होमोटॉपी विस्तार गुण

गणित में, बीजगणितीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में, होमोटॉपी विस्तार गुण प्रदर्शित करते है कि उप-स्थान पर परिभाषित कौन सी होमोटॉपी को बड़े स्थान पर परिभाषित होमोटॉपी तक बढ़ाया जा सकता है। को-फाइब्रेशन]] की होमोटॉपी विस्तार गुण होमोटॉपी उपयोगी गुण से दोहरी है जिसका उपयोग फाइब्रेशन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

परिभाषा
मान लीजिये $$X\,\!$$ टोपोलॉजिकल स्थान है, और $$A \subset X$$ द्वारा युग्म $$(X,A)\,\!$$ यदि, समरूपता दी गई है तो इसमें समरूप विस्तार गुण $$f_\bullet\colon A \rightarrow Y^I$$ है और मानचित्र $$\tilde{f}_0\colon X \rightarrow Y$$ ऐसा है कि $$\tilde{f}_0\circ \iota = \left.\tilde{f}_0\right|_A = f_0 = \pi_0 \circ f_\bullet,$$ तो वहाँ का विस्तार $$f_\bullet$$ उपस्थित है समरूपता के लिए $$\tilde{f}_\bullet\colon X \rightarrow Y^I$$ और $$\tilde{f}_\bullet\circ \iota = \left.\tilde{f}_\bullet\right|_A = f_\bullet$$ है: अर्थात युग्म $$(X,A)\,\!$$ यदि कोई मानचित्र है तो होमोटॉपी विस्तार गुण $$G\colon ((X\times \{0\}) \cup (A\times I)) \rightarrow Y$$ है मानचित्र तक $$G'\colon X\times I \rightarrow Y$$ बढ़ाया जा सकता है (अर्थात $$G\,\!$$ और $$G'\,\!$$ उनके सामान्य डोमेन पर सहमत है)।

यदि युग्म के निकट यह गुण केवल निश्चित कोडोमेन के लिए $$Y\,\!$$ है, हम ऐसा कहते हैं $$(X,A)\,\!$$ के संबंध में समरूप विस्तार गुण $$Y\,\!$$ है।

विज़ुअलाइज़ेशन
होमोटॉपी विस्तार गुण को निम्नलिखित चित्र में दर्शाया गया है:

यदि उपरोक्त आरेख (बिना धराशायी मानचित्र के) चलता है (यह उपरोक्त स्थितियों के समान है), यदि मानचित्र उपस्थित है तो युग्म (X,A) में होमोटॉपी विस्तार गुण $$\tilde{f}_\bullet$$ है जो आरेख को आवागमन योग्य बनाता है। करीइंग द्वारा, ध्यान दें कि होमोटॉपीज़ को मानचित्रों के रूप में $$\tilde{f}_\bullet \colon X \to Y^I$$व्यक्त किया गया है मानचित्र के रूप में भावों के साथ प्राकृतिक आपत्तियां परिवर्तन$$ \tilde{f}_\bullet \colon X\times I \to Y $$ हैं।

ध्यान दें कि यह आरेख होमोटॉपी उपयोगी गुण के दोहरे (विपरीत) है; इस द्वैत को सामान्यतः एकमैन-हिल्टन द्वैत कहा जाता है।

गुण

 * यदि $$X\,\!$$ सेल संकुल है और $$A\,\!$$ उपसमुच्चय है $$X\,\!$$, फिर युग्म $$(X,A)\,\!$$ समरूप विस्तार गुण है।
 * युग्म $$(X,A)\,\!$$ होमोटॉपी विस्तार गुण है यदि केवल $$(X\times \{0\} \cup A\times I)$$ का विरूपण प्रत्यावर्तन $$X\times I.$$ है।

अन्य
यदि $$(X, A)$$ होमोटॉपी विस्तार गुण है, फिर सरल समावेशन मानचित्र $$\iota\colon A \to X$$ सह-फाइब्रेशन है।

वास्तव में, यदि आप किसी सह-फाइब्रेशन पर विचार करते हैं, तो वह हमारे पास $$\iota\colon Y \to Z$$ है नीचे दी गई छवि के अनुरूप होम्योमॉर्फिक $$\mathbf{\mathit{Y}}$$ है, इसका तात्पर्य यह है कि किसी भी सह-फाइब्रेशन को समावेशन मानचित्र के रूप में $$\iota$$ माना जा सकता है, और इसलिए इसे होमोटॉपी विस्तार गुण के रूप में माना जा सकता है।

यह भी देखें

 * होमोटोपी उपयोगी गुण