बीजगणित का मौलिक प्रमेय

बीजगणित का मौलिक प्रमेय, जिसे डी'अलेम्बर्ट प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, डी'अलेम्बर्ट-गॉस प्रमेय, के अनुसार सम्मिश्र संख्या गुणांक वाले प्रत्येक गैर अचर बहुपद एकल-चर बहुपद में एक फलन का कम से कम एक सम्मिश्र मूल होता है। इसमें वास्तविक गुणांक वाले बहुपद सम्मिलित हैं, क्योंकि प्रत्येक वास्तविक संख्या एक समिश्र संख्या है जिसका काल्पनिक भाग शून्य के बराबर होता है।

समान रूप से (परिभाषा के अनुसार), प्रमेय कहती है कि समिश्र संख्याओं का क्षेत्र (गणित) बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है।

प्रमेय को निम्नानुसार भी कहा गया है: प्रत्येक गैर-शून्य, एकल-चर, जटिल गुणांक वाले बहुपद n बहुपद की डिग्री, बहुपद (गणित) # बहुपद की जड़ की बहुलता, ठीक n जटिल जड़ों के साथ गिना जाता है। क्रमिक बहुपद विभाजन के उपयोग के माध्यम से दो कथनों की समानता सिद्ध की जा सकती है।

इसके नाम के बावजूद, प्रमेय का कोई विशुद्ध रूप से बीजगणितीय प्रमाण नहीं है, क्योंकि किसी भी प्रमाण को वास्तविक संख्याओं की विश्लेषणात्मक पूर्णता के किसी रूप का उपयोग करना चाहिए, जो #बीजगणितीय प्रमाण है। इसके अतिरिक्त, यह आधुनिक बीजगणित के लिए मौलिक नहीं है; इसका नाम उस समय दिया गया था जब बीजगणित समीकरणों के सिद्धांत का पर्याय बन गया था।

इतिहास
पीटर रोथ, अपनी पुस्तक अरिथमेटिका फिलोसोफिका में (जोहान लैंट्ज़ेनबर्गर द्वारा नूर्नबर्ग में 1608 में प्रकाशित), ने लिखा है कि घात n के एक बहुपद समीकरण (वास्तविक गुणांकों के साथ) के n समाधान हो सकते हैं। अल्बर्ट गिरार्ड ने अपनी पुस्तक L'invention nouvelle en l'Algèbre (1629 में प्रकाशित) में दावा किया कि डिग्री n के एक बहुपद समीकरण के n समाधान हैं, लेकिन उन्होंने यह नहीं कहा कि उन्हें वास्तविक संख्याएं होनी चाहिए। इसके अलावा, उन्होंने कहा कि उनका दावा तब तक कायम रहता है जब तक कि समीकरण अधूरा न हो, जिससे उनका मतलब था कि कोई भी गुणांक 0 के बराबर नहीं है। हालांकि, जब वह विस्तार से बताते हैं कि उनका क्या मतलब है, तो यह स्पष्ट है कि वह वास्तव में मानते हैं कि उनका दावा हमेशा सच होता है। ; उदाहरण के लिए, वह दिखाता है कि समीकरण $$x^4 = 4x-3,$$ हालांकि अधूरा, इसके चार समाधान हैं (बहुगुणों की गिनती): 1 (दो बार), $$-1+i\sqrt{2},$$ तथा $$-1-i\sqrt{2}.$$ जैसा कि नीचे फिर से उल्लेख किया जाएगा, यह बीजगणित के मौलिक प्रमेय से अनुसरण करता है कि वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक गैर-निरंतर बहुपद को वास्तविक गुणांक वाले बहुपदों के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, जिनकी डिग्री या तो 1 या 2 है। हालांकि, 1702 में गॉटफ्रीड लीबनिज ने गलती से ने कहा कि इस प्रकार का कोई बहुपद नहीं है $x^{4} + a^{4}$ (साथ $a$ वास्तविक और 0 से भिन्न) को इस प्रकार लिखा जा सकता है। बाद में, निकोलस प्रथम बर्नौली ने बहुपद के संबंध में यही अभिकथन किया $x^{4} − 4x^{3} + 2x^{2} + 4x + 4$, लेकिन उन्हें 1742 में लियोनहार्ड यूलर का एक पत्र मिला जिसमें यह दिखाया गया कि यह बहुपद के बराबर है
 * $$\left (x^2-(2+\alpha)x+1+\sqrt{7}+\alpha \right ) \left (x^2-(2-\alpha)x+1+\sqrt{7}-\alpha \right ),$$

साथ $$\alpha = \sqrt{4+2\sqrt{7}}.$$ साथ ही, यूलर ने बताया कि
 * $$x^4+a^4= \left (x^2+a\sqrt{2}\cdot x+a^2 \right ) \left (x^2-a\sqrt{2}\cdot x+a^2 \right ).$$

प्रमेय को सिद्ध करने का पहला प्रयास 1746 में जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट|डी'अलेम्बर्ट द्वारा किया गया था, लेकिन उसका प्रमाण अधूरा था। अन्य समस्याओं के अलावा, यह एक प्रमेय (अब पुइसेक्स के प्रमेय के रूप में जाना जाता है) को निहित रूप से ग्रहण करता है, जो एक शताब्दी से अधिक समय तक और बीजगणित के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध नहीं होगा। लियोनहार्ड यूलर (1749), फ्रांकोइस डेविएट डी फोन्सेंक्स (1759), जोसेफ लुइस लाग्रेंज (1772), और पियरे-साइमन लाप्लास (1795) द्वारा अन्य प्रयास किए गए। इन अंतिम चार प्रयासों में निहित रूप से गिरार्ड के दावे को ग्रहण किया गया; अधिक सटीक होने के लिए, समाधानों के अस्तित्व को मान लिया गया था और जो कुछ साबित होना बाकी था, वह यह था कि उनका रूप कुछ वास्तविक संख्याओं a और b के लिए a+bi था। आधुनिक शब्दों में, Euler, de Foncenex, Lagrange, और Laplace बहुपद p(z) के विभाजन वाले क्षेत्र के अस्तित्व को मान रहे थे।

18वीं शताब्दी के अंत में, दो नए प्रमाण प्रकाशित हुए जो जड़ों के अस्तित्व को नहीं मानते थे, लेकिन इनमें से कोई भी पूर्ण नहीं था। उनमें से एक, जेम्स वुड (गणितज्ञ) और मुख्य रूप से बीजगणितीय होने के कारण, 1798 में प्रकाशित हुआ था और इसे पूरी तरह से नजरअंदाज कर दिया गया था। वुड के प्रमाण में बीजगणितीय अंतर था। दूसरे को 1799 में कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा प्रकाशित किया गया था और यह मुख्य रूप से ज्यामितीय था, लेकिन इसमें एक सामयिक अंतर था, जिसे केवल 1920 में अलेक्जेंडर ओस्ट्रोव्स्की द्वारा भरा गया था, जैसा कि स्मेल (1981) में चर्चा की गई थी। पहला कठोर प्रमाण 1806 में जीन-रॉबर्ट अरगंड, शौकिया गणितज्ञों की एक सूची द्वारा प्रकाशित किया गया था (और 1813 में पुनरीक्षित); यहीं पर पहली बार, बीजगणित के मौलिक प्रमेय को केवल वास्तविक गुणांकों के बजाय जटिल गुणांक वाले बहुपदों के लिए बताया गया था। गॉस ने 1816 में दो अन्य सबूत पेश किए और 1849 में अपने मूल प्रमाण का एक और अधूरा संस्करण पेश किया।

प्रमेय के प्रमाण वाली पहली पाठ्यपुस्तक कौशी का कोर्ट्स डी'एनालिसिस|कोर्ट्स डी'एनालिसिस डी ल'इकोले रोयाले पॉलीटेक्निक (1821) थी। इसमें अरगंड का प्रमाण शामिल था, हालांकि जॉन रॉबर्ट अरगंड को इसका श्रेय नहीं दिया जाता है।

अब तक उल्लिखित कोई भी प्रमाण रचनावाद (गणित) नहीं है। 19वीं शताब्दी के मध्य में पहली बार विअरस्ट्रास ने बीजगणित के मौलिक प्रमेय के रचनात्मक प्रमाण को खोजने की समस्या को उठाया। उन्होंने अपना समाधान प्रस्तुत किया, जो 1891 में होमोटोपी निरंतरता सिद्धांत के साथ डुरंड-कर्नर पद्धति के संयोजन के लिए आधुनिक शब्दों में है। इस तरह का एक और प्रमाण 1940 में हेलमथ केसर द्वारा प्राप्त किया गया था और 1981 में उनके बेटे मार्टिन केनेसर द्वारा सरलीकृत किया गया था।

गणनीय विकल्प का उपयोग किए बिना, वास्तविक संख्याओं के निर्माण के आधार पर जटिल संख्याओं के लिए बीजगणित के मौलिक प्रमेय को रचनात्मक रूप से सिद्ध करना संभव नहीं है (जो बिना गणनीय विकल्प के कॉची वास्तविक संख्याओं के रचनात्मक रूप से समतुल्य नहीं हैं)। हालांकि, फ्रेड रिचमैन ने प्रमेय का एक सुधारित संस्करण साबित किया जो काम करता है।

समतुल्य कथन
प्रमेय के कई समतुल्य योग हैं: अगले दो बयान पिछले वाले के बराबर हैं, हालांकि उनमें कोई अवास्तविक सम्मिश्र संख्या शामिल नहीं है। इन कथनों को पिछले गुणनखंडों से यह टिप्पणी करके सिद्ध किया जा सकता है कि, यदि $n$ वास्तविक गुणांक वाले बहुपद की एक गैर-वास्तविक जड़ है, इसका जटिल संयुग्म $$\overline r$$ एक जड़ भी है, और $$(x-r)(x-\overline r)$$ वास्तविक गुणांकों के साथ घात दो का बहुपद है। इसके विपरीत, यदि किसी के पास डिग्री दो का गुणनखंड है, तो द्विघात सूत्र एक मूल देता है।
 * वास्तविक गुणांकों के साथ सकारात्मक डिग्री के प्रत्येक अविभाज्य बहुपद में कम से कम एक फ़ंक्शन का एक जटिल शून्य होता है।
 * जटिल गुणांकों के साथ धनात्मक डिग्री के प्रत्येक अविभाजित बहुपद में एक फ़ंक्शन का कम से कम एक जटिल शून्य होता है।
 * इसका तात्पर्य पिछले अभिकथन से है, क्योंकि वास्तविक संख्याएँ भी जटिल संख्याएँ हैं। विपरीत परिणाम इस तथ्य से मिलता है कि एक बहुपद और उसके जटिल संयुग्म के उत्पाद को वास्तविक गुणांक के साथ एक बहुपद प्राप्त होता है (प्रत्येक गुणांक को इसके जटिल संयुग्म के साथ बदलकर प्राप्त किया जाता है)। इस गुणनफल का एक मूल या तो दिए गए बहुपद का मूल है, या इसके संयुग्म का; बाद वाली स्थिति में, इस मूल का संयुग्मी दिए गए बहुपद का एक मूल है।
 * सकारात्मक डिग्री का प्रत्येक अविभाज्य बहुपद $n$ जटिल गुणांक के साथ गुणनखंड किया जा सकता है कहाँ पे $$c, r_1, \ldots, r_n$$ जटिल संख्याएँ हैं।
 * $n$ }} जटिल आंकड़े $$r_1, \ldots, r_n$$ बहुपद की जड़ें हैं। यदि एक जड़ कई कारकों में प्रकट होती है, तो यह एक बहुमूल है, और इसकी घटनाओं की संख्या, परिभाषा के अनुसार, मूल की बहुलता (गणित) है।
 * प्रमाण है कि यह कथन पिछले वाले से परिणामित होता है, पर पुनरावर्तन द्वारा किया जाता है $r$: जब एक जड़ $$r_1$$ द्वारा बहुपद विभाजन पाया गया है $$x-r_1$$ डिग्री का बहुपद प्रदान करता है $$n-1$$ जिनकी जड़ें दिए गए बहुपद की अन्य जड़ें हैं।
 * दो से अधिक डिग्री के वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक अविभाजित बहुपद में वास्तविक गुणांकों के साथ डिग्री दो का कारक होता है।
 * सकारात्मक डिग्री के वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक अविभाज्य बहुपद को इस प्रकार विभाजित किया जा सकता है कहाँ पे $c$ एक वास्तविक संख्या है और प्रत्येक $$p_i$$ वास्तविक गुणांकों के साथ अधिकतम दो डिग्री का एक मोनिक बहुपद है। इसके अलावा, कोई यह मान सकता है कि डिग्री दो के गुणनखंडों का कोई वास्तविक मूल नहीं है।

प्रमाण
नीचे दिए गए सभी प्रमाणों में कुछ गणितीय विश्लेषण, या कम से कम वास्तविक या जटिल कार्यों के निरंतर कार्य की टोपोलॉजी अवधारणा शामिल है। कुछ यौगिक या विश्लेषणात्मक कार्य फ़ंक्शंस का भी उपयोग करते हैं। इस आवश्यकता ने इस टिप्पणी को जन्म दिया है कि बीजगणित का मौलिक प्रमेय न तो मौलिक है, न ही बीजगणित का प्रमेय है। प्रमेय के कुछ प्रमाण केवल यह साबित करते हैं कि वास्तविक गुणांक वाले किसी भी गैर-निरंतर बहुपद का कुछ जटिल मूल होता है। यह लेम्मा सामान्य मामले को स्थापित करने के लिए पर्याप्त है क्योंकि जटिल गुणांकों के साथ एक गैर-अस्थिर बहुपद p(z) दिए जाने पर, बहुपद


 * $$q(z)=p(z)\overline{p(\overline z)}$$

केवल वास्तविक गुणांक हैं और, यदि z, q(z) का एक शून्य है, तो या तो z या इसका संयुग्म p(z) का एक मूल है।

प्रमेय के कई गैर-बीजगणितीय प्रमाण इस तथ्य का उपयोग करते हैं (कभी-कभी विकास लेम्मा कहा जाता है) कि एक बहुपद फलन p(z) डिग्री n जिसका प्रमुख गुणांक 1 है, z की तरह व्यवहार करता हैn कब |z| काफी बड़ा है। अधिक सटीक रूप से, कुछ धनात्मक वास्तविक संख्या R है जैसे कि


 * $$\tfrac{1}{2}|z^n|<|p(z)|<\tfrac{3}{2}|z^n|$$

जब |z| > आर।

वास्तविक-विश्लेषणात्मक प्रमाण
सम्मिश्र संख्याओं का उपयोग किए बिना भी, यह दिखाना संभव है कि एक वास्तविक-मूल्यवान बहुपद p(x): p(0) ≠ 0 डिग्री n > 2 को हमेशा वास्तविक गुणांक वाले किसी द्विघात बहुपद द्वारा विभाजित किया जा सकता है। दूसरे शब्दों में, कुछ वास्तविक मूल्य वाले a और b के लिए, p(x) को x से विभाजित करने पर रैखिक शेष के गुणांक2 − ax − b एक साथ शून्य हो जाता है।


 * $$p(x) = (x^2 - ax - b) q(x) + x\,R_{p(x)}(a, b) + S_{p(x)}(a, b),$$

जहाँ q(x) घात n - 2 का बहुपद है। गुणांक Rp(x)(ए, बी) और एसp(x)(ए, बी) एक्स से स्वतंत्र हैं और पूरी तरह से पी (एक्स) के गुणांक द्वारा परिभाषित हैं। प्रतिनिधित्व के मामले में आरp(x)(ए, बी) और एसp(x)(ए, बी) ए और बी में द्विपक्षीय बहुपद हैं। 1799 से इस प्रमेय के गॉस के पहले (अधूरे) प्रमाण के स्वाद में, कुंजी यह दिखाने के लिए है कि बी के किसी भी बड़े नकारात्मक मान के लिए, दोनों आर की सभी जड़ेंp(x)(ए, बी) और एसp(x)(ए, बी) वेरिएबल में ए वास्तविक-मूल्यवान हैं और एक-दूसरे को बदलते हैं (इंटरलेसिंग प्रॉपर्टी)। स्टर्म के प्रमेय का उपयोग | स्टर्म जैसी श्रृंखला जिसमें आर शामिल हैp(x)(ए, बी) और एसp(x)(ए, बी) लगातार शर्तों के रूप में, वेरिएबल ए में इंटरलेसिंग श्रृंखला में सभी लगातार जोड़े के लिए दिखाया जा सकता है जब बी में पर्याप्त रूप से बड़ा नकारात्मक मान हो। एस के रूप मेंp(ए, बी = 0) = पी (0) की कोई जड़ नहीं है, आर की इंटरलेसिंगp(x)(ए, बी) और एसp(x)(ए, बी) चर में बी = 0 पर विफल रहता है। सामयिक तर्कों को इंटरलेसिंग संपत्ति पर लागू किया जा सकता है यह दिखाने के लिए कि आर की जड़ों का स्थानp(x)(ए, बी) और एसp(x)(ए, बी) कुछ वास्तविक मूल्यवान ए और बी <0 के लिए छेड़छाड़ करना चाहिए।

जटिल-विश्लेषणात्मक प्रमाण
त्रिज्या r की एक बंद डिस्क (गणित) D खोजें जो मूल पर केंद्रित हो जैसे कि |p(z)| > |पी(0)| जब भी |z| ≥ आर। न्यूनतम |p(z)| डी पर, जो मौजूद होना चाहिए क्योंकि डी कॉम्पैक्ट सेट है, इसलिए कुछ बिंदु जेड पर हासिल किया जाता है0 डी के इंटीरियर में, लेकिन इसकी सीमा के किसी भी बिंदु पर नहीं। 1/p(z) पर लागू अधिकतम मॉड्यूलस सिद्धांत का अर्थ है कि p(z0) = 0. दूसरे शब्दों में, z0 p(z) का शून्य है।

इस सबूत की भिन्नता के लिए अधिकतम मॉड्यूलस सिद्धांत की आवश्यकता नहीं होती है (वास्तव में, इसी तरह का तर्क होलोमोर्फिक कार्यों के लिए अधिकतम मॉड्यूलस सिद्धांत का प्रमाण भी देता है)। सिद्धांत लागू होने से पहले से जारी है, अगर a := p(z0) ≠ 0, फिर, z - z की घात में p(z) का विस्तार करना0, हम लिख सकते हैं


 * $$p(z) = a + c_k (z-z_0)^k + c_{k+1} (z-z_0)^{k+1} + \cdots + c_n (z-z_0)^n.$$

यहाँ, सीjबहुपद z → p(z + z) के गुणांक हैं0) विस्तार के बाद, और k स्थिर पद के बाद पहले गैर-शून्य गुणांक का सूचकांक है। Z के लिए पर्याप्त रूप से z के करीब0 इस फ़ंक्शन का व्यवहार समान रूप से सरल बहुपद के समान है $$q(z) = a+c_k (z-z_0)^k$$. अधिक सटीक, समारोह


 * $$\left|\frac{p(z)-q(z)}{(z-z_0)^{k+1}}\right|\leq M$$

z के कुछ पड़ोस में कुछ धनात्मक स्थिरांक M के लिए0. इसलिए, यदि हम परिभाषित करते हैं $$\theta_0 = (\arg(a)+\pi-\arg(c_k)) /k$$ और जाने $$z = z_0 + r e^{i \theta_0}$$ z के चारों ओर त्रिज्या r > 0 के एक वृत्त का अनुरेखण करना, फिर किसी भी पर्याप्त रूप से छोटे r के लिए (ताकि बाध्य M धारण कर सके), हम देखते हैं कि


 * $$\begin{align}

&\le \left|a +(-1)c_k r^k e^{i(\arg(a)-\arg(c_k))}\right| + M r^{k+1} \\[4pt] &= |a|-|c_k|r^k + M r^{k+1} \end{align}$$ जब r पर्याप्त रूप से 0 के करीब होता है तो यह ऊपरी सीमा |p(z)| के लिए होती है |a| से बिल्कुल छोटा है, जो z की परिभाषा का खंडन करता है0. ज्यामितीय रूप से, हमें एक स्पष्ट दिशा θ मिली है0 ऐसा है कि यदि कोई z तक पहुंचता है0 उस दिशा से व्यक्ति p(z) का पूर्ण मान |p(z) से छोटा मान प्राप्त कर सकता है0)|.
 * p(z)| &\le |q(z)| + r^{k+1} \left|\frac{p(z)-q(z)}{r^{k+1}}\right|\\[4pt]

विचार की इस पंक्ति के साथ एक और विश्लेषणात्मक प्रमाण प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि |p(z)| > |पी(0)| D के बाहर, |p(z)| का न्यूनतम पूरे जटिल तल पर z पर प्राप्त किया जाता है0. अगर | पी (जेड0)| > 0, तो 1/p पूरे कॉम्प्लेक्स प्लेन में एक घिरा होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन है, क्योंकि प्रत्येक कॉम्प्लेक्स नंबर z के लिए, |1/p(z)| ≤ |1/p(z0)|. लिउविले के प्रमेय (जटिल विश्लेषण) | लिउविल के प्रमेय को लागू करना, जो बताता है कि एक परिबद्ध संपूर्ण कार्य स्थिर होना चाहिए, इसका अर्थ यह होगा कि 1/p स्थिर है और इसलिए p स्थिर है। यह एक विरोधाभास देता है, और इसलिए p(z0) = 0. फिर भी एक अन्य विश्लेषणात्मक प्रमाण तर्क सिद्धांत का उपयोग करता है। मान लीजिए कि R एक धनात्मक वास्तविक संख्या है जो इतनी बड़ी है कि p(z) के प्रत्येक मूल का निरपेक्ष मान R से छोटा है; ऐसी संख्या का अस्तित्व होना चाहिए क्योंकि डिग्री n के प्रत्येक गैर-निरंतर बहुपद फलन में अधिक से अधिक n शून्य होते हैं। प्रत्येक r > R के लिए, संख्या पर विचार करें


 * $$\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{p'(z)}{p(z)}\,dz,$$

जहां c(r) 0 पर केंद्रित वृत्त है, जिसकी त्रिज्या r वामावर्त दिशा में है; तब तर्क सिद्धांत कहता है कि यह संख्या r त्रिज्या के साथ 0 पर केंद्रित खुली गेंद में p(z) के शून्यों की संख्या N है, जो, चूंकि r > R, p(z) के शून्यों की कुल संख्या है। दूसरी ओर, c(r) के साथ n/z का समाकल 2πi से विभाजित n के बराबर है। लेकिन दोनों नंबरों के बीच का अंतर है


 * $$\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\left(\frac{p'(z)}{p(z)}-\frac{n}{z}\right)dz=\frac{1}{2\pi i}\int_{c(r)}\frac{zp'(z)-np(z)}{zp(z)}\,dz.$$

परिमेय व्यंजक के समाकलन में अधिकतम n − 1 की डिग्री होती है और हर की डिग्री n+1 होती है। इसलिए, ऊपर की संख्या r → +∞ के रूप में 0 हो जाती है। लेकिन संख्या भी N− n के बराबर है और इसलिए N = n।

कॉची के अभिन्न प्रमेय के साथ रैखिक बीजगणित को जोड़कर एक और जटिल-विश्लेषणात्मक प्रमाण दिया जा सकता है। यह स्थापित करने के लिए कि डिग्री n > 0 के प्रत्येक जटिल बहुपद में एक शून्य है, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि आकार n > 0 के प्रत्येक जटिल स्क्वायर मैट्रिक्स में एक (जटिल) eigenvalue है। बाद वाले कथन का प्रमाण विरोधाभास द्वारा प्रमाण है।

मान लीजिए कि A आकार n > 0 का एक जटिल वर्ग मैट्रिक्स है और Inएक ही आकार की इकाई मैट्रिक्स हो। मान लें कि A का कोई आइगेन मान नहीं है। विलायक औपचारिकता समारोह पर विचार करें


 * $$ R(z)=(zI_n-A)^{-1},$$

जो मैट्रिसेस के सदिश स्थान में मानों के साथ जटिल तल पर एक मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन है। A के eigenvalues ​​ठीक R(z) के ध्रुव हैं। चूंकि, धारणा के अनुसार, A का कोई आइगेनमान नहीं है, फलन R(z) एक संपूर्ण फलन है और कौशी का समाकल प्रमेय यह दर्शाता है कि


 * $$ \int_{c(r)} R(z) \, dz =0.$$

दूसरी ओर, ज्यामितीय श्रृंखला के रूप में विस्तारित R(z) देता है:


 * $$R(z)=z^{-1}(I_n-z^{-1}A)^{-1}=z^{-1}\sum_{k=0}^\infty \frac{1}{z^k}A^k\cdot$$

यह सूत्र त्रिज्या की बंद डिस्क (गणित) के बाहर मान्य है $$\|A\|$$ (ए के ऑपरेटर मानदंड)। होने देना $$r>\|A\|.$$ फिर


 * $$\int_{c(r)}R(z)dz=\sum_{k=0}^{\infty}\int_{c(r)}\frac{dz}{z^{k+1}}A^k=2\pi iI_n$$

(जिसमें केवल योग k = 0 का एक अशून्य समाकल है)। यह एक विरोधाभास है, और इसलिए ए का आइगेनवैल्यू है।

अंत में, रूचे का प्रमेय शायद प्रमेय का सबसे छोटा प्रमाण देता है।

सामयिक प्रमाण
मान लीजिए |p(z)| का न्यूनतम पूरे जटिल तल पर z पर प्राप्त किया जाता है0; यह सबूत पर देखा गया था जो लिउविल के प्रमेय का उपयोग करता है कि ऐसी संख्या मौजूद होनी चाहिए। हम p(z) को z − z में एक बहुपद के रूप में लिख सकते हैं0: कुछ प्राकृतिक संख्या k है और कुछ जटिल संख्याएँ c हैंk, सीk + 1, ..., सीnऐसा कि सीk≠ 0 और:


 * $$p(z)=p(z_0)+c_k(z-z_0)^k+c_{k+1}(z-z_0)^{k+1}+ \cdots +c_n(z-z_0)^n.$$

अगर पी (जेड0) अशून्य है, यह इस प्रकार है कि यदि a एक k हैth −p(z0)/सीkऔर यदि t धनात्मक है और पर्याप्त रूप से छोटा है, तो |p(z0+ उसे) | <| डर (में0)|, जो असंभव है, क्योंकि |p(z0)| |p| का न्यूनतम है डी पर

विरोधाभास द्वारा एक अन्य सामयिक प्रमाण के लिए, मान लीजिए कि बहुपद p(z) की कोई जड़ नहीं है, और फलस्वरूप कभी भी 0 के बराबर नहीं होता है। बहुपद को जटिल तल से जटिल तल में एक मानचित्र के रूप में सोचें। यह किसी भी वृत्त को मैप करता है |z| = R एक बंद लूप में, एक वक्र P(R). हम इस बात पर विचार करेंगे कि चरम सीमा पर P(R) की वाइंडिंग संख्या का क्या होता है जब R बहुत बड़ा होता है और जब R = 0 होता है। जब R पर्याप्त रूप से बड़ी संख्या होती है, तो अग्रणी शब्द zp(z) का n संयुक्त रूप से अन्य सभी शब्दों पर हावी है; दूसरे शब्दों में,


 * $$\left | z^n \right | > \left | a_{n-1} z^{n-1} + \cdots + a_0 \right |.$$

जब z वृत्त को पार करता है $$Re^{i\theta}$$ एक बार वामावर्त $$(0\leq \theta \leq 2\pi),$$ फिर $$z^n=R^ne^{in\theta}$$ हवाएँ n बार वामावर्त चलती हैं $$(0\leq \theta \leq 2\pi n)$$ मूल बिंदु के आसपास (0,0), और P(R) इसी तरह। दूसरे चरम पर, |z| के साथ = 0, वक्र P(0) केवल एक बिंदु p(0) है, जो अशून्य होना चाहिए क्योंकि p(z) कभी शून्य नहीं होता। इस प्रकार p(0) मूल (0,0) से अलग होना चाहिए, जो जटिल विमान में 0 को दर्शाता है। मूल (0,0) के चारों ओर P(0) की वाइंडिंग संख्या इस प्रकार 0 है। अब R को लगातार बदलने से होमोटॉपी होगी। कुछ R पर वाइंडिंग नंबर बदलना चाहिए। लेकिन यह तभी हो सकता है जब वक्र P(R) में कुछ R के लिए मूल (0,0) शामिल हो। लेकिन फिर उस वृत्त पर कुछ z के लिए |z| = R हमारे पास p(z) = 0 है, जो हमारी मूल धारणा के विपरीत है। इसलिए, p(z) में कम से कम एक शून्य है।

बीजगणितीय प्रमाण
बीजगणित के मौलिक प्रमेय के इन प्रमाणों को वास्तविक संख्याओं के बारे में निम्नलिखित दो तथ्यों का उपयोग करना चाहिए जो बीजगणितीय नहीं हैं लेकिन केवल थोड़ी मात्रा में विश्लेषण की आवश्यकता होती है (अधिक सटीक रूप से, दोनों मामलों में मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय):
 * एक विषम डिग्री और वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद का कुछ वास्तविक मूल होता है;
 * प्रत्येक गैर-ऋणात्मक वास्तविक संख्या का एक वर्गमूल होता है।

दूसरा तथ्य, द्विघात सूत्र के साथ, वास्तविक द्विघात बहुपदों के लिए प्रमेय का तात्पर्य है। दूसरे शब्दों में, मौलिक प्रमेय के बीजगणितीय प्रमाण वास्तव में दिखाते हैं कि यदि R कोई वास्तविक बंद क्षेत्र है, तो इसका विस्तार C = R($\sqrt{−1}$) बीजगणितीय रूप से बंद है।

प्रेरण द्वारा
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, यह कथन की जाँच करने के लिए पर्याप्त है कि वास्तविक गुणांक वाले प्रत्येक गैर-अस्थिर बहुपद p(z) का एक सम्मिश्र मूल होता है। इस कथन को सबसे बड़े गैर-ऋणात्मक पूर्णांक k पर आगमन द्वारा सिद्ध किया जा सकता है जैसे कि 2k p(z) की घात n को विभाजित करता है। माना a, z का गुणांक हैn p(z) में और F को C के ऊपर p(z) का विभाजित क्षेत्र होने दें; दूसरे शब्दों में, फ़ील्ड F में C है और वहाँ तत्व z हैं1, साथ2, ..., साथnएफ में ऐसा है कि


 * $$p(z)=a(z-z_1)(z-z_2) \cdots (z-z_n).$$

यदि k = 0, तो n विषम है, और इसलिए p(z) का वास्तविक मूल है। अब, मान लीजिए कि n = 2km (m विषम और k > 0 के साथ) और यह कि प्रमेय पहले ही सिद्ध हो चुका है जब बहुपद की डिग्री का रूप 2 हैk − 1m′ m′ विषम के साथ। वास्तविक संख्या t के लिए, परिभाषित करें:


 * $$q_t(z)=\prod_{1\le iएn. तो क्यूt(z) वास्तव में वास्तविक गुणांक हैं। इसके अलावा, क्यू की डिग्रीt(z) n(n − 1)/2 = 2 है k−1m(n − 1), और m(n − 1) एक विषम संख्या है। तो, प्रेरण परिकल्पना का उपयोग करते हुए, क्यूtकम से कम एक जटिल जड़ है; दूसरे शब्दों में, जेडi+ zj+ tzizj{1, ..., n} से दो अलग-अलग तत्वों i और j के लिए जटिल है। चूंकि जोड़े (i, j) की तुलना में अधिक वास्तविक संख्याएं हैं, इसलिए अलग-अलग वास्तविक संख्याएं t और s इस तरह से पा सकते हैं कि zi+ zj+ tzizjऔर जेडi+ zj+ नहींizjजटिल हैं (उसी i और j के लिए)। तो, दोनों जेडi+ zjऔर जेडizjजटिल संख्याएँ हैं। यह जाँचना आसान है कि प्रत्येक सम्मिश्र संख्या का एक सम्मिश्र वर्गमूल होता है, इस प्रकार द्विघात सूत्र द्वारा घात 2 के प्रत्येक सम्मिश्र बहुपद का एक सम्मिश्र मूल होता है। यह इस प्रकार है कि जेडiऔर जेडjसम्मिश्र संख्याएँ हैं, क्योंकि वे द्विघात बहुपद z के मूल हैं 2 - (जेडi+ zj)z+zizj.

जोसेफ शिपमैन ने 2007 में दिखाया कि यह धारणा कि विषम डिग्री बहुपदों की जड़ें आवश्यकता से अधिक मजबूत हैं; कोई भी क्षेत्र जिसमें प्रमुख डिग्री के बहुपदों की जड़ें बीजगणितीय रूप से बंद होती हैं (इसलिए विषम को विषम अभाज्य द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और यह सभी विशेषताओं के क्षेत्रों के लिए है)। बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों के स्वयंसिद्ध के लिए, यह सबसे अच्छा संभव है, क्योंकि यदि एक एकल अभाज्य को बाहर रखा गया है तो प्रति उदाहरण हैं। हालांकि, ये प्रति उदाहरण -1 के वर्गमूल पर निर्भर करते हैं। यदि हम एक ऐसा क्षेत्र लेते हैं जहां −1 का कोई वर्गमूल नहीं है, और घात n ∈ I के प्रत्येक बहुपद का एक मूल है, जहां I विषम संख्याओं का कोई निश्चित अनंत समुच्चय है, तो विषम कोटि के प्रत्येक बहुपद f(x) का एक मूल होता है ( जबसे (x2 + 1)kf(x) एक जड़ है, जहाँ k को चुना जाता है ताकि deg(f) + 2k ∈ I). मोहसिन अलीआबादी सामान्यीकृत 2013 में शिपमैन का परिणाम, एक स्वतंत्र प्रमाण प्रदान करता है कि बीजगणितीय रूप से बंद होने के लिए एक मनमाना क्षेत्र (किसी भी विशेषता के) के लिए पर्याप्त शर्त यह है कि इसकी प्रधान डिग्री के प्रत्येक बहुपद के लिए एक जड़ है।

गैलोइस थ्योरी से
मौलिक प्रमेय का एक अन्य बीजगणितीय प्रमाण गाल्वा सिद्धांत का उपयोग करके दिया जा सकता है। यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि C का कोई उचित परिमित क्षेत्र विस्तार नहीं है। K/'C' को परिमित विस्तार होने दें। चूँकि सामान्य विस्तार # 'R' पर K का सामान्य समापन अभी भी 'C' (या 'R') पर एक परिमित डिग्री है, हम सामान्यता के नुकसान के बिना मान सकते हैं कि K, 'R' का सामान्य विस्तार है (इसलिए यह है) एक गाल्वा विस्तार, विशेषता (बीजगणित) 0 के क्षेत्र के प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार के रूप में वियोज्य विस्तार है)। G को इस विस्तार का Galois समूह होने दें, और H को G का एक सिलो प्रमेय 2-उपसमूह होने दें, ताकि H का क्रम (समूह सिद्धांत) 2 की शक्ति हो, और G में H के एक उपसमूह का सूचकांक है अजीब। गैलोज़ सिद्धांत के मौलिक प्रमेय के अनुसार, K/'R' का एक उप-विस्तार L मौजूद है जैसे कि Gal(K/L) = H. जैसा कि [L:'R'] = [G:H] विषम है, और वहाँ हैं विषम डिग्री का कोई अरैखिक अप्रासंगिक वास्तविक बहुपद नहीं, हमारे पास L = 'R' होना चाहिए, इस प्रकार [K:'R'] और [K:'C'] 2 की शक्तियाँ हैं। विरोधाभास के माध्यम से यह मानते हुए कि [K:'C '] > 1, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि p-समूह|2-समूह Gal(K/'C') में अनुक्रमणिका 2 का एक उपसमूह शामिल है, इसलिए डिग्री 2 के 'C' का एक उप-विस्तार M मौजूद है। हालांकि, 'C' डिग्री 2 का कोई विस्तार नहीं है, क्योंकि प्रत्येक द्विघात सम्मिश्र बहुपद का एक सम्मिश्र मूल होता है, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है। इससे पता चलता है कि [K:'C'] = 1, और इसलिए K = 'C', जो उपपत्ति को पूरा करता है।

ज्यामितीय प्रमाण
जेएम अलमीरा और ए रोमेरो के कारण बीजगणित के मौलिक प्रमेय तक पहुंचने का एक और तरीका मौजूद है: रिमेंनियन ज्यामिति तर्कों द्वारा। यहाँ मुख्य विचार यह साबित करना है कि शून्य के बिना एक गैर-निरंतर बहुपद p(z) के अस्तित्व का अर्थ है 'एस' क्षेत्र पर एक फ्लैट कई गुना का अस्तित्व। 2। यह एक विरोधाभास की ओर ले जाता है क्योंकि गोला समतल नहीं है।

एक रिमेंनियन सतह (M, g) को सपाट कहा जाता है यदि इसकी गाऊसी वक्रता, जिसे हम K द्वारा निरूपित करते हैंg, समान रूप से शून्य है। अब, गॉस-बोनट प्रमेय, जब गोले 'S' पर लागू किया जाता है2, का दावा है


 * $$\int_{\mathbf{S}^2}K_g=4\pi,$$

जो सिद्ध करता है कि गोला समतल नहीं है।

आइए अब मान लें कि n> 0 और


 * $$p(z) = a_0 + a_1 z + \cdots + a_n z^n \neq 0$$

प्रत्येक जटिल संख्या z के लिए। आइए परिभाषित करते हैं


 * $$p^*(z) = z^n p \left ( \tfrac{1}{z} \right ) = a_0 z^n + a_1 z^{n-1} + \cdots + a_n.$$

जाहिर है, p*(z) ≠ 0 'C' में सभी z के लिए। बहुपद f(z) = p(z)p*(z) पर विचार करें। फिर 'C' में प्रत्येक z के लिए f(z) ≠ 0। आगे,


 * $$f(\tfrac{1}{w}) = p \left (\tfrac{1}{w} \right )p^* \left (\tfrac{1}{w} \right ) = w^{-2n}p^*(w)p(w) = w^{-2n}f(w).$$

हम इस क्रियात्मक समीकरण का प्रयोग यह सिद्ध करने के लिए कर सकते हैं कि g, द्वारा दिया गया है


 * $$g=\frac{1}{|f(w)|^{\frac{2}{n}}}\,|dw|^2 $$

डब्ल्यू के लिए 'सी' में, और


 * $$g=\frac{1}{\left |f\left (\tfrac{1}{w} \right ) \right |^{\frac{2}{n}}}\left |d\left (\tfrac{1}{w} \right ) \right |^2 $$

w ∈ 'S' के लिए2\{0}, गोले S पर एक अच्छी तरह से परिभाषित रिमेंनियन मेट्रिक है2 (जिसे हम विस्तारित जटिल तल C ∪ {∞} से पहचानते हैं)।

अब, एक साधारण गणना यह दर्शाती है


 * $$\forall w\in\mathbf{C}: \qquad \frac{1}{|f(w)|^{\frac{1}{n}}} K_g=\frac{1}{n}\Delta \log|f(w)|=\frac{1}{n}\Delta \text{Re}(\log f(w))=0,$$

चूंकि एक विश्लेषणात्मक कार्य का वास्तविक भाग हार्मोनिक है। इससे सिद्ध होता है कि केg = 0.

परिणाम
चूँकि बीजगणित के मौलिक प्रमेय को इस कथन के रूप में देखा जा सकता है कि जटिल संख्याओं का क्षेत्र बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है, यह इस प्रकार है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्रों से संबंधित कोई भी प्रमेय जटिल संख्याओं के क्षेत्र पर लागू होता है। यहाँ प्रमेय के कुछ और परिणाम हैं, जो या तो वास्तविक संख्या के क्षेत्र के बारे में हैं या वास्तविक संख्या के क्षेत्र और जटिल संख्या के क्षेत्र के बीच संबंध हैं:


 * सम्मिश्र संख्याओं का क्षेत्र वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र का बीजगणितीय समापन है।
 * जटिल गुणांक वाले एक चर z में प्रत्येक बहुपद एक जटिल स्थिरांक और जटिल के साथ z + a के रूप के बहुपदों का गुणनफल होता है।
 * वास्तविक गुणांक वाले एक चर x में प्रत्येक बहुपद को विशिष्ट रूप से x + a के रूप के एक स्थिर, बहुपद के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, और प्रपत्र x के बहुपद2 + ax + b with a और b real और a2 − 4b < 0 (जो कहने के समान है कि बहुपद x2 + ax + b का कोई वास्तविक मूल नहीं है)। (एबेल-रफ़िनी प्रमेय द्वारा, वास्तविक संख्याएँ a और b आवश्यक रूप से बहुपद के गुणांकों, मूल अंकगणितीय संक्रियाओं और n-वें मूलों के निष्कर्षण के संदर्भ में अभिव्यक्त नहीं हैं।) इसका तात्पर्य है कि गैर-वास्तविक की संख्या जटिल जड़ें हमेशा सम होती हैं और उनकी बहुलता से गिनने पर भी बनी रहती हैं।
 * वास्तविक गुणांक वाले एक चर x में प्रत्येक परिमेय फलन को a/(x − b) रूप के परिमेय फलन वाले बहुपद फलन के योग के रूप में लिखा जा सकता है।n (जहाँ n एक प्राकृत संख्या है, और a और b वास्तविक संख्याएँ हैं), और (ax + b)/(x) के रूप का परिमेय फलन2 + सीएक्स + डी)n (जहाँ n एक प्राकृतिक संख्या है, और a, b, c, और d वास्तविक संख्याएँ हैं जैसे कि c2 − 4d < 0). इसका एक परिणाम यह है कि एक चर और वास्तविक गुणांकों में प्रत्येक परिमेय फलन का एक प्राथमिक फलन (विभेदक बीजगणित) प्रतिअवकलज होता है।
 * वास्तविक क्षेत्र का प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार या तो वास्तविक क्षेत्र या जटिल क्षेत्र के लिए आइसोमोर्फिक है।

एक बहुपद
के शून्य पर सीमा

जबकि बीजगणित का मौलिक प्रमेय एक सामान्य अस्तित्व परिणाम बताता है, यह सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों दृष्टिकोणों से, किसी दिए गए बहुपद के शून्यों के स्थान पर जानकारी रखने के लिए कुछ रुचि का है। इस दिशा में सरल परिणाम मॉड्यूलस पर बाध्य है: एक मोनिक बहुपद के सभी शून्य ζ $$z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z +a_0$$ एक असमानता को संतुष्ट करें |ζ| ≤ आर∞, कहाँ पे


 * $$R_{\infty}:= 1+\max\{|a_0|,\ldots,|a_{n-1}|\}. $$

ध्यान दें कि, जैसा कि कहा गया है, यह अभी तक एक अस्तित्व का परिणाम नहीं है, बल्कि एक उदाहरण है जिसे एक प्राथमिकता और पश्चवर्ती बाध्यता कहा जाता है: यह कहता है कि यदि समाधान हैं तो वे केंद्र की बंद डिस्क के अंदर स्थित हैं और त्रिज्या आर∞. हालांकि, एक बार बीजगणित के मौलिक प्रमेय के साथ मिलकर यह कहता है कि डिस्क में वास्तव में कम से कम एक समाधान होता है। अधिक आम तौर पर, गुणांक के एन-वेक्टर के किसी भी पी-मानदंड के संदर्भ में एक बाध्य सीधे दिया जा सकता है $$a:=( a_0, a_1, \ldots, a_{n-1}),$$ वह है |ζ| ≤ आरp, जहां आरpठीक 2-वेक्टर का क्यू-नॉर्म है $$(1, \|a\|_p),$$ क्यू पी के संयुग्मी प्रतिपादक होने के नाते, $$\tfrac{1}{p} + \tfrac{1}{q} =1,$$ किसी भी 1 ≤ पी ≤ ∞ के लिए। इस प्रकार, किसी भी विलयन का मापांक भी द्वारा परिबद्ध होता है


 * $$ R_1:= \max\left \{ 1, \sum_{0\leq k<n} |a_k|\right \},$$
 * $$ R_p:= \left[ 1 + \left(\sum_{0\leq k<n}|a_k|^p\right )^{\frac{q}{p}}\right ]^{\frac{1}{q}},$$

1 <पी <∞ के लिए, और विशेष रूप से


 * $$ R_2:= \sqrt{\sum_{0\leq k\leq n} |a_k|^2 }$$

(जहाँ हम a को परिभाषित करते हैंnमतलब 1, जो उचित है क्योंकि 1 वास्तव में हमारे बहुपद का एन-वां गुणांक है)। डिग्री एन के एक सामान्य बहुपद का मामला,


 * $$P(z):= a_n z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z +a_0,$$

निश्चित रूप से एक मोनिक के मामले में कम हो गया है, सभी गुणांकों को एक से विभाजित करते हुएn≠ 0. साथ ही, अगर 0 एक रूट नहीं है, यानी a0 ≠ 0, जड़ों पर नीचे से सीमाएं ζ ऊपर से सीमा के रूप में तुरंत पालन करती हैं $$\tfrac{1}{\zeta}$$यानी की जड़ें


 * $$a_0 z^n+a_1z^{n-1}+\cdots+a_{n-1}z +a_n.$$

अंत में, दूरी $$|\zeta-\zeta_0|$$ जड़ों से ζ किसी भी बिंदु तक $$\zeta_0$$ नीचे और ऊपर से देखकर अंदाजा लगाया जा सकता है $$\zeta-\zeta_0$$ बहुपद के शून्य के रूप में $$P(z+\zeta_0)$$, जिसका गुणांक P(z) का टेलर विस्तार है $$z=\zeta_0.$$ माना ζ बहुपद का एक मूल है


 * $$z^n+a_{n-1}z^{n-1}+\cdots+a_1z +a_0;$$

असमानता को साबित करने के लिए |ζ| ≤ आरpहम निश्चित रूप से मान सकते हैं |ζ| > 1. समीकरण को इस रूप में लिखने पर


 * $$-\zeta^n=a_{n-1}\zeta^{n-1}+\cdots+a_1\zeta+a_0,$$

और होल्डर की असमानता का उपयोग करके हम पाते हैं


 * $$|\zeta|^n\leq \|a\|_p \left \| \left (\zeta^{n-1},\ldots,\zeta, 1 \right ) \right \|_q.$$

अब, यदि p = 1, यह है


 * $$|\zeta|^n\leq\|a\|_1\max \left \{|\zeta|^{n-1},\ldots,|\zeta|,1 \right \} =\|a\|_1|\zeta|^{n-1},$$

इस प्रकार


 * $$|\zeta|\leq \max\{1, \|a\|_1\}.$$

1 <p ≤ ∞ की स्थिति में, ज्यामितीय प्रगति के योग सूत्र को ध्यान में रखते हुए, हमारे पास है


 * $$|\zeta|^n\leq \|a\|_p \left(|\zeta|^{q(n-1)}+\cdots+|\zeta|^q +1\right)^{\frac{1}{q}}=\|a\|_p \left(\frac{|\zeta|^{qn}-1}{|\zeta|^q-1}\right)^{\frac{1}{q}}\leq\|a\|_p \left(\frac{|\zeta|^{qn}}{|\zeta|^q-1}\right)^{\frac{1}{q}},$$

इस प्रकार


 * $$|\zeta|^{nq}\leq \|a\|_p^q \frac{|\zeta|^{qn}}{|\zeta|^q-1}$$

और सरलीकरण,


 * $$|\zeta|^q\leq 1+\|a\|_p^q.$$

इसलिए


 * $$|\zeta|\leq \left \| \left (1,\|a\|_p \right ) \right \|_q=R_p $$

धारण करता है, सभी के लिए 1 ≤ p ≤ ∞.

यह भी देखें

 * Weierstrass गुणनखंड प्रमेय, अन्य संपूर्ण कार्यों के लिए प्रमेय का एक सामान्यीकरण
 * इलेनबर्ग-निवेन प्रमेय, चतुर्धातुक गुणांक और चर के साथ बहुपदों के लिए प्रमेय का एक सामान्यीकरण
 * हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट्ज, इस दावे के कई चरों का एक सामान्यीकरण कि जटिल जड़ें मौजूद हैं
 * बेज़ाउट की प्रमेय, जड़ों की संख्या पर अभिकथन के कई चरों का सामान्यीकरण।

ऐतिहासिक स्रोत

 * (tr। इकोले पॉलीटेक्निक के विश्लेषण पर पाठ्यक्रम, भाग 1: बीजगणितीय विश्लेषण)
 * . अंग्रेजी अनुवाद:
 * (tr। प्रमेय का नया प्रमाण है कि एक चर के प्रत्येक अभिन्न तर्कसंगत बीजगणितीय कार्य को पहली या दूसरी डिग्री के वास्तविक कारकों में हल किया जा सकता है)।
 * - पहला प्रमाण।
 * - दूसरा प्रमाण।
 * - तीसरा प्रमाण।
 * - चौथा प्रमाण।
 * (बीजगणित और अंतर्ज्ञान का मौलिक प्रमेय)।
 * (टीआर। बीजगणित के मौलिक प्रमेय पर हेलमथ केसर के काम का विस्तार)।
 * (tr। बीजगणित के मौलिक प्रमेय के पहले और चौथे गॉसियन प्रमाणों पर)।
 * (tr। प्रमेय का नया प्रमाण है कि एक चर के प्रत्येक अभिन्न तर्कसंगत कार्य को उसी चर के रैखिक कार्यों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है)।
 * (tr। प्रमेय का नया प्रमाण है कि एक चर के प्रत्येक अभिन्न तर्कसंगत कार्य को उसी चर के रैखिक कार्यों के उत्पाद के रूप में दर्शाया जा सकता है)।

हाल का साहित्य

 * (tr। बीजगणित के मौलिक प्रमेय के इतिहास पर: समीकरणों का सिद्धांत और अभिन्न कलन।)
 * (tr। तर्कसंगत कार्य §80–88: मौलिक प्रमेय)।
 * [एचटीटीपी://प्रोजेक्टउक्लिड.ऑर्ग/डपबस?सर्विस=ुइ&वर्शन=1.0&वर्ब=डिस्प्ले&हैंडल=यूक्लिड.बांस/1183547848]
 * - गॉस के दूसरे प्रमाण का अंग्रेजी अनुवाद।
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 * - गॉस के दूसरे प्रमाण का अंग्रेजी अनुवाद।
 * [एचटीटीपी://प्रोजेक्टउक्लिड.ऑर्ग/डपबस?सर्विस=ुइ&वर्शन=1.0&वर्ब=डिस्प्ले&हैंडल=यूक्लिड.बांस/1183547848]
 * - गॉस के दूसरे प्रमाण का अंग्रेजी अनुवाद।
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 * - गॉस के दूसरे प्रमाण का अंग्रेजी अनुवाद।
 * - गॉस के दूसरे प्रमाण का अंग्रेजी अनुवाद।
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बाहरी संबंध

 * Algebra, fundamental theorem of at Encyclopaedia of Mathematics
 * Fundamental Theorem of Algebra — a collection of proofs
 * From the Fundamental Theorem of Algebra to Astrophysics: A "Harmonious" Path
 * Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74
 * Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74
 * Mizar system proof: http://mizar.org/version/current/html/polynom5.html#T74