रैखिक विस्तार

गणित में, रैखिक अवधि (जिसे रैखिक हल भी कहा जाता है या सिर्फ स्पैन) एक सेट (गणित) का $S$ सदिश स्थान (एक सदिश स्थान से), निरूपित $span(S)$, में वैक्टर के सभी रैखिक संयोजनों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है $S$. इसे या तो सभी रेखीय उप-स्थानों के प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) के रूप में चित्रित किया जा सकता है $S$, या युक्त सबसे छोटे उप-स्थान के रूप में $S$. इसलिए सदिशों के समुच्चय का रैखिक फैलाव स्वयं एक सदिश समष्टि है। स्पैन को matroid और मॉड्यूल (गणित) के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

व्यक्त करने के लिए कि एक सदिश स्थान $V$ एक उपसमुच्चय का एक रैखिक विस्तार है $S$, आमतौर पर निम्नलिखित वाक्यांशों का उपयोग किया जाता है—या तो: $S$ फैला $V$, $S$ का एक विस्तृत सेट है $V$, $V$ द्वारा फैलाया/उत्पन्न किया जाता है $S$, या $S$ एक जनरेटर (गणित) या का जनरेटर सेट है $V$.

परिभाषा
एक सदिश स्थान दिया गया है $V$ एक क्षेत्र पर (गणित) $K$, एक सेट की अवधि (गणित) $S$ सदिशों की संख्या (अनिवार्य रूप से अनंत नहीं) को प्रतिच्छेदन के रूप में परिभाषित किया गया है $W$ की सभी रैखिक उपसमष्टि का $V$ जिसमें शामिल है $S$. $W$ द्वारा फैलाए गए उप-स्थान के रूप में जाना जाता है $S$, या वैक्टर द्वारा $S$. इसके विपरीत, $S$ का स्पैनिंग सेट कहा जाता है $W$, और हम कहते हैं $S$ फैला $W$.

वैकल्पिक रूप से, की अवधि $S$ के तत्वों (वैक्टर) के सभी परिमित रैखिक संयोजनों के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $S$, जो उपरोक्त परिभाषा से अनुसरण करता है।

$$ \operatorname{span}(S) = \left \{ {\left.\sum_{i=1}^k \lambda_i \mathbf v_i \;\right|\; k \in \N, \mathbf v_i  \in S, \lambda _i  \in K} \right \}.$$ अनंत के मामले में $S$, अनंत रैखिक संयोजन (अर्थात जहां एक संयोजन में एक अनंत राशि शामिल हो सकती है, यह मानते हुए कि इस तरह की रकम को किसी तरह से परिभाषित किया गया है, कहते हैं, एक बनच स्थान) को परिभाषा द्वारा बाहर रखा गया है; एक रैखिक संयोजन# सामान्यीकरण जो इन्हें अनुमति देता है समकक्ष नहीं है।

उदाहरण
वास्तविक संख्या वेक्टर स्थान $$\mathbb R^3$$ {(−1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)} एक फैले हुए सेट के रूप में है। यह विशेष रूप से फैला हुआ सेट भी एक आधार (रैखिक बीजगणित) है। अगर (-1, 0, 0) को (1, 0, 0) से बदल दिया जाए, तो यह मानक आधार भी बनेगा $$\mathbb R^3$$.

उसी स्थान के लिए एक और फैलाव सेट {(1, 2, 3), (0, 1, 2), (-1, $1/2$, 3), (1, 1, 1)}, लेकिन यह सेट आधार नहीं है, क्योंकि यह रैखिक निर्भरता है।

सेट ${(1, 0, 0), (0, 1, 0), (1, 1, 0)}$ का स्पैनिंग सेट नहीं है $$\mathbb R^3$$, क्योंकि इसका फैलाव सभी सदिशों का स्थान है $$\mathbb R^3$$ जिसका अंतिम घटक शून्य है। वह स्थान सेट {(1, 0, 0), (0, 1, 0)} द्वारा भी फैला हुआ है, क्योंकि (1, 1, 0) (1, 0, 0) और (0, का रैखिक संयोजन है) 1, 0). हालाँकि, यह फैलता है $$\mathbb R^3$$(जब एक सबसेट के रूप में व्याख्या की जाती है $$\mathbb R^3$$).

खाली सेट {(0, 0, 0)} का एक फैला हुआ सेट है, क्योंकि खाली सेट सभी संभावित वेक्टर रिक्त स्थान का एक सबसेट है $$\mathbb R^3$$, और {(0, 0, 0)} इन सभी सदिश स्थानों का प्रतिच्छेदन है।

कार्यों का सेट $x^{n}$, कहाँ पे $n$ एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है, बहुपदों के स्थान को फैलाता है।

परिभाषाओं की समानता
एक सबसेट के सभी रैखिक संयोजनों का सेट $S$ का $V$, एक सदिश स्थान खत्म $K$, की सबसे छोटी रैखिक उपसमष्टि है $V$ युक्त $S$.


 * सबूत। हम पहले सिद्ध करते हैं $span S$ की एक उपसमष्टि है $V$. तब से $S$ का उपसमुच्चय है $V$, हमें केवल एक शून्य सदिश के अस्तित्व को सिद्ध करने की आवश्यकता है $0$ में $span S$, वह $span S$ अतिरिक्त के तहत बंद है, और वह $span S$ अदिश गुणन के तहत बंद है। दे $$S = \{ \mathbf v_1, \mathbf v_2, \ldots, \mathbf v_n \}$$, यह तुच्छ है कि शून्य वेक्टर $V$ में मौजूद है $span S$, जबसे $$\mathbf 0 = 0 \mathbf v_1 + 0 \mathbf v_2 + \cdots + 0 \mathbf v_n$$. के दो रैखिक संयोजनों को एक साथ जोड़ना $S$ का एक रैखिक संयोजन भी उत्पन्न करता है $S$: $$(\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n) + (\mu_1 \mathbf v_1 + \cdots + \mu_n \mathbf v_n) = (\lambda_1 + \mu_1) \mathbf v_1 + \cdots + (\lambda_n + \mu_n) \mathbf v_n$$, कहां कहां $$\lambda_i, \mu_i \in K$$, और के एक रैखिक संयोजन को गुणा करना $S$ एक अदिश द्वारा $$c \in K$$ का एक और रैखिक संयोजन उत्पन्न करेगा $S$: $$c(\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n) = c\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + c\lambda_n \mathbf v_n$$. इस प्रकार $S$ की एक उपसमष्टि है $V$.


 * मान लो कि $W$ की एक रेखीय उपसमष्टि है $V$ युक्त $S$. यह इस प्रकार है कि $$S \subseteq \operatorname{span} S$$, प्रत्येक के बाद से $v_{i}$ का एक रैखिक संयोजन है $S$ (तुच्छ रूप से)। तब से $W$ जोड़ और अदिश गुणन के तहत बंद है, फिर प्रत्येक रैखिक संयोजन $$\lambda_1 \mathbf v_1 + \cdots + \lambda_n \mathbf v_n$$ में निहित होना चाहिए $W$. इस प्रकार, $span S$ के प्रत्येक उपक्षेत्र में निहित है $V$ युक्त $S$, और ऐसे सभी उप-स्थानों का प्रतिच्छेदन, या सबसे छोटा ऐसा उप-स्थान, सभी रैखिक संयोजनों के समुच्चय के बराबर है $S$.

फैले हुए सेट का आकार रैखिक रूप से स्वतंत्र सेट
का कम से कम आकार है हर स्पैनिंग सेट $S$ एक वेक्टर अंतरिक्ष की $V$ कम से कम उतने तत्व होने चाहिए जितने कि सदिशों के किसी रैखिक स्वतंत्रता समुच्चय से हैं $V$.


 * सबूत। होने देना $$S = \{ \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_m \}$$ एक फैले हुए सेट हो और $$W = \{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_n \}$$ से सदिशों का एक रैखिक रूप से स्वतंत्र समुच्चय हो $V$. हम वह दिखाना चाहते हैं $$m \geq n$$.


 * तब से $S$ फैला $V$, फिर $$S \cup \{ \mathbf w_1 \}$$ भी फैलाना चाहिए $V$, तथा $w_1$ का एक रैखिक संयोजन होना चाहिए $S$. इस प्रकार $$S \cup \{ \mathbf w_1 \}$$ रैखिक रूप से निर्भर है, और हम इसमें से एक सदिश को हटा सकते हैं $S$ यह अन्य तत्वों का एक रैखिक संयोजन है। यह वेक्टर इनमें से कोई भी नहीं हो सकता है $w_{i}$, जबसे $W$ रैखिक रूप से स्वतंत्र है। परिणामी समुच्चय है $$\{ \mathbf w_1, \mathbf v_1, \ldots, \mathbf v_{i-1}, \mathbf v_{i+1}, \ldots, \mathbf v_m \}$$, जो कि एक विस्तृत सेट है $V$. हम इस चरण को दोहराते हैं $n$ समय, जहां परिणामी सेट के बाद $p$चौथा चरण का मिलन है $$\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_p \}$$ तथा $m - p$ के वैक्टर $S$.


 * तक सुनिश्चित किया जाता है $n$वह कदम जो हमेशा रहेगा $v_i$ से निकालने के लिए $S$ के हर जोड़ के लिए $v$, और इस प्रकार कम से कम उतने ही हैं $v_{i}$जैसे हैं $w_{i}$हमें- यानी $$m \geq n$$. इसे सत्यापित करने के लिए, हम विरोधाभास के माध्यम से मान लेते हैं कि $$m < n$$. फिर, पर $m$कदम, हमारे पास सेट है $$\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}$$ और हम दूसरे वेक्टर को जोड़ सकते हैं $$\mathbf w_{m+1}$$. लेकिन जबसे $$\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}$$ का एक विस्तृत सेट है $V$, $$\mathbf w_{m+1}$$ का एक रैखिक संयोजन है $$\{ \mathbf w_1, \ldots, \mathbf w_m \}$$. यह एक विरोधाभास है, चूंकि $W$ रैखिक रूप से स्वतंत्र है।

स्पैनिंग सेट को
के आधार पर कम किया जा सकता है होने देना $V$ एक परिमित-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष बनें। फैले हुए सदिशों का कोई भी समूह $V$ के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) में घटाया जा सकता है $V$, यदि आवश्यक हो तो वैक्टर को हटाकर (यानी यदि सेट में रैखिक रूप से निर्भर वैक्टर हैं)। यदि पसंद का स्वयंसिद्ध धारण करता है, तो यह धारणा के बिना सत्य है $V$ परिमित आयाम है। यह यह भी इंगित करता है कि एक आधार न्यूनतम फैलाव सेट है जब $V$ परिमित-आयामी है।

सामान्यीकरण
अंतरिक्ष में बिंदुओं की अवधि की परिभाषा को सामान्य बनाना, एक सबसेट $X$ मैट्रोइड के ग्राउंड सेट को स्पैनिंग सेट कहा जाता है यदि रैंक $X$ पूरे ग्राउंड सेट के रैंक के बराबर है.

सदिश स्थान की परिभाषा को मॉड्यूल के लिए सामान्यीकृत भी किया जा सकता है। एक दिया $R$-मापांक $A$ और तत्वों का संग्रह $a_{1}$, ..., $a_{n}$ का $A$, का submodule $A$ द्वारा फैलाया गया $a_{1}$, ..., $a_{n}$ चक्रीय मॉड्यूल का योग है $$Ra_1 + \cdots + Ra_n = \left\{ \sum_{k=1}^n r_k a_k \bigg| r_k \in R \right\}$$ तत्वों के सभी आर-रैखिक संयोजनों से मिलकर $a_{i}$. वेक्टर रिक्त स्थान के मामले में, ए के किसी भी सबसेट द्वारा फैलाए गए ए के सबमॉड्यूल उस सबसेट वाले सभी सबमॉड्यूल का प्रतिच्छेदन है।

बंद रैखिक अवधि (कार्यात्मक विश्लेषण)
कार्यात्मक विश्लेषण में, सदिश स्थान के एक सेट (गणित) का एक बंद रैखिक विस्तार न्यूनतम बंद सेट होता है जिसमें उस सेट का रैखिक फैलाव होता है।

मान लो कि $X$ एक आदर्श सदिश समष्टि है और मान लीजिए $E$ का कोई गैर-रिक्त उपसमुच्चय हो $X$. की बंद रैखिक अवधि $E$, द्वारा चिह्नित $$\overline{\operatorname{Sp}}(E)$$ या $$\overline{\operatorname{Span}}(E)$$, की सभी बंद रेखीय उपसमष्टियों का प्रतिच्छेदन है $X$ किसमें है $E$.

इसका एक गणितीय सूत्रीकरण है


 * $$\overline{\operatorname{Sp}}(E) = \{u\in X | \forall\varepsilon > 0\,\exists x\in\operatorname{Sp}(E) : \|x - u\|<\varepsilon\}.$$

फ़ंक्शन x के सेट की बंद रैखिक अवधिn अंतराल [0, 1] पर, जहाँ n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, प्रयुक्त मानदंड पर निर्भर करता है। अगर Lp स्पेस#Lp स्पेस और Lebesgue इंटीग्रल्स|L2 मानदंड का उपयोग किया जाता है, तो बंद रैखिक फैलाव अंतराल पर वर्ग-अभिन्नीकरण कार्यों का हिल्बर्ट अंतरिक्ष है। लेकिन यदि अधिकतम मानदंड का उपयोग किया जाता है, तो बंद रैखिक फैलाव अंतराल पर निरंतर कार्यों का स्थान होगा। किसी भी मामले में, बंद रैखिक अवधि में ऐसे कार्य होते हैं जो बहुपद नहीं होते हैं, और इसलिए स्वयं रैखिक विस्तार में नहीं होते हैं। हालांकि, बंद रैखिक अवधि में कार्यों के सेट की प्रमुखता सातत्य की प्रमुखता है, जो कि बहुपदों के सेट के समान प्रमुखता है।

टिप्पणियाँ
The linear span of a set is dense in the closed linear span. Moreover, as stated in the lemma below, the closed linear span is indeed the closure of the linear span.

Closed linear spans are important when dealing with closed linear subspaces (which are themselves highly important, see Riesz's lemma).

एक उपयोगी लेम्मा
होने देना $X$ एक आदर्श स्थान बनें और रहने दें $E$ का कोई गैर-रिक्त उपसमुच्चय हो $X$. फिर 1. $\overline{\operatorname{Sp}}(E)$ X की एक बंद रेखीय उपसमष्टि है जिसमें E है, | गणित>\overline{\operatorname{Sp}}(E) = \overline{\operatorname{Sp}(E)}, अर्थात। $\overline{\operatorname{Sp}}(E)$ का समापन है $\operatorname{Sp}(E)$, | $E^\perp = (\operatorname{Sp}(E))^\perp = \left(\overline{\operatorname{Sp}(E)}\right)^\perp.$
 * undefined

(इसलिए बंद लीनियर स्पैन को खोजने का सामान्य तरीका है कि पहले लीनियर स्पैन को खोजा जाए, और फिर उस लीनियर स्पैन को बंद किया जाए।)

यह भी देखें

 * अफिन हल
 * शंक्वाकार संयोजन
 * उत्तल पतवार

पाठ्यपुस्तकें

 * Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.
 * Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.
 * Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.
 * Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.
 * Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.
 * Lay, David C. (2021) Linear Algebra and Its Applications (6th Edition). Pearson.

बाहरी संबंध

 * Linear Combinations and Span: Understanding linear combinations and spans of vectors, khanacademy.org.