मल्टी-इंडेक्स नोटेशन

मल्टी- सूचकांक संकेतन एक गणितीय नोटेशन है जो सूचकांकों के क्रमबद्ध टुपल के लिए एक पूर्णांक सूचकांक नोटेशन की अवधारणा को सामान्यीकृत करके, बहुपरिवर्तनीय कैलकुलस, आंशिक अंतर समीकरणों और वितरण (गणित) के सिद्धांत में उपयोग किए जाने वाले सूत्रों को सरल बनाता है।

परिभाषा और बुनियादी गुण
एक एन-आयामी 'मल्टी-इंडेक्स' एक एन-ट्यूपल है


 * $$\alpha = (\alpha_1, \alpha_2,\ldots,\alpha_n)$$

गैर-नकारात्मक पूर्णांकों का (अर्थात प्राकृतिक संख्याओं के एन-आयामी सेट (गणित) का एक तत्व, निरूपित $$\mathbb{N}^n_0$$).

बहु-सूचकांकों के लिए $$\alpha, \beta \in \mathbb{N}^n_0$$ और $$x = (x_1, x_2, \ldots, x_n) \in \mathbb{R}^n$$ एक परिभाषित करता है:


 * घटकवार योग और अंतर
 * $$\alpha \pm \beta= (\alpha_1 \pm \beta_1,\,\alpha_2 \pm \beta_2, \ldots, \,\alpha_n \pm \beta_n)$$


 * आंशिक आदेश
 * $$\alpha \le \beta \quad \Leftrightarrow \quad \alpha_i \le \beta_i \quad \forall\,i\in\{1,\ldots,n\}$$


 * घटकों का योग (पूर्ण मान)
 * $$| \alpha | = \alpha_1 + \alpha_2 + \cdots + \alpha_n$$


 * कारख़ाने का
 * $$\alpha ! = \alpha_1! \cdot \alpha_2! \cdots \alpha_n!$$


 * द्विपद गुणांक
 * $$\binom{\alpha}{\beta} = \binom{\alpha_1}{\beta_1}\binom{\alpha_2}{\beta_2}\cdots\binom{\alpha_n}{\beta_n} = \frac{\alpha!}{\beta!(\alpha-\beta)!}$$


 * बहुपद गुणांक
 * $$\binom{k}{\alpha} = \frac{k!}{\alpha_1! \alpha_2! \cdots \alpha_n! } = \frac{k!}{\alpha!} $$ कहाँ $$k:=|\alpha|\in\mathbb{N}_0$$.


 * शक्ति (गणित)
 * $$x^\alpha = x_1^{\alpha_1} x_2^{\alpha_2} \ldots x_n^{\alpha_n}$$.


 * उच्च-क्रम आंशिक व्युत्पन्न
 * $$\partial^\alpha = \partial_1^{\alpha_1} \partial_2^{\alpha_2} \ldots \partial_n^{\alpha_n}$$ कहाँ $$\partial_i^{\alpha_i}:=\partial^{\alpha_i} / \partial x_i^{\alpha_i}$$ (4-ढाल भी देखें)। कभी-कभी संकेतन $$D^{\alpha} = \partial^{\alpha}$$ भी प्रयोग किया जाता है.

कुछ अनुप्रयोग
मल्टी-इंडेक्स नोटेशन प्रारंभिक कैलकुलस से संबंधित मल्टी-वेरिएबल केस तक कई सूत्रों के विस्तार की अनुमति देता है। नीचे कुछ उदाहरण हैं. निम्नलिखित सभी में, $$x,y,h\in\Complex^n$$ (या $$\R^n$$), $$\alpha,\nu\in\N_0^n$$, और $$f,g,a_\alpha\colon\Complex^n\to\Complex$$ (या $$\R^n\to\R$$).


 * बहुपद प्रमेय
 * $$ \left( \sum_{i=1}^n x_i\right)^k = \sum_{|\alpha|=k} \binom{k}{\alpha} \, x^\alpha$$


 * बहु-द्विपद प्रमेय
 * $$ (x+y)^\alpha = \sum_{\nu \le \alpha} \binom{\alpha}{\nu} \, x^\nu y^{\alpha - \nu}.$$ ध्यान दें, तब से $x + y$ एक वेक्टर है और $α$ एक बहु-सूचकांक है, बाईं ओर की अभिव्यक्ति इसका संक्षिप्त रूप है $(x_{1} + y_{1})^{α_{1}}⋯(x_{n} + y_{n})^{α_{n}}|undefined$.


 * लीबनिज नियम (सामान्यीकृत उत्पाद नियम)
 * सुचारु कार्यों के लिए एफ और जी $$\partial^\alpha(fg) = \sum_{\nu \le \alpha} \binom{\alpha}{\nu} \, \partial^{\nu}f\,\partial^{\alpha-\nu}g.$$


 * टेलर श्रृंखला
 * एक विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के लिए f में n वेरिएबल्स हैं $$f(x+h) = \sum_{\alpha\in\mathbb{N}^n_0} {\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}.$$ वास्तव में, पर्याप्त सुचारू कार्य के लिए, हमारे पास समान टेलर विस्तार है $$f(x+h) = \sum_{|\alpha| \le n}{\frac{\partial^{\alpha}f(x)}{\alpha !}h^\alpha}+R_{n}(x,h),$$ जहां अंतिम पद (शेष) टेलर के सूत्र के सटीक संस्करण पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, कॉची सूत्र (अभिन्न शेषफल के साथ) के लिए, कोई प्राप्त करता है $$R_n(x,h)= (n+1) \sum_{|\alpha| =n+1}\frac{h^\alpha}{\alpha !} \int_0^1(1-t)^n\partial^\alpha f(x+th) \, dt.$$


 * सामान्य रैखिक आंशिक अंतर ऑपरेटर
 * एन चर में एक औपचारिक रैखिक एन-वें क्रम आंशिक अंतर ऑपरेटर के रूप में लिखा गया है $$P(\partial) = \sum_{|\alpha| \le N} {a_{\alpha}(x)\partial^{\alpha}}.$$


 * भागों द्वारा एकीकरण
 * एक सीमित डोमेन में कॉम्पैक्ट समर्थन के साथ सुचारू कार्यों के लिए $$\Omega \subset \R^n$$ किसी के पास $$\int_{\Omega} u(\partial^{\alpha}v) \, dx = (-1)^{|\alpha|} \int_{\Omega} {(\partial^{\alpha}u)v\,dx}.$$ इस सूत्र का उपयोग वितरण (गणित) और कमजोर व्युत्पन्न की परिभाषा के लिए किया जाता है।

एक उदाहरण प्रमेय
अगर $$\alpha,\beta\in\mathbb{N}^n_0$$ बहु-सूचकांक हैं और $$x=(x_1,\ldots, x_n)$$, तब $$ \partial^\alpha x^\beta = \begin{cases} \frac{\beta!}{(\beta-\alpha)!} x^{\beta-\alpha} & \text{if}~ \alpha\le\beta,\\ 0 & \text{otherwise.} \end{cases}$$

प्रमाण
प्रमाण अंतर कलन के लिए शक्ति नियम से अनुसरण करता है; यदि α और β {0,1,2,…} में हैं, तो

कल्पना करना $$\alpha=(\alpha_1,\ldots, \alpha_n)$$, $$\beta=(\beta_1,\ldots, \beta_n)$$, और $$x=(x_1,\ldots, x_n)$$. फिर हमारे पास वह है $$\begin{align}\partial^\alpha x^\beta&= \frac{\partial^{\vert\alpha\vert}}{\partial x_1^{\alpha_1} \cdots \partial x_n^{\alpha_n}} x_1^{\beta_1} \cdots x_n^{\beta_n}\\ &= \frac{\partial^{\alpha_1}}{\partial x_1^{\alpha_1}} x_1^{\beta_1} \cdots \frac{\partial^{\alpha_n}}{\partial x_n^{\alpha_n}} x_n^{\beta_n}.\end{align}$$ {1,…,n} में प्रत्येक i के लिए, फ़ंक्शन $$x_i^{\beta_i}$$ पर ही निर्भर करता है $$x_i$$. उपरोक्त में, प्रत्येक आंशिक भेदभाव $$\partial/\partial x_i$$ इसलिए यह संगत सामान्य विभेदन को कम कर देता है $$d/dx_i$$. इसलिए, समीकरण से ($$), यह इस प्रकार है कि $$\partial^\alpha x^\beta$$ गायब हो जाता है अगर एi> बीi{1,…,n} में कम से कम एक i के लिए। यदि यह मामला नहीं है, यानी, यदि α ≤ β बहु-सूचकांक के रूप में है, तो $$ \frac{d^{\alpha_i}}{dx_i^{\alpha_i}} x_i^{\beta_i} = \frac{\beta_i!}{(\beta_i-\alpha_i)!} x_i^{\beta_i-\alpha_i}$$ प्रत्येक के लिए $$i$$ और प्रमेय इस प्रकार है। क्यू.ई.डी.

यह भी देखें

 * आइंस्टीन संकेतन
 * सूचकांक संकेतन
 * घुंघराले कलन

संदर्भ

 * Saint Raymond, Xavier (1991). Elementary Introduction to the Theory of Pseudodifferential Operators. Chap 1.1 . CRC Press. ISBN 0-8493-7158-9