सिंक फलन

गणित, भौतिकी और अभियांत्रिकी में, सिंक फलन, जिसे $sinc(x)$ द्वारा दर्शाया जाता है, इसके दो रूप हैं, सामान्यीकृत और असामान्यीकृत।

गणित में, ऐतिहासिक असामान्यीकृत सिंक फलन को x ≠ 0 के लिए परिभाषित किया गया है।$$\operatorname{sinc}x = \frac{\sin x}{x}.$$ वैकल्पिक रूप से, असामान्य सिंक फलन को प्रायः प्रारूपकरण फलन कहा जाता है, जिसे Sa(x) के रूप में दर्शाया गया है। अंकीय संकेत प्रक्रिया और सूचना सिद्धांत में, सामान्यीकृत सिंक फलन को सामान्यतः $x ≠ 0$ के लिए परिभाषित किया जाता है:$$\operatorname{sinc}x = \frac{\sin(\pi x)}{\pi x}.$$

किसी भी स्थिति में, x = 0 पर मान को सीमित मान के रूप में परिभाषित किया गया है: $$\operatorname{sinc}0 := \lim_{x \to 0}\frac{\sin(a x)}{a x} = 1$$ सभी वास्तविक के लिए $a ≠ 0$ (सीमा को स्क्वीज़ प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है)।

सामान्यीकृत स्थिरांक के कारण वास्तविक संख्याओं पर फलन का अभिन्न 1 के समान हो जाता है (जबकि असामान्यीकृत साइन फलन के समान अभिन्न का मान $\pi$ होता है।)  उपयोगी गुण के रूप में, सामान्यीकृत सिंक फलन के शून्य $x$ के अशून्य पूर्णांक मान हैं।

सामान्यीकृत सिंक फलन बिना किसी स्केलिंग के आयताकार फलन का फूरियर रूपांतरण है। इसका उपयोग सिग्नल के समान दूरी वाले प्रारूपों से निरंतर बैंडलिमिटेड सिग्नल के पुनर्निर्माण की अवधारणा में किया जाता है।

दोनों परिभाषाओं के मध्य मात्र अंतर π के कारक द्वारा स्वतंत्र चर ($x$ अक्ष ) की स्केलिंग में है। दोनों स्थितियों में, शून्य पर विस्थापित योग्य विलक्षणता पर फलन का मान 1 होता है। तब सिंक फलन सभी समिष्ट विश्लेषणात्मक फलन होता है और इसलिए यह संपूर्ण फलन होता है।

फलन को कार्डिनल साइन या साइन कार्डिनल फलन भी कहा गया है। शब्द सिंक को फिलिप एम. वुडवर्ड ने अपने 1952 के लेख "सूचना सिद्धांत और दूरसंचार में प्रतिकूल संभावना" में प्रस्तुत किया था, जिसमें उन्होंने कहा था कि फलन फूरियर विश्लेषण और इसके अनुप्रयोगों में इतनी बार होता है कि यह योग्य प्रतीत होता है अपने स्वयं के कुछ संकेतन", और उनकी 1953 की पुस्तक प्रोबेबिलिटी एंड इंफॉर्मेशन थ्योरी, विद एप्लीकेशंस टू रडार है। फलन को सर्वप्रथम गणितीय रूप से लॉर्ड रेले द्वारा अपनी अभिव्यक्ति (रेले के सूत्र) में पूर्व के जैसे शून्य-क्रम गोलाकार बेसेल फलन के लिए इस रूप में प्राप्त किया गया था।

गुण
असामान्यीकृत सिंक की शून्य क्रॉसिंग π के अशून्य पूर्णांक गुणकों पर होती है, जबकि सामान्यीकृत सिंक की शून्य क्रॉसिंग अशून्य पूर्णांकों पर होती है।

असामान्य सिंक का स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा कोज्या फलन के साथ इसके प्रतिच्छेदन से युग्मित होता है। वह है, $sin(ξ)⁄ξ = cos(ξ)$ सभी बिंदुओं के लिए $ξ$ जहां का व्युत्पन्न $sin(x)⁄x$ शून्य है और इस प्रकार स्थानीय शीर्ष पर पहुँच जाता है। यह सिंक फलन के व्युत्पन्न से निम्नानुसार है: $$\frac{d}{dx}\operatorname{sinc}(x) = \frac{\cos(x) - \operatorname{sinc}(x)}{x}.$$ सकारात्मक $x$ निर्देशांक के साथ $n$-वें शीर्ष के $x$ निर्देशांक के लिए अनंत श्रृंखला के पहले कुछ पद हैं: $$x_n = q - q^{-1} - \frac{2}{3} q^{-3} - \frac{13}{15} q^{-5} - \frac{146}{105} q^{-7} - \cdots,$$ जहाँ $$q = \left(n + \frac{1}{2}\right) \pi,$$ और जहाँ विषम $n$ स्थानीय न्यूनतम तक ले जाता है, और सम $n$ स्थानीय अधिकतम की ओर ले जाता है। $y$ के चारों ओर समरूपता के कारण, $x$ निर्देशांक $−x_{n}$ के साथ एक्स्ट्रेमा उपस्तिथ है। इसके अतिरिक्त, $ξ_{0} = (0, 1)$पर पूर्ण अधिकतम है।

सामान्यीकृत सिंक फलन का अनंत उत्पाद के रूप में सरल प्रतिनिधित्व होता है: $$\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \prod_{n=1}^\infty \left(1 - \frac{x^2}{n^2}\right)$$ और यूलर के प्रतिबिंब सूत्र के माध्यम से गामा फलन $Γ(x)$ से संबंधित है : $$\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} = \frac{1}{\Gamma(1 + x)\Gamma(1 - x)}.$$ यूलर ने इसका शोध किया: $$\frac{\sin(x)}{x} = \prod_{n=1}^\infty \cos\left(\frac{x}{2^n}\right),$$ और उत्पाद-से-योग पहचान के कारण है: $$\prod_{n=1}^k \cos\left(\frac{x}{2^n}\right) = \frac{1}{2^{k-1}} \sum_{n=1}^{2^{k-1}} \cos\left(\frac{n - 1/2}{2^{k-1}} x \right),\quad \forall k \ge 1,$$ यूलर के उत्पाद को योग के रूप में पुनर्गठित किया जा सकता है: $$\frac{\sin(x)}{x} = \lim_{N\to\infty} \frac{1}{N} \sum_{n=1}^N \cos\left(\frac{n - 1/2}{N} x\right).$$ सामान्यीकृत सिंक (साधारण आवृत्ति में) का निरंतर फूरियर रूपांतरण $sinc z = sin z⁄z$ है: $$\int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}(t) \, e^{-i 2 \pi f t}\,dt = \operatorname{rect}(f),$$ जहां तर्क के लिए 1 आयताकार फलन $1⁄2$ और $1⁄2$, अन्यथा शून्य है, यह इस तथ्य से युग्मित होता है कि सिंक फिल्टर आदर्श (ईंट-दीवार, जिसका अर्थ आयताकार आवृत्ति प्रतिक्रिया) निम्न पास फिल्टर है।

यह फूरियर अभिन्न, विशेष स्तिथि है: $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \, dx = \operatorname{rect}(0) = 1$$ अनुचित अभिन्न है (डिरिचलेट अभिन्न देखें) और अभिसरण लेब्सग अभिन्न नहीं है: $$\int_{-\infty}^\infty \left|\frac{\sin(\pi x)}{\pi x} \right| \,dx = +\infty.$$ सामान्यीकृत सिंक फलन में ऐसे गुण होते हैं जो इसे प्रारूपकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग) किए गए बैंडलिमिटेड फलन के प्रक्षेप के संबंध में आदर्श बनाते हैं:
 * यह प्रक्षेप फलन है, अर्थात, अशून्य पूर्णांक $rect(f)$ के लिए $k$, और $sinc(0) = 1$ है।
 * फलन $sinc(k) = 0$ ($k$ पूर्णांक) फलन समिष्ट $x_{k}(t) = sinc(t − k)$ में बैंडलिमिटेड फलनों के लिए ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाता है, उच्चतम कोणीय आवृत्ति $L^{2}(R)$ (अर्थात, उच्चतम चक्र $ω_{H} = π$आवृत्ति) है।

दो सिंक फलन के अन्य गुणों में सम्मिलित हैं:
 * असामान्यीकृत सिंक पहले प्रकार, $f_{H} = 1⁄2$ का शून्य-क्रम गोलाकार बेसेल फलन है, सामान्यीकृत सिंक $j_{0}(x)$ है।
 * जहाँ $j_{0}(πx)$ ज्या समाकलन है, $$\int_0^x \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \operatorname{Si}(x).$$
 * $Si(x)$ (सामान्यीकृत नहीं) रैखिक साधारण अंतर समीकरण के दो रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधानों में से है: $$x \frac{d^2 y}{d x^2} + 2 \frac{d y}{d x} + \lambda^2 x y = 0.$$ दूसरा $λ sinc(λx)$ है, जो सिंक फलन समकक्ष के विपरीत $cos(λx)⁄x$, पर परिबद्ध नहीं है।
 * सामान्यीकृत सिंक का उपयोग करते हुए,$$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^2(\theta)}{\theta^2}\,d\theta = \pi \quad \Rightarrow \quad \int_{-\infty}^\infty \operatorname{sinc}^2(x)\,dx = 1,$$
 * $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin(\theta)}{\theta}\,d\theta = \int_{-\infty}^\infty \left( \frac{\sin(\theta)}{\theta} \right)^2 \,d\theta = \pi.$$
 * $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^3(\theta)}{\theta^3}\,d\theta = \frac{3\pi}{4}.$$
 * $$\int_{-\infty}^\infty \frac{\sin^4(\theta)}{\theta^4}\,d\theta = \frac{2\pi}{3}.$$
 * निम्नलिखित अनुचित अभिन्न में (सामान्यीकृत नहीं) सिंक फलन सम्मिलित है: $$\int_0^\infty \frac{dx}{x^n + 1} = 1 + 2\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{(kn)^2 - 1} = \frac{1}{\operatorname{sinc}(\frac{\pi}{n})}.$$

डिराक डेल्टा वितरण से संबंध
सामान्यीकृत सिंक फलन का उपयोग डिराक डेल्टा फलन के रूप में किया जा सकता है, जिसका अर्थ है कि निम्नलिखित अभिसरण (हिल्बर्ट समिष्ट) है:

$$\lim_{a \to 0} \frac{\sin\left(\frac{\pi x}{a}\right)}{\pi x} = \lim_{a \to 0}\frac{1}{a} \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{a}\right) = \delta(x).$$ यह कोई सामान्य सीमा नहीं है, क्योंकि बाईं ओर अभिसरण नहीं होता है। अन्यथा इसका तात्पर्य ये है:

$$\lim_{a \to 0}\int_{-\infty}^\infty \frac{1}{a} \operatorname{sinc}\left(\frac{x}{a}\right) \varphi(x) \,dx = \varphi(0)$$ प्रत्येक श्वार्ट्ज फलन के लिए, जैसा कि फूरियर व्युत्क्रम प्रमेय से देखा जा सकता है। उपरोक्त अभिव्यक्ति में, $x = 0$ के रूप में, सिंक फलन की प्रति इकाई लंबाई में दोलनों की संख्या अनंत तक पहुंचती है। फिर भी, अभिव्यक्ति सदैव $a → 0$ के आवरण के अंदर दोलन करती रहती है $a$ के मान को ध्यान किए बिना दोलन करती रहती है।

यह बिंदु $±1⁄πx$ को छोड़कर सभी $x$ के लिए $x = 0$ के शून्य होने की अनौपचारिक चित्र को जटिल बनाता है और वितरण के अतिरिक्त फलन को फलन के रूप में सोचने की समस्या को दर्शाता है। ऐसी ही स्थिति गिब्स परिघटना में पाई जाती है।

सारांश
इस खंड के सभी योग असामान्यीकृत सिंक फलन को संदर्भित करते हैं।

1 से $δ(x)$ तक पूर्णांक $n$ पर $∞$ का योग $sinc(n)$ समान है।

$$\sum_{n=1}^\infty \operatorname{sinc}(n) = \operatorname{sinc}(1) + \operatorname{sinc}(2) + \operatorname{sinc}(3) + \operatorname{sinc}(4) +\cdots = \frac{\pi - 1}{2}.$$ वर्गों का योग $\pi − 1⁄2$ भी समान होता है:

$$\sum_{n=1}^\infty \operatorname{sinc}^2(n) = \operatorname{sinc}^2(1) + \operatorname{sinc}^2(2) + \operatorname{sinc}^2(3) + \operatorname{sinc}^2(4) + \cdots = \frac{\pi - 1}{2}.$$ जब जोड़ के चिह्न वैकल्पिक होते हैं और + से प्रारंभ होते हैं, तो योग $1⁄2$ समान होता है: $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}(n) = \operatorname{sinc}(1) - \operatorname{sinc}(2) + \operatorname{sinc}(3) - \operatorname{sinc}(4) + \cdots = \frac{1}{2}.$$ वर्गों और घनों का प्रत्यावर्ती योग $1⁄2$ भी समान होता है: $$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}^2(n) = \operatorname{sinc}^2(1) - \operatorname{sinc}^2(2) + \operatorname{sinc}^2(3) - \operatorname{sinc}^2(4) + \cdots = \frac{1}{2},$$$$\sum_{n=1}^\infty (-1)^{n+1}\,\operatorname{sinc}^3(n) = \operatorname{sinc}^3(1) - \operatorname{sinc}^3(2) + \operatorname{sinc}^3(3) - \operatorname{sinc}^3(4) + \cdots = \frac{1}{2}.$$

श्रृंखला विस्तार
असामान्यीकृत $\pi − 1⁄2$ फलन की टेलर श्रृंखला को सिंक से प्राप्त किया जा सकता है (जो $sinc$ पर 1 का मान भी प्राप्त करता है): $$\frac{\sin x}{x} = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n+1)!} = 1 - \frac{x^2}{3!} + \frac{x^4}{5!} - \frac{x^6}{7!} + \cdots$$ श्रृंखला सभी $x$ के लिए अभिसरण करती है। सामान्यीकृत संस्करण सरलता से अनुसरण करता है: $$\frac{\sin \pi x}{\pi x} = 1 - \frac{\pi^2x^2}{3!} + \frac{\pi^4x^4}{5!} - \frac{\pi^6x^6}{7!} + \cdots$$ लियोनहार्ड यूलर ने प्रसिद्ध रूप से बेसल समस्या का समाधान करने के लिए इस श्रृंखला की तुलना अनंत उत्पाद रूप के विस्तार से की।

उच्च आयाम
1-डी सिंक फलन का उत्पाद सरलता से वर्ग कार्टेशियन ग्रिड के लिए बहुपरिवर्तनीय सिंक फलन $x = 0$ प्रदान करता है, जिसका फूरियर रूपांतरण वर्ग का संकेतक फलन है आवृत्ति समिष्ट (अर्थात, 2-डी समिष्ट में परिभाषित ईंट की दीवार)। गैर-कार्टेशियन लैटिस (समूह) (उदाहरण के लिए, षटकोणीय लैटिस) के लिए साइन फलन ऐसा फलन है जिसका फूरियर रूपांतरण उस लैटिस के ब्रिलोइन जोन का संकेतक फलन है। उदाहरण के लिए, षट्कोणीय लैटिस के लिए साइन फलन ऐसा फलन है जिसका फूरियर रूपांतरण आवृत्ति स्थान में इकाई षट्भुज का संकेतक फलन है। गैर-कार्टेशियन लैटिस के लिए यह फलन साधारण टेंसर उत्पाद द्वारा प्राप्त नहीं किया जा सकता है। चूँकि, षट्कोणीय, शरीर-केंद्रित क्यूबिक, मुख-केन्द्रित घन और अन्य उच्च-आयामी लैटिस के लिए साइन फलन का स्पष्ट सूत्र ब्रिलोइन ज़ोन के ज्यामितीय गुणों और ज़ोनोटोप्स से उनके कनेक्शन का उपयोग करके स्पष्ट रूप से प्राप्त किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, षट्कोणीय लैटिस वैक्टर के (पूर्णांक) रैखिक विस्तार द्वारा उत्पन्न की जा सकती है: $$ \mathbf{u}_1 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\  \frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix} \quad \text{and} \quad \mathbf{u}_2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{2} \\ -\frac{\sqrt{3}}{2} \end{bmatrix}. $$ के रूप में दर्शाया गया है: $$ \boldsymbol{\xi}_1 =  \tfrac{2}{3} \mathbf{u}_1, \quad \boldsymbol{\xi}_2 = \tfrac{2}{3} \mathbf{u}_2, \quad \boldsymbol{\xi}_3 = -\tfrac{2}{3} (\mathbf{u}_1 + \mathbf{u}_2), \quad \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x \\ y\end{bmatrix}, $$ इस षट्कोणीय लैटिस के लिए सिंक फलन प्राप्त कर सकता है: $$\begin{align} \operatorname{sinc}_\text{H}(\mathbf{x}) = \tfrac{1}{3} \big(   &      \cos\left(\pi\boldsymbol{\xi}_1\cdot\mathbf{x}\right) \operatorname{sinc}\left(\boldsymbol{\xi}_2\cdot\mathbf{x}\right) \operatorname{sinc}\left(\boldsymbol{\xi}_3\cdot\mathbf{x}\right) \\    & {} + \cos\left(\pi\boldsymbol{\xi}_2\cdot\mathbf{x}\right) \operatorname{sinc}\left(\boldsymbol{\xi}_3\cdot\mathbf{x}\right) \operatorname{sinc}\left(\boldsymbol{\xi}_1\cdot\mathbf{x}\right) \\    & {} + \cos\left(\pi\boldsymbol{\xi}_3\cdot\mathbf{x}\right) \operatorname{sinc}\left(\boldsymbol{\xi}_1\cdot\mathbf{x}\right) \operatorname{sinc}\left(\boldsymbol{\xi}_2\cdot\mathbf{x}\right)  \big). \end{align}$$ इस निर्माण का उपयोग सामान्य बहुआयामी लैटिस के लिए लैंज़ोस विंडो को डिजाइन करने के लिए किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * (मानचित्रकला)
 * सिंहक फलन
 * (मानचित्रकला)
 * सिंहक फलन
 * (मानचित्रकला)
 * सिंहक फलन
 * (मानचित्रकला)
 * सिंहक फलन
 * (मानचित्रकला)
 * सिंहक फलन
 * (मानचित्रकला)
 * सिंहक फलन