टॉटोलॉजिकल बंडल

गणित में, टॉटोलॉजिकल बंडल एक ऐसा सदिश बंडल है जो प्राकृतिक टॉटोलॉजिकल विधि से ग्रासमैनियन पर होता है: $$V$$ के $$k$$-विमा (सदिश समष्टि) के रैखिक उपसमष्टि ग्रासमैनियन के लिए, $$k$$-विमीय सदिश उपसमष्टि $$W \subseteq V$$ के अनुरूप ग्रासमैनियन में एक बिंदु दिया जाता है, फाइबर पर $$W$$ स्वयं उप समष्टि $$W$$ है। प्रक्षेप्य समष्टि की समष्टि में टॉटोलॉजिकल बंडल को टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल के रूप में जाना जाता है।

इस प्रकार से किसी भी सदिश बंडल (संहत समष्टि पर) के बाद से टॉटोलॉजिकल बंडल को सार्वभौमिक बंडल भी कहा जाता है टॉटोलॉजिकल बंडल का पुलबैक है; कहने का तात्पर्य यह है कि ग्रासमैनियन सदिश बंडलों के लिए वर्गीकृत समष्टि है। अतः इस कारण से, विशिष्ट वर्गों के अध्ययन में टॉटोलॉजिकल बंडल महत्वपूर्ण है।

इस प्रकार से टॉटोलॉजिकल बंडलों का निर्माण बीजगणितीय टोपोलॉजी और बीजगणितीय ज्यामिति दोनों में किया जाता है। बीजगणितीय ज्यामिति में, टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल (व्युत्क्रम शीफ के रूप में) अधिसमतल बंडल या सेरे के व्यावर्ती शीफ $$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1)$$ का


 * $$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)$$

दोहरा बंडल है। अतः अधिसमतल बंडल, $$\mathbb{P}^n$$ में अधिसमतल (विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति)) $$\mathbb{P}^{n-1}$$ के अनुरूप रेखा बंडल है। टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल और अधिसमतल बंडल वस्तुतः प्रक्षेप्य समष्टि के पिकार्ड समूह के दो जनक हैं।

इस प्रकार से माइकल अतियाह के K-सिद्धांत में, जटिल प्रक्षेप्य समष्टि पर टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल को मानक रेखा बंडल कहा जाता है। मानक बंडल के गोलाकार बंडल को सामान्यतः हॉपफ बंडल कहा जाता है। (सीएफ. बोट जनक।)

इस प्रकार से अधिक सामान्यतः, सदिश बंडल के प्रक्षेप्य बंडल के साथ-साथ ग्रासमैन बंडल पर भी टॉटोलॉजिकल बंडल होते हैं।

प्राचीन शब्द कैनोनिकल बंडल इस आधार पर अप्रचलित हो गया है कि विहित वर्गबहुविकल्पी गणितीय शब्दावली में अत्यधिक अतिभारित है, और (इससे भी निकृष्ट) बीजगणितीय ज्यामिति में कैनोनिकल वर्ग के साथ भ्रम है संभवतः अवरोधित किया जा सके।

सहज परिभाषा
परिभाषा के अनुसार ग्रासमैनियन किसी दिए गए सदिश समष्टि में, दिए गए विमा के रैखिक उप-समष्टि के लिए पैरामीटर समष्टि $$W$$ हैं। यदि $$G$$ ग्रासमैनियन है, और $$V_g$$, $$G$$ में $$g$$ के अनुरूप $$W$$ का उप-समष्टि है, तो यह पहले से ही लगभग एक सदिश बंडल के लिए आवश्यक डेटा है: अर्थात् प्रत्येक बिंदु $$g$$ के लिए एक सदिश स्थान, जो निरंतर बदलता रहता है। इस प्रकार से वह सभी जो इस संकेत से टॉटोलॉजिकल बंडल की परिभाषा को रोक सकता है, वह कठिनाई है जिसे $$V_g$$ प्रतिच्छेद करने जा रहा है। इसे ठीक करना असंयुक्त संघ उपकरण का नियमित अनुप्रयोग है, ताकि बंडल प्रक्षेपण $$V_g$$ की समान प्रतियों से बने फाइबर बंडल से हो, जो अब एक दूसरे को नहीं काटते हैं। इसके साथ ही हमारे निकट बंडल है।

इस प्रकार से प्रक्षेप्य समष्टि स्थिति सम्मिलित है। परिपाटी के अनुसार $$P(V)$$ दोहरे समष्टि अर्थ में टॉटोलॉजिकल बंडल को उपयोगी रूप से ले जा सकता है। अर्थात $$V^*$$ दोहरे स्थान के साथ, $$P(V)$$ के बिंदु $$V^*$$ के सदिश उप-समष्टि को ले जाते हैं, जो कि उनके कर्नेल हैं, जब $$V^*$$पर (किरणों की) रैखिक फलनात्मकता के रूप में माना जाता है। यदि $$V$$ की विमा $$n+1$$ है, तो टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल टॉटोलॉजिकल बंडल है, और दूसरा, जिसका अभी वर्णन किया गया है, पद $$n$$ का है।

औपचारिक परिभाषा
इस प्रकार से मान लीजिए कि $$G_n(\R^{n+k})$$ $$\R^{n+k}$$ में एन-विमीय सदिश उप-समष्टि का ग्रासमैनियन का ग्रासमैनियन है; एक समुच्चय के रूप में यह $$\R^{n+k}$$ के सभी एन-विमीय सदिश उप-समष्टि का समुच्चय है। अतः इस प्रकार से उदाहरण के लिए, यदि n = 1 है, तो यह वास्तविक प्रक्षेप्य k-समष्टि है।

हम टॉटोलॉजिकल बंडल γn, k पर $$G_n(\R^{n+k})$$ पर निम्नानुसार परिभाषित करते हैं। बंडल का कुल समष्टि सभी युग्मों (V, v) का समुच्चय है जिसमें ग्रासमैनियन का एक बिंदु V औरV में एक सदिश v सम्मिलित है; इसे कार्तीय गुणनफल $$G_n(\R^{n+k}) \times \R^{n+k}$$ की उप-समष्टि टोपोलॉजी दी गई है। इस प्रकार से प्रक्षेपण प्रतिचित्र π, π(V, v) = V द्वारा दिया गया है। यदि F, π के अंतर्गत V का पूर्व प्रतिबिम्ब है, तो इसे a(V, v) + b(V, w) = (V, av + bw) द्वारा एक सदिश स्थान की संरचना दी जाती है। अंत में, स्थानीय तुच्छता को देखने के लिए, ग्रासमैनियन में एक बिंदु X दिया गया है, U को सभी V का समूह होने दें, जैसे कि X पर लाम्बिक प्रक्षेपण p, V को X पर समरूपी रूप से प्रतिचित्रित करता है, और फिर


 * $$\begin{cases} \phi: \pi^{-1}(U) \to U\times X\subseteq G_n(\R^{n+k}) \times X \\ \phi(V,v) = (V, p(v)) \end{cases}$$

को परिभाषित करता है जो स्पष्ट रूप से एक होमोमोर्फिज्म है। इसलिए, परिणाम पद n का सदिश बंडल है।

इस प्रकार से यदि हम $$\R$$ को जटिल क्षेत्र $$\C$$ से बदल दें तो उपरोक्त परिभाषा का अर्थ बना रहता है।

अतः परिभाषा के अनुसार, अनंत ग्रासमैनियन $$G_n$$ $$G_n(\R^{n+k})$$ की $$k\to\infty$$ के रूप में प्रत्यक्ष सीमा है। बंडलों की प्रत्यक्ष सीमा γn, k लेते हुए, $$G_n$$ का टॉटोलॉजिकल बंडल γn देता है। टॉटोलॉजिकल बंडल यह इस अर्थ में सार्वभौमिक बंडल है: प्रत्येक संहत समष्टि X के लिए, प्राकृतिक आक्षेप$$\begin{cases} [X, G_n] \to \operatorname{Vect}^{\R}_n(X) \\ f \mapsto f^*(\gamma_n) \end{cases}$$

है जहां बाईं ओर कोष्ठक का अर्थ समस्थेयता कक्ष है और दाईं ओर पद एन के वास्तविक सदिश बंडलों के समरूपता वर्गों का समुच्चय है। व्युत्क्रम प्रतिचित्र इस प्रकार दिया गया है: चूंकि X संहत है, कोई भी सदिश बंडल E तुच्छ बंडल का उपबंडल है: कुछ k के लिए $$E \hookrightarrow X \times \R^{n+k}$$ और इसलिए E समरूपता तक अद्वितीय एक प्रतिचित्र


 * $$\begin{cases}f_E: X \to G_n \\ x \mapsto E_x \end{cases}$$

निर्धारित करता है।

टिप्पणी: इसके स्थान पर, कोई टॉटोलॉजिकल बंडल को सार्वभौमिक बंडल के रूप में परिभाषित कर सकता है; मान लीजिए कि किसी X के लिए एक प्राकृतिक आक्षेप


 * $$[X, G_n] = \operatorname{Vect}^{\R}_n(X)$$ है।

चूँकि $$G_n$$ सघन समष्टि की प्रत्यक्ष सीमा है, यह अनुसंहत है और इसलिए $$G_n$$ के ऊपर एक अद्वितीय सदिश बंडल है जो $$G_n$$ पर पहचान प्रतिचित्र से मेल खाता है। यह वस्तुतः टॉटोलॉजिकल बंडल है और, प्रतिबंध के द्वारा, किसी को सभी $$G_n(\R^{n+k})$$ पर टॉटोलॉजिकल बंडल प्राप्त होता है।

अधिसमतल बंडल
इस प्रकार से वास्तविक प्रक्षेप्य k-समष्टि पर अधिसमतल बंडल H को इस प्रकार परिभाषित किया गया है। H का कुल स्थान सभी युग्मों (L, f) का समुच्चय है, जिसमें $$\R^{k+1}$$ में मूल बिंदु से होकर जाने वाली एक रेखा L और L पर एक रैखिक फलनात्मक f सम्मिलित है। प्रक्षेपण प्रतिचित्र π π(L, f) = L द्वारा दिया गया है (ताकि L पर फाइबर L का दोहरी सदिश समष्टि हो।) शेष निश्चित टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल के जैसे है।

इस प्रकार से दूसरे शब्दों में, H टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल का दोहरा बंडल है।

अतः बीजगणितीय ज्यामिति में, अधिसमतल बंडल  'अधिसमतल विभाजक'


 * $$H = \mathbb{P}^{n-1} \sub \mathbb{P}^{n}$$

के अनुरूप रेखा बंडल (व्युत्क्रम शीफ ​​के रूप में) होता है, जैसे कि, x0 = 0, जब xi सजातीय निर्देशांक होते हैं। इस प्रकार इसे देखा जा सकता है। यदि D, $$X=\mathbb{P}^n$$ पर एक (वेइल) विभाजक है, तो कोई X पर संबंधित लाइन बंडल O(D) को


 * $$\Gamma(U, O(D)) = \{ f \in K | (f) + D \ge 0 \text{ on } U \}$$

द्वारा परिभाषित करता है, जहां K, X पर तर्कसंगत फलनों का क्षेत्र है। D को H मानते हुए, हमारे निकट है:


 * $$\begin{cases}O(H) \simeq O(1)\\ f \mapsto f x_0\end{cases}$$

जहाँ X0 को, सदैव के जैसे, व्यावर्ती शीफ़ O(1) के वैश्विक खंड के रूप में देखा जाता है। (वस्तुतः, उपरोक्त समरूपता वेइल भाजक और कार्टियर भाजक के बीच सामान्य पत्राचार का भाग है।) अंत में, व्यावर्ती शीफ का दोहरा टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल (नीचे देखें) से मेल खाता है।

बीजगणितीय ज्यामिति में टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल
बीजगणितीय ज्यामिति में, यह धारणा किसी भी क्षेत्र k पर स्थित होती है। ठोस परिभाषा इस प्रकार है। इस प्रकार से मान लीजिए $$A = k[y_0, \dots, y_n]$$ और $$\mathbb{P}^n = \operatorname{Proj}A$$ है। ध्यान दें कि हमारे निकट है:


 * $$\mathbf{Spec} \left (\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}[x_0, \ldots, x_n] \right ) = \mathbb{A}^{n+1}_{\mathbb{P}^n} = \mathbb{A}^{n+1} \times_k {\mathbb{P}^n}$$

जहां स्पेक सापेक्ष स्पेक है। अब, डालें:


 * $$L = \mathbf{Spec} \left (\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}[x_0, \dots, x_n]/I \right )$$

जहां I वैश्विक अनुभाग $$x_iy_j-x_jy_i$$ द्वारा उत्पन्न आदर्श शीफ है। तब L उसी आधार योजना $$\mathbb{P}^n$$ पर $$\mathbb{A}^{n+1}_{\mathbb{P}^n}$$ की एक संवृत उपयोजना है; इसके अतिरिक्त, L के संवृत बिंदु निश्चित $$\mathbb{A}^{n+1} \times_k \mathbb{P}^n$$ के (x, y) हैं जैसे कि या तो x शून्य है या $$\mathbb{P}^n$$ में x की प्रतिबिम्ब y है। इस प्रकार, L टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल है जैसा कि पहले परिभाषित किया गया है यदि k वास्तविक या जटिल संख्याओं का क्षेत्र है।

अधिक संक्षिप्त शब्दों में, L एफ़िन समष्टि की उत्पत्ति का आवर्धित $$\mathbb{A}^{n+1}$$ है, जहां L में बिन्दुपथ x = 0 एक असाधारण भाजक है। (सीएफ. हार्टशोर्न, अध्याय., § 4 का अंत)

इस प्रकार से सामान्य रूप में, $$\mathbf{Spec}(\operatorname{Sym} \check{E})$$ परिमित पद के स्थानीय रूप से मुक्त शीफ E के अनुरूप बीजगणितीय सदिश बंडल है। चूँकि हमारे निकट यथार्थ क्रम है:


 * $$0 \to I \to \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}[x_0, \ldots, x_n] \overset{x_i \mapsto y_i}{\longrightarrow} \operatorname{Sym} \mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(1) \to 0,$$

जैसा कि ऊपर परिभाषित गया है, टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल L, सेरे के व्यावर्ती शीफ के दोहरे $$\mathcal{O}_{\mathbb{P}^n}(-1)$$ से मेल खाता है। व्यवहार में दोनों धारणाओं (टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल और व्यावर्ती शीफ के दोहरे) का परस्पर उपयोग किया जाता है।

अतः इस प्रकार से एक क्षेत्र पर, इसकी दोहरी रेखा बंडल अधिसमतल विभाजक H से जुड़ी रेखा बंडल है, जिसके वैश्विक खंड रैखिक रूप हैं। इसका चेर्न वर्ग −H है। यह प्रति-पर्याप्त रेखा बंडल का उदाहरण है। $$\C,$$ से अधिक, यह कहने के बराबर है कि यह एक ऋणात्मक रेखा बंडल है, जिसका अर्थ है कि इसके चेर्न वर्ग को घटाकर मानक काहलर रूप का डी राम वर्ग है।

तथ्य

 * टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल γ1, k स्थानीय रूप से तुच्छ है, परन्तु k ≥ 1 के लिए तुच्छ नहीं है। यह अन्य क्षेत्रों पर भी सत्य है।

वस्तुतः, यह दिखाना प्रत्यक्ष है कि, k = 1 के लिए, वास्तविक टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल कोई और नहीं बल्कि प्रसिद्ध बंडल है जिसका फाइबर बंडल मोबियस स्ट्रिप है। इस प्रकार से उपरोक्त तथ्य के पूर्ण प्रमाण के लिए देखें।
 * $$\mathbb{P}(V)$$ पर रेखा बंडलों का पिकार्ड समूह अनंत चक्रीय है, और टॉटोलॉजिकल रेखा बंडल जनक है।


 * प्रक्षेप्य समष्टि की स्थिति में, जहां टॉटोलॉजिकल बंडल रेखा बंडल है, अनुभागों का संबंधित व्युत्क्रम शीफ $$\mathcal{O}(-1)$$ ​​है, अधिसमतल बंडल या सेरे ट्विस्ट शीफ $$\mathcal{O}(1)$$ का टेंसर व्युत्क्रम (अर्थात दोहरी सदिश बंडल); दूसरे शब्दों में अधिसमतल बंडल पिकार्ड समूह का धनात्मक घात वाला जनक है (एक विभाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) के रूप में) और टॉटोलॉजिकल बंडल इसके विपरीत है: ऋणात्मक घात का जनक।

यह भी देखें

 * हॉपफ बंडल
 * स्टिफ़ेल-व्हिटनी वर्ग
 * यूलर अनुक्रम
 * चेर्न वर्ग (टॉटोलॉजिकल बंडलों का चेर्न वर्ग अनंत ग्रासमैनियन के सह समरूपता वलय का बीजगणितीय रूप से स्वतंत्र जनक है।)
 * बोरेल का प्रमेय
 * थॉम समष्टि (टॉटोलॉजिकल बंडलों के थॉम समष्टि γn चूँकि n →∞ को थॉम वर्णक्रम कहा जाता है।)
 * ग्रासमैन बंडल

स्रोत


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