चक्रीय(ट्रोकोइडल) तरंग

द्रव गतिकी में, एक चक्रीय तरंग या गेर्स्टनर तरंग आवधिक कार्य सतह गुरुत्व तरंगों के लिए यूलर समीकरणों(द्रव गतिकी) का एक यथार्थ समाधान है। यह अनंत गहराई के एक असंपीड्य द्रव की सतह पर स्थायी रूप की एक प्रगतिशील लहर का वर्णन करता है। इस तरंग विलयन की मुक्त सतह तीक्ष्ण शिखा (भौतिकी) और सपाट गर्त के साथ एक प्रतिलोमित (उल्टा) टोृकाँइड है। इस तरंग समाधान की खोज फ्रांटिसेक जोसेफ गेर्स्टनर ने 1802 में की थी, और 1863 में विलियम जॉन मैक्कॉर्न रैंकिन द्वारा स्वतंत्र रूप से इसकी खोज की गई थी।

चक्रीय तरंग से जुड़ा प्रवाह क्षेत्र अघूर्णन प्रवाह नहीं है: इसमें भ्रमिलता है। भ्रमिलता इतनी विशिष्ट शक्ति और ऊर्ध्वाधर वितरण की है कि द्रव खण्ड़ के प्रक्षेपवक्र बंद घेरे हैं। यह तरंग गति से जुड़े स्टोक्स लहर के सामान्य प्रयोगात्मक अवलोकन के विपरीत है। इसके अलावा चरण की गति अन्य गैर-रैखिक तरंग-सिद्धांतों(जैसे स्टोक्स तरंग और नोइडल तरंग की तरह) और टिप्पणियों के विपरीत चक्रीय तरंग के आयाम से स्वतंत्र है। इन कारणों से - साथ ही इस तथ्य के लिए भी कि परिमित द्रव गहराई के समाधान की कमी है - अभियान्त्रिकी अनुप्रयोगों के लिए चक्रीय तरंगें सीमित उपयोग की हैं।

अभिकलित्र आलेखिकी में, तथाकथित गेर्स्टनर तरंगों के उपयोग से यथार्थवादी दिखने वाली समुद्री लहरों का प्रतिपादन किया जा सकता है। यह पारंपरिक गेर्स्टनर तरंग का एक बहु-घटक और बहु-दिशात्मक विस्तार है, जो प्राय:(वास्तविक समय) जीवंतता को व्यवहार्य बनाने के लिए तेजी से फूरियर रूपांतरण का उपयोग करता है।

पारम्परिक चक्रीय तरंग का विवरण
प्रवाह क्षेत्र के एक लाग्रंगियन और यूलेरियन विनिर्देशन का उपयोग करते हुए, द्रव खण्ड़ की गति अनंत गहराई की द्रव परत की सतह पर एक आवधिक फ़ंक्शन तरंग के लिए - है। $$ \begin{align} X(a,b,t) &= a + \frac{e^{kb}}{k} \sin \left( k(a+ct) \right), \\ Y(a,b,t) &= b - \frac{e^{kb}}{k} \cos \left( k(a+ct) \right), \end{align}$$ जहाँ पर $$x = X(a,b,t)$$ तथा $$y = Y(a,b,t)$$ में द्रव खण्ड़ की स्थिति हैं $$(x,y)$$ समय $$t$$ पर समतल, साथ क्षैतिज समन्वय $$x$$ और ऊर्ध्वाधर समन्वय $$y$$(सकारात्मक ऊपर की ओर, गुरुत्वाकर्षण के विपरीत दिशा में) है। लग्रांजी निर्देशांक करता है $$(a,b)$$ द्रव खण्ड़ को लेबल करें $$(x,y)=(a,b)$$ वृत्ताकार कक्षाओं के केंद्र के साथ - जिसके चारों ओर संबंधित द्रव खण्ड़ निरंतर गति $$c\,\exp(kb)$$ से चलता है आगे $k = 2\pi/\lambda$ तरंग संख्या है(और $$\lambda$$ तरंग दैर्ध्य), जबकि $$c$$ वह चरण गति है जिसके साथ तरंग का प्रसार $$x$$-दिशा होता है। चरण गति फैलाव(जल तरंगों) संबंध को संतुष्ट करती है: $$c^2 = \frac{g}{k},$$ जो तरंग अरेखीयता से स्वतंत्र है (अर्थात तरंग की ऊँचाई $$H$$ पर निर्भर नहीं करता है ), और यह चरण गति $$c$$ गहरे पानी में हवादार की रैखिक तरंगें हवादार तरंग सिद्धांत के समान है।

मुक्त सतह निरंतर दबाव की एक रेखा है, और एक रेखा $$b = b_s$$ के अनुरूप पाई जाती है, जहाँ पर $$b_s$$ एक (गैर-सकारात्मक) स्थिरांक है। $$b_s = 0$$ के लिये उच्चतम तरंगें एक पुच्छल(विलक्षणता)-आकार की शिखा के साथ होती हैं। ध्यान दें कि उच्चतम(इरोटेशनल) स्टोक्स तरंग में घूर्णी चक्रीय तरंग के लिए 0° के बजाय 120° का तरंग शिखा कोण होता है।

चक्रीय तरंग की तरंग ऊंचाई $H = \frac 2 k \exp(kb_s)$ होती है। $$x$$-दिशा में तरंग आवर्ती होती है, तरंग दैर्ध्य के साथ $$\lambda;$$ और आवृत्ति के साथ समय-समय पर भी $T = \lambda/c = \sqrt{2\pi\lambda/g}.$

भ्रमिलता $$\varpi$$ चक्रीय तरंग के अंतर्गत : $$\varpi(a,b,t) = - \frac{2kc e^{2kb}}{1 - e^{2kb}}$$ लग्रांजी ऊंचाई के साथ भिन्न $$b$$ और मुक्त सतह के नीचे गहराई के साथ तेजी से घट रहा है।

अभिकलित्र आलेखिकी में
मुक्त-सतह गति के प्रवाह क्षेत्र के लैग्रेंगियन और यूलेरियन विनिर्देशन का एक बहु-घटक और बहु-दिशात्मक विस्तार - जैसा कि गेर्स्टनर की चक्रीय तरंग में उपयोग किया जाता है - समुद्र की लहरों के अनुकरण के लिए अभिकलित्र आलेखिकी में उपयोग किया जाता है। पारम्परिक गेर्स्टनर तरंग के लिए द्रव गति गैर-रैखिक प्रणाली, मुक्त सतह के नीचे असंपीड़ित और अदृश्य प्रवाह समीकरण को पूरी तरह से संतुष्ट करती है। हालाँकि, विस्तारित गेर्स्टनर तरंगें सामान्य रूप से इन प्रवाह समीकरणों को यथार्थ रूप से संतुष्ट नहीं करती हैं(हालांकि वे उन्हें लगभग संतुष्ट करती हैं, अर्थात संभावित प्रवाह द्वारा रैखिककृत लैग्रैंगियन विवरण के लिए)। फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (FFT) के उपयोग से समुद्र के इस विवरण को बहुत कुशलता से क्रमादेश किया जा सकता है। इसके अलावा, मुक्त सतह के गैर-रैखिक विरूपण के परिणामस्वरूप (गति के लैग्रैंगियन विनिर्देश के कारण): तेज शिखा (भौतिकी) और चापलूसी गर्त (भौतिकी) इस प्रक्रिया से परिणामी समुद्र की लहरें यथार्थवादी दिखती हैं।

इन गेरस्टनर तरंगों में मुक्त-सतह का गणितीय विवरण इस प्रकार हो सकता है: क्षैतिज निर्देशांक के रूप $$x$$ तथा $$z$$ में निरूपित किया जाता है और ऊर्ध्वाधर निर्देशांक $$y$$ है। मध्यमान सतह का औसत स्तर $$y = 0$$ पर है और सकारात्मक $$y$$-दिशा ऊपर की ओर है, जो पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण बल $$g$$ का विरोध करती है मुक्त सतह को पैरामीट्रिक समीकरण के मापदंड $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ साथ ही समय का $$t$$ एक प्रकार्य के रूप में वर्णित किया गया है। मापदंड माध्य-सतह बिंदुओं $$(x,y,z) = (\alpha,0,\beta)$$ से जुड़े होते हैं, जिसके चारों ओर लहरदार सतह की कक्षा में द्रव खण्ड़ होता है। मुक्त सतह के माध्यम से $$x = \xi(\alpha,\beta,t),$$$$y = \zeta(\alpha,\beta,t)$$ तथा $$z = \eta(\alpha,\beta,t)$$ निर्दिष्ट किया गया है। साथ में : $$\begin{align} \xi  &= \alpha - \sum_{m=1}^M \frac{k_{x,m}}{k_m}\, \frac{a_m}{\tanh\left( k_m\, h \right)}\, \sin\left( \theta_m \right), \\ \eta &= \beta  - \sum_{m=1}^M \frac{k_{z,m}}{k_m}\, \frac{a_m}{\tanh\left( k_m\, h \right)}\, \sin\left( \theta_m \right), \\ \zeta &= \sum_{m=1}^M a_m\, \cos\left( \theta_m \right), \\ \theta_m &= k_{x,m}\, \alpha + k_{z,m}\, \beta - \omega_m\, t - \phi_m, \end{align}$$ जहाँ पर $$\tanh$$ अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा समारोह है, $$M$$ माना तरंग घटकों की संख्या $$a_m$$ है, घटक का आयाम $${m=1\dots M}$$ है तथा $$\phi_m$$ इसका चरण(लहरें)। इसके अतिरिक्त $k_m = \sqrt{\scriptstyle k_{x,m}^2 + k_{z,m}^2}$ इसकी तरंग संख्या है और $$\omega_m$$ इसकी कोणीय आवृत्ति। अनुवर्ती दो, $$k_m$$ तथा $$\omega_m,$$ स्वतंत्र रूप से नहीं चुना जा सकता है लेकिन फैलाव (जल तरंगों) के माध्यम से संबंधित हैं: $$\omega_m^2 = g\, k_m \tanh \left( k_m\, h \right),$$ $$h$$ के साथ औसत पानी की गहराई। गहरे पानी में($$h\to\infty$$) अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा एक $${\tanh(k_m\,h)\to 1}$$ को जाती है: अवयव $$k_{x,m}$$ तथा $$k_{z,m}$$ क्षैतिज तरंग संख्या सदिश(गणित और भौतिकी) $$\boldsymbol{k}_m$$ घटक की तरंग प्रसार दिशा $$m$$ निर्धारित करती है विभिन्न मापदंडों का चुनाव $$a_m, k_{x,m}, k_{z,m}$$ तथा $$\phi_m$$ के लिये $$m = 1, \dots, M,$$ और एक निश्चित औसत गहराई $$h$$ समुद्र की सतह के रूप को निर्धारित करता है। FFT के माध्यम से तेजी से संगणना की संभावना का फायदा उठाने के लिए एक चतुर विकल्प की जरूरत है। उदाहरण देखें यह कैसे करें के विवरण के लिए। अधिकतर, तरंगनंबर्स को एक नियमित प्रजाल $$(k_x,k_z)$$-समष्टि में चुना जाता है। इसके बाद, आयाम $$a_m$$ और चरण $$\phi_m$$ वर्णक्रमीय घनत्व के अनुसार यादृच्छिक रूप से चुना जाता है। एक निश्चित वांछित समुद्री राज्य के विचरण-घनत्व वर्णक्रम। अंत में, FFT द्वारा, महासागर की सतह का निर्माण इस तरह से किया जा सकता है कि यह समष्टि और समय दोनों में आवधिक कार्य करता है, टेसेलेशन (अभिकलित्र आलेखिकी) को सक्षम करता है - आवृत्तियों को थोड़ा सा स्थानांतरित करके समय में आवधिकता बनाना $$\omega_m$$ ऐसा कि $$\omega_m = m\,\Delta\omega$$ के लिये $$m = 1, \dots, M.$$

प्रतिपादन में भी सामान्य(ज्यामिति) $$\boldsymbol{n}$$ सतह पर प्राय: आवश्यक होती है। संकरीकरण उत्पाद का उपयोग करके इनकी गणना की जा सकती है($$\times$$) जैसे: $$ \boldsymbol{n} = \frac{\partial\boldsymbol{s}}{\partial\alpha} \times \frac{\partial\boldsymbol{s}}{\partial\beta} \quad \text{with} \quad \boldsymbol{s}(\alpha,\beta,t) = \begin{pmatrix} \xi(\alpha,\beta,t) \\ \zeta(\alpha,\beta,t) \\ \eta(\alpha,\beta,t) \end{pmatrix}. $$ इकाई सदिश सामान्य सदिश $$\boldsymbol{e}_n = \boldsymbol{n}/\|\boldsymbol{n}\|,$$ के साथ $$\|\boldsymbol{n}\|$$ का मानदंड(गणित) $$\boldsymbol{n}$$ है।

संदर्भ

 * . Reprinted in: Annalen der Physik 32(8), pp. 412–445, 1809.
 * Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.
 * Originally published in 1879, the 6th extended edition appeared first in 1932.