पाइथागोरस प्रमेय

गणित में, पाइथागोरस प्रमेय, या पाइथागोरस प्रमेय, एक  समकोण  त्रिभुज की तीन भुजाओं के बीच  यूक्लिडियन ज्यामिति  में एक मूलभूत संबंध है। इसमें कहा गया है कि वर्ग का क्षेत्रफल जिसकी भुजा  कर्ण  (समकोण के विपरीत भुजा) है,  कैथेटस  पर वर्गों के क्षेत्रों के योग के बराबर है। इस प्रमेय को पैरों की लंबाई a, b और कर्ण c से संबंधित एक  समीकरण  के रूप में लिखा जा सकता है, जिसे अक्सर पायथागॉरियन समीकरण कहा जाता है:
 * $$a^2 + b^2 = c^2 ,$$

प्रमेय का नाम प्राचीन ग्रीस  के दार्शनिक  पाइथागोरस  के नाम पर रखा गया है, जिनका जन्म लगभग 570 ईसा पूर्व हुआ था। प्रमेय कई अलग-अलग तरीकों से कई बार  गणितीय प्रमाण  रहा है - संभवतः किसी भी गणितीय प्रमेय के लिए सबसे अधिक। प्रमाण विविध हैं, जिनमें ज्यामितीय प्रमाण और बीजगणितीय प्रमाण दोनों शामिल हैं, जिनमें से कुछ हजारों साल पहले के हैं।

जब यूक्लिडियन स्पेस  को  विश्लेषणात्मक ज्यामिति  में कार्टेशियन समन्वय प्रणाली द्वारा दर्शाया जाता है, तो  यूक्लिडियन दूरी  पायथागॉरियन संबंध को संतुष्ट करती है: दो बिंदुओं के बीच की वर्ग दूरी बिंदुओं के बीच प्रत्येक समन्वय में अंतर के वर्गों के योग के बराबर होती है।

प्रमेय विभिन्न तरीकों से सामान्यीकरण हो सकता है: उच्च-आयामी रिक्त स्थान के लिए, गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति  के लिए, वस्तुओं के लिए जो सही त्रिभुज नहीं हैं, और उन वस्तुओं के लिए जो त्रिभुज नहीं हैं, लेकिन एन-आयामी | एन-आयामी ठोस हैं। पाइथागोरस प्रमेय ने गणितीय विक्षनरी के प्रतीक के रूप में गणित के बाहर रुचि को आकर्षित किया है: गूढ़ता # अंग्रेजी, करिश्मा, या बौद्धिक शक्ति; साहित्य, नाटकों, संगीत, गीतों, टिकटों और कार्टूनों में लोकप्रिय संदर्भ प्रचुर मात्रा में हैं।

प्रमेय के अन्य रूप
यदि c कर्ण की लंबाई  को दर्शाता है और a और b एक समकोण त्रिभुज की टांगों की दो लंबाई को दर्शाता है, तो पाइथागोरस प्रमेय को पाइथागोरस समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$a^2 + b^2 = c^2 .$$

यदि समकोण त्रिभुज की केवल भुजाओं की लंबाई ज्ञात हो लेकिन कर्ण की नहीं, तो कर्ण की लंबाई की गणना समीकरण से की जा सकती है
 * $$ c = \sqrt{a^2 + b^2}. $$

यदि कर्ण की लंबाई और एक पैर की लंबाई ज्ञात हो, तो दूसरे पैर की लंबाई की गणना इस प्रकार की जा सकती है
 * $$a = \sqrt{c^2 - b^2} $$

या
 * $$b = \sqrt{c^2 - a^2}. $$

इस प्रमेय का एक सामान्यीकरण कोसाइन का नियम है, जो अन्य दो भुजाओं की लंबाई और उनके बीच के कोण को देखते हुए किसी भी त्रिभुज की किसी भी भुजा की लंबाई की गणना  की अनुमति देता है। यदि अन्य भुजाओं के बीच का कोण समकोण है, तो कोज्या का नियम पाइथागोरस समीकरण में बदल जाता है।

पुनर्व्यवस्था प्रमाण
एक पुनर्व्यवस्था प्रमाण में, दो वर्गों का उपयोग किया जाता है जिनकी भुजाओं का माप होता है $$a + b$$ और जिसमें चार समकोण त्रिभुज हैं जिनकी भुजाएँ a, b और c हैं, जिनमें कर्ण c है। दाईं ओर के वर्ग में, त्रिकोणों को इस तरह रखा जाता है कि वर्ग के कोने त्रिभुजों में समकोण के कोनों के अनुरूप होते हैं, केंद्र में एक वर्ग बनाते हैं जिसकी भुजाएँ लंबाई  c  होती हैं। प्रत्येक बाहरी वर्ग का क्षेत्रफल है $$(a+b)^2$$ साथ ही $$2ab + c^2$$, साथ $$2ab$$ चार त्रिभुजों के कुल क्षेत्रफल का प्रतिनिधित्व करता है। बाईं ओर बड़े वर्ग के भीतर, चार त्रिभुजों को दो समान आयत बनाने के लिए ले जाया जाता है जिनकी लंबाई a और b' होती है। इन आयतों ने अपनी नई स्थिति में अब दो नए वर्गों को चित्रित किया है, जिनमें से एक की लंबाई a नीचे-बाएँ कोने में बनती है, और दूसरा वर्ग पार्श्व लंबाई b ऊपरी-दाएँ कोने में बनता है। इस नई स्थिति में, इस बाईं ओर का क्षेत्रफल अब एक वर्ग है  $$(a+b)^2$$ साथ ही  $$2ab + a^2 + b^2 $$क्यू.ई.डी.|। चूंकि दोनों वर्गों का क्षेत्रफल है $$(a+b)^2$$ यह इस प्रकार है कि वर्ग क्षेत्र के अन्य माप भी एक दूसरे के बराबर हैं जैसे कि $$2ab + c^2$$ = $$2ab + a^2 + b^2 $$. समीकरण के दोनों ओर से चार त्रिभुजों के क्षेत्रफल को हटा देने पर जो शेष रह जाता है वह है $$a^2 + b^2 = c^2 .$$ एक अन्य प्रमाण में दूसरे बॉक्स में आयतों को भी इस तरह रखा जा सकता है कि दोनों में एक कोना हो जो वर्ग के लगातार कोनों के अनुरूप हो। इस तरह वे दो बक्से भी बनाते हैं, इस बार लगातार कोनों में, क्षेत्रों के साथ $$ a^2 $$ तथा $$ b^2 $$जो फिर से क्षेत्रफल के साथ दूसरे वर्ग की ओर ले जाएगा $$2ab + a^2 + b^2 $$.

अंग्रेजी गणितज्ञ थॉमस हीथ (क्लासिकिस्ट)  ने यूक्लिड | यूक्लिड के यूक्लिड के तत्वों में प्रस्ताव I.47 पर अपनी टिप्पणी में यह प्रमाण दिया है, और जर्मन गणितज्ञों  कार्ल एंटोन ब्रेटश्नाइडर  और  हरमन हैंकेल  के प्रस्तावों का उल्लेख करते हैं कि पाइथागोरस इस प्रमाण को जानते होंगे। हीथ स्वयं पाइथागोरस के प्रमाण के लिए एक अलग प्रस्ताव का समर्थन करता है, लेकिन अपनी चर्चा की शुरुआत से स्वीकार करता है कि पाइथागोरस के बाद पहली पांच शताब्दियों से संबंधित ग्रीक साहित्य में इस या किसी अन्य विशेष महान ज्यामितीय खोज को निर्दिष्ट करने वाला कोई बयान नहीं है। हाल की विद्वता ने गणित के निर्माता के रूप में पाइथागोरस की किसी भी प्रकार की भूमिका पर बढ़ते हुए संदेह को बढ़ा दिया है, हालांकि इस बारे में बहस जारी है।

बीजगणितीय प्रमाण
आरेख के निचले भाग में दिखाए गए अनुसार, पक्ष सी के साथ एक वर्ग के चारों ओर सममित रूप से व्यवस्थित एक ही त्रिभुज की चार प्रतियों का उपयोग करके प्रमेय को बीजगणितीय रूप से सिद्ध किया जा सकता है। इसका परिणाम पक्ष के साथ एक बड़े वर्ग में होता है a + b और क्षेत्र (a + b)2. चार त्रिभुज और वर्गाकार भुजा c का क्षेत्रफल बड़े वर्ग के बराबर होना चाहिए,
 * $$(b+a)^2 = c^2 + 4\frac{ab}{2} = c^2+2ab,$$

दे रही है


 * $$c^2 = (b+a)^2 - 2ab = b^2+2ab+a^2-2ab = a^2 + b^2.$$

एक समान प्रमाण एक समकोण त्रिभुज की चार प्रतियों का उपयोग करता है जिसमें भुजाएँ a, b और c होती हैं, जो एक वर्ग के अंदर भुजा c के साथ व्यवस्थित होती हैं जैसा कि आरेख के शीर्ष आधे भाग में होता है। त्रिकोण क्षेत्र के समान हैं $$\tfrac12ab$$, जबकि छोटे वर्ग की भुजा होती है b − a और क्षेत्र (b − a)2. इसलिए बड़े वर्ग का क्षेत्रफल है
 * $$(b-a)^2+4\frac{ab}{2} = (b-a)^2+2ab = b^2-2ab+a^2+2ab = a^2+b^2. $$

लेकिन यह एक वर्ग है जिसकी भुजा c और क्षेत्रफल c है2, सो


 * $$c^2 = a^2 + b^2. $$

प्रमेय के अन्य प्रमाण
इस प्रमेय के किसी भी अन्य की तुलना में अधिक ज्ञात प्रमाण हो सकते हैं (कानून (सिद्धांत) # द्विघात पारस्परिकता  के अन्य क्षेत्र उस भेद के लिए एक अन्य दावेदार हैं); पुस्तक द पाइथागोरियन प्रस्ताव में 370 प्रमाण हैं।

समरूप त्रिभुजों का प्रयोग करके प्रमाण
यह प्रमाण तीन समरूपता (ज्यामिति) त्रिभुजों की भुजाओं की आनुपातिकता (गणित)  पर आधारित है, अर्थात इस तथ्य पर कि त्रिभुजों के आकार की परवाह किए बिना समरूप त्रिभुजों की किन्हीं दो संगत भुजाओं का  अनुपात  समान है।

मान लीजिए कि ABC एक समकोण त्रिभुज का प्रतिनिधित्व करता है, जिसका समकोण C पर स्थित है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। बिंदु C से ऊँचाई (त्रिकोण) बनाएँ, और H को भुजा AB के साथ इसका प्रतिच्छेदन कहें। बिंदु H, कर्ण c की लंबाई को भागों d और e में विभाजित करता है। नया त्रिभुज, ACH, त्रिभुज ABC के लिए समानता (ज्यामिति)  है, क्योंकि दोनों में एक समकोण है (ऊँचाई की परिभाषा के अनुसार), और वे A पर कोण साझा करते हैं, जिसका अर्थ है कि तीसरा कोण दोनों त्रिभुजों में समान होगा साथ ही, आकृति में θ के रूप में चिह्नित। इसी तरह के तर्क से, त्रिभुज सीबीएच भी एबीसी के समान है। त्रिभुजों की समानता के प्रमाण के लिए त्रिभुज अभिधारणा की आवश्यकता होती है: एक त्रिभुज में कोणों का योग दो समकोण होता है, और  समानांतर अभिधारणा  के तुल्य होता है। त्रिभुजों की समानता संगत भुजाओं के अनुपातों की समानता की ओर ले जाती है:
 * $$ \frac{BC}{AB}=\frac{BH}{BC} \text{ and }\frac{AC}{AB}=\frac{AH}{AC}.$$

पहला परिणाम कोण θ के कोज्या  के बराबर है, जबकि दूसरा परिणाम उनकी साइन के बराबर है।

इन अनुपातों को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$BC^2=AB\times BH\text{ and } AC^2=AB\times AH. $$

इन दो समानताओं को सारांशित करने का परिणाम है
 * $$BC^2+AC^2=AB\times BH+AB\times AH=AB(AH+BH)=AB^2 ,$$

जो, सरलीकरण के बाद, पाइथागोरस प्रमेय को प्रदर्शित करता है:
 * $$BC^2+AC^2=AB^2.$$

इतिहास में इस प्रमाण की भूमिका बहुत अटकलों का विषय है। अंतर्निहित प्रश्न यह है कि यूक्लिड ने इस प्रमाण का उपयोग क्यों नहीं किया, बल्कि दूसरे का आविष्कार किया। एक अनुमान  यह है कि समान त्रिभुजों के प्रमाण में अनुपात का एक सिद्धांत शामिल है, एक विषय जिस पर बाद में तत्वों में चर्चा नहीं की गई थी, और यह कि अनुपात के सिद्धांत को उस समय और विकास की आवश्यकता थी।

यूक्लिड का प्रमाण
रूपरेखा में, यहाँ बताया गया है कि यूक्लिड  के यूक्लिड के तत्वों में प्रमाण कैसे आगे बढ़ता है। बड़े वर्ग को बाएँ और दाएँ आयत में विभाजित किया गया है। एक त्रिभुज का निर्माण किया जाता है जिसमें बाएँ आयत का आधा क्षेत्रफल होता है। फिर एक अन्य त्रिभुज का निर्माण किया जाता है जिसमें सबसे बाईं ओर वर्ग का आधा क्षेत्रफल होता है। इन दो त्रिभुजों को  सर्वांगसमता (ज्यामिति)  के रूप में दिखाया गया है, जिससे यह सिद्ध होता है कि इस वर्ग का क्षेत्रफल वही है जो बाएँ आयत का है। इस तर्क के बाद सही आयत और शेष वर्ग के लिए एक समान संस्करण आता है। कर्ण पर वर्ग को सुधारने के लिए दो आयतों को एक साथ रखने पर, इसका क्षेत्रफल अन्य दो वर्गों के क्षेत्रफल के योग के बराबर होता है। विवरण का पालन करें।

मान लीजिए कि A, B, C एक समकोण त्रिभुज का शीर्ष (ज्यामिति) है, जिसमें A पर एक समकोण है। कर्ण पर वर्ग में कर्ण के विपरीत A से एक लंबवत को गिराएं। वह रेखा कर्ण पर स्थित वर्ग को दो आयतों में विभाजित करती है, जिनमें से प्रत्येक का क्षेत्रफल पैरों पर दो वर्गों में से एक के समान होता है।

औपचारिक प्रमाण के लिए, हमें चार प्राथमिक लेम्मा (गणित)  की आवश्यकता होती है:
 * 1) यदि दो त्रिभुजों में एक की दो भुजाएँ दूसरे की दो भुजाओं के बराबर हों, प्रत्येक की प्रत्येक भुजाएँ, और उन भुजाओं द्वारा सम्मिलित कोण बराबर हों, तो त्रिभुज सर्वांगसम होते हैं (भुजा कोण भुजा|भुजा-कोण-भुजा)।
 * 2) एक त्रिभुज का क्षेत्रफल समान आधार और समान ऊँचाई वाले किसी भी समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का आधा होता है।
 * 3) एक आयत का क्षेत्रफल दो आसन्न भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है।
 * 4) एक वर्ग का क्षेत्रफल उसकी दो भुजाओं के गुणनफल के बराबर होता है (3 से अनुसरण करता है)।

इसके बाद, प्रत्येक शीर्ष वर्ग एक त्रिभुज से संबंधित होता है जो एक अन्य त्रिभुज से संबंधित होता है जो बदले में निचले वर्ग को बनाने वाले दो आयतों में से एक से संबंधित होता है।

प्रमाण इस प्रकार है:
 * 1) मान लीजिए ACB एक समकोण त्रिभुज है जिसमें समकोण CAB है।
 * BC, AB और CA में से प्रत्येक पर, उसी क्रम में वर्ग, CBDE, BAGF और ACIH बनाए गए हैं। वर्गों के निर्माण के लिए यूक्लिड में तत्काल पूर्ववर्ती प्रमेयों की आवश्यकता होती है, और यह समानांतर अभिधारणा पर निर्भर करता है।
 * 1) A से BD और CE के समांतर एक रेखा खींचिए। यह BC और DE को क्रमशः K और L पर लंबवत रूप से काटेगा।
 * 2) CF और AD को मिलाकर त्रिभुज BCF और BDA बनाएं।
 * 3) कोण सीएबी और बीएजी दोनों समकोण हैं; इसलिए C, A, और G रेखा (ज्यामिति)#संरेख बिंदु हैं।
 * 4) Angles CBD और FBA दोनों समकोण हैं; इसलिए कोण एबीडी कोण एफबीसी के बराबर है, क्योंकि दोनों एक समकोण और कोण एबीसी का योग हैं।
 * 5) चूंकि AB, FB के बराबर है, BD, BC के बराबर है और कोण ABD, कोण FBC के बराबर है, त्रिभुज ABD को त्रिभुज FBC के सर्वांगसम होना चाहिए।
 * 6) चूंकि A-K-L एक सीधी रेखा है, BD के समानांतर है, तो आयत BDLK में त्रिभुज ABD का क्षेत्रफल दोगुना है क्योंकि वे आधार BD साझा करते हैं और समान ऊँचाई BK है, अर्थात, उनके सामान्य आधार के लिए सामान्य रेखा, समानांतर रेखाओं BD को जोड़ती है और एएल। (लेम्मा 2)
 * 7) चूंकि C, A और G के साथ संरेख है, और यह रेखा FB के समानांतर है, तो वर्ग BAGF का क्षेत्रफल त्रिभुज FBC से दोगुना होना चाहिए।
 * 8) इसलिए, आयत BDLK का क्षेत्रफल वही होना चाहिए जो वर्ग BAGF = AB 2.
 * 9) आकृति के दूसरी तरफ चरण 3 से 10 को लागू करके, यह इसी तरह दिखाया जा सकता है कि आयत CKLE का क्षेत्रफल वर्ग ACIH = AC के समान ही होना चाहिए 2.
 * 10) इन दोनों परिणामों को जोड़ने पर AB2 + एसी2 = बीडी × बीके + केएल × केसी
 * 11) चूँकि BD = KL, BD × BK + KL × KC = BD(BK + KC) = BD × BC
 * 12) इसलिए, एबी2 + एसी2 = ई.पू2, क्योंकि CBDE एक वर्ग है।

यह प्रमाण, जो यूक्लिड के तत्वों में पुस्तक 1 ​​में प्रस्ताव 47 के रूप में प्रकट होता है, दर्शाता है कि कर्ण पर वर्ग का क्षेत्रफल अन्य दो वर्गों के क्षेत्रफल का योग है। द्वारा यह त्रिभुजों की समानता के प्रमाण से काफी अलग है, जिसे पाइथागोरस द्वारा उपयोग किए जाने वाले प्रमाण के रूप में माना जाता है।

विच्छेदन और पुनर्व्यवस्था द्वारा प्रमाण
पुनर्व्यवस्था द्वारा एक और मध्य एनीमेशन द्वारा दिया गया है। क्षेत्रफल c. के साथ एक बड़ा वर्ग बनता है2, ए, बी और सी भुजाओं वाले चार समान समकोण त्रिभुजों से, एक छोटे केंद्रीय वर्ग के चारों ओर फिट किया गया। फिर त्रिभुजों को घुमाकर भुजाओं a और b से दो आयत बनाए जाते हैं। इन आयतों के साथ छोटे वर्ग को मिलाने से क्षेत्रफल के दो वर्ग बनते हैं2 और बी2, जिसका क्षेत्रफल प्रारंभिक बड़े वर्ग के समान होना चाहिए। तीसरा, सबसे दाहिना चित्र भी एक प्रमाण देता है। ऊपरी दो वर्गों को नीले और हरे रंग की छायांकन द्वारा दिखाए गए टुकड़ों में विभाजित किया जाता है, जिन्हें पुन: व्यवस्थित करने पर कर्ण पर निचले वर्ग में फिट करने के लिए बनाया जा सकता है - या इसके विपरीत बड़े वर्ग को विभाजित किया जा सकता है जैसा कि अन्य दो को भरने वाले टुकड़ों में दिखाया गया है. एक आकृति को टुकड़ों में काटने और दूसरी आकृति प्राप्त करने के लिए उन्हें पुनर्व्यवस्थित करने का यह तरीका विच्छेदन समस्या  कहलाता है। इससे पता चलता है कि बड़े वर्ग का क्षेत्रफल दो छोटे वर्ग के बराबर है।

पुनर्व्यवस्था के बिना विच्छेदन द्वारा आइंस्टीन का प्रमाण
अल्बर्ट आइंस्टीन ने विच्छेदन द्वारा एक प्रमाण दिया जिसमें टुकड़ों को स्थानांतरित करने की आवश्यकता नहीं है। कर्ण पर एक वर्ग और पैरों पर दो वर्गों का उपयोग करने के बजाय, कोई भी अन्य आकार का उपयोग कर सकता है जिसमें कर्ण शामिल है, और दो समानता (ज्यामिति) आकार जिनमें प्रत्येक में कर्ण के बजाय दो पैरों में से एक शामिल है (#समान आंकड़े देखें) तीन पक्ष)। आइंस्टाइन के प्रमाण में कर्ण को शामिल करने वाली आकृति ही समकोण त्रिभुज है। विच्छेदन में त्रिभुज के समकोण के शीर्ष से कर्ण तक एक लंब गिराना शामिल है, इस प्रकार पूरे त्रिभुज को दो भागों में विभाजित किया जाता है। उन दो भागों का आकार मूल समकोण त्रिभुज के समान है, और उनके कर्ण के रूप में मूल त्रिभुज के पैर हैं, और उनके क्षेत्रों का योग मूल त्रिभुज का है। चूँकि एक समकोण त्रिभुज के क्षेत्रफल का उसके कर्ण के वर्ग से अनुपात समान त्रिभुजों के लिए समान होता है, इसलिए तीन त्रिभुजों के क्षेत्रों के बीच का संबंध बड़े त्रिभुज की भुजाओं के वर्गों के लिए भी लागू होता है।

क्षेत्र-संरक्षण कतरनी द्वारा सबूत
जैसा कि संलग्न एनीमेशन में दिखाया गया है, क्षेत्र-संरक्षण शीयर_मैपिंग और अनुवाद कर्ण पर वर्ग पर समकोण से सटे पक्षों पर वर्गों को बदल सकते हैं, साथ में इसे ठीक से कवर कर सकते हैं। प्रत्येक कतरनी आधार और ऊंचाई को अपरिवर्तित छोड़ देती है, इस प्रकार क्षेत्र को भी अपरिवर्तित छोड़ देती है। अनुवाद भी क्षेत्र को अपरिवर्तित छोड़ देते हैं, क्योंकि वे आकृतियों को बिल्कुल भी नहीं बदलते हैं। प्रत्येक वर्ग को पहले एक समांतर चतुर्भुज में और फिर एक आयत में ढाला जाता है जिसे कर्ण पर वर्ग के एक भाग पर अनुवादित किया जा सकता है।

बीजगणितीय प्रमाण
भविष्य के अमेरिकी राष्ट्रपति जेम्स ए. गारफील्ड (तब एक अमेरिकी प्रतिनिधि) द्वारा एक संबंधित प्रमाण प्रकाशित किया गया था (आरेख देखें)। एक वर्ग के बजाय यह एक चतुर्भुज का उपयोग करता है, जो उपरोक्त प्रमाणों के दूसरे में वर्ग से आंतरिक वर्ग के एक विकर्ण के साथ समद्विभाजित करके बनाया जा सकता है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है।  समलम्ब  # क्षेत्र की गणना वर्ग के आधे क्षेत्र के रूप में की जा सकती है, अर्थात


 * $$\frac{1}{2}(b+a)^2.$$

आंतरिक वर्ग समान रूप से आधा है, और केवल दो त्रिकोण हैं, इसलिए सबूत ऊपर की तरह आगे बढ़ता है सिवाय एक कारक के $$\frac{1}{2}$$, जिसे परिणाम देने के लिए दो से गुणा करके हटा दिया जाता है।

अंतरों का उपयोग करके सबूत
पाइथागोरस प्रमेय तक यह अध्ययन करके पहुँचा जा सकता है कि कैसे एक पक्ष में परिवर्तन कर्ण में परिवर्तन उत्पन्न करता है और कलन का उपयोग करता है। 

 त्रिभुज ABC एक समकोण त्रिभुज है, जैसा कि आरेख के ऊपरी भाग में दिखाया गया है, जिसमें BC कर्ण है। उसी समय त्रिभुज की लंबाई को मापा जाता है जैसा कि दिखाया गया है, लंबाई y के कर्ण के साथ, लंबाई x की भुजा AC और लंबाई a की भुजा AB, जैसा कि निचले आरेख भाग में देखा गया है।

यदि साइड AC को D की ओर थोड़ा बढ़ा कर x को एक छोटी राशि dx से बढ़ाया जाता है, तो y भी dy से बढ़ता है। ये एक त्रिभुज, CDE की दो भुजाएँ बनाते हैं, जो (E के साथ इसलिए CE कर्ण के लंबवत है) लगभग ABC के समान एक समकोण त्रिभुज है। इसलिए, उनके पक्षों का अनुपात समान होना चाहिए, अर्थात:


 * $$ \frac{dy}{dx}=\frac xy.$$

इसे फिर से लिखा जा सकता है $$y \, dy=x \, dx$$, जो एक अंतर समीकरण  है जिसे प्रत्यक्ष एकीकरण द्वारा हल किया जा सकता है:
 * $$\int y \, dy=\int x \, dx\,,$$

दे रही है
 * $$y^2=x^2+C.$$

समीकरण देने के लिए x = 0, y = a से अचर घटाया जा सकता है
 * $$y^2 = x^2 + a^2.$$

यह एक औपचारिक की तुलना में एक सहज प्रमाण अधिक है: यदि dx और dy के स्थान पर उचित सीमा का उपयोग किया जाता है तो इसे और अधिक कठोर बनाया जा सकता है।

बातचीत
प्रमेय # प्रमेय का विलोम भी सत्य है: किन्हीं तीन सकारात्मक संख्याओं a, b, और c के लिए ऐसा है कि a2 + b2 = c2, एक त्रिभुज मौजूद है जिसकी भुजाएँ a, b और c हैं, और ऐसे प्रत्येक त्रिभुज की लंबाई a और b की भुजाओं के बीच एक समकोण होता है। एक वैकल्पिक कथन है:

"किसी भी त्रिभुज की भुजाओं a, b, c, if के लिए a2 + b2 = c2, तो a और b के बीच का कोण 90° मापता है।"

यह आक्षेप यूक्लिड के तत्वों (पुस्तक I, प्रस्ताव 48) में भी प्रकट होता है: यदि एक त्रिभुज में एक भुजा का वर्ग त्रिभुज की शेष दो भुजाओं के वर्गों के योग के बराबर होता है, तो शेष दो भुजाओं द्वारा निहित कोण त्रिभुज का सही है। यह कोसाइन के कानून का उपयोग करके या निम्नानुसार सिद्ध किया जा सकता है:

मान लीजिए कि ABC भुजाओं की लंबाई a, b और c के साथ एक त्रिभुज है a2 + b2 = c2. एक दूसरे त्रिभुज की रचना कीजिए, जिसकी लंबाई a और b हो, जिसमें एक समकोण हो। पाइथागोरस प्रमेय से, यह इस प्रकार है कि इस त्रिभुज के कर्ण की लंबाई c =. है $\sqrt{a^{2} + b^{2}}$, पहले त्रिभुज के कर्ण के समान। चूँकि दोनों त्रिभुजों की भुजाएँ समान लंबाई a, b और c हैं, इसलिए त्रिभुज सर्वांगसमता (ज्यामिति) हैं और उनके समान कोण होने चाहिए। इसलिए, मूल त्रिभुज में लंबाई a और b की भुजाओं के बीच का कोण एक समकोण है।

इसके विपरीत का उपरोक्त प्रमाण पाइथागोरस प्रमेय का ही उपयोग करता है। पाइथागोरस प्रमेय को ग्रहण किए बिना भी विलोम सिद्ध किया जा सकता है। पाइथागोरस प्रमेय के विलोम का एक परिणाम  यह निर्धारित करने का एक सरल साधन है कि त्रिभुज सही है, अधिक है, या न्यून है, इस प्रकार है। माना c को तीन भुजाओं में से सबसे लंबा चुना गया है और a + b > c (अन्यथा त्रिभुज असमानता के अनुसार कोई त्रिभुज नहीं है)। निम्नलिखित कथन लागू होते हैं:
 * यदि a2 + b2 = c2, फिर सही त्रिकोण।
 * यदि a2 + b2 > c2, फिर तीव्र त्रिभुज।
 * यदि a2 + b2 < c2, फिर तीव्र और अधिक त्रिभुज।

Edsger W. Dijkstra ने इस भाषा में तीव्र, दाएं और अधिक त्रिभुज के बारे में इस प्रस्ताव को बताया है:


 * sgn(α + β − γ) = sgn(a2 + b2 − c2),

जहाँ α भुजा a के विपरीत कोण है, β भुजा b के विपरीत कोण है, भुजा c के विपरीत कोण है, और sgn संकेत फलन है।

पायथागॉरियन ट्रिपल
एक पायथागॉरियन ट्रिपल में तीन सकारात्मक पूर्णांक ए, बी, और सी होते हैं, जैसे कि a2 + b2 = c2. दूसरे शब्दों में, एक पायथागॉरियन ट्रिपल एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है जहाँ तीनों भुजाओं की पूर्णांक लंबाई होती है। ऐसा त्रिगुण आमतौर पर लिखा जाता है (a, b, c). कुछ प्रसिद्ध उदाहरण हैं (3, 4, 5) तथा (5, 12, 13). एक आदिम पाइथागोरस त्रिक वह है जिसमें a, b और c सहअभाज्य हैं (a, b और c का सबसे बड़ा समापवर्तक 1 ​​है)।

निम्नलिखित 100 से कम मान वाले आदिम पायथागॉरियन ट्रिपल की एक सूची है:


 * (3, 4, 5), (5, 12, 13), (7, 24, 25), (8, 15, 17), (9, 40, 41), (11, 60, 61), (12, 35, 37), (13, 84, 85), (16, 63, 65), (20, 21, 29), (28, 45, 53), (33, 56, 65), (36, 77, 85), (39, 80, 89), (48, 55, 73), (65, 72, 97)

उलटा पायथागॉरियन प्रमेय
भुजाओं वाला एक समकोण त्रिभुज दिया है $$a,b,c$$ और ऊंचाई (त्रिकोण) $$d$$ (समकोण से एक रेखा और कर्ण के लंबवत $$c$$) पाइथागोरस प्रमेय है,
 * $$a^2+b^2 = c^2$$

जबकि व्युत्क्रम पाइथागोरस प्रमेय दो कैथेटस से संबंधित है $$a,b$$ ऊंचाई तक $$d$$,
 * $$\frac1{a^2}+\frac1{b^2} = \frac1{d^2}$$

समीकरण को रूपांतरित किया जा सकता है,
 * $$\frac1{(xz)^2}+\frac1{(yz)^2} = \frac1{(xy)^2}$$

कहाँ पे $$x^2+y^2=z^2$$ किसी भी अशून्य वास्तविक संख्या  के लिए $$x,y,z$$. अगर $$a,b,d$$ पूर्णांक  होना है, सबसे छोटा समाधान $$a>b>d$$ तब है
 * $$\frac1{20^2}+\frac1{15^2} = \frac1{12^2}$$

सबसे छोटे पायथागॉरियन ट्रिपल का उपयोग करना $$3,4,5$$. पारस्परिक पाइथागोरस प्रमेय ऑप्टिक समीकरण  का एक विशेष मामला है
 * $$\frac1{p}+\frac1{q} = \frac1{r}$$

जहाँ हर वर्गाकार हैं और एक समकोण त्रिभुज के लिए भी जिसकी भुजाएँ $$p,q,r$$ वर्ग संख्याएँ हैं।

अतुलनीय लंबाई
पायथागॉरियन प्रमेय के परिणामों में से एक यह है कि रेखा खंड जिनकी लंबाई कमेनसुरेबिलिटी (गणित) है (इसलिए जिसका अनुपात एक परिमेय संख्या  नहीं है) का निर्माण  कम्पास और सीधा निर्माण  का उपयोग करके किया जा सकता है। पाइथागोरस का प्रमेय अतुलनीय लंबाई के निर्माण को सक्षम बनाता है क्योंकि त्रिभुज का कर्ण  वर्गमूल  संक्रिया द्वारा भुजाओं से संबंधित होता है।

दायीं ओर की आकृति दर्शाती है कि रेखाखंडों का निर्माण कैसे किया जाता है जिनकी लंबाई किसी धनात्मक पूर्णांक के वर्गमूल के अनुपात में होती है। प्रत्येक त्रिभुज की एक भुजा (लेबल 1 ) होती है जो मापन के लिए चुनी गई इकाई होती है। प्रत्येक समकोण त्रिभुज में, पाइथागोरस प्रमेय इस इकाई के संदर्भ में कर्ण की लंबाई स्थापित करता है। यदि एक कर्ण एक सकारात्मक पूर्णांक के वर्गमूल द्वारा इकाई से संबंधित है जो एक पूर्ण वर्ग नहीं है, तो यह इकाई के साथ असंगत लंबाई का अहसास है, जैसे कि, ,. अधिक विवरण के लिए, द्विघात अपरिमेय  देखें।

अतुलनीय लंबाई पाइथागोरस स्कूल की संख्याओं की अवधारणा के साथ केवल पूर्ण संख्या के रूप में विरोधाभासी है। पाइथागोरस स्कूल ने एक सामान्य सबयूनिट के पूर्णांक गुणकों की तुलना करके अनुपात का अध्ययन किया। एक किंवदंती के अनुसार, तर्कहीन या असंगत के अस्तित्व को ज्ञात करने के लिए हिपपासस  (लगभग 470 ईसा पूर्व) समुद्र में डूब गया था।

जटिल संख्या
किसी भी सम्मिश्र संख्या के लिए
 * $$z = x + iy,$$

निरपेक्ष मान या मापांक द्वारा दिया जाता है
 * $$r = |z|=\sqrt{x^2 + y^2}.$$

तो तीन राशियाँ, r, x और y पाइथागोरस समीकरण द्वारा संबंधित हैं,
 * $$r^2 = x^2 + y^2.$$

ध्यान दें कि r को एक धनात्मक संख्या या शून्य के रूप में परिभाषित किया गया है लेकिन x और y ऋणात्मक और धनात्मक दोनों हो सकते हैं। ज्यामितीय रूप से r, शून्य से z की दूरी या सम्मिश्र तल में मूल बिंदु O है।

इसे दो बिंदुओं के बीच की दूरी ज्ञात करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, z1 और जेड2 कहो। आवश्यक दूरी द्वारा दी गई है
 * $$|z_1 - z_2|=\sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2},$$

इसलिए फिर से वे पाइथागोरस समीकरण के एक संस्करण से संबंधित हैं,
 * $$|z_1 - z_2|^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2.$$

यूक्लिडियन दूरी
कार्तीय निर्देशांक में दूरी सूत्र पाइथागोरस प्रमेय से लिया गया है। यदि (x1, y1) तथा (x2, y2) समतल में बिंदु हैं, तो उनके बीच की दूरी, जिसे यूक्लिडियन दूरी भी कहा जाता है, द्वारा दिया जाता है


 * $$ \sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2}. $$

अधिक आम तौर पर, यूक्लिडियन अंतरिक्ष में|यूक्लिडियन एन-स्पेस, दो बिंदुओं के बीच यूक्लिडियन दूरी, $$A\,=\,(a_1,a_2,\dots,a_n)$$ तथा $$B\,=\,(b_1,b_2,\dots,b_n)$$, पाइथागोरस प्रमेय के सामान्यीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$\sqrt{(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2} = \sqrt{\sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2}.$$

यदि यूक्लिडियन दूरी के बजाय, इस मान के वर्ग (वर्ग यूक्लिडियन दूरी, या SED) का उपयोग किया जाता है, तो परिणामी समीकरण वर्गमूल से बचा जाता है और निर्देशांक के SED का योग होता है:


 * $$(a_1-b_1)^2 + (a_2-b_2)^2 + \cdots + (a_n-b_n)^2 = \sum_{i=1}^n (a_i-b_i)^2.$$

वर्गाकार रूप दोनों बिंदुओं का एक चिकना, उत्तल कार्य है, और व्यापक रूप से अनुकूलन सिद्धांत  और सांख्यिकी में उपयोग किया जाता है, जो  कम से कम वर्गों  का आधार बनता है।

अन्य समन्वय प्रणालियों में यूक्लिडियन दूरी
यदि कार्टेशियन निर्देशांक का उपयोग नहीं किया जाता है, उदाहरण के लिए, यदि ध्रुवीय निर्देशांक दो आयामों में उपयोग किए जाते हैं या, अधिक सामान्य शब्दों में, यदि वक्रीय निर्देशांक  का उपयोग किया जाता है, तो यूक्लिडियन दूरी को व्यक्त करने वाले सूत्र पाइथागोरस प्रमेय की तुलना में अधिक जटिल होते हैं, लेकिन इससे प्राप्त किया जा सकता है यह। एक विशिष्ट उदाहरण जहां दो बिंदुओं के बीच की सीधी रेखा की दूरी को वक्रीय निर्देशांक में परिवर्तित किया जाता है, उसे लेजेंड्रे बहुपद # भौतिकी में लीजेंड्रे बहुपद के अनुप्रयोग में पाया जा सकता है। पाइथागोरस के प्रमेय का उपयोग करके सूत्रों की खोज की जा सकती है, जो कि कार्टेशियन निर्देशांक के वक्रीय निर्देशांक से संबंधित समीकरणों के साथ है। उदाहरण के लिए, ध्रुवीय निर्देशांक (r, θ) के रूप में पेश किया जा सकता है:


 * $$ x = r \cos \theta, \ y = r \sin \theta.$$

फिर स्थानों के साथ दो बिंदु (r1, θ1) तथा (r2, θ2) दूरी s द्वारा अलग किए गए हैं:


 * $$s^2 = (x_1 - x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 = (r_1 \cos \theta_1 -r_2 \cos \theta_2 )^2 + (r_1 \sin \theta_1 -r_2 \sin \theta_2)^2.$$

वर्गों और संयोजन शर्तों को निष्पादित करते हुए, कार्तीय निर्देशांक में दूरी के लिए पाइथागोरियन सूत्र ध्रुवीय निर्देशांक में अलगाव का उत्पादन करता है:
 * $$\begin{align}s^2 &= r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \left( \cos \theta_1 \cos \theta_2 +\sin \theta_1 \sin \theta_2 \right)\\

&= r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos \left( \theta_1 - \theta_2\right)\\ &=r_1^2 +r_2^2 -2 r_1 r_2 \cos \Delta \theta, \end{align}$$ त्रिकोणमितीय पहचानों की त्रिकोणमितीय सूची का उपयोग करना#उत्पाद-से-योग और योग-से-उत्पाद पहचान|उत्पाद-से-योग सूत्र। यह सूत्र कोसाइन का नियम है, जिसे कभी-कभी सामान्यीकृत पाइथागोरस प्रमेय कहा जाता है। इस परिणाम से, उस मामले के लिए जहां दो स्थानों की त्रिज्या समकोण पर है, संलग्न कोण और पाइथागोरस प्रमेय के संगत रूप को पुनः प्राप्त किया गया है: $$s^2 = r_1^2 + r_2^2.$$ पाइथागोरस प्रमेय, जो समकोण त्रिभुजों के लिए मान्य है, इसलिए कोसाइन के अधिक सामान्य नियम का एक विशेष मामला है, जो मनमाना त्रिभुजों के लिए मान्य है।

पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान
भुजाओं a, b और कर्ण c वाले समकोण त्रिभुज में, त्रिकोणमिति  भुजा a और कर्ण के बीच के कोण की ज्या और कोज्या को इस प्रकार निर्धारित करती है:
 * $$\sin \theta = \frac{b}{c}, \quad \cos \theta = \frac{a}{c}.$$

इससे यह निम्नानुसार है:


 * $$ {\cos}^2 \theta + {\sin}^2 \theta = \frac{a^2 + b^2}{c^2} = 1,$$

जहां अंतिम चरण पाइथागोरस के प्रमेय को लागू करता है। साइन और कोसाइन के बीच के इस संबंध को कभी-कभी मौलिक पाइथागोरस त्रिकोणमितीय पहचान कहा जाता है। समान त्रिभुजों में, त्रिभुजों के आकार की परवाह किए बिना भुजाओं के अनुपात समान होते हैं, और कोणों पर निर्भर करते हैं। नतीजतन, आकृति में, इकाई आकार के कर्ण के साथ त्रिकोण में आकार sin θ के विपरीत पक्ष और कर्ण की इकाइयों में आकार cos θ के आसन्न पक्ष हैं।

क्रॉस उत्पाद से संबंध
पाइथागोरस प्रमेय समान रूप से क्रॉस उत्पाद और डॉट उत्पाद  से संबंधित है:
 * $$ \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2 + (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 = \|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2.$$

इसे क्रॉस उत्पाद और डॉट उत्पाद की परिभाषाओं से देखा जा सकता है


 * $$\begin{align} \mathbf{a} \times \mathbf{b} &= ab \mathbf{n} \sin{\theta} \\

\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= ab \cos{\theta}, \end{align}$$ n के साथ एक इकाई वेक्टर a और b दोनों के लिए सामान्य है। संबंध इन परिभाषाओं और पाइथागोरस त्रिकोणमितीय पहचान से अनुसरण करता है।

इसका उपयोग क्रॉस उत्पाद को परिभाषित करने के लिए भी किया जा सकता है। निम्नलिखित समीकरण को पुनर्व्यवस्थित करने पर प्राप्त होता है


 * $$ \|\mathbf{a} \times \mathbf{b}\|^2 = \|\mathbf{a}\|^2 \|\mathbf{b}\|^2 - (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2.$$

इसे क्रॉस उत्पाद पर एक शर्त के रूप में माना जा सकता है और इसलिए इसकी परिभाषा का हिस्सा, उदाहरण के लिए सात-आयामी क्रॉस उत्पाद में।

तीनों पक्षों पर एक जैसे आंकड़े
पाइथागोरस प्रमेय तीनों तरफ के वर्गों के क्षेत्रों से परे किसी भी समान आंकड़े  को सामान्यीकृत करता है। यह 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व में चिओस के हिप्पोक्रेट्स द्वारा जाना जाता था, और यूक्लिड द्वारा अपने यूक्लिड के तत्वों में शामिल किया गया था:

यदि कोई समकोण त्रिभुज की भुजाओं पर संगत भुजाओं के साथ समान आकृतियाँ (यूक्लिडियन ज्यामिति देखें) बनाता है, तो दो छोटी भुजाओं के क्षेत्रफलों का योग बड़ी भुजा के क्षेत्रफल के बराबर होता है।< /ब्लॉककोट>

यह विस्तार मानता है कि मूल त्रिभुज की भुजाएँ तीन सर्वांगसम आकृतियों की संगत भुजाएँ हैं (इसलिए समान आकृतियों के बीच भुजाओं का उभयनिष्ठ अनुपात a:b:c है)। रेफरी नाम=पुट्ज़>पुत्ज़, जॉन एफ. और सिप्का, टिमोथी ए. पाइथागोरस प्रमेय के सामान्यीकरण पर, द कॉलेज मैथेमेटिक्स जर्नल 34 (4), सितंबर 2003, पीपी. 291–295। जबकि यूक्लिड का प्रमाण केवल लागू होता है उत्तल बहुभुज, प्रमेय अवतल बहुभुजों पर भी लागू होता है और यहां तक ​​कि समान आकृतियों पर भी लागू होता है जिनकी घुमावदार सीमाएं होती हैं (लेकिन फिर भी एक आकृति की सीमा का भाग मूल त्रिभुज की भुजा होता है)।

इस सामान्यीकरण के पीछे मूल विचार यह है कि एक समतल आकृति का क्षेत्रफल किसी भी रैखिक आयाम के वर्ग के लिए आनुपातिकता (गणित) है, और विशेष रूप से किसी भी पक्ष की लंबाई के वर्ग के समानुपाती होता है। इस प्रकार, यदि ए, बी और सी क्षेत्रों के साथ समान आंकड़े समान लंबाई ए, बी और सी के साथ पक्षों पर बनाए जाते हैं तो:


 * $$\frac{A}{a^2} = \frac{B}{b^2} = \frac{C}{c^2}\, ,$$
 * $$\Rightarrow A + B = \frac{a^2}{c^2}C + \frac{b^2}{c^2}C\, .$$

लेकिन, पाइथागोरस प्रमेय द्वारा, a2 + b2 = c2, इसलिए A + B = C।

इसके विपरीत, यदि हम पाइथागोरस प्रमेय का उपयोग किए बिना तीन समान आकृतियों के लिए A + B = C सिद्ध कर सकते हैं, तो हम प्रमेय की उपपत्ति बनाने के लिए पीछे की ओर कार्य कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, शुरुआती केंद्र त्रिकोण को दोहराया जा सकता है और उसके कर्ण पर त्रिकोण सी के रूप में इस्तेमाल किया जा सकता है, और दो समान समकोण त्रिकोण (ए और बी) अन्य दो पक्षों पर निर्मित होते हैं, जो केंद्रीय त्रिकोण को उसके ऊंचाई (त्रिकोण) से विभाजित करके बनाया जाता है। दो छोटे त्रिकोणों के क्षेत्रों का योग इसलिए तीसरे का है, इस प्रकार A + B = C और उपरोक्त तर्क को उलटने से पायथागॉरियन प्रमेय a2 + b2 = c 2. (यह भी देखें पुनर्व्यवस्था के बिना विच्छेदन द्वारा #आइंस्टीन का प्रमाण| पुनर्व्यवस्था के बिना विच्छेदन द्वारा आइंस्टीन का प्रमाण)

कोसाइन का नियम
पाइथागोरस प्रमेय किसी भी त्रिभुज में भुजाओं की लंबाई से संबंधित अधिक सामान्य प्रमेय का एक विशेष मामला है, कोसाइन का नियम:
 * $$a^2+b^2-2ab\cos{\theta}=c^2, $$

कहाँ पे $$\theta$$ भुजाओं के बीच का कोण है $$a$$ तथा $$b$$.

कब $$\theta$$ है $$\frac{\pi}{2}$$ रेडियन या 90°, फिर $$\cos{\theta} = 0$$, और सूत्र सामान्य पाइथागोरस प्रमेय तक कम हो जाता है।

मनमाना त्रिकोण
पक्षों a, b, c के एक सामान्य त्रिभुज के किसी भी चयनित कोण पर, एक समद्विबाहु त्रिभुज को इस प्रकार अंकित करें कि इसके आधार θ पर समान कोण चयनित कोण के समान हों। मान लीजिए कि चयनित कोण θ c लेबल वाली भुजा के विपरीत है। समद्विबाहु त्रिभुज को अंकित करने से त्रिभुज CAD बनता है जिसमें कोण θ विपरीत भुजा b और भुजा r के साथ c होता है। एक दूसरा त्रिभुज कोण θ के विपरीत भुजा a और लंबाई s के साथ c के साथ बनाया गया है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। थाबित इब्न क़ुर्रा ने कहा कि तीन त्रिभुजों की भुजाएँ इस प्रकार संबंधित थीं:
 * $$ a^2 +b^2 =c(r+s) \ . $$

जैसे-जैसे कोण θ निकट आता है π/2, समद्विबाहु त्रिभुज का आधार संकरा होता है, और लंबाई r और s कम और कम ओवरलैप करते हैं। जब θ = π/2, ADB एक समकोण त्रिभुज बन जाता है, r + s = c, और मूल पायथागॉरियन प्रमेय वापस आ जाता है।

एक प्रमाण यह देखता है कि त्रिभुज ABC में त्रिभुज CAD के समान कोण हैं, लेकिन विपरीत क्रम में हैं। (दो त्रिभुज शीर्ष A पर कोण साझा करते हैं, दोनों में कोण θ होता है, और इसलिए त्रिकोण अभिधारणा द्वारा समान तीसरा कोण भी होता है।) नतीजतन, ABC निचले पैनल में त्रिभुज DAC, CAD के प्रतिबिंब के समान है। θ के विपरीत और सन्निकट भुजाओं का अनुपात लेने पर,
 * $$\frac{c}{b} = \frac{b}{r} \ .$$

इसी प्रकार, दूसरे त्रिभुज के प्रतिबिंब के लिए,
 * $$\frac{c}{a} = \frac{a}{s} \ . $$

भिन्नों को साफ़ करना और इन दो संबंधों को जोड़ना:
 * $$ cs + cr = a^2 +b^2 \, $$

आवश्यक परिणाम।

कोण होने पर प्रमेय मान्य रहता है $$ \theta $$ अधिक है इसलिए लंबाई r और s गैर-अतिव्यापी हैं।

समांतर चतुर्भुजों का प्रयोग करते हुए सामान्य त्रिभुज
पप्पस का क्षेत्र प्रमेय एक और सामान्यीकरण है, जो उन त्रिकोणों पर लागू होता है जो समकोण त्रिकोण नहीं हैं, वर्गों के स्थान पर तीन पक्षों पर समांतर चतुर्भुज का उपयोग करते हुए (वर्ग निश्चित रूप से एक विशेष मामला है)। ऊपरी आकृति दर्शाती है कि एक विषमबाहु त्रिभुज के लिए, सबसे लंबी भुजा के समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल अन्य दो भुजाओं के समांतर चतुर्भुज के क्षेत्रफल का योग होता है, बशर्ते दीर्घ भुजा पर समांतर चतुर्भुज का निर्माण संकेत के अनुसार किया गया हो (आयामों को चिन्हित किया गया हो) तीर समान हैं, और निचले समांतर चतुर्भुज की भुजाएँ निर्धारित करते हैं)। समांतर चतुर्भुजों के साथ वर्गों का यह प्रतिस्थापन मूल पाइथागोरस प्रमेय के साथ एक स्पष्ट समानता रखता है, और इसे 4 ईसवी में अलेक्जेंड्रिया के पप्पस  द्वारा एक सामान्यीकरण माना गया था निचला आंकड़ा प्रमाण के तत्वों को दर्शाता है। आकृति के बाईं ओर ध्यान दें। बाएँ हरे समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल वही है जो निचले समांतर चतुर्भुज के बाएँ, नीले भाग का है क्योंकि दोनों का आधार b और ऊँचाई h समान है। हालाँकि, बाएँ हरे समांतर चतुर्भुज का भी वही क्षेत्रफल होता है जो ऊपरी आकृति के बाएँ हरे समांतर चतुर्भुज का होता है, क्योंकि उनका आधार समान होता है (त्रिकोण के ऊपरी बाएँ भाग) और त्रिभुज के उस तरफ सामान्य ऊँचाई समान होती है। आकृति के दाईं ओर के तर्क को दोहराते हुए, नीचे के समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल दो हरे समांतर चतुर्भुजों के योग के बराबर होता है।

ठोस ज्यामिति
ठोस ज्यामिति के संदर्भ में, पाइथागोरस के प्रमेय को तीन आयामों पर निम्नानुसार लागू किया जा सकता है। एक आयताकार ठोस पर विचार करें जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। पाइथागोरस प्रमेय से विकर्ण BD की लंबाई इस प्रकार पाई जाती है:


 * $$ \overline{BD}^{\,2} = \overline{BC}^{\,2} + \overline{CD}^{\,2} \ ,$$

जहाँ ये तीन भुजाएँ एक समकोण त्रिभुज बनाती हैं। क्षैतिज विकर्ण BD और ऊर्ध्वाधर किनारे AB का उपयोग करते हुए, विकर्ण AD की लंबाई को पाइथागोरस प्रमेय के दूसरे अनुप्रयोग द्वारा इस प्रकार पाया जाता है:


 * $$ \overline{AD}^{\,2} = \overline{AB}^{\,2} + \overline{BD}^{\,2} \ ,$$

या, यह सब एक चरण में करना:
 * $$ \overline{AD}^{\,2} = \overline{AB}^{\,2} + \overline{BC}^{\,2} + \overline{CD}^{\,2} \ .$$

यह परिणाम एक सदिश v (विकर्ण AD) के परिमाण के लिए त्रिविमीय व्यंजक है, जो इसके ओर्थोगोनल घटकों के संदर्भ में है {vk} (तीन परस्पर लम्बवत् भुजाएँ):


 * $$\|\mathbf{v}\|^2 = \sum_{k=1}^3 \|\mathbf{v}_k\|^2.$$

इस एक-चरणीय सूत्रीकरण को पाइथागोरस के प्रमेय के उच्च आयामों के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। हालाँकि, यह परिणाम वास्तव में मूल पाइथागोरस के प्रमेय का केवल ऑर्थोगोनल विमानों के अनुक्रम में समकोण त्रिभुजों के उत्तराधिकार के लिए दोहराया गया अनुप्रयोग है।

पाइथागोरस प्रमेय का तीन आयामों के लिए एक पर्याप्त सामान्यीकरण डी गुआ का प्रमेय है, जिसका नाम जीन पॉल डी गुआ डी मॉलोज़  के नाम पर रखा गया है: यदि एक  चतुर्पाश्वीय  में एक समकोण कोने (एक  घन (ज्यामिति)  के कोने की तरह) होता है, तो क्षेत्र का वर्ग समकोण के विपरीत फलक का कोना अन्य तीन फलकों के क्षेत्रफलों के वर्गों का योग होता है। इस परिणाम को n-आयामी पाइथागोरस प्रमेय के रूप में सामान्यीकृत किया जा सकता है:

"Let $x_1, x_2, \ldots,x_n $ be orthogonal vectors in Rn. Consider the n-dimensional simplex S with vertices $0,x_1,\ldots, x_n$. (Think of the (n − 1)-dimensional simplex with vertices $x_1,\ldots,x_n$ not including the origin as the 'hypotenuse' of S and the remaining (n − 1)-dimensional faces of S as its 'legs'.) Then the square of the volume of the hypotenuse of S is the sum of the squares of the volumes of the n legs." इस कथन को चित्र में टेट्राहेड्रोन द्वारा तीन आयामों में दर्शाया गया है। कर्ण आकृति के पीछे टेट्राहेड्रोन का आधार है, और पैर अग्रभूमि में शीर्ष से निकलने वाली तीन भुजाएँ हैं। जैसे-जैसे शीर्ष से आधार की गहराई बढ़ती है, पैरों का क्षेत्रफल बढ़ता जाता है, जबकि आधार का क्षेत्रफल स्थिर होता जाता है। प्रमेय से पता चलता है कि जब यह गहराई एक सही शीर्ष बनाने के मूल्य पर होती है, तो पाइथागोरस के प्रमेय का सामान्यीकरण लागू होता है। एक अलग शब्दांकन में: "Given an n-rectangular n-dimensional simplex, the square of the (n − 1)-content of the facet opposing the right vertex will equal the sum of the squares of the (n − 1)-contents of the remaining facets."

आंतरिक उत्पाद स्थान
पायथागॉरियन प्रमेय को आंतरिक उत्पाद रिक्त स्थान के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जो परिचित 2-आयामी और 3-आयामी यूक्लिडियन रिक्त स्थान  के सामान्यीकरण हैं। उदाहरण के लिए, एक फ़ंक्शन (गणित) को आंतरिक उत्पाद स्थान में असीम रूप से कई घटकों के साथ एक  सदिश स्थल  के रूप में माना जा सकता है, जैसा कि  कार्यात्मक विश्लेषण  में होता है। रेफरी नाम = लिन>

एक आंतरिक उत्पाद स्थान में, लंबवतता की अवधारणा को ओर्थोगोनल िटी की अवधारणा द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है: दो वैक्टर v और w ऑर्थोगोनल हैं यदि उनका आंतरिक उत्पाद $$ \langle \mathbf{v}, \mathbf{w}\rangle $$ शून्य है। आंतरिक उत्पाद स्थान # परिभाषा वैक्टर के डॉट उत्पाद का सामान्यीकरण है। डॉट उत्पाद को मानक आंतरिक उत्पाद या यूक्लिडियन आंतरिक उत्पाद कहा जाता है। हालांकि, अन्य आंतरिक उत्पाद संभव हैं। लंबाई की अवधारणा को मानक सदिश स्थान की अवधारणा से बदल दिया गया है ||v|| एक वेक्टर वी के रूप में परिभाषित किया गया है:
 * $$\lVert \mathbf{v} \rVert \equiv \sqrt{\langle \mathbf{v},\mathbf{v}\rangle} \, .$$

एक आंतरिक-उत्पाद स्थान में, पाइथागोरस प्रमेय कहता है कि किन्हीं दो ओर्थोगोनल वैक्टर v और w के लिए हमारे पास है
 * $$\left\| \mathbf{v} + \mathbf{w} \right\|^2 = \left\| \mathbf{v} \right\|^2 + \left\| \mathbf{w} \right\|^2 .$$

यहाँ सदिश v और w एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के सदृश हैं, जिसमें कर्ण यूक्लिडियन सदिश#जोड़ और घटाव v + w द्वारा दिया गया है। पाइथागोरस प्रमेय का यह रूप आंतरिक उत्पाद स्थान # परिभाषा का परिणाम है:
 * $$\left\| \mathbf{v} + \mathbf{w} \right\|^2 =\langle \mathbf{ v+w},\ \mathbf{ v+w}\rangle = \langle \mathbf{ v},\ \mathbf{ v}\rangle +\langle \mathbf{ w},\ \mathbf{ w}\rangle +\langle\mathbf{ v,\ w }\rangle + \langle\mathbf{ w,\ v }\rangle \ = \left\| \mathbf{v}\right\|^2 + \left\| \mathbf{w}\right\|^2, $$

जहां ऑर्थोगोनलिटी के कारण क्रॉस टर्म्स के आंतरिक उत्पाद शून्य हैं।

गैर-ऑर्थोगोनल वैक्टर के लिए एक आंतरिक उत्पाद स्थान में पाइथागोरस प्रमेय का एक और सामान्यीकरण समांतर चतुर्भुज समानता # नॉर्मड वेक्टर रिक्त स्थान है जो समांतर चतुर्भुज कानून को संतुष्ट करता है:


 * $$2\|\mathbf v\|^2 +2 \|\mathbf w\|^2 = \|\mathbf {v + w} \|^2 +\| \mathbf{v-w}\|^2 \, $$

जो कहता है कि समांतर चतुर्भुज की भुजाओं की लंबाई के वर्गों के योग का दुगुना विकर्णों की लंबाई के वर्गों के योग के बराबर होता है। कोई भी मानदंड जो इस समानता को संतुष्ट करता है, वास्तव में एक आंतरिक उत्पाद के अनुरूप एक मानदंड है।

पाइथागोरस की पहचान को दो से अधिक ओर्थोगोनल वैक्टर के योग तक बढ़ाया जा सकता है। अगर वि1, में2, ..., मेंn एक आंतरिक-उत्पाद स्थान में जोड़ीदार-ऑर्थोगोनल वैक्टर हैं, फिर इन वैक्टरों के क्रमिक जोड़े के लिए पाइथागोरस प्रमेय का अनुप्रयोग (जैसा कि #ठोस ज्यामिति पर अनुभाग में 3-आयामों के लिए वर्णित है) समीकरण में परिणाम देता है
 * $$\left\|\sum_{k=1}^n\mathbf{v}_k\right\|^2=\sum_{k=1}^n\|\mathbf{v}_k\|^2$$

एन-डायमेंशनल स्पेस में एम-डायमेंशनल ऑब्जेक्ट्स के सेट
पायथागॉरियन प्रमेय का एक अन्य सामान्यीकरण किसी भी संख्या में आयामों में वस्तुओं के लेबेस्ग-मापने योग्य सेट पर लागू होता है। विशेष रूप से, एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक या अधिक समानांतर एम-आयामी फ्लैट (ज्यामिति) में वस्तुओं के एक एम-आयामी सेट के माप का वर्ग, के ओर्थोगोनालिटी  अनुमानों के उपायों के वर्गों के योग के बराबर है। ऑब्जेक्ट (ओं) को सभी एम-आयामी समन्वय उप-स्थानों पर। गणितीय शब्दों में:
 * $$\mu^2_{ms} = \sum_{i=1}^{x}\mathbf{\mu^2}_{mp_i}$$

कहाँ पे:
 * $$\mu_m$$ एम-आयामों में एक माप है (एक आयाम में एक लंबाई, दो आयामों में एक क्षेत्र, तीन आयामों में एक आयतन, आदि)।
 * $$s$$ एन-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक या एक से अधिक समानांतर एम-आयामी फ्लैटों में एक या अधिक गैर-अतिव्यापी एम-आयामी वस्तुओं का एक सेट है।
 * $$\mu_{ms}$$ m-आयामी वस्तुओं के समुच्चय का कुल माप (योग) है।
 * $$p$$ ओर्थोगोनल कोऑर्डिनेट सबस्पेस पर मूल सेट के एम-डायमेंशनल प्रोजेक्शन का प्रतिनिधित्व करता है।
 * $$\mu_{mp_i}$$ एम-डायमेंशनल सेट प्रोजेक्शन का एम-डायमेंशनल कोऑर्डिनेट सबस्पेस पर माप है $$i$$. क्योंकि ऑब्जेक्ट प्रोजेक्शन एक समन्वय उप-स्थान पर ओवरलैप कर सकते हैं, सेट में प्रत्येक ऑब्जेक्ट प्रक्षेपण का माप व्यक्तिगत रूप से गणना किया जाना चाहिए, फिर दिए गए समन्वय उप-स्थान पर अनुमानों के सेट के लिए कुल माप प्रदान करने के लिए सभी अनुमानों के उपायों को एक साथ जोड़ा गया।
 * $$x$$ n-आयामी अंतरिक्ष में ओर्थोगोनल, एम-आयामी समन्वय उप-स्थानों की संख्या है ($R^{n}$) जिस पर m-आयामी वस्तुओं को प्रक्षेपित किया जाता है (m n): $$x = \binom{n}{m} = \frac{n!}{m!(n-m)!}$$

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति
पाइथागोरस प्रमेय यूक्लिडियन ज्यामिति की ज्यामिति की नींव  से लिया गया है, और वास्तव में, पाइथागोरस प्रमेय कुछ समकोण त्रिभुज के लिए विफल हो गया था, तो जिस तल में यह त्रिभुज निहित है वह यूक्लिडियन नहीं हो सकता है। अधिक सटीक रूप से, पाइथागोरस प्रमेय समांतर अभिधारणा#समतुल्य गुण|का अर्थ है, और यूक्लिड के समानांतर (पांचवां) अभिधारणा द्वारा निहित है।  इस प्रकार, एक गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में समकोण त्रिभुज पाइथागोरस प्रमेय को संतुष्ट नहीं करते। उदाहरण के लिए, गोलीय ज्यामिति में, समकोण त्रिभुज की सभी तीन भुजाएँ (कहते हैं a, b, और c) इकाई गोले के एक अष्टांश को परिबद्ध करने वाली लंबाई के बराबर होती हैं π/2, और इसके सभी कोण समकोण हैं, जो पायथागॉरियन प्रमेय का उल्लंघन करता है क्योंकि $$ a^2 + b^2 = 2 c^2 > c^2 $$.

यहाँ गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के दो मामलों पर विचार किया जाता है - गोलाकार ज्यामिति और अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति; प्रत्येक मामले में, गैर-समकोण त्रिभुजों के लिए यूक्लिडियन मामले की तरह, पाइथागोरस प्रमेय को प्रतिस्थापित करने का परिणाम कोसाइन के उपयुक्त नियम से आता है।

हालाँकि, पाइथागोरस प्रमेय अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति और दीर्घवृत्तीय ज्यामिति में सही रहता है, यदि त्रिभुज के सही होने की शर्त को इस शर्त से बदल दिया जाता है कि दो कोणों का योग तीसरे के बराबर होता है, मान लीजिए A+B = C. पक्ष फिर निम्नानुसार संबंधित हैं : व्यास a और b वाले वृत्तों के क्षेत्रफलों का योग व्यास c वाले वृत्त के क्षेत्रफल के बराबर होता है।

गोलाकार ज्यामिति
त्रिज्या R के किसी भी समकोण त्रिभुज के लिए (उदाहरण के लिए, यदि आकृति में एक समकोण है), भुजाओं a, b, c के साथ, भुजाओं के बीच संबंध रूप लेता है:
 * $$ \cos \left(\frac{c}{R}\right) = \cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right).$$

यह समीकरण कोसाइन के गोलाकार नियम के एक विशेष मामले के रूप में प्राप्त किया जा सकता है जो सभी गोलाकार त्रिभुजों पर लागू होता है:


 * $$ \cos \left(\frac{c}{R}\right)=\cos \left(\frac{a}{R}\right)\cos \left(\frac{b}{R}\right) +\sin\left(\frac{a}{R}\right) \sin\left(\frac{b}{R}\right) \cos \gamma \ .$$

कोसाइन फ़ंक्शन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला  को एक  स्पर्शोन्मुख विस्तार  के रूप में व्यक्त करके शेष शब्द को  बिग ओ नोटेशन  में व्यक्त करके,


 * $$ \cos x = 1 - \frac{x^2}{2} + O(x^4) \text{ as } x \to 0\ ,$$

यह दिखाया जा सकता है कि जैसे-जैसे त्रिज्या R अनंत तक पहुँचती है और तर्क a/R, b/R, और c/R शून्य हो जाते हैं, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच गोलाकार संबंध पाइथागोरस प्रमेय के यूक्लिडियन रूप के करीब पहुंच जाता है। समकोण त्रिभुज के लिए गोलाकार संबंध में प्रत्येक कोसाइन के लिए स्पर्शोन्मुख विस्तार को प्रतिस्थापित करना


 * $$1-\frac{1}{2}\left(\frac{c}{R}\right)^2 + O\left(\frac{1}{R^4}\right) = \left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{a}{R}\right)^2 + O\left(\frac{1}{R^4}\right) \right]\left[1-\frac{1}{2}\left(\frac{b}{R}\right)^2 + O\left(\frac{1}{R^4}\right) \right] \text{ as }R\to\infty\ .$$

स्थिरांक ए4, बी4, और सी4 को बड़े O शेष पदों में अवशोषित कर लिया गया है क्योंकि वे त्रिज्या R से स्वतंत्र हैं। इस स्पर्शोन्मुख संबंध को कोष्ठक की मात्राओं को गुणा करके, लोगों को रद्द करके, -2 से गुणा करके, और सभी को एकत्रित करके और सरल बनाया जा सकता है। त्रुटि शर्तें एक साथ:


 * $$\left(\frac{c}{R}\right)^2 = \left(\frac{a}{R}\right)^2 + \left(\frac{b}{R}\right)^2 + O\left(\frac{1}{R^4}\right)\text{ as }R\to\infty\ .$$

R से गुणा करने के बाद2, यूक्लिडियन पायथागॉरियन संबंध c2 = a2 + बी2 सीमा में पुनर्प्राप्त किया जाता है क्योंकि त्रिज्या R अनंत तक पहुंचती है (क्योंकि शेष पद शून्य हो जाता है):


 * $$c^2= a^2 + b^2 + O\left(\frac{1}{R^2}\right)\text{ as }R\to\infty\ .$$

छोटे समकोण त्रिभुजों (ए, बी << आर) के लिए, कोसाइन को महत्व के नुकसान से बचने के लिए समाप्त किया जा सकता है, दे रहा है
 * $$ \sin^2 \frac{c}{2R} = \sin^2 \frac{a}{2R} + \sin^2 \frac{b}{2R} - 2 \sin^2 \frac{a}{2R} \sin^2 \frac{b}{2R} \,.$$

अतिपरवलयिक ज्यामिति
एक समान गाऊसी वक्रता  वाले अतिपरवलयिक ज्यामिति स्थान में −1/R2, टांगों a, b, और कर्ण c वाले दाएं अतिपरवलयिक त्रिभुज के लिए, पक्षों के बीच संबंध रूप लेता है:
 * $$ \cosh \frac{c}{R} = \cosh \frac{a}{R} \, \cosh \frac{b}{R} $$

जहां धन अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य है। यह सूत्र कोसाइन के अतिपरवलयिक नियम का एक विशेष रूप है जो सभी अतिपरवलयिक त्रिभुजों पर लागू होता है:
 * $$\cosh \frac{c}{R} = \cosh \frac{a}{R} \ \cosh \frac{b}{R} - \sinh \frac{a}{R} \ \sinh \frac{b}{R} \ \cos \gamma \, $$

γ भुजा c के विपरीत शीर्ष पर कोण के साथ।

अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन के लिए मैकलॉरिन श्रृंखला का उपयोग करके, cosh x ≈ 1 + x2/2, यह दिखाया जा सकता है कि जैसे ही अतिपरवलयिक त्रिभुज बहुत छोटा हो जाता है (अर्थात, जैसे a, b, और c सभी शून्य की ओर बढ़ते हैं), समकोण त्रिभुज के लिए अतिपरवलयिक संबंध पाइथागोरस प्रमेय के रूप में पहुंच जाता है।

छोटे समकोण त्रिभुजों (a, b << R) के लिए, अतिपरवलयिक कोज्या को महत्व के नुकसान से बचने के लिए समाप्त किया जा सकता है, जिससे
 * $$ \sinh^2 \frac{c}{2R} = \sinh^2 \frac{a}{2R} + \sinh^2 \frac{b}{2R} + 2 \sinh^2 \frac{a}{2R} \sinh^2 \frac{b}{2R} \,.$$

बहुत छोटे त्रिकोण
किसी भी समान वक्रता K (धनात्मक, शून्य, या ऋणात्मक) के लिए, बहुत छोटे समकोण त्रिभुजों में (|K|a2, |K|b2 << 1) कर्ण c के साथ, यह दिखाया जा सकता है कि
 * $$ c^2 = a^2 + b^2 - \frac{K}{3} a^2 b^2 - \frac{K^2}{45} a^2 b^2 (a^2 + b^2) - \frac{2 K^3}{945} a^2 b^2 (a^2 - b^2)^2 + O (K^4 c^{10}) \,.$$

विभेदक ज्यामिति
पायथागॉरियन प्रमेय अंतर ज्यामिति  में देखे गए  अंतर (गणित)  त्रिकोण पर लागू होता है। त्रिविमीय अंतरिक्ष में, दो असीम रूप से अलग किए गए बिंदुओं के बीच की दूरी संतुष्ट करती है


 * $$ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2,$$

ds के साथ दूरी का तत्व और (dx, dy, dz) दो बिंदुओं को अलग करने वाले वेक्टर के घटक। ऐसी जगह को यूक्लिडियन स्पेस कहा जाता है। हालांकि, रिमेंनियन ज्यामिति में, इस अभिव्यक्ति का एक सामान्यीकरण सामान्य निर्देशांक (न केवल कार्टेशियन) और सामान्य रिक्त स्थान (केवल यूक्लिडियन नहीं) के लिए उपयोगी है:
 * $$ds^2 = \sum_{i,j}^n g_{ij}\, dx_i\, dx_j $$

जिसे मेट्रिक टेंसर#आर्कलेंथ और लाइन एलिमेंट कहते हैं। (कभी-कभी, भाषा के दुरुपयोग से, वही शब्द गुणांक के सेट पर लागू होता है gij।) यह स्थिति का एक कार्य हो सकता है, और अक्सर घुमावदार स्थान का वर्णन करता है। एक सरल उदाहरण यूक्लिडियन (सपाट) स्थान है जो वक्रीय निर्देशांक में व्यक्त किया गया है। उदाहरण के लिए, ध्रुवीय निर्देशांक में:


 * $$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2 \ . $$

इतिहास
इस बात पर बहस है कि पायथागॉरियन प्रमेय एक बार खोजा गया था या कई बार कई स्थानों पर, और पहली खोज की तारीख अनिश्चित है, जैसा कि पहले सबूत की तारीख है। मेसोपोटामिया  गणित के इतिहासकारों ने निष्कर्ष निकाला है कि पाइथागोरस के जन्म से एक हजार साल पहले, पहले बेबीलोनियन राजवंश (20वीं से 16वीं शताब्दी ईसा पूर्व) के दौरान पाइथागोरस के शासन का व्यापक उपयोग हुआ था।    प्रमेय के इतिहास को चार भागों में विभाजित किया जा सकता है: पाइथागोरस के त्रिगुणों का ज्ञान, एक समकोण त्रिभुज की भुजाओं के बीच संबंधों का ज्ञान, आसन्न कोणों के बीच संबंधों का ज्ञान, और कुछ निगमनात्मक प्रणाली के भीतर प्रमेय के प्रमाण।

2000 और 1786 ईसा पूर्व के बीच लिखे गए, मिस्र  के मध्य साम्राज्य के मिस्र  बर्लिन पेपिरस 6619  में एक समस्या शामिल है जिसका समाधान पायथागॉरियन ट्रिपल 6:8:10 है, लेकिन समस्या में त्रिकोण का उल्लेख नहीं है।  हम्बुराबी  द ग्रेट के शासनकाल के दौरान 1790 और 1750 ईसा पूर्व के बीच लिखी गई मेसोपोटामिया की गोली प्लिमपटन 322 में  पाइथागोरस त्रिक  से संबंधित कई प्रविष्टियां शामिल हैं।

भारत में,  बौधायन   शुलब सूत्र, जिसकी तिथियां 8वीं और 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बीच विभिन्न रूप से दी गई हैं, समद्विबाहु त्रिभुज  समद्विबाहु समकोण त्रिभुज  के विशेष मामले में और सामान्य मामले में, पाइथागोरस के त्रिक की एक सूची और पाइथागोरस प्रमेय का एक कथन शामिल है, जैसा कि आपस्तम्ब शुलब सूत्र (सी. 600 ईसा पूर्व) करता है। बीजान्टिन साम्राज्य निओप्लाटोनिज्म  दार्शनिक और गणितज्ञ  बंद किया हुआ, पांचवीं शताब्दी ईस्वी में लिखते हुए, दो अंकगणितीय नियमों को बताता है, उनमें से एक  प्लेटो  को जिम्मेदार ठहराया जाता है, दूसरा पाइथागोरस को, विशेष पाइथागोरस त्रिक उत्पन्न करने के लिए। पाइथागोरस के लिए जिम्मेदार नियम (c. 570) एक  समता (गणित)  से शुरू होता है और पैर और कर्ण के साथ एक इकाई से भिन्न एक ट्रिपल पैदा करता है; प्लेटो (428/427 या 424/423 - 348/347 बीसी) के लिए जिम्मेदार नियम एक सम संख्या से शुरू होता है और पैर और कर्ण के साथ दो इकाइयों के अंतर के साथ एक ट्रिपल बनाता है। टी. एल. हीथ|थॉमस एल. हीथ (1861-1940) के अनुसार, पाइथागोरस के लिए प्रमेय का कोई विशिष्ट श्रेय पाइथागोरस के जीवित रहने के बाद की पांच शताब्दियों के जीवित ग्रीक साहित्य में मौजूद नहीं है। हालांकि, जब प्लूटार्क  और  सिसरौ  जैसे लेखकों ने पाइथागोरस को प्रमेय के लिए जिम्मेदार ठहराया, तो उन्होंने ऐसा इस तरह से किया जिससे पता चलता है कि विशेषता व्यापक रूप से ज्ञात और निस्संदेह थी।   कुंआरियां   कर्ट वॉन फ्रिट्ज  ने लिखा है, क्या यह सूत्र व्यक्तिगत रूप से पाइथागोरस के लिए सही रूप से जिम्मेदार है, लेकिन कोई सुरक्षित रूप से यह मान सकता है कि यह  पाइथागोरसवाद  की सबसे पुरानी अवधि से संबंधित है। लगभग 300 ईसा पूर्व, यूक्लिड के तत्वों में, प्रमेय का सबसे पुराना प्रचलित गणित प्रस्तुत किया गया है।

बहुत पहले ज्ञात सामग्री के साथ, लेकिन लगभग पहली शताब्दी ईसा पूर्व से जीवित ग्रंथों में, चीन  पाठ झोउबी सुंजिंग (周髀算经), (सूक्ति का अंकगणितीय क्लासिक (आंकड़ा) और स्वर्ग के परिपत्र पथ) एक तर्क देता है (3, 4, 5) त्रिभुज के लिए पाइथागोरस प्रमेय के लिए - चीन में इसे 'गौगु प्रमेय' (勾股定理) कहा जाता है।  हान राजवंश (202 ईसा पूर्व से 220 ईस्वी) के दौरान, पाइथागोरस ट्रिपल  गणितीय कला पर नौ अध्याय ों में दिखाई देते हैं, समकोण त्रिभुजों के उल्लेख के साथ। कुछ लोगों का मानना ​​है कि प्रमेय की उत्पत्ति सबसे पहले चीन में हुई, जहां इसे वैकल्पिक रूप से शांग गाओ प्रमेय (शांग गाओ प्रमेय) के रूप में जाना जाता है, का नाम ड्यूक ऑफ झोउ के नाम पर रखा गया है|ड्यूक ऑफ झोउ के खगोलशास्त्री और गणितज्ञ, जिनके तर्क ने झोउबी सुआंजिंग में जो कुछ भी था, उसकी रचना की। रेफरी नाम = वू>

यह भी देखें

 * चतुर्भुज में जोड़
 * डल्करनॉन में
 * ब्रिटिश ध्वज प्रमेय
 * फर्मेट की अंतिम प्रमेय
 * उलटा पाइथागोरस प्रमेय
 * केप्लर त्रिकोण
 * लीनियर अलजेब्रा
 * त्रिकोण विषयों की सूची
 * एलपी स्पेस|एल पी  स्थान
 * गैर-कर्ण संख्या
 * समांतर चतुर्भुज कानून
 * पारसेवल की पहचान
 * टॉलेमी की प्रमेय
 * पाइथागोरस अपेक्षा
 * पाइथागोरस टाइलिंग
 * तर्कसंगत त्रिकोणमिति#पाइथागोरस प्रमेय|पाइथागोरस प्रमेय में तर्कसंगत त्रिकोणमिति
 * थेल्स प्रमेय

उद्धृत कार्य

 * पर ऑनलाइन टेक्स्ट
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 * यह हाई-स्कूल ज्यामिति पाठ इस WP लेख में कई विषयों को शामिल करता है।
 * 1940 के दूसरे संस्करण के पूर्ण पाठ के लिए देखें मूल रूप से 1940 में प्रकाशित और 1968 में नेशनल काउंसिल ऑफ टीचर्स ऑफ मैथमेटिक्स द्वारा पुनर्मुद्रित, ISBN 0-87353-036-5.
 * रॉबसन, एलेनोर और जैकलिन स्टेडल, सं., गणित के इतिहास की ऑक्सफोर्ड हैंडबुक, ऑक्सफोर्ड: ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, 2009। पीपी। vii + 918। ISBN 978-0-19-921312-2.
 * भी ISBN 3-540-96981-0.
 * रॉबसन, एलेनोर और जैकलिन स्टेडल, सं., गणित के इतिहास की ऑक्सफोर्ड हैंडबुक, ऑक्सफोर्ड: ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, 2009। पीपी। vii + 918। ISBN 978-0-19-921312-2.
 * भी ISBN 3-540-96981-0.

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