आयतन

आयतन त्रि-आयामी स्थान का एक माप (गणित) है। सामान्यतः इसे एसआई व्युत्पन्न इकाइयों (जैसे घन मीटर और लीटर) या विभिन्न इम्पीरियल इकाइयों या संयुक्त राज्य की प्रथागत इकाइयों (जैसे गैलन, चौथाई गेलन, घन इंच) का उपयोग करके संख्यात्मक रूप से निर्धारित किया जाता है। लंबाई (क्यूब्ड) की परिभाषा मात्रा के साथ परस्पर संबंधित है। कंटेनर में पदार्थ मात्रा को सामान्य रूप से कंटेनर की क्षमता समझा जाता है अर्थात तरल पदार्थ (गैस या तरल) जिसे कंटेनर धारण कर सकता है बल्कि इसके कि कंटेनर स्वयं कितनी जगह विस्थापित करता है।

प्राचीन समय में समान आकार के प्राकृतिक कंटेनरों और बाद में मानकीकृत कंटेनरों का उपयोग करके मात्रा को मापा जाता है। कुछ सरल त्रि-आयामी आकार अंकगणितीय त्रों का उपयोग करके सरलता से उनकी मात्रा की गणना कर सकते हैं। यदि आकार की सीमा के लिए कोई सूत्र उपस्थित है तब अधिक जटिल आकृतियों के आयतन की गणना अभिन्न कलन से की जा सकती है। शून्य, एक और द्वि-आयामी वस्तुओं का कोई आयतन नहीं होता है, चौथे और उससे उच्च आयामों में सामान्य आयतन के अनुरूप एक अवधारणा हाइपरवॉल्यूम है।

प्राचीन इतिहास
प्राचीन काल में आयतन मापन की सटीकता सामान्य रूप से 10–50 mL के बीच होती है। आयतन गणना का सबसे पहला प्रमाण प्राचीन मिस्र और मेसोपोटामिया से गणितीय समस्याओं के रूप में आया घनाकार, बेलन, छिन्नक और शंकु जैसे साधारण आकार के आयतन का अनुमान लगाया गया था। गणित की इन समस्याओं को मास्को गणितीय पेपिरस (सी. 1820 ई.पू.) में लिखा गया है।  रीस्नर पपीरस में प्राचीन मिस्रवासियों ने अनाज और तरल पदार्थों के लिए आयतन की ठोस इकाइयाँ लिखी हैं, साथ ही सामग्री के ब्लॉकों के लिए लंबाई, चौड़ाई, गहराई और आयतन की तालिका भी लिखी है।  मिस्र के लोग लंबाई की अपनी इकाइयों (हाथ, हथेली (इकाई), अंक (इकाई)) का उपयोग मात्रा की अपनी इकाइयों को तैयार करने के लिए करते हैं, जैसे कि आयतन हाथ  या डिने  (1 हाथ × 1 हाथ × 1 हाथ), आयतन हथेली (1 हाथ × 1 हाथ × 1 हथेली), और आयतन अंक (1 हाथ × 1 हाथ × 1 अंक)। लगभग 300 ईसा पूर्व में लिखी गई यूक्लिड के तत्वों की अंतिम तीन पुस्तकों में समानांतर चतुर्भुज, शंकु, पिरामिड, बेलन और गोले के आयतन की गणना के लिए सटीक सूत्रों का विवरण देते हैं। सूत्रों को छोटे और सरल टुकड़ों में आकृतियों को विभाजित कर एकीकरण के एक आदिम रूप का उपयोग करके पूर्व गणितज्ञों द्वारा निर्धारित किया गया था। एक शताब्दी बाद आर्किमिडीज (c. 287 – 212 ईसा पूर्व) कई आकृतियों के अनुमानित आयतन सूत्र का निर्माण किया जिसमें समाप्‍ति दृष्टिकोण की विधि का उपयोग किया गया जिसका अर्थ समान आकृतियों के पिछले ज्ञात सूत्रों से समाधान निकालना है। आकृतियों के आदिम एकीकरण की खोज स्वतंत्र रूप से तीसरी शताब्दी (3rd Century CE) में लिउ हुई(Liu Hui), 5वीं शताब्दी (5th Century CE) सीई में जेड यूसी होंग्ज़ी, मध्य पूर्व और भारत में की गई थी।

आर्किमिडीज़ ने अनियमित वस्तु के आयतन की गणना करने का एक तरीका भी तैयार किया इसे पानी के नीचे डुबो कर और प्रारंभिक और अंतिम पानी की मात्रा के बीच के अंतर को माप कर। जल आयतन अंतर वस्तु का आयतन है। अत्यधिक लोकप्रिय होने के बाद भी आर्किमिडीज ने अत्यधिक सटीकता के कारण इसकी मात्रा और इस प्रकार इसकी घनत्व और शुद्धता को खोजने के लिए सोने के मुकुट को नहीं डुबोया। इसके स्थान पर उन्होंने हीड्रास्टाटिक संतुलन का एक आदिम रूप तैयार किया। जिसमें मुकुट और एक समान वजन वाले शुद्ध सोने का एक टुकड़ा पानी के नीचे डूबे हुए तराजू के दोनों सिरों पर रखा जाता है जो आर्किमिडीज के सिद्धांत के अनुसार झुक जाएगा।

इकाइयों की गणना और मानकीकरण
मध्य युग में, मात्रा मापने के लिए कई इकाइयाँ बनाई गईं, जैसे कि बहन की, एम्बर (यूनिट), कुम्ब (इकाई) और सीवन (इकाई)। इस तरह की इकाइयों की विशाल मात्रा ने ब्रिटिश राजाओं को उन्हें मानकीकृत करने के लिए प्रेरित किया, जिसकी परिणति इंग्लैंड के हेनरी III द्वारा 1258 में ब्रेड और एले क़ानून के आकलन में हुई। क़ानून ने वजन, लंबाई और मात्रा को मानकीकृत किया और साथ ही पेनी, औंस, पाउंड, गैलन और बुशल को पेश किया। 1618 में, लंदन फार्माकोपिया (मेडिसिन कंपाउंड कैटलॉग) ने रोमन गैलन को अपनाया या कोंगियस मात्रा की एक मूल इकाई के रूप में और एपोथेकरीज़ के वजन की इकाइयों को एक रूपांतरण तालिका दी। इस समय के आसपास, मात्रा माप अधिक सटीक होते जा रहे हैं और बीच में अनिश्चितता कम होती जा रही है 1–5 mL. 17वीं शताब्दी की शुरुआत में, बोनवेंट्योर कैवलियरी ने किसी भी वस्तु के आयतन की गणना करने के लिए आधुनिक इंटीग्रल कैलकुलस के दर्शन को लागू किया। उन्होंने कैवलियरी के सिद्धांत को तैयार किया, जिसमें कहा गया था कि आकृति के पतले और पतले स्लाइस का उपयोग करने से परिणामी मात्रा अधिक से अधिक सटीक होगी। इस विचार को बाद में 17 वीं और 18 वीं शताब्दी में पियरे डी फर्मेट, जॉन वालिस, आइज़ैक बैरो, जेम्स ग्रेगरी (गणितज्ञ), आइजैक न्यूटन, गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज़ और मारिया गेटाना अगनेसी द्वारा विस्तारित किया गया था, जो कि अभी भी आधुनिक इंटीग्रल कैलकुलस बनाने के लिए है। 21वीं सदी में प्रयोग किया जाता है।

मीट्रिक और पुनर्परिभाषा
7 अप्रैल 1795 को, छह इकाइयों का उपयोग करके मीट्रिक प्रणाली को औपचारिक रूप से फ्रांसीसी कानून में परिभाषित किया गया था। इनमें से तीन आयतन से संबंधित हैं: स्टीयर (1मी3) जलाऊ लकड़ी की मात्रा के लिए; लीटर (1 दिन3) द्रव की मात्रा के लिए; और ग्राम, द्रव्यमान के लिए - अधिकतम घनत्व पर एक घन सेंटीमीटर पानी के द्रव्यमान के रूप में परिभाषित किया गया है 4 C. तीस साल बाद 1824 में, शाही गैलन को उस मात्रा के रूप में परिभाषित किया गया था जिस पर दस पाउंड (द्रव्यमान) पानी का कब्जा था। 62 F. यूनाइटेड किंगडम के बाट और माप अधिनियम 1985 तक इस परिभाषा को और अधिक परिष्कृत किया गया था, जो पानी के उपयोग के बिना 1 शाही गैलन को ठीक 4.54609 लीटर के बराबर बनाता है। 1960 में अंतरराष्ट्रीय प्रोटोटाइप मीटर से क्रिप्टन -86 परमाणुओं की नारंगी-लाल वर्णक्रमीय रेखा तक मीटर की पुनर्परिभाषा ने भौतिक वस्तुओं से मीटर, क्यूबिक मीटर और लीटर को अनबाउंड किया। यह अंतर्राष्ट्रीय प्रोटोटाइप मीटर में परिवर्तन के लिए मीटर और मीटर-व्युत्पन्न इकाइयों की मात्रा को लचीला बनाता है। मीटर की परिभाषा को 1983 में प्रकाश की गति और दूसरा (जो कि सीज़ियम मानक से लिया गया है) और 2019 में एसआई आधार इकाइयों की पुनर्परिभाषा का उपयोग करने के लिए फिर से परिभाषित किया गया था।

माप
किसी वस्तु के आयतन को मोटे तौर पर मापने का सबसे पुराना तरीका मानव शरीर का उपयोग करना है, जैसे हाथ के आकार और पिंच (क्रिया) का उपयोग करना। हालांकि, मानव शरीर की विविधताएं इसे बेहद अविश्वसनीय बनाती हैं। मात्रा को मापने का एक बेहतर तरीका प्रकृति में पाए जाने वाले मोटे तौर पर सुसंगत और टिकाऊ CONTAINERों का उपयोग करना है, जैसे कि लौकी, भेड़ या सुअर के पेट और मूत्र मूत्राशय। बाद में, जैसा कि धातु विज्ञान और कांच के उत्पादन में सुधार हुआ, आजकल छोटी मात्रा को आमतौर पर मानकीकृत मानव निर्मित कंटेनरों का उपयोग करके मापा जाता है। कंटेनर के एक से अधिक (गणित) या अंश का उपयोग करके तरल पदार्थ या दानेदार सामग्री की छोटी मात्रा को मापने के लिए यह विधि आम है। दानेदार सामग्री के लिए, मोटे तौर पर सपाट सतह बनाने के लिए कंटेनर को हिलाया या समतल किया जाता है। यह विधि मात्रा को मापने का सबसे सटीक तरीका नहीं है, लेकिन अक्सर इसका उपयोग खाना पकाने की सामग्री को मापने के लिए किया जाता है। सूक्ष्म पैमाने पर तरल पदार्थ की मात्रा को मापने के लिए जीव विज्ञान और जैव रसायन में वायु विस्थापन पिपेट का उपयोग किया जाता है। कैलिब्रेटेड मापने वाले कप और मापने वाले चम्मच खाना पकाने और दैनिक जीवन के अनुप्रयोगों के लिए पर्याप्त हैं, हालांकि, वे प्रयोगशाला के लिए पर्याप्त सटीक नहीं हैं। वहां, तरल पदार्थ की मात्रा को अंशांकित सिलेंडरों, विंदुक्स और बड़ा फ्लास्क का उपयोग करके मापा जाता है। इस तरह के कैलिब्रेटेड कंटेनरों में सबसे बड़े पेट्रोलियम भंडारण टैंक होते हैं, जिनमें से कुछ को रखा जा सकता है 1000000 oilbbl तरल पदार्थ का। इस पैमाने पर भी, पेट्रोलियम के घनत्व और तापमान को जानकर, इन टैंकों में अभी भी बहुत सटीक आयतन मापन किया जा सकता है। जलाशय जैसे बड़े आयतन के लिए, कंटेनर के आयतन को आकृतियों द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है और गणित का उपयोग करके गणना की जाती है। कंप्यूटर विज्ञान में कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के क्षेत्र में संख्यात्मक रूप से वस्तुओं की मात्रा की गणना करने का कार्य अध्ययन किया जाता है, विभिन्न प्रकार की वस्तुओं के लिए इस गणना, सन्निकटन [[कलन विधि]] या सटीक एल्गोरिदम को करने के लिए कुशल एल्गोरिदम की जांच की जाती है। उदाहरण के लिए, उत्तल आयतन सन्निकटन तकनीक दिखाती है कि ओरेकल मशीन का उपयोग करके किसी भी उत्तल पिंड के आयतन का अनुमान कैसे लगाया जाए।

इकाइयां
आयतन की इकाई का सामान्य रूप घन (बीजगणित) (x3) लंबाई की एक इकाई। उदाहरण के लिए, यदि मीटर (m) को लंबाई की इकाई के रूप में चुना जाता है, तो आयतन की संगत इकाई घन मीटर (m) होती है।3). इस प्रकार, आयतन एक SI व्युत्पन्न इकाई है और इसका विमीय विश्लेषण L है3। आयतन की मीट्रिक इकाइयाँ मीट्रिक उपसर्गों का उपयोग सख्ती से 10 की शक्ति में करती हैं। आयतन की इकाइयों के लिए उपसर्गों को लागू करते समय, जो कि घन लंबाई की इकाइयों में व्यक्त किए जाते हैं, घन संचालकों को उपसर्ग सहित लंबाई की इकाई पर लागू किया जाता है। घन सेंटीमीटर को घन मीटर में बदलने का एक उदाहरण है: 2.3 सेंटीमीटर 3 = 2.3 (सेमी)3 = 2.3 (0.01 मीटर)3 = 0.0000023 मी3 (पांच शून्य)। घन लंबाई इकाइयों के लिए आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले उपसर्ग घन मिलीमीटर (मिमी3), घन सेंटीमीटर (सेमी3), क्यूबिक डेसीमीटर (dm3), घन मीटर (एम3) और घन किलोमीटर (km3). उपसर्ग इकाइयों के बीच रूपांतरण इस प्रकार है: 1000 मिमी3 = 1 सेमी3, 1000 सेमी3 = 1 दिन3, और 1000 डीएम3 = 1 मि3। मीट्रिक प्रणाली में वॉल्यूम की इकाई के रूप में लीटर (L) भी शामिल है, जहां 1 L = 1 dm है 3 = 1000 सेमी3 = 0.001 मी 3। लीटर इकाई के लिए, आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले उपसर्ग मिलीलीटर (mL), सेंटीलीटर (cL) और लीटर (L) होते हैं, जिनमें 1000 mL = 1 L, 10 mL = 1 cL, 10 cL = 1 dL, और 10 dL होते हैं = 1 एल।

लीटर आमतौर पर वस्तुओं के लिए उपयोग किया जाता है (जैसे कि तरल पदार्थ और ठोस पदार्थ जो डाले जा सकते हैं) जिन्हें उनके कंटेनर की क्षमता या आकार से मापा जाता है, जबकि क्यूबिक मीटर (और व्युत्पन्न इकाइयां) का उपयोग आमतौर पर या तो उनके आयामों द्वारा मापी गई वस्तुओं के लिए किया जाता है या उनका विस्थापन। विभिन्न अन्य इंपीरियल इकाइयां या संयुक्त राज्य प्रथागत इकाइयां|यू.एस. वॉल्यूम की प्रथागत इकाइयाँ भी उपयोग में हैं, जिनमें शामिल हैं:
 * घन इंच, घन फुट, घन गज, एकड़ फुट, घन मील;
 * न्यूनतम (संयुक्त), ड्रामा (यूनिट), द्रव औंस, पिंट;
 * चम्मच, बड़ा चम्मच;
 * गिल (वॉल्यूम), क्वार्ट, गैलन, बैरल (यूनिट);
 * रस्सी (इकाई), पत्थर फेंकना, बुशल, होग्सहेड।

ज्ञात सबसे छोटी मात्रा जिस पर पदार्थ का कब्जा है, वह संभवतः प्रोटॉन है, जिसकी त्रिज्या 1 femtometer से छोटी मानी जाती है। इसका मतलब है कि इसकी मात्रा से छोटी होनी चाहिए $4.19 m3$, हालांकि सटीक मान अभी भी 2019 तक प्रोटॉन त्रिज्या पहेली के रूप में बहस के अधीन है। हाइड्रोजन परमाणु का वैन डेर वाल्स आयतन कहीं अधिक बड़ा होता है, जिसकी सीमा होती है $4.19 m3$ को $7.24 m3$ 100 और 120 picometre के बीच की त्रिज्या वाले गोले के रूप में। पैमाने के दूसरे छोर पर, पृथ्वी का आयतन लगभग है $1.083 m3$. अवलोकन योग्य ब्रह्मांड में सबसे बड़ा संभावित आयतन स्वयं अवलोकनीय ब्रह्मांड है, at $2.85 m3$ के एक क्षेत्र द्वारा $8.8 m$ त्रिज्या में।

क्षमता और मात्रा
क्षमता सामग्री की अधिकतम मात्रा है जो एक कंटेनर धारण कर सकता है, मात्रा या वजन में मापा जाता है। हालाँकि, निहित मात्रा को कंटेनर की क्षमता या इसके विपरीत भरने की आवश्यकता नहीं है। कंटेनर केवल एक विशिष्ट मात्रा में भौतिक मात्रा रख सकते हैं, वजन नहीं (व्यावहारिक चिंताओं को छोड़कर)। उदाहरण के लिए, ए 50000 oilbbl टैंक जो बस पकड़ सकता है 7200 MT ईंधन तेल में समान नहीं होगा 7200 MT मिट्टी का तेल का, नेफ्था के कम घनत्व और इस प्रकार बड़ी मात्रा के कारण।

इंटीग्रल कैलकुलस
आयतन की गणना समाकलन कलन का एक महत्वपूर्ण भाग है। जिनमें से एक एक ही तल पर एक रेखा (ज्यामिति) के चारों ओर एक समतल वक्र को घुमाकर, परिक्रमण के ठोस के आयतन की गणना कर रहा है। वॉशर या डिस्क एकीकरण विधि का उपयोग रोटेशन के अक्ष के समानांतर अक्ष द्वारा एकीकृत करते समय किया जाता है। सामान्य समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:$$V = \pi \int_a^b \left| f(x)^2 - g(x)^2\right|\,dx$$कहाँ $f(x)$ और $g(x)$  समतल वक्र सीमाएँ हैं।  शेल एकीकरण विधि का उपयोग तब किया जाता है जब रोटेशन की धुरी के लंबवत धुरी द्वारा एकीकृत किया जाता है। समीकरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है: $$V = 2\pi \int_a^b x |f(x) - g(x)|\, dx$$ त्रि-आयामी अंतरिक्ष में एक क्षेत्र (गणित) डी का आयतन निरंतर कार्य (गणित) के ट्रिपल या आयतन अभिन्न द्वारा दिया जाता है। $$f(x,y,z) = 1$$ क्षेत्र के ऊपर। यह आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है: $$\iiint_D 1 \,dx\,dy\,dz.$$ बेलनाकार समन्वय प्रणाली में आयतन समाकल है $$\iiint_D r\,dr\,d\theta\,dz, $$ गोलाकार समन्वय प्रणाली में (कोणों के लिए सम्मेलन का उपयोग करके $$\theta$$ दिगंश के रूप में और $$\varphi$$ ध्रुवीय अक्ष से मापा जाता है; स्फेरिकल कोऑर्डिनेट सिस्टम#कन्वेंशन पर अधिक देखें), वॉल्यूम इंटीग्रल है $$\iiint_D \rho^2 \sin\varphi \,d\rho \,d\theta\, d\varphi .$$

ज्यामितीय मॉडलिंग
एक [[बहुभुज जाल]], बहुभुज का उपयोग करके वस्तु की सतह का प्रतिनिधित्व करता है। वॉल्यूम जाल स्पष्ट रूप से इसकी मात्रा और सतह के गुणों को परिभाषित करता है।

विभेदक ज्यामिति
अंतर ज्यामिति में, गणित की एक शाखा, अलग करने योग्य कई गुना पर वॉल्यूम फॉर्म टॉप डिग्री का विभेदक रूप है (यानी, जिसकी डिग्री कई गुना के आयाम के बराबर है) जो कहीं भी शून्य के बराबर नहीं है। एक मैनिफोल्ड का वॉल्यूम फॉर्म होता है अगर और केवल अगर यह एडजस्टेबल हो। एक कुंडा कई गुना में असीम रूप से कई वॉल्यूम फॉर्म होते हैं, क्योंकि वॉल्यूम फॉर्म को गैर-लुप्त होने वाले फ़ंक्शन से गुणा करने से एक और वॉल्यूम फॉर्म प्राप्त होता है। गैर-उन्मुख कई गुना पर, इसके बजाय कई गुना पर घनत्व की कमजोर धारणा को परिभाषित किया जा सकता है। वॉल्यूम फॉर्म को इंटीग्रेट करने से उस फॉर्म के अनुसार कई गुना वॉल्यूम मिलता है।

एक अभिविन्यास (अंतरिक्ष) स्यूडो-रीमैनियन मैनिफोल्ड का एक प्राकृतिक आयतन रूप है। स्थानीय निर्देशांक में, इसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\omega = \sqrt{|g|} \, dx^1 \wedge \dots \wedge dx^n ,$$ जहां $$dx^i$$ 1-रूप हैं जो कई गुना के स्पर्शरेखा बंडल के लिए सकारात्मक रूप से उन्मुख आधार बनाते हैं, और $$g$$ एक ही आधार के संदर्भ में मैनिफोल्ड पर मीट्रिक टेंसर के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व का निर्धारक है।

व्युत्पन्न मात्रा

 * घनत्व पदार्थ का द्रव्यमान प्रति इकाई आयतन है, या कुल द्रव्यमान को कुल आयतन से विभाजित किया जाता है।
 * विशिष्ट आयतन द्रव्यमान, या घनत्व के व्युत्क्रम द्वारा विभाजित कुल आयतन है।
 * मात्रात्मक प्रवाह दर या डिस्चार्ज (हाइड्रोलॉजी) द्रव का आयतन है जो किसी दिए गए सतह से प्रति यूनिट समय में गुजरता है।
 * वॉल्यूमेट्रिक ताप क्षमता पदार्थ की ऊष्मा क्षमता को उसके आयतन से विभाजित करती है।

यह भी देखें

 * सामान भत्ता
 * बनच-तर्स्की विरोधाभास
 * [[आयामी वजन]]
 * आयाम