एनोसोव भिन्नता

गणित में, विशेष रूप से गतिशील प्रणालियों और ज्यामितीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में, विविध M पर एक एनोसोव मानचित्र M से स्वयं तक एक निश्चित प्रकार का मानचित्रण है, जिसमें विस्तार और संकुचन की स्पष्ट रूप से चिह्नित स्थानीय दिशाएँ होती हैं। इस प्रकार से एनोसोव प्रणाली स्वयंसिद्ध A प्रणाली का एक विशेष स्तिथि है।

किन्तु एनोसोव भिन्नता को दिमित्री एनोसोव द्वारा प्रस्तुत किया गया था, जिन्होंने प्रमाणित किया कि उनका व्यवहार उचित अर्थ में सामान्य था (जब वे पूर्णतया उपस्तिथ थे)।

सिंहावलोकन
इस प्रकार से तीन निकट संबंधी परिभाषाओं को प्रतिष्ठित किया जाना चाहिए:
 * यदि M पर एक अवकलनीय मानचित्र (गणित) f में स्पर्शरेखा सबबंडल पर अतिशयोक्तिपूर्ण समुच्चय है, तो इसे 'एनोसोव मानचित्र' कहा जाता है। उदाहरणों में बर्नौली मानचित्र और अर्नोल्ड का कैट मानचित्र सम्मिलित हैं।
 * यदि मानचित्र एक भिन्नरूपता है, तो इसे 'एनोसोव भिन्नरूपता' कहा जाता है।
 * यदि विविध पर एक प्रवाह (गणित) स्पर्शरेखा बंडल को तीन अपरिवर्तनीय उप-बंडलों में विभाजित करता है, जिसमें उप-बंडल तीव्रता से संकुचन रहा है, और एक जो तीव्रता से विस्तारित हो रहा है, और तृतीय, गैर-विस्तारित, गैर-संकुचित एक-आयामी उप- बंडल (प्रवाह दिशा द्वारा फैलाया गया), तो प्रवाह को 'एनोसोव प्रवाह' कहा जाता है।

इस प्रकार से एनोसोव भिन्नता का शास्त्रीय उदाहरण अर्नोल्ड का कैट मानचित्र है।

एनोसोव ने प्रमाणित किया कि एनोसोव भिन्नता संरचनात्मक रूप से स्थिर है और C1 टोपोलॉजी के साथ मैपिंग (प्रवाह) का एक खुला उपसमुच्चय बनाती है।

प्रत्येक मैनिफ़ोल्ड एनोसोव भिन्नता को स्वीकार नहीं करता है; उदाहरण के लिए, व्रत पर ऐसी कोई भिन्नता नहीं है। और उन्हें स्वीकार करने वाले कॉम्पैक्ट विविध्स के अधिक सरल उदाहरण टोरी हैं: वे तथाकथित रैखिक एनोसोव भिन्नता को स्वीकार करते हैं, जो की समरूपता हैं जिनमें मापांक 1 का कोई आइगेनवैल्यू नहीं है। यह प्रमाणित हो गया है कि टोरस पर कोई भी अन्य एनोसोव भिन्नता स्थलाकृतिक रूप से इनमें से किसी एक के साथ संयुग्मित है।

इस प्रकार से एनोसोव भिन्नताओं को स्वीकार करने वाले विविध्स को वर्गीकृत करने की समस्या बहुत कठिन हो गई, और अभी भी 2023 तक 3 से अधिक आयाम के लिए कोई उत्तर नहीं है। एकमात्र ज्ञात उदाहरण इन्फ्रानिलविविध्स हैं, और यह अनुमान लगाया गया है कि वे ही एकमात्र हैं।

परिवर्तनशीलता के लिएː $$ \Omega(f)=M $$ पर्याप्त नियम यह है कि सभी बिंदु अविचलित योग्य नहीं हैं।

साथ ही, यह भी अज्ञात है कि प्रत्येक $$C^1$$ आयतन-संरक्षण एनोसोव भिन्नता एर्गोडिक है। एनोसोव ने इसे $$C^2$$ धारणा के अधीन प्रमाणित किया। यह $$C^{1+\alpha}$$ आयतन-संरक्षण एनोसोव भिन्नता के लिए भी सत्य है।

$$C^2$$ सकर्मक एनोसोव भिन्नता $$f\colon M\to M $$ के लिए एक अद्वितीय एसआरबी माप उपस्तिथ है (संक्षिप्त नाम सिनाई, रुएल और बोवेन के लिए है) $$ \mu_f $$, $$ M $$ पर समर्थित है जैसे कि इसका बेसिन $$ B(\mu_f)$$ पूर्ण मात्रा का है, जहां


 * $$ B(\mu_f)= \left \{x\in M:\frac{1}{n}\sum_{k=0}^{n-1}\delta_{f^kx}\to\mu_f \right \}. $$

रीमैन सतहो पर (स्पर्शरेखा बंडलों के) एनोसोव प्रवाह
इस प्रकार से उदाहरण के रूप में, यह खंड ऋणात्मक वक्रता की रीमैन सतह के स्पर्शरेखा बंडल पर एनोसोव प्रवाह के स्तिथियों को विकसित करता है। इस प्रवाह को हाइपरबोलिक ज्यामिति के पोंकारे अर्ध-तल मॉडल के स्पर्शरेखा बंडल पर प्रवाह के संदर्भ में समझा जा सकता है। और ऋणात्मक वक्रता की रीमैन सतहों को फुच्सियन मॉडल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात ऊपरी अर्ध तल और फुच्सियन समूह के भागफल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। निम्नलिखित के लिए, मान लीजिए कि H ऊपरी आधा तल है; मान लीजिए Γ एक फ़ुचियन समूह है; मान लीजिए कि M = H/Γ समूह Γ की क्रिया द्वारा M के भागफल के रूप में ऋणात्मक वक्रता की एक रीमैन सतह है, और मान लीजिए $$T^1 M$$ विविध M पर इकाई-लंबाई वाले सदिश का स्पर्शरेखा बंडल बनें, और चलो $$T^1 H$$ H पर इकाई-लंबाई वाले सदिशों का स्पर्शरेखा बंडल बनें। ध्यान दें कि सतह पर इकाई-लंबाई वाले सदिशों का एक बंडल एक सम्मिश्र रेखा बंडल का मुख्य बंडल है।

लाई सदिश क्षेत्र
प्रारंभिक इस बात से होती है कि $$T^1 H$$ लाई समूह पीएसएल(2,आर) के लिए समरूपी है। इस प्रकार से यह समूह ऊपरी आधे तल के अभिविन्यास-संरक्षण सममिति का समूह है। पीएसएल(2,आर) का लाई बीजगणित sl(2,R) है, और आव्यूह द्वारा दर्शाया गया है


 * $$J=\begin{pmatrix} 1/2 &0\\ 0&-1/2\\ \end{pmatrix} \qquad X=\begin{pmatrix}0&1\\ 0&0\\ \end{pmatrix} \qquad Y=\begin{pmatrix}0&0\\ 1&0 \end{pmatrix}$$

जिसमें बीजगणित है


 * $$[J,X]=X \qquad [J,Y] = -Y \qquad [X,Y] = 2J$$

घातीय मानचित्र (लाई सिद्धांत)।


 * $$g_t = \exp(tJ)= \begin{pmatrix}e^{t/2}&0\\ 0&e^{-t/2}\\ \end{pmatrix} \qquad h^*_t = \exp(tX)=\begin{pmatrix}1&t\\ 0&1\\ \end{pmatrix} \qquad h_t = \exp(tY)= \begin{pmatrix}1&0\\ t&1\\ \end{pmatrix}$$

$$T^1 H = \operatorname{PSL}(2,\R)$$ के मैनिफ़ोल्ड पर दाएँ-अपरिवर्तनीय प्रवाह (गणित) को परिभाषित करें, और इसी तरह $$T^1M$$ पर $$P=T^1H$$ और $$Q=T^1M$$, को परिभाषित करते हुए ये प्रवाह P और Q पर सदिश क्षेत्र को परिभाषित करते हैं, जिनके सदिश TP और TQ में स्थित हैं। ये लाई समूह के मैनिफ़ोल्ड पर केवल मानक, सामान्य लाई सदिश क्षेत्र हैं, और उपरोक्त प्रस्तुति लाई सदिश क्षेत्र का एक मानक प्रदर्शन है।

अनोसोव प्रवाह
एनोसोव प्रवाह से संबंध इस अहसास से आता है, कि $$g_t$$ P और Q पर जियोडेसिक प्रवाह है। एक समूह तत्व की गतिविधि के अधीन सदिश क्षेत्र को (परिभाषा के अनुसार) अपरिवर्तनीय छोड़ दिया जाता है, एक यह है कि इन फ़ील्ड को जियोडेसिक प्रवाह के विशिष्ट तत्व $$g_t$$ के अधीन अपरिवर्तनीय छोड़ दिया जाता है। इस प्रकार से एक दूसरे शब्दों में, रिक्त स्थान TP और TQ को तीन एक-आयामी स्थानों या सबबंडलों में विभाजित किया गया है, जिनमें से प्रत्येक जियोडेसिक प्रवाह के अधीन अपरिवर्तनीय हैं। अंतिम चरण यह ध्यान देना है कि एक सबबंडल में सदिश क्षेत्र का विस्तार होता है (और तीव्रता से विस्तार होता है), दूसरे में वे अपरिवर्तित होते हैं, और तीसरे में वे संकुचन हैं (और ऐसा तीव्रता से होता है)।

अधिक स्पष्ट रूप से, स्पर्शरेखा बंडल TQ को सदिश बंडलों के प्रत्यक्ष योग के रूप में लिखा जा सकता है।


 * $$TQ = E^+ \oplus E^0 \oplus E^-$$

या, एक बिंदु पर $$g \cdot e = q \in Q$$, सीधा योग


 * $$T_qQ = E_q^+ \oplus E_q^0 \oplus E_q^-$$

अतः ली बीजगणित जेनरेटर वाई, जे और एक्स के अनुरूप, समूह तत्व जी की बाईं क्रिया द्वारा, मूल ई से बिंदु क्यू तक ले जाया गया। अर्थात् एक के पास $$E_e^+=Y, E_e^0=J$$ और $$E_e^-=X$$ है। ये स्थान प्रत्येक उपसमूह हैं, और जियोडेसिक प्रवाह की गतिविधि के अधीन संरक्षित (अपरिवर्तनीय) हैं; अर्थात्, समूह तत्वों $$g=g_t$$ की गतिविधि के अधीन है।

इस प्रकार से विभिन्न बिंदुओं q पर $$T_qQ$$ में सदिशों की लंबाई की तुलना करने के लिए, किसी को एक मीट्रिक की आवश्यकता होती है। $$T_eP=sl(2,\R)$$ पर कोई भी आंतरिक उत्पाद P पर एक बाएं-अपरिवर्तनीय रीमैनियन मीट्रिक तक विस्तारित होता है, और इस प्रकार Q पर एक रीमैनियन मीट्रिक तक विस्तारित होता है। एक सदिश $$v \in E^+_q$$ की लंबाई $$g_t$$ की गतिविधि के अधीन exp(t) के रूप में तीव्रता से विस्तारित होती है। एक सदिश $$v \in E^-_q$$ की लंबाई संकुचिन है घातांकीय रूप से $$E^0_q$$ में $$g_t$$ सदिशों की गतिविधि के अधीन exp(-t) अपरिवर्तित हैं। इसे यह जांच कर देखा जा सकता है कि समूह के तत्व कैसे आवागमन करते हैं। जियोडेसिक प्रवाह अपरिवर्तनीय है,


 * $$g_sg_t=g_tg_s=g_{s+t} $$

किन्तु अन्य दो संकुचन और फैलते हैं:


 * $$g_sh^*_t = h^*_{t\exp(-s)}g_s$$

और


 * $$g_sh_t = h_{t\exp(s)}g_s $$

जहां हमें याद आता है कि $$E^+_q$$ एक स्पर्श रेखा सदिश, वक्र $$h_t$$ की स्थापना $$t=0$$ के t के संबंध में व्युत्पन्न द्वारा दिया गया है.

एनोसोव प्रवाह की ज्यामितीय व्याख्या
ऊपरी आधे तल के बिंदु $$z=i$$ पर कार्य करते समय, $$g_t$$ ऊपरी आधे तल पर एक जियोडेसिक से मेल खाता है, जो बिंदु $$z=i$$ से होकर निकलने है। यह क्रिया ऊपरी आधे तल पर एसएल(2,आर) की मानक मोबियस परिवर्तन क्रिया है।,जिससे


 * $$g_t \cdot i = \begin{pmatrix} \exp(t/2) & 0 \\ 0 & \exp(-t/2) \end{pmatrix} \cdot i = i\exp(t) $$

एक सामान्य जियोडेसिक द्वारा दिया गया है


 * $$\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \cdot i\exp(t) = \frac{ai\exp(t)+b}{ci\exp(t)+d} $$

इस प्रकार से a, b, c और d के साथ वास्तविक, $$ad-bc=1$$ के साथ वक्र $$h^*_t$$ और $$h_t$$ को कुंडली कहा जाता है। कुंडली चक्र ऊपरी आधे तल पर कुंडली के सामान्य सदिशों की गति के अनुरूप होते हैं।

यह भी देखें

 * एर्गोडिक प्रवाह
 * मोर्स-स्माले प्रणाली
 * छद्म-एनोसोव मानचित्र

संदर्भ

 * Anthony Manning, Dynamics of geodesic and horocycle flows on surfaces of constant negative curvature, (1991), appearing as Chapter 3 in Ergodic Theory, Symbolic Dynamics and Hyperbolic Spaces, Tim Bedford, Michael Keane and Caroline Series, Eds. Oxford University Press, Oxford (1991). ISBN 0-19-853390-X (Provides an expository introduction to the Anosov flow on SL(2,R).)
 * Toshikazu Sunada, Magnetic flows on a Riemann surface, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.
 * Toshikazu Sunada, Magnetic flows on a Riemann surface, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.
 * Toshikazu Sunada, Magnetic flows on a Riemann surface, Proc. KAIST Math. Workshop (1993), 93–108.