अपरिमेय संख्या

गणित में, अपरिमेय संख्याएँ (इन- उपसर्ग से लेकर आईआर- (नकारात्मक उपसर्ग, निजी) + परिमेय तक) वे सभी वास्तविक संख्याएँ हैं जो परिमेय संख्याएँ नहीं हैं। अर्थात्, अपरिमेय संख्याओं को दो पूर्णांको के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। जब दो रेखाखंडों की लंबाई का अनुपात एक अपरिमेय संख्या हो, तो रेखाखंडों को असम्मेय (गणित) के रूप में भी वर्णित किया जाता है, जिसका अर्थ है कि वे कोई माप साझा नहीं करते हैं, अर्थात कोई लंबाई (माप ) नहीं है, चाहे वह कितना भी छोटा क्यों न हो, जिसका उपयोग दो दिए गए खंडों की लंबाई को स्वयं के पूर्णांक गुणकों के रूप में व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है।

अपरिमेय संख्याओं में एक वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात π, यूलर की संख्या e, सुनहरा अनुपात φ, और दो का वर्गमूल।  वास्तविक में, वर्ग संख्याओं को छोड़कर, प्राकृतिक संख्याओं के सभी वर्गमूल अपरिमेय होते हैं।

सभी वास्तविक संख्याओं के समान, अपरिमेय संख्याओं को स्थितीय संकेतन में व्यक्त किया जा सकता है, विशेष रूप से दशमलव संख्या के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अपरिमेय संख्याओं की स्थिति में, दशमलव प्रसार न तो समाप्त होता है और न ही दशमलव की पुनरावृत्ति होती है। उदाहरण के लिए, π का ​​दशमलव प्रतिनिधित्व 3.14159 से प्रारंभ होता है, लेकिन अंकों की कोई परिमित संख्या π को यथार्थ रूप से प्रदर्शित नहीं कर सकती है, न ही यह दोहराती है। इसके विपरीत, एक दशमलव विस्तार जो समाप्त हो या पुनरावृत्ति हो, एक परिमेय संख्या होनी चाहिए। ये परिमेय संख्याओं और स्थितीय संख्या प्रणालियों के सिद्ध गुण हैं, और गणित में परिभाषाओं के रूप में उपयोग नहीं किए जाते हैं।

अपरिमेय संख्याओं को गैर-समाप्ति वाले निरंतर अंशों और कई अन्य तरीकों से भी व्यक्त किया जा सकता है।

कैंटर के प्रमाण के परिणामस्वरूप कि वास्तविक संख्याएँ बेशुमार हैं और परिमेय संख्याएँ गणनीय हैं, यह इस प्रकार है कि लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय हैं।

प्राचीन ग्रीस
अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व का पहला प्रमाण सामान्यतः पाइथागोरसवाद (संभवतः हिपपासस) को दिया जाता है, जिन्होंने पेंटाग्राम के पक्षों की पहचान करते हुए संभवतः उन्हें खोजा था।

तत्कालीन पाइथोगोरियन पद्धति ने दावा किया होगा कि कुछ पर्याप्त रूप से छोटी, अविभाज्य इकाई होनी चाहिए जो समान रूप से इनमें से एक लंबाई के साथ-साथ दूसरी में भी उपयुक्त हो सके। चूंकि, 5वीं शताब्दी ईसा पूर्व में हिप्पसस, यह निष्कर्ष निकालने में सक्षम था कि वास्तविक में माप की कोई सामान्य इकाई नहीं थी, और इस तरह के अस्तित्व का दावा वास्तविक में एक विरोधाभास था। उन्होंने यह प्रदर्शित करके ऐसा किया कि यदि एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज का कर्ण वास्तविक में एक यथार्थ रूप से आनुपातिक (गणित) था, तो माप की उस इकाई में मापी गई लंबाई में से एक विषम और सम दोनों होनी चाहिए, जो असंभव है। उनका तर्क इस प्रकार है:   ASHIF यूनानी गणित ने अतुलनीय परिमाणों के इस अनुपात को एलोगोस या अवर्णनीय कहा है। हालाँकि, हिप्पसस को उनके प्रयासों के लिए सराहना नहीं मिली: एक किंवदंती के अनुसार, उन्होंने समुद्र में बाहर रहते हुए अपनी खोज की, और बाद में अपने साथी पाइथागोरस द्वारा जहाज पर फेंक दिया गया ... ब्रह्मांड में एक तत्व का उत्पादन करने के लिए जिसने इनकार किया। सिद्धांत कि ब्रह्मांड में सभी घटनाओं को पूर्ण संख्याओं और उनके अनुपातों में घटाया जा सकता है। एक अन्य किंवदंती में कहा गया है कि इस रहस्योद्घाटन के लिए हिप्पसस को केवल निर्वासित किया गया था। खुद हिप्पसस के परिणाम चाहे जो भी हों, उसकी खोज ने पायथागॉरियन गणित के लिए एक बहुत ही गंभीर समस्या खड़ी कर दी, क्योंकि इसने इस धारणा को तोड़ दिया कि संख्या और ज्यामिति अविभाज्य हैं - उनके सिद्धांत की नींव।
 * एक समद्विबाहु समकोण त्रिभुज से प्रारंभ करें, जिसकी भुजाएँ पूर्णांक a, b, और c हों। एक पैर के लिए कर्ण का अनुपात c:b द्वारा दर्शाया गया है।
 * मान लें कि ए, बी, और सी सबसे छोटी संभव शर्तों में हैं (यानी उनके पास कोई सामान्य कारक नहीं है)।
 * पाइथागोरस प्रमेय द्वारा: सी2 = ए2+बी2 = बी2+बी2 = 2बी 2। (चूँकि त्रिभुज समद्विबाहु है, a = b)।
 * चूंकि सी2 = 2बी2, सी2 2 से विभाज्य है, और इसलिए सम है।
 * चूंकि सी2 सम है, c सम होना चाहिए।
 * चूँकि c सम है, c को 2 से विभाजित करने पर एक पूर्णांक प्राप्त होता है। मान लीजिए y यह पूर्णांक है (c = 2y)।
 * c के दोनों पक्षों का वर्ग करने पर = 2y से c प्राप्त होता हैए  = (कोई भी) 2, या सी 2 = 4y 2।
 * 4y को प्रतिस्थापित करना2 सी के लिए2 पहले समीकरण में (सी2 = 2बी2) हमें 4y देता है2= 2बी 2।
 * 2 से भाग देने पर 2y मिलता है2 = बी 2।
 * चूँकि y एक पूर्णांक है, और 2y2 = बी2, बी2 2 से विभाज्य है, और इसलिए सम है।
 * चूंकि बी2 सम है, b अवश्य ही सम होना चाहिए।
 * हमने अभी दिखाया है कि b और c दोनों ही सम होने चाहिए। इसलिए उनके पास 2 का एक सामान्य कारक है। चूंकि यह इस धारणा का खंडन करता है कि उनके पास कोई सामान्य कारक नहीं है। यह विरोधाभास साबित करता है कि सी और बी दोनों पूर्णांक नहीं हो सकते हैं, और इस प्रकार एक संख्या का अस्तित्व जिसे दो पूर्णांकों के अनुपात के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

अतुलनीय अनुपातों की खोज यूनानियों के सामने एक और समस्या का संकेत था: असतत का निरंतर से संबंध। यह एलिया के ज़ेनो द्वारा प्रकाश में लाया गया था, जिन्होंने इस धारणा पर सवाल उठाया था कि मात्राएँ असतत हैं और एक निश्चित आकार की इकाइयों की एक सीमित संख्या से बनी हैं। पिछली ग्रीक धारणाओं ने तय किया कि वे आवश्यक रूप से होने चाहिए, क्योंकि पूर्ण संख्या असतत वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करती है, और एक अनुपातिक अनुपात असतत वस्तुओं के दो संग्रहों के बीच संबंध का प्रतिनिधित्व करता है, लेकिन ज़ेनो ने पाया कि वास्तविक में [मात्रा] सामान्य रूप से इकाइयों का असतत संग्रह नहीं है; यही कारण है कि अतुलनीय [मात्राओं] के अनुपात प्रकट होते हैं... [Q] मात्राएं, दूसरे शब्दों में, निरंतर होती हैं। इसका अर्थ यह है कि उस समय की लोकप्रिय धारणा के विपरीत, किसी भी मात्रा के लिए माप की एक अविभाज्य, सबसे छोटी इकाई नहीं हो सकती। वास्तविक में, मात्रा के इन विभाजनों को अनिवार्य रूप से अनंत होना चाहिए। उदाहरण के लिए, एक रेखा खंड पर विचार करें: इस खंड को आधे में विभाजित किया जा सकता है, आधे को आधे में विभाजित किया जा सकता है, आधे को आधे में विभाजित किया जा सकता है, और इसी तरह। यह प्रक्रिया अनंत काल तक जारी रह सकती है, क्योंकि विभाजित होने के लिए हमेशा एक और आधा होता है। जितनी बार खंड को आधा किया जाता है, माप की इकाई शून्य के करीब आती है, लेकिन यह कभी भी बिल्कुल शून्य तक नहीं पहुंचती है। ज़ेनो यही साबित करना चाहता था। उन्होंने ज़ेनो के विरोधाभासों को सूत्रबद्ध करके इसे साबित करने की कोशिश की, जिसने उस समय के गणितीय विचारों में निहित अंतर्विरोधों को प्रदर्शित किया। जबकि ज़ेनो के विरोधाभासों ने वर्तमान गणितीय अवधारणाओं की कमियों को सटीक रूप से प्रदर्शित किया, उन्हें विकल्प के प्रमाण के रूप में नहीं माना गया। यूनानियों के दिमाग में, एक दृष्टिकोण की वैधता को खारिज करना जरूरी नहीं कि दूसरे की वैधता साबित हो, और इसलिए आगे की जांच होनी चाहिए।

अगला कदम कनिडस के यूडोक्सस द्वारा उठाया गया, जिन्होंने अनुपात के एक नए सिद्धांत को औपचारिक रूप दिया, जिसमें समानुपातिक और साथ ही अतुलनीय मात्राओं को ध्यान में रखा गया। उनके विचार का केंद्र परिमाण और संख्या के बीच का अंतर था। एक परिमाण ... एक संख्या नहीं थी, लेकिन रेखा खंडों, कोणों, क्षेत्रों, मात्राओं और समय जैसी संस्थाओं के लिए खड़ा था, जो अलग-अलग हो सकते हैं, जैसा कि हम कहेंगे, लगातार। परिमाण संख्याओं के विपरीत थे, जो 4 से 5 के रूप में एक मान से दूसरे मान पर छलांग लगाते थे। संख्याएँ कुछ सबसे छोटी, अविभाज्य इकाई से बनी होती हैं, जबकि परिमाण असीम रूप से कम करने योग्य होते हैं। चूंकि परिमाण के लिए कोई मात्रात्मक मान निर्दिष्ट नहीं किया गया था, तब यूडोक्सस अपने परिमाण के संदर्भ में एक अनुपात को परिभाषित करके और दो अनुपातों के बीच समानता के रूप में अनुपात को परिभाषित करके आनुपातिक और असंगत दोनों अनुपातों के लिए खाता बनाने में सक्षम था। मात्रात्मक मानों (संख्याओं) को समीकरण से निकालकर, उन्होंने एक अपरिमेय संख्या को एक संख्या के रूप में व्यक्त करने के जाल से बचा लिया। यूडोक्सस के सिद्धांत ने ग्रीक गणितज्ञों को अतुलनीय अनुपातों के लिए आवश्यक तार्किक आधार प्रदान करके ज्यामिति में जबरदस्त प्रगति करने में सक्षम बनाया। इस अतुलनीयता को यूक्लिड के तत्वों, पुस्तक X, प्रस्ताव 9 में निपटाया गया है। यह तब तक नहीं था जब तक कनिडस के यूडोक्सस ने अनुपात के एक सिद्धांत को विकसित नहीं किया था जो तर्कहीन के साथ-साथ तर्कसंगत अनुपातों को ध्यान में रखता था कि अपरिमेय संख्याओं का एक मजबूत गणितीय आधार तैयार किया गया था। संख्या और परिमाण के बीच अंतर के परिणामस्वरूप, ज्यामिति ही एकमात्र ऐसी विधि बन गई जो अतुलनीय अनुपातों को ध्यान में रख सकती थी। क्योंकि पिछली संख्यात्मक नींव अभी भी अतुलनीयता की अवधारणा के साथ असंगत थी, ग्रीक फोकस उन संख्यात्मक अवधारणाओं जैसे कि बीजगणित से दूर हो गया और लगभग पूरी तरह से ज्यामिति पर केंद्रित था। वास्तविक में, कई मामलों में बीजगणितीय संकल्पनाओं को ज्यामितीय शब्दों में पुनर्रूपित किया गया था। यह इस बात का कारण हो सकता है कि हम अभी भी x की कल्पना क्यों करते हैं2 और x3 x के वर्ग के रूप में और x के बजाय x को दूसरी शक्ति और x को तीसरी शक्ति के रूप में। अतुलनीय परिमाण के साथ ज़ेनो के काम के लिए भी महत्वपूर्ण कटौतीत्मक तर्क पर मौलिक ध्यान था जो कि पहले के ग्रीक गणित के मूलभूत बिखराव से उत्पन्न हुआ था। यह अहसास कि मौजूदा सिद्धांत के भीतर कुछ बुनियादी अवधारणा वास्तविकता के विपरीत थी, उस सिद्धांत को रेखांकित करने वाले स्वयंसिद्धों और मान्यताओं की पूरी और गहन जांच की आवश्यकता थी। इस आवश्यकता के कारण, यूडोक्सस ने थकावट की अपनी विधि विकसित की, एक प्रकार का रिडक्टियो एड बेतुका जिसने ... स्पष्ट स्वयंसिद्धों के आधार पर निगमनात्मक संगठन की स्थापना की ... साथ ही ... कटौतीत्मक तर्क पर भरोसा करने के पहले के निर्णय को सुदृढ़ किया। सबूत के लिए। थकावट की यह विधि कलन के निर्माण में पहला कदम है।

सायरीन के थियोडोरस ने 17 तक की पूर्ण संख्याओं के Nवें मूल की अपरिमेयता को सिद्ध किया, लेकिन शायद वहीं रुक गया क्योंकि उसने जिस बीजगणित का प्रयोग किया वह 17 के वर्गमूल पर लागू नहीं किया जा सका।

भारत
भारत में वैदिक काल के दौरान वर्गमूल जैसी अपरिमेय संख्याओं से जुड़ी ज्यामितीय और गणितीय समस्याओं को बहुत पहले ही संबोधित कर लिया गया था। संहिताओं, ब्राह्मणों और शुलब सूत्र (800 ईसा पूर्व या उससे पहले) में ऐसी गणनाओं के संदर्भ हैं। (देखें बैग, इंडियन जर्नल ऑफ हिस्ट्री ऑफ साइंस, 25(1-4), 1990)।

यह सुझाव दिया जाता है कि अपरिमेयता की अवधारणा को 7वीं शताब्दी ईसा पूर्व से भारतीय गणित द्वारा स्पष्ट रूप से स्वीकार किया गया था, जब मानव (सी। 750 - 690 ईसा पूर्व) का मानना ​​था कि 2 और 61 जैसी संख्याओं के वर्गमूलों को सटीक रूप से निर्धारित नहीं किया जा सकता है। इतिहासकार कार्ल बेंजामिन बोयर, चूंकि, लिखते हैं कि इस तरह के दावे अच्छी तरह से प्रमाणित नहीं हैं और सच होने की संभावना नहीं है। यह भी सुझाव दिया गया है कि आर्यभट्ट (5वीं शताब्दी ईस्वी) ने 5 महत्वपूर्ण अंकों के पाई के मान की गणना में आसन (निकट) शब्द का प्रयोग किया था, जिसका अर्थ यह था कि यह न केवल एक सन्निकटन है, बल्कि यह मान अतुलनीय (या अपरिमेय) है।.

बाद में, अपने ग्रंथों में, भारतीय गणितज्ञों ने जोड़, घटाव, गुणा, युक्तिकरण, साथ ही वर्गमूल के पृथक्करण और निष्कर्षण सहित करणी के अंकगणित पर लिखा। ब्रह्मगुप्त (628 ईस्वी में) और भास्कर प्रथम (629 ईस्वी में) जैसे गणितज्ञों ने इस क्षेत्र में योगदान दिया जैसा कि अन्य गणितज्ञों ने किया। 12वीं शताब्दी में भास्कर द्वितीय ने इनमें से कुछ सूत्रों का मूल्यांकन किया और उनकी सीमाओं की पहचान करते हुए उनकी आलोचना की।

14वीं से 16वीं शताब्दी के दौरान, संगमग्राम के माधव और केरल स्कूल ऑफ एस्ट्रोनॉमी एंड मैथमेटिक्स ने कई अपरिमेय संख्याओं जैसे pi|π और त्रिकोणमितीय कार्यों के कुछ अपरिमेय मूल्यों के लिए अनंत श्रृंखला की खोज की। ज्येष्ठदेव ने युक्तिभाषा में इन अनंत श्रृंखलाओं के लिए प्रमाण प्रदान किए।

मध्य युग
मध्य युग में, मध्ययुगीन इस्लाम में गणित द्वारा बीजगणित के विकास ने अपरिमेय संख्याओं को बीजगणितीय वस्तुओं के रूप में व्यवहार करने की अनुमति दी। मध्य पूर्वी गणितज्ञों ने संख्या और परिमाण (गणित) की अवधारणाओं को वास्तविक संख्याओं के एक अधिक सामान्य विचार में विलय कर दिया, यूक्लिड के अनुपात के विचार की आलोचना की, समग्र अनुपात के सिद्धांत को विकसित किया, और संख्या की अवधारणा को निरंतर परिमाण के अनुपात में विस्तारित किया। तत्वों की पुस्तक 10 पर अपनी टिप्पणी में, फारसी लोग गणितज्ञ व्यवसायिक (डी। 874/884) ने द्विघात अपरिमेय और घन अपरिमेय की जांच की और वर्गीकृत किया। उन्होंने परिमेय और अपरिमेय परिमाणों के लिए परिभाषाएँ प्रदान कीं, जिन्हें उन्होंने अपरिमेय संख्याओं के रूप में माना। उन्होंने उनके साथ स्वतंत्र रूप से व्यवहार किया लेकिन ज्यामितीय शब्दों में उनकी व्याख्या इस प्रकार की:

""It will be a rational (magnitude) when we, for instance, say 10, 12, 3%, 6%, etc., because its value is pronounced and expressed quantitatively. What is not rational is irrational and it is impossible to pronounce and represent its value quantitatively. For example: the roots of numbers such as 10, 15, 20 which are not squares, the sides of numbers which are not cubes etc.""

रेखाओं के रूप में परिमाण की यूक्लिड की अवधारणा के विपरीत, अल-महानी ने पूर्णांकों और भिन्नों को परिमेय परिमाण माना, और वर्गमूल और घनमूल को अपरिमेय परिमाण माना। उन्होंने तर्कहीनता की अवधारणा के लिए एक अंकगणितीय दृष्टिकोण भी पेश किया, क्योंकि वह तर्कहीन परिमाणों के लिए निम्नलिखित का श्रेय देते हैं:

""their sums or differences, or results of their addition to a rational magnitude, or results of subtracting a magnitude of this kind from an irrational one, or of a rational magnitude from it.""

मिस्र के गणितज्ञ अबू कामिल शुजा इब्न असलम (सी। 850 - 930) अपरिमेय संख्याओं को द्विघात [[समीकरण]]ों के समाधान के रूप में या एक समीकरण में गुणांक के रूप में, अक्सर वर्गमूल, घनमूल और Nth मूल के रूप में स्वीकार करने वाले पहले व्यक्ति थे। 10वीं शताब्दी में, इराकी गणितज्ञ अल-हाशिमी ने अपरिमेय संख्याओं के लिए सामान्य प्रमाण (ज्यामितीय प्रदर्शनों के बजाय) प्रदान किए, क्योंकि उन्होंने गुणन, विभाजन और अन्य अंकगणितीय कार्यों पर विचार किया। ईरानी गणितज्ञ, अबू जाफर अल-खज़िन (900-971) तर्कसंगत और अपरिमेय परिमाण की परिभाषा प्रदान करते हैं, जिसमें कहा गया है कि यदि एक निश्चित मात्रा है:

""contained in a certain given magnitude once or many times, then this (given) magnitude corresponds to a rational number. . . . Each time when this (latter) magnitude comprises a half, or a third, or a quarter of the given magnitude (of the unit), or, compared with (the unit), comprises three, five, or three fifths, it is a rational magnitude. And, in general, each magnitude that corresponds to this magnitude (i.e. to the unit), as one number to another, is rational. If, however, a magnitude cannot be represented as a multiple, a part (1/n), or parts (m/n) of a given magnitude, it is irrational, i.e. it cannot be expressed other than by means of roots.""

इन अवधारणाओं में से कई अंततः यूरोपीय गणितज्ञों द्वारा 12वीं शताब्दी के लैटिन अनुवादों के कुछ समय बाद स्वीकार किए गए थे। 12वीं शताब्दी के दौरान इस्लामी विरासत न्यायशास्त्र में विशेषज्ञता वाले Fes के एक मोरक्कन गणितज्ञ अल-हसर ने सबसे पहले एक भिन्नात्मक बार के उपयोग का उल्लेख किया, जहां अंश और हर को एक क्षैतिज पट्टी द्वारा अलग किया जाता है। अपनी चर्चा में वे लिखते हैं, ..., उदाहरण के लिए, यदि आपको तीन-पांचवें और पांचवें के तीसरे भाग को लिखने के लिए कहा जाए, तो इस प्रकार लिखें, $$\frac{3 \quad 1}{5 \quad 3}$$. 13वीं शताब्दी में लियोनार्डो फाइबोनैचि के कार्य के तुरंत बाद यही भिन्नात्मक संकेतन प्रकट होता है।

आधुनिक काल
17वीं शताब्दी में अब्राहम डी मोइवरे और विशेष रूप से लियोनहार्ड यूलर के हाथों में काल्पनिक संख्याएं एक शक्तिशाली उपकरण बन गईं। 19वीं शताब्दी में जटिल संख्याओं के सिद्धांत के पूरा होने से अपरिमेय का बीजगणितीय और पारलौकिक संख्याओं में विभेदन, पारलौकिक संख्याओं के अस्तित्व का प्रमाण, और अपरिमेय के सिद्धांत के वैज्ञानिक अध्ययन का पुनरुत्थान हुआ, जिसे यूक्लिड के बाद से बड़े पैमाने पर अनदेखा किया गया। वर्ष 1872 में कार्ल वीयरस्ट्रास (उनके शिष्य अर्नस्ट कोसाक द्वारा), एडवर्ड हेन (क्रेल के जर्नल, 74), जॉर्ज कैंटर (एनालेन, 5) और रिचर्ड डेडेकिंड के सिद्धांतों का प्रकाशन देखा गया। मेरे ने 1869 में हेइन के समान प्रस्थान बिंदु लिया था, लेकिन सिद्धांत को आम तौर पर वर्ष 1872 के रूप में संदर्भित किया जाता है। वेइरस्ट्रास की विधि पूरी तरह से 1880 में सल्वाटोर पिंचरले द्वारा निर्धारित की गई है, और डेडेकाइंड कट लेखक के बाद के काम (1888) और पॉल टेनरी (1894) द्वारा समर्थन के माध्यम से अतिरिक्त प्रमुखता मिली है। वेइरस्ट्रास, कैंटर, और हाइन अपने सिद्धांतों को अनंत श्रृंखला पर आधारित करते हैं, जबकि डेडेकिंड ने अपने सिद्धांतों को सभी परिमेय संख्याओं की प्रणाली में डेडेकिंड कट|कट (श्निट) के विचार पर पाया, उन्हें कुछ विशिष्ट गुणों वाले दो समूहों में अलग किया। इस विषय को बाद में वीयरस्ट्रास, लियोपोल्ड क्रोनकर (क्रेले, 101) और चार्ल्स मेरे द्वारा योगदान प्राप्त हुआ।

अपरिमेय संख्याओं (और कैटाल्डी, 1613 के कारण) से निकटता से संबंधित निरंतर अंशों ने यूलर के हाथों ध्यान आकर्षित किया, और 19वीं शताब्दी के प्रारंभ में जोसेफ-लुई लाग्रेंज के लेखन के माध्यम से प्रमुखता में लाया गया। डिरिचलेट ने सामान्य सिद्धांत में भी जोड़ा, क्योंकि विषय के अनुप्रयोगों में कई योगदानकर्ता हैं।

जोहान हेनरिक लैम्बर्ट ने (1761) साबित किया कि π तर्कसंगत नहीं हो सकता है, और वह ईn अपरिमेय है यदि n परिमेय है (जब तक कि n = 0 न हो)। जबकि लैम्बर्ट के प्रमाण को अक्सर अधूरा कहा जाता है, आधुनिक आकलन इसे संतोषजनक मानते हैं, और वास्तविक में अपने समय के लिए यह असामान्य रूप से कठोर है। एड्रियन मैरी लीजेंड्रे (1794) ने बेसेल-क्लिफर्ड फ़ंक्शन की शुरुआत के बाद, यह दिखाने के लिए एक प्रमाण प्रदान किया कि π2 अपरिमेय है, जहाँ से यह तुरंत अनुसरण करता है कि π अपरिमेय भी है। अनुवांशिक संख्याओं का अस्तित्व सबसे पहले लिउविल (1844, 1851) द्वारा स्थापित किया गया था। बाद में, जॉर्ज कैंटर (1873) ने जॉर्ज कैंटर के पहले सेट थ्योरी आर्टिकल द्वारा अपने अस्तित्व को साबित किया, जिसमें दिखाया गया था कि वास्तविक में हर अंतराल में पारलौकिक संख्याएँ होती हैं। चार्ल्स हर्मिट (1873) ने पहली बार ई ट्रान्सेंडैंटल साबित किया, और हर्मिट के निष्कर्ष से शुरू करते हुए फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन (1882) ने π के लिए वही दिखाया। लिंडमैन के प्रमाण को वेइरस्ट्रास (1885) द्वारा बहुत सरल किया गया था, डेविड हिल्बर्ट (1893) द्वारा और भी आगे, और अंत में एडॉल्फ हर्विट्ज़ द्वारा प्राथमिक बनाया गया था। और पॉल गॉर्डन।

वर्गमूल
2 का वर्गमूल संभवतः पहली संख्या अपरिमेय साबित हुई थी। सुनहरा अनुपात एक अन्य प्रसिद्ध द्विघात अपरिमेय संख्या है। सभी प्राकृतिक संख्याओं के वर्गमूल जो पूर्ण वर्ग नहीं हैं, अपरिमेय हैं और द्विघात अपरिमेय में एक प्रमाण पाया जा सकता है।

सामान्य जड़ें
ऊपर का प्रमाण दो के वर्गमूल के लिए अंकगणित के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके सामान्यीकृत किया जा सकता है। यह दावा करता है कि प्रत्येक पूर्णांक का अभाज्य में एक अद्वितीय गुणनखंड होता है। इसका उपयोग करके हम दिखा सकते हैं कि यदि कोई परिमेय संख्या पूर्णांक नहीं है, तो उसकी कोई भी पूर्णांक शक्ति पूर्णांक नहीं हो सकती है, क्योंकि निम्नतम शब्दों में भाजक में एक अभाज्य संख्या होनी चाहिए जो अंश में विभाजित न हो चाहे प्रत्येक शक्ति कितनी भी बढ़ जाए प्रति। इसलिए, यदि कोई पूर्णांक सटीक नहीं है $\sqrt{2}$किसी अन्य पूर्णांक की घात, तो उस पहले पूर्णांक का nवां मूल|$k$जड़ तर्कहीन है।

लघुगणक
शायद सबसे आसान तर्कहीन साबित करने के लिए कुछ निश्चित लघुगणक हैं। यहाँ विरोधाभास द्वारा एक प्रमाण दिया गया है कि log23 तर्कहीन है (log23 ≈ 1.58 > 0).

लॉग मान लें23 तर्कसंगत है। कुछ धनात्मक पूर्णांकों m और n के लिए, हमारे पास है


 * $$\log_2 3 = \frac{m}{n}.$$

यह इस प्रकार है कि


 * $$2^{m/n}=3$$
 * $$(2^{m/n})^n = 3^n$$
 * $$2^m=3^n.$$

संख्या 2 को किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात तक उठाना सम होना चाहिए (क्योंकि यह 2 से विभाज्य है) और संख्या 3 को किसी भी धनात्मक पूर्णांक घात तक उठाया जाना चाहिए विषम होना चाहिए (क्योंकि इसका कोई भी अभाज्य गुणनखंड 2 नहीं होगा)। स्पष्ट रूप से, एक पूर्णांक एक ही समय में विषम और सम दोनों नहीं हो सकता है: हमारे पास एक विरोधाभास है। हमारे द्वारा की गई एकमात्र धारणा यह थी कि log23 परिमेय है (और n ≠ 0 के साथ पूर्णांक m/n के भागफल के रूप में अभिव्यक्त होता है)। विरोधाभास का मतलब है कि यह धारणा झूठी होनी चाहिए, यानी लॉग23 अपरिमेय है, और कभी भी n ≠ 0 के साथ पूर्णांक m/n के भागफल के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

लॉग जैसे मामले102 के साथ ऐसा ही व्यवहार किया जा सकता है।

प्रकार

 * संख्या सैद्धांतिक भेद: अनुवांशिक/बीजगणितीय
 * सामान्य संख्या/सामान्य संख्या#गैर-सामान्य संख्या|असामान्य (गैर-सामान्य)

ट्रान्सेंडैंटल/बीजगणितीय
लगभग सभी अपरिमेय संख्याएँ ट्रान्सेंडैंटल संख्याएँ हैं और सभी वास्तविक ट्रान्सेंडैंटल संख्याएँ अपरिमेय हैं (जटिल ट्रान्सेंडैंटल संख्याएँ भी हैं): ट्रान्सेंडैंटल नंबरों पर लेख कई उदाहरणों को सूचीबद्ध करता है। तो ईआर और पीr सभी अशून्य परिमेय r के लिए अपरिमेय हैं, और, उदा., eπ तर्कहीन भी है।

अपरिमेय संख्याएँ वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं के गणनीय सेट सेट के भीतर भी पाई जा सकती हैं (अनिवार्य रूप से पूर्णांक गुणांक वाले बहुपदों के कार्य के वास्तविक शून्य के रूप में परिभाषित), अर्थात, बहुपद समीकरणों के वास्तविक समाधान के रूप में


 * $$p(x) = a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + \cdots + a_1x + a_0 = 0\;, $$

जहां गुणांक $$a_i$$ पूर्णांक हैं और $$a_n \ne 0$$. इस बहुपद समीकरण का परिमेय मूल प्रमेय r/s के रूप में होना चाहिए, जहाँ r a का भाजक है0 और s, a का भाजक हैn. अगर एक असली जड़ $$x_0$$ एक बहुपद का $$p$$ इन बहुत सी संभावनाओं में से नहीं है, यह एक अपरिमेय बीजगणितीय संख्या होनी चाहिए। ऐसे बीजगणितीय अपरिमेय के अस्तित्व के लिए एक अनुकरणीय प्रमाण यह दिखा कर है कि x0  = (21/2 + 1)1/3 पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद का अपरिमेय मूल है: यह संतुष्ट करता है (x3 − 1)2 = 2 और इसलिए x6 − 2x3 − 1 = 0, और इस बाद वाले बहुपद का कोई परिमेय मूल नहीं है (जाँच करने के लिए केवल उम्मीदवार हैं ±1, और x0, 1 से बड़ा होना इनमें से कोई भी नहीं है), इसलिए x0 एक अपरिमेय बीजगणितीय संख्या है।

क्योंकि बीजगणितीय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का एक क्षेत्र (गणित) बनाती हैं, कई अपरिमेय वास्तविक संख्याओं का निर्माण पारलौकिक और बीजगणितीय संख्याओं के संयोजन से किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 3$\pi$ + 2, π + $k$ और ई$\sqrt{2}$ तर्कहीन हैं (और पारलौकिक भी)।

दशमलव विस्तार
एक अपरिमेय संख्या का दशमलव विस्तार किसी भी परिमेय संख्या के विपरीत कभी भी दोहराता या समाप्त नहीं होता है (बाद वाला दोहराए जाने वाले शून्य के बराबर होता है)। बाइनरी अंक प्रणाली, अष्टभुजाकार या हेक्साडेसिमल विस्तार के लिए भी यही सच है, और सामान्य रूप से प्राकृतिक संख्या आधारों के साथ प्रत्येक स्थितीय संकेतन अंक प्रणाली में विस्तार के लिए।

इसे दर्शाने के लिए, मान लीजिए कि हम पूर्णांक n को m से विभाजित करते हैं (जहाँ m अशून्य है)। जब m द्वारा n के भाग पर दीर्घ विभाजन लागू किया जाता है, तो कभी भी m से अधिक या उसके बराबर शेषफल नहीं हो सकता है। यदि 0 शेषफल के रूप में प्रकट होता है, तो दशमलव प्रसार समाप्त हो जाता है। यदि 0 कभी नहीं होता है, तो एल्गोरिथम एक से अधिक बार किसी भी शेष का उपयोग किए बिना अधिकतम m - 1 चरणों में चल सकता है। उसके बाद, एक शेष की पुनरावृत्ति होनी चाहिए, और फिर दशमलव विस्तार दोहराता है।

इसके विपरीत, मान लीजिए कि हमारे सामने एक आवर्ती दशमलव है, हम यह सिद्ध कर सकते हैं कि यह दो पूर्णांकों का एक भिन्न है। उदाहरण के लिए, विचार करें:


 * $$A=0.7\,162\,162\,162\,\ldots$$

यहाँ दोहराव 162 है और दोहराव की लंबाई 3 है। सबसे पहले, हम दशमलव बिंदु को दाईं ओर ले जाने के लिए 10 की एक उपयुक्त शक्ति से गुणा करते हैं ताकि यह एक दोहराव के ठीक सामने हो। इस उदाहरण में हम प्राप्त करने के लिए 10 से गुणा करेंगे:


 * $$10A = 7.162\,162\,162\,\ldots$$

अब हम इस समीकरण को 10 से गुणा करते हैंr जहां r दोहराव की लंबाई है। यह दशमलव बिंदु को अगले पुनरावृत्ति के सामने ले जाने का प्रभाव है। हमारे उदाहरण में, 10 से गुणा करें3:


 * $$10,000A=7\,162.162\,162\,\ldots$$

दो गुणन का परिणाम बिल्कुल समान दशमलव भाग के साथ दो भिन्न व्यंजक देता है, अर्थात 10,000A का पिछला सिरा 10A के पिछले सिरे से सटीक रूप से मेल खाता है। यहां, 10,000A और 10A दोनों हैं .162 162  162  ... दशमलव बिंदु के बाद।

इसलिए, जब हम 10A समीकरण को 10,000A समीकरण से घटाते हैं, तो 10A का पिछला सिरा 10,000A के पिछले सिरे को रद्द कर देता है और हमारे पास रह जाता है:


 * $$9990A=7155.$$

फिर


 * $$A= \frac{7155}{9990} = \frac{53}{74}$$

पूर्णांकों का अनुपात है और इसलिए एक परिमेय संख्या है।

अपरिमेय शक्तियाँ
डोव जार्डन ने एक साधारण गैर-रचनात्मक प्रमाण दिया कि दो अपरिमेय संख्याएँ a और b मौजूद हैं, जैसे कि ab तर्कसंगत है: विचार करना $\sqrt{3}$$\sqrt{2}$; यदि यह तर्कसंगत है, तो a = b = लें $\sqrt{2}$. अन्यथा, a को अपरिमेय संख्या मानिए $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$ और बी = $\sqrt{2}$. फिर एकख = ($\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$) $\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$ $\sqrt{2}$·$\sqrt{2}$ = $\sqrt{2}$ 2 = 2, जो तर्कसंगत है।

चूंकि उपरोक्त तर्क दो मामलों के बीच निर्णय नहीं करता है, गेलफॉन्ड-श्नाइडर प्रमेय यह दर्शाता है $\sqrt{2}$$\sqrt{2}$ भावातीत संख्या है, इसलिए अपरिमेय है। यह प्रमेय बताता है कि यदि a और b दोनों बीजगणितीय संख्याएँ हैं, और a 0 या 1 के बराबर नहीं है, और b एक परिमेय संख्या नहीं है, तो a का कोई मानb एक पारलौकिक संख्या है (यदि घातांक # सम्मिश्र संख्याओं की घात का उपयोग किया जाता है तो एक से अधिक मान हो सकते हैं)।

एक उदाहरण जो एक सरल रचनात्मक प्रमाण प्रदान करता है
 * $$\left(\sqrt{2}\right)^{\log_{\sqrt{2}}3}=3.$$

बायीं ओर का आधार अपरिमेय है और दायीं ओर परिमेय है, इसलिए सिद्ध करना होगा कि बायीं ओर का घातांक, $$\log_{\sqrt{2}}3$$, तर्कहीन है। ऐसा इसलिए है, क्योंकि भिन्न-भिन्न आधारों वाले लघुगणकों को संबंधित सूत्र द्वारा,


 * $$\log_{\sqrt{2}}3=\frac{\log_2 3}{\log_2 \sqrt{2}}=\frac{\log_2 3}{1/2} = 2\log_2 3$$

जिसे हम मान सकते हैं, विरोधाभास द्वारा प्रमाण स्थापित करने के लिए, धनात्मक पूर्णांकों के अनुपात m/n के बराबर है। फिर $$\log_2 3 = m/2n$$ इसलिये $$2^{\log_2 3}=2^{m/2n}$$ इसलिये $$3=2^{m/2n}$$ इसलिये $$3^{2n}=2^m$$, जो प्रमुख कारकों की एक विरोधाभासी जोड़ी है और इसलिए अंकगणित (अद्वितीय प्रधान कारक) के मौलिक प्रमेय का उल्लंघन करती है।

एक मजबूत परिणाम निम्न है: अंतराल में प्रत्येक तर्कसंगत संख्या $$((1/e)^{1/e}, \infty)$$ के रूप में भी लिखा जा सकता हैa कुछ अपरिमेय संख्या के लिए a या n के रूप मेंn किसी प्राकृत संख्या n के लिए। इसी प्रकार, प्रत्येक धनात्मक परिमेय संख्या को या तो इस प्रकार लिखा जा सकता है $$a^{a^a}$$ कुछ अपरिमेय संख्या के लिए एक या के रूप में $$n^{n^n}$$ कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए।

खुले प्रश्न
अगर यह ज्ञात नहीं है $$\pi+e$$ (या $$\pi-e$$) तर्कहीन है। वास्तविक में, शून्येतर पूर्णांकों का कोई युग्म नहीं है $$m, n$$ जिसके लिए यह जाना जाता है $$m\pi+ n e$$ तर्कहीन है। इसके अलावा, यह ज्ञात नहीं है कि सेट $$\{\pi, e\}$$ बीजगणितीय स्वतंत्रता खत्म हो गई है $$\Q$$.

अगर यह ज्ञात नहीं है $$\pi e,\ \pi/e,\ 2^e,\ \pi^e,\ \pi^\sqrt{2},\ \ln\pi,$$ कैटलन स्थिरांक, या यूलर-माशेरोनी स्थिरांक $$\gamma$$ तर्कहीन हैं।  यह ज्ञात नहीं है कि दोनों में से कोई भी है $$^n\pi$$ या $$^n e$$ किसी पूर्णांक के लिए परिमेय है $$n > 1.$$

रचनात्मक गणित में
रचनात्मक गणित में, अपवर्जित मध्य मान्य नहीं है, इसलिए यह सत्य नहीं है कि प्रत्येक वास्तविकिक संख्या परिमेय या अपरिमेय है। इस प्रकार, एक अपरिमेय संख्या की धारणा कई अलग-अलग धारणाओं में विभाजित हो जाती है। एक अपरिमेय संख्या की पारंपरिक परिभाषा को वास्तविकिक संख्या के रूप में लिया जा सकता है जो तर्कसंगत नहीं है। हालाँकि, रचनात्मक गणित में उपयोग की जाने वाली एक अपरिमेय संख्या की दूसरी परिभाषा है, जो कि एक वास्तविकिक संख्या है $$r$$ एक अपरिमेय संख्या है यदि यह प्रत्येक परिमेय संख्या से अलग संबंध है, या समकक्ष, यदि दूरी है $$\vert r - q \vert$$ के बीच $$r$$ और हर तर्कसंगत संख्या $$q$$ सकारात्मक है। यह परिभाषा अपरिमेय संख्या की पारंपरिक परिभाषा से अधिक मजबूत है। इस दूसरी परिभाषा का उपयोग बिशप बचाओ के 2#रचनात्मक प्रमाण के वर्गमूल में किया जाता है।

सभी अपरिमेय का सेट
चूंकि वास्तविकिक एक बेशुमार बनाते हैं सेट, जिनमें से परिमेय एक गणनीय सेट उपसमुच्चय हैं, का पूरक सेट अपरिमेय बेशुमार है।

सामान्य (यूक्लिडियन दूरी) दूरी समारोह के तहत $$d(x, y) = \vert x - y \vert$$, वास्तविकिक संख्याएं एक मीट्रिक स्थान हैं और इसलिए एक सांस्थितिक स्थान भी हैं। यूक्लिडियन दूरी समारोह को प्रतिबंधित करने से अपरिमेय को एक मीट्रिक स्थान की संरचना मिलती है। चूँकि अपरिमेय की उपसमष्टि बंद नहीं है, प्रेरित मीट्रिक पूर्ण नहीं है (टोपोलॉजी)। एक जी-डेल्टा सेट होने के नाते - यानी, खुले उपसमुच्चय का एक गणनीय चौराहा - एक पूर्ण मीट्रिक स्थान में, अपरिमेय का स्थान पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल है: अर्थात, अपरिमेय पर एक मीट्रिक है जो समान टोपोलॉजी को यूक्लिडियन के प्रतिबंध के रूप में प्रेरित करता है। मीट्रिक, लेकिन जिसके संबंध में अपरिमेय पूर्ण हैं। जी-डेल्टा सेट के बारे में पूर्वोक्त तथ्य को जाने बिना कोई इसे देख सकता है: एक अपरिमेय संख्या का निरंतर अंश विस्तार अपरिमेय के स्थान से सकारात्मक पूर्णांक के सभी अनुक्रमों के स्थान तक एक होमोमोर्फिज़्म को परिभाषित करता है, जिसे आसानी से पूरी तरह से मेट्रिज़ेबल देखा जा सकता है।

इसके अलावा, सभी अपरिमेय का सेट एक डिस्कनेक्टेड मेट्रिजेबल स्पेस है। वास्तविक में, उप-स्थान टोपोलॉजिकल स्पेस लैस अपरिमेय के पास क्लोपेन सेट का आधार होता है, इसलिए अंतरिक्ष शून्य-आयामी स्थान है। शून्य-आयामी।

यह भी देखें

 * ब्रजुनो संख्या
 * गणना योग्य संख्या
 * डायोफैंटाइन सन्निकटन
 * सबूत है कि ई अपरिमेय है | सबूत है कि $\sqrt{2}$ तर्कहीन है
 * सबूत है कि π अपरिमेय है | सबूत है कि $e$ तर्कहीन है
 * 3 का वर्गमूल
 * 5 का वर्गमूल
 * त्रिकोणमितीय संख्या

अग्रिम पठन

 * Adrien-Marie Legendre, Éléments de Géometrie, Note IV, (1802), Paris
 * Rolf Wallisser, "On Lambert's proof of the irrationality of π", in Algebraic Number Theory and Diophantine Analysis, Franz Halter-Koch and Robert F. Tichy, (2000), Walter de Gruyer

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 * लम्बा विभाजन
 * बाइनरी संख्या प्रणाली
 * टेट्रेशन
 * बहिष्कृत मध्य
 * पूरी तरह से मेट्रिजेबल
 * पूर्ण (टोपोलॉजी)
 * शून्य आयामी स्थान
 * गणनीय संख्या

बाहरी संबंध

 * Zeno's Paradoxes and Incommensurability (n.d.). Retrieved April 1, 2008