अवस्था चर

अवस्था चर गतिशील प्रणाली के गणितीय "अवस्था" का वर्णन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले चर के सेट में से एक है। सहज रूप से, प्रणाली की स्थिति को प्रभावित करने वाली किसी भी बाह्य बल की अनुपस्थिति में अपने संभावित व्यवहार को निर्धारित करने के लिए प्रणाली के बारे में पर्याप्त वर्णन करती है। वे मॉडल जिनमें युग्मित प्रथम-क्रम अवकल समीकरण होते हैं, उन्हें अवस्था चर रूप में कहा जाता है

उदाहरण

 * यांत्रिक प्रणाली में, यांत्रिक भागों की स्थिति निर्देशांक और वेग विशिष्ट अवस्था चर हैं; इन्हें जानकर, प्रणाली में वस्तुओं की संभावित स्थिति का निर्धारण करना संभव है।
 * ऊष्मप्रवैगिकी में, अवस्था चर अवस्था फलन का स्वतंत्र चर है। उदाहरणों में आंतरिक ऊर्जा, तापीय धारिता, तापमान, दबाव, आयतन और एन्ट्रॉपी सम्मिलित हैं। ऊष्मा और   प्रतिक्रिया अवस्था फलन नहीं हैं, बल्कि प्रसंस्करण फलन हैं।
 * इलेक्ट्रॉनिक/विद्युत परिपथ, वोल्टेज नोड्स और परिपथ में घटकों के माध्यम से धाराएं सामान्यतः अवस्था चर होते हैं। किसी भी विद्युत परिपथ में, अवस्था चरों की संख्या (स्वतंत्र) भंडारण तत्वों की संख्या के बराबर होती है, जो कि प्रेरक और संधारित्र हैं। प्रेरक के लिए अवस्था चर प्रेरक के माध्यम से धारा है, जबकि संधारित्र के लिए संधारित्र के पार वोल्टेज है।
 * पारिस्थितिकी तंत्र मॉडल में, पौधों, जानवरों और संसाधनों (पोषक तत्व, जैविक सामग्री) के जनसंख्या आकार (या सांद्रता) विशिष्ट अवस्था चर हैं।

नियंत्रण प्रणाली प्रौद्योगिकी
नियंत्रण प्रौद्योगिकी और विज्ञान और प्रौद्योगिकी के अन्य क्षेत्रों में, सामान्य प्रणाली के अवस्था का प्रतिनिधित्व करने के लिए अवस्था चर का उपयोग किया जाता है। अवस्था चर मानों के संभावित संयोजनों के सेट को प्रणाली का अवस्था-समष्टि कहा जाता है। किसी प्रणाली की धारा स्थिति को उसके सबसे हालिया इनपुट और पिछले अवस्था से संबंधित समीकरणों को अवस्था समीकरण कहा जाता है, और अवस्था चर और इनपुट के संदर्भ में आउटपुट चर के मानों को व्यक्त करने वाले समीकरणों को आउटपुट समीकरण कहा जाता है। जैसा कि नीचे दिखाया गया है, रैखिक समय अपरिवर्तनीय प्रणाली के लिए अवस्था समीकरण और आउटपुट समीकरण गुणांक आव्यूह का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है: A, B, C, और D$$A \in \R^{N \times N}, \quad B \in \R^{N \times L}, \quad C \in \R^{M \times N}, \quad D \in \R^{M \times L} ,$$

जहां N, L और M क्रमश: अवस्था, इनपुट और आउटपुट का वर्णन करने वाले सदिश के आयाम हैं।

असतत समय प्रणाली
असतत-समय प्रणाली (अर्थात डिजिटल प्रणाली) की धारा स्थिति का प्रतिनिधित्व करने वाला अवस्था सदिश (अवस्था चर का सदिश) $$x[n]$$ है, जहां n समय का असतत बिंदु है जिस पर प्रणाली का मूल्यांकन किया जा रहा है। असतत समय अवस्था समीकरण हैं
 * $$ x[n+1] = Ax[n] + Bu[n],$$

जो प्रणाली की अगली स्थिति (x[n+1]) को धारा स्थिति और इनपुट u[n] प्रणाली के संबंध में बताता है। आउटपुट समीकरण हैं


 * $$ y[n] = Cx[n] + Du[n],$$

जो धारा स्थिति के संबंध में आउटपुट y[n] का वर्णन करता है और प्रणाली में u[n] इनपुट करता है।

सतत समय प्रणाली
सतत-समय प्रणाली (अर्थात एनालॉग प्रणाली) की धारा स्थिति का प्रतिनिधित्व करने वाला अवस्था सदिश $$x(t)$$ है, और अवस्था सदिश के विकास को दर्शाने वाले सतत-समय अवस्था समीकरण हैं
 * $$ \frac{dx(t)}{dt} = Ax(t) + Bu(t),$$

जो धारा स्थिति x(t) और प्रणाली के इनपुट u(t) के संबंध में प्रणाली की स्थिति के परिवर्तन की सतत दर $ \frac{dx(t)}{dt} $ का वर्णन करता है। आउटपुट समीकरण हैं


 * $$ y(t) = Cx(t) + Du(t), $$

जो धारा स्थिति x(t) के संबंध में आउटपुट y(t) का वर्णन करता है और प्रणाली में u(t) इनपुट करता है।.