जटिल संख्या

गणित में, सम्मिश्र संख्या एक संख्या प्रणाली  का एक तत्व है जो वास्तविक संख्याओं को एक विशिष्ट तत्व के साथ विस्तारित करता है जिसे $i$ कहा जाता है, जिसे काल्पनिक इकाई कहा जाता है और समीकरण $$i^{2}= -1$$को संतुष्ट करता है; प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को $$a + bi$$ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां $a$ और $b$ वास्तविक संख्याएं हैं।क्योंकि कोई भी वास्तविक संख्या उपरोक्त समीकरण को संतुष्ट नहीं करती है, रेने डेसकार्टेस द्वारा $i$  एक  काल्पनिक संख्या  कहा जाता था। सम्मिश्र संख्या  $$a+bi$$ के लिए $a$ को वास्तविक भाग और $b$ को काल्पनिक भाग कहा जाता है। सम्मिश्र संख्याओं के समुच्चय को $$\mathbb C$$ या $C$ प्रतीकों में से किसी एक द्वारा निरूपित किया जाता है। ऐतिहासिक नामकरण काल्पनिक के होते हुए भी, सम्मिश्र संख्याओं को  गणितीय विज्ञान  में वास्तविक संख्या के समान वास्तविक माना जाता है और प्राकृतिक विश्व के वैज्ञानिक विवरण के कई स्वरूपों में मौलिक हैं। सम्मिश्र संख्याएं सभी बहुपद समीकरण  के समाधान की स्वीकृति देती हैं, यहां तक कि जिनके पास वास्तविक संख्याओं में कोई समाधान नहीं है। अधिक परिशुद्ध रूप से,  बीजगणित के मौलिक प्रमेय  का दृढ़ कथन है कि वास्तविक या सम्मिश्र गुणांक के साथ प्रत्येक गैर-निरंतर बहुपद समीकरण का एक समाधान होता है जो सम्मिश्र संख्या है।उदाहरण के लिए, समीकरण$$(x+1)^2 = -9$$ कोई वास्तविक समाधान नहीं है, क्योंकि वास्तविक संख्या का वर्ग ऋणात्मक नहीं हो सकता है, लेकिन दो गैर-वास्तविक सम्मिश्र  $$-1+3i$$ और $$-1-3i$$ समाधान हैं।

सम्मिश्र संख्याओं का जोड़, व्यवकलन और गुणा स्वाभाविक रूप से नियम $$i^{2}=-1$$ को साहचर्य, क्रमविनिमेय और वितरण नियमो के साथ जोड़कर परिभाषित किया जा सकता है।प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या का गुणनात्मक व्युत्क्रम होता है। यह सम्मिश्र संख्याओं को एक क्षेत्र (गणित)  बनाता है जिसमें एक उप-क्षेत्र के रूप में वास्तविक संख्याएँ होती है।सम्मिश्र संख्या मानक आधार के रूप में$\{1, i\}$ भी आयाम दो का वास्तविक वेक्टर समष्टि बनाती है।

यह मानक आधार सम्मिश्र संख्याओं को एक कार्तीय तल बनाता है, जिसे सम्मिश्र समतल कहा जाता है। यह सम्मिश्र संख्याओं और उनके संक्रिया की एक ज्यामितीय व्याख्या की स्वीकृति देता है, और इसके विपरीत सम्मिश्र संख्याओं के संदर्भ में कुछ ज्यामितीय गुणों और निर्माणों को व्यक्त करता है। उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या  वास्तविक रेखा  का निर्माण करती है जिसे सम्मिश्र समतल के क्षैतिज अक्ष के लिए पहचाना जाता है। निरपेक्ष मान की सम्मिश्र संख्या एक  इकाई वृत्त का निर्माण करती है। सम्मिश्र संख्या के अतिरिक्त सम्मिश्र समतल में एक   प्रतिश्रवणिक (ज्यामिति) है, और सम्मिश्र संख्या से गुणा मूल में केंद्रित एक  समानता (ज्यामिति)  है। सम्मिश्र संयुग्मन वास्तविक अक्ष के संबंध में  प्रतिबिंब समरूपता  है। सम्मिश्र निरपेक्ष मान एक  यूक्लिडियन मानदंड  है।

सारांश में, सम्मिश्र संख्या एक समृद्ध संरचना बनाती है जो एक साथ बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र है, जो वास्तविक पर एक क्रमविनिमेय बीजगणित (संरचना) है, और आयाम दो का एक  यूक्लिडियन वेक्टर समष्टि है।

परिभाषा
सम्मिश्र संख्या a + bi के रूप की एक संख्या होती है, जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं, और i एक अनिश्चित संतोषजनक i2 = −1 है। उदाहरण के लिए, 2 + 3i सम्मिश्र संख्या है। इस तरह, सम्मिश्र संख्या को एकल अनिश्चितता $z = x + iy$ में वास्तविक गुणांक के साथ एक  बहुपद  के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए संबंध $i$ लगाया जाता है। इस परिभाषा के आधार पर, बहुपद के लिए जोड़ और गुणन का उपयोग करके सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ा और गुणा किया जा सकता है। संबंध $i^{2} + 1 = 0$ समानता  $i^{2} + 1 = 0$ और $i^{4k} = 1, i^{4k+1} = i, i^{4k+2} = −1,$ को प्रेरित करता है, जो सभी पूर्णांक $k$ के लिए मान्य है; ये किसी भी बहुपद को कम करने की स्वीकृति देते हैं जो  $i$ सम्मिश्र संख्याओं के जोड़ और गुणन से एक रैखिक बहुपद के रूप में फिर से $i^{4k+3} = −i$ वास्तविक गुणांक $a, b$ के साथ होता है।

वास्तविक संख्या $a$ सम्मिश्र संख्या का $a + bi$ वास्तविक भाग कहा जाता है; वास्तविक संख्या $b$ इसका काल्पनिक भाग कहलाती है। जोर देने के लिए, काल्पनिक भाग में एक कारक  $i$ सम्मिलित नहीं है;अर्थात्, काल्पनिक भाग $b$, नहीं $a + bi$ है।

औपचारिक रूप से, सम्मिश्र संख्याओं को बहुपद, $bi$ (नीचे देखें) द्वारा उत्पन्न मानक (वलय सिद्धांत) द्वारा अनिश्चित $i^{2} + 1$ में बहुपद वलय के भागफल वलय के रूप में परिभाषित किया जाता है।

संकेतन
वास्तविक संख्या $a$ सम्मिश्र संख्या $i$ के रूप में माना जा सकता है जिसका काल्पनिक भाग 0 है। विशुद्ध रूप से काल्पनिक संख्या $a + 0i$ सम्मिश्र संख्या $bi$, है, जिसका वास्तविक भाग शून्य है। बहुपदों की तरह  $0 + bi$ के लिए a और  $a + 0i$ के लिए  $0 + bi$ लिखना सामान्य है।

इसके अतिरिक्त, जब काल्पनिक भाग ऋणात्मक होता है, अर्थात्, $bi$, के अतिरिक्त $b = −|b| < 0$ के अतिरिक्त $a − |b|i$ लिखना सामान्य है; उदाहरण के लिए, $a + (−|b|)i$ के लिए $b = −4$ के स्थान पर $3 − 4i$ लिखा जा सकता है।

चूँकि अनिश्चित $3 + (−4)i$ और a वास्तविक का गुणन वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों में क्रमविनिमेय होता है, इसलिए बहुपद $i$ को $a + bi$ के रूप में लिखा जा सकता है। यह प्रायः पदों द्वारा निरूपित काल्पनिक भागों के लिए उपयुक्त होता है, उदाहरण के लिए, जब $b$ एक मूलांक है।

सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग $z$ या $a + ib$, $$\mathcal{Re}(z)$$, या $$\mathfrak{R}(z)$$; सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग $z$ या $Re(z)$, $$\mathcal{Im}(z)$$, या $$\mathfrak{I}(z)$$ द्वारा निरूपित किया गया है। उदाहरण के लिए, $$ \operatorname{Re}(2 + 3i) = 2 \quad \text{ and } \quad  \operatorname{Im}(2 + 3i) = 3~.$$ सभी सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय (गणित) द्वारा निरूपित किया गया है $$\Complex$$ ( ब्लैकबोर्ड बोल्ड ) या $Im(z)$ (सीधा बोल्ड) द्वारा निरूपित किया जाता है।।

कुछ विषयों में, विशेष रूप से विद्युतचुम्बकत्व और विद्युत अभियन्त्रण में, $j$ के अतिरिक्त $i$ का उपयोग किया जाता है क्योंकि $i$ का प्रायः  विद्युत प्रवाह का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है। इन स्थितियों में, सम्मिश्र संख्याओं को  $C$, या $a + bj$ लिखा जाता है।

आभासीकरण
इस प्रकार सम्मिश्र संख्या $z$ को वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्म $$(\Re (z),\Im (z))$$ से पहचाना जा सकता है। वास्तविक संख्याओं में से, जिसे बदले में दो आयामी समष्टि में बिंदु के निर्देशांक के रूप में व्याख्या की जा सकती है। सबसे तत्काल समष्टि उपयुक्त निर्देशांक के साथ यूक्लिडियन तल है, जिसे तब सम्मिश्र समतल या आर्गन आरेख कहा जाता है,  जिसका नाम जीन-रॉबर्ट अरगंड के नाम पर रखा गया है। एक अन्य प्रमुख समष्टि जिस पर निर्देशांक प्रक्षेपित किए जा सकते हैं, वह एक वृत्त की द्वि-आयामी सतह है, जिसे तब रीमैन क्षेत्र कहा जाता है।

कार्तीय सम्मिश्र समतल
दो यादृच्छिक वास्तविक मानो को सम्मिलित करने वाली सम्मिश्र संख्याओं की परिभाषा तुरंत सम्मिश्र समतल में कार्तीय निर्देशांक के उपयोग का सुझाव देती है। क्षैतिज (वास्तविक) अक्ष का उपयोग सामान्य रूप से वास्तविक भाग को प्रदर्शित करने के लिए किया जाता है, दाईं ओर बढ़ते मानो के साथ, और काल्पनिक भाग ऊर्ध्वाधर (काल्पनिक) अक्ष को चिह्नित करता है, जिसमें मानो को ऊपर की ओर बढ़ाता है।

रेखा-चित्र संख्या या तो समन्वित बिंदु के रूप में या मूल से इस बिंदु तक स्थिति  वेक्टर (ज्यामितीय)  के रूप में देखी जा सकती है। सम्मिश्र संख्या  $z$ के निर्देशांक मान इसके कार्तीय, आयताकार या बीजगणितीय रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

विशेष रूप से, जोड़ और गुणन के संक्रिया एक बहुत ही प्राकृतिक ज्यामितीय वर्ण पर ले जाते हैं, जब सम्मिश्र संख्याओं को स्थिति वैक्टर के रूप में देखा जाता है: इसके अतिरिक्त यूक्लिडियन वेक्टर जोड़ और व्यवकलन से अनुरूप है, जबकि गुणन (नीचे देखें) उनके परिमाण को गुणा करने और वास्तविक अक्ष के साथ उनके द्वारा बनाए गए कोणों को जोड़ने से अनुरूप है। इस तरह से देखने पर, $a + jb$ द्वारा सम्मिश्र संख्या का गुणा मूल के बारे में एक चौथाई मोड़ (90°) द्वारा स्थिति वेक्टर वामावर्त को घुमाने के अनुरूप होता है - एक तथ्य जिसे बीजगणितीय रूप से व्यक्त किया जा सकता है $$(a + bi)\cdot i = ai + b(i)^2 = -b + ai .$$

ध्रुवीय सम्मिश्र समतल
"ध्रुवीय रूप" यहां पुनर्निर्देश करता है। उच्च-आयामी अनुरूप के लिए, ध्रुवीय अपघटन देखें।

मापांक और तर्क
सम्मिश्र समतल में निर्देशांक के लिए एक वैकल्पिक विकल्प ध्रुवीय समन्वय प्रणाली है जो मूल (गणित) ($z$) से   बिंदु  $O$ की दूरी का उपयोग करता है, और कोण  धनात्मक वास्तविक अक्ष और रेखा-खंड  $z$ के बीच एक वामावर्त अर्थ में अंतरित कोण का उपयोग करता है। यह ध्रुवीय रूप की ओर जाता है
 * $$z=re^{i\varphi}=r(\cos\varphi +i\sin\varphi) $$

सम्मिश्र संख्या का, जहां $Oz$, $r$ का निरपेक्ष मान है, और $$\varphi$$, $z$ का  तर्क (सम्मिश्र विश्लेषण) है ।

सम्मिश्र संख्या $i$ का निरपेक्ष मान (या मापांक या परिमाण) है। $$r=|z|=\sqrt{x^2+y^2}.$$ यदि $z$ वास्तविक संख्या (अर्थात, यदि $z = x + yi$), तब $y = 0$ है। अर्थात्, वास्तविक संख्या का निरपेक्ष मान सम्मिश्र संख्या के रूप में इसके निरपेक्ष मान के बराबर है।

पाइथागोरस के प्रमेय द्वारा, सम्मिश्र संख्या का निरपेक्ष मान सम्मिश्र समतल में सम्मिश्र संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले बिंदु की उत्पत्ति की दूरी है।

$z$ का तर्क ( कई अनुप्रयोगों में $z$ चरण के रूप में संदर्भित) धनात्मक वास्तविक अक्ष के साथ $φ$ त्रिज्या का कोण है, और के रूप में लिखा गया है और इसे $r = |x|$के रूप में लिखा जाता है। मापांक के साथ, तर्क को आयताकार रूप $Oz$ से काल्पनिक-दर-वास्तविक भागों के भागफल के व्युत्क्रम स्पर्शरेखा को प्रयुक्त करके पाया जा सकता है।  आधा-कोण सर्वसमिका का उपयोग करके, आर्कटन की एकल शाखा $arg z$-फलन की सीमा $x + yi$ को आच्छादन करने के लिए पर्याप्त है, और अधिक सूक्ष्म स्थिति-दर-स्थिति विश्लेषण से बचाती है

$$\varphi = \arg (x+yi) = \begin{cases} 2 \arctan\left(\dfrac{y}{\sqrt{x^2 + y^2} + x}\right) &\text{if } y \neq 0 \text{ or } x > 0, \\ \pi &\text{if } x < 0 \text{ and } y = 0, \\ \text{undefined} &\text{if } x = 0 \text{ and } y = 0. \end{cases}$$ सामान्य रूप से, जैसा कि ऊपर दिया गया है, अंतराल $(−π, π]$ में मुख्य मान चयन किया जाता है। यदि तर्क मान ऋणात्मक है, तो श्रेणी $(−π, π]$ या $(−π, π]$ में मान $arg$ जोड़कर प्राप्त किया जा सकता है। इस लेख में $[0, 2π)$ का मान रेडियन में व्यक्त किया गया है। यह $2π$ के किसी भी पूर्णांक गुणक से बढ़ सकता है और फिर भी वही कोण दे सकता है, जो धनात्मक वास्तविक अक्ष की किरणों द्वारा और मूल से $φ$ के माध्यम से अंतरित रूप में देखा जाता है। इसलिए आर्ग फलन को कभी-कभी बहु-मूल्यवान माना जाता है। सम्मिश्र संख्या 0 के लिए ध्रुवीय कोण अनिश्चित है, लेकिन ध्रुवीय कोण 0 का एकपक्षीय विकल्प सामान्य है।

φ का मान atan2 के परिणाम के बराबर है: $$\varphi = \operatorname{atan2}\left(\operatorname{Im}(z),\operatorname{Re}(z) \right).$$ साथ में, $z$ और $r$ सम्मिश्र संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने का एक और तरीका दें, ध्रुवीय रूप, मापांक और तर्क के संयोजन के रूप में तल पर एक बिंदु की स्थिति को पूरी तरह से निर्दिष्ट करें। मूल आयताकार निर्देशांक को ध्रुवीय रूप से पुनर्प्राप्त करना त्रिकोणमितीय रूप नामक सूत्र द्वारा किया जाता है $$ z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ).$$ यूलर के सूत्र का उपयोग करते हुए इसे लिखा जा सकता है $$z = r e^{i \varphi} \text{ or } z = r \exp i \varphi.$$ $2π$ फलन का उपयोग करते हुए, यह कभी -कभी संक्षिप्त किया जाता है $$ z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi. $$ कोण संकेतन में, प्रायः इलेक्ट्रानिक्स  में  $φ$ और चरण $r$ एक चरण (साइन तरंगों) का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, इसे इस रूप में लिखा है $$z = r \angle \varphi. $$

सम्मिश्र रेखांकन
सम्मिश्र विश्लेषण की कल्पना करते समय, सम्मिश्र इनपुट और आउटपुट दोनों की आवश्यकता होती है। क्योंकि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या को दो आयामों में दर्शाया जाता है, दृष्टिगत रूप से सम्मिश्र फलन को रेखांकन करने के लिए चार आयामी समष्टि की धारणा की आवश्यकता होगी, जो केवल अनुमानों में संभव है। इस कारण से, सम्मिश्र फलनों को देखने के अन्य तरीकों को डिजाइन किया गया है।

प्रक्षेत्र रंग में आउटपुट आयामों को क्रमशः रंग और चमक द्वारा दर्शाया जाता है। प्रक्षेत्र के रूप में सम्मिश्र समतल में प्रत्येक बिंदु सामान्य रूप से सम्मिश्र संख्या के तर्क का प्रतिनिधित्व करने वाले रंग और परिमाण का प्रतिनिधित्व करने वाली चमक के साथ अलंकृत होता है। अदीप्‍त बिन्दु मोडुली को शून्य के समीप चिह्नित करते हैं, चमकीले बिन्दु मूल से दूर होते हैं, अतः कोटि निर्धारण  असंतत हो सकता है, लेकिन इसे एकल माना जाता है। लाल, पीले, हरे, सियान, नीले, मैजेंटा से $φ$ के लिए $cis$ को $(z^{2} − 1)(z − 2 − i)^{2}⁄z^{2} + 2 + 2i$ के चरणों में भिन्न होते हैं।इन  क्षेत्रो को प्रक्षेत्र रंग कहा जाता है। यह जानकारी नष्ट किए बिना फलनों की कल्पना करने का एक सरल तरीका प्रदान करता है। चित्र में $0$ के लिए शून्य और $$\pm \sqrt$$ पर ध्रुवों को दिखाया गया है।

इतिहास
सामान्य घन समीकरण के मूलांक (त्रिकोणमितीय फलनों के बिना) में समाधान, जब इसकी तीनों मूल वास्तविक संख्याएँ होती हैं, तो ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल होते हैं, ऐसी स्थिति जिसे तर्कसंगत मूल परीक्षण द्वारा सहायता प्राप्त कारक द्वारा सही नहीं किया जा सकता है, यदि घन अलघुकरणीय है; यह तथाकथित अनुबंधित अलघुकरणीय (" अलघुकरणीय स्थिति") है। इस पहेली ने इतालवी गणितज्ञ गेरोलामो कार्डानो को 1545 के आसपास अपनी एर्स मैग्ना में सम्मिश्र संख्याओं की कल्पना करने के लिए प्रेरित किया, हालांकि उनकी समझ अल्पविकसित थी; इसके अतिरिक्त उन्होंने बाद में सम्मिश्र संख्याओं को स्थिर रूप से अस्वीकार कर दिया क्योंकि वे अनुपयोगी हैं। कार्डानो ने काल्पनिक संख्याओं का उपयोग किया, लेकिन उन्हें "मानसिक यंत्रणा" के रूप में उपयोग किया गया। यह आलेखी सम्मिश्र समतल के उपयोग से पहले था। कार्डानो और अन्य इतालवी गणितज्ञ, विशेष रूप से स्किपिओन डेल फेरो, 1500 के दशक में, घन समीकरणों को हल करने के लिए एक एल्गोरिथ्म बनाया गया था जिसमें सामान्य रूप से वास्तविक समाधान और दो समाधान थे जिसमें एक काल्पनिक संख्या थी। चूंकि उन्होंने काल्पनिक संख्याओं के साथ उत्तरों को उपेक्षित कर दिया था, कार्डानो ने उन्हें अनुपयुक्त पाया।

सामान्य बहुपदों की समस्या पर कार्य अंततः बीजगणित के मौलिक प्रमेय का नेतृत्व किया, जो दर्शाता है कि सम्मिश्र संख्याओं के साथ, एक या उच्चतर सीमा के प्रत्येक बहुपद समीकरण के लिए सम्मिलित है। सम्मिश्र संख्या इस प्रकार एक बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र का निर्माण करती है, जहाँ किसी भी बहुपद समीकरण का एक मूल होता है।

कई गणितज्ञों ने सम्मिश्र संख्याओं के विकास में योगदान दिया। इतालवी गणितज्ञ राफेल बॉम्बेली द्वारा सम्मिश्र संख्याओं के जोड़, व्यवकलन, गुणन और रूट निष्कर्षण के नियमों को विकसित किया गया था। सम्मिश्र संख्याओं के लिए एक अधिक अमूर्त औपचारिकता को आयरिश गणितज्ञ  विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने इस अमूर्तता को चतुर्भुज के सिद्धांत तक बढ़ाया।

ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूलों का सबसे पहला अस्थायी संदर्भ संभव्यता पहली शताब्दी ईस्वी में अलेक्जेंड्रिया के हेलेनिस्टिक गणित के काम में होने के लिए कहा जा सकता है, जहां उन्होंने अपनी त्रिविम-मेट्रीका में, सामान्य रूप से गलती से, एक असंभव छिन्नक के आयतन पर विचार किया। अपनी गणना में पद $$\sqrt{81 - 144}$$ तक पहुंचने के लिए एक पिरामिड, जो वर्तमान  $$\sqrt{-63} = 3i\sqrt{7}$$ के लिए सरल होगा। ऋणात्मक मात्रा में हेलेनिस्टिक गणित में कल्पना नहीं की गई थी और हीरो मेरेली ने इसे केवल इसके धनात्मक  $$\sqrt{144 - 81} = 3\sqrt{7}$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया था।

अपने आप में एक विषय के रूप में सम्मिश्र संख्याओं का अध्ययन करने के लिए प्रेरणा पहली बार 16 वीं शताब्दी में उत्पन्न हुई जब घन समीकरण और चतुर्थक समीकरण बहुपद की रूट के लिए बीजगणितीय समाधान इतालवी गणितज्ञों द्वारा  पता लगाए गए (निकोलो फोंटाना टार्टग्लिया, गेरोलमो कार्डो देखें)। यह शीघ्र ही अनुभव हुआ (लेकिन बहुत बाद में प्रमाणित हुआ) कि ये सूत्र, तथापि कोई केवल वास्तविक समाधानों में रुचि रखता हो, कभी-कभी ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूलों में कुशलता पूर्वक उपयोग की आवश्यकता होती है। एक उदाहरण के रूप में $2\pi$ के घन समीकरण के लिए टारटाग्लिया का सूत्र समीकरण $±1, (2 + i)$ का हल देता है।

$$\tfrac{1}{\sqrt{3}}\left(\left(\sqrt{-1}\right)^{1/3}+\left(\sqrt{-1}\right)^{-1/3}\right).$$ पहली दृष्टि में यह अनुपयुक्त जैसा दिखता है। हालांकि, सम्मिश्र संख्याओं के साथ औपचारिक गणना दर्शाती है कि समीकरण $x3 = px + q$ तीन समाधान : $$-i, \frac{\sqrt{3} + i}{2}, \frac{-\sqrt{3}+i}{2}$$ हैं। टार्टाग्लिया के घन सूत्र में $$\sqrt{-1}^{1/3}$$ के बदले में इन्हें प्रतिस्थापित करने और सरल बनाने पर $x^{3} = x$ के समाधान के रूप में 0, 1 और और −1 प्राप्त होता है। स्वभावतः इस विशेष समीकरण को देखते ही हल किया जा सकता है लेकिन यह स्पष्ट करता है कि जब सामान्य सूत्रों का उपयोग वास्तविक मूल के साथ घन समीकरणों को हल करने के लिए किया जाता है, जैसा कि बाद के गणितज्ञों ने दृढ़ता से दिखाया, सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग अपरिहार्य है। राफेल बॉम्बेली घनीय समीकरणों के इन प्रतीत होने वाले विरोधाभासी समाधानों को स्पष्ट रूप से संबोधित करने वाले पहले व्यक्ति थे और इन समस्याओ को संशोधित करने का प्रयास कर रहे सम्मिश्र अंकगणितीय के लिए नियम विकसित किए।

इन मात्राओं के लिए काल्पनिक शब्द 1637 में रेने डेसकार्टेस द्वारा दिया गया था, जो उनके अवास्तविक प्रकृति पर जोर देने के लिए व्यथा में था

.. कभी-कभी केवल काल्पनिक, अर्थात प्रत्येक समीकरण में जितना मैंने कहा था, उतनी कल्पना कर सकता है, लेकिन कभी-कभी ऐसी कोई मात्रा सम्मिलित नहीं होती है जो उससे अनुरूप हो जिसकी हम कल्पना करते हैं।

[... quelquefois seulement imaginaires c'est-à-dire que l'on peut toujours en imaginer autant que j'ai dit en chaque équation, mais qu'il n'y a quelquefois aucune quantité qui corresponde à celle qu'on imagine.]

भ्रम का एक और स्रोत यह था कि समीकरण $$\sqrt{-1}^2 = \sqrt{-1}\sqrt{-1} = -1$$ बीजगणितीय सर्वसमिका $$\sqrt{a}\sqrt{b} = \sqrt{ab}$$ के साथ असंगत रूप से असंगत लग रहा था। जो गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं  $\pi⁄3$ और $u$ के लिए मान्य है और जिसका उपयोग  $v$, $p$ धनात्मक और अन्य ऋणात्मक में से एक के साथ सम्मिश्र संख्या गणना की  जाती है। इस सर्वसमिका का गलत उपयोग (और संबंधित सर्वसमिका $\frac{1}{\sqrt{a}} = \sqrt{\frac{1}{a}}$ ) स्थिति में जब दोनों $q$ और $a$ ऋणात्मक भी बेडविल्ड  लियोनहार्ड यूलर हैं। इस कठिनाई ने अंततः इस गलती से बचने के लिए $z^{3} = i$ के स्थान पर विशेष प्रतीक $$\sqrt{-1}$$ का उपयोग करने की विधि को उत्पन्न किया। फिर भी, यूलर ने आज की तुलना में छात्रों को सम्मिश्र संख्याओं से परिचित कराना स्वाभाविक माना। अपनी प्राथमिक बीजगणित पाठ्य पुस्तक एलिमेंट्स ऑफ अलजेब्रा में, वह इन संख्याओ का परिचय लगभग एक बार में प्रस्तुत करता है और फिर उन्हें प्राकृतिक तरीके से उपयोग करता है।

18वीं शताब्दी में सम्मिश्र संख्याओं में व्यापक उपयोग प्राप्त हुआ, क्योंकि यह देखा गया था कि त्रिकोणमितीय फलनों से जुड़े गणनाओं को सरल बनाने के लिए सम्मिश्र पदों के औपचारिक प्रकलन का उपयोग किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, 1730 में अब्राहम डे मोइवर ने उल्लेख किया कि उस कोण के त्रिकोणमितीय फलनों की घातो के लिए एक कोण के त्रिकोणमितीय फलनों से संबंधित सर्वसमिका को निम्नलिखित डी मोइवर के सूत्र द्वारा फिर से व्यक्त किया जा सकता है:

$$(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta. $$ 1748 में, यूलर ने आगे बढ़कर यूलर के सम्मिश्र विश्लेषण का सूत्र प्राप्त किया:

$$\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta } $$ औपचारिक रूप से सम्मिश्र घात श्रेणी में प्रकलन करके और देखा गया कि इस सूत्र का उपयोग किसी भी त्रिकोणमितीय सर्वसमिका को कम करने के लिए बहुत सरल घातीय सर्वसमिका को कम करने के लिए किया जा सकता है।

सम्मिश्र समतल (ऊपर) में एक बिंदु के रूप में सम्मिश्र संख्या का विचार पहली बार डेनमार्क   नॉर्वे   गणितज्ञ   कैस्पर वेसल  द्वारा 1799 में वर्णित किया गया था, हालांकि वालिस के बीजगणित के एक ग्रंथ में 1685 के प्रारंभ में अनुमानित था।

वेसेल का संस्मरण कोपेनहेगन एकेडमी की कार्य प्रणाली में दिखाई दिया, लेकिन अधिकतम सीमा तक किसी का ध्यान नहीं गया। 1806 में जीन-रॉबर्ट आर्गंड ने स्वतंत्र रूप से सम्मिश्र संख्याओं पर एक पुस्तिका जारी की और बीजगणित के मौलिक प्रमेय का एक कठिन प्रमाण प्रदान किया।  कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने पहले 1797 में प्रमेय का एक अनिवार्य रूप से  सांस्थिति प्रमाण प्रकाशित किया था, लेकिन उस समय अपने संदेह को व्यक्त किया था, जो कि "-1 के वर्गमूल के सत्य तत्वमीमांसा के बारे में है। यह 1831 तक नहीं था कि उन्होंने इन संदेहों को नियंत्रण कर लिया और तल में बिंदुओं के रूप में सम्मिश्र संख्याओं पर अपने ग्रंथ को प्रकाशित किया, बड़े पैमाने पर आधुनिक संकेतन और शब्दावली की स्थापना की:

यदि किसी ने पहले इस विषय पर असत्य दृष्टिकोण से विचार किया था और इसलिए एक अस्पष्ट अज्ञानता पायी, तो यह बड़े पैमाने पर स्थूल शब्दावली के लिए अधीन है। यदि किसी ने +1, -1, $$\sqrt -1$$ धनात्मक, ऋणात्मक, या काल्पनिक (या असंभव भी) इकाइयां नहीं कहा होता, बल्कि सीधे व्युत्क्रम या पार्श्व इकाइयां कहा होता तो संभव्यता ही इस तरह के  अज्ञानता की बात होती।

19 वीं शताब्दी के प्रारंभ में, अन्य गणितज्ञों ने स्वतंत्र रूप से सम्मिश्र संख्याओं की बुई, मौरे, जॉन वॉरेन (गणितज्ञ),   फ्रेंच और उनके भाई,  राइट बेल्वाइटिस ने ज्यामितीय प्रतिनिधित्व की खोज की।

अंग्रेजी गणितज्ञ जी.एच.हार्डी ने टिप्पणी की कि गॉस 'वास्तव में आत्मविश्वास और वैज्ञानिक तरीके' में सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करने वाले पहले गणितज्ञ थे, हालांकि नॉर्वेजियन नील्स हेनरिक एबेल और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी जैसे गणितज्ञ आवश्यक रूप से गॉस के 1831 के ग्रंथ को प्रकाशित करने से पहले नियमित रूप से उनका उपयोग कर रहे थे।

ऑगस्टिन-लुई कॉची और बर्नहार्ड रीमैन ने कॉची के स्थिति में 1825 के आसपास प्रारंभ करते हुए सम्मिश्र विश्लेषण के मौलिक विचारों को पूर्णता की उच्च स्थिति में लाया।

सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले सामान्य शब्द मुख्य रूप से संस्थापकों के कारण हैं। अरगंड ने $x^{3} &minus; x = 0$ को दिशा कारक कहा, और $$r = \sqrt{a^2 + b^2}$$ मापांक; कॉची (1821) कहा जाता है और $i$ घटा हुआ रूप (लघु पद) और स्पष्ट रूप से तर्क शब्द का परिचय दिया; गॉस ने $$\sqrt{-1}$$ के लिए $cos φ + i sin φ$ का उपयोग किया  ने  $cos φ + i sin φ$ के लिए सम्मिश्र संख्या पद का परिचय दिया, और  $i$ नियम को मानक माना। पद दिशा गुणांक, प्रायः  $a + bi$  हैनकेल (1867) के कारण के लिए उपयोग किया जाताहै, और निरपेक्ष मूल्य, मापांक के लिए, वीरस्ट्रास के कारण है।

बाद में सामान्य सिद्धांत पर शास्त्रीय लेखकों में रिचर्ड डेडेकिंड, ओटो होल्डर,  फेलिक्स क्लेन , हेनरी पोइंकेरे,  हरमन श्वार्ज़ ,  कार्ल वीमर स्ट्रैस और कई अन्य सम्मिलित हैं। 20 वीं शताब्दी के प्रारंभ में सम्मिश्र बहुभिन्नरूपी कलन में महत्वपूर्ण फलन (व्यवस्थितीकरण सहित) प्रारंभ किया गया है। 1927 में  विल्हेम वर्टिंगर द्वारा महत्वपूर्ण परिणाम प्राप्त किए गए हैं।

समानता
सम्मिश्र संख्याओं में वास्तविक संख्याओं की समानता की एक समान परिभाषा है; दो सम्मिश्र संख्याएँ $a^{2} + b^{2}$ और $cos φ + i sin φ$ समान हैं यदि और केवल यदि उनके वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग समान हैं, तब, अर्थात् यदि $a_{1} + b_{1}i$ और $a_{2} + b_{2}i$ हैं।ध्रुवीय रूप में लिखे गए शून्येतर सम्मिश्र संख्याएँ समान होती हैं यदि और केवल यदि उनका परिमाण समान होता है और उनके तर्क $a_{1} = a_{2}$ के पूर्णांक गुणक से भिन्न होते हैं।

अनुक्रम
वास्तविक संख्याओं के विपरीत, सम्मिश्र संख्याओं का कोई प्राकृतिक क्रम नहीं होता है। विशेष रूप से, सम्मिश्र संख्याओं पर कोई रेखीय क्रम नहीं है जो योग और गुणन के साथ संगत हो। इसलिए, सम्मिश्र संख्याओं में एक क्रमित क्षेत्र की संरचना नहीं होती है। इसके लिए एक स्पष्टीकरण यह है कि एक क्रमित क्षेत्र में वर्गों का प्रत्येक गैर-सामान्य योग अशून्य है, और $b_{1} = b_{2}$ वर्गों का गैर-सामान्य योग है। इस प्रकार, सम्मिश्र संख्याओं को स्वाभाविक रूप से एक द्वि-आयामी तल पर विद्यमान माना जाता है।

संयुग्म
सम्मिश्र संख्या $2π$ का सम्मिश्र संयुग्म  $i^{2} + 1^{2} = 0$ द्वारा दिया गया है। इसे या तो $b$ या $z = x + yi$ द्वारा दर्शाया जाता है। सम्मिश्र संख्याओं पर यह एकात्मक संक्रिया केवल उनकी मूल संक्रियाओं जोड़, व्यवकलन, गुणा और भाग को प्रयुक्त करके व्यक्त नहीं की जा सकती।

ज्यामितीय रूप से, $a$ वास्तविक अक्ष के बारे में $b$ का "प्रतिबिंब" है। दो बार संयुग्मन करने से मूल सम्मिश्र संख्या प्राप्त होती है $$\overline{\overline{z}}=z,$$ जो इस संक्रिया को एक घातकरण (गणित) बनाता है। प्रतिबिंब वास्तविक भाग और $a$ के परिमाण दोनों को अपरिवर्तित छोड़ देता है, अर्थात $$\operatorname{Re}(\overline{z}) = \operatorname{Re}(z)\quad$$ और $$\quad |\overline{z}| = |z|.$$ सम्मिश्र संख्या z का काल्पनिक भाग और तर्कांक संयुग्मन के अंतर्गत अपना चिन्ह बदलते हैं $$\operatorname{Im}(\overline{z}) = -\operatorname{Im}(z)\quad \text{ and } \quad \operatorname{arg} \overline{z} \equiv -\operatorname{arg} z \pmod {2\pi}.$$ तर्क और परिमाण पर विवरण के लिए, ध्रुवीय रूप पर अनुभाग देखें।

सम्मिश्र संख्या का गुणनफल $x − yi$ और इसके संयुग्म को निरपेक्ष वर्ग  के रूप में जाना जाता है। यह सदैव गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या होती है और प्रत्येक के परिमाण के वर्ग के बराबर होती है: $$z\cdot \overline{z} = x^2 + y^2 = |z|^2 = |\overline{z}|^2.$$ दिए गए भाजक के संयुग्म द्वारा भिन्न के अंश और हर दोनों का विस्तार करके इस गुण का उपयोग सम्मिश्र भाजक वाले भिन्न को वास्तविक भाजक वाले समतुल्य भिन्न में परिवर्तित करने के लिए किया जा सकता है। इस प्रक्रिया को कभी-कभी भाजक का "युक्तिकरण" कहा जाता है (हालांकि अंतिम पद में भाजक एक अपरिमेय वास्तविक संख्या हो सकती है), क्योंकि यह एक भाजक में सरल पदों से रूट को हटाने की विधि जैसा दिखता है।

सम्मिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक भागों $b$ संयुग्मन का उपयोग करके निकाला जा सकता है: $$\operatorname{Re}(z) = \dfrac{z+\overline{z}}{2},\quad \text{ and } \quad \operatorname{Im}(z) = \dfrac{z-\overline{z}}{2i}.$$ इसके अतिरिक्त, सम्मिश्र संख्या वास्तविक है यदि और केवल यदि यह अपने स्वयं के संयुग्म के बराबर है।

संयुग्मन मूल सम्मिश्र अंकगणितीय संक्रिया पर वितरित करता है: $$\begin{align} \overline{z\pm w} &= \overline{z} \pm \overline{w}, \\ \overline{z\cdot w} &= \overline{z} \cdot \overline{w}, \\ \overline{z/w} &= \overline{z}/\overline{w}. \end{align}$$ संयुग्मन भी व्युत्क्रम ज्यामिति में नियोजित किया जाता है, ज्यामिति की एक शाखा रेखा के बारे में अधिक सामान्य प्रतिबिंबों का अध्ययन करती है।विद्युत परिपथों के नेटवर्क विश्लेषण में, समतुल्य प्रतिबाधा ज्ञात करने के लिए सम्मिश्र संयुग्म का उपयोग किया जाता है जब अधिकतम शक्ति अंतरण प्रमेय की खोज की जाती है

जोड़ना और घटाना
दो सम्मिश्र संख्याएँ $$a =x+yi$$ और $$b =u+vi$$ को उनके वास्तविक और काल्पनिक भागों को अलग-अलग जोड़कर सबसे आसानी से जोड़ दिया जाता है। अर्थात:

$$a + b =(x+yi) + (u+vi) = (x+u) + (y+v)i.$$ इसी तरह, व्यवकलन किया जा सकता है $$a - b =(x+yi) - (u+vi) = (x-u) + (y-v)i.$$ सम्मिश्र संख्या का गुणन $$a =x+yi$$ और एक वास्तविक संख्या r को अलग-अलग r और a के वास्तविक और काल्पनिक भागों को गुणा करके समान रूप से किया जा सकता है: $$ra=r(x+yi) = rx + ryi.$$ विशेष रूप से, व्यवकलन को वियोजक  को अस्वीकार किया जा सकता है (जो इसे  $z*$ गुणा कर रहा है) और परिणाम को न्यूनतम में जोड़ रहा है: $$a - b =a + (-1)\,b.$$ सम्मिश्र समतल में सम्मिश्र संख्याओं के आभासीकरण का उपयोग करते हुए, जोड़ की निम्नलिखित ज्यामितीय व्याख्या है: सम्मिश्र समतल में बिंदुओं के रूप में व्याख्या की गई दो सम्मिश्र संख्याओं a और b का योग, तीन शीर्ष O से एक समानांतर चतुर्भुज बनाकर प्राप्त किया गया बिंदु है, और a और b स्तर वाले तीरों के बिंदु (तथापि कि वे एक रेखा पर न हों)। समान रूप से, इन बिंदुओं को क्रमशः A, B, और समांतर चतुर्भुज X के चौथे बिंदु को मानकर त्रिकोण OAB और XBA सर्वांगसम हैं।

गुणा और वर्ग
वितरणात्मक गुण के नियम, क्रमविनिमेय गुण (जोड़ और गुणा के), और परिभाषित गुण $z = x + yi$ सम्मिश्र संख्याओं पर प्रयुक्त होते हैं। यह इस प्रकार है $$(x+yi)\, (u+vi)= (xu - yv) + (xv + yu)i.$$ विशेष रूप से, $$(x+yi)^2=x^2-y^2 + 2xyi.$$

पारस्परिक और विभाजन
संयुग्मन का उपयोग करते हुए, गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या का गुणक $–1$ के व्युत्क्रम को सदैव विभाजित किया जा सकता है $$\frac{1}{z}=\frac{\overline{z}}{z \overline{z}} = \frac{\overline{z}}{|z|^2}=\frac{\overline{z}}{x^2+y^2}=\frac{x}{x^2+y^2} -\frac{y}{x^2+y^2}i,$$ चूंकि गैर-शून्य का अर्थ है कि $i2 = −1$ शून्य से अधिक है।

इसका उपयोग एक एकपक्षीय सम्मिश्र संख्या $z = x + yi$ के गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या  $z$ द्वारा विभाजन को व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है $$\frac {w}{z}= w\cdot \frac {1}{z}= (u+vi)\cdot \left(\frac{x}{x^2+y^2} -\frac{y}{x^2+y^2}i\right)= \frac{(ux+vy)+(vx-uy)i} {x^2+y^2}.$$

गुणा और ध्रुवीय रूप में विभाजन
गुणन, विभाजन और घातांक के सूत्र कार्तीय निर्देशांकों में संबंधित सूत्रों की तुलना में ध्रुवीय रूप में सरल होते हैं। त्रिकोणमितीय पहचान के कारण दो सम्मिश्र संख्याएँ $x2 + y2$ और $w = u + vi$ दी गई हैं $$\begin{alignat}{4} \cos a \cos b & - \sin a \sin b & {}={} & \cos(a + b) \\ \cos a \sin b & + \sin a \cos b & {}={} & \sin(a + b). \end{alignat}$$ हम प्राप्त कर सकते हैं

$$z_1 z_2 = r_1 r_2 (\cos(\varphi_1 + \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 + \varphi_2)).$$ दूसरे शब्दों में, निरपेक्ष मूल्यों को गुणा किया जाता है और गुणनफल के ध्रुवीय रूप को प्राप्त करने के लिए तर्क जोड़े जाते हैं। उदाहरण के लिए $z_{1} = r_{1}(cos φ_{1} + i sin φ_{1})$ से गुणा करना एक चौथाई मोड़ (ज्यामिति) वामावर्त से अनुरूप है, जो प्रतिवर्त $z_{2} = r_{2}(cos φ_{2} + i sin φ_{2})$देता है। दाईं ओर की रेखाचित्र के गुणन को दर्शाती है $$(2+i)(3+i)=5+5i. $$ चूंकि $i$ वास्तविक और काल्पनिक भागसमान हैं, उस संख्या का तर्क 45 कोटि या $i^{2} = −1$ (रेडियन में) है। दूसरी ओर, यह लाल और नीले त्रिभुजों के मूल में कोणों का योग भी है जो क्रमशः  आर्कटान  (1/3) और आर्कटान (1/2) हैं। इस प्रकार, सूत्र $$\frac{\pi}{4} = \arctan\left(\frac{1}{2}\right) + \arctan\left(\frac{1}{3}\right) $$ धारण करता है। जैसा कि आर्कटैन फलन को अत्यधिक कुशलता से अनुमानित किया जा सकता है, इस तरह के सूत्रों को माचिन-जैसे सूत्रों के रूप में जाना जाता है जो $\pi$ के उच्च-परिशुद्धता सन्निकटन के लिए उपयोग किए जाते हैं।

इसी तरह, विभाजन द्वारा दिया जाता है $$\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} \left(\cos(\varphi_1 - \varphi_2) + i \sin(\varphi_1 - \varphi_2)\right).$$

वर्गमूल
$5 + 5i$ ( $π/4$ के साथ) के वर्गमूल $$ \pm (\gamma + \delta i)$$ हैं, जहाँ

$$\gamma = \sqrt{\frac{a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}}$$ और

$$\delta = (\sgn b)\sqrt{\frac{-a + \sqrt{a^2 + b^2}}{2}},$$ जहाँ $a + bi$ साइनम फलन है। यह वर्ग  $$ \pm (\gamma + \delta i)$$ प्राप्त करने के लिए $b ≠ 0$ द्वारा देखा जा सकता है।  यहां $$\sqrt{a^2 + b^2}$$ का  $sgn$ निरपेक्ष मूल्य कहा जाता है और वर्गमूल रूट चिन्ह गैर-ऋणात्मक वास्तविक भाग के साथ वर्गमूल को इंगित करता है, जिसे मुख्य वर्गमूल कहा जाता है; साथ ही $$\sqrt{a^2 + b^2}= \sqrt{z\overline{z}},$$ जहाँ $a + bi$.

घातीय फलन
घातीय फलन $$\exp \colon \Complex \to \Complex ; z \mapsto \exp z $$ को घात श्रृंखला द्वारा प्रत्येक सम्मिश्र संख्या $\overline{z}$ के लिए परिभाषित किया जा सकता है $$\exp z= \sum_{n=0}^\infty \frac {z^n}{n!},$$ जिसमें अभिसरण का एक अनंत त्रिज्या है।

घातीय फलन के 1 का मान यूलर की संख्या है $$e = \exp 1 = \sum_{n=0}^\infty \frac1{n!}\approx 2.71828.$$ यदि $\overline{z}$ वास्तविक है, तो एक के पास है $$\exp z=e^z.$$ विश्लेषणात्मक निरंतरता इस समानता  $\overline{z}$,के  प्रत्येक सम्मिश्र मूल्य के लिए बढ़ाने की स्वीकृति देती है और इस प्रकार आधार  $z$ के साथ सम्मिश्र घातांक को परिभाषित करती है $$e^z=\exp z.$$

कार्यात्मक समीकरण
घातीय फलन कार्यात्मक समीकरण $$e^{z+t}=e^ze^t$$ को संतुष्ट करता है यह या तो दोनों इकाइयों के घात श्रेणी विस्तार की तुलना करके या समीकरण के प्रतिबंध से वास्तविक तर्कों के लिए विश्लेषणात्मक निरंतरता को प्रयुक्त करके प्रमाणित किया जा सकता है।

यूलर का सूत्र
यूलर के सूत्र में कहा गया है कि, किसी भी वास्तविक संख्या $z$ के लिए $$e^{iy} = \cos y + i\sin y .$$ कार्यात्मक समीकरण का अर्थ है कि, यदि $z$ और $z$ वास्तविक हैं, तब $$e^{x+iy} = e^x(\cos y + i\sin y) = e^x \cos y + i e^x \sin y ,$$ जो अपने वास्तविक और काल्पनिक भागों में घातीय फलन का अपघटन है।

सम्मिश्र लघुगणक
वास्तविक स्थिति में, प्राकृतिक  लघुगणक को व्युत्क्रम फलन के रूप में  घातीय फलन को  $$\ln \colon \R^+ \to \R ; x \mapsto \ln x $$ परिभाषित किया जा सकता है। इसे सम्मिश्र प्रक्षेत्र में विस्तारित करने के लिए, कोई भी यूलर के सूत्र से प्रारंभ कर सकता है। इसका तात्पर्य है कि, यदि सम्मिश्र संख्या $$z\in \Complex^\times$$ ध्रुवीय रूप में लिखा गया है $$ z = r(\cos \varphi + i\sin \varphi )$$ साथ $$r, \varphi \in \R ,$$ फिर से $$ \ln z = \ln r + i \varphi $$ के रूप में सम्मिश्र लघुगणक एक उपयुक्त व्युत्क्रम है: $$ \exp \ln z = \exp(\ln r + i \varphi ) = r \exp i \varphi = r(\cos \varphi + i\sin \varphi ) = z .$$ हालाँकि, क्योंकि कोसाइन और साइन आवधिक फलन हैं, और 2π से φ के पूर्णांक गुणक का जोड़ z नहीं बदलता है। उदाहरण के लिए, eiπ = e3iπ = −1 इसलिए iπ और 3iπ दोनों -1 के प्राकृतिक लघुगणक के लिए संभव मान हैं।

इसलिए, यदि सम्मिश्र लघुगणक को बहु-मूल्यवान फलन के रूप में परिभाषित नहीं किया जाना है$$ \ln z = \left\{ \ln r + i (\varphi + 2\pi k) \mid k \in \Z \right\},$$ किसी को शाखा परिच्छेद का उपयोग करना होगा और सह-प्रक्षेत्र को प्रतिबंधित करना होगा, जिसके परिणामस्वरूप द्विध्रुवीय फलन होता है $$\ln \colon \; \Complex^\times \; \to \; \; \; \R^+ + \; i \, \left(-\pi, \pi\right] .$$ यदि $$z \in \Complex \setminus \left( -\R_{\ge 0} \right)$$ गैर-धनात्मक वास्तविक संख्या (एक धनात्मक या गैर-वास्तविक संख्या) नहीं है, सम्मिश्र लघुगणक का परिणामी प्रमुख मूल्य $a + bi$ के साथ प्राप्त होता है। यह ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के बाहर एक  विश्लेषणात्मक फलन है, लेकिन इसे किसी ऐसे फलन में विस्तारित नहीं किया जा सकता है जो किसी भी ऋणात्मक वास्तविक संख्या  $$z \in -\R^+ $$ पर निरंतर हो, जहां प्रमुख मूल्य $z = a + bi$  है।

घातांक
यदि x > 0 वास्तविक और z सम्मिश्र है, तो घातांक को इस प्रकार परिभाषित किया जाता है$$x^z=e^{z\ln x},$$

जहाँ $−π < φ < π$ प्राकृतिक लघुगणक को दर्शाता है।

इस सूत्र को $z$ सम्मिश्र मानो तक विस्तारित करना स्वाभाविक लगता है, लेकिन इस तथ्य से उत्पन्न कुछ कठिनाइयाँ हैं कि सम्मिश्र लघुगणक वास्तव में एक फलन नहीं है, बल्कि एक बहुस्तरीय फलन है।

यह इस प्रकार है कि यदि $z$ ऊपर है, और यदि $z$ एक और सम्मिश्र संख्या है, तो घातांक बहुवर्धित फलन है $$z^t=\left\{e^{t\ln r}\,(\cos(\varphi t+ 2 \pi kt)+i\sin(\varphi t+ 2 \pi kt))\}\mid k\in \mathbb Z\right\}$$

पूर्णांक और आंशिक घातांक
यदि, पूर्ववर्ती सूत्र में, t एक पूर्णांक है, तो ज्या और कोसाइन k से स्वतंत्र हैं। इस प्रकार, यदि घातांक n एक पूर्णांक है, तो zn अच्छी तरह से परिभाषित है, और घातांक सूत्र डी मोइवर के सूत्र को सरल करता है:z$e$}{ $$ z^{n}=(r(\cos \varphi + i\sin \varphi ))^n = r^n \, (\cos n\varphi + i \sin n \varphi).$$

$y$ }} सम्मिश्र संख्या z के n और n वें मूल द्वारा दिए गए हैं $$z^{1/n} = \sqrt[n]r \left( \cos \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right) + i \sin \left(\frac{\varphi+2k\pi}{n}\right)\right)$$ $ln z = ln(−z) + iπ$ के लिए (यहां $$\sqrt[n]r$$ धनात्मक वास्तविक संख्या r का सामान्य (धनात्मक) nवां मूल है।) क्योंकि साइन और कोसाइन आवधिक हैं, अन्य पूर्णांक मान $x$ अन्य मान नहीं देते हैं।

जबकि धनात्मक वास्तविक संख्या r का nवाँ मूल धनात्मक वास्तविक संख्या c के रूप में चयन किया जाता है जो cn = r, को संतुष्ट करता है, एक सम्मिश्र संख्या के एक विशेष सम्मिश्र nवें मूल को अलग करने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है। इसलिए, nवाँ मूल z का n-मूल्यवान फलन है। इसका तात्पर्य यह है कि, धनात्मक वास्तविक संख्याओं के स्थिति के विपरीत, एक के पास है $$(z^n)^{1/n} \ne z,$$ चूँकि बायीं ओर n मान होते हैं, और दायीं ओर एकल मान होता है।

क्षेत्र संरचना
समुच्चय $$\Complex$$ सम्मिश्र संख्याओं में से एक क्षेत्र (गणित) है। संक्षेप में, इसका तात्पर्य है कि निम्नलिखित तथ्य हैं: सबसे पहले, किसी भी दो सम्मिश्र संख्याओं को जोड़ा जा सकता है और एक और सम्मिश्र संख्या प्राप्त करने के लिए गुणा किया जा सकता है। दूसरा, किसी भी सम्मिश्र संख्या के लिए $y$, इसके योज्य व्युत्क्रम $ln$ सम्मिश्र संख्या भी है; और तीसरा, प्रत्येक गैर-शून्य सम्मिश्र संख्या में एक गुणक व्युत्क्रम सम्मिश्र संख्या होती है। इसके अतिरिक्त, ये संक्रिया कई नियमो को संतुष्ट करते हैं, उदाहरण के लिए किसी भी दो सम्मिश्र संख्याओं के लिए जोड़ और गुणन की संबद्धता  का नियम $0 ≤ k ≤ n − 1$ और $–z$: $$\begin{align} z_1 + z_2 & = z_2 + z_1 ,\\ z_1 z_2 & = z_2 z_1. \end{align}$$ इन दो नियमो और एक क्षेत्र पर अन्य आवश्यकताओं को ऊपर दिए गए सूत्रों द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि वास्तविक संख्या स्वयं एक क्षेत्र का निर्माण करती है।

वास्तविक के विपरीत, $$\Complex$$ एक क्रमित क्षेत्र नहीं है, यह कहना है, किसी संबंध  $z_{1}$ को परिभाषित करना संभव नहीं हैज ो योग और गुणन के साथ संगत है। वास्तव में, किसी भी क्रमित क्षेत्र में, किसी भी तत्व का वर्ग आवश्यक रूप से धनात्मक है, इसलिए $z_{2}$  कुल अनुक्रम $$\Complex$$ के स्थिति को रोकता है  जब गणितीय विषय या निर्माण के लिए अंतर्निहित क्षेत्र सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र होता है, तो विषय का नाम सामान्य रूप से उस तथ्य को प्रतिबिंबित करने के लिए संशोधित किया जाता है। उदाहरण के लिए: सम्मिश्र विश्लेषण, सम्मिश्र  आव्यूह (गणित), सम्मिश्र बहुपद और सम्मिश्र  असत्य बीजगणित है।

बहुपद समीकरणों का समाधान
किसी सम्मिश्र संख्या (गुणांक कहा जाता है) a0, ..., an, समीकरण दिया गया है $$a_n z^n + \dotsb + a_1 z + a_0 = 0$$ कम से कम सम्मिश्र समाधान z है, परंतु कि कम से कम उच्च गुणांक में से एक $z_{1} < z_{2}$ गैर-शून्य है।https://en.wikipedia.org/wiki/Complex_number#cite_note-Bourbaki_1998_loc=%C2%A7VIII.1-7 यह कार्ल फ्रेडरिक गॉस और जीन ले रोंड डी एलेबर्ट के बीजगणित के मौलिक प्रमेय का कथन है। इस तथ्य के कारण, $$\Complex$$ को  बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र कहा जाता है। यह गुण परिमेय संख्याओं $$\Q$$ (बहुपद $i^{2} = −1$ का कोई परिमेय मूल नहीं है, क्योंकि √2 एक परिमेय संख्या नहीं है) और न ही वास्तविक संख्या  $$\R$$ ( $a_{1}, ..., a_{n}$ का  $x^{2} − 2$ (बहुपद) के क्षेत्र के लिए मान्य नहीं है। क्योंकि x का वर्ग किसी भी वास्तविक संख्या x के लिए धनात्मक होता है)।

इस प्रमेय के विभिन्न प्रमाण हैं, या तो लिउविले के प्रमेय जैसे विश्लेषणात्मक तरीकों से, या सांंस्थितिक वाले जैसे वाइंडिंग संख्या, या गैलोइस सिद्धांत के संयोजन के प्रमाण और तथ्य यह है कि विषम घात के किसी भी वास्तविक बहुपद में कम से कम एक वास्तविक मूल है।

इस तथ्य के कारण, किसी भी बीजगणितीय रूप से संवृत क्षेत्र $$\Complex$$ के लिए धारण करने वाले प्रमेय प्रयुक्त होते हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी गैर-रिक्त सम्मिश्र  वर्ग आव्यूह में कम से कम एक (सम्मिश्र)  इगन मूल्य होता है।

बीजगणितीय विशेषता
क्षेत्र $$\Complex$$ निम्नलिखित तीन गुण हैं: यह दिखाया जा सकता है कि इन गुणों वाले किसी भी क्षेत्र $$\Complex$$ में  सममितीय (एक क्षेत्र के रूप में) है उदाहरण के लिए,   $x$-अंकीय संख्या क्षेत्र $$\Q_p$$ का बीजगणितीय संवृत भी इन तीन गुणों को संतुष्ट करती है, इसलिए ये दो क्षेत्र सममितीय हैं (क्षेत्र के रूप में, लेकिन संस्थानिक क्षेत्र के रूप में नहीं)। इसके अतिरिक्त, $$\Complex$$ सम्मिश्र  पुइज़क्स श्रृंखला  के क्षेत्र के लिए समरूपीय है। हालांकि,  समरूपता को निर्दिष्ट करने के लिए विकल्प  के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है। इस बीजगणितीय विशेषता का एक और परिणाम यह है कि $$\Complex$$ कई उपयुक्त उपक्षेत्र सम्मिलित हैं जो  $$\Complex$$ के लिए समरूपीय हैं।
 * सबसे पहले, इसकी विशेषता (बीजगणित)  0. है। इसका तात्पर्य है कि $x^{2} + a$ योग की किसी भी संख्या के लिए (जिनमें से सभी एक के बराबर हैं)।
 * दूसरा, $$\Q$$ के प्रमुख क्षेत्र पर इसकी अबीजीयता की मात्रा $$\Complex,$$ सातत्य की प्रमुखता है।
 * तीसरा, यह बीजगणितीय रूप से संवृत है (ऊपर देखें)।

संस्थानिक क्षेत्र के रूप में विशेषता
$$\Complex$$ के पूर्ववर्ती विशेषता के केवल बीजगणितीय $$\Complex$$ स्वरूपों का वर्णन करता है  इसका तात्पर्य यह है कि प्रतिवेश (सांस्थिति) और  सातत्य (सांस्थिति) के गुण, जो  गणितीय विश्लेषण  और सांस्थिति जैसे क्षेत्रों में विषय-वस्तु हैं, इसे निर्धारित नहीं जाता है।  $$\Complex$$ का निम्नलिखित विवरण  सामयिक वलय के रूप में (अर्थात, एक क्षेत्र जो एक  सामयिक समष्टि से कम है, जो अभिसरण की धारणा की स्वीकृति देता है) संस्थानिक गुणों को ध्यान में रखता है। $$\Complex$$ में निम्नलिखित तीन शर्तों को पूरा करने वाले अशून्य तत्वों का एक उपसमुच्चय P (अर्थात् धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) होता है: इसके अतिरिक्त, $$\Complex$$ में एक गैर-सामान्य समावेशी स्वाकारिकता $a > 0$ (अर्थात् सम्मिश्र संयुग्मन), जैसे कि $1 + 1 + ⋯ + 1 ≠ 0$ में   $$\Complex$$ किसी भी गैर-शून्य  $z$ के लिए $P$ में है।
 * $x ↦ x*$ योग, गुणन और व्युत्क्रम लेने के अंतर्गत संवृत है।
 * यदि x और y P के विशिष्ट अवयव हैं, तो या तो x − y या y − x P में है।
 * यदि S, P का कोई अरिक्त उपसमुच्चय है, तो $${C}$$ में कुछ x के लिए S + P = x + P है।

इन गुणों वाले किसी भी क्षेत्र $t$ समुच्चयों को $x x*$ ले जाकर सांस्थिति के साथ संपन्न किया जा सकता है। एक  आधार (सांस्थिति) के रूप में, जहां x की सीमा क्षेत्र के ऊपर है और p की सीमा P के ऊपर है। इस टोपोलॉजी के साथ F,  $$\Complex$$  के लिए एक सामयिक क्षेत्र के रूप में समरूप है।

केवल स्थानीय रूप से सुसंहत संस्थानिक क्षेत्र $$\R$$ और $$\Complex$$ है। संस्थानिक क्षेत्र के रूप में $$\Complex$$, की अन्य विशेषता देता है, चूंकि $$\Complex$$ को $$\R$$ से अलग किया जा सकता है क्योंकि गैर-शून्य सम्मिश्र संख्याएं जुड़ी हुई हैं, जबकि गैर-शून्य वास्तविक संख्याएं नहीं हैं।

क्रमित युग्मों के अनुसार निर्माण
विलियम रोवन हैमिल्टन ने सम्मिश्र संख्याओं के $$\Complex$$ समुच्चय को वास्तविक संख्याओं के क्रमित युग्मों (a, b) के समुच्चय $$\mathbb{R}^2$$ के रूप में परिभाषित करने के लिए दृष्टिकोण प्रस्तुत किया, जिसमें योग और गुणन के लिए निम्नलिखित नियम प्रयुक्त किए गए हैंː

$$\begin{align} (a, b) + (c, d) &= (a + c, b + d)\\ (a, b) \cdot (c, d) &= (ac - bd, bc + ad). \end{align}$$ तब यह (a, b) को a + bi के रूप में व्यक्त करने के लिए केवल अंकन का विषय है।

भागफल क्षेत्र के रूप में निर्माण
यद्यपि यह निम्न-स्तरीय निर्माण सम्मिश्र संख्याओं की संरचना का सही वर्णन करता है, निम्नलिखित समकक्ष परिभाषा से $$\Complex$$ की बीजगणितीय प्रकृति का अधिक तुरंत पता चलता है। यह विशेषता क्षेत्रों और बहुपदों की धारणा पर निर्भर करता है। क्षेत्र जोड़, घटाव, गुणा और भाग संक्रियाओं से संपन्न एक ऐसा समुच्चय है जो परिमेय संख्याओं से परिचित व्यवहार करता है। उदाहरण के लिए, वितरण नियम $$(x+y) z = xz + yz$$ किसी भी तीन तत्वों $n$, $n$ और $k$ के लिए धारण करना चाहिए। वास्तविक संख्याओं का समुच्चय $$\R$$ क्षेत्र बनाता है। वास्तविक गुणांकों वाला एक बहुपद $P$ रूप का एक व्यंजक है $$a_nX^n+\dotsb+a_1X+a_0,$$ जहां $B(x, p) = { y | p − (y − x)(y − x)* ∈ P }$ वास्तविक संख्याएं हैं। बहुपद का सामान्य जोड़ और गुणनसमुच्चय को समाप्त करता है $$\R[X]$$ एक वलय (गणित) संरचना के साथ ऐसे सभी बहुपद।इस वलय को वास्तविक संख्याओं में बहुपद वलय कहा जाता है।

सम्मिश्र संख्याओं केसमुच्चय को भागफल की वलय के रूप में परिभाषित किया गया है $$\R[X]/(X^2+1).$$<रेफ नाम = bourbaki 1998 loc = §viii.1 /> इस एक्सटेंशन क्षेत्र में दो वर्ग जड़ें हैं $p(X)$, अर्थात् (के coset s) $a_{0}, ..., a_{n}$ और $−1$, क्रमश।(के cosets) $X$ और $−X$ का आधार बनाना $$\mathbb{R}[X]/(X^2 + 1)$$ वास्तविक  वेक्टर स्थल के रूप में, जिसका अर्थ है कि एक्सटेंशन क्षेत्र के प्रत्येक तत्व को इन दो तत्वों में एक  रैखिक संयोजन  के रूप में लिखा जा सकता है।समान रूप से, एक्सटेंशन क्षेत्र के तत्वों को ऑर्डर किए गए जोड़े के रूप में लिखा जा सकता है $1$ वास्तविक संख्याओं की।भागफल की वलय एक क्षेत्र है, क्योंकि $X$ इरायूबल बहुपद पर है $$\R,$$ तो यह आदर्श उत्पन्न करता है  अधिकतम आदर्श  है।

वलय में जोड़ और गुणन के लिए सूत्र $$\R[X],$$ संबंध को मॉड्यूलो $(a, b)$, क्रमित जोड़े के रूप में परिभाषित सम्मिश्र संख्याओं के जोड़ और गुणन के लिए सूत्रों के अनुरूप।तो क्षेत्र की दो परिभाषाएँ $$\Complex$$ समाकृतिकता  (क्षेत्र के रूप में) हैं।

स्वीकार करते हुए $$\Complex$$ बीजगणितीय रूप से संवृत है, क्योंकि यह एक बीजगणितीय विस्तार है $$\mathbb{R}$$ इस दृष्टिकोण में, $$\Complex$$ इसलिए बीजगणितीय संवृत है $$\R.$$

आव्यूह सम्मिश्र संख्याओं का प्रतिनिधित्व
सम्मिश्र आंकड़े $X^{2} + 1$ द्वारा भी प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $X^{2} = −1$ आव्यूह (गणित) जिसमें रूप है:

$$ \begin{pmatrix} a &  -b  \\ b & \;\; a \end{pmatrix} $$ यहाँ प्रविष्टियाँ $z$ और $p$ वास्तविक संख्याएं हैं।चूंकि इस तरह के दो मैट्रिस का योग और गुणनफल फिर से इस रूप में है, इसलिए ये मैट्रिस वलय का एक सबरिंग  बनाते हैं $a + bi$ मैट्रिसेस।

एक साधारण गणना से पता चलता है कि नक्शा: $$a+ib\mapsto \begin{pmatrix} a &  -b  \\ b & \;\; a \end{pmatrix}$$ एक वलय समरूपता इन मैट्रीस ऑफ इन मैट्रिसेस तक सम्मिश्र संख्याओं के क्षेत्र से है।यह समरूपता सम्मिश्र संख्या के निरपेक्ष मान के वर्ग को संबंधित आव्यूह के निर्धारक के साथ जोड़ता है, और आव्यूह के  पक्षांतरित  के साथ सम्मिश्र संख्या का संयुग्मित करता है।

सम्मिश्र संख्याओं के गुणन का ज्यामितीय विवरण सम्मिश्र संख्याओं और ऐसे मैट्रिसेस के बीच इस पत्राचार का उपयोग करके घूर्णन आव्यूह के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है।एक वेक्टर पर आव्यूह की कार्रवाई $2 × 2$ के गुणन से अनुरूप है $2 × 2$ द्वारा $(x, y)$।विशेष रूप से, यदि निर्धारक है $x + iy$, वास्तविक संख्या है $x$ इस तरह कि आव्यूह का रूप है: $$\begin{pmatrix} \cos t & - \sin t  \\ \sin t & \;\; \cos t \end{pmatrix}$$ इस स्थिति में, वैक्टर पर आव्यूह की कार्रवाई और सम्मिश्र संख्या से गुणा $$\cos t+i\sin t$$ दोनों कोण के घूर्णन (गणित) दोनों हैं $F$।

सम्मिश्र विश्लेषण


सम्मिश्र चर के फलनों के अध्ययन को सम्मिश्र विश्लेषण के रूप में जाना जाता है और प्रयुक्त गणित के साथ -साथ गणित की अन्य शाखाओं में भी भारी व्यावहारिक उपयोग होता है।प्रायः, वास्तविक विश्लेषण  या यहां तक कि  संख्या सिद्धांत  में बयानों के लिए सबसे प्राकृतिक प्रमाण सम्मिश्र विश्लेषण से तकनीकों को नियोजित करते हैं (एक उदाहरण के लिए  प्रधान संख्या प्रमेय  देखें)।वास्तविक फलनों के विपरीत, जिन्हें सामान्य रूप से दो-आयामी ग्राफ़ के रूप में दर्शाया जाता है,  सम्मिश्र फलनो में चार-आयामी रेखांकन होते हैं और इसे दो चर के एक फलन के एक ग्राफ को रंग-कोडित करके उपयोगी रूप से चित्रित किया जा सकता है। चार आयामों का सुझाव देने के लिए तीन-आयामी ग्राफ, या इसके द्वारा या उसके द्वारा।सम्मिश्र समतल के सम्मिश्र फलन के गतिशील परिवर्तन को एनिमेट करना।

सम्मिश्र घातीय और संबंधित फलन
(वास्तविक) विश्लेषण में अभिसरण श्रृंखला  और निरंतर फलनों की धारणाओं में सम्मिश्र विश्लेषण में प्राकृतिक एनालॉग्स हैं।एक क्रम  सम्मिश्र संख्याओं के रूप में  अभिसरण अनुक्रम  कहा जाता है यदि और केवल यदि इसके वास्तविक और काल्पनिक भाग करते हैं।यह सीमाओं के (ε, Δ) -Definition के बराबर है, जहां वास्तविक संख्याओं के निरपेक्ष मान को सम्मिश्र संख्याओं में से एक द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।अधिक अमूर्त दृष्टिकोण से, $$\mathbb{C}$$, मीट्रिक (गणित) के साथ संपन्न $$\operatorname{d}(z_1, z_2) = |z_1 - z_2|$$ एक पूर्ण मीट्रिक समष्टि है, जिसमें विशेष रूप से त्रिभुज असमानता सम्मिलित है $$|z_1 + z_2| \le |z_1| + |z_2|$$ किसी भी दो सम्मिश्र संख्याओं के लिए $a + ib$ और $1$।

वास्तविक विश्लेषण की तरह, अभिसरण की इस धारणा का उपयोग कई प्राथमिक फलनो के निर्माण के लिए किया जाता है: घातीय फलन $sin(1/z)$, भी लिखा है $z_{1}$,  अनंत श्रृंखला  के रूप में परिभाषित किया गया है $$\exp z:= 1+z+\frac{z^2}{2\cdot 1}+\frac{z^3}{3\cdot 2\cdot 1}+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{z^n}{n!}. $$ वास्तविक त्रिकोणमितीय फलनों को परिभाषित करने वाली श्रृंखला ज्या  और  कोज्या, साथ ही साथ  अतिशयोक्ति फलन सिंह और कोश भी बिना परिवर्तन के सम्मिश्र तर्कों पर ले जाती है।अन्य त्रिकोणमितीय और अतिपरवयलिक फलनों के लिए, जैसे कि स्पर्शरेखा (फलन), वस्तुए थोड़ी अधिक सम्मिश्र हैं, क्योंकि परिभाषित श्रृंखला सभी सम्मिश्र मानो के लिए अभिसरण नहीं करती है। इसलिए, किसी को उन्हें साइन, कोसाइन और एक्सपोनेंशियल के संदर्भ में परिभाषित करना होगा, या, विश्लेषणात्मक निरंतरता की विधि का उपयोग करके, समकक्ष रूप से।

यूलर के सूत्र में कहा गया है: $$\exp(i\varphi) = \cos \varphi + i\sin \varphi $$ किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $x$, विशेष रूप से $$\exp(i \pi) = -1 $$, जो यूलर की सर्वसमिका है। वास्तविक संख्याओं की स्थिति के विपरीत, सम्मिश्र समाधानों का एक अनंतसमुच्चय है $y$ समीकरण का $$\exp z = w $$ किसी भी सम्मिश्र संख्या के लिए $z_{2}$।यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी समाधान $z$ - का सम्मिश्र लघुगणक कहा जाता है $a$ - संतुष्ट करता है $$\log w = \ln|w| + i\arg w, $$ जहां ARG arg (गणित)  को परिभाषित किया गया है #polar फॉर्म, और ln (वास्तविक) प्राकृतिक लघुगणक।जैसा कि ARG एक बहुउद्देशीय फलन है, केवल एक बहु के लिए अद्वितीय है $exp z$, लॉग भी बहुपक्षीय है।लॉग का प्रमुख मूल्य प्रायः  अंतराल (गणित)  के लिए काल्पनिक भाग को प्रतिबंधित करके लिया जाता है $b$।

सम्मिश्र प्रतिपादन $e^{z}$ की तरह परिभाषित किया गया है $$z^\omega = \exp(\omega \log z), $$ और बहु-मूल्यवान है, अतिरिक्त कब $t$ एक पूर्णांक है।के लिए $w ≠ 0$, कुछ प्राकृतिक संख्या के लिए $t$, यह गैर-अवेक्षता को सही करता है $φ$ऊपर उल्लिखित वें जड़ों।

सम्मिश्र संख्या, वास्तविक संख्याओं के विपरीत, सामान्य रूप से अनमॉडिफाइड पावर और लॉगरिदम सर्वसमिका को संतुष्ट नहीं करती है, विशेष कर जब भोले-भाले को एकल-मूल्य वाले फलनों के रूप में माना जाता है;घातांक देखें#घात और लघुगणक सर्वसमिका की विफलता।उदाहरण के लिए, वे संतुष्ट नहीं करते हैं $$a^{bc} = \left(a^b\right)^c.$$ समीकरण के दोनों पक्षों को यहां दिए गए सम्मिश्र घातांक की परिभाषा से बहु -कृत किया गया है, और बाईं ओर के मान दाईं ओर उन लोगों का एक उप-समुच्चय हैं।

होलोमोर्फिक फलन
एक फलन F: $$\mathbb{C}$$ → $$\mathbb{C}$$ यदि यह Cauchy -riemann समीकरणों को संतुष्ट करता है, तो Holomorphic फलन कहा जाता है।उदाहरण के लिए, किसी भी रैखिक परिवर्तन#परिभाषा और पहले परिणाम |$$\mathbb{R}$$-लाइनर मैप $$\mathbb{C}$$ → $$\mathbb{C}$$ रूप में लिखा जा सकता है $$f(z)=az+b\overline{z}$$ सम्मिश्र गुणांक के साथ $z$ और $z$।यह नक्शा होलोमोर्फिक है यदि और केवल यदि $2π$।दूसरा सुमंड $$b \overline z$$ वास्तविक-विभेद्य है, लेकिन कॉची-अर्मन समीकरणों को संतुष्ट नहीं करता है।

सम्मिश्र विश्लेषण से पता चलता है कि वास्तविक विश्लेषण में कुछ विशेषताएं स्पष्ट नहीं हैं।उदाहरण के लिए, कोई भी दो होलोमोर्फिक फलन करता है $w$ और $(−π, π]$ यह एक एकपक्षीय रूप से छोटे विवृत उप-समुच्चय पर सहमत है $$\mathbb{C}$$ आवश्यक रूप से हर जगह सहमत मेरोमॉर्फिक फलन, फलन जो स्थानीय रूप से लिखे जा सकते हैं $z^{ω}$ एक होलोमोर्फिक फलन के साथ $ω$, अभी भी होलोमोर्फिक फलनों की कुछ विशेषताओं को साझा करें।अन्य फलनों में  आवश्यक विलक्षणता  है, जैसे $ω = 1 / n$ पर $b = 0$।

अनुप्रयोग
सम्मिश्र संख्याओं में कई वैज्ञानिक क्षेत्रों में अनुप्रयोग होते हैं, जिनमें संकेत प्रसंस्करण,  नियंत्रण सिद्धांत , इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म,  द्रव गतिविज्ञान ,  क्वांटम यांत्रिकी ,  नक्शानवीसी  और कंपन#कंपन विश्लेषण सम्मिलित हैं।इनमें से कुछ एप्लिकेशन नीचे वर्णित हैं।

आकार
तीन collinearity  | गैर-कोलीनियर अंक $$u, v, w$$ तल में त्रिभुज के आकार#समानता कक्षाएं निर्धारित करते हैं $$\{u, v, w\}$$।सम्मिश्र समतल में बिंदुओं का पता लगाना, एक त्रिभुज के इस आकार को सम्मिश्र अंकगणित द्वारा व्यक्त किया जा सकता है $$S(u, v, w) = \frac {u - w}{u - v}. $$ आकार $$S$$ एक त्रिभुज एक ही रहेगा, जब सम्मिश्र समतल अनुवाद या फैलाव (एक affine परिवर्तन द्वारा) द्वारा बदल दिया जाता है, आकार की सहज धारणा के अनुरूप, और समानता (ज्यामिति) का वर्णन करता है।इस प्रकार प्रत्येक त्रिकोण $$\{u, v, w\}$$ एक ही आकार के साथ त्रिकोणों के एक आकार#समानता वर्गों में है।

फ्रैक्टल ज्यामिति
मंडेलब्रॉटसमुच्चय सम्मिश्र समतल पर गठित एक फ्रैक्टल का एक लोकप्रिय उदाहरण है।यह हर समष्टि की साजिश रचकर परिभाषित किया गया है $$c$$ जहां अनुक्रम को पुनरावृत्ति करना $$f_c(z)=z^2+c$$ जब पुनरावृति असीम रूप से (स्थिरता सिद्धांत) नहीं होती है।इसी तरह, जूलियासमुच्चय के समान नियम हैं, जहां अतिरिक्त इसके $$c$$ स्थिर रहता है।

त्रिकोण
हर त्रिभुज में एक अद्वितीय स्टीनर अंडाकार  है - त्रिभुज के अंदर एक दीर्घवृत्त और त्रिभुज के तीन पक्षों के मध्य बिंदुओं के लिए स्पर्शरेखा।एक त्रिभुज के  स्टेनर इनलिप्स  का  फोकस (ज्यामिति)  मार्डन के प्रमेय के अनुसार, निम्नानुसार पाया जा सकता है:  सम्मिश्र समतल में त्रिभुज के कोने को निरूपित करें $f(z)/(z − z_{0})^{n}$, $sin(1/z)$, और $z = 0$।घन समीकरण लिखें $$(x-a)(x-b)(x-c)=0$$, इसके व्युत्पन्न को लें, और (द्विघात) व्युत्पन्न को शून्य से बराबरी करें।मार्डन के प्रमेय का कहना है कि इस समीकरण के समाधान सम्मिश्र संख्याएं हैं जो स्टीनर इनलिप्स के दो foci के स्थानों को दर्शाती हैं।

बीजगणितीय संख्या सिद्धांत
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी भी गैर -विरोधी बहुपद समीकरण (सम्मिश्र गुणांक में) में एक समाधान है $$\mathbb{C}$$।तर्क एक फोर्टियोरी, वही सच है यदि समीकरण में तर्कसंगत गुणांक हैं।इस तरह के समीकरणों की जड़ों को बीजगणितीय संख्या कहा जाता है - वे बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में अध्ययन की एक प्रमुख वस्तु हैं।की तुलना में $$\overline{\mathbb{Q}}$$, बीजगणितीय संवृत $$\mathbb{Q}$$, जिसमें सभी बीजगणितीय संख्या भी सम्मिलित हैं, $$\mathbb{C}$$ ज्यामितीय शब्दों में आसानी से समझने योग्य होने का लाभ है।इस तरह, बीजगणितीय तरीकों का उपयोग ज्यामितीय प्रश्नों का अध्ययन करने के लिए किया जा सकता है और इसके विपरीत।बीजगणितीय तरीकों के साथ, अधिक विशेष रूप से क्षेत्र सिद्धांत (गणित)  की मशीनरी को  एकता की जड़  वाले  संख्या क्षेत्र  में प्रयुक्त करने के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि एक नियमित नॉनगन कम्पास और ऋजु कोर निर्माण - एक विशुद्ध रूप से ज्यामितीय समस्या का निर्माण करना संभव नहीं है।

एक अन्य उदाहरण गॉसियन पूर्णांक है;वह है, फॉर्म की संख्या $a = x_{A} + y_{A}i$, जहाँ $n$ और $n$ पूर्णांक हैं, जिसका उपयोग दो वर्गों के रकम पर फ़र्मेट के प्रमेय को वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत
विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत अध्ययन संख्या, प्रायः पूर्णांक या तर्कसंगत, इस तथ्य का लाभ उठाकर कि उन्हें सम्मिश्र संख्या के रूप में माना जा सकता है, जिसमें विश्लेषणात्मक तरीकों का उपयोग किया जा सकता है।यह सम्मिश्र-मूल्यवान फलनों में संख्या-सिद्धांत संबंधी जानकारी को एन्कोडिंग करके किया जाता है।उदाहरण के लिए, Riemann Zeta फलन $b = x_{B} + y_{B}i$ अभाज्य संख्या ों के वितरण से संबंधित है।

अनुचित अभिन्नता
प्रयुक्त क्षेत्रों में, सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग प्रायः सम्मिश्र-मूल्यवान फलनों के माध्यम से कुछ वास्तविक-मूल्यवान अनुचित अभिन्नताओं की गणना करने के लिए किया जाता है।ऐसा करने के लिए कई तरीके सम्मिलित हैं; समोच्च एकीकरण के तरीके देखें।

गतिशील समीकरण
अंतर समीकरण ों में, पहले सभी सम्मिश्र जड़ों को ढूंढना आम है $a$ रैखिक अंतर समीकरण #सजातीय समीकरणों के साथ एक रैखिक अंतर समीकरण या समीकरण प्रणाली के निरंतर गुणांक के साथ और फिर फॉर्म के आधार फलनों के संदर्भ में सिस्टम को हल करने का प्रयास करें $c = x_{C} + y_{C}i$।इसी तरह,  अंतर समीकरण ों में, सम्मिश्र जड़ें $b$ अंतर समीकरण प्रणाली के विशिष्ट समीकरण का उपयोग किया जाता है, फॉर्म के आधार फलनों के संदर्भ में सिस्टम को हल करने का प्रयास करने के लिए $x + iy$।

रैखिक बीजगणित
एक आव्यूह का eigendecomposition आव्यूह घातो और आव्यूह घातीय की गणना के लिए एक उपयोगी उपकरण है।हालांकि, इसे प्रायः सम्मिश्र संख्याओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, भले ही आव्यूह वास्तविक हो (उदाहरण के लिए, एक घूर्णन आव्यूह)।

सम्मिश्र संख्या प्रायः वास्तविक संख्याओं में मूल रूप से कल्पना की गई अवधारणाओं को सामान्य करती है।उदाहरण के लिए, संयुग्मन संक्रमण  ट्रांसपोज़ को सामान्य करता है,  हरमिटियन आव्यूह  सममित आव्यूह को सामान्य करता है, और  एकात्मक आव्यूह  ऑर्थोगोनल आव्यूह को सामान्य करता है।

नियंत्रण सिद्धांत
नियंत्रण सिद्धांत में, सिस्टम को प्रायः समय प्रक्षेत्र से लाप्लास रूपांतरण  का उपयोग करके सम्मिश्र  आवृत्ति प्रक्षेत्र में बदल दिया जाता है।सिस्टम के शून्य और डंडे का विश्लेषण तब सम्मिश्र समतल में किया जाता है।रूट लोकोस,  न्यक्विस्ट प्लॉट, और  निकोल्स प्लॉट  तकनीक सभी सम्मिश्र समतल का उपयोग करते हैं।

रूट लोकस विधि में, यह महत्वपूर्ण है कि  शून्य और ध्रुव  बाएं या दाएं आधे विमानों में हैं, अर्थात, शून्य से अधिक या उससे कम वास्तविक भाग है।यदि एक रैखिक, समय-अपरिवर्तनीय (LTI) प्रणाली में डंडे होते हैं


 * सही आधे तल में, यह अस्थिर  होगा,
 * सभी बाएं आधे तल में, यह बिबो स्थिरता  होगी,
 * काल्पनिक अक्ष पर, इसमें सीमांत स्थिरता  होगी।

यदि किसी प्रणाली में दाहिने आधे तल में शून्य है, तो यह गैर -चरण चरण प्रणाली है।

सिग्नल विश्लेषण
समय -समय पर अलग -अलग संकेतों के लिए सुविधाजनक विवरण के लिए सिग्नल विश्लेषण और अन्य क्षेत्रों में सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग किया जाता है।वास्तविक भौतिक मात्राओं का प्रतिनिधित्व करने वाले वास्तविक फलनों के लिए, प्रायः सिन और कोसाइन के संदर्भ में, इसी सम्मिश्र फलनों को माना जाता है जिनके बारे में वास्तविक भाग मूल मात्रा हैं।किसी दिए गए आवृत्ति  की  साइन लहर  के लिए, निरपेक्ष मूल्य $ζ(s)$ इसी के $f$  आयाम  और तर्क (सम्मिश्र विश्लेषण) है $f(t) = e^{rt}$  चरण (तरंगें)  है।

यदि फूरियर विश्लेषण  किसी दिए गए वास्तविक-मूल्य वाले संकेत को आवधिक फलनों के योग के रूप में लिखने के लिए नियोजित किया जाता है, तो इन आवधिक फलनों को प्रायः फॉर्म के सम्मिश्र-मूल्यवान फलनों के रूप में लिखा जाता है

$$x(t) = \operatorname{Re} \{X( t ) \} $$ और

$$X( t ) = A e^{i\omega t} = a e^{ i \phi } e^{i\omega t} = a e^{i (\omega t + \phi) } $$ जहां and कोणीय आवृत्ति  का प्रतिनिधित्व करता है और सम्मिश्र संख्या ए चरण और आयाम को एन्कोड करता है जैसा कि ऊपर बताया गया है।

इस उपयोग को अंकीय संकेत प्रक्रिया  और  डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग  में भी विस्तारित किया जाता है, जो ट्रांसमिट, डेटा संपीड़न, रिस्टोर और अन्यथा  डिजिटल डाटा   आवाज़  सिग्नल, स्टिल इमेज और  वीडियो  सिग्नल को प्रसारित करने के लिए फूरियर एनालिसिस (और  छोटा लहर  एनालिसिस) के डिजिटल संस्करणों का उपयोग करते हैं।

एक अन्य उदाहरण, एएम रेडियो के आयाम मॉड्यूलेशन के दो साइड बैंड के लिए प्रासंगिक है, है:

$$\begin{align} \cos((\omega + \alpha)t) + \cos\left((\omega - \alpha)t\right) & = \operatorname{Re}\left(e^{i(\omega + \alpha)t} + e^{i(\omega - \alpha)t}\right) \\ & = \operatorname{Re}\left(\left(e^{i\alpha t} + e^{-i\alpha t}\right) \cdot e^{i\omega t}\right) \\ & = \operatorname{Re}\left(2\cos(\alpha t) \cdot e^{i\omega t}\right) \\ & = 2 \cos(\alpha t) \cdot \operatorname{Re}\left(e^{i\omega t}\right) \\ & = 2 \cos(\alpha t) \cdot \cos\left(\omega t\right). \end{align}$$

इलेक्ट्रोमैग्नेटिज्म और इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग
इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, फूरियर रूपांतरण  का उपयोग अलग -अलग  वोल्टेज  और इलेक्ट्रिक करंट का विश्लेषण करने के लिए किया जाता है।प्रतिरोधों,  संधारित्र, और  प्रारंभ करनेवाला ों के उपचार को बाद में दो के लिए काल्पनिक, आवृत्ति-निर्भर प्रतिरोधों को पेश करके और तीनों को सम्मिश्र संख्या में मिलकर  विद्युत प्रतिबाधा  नामक सम्मिश्र संख्या में एकीकृत किया जा सकता है।इस दृष्टिकोण को  फासोर  कैलकुलस कहा जाता है।

इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में, काल्पनिक इकाई को निरूपित किया जाता है $g$, भ्रम से बचने के लिए $f$, जो सामान्य रूप से विद्युत प्रवाह को निरूपित करने के लिए उपयोग में होता है, या, विशेष रूप से, $x$, जो सामान्य रूप से तात्कालिक विद्युत प्रवाह को निरूपित करने के लिए उपयोग में होता है।

चूंकि एक एसी विद्युत परिपथ  में वोल्टेज दोलन कर रहा है, इसलिए इसका प्रतिनिधित्व किया जा सकता है

$$ V(t) = V_0 e^{j \omega t} = V_0 \left (\cos\omega t + j \sin\omega t \right ),$$ औसत दर्जे की मात्रा प्राप्त करने के लिए, वास्तविक भाग लिया जाता है:

$$ v(t) = \operatorname{Re}(V) = \operatorname{Re}\left [ V_0 e^{j \omega t} \right ] = V_0 \cos \omega t.$$ सम्मिश्र-मूल्यवान संकेत $f(t) = r^{t}$ वास्तविक-मूल्यवान, औसत दर्जे के संकेत का विश्लेषणात्मक संकेत  प्रतिनिधित्व कहा जाता है $|z|$.

द्रव की गतिशीलता
द्रव की गतिशीलता में, दो आयामों में संभावित प्रवाह  का वर्णन करने के लिए सम्मिश्र फलनों का उपयोग किया जाता है।

क्वांटम यांत्रिकी
सम्मिश्र संख्या क्षेत्र क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय योग ों के लिए आंतरिक है, जहां सम्मिश्र  हिल्बर्ट स्पेस  एक ऐसे सूत्रीकरण के लिए संदर्भ प्रदान करते हैं जो सुविधाजनक और संभव्यता सबसे मानक है।क्वांटम यांत्रिकी के मूल नींव सूत्र - श्रोडिंगर समीकरण और हाइजेनबर्ग के  आव्यूह यांत्रिकी - सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हैं।

सापेक्षता
विशेष सापेक्षता और  सामान्य सापेक्षता  में,  अंतरिक्ष समय  पर मीट्रिक के लिए कुछ सूत्र सरल हो जाते हैं यदि कोई स्पेसटाइम कॉन्टिनम के समय घटक को काल्पनिक होने के लिए लेता है।(यह दृष्टिकोण शास्त्रीय सापेक्षता में अब मानक नहीं है, लेकिन  क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत  में  वीक घूर्णन है।) सम्मिश्र संख्या  स्पिनर ों के लिए आवश्यक हैं, जो सापेक्षता में उपयोग किए जाने वाले  टेन्सर ्स का एक सामान्यीकरण हैं।

सामान्यीकरण और संबंधित धारणाएँ
क्षेत्र को विस्तारित करने की प्रक्रिया $$\mathbb R$$ के लिए $$\mathbb C$$ केली -डिकसन कंस्ट्रक्शन के रूप में जाना जाता है।इसे और अधिक आयामों तक ले जाया जा सकता है, चतुर्भुजों की उपज $$\mathbb H$$ और अष्टक ्स $$\mathbb{O}$$ जो (वास्तविक वेक्टर अंतरिक्ष के रूप में) क्रमशः आयाम & nbsp; 4 और 8 के हैं। इस संदर्भ में सम्मिश्र संख्याओं को बिनरियन कहा गया है। जिस तरह निर्माण को प्रयुक्त करने से ऑर्डर किए गए क्षेत्र की संपत्ति खो जाती है, वास्तविक और सम्मिश्र संख्याओं से परिचित गुण प्रत्येक एक्सटेंशन के साथ गायब हो जाते हैं।चतुर्भुज कमज़ोरता खो देते हैं, अर्थात्, $arg z$ कुछ चतुर्भुजों के लिए $V(t)$, और ऑक्टोनियन का गुणन, इसके अतिरिक्त क्रमविनिमेय नहीं होने के कारण, साहचर्य होने में विफल रहता है: $v(t)$ कुछ पोषण के लिए $x·y ≠ y·x$।

रियल, सम्मिश्र संख्या, चतुर्भुज और ऑक्टोनियन सभी मानदंड विभाजन बीजगणित  हैं $$\mathbb R$$।हर्विट्ज़ के प्रमेय (मानदंड विभाजन aggebras) द्वारा | हर्विट्ज़ के प्रमेय वे केवल एक ही हैं; धब्बा ्स, केली -डिकसन कंस्ट्रक्शन में अगला कदम, इस संरचना में विफल रहता है।

केली -डिकसन निर्माण के नियमित प्रतिनिधित्व  से निकटता से संबंधित है $$\mathbb C,$$ के रूप में सोचा $$\mathbb R$$-लगेबरा (वलय थ्योरी) (ए) $$\mathbb{R}$$आधार के संबंध में, एक गुणन के साथ अंतरिक्ष) $x, y$।इसका तात्पर्य है निम्नलिखित: $$\mathbb R$$-लाइनर मैप $$\begin{align}   \mathbb{C} &\rightarrow \mathbb{C} \\   z &\mapsto wz \end{align}$$ कुछ निश्चित सम्मिश्र संख्या के लिए $y$ एक द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $(x·y)·z ≠ x·(y·z)$ आव्यूह (एक बार एक आधार चयन किया गया है)।आधार के संबंध में $x, y, z$, यह आव्यूह है $$\begin{pmatrix}  \operatorname{Re}(w) & -\operatorname{Im}(w) \\  \operatorname{Im}(w) &  \operatorname{Re}(w) \end{pmatrix},$$ अर्थात, ऊपर सम्मिश्र संख्याओं के आव्यूह प्रतिनिधित्व पर अनुभाग में उल्लेख किया गया है।जबकि यह एक  रैखिक प्रतिनिधित्व  है $$\mathbb C$$ 2 × 2 वास्तविक मैट्रिसेस में, यह केवल एक ही नहीं है।कोई आव्यूह $$J = \begin{pmatrix}p & q \\ r & -p \end{pmatrix}, \quad p^2 + qr + 1 = 0$$ क्या संपत्ति है कि इसका वर्ग सर्वसमिका आव्यूह का ऋणात्मक है: $(1, i)$।फिर $$\{ z = a I + b J : a,b \in \mathbb{R} \}$$ क्षेत्र के लिए भी समरूपीय है $$\mathbb C,$$ और एक वैकल्पिक सम्मिश्र संरचना देता है $$\mathbb R^2.$$ यह एक रैखिक सम्मिश्र संरचना की धारणा से सामान्यीकृत है।

हाइपरकम्प्लेक्स संख्या भी सामान्यीकरण करती है $$\mathbb R,$$ $$\mathbb C,$$ $$\mathbb H,$$ और $$\mathbb{O}.$$ उदाहरण के लिए, इस धारणा में  विभाजित-संकलन संख्या  सम्मिलित हैं, जो वलय के तत्व हैं $$\mathbb R[x]/(x^2-1)$$ (विरोध के रूप में $$\mathbb R[x]/(x^2+1)$$ सम्मिश्र संख्याओं के लिए)।इस वलय में, समीकरण $2 × 2$ चार समाधान हैं।

क्षेत्र $$\mathbb R$$ का पूरा होना $$\mathbb Q,$$ सामान्य निरपेक्ष मूल्य मीट्रिक (गणित) के संबंध में तर्कसंगत संख्याओं का क्षेत्र।मीट्रिक (गणित) के अन्य विकल्प पर $$\mathbb Q$$ खेतों के लिए नेतृत्व करें $$\mathbb Q_p$$ पी-एडिक नंबर का |$r$-एक नंबर (किसी भी प्रमुख संख्या के लिए) $r$), जो इस प्रकार अनुरूप हैं $$\mathbb{R}$$।पूरा करने के कोई अन्य nontrivial तरीके नहीं हैं $$\mathbb Q$$ से $$\mathbb R$$ और $$\mathbb Q_p,$$ ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय द्वारा।बीजगणितीय संवृत हो जाता है $$\overline {\mathbb{Q}_p}$$ का $$\mathbb Q_p$$ अभी भी एक आदर्श ले जाता है, लेकिन (इसके विपरीत) $$\mathbb C$$) इसके संबंध में पूरा नहीं है।पूर्ण $$\mathbb{C}_p$$ का $$\overline {\mathbb{Q}_p}$$ बीजगणित रूप से संवृत हो जाता है।सादृश्य द्वारा, क्षेत्र को कहा जाता है $z$-सम्मिश्र संख्या।

खेत $$\mathbb R,$$ $$\mathbb Q_p,$$ और उनके परिमित क्षेत्र एक्सटेंशन, सहित $$\mathbb C,$$ स्थानीय क्षेत्र  कहा जाता है।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय सतह
 * सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग करते हुए वृत्ताकार गति
 * सम्मिश्र आधार प्रणाली
 * सम्मिश्र ज्यामिति
 * दोहरी-सम्मिश्र संख्या
 * आइज़ेंस्टीन पूर्णांक
 * यूलर की सर्वसमिका
 * ज्यामितीय बीजगणित#यूनिट Pseudoscalars (जिसमें 2-आयामी संदिश उप-समष्टि $$\mathcal{G}_2^+$$ के रूप में सम्मिश्र समतल सम्मिलित है)
 * एकक सम्मिश्र संख्या

ऐतिहासिक

 * - जटिल संख्याओं के इतिहास और जटिल विश्लेषण की शुरुआत के लिए एक सौम्य परिचय।
 * - संख्या की अवधारणा के ऐतिहासिक विकास पर एक उन्नत परिप्रेक्ष्य।
 * - जटिल संख्याओं के इतिहास और जटिल विश्लेषण की शुरुआत के लिए एक सौम्य परिचय।
 * - संख्या की अवधारणा के ऐतिहासिक विकास पर एक उन्नत परिप्रेक्ष्य।
 * - संख्या की अवधारणा के ऐतिहासिक विकास पर एक उन्नत परिप्रेक्ष्य।

श्रेणी: रचना बीजगणित श्रेणी: सम्मिश्र संख्याएँ