कम्पैनियन आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, मोनिक बहुपद का फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस साथी मैट्रिक्स

p(t)=c_0 + c_1 t + \cdots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n ~, $$ वर्ग मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$C(p)=\begin{bmatrix}

0 & 0 & \dots & 0 & -c_0 \\ 1 & 0 & \dots & 0 & -c_1 \\ 0 & 1 & \dots & 0 & -c_2 \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & \dots & 1 & -c_{n-1} \end{bmatrix}$$.

कुछ लेखक इस मैट्रिक्स के खिसकाना  का उपयोग करते हैं, जो (दोहरी) चक्र समन्वय करता है, और कुछ उद्देश्यों के लिए अधिक सुविधाजनक है, जैसे रैखिक पुनरावृत्ति संबंध।

विशेषता
विशेषता बहुपद और साथ ही न्यूनतम बहुपद (रैखिक बीजगणित)। $C(p)$ के बराबर हैं $p$. इस अर्थ में, मैट्रिक्स $C(p)$ बहुपद का सहचर है $p$.

अगर $A$ कुछ फ़ील्ड (गणित) से प्रविष्टियों के साथ एक एन-बाय-एन मैट्रिक्स है $K$, तब निम्नलिखित कथन समतुल्य हैं:
 * $A$ साथी मैट्रिक्स के समान (रैखिक बीजगणित) है $K$इसके अभिलक्षणिक बहुपद का
 * की विशेषता बहुपद $A$ के न्यूनतम बहुपद से मेल खाता है $A$, समकक्ष न्यूनतम बहुपद की डिग्री होती है $n$
 * एक चक्रीय क्रमपरिवर्तन मौजूद है $v$ में $$V=K^n$$ के लिए $A$, जिसका अर्थ है कि {v, Av, A2v, ..., एn−1'v'} V का एक आधार (रैखिक बीजगणित) है। समान रूप से, जैसे कि V चक्रीय मॉड्यूल है $$K[A]$$-मॉड्यूल (और $$V \cong K[X]/(p(x))$$); एक ऐसा कहता है $A$ गैर-अपमानजनक है.

प्रत्येक वर्ग मैट्रिक्स एक साथी मैट्रिक्स के समान नहीं है। लेकिन हर वर्ग मैट्रिक्स $A$ साथी मैट्रिक्स के ब्लॉक से बने मैट्रिक्स के समान है। यदि हम यह भी मांग करते हैं कि ये बहुपद एक-दूसरे को विभाजित करते हैं, तो वे विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं $A$. विवरण के लिए, फ्रोबेनियस सामान्य रूप देखें।

विकर्णीयता
अगर $p(t)$ की अलग-अलग जड़ें हैं $λ_{1}, ..., λ_{n}$ (C(p) का eigenvalues), तो C(p) निम्नानुसार विकर्णीय है:
 * $$V C(p) V^{-1} = \operatorname{diag}(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$$

कहाँ $V$ के अनुरूप वेंडरमोंडे मैट्रिक्स है $λ$'एस।

उस मामले में, शक्तियों के निशान एम $C$ p(t) के सभी मूलों की समान घात m का योग आसानी से प्राप्त करें,
 * $$\operatorname{Tr} C^m = \sum_{i=1}^n \lambda_i^m ~. $$

अगर $p(t)$ में एक गैर-सरल जड़ है, तो C(p) विकर्णीय नहीं है (इसके जॉर्डन विहित रूप में प्रत्येक विशिष्ट जड़ के लिए एक ब्लॉक होता है)।

रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम
विशेषता बहुपद के साथ एक रैखिक पुनरावर्ती अनुक्रम दिया गया है
 * $$p(t)=c_0 + c_1 t + \cdots + c_{n-1}t^{n-1} + t^n \, $$

(ट्रांसपोज़) साथी मैट्रिक्स
 * $$C^T(p)=\begin{bmatrix}

0 & 1 & 0 & \cdots & 0\\ 0 & 0 & 1 & \cdots & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots & 1\\ -c_0 & -c_1 & -c_2 & \cdots & -c_{n-1} \end{bmatrix}$$ अनुक्रम उत्पन्न करता है, इस अर्थ में
 * $$C^T\begin{bmatrix}a_k\\

a_{k+1}\\ \vdots \\ a_{k+n-1} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix}a_{k+1}\\ a_{k+2}\\ \vdots \\ a_{k+n} \end{bmatrix}.$$ श्रृंखला को 1 से बढ़ाता है।

सदिश $(1,t,t^{2}, ..., t^{n-1})$ eigenvalue के लिए इस मैट्रिक्स का एक eigenvector है $t$, कब $t$ विशेषता बहुपद का मूल है  $p(t)$.

के लिए $c_{0} = −1$, और अन्य सभी $c_{i}=0$, अर्थात।, $p(t) = t^{n}−1$, यह मैट्रिक्स सिल्वेस्टर के चक्रीय सामान्यीकरण_ऑफ_पॉली_मैट्रिसेस#निर्माण:_द_क्लॉक_एंड_शिफ्ट_मैट्रिसेस, या मैट्रिक्स का चक्कर लगाना को कम कर देता है।

रैखिक ODE से रैखिक ODE प्रणाली तक
पहले सामान्य रूप में एक सजातीय प्रणाली पर विचार करें।

क्रम का एक रैखिक ODE $n$ अदिश फलन के लिए $y$

y^{(n)} + c_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + c_{1}y^{(1)} + c_0 y = 0 $$ इसे वेक्टर फ़ंक्शन के लिए क्रम 1 की युग्मित रैखिक ODE प्रणाली के रूप में वर्णित किया जा सकता है $z = (y, y^{(1)}, ..., y^{(n-1)})^{T}$

z^{(1)} = C(p)^T z $$ कहाँ $C(p)^{T}$ मोनिक बहुपद के लिए साथी मैट्रिक्स का स्थानान्तरण है $p(t) = c_{0} + c_{1} t + ... + c_{n-1}t^{n-1} + t^{n}$.

ODE में गुणांक निर्धारित करना ${c_{i}}_{i=0}^{n-1}|undefined$ केवल अदिश मान ही नहीं बल्कि स्वतंत्र चर के फलन भी हो सकते हैं।

सिस्टम सामान्य रूप से युग्मित है क्योंकि $z^{(1)}_{n}$ न केवल पर निर्भर करता है $z_{n}$. अगर $C(p)$ उलटा है तो कंपेनियन मैट्रिक्स#डायगोनलिज़ेबिलिटी पर अनुभाग में वर्णित अनुसार समन्वय परिवर्तन करके इसे अलग करना संभव है।

अमानवीय मामले के लिए

y^{(n)} + c_{n-1}y^{(n-1)} + \dots + c_{1}y^{(1)} + c_0 y = f(x) $$ असमरूपता पद प्रपत्र का एक सदिश फलन बन जाएगा $F(x)= (0, ..., 0, f(x))^{T}$

z^{(1)} = C(p)^T z + F(x) $$.

यह भी देखें

 * फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म
 * केली-हैमिल्टन प्रमेय
 * क्रायलोव उपस्थान

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