परिमितवाद

फ़िनिटिज़्म गणित का एक दर्शन है जो केवल परिमित गणितीय वस्तुओं के अस्तित्व को स्वीकार करता है। इसे गणित के मुख्यधारा दर्शन की तुलना में सबसे अच्छे प्रकार से समझा जाता है जहां अनंत गणितीय वस्तुओं (उदाहरण के लिए, अनंत सेट) को वैध माना जाता है।

मुख्य विचार
परिमित गणित का मुख्य विचार अनंत वस्तुओं जैसे अनंत सेटों के अस्तित्व को स्वीकार नहीं करना है। जबकि सभी प्राकृतिक संख्याओं को विद्यमान माना जाता है, सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय को गणितीय वस्तु के रूप में अस्तित्व में नहीं माना जाता है। इसलिए अनंत डोमेन पर परिमाणक (तर्क) को सार्थक नहीं माना जाता है। गणितीय सिद्धांत अधिकांशतः फ़िनिटिज्म से जुड़ा होता है, जो थोरल्फ़ स्कोलेम का आदिम पुनरावर्ती अंकगणित है।

इतिहास
अनंत गणितीय वस्तुओं का परिचय कुछ शताब्दियों पहले हुआ था जब अनंत वस्तुओं का उपयोग गणितज्ञों के बीच पहले से ही एक विवादास्पद विषय था। यह मुद्दा एक नए चरण में प्रवेश कर गया जब 1874 में जॉर्ज कैंटर ने जिसे अब नैवे सेट सिद्धांत कहा जाता है उसे पेश किया और इसे अनंत संख्या पर अपने काम के लिए आधार के रूप में इस्तेमाल किया था। जब कैंटर के अनुभवहीन सेट सिद्धांत में रसेल के विरोधाभास, बेरी के विरोधाभास और बुराली-फोर्टी विरोधाभास जैसे विरोधाभासों की खोज की गई, तो यह मुद्दा गणितज्ञों के बीच एक गर्म विषय बन गया था।

गणितज्ञों द्वारा विभिन्न पद अपनाये गये है। प्राकृतिक संख्याओं जैसी परिमित गणितीय वस्तुओं के बारे में सभी सहमत थे। हालाँकि अनंत गणितीय वस्तुओं के संबंध में असहमति थी। एक स्थिति अंतर्ज्ञानवादी गणित की थी जिसकी वकालत एल. ई. जे. ब्रौवर ने की थी, जिसने अनंत वस्तुओं के अस्तित्व को तब तक खारिज कर दिया जब तक कि उनका निर्माण नहीं हो जाता था।

डेविड हिल्बर्ट द्वारा एक अन्य स्थिति का समर्थन किया गया था: परिमित गणितीय वस्तुएं ठोस वस्तुएं हैं, अनंत गणितीय वस्तुएं आदर्श वस्तुएं हैं, और आदर्श गणितीय वस्तुओं को स्वीकार करने से परिमित गणितीय वस्तुओं के संबंध में कोई समस्या नहीं होती है। अधिक औपचारिक रूप से, हिल्बर्ट का मानना ​​था कि यह दिखाना संभव है कि परिमित गणितीय वस्तुओं के बारे में कोई भी प्रमेय जो आदर्श अनंत वस्तुओं का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, उनके बिना भी प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए अनंत गणितीय वस्तुओं को अनुमति देने से परिमित वस्तुओं के संबंध में कोई समस्या नहीं होती है। इसने फ़िनिटिस्टिक साधनों का उपयोग करके सेट सिद्धांत की स्थिरता और पूर्णता (तर्क) दोनों को साबित करने के हिल्बर्ट के कार्यक्रम को जन्म दिया क्योंकि इसका मतलब यह होगा कि आदर्श गणितीय वस्तुओं को जोड़ना फ़िनिटिस्टिक भाग पर रूढ़िवादी विस्तार है। हिल्बर्ट के विचार औपचारिकतावाद (गणित) से भी जुड़े हैं। कर्ट गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों के कारण सेट सिद्धांत या यहां तक ​​कि अंकगणित की निरंतरता और पूर्णता को अंतिम साधनों के माध्यम से साबित करने का हिल्बर्ट का लक्ष्य एक असंभव कार्य बन गया था। हालाँकि, हार्वे फ्रीडमैन के फ्रीडमैन के भव्य अनुमान का अर्थ यह होगा कि अधिकांश गणितीय परिणाम अंतिम साधनों का उपयोग करके सिद्ध किए जा सकते हैं।

हिल्बर्ट ने जिसे वह परिमितवादी मानते थे और जिसे प्राथमिक कहा था, उसकी कोई कठोर व्याख्या नहीं की थी। हालाँकि, पॉल बर्नेज़ के साथ उनके काम के आधार पर विलियम डब्ल्यू टैट जैसे कुछ विशेषज्ञों ने तर्क दिया है कि आदिम पुनरावर्ती अंकगणित को हिल्बर्ट ने फ़िनिस्टिक गणित के रूप में माना था, उस पर एक ऊपरी सीमा माना जा सकता है।

गोडेल के प्रमेयों के परिणामस्वरूप, जैसा कि यह स्पष्ट हो गया कि गणित की स्थिरता और पूर्णता दोनों को साबित करने की कोई उम्मीद नहीं है, और ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत जैसे प्रतीत होता है सुसंगत स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के विकास के साथ, अधिकांश आधुनिक गणितज्ञ ध्यान केंद्रित नहीं करते हैं इस टॉपिक पर। आज, अधिकांश गणितज्ञों को प्लेटो माना जाता है और वे आसानी से अनंत गणितीय वस्तुओं और एक सेट-सैद्धांतिक ब्रह्मांड का उपयोग करते हैं।

शास्त्रीय परिमितवाद बनाम सख्त परिमितवाद
अपनी पुस्तक द फिलॉसफी ऑफ़ सेट थ्योरी में, मैरी टाइल्स ने उन लोगों को 'शास्त्रीय फ़िनिटिस्ट' के रूप में चित्रित किया है जो संभावित रूप से अनंत वस्तुओं को अनुमति नहीं देते हैं, और जो संभावित रूप से अनंत वस्तुओं को अनुमति नहीं देते हैं उन्हें 'सख्त फ़िनिटिस्ट' के रूप में वर्णित किया गया है: उदाहरण के लिए, एक शास्त्रीय फ़िनिटिस्ट इस प्रकार के बयानों की अनुमति देगा प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का एक उत्तराधिकारी कार्य होता है और वह परिमित आंशिक योगों की सीमा (गणित) के अर्थ में अनंत श्रृंखला की सार्थकता को स्वीकार करेगा, जबकि एक सख्त परिमितवादी ऐसा नहीं करेगा। ऐतिहासिक रूप से, गणित का लिखित इतिहास इस प्रकार शास्त्रीय रूप से फ़िनिटिस्ट था जब तक कि कैंटर ने 19 वीं शताब्दी के अंत में ट्रांसफ़िनिट नंबर बुनियादी संख्या  का पदानुक्रम नहीं बनाया।

अनंत गणितीय वस्तुओं के संबंध में विचार
लियोपोल्ड क्रोनकर कैंटर के सेट सिद्धांत के कट्टर विरोधी बने रहे: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk. God created the integers; all else is the work of man."

रूबेन गुडस्टीन फ़िनिटिज्म के एक अन्य प्रस्तावक थे। उनके कुछ कार्यों में फ़िनिटिस्ट नींव से गणितीय विश्लेषण का निर्माण शामिल था।

हालाँकि उन्होंने इसका खंडन किया, गणित पर लुडविग विट्गेन्स्टाइन के अधिकांश लेखन का अर्थवाद के साथ गहरा संबंध है। यदि फ़िनिटिस्ट की तुलना ट्रांसफ़िनिट संख्या (उदाहरण के लिए जॉर्ज कैंटर के अनंत के पदानुक्रम के समर्थक) से की जाती है, तो अरस्तू को भी फ़िनिटिस्ट के रूप में जाना जा सकता है। अरस्तू ने विशेष रूप से संभावित अनंत को सख्त परिमितवाद और वास्तविक अनंत के बीच एक मध्य विकल्प के रूप में प्रचारित किया (बाद वाला प्रकृति में कभी न खत्म होने वाली किसी चीज का वास्तविकीकरण है, कैंटोरिस्ट वास्तविक अनंत के विपरीत जिसमें ट्रांसफिनिट कार्डिनल संख्या और क्रमिक संख्या संख्याएं शामिल हैं, जो कि हैं) प्रकृति की चीज़ों से कोई लेना-देना नहीं):

"But on the other hand to suppose that the infinite does not exist in any way leads obviously to many impossible consequences: there will be a beginning and end of time, a magnitude will not be divisible into magnitudes, number will not be infinite. If, then, in view of the above considerations, neither alternative seems possible, an arbiter must be called in."

- Aristotle, Physics, Book 3, Chapter 6

गणित के अन्य संबंधित दर्शन
अल्ट्राफ़िनिटिज़्म (जिसे अल्ट्राइंटुशनिज़्म के रूप में भी जाना जाता है) में फ़िनिटिज़्म की तुलना में गणितीय वस्तुओं के प्रति और भी अधिक रूढ़िवादी रवैया है, और जब वे बहुत बड़े होते हैं तो परिमित गणितीय वस्तुओं के अस्तित्व पर आपत्ति होती है।

20वीं सदी के अंत में जॉन पेन मेबेरी ने वित्तीय गणित की एक प्रणाली विकसित की जिसे उन्होंने यूक्लिडियन अंकगणित कहा। उनके सिस्टम का सबसे महत्वपूर्ण सिद्धांत सामान्य रूप से पुनरावृत्त प्रक्रियाओं को दी जाने वाली विशेष मूलभूत स्थिति की पूर्ण और कठोर अस्वीकृति है, जिसमें विशेष रूप से पुनरावृत्त +1 द्वारा प्राकृतिक संख्याओं का निर्माण भी शामिल है। नतीजतन, मेबेरी उन लोगों से तीव्र असहमत हैं जो अंतिम गणित को पीनो एक्सिओम्स #अंकगणित के प्रथम-क्रम सिद्धांत या इसके किसी भी टुकड़े जैसे कि आदिम पुनरावर्ती अंकगणित के साथ बराबर करना चाहते हैं।

यह भी देखें

 * अस्थायी परिमितवाद
 * ट्रांसकम्प्यूटेशनल समस्या
 * तर्कसंगत त्रिकोणमिति