श्रीखंडे ग्राफ

ग्राफ सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, श्रीखंडे ग्राफ 1959 में एस.एस. श्रीखंडे द्वारा खोजे गए नामित ग्राफों की एक गैलरी है। यह 16 वर्टेक्स (ग्राफ़ थ्योरी) और 48 एज (ग्राफ़ थ्योरी) के साथ एक दृढ़ता से नियमित ग्राफ़ है, जिसमें प्रत्येक वर्टेक्स में डिग्री (ग्राफ़ थ्योरी) 6 है। नोड्स की प्रत्येक जोड़ी में दो अन्य पड़ोसी आम हैं, चाहे नोड्स की जोड़ी हो जुड़ा है या नहीं।

निर्माण
श्रीखंडे ग्राफ को केली ग्राफ के रूप में बनाया जा सकता है। वर्टेक्स सेट है $$\mathbb{Z}_4 \times \mathbb{Z}_4$$. दो शीर्ष आसन्न हैं यदि और केवल यदि अंतर में है $$\{\pm( 1,0),\pm(0,1),\pm (1,1)\}$$.

गुण
श्रीखंडे ग्राफ में, किन्हीं भी दो शीर्षों I और J के दो अलग-अलग पड़ोसी उभयनिष्ठ हैं (दो शीर्षों I और J को छोड़कर), जो सत्य है कि I, J के निकट है या नहीं। दूसरे शब्दों में, यह दृढ़ता से नियमित ग्राफ है और इसके पैरामीटर हैं: {16,6,2,2}, यानी, $$\lambda = \mu = 2$$. इस समानता का अर्थ है कि ग्राफ एक समरूपता BIBD से जुड़ा है। श्रीखंडे ग्राफ इन मापदंडों को ठीक एक अन्य ग्राफ के साथ साझा करता है, 4×4 हाथी लाइन ग्राफ, यानी रेखा ग्राफ L(K)4,4) पूर्ण द्विपक्षीय ग्राफ के4,4. बाद वाला ग्राफ एकमात्र लाइन ग्राफ है L(Kn,n) जिसके लिए मजबूत नियमितता पैरामीटर उस ग्राफ़ को विशिष्ट रूप से निर्धारित नहीं करते हैं लेकिन एक अलग ग्राफ़ के साथ साझा किए जाते हैं, अर्थात् श्रीखंडे ग्राफ़ (जो एक हाथी का ग्राफ़ नहीं है)। श्रीखंडे ग्राफ नेबरहुड (ग्राफ थ्योरी) है; अर्थात्, प्रत्येक शीर्ष के पड़ोसी छह शीर्षों का एक चक्र ग्राफ बनाते हैं। जैसा कि किसी भी स्थानीय चक्रीय ग्राफ के साथ होता है, श्रीखंडे ग्राफ किसी सतह के त्रिकोणासन (टोपोलॉजी) का एन-कंकाल|1-कंकाल है; श्रीखंडे ग्राफ के मामले में, यह सतह एक टोरस्र्स  है जिसमें प्रत्येक शीर्ष छह त्रिकोणों से घिरा हुआ है। इस प्रकार, श्रीखंडे ग्राफ एक  टॉरॉयडल ग्राफ  है। एम्बेडिंग 32 त्रिकोणीय चेहरों के साथ टोरस में एक नियमित नक्शा (ग्राफ सिद्धांत) बनाता है। इस नक्शे के दोहरे का कंकाल (जैसा कि टोरस में एम्बेडेड है) डाइक ग्राफ, एक घन सममित ग्राफ है।

श्रीखंडे ग्राफ दूरी-सकर्मक ग्राफ नहीं है। यह सबसे छोटी दूरी-नियमित ग्राफ है जो दूरी-सकर्मक नहीं है। श्रीखंडे ग्राफ का ग्राफ ऑटोमोर्फिज्म 192 क्रम का है। यह ग्राफ के किनारों पर, किनारों पर और चाप पर सकर्मक रूप से कार्य करता है। इसलिए, श्रीखंडे ग्राफ एक सममित ग्राफ है।

श्रीखंडे ग्राफ का अभिलाक्षणिक बहुपद है : $$(x-6)(x-2)^6(x+2)^9$$. इसलिए, श्रीखंडे ग्राफ एक अभिन्न ग्राफ है: इसके वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत में पूरी तरह से पूर्णांक होते हैं।

इसमें पुस्तक की मोटाई 4 और कतार संख्या 3 है।

बाहरी संबंध

 * The Shrikhande Graph, Peter Cameron, August 2010.