डिराक माप

गणित में, डायराक माप केवल एक समुच्चय के आधार पर आकार निर्दिष्ट करता है कि इसमें एक निश्चित तत्व x उपस्थित है या नहीं। यह डिराक डेल्टा फलन, भौतिकी और अन्य तकनीकी क्षेत्रों में महत्वपूर्ण उपकरण के विचार को औपचारिक रूप प्रदान करने का एक उपाय है।

परिभाषा
एक डायराक माप एक माप है (गणित) ${x,y,z}$ एक समुच्चय पर $δ_{x}$ (किसी भी सिग्मा बीजगणित के साथ|$δ_{x}$-के सब समुच्चय का बीजगणित $X$) दिए गए के लिए परिभाषिसमत $σ$ और कोई भी मापने योग्य  समुच्चय|(मापने योग्य)  समुच्चय $X$ द्वारा
 * $$\delta_x (A) = 1_A(x)= \begin{cases} 0, & x \not \in A; \\ 1, & x \in A. \end{cases}$$

कहाँ $x ∈ X$ का सूचक कार्य है $A ⊆ X$.

डायराक माप एक संभाव्यता माप है, और संभाव्यता के संदर्भ में यह लगभग सुनिश्चित परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है $1_{A}$ नमूना स्थान में $A$. हम यह भी कह सकते हैं कि माप एक एकल परमाणु (माप सिद्धांत) है $x$; हालाँकि, डायराक माप को एक परमाणु माप के रूप में मानना ​​​​सही नहीं है जब हम डायराक डेल्टा की अनुक्रमिक परिभाषा पर विचार करते हैं, डेल्टा अनुक्रम की सीमा के रूप में. डायराक उपाय संभाव्यता उपायों के उत्तल समुच्चय के चरम बिंदु हैं $X$.

नाम Dirac डेल्टा फ़ंक्शन से बैक-फॉर्मेशन है; एक वितरण (गणित) के रूप में माना जाता है, उदाहरण के लिए वास्तविक रेखा पर, विशेष प्रकार के वितरण के लिए उपाय किए जा सकते हैं। पहचान
 * $$\int_{X} f(y) \, \mathrm{d} \delta_x (y) = f(x),$$

जो, रूप में
 * $$\int_X f(y) \delta_x (y) \, \mathrm{d} y = f(x),$$

डेल्टा फ़ंक्शन की परिभाषा का हिस्सा बनने के लिए अक्सर लिया जाता है, लेबेसेग एकीकरण के प्रमेय के रूप में होता है।

डायराक माप के गुण
होने देना $x$ किसी निश्चित बिंदु पर केंद्रित डायराक माप को निरूपित करता है $X$ कुछ औसत दर्जे की जगह में $δ_{x}$.
 * $x$ एक प्रायिकता माप है, और इसलिए एक परिमित माप है।

लगता है कि $(X, Σ)$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और वह $δ_{x}$ कम से कम उतना ही ठीक है जितना कि बोरेल सिग्मा बीजगणित | बोरेल $(X, T)$-बीजगणित $Σ$ पर $σ$.
 * $σ(T)$ अगर और केवल अगर टोपोलॉजी एक सख्त सकारात्मक उपाय है $X$ इस प्रकार कि $δ_{x}$ प्रत्येक गैर-खाली खुले समुच्चय में निहित है, उदा। तुच्छ टोपोलॉजी के मामले में $T$.
 * तब से $x$ संभाव्यता माप है, यह स्थानीय परिमित माप भी है।
 * अगर ${∅, X}$ अपने बोरेल के साथ एक हॉसडॉर्फ स्पेस टोपोलॉजिकल स्पेस है $δ_{x}$-बीजगणित, तब $X$ एक आंतरिक नियमित माप होने की स्थिति को संतुष्ट करता है, क्योंकि सिंगलटन (गणित) जैसे समुच्चय करता है $σ$ हमेशा  कॉम्पैक्ट जगह  होते हैं। इस तरह, $δ_{x}$ भी एक रेडॉन माप है।
 * यह मानते हुए कि टोपोलॉजी ${x}$ इतना ही काफी है $δ_{x}$ बंद है, जो अधिकांश अनुप्रयोगों में मामला है, का समर्थन (माप सिद्धांत)। $T$ है ${x}$. (अन्यथा, $δ_{x}$ का समापन है ${x}$ में $supp(δ_{x})$।) आगे, ${x}$ एकमात्र प्रायिकता माप है जिसका समर्थन है $(X, T)$.
 * अगर $δ_{x}$ है ${x}$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष $X$ अपने सामान्य के साथ $n$-बीजगणित और $R^{n}$-आयामी लेबेस्ग उपाय $σ$, तब $n$ के संबंध में एक विलक्षण उपाय है $λ^{n}$: बस विघटित करें $δ_{x}$ जैसा $λ^{n}$ और $R^{n}$ और उसका निरीक्षण करें $A = R^{n} \ {x}$.
 * डायराक माप एक σ-परिमित माप | सिग्मा-परिमित माप है।

सामान्यीकरण
एक असतत माप डायराक माप के समान है, सिवाय इसके कि यह एक बिंदु के बजाय कई बिंदुओं पर केंद्रित है। अधिक औपचारिक रूप से, वास्तविक रेखा पर एक माप (गणित) को असतत माप कहा जाता है (लेबेसेग माप के संबंध में) यदि इसका समर्थन (माप सिद्धांत) अधिक से अधिक एक गणनीय समुच्चय है।

यह भी देखें

 * असतत उपाय
 * डिराक डेल्टा फलन