बूलियन पायथागॉरियन ट्रिपल समस्या

बूलियन पायथागॉरियन ट्रिपल समस्या रैमसे सिद्धांत से एक समस्या है कि क्या प्राकृतिक संख्या को लाल और नीले रंग में रंगा जा सकता है ताकि कोई पायथागॉरियन ट्रिपल में सभी लाल या सभी नीले सदस्य न हों। मई 2016 में एक कंप्यूटर-सहायता प्रमाण के माध्यम से बूलियन पायथागॉरियन ट्रिपल्स समस्या को मैरी ह्यूले, ओलिवर कुल्मन और विक्टर डब्ल्यू मारेक द्वारा हल किया गया था।

कथन
समस्या पूछती है कि क्या प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक को लाल या नीले रंग में रंगना संभव है, ताकि पूर्णांक a, b, c का कोई पायथागॉरियन ट्रिपल संतोषजनक न हो $$a^2+b^2=c^2$$ सब एक ही रंग के हैं।

उदाहरण के लिए, पायथागॉरियन ट्रिपल 3, 4 और 5 में ($$3^2+4^2=5^2$$), यदि 3 और 4 को लाल रंग से रंगा गया है, तो 5 को नीले रंग से अवश्य रंगा जाना चाहिए।

समाधान
मेरिजन ह्यूले, ओलिवर कुलमैन और विक्टर डब्ल्यू मारेक ने दिखाया कि ऐसा रंग केवल 7824 संख्या तक ही संभव है। प्रमेय का वास्तविक कथन सिद्ध हुआ है $$

वहाँ हैं 27825 ≈ 3.63×102355 7825 (संख्या) तक की संख्याओं के लिए संभव रंग संयोजन। इन संभावित रंगों को तार्किक और एल्गोरिदमिक रूप से लगभग एक ट्रिलियन (अभी भी अत्यधिक जटिल) मामलों तक सीमित कर दिया गया था, और बूलियन संतुष्टि सॉल्वर का उपयोग करके उनकी जांच की गई थी। प्रूफ बनाने में टेक्सास एडवांस्ड कंप्यूटिंग सेंटर में स्टैम्पेड सुपरकंप्यूटर पर दो दिनों की अवधि में लगभग 4 सीपीयू-वर्ष की गणना हुई और एक 200 टेराबाइट प्रस्तावात्मक प्रमाण उत्पन्न हुआ, जिसे 68 गीगाबाइट तक संकुचित किया गया था।

प्रमाण का वर्णन करने वाला पेपर SAT 2016 सम्मेलन में प्रकाशित हुआ था, जहां इसने सर्वश्रेष्ठ पेपर का पुरस्कार जीता। नीचे दिया गया आंकड़ा सेट {1,...,7824} के लिए रंगों के एक संभावित परिवार को दिखाता है जिसमें कोई मोनोक्रोमैटिक पायथागॉरियन ट्रिपल नहीं है, और सफेद वर्गों को इस स्थिति को संतुष्ट करते हुए या तो लाल या नीला रंग दिया जा सकता है।

पुरस्कार
1980 के दशक में रोनाल्ड ग्राहम ने समस्या के समाधान के लिए $100 के पुरस्कार की पेशकश की थी, जिसे अब मरिजन ह्यूले को प्रदान किया गया है।

सामान्यीकरण
2018 तक, समस्या अभी भी 2 से अधिक रंगों के लिए खुली है, अर्थात, यदि धनात्मक पूर्णांकों का k-रंग (k ≥ 3) मौजूद है, जैसे कि कोई पाइथागोरस ट्रिपल समान रंग नहीं है।

यह भी देखें

 * लंबे गणितीय प्रमाणों की सूची