सह-समरूपता

गणित में, विशेष रूप से होमोलॉजी सिद्धांत और बीजगणितीय टोपोलॉजी में, कोहोलॉजी एबेलियन समूहों के अनुक्रम के लिए यह सामान्य शब्द है, जो सामान्यतः टोपोलॉजिकल स्पेस से जुड़ा होता है, जिसे अधिकांशतः कोचेन कॉम्प्लेक्स से परिभाषित किया जाता है। कोहोलॉजी को समरूपता की तुलना में अंतरिक्ष में समृद्ध बीजगणितीय को निर्दिष्ट करने की विधि के रूप में देखा जा सकता है। समरूपता के निर्माण को दोहराते हुए कोहोलॉजी के कुछ संस्करण उत्पन्न होते हैं। इस प्रकार दूसरे शब्दों में, समरूपता सिद्धांत में श्रृंखला (बीजीय टोपोलॉजी) के समूह पर कोचेन कार्य (गणित) हैं।

टोपोलॉजी में इसकी प्रारंभ से, यह विचार बीसवीं शताब्दी के उत्तरार्ध के गणित में प्रमुख पद्धति बन गया हैं। टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीजगणित के निर्माण की विधि के रूप में होमोलॉजी के प्रारंभिक विचार से, होमोलॉजी और कोहोलॉजी सिद्धांतों के अनुप्रयोगों की श्रेणी पूरी ज्यामिति और सार बीजगणित में प्रसारित है। इस शब्दावली के तथ्य को विलुप्त रखने की प्रवृत्ति रहती है कि कोहोलॉजी, सहप्रसरण और फंक्टर्स सिद्धांत का प्रतिप्रसरण, कई अनुप्रयोगों में होमोलॉजी की तुलना में अधिक स्वाभाविक है। मौलिक स्तर पर, इसे ज्यामितीय स्थितियों में फलन और पुलबैक (अंतर ज्यामिति) के साथ उपयोग करना पड़ता है: दिए गए स्थान X और Y , और Y पर किसी प्रकार के फंक्शन F '', किसी भी मानचित्र (गणित) के लिए f : X → Y, f के साथ संघटन फलन को जन्म देता है F ∘ f एक्स पर सबसे महत्वपूर्ण कोहोलॉजी सिद्धांतों में उत्पाद है, कप उत्पाद, जो उन्हें रिंग (गणित) संरचना देता है। इस विशेषता के कारण, कोहोलॉजी सामान्यतः होमोलॉजी की तुलना में मजबूत अपरिवर्तनीय है।

एकवचन कोहोलॉजी
एकवचन कोहोलॉजी टोपोलॉजी में शक्तिशाली अपरिवर्तनीयता को प्रदर्शित करती है, जो किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस के साथ ग्रेडेड-कम्यूटेटिव रिंग को जोड़ता है। प्रत्येक निरंतर मानचित्र f: X → Y, Y के कोहोलॉजी रिंग से X के रिंग समरूपता को निर्धारित करता है; यह X से Y तक के संभावित नक्शों पर कठोरता से प्रतिबंध लगाता है। होमोटॉपी समूहों जैसे अधिक सूक्ष्मके विपरीत, कोहोलॉजी रिंग रुचि के स्थानों के लिए व्यवहार में संगणनीय होती है।

इस प्रकार के टोपोलॉजिकल स्पेस X के लिए, एकवचन कोहोलॉजी की परिभाषा एकवचन श्रृंखला परिसर से प्रारंभ होती है: $$\cdots \to C_{i+1}\stackrel{\partial_{i+1}}{\to} C_i \stackrel{ \partial_i}{\to}\ C_{i-1} \to \cdots $$ इस परिभाषा के अनुसार, X की एकवचन होमोलॉजी इस चेन कॉम्प्लेक्स की होमोलॉजी है, इस प्रकार होमोमोर्फिज्म प्रारूपों का कर्नेल पिछले के प्रतिबिंब के रूप में की जाती हैं। इस प्रकार अधिक विस्तार से यदि कहें तो Ciमानक I-सिम्प्लेक्स से x तक निरंतर मानचित्रों के समुच्चय पर मुक्त एबेलियन समूह है (जिसे X में एकवचन I-सिंपलिस कहा जाता है), और ∂i i-वीं सीमा समरूपता है। समूह सीi i ऋणात्मक के लिए शून्य हैं।

अब एबेलियन ग्रुप ए को ठीक करते हैं, और प्रत्येक ग्रुप Ci को इसके अतिरिक्त इसकी दोहरी जगह से $$C_i^* := \mathrm{Hom}(C_i,A),$$ और $$\partial_i$$ इसके दोहरे स्थान द्वारा रेखीय मानचित्र का स्थानांतरण किया जाता हैं।$$d_{i-1}: C_{i-1}^* \to C_{i}^*.$$यह कोचेन कॉम्प्लेक्स को छोड़कर, मूल परिसर के सभी तीरों को उलटने का प्रभाव है$$\cdots \leftarrow C_{i+1}^* \stackrel{d_i}{\leftarrow}\ C_{i}^* \stackrel{d_{i-1}}{\leftarrow} C_{i-1}^* \leftarrow \cdots $$

इस प्रकार पूर्णांक i के लिए, ith A में गुणांक वाले X के कोहोलॉजी समूह को ker(d)i के रूप में परिभाषित किया गया है)/ IM(अर्ताथi−1) और HI द्वारा चिह्नित(X, A). समूह Hi(X, A) i ऋणात्मक के लिए शून्य है। के तत्व $$C_i^*$$ एकवचन i कहलाते हैं - A में गुणांक वाले कोचेन के रूप में इसे देखा जा सकता हैं। ( इस प्रकार समतुल्य रूप से, X पर i-कोचैन को X से A में एकवचन i-सरलताओं के समुच्चय से फ़ंक्शन के साथ पहचाना जा सकता है।) तत्व ker(d) और im(d) को क्रमशः कोसायकल और कोबाउंडरी कहा जाता है, जबकि ker(d)/im(d) = H के तत्व i(X, A) को 'कोहोमोलॉजी क्लासेस' कहा जाता है (क्योंकि वे कोसाइकल के समतुल्य वर्ग हैं)।

निम्नलिखित में, गुणांक समूह A को कभी-कभी नहीं लिखा जाता है। A को क्रमविनिमेय वलय R के रूप में लेना सामान्य है; तो कोहोलॉजी समूह R-मॉड्यूल (गणित) हैं। मानक विकल्प पूर्णांकों का वलय 'Z' है।

कोहोलॉजी के औपचारिक गुणों में से कुछ होमोलॉजी के गुणों के केवल आसान रूप हैं:


 * इस प्रकार के सतत नक्शे के अनुसार $$f: X \to Y$$ पुशफॉरवर्ड होमोमोर्फिज्म निर्धारित करता है, तथा$$f_*:H_i(X) \to H_i(Y)$$ समरूपता और पुलबैक समरूपता पर $$f^*: H^i(Y) \to H^i(X)$$ कोहोलॉजी पर इसका उपयोग किया जाता हैं। यह कोहोमोलॉजी को टोपोलॉजिकल स्पेस से एबेलियन ग्रुप (या R-मॉड्यूल) तक प्रतिपरिवर्ती संचालिका बनाता है।
 * X से Y तक के दो होमोटोपिक मानचित्र कोहोलॉजी (ठीक होमोलॉजी पर) पर ही समरूपता को प्रेरित करते हैं।
 * मेयर-विएटोरिस अनुक्रम कोहोमोलॉजी में महत्वपूर्ण कम्प्यूटरीकृत टूल है, जैसा कि होमोलॉजी में है। यहाँ पर ध्यान दें कि कोहोलॉजी में सीमा घटने के अतिरिक्त समरूपता बढ़ती है। यही है, यदि कोई स्थान X खुले उपसमुच्चय U और V का मिलन है, तो लंबा सटीक क्रम है: $$\cdots \to H^i(X) \to H^i(U)\oplus H^i(V) \to H^i(U\cap V) \to H^{i+1}(X) \to \cdots$$
 * रिलेशन होमोलॉजी समूह हैं $$H^i(X,Y;A)$$ किसी स्थान X के किसी भी उप-स्थान टोपोलॉजी Y के लिए सही अनुक्रम द्वारा सामान्य कोहोलॉजी समूहों से संबंधित हैं:$$\cdots \to H^i(X,Y) \to H^i(X) \to H^i(Y) \to H^{i+1}(X,Y) \to \cdots$$
 * सार्वभौम गुणांक प्रमेय Xट समूहों का उपयोग करते हुए समरूपता के संदर्भ में कोहोलॉजी का वर्णन करता है। अर्थात्, संक्षिप्त सटीक क्रम है $$ 0 \to \operatorname{Ext}_{\Z}^1(\operatorname{H}_{i-1}(X, \Z), A) \to H^i(X, A) \to \operatorname{Hom}_{\Z}(H_i(X,\Z), A)\to 0.$$ संबंधित कथन यह है कि क्षेत्र (गणित) F के लिए, $$H^i(X,F)$$ सदिश स्थान का ठीक दोहरा स्थान है $$H_i(X,F)$$.
 * यदि X टोपोलॉजिकल कई गुना या CW कॉम्प्लेक्स है, तो कोहोलॉजी समूह $$H^i(X,A)$$ X के आयाम से अधिकता के लिए i का मान शून्य होता हैं। यदि X कॉम्पैक्ट जगह मैनिफोल्ड (संभवतः सीमा के साथ), या CW कॉम्प्लेक्स है जिसमें प्रत्येक आयाम में सूक्ष्म रूप से कई सेल हैं, और R कम्यूटेटिव नोथेरियन रिंग है, तो R-मॉड्यूल Hi(X,R) प्रत्येक i के लिए अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है।

दूसरी ओर, कोहोमोलॉजी की महत्वपूर्ण संरचना है जो होमोलॉजी नहीं करती है: किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस X और कम्यूटेटिव रिंग R के लिए, द्विरेखीय नक्शा होता है, जिसे 'कप प्रोडक्ट' कहा जाता है:$$H^i(X,R)\times H^j(X,R) \to H^{i+j}(X,R),$$एकवचन कोचेन्स पर स्पष्ट सूत्र द्वारा परिभाषित किया जाता हैं। कोहोलॉजी कक्षाओं U और V के उत्पाद को U ∪ V या बस UV के रूप में लिखा जाता है। यह उत्पाद प्रत्यक्ष योग बनाता है $$H^*(X,R)=\bigoplus_i H^i(X,R)$$एक वर्गीकृत रिंग में, जिसे 'X' का कोहोलॉजी रिंग कहा जाता है। यह श्रेणीबद्ध-विनिमेय इस अर्थ में है कि:$$uv=(-1)^{ij}vu, \qquad u \in H^i(X,R), v \in H^j(X,R).$$किसी भी निरंतर मानचित्र के लिए $$f\colon X\to Y,$$ पुलबैक (कोहोलॉजी) $$f^*: H^*(Y,R) \to H^*(X, R)$$ वर्गीकृत R-सहयोगी बीजगणित का समरूपता है। यह इस प्रकार है कि यदि दो रिक्त स्थान होमोकैप समतुल्य हैं, तो उनके कोहोलॉजी के छल्ले आइसोमोर्फिक हैं।

यहाँ कप उत्पाद की कुछ ज्यामितीय व्याख्याएँ दी गई हैं। जब तक अन्यथा नहीं कहा जाता है, तब तक कई गुना सीमा के बिना समझा जाता है। 'क्लोज्ड मैनिफोल्ड' का अर्थ है कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड (बिना सीमा के), जबकि 'क्लोज्ड सबमेनिफोल्ड' N ऑफ मेनिफोल्ड M का अर्थ सबमेनिफोल्ड है जो M का उपसमुच्चय है, यहाँ पर आवश्यक नहीं हैं कि कॉम्पैक्ट हो (चूंकि N स्वचालित रूप से कॉम्पैक्ट है यदि M है)।


 * X को आयाम N के कई गुना बंद उन्मुखता होने देते हैं। फिर पोंकारे द्वैत समरूपता Hi X ≅ Hn−iX देता है। परिणामस्वरूप, X में कोडिमेंशन i का क्लोज्ड ओरिएंटेड सबमनीफोल्ड S HiX में कोहोलॉजी क्लास निर्धारित करता है, जिसे [S] कहा जाता है। इन शब्दों में, कप उत्पाद सबमनिफोल्ड्स के प्रतिच्छेदन का वर्णन करता है अर्थात्, यदि S और T कोडिमेंशन i और j के सबमेनफोल्ड हैं जो अनुप्रस्थता (गणित) को काटते हैं, इस प्रकार उक्त समीकरण के अनुसार- $$[S][T]=[S\cap T]\in H^{i+j}(X),$$जहां प्रतिच्छेदन S ∩ T कोडिमेंशन i + j का सबमैनिफोल्ड है, S, T, और X के अभिविन्यास द्वारा निर्धारित अभिविन्यास के साथ उपयोग किया जाता हैं। इस स्थिति में, यदि S और T अनुप्रस्थ रूप से प्रतिच्छेद नहीं करते हैं, तो यह फॉर्मूला अभी भी हो सकता है और अंतःखण्ड यहाँ पर अनुप्रस्थ बनाने के लिए S या T को विचलित करके कप उत्पाद [S] [T] की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है। अधिक सामान्यतः, यह मानने के बिना कि X का अभिविन्यास है, X का बंद सबमनीफोल्ड अपने सामान्य बंडल पर अभिविन्यास के साथ X पर कॉहोलॉजी क्लास निर्धारित करता है। यदि X नॉनकॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड है, तो क्लोज्ड सबमनिफोल्ड (जरूरी नहीं कि कॉम्पैक्ट) कॉहोलॉजी निर्धारित करता है। X पर इस अक्ष की दोनों ही स्थितियों में कप उत्पाद को फिर से सबमेनिफोल्ड्स के अन्तः खंडो के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। ध्यान दें कि रेने थॉम ने 14-कई गुना स्मूथ सबमनीफोल्ड पर डिग्री 7 के अभिन्न कोहोलॉजी वर्ग का निर्माण किया जो कि किसी भी चिकनी उप-कणिका का वर्ग नहीं है। दूसरी ओर, उन्होंने दिखाया कि चिकनी मैनिफोल्ड पर सकारात्मक डिग्री के प्रत्येक इंटीग्रल कोहोलॉजी क्लास में पॉजिटिव मल्टीपल होता है जो कि स्मूथ सबमनीफोल्ड का वर्ग होता है। साथ ही, मैनिफोल्ड पर हर इंटीग्रल कोहोलॉजी क्लास को स्यूडोमेनिफोल्ड द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो कि सिंपल कॉम्प्लेक्स है जो कम से कम 2 कोडिमेंशन के बंद उपसमुच्चय के बाहर कई गुना है।
 * इस प्रकार की चिकनी तथा कई गुना X के मान के लिए, डी राम की प्रमेय के अनुसार वास्तविक संख्या गुणांक वाले X के एकवचन कोहोलॉजी X के डी रम कोहोलॉजी के लिए आइसोमोर्फिक है, जो अलग-अलग रूपों का उपयोग करके परिभाषित किया गया है। कप उत्पाद विभेदक रूप के उत्पाद से मेल खाता है। इस व्याख्या का लाभ यह है कि विभेदक रूपों पर उत्पाद श्रेणीबद्ध-विनिमेय है, जबकि एकल कोचेन पर उत्पाद केवल श्रृंखला होमोकैप तक श्रेणीबद्ध-विनिमेय है। वास्तव में, पूर्णांकों में गुणांक वाले एकवचन कोचेन की परिभाषा को संशोधित करना असंभव है, इस प्रकार $$\Z$$ या में $$\Z/p$$ अभाज्य संख्या p के लिए उत्पाद को नाक पर श्रेणीबद्ध-विनिमेय बनाने के लिए। कोचेन स्तर पर ग्रेडेड-कम्यूटेटिविटी की विफलता मॉड पी कोहोलॉजी पर स्टीनरोड संचालन की ओर ले जाती है।

इस प्रकार बहुत ही अनौपचारिक रूप से, किसी भी सांस्थितिक स्थान X के लिए, के तत्व $$H^i(X)$$ X के कोडिमेंशन-I सबस्पेस द्वारा प्रतिनिधित्व के रूप में सोचा जा सकता है जो X पर स्वतंत्र रूप से स्थानांतरित हो सकता है। उदाहरण के लिए, तत्व को परिभाषित करने का तरीका $$H^i(X)$$ सामान्य बंडल पर अभिविन्यास के साथ X से निरंतर मानचित्र F को कई गुना M और M के बंद कोडिमेंशन-I सबमनीफोल्ड N देना है। अनौपचारिक रूप से, कोई परिणामी वर्ग के बारे में सोचता है $$f^*([N]) \in H^i(X)$$ उप-क्षेत्र पर झूठ बोलने के रूप में $$f^{-1}(N)$$ X का; यह उस वर्ग में उचित है $$f^*([N])$$ खुले उपसमुच्चय के कोहोलॉजी में शून्य तक सीमित है $$X-f^{-1}(N).$$ कोहोलॉजी वर्ग $$f^*([N])$$ X पर स्वतंत्र रूप से इस अर्थ में आगे बढ़ सकता है कि N को M के अंदर N के निरंतर विरूपण से परिवर्तित किया जा सकता है।

उदाहरण
निम्नलिखित में, कोहोलॉजी को पूर्णांक Z में गुणांक के साथ लिया जाता है, जब तक कि अन्यथा न कहा जा सकता हैं।
 * किसी बिंदु की कोहोलॉजी रिंग डिग्री 0 में रिंग Z है। होमोटॉपी इनवेरियन द्वारा, यह किसी भी सिकुड़े हुए स्थान का कोहोलॉजी रिंग भी है, जैसे कि यूक्लिडियन स्पेस RN का उपयोग करते हैं।
 * torus cycles.svgधनात्मक पूर्णांक n के लिए, n-गोले का कोहोलॉजी वलय $$S^n$$ Z[x]/(x है2) (दिए गए आदर्श (रिंग थ्योरी) द्वारा बहुपद वलय का भागफल वलय), जिसमें x डिग्री n में है। पोंकारे द्वैत के संदर्भ में जैसा कि ऊपर बताया गया है, x गोले पर बिंदु का वर्ग है।
 * टोरस्र्स का कोहोलॉजी रिंग $$(S^1)^n$$ डिग्री 1 में n जनरेटर पर Z के ऊपर बाहरी बीजगणित है। उदाहरण के लिए, पी सर्कल में बिंदु निरूपित करते हैं $$S^1$$, और क्यू बिंदु (P, P) 2-आयामी टोरस में $$(S^1)^2$$. फिर की कोहोलॉजी (S1)2 का फ्री मॉड्यूल के रूप में आधार है। फॉर्म का फ्री Z-मॉड्यूल: एलिमेंट 1 डिग्री 0 में, x := [P × S1] और y := [S1 × P] डिग्री 1 में, और xy = [Q] डिग्री 2 में। ], ग्रेडेड-कम्यूटेटिविटी द्वारा किया जाता हैं।
 * अधिक सामान्यतः, R को कम्यूटेटिव रिंग होने दें, और X और Y को कोई भी टोपोलॉजिकल स्पेस दें जैसे कि H*(X,R) प्रत्येक डिग्री में सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मुक्त R-मॉड्यूल है। (Y पर किसी धारणा की आवश्यकता नहीं है।) फिर कुनेथ सूत्र देता है कि उत्पाद स्थान X × Y की कोहोलॉजी रिंग R-बीजगणित के बीजगणित का टेन्सर उत्पाद है: $$H^*(X\times Y,R)\cong H^*(X,R)\otimes_R H^*(Y,R).$$
 * वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान RP का कोहोलॉजी रिंगn 'Z'/2 गुणांक के साथ 'Z'/2[x]/(xn+1), डिग्री 1 में x के साथ। यहाँ x हाइपर प्लेन 'RP'n−1 का वर्ग 'RP' IN है, यह समझ में आता है भले ही 'RP'j j सम और धनात्मक के लिए उन्मुख नहीं है, क्योंकि 'Z'/2 गुणांकों के साथ Poincaré द्वैत मनमाने मैनिफोल्ड के लिए कार्य करता है। पूर्णांक गुणांकों के साथ, उत्तर थोड़ा अधिक जटिल है। RP का Z-कोहोलॉजी2a में डिग्री 2 का तत्व y है जैसे कि संपूर्ण कोहोलॉजी 'Z' की प्रति का प्रत्यक्ष योग है जो तत्व 1 द्वारा डिग्री 0 में 'Z'/2 की प्रतियों के साथ तत्वों yi द्वारा फैलाई गई है जहाँ पर i=1,...,a. 'RP'2a+1 का 'Z'-कोहोलॉजी 2a+1 डिग्री में 'Z' की अतिरिक्त प्रति के साथ समान है।
 * जटिल प्रक्षेप्य स्थान CP का कोहोलॉजी रिंगn 'Z' है[x]/(xn+1), डिग्री 2 में x के साथ किया जाता हैं। यहाँ x हाइपरप्लेन 'CP'n−1 का वर्ग है 'CP'N में अधिक सामान्यतः, Xj रैखिक उपसमष्टि 'CP'n−j का वर्ग है 'CP'N में किया जाता हैं।
 * जीनस (गणित) G ≥ 0 के बंद उन्मुख सतह X की कोहोलॉजी रिंग के रूप में मुक्त 'Z'-मॉड्यूल के रूप में आधार है: तत्व 1 डिग्री 0, A A1,...,Ag और B1,...,Bg डिग्री 1 में, और डिग्री 2 में बिंदु का वर्ग P हैं। उत्पाद द्वारा दिया गया है: AiAj = BiBj = 0 सभी i और j, A के लिएiBj = 0 यदि i ≠ j, और AiBi = P सभी के लिए I में उपलब्ध होते हैं। ग्रेडेड-कम्यूटेटिविटी $B_{i}A_{i} = −P$ द्वारा, यह उसका अनुसरण करता है।
 * किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस पर, कोहोलॉजी रिंग की ग्रेडेड-कम्यूटेटिविटी का अर्थ है कि 2x2 = 0 सभी ऑड-डिग्री कोहोलॉजी क्लास x के लिए किया जाता हैं। यह इस प्रकार है कि रिंग R के लिए 1/2 युक्त, H के सभी विषम-डिग्री तत्व*(X,R) का वर्ग शून्य है। दूसरी ओर, यदि R 'Z'/2 या 'Z' है, तो विषम-डिग्री तत्वों के लिए वर्ग शून्य की आवश्यकता नहीं है, जैसा कि 'RP' के उदाहरण में देखा गया है।2 (Z/2 गुणांकों के साथ) या RP4 × RP2 (Z गुणांकों के साथ) किया जाता हैं।

विकर्ण
कोहोलॉजी पर कप उत्पाद को विकर्ण मानचित्र Δ: X → X × X, x ↦ (x, x) से आने के रूप में देखा जा सकता है। अर्थात्, किसी भी स्थान X और Y के लिए कोहोलॉजी कक्षाओं के साथ यू ∈ Hi(X,R) और v ∈ Hj(Y,R), 'बाहरी उत्पाद' (या 'क्रॉस उत्पाद') कोहोलॉजी वर्ग u × v ∈ H हैi+j(X × Y,R). कक्षाओं यू ∈ H का कप उत्पादi(X,R) और v ∈ Hj(X,R) को विकर्ण द्वारा बाहरी उत्पाद के पुलबैक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:$$uv=\Delta^*(u\times v)\in H^{i+j}(X,R).$$वैकल्पिक रूप से, बाहरी उत्पाद को कप उत्पाद के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। रिक्त स्थान X और Y के लिए, दो अनुमानों के लिए f: X × Y → X और g: X × Y → Y लिखें। फिर कक्षाओं यू ∈ H का बाहरी उत्पादi(X,R) और v ∈ Hj(Y,R) है:$$u\times v=(f^*(u))(g^*(v))\in H^{i+j}(X\times Y,R).$$

पोंकारे द्वैत
पोंकारे द्वैत की और व्याख्या यह है कि बंद उन्मुख मैनिफोल्ड की कोहोलॉजी रिंग मजबूत अर्थ में स्व-दोहरी है। अर्थात्, X को आयाम n के बंद जुड़े स्थान उन्मुख कई गुना होने दें, और F को क्षेत्र होने देते हैं। इस स्थिति में Hn(X,F) F और उत्पाद के लिए तुल्याकारी है
 * $$H^i(X,F)\times H^{n-i}(X,F)\to H^n(X,F)\cong F$$

प्रत्येक पूर्णांक i के लिए आदर्श युग्म है। विशेष रूप से, सदिश समष्टियाँ Hमैं(X, F) और Hn−i(X,F) का ही (परिमित) आयाम है। इसी तरह, H में मूल्यों के साथ इंटीग्रल कोहोलॉजी मॉड्यूलो टोरसन उपसमूह पर उत्पादn(X,'Z') ≅ 'Z', 'Z' के ऊपर उत्तम जोड़ी है।

विशेषता वर्ग
टोपोलॉजिकल स्पेस X पर रैंक r का उन्मुख वास्तविक वेक्टर बंडल E, X पर कोहोलॉजी क्लास निर्धारित करता है, ' विशेषता वर्ग ' χ(E) ∈ HR(X, 'Z')। अनौपचारिक रूप से, यूलर वर्ग ई के सामान्य खंड (फाइबर बंडल) के शून्य समुच्चय का वर्ग है। उस व्याख्या को और अधिक स्पष्ट किया जा सकता है जब ई चिकनी कई गुना X पर चिकनी वेक्टर बंडल है, तब से सामान्य चिकनी खंड X के कोडिमेंशन-r सबमनीफोल्ड पर X गायब हो जाता है।

सदिश बंडलों के लिए कई अन्य प्रकार के विशिष्ट वर्ग हैं जो कोहोलॉजी में मान लेते हैं, जिनमें चेर्न वर्ग, स्टीफ़ेल-व्हिटनी वर्ग और पोंट्रीगिन वर्ग सम्मिलित हैं।

ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेस
प्रत्येक एबेलियन समूह ए और प्राकृतिक संख्या J के लिए स्थान $$K(A,j)$$ है, जिसका j-th होमोटॉपी समूह A के लिए आइसोमोर्फिक है और जिसके अन्य समरूप समूह शून्य हैं। ऐसी जगह को 'ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेस' कहा जाता है। इस स्थान की उल्लेखनीय संपत्ति है कि यह कोहोलॉजी के लिए 'वर्गीकरण स्थान' है: इसमें प्राकृतिक तत्व U $$H^j(K(A,j),A)$$ है, और प्रत्येक स्थान X पर डिग्री j का प्रत्येक कोहोलॉजी वर्ग कुछ निरंतर मानचित्र द्वारा u का पुलबैक है $$X\to K(A,j)$$. अधिक सटीक रूप से, कक्षा यू को वापस खींचने से आपत्ति होती है
 * $$[X, K(A,j)] \stackrel{\cong}{\to} H^j(X,A)$$

CW कॉम्प्लेक्स के होमोटॉपी प्रकार के साथ प्रत्येक स्थान X के लिए किया जाता हैं। यहाँ $$[X,Y]$$ X से Y तक निरंतर मानचित्रों के होमोटॉपी वर्गों के समुच्चय को दर्शाता है।

उदाहरण के लिए, अंतरिक्ष $$K(\Z,1)$$ (समरूपता तुल्यता तक परिभाषित) को वृत्त $$S^1$$ के रूप में लिया जा सकता है, तो उपरोक्त विवरण कहता है कि प्रत्येक तत्व का $$H^1(X,\Z)$$ बिंदु पर कक्षा यू से वापस खींच लिया जाता है $$S^1$$ किसी नक़्शे $$X\to S^1$$ से किया जाता हैं।

किसी भी एबेलियन समूह ए में गुणांक के साथ पहले कोहोलॉजी का संबंधित विवरण है, CW कॉम्प्लेक्स X के लिए कहते हैं। अर्थात्, $$H^1(X,A)$$ समूह ए के साथ X के रिक्त स्थान को कवर करने वाले गैलोज़ के आइसोमोर्फिज़्म वर्गों के समुच्चय के साथ पत्राचार में है, जिसे प्रिंसिपल बंडल भी कहा जाता है। X पर प्रिंसिपल ए-बंडल के लिए X से जुड़े होने के लिए, यह इस प्रकार है, $$H^1(X,A)$$ के लिए आइसोमोर्फिक है $$\operatorname{Hom}(\pi_1(X),A)$$, जहाँ $$\pi_1(X)$$ X का मौलिक समूह है। उदाहरण के लिए, $$H^1(X,\Z/2)$$ तत्व के साथ X के डबल कवरिंग स्पेस को वर्गीकृत करता है $$0\in H^1(X,\Z/2)$$ तुच्छ दोहरे आवरण के अनुरूप, X की दो प्रतियों का असंयुक्त मिलन माना जाता हैं।

कैप उत्पाद
किसी भी टोपोलॉजिकल स्पेस X के लिए, 'कैप प्रोडक्ट' बिलिनियर मैप है
 * $$\cap: H^i(X,R)\times H_j(X,R) \to H_{j-i}(X,R)$$

किसी भी पूर्णांक i और j और किसी भी क्रमविनिमेय वलय R के लिए परिणामी नक्शा हैं।
 * $$H^*(X,R)\times H_*(X,R) \to H_*(X,R)$$

X के विलक्षण समरूपता को X के एकवचन कोहोलॉजी रिंग के ऊपर मॉड्यूल बनाता है।

i = j के लिए, कैप उत्पाद प्राकृतिक समरूपता देता है
 * $$H^i(X,R)\to \operatorname{Hom}_R(H_i(X,R),R),$$

जो R a क्षेत्र के लिए तुल्याकारिता है।

उदाहरण के लिए, X को उन्मुख कई गुना होने दें, जरूरी नहीं कि कॉम्पैक्ट होता हैं। फिर बंद उन्मुख कोडिमेंशन-I X का सबमेनिफोल्ड Y (जरूरी नहीं कि कॉम्पैक्ट) Hi(X,R) का तत्व निर्धारित करता है, और X का कॉम्पैक्ट ओरिएंटेड j-डायमेंशनल सबमेनिफोल्ड Z, Hj(X, R) का तत्व निर्धारित करता है। इस कैप उत्पाद [Y] ∩ [Z] ∈ Hj−i(X, R) की गणना Y और Z को परेशान करके उन्हें अनुप्रस्थ रूप से प्रतिच्छेद करने के लिए की जा सकती है और फिर उनके अंतःखण्ड की कक्षा ले सकती है, जो कि आयाम j - i का कॉम्पैक्ट उन्मुख सबमनीफोल्ड है।

आयाम N के बंद उन्मुख कई गुना X में H में मौलिक वर्ग [X] हैn(X, R)। पोंकारे द्वैत समरूपता$$H^i(X,R)\overset{\cong}{\to} H_{n-i}(X,R)$$X के मौलिक वर्ग के साथ कैप उत्पाद द्वारा परिभाषित किया गया है।

एकवचन कोहोलॉजी का संक्षिप्त इतिहास
यद्यपि कोहोलॉजी आधुनिक बीजगणितीय टोपोलॉजी के लिए मौलिक है, इसके महत्व को होमोलॉजी के विकास के लगभग 40 वर्षों के बाद नहीं देखा गया था। दोहरी कोशिका संरचना की अवधारणा, जिसे हेनरी पोनकारे ने अपने पोंकारे द्वंद्व प्रमेय के अपने प्रमाण में उपयोग किया, में कोहोलॉजी के विचार की प्रारंभ सम्मिलित थी, किन्तु इसे बाद में नहीं देखा गया था।

कोहोलॉजी के विभिन्न अग्रदूत थे। 1920 के दशक के मध्य में, जेम्स वैडेल अलेक्जेंडर II|जे. डब्ल्यू। अलेक्जेंडर और सोलोमन लेफशेट्ज़ ने कई गुना चक्रों के प्रतिच्छेदन सिद्धांत की स्थापना की गई थी। बंद ओरिएंटेड N-डायमेंशनल मैनिफोल्ड M पर I-चक्र और गैर-खाली अंतःखण्ड के साथ जे-चक्र, यदि सामान्य स्थिति में, उनके अंतःखण्ड के रूप में (i + j − n)-चक्र होगा। इससे होमोलॉजी कक्षाओं का गुणन होता है
 * $$H_i(M) \times H_j(M) \to H_{i+j-n}(M),$$

जो (पूर्वव्यापी में) M के कोहोलॉजी पर कप उत्पाद के साथ पहचाना जा सकता है।

X में विकर्ण के छोटे पड़ोस पर फलन के रूप में अंतरिक्ष XI+1 पर I-कोचैन के बारे में सोचकर अलेक्जेंडर ने 1930 तक कोचेन की पहली धारणा को परिभाषित किया था।.

1931 में, गेर्गेस डी रहम संबंधित होमोलॉजी और डिफरेंशियल फॉर्म, De_Rham_cohomology#De_Rham's_theorem|de Rham's प्रमेय को प्रमाणित करते हुए की जाती हैं। इस परिणाम को कोहोलॉजी के संदर्भ में और अधिक सरलता से कहा जा सकता है।

1934 में, लेव पोंट्रीगिन ने पोंट्रीगिन द्वैत प्रमेय को सिद्ध किया; टोपोलॉजिकल समूहों पर परिणाम। यह (बल्कि विशेष स्थितियों में) समूह चरित्र (गणित) के संदर्भ में पोंकारे द्वैत और अलेक्जेंडर द्वैत की व्याख्या प्रदान करता है।

मास्को में 1935 के सम्मेलन में, एंड्री कोलमोगोरोव और अलेक्जेंडर दोनों ने कोहोलॉजी की प्रारंभ की और कोहोलॉजी उत्पाद संरचना बनाने का प्रयास किया।

1936 में, नॉर्मन स्टीनरोड ने चेक समरूपता को दोहरा कर चेक कोहोलॉजी का निर्माण किया।

1936 से 1938 तक, हस्लर व्हिटनी और एडुR्ड चेक ने कप उत्पाद (कोहोलॉजी को श्रेणीबद्ध रिंग में बनाते हुए) और कैप उत्पाद विकसित किया, और महसूस किया कि कैप उत्पाद के संदर्भ में पोंकारे द्वैत को बताया जा सकता है। उनका सिद्धांत अभी भी परिमित कोशिका परिसरों तक ही सीमित था।

1944 में, सैमुअल एलेनबर्ग ने तकनीकी सीमाओं को पार कर लिया, और एकवचन होमोलॉजी और कोहोलॉजी की आधुनिक परिभाषा दी थी।

1945 में, ईलेनबर्ग और स्टीनरोड ने होमोलॉजी या कोहोलॉजी सिद्धांत को परिभाषित करने वाले ईलेनबर्ग-स्टीनरोड सिद्धांतों को बताया, जिसकी चर्चा नीचे की गई है। उनकी 1952 की किताब, फ़ाउंडेशन ऑफ़ बीजगणितीय टोपोलॉजी में, उन्होंने साबित किया कि सम्मिलिता होमोलॉजी और कोहोलॉजी सिद्धांत वास्तव में उनके स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं।

1946 में, जॉन लेरे ने शीफ कोहोलॉजी को परिभाषित किया गया था।

1948 में एडविन स्पैनियार्ड, अलेक्जेंडर और कोलमोगोरोव के कार्य पर निर्माण करते हुए, अलेक्जेंडर-स्पैनियर कोहोलॉजी विकसित किया गया था।

शीफ कोहोलॉजी
शीफ कॉहोमोलॉजी एकवचन कोहोलॉजी का समृद्ध सामान्यीकरण है, जो केवल एबेलियन समूह की तुलना में अधिक सामान्य गुणांक की अनुमति देता है। टोपोलॉजिकल स्पेस X पर एबेलियन समूहों E के प्रत्येक शेफ (गणित) के लिए, कोहोलॉजी समूह H।i(X,E) पूर्णांकों के लिए i है, इस प्रकार विशेष रूप से, एबेलियन समूह ए से जुड़े X पर निरंतर शीफ के स्थिति में, परिणामी समूह Hi(X,A) X के लिए मैनिफोल्ड या CW कॉम्प्लेक्स (चूंकि मनमाना स्थान X के लिए नहीं) के लिए एकवचन कोहोलॉजी के साथ मेल खाता है। 1950 के दशक से प्रारंभ होकर, शीफ कोहोलॉजी बीजगणितीय ज्यामिति और जटिल विश्लेषण का केंद्रीय हिस्सा बन गया है, आंशिक रूप से नियमित कार्यों के शीफ या होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के शीफ के महत्व के कारण दिया जाता हैं।

अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने होमोलॉजिकल बीजगणित की भाषा में शीफ कोहोलॉजी को सुरुचिपूर्ण ढंग से परिभाषित और चित्रित किया गया हैं। आवश्यक बिंदु यह है कि स्पेस X को ठीक किया जाए और शेफ कोहोलॉजी को X पर एबेलियन समूहों के एबेलियन श्रेणी के शेफ्स से फ़ंक्टर के रूप में सोचा जाए। X, ई (X) पर वैश्विक वर्गों के अपने एबेलियन समूह में X पर शेफ ई लेने वाले फ़ैक्टर के साथ प्रारंभ करें। यह फ़नकार सटीक फ़नकार छोड़ दिया गया है, किन्तु जरूरी नहीं कि सही सटीक हो। ग्रोथेंडिक ने शेफ कोहोलॉजी समूहों को बाएं सटीक फ़ैक्टर ई ↦ ई (X) के सही व्युत्पन्न फलन के रूप में परिभाषित किया।

वह परिभाषा विभिन्न सामान्यीकरणों का सुझाव देती है। उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस X के कोहोलॉजी को किसी भी परिसर में गुणांक के साथ परिभाषित किया जा सकता है, जिसे पहले हाइपर कोहोमोलाॅजी कहा जाता था (किन्तु सामान्यतः अब केवल कोहोलॉजी कहा जाता हैं)। उस दृष्टिकोण से, शीफ कोहोलॉजी X पर एबेलियन समूहों के लिए शेवों की व्युत्पन्न श्रेणी से फंक्शनलर्स का क्रम बन जाता है।

शब्द के व्यापक अर्थ में, कोहोलॉजी का प्रयोग अधिकांशतः एबेलियन श्रेणी पर बाएं सटीक फ़ैक्टर के दाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर के लिए किया जाता है, जबकि होमोलॉजी का उपयोग दाएं सटीक फ़ैक्टर के बाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, रिंग R के लिए, टोर फलन ToriR(M,N) प्रत्येक चर में होमोलॉजी सिद्धांत बनाते हैं, टेंसर उत्पाद M⊗ के बाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टरRR-मॉड्यूल के N तत्वों के रूप में उपयोग होते हैं। इसी प्रकार Ext समूह Ext IR(M, N) को प्रत्येक चर में कोहोलॉजी सिद्धांत के रूप में देखा जा सकता है, होम फंक्शनल होम के सही व्युत्पन्न फ़ैक्टरR(M, N) द्वारा प्रदर्शित होता हैं।

शीफ कोहोलॉजी की पहचान प्रकार के XT ग्रुप से की जा सकती है। अर्थात्, टोपोलॉजिकल स्पेस X पर शीफ E के लिए, Hi(X,E) Ext के तुल्याकारी है ZX, E), जहां 'Z'X पूर्णांक Z के साथ जुड़े निरंतर शीफ को दर्शाता है, और Ext को 'X' पर पूलों की एबेलियन श्रेणी में लिया जाता है।

प्रकारों की कोहोलॉजी
बीजगणितीय प्रकारों के कोहोलॉजी की गणना के लिए कई मशीनें बनाई गई हैं। विशेषता के क्षेत्र में चिकनी प्रोजेक्टिव प्रकारों के लिए कोहोलॉजी का निर्धारण सबसे सरल स्थिति $$0$$ है, हॉज सिद्धांत के उपकरण, जिन्हें हॉज संरचना कहा जाता है, इस प्रकार की प्रकारों (अधिक परिष्कृत जानकारी के अतिरिक्त) के कोहोलॉजी की गणना करने में सहायता करते हैं। सरलतम स्थिति में चिकनी हाइपरसफेस की कोहोलॉजी $$\mathbb{P}^n$$ अकेले बहुपद की डिग्री से निर्धारित किया जा सकता है।

एक परिमित क्षेत्र, या विशेषता के क्षेत्र में प्रकारों पर विचार करते समय $$p$$, अधिक शक्तिशाली उपकरणों की आवश्यकता होती है क्योंकि होमोलॉजी / कोहोलॉजी की मौलिक परिभाषाएँ टूट जाती हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि परिमित क्षेत्रों में किस्में केवल बिंदुओं का परिमित समूह होंगी। ग्रोथेंडिक ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी के लिए विचार के साथ आया और सीमित क्षेत्र में प्रकारों के लिए कोहोलॉजी सिद्धांत को परिभाषित करने के लिए ईटेल टोपोलॉजी पर शीफ कोहोलॉजी का उपयोग किया जाता हैं। विशेषता के क्षेत्र में विविधता के लिए ईटेल टोपोलॉजी का उपयोग करना $$p$$ कोई निर्माण कर सकता है $$\ell$$-ऐडिक कोहोलॉजी के लिए $$\ell\neq p$$. इसे इस रूप में परिभाषित किया गया है।


 * $$H^k(X;\Q_\ell) := \varprojlim H^k_{et}(X;\Z/(\ell^n)) \otimes_{\Z_\ell} \Q_\ell$$

अगर हमारे पास परिमित प्रकार की योजना है


 * $$X = \text{Proj} \left( \frac{\Z \left[x_0,\ldots,x_n \right]}{ \left (f_1,\ldots,f_k \right )} \right)$$

फिर बेट्टी कोहोलॉजी के लिए आयामों की समानता है $$X(\Complex)$$ और यह $$\ell$$-एडिक कोहोलॉजी ऑफ $$X(\mathbb{F}_q)$$ जब भी दोनों क्षेत्रों में विविधता चिकनी होती हैं। इन कोहोलॉजी सिद्धांतों के अलावा अन्य कोहोलॉजी सिद्धांत भी हैं जिन्हें वेइल कोहोलॉजी सिद्धांत कहा जाता है जो एकवचन कोहोलॉजी के समान व्यवहार करते हैं। अभिप्रायों का अनुमानित सिद्धांत है जो वेइल कोहोलॉजी के सभी सिद्धांतों का आधार है। अन्य उपयोगी कम्प्यूटरीकृत टूल ब्लौअप श्रेणी में किये जाते है। कोडिमेंशन दिया $$\geq 2$$ उप योजना $$Z \subset X$$ कार्टेशियन वर्ग है


 * $$\begin{matrix}

E & \longrightarrow & Bl_Z(X) \\ \downarrow & & \downarrow \\ Z & \longrightarrow & X \end{matrix}$$ इससे जुड़ा लंबा सटीक क्रम है


 * $$\cdots \to H^n(X) \to H^n(Z) \oplus H^n(Bl_Z(X)) \to H^n(E) \to H^{n+1}(X) \to \cdots$$

यदि सबवैरायटी $$Z$$ चिकना है, तो कनेक्टिंग मोर्फिज़्म सभी तुच्छ हैं, इसलिए


 * $$H^n(Bl_Z(X))\oplus H^n(Z) \cong H^n(X) \oplus H^n(E)$$

स्वयंसिद्ध और सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत
टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए कोहोलॉजी को परिभाषित करने के कई तरीके हैं (जैसे कि सिंगुलर कोहोलॉजी, सीच कोहोलॉजी, अलेक्जेंडर-स्पैनियर कोहोलॉजी या शेफ कोहोलॉजी) हैं। (यहां शीफ कोहोलॉजी को केवल स्थिर शीफ में गुणांक के साथ माना जाता है।) ये सिद्धांत कुछ स्थानों के लिए अलग-अलग उत्तर देते हैं, किन्तु रिक्त स्थान का बड़ा वर्ग है जिस पर वे सभी सहमत हैं। इसे स्वयंसिद्ध रूप से सबसे सरलता से समझा जा सकता है: इलेनबर्ग-स्टीनरोड स्वयंसिद्धों के रूप में ज्ञात गुणों की सूची है, और कोई भी दो निर्माण जो उन गुणों को साझा करते हैं, कम से कम सभी CW परिसरों पर सहमत होंगे। होमोलॉजी थ्योरी के साथ-साथ कोहोलॉजी थ्योरी के लिए स्वयंसिद्धों के संस्करण हैं। कुछ सिद्धांतों को विशेष टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए एकवचन कोहोलॉजी की गणना के लिए उपकरण के रूप में देखा जा सकता है, जैसे कि सरल जटिल के लिए सिंपल कोहोलॉजी, CW कॉम्प्लेक्स के लिए सेलुलर समरूपता और स्मूथ मैनिफोल्ड के लिए डी राम कोहोलॉजी के रूप में जाना जाता हैं।

कोहोलॉजी सिद्धांत के लिए ईलेनबर्ग-स्टीनरोड स्वयंसिद्धों में से आयाम स्वयंसिद्ध है: यदि P बिंदु है, तो Hi(P) = 0 सभी के लिए i ≠ 0. 1960 के आसपास, जॉर्ज डब्ल्यू. व्हाइटहेड ने देखा कि आयाम स्वयंसिद्ध को पूरी तरह से छोड़ना उपयोगी है: यह सामान्यीकृत समरूपता सिद्धांत या सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत की धारणा देता है। सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत हैं जैसे कि के-थ्योरी या कॉम्प्लेक्स कोबोर्डिज्म जो टोपोलॉजिकल स्पेस के बारे में समृद्ध जानकारी देते हैं, जो एकवचन कोहोलॉजी से सीधे उपलब्ध नहीं है। (इस संदर्भ में, एकवचन कोहोलॉजी को अधिकांशतः साधारण कोहोलॉजी कहा जाता है।)

परिभाषा के अनुसार, 'सामान्यीकृत होमोलॉजी थ्योरी' फंक्शनलर्स hi का क्रम है (पूर्णांक i के लिए) CW-टोपोलॉजिकल जोड़ी (X, A) की श्रेणी (गणित) से (इसलिए X CW कॉम्प्लेक्स है और A सबकॉम्प्लेक्स है) एबेलियन समूहों की श्रेणी में, साथ में प्राकृतिक परिवर्तन के साथ $∂_{i}: h_{i}(X, A) → h_{i−1}(A)$ सीमा समरूपता कहा जाता है (यहां Hi−1(ए) Hi−1(ए, ∅)) के लिए आशुलिपि है। स्वयंसिद्ध हैं:


 * 1) 'होमोटॉपी': अगर $$f:(X,A) \to (Y,B)$$ के लिए होमोटोपिक है $$g: (X,A) \to (Y,B)$$, तो समरूपता पर प्रेरित समरूपता समान हैं।
 * 2) सटीकता: प्रत्येक जोड़ी (X,A) समावेशन के माध्यम से समरूपता में लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करती है $f: A → X$ और $g: (X,∅) → (X,A)$: $$ \cdots \to h_i(A) \overset{f_*}{\to} h_i(X) \overset{g_*}{\to} h_i (X,A) \overset{\partial}{\to} h_{i-1}(A) \to \cdots.$$
 * 3) पृथकीकरण प्रमेय: यदि X उपपरिसरों A और B का मिलन है, तो समावेशन f: (A,A∩' 'बी) → (X,बी) समरूपता को प्रेरित करता है $$ h_i(A, A\cap B) \overset{f_*}{\to} h_i(X,B)$$ हर मैं के लिए
 * 4) 'एडिटिविटी': अगर (X, ए) जोड़े के समुच्चय का अलग संघ है (Xα,एα), फिर समावेशन (Xα,एα) → (X, ए) मॉड्यूल के प्रत्यक्ष योग से समरूपता को प्रेरित करता है, इस मॉड्यूल के लिए समूह के लिए निर्माण: $$ \bigoplus_{\alpha} h_i(X_\alpha,A_\alpha)\to h_i(X,A)$$ हर मैं के लिए

मोटे तौर पर बोलकर, तीरों को उलट कर सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत के स्वयंसिद्धों को प्राप्त किया जाता है। अधिक विस्तार से, 'सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत' प्रतिपरिवर्ती फलनकार hi का क्रम है (पूर्णांक i के लिए) CW-जोड़े की श्रेणी से एबेलियन समूहों की श्रेणी में, साथ प्राकृतिक परिवर्तन के साथ $d: h^{i}(A) → h^{i+1}(X,A)$ सीमा समरूपता कहा जाता है (लेखन Hi(ए) H के लिएi(ए,∅))। स्वयंसिद्ध हैं:


 * 1) 'होमोटॉपी': होमोटोपिक मैप्स कोहोलॉजी पर समान समरूपता को प्रेरित करते हैं।
 * 2) 'सटीकता': प्रत्येक जोड़ी (X, ए) समावेशन के माध्यम से कोहोलॉजी में लंबे सटीक अनुक्रम को प्रेरित करती है: F: ए → X और जी: (X, ∅) → (X, ए): $$ \cdots \to h^i(X,A) \overset{g_*}{\to} h^i(X) \overset{f_*}{\to} h^i (A) \overset{d}{\to} h^{i+1}(X,A) \to \cdots.$$
 * 3) छांटना: यदि X उपपरिसर A और B का मिलन है, तो समावेशन f: (A,A∩ B) → (X,B) समरूपता को प्रेरित करता है $$ h^i(X,B) \overset{f_*}{\to} h^i(A,A\cap B)$$ हर मैं के लिए
 * 4) 'एडिटिविटी': अगर (X, A) जोड़े के समुच्चय का अलग संघ है (Xα,Aα), फिर समावेशन (Xα,Aα) → (X, A) समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद अनंत प्रत्यक्ष उत्पादों के लिए समरूपता को प्रेरित करता है: $$ h^i(X,A)\to \prod_\alpha h^i(X_\alpha,A_\alpha)$$ हर मैं के लिए

स्पेक्ट्रम (टोपोलॉजी) सामान्यीकृत गृहविज्ञान सिद्धांत और सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत दोनों को निर्धारित करता है। ब्राउन, व्हाइटहेड और फ्रैंक एडम्स के मौलिक परिणाम का कहना है कि हर सामान्यीकृत समरूपता सिद्धांत स्पेक्ट्रम से आता है, और इसी प्रकार हर सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांत स्पेक्ट्रम से आता है। यह ईलेनबर्ग-मैकलेन रिक्त स्थान द्वारा सामान्य कोहोलॉजी की प्रतिनिधित्व क्षमता को सामान्य करता है।

एक सूक्ष्म बिंदु यह है कि CW-जोड़े पर स्थिर होमोकैप श्रेणी (स्पेक्ट्रा की होमोकैप श्रेणी) से सामान्यीकृत होमोलॉजी सिद्धांतों का फ़ैक्टर समानता नहीं है, चूंकि यह समरूपता वर्गों पर आक्षेप देता है; स्थिर होमोटॉपी श्रेणी (जिसे प्रेत मानचित्र कहा जाता है) में गैर-शून्य मानचित्र हैं जो CW-जोड़े पर समरूपता सिद्धांतों के बीच शून्य मानचित्र को प्रेरित करते हैं। इसी तरह, CW-जोड़े पर स्थिर होमोटॉपी श्रेणी से सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांतों का फ़ैक्टर समानता नहीं है। यह स्थिर होमोटॉपी श्रेणी है, न कि ये अन्य श्रेणियां, जिनमें त्रिकोणीय श्रेणी होने जैसे अच्छे गुण हैं।

यदि कोई होमोलॉजी या कोहोलॉजी सिद्धांतों को CW परिसरों के अतिरिक्त सभी टोपोलॉजिकल स्पेस पर परिभाषित करना पसंद करता है, तो मानक दृष्टिकोण यह है कि स्वयंसिद्ध को सम्मिलित करना है कि हर कमजोर होमोटॉपी तुल्यता होमोलॉजी या कोहोलॉजी पर आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करती है। (यह एकवचन समरूपता या एकवचन कोहोलॉजी के लिए सही है, किन्तु उदाहरण के लिए, शीफ कोहोलॉजी के लिए नहीं की जाती हैं।) चूंकि प्रत्येक स्थान CW कॉम्प्लेक्स से कमजोर होमोकैप तुल्यता को स्वीकार करता है, यह स्वयंसिद्ध CW पर संबंधित सिद्धांत के लिए सभी स्थानों पर होमोलॉजी या कोहोलॉजी सिद्धांतों को कम करता है।

सामान्यीकृत कोहोलॉजी सिद्धांतों के कुछ उदाहरण हैं: इनमें से कई सिद्धांतों में सामान्य कोहोलॉजी की तुलना में अधिक समृद्ध जानकारी होती है, किन्तु गणना करना कठिन होता है।
 * स्थिर कोहोमोटॉपी समूह $$\pi_S^*(X).$$ संगत समरूपता सिद्धांत का अधिक बार स्थिर समरूपता सिद्धांत $$\pi^S_*(X).$$ उपयोग किया जाता है।
 * कोबोर्डवाद समूहों के विभिन्न प्रकार, स्थान से कई गुना तक के सभी मानचित्रों पर विचार करके स्थान का अध्ययन करने के आधार पर: गैर-उन्मुख सहवादवाद $$MO^*(X)$$ उन्मुख सहवाद $$MSO^*(X),$$ जटिल सहवादवाद $$MU^*(X),$$ और इसी तरह। होमोटॉपी सिद्धांत में जटिल सह-बोर्डवाद विशेष रूप से शक्तिशाली निकला है। यह डेनियल क्विलेन के प्रमेय के माध्यम से औपचारिक समूहों से निकटता से संबंधित है।
 * टोपोलॉजिकल कश्मीर सिद्धांत के विभिन्न प्रकार, किसी स्थान पर सभी वेक्टर बंडलों पर विचार करके अध्ययन के आधार पर: $$KO^*(X)$$ (वास्तविक आवधिक के-सिद्धांत), $$ko^*(X)$$ (वास्तविक संयोजी के-सिद्धांत), $$K^*(X)$$ (जटिल आवधिक के-सिद्धांत), $$ku^*(X)$$ (जटिल संयोजी K-सिद्धांत),
 * ब्राउन-पीटरसन कोहोलॉजी, मोराविया के-सिद्धांत, मोरवा ई-थ्योरी, और जटिल कोबोर्डिज़्म से निर्मित अन्य सिद्धांत।
 * अण्डाकार कोहोलॉजी

एक कोहोलॉजी सिद्धांत E को 'गुणक' कहा जाता है यदि $$E^*(X)$$ प्रत्येक स्थान X के लिए ग्रेडेड रिंग की संरचना है। स्पेक्ट्रा की भाषा में, रिंग स्पेक्ट्रम की कई और सटीक धारणाएँ हैं, जैसे कि अत्यधिक संरचित रिंग स्पेक्ट्रम|E∞ रिंग स्पेक्ट्रम, जहां उत्पाद मजबूत अर्थ में क्रमविनिमेय और साहचर्य है।

अन्य कोहोलॉजी सिद्धांत
एक व्यापक अर्थ में कोहोलॉजी सिद्धांत (टोपोलॉजिकल स्पेस के अतिरिक्त अन्य बीजगणितीय या ज्यामितीय संरचनाओं के अपरिवर्तनीय) में सम्मिलित हैं:


 * बीजगणितीय के-सिद्धांत
 * आंद्रे-क्विलन कोहोलॉजी
 * परिबद्ध कोहोलॉजी
 * बीआरएसटी कोहोलॉजी
 * चेक कोहोलॉजी
 * सुसंगत शीफ कोहोलॉजी
 * क्रिस्टलीय कोहोलॉजी
 * चक्रीय कोहोलॉजी
 * डेलिग्न कोहोलॉजी
 * समतुल्य कोहोलॉजी
 * एटले कोहोलॉजी
 * विस्तार समूह
 * फ्लैट कोहोलॉजी
 * फ्लोर होमोलॉजी
 * गैलोइस कोहोलॉजी
 * समूह कोहोलॉजी
 * होशचाइल्ड कोहोलॉजी
 * इंटरसेक्शन कोहोलॉजी
 * खोवानोव समरूपता
 * झूठ बीजगणित कोहोलॉजी
 * स्थानीय कोहोलॉजी
 * प्रेरक कोहोलॉजी
 * गैर-अबेलियन कोहोलॉजी
 * क्वांटम कोहोलॉजी

यह भी देखें

 * जटिल-उन्मुख कोहोलॉजी सिद्धांत