संरचनात्मक स्थिरता

गणित में संरचनात्मक स्थिरता गतिशील प्रणाली की मौलिक संपत्ति होती है, जिसका अर्थ है कि प्रक्षेपवक्रों का गुणात्मक व्यवहार छोटे अल्प क्षोभ (त्रुटिहीन रूप से C1-अल्प क्षोभ) से अप्रभावित होता है ।

इस तरह के गुणात्मक गुणों के उदाहरण निश्चित बिंदु और आवधिक कक्षाओं की संख्या (लेकिन उनकी अवधि नहीं) हैं। ल्यापुनॉफ कि स्थिरता के विपरीत, जो निश्चित प्रणाली के लिए प्रारंभिक स्थितियों के अल्प क्षोभ पर विचार करता है, संरचनात्मक स्थिरता प्रणाली अल्प क्षोभ से संबंधित है। इस धारणा के परिवर्त रूप सामान्यतः अंतर समीकरणों की प्रणालियों पर लागू होते हैं,  समतल मैनिफोल्ड पर सदिश क्षेत्र और उनके द्वारा उत्पन्न प्रवाह, और उनके द्वारा भिन्नता उत्पन्न होती है।

1937 में अलेक्जेंडर एंड्रोनोव और लेव पोंट्रीगिन द्वारा संरचनात्मक रूप से स्थिर प्रणालियों को "सिस्टम्स ग्रॉसियर्स" या रफ सिस्टम्स के नाम से प्रस्तुत किया गया था। उन्होंने विमान, एंड्रोनोव -पोंट्रीगिन मानदंड में किसी न किसी सिस्टम के लक्षण के वर्णन की घोषणा की। इस स्थितियों में, संरचनात्मक रूप से स्थिर प्रणालियां विशिष्ट हैं, वे उपयुक्त टोपोलॉजी से संपन्न सभी प्रणालियों के स्थान में एक खुले घने सेट का निर्माण करती हैं। उच्च आयामों में, यह दर्शाता जाता है कि विशिष्ट गतिशीलता बहुत जटिल हो सकती है (सीएफ असामान्यतः अत्ट्रेक्टर ) यादृच्छिक आयामों संरचनात्मक रूप से स्थिर प्रणालियों का एक महत्वपूर्ण वर्ग एनोसोव डिफियोमोर्फिज्म और प्रवाह द्वारा दिया गया है।

परिभाषा
मान लेते है, G को Rn में कॉम्पैक्ट क्लोजर और समतल (n-1) -आयामी सीमा के साथ डोमेन बना होता है। स्थान X1(G) पर विचार करें  जिसमें Rn पर C1 सदिश क्षेत्रों में G प्रतिबंध सम्मलित होता हैं जो G की सीमा के अनुप्रस्थ हैं और आवक उन्मुख होता हैं। यह स्थान सामान्य रूप से C1 मीट्रिक से संपन्न है। एक सदिश क्षेत्र F ∈ X1(G) ' अशक्त  संरचनात्मक रूप से स्थिर' होता है यदि किसी  पर्याप्त रूप से अल्प क्षोभ F1 के लिए, संबंधित प्रवाह G पर सामयिक रूप से समतुल्य होता हैं:  होमोमोर्फिज्म उपस्थित है:G → G जो F के उन्मुख प्रक्षेपवक्र को F1 उन्मुख प्रक्षेपवक्र में बदल देता है। यदि, इसके अतिरिक्त, किसी भी ε> 0 के लिए होमोमोर्फिज्म h को C0 ε- पहचान मानचित्र के समीप चुना जा सकता है  जब F1 ε के आधार पर F के उपयुक्त निकटतम से संबंधित होता है, तो F को संरचनात्मक रूप से स्थिर करा जाता है। ये परिभाषाएं सीमांत के साथ एन-डायमेंशनल  सघन स्मूथ मैनिफोल्ड्स के स्थितियों में सीधे तरीके से विस्तारित होती हैं।  एंड्रोनोव और पोंट्रीगिन को मूल रूप से मजबूत संपत्ति माना जाता था। सदिश क्षेत्रों और प्रवाह के स्थान पर भिन्नता के अनुरूप परिभाषाएं दी जा सकती हैं: इस प्रणाली में, होमोमोर्फिज्म एच को एक सांस्थितिक संयुग्मन होना चाहिए।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि टोपोलॉजिकल समतुल्यता को सहजता नुकसान के साथ महसूस किया जाता है: मानचित्र एच, सामान्यतः रूप से, एक अंतर नहीं हो सकता है। इसके अतिरिक्त, चूंकि टोपोलॉजिकल समतुल्यता उन्मुख प्रक्षेपवक्र का सम्मान करती है, टोपोलॉजिकल संयुग्मन के विपरीत, यह समय के अनुकूल नहीं है। इस प्रकार, सामयिक तुल्यता की प्रासंगिक धारणा सदिश क्षेत्रों के सरल C1 संयुग्मन का अधिक कमजोर होना है। इन प्रतिबंधों के बिना, निश्चित बिंदुओं या आवधिक कक्षाओं वाली कोई निरंतर समय प्रणाली संरचनात्मक रूप से स्थिर नहीं हो सकती थी। कमजोर संरचनात्मक रूप से स्थिर प्रणालियां X1(G), में एक खुला सेट बनाते हैं,  किन्तु यह अज्ञात है कि मजबूत स्थितियों में समान गुण धारण करता है या नहीं करती है ।

उदाहरण
यूनिट डिस्क डी पर C1 वेक्टर क्षेत्रों की संरचनात्मक स्थिरता के लिए आवश्यक और पर्याप्त स्थिति जो सीमा के लिए अनुप्रस्थ हैं औरदो-क्षेत्र S2 पर एंड्रोनोव और पोंट्रीगिन के मूलभूत पेपर में निर्धारित की गई हैं। एंड्रोनोव-पोंट्रीगिन मानदंड के अनुसार,  ऐसे क्षेत्र संरचनात्मक रूप से स्थिर होते हैं यदि उनके पास केवल कई विलक्षण बिंदु (हाइपरबोलिक संतुलन बिंदु) और आवधिक प्रक्षेपवक्र ( सीमा चक्र ) हैं, जो सभी गैर-पतित (अतिपरवलीय) और सैडल-टू-सैडल कनेक्शन नहीं हैं। इसके अतिरिक्त, सिस्टम का गैर-घूमने वाला सेट ठीक एकवचन बिंदुओं और आवधिक कक्षाओं का मिलान होता है। विशेष रूप से, दो आयामों में संरचनात्मक रूप से स्थिर वेक्टर क्षेत्रों में होमक्लिनिक प्रक्षेपवक्र नहीं हो सकते हैं, जो गतिशीलता को अत्यधिक जटिल करते हैं, जैसा कि हेनरी पॉइनकेयर द्वारा खोजा गया था।

टोरस्र्स पर गैर-विलय समतल सदिश क्षेत्रों की संरचनात्मक स्थिरता की जांच पोंकारे और अरनॉड डेंजॉय द्वारा विकसित सिद्धांत का उपयोग करके की जा सकती है। पॉइनकेयर पुनरावृत्ति मानचित्र का उपयोग करते हुए, प्रश्न को वृत्त के डिफियोमोर्फिज्म की संरचनात्मक स्थिरता का निर्धारण करने के लिए कम किया जाता है। डेनजॉय प्रमेय के परिणाम के रूप में, वृत्त के C2 डिफियोमोर्फिज्म ƒ को संरक्षित करने वाला एक ओरिएंटेशन संरचनात्मक रूप से स्थिर है यदि इसकी रोटेशन संख्या तर्कसंगत है, ρ (ƒ) = p/q, और आवधिक प्रक्षेपवक्र, जिसमें सभी की अवधि Q गैर-पतित हैं:आवधिक बिंदुओं पर ƒq का जैकोबियन 1 से भिन्न होता है, वृत्त मानचित्र देखें।

दिमित्री एनोसोव ने पाया कि टोरस के हाइपरबोलिक ऑटोमोर्फिज्म, जैसे कि अर्नोल्ड के कैट मैप, संरचनात्मक रूप से स्थिर हैं। इसके बाद उन्होंने इस कथन को सिस्टम के एक व्यापक वर्ग के लिए सामान्यतःीकृत किया, जिसे तब से एनोसोव डिफियोमोर्फिज्म और एनोसोव प्रवाह कहा जाता है। एनोसोव प्रवाह का एक प्रसिद्ध उदाहरण जियोडेसिक प्रवाह द्वारा निरंतर नकारात्मक वक्रता, सीएफ हैडमार्ड बिलियर्ड्स की सतह पर दिया गया है।

इतिहास और महत्व
प्रणाली की संरचनात्मक स्थिरता ठोस भौतिक प्रणालियों के विश्लेषण के लिए गतिशील प्रणालियों के गुणात्मक सिद्धांत को लागू करने का औचित्य प्रदान करती है। इस तरह के गुणात्मक विश्लेषण का विचार आकाशीय यांत्रिकी  में तीन-शरीर की समस्या पर हेनरी पोंकारे के काम पर वापस जाता है। लगभग उसी समय, अलेक्सांद्र लायपुनोव ने एक व्यक्तिगत प्रणाली के अल्प क्षोभ की स्थिरता की सख्ती से जांच की गयी। व्यवहार में, विभिन्न छोटी-छोटी अंतःक्रियाओं की उपस्थिति के कारण  प्रणाली का विकास नियम  (अर्थात विभेदक समीकरण) कभी भी त्रुटिहीन रूप से ज्ञात नहीं होता है। इसलिए, यह जानना महत्वपूर्ण है कि गतिशीलता की बुनियादी विशेषताएं मॉडल प्रणाली किसी भी छोटे अल्प क्षोभ के लिए समान हैं, जिसका विकास एक निश्चित ज्ञात भौतिक कानून द्वारा नियंत्रित होता है। 1920 के दशक में जॉर्ज बिरखॉफ द्वारा गुणात्मक विश्लेषण को और विकसित किया गया था,   किन्तु पहली बार 1937 में एंड्रोनोव और पोंट्रीगिन द्वारा किसी न किसी प्रणाली की अवधारणा की शुरुआत के साथ इसे औपचारिक रूप दिया गया था। इसे तुरंत एंड्रोनोव, विट और खैकिन द्वारा दोलनों के साथ भौतिक प्रणालियों के विश्लेषण पर लागू किया गया था। "संरचनात्मक स्थिरता" शब्द सोलोमन लेफ्शेट्ज़ के कारण है, जिन्होंने अंग्रेजी में अपने मोनोग्राफ के अनुवाद का निरीक्षण किया। 1960 के दशक में अतिशयोक्तिपूर्ण गतिकी के संदर्भ में संरचनात्मक स्थिरता के विचार स्टीफन स्मेल और उनके स्कूल द्वारा उठाए गए थे। इससे पहले, मारस्टन मोर्स और हस्लर व्हिटनी ने पहल की और रेने थॉम ने अलग-अलग मानचित्रों के लिए स्थिरता का एक समानांतर सिद्धांत विकसित किया,जो विलक्षणता सिद्धांत का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है। थॉम ने जैविक प्रणालियों के लिए इस सिद्धांत के अनुप्रयोगों की परिकल्पना की। स्मेल और थॉम दोनों ने मौरिसियो पेक्सोटो के साथ सीधे संपर्क में काम किया, जिन्होंने 1950 के दशक के अंत में पिक्सोटो के प्रमेय को विकसित किया था।

जब स्मेल ने अतिशयोक्तिपूर्ण गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत को विकसित करना प्रारंभ किया, तो उन्होंने आशा व्यक्त की कि संरचनात्मक रूप से स्थिर प्रणाली विशिष्ट होगी। यह कम आयामों में स्थिति के अनुरूप होता: प्रवाह दो प्रवाह के लिए और डिफोमोर्फिज्म के लिए आयाम एक होता है। चूंकि, उन्होंने जल्द ही उच्च-आयामी कई गुना पर वेक्टर क्षेत्रों के उदाहरण पाए, जिन्हें एक मनमाने ढंग से छोटे अल्प क्षोभ द्वारा संरचनात्मक रूप से स्थिर नहीं बनाया जा सकता है (ऐसे उदाहरण बाद में आयाम तीन के कई गुना पर निर्मित किए गए हैं)। इसका मतलब है कि उच्च आयामों में, संरचनात्मक रूप से स्थिर प्रणालियां सघन नहीं होती हैं।  इसके अतिरिक्त, एक संरचनात्मक रूप से स्थिर प्रणाली में अतिशयोक्तिपूर्ण सैडल बंद कक्षाओं और ट्रांसवर्सल होमक्लिनिक प्रक्षेपवक्र और असीम रूप से कई आवधिक कक्षाओं के ट्रांसवर्सल होमोक्लिनिक प्रक्षेपवक्र हो सकते हैं, यदिचरण स्थान  सघन हो। एंड्रोनोव और पोंट्रीगिन द्वारा माना जाता है कि संरचनात्मक रूप से स्थिर प्रणालियों के निकटतम उच्च-आयामी एनालॉग को मोर्स-स्मेल सिस्टम द्वारा दिया गया है।

यह भी देखें

 * समस्थिति
 * स्व-स्थिरीकरण, सुपरस्टेबिलाइजेशन
 * स्थिरता सिद्धांत