घातांक

[[Image:Expo02.svg|thumb|315px|के रेखांकन $b^{n}$ विभिन्न आधारों के लिए बी:

प्रत्येक वक्र बिंदु से होकर गुजरता है $y = b^{x}$ क्योंकि कोई भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 होती है $(0, 1)$, y का मान आधार के बराबर होता है क्योंकि 1 की शक्ति तक बढ़ाई गई कोई भी संख्या स्वयं संख्या होती है।]]<डिव क्लास = राइट>

घातांक एक गणित प्रवर्तन (गणित) है, जिसे $x = 1$ लिखा जाता है, इसमें दो संख्याएँ, आधार b और प्रतिपादक या शक्ति n शामिल हैं, और "b (उठाया गया) से (की शक्ति) n" के रूप में उच्चारित किया जाता है। [1] जब n एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो घातांक आधार के बार-बार गुणन के अनुरूप होता है: अर्थात, bn n आधारों को गुणा करने का गुणनफल होता है $$b^n = \underbrace{b \times b \times \dots \times b \times b}_{n \text{ times}}.$$ प्रतिपादक को सामान्यतः आधार के दाईं ओर ऊपर की ओर लिखा हुआ दिखाया जाता है। उस मामले में, bn को "b को nth की शक्ति तक बढ़ा दिया जाता है", "b (उठाया गया) को n की शक्ति", "b की nth शक्ति", "b को nth की शक्ति", [2] या संक्षेप में "b से nth" के रूप में कहा जाता है।

ऊपर बताए गए मूल तथ्य से शुरू करते हुए, किसी भी सकारात्मक पूर्णांक $$n$$ के लिए, $$b^n$$ $$n$$ की घटनाएं $$b$$  है सभी को एक दूसरे से गुणा किया जाता है, घातांक के कई अन्य गुण सीधे अनुसरण करते हैं। विशेष रूप से:

$$ \begin{align} b^{n+m} & = \underbrace{b \times \dots \times b}_{n+m \text{ times}} \\[1ex] & = \underbrace{b \times \dots \times b}_{n \text{ times}} \times \underbrace{b \times \dots \times b}_{m \text{ times}} \\[1ex] & = b^n \times b^m \end{align} $$ दूसरे शब्दों में, जब एक आधार को एक घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, उसी आधार को दूसरे घातांक तक बढ़ा दिया जाता है, तो घातांक जुड़ जाते हैं। इस मूल नियम से जो घातांक जोड़ते हैं, हम उसे प्राप्त कर सकते हैं। निम्नानुसार $$b^0$$ 1 के बराबर होना चाहिए। किसी $$n$$ के लिए, $$b^0 \cdot b^n = b^{0+n} = b^n$$. दोनों पक्षों को $$b^n$$ द्वारा विभाजित करना $$b^0 = b^n / b^n = 1$$ देता है।

यह तथ्य है कि $$b^1 = b$$ समान नियम से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $$ (b^1)^3 = b^1 \cdot b^1 \cdot b^1 = b^{1+1+1} = b^3 $$. दोनों पक्षों का घनमूल निकालने पर $$b^1 = b$$ प्राप्त होता है।

नियम है कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं, इसका उपयोग ऋणात्मक पूर्णांक घातांक के गुणों को प्राप्त करने के लिए भी किया जा सकता है। इस प्रश्न पर विचार करें कि $$b^{-1}$$ का क्या मतलब होना चाहिए। घातांक जोड़ने के नियम का सम्मान करने के लिए, यह आवेष्टन $$b^{-1} \cdot b^1 = b^{-1+1} = b^0 = 1 $$ होना चाहिए। दोनों पक्षों द्वारा $$b^{1}$$ को विभाजित करना  $$b^{-1} = 1 / b^1$$ देता है, जिसे अधिक आसानी से ऊपर से परिणाम $$b^1 = b$$ का उपयोग करके $$b^{-1} = 1 / b$$ लिखा जा सकता है और इसी तरह के तर्क से $$b^{-n} = 1 / b^n$$ लिखा जा सकता है।

भिन्नात्मक घातांकों के गुण भी इसी नियम का पालन करते हैं। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम विचार करते हैं $$\sqrt{b}$$ और पूछें कि क्या कोई उपयुक्त प्रतिपादक है, जिसे हम $$r$$ कह सकते हैं, ऐसा कि $$ b^r = \sqrt{b}$$. वर्गमूल की परिभाषा से, हमारे पास $$ \sqrt{b} \cdot \sqrt{b} = b $$ है इसलिए, प्रतिपादक $$r$$  $$ b^r \cdot b^r = b $$ जैसा होना चाहिए।  इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि गुणा करने से घातांक जुड़ते हैं और $$ b^{r+r} = b $$ देता है। $$ b $$ h> को दायीं ओर $$ b^1 $$ रूप में भी लिखा जा सकता है,  $$ b^{r+r} = b^1 $$दिया गया है।  दोनों पक्षों के घातांकों की बराबरी करने पर, हमारे पास $$ r+r = 1 $$ है इसलिए, $$ r = \frac{1}{2} $$, इसलिए $$\sqrt{b} = b^{1/2} $$।

घातांक की परिभाषा को किसी भी वास्तविक या सम्मिश्र संख्या घातांक की अनुमति देने के लिए बढ़ाया जा सकता है। पूर्णांक घातांक द्वारा घातांक को मैट्रिक्स (गणित) सहित विभिन्न प्रकार की बीजगणितीय संरचनाओं के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है।

अर्थशास्त्र, जीव विज्ञान, रसायन विज्ञान, भौतिक विज्ञान और परिकलक विज्ञान सहित कई क्षेत्रों में घातांक का बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है, जैसे कि चक्रवृद्धि ब्याज, जनसंख्या वृद्धि, रासायनिक प्रतिक्रिया कैनेटीक्स, तरंग व्यवहार और सार्वजनिक-कुंजी क्रिप्टोग्राफी।

अंकन का इतिहास
शब्द शक्ति (क्षमता, शक्ति, गौरव) एक गलत अनुवाद है प्राचीन ग्रीक डुनामिस (ड्यूनामिस, यहां: प्रवर्धन एक रेखा के वर्ग के लिए ग्रीक गणित गणितज्ञ यूक्लिड द्वारा प्रयोग किया जाता है, चिऔस के हिप्पोक्रेट्स के बाद। रेत रेकनर में, आर्किमिडीज ने प्रतिपादकों के नियम की खोज की और उसे सिद्ध किया, $b^{n}$, की शक्तियों में क्रमभंग करने के लिए $10^{a} · 10^{b} = 10^{a+b}$ आवश्यक है . 9वीं शताब्दी में, फारसी गणितज्ञ मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी ने एक वर्ग (बीजगणित) के लिए धन (माल, संपत्ति, संपत्ति) शब्दों का इस्तेमाल किया था - मुस्लिम, उनके और पहले के समय के अधिकांश गणितज्ञों की तरह, एक वर्ग संख्या के रूप में एक क्षेत्र का चित्रण सोचा, विशेष रूप से भूमि का, इसलिए संपत्ति -और काबा (कबाह, घन) एक घन (बीजगणित) के लिए, जिसे बाद में मध्यकालीन इस्लाम के गणितज्ञों ने गणितीय अंकन में अक्षरों मीम (एम) और कफ (के) के रूप में दर्शाया, 15वीं शताब्दी तक, जैसा कि अबू अल-हसन इब्न अली अल-कलसादी के काम में देखा गया ।

16वीं शताब्दी के अंत में, जोस्ट बर्गी ने प्रतिपादकों के लिए रोमन अंकों का इस्तेमाल किया। निकोलस चुक्वेट ने 15वीं सदी में घातीय संकेतन के एक रूप का इस्तेमाल किया, जिसे बाद में 16वीं सदी में हेनरी ग्रैमेटियस और माइकल स्टिफेल ने इस्तेमाल किया। प्रतिपादक शब्द 1544 में माइकल स्टिफ़ेल द्वारा गढ़ा गया था। सैमुअल जेक ने 1696 में तालिका शब्द की शुरुआत की। 16वीं शताब्दी में, रॉबर्ट रिकॉर्डे ने वर्ग, घन, ज़ेंज़िज़ेन्ज़िक (चौथी शक्ति), सुरसॉलिड (पाँचवाँ), ज़ेंज़िक्यूब (छठा), दूसरा सुरसॉलिड (सातवाँ) और ज़ेंज़िज़ेन्ज़िज़िक (आठवाँ) शब्दों का इस्तेमाल किया। बाइकाड्रेट का उपयोग चौथी शक्ति को भी संदर्भित करने के लिए किया गया है।

17वीं शताब्दी की शुरुआत में, हमारे आधुनिक घातीय संकेतन का पहला रूप रेने डेसकार्टेस द्वारा ला जियोमेट्री नामक अपने पाठ में पेश किया गया था, पुस्तक में संकेत पद्धति पुरःस्थापित किया गया है। कुछ गणितज्ञों (जैसे आइजैक न्यूटन) ने केवल दो से अधिक घात के लिए घातांक का उपयोग किया,वे वर्गों को बार-बार गुणन के रूप में प्रस्तुत करना पसंद करते हैं। इस प्रकार वे बहुपद लिखेंगे, उदाहरण के लिए, जैसे $10$.

एक और ऐतिहासिक पर्यायवाची,समावेशन, अब दुर्लभ है और इनवोल्यूशन (गणित) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

1748 में, लियोनहार्ड यूलर ने परिवर्ती घातांकों को प्रस्तुत किया, और, निहित रूप से, गैर-पूर्णांक घातांकों को लिखकर:"'घातांक या शक्ति पर विचार करें जिसमें घातांक स्वयं एक चर है। यह स्पष्ट है कि इस प्रकार की मात्राएँ बीजगणितीय फलन नहीं हैं, क्योंकि उनमें घातांक स्थिर होने चाहिए.'"

शब्दावली
भावाभिव्यक्ति $ax + bxx + cx^{3} + d$ b वर्ग या b का वर्ग (बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई वाले वर्ग $b^{2} = b · b$ का क्षेत्रफल $b$ है.

इसी प्रकार, अभिव्यक्ति $b^{2}$ b घन या b का घन (बीजगणित) कहा जाता है, क्योंकि भुजा-लंबाई $b^{3} = b · b · b$ वाले घन का आयतन $b$ है.

जब यह एक सकारात्मक पूर्णांक होता है, तो प्रतिपादक इंगित करता है कि आधार की कितनी प्रतियां एक साथ गुणा की जाती हैं। उदाहरण के लिए, $b^{3}$. आधार $3^{5} = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243$ $3$ बार गुणन में दिखाई पड़ना, क्योंकि प्रतिपादक $5$ है. यहां, $5$ 3 की 5वीं घात है, या 5 की 3 घात है।

उठाया शब्द सामान्यतः छोड़ दिया जाता है, और कभी-कभी शक्ति भी $243$ केवल 3 से 5 तक, या 3 से 5 तक पढ़ा जा सकता है। इसलिए, घातांक $3^{5}$ n की घात के लिए b के रूप में, nवें के घात के लिए b के रूप में, nवें के लिए b के रूप में, या संक्षेप में b से n के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

नेस्टेड घातांक वाला सूत्र, जैसे $b^{n}$ (जिसका मतलब है $3^{5^{7}}|undefined$ न की $3^{(5^{7})}$), शक्तियों का स्तंभ या केवल एक स्तंभ कहा जाता है।

पूर्णांक घातांक
पूर्णांक घातांक वाले घातांक संक्रिया को प्राथमिक अंकगणितीय संक्रियाओं से सीधे परिभाषित किया जा सकता है।

सकारात्मक घातांक
एक पुनरावृत्त गुणन के रूप में घातांक की परिभाषा गणितीय प्रेरण का उपयोग करके औपचारिक प्रमाण हो सकती है, और जब किसी के पास सहयोगीता गुणन हो तो इस परिभाषा का उपयोग जल्द से जल्द किया जा सकता है :

आधार आवेष्टन है।
 * $$b^1 = b$$

और पुनरावृत्ति संबंध है।
 * $$b^{n+1} = b^n \cdot b.$$

गुणन की साहचर्यता का अर्थ है कि किसी भी सकारात्मक पूर्णांक $1⁄2$ तथा $m$, के लिए
 * $$b^{m+n} = b^m \cdot b^n,$$

तथा
 * $$(b^m)^n=b^{mn}.$$

शून्य प्रतिपादक
परिभाषा के अनुसार, किसी भी शून्येतर संख्या 0 की घात 1 है : :

$$b^0=1.$$

यह परिभाषा ही एकमात्र यथासम्भव है जो सूत्र को विस्तारित करने की अनुमति देती है
 * $$b^{m+n}=b^m\cdot b^n$$

शून्य घातांक तक। इसका उपयोग प्रत्येक बीजगणितीय संरचना में गुणा के साथ किया जा सकता है जिसमें गुणात्मक पहचान होती है।

सहज रूप से, $$b^0$$ की की व्याख्या b की प्रतियों के खाली उत्पाद के रूप में की जा सकती है। तो, समानता $$b^0=1$$ खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलन का एक विशेष आवेष्टन है।

$(3^{5})^{7}$ प्रकर्ण अधिक जटिल है। संदर्भों में जहां केवल पूर्णांक शक्तियों पर विचार किया जाता है, मान $0^{0}$ सामान्यतः $$0^0,$$को सौंपा गया है लेकिन, अन्यथा, इसे एक मान निर्दिष्ट करना है या नहीं और कौन सा मान निर्दिष्ट करना है, इसका विकल्प संदर्भ पर निर्भर हो सकता है।

नकारात्मक घातांक
ऋणात्मक घातांक वाले घातांक को निम्नलिखित सर्वसमिका द्वारा परिभाषित किया गया है, जो किसी भी पूर्णांक के लिए $n$ है और अशून्य $n$ धारण करता है:
 * $$b^{-n} = \frac{1}{b^n}$$.
 * 0 को ऋणात्मक घातांक तक बढ़ाना अपरिभाषित है लेकिन, कुछ परिस्थितियों में, इसकी व्याख्या अनंत ($$\infty$$) के रूप में की जा सकती है.

ऋणात्मक प्रतिपादकों के साथ घातांक की यह परिभाषा ही एकमात्र ऐसी है जो नकारात्मक घातांक के लिए पहचान $$b^{m+n}=b^m\cdot b^n$$ को विस्तारित करने की अनुमति देती है ( $$m=-n$$ प्रकर्ण पर विचार करें).

समान परिभाषा गुणक मोनोइड में उलटा तत्वों पर लागू होती है, जो कि एक बीजगणितीय संरचना है, जिसमें एक साहचर्य गुणन और गुणक पहचान निरूपित होती है $1$ (उदाहरण के लिए, किसी दिए गए आयाम का वर्ग मैट्रिक्स)। विशेष रूप से, ऐसी संरचना में, एक व्युत्क्रमणीय तत्व $b$ का व्युत्क्रम मानक $$x^{-1}$$ रूप से दर्शाया गया है

पहचान और गुण
निम्नलिखित सर्वसमिका (गणित), प्रायःप्रतिनिधि नियम कहा जाता है, सभी पूर्णांक घातांकों के लिए धारण करता है, बशर्ते कि आधार शून्य न हो: :$$\begin{align} b^{m + n} &= b^m \cdot b^n \\ \left(b^m\right)^n &= b^{m \cdot n} \\ (b \cdot c)^n &= b^n \cdot c^n \end{align}$$ जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक क्रमविनिमेय नहीं है। उदाहरण के लिए, $1$. जोड़ और गुणा के विपरीत, घातांक साहचर्य नहीं है। उदाहरण के लिए, $2^{3} = 8 ≠ 3^{2} = 9$, चूँकि $1=(2^{3})^{2} = 8^{2} = 64$. कोष्ठक के बिना, मूर्धांक संकेत पद्धति में क्रमिक घातांक के संचालन का पारंपरिक क्रम ऊपर से नीचे (या दाहिना- साहचर्य) है, नीचे से ऊपर नहीं   (या  बाया-सहयोगी)।  अर्थात् ,
 * $$b^{p^q} = b^{\left(p^q\right)},$$

जो, सामान्य रूप से, से अलग है
 * $$\left(b^p\right)^q = b^{p q} .$$

राशि की शक्तियाँ
एक राशि की शक्तियों की गणना सामान्य रूप से द्विपद सूत्र द्वारा योग की शक्तियों से की जा सकती है
 * $$(a+b)^n=\sum_{i=0}^n \binom{n}{i}a^ib^{n-i}=\sum_{i=0}^n \frac{n!}{i!(n-i)!}a^ib^{n-i}.$$

हालाँकि, यह सूत्र तभी सत्य है जब योग रूपान्तरित होता है (अर्थात वह $2^{(3^{2})} = 2^{9} = 512$), जो अंतर्निहित है यदि वे एक बीजगणितीय संरचना से संबंधित हैं जो क्रमविनिमेय संपत्ति है। अन्यथा मान लीजिए अगर $x$ तथा $a$, समान आकार के वर्ग आव्यूह हैं, इस सूत्र का उपयोग नहीं किया जा सकता है। यह इस प्रकार है कि परिकलक बीजगणित में, पूर्णांक घातांक वाले कई कलन विधि को बदलना चाहिए, जब घातांक आधार रूपान्तर नहीं करते हैं। कुछ सामान्य प्रयोजन के परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ एक अलग संकेतन का उपयोग करती हैं (कभी-कभी $ab = ba$ के  बदले $^^$) गैर-न्यूनीकरण आधारों के साथ घातांक के लिए, जिसे तब गैर- क्रम विनिमेय घातांक कहा जाता है।

मिश्रित व्याख्या
गैर-नकारात्मक पूर्णांकों $b$ तथा $n$ के लिए, $^$ का मान है  $m$ तत्व के एक समुच्चय (गणित) से $m$ तत्वों का एक समुच्चय तक प्रकार्य (गणित) की संख्या है  ( प्रमुख घातांक देखें)। ऐसे कार्यों को n-तत्व समुच्चय से m-टुपल्स के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है (या  $n$-अक्षर वर्णमाला से $n$-अक्षर शब्द)। $m$ तथा $m$  के विशेष मूल्यों के लिए कुछ उदाहरण निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं:


 * {| class="wikitable"

!$n^{m}$ !The $n^{m}$ possible $n$-tuples of elements from the set $n^{m}$
 * 0$m$ = 0
 * none
 * 1$5$ = 1
 * (1, 1, 1, 1)
 * 2$4$ = 8
 * (1, 1, 1), (1, 1, 2), (1, 2, 1), (1, 2, 2), (2, 1, 1), (2, 1, 2), (2, 2, 1), (2, 2, 2)
 * 3$3$ = 9
 * (1, 1), (1, 2), (1, 3), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 1), (3, 2), (3, 3)
 * 4$2$ = 4
 * (1), (2), (3), (4)
 * 5$1$ = 1
 * }
 * 4$0$ = 4
 * (1), (2), (3), (4)
 * 5$299,792,458 m/s$ = 1
 * }
 * 5$2.998 m/s$ = 1
 * }
 * }

दस की शक्तियाँ
संख्या प्रणाली में आधार दस (दशमलव), के पूर्णांक घातांक $\{1, ..., n\}$ अंक के रूप में लिखे जाते हैं $10$ घातांक के चिह्न और परिमाण द्वारा निर्धारित कई शून्यों के बाद या उससे पहले। उदाहरण के लिए, $1$ तथा $= 1,000$.

आधार के साथ घातांक $= 0$ बड़ी या छोटी संख्याओं को निरूपित करने के लिए वैज्ञानिक संकेतन में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, $2.998 m/s$ (निर्वात में प्रकाश की गति, मीटर प्रति सेकंड में) के रूप में लिखा जा सकता है $1,000 metres$ और फिर सन्निकटन के रूप में $n$.

एसआई उपसर्ग की शक्तियों के आधार पर $10$ छोटी या बड़ी मात्रा का वर्णन करने के लिए भी उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, उपसर्ग किलो- का अर्थ है $10$, तो एक किलोमीटर है $n$.

दो की शक्तियाँ
की पहली नकारात्मक शक्तियां $= 1,000$ सामान्यतः पर उपयोग किए जाते हैं, और उनके विशेष नाम होते हैं, जैसे: एक आधा और 4 (संख्या)।

की शक्तियाँ $2$ समुच्चय सिद्धान्त में दिखाई देते हैं, क्योंकि एक सेट के साथ $2$ सदस्यों के पास एक शक्ति समुच्चय होता है, इसके सभी उपसमुच्चयों का समुच्चय, जिसमें होता है $n$ सदस्य।

की पूर्णांक शक्तियाँ $2^{n}$ परिकलक विज्ञान में महत्वपूर्ण हैं। सकारात्मक पूर्णांक शक्तियां $2$ एक के लिए संभावित मूल्यों की संख्या दें $2^{n}$काटा पूर्णांक बाइनरी संख्या; उदाहरण के लिए, एक बाइट लग सकती है $n$ विभिन्न मूल्य। बाइनरी संख्या प्रणाली किसी भी संख्या को घातों के योग के रूप में व्यक्त करती है $2^{8} = 256$, और इसे अनुक्रम के रूप में दर्शाता है $2$ तथा $0$, एक बाइनरी बिंदु द्वारा अलग किया गया, जहां $1$ की शक्ति को दर्शाता है $1$ जो योग में प्रकट होता है; प्रतिपादक इस के स्थान से निर्धारित होता है $2$: अऋणात्मक घातांक की कोटि है $1$ बिंदु के बाईं ओर (से शुरू $1$), और नकारात्मक घातांक बिंदु के दाईं ओर रैंक द्वारा निर्धारित किए जाते हैं।

एक की शक्तियाँ
एक की शक्तियाँ सभी एक हैं: $0$.

संख्या की पहली शक्ति संख्या ही है: $$n^1=n.$$

शून्य की घात
यदि प्रतिपादक $n$ सकारात्मक है ($1^{n} = 1$), द $n$शून्य की शक्ति शून्य है: $n > 0$.

यदि प्रतिपादक $2,187$ नकारात्मक है ($0^{n} = 0$), द $6,561$शून्य की शक्ति $n < 0$ अपरिभाषित है, क्योंकि यह बराबर होना चाहिए $$1/0^{-n}$$ साथ $0^{n}$, और यह होगा $$1/0$$ ऊपर के अनुसार।

शून्य की घात शून्य|$−n > 0$या तो 1 के रूप में परिभाषित किया गया है, या इसे अपरिभाषित छोड़ दिया गया है।

नकारात्मक की शक्तियां
यदि $0^{0}$ तब एक सम पूर्णांक है $n$.

यदि $(−1)^{n} = 1$ तब एक विषम पूर्णांक है $n$.

इस वजह से, की शक्तियां $(−1)^{n} = −1$ वैकल्पिक अनुक्रमों को व्यक्त करने के लिए उपयोगी हैं। जटिल संख्या की शक्तियों की इसी तरह की चर्चा के लिए $−1$, देखना.

बड़े घातांक
एक से अधिक संख्या की शक्तियों के अनुक्रम की सीमा भिन्न होती है; दूसरे शब्दों में, अनुक्रम बिना किसी सीमा के बढ़ता है:
 * $i$ जैसा $b^{n} → ∞$ जब $n → ∞$

इसे b के रूप में पढ़ा जा सकता है n की शक्ति विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा की ओर जाती है|+∞ जब b एक से बड़ा होता है तो n अनंत की ओर जाता है।

एक से कम पूर्ण मान वाली संख्या की घात शून्य की ओर प्रवृत्त होती है:
 * $b > 1$ जैसा $b^{n} → 0$ जब $n → ∞$

एक की कोई भी शक्ति हमेशा एक होती है:
 * $|b| < 1$ सभी के लिए $b^{n} = 1$ यदि $n$

की शक्तियाँ $b = 1$ के बीच वैकल्पिक $–1$ तथा $1$ जैसा $–1$ सम और विषम के बीच वैकल्पिक, और इस प्रकार किसी भी सीमा तक नहीं जाते हैं $n$ उगता है।

यदि $n$, $b < –1$ बड़ी और बड़ी सकारात्मक और नकारात्मक संख्याओं के बीच वैकल्पिक रूप से $b^{n}$ सम और विषम के बीच वैकल्पिक, और इस प्रकार किसी भी सीमा तक नहीं जाता है $n$ उगता है।

यदि घातांक संख्या की ओर रुझान करते समय भिन्न होता है $n$ जैसा कि प्रतिपादक अनंत की ओर जाता है, तो जरूरी नहीं कि सीमा उपरोक्त में से एक हो। विशेष रूप से महत्वपूर्ण आवेष्टन है
 * $1$ जैसा $(1 + 1/n)^{n} → e$

देखनानीचे।

अन्य सीमाएँ, विशेष रूप से वे अभिव्यक्तियाँ जो एक अनिश्चित रूप धारण करती हैं, में वर्णित हैं नीचे।

पावर फ़ंक्शंस
रूप के वास्तविक कार्य $$f(x) = cx^n$$, कहाँ पे $$c \ne 0$$, कभी-कभी शक्ति कार्य कहलाते हैं। कब $$n$$ एक पूर्णांक है और $$n \ge 1$$, दो प्राथमिक परिवार मौजूद हैं: के लिए $$n$$ यहां तक ​​कि, और के लिए $$n$$ अजीब। सामान्य तौर पर के लिए $$c > 0$$, जब $$n$$ सम है $$f(x) = cx^n$$ बढ़ने के साथ धनात्मक अनन्तता (गणित) की ओर प्रवृत्त होगा $$x$$, और घटते हुए सकारात्मक अनंत की ओर भी $$x$$. सम शक्ति कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार होता है $$y=cx^2$$, के रूप में बीच में अधिक चपटा $$n$$ बढ़ती है। इस तरह की समरूपता के साथ कार्य करता है ($f(-x)= f(x)$) सम फलन कहलाते हैं।

कब $$n$$ अजीब है, $$f(x)$$का स्पर्शोन्मुख व्यवहार सकारात्मक से उलट जाता है $$x$$ नकारात्मक के लिए $$x$$. के लिये $$c > 0$$, $$f(x) = cx^n$$ बढ़ने के साथ धनात्मक अनन्तता (गणित) की ओर भी प्रवृत्त होगा $$x$$, लेकिन घटने के साथ नकारात्मक अनंतता की ओर $$x$$. विषम शक्ति कार्यों के परिवार के सभी रेखांकन का सामान्य आकार होता है $$y=cx^3$$, के रूप में बीच में अधिक चपटा $$n$$ के लिए सीधी रेखा में बढ़ता है और सभी समतलता खो देता है $$n=1$$. इस तरह की समरूपता के साथ कार्य करता है ($f(-x)= -f(x)$) विषम फलन कहलाते हैं।

के लिये $$c < 0$$, प्रत्येक मामले में विपरीत स्पर्शोन्मुख व्यवहार सत्य है।

वाजिब घातांक
यदि $19,683$ एक गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्या है, और $59,049$ एक सकारात्मक पूर्णांक है, $$x^{1/n}$$ या $$\sqrt[n]x$$ अद्वितीय धनात्मक वास्तविक nवें मूल को दर्शाता है$4,096$की जड़ $n → ∞$, वह है, अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक संख्या $16,384$ ऐसा है कि $$y^n=x.$$ यदि $65,536$ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है, और $$\frac pq$$ एक परिमेय संख्या है, साथ $262,144$ तथा $1,048,576$ पूर्णांक, फिर $x^{p/q}$ की तरह परिभाषित किया गया है
 * $$x^\frac pq= \left(x^p\right)^\frac 1q=(x^\frac 1q)^p.$$

दाईं ओर की समानता सेटिंग द्वारा प्राप्त की जा सकती है $$y=x^\frac 1q,$$ और लेखन $$(x^\frac 1q)^p=y^p=\left((y^p)^q\right)^\frac 1q=\left((y^q)^p\right)^\frac 1q=(x^p)^\frac 1q.$$ यदि $15,625$ एक धनात्मक परिमेय संख्या है, $$0^r=0,$$ परिभाषा से।

पहचान को विस्तारित करने के लिए इन सभी परिभाषाओं की आवश्यकता है $$(x^r)^s = x^{rs}$$ तर्कसंगत घातांक के लिए।

दूसरी ओर, इन परिभाषाओं के उन आधारों के विस्तार के साथ समस्याएं हैं जो सकारात्मक वास्तविक संख्या नहीं हैं। उदाहरण के लिए, एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या में एक वास्तविक संख्या होती है $78,125$जड़, जो ऋणात्मक है, यदि $390,625$ विषम संख्या है, और यदि कोई वास्तविक मूल नहीं है $1,953,125$ सम है। बाद के मामले में, जो भी जटिल हो $9,765,625$वह रूट जिसके लिए कोई चुनता है $$x^\frac 1n,$$ पहचान $$(x^a)^b=x^{ab}$$ संतुष्ट नहीं हो सकता। उदाहरण के लिए,
 * $$\left((-1)^2\right)^\frac 12 = 1^\frac 12= 1\neq (-1)^{2\cdot\frac 12} =(-1)^1=-1.$$

देखना तथा  विवरण के लिए जिस तरह से इन समस्याओं को नियंत्रित किया जा सकता है।

वास्तविक घातांक
सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए, वास्तविक शक्तियों के घातांक को दो समान तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है, या तो तर्कसंगत शक्तियों को निरंतरता द्वारा वास्तविक तक विस्तारित करके (, नीचे), या आधार के लघुगणक और घातीय फलन के संदर्भ में (, नीचे)। परिणाम हमेशा एक सकारात्मक वास्तविक संख्या होती है, और पूर्णांक घातांकों के लिए ऊपर दिखाई गई #Identities और गुण वास्तविक घातांकों के लिए इन परिभाषाओं के साथ सही रहते हैं। दूसरी परिभाषा अधिक सामान्य रूप से उपयोग की जाती है, क्योंकि यह जटिल संख्या के घातांकों को सीधे तौर पर सामान्य करती है।

दूसरी ओर, एक नकारात्मक वास्तविक संख्या की वास्तविक शक्ति के लिए घातांक को लगातार परिभाषित करना अधिक कठिन होता है, क्योंकि यह अवास्तविक हो सकता है और इसके कई मान हो सकते हैं (देखें ). कोई इनमें से किसी एक मूल्य को चुन सकता है, जिसे मुख्य मूल्य कहा जाता है, लेकिन मुख्य मूल्य का कोई विकल्प नहीं है जिसके लिए पहचान है
 * $$\left(b^r\right)^s = b^{r s}$$

सच हैं; देखना. इसलिए, एक आधार के साथ घातांक जो एक सकारात्मक वास्तविक संख्या नहीं है, को सामान्यतः एक बहुविकल्पीय फ़ंक्शन के रूप में देखा जाता है।

परिमेय घातांकों की सीमाएं
चूँकि किसी भी अपरिमेय संख्या को परिमेय संख्याओं के अनुक्रम की सीमा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, एक धनात्मक वास्तविक संख्या का घातांक $7,776$ एक मनमाना वास्तविक प्रतिपादक के साथ $46,656$ नियम के साथ निरंतर कार्य द्वारा परिभाषित किया जा सकता है
 * $$ b^x = \lim_{r (\in \mathbb{Q}) \to x} b^r \quad (b \in \mathbb{R}^+,\, x \in \mathbb{R}),$$

जहां सीमा के तर्कसंगत मूल्यों पर ले जाया जाता है $279,936$ केवल। यह सीमा प्रत्येक सकारात्मक के लिए मौजूद है $1,679,616$ और हर असली $10,077,696$.

उदाहरण के लिए, यदि $x$, गैर-समाप्ति दशमलव प्रतिनिधित्व $e1/n$ और तर्कसंगत शक्तियों के मोनोटोन समारोह का उपयोग उन तर्कसंगत शक्तियों द्वारा सीमित अंतराल प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है जो वांछित के रूप में छोटे हैं, और इसमें शामिल होना चाहिए $$b^\pi:$$
 * $$\left[b^3, b^4\right], \left[b^{3.1}, b^{3.2}\right], \left[b^{3.14}, b^{3.15}\right], \left[b^{3.141}, b^{3.142}\right], \left[b^{3.1415}, b^{3.1416}\right], \left[b^{3.14159}, b^{3.14160}\right], \ldots$$

तो, अंतराल की ऊपरी सीमा और निचली सीमा दो अनुक्रम (गणित) बनाते हैं जिनकी एक ही सीमा होती है, निरूपित $$b^\pi.$$ यह परिभाषित करता है $$b^x$$ प्रत्येक सकारात्मक के लिए $60,466,176$ और असली $16,807$ के एक सतत कार्य के रूप में $117,649$ तथा $823,543$. अच्छी तरह से परिभाषित अभिव्यक्ति भी देखें।

चरघातांकी फलन
घातीय फलन को प्रायः इस रूप में परिभाषित किया जाता है $$x\mapsto e^x,$$ कहाँ पे $$e\approx 2.718$$ यूलर की संख्या है। परिपत्र तर्क से बचने के लिए, इस परिभाषा का प्रयोग यहाँ नहीं किया जा सकता है। तो, घातीय कार्य की परिभाषा, निरूपित $$\exp(x),$$ और यूलर की संख्या दी गई है, जो केवल धनात्मक पूर्णांक घातांक वाले घातांक पर निर्भर करती है। फिर एक प्रमाण को रेखांकित किया जाता है कि, यदि कोई पूर्ववर्ती अनुभागों में दी गई घातांक की परिभाषा का उपयोग करता है, तो उसके पास है
 * $$\exp(x)=e^x.$$

घातीय फलन के लक्षण हैं, उनमें से एक है


 * $$\exp(x) = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n.$$

किसी के पास $$\exp(0)=1,$$ और घातीय पहचान $$\exp(x+y)=\exp(x)\exp(y)$$ के रूप में अच्छी तरह से रखता है


 * $$\exp(x)\exp(y) = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1 + \frac{x}{n}\right)^n\left(1 + \frac{y}{n}\right)^n = \lim_{n\rightarrow\infty} \left(1 + \frac{x+y}{n} + \frac{xy}{n^2}\right)^n,$$

और दूसरे क्रम की अवधि $$\frac{xy}{n^2}$$ उपज की सीमा को प्रभावित नहीं करता है $$\exp(x)\exp(y) = \exp(x+y)$$.

यूलर की संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$e=\exp(1)$$. यह पूर्ववर्ती समीकरणों से अनुसरण करता है $$\exp(x)=e^x$$ जब $5,764,801$ एक पूर्णांक है (यह घातांक की बार-बार गुणा करने की परिभाषा का परिणाम है)। यदि $40,353,607$ यह सचमुच का है, $$\exp(x)=e^x$$ पूर्ववर्ती अनुभागों में दी गई परिभाषाओं से परिणाम, यदि घातीय पहचान का उपयोग करके $282,475,249$ तर्कसंगत है, और घातीय कार्य की निरंतरता अन्यथा।

वह सीमा जो चरघातांकी फलन को परिभाषित करती है, के प्रत्येक सम्मिश्र संख्या मान के लिए अभिसरित होती है $32,768$, और इसलिए इसकी परिभाषा का विस्तार करने के लिए इसका उपयोग किया जा सकता है $$\exp(z)$$, और इस तरह $$e^z,$$ वास्तविक संख्या से लेकर किसी भी जटिल तर्क तक $262,144$. यह विस्तारित घातीय कार्य अभी भी घातीय पहचान को संतुष्ट करता है, और सामान्यतः पर जटिल आधार और घातांक के लिए घातांक को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जाता है।

लघुगणक के माध्यम से शक्तियाँ
की परिभाषा $e0 = 1$ जैसा कि घातीय कार्य परिभाषित करने की अनुमति देता है  $x = \pi$ हर सकारात्मक वास्तविक संख्या के लिए $2,097,152$, चरघातांकी और लघुगणक फलन के संदर्भ में। विशेष रूप से, तथ्य यह है कि प्राकृतिक लघुगणक $π = 3.14159...$ चरघातांकी फलन का प्रतिलोम फलन है $e^{x}$ इसका मतलब है कि किसी के पास है
 * $$b = \exp(\ln b)=e^{\ln b}$$

हरएक के लिए $b^{x}$. पहचान बनाए रखने के लिए $$(e^x)^y=e^{xy},$$ एक होना चाहिए
 * $$b^x=\left(e^{\ln b} \right)^x = e^{x \ln b}$$

इसलिए, $$e^{x \ln b}$$ की वैकल्पिक परिभाषा के रूप में उपयोग किया जा सकता है $ln(x)$ किसी सकारात्मक वास्तविक के लिए $16,777,216$. यह तर्कसंगत प्रतिपादकों और निरंतरता का उपयोग करते हुए ऊपर दी गई परिभाषा से सहमत है, किसी भी जटिल प्रतिपादक को सीधे विस्तार करने के लाभ के साथ।

एक सकारात्मक वास्तविक आधार
के साथ जटिल घातांक यदि $134,217,728$ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है, आधार के साथ घातांक $1,073,741,824$ और जटिल संख्या एक्सपोनेंट $59,049$ जटिल तर्क के साथ घातीय कार्य के माध्यम से परिभाषित किया गया है (का अंत देखें, ऊपर) के रूप में
 * $$b^z = e^{(z\ln b)},$$

कहाँ पे $$\ln b$$ के प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है $531,441$.

यह पहचान को संतुष्ट करता है
 * $$b^{z+t} = b^z b^t,$$

सामान्य रूप में, $\left(b^z\right)^t$ परिभाषित नहीं है, क्योंकि $e^{x}$ वास्तविक संख्या नहीं है। यदि एक सम्मिश्र संख्या के घातांक का अर्थ दिया गया है (देखें, नीचे), किसी के पास, सामान्य तौर पर,
 * $$\left(b^z\right)^t \ne b^{zt},$$

जब तक $4,782,969$ वास्तविक है या $43,046,721$ एक पूर्णांक है।

यूलर का सूत्र,
 * $$e^{iy} = \cos y + i \sin y,$$

के ध्रुवीय रूप को व्यक्त करने की अनुमति देता है $$b^z$$ के वास्तविक और काल्पनिक भागों के संदर्भ में $387,420,489$, अर्थात्
 * $$b^{x+iy}= b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)),$$

जहां त्रिकोणमिति गुणक का निरपेक्ष मान एक है। इसका परिणाम है
 * $$b^{x+iy}=b^x b^{iy}=b^x e^{iy\ln b} =b^x(\cos(y\ln b)+i\sin(y\ln b)).$$

जटिल संख्याओं की गैर-पूर्णांक शक्तियां
पिछले अनुभागों में, गैर-पूर्णांक घातांक वाले घातांक को केवल धनात्मक वास्तविक आधारों के लिए परिभाषित किया गया है। अन्य आधारों के लिए, स्पष्ट रूप से सरल मामले के साथ कठिनाइयाँ पहले से ही दिखाई देती हैं $3,486,784,401$वें मूल, अर्थात्, प्रतिपादकों की $$1/n,$$ कहाँ पे $10,000$ एक सकारात्मक पूर्णांक है। यद्यपि गैर-पूर्णांक घातांक वाले घातांक का सामान्य सिद्धांत लागू होता है $100,000$वें मूल, इस मामले पर पहले विचार किया जाना चाहिए, क्योंकि इसमें जटिल लघुगणकों का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है, और इसलिए इसे समझना आसान है।

$1,000,000$एक जटिल संख्या की वें जड़ें
हर अशून्य सम्मिश्र संख्या $10,000,000$ के रूप में ध्रुवीय रूप में लिखा जा सकता है
 * $$z=\rho e^{i\theta}=\rho(\cos \theta +i \sin \theta),$$

कहाँ पे $$\rho$$ का परम मूल्य है $100,000,000$, तथा $$\theta$$ इसका तर्क है (जटिल विश्लेषण)। तर्क को एक पूर्णांक एकाधिक तक परिभाषित किया गया है $b > 0$; इसका मतलब है कि, अगर $$\theta$$ एक सम्मिश्र संख्या का तर्क है, तब $$\theta +2k\pi$$ समान सम्मिश्र संख्या का भी एक तर्क है।

दो सम्मिश्र संख्याओं के गुणनफल का ध्रुवीय रूप पूर्ण मानों को गुणा करके और तर्कों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। यह इस प्रकार है कि एक का ध्रुवीय रूप $1,000,000,000$एक सम्मिश्र संख्या का मूल लेकर प्राप्त किया जा सकता है $10,000,000,000$निरपेक्ष मान का वां मूल और इसके तर्क को विभाजित करके $x$:
 * $$\left(\rho e^{i\theta}\right)^\frac 1n=\sqrt[n]\rho \,e^\frac{i\theta}n.$$

यदि $$2\pi$$ जोड़ा जाता है $$\theta$$सम्मिश्र संख्या नहीं बदली जाती है, लेकिन यह जोड़ता है $$2i\pi/n$$ के तर्क के लिए $n$वें रूट, और एक नया प्रदान करता है $n$वें जड़। यह संभव है $y$ बार, और प्रदान करता है $x$ $p$सम्मिश्र संख्या की वें मूल।

इनमें से किसी एक को चुनना आम बात है $q ≠ 0$ $r$मुख्य जड़ के रूप में वें रूट। को चुनना आम बात है $n$जिसके लिए जड़ $$-\pi<\theta\le \pi,$$ वह यह है कि $n$जड़ जिसका सबसे बड़ा वास्तविक भाग है, और, यदि वे दो हैं, तो सकारात्मक काल्पनिक भाग वाला। यह प्रिंसिपल बनाता है $n$रेडिकैंड के नकारात्मक वास्तविक मूल्यों को छोड़कर, वें पूरे जटिल विमान में एक निरंतर कार्य करता है। यह कार्य सामान्य के बराबर है $n$धनात्मक वास्तविक मूलांक के लिए वें मूल। ऋणात्मक वास्तविक मूलांक और विषम घातांक के लिए मूलधन $n$जड़ वास्तविक नहीं है, हालांकि सामान्य है $b$जड़ असली है। विश्लेषणात्मक निरंतरता से पता चलता है कि प्रिंसिपल $x$वें रूट अद्वितीय जटिल अलग-अलग कार्य है जो सामान्य रूप से विस्तारित होता है $r$गैर-सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के बिना जटिल तल पर वें मूल।

यदि इसके तर्क को बढ़ाकर जटिल संख्या को शून्य के आसपास ले जाया जाता है, तो वृद्धि के बाद $$2\pi,$$ जटिल संख्या अपनी प्रारंभिक स्थिति में वापस आ जाती है, और इसकी $b$वें जड़ें परिपत्र क्रमचय हैं (वे गुणा कर रहे हैं e^{2i\pi/n}). इससे पता चलता है कि a को परिभाषित करना संभव नहीं है $x$वें रूट फ़ंक्शन जो पूरे जटिल विमान में निरंतर है।

एकता की जड़ें
$b$n}}एकता के वें मूल हैं $x$ जटिल संख्याएं जैसे कि $b^{x}$, कहाँ पे $b$ एक सकारात्मक पूर्णांक है। वे गणित के विभिन्न क्षेत्रों में उत्पन्न होते हैं, जैसे असतत फूरियर रूपांतरण या बीजगणितीय समीकरणों के बीजगणितीय समाधान (लैग्रेंज विलायक)। $x$ }} $x$एकता के वें मूल हैं $x$ की पहली शक्तियाँ $$\omega =e^\frac{2\pi i}{n}$$, वह है $$1=\omega^0=\omega^n, \omega=\omega^1, \omega^2, \omega^{n-1}.$$ $x$n}}एकता के वें मूल जिनमें यह जनक गुण होता है आदिम कहलाते हैं $x$एकता की वें जड़ें; उनके पास रूप है $$\omega^k=e^\frac{2k\pi i}{n},$$ साथ $z$ कोप्राइम के साथ पूर्णांक $b$. एकता का अद्वितीय आदिम वर्गमूल है $$-1;$$ एकता की आदिम चौथी जड़ें हैं $$i$$ तथा $$-i.$$

$b$n}}एकता की जड़ें सभी को व्यक्त करने की अनुमति देती हैं $b$एक सम्मिश्र संख्या की वें जड़ें $b$ के रूप में $z$ किसी दिए गए उत्पाद $b$वें की जड़ें $z$ के साथ $t$एकता की वें जड़।

ज्यामितीय रूप से, $z$एकता की वें मूल एक नियमित बहुभुज|नियमित के शीर्ष पर जटिल समतल के इकाई वृत्त पर स्थित है $n$-वास्तविक संख्या 1 पर एक शीर्ष के साथ।

संख्या के रूप में $$e^\frac{2k\pi i}{n}$$ आदिम है $n$सबसे छोटे सकारात्मक तर्क (जटिल विश्लेषण) के साथ एकता की जड़, इसे प्रमुख आदिम कहा जाता है $n$एकता की जड़, कभी-कभी प्रधान के रूप में संक्षिप्त की जाती है $n$एकता की जड़, हालांकि इस शब्दावली को के प्रमुख मूल्य के साथ भ्रमित किया जा सकता है $$1^{1/n}$$ जो 1 है।

जटिल घातांक
जटिल आधारों के साथ घातांक को परिभाषित करने में कठिनाइयाँ आती हैं जो पिछले अनुभाग में वर्णित के समान हैं, सिवाय इसके कि सामान्य रूप से, इसके लिए असीम रूप से कई संभावित मान हैं। z^w. तो, या तो एक प्रमुख मूल्य परिभाषित किया गया है, जो के मूल्यों के लिए निरंतर नहीं है $z$ जो वास्तविक और सकारात्मक नहीं हैं, या z^w एक बहुविकल्पीय समारोह के रूप में परिभाषित किया गया है।

सभी मामलों में, जटिल लघुगणक का उपयोग जटिल घातांक को परिभाषित करने के लिए किया जाता है
 * $$z^w=e^{w\log z},$$

कहाँ पे $$\log z$$ उपयोग किए जाने वाले जटिल लघुगणक का भिन्न रूप है, जो कि एक फ़ंक्शन या बहु-मूल्यवान फ़ंक्शन है
 * $$e^{\log z}=z$$

हरएक के लिए $z$ एक समारोह के अपने डोमेन में।

मूल मूल्य
जटिल लघुगणक का मुख्य मूल्य अद्वितीय कार्य है, जिसे सामान्यतः पर निरूपित किया जाता है $$\log,$$ जैसे कि, प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या के लिए $n$,
 * $$e^{\log z}=z,$$

और का काल्पनिक हिस्सा $n$ संतुष्ट
 * $$-\pi <\mathrm{Im} \le \pi.$$

जटिल लघुगणक का मुख्य मान परिभाषित नहीं है $$z=0,$$ यह के ऋणात्मक वास्तविक मानों पर सतत फलन है $n$, और यह होलोमार्फिक है (अर्थात, जटिल विभेदक) कहीं और। यदि $n$ वास्तविक और सकारात्मक है, जटिल लघुगणक का मुख्य मूल्य प्राकृतिक लघुगणक है: $$\log z=\ln z.$$ का मुख्य मूल्य $$z^w$$ की तरह परिभाषित किया गया है $$z^w=e^{w\log z},$$ कहाँ पे $$\log z$$ लघुगणक का मुख्य मान है।

कार्यक्रम $$(z,w)\to z^w$$ बिंदुओं के पड़ोस को छोड़कर होलोमोर्फिक है $n$ वास्तविक और सकारात्मक है।

यदि $n$ वास्तविक और सकारात्मक है, का प्रमुख मूल्य $$z^w$$ इसके ऊपर परिभाषित सामान्य मूल्य के बराबर है। यदि $$w=1/n,$$ कहाँ पे $n$ एक पूर्णांक है, यह मुख्य मान वही है जो ऊपर परिभाषित किया गया है।

बहुमूल्य समारोह
कुछ संदर्भों में, के प्रमुख मूल्यों की असंततता के साथ एक समस्या है $$\log z$$ तथा $$z^w$$ के नकारात्मक वास्तविक मूल्यों पर $n$. इस मामले में, इन कार्यों को बहुविकल्पीय कार्यों के रूप में विचार करना उपयोगी होता है।

यदि $$\log z$$ बहुविकल्पीय लघुगणक (सामान्यतः पर इसका प्रमुख मान) के मानों में से एक को दर्शाता है, अन्य मान हैं $$2ik\pi +\log z,$$ कहाँ पे $n$ कोई पूर्णांक है। इसी प्रकार यदि $$z^w$$ घातांक का एक मान है, तो अन्य मान दिए जाते हैं
 * $$e^{w(2ik\pi +\log z)} = z^we^{2ik\pi w},$$

कहाँ पे $n$ कोई पूर्णांक है।

के विभिन्न मूल्य $n$ के विभिन्न मान दें $$z^w$$ जब तक $n$ एक परिमेय संख्या है, अर्थात एक पूर्णांक है $n$ ऐसा है कि $n$ एक पूर्णांक है। यह चरघातांकी फलन के आवर्त फलन से उत्पन्न होता है, विशेष रूप से, कि $$e^a=e^b$$ अगर और केवल अगर $$a-b$$ का एक पूर्णांक गुणक है $$2\pi i.$$ यदि $$w=\frac mn$$ के साथ एक परिमेय संख्या है $n$ तथा $n$ कोप्राइम के साथ पूर्णांक $$n>0,$$ फिर $$z^w$$ बिल्कुल है $n$ मान। यदि $$m=1,$$ ये मान वही हैं जो किसी सम्मिश्र संख्या के #nवें मूल में वर्णित हैं|§ $n$एक सम्मिश्र संख्या की वें जड़ें। यदि $n$ एक पूर्णांक है, केवल एक मान है जो इससे सहमत है.

बहुविकल्पी घातांक के लिए होलोमोर्फिक है $$z\ne 0,$$ इस अर्थ में कि किसी फ़ंक्शन के ग्राफ़ में कई शीट होते हैं जो प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं। यदि $n$ चारों ओर एक वृत्त के साथ लगातार बदलता रहता है $b^{z}$, फिर, एक मोड़ के बाद, का मान $$z^w$$ चादर बदली है।

गणना
विहित रूप $$x+iy$$ का $$z^w$$ के विहित रूप से गणना की जा सकती है $n$ तथा $n$. हालांकि यह एक सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है, लेकिन गणना को कई चरणों में विभाजित करना अधिक स्पष्ट है।


 * का ध्रुवीय रूप $n$. यदि $$z=a+ib$$ का विहित रूप है $n$ ($n$ तथा $n$ वास्तविक होना), तो इसका ध्रुवीय रूप है $$z=\rho e^{i\theta}= \rho (\cos\theta + i \sin\theta),$$ कहाँ पे $$\rho=\sqrt{a^2+b^2}$$ तथा $$\theta=\operatorname{atan2}(a,b)$$ (इस फ़ंक्शन की परिभाषा के लिए atan2 देखें)।
 * का जटिल लघुगणक $n$. इस लघुगणक का मुख्य मान है $$\log z=\ln \rho+i\theta,$$ कहाँ पे $$\ln$$ प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है। लघुगणक के अन्य मान जोड़कर प्राप्त किए जाते हैं $$2ik\pi$$ किसी भी पूर्णांक के लिए $n$.
 * का विहित रूप $$w\log z.$$यदि $$w=c+di$$ साथ $k$ तथा $n$ वास्तविक, के मूल्य $$w\log z$$ हैं $$w\log z = (c\ln \rho - d\theta-2dk\pi) +i (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi),$$ के अनुरूप मुख्य मूल्य $$k=0.$$
 * अंतिम परिणाम। पहचानों का उपयोग करना $$e^{x+y}=e^xe^y$$ तथा $$e^{y\ln x} =x^y,$$ एक मिलता है $$z^w=\rho^c e^{-d(\theta+2k\pi)} \left(\cos (d\ln \rho + c\theta+2ck\pi) +i\sin(d\ln \rho + c\theta+2ck\pi)\right),$$ साथ $$k=0$$ मुख्य मूल्य के लिए।

उदाहरण
(-2)^{3 + 4i} &= 2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)} (\cos(4\ln 2 + 3(\pi +2k\pi)) +i\sin(4\ln 2 + 3(\pi+2k\pi)))\\ &=-2^3 e^{-4(\pi+2k\pi)}(\cos(4\ln 2) +i\sin(4\ln 2)). \end{align}$$इस मामले में, सभी मूल्यों का एक ही तर्क है $$4\ln 2,$$ और विभिन्न निरपेक्ष मान।
 * $$i^i$$ का ध्रुवीय रूप $n$ है $$i=e^{i\pi/2},$$ और के मूल्य $$\log i$$ इस प्रकार हैं $$\log i=i\left(\frac \pi 2 +2k\pi\right).$$ यह इस प्रकार है कि $$i^i=e^{i\log i}=e^{-\frac \pi 2} e^{-2k\pi}.$$तो, के सभी मूल्य $$i^i$$ वास्तविक हैं, प्रमुख हैं $$ e^{-\frac \pi 2} \approx 0.2079.$$
 * $$(-2)^{3+4i}$$ इसी तरह, के ध्रुवीय रूप $2\pi$ है $$-2 = 2e^{i \pi}.$$ तो, ऊपर वर्णित विधि मान देती है $$\begin{align}

दोनों उदाहरणों में, के सभी मान $$z^w$$ एक ही तर्क है। अधिक सामान्यतः, यह सच है अगर और केवल अगर असली हिस्सा $n$ एक पूर्णांक है।

शक्ति और लघुगणक पहचान की विफलता
धनात्मक वास्तविक संख्याओं के लिए घातों और लघुगणकों के लिए कुछ पहचानें जटिल संख्याओं के लिए विफल हो जाएँगी, भले ही जटिल घातों और जटिल लघुगणकों को एकल-मूल्यवान कार्यों के रूप में परिभाषित किया गया हो। उदाहरण के लिए:

• The identity $w^{n} = 1$ holds whenever $z$ is a positive real number and $n$ is a real number. But for the principal branch of the complex logarithm one has $ \log((-i)^2) = \log(-1) = i\pi \neq 2\log(-i) = 2\log(e^{-i\pi/2})=2\,\frac{-i\pi}{2} = -i\pi$

Regardless of which branch of the logarithm is used, a similar failure of the identity will exist. The best that can be said (if only using this result) is that: $\log w^z \equiv z \log w \pmod{2 \pi i}$

This identity does not hold even when considering log as a multivalued function. The possible values of $0$ contain those of $−2$ as a proper subset. Using $log(b^{x}) = x ⋅ log b$ for the principal value of $log(w^{z})$ and $n$, $z$ as any integers the possible values of both sides are: $\begin{align} \left\{\log w^z \right\} &= \left\{ z \cdot \operatorname{Log} w + z \cdot 2 \pi i n + 2 \pi i m \mid m,n\in\Z\right\} \\ \left\{z \log w \right\} &= \left\{ z \operatorname{Log} w + z \cdot 2 \pi i n \mid n\in \Z\right\} \end{align}$

• The identities $z ⋅ log w$ and $Log(w)$ are valid when $n$ and $n$ are positive real numbers and $n$ is a real number. But, for the principal values, one has $(-1 \cdot -1)^\frac{1}{2} =1 \neq (-1)^\frac{1}{2} (-1)^\frac{1}{2} = -1$ and $\left(\frac{1}{-1}\right)^\frac{1}{2} = (-1)^\frac{1}{2} = i \neq \frac{1^\frac{1}{2}}{(-1)^\frac{1}{2}} = \frac{1}{i} = -i$

वहीं, जब $n$ एक पूर्णांक है, सर्वसमिकाएँ सभी अशून्य सम्मिश्र संख्याओं के लिए मान्य हैं।

यदि घातांक को बहु-मूल्यवान फलन के रूप में माना जाता है तो के संभावित मान $log(w)$ हैं $(bc)^{x} = b^{x}c^{x}$. पहचान रखती है, लेकिन कह रही है $(b/c)^{x} = b^{x}/c^{x}$ गलत है।| पहचान $(−1 ⋅ −1)^{1/2}$ वास्तविक संख्या के लिए धारण करता है $n$ तथा $n$, लेकिन सम्मिश्र संख्याओं के लिए इसकी सत्यता को मानने से निम्नलिखित गणितीय भ्रांति उत्पन्न होती है, जिसे 1827 में थॉमस क्लॉसन (गणितज्ञ) द्वारा खोजा गया था: किसी पूर्णांक के लिए $z$, अपने पास:
 * 1) $e^{1 + 2 \pi i n} = e^1 e^{2 \pi i n} = e \cdot 1 = e$
 * 2) $\left(e^{1 + 2\pi i n}\right)^{1 + 2 \pi i n} = e\qquad$ (लेना $(1 + 2 \pi i n)$-दोनों पक्षों की शक्ति)
 * 3) $e^{1 + 4 \pi i n - 4 \pi^2 n^2} = e\qquad$ (का उपयोग कर $\left(e^x\right)^y = e^{xy}$ और एक्सपोनेंट का विस्तार)
 * 4) $e^1 e^{4 \pi i n} e^{-4 \pi^2 n^2} = e\qquad$ (का उपयोग कर $e^{x+y} = e^x e^y$)
 * 5) $e^{-4 \pi^2 n^2} = 1\qquad$ (से विभाजित करना $z$)

लेकिन यह गलत है जब पूर्णांक $z$ अशून्य है।

त्रुटि निम्न है: परिभाषा के अनुसार, $e^y$ के लिए एक अंकन है $\exp(y),$ एक सच्चा कार्य, और $x^y$ के लिए एक अंकन है $\exp(y\log x),$ जो एक बहु-मूल्यवान कार्य है। इस प्रकार संकेतन अस्पष्ट है जब ${1, −1}$. यहाँ, घातांक का विस्तार करने से पहले, दूसरी पंक्ति होनी चाहिए $\exp\left((1 + 2\pi i n)\log \exp(1 + 2\pi i n)\right) = \exp(1 + 2\pi i n).$ इसलिए, एक्सपोनेंट का विस्तार करते समय, किसी ने इसका अनुमान लगाया है $\log \exp z =z$ के जटिल मूल्यों के लिए $z$, जो गलत है, क्योंकि जटिल लघुगणक बहु-मूल्यवान है। दूसरे शब्दों में, गलत पहचान ${1} = {(−1 ⋅ −1)^{1/2}}|undefined$ पहचान द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए $\left(e^x\right)^y = e^{y\log e^x},$ जो बहुविकल्पीय कार्यों के बीच एक वास्तविक पहचान है।
 * undefined

तर्कहीनता और अतिक्रमण
यदि $z$ एक सकारात्मक वास्तविक बीजगणितीय संख्या है, और $z$ तब एक परिमेय संख्या है $(e^{x})^{y} = e^{xy}$ एक बीजगणितीय संख्या है। यह बीजगणितीय विस्तार के सिद्धांत का परिणाम है। यह सच रहता है अगर $z$ कोई भी बीजगणितीय संख्या है, जिस स्थिति में, के सभी मान  $x = e$ (एक बहुविकल्पीय फलन के रूप में) बीजगणितीय हैं। यदि $z$ अपरिमेय संख्या है (अर्थात परिमेय नहीं है), और दोनों $n$ तथा $z$ बीजगणितीय हैं, गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय का दावा है कि के सभी मूल्य  $(e^{x})^{y} = e^{xy}$ पारलौकिक संख्याएँ हैं (अर्थात बीजगणितीय नहीं), यदि को छोड़कर $k$ बराबरी $b^{x}$ या $b^{x}$.

दूसरे शब्दों में, अगर $k$ तर्कहीन है और $$b\not\in \{0,1\},$$ तो कम से कम एक $k$, $w$ तथा $b^{x}$ पारलौकिक है।

बीजगणित में पूर्णांक शक्तियां
बार-बार गुणन के रूप में धनात्मक पूर्णांक घातांक के साथ घातांक की परिभाषा गुणन के रूप में निरूपित किसी भी साहचर्य संक्रिया पर लागू हो सकती है। की परिभाषा $$x^0$$ इसके लिए गुणक पहचान के अस्तित्व की आवश्यकता है। एक बीजगणितीय संरचना जिसमें एक साहचर्य संक्रिया के साथ एक समुच्चय होता है जिसे गुणात्मक रूप से निरूपित किया जाता है, और एक गुणात्मक पहचान जिसे 1 द्वारा निरूपित किया जाता है, एक मोनोइड है। ऐसे एक मोनोइड में, एक तत्व का घातांक $d$ आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है
 * $$x^0 = 1,$$
 * $$x^{n+1} =x x^n$$ प्रत्येक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के लिए $dw$.

यदि $m$ एक ऋणात्मक पूर्णांक है, $$x^n$$ केवल अगर परिभाषित किया गया है $n$ एक गुणक व्युत्क्रम है। इस मामले में, का उलटा $n$ निरूपित किया जाता है $$x^{-1},$$ तथा $$x^n$$ की तरह परिभाषित किया गया है $$\left(x^{-1}\right)^{-n}.$$ पूर्णांक घातांक वाले घातांक निम्नलिखित कानूनों का पालन करते हैं, के लिए $n$ तथा $w$ बीजगणितीय संरचना में, और $z$ तथा $z$ पूर्णांक:
 * $$\begin{align}

x^0&=1\\ x^{m+n}&=x^m x^n\\ (x^m)^n&=x^{mn}\\ (xy)^n&=x^n y^n \quad \text{if } xy=yx, \text{and, in particular, if the multiplication is commutative.} \end{align}$$ गणित के कई क्षेत्रों में इन परिभाषाओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से समूह (गणित), वलय (गणित), क्षेत्र (गणित), वर्ग आव्यूह (जो एक छल्ला बनाते हैं) के लिए। वे एक सेट (गणित) से फ़ंक्शन (गणित) पर भी लागू होते हैं, जो फ़ंक्शन संरचना के तहत एक मोनोइड बनाते हैं। इसमें विशिष्ट उदाहरणों के रूप में, ज्यामितीय परिवर्तन और किसी भी गणितीय संरचना के एंडोमोर्फिज्म शामिल हैं।

जब कई प्रवर्तन होते हैं जिन्हें दोहराया जा सकता है, तो घातांक से पहले, सुपरस्क्रिप्ट में इसके प्रतीक को रखकर दोहराए गए प्रवर्तन  को इंगित करना आम है। उदाहरण के लिए, यदि $w$ एक वास्तविक फलन है जिसका मान गुणा किया जा सकता है, $$f^n$$ गुणन के संबंध में घातांक को दर्शाता है, और $$f^{\circ n}$$ समारोह रचना के संबंध में घातांक निरूपित कर सकते हैं। वह है,
 * $$(f^n)(x)=(f(x))^n=f(x) \,f(x) \cdots f(x),$$

तथा
 * $$(f^{\circ n})(x)=f(f(\cdots f(f(x))\cdots)).$$

सामान्यतः, $$(f^n)(x)$$ निरूपित किया जाता है $$f(x)^n,$$ जबकि $$(f^{\circ n})(x)$$ निरूपित किया जाता है $$f^n(x).$$

एक समूह में
गुणक समूह एक ऐसा समुच्चय होता है जिसे साहचर्य संक्रिया के रूप में गुणन के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसमें एक पहचान तत्व होता है, और ऐसा होता है कि प्रत्येक तत्व का व्युत्क्रम होता है।

तो अगर $z$ एक समूह है, $$x^n$$ प्रत्येक के लिए परिभाषित किया गया है $$x\in G$$ और हर पूर्णांक $z$.

किसी समूह के किसी तत्व की सभी शक्तियों का समुच्चय एक उपसमूह बनाता है। एक समूह (या उपसमूह) जिसमें एक विशिष्ट तत्व की सभी शक्तियाँ होती हैं $a$ द्वारा उत्पन्न चक्रीय समूह है $b$. यदि सभी शक्तियां $z$ अलग हैं, समूह योजक समूह के लिए समरूप है $$\Z$$ पूर्णांकों का। अन्यथा, चक्रीय समूह परिमित समूह है (इसमें तत्वों की एक सीमित संख्या है), और इसके तत्वों की संख्या क्रम (समूह सिद्धांत) है $k$. यदि का आदेश $c$ है $d$, फिर $$x^n=x^0=1,$$ और चक्रीय समूह द्वारा उत्पन्न $i$ के होते हैं $w$ की पहली शक्तियाँ $b$ (प्रतिपादक से उदासीनता से शुरू $0$ या $1$).

समूह सिद्धांत में तत्वों का क्रम एक मौलिक भूमिका निभाता है। उदाहरण के लिए, परिमित समूह में किसी तत्व का क्रम हमेशा समूह के तत्वों की संख्या (समूह का क्रम) का भाजक होता है। समूह तत्वों के संभावित क्रम समूह की संरचना के अध्ययन में महत्वपूर्ण हैं (सिलो प्रमेय देखें), और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में।

सुपरस्क्रिप्ट नोटेशन का उपयोग संयुग्मन वर्ग के लिए भी किया जाता है; वह है, $b^{x}$, जहाँ g और h समूह के अवयव हैं। इस अंकन को घातांक के साथ भ्रमित नहीं किया जा सकता है, क्योंकि सुपरस्क्रिप्ट पूर्णांक नहीं है। इस अंकन की प्रेरणा यह है कि संयुग्मन घातांक के कुछ नियमों का पालन करता है, अर्थात् $$(g^h)^k=g^{hk}$$ तथा $$(gh)^k=g^kh^k.$$

एक अंगूठी में
एक वलय (गणित) में, ऐसा हो सकता है कि कुछ अशून्य तत्व संतुष्ट हों $$x^n=0$$ कुछ पूर्णांक के लिए $x$. ऐसे तत्व को शून्य कहा जाता है। एक क्रमविनिमेय अंगूठी में, nilpotent तत्व एक आदर्श (रिंग थ्योरी) बनाते हैं, जिसे रिंग के रिंग का नील-कट्टरपंथी कहा जाता है।

यदि नीलमूल को शून्य आदर्श में घटा दिया जाता है (अर्थात, यदि $$x\neq 0$$ तात्पर्य $$x^n\neq 0$$ प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $m$), कम्यूटेटिव रिंग को कम अंगूठी कहा जाता है। बीजगणितीय ज्यामिति में कम किए गए छल्ले महत्वपूर्ण हैं, क्योंकि एक एफाइन बीजगणितीय सेट का समन्वय वलय हमेशा एक छोटा वलय होता है।

अधिक सामान्यतः, एक आदर्श दिया जाता है $n$ एक कम्यूटेटिव रिंग में $b$, के तत्वों का सेट $c$ जिसमें शक्ति हो $x$ एक आदर्श है, जिसे के आदर्श का मूलक कहा जाता है $x$. शून्यवादी शून्य आदर्श का मूलांक है। एक कट्टरपंथी आदर्श एक आदर्श है जो अपने स्वयं के कट्टरपंथी के बराबर होता है। एक बहुपद अंगूठी में $$k[x_1, \ldots, x_n]$$ एक क्षेत्र पर (गणित) $x$, एक आदर्श कट्टरपंथी है अगर और केवल अगर यह सभी बहुपदों का सेट है जो एक affine बीजगणितीय सेट पर शून्य है (यह हिल्बर्ट के Nullstellensatz का परिणाम है)।

मैट्रिसेस और लीनियर ऑपरेटर्स
यदि A एक वर्ग आव्यूह है, तो A का स्वयं n बार गुणनफल आव्यूह शक्ति कहलाता है। भी $$A^0$$ पहचान मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है, और यदि A व्युत्क्रमणीय है, तब $$A^{-n} = \left(A^{-1}\right)^n$$.

मैट्रिक्स शक्तियां प्रायः असतत गतिशील प्रणालियों के संदर्भ में दिखाई देती हैं, जहां मैट्रिक्स ए किसी सिस्टम के राज्य वेक्टर एक्स से सिस्टम के अगले राज्य एक्स में संक्रमण को व्यक्त करता है। उदाहरण के लिए, यह मार्कोव श्रृंखला की मानक व्याख्या है। फिर $$A^2x$$ दो समय चरणों के बाद प्रणाली की स्थिति है, और इसी प्रकार आगे: $$A^nx$$ n टाइम स्टेप्स के बाद सिस्टम की स्थिति है। मैट्रिक्स शक्ति $$A^n$$ भविष्य में एक समय n चरणों में राज्य और राज्य के बीच संक्रमण मैट्रिक्स है। इसलिए कंप्यूटिंग मैट्रिक्स शक्तियां गतिशील प्रणाली के विकास को हल करने के बराबर हैं। कई मामलों में, आइगेनवैल्यू और ईजेनवेक्टर का उपयोग करके मैट्रिक्स शक्तियों की शीघ्रता से गणना की जा सकती है।

मेट्रिसेस के अलावा, अधिक सामान्य रैखिक ऑपरेटरों को भी प्रतिपादित किया जा सकता है। एक उदाहरण कलन का व्युत्पन्न संकारक है, $$d/dx$$, जो एक रैखिक ऑपरेटर है जो कार्यों पर कार्य करता है $$f(x)$$ एक नया कार्य देने के लिए $$(d/dx)f(x) = f'(x)$$. अवकलन संकारक की n-वीं शक्ति n-वें अवकलज है:
 * $$\left(\frac{d}{dx}\right)^nf(x) = \frac{d^n}{dx^n}f(x) = f^{(n)}(x).$$

ये उदाहरण रैखिक संकारकों के असतत घातांकों के लिए हैं, लेकिन कई परिस्थितियों में ऐसे संकारकों की शक्तियों को निरंतर घातांकों के साथ परिभाषित करना भी वांछनीय है। यह c0-अर्धसमूह के गणितीय सिद्धांत का प्रारंभिक बिंदु है। जिस तरह असतत घातांक के साथ मैट्रिक्स शक्तियों की गणना असतत गतिशील प्रणालियों को हल करती है, उसी प्रकार निरंतर घातांक वाले मैट्रिक्स शक्तियों की गणना निरंतर गतिकी वाले सिस्टम को हल करती है। उदाहरणों में ताप समीकरण, श्रोडिंगर समीकरण, तरंग समीकरण, और समय विकास सहित अन्य आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के दृष्टिकोण शामिल हैं। व्युत्पन्न ऑपरेटर को एक गैर-पूर्णांक शक्ति के घातांक के विशेष मामले को भिन्नात्मक व्युत्पन्न कहा जाता है, जो भिन्नात्मक अभिन्न के साथ मिलकर भिन्नात्मक कलन के बुनियादी कार्यों में से एक है।

परिमित क्षेत्र
एक क्षेत्र (गणित) एक बीजगणितीय संरचना है जिसमें गुणन, जोड़, घटाव और भाग को परिभाषित किया जाता है और उन गुणों को संतुष्ट करता है जो गुणन साहचर्य है और प्रत्येक गैर-शून्य तत्व में गुणक व्युत्क्रम होता है। इसका तात्पर्य है कि पूर्णांक घातांक के साथ घातांक अच्छी तरह से परिभाषित है, की गैर-सकारात्मक शक्तियों को छोड़कर $0$. सामान्य उदाहरण सम्मिश्र संख्याएँ और उनके क्षेत्र विस्तार, परिमेय संख्याएँ और वास्तविक संख्याएँ हैं, जिन पर इस लेख में पहले चर्चा की जा चुकी है और ये सभी अनंत समुच्चय हैं।

एक परिमित क्षेत्र एक ऐसा क्षेत्र है जिसमें तत्वों का एक परिमित समूह होता है। तत्वों की यह संख्या या तो अभाज्य संख्या है या अभाज्य शक्ति है; अर्थात् उसका रूप है $$q=p^k,$$ कहाँ पे $y$ एक प्रमुख संख्या है, और $n$ एक सकारात्मक पूर्णांक है। ऐसे हर के लिए $e$, के साथ फ़ील्ड हैं $n$ तत्व। के साथ खेत $z$ तत्व सभी आइसोमॉर्फिक हैं, जो सामान्य रूप से काम करने की अनुमति देता है जैसे कि केवल एक ही क्षेत्र था $b$ तत्व, निरूपित $$\mathbb F_q.$$ किसी के पास
 * $$x^q=x$$

हरएक के लिए $$x\in \mathbb F_q.$$ एक आदिम तत्व (परिमित क्षेत्र) में $$\mathbb F_q$$ एक तत्व है $x$ ऐसा सेट $1$ की पहली शक्तियाँ $b$ (वह है, $$\{g^1=g, g^2, \ldots, g^{p-1}=g^0=1\}$$) के अशून्य तत्वों के सेट के बराबर है $$\mathbb F_q.$$ वहाँ हैं $$\varphi (p-1)$$ आदिम तत्वों में $$\mathbb F_q,$$ कहाँ पे $$\varphi$$ यूलर का कुल कार्य है।

में $$\mathbb F_q,$$ द फ्रेशमैन के सपनों की पहचान
 * $$(x+y)^p = x^p+y^p$$

घातांक के लिए सत्य है $x$. जैसा $$x^p=x$$ में $$\mathbb F_q,$$ यह इस प्रकार है कि मानचित्र
 * $$\begin{align}

F\colon{} & \mathbb F_q \to \mathbb F_q\\ & x\mapsto x^p \end{align}$$ रैखिक नक्शा खत्म हो गया है $$\mathbb F_q,$$ और एक फील्ड ऑटोमोर्फिज्म है, जिसे फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म कहा जाता है। यदि $$q=p^k,$$ फील्ड $$\mathbb F_q$$ है $b$ ऑटोमोर्फिज्म, जो हैं $x$ की पहली शक्तियाँ (फ़ंक्शन रचना के तहत)। $b$. दूसरे शब्दों में, का गैलोज़ समूह $$\mathbb F_q$$ क्रम का चक्रीय समूह है $x$, फ्रोबेनियस ऑटोमोर्फिज्म द्वारा उत्पन्न।

डिफी-हेलमैन कुंजी एक्सचेंज परिमित क्षेत्रों में घातांक का एक अनुप्रयोग है जो सुरक्षित संचार के लिए व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। यह इस तथ्य का उपयोग करता है कि घातांक कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ता है, जबकि उलटा प्रवर्तन, असतत लघुगणक, कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा है। अधिक सटीक, अगर $b$ में आदिम तत्व है $$\mathbb F_q,$$ फिर $$g^e$$ किसी के लिए भी वर्ग करके घातांक के साथ कुशलतापूर्वक गणना की जा सकती है $x$, भले ही $x$ बड़ा है, जबकि पुनः प्राप्त करने की अनुमति देने वाला कोई ज्ञात एल्गोरिद्म नहीं है $n$ से $$g^e$$ यदि $n$ काफी बड़ा है।

सेट की शक्तियां
दो सेट (गणित) का कार्टेशियन उत्पाद $x$ तथा $x$ क्रमित युग्मों का समुच्चय है $$(x,y)$$ ऐसा है कि $$x\in S$$ तथा $$y\in T.$$ यह प्रवर्तन ठीक से कम्यूटेटिव और न ही सहयोगी है, लेकिन इन गुणों को विहित नक्शा समाकृतिकता तक है, जो पहचानने की अनुमति देता है, उदाहरण के लिए, $$(x,(y,z)),$$ $$((x,y),z),$$ तथा $$(x,y,z).$$ यह परिभाषित करने की अनुमति देता है $x$वें शक्ति $$S^n$$ एक सेट का $y$ सभी के सेट के रूप में $m$-टुपल्स $$(x_1, \ldots, x_n)$$ के तत्वों का $n$.

कब $f$ कुछ संरचना के साथ संपन्न है, यह प्रायः होता है $$S^n$$ स्वाभाविक रूप से एक समान संरचना के साथ संपन्न है। इस मामले में, प्रत्यक्ष उत्पाद शब्द का उपयोग सामान्यतः पर कार्टेशियन उत्पाद के बजाय किया जाता है, और एक्सपोनेंटिएशन उत्पाद संरचना को दर्शाता है। उदाहरण के लिए $$\R^n$$ (कहाँ पे $$\R$$ वास्तविक संख्या को दर्शाता है) के कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है $G$ की प्रतियां $$\R,$$ साथ ही उनके प्रत्यक्ष उत्पाद जैसे सदिश स्थल, टोपोलॉजिकल स्पेस, रिंग (गणित), आदि।

एक्सपोनेंट के रूप में सेट
A $n$-टुपल $$(x_1, \ldots, x_n)$$ के तत्वों का $x$ से एक समारोह (गणित) के रूप में माना जा सकता है $$\{1,\ldots, n\}.$$ यह निम्नलिखित अंकन के लिए सामान्यीकरण करता है।

दो सेट दिए गए हैं $x$ तथा $x$, से सभी कार्यों का सेट $x$ प्रति $x$ निरूपित किया जाता है $$S^T$$. यह घातीय संकेतन निम्नलिखित विहित समरूपताओं द्वारा उचित है (पहले वाले के लिए, करीइंग देखें):
 * $$(S^T)^U\cong S^{T\times U},$$
 * $$S^{T\sqcup U}\cong S^T\times S^U,$$

कहाँ पे $$\times$$ कार्टेशियन उत्पाद को दर्शाता है, और $$\sqcup$$ असंबद्ध संघ।

कोई सेट पर अन्य कार्यों के लिए एक्सपोनेंट के रूप में सेट का उपयोग कर सकता है, सामान्यतः पर एबेलियन समूहों, वेक्टर रिक्त स्थान या मॉड्यूल (गणित) के प्रत्यक्ष योग के लिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष गुणनफल में अंतर करने के लिए, प्रत्यक्ष योग के घातांक को कोष्ठकों के बीच रखा जाता है। उदाहरण के लिए, $$\R^\N$$ वास्तविक संख्याओं के अनंत अनुक्रमों के सदिश स्थान को दर्शाता है, और $$\R^{(\N)}$$ उन अनुक्रमों का सदिश स्थान जिनमें अशून्य तत्वों की एक परिमित संख्या होती है। उत्तरार्द्ध का एक आधार (रैखिक बीजगणित) होता है जिसमें ठीक एक अशून्य तत्व के साथ अनुक्रम होता है जो बराबर होता है $g^{h} = h^{−1}gh$, जबकि पूर्व के हामेल आधारों को स्पष्ट रूप से वर्णित नहीं किया जा सकता है (क्योंकि वहां अस्तित्व में ज़ोर्न की लेम्मा शामिल है)।

इस संदर्भ में, $0$ सेट का प्रतिनिधित्व कर सकता है $$\{0,1\}.$$ इसलिए, $$2^S$$ के पावर सेट को दर्शाता है $n$, जो कि कार्यों का सेट है $x$ प्रति $$\{0,1\},$$ जिसे के सबसेट के सेट से पहचाना जा सकता है $n$की उलटी छवि के लिए प्रत्येक फ़ंक्शन को मैप करके $q − 1$.

यह कार्डिनल संख्या#कार्डिनल घातांक के साथ इस अर्थ में फिट बैठता है कि $1$, कहाँ पे $2$ की प्रमुखता है $1$.

श्रेणी सिद्धांत में
सेट की श्रेणी में, सेट के बीच morphisms $x$ तथा $n$ से कार्य हैं $n$ प्रति $I$. यह परिणाम है कि कार्यों का सेट से $R$ प्रति $R$ जिसे दर्शाया गया है $$Y^X$$ पूर्ववर्ती खंड में भी निरूपित किया जा सकता है $$\hom(X,Y).$$ समरूपता $$(S^T)^U\cong S^{T\times U}$$ फिर से लिखा जा सकता है
 * $$\hom(U,S^T)\cong \hom(T\times U,S).$$

इसका अर्थ है शक्ति के लिए फ़ंक्टर एक्सपोनेंटिएशन $I$ फ़नकार प्रत्यक्ष उत्पाद के साथ दाहिनी ओर है $I$.

यह घातीय (श्रेणी सिद्धांत) की परिभाषा को सामान्यीकृत करता है जिसमें परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद मौजूद होते हैं: ऐसी श्रेणी में, फ़ैक्टर $$X\to X^T$$ है, यदि यह मौजूद है, तो फ़ंक्टर का दाहिना सटा हुआ है $$Y\to T\times Y.$$ एक श्रेणी को कार्टेशियन बंद श्रेणी कहा जाता है, यदि प्रत्यक्ष उत्पाद मौजूद हैं, और फ़ैक्टर $$Y\to X\times Y$$ प्रत्येक के लिए एक सही जोड़ है $k$.

बार-बार घातांक
जिस तरह प्राकृतिक संख्याओं का घातांक बार-बार गुणन से प्रेरित होता है, उसी तरह बार-बार घातांक के आधार पर एक संक्रिया को परिभाषित करना संभव है; इस प्रवर्तन को कभी-कभी हाइपर-4 या टेट्रेशन कहा जाता है। इटरेटिंग टेट्रेशन एक अन्य प्रवर्तन  की ओर जाता है, और इसी तरह, हाइपरप्रवर्तन  नाम की एक अवधारणा। संचालन का यह क्रम एकरमैन समारोह और नुथ के अप-एरो नोटेशन द्वारा व्यक्त किया गया है। जिस तरह गुणन की तुलना में घातांक तेजी से बढ़ता है, जो कि जोड़ की तुलना में तेजी से बढ़ रहा है, घातांक की तुलना में टेट्रेशन तेजी से बढ़ रहा है। पर मूल्यांकन किया गया $|S^{T}| = |S|^{|T|}$, कार्यों के अलावा, गुणन, घातांक, और टेट्रेशन उपज 6, 9, 27, और $p$ ($|X|$) क्रमश।

शक्तियों की सीमा
शून्य की घात शून्य से सीमा के कई उदाहरण मिलते हैं जो 0 के अनिश्चित रूप के होते हैं 0। इन उदाहरणों में सीमाएँ मौजूद हैं, लेकिन अलग-अलग मान हैं, जो दिखाते हैं कि दो-चर फ़ंक्शन $X$ बिंदु पर कोई सीमा नहीं है $(3, 3)$. कोई इस बात पर विचार कर सकता है कि इस फ़ंक्शन की सीमा क्या है।

अधिक सटीक रूप से, फ़ंक्शन पर विचार करें $$f(x,y) = x^y$$ पर परिभाषित $$ D = \{(x, y) \in \mathbf{R}^2 : x > 0 \}$$. फिर $= 3^{27} = 3^{3^{3}} = ^{3}3|undefined$ के उपसमुच्चय के रूप में देखा जा सकता है $x^{y}$ (अर्थात, सभी जोड़ियों का समुच्चय $(0, 0)$ साथ $D$, $\overline{R}^{2}$ विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा से संबंधित $(x, y)$, उत्पाद टोपोलॉजी के साथ संपन्न), जिसमें कार्य करने वाले बिंदु शामिल होंगे $x$ एक सीमा है।

वास्तव में, $y$ के सभी संचय बिंदुओं पर एक सीमा है $\overline{R} = [−∞, +∞]$, के अलावा $f$, $f$, $D$ तथा $(0, 0)$. तदनुसार, यह किसी को शक्तियों को परिभाषित करने की अनुमति देता है $(+∞, 0)$ निरंतरता से जब भी $(1, +∞)$, $(1, −∞)$, 0 को छोड़कर0, (+∞)0, 1 +∞ और 1−∞, जो अनिश्चित रूप में रहते हैं।

निरंतरता द्वारा इस परिभाषा के तहत, हम प्राप्त करते हैं:
 * $x^{y}$ तथा $0 ≤ x ≤ +∞$, जब $−∞ ≤ y ≤ +∞$.
 * $x^{+∞} = +∞$ तथा $x^{−∞} = 0$, जब $1 < x ≤ +∞$.
 * $x^{+∞} = 0$ तथा $x^{−∞} = +∞$, जब $0 ≤ x < 1$.
 * $0^{y} = 0$ तथा $(+∞)^{y} = +∞$, जब $0 < y ≤ +∞$.

ये शक्तियाँ की सीमा लेकर प्राप्त की जाती हैं $0^{y} = +∞$ के सकारात्मक मूल्यों के लिए $(+∞)^{y} = 0$. यह विधि परिभाषा की अनुमति नहीं देती है $−∞ ≤ y < 0$ जब $x^{y}$, जोड़े के बाद से $x$ साथ $x^{y}$ के संचय बिंदु नहीं हैं $x < 0$.

वहीं, जब $(x, y)$ एक पूर्णांक है, शक्ति $x < 0$ के सभी मूल्यों के लिए पहले से ही सार्थक है $D$, नकारात्मक सहित। यह परिभाषा कर सकता है $n$ ऊपर नकारात्मक के लिए प्राप्त किया $x^{n}$ समस्याग्रस्त जब $x$ अजीब है, क्योंकि इस मामले में $0^{n} = +∞$ जैसा $n$ आदत है $n$ सकारात्मक मूल्यों के माध्यम से, लेकिन नकारात्मक नहीं।

पूर्णांक घातांकों के साथ कुशल गणना
कम्प्यूटिंग बीn पुनरावृत्त गुणन का उपयोग करना आवश्यक है $x^{n} → +∞$ गुणा संचालन, लेकिन इसकी तुलना में अधिक कुशलता से गणना की जा सकती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण द्वारा दिखाया गया है। गणना करना 2100, बाइनरी में लिखे एक्सपोनेंट 100 पर हॉर्नर का नियम लागू करें:
 * $$100 = 2^2 +2^5 + 2^6 = 2^2(1+2^3(1+2))$$.

फिर हॉर्नर के नियम को दाएँ से बाएँ पढ़ते हुए, क्रम में निम्नलिखित शब्दों की गणना करें।

चरणों की इस श्रृंखला में 99 के बजाय केवल 8 गुणा की आवश्यकता है।

सामान्य तौर पर, गणना करने के लिए आवश्यक गुणन कार्यों की संख्या $x$ तक घटाया जा सकता है $$\sharp n +\lfloor \log_{2} n\rfloor -1,$$ वर्ग करके घातांक का उपयोग करके, जहाँ $$\sharp n$$ की संख्या को दर्शाता है $0$ के द्विआधारी प्रतिनिधित्व में $k$. कुछ घातांकों के लिए (100 उनमें से नहीं है), गणना करके और न्यूनतम जोड़-श्रृंखला घातांक का उपयोग करके गुणन की संख्या को और कम किया जा सकता है। गुणन का न्यूनतम अनुक्रम (प्रतिपादक के लिए न्यूनतम-लंबाई जोड़ श्रृंखला) ढूँढना $n − 1$ एक कठिन समस्या है, जिसके लिए वर्तमान में कोई कुशल एल्गोरिदम ज्ञात नहीं है (सबसेट योग समस्या देखें), लेकिन कई यथोचित कुशल अनुमानी एल्गोरिदम उपलब्ध हैं। हालांकि, व्यावहारिक संगणनाओं में, वर्ग करके घातांक पर्याप्त कुशल है, और लागू करने में बहुत आसान है।

पुनरावृत्त कार्य
फ़ंक्शन रचना एक बाइनरी प्रवर्तन है जिसे फ़ंक्शन (गणित) पर परिभाषित किया गया है जैसे कि दाईं ओर लिखे गए फ़ंक्शन का कोडोमेन बाईं ओर लिखे फ़ंक्शन के फ़ंक्शन के डोमेन में शामिल है। यह निरूपित है $$g\circ f,$$ और के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$(g\circ f)(x)=g(f(x))$$

हरएक के लिए $q$ के अधिकार क्षेत्र में $q$.

यदि किसी फ़ंक्शन का डोमेन $q$ इसके कोडोमेन के बराबर है, कोई भी समय की मनमानी संख्या के साथ फलन की रचना कर सकता है, और यह परिभाषित करता है $q$संरचना के तहत समारोह की वें शक्ति, सामान्यतः कहा जाता है$g$समारोह का वें पुनरावृति। इस प्रकार $$f^n$$ सामान्यतः दर्शाता है $g$की पुनरावृति $p$; उदाहरण के लिए, $$f^3(x)$$ साधन $$f(f(f(x))).$$

जब गुणन को फ़ंक्शन के कोडोमेन पर परिभाषित किया जाता है, तो यह फ़ंक्शन पर गुणन को परिभाषित करता है, बिंदुवार गुणन, जो एक अन्य घातांक को प्रेरित करता है। कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करते समय, दो प्रकार के घातांक को सामान्यतः फ़ंक्शन के तर्कों को संलग्न करने वाले कोष्ठकों से पहले कार्यात्मक पुनरावृति के घातांक को रखकर और कोष्ठकों के बाद बिंदुवार गुणन के घातांक को रखकर अलग किया जाता है। इस प्रकार $$f^2(x)= f(f(x)),$$ तथा $$f(x)^2= f(x)\cdot f(x).$$ जब कार्यात्मक संकेतन का उपयोग नहीं किया जाता है, तो प्रतिपादक से पहले रचना प्रतीक को रखकर बहुधा असंबद्धता की जाती है; उदाहरण के लिए $$f^{\circ 3}=f\circ f \circ f,$$ तथा $$f^3=f\cdot f\cdot f.$$ ऐतिहासिक कारणों से, दोहराए गए गुणन के घातांक को कुछ विशिष्ट कार्यों, विशेष रूप से त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए तर्क से पहले रखा जाता है। इसलिए, $$\sin^2 x$$ तथा $$\sin^2(x)$$ दोनों मतलब $$\sin(x)\cdot\sin(x)$$ और नहीं $$\sin(\sin(x)),$$ जो, किसी भी मामले में, शायद ही कभी माना जाता है। ऐतिहासिक रूप से, विभिन्न लेखकों द्वारा इन नोटेशनों के कई रूपों का उपयोग किया गया था।

इस संदर्भ में प्रतिपादक $$-1$$ यदि यह मौजूद है, तो हमेशा उलटा कार्य दर्शाता है। इसलिए $$\sin^{-1}x=\sin^{-1}(x) = \arcsin x.$$ गुणनात्मक व्युत्क्रम अंशों के लिए सामान्यतः पर इन के रूप में उपयोग किया जाता है $$1/\sin(x)=\frac 1{\sin x}.$$

प्रोग्रामिंग भाषाओं में
प्रोग्रामिंग लैंग्वेज सामान्यतः पर या तो एक इन्फिक्स ऑपरेटर ( परिकलक प्रोग्रामिंग) या एक फंक्शन एप्लिकेशन के रूप में एक्सपोनेंटिएशन व्यक्त करते हैं, क्योंकि वे सुपरस्क्रिप्ट का समर्थन नहीं करते हैं। घातांक के लिए सबसे आम संकारक चिह्न कैरट है. ASCII#1963 में एक अपएरो प्रतीक, घातांक के लिए अभिप्रेत है, लेकिन यह 1967 में कैरट # ऐतिहासिक परिकलक सिस्टम एन्कोडिंग था, इसलिए प्रोग्रामिंग भाषाओं में कैरेट सामान्य हो गया। नोटेशन में शामिल हैं:
 * : AWK, BASIC, बीसी प्रोग्रामिंग भाषा, MATLAB, वोल्फ्राम भाषा (वोल्फ्राम मैथेमेटिका), R (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), माइक्रोसॉफ्ट एक्सेल, एनालिटिका (सॉफ्टवेयर), TeX (और इसके डेरिवेटिव), TI-BASIC, bc प्रोग्रामिंग लैंग्वेज (इंटीजर एक्सपोनेंट्स के लिए) ), हास्केल (प्रोग्रामिंग भाषा) (गैर-नकारात्मक पूर्णांक घातांक के लिए), लुआ (प्रोग्रामिंग भाषा) और अधिकांश परिकलक बीजगणित प्रणालियाँ।
 * . फोरट्रान कैरेक्टर सेट में इसके अलावा लोअरकेस वर्ण या विराम चिह्न शामिल नहीं थे  और इसलिए इस्तेमाल किया   घातांक के लिए (प्रारंभिक संस्करण का इस्तेमाल किया   बजाय। ). कई अन्य भाषाओं ने सूट का पालन किया: एडा (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), जेड खोल, के शेल, बैश (यूनिक्स शेल), कोबोल, कॉफीस्क्रिप्ट, फोरट्रान, फॉक्सप्रो 2, Gnuplot, अपाचे ग्रूवी, जावास्क्रिप्ट, OCaml, एफ शार्प (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) | एफ#, पर्ल, पीएचपी, पीएल / आई, पायथन (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), रेक्स, रूबी (प्रोग्रामिंग भाषा), एडा (प्रोग्रामिंग भाषा), सही 7, टीसीएल, एबीएपी, मर्करी (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज), हास्केल (फ्लोटिंग-पॉइंट एक्सपोनेंट्स के लिए), ट्यूरिंग (प्रोग्रामिंग) भाषा), वीएचडीएल।
 * : अल्गोल प्रोग्रामिंग भाषा, कमोडोर बेसिक, टीआरएस-80 लेवल II बेसिक|टीआरएस-80 लेवल II/III बेसिक।
 * : हास्केल (आंशिक आधार, पूर्णांक घातांक के लिए), डी (प्रोग्रामिंग भाषा)।
 * : एपीएल (प्रोग्रामिंग भाषा)।

अधिकांश प्रोग्रामिंग भाषाओं में एक इंफिक्स एक्सपोनेंटिएशन ऑपरेटर के साथ, यह ऑपरेटर सहयोगीता है | सही-सहयोगी, यानी,  के रूप में समझा जाता है. यह है क्योंकि  के बराबर है   और इसलिए उतना उपयोगी नहीं है। कुछ भाषाओं में, यह वाम-सहयोगी है, विशेष रूप से अल्गोल, मैटलैब और माइक्रोसॉफ्ट ऑफिस एक्सेल फॉर्मूला भाषा में।

अन्य प्रोग्रामिंग भाषाएं कार्यात्मक संकेतन का उपयोग करती हैं:
 * : सामान्य लिस्प।
 * : एफ शार्प (प्रोग्रामिंग लैंग्वेज) | एफ # (पूर्णांक आधार, पूर्णांक घातांक के लिए)।

अभी भी अन्य केवल मानक पुस्तकालय (कंप्यूटिंग) के भाग के रूप में घातांक प्रदान करते हैं:
 * : सी (प्रोग्रामिंग भाषा), सी ++ (में  पुस्तकालय)।
 * : सी शार्प (प्रोग्रामिंग भाषा)|सी#.
 * : एरलांग (प्रोग्रामिंग भाषा)।
 * : जावा (प्रोग्रामिंग भाषा)।
 * : पावरशेल।

यह भी देखें

 * दोहरा घातीय कार्य
 * घातीय क्षय
 * घातीय क्षेत्र
 * घातीय वृद्धि
 * घातीय विषयों की सूची
 * मॉड्यूलर घातांक
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संदर्भ
में