कार्तीय टेंसर

ज्यामिति और रैखिक बीजगणित में, एक कार्टेशियन टेन्सर  घटकों के रूप में यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक टेंसर का प्रतिनिधित्व (गणित) करने के लिए एक ऑर्थोनॉर्मल आधार का उपयोग करता है। टेंसर के घटकों को एक ऐसे आधार से दूसरे आधार में परिवर्तित करना एक ऑर्थोगोनल परिवर्तन के माध्यम से किया जाता है।

सबसे परिचित समन्वय प्रणालियाँ समतल (गणित)|द्वि-आयामी और त्रि-आयामी अंतरिक्ष|त्रि-आयामी कार्टेशियन समन्वय प्रणालियाँ हैं। कार्टेशियन टेंसर का उपयोग किसी भी यूक्लिडियन स्थान  के साथ किया जा सकता है, या अधिक तकनीकी रूप से, वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (गणित) पर किसी भी परिमित-आयामी  सदिश स्थल  का उपयोग किया जा सकता है जिसमें आंतरिक उत्पाद होता है।

कार्टेशियन टेंसर का उपयोग भौतिकी और अभियांत्रिकी  में होता है, जैसे  कॉची तनाव टेंसर  और कठोर शरीर की गतिशीलता में जड़ता टेंसर का क्षण। कभी-कभी सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक सुविधाजनक होते हैं, जैसे कि उच्च-विरूपण सातत्य यांत्रिकी में, या आवश्यक भी होते हैं, जैसा कि सामान्य सापेक्षता में होता है। जबकि कुछ ऐसे समन्वय प्रणालियों (उदाहरण के लिए गोलाकार समन्वय प्रणाली के स्पर्शरेखा) के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार पाए जा सकते हैं, कार्टेशियन टेंसर उन अनुप्रयोगों के लिए काफी सरलीकरण प्रदान कर सकते हैं जिनमें रेक्टिलिनियर समन्वय अक्षों के घूर्णन पर्याप्त होते हैं। परिवर्तन एक निष्क्रिय परिवर्तन है, क्योंकि निर्देशांक बदलते हैं, भौतिक प्रणाली नहीं।

तीन आयामों में वेक्टर
त्रि-आयामी अंतरिक्ष में यूक्लिडियन अंतरिक्ष, $$\R^3$$, मानक आधार है $e_{x}$, $e_{y}$, $e_{z}$. प्रत्येक आधार वेक्टर x-, y-, और z-अक्ष के साथ बिंदु बनाता है, और वेक्टर सभी इकाई वेक्टर (या सामान्यीकृत) होते हैं, इसलिए आधार ऑर्थोनॉर्मल है।

कुल मिलाकर, जब तीन आयामों में कार्टेशियन निर्देशांक का संदर्भ दिया जाता है, तो एक दाएं हाथ की प्रणाली मान ली जाती है और यह व्यवहार में बाएं हाथ की प्रणाली की तुलना में बहुत अधिक सामान्य है, विवरण के लिए अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) देखें।

क्रम 1 के कार्टेशियन टेंसर के लिए, एक कार्टेशियन वेक्टर $a$ को आधार सदिशों के रैखिक संयोजन के रूप में बीजगणितीय रूप से लिखा जा सकता है $e_{x}$, $e_{y}$, $e_{z}$:

$$\mathbf{a} = a_\text{x}\mathbf{e}_\text{x} + a_\text{y}\mathbf{e}_\text{y} + a_\text{z}\mathbf{e}_\text{z} $$ जहां कार्तीय आधार के संबंध में सदिश के निर्देशांक सदिशों को दर्शाया गया है $a_{x}$, $a_{y}$, $a_{z}$. आधार वैक्टर को स्तंभ सदिश के रूप में प्रदर्शित करना आम और सहायक है

$$ \mathbf{e}_\text{x} = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{e}_\text{y} = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \,,\quad \mathbf{e}_\text{z} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} $$ जब हमारे पास एक कॉलम वेक्टर प्रतिनिधित्व में एक समन्वय वेक्टर होता है:

$$\mathbf{a} = \begin{pmatrix} a_\text{x} \\ a_\text{y} \\ a_\text{z} \end{pmatrix}$$ एक पंक्ति वेक्टर प्रतिनिधित्व भी वैध है, हालांकि सामान्य वक्रीय समन्वय प्रणालियों के संदर्भ में पंक्ति सदिश स्तंभ वेक्टर प्रतिनिधित्व विशिष्ट कारणों से अलग-अलग उपयोग किए जाते हैं - क्यों आइंस्टीन संकेतन  और वैक्टर के सहप्रसरण और विरोधाभास देखें।

वेक्टर का शब्द घटक अस्पष्ट है: इसका उल्लेख हो सकता है:


 * वेक्टर का एक विशिष्ट निर्देशांक जैसे $a_{z}$ (एक अदिश राशि), और इसी तरह के लिए $x$ और $y$, या
 * समन्वय अदिश-संबंधित आधार वेक्टर को गुणा करना, जिस स्थिति में$y$-का घटक $a$ है $a_{y}e_{y}$ (एक वेक्टर), और इसी तरह के लिए $x$ और $z$.

एक अधिक सामान्य नोटेशन टेंसर इंडेक्स नोटेशन है, जिसमें निश्चित समन्वय लेबल के बजाय संख्यात्मक मानों का लचीलापन होता है। कार्टेशियन लेबल को आधार वैक्टर में टेंसर सूचकांकों द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $e_{x} ↦ e_{1}$, $e_{y} ↦ e_{2}$, $e_{z} ↦ e_{3}$ और निर्देशांक $a_{x} ↦ a_{1}$, $a_{y} ↦ a_{2}$, $a_{z} ↦ a_{3}$. सामान्य तौर पर, संकेतन $e_{1}$, $e_{2}$, $e_{3}$ किसी भी आधार को संदर्भित करता है, और $a_{1}$, $a_{2}$, $a_{3}$ संगत समन्वय प्रणाली को संदर्भित करता है; हालाँकि यहाँ वे कार्टेशियन प्रणाली तक ही सीमित हैं। तब:

$$\mathbf{a} = a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2 + a_3\mathbf{e}_3 = \sum_{i=1}^3 a_i\mathbf{e}_i$$ आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करना मानक है - एक सूचकांक पर योग के लिए योग चिह्न जो एक शब्द के भीतर ठीक दो बार मौजूद होता है, उसे सांकेतिक संक्षिप्तता के लिए दबाया जा सकता है:

$$\mathbf{a} = \sum_{i=1}^3 a_i\mathbf{e}_i \equiv a_i\mathbf{e}_i $$ समन्वय-विशिष्ट नोटेशन पर सूचकांक नोटेशन का एक लाभ अंतर्निहित वेक्टर स्थान के आयाम की स्वतंत्रता है, यानी दाईं ओर एक ही अभिव्यक्ति उच्च आयामों में समान रूप लेती है (नीचे देखें)। पहले, कार्टेशियन लेबल x, y, z केवल लेबल थे, सूचकांक नहीं। (यह कहना अनौपचारिक है कि i = x, y, z )।

तीन आयामों में दूसरे क्रम के टेंसर
डायडिक टेंसर टी, टेंसर उत्पाद द्वारा निर्मित एक ऑर्डर-2 टेंसर है $&otimes;$ दो कार्तीय सदिशों का $a$ और $b$, लिखा हुआ $T = a &otimes; b$. वैक्टर के अनुरूप, इसे टेंसर आधार के रैखिक संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है $e_{x} &otimes; e_{x} ≡ e_{xx}$, $e_{x} &otimes; e_{y} ≡ e_{xy}$, ..., $e_{z} &otimes; e_{z} ≡ e_{zz}$ (प्रत्येक पहचान का दाहिना भाग केवल एक संक्षिप्त नाम है, इससे अधिक कुछ नहीं):

$$\begin{align} \mathbf{T} =\quad &\left(a_\text{x}\mathbf{e}_\text{x} + a_\text{y}\mathbf{e}_\text{y} + a_\text{z}\mathbf{e}_\text{z}\right)\otimes\left(b_\text{x}\mathbf{e}_\text{x} + b_\text{y}\mathbf{e}_\text{y} + b_\text{z}\mathbf{e}_\text{z}\right) \\[5pt] {}=\quad &a_\text{x} b_\text{x} \mathbf{e}_\text{x} \otimes \mathbf{e}_\text{x} + a_\text{x} b_\text{y}\mathbf{e}_\text{x} \otimes \mathbf{e}_\text{y} + a_\text{x} b_\text{z}\mathbf{e}_\text{x} \otimes \mathbf{e}_\text{z} \\[4pt] {}+{} &a_\text{y} b_\text{x}\mathbf{e}_\text{y} \otimes \mathbf{e}_\text{x} + a_\text{y} b_\text{y}\mathbf{e}_\text{y} \otimes \mathbf{e}_\text{y} + a_\text{y} b_\text{z}\mathbf{e}_\text{y} \otimes \mathbf{e}_\text{z} \\[4pt] {}+{} &a_\text{z} b_\text{x} \mathbf{e}_\text{z} \otimes \mathbf{e}_\text{x} + a_\text{z} b_\text{y}\mathbf{e}_\text{z} \otimes \mathbf{e}_\text{y} + a_\text{z} b_\text{z}\mathbf{e}_\text{z} \otimes \mathbf{e}_\text{z} \end{align}$$ प्रत्येक आधार टेंसर को मैट्रिक्स के रूप में प्रस्तुत करना:

$$\begin{align} \mathbf{e}_\text{x} \otimes \mathbf{e}_\text{x} &\equiv \mathbf{e}_\text{xx} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\  0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\,,& \mathbf{e}_\text{x} \otimes \mathbf{e}_\text{y} &\equiv \mathbf{e}_\text{xy} = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0\\  0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\,,& \mathbf{e}_\text{z} \otimes \mathbf{e}_\text{z} &\equiv \mathbf{e}_\text{zz} = \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0\\  0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{align}$$ तब $T$ को मैट्रिक्स के रूप में अधिक व्यवस्थित रूप से दर्शाया जा सकता है:

$$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} a_\text{x} b_\text{x} & a_\text{x} b_\text{y} & a_\text{x} b_\text{z} \\ a_\text{y} b_\text{x} & a_\text{y} b_\text{y} & a_\text{y} b_\text{z} \\ a_\text{z} b_\text{x} & a_\text{z} b_\text{y} & a_\text{z} b_\text{z} \end{pmatrix}$$ मैट्रिक्स गुणा#मैट्रिसेस और डॉट और टेंसर उत्पादों के बीच नोटेशनल पत्राचार के लिए आंतरिक और बाहरी उत्पाद देखें।

अधिक सामान्यतः, चाहे या नहीं $T$ दो वैक्टरों का एक टेंसर उत्पाद है, यह हमेशा निर्देशांक के साथ आधार टेंसर का एक रैखिक संयोजन होता है $T_{xx}$, $T_{xy}$, ..., $T_{zz}$:

$$\begin{align} \mathbf{T} =\quad &T_\text{xx}\mathbf{e}_\text{xx} + T_\text{xy}\mathbf{e}_\text{xy} + T_\text{xz}\mathbf{e}_\text{xz} \\[4pt] {}+{} &T_\text{yx}\mathbf{e}_\text{yx} + T_\text{yy}\mathbf{e}_\text{yy} + T_\text{yz}\mathbf{e}_\text{yz} \\[4pt] {}+{} &T_\text{zx}\mathbf{e}_\text{zx} + T_\text{zy}\mathbf{e}_\text{zy} + T_\text{zz}\mathbf{e}_\text{zz} \end{align}$$ जबकि टेंसर सूचकांकों के संदर्भ में:

$$\mathbf{T} = T_{ij} \mathbf{e}_{ij} \equiv \sum_{ij} T_{ij} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \,,$$ और मैट्रिक्स रूप में:

$$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} T_\text{xx} & T_\text{xy} & T_\text{xz} \\ T_\text{yx} & T_\text{yy} & T_\text{yz} \\ T_\text{zx} & T_\text{zy} & T_\text{zz} \end{pmatrix}$$ दूसरे क्रम के टेंसर भौतिकी और इंजीनियरिंग में स्वाभाविक रूप से पाए जाते हैं जब भौतिक मात्राओं की प्रणाली में दिशात्मक निर्भरता होती है, अक्सर उत्तेजना-प्रतिक्रिया तरीके से। इसे गणितीय रूप से टेंसर के एक पहलू के माध्यम से देखा जा सकता है - वे बहुरेखीय कार्य हैं। एक दूसरे क्रम का टेंसर टी जो कुछ परिमाण और दिशा का एक वेक्टर यू लेता है, एक वेक्टर वी लौटाएगा; एक अलग परिमाण का और सामान्य तौर पर आपके लिए एक अलग दिशा में। गणितीय विश्लेषण में फ़ंक्शन (गणित) के लिए उपयोग किया जाने वाला नोटेशन हमें लिखने के लिए प्रेरित करता है $v − T(u)$, जबकि एक ही विचार को मैट्रिक्स और इंडेक्स नोटेशन में व्यक्त किया जा सकता है (सारांश सम्मेलन सहित), क्रमशः:

$$\begin{align} \begin{pmatrix} v_\text{x} \\ v_\text{y} \\ v_\text{z} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} T_\text{xx} & T_\text{xy} & T_\text{xz} \\ T_\text{yx} & T_\text{yy} & T_\text{yz} \\ T_\text{zx} & T_\text{zy} & T_\text{zz} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} u_\text{x} \\ u_\text{y} \\ u_\text{z} \end{pmatrix}\,, & v_i &= T_{ij}u_j \end{align}$$ रैखिक द्वारा, यदि $u = ρr + σs$ दो अदिश राशि के लिए $ρ$ और $σ$ और वैक्टर $r$ और $s$, फिर फ़ंक्शन और इंडेक्स नोटेशन में:

$$\begin{align} \mathbf{v} &=&& \mathbf{T}(\rho\mathbf{r} + \sigma\mathbf{s}) &=&& \rho\mathbf{T}(\mathbf{r}) + \sigma\mathbf{T}(\mathbf{s}) \\[1ex] v_i &=&& T_{ij}(\rho r_j + \sigma s_j) &=&& \rho T_{ij} r_j + \sigma T_{ij} s_j \end{align}$$ और इसी तरह मैट्रिक्स नोटेशन के लिए भी। फ़ंक्शन, मैट्रिक्स और इंडेक्स नोटेशन सभी का मतलब एक ही है। मैट्रिक्स फॉर्म घटकों का स्पष्ट प्रदर्शन प्रदान करते हैं, जबकि इंडेक्स फॉर्म एक कॉम्पैक्ट तरीके से सूत्रों के आसान टेन्सर-बीजगणितीय हेरफेर की अनुमति देता है। दोनों दिशाओं की भौतिक व्याख्या प्रदान करते हैं; वैक्टर की एक दिशा होती है, जबकि दूसरे क्रम के टेंसर दो दिशाओं को एक साथ जोड़ते हैं। कोई टेंसर इंडेक्स या समन्वय लेबल को आधार वेक्टर दिशा के साथ जोड़ सकता है।

वैक्टर के परिमाण और दिशाओं में परिवर्तन का वर्णन करने के लिए दूसरे क्रम के टेंसर का उपयोग न्यूनतम है, क्योंकि दो वैक्टर का डॉट उत्पाद हमेशा एक अदिश होता है, जबकि दो वैक्टर का क्रॉस उत्पाद हमेशा एक छद्मवेक्टर होता है जो परिभाषित विमान के लंबवत होता है। वैक्टर, इसलिए अकेले वैक्टर के ये उत्पाद किसी भी दिशा में किसी भी परिमाण का नया वेक्टर प्राप्त नहीं कर सकते हैं। (डॉट और क्रॉस उत्पादों पर अधिक जानकारी के लिए नीचे भी देखें)। दो वैक्टरों का टेंसर उत्पाद दूसरे क्रम का टेंसर है, हालांकि इसकी अपने आप में कोई स्पष्ट दिशात्मक व्याख्या नहीं है।

पिछले विचार को जारी रखा जा सकता है: यदि $T$ दो वैक्टर लेता है $p$ और $q$, यह एक अदिश राशि लौटाएगा $r$. फंक्शन नोटेशन में हम लिखते हैं $r = T(p, q)$, जबकि क्रमशः मैट्रिक्स और इंडेक्स नोटेशन (योग सम्मेलन सहित) में:

$$r = \begin{pmatrix} p_\text{x} & p_\text{y} & p_\text{z} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} T_\text{xx} & T_\text{xy} & T_\text{xz} \\ T_\text{yx} & T_\text{yy} & T_\text{yz} \\ T_\text{zx} & T_\text{zy} & T_\text{zz} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} q_\text{x} \\ q_\text{y} \\ q_\text{z} \end{pmatrix} = p_i T_{ij} q_j $$ दोनों इनपुट वैक्टर में टेंसर टी रैखिक है। जब सदिश और टेंसर घटकों के संदर्भ के बिना लिखे जाते हैं, और सूचकांकों का उपयोग नहीं किया जाता है, तो कभी-कभी एक बिंदु ⋅ लगाया जाता है जहां सूचकांकों पर योग लिया जाता है (जिसे टेंसर संकुचन के रूप में जाना जाता है)। उपरोक्त मामलों के लिए:

$$\begin{align} \mathbf{v} &= \mathbf{T}\cdot\mathbf{u}\\ r &= \mathbf{p}\cdot\mathbf{T}\cdot\mathbf{q} \end{align}$$ डॉट उत्पाद संकेतन से प्रेरित:

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} \equiv a_i b_i$$ अधिक सामान्यतः, ऑर्डर का एक टेंसर $m$ जो अंदर लेता है $n$ वेक्टर (कहां $n$ के बीच है $0$ और $m$ समावेशी) ऑर्डर का एक टेंसर लौटाएगा $m − n$, देखना अधिक सामान्यीकरण और विवरण के लिए। उपरोक्त अवधारणाएँ छद्मवेक्टरों पर भी उसी तरह लागू होती हैं जैसे वैक्टरों के लिए। वैक्टर और टेंसर स्वयं पूरे अंतरिक्ष में भिन्न हो सकते हैं, इस मामले में हमारे पास वेक्टर फ़ील्ड और टेंसर फ़ील्ड हैं, और समय पर भी निर्भर हो सकते हैं।

निम्नलिखित कुछ उदाहरण हैं:

विद्युत चालन उदाहरण के लिए, सूचकांक और मैट्रिक्स नोटेशन होंगे:

$$\begin{align} J_i &= \sigma_{ij}E_j \equiv \sum_{j} \sigma_{ij}E_j \\ \begin{pmatrix} J_\text{x} \\ J_\text{y} \\ J_\text{z} \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \sigma_\text{xx} & \sigma_\text{xy} & \sigma_\text{xz} \\ \sigma_\text{yx} & \sigma_\text{yy} & \sigma_\text{yz} \\ \sigma_\text{zx} & \sigma_\text{zy} & \sigma_\text{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_\text{x} \\ E_\text{y} \\ E_\text{z} \end{pmatrix} \end{align}$$ जबकि घूर्णी गतिज ऊर्जा के लिए $n$:

$$\begin{align} T &= \frac{1}{2} \omega_i I_{ij} \omega_j \equiv \frac{1}{2} \sum_{ij} \omega_i I_{ij} \omega_j \,, \\ &= \frac{1}{2} \begin{pmatrix} \omega_\text{x} & \omega_\text{y} & \omega_\text{z} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} I_\text{xx} & I_\text{xy} & I_\text{xz} \\ I_\text{yx} & I_\text{yy} & I_\text{yz} \\ I_\text{zx} & I_\text{zy} & I_\text{zz} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \omega_\text{x} \\ \omega_\text{y} \\ \omega_\text{z} \end{pmatrix} \,. \end{align}$$ अधिक विशिष्ट उदाहरणों के लिए संवैधानिक समीकरण भी देखें।

वेक्टर और टेंसर $n$आयाम
में $n$-वास्तविक संख्याओं पर आयामी यूक्लिडियन स्थान, $$\mathbb{R}^n$$, मानक आधार दर्शाया गया है $σ$, $t$, $ω$, ... $I$. प्रत्येक आधार वेक्टर $J$ सकारात्मक की ओर इशारा करता है $T$ अक्ष, जिसका आधार लम्बवत् है। अवयव $j$ का $E$ क्रोनकर डेल्टा द्वारा दिया गया है:

$$(\mathbf{e}_i)_j = \delta_{ij} $$ में एक वेक्टर $$\mathbb{R}^n$$ रूप लेता है:

$$\mathbf{a} = a_i\mathbf{e}_i \equiv \sum_i a_i\mathbf{e}_i \,.$$ इसी प्रकार उपरोक्त क्रम-2 टेंसर के लिए, प्रत्येक वेक्टर ए और बी के लिए $$\mathbb{R}^n$$:

$$\mathbf{T} = a_i b_j \mathbf{e}_{ij} \equiv \sum_{ij} a_i b_j \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \,,$$ या अधिक सामान्यतः:

$$ \mathbf{T} = T_{ij} \mathbf{e}_{ij} \equiv \sum_{ij} T_{ij} \mathbf{e}_i \otimes \mathbf{e}_j \,.$$

समन्वय परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीयता का अर्थ
स्थिति वेक्टर $σ$ में $$\mathbb{R}^n$$ एक वेक्टर का एक सरल और सामान्य उदाहरण है, और इसे किसी भी समन्वय प्रणाली में दर्शाया जा सकता है। केवल लम्बवत् आधारों वाले आयताकार समन्वय प्रणालियों के मामले पर विचार करें। आयताकार ज्यामिति के साथ एक समन्वय प्रणाली का होना संभव है यदि आधार वैक्टर सभी परस्पर लंबवत हैं और सामान्यीकृत नहीं हैं, उस स्थिति में आधार ऑर्थोगोनल है लेकिन ऑर्थोनॉर्मल नहीं है। हालाँकि, ऑर्थोनॉर्मल आधारों में हेरफेर करना आसान होता है और अक्सर व्यवहार में उपयोग किया जाता है। निम्नलिखित परिणाम ऑर्थोनॉर्मल आधारों के लिए सत्य हैं, ऑर्थोगोनल आधारों के लिए नहीं।

एक आयताकार समन्वय प्रणाली में, $J$ जैसे कि एक ठेकेदार के पास निर्देशांक होते हैं $α$ और आधार वैक्टर $ε$, जबकि एक कोवेक्टर के रूप में इसमें निर्देशांक होते हैं $χ_{E}$ और आधार कोवेक्टर $P$, और हमारे पास है:

$$\begin{align} \mathbf{x} &= x^i\mathbf{e}_i\,, & \mathbf{x} &= x_i\mathbf{e}^i \end{align}$$ एक अन्य आयताकार समन्वय प्रणाली में, $H$ जैसे कि एक ठेकेदार के पास निर्देशांक होते हैं $μ$ और आधार $B$, जबकि एक कोवेक्टर के रूप में इसमें निर्देशांक होते हैं $T$ और आधार $e_{1}$, और हमारे पास है:

$$\begin{align} \mathbf{x} &= \bar{x}^i\bar{\mathbf{e}}_i\,, & \mathbf{x} &= \bar{x}_i\bar{\mathbf{e}}^i \end{align}$$ प्रत्येक नया निर्देशांक सभी पुराने समन्वयों का एक फलन है, और व्युत्क्रम फलन के लिए इसके विपरीत:

$$\begin{align} \bar{x}{}^i = \bar{x}{}^i\left(x^1, x^2, \ldots\right) \quad &\rightleftharpoons \quad x{}^i = x{}^i\left(\bar{x}^1, \bar{x}^2, \ldots\right) \\ \bar{x}{}_i = \bar{x}{}_i\left(x_1, x_2, \ldots\right) \quad &\rightleftharpoons \quad x{}_i = x{}_i\left(\bar{x}_1, \bar{x}_2, \ldots\right) \end{align}$$ और इसी प्रकार प्रत्येक नया आधार वेक्टर सभी पुराने आधार वेक्टर का एक फ़ंक्शन है, और व्युत्क्रम फ़ंक्शन के लिए इसके विपरीत:

$$\begin{align} \bar{\mathbf{e}}{}_j = \bar{\mathbf{e}}{}_j\left(\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \ldots\right) \quad &\rightleftharpoons \quad \mathbf{e}{}_j = \mathbf{e}{}_j \left(\bar{\mathbf{e}}_1, \bar{\mathbf{e}}_2, \ldots\right) \\ \bar{\mathbf{e}}{}^j = \bar{\mathbf{e}}{}^j\left(\mathbf{e}^1,\mathbf{e}^2, \ldots\right) \quad &\rightleftharpoons \quad \mathbf{e}{}^j = \mathbf{e}{}^j \left(\bar{\mathbf{e}}^1, \bar{\mathbf{e}}^2, \ldots\right) \end{align}$$ सभी के लिए $i$, $j$.

आधार के किसी भी परिवर्तन के तहत एक वेक्टर अपरिवर्तनीय होता है, इसलिए यदि निर्देशांक परिवर्तन मैट्रिक्स के अनुसार बदल जाते हैं $e_{2}$, आधार मैट्रिक्स व्युत्क्रम के अनुसार रूपांतरित होते हैं $e_{3}$, और इसके विपरीत यदि निर्देशांक व्युत्क्रम के अनुसार रूपांतरित होते हैं $e_{n}$, आधार मैट्रिक्स के अनुसार रूपांतरित होते हैं $e_{i}$. इनमें से प्रत्येक परिवर्तन के बीच का अंतर पारंपरिक रूप से सूचकांकों के माध्यम से विरोधाभास के लिए सुपरस्क्रिप्ट और सहप्रसरण के लिए सबस्क्रिप्ट के रूप में दिखाया गया है, और निर्देशांक और आधार निम्नलिखित नियमों के अनुसार रैखिक परिवर्तन हैं:

कहाँ $x_{i}$ परिवर्तन मैट्रिक्स की प्रविष्टियों का प्रतिनिधित्व करता है (पंक्ति संख्या है $i$ और कॉलम नंबर है $j$) और (L−1)ik}उलटा मैट्रिक्स के व्युत्क्रम मैट्रिक्स की प्रविष्टियों को दर्शाता है $e_{i}$.

अगर $x$ एक ऑर्थोगोनल ट्रांसफॉर्मेशन (ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स) है, इसके द्वारा रूपांतरित होने वाली वस्तुओं को कार्टेशियन टेंसर के रूप में परिभाषित किया गया है। इसकी ज्यामितीय व्याख्या यह है कि एक आयताकार समन्वय प्रणाली को दूसरे आयताकार समन्वय प्रणाली में मैप किया जाता है, जिसमें वेक्टर का नॉर्म (गणित) $x$ संरक्षित है (और दूरियाँ संरक्षित हैं)।

का निर्धारक $x$ है $x^{i}$, जो दो प्रकार के ऑर्थोगोनल परिवर्तन से मेल खाता है: ($e_{i}$) रोटेशन के लिए (गणित) और ($x_{i}$) अनुचित घुमावों के लिए (प्रतिबिंब (गणित) सहित)।

काफी बीजगणितीय सरलीकरण हैं, मैट्रिक्स स्थानान्तरण  एक ऑर्थोगोनल परिवर्तन की परिभाषा से उलटा मैट्रिक्स है:

$$ \boldsymbol{\mathsf{L}}^\textsf{T} = \boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1} \Rightarrow \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_i{}^j = \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^\textsf{T}\right)_i{}^j = (\boldsymbol{\mathsf{L}})^j{}_i = \mathsf{L}^j{}_i $$ पिछली तालिका से, कोवेक्टर और कंट्रावेक्टर के ऑर्थोगोनल परिवर्तन समान हैं। सूचकांकों को बढ़ाने और घटाने के बीच अंतर करने की कोई आवश्यकता नहीं है, और इस संदर्भ में और भौतिकी और इंजीनियरिंग के अनुप्रयोगों में सूचकांकों को आमतौर पर प्रतिपादकों के भ्रम को दूर करने के लिए सबस्क्रिप्ट किया जाता है। इस लेख के शेष भाग में सभी सूचकांकों को नीचे कर दिया जाएगा। कौन सी मात्राएँ कोवेक्टर या कंट्रावेक्टर हैं, और प्रासंगिक परिवर्तन नियमों पर विचार करके कोई वास्तविक उठाए गए और कम किए गए सूचकांकों को निर्धारित कर सकता है।

बिल्कुल वही परिवर्तन नियम किसी भी वेक्टर पर लागू होते हैं $e^{i}$, न केवल स्थिति वेक्टर. यदि इसके घटक $x$नियमानुसार परिवर्तन न करें, $\overline{x}^{i}$ एक सदिश नहीं है.

उपरोक्त भावों के बीच समानता के बावजूद, जैसे निर्देशांक के परिवर्तन के लिए $\overline{e}_{i}$, और एक वेक्टर पर एक टेंसर की क्रिया जैसे $\overline{x}_{i}$, $\overline{e}^{i}$ एक टेंसर नहीं है, लेकिन $L$ है। निर्देशांक के परिवर्तन में, $L^{−1}$ एक मैट्रिक्स है, जिसका उपयोग ऑर्थोनॉर्मल आधारों वाले दो आयताकार समन्वय प्रणालियों को एक साथ जोड़ने के लिए किया जाता है। एक वेक्टर को एक वेक्टर से संबंधित टेंसर के लिए, पूरे समीकरण में वेक्टर और टेंसर सभी एक ही समन्वय प्रणाली और आधार से संबंधित होते हैं।

डेरिवेटिव और जैकोबियन मैट्रिक्स तत्व
की प्रविष्टियाँ $L^{−1}$ क्रमशः पुराने या नए निर्देशांक के संबंध में नए या पुराने निर्देशांक के आंशिक व्युत्पन्न हैं।

फर्क $L$ इसके संबंध में $L_{i}^{j}$:

$$ \frac{\partial\bar{x}_i}{\partial x_k} = \frac{\partial}{\partial x_k}(x_j \mathsf{L}_{ji}) = \mathsf{L}_{ji}\frac{\partial x_j}{\partial x_k} = \delta_{kj}\mathsf{L}_{ji} = \mathsf{L}_{ki} $$ इसलिए

$${\mathsf{L}_i}^j \equiv \mathsf{L}_{ij} = \frac{\partial\bar{x}_j}{\partial x_i} $$ जैकोबियन मैट्रिक्स का एक तत्व है। एल से जुड़ी सूचकांक स्थितियों और आंशिक व्युत्पन्न में एक (आंशिक रूप से स्मरणीय) पत्राचार है: शीर्ष पर i और नीचे, प्रत्येक मामले में, हालांकि कार्टेशियन टेंसर के लिए सूचकांक हो सकते हैं उतारा गया.

इसके विपरीत, विभेद करना $L_{i}^{k}$ इसके संबंध में $L$:

$$ \frac{\partial x_j}{\partial\bar{x}_k} = \frac{\partial}{\partial\bar{x}_k} \left(\bar{x}_i\left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{ij}\right) = \frac{\partial\bar{x}_i}{\partial\bar{x}_k}\left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{ij} = \delta_{ki} \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{ij} = \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{kj} $$ इसलिए

$$\left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_i{}^j \equiv \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{ij} = \frac{\partial x_j}{\partial\bar{x}_i}$$ एक समान सूचकांक पत्राचार के साथ व्युत्क्रम जैकोबियन मैट्रिक्स का एक तत्व है।

कई स्रोत आंशिक व्युत्पन्न के संदर्भ में परिवर्तन बताते हैं:

और 3डी में स्पष्ट मैट्रिक्स समीकरण हैं:

$$\begin{align} \bar{\mathbf{x}} &= \boldsymbol{\mathsf{L}}\mathbf{x} \\ \begin{pmatrix} \bar{x}_1 \\ \bar{x}_2 \\ \bar{x}_3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix} \frac{\partial\bar{x}_1}{\partial x_1} & \frac{\partial\bar{x}_1}{\partial x_2} & \frac{\partial\bar{x}_1}{\partial x_3}\\ \frac{\partial\bar{x}_2}{\partial x_1} & \frac{\partial\bar{x}_2}{\partial x_2} & \frac{\partial\bar{x}_2}{\partial x_3}\\ \frac{\partial\bar{x}_3}{\partial x_1} & \frac{\partial\bar{x}_3}{\partial x_2} & \frac{\partial\bar{x}_3}{\partial x_3} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{align}$$ इसी तरह के लिए

$$\mathbf{x} = \boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\bar{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathsf{L}}^\textsf{T}\bar{\mathbf{x}}$$

निर्देशांक अक्षों के अनुदिश प्रक्षेपण
सभी रैखिक परिवर्तनों की तरह, $x$ चुने गए आधार पर निर्भर करता है। दो लम्बवत् आधारों के लिए

$$\begin{align} \bar{\mathbf{e}}_i\cdot\bar{\mathbf{e}}_j &= \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j = \delta_{ij}\,, & \left|\mathbf{e}_i\right| &= \left|\bar{\mathbf{e}}_i\right| = 1\,, \end{align}$$ इसलिए घटकों के बीच दिशा कोसाइन कम हो जाती है $L$ और $det(L) = ±1$ अक्ष: $$\begin{align} \mathsf{L}_{ij} &= \bar{\mathbf{e}}_i\cdot\mathbf{e}_j = \cos\theta_{ij} \\ \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{ij} &= \mathbf{e}_i\cdot\bar{\mathbf{e}}_j = \cos\theta_{ji} \end{align}$$ कहाँ $+1$ और $−1$ के बीच के कोण हैं $a$ और $a_{i}$ कुल्हाड़ियाँ. सामान्य रूप में, $a$ के बराबर नहीं है $\overline{x}^{j} = L_{i}^{j}x^{i}$, क्योंकि उदाहरण के लिए $b_{i} = T_{ij}&hairsp;a_{j}$ और $L$ दो अलग-अलग कोण हैं।
 * प्रक्षेपित करना $T$ तक $L$ अक्ष: $$\bar{x}_i=\bar{\mathbf{e}}_i\cdot\mathbf{x}=\bar{\mathbf{e}}_i\cdot x_j\mathbf{e}_j=x_i \mathsf{L}_{ij} \,, $$
 * प्रक्षेपित करना $L$ तक $\overline{x}_{i}$ अक्ष: $$x_i=\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{x}=\mathbf{e}_i\cdot\bar{x}_j\bar{\mathbf{e}}_j=\bar{x}_j\left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{ji} \,.$$

निर्देशांक का परिवर्तन लिखा जा सकता है:

और 3डी में स्पष्ट मैट्रिक्स समीकरण हैं:

$$\begin{align} \bar{\mathbf{x}} &= \boldsymbol{\mathsf{L}}\mathbf{x} \\ \begin{pmatrix} \bar{x}_1\\ \bar{x}_2\\ \bar{x}_3 \end{pmatrix} &= \begin{pmatrix}\bar{\mathbf{e}}_1\cdot\mathbf{e}_1 & \bar{\mathbf{e}}_1\cdot\mathbf{e}_2 & \bar{\mathbf{e}}_1\cdot\mathbf{e}_3\\ \bar{\mathbf{e}}_2\cdot\mathbf{e}_1 & \bar{\mathbf{e}}_2\cdot\mathbf{e}_2 & \bar{\mathbf{e}}_2\cdot\mathbf{e}_3\\ \bar{\mathbf{e}}_3\cdot\mathbf{e}_1 & \bar{\mathbf{e}}_3\cdot\mathbf{e}_2 & \bar{\mathbf{e}}_3\cdot\mathbf{e}_3 \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\cos\theta_{11} & \cos\theta_{12} & \cos\theta_{13}\\ \cos\theta_{21} & \cos\theta_{22} & \cos\theta_{23}\\ \cos\theta_{31} & \cos\theta_{32} & \cos\theta_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\ x_2\\ x_3 \end{pmatrix} \end{align}$$ इसी तरह के लिए

$$\mathbf{x} = \boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\bar{\mathbf{x}} = \boldsymbol{\mathsf{L}}^\textsf{T}\bar{\mathbf{x}}$$ ज्यामितीय व्याख्या है $x_{k}$ घटकों को प्रक्षेपित करने के योग के बराबर $x_{j}$ घटकों पर $\overline{x}_{i}$ कुल्हाड़ियाँ.

संख्या $x_{i}$ मैट्रिक्स में व्यवस्थित होने पर डॉट उत्पादों में समरूपता के कारण एक सममित मैट्रिक्स (अपने स्वयं के स्थानान्तरण के बराबर एक मैट्रिक्स) बनेगा, वास्तव में यह मीट्रिक टेंसर है $\overline{x}_{i}$. इसके विपरीत $L$ या $x$ सामान्यतः सममित आव्यूह नहीं बनाते, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है। इसलिए, जबकि $\overline{x}$ मैट्रिक्स अभी भी ऑर्थोगोनल हैं, वे सममित नहीं हैं।

किसी एक अक्ष के चारों ओर घूमने के अलावा, जिसमें $x$ और $x$ कुछ के लिए $i$संपाती, कोण यूलर कोण के समान नहीं हैं, और इसलिए $\overline{x}_{i}$ मैट्रिक्स रोटेशन मैट्रिक्स के समान नहीं हैं।

डॉट और क्रॉस उत्पादों का परिवर्तन (केवल तीन आयाम)
भौतिकी और इंजीनियरिंग में वेक्टर विश्लेषण के अनुप्रयोगों में डॉट उत्पाद और क्रॉस उत्पाद बहुत बार होते हैं, उदाहरणों में शामिल हैं:

ऑर्थोगोनल परिवर्तनों के तहत ये उत्पाद कैसे बदलते हैं, इसका वर्णन नीचे दिया गया है।
 * शक्ति (भौतिकी) हस्तांतरित $P$ किसी वस्तु द्वारा बल लगाने से $x_{j}$ वेग के साथ $θ_{ij}$ एक सीधी रेखा के पथ पर: $$P = \mathbf{v} \cdot \mathbf{F}$$
 * स्पर्शरेखीय वेग $θ_{ji}$ एक बिंदु पर $\overline{x}_{i}$ कोणीय वेग से घूमने वाले कठोर पिंड का $ω$: $$\mathbf{v} = \boldsymbol{\omega} \times \mathbf{x}$$
 * संभावित ऊर्जा $U$ चुंबकीय क्षण के चुंबकीय द्विध्रुव का $x_{j}$ एक समान बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में $θ_{ij}$: $$U = -\mathbf{m}\cdot\mathbf{B}$$
 * कोनेदार गति $θ_{ji}$ स्थिति वेक्टर वाले एक कण के लिए $θ_{12}$ और गति $θ_{21}$: $$\mathbf{J} = \mathbf{r}\times \mathbf{p}$$
 * टोक़ $τ$ [[विद्युत द्विध्रुव आघूर्ण]] के विद्युत द्विध्रुव पर कार्य करना $\overline{x}_{i}$ एक समान बाह्य विद्युत क्षेत्र में $x_{j}$: $$\boldsymbol{\tau} = \mathbf{p}\times\mathbf{E}$$
 * प्रेरित सतह धारा घनत्व $\overline{x}_{j}$ चुम्बकत्व की एक चुंबकीय सामग्री में $e_{i}&sdot;e_{j}$ इकाई सामान्य वाली सतह पर $g$: $$\mathbf{j}_\mathrm{S} = \mathbf{M} \times \mathbf{n}$$

डॉट उत्पाद, क्रोनकर डेल्टा, और मीट्रिक टेंसर
आधार वैक्टर की प्रत्येक संभावित जोड़ी का डॉट उत्पाद ⋅ आधार के ऑर्थोनॉर्मल होने से होता है। लंबवत युग्मों के लिए हमारे पास है

$$\begin{array}{llll} \mathbf{e}_\text{x}\cdot\mathbf{e}_\text{y} &= \mathbf{e}_\text{y}\cdot\mathbf{e}_\text{z} &= \mathbf{e}_\text{z}\cdot\mathbf{e}_\text{x} &=\\ \mathbf{e}_\text{y}\cdot\mathbf{e}_\text{x} &= \mathbf{e}_\text{z}\cdot\mathbf{e}_\text{y} &= \mathbf{e}_\text{x}\cdot\mathbf{e}_\text{z} &= 0 \end{array} $$ जबकि समानांतर जोड़ियों के लिए हमारे पास है

$$\mathbf{e}_\text{x}\cdot\mathbf{e}_\text{x} = \mathbf{e}_\text{y}\cdot\mathbf{e}_\text{y} = \mathbf{e}_\text{z}\cdot\mathbf{e}_\text{z} = 1.$$ कार्टेशियन लेबल को इंडेक्स नोटेशन द्वारा प्रतिस्थापित करना जैसा कि दिखाया गया है #indices लेबल को प्रतिस्थापित करते हैं, इन परिणामों को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है

$$\mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j = \delta_{ij}$$ कहाँ $e_{i}&sdot;\overline{e}_{j}$ क्रोनकर डेल्टा के घटक हैं। प्रतिनिधित्व करने के लिए कार्टेशियन आधार का उपयोग किया जा सकता है $\overline{e}_{i}&sdot;e_{j}$ इस प्रकार से।

इसके अलावा, प्रत्येक मीट्रिक टेंसर घटक $L$ किसी भी आधार के संबंध में आधार वैक्टर की जोड़ी का डॉट उत्पाद है:

$$g_{ij} = \mathbf{e}_i\cdot\mathbf{e}_j .$$ कार्टेशियन आधार के लिए मैट्रिक्स में व्यवस्थित घटक हैं:

$$\mathbf{g} = \begin{pmatrix} g_\text{xx} & g_\text{xy} & g_\text{xz} \\ g_\text{yx} & g_\text{yy} & g_\text{yz} \\ g_\text{zx} & g_\text{zy} & g_\text{zz} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \mathbf{e}_\text{x}\cdot\mathbf{e}_\text{x} & \mathbf{e}_\text{x}\cdot\mathbf{e}_\text{y} & \mathbf{e}_\text{x}\cdot\mathbf{e}_\text{z} \\ \mathbf{e}_\text{y}\cdot\mathbf{e}_\text{x} & \mathbf{e}_\text{y}\cdot\mathbf{e}_\text{y} & \mathbf{e}_\text{y}\cdot\mathbf{e}_\text{z} \\ \mathbf{e}_\text{z}\cdot\mathbf{e}_\text{x} & \mathbf{e}_\text{z}\cdot\mathbf{e}_\text{y} & \mathbf{e}_\text{z}\cdot\mathbf{e}_\text{z} \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ तो मीट्रिक टेंसर, अर्थात् पहचान मैट्रिक्स के लिए सबसे सरल संभव है$x_{i}$:

$$g_{ij} = \delta_{ij}$$ यह सामान्य आधारों के लिए सच नहीं है: ऑर्थोगोनल निर्देशांक में विकर्ण मैट्रिक्स मेट्रिक्स होते हैं जिनमें विभिन्न पैमाने के कारक होते हैं (यानी जरूरी नहीं कि 1), जबकि सामान्य वक्रीय निर्देशांक में ऑफ-विकर्ण घटकों के लिए गैर-शून्य प्रविष्टियां भी हो सकती हैं।

दो वैक्टर का डॉट उत्पाद $\overline{x}_{i}$ और $L$ के अनुसार रूपांतरित होता है

$$\mathbf{a}\cdot\mathbf{b} = \bar{a}_j \bar{b}_j = a_i \mathsf{L}_{ij} b_k \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{jk} = a_i \delta_i{}_k b_k = a_i b_i $$ जो सहज है, क्योंकि दो वैक्टरों का डॉट उत्पाद किसी भी निर्देशांक से स्वतंत्र एक एकल अदिश है। यह आम तौर पर किसी भी समन्वय प्रणाली पर लागू होता है, न कि केवल आयताकार प्रणालियों पर; एक समन्वय प्रणाली में डॉट उत्पाद किसी अन्य में समान है।

क्रॉस उत्पाद, लेवी-सिविटा प्रतीक, और छद्मवेक्टर
क्रॉस उत्पाद के लिए ($F$) दो सदिशों के, परिणाम (लगभग) विपरीत होते हैं। फिर से, दाएं हाथ के 3डी कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को मानते हुए, लंबवत दिशाओं में चक्रीय क्रमपरिवर्तन से वैक्टर के चक्रीय संग्रह में अगला वेक्टर प्राप्त होता है:

$$\begin{align} \mathbf{e}_\text{x}\times\mathbf{e}_\text{y} &= \mathbf{e}_\text{z} & \mathbf{e}_\text{y}\times\mathbf{e}_\text{z} &= \mathbf{e}_\text{x} & \mathbf{e}_\text{z}\times\mathbf{e}_\text{x} &= \mathbf{e}_\text{y} \\[1ex] \mathbf{e}_\text{y}\times\mathbf{e}_\text{x} &= -\mathbf{e}_\text{z} & \mathbf{e}_\text{z}\times\mathbf{e}_\text{y} &= -\mathbf{e}_\text{x} & \mathbf{e}_\text{x}\times\mathbf{e}_\text{z} &= -\mathbf{e}_\text{y} \end{align}$$ जबकि समानांतर वेक्टर स्पष्ट रूप से गायब हो जाते हैं:

$$\mathbf{e}_\text{x}\times\mathbf{e}_\text{x} = \mathbf{e}_\text{y}\times\mathbf{e}_\text{y} = \mathbf{e}_\text{z}\times\mathbf{e}_\text{z} = \boldsymbol{0}$$ और कार्टेशियन लेबलों को इंडेक्स नोटेशन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है क्योंकि #indices लेबल को प्रतिस्थापित करते हैं, इन्हें संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

$$\mathbf{e}_i\times\mathbf{e}_j = \begin{cases} +\mathbf{e}_k & \text{cyclic permutations: } (i,j,k) = (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \\[2pt] -\mathbf{e}_k & \text{anticyclic permutations: } (i,j,k) = (2,1,3), (3,2,1), (1,3,2) \\[2pt] \boldsymbol{0} & i = j \end{cases} $$ कहाँ $i$, $j$, $k$ वे सूचकांक हैं जो मान लेते हैं $v$. यह इस प्रकार है कि:

$${\mathbf{e}_k\cdot\mathbf{e}_i\times\mathbf{e}_j} = \begin{cases} +1 & \text{cyclic permutations: } (i,j,k) = (1,2,3), (2,3,1), (3,1,2) \\[2pt] -1 & \text{anticyclic permutations: } (i,j,k) = (2,1,3), (3,2,1), (1,3,2) \\[2pt] 0 & i = j\text{ or }j = k\text{ or }k=i \end{cases} $$ ये क्रमपरिवर्तन संबंध और उनके संबंधित मूल्य महत्वपूर्ण हैं, और इस संपत्ति के साथ मेल खाने वाली एक वस्तु है: लेवी-सिविटा प्रतीक, द्वारा दर्शाया गया $v$. लेवी-सिविटा प्रतीक प्रविष्टियों को कार्टेशियन आधार द्वारा दर्शाया जा सकता है:

$$\varepsilon_{ijk} = \mathbf{e}_i\cdot \mathbf{e}_j\times\mathbf{e}_k$$ जो ज्यामितीय रूप से ऑर्थोनॉर्मल आधार वैक्टर द्वारा फैलाए गए घन की मात्रा से मेल खाता है, जिसमें अभिविन्यास (वेक्टर स्पेस) (और सकारात्मक या नकारात्मक मात्रा नहीं) को इंगित करने वाला संकेत होता है। यहां ओरिएंटेशन किसके द्वारा तय किया जाता है $x$, दाएं हाथ की प्रणाली के लिए। बाएं हाथ का सिस्टम ठीक कर देगा $m$ या समकक्ष $B$.

अदिश त्रिगुण गुणनफल अब लिखा जा सकता है:

$$\mathbf{c} \cdot \mathbf{a} \times \mathbf{b} = c_i\mathbf{e}_i \cdot a_j\mathbf{e}_j \times b_k\mathbf{e}_k = \varepsilon_{ijk} c_i a_j b_k $$ आयतन की ज्यामितीय व्याख्या के साथ (समानांतर चतुर्भुज द्वारा फैलाया गया)। $J$, $r$, $p$) और बीजगणितीय रूप से एक निर्धारक है:

$$\mathbf{c} \cdot \mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} c_\text{x} & a_\text{x} & b_\text{x} \\ c_\text{y} & a_\text{y} & b_\text{y} \\ c_\text{z} & a_\text{z} & b_\text{z} \end{vmatrix} $$ बदले में इसका उपयोग दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद को निम्नानुसार फिर से लिखने के लिए किया जा सकता है:

$$\begin{align} (\mathbf{a} \times \mathbf{b})_i = {\mathbf{e}_i \cdot \mathbf{a} \times \mathbf{b}} &= \varepsilon_{\ell jk} {(\mathbf{e}_i)}_\ell a_j b_k = \varepsilon_{\ell jk} \delta_{i \ell} a_j b_k = \varepsilon_{ijk} a_j b_k \\ \Rightarrow\quad {\mathbf{a} \times \mathbf{b}} = (\mathbf{a} \times \mathbf{b})_i \mathbf{e}_i &= \varepsilon_{ijk} a_j b_k \mathbf{e}_i \end{align}$$ अपनी उपस्थिति के विपरीत, लेवी-सिविटा प्रतीक एक टेंसर नहीं है, बल्कि एक स्यूडोटेन्सर  है, घटक इसके अनुसार बदलते हैं:

$$\bar{\varepsilon}_{pqr} = \det(\boldsymbol{\mathsf{L}}) \varepsilon_{ijk} \mathsf{L}_{ip}\mathsf{L}_{jq}\mathsf{L}_{kr} \,.$$ इसलिए, के पार उत्पाद का परिवर्तन $p$ और $E$ है:

$$\begin{align} &\left(\bar{\mathbf{a}} \times \bar{\mathbf{b}}\right)_i \\[1ex] {}={} &\bar{\varepsilon}_{ijk} \bar{a}_j \bar{b}_k \\[1ex] {}={} &\det(\boldsymbol{\mathsf{L}}) \;\; \varepsilon_{pqr} \;\; \mathsf{L}_{pi}\mathsf{L}_{qj} \mathsf{L}_{rk} \;\; a_m \mathsf{L}_{mj} \;\; b_n \mathsf{L}_{nk} \\[1ex] {}={} &\det(\boldsymbol{\mathsf{L}}) \;\; \varepsilon_{pqr} \;\; \mathsf{L}_{pi} \;\; \mathsf{L}_{qj} \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{jm} \;\; \mathsf{L}_{rk} \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{kn} \;\; a_m \;\; b_n \\[1ex] {}={} &\det(\boldsymbol{\mathsf{L}}) \;\; \varepsilon_{pqr} \;\; \mathsf{L}_{pi} \;\;  \delta_{qm} \;\; \delta_{rn} \;\; a_m \;\; b_n \\[1ex] {}={} &\det(\boldsymbol{\mathsf{L}}) \;\; \mathsf{L}_{pi} \;\; \varepsilon_{pqr} a_q b_r \\[1ex] {}={} &\det(\boldsymbol{\mathsf{L}}) \;\; (\mathbf{a}\times\mathbf{b})_p \mathsf{L}_{pi} \end{align}$$ इसलिए $j_{S}$ निर्धारक कारक के कारण छद्मवेक्टर के रूप में परिवर्तित हो जाता है।

टेंसर इंडेक्स नोटेशन किसी भी ऑब्जेक्ट पर लागू होता है जिसमें ऐसी इकाइयाँ होती हैं जो बहुआयामी सरणियाँ बनाती हैं - सूचकांक वाली हर चीज़ डिफ़ॉल्ट रूप से टेंसर नहीं होती है। इसके बजाय, टेंसर को इस आधार पर परिभाषित किया जाता है कि एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में परिवर्तन के तहत उनके निर्देशांक और आधार तत्व कैसे बदलते हैं।

ध्यान दें कि दो वैक्टरों का क्रॉस उत्पाद एक छद्मवेक्टर है, जबकि एक वेक्टर के साथ छद्मवेक्टर का क्रॉस उत्पाद एक अन्य वेक्टर है।

के अनुप्रयोग $M$ टेंसर और $n$ स्यूडोटेंसर
से अन्य पहचानें बनाई जा सकती हैं $δ_{ij}$ टेंसर और $δ$ स्यूडोटेंसर, एक उल्लेखनीय और बहुत उपयोगी पहचान वह है जो दो सूचकांकों पर आसन्न रूप से अनुबंधित दो लेवी-सिविटा प्रतीकों को क्रोनकर डेल्टा के एक एंटीसिमेट्रिज्ड संयोजन में परिवर्तित करती है:

$$\varepsilon_{ijk}\varepsilon_{pqk} = \delta_{ip}\delta_{jq} - \delta_{iq}\delta_{jp} $$ डॉट और क्रॉस उत्पादों के सूचकांक रूप, इस पहचान के साथ मिलकर, अन्य वेक्टर कैलकुलस पहचान और बीजगणित के हेरफेर और व्युत्पत्ति की सुविधा प्रदान करते हैं, जो बदले में भौतिकी और इंजीनियरिंग में बड़े पैमाने पर उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, यह स्पष्ट है कि डॉट और क्रॉस उत्पाद वेक्टर जोड़ पर वितरणात्मक हैं:

$$\begin{align} \mathbf{a}\cdot(\mathbf{b} + \mathbf{c}) &= a_i ( b_i + c_i ) =  a_i b_i + a_i c_i = \mathbf{a}\cdot\mathbf{b} + \mathbf{a}\cdot\mathbf{c} \\[1ex] \mathbf{a}\times(\mathbf{b} + \mathbf{c}) &= \mathbf{e}_i\varepsilon_{ijk} a_j ( b_k + c_k ) = \mathbf{e}_i \varepsilon_{ijk} a_j b_k + \mathbf{e}_i \varepsilon_{ijk} a_j c_k = \mathbf{a}\times\mathbf{b} + \mathbf{a}\times\mathbf{c} \end{align}$$ किसी भी ज्यामितीय निर्माण का सहारा लिए बिना - प्रत्येक मामले में व्युत्पत्ति बीजगणित की एक त्वरित रेखा है। हालाँकि प्रक्रिया कम स्पष्ट है, वेक्टर ट्रिपल उत्पाद भी प्राप्त किया जा सकता है। सूचकांक संकेतन में पुनर्लेखन:

$$ \left[ \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\right]_i = \varepsilon_{ijk} a_j ( \varepsilon_{k \ell m} b_\ell c_m ) = (\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{k \ell m} ) a_j b_\ell c_m $$ और क्योंकि सूचकांकों के चक्रीय क्रमपरिवर्तन $g_{ij}$ प्रतीक अपना मान नहीं बदलता है, चक्रीय रूप से सूचकांकों को क्रमपरिवर्तित करता है $δ$ प्राप्त करने के लिए $a$ हमें उपरोक्त का उपयोग करने की अनुमति देता है $b$-$×$ पहचान परिवर्तित करने के लिए $1, 2, 3$ प्रतीकों में $ε$ टेंसर:

$$\begin{align} \left[ \mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c})\right]_i {}={} &\left(\delta_{i\ell} \delta_{jm} - \delta_{im} \delta_{j\ell}\right) a_j b_\ell c_m \\ {}={} &\delta_{i\ell} \delta_{jm} a_j b_\ell c_m - \delta_{im} \delta_{j\ell} a_j b_\ell c_m \\ {}={} &a_j b_i c_j - a_j b_j c_i \\ {}={} &\left[(\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}\right]_i \end{align}$$ इस प्रकार:

$$\mathbf{a}\times(\mathbf{b}\times\mathbf{c}) = (\mathbf{a}\cdot\mathbf{c})\mathbf{b} - (\mathbf{a}\cdot\mathbf{b})\mathbf{c}$$ ध्यान दें कि यह एंटीसिमेट्रिक है $ε_{123} = +1$ और $ε_{123} = −1$, जैसा कि बायीं ओर से अपेक्षित था। इसी प्रकार, सूचकांक संकेतन के माध्यम से या यहां तक ​​कि केवल चक्रीय रूप से पुनः लेबलिंग के माध्यम से $ε_{321} = +1$, $a$, और $b$ पिछले परिणाम में और नकारात्मक लेना:

$$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times\mathbf{c} = (\mathbf{c}\cdot\mathbf{a})\mathbf{b} - (\mathbf{c}\cdot\mathbf{b})\mathbf{a} $$ और परिणामों में अंतर दर्शाता है कि क्रॉस उत्पाद साहचर्य नहीं है। अधिक जटिल पहचान, जैसे चौगुनी उत्पाद;

$$(\mathbf{a}\times \mathbf{b})\cdot(\mathbf{c}\times\mathbf{d}),\quad (\mathbf{a}\times \mathbf{b})\times(\mathbf{c}\times\mathbf{d}),\quad \ldots$$ और इसी तरह, समान तरीके से प्राप्त किया जा सकता है।

कार्टेशियन टेंसर का रूपांतरण (आयामों की कोई भी संख्या)
टेंसर को उन मात्राओं के रूप में परिभाषित किया जाता है जो निर्देशांक के रैखिक परिवर्तनों के तहत एक निश्चित तरीके से परिवर्तित होती हैं।

दूसरा क्रम
होने देना $c$ और $a$ दो वैक्टर बनें, ताकि वे इसके अनुसार रूपांतरित हो जाएं $b$, $a × b$.

टेंसर उत्पाद लेने से मिलता है:

$$\mathbf{a}\otimes\mathbf{b}=a_i\mathbf{e}_i\otimes b_j\mathbf{e}_j=a_i b_j\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j$$ फिर घटकों में परिवर्तन लागू करना

$$\bar{a}_p\bar{b}_q = a_i \mathsf{L}_i{}_p b_j \mathsf{L}_j{}_q = \mathsf{L}_i{}_p\mathsf{L}_j{}_q a_i b_j $$ और ठिकानों तक

$$\bar{\mathbf{e}}_p\otimes\bar{\mathbf{e}}_q = \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{pi}\mathbf{e}_i\otimes\left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{qj}\mathbf{e}_j = \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{pi}\left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{qj}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j = \mathsf{L}_{ip} \mathsf{L}_{jq} \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j$$ ऑर्डर-2 टेंसर का परिवर्तन कानून देता है। टेंसर $δ$ इस परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय है:

$$\begin{align} \bar{a}_p\bar{b}_q\bar{\mathbf{e}}_p\otimes\bar{\mathbf{e}}_q {}={} &\mathsf{L}_{kp} \mathsf{L}_{\ell q} a_k b_{\ell} \, \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{pi} \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{qj} \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j \\[1ex] {}={} &\mathsf{L}_{kp} \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{pi} \mathsf{L}_{\ell q} \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{q j} \, a_k b_{\ell} \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j \\[1ex] {}={} &\delta_k{}_i \delta_{\ell j} \, a_k b_{\ell} \mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j \\[1ex] {}={} &a_ib_j\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j \end{align}$$ अधिक सामान्यतः, किसी भी ऑर्डर-2 टेंसर के लिए

$$\mathbf{R} = R_{ij}\mathbf{e}_i\otimes\mathbf{e}_j\,,$$ घटक तदनुसार रूपांतरित होते हैं;

$$\bar{R}_{pq}=\mathsf{L}_i{}_p\mathsf{L}_j{}_q R_{ij},$$ और आधार बदल जाता है:

$$\bar{\mathbf{e}}_p\otimes\bar{\mathbf{e}}_q = \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{ip}\mathbf{e}_i\otimes \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{jq}\mathbf{e}_j$$ अगर $ε$ इस नियम के अनुसार रूपांतरित नहीं होता - चाहे कोई भी मात्रा हो $δ$ हो सकता है - यह ऑर्डर-2 टेंसर नहीं है।

कोई आदेश
अधिक सामान्यतः, किसी भी ऑर्डर के लिए $p$ टेंसर

$$\mathbf{T} = T_{j_1 j_2 \cdots j_p} \mathbf{e}_{j_1}\otimes\mathbf{e}_{j_2}\otimes\cdots\mathbf{e}_{j_p}$$ घटक तदनुसार रूपांतरित होते हैं;

$$\bar{T}_{j_1j_2\cdots j_p} = \mathsf{L}_{i_1 j_1} \mathsf{L}_{i_2 j_2}\cdots \mathsf{L}_{i_p j_p} T_{i_1 i_2\cdots i_p}$$ और आधार बदल जाता है:

$$\bar{\mathbf{e}}_{j_1}\otimes\bar{\mathbf{e}}_{j_2}\cdots\otimes\bar{\mathbf{e}}_{j_p}=\left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{j_1 i_1}\mathbf{e}_{i_1}\otimes\left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{j_2 i_2}\mathbf{e}_{i_2}\cdots\otimes\left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{j_p i_p}\mathbf{e}_{i_p}$$ एक स्यूडोटेंसर के लिए $ε$ आदेश की $p$, घटक तदनुसार रूपांतरित होते हैं;

$$\bar{S}_{j_1j_2\cdots j_p} = \det(\boldsymbol{\mathsf{L}}) \mathsf{L}_{i_1 j_1} \mathsf{L}_{i_2 j_2}\cdots \mathsf{L}_{i_p j_p} S_{i_1 i_2\cdots i_p}\,.$$

एंटीसिमेट्रिक सेकेंड ऑर्डर टेंसर के रूप में छद्मवेक्टर
क्रॉस उत्पाद की एंटीसिमेट्रिक प्रकृति को निम्नानुसार एक टेंसोरियल रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है। होने देना $ε$ एक वेक्टर बनें, $ε_{kℓm}$ एक छद्मवेक्टर बनें, $ε_{ℓmk}$ एक और वेक्टर बनें, और $δ$ दूसरे क्रम का टेंसर बनें जैसे कि:

$$\mathbf{c} = \mathbf{a}\times\mathbf{b} = \mathbf{T}\cdot\mathbf{b} $$ चूंकि क्रॉस उत्पाद रैखिक है $ε$ और $ε$, के घटक $δ$ निरीक्षण द्वारा पाया जा सकता है, और वे हैं:

$$\mathbf{T} = \begin{pmatrix} 0 & - a_\text{z} & a_\text{y} \\ a_\text{z} & 0 & - a_\text{x} \\ - a_\text{y} & a_\text{x} & 0 \\ \end{pmatrix}$$ तो छद्मवेक्टर $b$ को एक एंटीसिमेट्रिक टेंसर के रूप में लिखा जा सकता है। यह एक टेन्सर के रूप में परिवर्तित होता है, स्यूडोटेन्सर के रूप में नहीं। किसी कठोर पिंड के स्पर्शरेखीय वेग के लिए उपरोक्त यांत्रिक उदाहरण, द्वारा दिया गया है $c$, इसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है $a$ कहाँ $b$ स्यूडोवेक्टर के अनुरूप टेंसर है $c$:

$$\boldsymbol{\Omega} = \begin{pmatrix} 0 & - \omega_\text{z} & \omega_\text{y} \\ \omega_\text{z} & 0 & - \omega_\text{x} \\ - \omega_\text{y} & \omega_\text{x} & 0 \\ \end{pmatrix}$$ विद्युत चुंबकत्व में एक उदाहरण के लिए, जबकि विद्युत क्षेत्र $a = a_{i}e_{i}$ एक सदिश क्षेत्र, चुंबकीय क्षेत्र है $b = b_{i}e_{i}$ एक छद्मवेक्टर फ़ील्ड है। इन क्षेत्रों को विद्युत आवेश के एक कण के लिए लोरेंत्ज़ बल से परिभाषित किया गया है $\overline{a}_{j} = a_{i}L_{ij}$ वेग से यात्रा करना $\overline{b}_{j} = b_{i}L_{ij}$:

$$\mathbf{F} = q(\mathbf{E} + \mathbf{v} \times \mathbf{B}) = q(\mathbf{E} - \mathbf{B} \times \mathbf{v})$$ और एक छद्मवेक्टर के क्रॉस उत्पाद वाले दूसरे पद पर विचार करना $a&otimes;b$ और वेग वेक्टर $R$, इसे मैट्रिक्स फॉर्म में लिखा जा सकता है $R$, $S$, और $c$ कॉलम वैक्टर के रूप में और $a$ एक एंटीसिमेट्रिक मैट्रिक्स के रूप में:

$$ \begin{pmatrix} F_\text{x} \\ F_\text{y} \\ F_\text{z} \\ \end{pmatrix} = q\begin{pmatrix} E_\text{x} \\ E_\text{y} \\ E_\text{z} \\ \end{pmatrix} - q \begin{pmatrix} 0 & - B_\text{z} & B_\text{y} \\ B_\text{z} & 0 & - B_\text{x} \\ - B_\text{y} & B_\text{x} & 0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_\text{x} \\ v_\text{y} \\ v_\text{z} \\ \end{pmatrix}$$ यदि एक छद्मवेक्टर स्पष्ट रूप से दो वैक्टरों के क्रॉस उत्पाद द्वारा दिया जाता है (दूसरे वेक्टर के साथ क्रॉस उत्पाद में प्रवेश करने के विपरीत), तो ऐसे छद्मवेक्टरों को दूसरे क्रम के एंटीसिमेट्रिक टेंसर के रूप में भी लिखा जा सकता है, प्रत्येक प्रविष्टि क्रॉस उत्पाद का एक घटक है। एक अक्ष के चारों ओर परिक्रमा करने वाले शास्त्रीय बिंदु जैसे कण का कोणीय संवेग, द्वारा परिभाषित $b$, एक स्यूडोवेक्टर का एक और उदाहरण है, जिसमें संबंधित एंटीसिमेट्रिक टेंसर होता है:

$$\mathbf{J} = \begin{pmatrix} 0 & - J_\text{z} & J_\text{y} \\ J_\text{z} & 0 & - J_\text{x} \\ - J_\text{y} & J_\text{x} & 0 \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & - (x p_\text{y} - y p_\text{x}) & (z p_\text{x} - x p_\text{z}) \\ (x p_\text{y} - y p_\text{x}) & 0 & - (y p_\text{z} - z p_\text{y}) \\ - (z p_\text{x} - x p_\text{z}) & (y p_\text{z} - z p_\text{y}) & 0 \\ \end{pmatrix}$$ हालाँकि कार्टेशियन टेंसर सापेक्षता के सिद्धांत में नहीं पाए जाते हैं; कक्षीय कोणीय गति का टेंसर रूप $T$ सापेक्षतावादी कोणीय गति टेंसर के अंतरिक्षीय भाग में प्रवेश करता है, और चुंबकीय क्षेत्र के उपरोक्त टेंसर रूप में प्रवेश करता है $a$ विद्युत चुम्बकीय टेंसर के अंतरिक्षीय भाग में प्रवेश करता है।

वेक्टर और टेंसर कैलकुलस
कार्टेशियन निर्देशांक में निम्नलिखित सूत्र केवल इतने सरल हैं - सामान्य वक्रीय निर्देशांक में मीट्रिक और उसके निर्धारक के कारक होते हैं - अधिक सामान्य विश्लेषण के लिए वक्रीय निर्देशांक में टेंसर देखें।

वेक्टर कलन
वेक्टर कैलकुलस के विभेदक संचालक निम्नलिखित हैं। भर में, चलो $b$ एक अदिश क्षेत्र हो, और

$$\begin{align} \mathbf{A}(\mathbf{r},t) &= A_\text{x}(\mathbf{r},t)\mathbf{e}_\text{x} + A_\text{y}(\mathbf{r},t)\mathbf{e}_\text{y} + A_\text{z}(\mathbf{r},t)\mathbf{e}_\text{z} \\[1ex] \mathbf{B}(\mathbf{r},t) &= B_\text{x}(\mathbf{r},t)\mathbf{e}_\text{x} + B_\text{y}(\mathbf{r},t)\mathbf{e}_\text{y} + B_\text{z}(\mathbf{r},t)\mathbf{e}_\text{z} \end{align}$$ वेक्टर फ़ील्ड बनें, जिसमें सभी अदिश और वेक्टर फ़ील्ड स्थिति वेक्टर के कार्य हैं $T$ और समय $t$.

कार्टेशियन निर्देशांक में ग्रेडियेंट  ऑपरेटर निम्न द्वारा दिया गया है:

$$\nabla = \mathbf{e}_\text{x}\frac{\partial}{\partial x} + \mathbf{e}_\text{y}\frac{\partial}{\partial y} + \mathbf{e}_\text{z}\frac{\partial}{\partial z} $$ और सूचकांक संकेतन में, इसे आमतौर पर विभिन्न तरीकों से संक्षिप्त किया जाता है:

$$\nabla_i \equiv \partial_i \equiv \frac{\partial}{\partial x_i} $$ यह ऑपरेटर Φ की वृद्धि की अधिकतम दर में निर्देशित वेक्टर क्षेत्र प्राप्त करने के लिए एक अदिश क्षेत्र Φ पर कार्य करता है:

$$\left(\nabla\Phi\right)_i = \nabla_i \Phi $$ डॉट और क्रॉस उत्पादों के लिए सूचकांक संकेतन वेक्टर कैलकुलस के अंतर ऑपरेटरों तक ले जाता है।

एक अदिश क्षेत्र का दिशात्मक व्युत्पन्न $a$ परिवर्तन की दर है $v = ω × x$ कुछ दिशा वेक्टर के साथ $v = Ω ⋅ x$ (जरूरी नहीं कि एक इकाई वेक्टर), के घटकों से बना हो $Ω$ और ढाल:

$$\mathbf{a}\cdot(\nabla\Phi) = a_j (\nabla\Phi)_j $$ एक सदिश क्षेत्र का विचलन $ω$ है:

$$\nabla\cdot\mathbf{A} = \nabla_i A_i $$ ध्यान दें कि ग्रेडिएंट और वेक्टर फ़ील्ड के घटकों के आदान-प्रदान से एक अलग अंतर ऑपरेटर प्राप्त होता है

$$\mathbf{A}\cdot\nabla = A_i \nabla_i $$ जो अदिश या सदिश क्षेत्रों पर कार्य कर सकता है। वास्तव में, यदि A को वेग क्षेत्र द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $E$ एक तरल पदार्थ का, यह सातत्य यांत्रिकी के भौतिक व्युत्पन्न (कई अन्य नामों के साथ) में एक शब्द है, एक अन्य शब्द आंशिक समय व्युत्पन्न है:

$$ \frac{D}{D t} = \frac{\partial}{\partial t} + \mathbf{u}\cdot\nabla$$ जो आमतौर पर वेग क्षेत्र पर कार्य करता है जिससे नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में गैर-रैखिकता उत्पन्न होती है।

जहाँ तक एक सदिश क्षेत्र के कर्ल (गणित) का प्रश्न है $B$, इसे के माध्यम से एक छद्मवेक्टर फ़ील्ड के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $q$ प्रतीक:

$$\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)_i = \varepsilon_{ijk} \nabla_j A_k $$ जो केवल तीन आयामों में मान्य है, या सूचकांकों के एंटीसिमेट्रिज़ेशन के माध्यम से दूसरे क्रम के एक एंटीसिमेट्रिक टेन्सर फ़ील्ड में, वर्ग कोष्ठक द्वारा एंटीसिमेट्रिज़्ड सूचकांकों को परिसीमित करके दर्शाया गया है (घुंघराले कलन देखें):

$$\left(\nabla\times\mathbf{A}\right)_{ij} = \nabla_i A_j - \nabla_j A_i = 2\nabla_{[i} A_{j]}$$ जो किसी भी संख्या में आयामों में मान्य है। प्रत्येक मामले में, ग्रेडिएंट और वेक्टर फ़ील्ड घटकों के क्रम को आपस में नहीं बदला जाना चाहिए क्योंकि इसके परिणामस्वरूप एक अलग अंतर ऑपरेटर होगा:

$$\varepsilon_{ijk} A_j \nabla_k = A_i \nabla_j - A_j \nabla_i = 2 A_{[i} \nabla_{j]} $$ जो अदिश या सदिश क्षेत्रों पर कार्य कर सकता है।

अंत में, लाप्लासियन संचालिका को दो तरीकों से परिभाषित किया गया है, एक अदिश क्षेत्र के ग्रेडिएंट का विचलन $v$:

$$\nabla\cdot(\nabla \Phi) = \nabla_i (\nabla_i \Phi) $$ या ग्रेडिएंट ऑपरेटर का वर्ग, जो एक अदिश क्षेत्र पर कार्य करता है $B$ या एक वेक्टर फ़ील्ड $v$:

$$\begin{align} (\nabla\cdot\nabla) \Phi &= (\nabla_i \nabla_i) \Phi \\ (\nabla\cdot\nabla) \mathbf{A} &= (\nabla_i \nabla_i) \mathbf{A} \end{align}$$ भौतिकी और इंजीनियरिंग में, द्रव यांत्रिकी, न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण, विद्युत चुंबकत्व, ताप चालन और यहां तक ​​कि क्वांटम यांत्रिकी में ग्रेडिएंट, डाइवर्जेंस, कर्ल और लैप्लासियन ऑपरेटर अनिवार्य रूप से उत्पन्न होते हैं।

वेक्टर कैलकुलस पहचान वेक्टर डॉट और क्रॉस उत्पादों और संयोजनों के समान तरीके से प्राप्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, तीन आयामों में, दो वेक्टर फ़ील्ड के क्रॉस उत्पाद का कर्ल $F$ और $E$:

$$\begin{align} &\left[\nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B})\right]_i \\ {}={} &\varepsilon_{ijk} \nabla_j (\varepsilon_{k\ell m} A_\ell B_m) \\ {}={} &(\varepsilon_{ijk} \varepsilon_{\ell m k}) \nabla_j (A_\ell B_m) \\ {}={} &(\delta_{i\ell}\delta_{jm} - \delta_{im}\delta_{j\ell}) (B_m \nabla_j A_\ell + A_\ell \nabla_j B_m) \\ {}={} &(B_j \nabla_j A_i + A_i \nabla_j B_j) - (B_i \nabla_j A_j + A_j \nabla_j B_i) \\ {}={} &(B_j \nabla_j)A_i + A_i(\nabla_j B_j) - B_i (\nabla_j A_j ) - (A_j \nabla_j) B_i \\ {}={} &\left[(\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{A}(\nabla\cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla\cdot \mathbf{A}) - (\mathbf{A}\cdot \nabla) \mathbf{B} \right]_i \\ \end{align}$$ जहां उत्पाद नियम का उपयोग किया गया था, और पूरे अंतर ऑपरेटर के साथ आदान-प्रदान नहीं किया गया था $v$ या $B$. इस प्रकार:

$$ \nabla\times(\mathbf{A}\times\mathbf{B}) = (\mathbf{B} \cdot \nabla)\mathbf{A} + \mathbf{A}(\nabla \cdot \mathbf{B}) - \mathbf{B}(\nabla \cdot \mathbf{A}) - (\mathbf{A} \cdot \nabla) \mathbf{B} $$

टेन्सर कैलकुलस
कोई भी उच्च क्रम के टेंसरों पर परिचालन जारी रख सकता है। होने देना $J = x × p$ दूसरे क्रम के टेंसर फ़ील्ड को निरूपित करें, जो फिर से स्थिति वेक्टर पर निर्भर करता है $J$ और समय $t$.

उदाहरण के लिए, दो समकक्ष नोटेशन (क्रमशः डायडिक और टेंसर) में एक वेक्टर फ़ील्ड का ग्रेडिएंट है:

$$(\nabla \mathbf{A})_{ij} \equiv (\nabla \otimes \mathbf{A})_{ij} = \nabla_i A_j $$ जो दूसरे क्रम का एक टेंसर फ़ील्ड है।

एक टेंसर का विचलन है:

$$(\nabla \cdot \mathbf{T})_j = \nabla_i T_{ij} $$ जो एक सदिश क्षेत्र है. यह कॉन्टिनम यांत्रिकी में कॉन्टिनम यांत्रिकी में उत्पन्न होता है#गवर्निंग समीकरण|कॉची के गति के नियम - कॉची तनाव टेंसर का विचलन $B$ एक सदिश क्षेत्र है, जो द्रव पर कार्य करने वाले शारीरिक बलों से संबंधित है।

मानक टेंसर कैलकुलस से अंतर
कार्टेशियन टेंसर टेंसर बीजगणित के समान हैं, लेकिन यूक्लिडियन संरचना और आधार का प्रतिबंध सामान्य सिद्धांत की तुलना में कुछ सरलीकरण लाता है।

सामान्य टेंसर बीजगणित में प्रकार के सामान्य मिश्रित टेंसर होते हैं $Φ(r, t)$:

$$\mathbf{T} = T_{j_1 j_2 \cdots j_q}^{i_1 i_2 \cdots i_p} \mathbf{e}_{i_1 i_2 \cdots i_p}^{j_1 j_2 \cdots j_q} $$ आधार तत्वों के साथ:

$$\mathbf{e}_{i_1 i_2 \cdots i_p}^{j_1 j_2 \cdots j_q} = \mathbf{e}_{i_1}\otimes\mathbf{e}_{i_2}\otimes\cdots\mathbf{e}_{i_p}\otimes\mathbf{e}^{j_1}\otimes\mathbf{e}^{j_2}\otimes\cdots\mathbf{e}^{j_q}$$ घटक इसके अनुसार परिवर्तित होते हैं:

$$ \bar{T}_{\ell_1 \ell_2 \cdots \ell_q}^{k_1 k_2 \cdots k_p} = \mathsf{L}_{i_1}{}^{k_1} \mathsf{L}_{i_2}{}^{k_2} \cdots \mathsf{L}_{i_p}{}^{k_p} \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{\ell_1}{}^{j_1}\left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{\ell_2}{}^{j_2} \cdots \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{\ell_q}{}^{j_q} T_{j_1 j_2 \cdots j_q}^{i_1 i_2 \cdots i_p} $$ जहाँ तक आधारों की बात है:

$$ \bar{\mathbf{e}}_{k_1 k_2 \cdots k_p}^{\ell_1 \ell_2 \cdots \ell_q} = \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{k_1}{}^{i_1} \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{k_2}{}^{i_2} \cdots \left(\boldsymbol{\mathsf{L}}^{-1}\right)_{k_p}{}^{i_p} \mathsf{L}_{j_1}{}^{\ell_1} \mathsf{L}_{j_2}{}^{\ell_2} \cdots \mathsf{L}_{j_q}{}^{\ell_q} \mathbf{e}_{i_1 i_2 \cdots i_p}^{j_1 j_2 \cdots j_q} $$ कार्टेशियन टेंसर के लिए, केवल क्रम $r$ यूक्लिडियन स्पेस में ऑर्थोनॉर्मल आधार के साथ टेंसर मायने रखता है, और सब कुछ $Φ$ सूचकांकों को कम किया जा सकता है। कार्टेशियन आधार तब तक अस्तित्व में नहीं है जब तक कि वेक्टर स्पेस में सकारात्मक-निश्चित मीट्रिक न हो, और इस प्रकार विशेष सापेक्षता संदर्भों में इसका उपयोग नहीं किया जा सकता है।

इतिहास
डायडिक टेंसर ऐतिहासिक रूप से दूसरे क्रम के टेंसर तैयार करने का पहला तरीका था, इसी तरह तीसरे क्रम के टेंसर के लिए ट्रायडिक टेंसर, इत्यादि। कार्टेशियन टेंसर टेंसर इंडेक्स नोटेशन का उपयोग करते हैं, जिसमें वैक्टर के सहप्रसरण और विरोधाभास को छिपाया जा सकता है और अक्सर इसे नजरअंदाज कर दिया जाता है, क्योंकि सूचकांकों को बढ़ाने और घटाने से घटक अपरिवर्तित रहते हैं।

यह भी देखें

 * टेंसर बीजगणित
 * टेन्सर कैलकुलस
 * वक्ररेखीय निर्देशांक में टेंसर
 * घूर्णन समूह

बाहरी संबंध

 * Cartesian Tensors
 * V. N. Kaliakin, Brief Review of Tensors, University of Delaware
 * R. E. Hunt, Cartesian Tensors, University of Cambridge