वेक्टर क्षेत्र

वेक्टर कलन और भौतिकी में, एक वेक्टर फ़ील्ड स्पेस (गणित) के सबसेट में प्रत्येक बिंदु पर एक  वेक्टर (ज्यामिति)  का असाइनमेंट है।  उदाहरण के लिए, समतल (ज्यामिति) में एक वेक्टर क्षेत्र को दिए गए परिमाण और दिशा वाले तीरों के संग्रह के रूप में देखा जा सकता है, प्रत्येक विमान में एक बिंदु से जुड़ा हुआ है। वेक्टर फ़ील्ड अक्सर मॉडल के लिए उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, पूरे अंतरिक्ष में एक गतिशील तरल पदार्थ की गति और दिशा, या  चुंबकीय क्षेत्र  या  गुरुत्वाकर्षण  बल जैसे किसी बल की  ताकत  और दिशा, क्योंकि यह एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर बदलता है।

अंतर और अभिन्न कलन के तत्व स्वाभाविक रूप से वेक्टर क्षेत्रों तक फैले हुए हैं। जब एक सदिश क्षेत्र बल का प्रतिनिधित्व करता है, तो एक सदिश क्षेत्र की रेखा समाकलन एक पथ के साथ चलने वाले बल द्वारा किए गए कार्य (भौतिकी) का प्रतिनिधित्व करता है, और इस व्याख्या के तहत ऊर्जा के संरक्षण को कैलकुलस के मौलिक प्रमेय के एक विशेष मामले के रूप में प्रदर्शित किया जाता है। वेक्टर क्षेत्रों को उपयोगी रूप से अंतरिक्ष में एक गतिमान प्रवाह के वेग का प्रतिनिधित्व करने के बारे में सोचा जा सकता है, और यह भौतिक अंतर्ज्ञान  विचलन  (जो प्रवाह की  मात्रा  के परिवर्तन की दर का प्रतिनिधित्व करता है) और  कर्ल (गणित)  (जो प्रतिनिधित्व करता है) जैसी धारणाओं की ओर जाता है। प्रवाह का घूर्णन)।

निर्देशांक प्रणाली में, n-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक डोमेन पर एक वेक्टर क्षेत्र को एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन  के रूप में दर्शाया जा सकता है जो डोमेन के प्रत्येक बिंदु पर वास्तविक संख्याओं के n-tuple को जोड़ता है। एक वेक्टर क्षेत्र का यह प्रतिनिधित्व समन्वय प्रणाली पर निर्भर करता है, और एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में जाने में वैक्टरों का एक अच्छी तरह से परिभाषित सहप्रसरण और विरोधाभास है। वेक्टर फ़ील्ड पर अक्सर  यूक्लिडियन स्पेस  के खुले सेट पर चर्चा की जाती है, लेकिन  सतह (टोपोलॉजी)  जैसे अन्य सबसेट पर भी समझ में आता है, जहां वे प्रत्येक बिंदु पर सतह पर एक तीर स्पर्शरेखा को जोड़ते हैं (वक्रों की एक विभेदक ज्यामिति)।

आम तौर पर, वेक्टर फ़ील्ड को अलग-अलग मैनिफोल्ड्स पर परिभाषित किया जाता है, जो ऐसे स्थान होते हैं जो छोटे पैमाने पर यूक्लिडियन स्पेस की तरह दिखते हैं, लेकिन बड़े पैमाने पर अधिक जटिल संरचना हो सकती है। इस सेटिंग में, एक सदिश क्षेत्र मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु पर एक स्पर्शरेखा वेक्टर देता है (अर्थात, स्पर्शरेखा बंडल  का एक  खंड (फाइबर बंडल)  कई गुना)। वेक्टर फ़ील्ड एक प्रकार का  टेंसर क्षेत्र  है।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष के उपसमुच्चय पर सदिश क्षेत्र
एक सबसेट दिया गया $S$ में $R^{n}$, एक वेक्टर क्षेत्र एक वेक्टर-मूल्यवान फ़ंक्शन द्वारा दर्शाया जाता है $V: S → R^{n}$ मानक कार्टेशियन निर्देशांक में $(x_{1}, …, x_{n})$. यदि का प्रत्येक घटक $V$ निरंतर है, तो $V$ एक सतत सदिश क्षेत्र है, और अधिक सामान्यतः $V$ एक है $C^{k}$ वेक्टर क्षेत्र यदि का प्रत्येक घटक $V$ है $k$ बार लगातार भिन्न।

एक वेक्टर क्षेत्र को एक n-आयामी अंतरिक्ष के भीतर अलग-अलग बिंदुओं पर एक वेक्टर निर्दिष्ट करने के रूप में देखा जा सकता है। दिया गया दो $C^{k}$-वेक्टर फ़ील्ड $V$, $W$ पर परिभाषित $S$ और एक वास्तविक मूल्यवान $C^{k}$-समारोह $f$ पर परिभाषित $S$, दो ऑपरेशन अदिश गुणन और वेक्टर जोड़ $$ (fV)(p) := f(p)V(p)$$ $$ (V+W)(p) := V(p) + W(p)$$ के मॉड्यूल (गणित)  को परिभाषित करें $C^{k}$-वेक्टर फ़ील्ड्स ऑफ़ द रिंग (गणित) $C^{k}$-फ़ंक्शंस जहां फ़ंक्शंस के गुणन को बिंदुवार परिभाषित किया गया है (इसलिए, यह गुणक पहचान के साथ कम्यूटेटिव है $f_{id}(p) := 1$).

समन्वय परिवर्तन कानून
भौतिकी में, एक यूक्लिडियन वेक्टर  को अतिरिक्त रूप से अलग किया जाता है कि जब एक अलग पृष्ठभूमि समन्वय प्रणाली के संबंध में एक ही वेक्टर को मापता है तो उसके निर्देशांक कैसे बदलते हैं। यूक्लिडियन वेक्टर#वेक्टर, स्यूडोवेक्टर और ट्रांसफॉर्मेशन एक वेक्टर को एक ज्यामितीय रूप से अलग इकाई के रूप में स्केलर्स की एक साधारण सूची से, या एक  कोवेक्टर  से अलग करते हैं।

इस प्रकार, मान लीजिए कि $(x_{1}, ..., x_{n})$ कार्टेशियन निर्देशांक का एक विकल्प है, जिसके संदर्भ में वेक्टर के घटक $V$ हैं $$V_x = (V_{1,x}, \dots, V_{n,x})$$ और मान लीजिए कि (y1,...,Yn) x. के n फलन हैंi एक अलग समन्वय प्रणाली को परिभाषित करना। फिर नए निर्देशांक में वेक्टर वी के घटकों को परिवर्तन कानून को पूरा करने की आवश्यकता होती है

इस तरह के परिवर्तन कानून को सहप्रसरण और सदिशों के विपरीत परिवर्तन कहा जाता है। एक समान परिवर्तन कानून भौतिकी में वेक्टर क्षेत्रों की विशेषता है: विशेष रूप से, एक वेक्टर क्षेत्र परिवर्तन कानून के अधीन प्रत्येक समन्वय प्रणाली में n कार्यों का एक विनिर्देश है ($$) विभिन्न समन्वय प्रणालियों से संबंधित।

वेक्टर फ़ील्ड इस प्रकार अदिश क्षेत्र  के साथ विपरीत होते हैं, जो अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु पर एक संख्या या स्केलर को जोड़ते हैं, और स्केलर फ़ील्ड की सरल सूचियों के साथ भी विपरीत होते हैं, जो समन्वय परिवर्तनों के तहत परिवर्तित नहीं होते हैं।

कई गुना पर सदिश क्षेत्र
एक अलग कई गुना दिया गया $$M$$, एक वेक्टर क्षेत्र पर $$M$$ में प्रत्येक बिंदु के लिए एक स्पर्शरेखा स्थान  का असाइनमेंट है $$M$$. अधिक सटीक रूप से, एक सदिश क्षेत्र $$F$$ से एक नक्शा (गणित)  है $$M$$ स्पर्शरेखा बंडल में $$TM$$ ताकि $$ p\circ F $$ पहचान मानचित्रण है कहाँ पे $$p$$ से प्रक्षेपण को दर्शाता है $$TM$$ प्रति $$M$$. दूसरे शब्दों में, एक वेक्टर क्षेत्र स्पर्शरेखा बंडल का एक खंड (फाइबर बंडल) है।

एक वैकल्पिक परिभाषा: एक सहज सदिश क्षेत्र $$X$$ कई गुना पर $$M$$ एक रैखिक नक्शा  है $$X: C^\infty(M) \to C^\infty(M)$$ ऐसा है कि $$X$$ एक व्युत्पत्ति_(डिफरेंशियल_बीजगणित) है: $$X(fg) = fX(g)+X(f)g$$ सभी के लिए $$f,g \in C^\infty(M)$$. अगर कई गुना $$M$$ सुचारू या विश्लेषणात्मक कार्य  है - अर्थात, निर्देशांक का परिवर्तन सुचारू (विश्लेषणात्मक) है - तब कोई व्यक्ति चिकनी (विश्लेषणात्मक) वेक्टर क्षेत्रों की धारणा को समझ सकता है। एक चिकनी मैनिफोल्ड पर सभी चिकने सदिश क्षेत्रों का संग्रह $$M$$ अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है $$\Gamma (TM)$$ या $$C^\infty (M,TM)$$ (विशेषकर जब वेक्टर फ़ील्ड को सेक्शन (फाइबर बंडल) के रूप में सोचते हैं); सभी चिकने सदिश क्षेत्रों का संग्रह भी द्वारा दर्शाया जाता है $ \mathfrak{X} (M)$  (एक  फ्रैक्टूर (टाइपफेस उप-वर्गीकरण)  एक्स)।

उदाहरण

 * पृथ्वी पर हवा की गति के लिए एक वेक्टर क्षेत्र पृथ्वी की सतह पर प्रत्येक बिंदु के लिए हवा की गति और उस बिंदु के लिए दिशा के साथ एक वेक्टर को जोड़ देगा। इसे हवा का प्रतिनिधित्व करने के लिए तीरों का उपयोग करके खींचा जा सकता है; तीर की लंबाई ( परिमाण (गणित) ) हवा की गति का संकेत होगी। सामान्य बैरोमीटर के दबाव के नक्शे पर एक उच्च तब एक स्रोत (दूर की ओर इशारा करते हुए तीर) के रूप में कार्य करेगा, और एक कम एक सिंक (तीर की ओर इशारा करते हुए) होगा, क्योंकि हवा उच्च दबाव वाले क्षेत्रों से कम दबाव वाले क्षेत्रों की ओर बढ़ती है।
 * गतिमान द्रव  का  वेग  क्षेत्र। इस मामले में, द्रव में प्रत्येक बिंदु से एक वेग वेक्टर जुड़ा होता है।
 * स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन | स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन और पाथलाइन 3 प्रकार की लाइनें हैं जिन्हें (समय-निर्भर) वेक्टर फ़ील्ड से बनाया जा सकता है। वे हैं:
 * रेखाएँ: विभिन्न समयों में एक विशिष्ट निश्चित बिंदु से गुजरने वाले कणों द्वारा निर्मित रेखा
 * पाथलाइन्स: वह पथ दिखा रहा है जो एक दिया गया कण (शून्य द्रव्यमान का) अनुसरण करेगा।
 * स्ट्रीमलाइन (या फील्डलाइन): तात्कालिक क्षेत्र से प्रभावित कण का पथ (यानी, यदि क्षेत्र को स्थिर रखा जाता है तो कण का पथ)।
 * चुंबकीय क्षेत्र। छोटे लोहे के बुरादे का उपयोग करके फील्डलाइनों को प्रकट किया जा सकता है।
 * मैक्सवेल के समीकरण हमें यूक्लिडियन अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु के लिए, उस बिंदु पर चार्ज परीक्षण कण द्वारा अनुभव किए गए बल के लिए एक परिमाण और दिशा निकालने के लिए प्रारंभिक और सीमा स्थितियों के दिए गए सेट का उपयोग करने की अनुमति देते हैं; परिणामी वेक्टर क्षेत्र विद्युत चुम्बकीय  क्षेत्र है।
 * किसी भी विशाल वस्तु द्वारा उत्पन्न गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र  भी एक सदिश क्षेत्र है। उदाहरण के लिए, गोलाकार रूप से सममित शरीर के लिए गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र वैक्टर सभी क्षेत्र के केंद्र की ओर इशारा करते हैं, जिसमें शरीर से रेडियल दूरी बढ़ने पर वैक्टर की मात्रा कम हो जाती है।

यूक्लिडियन रिक्त स्थान में ढाल क्षेत्र


वेक्टर फ़ील्ड को स्केलर फ़ील्ड से ढाल  ऑपरेटर (डेल: द्वारा दर्शाया गया)  का  उपयोग करके बनाया जा सकता है। एक खुले सेट एस पर परिभाषित एक वेक्टर फ़ील्ड वी को 'ग्रेडिएंट फील्ड' या ' रूढ़िवादी क्षेत्र ' कहा जाता है यदि एस पर एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (एक स्केलर फ़ील्ड) f मौजूद है जैसे कि $$V = \nabla f = \left(\frac{\partial f}{\partial x_1}, \frac{\partial f}{\partial x_2}, \frac{\partial f}{\partial x_3}, \dots ,\frac{\partial f}{\partial x_n}\right).$$ संबद्ध प्रवाह (गणित)  को कहा जाता है, और ढाल वंश की विधि में प्रयोग किया जाता है।

रूढ़िवादी क्षेत्र में किसी भी बंद वक्र  γ (γ(0) = γ(1)) के साथ अभिन्न रेखा शून्य है: $$ \oint_\gamma V(\mathbf {x})\cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = \oint_\gamma \nabla f(\mathbf {x}) \cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = f(\gamma(1)) - f(\gamma(0)).$$

यूक्लिडियन रिक्त स्थान में केंद्रीय क्षेत्र
ए $C^{∞}$-वेक्टर क्षेत्र खत्म $R^{n} \ {0}$ केंद्रीय क्षेत्र कहा जाता है यदि $$V(T(p)) = T(V(p)) \qquad (T \in \mathrm{O}(n, \R))$$ कहाँ पे $O(n, R)$ ओर्थोगोनल समूह  है। हम कहते हैं कि केंद्रीय क्षेत्र 0 के आसपास  ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स  के तहत  अपरिवर्तनीय (गणित)  हैं।

बिंदु 0 को क्षेत्र का केंद्र कहा जाता है।

चूँकि ओर्थोगोनल परिवर्तन वास्तव में घूर्णन और परावर्तन हैं, अपरिवर्तनीय स्थितियों का अर्थ है कि एक केंद्रीय क्षेत्र के सदिश हमेशा 0 की ओर, या उससे दूर होते हैं; यह एक वैकल्पिक (और सरल) परिभाषा है। एक केंद्रीय क्षेत्र हमेशा एक ढाल क्षेत्र होता है, क्योंकि इसे एक अर्ध-अक्ष पर परिभाषित करना और एकीकृत करना एक एंटीग्रेडिएंट देता है।

लाइन इंटीग्रल
भौतिकी में एक सामान्य तकनीक वक्रों की विभेदक ज्यामिति के साथ एक सदिश क्षेत्र को एकीकृत करना है, जिसे इसकी रेखा समाकलन का निर्धारण भी कहा जाता है। सहज रूप से यह वक्र के स्पर्शरेखा के अनुरूप सभी वेक्टर घटकों को जोड़ रहा है, जिसे उनके स्केलर उत्पादों के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक बल क्षेत्र (जैसे गुरुत्वाकर्षण) में एक कण दिया गया है, जहां अंतरिक्ष में किसी बिंदु पर प्रत्येक वेक्टर कण पर अभिनय करने वाले बल का प्रतिनिधित्व करता है, एक निश्चित पथ के साथ अभिन्न रेखा कण पर किया गया कार्य है, जब वह यात्रा करता है इस रास्ते के साथ। सहज रूप से, यह बल वेक्टर के अदिश उत्पादों और वक्र के साथ प्रत्येक बिंदु में छोटे स्पर्शरेखा वेक्टर का योग है।

लाइन इंटीग्रल को रीमैन इंटीग्रल  के अनुरूप बनाया गया है और यह मौजूद है यदि वक्र सुधार योग्य है (परिमित लंबाई है) और वेक्टर क्षेत्र निरंतर है।

एक वेक्टर क्षेत्र दिया गया $$ और एक वक्र $V$, पैरामीट्रिक समीकरण  द्वारा $γ$ में $t$ (कहाँ पे $[a, b]$ तथा $a$  वास्तविक संख्या एँ हैं), रेखा समाकलन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $$\int_\gamma V(\mathbf {x}) \cdot \mathrm{d}\mathbf {x} = \int_a^b  V(\gamma(t)) \cdot \dot \gamma(t)\, \mathrm{d}t.$$

विचलन
यूक्लिडियन अंतरिक्ष पर एक वेक्टर क्षेत्र का विचलन एक फ़ंक्शन (या अदिश क्षेत्र) है। तीन आयामों में, विचलन द्वारा परिभाषित किया गया है $$\operatorname{div} \mathbf{F} = \nabla \cdot \mathbf{F} = \frac{\partial F_1}{\partial x} + \frac{\partial F_2}{\partial y} + \frac{\partial F_3}{\partial z},$$ मनमाने आयामों के स्पष्ट सामान्यीकरण के साथ। एक बिंदु पर विचलन उस डिग्री का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें बिंदु के चारों ओर एक छोटी मात्रा वेक्टर प्रवाह के लिए एक स्रोत या सिंक होती है, जिसके परिणामस्वरूप विचलन प्रमेय  द्वारा सटीक बनाया जाता है।

विचलन को रीमैनियन मैनिफोल्ड  पर भी परिभाषित किया जा सकता है, जो कि  रीमैनियन मीट्रिक  के साथ कई गुना है जो वैक्टर की लंबाई को मापता है।

तीन आयामों में कर्ल
कर्ल (गणित) एक ऑपरेशन है जो एक वेक्टर क्षेत्र लेता है और एक और वेक्टर क्षेत्र उत्पन्न करता है। कर्ल को केवल तीन आयामों में परिभाषित किया गया है, लेकिन कर्ल के कुछ गुणों को बाहरी व्युत्पन्न  के साथ उच्च आयामों में कैप्चर किया जा सकता है। तीन आयामों में, इसे द्वारा परिभाषित किया गया है $$\operatorname{curl}\mathbf{F} = \nabla \times \mathbf{F} = \left(\frac{\partial F_3}{\partial y} - \frac{\partial F_2}{\partial z}\right)\mathbf{e}_1 - \left(\frac{\partial F_3}{\partial x} - \frac{\partial F_1}{\partial z}\right)\mathbf{e}_2 + \left(\frac{\partial F_2}{\partial x}- \frac{\partial F_1}{\partial y}\right)\mathbf{e}_3.$$ कर्ल एक बिंदु पर वेक्टर प्रवाह के कोणीय गति  के घनत्व को मापता है, अर्थात वह मात्रा जिसमें प्रवाह एक निश्चित अक्ष के चारों ओर घूमता है। यह सहज विवरण स्टोक्स के प्रमेय द्वारा सटीक बनाया गया है।

एक सदिश क्षेत्र का सूचकांक
एक वेक्टर क्षेत्र का सूचकांक एक पूर्णांक है जो एक पृथक शून्य (यानी, क्षेत्र की एक पृथक विलक्षणता) के आसपास एक वेक्टर क्षेत्र के व्यवहार का वर्णन करने में मदद करता है। समतल में, सूचकांक एक सैडल विलक्षणता पर −1 मान लेता है लेकिन स्रोत या सिंक विलक्षणता पर +1 करता है।

मान लीजिए कि मैनिफोल्ड का आयाम जिस पर सदिश क्षेत्र परिभाषित किया गया है, n है। शून्य के चारों ओर एक छोटा गोला S लें ताकि कोई अन्य शून्य S के आंतरिक भाग में न हो। इस गोले से एक इकाई क्षेत्र के लिए एक नक्शा n − 1 इस गोले पर प्रत्येक वेक्टर को इसके द्वारा विभाजित करके बनाया जा सकता है लंबाई एक इकाई लंबाई वेक्टर बनाने के लिए, जो इकाई क्षेत्र पर एक बिंदु है Sn−1. यह S से S. तक एक सतत मानचित्र को परिभाषित करता हैn−1. बिंदु पर सदिश क्षेत्र का सूचकांक एक सतत मानचित्रण की डिग्री है#इस मानचित्र की विभेदक टोपोलॉजी। यह दिखाया जा सकता है कि यह पूर्णांक S की पसंद पर निर्भर नहीं करता है, और इसलिए केवल सदिश क्षेत्र पर ही निर्भर करता है।

'सदिश क्षेत्र का सूचकांक' समग्र रूप से परिभाषित किया जाता है जब इसमें शून्य की सीमित संख्या होती है। इस मामले में, सभी शून्य अलग-थलग हैं, और वेक्टर क्षेत्र के सूचकांक को सभी शून्य पर सूचकांकों के योग के रूप में परिभाषित किया गया है।

सूचकांक किसी भी गैर-एकवचन बिंदु (यानी, एक बिंदु जहां वेक्टर गैर-शून्य है) पर परिभाषित नहीं किया गया है। यह एक स्रोत के आसपास +1 के बराबर है, और अधिक सामान्यतः (−1) के बराबर हैk एक सैडल के चारों ओर, जिसमें k संकुचन आयाम और n−k विस्तृत आयाम हैं। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक साधारण (2-आयामी) क्षेत्र के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि गोले पर किसी भी वेक्टर क्षेत्र का सूचकांक 2 होना चाहिए। इससे पता चलता है कि ऐसे प्रत्येक वेक्टर क्षेत्र में शून्य होना चाहिए। इसका तात्पर्य बालों वाली गेंद प्रमेय  से है, जिसमें कहा गया है कि यदि 'R' में एक सदिश3 इकाई क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु को सौंपा गया है S2 एक निरंतर तरीके से, फिर बालों को समतल करना असंभव है, अर्थात, वैक्टर को निरंतर तरीके से चुनना जैसे कि वे सभी गैर-शून्य और S के स्पर्शरेखा हों 2.

शून्य की एक सीमित संख्या के साथ एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड पर एक वेक्टर क्षेत्र के लिए, पोंकारे-हॉप प्रमेय कहता है कि वेक्टर क्षेत्र का सूचकांक मैनिफोल्ड की यूलर विशेषता  के बराबर है।

शारीरिक अंतर्ज्ञान
माइकल फैराडे ने बल की रेखाओं की अपनी अवधारणा में इस बात पर जोर दिया कि क्षेत्र ही अध्ययन का विषय होना चाहिए, जो कि  क्षेत्र सिद्धांत (भौतिकी)  के रूप में पूरे भौतिकी में बन गया है।

चुंबकीय क्षेत्र के अलावा, फैराडे द्वारा मॉडलिंग की गई अन्य घटनाओं में विद्युत क्षेत्र और प्रकाश क्षेत्र  शामिल हैं।

फ्लो कर्व्स
अंतरिक्ष के एक क्षेत्र के माध्यम से एक तरल पदार्थ के प्रवाह पर विचार करें। किसी भी समय, द्रव के किसी भी बिंदु के साथ एक विशेष वेग जुड़ा होता है; इस प्रकार किसी भी प्रवाह से जुड़ा एक वेक्टर क्षेत्र होता है। इसका विलोम भी सत्य है: प्रवाह को उस सदिश क्षेत्र से संबद्ध करना संभव है जिसमें उस सदिश क्षेत्र का वेग हो।

S पर परिभाषित एक सदिश क्षेत्र V को देखते हुए, कोई S पर वक्र γ(t) को इस प्रकार परिभाषित करता है कि अंतराल I में प्रत्येक t के लिए, $$\gamma'(t) = V(\gamma(t))\,.$$ पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय द्वारा, यदि वी लिप्सचिट्ज़ निरंतरता  है तो एक अद्वितीय सी. है1-वक्र cx S में प्रत्येक बिंदु x के लिए ताकि, कुछ > 0 के लिए, $$\begin{align} \gamma_x(0) &= x\\ \gamma'_x(t) &= V(\gamma_x(t)) \qquad \forall t \in (-\varepsilon, +\varepsilon) \subset \R. \end{align}$$ वक्रx सदिश क्षेत्र V के समाकलन वक्र या प्रक्षेप पथ (या कम सामान्यतः, प्रवाह रेखाएं) कहलाते हैं और तुल्यता वर्ग ों में विभाजन S कहलाते हैं। अंतराल का विस्तार करना हमेशा संभव नहीं होता है $b$ पूर्ण  वास्तविक संख्या रेखा  तक। उदाहरण के लिए प्रवाह एक सीमित समय में S के किनारे तक पहुँच सकता है।

दो या तीन आयामों में कोई वेक्टर क्षेत्र को एस पर प्रवाह (गणित) को जन्म देने के रूप में देख सकता है। यदि हम एक बिंदु पी पर इस प्रवाह में एक कण छोड़ते हैं तो यह वक्र के साथ आगे बढ़ेगाp प्रवाह में प्रारंभिक बिंदु p पर निर्भर करता है। यदि p, V का एक स्थिर बिंदु है (अर्थात, सदिश क्षेत्र, बिंदु p पर शून्य सदिश के बराबर है), तो कण p पर ही रहेगा।

विशिष्ट अनुप्रयोग स्ट्रीमलाइन, स्ट्रीकलाइन, और द्रव प्रवाह, जियोडेसिक प्रवाह, और एक-पैरामीटर उपसमूह ों और  झूठ समूह ों में  घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत)  में पथरेखाएं हैं।

पूर्ण वेक्टर फ़ील्ड
परिभाषा के अनुसार, एक सदिश क्षेत्र को पूर्ण कहा जाता है यदि उसका प्रत्येक प्रवाह वक्र सभी समय के लिए मौजूद हो। विशेष रूप से, कई गुना पर कॉम्पैक्ट समर्थन  वेक्टर फ़ील्ड पूर्ण हैं। यदि  $$X$$ पर एक पूर्ण सदिश क्षेत्र है $$M$$, फिर प्रवाह द्वारा उत्पन्न भिन्नताओं का  एक-पैरामीटर समूह  $$X$$ सभी समय के लिए मौजूद है। सीमा के बिना एक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड पर, हर चिकना वेक्टर क्षेत्र पूरा होता है। अपूर्ण सदिश क्षेत्र का एक उदाहरण $$V$$ वास्तविक रेखा पर $$\mathbb R$$ द्वारा दिया गया है $$V(x) = x^2$$. के लिए, अवकल समीकरण $x'(t) = x^2$, प्रारंभिक शर्त के साथ $$x(0) = x_0 $$, इसका अनूठा समाधान है $x(t) = \frac{x_0}{1 - t x_0}$ यदि $$x_0 \neq 0$$ (तथा $$x(t) = 0$$ सभी के लिए $$t \in \R$$ यदि  $$x_0 = 0$$) इसलिए के लिए $$x_0 \neq 0$$, $$x(t)$$ पर अपरिभाषित है $t = \frac{1}{x_0}$  इसलिए के सभी मूल्यों के लिए परिभाषित नहीं किया जा सकता है $$t$$.

f-संबंधितता
मैनिफोल्ड्स के बीच एक सहज फलन को देखते हुए, f: M → N, व्युत्पन्न स्पर्शरेखा बंडलों पर एक प्रेरित मानचित्र है, f* : टीएम → टीएन। दिए गए सदिश क्षेत्र V : M → TM और W : N → TN, हम कहते हैं कि W, V से संबंधित है यदि समीकरण W f = f∗ वी रखती है।

अगर वीi f-W से संबंधित हैi, i = 1, 2, फिर लेट ब्रैकेट  [V1, में2] f से संबंधित है [W1, में2].

सामान्यीकरण
सदिशों को p-vector|p-vectors (pth वैक्टर की बाहरी शक्ति) द्वारा प्रतिस्थापित करने पर p-वेक्टर क्षेत्र प्राप्त होते हैं; दोहरे स्थान और बाहरी शक्तियों को लेने से अंतर रूप उत्पन्न होता है | विभेदक k- रूप, और इन पैदावार के संयोजन से सामान्य टेंसर क्षेत्र उत्पन्न होते हैं।

बीजगणितीय रूप से, वेक्टर क्षेत्रों को कई गुना चिकनी कार्यों के बीजगणित के व्युत्पन्न (अमूर्त बीजगणित) के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जो बीजगणित पर एक व्युत्पत्ति के रूप में एक कम्यूटेटिव बीजगणित पर एक वेक्टर क्षेत्र को परिभाषित करने की ओर जाता है, जिसे अंतर कैलकुस के सिद्धांत में विकसित किया जाता है। कम्यूटेटिव बीजगणित पर।

यह भी देखें

 * ईसेनबड-लेविन-खिम्शियाशविली हस्ताक्षर सूत्र
 * फील्ड लाइन
 * फील्ड की छमता
 * संतुलित प्रवाह#वायुमंडलीय गतिकी में ढाल प्रवाह
 * झूठ व्युत्पन्न
 * अदिश क्षेत्र
 * समय पर निर्भर वेक्टर क्षेत्र
 * बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में वेक्टर क्षेत्र
 * टेंसर फ़ील्ड

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

 * अंतरिक्ष (गणित)
 * ऊर्जा संरक्षण
 * काम (भौतिकी)
 * लाइन इंटीग्रल
 * वक्रों की विभेदक ज्यामिति
 * अलग करने योग्य कई गुना
 * सहप्रसरण और वैक्टर के विपरीत
 * निर्देशांक तरीका
 * खुला सेट
 * समतल ज्यामिति)
 * कलन का मौलिक प्रमेय
 * कार्तीय निर्देशांक
 * लगातार अलग-अलग
 * अंगूठी (गणित)
 * वृत्त
 * ओपनसिम्पलेक्स शोर
 * लोहा
 * बैरोमीटर का दबाव
 * ढतला हुआ वंश
 * बल की रेखाएं
 * भूगणितीय प्रवाह
 * तरल बहाव
 * भिन्नरूपता
 * सुचारू कार्य
 * यौगिक
 * कम्यूटेटिव बीजगणित पर अंतर कलन
 * दोहरी जगह
 * व्युत्पत्ति (सार बीजगणित)
 * बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में सदिश क्षेत्र
 * वायुमंडलीय गतिशीलता

बाहरी संबंध

 * Online Vector Field Editor
 * Vector field &mdash; Mathworld
 * Vector field &mdash; PlanetMath
 * 3D Magnetic field viewer
 * Vector fields and field lines
 * Vector field simulation An interactive application to show the effects of vector fields
 * Vector field simulation An interactive application to show the effects of vector fields