माइक्रोस्केल और मैक्रोस्केल मॉडल

माइक्रोस्केल मॉडल कम्प्यूटेशनल मॉडल का व्यापक वर्ग बनाते हैं जो मैक्रोस्केल मॉडल के विपरीत, सूक्ष्म पैमाने के विवरणों का अनुकरण करते हैं, जो श्रेष्ठ श्रेणियों में विवरणों को मिलाते हैं। इस प्रकार समस्या के विभिन्न पहलुओं को समझने के लिए माइक्रोस्केल और मैक्रोस्केल मॉडल का साथ उपयोग किया जा सकता है।

अनुप्रयोग
मैक्रोस्केल मॉडल में साधारण अंतर समीकरण, आंशिक अंतर समीकरण और पूर्णांक-अंतर समीकरण सम्मिलित हो सकते हैं। इस प्रकार पूर्णांक-अंतर समीकरण, जहां श्रेणियों के मध्य श्रेणियां और प्रवाह (गणित) गतिशीलता निर्धारित करते हैं, या केवल बीजगणितीय समीकरण सम्मिलित हो सकते हैं। इस प्रकार अमूर्त मैक्रोस्केल मॉडल को अधिक विस्तृत माइक्रोस्केल मॉडल के साथ जोड़ा जा सकता है। अतः दो पैमानों के मध्य संबंध मल्टीस्केल मॉडलिंग से संबंधित होता हैं। सामान्यतः नैनोमटेरियल्स के मल्टीस्केल मॉडलिंग के लिए गणितीय विधि मल्टीस्केल ग्रीन फलन के उपयोग पर आधारित होता है।

इसके विपरीत, सूक्ष्म पैमाने के मॉडल विभिन्न प्रकार के विवरणों का अनुकरण कर सकते हैं, जैसे बायोफिल्म में व्यक्तिगत जीवाणु, सिम्युलेटेड पड़ोस में व्यक्तिगत पैदल यात्री, किरण-अनुरेखण इमेजरी में व्यक्तिगत प्रकाश किरणें, शहरों में व्यक्तिगत घर, बैटरियों में सूक्ष्म छिद्र और द्रव प्रवाह, मौसम विज्ञान में अच्छे पैमाने के विभाग, कण प्रणालियों में सूक्ष्म पैमाने की संरचनाएँ, और अन्य मॉडल जहां व्यक्तियों और पृष्ठभूमि स्थितियों के मध्य बातचीत गतिशीलता निर्धारित करती है।

असतत-घटना मॉडल, व्यक्तिगत-आधारित मॉडल, और एजेंट-आधारित मॉडल सूक्ष्म पैमाने के मॉडल की विशेष स्थिति होती हैं। चूँकि, सूक्ष्म पैमाने के मॉडल को भिन्न-भिन्न व्यक्तियों या भिन्न-भिन्न घटनाओं की आवश्यकता नहीं होती है। इस प्रकार स्थलाकृति, भवनों और वृक्षों पर सूक्ष्म विवरण माइक्रोस्केल मौसम विज्ञान में सूक्ष्म विवरण जोड़ सकते हैं और उस अनुशासन में मेसोस्केल मॉडल कहलाने वाले से जुड़ सकते हैं। अतः लिडार छवियों से उपलब्ध वर्ग-मीटर आकार का लैंडस्केप रिज़ॉल्यूशन से भूमि की सतहों पर जल के प्रवाह को मॉडल किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, नालों और जल की जेबों का, गीगाबाइट-आकार के विवरण का उपयोग करके कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क के मॉडल में व्यक्तिगत न्यूरॉन्स सम्मिलित हो सकते हैं किन्तु वह निरंतर समय में चल सकते हैं और इस प्रकार त्रुटिहीन असतत घटनाओं का अभाव होता है।

इतिहास
कम्प्यूटेशनल माइक्रोस्केल मॉडल के विचार कंप्यूटिंग के प्रारंभिक दिनों में उभरे और उन जटिल प्रणालियों पर प्रयुक्त किए गए थे, जिन्हें मानक गणितीय रूपों द्वारा त्रुटिहीन रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता था।

20वीं सदी के मध्य के आसपास आधुनिक संगणना के दो संस्थापकों के कार्य में दो विषय उभर कर सामने आए थे। सबसे पहले, अग्रणी एलन ट्यूरिंग ने मॉर्फोजेनेसिस के रासायनिक आधार को समझने के लिए सरलीकृत मैक्रोस्केल मॉडल का उपयोग किया जाता था, किन्तु फिर गैर-रैखिकता और वास्तविक जैविक प्रणालियों में उत्पन्न होने वाली अन्य स्थितियों को समझने के लिए कम्प्यूटेशनल माइक्रोस्केल मॉडल का प्रस्ताव और उपयोग किया जाता है। दूसरा, अग्रणी जॉन वॉन न्यूमैन ने इच्छानुसार से जटिल संस्थाओं की आत्म-प्रतिकृति की संभावनाओं को समझने के लिए सेलुलर ऑटोमेटन बनाया जाता था, जिसका सेलुलर ऑटोमेटन में सूक्ष्म पैमाने पर प्रतिनिधित्व किया था किन्तु कोई सरलीकृत मैक्रोस्केल रूप नहीं था। इस दूसरे विषय को एजेंट-आधारित मॉडल का भाग माना जाता है, जहां संस्थाएं अंततः स्वायत्त रूप से कार्य करने वाले कृत्रिम रूप से बुद्धिमान एजेंट हो सकती हैं।

20वीं सदी की अंतिम तिमाही तक, कम्प्यूटेशनल क्षमता इतनी बढ़ गई थी कि दसियों हज़ार या उससे अधिक व्यक्तियों को सूक्ष्म पैमाने के मॉडल में सम्मिलित किया जा सकता था, और उच्च प्रदर्शन प्राप्त करने के लिए विरल सरणियों को भी प्रयुक्त किया जा सकता था। इस प्रकार कंप्यूटिंग क्षमता में निरंतर वृद्धि ने 21वीं सदी के प्रारंभ तक करोड़ों व्यक्तियों को सूक्ष्म मॉडल वाले सामान्य कंप्यूटरों पर सिम्युलेट करने की अनुमति दी जाती थी।

"माइक्रोस्केल मॉडल" शब्द 20वीं सदी के अंत में उभरा था और वर्तमान भौतिक और जैविक विज्ञान की अनेक शाखाओं के साहित्य में दिखाई देता है।

उदाहरण
चित्र 1 मौलिक मैक्रोस्केल मॉडल का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार असीमित वातावरण में घातीय वृद्धि होती है इसका समीकरण अन्यत्र भी प्रासंगिक होता है, जैसे अर्थशास्त्र में पूंजी (अर्थशास्त्र) की चक्रवृद्धि वृद्धि या भौतिकी में घातीय गिरावट इत्यादि। इसमें समामेलित चर $$N(t)$$ होता है, चूँकि किसी समय जनसंख्या में व्यक्तियों की संख्या $$t$$. इसमें एकीकृत पैरामीटर $$r=\beta-\delta$$ है, अतः जनसंख्या की वार्षिक वृद्धि दर, वार्षिक जन्म दर के मध्य अंतर के रूप में गणना की जाती है। इस प्रकार $$\beta$$ और $$\delta$$ वार्षिक मृत्यु दर समय $$t$$ वर्षों में मापा जा सकता है, जैसा कि यहाँ उदाहरण के लिए, या किसी अन्य उपयुक्त इकाई में दिखाया गया है।

चित्र 1 का मैक्रोस्केल मॉडल मापदंडों को जोड़ता है और अनेक सरलीकरण अनुमानों को सम्मिलित करता है। मैक्रोस्केल मॉडल के इन सभी अनुमानों को अनुरूप माइक्रोस्केल मॉडल में परिष्कृत किया जा सकता है। इस प्रकार ऊपर सूचीबद्ध पहले अनुमान पर - कि जन्म और मृत्यु दर स्थिर होती हैं - चित्र 1 का मैक्रोस्केल मॉडल बिल्कुल बड़ी संख्या में स्टोकेस्टिक परीक्षणों का माध्य होता है, जिसमें विकास दर समय के प्रत्येक उदाहरण में यादृच्छिक रूप से उतार-चढ़ाव करती है। अतः माइक्रोस्केल स्टोकेस्टिक विवरण को आंशिक अंतर प्रसार समीकरण में समाहित किया गया है और उस समीकरण का उपयोग तुल्यता स्थापित करने के लिए किया जाता है।
 * 1) जन्म और मृत्यु दर स्थिर होती हैं।
 * 2) सभी व्यक्ति समान होते हैं, उनकी कोई आनुवंशिकी या आयु संरचना नहीं होती है।
 * 3) व्यक्तियों के अंश अर्थपूर्ण होते हैं।
 * 4) पैरामीटर स्थिर होते हैं और विकसित नहीं होते हैं।
 * 5) निवास स्थान बिल्कुल समान होते है।
 * 6) कोई आव्रजन या उत्प्रवास नहीं होता है और
 * 7) अनियमितता प्रवेश नहीं करती है।

अन्य धारणाओं को शिथिल करने के लिए, शोधकर्ताओं ने कम्प्यूटेशनल विधियों को प्रयुक्त किया है। चित्र 2 नमूना कम्प्यूटेशनल माइक्रोस्केल एल्गोरिदम होता है जो चित्र 1 के मैक्रोस्केल मॉडल से मेल खाता है। जब सभी व्यक्ति समान होते हैं और जन्म और मृत्यु दर में उत्परिवर्तन अक्षम हो जाते हैं, तब माइक्रोस्केल गतिशीलता मैक्रोस्केल गतिशीलता (चित्रा 3 ए और 3 बी) के समानांतर होती है। इस प्रकार दो मॉडलों के मध्य साधारण अंतर माइक्रोस्केल संस्करण में स्टोकेस्टिक भिन्नताओं से उत्पन्न होता है जो नियतात्मक मैक्रोस्केल मॉडल में उपस्तिथ नहीं होते है। अतः प्रत्येक बार एल्गोरिदम प्रयुक्त होने पर यह परिवर्तन भिन्न-भिन्न होते है, जो यादृच्छिक संख्या अनुक्रमों में जानबूझकर परिवर्तन से उत्पन्न होते है।

जब सभी व्यक्ति समान नहीं होते हैं, तब माइक्रोस्केल डायनेमिक्स मैक्रोस्केल डायनेमिक्स से अधिक भिन्न हो सकता है, अतः मैक्रोस्केल पर मॉडलिंग की तुलना में अधिक यथार्थवादी स्थितियों का अनुकरण कर सकता है (आंकड़े 3सी और 3डी)। इस प्रकार सूक्ष्मदर्शी मॉडल स्पष्ट रूप से अंतर समीकरण को सम्मिलित नहीं करता है, चूंकि बड़ी जनसंख्या के लिए यह इसे सूक्ष्मता से अनुकरण करता है। जब व्यक्ति एक-दूसरे से भिन्न होते हैं, तब पद्धति में अच्छी प्रकार से परिभाषित व्यवहार होता है किन्तु उस व्यवहार को नियंत्रित करने वाले अंतर समीकरणों को संहिताबद्ध करने में कठिनाई होती है। चित्र 2 का एल्गोरिदम मूल उदाहरण है जिसे समीकरण-मुक्त मॉडल कहा जाता है।

जब माइक्रोस्केल मॉडल में उत्परिवर्तन ($$\sigma>0$$) सक्षम होते हैं, तब जनसंख्या मैक्रोस्केल मॉडल (आंकड़े 3सी और 3डी) की तुलना में अधिक तेजी से बढ़ती है। इस प्रकार मापदंडों में उत्परिवर्तन से कुछ व्यक्तियों की जन्म दर अधिक होती है और अन्य की मृत्यु दर कम होती है, और वह व्यक्ति जनसंख्या में आनुपातिक रूप से अधिक योगदान करते हैं। सामान्यतः बाकी सब समान होने पर, जैसे-जैसे सतत अनुकरण आगे बढ़ता है, औसत जन्म दर उच्च मूल्यों पर चली जाती है और औसत मृत्यु दर निम्न मूल्यों पर चली जाती है। इस बहाव को चित्र 2 के माइक्रोस्केल एल्गोरिदम के बीटा और डेल्टा नामक डेटा संरचनाओं में ट्रैक किया गया है।

चित्र 2 का एल्गोरिदम यूलर विधि का उपयोग करके सरलीकृत माइक्रोस्केल मॉडल होता है। अन्य एल्गोरिदम जैसे गिलेस्पी विधि और असतत घटना अनुकरण व्यवहार में भी प्रयोग किया जाता है। इस प्रकार व्यावहारिक उपयोग में एल्गोरिदम के संस्करणों में व्यक्तियों को मरने के पश्चात् विचार से हटाने (स्मृति आवश्यकताओं को कम करने और गति बढ़ाने के लिए) और भविष्य में स्टोकेस्टिक घटनाओं को शेड्यूल करने (निरंतर समय पैमाने प्रदान करने और गति में और सुधार करने के लिए) जैसी क्षमताएं सम्मिलित होती हैं। अतः इस प्रकार के दृष्टिकोण तीव्रता के क्रम के हो सकते हैं।

जटिलता
माइक्रोस्केल मॉडल द्वारा संबोधित प्रणालियों की जटिलता स्वयं मॉडल में जटिलता की ओर ले जाती है, और माइक्रोस्केल मॉडल का विनिर्देश इसके संबंधित मैक्रोस्केल मॉडल से दसियों या सैकड़ों गुना बड़ा हो सकता है। (चित्र 2 के सरलीकृत उदाहरण में चित्र 1 की तुलना में इसके विनिर्देशन में 25 गुना अधिक रेखाये होती हैं।) चूंकि कंप्यूटर सॉफ़्टवेयर में बग होते हैं और परीक्षण जैसे मानक विधियों से पूर्ण प्रकार से हटाया नहीं जा सकता है और चूंकि जटिल मॉडलों को अधिकांशतः न तब विस्तार से प्रकाशित किया जाता है और न ही सहकर्मी-समीक्षा की जाती है, इसलिए उनकी वैधता पर प्रश्न उठाया गया है। इस प्रकार सूक्ष्म पैमाने के मॉडल के लिए सर्वोत्तम प्रथाओं पर दिशानिर्देश उपस्तिथ होते हैं किन्तु इस विषय पर कोई भी पेपर जटिल मॉडलों को मान्य करने की समस्या के पूर्ण समाधान को प्रामाणित नहीं करता है।

भविष्य
कंप्यूटिंग क्षमता उन स्तरों तक पहुंच रही है जहां पूर्ण देश या यहां तक ​​​​कि पूर्ण संसार की जनसंख्या सूक्ष्म पैमाने के मॉडल की पहुंच के अंदर होती है और जनगणना और यात्रा डेटा में सुधार ऐसे मॉडलों को मानकीकृत करने में और सुधार की अनुमति देता है। इस प्रकार पृथ्वी अवलोकन उपग्रह से पृथ्वी-अवलोकन उपग्रह और राष्ट्रीय पारिस्थितिक वेधशाला नेटवर्क (एनईओएन) जैसी जमीन-आधारित वेधशालाओं से अंशांकन के लिए बड़ी मात्रा में डेटा प्रदान करते हैं। इस प्रकार संभावित अनुप्रयोगों में रोग के प्रसार की भविष्यवाणी करने और उसे कम करने से लेकर पृथ्वी की गतिशीलता को समझने में सहायता करना सम्मिलित होता है।

आंकड़े
चित्र 1. मैक्रोस्केल मॉडल में सबसे सरल, निरंतर घातीय वृद्धि का वर्णन करने वाला सामान्य अंतर समीकरण $$N(t)$$ होता है। इस प्रकार समय $$t$$ पर जनसंख्या का आकार $$dN(t)/dt$$ होता है, अतः एकल आयाम $$N$$ में समय के माध्यम से परिवर्तन की दर $$N(0)$$ होती है, अतः इस पर प्रारंभिक जनसंख्या $$t=0$$ होती है, $$\beta$$ प्रति समय इकाई जन्म दर है, और $$\delta$$ प्रति समय इकाई मृत्यु दर है। सामान्यतः बाईं ओर विभेदक रूप होता है और दाईं ओर मानक गणितीय कार्यों के संदर्भ में स्पष्ट समाधान होता है, जो इस स्थितियों में अंतर रूप से अनुसरण करता है। इस प्रकार लगभग सभी मैक्रोस्केल मॉडल इस उदाहरण की तुलना में अधिक जटिल होता हैं, जिससे कि उनके पास अनेक आयाम होते हैं, अतः मानक गणितीय कार्यों के संदर्भ में स्पष्ट समाधान की कमी होती है, और उन्हें उनके विभेदक रूपों से समझा जाता है।चित्र 2. व्यक्ति-आधारित मॉडल पर यूलर पद्धति को प्रयुक्त करने वाला मूलभूत एल्गोरिदम चर्चा के लिए पाठ देख सकते है। इस प्रकार छद्मकोड में दर्शाया गया एल्गोरिदम, प्रक्रिया के आह्वान के साथ प्रारंभ होता है $$\operatorname{Microscale}$$, जो दाईं ओर वर्णित क्रमांकित चरणों के अनुसार सतत अनुकरण करने के लिए डेटा संरचनाओं का उपयोग करता है। इस प्रकार यह बार-बार फलन को आमंत्रित करता है $$\operatorname{Mutation}(v)$$, जो चर द्वारा परिभाषित मानक विचलन के साथ समान वितरण से खींची गई यादृच्छिक संख्या से व्याकुल होकर अपना पैरामीटर लौटाता है $$sigma$$. (12 का वर्गमूल प्रकट होता है जिससे कि समान वितरण (निरंतर) के मानक विचलन में वह कारक सम्मिलित होता है।) कार्य $$\operatorname{Rand}$$ एल्गोरिथ्म में समान रूप से वितरित यादृच्छिक संख्या लौटाने का अनुमान लगाया गया है $$0\le Rand<1$$. यह माना जाता है कि प्रत्येक आह्वान पर डेटा को उनके प्रारंभिक मूल्यों पर रीसेट $$\operatorname{Microscale}$$ कर दिया जाता है। चित्र 3. क्रमशः चित्र 1 और 2 के मैक्रोस्केल और माइक्रोस्केल सतत अनुकरण की गतिशीलता की ग्राफिकल तुलना होती है।
 *  '(ए)' काला वक्र चित्र 1 के मैक्रोस्केल मॉडल का त्रुटिहीन समाधान प्रस्तुत करता है $$\beta=1/5$$ प्रति वर्ष, $$\delta=1/10$$ प्रति वर्ष, और $$N_0=1000$$ व्यक्ति.
 *  '(बी)' लाल बिंदु चित्र 2 के सूक्ष्मदर्शी मॉडल की गतिशीलता दिखाते हैं, समान मानों का उपयोग करते हुए, वर्ष के अंतराल पर दिखाया गया है $$\beta$$, $$\delta$$, और $$N_0$$, और बिना किसी उत्परिवर्तन के $$(\sigma=0)$$.
 *  '(सी)' नीले बिंदु मानक विचलन वाले उत्परिवर्तन के साथ माइक्रोस्केल मॉडल की गतिशीलता $$\sigma=0.006$$ दिखाते हैं।
 *  '(डी)' हरे बिंदु बड़े उत्परिवर्तन के साथ परिणाम $$\sigma=0.010$$ दिखाते हैं।