अतियथार्थवादी संख्या

गणित में, अतिवास्तविक संख्याओं की प्रणाली अनंत और अतिसूक्ष्म (असीम रूप से छोटी लेकिन गैर-शून्य) मात्राओं के उपचार की एक विधि है। हाइपररियल, या गैरमानक रियल, *R, वास्तविक संख्या आर का एक फ़ील्ड विस्तार है जिसमें फॉर्म $$1 + 1 + \cdots + 1 $$ (किसी भी सीमित संख्या के लिए) की किसी भी चीज़ से अधिक संख्याएं शामिल हैं।

ऐसी संख्याएँ अनंत होती हैं, और उनके गुणनात्मक व्युत्क्रम अनंतिमल होते हैं। हाइपर-रियल शब्द 1948 में एडविन हेविट द्वारा पेश किया गया था।

अतिवास्तविक संख्याएं स्थानांतरण सिद्धांत को संतुष्ट करती हैं, जो गॉटफ्राइड विल्हेम लीबनिज|लीबनिज के निरंतरता के अनुमानी नियम का एक कठोर संस्करण है। स्थानांतरण सिद्धांत बताता है कि आर के बारे में सही प्रथम-क्रम तर्क *आर में भी मान्य हैं। उदाहरण के लिए, जोड़ का क्रमविनिमेय नियम, x&thinsp;+&thinsp;y = y&thinsp;+&thinsp;x, अतियथार्थवाद के लिए वैसा ही है जैसा यह यथार्थ के लिए है; चूँकि R एक वास्तविक बंद क्षेत्र है, इसलिए *R भी है। तब से $$\sin({\pi n})=0$$ सभी पूर्णांकों n के लिए, एक भी है $$\sin({\pi H})=0$$ सभी हाइपरइंटेगर के लिए $$H$$. अल्ट्रापावर के लिए स्थानांतरण सिद्धांत 1955 के Łoś' प्रमेय का परिणाम है।

इनफिनिटिमल्स से जुड़े तर्कों की सुदृढ़ता के बारे में चिंताएं प्राचीन यूनानी गणित से जुड़ी हैं, आर्किमिडीज़ ने थकावट की विधि जैसी अन्य तकनीकों का उपयोग करके ऐसे प्रमाणों को प्रतिस्थापित किया था। 1960 के दशक में, अब्राहम रॉबिन्सन ने साबित किया कि हाइपररियल तार्किक रूप से सुसंगत थे यदि और केवल यदि वास्तविक थे। इसने इस डर को शांत कर दिया कि अति सूक्ष्म जीवों से जुड़ा कोई भी प्रमाण निराधार हो सकता है, बशर्ते कि उन्हें रॉबिन्सन द्वारा चित्रित तार्किक नियमों के अनुसार हेरफेर किया गया हो।

हाइपररियल संख्याओं के अनुप्रयोग और विशेष रूप से गणितीय विश्लेषण की समस्याओं के स्थानांतरण सिद्धांत को गैरमानक विश्लेषण कहा जाता है। एक तत्काल अनुप्रयोग कई क्वांटिफायरों की तार्किक जटिलताओं से गुज़रे बिना, सीधे फैशन में व्युत्पन्न और अभिन्न जैसे विश्लेषण की बुनियादी अवधारणाओं की परिभाषा है। इस प्रकार, f(x) का अवकलज बन जाता है $$f'(x) = \operatorname{st}\left( \frac{f(x + \Delta x) - f(x)}{\Delta x} \right)$$ एक अतिसूक्ष्म के लिए $$\Delta x$$, जहां st(·) मानक भाग फ़ंक्शन को दर्शाता है, जो प्रत्येक परिमित हाइपररियल को निकटतम वास्तविक में पूर्णांकित करता है। इसी प्रकार, अभिन्न को उपयुक्त अनंत योग के मानक भाग के रूप में परिभाषित किया गया है।

स्थानांतरण सिद्धांत
हाइपररियल सिस्टम का विचार वास्तविक संख्याओं R का विस्तार करके एक सिस्टम *R बनाना है जिसमें अनंत और अनंत संख्याएं शामिल हैं, लेकिन बीजगणित के किसी भी प्रारंभिक सिद्धांत को बदले बिना। किसी भी संख्या x ... के लिए फॉर्म का कोई भी कथन जो वास्तविक के लिए सत्य है, हाइपररियल के लिए भी सत्य है। उदाहरण के लिए, वह सिद्धांत जो किसी भी संख्या x, x + 0 = x के लिए कहता है, अभी भी लागू होता है। यही बात कई संख्याओं के परिमाणीकरण (तर्क) के लिए भी सच है, उदाहरण के लिए, किसी भी संख्या x और y, xy = yx के लिए। कथनों को वास्तविक से अतिवास्तविक तक ले जाने की इस क्षमता को स्थानांतरण सिद्धांत कहा जाता है। हालाँकि, संख्या S के किसी भी सेट के लिए फॉर्म का विवरण आगे नहीं बढ़ाया जा सकता है। वास्तविक और हाइपररियल के बीच अंतर करने वाले एकमात्र गुण वे हैं जो सेट (गणित), या अन्य उच्च-स्तरीय संरचनाओं जैसे कार्यों और संबंधों पर परिमाणीकरण पर निर्भर करते हैं, जो आम तौर पर सेट से निर्मित होते हैं। प्रत्येक वास्तविक सेट, फ़ंक्शन और संबंध का अपना प्राकृतिक हाइपररियल विस्तार होता है, जो समान प्रथम-क्रम गुणों को संतुष्ट करता है। जिस प्रकार के तार्किक वाक्य परिमाणीकरण पर इस प्रतिबंध का पालन करते हैं, उन्हें प्रथम-क्रम तर्क में कथन कहा जाता है।

हालाँकि, स्थानांतरण सिद्धांत का मतलब यह नहीं है कि R और *R का व्यवहार समान है। उदाहरण के लिए, *R में एक तत्व ω मौजूद है


 * $$ 1<\omega, \quad 1+1<\omega, \quad 1+1+1<\omega, \quad 1+1+1+1<\omega, \ldots. $$

लेकिन आर में ऐसी कोई संख्या नहीं है। (दूसरे शब्दों में, *आर आर्किमिडीयन संपत्ति नहीं है।) यह संभव है क्योंकि ω की गैर-मौजूदगी को प्रथम-क्रम कथन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

विश्लेषण में उपयोग
गैर-वास्तविक मात्राओं के लिए अनौपचारिक नोटेशन ऐतिहासिक रूप से दो संदर्भों में कैलकुलस में दिखाई देते हैं: इनफिनिटिमल्स के रूप में, जैसे dx, और प्रतीक ∞ के रूप में, उदाहरण के लिए, अनुचित इंटीग्रल्स के एकीकरण की सीमाओं में उपयोग किया जाता है।

स्थानांतरण सिद्धांत के एक उदाहरण के रूप में, यह कथन कि किसी भी गैर-शून्य संख्या x के लिए, 2x ≠ x, वास्तविक संख्याओं के लिए सत्य है, और यह स्थानांतरण सिद्धांत द्वारा आवश्यक रूप में है, इसलिए यह अतिवास्तविक संख्याओं के लिए भी सत्य है। इससे पता चलता है कि हाइपररियल सिस्टम में सभी अनंत मात्राओं के लिए ∞ जैसे सामान्य प्रतीक का उपयोग करना संभव नहीं है; अनंत मात्राएँ अन्य अनंत मात्राओं से परिमाण में भिन्न होती हैं, और अतिसूक्ष्म राशियाँ अन्य अनन्त मात्राओं से भिन्न होती हैं।

इसी प्रकार, 1/0 = ∞ का आकस्मिक उपयोग अमान्य है, क्योंकि स्थानांतरण सिद्धांत इस कथन पर लागू होता है कि शून्य में कोई गुणात्मक व्युत्क्रम नहीं होता है। ऐसी गणना का कठोर प्रतिरूप यह होगा कि यदि ε एक गैर-शून्य अतिसूक्ष्म है, तो 1/ε अनंत है।

किसी भी परिमित अतिवास्तविक संख्या x के लिए, मानक भाग, st(x), को x के अद्वितीय निकटतम वास्तविक संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है; यह आवश्यक रूप से x से केवल अपरिमित रूप से भिन्न है। मानक भाग फ़ंक्शन को अनंत हाइपररियल संख्याओं के लिए निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है: यदि x एक सकारात्मक अनंत हाइपररियल संख्या है, तो st(x) को विस्तारित वास्तविक संख्या के रूप में सेट करें $$+\infty$$, और इसी तरह, यदि x एक ऋणात्मक अनंत हाइपररियल संख्या है, तो st(x) को सेट करें $$-\infty$$ (विचार यह है कि एक अनंत हाइपररियल संख्या वास्तविक निरपेक्ष अनंत से छोटी होनी चाहिए लेकिन किसी भी वास्तविक संख्या की तुलना में इसके करीब होनी चाहिए)।

भेदभाव
हाइपररियल संख्या प्रणाली के प्रमुख उपयोगों में से एक अंतर ऑपरेटर डी को सटीक अर्थ देना है जैसा कि लीबनिज ने व्युत्पन्न और अभिन्न को परिभाषित करने के लिए उपयोग किया था।

किसी भी वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के लिए $$f,$$ अंतर $$df$$ इसे एक मानचित्र के रूप में परिभाषित किया गया है जो प्रत्येक ऑर्डर किए गए जोड़े को भेजता है $$(x,dx)$$ (कहाँ $$x$$ वास्तविक है और $$dx$$ एक अशून्य अतिसूक्ष्म है) से एक अतिसूक्ष्म तक


 * $$df(x,dx) := \operatorname{st}\left(\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx}\right) \ dx.$$

ध्यान दें कि बहुत ही संकेतन$$dx$$किसी भी अतिसूक्ष्म को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाने वाला ऑपरेटर की उपरोक्त परिभाषा के अनुरूप है $$d,$$ क्योंकि यदि कोई व्याख्या करता है $$x$$ (जैसा कि आमतौर पर किया जाता है) कार्य होना $$f(x)=x,$$ फिर हर एक के लिए $$(x,dx)$$ अंतर $$d(x)$$ अतिसूक्ष्म के बराबर होगा $$dx$$.

एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य $$f$$ एक बिंदु पर अवकलनीय कहा जाता है $$x$$ यदि भागफल


 * $$\frac{df(x,dx)}{dx}=\operatorname{st}\left(\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx}\right)$$

सभी अशून्य अनन्तिमलों के लिए समान है $$dx.$$ यदि हां, तो इस भागफल को व्युत्पन्न कहा जाता है $$f$$ पर $$x$$.

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन (गणित) का व्युत्पन्न खोजने के लिए $$f(x)=x^2$$, होने देना $$dx$$ एक गैर-शून्य अतिसूक्ष्म बनें। तब,



व्युत्पन्न की परिभाषा में मानक भाग का उपयोग वर्ग की उपेक्षा की पारंपरिक प्रथा का एक कठोर विकल्प है एक अतिसूक्ष्म मात्रा का। दोहरी संख्याएँ इसी विचार पर आधारित एक संख्या प्रणाली है। उपरोक्त विभेदन की तीसरी पंक्ति के बाद, न्यूटन से लेकर 19वीं शताब्दी तक की विशिष्ट विधि बस dx को त्यागने की रही होगी2शब्द. अतिवास्तविक प्रणाली में, डीएक्स2 ≠ 0, चूँकि dx अशून्य है, और स्थानांतरण सिद्धांत को इस कथन पर लागू किया जा सकता है कि किसी भी अशून्य संख्या का वर्ग अशून्य है। हालाँकि, मात्रा dx2dx की तुलना में अत्यंत छोटा है; अर्थात्, अतिवास्तविक प्रणाली में अपरिमित मात्राओं का एक पदानुक्रम होता है।
 * $$\frac{df(x,dx)}{dx}$$
 * $$=\operatorname{st}\left(\frac{f(x + dx) - f(x)}{dx}\right)$$
 * $$=\operatorname{st}\left(\frac{x^2 + 2x \cdot dx + (dx)^2 -x^2}{dx}\right)$$
 * $$=\operatorname{st}\left(\frac{2x \cdot dx + (dx)^2}{dx}\right)$$
 * $$=\operatorname{st}\left(\frac{2x \cdot dx}{dx} + \frac{(dx)^2}{dx}\right)$$
 * $$=\operatorname{st}\left(2x + dx\right)$$
 * $$=2x$$
 * }
 * $$=\operatorname{st}\left(\frac{2x \cdot dx + (dx)^2}{dx}\right)$$
 * $$=\operatorname{st}\left(\frac{2x \cdot dx}{dx} + \frac{(dx)^2}{dx}\right)$$
 * $$=\operatorname{st}\left(2x + dx\right)$$
 * $$=2x$$
 * }
 * $$=\operatorname{st}\left(2x + dx\right)$$
 * $$=2x$$
 * }
 * $$=2x$$
 * }
 * $$=2x$$
 * }

एकीकरण
हाइपररियल संख्या प्रणाली का एक अन्य प्रमुख उपयोग निश्चित अभिन्न को परिभाषित करने के लिए लीबनिज द्वारा उपयोग किए गए अभिन्न चिह्न ∫ को सटीक अर्थ देना है।

किसी भी अतिसूक्ष्म फलन के लिए$$ \ \varepsilon(x), \ $$कोई अभिन्न को परिभाषित कर सकता है $$\int(\varepsilon) \ $$किसी भी ऑर्डर किए गए ट्रिपल को भेजने वाले मानचित्र के रूप में $$(a,b,dx)$$ (कहाँ$$ \ a \ $$और$$ \ b \ $$वास्तविक हैं, और$$ \ dx \ $$के समान चिह्न का अतिसूक्ष्म है $$ \, b-a$$) मूल्य के लिए


 * $$\int_a^b(\varepsilon,dx):=\operatorname{st}\left(\sum_{n=0}^N\varepsilon(a+n \ dx)\right),$$

कहाँ$$ \ N \ $$क्या कोई हाइपरइंटेजर संख्या संतोषजनक है?$$ \ \operatorname{st}(N \ dx) = b-a.$$ एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य $$f$$ फिर इसे एक बंद अंतराल पर समाकलनीय कहा जाता है$$ \ [a,b] \ $$यदि किसी अशून्य अतिसूक्ष्म के लिए$$ \ dx, \ $$अभिन्न


 * $$\int_a^b(f \ dx,dx)$$

की पसंद से स्वतंत्र है$$ \ dx.$$ यदि ऐसा है, तो इस समाकलन को निश्चित समाकलन (या प्रतिअवकलन) कहा जाता है $$f$$ पर$$ \ [a,b].$$ इससे पता चलता है कि हाइपररियल संख्याओं का उपयोग करते हुए, निश्चित अभिन्न अंग के लिए लीबनिज़ के अंकन को वास्तव में एक सार्थक बीजगणितीय अभिव्यक्ति के रूप में व्याख्या किया जा सकता है (जैसे कि व्युत्पन्न को एक सार्थक भागफल के रूप में व्याख्या किया जा सकता है)।

गुण
हाइपररियल्स *R एक ऑर्डर्ड फ़ील्ड बनाता है जिसमें फ़ील्ड एक्सटेंशन के रूप में रियल्स R शामिल होता है। वास्तविक के विपरीत, हाइपररियल एक मानक मीट्रिक स्थान नहीं बनाते हैं, लेकिन उनके क्रम के आधार पर वे एक ऑर्डर टोपोलॉजी रखते हैं।

हाइपररियल नंबर वाक्यांश में निश्चित लेख द का उपयोग कुछ हद तक भ्रामक है क्योंकि इसमें कोई अद्वितीय आदेशित फ़ील्ड नहीं है जिसे अधिकांश उपचारों में संदर्भित किया जाता है। हालाँकि, व्लादिमीर कनोवी और सहारों शेलाह द्वारा 2003 का एक पेपर दर्शाता है कि वास्तविक का एक निश्चित, गणनीय रूप से संतृप्त मॉडल (अर्थात् ω-संतृप्त लेकिन गणनीय सेट नहीं) प्राथमिक उपसंरचना है, जो इसलिए हाइपररियल संख्याओं के शीर्षक के लिए एक अच्छा दावा करता है। इसके अलावा, यदि कोई सातत्य परिकल्पना को मानता है, तो सभी वास्तविक अनुक्रमों के स्थान से अल्ट्रापावर निर्माण द्वारा प्राप्त क्षेत्र, समरूपता तक अद्वितीय है।

एक अतिवास्तविक क्षेत्र होने की स्थिति एक वास्तविक बंद क्षेत्र होने की तुलना में अधिक मजबूत होती है जिसमें सख्ती से 'आर' होता है। यह डेल्स और डब्लू ह्यू वुडिन के अर्थ में एक अतिवास्तविक क्षेत्र होने से भी अधिक मजबूत है।

विकास
हाइपररियल्स को स्वयंसिद्ध रूप से या अधिक रचनात्मक उन्मुख तरीकों से विकसित किया जा सकता है। स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण का सार यह दावा करना है (1) कम से कम एक अतिसूक्ष्म संख्या का अस्तित्व, और (2) स्थानांतरण सिद्धांत की वैधता। निम्नलिखित उपधारा में हम अधिक रचनात्मक दृष्टिकोण की विस्तृत रूपरेखा देते हैं। यह विधि किसी को अल्ट्राफिल्टर (सेट सिद्धांत) नामक सेट-सैद्धांतिक ऑब्जेक्ट दिए जाने पर हाइपररियल्स का निर्माण करने की अनुमति देती है, लेकिन अल्ट्राफिल्टर का स्पष्ट रूप से निर्माण नहीं किया जा सकता है।

लीबनिज से रॉबिन्सन तक
जब आइजैक न्यूटन और (अधिक स्पष्ट रूप से) गॉटफ्राइड लीबनिज ने अंतर पेश किया, तो उन्होंने इनफिनिटिमल्स का उपयोग किया और इन्हें बाद के गणितज्ञों जैसे लियोनहार्ड यूलर और ऑगस्टिन लुई कॉची द्वारा अभी भी उपयोगी माना गया। बहरहाल, इन अवधारणाओं को शुरू से ही संदिग्ध के रूप में देखा गया था, विशेषकर जॉर्ज बर्कले द्वारा। बर्कले की आलोचना इनफिनिटिमल्स (या फ्लक्सन) के संदर्भ में व्युत्पन्न की परिभाषा में परिकल्पना में कथित बदलाव पर केंद्रित है, जहां गणना की शुरुआत में डीएक्स को गैर-शून्य माना जाता है, और इसके निष्कर्ष पर गायब हो जाता है (देखें भूत मात्राओं का भूत) जानकारी के लिए)। जब 1800 के दशक में बर्नार्ड बोलजानो, कॉची, कार्ल वीयरस्ट्रैस और अन्य द्वारा (ε, δ)-सीमा की परिभाषा के विकास के माध्यम से कैलकुलस को एक मजबूत आधार पर रखा गया था, तो इनफिनिटिमल्स को बड़े पैमाने पर छोड़ दिया गया था, हालांकि गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्रों में अनुसंधान जारी रहा (एहरलिच 2006)।

हालाँकि, 1960 के दशक में अब्राहम रॉबिन्सन ने दिखाया कि कैसे असीम रूप से बड़ी और बहुत छोटी संख्याओं को कठोरता से परिभाषित किया जा सकता है और गैर-मानक विश्लेषण के क्षेत्र को विकसित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। रॉबिन्सन ने मॉडल सिद्धांत का उपयोग करते हुए अपना सिद्धांत Constructive_proof#Non-constructive_proofs विकसित किया; हालाँकि, केवल बीजगणित और टोपोलॉजी का उपयोग करके आगे बढ़ना और परिभाषाओं के परिणामस्वरूप स्थानांतरण सिद्धांत को साबित करना संभव है। दूसरे शब्दों में, गैर-मानक विश्लेषण में उनके उपयोग के अलावा, हाइपररियल संख्याओं का मॉडल सिद्धांत या प्रथम क्रम तर्क से कोई आवश्यक संबंध नहीं है, हालांकि उन्हें तर्क से मॉडल सैद्धांतिक तकनीकों के अनुप्रयोग द्वारा खोजा गया था। हाइपर-रियल फ़ील्ड वास्तव में मूल रूप से हेविट (1948) द्वारा एक अल्ट्रापावर निर्माण का उपयोग करके विशुद्ध रूप से बीजगणितीय तकनीकों द्वारा पेश किए गए थे।

अल्ट्रापावर निर्माण
हम वास्तविकताओं के अनुक्रमों के माध्यम से एक हाइपररियल फ़ील्ड का निर्माण करने जा रहे हैं। वास्तव में हम अनुक्रमों को घटकवार जोड़ और गुणा कर सकते हैं; उदाहरण के लिए:


 * $$ (a_0, a_1, a_2, \ldots) + (b_0, b_1, b_2, \ldots) = (a_0 +b_0, a_1+b_1, a_2+b_2, \ldots) $$

और गुणन के लिए अनुरूप रूप से। यह ऐसे अनुक्रमों के सेट को एक क्रमविनिमेय रिंग में बदल देता है, जो वास्तव में फ़ील्ड ए पर एक वास्तविक बीजगणित है। अनुक्रम (आर के साथ वास्तविक संख्या आर की पहचान करके हमारे पास ए में आर का प्राकृतिक एम्बेडिंग है) , आर, आर, ...) और यह पहचान वास्तविक के संबंधित बीजगणितीय संचालन को संरक्षित करती है। उदाहरण के लिए, सहज ज्ञान युक्त प्रेरणा एक अनुक्रम का उपयोग करके एक अनंत संख्या का प्रतिनिधित्व करना है जो शून्य तक पहुंचती है। ऐसे अनुक्रम का व्युत्क्रम एक अनंत संख्या का प्रतिनिधित्व करेगा। जैसा कि हम नीचे देखेंगे, ऐसे अनुक्रमों की तुलना करने के लिए नियमों को परिभाषित करने की आवश्यकता के कारण कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं, हालांकि अनिवार्य रूप से कुछ हद तक मनमाना, आत्मनिर्भर और अच्छी तरह से परिभाषित होना चाहिए। उदाहरण के लिए, हमारे पास दो अनुक्रम हो सकते हैं जो अपने पहले एन सदस्यों में भिन्न हैं, लेकिन उसके बाद बराबर हैं; ऐसे अनुक्रमों को स्पष्ट रूप से उसी हाइपररियल संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाला माना जाना चाहिए। इसी तरह, अधिकांश अनुक्रम दोलन_(गणित) यादृच्छिक_अनुक्रम हमेशा के लिए, और हमें ऐसे अनुक्रम को लेने और इसकी व्याख्या करने का कोई विधि खोजना होगा, जैसे, $$7+\epsilon$$, कहाँ $$\epsilon$$ एक निश्चित अतिसूक्ष्म संख्या है.

इसलिए अनुक्रमों की तुलना करना एक नाजुक मामला है। उदाहरण के लिए, हम घटकों के अनुसार अनुक्रमों के बीच संबंध को परिभाषित करने का प्रयास कर सकते हैं:


 * $$ (a_0, a_1, a_2, \ldots) \leq (b_0, b_1, b_2, \ldots) \iff (a_0 \leq b_0) \wedge (a_1 \leq b_1) \wedge (a_2 \leq b_2) \ldots $$

लेकिन यहां हम परेशानी में पड़ जाते हैं, क्योंकि पहले अनुक्रम की कुछ प्रविष्टियाँ दूसरे अनुक्रम की संगत प्रविष्टियों से बड़ी हो सकती हैं, और कुछ अन्य छोटी हो सकती हैं। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि इस प्रकार परिभाषित संबंध केवल आंशिक क्रम है। इससे निजात पाने के लिए, हमें यह निर्दिष्ट करना होगा कि कौन सी स्थिति मायने रखती है। चूंकि अनंत रूप से कई सूचकांक हैं, हम नहीं चाहते कि सूचकांकों के सीमित सेट मायने रखें। प्राकृतिक संख्याओं पर किसी भी मुक्त अल्ट्राफिल्टर (सेट सिद्धांत) यू द्वारा उस पदार्थ के सूचकांक सेट का एक सुसंगत विकल्प दिया जाता है; इन्हें अल्ट्राफिल्टर के रूप में जाना जा सकता है जिनमें कोई सीमित सेट नहीं होता है। (अच्छी खबर यह है कि ज़ोर्न का लेम्मा ऐसे कई यू के अस्तित्व की गारंटी देता है; बुरी खबर यह है कि उन्हें स्पष्ट रूप से निर्मित नहीं किया जा सकता है।) हम यू के बारे में सोचते हैं कि वे सूचकांकों के उन सेटों को अलग करते हैं जो मायने रखते हैं: हम लिखते हैं (ए0, ए1, ए2, ...) ≤ (बी0, बी1, बी2, ...) यदि और केवल यदि प्राकृत संख्याओं का समुच्चय { n : an ≤ बीn } यू में है.

यह एक कुल प्रीऑर्डर है और यह कुल ऑर्डर में बदल जाता है यदि हम दो अनुक्रमों ए और बी के बीच अंतर नहीं करने पर सहमत होते हैं यदि ए ≤ बी और बी ≤ ए। इस पहचान के साथ, हाइपररियल्स के आदेशित फ़ील्ड '*R' का निर्माण किया जाता है। बीजगणितीय दृष्टिकोण से, यू हमें क्रमविनिमेय रिंग 'ए' (अर्थात्, यू के कुछ तत्व में गायब होने वाले अनुक्रमों का सेट) में एक संबंधित आदर्श (रिंग सिद्धांत) 'आई' को परिभाषित करने की अनुमति देता है, और फिर परिभाषित करने की अनुमति देता है '*R' को 'A'/'I' के रूप में; अधिकतम आदर्श द्वारा क्रमविनिमेय वलय के भागफल वलय के रूप में, '*R' एक क्षेत्र है। इसे सीधे मुक्त अल्ट्राफिल्टर यू के संदर्भ में 'ए'/यू भी नोट किया जाता है; दोनों समतुल्य हैं. 'I' की अधिकतमता, किसी अनुक्रम a को देखते हुए, a के गैर-शून्य तत्वों को उलटने और इसकी शून्य प्रविष्टियों को नहीं बदलने के लिए एक अनुक्रम b का निर्माण करने की संभावना से उत्पन्न होती है। यदि वह सेट जिस पर a गायब हो जाता है, U में नहीं है, तो गुणनफल ab को संख्या 1 से पहचाना जाता है, और 1 वाला कोई भी आदर्श A होना चाहिए। परिणामी फ़ील्ड में, ये a और b व्युत्क्रम हैं।

फ़ील्ड 'ए'/यू 'आर' का एक अल्ट्राप्रोडक्ट है। चूँकि इस क्षेत्र में 'आर' शामिल है, इसमें कम से कम सातत्य की कार्डिनैलिटी जैसी प्रमुखता है। चूँकि 'ए' में प्रमुखता है


 * $$(2^{\aleph_0})^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0^2} =2^{\aleph_0},$$

यह भी इससे बड़ा नहीं है $$2^{\aleph_0}$$, और इसलिए इसकी कार्डिनैलिटी R जैसी ही है।

एक प्रश्न जो हम पूछ सकते हैं वह यह है कि क्या, यदि हमने एक अलग मुक्त अल्ट्राफिल्टर वी चुना होता, तो भागफल क्षेत्र ए/यू ए/वी के लिए एक आदेशित क्षेत्र के रूप में समरूपी होता। यह प्रश्न सातत्य परिकल्पना के समतुल्य सिद्ध होता है; ZFC में सातत्य परिकल्पना के साथ हम यह साबित कर सकते हैं कि यह क्षेत्र क्रम समरूपता तक अद्वितीय है, और ZFC में सातत्य परिकल्पना के निषेध के साथ हम यह साबित कर सकते हैं कि फ़ील्ड के गैर-क्रम-आइसोमोर्फिक जोड़े हैं जो दोनों वास्तविक रूप से अनुक्रमित अल्ट्रापॉवर हैं.

निर्माण की इस विधि के बारे में अधिक जानकारी के लिए अल्ट्राप्रोडक्ट देखें।

अल्ट्रापावर निर्माण के लिए एक सहज दृष्टिकोण
हाइपररियल संख्याओं को समझने का एक सहज विधि निम्नलिखित है। यहां अपनाया गया दृष्टिकोण रॉबर्ट गोल्डब्लाट की पुस्तक के बहुत करीब है। याद रखें कि शून्य में परिवर्तित होने वाले अनुक्रमों को कभी-कभी असीम रूप से छोटा कहा जाता है। ये एक अर्थ में लगभग अतिसूक्ष्म हैं; सच्चे इनफ़िनिटिमल्स में अनुक्रमों के कुछ वर्ग शामिल होते हैं जिनमें शून्य में परिवर्तित होने वाला अनुक्रम होता है।

आइए देखें कि ये कक्षाएं कहां से आती हैं। पहले वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम पर विचार करें। वे एक वलय (अमूर्त बीजगणित) बनाते हैं, अर्थात, कोई उन्हें गुणा, जोड़ और घटा सकता है, लेकिन जरूरी नहीं कि उन्हें गैर-शून्य तत्व से विभाजित किया जाए। वास्तविक संख्याओं को स्थिर अनुक्रम माना जाता है, अनुक्रम शून्य है यदि यह समान रूप से शून्य है, अर्थातn= सभी n के लिए 0.

हमारे अनुक्रमों की रिंग में कोई व्यक्ति न तो a = 0 और न ही b = 0 के साथ ab = 0 प्राप्त कर सकता है। इस प्रकार, यदि दो अनुक्रमों के लिए $$a, b$$ किसी के पास ab = 0 है, उनमें से कम से कम एक को शून्य घोषित किया जाना चाहिए। आश्चर्यजनक रूप से, ऐसा करने का एक सुसंगत विधि है। परिणामस्वरूप, अनुक्रमों के समतुल्य वर्ग जो शून्य घोषित कुछ अनुक्रम से भिन्न होते हैं, एक फ़ील्ड बनाएंगे, जिसे हाइपररियल फ़ील्ड (गणित) कहा जाता है। इसमें सामान्य वास्तविक संख्याओं के अलावा अपरिमित लघु संख्याएं, साथ ही अपरिमित रूप से बड़ी संख्याएं (इनफिनिटिमल के व्युत्क्रम, जिनमें अनंत की ओर विचलन करने वाले अनुक्रमों द्वारा दर्शाई गई संख्याएं भी शामिल हैं) शामिल होंगी। साथ ही प्रत्येक हाइपररियल जो असीम रूप से बड़ा नहीं है वह एक साधारण वास्तविक के असीम रूप से करीब होगा, दूसरे शब्दों में, यह एक सामान्य वास्तविक और एक अनंत लघु का योग होगा।

यह निर्माण जॉर्ज कैंटर द्वारा दिए गए तर्कों से वास्तविक निर्माण के समानांतर है। उन्होंने परिमेय के कॉची अनुक्रमों की वलय से शुरुआत की और शून्य में परिवर्तित होने वाले सभी अनुक्रमों को शून्य घोषित कर दिया। परिणाम वास्तविक है. हाइपररियल्स के निर्माण को जारी रखने के लिए, हमारे अनुक्रमों के शून्य सेटों पर विचार करें, अर्थात $$z(a)=\{i: a_i=0\}$$, वह है, $$z(a)$$ अनुक्रमणिका का सेट है $$i$$ जिसके लिए $$a_i=0$$. यह स्पष्ट है कि यदि $$ab=0$$, फिर का मिलन $$z(a)$$ और $$z(b)$$ N (सभी प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय) है, इसलिए: अब विचार 'एन' के उपसमुच्चय एक्स के एक समूह यू को अलग करने और उसे घोषित करने का है $$a=0$$ अगर और केवल अगर $$z(a)$$ यू से संबंधित है। उपरोक्त स्थितियों से कोई यह देख सकता है कि:
 * 1) दो पूरक सेटों पर लुप्त होने वाले अनुक्रमों में से एक को शून्य घोषित किया जाना चाहिए
 * 2) अगर $$a$$ शून्य घोषित किया गया है, $$ab$$ शून्य भी घोषित किया जाना चाहिए, चाहे कुछ भी हो $$b$$ है।
 * 3) अगर दोनों $$a$$ और $$b$$ फिर शून्य घोषित कर दिया जाता है $$a+b$$ को भी शून्य घोषित किया जाना चाहिए।
 * 1) दो पूरक समुच्चयों में से एक U से संबंधित है
 * 2) कोई भी समुच्चय जिसका उपसमुच्चय U से संबंधित है, वह भी U से संबंधित है।
 * 3) U से संबंधित किन्हीं दो सेटों का प्रतिच्छेदन U से संबंधित है।
 * 4) अंत में, हम नहीं चाहते कि खाली सेट यू का हो क्योंकि तब सब कुछ यू का होगा, क्योंकि हर सेट में खाली सेट एक उपसमुच्चय के रूप में होता है।

सेटों का कोई भी परिवार जो (2-4) को संतुष्ट करता है उसे फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) कहा जाता है (एक उदाहरण: परिमित सेटों का पूरक, इसे फ़्रेचेट फ़िल्टर कहा जाता है और इसका उपयोग सामान्य सीमा सिद्धांत में किया जाता है)। यदि (1) भी कायम है, तो यू को अल्ट्राफिल्टर (सेट सिद्धांत) कहा जाता है (क्योंकि आप इसे तोड़े बिना इसमें कोई और सेट नहीं जोड़ सकते हैं)। अल्ट्राफिल्टर का एकमात्र स्पष्ट रूप से ज्ञात उदाहरण किसी दिए गए तत्व वाले सेट का परिवार है (हमारे मामले में, मान लीजिए, संख्या 10)। ऐसे अल्ट्राफ़िल्टर को तुच्छ कहा जाता है, और यदि हम इसे अपने निर्माण में उपयोग करते हैं, तो हम सामान्य वास्तविक संख्याओं पर वापस आते हैं। परिमित सेट वाला कोई भी अल्ट्राफिल्टर तुच्छ है। यह ज्ञात है कि किसी भी फिल्टर को अल्ट्राफिल्टर तक बढ़ाया जा सकता है, लेकिन प्रमाण पसंद के सिद्धांत का उपयोग करता है। एक गैर-तुच्छ अल्ट्राफिल्टर (अल्ट्राफिल्टर लेम्मा) के अस्तित्व को एक अतिरिक्त सिद्धांत के रूप में जोड़ा जा सकता है, क्योंकि यह पसंद के सिद्धांत से कमजोर है।

अब यदि हम एक गैर-तुच्छ अल्ट्राफिल्टर (जो फ़्रेचेट फ़िल्टर का विस्तार है) लेते हैं और अपना निर्माण करते हैं, तो परिणामस्वरूप हमें हाइपररियल संख्याएँ मिलती हैं।

अगर $$f$$ एक वास्तविक चर का एक वास्तविक कार्य है $$x$$ तब $$f$$ स्वाभाविक रूप से संरचना द्वारा हाइपररियल वैरिएबल के हाइपररियल फ़ंक्शन तक विस्तारित होता है:
 * $$f(\{x_n\})=\{f(x_n)\}$$

कहाँ $$\{ \dots\}$$ इसका मतलब अनुक्रम का समतुल्य वर्ग है $$\dots$$ हमारे अल्ट्राफिल्टर के सापेक्ष, दो अनुक्रम एक ही वर्ग में हैं यदि और केवल तभी जब उनके अंतर का शून्य सेट हमारे अल्ट्राफिल्टर से संबंधित हो।

सभी अंकगणितीय अभिव्यक्तियाँ और सूत्र हाइपररियल्स के लिए समझ में आते हैं और यदि वे सामान्य रियल्स के लिए सत्य हैं तो सत्य माने जाते हैं। यह पता चला है कि कोई भी परिमित (अर्थात, ऐसा है $$|x| < a$$ कुछ सामान्य वास्तविकता के लिए $$a$$) अतिवास्तविक $$x$$ स्वरूप का होगा $$y+d$$ कहाँ $$y$$ एक साधारण (जिसे मानक कहा जाता है) वास्तविक है और $$d$$ एक अतिसूक्ष्म है. इसे बोलजानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय को सिद्ध करने में प्रयुक्त द्विभाजन विधि द्वारा सिद्ध किया जा सकता है, अल्ट्राफिल्टर की संपत्ति (1) महत्वपूर्ण साबित होती है।

अतिसूक्ष्म और अनंत संख्याओं के गुण

 * R के परिमित तत्व F एक स्थानीय वलय बनाते हैं, और वास्तव में एक मूल्यांकन वलय बनाते हैं, जिसमें अद्वितीय अधिकतम आदर्श S अनंतिम होता है; भागफल F/S वास्तविक के समरूपी है। इसलिए हमारे पास स्थानीय रिंग होमोमोर्फिज्म मैपिंग है, st(x), F से R तक, जिसके कर्नेल (बीजगणित) में इनफिनिटिमल्स होते हैं और जो F के प्रत्येक तत्व x को एक अद्वितीय वास्तविक संख्या में भेजता है जिसका अंतर x, S में है; कहने का तात्पर्य यह है कि यह अतिसूक्ष्म है। दूसरे तरीके से कहें तो, प्रत्येक परिमित अमानक वास्तविक संख्या एक अद्वितीय वास्तविक संख्या के बहुत करीब होती है, इस अर्थ में कि यदि x एक परिमित अमानक वास्तविक है, तो वहां एक और केवल एक वास्तविक संख्या st() मौजूद होती है। 'x) इस प्रकार है कि x – st(x) अतिसूक्ष्म है। इस संख्या st(x) को x का मानक भाग फ़ंक्शन कहा जाता है, जो वैचारिक रूप से x निकटतम वास्तविक संख्या के समान है। यह ऑपरेशन एक आदेश-संरक्षण वलय समरूपता और इसलिए बीजगणितीय और सैद्धांतिक रूप से क्रम दोनों में अच्छा व्यवहार किया जाता है। यह आइसोटोनिक न होते हुए भी व्यवस्था बनाए रखने वाला है; अर्थात। $$ x \le y$$ तात्पर्य $$\operatorname{st}(x) \le \operatorname{st}(y)$$, लेकिन $$x < y $$ मतलब नहीं है $$\operatorname{st}(x) < \operatorname{st}(y)$$.

परिमित हाइपररियल्स पर ऑर्डर टोपोलॉजी के संबंध में मैप सेंट निरंतर फ़ंक्शन (टोपोलॉजी) है; वास्तव में यह स्थानीय रूप से स्थिर कार्य है।
 * हमारे पास है, यदि x और y दोनों परिमित हैं, $$ \operatorname{st}(x + y) = \operatorname{st}(x) + \operatorname{st}(y) $$ $$ \operatorname{st}(x y) = \operatorname{st}(x) \operatorname{st}(y) $$
 * यदि x परिमित है और अतिसूक्ष्म नहीं है। $$ \operatorname{st}(1/x) = 1 / \operatorname{st}(x)  $$
 * x वास्तविक है यदि और केवल यदि $$ \operatorname{st}(x) = x $$

हाइपररियल फ़ील्ड्स
मान लीजिए कि X एक टाइकोनोफ़ स्थान है, जिसे T भी कहा जाता है3.5 स्थान, और C(X) X पर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों का बीजगणित है। मान लीजिए M, C(X) में एक अधिकतम आदर्श है। तब कारक वलय A = C(X)/M एक पूरी तरह से क्रमित फ़ील्ड F है जिसमें वास्तविक चीज़ें शामिल हैं। यदि F में सख्ती से 'R' शामिल है तो M को 'हाइपररियल आइडियल' (एडविन हेविट (1948) के कारण शब्दावली) और F को 'हाइपररियल फील्ड' कहा जाता है। ध्यान दें कि ऐसी कोई धारणा नहीं बनाई जा रही है कि F की कार्डिनैलिटी 'R' से अधिक है; वास्तव में इसकी प्रमुखता समान हो सकती है।

एक महत्वपूर्ण विशेष मामला वह है जहां एक्स पर टोपोलॉजी असतत स्थान है; इस मामले में X को कार्डिनल संख्या κ और C(X) को वास्तविक बीजगणित 'R' से पहचाना जा सकता है। κ से R तक के कार्यों का κ। इस मामले में हम जो हाइपररियल फ़ील्ड प्राप्त करते हैं, उन्हें आर के अल्ट्राप्रोडक्ट्स कहा जाता है और मॉडल सिद्धांत में फ्री अल्ट्राफिल्टर (सेट सिद्धांत) के माध्यम से निर्मित अल्ट्रापॉवर के समान होते हैं।

यह भी देखें

 * - अवास्तविक संख्याएं संख्याओं का एक बहुत बड़ा वर्ग है, जिसमें हाइपररियल के साथ-साथ गैर-वास्तविक संख्याओं के अन्य वर्ग भी शामिल हैं।
 * - अवास्तविक संख्याएं संख्याओं का एक बहुत बड़ा वर्ग है, जिसमें हाइपररियल के साथ-साथ गैर-वास्तविक संख्याओं के अन्य वर्ग भी शामिल हैं।
 * - अवास्तविक संख्याएं संख्याओं का एक बहुत बड़ा वर्ग है, जिसमें हाइपररियल के साथ-साथ गैर-वास्तविक संख्याओं के अन्य वर्ग भी शामिल हैं।
 * - अवास्तविक संख्याएं संख्याओं का एक बहुत बड़ा वर्ग है, जिसमें हाइपररियल के साथ-साथ गैर-वास्तविक संख्याओं के अन्य वर्ग भी शामिल हैं।
 * - अवास्तविक संख्याएं संख्याओं का एक बहुत बड़ा वर्ग है, जिसमें हाइपररियल के साथ-साथ गैर-वास्तविक संख्याओं के अन्य वर्ग भी शामिल हैं।
 * - अवास्तविक संख्याएं संख्याओं का एक बहुत बड़ा वर्ग है, जिसमें हाइपररियल के साथ-साथ गैर-वास्तविक संख्याओं के अन्य वर्ग भी शामिल हैं।
 * - अवास्तविक संख्याएं संख्याओं का एक बहुत बड़ा वर्ग है, जिसमें हाइपररियल के साथ-साथ गैर-वास्तविक संख्याओं के अन्य वर्ग भी शामिल हैं।

अग्रिम पठन

 * Hatcher, William S. (1982) "Calculus is Algebra", American Mathematical Monthly 89: 362–370.
 * Hewitt, Edwin (1948) Rings of real-valued continuous functions. I. Trans. Amer. Math. Soc. 64, 45—99.
 * Keisler, H. Jerome (1994) The hyperreal line. Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.
 * Keisler, H. Jerome (1994) The hyperreal line. Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.
 * Keisler, H. Jerome (1994) The hyperreal line. Real numbers, generalizations of the reals, and theories of continua, 207—237, Synthese Lib., 242, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht.

बाहरी संबंध

 * Crowell, Brief Calculus. A text using infinitesimals.
 * Hermoso, Nonstandard Analysis and the Hyperreals. A gentle introduction.
 * Keisler, Elementary Calculus: An Approach Using Infinitesimals. Includes an axiomatic treatment of the hyperreals, and is freely available under a Creative Commons license
 * Stroyan, ''A Brief Introduction to Infinitesimal Calculus Lecture 1 Lecture 2 Lecture 3