स्टैक (गणित)

गणित में स्टैक या 2-शेफ सामान्यतौर पर एक शीफ (गणित) है जो संग्रह के बजाय श्रेणियों में मान लेता है। स्टैक्स का उपयोग वंश सिद्धांत के कुछ मुख्य निर्माणों को औपचारिक रूप देने के लिए किया जाता है और जब  उत्कृष्ट मोडुली स्पेस स्थित नहीं होते हैं तो उत्कृष्ट मोडुली स्टैक का निर्माण किया जाता है।

वंश सिद्धांत का संबंध उन स्थितियों के सामान्यीकरण से है जहां समरूपता, संयोज्य ज्यामितीय वस्तुएं (जैसे संस्थानिक स्पेस पर वेक्टर बंडल) को संस्थानिक आधार के प्रतिबंध के भीतर एक साथ चिपकाया जा सकता है। ज्यादातर सामान्य सेट-अप में प्रतिबंधों को पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) से बदल दिया जाता है तंतुमय श्रेणी तब इस तरह के ग्लूइंग की संभावना पर चर्चा करने के लिए एक अच्छा फ्रेम बनाती है। स्टैक का सहज अर्थ यह है कि यह एक तंतुमय श्रेणी है जैसे कि सभी संभावित ग्लूइंग काम करते हैं। ग्लूइंग्स के विनिर्देशन के लिए आवरण की परिभाषा की आवश्यकता होती है जिसके संबंध में ग्लूइंग्स पर विचार किया जा सकता है यह पता चला है कि इन आवरणों का वर्णन करने के लिए सामान्य भाषा ग्रोथेंडिक सांस्थिति है, इस प्रकार स्टैक को औपचारिक रूप से अन्य आधार श्रेणी पर एक तंतु श्रेणी के रूप में दिया जाता है, जहां आधार ग्रोथेंडिक सांस्थिति होती है जहां तंतु श्रेणी कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करती है जो ग्रोथेंडिक सांस्थिति के संबंध में कुछ ग्लूइंग के अस्तित्व और विशिष्टता को सुनिश्चित करती है।

सिंहावलोकन
बीजगणितीय स्टैक्स (जिसे आर्टिन स्टैक्स भी कहा जाता है) डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक्स की अंतर्निहित संरचना है, जो योजना (गणित) और बीजगणितीय स्पेस को सामान्यीकृत करते हैं और मोडुली स्पेस का अध्ययन करने में विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। इसमें समावेशन हैं:

योजनाएं ⊆ बीजगणितीय स्पेस ⊆ डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक ⊆ बीजगणितीय स्टैक (आर्टिन स्टैक) ⊆ स्टैक।

और स्टैक का संक्षिप्त परिचयात्मक विवरण देते हैं,,  और  अधिक विस्तृत परिचय देते हैं और  अधिक उन्नत सिद्धांत का वर्णन करते है।

प्रेरणा और इतिहास
स्टैक की अवधारणा का मूल में प्रभावी अन्वय डेटा की परिभाषा में है। 1959 में सेरे को लिखे एक पत्र में ग्रोथेंडिक ने देखा कि अच्छे मॉडुलि स्पेस के निर्माण में एक मूलभूत बाधा ऑटोमोर्फिज़्म का अस्तित्व है। स्टैक के लिए एक प्रमुख प्रेरणा यह है कि अगर ऑटोमोर्फिज्म के अस्तित्व के कारण किसी समस्या के लिए मॉडुलि स्पेस स्थित नहीं है, तब भी मोडुली स्टैक का निर्माण संभव हो सकता है।

स्टैक परिभाषित किए जाने से पहले ने गोलाकार वक्रों के मोडुली स्टैक के पिकार्ड समूह का अध्ययन किया। स्टैक को सबसे पहले द्वारा परिभाषित किया गया था और स्टैक शब्द  द्वारा मूल फ्रांसीसी शब्द "चैंप" के लिए "फ़ील्ड" के रूप में प्रस्तुत किया गया था। इस लेख में उन्होंने डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक भी प्रस्तुत किए जिसे उन्होंने बीजगणितीय स्टैक कहा हालांकि बीजगणितीय स्टैक शब्द अब सामान्यतौर पर   द्वारा प्रस्तुत किए गए सामान्य आर्टिन स्टैक को संदर्भित करता है।

समूह फंक्शन द्वारा योजनाओं के भागफल को परिभाषित करते समय भागफल के लिए एक योजना होना और वांछनीय गुणों को संतुष्ट करना ज्यादातर असंभव होता है। उदाहरण के लिए यदि कुछ बिंदुओं में गैर-तुच्छ स्टेबलाइजर्स हैं, तो योजनाओं के बीच श्रेणीबद्ध भागफल उपस्थित नहीं होगा लेकिन यह स्टैक के रूप में स्थित रहेगा।

उसी तरह वक्र, सदिश बंडल या अन्य ज्यामितीय वस्तुओं के मॉडुलि स्पेस ज्यादातर योजनाओं के बजाय स्टैक के रूप में परिभाषित किए जाते हैं। मॉडुलि स्पेस निर्माण ज्यादातर प्रश्न में वस्तुओं का मानकीकरण करने के लिए पहले एक बड़े स्थान का निर्माण करके आगे बढ़ते हैं और उसके बाद ऑटोमोर्फिज्म वाली वस्तुओं के लिएसमूह क्रिया द्वारा उद्धरण देते है।

निराकार स्टैक
एक श्रेणी $$c$$ के फ़ंक्टर वाली श्रेणी $$C$$ को $$C$$ के ऊपर एक तंतुयुक्त श्रेणी कहा जाता है यदि किसी आकारिकी के लिए $$F:X\to Y$$ में $$C$$ और कोई वस्तु $$y$$ का $$c$$ प्रतिबिंब के साथ $$Y$$ (फ़ंक्टर के नीचे) एक पुलबैक है $$f:x\to y$$  $$y$$ द्वारा $$F$$ इसका मतलब प्रतिबिंब के साथ एक आकृतिवाद $$F$$ है जैसे कि कोई आकारिकी $$g:z\to y$$ प्रतिबिंब के साथ $$G=F\circ H$$ के रूप में गिना जा सकता है $$g=f\circ h$$ एक अद्वितीय आकारिकी द्वारा $$h:z\to x$$ में $$c$$  फ़ंक्टर $$h$$ को $$H$$ से मानचित्र करता है। तत्व $$x = F^*y$$ का पुलबैक $$y$$ साथ $$F$$ कहा जाता है और विहित समरूपता तक अद्वितीय है।

श्रेणी c को ग्रोथेंडिक सांस्थिति के साथ श्रेणी C पर ' प्रीस्टैक ' कहा जाता है यदि इसे c पर तंतु किया जाता है और c के किसी वस्तु u के लिए और प्रतिबिंब u के साथ c की वस्तु x, y, ओवर श्रेणी c/u से फ़ंक्टर संग्रहित करने के लिए F:V→U से होम(F*x,F*y) एक शीफ है। यह स्टैकों के लिए शब्दावली के अनुरूप नहीं है: प्रीस्टैक प्रीशेव्स से अलग किए गए प्रीशेव्स के अनुरूप हैं, कुछ लेखकों को इसे प्रीस्टैक की बजाय स्टैक की संपत्ति के रूप में आवश्यकता होती है।

श्रेणी c को ग्रोथेंडिक सांस्थिति के साथ श्रेणी c के ऊपर एक 'स्टैक' कहा जाता है यदि यह c पर एक प्रीस्टैक है और प्रत्येक डिसेंट मूल डेटा प्रभावी है। एक 'डिसेंट डेटम' में सामान्य तौर पर वर्ग V द्वारा C की वस्तु V का आवरण i होता है पर तंतु में तत्व xi और xj के प्रतिबंधों के बीच आकारिकी fji से Vij = Vi × VVj अनुकूलता की स्थिति को संतुष्ट करता है डिसेंट डेटम को 'प्रभावी' कहा जाता है यदि तत्व xi अनिवार्य रूप से प्रतिबिंब V के साथ तत्व x के पुलबैक हैं।

स्टैक को 'ग्रुपॉइड्स में 'स्टैक' या (2,1)-शेफ' कहा जाता है अगर यह ग्रुपोइड्स में भी तंतु होता है, जिसका अर्थ है कि इसके तंतु (c की वस्तुओं का उल्टा प्रतिबिंब) ग्रुपोइड्स हैं। कुछ लेखक "स्टैक" शब्द का उपयोग ग्रुपोइड्स में स्टैक की अधिक प्रतिबंधात्मक धारणा को संदर्भित करने के लिए करते हैं।

बीजगणितीय स्टैक
एक बीजगणितीय स्टैक या आर्टिन स्टैक एफपीपीएफ(fppf) साइट पर ग्रुपोइड्स X में एक स्टैक है, जैसे कि X का विकर्ण नक्शा प्रतिनिधित्व करने योग्य है और एक्स के लिए एक योजना (स्टैक से जुड़े) से एक निर्विघ्ऩ प्रक्षेपण मौजूद है. एक आकारिकी Y$$\rightarrow$$ स्टैक का एक्स 'प्रतिनिधित्व योग्य' है यदि, प्रत्येक आकारिकी एस के लिए $$\rightarrow$$ एक्स से (स्टैक से जुड़े) ,एक्स तक, तंतु उत्पाद वाई ×Xएस एक बीजगणितीय स्थान (से जुड़े स्टैक) के लिए आइसोमोर्फिक है। स्टैक के 'तंतु उत्पाद' को सामान्य सार्वभौमिक संपत्ति का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, और उस आवश्यकता को बदलते हुए जो आरेखों को 2-यात्रा की आवश्यकता के लिए परिवर्तित करती है। अधिक जानकारी के लिए बीजगणितीय स्टैक का आकारिकी भी देखें।

विकर्ण की प्रतिनिधित्व क्षमता के पीछे की प्रेरणा निम्नलिखित है: विकर्ण आकारिकी $$\Delta:\mathfrak{X} \to \mathfrak{X}\times\mathfrak{X}$$ प्रतिनिधित्व योग्य है अगर और केवल अगर बीजगणितीय स्पेस के किसी भी जोड़ी के लिए $$X,Y \to \mathfrak{X}$$, उनके तंतु उत्पाद $$X\times_{\mathfrak{X}}Y$$ प्रतिनिधित्व योग्य है।

एक Deligne–Mumford स्टैक एक बीजगणितीय स्टैक X है, जैसे कि एक स्कीम से X तक एक ईटेल अनुमान है। मोटे तौर पर बोलते हुए, Deligne-Mumford स्टैक को बीजगणितीय स्टैक के रूप में माना जा सकता है, जिनकी वस्तुओं में कोई अतिसूक्ष्म ऑटोमोर्फिज़्म नहीं है।

बीजगणितीय स्टैक की स्थानीय संरचना
बीजगणितीय स्टैक की स्थापना के बाद से यह उम्मीद की गई थी कि वे फॉर्म के स्थानीय भागफल स्टैक हैं $$[\text{Spec}(A)/G]$$ कहाँ $$G$$ एक रिडक्टिव बीजगणितीय समूह है। हाल ही में यह मामला साबित हुआ: एक अर्ध-पृथक बीजगणितीय स्टैक दिया $$\mathfrak{X}$$ एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर स्थानीय रूप से परिमित प्रकार का $$k$$ जिनके स्टेबलाइजर्स एफ़िन हैं, और $$x \in \mathfrak{X}(k)$$ रैखिक रूप से रिडक्टिव स्टेबलाइजर समूह के साथ एक चिकना और बंद बिंदु $$G_x$$, GIT भागफल का एक Étale morphism उपस्थित है $$(U,u) \to (N_x//G_x, 0)$$, जहाँ $$N_x = (J_x/J_x^2)^\vee$$, जैसे कि आरेख $$\begin{matrix} ([W/G_x],w) & \to & ([N_x/G_x],0) \\ \downarrow & & \downarrow \\ (U,u) & \to & (N_x//G_x,0) \end{matrix}$$ कार्तीय है, और एक ईटेल आकारिकी "मौजूद है$f:([W/G_x], w) \to (\mathfrak{X},x)$"$$w$$ और $$x$$.पर स्टेबलाइज़र समूहों के एक समरूपता को प्रेरित करना।

प्राथमिक उदाहरण

 * हर शीफ़ $$\mathcal{F}:C^{op} \to Sets$$ एक श्रेणी से $$C$$ ग्रोथेंडिक सांस्थिति के साथ कैनोनिक रूप से स्टैक में बदल दिया जा सकता है। किसी वस्तु के लिए $$X \in \text{Ob}(C)$$, एक सेट के बजाय $$\mathcal{F}(X)$$ एक समूह है जिसकी वस्तुएं $$\mathcal{F}(X)$$ के तत्व हैं और तीर पहचान रूपवाद हैं।
 * अधिक ठोस रूप से, मान लें कि $$h$$ एक प्रतिपरिवर्ती फ़ैक्टर है
 * $$h: (Sch/S)^{op} \to Sets$$
 * फिर, यह फ़ंक्टर ग्रोथेंडिक निम्नलिखित श्रेणी $$H$$ निर्धारित करता है
 * # एक वस्तु एक जोड़ी है $$(X\to S, x)$$ एक योजना से मिलकर $$X$$ में $$(Sch/S)^{op}$$ और एक तत्व $$x \in h(X)$$
 * # एक आकारिकी $$(X\to S, x) \to (Y\to S,y)$$ एक आकारिकी से मिलकर बनता है $$\phi:X \to Y$$ में $$(Sch/S)$$ जैसे कि $$h(\phi)(y) = x$$.
 * भुलक्कड़ कारक के माध्यम से $$p:H \to (Sch/S)$$, श्रेणी $$H$$ एक तंतुयुक्त श्रेणी खत्म हो गई है $$(Sch/S)$$. उदाहरण के लिए, अगर $$X$$ में एक योजना है $$(Sch/S)$$, तो यह प्रतिपरिवर्ती फ़ैक्टर निर्धारित करता है $$h = \operatorname{Hom}(-, X)$$ और इसी तंतुयुक्त श्रेणी हैstack associated to X. स्टैक (या प्रीस्टैक) इस निर्माण के एक प्रकार के रूप में बनाया जा सकता है। वास्तव में, अर्ध-कॉम्पैक्ट विकर्ण वाली कोई भी स्कीम $$X$$ क्वैसी-कॉम्पैक्ट विकर्ण योजना से जुड़ा एक बीजगणितीय स्टैक है $$X$$

वस्तुओं का स्टैक

 * एक समूह स्टैक ।
 * वेक्टर बंडलों का मोडुली स्टैक: वेक्टर बंडलों की श्रेणी V→S संस्थानिक स्पेस S की श्रेणी पर एक स्टैक है। V→S से W→T तक एक आकारिकी में S से T और V से W तक निरंतर मानचित्र होते हैं। (तंतु पर रैखिक) ऐसा कि स्पष्ट वर्ग आवागमन करता है। शर्त यह है कि यह एक तंतुयुक्त श्रेणी है क्योंकि कोई संस्थानिक स्पेस के निरंतर मानचित्रों पर वेक्टर बंडलों के पुलबैक ले सकता है, और एक डिसेंट डेटम प्रभावी होने की स्थिति का अनुसरण करता है क्योंकि कोई वेक्टर बंडलों को एक साथ जोड़कर एक स्पेस पर वेक्टर बंडल का निर्माण कर सकता है।
 * योजनाओं पर अर्ध-सुसंगत स्टैकों का स्टैक ( fpqc-सांस्थिति और कमजोर सांस्थिति के संबंध में)
 * एक आधार योजना पर एफ़िन योजनाओं का स्टैक (फिर से fpqc सांस्थिति या एक कमजोर के संबंध में)

स्टैक उद्धरण
यदि $$X$$ एक योजना है $$(Sch/S)$$ और $$G$$ पर कार्य करने वाली एक सहज समूह योजना है फिर $$X$$ एक भागफल बीजगणितीय  स्टैक है $$[X/G]$$, एक योजना $$Y \to S$$ के समूह के लिए $$G$$-टॉर्स ओवर $$S$$-योजना $$Y$$ साथ $$G$$-समतुल्य नक्शे $$X$$ के साथ स्पष्ट रूप से, एक स्थान दिया गया $$X$$ के साथ $$G$$-स्पेस दिया गया है, तो स्टैक $$[X/G]$$ जो पुलबैक आरेखों के समूह के लिए $$[X/G](Y) = \begin{Bmatrix} Z & \xrightarrow{\Phi} & X \\ \downarrow & & \downarrow \\ Y & \xrightarrow{\phi} & [X/G] \end{Bmatrix}$$जहाँ $$\Phi$$ एक $$G$$ समरूप रूपांतर है और  $$Z \to Y$$एक प्रमुख $$G$$-बंडल हैं। इस श्रेणी में आकृतिवाद केवल आरेखों के रूपात्मकता है जहाँ दाहिनी ओर के तीर बराबर हैं और बाईं ओर के तीर प्रमुख $$G$$-बंडल के आकारिकी हैं।

स्टैक का वर्गीकरण
इसका एक विशेष स्थिति जब x एक बिंदु होता है, तो एक स्मूथ एफाइन समूह योजना G का वर्गीकृत स्टैक BG देता है: $$\textbf{B}G := [pt/G].$$ इसका नाम श्रेणी $$\mathbf{B}G(Y)$$के बाद से रखा गया है, जो तंतु के ऊपर है Y से अधिक तंतु श्रेणी है $$\operatorname{Bun}_G(Y)$$ प्रिंसिपल का $$G$$-bundles $$Y$$ की श्रेणी है। ध्यान दें कि $$\operatorname{Bun}_G(Y)$$ खुद को स्टैक के रूप में माना जा सकता है, प्रिंसिपल G बंडलों का मोडुली स्टैक Y पर।

इस निर्माण से एक महत्वपूर्ण उप उदाहरण है $$\mathbf{B}GL_n$$ जो प्रिंसिपल $$GL_n$$-बंडल का मोडुली स्टैक है, चूंकि प्रिंसिपल $$GL_n$$ बंडल का डेटा रैंक $$n$$ वेक्टर बंडल के डेटा के बराबर है, यह रैंक $$n$$ के मोडुली स्टैक के लिए आइसोमॉर्फिक है एन वेक्टर बंडल $$Vect_n$$

लाइन बंडलों का मोडुली स्टैक
लाइन बंडलों का मोडुली स्टैक $$B\mathbb{G}_m$$ हैं चूंकि प्रत्येक पंक्ति बंडल कैनोनिक रूप से एक प्रिंसिपल के लिए आइसोमोर्फिक है $$\mathbb{G}_m$$-बंडल। वास्तव में, स्कीम, एक लाइन बंडल दिया $$L$$ एक योजना के ऊपर $$S$$, सापेक्ष विशिष्टता $$\underline{\text{Spec}}_S(\text{Sym}_S(L^\vee)) \to S$$एक ज्यामितीय रेखा बंडल देता है। शून्य खंड की छवि को हटाकर एक मूलधन $$\mathbb{G}_m$$-बंडल प्राप्त होता है। इसके विपरीत, प्रतिनिधित्व से $$id:\mathbb{G}_m \to \text{Aut}(\mathbb{A}^1)$$ संबंधित लाइन बंडल का पुनर्निर्माण किया जा सकता है।

गेर्ब्स
एक गेर्बे ग्रुपोइड्स में एक स्टैक है जिसमें हमेशा एक गैर-खाली श्रेणी होती है। उदाहरण के लिए तुच्छ gerbe $$BG$$ जो प्रत्येक स्कीम को को कुछ समूह $$G$$- के लिए स्कीम के ऊपर प्रिंसिपल $$G$$.-बंडलों के ग्रुपॉयड को असाइन करता है।

सापेक्ष युक्ति और परियोजना
यदि ए योजना एस पर एक बीजगणितीय स्टैक एक्स में बीजगणित का एक अर्ध-सुसंगत शीफ है, तो एक स्टैक स्पेक (ए) है जो एक कम्यूटेटिव रिंग ए के स्पेक्ट्रम स्पेक (ए) के निर्माण को सामान्य करता है। स्पेक का एक ऑब्जेक्ट ( ए) एक एस-स्कीम टी, एक्स (टी) के एक ऑब्जेक्ट एक्स, और एक्स * (ए) से टी के समन्वय अंगूठी ओ (टी) तक बीजगणित के शेवों का एक रूपवाद द्वारा दिया गया है।

यदि ए योजना एस पर बीजगणितीय स्टैक एक्स में ग्रेडेड बीजगणित का एक अर्ध-सुसंगत शीफ है, तो ग्रेडेड रिंग ए के प्रोजेक्टिव स्कीम प्रोज (ए) के निर्माण को सामान्यीकृत करने वाला एक स्टैक प्रोज (ए) है।

वक्रों का मोडुली

 * ने अण्डाकार वक्रों के मोडुली स्टैक M1,1 का अध्ययन किया और दिखाया कि इसका पिकार्ड समूह क्रम 12 का चक्रीय है। जटिल संख्याओं पर दीर्घवृत्तीय वक्रों के लिए संबंधित स्टैक मॉड्यूलर समूह की क्रिया द्वारा ऊपरी आधे-विमान के भागफल के समान है।
 * बीजगणितीय वक्रों का मापांक स्थान $$\mathcal{M}_g$$ दिए गए जीनस (गणित) के चिकने वक्रों के एक सार्वभौमिक परिवार के रूप में परिभाषित किया गया है $$g$$ एक बीजगणितीय विविधता के रूप में मौजूद नहीं है क्योंकि विशेष रूप से गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म को स्वीकार करने वाले वक्र हैं। हालाँकि एक मोडुली स्टैक $$\mathcal{M}_g$$ है जो चिकने जीनस के गैर-मौजूद फाइन मोडुली स्पेस के लिए एक अच्छा विकल्प है $$g$$ वक्र। सामान्यतौर पर एक मोडुली स्टैक $$\mathcal{M}_{g,n}$$ होता है जिसका $$g$$ वक्र होते हैं $$n$$ चिह्नित बिंदु। सामान्य तौर पर यह एक बीजगणितीय स्टैक है, और इसके लिए Deligne-Mumford स्टैक है $$g \geq 2$$ या  $$g = 1, n \geq 1$$ या $$g = 0, n \geq 3$$ (दूसरे शब्दों में जब वक्रों के ऑटोमोर्फिज्म समूह परिमित होते हैं)। इस मोडुली स्टैक में एक पूर्णता है जिसमें स्थिर वक्रों के मोडुली स्टैक सम्मिलित हैं (दिया गया है $$g$$ और $$n$$) जो स्पेक (Spec Z) पर उचित है। उदाहरण के लिए, $$\mathcal{M}_0$$ प्रक्षेपी सामान्य का वर्गीकरण स्टैक $$B\text{PGL}(2)$$ प्रक्षेपी सामान्य रैखिक समूह ( $$\mathcal{M}_1$$ को परिभाषित करने में एक सूक्ष्मता है क्योंकि इसे बनाने के लिए योजनाओं के बजाय बीजगणितीय स्पेस का उपयोग करना पड़ता है।)

Kontsevich मॉडुलि स्पेस
मॉडुलि स्पेस का एक और व्यापक रूप से अध्ययन किया गया वर्ग कोंटेसेविच मोडुली स्पेस है जो एक निश्चित जीनस के घटता के बीच स्थिर मानचित्रों के स्थान को एक निश्चित स्थान $$X$$ पर मापता है जिसकी छवि एक निश्चित कोहोलॉजी वर्ग का प्रतिनिधित्व करती है। ये मोडुली स्पेस को निरूपित किया जाता है $$\overline{\mathcal{M}}_{g,n}(X,\beta)$$ और जंगली व्यवहार हो सकता है, जैसे कम करने योग्य स्टैक जिसके घटक गैर-बराबर आयाम हैं। उदाहरण के लिए, मोडुली स्टैक $$\overline{\mathcal{M}}_{1,0}(\mathbb{P}^2,3[H])$$में विवृत उपसमुच्चय द्वारा पैरामीट्रिज्ड चिकने वक्र हैं $$U \subset \mathbb{P}^9 = \mathbb{P}(\Gamma(\mathbb{P}^2,\mathcal{O}(3)))$$. मॉडुलि स्पेस की सीमा पर, जहां घटता कम करने योग्य वक्रों के लिए पतित हो सकता है, वहां एक जीनस के साथ एक पैरामीट्रिज़िंग कम करने योग्य घटता है $$0$$ घटक और एक जीनस $$1$$ घटक एक बिंदु एक पर प्रतिच्छेद करते हुए एक सबस्टैक पैरामीट्रिज़िंग रिड्यूसिबल वक्र होता है बिंदु और नक्शा जीनस $$1$$ वक्र को एक बिंदु पर भेजता है। चूंकि इस तरह के सभी जीनस $$1$$ कर्व $$U$$ द्वारा पैरामीट्रिज्ड हैं और एक अतिरिक्त $$1$$ आयामी विकल्प जहां ये वक्र जीनस $$1$$ वक्र पर प्रतिच्छेद करते हैं, सीमा घटक का आयाम $$10$$ हैं।

अन्य मोडुली स्टैक

 * एक पिकार्ड स्टैक  एक पिकार्ड किस्म का सामान्यीकरण करता है।
 * औपचारिक समूह कानूनों का मोडुली स्टैक औपचारिक समूह कानूनों को वर्गीकृत करता है।
 * एक उद्योग-योजना जैसे कि एक अनंत प्रक्षेप्य स्थान और एक औपचारिक योजना एक स्टैक है।
 * ज्यामितीय लैंगलैंड्स कार्यक्रम में श्टुका के मोडुली स्टैक का उपयोग किया जाता है। (श्टुकस भी देखें।)

भारित अनुमानित स्टैक
भारित प्रोजेक्टिव स्पेस के निर्माण में कुछ $$\mathbb{A}^{n+1} - \{0\}$$की भागफल विविधता लेना शामिल है $$\mathbb{G}_m$$-एक्शन द्वारा। विशेष रूप से, क्रिया एक टपल भेजती है"$g \cdot(x_0,\ldots, x_n) \mapsto (g^{a_0}x_0,\ldots,g^{a_n}x_n)$"और इस क्रिया का अंश भारित अनुमानित स्पेस देता है $$\mathbb{WP}(a_0,\ldots, a_n)$$. चूँकि इसके बजाय इसे स्टैक भागफल, भारित प्रोजेक्टिव स्टैक के रूप में लिया जा सकता है $$\textbf{WP}(a_0,\ldots, a_n) := [\mathbb {A}^{n}-\{0\} / \mathbb{G}_m]$$एक लाइन बंडल में भारित बहुपद के लुप्त स्थान को लेना $$f \in \Gamma(\textbf{WP}(a_0,\ldots, a_n),\mathcal{O}(a))$$ एक स्टैकी

वेटेड प्रोजेक्टिव वैरायटी देता है।

स्टैकी कर्व्स
स्टैकी कर्व्स या ऑर्बिकर्व्स सामान्य बिंदुओं पर आवरण के मोनोड्रोमी समूह द्वारा कर्व्स के आकारिकी के स्टैक भागफल को लेकर निर्मित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक प्रक्षेपी आकारिकी$$\text{Proj}(\mathbb{C}[x,y,z]/(x^5 + y^5 + z^5)) \to \text{Proj}(\mathbb{C}[x,y])$$जो सामान्य रूप से एटेल होता है। $$\mu_5$$ द्वारा डोमेन का स्टैक भागफल एक स्टैकी $$\mathbb{P}^1$$ बिंदु के साथ जिसमें $$\mathbb{Z}/5$$ एकता की पांचवीं क्रम पर $$x/y$$-सारणी, ऐसा इसलिए है क्योंकि ये वे बिंदु हैं जहां आवरण शाखा करता है।

नॉन-एफ़िन स्टैक
नॉन-एफ़िन स्टैक का उदाहरण दो स्टैकी मूल के साथ अर्ध-रेखा द्वारा दिया गया है। इसे दो समावेशन के कोलिमिट के रूप में बनाया जा सकता है $$ [\mathbb{G}_m/ (\mathbb{Z}/2)] \to [\mathbb{A}^1/(\mathbb{Z}/2)]$$

बीजगणितीय स्टैक पर अर्ध-संसक्त स्टैक
बीजगणितीय स्टैक पर एक योजना के ऊपर अर्ध-संसक्त स्टैकों की श्रेणी के समान अर्ध-संसक्त स्टैकों की श्रेणी का निर्माण कर सकते हैं।

एक अर्ध-संसक्त शीफ सामान्यतौर पर वह होता है जो स्थानीय रूप से वृत्त के ऊपर एक मॉड्यूल के शीफ की तरह दिखता है। पहली समस्या यह तय करना है कि स्थानीय रूप से क्या मतलब है: इसमें ग्रोथेंडिक सांस्थिति का विकल्प सम्मिलित है और इसके लिए कई संभावित विकल्प हैं, जिनमें से सभी में कुछ समस्याएं हैं और इनमें से कोई भी पूरी तरह से संतोषजनक नहीं है। ग्रोथेंडिक सांस्थिति पर्याप्त रूप से मजबूत होनी चाहिए ताकि स्टैक इस सांस्थिति में स्थानीय रूप से बंध जाए: योजनाएं स्थानीय रूप से ज़ारिस्की सांस्थिति में बंधी हैं इसलिए यह योजनाओं के लिए एक उचित विकल्प है जैसा कि सेरे ने खोजा, बीजगणितीय स्पेस और डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक स्थानीय रूप से ईटेल सांस्थिति इसलिए सामान्यतौर पर इनके लिए ईटेल सांस्थिति का उपयोग किया जाता है, जबकि बीजगणितीय स्टैक निर्विघ्ऩ सांस्थिति में स्थानीय रूप से परिशोधित होते हैं इसलिए इस स्थिति में निर्विघ्ऩ सांस्थिति का उपयोग किया जा सकता है। सामान्य बीजगणितीय स्टैक के लिए ईटेल सांस्थिति में पर्याप्त विवृत सेट नहीं होते हैं, उदाहरण के लिए, यदि G सुचारू रूप से जुड़ा हुआ समूह है तो वर्गीकरण स्टैक BG का एकमात्र ईटेल आवरण BG की प्रतियों के संघ हैं, जो अर्ध-संसक्त शेव्स का सही सिद्धांत देने के लिए पर्याप्त नहीं हैं।

बीजगणितीय स्टैक के लिए निर्विघ्ऩ सांस्थिति का उपयोग करने के बजाय ज्यादातर संशोधन का उपयोग किया जाता है जिसे लिस-एट सांस्थिति जाता है (लिसे-एटाले के लिए संक्षिप्त: लिस फ्रेंच शब्द निर्विघ्ऩ के लिए है) जिसमें निर्विघ्ऩ सांस्थिति के समान विवृत सेट हैं लेकिन निर्विघ्ऩ नक्शों के बजाय ईटेल द्वारा विवृत आवरण दिए गए हैं। यह सामान्यतौर पर अर्ध-संसक्त स्टैकों के समकक्ष श्रेणी का नेतृत्व करता है, लेकिन इसका उपयोग करना आसान है उदाहरण के लिए बीजगणितीय स्पेस पर ईटेल सांस्थिति के साथ तुलना करना आसान है। लिस-एट सांस्थिति में एक सूक्ष्म तकनीकी समस्या है: स्टैक के बीच आकारिकी सामान्य रूप से संबंधित टोपोई के बीच आकारिकी नहीं देती है। (समस्या यह है कि जब कोई एक टोपोई के ज्यामितीय आकारिकी के लिए आवश्यक रूप से आसन्न फंक्शंस f *, f * की एक जोड़ी का निर्माण कर सकता है, तो फ़ंक्टर f* सामान्य रूप से उचित नहीं है। यह समस्या प्रकाशित पत्रों और पुस्तकों में कुछ त्रुटियों के कारण कुख्यात है। ) इसका मतलब यह है कि स्टैक्स के आकारिकी के अंतर्गत अर्ध-संसक्त शीफ के पुलबैक का निर्माण करने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है।

उत्कृष्ट सांस्थिति का उपयोग करना भी संभव है। अधिकांश उचित "पर्याप्त रूप से बड़े" ग्रोथेंडिक सांस्थिति अर्ध-संसक्त स्टैकों की समतुल्य श्रेणियों का नेतृत्व करते हैं, लेकिन एक सांस्थिति जितनी बड़ी होती है उसे संभालना उतना ही कठिन होता है, इसलिए सामान्यतौर पर छोटे सांस्थिति का उपयोग करना पसंद करते हैं जब तक कि उनके पास पर्याप्त विवृत सेट हों। उदाहरण के लिए, बड़ी एफपीपीएफ सांस्थिति लिस-एट सांस्थिति के रूप में अनिवार्य रूप से अर्ध-संसक्त स्टैकों की एक ही श्रेणी की ओर ले जाती है, लेकिन इसमें एक सूक्ष्म समस्या है: इस सांस्थिति में अर्ध-संसक्त स्टैकों का OX मॉड्यूल में प्राकृतिक संपुटन उचित नहीं है।

अन्य प्रकार के स्टैक
अलग-अलग स्टैक और संस्थानिक स्टैक बीजगणितीय स्टैक के समान परिभाषित होते हैं, सिवाय इसके कि एफ़िन योजनाओं की अंतर्निहित श्रेणी को निर्विघ्ऩ मैनिफोल्ड्स या संस्थानिक स्पेस की श्रेणी से बदल दिया जाता है।

सामान्यतौर पर कोई भी n-शेफ या n-1 स्टैक की धारणा को परिभाषित कर सकता है, जो सामान्य तौर पर n-1 श्रेणियों में मान लेने वाला एक प्रकार का शीफ ​​है। ऐसा करने के कई असमान तरीके हैं, 1-शेव और 2-शेव स्टैक के समान हैं, उन्हें उच्च स्टैक कहा जाता है।

एक बहुत ही समान और समान विस्तार गैर-असतत वस्तुओं पर स्टैक सिद्धांत को विकसित करना है (यानी बीजगणितीय सांस्थिति में एक स्थान वास्तव में वर्णक्रम (सांस्थिति) है)। परिणामी स्टैक वाली वस्तुओं को व्युत्पन्न स्टैक (या वर्णक्रमीय स्टैक) कहा जाता है। जैकब लुरी की निर्माणाधीन पुस्तक 'वर्णक्रम संबंधी बीजगणितीय ज्यामिति' एक सामान्यीकरण का अध्ययन करती है जिसे वह वर्णक्रम संबंधी डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक कहते है, परिभाषा के अनुसार यह एक चक्राकार ∞-टोपोस है जो ईटेल-स्थानीय रूप से E ∞-वक्र का ईटेल वर्णक्रम है, यह धारणा कम से कम विशेषता शून्य में एक व्युत्पन्न योजना की सदस्यता लेती है।)

सेट-सैद्धांतिक समस्याएं
स्टैक के सिद्धांत की सामान्य नींव के साथ कुछ मामूली सेट सैद्धांतिक समस्याएं हैं, क्योंकि स्टैक को ज्यादातर सेट की श्रेणी के लिए गुणक के रूप में परिभाषित किया जाता है इसलिए सेट नहीं होते हैं। इस समस्या से निपटने के कई तरीके हैं:


 * कोई भी ग्रोथेंडिक यूनिवर्स के साथ काम कर सकता है: एक स्टैक तब कुछ निश्चित ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड की कक्षाओं के बीच एक फंक्टर होता है, इसलिए ये कक्षाएं और स्टैक एक बड़े ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड में सेट होते हैं। इस दृष्टिकोण का दोष यह है कि किसी को पर्याप्त ग्रोथेंडिक ब्रह्मांडों के अस्तित्व को मान लेना चाहिए, जो अनिवार्य रूप से एक बड़ा कार्डिनल स्वयंसिद्ध है।
 * स्टैक को पर्याप्त रूप से बड़ी रैंक के सेट के लिए स्टैक को फ़ंक्टर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और विभिन्न सेटों के रैंकों का सावधानीपूर्वक ट्रैक रख सकते हैं जो एक उपयोग करता है। इसके साथ समस्या यह है कि इसमें कुछ अतिरिक्त थकाऊ बहीखाता पद्धति शामिल है।
 * कोई सेट सिद्धांत से प्रतिबिंब सिद्धांतों का उपयोग कर सकता है जिसमें कहा गया है कि ZFC के स्वयंसिद्धों के किसी भी परिमित टुकड़े के सेट मॉडल को यह दिखाने के लिए मिल सकता है कि कोई स्वचालित रूप से ऐसे सेट ढूंढ सकता है जो सभी सेटों के ब्रह्मांड के लिए पर्याप्त रूप से निकट सन्निकटन हैं।
 * कोई समस्या को आसानी से अनदेखा किया जा सकता है। यह दृष्टिकोण कई लेखकों द्वारा लिया गया है।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय स्टैक
 * स्टैक का चाउ समूह
 * डेलिग्ने-ममफोर्ड स्टैक
 * बीजगणितीय ज्यामिति की शब्दावली
 * स्टैक का पीछा करना
 * बीजगणितीय स्टैक का भागफल स्थान
 * मॉड्यूलर रूपों की रिंग
 * सिंपल प्रीशेफ
 * स्टैक परियोजना
 * टोरिक स्टैक

शैक्षणिक

 * एक व्याख्यात्मक लेख है जो उदाहरणों के साथ स्टैक की मूल बातों का वर्णन करता है।
 * एक व्याख्यात्मक लेख है जो उदाहरणों के साथ स्टैक की मूल बातों का वर्णन करता है।

साहित्य की मार्गदर्शिका

 * https://maths-people.anu.edu.au/~alperj/papers/stacks-guide.pdf
 * http://stacks.math.columbia.edu/tag/03B0

संदर्भ

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बाहरी संबंध

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