लघु निरस्तीकरण सिद्धांत

समूह सिद्धांत के गणितीय विषय में, छोटे रद्दीकरण सिद्धांत छोटे रद्दीकरण की स्थिति को संतुष्ट करने वाले समूह की प्रस्तुति द्वारा दिए गए समूहों का अध्ययन करता है, अर्थात जहां परिभाषित संबंधों में एक दूसरे के साथ छोटे ओवरलैप होते हैं। छोटे रद्दीकरण की स्थिति समूह के बीजगणितीय, ज्यामितीय और एल्गोरिथम गुणों को दर्शाती है। सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत किए गए समूह पर्याप्त रूप से मजबूत छोटी रद्दीकरण स्थितियों को संतुष्ट करते हैं शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूह हैं और देह के एल्गोरिथ्म द्वारा हल करने योग्य समूहों के लिए शब्द समस्या है। टार्स्की राक्षस समूह के निर्माण के लिए और बर्नसाइड की समस्या के समाधान के लिए छोटे रद्दीकरण विधियों का भी उपयोग किया जाता है।

इतिहास
छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत में अंतर्निहित कुछ विचार 1910 के दशक में मैक्स डेहन के काम पर वापस जाते हैं। Dehn ने साबित किया कि कम से कम दो जीनस की बंद ओरिएंटेबल सतहों के मूलभूत समूहों में समूहों के लिए शब्द समस्या है जिसे अब Dehn's कलन विधि कहा जाता है। उनके प्रमाण में अतिशयोक्तिपूर्ण कई गुना में ऐसे समूह के केली ग्राफ को चित्रित करना और केली ग्राफ में एक बंद लूप के लिए गॉस-बोनट प्रमेय के माध्यम से वक्रता अनुमान लगाना शामिल है ताकि यह निष्कर्ष निकाला जा सके कि इस तरह के लूप में एक बड़ा हिस्सा (आधे से अधिक) होना चाहिए। एक परिभाषित संबंध का।

टार्टाकोव्स्की का 1949 का पेपर छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत के लिए एक तत्काल अग्रदूत था: इस पत्र ने समूहों के एक वर्ग के लिए शब्द समस्या का समाधान प्रदान किया, जो संयोजी स्थितियों के एक जटिल सेट को संतुष्ट करता था, जहां छोटे रद्दीकरण प्रकार की धारणाओं ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई थी। छोटे रद्दीकरण सिद्धांत का मानक संस्करण, जैसा कि आज उपयोग किया जाता है, 1960 के दशक की शुरुआत में मार्टिन ग्रीन्डलिंगर द्वारा पत्रों की एक श्रृंखला में विकसित किया गया था,  जो मुख्य रूप से मीट्रिक छोटी रद्दीकरण स्थितियों से निपटते थे। विशेष रूप से, ग्रीन्डलिंगर ने साबित किया कि सी'(1/6) छोटी रद्दीकरण स्थिति को संतुष्ट करने वाले अंतिम रूप से प्रस्तुत समूहों में देह के एल्गोरिथ्म द्वारा हल की जाने वाली शब्द समस्या है। लिंडन के बाद के काम में सिद्धांत को और अधिक परिष्कृत और औपचारिक रूप दिया गया, रूसी और लिंडन-स्कूप, जिन्होंने गैर-मीट्रिक छोटी रद्दीकरण स्थितियों के मामले का भी इलाज किया और समामेलन और एचएनएन-विस्तार के साथ मुक्त उत्पाद के लिए छोटे रद्दीकरण सिद्धांत का एक संस्करण विकसित किया।

लघु निरसन सिद्धांत को अलेक्जेंडर ओलशांस्की द्वारा विकसित किया गया था जिन्होंने विकसित किया था सिद्धांत का एक वर्गीकृत संस्करण जहां परिभाषित संबंधों का सेट एक निस्पंदन से सुसज्जित होता है और जहां एक विशेष ग्रेड के एक परिभाषित रिलेटर को एक उच्च ग्रेड के एक परिभाषित रिलेटर के साथ एक बड़े ओवरलैप की अनुमति होती है। ओलशास्की ने टार्स्की राक्षस समूह सहित विभिन्न राक्षस समूहों के निर्माण के लिए वर्गीकृत छोटे रद्दीकरण सिद्धांत का इस्तेमाल किया और एक नया प्रमाण देने के लिए भी बड़े विषम घातांक की बर्नसाइड की समस्या अनंत है (यह परिणाम मूल रूप से सर्गेई एडियन और पीटर नोविकोव द्वारा 1968 में अधिक संयोजी विधियों का उपयोग करके सिद्ध किया गया था)। लघु रद्दीकरण सिद्धांत ने शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के सिद्धांत के लिए उदाहरणों और विचारों का एक बुनियादी सेट प्रदान किया जो कि मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) द्वारा 1987 के मोनोग्राफ हाइपरबोलिक समूहों में सामने रखा गया था।

मुख्य परिभाषाएँ
नीचे दी गई प्रदर्शनी मोटे तौर पर Ch का अनुसरण करती है। लिंडन और शूप की पुस्तक का वी।

टुकड़े
होने देना
 * $$ G=\langle X\mid R\rangle\qquad (*)$$ एक समूह की प्रस्तुति हो जहां R ⊆ F(X) मुक्त समूह F(X) में स्वतंत्र रूप से कम किए गए और चक्रीय रूप से कम किए गए शब्दों का एक सेट है, जैसे कि R सममित है, यानी चक्रीय क्रमपरिवर्तन और व्युत्क्रम लेने के तहत बंद है।

एफ (एक्स) में एक गैर-तुच्छ स्वतंत्र रूप से कम शब्द यू को (∗) के संबंध में एक टुकड़ा कहा जाता है यदि दो अलग-अलग तत्व मौजूद हैं1, आर2 आर में यू अधिकतम आम प्रारंभिक खंड के रूप में है।

ध्यान दें कि अगर $$G=\langle X\mid S\rangle$$ एक समूह प्रस्तुति है जहां रिलेटर एस को परिभाषित करने का सेट सममित नहीं है, हम हमेशा एस के सममित बंद आर को ले सकते हैं, जहां आर में एस और एस के तत्वों के सभी चक्रीय क्रमपरिवर्तन होते हैं।-1. फिर आर सममित है और $$G=\langle X\mid R\rangle$$ जी की भी प्रस्तुति है।

मीट्रिक छोटी रद्द करने की शर्तें
चलो 0< λ < 1। उपरोक्त के रूप में प्रस्तुति (∗) को सी'(λ) छोटी रद्दीकरण स्थिति को पूरा करने के लिए कहा जाता है यदि जब भी यू (∗) के संबंध में एक टुकड़ा है और यू कुछ आर ∈ आर का उपशब्द है, तो |यू| < λ|आर|। यहां |वी| एक शब्द वी की लंबाई है।

स्थिति C′(λ) को कभी-कभी मीट्रिक छोटी रद्दीकरण स्थिति कहा जाता है।

गैर-मीट्रिक छोटी रद्दीकरण शर्तें
मान लीजिए p ≥ 3 एक पूर्णांक है। उपरोक्त के अनुसार समूह प्रस्तुति (∗) को C(p) छोटी रद्दीकरण शर्त को पूरा करने के लिए कहा जाता है यदि जब भी r ∈ R और
 * $$r=u_1\dots u_m$$ जहां तुमi टुकड़े हैं और जहां उपरोक्त उत्पाद लिखित रूप में स्वतंत्र रूप से कम किया गया है, तो एम ≥ पी। यही है, कोई परिभाषित संबंधक पी टुकड़ों से कम के कम उत्पाद के रूप में नहीं लिखा जा सकता है।

मान लीजिए q ≥ 3 एक पूर्णांक है। ऊपर के रूप में एक समूह प्रस्तुति (∗) को टी (क्यू) छोटी रद्दीकरण शर्त को पूरा करने के लिए कहा जाता है यदि जब भी 3 ≤ टी < क्यू और आर1,...,आरt आर में ऐसे हैं कि आर1≠ आर2−1,..., आरt≠ आर1−1 तो कम से कम एक उत्पाद r1r2,...,आरt&minus;1rt, आरtr1 लिखित रूप में स्वतंत्र रूप से कम किया जाता है।

ज्यामितीय रूप से, स्थिति T(q) का अनिवार्य रूप से मतलब है कि यदि D (∗) पर एक घटा हुआ वैन कम्पेन आरेख है, तो कम से कम तीन डिग्री के D के प्रत्येक आंतरिक शीर्ष में वास्तव में कम से कम q की डिग्री होती है।

उदाहरण

 * होने देना $$G=\langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle$$ रैंक दो के मुक्त एबेलियन समूह की मानक प्रस्तुति हो। फिर इस प्रस्तुति के सममित बंद होने के लिए केवल टुकड़े लंबाई 1 के शब्द हैं। यह सममित रूप C(4)–T(4) छोटी रद्दीकरण शर्तों और किसी भी 1 > λ > 1/ के लिए C′(λ) स्थिति को पूरा करता है 4.
 * होने देना $$G=\langle a_1,b_1,\dots, a_k,b_k\mid [a_1,b_1]\cdot\dots\cdot [a_k,b_k]\rangle$$, जहां k ≥ 2, जीनस k की एक बंद ओरिएंटेबल सतह के मौलिक समूह की मानक प्रस्तुति हो। फिर इस प्रस्तुति के सममितीकरण के लिए केवल लंबाई 1 के शब्द हैं और यह समरूपता C'(1/7) और C(8) छोटी रद्दीकरण शर्तों को पूरा करती है।
 * होने देना $$G=\langle a,b\mid abab^2ab^3\dots ab^{100}\rangle$$. फिर, व्युत्क्रम तक, इस प्रस्तुति के सममित संस्करण के लिए प्रत्येक भाग का रूप b हैमैं अब जे  या बी i, जहां 0 ≤ i,j ≤ 100। यह सममितीकरण C′(1/20) छोटी रद्दीकरण स्थिति को पूरा करता है।
 * यदि एक सममित प्रस्तुति C'(1/m) स्थिति को संतुष्ट करती है तो यह C(m) स्थिति को भी संतुष्ट करती है।
 * चलो r ∈ F(X) एक गैर-तुच्छ चक्रीय रूप से कम किया गया शब्द है जो F(X) में एक उचित शक्ति नहीं है और n ≥ 2 दें। फिर प्रस्तुति का सममित समापन $$ G=\langle X\mid r^n\rangle$$ C(2n) को संतुष्ट करता है और C'(1/n) छोटी रद्दीकरण शर्तें।

ग्रीनलिंगर की लेम्मा
मीट्रिक छोटी रद्दीकरण स्थिति के बारे में मुख्य परिणाम निम्न कथन है (देखें प्रमेय 4.4 के Ch. V में जिसे आमतौर पर कहा जाता है

ग्रीन्डलिंगर की लेम्मा: आज्ञा दें (∗) एक समूह प्रस्तुति हो जैसा कि उपरोक्त C'(λ) छोटी रद्दीकरण स्थिति को संतुष्ट करता है जहां 0 ≤ λ ≤ 1/6। चलो w ∈ F(X) एक गैर-तुच्छ स्वतंत्र रूप से कम किया गया शब्द है जैसे w = 1 G में। फिर w का एक उपशब्द v है और एक परिभाषित संबंधक r ∈ R ऐसा है कि v भी r का एक उपशब्द है और ऐसा वह



\left|v\right| > \left(1-3\lambda\right)\left|r\right| $$ ध्यान दें कि धारणा λ ≤ 1/6 का अर्थ है कि  (1 − 3λ) ≥ 1/2, ताकि w में कुछ परिभाषित रिलेटर के आधे से अधिक उपशब्द हों।

ग्रीन्डलिंगर की लेम्मा को निम्नलिखित ज्यामितीय कथन के परिणाम के रूप में प्राप्त किया जाता है:

ग्रीन्डलिंगर के लेम्मा की धारणाओं के तहत, डी को चक्रीय रूप से कम सीमा लेबल के साथ (∗) पर एक कम वैन कैम्पेन आरेख होने दें, जैसे कि डी में कम से कम दो क्षेत्र शामिल हैं। तब दो अलग-अलग क्षेत्र होते हैं D1 और डी2 D में ऐसा है कि j = 1,2 के लिए क्षेत्र Dj D के सीमा चक्र ∂D को एक साधारण चाप में काटता है जिसकी लंबाई (1 − 3λ)|∂D से बड़ी हैj|।

बदले में यह परिणाम डी के लिए एक दोहरे आरेख पर विचार करके सिद्ध किया गया है। वहां एक वक्रता की संयोजन धारणा को परिभाषित करता है (जो कि, छोटी रद्दीकरण धारणाओं द्वारा, प्रत्येक आंतरिक शीर्ष पर नकारात्मक है), और फिर गॉस का संयोजन संस्करण प्राप्त करता है- बोनट प्रमेय। ग्रीन्डलिंगर की लेम्मा इस विश्लेषण के परिणाम के रूप में साबित हुई है और इस तरह सबूत सतह समूहों के मामले के लिए देह के मूल सबूत के विचारों को उजागर करता है।

देह का एल्गोरिथम
किसी भी सममित समूह प्रस्तुति (∗) के लिए, निम्नलिखित अमूर्त प्रक्रिया को देह का एल्गोरिथम कहा जाता है:


 * 'X पर एक मुक्त रूप से कम किया हुआ शब्द w'' दिया गया है±1, स्वतंत्र रूप से कम किए गए शब्दों का एक क्रम बनाएं w = w0, में1, में2,..., निम्नलिखित नुसार।
 * मान लीजिए डब्ल्यूj पहले से ही निर्मित है। यदि यह खाली शब्द है, तो एल्गोरिथम को समाप्त करें। अन्यथा जांचें कि क्या डब्ल्यूj इसमें एक सबवर्ड v होता है जैसे कि v भी कुछ डिफाइनिंग रिलेटर r = vu ∈ R का एक सबवर्ड होता है जैसे कि |v| >>|आर|/2. यदि नहीं, तो आउटपुट w के साथ एल्गोरिथ्म को समाप्त करेंj. यदि हाँ, तो v को u से बदलें-1 डब्ल्यू मेंj, फिर स्वतंत्र रूप से कम करें, परिणामी स्वतंत्र रूप से कम किए गए शब्द को w से निरूपित करेंj+1 और एल्गोरिथम के अगले चरण पर जाएं।

ध्यान दें कि हमारे पास हमेशा होता है
 * व0| >>|व1| >>|व2| >...

जिसका तात्पर्य है कि प्रक्रिया को अधिकतम |w| में समाप्त होना चाहिए कदम। इसके अलावा, सभी शब्द डब्ल्यूj G के उसी तत्व का प्रतिनिधित्व करता है जैसा w करता है और इसलिए यदि प्रक्रिया खाली शब्द के साथ समाप्त होती है, तो w G के पहचान तत्व का प्रतिनिधित्व करता है।

एक का कहना है कि एक सममित प्रस्तुति के लिए (∗) Dehn का एल्गोरिथ्म G में समूहों के लिए शब्द समस्या को हल करता है यदि विलोम भी सत्य है, अर्थात यदि F(X) में किसी मुक्त रूप से घटाए गए शब्द w के लिए यह शब्द G के पहचान तत्व का प्रतिनिधित्व करता है ' अगर और केवल अगर' देह का एल्गोरिदम, डब्ल्यू से शुरू होता है, खाली शब्द में समाप्त होता है।

ग्रीन्डलिंगर की लेम्मा का तात्पर्य है कि C'(1/6) प्रस्तुति के लिए Dehn का एल्गोरिथ्म शब्द समस्या को हल करता है।

यदि एक C'(1/6) प्रस्तुति (∗) परिमित है (अर्थात् X और R दोनों परिमित हैं), तो Dehn का एल्गोरिथ्म एक वास्तविक गैर-नियतात्मक कलन विधि है। पुनरावर्तन सिद्धांत के अर्थ में गैर-नियतात्मक एल्गोरिथम है। हालाँकि, भले ही (∗) एक अनंत C′(1/6) प्रस्तुति हो, Dehn का एल्गोरिथ्म, जिसे एक अमूर्त प्रक्रिया के रूप में समझा जाता है, फिर भी सही ढंग से तय करता है कि जनरेटर X में कोई शब्द है या नहीं±1 जी के तत्समक तत्व का प्रतिनिधित्व करता है।

एस्फेरिसिटी
आज्ञा दें (∗) एक C'(1/6) या, अधिक आम तौर पर, C(6) प्रस्तुति जहां प्रत्येक r ∈ R F(X) में एक उचित शक्ति नहीं है तो G निम्नलिखित अर्थों में एस्फेरिकल स्पेस है। R के एक न्यूनतम उपसमुच्चय S पर विचार करें जैसे कि S का सममित समापन R के बराबर है। इस प्रकार यदि r और s, S के विशिष्ट तत्व हैं तो r, s का चक्रीय क्रमचय नहीं है±1 और $$G=\langle X\mid S\rangle $$ जी के लिए एक और प्रस्तुति है। इस प्रस्तुति के लिए वाई को प्रस्तुतिकरण जटिल होना चाहिए। तब (देखें और प्रमेय 13.3 में ), उपरोक्त मान्यताओं के तहत (∗), Y, G के लिए एक वर्गीकरण स्थान है, अर्थात G = π1(Y) और Y का सार्वभौमिक आवरण सिकुड़ा हुआ स्थान है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य है कि G मरोड़-मुक्त है और इसका कोहोलॉजिकल आयाम दो है।

अधिक सामान्य वक्रता
अधिक आम तौर पर, किसी भी वैन कम्पेन आरेख पर विभिन्न प्रकार के स्थानीय वक्रता को परिभाषित करना संभव है - बहुत मोटे तौर पर - औसत अतिरिक्त vertices + faces − edges (जो, यूलर के सूत्र द्वारा, कुल 2 होना चाहिए) और, एक विशेष समूह में दिखाकर, कि यह हमेशा गैर-सकारात्मक (या – इससे भी बेहतर – नकारात्मक) आंतरिक रूप से दिखाता है कि वक्रता सभी सीमा पर या उसके पास होनी चाहिए और इस प्रकार शब्द समस्या का समाधान प्राप्त करने का प्रयास करें। इसके अलावा, कोई भी उन आरेखों पर ध्यान केंद्रित कर सकता है जिनमें क्षेत्रों का कोई सेट नहीं होता है जैसे कि एक ही सीमा के साथ एक छोटा क्षेत्र होता है।

छोटे रद्दीकरण समूहों के अन्य बुनियादी गुण

 * मान लीजिए (∗) एक C′(1/6) प्रस्तुति है। तब G में एक तत्व g का क्रम n > 1 होता है यदि और केवल यदि R में r = s के रूप में कोई रिलेटर होता हैn F(X) में ऐसा है कि g, G में s के लिए संयुग्मी वर्ग है। विशेष रूप से, यदि R के सभी तत्व F(X) में उचित शक्तियाँ नहीं हैं तो G मरोड़-मुक्त है।
 * यदि (∗) एक परिमित C′(1/6) प्रस्तुति है, तो समूह G शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूह है|शब्द-अतिपरवलयिक।
 * यदि R और S, F(X) के समान सामान्य बंद (समूह सिद्धांत) के साथ F(X) के परिमित सममित उपसमुच्चय हैं, जैसे कि दोनों प्रस्तुतियाँ $$\langle X\mid R\rangle $$ और $$\langle X\mid S\rangle $$ C′(1/6) स्थिति को पूरा करें तो R = S.
 * यदि एक परिमित प्रस्तुति (∗) C′(1/6), C′(1/4)–T(4), C(6), C(4)–T(4), C(3) में से किसी एक को संतुष्ट करती है )–T(6) तो समूह G में समूहों के लिए हल करने योग्य शब्द समस्या और हल करने योग्य संयुग्मन समस्या है

अनुप्रयोग
लघु निरस्तीकरण सिद्धांत के अनुप्रयोगों के उदाहरणों में शामिल हैं:


 * वैकल्पिक गांठों के समूहों के लिए संयुग्मन समस्या का समाधान (देखें और अध्याय V, प्रमेय 8.5 इंच ), यह दिखाते हुए कि ऐसी गांठों के लिए संवर्धित गाँठ समूह C(4)–T(4) प्रस्तुतियों को स्वीकार करते हैं।
 * सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत C′(1/6) छोटे रद्दीकरण समूह शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के मूल उदाहरण हैं। शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के समतुल्य लक्षणों में से एक यह है कि वे परिमित प्रस्तुतियों को स्वीकार करते हैं जहां देह के एल्गोरिदम समूहों के लिए शब्द समस्या हल करते हैं।
 * परिमित सी (4) – टी (4) प्रस्तुतियों द्वारा दिए गए सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह जहां प्रत्येक टुकड़े की लंबाई एक है सीएटी (0) समूहों के मूल उदाहरण हैं: इस तरह की प्रस्तुति के लिए प्रस्तुति परिसर का सार्वभौमिक आवरण कैट (के) है अंतरिक्ष | सीएटी (0) वर्ग परिसर।
 * छोटे निरस्तीकरण सिद्धांत के प्रारंभिक अनुप्रयोगों में विभिन्न अंतःस्थापन परिणाम प्राप्त करना शामिल है। उदाहरणों में 1974 का पेपर शामिल है Sacerdote और Schupp के प्रमाण के साथ कि कम से कम तीन जनरेटर वाला प्रत्येक एक-रिलेटर समूह SQ सार्वभौमिक समूह है। SQ-सार्वभौमिक और Schupp का 1976 का पेपर इस प्रमाण के साथ कि प्रत्येक गणनीय समूह को क्रम दो के तत्व और क्रम तीन के तत्व द्वारा उत्पन्न एक साधारण समूह में एम्बेड किया जा सकता है।
 * तथाकथित रिप्स निर्माण, एलियाहू चीरता है के कारण, शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के विभिन्न उपसमूह गुणों के बारे में काउंटर-उदाहरणों का एक समृद्ध स्रोत प्रदान करता है: मनमाने ढंग से प्रस्तुत समूह क्यू को देखते हुए, निर्माण एक छोटा सटीक अनुक्रम उत्पन्न करता है $$1\to K\to G\to Q\to 1$$ जहाँ K दो-उत्पन्न होता है और जहाँ G मरोड़-मुक्त होता है और एक परिमित C′ (1/6) -प्रस्तुति द्वारा दिया जाता है (और इस प्रकार G शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण है)। निर्माण उपसमूह सदस्यता समस्या, पीढ़ी की समस्या और समूह के रैंक सहित शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के लिए कई एल्गोरिथम समस्याओं की असम्बद्धता का प्रमाण देता है। साथ ही, कुछ अपवादों के साथ, रिप्स निर्माण में समूह K अंतिम रूप से प्रस्तुत समूह नहीं है। इसका तात्पर्य यह है कि ऐसे शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूह मौजूद हैं जो सुसंगत नहीं हैं, जिनमें उपसमूह होते हैं जो सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होते हैं लेकिन अंतिम रूप से प्रस्तुत करने योग्य नहीं होते हैं।
 * छोटी रद्दीकरण विधियों (अनंत प्रस्तुतियों के लिए) का उपयोग ओल्शांस्की द्वारा किया गया था तर्स्की राक्षस समूह सहित विभिन्न राक्षस समूहों का निर्माण करने के लिए और एक प्रमाण देने के लिए कि बड़े विषम घातांक के मुक्त बर्नसाइड समूह अनंत हैं (एक समान परिणाम मूल रूप से 1968 में एडियन और नोविकोव द्वारा अधिक संयोजी विधियों का उपयोग करके सिद्ध किया गया था)। इस पद्धति का उपयोग करके ओल्शांस्की द्वारा निर्मित कुछ अन्य राक्षस समूहों में शामिल हैं: एक अनंत सरल समूह नोथेरियन समूह; एक अनंत समूह जिसमें प्रत्येक उचित उपसमूह का प्रधान क्रम होता है और एक ही क्रम के दो उपसमूह संयुग्मित होते हैं; एक अनुकूल समूह जहां हर उचित उपसमूह चक्रीय है; और दूसरे।
 * ब्रायन बॉडिच यह साबित करने के लिए अनंत छोटी रद्दीकरण प्रस्तुतियों का उपयोग किया गया है कि दो-जनरेटर समूहों के लगातार कई अर्ध isometry | अर्ध-आइसोमेट्री प्रकार मौजूद हैं।
 * थॉमस और वेलिकोविच ने निर्माण के लिए लघु रद्दीकरण सिद्धांत का उपयोग किया दो गैर-होमियोमॉर्फिक स्पर्शोन्मुख शंकुओं के साथ एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न समूह, इस प्रकार मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) के एक प्रश्न का उत्तर दे रहा है।
 * मैककैमोंड और वाइज ने दिखाया कि कैसे रिप्स निर्माण द्वारा उत्पन्न कठिनाइयों को दूर किया जाए और छोटे रद्दीकरण समूहों के बड़े वर्गों का उत्पादन किया जाए जो सुसंगत हैं (अर्थात जहां सभी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न उपसमूहों को सूक्ष्मता से प्रस्तुत किया जाता है) और, इसके अलावा, स्थानीय रूप से क्वासिकोनवेक्स (अर्थात जहां सभी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होते हैं) उपसमूह क्वासिकोनवेक्स हैं)।
 * जेनेरिक या रैंडम समूह के विभिन्न मॉडलों के अध्ययन में रद्दीकरण के छोटे तरीके महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं यादृच्छिक रूप से प्रस्तुत समूह (देखें ). विशेष रूप से, जनरेटर की एक निश्चित संख्या m ≥ 2 और संबंधों को परिभाषित करने की एक निश्चित संख्या t ≥ 1 के लिए और किसी भी λ < 1 के लिए एक यादृच्छिक एम-जनरेटर टी-रिलेटर समूह C′(λ) छोटी रद्दीकरण स्थिति को संतुष्ट करता है। भले ही परिभाषित संबंधों की संख्या t निश्चित न हो लेकिन (2m − 1) के रूप में बढ़ती हैεn (जहां ε ≥ 0 यादृच्छिक समूहों के ग्रोमोव के घनत्व मॉडल में निश्चित घनत्व पैरामीटर है, और जहां $$n\to\infty$$ परिभाषित संबंधों की लंबाई है), तो एक ε-यादृच्छिक समूह प्रदान की गई C′(1/6) शर्त को पूरा करता है ε< 1/12।
 * मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) एक सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह के अस्तित्व को साबित करने के लिए एक ग्राफ के संबंध में छोटे रद्दीकरण सिद्धांत के एक संस्करण का उपयोग किया जिसमें (उचित अर्थ में) विस्तारक ग्राफ का एक अनंत अनुक्रम होता है और इसलिए हिल्बर्ट अंतरिक्ष में एक समान एम्बेडिंग को स्वीकार नहीं करता है। यह परिणाम नोविकोव अनुमान के प्रति-उदाहरणों की तलाश के लिए एक दिशा प्रदान करता है (अब तक केवल एक ही उपलब्ध है)।
 * ओसिन अपेक्षाकृत हाइपरबोलिक समूहों के लिए थर्स्टन की हाइपरबोलिक डेन सर्जरी प्रमेय।

सामान्यीकरण

 * मुफ्त उत्पाद और एचएनएन एक्सटेंशन के भागफल समूहों के लिए छोटे रद्दीकरण सिद्धांत का एक संस्करण Sacerdote और Schupp के पेपर में और फिर लिंडन और Schupp की पुस्तक में विकसित किया गया था। * रिप्स और ओलशांस्की छोटे रद्दीकरण सिद्धांत का एक स्तरीकृत संस्करण विकसित किया गया है, जहां रिलेटर्स के सेट को स्ट्रैट के आरोही संघ के रूप में फ़िल्टर किया जाता है (प्रत्येक स्ट्रैटम एक छोटी रद्दीकरण स्थिति को संतुष्ट करता है) और कुछ स्ट्रैटम से एक रिलेटर आर के लिए और एक उच्च स्तर से एक रिलेटर के लिए उनके ओवरलैप की आवश्यकता होती है |s| के संबंध में छोटा होना लेकिन |r| के संबंध में बड़े होने की अनुमति है। इस सिद्धांत ने ओल्शांस्की को तार्स्की राक्षस समूह सहित विभिन्न राक्षस समूहों का निर्माण करने और एक नया प्रमाण देने की अनुमति दी कि बड़े विषम घातांक के मुक्त बर्नसाइड समूह अनंत हैं।
 * ओलशांस्की और डेलजेंट बाद में शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के भागफल के लिए छोटे रद्दीकरण सिद्धांत के विकसित संस्करण।
 * मैककैमोंड ने छोटे रद्दकरण सिद्धांत का एक उच्च-आयामी संस्करण प्रदान किया।
 * मैककैमोंड और वाइज ने छोटे रद्दीकरण प्रस्तुतियों पर वैन कैम्पेन आरेखों की ज्यामिति के संबंध में मानक छोटे रद्दीकरण सिद्धांत (जैसे ग्रीन्डलिंगर की लेम्मा) के बुनियादी परिणामों को काफी हद तक आगे बढ़ाया।
 * मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) ने साबित करने के लिए एक ग्राफ के संबंध में लघु निरसन सिद्धांत के एक संस्करण का उपयोग किया एक सूक्ष्म रूप से प्रस्तुत समूह का अस्तित्व जिसमें (उचित अर्थ में) विस्तारकों का एक अनंत अनुक्रम होता है और इसलिए हिल्बर्ट अंतरिक्ष में एक समान एम्बेडिंग को स्वीकार नहीं करता है।
 * आंशिक रूप से अपेक्षाकृत अतिशयोक्तिपूर्ण समूहों के उद्धरणों के लिए छोटे रद्दीकरण सिद्धांत का एक संस्करण दिया और इसका उपयोग हाइपरबोलिक डेहन सर्जरी के अपेक्षाकृत हाइपरबोलिक सामान्यीकरण को प्राप्त करने के लिए किया। थर्स्टन की हाइपरबोलिक डेन सर्जरी प्रमेय।

मूल संदर्भ

 * रोजर लिंडन और पॉल शूप, कॉम्बिनेटरियल ग्रुप थ्योरी। 1977 संस्करण का पुनर्मुद्रण। गणित में क्लासिक्स। स्प्रिंगर-वर्लाग, बर्लिन, 2001। ISBN 3-540-41158-5.
 * अलेक्जेंडर यू. ओलशांस्की, समूहों में संबंधों को परिभाषित करने की ज्यामिति। 1989 के रूसी मूल से यू द्वारा अनुवादित। ए बख्तूरिन। गणित और इसके अनुप्रयोग (सोवियत श्रृंखला), 70। क्लूवर शैक्षणिक प्रकाशक समूह, डॉर्ड्रेक्ट, 1991। ISBN 0-7923-1394-1.
 * राल्फ स्ट्रेबेल, परिशिष्ट। छोटे रद्दीकरण समूह। माइकल ग्रोमोव (बर्न, 1988) के अनुसार अतिपरवलयिक समूहों पर, पीपी। 227–273, गणित में प्रगति, 83, बिरखौसर बोस्टन, बोस्टन, मैसाचुसेट्स, 1990। ISBN 0-8176-3508-4.
 * मिले क्रेजेव्स्की, कैंसलेशन+कंडीशन्स%27%27 प्लेन की टाइलिंग, हाइपरबोलिक ग्रुप्स और स्मॉल कैंसलेशन कंडीशंस। मेमोयर्स ऑफ द अमेरिकन मैथमैटिकल सोसाइटी, वॉल्यूम। 154 (2001), नहीं। 733.

यह भी देखें

 * ज्यामितीय समूह सिद्धांत
 * शब्द-अतिशयोक्तिपूर्ण समूह
 * तर्स्की राक्षस समूह
 * बर्नसाइड की समस्या
 * अंतिम रूप से प्रस्तुत समूह
 * समूहों के लिए शब्द समस्या
 * वैन कम्पेन आरेख

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