टोपोलॉजी स्पेस

गणित में, एक टोपोलॉजिकल स्पेस, मोटे तौर पर बोल रहा है, एक ज्यामिति  जिसमें  निकटता (गणित)  को परिभाषित किया गया है, लेकिन एक संख्यात्मक  दूरी (गणित)  द्वारा आवश्यक रूप से मापा नहीं जा सकता है। अधिक विशेष रूप से, एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक  सेट (गणित)  होता है, जिसके तत्वों को पॉइंट (ज्यामिति) कहा जाता है, साथ ही एक अतिरिक्त संरचना जिसे टोपोलॉजी कहा जाता है, जिसे प्रत्येक बिंदु के लिए नेबरहुड (गणित) के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो कुछ को संतुष्ट करता है। Axiom#Non-logical axiomss निकटता की अवधारणा को औपचारिक रूप देना। एक टोपोलॉजी की कई समान परिभाषाएँ हैं, जिनमें से सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाता है, खुले सेट के माध्यम से परिभाषा, जो दूसरों की तुलना में हेरफेर करना आसान है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस स्पेस (गणित) का सबसे सामान्य प्रकार है जो सीमा (गणित), निरंतर कार्य (टोपोलॉजी), और  कनेक्टेड स्पेस  की परिभाषा की अनुमति देता है।  सामान्य प्रकार के टोपोलॉजिकल स्पेस में  यूक्लिडियन स्पेस ,  मीट्रिक स्थान  और  विविध  शामिल हैं।

हालांकि बहुत सामान्य, टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की अवधारणा मौलिक है, और आधुनिक गणित की लगभग हर शाखा में उपयोग की जाती है। अपने आप में टोपोलॉजिकल स्पेस के अध्ययन को बिंदु-सेट टोपोलॉजी  या  सामान्य टोपोलॉजी  कहा जाता है।

इतिहास
1735 के आसपास,  लियोनहार्ड यूलर  ने प्लानर ग्राफ की खोज की#यूलर का सूत्र $$V - E + F = 2$$  उत्तल पॉलीटोप  के शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या और इसलिए एक सम तलीय ग्राफ  से संबंधित। इस सूत्र का अध्ययन और सामान्यीकरण, विशेष रूप से  ऑगस्टिन-लुई कॉची  (1789-1857) और साइमन एंटोनी जीन ल'हुइलियर द्वारा | ल'हुलियर (1750-1840), यूलर का  टोपोलॉजी  का रत्न।  1827  में,  कार्ल फ्रेडरिक गॉस  ने घुमावदार सतहों की सामान्य जांच प्रकाशित की, जो धारा 3 में घुमावदार सतह को आधुनिक टोपोलॉजिकल समझ के समान तरीके से परिभाषित करती है: एक घुमावदार सतह को अपने एक बिंदु ए पर निरंतर वक्रता रखने के लिए कहा जाता है, यदि दिशा A से सतह के बिंदुओं तक खींची गई सभी सीधी रेखाओं में से A से असीम रूप से छोटी दूरी पर एक से असीम रूप से थोड़ा विक्षेपित होता है और A से गुजरने वाला एक ही तल। फिर भी, 1850 के दशक की शुरुआत में बर्नहार्ड रिमेंन  के काम तक, सतहों को हमेशा एक स्थानीय दृष्टिकोण (पैरामीट्रिक सतहों के रूप में) से निपटाया जाता था और टोपोलॉजिकल मुद्दों पर कभी विचार नहीं किया जाता था। अगस्त फर्डिनेंड मोबियस| मोबियस और  केमिली जॉर्डन  यह महसूस करने वाले पहले व्यक्ति प्रतीत होते हैं कि (कॉम्पैक्ट) सतहों की टोपोलॉजी के बारे में मुख्य समस्या सतहों की समानता तय करने के लिए अपरिवर्तनीय (अधिमानतः संख्यात्मक) ढूंढना है, यानी यह तय करना कि दो सतह होमोमोर्फिज्म हैं या नहीं. विषय स्पष्ट रूप से फेलिक्स क्लेन  द्वारा अपने  एर्लांगेन कार्यक्रम  (1872) में परिभाषित किया गया है: मनमाने ढंग से निरंतर परिवर्तन के ज्यामिति अपरिवर्तनीय, एक प्रकार की ज्यामिति। टोपोलॉजी शब्द 1847 में  जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग  द्वारा पेश किया गया था, हालांकि उन्होंने पहले इस्तेमाल किए गए एनालिसिस साइटस के बजाय कुछ साल पहले पत्राचार में इस शब्द का इस्तेमाल किया था। इस विज्ञान की नींव, किसी भी आयाम के स्थान के लिए, हेनरी पोंकारे द्वारा बनाई गई थी। इस विषय पर उनका पहला लेख  1894  में छपा। 1930 के दशक में,  जेम्स वाडेल अलेक्जेंडर II  और  हस्लर व्हिटनी  ने पहली बार यह विचार व्यक्त किया कि एक सतह एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जो टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड है।

टोपोलॉजिकल स्पेस को पहली बार 1914 में फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़  ने सेट थ्योरी के अपने मौलिक सिद्धांतों में परिभाषित किया था। मेट्रिक रिक्त स्थान को पहले 1906 में मौरिस फ़्रेचेट द्वारा परिभाषित किया गया था, हालांकि यह हॉसडॉर्फ था जिसने  मीट्रिक रिक्त स्थान  शब्द को लोकप्रिय बनाया (metrischer Raum).

परिभाषाएं
टोपोलॉजी की अवधारणा की उपयोगिता इस तथ्य से प्रदर्शित होती है कि इस संरचना की कई समान परिभाषाएँ हैं। इस प्रकार कोई व्यक्ति आवेदन के लिए अनुकूल स्वयंसिद्धता को चुनता है। सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाता है कि. के संदर्भ में, लेकिन शायद अधिक सहज ज्ञान युक्त यह है कि के संदर्भ में और इसलिए यह पहले दिया जाता है।

पड़ोस के माध्यम से परिभाषा
यह स्वयंसिद्धता फेलिक्स हॉसडॉर्फ के कारण है। होने देना $$X$$ एक सेट हो; के तत्व $$X$$ आमतौर पर कहा जाता है, हालांकि वे कोई भी गणितीय वस्तु हो सकती हैं। हमने इजाजत दी $$X$$ खाली होना। होने देना $$\mathcal{N}$$ प्रत्येक को असाइन करने वाला एक फ़ंक्शन (गणित) बनें $$x$$ (उसी समय $$X$$ एक गैर-रिक्त संग्रह $$\mathcal{N}(x)$$ के उपसमुच्चय के $$X.$$ के तत्व $$\mathcal{N}(x)$$ बुलाया जाएगा का $$x$$ इसके संबंध में $$\mathcal{N}$$ (या केवल, ) कार्यक्रम $$\mathcal{N}$$ एक नेबरहुड (टोपोलॉजी) कहा जाता है यदि नीचे के  स्वयंसिद्ध  हैं संतुष्ट हैं; और फिर $$X$$ साथ $$\mathcal{N}$$ टोपोलॉजिकल स्पेस कहलाता है।

पड़ोस के लिए पहले तीन स्वयंसिद्धों का स्पष्ट अर्थ है। सिद्धांत की संरचना में चौथे स्वयंसिद्ध का बहुत महत्वपूर्ण उपयोग है, जो कि विभिन्न बिंदुओं के पड़ोस को एक साथ जोड़ने का है। $$X.$$ पड़ोस की ऐसी प्रणाली का एक मानक उदाहरण वास्तविक रेखा के लिए है $$\R,$$ जहां एक सबसेट $$N$$ का $$\R$$ एक के रूप में परिभाषित किया गया है एक वास्तविक संख्या का $$x$$ यदि इसमें एक खुला अंतराल शामिल है जिसमें $$x.$$ ऐसी संरचना को देखते हुए, एक उपसमुच्चय $$U$$ का $$X$$ खुले होने के लिए परिभाषित किया गया है अगर $$U$$ में सभी बिंदुओं का एक पड़ोस है $$U.$$ खुले समुच्चय तब नीचे दिए गए अभिगृहीतों को संतुष्ट करते हैं। इसके विपरीत, जब एक टोपोलॉजिकल स्पेस के खुले सेट दिए जाते हैं, तो उपरोक्त स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाले पड़ोस को परिभाषित करके पुनर्प्राप्त किया जा सकता है $$N$$ का पड़ोस होना $$x$$ यदि $$N$$ एक खुला सेट शामिल है $$U$$ ऐसा है कि $$x \in U.$$
 * 1) यदि $$N$$ का पड़ोस है $$x$$ (अर्थात।, $$N \in \mathcal{N}(x)$$), फिर $$x \in N.$$ दूसरे शब्दों में, प्रत्येक बिंदु उसके प्रत्येक पड़ोस का है।
 * 2) यदि $$N$$ का एक उपसमुच्चय है $$X$$ और का एक पड़ोस शामिल है $$x,$$ फिर $$N$$ का पड़ोस है $$x.$$ यानी, एक बिंदु के पड़ोस का हर  सुपरसेट  $$x \in X$$ फिर से . का पड़ोस है $$x.$$
 * 3) . के दो मुहल्लों का चौराहा (सेट थ्योरी) $$x$$ का पड़ोस है $$x.$$
 * 4) कोई भी मोहल्ला $$N$$ का $$x$$ एक पड़ोस शामिल है $$M$$ का $$x$$ ऐसा है कि $$N$$ के प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस है $$M.$$

खुले सेट के माध्यम से परिभाषा
एक सेट पर एक टोपोलॉजी (गणित) $X$ संग्रह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\tau$$ के उपसमुच्चय के $X$, खुले सेट कहलाते हैं और निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं: चूंकि टोपोलॉजी की यह परिभाषा सबसे अधिक इस्तेमाल की जाती है, सेट $$\tau$$ खुले सेटों को आमतौर पर टोपोलॉजी कहा जाता है $$X.$$ उपसमुच्चय $$C \subseteq X$$ बताया गया में $$(X, \tau)$$ यदि इसका पूरक (सेट थ्योरी) $$X \setminus C$$ एक खुला सेट है।
 * 1) खाली सेट  और $$X$$ खुद से संबंधित हैं $$\tau.$$
 * 2) के सदस्यों का कोई भी मनमाना (परिमित या अनंत)  संघ (सेट सिद्धांत)  $$\tau$$ का है $$\tau.$$
 * 3) सदस्यों की किसी भी परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन $$\tau$$ का है $$\tau.$$

टोपोलॉजी के उदाहरण
, लापता है।]]# दिया गया $$X = \{ 1, 2, 3, 4\},$$ तुच्छ टोपोलॉजी  or  टोपोलॉजी ऑन $$X$$  सेट का परिवार  है $$\tau = \{ \{ \}, \{ 1, 2, 3, 4 \} \} = \{ \varnothing, X \}$$ के केवल दो सबसेट से मिलकर बनता है $$X$$ स्वयंसिद्धों द्वारा आवश्यक एक टोपोलॉजी बनाता है $$X.$$
 * 1) दिया गया $$X = \{ 1, 2, 3, 4\},$$ परिवार $$\tau = \{ \{ \}, \{ 2 \}, \{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}, \{ 1, 2, 3, 4 \} \} = \{ \varnothing, \{ 2 \}, \{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}, X \}$$ के छह उपसमुच्चय $$X$$ की एक और टोपोलॉजी बनाता है $$X.$$
 * 2) दिया गया $$X = \{ 1, 2, 3, 4\},$$  असतत टोपोलॉजी  पर $$X$$ का  सत्ता स्थापित  है $$X,$$ जो परिवार है $$\tau = \wp(X)$$ के सभी संभावित सबसेट से मिलकर बनता है $$X.$$ इस मामले में टोपोलॉजिकल स्पेस $$(X, \tau)$$ a . कहा जाता है.
 * 3) दिया गया $$X = \Z,$$ पूर्णांकों का समूह, परिवार $$\tau$$ पूर्णांकों के सभी परिमित उपसमुच्चयों का योग $$\Z$$ खुद है  एक टोपोलॉजी, क्योंकि (उदाहरण के लिए) सभी परिमित सेटों का संघ जिसमें शून्य नहीं है, परिमित नहीं है, बल्कि सभी का भी नहीं है $$\Z,$$ और इसलिए यह अंदर नहीं हो सकता $$\tau.$$

बंद सेट ों के माध्यम से परिभाषा
मॉर्गन के नियमों का उपयोग करते हुए, खुले सेट को परिभाषित करने वाले उपरोक्त स्वयंसिद्ध बंद सेट को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्ध बन जाते हैं:


 * 1) खाली सेट और $$X$$ बंद हैं।
 * 2) बंद सेटों के किसी भी संग्रह का चौराहा भी बंद है।
 * 3) बंद सेटों की किसी भी सीमित संख्या का संघ भी बंद है।

इन स्वयंसिद्धों का उपयोग करते हुए, एक टोपोलॉजिकल स्पेस को परिभाषित करने का दूसरा तरीका एक सेट के रूप में है $$X$$ एक संग्रह के साथ $$\tau$$ के बंद उपसमुच्चय के $$X.$$ इस प्रकार टोपोलॉजी में सेट $$\tau$$ बंद सेट हैं, और उनके पूरक हैं $$X$$ खुले सेट हैं।

अन्य परिभाषाएं
टोपोलॉजिकल स्पेस को परिभाषित करने के कई अन्य समान तरीके हैं: दूसरे शब्दों में, पड़ोस की अवधारणा, या खुले या बंद सेटों को अन्य शुरुआती बिंदुओं से पुनर्निर्मित किया जा सकता है और सही सिद्धांतों को संतुष्ट किया जा सकता है।

टोपोलॉजिकल स्पेस को परिभाषित करने का एक अन्य तरीका कुराटोवस्की क्लोजर एक्सिओम्स  का उपयोग करना है, जो बंद सेट को एक  ऑपरेटर (गणित)  के पावर सेट पर  निश्चित बिंदु (गणित)  के रूप में परिभाषित करता है। $$X.$$ एक नेट (गणित)  अनु क्रम  की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है। एक टोपोलॉजी पूरी तरह से निर्धारित होती है यदि प्रत्येक नेट के लिए $$X$$ इसकी  टोपोलॉजी शब्दावली  का सेट निर्दिष्ट है।

टोपोलॉजी की तुलना
टोपोलॉजिकल स्पेस बनाने के लिए विभिन्न प्रकार की टोपोलॉजी को एक सेट पर रखा जा सकता है। जब एक टोपोलॉजी में हर सेट $$\tau_1$$ एक टोपोलॉजी में भी है $$\tau_2$$ तथा $$\tau_1$$ का एक उपसमुच्चय है $$\tau_2,$$ हम कहते हैं कि $$\tau_2$$है बजाय $$\tau_1,$$ तथा $$\tau_1$$ है  बजाय $$\tau_2.$$ एक सबूत जो केवल कुछ खुले सेटों के अस्तित्व पर निर्भर करता है, किसी भी बेहतर टोपोलॉजी के लिए भी होगा, और इसी तरह एक सबूत जो केवल कुछ सेटों पर निर्भर करता है जो खुले नहीं होते हैं, किसी भी मोटे टोपोलॉजी पर लागू होते हैं। शर्तें  तथा  कभी-कभी क्रमशः महीन और मोटे के स्थान पर उपयोग किया जाता है। शर्तें  तथा  साहित्य में भी उपयोग किया जाता है, लेकिन अर्थ पर बहुत कम सहमति के साथ, इसलिए पढ़ते समय लेखक के सम्मेलन के बारे में हमेशा सुनिश्चित होना चाहिए।

किसी दिए गए निश्चित सेट पर सभी टोपोलॉजी का संग्रह $$X$$ एक पूर्ण जालक बनाता है: if $$F = \left\{ \tau_{\alpha} : \alpha \in A \right\}$$ पर टोपोलॉजी का एक संग्रह है $$X,$$ तो infimum#Infima आंशिक रूप से आदेशित सेट के भीतर $$F$$ का चौराहा है $$F,$$ और सुप्रीमम#सुप्रेमा के आंशिक रूप से आदेशित सेट के भीतर $$F$$ पर सभी टोपोलॉजी के संग्रह का मिलन है $$X$$ जिसमें का हर सदस्य शामिल है $$F.$$

निरंतर कार्य
एक समारोह (गणित) $$f : X \to Y$$ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान के बीच निरंतरता (टोपोलॉजी)  कहा जाता है यदि प्रत्येक के लिए $$ x \in X$$ और हर पड़ोस $$N$$ का $$f(x)$$ एक पड़ोस है $$M$$ का $$x$$ ऐसा है कि $$f(M) \subseteq N.$$ यह विश्लेषण में सामान्य परिभाषा से आसानी से संबंधित है। समान रूप से, $$f$$ निरंतर है यदि प्रत्येक खुले समुच्चय का प्रतिलोम प्रतिबिम्ब खुला है। यह अंतर्ज्ञान को पकड़ने का एक प्रयास है कि फ़ंक्शन में कोई छलांग या अलगाव नहीं है। एक  समरूपता  एक ऐसा आक्षेप है जो निरंतर होता है और जिसका उलटा कार्य भी निरंतर होता है। दो रिक्त स्थान कहलाते हैं  यदि उनके बीच एक होमोमोर्फिज्म मौजूद है। टोपोलॉजी के दृष्टिकोण से, होमोमोर्फिक रिक्त स्थान अनिवार्य रूप से समान हैं। श्रेणी सिद्धांत में, मौलिक  श्रेणी (गणित)  में से एक शीर्ष है, जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी को दर्शाता है जिसका ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं और जिनके आकारिकी निरंतर कार्य हैं। इनवेरिएंट (गणित) द्वारा इस श्रेणी की वस्तुओं (होमियो आकारिता   तक ) को वर्गीकृत करने के प्रयास ने अनुसंधान के क्षेत्रों को प्रेरित किया है, जैसे कि  होमोटॉपी, होमोलॉजी (गणित), और के-सिद्धांत।

टोपोलॉजिकल स्पेस के उदाहरण
किसी दिए गए सेट में कई अलग-अलग टोपोलॉजी हो सकते हैं। यदि एक सेट को एक अलग टोपोलॉजी दी जाती है, तो इसे एक अलग टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में देखा जाता है। किसी भी समुच्चय को असतत स्थान  दिया जा सकता है जिसमें प्रत्येक उपसमुच्चय खुला हो। इस टोपोलॉजी में एकमात्र अभिसरण अनुक्रम या जाल वे हैं जो अंततः स्थिर होते हैं। साथ ही, किसी भी सेट को ट्रिविअल टोपोलॉजी (जिसे अविवेकी टोपोलॉजी भी कहा जाता है) दिया जा सकता है, जिसमें केवल खाली सेट और पूरा स्पेस खुला होता है। इस टोपोलॉजी में हर क्रम और जाल अंतरिक्ष के हर बिंदु पर अभिसरण करता है। यह उदाहरण दिखाता है कि सामान्य टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान में, अनुक्रमों की सीमाएं अद्वितीय नहीं होनी चाहिए। हालांकि, अक्सर टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान होना चाहिए जहां सीमा बिंदु अद्वितीय हैं।

मीट्रिक स्थान
मीट्रिक रिक्त स्थान में एक मीट्रिक (गणित)  शामिल होता है, जो बिंदुओं के बीच की दूरी की एक सटीक धारणा है।

प्रत्येक मीट्रिक स्थान को एक मीट्रिक टोपोलॉजी दी जा सकती है, जिसमें मूल खुले सेट मीट्रिक द्वारा परिभाषित खुली गेंदें हैं। यह किसी भी मानक सदिश स्थान पर मानक टोपोलॉजी है। एक परिमित-आयामी सदिश स्थल  पर यह टोपोलॉजी सभी मानदंडों के लिए समान है।

टोपोलॉजी को परिभाषित करने के कई तरीके हैं $$\R,$$ वास्तविक संख्या ओं का समुच्चय। मानक टोपोलॉजी पर $$\R$$ अंतराल (गणित) # शब्दावली द्वारा उत्पन्न होता है। सभी खुले अंतरालों का सेट टोपोलॉजी के लिए एक  आधार (टोपोलॉजी)  या आधार बनाता है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक खुला सेट आधार से सेट के कुछ संग्रह का एक संघ है। विशेष रूप से, इसका मतलब है कि एक सेट खुला है यदि सेट में प्रत्येक बिंदु के बारे में शून्य शून्य त्रिज्या का एक खुला अंतराल मौजूद है। अधिक सामान्यतः, यूक्लिडियन रिक्त स्थान $$\R^n$$ टोपोलॉजी दी जा सकती है। सामान्य टोपोलॉजी में $$\R^n$$ मूल ओपन सेट ओपन बॉल (गणित) हैं। इसी तरह, $$\C,$$ सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय, और $$\C^n$$ एक मानक टोपोलॉजी है जिसमें मूल खुले सेट खुली गेंदें हैं।

निकटता स्थान
निकटता स्थान दो सेटों की निकटता की धारणा प्रदान करते हैं।

समान रिक्त स्थान
यूनिफ़ॉर्म रिक्त स्थान अलग-अलग बिंदुओं के बीच की दूरी के क्रम को स्वयंसिद्ध करते हैं।

फंक्शन स्पेस
एक टोपोलॉजिकल स्पेस जिसमें फ़ंक्शन को  समारोह स्थान  कहा जाता है।

कॉची रिक्त स्थान
कॉची रिक्त स्थान परीक्षण करने की क्षमता को स्वयंसिद्ध करते हैं कि क्या नेट कॉची नेट  है। कॉची रिक्त स्थान पूर्ण रिक्त स्थान का अध्ययन करने के लिए एक सामान्य सेटिंग प्रदान करते हैं।

अभिसरण रिक्त स्थान
अभिसरण स्थान फिल्टर (सेट थ्योरी) के अभिसरण की कुछ विशेषताओं को कैप्चर करते हैं।

ग्रोथेंडिक साइटें
ग्रोथेंडिक साइट ें श्रेणी (गणित) हैं जिनमें अतिरिक्त डेटा स्वयंसिद्ध है कि तीरों का एक परिवार किसी वस्तु को कवर करता है या नहीं। शीफ (गणित) को परिभाषित करने के लिए साइटें एक सामान्य सेटिंग हैं।

अन्य रिक्त स्थान
यदि $$\Gamma$$ एक सेट पर एक फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) है $$X$$ फिर $$\{ \varnothing \} \cup \Gamma$$ एक टोपोलॉजी है $$X.$$ कार्यात्मक विश्लेषण में  रैखिक ऑपरेटर ों के कई सेट टोपोलॉजी से संपन्न होते हैं जिन्हें निर्दिष्ट करके परिभाषित किया जाता है जब कार्यों का एक विशेष अनुक्रम शून्य फ़ंक्शन में परिवर्तित हो जाता है।

किसी भी स्थानीय क्षेत्र  में एक टोपोलॉजी मूल निवासी होती है, और इसे उस क्षेत्र में वेक्टर रिक्त स्थान तक बढ़ाया जा सकता है।

प्रत्येक मैनिफोल्ड में एक प्राकृतिक टोपोलॉजी  होती है क्योंकि यह स्थानीय रूप से यूक्लिडियन है। इसी तरह, हर  सिंप्लेक्स  और हर  सरल परिसर  को एक प्राकृतिक टोपोलॉजी विरासत में मिलती है।

ज़ारिस्की टोपोलॉजी को बीजगणितीय रूप से एक अंगूठी या बीजगणितीय विविधता के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित किया जाता है। पर $$\R^n$$ या $$\C^n,$$ ज़ारिस्की टोपोलॉजी के बंद सेट  बहुपद  समीकरणों के सिस्टम के  समाधान सेट  हैं।

एक रैखिक ग्राफ  में एक प्राकृतिक टोपोलॉजी होती है जो  ग्राफ सिद्धांत ों के कई ज्यामितीय पहलुओं को  वर्टेक्स (ग्राफ सिद्धांत)  और ग्राफ (असतत गणित) # ग्राफ के साथ सामान्यीकृत करती है।

Sierpinski अंतरिक्ष सबसे सरल गैर-असतत स्थलीय स्थान है। इसका संगणना और शब्दार्थ के सिद्धांत से महत्वपूर्ण संबंध हैं।

किसी भी परिमित सेट  पर कई टोपोलॉजी मौजूद हैं। ऐसे रिक्त स्थान को परिमित टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान कहा जाता है। सामान्य रूप से स्थलीय रिक्त स्थान के बारे में अनुमानों के लिए उदाहरण या प्रति उदाहरण प्रदान करने के लिए परिमित रिक्त स्थान का उपयोग कभी-कभी किया जाता है।

किसी भी समुच्चय को सह परिमित टोपोलॉजी दी जा सकती है जिसमें खुले समुच्चय रिक्त समुच्चय होते हैं और समुच्चय जिसका पूरक परिमित होता है। यह सबसे छोटा T1 स्थान है|T1किसी भी अनंत सेट पर टोपोलॉजी। किसी भी सेट को सहगणनीय टोपोलॉजी  दी जा सकती है, जिसमें एक सेट को खुले के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि वह या तो खाली है या उसका पूरक गणनीय है। जब सेट बेशुमार होता है, तो यह टोपोलॉजी कई स्थितियों में एक प्रतिरूप के रूप में कार्य करती है।

वास्तविक रेखा को निचली सीमा की टोपोलॉजी भी दी जा सकती है। यहाँ, मूल खुले सेट आधे खुले अंतराल हैं $$[a, b).$$ यह टोपोलॉजी $$\R$$ ऊपर परिभाषित यूक्लिडियन टोपोलॉजी की तुलना में सख्ती से बेहतर है; एक अनुक्रम इस टोपोलॉजी में एक बिंदु में परिवर्तित होता है यदि और केवल अगर यह यूक्लिडियन टोपोलॉजी में ऊपर से अभिसरण करता है। इस उदाहरण से पता चलता है कि एक सेट में कई अलग-अलग टोपोलॉजी परिभाषित हो सकती हैं।

यदि $$\Gamma$$ एक क्रमसूचक संख्या  है, तो समुच्चय $$\Gamma = [0, \Gamma)$$ अंतराल द्वारा उत्पन्न  आदेश टोपोलॉजी  के साथ संपन्न हो सकता है $$(a, b),$$ $$[0, b),$$ तथा $$(a, \Gamma)$$ कहाँ पे $$a$$ तथा $$b$$ के तत्व हैं $$\Gamma.$$ एक मुक्त समूह  का  बाहरी स्थान (गणित)  $$F_n$$ वॉल्यूम 1 के तथाकथित चिह्नित मीट्रिक ग्राफ संरचनाओं से मिलकर बनता है $$F_n.$$

टोपोलॉजिकल निर्माण
टोपोलॉजिकल स्पेस के हर सबसेट को सबस्पेस टोपोलॉजी  दी जा सकती है जिसमें ओपन सेट सबसेट के साथ बड़े स्पेस के ओपन सेट के इंटरसेक्शन होते हैं। टोपोलॉजिकल स्पेस के किसी भी  अनुक्रमित परिवार  के लिए, उत्पाद को  उत्पाद टोपोलॉजी  दी जा सकती है, जो प्रोजेक्शन (गणित) मैपिंग के तहत कारकों के खुले सेटों की व्युत्क्रम छवियों द्वारा उत्पन्न होती है। उदाहरण के लिए, परिमित उत्पादों में, उत्पाद टोपोलॉजी के आधार में खुले सेट के सभी उत्पाद होते हैं। अनंत उत्पादों के लिए, अतिरिक्त आवश्यकता है कि एक बुनियादी खुले सेट में, इसके कई अनुमानों को छोड़कर संपूर्ण स्थान है।

एक भागफल स्थान (टोपोलॉजी)  को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: if $$X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और $$Y$$ एक सेट है, और अगर $$f : X \to Y$$ एक  प्रक्षेपण  समारोह (गणित) है, फिर भागफल टोपोलॉजी पर $$Y$$ के सबसेट का संग्रह है $$Y$$ जिसके नीचे खुली व्युत्क्रम छवियां हैं $$f.$$ दूसरे शब्दों में,  भागफल टोपोलॉजी  सबसे बेहतरीन टोपोलॉजी है $$Y$$ जिसके लिए $$f$$ निरंतर है। भागफल टोपोलॉजी का एक सामान्य उदाहरण है जब टोपोलॉजिकल स्पेस पर एक  तुल्यता संबंध  परिभाषित किया जाता है $$X.$$ नक्शा $$f$$ तो  तुल्यता वर्ग ों के सेट पर प्राकृतिक प्रक्षेपण है।

एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चय के सेट पर विएटोरिस टोपोलॉजी $$X,$$ लियोपोल्ड विएटोरिस  के लिए नामित, निम्नलिखित आधार से उत्पन्न होता है: प्रत्येक के लिए $$n$$-टुपल $$U_1, \ldots, U_n$$ खुले सेटों में $$X,$$ हम एक आधार सेट का निर्माण करते हैं जिसमें संघ के सभी उपसमुच्चय होते हैं $$U_i$$ जिनमें प्रत्येक के साथ गैर-रिक्त चौराहे हैं $$U_i.$$  स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट   पोलिश स्थान  के सभी गैर-खाली बंद सबसेट के सेट पर फेल टोपोलॉजी $$X$$ विएटोरिस टोपोलॉजी का एक प्रकार है, और इसका नाम गणितज्ञ जेम्स फेल के नाम पर रखा गया है। यह निम्नलिखित आधार से उत्पन्न होता है: प्रत्येक के लिए $$n$$-टुपल $$U_1, \ldots, U_n$$ खुले सेटों में $$X$$ और हर कॉम्पैक्ट सेट के लिए $$K,$$ के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय $$X$$ जो से जुदा हैं $$K$$ और प्रत्येक के साथ गैर-रिक्त चौराहे हैं $$U_i$$ आधार का सदस्य है।

टोपोलॉजिकल स्पेस का वर्गीकरण
टोपोलॉजिकल स्पेस को मोटे तौर पर होमियोमॉर्फिज्म तक, उनके टोपोलॉजिकल गुण ों द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है। एक टोपोलॉजिकल प्रॉपर्टी रिक्त स्थान की एक संपत्ति है जो होमोमोर्फिज्म के तहत अपरिवर्तनीय है। यह साबित करने के लिए कि दो स्थान होमियोमॉर्फिक नहीं हैं, यह उनके द्वारा साझा नहीं किए गए एक टोपोलॉजिकल गुण को खोजने के लिए पर्याप्त है। ऐसे गुणों के उदाहरणों में  जुड़ाव (टोपोलॉजी),  कॉम्पैक्टनेस (टोपोलॉजी) , और विभिन्न पृथक्करण स्वयंसिद्ध शामिल हैं। बीजीय अपरिवर्तनीयों के लिए  बीजीय टोपोलॉजी  देखें।

बीजीय संरचना के साथ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान
किसी भी बीजीय संरचना के लिए हम असतत टोपोलॉजी का परिचय दे सकते हैं, जिसके तहत बीजीय संचालन निरंतर कार्य होते हैं। ऐसी किसी भी संरचना के लिए जो परिमित नहीं है, हमारे पास अक्सर बीजीय संक्रियाओं के साथ संगत एक प्राकृतिक टोपोलॉजी होती है, इस अर्थ में कि बीजीय संचालन अभी भी निरंतर हैं। इससे टोपोलॉजिकल ग्रुप,  टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस ,  टोपोलॉजिकल रिंग  और लोकल फील्ड जैसी अवधारणाएं सामने आती हैं।

आदेश संरचना के साथ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान

 * वर्णक्रमीय। एक स्पेस वर्णक्रमीय स्थान  है अगर और केवल अगर यह रिंग का प्राइम स्पेक्ट्रम है ( मेल्विन होचस्टर  प्रमेय)।
 * विशेषज्ञता प्रीऑर्डर। स्पेस में स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर | स्पेशलाइजेशन (या कैनोनिकल) प्रीऑर्डर द्वारा परिभाषित किया गया है $$x \leq y$$ अगर और केवल अगर $$\operatorname{cl}\{ x \} \subseteq \operatorname{cl}\{ y \},$$ कहाँ पे $$\operatorname{cl}$$ कुराटोस्की क्लोजर स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाले एक ऑपरेटर को दर्शाता है।

यह भी देखें

 * पूर्ण हेटिंग बीजगणित - किसी दिए गए टोपोलॉजिकल स्पेस के सभी ओपन सेटों को शामिल करने के क्रम में लगाने का सिस्टम एक कम्पलीट हेटिंग अलजेब्रा है।
 * पूर्ण हेटिंग बीजगणित - किसी दिए गए टोपोलॉजिकल स्पेस के सभी ओपन सेटों को शामिल करने के क्रम में लगाने का सिस्टम एक कम्पलीट हेटिंग अलजेब्रा है।

ग्रन्थसूची

 * Bredon, Glen E., Topology and Geometry (Graduate Texts in Mathematics), Springer; 1st edition (October 17, 1997). ISBN 0-387-97926-3.
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 * (3rd edition of differently titled books)
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 * Lipschutz, Seymour; Schaum's Outline of General Topology, McGraw-Hill; 1st edition (June 1, 1968). ISBN 0-07-037988-2.
 * Munkres, James; Topology, Prentice Hall; 2nd edition (December 28, 1999). ISBN 0-13-181629-2.
 * Runde, Volker; A Taste of Topology (Universitext), Springer; 1st edition (July 6, 2005). ISBN 0-387-25790-X.
 * Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
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 * Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
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