एकल-कण प्रक्षेपवक्र

एकल कण प्रक्षेपवक्र (एसपीटी) समय में कारण सतत भिन्न-भिन्न बिंदुओं का संग्रह सम्मिलित होता हैं। ये प्रक्षेपवक्र विज्ञान्य प्रयोगी डेटा के छवियों से प्राप्त किए जाते हैं। कोशिका जीवविज्ञान के संदर्भ में, ये प्रक्षेप एक गतिशील अणु के साथ जुड़े छोटे रंगों के लेजर द्वारा क्षणिक सक्रियण से प्राप्त किए जाते हैं।

अब नवीनतम अति-विभेदन माइक्रोस्कोपी के आधार पर अब आणविक कोशिकाओं का दृश्यीकरण किया जा सकता हैं, जिससे हजारों छोटे और लंबे प्रक्षेपवक्रों का नियमित संग्रह संभव होता है। ये प्रक्षेपवक्र कोशिका के किसी भाग का पता लगाने के लिए होते हैं, वह झिल्ली में हो या 3 विमा में, और उनके प्रक्षेपवक्रों पर स्थानीय संकुल और कोशिका के अंदर आणविक अंतर्क्रिया का महत्वपूर्ण प्रभाव होता है, जैसा कि इसे विशेष रूप से तंत्रिका (न्यूरॉनल) कोशिकाओं, तारिका कोशिका (एस्ट्रोसाइट्स), प्रतिरक्षा कोशिकाओं और अन्य बहुत से कोशिका प्रकारों में बताया गया है।

एसपीटी आंकड़े एकत्र करने के लिए कोशिकाओं के अंदर गतिमान अणुओं का अवलोकन करने की अनुमति प्रदान करता है
एसपीटी गतिशील कणों का अवलोकन करने की अनुमति देता है। इन प्रक्षेपवक्रों का उपयोग साइटोप्लाज्म या झिल्ली संगठन, की जांच करने के लिए किया जाता है, लेकिन कोशिका नाभिक गतिकी, रेमोडेलर गतिकी या mRNA उत्पादन की भी जांच की जाती है। यंत्रीकरण के सतत संशोधन के कारण, स्थानिक विभेदन लगातार घट रहा है, जो अब लगभग 20 nm के मूल्यों तक पहुंच रहा है, जबकि अधिग्रहण समय चरण सामान्यतः जीवित ऊतकों में होने वाली छोटी घटनाओं को अभिग्रहित करने के लिए 10 से 50 ms की सीमा में होता है। अति-विभेदन माइक्रोस्कोपी के एक प्रकार को sptPALM कहा जाता है, जिसका उपयोग कोशिकाओं में अणुओं के स्थानीय और गतिशील रूप से परिवर्तनीय संगठन या स्तनधारी नाभिक में प्रतिलेखन कारकों द्वारा डीएनए बंधन की घटनाओं का पता लगाने के लिए किया जाता है। उच्च गुणवत्ता वाले डेटा की गारंटी के लिए अति-विभेदन छवि अधिग्रहण और कण ट्रैकिंग महत्वपूर्ण हैं

ट्रैकिंग एल्गोरिदम के आधार पर बिंदुओं को प्रक्षेपवक्र में जोड़ना
बिंदुओं का अधिग्रहण हो जाने के बाद, अगला चरण एक प्रक्षेपवक्र का पुनर्निर्माण करना है। यह चरण अधिग्रहीत बिंदुओं को जोड़ने के लिए ज्ञात ट्रैकिंग एल्गोरिदम किया जाता है। ट्रैकिंग एल्गोरिदम एक अतिरिक्त यादृच्छिक नॉइज़ से प्रभावित प्रक्षेपवक्र के एक भौतिक मॉडल पर आधारित होते हैं।

निरर्थक एसपीटी से भौतिक मापदंडों को निकालना
आणविक स्तर पर अनुभवजन्य डेटा से बायोफिजिकल सूचना मापदंडों को निकालने के लिए कई लघु (एसपीटी) की अतिरेक एक प्रमुख विशेषता है। इसके विपरीत, विभिन्न पदों से जुड़ी प्राकृतिक स्थानिक विविधता को नष्ट करते हुए, प्रक्षेपवक्र के साथ जानकारी निकालने के लिए लंबे पृथक प्रक्षेपवक्रों का उपयोग किया गया है। इसका मुख्य सांख्यिकीय उपकरण माध्य-वर्ग विस्थापन की गणना करना है ( एमएसडी) या दूसरा क्रम सांख्यिकीय आघूर्ण:


 * $$\langle|X(t+\Delta t)- X(t)|^2\rangle \sim t^\alpha$$ ( औसत से अधिक प्राप्तियां), जहां 11 को विसंगति घातांक कहा जाता है।

ब्राउनियन गति के लिए, $$\langle|X(t+\Delta t)- X(t)|^2\rangle=2 n Dt$$, जहां D प्रसार गुणांक है, n समष्टि की विमा है। अन्य गुणों को लंबे प्रक्षेपवक्रों से भी पुनर्प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि एक सीमित गति के लिए बंधन की त्रिज्या। एमएसडी का व्यापक रूप से लंबे समय के शुरुआती अनुप्रयोगों में उपयोग किया गया है, लेकिन जरूरी नहीं कि जैविक संदर्भ में एकल-कण प्रक्षेपवक्र हो। यद्यपि, लंबे प्रक्षेपवक्रों पर लागू एमएसडी कई समस्याओं से संबंधित है। सर्वप्रथम, यह भाग में यथार्थ नहीं है क्योंकि मापा बिंदुओं को सहसंबद्ध किया जा सकता है। इसका उपयोग किसी भी भौतिक प्रसार गुणांक की गणना करने के लिए नहीं किया जा सकता है जब प्रक्षेपवक्र में मुक्त और सीमित प्रसार के बीच बारी-बारी से उदाहरण के लिए स्विचिंग एपिसोड होते हैं। प्रेक्षित प्रक्षेपवक्रों के कम स्पैटोटेम्पोरल विभेदन में, एमएसडी समय के साथ सूक्ष्म रूप से व्यवहार करता है, एक प्रक्रिया जिसे विसंगति प्रसार के रूप में जाना जाता है, जिसका कारण कण गति के विभिन्न चरणों के औसत के भागों में है। कोशिका परिवहन के संदर्भ में (एमोबॉइड), सूक्ष्म-तरलिकी कक्षों में लंबे एसपीटी के उच्च विभेदन गति विश्लेषण में विभिन्न प्रकार के सेल गतियों का पता चला।बाधाएं घनत्व के आधार पर: क्रॉलिंग बाधाओं के कम घनत्व पर पाया गया था और निर्देशित गति और यादृच्छिक चरणों को भी विभेदित किया जा सकता है।

लेंगेविन और स्मोलुचोव्स्की गति के मॉडल के रूप में समीकरण
एसपीटी से जानकारी निकालने के सांख्यिकीय तरीके स्टोकेस्टिक मॉडल पर आधारित हैं, लैंगेविन समीकरण या इसकी स्मोलुकोव्स्की की सीमा और संबंधित मॉडल जो अतिरिक्त स्थानीयकरण बिंदु पहचान शोर या मेमोरी कर्नेल के लिए उपयुक्त हैं। लैंग्विन समीकरण ब्राउनियन बल $$\Xi$$ द्वारा संचालित एक स्टोकेस्टिक कण और व्यंजक $$F(x,t)$$ के साथ बल के क्षेत्र (जैसे, वैद्युतस्थैतिक, यांत्रिकी, आदि) का वर्णन करता है:


 * $$m\ddot x+\Gamma \dot x-F(x,t)=\Xi,$$

जहाँ m कण का द्रव्यमान है और $$\Gamma= 6\pi a \rho$$ विसरित कण का घर्षण गुणांक है, $$\rho$$ श्यानता होती है। इस समय $$\Xi$$ में $$\delta$$-गॉसियन वाइट नॉइज़ होती है। शक्ति संभावित वेल U से प्राप्त की जा सकती है ताकि $$F(x,t)=- U'(x)$$ और उस स्थिति में, समीकरण निम्न रूप प्राप्त करता है


 * $$m\frac{d^2 x}{dt^2} +\Gamma \frac{d x}{dt} +\nabla U(x)=\sqrt{2\varepsilon\gamma}\,\frac{d\eta}{dt},$$

जहां $$\varepsilon=k_\text{B} T,$$ ऊर्जा है और $$k_\text{B}$$ बोल्ट्जमैन स्थिरांक और टी तापमान है। लैंग्विन के समीकरण का उपयोग प्रक्षेपवक्र का वर्णन करने के लिए किया जाता है जहां जड़त्व या त्वरण महत्वपूर्ण होता है। उदाहरण के रूप में, बहुत ही छोटे समयांतरालो पर, जब कोई अणु बाध्यकारी साइट से अलग होती है या विभवांतर वेल से निकलती है और जड़ता शब्द कणों को आकर्षित करने वाले से दूर जाने की अनुमति देता है और इस प्रकार तत्काल पुन: बंधन को रोकता है, जो संख्यात्मक अनुकरण को प्रभावित कर सकता है।

बड़ी घर्षण सीमा $$\gamma\to\infty$$ में लैंग्विन समीकरण के प्रक्षेपवक्र $$x(t)$$ स्मोलुचोव्स्की के समीकरण के प्रक्षेपवक्र में प्रायिकता में परिवर्तित हो जाते हैं


 * $$\gamma \dot{x}+U^\prime (x)=\sqrt{2\varepsilon\gamma}\,\dot{w},$$

जहां $$\dot w(t) $$, $$\delta$$-सहसंबंधित है। यह समीकरण तब प्राप्त होता है जब अंतरिक्ष में प्रसार गुणांक स्थिर होता है। जब ऐसा नहीं होता है, तो स्थूल कणिक समीकरण (स्थूल कणिक विभेदन पर) आणविक विचारों से प्राप्त किए जाने चाहिए। भौतिक बलों की व्याख्या का समाधान इटो बनाम स्ट्रैटोनोविच समाकल प्रतिनिधित्व या किसी अन्य द्वारा नहीं किया जाता है।

सामान्य मॉडल समीकरण
प्राथमिकता आणविक संघट्ट की तुलना में अधिक समय के लिए, ट्रैक किए गए कण की स्थिति को लैंग्विन स्टोकेस्टिक मॉडल की अधिक सामान्य अतिवृद्धि सीमा द्वारा वर्णित किया गया है। हालांकि, यदि तापीय उच्चावचन की तुलना में उच्चावचन रिकॉर्ड प्रक्षेपवक्रों का अधिग्रहण समय बहुत कम होता है, अतः डेटा में तीव्रता से घटनाओं का समाधान नहीं किया जाता है। इसी प्रकार इस स्थूल स्पैटोटेम्पोरल पैमाने पर, गति विवरण को प्रभावी स्टोकेस्टिक समीकरण द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है


 * $$\dot{X}(t)={b}(X(t)) +\sqrt{2}{B}_e(X(t))\dot{w}(t), \qquad\qquad (1) $$

जहां $${b}(X) $$ बहाव (ड्रिफ्ट) क्षेत्र और $${B}_e $$ प्रसार आव्यूह है। प्रभावी प्रसार टेंसर समष्टि $$D(X)=\frac{1}{2} B(X) B^T X^T$$ में भिन्न हो सकता है ($X^T $, $ X $ के स्थानान्तरण को दर्शाता है)। यह समीकरण व्युत्पन्न नहीं है, लेकिन माना जाता है। हालांकि, विसरण संकेतक को पर्याप्त रूप से स्मूद होना चाहिए क्योंकि डी में किसी भी असंख्यकता को स्थानिक स्केलिंग के द्वारा हल किया जाना चाहिए, ताकि असंख्यकता के स्रोत का विश्लेषण किया जा सके (सामान्यतः अशक्त बाधाओं या दो माध्यमों के बीच के परिवर्तन)। प्रेक्षित प्रभावी प्रसार टेंसर आवश्यक रूप से समानुवर्ती (आइसोट्रोपिक) नहीं है और यह स्थिति पर निर्भर हो सकता है, यद्यपि घर्षण गुणांक $$\gamma$$ तब तक स्थिर रहता है जब तक कि माध्यम समान रहता है और सूक्ष्म प्रसार गुणांक (या टेंसर) आइसोट्रोपिक रह सकता है।

इन प्रक्षेपवक्रों का सांख्यिकीय विश्लेषण
सांख्यिकीय विधियों के विकास का आधार स्टोकास्टिक मॉडल पर है, जो यात्रा के लिए एक संभावित विसंवलन प्रक्रिया हो सकती है। एकल कण प्रक्षेपवक्र डेटा से प्राप्त किए जा सकने वाले विशेष विशेषताओं की पहचान करने के लिए संख्यात्मक अनुकरण भी उपयोगी हो सकते हैं। एसपीटी डेटा से सांख्यिकीय समूह का निर्माण करने का लक्ष्य कणों की स्थानिक भौतिक गुणों, जैसे कि वेग, विसरण, सीमांकन या प्रतिआकर्षणीय बल, की अवलोकन करना है जो कणों के स्थानिक नैनोमीटर पर्यावरण के साथ उनके संवेगों के परस्पर क्रियाओं का प्रतिबिंब करते हैं। यह संभव है कि विसरण संकेतक (या टेंसर) से सीमांकन या बायोलॉजिकल वस्तुओं की विभिन्न आकारों की उपस्थिति का प्रतिबिंबित करने वाली स्थानिक संघनिति या स्थानिक घनत्व निर्माण के लिए स्टोकास्टिक मॉडलिंग का उपयोग किया जा सकता है।

स्टोकेस्टिक प्रक्रिया के बहाव और प्रसार के लिए अनुभवजन्य अनुमानक
विभिन्न अनुभवजन्य अनुमानों को स्थानीय प्रसार गुणांक, सदिश क्षेत्र और यहां तक कि बहाव में व्यवस्थित पैटर्न, जैसे कि संभावित वेल को पुनर्प्राप्त करने का प्रस्ताव दिया गया है। अनुभवजन्य अनुमानकर्ताओं का निर्माण पैरामीट्रिक और गैर-पैरामीट्रिक सांख्यिकी से भौतिक गुणों को पुनर्प्राप्त करने का कार्य करता है। एकल-विमीय समय श्रृंखला सांख्यिकी से विसरण प्रक्रिया के सांख्यिकीय पैरामीटरों की पुनर्प्राप्ति में पहले क्षण अनुमानकर्ता या बेसियन निष्कर्ष (इन्फ़ेरेंस) का उपयोग किया जाता है।

मॉडल और विश्लेषण मानते हैं कि प्रक्रियाएं स्थायी होती हैं, इसलिए प्रक्षेपवक्रों की सांख्यिकीय गुणधर्म समय के साथ परिवर्तित नहीं होते हैं। वास्तव में, यह धारणा संतुष्ट है जब प्रक्षेपवक्र को एक मिनट से कम समय के लिए प्राप्त किया जाता है, जहां केवल कुछ धीमे परिवर्तन ही हो सकते हैं, उदाहरण के लिए एक न्यूरॉन की सतह पर केवल कुछ मंद परिवर्तन हो सकते हैं। गैर-स्थायी क्रियाविधि को समय-लैप्स विश्लेषण का उपयोग करके देखा जाता है, जहां लगभग बार-बार प्राप्ति के बीच दसों मिनटों का विलंब होता है।

स्थूल-कणिक मॉडल समीकरण 1 प्रक्षेपवक्र के सशर्त क्षणों के संवेदनशील क्षणों की माध्यमिक आघूर्ण से पुनर्प्राप्त किया जाता है

$$\Delta X= X(t+\Delta t)- X(t)$$


 * $$a( x)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{E[\Delta X(t)\mid X(t)= x]}{\Delta t},$$
 * $$D( x)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{E[\Delta X(t)^T\,\Delta X(t)\mid X(t)= x]}{2\,\Delta t}.$$

यहाँ संकेतन $$E[\cdot\,|\, X(t)= x]$$ का अर्थ है कि समय t पर बिंदु x पर होने वाली सभी प्रक्षेपवक्रों के लिए औसतन करना है। स्मोलुकोव्स्की समीकरण के संकेतक बिन्दु x पर स्थानिक रूप से आकलन किए जा सकते हैं, जब बिन्दु x के आस-पास की प्रक्षेपवक्रों के असीमित बड़े संख्या के प्रतिरूपों से प्राप्त किए जाते हैं।

अनुभवजन्य अनुमान
वास्तव में, a और D के लिए अपेक्षाओं संख्यागणना द्वारा अनुमानित की जाती है और $$\Delta t$$ रिकॉर्ड की गई प्रक्षेपवक्रों की समय-संक्रमण समय-परिधि है। a और D के लिए सूत्र $$\Delta t$$ पर अनुमान बनाए जाते हैं, जहां किसी भी बिन में दसियों से सैकड़ों बिंदु आते हैं। यह आमतौर पर अनुमान के लिए पर्याप्त होता है।

स्थानिक ड्रिफ्ट और विसरण गुणांक के अनुमान के लिए, पहले प्रक्षेपवक्रों को किसी छोटे निकटवर्ती में ग्रुप में समूहीकृत किया जाता है। अवलोकन का क्षेत्र वर्गाकार बिनों $$S( x_k,r)$$ में विभाजित होता है, जिनकी भुजा r है और केंद्र $$x_k$$ है, और प्रत्येक वर्ग के लिए स्थानिक ड्रिफ्ट और विसरण का अनुमान लगाया जाता है। $$N_t$$ प्रक्षेपवक्रों $$\{x^i(t_1),\dots, x^i(t_{N_s}) \},$$ के संग्रह को मान लेते हुए जहां $$t_j$$ सैंपल लेने के समय हैं, ड्रिफ्ट के लिए समीकरण $$a(x_k)=(a_x(x_k),a_y(x_k))$$ की ग्रिडिकरण $$x_k$$ के लिए प्रत्येक स्थानिक प्रक्षेपण पर x और y अक्ष पर दिया जाता है


 * $$a_x(x_k) \approx \frac{1}{N_k}\sum_{j=1}^{N_t} \sum_{i=0, \tilde x^j_i\in S(x_k,r)}^{N_s-1}\left(\frac{ x^j_{i+1}- x^j_i}{\Delta t} \right)$$
 * $$a_y(x_k) \approx \frac{1}{N_k}\sum_{j=1}^{N_t}\sum_{i=0, \tilde x^j_i\in S(x_k,r)}^{N_s-1} \left(\frac{ y^j_{i+1}- y^j_i}{\Delta t}\right),$$

जहां $$N_k$$, वर्ग $$S( x_k,r)$$ में आने वाले प्रक्षेप पथ के बिंदुओं की संख्या है। इसी प्रकार, प्रभावी प्रसार टेंसर $$D( x_k)$$ के घटकों का अनुमान अनुभवजन्य योगों द्वारा लगाया जाता है


 * $$D_{xx}(x_k) \approx \frac{1}{N_k} \sum_{j=1}^{N_t} \sum_{i=0, x_i\in S(x_k,r)}^{N_s-1} \frac{(x^j_{i+1}-x^j_i)^2} {2\,\Delta t},$$
 * $$D_{yy}(x_k) \approx \frac{1}{N_k} \sum_{j=1}^{N_t} \sum_{i=0,x_i\in S(x_k,r)}^{N_s-1} \frac{(y^j_{i+1}-y^j_i)^2} {2\,\Delta t},$$
 * $$D_{xy}(x_k) \approx \frac{1}{N_k}\sum_{j=1}^{N_t}\sum_{i=0,x_i\in S(x_k,r)}^{N_s-1}\frac{(x^j_{i+1}-x^j_i)(y^j_{i+1}-y^j_i)}{2\,\Delta t}.$$

आघूर्ण अनुमान के लिए प्रत्येक बिंदु से पास वाली बड़ी संख्या में प्रक्षेपवक्रों की आवश्यकता होती है, जो कि किसी विशेष प्रकार के अति-विभेदन डेटा जैसे कि जैविक प्रतिरूपों पर sptPALM तकनीक द्वारा प्राप्त किए गए बड़े पैमाने पर डेटा से यथार्थ रूप से सहमत होता है। लेगेंविन के समीकरण का यथार्थ व्युत्क्रम सिद्धांत में रुचि के किसी भी बिंदु x से गुजरने वाले प्रक्षेप पथ की अनंत संख्या की मांग करता है। वास्तव में, ड्रिफ्ट और प्रसार टेंसर की पुनर्प्राप्ति क्षेत्र को त्रिज्या r के वर्ग ग्रिड द्वारा या चलित स्लाइडिंग विंडो (50 से 100 nm के क्रम में) द्वारा विभाजित करने के बाद प्राप्त की जाती है।

नैनोडोमेन की सीमा की स्वचालित पुनर्प्राप्ति
प्रक्षेपवक्र से निकाले गए बिंदुओं के घनत्व के मानचित्रण के आधार पर एल्गोरिदम क्षेत्रीय बाइंडिंग और ट्रैफिकिंग संवाद और गतिशील उपकोशिकीय साइटों की संगठन को प्रकट करने की अनुमति देते हैं। एल्गोरिथम को उच्च घनत्व के क्षेत्रों का अध्ययन करने के लिए लागू किया जा सकता है, जो एसपीटी द्वारा प्रकट किया जाता है। इसके उदाहरण हैं जैसे कि एंडोप्लाज्मिक रेटिकुलम या कोशिका झिल्ली होती है। यह विधि सैकड़ों नैनोमीटर मापने वाले डोमेन के लिए स्थानीय वास्तुकला और उच्च घनत्व वाले क्षेत्रों की सीमाओं का पता लगाने के लिए स्पैटोटेम्पोरल विभाजन पर आधारित है।