अस्थिर-क्षेत्र हॉपिंग

वेरिएबल-रेंज होपिंग एक ऐसा मॉडल है जिसका उपयोग विस्तारित तापमान रेंज में होपिंग द्वारा अव्यवस्थित सेमीकंडक्टर या अनाकार ठोस में वाहक परिवहन का वर्णन करने के लिए किया जाता है। इसकी एक विशिष्ट तापमान निर्भरता है


 * $$\sigma= \sigma_0e^{-(T_0/T)^\beta}$$

कहाँ $$\sigma$$ चालकता है और $$\beta$$ विचाराधीन मॉडल पर निर्भर एक पैरामीटर है।

Mott वेरिएबल-रेंज होपिंग
नेविल फ्रांसिस मोट वेरिएबल-रेंज होपिंग एंडरसन स्थानीयकरण चार्ज-कैरियर राज्यों के साथ दृढ़ता से अव्यवस्थित प्रणालियों में कम तापमान वाले विद्युत चालन का वर्णन करता है। और इसकी एक विशिष्ट तापमान निर्भरता है


 * $$\sigma= \sigma_0e^{-(T_0/T)^{1/4}}$$

त्रि-आयामी चालकता के लिए (के साथ $$\beta$$ = 1/4), और d-आयामों के लिए सामान्यीकृत है


 * $$\sigma= \sigma_0e^{-(T_0/T)^{1/(d+1)}}$$.

यदि सेमीकंडक्टर उद्योग एकल-क्रिस्टल उपकरणों को कांच की परतों के साथ बदलने में सक्षम थे, तो बचत के कारण कम तापमान पर होपिंग कंडक्शन बहुत रुचि का है।

व्युत्पत्ति
मूल एमओटी पेपर ने एक सरल धारणा पेश की है कि होपिंग ऊर्जा हूपिंग दूरी (तीन आयामी मामले में) के घन पर व्युत्क्रमानुपाती होती है। बाद में यह दिखाया गया कि यह धारणा अनावश्यक थी, और इस प्रमाण का यहाँ पालन किया गया है। मूल कागज में, किसी दिए गए तापमान पर hopping संभावना को दो मापदंडों पर निर्भर देखा गया था, आर साइटों के स्थानिक जुदाई, और डब्ल्यू, उनकी ऊर्जा जुदाई। अपस्ले और ह्यूजेस ने नोट किया कि वास्तव में अनाकार प्रणाली में, ये चर यादृच्छिक और स्वतंत्र होते हैं और इसलिए इन्हें एक पैरामीटर में जोड़ा जा सकता है, श्रेणी $$\textstyle\mathcal{R}$$ दो साइटों के बीच, जो उनके बीच hopping की संभावना निर्धारित करता है।

Mott ने दिखाया कि स्थानिक अलगाव के दो राज्यों के बीच hopping की संभावना $$\textstyle R$$ और ऊर्जा पृथक्करण W का रूप है:
 * $$P\sim \exp \left[-2\alpha R-\frac{W}{kT}\right]$$

जहां α−1 हाइड्रोजन जैसे स्थानीय तरंग-कार्य के लिए क्षीणन लंबाई है। यह मानता है कि उच्च ऊर्जा वाले राज्य में रुकना दर सीमित करने की प्रक्रिया है।

अब हम परिभाषित करते हैं $$\textstyle\mathcal{R} = 2\alpha R+W/kT$$, दो राज्यों के बीच की सीमा, इसलिए $$\textstyle P\sim \exp (-\mathcal{R})$$. राज्यों को चार-आयामी यादृच्छिक सरणी (तीन स्थानिक निर्देशांक और एक ऊर्जा समन्वय) में बिंदुओं के रूप में माना जा सकता है, उनके बीच की दूरी सीमा द्वारा दी गई है $$\textstyle\mathcal{R}$$.

चालन इस चार-आयामी सरणी के माध्यम से हॉप्स की कई श्रृंखलाओं का परिणाम है और शॉर्ट-रेंज हॉप्स के पक्षधर हैं, यह राज्यों के बीच औसत निकटतम-पड़ोसी दूरी है जो समग्र चालकता को निर्धारित करता है। इस प्रकार चालकता का रूप है
 * $$\sigma \sim \exp (-\overline{\mathcal{R}}_{nn})$$

कहाँ $$\textstyle\overline{\mathcal{R}}_{nn}$$औसत निकटतम-पड़ोसी सीमा है। इसलिए समस्या इस मात्रा की गणना करने की है।

प्राप्त करने के लिए पहला कदम है $$\textstyle\mathcal{N}(\mathcal{R})$$, एक सीमा के भीतर राज्यों की कुल संख्या $$\textstyle\mathcal{R}$$ फर्मी स्तर पर कुछ प्रारंभिक अवस्था में। डी-आयामों के लिए, और विशेष धारणाओं के तहत यह निकला
 * $$\mathcal{N}(\mathcal{R}) = K \mathcal{R}^{d+1}$$

कहाँ $$\textstyle K = \frac{N\pi kT}{3\times 2^d \alpha^d}$$. विशेष धारणाएं बस यही हैं $$\textstyle\overline{\mathcal{R}}_{nn}$$ बैंड-चौड़ाई से काफी कम है और आराम से इंटरटॉमिक स्पेसिंग से बड़ा है।

फिर संभावना है कि एक राज्य श्रेणी के साथ $$\textstyle\mathcal{R}$$ चार-आयामी स्थान में निकटतम पड़ोसी है (या सामान्य तौर पर (d+1)-आयामी स्थान) है
 * $$P_{nn}(\mathcal{R}) = \frac{\partial \mathcal{N}(\mathcal{R})}{\partial \mathcal{R}} \exp [-\mathcal{N}(\mathcal{R})]$$

निकटतम-पड़ोसी वितरण।

डी-आयामी मामले के लिए
 * $$\overline{\mathcal{R}}_{nn} = \int_0^\infty (d+1)K\mathcal{R}^{d+1}\exp (-K\mathcal{R}^{d+1})d\mathcal{R}$$.

इसका सरल प्रतिस्थापन करके इसका मूल्यांकन किया जा सकता है $$\textstyle t=K\mathcal{R}^{d+1}$$ गामा समारोह में, $$\textstyle \Gamma(z) = \int_0^\infty t^{z-1} e^{-t}\,\mathrm{d}t$$ कुछ बीजगणित के बाद यह देता है
 * $$\overline{\mathcal{R}}_{nn} = \frac{\Gamma(\frac{d+2}{d+1})}{K^{\frac{1}{d+1}}}$$

और इसलिए वह
 * $$\sigma \propto \exp \left(-T^{-\frac{1}{d+1}}\right)$$.

राज्यों का गैर-निरंतर घनत्व
जब अवस्थाओं का घनत्व स्थिर नहीं होता (विषम शक्ति नियम N(E)), Mott चालकता भी पुनः प्राप्त होती है, जैसा कि इस लेख में दिखाया गया है।

एफ़्रोस-शक्लोव्स्की वेरिएबल-रेंज होपिंग
Efros-Shklovskii (ES) वेरिएबल-रेंज होपिंग एक कंडक्शन मॉडल है, जो कूलम्ब गैप के लिए जिम्मेदार है, स्थानीयकृत इलेक्ट्रॉनों के बीच परस्पर क्रिया के कारण फर्मी स्तर के पास राज्यों के घनत्व में एक छोटी सी छलांग। इसका नाम एलेक्सी एल. एफ्रोस और बोरिस श्लोकोवस्की के नाम पर रखा गया था जिन्होंने 1975 में इसे प्रस्तावित किया था।

कूलम्ब गैप के विचार से तापमान की निर्भरता बदल जाती है


 * $$\sigma= \sigma_0e^{-(T_0/T)^{1/2}}$$

सभी आयामों के लिए (यानी $$\beta$$ = 1/2).

यह भी देखें

 * गतिशीलता बढ़त

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