बार्टलेट का द्विभाजन प्रमेय

बार्टलेट का द्विभाजन प्रमेय नेटवर्क विश्लेषण (विद्युत सर्किट) में एक विद्युत प्रमेय है जिसका श्रेय अल्बर्ट चार्ल्स बार्टलेट को दिया जाता है। प्रमेय से पता चलता है कि किसी भी सममित दो-पोर्ट नेटवर्क को जाली फिल्टर में बदला जा सकता है। प्रमेय अक्सर फ़िल्टर सिद्धांत में दिखाई देता है जहां जाली नेटवर्क को कभी-कभी फ़िल्टर एक्स-सेक्शन के रूप में जाना जाता है, जो वर्णमाला के अक्षरों के बाद अनुभागों के नामकरण के सामान्य फ़िल्टर सिद्धांत अभ्यास के बाद होता है, जिसमें वे समानता रखते हैं।

मूल रूप से बार्टलेट द्वारा बताए गए प्रमेय के लिए नेटवर्क के दो हिस्सों को टोपोलॉजिकल रूप से सममित होना आवश्यक था। इस प्रमेय को बाद में विल्हेम काउर द्वारा उन सभी नेटवर्कों पर लागू करने के लिए विस्तारित किया गया जो विद्युत रूप से सममित थे। अर्थात्, नेटवर्क का भौतिक कार्यान्वयन कोई प्रासंगिकता नहीं रखता है। केवल यह आवश्यक है कि दोनों हिस्सों में इसकी प्रतिक्रिया सममित हो।

अनुप्रयोग
लैटिस टोपोलॉजी फ़िल्टर बहुत आम नहीं हैं। इसका कारण यह है कि उन्हें अन्य डिज़ाइनों की तुलना में अधिक घटकों (विशेषकर प्रारंभ करनेवाला ्स) की आवश्यकता होती है। लैडर टोपोलॉजी बहुत अधिक लोकप्रिय है। हालाँकि, उनमें आंतरिक रूप से संतुलित होने का गुण होता है और किसी अन्य टोपोलॉजी (इलेक्ट्रॉनिक्स) का संतुलित संस्करण, जैसे कि टी-सेक्शन, वास्तव में अधिक इंडक्टर्स का उपयोग कर सकता है। एक अनुप्रयोग संतुलित दूरसंचार लाइनों पर ऑल-पास फ़िल्टर|ऑल-पास चरण सुधार फ़िल्टर के लिए है। प्रमेय आरएफ आवृत्तियों पर क्रिस्टल फिल्टर के डिजाइन में भी दिखाई देता है। यहां सीढ़ी टोपोलॉजी में कुछ अवांछनीय गुण हैं, लेकिन एक सामान्य डिजाइन रणनीति इसकी सादगी के कारण सीढ़ी कार्यान्वयन से शुरू करना है। बार्टलेट के प्रमेय का उपयोग अंतिम कार्यान्वयन की दिशा में एक कदम के रूप में डिज़ाइन को मध्यवर्ती चरण में बदलने के लिए किया जाता है (जाली टोपोलॉजी के असंतुलित संस्करण का उत्पादन करने के लिए ट्रांसफार्मर का उपयोग करके)।

परिभाषा
दो पोर्ट (सर्किट सिद्धांत) के बीच समरूपता के एक विमान के साथ दो-पोर्ट नेटवर्क, एन से प्रारंभ करें। इसके बाद दो नए समान दो-पोर्ट, ½N बनाने के लिए N को इसके समरूपता के तल से काटें। दो समान वोल्टेज जनरेटर को एन के दो बंदरगाहों से कनेक्ट करें। समरूपता से यह स्पष्ट है कि समरूपता के विमान से गुजरने वाली किसी भी शाखा से कोई धारा प्रवाहित नहीं होने वाली है। इन परिस्थितियों में एन के एक बंदरगाह में मापी गई प्रतिबाधा मापी गई प्रतिबाधा के समान होगी यदि समरूपता के विमान से गुजरने वाली सभी शाखाएं खुली सर्किट थीं। इसलिए यह ½N के खुले सर्किट प्रतिबाधा के समान प्रतिबाधा है। आइए हम उस प्रतिबाधा को कहते हैं $$Z_{oc}$$.

अब नेटवर्क एन पर विचार करें जिसमें बंदरगाहों से जुड़े दो समान वोल्टेज जनरेटर हैं लेकिन विपरीत ध्रुवता के साथ। जिस तरह समरूपता के तल पर शाखाओं के माध्यम से धाराओं का सुपरपोजिशन प्रमेय पिछले मामले में शून्य होना चाहिए, सादृश्य द्वारा और द्वैत (विद्युत सर्किट) के सिद्धांत को लागू करना, समरूपता के विमान पर नोड (सर्किट) के बीच वोल्टेज का सुपरपोजिशन भी इसी तरह होना चाहिए इस मामले में शून्य हो. इस प्रकार इनपुट प्रतिबाधा ½N के शॉर्ट सर्किट प्रतिबाधा के समान है। आइए हम उस प्रतिबाधा को कहते हैं $$Z_{sc}$$.

बार्टलेट के द्विभाजन प्रमेय में कहा गया है कि नेटवर्क एन श्रृंखला शाखाओं वाले एक जाली नेटवर्क के बराबर है $$Z_{sc}$$ और की शाखाओं को पार करें $$Z_{oc}$$.



प्रमाण
प्रत्येक पोर्ट से जुड़े समान जनरेटर, ई के साथ दिखाए गए जाली नेटवर्क पर विचार करें। समरूपता और सुपरपोजिशन से यह स्पष्ट है कि श्रृंखला शाखाओं में कोई धारा प्रवाहित नहीं हो रही है $$Z_{sc}$$. इस प्रकार उन शाखाओं को हटाया जा सकता है और शेष सर्किट पर कोई प्रभाव डाले बिना खुला सर्किट छोड़ा जा सकता है। यह 2E के वोल्टेज और प्रतिबाधा के साथ एक सर्किट लूप छोड़ता है $$2Z_{oc}$$ के लूप में करंट देना;


 * $$I=\frac{2E}{2Z_{oc}}$$

और एक इनपुट प्रतिबाधा;


 * $$\frac{E}{I}=Z_{oc}$$

क्योंकि यह मूल दो-पोर्ट के समतुल्य होने के लिए आवश्यक है।

इसी प्रकार, जेनरेटर में से किसी एक को उलटने पर, एक समान तर्क से, प्रतिबाधा वाले एक लूप में परिणाम मिलता है $$2Z_{sc}$$ और एक इनपुट प्रतिबाधा;


 * $$\frac{E}{I}=Z_{sc}$$

याद रखें कि ये जनरेटर कॉन्फ़िगरेशन सटीक तरीके हैं $$Z_{oc}$$ और $$Z_{sc}$$ मूल दो-पोर्ट में परिभाषित किया गया था, यह साबित हो गया है कि जाली उन दो मामलों के बराबर है। यह साबित होता है कि यह सभी मामलों के लिए ऐसा है, इस पर विचार करके कि अन्य सभी इनपुट और आउटपुट स्थितियों को पहले से ही सिद्ध दो मामलों के रैखिक सुपरपोजिशन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

उदाहरण
बार्टलेट परिवर्तन का विपरीत में उपयोग करना संभव है; अर्थात्, एक सममित जाली नेटवर्क को किसी अन्य सममित टोपोलॉजी में बदलना। ऊपर दिखाए गए उदाहरणों को समान रूप से उल्टा भी दिखाया जा सकता है। हालाँकि, उपरोक्त उदाहरणों के विपरीत, परिणाम हमेशा रैखिक निष्क्रिय घटकों के साथ भौतिक रूप से प्राप्त करने योग्य नहीं होता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि ऐसी संभावना है कि रिवर्स ट्रांसफॉर्मेशन नकारात्मक मूल्यों वाले घटकों को उत्पन्न करेगा। नकारात्मक मात्राओं को केवल नेटवर्क में मौजूद सक्रिय घटकों के साथ ही भौतिक रूप से महसूस किया जा सकता है।

प्रमेय का विस्तार
बार्टलेट के प्रमेय का एक विस्तार है जो समान इनपुट और आउटपुट प्रतिबाधा समाप्ति के बीच संचालित एक सममित इलेक्ट्रॉनिक फ़िल्टर नेटवर्क को असमान स्रोत और लोड प्रतिबाधा के लिए संशोधित करने की अनुमति देता है। यह एक प्रोटोटाइप फ़िल्टर की प्रतिबाधा स्केलिंग का एक उदाहरण है। सममित नेटवर्क अपने समरूपता के तल के अनुदिश द्विभाजित होता है। एक आधे को इनपुट प्रतिबाधा पर स्केल किया जाता है और दूसरे को आउटपुट प्रतिबाधा पर स्केल किया जाता है। फ़िल्टर का प्रतिक्रिया आकार वही रहता है। यह एक प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क की राशि नहीं है, नेटवर्क बंदरगाहों को देखने वाली प्रतिबाधाओं का समाप्ति प्रतिबाधाओं से कोई संबंध नहीं है। इसका मतलब यह है कि बार्टलेट के प्रमेय द्वारा डिज़ाइन किया गया नेटवर्क, सटीक फ़िल्टर प्रतिक्रिया की भविष्यवाणी करते हुए, फ़िल्टर प्रतिक्रिया के अतिरिक्त एक निरंतर क्षीणन भी जोड़ता है। प्रतिबाधा मिलान नेटवर्क में, एक सामान्य डिज़ाइन मानदंड बिजली हस्तांतरण को अधिकतम करना है। इनपुट को चलाने वाले सैद्धांतिक आदर्श जनरेटर के वोल्टेज के सापेक्ष आउटपुट प्रतिक्रिया समान आकार की होती है। यह वास्तविक इनपुट वोल्टेज के सापेक्ष समान नहीं है जो सैद्धांतिक आदर्श जनरेटर द्वारा इसके लोड प्रतिबाधा के माध्यम से वितरित किया जाता है। इनपुट और आउटपुट प्रतिबाधा में अंतर के कारण निरंतर लाभ दिया जाता है;


 * $$A=\frac{V_2}{E}=\frac{2R_2}{R_1 + R_2}$$

ध्यान दें कि यह एकता से अधिक होना संभव है, यानी, वोल्टेज लाभ संभव है, लेकिन बिजली हमेशा खो जाती है।