रोटेशन ऑपरेटर (क्वांटम यांत्रिकी)

यह आलेख रोटेशन ऑपरेटर से संबंधित है क्योंकि यह क्वांटम यांत्रिकी में प्रकट होता है।

क्वांटम यांत्रिक घुमाव
हर भौतिक घुमाव के साथ $$R$$, हम क्वांटम यांत्रिक रोटेशन ऑपरेटर $$D(R)$$ को पोस्ट करते हैं जो क्वांटम यांत्रिक अवस्थाओं को घुमाता है। $$| \alpha \rangle_R = D(R) |\alpha \rangle$$ रोटेशन के जनरेटर के संदर्भ में, $$D (\mathbf{\hat n},\phi) = \exp \left( -i \phi \frac{\mathbf{\hat n} \cdot \mathbf J }{ \hbar} \right),$$ जहाँ $$\mathbf{\hat n}$$ घूर्णन अक्ष है, $$ \mathbf{J} $$ कोणीय गति ऑपरेटर है, और $$\hbar$$ प्लैंक स्थिरांक या मान है।

अनुवाद ऑपरेटर
रोटेशन ऑपरेटर (भौतिकी) $$\operatorname{R}(z, \theta)$$, पहले तर्क $$z$$ के साथ रोटेशन अक्ष को इंगित करता है और दूसरा $$\theta$$ रोटेशन कोण, विस्थापन ऑपरेटर $$\operatorname{T}(a)$$ के माध्यम से काम कर सकता है जैसा कि नीचे समझाया गया है, असीम घुमावों के लिए। यही कारण है कि, यह पहली बार दिखाया गया है कि अनुवाद ऑपरेटर स्थिति x पर कण पर कैसे कार्य कर रहा है (कण क्वांटम यांत्रिकी के अनुसार स्थिति $$|x\rangle$$ में है)।

स्थिति $$x$$ से स्थिति में कण का अनुवाद $$x + a$$: $$\operatorname{T}(a)|x\rangle = |x + a\rangle$$

क्योंकि 0 का अनुवाद हमारे पास उपस्थित कण की स्थिति को नहीं बदलता है, (1 अर्थ के साथ पहचान कार्य, जो कुछ भी नहीं करता है):$$\operatorname{T}(0) = 1$$$$\operatorname{T}(a) \operatorname{T}(da)|x\rangle = \operatorname{T}(a)|x + da\rangle = |x + a + da\rangle = \operatorname{T}(a + da)|x\rangle \Rightarrow \operatorname{T}(a) \operatorname{T}(da) = \operatorname{T}(a + da)$$ टेलर श्रृंखला विकास देता है: $$\operatorname{T}(da) = \operatorname{T}(0) + \frac{d\operatorname{T}(0)}{da} da + \cdots = 1 - \frac{i}{\hbar} p_x da$$ साथ $$p_x = i \hbar \frac{d\operatorname{T}(0)}{da}$$ इससे निम्न है: $$\operatorname{T}(a + da) = \operatorname{T}(a) \operatorname{T}(da) = \operatorname{T}(a)\left(1 - \frac{i}{\hbar} p_x da\right) \Rightarrow \frac{\operatorname{T}(a + da) - \operatorname{T}(a)}{da} = \frac{d\operatorname{T}}{da} = - \frac{i}{\hbar} p_x \operatorname{T}(a)$$ यह हल के साथ अवकल समीकरण है

$$\operatorname{T}(a) = \exp\left(- \frac{i}{\hbar} p_x a\right).$$ इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि हैमिल्टनियन $$H$$ $$x$$ स्थिति से स्वतंत्र है क्योंकि अनुवाद ऑपरेटर के संदर्भ में लिखा जा सकता है $$p_x$$, और $$[p_x,H] = 0$$, हम वह जानते हैं $$[H, \operatorname{T}(a)]=0.$$ इस परिणाम का अर्थ है कि प्रणाली के लिए रैखिक गति संरक्षित है।

कक्षीय कोणीय गति के संबंध में
कक्षीय कोणीय संवेग के संबंध में $$\mathbf L = \mathbf r \times \mathbf p.$$$$\mathbf r$$ और $$\mathbf p$$को ध्यान में रखते हुए यह क्वांटम यांत्रिकी में समान है। ऑपरेटरों। मौलिक रूप से, सदिश $$\mathbf r = (x,y,z)$$ $$\mathbf r' = (x',y',z)$$ के बारे में $$z$$ को छोड़कर एक अपरिमेय घूर्णन $$dt$$ अपरिवर्तित को निम्नलिखित अपरिमेय अनुवाद (टेलर सन्निकटन का उपयोग करके) द्वारा व्यक्त किया जा सकता है: $$\begin{align} x' &= r \cos(t + dt) = x - y \, dt + \cdots \\ y' &= r \sin(t + dt) = y + x \, dt + \cdots \end{align}$$ इससे स्थिति लिए निम्नानुसार है: $$\operatorname{R}(z, dt)|r\rangle = \operatorname{R}(z, dt)|x, y, z\rangle = |x - y \, dt, y + x \, dt, z\rangle = \operatorname{T}_x(-y \, dt) \operatorname{T}_y(x \, dt)|x, y, z\rangle = \operatorname{T}_x(-y \, dt) \operatorname{T}_y(x \, dt) |r\rangle$$ और इसके परिणामस्वरूप: $$\operatorname{R}(z, dt) = \operatorname{T}_x (-y \, dt) \operatorname{T}_y(x \, dt)$$ का उपयोग करते हुए $$T_k(a) = \exp\left(- \frac{i}{\hbar} p_k a\right)$$ ऊपर से साथ $$k = x,y$$ और टेलर विस्तार हमें मिलता है: $$\operatorname{R}(z,dt)=\exp\left[-\frac{i}{\hbar} \left(x p_y - y p_x\right) dt\right] = \exp\left(-\frac{i}{\hbar} L_z dt\right) = 1-\frac{i}{\hbar}L_z dt + \cdots$$ साथ $$L_z = x p_y - y p_x$$ मौलिक क्रॉस उत्पाद के अनुसार कोणीय गति का $$z$$ घटक है।

कोण $$t$$ के लिए रोटेशन प्राप्त करने के लिए, हम स्थिति का उपयोग करके निम्नलिखित अंतर समीकरण $$\operatorname{R}(z, 0) = 1 $$का निर्माण करते हैं :$$\begin{align} &\operatorname{R}(z, t + dt) = \operatorname{R}(z, t) \operatorname{R}(z, dt) \\[1.1ex] \Rightarrow {} & \frac{d\operatorname{R}}{dt} = \frac{\operatorname{R}(z, t + dt) - \operatorname{R}(z, t)}{dt} = \operatorname{R}(z, t) \frac{\operatorname{R}(z, dt) - 1}{dt} = - \frac{i}{\hbar} L_z \operatorname{R}(z, t) \\[1.1ex] \Rightarrow {}& \operatorname{R}(z, t) = \exp\left(- \frac{i}{\hbar}\, t \, L_z\right) \end{align}$$

अनुवाद ऑपरेटर के समान, अगर हमें हैमिल्टनियन दिया जाता है $$H$$ जो घूर्णी रूप से सममित है $$z$$-एक्सिस, $$[L_z,H]=0$$ तात्पर्य $$[\operatorname{R}(z,t),H]=0$$. इस परिणाम का अर्थ है कि कोणीय संवेग संरक्षित है।

स्पिन कोणीय गति के बारे में उदाहरण के लिए $$y$$-अक्ष हम अभी बदलते हैं $$L_z$$ साथ $S_y = \frac{\hbar}{2} \sigma_y$ (जहाँ $$\sigma_y$$ पॉल मैट्रिसेस है) और हमें स्पिन (भौतिकी) रोटेशन ऑपरेटर मिलता है $$\operatorname{D}(y, t) = \exp\left(- i \frac{t}{2} \sigma_y\right).$$

स्पिन ऑपरेटर और क्वांटम स्थितियों पर प्रभाव
ऑपरेटरों को आव्यूह (गणित) द्वारा दर्शाया जा सकता है। रैखिक बीजगणित से कोई जानता है कि निश्चित आव्यूह $$A$$ परिवर्तन के माध्यम से दूसरे आधार (रैखिक बीजगणित) में प्रदर्शित किया जा सकता है$$A' = P A P^{-1}$$

जहाँ $$P$$ आधार परिवर्तन आव्यूह है। यदि वैक्टर $$b$$ क्रमश: $$c$$ आधार पर क्रमशः z-अक्ष हैं y-अक्ष के लंबवत हैं उनके बीच एक निश्चित कोण $$t$$ है। पहले आधार में स्पिन ऑपरेटर $$S_b$$ को फिर निम्नलिखित परिवर्तन के माध्यम से दूसरे आधार के स्पिन ऑपरेटर $$S_c$$ में रूपांतरित किया जा सकता है: $$S_c = \operatorname{D}(y, t) S_b \operatorname{D}^{-1}(y, t)$$ मानक क्वांटम यांत्रिकी से हमारे पास ज्ञात परिणाम हैं $S_b |b+\rangle = \frac{\hbar}{2} |b+\rangle$ और $S_c |c+\rangle = \frac{\hbar}{2} |c+\rangle$  जहाँ $$|b+\rangle$$ और $$|c+\rangle$$ उनके संबंधित आधारों में शीर्ष स्पिन हैं। तो हमारे पास: $$\frac{\hbar}{2} |c+\rangle = S_c |c+\rangle = \operatorname{D}(y, t) S_b \operatorname{D}^{-1}(y, t) |c+\rangle \Rightarrow$$$$S_b \operatorname{D}^{-1}(y, t) |c+\rangle = \frac{\hbar}{2} \operatorname{D}^{-1}(y, t) |c+\rangle$$ इसके साथ तुलना $S_b |b+\rangle = \frac{\hbar}{2} |b+\rangle$ उपज $$|b+\rangle = D^{-1}(y, t) |c+\rangle$$.

इसका अर्थ है कि यदि स्थिति $$|c+\rangle$$ को $$y$$-अक्ष के बारे में एक कोण $$t$$,से घुमाया जाता है यह स्थिति $$|b+\rangle$$,बन जाती है, एक परिणाम जिसे इच्छानुसार अक्षों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता
 * गोलाकार आधार
 * ऑप्टिकल चरण अंतरिक्ष

संदर्भ

 * L.D. Landau and E.M. Lifshitz: Quantum Mechanics: Non-Relativistic Theory, Pergamon Press, 1985
 * P.A.M. Dirac: The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press, 1958
 * R.P. Feynman, R.B. Leighton and M. Sands: The Feynman Lectures on Physics, Addison-Wesley, 1965