डी मॉर्गन के नियम



प्रस्तावात्मक कलन और बूलियन बीजगणित में, डी मॉर्गन के नियम,  डी मॉर्गन प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है, परिवर्तन नियमों की एक जोड़ी है जो अनुमान की वैधता (तर्क) नियम दोनों हैं। इनका नाम 19वीं सदी के ब्रिटिश गणितज्ञ ऑगस्टस डीमॉर्गन के नाम पर रखा गया है। नियम तार्किक संयोजन और तार्किक विच्छेदन की अभिव्यक्ति को तार्किक निषेध के माध्यम से एक दूसरे के संदर्भ में पूरी तरह से अनुमति देते हैं।

नियमों को अंग्रेजी में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: या या जहां ए या बी एक समावेशी है या इसका मतलब एकमात्र बजाय ए या बी में से कम से कम एक है या इसका मतलब बिल्कुल ए या बी में से एक है।
 * विच्छेद का निषेध निषेध का समुच्चय है
 * संचय का निषेध निषेध का विच्छेद है
 * दो समुच्चयों के मिलन का पूरक (सेट सिद्धांत) उनके पूरकों के प्रतिच्छेदन के समान है
 * दो समुच्चयों के प्रतिच्छेदन का पूरक उनके पूरकों के मिलन के समान है
 * नहीं (ए या बी) = (ए नहीं) और (बी नहीं)
 * नहीं (ए और बी) = (ए नहीं) या (बी नहीं)

सेट सिद्धांत और बूलियन बीजगणित (तर्क) में, इन्हें औपचारिक रूप से लिखा जाता है
 * $$\begin{align}

\overline{A \cup B} &= \overline{A} \cap \overline{B}, \\ \overline{A \cap B} &= \overline{A} \cup \overline{B}, \end{align}$$ कहाँ औपचारिक भाषा में नियम इस प्रकार लिखे जाते हैं
 * $$A$$ और $$B$$ सेट हैं,
 * $$\overline{A}$$ का पूरक है $$A$$,
 * $$\cap$$ इंटरसेक्शन (सेट सिद्धांत) है, और
 * $$\cup$$ संघ (सेट सिद्धांत) है.
 * $$\neg(P\lor Q)\iff(\neg P)\land(\neg Q),$$

और
 * $$\neg(P\land Q)\iff(\neg P)\lor(\neg Q)$$

कहाँ डी मॉर्गन के नियम का दूसरा रूप निम्नलिखित है जैसा कि सही चित्र में देखा गया है।
 * P और Q प्रस्ताव हैं,
 * निषेध|$$\neg$$निषेध तर्क ऑपरेटर है (नहीं),
 * तार्किक संयोजन|$$\land$$संयोजन तर्क संचालिका (AND) है,
 * तार्किक विच्छेदन|$$\lor$$डिसजंक्शन लॉजिक ऑपरेटर (OR) है,
 * यदि और केवल यदि|$$\iff$$एक धातु विज्ञान प्रतीक है जिसका अर्थ औपचारिक प्रमाण में प्रतिस्थापित किया जा सकता है, जिसे अक्सर यदि और केवल यदि के रूप में पढ़ा जाता है। पी और क्यू के लिए सही/गलत मानों के किसी भी संयोजन के लिए, मूल्यांकन के बाद तीर के बाएँ और दाएँ पक्ष समान सत्य मान रखेंगे।
 * $$A -(B \cup C) = (A - B) \cap (A - C),$$
 * $$A -(B \cap C) = (A - B) \cup (A - C).$$

नियमों के अनुप्रयोगों में कंप्यूटर प्रोग्राम और डिजिटल सर्किट डिजाइन में तार्किक अभिव्यक्ति (कंप्यूटर विज्ञान) का सरलीकरण शामिल है। डी मॉर्गन के नियम द्वैत (गणित) की अधिक सामान्य अवधारणा का एक उदाहरण हैं।

औपचारिक संकेतन
संयोजन नियम के निषेध को अनुक्रमिक संकेतन में लिखा जा सकता है:
 * $$\neg(P \land Q) \vdash (\neg P \lor \neg Q)$$,

और
 * $$(\neg P \lor \neg Q) \vdash \neg(P \land Q)$$.

विच्छेद नियम के निषेध को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$\neg(P \lor Q) \vdash (\neg P \land \neg Q)$$,

और
 * $$(\neg P \land \neg Q) \vdash \neg(P \lor Q)$$.

अनुमान के नियम में : समुच्चयबोधक का निषेध
 * $$\frac{\neg (P \land Q)}{\therefore \neg P \lor \neg Q}$$
 * $$\frac{\neg P \lor \neg Q}{\therefore \neg (P \land Q)}$$

और विच्छेद का निषेध
 * $$\frac{\neg (P \lor Q)}{\therefore \neg P \land \neg Q}$$
 * $$\frac{\neg P \land \neg Q}{\therefore \neg (P \lor Q)}$$

और एक सत्य-कार्यात्मक टॉटोलॉजी (तर्क) या प्रस्तावात्मक तर्क के प्रमेय के रूप में व्यक्त किया गया:


 * $$\begin{align}

\neg (P \land Q) &\to (\neg P \lor \neg Q), \\ (\neg P \lor \neg Q) &\to \neg (P \land Q), \\ \neg (P \lor Q) &\to (\neg P \land \neg Q), \\ (\neg P \land \neg Q) &\to \neg (P \lor Q), \end{align}$$ कहाँ $$P$$ और $$Q$$ कुछ औपचारिक प्रणाली में व्यक्त किए गए प्रस्ताव हैं।

प्रतिस्थापन प्रपत्र
डी मॉर्गन के नियम आम तौर पर ऊपर संक्षिप्त रूप में दिखाए जाते हैं, जिसमें बाईं ओर आउटपुट का निषेध और दाईं ओर इनपुट का निषेध होता है। प्रतिस्थापन के लिए एक स्पष्ट रूप इस प्रकार बताया जा सकता है:


 * $$\begin{align}

(P \land Q) &\Longleftrightarrow \neg (\neg P \lor \neg Q), \\ (P \lor Q) &\Longleftrightarrow \neg (\neg P \land \neg Q). \end{align}$$ यह इनपुट और आउटपुट दोनों को उलटने की आवश्यकता पर जोर देता है, साथ ही प्रतिस्थापन करते समय ऑपरेटर को भी बदलता है।

कानूनों में एक महत्वपूर्ण अंतर है ($$\neg(\neg p) \iff p$$) दोहरा निषेध कानून। $$\mathbb{L}$$, एक औपचारिक तर्क प्रणाली बनने के लिए: $$\ p, q, r, ...., \emptyset \in \mathbb{L}\ $$ अनुक्रम उन प्रतीकों की रिपोर्ट करता है जिन्हें पहले क्रम में अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है। उसी प्रणाली में वे संयोजन हैं: $$C_{|j}:x\ |\ x \in set :: \{\land, \lor, \iff, \vdash\}$$. ज़ाहिर तौर से, $$C_{|j} = set, \ x \in C_{|j}$$ वैध ज्ञान है, तो कम से कम एक तो है $$x$$ संयोजन, जो -$$T $$ संख्या - सत्य तालिका में, मूल प्रस्ताव $$x$$- परमाणु अस्तित्व के संदर्भ के बराबर है $$x$$, निश्चित रूप से के अनुसार $$\forall x:(\mathbb{L}\vDash \forall c \subsetneq C_{|j}, \ x\in c)$$ ज्ञान। हमने तुल्यता सिद्धांत पर विचार किया, तर्क पर। इस बिंदु पर, डी मॉर्गन नियम परमाणु संदर्भ में ऊपर या नीचे की ओर प्रभाव दिखाते हैं $$x$$.

सेट सिद्धांत और बूलियन बीजगणित
सेट सिद्धांत और बूलियन बीजगणित (तर्क) में, इसे अक्सर पूरकता के तहत संघ और प्रतिच्छेदन इंटरचेंज के रूप में कहा जाता है, जिसे औपचारिक रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$\begin{align}

\overline{A \cup B} &= \overline{A} \cap \overline{B}, \\ \overline{A \cap B} &= \overline{A} \cup \overline{B}, \end{align}$$ कहाँ:
 * $$\overline{A}$$ का निषेध है $$A$$, अस्वीकृत की जाने वाली शर्तों के ऊपर ओवरलाइन लिखी जा रही है,
 * $$\cap$$ इंटरसेक्शन (सेट थ्योरी) ऑपरेटर (AND) है,
 * $$\cup$$ यूनियन (सेट थ्योरी) ऑपरेटर (OR) है।

किसी भी संख्या में सेट के संघ और प्रतिच्छेदन
सामान्यीकृत रूप है
 * $$\begin{align}

\overline{\bigcap_{i \in I} A_{i}} &\equiv \bigcup_{i \in I} \overline{A_{i}}, \\ \overline{\bigcup_{i \in I} A_{i}} &\equiv \bigcap_{i \in I} \overline{A_{i}}, \end{align}$$ कहाँ $I$ कुछ, संभवतः गणनीय या बेशुमार अनंत, अनुक्रमण सेट है।

सेट नोटेशन में, डी मॉर्गन के नियमों को स्मृति चिन्ह का उपयोग करके याद किया जा सकता है लाइन तोड़ो, संकेत बदलो।

इंजीनियरिंग
विद्युत अभियन्त्रण और कंप्यूटर इंजीनियरिंग में, डी मॉर्गन के नियम आमतौर पर इस प्रकार लिखे जाते हैं:
 * $$\overline{(A \cdot B)} \equiv (\overline {A} + \overline {B})$$

और
 * $$\overline{A + B} \equiv \overline {A} \cdot \overline {B},$$

कहाँ:
 * $$ \cdot $$ तार्किक और है,
 * $$+$$ तार्किक है या,
 * द $\overline{overbar}$ ओवरबार के नीचे जो है उसका तार्किक नहीं है।

पाठ खोज
डी मॉर्गन के नियम आमतौर पर बूलियन ऑपरेटरों AND, OR, और NOT का उपयोग करके पाठ खोज पर लागू होते हैं। दस्तावेज़ों के एक सेट पर विचार करें जिसमें बिल्लियाँ और कुत्ते शब्द शामिल हैं। डी मॉर्गन के कानून मानते हैं कि ये दोनों खोजें दस्तावेज़ों का एक ही सेट लौटाएंगी:


 * खोज ए: नहीं (बिल्लियाँ या कुत्ते)
 * खोजें बी: (बिल्लियाँ नहीं) और (कुत्ते नहीं)

बिल्लियों या कुत्तों वाले दस्तावेज़ों के संग्रह को चार दस्तावेज़ों द्वारा दर्शाया जा सकता है:
 * दस्तावेज़ 1: इसमें केवल बिल्लियाँ शब्द शामिल है।
 * दस्तावेज़ 2: इसमें केवल कुत्ते शामिल हैं।
 * दस्तावेज़ 3: इसमें बिल्लियाँ और कुत्ते दोनों शामिल हैं।
 * दस्तावेज़ 4: इसमें न तो बिल्लियाँ हैं और न ही कुत्ते।

खोज ए का मूल्यांकन करने के लिए, स्पष्ट रूप से खोज (बिल्लियाँ या कुत्ते) दस्तावेज़ 1, 2, और 3 पर प्रभाव डालेगी। इसलिए उस खोज (जो कि खोज ए है) का निषेध बाकी सभी चीज़ों पर पड़ेगा, जो कि दस्तावेज़ 4 है।

खोज बी का मूल्यांकन करते हुए, खोज (बिल्लियाँ नहीं) उन दस्तावेज़ों पर असर करेगी जिनमें बिल्लियाँ नहीं हैं, जो कि दस्तावेज़ 2 और 4 हैं। इसी तरह खोज (कुत्ते नहीं) दस्तावेज़ 1 और 4 पर असर करेंगी। इन दो खोजों पर AND ऑपरेटर को लागू करना (जो खोज बी है) उन दस्तावेज़ों पर प्रहार करेगा जो इन दोनों खोजों में सामान्य हैं, जो कि दस्तावेज़ 4 है।

यह दिखाने के लिए एक समान मूल्यांकन लागू किया जा सकता है कि निम्नलिखित दो खोजें दस्तावेज़ 1, 2, और 4 दोनों लौटाएंगी:
 * खोज सी: नहीं (बिल्लियाँ और कुत्ते),
 * खोजें डी: (बिल्लियाँ नहीं) या (कुत्ते नहीं)।

इतिहास
कानूनों का नाम ऑगस्टस डी मॉर्गन (1806-1871) के नाम पर रखा गया है। जिन्होंने शास्त्रीय प्रस्तावात्मक तर्क के लिए कानूनों का एक औपचारिक संस्करण पेश किया। डी मॉर्गन का सूत्रीकरण जॉर्ज बूले द्वारा किए गए तर्क के बीजगणित से प्रभावित था, जिसने बाद में खोज के लिए डी मॉर्गन के दावे को मजबूत किया। फिर भी, एक समान अवलोकन अरस्तू द्वारा किया गया था, और ग्रीक और मध्यकालीन तर्कशास्त्रियों को इसकी जानकारी थी। उदाहरण के लिए, 14वीं शताब्दी में, ओखम के विलियम ने उन शब्दों को लिखा जो कानूनों को पढ़ने से उत्पन्न होंगे। जीन बुरिडन ने अपने सममुले डी डायलेक्टिका में रूपांतरण के नियमों का भी वर्णन किया है जो डी मॉर्गन के कानूनों का पालन करते हैं। फिर भी, डी मॉर्गन को कानूनों को आधुनिक औपचारिक तर्क के संदर्भ में बताने और उन्हें तर्क की भाषा में शामिल करने का श्रेय दिया जाता है। डी मॉर्गन के नियम आसानी से सिद्ध किये जा सकते हैं, और ये तुच्छ भी लग सकते हैं। बहरहाल, ये कानून प्रमाणों और निगमनात्मक तर्कों में वैध निष्कर्ष निकालने में सहायक हैं।

अनौपचारिक प्रमाण
डी मॉर्गन के प्रमेय को किसी सूत्र के सभी या कुछ हिस्सों में विच्छेदन के निषेध या तार्किक संयोजन के निषेध पर लागू किया जा सकता है।

विच्छेद का निषेध
विच्छेद के लिए इसके आवेदन के मामले में, निम्नलिखित दावे पर विचार करें: यह गलत है कि ए या बी में से कोई भी सत्य है, जिसे इस प्रकार लिखा गया है:
 * $$\neg(A\lor B).$$

इसमें यह स्थापित किया गया है कि न तो ए और न ही बी सत्य है, तो इसका पालन करना चाहिए कि ए दोनों तार्किक रूप से सत्य नहीं हैं और बी सत्य नहीं है, जिसे सीधे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$(\neg A)\wedge(\neg B).$$

यदि A या B में से कोई भी सत्य होता, तो A और B का विच्छेदन सत्य होता, जिससे इसका निषेधन गलत हो जाता। अंग्रेजी में प्रस्तुत, यह इस तर्क का पालन करता है कि चूंकि दो चीजें झूठी हैं, इसलिए यह भी गलत है कि उनमें से कोई भी सच है।

विपरीत दिशा में काम करते हुए, दूसरी अभिव्यक्ति यह दावा करती है कि ए गलत है और बी गलत है (या समकक्ष रूप से ए और बी सत्य नहीं हैं)। यह जानते हुए भी A और B का विच्छेद भी मिथ्या ही होगा। इस प्रकार उक्त विच्छेदन का निषेध सत्य होना चाहिए, और परिणाम पहले दावे के समान है।

संयोजन का निषेधन
संयोजन के लिए डी मॉर्गन के प्रमेय का अनुप्रयोग रूप और तर्क दोनों में विच्छेदन के लिए इसके अनुप्रयोग के समान है। निम्नलिखित दावे पर विचार करें: यह गलत है कि A और B दोनों सत्य हैं, जिसे इस प्रकार लिखा गया है:
 * $$\neg(A\land B).$$

इस दावे के सत्य होने के लिए, A या B में से कोई एक या दोनों गलत होने चाहिए, क्योंकि यदि वे दोनों सत्य थे, तो A और B का संयोजन सत्य होगा, जिससे इसका निषेध गलत हो जाएगा। इस प्रकार, A और B में से एक या | एक (कम से कम) या अधिक गलत होना चाहिए (या समकक्ष, A और B नहीं में से एक या अधिक सत्य होना चाहिए)। इसे सीधे तौर पर इस प्रकार लिखा जा सकता है,
 * $$(\neg A)\lor(\neg B).$$

अंग्रेजी में प्रस्तुत, यह इस तर्क का पालन करता है कि चूंकि यह गलत है कि दो चीजें दोनों सच हैं, उनमें से कम से कम एक गलत होना चाहिए।

फिर से विपरीत दिशा में काम करते हुए, दूसरी अभिव्यक्ति यह दावा करती है कि ए और बी नहीं में से कम से कम एक सत्य होना चाहिए, या समकक्ष रूप से ए और बी में से कम से कम एक गलत होना चाहिए। चूँकि उनमें से कम से कम एक असत्य होना चाहिए, तो उनका संयोजन भी असत्य होगा। इस प्रकार उक्त संयोजन को नकारने से सच्ची अभिव्यक्ति प्राप्त होती है, और यह अभिव्यक्ति पहले दावे के समान है।

औपचारिक प्रमाण
यहाँ हम उपयोग करते हैं $$A^\complement$$ए के पूरक को निरूपित करने के लिए। इसका प्रमाण $$(A\cap B)^\complement = A^\complement \cup B^\complement$$ दोनों को सिद्ध करके 2 चरणों में पूरा किया जाता है $$(A\cap B)^\complement \subseteq A^\complement \cup B^\complement$$ और $$A^\complement \cup B^\complement \subseteq (A\cap B)^\complement$$.

भाग 1
होने देना $$x \in (A \cap B)^\complement$$. तब, $$x \not\in A \cap B$$.

क्योंकि $$A \cap B = \{\,y\ |\ y\in A \wedge y \in B\,\}$$, ऐसा ही होना चाहिए $$x \not\in A$$ या $$x \not\in B$$.

अगर $$x \not\in A$$, तब $$x \in A^\complement$$, इसलिए $$x \in A^\complement \cup B^\complement$$.

इसी प्रकार, यदि $$x \not\in B$$, तब $$x \in B^\complement$$, इसलिए $$x \in A^\complement\cup B^\complement$$.

इस प्रकार, $$\forall x\Big( x \in (A\cap B)^\complement \implies x \in A^\complement \cup B^\complement\Big)$$;

वह है, $$(A\cap B)^\complement \subseteq A^\complement \cup B^\complement$$.

भाग 2
विपरीत दिशा सिद्ध करने के लिए, आइए $$x \in A^\complement \cup B^\complement$$, और विरोधाभास के लिए मान लें $$x \not\in (A\cap B)^\complement$$.

उस धारणा के तहत, ऐसा ही होना चाहिए $$x \in A\cap B$$,

तो यह उसका अनुसरण करता है $$x \in A$$ और $$x \in B$$, और इस तरह $$x \not\in A^\complement$$ और $$x \not\in B^\complement$$.

हालाँकि, इसका मतलब है $$x \not\in A^\complement \cup B^\complement$$, उस परिकल्पना के विपरीत $$x \in A^\complement \cup B^\complement$$,

इसलिए, धारणा $$x \not\in (A\cap B)^\complement$$ ऐसा नहीं होना चाहिए, अर्थात $$x \in (A\cap B)^\complement$$.

इस तरह, $$\forall x\Big( x \in A^\complement \cup B^\complement \implies x \in (A\cap B)^\complement\Big)$$,

वह है, $$A^\complement \cup B^\complement \subseteq (A\cap B)^\complement$$.

निष्कर्ष
अगर $$A^\complement \cup B^\complement \subseteq (A\cap B)^\complement$$ और $$(A \cap B)^\complement \subseteq A^\complement \cup B^\complement$$, तब $$(A\cap B)^\complement = A^\complement \cup B^\complement$$; इससे डी मॉर्गन के नियम का प्रमाण समाप्त हो जाता है।

अन्य डी मॉर्गन का नियम, $$(A \cup B)^\complement = A^\complement \cap B^\complement$$, इसी प्रकार सिद्ध होता है।

डी मॉर्गन द्वंद्व को सामान्य बनाना
शास्त्रीय प्रस्तावात्मक तर्क के विस्तार में, द्वंद्व अभी भी कायम है (अर्थात, किसी भी तार्किक ऑपरेटर के लिए कोई हमेशा इसका दोहरा पा सकता है), क्योंकि निषेध को नियंत्रित करने वाली पहचानों की उपस्थिति में, कोई हमेशा एक ऑपरेटर का परिचय दे सकता है जो डी मॉर्गन का दोहरा है एक और। यह शास्त्रीय तर्क पर आधारित तर्कशास्त्र की एक महत्वपूर्ण संपत्ति की ओर ले जाता है, अर्थात् निषेध सामान्य रूपों का अस्तित्व: कोई भी सूत्र दूसरे सूत्र के बराबर होता है जहां निषेध केवल सूत्र के गैर-तार्किक परमाणुओं पर लागू होता है। नकार सामान्य रूपों का अस्तित्व कई अनुप्रयोगों को संचालित करता है, उदाहरण के लिए डिजिटल सर्किट डिजाइन में, जहां इसका उपयोग तर्क द्वार ्स के प्रकारों में हेरफेर करने के लिए किया जाता है, और औपचारिक तर्क में, जहां संयोजन सामान्य रूप और विच्छेदन सामान्य रूप को खोजने के लिए इसकी आवश्यकता होती है। सूत्र. कंप्यूटर प्रोग्रामर जटिल सशर्त (प्रोग्रामिंग)  को सरल बनाने या ठीक से नकारने के लिए उनका उपयोग करते हैं। वे प्राथमिक संभाव्यता सिद्धांत में गणना में भी अक्सर उपयोगी होते हैं।

आइए प्रारंभिक प्रस्ताव पी, क्यू, ... के आधार पर ऑपरेटर होने के लिए किसी भी प्रस्ताव ऑपरेटर पी (पी, क्यू, ...) के दोहरे को परिभाषित करें $$\mbox{P}^d$$ द्वारा परिभाषित


 * $$\mbox{P}^d(p, q, ...) = \neg P(\neg p, \neg q, \dots).$$

विधेय और मोडल तर्क का विस्तार
इस द्वंद्व को परिमाणकों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए सार्वभौमिक परिमाणक और अस्तित्वगत परिमाणक दोहरे हैं:


 * $$ \forall x \, P(x) \equiv \neg [ \exists x \, \neg P(x)] $$
 * $$ \exists x \, P(x) \equiv \neg [ \forall x \, \neg P(x)] $$

इन क्वांटिफायर द्वंद्वों को डी मॉर्गन कानूनों से जोड़ने के लिए, इसके डोमेन डी में कुछ छोटी संख्या में तत्वों के साथ एक मॉडल सिद्धांत स्थापित करें, जैसे कि


 * डी = {ए, बी, सी}।

तब


 * $$ \forall x \, P(x) \equiv P(a) \land P(b) \land P(c) $$

और


 * $$ \exists x \, P(x) \equiv P(a) \lor P(b) \lor P(c).$$

लेकिन, डी मॉर्गन के नियमों का उपयोग करते हुए,


 * $$ P(a) \land P(b) \land P(c) \equiv \neg (\neg P(a) \lor \neg P(b) \lor \neg P(c)) $$

और


 * $$ P(a) \lor P(b) \lor P(c) \equiv \neg (\neg P(a) \land \neg P(b) \land \neg P(c)), $$

मॉडल में क्वांटिफायर द्वैत की पुष्टि करना।

फिर, क्वांटिफायर द्वैत को बॉक्स (आवश्यक रूप से) और डायमंड (संभवतः) ऑपरेटरों से संबंधित, मोडल तर्क तक बढ़ाया जा सकता है:


 * $$ \Box p \equiv \neg \Diamond \neg p, $$
 * $$ \Diamond p \equiv \neg \Box \neg p.$$

संभावना और आवश्यकता के एलेथिक तौर-तरीकों के अनुप्रयोग में, अरस्तू ने इस मामले का अवलोकन किया, और सामान्य मोडल लॉजिक के मामले में, इन मोडल ऑपरेटरों के परिमाणीकरण के संबंध को क्रिपके शब्दार्थ का उपयोग करके मॉडल स्थापित करके समझा जा सकता है।

अंतर्ज्ञानवादी तर्क में
डी मॉर्गन के नियमों के चार में से तीन निहितार्थ अंतर्ज्ञानवादी तर्क में निहित हैं। विशेष रूप से, हमारे पास है
 * $$\neg(P\lor Q)\,\leftrightarrow\,\big((\neg P)\land(\neg Q)\big),$$

और
 * $$\big((\neg P)\lor(\neg Q)\big)\,\to\,\neg(P\land Q).$$

अंतिम निहितार्थ का व्युत्क्रम शुद्ध अंतर्ज्ञानवादी तर्क में निहित नहीं है। यानी संयुक्त प्रस्ताव की विफलता $$P\land Q$$ आवश्यक रूप से दोनों तार्किक संयोजनों में से किसी एक की विफलता का समाधान नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह जानने से कि ऐसा नहीं है कि ऐलिस और बॉब दोनों अपनी डेट पर आए थे, इसका मतलब यह नहीं है कि कौन नहीं आया। बाद वाला सिद्धांत कमजोर बहिष्कृत मध्य के सिद्धांत के बराबर है $${\mathrm {WPEM}}$$,
 * $$(\neg P)\lor\neg(\neg P).$$

इस कमजोर रूप का उपयोग मध्यवर्ती तर्क की नींव के रूप में किया जा सकता है। अस्तित्व संबंधी कथनों से संबंधित असफल कानून के परिष्कृत संस्करण के लिए, सर्वज्ञता का सीमित सिद्धांत देखें $${\mathrm {LLPO}}$$, जो हालांकि अलग है $${\mathrm {WLPO}}$$.

अन्य तीन डी मॉर्गन के कानूनों की वैधता अस्वीकार करने पर सत्य बनी रहती है $$\neg P$$ निहितार्थ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$P\to C$$ कुछ मनमाने स्थिरांक विधेय C के लिए, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त कानून न्यूनतम तर्क में अभी भी सत्य हैं।

उपरोक्त के समान, परिमाणक नियम:
 * $$\forall x\,\neg P(x)\,\leftrightarrow\,\neg\exists x\,P(x)$$

और
 * $$\exists x\,\neg P(x)\,\to\,\neg\forall x\,P(x).$$

यहां तक ​​कि न्यूनतम तर्क में भी निषेध के स्थान पर निश्चित का अर्थ लगाया जाता है $$Q$$, जबकि अंतिम नियम का व्युत्क्रम सामान्यतः सत्य होना आवश्यक नहीं है।

इसके अलावा, एक अभी भी है
 * $$(P\lor Q)\,\to\,\neg\big((\neg P)\land(\neg Q)\big),$$
 * $$(P\land Q)\,\to\,\neg\big((\neg P)\lor(\neg Q)\big),$$
 * $$\forall x\,P(x)\,\to\,\neg\exists x\,\neg P(x),$$
 * $$\exists x\,P(x)\,\to\,\neg\forall x\,\neg P(x),$$

लेकिन उनके व्युत्क्रम का तात्पर्य बहिष्कृत मध्य से है, $${\mathrm {PEM}}$$.

कंप्यूटर इंजीनियरिंग में
सर्किट डिज़ाइन को सरल बनाने के उद्देश्य से कंप्यूटर इंजीनियरिंग और डिजिटल लॉजिक में डी मॉर्गन के नियमों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

 * समरूपता - सकारात्मक तर्क और नकारात्मक तर्क के बीच समरूपता के रूप में संचालिका नहीं
 * बूलियन बीजगणित विषयों की सूची
 * निर्धारित पहचान और संबंधों की सूची
 * सकारात्मक तर्क

बाहरी संबंध

 * Duality in Logic and Language, Internet Encyclopedia of Philosophy.
 * Duality in Logic and Language, Internet Encyclopedia of Philosophy.
 * Duality in Logic and Language, Internet Encyclopedia of Philosophy.
 * Duality in Logic and Language, Internet Encyclopedia of Philosophy.