ऑन शेल और ऑफ शेल

भौतिक विज्ञान में, विशेष रूप से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, भौतिक प्रणाली के विन्यास जो गति के चिरसम्मत समीकरणों को आपूर्ति करते हैं, उन्हें "ऑन द द्रव्यमान कोश" या प्रायः ऑन शेल कहा जाता है; जबकि जो नहीं होते हैं उन्हें "ऑफ द मास शेल", या ऑफ शेल कहा जाता है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, आभासी कण को ऑफ शेल कहा जाता है क्योंकि वे ऊर्जा-संवेग संबंध को आपूर्ति नहीं करते हैं; वास्तविक विनिमय कण इस संबंध को आपूर्ति करते हैं और उन्हें शेल (द्रव्यमान कोश) कहा जाता है।  उदाहरण के लिए चिरसम्मत यांत्रिकी में, क्रिया निर्माण में, परिवर्तनात्मक सिद्धांत के चरम समाधान शेल पर होते हैं और यूलर-लग्रेंज समीकरण ऑन-शेल समीकरण देते हैं। भौतिक गति और संरक्षण नियम की अलग-अलग समरूपता के बारे में नोएदर का प्रमेय अन्य ऑन-शेल प्रमेय है।

द्रव्यमान कोश
द्रव्यमान कोश, द्रव्यमान अति परवलयज (हाइपरबोलॉइड) का पर्याय है, जिसका अर्थ है ऊर्जा-संवेग समष्टि में हाइपरबोलॉइड समीकरण के विलयन का वर्णन करता है:


 * $$E^2 - |\vec{p} \,|^2 c^2 = m_0^2 c^4$$,
 * र्द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र जो ऊर्जा $$E$$ देता है गति के संदर्भ में $$\vec{p}$$ और शेष द्रव्यमान एक कण का $$m_0$$ है। द्रव्यमान कोश के लिए समीकरण भी अधिकांशतः चार-संवेग (गति–ऊर्जा) के संदर्भ में लिखा जाता है; आइंस्टीन संकेतन में मीट्रिक सिग्नेचर (+,−,−,−) और इकाइयों के साथ जहां प्रकाश की गति $$c = 1$$, जैसा $$p^\mu p_\mu \equiv p^2 = m^2$$ है, साहित्य में भी सामना हो सकता है $$p^\mu p_\mu = - m^2$$ यदि प्रयुक्त मीट्रिक सिग्नेचर (−,+,+,+) है।

बदले हुए आभासी कण $$X$$ का चार-संवेग $$q_\mu$$, द्रव्यमान के साथ $$q^2 = m_X^2$$ है चार गति $$q_\mu$$ आभासी कण आने वाले और बाहर जाने वाले कणों के चार-संवेगों के बीच का अंतर है।

फेनमैन आरेख में आंतरिक प्रवर्धक के अनुरूप आभासी कणों को सामान्यतः शेल से बाहर होने की अनुमति दी जाती है, लेकिन प्रक्रिया के लिए आयाम कम हो जाएगा, यह इस बात पर निर्भर करता है कि वे कितनी दूर हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि $$q^2$$-प्रवर्धक की निर्भरता आने वाले और बाहर जाने वाले कणों के चार-संवेग द्वारा निर्धारित की जाती है। प्रवर्धक के पास सामान्यतः द्रव्यमान कोश पर विचित्रता होती है।

प्रवर्धक के लिए ऋणात्मक मान $$E$$ जो समीकरण को आपूर्ति करते हैं उन्हें ऑन शेल माना जाता है, चूंकि चिरसम्मत सिद्धांत कण की ऊर्जा के लिए ऋणात्मक मान की अनुमति नहीं देता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रवर्धक अभिव्यक्ति में उन स्थितियों को सम्मिलित करता है जिनमें कण एक दिशा में ऊर्जा वहन करता है, और जिसमें उसका प्रतिकण दूसरी दिशा में ऊर्जा वहन करता है; ऋणात्मक और घनात्मक ऑन-शेल $$E$$ तो बस घनात्मक ऊर्जा के विपरीत प्रवाह का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अदिश क्षेत्र
एक उदाहरण D-डायमेंशनल मिंकोव्स्की समष्टि में अदिश क्षेत्र सिद्धांत पर विचार करने से आता है। लैग्रैन्जियन घनत्व द्वारा दिए गए $$\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)$$ पर विचार करें, गति (कार्यात्मक)


 * $$S = \int d^D x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)$$

इस क्रिया के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण क्षेत्र और इसके व्युत्पन्न को अलग करके और भिन्नता को शून्य पर निर्धारित करके पाया जा सकता है, और यह है:


 * $$\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}$$

अब, अतिसूक्ष्म स्पेसटाइम अंतरण (गणित) पर विचार करें $$x^\mu \rightarrow x^\mu +\alpha^\mu$$, लैग्रैन्जियन घनत्व $$\mathcal{L}$$ एक अदिश राशि है, और इसलिए अत्यणु रूपांतरण के अनुसार यह असीम रूप से रूपांतरित होता है $$\delta \mathcal{L} = \alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L}$$। दूसरी ओर, टेलर  एक्सपेंशन से, हमारे पास सामान्य रूप से है


 * $$\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta( \partial_\mu \phi) $$

$$\delta \mathcal{L}$$ के लिए प्रतिस्थापन और यह ध्यान में रखते हुए $$\delta( \partial_\mu \phi) = \partial_\mu ( \delta \phi)$$ (चूंकि स्पेसटाइम में प्रत्येक बिंदु पर विविधताएं स्वतंत्र हैं):


 * $$\alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \alpha^\mu \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \alpha^\mu \partial_\mu \partial_\nu \phi $$

चूंकि इसे स्वतंत्र अंतरण के लिए धारण करना है $$\alpha^\mu = (\epsilon, 0,...,0), (0,\epsilon, ...,0), ...$$,हम "विभाजित" कर सकते हैं $$\alpha^\mu$$ और लिखा:


 * $$ \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi $$

यह समीकरण का उदाहरण है जो ऑफ शेल रखता है, क्योंकि यह किसी भी क्षेत्र विन्यास के लिए सही है, भले ही यह गति के समीकरणों का संदर्भ हो (इस मामले में, ऊपर दिए गए यूलर-लैग्रेंज समीकरण)। हालाँकि, हम केवल यूलर-लैग्रेंज समीकरण को प्रतिस्थापित करके शेल समीकरण पर प्राप्त कर सकते हैं:


 * $$ \partial_\mu \mathcal{L} = \partial_\nu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi $$

हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:


 * $$ \partial_\nu \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \phi -\delta^\nu_\mu \mathcal{L} \right) = 0 $$

और यदि हम परिमाण को लघु कोष्ठक में परिभाषित करते हैं $$T^\nu{}_\mu$$, अपने पास:


 * $$\partial_\nu T^\nu{}_\mu = 0$$

यह नोथेर के प्रमेय का उदाहरण है। यहां, संरक्षित परिमाण दबाव-ऊर्जा प्रदिश है, जो केवल ऑन शेल संरक्षित होती है, यानी गति के समीकरण आपूर्ति होते हैं।