Y-Δ परिवर्तन

विद्युत अभियन्त्रण में, Y-Δ ट्रांसफॉर्म, जिसे वाई-डेल्टा भी लिखा जाता है और कई अन्य नामों से भी जाना जाता है, एक विद्युत नेटवर्क के नेटवर्क विश्लेषण (इलेक्ट्रिकल परिपथ) को सरल बनाने के लिए एक गणितीय तकनीक है। यह नाम परिपथ आरेखों के आकार से लिया गया है, जो क्रमशः अक्षर Y और ग्रीक बड़े अक्षर Δ की तरह दिखते हैं। यह परिपथ परिवर्तन सिद्धांत 1899 में आर्थर एडविन केनेली द्वारा प्रकाशित किया गया था। इसका उपयोग तीन-चरण विद्युत शक्ति परिपथ के विश्लेषण में व्यापक रूप से किया जाता है।

Y-Δ परिवर्तन को तीन प्रतिरोधों के लिए स्टार-मेश परिवर्तन की एक विशेष स्थिति माना जा सकता है। गणित में, Y-Δ परिवर्तन वृत्ताकार समतलीय ग्राफ के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है।

नाम
Y-Δ परिवर्तन को कई अन्य नामों से जाना जाता है, जो अधिकांशतः इसमें सम्मिलित दो आकृतियों पर आधारित होते हैं, जो किसी भी क्रम में सूचीबद्ध होते हैं। Y, जिसे डब्ल्यूवाईई (वाई) कहा जाता है, को T या स्टार भी कहा जा सकता है; Δ, जिसे डेल्टा के रूप में लिखा जाता है, को त्रिकोण, पाई (अक्षर)Π (पीआई के रूप में लिखा गया), या मेश भी कहा जा सकता है। इस प्रकार, परिवर्तन के सामान्य नामों में वाई-डेल्टा या डेल्टा-वाई, स्टार-डेल्टा, स्टार-मेश या T-Π सम्मिलित होते हैं।

मूल Y-Δ परिवर्तन
परिवर्तन का उपयोग तीन टर्मिनलों वाले नेटवर्क के लिए तुल्यता स्थापित करने के लिए किया जाता है। जहां तीन तत्व एक सामान्य नोड पर समाप्त होते हैं और कोई भी स्रोत नहीं होता है, वहां बाधाओं को परिवर्तित करके नोड को समाप्त कर दिया जाता है। समतुल्यता के लिए, टर्मिनलों के किसी भी जोड़े के मध्य प्रतिबाधा दोनों नेटवर्क के लिए समान होनी चाहिए। यहां दिए गए समीकरण समष्टि और वास्तविक प्रतिबाधाओं के लिए मान्य होते हैं। समष्टि प्रतिबाधा ओम में मापी गई एक मात्रा होती है जो प्रतिरोध को सामान्य विधि से सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के रूप में प्रदर्शित करती है, और विद्युत प्रतिक्रिया को सकारात्मक और नकारात्मक काल्पनिक मूल्यों के रूप में भी प्रदर्शित करते है।

Δ से Y में परिवर्तन के लिए समीकरण
सामान्य विचार यह है कि Y परिपथ के एक टर्मिनल नोड पर $$R'$$, $$R''$$ द्वारा परिपथ में आसन्न नोड्स के लिए प्रतिबाधा $$R_\text{Y}$$ की गणना की जाए।
 * $$R_\text{Y} = \frac{R'R''}{\sum R_\Delta}$$

जहाँ $$R_\Delta$$ Δ परिपथ में सभी प्रतिबाधाएं होती हैं। इस प्रकार इससे विशिष्ट सूत्र प्राप्त होता है


 * $$\begin{align}

R_1 &= \frac{R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}} \\[3pt] R_2 &= \frac{R_\text{a}R_\text{c}}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}} \\[3pt] R_3 &= \frac{R_\text{a}R_\text{b}}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}} \end{align}$$

Y से Δ में परिवर्तन के लिए समीकरण
सामान्य विचार यह है कि Δ परिपथ में एक प्रतिबाधा $$R_\Delta$$ की गणना करना है


 * $$R_\Delta = \frac{R_P}{R_\text{opposite}}$$

जहाँ $$R_P = R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1$$ Y परिपथ और $$R_\text{opposite}$$ में प्रतिबाधाओं के सभी युग्मों के उत्पादों का योग होता है और Y परिपथ में नोड की प्रतिबाधा होती है जो $$R_\Delta$$के साथ किनारे के विपरीत होती है। विशिष्ट किनारों के लिए सूत्र इस प्रकार हैं


 * $$\begin{align}

R_\text{a} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_1} \\[3pt] R_\text{b} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_2} \\[3pt] R_\text{c} &= \frac{R_1 R_2 + R_2 R_3 + R_3 R_1}{R_3} \end{align}$$ या, यदि प्रतिरोध के अतिरिक्त प्रविष्टि का उपयोग किया जा रहा है:
 * $$\begin{align}

Y_\text{a} &= \frac{Y_3 Y_2}{\sum Y_\text{Y}} \\[3pt] Y_\text{b} &= \frac{Y_3 Y_1}{\sum Y_\text{Y}} \\[3pt] Y_\text{c} &= \frac{Y_1 Y_2}{\sum Y_\text{Y}} \end{align}$$ ध्यान दें कि प्रविष्टि का उपयोग करके Y से Δ का सामान्य सूत्र प्रतिरोध का उपयोग करके Δ से Y के समान होता है।

परिवर्तन के अस्तित्व और विशिष्टता का एक प्रमाण
परिवर्तन की व्यवहार्यता को अध्यारोपण प्रमेय के परिणाम के रूप में दिखाया जा सकता है। अधिक सामान्य स्टार-मेश परिवर्तन के परिणाम के रूप में प्राप्त प्रमाण के अतिरिक्त एक संक्षिप्त प्रमाण इस प्रकार दिया जा सकता है। तुल्यता इस कथन में निहित है कि तीन नोड्स ($$N_1, N_2$$ और $$N_3$$) पर प्रयुक्त होने वाले किसी भी बाहरी वोल्टेज ($$V_1, V_2$$ और $$V_3$$) के लिए, संगत धाराएँ ($$I_1, I_2$$ और $$I_3$$) Y और Δ दोनों परिपथों के लिए बिल्कुल समान, और इसके विपरीत होती है। इस प्रमाण में, हम नोड्स पर दी गई बाहरी धाराओं से प्रारंभ करते हैं। अध्यारोपण प्रमेय के अनुसार, वर्तमान के साथ तीन नोड्स पर प्रयुक्त निम्नलिखित तीन समस्याओं के नोड्स पर परिणामी वोल्टेज के अध्यारोपण का अध्ययन करके वोल्टेज प्राप्त किया जा सकता है:

किरचॉफ के परिपथ नियम $$I_1 + I_2 + I_3 = 0$$ का उपयोग करके तुल्यता को सरलता से दिखाया जा सकता है। अब प्रत्येक समस्या अपेक्षाकृत सरल हो जाती है, क्योंकि इसमें मात्र एक एकल आदर्श वर्तमान स्रोत सम्मिलित होता है। प्रत्येक समस्या के लिए नोड्स पर बिल्कुल समान परिणाम वोल्टेज प्राप्त करने के लिए, दो परिपथ में समतुल्य प्रतिरोध समान होना चाहिए, इसे श्रृंखला और समानांतर परिपथ के मूलभूत नियमों का उपयोग करके सरलता से पाया जा सकता है:
 * 1) $$  \frac{1}{3}\left(I_1 - I_2\right),   -\frac{1}{3}\left(I_1 - I_2\right), 0$$
 * 2) $$0,\frac{1}{3}\left(I_2 - I_3\right),   -\frac{1}{3}\left(I_2 - I_3\right)$$ और
 * 3) $$ -\frac{1}{3}\left(I_3 - I_1\right), 0, \frac{1}{3}\left(I_3 - I_1\right)$$



R_3 + R_1 = \frac{\left(R_\text{c} + R_\text{a}\right)R_\text{b}}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}},\quad \frac{R_3}{R_1} = \frac{R_\text{a}}{R_\text{c}}. $$ यद्यपि सामान्यतः छह समीकरण तीन चरों ($$R_1, R_2, R_3$$) को व्यक्त करने के लिए पर्याप्त से अधिक होते हैं। अन्य तीन चरों ($$R_\text{a}, R_\text{b}, R_\text{c}$$) के पद में, यहां यह दिखाना सरल होता है कि ये समीकरण वास्तव में उपरोक्त डिज़ाइन किए गए अभिव्यक्तियों को निर्मित करते हैं।

वास्तव में, अध्यारोपण प्रमेय प्रतिरोधों के मूल्यों के मध्य संबंध स्थापित करता है, विद्युत चुंबकत्व विशिष्टता प्रमेय ऐसे समाधान की विशिष्टता का आश्वासन देता है।

नेटवर्क का सरलीकरण
दो टर्मिनलों के मध्य प्रतिरोधक नेटवर्क सैद्धांतिक रूप से समतुल्य प्रतिबाधा को एकल समतुल्य अवरोधक में परिवर्तित कर सकता है (अधिक सामान्यतः, प्रतिबाधा के बारे में भी यही सच है)। ऐसा करने के लिए श्रृंखला और समानांतर परिवर्तन मूलभूत उपकरण होते हैं, परन्तु यहां दिखाए गए ब्रिज जैसे समष्टि नेटवर्क के लिए, वे पर्याप्त नहीं होते हैं।

Y-Δ ट्रांसफॉर्म का उपयोग एक समय में एक नोड को समाप्त करने और एक नेटवर्क बनाने के लिए किया जा सकता है जिसे और अधिक सरल बनाया जा सकता है, जैसा कि दिखाया गया है।

उत्क्रम परिवर्तन, Δ-Y, जो एक नोड जोड़ता है, सामान्यतः आगे सरलीकरण का मार्ग प्रशस्त करने के लिए भी उपयोगी होता है।

समतल ग्राफ़ द्वारा प्रदर्शित किये गए प्रत्येक दो-टर्मिनल नेटवर्क को श्रृंखला, समानांतर, Y-Δ, और Δ-Y परिवर्तनों के अनुक्रम द्वारा एकल समकक्ष अवरोधक में घटाया जा सकता है। यद्यपि, ऐसे गैर-योजनाकार नेटवर्क होते हैं जिन्हें इन परिवर्तनों का उपयोग करके सरल नहीं बनाया जा सकता है, जैसे कि टोरस्र्स या पीटरसन परिवार के किसी सदस्य के चारों ओर लिपटा हुआ एक नियमित वर्ग ग्रिड।

ग्राफ़ सिद्धांत
ग्राफ़ सिद्धांत में, Y-Δ परिवर्तन का अर्थ है किसी ग्राफ़ के Y उपग्राफ को समतुल्य Δ उपग्राफ से परिवर्तित करना होता है। परिवर्तन ग्राफ़ में किनारों की संख्या को संरक्षित करता है, परन्तु शीर्षों की संख्या या चक्र (ग्राफ़ सिद्धांत) की संख्या को नहीं। दो ग्राफ़ को Y-Δ समतुल्य कहा जाता है यदि एक को दूसरे से किसी भी दिशा में Y-Δ परिवर्तनों की श्रृंखला द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, पीटरसन परिवार एक Y-Δ समतुल्य वर्ग होता है।

Δ-लोड से वाई-लोड परिवर्तन समीकरण
$$\left\{R_\text{a}, R_\text{b}, R_\text{c}\right\}$$ Δ से और $$\left\{R_1, R_2, R_3\right\}$$ Y से संबंधित करने के लिए, दो संगत नोड्स के मध्य प्रतिबाधा की तुलना की जाती है। यदि कोई एक नोड परिपथ में से वियोजित हो जाये तो किसी भी विन्यास में प्रतिबाधा निर्धारित की जा सकती है। N1 और N2 के मध्य N3 के साथ प्रतिबाधा Δ में वियोजित की जाती है:


 * $$\begin{align}

R_\Delta\left(N_1, N_2\right) &= R_\text{c} \parallel (R_\text{a} + R_\text{b}) \\[3pt] &= \frac{1}{\frac{1}{R_\text{c}} + \frac{1}{R_\text{a} + R_\text{b}}} \\[3pt] &= \frac{R_\text{c}\left(R_\text{a} + R_\text{b}\right)}{R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}} \end{align}$$ सरल बनाने के लिए, आइए $$R_\text{T}$$ को $$\left\{R_\text{a}, R_\text{b}, R_\text{c}\right\}$$ का योग मान लेते है
 * $$ R_\text{T} = R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c} $$

इस प्रकार,


 * $$R_\Delta\left(N_1, N_2\right) = \frac{R_\text{c}(R_\text{a} + R_\text{b})}{R_\text{T}}$$

Y में N1 और N2 के मध्य संगत प्रतिबाधा सरल होती है:


 * $$R_\text{Y}\left(N_1, N_2\right) = R_1 + R_2$$

इस तरह:


 * $$R_1 + R_2 = \frac{R_\text{c}(R_\text{a} + R_\text{b})}{R_\text{T}}$$ (1)

$$R(N_2,N_3)$$ के लिए दोहराया जा रहा है:


 * $$R_2 + R_3 = \frac{R_\text{a}(R_\text{b} + R_\text{c})}{R_\text{T}}$$ (2)

और $$R\left(N_1, N_3\right)$$ के लिए:


 * $$R_1 + R_3 = \frac{R_\text{b}\left(R_\text{a} + R_\text{c}\right)}{R_\text{T}}.$$ (3)

यहाँ से, $$\left\{R_1, R_2, R_3\right\}$$ के मूल्य रैखिक संयोजन (जोड़ और/या घटाव) द्वारा निर्धारित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, (1) और (3) जोड़ने पर, फिर (2) घटाने पर परिणाम मिलता है


 * $$\begin{align}

R_1 + R_2 + R_1 + R_3 - R_2 - R_3 &= \frac{R_\text{c}(R_\text{a} + R_\text{b})}{R_\text{T}} + \frac{R_\text{b}(R_\text{a} + R_\text{c})}{R_\text{T}} - \frac{R_\text{a}(R_\text{b} + R_\text{c})}{R_\text{T}} \\[3pt] {}\Rightarrow 2R_1 &= \frac{2R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}} \\[3pt] {}\Rightarrow R_1 &= \frac{R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}}. \end{align}$$ संपूर्णता के लिए:


 * $$R_1 = \frac{R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}}$$ (4)
 * $$R_2 = \frac{R_\text{a}R_\text{c}}{R_\text{T}}$$ (5)
 * $$R_3 = \frac{R_\text{a}R_\text{b}}{R_\text{T}}$$ (6)

Y-लोड से Δ-लोड परिवर्तन समीकरण
मान लीजिए


 * $$R_\text{T} = R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}$$.

हम Δ से Y समीकरण को इस प्रकार लिख सकते हैं


 * $$R_1 = \frac{R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}} $$   (1)
 * $$R_2 = \frac{R_\text{a}R_\text{c}}{R_\text{T}} $$   (2)
 * $$R_3 = \frac{R_\text{a}R_\text{b}}{R_\text{T}}. $$ (3)

समीकरणों के युग्मों को गुणा करने पर परिणाम प्राप्त होता है


 * $$R_1 R_2 = \frac{R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}^2 }{R_\text{T}^2}$$   (4)
 * $$R_1 R_3 = \frac{R_\text{a}R_\text{b}^2 R_\text{c}}{R_\text{T}^2}$$   (5)
 * $$R_2 R_3 = \frac{R_\text{a}^2 R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}^2}$$ (6)

और इन समीकरणों का योग निम्न प्रकार है


 * $$R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 = \frac{

R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}^2 + R_\text{a}R_\text{b}^2R_\text{c} + R_\text{a}^2R_\text{b}R_\text{c}} {R_\text{T}^2} $$ (7)

दाहिनी ओर से कारक $$R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}$$ गुणनखंड करें, अंश में $$R_\text{T}$$ छोड़ें, हर में $$R_\text{T}$$ के साथ रद्द करें।


 * $$\begin{align}

R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3 &={} \frac{ \left(R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}\right) \left(R_\text{a} + R_\text{b} + R_\text{c}\right) }{R_\text{T}^2} \\ &={} \frac{R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}} \end{align}$$ (8)

(8) और {(1), (2), (3)} के मध्य समानता पर ध्यान दें

(8) को (1) से विभाजित करें


 * $$\begin{align}

\frac{R_1 R_2 + R_1 R_3 + R_2 R_3}{R_1} &={} \frac{R_\text{a}R_\text{b}R_\text{c}}{R_\text{T}} \frac{R_\text{T}}{R_\text{b}R_\text{c}} \\ &={} R_\text{a}, \end{align}$$ जो $$R_\text{a}$$ के लिए समीकरण है। (8) को (2) या (3) से विभाजित करने पर ( $$R_2$$ या $$R_3$$के लिए व्यंजक) शेष समीकरण देता है।

एक व्यावहारिक जनरेटर का Δ से Y तक परिवर्तन
संतुलित तीन-चरण विद्युत शक्ति प्रणाली के विश्लेषण के समय, सामान्यतः इसकी सरलता के कारण इसके अतिरिक्त एक समकक्ष प्रति-चरण (या एकल-चरण) परिपथ का विश्लेषण किया जाता है। उसके लिए, बिजली पैदा करने वाला, ट्रांसफार्मर, लोड और एसी मोटर के लिए समतुल्य वाई संयोजन का उपयोग किया जाता है। निम्नलिखित चित्र में दिखाए गए एक व्यावहारिक डेल्टा-संबद्ध तीन-चरण जनरेटर की स्टेटर वाइंडिंग को निम्नलिखित छह सूत्रों का उपयोग करके एक समकक्ष वाई-संबद्ध जनरेटर में परिवर्तित किया जा सकता है।:



$$ \begin{align} & Z_\text{s1Y} = \dfrac{Z_\text{s1} \, Z_\text{s3}}{Z_\text{s1} + Z_\text{s2} + Z_\text{s3}} \\[2ex] & Z_\text{s2Y} = \dfrac{Z_\text{s1} \, Z_\text{s2}}{Z_\text{s1} + Z_\text{s2} + Z_\text{s3}} \\[2ex] & Z_\text{s3Y} = \dfrac{Z_\text{s2} \, Z_\text{s3}}{Z_\text{s1} + Z_\text{s2} + Z_\text{s3}} \\[2ex] & V_\text{s1Y} = \left( \dfrac{V_\text{s1}}{Z_\text{s1}} - \dfrac{V_\text{s3}}{Z_\text{s3}} \right) Z_\text{s1Y} \\[2ex] & V_\text{s2Y} = \left( \dfrac{V_\text{s2}}{Z_\text{s2}} - \dfrac{V_\text{s1}}{Z_\text{s1}} \right) Z_\text{s2Y} \\[2ex] & V_\text{s3Y} = \left( \dfrac{V_\text{s3}}{Z_\text{s3}} - \dfrac{V_\text{s2}}{Z_\text{s2}} \right) Z_\text{s3Y} \end{align} $$

परिणामी नेटवर्क निम्नलिखित है। समतुल्य नेटवर्क का तटस्थ नोड काल्पनिक है, और पंक्ति-से-तटस्थ चरण वोल्टेज भी काल्पनिक है। परिवर्तन के समय, पंक्ति चरण धाराओं और पंक्ति (या पंक्ति-से-पंक्ति या चरण-दर-चरण) चरण वोल्टेज में परिवर्तन नहीं किया जाता है।

यदि वास्तविक डेल्टा जनरेटर संतुलित होता है, जिसका अर्थ है कि आंतरिक चरण वोल्टेज का परिमाण समान है और चरण-स्थानांतरित एक दूसरे के मध्य 120 डिग्री है और तीन समष्टि बाधाएं समान हैं, तो पिछले सूत्र निम्नलिखित चार में कम हो जाते हैं:

$$ \begin{align} & Z_\text{sY} = \dfrac{Z_\text{s}}{3}\\ & V_\text{s1Y} = \dfrac{V_\text{s1}}{\sqrt{3} \, \angle \pm 30^\circ} \\[2ex] & V_\text{s2Y} = \dfrac{V_\text{s2}}{\sqrt{3} \, \angle \pm 30^\circ} \\[2ex] & V_\text{s3Y} = \dfrac{V_\text{s3}}{\sqrt{3} \, \angle \pm 30^\circ} \end{align} $$

जहां पिछले तीन समीकरणों के लिए, पहला चिह्न (+) का उपयोग किया जाता है यदि चरण अनुक्रम सकारात्मक/एबीसी है या दूसरा चिह्न (-) का उपयोग किया जाता है यदि चरण अनुक्रम नकारात्मक/एबीसी है।

यह भी देखें

 * स्टार-मेश परिवर्तन
 * नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत परिपथ)
 * Y और Δ संयोजन के उदाहरण के लिए विद्युत नेटवर्क, तीन-चरण विद्युत शक्ति, पॉलीफ़ेज़ प्रणाली
 * Y-Δ आरंभिक तकनीक की चर्चा के लिए एसी मोटर

ग्रन्थसूची

 * William Stevenson, Elements of Power System Analysis 3rd ed., McGraw Hill, New York, 1975, ISBN 0-07-061285-4

बाहरी संबंध

 * Star-Triangle Conversion: Knowledge on resistive networks and resistors
 * Calculator of Star-Triangle transform