यूलर की पहचान

गणित में, यूलर की पहचान (यूलर के समीकरण के रूप में भी जाना जाता है) समानता (गणित) है $$e^{i \pi} + 1 = 0$$ कहाँ
 * $e$ E (गणितीय स्थिरांक) है|यूलर की संख्या, प्राकृतिक लघुगणक का आधार,
 * $i$ एक काल्पनिक इकाई है, जो परिभाषा के अनुसार संतुष्ट करती है $e^{ix} = cos x + i sin x$, और
 * $&pi;$ पाई है, एक वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात।

यूलर की पहचान स्विस गणितज्ञ लियोनहार्ड यूलर के नाम पर है। यह यूलर के सूत्र का एक विशेष मामला है $$e^{ix} = \cos x + i\sin x$$ जब के लिए मूल्यांकन किया गया $i^{2} = −1$. यूलर की पहचान को गणितीय सुंदरता का एक उदाहरण माना जाता है क्योंकि यह गणित में सबसे मौलिक संख्याओं के बीच गहरा संबंध दर्शाता है। इसके अलावा, यह सीधे लिंडमैन-वीयरस्ट्रास प्रमेय # ई और π के ट्रान्सेंडेंस में प्रयोग किया जाता है वह $\pi$ ट्रान्सेंडैंटल संख्या है, जिसका तात्पर्य है कि वृत्त का वर्ग बनाना असंभव है।

गणितीय सौंदर्य
यूलर की पहचान को अक्सर गहरे गणितीय सौंदर्य के उदाहरण के रूप में उद्धृत किया जाता है। मूल अंकगणितीय संक्रियाओं में से तीन प्रत्येक में ठीक एक बार होती हैं: जोड़, गुणा और घातांक। पहचान पांच मूलभूत गणितीय स्थिरांकों को भी जोड़ती है:
 * 0, योगात्मक पहचान।
 * 1, गुणक तत्समक।
 * पाई | संख्या $&pi;$ ($&pi;$ = 3.1415...), मूल वृत्त स्थिरांक।
 * ई (गणितीय स्थिरांक)|संख्या $x = π$ ($e$ = 2.718...), जिसे यूलर संख्या के रूप में भी जाना जाता है, जो गणितीय विश्लेषण में व्यापक रूप से पाया जाता है।
 * काल्पनिक इकाई | संख्या $e$, सम्मिश्र संख्याओं की काल्पनिक इकाई।

इसके अलावा, समीकरण शून्य के बराबर अभिव्यक्ति सेट के रूप में दिया जाता है, जो गणित के कई क्षेत्रों में सामान्य अभ्यास है।

स्टैनफोर्ड विश्वविद्यालय के गणित के प्रोफेसर कीथ डिवालिन ने कहा है, शेक्सपियर के गाथा की तरह जो प्यार के सार को पकड़ता है, या एक पेंटिंग जो मानव रूप की सुंदरता को सामने लाती है, जो सिर्फ त्वचा की गहराई से कहीं अधिक है, यूलर का समीकरण बहुत गहराई तक पहुंचता है अस्तित्व का। और पॉल नाहिन, न्यू हैम्पशायर विश्वविद्यालय में एक प्रोफेसर एमेरिटस, जिन्होंने यूलर के सूत्र और फूरियर विश्लेषण में इसके अनुप्रयोगों को समर्पित एक पुस्तक लिखी है, यूलर की पहचान को उत्कृष्ट सौंदर्य के रूप में वर्णित करता है। गणित लेखक कॉन्स्टेंस रीड ने कहा है कि यूलर की पहचान सभी गणित में सबसे प्रसिद्ध सूत्र है। और 19वीं सदी के एक अमेरिकी दार्शनिक, गणितज्ञ और हार्वर्ड विश्वविद्यालय के प्रोफेसर बेंजामिन पीयर्स ने एक व्याख्यान के दौरान यूलर की पहचान को साबित करने के बाद कहा कि पहचान बिल्कुल विरोधाभासी है; हम इसे समझ नहीं सकते हैं, और हम नहीं जानते कि इसका क्या मतलब है, लेकिन हमने इसे साबित कर दिया है, और इसलिए हम जानते हैं कि यह सच होना चाहिए। 1990 में गणितीय बुद्धिजीवी द्वारा आयोजित पाठकों के एक सर्वेक्षण में यूलर की पहचान को गणित में सबसे सुंदर प्रमेय के रूप में नामित किया गया था। 2004 में भौतिकी की दुनिया  द्वारा आयोजित पाठकों के एक अन्य सर्वेक्षण में, यूलर की पहचान मैक्सवेल के समीकरणों (विद्युत चुंबकत्व के) के साथ अब तक के सबसे बड़े समीकरण के रूप में जुड़ी हुई है। यूलर की पहचान के बारे में लोकप्रिय गणित में कम से कम तीन पुस्तकें प्रकाशित हुई हैं:
 * डॉ। यूलर का शानदार सूत्र: पॉल नाहिन (2011) द्वारा कई गणितीय बीमारियों का इलाज
 * ए मोस्ट एलिगेंट इक्वेशन: डेविड स्टिप (2017) द्वारा यूलर का सूत्र और गणित की सुंदरता
 * यूलर का अग्रणी समीकरण: रॉबिन विल्सन (गणितज्ञ) (2018) द्वारा गणित में सबसे सुंदर प्रमेय।

काल्पनिक घातांक
मौलिक रूप से, यूलर की पहचान यह दावा करती है $$e^{i\pi}$$ -1 के बराबर है। इजहार $$e^{i\pi}$$ अभिव्यक्ति का एक विशेष मामला है $$e^z$$, कहाँ $i$ कोई सम्मिश्र संख्या है। सामान्य रूप में, $$e^z$$ जटिल के लिए परिभाषित किया गया है $(1 + iπ⁄N)^{N}$ वास्तविक घातांक से जटिल घातांक तक घातीय फलन की विशेषताओं में से एक का विस्तार करके। उदाहरण के लिए, एक सामान्य परिभाषा है:


 * $$e^z = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac z n \right)^n.$$

यूलर की पहचान इसलिए बताती है कि सीमा, जैसा $(1 + iπ⁄N)^{N}$ अनंत तक पहुंचता है, का $$(1 + i\pi/n)^n$$ -1 के बराबर है। यह सीमा एनीमेशन में दाईं ओर सचित्र है।

यूलर की पहचान यूलर के सूत्र का एक विशेष मामला है, जो बताता है कि किसी भी वास्तविक संख्या के लिए $(1 + iπ⁄N)^{N}$,


 * $$e^{ix} = \cos x + i\sin x$$

जहां त्रिकोणमिति साइन और कोसाइन के इनपुट कांति  में दिए गए हैं।

विशेष रूप से, कब $z$,


 * $$e^{i \pi} = \cos \pi + i\sin \pi.$$

तब से


 * $$\cos \pi = -1$$

और


 * $$\sin \pi = 0,$$

यह इस प्रकार है कि


 * $$e^{i \pi} = -1 + 0 i,$$

जो यूलर की पहचान देता है:


 * $$e^{i \pi} +1 = 0.$$

ज्यामितीय व्याख्या
कोई जटिल संख्या $$z = x + iy$$ बिंदु द्वारा दर्शाया जा सकता है $$(x, y)$$ जटिल तल पर। इस बिंदु को Complex_number#Polar_complex_plane के रूप में भी दर्शाया जा सकता है $$(r, \theta)$$, जहाँ r z का निरपेक्ष मान है (मूल बिंदु से दूरी), और $$\theta$$ z का तर्क है (धनात्मक x-अक्ष से वामावर्त कोण)। साइन और कोसाइन की परिभाषाओं के अनुसार, इस बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक हैं $$(r \cos \theta, r \sin \theta)$$, जिसका अर्थ है $$z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$$. यूलर के सूत्र के अनुसार, यह कहने के बराबर है $$z = r e^{i\theta}$$.

यूलर की पहचान यही कहती है $$-1 = e^{i\pi}$$. तब से $$e^{i\pi}$$ है $$r e^{i\theta}$$ आर = 1 और के लिए $$\theta = \pi$$, इसे जटिल तल पर संख्या -1 के बारे में एक तथ्य के रूप में व्याख्या किया जा सकता है: मूल से इसकी दूरी 1 है, और धनात्मक x-अक्ष से इसका कोण है $$\pi$$ रेडियन।

इसके अतिरिक्त, जब कोई सम्मिश्र संख्या z सम्मिश्र संख्या#गुणा और विभाजन ध्रुवीय रूप में होती है $$e^{i\theta}$$, यह z वामावर्त को के कोण से घुमाने का प्रभाव रखता है $$\theta$$ जटिल तल पर। चूँकि −1 से गुणा करने पर मूल बिंदु पर एक बिंदु प्रतिबिम्बित होता है, यूलर की पहचान को यह कहते हुए व्याख्यायित किया जा सकता है कि किसी भी बिंदु को घुमाना $$\pi$$ मूल बिंदु के आस-पास रेडियन का वही प्रभाव होता है जो मूल बिंदु पर बिंदु को दर्शाता है। इसी तरह, सेटिंग $$\theta$$ के बराबर $$2\pi$$ संबंधित समीकरण देता है $$e^{2\pi i} = 1,$$ जिसे यह कहते हुए समझा जा सकता है कि मूल के चारों ओर एक मोड़ (कोण) से किसी भी बिंदु को घुमाने से वह अपनी मूल स्थिति में लौट आता है।

सामान्यीकरण
यूलर की पहचान भी अधिक सामान्य पहचान का एक विशेष मामला है जो कि यूलर की पहचान है n}एकता की वें जड़ें, के लिए $z$, 0 तक जोड़ें:


 * $$\sum_{k=0}^{n-1} e^{2 \pi i \frac{k}{n}} = 0 .$$

यूलर की पहचान वह मामला है जहां $n$.

गणित के एक अन्य क्षेत्र में, चतुष्कोणीय घातांक का उपयोग करके, कोई यह दिखा सकता है कि समान पहचान चतुष्कोणों पर भी लागू होती है। होने देना $x$ आधार तत्व हो; तब,


 * $$e^{\frac{1}{\sqrt 3}(i \pm j \pm k)\pi} + 1 = 0. $$

सामान्य तौर पर, वास्तविक संख्याएँ दी गई हैं $x = π$, $n > 1$, और $n = 2$ ऐसा है कि $\{i, j, k\}$, तब,


 * $$e^{\left(a_1i+a_2j+a_3k\right)\pi} + 1 = 0. $$

Octonions के लिए, असली के साथ $a_{1}$ ऐसा है कि $a_{2}$, और ऑक्टोनियन आधार तत्वों के साथ $a_{3}$,


 * $$e^{\left(a_1i_1+a_2i_2+\dots+a_7i_7\right)\pi} + 1 = 0. $$

इतिहास
जबकि यूलर की पहचान यूलर के सूत्र का प्रत्यक्ष परिणाम है, जो 1748 में उनके गणितीय विश्लेषण के स्मारकीय कार्य में प्रकाशित हुआ था, Introductio in analysin infinitorum, यह संदेहास्पद है कि क्या पांच मूलभूत स्थिरांकों को एक कॉम्पैक्ट रूप में जोड़ने की विशेष अवधारणा का श्रेय स्वयं यूलर को दिया जा सकता है, क्योंकि हो सकता है कि उन्होंने इसे कभी व्यक्त न किया हो। रॉबिन विल्सन (गणितज्ञ) निम्नलिखित कहते हैं। "We've seen how it [Euler's identity] can easily be deduced from results of Johann Bernoulli and Roger Cotes, but that neither of them seem to have done so. Even Euler does not seem to have written it down explicitly – and certainly it doesn't appear in any of his publications – though he must surely have realized that it follows immediately from his identity [i.e. Euler's formula], . Moreover, it seems to be unknown who first stated the result explicitly&hellip;."

यह भी देखें

 * डी मोइवर का सूत्र
 * घातांक प्रकार्य
 * गेलफॉन्ड स्थिरांक

स्रोत

 * जॉन हॉर्टन कॉनवे|कॉनवे, जॉन एच., और रिचर्ड के. गाय|गाइ, रिचर्ड के. (1996), द बुक ऑफ़ नंबर, स्प्रिंगर ISBN 978-0-387-97993-9
 * रॉबर्ट पी. क्रीज़ | क्रीज़, रॉबर्ट पी. (10 मई 2004), अब तक का सबसे महान समीकरण, भौतिकी विश्व [पंजीकरण आवश्यक]
 * विलियम डनहम (गणितज्ञ) | डनहम, विलियम (1999), यूलर: द मास्टर ऑफ अस ऑल, अमेरिका का गणितीय संघ ISBN 978-0-88385-328-3
 * यूलर, लियोनहार्ड (1922), लियोनहार्ड यूलर के कार्य। 1, गणितीय कार्य। वॉल्यूम VIII, लिओनार्ड यूलर का इन्फिनिटिमल्स के विश्लेषण का परिचय। टॉमस प्राइमस, लीपज़िग: बी. जी. टेबनेरी
 * एडवर्ड कास्नर | कास्नर, ई., और जेम्स आर. न्यूमैन | न्यूमैन, जे. (1940), गणित और कल्पना, साइमन एंड शूस्टर
 * एली मौर|माओर, एली (1998),$N$: द स्टोरी ऑफ़ ए नंबर, प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस ISBN 0-691-05854-7
 * नाहिन, पॉल जे. (2006), डॉ. यूलर का शानदार सूत्र: कई गणितीय बीमारियों का इलाज, प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस ISBN 978-0-691-11822-2
 * जॉन एलेन पॉलोस | पॉलोस, जॉन एलन (1992), बियॉन्ड न्यूमरेसी: एन अनकॉमन डिक्शनरी ऑफ मैथेमेटिक्स, पेंगुइन पुस्तकें  ISBN 0-14-014574-5
 * रीड, कॉन्स्टेंस (विभिन्न संस्करण)शून्य से अनंत तक, मैथमेटिकल एसोसिएशन ऑफ अमेरिका
 * सैंडिफ़र, सी. एडवर्ड (2007), यूलर ग्रेटेस्ट हिट्स, मैथमैटिकल एसोसिएशन ऑफ़ अमेरिका ISBN 978-0-88385-563-8

बाहरी संबंध

 * Intuitive understanding of Euler's formula

Eulersche Formel Wzór Eulera