ऑपरेटरों के साथ समूह

अमूर्त बीजगणित में, गणित की एक शाखा, संक्रियकों या Ω-समूह के साथ बीजगणितीय संरचना समूह को एक समूह (गणित) के रूप में समुच्चय (गणित) Ω के रूप में देखा जा सकता है जो समूह के अवयवों पर विशेष विधि से संचालित होता है।

1920 के दशक में एमी नोथेर और उनके विद्यालय द्वारा संक्रियकों के साथ समूहों का व्यापक अध्ययन किया गया था। उसने तीन नोथेर समरूपता प्रमेय के अपने मूल सूत्रीकरण में अवधारणा को नियोजित किया।

परिभाषा
संक्रियकों $$(G, \Omega)$$ के साथ एक समूह को समूह $$G = (G, \cdot)$$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसमें $$G$$:
 * $$\Omega \times G \rightarrow G : (\omega, g) \mapsto g^\omega$$

पर समुच्चय $$\Omega$$ की क्रिया होती है जो समूह नियम के सापेक्ष वितरणात्मक है:
 * $$(g \cdot h)^\omega = g^\omega \cdot h^\omega.$$

प्रत्येक $$\omega \in \Omega $$ के लिए, अनुप्रयोग $$g \mapsto g^\omega$$ तब G का अंतःरूपता है। इससे, यह परिणाम मिलता है कि एक Ω-समूह को G के अंतःरूपता के अनुक्रमित परिवार $$\left(u_\omega\right)_{\omega \in \Omega}$$ के साथ समूह G के रूप में भी देखा जा सकता है।

$$\Omega$$ को संक्रियक प्रांत कहा जाता है। सहयोगी अंतःरूपता को G की समरूपता कहा जाता है।

दो समूहों G, H को एक ही संक्रियक प्रांत $$\Omega$$ के साथ दिया गया है, संक्रियकों के साथ समूहों का समरूपता एक समूह समरूपता $$\phi: G \to H$$ है जो सभी $$\omega \in \Omega$$ और $$g \in G$$ के लिए
 * $$\phi\left(g^\omega\right) = (\phi(g))^\omega$$ को संतुष्ट करते है।

G के एक उपसमूह S को 'स्थिर उपसमूह' $$\Omega$$-उपसमूह या $$\Omega$$-अपरिवर्तनीय उपसमूह कहा जाता है, यदि यह समरूपताओं का सम्मान करता है, जो कि सभी$$s \in S$$ और $$\omega \in \Omega$$ के लिए
 * $$s^\omega \in S$$ है।

श्रेणी-सैद्धांतिक टिप्पणी
श्रेणी सिद्धांत में, संक्रियकों के साथ एक श्रेणी (गणित) और 'GrpM' समूहों की श्रेणी की वस्तु के रूप परिभाषित किया जा सकता है जहां M मोनोइड है (अर्थात एक वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) को दर्शाता है)। यह परिभाषा पिछले एक के बराबर है, यद्यपि $$\Omega$$ मोनोइड है (अन्यथा हम इसे पहचान और सभी रचनाओं को सम्मिलित करने के लिए विस्तारित कर सकते हैं)।

इस श्रेणी में आकारिता दो प्रकार्यक (अर्थात, दो समूहों के बीच एक ही संक्रियक प्रांत M साझा करने वाले संक्रियकों) के बीच प्राकृतिक परिवर्तन है। फिर से हम संक्रियकों के साथ समूहों के समरूपता की परिभाषा को पुनः प्राप्त करते हैं (प्राकृतिक परिवर्तन के घटक f के साथ)।

संक्रियकों के साथ समूह भी एक प्रतिचित्रण
 * $$\Omega \rightarrow \operatorname{End}_\mathbf{Grp}(G)$$ है, जहां $$\operatorname{End}_\mathbf{Grp}(G)$$ G के समूह अंतःरूपता का समुच्चय है।

उदाहरण

 * किसी भी समूह G को देखते हुए, (G, ∅) साधारण रूप से संक्रियकों वाला एक समूह है
 * एक मॉड्यूल (गणित) M को एक वलय (गणित) R पर दिया गया है, R M के अंतर्निहित एबेलियन समूह पर अदिश गुणन द्वारा कार्य करता है, इसलिए (M, R) संक्रियकों के साथ एक समूह है।
 * उपरोक्त की विशेष स्थिति के रूप में, क्षेत्र (गणित) k पर प्रत्येक सदिश स्थान संक्रियकों (V, k) के साथ एक समूह है।

अनुप्रयोग
जॉर्डन-होल्डर प्रमेय भी संक्रियक समूहों के संदर्भ में है। आवश्यकता है कि एक समूह की संरचना श्रृंखला सांस्थिति में संहतता समष्टि के अनुरूप है, और कभी-कभी एक आवश्यकता बहुत दृढ हो सकती है। एक समुच्चय के सापेक्ष संहतता समष्टि के विषय में बात करना स्वाभाविक है, अर्थात रचना श्रृंखला के विषय में बात करें जहां प्रत्येक (सामान्य उपसमूह) उपसमूह समूह के संक्रियक समुच्चय X के सापेक्ष एक संक्रियक-उपसमूह है।

यह भी देखें

 * समूह क्रिया (गणित)