चेबिशेव बहुपद

चेबिशेव बहुपद त्रिकोणमितीय फलन साइन और कोसाइन से संबंधित बहुपदों के दो अनुक्रम हैं जिन्हें $$T_n(x)$$ और $$U_n(x)$$ के रूप में प्रदर्शित किया गया है। इन्हे कई अन्य समतुल्य तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है जिनमें से एक त्रिकोणमितीय फलन से प्रारम्भ होता है:

पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपद $$T_n$$ द्वारा परिभाषित किए गए हैं:
 * $$T_n(\cos \theta) = \cos(n\theta).$$

इसी प्रकार, दूसरे प्रकार के चेबीशेव बहुपद $$U_n$$ द्वारा परिभाषित किए गए हैं:
 * $$U_n(\cos \theta) \sin \theta = \sin\big((n + 1)\theta\big).$$

ये व्यंजक बहुपदों को परिभाषित करते हैं $$\cos\theta$$ पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपद से स्पष्ट नहीं हो सकता है, लेकिन पुनर्लेखन के बाद $$\cos(n\theta)$$ और $$\sin\big((n+1)\theta\big)$$ होता है और डीमोइवर (गणितज्ञ) के सूत्र का उपयोग करके या त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची का उपयोग करके कोण योग और अवकल सर्वसमिकाओं के लिए $$\cos$$ और $$\sin$$ के समीकरण के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची युग्म कोण सूत्र जो कोण योग सूत्रों से प्रत्यक्ष रूप से अनुसरण करते हैं तथा $$T_2(\cos\theta)=\cos(2\theta)=2\cos^2\theta-1$$ और $$U_1(\cos\theta)\sin\theta=\sin(2\theta)=2\cos\theta\sin\theta$$, का उपयोग त्रिकोणमितीय समीकरणों को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है जो क्रमशः $$\cos\theta$$ में बहुपद और $$\cos\theta$$ में $$\sin\theta$$ से गुणा किए गए बहुपद हैं। इस प्रकार $$T_2(x)=2x^2-1$$ और $$U_1(x)=2x$$. $T_{n}(x)$ की एक महत्वपूर्ण और सुविधाजनक धारणा यह है कि वे आंतरिक उत्पाद के संबंध में लंबकोणीय हैं:
 * $$\langle f, g\rangle = \int_{-1}^1 f(x) \, g(x) \, \frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1 - x^2}},$$

और $U_{n}(x)$ नीचे दिए गए अन्य समान आंतरिक उत्पाद के संबंध में लंबकोणीय हैं।

चेबिशेव बहुपद $T_{n}$ बहुपद हैं जिनमें सबसे बड़ा संभावित प्रमुख गुणांक है जिसका अंतराल पर निरपेक्ष मान $[−1, 1]$ 1 से सम्बद्ध है। वे कई अन्य गुणों के लिए पूर्ण बहुपद हैं।

सन्निकटन सिद्धांत में चेबिशेव बहुपद महत्वपूर्ण हैं क्योंकि एक बहुपद की जड़ $T_{n}(x)$, जिन्हें चेबीशेव नोड्स भी कहा जाता है, का उपयोग बहुपद इंटरपोलेशन को अनुकूलित करने के लिए मिलान बिंदुओं के रूप में किया जाता है। परिणामी अंतर्वेशन बहुपद रूंज की घटना की समस्या को कम करता है और एक सन्निकटन प्रदान करता है जो अधिकतम मानदंड के तहत एक सतत कार्य के लिए सबसे अच्छा बहुपद सन्निकटन के करीब है, जिसे अल्पमहिष्ठ कसौटी भी कहा जाता है। यह सन्निकटन सीधे क्लेंशॉ-कर्टिस चतुर्भुज की विधि की ओर जाता है।

इन बहुपदों का नाम पफन्युटी चेबीशेव के नाम पर रखा गया था। अक्षर $T$ का उपयोग चेबीशेव नाम के वैकल्पिक लिप्यंतरण के कारण चेबीचेफ, चेबीशेव (फ्रेंच) या शेबीशॉ (जर्मन) के रूप में किया जाता है।

पुनरावृत्ति परिभाषा
प्रथम प्रकार के चेबीशेव बहुपद पुनरावर्तन संबंध से प्राप्त किए जाते हैं।
 * $$\begin{align}

T_0(x) & = 1 \\ T_1(x) & = x \\ T_{n+1}(x) & = 2 x\,T_n(x) - T_{n-1}(x). \end{align}$$ पुनरावृत्ति आकार $T_{n}$ के एक त्रिकोणीय आव्यूह के निर्धारक के रूप में उन्हें स्पष्ट रूप से प्रतिनिधित्व करने की स्वीकृति देता है।


 * $$\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)\,t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2}.$$

चेबिशेव बहुपदों के लिए कई अन्य फलन घातीय फलन है


 * $$\sum_{n=0}^{\infty}T_n(x)\frac{t^n}{n!} = \frac{1}{2}\!\left( e^{t\left(x-\sqrt{x^2 - 1} \right)} + e^{t\left(x+\sqrt{x^2 -1}\right)}\right)

= e^{tx}\cosh\left(t\sqrt{x^2-1}\right).$$ 2-आयामी संभावित सिद्धांत और बेलनाकार बहुध्रुव विस्तार के लिए प्रासंगिक घातीय फलन है


 * $$\sum\limits_{n=1}^{\infty}T_{n}(x)\,\frac{t^n}{n} = \ln\left( \frac{1}{\sqrt{ 1 - 2tx + t^2 }}\right).$$

दूसरे प्रकार के चेबिशेव बहुपदों को पुनरावृत्ति संबंध द्वारा परिभाषित किया जाता है।


 * $$\begin{align}

U_0(x) & = 1 \\ U_1(x) & = 2 x \\ U_{n+1}(x) & = 2 x\,U_n(x) - U_{n-1}(x). \end{align}$$ माना कि पुनरावृत्ति संबंधों के दो समुच्चय समान हैं $$T_1(x) = x$$, $U_1(x) = 2x$. के लिए सामान्य $T_{n}$ घातीय फलन है:


 * $$\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)\,t^n = \frac{1}{1 - 2 t x+t^2},$$

और घातीय जनक फलन है:


 * $$\sum_{n=0}^{\infty}U_n(x)\frac{t^n}{n!} = e^{tx}\!\left(\!\cosh\left(t\sqrt{x^2-1}\right) + \frac{x}{\sqrt{x^2-1}} \sinh\left(t\sqrt{x^2-1}\right)\!\right).$$

त्रिकोणमितीय परिभाषा
जैसा कि परिचय में बताया गया है, पहली तरह के चेबीशेव बहुपदों को अद्वितीय बहुपदों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:


 * $$T_n(x) = \begin{cases}

\cos(n \arccos x)                         & \text{ if }~ |x| \le 1 \\ \cosh(n \operatorname{arcosh} x)          & \text{ if }~ x \ge 1 \\ (-1)^n \cosh(n \operatorname{arcosh}(-x) ) & \text{ if }~ x \le -1 \end{cases}$$ या दूसरे शब्दों में, अद्वितीय बहुपद संतोषजनक के रूप में
 * $$T_n(\cos\theta)=\cos(n\theta)$$

$n = 0, 1, 2, 3, …$ के लिए जो एक तकनीकी बिंदु के रूप में श्रोडर के समीकरण का एक प्रकार (समतुल्य स्थानान्तरण) है। अर्थात्, $T_{n}(x)$ कार्यात्मक रूप से $U_{n}$ ​​से संयुग्मित है, जो नीचे नेस्टिंग गुण में संहिताबद्ध है।

दूसरी तरह के बहुपद संतुष्ट करते हैं:
 * $$U_{n-1}(\cos\theta) \sin\theta = \sin(n\theta),$$

या
 * $$U_n(\cos\theta) = \frac{\sin\big((n+1)\,\theta\big)}{\sin\theta},$$

जो संरचनात्मक रूप से डिरिचलेट कर्नेल $D_{n}(x)$ के समान है:
 * $$D_n(x) = \frac{\sin\left((2n+1)\dfrac{x}{2}\,\right)}{\sin \dfrac{x}{2}}

= U_{2n}\!\!\left(\cos \frac{x}{2}\right).$$ (दरिक्लेट कर्नेल, वास्तव में, अब चौथे प्रकार के चेबीशेव बहुपद के रूप में जाना जाता है, के साथ मेल खाता है।)

वह $cos nx$, $cos x$ में एक nth-डिग्री बहुपद है, यह देख कर देखा जा सकता है कि $cos nx$ डी मोइवर के सूत्र के एक पक्ष का वास्तविक हिस्सा है। दूसरे पक्ष का वास्तविक भाग $cos x$ और $sin x$ में एक बहुपद है, जिसमें $sin x$ की सभी शक्तियाँ समान हैं और इस प्रकार पहचान $cos^{2} x + sin^{2} x = 1$ के माध्यम से बदली जा सकती हैं। उसी तर्क से, sin nx काल्पनिक है बहुपद का एक भाग, जिसमें $sin x$ की सभी शक्तियाँ विषम होती हैं और इस प्रकार, यदि sin x का एक गुणनखंड निकाल दिया जाता है, तो शेष गुणकों को $cos x$ में $(n−1)$st-अंश बहुपद बनाने के लिए प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

रिकर्सिव जनरेटिंग फॉर्मूला के संयोजन के साथ पहचान काफी उपयोगी है, क्योंकि यह आधार कोण के कोसाइन के संदर्भ में किसी कोण के किसी भी पूर्णांक गुणक के कोसाइन की गणना करने में सक्षम बनाता है।

पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपदों की गणना सीधे यूलर की तत्समक से की जा सकती है
 * $$T_0(\cos\theta) = \cos(0\theta) = 1$$

और
 * $$T_1(\cos\theta) = \cos\theta ,$$

जबकि बाकी का मूल्यांकन उत्पाद-से-योग पहचान की विशेषज्ञता का उपयोग करके किया जा सकता है:
 * $$2\cos n\theta\cos\theta = \cos \lbrack (n+1)\theta \rbrack +\cos\lbrack (n-1)\theta\rbrack$$

उदाहरण के लिए,
 * $$\begin{align}

T_2(\cos\theta) &= \cos 2 \theta = 2\cos\theta\cos\theta - 1 = 2\cos^2\theta -1. \\ T_3(\cos\theta) &= \cos 3 \theta = 2\cos\theta \cos 2\theta - \cos\theta = 4\cos^3\theta - 3\cos\theta. \end{align}$$ इसके विपरीत, त्रिकोणमितीय कार्यों की एक मनमानी पूर्णांक शक्ति को चेबीशेव बहुपदों का उपयोग करके त्रिकोणमितीय कार्यों के रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
 * $$\cos^n \theta

= 2^{1-n}\!\mathop{\mathop{{\sum}'}^n_{j=0}}_{n-j\,\text{even}}\!\! \binom{n}{\tfrac{n-j}{2}}\,T_j(\cos \theta),$$ जहां योग प्रतीक पर अभाज्य इंगित करता है कि $j = 0$ के योगदान को आधा करने की आवश्यकता है, यदि $$T_j(\cos\theta) = \cos(j\theta)$$ यह प्रकट होता है,

चेबिशेव बहुपदों के संदर्भ में जटिल घातांक की अभिव्यक्ति एक तात्कालिक परिणाम है, दिया गया है $z = a + bi$,
 * $$\begin{align}

z^n & = |z|^n \!\left(\cos \left(n\arccos \frac{a}{|z|}\right) + i \frac{b}{|b|} \sin \left(n \arccos \frac{a}{|z|}\right)\right) \\ & = |z|^n\, T_n\!\!\!\;\left(\frac{a}{|z|}\right) + ib |z|^{n - 1}\ U_{n-1}\!\!\!\;\left(\frac {a}{|z|}\right). \end{align}$$

कम्यूटिंग बहुपद परिभाषा
चेबीशेव बहुपदों को निम्नलिखित प्रमेय द्वारा भी वर्णित किया जा सकता है यदि $$ F_n(x)$$ विशेषता के क्षेत्र में गुणांक वाले मोनिक बहुपदों का एक परिवार है $$0$$ ऐसा है $$ \deg F_n(x) = n$$ सभी के लिए m और n, फिर, सभी n या $$ F_m(F_n(x)) = F_n(F_m(x))$$ के लिए या तो $$F_n(x) = 2*T_n(x/2)$$ वेरिएबल्स का साधारण परिवर्तन $$ n$$ सभी n के लिए।

पेल समीकरण परिभाषा
चेबिशेव बहुपदों को पेल समीकरण के समाधान के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है


 * $$T_n(x)^2 - \left(x^2 - 1\right) U_{n-1}(x)^2 = 1$$

एक अंगूठी में (गणित) $R[x]$. इस प्रकार, वे मौलिक समाधान की शक्तियों को लेने के पेल समीकरणों के लिए मानक तकनीक द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं:


 * $$T_n(x) + U_{n-1}(x)\,\sqrt{x^2-1} = \left(x + \sqrt{x^2-1}\right)^n~. $$

दो प्रकार के चेबीशेव बहुपदों के बीच संबंध
पहले और दूसरे प्रकार के चेबीशेव बहुपद लुकास अनुक्रमों की एक पूरक जोड़ी के अनुरूप हैं $Ṽ_{n}(P, Q)$ और $Ũ_{n}(P, Q)$ मापदंडों के साथ $P = 2x$ और $Q = 1$:
 * $$\begin{align}

{\tilde U}_n(2x,1) &= U_{n-1}(x), \\ {\tilde V}_n(2x,1) &= 2\, T_n(x). \end{align}$$ यह इस प्रकार है कि वे पारस्परिक पुनरावृत्ति समीकरणों की एक जोड़ी को भी संतुष्ट करते हैं: (xvii+1 errata page+396 pages, red cloth hardcover) (NB. Copyright was renewed by California Institute of Technology in 1981.); Reprint: Robert E. Krieger Publishing Co., Inc., Melbourne, Florida, USA. 1981. ISBN 0-89874-069-X; Planned Dover reprint: ISBN 0-486-44615-8.
 * $$\begin{align}

T_{n+1}(x) &= x\,T_n(x) - (1 - x^2)\,U_{n-1}(x), \\ U_{n+1}(x) &= x\,U_n(x) + T_{n+1}(x). \end{align}$$ इनमें से दूसरे को देने के लिए दूसरी तरह के चेबिशेव बहुपदों के लिए #पुनरावृत्ति परिभाषा का उपयोग करके पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है
 * $$T_n(x) = \frac{1}{2} \big(U_n(x) - U_{n-2}(x)\big).$$

इस सूत्र का पुनरावृत्त रूप से योग सूत्र देता है

U_n(x) = \begin{cases}2\sum_{\text{ odd }j}^n T_j(x)     & \text{ for odd }n.\\ 2\sum_{\text{ even }j}^n T_j(x) - 1     & \text{ for even }n,\end{cases} $$ प्रतिस्थापित करते समय $$U_n(x)$$ और $$U_{n-2}(x)$$ के लिए #भेदभाव और एकीकरण का उपयोग करना $$T_n(x)$$ के व्युत्पन्न के लिए पुनरावृत्ति संबंध देता है $$T_n$$:


 * $$2\,T_n(x) = \frac{1}{n+1}\, \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\, T_{n+1}(x) - \frac{1}{n-1}\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\, T_{n-1}(x), \qquad n=2,3,\ldots$$

अंतर समीकरणों को हल करने के चेबीशेव वर्णक्रमीय विधि में इस संबंध का उपयोग किया जाता है।

चेबिशेव बहुपदों के लिए तुरान की असमानताएँ हैं
 * $$\begin{align}

T_n(x)^2 - T_{n-1}(x)\,T_{n+1}(x)&= 1-x^2 > 0 &&\text{ for } -1 0~. \end{align}$$ अभिन्न संबंध हैं


 * $$\begin{align}

\int_{-1}^1\frac{T_n(y)}{(y-x)\sqrt{1-y^2}}\,\mathrm{d}y &= \pi\,U_{n-1}(x)~, \\ \int_{-1}^1\frac{\sqrt{1-y^2}\,U_{n-1}(y)}{y-x}\,\mathrm{d}y &= -\pi\,T_n(x) \end{align}$$ जहां इंटीग्रल को प्रमुख मूल्य माना जाता है।

स्पष्ट भाव
चेबीशेव बहुपदों को परिभाषित करने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोण अलग-अलग स्पष्ट अभिव्यक्तियों की ओर ले जाते हैं जैसे:


 * $$\begin{align}

T_n(x) & = \begin{cases} \cos(n\arccos x) \qquad & \text{ for }~ |x| \le 1 \\ \\ \dfrac{1}{2} \bigg( \Big(x-\sqrt{x^2-1} \Big)^n + \Big(x+\sqrt{x^2-1} \Big)^n \bigg) \qquad & \text{ for }~ |x| \ge 1 \\ \end{cases} \\ \\ & = \begin{cases} \cos(n\arccos x) \qquad \quad & \text{ for }~ -1 \le x \le 1 \\ \\ \cosh(n \operatorname{arcosh}x) \qquad \quad & \text{ for }~ 1 \le x \\ \\ (-1)^n \cosh\big(n \operatorname{arcosh}(-x)\big) \qquad \quad & \text{ for }~ x \le -1 \\ \end{cases} \\ \\ \\ T_n(x) & = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n}{2k} \left (x^2-1 \right )^k x^{n-2k} \\ & = x^n \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n}{2k} \left (1 - x^{-2} \right )^k \\ & = \frac{n}{2} \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor}(-1)^k \frac{(n-k-1)!}{k!(n-2k)!}~(2x)^{n-2k} \qquad\qquad \text{ for }~ n > 0 \\ \\ & = n \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k-1)!} {(n-k)!(2k)!}(1 - x)^k \qquad\qquad ~ \text{ for }~ n > 0 \\ \\ & = {}_2F_1\!\left(-n,n;\tfrac 1 2; \tfrac{1}{2}(1-x)\right) \\ \end{align}$$ उलटा के साथ
 * $$x^n = 2^{1-n}\mathop{{\sum}'}^n_{j=0\atop j \,\equiv\, n \pmod 2} \!\!\binom{n}{\tfrac{n-j}{2}}\!\;T_j(x),$$

जहां समन सिंबल पर प्राइम का योगदान दर्शाता है $j = 0$ दिखाई देने पर इसे आधा करना होगा।


 * $$\begin{align}

U_n(x) & = \frac{\left (x+\sqrt{x^2-1} \right )^{n+1} - \left (x-\sqrt{x^2-1} \right )^{n+1}}{2\sqrt{x^2-1}} \\ & = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n+1}{2k+1} \left (x^2-1 \right )^k x^{n-2k} \\ & = x^n \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{n+1}{2k+1} \left (1 - x^{-2} \right )^k \\ & = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} \binom{2k-(n+1)}{k}~(2x)^{n-2k} & \text{ for }~ n > 0 \\ & = \sum_{k=0}^{\left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor} (-1)^k \binom{n-k}{k}~(2x)^{n-2k} & \text{ for }~ n > 0 \\ & = \sum_{k=0}^{n}(-2)^{k} \frac{(n+k+1)!} {(n-k)!(2k+1)!}(1 - x)^k & \text{ for }~ n > 0 \\ & = (n+1) \ {}_2F_1\left(-n,n+2; \tfrac{3}{2}; \tfrac{1}{2}(1-x) \right) \\ \end{align}$$ जहाँ $_{2}F_{1}$ एक हाइपरज्यामितीय समारोह है।

समरूपता

 * $$\begin{align}

T_n(-x) &= (-1)^n\, T_n(x) = \begin{cases} T_n(x) \quad & ~\text{ for }~n~\text{ even} \\ \\ -T_n(x) \quad & ~\text{ for }~n~\text{ odd} \end{cases} \\ \\ \\ U_n(-x) &= (-1)^n\, U_n(x) = \begin{cases} U_n(x) \quad & ~\text{ for }~n~\text{ even} \\ \\ -U_n(x) \quad & ~\text{ for }~n~\text{ odd} \end{cases} \\ \end{align}$$ अर्थात्, सम क्रम के चेबीशेव बहुपदों के सम और विषम फलन होते हैं और इसलिए उनमें केवल सम घातें होती हैं $U_{n}$. विषम क्रम के चेबिशेव बहुपदों में सम और विषम कार्य होते हैं और इसलिए केवल विषम शक्तियां होती हैं $n x$.

जड़ें और एक्स्ट्रेमा
डिग्री के साथ किसी भी तरह का एक चेबिशेव बहुपद $x$ है $x$ अलग-अलग सरल जड़ें, जिन्हें चेबिशेव जड़ें कहा जाता है, अंतराल में $n$. पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपद की जड़ों को कभी-कभी चेबीशेव नोड कहा जाता है क्योंकि वे बहुपद इंटरपोलेशन में नोड्स के रूप में उपयोग किए जाते हैं। त्रिकोणमितीय परिभाषा और इस तथ्य का उपयोग करना कि


 * $$\cos\left((2k+1)\frac{\pi}{2}\right)=0$$

कोई दिखा सकता है कि की जड़ें $n$ हैं


 * $$ x_k = \cos\left(\frac{\pi(k+1/2)}{n}\right),\quad k=0,\ldots,n-1.$$

इसी प्रकार, की जड़ें $[−1, 1]$ हैं


 * $$ x_k = \cos\left(\frac{k}{n+1}\pi\right),\quad k=1,\ldots,n.$$

की मैक्सिमा और मिनिमा $T_{n}$ अंतराल पर $−1 ≤ x ≤ 1$ पर स्थित हैं


 * $$ x_k = \cos\left(\frac{k}{n}\pi\right),\quad k=0,\ldots,n.$$

पहली तरह के चेबीशेव बहुपदों की एक अनूठी संपत्ति अंतराल पर है $−1 ≤ x ≤ 1$ मैक्सिमा और मिनिमा के सभी मान हैं जो या तो -1 या 1 हैं। इस प्रकार इन बहुपदों में केवल दो परिमित महत्वपूर्ण मूल्य हैं, शबत बहुपदों की परिभाषित संपत्ति। चेबिशेव बहुपद के पहले और दूसरे दोनों प्रकार के समापन बिंदुओं पर एक्स्ट्रेमा है, जो निम्न द्वारा दिया गया है:


 * $$T_n(1) = 1$$
 * $$T_n(-1) = (-1)^n$$
 * $$U_n(1) = n+1$$
 * $$U_n(-1) = (-1)^n (n+1).$$

की मैक्सिमा और मिनिमा $$T_n(x)$$ अंतराल पर $$-1 \leq x \leq 1$$ जहाँ $$n>0$$ पर स्थित हैं $$n+1$$ के मान $$x$$. वे हैं $$ \pm 1$$, या $$ \cos\left(\frac{2\pi k}{d}\right)$$ जहाँ $$d > 2$$, $$d \;|\; 2n$$, $$0 < k < d/2$$ और $$(k, d) = 1$$, अर्थात।, $$k$$ और $$d$$ अपेक्षाकृत प्रमुख संख्याएँ हैं।

विशेष रूप से, कब $$n$$ सम है,
 * $$T_n(x) = 1$$ अगर $$x = \pm 1$$, या $$d > 2$$ और $$2n/d$$ सम है। वहाँ हैं $$n/2 + 1$$ ऐसे मूल्य $$x$$.
 * $$T_n(x) = -1$$ अगर $$d > 2$$ और $$2n/d$$ अजीब है। वहाँ हैं $$n/2$$ ऐसे मूल्य $$x$$.

कब $$n$$ अजीब है,
 * $$T_n(x) = 1$$ अगर $$x = 1$$, या $$d > 2$$ और $$2n/d$$ सम है। वहाँ हैं $$(n+1)/2$$ ऐसे मूल्य $$x$$.
 * $$T_n(x) = -1$$ अगर $$x = -1$$, या $$d > 2$$ और $$2n/d$$ अजीब है। वहाँ हैं $$(n+1)/2$$ ऐसे मूल्य $$x$$.

इस परिणाम को के समाधान के लिए सामान्यीकृत किया गया है $$U_n(x) \pm 1 = 0$$, और करने के लिए $$V_n(x) \pm 1 = 0$$ और $$W_n(x) \pm 1 = 0$$ क्रमशः तीसरे और चौथे प्रकार के चेबिशेव बहुपदों के लिए।

विभेदीकरण और एकीकरण
बहुपदों के डेरिवेटिव सीधे से कम हो सकते हैं। बहुपदों को उनके त्रिकोणमितीय रूपों में विभेदित करके, यह दिखाया जा सकता है कि:


 * $$\begin{align}

\frac{\mathrm{d}T_n}{\mathrm{d}x} &= n U_{n - 1} \\ \frac{\mathrm{d}U_n}{\mathrm{d}x} &= \frac{(n + 1)T_{n + 1} - x U_n}{x^2 - 1} \\ \frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} &= n\, \frac{n T_n - x U_{n - 1}}{x^2 - 1} = n\, \frac{(n + 1)T_n - U_n}{x^2 - 1}. \end{align}$$ शून्य से विभाजन के कारण अंतिम दो सूत्र संख्यात्मक रूप से परेशानी वाले हो सकते हैं ($U_{n}$ अनिश्चित रूप, विशेष रूप से) पर $x = 1$ और $x = −1$. यह दिखाया जा सकता है कि:


 * $$\begin{align}

\left. \frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} \right|_{x = 1} \!\! &= \frac{n^4 - n^2}{3}, \\ \left. \frac{\mathrm{d}^2 T_n}{\mathrm{d}x^2} \right|_{x = -1} \!\! &= (-1)^n \frac{n^4 - n^2}{3}. \end{align}$$

$T_{n}$

अधिक सामान्य सूत्र बताता है:
 * $$\left.\frac{d^p T_n}{d x^p} \right|_{x = \pm 1} \!\! = (\pm 1)^{n+p}\prod_{k=0}^{p-1}\frac{n^2-k^2}{2k+1}~,$$

जो eigenvalue समस्याओं के संख्यात्मक समाधान में बहुत उपयोगी है।

साथ ही, हमारे पास है
 * $$\frac{\mathrm{d}^p}{\mathrm{d}x^p}\,T_n(x) = 2^p\,n\mathop{{\sum}'}_{0\le k\le n-p\atop k \,\equiv\, n-p \pmod 2}

\binom{\frac{n+p-k}{2}-1}{\frac{n-p-k}{2}}\frac{\left(\frac{n+p+k}{2}-1\right)!}{\left(\frac{n-p+k}{2}\right)!}\,T_k(x),~\qquad p \ge 1,$$ जहां समन प्रतीकों पर प्रधान का अर्थ है कि शब्द द्वारा योगदान दिया गया है $x = ±1$ को आधा करना है, यदि यह प्रकट होता है।

एकीकरण के संबंध में, का पहला व्युत्पन्न $0⁄0$ इसका आशय है


 * $$\int U_n\, \mathrm{d}x = \frac{T_{n + 1}}{n + 1}$$

और डेरिवेटिव वाले पहले प्रकार के बहुपदों के लिए पुनरावृत्ति संबंध यह स्थापित करता है कि के लिए $x → 1$


 * $$\int T_n\, \mathrm{d}x = \frac{1}{2}\,\left(\frac{T_{n + 1}}{n + 1} - \frac{T_{n - 1}}{n - 1}\right) = \frac{n\,T_{n + 1}}{n^2 - 1} - \frac{x\,T_n}{n - 1}.$$

के अभिन्न को व्यक्त करने के लिए अंतिम सूत्र में और हेरफेर किया जा सकता है $$ केवल प्रथम प्रकार के चेबिशेव बहुपदों के फलन के रूप में:
 * $$\begin{align}

\int T_n\, \mathrm{d}x &= \frac{n}{n^2 - 1} T_{n + 1} - \frac{1}{n - 1} T_1 T_n \\ &= \frac{n}{n^2 - 1}\,T_{n + 1} - \frac{1}{2(n - 1)}\,(T_{n + 1} + T_{n - 1}) \\ &= \frac{1}{2(n + 1)}\,T_{n + 1} - \frac{1}{2(n - 1)}\,T_{n - 1}. \end{align}$$ इसके अलावा, हमारे पास है
 * $$\int_{-1}^1 T_n(x)\, \mathrm{d}x =

\begin{cases} \frac{(-1)^n + 1}{1 - n^2} & \text{ if }~ n \ne 1 \\ 0                         & \text{ if }~ n = 1. \end{cases}$$

चेबिशेव बहुपदों के गुणनफल
पहले प्रकार के चेबीशेव बहुपद संबंध को संतुष्ट करते हैं
 * $$T_m(x)\,T_n(x) = \tfrac{1}{2}\!\left(T_{m+n}(x) + T_{|m-n|}(x)\right)\!,\qquad \forall m,n \ge 0,$$

जो त्रिकोणमितीय पहचानों की सूची से आसानी से सिद्ध हो जाता है#उत्पाद-से-योग और योग-से-उत्पाद पहचान|कोज्या के लिए उत्पाद-से-योग सूत्र,
 * $$2 \cos \alpha \, \cos \beta = \cos (\alpha + \beta) + \cos (\alpha - \beta).$$

के लिए $U_{n − 1}(1) = nT_{n}(1) = n$ इसका परिणाम पहले से ही ज्ञात पुनरावृत्ति सूत्र में होता है, बस अलग तरीके से व्यवस्थित किया जाता है, और इसके साथ $x = −1$ यह सभी सम या सभी विषम अनुक्रमित चेबीशेव बहुपदों के लिए पुनरावृत्ति संबंध बनाता है (न्यूनतम की समानता के आधार पर $T_{n}$) जिसका तात्पर्य इन बहुपदों की समता या विषमता से है। इस उत्पाद विस्तार से चेबिशेव बहुपदों के मूल्यांकन के लिए तीन और उपयोगी सूत्र निकाले जा सकते हैं:
 * $$\begin{align}

T_{2n}(x) &= 2\,T_n^2(x)          - T_0(x) &&= 2 T_n^2(x) - 1, \\ T_{2n+1}(x) &= 2\,T_{n+1}(x)\,T_n(x) - T_1(x) &&= 2\,T_{n+1}(x)\,T_n(x) - x, \\ T_{2n-1}(x) &= 2\,T_{n-1}(x)\,T_n(x) - T_1(x) &&= 2\,T_{n-1}(x)\,T_n(x) - x. \end{align}$$ दूसरे प्रकार के बहुपद समान संबंध को संतुष्ट करते हैं
 * $$ T_m(x)\,U_n(x) = \begin{cases}

\frac{1}{2}\left(U_{m+n}(x) + U_{n-m}(x)\right), & ~\text{ if }~ n \ge m-1,\\ \\ \frac{1}{2}\left(U_{m+n}(x) - U_{m-n-2}(x)\right), & ~\text{ if }~ n \le m-2. \end{cases} $$ (परिभाषा के साथ $T_{n}(−1) = (−1)^{n}$ रिवाज के सन्दर्भ मे )। वे संतुष्ट भी हैं
 * $$ U_m(x)\,U_n(x) = \sum_{k=0}^n\,U_{m-n+2k}(x) = \sum_\underset{\text{ step 2 }}{p=m-n}^{m+n} U_p(x)~.$$

के लिए $k = 0$. के लिए $n ≥ 2$ यह पुनरावृत्ति कम हो जाती है
 * $$ U_{m+2}(x) = U_2(x)\,U_m(x) - U_m(x) - U_{m-2}(x) = U_m(x)\,\big(U_2(x) - 1\big) - U_{m-2}(x)~,$$

जो इस पर निर्भर करते हुए दूसरी तरह के सम या विषम अनुक्रमित चेबीशेव बहुपदों की समता या विषमता को स्थापित करता है $T_{n}$ 2 या 3 से शुरू होता है।

संरचना और विभाज्यता गुण
$n = 1$ और $n = 2$ की त्रिकोणमितीय परिभाषाएँ संरचना या नेस्टिंग गुणों को दर्शाती हैं
 * $$\begin{align}

T_{mn}(x) &= T_m(T_n(x)),\\ U_{mn-1}(x) &= U_{m-1}(T_n(x))U_{n-1}(x). \end{align} $$ $U_{−1} ≡ 0$ के लिए रचना के क्रम को व्युत्क्रम किया जा सकता है जिससे बहुपद फलन का समुच्चय $m ≥ n$ संरचना के अंतर्गत एक कम्यूटेटिव विनिमेय समूह बन जाता है। चूँकि $n = 2$ से विभाज्य है यदि $m$ विषम है, तो यह अनुसरण करता है कि $T_{n}$ से विभाज्य है यदि $m$ विषम है। इसके अतिरिक्त $U_{n}$ से विभाज्य है, और उस स्थिति में जहां $m$ सम है और Tn(x)Un−1(x) से विभाज्य है।

लंबकोणीयता
$m$ और $m$ दोनों लंबकोणीय बहुपदों का एक क्रम बनाते हैं। पहले प्रकार के $T_{n}$ बहुपद भार के संबंध में लंबकोणीय हैं:


 * $$\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}},$$

अंतराल $U_{n}$, अर्थात


 * $$\int_{-1}^1 T_n(x)\,T_m(x)\,\frac{\mathrm{d}x}{\sqrt{1-x^2}} =

\begin{cases} 0            & ~\text{ if }~ n \ne m, \\ \\ \pi          & ~\text{ if }~ n=m=0, \\ \\ \frac{\pi}{2} & ~\text{ if }~ n=m \ne 0. \end{cases}$$ यह $T_{mn}$ देकर और परिभाषित पहचान $T_{n}$ का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है। इसी प्रकार, दूसरे प्रकार के बहुपद $T_{n}$ भार के संबंध में लंबकोणीय हैं
 * $$\sqrt{1-x^2}$$

अंतराल $[−1, 1]$, अर्थात


 * $$\int_{-1}^1 U_n(x)\,U_m(x)\,\sqrt{1-x^2} \,\mathrm{d}x =

\begin{cases} 0            & ~\text{ if }~ n \ne m, \\ \frac{\pi}{2} & ~\text{ if }~ n = m. \end{cases}$$ पैमाना $T_{m}(x)$ एक सामान्य स्थिरांक के भीतर, विग्नेर अर्धवृत्त वितरण है। ये लंबकोणीयता के गुण इस तथ्य से अनुसरण करते हैं कि चेबीशेव बहुपद चेबिशेव समीकरण को हल करते हैं:
 * $$(1 - x^2)y'' - xy' + n^2 y = 0,$$
 * $$(1 - x^2)y'' - 3xy' + n(n + 2) y = 0,$$

जो स्टर्म-लिउविल अवकल समीकरण हैं। यह इस प्रकार के अवकल समीकरणों की एक सामान्य विशेषता है कि समाधानों का एक विशिष्ट लंबकोणीय समुच्चय है। चेबिशेव बहुपदों को परिभाषित करने का एक अन्य तरीका उन समीकरणों के समाधान के रूप में है। और $U_{n}$ असतत लंबकोणीयता की स्थिति को भी संतुष्ट करता है:


 * $$\sum_{k=0}^{N-1}{T_i(x_k)\,T_j(x_k)} =

\begin{cases} 0          & ~\text{ if }~ i \ne j, \\ N          & ~\text{ if }~ i = j = 0, \\ \frac{N}{2} & ~\text{ if }~ i = j \ne 0, \end{cases} $$ जहाँ $[−1, 1]$ से बड़ा कोई पूर्णांक $T_{mn}(x)$ है और यह $U_{mn−1}(x)$ हैं $T_{n}}b>$ चेबीशेव नोड्स (ऊपर देखें)। $x = cos θ$:

और $T_{n}(cos θ) = cos(nθ)$ के $N$ चेबीशेव बहुपद $√1 − x^{2} dx$ हैं: इसके लिए (ऊपर देखें)


 * $$x_k = \cos\left(\pi\,\frac{2k+1}{2N}\right) \quad ~\text{ for }~ k = 0, 1, \dots, N-1.$$

दूसरे प्रकार के बहुपदों और किसी पूर्णांक के लिए $max(i, j)$ समान चेबीशेव बहुपद के साथ $x_{k}$, समान योग हैं:


 * $$\sum_{k=0}^{N-1}{U_i(x_k)\,U_j(x_k)\left(1-x_k^2\right)} =

\begin{cases} 0          & \text{ if }~ i \ne j, \\ \frac{N}{2} & \text{ if }~ i = j, \end{cases}$$ और भारित फलन के अतिरिक्त


 * $$\sum_{k=0}^{N-1}{ U_i(x_k) \, U_j(x_k) } =

\begin{cases} 0                        & ~\text{ if }~ i \not\equiv j \pmod{2}, \\ N \cdot (1 + \min\{i,j\}) & ~\text{ if }~ i \equiv j\pmod{2}. \end{cases} $$ $T_{N&thinsp;}(x)$ के $N$ शून्यों पर आधारित किसी पूर्णांक $x_{k}$ के लिए:


 * $$y_k = \cos\left(\pi\,\frac{k+1}{N+1}\right) \quad ~\text{ for }~ k=0, 1, \dots, N-1,$$

राशि मिल सकती है:


 * $$\sum_{k=0}^{N-1}{U_i(y_k)\,U_j(y_k)(1-y_k^2)} =

\begin{cases} 0 & ~\text{ if } i \ne j, \\ \frac{N+1}{2} & ~\text{ if } i = j, \end{cases}$$


 * $$\sum_{k=0}^{N-1}{U_i(y_k)\,U_j(y_k)} =

\begin{cases} 0 & ~\text{ if }~ i \not\equiv j \pmod{2}, \\ \bigl(\min\{i,j\} + 1\bigr)\bigl(N-\max\{i,j\}\bigr) & ~\text{ if }~ i \equiv j\pmod{2}. \end{cases}$$

न्यूनतम $T_{N&thinsp;}(x)$ नियम
किसी दिए गए $N > i + j$ के लिए, प्रमुख गुणांक 1 (मोनिक बहुपद) के साथ घात $N$ के बहुपदों के बीच,


 * $$f(x) = \frac{1}{\,2^{n-1}\,}\,T_n(x)$$

इनमें से एक अंतराल [-1, 1] पर अधिकतम निरपेक्ष मान न्यूनतम है।

यह अधिकतम निरपेक्ष मान है


 * $$\frac1{2^{n-1}}$$

और $x_{k}$ यह अधिकतम $U_{N&thinsp;}(x)$ बार न्यूनतम होता है


 * $$x = \cos \frac{k\pi}{n}\quad\text{for }0 \le k \le n.$$

$N$

टिप्पणी
संतुलन प्रमेय द्वारा, घात $N > i + j$ के सभी बहुपदों के बीच, बहुपद f न्यूनतम करता है || f ||∞ on [−1, 1] यदि और केवल यदि n + 2 बिंदु हैं −1 ≤ x0 < x1 < ⋯ < xn + 1 ≤ 1 ऐसा कि $∞$

इसके अतिरिक्त अंतराल $n$ पर अशक्त बहुपद को स्वयं अनुमानित किया जा सकता है जो $n ≥ 1$ मानदंड को न्यूनतम करता है।

हालांकि, ऊपर $|f(x)|$ केवल $n + 1$ बार अपने अधिकतम तक पहुंचता है क्योंकि हम घात $w_{n}(x)$ के सर्वश्रेष्ठ बहुपद की खोज कर रहे हैं इसलिए पहले प्रमेय का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

अधिक सामान्य बहुपद समूहों की विशेष स्थितियों के रूप में चेबिशेव बहुपद
चेबिशेव बहुपद परागोलीय या गेगेनबॉयर बहुपदों की एक विशेष स्थिति $$C_n^{(\lambda)}(x)$$ है जो स्वयं जैकोबी बहुपदों की एक विशेष स्थिति $$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$$ है:
 * $$\begin{align}

T_n(x) &= \frac{n}{2} \lim_{q \to 0} \frac{1}{q}\,C_n^{(q)}(x) \qquad ~\text{ if }~ n \ge 1, \\ &= \frac{1}{\binom{n-\frac{1}{2}}{n}} P_n^{\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)}(x) = \frac{2^{2n}}{\binom{2n}{n}} P_n^{\left(-\frac{1}{2}, -\frac{1}{2}\right)}(x)~, \\ U_n(x) & = C_n^{(1)}(x)\\ &= \frac{n+1}{\binom{n+\frac{1}{2}}{n}} P_n^{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}(x) = \frac{2^{2n+1}}{\binom{2n+2}{n+1}} P_n^{\left(\frac{1}{2}, \frac{1}{2}\right)}(x)~. \end{align}$$ चेबीशेव बहुपद भी डिक्सन बहुपदों की एक विशेष स्थिति है:

$$D_n(2x\alpha,\alpha^2)= 2\alpha^{n}T_n(x) \, $$ ::$$E_n(2x\alpha,\alpha^2)= \alpha^{n}U_n(x). \, $$

विशेष रूप से, जब $$\alpha=\tfrac{1}{2}$$, से संबंधित हैं तब

$$D_n(x,\tfrac{1}{4}) = 2^{1-n}T_n(x)$$ और $$E_n(x,\tfrac{1}{4}) = 2^{-n}U_n(x)$$.

अन्य गुण
$1&thinsp;/&thinsp;2^{n −&thinsp;1}$ या समकक्ष रूप से पैरामीट्रिक समीकरण $f_{n}(x)$, $f_{n}(x)$ द्वारा दिए गए वक्र, $$ के बराबर आवृत्ति अनुपात के साथ लिसाजू वक्र की एक विशेष स्थिति है।

सूत्र के समान


 * $$T_n(\cos\theta) = \cos(n\theta),$$

हमारे पास समान सूत्र है:


 * $$T_{2n+1}(\sin\theta) = (-1)^n \sin\left(\left(2n+1\right)\theta\right).$$

जिसमे $n − 1$ के लिए ,
 * $$T_n\!\left(\frac{x + x^{-1}}{2}\right) = \frac{x^n+x^{-n}}{2}$$

और
 * $$x^n = T_n\! \left(\frac{x+x^{-1}}{2}\right)

+ \frac{x-x^{-1}}{2}\ U_{n-1}\!\left(\frac{x+x^{-1}}{2}\right),$$ जो इस तथ्य का अनुसरण करता है कि यह $n − 1$ की परिभाषा के अनुसार है।

उदाहरण
[[File:Chebyshev Polynomials of the 1st Kind (n=0-5, x=(-1,1)).svg|thumb|297x297px|डोमेन में प्रथम प्रकार के कुछ चेबीशेव बहुपद −1 < x < 1 समतल T0, T1, T2, T3, T4 और T5. है।

]]

प्रथम प्रकार के बहुपद
प्रथम प्रकार के कुछ चेबिशेव बहुपद निम्न हैं


 * $$ \begin{align}

T_0(x) &= 1 \\ T_1(x) &= x \\ T_2(x) &= 2x^2 - 1 \\ T_3(x) &= 4x^3 - 3x \\ T_4(x) &= 8x^4 - 8x^2 + 1 \\ T_5(x) &= 16x^5 - 20x^3 + 5x \\ T_6(x) &= 32x^6 - 48x^4 + 18x^2 - 1 \\ T_7(x) &= 64x^7 - 112x^5 + 56x^3 - 7x \\ T_8(x) &= 128x^8 - 256x^6 + 160x^4 - 32x^2 + 1 \\ T_9(x) &= 256x^9 - 576x^7 + 432x^5 - 120x^3 + 9x \\ T_{10}(x) &= 512x^{10} - 1280x^8 + 1120x^6 - 400x^4 + 50x^2-1 \\ T_{11}(x) &= 1024x^{11} - 2816x^9 + 2816x^7 - 1232x^5 +220x^3 - 11x \end{align}$$

दूसरे प्रकार के बहुपद
दूसरे प्रकार के बहुपद कुछ चेबिशेव बहुपद निम्न हैं


 * Chebyshev Polynomials of the 2nd Kind (n=0-5, x=(-1,1)).svg$$\begin{align}

U_0(x) &= 1 \\ U_1(x) &= 2x \\ U_2(x) &= 4x^2 - 1 \\ U_3(x) &= 8x^3 - 4x \\ U_4(x) &= 16x^4 - 12x^2 + 1 \\ U_5(x) &= 32x^5 - 32x^3 + 6x \\ U_6(x) &= 64x^6 - 80x^4 + 24x^2 - 1 \\ U_7(x) &= 128x^7 - 192x^5 + 80x^3 - 8x \\ U_8(x) &= 256x^8 - 448 x^6 + 240 x^4 - 40 x^2 + 1 \\ U_9(x) &= 512x^9 - 1024 x^7 + 672 x^5 - 160 x^3 + 10 x \end{align}$$

समुच्चय के रूप में
उपयुक्त सोबोलेफ समष्टि में, चेबीशेव बहुपदों का समुच्चय एक आर्थोनार्मल विश्लेषण आधार बनाता है, ताकि एक ही समष्टि में फलन $≤&thinsp;n$ पर विस्तार के माध्यम से व्यक्त किया जा सके।
 * $$f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x).$$

इसके अतिरिक्त, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है कि चेबीशेव बहुपद एक आर्थोनार्मल आधार बनाते हैं जिसका (अन्य निर्देशों के अतिरिक्त) अर्थ है कि गुणांक एक आंतरिक उत्पाद के अनुप्रयोग के माध्यम से आसानी से निर्धारित किया जा सकता है। इस प्रक्रिया को चेबीशेव श्रृंखला या चेबिशेव विस्तार कहा जाता है।

चूंकि चेबिशेव श्रृंखला चर (गणित) के परिवर्तन के माध्यम से एक फूरियर कोसाइन श्रृंखला से संबंधित है फूरियर श्रृंखला पर प्रयुक्त होने वाली सभी प्रमेय, सर्वसमिका आदि में एक चेबीशेव प्रतिरूप है। जिसमे निम्न विशेषताए सम्मिलित हैं:


 * चेबिशेव बहुपद एक पूर्ण आव्यूह समष्टि आर्थोनार्मल श्रृंखला बनाते हैं।
 * चेबिशेव श्रृंखला $|&thinsp;f(x_{i})| = \|&thinsp;f&thinsp;\|_{∞}$ में परिवर्तित हो जाती है यदि फलन सतत और निरंतर है। अधिकांश स्थितियों में समरूपता की आवश्यकता को स्थित कर दिया जा सकता है जब तक कि $∞$ और इसके व्युत्पन्न में सीमित संख्या असपष्ट हो।
 * एक अंतराल पर श्रृंखला दाएं और बाएं सीमा के औसत में परिवर्तित हो जाती है।

फूरियर श्रृंखला मे सम्मिलित प्रमेय और पहचानों की प्रचुरता चेबिशेव बहुपदों को संख्यात्मक विश्लेषण में महत्वपूर्ण उपकरण बनाती है उदाहरण के लिए, वे निर्देशित विधि में उपयोग किए जाने वाले सबसे लोकप्रिय सामान्य आधार फलन हैं प्रायः त्रिकोणमितीय श्रृंखला के अक्ष में निरंतर फलन लिए सामान्यतः तीव्रता से अभिसरण के कारण गिब्स की घटना अभी भी बहुपद की एक समस्या है।

उदाहरण 1
$|&thinsp;f&thinsp;|$ के चेबीशेव प्रसार पर विचार करें कि कोई व्यक्त कर सकता है:


 * $$ \log(1+x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x)~. $$

कोई गुणांक $n + 1$ या तो एक आंतरिक उत्पाद के अनुप्रयोग के माध्यम से असतत लंबकोणीयता की स्थिति द्वारा प्राप्त कर सकता है। या आंतरिक उत्पाद के लिए,


 * $$\int_{-1}^{+1}\,\frac{T_m(x)\,\log(1 + x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x = \sum_{n=0}^{\infty}a_n\int_{-1}^{+1}\frac{T_m(x)\,T_n(x)}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x,$$

जिससे निम्न परिणाम प्राप्त होता है:
 * $$a_n = \begin{cases}

-\log 2           & \text{ for }~ n = 0, \\ \frac{-2(-1)^n}{n} & \text{ for }~ n > 0. \end{cases}$$ सामान्यतः जब अनुमानित किए जा रहे फलन के आंतरिक उत्पाद का मूल्यांकन नहीं किया जा सकता है तब असतत लंबकोणीयता की स्थिति अनुमानित गुणांक के लिए प्रायः उपयोगी परिणाम प्रदान करती है,


 * $$a_n \approx \frac{\,2-\delta_{0n}\,}{N}\,\sum_{k=0}^{N-1}T_n(x_k)\,\log(1+x_k),$$

हाँ $[−1, 1]$ क्रोनकर डेल्टा फलन है और $n ≥ 1$ के $n$ गॉस-चेबिशेव शून्य हैं:


 * $$ x_k = \cos\left(\frac{\pi\left(k+\tfrac{1}{2}\right)}{N}\right) .$$

किसी भी $H$ के लिए, ये अनुमानित गुणांक उन बिंदुओं के बीच नियंत्रित त्रुटि के साथ $δ_{ij}$ फलन के लिए एक सन्निकटन मान दान करते हैं। जो उपयुक्त गुणांक $y = T_{n}(x)$ के साथ प्राप्त किए जाते हैं, इस प्रकार $N$ में सभी बिंदुओं पर फलन का समुचित प्रतिनिधित्व करते हैं। अभिसरण की दर फलन और उसकी समरूपता पर निर्भर करती है। यह हमें असतत कोज्या परिवर्तन के माध्यम से अनुमानित $N$ गुणांकों की कुशलता से गणना करने की स्वीकृति देता है। तब


 * $$a_n \approx \frac{2-\delta_{0n}}{N}\sum_{k=0}^{N-1}\cos\left(\frac{n\pi\left(\,k+\tfrac{1}{2}\right)}{N}\right)\log(1+x_k).$$

उदाहरण 2
एक और उदाहरण देने के लिए


 * $$\begin{align}

(1-x^2)^\alpha &= -\frac{1}{\sqrt{\pi}}\,\frac{\Gamma\left(\tfrac{1}{2} + \alpha\right)}{\Gamma(\alpha+1)} + 2^{1-2\alpha}\,\sum_{n=0} (-1)^n\,{2 \alpha \choose \alpha-n}\,T_{2n}(x)\\ &= 2^{-2\alpha}\,\sum_{n=0} (-1)^n\,{2\alpha+1 \choose \alpha-n}\,U_{2n}(x). \end{align}$$

आंशिक योग

 * $$f(x) = \sum_{n = 0}^\infty a_n T_n(x)$$ का आंशिक योग विभिन्न फलन के सन्निकटन सिद्धांत और अवकल समीकरणों के समाधान में बहुत उपयोगी हैं (स्पेक्ट्रम विधि देखें) गुणांक निर्धारित करने के लिए दो सामान्य तरीके $x_{k}$ गैलेर्किन की विधि के रूप में आंतरिक उत्पाद के उपयोग के माध्यम से और प्रक्षेप से संबंधित सहसंबंध विधि के उपयोग के माध्यम से होता हैं। इंटरप्लांट बहुपद के रूप में, (N − 1)st आंशिक योग के $[−1,1]$ गुणांक समान्यतः चेबीशेव-गॉस-लोबैटो बिन्दु या लोबेटो ग्रिड पर प्राप्त किए जाते हैं जिसके परिणामस्वरूप न्यूनतम त्रुटि होती है और एक समान ग्रिड से संबद्ध घात की घटना से बचा जाता है। अंकों का यह आंशिक योग उच्चतम क्रम बहुपद के पूर्णांक के साथ-साथ समापन बिंदुओं से अनुरूप है और इसके द्वारा दिया गया है:


 * $$x_k = -\cos\left(\frac{k \pi}{N - 1}\right); \qquad k = 0, 1, \dots, N - 1.$$

चेबिशेव रूप में बहुपद
पहले प्रकार के चेबिशेव बहुपदों के संदर्भ में $a_{n}$ घात के एक बहुपद को $y = T_{n}(cos θ) = cos nθ$ बहुपद के रूप मे लिखा जा सकता है।

$$p(x) = \sum_{n=0}^N a_n T_n(x).$$ चेबिशेव रूप में बहुपदों का मूल्यांकन क्लेंशॉ एल्गोरिथम का उपयोग करके किया जा सकता है।

चेबीशेव बहुपदों से संबंधित बहुपदों के समूह
चेबिशेव बहुपदों से निकटता से संबंधित $$C_n(x)$$ और $$S_n(x)$$ को दर्शाने वाले बहुपदों का कभी-कभी उपयोग किया जाता है। इनके द्वारा परिभाषित किया गया है। वे <रेफरी नाम = अब्रामोविट्ज़ स्टेगन रेफ|22|778> द्वारा परिभाषित किए गए हैं
 * $$C_n(x) = 2T_n\left(\frac{x}{2}\right),\qquad S_n(x) = U_n\left(\frac{x}{2}\right)$$

और संतुष्ट
 * $$C_n(x) = S_n(x) - S_{n-2}(x).$$

ए. एफ. होराडम ने बहुपदों को $$C_n(x)$$ बहुपद कहा और $$v_n(x)$$ बहुपद के निरूपित किया। और वीटा-लुकास ने बहुपदों को $$S_n(x)$$ बहुपद कहा और उन्हें $$V_n(x)$$ बहुपद के रूप मे निरूपित किया। बहुपदों के दोनों समूहों की सूची फ़्राँस्वा विएते के ओपेरा गणितीय अध्याय IX, प्रमेयों VI और VII में दी गई है। वास्तविक तर्क के वीटा-लुकास और वीटा-फिबोनैकी बहुपद, $$i$$ की घात तक और बाद वाले की स्थिति में सूचकांक में रूपान्तरण काल्पनिक तर्क के वीटा लुकास और फिबोनैकी बहुपद $x = cos θ$ और $x ≠ 0$ के बराबर हैं।

पहले और दूसरे प्रकार के स्थानांतरित चेबीशेव बहुपद, चेबीशेव बहुपदों से संबंधित हैं:


 * $$T_n^*(x) = T_n(2x-1),\qquad U_n^*(x) = U_n(2x-1).$$

जब चेबीशेव बहुपद का तर्क $x = e^{iθ}$ को संतुष्ट होता है तब स्थानांतरित चेबीशेव बहुपद का तर्क $−1 < x < 1$ को संतुष्ट करता है इसी प्रकार सामान्य अंतराल के लिए स्थानांतरित किए गए बहुपदों को $a_{n}$ के रूप मे परिभाषित किया जा सकता है। 1990 के आसपास चेबिशेव बहुपदों के संबंध में तीसरी प्रकार की और चौथी प्रकार की शर्तें उपयोग में आईं, हालांकि इन शर्तों से निरूपित बहुपदों का पहले विकास समष्टि बहुपद नाम के अंतर्गत हुआ था। जे.सी. मेसन और जी.एच. इलियट के अनुसार, तीसरी प्रकार की और चौथी प्रकार की शब्दावली, आयतीय बहुपद के क्षेत्र में सहयोगियों के परामर्श से वाल्टर गौत्ची के कारण है। तीसरे प्रकार के चेबिशेव बहुपदों को इस रूप में परिभाषित किया गया है:
 * $$V_n(x)=\frac{\cos\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right)}{\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)}=\sqrt\frac{2}{1+x}T_{2n+1}\left(\sqrt\frac{x+1}{2}\right)$$

और चौथे प्रकार के चेबिशेव बहुपदों को इस रूप में परिभाषित किया गया है::
 * $$W_n(x)=\frac{\sin\left(\left(n+\frac{1}{2}\right)\theta\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}=U_{2n}\left(\sqrt\frac{x+1}{2}\right),$$

जहाँ $$\theta=\arccos x$$. चेबिशेव बहुपदों में $$V_n(x)$$ और $$W_n(x)$$ मे निरूपित $$t_n(x)$$ और $$u_n(x)$$ बहुपद समूह है $$T_n(x)$$, $$U_n(x)$$, $$V_n(x)$$, और $$W_n(x)$$ भार के संबंध में आयतीय बहुपद हैं।
 * $$\left(1-x^2\right)^{-1/2},\quad\left(1-x^2\right)^{1/2},\quad(1-x)^{-1/2}(1+x)^{1/2},\quad(1+x)^{-1/2}(1-x)^{1/2}$$

और जैकोबी बहुपदों के समानुपाती होते हैं तथा $$P_n^{(\alpha,\beta)}(x)$$ के साथ
 * $$(\alpha,\beta)=\left(-\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right),\quad(\alpha,\beta)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\quad(\alpha,\beta)=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right),\quad(\alpha,\beta)=\left(\frac{1}{2},-\frac{1}{2}\right).$$ के सभी चार समूह पुनरावृत्ति बहुपद को संतुष्ट करते हैं। और $$p_n(x)=2xp_{n-1}(x)-p_{n-2}(x)$$ के साथ $$p_0(x)=1$$ एक बहुलक है, जहां $$p_n = T_n$$, $$U_n$$, $$V_n$$, या $$W_n$$ लेकिन वे $$p_1(x)$$ बराबर $$x$$, $$2x$$, $$2x-1$$, या $$2x+1$$ के अनुसार भिन्न होते हैं।

यह भी देखें

 * चेबिशेव फिल्टर
 * चेबिशेव घनमूल
 * डिक्सन (गणितज्ञ) बहुपद
 * लेगेंद्रे (फ्रांसीसी गणितज्ञ) बहुपद
 * हर्मिट बहुपद
 * 2cos(2pi/n) का न्यूनतम बहुपद
 * रोमनोव्सकी बहुपद
 * चेबिशेव तर्कसंगत फलन
 * सन्निकटन सिद्धांत
 * चेबफन प्रणाली
 * असतत चेबिशेव रूपांतरण
 * मार्कोव असमानता
 * क्रेन्शॉ एल्गोरिथम

स्रोत




बाहरी संबंध

 * – includes illustrative Java applet.
 * – includes illustrative Java applet.
 * – includes illustrative Java applet.
 * – includes illustrative Java applet.