अंकगणित कॉम्बिनेटरिक्स

गणित में, अंकगणित साहचर्य संख्या सिद्धांत, कॉम्बिनेटरिक्स, एर्गोडिक सिद्धांत और हार्मोनिक विश्लेषण के प्रतिच्छेदन में एक क्षेत्र है।

दायरा
अरिथमेटिक कॉम्बिनेटरिक्स अंकगणितीय संक्रियाओं (जोड़, घटाव, गुणा और भाग) से जुड़े कॉम्बिनेटरियल अनुमानों के बारे में है। एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स वह विशेष मामला है जब केवल जोड़ और घटाव के संचालन शामिल होते हैं।

बेन जे. ग्रीन ने टेरेंस ताओ और वैन एच. वू द्वारा एडिटिव कॉम्बिनेटरिक्स की अपनी समीक्षा में अंकगणित कॉम्बिनेटरिक्स की व्याख्या की है।

स्ज़ेमेरीडी का प्रमेय
ज़ेमेरेडी का प्रमेय पूर्णांकों के उपसमुच्चय में अंकगणितीय प्रगति से संबंधित अंकगणितीय कॉम्बिनेटरिक्स का परिणाम है। 1936 में, पॉल एर्डोस|एर्डोस और पाल तुरान|तुरान ने अनुमान लगाया सकारात्मक प्राकृतिक घनत्व वाले पूर्णांक A के प्रत्येक सेट में प्रत्येक k के लिए k पद अंकगणितीय प्रगति होती है। यह अनुमान, जो स्ज़ेमेरीडी का प्रमेय बन गया, वैन डेर वेर्डन के प्रमेय के कथन को सामान्यीकृत करता है।

हरा-ताओ ​​प्रमेय और विस्तार
ग्रीन-ताओ प्रमेय, 2004 में बेन जे. ग्रीन और टेरेंस ताओ द्वारा सिद्ध किया गया, बताता है कि अभाज्य संख्याओं के अनुक्रम में मनमाने ढंग से लंबी अंकगणितीय प्रगति होती है। दूसरे शब्दों में, k पदों के साथ अभाज्य संख्याओं की अंकगणितीय श्रेणियां मौजूद हैं, जहां k कोई भी प्राकृतिक संख्या हो सकती है। प्रमाण स्ज़ेमेरीडी के प्रमेय का विस्तार है।

2006 में, टेरेंस ताओ और तमर ज़िग्लर ने बहुपद प्रगति को कवर करने के लिए परिणाम को बढ़ाया। अधिक सटीक रूप से, किसी भी पूर्णांक-मूल्यवान बहुपद P को देखते हुए1,..., पीk एक अज्ञात m में सभी अचर पद 0 के साथ, अनंत रूप से कई पूर्णांक x, m हैं जैसे कि x + P1(एम), ..., एक्स + पीk(एम) एक साथ अभाज्य हैं। विशेष मामला जब बहुपद m, 2m, ..., किमी हैं, तो पिछले परिणाम का तात्पर्य है कि अभाज्य संख्याओं की लंबाई k अंकगणितीय प्रगति है।

ब्रुइलार्ड-ग्रीन-ताओ प्रमेय
ब्रुइलार्ड-ग्रीन-ताओ प्रमेय, 2011 में इमैनुएल ब्रुइलार्ड, बेन जे. ग्रीन और टेरेंस ताओ द्वारा सिद्ध किया गया, अनुमानित समूहों का संपूर्ण वर्गीकरण देता है। इस परिणाम को फ्रीमैन के प्रमेय के नॉनबेलियन संस्करण और बहुपद वृद्धि के समूहों पर ग्रोमोव के प्रमेय के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

उदाहरण
यदि A, N पूर्णांकों का समुच्चय है, तो योगफल कितना बड़ा या छोटा हो सकता है
 * $$A+A := \{x+y: x,y \in A\},$$

अंतर सेट
 * $$A-A := \{x-y: x,y \in A\},$$

और उत्पाद सेट
 * $$A\cdot A := \{xy: x,y \in A\}$$

हो, और इन सेटों के आकार कैसे संबंधित हैं? (भ्रमित न हों: अंतर सेट और उत्पाद सेट शब्दों के अन्य अर्थ हो सकते हैं।)

एक्सटेंशन
अध्ययन किए जा रहे सेट पूर्णांकों के अलावा बीजगणितीय संरचनाओं के उपसमुच्चय भी हो सकते हैं, उदाहरण के लिए, समूह (गणित), रिंग (गणित) और फ़ील्ड (गणित)।

यह भी देखें

 * योगात्मक संख्या सिद्धांत
 * अनुमानित समूह
 * कोने प्रमेय
 * एर्गोडिक रैमसे सिद्धांत
 * अंकगणितीय प्रगति से जुड़ी समस्याएं


 * श्निरेलमन घनत्व
 * शेपली-फोकमैन लेम्मा
 * सिडोन सेट
 * राशि-मुक्त सेट
 * एर्डोस-सेमेरेडी प्रमेय|सम-उत्पाद समस्या

संदर्भ

 * Additive Combinatorics and Theoretical Computer Science, Luca Trevisan, SIGACT News, June 2009
 * Open problems in additive combinatorics, E Croot, V Lev
 * From Rotating Needles to Stability of Waves: Emerging Connections between Combinatorics, Analysis, and PDE, Terence Tao, AMS Notices March 2001
 * Open problems in additive combinatorics, E Croot, V Lev
 * From Rotating Needles to Stability of Waves: Emerging Connections between Combinatorics, Analysis, and PDE, Terence Tao, AMS Notices March 2001

अग्रिम पठन

 * Some Highlights of Arithmetic Combinatorics, resources by Terence Tao
 * Additive Combinatorics: Winter 2007, K Soundararajan
 * Earliest Connections of Additive Combinatorics and Computer Science, Luca Trevisan