हैन एम्बेडिंग प्रमेय

गणित में, विशेष रूप से एबेलियन समूह पर क्रमबद्ध संरचनाओं से निपटने वाले एब्स्ट्रेक्ट बीजगणित के क्षेत्र में, हैन एम्बेडिंग प्रमेय सभी रैखिक रूप से आदेशित समूह का सरल विवरण देता है। इसका नाम हंस हैन (गणितज्ञ) के नाम पर रखा गया है।

अवलोकन
प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक रैखिक रूप से आदेशित एबेलियन समूह g को योगात्मक समूह के एक आदेशित उपसमूह के रूप में एम्बेडिंग किया जा सकता है ℝΩ एक शब्दकोषीय क्रम के साथ संपन्न होता है, जहां ℝ वास्तविक संख्याओं का योगात्मक समूह है (इसके मानक क्रम के साथ) Ω आर्किमिडीयन तुल्यता वर्ग का समुच्चय है g और ℝΩ की कक्षाएं Ω से ℝ तक सभी कार्यों का समुच्चय है जो एक सुव्यवस्थित समुच्चय के बाहर विलुप्त हो जाती हैं। मान लीजिए 0, G के तत्समक अवयव को निरूपित करता है। G के किसी भी शून्येतर अवयव g के लिए, अवयवों g या -g में से कोई तत्व 0 से बड़ा है; इस तत्व को |g| से निरूपित करें। G के दो शून्येतर तत्व g और h आर्किमिडीयन समतुल्य हैं यदि प्राकृतिक संख्या N और M उपस्थित हैं जैसे कि N|g| > |h| और m|h| > |g|. सहज रूप से इसका कारण यह है कि न तो g और न ही h दूसरे के संबंध में "अतिसूक्ष्म" है। समूह g आर्किमिडीयन है यदि सभी शून्येतर तत्व आर्किमिडीयन-समतुल्य हैं। इस स्थिति में Ω एक सिंगलटन (गणित) है इसलिए ℝΩ केवल वास्तविक संख्याओं का समूह है। फिर हैन की एंबेडिंग प्रमेय होल्डर के प्रमेय को कम कर देता है (जो बताता है कि एक रैखिक रूप से आदेशित एबेलियन समूह आर्किमिडीयन है यदि और केवल यदि यह वास्तविक संख्याओं के आदेशित योगात्मक समूह का एक उपसमूह है)।

प्रमेय का स्पष्ट कथन और गणितीय प्रमाण देता है। जो कागजात और  साथ में एक और प्रमाण दें। यह सभी देखें.

यह भी देखें

 * आर्किमिडीज़ समूह