बटरवर्थ फ़िल्टर

बटरवर्थ फ़िल्टर एक प्रकार का सिग्नल प्रोसेसिंग फ़िल्टर है जिसे आवृत्ति प्रतिक्रिया के लिए डिज़ाइन किया गया है जो पासबैंड में जितना संभव हो उतना सपाट है। इसे मैक्सिममली फ्लैट परिमाण फिल्टर के रूप में भी जाना जाता है। इसका वर्णन पहली बार 1930 में ब्रिटिश इंजीनियर और भौतिक विज्ञानी स्टीफन बटरवर्थ ने अपने पेपर में किया था जिसका शीर्षक "ऑन द थ्योरी ऑफ़ फ़िल्टर एम्प्लीफ़ायर" है।

मूल प्रतिलिपि
असंभव गणितीय समस्याओं को हल करने के लिए बटरवर्थ की प्रतिष्ठा थी। उस समय, छवि पैरामीटर फ़िल्टर  की सीमाओं के कारण  फिल्टर डिजाइन  के लिए काफी मात्रा में डिज़ाइनर अनुभव की आवश्यकता होती थी। इसके प्रकाशन के बाद 30 से अधिक वर्षों तक फ़िल्टर आम उपयोग में नहीं था। बटरवर्थ ने कहा कि: ""एक आदर्श विद्युत फ़िल्टर को न केवल अवांछित आवृत्तियों को पूरी तरह से अस्वीकार करना चाहिए लेकिन वांछित आवृत्तियों के लिए समान संवेदनशीलता भी होनी चाहिए"।"

ऐसा आदर्श फ़िल्टर प्राप्त नहीं किया जा सकता है, लेकिन बटरवर्थ ने दिखाया कि सही मूल्यों के फिल्टर तत्वों की बढ़ती संख्या के साथ क्रमिक रूप से करीब अनुमान प्राप्त किए गए थे। उस समय, फिल्टर ने पासबैंड में पर्याप्त तरंग उत्पन्न की, और घटक मूल्यों का चुनाव अत्यधिक संवादात्मक था। बटरवर्थ ने दिखाया कि एक लो पास फिल्टर डिज़ाइन किया जा सकता है जिसकी कटऑफ आवृत्ति को 1 रेडियन प्रति सेकंड के लिए सामान्यीकृत किया गया था और जिसकी आवृत्ति प्रतिक्रिया (लाभ (इलेक्ट्रॉनिक्स) थी


 * $$G(\omega) = {\frac{1} \sqrt{1+{\omega}^{2n}}},$$

जहां $$\omega$$ रेडियन प्रति सेकंड में कोणीय आवृत्ति है और $$n$$ फिल्टर में ध्रुव (जटिल विश्लेषण) की संख्या है— यह एक निष्क्रिय फिल्टर में प्रतिक्रियाशील तत्वों की संख्या के बराबर है। अगर $$\omega$$= 1, पासबैंड में इस प्रकार के फ़िल्टर की आयाम प्रतिक्रिया 1/√2 ≈ 0.7071 है, तो जो आधी शक्ति या −3 डेसिबल है। बटरवर्थ ने केवल अपने पेपर में समान संख्या में डंडे वाले फिल्टरों का अध्ययन किया। हो सकता है कि वह इस बात से अनजान रहे हों कि इस तरह के फिल्टर को विषम संख्या में डंडे के साथ डिजाइन किया जा सकता है। उन्होंने वेक्यूम - ट्यूब  एम्पलीफायर द्वारा अलग किए गए 2-पोल फिल्टर से अपने उच्च-क्रम के फिल्टर बनाए। 2-, 4-, 6-, 8-, और 10-पोल फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया की उनकी साजिश को उनके मूल ग्राफ में ए, बी, सी, डी और ई के रूप में दिखाया गया है।

बटरवर्थ ने टू-पोल और फोर-पोल फिल्टर के समीकरणों को हल किया, दिखा रहा है कि वैक्यूम ट्यूब एम्पलीफायरों द्वारा अलग किए जाने पर बाद वाले को कैसे कैस्केड किया जा सकता है और इसलिए यह प्रेरित्र (इंडक्‍टर) के नुकसान के अतिरिक्तउच्च-क्रम के फिल्टर के निर्माण को सक्षम कर रहा है। 1930 में, कम-नुकसान वाली कोर सामग्री जैसे कि मोलीपरमलॉय की खोज नहीं की गई थी और एयर-कोरेड ऑडियो इंडक्टर्स बल्कि हानिपूर्ण थे। बटरवर्थ ने पाया कि इंडक्टर्स के घुमावदार प्रतिरोध की भरपाई के लिए फिल्टर के घटक मूल्यों को समायोजित करना संभव था।

उन्होंने प्लग-इन टर्मिनलों के साथ 1.25″ व्यास और 3″ लंबाई के कुंडल रूपों का उपयोग किया। एसोसिएटेड कैपेसिटर और रेसिस्टर्स घाव कॉइल फॉर्म के अंदर समाहित थे। कॉइल प्लेट लोड रेसिस्टर का हिस्सा बनता है। प्रति वैक्यूम ट्यूब में दो पोल का इस्तेमाल किया गया था और आरसी कपलिंग का इस्तेमाल निम्नलिखित ट्यूब के ग्रिड में किया गया था।

बटरवर्थ ने यह भी दिखाया कि लो-पास, उच्च पास फिल्टर, बैंड-पास और बैंड-स्टॉप फ़िल्टर कार्यक्षमता देने के लिए बुनियादी लो-पास फिल्टर को संशोधित किया जा सकता है।

अवलोकन
बटरवर्थ फ़िल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया पासबैंड में अधिक से अधिक सपाट (अर्थात कोई तरंग नहीं है) और स्टॉपबैंड में शून्य की ओर लुढ़क जाती है।

जब एक लॉगरिदमिक बोड प्लॉट पर देखा जाता है, तो प्रतिक्रिया नकारात्मक अनंत की ओर रैखिक रूप से ढलान करती है। एक प्रथम-क्रम फ़िल्टर की प्रतिक्रिया −6 dB ऑक्टेव (इलेक्ट्रॉनिक्स) (−20 dB प्रति दशक (लॉग स्केल)) पर लुढ़क जाती है (सभी प्रथम-क्रम के लोपास फ़िल्टर में समान सामान्यीकृत आवृत्ति प्रतिक्रिया होती है)। एक दूसरे क्रम का फिल्टर −12 dB प्रति सप्तक पर घटता है, तीसरा क्रम −18 dB पर घटता है बटरवर्थ फिल्टर में के साथ एक नीरस रूप से परिवर्तनशील परिमाण फलन होता है, यह अन्य फिल्टर प्रकारों के विपरीत है जिनके पासबैंड और/या स्टॉपबैंड में गैर-मोनोटोनिक तरंग है।

चेबीशेव फ़िल्टर टाइप I/टाइप II या अण्डाकार फिल्टर की तुलना में, बटरवर्थ फ़िल्टर में धीमी गति से रोल-ऑफ होता है, और इस प्रकार एक विशेष स्टॉपबैंड विनिर्देश को लागू करने के लिए उच्च ऑर्डर की आवश्यकता होगी, लेकिन बटरवर्थ फिल्टर में अण्डाकार फिल्टर  टाइप I/टाइप II की तुलना में पासबैंड में अधिक रैखिक चरण प्रतिक्रिया होती है और अंडाकार फिल्टर प्राप्त कर सकते हैं।

उदाहरण
तीसरे क्रम के लो-पास बटरवर्थ फ़िल्टर डिज़ाइन का स्थानांतरण फ़ंक्शन, जो दाईं ओर की आकृति में दिखाया गया है, इस तरह दिखता है:


 * $$\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{R_4}{s^3(L_1 C_2 L_3) + s^2(L_1 C_2 R_4) + s(L_1 + L_3) + R_4}$$

बटरवर्थ फ़िल्टर का एक सरल उदाहरण दायीं ओर की आकृति में दिखाया गया तीसरा-क्रम वाला लो-पास डिज़ाइन है, जिसमें $$C_2$$= 4/3 एफ, $$R_4$$= 1, $$L_1$$= 3/2 एच, और $$L_3$$= 1/2 एच. संधारित्रका विद्युत प्रतिबाधा  का $$C$$ होना $$1/(Cs)$$ और प्रेरकों की प्रतिबाधा $$L$$ होना $$Ls$$, जहाँ पे $s= \sigma + j\omega$ जटिल आवृत्ति है, सर्किट समीकरण इस डिवाइस के लिए स्थानांतरण फ़ंक्शन उत्पन्न करते हैं:
 * $$H(s)=\frac{V_o(s)}{V_i(s)}=\frac{1}{1+2s+2s^2+s^3}.$$

आवृत्ति प्रतिक्रिया का परिमाण (लाभ) $$G(\omega)$$ द्वारा दिया गया है
 * $$G(\omega)=|H(j\omega)|=\frac{1}{\sqrt{1+\omega^6}},$$

से प्राप्त
 * $$G^2(\omega)=|H(j\omega)|^2=H(j\omega)\cdot H^*(j\omega)=\frac{1}{1+\omega^6},$$

और चरण (लहरें)  द्वारा दिया जाता है


 * $$\Phi(\omega)=\arg(H(j\omega)).\!$$

समूह विलंब को कोणीय आवृत्ति के संबंध में चरण के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है और यह विभिन्न आवृत्तियों के लिए चरण अंतर द्वारा शुरू किए गए सिग्नल में विकृति का एक उपाय है। इस फ़िल्टर के लाभ और विलंब को बाईं ओर के ग्राफ़ में प्लॉट किया गया है। यह देखा जा सकता है कि पासबैंड या स्टॉप बैंड में लाभ वक्र में कोई तरंग नहीं है।

स्थानांतरण फ़ंक्शन $$H(s)$$ के निरपेक्ष मान का लॉग दायीं ओर दूसरे ग्राफ में जटिल आवृत्ति स्थान में प्लॉट किया गया है। फ़ंक्शन को जटिल आवृत्ति विमान के बाएं आधे भाग में तीन ध्रुवों द्वारा परिभाषित किया गया है। ये वास्तविक$$s$$ अक्ष के सममित, त्रिज्या एकता के एक वृत्त पर व्यवस्थित हैं। सर्कल को पूरा करने के लिए गेन फंक्शन में दाहिने आधे तल पर तीन और पोल होंगे।

प्रत्येक इंडक्‍टर को एक संधारित्र के साथ और प्रत्येक संधारित्र को एक इंडक्‍टर के साथ बदलकर, एक उच्च-पास बटरवर्थ फ़िल्टर प्राप्त किया जाता है।

दोलित्र परिपथ बनाने के लिए प्रत्येक संधारित्र के साथ श्रृंखला में एक संधारित्र और प्रत्येक संधारित्र के समानांतर एक इंडक्‍टर रखकर एक बैंड-पास बटरवर्थ फ़िल्टर प्राप्त किया जाता है। ब्याज की आवृत्ति पर पुराने घटक के साथ प्रतिध्वनित होने के लिए प्रत्येक नए घटक के मूल्य का चयन किया जाना चाहिए।

एक बैंड-स्टॉप बटरवर्थ फ़िल्टर प्रत्येक इंडक्‍टर के साथ एक संधारित्र को समानांतर में रखकर और प्रत्येक संधारित्र के साथ श्रृंखला में एक इंडक्‍टर को दोलित्र परिपथ बनाने के लिए प्राप्त किया जाता है। प्रत्येक नए घटक के मूल्य को उस आवृत्ति पर पुराने घटक के साथ प्रतिध्वनित करने के लिए चुना जाना चाहिए जिसे अस्वीकार किया जाना है।

स्थानांतरण समारोह
सभी फिल्टरों की तरह, विशिष्ट प्रोटोटाइप लो-पास फिल्टर है, जिसे एक उच्च-पास फ़िल्टर में संशोधित किया जा सकता है, या बैंड-पास और बैंड-स्टॉप फ़िल्टर बनाने के लिए दूसरों के साथ श्रृंखला में रखा जा सकता है, और इनके उच्च क्रम संस्करण।

$$G(\omega)$$ एक $$n$$वें-ऑर्डर बटरवर्थ लो-पास फिल्टर का लाभ ट्रांसफर फंक्शन $$H(s)$$ के संदर्भ में दिया गया है। ) जैसा
 * $$G^2(\omega)=\left |H(j\omega)\right|^2 = \frac {{G_0}^2}{1+\left(\frac{j\omega}{j\omega_c}\right)^{2n}}$$

जहाँ पे $$n$$ फिल्टर का क्रम है, $$\omega_c$$ कटऑफ आवृत्ति है (लगभग −3 dB फ़्रीक्वेंसी), और $$G_0$$ डीसी लाभ (शून्य आवृत्ति पर लाभ) है।

यह देखा जा सकता है कि जैसे-जैसे $$n$$ अनंत तक पहुंचता है, लाभ एक आयत फलन बन जाता है और $$\omega_c$$ के नीचे की आवृत्तियों को लाभ के साथ पारित किया जाएगा $$G_0$$, जबकि $$\omega_c$$ से ऊपर की आवृत्तियों को दबा दिया जाएगा। $$n$$ के छोटे मानों के लिए, कटऑफ कम शार्प होगी।

हम स्थानांतरण फ़ंक्शन निर्धारित करना चाहते हैं $$H(s)$$ जहां $$s=\sigma+j\omega$$ (लाप्लास ट्रांसफॉर्म से)। क्योंकि $$\left|H(s)\right|^2 = H(s)\overline{H(s)}$$ और, लैपलेस की एक सामान्य संपत्ति के रूप में $$s=j\omega$$, $$H(-j\omega) = \overline{H(j\omega)}$$, अगर हम $$H(s)$$ को इस तरह से चुनें कि:


 * $$H(s)H(-s) = \frac {{G_0}^2}{1+\left (\frac{-s^2}{\omega_c^2}\right)^n},$$

फिर, साथ $$s=j\omega$$, हमारे पास बटरवर्थ फ़िल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया है। $$n$$ h इस व्यंजक के ध्रुव त्रिज्या के एक वृत्त पर होते हैं $$\omega_c$$ समान दूरी वाले बिंदुओं पर, और ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के चारों ओर सममित। स्थिरता के लिए, स्थानांतरण समारोह, $$H(s)$$, इसलिए चुना जाता है कि इसमें ऋणात्मक वास्तविक अर्ध-तल में केवल ध्रुव होते हैं $$s$$. $$k$$वें पोल ​​द्वारा निर्दिष्ट किया गया है


 * $$-\frac{s_k^2}{\omega_c^2} = (-1)^{\frac{1}{n}} = e^{\frac{j(2k-1)\pi}{n}}

\qquad k = 1,2,3,\ldots, n$$ और इसलिए


 * $$s_k = \omega_c e^{\frac{j(2k+n-1)\pi}{2n}}\qquad k = 1,2,3,\ldots, n.$$

ट्रांसफर (या सिस्टम) फ़ंक्शन को इन ध्रुवों के रूप में लिखा जा सकता है:


 * $$H(s)=G_0\prod_{k=1}^n \frac{\omega_c}{s-s_k}$$.

जहाँ पे $$\textstyle{\prod}$$ उत्पाद है (गणित) अनुक्रम ऑपरेटर का उत्पाद। $$s$$ भाजक एक बटरवर्थ बहुपद है.

सामान्यीकृत बटरवर्थ बहुपद
बटरवर्थ बहुपदों को ऊपर दिए गए जटिल रूप में लिखा जा सकता है, लेकिन सामान्यतः जटिल संयुग्मों वाले ध्रुव जोड़े को गुणा करके वास्तविक गुणांक के साथ लिखा जाता है,, जैसे कि $$s_1$$ तथा $$s_n$$. बहुपदों को $$\omega_c=1$$ सेट करके सामान्यीकृत किया जाता है, सामान्यीकृत बटरवर्थ बहुपदों में तब सामान्य उत्पाद रूप होता है
 * $$B_n(s)=\prod_{k=1}^{\frac{n}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right]\qquad n = \text{even}$$
 * $$B_n(s)=(s+1)\prod_{k=1}^{\frac{n-1}{2}} \left[s^2-2s\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n}\,\pi\right)+1\right]\qquad n = \text{odd}.$$

बटरवर्थ बहुपदों के क्रम 1 से 10 तक के गुणनखंडों को निम्न तालिका (दशमलव के छह स्थानों तक) में दिखाया गया है।

बटरवर्थ बहुपदों के क्रम 1 से 6 के गुणनखंडों को निम्नलिखित तालिका (सटीक) में दिखाया गया है।

जहां ग्रीक अक्षर फी (अक्षर) ($\varphi$ या $$\phi$$) सुनहरे अनुपात का प्रतिनिधित्व करता है। यह एक अपरिमेय संख्या  है जो  द्विघात समीकरण  का हल है $$x^2 - x - 1 = 0,$$ के मान के साथ

$$n$$वें बटरवर्थ बहुपद को योग के रूप में भी लिखा जा सकता है
 * $$B_n(s)=\sum_{k=0}^n a_k s^k\,,$$

इसके गुणांकों के साथ $$a_k$$ रिकर्सन फॉर्मूला द्वारा दिया गया


 * $$\frac{a_{k+1}}{a_k}=\frac{\cos(k\gamma)}{\sin((k+1)\gamma)}$$

और उत्पाद सूत्र द्वारा


 * $$a_k=\prod_{\mu=1}^k\frac{\cos((\mu-1)\gamma)}{\sin(\mu\gamma)}\,,$$

कहाँ पे


 * $$a_0=1\qquad \text{and}\qquad\gamma=\frac{\pi}{2n}\,.$$

आगे, $$a_k=a_{n-k}$$. गोल गुणांक $$a_k$$ पहले 10 बटरवर्थ बहुपद के लिए $$B_n(s)$$ हैं:

सामान्यीकृत बटरवर्थ बहुपद का उपयोग किसी भी लो पास फिल्टर कट-ऑफ आवृत्ति $$\omega_c$$ के लिए स्थानांतरण फ़ंक्शन को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है, निम्नलिखित नुसार


 * $$H(s) = \frac{G_0}{B_n(a)}$$, कहाँ पे $$a = \frac{s}{\omega_c}.$$

अन्य बैंडफॉर्म में परिवर्तन भी संभव है, प्रोटोटाइप फ़िल्टर देखें।

अधिकतम समतलता
यह मानते हुए $$\omega_c=1$$ तथा $$G_0=1$$, आवृत्ति के संबंध में लाभ का व्युत्पन्न दिखाया जा सकता है


 * $$\frac{dG}{d\omega}=-nG^3\omega^{2n-1}$$

जो सभी के लिए नीरस रूप से घट रहा है $$\omega$$ लाभ के बाद से $$G$$ हमेशा सकारात्मक होता है। इसलिए बटरवर्थ फिल्टर के गेन फंक्शन में कोई रिपल नहीं है। लाभ की श्रृंखला विस्तार द्वारा दिया गया है


 * $$G(\omega)=1 - \frac{1}{2}\omega^{2n}+\frac{3}{8}\omega^{4n}+\ldots$$

दूसरे शब्दों में, 2$$n$$-वें डेरिवेटिव सहित, लेकिन लाभ के सभी डेरिवेटिव $$\omega=0$$ पर शून्य हैं, जिसके परिणामस्वरूप "अधिकतम सपाटता" होती है। यदि मोनोटोनिक होने की आवश्यकता केवल पासबैंड तक ही सीमित है और स्टॉपबैंड में तरंगों की अनुमति है, तब उसी क्रम का फ़िल्टर डिज़ाइन करना संभव है, जैसे कि उलटा चेबीशेव फ़िल्टर, जो "अधिकतम फ्लैट" बटरवर्थ की तुलना में पासबैंड में चापलूसी करता है।

उच्च आवृत्ति रोल-ऑफ
फिर से मान लेना $$\omega_c=1$$, बड़े के लिए लाभ के लघुगणक का ढलान $$\omega$$ है


 * $$\lim_{\omega\rightarrow\infty}\frac{d\log(G)}{d\log(\omega)}=-n.$$

डेसिबल में, उच्च-आवृत्ति रोल-ऑफ इसलिए 20. है $$n$$डीबी/दशक, या 6$$n$$dB/ऑक्टेव (20 का गुणक प्रयोग किया जाता है क्योंकि शक्ति वोल्टेज लाभ के वर्ग के समानुपाती होती है; 20 लॉग नियम  देखें।)

फ़िल्टर कार्यान्वयन और डिज़ाइन
रैखिक एनालॉग फ़िल्टर को लागू करने के लिए कई अलग-अलग इलेक्ट्रॉनिक फिल्टर टोपोलॉजी  उपलब्ध हैं। निष्क्रिय बोध के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला टोपोलॉजी काउर टोपोलॉजी है, और सक्रिय बोध के लिए सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला टोपोलॉजी सैलेन-की टोपोलॉजी है।

काउर टोपोलॉजी
काउर टोपोलॉजी (इलेक्ट्रॉनिक्स) एक रैखिक एनालॉग फिल्टर को लागू करने के लिए निष्क्रिय घटकों (शंट कैपेसिटर और श्रृंखला इंडक्टर्स) का उपयोग करता है। दिए गए स्थानांतरण फ़ंक्शन वाले बटरवर्थ फ़िल्टर को काउर 1-फ़ॉर्म का उपयोग करके अनुभव किया जा सकता है। k-वें तत्व द्वारा दिया गया है
 * $$C_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]\qquad k = \text{odd}$$
 * $$L_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]\qquad k = \text{even}.$$

यदि वांछित हो तो फ़िल्टर एक श्रृंखला इंडक्‍टर के साथ शुरू हो सकता है, जिस स्थिति में Lkk विषम हैं और Ckकश्मीर भी हैं। इन सूत्रों को दोनों L. बनाकर उपयोगी रूप से जोड़ा जा सकता हैkऔर सीkजी के बराबरk. यानी जीks द्वारा विभाजित सन्निकटता है।


 * $$g_k = 2 \sin \left [\frac {(2k-1)}{2n} \pi \right ]\qquad k = 1,2,3, \ldots, n.$$

ये सूत्र दोगुने टर्मिनेटेड फ़िल्टर पर लागू होते हैं (अर्थात स्रोत और लोड प्रतिबाधा दोनों एकता के बराबर हैं) के साथc = 1. इस प्रोटोटाइप फिल्टर को प्रतिबाधा और आवृत्ति के अन्य मूल्यों के लिए बढ़ाया जा सकता है। एकल टर्मिनेटेड फ़िल्टर के लिए (अर्थात, एक आदर्श वोल्टेज या वर्तमान स्रोत द्वारा संचालित) तत्व मान द्वारा दिया जाता है


 * $$g_j = \frac{a_j a_{j-1}}{c_{j-1} g_{j-1}}\qquad j = 2,3, \ldots, n$$

कहाँ पे


 * $$g_1 = a_1$$

तथा


 * $$a_j = \sin \left [\frac {(2j-1)}{2n} \pi \right ]\qquad j = 1,2,3, \ldots, n$$
 * $$c_j = \cos^2 \left [\frac{j}{2n} \pi \right ]\qquad j = 1,2,3, \ldots, n.$$

वोल्टेज संचालित फिल्टर एक श्रृंखला तत्व से शुरू होना चाहिए और वर्तमान संचालित फिल्टर एक शंट तत्व से शुरू होना चाहिए। ये फॉर्म डिप्लेक्सर  और  बहुसंकेतक  के डिजाइन में उपयोगी हैं।

सालेन-कुंजी टोपोलॉजी
सालेन-की टोपोलॉजी एक लीनियर एनालॉग फिल्टर को लागू करने के लिए सक्रिय और निष्क्रिय घटकों (नॉनइनवर्टिंग बफ़र्स, सामान्यतः ऑप एम्प्स, प्रतिरोध और संधारित्र) का उपयोग करती है। प्रत्येक सालेन-कुंजी चरण ध्रुवों की एक संयुग्मी जोड़ी को लागू करता है; श्रृंखला में सभी चरणों को व्यापक करके समग्र फ़िल्टर लागू किया जाता है। यदि कोई वास्तविक ध्रुव है (ऐसी स्थिति में जहां $$n$$ विषम है), इसे अलग से लागू किया जाना चाहिए, सामान्यतः आरसी सर्किट के रूप में, और सक्रिय चरणों के साथ कैस्केड किया जाना चाहिए।

दूसरे क्रम के सैलेन-की सर्किट के लिए दाईं ओर दिखाया गया है कि स्थानांतरण फ़ंक्शन किसके द्वारा दिया गया है


 * $$H(s)=\frac{V_{out}(s)}{V_{in}(s)}=\frac{1}{1+C_2(R_1+R_2)s+C_1C_2R_1R_2s^2}.$$

हम चाहते हैं कि हर बटरवर्थ बहुपद में द्विघात पदों में से एक हो

इसिलिये ऐसा मानते हुए $$\omega_c=1$$, इसका मतलब यह होगा कि
 * $$C_1C_2R_1R_2=1\,$$

तथा


 * $$C_2(R_1+R_2)=-2\cos\left(\frac{2k+n-1}{2n} \pi\right).$$

यह दो अपरिभाषित घटक मान छोड़ देता है जिन्हें इच्छानुसार चुना जा सकता है।

सैलेन के साथ बटरवर्थ लोपास फिल्टर - तीसरे और चौथे क्रम की कुंजी टोपोलॉजी, केवल एक सेशन एम्प का उपयोग करते हुए, ह्यूल्समैन द्वारा इनका वर्णन किया गया है, और आगे एकल-एम्पलीफायर बटरवर्थ फिल्टर भी उच्च क्रम के जुरीसी एट अल द्वारा दिए गए हैं।

डिजिटल कार्यान्वयन
बटरवर्थ और अन्य फिल्टर के डिजिटल कार्यान्वयन सामान्यतः द्विरेखीय परिवर्तन विधि या मिलान जेड-ट्रांसफॉर्म विधि पर आधारित होते हैं, एनालॉग फ़िल्टर डिज़ाइन को अलग करने के लिए दो अलग-अलग तरीके हैं। बटरवर्थ जैसे ऑल-पोल फिल्टर के मामले में, मिलान जेड-ट्रांसफॉर्म विधि आवेग इनवेरिएंस विधि के बराबर है। उच्च आदेशों के लिए, डिजिटल फ़िल्टर परिमाणीकरण त्रुटियों के प्रति संवेदनशील होते हैं, इसलिए उनकी गणना सामान्यतः कैस्केड डिजिटल बाइकैड फ़िल्टर के रूप में की जाती है, साथ ही विषम ऑर्डर के लिए एक फर्स्ट-ऑर्डर या थर्ड-ऑर्डर सेक्शन के रूप में गणना की जाती है।

अन्य रैखिक फिल्टर के साथ तुलना
बटरवर्थ फिल्टर के गुण हैं:
 * पासबैंड और स्टॉपबैंड दोनों में मोनोटोनिक फ़ंक्शन  आवृत्ति प्रतिक्रिया
 * कटऑफ आवृत्ति के आसपास त्वरित रोल-ऑफ, जो बढ़ते क्रम के साथ बेहतर होता है
 * कदम प्रतिक्रिया में काफी ओवरशूट (संकेत)  और  बजना (संकेत), जो बढ़ते क्रम के साथ खराब हो जाता है
 * थोड़ा गैर-रैखिक चरण प्रतिक्रिया
 * समूह विलंब की सीमा तक आवृत्ति-निर्भर

यहाँ एक छवि है जो अन्य सामान्य फ़िल्टर प्रकारों के बगल में असतत-समय बटरवर्थ फ़िल्टर का लाभ दिखा रही है। ये सभी फिल्टर पांचवें क्रम के हैं।



बटरवर्थ फिल्टर चेबीशेव फिल्टर या एलिप्टिक फिल्टर की तुलना में कटऑफ आवृत्ति के आसपास अधिक धीरे-धीरे लुढ़कता है, लेकिन बिना लहर के।

संदर्भ
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