अपरूपण और आघूर्ण आरेख

कतरनी बल और झुकने के क्षण आरेख संरचनात्मक विश्लेषण के संयोजन के साथ उपयोग किए जाने वाले विश्लेषणात्मक उपकरण हैं जो कतरनी बलों के मूल्य का निर्धारण करके और एक संरचनात्मक तत्व जैसे बीम के दिए गए बिंदु पर झुकने वाले क्षणों को निर्धारित करके संरचनात्मक डिजाइन करने में सहायता करते हैं। इन आरेखों का उपयोग किसी संरचना में किसी सदस्य के प्रकार, आकार और सामग्री को आसानी से निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है जिससे संरचनात्मक अखंडता और विफलता के बिना संरचनात्मक भार के दिए गए समूह का समर्थन किया जा सकता है। अपरूपण और आघूर्ण आरेखों का एक अन्य अनुप्रयोग यह है कि बीम के विक्षेपण (इंजीनियरिंग) को या तो पल क्षेत्र प्रमेय या संयुग्म बीम विधि का उपयोग करके आसानी से निर्धारित किया जा सकता है।

सम्मेलन
चूंकि ये सम्मेलन सापेक्ष हैं और स्पष्ट रूप से बताए जाने पर किसी भी सम्मेलन का उपयोग किया जा सकता है, अभ्यास करने वाले इंजीनियरों ने डिजाइन प्रथाओं में उपयोग किए जाने वाले मानक सम्मेलन को अपनाया है।

सामान्य सम्मेलन
अधिकांश इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाने वाला सामान्य सम्मेलन एक सकारात्मक कतरनी बल को अंकित करना है - जो एक तत्व को दक्षिणावर्त (ऊपर बाईं ओर, और नीचे दाईं ओर) घुमाता है। इसी तरह सकारात्मक झुकने के पल के लिए सामान्य सम्मेलन तत्व को "यू" आकार के विधि से बदलना है (बाईं ओर दक्षिणावर्त, और दाईं ओर वामावर्त)। इसे याद रखने का एक और विधि यह है कि यदि पल बीम को मुस्कराते हुए झुका रहा है तो पल बीम के शीर्ष पर संपीड़न और तल पर तनाव के साथ सकारात्मक होता है। बीम के विश्लेषण को सरल बनाने के लिए इस सम्मेलन का चयन किया गया था। चूंकि एक क्षैतिज सदस्य का सामान्यतः बाएं से दाएं विश्लेषण किया जाता है और ऊर्ध्वाधर दिशा में सकारात्मक को सामान्य रूप से ऊपर ले जाया जाता है, सकारात्मक कतरनी सम्मेलन को बाएं से ऊपर होने के लिए चुना गया था, और सभी चित्रों को सही से नीचे बनाने के लिए चुना गया था। सकारात्मक झुकने वाले सम्मेलन को इस तरह चुना गया था कि एक सकारात्मक कतरनी बल सकारात्मक क्षण बनाने के लिए प्रवृत्त होगा।

वैकल्पिक चित्रकला सम्मेलन
संरचनात्मक इंजीनियरिंग में और विशेष रूप से ठोस डिजाइन में सदस्य के तनाव (भौतिकी) पक्ष पर सकारात्मक क्षण खींचा जाता है। यह सम्मेलन ऊपर वर्णित बीम के नीचे सकारात्मक क्षण रखता है। तनाव पक्ष पर पल आरेख रखने का एक सम्मेलन ढांचा को अधिक आसानी से और स्पष्ट रूप से निपटाया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, क्षण को सदस्य के तनाव पक्ष पर रखना विरूपण के सामान्य आकार को दर्शाता है और यह इंगित करता है कि कंक्रीट सदस्य सरिया के किस तरफ रखा जाना चाहिए, क्योंकि कंक्रीट तनाव में कमजोर है।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण की गणना करना
भार आरेख के साथ अगला चरण तत्व के साथ किसी भी बिंदु पर कतरनी बल और क्षण का मान ज्ञात करना है। एक क्षैतिज बीम के लिए इसे करने का एक विधि किसी भी बिंदु पर बीम के दाहिने सिरे को "काटना" है।

नीचे दिए गए उदाहरण में बिंदु भार, वितरित भार और अनुप्रयुक्त क्षण सम्मिलित हैं। समर्थन में हिंग्ड समर्थन और निश्चित अंत समर्थन दोनों सम्मिलित हैं। पहली चित्रकला बीम को प्रयुक्त बलों और विस्थापन बाधाओं के साथ दिखाती है। दूसरी चित्रकला भार डायग्राम है जिसमें दिखाए गए गणना के बिना दिए गए प्रतिक्रिया मूल्य के साथ या जिसे ज्यादातर लोग मुफ्त निकाय आरेख कहते हैं। तीसरी चित्रकला कतरनी बल आरेख है और चौथी रेखा झुकने का क्षण आरेख है। झुकने का क्षण आरेख के लिए सामान्य संकेत सम्मेलन का उपयोग किया गया था। पल आरेख के नीचे कतरनी बल के लिए चरणबद्ध कार्य हैं और कतरनी और झुकने के कार्यों पर प्रत्येक भार के प्रभाव को दिखाने के लिए विस्तारित कार्यों के साथ झुकने का क्षण है।

उदाहरण संयुक्त राज्य अमेरिका की प्रथागत इकाइयों का उपयोग करके सचित्र किया गया है। बिंदु भार किप में व्यक्त किए जाते हैं (1 किप = 1000 एलबीएफ = 4.45 केएन), वितरित भार के/फीट (1 के/फीट = 1 किप/फीट = 14.6 केएन/एम) क्षणों में व्यक्त किए जाते हैं फीट-के (1 फीट-के= 1 फीट-किप = 1.356 केएन/एम), (1 फीट= 0.3048 एम) और लंबाई फीट में है।

चरण 1: प्रतिक्रिया बलों और क्षणों की गणना करें
झुकने के पल और कतरनी बल समीकरणों को प्राप्त करने वाला पहला कदम प्रतिक्रिया बलों को निर्धारित करना है। यह संपूर्ण बीम के मुक्त निकाय आरेख का उपयोग करके किया जाता है।

बीम में तीन प्रतिक्रिया बल होते हैं, Ra, Rb दो समर्थनों पर और Rc जकड़े हुए सिरे पर। जकड़े हुए सिरे में एक प्रतिक्रिया युगल M भी होता है. इन चार मात्राओं को दो समीकरणों, बीम में बलों के संतुलन और बीम में क्षणों के संतुलन का उपयोग करके निर्धारित किया जाना है। इन अज्ञात चरों में दो स्वतंत्र समीकरण दिए जाने पर चार अज्ञात नहीं पाए जा सकते हैं और इसलिए किरण स्थिर रूप से अनिश्चित है। इस समस्या को हल करने का एक विधि रैखिक अध्यारोपण के सिद्धांत का उपयोग करना है और समस्या को स्थिर रूप से निर्धारित कई समस्याओं के अध्यारोपण में विभाजित करना है। समर्थन पर अतिरिक्त सीमा की स्थिति को अध्यारोपित समाधान में सम्मिलित किया जाना है जिससे पूरे बीम की विकृति अनुकूलता (यांत्रिकी) होता है।

संपूर्ण बीम के मुक्त निकाय आरेख से हमारे पास दो संतुलन समीकरण हैं

\sum F = 0 ~, \sum M_{A} = 0 \,. $$ बलों को समेटना, हमारे पास है

-10 - (1)(15) + R_a + R_b + R_c = 0 $$ और हमारे पास मुक्त अंत (A) के आसपास के क्षणों का योग करें

(R_a)(10) + (R_b)(25) + (R_c)(50) - (1)(15)(17.5) -50 + M_c= 0 \,. $$ हम Rb और Rc के लिए इन समीकरणों को Ra और Mc के पदों में हल कर सकते हैं:

R_b = 37.5 - 1.6 R_a + 0.04 M_c $$ और

R_c = -12.5 + 0.6 R_a - 0.04 M_c\,. $$ यदि हम बीम के बाईं ओर से पहले समर्थन के बारे में क्षणों का योग करते हैं

(10)(10) - (1)(15)(7.5) + (R_b)(15) + (R_c)(40) - 50 + M_c = 0 \,. $$ यदि हम Rb और Rc के लिए व्यंजकों को जोड़ते हैं तो हमें तुच्छ पहचान 0 = 0 मिलती है जो इंगित करता है कि यह समीकरण पिछले दो से स्वतंत्र नहीं है। इसी तरह अगर हम दूसरे समर्थन के आसपास क्षण लेते हैं, तो हमारे पास है

(10)(25) - (R_a)(15) + (1)(15)(7.5) + (R_c)(25) - 50 + M_c = 0 \,. $$ एक बार फिर हम पाते हैं कि यह समीकरण पहले दो समीकरणों से स्वतंत्र नहीं है। हम प्राप्त करने के लिए बीम के क्लैम्प्ड सिरे के आसपास के क्षणों की गणना करने का भी प्रयास कर सकते हैं

(10)(50) - (R_a)(40) - (R_b)(25) + (1)(15)(32.5) - 50 + M_c = 0 \,. $$ यह समीकरण भी अन्य दो समीकरणों से रैखिक रूप से स्वतंत्र नहीं निकला है। इसलिए बीम स्थिर रूप से अनिश्चित है और हमें बीम के खंडों में Ra और Mc के कार्यों के रूप में झुकने वाले क्षणों को खोजना होगा।

चरण 2: बीम को खंडों में तोड़ें
प्रतिक्रिया बल मिलने के बाद, आप बीम को टुकड़ों में तोड़ देते हैं। सदस्य पर बाहरी बलों का स्थान और संख्या इन टुकड़ों की संख्या और स्थान निर्धारित करती है। पहला टुकड़ा हमेशा एक छोर से प्रारंभ होता है और पहले बाहरी बल से पहले कहीं भी समाप्त होता है।

चरण 3: अपरूपण बलों और आघूर्णों की गणना करें - पहला टुकड़ा
बता दें कि V1 और M1 पहले बीम खंड के अनुप्रस्थ काट में क्रमशः कतरनी बल और झुकने का क्षण है। जैसे ही बीम का खंड बाहरी बल के आवेदन के बिंदु की ओर बढ़ता है, कतरनी बल और क्षण का परिमाण बदल सकता है। यह कतरनी बल और झुकने के क्षण को अनुप्रस्थ काट की स्थिति का एक कार्य बनाता है (इस उदाहरण में x)।

इस खंड के साथ बलों को जोड़कर और क्षणों को जोड़ कर, कतरनी बल और झुकने के क्षण के समीकरण प्राप्त होते हैं। ये समीकरण हैं:

\sum F = -10 - V_1 = 0 $$ और

\sum M_A = -V_1 x + M_1 = 0 \,. $$ इसलिए,

V_1 = -10 \quad \text{and} \quad M_1 = -10x \,. $$

चरण 4: कतरनी बलों और क्षणों की गणना करें - दूसरा टुकड़ा
हमारे पास उपस्थित दूसरे आंतरिक बल से पहले कहीं भी समाप्त होने वाले दूसरे खंड को लेना

\sum F = -10 + R_a - (1)(x-10) - V_2 = 0 $$ और

\sum M_A = R_a (10) - (1)(x-10)\frac{(x + 10)}{2} - V_2 x + M_2 = 0 \,. $$ इसलिए,

V_2 = R_a -x \quad \text{and} \quad M_2 = -50 + R_a (x-10) - \frac{x^2}{2} \,. $$ ध्यान दें कि कतरनी बल x के संदर्भ में है, पल समीकरण चुकता है। यह इस तथ्य के कारण है कि पल कतरनी बल का अभिन्न अंग है। इस क्षण का पेचीदा हिस्सा वितरित बल है। चूंकि बल खंड की लंबाई के साथ बदलता है, बल को 10 फीट के बाद की दूरी से गुणा किया जाएगा, अर्थात (x-10) पल स्थान को वितरित बल के बीच में परिभाषित किया गया है, जो भी बदल रहा है। यहीं से (x+10)/2 व्युत्पन्न हुआ है।

वैकल्पिक रूप से, हम प्राप्त करने के लिए अनुप्रस्थ काट के बारे में क्षण ले सकते हैं

\sum M_A = 10x - R_a (x-10) + (1)(x-10)\frac{(x- 10)}{2} + M_2 = 0 \,. $$ इस स्थितियों में फिर से,

M_2 = -50 + R_a(x-10) - \frac{x^2}{2} \,. $$

चरण 5: कतरनी बलों और क्षणों की गणना करें - तीसरा टुकड़ा
हमारे पास तीसरा खंड और योग बल लेना

-10 + R_a + R_b - (1)(15) - V_3 = 0 $$ और हमें प्राप्त होने वाले अनुप्रस्थ काट के बारे में संक्षेप

(10)(x) - R_a(x-10) - R_b(x-25) + (1)(15)(x-17.5) + M_3 = 0 \,. $$ इसलिए,

V_3 = 25 - R_a - R_b = R_c $$ और

M_3 = 262.5 + R_a (x-10) + R_b (x-25) - 25 x        = -675 + R_a (30  - 0.6 x) - M_c (1 - 0.04 x) + 12.5 x\,. $$ ध्यान दें कि वितरित बल को अब 15 किप्स के एक बल के रूप में माना जा सकता है, जहां यह स्थित है।

चरण 6: कतरनी बलों और क्षणों की गणना करें - चौथा टुकड़ा
चौथा और अंतिम खंड लेने से बलों का संतुलन मिलता है

-10 + R_a + R_b - (1)(15) - V_4 = 0 $$ और अनुप्रस्थ काट के चारों ओर क्षणों का संतुलन होता है

(10)(x) - R_a(x-10) - R_b(x-25) + (1)(15)(x-17.5) - 50 + M_4 = 0 \,. $$ वी के लिए समाधान4 और एम4, अपने पास

V_4 = 25 - R_a - R_b = R_c $$ और

M_4 = 312.5 + R_a (x-10) + R_b (x-25) - 25 x = -625 + R_a(30 - 0.6x) + M_c(0.04x -1) + 12.5x\,. $$ इनमें से प्रत्येक समीकरण को उनके इच्छित अंतराल पर अंकन करके, आप इस बीम के लिए झुकने का क्षण और कतरनी बल आरेख प्राप्त करते हैं। विशेष रूप से, बीम के दबे हुए सिरे पर, x = 50 और हमारे पास है

M_4 = M_c = -937.5 + 40 R_a + 25 R_b \,. $$

चरण 7: चार खंडों के विक्षेपण की गणना करें
अब हम चार खंडों के विक्षेपण की गणना करने के लिए यूलर-बर्नौली बीम सिद्धांत का उपयोग करते हैं। बीम विक्षेपण (w) को बेंडिंग मोमेंट (M) से संबंधित विभेदक समीकरण है

\frac{d^2 w}{dx^2} = - \frac{M}{EI} $$ जहां E यंग का मापांक है और मैं बीम अनुप्रस्थ काट की जड़ता का क्षेत्र क्षण है।

बीम समीकरण में M1, M2, M3, M4 के लिए भावों को प्रतिस्थापित करना और विक्षेपण के लिए हल करना हमें देता है

\begin{align} w_1 & = \frac{5}{3EI}\,x^3 + C_1 + C_2\,x \\ w_2 & = \frac{1}{24EI}\,x^2\,\left[x^2 + 600 - 4 R_a(x-30)\right] + C_3 + C_4\,x \\ w_3 & = \frac{1}{100EI}\left[\frac{x^3}{3}(-625 + 30 R_a - 2 M_c) - 50 x^2(-675 + 30 R_a - M_c)\right] + C_5 + C_6\,x \\ w_4 & = \frac{1}{100EI}\left[\frac{x^3}{3}(-625 + 30 R_a - 2 M_c) - 50 x^2(-625 + 30 R_a - M_c)\right] + C_7 + C_8\,x \end{align} $$

चरण 8: सीमा शर्तें प्रयुक्त करें
अब हम एकीकरण स्थिरांक निर्धारित करने के लिए चार खंडों के लिए विस्थापन सीमा शर्तों को प्रयुक्त करेंगे।

बीम के चौथे खंड के लिए, हम क्लैंप किए गए अंत में सीमा की स्थिति पर विचार करते हैं जहां w4 = dw/dx = 0 x = 50 पर। C7 और C8 के लिए समाधान देता है

C_7 = -\frac{1250}{3EI}(-625 + M_c + 30 R_a) \quad \text{and} \quad C_8 = \frac{125}{EI}(-125 + 6 R_a) \,. $$ इसलिए, हम w4 व्यक्त कर सकते हैं जैसा

w_4 = -\frac{1}{300EI}(x-50)^2\left[-5(6R_a - 125)(x-50) +2M_c(x+25)\right] \,. $$ अब, w4 = w3 at x = 37.5 (बाह्य जोड़े के अनुप्रयोग का बिंदु)। इसके अतिरिक्त, इस बिंदु पर विक्षेपण वक्रों के ढलान समान हैं, अर्थात, dw4/dx = dw3/dx। इन सीमा शर्तों का उपयोग करके और C5 और C6 के लिए हल करने पर, हम प्राप्त करते हैं

C_5 = -\frac{625}{12EI}(-5675 + 8 M_c + 240 R_a) \quad \text{and} \quad C_6 = \frac{250}{EI}\left(3R_a -70\right) \,. $$ w3 के व्यंजक में इन स्थिरांकों को प्रतिस्थापित करने पर हमें प्राप्त होता है

\begin{align} w_3 = \frac{1}{300EI}\Bigl[&30 R_a (-50 + x)^3 - 2 M_c (-50 + x)^2 (25 + x) - \\ & 625 (-141875 + x (8400 + (-162 + x) x))\Bigr] \,. \end{align} $$ इसी तरह, खंड 2 और 3 के बीच समर्थन पर जहां x = 25, w3 = w2 and dw3/dx = dw2/dx। इनका उपयोग करके C3 और C3 के लिए हल करना देता है

C_3 = -\frac{3125}{24EI}(-1645 + 4 M_c + 64 R_a) \quad \text{and} \quad C_4 = \frac{25}{12EI}\left(-40325 + 6 M_c + 120 R_a\right)\,. $$ इसलिए,

\begin{align} w_2 = \frac{1}{24EI}\Bigl[ & -3125 (-1645 + 4 M_c + 64 R_a) + \\ & 50 (-4025 + 6 M_c + 120 R_a) x + 120 (5 + R_a) x^2 - 4 R_a x^3 + x^4\Bigr] \,. \end{align} $$ खंड 1 और 2 के बीच समर्थन पर, x = 10 और w1 = w2 और dw1/dx = dw2/dx। ये सीमा शर्तें हमें देती हैं

C_1 = -\frac{125}{24EI}(-40145 + 100 M_c + 1632 R_a) \quad \text{and} \quad C_2 = \frac{25}{4EI}(-1315 + 2 M_c + 48 R_a) \,. $$ इसलिए,

w_1 = \frac{5}{24EI}\left[1026125 - 39450 x + 8 x^3 + 20 M_c (-125 + 3 x) + 480 R_a (-85 + 3 x)\right] \,. $$

चरण 9: चरण 9: Mc और Ra के लिए हल करें
क्योंकि w2 = 0 at x = 25 पर हम Ra के संदर्भ में Mc को प्राप्त करने के लिए हल कर सकते हैं

M_c = 175 - 7.5 R_a \,. $$ साथ ही, चूंकि x = 10 पर w1 = 0 विक्षेपण को Ra के संदर्भ में व्यक्त करता है (Mc को हटाने के बाद) और Ra के लिए हल करता है

R_a = 25.278 \quad \implies \quad M_c = -14.585 \,. $$

चरण 10: प्लॉट झुकने का क्षण और कतरनी बल आरेख
अब हम प्रतिक्रियाओं Rb और Rc, झुकने वाले क्षणों M1, M2, M3, M4, और कतरनी बलों V1, V2, V3, V4 की गणना कर सकते हैं। इन भावों को तब प्रत्येक खंड के लिए लंबाई के एक कार्य के रूप में अंकन किया जा सकता है।

अपरूपण बल और बंकन आघूर्ण के बीच संबंध
दो आरेखों के बीच संबंध पर ध्यान देना महत्वपूर्ण है। क्षण आरेख कतरनी बल आरेख के अंतर्गत क्षेत्र का एक दृश्य प्रतिनिधित्व है। अर्थात् क्षण कतरनी बल का अभिन्न अंग है। यदि कतरनी बल एक अंतराल पर स्थिर है, तो क्षण समीकरण x (रैखिक) के संदर्भ में होगा। यदि कतरनी बल एक अंतराल पर रैखिक है, तो क्षण समीकरण द्विघात (परवलयिक) होगा।

कतरनी बल आरेखों पर एक और नोट यह है कि वे दिखाते हैं कि बाहरी बल और क्षण कहाँ प्रयुक्त होते हैं। बिना किसी बाहरी बल के, टुकड़े-टुकड़े कार्यों को संलग्न होना चाहिए और कोई असंतोष नहीं दिखाना चाहिए। ग्राफ़ पर विच्छिन्नताएँ या तो बाह्य बल या प्रयुक्त किए गए बाह्य आघूर्णों का स्पष्ट परिमाण हैं। उदाहरण के लिए, कतरनी बल आरेख पर x = 10 पर, दो समीकरणों के बीच एक अंतर होता है। यह अंतर -10 से 15.3 तक चला जाता है। इस अंतराल की लंबाई 25.3 है, उस बिंदु पर बाहरी बल का स्पष्ट परिमाण पल आरेख पर धारा 3 में, 50 की एक विच्छिन्नता है। यह संरचना पर 50 के प्रयुक्त क्षण से है। ग्राफ़ पर अधिकतम और न्यूनतम मान उन अधिकतम बलों और क्षणों का प्रतिनिधित्व करते हैं जो इन परिस्थितियों में इस बीम के पास होंगे।

भार, शीयर और पल आरेख के बीच संबंध
चूंकि यह विधि अपेक्षाकृत सरल समस्याओं के साथ आसानी से अनावश्यक रूप से जटिल हो सकती है, इसलिए भार, कतरनी और क्षण आरेख के बीच विभिन्न संबंधों को समझने में काफी सहायता गार हो सकती है। इनमें से पहला भार आरेख और कतरनी आरेख पर वितरित भार के बीच संबंध है। चूँकि एक वितरित भार कतरनी भार को उसके परिमाण के अनुसार बदलता है, इसलिए यह प्राप्त किया जा सकता है कि कतरनी आरेख का ढलान वितरित भार के परिमाण के बराबर है। वितरित भार और कतरनी बल परिमाण के बीच, श्वेडलर के प्रमेय द्वारा वर्णित संबंध है:
 * $$\frac{dQ}{dx} = -q$$

इसका कुछ प्रत्यक्ष परिणाम यह है कि एक कतरनी आरेख में परिमाण में एक बिंदु परिवर्तन होगा यदि एक बिंदु भार एक सदस्य पर प्रयुक्त होता है, और एक निरंतर वितरित भार के परिणामस्वरूप एक रैखिक रूप से भिन्न कतरनी परिमाण होता है।

इसी प्रकार यह दिखाया जा सकता है कि किसी दिए गए बिंदु पर क्षण आरेख का ढलान उस दूरी पर अपरूपण आरेख के परिमाण के बराबर होता है। वितरित कतरनी बल और झुकने के क्षण के बीच संबंध है:
 * $$\frac{dM}{dx} = Q$$

इसका सीधा परिणाम यह है कि हर बिंदु पर कतरनी आरेख शून्य को पार करता है क्षण आरेख में एक स्थानीय अधिकतम या न्यूनतम होगा। साथ ही यदि कतरनी आरेख सदस्य की लंबाई पर शून्य है, तो क्षण आरेख का उस लंबाई पर निरंतर मान होगा। कलन द्वारा यह दिखाया जा सकता है कि एक बिंदु भार एक रैखिक रूप से भिन्न क्षण आरेख का नेतृत्व करेगा, और एक निरंतर वितरित भार एक द्विघात क्षण आरेख का नेतृत्व करेगा।

व्यावहारिक विचार
व्यावहारिक अनुप्रयोगों में पूरे चरणबद्ध कार्य को शायद ही कभी लिखा जाता है। चरणबद्ध कार्य के केवल एक हिस्से को लिखा जाएगा जो पल आरेख के एक गैर-रैखिक हिस्से में पल समीकरण हैं; यह तब होता है जब सदस्य पर वितरित भार प्रयुक्त होता है। निरंतर भागों के लिए कतरनी और/या पल आरेख का मान आरेख पर सही लिखा गया है, और सदस्य के रैखिक रूप से भिन्न भागों के लिए प्रारंभिक मूल्य, अंत मूल्य, और ढलान या सदस्य का भाग सभी आवश्यक हैं।

यह भी देखें

 * झुकना
 * यूलर-बर्नौली बीम सिद्धांत
 * झुकने पल
 * विलक्षणता समारोह या उदाहरण बीम गणना

अग्रिम पठन

 * Cheng, Fa-Hwa. "Shear Forces and Bending Moments in Beams" Statics and Strength of Materials. New York: Glencoe, McGraw-Hill, 1997. Print.
 * Spotts, Merhyle Franklin, Terry E. Shoup, and Lee Emrey. Hornberger. "Shear and Bending Moment Diagrams." Design of Machine Elements. Upper Saddle River, NJ: Pearson/Prentice Hall, 2004. Print.