स्थितिज ऊर्जा

भौतिक विज्ञान में, स्थितिज ऊर्जा  वह ऊर्जा है जो किसी वस्तु द्वारा अन्य वस्तुओं के सापेक्ष उसकी स्थिति, स्वयं के भीतर तनाव, उसके बिजली आवेश या अन्य कारकों के कारण धारण की जाती है। सामान्य प्रकार की संभावित ऊर्जा में किसी वस्तु की गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा, एक विस्तारित वसंत की लोचदार संभावित ऊर्जा, और बिजली क्षेत्र में बिजली आवेश की  बिजली संभावित ऊर्जा सम्मिलित  होती है।  इकाइयों की अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली  (SI) में ऊर्जा की इकाई जूल है, जिसका प्रतीक J है।

संभावित ऊर्जा शब्द की शुरुआत 19वीं सदी के स्कॉटिश इंजीनियर और भौतिक विज्ञानी विलियम रैंकिन  ने की थी।  चूंकि इसका संबंध यूनानी दार्शनिक  अरस्तू  की सामर्थ्य और वास्तविकता की अवधारणा से है। संभावित ऊर्जा उन बलों से जुड़ी होती है जो किसी पिंड पर इस तरह कार्य करते हैं कि इन बलों द्वारा पिंड पर किया गया कुल कार्य केवल अंतरिक्ष में पिंड की प्रारंभिक और अंतिम स्थिति पर निर्भर करता है। इन बलों, जिन्हें कंजर्वेटिव बल कहा जाता है, को अंतरिक्ष में हर बिंदु पर एक निश्चित स्केलर फ़ंक्शन के ग्रेडियेंट के रूप में व्यक्त वैक्टर द्वारादिखाया गया है किया जा सकता है जिसे संभावित कहा जाता है।

चूँकि किसी पिंड पर कार्य करने वाली संभावित शक्तियों का कार्य जो एक प्रारंभ से अंत की स्थिति तक जाता है, केवल इन दो स्थितियों से निर्धारित होता है, और यह शरीर के प्रक्षेपवक्र पर निर्भर नहीं करता है, एक कार्य है जिसे क्षमता के रूप में जाना जाता है जिसका मूल्यांकन किया जा सकता है इस कार्य को निर्धारित करने के लिए दो पद।

सिंहावलोकन
विभिन्न प्रकार की संभावित ऊर्जा होती है, प्रत्येक एक विशेष प्रकार के बल से जुड़ी होती है। उदाहरण के लिए, लोच (भौतिकी)  बल के कार्य को लोचदार संभावित ऊर्जा कहा जाता है; गुरुत्वाकर्षण बल के कार्य को गुरुत्वाकर्षण स्थितिज ऊर्जा कहा जाता है;  कूलम्ब बल  के कार्य को बिजली स्थितिज ऊर्जा कहा जाता है;  बेरिऑन  आवेश (भौतिकी) पर कार्यरत प्रबल नाभिकीय बल या दुर्बल नाभिकीय बल के कार्य को नाभिकीय स्थितिज ऊर्जा कहते हैं; अन्तराअणुक बलों के कार्य को अन्तराअणुक स्थितिज ऊर्जा कहते हैं। रासायनिक संभावित ऊर्जा, जैसे कि  जीवाश्म ईंधन  में संग्रहीत ऊर्जा, परमाणुओं और अणुओं में इलेक्ट्रॉनों और नाभिकों के विन्यास की पुनर्व्यवस्था के दौरान कूलम्ब बल का कार्य है। ऊष्मीय ऊर्जा में सामान्यतः दो घटक होते हैं: कणों की यादृच्छिक गति की गतिज ऊर्जा और उनके विन्यास की संभावित ऊर्जा।

एक क्षमता से व्युत्पन्न बलों को संरक्षी बल भी कहा जाता है। एक रूढ़िवादी बल  द्वारा किया गया कार्य है $$W = -\Delta U$$ कहां $$\Delta U$$ बल से जुड़ी संभावित ऊर्जा में परिवर्तन है। ऋणात्मक चिह्न यह परिपाटी प्रदान करता है कि बल क्षेत्र के विरुद्ध किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा को बढ़ाता है, जबकि बल क्षेत्र द्वारा किया गया कार्य स्थितिज ऊर्जा को घटाता है। संभावित ऊर्जा के लिए सामान्य संकेत PE, U, V और E हैंp.

संभावित ऊर्जा अन्य वस्तुओं के सापेक्ष किसी वस्तु की स्थिति के आधार पर ऊर्जा है। संभावित ऊर्जा अधिकांशतः वसंत (उपकरण)  या  गुरुत्वाकर्षण  बल जैसे बहाल करने वाली शक्तियों से जुड़ी होती है। किसी स्प्रिंग को खींचने या किसी द्रव्यमान को उठाने की क्रिया एक बाहरी बल द्वारा की जाती है जो क्षमता के बल क्षेत्र के विरुद्ध कार्य करता है। यह कार्य बल क्षेत्र में संग्रहित होता है, जिसे स्थितिज ऊर्जा के रूप में संग्रहित कहा जाता है। यदि बाहरी बल को हटा दिया जाता है तो बल क्षेत्र कार्य करने के लिए शरीर पर कार्य करता है क्योंकि यह शरीर को प्रारंभिक स्थिति में वापस ले जाता है, वसंत के खिंचाव को कम करता है या शरीर को गिरने का कारण बनता है।

एक गेंद पर विचार करें जिसका द्रव्यमान है $m$ और किसकी ऊंचाई है $h$. त्वरण $g$ फ्री फॉल लगभग स्थिर है, इसलिए गेंद का वजन बल $mg$ स्थिर है। बल और विस्थापन के गुणनफल से किया गया कार्य प्राप्त होता है, जो इस प्रकार गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के बराबर होता है

$$U_g = mgh$$ अधिक औपचारिक परिभाषा यह है कि संभावित ऊर्जा किसी दिए गए स्थान पर किसी वस्तु की ऊर्जा और किसी संदर्भ स्थिति में उसकी ऊर्जा के बीच का अंतर है।

कामऔर संभावित ऊर्जा
संभावित ऊर्जा बल (भौतिकी)  से निकटता से जुड़ी हुई है। यदि किसी पिंड पर बल द्वारा किया गया कार्य जो A से B तक जाता है, इन बिंदुओं के बीच के पथ पर निर्भर नहीं करता है (यदि कार्य एक रूढ़िवादी बल द्वारा किया जाता है), तो A से मापे गए इस बल का कार्य एक अदिश मान प्रदान करता है अंतरिक्ष में हर दूसरे बिंदु पर और एक स्केलर संभावित क्षेत्र को परिभाषित करता है। इस मामले में, बल को संभावित क्षेत्र के  कवच के ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

यदि लागू बल के लिए कार्य पथ से स्वतंत्र है, तो बल द्वारा किए गए कार्य का मूल्यांकन अनुप्रयोग बिंदु के प्रक्षेपवक्र के प्रारंभ से अंत तक किया जाता है। इसका मतलब यह है कि एक फ़ंक्शन U('x') है, जिसे संभावित कहा जाता है, जिसका मूल्यांकन दो बिंदुओं 'x' पर किया जा सकता हैA और एक्सB इन दो बिंदुओं के बीच किसी भी प्रक्षेपवक्र पर कार्य प्राप्त करने के लिए। इस कार्य को एक नकारात्मक संकेत के साथ परिभाषित करने की परंपरा है जिससे सकारात्मक कार्य क्षमता में कमी हो, अर्थात $$W =\int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{x} = U(\mathbf{x}_A)-U(\mathbf{x}_B)$$ जहाँ C, A से B तक लिया गया प्रक्षेपवक्र है। क्योंकि किया गया कार्य लिए गए पथ से स्वतंत्र है, तो यह अभिव्यक्ति A से B तक किसी भी प्रक्षेपवक्र C के लिए सत्य है।

फलन U('x') आरोपित बल से संबद्ध स्थितिज ऊर्जा कहलाती है। संभावित ऊर्जा वाले बलों के उदाहरण गुरुत्वाकर्षण और वसंत बल हैं।

संभावित
से व्युत्पन्न इस खंड में कार्य और स्थितिज ऊर्जा के बीच संबंध को अधिक विस्तार से प्रस्तुत किया गया है। रेखा समाकल जो वक्र C के साथ कार्य को परिभाषित करता है, एक विशेष रूप लेता है यदि बल 'F' एक अदिश क्षेत्र U'('x') से संबंधित है जिससे $$ \mathbf{F}={\nabla U'} = \left ( \frac{\partial U'}{\partial x}, \frac{\partial U'}{\partial y}, \frac{\partial U'}{\partial z} \right ). $$ इसका मतलब यह है कि यू' की इकाइयां इस मामले में होनी चाहिए, वक्र के साथ काम द्वारा दिया गया है $$W = \int_{C} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{x} = \int_{C} \nabla U'\cdot d\mathbf{x},$$ जिसे प्राप्त करने के लिए कवच प्रमेय का उपयोग करके मूल्यांकन किया जा सकता है $$ W= U'(\mathbf{x}_B) - U'(\mathbf{x}_A).$$ इससे पता चलता है कि जब बल एक अदिश क्षेत्र से व्युत्पन्न होते हैं, तो वक्र C के साथ उन बलों के कार्य की गणना प्रारंभ बिंदु A और वक्र के अंतिम बिंदु B पर अदिश क्षेत्र का मूल्यांकन करके की जाती है। इसका अर्थ है कि कार्य समाकलन A और B के बीच के पथ पर निर्भर नहीं करता है और इसे पथ से स्वतंत्र कहा जाता है।

संभावित ऊर्जा $U = - U(x')$ पारंपरिक रूप से इस अदिश क्षेत्र के ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया जाता है जिससे बल क्षेत्र द्वारा कार्य संभावित ऊर्जा को कम कर दे, अर्थात $$ W = U(\mathbf{x}_A) - U(\mathbf{x}_B).$$ इस मामले में, डेल ऑपरेटर  के कार्य फ़ंक्शन प्रमाणित  के लिए आवेदन, $$ {\nabla W} = -{\nabla U} = -\left ( \frac{\partial U}{\partial x}, \frac{\partial U}{\partial y}, \frac{\partial U}{\partial z} \right ) = \mathbf{F},$$ और बल F को विभव से व्युत्पन्न कहा जाता है। इसका अर्थ यह भी है कि F एक रूढ़िवादी सदिश क्षेत्र होना चाहिए। संभावित 'यू' अंतरिक्ष में प्रत्येक बिंदु एक्स पर एक बल एफ को परिभाषित करता है, इसलिए बलों के सेट को बल क्षेत्र (भौतिकी)  कहा जाता है।

संभावित ऊर्जा की गणना
एक बल क्षेत्र एफ (एक्स) को देखते हुए, संभावित ऊर्जा से जुड़े स्केलर फ़ंक्शन को खोजने के लिए कवच प्रमेय का उपयोग करके कार्य अभिन्न का मूल्यांकन किया जा सकता है। यह एक पैरामिट्रीकृत वक्र की शुरुआत करके किया जाता है $γ(t) = r(t)$ से $γ(a) = A$ को $γ(b) = B$, और कंप्यूटिंग, $$\begin{align} \int_{\gamma} \nabla\Phi(\mathbf{r}) \cdot  d\mathbf{r} &=\int_a^b \nabla\Phi(\mathbf{r}(t)) \cdot  \mathbf{r}'(t) dt, \\ &=\int_a^b \frac{d}{dt}\Phi(\mathbf{r}(t))dt =\Phi(\mathbf{r}(b))-\Phi(\mathbf{r}(a)) =\Phi\left(\mathbf{x}_B\right)-\Phi\left(\mathbf{x}_A\right). \end{align} $$ बल क्षेत्र F के लिए, मान लीजिए $v = dr/dt$, तब कवच प्रमेय प्राप्त होता है, $$\begin{align} \int_{\gamma} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{r} &=\int_a^b \mathbf{F} \cdot \mathbf{v} \, dt, \\ &= -\int_a^b \frac{d}{dt} U(\mathbf{r}(t)) \, dt =U(\mathbf{x}_A)- U(\mathbf{x}_B). \end{align} $$ एक बल क्षेत्र द्वारा किसी सामूहिक पर लागू की गई शक्ति को कार्य के कवच से प्राप्त किया जाता है, या आवेदन के बिंदु के वेग v की दिशा में संभावित होता है, अर्थात $$P(t) = -{\nabla U} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{F}\cdot\mathbf{v}.$$ काम के उदाहरण जिन्हें संभावित कार्यों से गणना की जा सकती है वे गुरुत्वाकर्षण और वसंत बल हैं।

निकट पृथ्वी गुरुत्वाकर्षण
के लिए संभावित ऊर्जा छोटी ऊँचाई में परिवर्तन के लिए, गुरुत्वीय स्थिति ऊर्जा का उपयोग करके गणना की जा सकती है

$$U_g = mgh,$$ जहां m किलोग्राम में द्रव्यमान है, g स्थानीय गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र है (पृथ्वी पर 9.8 मीटर प्रति सेकंड वर्ग), h मीटर में एक संदर्भ स्तर से ऊपर की ऊंचाई है, और U जूल में ऊर्जा है।

मौलिक भौतिकी में, गुरुत्वाकर्षण एक निरंतर नीचे की ओर बल लगाता है $F = (0, 0, F_{z})$ पृथ्वी की सतह के पास गतिमान पिंड के द्रव्यमान के केंद्र पर। प्रक्षेपवक्र के साथ गतिमान पिंड पर गुरुत्वाकर्षण का कार्य $r(t) = (x(t), y(t), z(t))$, जैसे रोलर कोस्टर के ट्रैक की गणना उसके वेग का उपयोग करके की जाती है, $v = (v_{x}, v_{y}, v_{z})$, प्राप्त करने के लिए $$W = \int_{t_1}^{t_2} \boldsymbol{F} \cdot \boldsymbol{v} \, dt = \int_{t_1}^{t_2} F_z v_z \, dt = F_z\Delta z. $$ जहां वेग के लंबवत घटक का अभिन्न अंग लंबवत दूरी है। गुरुत्वाकर्षण का कार्य केवल वक्र की ऊर्ध्वाधर गति पर निर्भर करता है $r(t)$.

रैखिक वसंत के लिए संभावित ऊर्जा
एक क्षैतिज वसंत एक बल लगाता है $F = (−kx, 0, 0)$ जो अक्षीय या x दिशा में इसके विरूपण के समानुपाती होता है। अंतरिक्ष वक्र के साथ चलने वाले पिंड पर इस स्प्रिंग का कार्य $s(t) = (x(t), y(t), z(t))$, इसकी वेग का उपयोग करके गणना की जाती है, $v = (v_{x}, v_{y}, v_{z})$, प्राप्त करने के लिए $$W = \int_0^t\mathbf{F}\cdot\mathbf{v}\,dt = -\int_0^t kx v_x \, dt =-\int_0^t k x \frac{dx}{dt}dt = \int_{x(t_0)}^{x(t)} k x \, dx = \frac{1}{2} kx^2 $$ सुविधा के लिए, वसंत के साथ संपर्क पर विचार करें $t = 0$, तो दूरी x और x-वेग, xv के गुणनफल का समाकल हैx, एक्स है2/2.

कार्यक्रम $$ U(x) = \frac{1}{2}kx^2,$$ रैखिक स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा कहलाती है।

लोचदार संभावित ऊर्जा एक लोच (भौतिकी) वस्तु (उदाहरण के लिए एक धनुष (हथियार)  या एक गुलेल) की संभावित ऊर्जा है जो तनाव या संपीड़न (या औपचारिक शब्दावली में  तनाव (भौतिकी) ) के अनुसार  विकृत होती है। यह एक बल के परिणाम के रूप में उत्पन्न होता है जो वस्तु को उसके मूल आकार में मरम्मत करने का प्रयास करता है, जो कि वस्तु का गठन करने वाले परमाणुओं और अणुओं के बीच अधिकांशतः  बिजली चुम्बकीय बल होता है। यदि खिंचाव जारी किया जाता है, तो ऊर्जा  गतिज ऊर्जा  में बदला हुआ हो जाती है।

दो निकायों के बीच गुरुत्वाकर्षण बलों के लिए संभावित ऊर्जा
गुरुत्वाकर्षण संभावित कार्य, जिसे गुरुत्वाकर्षण क्षमता ऊर्जा भी कहा जाता है, है: $$ U=-\frac{GMm}{r}, $$ ऋणात्मक चिन्ह इस रूटीन का अनुसरण करता है कि संभावित ऊर्जा के नुकसान से कार्य प्राप्त होता है।

व्युत्पत्ति
दूरी r द्वारा अलग किए गए द्रव्यमान M और m के दो पिंडों के बीच गुरुत्वाकर्षण बल न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिया जाता है। न्यूटन का नियम $$\mathbf{F}=-\frac{GMm}{r^2}\mathbf{\hat{r}},$$ कहां $$\mathbf{\hat{r}}$$ इकाई वेक्टर  है जो M से m की ओर संकेत देना करता है और G  गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक  है।

द्रव्यमान m को वेग से चलने दें $v$ फिर इस द्रव्यमान पर गुरुत्वाकर्षण का कार्य स्थिति से चलता है $r(t_{1})$ को $r(t_{2})$ द्वारा दिया गया है $$ W = -\int^{\mathbf{r}(t_2)}_{\mathbf{r}(t_1)} \frac{GMm}{r^3} \mathbf{r}\cdot d\mathbf{r} = -\int^{t_2}_{t_1} \frac{GMm}{r^3} \mathbf{r}\cdot\mathbf{v} \, dt.$$ द्रव्यमान m की स्थिति और वेग द्वारा दिया जाता है $$\mathbf{r} = r\mathbf{e}_r, \qquad\mathbf{v}=\dot{r}\mathbf{e}_r + r\dot{\theta}\mathbf{e}_t,$$ जहां ईr और ईt एम से एम तक वेक्टर के सापेक्ष निर्देशित रेडियल और स्पर्शरेखा इकाई वैक्टर हैं। गुरुत्वाकर्षण के कार्य के सूत्र को सरल बनाने के लिए इसका उपयोग करें, $$ W = -\int^{t_2}_{t_1} \frac{GmM}{r^3} (r\mathbf{e}_r)\cdot(\dot{r}\mathbf{e}_r + r\dot{\theta}\mathbf{e}_t)\,dt = -\int^{t_2}_{t_1}\frac{GmM}{r^3}r\dot{r}dt = \frac{GMm}{r(t_2)}-\frac{GMm}{r(t_1)}.$$ यह हिसाब इस तथ्य का उपयोग करती है कि $$ \frac{d}{dt}r^{-1} = -r^{-2}\dot{r} = -\frac{\dot{r}}{r^2}.$$

दो निकायों के बीच इलेक्ट्रोस्टैटिक बलों के लिए संभावित ऊर्जा
एक आवेश Q द्वारा एक अन्य आवेश q पर लगाया गया इलेक्ट्रोस्टैटिक बल एक दूरी r द्वारा अलग किया जाता है, जिसे कूलम्ब के नियम द्वारा दिया जाता है

$$ \mathbf{F}=\frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qq}{r^2}\mathbf{\hat{r}},$$ कहां $$\mathbf{\hat{r}}$$ Q से q और ε की ओर संकेत देना करते हुए लंबाई 1 का एक वेक्टर है0 वैक्यूम परमिटिटिविटी  है। इसे  कूलम्ब स्थिरांक  का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है $k_{e} = 1 ⁄ 4πε_{0}$.

इलेक्ट्रोस्टैटिक बल क्षेत्र में Q को ए से किसी बिंदु बी तक ले जाने के लिए आवश्यक कार्य डब्ल्यू को संभावित कार्य द्वारा दिया जाता है

$$U(r) = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\frac{Qq}{r}.$$

संदर्भ स्तर
संभावित ऊर्जा राज्य का एक कार्य है जिसमें एक प्रणाली है, और किसी विशेष राज्य के लिए इसके सापेक्ष परिभाषित किया गया है। यह संदर्भ स्थिति हमेशा एक वास्तविक स्थिति नहीं होती है; यह एक सीमा भी हो सकती है, जैसे कि अनंत की ओर जाने वाले सभी शरीर के बीच की दूरी, बशर्ते कि उस सीमा तक जाने में सम्मिलित ऊर्जा  हो, जैसे कि व्युत्क्रम-वर्ग कानून बलों के मामले में। किसी भी मनमानी संदर्भ स्थिति का उपयोग किया जा सकता है; इसलिए इसे सुविधा के आधार पर चुना जा सकता है।

सामान्यतः किसी प्रणाली की संभावित ऊर्जा केवल उसके अवयव की सापेक्ष स्थिति पर निर्भर करती है, इसलिए संदर्भ स्थिति को सापेक्ष स्थिति के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा
गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण बल  से जुड़ी संभावित ऊर्जा है, क्योंकि पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध वस्तुओं को ऊपर उठाने के लिए काम की आवश्यकता होती है। ऊंचे पदों के कारण संभावित ऊर्जा को गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा कहा जाता है, और एक ऊंचे जलाशय में पानी से इसका सबूत मिलता है या बांध के पीछे रखा जाता है। यदि कोई वस्तु गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के अंदर एक बिंदु से दूसरे बिंदु पर गिरती है, तो गुरुत्वाकर्षण बल वस्तु पर सकारात्मक कार्य करेगा, और गुरुत्वाकर्षण की स्थितिज ऊर्जा उतनी ही मात्रा में घट जाएगी।

एक टेबल के ऊपर रखी एक किताब पर विचार करें। जैसे ही पुस्तक को फर्श से टेबल पर उठाया जाता है, कुछ बाहरी बल गुरुत्वाकर्षण बल के विरुद्ध काम करता है। यदि पुस्तक वापस फर्श पर गिरती है, तो पुस्तक को प्राप्त होने वाली गिरने वाली ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण बल द्वारा प्रदान की जाती है। इस प्रकार, यदि पुस्तक मेज से गिर जाती है, तो यह संभावित ऊर्जा पुस्तक के द्रव्यमान को गति देने के लिए जाती है और गतिज ऊर्जा में परिवर्तित हो जाती है। जब किताब फर्श से टकराती है तो यह गतिज ऊर्जा प्रभाव से गर्मी, विरूपण और ध्वनि में परिवर्तित हो जाती है।

किसी वस्तु की गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा को प्रभावित करने वाले कारक हैं किसी संदर्भ बिंदु के सापेक्ष उसकी ऊंचाई, उसका द्रव्यमान और उसमें वर्तमान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ताकत। एक ही टेबल पर पड़ी एक भारी किताब की तुलना में एक लम्बे अलमारी के ऊपर और कम गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा। चंद्रमा की सतह के ऊपर एक निश्चित ऊंचाई पर एक वस्तु में गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा पृथ्वी की सतह के ऊपर समान ऊंचाई की तुलना में कम होती है क्योंकि चंद्रमा का गुरुत्वाकर्षण कमजोर होता है। शब्द के सामान्य अर्थ में ऊँचाई का उपयोग गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा गणनाओं के लिए नहीं किया जा सकता है जब गुरुत्वाकर्षण को स्थिर नहीं माना जाता है। निम्नलिखित खंड अधिक विवरण प्रदान करते हैं।

स्थानीय सन्निकटन
एक गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की ताकत स्थान के साथ बदलती रहती है। चूंकि, जब गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र के स्रोत के केंद्र से दूरियों के संबंध में दूरी का परिवर्तन छोटा होता है, तो क्षेत्र की ताकत में यह उतार-चढ़ाव नगण्य होती है और हम मान सकते हैं कि किसी विशेष वस्तु पर गुरुत्वाकर्षण बल स्थिर है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी की सतह के निकट, हम मानते हैं कि गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण एक स्थिर है $g = 9.8 m/s^{2}$ ( मानक गुरुत्वाकर्षण )। इस स्थिति में, गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा के लिए एक सरल व्यंजक का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है $W = Fd$ यांत्रिक कार्य  के लिए समीकरण, और समीकरण $$W_F = -\Delta U_F.$$ किसी ऊँची वस्तु द्वारा धारण की गई गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा की मात्रा उसे उठाने में गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किए गए कार्य के बराबर होती है। किया गया कार्य इसे ऊपर की ओर ले जाने के लिए आवश्यक बल के बराबर होता है, जो ऊर्ध्वाधर दूरी से इसे स्थानांतरित किया जाता है (याद रखें $W = Fd$). एक स्थिर वेग से चलते समय ऊपर की ओर लगने वाला बल भार के बराबर होता है, $mg$, किसी वस्तु का, इसलिए उसे ऊँचाई से उठाने में किया गया कार्य $h$ उत्पाद है $mgh$. इस प्रकार, केवल द्रव्यमान, गुरुत्वाकर्षण और  ऊंचाई  के लिए लेखांकन करते समय, समीकरण है: $$U = mgh$$ कहां $U$ पृथ्वी की सतह पर होने के सापेक्ष वस्तु की संभावित ऊर्जा है, $m$ वस्तु का द्रव्यमान है, $g$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है, और h वस्तु की ऊँचाई है। यदि $m$ किलोग्राम  में व्यक्त किया जाता है, $g$ मीटर प्रति सेकंड वर्ग में|मी/से2 और $h$  मीटर  में तो $U$ जूल में गणना की जाएगी।

इसलिए, संभावित अंतर है $$\Delta U = mg \Delta h. $$

सामान्य सूत्र
चूंकि, दूरी में बड़े बदलाव पर, सन्निकटन कि $g$ स्थिर है अब मान्य नहीं है, और हमें गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा को निर्धारित करने के लिए कलन और कार्य की सामान्य गणितीय परिभाषा का उपयोग करना होगा। स्थितिज ऊर्जा की गणना  के लिए, हम गुरुत्वाकर्षण बल का समाकलन कर सकते हैं, जिसका परिमाण सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम द्वारा दिया गया है|न्यूटन के गुरुत्वाकर्षण के नियम, दूरी के संबंध में $r$ दो शरीरों के बीच। उस परिभाषा का उपयोग करते हुए, जनता की एक प्रणाली की गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा $m_{1}$ और $M_{2}$ दूरी पर $r$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक का उपयोग करना $G$ है

$$U = -G \frac{m_1 M_2}{r} + K,$$ कहां $K$ एक मनमाना लगातार है जो उस आधार के चुनाव पर निर्भर करता है जिससे क्षमता मापी जाती है। सम्मेलन का चयन कि $K = 0$ (अर्थात अनंत पर एक बिंदु के संबंध में) गणना को सरल बनाता है, ? बनाने की कीमत पर $U$ नकारात्मक; यह शारीरिक रूप से उचित क्यों है, नीचे देखें।

के लिए यह सूत्र दिया है $U$, की एक प्रणाली की कुल संभावित ऊर्जा $n$ शरीर सभी के लिए योग द्वारा पाया जाता है $\frac{n ( n - 1 )}{2}$ दो निकायों के जोड़े, उन दो शव की प्रणाली की संभावित ऊर्जा।

निकायों की प्रणाली को छोटे कणों के संयुक्त सेट के रूप में माना जाता है, और पिछले को कण स्तर पर लागू करने से हमें नकारात्मक गुरुत्वाकर्षण बाध्यकारी ऊर्जा  मिलती है। यह क्षमता ऊर्जा निकायों की प्रणाली की कुल संभावित ऊर्जा की तुलना में अधिक अटलता से नकारात्मक है क्योंकि इसमें प्रत्येक शरीर की नकारात्मक गुरुत्वाकर्षण अनिवार्य ऊर्जा भी सम्मिलित  है। पिंडों की प्रणाली की संभावित ऊर्जा, शरीर को एक दूसरे से अनंत तक अलग करने के लिए आवश्यक ऊर्जा का नकारात्मक है, जबकि गुरुत्वाकर्षण अनिवार्य ऊर्जा एक दूसरे से अनंत तक सभी कणों को अलग करने के लिए आवश्यक ऊर्जा है। $$U = - m \left(G \frac{ M_1}{r_1}+ G \frac{ M_2}{r_2}\right) $$ इसलिए, $$U = - m \sum G \frac{ M}{r}, $$

नकारात्मक गुरुत्वीय ऊर्जा
जैसा कि सभी संभावित ऊर्जाओं के साथ होता है, अधिकांश भौतिक उद्देश्यों के लिए गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा में केवल अंतर होता है, और शून्य बिंदु का चुनाव मनमाना होता है। यह देखते हुए कि एक विशेष परिमित r को दूसरे पर वरीयता देने के लिए कोई उचित मानदंड नहीं है, दूरी के लिए केवल दो उचित विकल्प प्रतीत होते हैं जिस पर $U$ शून्य हो जाता है: $$r = 0$$ और $$r = \infty$$. का चुनाव $$U = 0$$ अनंत पर अजीब लग सकता है, और इसका परिणाम यह हो सकता है कि गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा हमेशा नकारात्मक होती है, यह उल्टा लग सकता है, लेकिन यह विकल्प गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा मूल्यों को परिमित होने की अनुमति देता है, यद्यपि नकारात्मक।

गणितीय विलक्षणता पर $$r = 0$$ गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा के सूत्र में इसका मतलब है कि सम्मेलन का एकमात्र अन्य स्पष्ट रूप से उचित वैकल्पिक विकल्प, के साथ $$U = 0$$ के लिए $$r = 0$$, संभावित ऊर्जा सकारात्मक होने का परिणाम होगा, लेकिन के सभी गैर-शून्य मूल्यों के लिए अनंत रूप से बड़ा होगा $r$, और  वास्तविक संख्या  प्रणाली के साथ जो संभव है, उससे परे संभावित ऊर्जाओं के योग या अंतर को सम्मिलित  करते हुए गणना करेगा।तब से भौतिक विज्ञानी अपनी गणनाओं में अनंत काल से घृणा करते हैं, और $r$ अभ्यास में हमेशा गैर शून्य है, का चुनाव $$U = 0$$ अनंत पर कहीं अधिक बेहतर विकल्प है, ? गुरुत्वाकर्षण के कुएं में नकारात्मक ऊर्जा का विचार पहले अनोखा लगता हो।

गुरुत्वाकर्षण ऊर्जा के लिए नकारात्मक मान के भी गहरे आशय हैं जो इसे ब्रह्माण्ड सम्बंधित गणनाओं में अधिक उचित लगते हैं जहाँ ब्रह्मांड की कुल ऊर्जा को सार्थक रूप से माना जा सकता है; इस पर अधिक जानकारी के लिए मुद्रास्फीति सिद्धांत  देखें।

उपयोग
गुरुत्वीय संभावित ऊर्जा के कई व्यावहारिक उपयोग हैं, विशेष रूप से पंप-भंडारण पनबिजली  का उत्पादन। उदाहरण के लिए,  डिनोरविग पावर स्टेशन, वेल्स में, दो झीलें हैं, एक दूसरे की तुलना में अधिक ऊंचाई पर है। ऐसे समय में जब अधिशेष बिजली की आवश्यकता नहीं होती है (और तुलनात्मक रूप से सस्ता भी होता है), पानी को ऊंची झील तक पंप किया जाता है, इस प्रकार बिजली ऊर्जा (पंप को चलाना) को गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा में परिवर्तित किया जाता है। बिजली की चरम मांग के समय, बिजली जनरेटर टर्बाइनों के माध्यम से पानी वापस नीचे बहता है, संभावित ऊर्जा को गतिज ऊर्जा में परिवर्तित करता है और फिर वापस बिजली में बदल जाता है। प्रक्रिया पूरी तरह से कुशल नहीं है और अधिशेष बिजली से कुछ मूल ऊर्जा वास्तव में घर्षण के कारण खो जाती है। गुरुत्वीय संभावित ऊर्जा का उपयोग उन घड़ियों को चलाने के लिए भी किया जाता है जिनमें गिरने वाले भार तंत्र को संचालित करते हैं। इसका उपयोग काउंटरवेट द्वारा लिफ्ट, क्रेन या उठाने योग्य खिड़की  को उठाने के लिए भी किया जाता है। रोलर कोस्टर संभावित ऊर्जा का उपयोग करने का एक मनोरंजक विधि / है - चेन का उपयोग एक कार को एक झुकाव (गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा का निर्माण) करने के लिए किया जाता है, फिर उस ऊर्जा को गतिज ऊर्जा में परिवर्तित कर दिया जाता है।

एक अन्य व्यावहारिक उपयोग एक ऑटोमोबाइल, ट्रक, रेलरोड ट्रेन, साइकिल, हवाई जहाज, या पाइपलाइन में तरल पदार्थ जैसे परिवहन में डाउनहिल (संभवतः तट) के नीचे उतरने के लिए गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा का उपयोग कर रहा है। कुछ मामलों में उतरना की संभावित ऊर्जा से प्राप्त गतिज ऊर्जा का उपयोग अगली कक्षा में चढ़ने के लिए किया जा सकता है जैसे कि क्या होता है जब सड़क लहरदार होती है और बार-बार गिरती है। संग्रहीत ऊर्जा का व्यावसायीकरण (उच्च ऊंचाई तक उठाए गए रेल कारों के रूप में) जिसे बिजली ग्रिड द्वारा आवश्यक होने पर बिजली ऊर्जा में परिवर्तित किया जाता है, संयुक्त राज्य अमेरिका में ऊर्जा भंडारण परियोजनाओं की सूची #गुरुत्वाकर्षण क्षमता नामक प्रणाली में किया जा रहा है ऊर्जा भंडारण (एआरईएस)।

रासायनिक संभावित ऊर्जा
रासायनिक संभावित ऊर्जा परमाणुओं या अणुओं की संरचनात्मक व्यवस्था से संबंधित संभावित ऊर्जा का एक रूप है। यह व्यवस्था एक अणु के भीतर या अन्यथा रासायनिक बंध ों का परिणाम हो सकती है। किसी रासायनिक पदार्थ की रासायनिक ऊर्जा को  रासायनिक प्रतिक्रिया  द्वारा ऊर्जा के अन्य रूपों में परिवर्तित किया जा सकता है। एक उदाहरण के रूप में, जब किसी ईंधन को जलाया जाता है तो रासायनिक ऊर्जा ऊष्मा में परिवर्तित हो जाती है, यही स्थिति एक जैविक जीव में उपापचयित भोजन के पाचन के मामले में भी है। हरे पौधे  प्रकाश संश्लेषण  नामक प्रक्रिया के माध्यम से  सौर ऊर्जा  को रासायनिक ऊर्जा में बदलते हैं, और  बिजली ऊर्जा को बिजली रासायनिक प्रतिक्रियाओं के माध्यम से रासायनिक ऊर्जा में परिवर्तित किया जा सकता है।

समान शब्द रासायनिक क्षमता  का उपयोग किसी पदार्थ की क्षमता को विन्यास के परिवर्तन से गुजरने के लिए संकेत करने के लिए किया जाता है, चाहे वह रासायनिक प्रतिक्रिया, स्थानिक परिवहन, जलाशय के साथ कण विनिमय आदि के रूप में हो।

बिजली संभावित ऊर्जा
किसी वस्तु में उसके बिजली आवेश और उनकी उपस्थिति से संबंधित कई बलों के कारण स्थितिज ऊर्जा हो सकती है। इस तरह की संभावित ऊर्जा के दो मुख्य प्रकार हैं: इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा, इलेक्ट्रोडायनामिक संभावित ऊर्जा (जिसे कभी-कभी चुंबकीय संभावित ऊर्जा भी कहा जाता है)।



इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा
अंतरिक्ष में दो पिंडों के बीच इलेक्ट्रोस्टैटिक संभावित ऊर्जा एक चार्ज Q द्वारा दूसरे चार्ज q पर लगाए गए बल से प्राप्त होती है जो कि $$ \mathbf{F}_{e} = -\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} \frac{Qq}{r^2} \mathbf{\hat{r}},$$ कहां $$\mathbf{\hat{r}}$$ Q से q और ε की ओर इशारा करते हुए लंबाई 1 का एक सदिश है0 वैक्यूम परावैद्युतांक है। इसे कूलम्ब स्थिरांक का उपयोग करके भी लिखा जा सकता है $k_{e} = 1 ⁄ 4πε_{0}$.

यदि किसी वस्तु के बिजली आवेश को स्थिर माना जा सकता है, तो अन्य आवेशित वस्तुओं के सापेक्ष इसकी स्थिति के कारण इसकी संभावित ऊर्जा होती है। बिजली संभावित ऊर्जा एक बिजली क्षेत्र में बिजली आवेशित कण (आराम पर) की ऊर्जा है। इसे उस कार्य (भौतिकी) के रूप में परिभाषित किया गया है जिसे वस्तु पर गैर-बिजली बलों के लिए समायोजित, अनंत दूरी से अपने वर्तमान स्थान पर ले जाने के लिए किया जाना चाहिए। यदि कोई अन्य बिजली आवेशित वस्तु पास में है तो यह ऊर्जा सामान्यतः गैर-शून्य होगी।

इलेक्ट्रोस्टैटिक बल क्षेत्र में q को A से किसी बिंदु B तक ले जाने के लिए आवश्यक कार्य W द्वारा दिया गया है $$\Delta U_{AB}({\mathbf{r}})=-\int_{A}^{B} \mathbf{F_e} \cdot d\mathbf{r} $$ सामान्यतः जूल के लिए जे में दिया जाता है। बिजली क्षमता नामक एक संबंधित मात्रा (सामान्यतः वोल्टेज के लिए वी के साथ चिह्नित) प्रति यूनिट चार्ज बिजली संभावित ऊर्जा के बराबर होती है।

चुंबकीय स्थितिज ऊर्जा
एक चुंबकीय क्षण की ऊर्जा $$\boldsymbol{\mu}$$ बाहरी रूप से उत्पादित चुंबकीय क्षेत्र  में|चुंबकीय बी-क्षेत्र $B$ संभावित ऊर्जा है $$U=-\boldsymbol{\mu}\cdot\mathbf{B}. $$ चुंबकीयकरण $M$ एक मैदान में है $$ U = -\frac{1}{2}\int \mathbf{M}\cdot\mathbf{B} \, dV, $$ जहां अभिन्न सभी स्थान पर हो सकता है या, समकक्ष, जहां $M$ अशून्य है। चुंबकीय संभावित ऊर्जा न केवल चुंबकीय सामग्री के बीच की दूरी से संबंधित ऊर्जा का रूप है, बल्कि क्षेत्र के भीतर उन सामग्रियों के अभिविन्यास, या संरेखण से भी संबंधित है। उदाहरण के लिए, कम्पास की सुई में सबसे कम चुंबकीय संभावित ऊर्जा होती है, जब इसे पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के उत्तरी और दक्षिणी ध्रुवों के साथ संरेखित किया जाता है। यदि सुई को किसी बाहरी बल द्वारा स्थानांतरित किया जाता है, तो पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र द्वारा सुई के चुंबकीय द्विध्रुव पर टोक़ लगाया जाता है, जिससे यह संरेखण में वापस आ जाता है। सुई की चुंबकीय संभावित ऊर्जा उच्चतम होती है जब इसका क्षेत्र पृथ्वी के चुंबकीय क्षेत्र के समान दिशा में होता है। दो चुम्बकों में एक दूसरे के संबंध में और उनके बीच की दूरी के संबंध में संभावित ऊर्जा होगी, लेकिन यह उनके अभिविन्यास पर भी निर्भर करता है। यदि विपरीत ध्रुवों को दूर रखा जाता है, तो संभावित ऊर्जा जितनी दूर होगी उतनी ही अधिक होगी और वे जितने करीब होंगे उतनी ही कम होगी। इसके विपरीत, ध्रुवों की तरह एक साथ मजबूर होने पर उच्चतम संभावित ऊर्जा होगी, और सबसे कम जब वे अलग हो जाएंगे।

परमाणु संभावित ऊर्जा
परमाणु संभावित ऊर्जा एक परमाणु नाभिक  के अंदर उपपरमाण्विक कण की संभावित ऊर्जा है। परमाणु कण एक साथ मजबूत परमाणु बल से बंधे होते हैं। कमजोर परमाणु बल  बीटा क्षय  जैसे कुछ प्रकार के रेडियोधर्मी क्षय के लिए संभावित ऊर्जा प्रदान करते हैं।

प्रोटॉन और न्यूट्रॉन जैसे परमाणु कण विखंडन और संलयन प्रक्रियाओं में नष्ट नहीं होते हैं, लेकिन उनके संग्रह में कम द्रव्यमान हो सकता है यदि वे व्यक्तिगत रूप से स्वतंत्र थे, जिस स्थिति में इस द्रव्यमान अंतर को परमाणु प्रतिक्रियाओं (गर्मी और विकिरण) में गर्मी और विकिरण के रूप में मुक्त किया जा सकता है। विकिरण में लापता द्रव्यमान होता है, लेकिन यह अधिकांशतः सिस्टम से निकल जाता है, जहां इसे मापा नहीं जाता है)। सूर्य से ऊर्जा ऊर्जा रूपांतरण के इस रूप का एक उदाहरण है। सूर्य में, हाइड्रोजन संलयन की प्रक्रिया प्रति सेकंड लगभग 4 मिलियन टन सौर पदार्थ को बिजली चुम्बकीय ऊर्जा में परिवर्तित करती है, जो अंतरिक्ष में विकिरित होती है।

बल और संभावित ऊर्जा
संभावित ऊर्जा बल (भौतिकी) से निकटता से जुड़ी हुई है। यदि किसी पिंड पर बल द्वारा किया गया कार्य जो A से B तक जाता है, इन बिंदुओं के बीच के पथ पर निर्भर नहीं करता है, तो A से मापे गए इस बल का कार्य अंतरिक्ष में हर दूसरे बिंदु को एक स्केलर मान प्रदान करता है और एक स्केलर क्षमता को परिभाषित करता है। खेत। इस मामले में, बल को संभावित क्षेत्र के कवच के ऋणात्मक के रूप में परिभाषित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण एक संरक्षी बल है। संबंधित क्षमता गुरुत्वाकर्षण क्षमता  है, जिसे अधिकांशतः निरूपित किया जाता है $$\phi$$ या $$V$$, स्थिति के एक समारोह के रूप में ऊर्जा प्रति यूनिट द्रव्यमान के अनुरूप। द्रव्यमान M और m के दो कणों की गुरुत्वाकर्षण संभावित ऊर्जा एक दूरी r से अलग होती है $$U = -\frac{G M m}{r},$$ दो निकायों की गुरुत्वाकर्षण क्षमता ( विशिष्ट कक्षीय ऊर्जा ) है $$\phi = -\left( \frac{GM}{r} + \frac{Gm}{r} \right)= -\frac{G(M+m)}{r} = -\frac{GMm}{\mu r} = \frac{U}{\mu}.$$ कहां $$\mu$$ घटा हुआ द्रव्यमान है।

बिंदु A से एक परीक्षण कण  को ​​​​स्थानांतरित करके गुरुत्वाकर्षण के विरुद्ध किया गया कार्य $$U = a$$ बी को इंगित करने के लिए $$U = b$$ है $$(b - a)$$ और किया गया काम दूसरे रास्ते से वापस जा रहा है $$(a - b)$$ जिससे A से B तक जाने और A पर लौटने में किया गया कुल कार्य है $$U_{A \to B \to A} = (b - a) + (a - b) = 0. $$ यदि संभावित को ए पर पुनर्परिभाषित किया जाता है $$a + c$$ और B पर होने की क्षमता $$b + c$$, कहां $$c$$ एक स्थिरांक है (अर्थात् $$c$$ धनात्मक या ऋणात्मक कोई भी संख्या हो सकती है, लेकिन यह A पर वही होनी चाहिए जो B पर है) तो A से B तक जाने में किया गया कार्य है $$U_{A \to B} = (b + c) - (a + c) = b - a $$ पहले जैसा।

व्यावहारिक रूप में, इसका मतलब है कि कोई शून्य सेट कर सकता है $$U$$ और $$\phi$$ कहीं भी कोई पसंद करता है। कोई इसे पृथ्वी की सतह पर शून्य पर सेट कर सकता है, या शून्य को अनंत पर सेट करना अधिक सुविधाजनक पा सकता है (जैसा कि इस खंड में पहले दिए गए भावों में है)।

एक संरक्षी बल को अवकल ज्यामिति की भाषा में बंद अवकल रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है। जैसा कि यूक्लिडियन अंतरिक्ष  सिकुड़ा हुआ स्थान है, इसकी  डॉ कहलमज गर्भाशय  गायब हो जाती है, इसलिए प्रत्येक बंद रूप भी एक  सटीक अंतर रूप  है, और इसे स्केलर क्षेत्र के कवच के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह इस तथ्य का गणितीय औचित्य देता है कि सभी रूढ़िवादी बल एक संभावित क्षेत्र के कवच हैं।

संदर्भ



 * What is potential energy?