लिंकिंग नंबर

गणित में, लिंकिंग संख्या एक संख्यात्मक अपरिवर्तनीय (गणित) है जो त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बंद वक्रों को जोड़ने का वर्णन करता है। सहजता से, लिंकिंग संख्या उस समय की संख्या को दर्शाती है जो प्रत्येक वक्र दूसरे के चारों ओर घूमती है। यूक्लिडियन स्पेस में, लिंकिंग नंबर हमेशा एक पूर्णांक होता है, लेकिन दो वक्रों के वक्र अभिविन्यास के आधार पर सकारात्मक या नकारात्मक हो सकता है (यह अधिकांश 3-मैनिफोल्ड्स में घटता के लिए सही नहीं है, जहां लिंकिंग नंबर भिन्न भी हो सकते हैं या नहीं बिल्कुल मौजूद हैं)।

लिंकिंग इंटीग्रल के रूप में लिंकिंग नंबर कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा पेश किया गया था। यह गाँठ सिद्धांत, बीजगणितीय टोपोलॉजी और विभेदक ज्यामिति में अध्ययन का एक महत्वपूर्ण उद्देश्य है, और क्वांटम यांत्रिकी, विद्युत चुंबकत्व और डीएनए सुपरकोइलिंग के अध्ययन सहित गणित और विज्ञान में कई अनुप्रयोग हैं।

परिभाषा
अंतरिक्ष में कोई भी दो बंद वक्र, यदि उन्हें स्वयं से गुजरने की अनुमति दी जाती है, लेकिन एक दूसरे को नहीं, निम्नलिखित मानक स्थितियों में से एक में होमोटॉपी हो सकता है। यह लिंकिंग संख्या निर्धारित करता है: इस गति के दौरान प्रत्येक वक्र अपने आप से गुजर सकता है, लेकिन दो वक्रों को पूरी तरह से अलग रहना चाहिए। इसे नियमित होमोटॉपी के रूप में औपचारिक रूप दिया गया है, जिसके लिए आगे की आवश्यकता है कि प्रत्येक वक्र एक विसर्जन (गणित) हो, न कि केवल कोई नक्शा। हालाँकि, यह जोड़ी गई स्थिति लिंकिंग नंबर की परिभाषा को नहीं बदलती है (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि वक्र हमेशा विसर्जन के लिए आवश्यक हैं या नहीं), जो कि एच-सिद्धांत का एक उदाहरण है। एच-सिद्धांत (होमोटोपी-सिद्धांत), जिसका अर्थ है कि ज्यामिति टोपोलॉजी को कम कर देती है।

प्रमाण
यह तथ्य (कि लिंकिंग नंबर एकमात्र इनवेरिएंट है) एक सर्कल को मानक स्थिति में रखकर सबसे आसानी से सिद्ध किया जाता है, और फिर यह दिखाया जाता है कि लिंकिंग नंबर दूसरे सर्कल का एकमात्र इनवेरिएंट है। विस्तार से:
 * एक एकल वक्र एक मानक वृत्त के लिए नियमित होमोटोपिक होता है (यदि वक्र को स्वयं से गुजरने की अनुमति दी जाती है तो किसी भी गाँठ को अनकॉट किया जा सकता है)। तथ्य यह है कि यह होमोटोपिक स्पष्ट है, क्योंकि 3-स्पेस सिकुड़ा जा सकता है और इस प्रकार इसमें सभी नक्शे होमोटोपिक हैं, हालांकि तथ्य यह है कि यह विसर्जन के माध्यम से किया जा सकता है, इसके लिए कुछ ज्यामितीय तर्क की आवश्यकता होती है।
 * एक मानक सर्कल का पूरक एक बिंदु के साथ एक ठोस टोरस के लिए होमोमोर्फिक है (इसे 3-स्पेस को 3-गोले के रूप में व्याख्या करके देखा जा सकता है, अनंत पर बिंदु के साथ हटा दिया गया है, और 3-गोले को दो ठोस टोरी के साथ चिपकाया गया है) सीमा), या पूरक का सीधे विश्लेषण किया जा सकता है।
 * 3-स्पेस माइनस सर्कल का मूल समूह पूर्णांक है, जो लिंकिंग नंबर के अनुरूप है। इसे सेफ़र्ट-वैन कम्पेन प्रमेय के माध्यम से देखा जा सकता है (या तो एक ठोस टोरस प्राप्त करने के लिए अनंत पर बिंदु जोड़ना, या 3-स्पेस प्राप्त करने के लिए सर्कल को जोड़ना, वांछित स्थान के मौलिक समूह की गणना करने की अनुमति देता है)।
 * इस प्रकार 3-स्पेस माइनस सर्कल में कर्व की होमोटॉपी क्लासेस को लिंकिंग नंबर द्वारा निर्धारित किया जाता है।
 * यह भी सच है कि नियमित होमोटॉपी क्लासेस को लिंकिंग नंबर द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसके लिए अतिरिक्त ज्यामितीय तर्क की आवश्यकता होती है।

लिंकिंग नंबर की गणना
लिंक नॉट थ्योरी # नॉट डायग्राम से दो कर्व्स की लिंकिंग संख्या की गणना करने के लिए एक एल्गोरिथ्म है। निम्नलिखित नियम के अनुसार प्रत्येक क्रॉसिंग को सकारात्मक या नकारात्मक के रूप में लेबल करें: सकारात्मक क्रॉसिंग की कुल संख्या ऋणात्मक क्रॉसिंग की कुल संख्या लिंकिंग संख्या के दोगुने के बराबर है। वह है:
 * $$\text{linking number}=\frac{n_1 + n_2 - n_3 - n_4}{2}$$

जहां एन1, एन2, एन3, एन4 चार प्रकारों में से प्रत्येक के क्रॉसिंग की संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। दो रकम $$n_1 + n_3\,\!$$ तथा $$n_2 + n_4\,\!$$ हमेशा बराबर होते हैं, जो निम्नलिखित वैकल्पिक सूत्र की ओर ले जाता है
 * $$\text{linking number} \,=\, n_1 - n_4 \,=\, n_2 - n_3.$$

सूत्र $$n_1-n_4$$ केवल लाल द्वारा नीले वक्र के अंडरक्रॉसिंग शामिल हैं, जबकि $$n_2-n_3$$ केवल ओवरक्रॉसिंग शामिल है।

गुण और उदाहरण
* किन्हीं दो अनलिंक्ड कर्व्स की लिंकिंग संख्या शून्य होती है। हालांकि, लिंकिंग संख्या शून्य के साथ दो वक्र अभी भी जुड़े हो सकते हैं (उदाहरण के लिए व्हाइटहेड लिंक)।
 * किसी भी वक्र के अभिविन्यास को उलटने से लिंकिंग संख्या को अस्वीकार कर दिया जाता है, जबकि दोनों वक्रों के अभिविन्यास को उलट कर इसे अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है।
 * लिंकिंग नंबर चिरलिटी (गणित) है: लिंक की मिरर इमेज लेने से लिंकिंग नंबर नकारा जाता है। पॉजिटिव लिंकिंग नंबर के लिए कन्वेंशन राइट-हैंड रूल पर आधारित है।
 * एक्स प्लेन में एक ओरिएंटेड कर्व की वाइंडिंग संख्या जेड-एक्सिस के साथ इसकी लिंकिंग संख्या के बराबर होती है (जेड-एक्सिस को 3-क्षेत्र में एक बंद वक्र के रूप में सोचते हुए)।
 * अधिक आम तौर पर, यदि कोई भी वक्र कर्व # टोपोलॉजी है, तो इसके पूरक का पहला समरूपता (गणित) 'पूर्णांक' के लिए समूह समरूपता है। इस मामले में, लिंकिंग संख्या दूसरे वक्र के समरूपता वर्ग द्वारा निर्धारित की जाती है।
 * भौतिकी में, लिंकिंग संख्या एक टोपोलॉजिकल क्वांटम संख्या का एक उदाहरण है। यह क्वांटम उलझाव से संबंधित है.

गॉस की अभिन्न परिभाषा
दो गैर-प्रतिच्छेदी अवकलनीय वक्र दिए गए हैं $$\gamma_1, \gamma_2 \colon S^1 \rightarrow \mathbb{R}^3$$, कार्ल फ्रेडरिक गॉस मानचित्र को परिभाषित करें $$\Gamma$$ टोरस से इकाई गोले तक
 * $$\Gamma(s,t) = \frac{\gamma_1(s) - \gamma_2(t)}{|\gamma_1(s) - \gamma_2(t)|}$$

इकाई क्षेत्र में एक बिंदु चुनें, वी, ताकि वी के लंबवत विमान के लिंक का ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन एक लिंक आरेख देता है। ध्यान दें कि गॉस मैप के तहत वी पर जाने वाला एक बिंदु (एस, टी) लिंक आरेख में एक क्रॉसिंग से मेल खाता है जहां $$\gamma_1$$ समाप्त हो चुका है $$\gamma_2$$. इसके अलावा, (s, t) के एक पड़ोस को गॉस मैप के तहत क्रॉसिंग के संकेत के आधार पर v के संरक्षण या रिवर्सिंग ओरिएंटेशन के पड़ोस में मैप किया गया है। इस प्रकार v के अनुरूप आरेख की लिंकिंग संख्या की गणना करने के लिए यह गॉस मानचित्र v को कवर करने की हस्ताक्षरित संख्या को गिनने के लिए पर्याप्त है। चूंकि v नियमित मान है, यह गॉस मानचित्र के निरंतर मानचित्रण की डिग्री है ( यानी कई बार हस्ताक्षरित संख्या कि Γ की छवि (गणित) क्षेत्र को कवर करती है)। लिंकिंग नंबर का आइसोटोपी व्युत्क्रम स्वचालित रूप से प्राप्त होता है क्योंकि होमोटोपिक मानचित्रों के तहत डिग्री अपरिवर्तनीय है। कोई अन्य नियमित मूल्य समान संख्या देगा, इसलिए लिंकिंग संख्या किसी विशेष लिंक आरेख पर निर्भर नहीं होती है।

γ की लिंकिंग संख्या का यह सूत्रीकरण1 और जी2 एक डबल लाइन इंटीग्रल के रूप में एक स्पष्ट सूत्र को सक्षम करता है, गॉस लिंकिंग इंटीग्रल:


 * $$\begin{align}

\operatorname{link}(\gamma_1,\gamma_2) &= \frac{1}{4\pi} \oint_{\gamma_1} \oint_{\gamma_2} \frac{\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2}{|\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2|^3} \cdot (d\mathbf{r}_1 \times d\mathbf{r}_2) \\[4pt] &= \frac{1}{4\pi} \int_{S^1 \times S^1} \frac{\det\left(\dot\gamma_1(s), \dot\gamma_2(t), \gamma_1(s) - \gamma_2(t)\right)}{\left|\gamma_1(s) - \gamma_2(t)\right|^3}\, ds\, dt \end{align}$$ यह इंटीग्रल गॉस मैप की छवि के कुल हस्ताक्षरित क्षेत्र की गणना करता है (इंटीग्रैंड जेकोबियन मैट्रिक्स और Γ का निर्धारक होता है) और फिर गोले के क्षेत्र से विभाजित होता है (जो 4 है$\pi$).

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में
क्वांटम फील्ड थ्योरी में, गॉस की अभिन्न परिभाषा तब उत्पन्न होती है जब विल्सन लूप के अपेक्षित मूल्य की गणना करते हैं $$U(1)$$ चेर्न-सिमंस गेज सिद्धांत। स्पष्ट रूप से, एबेलियन चेर्न-सीमन्स एक गेज संभावित एक-रूप के लिए कार्रवाई करते हैं $$A$$ तीन गुना पर $$M$$ द्वारा दिया गया है



S_{CS} = \frac{k}{4\pi} \int_M A \wedge dA $$ हम चेर्न-साइमन्स के लिए फेनमैन पथ अभिन्न करने में रुचि रखते हैं $$ M = \mathbb{R}^3 $$:



Z[\gamma_1, \gamma_2] = \int \mathcal{D} A_\mu \exp \left( \frac{ik}{4\pi} \int d^3 x \varepsilon^{\lambda \mu \nu} A_\lambda \partial_\mu A_\nu + i \int_{\gamma_1} dx^\mu \, A_\mu + i \int_{\gamma_2} dx^\mu \, A_\mu \right) $$ यहां, $$\epsilon$$ प्रतिसममित प्रतीक है। चूँकि सिद्धांत केवल गाऊसी है, कोई पराबैंगनी नियमितीकरण (भौतिकी) या पुनर्सामान्यीकरण की आवश्यकता नहीं है। इसलिए, दाहिने हाथ की ओर का टोपोलॉजिकल इनवेरिएंस यह सुनिश्चित करता है कि पथ इंटीग्रल का परिणाम एक टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट होगा। केवल एक चीज बची है जो एक समग्र सामान्यीकरण कारक प्रदान करती है, और एक स्वाभाविक विकल्प स्वयं उपस्थित होगा। चूंकि सिद्धांत गॉसियन और एबेलियन है, सिद्धांत को शास्त्रीय रूप से हल करके और के लिए प्रतिस्थापन करके पथ अभिन्न किया जा सकता है $$A$$.

गति के शास्त्रीय समीकरण हैं



\varepsilon^{\lambda \mu \nu} \partial_\mu A_\nu = \frac{2\pi}{k} J^\lambda $$ यहां, हमने चेर्न-साइमन्स क्षेत्र को एक शब्द के साथ एक स्रोत से जोड़ दिया है $$-J_\mu A^\mu$$ Lagrangian में। जाहिर है, उपयुक्त को प्रतिस्थापित करके $$J$$, हम विल्सन लूप वापस पा सकते हैं। चूंकि हम 3 आयामों में हैं, हम गति के समीकरणों को एक अधिक परिचित संकेतन में फिर से लिख सकते हैं:



\vec{\nabla} \times \vec{A} = \frac{2\pi}{k} \vec{J} $$ दोनों पक्षों का कर्ल लेना और लॉरेंज गेज का चयन करना $$ \partial^\mu A_\mu = 0 $$, समीकरण बन जाते हैं



\nabla^2 \vec{A} = - \frac{2\pi}{k} \vec{\nabla} \times \vec{J} $$ इलेक्ट्रोस्टैटिक्स से, समाधान है



A_\lambda(\vec{x}) = \frac{1}{2k} \int d^3 \vec{y} \, \frac{\varepsilon_{\lambda \mu \nu} \partial^\mu J^\nu (\vec{y})}{|\vec{x} - \vec{y}|} $$ मनमाना के लिए पथ अभिन्न $$J$$ के लिए एक प्रभावी कार्रवाई प्राप्त करने के लिए इसे चेर्न-साइमन्स क्रिया में प्रतिस्थापित करके अब आसानी से किया जाता है $$J$$ खेत। विल्सन लूप के लिए पाथ इंटीग्रल प्राप्त करने के लिए, हम बंद लूप में गतिमान दो कणों का वर्णन करने वाले स्रोत के लिए प्रतिस्थापित करते हैं, अर्थात $$ J = J_1 + J_2 $$, साथ



J_i^\mu (x) = \int_{\gamma_i} dx_i^\mu \delta^3 (x - x_i (t)) $$ चूंकि प्रभावी क्रिया द्विघात है $$J$$, यह स्पष्ट है कि कणों की आत्म-बातचीत का वर्णन करने वाले शब्द होंगे, और ये अबाध हैं क्योंकि वे केवल एक लूप की उपस्थिति में भी होंगे। इसलिए, हम इन शर्तों को ठीक से रद्द करने वाले कारक द्वारा अभिन्न पथ को सामान्य करते हैं। बीजगणित के माध्यम से जाने पर, हम प्राप्त करते हैं



Z[\gamma_1, \gamma_2] = \exp{ \left( \frac{2\pi i}{k} \Phi[\gamma_1, \gamma_2] \right) }, $$ कहाँ पे



\Phi[\gamma_1, \gamma_2] = \frac{1}{4\pi} \int_{\gamma_1} dx^\lambda \int_{\gamma_2} dy^\mu \, \frac{(x - y)^\nu}{|x - y|^3} \varepsilon_{\lambda \mu \nu}, $$ जो केवल गॉस का लिंकिंग इंटीग्रल है। यह टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी का सबसे सरल उदाहरण है, जहां पाथ इंटीग्रल टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट की गणना करता है। यह एक संकेत के रूप में भी काम करता है कि चेर्न-सीमन्स सिद्धांत के गैर-अबेलियन संस्करण अन्य गांठों के आक्रमणकारियों की गणना करता है, और यह एडवर्ड विटन द्वारा स्पष्ट रूप से दिखाया गया था कि गैर-अबेलियन सिद्धांत जोन्स बहुपद के रूप में जाना जाने वाला अपरिवर्तनीय देता है। चेर्न-साइमन्स गेज सिद्धांत 3 स्पेसटाइम आयामों में रहता है। अधिक आम तौर पर, उच्च आयामी टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड सिद्धांत मौजूद हैं। 4-आयामी गेज सिद्धांतों के अधिक जटिल मल्टी-लूप/स्ट्रिंग-ब्रेडिंग आँकड़े मौजूद हैं जो 4 स्पेसटाइम आयामों में विदेशी टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड सिद्धांतों के लिंक इनवेरिएंट द्वारा कैप्चर किए गए हैं।

सामान्यीकरण
* जिस तरह बंद वक्र तीन आयामों में लिंक (गाँठ सिद्धांत) हो सकते हैं, आयाम एम और एन के किसी भी दो बंद मैनिफोल्ड को आयाम के यूक्लिडियन स्थान में जोड़ा जा सकता है $$m + n + 1$$. ऐसे किसी भी लिंक में एक संबद्ध गॉस मैप होता है, जिसकी निरंतर मैपिंग की डिग्री लिंकिंग नंबर का एक सामान्यीकरण है।
 * किसी भी फ़्रेमयुक्त गाँठ में गाँठ सी की लिंकिंग संख्या की गणना करके एक स्व-लिंकिंग नंबर प्राप्त होता है, जो फ्रेमिंग वैक्टर के साथ सी के बिंदुओं को थोड़ा आगे बढ़ाकर प्राप्त किया जाता है। ऊर्ध्वाधर रूप से (ब्लैकबोर्ड फ्रेमिंग के साथ) चलने से प्राप्त होने वाली स्व-लिंकिंग संख्या को 'कॉफ़मैन की स्वयं-लिंकिंग संख्या' के रूप में जाना जाता है।
 * लिंकिंग नंबर को दो लिंक्ड सर्किलों के लिए परिभाषित किया गया है; तीन या अधिक सर्किल दिए गए हैं, कोई भी मिलनोर इनवेरिएंट्स को परिभाषित कर सकता है, जो एक संख्यात्मक अपरिवर्तनीय लिंकिंग नंबर को सामान्यीकृत करता है।
 * बीजगणितीय टोपोलॉजी में, कप उत्पाद लिंकिंग संख्या का एक दूरगामी बीजगणितीय सामान्यीकरण है, जिसमें मैसी उत्पाद मिल्नोर इनवेरिएंट के लिए बीजगणितीय एनालॉग हैं।
 * एक अप्रत्यक्ष ग्राफ का एक लिंक रहित एम्बेडिंग त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक एम्बेडिंग है जैसे कि प्रत्येक दो चक्रों में शून्य लिंकिंग संख्या होती है। बिना लिंक वाले एम्बेडिंग वाले ग्राफ़ में वर्जित ग्राफ़ लक्षण वर्णन होता है, जैसे कि कोई पीटरसन फैमिली माइनर (ग्राफ़ थ्योरी) वाला ग्राफ़ नहीं होता है।