सातत्य समीकरण

एक निरंतरता समीकरण या परिवहन समीकरण एक समीकरण है जो कुछ मात्रा के परिवहन का वर्णन करता है। संरक्षित मात्रा पर लागू होने पर यह विशेष रूप से सरल और शक्तिशाली होता है, लेकिन इसे किसी भी गहन और व्यापक गुणों पर लागू करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। चूँकि द्रव्यमान, ऊर्जा, संवेग, विद्युत आवेश और अन्य प्राकृतिक मात्राएँ उनकी संबंधित उपयुक्त परिस्थितियों में संरक्षित होती हैं, निरंतरता समीकरणों का उपयोग करके विभिन्न प्रकार की भौतिक घटनाओं का वर्णन किया जा सकता है।

निरंतरता समीकरण संरक्षण कानून (भौतिकी) का एक मजबूत, स्थानीय रूप है। उदाहरण के लिए, ऊर्जा के संरक्षण के नियम का एक कमजोर संस्करण कहता है कि ऊर्जा को न तो बनाया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है- यानी, ब्रह्मांड में ऊर्जा की कुल मात्रा निश्चित है। यह कथन इस संभावना से इंकार नहीं करता है कि ऊर्जा की एक मात्रा एक बिंदु से गायब हो सकती है जबकि एक साथ दूसरे बिंदु पर प्रकट हो सकती है। एक मजबूत बयान यह है कि ऊर्जा 'स्थानीय रूप से' संरक्षित है: ऊर्जा को न तो बनाया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है, न ही एक स्थान से दूसरे स्थान पर टेलीपोर्टेशन कर सकता है - यह केवल एक सतत प्रवाह से स्थानांतरित हो सकता है। निरंतरता समीकरण इस प्रकार के कथन को व्यक्त करने का गणितीय तरीका है। उदाहरण के लिए, विद्युत आवेश के लिए निरंतरता समीकरण बताता है कि अंतरिक्ष के किसी भी आयतन में विद्युत आवेश की मात्रा केवल उस आयतन में या उसकी सीमाओं के माध्यम से प्रवाहित होने वाली विद्युत धारा की मात्रा से बदल सकती है।

निरंतरता समीकरणों में आमतौर पर स्रोत और सिंक शब्द शामिल हो सकते हैं, जो उन्हें उन मात्राओं का वर्णन करने की अनुमति देते हैं जो अक्सर होती हैं लेकिन हमेशा संरक्षित नहीं होती हैं, जैसे आणविक प्रजातियों का घनत्व जो रासायनिक प्रतिक्रियाओं द्वारा बनाया या नष्ट किया जा सकता है। रोज़मर्रा के उदाहरण में, जीवित लोगों की संख्या के लिए एक निरंतरता समीकरण है; इसमें जन्म लेने वाले लोगों के लिए एक स्रोत शब्द है, और मरने वाले लोगों के लिए एक सिंक शब्द है।

किसी भी निरंतरता समीकरण को एक अभिन्न रूप में व्यक्त किया जा सकता है (फ्लक्स # फ्लक्स एक सतह अभिन्न के रूप में), जो किसी परिमित क्षेत्र पर लागू होता है, या एक अंतर रूप में (विचलन ऑपरेटर के संदर्भ में) जो एक बिंदु पर लागू होता है।

निरंतरता समीकरण अधिक विशिष्ट परिवहन समीकरणों जैसे कि संवहन-प्रसार समीकरण, बोल्ट्ज़मैन परिवहन समीकरण और नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के अंतर्गत आते हैं।

निरंतरता समीकरणों द्वारा शासित प्रवाहों को सैंकी आरेख का उपयोग करके देखा जा सकता है।

प्रवाह की परिभाषा
निरंतरता समीकरण तब उपयोगी होता है जब फ्लक्स को परिभाषित किया जा सकता है। फ्लक्स को परिभाषित करने के लिए पहले एक मात्रा होनी चाहिए $q$ जो प्रवाहित या गतिमान हो सकता है, जैसे द्रव्यमान, ऊर्जा, विद्युत आवेश, संवेग, अणुओं की संख्या आदि $ρ$ इस मात्रा का आयतन घनत्व हो, यानी की मात्रा $q$ प्रति इकाई मात्रा।

जिस तरह से यह मात्रा $q$ प्रवाहित हो रहा है इसका वर्णन इसके प्रवाह द्वारा किया जाता है। का प्रवाह $q$ एक सदिश क्षेत्र है, जिसे हम j से निरूपित करते हैं। फ्लक्स के कुछ उदाहरण और गुण इस प्रकार हैं:
 * प्रवाह का आयाम राशि है $q$ एक इकाई क्षेत्र के माध्यम से प्रति इकाई समय में प्रवाहित होती है। उदाहरण के लिए, बहते पानी के लिए द्रव्यमान निरंतरता समीकरण में, यदि 1 ग्राम प्रति सेकंड पानी एक पाइप के माध्यम से बह रहा है जिसका अनुप्रस्थ-अनुभागीय क्षेत्रफल 1 सेमी है2, फिर औसत द्रव्यमान प्रवाह $j$ पाइप के अंदर है (1 g/s) / cm2, और इसकी दिशा पाइप के साथ उस दिशा में है जिस दिशा में पानी बह रहा है। पाइप के बाहर, जहाँ पानी नहीं है, फ्लक्स शून्य है।
 * यदि कोई वेग क्षेत्र है $u$ जो प्रासंगिक प्रवाह का वर्णन करता है—दूसरे शब्दों में, यदि सभी मात्रा $q$ एक बिंदु पर $x$ वेग से चल रहा है $u(x)$—तब फ्लक्स परिभाषा के अनुसार वेग क्षेत्र के घनत्व गुणा के बराबर होता है:
 * $$\mathbf{j} = \rho \mathbf{u}$$
 * उदाहरण के लिए, यदि बहते पानी के द्रव्यमान निरंतरता समीकरण में, $u$ प्रत्येक बिंदु पर पानी का वेग है, और $ρ$ प्रत्येक बिंदु पर पानी का घनत्व है, तब $j$ द्रव्यमान प्रवाह होगा।

* यदि कोई काल्पनिक सतह है $j$, फिर फ्लक्स ओवर का सतह अभिन्न  $q$ की मात्रा के बराबर है $S$ जो सतह से गुजर रहा है $dS$ प्रति यूनिट समय:
 * एक प्रसिद्ध उदाहरण में, विद्युत आवेश का प्रवाह विद्युत प्रवाह घनत्व है।


 * जिसमें $\iint_S d\mathbf{S}$ एक सतह अभिन्न है।

(ध्यान दें कि जिस अवधारणा को यहां फ्लक्स कहा जाता है, उसे वैकल्पिक रूप से कुछ साहित्य में फ्लक्स घनत्व कहा जाता है, जिसके संदर्भ में फ्लक्स फ्लक्स घनत्व के सतह अभिन्न अंग को दर्शाता है। विवरण के लिए फ्लक्स पर मुख्य लेख देखें।)

अभिन्न रूप
निरंतरता समीकरण का अभिन्न रूप बताता है कि:
 * की राशि $S$ एक क्षेत्र में अतिरिक्त होने पर बढ़ता है $S$ क्षेत्र की सतह से अंदर की ओर बहती है, और जब यह बाहर की ओर बहती है तो घट जाती है;
 * की राशि $q$ एक क्षेत्र में नया होने पर बढ़ता है $S$ क्षेत्र के अंदर बनाया जाता है, और कब घटता है $q$ नष्ट हो चुका है;
 * इन दोनों प्रक्रियाओं के अतिरिक्त राशि का कोई अन्य उपाय नहीं है $q$ एक क्षेत्र में बदलने के लिए।

गणितीय रूप से, निरंतरता समीकरण का अभिन्न रूप जो वृद्धि की दर को व्यक्त करता है $q$ वॉल्यूम के भीतर $q$ है:

कहाँ
 * $q$ कोई भी काल्पनिक बंद सतह है, जो एक आयतन को घेरती है $q$,
 * $$ उस बंद सतह पर सतह अभिन्न को दर्शाता है,
 * $q$ मात्रा में मात्रा की कुल राशि है $V$,
 * $S$ का प्रवाह है $V$,
 * $S$ यह समय है,
 * $S$ शुद्ध दर है कि $V$ वॉल्यूम के अंदर उत्पन्न हो रहा है $S$ प्रति यूनिट समय। कब $dS$ उत्पन्न हो रहा है, इसे का स्रोत कहते हैं $q$, और यह बनाता है $V$ अधिक सकारात्मक। कब $j$ नष्ट हो रहा है, इसे सिंक कहा जाता है $q$, और यह बनाता है $t$ अधिक नकारात्मक। यह शब्द कभी-कभी लिखा जाता है $$dq/dt|_\text{gen}$$ या नियंत्रण आयतन के अंदर इसकी उत्पत्ति या विनाश से क्यू का कुल परिवर्तन।

एक साधारण उदाहरण में, $Σ$ एक इमारत हो सकती है, और $q$ इमारत में लोगों की संख्या हो सकती है। सतह $V$ में भवन की दीवारें, दरवाजे, छत और नींव शामिल होगी। फिर निरंतरता समीकरण बताता है कि जब लोग इमारत में प्रवेश करते हैं तो लोगों की संख्या बढ़ जाती है (सतह के माध्यम से एक आवक प्रवाह), जब लोग इमारत से बाहर निकलते हैं (सतह के माध्यम से एक बाहरी प्रवाह), घट जाती है जब इमारत में कोई व्यक्ति देता है जन्म (एक स्रोत, $q$), और घटता है जब इमारत में किसी की मृत्यु हो जाती है (एक सिंक, $q$).

विभेदक रूप
विचलन प्रमेय द्वारा, एक सामान्य निरंतरता समीकरण को अंतर रूप में भी लिखा जा सकता है:

कहाँ
 * $Σ$ विचलन है,
 * $q$ मात्रा की मात्रा है $q$ प्रति इकाई आयतन,
 * $Σ$ का प्रवाह घनत्व है $V$,
 * $q$ यह समय है,
 * $S$ की पीढ़ी है $Σ > 0$ प्रति इकाई आयतन प्रति इकाई समय। उत्पन्न करने वाली शर्तें $Σ < 0$ (अर्थात।, $∇⋅$) या हटा दें $ρ$ (अर्थात।, $q$) को क्रमशः स्रोत और सिंक कहा जाता है।

इस सामान्य समीकरण का उपयोग किसी भी निरंतरता समीकरण को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है, जो वॉल्यूम निरंतरता समीकरण के रूप में सरल से लेकर नेवियर-स्टोक्स समीकरण के रूप में जटिल है। यह समीकरण संवहन समीकरण का भी सामान्यीकरण करता है। भौतिकी में अन्य समीकरण, जैसे कि गॉस का नियम | विद्युत क्षेत्र का गॉस का नियम और गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस का नियम, निरंतरता समीकरण के समान गणितीय रूप है, लेकिन आमतौर पर शब्द निरंतरता समीकरण द्वारा संदर्भित नहीं किया जाता है, क्योंकि $j$ उन मामलों में वास्तविक भौतिक मात्रा के प्रवाह का प्रतिनिधित्व नहीं करता है।

उस मामले में $q$ एक संरक्षण कानून (भौतिकी) है जिसे बनाया या नष्ट नहीं किया जा सकता (जैसे ऊर्जा), $t$ और समीकरण बन जाते हैं: $$\frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{j} = 0$$

विद्युत चुंबकत्व
विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत में, निरंतरता समीकरण एक अनुभवजन्य कानून है जो चार्ज संरक्षण (स्थानीय) व्यक्त करता है। गणितीय रूप से यह मैक्सवेल के समीकरणों का स्वत: परिणाम है, हालांकि चार्ज संरक्षण मैक्सवेल के समीकरणों की तुलना में अधिक मौलिक है। यह बताता है कि वर्तमान घनत्व का विचलन $σ$ (एम्पीयर प्रति वर्ग मीटर में) आवेश घनत्व के परिवर्तन की ऋणात्मक दर के बराबर है $q$ (कूलम्ब प्रति घन मीटर में), $$ \nabla \cdot \mathbf{J} = - \frac{\partial \rho}{\partial t} $$

$$

करंट आवेश की गति है। निरंतरता समीकरण कहता है कि यदि आवेश एक विभेदक आयतन से बाहर निकल रहा है (अर्थात, वर्तमान घनत्व का विचलन धनात्मक है) तो उस आयतन के भीतर आवेश की मात्रा घटने वाली है, इसलिए आवेश घनत्व के परिवर्तन की दर ऋणात्मक है। इसलिए, निरंतरता समीकरण आवेश के संरक्षण के बराबर है।

यदि चुंबकीय मोनोपोल मौजूद हैं, तो मोनोपोल धाराओं के लिए निरंतरता समीकरण भी होगा, पृष्ठभूमि के लिए मोनोपोल आलेख और विद्युत और चुंबकीय धाराओं के बीच द्वंद्व देखें।

द्रव गतिकी
द्रव गतिकी में, निरंतरता समीकरण बताता है कि जिस दर पर द्रव्यमान एक प्रणाली में प्रवेश करता है वह उस दर के बराबर होता है जिस पर द्रव्यमान प्रणाली को छोड़ देता है और साथ ही प्रणाली के भीतर द्रव्यमान का संचय होता है। निरंतरता समीकरण का अंतर रूप है: $$ \frac{\partial \rho}{\partial t} + \nabla \cdot (\rho \mathbf{u}) = 0$$ कहाँ
 * $q$ द्रव घनत्व है,
 * $σ > 0$ यह समय है,
 * $q$ प्रवाह वेग सदिश क्षेत्र है।

समय व्युत्पन्न को प्रणाली में द्रव्यमान के संचय (या हानि) के रूप में समझा जा सकता है, जबकि विचलन शब्द प्रवाह बनाम प्रवाह में अंतर का प्रतिनिधित्व करता है। इस संदर्भ में, यह समीकरण भी यूलर समीकरणों (द्रव गतिकी) में से एक है। नेवियर-स्टोक्स समीकरण रैखिक गति के संरक्षण का वर्णन करते हुए एक सदिश निरंतरता समीकरण बनाते हैं।

यदि तरल असंपीड्य प्रवाह है (वॉल्यूमेट्रिक तनाव दर शून्य है), द्रव्यमान निरंतरता समीकरण वॉल्यूम निरंतरता समीकरण को सरल बनाता है: $$\nabla \cdot \mathbf{u} = 0,$$ जिसका अर्थ है कि वेग क्षेत्र का विचलन हर जगह शून्य है। शारीरिक रूप से, यह कहने के बराबर है कि स्थानीय आयतन फैलाव दर शून्य है, इसलिए एक अभिसरण पाइप के माध्यम से पानी का प्रवाह पूरी तरह से इसके वेग को बढ़ाकर समायोजित करेगा क्योंकि पानी काफी हद तक असम्पीडित है।

कंप्यूटर दृष्टि
कंप्यूटर दृष्टि में, ऑप्टिकल प्रवाह दृश्य दृश्य में वस्तुओं की स्पष्ट गति का पैटर्न है। इस धारणा के तहत कि गतिमान वस्तु की चमक दो छवि फ़्रेमों के बीच नहीं बदली, कोई ऑप्टिकल प्रवाह समीकरण को इस प्रकार प्राप्त कर सकता है: $$\frac{\partial I}{\partial x}V_x + \frac{\partial I}{\partial y}V_y + \frac{\partial I}{\partial t} = \nabla I\cdot\mathbf{V} + \frac{\partial I}{\partial t} = 0$$ कहाँ
 * $σ < 0$ यह समय है,
 * $j$ छवि में निर्देशांक करता है,
 * $q$ छवि निर्देशांक पर छवि तीव्रता है $σ = 0$ और समय $$,
 * $J$ ऑप्टिकल प्रवाह वेग वेक्टर है $$(V_x, V_y)$$ छवि समन्वय पर $ρ$ और समय $t$

ऊर्जा और ताप
ऊर्जा का संरक्षण कहता है कि ऊर्जा को न तो बनाया जा सकता है और न ही नष्ट किया जा सकता है। (सामान्य सापेक्षता से जुड़ी बारीकियों के लिए #सामान्य सापेक्षता देखें।) इसलिए, ऊर्जा प्रवाह के लिए एक निरंतरता समीकरण है: $$\frac{ \partial u}{\partial t} + \nabla \cdot \mathbf{q} = 0$$ कहाँ
 * $ρ$, स्थानीय ऊर्जा घनत्व (ऊर्जा प्रति इकाई आयतन),
 * $t$, एक वेक्टर के रूप में ऊर्जा प्रवाह (प्रति यूनिट क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र प्रति यूनिट समय में ऊर्जा का हस्तांतरण),

एक महत्वपूर्ण व्यावहारिक उदाहरण गर्मी का हस्तांतरण  है। जब गर्मी एक ठोस के अंदर प्रवाहित होती है, तो ऊष्मा समीकरण पर पहुंचने के लिए निरंतरता समीकरण को तापीय चालन # फूरियर के नियम | फूरियर के नियम (ताप प्रवाह तापमान प्रवणता के समानुपाती होता है) के साथ जोड़ा जा सकता है। ऊष्मा प्रवाह के समीकरण में स्रोत की शर्तें भी हो सकती हैं: हालांकि ऊर्जा को बनाया या नष्ट नहीं किया जा सकता है, गर्मी को अन्य प्रकार की ऊर्जा से बनाया जा सकता है, उदाहरण के लिए घर्षण या जूल हीटिंग के माध्यम से।

संभाव्यता वितरण
यदि कोई ऐसी मात्रा है जो स्टोचैस्टिक (यादृच्छिक) प्रक्रिया के अनुसार लगातार चलती है, जैसे कि एक प्रकार कि गति के साथ एकल विघटित अणु का स्थान, तो इसके संभाव्यता वितरण के लिए एक निरंतरता समीकरण है। इस मामले में प्रवाह प्रति इकाई क्षेत्र प्रति इकाई समय की संभावना है कि कण एक सतह से गुजरता है। निरंतरता समीकरण के अनुसार, इस प्रवाह का नकारात्मक विचलन संभाव्यता घनत्व के परिवर्तन की दर के बराबर है। निरंतरता समीकरण इस तथ्य को दर्शाता है कि अणु हमेशा कहीं होता है - इसकी संभावना वितरण का अभिन्न अंग हमेशा 1 के बराबर होता है - और यह एक निरंतर गति (कोई टेलीपोर्टेशन) से चलता है।

क्वांटम यांत्रिकी
क्वांटम यांत्रिकी एक अन्य डोमेन है जहां संभाव्यता के संरक्षण से संबंधित एक निरंतरता समीकरण है। समीकरण में शर्तों के लिए निम्नलिखित परिभाषाओं की आवश्यकता होती है, और उपरोक्त अन्य उदाहरणों की तुलना में थोड़ा कम स्पष्ट है, इसलिए उन्हें यहां रेखांकित किया गया है:

इन परिभाषाओं के साथ निरंतरता समीकरण पढ़ता है: $$\nabla \cdot \mathbf{j} + \frac{\partial\rho}{\partial t} = 0 \mathrel{\rightleftharpoons} \nabla \cdot \mathbf{j} + \frac{\partial |\Psi|^2}{\partial t} = 0.$$ कोई भी प्रपत्र उद्धृत किया जा सकता है। सहज रूप से, उपरोक्त मात्राएँ इंगित करती हैं कि यह संभाव्यता के प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है। कण को ​​​​किसी स्थान पर खोजने की संभावना $u$ और समय $t$ द्रव की तरह बहता है; इसलिए पद प्रायिकता धारा, एक सदिश क्षेत्र। कण ही ​​इस सदिश क्षेत्र में नियतात्मक प्रणाली को प्रवाहित नहीं करता है।
 * तरंग समारोह $t$ स्थिति और संवेग स्थान (बजाय स्थिति और संवेग स्थान) में एक कण के लिए, यानी स्थिति का एक कार्य $x, y$ और समय $I$, $(x, y)$.
 * प्रायिकता घनत्व फलन है $$\rho(\mathbf{r}, t) = \Psi^{*}(\mathbf{r}, t)\Psi(\mathbf{r}, t) = |\Psi(\mathbf{r}, t)|^2. $$
 * कण के भीतर खोजने की संभावना $V$ पर $t$ द्वारा दर्शाया और परिभाषित किया गया है $$P = P_{\mathbf{r} \in V}(t) = \int_V \Psi^*\Psi dV = \int_V |\Psi|^2 dV.$$
 * संभाव्यता वर्तमान (उर्फ संभाव्यता प्रवाह) है $$\mathbf{j}(\mathbf{r}, t) = \frac{\hbar}{2mi} \left[ \Psi^{*} \left( \nabla\Psi \right) - \Psi \left( \nabla\Psi^{*} \right) \right].$$

$t$

सेमीकंडक्टर
सेमीकंडक्टर में कुल करंट प्रवाह में प्रवाहकत्त्व बैंड और वैलेंस बैंड में छेद दोनों इलेक्ट्रॉनों के बहाव प्रवाह और प्रसार प्रवाह होते हैं।

एक आयाम में इलेक्ट्रॉनों के लिए सामान्य रूप: $$\frac{\partial n}{\partial t} = n \mu_n \frac{\partial E}{\partial x} + \mu_n E \frac{\partial n}{\partial x} + D_n \frac{\partial^2 n}{\partial x^2} + (G_n - R_n)$$ कहाँ:
 * n इलेक्ट्रॉनों की स्थानीय सांद्रता है
 * $$\mu_n$$ इलेक्ट्रॉन गतिशीलता है
 * E रिक्तीकरण क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र है
 * डीnइलेक्ट्रॉनों के लिए प्रसार गुणांक है
 * जीnइलेक्ट्रॉनों की पीढ़ी की दर है
 * आरnइलेक्ट्रॉनों के पुनर्संयोजन की दर है

इसी तरह, छिद्रों के लिए: $$\frac{\partial p}{\partial t} = -p \mu_p \frac{\partial E}{\partial x} - \mu_p E \frac{\partial p}{\partial x} + D_p \frac{\partial^2 p}{\partial x^2} + (G_p - R_p)$$ कहाँ:
 * पी छिद्रों की स्थानीय सांद्रता है
 * $$\mu_p$$ छिद्र गतिशीलता है
 * E रिक्तीकरण क्षेत्र में विद्युत क्षेत्र है
 * डीpछिद्रों के लिए प्रसार गुणांक है
 * जीpछिद्रों के निर्माण की दर है
 * आरpछिद्रों के पुनर्संयोजन की दर है

व्युत्पत्ति
यह खंड इलेक्ट्रॉनों के लिए उपरोक्त समीकरण की व्युत्पत्ति प्रस्तुत करता है। छिद्रों के समीकरण के लिए एक समान व्युत्पत्ति पाई जा सकती है।

इस तथ्य पर विचार करें कि एक्स-अक्ष के साथ क्रॉस-अनुभागीय क्षेत्र, ए, और लंबाई, डीएक्स के साथ अर्धचालक सामग्री की मात्रा में इलेक्ट्रॉनों की संख्या संरक्षित है। अधिक सटीक, कोई कह सकता है: $$\text{Rate of change of electron density} = (\text{Electron flux in} - \text{Electron flux out}) + \text{Net generation inside a volume}$$ गणितीय रूप से, इस समानता को लिखा जा सकता है: $$\begin{align} \frac{dn}{dt} A \, dx &= [J(x+dx)-J(x)]\frac{A}{e} + (G_n - R_n)A \, dx \\[3pt] \frac{dn}{dt} A \, dx &= [J(x)+\frac{dJ}{dx}dx-J(x)]\frac{A}{e} + (G_n - R_n)A \, dx \\[3pt] \frac{dn}{dt}        &= \frac{1}{e}\frac{dJ}{dx} + (G_n - R_n) \end{align}$$यहाँ J सेमीकंडक्टर के विचारित आयतन के भीतर इलेक्ट्रॉन प्रवाह के कारण वर्तमान घनत्व (जिसकी दिशा परिपाटी द्वारा इलेक्ट्रॉन प्रवाह के विरुद्ध है) को दर्शाता है। इसे इलेक्ट्रॉन धारा घनत्व भी कहते हैं।

कुल इलेक्ट्रॉन वर्तमान घनत्व बहाव वर्तमान और प्रसार वर्तमान घनत्व का योग है: $$J_n = en\mu_nE + eD_n\frac{dn}{dx}$$ इसलिए, हमारे पास है $$\frac{dn}{dt} = \frac{1}{e}\frac{d}{dx}\left(en\mu_n E + eD_n\frac{dn}{dx}\right) + (G_n - R_n)$$ उत्पाद नियम को लागू करने से अंतिम अभिव्यक्ति होती है: $$\frac{dn}{dt} = \mu_n E\frac{dn}{dx} + \mu_n n\frac{dE}{dx} + D_n\frac{d^2 n}{dx^2} + (G_n - R_n)$$

समाधान
इन समीकरणों को वास्तविक उपकरणों में हल करने की कुंजी जब भी संभव हो ऐसे क्षेत्रों का चयन करना है जिनमें अधिकांश तंत्र नगण्य हैं ताकि समीकरण बहुत सरल रूप में कम हो जाएं।

विशेष सापेक्षता
विशेष सापेक्षता के अंकन और उपकरण, विशेष रूप से 4-वेक्टर और 4-ढाल, किसी भी निरंतरता समीकरण को लिखने का एक सुविधाजनक तरीका प्रदान करते हैं।

किसी मात्रा का घनत्व $V$ और इसका करंट $(x, y)$ को 4-वेक्टर में जोड़ा जा सकता है जिसे 4-वर्तमान कहा जाता है: $$J = \left(c \rho, j_x, j_y, j_z \right)$$ कहाँ $u$ प्रकाश की गति है। इस धारा का 4-विचलन है: $$ \partial_\mu J^\mu = c \frac{ \partial \rho}{\partial ct} + \nabla \cdot \mathbf{j}$$ कहाँ $q$ 4-ढाल है और $Ψ$ अंतरिक्ष समय  आयाम को लेबल करने वाला एक  सूचकांक अंकन  है। फिर निरंतरता समीकरण है: $$\partial_\mu J^\mu = 0$$ सामान्य मामले में जहां कोई स्रोत या सिंक नहीं हैं, यानी ऊर्जा या चार्ज जैसी पूरी तरह से संरक्षित मात्रा के लिए। यह निरंतरता समीकरण प्रकट रूप से (स्पष्ट रूप से) लोरेंत्ज़ अपरिवर्तनीय है।

इस रूप में अक्सर लिखे जाने वाले निरंतरता समीकरणों के उदाहरणों में विद्युत आवेश संरक्षण शामिल है $$\partial_\mu J^\mu = 0$$ कहाँ $r$ विद्युत 4-धारा है; और ऊर्जा-संवेग संरक्षण $$\partial_\nu T^{\mu\nu} = 0$$ कहाँ $t$ तनाव-ऊर्जा टेंसर है।

सामान्य सापेक्षता
सामान्य सापेक्षता में, जहां अंतरिक्ष-समय घुमावदार होता है, ऊर्जा, आवेश या अन्य संरक्षित मात्राओं के लिए निरंतरता समीकरण (अंतर रूप में) में साधारण विचलन के बजाय सहसंयोजक व्युत्पन्न शामिल होता है।

उदाहरण के लिए, तनाव-ऊर्जा टेंसर एक दूसरे क्रम का टेंसर क्षेत्र है जिसमें द्रव्यमान-ऊर्जा वितरण के ऊर्जा-संवेग घनत्व, ऊर्जा-संवेग प्रवाह और कतरनी तनाव होते हैं। सामान्य सापेक्षता में ऊर्जा-संवेग संरक्षण का अंतर रूप बताता है कि तनाव-ऊर्जा टेंसर का सहसंयोजक विचलन शून्य है: $${T^\mu}_{\nu; \mu} = 0.$$ सामान्य सापेक्षता में आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों के रूप में यह एक महत्वपूर्ण बाधा है। हालांकि, वक्रीय निर्देशांक में साधारण टेन्सर # तनाव-ऊर्जा टेंसर के दूसरे क्रम के टेन्सर क्षेत्र आवश्यक रूप से गायब नहीं होते हैं: $$\partial_{\mu} T^{\mu\nu} = - \Gamma^{\mu}_{\mu \lambda} T^{\lambda \nu} - \Gamma^{\nu}_{\mu \lambda} T^{\mu \lambda},$$ केवल समतल ज्यामिति के लिए दाहिना भाग पूरी तरह से गायब हो जाता है।

परिणामस्वरूप, निरंतरता समीकरण के अभिन्न रूप को परिभाषित करना मुश्किल है और जरूरी नहीं कि उस क्षेत्र के लिए मान्य हो, जिसके भीतर स्पेसटाइम महत्वपूर्ण रूप से वक्रित हो (उदाहरण के लिए एक ब्लैक होल के आसपास, या पूरे ब्रह्मांड में)।

कण भौतिकी
क्वार्क और ग्लून्स का रंग आवेश होता है, जो हमेशा विद्युत आवेश की तरह संरक्षित होता है, और ऐसे रंग आवेश धाराओं के लिए एक निरंतरता समीकरण होता है (धाराओं के लिए स्पष्ट अभिव्यक्तियाँ ग्लूऑन क्षेत्र शक्ति टेंसर # गति के समीकरण में दी गई हैं)।

कण भौतिकी में कई अन्य मात्राएँ हैं जो अक्सर या हमेशा संरक्षित होती हैं: बेरिऑन संख्या (क्वार्क की संख्या के अनुपात में प्रतिक्वार्क की संख्या को घटाकर), लेप्टान संख्या|इलेक्ट्रॉन संख्या, एमयू संख्या, ताऊ संख्या, समभारिक प्रचक्रण, और अन्य। इनमें से प्रत्येक का संगत निरंतरता समीकरण है, संभवतः स्रोत/सिंक शर्तों सहित।

नोएदर का प्रमेय
भौतिकी में अक्सर संरक्षण समीकरणों के होने का एक कारण नोएदर का प्रमेय है। यह बताता है कि जब भी भौतिकी के नियमों में निरंतर समरूपता होती है, तो कुछ संरक्षित भौतिक मात्रा के लिए एक निरंतरता समीकरण होता है। तीन सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं:


 * समय अनुवाद के संबंध में भौतिकी के नियम अपरिवर्तनीय हैं | टाइम-ट्रांसलेशन- उदाहरण के लिए, भौतिकी के नियम आज भी वैसे ही हैं जैसे कल थे। यह समरूपता ऊर्जा के संरक्षण के लिए निरंतरता समीकरण की ओर ले जाती है।
 * भौतिकी के नियम अंतरिक्ष-अनुवाद के संबंध में अपरिवर्तनीय हैं- उदाहरण के लिए, ब्राजील में भौतिकी के नियम अर्जेंटीना में भौतिकी के नियमों के समान हैं। यह समरूपता गति के संरक्षण के लिए निरंतरता समीकरण की ओर ले जाती है।
 * अभिविन्यास के संबंध में भौतिकी के नियम अपरिवर्तनीय हैं—उदाहरण के लिए, बाह्य अंतरिक्ष में तैरते हुए, ऐसा कोई माप नहीं है जिससे आप यह कह सकें कि कौन सा मार्ग ऊपर की ओर है; आप कैसे उन्मुख हैं, भौतिकी के नियम समान हैं। यह समरूपता कोणीय गति के संरक्षण के लिए निरंतरता समीकरण की ओर ले जाती है।

यह भी देखें

 * वन-वे वेव समीकरण
 * संरक्षण कानून (भौतिकी)
 * संरक्षण प्रपत्र
 * अपव्यय प्रणाली

अग्रिम पठन

 * Hydrodynamics, H. Lamb, Cambridge University Press, (2006 digitalization of 1932 6th edition) ISBN 978-0-521-45868-9
 * Introduction to Electrodynamics (3rd Edition), D.J. Griffiths, Pearson Education Inc, 1999, ISBN 81-7758-293-3
 * Electromagnetism (2nd edition), I.S. Grant, W.R. Phillips, Manchester Physics Series, 2008 ISBN 0-471-92712-0
 * Gravitation, J.A. Wheeler, C. Misner, K.S. Thorne, W.H. Freeman & Co, 1973, ISBN 0-7167-0344-0