प्रतिबिम्ब सूत्र

गणित में, किसी फ़ंक्शन (गणित) f के लिए एक प्रतिबिंब सूत्र या प्रतिबिंब संबंध f(a − x) और f(') के बीच एक संबंध है 'एक्स'')। यह एक कार्यात्मक समीकरण का एक विशेष मामला है, और जब प्रतिबिंब सूत्र का अर्थ होता है तो साहित्य में कार्यात्मक समीकरण शब्द का उपयोग करना बहुत आम है।

परावर्तन सूत्र विशेष कार्यों के संख्यात्मक विश्लेषण के लिए उपयोगी होते हैं। वास्तव में, एक अनुमान जिसमें अधिक सटीकता होती है या केवल प्रतिबिंब बिंदु के एक तरफ (आमतौर पर जटिल विमान के सकारात्मक आधे हिस्से में) अभिसरण होता है, सभी तर्कों के लिए नियोजित किया जा सकता है।

ज्ञात सूत्र
सम और विषम फलन a = 0 के आस-पास परिभाषा के सरल प्रतिबिंब संबंधों को संतुष्ट करते हैं। सभी सम फलनों के लिए,


 * $$f(-x) = f(x),$$

और सभी विषम कार्यों के लिए,


 * $$f(-x) = -f(x).$$

एक प्रसिद्ध संबंध यूलर का प्रतिबिंब सूत्र है


 * $$\Gamma(z)\Gamma(1-z) = \frac{\pi}{\sin{(\pi z)}}, \qquad z \not\in \mathbb Z$$

गामा फ़ंक्शन के लिए $$\Gamma(z)$$, लियोनहार्ड यूलर के कारण।

सामान्य n-वें क्रम बहुविवाह फ़ंक्शन ψ के लिए एक प्रतिबिंब सूत्र भी है(एन)(जेड),


 * $$\psi^{(n)} (1-z)+(-1)^{n+1}\psi^{(n)} (z) = (-1)^n \pi \frac{d^n}{d z^n} \cot{(\pi z)} $$

जो इस तथ्य से तुच्छ रूप से उत्पन्न होता है कि बहुविवाह कार्यों को व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है $$\ln \Gamma$$ और इस प्रकार प्रतिबिंब सूत्र प्राप्त होता है।

रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन ζ(z) संतुष्ट करता है


 * $$\frac{\zeta(1-z)}{\zeta(z)} = \frac{2\, \Gamma(z)}{(2\pi)^{z}} \cos\left(\frac{\pi z}{2}\right),$$

और रीमैन शी समारोह ξ(z) संतुष्ट करता है


 * $$\xi(z) = \xi(1-z). $$