एफ़िन ज्यामिति



गणित में, एफाइन ज्योमेट्री यूक्लिडियन ज्यामिति  का अवशेष है, जब इसे अनदेखा किया जाता है (गणितज्ञ अक्सर भूल जाते हैं  ) दूरी और कोण की मीट्रिक अंतरिक्ष धारणाएँ।

चूंकि समांतर रेखाओं की धारणा मुख्य गुणों में से एक है जो किसी भी मीट्रिक स्थान  स्वतंत्र है, affine ज्यामिति को अक्सर समांतर रेखाओं के अध्ययन के रूप में माना जाता है। इसलिए, Playfair का स्वयंसिद्ध (दिया गया है कि एक रेखा L और एक बिंदु P जो L पर नहीं है, L के समानांतर ठीक एक रेखा है जो P से होकर गुजरती है।) affine ज्यामिति में मौलिक है। एफ़िन ज्योमेट्री में आंकड़ों की तुलना  affine परिवर्तन  के साथ की जाती है, जो मैपिंग हैं जो बिंदुओं के संरेखण और रेखाओं के समानांतरवाद को संरक्षित करते हैं।

Affine ज्यामिति को दो तरह से विकसित किया जा सकता है जो अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं। सिंथेटिक ज्यामिति में, एक  affine अंतरिक्ष  उन बिंदुओं का एक सेट होता है जो लाइनों के एक सेट से जुड़ा होता है, जो कुछ सिद्धांतों (जैसे प्लेफेयर के  स्वयंसिद्ध ) को संतुष्ट करता है।

रेखीय बीजगणित के आधार पर Affine ज्यामिति का भी विकास किया जा सकता है। इस संदर्भ में एक संबधित स्थान, रूपांतरणों के एक सेट से सुसज्जित बिंदुओं का एक समूह है (अर्थात् विशेषण मानचित्रण ), अनुवाद, जो एक सदिश स्थान बनाता है (किसी दिए गए  क्षेत्र (गणित)  पर, आमतौर पर  वास्तविक संख्या ), और ऐसा कि किसी दिए गए आदेशित बिंदुओं के जोड़े के लिए पहले बिंदु को दूसरे बिंदु पर भेजने वाला एक अनूठा अनुवाद है; दो अनुवादों की कार्य संरचना अनुवादों के सदिश स्थान में उनका योग है।

अधिक ठोस शब्दों में, यह एक ऐसा ऑपरेशन होने के बराबर है जो बिंदुओं के किसी भी आदेशित जोड़े को एक सदिश स्थल  जोड़ता है और एक अन्य ऑपरेशन जो वेक्टर द्वारा एक बिंदु के अनुवाद को एक और बिंदु देने की अनुमति देता है; इन परिचालनों को कई सिद्धांतों को पूरा करने की आवश्यकता होती है (विशेष रूप से दो लगातार अनुवादों का योग वेक्टर द्वारा अनुवाद का प्रभाव होता है)। मूल बिंदु के रूप में किसी भी बिंदु को चुनकर, बिंदु सदिशों के साथ एक-से-एक पत्राचार में हैं, लेकिन मूल के लिए कोई पसंदीदा विकल्प नहीं है; इस प्रकार मूल (शून्य वेक्टर) को भूलकर एक संबद्ध स्थान को इसके संबंधित वेक्टर स्थान से प्राप्त किया जा सकता है।

मीट्रिक को भूलने का विचार कई गुना के सिद्धांत में लागू किया जा सकता है। यह affine कनेक्शन  पर आलेख में विकसित किया गया है।

इतिहास
1748 में, लियोनहार्ड यूलर  ने एफाइन शब्द पेश किया  (लैटिन एफिनिस, संबंधित) अपनी पुस्तक  इनफिनिटिमल्स के विश्लेषण का परिचय  (वॉल्यूम 2, अध्याय XVIII) में। 1827 में, अगस्त मोबियस ने अपने डेर बैरीसेंट्रिशे कैलकुल (अध्याय 3) में एफ़िन ज्यामिति पर लिखा था।

फेलिक्स क्लेन के एरलांगेन कार्यक्रम के बाद, एफाइन ज्यामिति को यूक्लिडियन ज्यामिति के सामान्यीकरण के रूप में मान्यता दी गई थी। 1918 में, हरमन वेइल  ने अपने टेक्स्ट स्पेस, टाइम, मैटर के लिए एफाइन ज्योमेट्री का उल्लेख किया। उन्होंने सदिश जोड़ और घटाव का परिचय देने के लिए affine ज्यामिति का उपयोग किया  गणितीय भौतिकी  के अपने विकास के शुरुआती चरणों में। बाद में, E. T. Whittaker ने लिखा:
 * वेइल की ज्यामिति ऐतिहासिक रूप से दिलचस्प है क्योंकि विस्तार से काम करने वाली सबसे पहली ज्यामिति है: यह एक विशेष प्रकार के समानांतर परिवहन  पर आधारित है [...का उपयोग करते हुए] चार-आयामी अंतरिक्ष-समय में प्रकाश-संकेतों की दुनिया . इन विश्व-रेखाओं में से किसी एक के लघु तत्व को अशक्त-वेक्टर कहा जा सकता है; तो सवाल में समांतर परिवहन ऐसा है कि यह एक बिंदु पर किसी नल-वेक्टर को पड़ोसी बिंदु पर एक नल-वेक्टर की स्थिति में ले जाता है।

स्वयंसिद्ध प्रणालियों
एफ़िन ज्यामिति के लिए कई स्वयंसिद्ध दृष्टिकोण सामने रखे गए हैं:

पप्पू का नियम
जैसा कि एफ़िन ज्यामिति समानांतर रेखाओं से संबंधित है, अलेक्जेंड्रिया के पप्पस  द्वारा उल्लिखित समानता के गुणों में से एक को एक आधार के रूप में लिया गया है:
 * मान लीजिए $$A, B, C$$ एक लाइन पर हैं और $$A', B', C'$$ किसी दूसरे पर। यदि रेखाएँ $$AB'$$ और $$A'B$$ समानांतर और रेखाएँ हैं $$BC'$$ और $$B'C$$ समानांतर हैं, फिर रेखाएँ $$CA'$$ और $$C'A$$ समानांतर हैं।

प्रस्तावित पूर्ण स्वयंसिद्ध प्रणाली में बिंदु, रेखा और रेखा युक्त बिंदु आदिम धारणा एँ हैं:
 * दो बिंदु केवल एक पंक्ति में समाहित हैं।
 * किसी भी रेखा l और किसी भी बिंदु P के लिए, l पर नहीं, केवल एक रेखा होती है जिसमें P होता है और l का कोई बिंदु नहीं होता है। यह रेखा l के समानांतर कही जाती है।
 * प्रत्येक पंक्ति में कम से कम दो बिंदु होते हैं।
 * कम से कम तीन बिंदु एक रेखा से संबंधित नहीं हैं।

एच.एस.एम. कॉक्सेटर के अनुसार: इन पांच स्वयंसिद्धों की रुचि इस तथ्य से बढ़ जाती है कि उन्हें प्रस्तावों के एक विशाल निकाय में विकसित किया जा सकता है, न केवल यूक्लिडियन ज्यामिति में, बल्कि मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में भी। 1 + 1 आयाम, जबकि सापेक्षता के विशेष सिद्धांत के लिए 1 + 3 की आवश्यकता होती है)। यूक्लिडियन या मिंकोव्स्की ज्यामिति का विस्तार ओर्थोगोनैलिटी आदि के विभिन्न स्वयंसिद्धों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। 

रोटेशन के लिए जो व्याख्या ली जाती है, उसके अनुरूप विभिन्न प्रकार की एफ़िन ज्यामिति होती है। यूक्लिडियन ज्यामिति रोटेशन (गणित)  से मेल खाती है, जबकि मिन्कोव्स्की की ज्यामिति  अतिशयोक्तिपूर्ण रोटेशन  से मेल खाती है। लंबवत रेखाओं के संबंध में, जब विमान सामान्य घूर्णन के अधीन होता है तो वे लंबवत रहते हैं। मिन्कोव्स्की ज्यामिति में,  अतिशयोक्तिपूर्ण-ऑर्थोगोनल  रेखाएँ उस संबंध में बनी रहती हैं जब विमान अतिशयोक्तिपूर्ण घूर्णन के अधीन होता है।

आदेशित संरचना
प्लेन एफ़िन ज्योमेट्री का एक स्वयंसिद्ध उपचार दो अतिरिक्त स्वयंसिद्धों के योग से ऑर्डर की गई ज्यामिति#Axioms ऑफ़ ऑर्डर्ड ज्योमेट्री से बनाया जा सकता है:
 * 1) ( समानांतर अभिधारणा ) एक बिंदु दिया $A$ और एक पंक्ति $r$ के माध्यम से नहीं $A$, ज़्यादा से ज़्यादा एक लाइन थ्रू है $A$ जो नहीं मिलता $r$.
 * 2) ( Desargues प्रमेय ) सात अलग-अलग बिंदुओं को देखते हुए $$A, A', B, B', C, C', O$$, ऐसा है कि $$AA'$$, $$BB'$$, और $$CC'$$ के माध्यम से विशिष्ट रेखाएँ हैं $$O$$ और $$AB$$ इसके समानांतर $$A'B'$$ और $$BC$$ इसके समानांतर $$B'C'$$, तब $$AC$$ इसके समानांतर $$A'C'$$.

समानता की समानता की अवधारणा लाइनों पर एक समानता संबंध बनाती है। चूंकि यहां प्रस्तुत किए गए आदेशित ज्यामिति के स्वयंसिद्ध गुणों में ऐसे गुण शामिल हैं जो वास्तविक संख्याओं की संरचना को दर्शाते हैं, वे गुण यहां पर चलते हैं ताकि यह वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र में affine ज्यामिति का स्वयंसिद्ध हो।

त्रिगुट के छल्ले
डेविड हिल्बर्ट ने अपने फ़ाउंडेशन ऑफ़ ज्योमेट्री में पहले गैर-डेसार्गेसियन विमान का उल्लेख किया था।  मौलटन विमान  एक मानक उदाहरण है। इस तरह की ज्यामिति के लिए एक संदर्भ प्रदान करने के लिए और साथ ही जहां Desargues प्रमेय मान्य है,  मार्शल हॉल (गणितज्ञ)  द्वारा टर्नरी रिंग की अवधारणा विकसित की गई थी।

इस दृष्टिकोण में टर्नरी रिंग से लिए गए ऑर्डर किए गए जोड़े से एफाइन प्लेन का निर्माण किया जाता है। कहा जाता है कि एक समतल में माइनर एफ़िन डेसार्गेस गुण होता है जब समानांतर परिप्रेक्ष्य में दो त्रिभुज, दो समानांतर भुजाएँ होने पर, तीसरी भुजाएँ भी समानांतर होनी चाहिए। यदि यह संपत्ति टर्नरी रिंग द्वारा परिभाषित एफाइन प्लेन में है, तो प्लेन से बिंदुओं के जोड़े द्वारा परिभाषित वैक्टर के बीच एक समानता संबंध है। इसके अलावा, वैक्टर अतिरिक्त के तहत एक एबेलियन समूह  बनाते हैं; त्रिगुट वलय रैखिक है और सही वितरण को संतुष्ट करता है:
 * (ए + बी) सी = एसी + बीसी।

Affine परिवर्तन
ज्यामितीय रूप से, एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन (एफ़िनिटीज़) संरेखता को संरक्षित करते हैं: इसलिए वे समानांतर रेखाओं को समानांतर रेखाओं में बदलते हैं और समानांतर रेखाओं के साथ दूरियों के अनुपात को संरक्षित करते हैं।

हम affine प्रमेय के रूप में किसी भी ज्यामितीय परिणाम की पहचान करते हैं जो affine समूह  के तहत अपरिवर्तनीय है (फेलिक्स क्लेन के Erlangen कार्यक्रम में यह affine ज्यामिति के समरूपता परिवर्तनों का अंतर्निहित  समूह (गणित)  है)। सदिश समष्टि V में  सामान्य रैखिक समूह  GL(V) पर विचार करें। यह संपूर्ण affine समूह नहीं है क्योंकि हमें V में वैक्टर v द्वारा  अनुवाद (ज्यामिति)  की भी अनुमति देनी चाहिए। और वास्तव में उनका  अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद  है $$V \rtimes \mathrm{GL}(V)$$. (यहाँ हम V को इसके जोड़ के संचालन के तहत एक समूह के रूप में सोचते हैं, और अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद को परिभाषित करने के लिए V पर GL(V) के परिभाषित प्रतिनिधित्व का उपयोग करते हैं।)

उदाहरण के लिए, प्रत्येक शीर्ष को विपरीत दिशा के मध्य बिंदु ( केन्द्रक या  बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (खगोल विज्ञान)  पर) से जोड़ने वाली रेखाओं की सहमति के बारे में त्रिभुजों के समतल ज्यामिति से प्रमेय मध्य-बिंदु और केन्द्रक की धारणाओं पर निर्भर करता है। अपरिवर्तनीय। अन्य उदाहरणों में सेवा के प्रमेय और  मेनेलॉस प्रमेय  के प्रमेय शामिल हैं।

Affine invariants भी गणनाओं में सहायता कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, त्रिभुज के क्षेत्रफल को दो बराबर हिस्सों में विभाजित करने वाली रेखाएं त्रिकोण के अंदर एक लिफाफा (गणित)  बनाती हैं। लिफाफे के क्षेत्रफल का त्रिभुज के क्षेत्रफल से अनुपात परिवर्तक है, और इसलिए केवल एक साधारण मामले से गणना करने की आवश्यकता है जैसे कि एक इकाई समद्विबाहु समकोण त्रिभुज देने के लिए $$\tfrac{3}{4} \log_e(2) - \tfrac{1}{2},$$ यानी सभी त्रिकोणों के लिए 0.019860... या 2% से कम।

परिचित सूत्र जैसे त्रिकोण के क्षेत्र के लिए ऊंचाई का आधा आधार गुणा, या एक पिरामिड के आयतन के लिए ऊंचाई का आधार गुणा एक तिहाई, इसी तरह परिशोधित आक्रमणकारी होते हैं। जबकि उत्तरार्द्ध सामान्य मामले के लिए पूर्व की तुलना में कम स्पष्ट है, यह एक चेहरे (क्षेत्र 1) और घन के मध्य बिंदु (ऊंचाई 1/2) द्वारा गठित इकाई घन के एक-छठे हिस्से के लिए आसानी से देखा जाता है। इसलिए यह सभी पिरामिडों पर लागू होता है, यहां तक ​​कि झुके हुए पिरामिडों पर भी जिनका शीर्ष सीधे आधार के केंद्र के ऊपर नहीं है, और जिनका आधार वर्ग के बजाय समांतर चतुर्भुज है। सूत्र आगे उन पिरामिडों का सामान्यीकरण करता है जिनके आधार को समांतर चतुर्भुजों में विच्छेदित किया जा सकता है, जिसमें अनंत रूप से कई समांतर चतुर्भुजों (अभिसरण पर उचित ध्यान देने के साथ) की अनुमति देकर शंकु शामिल हैं। एक ही दृष्टिकोण से पता चलता है कि एक चार-आयामी पिरामिड में 4डी हाइपरवॉल्यूम एक चौथाई इसके समानांतर चतुर्भुज आधार के 3डी वॉल्यूम की ऊंचाई है, और इसी तरह उच्च आयामों के लिए।

गतिकी
कीनेमेटीक्स में शास्त्रीय और आधुनिक दोनों प्रकार के एफ़िन परिवर्तन का उपयोग किया जाता है। वेग  वी को लंबाई और दिशा का उपयोग करके वर्णित किया गया है, जहां लंबाई असीमित मानी जाती है। गैलीलियन या न्यूटोनियन के रूप में शैलीबद्ध कीनेमेटीक्स की यह विविधता,  पूर्ण स्थान और समय  के निर्देशांक का उपयोग करती है। प्रत्येक के लिए एक अक्ष के साथ एक विमान का  कतरनी मानचित्रण  संदर्भ के एक आराम करने वाले फ्रेम में वेग v के साथ चलने वाले पर्यवेक्षक के लिए समन्वय परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। परिमित प्रकाश गति, जिसे सबसे पहले बृहस्पति के चंद्रमाओं की उपस्थिति में देरी से देखा गया था, के लिए आधुनिक कीनेमेटीक्स की आवश्यकता है। इस पद्धति में वेग के बजाय तेज़ी  शामिल है, और पहले उपयोग किए गए कतरनी मानचित्रण के लिए स्थानापन्न  निचोड़ मानचित्रण  शामिल है। इस संबधित ज्यामिति को 1912 में सिंथेटिक ज्यामिति के रूप में विकसित किया गया था।  सापेक्षता के विशेष सिद्धांत को व्यक्त करने के लिए। 1984 में, लोरेंत्ज़ियन वेक्टर स्पेस एल से जुड़ा एफाइन प्लेन2 का वर्णन ग्रेसिएला बीरमैन और और अपरिष्कृत पानी  ने लोरेंट्ज़ियन ज्यामिति में त्रिकोणमिति नामक एक लेख में किया था।

एफ़िन स्पेस
Affine ज्यामिति को किसी दिए गए आयाम n के affine विमान (घटना ज्यामिति)  के रूप में देखा जा सकता है, जो एक फ़ील्ड (गणित) K पर समन्वित होता है। सिंथेटिक ज्यामिति  परिमित ज्यामिति  में विकसित के रूप में समन्वयित affine स्थान का एक संयुक्त सामान्यीकरण (दो आयामों में) भी है।. प्रोजेक्टिव ज्योमेट्री में, एफाइन स्पेस का अर्थ है प्रक्षेपण स्थान  में अनंत पर  hyperplane  का पूरक। एफाइन स्पेस को एक वेक्टर स्पेस के रूप में भी देखा जा सकता है, जिसका संचालन उन रैखिक संयोजनों तक सीमित होता है, जिनके गुणांक का योग एक होता है, उदाहरण के लिए 2x − y, x − y + z, (x + y + z)/3, 'i'x + (1 −  'i')y, आदि।

सिंथेटिक रूप से, एफ़िन प्लेन (घटना ज्यामिति) 2-आयामी एफ़िन ज्यामिति हैं जो बिंदुओं और रेखाओं (या कभी-कभी, उच्च आयामों में, हाइपरप्लेन) के बीच संबंधों के संदर्भ में परिभाषित होती हैं। निर्देशांक का उपयोग करने के बजाय बिंदुओं और रेखाओं (या हाइपरप्लेन) के ज्यामितीय विन्यास  के रूप में एफाइन (और प्रक्षेपी) ज्यामिति को परिभाषित करते हुए, किसी को समन्वय क्षेत्रों के बिना उदाहरण मिलते हैं। एक प्रमुख संपत्ति यह है कि ऐसे सभी उदाहरणों में आयाम 2 है। आयाम 2 में परिमित उदाहरण (एफिन प्लेन (इन्सिडेंस ज्योमेट्री)) अनंत एफ़ाइन स्पेस में कॉन्फ़िगरेशन के अध्ययन में,  समूह सिद्धांत  में और  साहचर्य  में मूल्यवान रहे हैं।

विन्यासात्मक दृष्टिकोण से कम सामान्य होने के बावजूद, जिन अन्य तरीकों पर चर्चा की गई है, वे ज्यामिति के उन हिस्सों को रोशन करने में बहुत सफल रहे हैं जो समरूपता  से संबंधित हैं।

प्रोजेक्टिव व्यू
पारंपरिक ज्यामिति  में, एफाइन ज्यामिति को यूक्लिडियन ज्यामिति और  प्रक्षेपी ज्यामिति  के बीच एक अध्ययन माना जाता है। एक ओर, एफाइन ज्योमेट्री यूक्लिडियन ज्योमेट्री है जिसमें  सर्वांगसमता (ज्यामिति)  को छोड़ दिया गया है; दूसरी ओर, अनंत पर बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक विशेष रेखा या विमान के पदनाम से प्रोजेक्टिव ज्यामिति से एफ़िन ज्यामिति प्राप्त की जा सकती है। एफ़िन ज्योमेट्री में, कोई  मीट्रिक (गणित)  संरचना नहीं है, लेकिन समानांतर अभिधारणा धारण करती है। एफ़िन ज्यामिति यूक्लिडियन संरचना के लिए आधार प्रदान करती है जब लंबवत रेखाएँ परिभाषित होती हैं, या  अतिशयोक्तिपूर्ण ऑर्थोगोनलिटी  की धारणा के माध्यम से मिंकोव्स्की ज्यामिति का आधार। इस दृष्टिकोण में, एक affine परिवर्तन एक प्रक्षेप्य परिवर्तन है जो अनंत बिंदुओं के साथ परिमित बिंदुओं की अनुमति नहीं देता है, और affine परिवर्तन ज्यामिति affine परिवर्तनों के समूह (गणित) के  समूह क्रिया (गणित)  के माध्यम से ज्यामितीय गुणों का अध्ययन है।

यह भी देखें

 * गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति

आगे की पढाई

 * Emil Artin (1957) Geometric Algebra, chapter 2: "Affine and projective geometry", via Internet Archive
 * V.G. Ashkinuse & Isaak Yaglom (1962) Ideas and Methods of Affine and Projective Geometry (in Russian), Ministry of Education, Moscow.
 * M. K. Bennett (1995) Affine and Projective Geometry, John Wiley & Sons ISBN 0-471-11315-8.
 * H. S. M. Coxeter (1955) "The Affine Plane", Scripta Mathematica 21:5–14, a lecture delivered before the Forum of the Society of Friends of Scripta Mathematica on Monday, April 26, 1954.
 * Felix Klein (1939) Elementary Mathematics from an Advanced Standpoint: Geometry, translated by E. R. Hedrick and C. A. Noble, pp 70–86, Macmillan Company.
 * Bruce E. Meserve (1955) Fundamental Concepts of Geometry, Chapter 5 Affine Geometry,, pp 150–84, Addison-Wesley.
 * Peter Scherk & Rolf Lingenberg (1975) Rudiments of Plane Affine Geometry, Mathematical Expositions #20, University of Toronto Press.
 * Wanda Szmielew (1984) From Affine to Euclidean Geometry: an axiomatic approach, D. Reidel, ISBN 90-277-1243-3.
 * Oswald Veblen (1918) Projective Geometry, volume 2, chapter 3: Affine group in the plane, pp 70 to 118, Ginn & Company.

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 * हाइपरप्लेन अनंत पर
 * अनंत पर अंक
 * रूपांतरण ज्यामिति
 * प्रक्षेपण परिवर्तन

बाहरी कड़ियाँ

 * Peter Cameron's Projective and Affine Geometries from University of London.
 * Jean H. Gallier (2001). Geometric Methods and Applications for Computer Science and Engineering, Chapter 2: "Basics of Affine Geometry" (PDF), Springer Texts in Applied Mathematics #38, chapter online from University of Pennsylvania.