क्रिस्टलीय सहसंरचना

गणित में, क्रिस्टलीय सहसंरचना के आधार क्षेत्र k पर स्कीम (गणित) के X के लिए वेइल सहसंरचना सिद्धांत के रूप में है। इसके मान Hn(X/W) पर विट वेक्टर वलय W के ऊपर मॉड्यूल (गणित) के रूप में होते है, इसे सिकंदर ग्रोथेडाइक (1966, 1968) द्वारा आरंभ किया गया था और इसे पियर बर्थलॉट (1974) में विकसित किया है।

क्रिस्टलीय सहसंरचना आंशिक रूप से वेइल अनुमानों के भाग डवर्क (1960) में पी-एडिक के प्रमाण से प्रेरित है और यह डी रेहम सहसंरचना के बीजीय संस्करण से बहुत निकटता से संबंधित होता है, जो अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक (1963) द्वारा शुरू किया गया था। और इस प्रकार सामान्यतः कहें तो, विशिष्ट पी  में बीजगणितीय किस्म एक्स की क्रिस्टलीय सहसंरचना एक्स की विशेषता 0 तक एक चिकनी सीधी लिफ्ट का डी. आर. एच सहसंरचना है, जबकि एक्स की डी रैम सहसंरचना क्रिस्टलीय सहसंरचना कम मॉड पी  उच्चतर ट्यूरों को ध्यान में रखते हुए कम करती है।

क्रिस्टलीय सहसंरचना का विचार, सामान्यतः, एक योजना की ज़ारिस्की टोपोलॉजी को विभाजित शक्ति संरचनाओं के साथ ज़ारिस्की विवृत समुच्चय की अनंत मोटाई के रूप में प्रतिस्थापित किया जाता है। इसके लिए प्रेरणा यह है कि इसकी गणना किसी योजना को विशेषता पी से विशेषता 0 तक स्थानीय रूप से उठाकर और बीजगणितीय डी  रेहम  सहसंरचना के उचित संस्करण को नियोजित करके की जा सकती है।

क्रिस्टलीय सहसंरचना केवल सुचारू योजनाओं के लिए ही अच्छा काम करती है और इस प्रकार रिजिड सहसंरचना इसे अधिक सामान्य योजनाओं तक विस्तारित करती है।

अनुप्रयोग
सकारात्मक विशेषता वाली योजनाओं के लिए, क्रिस्टलीय सहसंरचना सिद्धांत पी-एडिक एटले सहसंरचना की तुलना में सहसंरचना समूहों में पी-टोरसन के बारे में प्रश्नों को बहुत अच्छे ढंग से संभाल सकता है। यह इसे पी-एडिक एल-फलन पर अधिकांश काम के लिए एक स्वाभाविक पृष्ठभूमि के रूप में बनाता है।

क्रिस्टलीय सहसंरचना संख्या सिद्धांत की दृष्टि से एल-एडिक सहसंरचना सूचना के अंतराल को भरता है, जो ठीक उसी जगह होती है जहां 'समान विशेषता वाले प्राइमस' होते हैं और इस प्रकार पारंपरिक रूप से प्रभाव सिद्धांत का संरक्षण के बाद क्रिस्टलीय कोहोलॉजी इस स्थिति को डायडोने मॉड्यूल सिद्धांत में परिवर्तित करता है, जिससे अंकगणितीय समस्याओं पर एक महत्वपूर्ण नियंत्रण मिलता है। इसे औपचारिक बयानों के रूप में व्यापक सीमा वाले अनुमान जीन-मार्क फॉनटेन  द्वारा प्रतिपादित किए गए थे, जिसके प्रस्ताव को पी-एडिक हॉज सिद्धांत कहा जाता है।

गुणांक
विशेषता P > 0 के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक किस्म X के लिए, $$\ell$$-एडिक सहसंरचना समूहों के लिए $$\ell$$ P के अतिरिक्त कोई भी प्राइमस संख्या वलय  में गुणांक के साथ X के संतोषजनक सहसंरचना समूह के रूप में होती है,  $$\mathbf{Z}_\ell$$ $$\ell$$-एडिक पूर्णांक. Q में गुणांक वाले समान सह-समरूपता समूहों को खोजना सामान्यतः संभव नहीं होता है, Qp (या Zp, या Q, या Z) के पास उचित गुण होते है।

चिरसम्मत कारण सेरे का अर्थ यह है कि यदि X एक सुपरसिंगुलर अण्डाकार वक्र के रूप में होता है, तो इसकी एंडोमोर्फिज्म वलय Q के ऊपर चतुर्धातुक बीजगणित B में अधिकतम क्रम के रूप में होता है, जो p और ∞ पर विस्तृत है। यदि X के पास Q$p$ के ऊपर एक सहसंरचना समूह है और इस प्रकार अपेक्षित आयाम 2 बीजगणित के विपरीत B 'Q$p$' के ऊपर इस 2-आयामी स्थान पर कार्य करता है, जो असंभव है क्योंकि B का प्रभाव p पर होता है।

ग्रोथेंडिक का क्रिस्टलीय सहसंरचना सिद्धांत इस बाधा को दूर करता है क्योंकि यह मूल क्षेत्र के विट वैक्टर की वलय पर मॉड्यूल का उत्पादन करता है। तो यदि मूल क्षेत्र परिमित क्षेत्र का बीजगणितीय समापन है| F$p$, इसके मान 'Z'$p$, के असंबद्ध विस्तार के पी-एडिक पूर्णता पर मॉड्यूल के रूप में होते है, एक बहुत बड़ा वलय जिसमें सभी n के लिए यूनिटी की nवीं रुट के रूप में सम्मलित हैं, जो 'Z$p2$.' के अतिरिक्त p से विभाज्य नहीं है

प्रेरणा
विशेषता P के क्षेत्र k पर एक किस्म इस लिफ्ट की डी राम सहसंरचना लें। समस्या यह है कि यह बिल्कुल भी स्पष्ट नहीं है कि यह सह-समरूपता उठाने की पसंद से स्वतंत्र है।

विशेषता 0 में क्रिस्टलीय सहसंरचना का विचार एक उपयुक्त साइट (शीफ सिद्धांत) पर निरंतर शीव्स के सहसंरचना के रूप में सहसंरचना सिद्धांत की सीधी परिभाषा ढूंढना है।


 * इन्फ(एक्स)

एक्स के ऊपर, अनन्तिमल साइट कहा जाता है और फिर दिखाया जाता है कि यह किसी भी लिफ्ट के डी रएम सहसंरचना के समान होते है।

साइट Inf(X) एक श्रेणी है जिसकी वस्तुओं को X के पारंपरिक विवृत समुच्चय के कुछ प्रकार के सामान्यीकरण के रूप में सोचा जा सकता है। विशेषता 0 में इसकी वस्तुएं X के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चय U→T की अनंत मोटाई वाली हैं। इसका मतलब यह है कि यू एक योजना टी की बंद उपयोजना है जिसे टी पर आदर्शों के शून्य-शक्तिशाली शीफ द्वारा परिभाषित किया गया है; उदाहरण के लिए, Spec(k)→ Spec(k[x]/(x2)).

ग्रोथेंडिक ने दिखाया कि 'सी' पर चिकनी योजनाओं एक्स के लिए, शीफ ओ की सहसंरचना X Inf(X) पर सामान्य (सुचारू या बीजगणितीय) Rham cohomology के समान है।

क्रिस्टलीय सहसंरचना
विशेषता पी में विशेषता 0 में ऊपर परिभाषित क्रिस्टलीय साइट का सबसे स्पष्ट एनालॉग काम नहीं करता है। इसका कारण सामान्यतः यह है कि डी राम कॉम्प्लेक्स की सटीकता को साबित करने के लिए, किसी को किसी प्रकार के पोंकारे लेम्मा की आवश्यकता होती है, जिसका प्रमाण बदले में एकीकरण का उपयोग करता है, और एकीकरण के लिए विभिन्न विभाजित शक्तियों की आवश्यकता होती है, जो विशेषता 0 में मौजूद होती हैं लेकिन हमेशा विशेषता पी में नहीं। ग्रोथेंडिक ने एक्स के क्रिस्टलीय स्थल की वस्तुओं को एक्स के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चयों की लगभग असीम मोटाई के रूप में परिभाषित करके, एक विभाजित शक्ति संरचना के साथ आवश्यक विभाजित शक्तियां प्रदान करके इस समस्या को हल किया।

हम वलय डब्ल्यू पर काम करेंगेn = डब्ल्यू/पीnविशेषता p>0 के एक पूर्ण क्षेत्र k पर लंबाई n के विट वैक्टर का W। उदाहरण के लिए, k क्रम p और W का परिमित क्षेत्र हो सकता हैn तो वलय Z/p हैn'Z'. (अधिक आम तौर पर कोई आधार योजना एस पर काम कर सकता है जिसमें विभाजित शक्ति संरचना के साथ आदर्शों I का एक निश्चित शीफ होता है।) यदि एक्स, के पर एक योजना है, तो 'डब्ल्यू' के सापेक्ष 'एक्स' की 'क्रिस्टलीय साइट'n, निरूपित क्रिस(एक्स/डब्ल्यूn), इसकी वस्तुओं के जोड़े हैं U→T में X के ज़ारिस्की विवृत उपसमुच्चय U का कुछ W में बंद विसर्जन सम्मलित हैn-योजना टी आदर्शों J के एक समूह द्वारा परिभाषित, J पर विभाजित शक्ति संरचना के साथ-साथ W पर संगतn.

किसी स्कीम X ओवर k की क्रिस्टलीय सहसंगति को व्युत्क्रम सीमा के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$H^i(X/W)=\varprojlim H^i(X/W_n)$$

कहाँ
 * $$H^i(X/W_n)= H^i(\operatorname{Cris}(X/W_n),O)$$

X/W के क्रिस्टलीय स्थल की सह-समरूपता हैn छल्लों के शीफ़ में मान के साथ O := OW n.

सिद्धांत का एक मुख्य बिंदु यह है कि एक सुचारु योजना
 * $$H^i(X/W) = H^i_{DR}(Z/W) \quad(= H^i(Z,\Omega_{Z/W}^*)= \varprojlim H^i(Z,\Omega_{Z/W_n}^*))$$

डब्ल्यू की औपचारिक योजना पर ज़ेड के डी राम सहसंरचना के साथ एक्स के क्रिस्टलीय सह-समरूपता का (विभेदक रूपों के परिसरों की हाइपरसहसंरचना की एक व्युत्क्रम सीमा)। इसके विपरीत, एक्स की डी राम सहसंरचना को इसके क्रिस्टलीय सहसंरचना के रिडक्शन मॉड पी के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है (उच्च टोर्स को ध्यान में रखने के बाद)।

क्रिस्टल
यदि X, S के ऊपर एक योजना है तो शीफ़ OX/S द्वारा परिभाषित किया गया है हेX/S(टी) = टी का समन्वय वलय, जहां हम टी को संक्षिप्त रूप में लिखते हैं क्रिस(एक्स/एस) की एक वस्तु यू → टी।

साइट क्रिस(एक्स/एस) पर एक 'क्रिस्टल', ओ का एक शीफ एफ हैX/S मॉड्यूल जो निम्नलिखित अर्थों में रिजिड है:
 * क्रिस(X/S की वस्तुओं T, T के बीच किसी भी मानचित्र f के लिए, f'' से प्राकृतिक मानचित्र*F(T) से F(T') एक समरूपता है।

यह ज़ारिस्की टोपोलॉजी में मॉड्यूल के क्वासिकोहेरेंट शीफ की परिभाषा के समान है।

क्रिस्टल का एक उदाहरण शीफ़ O हैX/S.

जॉन टेट (गणितज्ञ) (1966) को ग्रोथेंडिक के पत्र में समझाया गया सिद्धांत से जुड़ा क्रिस्टल शब्द, बीजगणितीय अंतर समीकरणों के कुछ गुणों से प्रेरित एक रूपक था। इन्होंने विशेष रूप से डवर्क के काम में पी-एडिक सहसंरचना सिद्धांतों (क्रिस्टलीय सिद्धांत के अग्रदूत, बर्नार्ड डवर्क, पॉल मोंस्की, वॉशनिट्जर, लबकिन और निक काट्ज़ द्वारा विभिन्न रूपों में पेश किए गए) में भूमिका निभाई थी। ऐसे अंतर समीकरणों को बीजगणितीय कनेक्शन शर्ट के माध्यम से आसानी से तैयार किया जा सकता है, लेकिन पी-एडिक सिद्धांत में विश्लेषणात्मक निरंतरता का एनालॉग अधिक रहस्यमय है (चूंकि पी-एडिक डिस्क ओवरलैप के बजाय असंयुक्त होते हैं)। डिक्री द्वारा, जटिल विश्लेषणात्मक कार्यों की विश्लेषणात्मक निरंतरता के मामले में एक क्रिस्टल में 'कठोरता' और 'प्रसार' उल्लेखनीय होगा। (Cf. 1960 के दशक में जॉन टेट (गणितज्ञ) द्वारा पेश किए गए रिजिड विश्लेषणात्मक स्थान भी, जब इन मामलों पर सक्रिय रूप से बहस हो रही थी।)

यह भी देखें

 * मोटिविक सहसंरचना
 * डी राम सहसंरचना

संदर्भ

 * (letter to Atiyah, Oct. 14 1963)
 * (letter to Atiyah, Oct. 14 1963)
 * (letter to Atiyah, Oct. 14 1963)
 * (letter to Atiyah, Oct. 14 1963)
 * (letter to Atiyah, Oct. 14 1963)