अनंत का अभिगृहीत

अभिगृहीतीय समुच्चय सिद्धांत और इसका उपयोग करने वाली गणित एवं दर्शनशास्त्र की शाखाओं में अनंत का अभिगृहीत, जर्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत के अभिगृहीतों में से एक है। यह कम से कम एक अपरिमित समुच्चय (अर्थात् प्राकृतिक संख्याओं एक समुच्चय) के अस्तित्व का आश्वासन देता है। यह सर्वप्रथम वर्ष 1908 में अर्नस्ट ज़र्मेलो द्वारा उनके समुच्चय सिद्धांत के हिस्से के रूप में प्रकाशित किया गया था।

औपचारिक वक्तव्य
ज़र्मेलो-फ्रेंकेल अभिगृहीतों की औपचारिक भाषा में, अभिगृहीत इस प्रकार पढ़ा जाता है:
 * $$\exists \mathbf{I} \, ( \empty \in \mathbf{I} \, \land \, \forall x \in \mathbf{I} \, ( \, ( x \cup \{x\} ) \in \mathbf{I} ) ) .$$

शब्दों में, एक ऐसे समुच्चय I (जिसे अपरिमित माना जाता है) का अस्तित्व इस प्रकार है, कि रिक्त समुच्चय, I में है, और जब भी कोई x, I का सदस्य होता है, तो x और इसके एकल समुच्चय {x} के संघ से बना समुच्चय भी I का एक सदस्य होता है। इस प्रकार के समुच्चय को कभी-कभी आगमनात्मक समुच्चय कहा जाता है।

व्याख्या और परिणाम
यह अभिगृहीत समुच्चय सिद्धांत में प्राकृतिक संख्याओं के वॉन न्यूमैन निर्माण से निकटता से संबंधित है, जिसमें x के परवर्ती को x ∪ {x} के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि x एक समुच्चय है, तो यह समुच्चय सिद्धांत के अन्य अभिगृहीतों से अनुसरण करता है कि यह परवर्ती भी एक अद्वितीय रूप से परिभाषित समुच्चय होता है। परवर्तियों का उपयोग प्राकृतिक संख्याओं के सामान्य समुच्चय-सैद्धांतिक कूट-लेखन को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। इस कूट-लेखन में शून्य रिक्त समुच्चय होता है:


 * 0 = {}

नंबर 1, 0 का परवर्ती है:


 * 1 = 0 ∪ {0} = {} ∪ {0} = {0} = –.

इसी प्रकार, 2, 1 का परवर्ती है:


 * 2 = 1 ∪ {1} = {0} ∪ {1} = {0,1} = { {}, –  },

और इसी प्रकार आगे भी:


 * 3 = {0,1,2} = { {}, –, {{},  – } };


 * 4 = {0,1,2,3} = { {}, –, { {},  –  }, { {},  – , {{},  – } } }.

इस परिभाषा का एक परिणाम यह है कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या, सभी पूर्ववर्ती प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के बराबर होती है। प्रत्येक समुच्चय में शीर्ष स्तर पर तत्वों की गणना, निरूपित की गई प्राकृतिक संख्या के समान होती है, और सबसे गहन नेस्टेड (नीड़ित) रिक्त समुच्चय {} की नेस्टिंग (नीडन) गहराई भी समुच्चय द्वारा निरूपित की जाने वाली प्राकृतिक संख्या के बराबर होती है, इसमें उस समुच्चय में इसकी नेस्टिंग भी सम्मिलित है, जो उस संख्या का निरूपण करता है जिसका वह एक हिस्सा है।

यह निर्माण प्राकृतिक संख्याओं का निर्माण करता है। हालाँकि, अन्य अभिगृहीत सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय, $$\mathbb{N}_0$$ के अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए अपर्याप्त हैं। इसलिए, इसके अस्तित्व को एक अभिगृहीत, अनंत का अभिगृहीत, के रूप में लिया जाता है। यह अभिगृहीत दावा करता है कि एक ऐसे समुच्चय I का अस्तित्व है जिसमें 0 को समाहित करता है और परवर्ती लेने की संक्रिया के तहत बंद है; अर्थात्, I के प्रत्येक तत्व के लिए, उस तत्व का परवर्ती भी I में होता है।

इस प्रकार अभिगृहीत का सार है:


 * I, एक ऐसा समुच्चय है, जिसमें सभी प्राकृत संख्याएँ सम्मिलित हैं।

अनंत का अभिगृहीत भी वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल अभिगृहीतों में से एक है।

अनंत समुच्चय से प्राकृतिक संख्या निकालना
अपरिमित समुच्चय I प्राकृतिक संख्याओं का अधिसमुच्चय है। प्राकृतिक संख्याएँ स्वयं एक समुच्चय का गठन करती हैं, यह दर्शाने के लिए सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N को छोड़कर, अवांछित तत्वों को हटाने के लिए विशिष्टता की अभिगृहीत रूपरेखा को लागू किया जा सकता है। विस्तार के अभिगृहीत द्वारा यह समुच्चय अद्वितीय है।

प्राकृतिक संख्याएँ निकालने के लिए, हमें यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि कौन से समुच्चय प्राकृतिक संख्याएँ हैं। प्राकृतिक संख्याओं को इस प्रकार परिभाषित किया जा सकता है जो विस्तार के अभिगृहीत और आगमन के अभिगृहीत को छोड़कर किसी भी अभिगृहीत को नहीं मानता है, एक प्राकृतिक संख्या या तो शून्य या एक परवर्ती है और इसका प्रत्येक तत्व या तो शून्य है या इसके किसी अन्य तत्व का परवर्ती है। औपचारिक भाषा में, परिभाषा का कथन है:


 * $$\forall n (n \in \mathbf{N} \iff ([n = \empty \,\,\lor\,\, \exists k ( n = k \cup \{k\} )] \,\,\land\,\, \forall m \in n[m = \empty \,\,\lor\,\, \exists k \in n ( m = k \cup \{k\} )])).$$

या, और भी औपचारिक रूप से:


 * $$\forall n (n \in \mathbf{N} \iff ([\forall k (\lnot k \in n) \lor \exists k \forall j (j \in n \iff (j \in k \lor j = k))] \land$$
 * $$\forall m (m \in n \Rightarrow [\forall k (\lnot k \in m) \lor \exists k (k \in n \land \forall j (j \in m \iff (j \in k \lor j = k)))]))).$$

वैकल्पिक विधि
एक वैकल्पिक विधि निम्नलिखित है। माना $$\Phi(x)$$ वह सूत्र है, जो यह कहता है कि "x आगमनात्मक" है; अर्थात्, $$\Phi(x) = (\emptyset \in x \wedge \forall y(y \in x \to (y \cup \{y\} \in x)))$$

अनौपचारिक रूप से, हम सभी आगमनात्मक समुच्चयों के प्रतिच्छेदन को लेते हैं। अधिक औपचारिक रूप से, हम एक ऐसे अद्वितीय समुच्चय $$W$$ के अस्तित्व को सिद्ध करना चाहते हैं कि


 * $$\forall x(x \in W \leftrightarrow \forall I(\Phi(I) \to x \in I)).$$ (*)

अस्तित्व के लिए, हम विशिष्टता के अभिगृहीत रूपरेखा के साथ संयुक्त अनंत के अभिगृहीत का उपयोग करते हैं। माना $$I$$ अनंत के अभिगृहीत द्वारा आश्वस्त आगमनात्मक समुच्चय है। फिर हम अपने समुच्चय $$W = \{x \in I:\forall J(\Phi(J) \to x \in J)\}$$ को परिभाषित करने के लिए विशिष्टता की अभिगृहीत रूपरेखा का उपयोग करते हैं, अर्थात् $$W$$, $$I$$ के ऐसे सभी तत्वों का समुच्चय है जो प्रत्येक अन्य आगमनात्मक समुच्चय के तत्व भी होते हैं। यह स्पष्ट रूप से (*) की परिकल्पना को संतुष्ट करता है, क्योंकि यदि $$x \in W$$, तो $$x$$ प्रत्येक आगमनात्मक समुच्चय में होता है, और यदि $$x$$ प्रत्येक आगमनात्मक समुच्चय में है, तो यह विशेष रूप से $$I$$ में होता है, इसलिए इसे $$W$$ में भी होना चाहिए।

अद्वितीयता के लिए, पहले ध्यान दें कि (*) को संतुष्ट करने वाला कोई भी समुच्चय स्वयं आगमनात्मक होता है, क्योंकि 0 सभी आगमनात्मक समुच्चयों में होता है, और यदि कोई तत्व $$x$$ सभी आगमनात्मक समुच्चयों में है, तो आगमनात्मक गुण द्वारा यह इसका परवर्ती होता है। इस प्रकार यदि $$W'$$ऐसा एक अन्य समुच्चय था जो (*) को संतुष्ट करता था, तो हमें निम्न परिणाम प्राप्त होते हैंː $$W' \subseteq W$$, क्योंकि $$W$$ आगमनात्मक है, और $$W \subseteq W'$$, क्योंकि $$W'$$ आगमनात्मक है। इस प्रकार $$W = W'$$। माना $$\omega$$ इस अद्वितीय तत्व को दर्शाता है।

यह परिभाषा सुविधाजनक है क्योंकि आगमन का सिद्धांत तत्काल अनुसरण करता है कि यदि $$I \subseteq \omega$$ आगमनात्मक है, तो $$\omega \subseteq I$$ भी आगमनात्मक होता है। इस प्रकार $$I = \omega$$।

ये दोनों विधियाँ ऐसे निकाय उत्पन्न करती हैं जो द्वितीय-कोटि अंकगणित के अभिगृहीतों को संतुष्ट करते हैं, क्योंकि घात समुच्चय का अभिगृहीत हमें द्वितीय-कोटि तर्क के समान, $$\omega$$ के घात समुच्चय पर परिमाण निर्धारित करने की अनुमति देता है। इस प्रकार ये दोनों पूर्णतः समरूप निकाय निर्धारित करते हैं, और चूँकि ये तत्समक प्रतिचित्र के तहत समरूप होते हैं, अतः ये वास्तव में बराबर होने चाहिए।

स्पष्ट रूप से कमजोर संस्करण
कुछ पुराने शास्त्र, अनंत के अभिगृहीत के स्पष्ट रूप से कमजोर संस्करण का उपयोग करते हैं, अर्थात्
 * $$ \exists x \, ( \exists y \, ( y \in x ) \, \land \, \forall y ( y \in x \, \rightarrow \, \exists z ( z \in x \, \land \, y \subsetneq z ) ) ) \,.$$

इसका कथन है कि x में एक तत्व है और x के प्रत्येक तत्व y के लिए x का एक और तत्व ऐसा है, जो y का एक यथार्थ अधिसमुच्चय है। इसका तात्पर्य है कि x, इसकी संरचना के बारे में बहुत कुछ कहे बिना एक अपरिमित समुच्चय है। हालाँकि, ज़ेडएफ के अन्य अभिगृहीतों की सहायता से हम दर्शा सकते हैं कि यह ω के अस्तित्व को दर्शाता है। सर्वप्रथम, यदि हम किसी अपरिमित समुच्चय x का घात समुच्चय लेते हैं, तो उस घात समुच्चय में ऐसे तत्व सम्मिलित होते हैं जो प्रत्येक परिमित गणनांक (कार्डिनैलिटी) (x के अन्य उपसमुच्चयों के बीच) के x के उपसमुच्चय हैं। इन परिमित उपसमुच्चयों के अस्तित्व को सिद्ध करने के लिए विभाजन के अभिगृहीत या युग्मन और संघ के अभिगृहीतों की आवश्यकता हो सकती है। फिर हम x के उस घातसमुच्चय के प्रत्येक तत्व को समान कार्डिनैलिटी की प्रारंभिक क्रमसूचक संख्या (या शून्य, यदि ऐसा कोई क्रमसूचक नहीं है) द्वारा प्रतिस्थापित करने के लिए प्रतिस्थापन के अभिगृहीत को लागू कर सकते हैं। क्रमसूचकों का एक अपरिमित समुच्चय इसका परिणाम होता है। फिर हम ω से अधिक या उसके बराबर क्रमसूचक प्राप्त करने के लिए संघ के अभिगृहीत को लागू कर सकते हैं।

स्वतंत्रता
यदि ये सुसंगत हैं तो अनंत के अभिगृहीत को ज़ेडएफसी के अन्य अभिगृहीतों से सिद्ध नहीं किया जा सकता है। (कारण देखने के लिए, ध्यान दें कि ज़ेडएफसी $$\vdash$$ कॉन(ज़ेडएफसी - अनंत) और गोडेल की दूसरी अपूर्णता प्रमेय का उपयोग करें।)

यदि ये सुसंगत हैं, तो ज़ेडएफसी के शेष अभिगृहीतों से अनंत के अभिगृहीत का निषेध नहीं किया जा सकता है। (यह ये कहने के समान है कि यदि अन्य अभिगृहीत सुसंगत हैं, तो ज़ेडएफसी भी सुसंगत है।) हम इसे मानते हैं, लेकिन सिद्ध नहीं कर सकते (यदि यह सत्य है)।

वास्तव में, वॉन न्यूमैन समष्टि का उपयोग करके, हम जेडएफसी - अनंत + (¬अनंत) का एक मॉडल बना सकते हैं। जो कि वंशानुगत सदस्यता संबंध के साथ वंशानुगत रूप से परिमित समुच्चय का वर्ग, $$V_\omega \!$$ है। ध्यान दें कि यदि रिक्त समुच्चय के अभिगृहीत को इस निकाय के एक भाग के रूप में नहीं लिया जाता है (चूँकि इसे ज़ेडएफ + अनंत से प्राप्त किया जा सकता है), तो रिक्त प्रांत भी ज़ेडएफसी - अनंत + ¬अनंत को संतुष्ट करता है, क्योंकि इसके सभी अभिगृहीत सार्वभौमिक परिमाणित हैं, और किसी समुच्चय की अनुपस्थिति में यह इस प्रकार तुच्छ रूप से संतुष्ट है।

प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय की कार्डिनैलिटी, एलेफ नल ($$\aleph_0$$) में एक बड़े कार्डिनल के कई गुण होते हैं। इस प्रकार अनंत के अभिगृहीत को कभी-कभी प्रथम बड़े कार्डिनल अभिगृहीत के रूप में माना जाता है, और इसके विपरीत बड़े कार्डिनल अभिगृहीतों को कभी-कभी अनंत के प्रबल अभिगृहीत कहा जाता है।

यह भी देखें

 * पियानो के अभिगृहीत
 * परिमितता

संदर्भ

 * Paul Halmos (1960) Naive Set Theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company. Reprinted 1974 by Springer-Verlag. ISBN 0-387-90092-6.
 * Thomas Jech (2003) Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer-Verlag. ISBN 3-540-44085-2.
 * Kenneth Kunen (1980) Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.