हार्मोनिक मैप

अंतर ज्यामिति के गणितीय क्षेत्र में,  रीमैनियन कई गुना ्स के बीच एक स्मूद मैप को हार्मोनिक फ़ंक्शन जाता है यदि इसके समन्वय प्रतिनिधि एक निश्चित नॉनलाइनियर आंशिक विभेदक समीकरण को संतुष्ट करते हैं। मानचित्रण के लिए यह आंशिक अवकल समीकरण एक प्रकार्यात्मक के यूलर-लैग्रेंज समीकरण के रूप में भी उत्पन्न होता है जिसे डाइरिचलेट ऊर्जा कहा जाता है। इस प्रकार, हार्मोनिक मानचित्रों के सिद्धांत में रिमेंनियन ज्यामिति में  geodesic  | यूनिट-स्पीड जियोडेसिक्स के सिद्धांत और हार्मोनिक कार्यों के सिद्धांत दोनों शामिल हैं।

अनौपचारिक रूप से, मानचित्रण की डिरिचलेट ऊर्जा $f$ एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड से $M$ एक रिमेंनियन मैनिफोल्ड के लिए $N$ को कुल राशि के रूप में माना जा सकता है $f$ खिंचता है $M$ इसके प्रत्येक तत्व को एक बिंदु पर आवंटित करने में $N$. उदाहरण के लिए, एक बिना फैला हुआ रबर बैंड और एक चिकना पत्थर दोनों को स्वाभाविक रूप से रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के रूप में देखा जा सकता है। पत्थर पर रबर बैंड को खींचने के किसी भी तरीके को इन मैनिफोल्ड के बीच मैपिंग के रूप में देखा जा सकता है, और इसमें शामिल कुल तनाव को डिरिचलेट ऊर्जा द्वारा दर्शाया जाता है। इस तरह के मानचित्रण की सामंजस्यता का अर्थ है कि दिए गए खिंचाव को शारीरिक रूप से विकृत करने के किसी भी काल्पनिक तरीके को देखते हुए, विरूपण शुरू होने पर तनाव (जब समय के कार्य के रूप में माना जाता है) का पहला व्युत्पन्न शून्य के बराबर होता है।

हार्मोनिक मानचित्रों का सिद्धांत 1964 में जेम्स एल्स और जोसेफ एच. सैम्पसन द्वारा शुरू किया गया था, जिन्होंने दिखाया था कि कुछ ज्यामितीय संदर्भों में, मनमाने नक्शे हार्मोनिक मानचित्रों में होमोटॉपी हो सकते हैं। उनका काम रिचर्ड एस. हैमिल्टन के रिक्की प्रवाह पर शुरुआती काम के लिए प्रेरणा था। ज्यामितीय विश्लेषण के क्षेत्र में सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए गए विषयों में हार्मोनिक मानचित्र और संबंधित हार्मोनिक मानचित्र ताप प्रवाह, स्वयं में और हैं।

जोनाथन सैक्स और करेन उहलेनबेक के कारण हार्मोनिक मानचित्रों के अनुक्रमों की बुदबुदाहट की खोज, विशेष रूप से प्रभावशाली रहा है, क्योंकि उनका विश्लेषण कई अन्य ज्यामितीय संदर्भों के लिए अनुकूलित किया गया है। विशेष रूप से, यांग-मिल्स क्षेत्रों के बबलिंग की उहलेनबेक की समानांतर खोज साइमन डोनाल्डसन के चार-आयामी मैनिफोल्ड्स पर काम में महत्वपूर्ण है, और मिखाइल लियोनिदोविच ग्रोमोव की स्यूडोहोलोमॉर्फिक वक्र के बुदबुदाहट की बाद की खोज सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति और क्वांटम कोहोलॉजी के अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण है। हार्मोनिक मानचित्रों के नियमितता सिद्धांत का अध्ययन करने के लिए रिचर्ड स्कोन और उहलेनबेक द्वारा उपयोग की जाने वाली तकनीकें इसी तरह ज्यामितीय विश्लेषण में कई विश्लेषणात्मक तरीकों के विकास की प्रेरणा रही हैं।

मैनिफोल्ड्स के बीच मैपिंग की ज्यामिति
यहां स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड के बीच एक चिकनी मानचित्रण की ज्यामिति को स्थानीय निर्देशांक के माध्यम से और समकक्ष रूप से रैखिक बीजगणित के माध्यम से माना जाता है। ऐसा मानचित्रण पहले मौलिक रूप और दूसरे मौलिक रूप दोनों को परिभाषित करता है। लाप्लासियन (जिसे तनाव क्षेत्र भी कहा जाता है) को दूसरे मौलिक रूप के माध्यम से परिभाषित किया गया है, और इसका गायब होना मानचित्र के हार्मोनिक होने की स्थिति है। छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड्स की सेटिंग में संशोधन के बिना परिभाषाएँ विस्तारित होती हैं।

स्थानीय निर्देशांक
होने देना $U$ यूक्लिडियन स्पेस का एक खुला सेट  बनें |$ℝ^{m}$ और जाने $V$ का एक खुला उपसमुच्चय हो $ℝ^{n}$. प्रत्येक के लिए $i$ और $j$ 1 और के बीच $n$, होने देना $g_{ij}$ एक सुचारू वास्तविक-मूल्यवान कार्य करें $U$, जैसे कि प्रत्येक के लिए $p$ में $U$, एक के पास यह है $m × m$ मैट्रिक्स (गणित) $[g_{ij }(p)]$ सममित मैट्रिक्स और निश्चित मैट्रिक्स | सकारात्मक-निश्चित है। प्रत्येक के लिए $α$ और $β$ 1 और के बीच $m$, होने देना $h_{αβ}$ एक सुचारू वास्तविक-मूल्यवान कार्य करें $V$, जैसे कि प्रत्येक के लिए $q$ में $V$, एक के पास यह है $n × n$ आव्यूह $[h_{αβ }(q)]$ सममित और सकारात्मक-निश्चित है। उलटा मैट्रिक्स को निरूपित करें $[g^{ij }(p)]$ और $[h^{αβ }(q)]$.

प्रत्येक के लिए $i, j, k$ 1 और के बीच $n$ और प्रत्येक $α, β, γ$ 1 और के बीच $m$ क्रिस्टोफेल प्रतीकों को परिभाषित करें $Γ(g)^{k}_{ij} : U → ℝ$ और $Γ(h)^{γ}_{αβ} : V → ℝ$ द्वारा
 * $$\begin{align}

\Gamma(g)_{ij}^k&=\frac{1}{2}\sum_{\ell=1}^m g^{k\ell}\Big(\frac{\partial g_{j\ell}}{\partial x^i}+\frac{\partial g_{i\ell}}{\partial x^j}-\frac{\partial g_{ij}}{\partial x^\ell}\Big)\\ \Gamma(h)_{\alpha\beta}^\gamma&=\frac{1}{2}\sum_{\delta=1}^n h^{\gamma\delta}\Big(\frac{\partial h_{\beta\delta}}{\partial y^\alpha}+\frac{\partial h_{\alpha\delta}}{\partial y^\beta}-\frac{\partial h_{\alpha\beta}}{\partial y^\delta}\Big) \end{align}$$ एक चिकना नक्शा दिया $f$ से $U$ को $V$, इसका दूसरा मूलभूत रूप प्रत्येक के लिए परिभाषित करता है $i$ और $j$ 1 और के बीच $m$ और प्रत्येक के लिए $α$ 1 और के बीच $n$ वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन $∇(df)^{α}_{ij}$ पर $U$ द्वारा
 * $$\nabla(df)_{ij}^\alpha=\frac{\partial^2f^\alpha}{\partial x^i\partial x^j}-\sum_{k=1}^m\Gamma(g)_{ij}^k\frac{\partial f^\alpha}{\partial x^k}+\sum_{\beta=1}^n\sum_{\gamma=1}^n\frac{\partial f^\beta}{\partial x^i}\frac{\partial f^\gamma}{\partial x^j}\Gamma(h)_{\beta\gamma}^\alpha\circ f.$$

इसका लाप्लासियन प्रत्येक के लिए परिभाषित करता है $α$ 1 और के बीच $n$ वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन $(∆f)^{α}$ पर $U$ द्वारा
 * $$(\Delta f)^\alpha=\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^mg^{ij}\nabla(df)_{ij}^\alpha.$$

बंडल औपचारिकता
होने देना $(M, g)$ और $(N, h)$ Riemannian कई गुना हो। एक चिकना नक्शा दिया $f$ से $M$ को $N$, कोई इसके पुशफॉरवर्ड (अंतर) पर विचार कर सकता है $df$ वेक्टर बंडल के अनुभाग (फाइबर बंडल)  के रूप में $T^{ *}M ⊗ f^{ *}TN$ ऊपर $M$; यह कहना है कि प्रत्येक के लिए $p$ में $M$, एक के पास एक रेखीय नक्शा है $df_{p}$ स्पर्शरेखा रिक्त स्थान के बीच $T_{p}M → T_{f(p)}N$. वेक्टर बंडल $T^{ *}M ⊗ f^{ *}TN$ में लेवी-Civita कनेक्शन से प्रेरित एक कनेक्शन (वेक्टर बंडल) है $M$ और $N$. तो कोई सहपरिवर्ती व्युत्पन्न ले सकता है $∇(df)$, जो सदिश बंडल का एक भाग है $T^{ *}M ⊗ T^{ *}M ⊗ f^{ *}TN$ ऊपर $M$; यह कहना है कि प्रत्येक के लिए $p$ में $M$, एक के पास द्विरेखीय मानचित्र है $(∇(df))_{p}$ स्पर्शरेखा रिक्त स्थान $T_{p}M × T_{p}M → T_{f(p)}N$. इस खंड को हेस्सियन के रूप में जाना जाता है $f$.

का उपयोग करते हुए $g$, कोई ट्रेस (रैखिक बीजगणित) का हेसियन कर सकता है $f$ के लैपलेशियन पर पहुंचने के लिए $f$, जो बंडल का एक भाग है $f^{ *}TN$ ऊपर $M$; यह कहता है कि के लाप्लासियन $f$ प्रत्येक को असाइन करता है $p$ में $M$ स्पर्शरेखा स्थान का एक तत्व $T_{f(p)}N$. ट्रेस ऑपरेटर की परिभाषा के अनुसार, लैपेलियन को इस रूप में लिखा जा सकता है
 * $$(\Delta f)_p=\sum_{i=1}^m\big(\nabla(df)\big)_p(e_i,e_i)$$

कहाँ $e_{1}, ..., e_{m}$ क्या किसी $g_{p}$-ऑर्थोनॉर्मल आधार $T_{p}M$.

डिरिचलेट ऊर्जा और इसकी भिन्नता सूत्र
स्थानीय निर्देशांक के दृष्टिकोण से, जैसा कि ऊपर दिया गया है, मानचित्रण का ऊर्जा घनत्व $f$ वास्तविक-मूल्यवान कार्य चालू है $U$ द्वारा दिए गए
 * $$\frac{1}{2}\sum_{i=1}^m\sum_{j=1}^m\sum_{\alpha=1}^n\sum_{\beta=1}^n g^{ij}\frac{\partial f^\alpha}{\partial x^i}\frac{\partial f^\beta}{\partial x^j} (h_{\alpha\beta}\circ f).$$

वैकल्पिक रूप से, बंडल औपचारिकता में, रिमेंनियन मेट्रिक्स ऑन $M$ और $N$ एक बंडल मीट्रिक को प्रेरित करें $T^{ *}M ⊗ f^{ *}TN$, और इसलिए ऊर्जा घनत्व को सुचारू कार्य के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $1⁄2 | df |^{2}$ पर $M$. यह भी संभव है कि ऊर्जा घनत्व को (आधे) द्वारा दिया जा रहा है $g$-पहले मौलिक रूप का निशान। दृष्टिकोण के बावजूद, ऊर्जा घनत्व $e(f)$ एक फंक्शन है $M$ जो चिकना और गैर-नकारात्मक है। अगर $M$ उन्मुख है और $M$ सघन है, की डिरिचलेट ऊर्जा $f$ परिभाषित किया जाता है
 * $$E(f)=\int_M e(f)\,d\mu_g$$

कहाँ $dμ_{g}$ वॉल्यूम फॉर्म चालू है $M$ प्रेरक $g$. चूंकि किसी भी गैर-नकारात्मक मापने योग्य कार्य में एक अच्छी तरह से परिभाषित Lebesgue अभिन्न अंग है, यह प्रतिबंध लगाने के लिए आवश्यक नहीं है कि $M$ कॉम्पैक्ट है; हालाँकि, तब डिरिचलेट ऊर्जा अनंत हो सकती है।

डिरिचलेट ऊर्जा के लिए भिन्नता सूत्र डिरिचलेट ऊर्जा के डेरिवेटिव की गणना करते हैं $E(f)$ मैपिंग के रूप में $f$ विकृत है। इसके लिए, मानचित्रों के एक-पैरामीटर परिवार पर विचार करें $f_{s} : M → N$ साथ $f_{0} = f$ जिसके लिए एक प्रीकंपैक्ट ओपन सेट मौजूद है $K$ का $M$ ऐसा है कि $f_{s}|_{M − K} = f|_{M − K}$ सभी के लिए $s$; एक मानता है कि पैरामीट्रिज्ड परिवार इस मायने में सुचारू है कि संबंधित मानचित्र $(−ε, ε) × M → N$ द्वारा दिए गए $(s, p) ↦ f_{s}(p)$ चिकना है।
 * पहला भिन्नता सूत्र कहता है कि
 * $$\int_M \frac{\partial}{\partial s}\Big|_{s=0}e(f_s)\,d\mu_g=-\int_M h\left(\frac{\partial}{\partial s}\Big|_{s=0}f_s,\Delta f\right)\,d\mu_g$$
 * सीमा के साथ कई गुना के लिए एक संस्करण भी है।

प्रथम भिन्नता सूत्र के कारण, लाप्लासियन का $f$ को डिरिचलेट ऊर्जा की प्रवणता के रूप में सोचा जा सकता है; तदनुसार, एक हार्मोनिक नक्शा डिरिचलेट ऊर्जा का एक महत्वपूर्ण बिंदु है। यह औपचारिक रूप से वैश्विक विश्लेषण और Banach कई गुना की भाषा में किया जा सकता है।
 * दूसरा भिन्नता सूत्र भी है।

हार्मोनिक मानचित्रों के उदाहरण
होने देना $(M, g)$ और $(N, h)$ चिकनी रीमैनियन मैनिफोल्ड्स बनें। अंकन $g_{stan}$ का उपयोग यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर मानक रिमेंनियन मीट्रिक को संदर्भित करने के लिए किया जाता है।
 * हर पूरी तरह से जियोडेसिक नक्शा $(M, g) → (N, h)$ हार्मोनिक है; यह उपरोक्त परिभाषाओं से सीधे अनुसरण करता है। विशेष मामलों के रूप में:
 * किसी के लिए $q$ में $N$, स्थिर नक्शा $(M, g) → (N, h)$ क़ीमत है $q$ हार्मोनिक है।
 * पहचान मानचित्र $(M, g) → (M, g)$ हार्मोनिक है।
 * अगर $f : M → N$ तब एक विसर्जन (गणित) है $f : (M, f^{ *}h) → (N, h)$ हार्मोनिक है अगर और केवल अगर $f$ के सापेक्ष न्यूनतम सबमेनिफोल्ड है $h$. एक विशेष मामले के रूप में:
 * अगर $f : ℝ → (N, h)$ एक स्थिर-गति विसर्जन है, तब $f : (ℝ, g_{stan}) → (N, h)$ हार्मोनिक है अगर और केवल अगर $f$ जियोडेसिक डिफरेंशियल इक्वेशन को हल करता है।
 * याद रखें कि अगर $M$ एक आयामी है, तो की न्यूनतम $f$ के बराबर है $f$ जियोडेसिक होने के नाते, हालांकि इसका मतलब यह नहीं है कि यह एक स्थिर-गति वाला पैरामीट्रिजेशन है, और इसलिए इसका मतलब यह नहीं है $f$ जियोडेसिक डिफरेंशियल इक्वेशन को हल करता है।


 * एक चिकना नक्शा $f : (M, g) → (ℝ^{n}, g_{stan})$ हार्मोनिक है अगर और केवल अगर इसके प्रत्येक $n$ घटक कार्य नक्शे के रूप में हार्मोनिक हैं $(M, g) → (ℝ, g_{stan})$. यह लाप्लास-बेल्ट्रामी ऑपरेटर द्वारा प्रदान की गई सामंजस्य की धारणा के साथ मेल खाता है।
 * काहलर मैनिफोल्ड्स के बीच हर होलोमॉर्फिक नक्शा हार्मोनिक है।
 * रीमैनियन मैनिफोल्ड्स के बीच हर हार्मोनिक रूपवाद हार्मोनिक है।

सुदृढ़ता
होने देना $(M, g)$ और $(N, h)$ चिकनी रीमैनियन मैनिफोल्ड्स बनें। अंतराल पर एक हार्मोनिक नक्शा गर्मी प्रवाह $(a, b)$ प्रत्येक को असाइन करता है $t$ में $(a, b)$ दो बार अलग-अलग नक्शा $f_{t} : M → N$ इस तरह से कि, प्रत्येक के लिए $p$ में $M$, वो नक्शा $(a, b) → N$ द्वारा दिए गए $t ↦ f_{t }(p)$ अलग-अलग है, और इसका व्युत्पन्न एक दिए गए मूल्य पर है $t$ एक सदिश के रूप में है $T_{f_{t }(p)}N$, के बराबर $(∆ f_{t })_{p}$. इसे आमतौर पर संक्षिप्त किया जाता है:
 * $$\frac{\partial f}{\partial t}=\Delta f.$$

ईल्स और सैम्पसन ने हार्मोनिक मैप हीट फ्लो पेश किया और निम्नलिखित मूलभूत गुणों को सिद्ध किया: अब मान लीजिए $M$ एक बंद कई गुना है और $(a, b) × M → N$ भौगोलिक रूप से पूर्ण है। विशिष्टता प्रमेय के परिणामस्वरूप, प्रारंभिक डेटा के साथ अधिकतम हार्मोनिक मानचित्र ताप प्रवाह मौजूद है $(t, p) ↦ f_{t }(p)$, जिसका अर्थ है कि किसी के पास एक हार्मोनिक मैप हीट फ्लो है $(N, h)$ अस्तित्व प्रमेय के बयान के रूप में, और यह विशिष्ट रूप से अतिरिक्त मानदंड के तहत परिभाषित किया गया है $M$ इसका अधिकतम संभव मान लेता है, जो अनंत हो सकता है।
 * नियमितता। मानचित्र के रूप में कोई हार्मोनिक मानचित्र ताप प्रवाह चिकनी है $f$ द्वारा दिए गए $f_{t}$.
 * अस्तित्व। एक निरंतर भिन्न मानचित्र दिया गया है $(0, T)$ से $N$ को $T$, एक सकारात्मक संख्या मौजूद है $t$ और एक हार्मोनिक मैप हीट फ्लो $f_{t}$ अंतराल पर $f$ ऐसा है कि $C^{1}$ में परिवर्तित हो जाता है ${ f_{t} : 0 < t < T  }$ में ${ \overline{ f }_{t} : 0 < t < \overline{T} }$ टोपोलॉजी के रूप में $T$ घटकर 0 हो जाता है।
 * अद्वितीयता। अगर $f_{t} = \overline{f }_{t}$ और $0 < t < min(T, \overline{T})$ अस्तित्व प्रमेय के रूप में दो हार्मोनिक मानचित्र ताप प्रवाह हैं $f$ जब कभी भी ${ f_{t} : 0 < t < T  }$.

ईल्स और सैम्पसन की प्रमेय
एल्स एंड सैम्पसन के 1964 के पेपर का प्राथमिक परिणाम निम्नलिखित है: "Let $(M, g)$ and $(N, h)$ be smooth and closed Riemannian manifolds, and suppose that the sectional curvature of $(N, h)$ is nonpositive. Then for any continuously differentiable map $f$ from $M$ to $N$, the maximal harmonic map heat flow ${ f_{t} : 0 < t < T  }$ with initial data $f$ has $T = ∞$, and as $t$ increases to $∞$, the maps $f_{t}$ subsequentially converge in the $C^{∞}$ topology to a harmonic map."

विशेष रूप से, यह दर्शाता है कि, पर मान्यताओं के तहत $(M, g)$ और $(N, h)$, हर निरंतर नक्शा एक हार्मोनिक मानचित्र के समरूप है। प्रत्येक होमोटॉपी वर्ग में एक हार्मोनिक मानचित्र का अस्तित्व, जो स्पष्ट रूप से मुखर हो रहा है, परिणाम का हिस्सा है। एल्स और सैम्पसन के काम के तुरंत बाद, फिलिप हार्टमैन ने होमोटॉपी कक्षाओं के भीतर हार्मोनिक मानचित्रों की विशिष्टता का अध्ययन करने के लिए अपने तरीकों का विस्तार किया, साथ ही यह दिखाया कि ईल्स-सैम्पसन प्रमेय में अभिसरण मजबूत है, बिना किसी क्रम का चयन करने की आवश्यकता के। एल्स और सैम्पसन के परिणाम को रिचर्ड एस. हैमिल्टन द्वारा डिरिचलेट सीमा स्थिति की स्थापना के लिए अनुकूलित किया गया था, जब $M$ इसके बजाय गैर-खाली सीमा के साथ कॉम्पैक्ट है।

एकवचन और कमजोर समाधान
एल्स और सैम्पसन के काम के बाद कई वर्षों तक, यह स्पष्ट नहीं था कि अनुभागीय वक्रता की धारणा किस हद तक है $(N, h)$ आवश्यक था। 1992 में कुंग-चिंग चांग, ​​वेई-यू डिंग और रगांग ये के काम के बाद, यह व्यापक रूप से स्वीकार किया जाता है कि एक हार्मोनिक नक्शा गर्मी प्रवाह के अस्तित्व का अधिकतम समय आमतौर पर अनंत होने की उम्मीद नहीं की जा सकती। उनके परिणाम दृढ़ता से सुझाव देते हैं कि हार्मोनिक मानचित्र ताप प्रवाह दोनों के होने पर भी परिमित-समय के विस्फोट के साथ होता है $(M, g)$ और $(N, h)$ को इसके मानक मीट्रिक के साथ द्वि-आयामी क्षेत्र के रूप में लिया जाता है। चूंकि अण्डाकार और परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण विशेष रूप से सुचारू होते हैं जब डोमेन दो आयाम होता है, चांग-डिंग-ये परिणाम को प्रवाह के सामान्य चरित्र का संकेत माना जाता है।

सैक्स और उहलेनबेक के मौलिक कार्यों पर आधारित, माइकल स्ट्रूवे ने उस मामले पर विचार किया जहां पर कोई ज्यामितीय धारणा नहीं थी $(N, h)$ से बना। उस मामले में $M$ द्वि-आयामी है, उन्होंने हार्मोनिक मैप हीट फ्लो के कमजोर समाधानों के लिए बिना शर्त अस्तित्व और विशिष्टता की स्थापना की। इसके अलावा, उन्होंने पाया कि उनके कमजोर समाधान बहुत से अंतरिक्ष-समय बिंदुओं से आसानी से दूर हो जाते हैं, जिस पर ऊर्जा घनत्व केंद्रित होता है। सूक्ष्म स्तरों पर, इन बिंदुओं के निकट प्रवाह को एक बुलबुले द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है, अर्थात गोल 2-गोले से लक्ष्य में एक सहज हार्मोनिक नक्शा। वेइयु डिंग और गिरोह टीआई प्रेस  एकवचन समय में ऊर्जा परिमाणीकरण को सिद्ध करने में सक्षम थे, जिसका अर्थ है कि स्ट्रूवे के कमजोर समाधान की डिरिचलेट ऊर्जा, एक विलक्षण समय पर, उस समय विलक्षणता के अनुरूप बुलबुले की कुल डिरिचलेट ऊर्जा के योग से कम हो जाती है।.

स्ट्रूवे बाद में अपने तरीकों को उच्च आयामों में अनुकूलित करने में सक्षम थे, इस मामले में कि डोमेन मैनिफोल्ड यूक्लिडियन अंतरिक्ष  है; उन्होंने और युन मेई चेन ने भी उच्च-आयामी बंद मैनिफोल्ड्स पर विचार किया। उनके परिणाम निम्न आयामों की तुलना में कम प्राप्त हुए, केवल कमजोर समाधानों के अस्तित्व को साबित करने में सक्षम होने के कारण जो खुले घने उपसमुच्चय पर सहज हैं।

बोचनर सूत्र और कठोरता
ईल्स और सैम्पसन के प्रमेय के सबूत में मुख्य कम्प्यूटेशनल बिंदु एक हार्मोनिक मानचित्र ताप प्रवाह की सेटिंग के लिए बोचनर के सूत्र का अनुकूलन है। ${ f_{t} : 0 < t < T  }$. यह सूत्र कहता है
 * $$\Big(\frac{\partial}{\partial t}-\Delta^g\Big)e(f)=-\big|\nabla(df)\big|^2-\big\langle\operatorname{Ric}^g,f^\ast h\big\rangle_g+\operatorname{scal}^g\big(f^\ast\operatorname{Rm}^h\big).$$

यह हार्मोनिक मानचित्रों के विश्लेषण में भी रूचि रखता है। कल्पना करना $f : M → N$ हार्मोनिक है; किसी भी हार्मोनिक मानचित्र को निरंतर-इन-के रूप में देखा जा सकता है$t$ हार्मोनिक मैप हीट फ्लो का समाधान, और इसलिए उपरोक्त सूत्र से प्राप्त होता है
 * $$\Delta^ge(f)=\big|\nabla(df)\big|^2+\big\langle\operatorname{Ric}^g,f^\ast h\big\rangle_g-\operatorname{scal}^g\big(f^\ast\operatorname{Rm}^h\big).$$

यदि रिक्की की वक्रता $g$ सकारात्मक है और का अनुभागीय वक्रता है $h$ सकारात्मक नहीं है, तो इसका तात्पर्य है कि $∆e(f)$ अऋणात्मक है। अगर $M$ बंद है, तो गुणा करें $e(f)$ और भागों द्वारा एक एकल एकीकरण यह दर्शाता है $e(f)$ स्थिर होना चाहिए, और इसलिए शून्य; इस तरह $f$ स्वयं स्थिर होना चाहिए। रिचर्ड स्कोएन और शिंग-तुंग यौ ने नोट किया कि इस तर्क को नॉनकॉम्पैक्ट तक बढ़ाया जा सकता है $M$ Yau के प्रमेय का उपयोग करके यह दावा करते हुए कि गैर-ऋणात्मक सबहार्मोनिक फ़ंक्शन जो Lp स्थान हैं|$L^{2}$-बाध्य स्थिर होना चाहिए। संक्षेप में, इन परिणामों के अनुसार, किसी के पास: "Let $(M, g)$ and $(N, h)$ be smooth and complete Riemannian manifolds, and let $f$ be a harmonic map from $M$ to $N$. Suppose that the Ricci curvature of $g$ is positive and the sectional curvature of $h$ is nonpositive.
 * If $M$ and $N$ are both closed then $f$ must be constant.
 * If $N$ is closed and $f$ has finite Dirichlet energy, then it must be constant."

Eells−Sampson प्रमेय के संयोजन में, यह दिखाता है (उदाहरण के लिए) कि यदि $(M, g)$ सकारात्मक रिक्की वक्रता के साथ एक बंद रिमेंनियन मैनिफोल्ड है और $(N, h)$ गैर-सकारात्मक अनुभागीय वक्रता के साथ एक बंद रिमेंनियन मैनिफोल्ड है, फिर प्रत्येक निरंतर मानचित्र से $M$ को $N$ एक स्थिरांक के लिए समरूप है।

एक सामान्य मानचित्र को एक हार्मोनिक मानचित्र में विकृत करने का सामान्य विचार, और फिर यह दर्शाता है कि ऐसा कोई भी हार्मोनिक मानचित्र स्वचालित रूप से अत्यधिक प्रतिबंधित वर्ग का होना चाहिए, कई अनुप्रयोगों को मिला है। उदाहरण के लिए, यम-टोंग सिउ ने बोचनर फॉर्मूला का एक महत्वपूर्ण जटिल-विश्लेषणात्मक संस्करण पाया, जिसमें कहा गया है कि काहलर मैनिफोल्ड्स के बीच एक हार्मोनिक मानचित्र होलोमोर्फिक होना चाहिए, बशर्ते कि लक्ष्य मैनिफोल्ड में उचित नकारात्मक वक्रता हो। एक अनुप्रयोग के रूप में, हार्मोनिक मानचित्रों के लिए ईल्स-सैम्पसन अस्तित्व प्रमेय का उपयोग करके, वह यह दिखाने में सक्षम था कि यदि $(M, g)$ और $(N, h)$ चिकने और बंद काहलर कई गुना होते हैं, और यदि वक्रता होती है $(N, h)$ उचित रूप से नकारात्मक है, तो $M$ और $N$ बाइहोलोमॉर्फिक या एंटी-बिहोलोमॉर्फिक होना चाहिए यदि वे एक दूसरे के समरूप हैं; बिहोलोमोर्फिज्म (या एंटी-बिहोलोमोर्फिज्म) सटीक रूप से हार्मोनिक मैप है जो होमोटॉपी द्वारा दिए गए प्रारंभिक डेटा के साथ हार्मोनिक मैप हीट फ्लो की सीमा के रूप में निर्मित होता है। उसी दृष्टिकोण के एक वैकल्पिक सूत्रीकरण के द्वारा, सिउ नकारात्मक वक्रता के प्रतिबंधित संदर्भ में, अभी भी अनसुलझे हॉज अनुमान के एक संस्करण को साबित करने में सक्षम था।

केविन कॉरलेट ने सिउ के बोचनर फॉर्मूले का एक महत्वपूर्ण विस्तार पाया, और इसका उपयोग कुछ झूठ समूहों में जाली के लिए नई अति कठोरता साबित करने के लिए किया। इसके बाद, मिखाइल लियोनिदोविच ग्रोमोव और रिचर्ड स्कोएन ने अनुमति देने के लिए हार्मोनिक मानचित्रों के सिद्धांत का विस्तार किया $(N, h)$ को मीट्रिक स्थान  से बदलना है। ईल्स-सैम्पसन प्रमेय के विस्तार के साथ सिउ-कॉर्लेट बोचनर सूत्र के विस्तार के साथ, वे जाली के लिए नई कठोरता प्रमेय साबित करने में सक्षम थे।

समस्याएं और अनुप्रयोग

 * मैनिफोल्ड्स के बीच हार्मोनिक मानचित्रों पर अस्तित्व के परिणाम उनके रीमैन वक्रता टेन्सर के लिए परिणाम हैं।
 * एक बार अस्तित्व ज्ञात हो जाने के बाद, हार्मोनिक मानचित्र को स्पष्ट रूप से कैसे बनाया जा सकता है? (एक उपयोगी विधि ट्विस्टर सिद्धांत का उपयोग करती है।)
 * सैद्धांतिक भौतिकी में, एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत जिसकी क्रिया (भौतिकी) डिरिचलेट ऊर्जा द्वारा दी जाती है, सिग्मा मॉडल के रूप में जाना जाता है। ऐसे सिद्धांत में, हार्मोनिक मानचित्र instatons के अनुरूप होते हैं।
 * कम्प्यूटेशनल तरल गतिशीलता और कम्प्यूटेशनल भौतिकी के लिए ग्रिड पीढ़ी के तरीकों में मूल विचारों में से एक नियमित ग्रिड उत्पन्न करने के लिए अनुरूप या हार्मोनिक मानचित्रण का उपयोग करना था।

मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच हार्मोनिक मानचित्र
कार्यों के लिए कमजोर सेटिंग में ऊर्जा अभिन्न तैयार किया जा सकता है u : M &rarr; N दो मीट्रिक रिक्त स्थान के बीच। इसके बजाय ऊर्जा एकीकृत प्रपत्र का एक कार्य है
 * $$e_\epsilon(u)(x) = \frac{\int_M d^2(u(x),u(y))\,d\mu^\epsilon_x(y)}{\int_M d^2(x,y)\,d\mu^\epsilon_x(y)}$$

जिसमें मु$&epsilon; x$ एम के प्रत्येक बिंदु से जुड़े माप (गणित) का एक परिवार है।

यह भी देखें

 * ज्यामितीय प्रवाह

संदर्भ
Footnotes

Articles



Books and surveys


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बाहरी संबंध

 * MathWorld: Harmonic map
 * Harmonic Maps Bibliography
 * The Bibliography of Harmonic Morphisms