सदिश कलन

वेक्टर कलन, या वेक्टर विश्लेषण, मुख्य रूप से 3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में वेक्टर क्षेत्र ों के व्युत्पन्न और अभिन्न अंग से संबंधित है $$\mathbb{R}^3.$$ वेक्टर कैलकुस शब्द को कभी-कभी बहुविकल्पीय कैलकुस के व्यापक विषय के समानार्थी के रूप में प्रयोग किया जाता है, जो वेक्टर कैलकुस के साथ-साथ आंशिक व्युत्पन्न और एकाधिक अभिन्न अंग भी फैलाता है। वेक्टर कैलकुलस डिफरेंशियल ज्योमेट्री में और आंशिक डिफरेंशियल इक्वेशन के अध्ययन में महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। यह भौतिकी और इंजीनियरिंग में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से के विवरण में विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र, गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र और द्रव प्रवाह।

वेक्टर कैलकुलस को 19वीं सदी के अंत में जे. विलार्ड गिब्स और ओलिवर हीविसाइड  द्वारा  चार का समुदाय  विश्लेषण से विकसित किया गया था, और अधिकांश संकेतन और शब्दावली गिब्स और  एडविन बिडवेल विल्सन  ने अपनी 1901 की पुस्तक, वेक्टर एनालिसिस में स्थापित की थी। क्रॉस उत्पादों का उपयोग करने वाले पारंपरिक रूप में, वेक्टर कैलकुलस उच्च आयामों को सामान्यीकृत नहीं करता है, जबकि ज्यामितीय बीजगणित का वैकल्पिक दृष्टिकोण जो बाहरी उत्पादों का उपयोग करता है (देखें  अधिक के लिए नीचे)।

अदिश क्षेत्र
एक अदिश क्षेत्र एक अदिश (गणित)  मान को अंतरिक्ष के प्रत्येक बिंदु से जोड़ता है। अदिश एक अदिश (गणित) है जो एक अदिश (भौतिकी) का प्रतिनिधित्व करता है। अनुप्रयोगों में अदिश क्षेत्रों के उदाहरणों में पूरे अंतरिक्ष में तापमान वितरण, द्रव में दबाव वितरण, और स्पिन-शून्य क्वांटम फ़ील्ड (स्केलर बोसॉन के रूप में जाना जाता है), जैसे हिग्स फ़ील्ड शामिल हैं। ये क्षेत्र अदिश क्षेत्र सिद्धांत के विषय हैं।

वेक्टर क्षेत्र
एक सदिश क्षेत्र एक अंतरिक्ष (गणित) में प्रत्येक बिंदु के लिए एक सदिश (ज्यामिति) का एक असाइनमेंट है। उदाहरण के लिए, विमान में एक वेक्टर फ़ील्ड को दिए गए परिमाण_(गणित) #Vector_spaces और विमान में एक बिंदु से जुड़ी प्रत्येक दिशा के साथ तीरों के संग्रह के रूप में देखा जा सकता है। वेक्टर फ़ील्ड अक्सर मॉडल के लिए उपयोग किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, पूरे अंतरिक्ष में एक गतिशील तरल पदार्थ की गति और दिशा, या चुंबकीय क्षेत्र या गुरुत्वाकर्षण बल जैसे कुछ बल की ताकत और दिशा, क्योंकि यह बिंदु से बिंदु में बदलती है। इसका उपयोग, उदाहरण के लिए, एक रेखा पर किए गए कार्य (भौतिकी) की गणना के लिए किया जा सकता है।

वेक्टर और स्यूडोवेक्टर
अधिक उन्नत उपचारों में, स्यूडोवेक्टर फ़ील्ड्स और स्यूडोस्केलर फ़ील्ड्स को अलग किया जाता है, जो वेक्टर फ़ील्ड्स और स्केलर फ़ील्ड्स के समान होते हैं, सिवाय इसके कि वे ओरिएंटेशन-रिवर्सिंग मैप के तहत साइन बदलते हैं: उदाहरण के लिए, वेक्टर फ़ील्ड का कर्ल (गणित) एक है स्यूडोवेक्टर फ़ील्ड, और यदि कोई वेक्टर फ़ील्ड को दर्शाता है, तो कर्ल विपरीत दिशा में इंगित करता है। इस अंतर को ज्यामितीय बीजगणित में स्पष्ट और विस्तृत किया गया है, जैसा कि नीचे वर्णित है।

वेक्टर बीजगणित
वेक्टर कलन में बीजगणितीय (गैर-विभेदक) संचालन को वेक्टर बीजगणित के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसे वेक्टर स्थान के लिए परिभाषित किया जाता है और फिर विश्व स्तर पर वेक्टर क्षेत्र में लागू किया जाता है। बुनियादी बीजगणितीय संचालन में शामिल हैं:

आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले दो ट्रिपल उत्पाद  भी हैं:

विभेदक ऑपरेटर
सदिश कलन, अदिश या सदिश क्षेत्रों पर परिभाषित विभिन्न अवकल संकारकों का अध्ययन करता है, जो विशिष्ट रूप से डेल प्रचालक के संदर्भ में व्यक्त किए जाते हैं ($$\nabla$$), जिसे नबला के नाम से भी जाना जाता है। तीन बुनियादी वेक्टर ऑपरेटर हैं: आमतौर पर इस्तेमाल किए जाने वाले दो लाप्लास ऑपरेटर भी हैं:

जैकोबियन मैट्रिक्स और निर्धारक नामक एक मात्रा कार्यों का अध्ययन करने के लिए उपयोगी होती है जब फ़ंक्शन के डोमेन और रेंज दोनों बहुविकल्पीय होते हैं, जैसे एकीकरण के दौरान चर के परिवर्तन।

अभिन्न प्रमेय
तीन बुनियादी वेक्टर ऑपरेटरों में संबंधित प्रमेय होते हैं जो कैलकुस के मौलिक प्रमेय को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत करते हैं:

दो आयामों में, विचलन और कर्ल प्रमेय ग्रीन के प्रमेय को कम करते हैं:

रैखिक सन्निकटन
रैखिक सन्निकटन का उपयोग जटिल कार्यों को रैखिक कार्यों के साथ बदलने के लिए किया जाता है जो लगभग समान होते हैं। एक अलग कार्य को देखते हुए $(n−1)$ वास्तविक मूल्यों के साथ, कोई अनुमान लगा सकता है $F = (M, −L)$ के लिये $F = (L, M, 0)$ के करीब $(x, y)$ सूत्र द्वारा
 * $$f(x,y)\ \approx\ f(a,b)+\tfrac{\partial f}{\partial x} (a,b)\,(x-a)+\tfrac{\partial f}{\partial y}(a,b)\,(y-b).$$

दायीं ओर, के ग्राफ के समतल स्पर्शरेखा का समीकरण है $f(x, y)$ पर $f(x, y)$.

अनुकूलन
कई वास्तविक चरों के निरंतर भिन्न होने वाले फ़ंक्शन के लिए, एक बिंदु P (अर्थात, इनपुट चर के लिए मानों का एक सेट, जिसे 'R' में एक बिंदु के रूप में देखा जाता है)n) 'महत्वपूर्ण' है यदि फ़ंक्शन के सभी आंशिक डेरिवेटिव पी पर शून्य हैं, या, समकक्ष, यदि इसका ग्रेडिएंट शून्य है। महत्वपूर्ण मान महत्वपूर्ण बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान हैं।

यदि फ़ंक्शन सुचारू रूप से कार्य करता है, या कम से कम दो बार निरंतर भिन्न होता है, तो एक महत्वपूर्ण बिंदु या तो एक स्थानीय अधिकतम, एक स्थानीय न्यूनतम या एक काठी बिंदु हो सकता है। दूसरे डेरिवेटिव के हेस्सियन मैट्रिक्स के eigenvalues ​​​​पर विचार करके विभिन्न मामलों को अलग किया जा सकता है।

फर्मेट के प्रमेय (स्थिर बिंदु) | फर्मेट के प्रमेय द्वारा, एक अलग-अलग फ़ंक्शन के सभी स्थानीय मैक्सिमा और मिनीमा महत्वपूर्ण बिंदुओं पर होते हैं। इसलिए, स्थानीय मैक्सिमा और मिनिमा को खोजने के लिए, सैद्धांतिक रूप से, इन शून्यों पर हेस्सियन मैट्रिक्स के ग्रेडिएंट के शून्य और आइगेनवैल्यू की गणना करना पर्याप्त है।

भौतिकी और इंजीनियरिंग
वेक्टर कैलकुलस अध्ययन में विशेष रूप से उपयोगी है:
 * सेंटर ऑफ मास
 * क्षेत्र सिद्धांत (भौतिकी)
 * गतिकी
 * मैक्सवेल के समीकरण

विभिन्न 3-कई गुना
वेक्टर कलन को शुरू में यूक्लिडियन स्पेस |यूक्लिडियन 3-स्पेस के लिए परिभाषित किया गया है, $$\mathbb{R}^3,$$ जिसमें केवल 3-आयामी वास्तविक वेक्टर स्थान होने से परे अतिरिक्त संरचना है, अर्थात्: एक आंतरिक उत्पाद ( डॉट उत्पाद ) के माध्यम से परिभाषित एक मानदंड (गणित) (लंबाई की धारणा देना), जो बदले में कोण की धारणा देता है, और एक उन्मुखता, जो बाएं हाथ और दाएं हाथ की धारणा देती है। ये संरचनाएं एक आयतन रूप को जन्म देती हैं, और क्रॉस उत्पाद भी, जिसका व्यापक रूप से वेक्टर कैलकुलस में उपयोग किया जाता है।

ग्रेडिएंट और डाइवर्जेंस के लिए केवल आंतरिक उत्पाद की आवश्यकता होती है, जबकि कर्ल और क्रॉस उत्पाद को भी समन्वय प्रणाली की आवश्यकता को ध्यान में रखा जाना चाहिए (अधिक विवरण के लिए क्रॉस उत्पाद # हैंडेडनेस देखें)।

वेक्टर कैलकुस को अन्य 3-आयामी वास्तविक वेक्टर रिक्त स्थान पर परिभाषित किया जा सकता है यदि उनके पास एक आंतरिक उत्पाद (या अधिक आम तौर पर एक सममित nondegenerate रूप) और एक अभिविन्यास है; ध्यान दें कि यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष के लिए एक आइसोमोर्फिज्म से कम डेटा है, क्योंकि इसमें निर्देशांक (संदर्भ का एक फ्रेम) के सेट की आवश्यकता नहीं होती है, जो इस तथ्य को दर्शाता है कि वेक्टर कैलकुस घूर्णन के तहत अपरिवर्तनीय है (विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(3)).

अधिक आम तौर पर, वेक्टर कैलकुस को किसी भी 3-आयामी उन्मुख रिमेंनियन मैनिफोल्ड पर परिभाषित किया जा सकता है, या अधिक सामान्यतः छद्म-रिमेंनियन मैनिफोल्ड। इस संरचना का सीधा सा मतलब है कि प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा स्थान में एक आंतरिक उत्पाद होता है (अधिक आम तौर पर, एक सममित nondegenerate रूप) और एक अभिविन्यास, या अधिक विश्व स्तर पर कि एक सममित nondegenerate मीट्रिक टेंसर और एक अभिविन्यास है, और काम करता है क्योंकि वेक्टर कैलकुस परिभाषित किया गया है प्रत्येक बिंदु पर स्पर्शरेखा वैक्टर के संदर्भ में।

अन्य आयाम
अधिकांश विश्लेषणात्मक परिणामों को आसानी से समझा जा सकता है, अधिक सामान्य रूप में, विभेदक ज्यामिति की मशीनरी का उपयोग करते हुए, जिनमें से वेक्टर कलन एक सबसेट बनाता है। ग्रैड और डिव अन्य आयामों के लिए तुरंत सामान्यीकरण करते हैं, जैसा कि ग्रेडिएंट प्रमेय, विचलन प्रमेय, और लाप्लासियन (उपज देने वाले हार्मोनिक विश्लेषण) करते हैं, जबकि कर्ल और क्रॉस उत्पाद सीधे सामान्यीकरण नहीं करते हैं।

एक सामान्य दृष्टिकोण से, (3-आयामी) वेक्टर कैलकुस में विभिन्न क्षेत्रों को समान रूप से के-वेक्टर फ़ील्ड के रूप में देखा जाता है: स्केलर फ़ील्ड 0-वेक्टर फ़ील्ड हैं, वेक्टर फ़ील्ड 1-वेक्टर फ़ील्ड हैं, स्यूडोवेक्टर फ़ील्ड 2-वेक्टर हैं फ़ील्ड, और स्यूडोस्केलर फ़ील्ड 3-वेक्टर फ़ील्ड हैं। उच्च आयामों में अतिरिक्त प्रकार के फ़ील्ड हैं (स्केलर/वेक्टर/स्यूडोवेक्टर/स्यूडोस्केलर 0/1/n−1/n आयामों के अनुरूप, जो आयाम 3 में संपूर्ण है), इसलिए कोई केवल (छद्म) स्केलर के साथ काम नहीं कर सकता है और ( छद्म) वैक्टर।

किसी भी आयाम में, एक गैर-डीजेनरेट फॉर्म मानते हुए, स्केलर फ़ंक्शन का ग्रेड एक वेक्टर फ़ील्ड होता है, और वेक्टर फ़ील्ड का div एक स्केलर फ़ंक्शन होता है, लेकिन केवल आयाम 3 या 7 में (और, क्षुद्र रूप से, आयाम 0 या 1 में) एक वेक्टर क्षेत्र का कर्ल एक वेक्टर क्षेत्र है, और केवल 3 या सात-आयामी क्रॉस उत्पाद आयामों में एक क्रॉस उत्पाद को परिभाषित किया जा सकता है (अन्य आयामों में सामान्यीकरण या तो आवश्यकता होती है $$n-1$$ सदिश 1 सदिश प्राप्त करने के लिए, या वैकल्पिक झूठ बीजगणित हैं, जो अधिक सामान्य एंटीसिमेट्रिक बिलिनियर उत्पाद हैं)। ग्रेड और डिव का सामान्यीकरण, और कर्ल को कैसे सामान्यीकृत किया जा सकता है, इसे कर्ल (गणित)#सामान्यीकरण|कर्ल: सामान्यीकरण; संक्षेप में, एक सदिश क्षेत्र का कर्ल एक द्विभाजक क्षेत्र है, जिसे अनन्तसूक्ष्म घुमावों के विशेष ऑर्थोगोनल लाई बीजगणित के रूप में व्याख्या किया जा सकता है; हालाँकि, इसे सदिश क्षेत्र से पहचाना नहीं जा सकता क्योंकि आयाम भिन्न हैं - 3 आयामों में घुमाव के 3 आयाम हैं, लेकिन 4 आयामों में घुमाव के 6 आयाम हैं (और अधिक सामान्यतः $$\textstyle{\binom{n}{2}=\frac{1}{2}n(n-1)}$$ n आयामों में घुमावों के आयाम)।

सदिश कलन के दो महत्वपूर्ण वैकल्पिक सामान्यीकरण हैं। पहला, ज्यामितीय बीजगणित, वेक्टर फ़ील्ड्स के बजाय मल्टीवेक्टर | के-वेक्टर फ़ील्ड का उपयोग करता है (3 या उससे कम आयामों में, प्रत्येक के-वेक्टर फ़ील्ड को स्केलर फ़ंक्शन या वेक्टर फ़ील्ड से पहचाना जा सकता है, लेकिन यह उच्च आयामों में सत्य नहीं है)। यह क्रॉस उत्पाद को प्रतिस्थापित करता है, जो 3 आयामों के लिए विशिष्ट है, दो वेक्टर क्षेत्रों में ले रहा है और आउटपुट के रूप में एक वेक्टर फ़ील्ड दे रहा है, बाहरी उत्पाद के साथ, जो सभी आयामों में मौजूद है और दो वेक्टर क्षेत्रों में लेता है, आउटपुट के रूप में एक बायवेक्टर (2) -वेक्टर) क्षेत्र। यह उत्पाद वेक्टर रिक्त स्थान पर बीजीय संरचना के रूप में क्लिफोर्ड बीजगणित उत्पन्न करता है (एक अभिविन्यास और नॉनडिजेनरेट फॉर्म के साथ)। ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग ज्यादातर भौतिकी के सामान्यीकरण और अन्य अनुप्रयुक्त क्षेत्रों में उच्च आयामों में किया जाता है।

दूसरा सामान्यीकरण वेक्टर फ़ील्ड्स या के-वेक्टर फ़ील्ड्स के बजाय डिफरेंशियल फॉर्म्स (k-covector फ़ील्ड्स) का उपयोग करता है, और गणित में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से डिफरेंशियल ज्योमेट्री, जियोमेट्रिक टोपोलॉजी और हार्मोनिक विश्लेषण में, विशेष रूप से ओरिएंटेड स्यूडो- पर हॉज थ्योरी देने में। रीमैनियन कई गुना। इस दृष्टिकोण से, ग्रेड, कर्ल और डिव क्रमशः 0-रूपों, 1-रूपों और 2-रूपों के बाहरी व्युत्पन्न के अनुरूप हैं, और सदिश कलन के प्रमुख प्रमेय स्टोक्स के सामान्य रूप के सभी विशेष मामले हैं। प्रमेय।

इन दोनों सामान्यीकरणों के दृष्टिकोण से, सदिश कैलकुलस गणितीय रूप से विशिष्ट वस्तुओं की स्पष्ट रूप से पहचान करता है, जो प्रस्तुति को सरल बनाता है लेकिन अंतर्निहित गणितीय संरचना और सामान्यीकरण कम स्पष्ट होता है। ज्यामितीय बीजगणित के दृष्टिकोण से, वेक्टर कैलकुलस स्पष्ट रूप से वेक्टर फ़ील्ड या स्केलर फ़ंक्शंस के साथ के-वेक्टर फ़ील्ड की पहचान करता है: 0-वैक्टर और स्केलर के साथ 3-वेक्टर, 1-वैक्टर और वैक्टर के साथ 2-वेक्टर। विभेदक रूपों के दृष्टिकोण से, वेक्टर कैलकुलस स्पष्ट रूप से स्केलर फ़ील्ड्स या वेक्टर फ़ील्ड्स के साथ k-फॉर्म्स की पहचान करता है: 0-फ़ॉर्म्स और 3-फ़ॉर्म्स स्केलर फ़ील्ड्स के साथ, 1-फ़ॉर्म्स और 2-फ़ॉर्म्स वेक्टर फ़ील्ड्स के साथ। इस प्रकार उदाहरण के लिए कर्ल स्वाभाविक रूप से एक वेक्टर फ़ील्ड या 1-फॉर्म इनपुट के रूप में लेता है, लेकिन स्वाभाविक रूप से आउटपुट के रूप में 2-वेक्टर फ़ील्ड या 2-फॉर्म (इसलिए स्यूडोवेक्टर फ़ील्ड) होता है, जिसे सीधे वेक्टर फ़ील्ड के रूप में व्याख्या किया जाता है, बजाय सीधे लेने के सदिश क्षेत्र से सदिश क्षेत्र; यह उच्च आयामों में एक सदिश क्षेत्र के कर्ल में परिलक्षित होता है, जिसमें सदिश क्षेत्र का उत्पादन नहीं होता है।

यह भी देखें

 * वास्तविक मूल्यवान समारोह
 * एक वास्तविक चर का कार्य
 * कई वास्तविक चर का कार्य
 * वेक्टर पथरी पहचान
 * वेक्टर बीजगणित संबंध
 * डेल बेलनाकार और गोलाकार निर्देशांक में
 * दिशात्मक व्युत्पन्न
 * रूढ़िवादी वेक्टर क्षेत्र
 * सोलेनॉइडल वेक्टर फील्ड
 * लाप्लासियन वेक्टर क्षेत्र
 * हेल्महोल्ट्ज़ अपघटन
 * ऑर्थोगोनल निर्देशांक
 * तिरछा निर्देशांक
 * वक्रीय निर्देशांक
 * टेंसर
 * ज्यामितीय कलन

स्रोत

 * सैंड्रो कैपरिनी (2002) क्षणों और कोणीय वेग के वेक्टर प्रतिनिधित्व की खोज, सटीक विज्ञान के इतिहास के लिए पुरालेख 56:151–81.
 * बैरी स्पेन (1965) वेक्टर विश्लेषण, दूसरा संस्करण, इंटरनेट आर्काइव  से लिंक।
 * चेन-टू ताई (1995)। वेक्टर विश्लेषण का एक ऐतिहासिक अध्ययन। तकनीकी रिपोर्ट आरएल 915, विकिरण प्रयोगशाला, मिशिगन विश्वविद्यालय।
 * बैरी स्पेन (1965) वेक्टर विश्लेषण, दूसरा संस्करण, इंटरनेट आर्काइव  से लिंक।
 * चेन-टू ताई (1995)। वेक्टर विश्लेषण का एक ऐतिहासिक अध्ययन। तकनीकी रिपोर्ट आरएल 915, विकिरण प्रयोगशाला, मिशिगन विश्वविद्यालय।
 * चेन-टू ताई (1995)। वेक्टर विश्लेषण का एक ऐतिहासिक अध्ययन। तकनीकी रिपोर्ट आरएल 915, विकिरण प्रयोगशाला, मिशिगन विश्वविद्यालय।

बाहरी संबंध

 * A survey of the improper use of ∇ in vector analysis (1994) Tai, Chen-To
 * Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.
 * Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis
 * Vector Analysis: A Text-book for the Use of Students of Mathematics and Physics, (based upon the lectures of Willard Gibbs) by Edwin Bidwell Wilson, published 1902.
 * Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics: Vector Analysis