तिरछा निर्देशांक

तिरछे निर्देशांकों की एक प्रणाली एक घुमावदार निर्देशांक समन्वय प्रणाली है जहां निर्देशांक_प्रणाली #Coordin_surface ओर्थोगोनल नहीं हैं, ऑर्थोगोनल निर्देशांक के विपरीत।

तिरछे निर्देशांक ऑर्थोगोनल निर्देशांक की तुलना में काम करने के लिए अधिक जटिल होते हैं क्योंकि मीट्रिक टेन्सर में गैर-अक्षीय ऑफ-विकर्ण घटक होंगे, जो टेंसर बीजगणित और टेंसर कैलकुलेशन के सूत्रों में कई सरलीकरण को रोकते हैं। मीट्रिक टेंसर के गैर-अक्षीय ऑफ-डायगोनल घटक निर्देशांक के आधार वैक्टर की गैर-ऑर्थोगोनलिटी का प्रत्यक्ष परिणाम हैं, क्योंकि परिभाषा के अनुसार:
 * $$g_{i j} = \mathbf e_i \cdot \mathbf e_j$$

कहाँ $$g_{i j}$$ मीट्रिक टेंसर है और $$\mathbf e_i$$ (सहसंयोजक) आधार वैक्टर।

ये समन्वय प्रणालियाँ उपयोगी हो सकती हैं यदि किसी समस्या की ज्यामिति तिरछी प्रणाली में अच्छी तरह से फिट बैठती है। उदाहरण के लिए, समान्तर चतुर्भुज में लाप्लास के समीकरण को हल करना सबसे आसान होगा जब उचित तिरछे निर्देशांक में किया जाए।

कार्तीय एक तिरछी धुरी
के साथ समन्वय करता है

तिरछा समन्वय प्रणाली का सबसे सरल 3डी मामला एक कार्टेशियन निर्देशांक है जहां अक्षों में से एक (एक्स अक्ष कहते हैं) किसी कोण से मुड़ा हुआ है $$\phi$$, शेष दो अक्षों में से एक के लिए ओर्थोगोनल रहना। इस उदाहरण के लिए, कार्तीय निर्देशांक के x अक्ष को z अक्ष की ओर झुका दिया गया है $$\phi$$, y अक्ष के लिए ओर्थोगोनल शेष।

बीजगणित और उपयोगी मात्राएँ
होने देना $$\mathbf e_1$$, $$\mathbf e_2$$, और $$\mathbf e_3$$ क्रमशः इकाई वैक्टर बनें $$x$$, $$y$$, और $$z$$ कुल्हाड़ियों। ये सदिश आधार के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण का प्रतिनिधित्व करते हैं; उनके डॉट उत्पादों की गणना करने से मीट्रिक टेन्सर मिलता है:



[g_{ij}] = \begin{pmatrix} 1&0&\sin(\phi)\\ 0&1&0\\ \sin(\phi)&0&1 \end{pmatrix} ,\qquad [g^{ij}] = \frac{1}{\cos^2(\phi)} \begin{pmatrix} 1&0&-\sin(\phi)\\ 0&\cos^2(\phi)&0\\ -\sin(\phi)&0&1 \end{pmatrix} $$ कहाँ


 * $$\quad g_{13} = \cos\left(\frac \pi 2 - \phi\right) = \sin(\phi)$$

और


 * $$\sqrt{g} = \mathbf e_1 \cdot (\mathbf e_2 \times \mathbf e_3) = \cos(\phi)$$

कौन सी मात्राएँ हैं जो बाद में काम आएंगी।

इसके द्वारा प्रतिपरिवर्ती आधार दिया गया है


 * $$\mathbf e^1 = \frac{\mathbf e_2 \times \mathbf e_3}{\sqrt{g}} = \frac{\mathbf e_2 \times \mathbf e_3}{\cos(\phi)}$$
 * $$\mathbf e^2 = \frac{\mathbf e_3 \times \mathbf e_1}{\sqrt{g}} = \mathbf e_2$$
 * $$\mathbf e^3 = \frac{\mathbf e_1 \times \mathbf e_2}{\sqrt{g}} = \frac{\mathbf e_1 \times \mathbf e_2}{\cos(\phi)}$$

प्रतिपरिवर्ती आधार उपयोग करने के लिए बहुत सुविधाजनक नहीं है, हालाँकि यह परिभाषाओं में दिखाई देता है इसलिए इस पर विचार किया जाना चाहिए। हम सहपरिवर्ती आधार के संबंध में मात्राएँ लिखने का पक्ष लेंगे।

चूँकि आधार सदिश सभी स्थिर हैं, सदिश जोड़ और घटाव केवल परिचित घटक-वार जोड़ना और घटाना होगा। अब चलो


 * $$\mathbf a = \sum_i a^i \mathbf e_i \quad \mbox{and} \quad \mathbf b = \sum_i b^i \mathbf e_i$$

जहां योग सूचकांक के सभी मूल्यों पर योग दर्शाता है (इस मामले में, i = 1, 2, 3)। इन सदिशों के सदिश घटकों के सहप्रसरण और विपरीत प्रसरण के द्वारा संबंधित किया जा सकता है


 * $$a^i = \sum_j a_j g^{ij}$$

ताकि, स्पष्ट रूप से,


 * $$a^1 = \frac{a_1 - \sin(\phi) a_3}{\cos^2(\phi)},$$
 * $$a^2 = a_2,$$
 * $$a^3 = \frac{-\sin(\phi) a_1 + a_3}{\cos^2(\phi)}.$$

इसके बाद प्रतिपरिवर्ती घटकों के संदर्भ में डॉट उत्पाद है


 * $$\mathbf a \cdot \mathbf b = \sum_i a^i b_i = a^1 b^1 + a^2 b^2 + a^3 b^3 + \sin(\phi) (a^1 b^3 + a^3 b^1)$$

और सहसंयोजक घटकों के संदर्भ में


 * $$\mathbf a \cdot \mathbf b = \frac{1}{\cos^2(\phi)} [ a_1 b_1 + a_2 b_2\cos^2(\phi) + a_3 b_3 - \sin(\phi) (a_1 b_3 + a_3 b_1) ].$$

कलन
परिभाषा से, एक अदिश फलन f की प्रवणता है


 * $$\nabla f = \sum_i \mathbf e^i \frac{\partial f}{\partial q^i} = \frac{\partial f}{\partial x} \mathbf e^1 + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf e^2 + \frac{\partial f}{\partial z} \mathbf e^3$$

कहाँ $$q_i$$ निर्देशांक x, y, z अनुक्रमित हैं। इसे एक सदिश के रूप में स्वीकार करते हुए इसे प्रतिपरिवर्ती आधार पर लिखा जा सकता है, इसे फिर से लिखा जा सकता है:


 * $$\nabla f =

\frac{\frac{\partial f}{\partial x} - \sin(\phi) \frac{\partial f}{\partial z}}{\cos(\phi)^2} \mathbf e_1 + \frac{\partial f}{\partial y} \mathbf e_2 + \frac{-\sin(\phi) \frac{\partial f}{\partial x} + \frac{\partial f}{\partial z}}{\cos(\phi)^2} \mathbf e_3.$$ एक वेक्टर का विचलन $$\mathbf a$$ है


 * $$\nabla \cdot \mathbf a = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_i \frac{\partial}{\partial q^i}\left(\sqrt{g} a^i\right) = \frac{\partial a^1}{\partial x} + \frac{\partial a^2}{\partial y} + \frac{\partial a^3}{\partial z}.$$

और एक टेंसर का $$\mathbf A$$
 * $$\nabla \cdot \mathbf A = \frac{1}{\sqrt{g}} \sum_{i, j} \frac{\partial}{\partial q^i}\left(\sqrt{g} a^{ij} \mathbf e_j\right) =

\sum_{i, j} \mathbf e_j \frac{\partial a^{ij}}{\partial q^i}.$$ f का लाप्लासियन है


 * $$\nabla^2 f = \nabla \cdot \nabla f =

\frac{1}{\cos(\phi)^2}\left(\frac{\partial^2 f}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 f}{\partial z^2} - 2 \sin(\phi) \frac{\partial^2 f}{\partial x \partial z}\right) + \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$$ और, चूँकि सहसंयोजक आधार सामान्य और स्थिर है, सदिश लाप्लासियन सहसंयोजक आधार के संदर्भ में लिखे गए सदिश के घटकवार लाप्लासियन के समान है।

जबकि डॉट उत्पाद और ग्रेडियेंट दोनों कुछ हद तक गड़बड़ हैं, क्योंकि उनके पास अतिरिक्त शब्द हैं (कार्टेशियन सिस्टम की तुलना में) संवहन जो एक डॉट उत्पाद को ग्रेडियेंट के साथ जोड़ता है, बहुत सरल हो जाता है:


 * $$(\mathbf a \cdot \nabla) = \left(\sum_i a^i e_i\right) \cdot \left(\sum_i \frac{\partial}{\partial q^i} \mathbf e^i\right) = \left(\sum_i a^i \frac{\partial}{\partial q^i}\right)

$$ जो अदिश फलन और सदिश फलन दोनों पर लागू हो सकता है, जब सहपरिवर्ती आधार में अभिव्यक्त किया जाता है।

अंत में, सदिश का कर्ल (गणित) है


 * $$\nabla \times \mathbf a = \sum_{i, j, k} \mathbf e_k \epsilon^{ijk} \frac{\partial a_j}{\partial q^i} = $$
 * $$\frac{1}{\cos(\phi)}\left(

\left(\sin(\phi) \frac{\partial a^1}{\partial y} + \frac{\partial a^3}{\partial y} - \frac{\partial a^2}{\partial z}\right) \mathbf e_1 + \left(\frac{\partial a^1}{\partial z} + \sin(\phi) \left(\frac{\partial a^3}{\partial z} - \frac{\partial a^1}{\partial x}\right) - \frac{\partial a^3}{\partial x}\right) \mathbf e_2 + \left(\frac{\partial a^2}{\partial x} - \frac{\partial a^1}{\partial y} - \sin(\phi) \frac{\partial a^3}{\partial y}\right) \mathbf e_3 \right).$$