पारस्परिक फाइबोनैचि स्थिरांक

पारस्परिक फाइबोनैचि स्थिरांक, या ψ, को फाइबोनैचि संख्याओं के व्युत्क्रमों (गणित) के योग के रूप में परिभाषित किया गया है:


 * $$\psi = \sum_{k=1}^{\infty} \frac{1}{F_k} = \frac{1}{1} + \frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5} + \frac{1}{8} + \frac{1}{13} + \frac{1}{21} + \cdots.$$

इस योग में क्रमिक पदों का अनुपात स्वर्णिम अनुपात के व्युत्क्रम की ओर प्रवृत्त होता है। चूँकि यह 1 से कम है, अनुपात परीक्षण से ज्ञात होता है कि योग अभिसरण श्रृंखला है।

ψ का मान लगभग ज्ञात है:


 * $$\psi = 3.359885666243177553172011302918927179688905133732\dots$$.

बिल गोस्पर इसके मान के तीव्र संख्यात्मक अनुमान के लिए कलन विधि का वर्णन करता है। पारस्परिक फाइबोनैचि श्रृंखला स्वयं विस्तार के नियम के लिए त्रुटिहीनता के O(k) अंक प्रदान करती है, जबकि गोस्पर की श्रृंखला त्वरण O(k2) अंक प्रदान करती है&hairsp;)। ψ को अपरिमेय संख्या माना जाता है; इस गुण का अनुमान पॉल एर्डोज़, रोनाल्ड ग्राहम और लियोनार्ड कार्लिट्ज़ द्वारा लगाया गया था, और गणितीय प्रमाण 1989 में रिचर्ड आंद्रे-जीनिन द्वारा दिया गया था।

स्थिरांक के निरंतर भाग का प्रतिनिधित्व है:


 * $$\psi = [3;2,1,3,1,1,13,2,3,3,2,1,1,6,3,2,4,362,2,4,8,6,30,50,1,6,3,3,2,7,2,3,1,3,2, \dots] \!\,$$.

यह भी देखें

 * व्युत्क्रमों के योग की सूची