मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा

गणित में, विशेष रूप से रेखीय बीजगणित में, मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा एक व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स A के योग के डिटर्मिनेंट की गणना करता है और स्तंभ सदिश u और एक पंक्ति सदिश vT के युग्मकीय गुणनफल, u-vT की गणना करता है।.

कथन
मान लीजिए A एक व्युत्क्रमणीय वर्ग मैट्रिक्स है और u, v स्तंभ सदिश (ज्यामितीय) हैं। तब मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा बताता है कि
 * $$\det\left(\mathbf{A} + \mathbf{uv}^\textsf{T}\right) = \left(1 + \mathbf{v}^\textsf{T}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}\right)\,\det\left(\mathbf{A}\right)\,.$$

यहाँ, uvT दो सदिश u और v का बाह्य गुणनफल है।

प्रमेय को A के सहायक मैट्रिक्स के संदर्भ में भी कहा जा सकता है:
 * $$\det\left(\mathbf{A} + \mathbf{uv}^\textsf{T}\right) = \det\left(\mathbf{A}\right) + \mathbf{v}^\textsf{T}\mathrm{adj}\left(\mathbf{A}\right)\mathbf{u}\,,$$

किस स्तिथि में यह लागू होता है कि वर्ग मैट्रिक्स A विपरीत है या नहीं।

प्रमाण
पहले विशेष स्तिथि का प्रमाण A = I समानता से आता है:

\begin{pmatrix} \mathbf{I} & 0 \\ \mathbf{v}^\textsf{T} & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{I} + \mathbf{uv}^\textsf{T} & \mathbf{u} \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \mathbf{I} & 0 \\ -\mathbf{v}^\textsf{T} & 1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{I} & \mathbf{u} \\ 0 & 1 + \mathbf{v}^\textsf{T}\mathbf{u} \end{pmatrix}. $$ बाईं ओर का डिटर्मिनेंट तीन आव्यूहों के निर्धारकों का गुणनफल होता है। चूँकि पहला और तीसरा मैट्रिक्स इकाई विकर्ण के साथ त्रिकोणीय मैट्रिक्स हैं, उनके डिटर्मिनेंट केवल 1 है। मध्य मैट्रिक्स का डिटर्मिनेंट हमारा वांछित मूल्य है। दाहिने हाथ की ओर का डिटर्मिनेंट केवल (1 + vTu) है। तो हमारे पास निम्न परिणाम है :


 * $$\det\left(\mathbf{I} + \mathbf{uv}^\textsf{T}\right) = \left(1 + \mathbf{v}^\textsf{T}\mathbf{u}\right).$$

तब सामान्य स्थिति को इस प्रकार पाया जा सकता हैː
 * $$\begin{align}

\det\left(\mathbf{A} + \mathbf{uv}^\textsf{T}\right) &= \det\left(\mathbf{A}\right) \det\left(\mathbf{I} + \left(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}\right)\mathbf{v}^\textsf{T}\right)\\ &= \det\left(\mathbf{A}\right) \left(1 + \mathbf{v}^\textsf{T} \left(\mathbf{A}^{-1}\mathbf{u}\right)\right). \end{align}$$

आवेदन
यदि A का डिटर्मिनेंट और व्युत्क्रम पहले से ही ज्ञात हैं, तो सूत्र मैट्रिक्स uvT द्वारा संशोधित A के डिटर्मिनेंट की गणना करने के लिए एक संख्यात्मक रूप से सस्ता तरीका प्रदान करता है। गणना अपेक्षाकृत अल्पमूल्य है क्योंकि A + uvT के डिटर्मिनेंट को खरोंच से गणना करने की आवश्यकता नहीं है (जो सामान्य रूप से महंगा है)। u और/या v के लिए ईकाई सदिश का उपयोग करके, A के अलग-अलग क्रम, पंक्तियों या तत्वों [4] में छलयोजना किया जा सकता है और इस तरह से अपेक्षाकृत अल्पमूल्य में एक संबंधित अद्यतन डिटर्मिनेंट की गणना की जा सकती है।

जब मैट्रिक्स डिटर्मिनेंट लेम्मा का उपयोग शर्मन-मॉरिसन सूत्र के संयोजन में किया जाता है, तो व्युत्क्रम और डिटर्मिनेंट दोनों को आसानी से एक साथ अद्यतन किया जा सकता है।

सामान्यीकरण
मान लीजिए A एक उलटा n-दर-n मैट्रिक्स है और U, V n-दर-m मैट्रिक्स हैं। तब
 * $$\det\left(\mathbf{A} + \mathbf{UV}^\textsf{T}\right) = \det\left(\mathbf{I_m} + \mathbf{V}^\textsf{T}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{U}\right)\det(\mathbf{A}).$$ विशेष स्तिथि में $$\mathbf{A}=\mathbf{I_n}$$ यह वेनस्टाइन-एरोन्सजन अस्मिता है।

अतिरिक्त रूप से एक व्युत्क्रमणीय m-दर-m मैट्रिक्स 'W' दिए जाने पर, संबंध को इस रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\det\left(\mathbf{A} + \mathbf{UWV}^\textsf{T}\right) = \det\left(\mathbf{W}^{-1} + \mathbf{V}^\textsf{T}\mathbf{A}^{-1}\mathbf{U}\right)\det\left(\mathbf{W}\right)\det\left(\mathbf{A}\right).$$

यह भी देखें

 * शर्मन-मॉरिसन सूत्र, जो दिखाता है कि (A + uvT)-1 प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रम A−1 का कैसे नवीनीकरण किया जाए।
 * वुडबरी सूत्र, जो दर्शाता है कि (A + UCVT)-1 प्राप्त करने के लिए व्युत्क्रम A−1 का कैसे नवीनीकरण किया जाए।
 * (A + UCVT)−1 के लिए द्विपद व्युत्क्रम प्रमेय।