पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान

पायथागॉरियन त्रिकोणमितीय पहचान, जिसे केवल पायथागॉरियन पहचान भी कहा जाता है, त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में पायथागॉरियन प्रमेय को व्यक्त करने वाली एक पहचान (गणित) है। त्रिकोणमितीय पहचान के साथ#कोण योग और अंतर पहचान|योग-ऑफ-कोण सूत्र, यह साइन और कोज्या  कार्यों के बीच बुनियादी संबंधों में से एक है।

पहचान है
 * $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1.$$

हमेशा की तरह, $$\sin^2 \theta$$ साधन $(\sin\theta)^2$.

समकोण त्रिभुजों पर आधारित उपपत्ति
किसी भी समान त्रिभुज का यह गुण होता है कि यदि हम उन सभी में समान कोण का चयन करते हैं, तो कोण को परिभाषित करने वाले दो पक्षों का अनुपात समान होता है, भले ही समान त्रिभुज का चयन किया गया हो, चाहे उसका वास्तविक आकार कुछ भी हो: अनुपात तीन पर निर्भर करता है कोण, पक्षों की लंबाई नहीं। इस प्रकार आकृति में समान समकोण त्रिभुजों में से किसी के लिए, इसके क्षैतिज पक्ष का इसके कर्ण से अनुपात समान है, अर्थात् cos θ।

समकोण त्रिभुज की भुजाओं के संदर्भ में साइन और कोसाइन कार्यों की प्रारंभिक परिभाषाएँ हैं:


 * $$\sin \theta = \frac{\mathrm{opposite}}{\mathrm{hypotenuse}}= \frac{b}{c}$$
 * $$\cos \theta = \frac{\mathrm{adjacent}}{\mathrm{hypotenuse}} = \frac{a}{c} $$

पाइथागोरस की पहचान वर्ग (बीजगणित) के बाद ऊपर दी गई दोनों परिभाषाएँ, और जोड़ना; पहचान का बायां हाथ तब बन जाता है


 * $$\frac{\mathrm{opposite}^2 + \mathrm{adjacent}^2}{\mathrm{hypotenuse}^2}$$

जो पाइथागोरस प्रमेय द्वारा 1 के बराबर है। परिभाषित करने की परिभाषा के कारण यह परिभाषा सभी कोणों के लिए मान्य है $$x = \cos \theta$$ और $$y = \sin \theta$$ यूनिट सर्कल के लिए और इस प्रकार $$x = c\cos \theta$$ और $$y = c\sin \theta$$ त्रिज्या c के एक वृत्त के लिए और y अक्ष और सेटिंग में हमारे त्रिभुज को दर्शाता है $$a=x$$ और $$b=y$$.

वैकल्पिक रूप से, त्रिकोणमितीय पहचान#प्रतिबिंब, बदलाव और आवधिकता पर पाई जाने वाली पहचान | त्रिकोणमितीय समरूपता, बदलाव और आवधिकता को नियोजित किया जा सकता है। आवधिक कार्य पहचान से हम कह सकते हैं कि क्या सूत्र के लिए सत्य है −π < θ ≤ π तो यह सभी वास्तविक संख्या θ के लिए सत्य है। आगे हम श्रेणी में पहचान का गणितीय प्रमाण देते हैं π/2 < θ ≤ π, ऐसा करने के लिए हम करते हैं टी अब सीमा में होगा 0 < t ≤ π/2. फिर हम कुछ बुनियादी बदलाव पहचानों के वर्गाकार संस्करणों का उपयोग कर सकते हैं (वर्गीकरण आसानी से ऋण चिह्नों को हटा देता है):


 * $$\sin^2\theta + \cos^2\theta = \sin^2\left(t + \tfrac{1}{2}\pi\right) + \cos^2\left(t + \tfrac{1}{2}\pi\right) = \cos^2 t + \sin^2 t = 1.$$

इसे सिद्ध करना ही शेष रह गया है −π < θ < 0; यह प्राप्त करने के लिए सममिति सर्वसमिका का वर्ग करके किया जा सकता है


 * $$\sin^2\theta = \sin^2(-\theta)\text{ and }\cos^2\theta = \cos^2(-\theta).$$

संबंधित पहचान


पहचान


 * $$1 + \tan^2 \theta = \sec^2 \theta$$

और


 * $$1 + \cot^2 \theta = \csc^2 \theta$$

पाइथागोरस त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ भी कहलाती हैं। यदि एक समकोण त्रिभुज की एक पाद की लंबाई 1 है, तो उस पाद से सटे कोण का स्पर्शरेखा फलन दूसरे पाद की लंबाई है, और कोण की छेदक रेखा कर्ण की लंबाई है।
 * $$\tan \theta = \frac{b}{a},$$

और:
 * $$\sec \theta = \frac{c}{a}.$$

इस तरह, यह त्रिकोणमितीय पहचान जिसमें स्पर्शरेखा और छेदक शामिल है, पायथागॉरियन प्रमेय से अनुसरण करती है। लंबाई 1 के पैर के विपरीत कोण (इस कोण को φ = π/2 - θ लेबल किया जा सकता है) में दूसरे पैर की लंबाई के बराबर cosecant और कर्ण की लंबाई के बराबर व्युत्क्रमज्या है। इस तरह, यह त्रिकोणमितीय पहचान जिसमें कोटिस्पर्श और व्युत्क्रमज्या शामिल है, वह भी पाइथागोरस प्रमेय से अनुसरण करता है।

निम्न तालिका कारक या भाजक के साथ सर्वसमिकाएं देती है जो उन्हें मुख्य सर्वसमिका से संबंधित करती है।

यूनिट सर्कल का उपयोग करके सबूत
यूक्लिडियन विमान में मूल पर केंद्रित यूनिट सर्कल को समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$x^2 + y^2 = 1.$$

एक कोण θ दिया गया है, एक्स-अक्ष से θ के एंटीक्लॉकवाइज कोण पर यूनिट सर्कल पर एक अद्वितीय बिंदु पी है, और पी के एक्स- और वाई-निर्देशांक हैं:
 * $$x = \cos\theta \ \text{ and }\ y = \sin\theta.$$

नतीजतन, यूनिट सर्कल के समीकरण से:
 * $$\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1,$$

पायथागॉरियन पहचान।

चित्र में, बिंदु P का एक ऋणात्मक x-निर्देशांक है, और उचित रूप से x = cos θ द्वारा दिया गया है, जो एक ऋणात्मक संख्या है: cos θ = −cos(π−θ)। बिंदु P का एक सकारात्मक y-निर्देशांक है, और sin θ = sin(π−θ) > 0. जैसे ही θ शून्य से पूर्ण चक्र θ = 2π तक बढ़ता है, x और y रखने के लिए साइन और कोसाइन विभिन्न चतुर्भुजों में संकेत बदलते हैं सही संकेतों के साथ। यह आंकड़ा दिखाता है कि साइन फ़ंक्शन का चिन्ह कैसे बदलता है क्योंकि कोण चतुर्भुज बदलता है।

क्योंकि x- और y-अक्ष लम्बवत् हैं, यह पाइथागोरस की पहचान लंबाई 1 के कर्ण के साथ त्रिभुजों के लिए पाइथागोरस प्रमेय के समतुल्य है (जो समान-त्रिकोण तर्क को लागू करके पूर्ण पाइथागोरस प्रमेय के समतुल्य है)। संक्षिप्त विवरण के लिए यूनिट सर्कल देखें।

शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके सबूत
त्रिकोणमितीय कार्यों को शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात् (एक्स के लिए कांति में मापा गया कोण):
 * $$\begin{align}

\sin x &= \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n + 1)!} x^{2n + 1},\\ \cos x &= \sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}. \end{align}$$ घात श्रृंखला में घात श्रृंखला के लिए गुणन सूत्र का उपयोग # गुणन और विभाजन (यहाँ श्रृंखला के रूप के लिए खाते में उपयुक्त रूप से संशोधित) हम प्राप्त करते हैं


 * $$\begin{align}

\sin^2 x & = \sum_{i = 0}^\infty \sum_{j = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{(2i + 1)!} \frac{(-1)^j}{(2j + 1)!} x^{(2i + 1) + (2j + 1)} \\ & = \sum_{n = 1}^\infty \left(\sum_{i = 0}^{n - 1} \frac{(-1)^{n - 1}}{(2i + 1)!(2(n - i - 1) + 1)!}\right) x^{2n} \\ & = \sum_{n = 1}^\infty \left( \sum_{i = 0}^{n - 1} {2n \choose 2i + 1} \right) \frac{(-1)^{n - 1}}{(2n)!} x^{2n},\\ \cos^2 x & = \sum_{i = 0}^\infty \sum_{j = 0}^\infty \frac{(-1)^i}{(2i)!} \frac{(-1)^j}{(2j)!} x^{(2i) + (2j)} \\ & = \sum_{n = 0}^\infty \left(\sum_{i = 0}^n \frac{(-1)^n}{(2i)!(2(n - i))!}\right) x^{2n} \\ & = \sum_{n = 0}^\infty \left( \sum_{i = 0}^n {2n \choose 2i} \right) \frac{(-1)^n}{(2n)!} x^{2n}. \end{align}$$ पाप के लिए अभिव्यक्ति में2, n कम से कम 1 होना चाहिए, जबकि cos के व्यंजक में2, स्थिर पद 1 के बराबर है। उनके योग के शेष पद हैं (सामान्य कारकों को हटाकर)


 * $$\sum_{i = 0}^n {2n \choose 2i} - \sum_{i = 0}^{n - 1} {2n \choose 2i + 1}

= \sum_{j = 0}^{2n} (-1)^j {2n \choose j} = (1 - 1)^{2n} = 0$$ द्विपद प्रमेय द्वारा। फलस्वरूप,
 * $$\sin^2 x + \cos^2 x = 1,$$

जो पाइथागोरियन त्रिकोणमितीय पहचान है।

जब त्रिकोणमितीय कार्यों को इस तरह से परिभाषित किया जाता है, तो पायथागॉरियन प्रमेय के संयोजन में पहचान से पता चलता है कि ये शक्ति श्रृंखला पैरामीट्रिक यूनिट सर्कल को प्लॉट करती है, जिसका उपयोग हमने पिछले अनुभाग में किया था। यह परिभाषा साइन और कोसाइन कार्यों को एक कठोर फैशन में बनाती है और साबित करती है कि वे अलग-अलग हैं, ताकि वास्तव में यह पिछले दो को कम कर दे।

अवकल समीकरण
का उपयोग करके प्रमाण साइन और कोसाइन त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन # अंतर समीकरणों के दो समाधान के रूप में अंतर समीकरणों द्वारा परिभाषा:
 * $$y'' + y = 0$$

क्रमशः संतोषजनक $1 + cot2&thinsp;θ = csc2&thinsp;θ$ और $1 + tan2&thinsp;θ = sec2&thinsp;θ$. यह सामान्य अंतर समीकरणों के सिद्धांत से अनुसरण करता है कि पहला समाधान, साइन, दूसरा, कोसाइन, इसके व्युत्पन्न के रूप में है, और इससे यह अनुसरण करता है कि कोसाइन का व्युत्पन्न साइन का ऋणात्मक है। पहचान इस दावे के बराबर है कि function


 * $$z = \sin^2 x + \cos^2 x$$

स्थिर है और 1 के बराबर है। श्रृंखला नियम का उपयोग करके व्युत्पन्न देता है:


 * $$\frac{d}{dx} z = 2 \sin x \cos x + 2 \cos x(-\sin x) = 0,$$

इसलिए z स्थिर है। एक गणना पुष्टि करती है कि z(0) = 1, और z एक स्थिरांक है इसलिए सभी x के लिए z = 1 है, इसलिए पाइथागोरस की पहचान स्थापित हो गई है।

एक समान प्रमाण को ऊपर की शक्ति श्रृंखला का उपयोग करके पूरा किया जा सकता है ताकि यह स्थापित किया जा सके कि साइन का व्युत्पन्न कोसाइन है, और कोसाइन का व्युत्पन्न ऋणात्मक साइन है। वास्तव में, साधारण अवकल समीकरण और घात श्रृंखला द्वारा परिभाषाएँ अधिकांश सर्वसमिकाओं की समान व्युत्पत्ति की ओर ले जाती हैं।

पहचान के इस प्रमाण का पायथागॉरियन प्रमेय के यूक्लिड के प्रदर्शन से कोई सीधा संबंध नहीं है।

यूलर के सूत्र का उपयोग करके सबूत
यूलर का सूत्र कहता है कि


 * $$e^{i\theta} = \cos\theta + i\sin\theta$$

इसलिए,


 * $$\sin^2 \theta + \cos^2 \theta = (\cos\theta + i\sin\theta)(\cos\theta - i\sin\theta) = e^{i\theta}e^{-i\theta} = 1.$$

यह भी देखें

 * पाइथागोरस प्रमेय
 * त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची
 * यूनिट सर्कल
 * बिजली की श्रृंखला
 * अंतर समीकरण

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