असतत-समय फूरियर रूपांतरण

गणित में, असतत-समय फूरियर रूपांतरण (DTFT), जिसे परिमित फूरियर रूपांतरण भी कहा जाता है, फूरियर विश्लेषण का एक रूप है जो मूल्यों के अनुक्रम पर लागू होता है।

DTFT का उपयोग अक्सर एक सतत कार्य के नमूनों का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है। असतत-समय' शब्द इस तथ्य को संदर्भित करता है कि परिवर्तन असतत डेटा पर संचालित होता है, अक्सर ऐसे नमूने जिनके अंतराल में समय की इकाइयाँ होती हैं। समान रूप से दूरी वाले नमूनों से यह आवृत्ति का एक कार्य उत्पन्न करता है जो मूल निरंतर कार्य के निरंतर फूरियर रूपांतरण का आवधिक योग है। नमूनाकरण प्रमेय द्वारा वर्णित कुछ सैद्धांतिक स्थितियों के तहत, मूल निरंतर कार्य को DTFT से और इस प्रकार मूल असतत नमूनों से पूरी तरह से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। DTFT स्वयं आवृत्ति का एक सतत कार्य है, लेकिन इसके असतत नमूने असतत फूरियर रूपांतरण (DFT) के माध्यम से आसानी से गणना किए जा सकते हैं (देखें ), जो आधुनिक फूरियर विश्लेषण का अब तक का सबसे आम तरीका है।

दोनों परिवर्तन उलटे हैं। प्रतिलोम DTFT मूल नमूनाकृत डेटा अनुक्रम है। उलटा डीएफटी मूल अनुक्रम का आवधिक योग है। फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफएफटी) डीएफटी के एक चक्र की गणना के लिए एक एल्गोरिदम है, और इसका व्युत्क्रम उलटा डीएफटी के एक चक्र का उत्पादन करता है।

परिभाषा
असतत-समय फूरियर वास्तविक या जटिल संख्याओं के असतत अनुक्रम का रूपांतरण करता है $x[n]$, सभी संख्या#पूर्णांकों के लिए $n$, एक त्रिकोणमितीय श्रृंखला है, जो एक आवृत्ति चर के आवधिक कार्य का उत्पादन करती है। जब आवृत्ति चर, ω, में रेडियंस/नमूने की सामान्यीकृत आवृत्ति (डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग) होती है, तो आवधिकता होती है $2π$, और DTFT श्रृंखला है:

असतत-समय फूरियर परिवर्तन एक फूरियर श्रृंखला के अनुरूप है, समय के आवधिक कार्य के साथ शुरू करने और आवृत्ति पर असतत अनुक्रम का उत्पादन करने के बजाय, यह समय में असतत अनुक्रम से शुरू होता है और आवृत्ति में आवधिक कार्य उत्पन्न करता है। इस फ्रीक्वेंसी डोमेन फ़ंक्शन की उपयोगिता पॉइसन योग सूत्र में निहित है। होने देना $X(f)$ किसी भी समारोह का फूरियर रूपांतरण हो, $x(t)$, जिनके नमूने कुछ अंतराल पर $$ (सेकंड) के बराबर (या आनुपातिक) हैं $x[n]$ क्रम, यानी $T⋅x(nT) = x[n]$. फिर फूरियर श्रृंखला द्वारा प्रस्तुत आवधिक कार्य एक आवधिक योग है $X(f)$ आवृत्ति के संदर्भ में $T$ हेटर्स  में (चक्र/सेकंड)':'

पूर्णांक $f$ में चक्र/नमूने की इकाइयाँ हैं, और $1/T$ नमूना-दर है, $T$ (नमूने/सेकंड)। इसलिए $X_{1/T}(f)$ की सटीक प्रतियां शामिल हैं $X(f)$ जो के गुणकों द्वारा स्थानांतरित किया जाता है $f$ हर्ट्ज और इसके अलावा संयुक्त। काफी बड़े के लिए $$ द $k = 0$ शब्द क्षेत्र में देखा जा सकता है $k$ अन्य शर्तों से बहुत कम या कोई विकृति (अलियासिंग) के साथ। चित्र 1 में, ऊपरी बाएँ कोने में वितरण के चरम को आवधिक योग (निचले बाएँ) में अलियासिंग द्वारा छिपाया गया है।

हम यह भी नोट करते हैं $e^{−i2πfTn}$ का फूरियर रूपांतरण है $δ(t − nT)$. इसलिए, DTFT की एक वैकल्पिक परिभाषा है:

संग्राहक Dirac कंघी समारोह एक गणितीय अमूर्तता है जिसे कभी-कभी आवेग नमूनाकरण कहा जाता है।

उलटा परिवर्तन
एक ऑपरेशन जो DTFT फ़ंक्शन से असतत डेटा अनुक्रम को पुनर्प्राप्त करता है, उसे व्युत्क्रम DTFT कहा जाता है। उदाहरण के लिए, दोनों पक्षों के व्युत्क्रम निरंतर फूरियर रूपांतरण $f_{s}$ संग्राहक Dirac कंघी फ़ंक्शन के रूप में अनुक्रम उत्पन्न करता है:


 * $$\sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]\cdot \delta(t-n T) = \mathcal{F}^{-1}\left \{X_{1/T}(f)\right\} \ \triangleq \int_{-\infty}^\infty X_{1/T}(f)\cdot e^{i 2 \pi f t} df.$$

हालांकि, यह देखते हुए $X_{1/T}(f)$ आवधिक है, सभी आवश्यक जानकारी लंबाई के किसी भी अंतराल के भीतर समाहित है $1/T$. दोनों में $f_{s}$ और $f_{s}$, n पर योग गुणांक के साथ एक फूरियर श्रृंखला है $x[n]$. फूरियर गुणांक के मानक सूत्र भी व्युत्क्रम परिवर्तन हैं:

आवधिक डेटा
जब इनपुट डेटा अनुक्रम $x[n]$ है $[−f_{s}/2, f_{s}/2]$-आवधिक, $$ कम्प्यूटेशनल रूप से असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म (डीएफटी) में कम किया जा सकता है, क्योंकि:
 * सभी उपलब्ध जानकारी भीतर समाहित है $$ नमूने।
 * $X_{1/T}(f)$ के पूर्णांक गुणकों को छोड़कर हर जगह शून्य में परिवर्तित हो जाता है $1/(NT)$, लयबद्ध  आवृत्तियों के रूप में जाना जाता है। उन आवृत्तियों पर, DTFT विभिन्न आवृत्ति-निर्भर दरों पर विचलन करता है। और वे दरें एक चक्र के डीएफटी द्वारा दी गई हैं $x[n]$ अनुक्रम।
 * DTFT आवधिक है, इसलिए अद्वितीय हार्मोनिक एम्पलीट्यूड की अधिकतम संख्या है $(1/T) / (1/(NT)) = N$

डीएफटी गुणांक द्वारा दिया जाता है:


 * $$X[k] \triangleq \underbrace{\sum_{N} x(nT)\cdot e^{-i 2 \pi \frac{k}{N}n}}_{\text{any n-sequence of length N}},$$ और डीटीएफटी है:


 * $$X_{1/T}(f) = \frac{1}{N} \sum_{k=-\infty}^{\infty} X[k] \cdot \delta\left(f-\frac{k}{NT}\right).$$

इस अभिव्यक्ति को व्युत्क्रम परिवर्तन सूत्र में प्रतिस्थापित करने से पुष्टि होती है:


 * $$\int_{\frac{1}{T}} X_{1/T}(f)\cdot e^{i 2 \pi f nT} df\ =\ \frac{1}{N} \underbrace{\sum_{N} X[k] \cdot e^{i 2 \pi \frac{n}{N}k}}_{\text{any k-sequence of length N}}\ \equiv\ x(nT), \quad n\in\mathbb{Z}\,$$ (संख्या#पूर्णांक)

आशा के अनुसार। उपरोक्त रेखा में उलटा डीएफटी को कभी-कभी असतत फूरियर श्रृंखला (डीएफएस) के रूप में जाना जाता है।

{{anchor|DFT}DTFT का नमूना लेना
जब DTFT निरंतर होता है, तो एक सामान्य अभ्यास नमूने की मनमानी संख्या की गणना करना है ($$) आवधिक कार्य के एक चक्र का $X_{1/T}$:



\begin{align} \underbrace{X_{1/T}\left(\frac{k}{NT}\right)}_{X_k} &= \sum_{n=-\infty}^\infty x[n]\cdot e^{-i 2\pi \frac{k}{N}n} \quad \quad k = 0, \dots, N-1 \\ &= \underbrace{\sum_{N} x_{_N}[n]\cdot e^{-i 2\pi \frac{k}{N}n},}_{\text{DFT}}\quad \scriptstyle{\text{(sum over any }n\text{-sequence of length }N)} \end{align} $$ कहाँ $$x_{_N}$$ एक आवधिक योग है:


 * $$x_{_N}[n]\ \triangleq\ \sum_{m=-\infty}^{\infty} x[n-mN].$$ (असतत फूरियर श्रृंखला देखें) $$x_{_N}$$ h> अनुक्रम व्युत्क्रम DFT है। इस प्रकार, DTFT के हमारे नमूने के कारण व्युत्क्रम परिवर्तन आवधिक हो जाता है। की सरणी $|X_{k}|^{2}$ मानों को पीरियोग्राम और पैरामीटर के रूप में जाना जाता है $$ को इसी नाम के मैटलैब फंक्शन में NFFT कहा जाता है।

के एक चक्र का मूल्यांकन करने के लिए $$x_{_N}$$ संख्यात्मक रूप से, हमें परिमित-लंबाई की आवश्यकता होती है $x[n]$ अनुक्रम। उदाहरण के लिए, एक लंबे अनुक्रम को लंबाई के खिड़की समारोह द्वारा छोटा किया जा सकता है $$ जिसके परिणामस्वरूप तीन मामले विशेष उल्लेख के योग्य हैं। सांकेतिक सादगी के लिए, पर विचार करें $x[n]$ विंडो फ़ंक्शन द्वारा संशोधित मानों का प्रतिनिधित्व करने के लिए नीचे दिए गए मान।

मामला: आवृत्ति क्षय। $L = N ⋅ I$, कुछ पूर्णांक के लिए $$ (आमतौर पर 6 या 8)

का एक चक्र $$x_{_N}$$ के योग में कम हो जाता है $N$ लंबाई के खंड $$. DFT को विभिन्न नामों से जाना जाता है, जैसे:
 * विंडो-प्रीसम एफएफटी * वजन, ओवरलैप, ऐड (वोला)


 * पॉलीफ़ेज़ डीएफटी * पॉलीफ़ेज़ फ़िल्टर बैंक * मल्टीपल ब्लॉक विंडोिंग और टाइम-अलियासिंग।

याद रखें कि एक डोमेन (समय या आवृत्ति) में नमूनाकृत डेटा का क्षय दूसरे में ओवरलैप (कभी-कभी अलियासिंग के रूप में जाना जाता है) और इसके विपरीत उत्पन्न करता है। ए की तुलना में $N$-लंबाई डीएफटी, द $$x_{_N}$$ योग/ओवरलैप आवृत्ति में कमी का कारण बनता है, स्पेक्ट्रल रिसाव से कम से कम प्रभावित केवल DTFT नमूने छोड़कर। एफएफटी  फ़िल्टर बैंक  | फिल्टर-बैंक (चैनलाइजर) लागू करते समय यह आमतौर पर प्राथमिकता होती है। लंबाई के पारंपरिक विंडो फ़ंक्शन के साथ $N$, स्पेक्ट्रल लीकेज#विंडो ट्रेडऑफ़ अस्वीकार्य होंगे। इसलिए फिल्टर के लिए डिजाइन टूल्स का उपयोग करके मल्टी-ब्लॉक विंडो बनाई जाती हैं।  उनकी आवृत्ति प्रोफ़ाइल उच्चतम बिंदु पर सपाट है और शेष DTFT नमूनों के मध्य बिंदु पर जल्दी से गिर जाती है। पैरामीटर का मान जितना बड़ा होगा $N$, संभावित प्रदर्शन जितना बेहतर होगा।

मामला: $L = N+1$.

जब एक सममित, $L$-लंबाई विंडो फ़ंक्शन ($$x$$) को 1 गुणांक द्वारा छोटा किया जाता है, इसे विंडो फ़ंक्शन#समरूपता|आवधिक या DFT-even कहा जाता है। कटाव DTFT को प्रभावित करता है। काटे गए अनुक्रम का एक डीएफटी DTFT के आवृत्ति अंतराल पर नमूने लेता है $1/N$. नमूने के लिए $$x$$ समान आवृत्तियों पर, तुलना के लिए, डीएफटी की गणना आवधिक योग के एक चक्र के लिए की जाती है, $$x_{_N}.$$



केस: फ्रीक्वेंसी इंटरपोलेशन। $e^{i2πn/8}$

इस मामले में, डीएफटी एक अधिक परिचित रूप में सरल हो जाता है:


 * $$X_k = \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\cdot e^{-i 2\pi \frac{k}{N}n}.$$

डीएफटी की गणना के लिए एक तेज फूरियर ट्रांसफॉर्म एल्गोरिथम का लाभ उठाने के लिए, योग आमतौर पर सभी पर किया जाता है $L$ शर्तें, भले ही N − L}उनमें से } शून्य हैं। इसलिए मामला $L = 64$ को अक्सर जीरो-पैडिंग कहा जाता है।

स्पेक्ट्रल रिसाव, जो बढ़ता है $I$ घटता है, कुछ महत्वपूर्ण प्रदर्शन मेट्रिक्स के लिए हानिकारक है, जैसे कि कई आवृत्ति घटकों का रिज़ॉल्यूशन और प्रत्येक DTFT नमूने द्वारा मापी गई शोर की मात्रा। लेकिन वे चीजें हमेशा मायने नहीं रखतीं, उदाहरण के लिए जब $N = 256$ अनुक्रम एक नीरव साइनसॉइड (या एक स्थिरांक) है, जिसे विंडो फ़ंक्शन द्वारा आकार दिया गया है। फिर विंडो फ़ंक्शंस के विस्तृत रिसाव पैटर्न को ग्राफ़िक रूप से प्रदर्शित करने और तुलना करने के लिए शून्य-पैडिंग का उपयोग करना एक सामान्य अभ्यास है। उदाहरण के लिए कि एक आयताकार खिड़की के लिए, अनुक्रम पर विचार करें:


 * $$x[n] = e^{i 2\pi \frac{1}{8} n},\quad $$ और $$L=64.$$

आंकड़े 2 और 3 दो अलग-अलग आकार के डीएफटी के परिमाण के प्लॉट हैं, जैसा कि उनके लेबल में दर्शाया गया है। दोनों ही मामलों में, प्रमुख घटक संकेत आवृत्ति पर है: $e^{i2πn/8}$. चित्र 2 में भी दिखाई देने वाला वर्णक्रमीय रिसाव पैटर्न है $L = 64$ आयताकार खिड़की। चित्र 3 में भ्रम DTFT को इसके शून्य-क्रॉसिंग पर नमूना लेने का परिणाम है। परिमित-लंबाई अनुक्रम के DTFT के बजाय, यह एक असीम रूप से लंबे साइनसोइडल अनुक्रम का आभास देता है। भ्रम में योगदान करने वाले कारकों में एक आयताकार खिड़की का उपयोग होता है, और एक आवृत्ति (1/8 = 8/64) का विकल्प ठीक 8 (एक पूर्णांक) चक्र प्रति 64 नमूनों के साथ होता है। एक विंडो फ़ंक्शन # हन विंडो एक समान परिणाम देगा, सिवाय शिखर को 3 नमूनों तक चौड़ा किया जाएगा (देखें )।

कनवल्शन
अनुक्रमों के लिए दृढ़ संकल्प प्रमेय है:

एक महत्वपूर्ण विशेष मामला अनुक्रमों का गोलाकार कनवल्शन है $I$ और $N$ द्वारा परिभाषित $$x_{_N}*y,$$ कहाँ $$x_{_N}$$ एक आवधिक योग है। की असतत-आवृत्ति प्रकृति $$\scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{x_{_N}\}$$ इसका मतलब है कि निरंतर कार्य करने वाला उत्पाद $$\scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{y\}$$ असतत भी है, जिसके परिणामस्वरूप व्युत्क्रम परिवर्तन का काफी सरलीकरण होता है:
 * $$x * y\ =\ \scriptstyle{\rm DTFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{y\}\right].$$


 * $$x_{_N} * y\ =\ \scriptstyle{\rm DTFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{x_{_N}\}\cdot \scriptstyle{\rm DTFT} \displaystyle \{y\}\right]\ =\ \scriptstyle{\rm DFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle{\rm DFT} \displaystyle \{x_{_N}\}\cdot \scriptstyle{\rm DFT} \displaystyle \{y_{_N}\}\right].$$

के लिए $L$ और $L$ अनुक्रम जिनकी गैर-शून्य अवधि इससे कम या इसके बराबर है $I$, एक अंतिम सरलीकरण है:


 * $$x_{_N} * y\ =\ \scriptstyle{\rm DFT}^{-1} \displaystyle \left[\scriptstyle{\rm DFT} \displaystyle \{x\}\cdot \scriptstyle{\rm DFT} \displaystyle \{y\}\right].$$

इस परिणाम के महत्व को सर्कुलर कनवल्शन#उदाहरण और कनवल्शन#फास्ट कनवल्शन एल्गोरिदम में समझाया गया है।

समरूपता गुण
जब एक जटिल कार्य के वास्तविक और काल्पनिक भागों को उनके सम और विषम कार्यों # सम-विषम अपघटन में विघटित किया जाता है, तो चार घटक होते हैं, जिन्हें सबस्क्रिप्ट आरई, आरओ, आईई और आईओ द्वारा निरूपित किया जाता है। और एक जटिल समय समारोह के चार घटकों और इसके जटिल आवृत्ति परिवर्तन के चार घटकों के बीच एक-से-एक मानचित्रण होता है:

$$ \begin{align} \mathsf{Time\ domain} \quad &\ x \quad &= \quad & x_{_{RE}} \quad &+ \quad & x_{_{RO}} \quad &+ \quad i\ & x_{_{IE}} \quad &+ \quad &\underbrace{i\ x_{_{IO}}} \\ &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F}\\ \mathsf{Frequency\ domain} \quad &X \quad &= \quad & X_{RE} \quad &+ \quad &\overbrace{i\ X_{IO}} \quad &+ \quad i\ & X_{IE} \quad &+ \quad & X_{RO} \end{align} $$ इससे विभिन्न संबंध स्पष्ट होते हैं, उदाहरण के लिए:
 * वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन का रूपांतरण ($N = 64$) सम और विषम फलन#जटिल-मूल्यवान फलन फलन है $L ≤ N$. इसके विपरीत, एक सम-सममित परिवर्तन का तात्पर्य वास्तविक-मूल्यवान समय-डोमेन से है।
 * एक काल्पनिक-मूल्यवान फ़ंक्शन का रूपांतरण ($L < N$) सम और विषम फलन#जटिल-मूल्यवान फलन फलन है $x[n]$, और इसका विलोम सत्य है।
 * सम-सममित फलन का परिवर्तन ($f = 1/8 = 0.125$) वास्तविक-मूल्यवान फलन है $L = 64$, और इसका विलोम सत्य है।
 * एक विषम-सममित फ़ंक्शन का रूपांतरण ($xRE+ xRO$) काल्पनिक-मूल्यवान कार्य है $XRE+ i XIO$, और इसका विलोम सत्य है।

जेड-ट्रांसफॉर्म
से संबंध $$X_{2\pi}(\omega)$$ एक फूरियर श्रृंखला है जिसे द्विपक्षीय जेड-रूपांतरण के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है। अर्थात।:


 * $$X_{2\pi}(\omega) = \left. \widehat X(z) \, \right|_{z = e^{i \omega}} = \widehat X(e^{i \omega}),$$

जहां $$\widehat X$$ संकेतन जेड-ट्रांसफॉर्म को फूरियर ट्रांसफॉर्म से अलग करता है। इसलिए, हम फूरियर रूपांतरण के संदर्भ में Z-रूपांतरण के एक हिस्से को भी व्यक्त कर सकते हैं:



\begin{align} \widehat X(e^{i \omega}) &= \ X_{1/T}\left(\tfrac{\omega}{2\pi T}\right) \ = \ \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\tfrac{\omega}{2\pi T} - k/T\right)\\ &= \sum_{k=-\infty}^{\infty} X\left(\tfrac{\omega - 2\pi k}{2\pi T} \right). \end{align} $$ ध्यान दें कि जब पैरामीटर $N$ परिवर्तन, की शर्तें $$X_{2\pi}(\omega)$$ निरंतर अलगाव बने रहें $$2 \pi$$ अलग, और उनकी चौड़ाई ऊपर या नीचे होती है। की शर्ते $i xIE+ i xIO$ एक स्थिर चौड़ाई और उनका पृथक्करण बना रहता है $XRO+ i XIE$ स्केल ऊपर या नीचे।

असतत-समय फूरियर रूपांतरण की तालिका
कुछ सामान्य रूपांतरण जोड़े नीचे दी गई तालिका में दिखाए गए हैं। निम्नलिखित अंकन लागू होता है:

1 & |n|\leq L/2 \\ 0 & |n| > L/2 \end{cases}$$
 * $$\omega=2 \pi f T$$ निरंतर कोणीय आवृत्ति (प्रति नमूना रेडियंस में) का प्रतिनिधित्व करने वाली वास्तविक संख्या है। ($$f$$ चक्र/सेकंड में है, और $$T$$ सेकंड/नमूने में है।) तालिका में सभी मामलों में, DTFT 2π-आवधिक (में) है $$\omega$$).
 * $$X_{2\pi}(\omega)$$ पर परिभाषित एक फ़ंक्शन निर्दिष्ट करता है $$-\infty < \omega < \infty $$.
 * $$X_o(\omega)$$ पर परिभाषित एक फ़ंक्शन निर्दिष्ट करता है $$-\pi < \omega \le \pi$$, और शून्य कहीं और। तब: $$X_{2\pi}(\omega)\ \triangleq \sum_{k=-\infty}^{\infty} X_o(\omega - 2\pi k).$$
 * $$\delta ( \omega )$$ डिराक डेल्टा समारोह है
 * $$\operatorname{sinc} (t)$$ सामान्यीकृत sinc कार्य है
 * $$\operatorname{rect}\left[{n \over L}\right] \triangleq \begin{cases}
 * $$\operatorname{tri} (t)$$ त्रिभुज कार्य है
 * $L$ असतत-समय डोमेन (नमूने में) का प्रतिनिधित्व करने वाला एक पूर्णांक है
 * $$u[n]$$ डिस्क्रीट-टाइम हीविसाइड स्टेप फंक्शन#असतत रूप है
 * $$\delta[n]$$ क्रोनकर डेल्टा है $$\delta_{n,0}$$

गुण
यह तालिका समय डोमेन में कुछ गणितीय संचालन और आवृत्ति डोमेन में संबंधित प्रभाव दिखाती है।
 * $$*\!$$ दो क्रमों का कनवल्शन#असतत कनवल्शन है
 * $$x[n]^{*}$$ का जटिल संयुग्म है $xRE+ i xIO$.

यह भी देखें

 * कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
 * बहुआयामी परिवर्तन
 * ज़क परिवर्तन