हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व

संख्याओं के लिए गणितीय संकेतन में, एक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व एक स्थितीय अंक प्रणाली है जिसमें पूर्णांकों को एन्कोड करने के लिए हस्ताक्षरित अंकों के एक समुच्चय का उपयोग किया जाता है।

हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व का उपयोग पूर्णांकों को तेजी से जोड़ने के लिए किया जा सकता है क्योंकि यह आश्रित कैरीज़ की श्रृंखला को समाप्त कर सकता है। बाइनरी अंक प्रणाली में, एक विशेष केस हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व गैर-आसन्न रूप है, जो न्यूनतम स्थान ओवरहेड के साथ गति लाभ प्रदान कर सकता है।

इतिहास
गणना में चुनौतियों ने प्रारंभिक लेखकों कोल्सन (1726) और कॉची (1840) को हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व का उपयोग करने के लिए प्रेरित किया। नकारे गए अंकों को नए अंकों से बदलने का अगला कदम सेलिंग (1887) और काजोरी (1928) द्वारा सुझाया गया था।

1928 में, फ्लोरियन काजोरी ने जॉन कोलसन (1726) और ऑगस्टिन-लुई कॉची (1840) से शुरू करते हुए, हस्ताक्षरित अंकों के आवर्ती विषय पर ध्यान दिया। अपनी पुस्तक हिस्ट्री ऑफ मैथमेटिकल नोटेशन्स में, काजोरी ने अनुभाग का शीर्षक "ऋणात्मक अंक" रखा। पूर्णता के लिए, कोल्सन[4] उदाहरणों का उपयोग करता है और भाजक के गुणजों की एक तालिका का उपयोग करके जोड़ (पीपी. 163-4), गुणा (पीपी. 165-6) और विभाजन (पीपी. 170-1) का वर्णन करता है। वह गुणन में काट-छाँट द्वारा सन्निकटन की सुविधा बताते हैं। कोल्सन ने एक उपकरण (गिनती तालिका) भी तैयार किया जो हस्ताक्षरित अंकों का उपयोग करके गणना करता था।

एडवर्ड सेलिंग ने ऋणात्मक चिह्न को इंगित करने के लिए अंक 1, 2, 3, 4, और 5 को उल्टा करने की वकालत की। उन्होंने मौखिक रूप से उपयोग के लिए नामों के रूप में स्नी, जेस, जेर्ड, रेफ़ और निफ़ का भी सुझाव दिया। अधिकांश अन्य प्रारंभिक स्रोतों ने किसी अंक के ऊपर एक बार का उपयोग उसके लिए एक ऋणात्मक संकेत इंगित करने के लिए किया। हस्ताक्षरित अंकों का एक और जर्मन उपयोग 1902 में क्लेन के विश्वकोश में वर्णित किया गया था।

अंक समुच्चय
मान लीजिए कि $$\mathcal{D}$$ कार्डिनैलिटी के साथ संख्यात्मक अंकों का एक सीमित समुच्चय है। $$b > 1$$ के लिए $$b \leq 1$$ को मूलांक या संख्या आधार के रूप में जाना जाता है यदि $$\mathcal{D}$$ एक अद्वितीय फ़ंक्शन के साथ जुड़ा हुआ है, तो $$d_i$$ का उपयोग सभी हस्ताक्षरित-अंक प्रतिनिधित्व $$0 \leq i < b.$$ के लिए $$b$$ के लिए किया जा सकता है। यह फ़ंक्शन $$f_{\mathcal{D}},$$ वह है जो कठोरता से और औपचारिक रूप से स्थापित करता है कि कैसे पूर्णांक मानों को प्रतीकों/ग्लिफ़ों को निर्दिष्ट किया जाता है। " (हालांकि उन्हें परिभाषित किया जा सकता है) उन्हें इस तरह से लिखने/प्रस्तुत करने के लिए किसी विशेष प्रणाली के साथ मिश्रित नहीं किया गया है, इन दो अलग-अलग (यद्यपि निकटता से संबंधित) अवधारणाओं को अलग रखा गया है।

$$\mathcal{D}$$ को तीन अलग-अलग समुच्चयों में विभाजित किया जा सकता है $$\mathcal{D}_{+}$$, $$\mathcal{D}_{0}$$, और $$\mathcal{D}_{-}$$ क्रमशः धनात्मक शून्य और ऋणात्मक अंकों का प्रतिनिधित्व करता है, इस प्रकार कि सभी अंक $$d_{+}\in\mathcal{D}_{+}$$ संतुष्ट हो जाएं। $$f_\mathcal{D}(d_{+}) > 0$$ सभी अंक $$d_{0}\in\mathcal{D}_{0}$$ और सभी अंक$$f_\mathcal{D}(d_{0}) = 0$$ की कार्डिनैलिटी $$d_{-}\in\mathcal{D}_{-}$$है। और $$f_\mathcal{D}(d_{-}) < 0$$ की कार्डिनैलिटी क्रमशः सकारात्मक और ऋणात्मक अंकों की संख्या देती है, जिससे कि $$b = b_{+} + b_{0} + b_{-}$$

संतुलित रूप प्रतिनिधित्व
संतुलित रूप प्रतिनिधित्व वे प्रतिनिधित्व हैं जहां प्रत्येक सकारात्मक अंक के लिए $$d_{-}$$ एक संगत ऋणात्मक अंक $$d_{+}$$ इस प्रकार मौजूद है कि $$f_\mathcal{D}(d_{+}) = -f_\mathcal{D}(d_{-})$$ यह इस प्रकार है कि $$b_{+} = b_{-}$$

केवल विषम संख्या आधारों में ही संतुलित रूप में निरूपण हो सकता है, अन्यथा नहीं $$d_{b/2}$$ स्वयं का विपरीत होना चाहिए और इसलिए 0, लेकिन $$0\ne \frac b2$$. संतुलित रूप में, ऋणात्मक अंक $$d_{-}\in\mathcal{D}_{-}$$ आमतौर पर अंक के ऊपर एक बार के साथ सकारात्मक अंक के रूप में दर्शाया जाता है $$d_{-} = \bar{d}_{+}$$ के लिए $$d_{+}\in\mathcal{D}_{+}$$. उदाहरण के लिए, संतुलित टर्नरी का अंक समुच्चय होगा $$\mathcal{D}_{3} = \lbrace\bar{1},0,1\rbrace$$ साथ $$f_{\mathcal{D}_{3}}(\bar{1}) = -1$$, $$f_{\mathcal{D}_{3}}(0) = 0$$, और $$f_{\mathcal{D}_{3}}(1) = 1$$. यह परिपाटी विषम अभाज्य संख्या क्रम के सीमित क्षेत्रों में अपनाई जाती है $$q$$:
 * $$\mathbb{F}_{q} = \lbrace0, 1, \bar{1} = -1,... d = \frac{q - 1}{2},\ \bar{d} = \frac{1-q}{2}\ |\ q = 0\rbrace.$$

दोहरा हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व
हर अंक समुच्चय $$\mathcal{D}$$ एक द्वैत (आदेश सिद्धांत) अंक समुच्चय है $$\mathcal{D}^\operatorname{op}$$ समरूपता के साथ अंकों के व्युत्क्रम क्रम द्वारा दिया गया $$g:\mathcal{D}\rightarrow\mathcal{D}^\operatorname{op}$$ द्वारा परिभाषित $$-f_\mathcal{D} = g\circ f_{\mathcal{D}^\operatorname{op}}$$. परिणामस्वरूप, किसी भी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन के लिए $$\mathcal{N}$$ एक संख्या प्रणाली की अंगूठी (गणित) $$N$$ से निर्मित $$\mathcal{D}$$ मूल्यांकन (बीजगणित) के साथ $$v_\mathcal{D}:\mathcal{N}\rightarrow N$$, का एक दोहरे हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व मौजूद है $$N$$, $$\mathcal{N}^\operatorname{op}$$, से निर्मित $$\mathcal{D}^\operatorname{op}$$ मूल्यांकन (बीजगणित) के साथ $$v_{\mathcal{D}^\operatorname{op}}:\mathcal{N}^\operatorname{op}\rightarrow N$$, और एक समरूपता $$h:\mathcal{N}\rightarrow\mathcal{N}^\operatorname{op}$$ द्वारा परिभाषित $$-v_\mathcal{D} = h\circ v_{\mathcal{D}^\operatorname{op}}$$, जहाँ $$-$$ का योज्य व्युत्क्रम संकारक है $$N$$. संतुलित रूप निरूपण के लिए निर्धारित अंक स्व-दोहरा है।

पूर्णांकों के लिए
अंक समुच्चय दिया गया है $$\mathcal{D}$$ और कार्य $$f:\mathcal{D}\rightarrow\mathbb{Z}$$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, आइए हम एक पूर्णांक एंडोफ़ंक्शन  को परिभाषित करें $$T:\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{Z}$$ निम्नलिखित के रूप में:
 * $$T(n) =

\begin{cases} \frac{n - f(d_i)}{b} &\text{if } n \equiv i \bmod b, 0 \leq i < b \end{cases}$$ यदि का एकमात्र आवधिक बिंदु $$T$$ निश्चित बिंदु है (गणित) $$0$$, फिर पूर्णांकों के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का समुच्चय $$\mathbb{Z}$$ का उपयोग करते हुए $$\mathcal{D}$$ क्लेन प्लस द्वारा दिया गया है $$\mathcal{D}^+$$, अंकों के सभी परिमित संयोजन तारों का समुच्चय $$d_n \ldots d_0$$ कम से कम एक अंक के साथ, साथ $$n\in\mathbb{N}$$. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $$m \in \mathcal{D}^+$$ एक मूल्यांकन (बीजगणित) है $$v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^+\rightarrow\mathbb{Z}$$
 * $$v_\mathcal{D}(m) = \sum_{i=0}^{n}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}$$.

उदाहरणों में अंकों के साथ संतुलित टर्नरी शामिल है $$\mathcal{D} = \lbrace \bar{1}, 0, 1\rbrace$$.

अन्यथा, यदि कोई गैर-शून्य आवर्त बिंदु मौजूद है $$T$$, तो ऐसे पूर्णांक मौजूद होते हैं जिन्हें अनंत संख्या में गैर-शून्य अंकों द्वारा दर्शाया जाता है $$\mathcal{D}$$. उदाहरणों में अंक समुच्चय के साथ मानक दशमलव अंक प्रणाली शामिल है $$\operatorname{dec} = \lbrace 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 \rbrace$$, जिसके लिए रेडिक्स पूरक की आवश्यकता होती है $$9$$ योगात्मक व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करने के लिए $$-1$$, जैसा $$T_\operatorname{dec}(-1) = \frac{-1 - 9}{10} = -1$$, और अंक समुच्चय के साथ स्थितीय अंक प्रणाली $$\mathcal{D} = \lbrace \text{A}, 0, 1\rbrace$$ साथ $$f(\text{A}) = -4$$, जिसके लिए अंक की अनंत संख्या की आवश्यकता होती है $$\text{A}$$ संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए $$2$$, जैसा $$T_\mathcal{D}(2) = \frac{2 - (-4)}{3} = 2$$.

दशमलव भिन्नों के लिए
यदि पूर्णांकों को क्लेन प्लस द्वारा दर्शाया जा सकता है $$\mathcal{D}^+$$, फिर दशमलव अंशों, या डायडिक परिमेय के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय निरूपणों का समुच्चय|$$b$$-आदिक तर्कसंगत $$\mathbb{Z}[1\backslash b]$$, द्वारा दिया गया है $$\mathcal{Q} = \mathcal{D}^+\times\mathcal{P}\times\mathcal{D}^*$$, क्लेन प्लस का कार्टेशियन उत्पाद $$\mathcal{D}^+$$, अंकों के सभी परिमित संयोजन तारों का समुच्चय $$d_n \ldots d_0$$ कम से कम एक अंक के साथ, सिंगलटन (गणित) $$\mathcal{P}$$ मूलांक बिंदु से मिलकर ($$.$$ या $$,$$), और क्लेन स्टार $$\mathcal{D}^*$$, अंकों के सभी परिमित संयोजन तारों का समुच्चय $$d_{-1} \ldots d_{-m}$$, साथ $$m,n\in\mathbb{N}$$. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $$q \in \mathcal{Q}$$ एक मूल्यांकन (बीजगणित) है $$v_\mathcal{D}:\mathcal{Q}\rightarrow\mathbb{Z}[1\backslash b]$$
 * $$v_\mathcal{D}(q) = \sum_{i=-m}^{n}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}$$

वास्तविक संख्याओं के लिए
यदि पूर्णांकों को क्लेन प्लस द्वारा दर्शाया जा सकता है $$\mathcal{D}^+$$, फिर वास्तविक संख्याओं के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का समुच्चय $$\mathbb{R}$$ द्वारा दिया गया है $$\mathcal{R} = \mathcal{D}^+ \times \mathcal{P} \times \mathcal{D}^\mathbb{N}$$, क्लेन प्लस का कार्टेशियन उत्पाद $$\mathcal{D}^+$$, अंकों के सभी परिमित संयोजन तारों का समुच्चय $$d_n \ldots d_0$$ कम से कम एक अंक के साथ, सिंगलटन (गणित) $$\mathcal{P}$$ मूलांक बिंदु से मिलकर ($$.$$ या $$,$$), और कैंटर स्पेस $$\mathcal{D}^\mathbb{N}$$, अंकों के सभी अनंत संयोजन तारों का समुच्चय $$d_{-1} d_{-2} \ldots$$, साथ $$n\in\mathbb{N}$$. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $$r \in \mathcal{R}$$ एक मूल्यांकन (बीजगणित) है $$v_\mathcal{D}:\mathcal{R}\rightarrow\mathbb{R}$$
 * $$v_\mathcal{D}(r) = \sum_{i=-\infty}^{n}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}$$.

अनंत श्रृंखला हमेशा एक सीमित वास्तविक संख्या में अभिसरण श्रृंखला होती है।

अन्य संख्या प्रणालियों के लिए
सभी आधार-$$b$$ अंकों को उपसमूह के रूप में दर्शाया जा सकता है $$\mathcal{D}^\mathbb{Z}$$, अंकों के सभी दोगुने अनंत अनुक्रमों का समुच्चय $$\mathcal{D}$$, जहाँ $$\mathbb{Z}$$ पूर्णांकों का समुच्चय है, और आधार का वलय (गणित) है-$$b$$ अंकों को औपचारिक शक्ति श्रृंखला वलय द्वारा दर्शाया जाता है $$\mathbb{Z}b,b^{-1}$$, दोगुनी अनंत श्रृंखला
 * $$\sum_{i = -\infty}^{\infty}a_i b^i$$

जहाँ $$a_i\in\mathbb{Z}$$ के लिए $$i\in\mathbb{Z}$$.

पूर्णांकों की मॉड्यूलो घातें $b$
पूर्णांक मॉड्यूलो n|पूर्णांक मॉड्यूलो के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का समुच्चय $$b^n$$, $$\mathbb{Z}\backslash b^n\mathbb{Z}$$ समुच्चय द्वारा दिया गया है $$\mathcal{D}^n$$, अंकों के सभी परिमित संयोजन तारों का समुच्चय $$d_{n - 1} \ldots d_0$$ लम्बाई का $$n$$, साथ $$n\in\mathbb{N}$$. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $$m \in \mathcal{D}^n$$ एक मूल्यांकन (बीजगणित) है $$v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^n\rightarrow\mathbb{Z}/b^n\mathbb{Z}$$
 * $$v_\mathcal{D}(m) \equiv \sum_{i=0}^{n - 1}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i} \bmod b^n$$

चेकर समूह
परीक्षक समूह भागफल समूह है $$\mathbb{Z}(b^\infty) = \mathbb{Z}[1\backslash b]/\mathbb{Z}$$ पूर्णांकों का और $$b$$-आदिक तर्कसंगत. प्रुफ़र समूह के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का समुच्चय क्लेन स्टार द्वारा दिया गया है $$\mathcal{D}^*$$, अंकों के सभी परिमित संयोजन तारों का समुच्चय $$d_{1} \ldots d_{n}$$, साथ $$n\in\mathbb{N}$$. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $$p \in \mathcal{D}^*$$ एक मूल्यांकन (बीजगणित) है $$v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^*\rightarrow\mathbb{Z}(b^\infty)$$
 * $$v_\mathcal{D}(m) \equiv \sum_{i=1}^{n}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{-i} \bmod 1$$

वृत्त समूह
वृत्त समूह भागफल समूह है $$\mathbb{T} = \mathbb{R}/\mathbb{Z}$$ पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं का. सर्कल समूह के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का समुच्चय कैंटर स्पेस द्वारा दिया गया है $$\mathcal{D}^\mathbb{N}$$, अंकों के सभी दाएं-अनंत संयोजित तारों का समुच्चय $$d_{1} d_{2} \ldots$$. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $$m \in \mathcal{D}^n$$ एक मूल्यांकन (बीजगणित) है $$v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{T}$$
 * $$v_\mathcal{D}(m) \equiv \sum_{i=1}^{\infty}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{-i} \bmod 1$$

अनन्त श्रेणी सदैव अभिसारी श्रेणी होती है।

$b$-आदिक पूर्णांक
पी-एडिक पूर्णांकों के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का समुच्चय|$$b$$-आदिक पूर्णांक, $$\mathbb{Z}_b$$ कैंटर स्पेस द्वारा दिया गया है $$\mathcal{D}^\mathbb{N}$$, अंकों के सभी बाएँ-अनंत संयोजित तारों का समुच्चय $$\ldots d_{1} d_{0}$$. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $$m \in \mathcal{D}^n$$ एक मूल्यांकन (बीजगणित) है $$v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{Z}_{b}$$
 * $$v_\mathcal{D}(m) = \sum_{i=0}^{\infty}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}$$

$b$-एडिक सोलनॉइड्स
सोलेनॉइड (गणित)#पी-एडिक सोलेनॉइड्स| के सभी हस्ताक्षरित-अंकीय अभ्यावेदन का समुच्चय|$$b$$-एडिक सोलनॉइड्स, $$\mathbb{T}_b$$ कैंटर स्पेस द्वारा दिया गया है $$\mathcal{D}^\mathbb{Z}$$, अंकों के सभी दोगुने अनंत संयोजित तारों का समुच्चय $$\ldots d_{1} d_{0} d_{-1} \ldots$$. प्रत्येक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व $$m \in \mathcal{D}^n$$ एक मूल्यांकन (बीजगणित) है $$v_\mathcal{D}:\mathcal{D}^\mathbb{Z}\rightarrow\mathbb{T}_{b}$$
 * $$v_\mathcal{D}(m) = \sum_{i=-\infty}^{\infty}f_\mathcal{D}(d_{i})b^{i}$$

इंडो-आर्यन भाषाएँ
इंडो-आर्यन भाषाओं में संख्याओं के मौखिक और लिखित रूपों में 11 और के बीच की संख्याओं के लिए नकारात्मक अंक का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, हिंदी और बंगाली भाषा में "अन", पंजाबी में "अन" या "उन्ना", मराठी में "एकोन")। 90 जो नौ पर समाप्त होता है। उनके नाम के बाद आने वाले नंबर पंजाबी के लिए नीचे दिखाए गए हैं (उपसर्ग "ik" का अर्थ है "एक"):
 * 19 उन्नी, 20 विह, 21 इक्की
 * 29 उनत्ती, 30 तिह, 31 इकत्ती
 * 39 ऊंटाली, 40 चली, 41 इक्ताली
 * 49 उनन्जा, 50 पंजाह, 51 इकवन्जा
 * 59 उनाहत, 60 साथ, 61 इकाहत
 * 69 उनत्तार, 70 सत्तार, 71 इखत्तर
 * 79 उनासी, 80 अस्सी, 81 इकियासी
 * 89 अननवे, 90 नब्बे, 91 इकिन्नावेन

इसी तरह, सेसोथो भाषा 8 और 9 बनाने के लिए नकारात्मक अंकों का उपयोग करती है।
 * 8 रोबेली (/रो-बे-डी/) जिसका अर्थ है "दो तोड़ना" यानी दो अंगुलियां नीचे करना
 * 9 रोबोंग (/रो-बोंग/) का अर्थ है "एक को तोड़ना" अर्थात एक उंगली नीचे करना

शास्त्रीय लैटिन
शास्त्रीय लैटिन में पूर्णांक 18 और 19 का व्यवहार में "आठ" या "नौ" के लिए संगत भागों सहित कोई मौखिक या लिखित रूप भी नहीं था - उनके अस्तित्व में होने के बावजूद। इसके बजाय क्लासिक लैटिन में,


 * 18 = डुओडेविगिन्टि ("बीस में से दो लिए गए"), (IIXX या XIIX),
 * 19 = अन्डेविगिन्ति (बीस में से एक लिया गया), (IXX या XIX)
 * 20 = विगिन्ति ("बीस"), (XX)

आगामी पूर्णांक अंकों [28, 29, 38, 39, ..., 88, 89] के लिए भाषा में योगात्मक रूप बहुत अधिक सामान्य था, हालाँकि, सूचीबद्ध संख्याओं के लिए, उपरोक्त रूप अभी भी पसंद किया गया था। इसलिए, तीस के करीब पहुंचने पर, अंकों को इस प्रकार व्यक्त किया गया:
 * 28 = डुओडेट्रिगिंटा ("तीस में से दो लिए गए"), कम बार भी विगिन्टि ऑक्टो / ऑक्टो एट विगिन्टि ("अट्ठाईस / आठ और बीस"), (IIXXX या XXIIX बनाम XXVIII, बाद वाला पूरी तरह से मात खा चुका है।)
 * 29 = अन्डेट्रीगिन्टा ("तीस में से एक लिया गया") कम पसंदीदा रूप के बावजूद भी उनके निपटान में था।

यह समकालीन इतिहासकारों के तर्क के मुख्य आधारों में से एक है, जो बताता है कि अन्य श्रेणियों की तुलना में कार्डिनल्स की इस श्रेणी में घटाव I- और II- इतना आम क्यों था। अंक 98 और 99 को भी दोनों रूपों में व्यक्त किया जा सकता है, फिर भी "दो से सौ" थोड़ा अजीब लग सकता है - इसका स्पष्ट प्रमाण है कि प्रामाणिक स्रोतों में घटावपूर्ण तरीके से लिखी गई इन संख्याओं की दुर्लभ घटना है।

फ़िनिश भाषा
हालाँकि, एक और भाषा है जिसमें यह सुविधा है (अब तक, केवल अंशों में), हालाँकि, आज भी सक्रिय उपयोग में है। यह फ़िनिश भाषा है, जहाँ 8 या 9 का अंक आने पर (वर्तनी में लिखे गए) अंकों का उपयोग इस प्रकार किया जाता है। योजना इस प्रकार है:
 * 1 = "yksi" (नोट: yhd- या yht- अधिकतर जब अस्वीकार किया जाने वाला होता है उदाहरण के लिए "yhdessä" = "एक साथ, एक [इकाई] के रूप में")
 * 2 = "kaksi" (Also note: kahde-, kahte- when declined)
 * 3 = "kolme"
 * 4 = "neljä"


 * 7="seitsemän"
 * 8 = "kah(d)eksan" (two left [for it to reach it])
 * 9 = "yh(d)eksän" (one left [for it to reach it])
 * 10 = "kymmenen" (दस)

उपरोक्त सूची कोई विशेष मामला नहीं है, परिणामस्वरूप यह बड़े कार्डिनल्स में भी दिखाई देती है, उदाहरण के लिए:
 * 399 = तीन सौ निन्यानवे

इन विशेषताओं पर जोर देना अंकों के सबसे छोटे बोलचाल के रूपों में भी मौजूद रहता है:


 * 1 = "yy"
 * 2 = "kaa"
 * 3 = "koo"


 * 7 = "seiska"
 * 8 = "kasi"
 * 9 = "ysi"
 * 10 = "kymppi"

हालाँकि, इस घटना का लिखित अंकों पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, फिनिश मानक पश्चिमी-अरबी दशमलव अंकन का उपयोग करते हैं।

समयपालन
अंग्रेजी भाषा में समय को इस प्रकार संदर्भित करना सामान्य है, उदाहरण के लिए 'सेवन टू थ्री' 'टू' निषेध का प्रदर्शन करना।

अन्य प्रणाली
आधार जैसे अन्य हस्ताक्षरित-अंकीय आधार $$b \neq b_{+} + b_{-} + 1$$ सम्मिलित हैं इसका एक उल्लेखनीय उदाहरण बूथ एन्कोडिंग है जिसमें एक अंक समुच्चय होता है, जिसमें एक अंक समुच्चय होता है।  $$b_{+} = 1$$ और $$b_{-} = 1$$ लेकिन जो आधार $$b = 2 < 3 = b_{+} + b_{-}  + 1$$ का उपयोग करता है। मानक बाइनरी अंक प्रणाली केवल मान $$\lbrace0,1\rbrace$$ के अंकों का उपयोग करेगी। ध्यान दें कि गैर-मानक हस्ताक्षरित-अंकीय प्रतिनिधित्व अद्वितीय नहीं हैं। उदाहरण के लिए:


 * $$0111_{\mathcal{D}} = 4 + 2 + 1 = 7$$
 * $$10\bar{1}1_{\mathcal{D}} = 8 - 2 + 1 = 7$$
 * $$1\bar{1}11_{\mathcal{D}} = 8 - 4 + 2 + 1 = 7$$
 * $$100\bar{1}_{\mathcal{D}} = 8 - 1 = 7$$

बूथ एन्कोडिंग का गैर-आसन्न रूप (एनएएफ) प्रत्येक पूर्णांक मान के लिए एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व की गारंटी देता है। हालाँकि, यह केवल पूर्णांक मानों के लिए लागू होता है। उदाहरण के लिए, एनएएफ में निम्नलिखित दोहराई जाने वाली बाइनरी संख्याओं पर विचार करें,
 * $$\frac{2}{3} = 0.\overline{10}_{\mathcal{D}} = 1.\overline{0\bar{1}}_{\mathcal{D}}$$

यह भी देखें

 * संतुलित त्रिआधारी पद्धति
 * ऋणात्मक आधार
 * निरर्थक द्विआधारी प्रतिनिधित्व

नोट्स और संदर्भ

 * जे. पी. बैलेंटाइन (1925) ए डिजिट फॉर नेगेटिव वन, अमेरिकी गणितीय मासिक 32:302।
 * विद्युत विभाग से लुई हान, डोंगडोंग चेन, सेओक-बम को, खान ए वाहिद गैर-सट्टा दशमलव हस्ताक्षरित अंक योजक कंप्यूटर इंजीनियरिंग, सस्केचेवान विश्वविद्यालय।

श्रेणी:गैर-मानक स्थितीय अंक प्रणाली श्रेणी:संख्या सिद्धांत श्रेणी:रिंग सिद्धांत श्रेणी:अंकगणितीय गतिशीलता श्रेणी:कोडिंग सिद्धांत श्रेणी:औपचारिक भाषाएँ