तटस्थ कण दोलन

कण भौतिकी में तटस्थ कण दोलन गैर-शून्य आंतरिक क्वांटम संख्या के परिवर्तन के कारण शून्य विद्युत आवेश वाले कण का अन्य तटस्थ कण में रूपांतरण होता है। जो उस क्वांटम संख्या को संरक्षित नहीं करता है। तटस्थ कण दोलनों की प्रथम बार 1954 में मरे गेल-मान और अब्राहम पेस द्वारा जांच की गई थी।

उदाहरण के लिए न्यूट्रॉन प्रतिन्यूट्रॉन में परिवर्तित नहीं हो सकता है। जिससे कि यह बैरियन संख्या के संरक्षण का उल्लंघन करता है। किन्तु मानक मॉडल के उन काल्पनिक विस्तारों में जिनमें अंतःक्रियाएं सम्मिलित हैं। जो बेरिऑन संख्या को दृढ़ता से संरक्षित नहीं करती हैं। अतः न्यूट्रॉन-एंटीन्यूट्रॉन दोलनों के होने की भविष्यवाणी की जाती है।

ऐसे दोलनों को दो प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है:
 * कण–प्रतिकण दोलन (उदाहरण के लिए, $⇄$ oscillation, $⇄$ oscillation, $⇄$ दोलन ).
 * विशिष्ट गंध (कण भौतिकी) दोलन (उदाहरण के लिए न्यूट्रिनो दोलन|$⇄ ⇄$ दोलन)।

उन स्थितियों में जहां कण किसी अंतिम उत्पाद के लिए क्षय हो जाते हैं। तब प्रणाली विशुद्ध रूप से दोलनशील नहीं होता है और दोलन और क्षय के मध्य हस्तक्षेप देखा जाता है।

सीपी उल्लंघन
वू एट अल द्वारा प्रदान किए गए समता उल्लंघन के हड़ताली सबूत के पश्चात् सन्न 1957 में यह मान लिया गया था कि सीपी (चार्ज संयुग्मन-समता) वह मात्रा है जो संरक्षित है। चूंकि सन्न 1964 में क्रोनिन और फिच ने तटस्थ काओन प्रणाली में सीपी उल्लंघन की सूचना दी थी। उन्होंने लंबे समय तक रहने वाले केएल (सीपी = −1 के साथ) को दो प्याज़ों (सीपी = [−1]·[−1] = +1 के साथ) में देखा, जिससे सीपी संरक्षण का उल्लंघन होता है।

सन्न 2001 में सीपी उल्लंघन में $⇄$ प्रणाली की पुष्टि बाबर और बेले प्रयोगों द्वारा की गई थी। प्रत्यक्ष सीपी उल्लंघन में $⇄$ प्रणाली को सन्न 2005 तक दोनों प्रयोगशालाओं द्वारा प्रणाली की सूचना दी गई थी।

$⇄$और यह $⇄$ प्रणाली का दो राज्य प्रणालियों के रूप में अध्ययन किया जा सकता है। कण और उसके विरोधी कण को दो राज्यों के रूप में देखा जाता है।

सौर न्यूट्रिनो समस्या
सूर्य में प्रोटॉन-प्रोटॉन श्रृंखला प्रचुर मात्रा में उत्पादन करती है $$ 1968 में रेमंड डेविस, जूनियर एट अल ने सबसे पहले होमस्टेक प्रयोग के परिणामों की सूचना दी थी। डेविस प्रयोग के रूप में भी जाना जाता है।इसने होमस्टेक खदान में पर्क्लोरेथिलीन के विशाल टैंक का उपयोग किया था। (यह ब्रह्मांडीय किरणों से पृष्ठभूमि को खत्म करने के लिए गहरा भूमिगत था।) दक्षिणी डकोटा पर्क्लोरेथिलीन में क्लोरीन नाभिक अवशोषित करते हैं। $$ प्रतिक्रिया के माध्यम से आर्गन का उत्पादन करने के लिए,


 * $$\mathrm{\nu_e + {{}^{37}_{17}Cl} \rightarrow {{}^{37}_{18}}Ar + e^-}$$,

जो अनिवार्य रूप से है।


 * $$\mathrm{\nu_e + n \to p + e^-}$$.

प्रयोग ने अनेक महीनों तक आर्गन एकत्र किया था। जिससे कि न्यूट्रिनो बहुत कमजोर रूप से परस्पर क्रिया करता है। प्रत्येक दो दिनों में केवल आर्गन परमाणु एकत्र किया गया था। कुल संचय जॉन एन. बाहकाल की सैद्धांतिक भविष्यवाणी का लगभग तिहाई था।

सन्न 1968 में ब्रूनो पोंटेकोर्वो ने दिखाया कि यदि न्यूट्रिनो को द्रव्यमान रहित नहीं माना जाता है, तब $$ (सूरज में उत्पादित) कुछ अन्य न्यूट्रिनो प्रजातियों में परिवर्तित हो सकता है। ($$ या $$), जिसके प्रति होमस्टेक डिटेक्टर असंवेदनशील था। इसने होमस्टेक प्रयोग के परिणामों में कमी की व्याख्या की थी। सौर न्यूट्रिनो समस्या के इस समाधान की अंतिम पुष्टि अप्रैल सन्न 2002 में एसएनओ (सडबरी न्यूट्रिनो वेधशाला) सहयोग द्वारा प्रदान की गई थी। जिसने $$ प्रवाह और कुल न्यूट्रिनो प्रवाह दोनों को मापा था।

न्यूट्रिनो प्रजातियों के मध्य इस 'दोलन' का पहले किन्हीं दो पर विचार करके अध्ययन किया जा सकता है और फिर तीन ज्ञात विशिष्ट गंधों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

केवल विशेष स्थिति को मिलाने पर विचार करना।

 * चेतावनी : इस लेख में चर्चा की गई "मिश्रण" मिश्रित अवस्था (भौतिकी) से प्राप्त प्रकार नहीं है। इसके अतिरिक्त, "मिक्सिंग" यहां "मिक्सिंग मैट्रिक्स" (जैसे सीकेएम या पीएमएनएस मैट्रिक्स) द्वारा वर्णित "शुद्ध राज्य" ऊर्जा (द्रव्यमान) यहाँ मिश्रण शुद्ध राज्य ऊर्जा (द्रव्यमान) ईजेनस्टेट्स के सुपरपोज़िशन को संदर्भित करता है।

होने देना $$\,H_0\,$$ दो-राज्य प्रणाली के हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) होते है और $$\;\left| 1 \right\rangle\;$$और $$\;\left| 2 \right\rangle\;$$ ईजेनवैल्यू ​​​​और eigenvectors के साथ इसके orthonormal ईजेनवैल्यू ​​​​और eigenvectors बनें $$\,E_1\,$$ और $$\,E_2\,$$ क्रमश उपस्थित होते है।

होने देना $$\,\left| \Psi\left( t \right) \right\rangle\,$$ समय पर प्रणाली की स्थिति $$\,t~.$$ होती है। यदि प्रणाली ऊर्जा eigenstate के रूप में $$\,H_0\;,$$ प्रारंभ होता है। अर्थात कह सकते है।


 * $$\left| \Psi\left( 0 \right) \right\rangle = \left| 1 \right\rangle$$

फिर समय विकसित अवस्था, जो श्रोडिंगर समीकरण का समाधान है।

हो सकता है।
 * $$\left| \Psi \left( t \right) \right\rangle = \left| 1 \right\rangle e^{-i\frac{E_1 t}{\hbar}}$$

किन्तु यह शारीरिक रूप से समान है। $$\left| 1 \right\rangle$$ जिससे कि घातीय शब्द केवल चरण कारक है और नया राज्य उत्पन्न नहीं करता है। अतः दूसरे शब्दों में, ऊर्जा ईजेनस्टेट्स स्थिर ईजेनस्टेट्स हैं, अर्थात वह समय के विकास के अनुसार भौतिक रूप से नए राज्यों का उत्पादन नहीं करते हैं।

आधार में $$\,\left\{ \left| 1 \right\rangle, \left| 2 \right\rangle \right\}\;,$$ $$\,H_0\,$$ विकर्ण है। वह है,


 * $$H_0 = \begin{pmatrix}

E_1 & 0 \\ 0 & E_2 \\ \end{pmatrix}$$ यह दिखाया जा सकता है। कि राज्यों के मध्य दोलन तभी होता है। जब हैमिल्टनियन के ऑफ-डायगोनल शब्द गैर-शून्य होता है।

अतः आइए हम सामान्य गड़बड़ी का परिचय देते है। $$W$$ में $$H_0$$ ऐसा है कि परिणामी हैमिल्टनियन $$H$$ अभी भी हर्मिटियन मैट्रिक्स है। तब,


 * $$W = \begin{pmatrix}

W_{11}  & W_{12} \\ W_{12}^* & W_{22} \\ \end{pmatrix}$$ जहाँ $$W_{11}, W_{22} \in \mathbb{R}$$ और $$W_{12} \in \mathbb{C}$$ और,

फिर, $$H$$ के ईजेनवैल्यू हैं।

तब से $$\,H\,$$ सामान्य हैमिल्टनियन मैट्रिक्स है, इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है।
 * $$H = \sum\limits_{j=0}^3 a_j \sigma_j = a_0 \sigma_0 + H'$$

निम्नलिखित दो परिणाम स्पष्ट हैं।
 * $$\,\left[H, H'\right] = 0\,$$
 * {| class="wikitable collapsible collapsed"

! प्रमाण HH' &= a_0 \sigma_0 H' + H'H' = a_0 \sigma_0 + {H'}^2 \\ H'H &= a_0 H' \sigma_0 + H'H' = a_0 \sigma_0 + {H'}^2 \\ \therefore \left[H, H'\right] &= HH' - H'H = 0 \\ \end{align}$$
 * $$\begin{align}
 * $$\begin{align}
 * }
 * $$\,{H'}^2 = I\,$$
 * {| class="wikitable collapsible collapsed"

! प्रमाण {H'}^2 &= \sum\limits_{j=1}^3 {n_j \sigma_j} \sum\limits_{k=1}^3 {n_k \sigma_k} = \sum\limits_{j,k=1}^3 {n_j n_k \sigma_j \sigma_k} \\ &= \sum\limits_{j,k=1}^3 {n_j n_k \left( \delta_{jk} I + i\sum\limits_{\ell=1}^3 {\varepsilon_{jk\ell}\sigma_\ell} \right)} \\ &= \left( \sum\limits_{j=1}^3 {n_j}^2 \right)I + i\sum\limits_{\ell=1}^3 {\sigma_l \sum\limits_{j,k=1}^3 \varepsilon_{jk\ell}} \\ &= I \\ \end{align}$$
 * $$\begin{align}
 * $$\begin{align}

जहां the following results have been used: निम्नलिखित पैरामीट्रिजेशन के साथ (यह पैरामीट्रिजेशन सहायता करता है। जिससे कि यह ईजेनवेक्टरों को सामान्य करता है और मनमाना चरण भी प्रस्तुत करता है। $$\phi$$ ईजेनवेक्टर को सबसे सामान्य बनाते है।)
 * $$\sigma_j \sigma_k = \delta_{jk}I + i\sum\limits_{\ell=1}^3 {\varepsilon_{jk\ell} \sigma_\ell}$$
 * $$\hat{n}$$ is a unit vector and hence $$\sum\limits_{j=1}^3{{n_j}^2} = \left| \hat{n} \right|^2 = 1$$
 * The Levi-Civita symbol $$\varepsilon_{jk\ell}$$ is antisymmetric in any two of its indices ($$j$$ and $$k$$ in this case) and hence $$\sum\limits_{j,k=1}^3 \varepsilon_{jk\ell} = 0$$
 * }


 * $$\hat{n} = \left( \sin\theta \cos\phi, \sin\theta \sin\phi, \cos\theta \right)$$,

और परिणामों की उपरोक्त जोड़ी का उपयोग करके के ऑर्थोनॉर्मल ईजेनवेक्टर $$H'$$ और अतः $$H$$ के रूप में प्राप्त होते हैं।

इसके eigenvectors लिख रहे हैं।

$$H_0$$ के संदर्भ में $$H$$ हमें मिलता है।

$1$

अब यदि कण आइजनस्टेट के रूप में बाहर निकलता है। $$\,H_0\,$$ (जैसे, $$\,\left| 1 \right\rangle\,$$), वह है।


 * $$\left| \Psi \left( 0 \right) \right\rangle = \left| 1 \right\rangle$$

फिर समय विकास के अनुसार हम प्राप्त करते हैं।



\left| \Psi\left( t \right) \right\rangle = e^{i\frac{\phi}{2}} \left(   \cos\frac{\theta}{2}\left| + \right\rangle e^{-i\frac{E_+ t}{\hbar}} -    \sin\frac{\theta}{2}\left| - \right\rangle e^{-i\frac{E_- t}{\hbar}}  \right) $$ जो पिछली स्थिति के विपरीत से स्पष्ट रूप से भिन्न है। $$\;\left| 1 \right\rangle ~.$$ तब हम स्थिति में प्रणाली को खोजने की संभावना प्राप्त कर सकते हैं। $$\;\left| 2 \right\rangle\;$$ समय पर $$\,t\,$$ के रूप में प्राप्त कर सकते है।

जिसे रबी का सूत्र कहा जाता है। अतः अविचलित हैमिल्टनियन के स्वदेशी से प्रारंभ करना $$\,H_0\;,$$ प्रणाली की स्थिति के ईजेनस्टेट्स के मध्य दोलन करती है। $$\,H_0\,$$ आवृत्ति के साथ (रबी चक्र के रूप में जाना जाता है।)

की अभिव्यक्ति से $$P_{21}(t)$$ हम अनुमान लगा सकते हैं। कि दोलन तभी उपस्तिथ होता है। जब $$\;\left| W_{12} \right|^2 \ne 0 ~.$$ $$\,W_{12}\,$$ इस प्रकार युग्मन शब्द के रूप में जाना जाता है। जिससे कि यह निश्चिंत हैमिल्टनियन के दो ईजेनस्टेट्स को जोड़ता है। अतः $$H_0$$ और इस प्रकार दोनों के मध्य दोलन की सुविधा देता है।

परेशान हैमिल्टनियन के ईजेनवैल्यू ​​यदि दोलन भी बंद हो जाता है। तब $$H$$ पतित होता हैं। अर्थात् $$\;E_+ = E_- ~.$$ किन्तु यह तुच्छ स्थिति है। जिससे कि ऐसी स्थिति में अव्यवस्था अपने आप विलुप्त हो जाती है और $$H$$ (विकर्ण) का रूप ले लेता है। अतः $$H_0$$ और हम पहले वर्ग में वापस आ गए हैं।

अतः दोलन के लिए आवश्यक शर्तें हैं।
 * गैर-शून्य युग्मन, अर्थात $$\;\left| W_{12} \right|^2 \ne 0 ~.$$
 * परेशान हेमिल्टनियन के गैर-पतित ईगेनवेल्यूज़ $$\,H\,$$, अर्थात $$\;E_+ \ne E_- ~.$$

सामान्य स्थिति: मिश्रण और क्षय पर विचार करना
यदि विचाराधीन कण (ओं) का क्षय हो जाता है। तब प्रणाली का वर्णन करने वाला हैमिल्टनियन अब विरोधी हर्मिटियन होता है। चूँकि किसी भी मैट्रिक्स को उसके हर्मिटियन और विरोधी हर्मिटियन भागों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। अतः इसे $$H$$ के रूप में लिखा जा सकता है।


 * $$H = M - \frac{i}{2}\Gamma = \begin{pmatrix}

M_{11} & M_{12} \\ M_{12}^* & M_{11} \\ \end{pmatrix} - \frac{i}{2}\begin{pmatrix} \Gamma_{11} & \Gamma_{12} \\ \Gamma_{12}^* & \Gamma_{11} \\ \end{pmatrix} $$

इसका ईजेनवैल्यू $$H$$ हैं।

प्रत्यय क्रमशः भारी और प्रकाश के लिए खड़े होते हैं। (सम्मेलन द्वारा) और इसका तात्पर्य है $$\Delta m$$ सकारात्मक है।

सामान्यीकृत ईजेनस्टेट्स के अनुरूप $$\mu_L$$ और $$\mu_H$$ क्रमशः मानक आधार पर $$\left\{ \left| P \right\rangle, \left| \bar{P} \right\rangle \right\} \equiv \left\{\left(1, 0\right), \left(0, 1\right) \right\}$$ हैं।

$$p$$ और $$q$$ मिश्रण पद हैं। ध्यान दीजिए कि ये ईजेनस्टेट्स अब ओर्थोगोनल नहीं हैं।

राज्य में प्रणाली प्रारंभ होने दीजिए $$\left| P \right\rangle$$. वह है।



\left| P \left( 0 \right) \right\rangle = \left| P \right\rangle = \frac{1}{2p}\left( \left| P_L \right\rangle + \left| P_H \right\rangle \right) $$ समय विकास के अनुसार हम तब प्राप्त करते हैं।



\left| P \left( t \right) \right\rangle = \frac{1}{2p}\left(   \left| P_L \right\rangle e^{-\frac{i}{\hbar} \left( m_L - \frac{i}{2}\gamma_L \right)t} +    \left| P_H \right\rangle e^{-\frac{i}{\hbar} \left( m_H - \frac{i}{2}\gamma_H \right)t}  \right) = g_+ \left( t \right) \left| P \right\rangle - \frac{q}{p} g_- \left( t \right) \left| \bar{P} \right\rangle $$

इसी प्रकार यदि प्रदेश में व्यवस्था प्रारंभ हो जाती है। तब $$\left| \bar{P} \right\rangle$$ समय विकास के अनुसार हम प्राप्त करते हैं।



\left| \bar{P}(t) \right\rangle = \frac{1}{2q}\left(    \left| P_L \right\rangle e^{-\frac{i}{\hbar} \left( m_L - \frac{i}{2}\gamma_L \right)t} -     \left| P_H \right\rangle e^{-\frac{i}{\hbar} \left( m_H - \frac{i}{2}\gamma_H \right)t}   \right) = -\frac{p}{q} g_- \left( t \right)\left| P \right\rangle + g_+ \left( t \right) \left| \bar{P} \right\rangle $$

परिणाम के रूप में सीपी उल्लंघन
यदि प्रणाली में $$\left| P \right\rangle$$ और $$ \left| {\bar{P}} \right\rangle$$ दूसरे की सीपी संयुग्मी अवस्थाओं (अर्थात कण-प्रतिकण) का प्रतिनिधित्व करते हैं। (अर्थात $$CP\left| P \right\rangle = e^{i\delta} \left| \bar{P} \right\rangle$$ और $$CP\left| \bar{P} \right\rangle = e^{-i\delta} \left| P \right\rangle$$) और कुछ अन्य शर्तें पूर्ण होती हैं। तब इस घटना के परिणामस्वरूप सीपी उल्लंघन देखा जा सकता है। स्थिति के आधार पर सीपी उल्लंघन को तीन प्रकारों में वर्गीकृत किया जा सकता है।

सीपी उल्लंघन केवल क्षय के माध्यम से
प्रक्रियाओं पर विचार करें जहां $$\left\{ \left| P \right\rangle, \left| \bar{P} \right\rangle \right\}$$ अंतिम अवस्था में क्षय $$\left\{ \left| f \right\rangle, \left| \bar{f} \right\rangle \right\}$$ जहां प्रत्येक समूह के वर्जित और बिना पट्टी वाले केट दूसरे के सीपी उल्लंघन हैं।

की संभावना $$\left| P \right\rangle$$ क्षय करने के लिए $$\left| f \right\rangle$$ द्वारा दिया गया है।



\wp_{P \to f} \left( t \right) = \left| \left\langle f | P\left( t \right) \right\rangle \right|^2 = \left| g_+ \left( t \right) A_f - \frac{q}{p} g_- \left( t \right) \bar{A}_f \right|^2 $$,

और इसकी सीपी संयुग्म प्रक्रिया द्वारा,



\wp_{\bar{P} \to \bar{f}}\left( t \right) = \left| \left\langle \bar{f} | \bar{P} \left( t \right) \right\rangle \right|^2 = \left| g_+ \left( t \right) \bar{A}_\bar{f} - \frac{p}{q} g_- \left( t \right) A_\bar{f} \right|^2 $$

यदि मिलावट के कारण सीपी का उल्लंघन नहीं होता है। तब $$\left| \frac{q}{p} \right| = 1$$.

अब, उपरोक्त दो संभावनाएँ असमान हैं। यदि,

.

अतः क्षय सीपी उल्लंघन प्रक्रिया बन जाता है। जिससे कि क्षय की संभावना और इसकी सीपी संयुग्म प्रक्रिया समान्तर नहीं होती है।

सीपी उल्लंघन केवल मिश्रण के माध्यम से
प्रेक्षण की संभावना (समय के फलन के रूप में) $$\left| \bar{P} \right\rangle$$ से प्रारंभ $$\left| P \right\rangle$$ द्वारा दिया गया है।



\wp_{P \to \bar{P}} \left( t \right) = \left| \left\langle {\bar{P}} | P\left( t \right) \right\rangle \right|^2 = \left| \frac{q}{p} g_- \left( t \right) \right|^2 $$,

और इसकी सीपी संयुग्म प्रक्रिया द्वारा,



\wp_{\bar{P} \to P} \left( t \right) = \left| \left\langle P | \bar{P}\left( t \right) \right\rangle \right|^2 = \left| \frac{p}{q} g_- \left( t \right) \right|^2 $$.

उपरोक्त दो संभावनाएँ असमान हैं। यदि,

अतः कण-प्रतिकण दोलन कण और उसके प्रतिकण के रूप में सीपी उल्लंघन प्रक्रिया बन जाता है। (कहते हैं, $$\left| P \right\rangle$$ और $$\left| {\bar{P}} \right\rangle$$ क्रमशः) अब सीपी के समतुल्य नहीं हैं।

मिश्रण-क्षय हस्तक्षेप के माध्यम से सीपी उल्लंघन
होने देना $$\left| f \right\rangle$$ अंतिम अवस्था (सीपी ईजेनस्टेट) हो कि दोनों $$\left| P \right\rangle$$ और $$\left| \bar{P} \right\rangle$$ क्षय कर सकता है। फिर क्षय संभावनाएँ इसके द्वारा दी जाती हैं।


 * $$\begin{align}

\wp_{P \to f} \left( t \right) &= \left| \left\langle f | P\left( t \right) \right\rangle \right|^2 \\ &= \left| A_f \right|^2 \frac{e^{-\gamma t}}{2} \left[ \left( 1 + \left| \lambda_f \right|^2 \right) \cosh\left( \frac{\Delta\gamma}{2}t \right) + 2\operatorname{Re}\left( \lambda_f \right) \sinh\left( \frac{\Delta\gamma}{2}t \right) + \left( 1 - \left| \lambda_f \right|^2 \right) \cos\left( \Delta mt \right) + 2\operatorname{Im}\left( \lambda_f \right) \sin\left( \Delta mt \right) \right] \\ \end{align}$$ और,


 * $$\begin{align}

\wp_{\bar{P} \to f}\left( t \right) &= \left| \left\langle f | \bar{P}\left( t \right) \right\rangle \right|^2 \\ &= \left| A_f \right|^2 \left| \frac{p}{q} \right|^2 \frac{e^{-\gamma t}}{2} \left[ \left( 1 + \left| \lambda_f \right|^2 \right) \cosh\left( \frac{\Delta\gamma}{2}t \right) + 2\operatorname{Re}\left( \lambda_f \right) \sinh\left( \frac{\Delta\gamma}{2}t \right) - \left( 1 - \left| \lambda_f \right|^2 \right) \cos\left( \Delta mt \right) - 2\operatorname{Im}\left( \lambda_f \right) \sin\left( \Delta mt \right) \right] \\ \end{align}$$

उपरोक्त दो मात्राओं से, यह देखा जा सकता है। कि केवल मिश्रण के माध्यम से कोई सीपी उल्लंघन नहीं होने पर भी (अर्थात $$\left| q/p \right| = 1$$) और न ही केवल क्षय के माध्यम से कोई सीपी उल्लंघन होता है। (अर्थात $$\left| \bar{A}_f/A_f \right| = 1$$) और इस प्रकार $$\left| \lambda_f \right| = 1$$, संभावनाएं अभी भी असमान होंती है। परंतु,

संभाव्यता के लिए उपरोक्त भावों में अंतिम शब्द इस प्रकार मिश्रण और क्षय के मध्य के हस्तक्षेप से जुड़े हैं।

वैकल्पिक वर्गीकरण
सामान्यतः सीपी उल्लंघन का वैकल्पिक वर्गीकरण किया जाता है।

न्यूट्रिनो दोलन
न्यूट्रिनो के दो विशिष्ट गंध ईजेनस्टेट के मध्य मजबूत युग्मन को ध्यान में रखते हुए (उदाहरण के लिए, –, –, आदि) और तीसरे के मध्य बहुत कमजोर युग्मन (अर्थात, तीसरा अन्य दो के मध्य की वार्तालाप को प्रभावित नहीं करता है।) समीकरण ($0 d$) प्रकार के न्यूट्रिनो की संभावना देता है अतः $$\alpha$$ प्रकार में $$\beta$$ के रूप में परिवर्तित हो रहा है।


 * $$P_{\beta\alpha} \left( t \right) = \sin^2\theta \sin^2\left( \frac{E_+ - E_-}{2\hbar}t \right)$$

जहाँ, $$E_+$$ और $$E_-$$ ऊर्जा स्वदेशी हैं।

उपरोक्त के रूप में लिखा जा सकता है।

इस प्रकार, ऊर्जा (द्रव्यमान) ईजेनस्टेट्स के मध्य युग्मन विशिष्ट गंध ईजेनस्टेट्स के मध्य दोलन की घटना उत्पन्न करता है। जिससे कि महत्वपूर्ण निष्कर्ष यह है। कि न्यूट्रिनो का परिमित द्रव्यमान होता है। चूंकि बहुत छोटा होता है। अतः इनकी गति प्रकाश की गति के समान नहीं बल्कि थोड़ी कम होती है।

न्यूट्रिनो द्रव्यमान विभाजन
न्यूट्रिनो के तीन विशिष्ट गंधों के साथ तीन बड़े पैमाने पर विभाजन होते हैं।


 * $$\begin{align}

\left( \Delta m^2 \right)_{12} &= {m_1}^2 - {m_2}^2 \\ \left( \Delta m^2 \right)_{23} &= {m_2}^2 - {m_3}^2 \\ \left( \Delta m^2 \right)_{31} &= {m_3}^2 - {m_1}^2 \end{align}$$ किन्तु उनमें से केवल दो स्वतंत्र हैं। जिससे कि $$\left( \Delta m^2 \right)_{12} + \left( \Delta m^2 \right)_{23} + \left( \Delta m^2 \right)_{31} = 0~$$. इसका तात्पर्य यह है। कि तीन में से दो न्यूट्रिनो में द्रव्यमान अधिक निकट स्थित है। अतः तीन में से केवल दो के पश्चात् से $$\Delta m^2$$ स्वतंत्र होता हैं और समीकरण में संभाव्यता के लिए अभिव्यक्ति ($0$) के चिह्न के प्रति संवेदनशील नहीं है। $$\Delta m^2$$ (चूंकि ज्या वर्ग अपने तर्क के संकेत से स्वतंत्र है।) विशिष्ट गंध दोलन की घटना से विशिष्ट रूप से न्यूट्रिनो द्रव्यमान वर्णक्रम का निर्धारण करना संभव नहीं है। अर्थात् तीन में से किन्हीं दो में निकटस्थ पिंड हो सकते हैं।

इसके अतिरिक्त चूंकि दोलन केवल जनता के (वर्गों के) अंतर के प्रति संवेदनशील है। दोलन प्रयोगों से न्यूट्रिनो द्रव्यमान का प्रत्यक्ष निर्धारण संभव नहीं है।

प्रणाली की लंबाई का पैमाना
समीकरण ($+$) इंगित करता है। कि प्रणाली की उपयुक्त लंबाई का पैमाना दोलन तरंग दैर्ध्य है। अतः $$\lambda_\text{osc}$$. हम निम्नलिखित निष्कर्ष निकाल सकते हैं। $$ और दोलन नहीं देखा जाएगा। उदाहरण के लिए उत्पादन (रेडियोधर्मी क्षय द्वारा) और प्रयोगशाला में न्यूट्रिनो का पता लगाया जाता है।
 * यदि $$x/\lambda_\text{osc} \ll 1$$, तब $$P_{\beta\alpha} \simeq 0
 * यदि $$x/\lambda_\text{osc} \simeq n$$, जहाँ $$n$$ पूर्ण संख्या है। तब $$P_{\beta\alpha} \simeq 0$$ और दोलन नहीं देखा जाता है।
 * अन्य सभी स्थितियों में दोलन देखा जाता है। उदाहरण के लिए, $$x/\lambda_\text{osc} \gg 1$$ सौर न्यूट्रिनो के लिए; $$x \sim \lambda_\text{osc}$$ कुछ किलोमीटर दूर प्रयोगशाला में पाए गए परमाणु ऊर्जा संयंत्र से न्यूट्रिनो के लिए प्रयोग किया जाता है।

सीपी उल्लंघन केवल मिश्रण के माध्यम से
क्रिस्टेंसन एट अल द्वारा सन्न 1964 का पेपर। तटस्थ काओन प्रणाली में सीपी उल्लंघन के प्रायोगिक साक्ष्य प्रदान किए गये थे। तथाकथित दीर्घजीवी काओन (सीपी = -1) दो प्याज़ों (सीपी = (−1)(−1) = 1) में क्षय हो गया था। जिससे सीपी संरक्षण का उल्लंघन हुआ था।

$$\left| K^0 \right\rangle$$ और $$\left| \bar{K}^0 \right\rangle$$ विचित्रता ईजेनस्टेट्स होने के कारण (क्रमशः ईजेनवैल्यू ​​+1 और -1 के साथ) ऊर्जा ईजेनस्टेट्स हैं।


 * $$\begin{align}

\left| K_{^1}^0 \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\left| K^0 \right\rangle + \left| \bar{K}^0 \right\rangle\right) \\ \left| K_2^0 \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt{2}}\left( \left| K^0 \right\rangle - \left| \bar{K}^0 \right\rangle \right) \end{align}$$ सामान्यतः ये दोनों क्रमशः ईजेनवैल्यू ​​+1 और -1 के साथ सीपी ईजेनस्टेट्स हैं। सीपी संरक्षण (समरूपता) की पिछली धारणा से, निम्नलिखित अपेक्षित थे।
 * जिससे कि $$\left| K_{^1}^0 \right\rangle$$ +1 का सीपी ईगेनवैल्यू है। यह दो पियोन तक या कोणीय गति के उचित विकल्प के साथ तीन पियोन तक क्षय हो सकता है। चूँकि दो पियोन क्षय अधिक बार होता है।
 * $$\left| K_2^0 \right\rangle$$ सीपी ईगेनवैल्यू -1 होने से केवल तीन पियोन तक क्षय हो सकता है और कभी भी दो नहीं।

चूँकि दो पियोन का क्षय तीन पियोन के क्षय से बहुत तेज होता है। $$\left| K_{^1}^0 \right\rangle$$ अल्पकालिक काओं के रूप में संदर्भित किया गया था। कि $$\left| K_S^0 \right\rangle$$, और $$\left| K_2^0 \right\rangle$$ दीर्घजीवी काओन के रूप में $$\left| K_L^0 \right\rangle$$. सन्न 1964 के प्रयोग ने दिखाया कि अपेक्षा के विपरीत, $$\left| K_L^0 \right\rangle$$ दो प्याज़ तक सड़ सकता है। इसका तात्पर्य यह है कि लंबे समय तक रहने वाले काओन विशुद्ध रूप से सीपी स्वदेशी नहीं हो सकते है। $$\left| K_2^0 \right\rangle$$, किन्तु का छोटा सा मिश्रण होना चाहिए। $$\left| K_{^1}^0 \right\rangle$$ जिससे अब सीपी स्वदेशी नहीं है। इसी प्रकार अल्पकालिक काओन का छोटा सा मिश्रण होने की भविष्यवाणी की गई थी $$\left| K_2^0 \right\rangle$$. वह है।


 * $$\begin{align}

\left| K_L^0 \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt{1 + \left| \varepsilon \right|^2}} \left( \left| K_2^0 \right\rangle + \varepsilon \left| K_1^0 \right\rangle \right) \\ \left| K_S^0 \right\rangle &= \frac{1}{\sqrt{1 + \left| \varepsilon \right|^2}} \left( \left| K_1^0 \right\rangle + \varepsilon \left| K_2^0 \right\rangle \right) \end{align}$$ जहाँ, $$\varepsilon$$ जटिल मात्रा है और सीपी इनवेरियन से प्रस्थान का उपाय है। प्रयोगात्मक रूप से, $$\left| \varepsilon \right| = \left( 2.228 \pm 0.011 \right)\times 10^{-3}$$.

लिखना $$\left| K_{^1}^0 \right\rangle$$ और $$\left| K_2^0 \right\rangle$$ के अनुसार $$\left| K^0 \right\rangle$$ और $$\left| \bar{K}^0 \right\rangle$$, हम प्राप्त करते हैं। (यह ध्यान में रखते हुए $$m_{K_L^0} > m_{K_S^0}$$ समीकरण का रूप ($−$) होता है।


 * $$\begin{align}

\left| K_L^0 \right\rangle &= \left( p\left| K^0 \right\rangle - q\left| \bar{K}^0 \right\rangle \right) \\ \left| K_S^0 \right\rangle &= \left( p\left| K^0 \right\rangle + q\left| \bar{K}^0 \right\rangle \right) \end{align}$$ जहाँ, $$\frac{q}{p} = \frac{1 - \varepsilon}{1 + \varepsilon}$$.

तब से $$\left| \varepsilon \right|\ne 0$$, स्थिति ($$) संतुष्ट है और अजीबता के मध्य मिश्रण है। ईजेनस्टेट्स $$\left| K^0 \right\rangle$$ और $$\left| \bar{K}^0 \right\rangle$$ दीर्घजीवी और अल्पकालिक अवस्था को जन्म दिया जाता है।

सीपी उल्लंघन केवल क्षय के माध्यम से और दो पियोन क्षय के दो विधि हैं। जैसे  या इत्यादि। यह दोनों अंतिम राज्य स्वयं के सीपी स्वदेशी हैं। हम शाखाओं के अनुपात को परिभाषित कर सकते हैं।


 * $$\begin{align}

\eta_{+-} &= \frac{\left\langle \pi^+\pi^- | K_L^0 \right\rangle}{\left\langle \pi^+\pi^- | K_S^0 \right\rangle} = \frac{pA_{\pi^+\pi^-} - q\bar{A}_{\pi^+\pi^-}}{pA_{\pi^+\pi^-} + q\bar{A}_{\pi^+\pi^-}} = \frac{1 - \lambda_{\pi^+\pi^-}}{1 + \lambda_{\pi^+\pi^-}} \\[3pt] \eta_{00} &= \frac{\left\langle \pi^0\pi^0 | K_L^0 \right\rangle}{\left\langle \pi^0\pi^0 | K_S^0 \right\rangle} = \frac{pA_{\pi^0\pi^0} - q\bar{A}_{\pi^0\pi^0}}{pA_{\pi^0\pi^0} + q\bar{A}_{\pi^0\pi^0}} = \frac{1 - \lambda_{\pi^0\pi^0}}{1 + \lambda_{\pi^0\pi^0}} \end{align}$$.

प्रयोगात्मक रूप से, $$\eta_{+-} = \left( 2.232 \pm 0.011 \right) \times 10^{-3}$$ और $$\eta_{00} = \left( 2.220 \pm 0.011 \right) \times 10^{-3}$$. वह है। $$\eta_{+-} \ne \eta_{00}$$, तात्पर्य $$\left| A_{\pi^+\pi^-}/\bar{A}_{\pi^+\pi^-} \right| \ne 1$$ और $$\left| A_{\pi^0\pi^0}/\bar{A}_{\pi^0\pi^0} \right| \ne 1$$, और इस प्रकार संतोषजनक स्थिति ($$) होती है।

दूसरे शब्दों में, क्षय के दो विधियों के मध्य विषमता में प्रत्यक्ष सीपी उल्लंघन देखा जाता है।

मिश्रण-क्षय हस्तक्षेप के माध्यम से सीपी उल्लंघन
यदि अंतिम स्थिति (कहते हैं $$f_{CP}$$) सीपी ईजेनस्टेट है। (उदाहरण के लिए ), तब दो भिन्न-भिन्न क्षय पथों के अनुरूप दो भिन्न-भिन्न क्षय आयाम हैं।
 * $$\begin{align}

K^0 &\to f_{CP} \\ K^0 &\to \bar{K}^0 \to f_{CP} \end{align}$$.

सीपी उल्लंघन तब क्षय में इन दो योगदानों के हस्तक्षेप के परिणामस्वरूप हो सकता है। जिससे कि मोड में केवल क्षय होता है और दूसरा दोलन और क्षय होता है।

फिर वास्तविक कण कौन सा है?
उपरोक्त विवरण विशिष्ट गंध (या विचित्रता) ईजेनस्टेट्स और ऊर्जा (या सीपी) ईजेनस्टेट्स को संदर्भित करता है। किन्तु उनमें से कौन वास्तविक कण का प्रतिनिधित्व करता है? हम वास्तव में प्रयोगशाला में क्या पता लगाते हैं? डेविड जे ग्रिफिथ्स का उदाहरण।

मिश्रण मैट्रिक्स-संक्षिप्त परिचय
यदि प्रणाली तीन राज्य प्रणाली है। (उदाहरण के लिए, न्यूट्रिनो की तीन प्रजातियां $⇄ ⇄$, क्वार्क की तीन प्रजातियाँ $⇄ ⇄$), फिर दो राज्य प्रणाली के प्रकार विशिष्ट गंध ईजेनस्टेट्स (कहते हैं $$ \left| {\varphi_\alpha} \right\rangle$$, $$  \left| {\varphi_\beta} \right\rangle$$, $$  \left| {\varphi_\gamma} \right\rangle $$) ऊर्जा (द्रव्यमान) के रैखिक संयोजन के रूप में लिखे गए हैं। (कहते हैं $$  \left| \psi_1 \right\rangle$$, $$  \left| \psi_2 \right\rangle$$, $$  \left| \psi_3 \right\rangle $$). वह है।



\begin{pmatrix} \left| {\varphi_\alpha} \right\rangle \\ \left| {\varphi_\beta} \right\rangle \\ \left| {\varphi_\gamma} \right\rangle \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \Omega_{\alpha 1} & \Omega_{\alpha 2} & \Omega_{\alpha 3} \\ \Omega_{\beta 1} & \Omega_{\beta 2}  & \Omega_{\beta 3}  \\ \Omega_{\gamma 1} & \Omega_{\gamma 2} & \Omega_{\gamma 3} \\ \end{pmatrix}\begin{pmatrix} \left| \psi_1 \right\rangle \\ \left| \psi_2 \right\rangle \\ \left| \psi_3 \right\rangle \\ \end{pmatrix} $$... ...

लेप्टान (उदाहरण के लिए न्यूट्रिनो) के स्थिति में रूपांतरण मैट्रिक्स पोंटेकोरवो-माकी-नाकागावा-सकता मैट्रिक्स है और क्वार्क के लिए यह कैबिबो-कोबायाशी-मास्कावा मैट्रिक्स है।

परिवर्तन मैट्रिक्स के ऑफ विकर्ण शब्द युग्मन का प्रतिनिधित्व करते हैं और असमान विकर्ण शब्द तीन राज्यों के मध्य मिश्रण करते हैं।

रूपांतरण मैट्रिक्स एकात्मक है और उपयुक्त पैरामीटरकरण (इस पर निर्भर करता है। कि यह सीकेएम या पीएमएनएस मैट्रिक्स है।) किया जाता है और प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित मापदंडों के मान होते है।

यह भी देखें

 * कैबिबो-कोबायाशी-मस्कावा मैट्रिक्स
 * सीपी उल्लंघन
 * सीपीटी समरूपता
 * काओन
 * पोंटेकोर्वो-माकी-नाकागावा-सकता मैट्रिक्स
 * न्यूट्रिनो दोलन
 * रबी चक्र