रूपक (गणित)

श्रेणी सिद्धांत के गणितीय क्षेत्र में, एक रूपक एक श्रेणी (गणित) है जिसमें श्रेणी रिले ऑफ़ सेट (गणित) की कुछ संरचना और उनके बीच द्विआधारी संबंध होते हैं। रूपक का उपयोग संबंधों की श्रेणियों के अमूर्तन के रूप में किया जा सकता है, और इस अर्थ में रूपक का सिद्धांत विभिन्न प्रकार के संबंधों के लिए संबंध बीजगणित का एक सामान्यीकरण है। श्रेणी सिद्धांत में कुछ निर्माणों को परिभाषित करने और जांच करने में भी रूपक उपयोगी होते हैं, जैसे कि नियमित श्रेणी पूर्णता।

इस लेख में हम इस परिपाटी को अपनाते हैं कि रूपवाद दाएँ से बाएँ की ओर बनता है, इसलिए $RS$ मतलब पहले करो $S$, तो करें $R$.

परिभाषा
रूपक एक श्रेणी (गणित) है जिसमें ऐसा सब कुछ यहां, हम प्रतिच्छेदन द्वारा परिभाषित क्रम का उपयोग करके संक्षिप्तीकरण कर रहे हैं: $$R \subseteq S$$ साधन $$R = R\cap S.$$ रूपक का पहला उदाहरण संबंधों की श्रेणी है। इस रूपक का उद्देश्य (श्रेणी सिद्धांत) सेट और एक रूपवाद है $$X \to Y$$ के बीच एक द्विआधारी संबंध है $X$ और $Y$. आकारिकी की संरचना संबंधों की संरचना है, और विरोधी संलयन है $$R$$ विपरीत संबंध है $$R^\circ$$: $$y R^\circ x$$ अगर और केवल अगर $$xRy$$. रूपवादों का प्रतिच्छेदन संबंधों का (सेट-सैद्धांतिक) प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) है।
 * प्रत्येक रूपवाद $$R\colon X\to Y$$ एक विरोधी-आक्रमण, यानी एक रूपवाद से जुड़ा हुआ है $$R^\circ\colon Y\to X$$ साथ $$R^{\circ\circ} = R$$ और $$(RS)^\circ = S^\circ R^\circ\text{;}$$ और
 * आकारिकी का प्रत्येक जोड़ा $$R,S \colon X\to Y$$ सामान्य डोमेन/कोडोमेन के साथ एक प्रतिच्छेदन, यानी एक रूपवाद जुड़ा हुआ है $$R \cap S\colon X\to Y$$
 * चौराहे निष्क्रिय हैं: $$R\cap R = R,$$ क्रमविनिमेय: $$R\cap S = S\cap R,$$ और सहयोगी: $$(R\cap S)\cap T = R\cap (S\cap T);$$
 * प्रतिच्छेदन पर विरोधी आक्रमण वितरणात्मक संपत्ति: $$(R\cap S)^\circ = S^\circ \cap R^\circ;$$
 * रचना प्रतिच्छेदन पर अर्ध-वितरणात्मक है: $$R(S\cap T) \subseteq RS\cap RT$$ और $$(R\cap S)T \subseteq RT\cap ST;$$ और
 * मॉड्यूलैरिटी कानून संतुष्ट है: $$RS \cap T \subseteq (R\cap TS^\circ)S.$$

नियमित श्रेणियों में संबंधों के रूपक
एक श्रेणी में $C$, वस्तुओं के बीच एक संबंध $X$ और $Y$ रूपवादों का एक विस्तार (श्रेणी सिद्धांत) है $$X\gets R\to Y$$ वह संयुक्त रूप से एकरूपता है। ऐसे दो स्पैन $$X\gets S\to Y$$ और $$X\gets T\to Y$$ जब बीच में समरूपता होती है तो समतुल्य माना जाता है $S$ और $T$ जो हर चीज़ को आवागमन योग्य बनाता है; सख्ती से कहें तो, संबंधों को केवल समतुल्यता तक परिभाषित किया जाता है (कोई इसे समतुल्य वर्गों का उपयोग करके या द्विश्रेणी का उपयोग करके औपचारिक रूप दे सकता है)। यदि श्रेणी $C$ में उत्पाद हैं, के बीच एक संबंध है $X$ और $Y$ एक मोनोमोर्फिज़्म के समान ही चीज़ है $X × Y$ (या इस तरह का एक समतुल्य वर्ग)। पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) और एक उचित कारकीकरण प्रणाली की उपस्थिति में, कोई संबंधों की संरचना को परिभाषित कर सकता है। रचना $$X\gets R\to Y\gets S\to Z$$ पहले कॉस्पैन को पीछे खींचकर पाया जाता है $$R\to Y\gets S$$ और फिर परिणामी अवधि की संयुक्त-मोनिक छवि लेना $$X\gets R\gets\bullet\to S\to Z.$$ यदि गुणनखंड प्रणाली उचित रूप से स्थिर हो तो संबंधों की संरचना साहचर्यपूर्ण होगी। इस मामले में, कोई एक श्रेणी पर विचार कर सकता है $Rel(C)$, समान वस्तुओं के साथ $C$, लेकिन जहां रूपवाद वस्तुओं के बीच संबंध हैं। पहचान संबंध विकर्ण हैं $$X \to X\times X.$$ एक नियमित श्रेणी (परिमित सीमाओं और छवियों वाली एक श्रेणी जिसमें पुलबैक के तहत कवर स्थिर होते हैं) में एक स्थिर नियमित एपी/मोनो फ़ैक्टराइज़ेशन प्रणाली होती है। एक नियमित श्रेणी के लिए संबंधों की श्रेणी हमेशा एक रूपक होती है। संबंध के स्रोत/लक्ष्य को चारों ओर घुमाकर एंटी-इनवॉल्यूशन को परिभाषित किया गया है, और चौराहे उप-वस्तुओं के चौराहे हैं, जिनकी गणना पुलबैक द्वारा की जाती है।

रूपक और सारणी में मानचित्र
एक रूपवाद $R$ एक रूपक में $A$ यदि वह संपूर्ण है तो उसे मानचित्र कहा जाता है $$(1\subseteq R^\circ R)$$ और नियतिवादी $$(RR^\circ \subseteq 1).$$ इसे कहने का दूसरा तरीका यह है कि मानचित्र एक रूपवाद है जिसमें एक सहायक कारक होता है $A$ कब $A$ को स्थानीय ऑर्डर संरचना का उपयोग करते हुए 2-श्रेणी के रूप में माना जाता है। रूपक में मानचित्र पहचान और संरचना के अंतर्गत बंद होते हैं। इस प्रकार, एक उपश्रेणी है $Map(A)$ का $A$ समान वस्तुओं के साथ लेकिन केवल आकारिकी के रूप में मानचित्र। नियमित श्रेणी के लिए $C$, श्रेणियों की एक समरूपता है $$C \cong \operatorname{Map}(\operatorname{Rel}(C)).$$ विशेष रूप से, में एक रूपवाद $Map(Rel(Set))$ सिर्फ एक सामान्य फ़ंक्शन (गणित) है।

एक रूपक में, एक रूपवाद $$R\colon X\to Y$$ मानचित्रों की एक जोड़ी द्वारा सारणीबद्ध किया गया है $$f\colon Z\to X$$ और $$g\colon Z\to Y$$ अगर $$gf^\circ = R$$ और $$f^\circ f \cap g^\circ g = 1.$$ एक रूपक को सारणीबद्ध कहा जाता है यदि प्रत्येक रूपवाद में एक सारणी हो। नियमित श्रेणी के लिए $C$, रूपक $Rel(C)$ हमेशा सारणीबद्ध होता है। दूसरी ओर, किसी सारणीबद्ध रूपक के लिए $A$, श्रेणी Map(A)}मानचित्रों की } स्थानीय रूप से नियमित श्रेणी है: इसमें पुलबैक, इक्वलाइज़र (गणित), और छवियां हैं जो पुलबैक के तहत स्थिर हैं। यह संबंधों का अध्ययन करने के लिए पर्याप्त है $Map(A)$, और इस सेटिंग में, $$A\cong \operatorname{Rel}(\operatorname{Map}(A)).$$

एकात्मक रूपक और मानचित्रों की नियमित श्रेणियाँ
रूपक में एक इकाई एक वस्तु है $U$ जिसके लिए पहचान सबसे बड़ा रूपवाद है $$U\to U,$$ और ऐसा कि हर दूसरी वस्तु से, एक संपूर्ण संबंध होता है $U$. इकाई वाले रूपक को इकाईक कहा जाता है। एक सारणीबद्ध रूपक दिया गया है $A$, श्रेणी $Map(A)$ एक नियमित श्रेणी है (इसमें एक टर्मिनल वस्तु  है) यदि और केवल यदि $A$ एकात्मक है.

रूपक के अधिक परिष्कृत प्रकार
रूपकों के अतिरिक्त गुणों को स्वयंसिद्ध किया जा सकता है। वितरण रूपक में एक संघ (सेट सिद्धांत) जैसा ऑपरेशन होता है जो उपयुक्त रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है, और विभाजन रूपक में संबंध बीजगणित के विभाजन ऑपरेशन का सामान्यीकरण होता है। पावर रूपक अतिरिक्त सत्ता स्थापित  जैसी संरचना के साथ वितरणात्मक विभाजन रूपक हैं। रूपक और नियमित श्रेणियों के बीच संबंध को शक्ति रूपक और  टोपोस ़ के बीच संबंध के रूप में विकसित किया जा सकता है।

संदर्भ