चिरसम्मत समूह

गणित में, मौलिक समूहों को वास्तविक $R$ पर विशेष रैखिक समूहों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जटिल संख्या $C$ और चतुष्कोण $H$ एक साथ सममित या तिरछा-सममित द्विरेखीय रूपों के विशेष ऑटोमोर्फिज़्म समूहों और वास्तविक पर परिभाषित हर्मिटियन या तिरछा-हर्मिटियन सेस्क्विलिनियर रूपों के साथ जटिल और चतुष्कोणीय परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान इनमें से जटिल मौलिक झूठ समूह झूठ समूहों के चार अनंत वर्ग हैं जो असाधारण समूहों के साथ सरल झूठ समूहों के वर्गीकरण को समाप्त करते हैं। कॉम्पैक्ट मौलिक समूह जटिल मौलिक समूहों के कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप हैं। मौलिक समूहों के परिमित अनुरूप झूठ प्रकार के मौलिक समूह हैं। "मौलिक समूह" शब्द हरमन वेइल द्वारा गढ़ा गया था यह उनके 1939 के मोनोग्राफ मौलिक समूहों का शीर्षक था।

मौलिक समूह रेखीय झूठ समूहों के विषय का सबसे गहरा और सबसे उपयोगी भाग हैं। अधिकांश प्रकार के मौलिक समूह मौलिक और आधुनिक भौतिकी में आवेदन पाते हैं। कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं। घूर्णन समूह $SO(3)$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष और भौतिकी के सभी मूलभूत नियमों की एक समरूपता है, लोरेंत्ज़ समूह $O(3,1)$ विशेष सापेक्षता के दिक्-काल का एक समरूपता समूह है। विशेष एकात्मक समूह $SU(3)$ क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स का समरूपता समूह है और सहानुभूतिपूर्ण समूह $Sp(m)$ हैमिल्टनियन यांत्रिकी और इसके क्वांटम यांत्रिक संस्करणों में अनुप्रयोग पाता है।

मौलिक समूह
मौलिक समूह $R, C$और $H$ पर पूर्ण रूप से सामान्य रैखिक समूह हैं साथ ही नीचे चर्चा की गई गैर-पतित रूपों के ऑटोमोर्फिज्म समूह भी हैं। ये समूह सामान्यतः अतिरिक्त रूप से उन उपसमूहों तक सीमित होते हैं जिनके तत्वों का निर्धारक 1 होता है जिससे उनके केंद्र असतत हों निर्धारक 1 नियम के साथ मौलिक समूह नीचे दी गई तालिका में सूचीबद्ध हैं। अगली कड़ी में अधिक व्यापकता के हित में निर्धारक 1 स्थिति का निरन्तर उपयोग नहीं किया जाता है। जटिल मौलिक समूह $SL(n, R)$, $R$ और $SO(n)$. हैं। एक समूह इस आधार से जटिल होता है कि क्या इसका ले बीजगणित जटिल है। वास्तविक मौलिक समूह सभी मौलिक समूहों को संदर्भित करता है क्योंकि कोई भी बीजगणित एक वास्तविक बीजगणित है। कॉम्पैक्ट मौलिक समूह जटिल मौलिक समूहों के कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप हैं। ये बदले में, $SL(n, C)$ $C$ और $SU(n)$ हैं। कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप का एक लक्षण लाई बीजगणित $A_{m}$ के संदर्भ में है। यदि $n = m + 1$, $SL(n, H) =$ का जटिलीकरण, और यदि {exp(X): X ∈ u}} द्वारा उत्पन्न जुड़ा समूह $SU^{∗}(2n)$ संहत है, तो $H$ एक सघन वास्तविक रूप है।

मौलिक समूहों को समान रूप से वास्तविक रूप का उपयोग करके एक अलग विधि से चित्रित किया जा सकता है। मौलिक समूह (यहां निर्धारक 1 स्थिति के साथ किंतु यह आवश्यक नहीं है) निम्नलिखित हैं:


 * जटिल रेखीय बीजगणितीय समूह $Sp(n)$, और $SO(p, q)$ उनके वास्तविक रूपों के साथ।

उदाहरण के लिए, $R$ $S(O(p) × O(q))$ का वास्तविक रूप है, $SO(n, C)$ $C$ का वास्तविक रूप है, और $SO(n)$ इसका वास्तविक रूप है $Sp(n, R)$ निर्धारक 1 स्थिति के बिना विशेष रैखिक समूहों को लक्षण वर्णन में संबंधित सामान्य रैखिक समूहों के साथ बदलें। विचाराधीन बीजगणितीय समूह झूठसमूह हैं, किंतु "वास्तविक रूप" की सही धारणा प्राप्त करने के लिए "बीजगणितीय" योग्यता की आवश्यकता है। समूह हैं किंतु "वास्तविक रूप" की सही धारणा प्राप्त करने के लिए "बीजगणितीय" योग्यता की आवश्यकता है।

बिलिनियर और सेस्क्विलिनियर फॉर्म
मौलिक समूहों को $R$, $U(n)$, और $Sp(n, C)$ पर परिभाषित रूपों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, जहां $C$ और $Sp(n)$ वास्तविक और जटिल संख्याओं के क्षेत्र हैं। चतुष्कोण $C_{m}$ एक क्षेत्र का गठन नहीं करते हैं क्योंकि गुणन नहीं होता है; वे एक विभाजन वलय या तिरछा क्षेत्र या गैर-विनिमेय क्षेत्र बनाते हैं। चूँकि, मैट्रिक्स क्वाटरनियोनिक समूहों को परिभाषित करना अभी भी संभव है। इस कारण से, सदिश समष्टि $n = 2m$ को नीचे $SU(p, q)$, $C$ और साथ ही $S(U(p) × U(q))$ के ऊपर परिभाषित करने की अनुमति है। $Sp(p, q)$ के स्थिति में, $H$ एक सही सदिश स्थान है, जो कि $Sp(p) × Sp(q)$और $SO^{∗}(2n)$ के लिए बाईं ओर से मैट्रिक्स गुणन के रूप में समूह क्रिया के प्रतिनिधित्व को संभव बनाता है।

$H$ या $SO(2n)$ पर कुछ परिमित-आयामी सही सदिश स्थान पर एक रूप $SL(n, C)$ द्विरेखीय है यदि
 * $$\varphi(x\alpha, y\beta) = \alpha\varphi(x, y)\beta, \quad \forall x,y \in V, \forall \alpha,\beta \in F.$$ और यदि
 * $$\varphi(x_1+x_2,y_1+y_2)=\varphi(x_1,y_1)+\varphi(x_1,y_2)+\varphi(x_2,y_1)+\varphi(x_2,y_2),\quad \forall x_1, x_2, y_1, y_2 \in V. $$

इसे अर्ध-बिलिनियर रूप कहा जाता है यदि
 * $$\varphi(x\alpha, y\beta) = \bar{\alpha}\varphi(x, y)\beta, \quad \forall x,y \in V, \forall \alpha,\beta \in F.$$ और यदि
 * $$\varphi(x_1+x_2,y_1+y_2)=\varphi(x_1,y_1)+\varphi(x_1,y_2)+\varphi(x_2,y_1)+\varphi(x_2,y_2), \quad \forall x_1, x_2, y_1, y_2 \in V. $$

इन सम्मेलनों को चुना जाता है क्योंकि वे सभी मामलों में काम करते हैं। का एक ऑटोमोर्फिज़्म $SO(n, C)$ एक नक्शा है $Sp(n, C)$ पर रैखिक ऑपरेटरों के सेट में $SU(n)$ ऐसा है कि

के सभी ऑटोमोर्फिज्म का सेट $SO(n)$ एक समूह बनाते हैं, इसे का ऑटोमोर्फिज्म समूह कहा जाता है $Sp(n)$, निरूपित $g$. यह मौलिक समूह की प्रारंभिक परिभाषा की ओर जाता है:
 * एक मौलिक समूह एक ऐसा समूह है जो परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर बिलिनियर या सेस्क्विलिनियर फॉर्म को संरक्षित करता है $g = u + iu$, $u$ या $K$.

इस परिभाषा में कुछ अतिरेक है। के स्थिति में $K$, बिलिनियर सेस्क्विलिनियर के बराबर है। के स्थिति में $SL(n, C), SO(n, C)$, कोई गैर-शून्य द्विरेखीय रूप नहीं हैं।

सममित, तिरछा-सममित, हर्मिटियन और तिरछा-हर्मिटियन रूप
एक फॉर्म सममित है अगर
 * $$\varphi(x, y) = \varphi(y, x).$$

यह तिरछा-सममित है यदि
 * $$\varphi(x, y) = -\varphi(y, x).$$

यह हर्मिटियन है अगर
 * $$\varphi(x, y) = \overline{\varphi(y, x)}$$

अंत में, यह तिरछा-हर्मिटियन है अगर
 * $$\varphi(x, y) = -\overline{\varphi(y, x)}.$$

एक द्विरेखीय रूप $Sp(n, C)$ विशिष्ट रूप से सममित रूप और तिरछा-सममित रूप का योग है। एक परिवर्तन संरक्षण $SO^{∗}(2n)$ दोनों भागों को अलग-अलग सुरक्षित रखता है। इस प्रकार सममित और तिरछा-सममित रूपों को संरक्षित करने वाले समूहों का अलग-अलग अध्ययन किया जा सकता है। वही लागू होता है, यथोचित परिवर्तनों सहित, हर्मिटियन और तिरछा-हर्मिटियन रूपों पर। इस कारण से, वर्गीकरण के प्रयोजनों के लिए, केवल विशुद्ध रूप से सममित, तिरछा-सममित, हर्मिटियन, या तिरछा-हर्मिटियन रूपों पर विचार किया जाता है। रूपों के सामान्य रूप आधारों के विशिष्ट उपयुक्त विकल्पों के अनुरूप होते हैं। ये निर्देशांक में निम्नलिखित सामान्य रूप देने वाले आधार हैं:
 * $$\begin{align}

\text{Bilinear symmetric form in (pseudo-)orthonormal basis:} \quad \varphi(x, y) ={} &{\pm}\xi_1\eta_1 \pm \xi_2\eta_2 \pm \cdots \pm \xi_n\eta_n, & &(\mathbf R)\\ \text{Bilinear symmetric form in orthonormal basis:} \quad \varphi(x, y) ={} &\xi_1\eta_1 + \xi_2\eta_2 + \cdots + \xi_n\eta_n, & &(\mathbf C)\\ \text{Bilinear skew-symmetric in symplectic basis:} \quad \varphi(x, y) ={} &\xi_1\eta_{m + 1} + \xi_2\eta_{m + 2} + \cdots + \xi_m\eta_{2m = n} \\ &-\xi_{m + 1}\eta_1 - \xi_{m + 2}\eta_2 - \cdots - \xi_{2m = n}\eta_m, & &(\mathbf R, \mathbf C)\\ \text{Sesquilinear Hermitian:} \quad \varphi(x, y) ={} &{\pm}\bar{\xi_1}\eta_1 \pm \bar{\xi_2}\eta_2 \pm \cdots \pm \bar{\xi_n}\eta_n, & &(\mathbf C, \mathbf H)\\ \text{Sesquilinear skew-Hermitian:} \quad \varphi(x, y) ={} &\bar{\xi_1}\mathbf{j}\eta_1 + \bar{\xi_2}\mathbf{j}\eta_2 + \cdots + \bar{\xi_n}\mathbf{j}\eta_n, & &(\mathbf H) \end{align}$$

$SO(2n, C)$} तिरछा-हर्मिटियन रूप में आधार में तीसरा आधार तत्व है $SU(p, q)$ के लिए $SL(n, C)$. इन आधारों के अस्तित्व का प्रमाण और सिल्वेस्टर का जड़त्व का नियम, धनात्मक और ऋणात्मक चिह्नों की संख्या की स्वतंत्रता, $SL(n, H)$ और $SL(2n, C)$, सममित और हर्मिटियन रूपों में, साथ ही प्रत्येक अभिव्यक्ति में क्षेत्रों की उपस्थिति या अनुपस्थिति में पाया जा सकता है या. जोड़ी $R^{n}$, और कभी - कभी $C^{n}$, फॉर्म का सिग्नेचर कहलाता है।

खेतों की घटना की व्याख्या $H^{n}$: कोई गैर तुच्छ द्विरेखीय रूप नहीं हैं $R$. सममित बिलिनियर स्थिति में, केवल रूप बनता है $C$ के हस्ताक्षर हैं। दूसरे शब्दों में, हस्ताक्षर के साथ एक जटिल द्विरेखीय रूप $H$, आधार के परिवर्तन से, एक ऐसे रूप में घटाया जा सकता है जहां सभी संकेत हैं$V$ उपरोक्त अभिव्यक्ति में, जबकि वास्तविक स्थिति में यह असंभव है, जिसमें $R$ इस फॉर्म में रखे जाने पर आधार से स्वतंत्र होता है। चूँकि, हर्मिटियन रूपों में जटिल और चतुष्कोणीय स्थिति दोनों में आधार-स्वतंत्र हस्ताक्षर हैं। (वास्तविक मामला सममित स्थिति में कम हो जाता है।) एक जटिल सदिश स्थान पर एक तिरछा-हर्मिटियन रूप गुणा द्वारा हर्मिटियन प्रदान किया जाता है $$, तो इस स्थिति में, केवल $C$ दिलचस्प है।

ऑटोमोर्फिज्म समूह
प्रथम खंड सामान्य रूपरेखा प्रस्तुत करता है। अन्य खंड गुणात्मक रूप से अलग-अलग मामलों को समाप्त करते हैं जो परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान पर बिलिनियर और सेस्क्विलिनियर रूपों के ऑटोमोर्फिज्म समूहों के रूप में उत्पन्न होते हैं। $H$, $H$ और $V$.

ऑट (φ) - ऑटोमोर्फिज्म समूह
ये मान लीजिए $R$ परिमित-आयामी सदिश स्थान पर एक गैर-पतित रूप है $C$ ऊपर $F = R, C$ या $H$. स्थिति के आधार पर ऑटोमोर्फिज्म समूह को परिभाषित किया गया है ($i$), जैसा
 * $$\mathrm{Aut}(\varphi) = \{A \in \mathrm{GL}(V) : \varphi(Ax, Ay) = \varphi(x, y), \quad \forall x,y \in V\}.$$

प्रत्येक $φ: V × V → F$ का एक जोड़ है $φ$ इसके संबंध में $Α$ द्वारा परिभाषित

स्थिति में इस परिभाषा का उपयोग करना ($$), ऑटोमोर्फिज्म समूह द्वारा दिया गया देखा जाता है

के लिए एक आधार तय करें $V$. इस आधार के संदर्भ में, रखो
 * $$\varphi(x, y) = \sum \xi_i\varphi_{ij}\eta_j$$

कहाँ $φ$ के घटक हैं $φ$. यह बिलिनियर रूपों के लिए उपयुक्त है। Sesquilinear रूपों में समान भाव होते हैं और बाद में अलग से व्यवहार किया जाता है। मैट्रिक्स नोटेशन में कोई पाता है
 * $$\varphi(x, y) = x^{\mathrm T}\Phi y$$

और

से ($$) कहाँ $Aut(φ)$ मैट्रिक्स है $R$. गैर अध: पतन स्थिति ठीक यही मतलब है $C$ व्युत्क्रमणीय है, इसलिए संलग्न हमेशा मौजूद रहता है। $H$ इसके साथ व्यक्त हो जाता है
 * $$\operatorname{Aut}(\varphi) = \left\{A \in \operatorname{GL}(V): \Phi^{-1}A^\mathrm{T}\Phi A = 1\right\}.$$

झूठ बीजगणित aut(φ)}ऑटोमोर्फिज्म समूहों के } को तुरंत लिखा जा सकता है। संक्षेप में, $F = R$ अगर और केवल अगर
 * $$(e^{tX})^\varphi e^{tX} = 1$$

सभी के लिए $F = H$, में स्थिति के अनुरूप ($$) झूठ बीजगणित के घातीय मानचित्र (झूठे सिद्धांत) के तहत, ताकि
 * $$\mathfrak{aut}(\varphi) = \left\{X \in M_n(V): X^\varphi = -X\right\},$$

या एक आधार में

जैसा कि एक्सपोनेंशियल मैपिंग की शक्ति श्रृंखला विस्तार और शामिल संचालन की रैखिकता का उपयोग करके देखा जाता है। इसके विपरीत मान लीजिए $φ$. फिर, उपरोक्त परिणाम का उपयोग करते हुए, $φ$. इस प्रकार झूठ बीजगणित को बिना किसी आधार, या आसन्न के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है
 * $$\mathfrak{aut}(\varphi) = \{X \in M_n(V): \varphi(Xx, y) = -\varphi(x, Xy),\quad \forall x,y \in V\}.$$

के लिए सामान्य रूप $j$ नीचे प्रत्येक मौलिक समूह के लिए दिया जाएगा। उस सामान्य रूप से, मैट्रिक्स $(1, i, j, k)$ सीधे पढ़ा जा सकता है। नतीजतन, सूत्रों का उपयोग करके आसन्न और झूठ बीजगणित के लिए अभिव्यक्ति प्राप्त की जा सकती है ($$) और ($$). यह अधिकांश गैर-तुच्छ मामलों में नीचे प्रदर्शित किया गया है।

बिलिनियर केस
जब प्रपत्र सममित है, $H$ कहा जाता है $p$. जब यह तिरछा-सममित होता है तब $q$ कहा जाता है $(p, q)$. यह वास्तविक और जटिल मामलों पर लागू होता है। क्वाटरनियोनिक केस खाली है क्योंकि क्वाटरनियोनिक वेक्टर रिक्त स्थान पर कोई शून्येतर बिलिनियर फॉर्म मौजूद नहीं है।

असली मामला
वास्तविक मामला दो मामलों में विभाजित होता है, सममित और विषम रूप जिन्हें अलग-अलग व्यवहार किया जाना चाहिए।

ओ (पी, क्यू) और ओ (एन) - ऑर्थोगोनल समूह
अगर $p − q$ सममित है और सदिश स्थान वास्तविक है, एक आधार चुना जा सकता है ताकि
 * $$\varphi(x, y) = \pm \xi_1\eta_1 \pm \xi_2\eta_2 \cdots \pm \xi_n\eta_n.$$

प्लस और माइनस-संकेतों की संख्या विशेष आधार से स्वतंत्र है। यदि $R, C, H$ कोई लिखता है $H$ कहाँ $R$ धन चिह्नों की संख्या है और $(p, q)$ ऋण चिह्नों की संख्या है, $+$. अगर $p − q$ अंकन है $H$. गणित का सवाल $R$ इस स्थिति में है
 * $$\Phi = \left(\begin{matrix}I_p & 0 \\0 & -I_q\end{matrix}\right) \equiv I_{p,q}$$

यदि आवश्यक हो तो आधार को पुनर्व्यवस्थित करने के बाद। आसन्न ऑपरेशन ($$) तो बन जाता है
 * $$A^\varphi = \left(\begin{matrix}I_p & 0 \\0 & -I_q\end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}A_{11} & \cdots \\\cdots & A_{nn}\end{matrix}\right)^{\mathrm{T}} \left(\begin{matrix}I_p & 0 \\0 & -I_q\end{matrix}\right),$$

जो सामान्य स्थानान्तरण को कम कर देता है जब $C$ या $H$ 0 है। लाई बीजगणित समीकरण का उपयोग करके पाया जाता है ($$) और एक उपयुक्त ansatz (यह के स्थिति के लिए विस्तृत है $φ$ नीचे),
 * $$\mathfrak{o}(p, q) = \left\{\left .\left(\begin{matrix}X_{p \times p} & Y_{p \times q} \\ Y^{\mathrm{T}} & W_{q \times q}\end{matrix}\right)\right| X^{\mathrm T} = -X,\quad W^{\mathrm T} = -W\right\},$$

और समूह के अनुसार ($$) द्वारा दिया गया है
 * $$\mathrm{O}(p, q) = \{g \in \mathrm{GL}(n, \mathbb{R})|I_{p,q}^{-1}g^{\mathrm{T}}I_{p,q}g = I\}.$$

समूह $V$ और $R, C$ मानचित्र के माध्यम से आइसोमॉर्फिक हैं
 * $$\mathrm{O}(p, q) \rightarrow \mathrm{O}(q, p), \quad g \rightarrow \sigma g \sigma^{-1}, \quad \sigma = \left[\begin{smallmatrix}0 & 0 & \cdots & 1\\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots\\0 & 1 & \cdots & 0\\1 & 0 & \cdots & 0 \end{smallmatrix}\right].$$

उदाहरण के लिए, लोरेंत्ज़ समूह के झूठ बीजगणित को इस रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\mathfrak{o}(3, 1) = \mathrm{span} \left\{

\left( \begin{smallmatrix}0&1&0&0\\-1&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&0 \end{smallmatrix} \right), \left( \begin{smallmatrix}0&0&-1&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0\\0&0&0&0 \end{smallmatrix} \right), \left( \begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&1&0\\0&-1&0&0\\0&0&0&0 \end{smallmatrix} \right), \left( \begin{smallmatrix}0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&0&0&0\\1&0&0&0 \end{smallmatrix} \right), \left( \begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\\0&1&0&0 \end{smallmatrix} \right), \left( \begin{smallmatrix}0&0&0&0\\0&0&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0 \end{smallmatrix} \right) \right\}.$$ स्वाभाविक रूप से, पुनर्व्यवस्थित करना संभव है जिससे $H$-ब्लॉक ऊपरी बाएँ (या कोई अन्य ब्लॉक) है। यहां समय घटक एक भौतिक व्याख्या में चौथे समन्वय के रूप में समाप्त होता है, न कि पहले जैसा कि अधिक सामान्य हो सकता है।

एसपी (एम, आर) - वास्तविक सहानुभूतिपूर्ण समूह
अगर $A ∈ M_{n}(V)$ तिरछा-सममित है और सदिश स्थान वास्तविक है, एक आधार दे रहा है
 * $$\varphi(x, y) = \xi_1\eta_{m + 1} + \xi_2\eta_{m + 2} \cdots + \xi_m\eta_{2m = n} - \xi_{m + 1}\eta_1 - \xi_{m + 2}\eta_2 \cdots - \xi_{2m = n}\eta_m,$$

कहाँ $A^{φ}$. के लिए $φ$ कोई लिखता है $V$ यदि $ξ_{i}, η_{j}$ कोई लिखता है $x, y$ या $Φ$. सामान्य रूप से कोई पढ़ता है
 * $$\Phi = \left(\begin{matrix}0_m & I_m \\ -I_m & 0_m\end{matrix}\right) = J_m.$$

दृष्टिकोण बनाकर
 * $$V = \left(\begin{matrix}X & Y \\ Z & W\end{matrix}\right),$$

कहाँ $(φ_{ij})$ हैं $Φ$-आयामी मैट्रिक्स और विचार ($$),
 * $$\left(\begin{matrix}0_m & -I_m \\ I_m & 0_m\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}X & Y \\ Z & W\end{matrix}\right)^{\mathrm T}\left(\begin{matrix}0_m & I_m \\ -I_m & 0_m\end{matrix}\right) = -\left(\begin{matrix}X & Y \\ Z & W\end{matrix}\right)$$

का झूठा बीजगणित पाता है $Aut(φ)$,


 * $$\mathfrak{sp}(m, \mathbb{R}) = \{X \in M_n(\mathbb{R}): J_mX + X^{\mathrm T}J_m = 0\} = \left\{\left .\left(\begin{matrix}X & Y \\ Z & -X^{\mathrm T}\end{matrix}\right)\right| Y^{\mathrm T} = Y, Z^{\mathrm T} = Z\right\},$$

और समूह द्वारा दिया गया है
 * $$\mathrm{Sp}(m, \mathbb{R}) = \{g \in M_n(\mathbb{R})|g^{\mathrm{T}}J_mg = J_m\}.$$

जटिल मामला
वास्तविक स्थिति की तरह, दो स्थिति हैं, सममित और एंटीसिमेट्रिक मामला है कि प्रत्येक मौलिक समूहों के एक परिवार का उत्पादन करता है।

हे (एन, सी) - जटिल ओर्थोगोनल समूह
अगर मामला $X ∈ aut(φ)$ सममित है और सदिश स्थान जटिल है, एक आधार है
 * $$\varphi(x, y) = \xi_1\eta_1 + \xi_1\eta_1 \cdots + \xi_n\eta_n$$

केवल प्लस-साइन के साथ ही इस्तेमाल किया जा सकता है। ऑटोमोर्फिज्म समूह के स्थिति में है $t$ बुलाया $X ∈ aut(φ)$. झूठ बीजगणित बस उसी का एक विशेष मामला है $φ(Xx, y) = φ(x, X^{φ}y) = −φ(x, Xy)$,
 * $$\mathfrak{o}(n, \mathbb{C}) = \mathfrak{so}(n, \mathbb{C}) = \{X|X^{\mathrm{T}} = -X\},$$

और समूह द्वारा दिया गया है
 * $$\mathrm{O}(n, \mathbb{C}) = \{g|g^{\mathrm{T}}g = I_n\}.$$

रूट सिस्टम के संदर्भ में या  डायनकिन डायग्राम द्वारा रूट सिस्टम का वर्गीकरण, $φ$ दो वर्गों में विभाजित हैं, जिनके साथ $Φ$ रूट सिस्टम के साथ विषम $Aut(φ)$ और $O(φ)$ रूट सिस्टम के साथ भी $Aut(φ)$.

Sp(एम, सी) - जटिल सहानुभूतिपूर्ण समूह
के लिए $Sp(φ)$ तिरछा-सममित और सदिश अंतरिक्ष परिसर, एक ही सूत्र,
 * $$\varphi(x, y) = \xi_1\eta_{m + 1} + \xi_2\eta_{m + 2} \cdots + \xi_m\eta_{2m = n} - \xi_{m + 1}\eta_1 - \xi_{m + 2}\eta_2 \cdots - \xi_{2m = n}\eta_m,$$

वास्तविक स्थिति की तरह लागू होता है। के लिए $φ$ कोई लिखता है $V = R^{n}$. यदि $$V = \mathbb{C}^n = \mathbb{C}^{2m}$$ एक लिखता है $O(φ) = O(p, q)$ या $p$. झूठ बीजगणित के समानांतर है $q$,
 * $$\mathfrak{sp}(m, \mathbb{C}) = \{X \in M_n(\mathbb{C}): J_mX + X^{\mathrm T}J_m = 0\} =\left\{\left .\left(\begin{matrix}X & Y \\ Z & -X^{\mathrm T}\end{matrix}\right)\right| Y^{\mathrm T} = Y, Z^{\mathrm T} = Z\right\},$$

और समूह द्वारा दिया गया है
 * $$\mathrm{Sp}(m, \mathbb{C}) = \{g \in M_n(\mathbb{C})|g^{\mathrm{T}}J_mg = J_m\}.$$

सेस्क्विलिनियर केस
सेस्क्विलिनियर स्थिति में, एक आधार के रूप में फॉर्म के लिए थोड़ा अलग दृष्टिकोण बनाता है,
 * $$\varphi(x, y) = \sum \bar{\xi}_i\varphi_{ij}\eta_j.$$

संशोधित होने वाले अन्य भाव हैं
 * $$\varphi(x, y) = x^*\Phi y, \qquad A^\varphi = \Phi^{-1}A^*\Phi,$$
 * $$\operatorname{Aut}(\varphi) = \{A \in \operatorname{GL}(V): \Phi^{-1}A^*\Phi A = 1\},$$

वास्तविक मामला, निश्चित रूप से, कुछ भी नया नहीं देता है। जटिल और चतुर्धातुक स्थिति पर नीचे विचार किया जाएगा।

जटिल मामला
गुणात्मक दृष्टिकोण से, तिरछा-हर्मिटियन रूपों (समरूपता तक) पर विचार कोई नया समूह प्रदान नहीं करता है; द्वारा गुणा करना $p + q = n$ तिरछा-हर्मिटियन रूप को हर्मिटियन, और इसके विपरीत प्रस्तुत करता है। इस प्रकार केवल हर्मिटियन स्थिति पर विचार करने की आवश्यकता है।

यू (पी, क्यू) और यू (एन) - एकात्मक समूह
एक गैर-पतित हेर्मिटियन रूप का सामान्य रूप है
 * $$\varphi(x, y) = \pm \bar{\xi_1}\eta_1 \pm \bar{\xi_2}\eta_2 \cdots \pm \bar{\xi_n}\eta_n.$$

बिलिनियर स्थिति में, हस्ताक्षर (पी, क्यू) आधार से स्वतंत्र है। ऑटोमोर्फिज्म समूह को निरूपित किया जाता है $q = 0$, या, के स्थिति में $O(n)$, $Φ$. अगर $p$ अंकन है $q$. इस स्थिति में, $Sp(m, R)$ रूप लेता है
 * $$\Phi = \left(\begin{matrix}1_p & 0\\0 & -1_q\end{matrix}\right) = I_{p,q},$$

और झूठ बीजगणित द्वारा दिया गया है
 * $$\mathfrak{u}(p, q) = \left\{ \left. \left( \begin{matrix} X_{p \times p} & Z_{p \times q} \\ {\overline{Z_{p \times q}}}^{\mathrm{T}} & Y_{q \times q} \end{matrix}\right) \right| {\overline{X}}^{\mathrm T} = -X, \quad {\overline{Y}}^{\mathrm T} = -Y \right\} .$$

समूह द्वारा दिया गया है
 * $$\mathrm{U}(p, q) = \{g|I_{p,q}^{-1}g^*I_{p,q}g = I\}.$$
 * जहाँ g एक सामान्य n x n जटिल मैट्रिक्स है और $$g^{*}$$ जी के संयुग्मी स्थानांतरण के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे भौतिक विज्ञानी कहते हैं $$g^{\dagger}$$.

तुलना के रूप में, एक एकात्मक मैट्रिक्स U(n) को इस रूप में परिभाषित किया गया है

$$\mathrm{U}(n) = \{g|g^*g = I\}.$$ हमने ध्यान दिया कि $$\mathrm{U}(n)$$ वैसा ही है जैसा कि $$\mathrm{U}(n,0)$$

चतुर्धातुक मामला
अंतरिक्ष $O(p, q)$ को एक सही सदिश स्थान के रूप में माना जाता है $O(q, p)$. इस तरह, $q$ चतुष्कोण के लिए $φ$, एक चतुष्कोणीय स्तंभ वेक्टर $n = 2m$ और चतुष्कोणीय मैट्रिक्स $Aut(φ)$. अगर $Sp(φ) = Sp(V)$ बायाँ सदिश स्थान था $V = R^{n} = R^{2m}$, तो रैखिकता बनाए रखने के लिए दाईं ओर से पंक्ति सदिशों पर मैट्रिक्स गुणन की आवश्यकता होगी। जब एक आधार दिया जाता है, जो कॉलम वैक्टर पर बाईं ओर से मैट्रिक्स गुणन होता है, तो यह एक सदिश स्थान पर एक समूह के सामान्य रैखिक संचालन के अनुरूप नहीं होता है। इस प्रकार $Sp(m, R)$ इसके बाद एक सही सदिश समष्टि है $Sp(2m, R)$. फिर भी, गैर-विनिमेय प्रकृति के कारण सावधानी बरतनी चाहिए $X, Y, Z, W$. (ज्यादातर स्पष्ट) विवरण छोड़ दिए जाते हैं क्योंकि जटिल अभ्यावेदन का उपयोग किया जाएगा।

चतुष्कोणीय समूहों के साथ व्यवहार करते समय जटिल का उपयोग करके चतुष्कोणों का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक होता है 2×2-matrices,

इस प्रतिनिधित्व के साथ, चतुष्कोणीय गुणन मैट्रिक्स गुणन बन जाता है और चतुष्कोणीय संयुग्मन हर्मिटियन आसन्न बन जाता है। इसके अलावा, एक चतुर्धातुक जटिल एन्कोडिंग के अनुसार $m$ कॉलम वेक्टर के रूप में दिया गया है $Sp(m, R)$, फिर बायीं ओर से क्वाटरनियन के मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व द्वारा गुणा करने से सही क्वाटरनियन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक नया कॉलम वेक्टर उत्पन्न होता है। यह प्रतिनिधित्व चतुष्कोणीय लेख में पाए जाने वाले अधिक सामान्य प्रतिनिधित्व से थोड़ा अलग है। अधिक सामान्य सम्मेलन एक ही चीज़ को प्राप्त करने के लिए पंक्ति मैट्रिक्स पर दाईं ओर से गुणन को बाध्य करेगा।

संयोग से, उपरोक्त प्रतिनिधित्व यह स्पष्ट करता है कि इकाई चतुष्कोणों का समूह ($φ$) आइसोमॉर्फिक है $V = C^{n}$.

क्वाटरनियोनिक $O(n, C)$-मैट्रिसेस, स्पष्ट विस्तार द्वारा, द्वारा प्रदर्शित किए जा सकते हैं $o(p, q)$ जटिल संख्याओं के ब्लॉक-मैट्रिसेस। यदि कोई क्वाटरनियोनिक का प्रतिनिधित्व करने के लिए सहमत है n×1 कॉलम वेक्टर ए द्वारा 2n×1 कॉलम वेक्टर जटिल संख्या के साथ ऊपर के एन्कोडिंग के अनुसार, ऊपरी के साथ $so(n)$ संख्याएँ हैं $n$ और निचला $B_{n}$ द $n$, फिर एक चतुष्कोणीय $D_{n}$-मैट्रिक्स एक जटिल बन जाता है $φ$-मैट्रिक्स पूर्ण रूप से ऊपर दिए गए फॉर्म का, किंतु अब α और β के साथ $Aut(φ)$-मैट्रिसेस। अधिक औपचारिक रूप से

एक मैट्रिक्स $Sp(φ) = Sp(V)$ में प्रपत्र प्रदर्शित किया गया है ($$) अगर और केवल अगर $Sp(m, $\mathbb{C}$)$. इन पहचानों से,
 * $$\mathbb{H}^n \approx \mathbb{C}^{2n}, M_n(\mathbb{H}) \approx \left\{\left .T \in M_{2n}(\mathbb{C})\right|J_nT = \overline{T}J_n, \quad J_n = \left(\begin{matrix}0 & I_n\\-I_n & 0\end{matrix}\right) \right\}.$$

अंतरिक्ष $Sp(2m, $\mathbb{C}$)$ एक वास्तविक बीजगणित है, किंतु यह इसकी जटिल उपसमष्टि नहीं है $sp(m, $\mathbb{R}$)$. गुणा (बाएं से) द्वारा $i$ में $U(V)$ एंट्री-वार क्वाटरनियोनिक गुणन का उपयोग करना और फिर छवि में मैपिंग करना $V = C^{n}$ द्वारा प्रवेश-वार गुणा करने से भिन्न परिणाम प्राप्त होता है $U(p, q)$ सीधे अंदर $q = 0$. चतुर्धातुक गुणन नियम देते हैं $U(n)$ जहां नया $Φ$ और $H^{n}$ कोष्ठक के अंदर हैं।

चतुष्कोणीय सदिशों पर चतुष्कोणीय आव्यूहों की क्रिया को अब जटिल मात्राओं द्वारा दर्शाया जाता है, किंतु अन्यथा यह सामान्य आव्यूहों और सदिशों के समान ही है। चतुर्धातुक समूह इस प्रकार अंतःस्थापित होते हैं $H$ कहाँ $A(vh) = (Av)h$ क्वाटरनियोनिक मैट्रिसेस का आयाम है।

क्वाटरनियोनिक मैट्रिक्स के निर्धारक को इस प्रतिनिधित्व में इसके प्रतिनिधि मैट्रिक्स के सामान्य जटिल निर्धारक के रूप में परिभाषित किया गया है। क्वाटरनियोनिक गुणन की गैर-कम्यूटेटिव प्रकृति, मेट्रिसेस के क्वाटरनियोनिक प्रतिनिधित्व में अस्पष्ट होगी। रास्ता $h$ में सन्निहित है $v$ अद्वितीय नहीं है, किंतु ऐसे सभी एम्बेडिंग संबंधित हैं $A$ के लिए $H^{n}$, निर्धारक को अप्रभावित छोड़कर। का नाम $H$ इस जटिल आड़ में है $V$.

के स्थिति में विरोध के रूप में $H$, हर्मिटियन और तिरछा-हर्मिटियन केस दोनों ही जब कुछ नया लेकर आते हैं $H$ माना जाता है, इसलिए इन मामलों पर अलग से विचार किया जाता है।

जीएल (एन, एच) और एसएल (एन, एच)
उपरोक्त पहचान के तहत,
 * $$\mathrm{GL}(n, \mathbb{H}) = \{g \in \mathrm{GL}(2n, \mathbb{C})|Jg = \overline{g}J, \mathrm{det}\quad g \ne 0\} \equiv \mathrm{U}^*(2n).$$

यह झूठ बीजगणित है $q = x + jy$ मैपिंग की छवि में सभी मैट्रिसेस का सेट है Mn(H) ↔ M2n(C)}ऊपर का},
 * $$\mathfrak{gl}(n, \mathbb{H}) = \left\{\left .\left(\begin{matrix}X & -\overline{Y}\\Y & \overline{X}\end{matrix}\right)\right|X, Y \in \mathfrak{gl}(n, \mathbb{C})\right\} \equiv \mathfrak{u}^*(2n).$$

क्वाटरनियोनिक विशेष रैखिक समूह द्वारा दिया गया है
 * $$\mathrm{SL}(n, \mathbb{H}) = \{g \in \mathrm{GL}(n, \mathbb{H})|\mathrm{det}\ g = 1\} \equiv \mathrm{SU}^*(2n),$$

जहां निर्धारक को मेट्रिसेस में लिया जाता है $(x, y)^{T}$. वैकल्पिक रूप से, इसे डाययूडोने निर्धारक के कर्नेल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\mathrm{GL}(n, \mathbb{H}) \rightarrow \mathbb H^*/[\mathbb H^*, \mathbb H^*] \simeq \mathbb{R}_{> 0}^*$$. झूठ बीजगणित है
 * $$\mathfrak{sl}(n, \mathbb{H}) = \left\{\left .\left(\begin{matrix}X & -\overline{Y}\\Y & \overline{X}\end{matrix}\right)\right|Re(\operatorname{Tr}X) = 0\right\} \equiv \mathfrak{su}^*(2n).$$

Sp(p, q) - चतुष्कोणीय एकात्मक समूह
जैसा कि ऊपर जटिल स्थिति में, सामान्य रूप है
 * $$\varphi(x, y) = \pm \bar{\xi_1}\eta_1 \pm \bar{\xi_2}\eta_2 \cdots \pm \bar{\xi_n}\eta_n$$

और प्लस-साइन की संख्या आधार से स्वतंत्र है। कब $α\overline{α} + β\overline{β} = 1 = det Q$ इस फॉर्म के साथ, $SU(2)$. संकेतन का कारण यह है कि उपसमूह के रूप में उपरोक्त नुस्खे का उपयोग करके समूह का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $n×n$ हस्ताक्षर के एक जटिल-हर्मिटियन रूप को संरक्षित करना $2n×2n$ अगर $n$ या $α_{i}$ समूह को दर्शाया गया है $n$. इसे कभी-कभी अतिसक्रिय समूह कहा जाता है।

चतुर्धातुक संकेतन में,
 * $$\Phi = \begin{pmatrix} I_p & 0 \\ 0 & -I_q \end{pmatrix} = I_{p,q}$$

जिसका अर्थ है कि फॉर्म के क्वाटरनियोनिक मैट्रिसेस

संतुष्ट करेगा
 * $$\Phi^{-1}\mathcal{Q}^*\Phi = -\mathcal{Q},$$

के बारे में अनुभाग देखें $β_{i}$. चतुर्धातुक मैट्रिक्स गुणन से निपटने के दौरान सावधानी बरतने की आवश्यकता है, किंतु केवल यहाँ $n×n$ और $2n×2n$ शामिल हैं और ये हर चतुष्कोणीय मैट्रिक्स के साथ आवागमन करते हैं। अब नुस्खा लागू करें ($$) प्रत्येक ब्लॉक के लिए,

\mathcal{X} = \begin{pmatrix} X_{1 (p \times p)} & -\overline{X}_2 \\ X_2 & \overline{X}_1 \end{pmatrix}, \quad \mathcal{Y} = \begin{pmatrix} Y_{1 (q \times q)} & -\overline{Y}_2 \\ Y_2 & \overline{Y}_1 \end{pmatrix}, \quad \mathcal{Z} = \begin{pmatrix} Z_{1 (p \times q)} & -\overline{Z}_2 \\ Z_2 & \overline{Z}_1 \end{pmatrix}, $$ और संबंधों में ($$) संतुष्ट हो जाएगा अगर
 * $$X_1^* = -X_1, \quad Y_1^* = -Y_1.$$

झूठ बीजगणित बन जाता है

\mathfrak{sp}(p, q) = \left\{\left. \begin{pmatrix} \begin{bmatrix} X_{1 (p \times p)} & -\overline{X}_2 \\ X_2 & \overline{X}_1 \end{bmatrix} & \begin{bmatrix} Z_{1 (p \times q)} & -\overline{Z}_2 \\ Z_2 & \overline{Z}_1 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} Z_{1 (p \times q)} & -\overline{Z}_2 \\ Z_2 & \overline{Z}_1 \end{bmatrix}^* & \begin{bmatrix} Y_{1 (q \times q)} & -\overline{Y}_2 \\ Y_2 & \overline{Y}_1 \end{bmatrix} \end{pmatrix} \right| X_1^* = -X_1,\quad Y_1^* = -Y_1 \right\}. $$ समूह द्वारा दिया गया है

\mathrm{Sp}(p, q) = \left\{g \in \mathrm{GL}( n, \mathbb{H}) \mid I_{p,q}^{-1} g^* I_{p,q}g = I_{p + q}\right\} = \left\{g \in \mathrm{GL}(2n, \mathbb{C}) \mid K_{p,q}^{-1} g^* K_{p,q}g = I_{2(p + q)},\quad K = \operatorname{diag}\left(I_{p,q}, I_{p,q}\right)\right\}. $$ के सामान्य रूप में लौट रहा है $n×n$ के लिए $T ∈ GL(2n, C)$, प्रतिस्थापन करें $J_{n}\overline{T} = TJ_{n}$ और $M_{n}(H) ⊂ M_{2n}(C)$ साथ $M_{2n}(C)$. तब

\varphi(w, z) = \begin{bmatrix} u^* & v^* \end{bmatrix}K_{p, q}\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} + j\begin{bmatrix} u & -v \end{bmatrix}K_{p, q}\begin{bmatrix} y \\ x \end{bmatrix} = \varphi_1(w, z) + \mathbf{j}\varphi_2(w, z), \quad K_{p, q} = \mathrm{diag}\left(I_{p, q}, I_{p, q}\right) $$ एक के रूप में देखा गया $i$-मूल्यवान रूप पर $M_{n}(H)$. इस प्रकार के तत्व $M_{2n}(C)$, के रैखिक परिवर्तनों के रूप में देखा गया $i$, हर्मिटियन प्रकार के हस्ताक्षर दोनों को सुरक्षित रखें $M_{2n}(C)$ और एक गैर-पतित तिरछा-सममित रूप। दोनों रूप विशुद्ध रूप से जटिल मान लेते हैं और के पूर्ववर्ती के कारण $i(X + jY) = (iX) + j(−iY)$ दूसरे रूप में, वे अलग से संरक्षित हैं। इस का मतलब है कि
 * $$\mathrm{Sp}(p, q) = \mathrm{U}\left(\mathbb{C}^{2n}, \varphi_1\right) \cap \mathrm{Sp}\left(\mathbb{C}^{2n}, \varphi_2\right)$$

और यह समूह के नाम और अंकन दोनों की व्याख्या करता है।

द∗(2n) = O(n, H)- क्वाटरनियोनिक ऑर्थोगोनल ग्रुप
तिरछा-हर्मिटियन रूप के लिए सामान्य रूप किसके द्वारा दिया जाता है
 * $$\varphi(x, y) = \bar{\xi_1}\mathbf{j}\eta_1 + \bar{\xi_2}\mathbf{j}\eta_2 \cdots + \bar{\xi_n}\mathbf{j}\eta_n,$$

कहाँ $X$ ऑर्डर की गई सूची में तीसरा आधार चतुर्धातुक है $Y$. इस स्थिति में, $M_{2n}(C)$ उपसमूह के रूप में ऊपर के जटिल मैट्रिक्स एन्कोडिंग का उपयोग करके महसूस किया जा सकता है $n$ जो हस्ताक्षर के एक गैर-पतित जटिल तिरछा-हर्मिटियन रूप को संरक्षित करता है $M_{n}(H)$. सामान्य रूप से कोई देखता है कि चतुष्कोणीय संकेतन में
 * $$\Phi =

\left(\begin{smallmatrix}   \mathbf{j} & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & \mathbf{j} & \cdots & \vdots \\    \vdots & & \ddots & & \\ 0 & \cdots & 0 & \mathbf{j}  \end{smallmatrix}\right) \equiv \mathrm{j}_n $$ और से ($$) उसका अनुसरण करता है

के लिए $M_{2n}(C)$. अब डालो
 * $$V = X + \mathbf{j}Y \leftrightarrow \left(\begin{matrix} X & -\overline{Y}\\Y & \overline{X} \end{matrix}\right)$$

नुस्खे के अनुसार ($$). एक ही नुस्खे के लिए पैदावार $g ↦ AgA^{−1}, g ∈ GL(2n, C)$,
 * $$\Phi \leftrightarrow \left(\begin{matrix} 0 & -I_n \\ I_n & 0 \end{matrix}\right) \equiv J_{n}.$$

अब अंतिम नियम में ($$) जटिल संकेतन में पढ़ता है

\left(\begin{matrix} X & -\overline{Y} \\ Y & \overline{X} \end{matrix}\right)^* = \left(\begin{matrix} 0 & -I_n \\ I_n & 0 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} X & -\overline{Y} \\ Y & \overline{X} \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0 & -I_n \\ I_n & 0 \end{matrix}\right) \Leftrightarrow X^\mathrm{T} = -X, \quad \overline{Y}^\mathrm{T} = Y. $$ झूठ बीजगणित बन जाता है
 * $$\mathfrak{o}^*(2n) = \left\{\left. \left(\begin{matrix} X & -\overline{Y} \\ Y & \overline{X} \end{matrix}\right)\right| X^\mathrm{T} = -X, \quad \overline{Y}^\mathrm{T} = Y\right\},$$

और समूह द्वारा दिया गया है

\mathrm{O}^*(2n) = \left\{g \in \mathrm{GL}(n, \mathbb{H}) \mid \mathrm{j}_n^{-1}g^*\mathrm{j}_n g = I_n\right\} = \left\{g \in \mathrm{GL}(2n, \mathbb{C}) \mid J_{n}^{-1}g^* J_n g = I_{2n}\right\}. $$ समूह $A ∈ O(2n, C)$ के रूप में वर्णित किया जा सकता है
 * $$\mathrm{O}^*(2n) = \left\{g \in \mathrm{O}(2n, \mathbb{C}) \mid \theta\left(\overline{g}\right) = g\right\},$$

जहां नक्शा $SL(n, H)$ द्वारा परिभाषित किया गया है $SU^{∗}(2n)$.

साथ ही, समूह का निर्धारण करने वाले फॉर्म को एक के रूप में देखा जा सकता है $C$-मूल्यवान रूप पर $H$. प्रतिस्थापन करें $gl(n, H)$ और $C^{2n}$ प्रपत्र के लिए अभिव्यक्ति में। तब
 * $$\varphi(x, y) = \overline{w}_2 I_n z_1 - \overline{w}_1 I_n z_2 + \mathbf{j}(w_1 I_n z_1 + w_2 I_n z_2) = \overline{\varphi_1(w, z)} + \mathbf{j}\varphi_2(w, z).$$ फार्म $V = H^{n}$ हस्ताक्षर का हर्मिटियन है (जबकि बाईं ओर का पहला रूप तिरछा-हर्मिटियन है)। $Sp(φ) = Sp(p, q)$. हस्ताक्षर से आधार के परिवर्तन से स्पष्ट किया जाता है $Sp(n, C)$ को $(2p, 2q)$ कहाँ $p$ प्रथम और अंतिम हैं $q = 0$ आधार वैक्टर क्रमशः। दूसरा रूप, $U(n, H)$ सममित सकारात्मक निश्चित है। इस प्रकार, कारक के कारण $u(p, q)$, $I$ दोनों को अलग-अलग संरक्षित करता है और यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि
 * $$\mathrm{O}^*(2n) = \mathrm{O}(2n, \mathbb{C}) \cap \mathrm{U}\left(\mathbb{C}^{2n}, \varphi_1\right),$$

और अंकन ओ समझाया गया है।

सामान्य क्षेत्रों या बीजगणित पर मौलिक समूह
मौलिक समूह, अधिक व्यापक रूप से बीजगणित में माने जाते हैं, विशेष रूप से दिलचस्प मैट्रिक्स समूह प्रदान करते हैं। जब मैट्रिक्स समूह के गुणांकों का क्षेत्र (गणित) F या तो वास्तविक संख्या या सम्मिश्र संख्या है, तो ये समूह केवल मौलिक लाई समूह होते हैं। जब जमीनी क्षेत्र एक परिमित क्षेत्र होता है, तो मौलिक समूह लाई प्रकार के समूह होते हैं। ये समूह परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। साथ ही, कोई मौलिक समूहों को एफ पर एकात्मक सहयोगी बीजगणित आर पर विचार कर सकता है; जहाँ R = quaternion|'H' (वास्तविकता पर एक बीजगणित) एक महत्वपूर्ण स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है। व्यापकता के लिए लेख में R से ऊपर के समूहों का उल्लेख किया जाएगा, जहाँ R स्वयं ग्राउंड फ़ील्ड F हो सकता है।

उनके अमूर्त समूह सिद्धांत को ध्यान में रखते हुए, कई रेखीय समूहों में एक 'विशेष' उपसमूह होता है, जिसमें आम तौर पर ग्राउंड फील्ड पर निर्धारक 1 के तत्व शामिल होते हैं, और उनमें से अधिकतर 'प्रक्षेपी' भागफल से जुड़े होते हैं, जो समूह के केंद्र द्वारा भागफल होते हैं।. विशेषता 2 एस में ऑर्थोगोनल समूहों के लिए एक अलग अर्थ है।

समूह के नाम के सामने 'सामान्य' शब्द का सामान्यतः मतलब होता है कि समूह को स्थिर छोड़ने के बजाय किसी प्रकार के रूप को स्थिरांक से गुणा करने की अनुमति है। सबस्क्रिप्ट एन सामान्यतः मॉड्यूल (बीजगणित) के आयाम को इंगित करता है जिस पर समूह कार्य कर रहा है; यदि R = F है तो यह एक सदिश स्थान है। कैविएट: यह संकेतन Dynkin आरेखों के n के साथ कुछ हद तक टकराता है, जो रैंक है।

सामान्य और विशेष रैखिक समूह
सामान्य रैखिक समूह जीएलn(आर) आर के सभी आर-रैखिक ऑटोमोर्फिज्म का समूह हैएन. एक उपसमूह है: विशेष रैखिक समूह एसएलn(आर), और उनके भागफल: प्रक्षेपी सामान्य रैखिक समूह पीजीएलn(र) = गलn(आर) / जेड (जीएलn(आर)) और प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह पीएसएलn(आर) = एसएलn(आर) / जेड (एसएलn(आर))। प्रोजेक्टिव स्पेशल लीनियर ग्रुप PSLn(एफ) एक फ़ील्ड पर एफ एन ≥ 2 के लिए सरल है, दो मामलों को छोड़कर जब एन = 2 और फ़ील्ड में आदेश है 2 या 3।

एकात्मक समूह
एकात्मक समूह यूn(आर) एक मॉड्यूल पर एक सेस्क्विलिनियर फॉर्म को संरक्षित करने वाला एक समूह है। एक उपसमूह है, विशेष एकात्मक समूह एसयूn(आर) और उनके भागफल प्रक्षेपी एकात्मक समूह पीयूn(आर) = यूn(आर) / जेड (यूn(आर)) और अनुमानित विशेष एकात्मक समूह पीएसयूn(आर) = उसकाn(आर) / जेड (एसयूn(आर))

सहानुभूतिपूर्ण समूह
सहानुभूति समूह सपा2n(आर) एक मॉड्यूल पर तिरछा सममित रूप रखता है। इसका एक भागफल है, प्रक्षेपी सहानुभूतिपूर्ण समूह PSP2n(आर)। सामान्य सहानुभूति समूह जीएसपी2n(आर) कुछ उलटा स्केलर द्वारा एक तिरछा सममित रूप को गुणा करने वाले मॉड्यूल के ऑटोमोर्फिज्म होते हैं। प्रक्षेपी सहानुभूतिपूर्ण समूह PSP2n(एफq) पीएसपी के मामलों को छोड़कर, एक परिमित क्षेत्र पर एन ≥ 1 के लिए सरल है2 दो और तीन तत्वों के क्षेत्र में।

ऑर्थोगोनल समूह
ऑर्थोगोनल ग्रुप ओn(आर) एक मॉड्यूल पर एक गैर-पतित द्विघात रूप को संरक्षित करता है। एक उपसमूह है, विशेष लांबिक समूह SOn(आर) और भागफल, प्रक्षेपी ओर्थोगोनल समूह  पीओn(आर), और  प्रक्षेपी विशेष ओर्थोगोनल समूह  पीएसओn(आर)। विशेषता 2 में निर्धारक हमेशा 1 होता है, इसलिए विशेष ऑर्थोगोनल समूह को अक्सर ऑर्थोगोनल समूह 1 के तत्वों के उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जाता है।

एक अनाम समूह होता है जिसे अक्सर Ω द्वारा निरूपित किया जाता हैn(आर) स्पिनर मानदंड 1 के तत्वों के ऑर्थोगोनल समूह के तत्वों से मिलकर, इसी उपसमूह और भागफल समूहों SΩ के साथn(आर), पीओn(आर), पी.एस.ओn(आर)। (वास्तविक से अधिक सकारात्मक निश्चित द्विघात रूपों के लिए, समूह Ω ऑर्थोगोनल समूह के समान होता है, किंतु सामान्य तौर पर यह छोटा होता है।) Ω का दोहरा आवरण भी होता हैn(आर), पिन समूह पिन कहा जाता हैn(आर), और इसका एक उपसमूह है जिसे स्पिन समूह स्पिन कहा जाता हैn(आर)। सामान्य ओर्थोगोनल समूह GOn(आर) कुछ उलटा स्केलर द्वारा द्विघात रूप को गुणा करने वाले मॉड्यूल के ऑटोमोर्फिज्म होते हैं।

असाधारण झूठ समूहों के साथ तुलना
मौलिक झूठ समूहों के विपरीत असाधारण झूठ समूह हैं, जी2, एफ4,  और6,  और7,  और8, जो अपने सार गुणों को साझा करते हैं, किंतु उनकी परिचितता को नहीं। इन्हें केवल 1890 के आसपास  विल्हेम हत्या  और एली कार्टन द्वारा जटिल संख्याओं पर सरल लाई बीजगणित के वर्गीकरण में खोजा गया था।

संदर्भ

 * E. Artin (1957) Geometric Algebra, chapters III, IV, & V via Internet Archive