अल्पकालीन फूरियर रूपांतरण

अल्पकालीन फूरियर ट्रांसफॉर्म (STFT), फूरियर-संबंधित ट्रांसफॉर्म है जिसका उपयोग सिग्नल के स्थानीय खंडों की साइनसॉइडल बारम्बारता और चरण सामग्री को निर्धारित करने के लिए किया जाता है क्योंकि यह समय के साथ बदलता है। व्यवहार में, STFT की गणना करने की प्रक्रिया लंबे समय के सिग्नल को समान लंबाई के छोटे खंडों में विभाजित करना है और फिर प्रत्येक छोटे खंड पर फूरियर रूपांतरण की अलग से गणना करना है। इससे प्रत्येक छोटे खंड पर फूरियर स्पेक्ट्रम का पता चलता है। प्रायः बदलते स्पेक्ट्रा को समय फलन के रूप में प्लॉट किया जाता है, जिसे स्पेक्ट्रोग्राम या वॉटरफॉल प्लॉट के रूप में जाना जाता है, जैसे कि प्रायः सॉफ्टवेयर परिभाषित रेडियो (SDR) आधारित स्पेक्ट्रम डिस्प्ले में उपयोग किया जाता है। SDR के विस्तार को समाविष्ट करने वाले पूर्ण बैंडविड्थ डिस्प्ले प्रायः डेस्कटॉप कंप्यूटर पर 2^24 पॉइंट के साथ फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (FFT) का उपयोग करते हैं।



सतत-समय STFT
सतत-समय मामले में, रूपांतरित किए जाने वाले फलन को विंडो फलन से गुणा किया जाता है जो केवल थोड़े समय के लिए अशून्य होता है। परिणामी सिग्नल का फूरियर रूपांतरण (आयामी फलन) लिया जाता है, फिर विंडो को समय अक्ष के साथ सर्पण किया जाता है जिसके परिणामस्वरूप सिग्नल का दो-आयामी प्रतिनिधित्व होता है। गणितीय रूप से, इसे इस प्रकार लिखा गया है:                                                                                                                                                                                                $$\mathbf{STFT}\{x(t)\}(\tau,\omega) \equiv X(\tau, \omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) e^{-i \omega t} \, d t $$

जहाँ $$w(\tau)$$ विंडो फलन है, प्रायः हैन विंडो या गॉसियन विंडो शून्य के आसपास   केंद्रित होती है, और $$x(t)$$ रूपांतरित होने वाला संकेत है (विंडो फलन $$w$$ और बारम्बारता $$\omega$$ के बीच अंतर पर ध्यान दें)। मूलतः फूरियर $$X(\tau, \omega)$$ $$x(t)w(t-\tau)$$, समय और बारम्बारता के साथ सिग्नल के चरण और परिमाण का प्रतिनिधित्व करने वाला जटिल फलन रूपांतरण है। प्रायः चरण का उपयोग किसी एक या दोनों समय अक्ष के साथ किया जाता है, $$\tau$$ और बारम्बारता अक्ष $$\omega$$, STFT के चरण परिणाम के किसी भी असंततता को दबाने के लिए किया जाता है। समय सूचकांक $$\tau$$ इसे प्रायः धीमा समय माना जाता है और प्रायः इसे समय के समान उच्च रिज़ॉल्यूशन में व्यक्त नहीं किया जाता है। यह देखते हुए कि STFT अनिवार्य रूप से फूरियर ट्रांसफॉर्म एक विंडो फलन है, STFT को विंडोड फूरियर ट्रांसफॉर्म या समय-निर्भर फूरियर ट्रांसफॉर्म भी कहा जाता है।

असतत-समय STFT
असतत समय मामले में, रूपांतरित किए जाने वाले डेटा को टुकड़ों या फ़्रेमों में तोड़ा जाता है (जो प्रायः सीमा पर कलाकृतियों को कम करने के लिए एक-दूसरे को अतिव्याप्ति करते हैं)। प्रत्येक भाग को फूरियर रूपांतरित किया जाता है, और सम्मिश्र परिणाम को मैट्रिक्स में जोड़ा जाता है, जो समय और बारम्बारता में प्रत्येक बिंदु के लिए परिमाण और चरण को रिकॉर्ड करता है। इसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$\mathbf{STFT}\{x[n]\}(m,\omega)\equiv X(m,\omega) = \sum_{n=-\infty}^{\infty} x[n]w[n-m]e^{-i \omega n} $$

इसी तरह इस मामले में, सिग्नल x[n] और विंडो w[n] के साथ m असतत है और ω निरंतर है, लेकिन अधिकांश विशिष्ट अनुप्रयोगों में STFT को फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म का उपयोग करके कंप्यूटर पर निष्पादित किया जाता है, इसलिए दोनों असतत और क्वांटाइज़ेशन (सिग्नल प्रोसेसिंग) हैं।

STFT का परिमाण (गणित) वर्ग फलन की शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व का स्पेक्ट्रोग्राम प्रतिनिधित्व प्राप्त करता है:


 * $$\operatorname{spectrogram}\{x(t)\}(\tau, \omega) \equiv |X(\tau, \omega)|^2 $$

संशोधित असतत कोसाइन ट्रांसफॉर्म (MDCT) भी देखें, जो एक फूरियर-संबंधित ट्रांसफॉर्म भी है और ओवरलैपिंग विंडो का उपयोग करता है।

स्लाइडिंग DFT
यदि केवल ω की एक छोटी संख्या अभीष्ट है, या यदि विंडो के प्रत्येक शिफ्ट M के लिए STFT का मूल्यांकन करना अभीष्ट है, तो स्लाइडिंग DFT एल्गोरिदम का उपयोग करके STFT का अधिक कुशलता से मूल्यांकन किया जा सकता है।

व्युत्क्रम STFT
STFT व्युत्क्रमणीय फलन है, अर्थात व्युत्क्रम STFT द्वारा परिवर्तन से मूल सिग्नल को पुनः प्राप्त किया जा सकता है। STFT को उलटने का सबसे व्यापक रूप से स्वीकृत तरीका ओवरलैप-ऐड विधि (OALA) है, जो STFT के जटिल स्पेक्ट्रम में संशोधन की भी अनुमति देता है। यह बहुमुखी सिग्नल प्रोसेसिंग विधि है, जो ओवरलैप और संशोधन विधि के साथ जोड़ें के रूप में जाना जाता है।

सतत-समय STFT
विंडो फलन w(t) के आयाम और परिभाषा को देखते हुए, हमें प्रारंभ में विंडो फलन के क्षेत्र को पर्पटित करने की आवश्यकता होती है ताकि


 * $$ \int_{-\infty}^{\infty} w(\tau) \, d\tau = 1.$$

यह आसानी से उसका पालन करता है


 * $$ \int_{-\infty}^{\infty} w(t-\tau) \, d\tau = 1 \quad \forall \ t $$

और


 * $$ x(t) = x(t) \int_{-\infty}^{\infty} w(t-\tau) \, d\tau = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, d\tau. $$

सतत फूरियर रूपांतरण है


 * $$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-i \omega t} \, dt. $$

ऊपर से x(t) प्रतिस्थापित करने पर:


 * $$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, d\tau \right] \, e^{-i \omega t} \, dt $$ $$ = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, e^{-i \omega t} \, d\tau \, dt. $$

इंटीग्रेशन क्रम:


 * $$ X(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, e^{-i \omega t} \, dt \, d\tau $$ $$ = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \int_{-\infty}^{\infty} x(t) w(t-\tau) \, e^{-i \omega t} \, dt \right] \, d\tau $$ $$ = \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) \, d\tau. $$

तो फूरियर रूपांतरण को x(t) के सभी STFTs के प्रकार के चरण सुसंगत योग के रूप में देखा जा सकता है, क्यों कि व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण है


 * $$ x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\omega) e^{+i \omega t} \, d\omega, $$

x(t) को X(τ,ω) से इस प्रकार पुनर्प्राप्त किया जा सकता है


 * $$ x(t) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) e^{+i \omega t} \, d\tau \, d\omega. $$

या


 * $$ x(t) = \int_{-\infty}^{\infty} \left[ \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) e^{+i \omega t} \, d\omega \right] \, d\tau. $$

ऊपर से तुलना करने पर यह देखा जा सकता है कि x(t)


 * $$ x(t) w(t-\tau) = \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) e^{+i \omega t} \, d\omega. $$

τ के लिए X(τ,ω) का व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण निश्चित है।

एक वैकल्पिक परिभाषा जो केवल τ के आसपास के क्षेत्र में मान्य है, व्युत्क्रम परिवर्तन है:
 * $$x(t) = \frac{1}{w(t-\tau)}\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} X(\tau, \omega) e^{+i \omega t} \, d\omega.$$

सामान्य तौर पर, विंडो फलन $$w(t)$$ के निम्नलिखित गुण हैं:


 * सम समरूपता: $$w(t) = w(-t)$$;
 * गैर-बढ़ती (सकारात्मक समय के लिए): $$w(t) \geq w(s)$$ अगर $$|t| \leq |s|$$;
 * कॉम्पैक्ट समर्थन: $$w(t)$$ शून्य के बराबर है जब |t| बड़ी है।

विश्लेषण
STFT का नुकसान यह है कि इसका एक निश्चित रिज़ॉल्यूशन है। विंडोिंग फलन की चौड़ाई इस बात से संबंधित है कि सिग्नल का प्रतिनिधित्व कैसे किया जाता है - यह निर्धारित करता है कि क्या बारम्बारता रिज़ॉल्यूशन अच्छा है (एक साथ बंद बारम्बारता घटकों को अलग किया जा सकता है) या समय रिज़ॉल्यूशन (वह समय जिस पर बारम्बारतायों में बदलाव होता है)। विस्तृत विंडो बारम्बारता बेहतर रिज़ॉल्यूशन देती है लेकिन खराब समय रिज़ॉल्यूशन देती है। संकरी विंडो अच्छा समय रिज़ॉल्यूशन देती है लेकिन ख़राब बारम्बारता रिज़ॉल्यूशन देती है। इन्हें क्रमशः नैरोबैंड और वाइडबैंड ट्रांसफॉर्म कहा जाता है।

यह तरंगिका परिवर्तन और मल्टीरिज़ॉल्यूशन विश्लेषण के निर्माण के कारणों में से एक है, जो उच्च-बारम्बारता घटनाओं के लिए समय रिज़ॉल्यूशन और कम-बारम्बारता घटनाओं के लिए बारम्बारता रिज़ॉल्यूशन दे सकता है, यह संयोजन कई वास्तविक संकेतों के लिए सबसे उपयुक्त है।

यह संपत्ति वर्नर हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत से संबंधित है, लेकिन सीधे तौर पर नहीं - चर्चा के लिए गैबोर सीमा देखें। समय और बारम्बारता में मानक विचलन का उत्पाद सीमित है। अनिश्चितता सिद्धांत की सीमा (दोनों का सबसे अच्छा एक साथ समाधान) गॉसियन विंडो फलन (या मास्क फलन) के साथ पहुंच जाती है, क्योंकि गॉसियन फूरियर अनिश्चितता सिद्धांत को कम करता है। इसे गैबोर परिवर्तन कहा जाता है (और मल्टीरिज़ॉल्यूशन के लिए संशोधनों के साथ यह मोरलेट वेवलेट ट्रांसफॉर्म बन जाता है)।

कोई अलग-अलग विंडो आकार के लिए STFT को दो-आयामी डोमेन (समय और बारम्बारता) के रूप में मान सकता है, जैसा कि नीचे दिए गए उदाहरण में दिखाया गया है, जिसकी गणना विंडो आकार को अलग करके की जा सकती है। यह अब सिर्फ़ समय-बारम्बारता प्रतिनिधित्व नहीं है - कर्नेल पूरे सिग्नल पर स्थिर नहीं है।

उदाहरण
मूल फलन है: :$$X(t,f) = \int^\infty_{-\infty}w(t-\tau) x(\tau) e^{-j 2 \pi f \tau} d\tau$$ हमारे पास एक सरल उदाहरण हो सकता है:

w(t) = 1 |t| के लिए B से छोटा या बराबर

w(t) = 0

B = विंडो

अब अल्पकालीन फूरियर ट्रांसफॉर्म के मूल फलन को इस प्रकार बदला जा सकता है


 * $$X(t,f) = \int^{t+B}_{t-B}x(\tau) e^{-j 2 \pi f \tau} d\tau$$

एक और उदाहरण:

निम्नलिखित नमूना संकेत का उपयोग करना $$x(t)$$ यह क्रम में एक साथ जुड़े हुए चार साइनसोइडल तरंग रूपों के सेट से बना है। प्रत्येक तरंगरूप केवल चार बारम्बारतायों (10, 25, 50, 100 Hz) में से बना होता है। $$x(t)$$ की परिभाषा है:


 * $$x(t)=\begin{cases}

\cos (2 \pi 10 t) & 0\,\mathrm{s}  \le t < 5  \,\mathrm{s} \\ \cos (2 \pi 25 t) & 5\,\mathrm{s}  \le t < 10\,\mathrm{s} \\ \cos (2 \pi 50 t) & 10\,\mathrm{s} \le t < 15\,\mathrm{s} \\ \cos (2 \pi 100 t) & 15\,\mathrm{s} \le t < 20\,\mathrm{s} \\ \end{cases}$$ फिर इसका नमूना 400 Hz पर लिया जाता है। निम्नलिखित स्पेक्ट्रोग्राम तैयार किए गए:

25 MS विंडो हमें सटीक समय की पहचान करने की अनुमति देती है जिस पर सिग्नल बदलते हैं और सटीक बारम्बारतायों की पहचान करना मुश्किल होता है। पैमाने के दूसरे छोर पर, 1000 MS विंडो बारम्बारतायों को सटीक रूप से देखने की अनुमति देती है लेकिन बारम्बारता परिवर्तनों के बीच का समय धुंधला हो जाता है।

अन्य उदाहरण: $$w(t) = exp(\sigma-t^{2})$$ प्रायः हम निर्णय करते हैं $$exp(\sigma-t^{2})$$ एक गाऊसी फलन या गैबोर फलन हैं। जब हम इसका उपयोग करते हैं, तो कम समय के फूरियर ट्रांसफॉर्म को गैबर ट्रांसफॉर्म कहा जाता है।

स्पष्टीकरण
इसे नमूना और नाइक्विस्ट बारम्बारता के संदर्भ में भी समझाया जा सकता है।

नमूना दर f s पर वास्तविक-मूल्य वाले सिग्नल से N नमूनों की एक विंडो लें। फूरियर रूपांतरण लेने से N गुणांक उत्पन्न होता है। इन गुणांकों में से केवल आधे ही उपयोगी हैं (अंतिम N/2 विपरीत क्रम में पहले N/2 का जटिल संयुग्म है, क्योंकि यह एक वास्तविक मूल्यवान संकेत है)।

ये N/2 गुणांक 0 से f s/2(नाइक्विस्ट) तक की बारम्बारतायों का प्रतिनिधित्व करते हैं और ये गुणांक f s / N Hz अलग-अलग दूरी पर स्थिति हैं

विंडो के बारम्बारता रिज़ॉल्यूशन को बढ़ाने के लिए गुणांकों की बारम्बारता रिक्ति को कम करने की आवश्यकता है। केवल दो परिवर्ती हैं, लेकिन f s को कम करने (और N को स्थिर रखने) से विंडो का आकार बढ़ जाएगा - क्योंकि अब प्रति यूनिट समय में कम नमूने हैं। दूसरा विकल्प N को बढ़ाना है, लेकिन इससे विंडो का आकार फिर से बढ़ जाता है। इसलिए बारम्बारता रिज़ॉल्यूशन को बढ़ाने का कोई भी प्रयास विंडो के बड़े आकार का कारण बनता है और इसलिए समय रिज़ॉल्यूशन में कमी आती है।

रेले बारम्बारता
जैसे नाइक्विस्ट बारम्बारता अधिकतम बारम्बारता में एक सीमा है जिसका सार्थक विश्लेषण किया जा सकता है, वैसे ही रेले बारम्बारता न्यूनतम बारम्बारता पर एक सीमा है।

रेले बारम्बारता वह न्यूनतम बारम्बारता है जिसे एक सीमित अवधि के समय विंडो द्वारा हल किया जा सकता है।

Τ-sec लंबी समय विंडो को देखते हुए, हल की जा सकने वाली न्यूनतम बारम्बारता 1/Τ Hz है।

रेलेघ बारम्बारता कम समय के फूरियर ट्रांसफॉर्म (STFT) के अनुप्रयोगों के साथ-साथ परिमित रिकॉर्ड-लंबाई के सिग्नल पर हार्मोनिक विश्लेषण की किसी भी अन्य विधि में एक महत्वपूर्ण विचार है।

आवेदन
संगीत का विश्लेषण करने के लिए STFT के साथ-साथ मानक फूरियर ट्रांसफॉर्म और अन्य उपकरण प्रायः उपयोग किए जाते हैं। उदाहरण के लिए, स्पेक्ट्रोग्राम क्षैतिज अक्ष पर बारम्बारता दिखा सकता है, बाईं ओर सबसे कम बारम्बारतायों के साथ, और दाईं ओर उच्चतम बारम्बारतायों के साथ। प्रत्येक बार की ऊंचाई (रंग द्वारा संवर्धित) उस बैंड के भीतर बारम्बारतायों के आयाम को दर्शाती है। तलस्थ आयाम समय का प्रतिनिधित्व करता है। ऑडियो इंजीनियर किसी ऑडियो नमूने के बारे में जानकारी प्राप्त करने के लिए इस प्रकार के दृश्य का उपयोग करते हैं, उदाहरण के लिए, विशिष्ट शोर की बारम्बारतायों का पता लगाने के लिए (विशेषकर जब अधिक बारम्बारता रिज़ॉल्यूशन के साथ उपयोग किया जाता है) या उन बारम्बारतायों को खोजने के लिए जो उस स्थान पर कम या ज्यादा गुंजायमान हो। इस जानकारी का उपयोग समानता के लिए किया जा सकता है या अन्य ऑडियो प्रभावों के लिए किया जा सकता है

फलनान्वयन
मूल फलन


 * $$X(t,f) = \int^\infty_{-\infty}w(t-\tau) x(\tau) e^{-j 2 \pi f \tau} d\tau$$

असतत रूप में परिवर्तित करना:


 * $$t = n\Delta_t, f=m\Delta_f, \tau =p\Delta_t$$
 * $$X(n\Delta_t, m\Delta_f)=\sum^\infty_{-\infty}w((n-p)\Delta_t)x(p\Delta_t)e^{-j 2 \pi p m \Delta_t \Delta_f}\Delta_t$$

लगता है कि


 * $$w(t) \cong 0 \text{ for } |t|>B, \frac{B}{\Delta_t}=Q$$

फिर हम मूल फलन को इसमें लिख सकते हैं


 * $$X(n\Delta_t, m\Delta_f)= \sum^{n+Q}_{p=n-Q}w((n-p)\Delta_t)x(p\Delta_t)e^{-j 2 \pi p m \Delta_t \Delta_f}\Delta_t$$

व्यवरोध
नाइक्विस्ट मानदंड (अलियासिंग प्रभाव से बचना):


 * $$\Delta_t < \frac{1}{2\Omega}$$, कहाँ $$\Omega$$ की बैंडविड्थ है $$x(\tau) w(t-\tau)$$

व्यवरोध
$$\Delta_t \Delta_f = \tfrac{1}{N}$$, जहाँ $$N$$ एक पूर्णांक है

$$N \geq 2Q+1$$

नाइक्विस्ट मानदंड (अलियासिंग प्रभाव से बचना):


 * $$\Delta_t < \frac{1}{2\Omega}$$, $$\Omega$$ की बैंडविड्थ है $$x(\tau) w(t-\tau)$$
 * $$X(n\Delta_t, m\Delta_f) = \sum_{p=n-Q}^{n+Q} w((n - p)\Delta_t)x(p\Delta_t) e^{-\frac{2\pi jpm}{N}}\Delta_t$$
 * $$\text{if we have } q = p - (n - Q), \text{ then } p = (n - Q) + q$$
 * $$ X(n\Delta_t, m\Delta_f) = \Delta_t e^{\frac{2\pi j(Q - n)m}{N}} \sum_{q=0}^{N-1} x_1(q)e^{-\frac{2\pi jqm}{N}}$$
 * $$\text{where } x_1(q) = \begin{cases} w((Q - q)\Delta_t)x((n - Q + q)\Delta_t) & 0 \leq q \leq 2Q\\ 0 & 2Q < q < N \end{cases}$$

व्यवरोध
$$\Delta_t \Delta_f = \tfrac{1}{N}$$, जहाँ $$N$$ एक पूर्णांक है

$$N \geq 2Q+1$$

नाइक्विस्ट मानदंड (अलियासिंग प्रभाव से बचना):


 * $$\Delta_t < \frac{1}{2\Omega}$$, $$\Omega$$ की बैंडविड्थ है $$x(\tau) w(t-\tau)$$

केवल आयताकार-STFT लागू करने के लिए आयताकार विंडो बाधा उत्पन्न करती है
 * $$w((n - p)\Delta_t) = 1 $$

प्रतिस्थापन देता है:

\begin{align} X(n\Delta_t, m\Delta_f) &= \sum_{p=n-Q}^{n+Q} w((n - p)\Delta_t)&x(p\Delta_t) e^{-\frac{j2\pi pm}{N}}\Delta_t \\ &= \sum_{p=n-Q}^{n+Q}                  &x(p\Delta_t) e^{-\frac{j2\pi pm}{N}}\Delta_t \\ \end{align} $$ चर का परिवर्तन $n-1$ के लिए $n$:

X((n-1)\Delta_t, m\Delta_f) = \sum_{p=n-1-Q}^{n-1+Q} x(p\Delta_t) e^{-\frac{j2\pi pm}{N}}\Delta_t $$ गणना $$X(\min{n}\Delta_t, m\Delta_f)$$ N-पॉइंट FFT द्वारा:


 * $$X(n_0\Delta_t, m\Delta_f) = \Delta_t e^{\frac{j 2\pi(Q-n_0)m}{N}} \sum_{q=0}^{N-1} x_1(q) e^{-j\frac{2\pi qm}{N}}, \qquad n_0=\min{(n)}$$

जहाँ


 * $$ x_1(q) = \begin{cases} x((n - Q + q)\Delta_t) & q \leq 2Q\\ 0 & q >2Q \end{cases}$$

गणना करने के लिए पुनरावर्ती सूत्र को लागू करना $$X(n\Delta_t, m\Delta_f)$$
 * $$X(n\Delta_t, m\Delta_f) = X((n-1)\Delta_t, m\Delta_f) - x((n - Q -1)\Delta_t) e^{-\frac{j 2\pi(n-Q-1)m}{N}}\Delta_t + x((n+Q)\Delta_t)e^{-\frac{j 2\pi(n+Q)m}{N}}\Delta_t$$

व्यवरोध

 * $$\exp{(-j2\pi pm\Delta_t\Delta_f)} = \exp{(-j\pi p^2\Delta_t\Delta_f)} \cdot \exp{(j\pi(p-m)^2\Delta_t\Delta_f)}\cdot \exp{(-j\pi m^2\Delta_t\Delta_f)}$$

इसलिए $$X(n\Delta_t, m\Delta_f) = \Delta_t \sum_{p=n-Q}^{n+Q} w((n-p)\Delta_t)x(p\Delta_t)e^{-j2\pi pm\Delta_t\Delta_f}$$


 * $$X(n\Delta_t, m\Delta_f) = \Delta_t e^{-j2\pi m^2\Delta_t\Delta_f} \sum_{p=n-Q}^{n+Q} w((n-p)\Delta_t)x(p\Delta_t)e^{-j\pi p^2\Delta_t\Delta_f} e^{j\pi (p-m)^2\Delta_t\Delta_f} $$

यह भी देखें

 * न्यूनतम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
 * वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान
 * समय-बारम्बारता विश्लेषण
 * समय-बारम्बारता प्रतिनिधित्व
 * पुनर्असाइनमेंट विधि

अन्य समय-बारम्बारता परिवर्तन:
 * शंकु-आकार वितरण फलन
 * लगातार-Q परिवर्तन
 * फ्रैक्शनल फूरियर रूपांतरण
 * गैबोर परिवर्तन
 * न्यूलैंड परिवर्तन
 * S परिवर्तन
 * तरंगिका परिवर्तन
 * चिरप्लेट परिवर्तन

बाहरी संबंध

 * DiscreteTFDs – software for computing the short-time Fourier transform and other time-frequency distributions
 * Singular Spectral Analysis – MultiTaper Method Toolkit – a free software program to analyze short, noisy time series
 * kSpectra Toolkit for Mac OS X from SpectraWorks
 * Time stretched short time Fourier transform for time frequency analysis of ultra wideband signals
 * A BSD-licensed Matlab class to perform STFT and inverse STFT
 * LTFAT – A free (GPL) Matlab / Octave toolbox to work with short-time Fourier transforms and time-frequency analysis
 * Sonogram visible speech – A free (GPL)Freeware for short-time Fourier transforms and time-frequency analysis
 * National Taiwan University, Time-Frequency Analysis and Wavelet Transform 2021, Professor of Jian-Jiun Ding, Department of Electrical Engineering