संशोधित असतत कोसाइन परिवर्तन

संशोधित असतत कोसाइन परिवर्तन (एमडीसीटी) टाइप-IV असतत कोसाइन परिवर्तन (डीसीटी-IV) पर आधारित एक परिवर्तन है। लैप्ड ट्रांसफॉर्म होने की अतिरिक्त गुण के साथ इसे एक बड़े डाटासेट के निरंतर ब्लॉक पर निष्पादित करने के लिए यह प्रारूपित किया गया है, जहाँ सबसीक्वेन्ट ब्लॉकों को ओवरलैप किया जाता है। जिससे एक ब्लॉक का अंतिम आधा अगले ब्लॉक के पहले भाग के साथ मिलान करता है। यह ओवरलैपिंग डीसीटी के ऊर्जा-संघनन गुणों के अतिरिक्त एमडीसीटी को सिग्नल संपीड़न अनुप्रयोगों के लिए विशेष रूप से आकर्षक बनाता है क्योंकि यह ब्लॉक सीमाओं से उत्पन्न संपीड़न विरूपण साक्ष्य से बचने में सहायता करता है। इन लाभ के परिणामस्वरूप एमडीसीटी ऑडियो डेटा संपीड़न में सबसे व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली लूजी कम्प्रेशन विधि है। यह एमपी3, डॉल्बी डिजिटल (एसी-3), वॉर्बिस(ओजीजी), विंडोज मीडिया ऑडियो (डब्लूएमए), एटीआऱसी, कुक कोडेक, हाई ऑडियो कोडिंग (एएसी), हाई-डेफिनिशन कोडिंग (एचडीसी), एलडीएसी (कोडेक), डॉल्बी एसी-4, और एमपीईजी-एच 3डी ऑडियो सहित अधिकांश आधुनिक ऑडियो कोडिंग मानकों में निरंतर कार्यरत है। इनके साथ ही भाषण कोडिंग मानकों जैसे एएसी-एलडी (एलडी-एमडीसीटी), G.722.1, G.729.1, सीईएलटी और ओपस (ऑडियो प्रारूप) आदि का भी प्रयोग किया जाता है्।

असतत कोज्या रूपांतरण (डीसीटी) पहली बार 1972 में एन. अहमद द्वारा प्रस्तावित किया गया था और 1974 में टी. नटराजन और के.आर. राव के साथ अहमद द्वारा प्रस्तुत किया गया। एमडीसीटी को बाद में जॉन पी. प्रिंसन, ए.डब्ल्यू. द्वारा प्रस्तावित किया गया था। 1987 में सरे विश्वविद्यालय में जॉनसन और एलन बी. ब्राडली, प्रिंसेन और ब्रैडली (1986) द्वारा पहले कार्य के बाद एमडीसीटी के टाइम-डोमेन अलियासिंग कैन्सिलेशन (टीडीएसी) के अंतर्निहित सिद्धांत को विकसित करने के लिए नीचे वर्णित किया गया है। (विभिन्न प्रकार के डीसीटी या डीसीटी/डीएसटी संयोजनों के आधार पर विभिन्न प्रकार के साइन ट्रांसफॉर्म के साथ-साथ अन्य, संभवतः ही कभी प्रयोग किए जाने वाले एमडीसीटी के रूपों के आधार पर एक अनुरूप परिवर्तन एमडीएसटी भी उपस्थित हैं।)

एमपी3 में, एमडीसीटी सीधे ऑडियो सिग्नल पर संचालित नहीं होता है। बल्कि 32-बैंड पॉलीफ़ेज़ क्वाडरेचर फ़िल्टर (पीक्यूएफ) बैंक के आउटपुट पर संचालित होता है। पीक्यूएफ फ़िल्टर बैंक के विशिष्ट अलियासिंग को कम करने के लिए इस एमडीसीटी के आउटपुट को उपनाम रिडक्शन सूत्र द्वारा पोस्टप्रोसेस किया जाता है। एमडीसीटी के साथ फ़िल्टर बैंक के इस प्रकार के संयोजन को हाइब्रिड फ़िल्टर बैंक या सबबैंड एमडीसीटी कहा जाता है। दूसरी ओर एएसी सामान्य रूप से एक शुद्ध एमडीसीटी का उपयोग करता है। केवल (संभवतः ही कभी प्रयोग किया जाने वाला) एमपीईजी-4 एएसी-एसएसआर संस्करण (सोनी द्वारा) एमडीसीटी के पश्चात चार-बैंड पीक्यूएफ बैंक का उपयोग करता है। एमपी3 के समान, एटीआरएसी एक एमडीसीटी के पश्चात स्टैक्ड चतुर्भुज दर्पण फिल्टर (क्यूएमएफ) का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा
लैप्ड ट्रांसफ़ॉर्म के रूप में, एमडीसीटी अन्य फूरियर-संबंधित ट्रांसफ़ॉर्म की तुलना में कुछ असामान्य होता है। जिसमें इनपुट के रूप में आधे आउटपुट हैं (समान संख्या के अतिरिक्त)। विशेष रूप से यह एक रैखिक $$F\colon \mathbf{R}^{2N} \to \mathbf{R}^N$$ फलन है (जहाँ R वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को है)। 2N वास्तविक संख्या x0, ..., x2N-1 N वास्तविक संख्या X0, ..., XN-1 में परिवर्तित हो जाते हैं। सूत्र के अनुसार:


 * $$X_k = \sum_{n=0}^{2N-1} x_n \cos \left[\frac{\pi}{N} \left(n+\frac{1}{2}+\frac{N}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right]$$

(इस परिवर्तन के सामने सामान्यीकरण गुणांक, यहाँ एकता, एक अनियमित सम्मेलन है और उपचारों के बीच भिन्न होते हैं। केवल एमडीसीटी और एमडीसीटी के सामान्यीकरण का प्रोडक्ट नीचे कॉन्सट्रेन्ड होता हैं।)

विपरीत परिवर्तन-
व्युत्क्रम एमडीसीटी को एमडीसीटी के रूप में जाना जाता है क्योंकि इनपुट और आउटपुट की विभिन्न संख्याएँ होती हैं। प्रथम बार ऐसा प्रतीत होता है कि एमडीसीटी विपरीत नहीं होना चाहिए। चूंकि इसके पश्चात के ओवरलैपिंग ब्लॉकों के ओवरलैप किए गए एमडीसीटी को 'जोड़' द्वारा पूर्ण अपवर्तनीय बनाया जा सकता है। जिससे त्रुटियाँ 'नष्ट' हो जाती हैं और मूल डेटा को पुनः प्राप्त किया जा सकता है। इस विधि को 'टाइम-डोमेन अलियासिंग कैंसलेशन' (टीडीएसी) के रूप में जाना जाता है।

आईएमडीसीटी N वास्तविक संख्या X0, ..., XN-1 को 2N वास्तविक संख्या y0, ..., y2N-1 के रूप में रूपान्तरित करता है। सूत्र के अनुसार:


 * $$y_n = \frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X_k \cos \left[\frac{\pi}{N} \left(n+\frac{1}{2}+\frac{N}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right) \right]$$

(डीसीटी-IV के समान एक ऑर्थोगोनल ट्रांसफ़ॉर्म, व्युत्क्रम का वही रूप है, जो फ़ॉरवर्ड ट्रांसफ़ॉर्म का रूप होता है।)

सामान्य विंडो सामान्यीकरण (नीचे देखें) के साथ एक विंडो एमडीसीटी की स्थिति में आईएमडीसीटी के सामने सामान्यीकरण गुणांक को 2 से गुणा किया जाना चाहिए (अर्थात 2/N बनाना)।

गणना
चूंकि एमडीसीटी सूत्र के सीधे आवेदन के लिए O(N2) ऑपरेशन फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफएफटी) के रूप में गणना को पुनरावर्ती रूप से कारक बनाकर केवल O(N log N) जटिलता के साथ एक ही वस्तु की गणना करना संभव है। कोई अन्य रूपांतरणों के माध्यम से एमडीसीटीएल की गणना भी कर सकता है। सामान्यतः एक डीएफटी (एफएफटी) या डीसीटी, O(N) पूर्व और पश्चात के प्रसंस्करण चरणों के साथ कम्प्यूट करता है। जैसा कि नीचे वर्णित किया गया है कि इसके अतिरिक्त डीसीटी-IV के लिए कोई भी एल्गोरिथम समान आकार के एमडीसीटी और एमडीसीटी की गणना करने के लिए तुरंत एक विधि प्रदान करता है।

विंडो फलन
विशिष्ट सिग्नल-संपीड़न अनुप्रयोगों में, विंडो फलन wn (n = 0, ..., 2N−1) का उपयोग करके रूपांतरण गुणों को अधिक उत्कृष्ट बनाया जाता है। जिसे उपरोक्त एमडीसीटी और आईएमडीसीटी सूत्रों में xn और yn से गुणा किया गया है। जिससे n = 0 और 2N लिमिट पर अनिरंतरता से बचा जा सके और उन बिंदुओं पर फलन निरंतर रूप से शून्य हो जाए। (अर्थात हम डेटा को एमडीसीटी से पहले और आईएमडीसीटी के पश्चात विंडो करते हैं।) सैद्धान्तिक रूप में x और y में विभिन्न विंडो फलन हो सकते हैं और विंडो फलन भी एक ब्लॉक से अगले ब्लॉक में परिवर्तित किया सकता है (विशेष रूप से उस स्थिति में जहां डेटा ब्लॉक होता है) विभिन्न आकारों के संयुक्त होते हैं, किन्तु सिम्प्लीसिटी के लिए हम समान आकार के ब्लॉकों के लिए समान विंडो फलन की सामान्य स्थिति पर विचार करते हैं।

सिमिट्रिक विंडो wn = w2N−1−n के लिए परिवर्तन विपरीत प्रदर्शित होता है (अर्थात् टीडीएसी काम करता है)। जब तक w प्रिंसेन-ब्रैडली नियम को संतुष्ट करता है:


 * $$w_n^2 + w_{n + N}^2 = 1$$.

विभिन्न विंडो फलन का उपयोग किया जाता है। एक विंडो, जो मॉड्युलेटेड लैप्ड ट्रांसफ़ॉर्म (एमएलटी) के रूप में जाना जाने वाला फ़ॉर्म उत्पन्न करती है, द्वारा प्रदान किया गया है-


 * $$w_n = \sin \left[\frac{\pi}{2N} \left(n+\frac{1}{2}\right) \right]$$

और एमपी3 और एमपीएजी-2 एएसी के लिए प्रयोग किया जाता है और


 * $$w_n = \sin \left( \frac{\pi}{2} \sin^2 \left[\frac{\pi}{2N} \left(n+\frac{1}{2}\right) \right] \right)$$

वोरबिस के लिए एसी-3 कैसर-बेसेल व्युत्पन्न (केबीडी) विंडो का उपयोग करता है और एमपीएजी-4 एएसी भी केबीडी विंडो का उपयोग कर सकता है।

ध्यान दें कि एमडीसीटी पर संचालित विंडो कुछ अन्य प्रकार के सिग्नल विश्लेषण के लिए उपयोग की जाने वाली विंडो से पूर्णतयः भिन्न हैं क्योंकि उन्हें प्रिंसन-ब्रैडली नियम को पूरा करना होगा। इस अंतर के कारणों में से एक यह है कि एमडीसीटी विंडो को एमडीसीटी (विश्लेषण) और आईएमडीसीटी (संश्लेषण) दोनों के लिए दो बार संचालित किया जाता है।

डीसीटी-IV से संबंध और टीडीएसी की उत्पत्ति-
जैसा कि परिभाषाओं के निरीक्षण से देखा जा सकता है। यहां तक ​​कि N के लिए भी एमडीसीटी अनिवार्य रूप से डीसीटी-IV के समान होते है। जहां इनपुट को N/2 और दो N-ब्लॉक द्वारा स्थानांतरित किया जाता है। डेटा का एक बार में रूपांतरण किया जाता है। इस समानता की अधिक सावधानी से जांच करके टीडीएसी जैसे महत्वपूर्ण गुणों को सरलतम प्रकार से प्राप्त किया जा सकता है।

डीसीटी-IV से स्पष्ट संबंध को परिभाषित करने के लिए किसी को यह आभास कराना चाहिए कि डीसीटी-IV वैकल्पिक सम/विषम सीमा स्थितियों से मिलता जुलता है। यहां तक ​​​​कि इसकी बाईं सीमा पर भी (n = −1/2 के समान), विषम इसकी दाहिनी लिमिट पर (लगभग n = N − 1/2) और इसी प्रकार (विभिन्न फूरियर रूपांतरण के लिए आवधिक सीमाओं के अतिरिक्त) यह पहचान से अनुसरण करता है। $$\cos\left[\frac{\pi}{N} \left(-n-1+\frac{1}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right)\right] = \cos\left[\frac{\pi}{N} \left(n+\frac{1}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right)\right]$$ और $$\cos\left[\frac{\pi}{N} \left(2N-n-1+\frac{1}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right)\right] = -\cos\left[\frac{\pi}{N} \left(n+\frac{1}{2}\right) \left(k+\frac{1}{2}\right)\right]$$.

इस प्रकार, यदि इसके इनपुट लंबाई N की एक सरणी x हैं। जिससे हम इस सरणी को (x, −xR, −x, xR, ...) तक विस्तारित करने की कल्पना कर सकते हैं और इसी प्रकार जहां xR को विपरीत क्रम में प्रदर्शित करता है।

2N इनपुट और N आउटपुट के साथ एक एमडीसीटी पर विचार करें। जहां हम इनपुट को चार ब्लॉक (a, b, c, d) में विभाजित करते हैं। जिनमें से प्रत्येक का आकार N/2 है। यदि हम इन्हें N/2 (एमडीसीटी परिभाषा में +N/2 शब्द से) द्वारा दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। जिससे (b, c, d) N डीसीटी-IV इनपुट के अंत से आगे बढ़ते हैं। इसलिए हमें उन्हें ऊपर वर्णित लिमिट नियमों के अनुसार पुनः मोड़ना चाहिए।


 * इस प्रकार 2N इनपुट का एमडीसीटी (a, b, c, d) N इनपुट के डीसीटी-IV के बिल्कुल बराबर है: (−cR−d, a−bR) जहां R ऊपर के रूप में उत्क्रमण को दर्शाता है।

(इस प्रकार डीसीटी-IV की गणना करने के लिए किसी भी एल्गोरिथ्म को सामान्य रूप से एमडीसीटी पर संचालित किया जा सकता है।)

इसी प्रकार ऊपर दिया गया आईएमडीसीटी सूत्र डीसीटी-IV (जो इसका अपना प्रतिलोम है) का ठीक 1/2 है। जहां आउटपुट को (सीमा स्थितियों के माध्यम से) लंबाई 2N तक बढ़ाया जाता है और N/2 द्वारा बाईं ओर वापस स्थानांतरित कर दिया जाता है। व्युत्क्रम डीसीटी-IV केवल ऊपर से इनपुट (−cR−d, a−bR) वापस प्रदान करेगा। जब इसे लिमिट नियमों के माध्यम से बढ़ाया जाता है और स्थानांतरित किया जाता है। जिससे एक प्राप्त होता है:


 * आईएमडीसीटी (एमडीसीटी (a, b, c, d)) = (a−bR, b−aR, c+dR, d+cR) / 2.

आईएमडीसीटी आउटपुट का आधा इस प्रकार रिडन्डेन्ट होता है। जैसा कि b−aR = −(a−bR)R और इसी प्रकार पिछले दो शब्दों के लिए यदि हम इनपुट को N आकार के बड़े ब्लॉक A,B में सामूहित करते हैं। जहाँ A = (a, b) और B = (c, d), हम इस परिणाम को सरल प्रकार से लिख सकते हैं:


 * आईएमडीसीटी (एमडीसीटी (A, B)) = (A−AR, B+BR) / 2

कोई यह समझ सकता है कि टीडीएसी कैसे कार्य करता है। माना कि कोई पश्चात के एमडीसीटी 50% ओवरलैप, 2 N ब्लॉक (B,C) की गणना करता है। इसके पश्चात आईएमडीसीटी उपरोक्त के अनुरूप परिणाम (B−BR, C+CR) / 2 प्रदान करेगा। जब इसे पिछले आईएमडीसीटी परिणाम के साथ ओवरलैपिंग आधे में जोड़ा जाता है। जिससे विपरीत नियम समाप्त हो जाते हैं और मूल डेटा को पुनर्प्राप्त करते हुए केवल B प्राप्त होता है।

टीडीएसी की उत्पत्ति-
टाइम-डोमेन अलियासिंग कैन्सिलेशन शब्द की उत्पत्ति अब स्पष्ट है। तार्किक डीसीटी-IV की सीमाओं से परे जाने वाले इनपुट डेटा का उपयोग डेटा को उसी प्रकार से अलियास करने का कारण बनता है जैसे कि न्यक्वीस्ट फ़्रीक्वेंसी से दूर फ़्रीक्वेंसी को कम फ़्रीक्वेंसी के लिए अलियास किया जाता है। इसके अतिरिक्त कि यह अलियासिंग टाइम डोमेन के स्थान पर समय डोमेन में होता है। फ़्रीक्वेंसी डोमेन: हम (a, b, c, d) के एमडीसीटी के लिए a और bR के योगदान को अलग नहीं कर सकते हैं या समकक्ष के परिणाम के लिए-
 * आईएमडीसीटी (एमडीसीटी (a, b, c, d)) = (a−bR, b−aR, c+dR, d+cR) / 2.

संयोजन c−dR और इसी प्रकार, जोड़े जाने पर संयोजनों को नष्ट करने के लिए स्पष्ट रूप से सही संकेत प्राप्त होते हैं।

विषम N के लिए (जो संभवतः ही कभी व्यवहार में उपयोग किया जाता है), N/2 एक पूर्णांक नहीं है। इसलिए एमडीसीटी केवल डीसीटी-IV का शिफ्ट क्रमचय नहीं है। इस स्थिति में आधे नमूने द्वारा अतिरिक्त बदलाव का अर्थ यह है कि एमडीसीटी/आईएमडीसीटी डीसीटी-III/II के बराबर हो जाता है और विश्लेषण ऊपर के अनुरूप होता है।

स्मूथनेस और असंततता
हमने ऊपर देखा है कि 2N इनपुट का एमडीसीटी (a, b,c, d) N इनपुट (−cR−d, a−bR) के डीसीटी-IV के बराबर है। डीसीटी-IV को इसके लिए प्रारूपित किया गया है। जहां सही सीमा पर फलन विषम है और इसलिए सही सीमा के निकट मान 0 के पास हैं। यदि इनपुट सिग्नल स्मूथ है। जिससे यह स्थिति है: a और bR के सबसे दाहिने घटक इनपुट अनुक्रम (a, b,c, d) में निरंतर होता हैं और इसलिए उनका अंतर छोटा है। आइए अंतराल के मध्य को देखें: यदि हम उपरोक्त अभिव्यक्ति को (−cR−d, a−bR) = (−d, a)−(b,c)R, दूसरा पद, (b,c) के रूप में पुनः लिखते हैं और बीच में एक स्मूथ संक्रमण प्रदान करता है। चूंकि प्रथम पद में, (-d, a), एक संभावित विच्छिन्नता है। जहाँ -d का दाहिना सिरा a के बाएँ सिरे से मिलता है। यह विंडो फलन का उपयोग करने का कारण होता है। जो इनपुट अनुक्रम (a, b,c, d) की सीमाओं के पास घटकों को 0 की ओर कम करता है।

 विंडो एमडीसीटी के लिए टीडीएसी- 

ऊपर, टीडीएसी संपत्ति सामान्य एमडीसीटी के लिए प्रमाणित हुई थी। यह प्रदर्शित करते हुए कि पश्चात के ब्लॉकों के आईएमडीसीटीएस को उनके अतिव्यापी आधे भाग में जोड़ने से मुख्य डेटा सही हो जाता है। विंडो वाले एमडीसीटी के लिए इस विपरीत गुण की व्युत्पत्ति केवल थोड़ी अधिक जटिल है।

आकार N के ब्लॉक A,B,C के लिए 2N इनपुट (A,B) और (B,C) के निरंतर समुच्चय ओवरलैप करने पर विचार करें। ऊपर से याद करें कि जब $$(A,B)$$ और $$(B,C)$$ एमडीसीटी, आईएमडीसीटी हैं और उनके अतिव्यापी आधे भाग में जोड़े गए हैं। हम $$(B+B_R) / 2 + (B-B_R) / 2 = B$$ प्राप्त करते हैं।

अब हम मानते हैं कि हम एमडीसीटी इनपुट और आईएमडीसीटी आउटपुट दोनों को 2N लंबाई के विंडो फलन से गुणा करते हैं। उपरोक्त हम एक सममित विंडो फलन मानते हैं। जो कि $$(W,W_R)$$ फॉर्म का है। जहां W लंबाई-N वेक्टर है और R पहले की प्रकार उत्क्रमण को प्रदर्शित करता है। तब प्रिंसेन-ब्रैडली स्थिति को इस रूप में लिखा जा सकता है और $$W^2 + W_R^2 = (1,1,\ldots)$$ वर्गों और परिवर्धन के साथ इलेमेन्टवाइज प्रदर्शन किया गया है।

इसलिए एमडीसीटी के अतिरिक्त $$(A,B)$$, अब हम एमडीसीटी $$(WA,W_R B)$$ (सभी गुणाओं के साथ तत्ववार प्रदर्शन किया गया)। जब इसे आईएमडीसीटी किया जाता है और विंडो फलन द्वारा फिर से गुणा (इलीमेन्टवाइज) किया जाता है। जिससे अंतिम-N आधा बन जाता है:
 * $$W_R \cdot (W_R B+(W_R B)_R) =W_R \cdot (W_R B+W B_R) = W_R^2 B+WW_R B_R$$.

(ध्यान दें कि अब हमारे पास 1/2 से गुणा नहीं है क्योंकि विंडो वाली स्थिति में आईएमडीसीटी सामान्यीकरण 2 के फैक्टर से भिन्न होता है।)

इसी प्रकार विंडो एमडीसीटी और आईएमडीसीटी की $$(B,C)$$ को उत्पन्न करता है। इसकी पहली-N छमाही में:
 * $$W \cdot (WB - W_R B_R) = W^2 B - W W_R B_R$$.

जब हम इन दो भागों को एक साथ जोड़ते हैं। जिससे हम प्राप्त करते हैं:


 * $$(W_R^2 B+WW_R B_R) + (W^2 B - W W_R B_R)= \left(W_R^2 + W^2\right)B = B,$$

मूल डेटा पुनर्प्राप्त करना।

यह भी देखें

 * असतत कोज्या परिवर्तन
 * अन्य अतिव्यापी विंडो वाले फूरियर रूपांतरणों में सम्मिलित होता हैं:
 * संग्राहक जटिल लैप्ड रूपांतरण
 * शॉर्ट-टाइम फूरियर रूपांतरण
 * वेल्च की विधि
 * ऑडियो कोडिंग प्रारूप
 * ऑडियो संपीड़न (डेटा)

ग्रन्थसूची

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