श्रेणी सिद्धांत

श्रेणी सिद्धांत गणितीय संरचनाओं और उनके संबंधों का एक सामान्य सिद्धांत है जिसे 20वीं शताब्दी के मध्य में सैमुअल एलेनबर्ग और सॉन्डर्स मैक लेन ने बीजगणितीय टोपोलॉजी पर अपने मूलभूत कार्य में पेश किया था। आजकल, श्रेणी सिद्धांत का प्रयोग गणित के लगभग सभी क्षेत्रों में और कंप्यूटर विज्ञान के कुछ क्षेत्रों में किया जाता है। विशेष रूप से, पिछले वाले से नई गणितीय वस्तुओं के कई निर्माण, जो कई संदर्भों में समान रूप से दिखाई देते हैं, आसानी से श्रेणियों के संदर्भ में व्यक्त और एकीकृत होते हैं। उदाहरणों में भागफल रिक्त स्थान, प्रत्यक्ष उत्पाद, पूर्णता और द्वंद्व शामिल हैं।

एक श्रेणी दो प्रकार की वस्तुओं से बनती है: श्रेणी की वस्तुएँ, और आकारिकी, जो दो वस्तुओं से संबंधित होती हैं जिन्हें स्रोत कहा जाता है और आकृतिवाद का लक्ष्य। एक अक्सर कहता है कि एक आकृतिवाद एक तीर है जो अपने स्रोत को अपने लक्ष्य पर मैप करता है। रूपवाद की रचना की जा सकती है यदि पहले आकारिकी का लक्ष्य दूसरे के स्रोत के बराबर होता है, और आकारिकी संरचना में कार्य रचना (साहचर्यता और पहचान रूपात्मकता का अस्तित्व) के समान गुण होते हैं। आकृतिवाद अक्सर किसी प्रकार का कार्य होता है, लेकिन हमेशा ऐसा नहीं होता है। उदाहरण के लिए, एक मोनोइड को एक एकल वस्तु के साथ एक श्रेणी के रूप में देखा जा सकता है, जिसका आकार मोनोइड के तत्व हैं।

श्रेणी की दूसरी मौलिक अवधारणा एक फ़ैक्टर की अवधारणा है, जो दो श्रेणियों $$C_1$$ और $$C_2$$ के बीच एक आकारिकी की भूमिका निभाती है: यह $$C_1$$ की वस्तुओं को $$C_2$$ की वस्तुओं और $$C_1$$ के morphisms को $$C_2$$ की morphisms इस तरह से मैप करता है कि स्रोतों को स्रोतों से मैप किया जाता है और लक्ष्यों को लक्ष्य (या, एक प्रतिपरिवर्तक फ़ैक्टर के मामले में, स्रोतों को लक्ष्य और इसके विपरीत मैप किया जाता है) के लिए मैप किया जाता है। एक तीसरी मौलिक अवधारणा एक प्राकृतिक परिवर्तन है जिसे फ़ैक्टरों के आकारिकी के रूप में देखा जा सकता है।

श्रेणियाँ
एक श्रेणी सी में निम्नलिखित तीन गणितीय इकाइयां शामिल हैं: प्रत्येक आकारिकी f में एक स्रोत वस्तु a और लक्ष्य वस्तु b होती है। अभिव्यक्ति f : a → b, मौखिक रूप से "f a से b तक एक आकारिकी है" के रूप में कहा जाएगा। अभिव्यक्ति hom(a, b) - वैकल्पिक रूप से व्यक्त किया गया homC(a, b), mor(a, b), या C(a, b) - a से b तक सभी morphisms के होम-क्लास को दर्शाता है। किन्हीं तीन वस्तुओं a, b और c के लिए, हमारे पास है ऐसा कि
 * एक वर्ग ओबी (सी), जिसका तत्व वस्तुओं को कहा जाता है;
 * एक वर्ग होम (C), जिसके तत्वों को आकारिकी या मानचित्र या तीर कहा जाता है।
 * एक द्विआधारी संक्रिया ∘, जिसे आकारिकी का संयोजन कहा जाता है, जैसे कि
 * ∘ : hom(b, c) × hom(a, b) → hom(a, c).
 * की रचना f : a → b तथा g : b → c के रूप में लिखा गया है g ∘ f या प्रेमिका, दो स्वयंसिद्धों द्वारा शासित:
 * 1. साहचर्य: यदि f : a → b, g : b → c, तथा h : c → d फिर
 * h ∘ (g ∘ f) = (h ∘ g) ∘ f
 * 2. सर्वसमिका (गणित): प्रत्येक वस्तु x के लिए, आकारिकी का अस्तित्व होता है 1x : x → x x के लिए सर्वसमिका रूपवाद कहा जाता है,
 * हर रूपवाद के लिए f : a → b, अपने पास
 * 1b ∘ f = f = f ∘ ida.
 * स्वयंसिद्धों से यह सिद्ध किया जा सकता है कि प्रत्येक वस्तु के लिए बिल्कुल एक ही पहचान आकारिकी होती है।
 * कुछ लेखक प्रत्येक वस्तु को उसकी पहचान रूपवाद के साथ पहचान कर, अभी-अभी दी गई परिभाषा से हटें।

आकारिकी
morphisms (जैसे fg = h) के बीच संबंध अक्सर कम्यूटेटिव आरेखों का उपयोग करके चित्रित किए जाते हैं, "बिंदु" (कोनों) वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं और morphisms का प्रतिनिधित्व करने वाले "तीर" होते हैं।

मोर्फिज़्म में निम्नलिखित में से कोई भी गुण हो सकता है। एक आकृतिवाद f : a → b एक है:
 * मोनोमोर्फिज्म (या मोनिक) यदि f ∘ g1 = f ∘ g2 का अर्थ है g1 = g2 सभी आकारिकी g1, g2 : x → a के लिए।
 * अधिरूपता (या महाकाव्य) यदि g1 ∘ f = g2 ∘ f का अर्थ है g1 = g2 सभी आकारिकी g1, g2 : b → x के लिए।
 * द्विरूपता यदि f महाकाव्य और अलौकिक दोनों है।
 * तुल्याकारिता यदि कोई आकारिकी g : b → a मौजूद है तो f ∘ g = 1b and g ∘ f = 1a है।
 * समरूपतावाद यदि कोई आकारिकी मौजूद है ऐसा है कि.
 * एंडोमोर्फिज्म यदि a = b। अंत (ए) ए के एंडोमोर्फिज्म की कक्षा को दर्शाता है।
 * ऑटोमोर्फिज्म अगर एफ एक एंडोमोर्फिज्म और एक आइसोमोर्फिज्म दोनों है। ऑट (ए) ए के ऑटोमोर्फिज्म की कक्षा को दर्शाता है।
 * प्रत्यावर्तन यदि f का एक सही व्युत्क्रम मौजूद है, अर्थात यदि एक आकारिकी g : b → a मौजूद है जिसमें f ∘ g = 1b है।
 * अनुभाग यदि f का बायां व्युत्क्रम मौजूद है, अर्थात यदि कोई आकृति g : b → a मौजूद है जिसमें g ∘ f = 1a है।

प्रत्येक प्रत्यावर्तन एक एपीमोर्फिज्म है, और प्रत्येक वर्ग एक मोनोमोर्फिज्म है। इसके अलावा, निम्नलिखित तीन कथन समतुल्य हैं:
 * f एक मोनोमोर्फिज्म और रिट्रेक्शन है;
 * f एक एपिमोर्फिज्म और एक सेक्शन है;
 * f एक समरूपता है।

फंक्टर्स
फ़ंक्टर श्रेणियों के बीच संरचना-संरक्षण वाले मानचित्र हैं। उन्हें सभी (छोटी) श्रेणियों की श्रेणी में morphisms के रूप में माना जा सकता है।

श्रेणी C से श्रेणी D में A (सहसंयोजक) फ़ैक्टर F, लिखित F : C → D में शामिल हैं:
 * C में प्रत्येक वस्तु x के लिए, D में एक वस्तु F(x); तथा
 * प्रत्येक आकारिकी के लिए f : x → y C में, एक आकारिकी F(f) : F(x) → F(y) डी में,

जैसे कि निम्नलिखित दो गुण धारण करते हैं:
 * C में प्रत्येक वस्तु x के लिए, F(1x) = 1F(x);
 * सभी रूपों के लिए f : x → y तथा g : y → z, F(g ∘ f) = F(g) ∘ F(f).

एक प्रतिपरिवर्ती फ़ैक्टर F: C → D एक सहसंयोजक फ़ंक्टर की तरह है, सिवाय इसके कि यह "मोर्फिज़्म को चारों ओर घुमाता है" ("सभी तीरों को उलट देता है")। अधिक विशेष रूप से, C में प्रत्येक आकारिकी f : x → y को D में एक आकारिकी F(f) : F(y) → F(x) को नियत किया जाना चाहिए। दूसरे शब्दों में, एक प्रतिपरिवर्ती फ़ैक्टर विपरीत श्रेणी कॉप से डी तक एक सहपरिवर्ती फ़ैक्टर के रूप में कार्य करता है।

प्राकृतिक परिवर्तन
प्राकृतिक रूपांतरण दो कारकों के बीच का संबंध है। फ़ैक्टर अक्सर "प्राकृतिक निर्माण" और प्राकृतिक परिवर्तनों का वर्णन करते हैं, फिर दो ऐसे निर्माणों के बीच "प्राकृतिक समरूपता" का वर्णन करते हैं। कभी-कभी दो पूरी तरह से भिन्न निर्माणों से "समान" परिणाम प्राप्त होता है; यह दो फ़ैक्टरों के बीच एक प्राकृतिक समरूपता द्वारा व्यक्त किया जाता है।

यदि एफ और जी श्रेणियों सी और डी के बीच (सहसंयोजक) फ़ैक्टर हैं, तो एफ से जी तक एक प्राकृतिक परिवर्तन η सी में प्रत्येक वस्तु एक्स को एक मोर्फिज़्म ηX से जोड़ता है: D में ηX : F(X) → G(X) ऐसा है कि C में हर आकारिकी f : X → Y के लिए, हमारे पास ηY ∘ F(f) = G(f) ∘ ηX है; इसका मतलब यह है कि निम्न आरेख क्रमविनिमेय है:

एफ और जी को स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक कहा जाता है यदि एफ से जी तक प्राकृतिक परिवर्तन मौजूद है जैसे कि ηX सी में प्रत्येक वस्तु एक्स के लिए एक आइसोमोर्फिज्म है।

सार्वभौमिक निर्माण, सीमाएं, और कोलिमिट
श्रेणी सिद्धांत की भाषा का प्रयोग करते हुए गणितीय अध्ययन के कई क्षेत्रों को वर्गीकृत किया जा सकता है। श्रेणियों में सेट, समूह और टोपोलॉजी शामिल हैं।

प्रत्येक श्रेणी को उन गुणों से अलग किया जाता है जो इसकी सभी वस्तुओं में समान होते हैं, जैसे कि खाली सेट या दो टोपोलॉजी का उत्पाद, फिर भी एक श्रेणी की परिभाषा में वस्तुओं को परमाणु माना जाता है, यानी, हम यह नहीं जानते हैं कि कोई वस्तु A एक सेट, एक टोपोलॉजी या कोई अन्य सार अवधारणा है या नहीं। इसलिए, चुनौती उन वस्तुओं की आंतरिक संरचना का उल्लेख किए बिना विशेष वस्तुओं को परिभाषित करना है। तत्वों को संदर्भित किए बिना खाली सेट को परिभाषित करने के लिए, या उत्पाद टोपोलॉजी को खुले सेटों का संदर्भ दिए बिना, इन वस्तुओं को अन्य वस्तुओं के साथ उनके संबंधों के संदर्भ में चिह्नित किया जा सकता है, जैसा कि संबंधित श्रेणियों के रूपात्मकता द्वारा दिया गया है। इस प्रकार, कार्य उन सार्वभौमिक गुणों को खोजना है जो विशिष्ट रूप से रुचि की वस्तुओं को निर्धारित करते हैं।

कई महत्वपूर्ण निर्माणों को विशुद्ध रूप से श्रेणीबद्ध तरीके से वर्णित किया जा सकता है यदि श्रेणी सीमा को विकसित किया जा सकता है और एक कॉलिमिट की धारणा उत्पन्न करने के लिए दोहरीकरण किया जा सकता है।

समतुल्य श्रेणियां
यह पूछना एक स्वाभाविक प्रश्न है: किन परिस्थितियों में दो श्रेणियों को अनिवार्य रूप से एक ही माना जा सकता है, इस अर्थ में कि एक श्रेणी के प्रमेय आसानी से दूसरी श्रेणी के प्रमेय में परिवर्तित हो सकते हैं? ऐसी स्थिति का वर्णन करने के लिए जिस प्रमुख उपकरण का उपयोग किया जाता है, उसे श्रेणियों की समानता कहा जाता है, जो कि दो श्रेणियों के बीच उपयुक्त फ़ैक्टर द्वारा दिया जाता है। गणित में श्रेणीबद्ध तुल्यता के कई अनुप्रयोग पाए गए हैं।

आगे की अवधारणाएं और परिणाम
श्रेणियों और फ़ैक्टरों की परिभाषाएँ स्पष्ट बीजगणित की केवल मूल बातें प्रदान करती हैं; अतिरिक्त महत्वपूर्ण विषयों की सूची नीचे दी गई है। हालांकि इन सभी विषयों के बीच मजबूत अंतर्संबंध हैं, दिए गए आदेश को आगे पढ़ने के लिए एक दिशानिर्देश के रूप में माना जा सकता है।
 * फ़ंक्टर श्रेणी DC में C से D तक फ़ैक्टर्स के रूप में ऑब्जेक्ट हैं और इस तरह के फ़ैक्टरों के प्राकृतिक परिवर्तनों के रूप में आकारिकी के रूप में। योनेदा लेम्मा श्रेणी सिद्धांत के सबसे प्रसिद्ध मूल परिणामों में से एक है; यह फ़ंक्टर श्रेणियों में प्रतिनिधित्व करने योग्य फ़ैक्टर्स का वर्णन करता है।
 * द्वैत: श्रेणी सिद्धांत में प्रत्येक कथन, प्रमेय या परिभाषा में एक द्वैत होता है जो अनिवार्य रूप से "सभी तीरों को उलट कर" प्राप्त होता है। यदि किसी वर्ग C में एक कथन सत्य है तो उसका द्विवचन द्विश्रेणी के Cop में सत्य है। श्रेणी सिद्धांत के स्तर पर पारदर्शी यह द्वंद्व अक्सर अनुप्रयोगों में अस्पष्ट होता है और आश्चर्यजनक संबंधों को जन्म दे सकता है।
 * सहायक कारक: एक फ़ैक्टर को किसी अन्य फ़ंक्टर के साथ बाएँ (या दाएँ) छोड़ा जा सकता है जो विपरीत दिशा में मैप करता है। इस तरह के आसन्न फंक्शंस की एक जोड़ी आम तौर पर एक सार्वभौमिक संपत्ति द्वारा परिभाषित निर्माण से उत्पन्न होती है; इसे सार्वभौमिक गुणों पर एक अधिक सारगर्भित और शक्तिशाली दृष्टिकोण के रूप में देखा जा सकता है।

उच्च-आयामी श्रेणियां
उपरोक्त अवधारणाओं में से कई, विशेष रूप से श्रेणियों के समतुल्यता, आसन्न फ़ैक्टर जोड़े, और फ़ंक्टर श्रेणियां, उच्च-आयामी श्रेणियों के संदर्भ में स्थित हो सकती हैं। संक्षेप में, यदि हम दो वस्तुओं के बीच एक आकृतिवाद को "हमें एक वस्तु से दूसरी वस्तु में ले जाने वाली प्रक्रिया" के रूप में मानते हैं, तो उच्च-आयामी श्रेणियां हमें "उच्च-आयामी प्रक्रियाओं" पर विचार करके इसे सामान्य रूप से सामान्य बनाने की अनुमति देती हैं।

उदाहरण के लिए, एक (सख्त) 2-श्रेणी एक श्रेणी है जिसमें "रूपवाद के बीच morphisms" शामिल है, यानी प्रक्रियाएं जो हमें एक morphism को दूसरे में बदलने की अनुमति देती हैं। फिर हम इन "द्विरूपताओं" को क्षैतिज और लंबवत दोनों तरह से "रचना" कर सकते हैं, और हमें दो संरचना कानूनों से संबंधित एक 2-आयामी "विनिमय कानून" की आवश्यकता है। इस संदर्भ में, मानक उदाहरण कैट है, जो सभी (छोटी) श्रेणियों की 2-श्रेणी है, और इस उदाहरण में, आकारिकी के द्विरूपता सामान्य अर्थों में आकारिकी के प्राकृतिक रूपांतरण हैं। एक और बुनियादी उदाहरण एक वस्तु के साथ 2-श्रेणी पर विचार करना है; ये मूल रूप से मोनोइडल श्रेणियां हैं। द्विश्रेणियाँ 2-आयामी श्रेणियों की एक कमजोर धारणा है जिसमें morphisms की संरचना कड़ाई से साहचर्य नहीं है, लेकिन केवल साहचर्य "एक समरूपता" तक है।

इस प्रक्रिया को सभी प्राकृतिक संख्याओं n के लिए बढ़ाया जा सकता है और इन्हें n-श्रेणियाँ कहा जाता है। क्रमवाचक संख्या ω के अनुरूप ω-श्रेणी की भी एक धारणा है।

उच्च-आयामी श्रेणियां उच्च-आयामी बीजगणित के व्यापक गणितीय क्षेत्र का हिस्सा हैं, जो रोनाल्ड ब्राउन द्वारा शुरू की गई अवधारणा है। इन विचारों के संवादात्मक परिचय के लिए, जॉन बेज़, 'ए टेल ऑफ़ एन-कैटेगरीज' (1996)।

ऐतिहासिक नोट्स
जबकि समूह सिद्धांत पर 1942 के एक पेपर में सैम्युअल इलेनबर्ग और सॉन्डर्स मैक लेन द्वारा फंक्शनलर्स और प्राकृतिक परिवर्तनों के विशिष्ट उदाहरण दिए गए थे, इन अवधारणाओं को एक अधिक सामान्य अर्थ में, श्रेणियों की अतिरिक्त धारणा के साथ, 1945 के पेपर में उन्हीं लेखकों द्वारा पेश किया गया था (जिन्होंने बीजीय टोपोलॉजी के क्षेत्र में श्रेणी सिद्धांत के अनुप्रयोगों पर चर्चा की थी)। उनका काम सहज ज्ञान युक्त और ज्यामितीय होमोलॉजी से होमोलॉजिकल बीजगणित के संक्रमण का एक महत्वपूर्ण हिस्सा था, इलेनबर्ग और मैक लेन ने बाद में लिखा कि उनका लक्ष्य प्राकृतिक परिवर्तनों को समझना था, जिसके लिए पहले फंक्शंस की परिभाषा की आवश्यकता थी, फिर श्रेणियां।

स्टानिस्लाव उलम और उनकी ओर से कुछ लेखन ने दावा किया है कि संबंधित विचार 1930 के दशक के अंत में पोलैंड में प्रचलित थे। इलेनबर्ग पोलिश थे, और उन्होंने 1930 के दशक में पोलैंड में गणित का अध्ययन किया। श्रेणी सिद्धांत भी, कुछ अर्थों में, अमूर्त प्रक्रियाओं को औपचारिक रूप देने में एमी नोथेर (मैक लेन के शिक्षकों में से एक) के काम की निरंतरता है; नोथेर ने महसूस किया कि एक प्रकार की गणितीय संरचना को समझने के लिए उस संरचना (समरूपता) को संरक्षित करने वाली प्रक्रियाओं को समझने की आवश्यकता होती है। ईलेनबर्ग और मैक लेन ने उन प्रक्रियाओं (फ़ंक्टर्स) को समझने और औपचारिक बनाने के लिए श्रेणियों की शुरुआत की जो टोपोलॉजिकल संरचनाओं को बीजगणितीय संरचनाओं (टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट्स) से संबंधित करती हैं जो उनकी विशेषताएँ बताती हैं।

श्रेणी सिद्धांत मूल रूप से समरूप बीजगणित की आवश्यकता के लिए पेश किया गया था, और आधुनिक बीजगणितीय ज्यामिति (योजना सिद्धांत) की आवश्यकता के लिए व्यापक रूप से विस्तारित किया गया था। श्रेणी सिद्धांत को सार्वभौमिक बीजगणित के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है, क्योंकि उत्तरार्द्ध बीजीय संरचनाओं का अध्ययन करता है, और पूर्व किसी भी प्रकार की गणितीय संरचना पर लागू होता है और विभिन्न प्रकृति की संरचनाओं के बीच संबंधों का भी अध्ययन करता है। इस कारण से, यह पूरे गणित में प्रयोग किया जाता है। गणितीय तर्क और सिमेंटिक्स (श्रेणीबद्ध सार मशीन) के लिए आवेदन बाद में आए।

गणित की नींव के रूप में टोपोई (एकवचन टोपोस) नामक कुछ श्रेणियां स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के विकल्प के रूप में भी काम कर सकती हैं। एक टोपोस को दो अतिरिक्त टोपोस एक्सिओम्स के साथ एक विशिष्ट प्रकार की श्रेणी के रूप में भी माना जा सकता है। श्रेणी सिद्धांत के इन मूलभूत अनुप्रयोगों को रचनात्मक गणित के आधार और औचित्य के रूप में उचित विवरण में तैयार किया गया है। टोपोस सिद्धांत सार शीफ सिद्धांत का एक रूप है, ज्यामितीय उत्पत्ति के साथ, और व्यर्थ टोपोलॉजी जैसे विचारों की ओर जाता है।

कार्यात्मक प्रोग्रामिंग और डोमेन सिद्धांत में अनुप्रयोगों के साथ, श्रेणीबद्ध तर्क अब एक अच्छी तरह से परिभाषित क्षेत्र है, जो कार्यात्मक प्रोग्रामिंग और डोमेन सिद्धांत में अनुप्रयोगों के साथ प्रकार सिद्धांत पर आधारित है, जहां एक कार्टेशियन बंद श्रेणी को लैम्ब्डा कैलकुलस के गैर-वाक्यविन्यास विवरण के रूप में लिया जाता है। बहुत कम से कम, श्रेणी सैद्धांतिक भाषा स्पष्ट करती है कि वास्तव में इन संबंधित क्षेत्रों में क्या समान है (कुछ सार अर्थों में)।

अन्य क्षेत्रों में भी श्रेणी सिद्धांत लागू किया गया है। उदाहरण के लिए, जॉन बेज ने भौतिकी और मोनोइडल श्रेणियों में फेनमैन आरेखों के बीच एक लिंक दिखाया है। श्रेणी सिद्धांत का एक अन्य अनुप्रयोग, अधिक विशेष रूप से: टोपोस सिद्धांत, गणितीय संगीत सिद्धांत में बनाया गया है, उदाहरण के लिए द टोपोस ऑफ़ म्यूज़िक, ज्योमेट्रिक लॉजिक ऑफ़ कॉन्सेप्ट्स, थ्योरी, एंड परफॉर्मेंस बाई गुएरिनो माज़ोला।

गणित की नींव के रूप में श्रेणियों के लिए अंडरग्रेजुएट्स को पेश करने के हालिया प्रयासों में विलियम लॉवरे और रोजब्रुघ (2003) और लॉवरे और स्टीफन शैनुअल (1997) और मिरोस्लाव योतोव (2012) शामिल हैं।

यह भी देखें

 * डोमेन सिद्धांत
 * समृद्ध श्रेणी
 * श्रेणी सिद्धांत की शब्दावली
 * समूह सिद्धांत
 * उच्च श्रेणी सिद्धांत
 * उच्च आयामी बीजगणित
 * गणित में प्रकाशनों की सूची#श्रेणी सिद्धांत
 * लैम्ब्डा कैलकुलस
 * श्रेणी सिद्धांत की रूपरेखा
 * श्रेणी सिद्धांत और संबंधित गणित की समयरेखा

स्रोत

 * एमएससी के हिस्से के रूप में पेश किए जाने वाले पाठ्यक्रम के लिए नोट्स। गणितीय तर्क में, मैनचेस्टर विश्वविद्यालय।
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 * अंतर्ज्ञानवादी तर्क
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बाहरी संबंध

 * Theory and Application of Categories, an electronic journal of category theory, full text, free, since 1995.
 * nLab, a wiki project on mathematics, physics and philosophy with emphasis on the n-categorical point of view.
 * The n-Category Café, essentially a colloquium on topics in category theory.
 * Category Theory, a web page of links to lecture notes and freely available books on category theory.
 * , a formal introduction to category theory.
 * , with an extensive bibliography.
 * List of academic conferences on category theory
 * — An informal introduction to higher order categories.
 * WildCats is a category theory package for Mathematica. Manipulation and visualization of objects, morphisms, categories, functors, natural transformations, universal properties.
 * , a channel about category theory.
 * Video archive of recorded talks relevant to categories, logic and the foundations of physics.
 * Interactive Web page which generates examples of categorical constructions in the category of finite sets.
 * Category Theory for the Sciences, an instruction on category theory as a tool throughout the sciences.
 * Category Theory for Programmers A book in blog form explaining category theory for computer programmers.
 * Introduction to category theory.
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