स्थिर है, लेकिन जरूरी नहीं कि न्यूनतम संभव हो।

विश्लेषणात्मक समाधान
एक पिंड को त्रिज्या KC और Ke के बीच किसी भी छोटे गोलाकार चाप Ce के साथ सरकते हुए माना जाता है, जिसमें केंद्र K निश्चित होता है। सबूत के पहले चरण में विशेष गोलाकार चाप, मिमी ढूंढना शामिल है, जिसे शरीर न्यूनतम समय में पार करता है।

रेखा KNC AL को N पर काटती है, और रेखा Kne इसे n पर काटती है, और वे K पर एक छोटा कोण CKe बनाती हैं। मान लीजिए NK = a है, और KN पर विस्तारित एक चर बिंदु, C को परिभाषित करता है। सभी संभावित वृत्ताकार चापों Ce में से, चाप Mm ज्ञात करना आवश्यक है, जिसे 2 त्रिज्या, KM और Km के बीच स्लाइड करने के लिए न्यूनतम समय की आवश्यकता होती है। एमएम बर्नौली को खोजने के लिए निम्नानुसार तर्क देते हैं।

मान लीजिए एमएन = एक्स। वह m को परिभाषित करता है ताकि MD = mx, और n ताकि Mm = nx + na और नोट किया जा सके कि x एकमात्र चर है और m परिमित है और n असीम रूप से छोटा है। चाप Mm के अनुदिश यात्रा करने के लिए कम समय है $$ \frac{Mm}{MD^{\frac{1}{2}}} = \frac{n(x + a)}{(mx)^{\frac{1}{2}}} $$, जो न्यूनतम होना चाहिए ('संयुक्त राष्ट्र प्लस पेटिट')। वह यह नहीं समझाता है कि क्योंकि Mm इतना छोटा है कि इसके साथ गति को M पर गति माना जा सकता है, जो कि MD के वर्गमूल के रूप में है, क्षैतिज रेखा AL के नीचे M की ऊर्ध्वाधर दूरी है।

यह इस प्रकार है कि, विभेदित होने पर इसे देना होगा

\frac{(x - a)dx}{2x^{\frac{3}{2}}} = 0 $$ ताकि एक्स = ए।

यह स्थिति उस वक्र को परिभाषित करती है जिससे शरीर कम से कम समय में स्लाइड करता है। प्रत्येक बिंदु के लिए, वक्र पर M, वक्रता की त्रिज्या, MK को इसके अक्ष AL द्वारा 2 बराबर भागों में काटा जाता है। यह संपत्ति, जिसे बर्नौली कहते हैं, लंबे समय से जानी जाती थी, चक्रवात के लिए अद्वितीय है।

अंत में, वह अधिक सामान्य मामले पर विचार करता है जहां गति एक मनमाना कार्य एक्स (एक्स) है, इसलिए कम से कम समय है $$ \frac{(x + a)}{X} $$. न्यूनतम शर्त तब बन जाती है $$ X = \frac{(x + a)dX}{dx} $$ जिसे वह इस प्रकार लिखता है:$$ X = (x + a)\Delta x $$ और जो NK (= a) के फलन के रूप में MN (=x) देता है। इससे वक्र का समीकरण समाकलन कलन से प्राप्त किया जा सकता है, हालांकि वह इसे प्रदर्शित नहीं करता है।

सिंथेटिक समाधान
उसके बाद वह अपने सिंथेटिक सॉल्यूशन के साथ आगे बढ़ता है, जो कि एक शास्त्रीय, ज्यामितीय प्रमाण था, कि केवल एक ही वक्र है कि एक शरीर न्यूनतम समय में नीचे स्लाइड कर सकता है, और वह वक्र साइक्लोइड है।

पूर्वजों के तरीके से सिंथेटिक प्रदर्शन का कारण मिस्टर डे ला हायर को मनाना है। उनके पास हमारे नए विश्लेषण के लिए बहुत कम समय है, इसे झूठा बताते हुए (वह दावा करते हैं कि उन्होंने यह साबित करने के लिए 3 तरीके खोजे हैं कि वक्र एक घन परवलय है) - 27 जुलाई 1697 को जोहान बर्नौली से पियरे वेरिग्नन को पत्र। मान लें कि AMmB, A से B को मिलाने वाले चक्रज का वह भाग है, जिसे पिंड न्यूनतम समय में नीचे की ओर खिसकता है। आईसीसीजे को ए से बी में शामिल होने वाले एक अलग वक्र का हिस्सा बनने दें, जो एएमबीबी की तुलना में एएल के करीब हो सकता है। यदि चाप Mm अपने वक्रता केंद्र K पर कोण MKm को घटाता है, तो IJ पर चाप जो समान कोण को अंतरित करता है, Cc होने दें। केंद्र K के साथ C से होकर जाने वाला वृत्ताकार चाप Ce है। AL पर बिंदु D, M के ऊपर लंबवत है। K को D से मिलाएँ और बिंदु H वह स्थान है जहाँ CG, KD को काटता है, यदि आवश्यक हो तो बढ़ाया जाता है।

होने देना $$ \tau $$ और t वह समय है जब शरीर क्रमशः Mm और Ce के साथ गिरता है।


 * $$ \tau \propto \frac{Mm}{MD^{\frac{1}{2}}} $$, $$ t \propto \frac{Ce}{CG^{\frac{1}{2}}} $$,

CG को बिंदु F तक बढ़ाएँ जहाँ, $$ CF = \frac{CH^2}{MD} $$ और तबसे $$ \frac{Mm}{Ce}  = \frac{MD}{CH} $$, यह इस प्रकार है कि
 * $$ \frac {\tau}{t} = \frac{Mm}{Ce}.\left({\frac{CG}{MD}}\right)^{\frac{1}{2}} = \left({\frac{CG}{CF}}\right)^{\frac{1}{2}} $$

चूंकि एमएन = एनके, चक्रवात के लिए:
 * $$ GH = \frac{MD.HD}{DK} = \frac{MD.CM}{MK} $$, $$ CH = \frac{MD.CK}{MK} = \frac{MD.(MK + CM)}{MK} $$, तथा $$ CG = CH + GH = \frac{MD.(MK + 2CM)}{MK} $$

यदि C, M से K के अधिक निकट है तो
 * $$ CH = \frac{MD.(MK - CM)}{MK} $$ तथा $$ CG = CH - GH = \frac{MD.(MK - 2CM)}{MK} $$

किसी भी मामले में,
 * $$ CF = \frac{CH^2}{MD} > CG $$, और यह इस प्रकार है $$ \tau < t $$

यदि चाप, Cc कोण से अंतरित कोण MKm IJ पर वृत्ताकार नहीं है, तो यह Ce से बड़ा होना चाहिए, क्योंकि Cec सीमा में एक समकोण बन जाता है क्योंकि कोण MKm शून्य के करीब पहुंचता है।

ध्यान दें, बर्नौली एक समान लेकिन भिन्न तर्क से CF > CG सिद्ध करता है।

इससे वह यह निष्कर्ष निकालता है कि एक पिंड किसी भी अन्य वक्र एसीबी की तुलना में कम समय में साइक्लॉयड एएमबी को पार करता है।

अप्रत्यक्ष विधि
फ़र्मेट के सिद्धांत के अनुसार, प्रकाश की किरण द्वारा लिए गए दो बिंदुओं के बीच का वास्तविक पथ वह होता है जिसमें सबसे कम समय लगता है। 1697 में जोहान बर्नौली ने एक ऐसे माध्यम में प्रकाश की किरण के प्रक्षेपवक्र पर विचार करके ब्राचिस्टोक्रोन वक्र प्राप्त करने के लिए इस सिद्धांत का उपयोग किया, जहां प्रकाश की गति एक निरंतर ऊर्ध्वाधर त्वरण (गुरुत्वाकर्षण जी) के बाद बढ़ जाती है। ऊर्जा के संरक्षण से, एक समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में ऊँचाई y गिरने के बाद शरीर की तात्कालिक गति v द्वारा दी जाती है:
 * $$v=\sqrt{2gy}$$,

एक मनमाना वक्र के साथ शरीर की गति की गति क्षैतिज विस्थापन पर निर्भर नहीं करती है।

बर्नौली ने नोट किया कि स्नेल का नियम चर घनत्व के माध्यम में प्रकाश की किरण के लिए गति का एक स्थिरांक देता है:
 * $$\frac{\sin{\theta}}{v}=\frac{1}{v}\frac{dx}{ds}=\frac{1}{v_m}$$,

जहां वीmस्थिर है और$$\theta$$ऊर्ध्वाधर के संबंध में प्रक्षेपवक्र के कोण का प्रतिनिधित्व करता है।

उपरोक्त समीकरण दो निष्कर्षों की ओर ले जाते हैं:
 * 1) शुरुआत में कण की गति शून्य होने पर कोण शून्य होना चाहिए। इसलिए, ब्राचिस्टोक्रोन वक्र मूल में ऊर्ध्वाधर के स्पर्शरेखा है।
 * 2) गति अधिकतम मान तक पहुंच जाती है जब प्रक्षेपवक्र क्षैतिज हो जाता है और कोण θ = 90° हो जाता है।

सरलता के लिए यह मानते हुए कि निर्देशांक (x, y) के साथ कण (या बीम) बिंदु (0,0) से प्रस्थान करता है और एक ऊर्ध्वाधर दूरी D गिरने के बाद अधिकतम गति तक पहुंचता है:
 * $$v_m=\sqrt{2gD}$$.

अपवर्तन और वर्गकरण के नियम में पदों को पुनर्व्यवस्थित करने से यह प्राप्त होता है:
 * $$v_m^2 dx^2=v^2 ds^2=v^2 (dx^2+dy^2)$$

जिसे डीएक्स के लिए डाई के संदर्भ में हल किया जा सकता है:
 * $$dx=\frac{v\, dy}{\sqrt{v_m^2-v^2}}$$.

v और v. के व्यंजकों से प्रतिस्थापित करनाmऊपर देता है:
 * $$dx=\sqrt{\frac{y}{D-y}}\,dy\,,$$

जो व्यास D=2r के एक वृत्त द्वारा उत्पन्न उल्टे चक्रवात का अंतर समीकरण है, जिसका पैरामीट्रिक समीकरण है:
 * $$\begin{align}

x &= r(\varphi - \sin \varphi) \\ y &= r(1 - \cos \varphi). \end{align}$$ जहां एक वास्तविक पैरामीटर है, जो उस कोण के अनुरूप है जिससे रोलिंग सर्कल घूमता है। दिए गए के लिए, वृत्त का केंद्र पर स्थित है $(x, y) = (rφ, r)$.

ब्राचिस्टोक्रोन समस्या में, शरीर की गति को पैरामीटर के समय के विकास द्वारा दिया जाता है:
 * $$\varphi(t)=\omega t\,,\omega=\sqrt{\frac{g}{r}}$$

जहाँ t बिंदु (0,0) से पिंड के निकलने का समय है।

जैकब बर्नौली का समाधान
जोहान के भाई जैकब बर्नौली ने दिखाया कि कम से कम समय के लिए स्थिति प्राप्त करने के लिए दूसरे अंतर का उपयोग कैसे किया जा सकता है। सबूत का एक आधुनिक संस्करण इस प्रकार है। यदि हम कम से कम समय के पथ से एक नगण्य विचलन करते हैं, तो पथ के साथ विस्थापन और क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर विस्थापन द्वारा गठित अंतर त्रिभुज के लिए,


 * $$ds^2=dx^2+dy^2$$.

डाई फिक्स्ड के साथ भेदभाव करने पर हम प्राप्त करते हैं,


 * $$2ds\ d^2s=2dx\ d^2x$$.

और अंत में शर्तों को फिर से व्यवस्थित करना देता है,


 * $$\frac{dx}{ds}d^2x=d^2s=v\ d^2t$$

जहां अंतिम भाग दूसरे अंतर के लिए समय में दिए गए परिवर्तन के लिए विस्थापन है। अब नीचे दिए गए चित्र में दो पड़ोसी पथों के साथ उन परिवर्तनों पर विचार करें जिनके लिए केंद्रीय रेखा के साथ पथों के बीच क्षैतिज पृथक्करण d. है2x (ऊपरी और निचले अंतर त्रिभुजों दोनों के लिए समान)। पुराने और नए रास्तों के साथ, अलग-अलग हिस्से हैं, :$$d^2t_1=\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}d^2x$$
 * $$d^2t_2=\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}d^2x$$

कम से कम समय के पथ के लिए ये समय समान हैं इसलिए उनके अंतर के लिए हमें मिलता है,
 * $$d^2t_2-d^2t_1=0=\bigg(\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}-\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}\bigg)d^2x$$

और कम से कम समय के लिए शर्त है,
 * $$\frac{1}{v_2}\frac{dx_2}{ds_2}=\frac{1}{v_1}\frac{dx_1}{ds_1}$$

जो स्नेल के नियम के आधार पर जोहान की धारणा से सहमत है।

परिचय
जून 1696 में, जोहान बर्नौली ने अंतरराष्ट्रीय गणितीय समुदाय के लिए एक चुनौती पेश करने के लिए एक्टा एरुडिटोरम लिप्सिडे के पन्नों का इस्तेमाल किया था: दो निश्चित बिंदुओं में शामिल होने वाले वक्र के रूप को खोजने के लिए ताकि एक द्रव्यमान इसके साथ नीचे स्लाइड कर सके, के प्रभाव में अकेले गुरुत्वाकर्षण, न्यूनतम समय में। समाधान मूल रूप से छह महीने के भीतर प्रस्तुत किया जाना था। लीबनिज़ के सुझाव पर, बर्नौली ने नीदरलैंड में ग्रोनिंगन में प्रकाशित प्रोग्रामा नामक एक मुद्रित पाठ के माध्यम से ईस्टर 1697 तक चुनौती को आगे बढ़ाया।

कार्यक्रम ग्रेगोरियन कैलेंडर में 1 जनवरी 1697 को दिनांकित है। यह 22 दिसंबर 1696 को जूलियन कैलेंडर में, ब्रिटेन में प्रयोग में था। न्यूटन की भतीजी कैथरीन कोंडुइट के अनुसार, न्यूटन को 29 जनवरी को शाम 4 बजे चुनौती के बारे में पता चला और अगली सुबह 4 बजे तक इसे हल कर लिया। उनका समाधान, रॉयल सोसाइटी को सूचित किया गया, दिनांक 30 जनवरी है। यह समाधान, जिसे बाद में फिलॉसॉफिकल ट्रांजैक्शन में गुमनाम रूप से प्रकाशित किया गया, सही है, लेकिन उस तरीके का संकेत नहीं देता जिसके द्वारा न्यूटन अपने निष्कर्ष पर पहुंचे। बर्नौली ने मार्च 1697 में हेनरी बस्नेज को लिखा, संकेत दिया कि भले ही इसके लेखक ने, विनम्रता से अधिक, अपना नाम प्रकट नहीं किया था, फिर भी कम विवरण से भी इसे न्यूटन के काम के रूप में पहचाना जा सकता है, इसके पंजे से शेर के रूप में पहचाना जा सकता है (लैटिन में, पूर्व अनग्यू लियोनेम)।

डी. टी. व्हाईटसाइड लैटिन अभिव्यक्ति की उत्पत्ति के बारे में काफी विस्तार से बताते हैं, मूल रूप से ग्रीक से। फ्रेंच में अक्षर में 'एक्स अनग्यू लियोनेम' है जिसके पहले फ्रेंच शब्द 'कॉमे' है। 1855 में न्यूटन के जीवन और कार्यों पर डेविड ब्रूस्टर की पुस्तक के कारण बहुप्रचारित संस्करण 'टैनक्वाम एक्स अनग्यू लियोनेम' है। बर्नौली का इरादा बस इतना था कि वह बता सकता था कि अज्ञात समाधान न्यूटन का था, जैसे कि यह बताना संभव था कि एक जानवर एक शेर था जिसे उसका पंजा दिया गया था। यह सुझाव देने के लिए नहीं था कि बर्नौली ने न्यूटन को गणितज्ञों के बीच शेर माना, क्योंकि तब से इसकी व्याख्या की जाने लगी है। जॉन वालिस, जो उस समय 80 वर्ष के थे, ने सितंबर 1696 में जोहान बर्नौली के सबसे छोटे भाई हिरेमोनस से समस्या के बारे में सीखा था, और दिसंबर में डेविड ग्रेगरी (गणितज्ञ) को पारित करने से पहले इसे हल करने का प्रयास करने में तीन महीने बिताए थे, जो भी असफल रहे इसे हल करने के लिए। न्यूटन द्वारा अपना समाधान प्रस्तुत करने के बाद, ग्रेगरी ने उनसे विवरण मांगा और उनकी बातचीत से नोट्स बनाए। ये एडिनबर्ग विश्वविद्यालय के पुस्तकालय, पांडुलिपि A. में पाए जा सकते हैं $$78^1$$, दिनांक 7 मार्च 1697। या तो ग्रेगरी न्यूटन के तर्क को नहीं समझ पाए, या न्यूटन की व्याख्या बहुत संक्षिप्त थी। हालांकि, उच्च स्तर के आत्मविश्वास के साथ, ग्रेगरी के नोट्स से न्यूटन के प्रमाण का निर्माण करना संभव है, न्यूनतम प्रतिरोध (प्रिंसिपिया, पुस्तक 2, प्रस्ताव 34, स्कोलियम 2) के ठोस को निर्धारित करने की उनकी विधि के अनुरूप। इस बाद की समस्या के उनके समाधान का विस्तृत विवरण 1694 में डेविड ग्रेगरी को लिखे एक पत्र के मसौदे में भी शामिल है। न्यूनतम समय वक्र समस्या के अलावा एक दूसरी समस्या थी जिसे न्यूटन ने भी उसी समय हल किया था। दोनों समाधान जनवरी 1697 के लिए रॉयल सोसाइटी के दार्शनिक लेनदेन में गुमनाम रूप से दिखाई दिए।

ब्राचिस्टोक्रोन समस्या
अंजीर। 1, ग्रेगरी का आरेख दिखाता है (अतिरिक्त रेखा को छोड़कर IF इसमें अनुपस्थित है, और Z, प्रारंभ बिंदु जोड़ा गया है)। वक्र ZVA एक चक्रज है और CHV इसका जनक वृत्त है। चूँकि ऐसा प्रतीत होता है कि पिंड e से E की ओर ऊपर की ओर बढ़ रहा है, इसलिए यह माना जाना चाहिए कि एक छोटा पिंड Z से मुक्त होता है और गुरुत्वाकर्षण की क्रिया के तहत वक्र के साथ A तक बिना घर्षण के स्लाइड करता है।

एक छोटे चाप eE पर विचार करें, जिस पर पिंड चढ़ रहा है। मान लें कि यह सीधी रेखा eL से बिंदु L तक जाती है, जो चाप eE के बजाय E से थोड़ी दूरी, o से क्षैतिज रूप से विस्थापित होती है। ध्यान दें, कि eL, e पर स्पर्शरेखा नहीं है, और जब L, B और E के बीच में होता है, तो 0 ऋणात्मक होता है। E से होकर CH के समानांतर रेखा खींचिए, eL को n पर काटिए। चक्रज के एक गुण से, En, E पर स्पर्श रेखा का अभिलंब है, और इसी प्रकार E पर स्पर्श रेखा VH के समानांतर है।

चूंकि विस्थापन EL छोटा है, यह E पर स्पर्शरेखा से दिशा में थोड़ा भिन्न होता है ताकि कोण EnL एक समकोण के करीब हो। सीमा में जैसे ही चाप eE शून्य के करीब पहुंचता है, eL VH के समानांतर हो जाता है, बशर्ते o, eE की तुलना में छोटा हो, जिससे त्रिभुज EnL और CHV समान हो जाते हैं।

साथ ही जीवा ईई की लंबाई और लंबाई में वृद्धि के करीब पहुंचता है, $$eL - eE = nL= \frac{o.CH}{CV}$$, में शर्तों की अनदेखी $$ o^2 $$ और उच्चतर, जो इस सन्निकटन के कारण त्रुटि का प्रतिनिधित्व करते हैं कि eL और VH समानांतर हैं।

ईई या ईएल के साथ गति को ई के समानुपाती लिया जा सकता है $$\sqrt{CB}$$, जो सीएच के रूप में है, क्योंकि $$CH=\sqrt{CB.CV}$$ ऐसा प्रतीत होता है कि ग्रेगरी के नोट में वह सब कुछ है।

माना L तक पहुँचने के लिए अतिरिक्त समय t है,

$$t \propto \frac{nL}{\sqrt{CB}} =\frac{o.CH}{CV.\sqrt{CB}} = \frac{o}{\sqrt{CV}}$$ इसलिए, एक समापन बिंदु पर विस्थापित एक छोटे चाप को पार करने के लिए समय में वृद्धि केवल समापन बिंदु पर विस्थापन पर निर्भर करती है और चाप की स्थिति से स्वतंत्र होती है। हालांकि, न्यूटन की विधि के अनुसार, वक्र को न्यूनतम संभव समय में पार करने के लिए यह केवल आवश्यक शर्त है। इसलिए, वह निष्कर्ष निकालता है कि न्यूनतम वक्र चक्रवात होना चाहिए।

वह इस प्रकार तर्क करता है।

अब यह मानते हुए कि अंजीर। 1 न्यूनतम वक्र है जो अभी तक निर्धारित नहीं है, ऊर्ध्वाधर अक्ष सीवी के साथ, और सर्कल सीएचवी हटा दिया गया है, और अंजीर। 2 इनफिनिटिमल आर्क ईई और एक और इनफिनिटिमल आर्क एफएफ के बीच वक्र का हिस्सा दिखाता है। वक्र। अतिरिक्त समय, t, eL (eE के बजाय) को पार करने के लिए nL को E की गति से विभाजित किया जाता है (आनुपातिक से $$\sqrt{CB}$$), में शर्तों को अनदेखा करना $$ o^2 $$ और उच्चा:

$$t \propto \frac{o.DE}{eE.\sqrt{CB}}$$,

L पर कण मूल EF के समानांतर पथ LM के साथ कुछ मनमाना बिंदु M तक जारी रहता है। चूंकि इसकी गति L पर E के समान है, LM को पार करने का समय उतना ही है जितना कि यह मूल के साथ होता। वक्र ईएफ। M पर यह बिंदु f पर मूल पथ पर लौटता है। इसी तर्क से, समय में कमी, टी, एफ के बजाय एम से एफ तक पहुंचने के लिए है

$$T \propto \frac{o.FG}{Ff.\sqrt{CI}}$$ अंतर (t - T) मूल eEFf की तुलना में eLMf पथ में लगने वाला अतिरिक्त समय है:

$$(t - T) \propto \left(\frac{DE}{eE\sqrt{CB}} - \frac{FG}{Ff\sqrt{CI}}\right).o $$ प्लस टर्म्स इन $$ o^2 $$ और उच्चतर (1)

क्योंकि eEFf न्यूनतम वक्र है, (t - T) शून्य से बड़ा होना चाहिए, चाहे o धनात्मक हो या ऋणात्मक। यह इस प्रकार है कि o in (1) का गुणांक शून्य होना चाहिए:

$$ \frac{DE}{eE\sqrt{CB}} = \frac{FG}{Ff\sqrt{CI}} $$ (2) सीमा में जैसे-जैसे ईई और एफएफ शून्य के करीब पहुंचते हैं। ध्यान दें क्योंकि eEFf न्यूनतम वक्र है, इसलिए यह माना जाना चाहिए कि का गुणांक $$ o^2 $$ शून्य से बड़ा है।

स्पष्ट रूप से 2 समान और विपरीत विस्थापन होने चाहिए, या शरीर वक्र के अंतिम बिंदु, A पर वापस नहीं आएगा।

यदि e स्थिर है, और यदि f को वक्र के ऊपर एक चर बिंदु माना जाता है, तो ऐसे सभी बिंदुओं के लिए, f, $$ \frac{FG}{Ff\sqrt{CI}} $$ स्थिर है (के बराबर $$ \frac{DE}{eE\sqrt{CB}} $$) f को स्थिर रखने और e को चर बनाने से यह स्पष्ट है कि $$ \frac{DE}{eE\sqrt{CB}} $$ भी स्थिर है।

लेकिन, चूँकि बिंदु, e और f स्वेच्छ हैं, समीकरण (2) केवल तभी सत्य हो सकता है जब $$ \frac{DE}{eE\sqrt{CB}} = \text{constant} $$, हर जगह, और यह स्थिति उस वक्र की विशेषता है जिसे चाहा गया है। यह वही तकनीक है जिसका उपयोग वह कम से कम प्रतिरोध के ठोस के रूप को खोजने के लिए करता है।

चक्रवात के लिए, $$ \frac{DE}{eE} = \frac{BH}{VH} = \frac{CH}{CV} $$, ताकि $$ \frac{DE}{eE\sqrt{CB}} = \frac{CH}{CV.\sqrt{CB}} $$, जिसे ऊपर स्थिर दिखाया गया था, और ब्रैचिस्टोक्रोन साइक्लोइड है।

न्यूटन ने इस बात का कोई संकेत नहीं दिया कि उन्होंने कैसे पता लगाया कि चक्रवात इस अंतिम संबंध को संतुष्ट करता है। यह परीक्षण और त्रुटि से हो सकता है, या हो सकता है कि उसने तुरंत पहचान लिया हो कि इसका मतलब वक्र चक्र था।

यह भी देखें

 * अरस्तू का पहिया विरोधाभास
 * बेलट्रामी पहचान
 * विविधताओं की गणना
 * कैटेनरी
 * चक्रवात
 * न्यूटन की न्यूनतम प्रतिरोध समस्या
 * तौटोक्रोन वक्र
 * ट्रोकोइड
 * गति के समीकरण# समान रूप से त्वरित रैखिक गति के समीकरण

बाहरी संबंध



 * Brachistochrone ( at MathCurve, with excellent animated examples)
 * The Brachistochrone, Whistler Alley Mathematics.
 * Table IV from Bernoulli's article in Acta Eruditorum 1697
 * Brachistochrones by Michael Trott and Brachistochrone Problem by Okay Arik, Wolfram Demonstrations Project.
 * The Brachistochrone problem at MacTutor
 * Geodesics Revisited — Introduction to geodesics including two ways of derivation of the equation of geodesic with brachistochrone as a special case of a geodesic.
 * Optimal control solution to the Brachistochrone problem in Python.
 * The straight line, the catenary, the brachistochrone, the circle, and Fermat Unified approach to some geodesics.