गुडरमैनियन फलन

गणित में, गुडरमैनियन फलन एक अतिशयोक्तिपूर्ण कोण माप $\psi$ को एक वृत्ताकार कोण माप $\phi$  से संबंधित करता है जिसे $\psi$  का गुडरमैनियन कहा जाता है और $\operatorname{gd}\psi$  को निरूपित करता है। गुडरमानियन फलन वृत्तीय फलनों और अतिपरवलयिक फलनों के मध्य घनिष्ठ संबंध प्रकट करता है। यह 1760 के दशक में जोहान हेनरिक लैम्बर्ट द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और बाद में क्रिस्टोफर गुडरमैन के नाम पर रखा गया था, जिन्होंने 1830 में वृत्तीय और अतिशयोक्तिपूर्ण फलन के मध्य संबंधों का वर्णन किया था। गुडरमैनियन को कभी-कभी अतिशयोक्तिपूर्ण आयाम कहा जाता है जब प्राचल $m=1$  होने पर जैकोबी दीर्घवृत्तीय आयाम $\operatorname{am}(\psi, m)$  का एक सीमित प्रकरण होता है। वास्तविक गुडरमानियन फलन को विशेष रूप से $-\infty < \psi < \infty$ के लिए अतिपरवलयिक व्युत्क्रम कोटिज्या का अभिन्न होने के लिए परिभाषित किया गया  है।

वास्तविक व्युत्क्रम गुडमैनियन फलन को $-\tfrac12\pi < \phi < \tfrac12\pi$ के लिए व्युत्क्रम कोटिज्या के समाकलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण कोण माप $$\psi = \operatorname{gd}^{-1} \phi$$ को $$\phi$$ का एंटी-गुडरमैनियन या कभी-कभी $$\phi$$ का लैम्बर्टियन कहा जाता है, जिसे $$\psi = \operatorname{lam} \phi$$ कहा जाता है। अक्षांश $\phi$ के लिए भूगणित और नौसंचालन के संदर्भ में, $$k \operatorname{gd}^{-1} \phi$$ (स्वैच्छिक स्थिरांक $k$  द्वारा स्केल किया गया) को ऐतिहासिक रूप से $$\phi$$ (फ्रेंच: अक्षांश क्रोइसांटे) का मध्याह्न भाग कहा जाता था। यह मर्केटर प्रक्षेप का ऊर्ध्व समन्वयीकरण है।

दो कोण माप $\phi$ और $\psi$  एक सामान्य त्रिविम प्रक्षेपण से संबंधित हैं

और यह समरूपता $\operatorname{gd}$  और $\operatorname{gd}^{-1}$  के लिए एक वैकल्पिक परिभाषा के रूप में काम कर सकती है जो पूरे सम्मिश्र समतल में मान्य है:

परिपत्र-अतिशयोक्तिपूर्ण पहचान
हम प्रतिस्थापन द्वारा एकीकरण के रूप में स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेप (स्पर्शरेखा आधा-कोण प्रतिस्थापन#हाइपरबॉलिक फ़ंक्शंस|हाइपरबॉलिक आधा-स्पर्शरेखा) का उपयोग करके अतिशयोक्तिपूर्ण छेदक के अभिन्न अंग का मूल्यांकन कर सकते हैं:

दे $\phi = \operatorname{gd} \psi$ और $s = \tan \tfrac12 \phi = \tanh \tfrac12 \psi$  हम के अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के मध्य कई पहचान प्राप्त कर सकते हैं $\psi$  और के परिपत्र कार्य $\phi.$



इन्हें आमतौर पर अभिव्यक्ति के रूप में उपयोग किया जाता है $$\operatorname{gd}$$ और $$\operatorname{gd}^{-1}$$ के वास्तविक मूल्यों के लिए $$\psi$$ और $$\phi$$ साथ $$|\phi| < \tfrac12\pi.$$ उदाहरण के लिए, संख्यात्मक रूप से अच्छा व्यवहार सूत्र

(ध्यान दें, के लिए $$|\phi| > \tfrac12\pi$$ और जटिल तर्कों के लिए, व्युत्क्रम फलनों के शाखा बिंदु को चुनते समय सावधानी बरतनी चाहिए।) हम व्यक्त भी कर सकते हैं $\psi$ और $\phi$  के अनुसार $s\colon$

अगर हम विस्तार करते हैं $\tan\tfrac12$ और $\tanh\tfrac12$  घातीय फलन#जटिल समतल के संदर्भ में, तो हम उसे देख सकते हैं $s,$  $$\exp \phi i,$$ और $$\exp \psi$$ एक-दूसरे के सभी मोबियस परिवर्तन हैं (विशेष रूप से, रीमैन क्षेत्र के घूर्णन):

के वास्तविक मूल्यों के लिए $\psi$ और $\phi$  साथ $$|\phi| < \tfrac12\pi$$, इन मोबियस परिवर्तनों को त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में कई तरीकों से लिखा जा सकता है,

ये आगे के भाव देते हैं $$\operatorname{gd}$$ और $$\operatorname{gd}^{-1}$$ के साथ वास्तविक तर्क के लिए $$|\phi| < \tfrac12\pi.$$ उदाहरण के लिए,

जटिल मान
एक जटिल विश्लेषण के रूप में, $z \mapsto w = \operatorname{gd} z$ अनुरूप नक्शा अनंत पट्टी $\left|\operatorname{Im}z\right| \leq \tfrac12\pi$  अनंत पट्टी के लिए $\left|\operatorname{Re}w\right| \leq \tfrac12\pi,$  जबकि $w \mapsto z = \operatorname{gd}^{-1} w$  अनुरूप रूप से अनंत पट्टी को मैप करता है $\left|\operatorname{Re}w\right| \leq \tfrac12\pi$  अनंत पट्टी के लिए $ \left|\operatorname{Im}z\right| \leq \tfrac12\pi.$ श्वार्ज़ प्रतिबिंब सिद्धांत द्वारा पूरे सम्मिश्र समतल के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता, $z \mapsto w = \operatorname{gd} z$ अवधि का एक आवधिक कार्य है $2\pi i$  जो ऊंचाई की कोई अनंत पट्टी भेजता है $2\pi i$  पट्टी पर $-\pi< \operatorname{Re}w \leq \pi.$  इसी तरह, पूरे जटिल तल तक विस्तारित, $w \mapsto z = \operatorname{gd}^{-1} w$  अवधि का एक आवधिक कार्य है $2\pi$  जो चौड़ाई की कोई अनंत पट्टी भेजता है $2\pi$  पट्टी पर $-\pi < \operatorname{Im}z \leq \pi.$ जटिल तल में सभी बिंदुओं के लिए, इन कार्यों को सही ढंग से लिखा जा सकता है:

के लिए $\operatorname{gd}$ और $\operatorname{gd}^{-1}$  इन विस्तारित डोमेन के साथ उल्टे रहने के लिए कार्य करता है, हम प्रत्येक को एक बहुविकल्पीय कार्य मान सकते हैं (शायद $\operatorname{Gd}$  और $\operatorname{Gd}^{-1}$, साथ $\operatorname{gd}$  और $\operatorname{gd}^{-1}$  प्रमुख शाखा) या उनके डोमेन और कोडोमेन को रीमैन सतहों के रूप में मानते हैं।

अगर $u + iv = \operatorname{gd}(x + iy),$ फिर वास्तविक और काल्पनिक घटक $u$  और $v$  द्वारा पाया जा सकता है:

(व्यावहारिक कार्यान्वयन में, सुनिश्चित करें कि atan2|2-तर्क चाप स्पर्शज्या का उपयोग करें, $u = \operatorname{atan2}(\sinh x, \cos y)$ .)

इसी तरह अगर $x + iy = \operatorname{gd}^{-1}(u + iv),$ फिर घटक $x$  और $y$  द्वारा पाया जा सकता है:

इन्हें एक साथ गुणा करने से अतिरिक्त पहचान का पता चलता है

समरूपता
दो कार्यों को एक-दूसरे के समान संबंध के साथ घूर्णन या प्रतिबिंब के रूप में माना जा सकता है $\sinh iz = i \sin z$ अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य # सम्मिश्र संख्याओं के लिए अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य:

कार्य सम और विषम दोनों कार्य हैं और वे जटिल संयुग्म के साथ चलते हैं। यही है, डोमेन में वास्तविक या काल्पनिक धुरी पर प्रतिबिंब कोडोमेन में समान प्रतिबिंब में परिणाम देता है:

कार्य आवधिक कार्य हैं, अवधियों के साथ $2\pi i$ और $2\pi$ :

के डोमेन में एक अनुवाद $\operatorname{gd}$ द्वारा $\pm\pi i$  कोडोमेन में आधे-मोड़ रोटेशन और अनुवाद में से एक का परिणाम होता है $\pm\pi,$  और इसके विपरीत के लिए $\operatorname{gd}^{-1}\colon$

के क्षेत्र में एक प्रतिबिंब $\operatorname{gd}$ किसी भी रेखा के पार $x \pm \tfrac12\pi i$  एक पंक्ति में कोडोमेन में प्रतिबिंब के परिणामस्वरूप $\pm \tfrac12\pi + yi,$  और इसके विपरीत के लिए $\operatorname{gd}^{-1}\colon$

यह पहचान से संबंधित है

विशिष्ट मान
कुछ विशिष्ट मान (जहाँ $\infty$ अनंत पट्टी के एक छोर पर सीमा इंगित करता है):

तर्क-जोड़ पहचान
अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के संयोजन से # तर्कों और त्रिकोणमितीय कार्यों के योग # योग और अंतर सूत्र तर्क-जोड़ पहचान,


 * 1) वृत्तीय–हाइपरबोलिक आइडेंटिटी|वृत्तीय–हाइपरबोलिक आइडेंटिटी के साथ,

हमारे पास गुडरमानियन तर्क-जोड़ पहचान है:

आगे तर्क-जोड़ पहचान अन्य परिपत्र कार्यों के संदर्भ में लिखी जा सकती है, लेकिन उलटे कार्यों में शाखाओं को चुनने में उन्हें अधिक देखभाल की आवश्यकता होती है। विशेष रूप से,

जिसका उपयोग गुडरमैनियन फलन#जटिल मान|कॉम्प्लेक्स गुडरमैनियन के लिए प्रति-घटक संगणना और व्युत्क्रम गुडरमैनियन को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। विशिष्ट मामले में $z = w,$ डबल-तर्क वाली पहचान हैं

टेलर श्रृंखला
टेलर श्रृंखला शून्य के पास, जटिल मानों के लिए मान्य है $z$ साथ $|z| < \tfrac12\pi,$  हैं

जहां नंबर $E_{k}$ यूलर नंबर हैं, 1, 0, -1, 0, 5, 0, -61, 0, 1385 ... (अनुक्रम, , और पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में)। इन श्रृंखलाओं की गणना पहली बार 1671 में जेम्स ग्रेगोरी (गणितज्ञ) द्वारा की गई थी। क्योंकि गुडरमैनियन और व्युत्क्रम गुडरमैनियन फलन अतिशयोक्तिपूर्ण छेदक और छेदक फलन के अभिन्न अंग हैं, अंश $E_{k}$ और $|E_{k}|$  अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के अंश के समान हैं # टेलर श्रृंखला अभिव्यक्ति | टेलर श्रृंखला के लिए $ψ$ और त्रिकोणमितीय कार्य # पावर श्रृंखला विस्तार |$ϕ = gd ψ$, क्रमशः, लेकिन एक स्थान से स्थानांतरित कर दिया।

घटाए गए अहस्ताक्षरित अंश 1, 1, 1, 61, 277, ... हैं और घटाए गए हर 1, 6, 24, 5040, 72576, ... (अनुक्रम) हैं और  पूर्णांक अनुक्रमों के ऑन-लाइन विश्वकोश में)।

इतिहास
फलन और इसके व्युत्क्रम मर्केटर प्रक्षेप से संबंधित हैं। मर्केटर प्रक्षेप में ऊर्ध्वाधर समन्वय को अक्षांश#सममितीय अक्षांश कहा जाता है, और इसे अक्सर निरूपित किया जाता है $\psi.$ अक्षांश के संदर्भ में $\phi$  गोले पर ( कांति  में अभिव्यक्त) सममितीय अक्षांश लिखा जा सकता है

सममितीय अक्षांश से गोलीय अक्षांश का व्युत्क्रम होता है $\phi = \operatorname{gd} \psi.$ (ध्यान दें: क्रांति के दीर्घवृत्ताभ पर, भूगणितीय अक्षांश और सममितीय अक्षांश के मध्य का संबंध थोड़ा अधिक जटिल है।)

जेरार्ड मर्केटर ने 1569 में अपना प्रसिद्ध नक्शा तैयार किया, लेकिन निर्माण की सटीक विधि सामने नहीं आई। 1599 में, एडवर्ड राइट (गणितज्ञ) ने त्रिकोणमितीय तालिकाओं से संख्यात्मक रूप से मर्केटर प्रक्षेप के निर्माण के लिए एक विधि का वर्णन किया, लेकिन एक बंद सूत्र का उत्पादन नहीं किया। बंद सूत्र 1668 में जेम्स ग्रेगोरी (गणितज्ञ) द्वारा प्रकाशित किया गया था।

1760 के दशक में जोहान हेनरिक लैम्बर्ट द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों के रूप में एक ही समय में गुडरमैनियन फलन प्रस्तावित किया गया था। उन्होंने इसे पारलौकिक कोण कहा, और यह 1862 तक विभिन्न नामों से चला गया जब आर्थर केली ने सुझाव दिया कि इसे विशेष कार्यों के सिद्धांत पर 1830 के दशक में क्रिस्टोफ गुडरमैन के काम के लिए श्रद्धांजलि के रूप में अपना वर्तमान नाम दिया जाए। गुडरमैन ने क्रेले के जर्नल में लेख प्रकाशित किए थे जिन्हें बाद में एक पुस्तक में एकत्र किया गया था जिसकी व्याख्या की $\sinh$ और $\cosh$  व्यापक दर्शकों के लिए (हालांकि प्रतीकों द्वारा दर्शाया गया है $\mathfrak{Sin}$  और $\mathfrak{Cos}$ ).

अंकन $\operatorname{gd}$ केली द्वारा प्रस्तावित किया गया था जो कॉल करके शुरू होता है $\phi = \operatorname{gd} u$  जैकोबी अण्डाकार कार्य#am $\operatorname{am} u$  पतित मामले में जहां अण्डाकार मापांक है $m = 1,$  ताकि $\sqrt{1 + m\sin\!^2\,\phi}$  कम कर देता है $\cos \phi.$ यह छेदक फलन के समाकल का व्युत्क्रम है। केली के अंकन का उपयोग करना,

तब उन्होंने पारलौकिक की परिभाषा निकाली,

यह देखते हुए कि यद्यपि एक काल्पनिक रूप में प्रदर्शित किया गया है, [यह] एक वास्तविक कार्य है $ u$ ".

गुडरमैनियन और इसके व्युत्क्रम का उपयोग वृत्ताकार कार्यों के त्रिकोणमितीय तालिकाओं को बनाने के लिए किया गया था जो अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की तालिकाओं के रूप में भी कार्य करते हैं। एक अतिशयोक्तिपूर्ण कोण दिया गया है $\psi$, अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों को पहले देखने पर पाया जा सकता है $\phi = \operatorname{gd} \psi$ एक गुडरमैनियन टेबल में और फिर के उपयुक्त परिपत्र फलन को देख रहे हैं $\phi$ , या सीधे पता लगाने से $\psi$  एक सहायक में $$\operatorname{gd}^{-1}$$ त्रिकोणमितीय तालिका का स्तंभ।

सामान्यीकरण
गुडरमैनियन फलन को एक अतिपरवलय की एक शाखा पर बिंदुओं को अर्धवृत्त पर बिंदुओं के मानचित्रण के बारे में सोचा जा सकता है। एक एन-डायमेंशनल hyperboloid  की एक शीट पर बिंदुओं को इसी तरह स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेप के माध्यम से एक एन-डायमेंशनल गोलार्ध पर मैप किया जा सकता है। हाइपरबोलिक ज्यामिति # गोलार्ध मॉडल हाइपरबॉलिक स्पेस का प्रतिनिधित्व करने के लिए ऐसे मानचित्र का उपयोग करता है।

अनुप्रयोग
*अतिपरवलयिक ज्यामिति में समानता फलन का कोण कोण#गुडर्मेनियन के कोण जोड़े का संयोजन है, $$\mathit{\Pi}(\psi) = \tfrac12\pi - \operatorname{gd} \psi.$$ अनुप्रस्थ मर्केटर प्रक्षेप पर निरंतर अक्षांश की एक रेखा भूमध्य रेखा (प्रक्षेपण पर) के समानांतर होती है और अक्षांश के व्युत्क्रम गुडरमैनियन के आनुपातिक राशि से विस्थापित होती है।
 * अनुप्रस्थ मर्केटर प्रक्षेपण को परिभाषित करने के लिए गुडरमैनियन (एक जटिल तर्क के साथ) का उपयोग किया जा सकता है।
 * गुडरमैनियन उलटा पेंडुलम के गैर-आवधिक समाधान में प्रकट होता है।
 * गुडरमेनियन गतिमान कासिमिर प्रभाव के गतिमान दर्पण विलयन में प्रकट होता है।
 * यदि असीम रूप से लंबे, समदूरस्थ, समांतर, समतलीय, सीधे तारों की एक अनंत संख्या को वैकल्पिक संकेतों के साथ समान विद्युत क्षमता पर रखा जाता है, तो तारों के अनुप्रस्थ-अनुभागीय समतल में संभावित-प्रवाह वितरण जटिल गुडरमैनियन है।
 * गुडरमैनियन फलन एक सिग्मॉइड फलन है, और इस तरह कभी-कभी मशीन सीखने में सक्रियण फलन के रूप में उपयोग किया जाता है।
 * (स्केल्ड और शिफ्ट किया गया) गुडरमैनियन अतिपरवलयिक छेदक बंटन का संचयी बंटन फलन है।
 * गुडरमानियन पर आधारित एक फलन सर्पिल आकाशगंगा भुजाओं के आकार के लिए एक अच्छा मॉडल प्रदान करता है।

यह भी देखें

 * ट्रैक्ट्रिक्स
 * कैटेनरी#समान शक्ति की कैटेनरी

बाहरी संबंध

 * Penn, Michael (2020) "the Gudermannian function!" on YouTube.

संदर्भ

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