क्वांटम विशेषताओं की विधि

क्वांटम विशेषताएँ चरण-अंतरिक्ष प्रक्षेपवक्र हैं जो विहित निर्देशांक और संवेग के हाइजेनबर्ग ऑपरेटरों के वेइल-विग्नर परिवर्तन के माध्यम से क्वांटम यांत्रिकी के चरण अंतरिक्ष निर्माण में उत्पन्न होती हैं। ये प्रक्षेपवक्र क्वांटम रूप में हैमिल्टन समीकरणों का पालन करते हैं और विशेषताओं की विधि की भूमिका निभाते हैं जिसके संदर्भ में समय-निर्भर वेइल के क्वांटम ऑपरेटरों के प्रतीकों को व्यक्त किया जा सकता है। शास्त्रीय सीमा में, क्वांटम विशेषताएँ शास्त्रीय प्रक्षेपवक्र तक कम हो जाती हैं। क्वांटम विशेषताओं का ज्ञान क्वांटम गतिशीलता के ज्ञान के बराबर है।

वेइल-विग्नर एसोसिएशन नियम
हैमिल्टनियन यांत्रिकी में, शास्त्रीय प्रणालियों के साथ $$n$$ स्वतंत्रता की डिग्री का वर्णन किया गया है $$2n$$ विहित निर्देशांक और संवेग
 * $$\xi^{i} = (x^1, \ldots, x^n, p_1, \ldots , p_n) \in \R^{2n},$$ जो चरण स्थान में एक समन्वय प्रणाली बनाते हैं। ये चर पॉइसन ब्रैकेट संबंधों को संतुष्ट करते हैं
 * $$\{\xi^{k},\xi^{l}\}=-I^{kl}.$$ तिरछा-सममित मैट्रिक्स $$I^{kl}$$,


 * $$\left\| I\right\| =

\begin{Vmatrix} 0 & -E_{n} \\ E_{n} & 0 \end{Vmatrix},$$ कहाँ $$E_n$$ है $$n \times n$$ पहचान मैट्रिक्स, चरण स्थान में गैर-अपक्षयी 2-रूप को परिभाषित करता है। चरण स्थान इस प्रकार एक सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड की संरचना प्राप्त कर लेता है। चरण स्थान मीट्रिक स्थान नहीं है, इसलिए दो बिंदुओं के बीच की दूरी परिभाषित नहीं है। दो कार्यों के पॉइसन ब्रैकेट की व्याख्या एक समांतर चतुर्भुज के उन्मुख क्षेत्र के रूप में की जा सकती है, जिसके आसन्न पक्ष इन कार्यों के ग्रेडिएंट हैं। यूक्लिडियन अंतरिक्ष में घूर्णन दो बिंदुओं के बीच की दूरी को अपरिवर्तित छोड़ देता है। सिंपलेक्टिक मैनिफ़ोल्ड में विहित परिवर्तन क्षेत्रों को अपरिवर्तनीय छोड़ देते हैं।

क्वांटम यांत्रिकी में, विहित चर $$\xi$$ विहित निर्देशांक और संवेग के संचालकों से जुड़े हैं


 * $$\hat{\xi}^{i} = (\hat{x}^1, \ldots, \hat{x}^n, \hat{p}_1, \ldots , \hat{p}_n) \in \operatorname{Op}(L^2(\R^n)).$$ ये ऑपरेटर हिल्बर्ट क्षेत्र में कार्य करते हैं और कम्यूटेशन संबंधों का पालन करते हैं


 * $$[\hat{\xi}^{k},\hat{\xi}^{l}] = -i\hbar I^{kl}.$$

वेइल का विग्नर-वेइल परिवर्तन पत्राचार का विस्तार करता है $$\xi^i \rightarrow \hat{\xi}^i$$ मनमाना चरण-अंतरिक्ष कार्यों और ऑपरेटरों के लिए।

टेलर विस्तार
एक तरफा एसोसिएशन नियम $$f(\xi) \to \hat{f}$$ शुरुआत में वेइल द्वारा विहित चर के ऑपरेटरों के कार्यों की टेलर श्रृंखला की मदद से तैयार किया गया था


 * $$\hat{f} = f(\hat{\xi}) \equiv \sum_{s=0}^{\infty } \frac{1}{s!}

\frac{\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi^{i_1}\ldots\partial \xi ^{i_s}} \hat{\xi}^{i_1} \ldots \hat{\xi}^{i_s}.$$ संचालक $$\hat{\xi}$$ आवागमन न करें, इसलिए टेलर विस्तार को विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया गया है। उपरोक्त नुस्खा ऑपरेटरों के सममित उत्पादों का उपयोग करता है। वास्तविक कार्य हर्मिटियन ऑपरेटरों के अनुरूप हैं। कार्यक्रम $$f(\xi)$$ वेइल संचालिका का प्रतीक कहलाता है $$\hat{f}$$.

रिवर्स एसोसिएशन के तहत $$f(\xi) \leftarrow \hat{f}$$, घनत्व मैट्रिक्स विग्नर अर्ध-संभावना वितरण में बदल जाता है। विग्नर फ़ंक्शंस के क्वांटम मल्टी-बॉडी फिजिक्स, काइनेटिक सिद्धांत, टकराव सिद्धांत, क्वांटम रसायन विज्ञान में कई अनुप्रयोग हैं।

ग्रोएनवॉल्ड द्वारा वेइल-विग्नर एसोसिएशन नियम का एक परिष्कृत संस्करण प्रस्तावित किया गया था और स्ट्रैटोनोविच।

ऑपरेटर आधार
हिल्बर्ट स्पेस में अभिनय करने वाले ऑपरेटरों का सेट ऑपरेटरों के गुणन के तहत बंद है $$c$$-संख्या और योग. ऐसा समुच्चय एक सदिश समष्टि बनाता है $$\mathbb{V}$$. टेलर विस्तार के उपयोग के साथ तैयार किया गया एसोसिएशन नियम ऑपरेटरों पर संचालन को संरक्षित करता है। पत्राचार को निम्नलिखित चित्र से चित्रित किया जा सकता है:

\left. \begin{array}{c} \begin{array}{c} \left. \begin{array}{ccc} f(\xi ) & \longleftrightarrow & \hat{f} \\ g(\xi ) & \longleftrightarrow & \hat{g} \\ c\times f(\xi ) & \longleftrightarrow & c \times \hat{f} \\ f(\xi )+g(\xi ) & \longleftrightarrow & \hat{f} + \hat{g} \end{array} \right\} \;\text{vector space}\;\; \mathbb{V} \end{array} \\ \begin{array}{ccc} { f(\xi )\star g(\xi )} & {\longleftrightarrow} & \;\; { \hat{f}\hat{g} } \end{array} \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\; \end{array} \right\} {\text{algebra}} $$ यहाँ, $$f(\xi)$$ और $$g(\xi)$$ कार्य हैं और $$\hat{f}$$ और $$\hat{g}$$ संबद्ध ऑपरेटर हैं.

के आधार के तत्व $$\mathbb V$$ विहित चर द्वारा लेबल किए गए हैं $$\xi^i \in (- \infty, + \infty)$$. आमतौर पर इस्तेमाल किया जाने वाला ग्रोएनवॉल्ड-स्ट्रैटनोविच आधार जैसा दिखता है


 * $$\hat{B}(\xi )= \int \frac{d^{2n}\eta }{(2\pi \hbar )^{n}}

\exp (-\frac{i}{\hbar }\eta _{k}(\xi - \hat{\xi})^{k}) \in \mathbb{V}.$$ फ़ंक्शन के लिए वेइल-विग्नर दो-तरफा एसोसिएशन नियम $$f(\xi)$$ और ऑपरेटर $$\hat{f}$$ रूप है


 * $$f(\xi )=\operatorname{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{f}],$$
 * $$\hat{f} =\int \frac{d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^n}f(\xi)\hat{B}(\xi ).$$

कार्यक्रम $$f(\xi)$$ ऑपरेटर के निर्देशांक प्रदान करता है $$\hat{f}$$ आधार में $$\hat{B}(\xi )$$. आधार पूर्ण और ऑर्थोगोनल है:
 * $$\int \frac{d^{2n}\xi }{(2\pi \hbar )^n}\hat{B}(\xi )\operatorname{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{f}] =\hat{f},$$
 * $$\operatorname{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{B}(\xi ^{\prime })] = (2\pi \hbar )^{n}\delta^{2n}(\xi -\xi ^{\prime }).$$

वैकल्पिक ऑपरेटर आधारों पर भी चर्चा की गई है। ऑपरेटर के आधार के चयन में स्वतंत्रता को ऑपरेटर ऑर्डरिंग समस्या के रूप में जाना जाता है। चरण स्थान में कण प्रक्षेपवक्र के निर्देशांक ऑपरेटर के आधार पर निर्भर करते हैं।

सितारा-उत्पाद
ऑपरेटरों का सेट Op(L2(आरn)) ऑपरेटरों के गुणन के तहत बंद है। सदिश स्थान $$\mathbb{V}$$ इस प्रकार एक साहचर्य बीजगणित संरचना से संपन्न है। दो कार्य दिए गए
 * $$f(\xi ) = \mathrm{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{f}]\mathrm{and}g(\xi ) = \mathrm{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{g}],$$

कोई तीसरा फ़ंक्शन बना सकता है,
 * $$f(\xi )\star g(\xi ) = \mathrm{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{f}\hat{g}]$$

इसको कॉल किया गया $$\star$$-उत्पाद। द्वारा स्पष्ट रूप से दिया गया है
 * $$f(\xi )\star g(\xi )=f(\xi )\exp (\frac{i\hbar }{2}\mathcal{P})g(\xi ),$$

कहाँ
 * $$\mathcal{P} = -{I}^{kl}

\overleftarrow{ \frac{\partial} {\partial \xi^{k}} } \overrightarrow{ \frac{\partial} {\partial \xi^{l}}}$$ पॉइसन ऑपरेटर है. $$\star$$वें>-उत्पाद सममित और तिरछा-सममित भागों में विभाजित होता है,
 * $$f\star g=f\circ g+\frac{i\hbar}{2} f\wedge g.$$

शास्त्रीय सीमा में, $$\circ$$-उत्पाद डॉट उत्पाद बन जाता है। तिरछा-सममित भाग $$f \wedge g$$ मोयल ब्रैकेट के रूप में जाना जाता है। यह कम्यूटेटर का वेइल प्रतीक है। शास्त्रीय सीमा में, मोयल ब्रैकेट पॉइसन ब्रैकेट बन जाता है। मोयल ब्रैकेट पॉइसन ब्रैकेट का विरूपण सिद्धांत है। $$\star$$वें>-उत्पाद साहचर्य है, जबकि $$\circ$$-उत्पाद और मोयल ब्रैकेट सहयोगी नहीं हैं।

क्वांटम विशेषताएँ
पत्राचार $$\xi \leftrightarrow \hat{\xi}$$ दर्शाता है कि चरण स्थान में समन्वय परिवर्तन विहित निर्देशांक और संवेग के ऑपरेटरों के परिवर्तनों के साथ होते हैं और इसके विपरीत। होने देना $$\mathbf{\hat{U}}$$ विकास संचालक बनें,
 * $$\hat{U} = \exp\Bigl(-\frac{i}{\hbar} \hat{H}\tau \Bigr),$$

और $$\hat{H}$$ हैमिल्टनियन बनें। निम्नलिखित योजना पर विचार करें,
 * $$\begin{align}

&{} \, \xi \stackrel{q} \longrightarrow \, \acute{\xi} \\ &{} \updownarrow  \;\;\;\;\;\;          \updownarrow \\ &{} \, \hat{\xi} \stackrel{\hat{U}}\longrightarrow \acute{\hat{\xi}} \end{align}$$ क्वांटम विकास हिल्बर्ट स्पेस में वैक्टर को बदल देता है और, विग्नर एसोसिएशन मैप के तहत, चरण स्पेस में समन्वय करता है। हाइजेनबर्ग चित्र में, विहित चर के संचालक इस प्रकार रूपांतरित होते हैं
 * $$\hat{\xi}^{i} \rightarrow \acute{\hat{\xi}^{i}}=\hat{U}^{\dagger}\hat{\xi}^{i}\hat{U}.$$

चरण-अंतरिक्ष निर्देशांक $$\acute{\xi}^{i}$$ जो नए ऑपरेटरों के अनुरूप है $$\acute{\hat{\xi}^{i}}$$ पुराने आधार पर $$\hat{B}(\xi)$$ द्वारा दिए गए हैं
 * $$\xi^{i} \rightarrow \acute{\xi}^{i} = q^{i}(\xi,\tau) = \mathrm{Tr}[\hat{B}(\xi ) \hat{U}^{\dagger} \hat{\xi}^{i} \hat{U}],$$

प्रारंभिक शर्तों के साथ
 * $$q^{i}(\xi,0)=\xi^{i}.$$

कार्य $$q^{i}(\xi,\tau)$$ क्वांटम चरण प्रवाह निर्दिष्ट करें। सामान्य स्थिति में, पहले ऑर्डर देना विहित है $τ$.

सितारा-कार्य
कैनोनिकल वेरिएबल्स के ऑपरेटरों का सेट इस अर्थ में पूर्ण है कि किसी भी ऑपरेटर को ऑपरेटरों के एक फ़ंक्शन के रूप में दर्शाया जा सकता है $$\hat{\xi}$$. परिवर्तनों
 * $$\hat{f} \rightarrow \acute{\hat{f}} = \hat{U}^{\dagger}\hat{f}\hat{U}$$

विग्नर एसोसिएशन नियम के तहत, चरण-अंतरिक्ष कार्यों के परिवर्तनों को प्रेरित करें,
 * $$\begin{align}

&{} f(\xi) \stackrel{q}\longrightarrow \acute{f}(\xi) = \mathrm{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{U}^{\dagger}\hat{f}\hat{U}] \\ &{} \updownarrow  \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;\,                        \updownarrow \\ &{} \hat{f} \;\;\;\; \stackrel{\hat{U}} \longrightarrow \,\acute{\hat{f}} \;\;\;\;\; =\hat{U}^{\dagger}\hat{f}\hat{U} \end{align}$$ टेलर विस्तार का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन का परिवर्तन $$f(\xi )$$ विकास के अंतर्गत पाया जा सकता है
 * $$f(\xi ) \rightarrow \acute{f}(\xi ) \equiv \mathrm{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{U^{\dagger}}f(\hat{\xi})\hat{U}] =\sum_{s=0}^{\infty }\frac{1}{s!}\frac{\partial ^{s}f(0)}{\partial \xi

^{i_1}\ldots\partial \xi ^{i_s}}q^{i_1}(\xi,\tau )\star \ldots\star q^{i_s}(\xi,\tau) \equiv f(\star q(\xi ,\tau)).$$ इस प्रकार परिभाषित समग्र फलन कहलाता है $$\star$$-समारोह।

रचना नियम शास्त्रीय नियम से भिन्न है। हालाँकि, का अर्धशास्त्रीय विस्तार $$f(\star q(\xi,\tau ))$$ आस-पास $$f(q(\xi ,\tau))$$ औपचारिक रूप से अच्छी तरह से परिभाषित है और इसमें समान शक्तियां भी शामिल हैं $$\hbar$$ केवल। यह समीकरण दर्शाता है कि, यह देखते हुए कि क्वांटम विशेषताओं का निर्माण कैसे किया जाता है, भौतिक अवलोकनों को हैमिल्टनियन के संदर्भ के बिना पाया जा सकता है। कार्य $$q^{i}(\xi ,\tau)$$ विशेषताओं की भूमिका निभाएं, शास्त्रीय लिउविले प्रमेय (हैमिल्टनियन) को हल करने के लिए उपयोग की जाने वाली विशेषताओं की विधि के समान।

क्वांटम लिउविले समीकरण
श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व में घनत्व मैट्रिक्स के लिए विकास समीकरण का विग्नर परिवर्तन विग्नर फ़ंक्शन के लिए क्वांटम लिउविले समीकरण की ओर जाता है। हाइजेनबर्ग प्रतिनिधित्व में ऑपरेटरों के लिए विकास समीकरण का विग्नर परिवर्तन,
 * $$\frac{\partial }{\partial \tau} \hat{f} = -\frac{i}{\hbar}[\hat{f},\hat{H}],$$

दाहिनी ओर विपरीत (प्लस) चिह्न के साथ समान समीकरण की ओर जाता है:
 * $$\frac{\partial }{\partial \tau} f(\xi,\tau) = f(\xi,\tau) \wedge H(\xi ).$$

$$\star$$-फ़ंक्शन इस समीकरण को क्वांटम विशेषताओं के संदर्भ में हल करता है:
 * $$f(\xi ,\tau)=f(\star q(\xi ,\tau),0).$$

इसी प्रकार, श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व में विग्नर फ़ंक्शन का विकास किसके द्वारा दिया गया है
 * $$W(\xi ,\tau)=W(\star q(\xi ,- \tau),0).$$

शास्त्रीय यांत्रिकी का लिउविले प्रमेय (हैमिल्टनियन) इस हद तक विफल हो जाता है कि, स्थानीय स्तर पर, चरण स्थान की मात्रा समय में संरक्षित नहीं होती है। वास्तव में, क्वांटम चरण प्रवाह सभी विभेदक रूपों को संरक्षित नहीं करता है $$\omega^{2s}$$ की बाहरी शक्तियों द्वारा परिभाषित $$\omega^2 = I^{kl}d\xi_k \curlywedge d\xi_l$$.

विग्नर फ़ंक्शन तरंग फ़ंक्शन की तुलना में अधिक सामान्य रूप में एक क्वांटम प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है। तरंग फ़ंक्शन शुद्ध अवस्थाओं का वर्णन करते हैं, जबकि विग्नर फ़ंक्शन क्वांटम अवस्थाओं के संयोजन की विशेषता बताते हैं। किसी भी हर्मिटियन ऑपरेटर को विकर्ण किया जा सकता है:


 * $$\hat{f} = \sum_{s}\lambda_s |s \rangle \langle s|$$.

वे ऑपरेटर जिनके eigenvalues $$\lambda_s$$ गैर-नकारात्मक हैं और एक सीमित संख्या के योग को घनत्व मैट्रिक्स, यानी, कुछ भौतिक अवस्थाओं में मैप किया जा सकता है। विग्नर फ़ंक्शन घनत्व मैट्रिक्स की एक छवि है, इसलिए विग्नर फ़ंक्शन एक समान अपघटन स्वीकार करता है:


 * $$W(\xi) = \sum_{s}\lambda_s W_s(\xi),$$

साथ $$\lambda_s \ge 0$$ और


 * $$W_s(\xi) \star W_r(\xi) = \delta_{sr}W_s(\xi)$$.

क्वांटम हैमिल्टन के समीकरण
विहित निर्देशांक और संवेग के हाइजेनबर्ग ऑपरेटरों के लिए विकास समीकरणों में विग्नर परिवर्तन को लागू करके क्वांटम हैमिल्टन के समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं,
 * $$\frac{\partial }{\partial \tau }q^{i}(\xi ,\tau ) = \{\zeta^i, H(\zeta)\}|_{\zeta =\star q(\xi ,\tau )}.$$

दाहिने हाथ की गणना शास्त्रीय यांत्रिकी की तरह की जाती है। हालाँकि, समग्र कार्य है, $$\star$$-समारोह। $$\star$$वें>-उत्पाद पहले क्रम से परे चरण प्रवाह की प्रामाणिकता का उल्लंघन करता है $$\tau$$.

मॉयल ब्रैकेट का संरक्षण
विहित चर के सम संख्या वाले ऑपरेटरों के एंटीसिमेट्रिज़्ड उत्पाद परिणाम के रूप में सी-नंबर हैं रूपान्तरण संबंधों का. इन उत्पादों को एकात्मक परिवर्तनों द्वारा अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है, जो विशेष रूप से संबंध की ओर ले जाता है


 * $$q^{i}(\xi,\tau)\wedge q^j (\xi,\tau)=\xi^i \wedge \xi^j = - I^{ij}.$$ सामान्य तौर पर, एंटीसिमेट्रिज़्ड उत्पाद


 * $$q^{[i_1} (\xi,\tau) \star q^{i_2} (\xi,\tau) \star \ldots \star q^{i_{2s}]} (\xi,\tau) $$

यह भी अपरिवर्तनीय है, अर्थात, यह समय पर निर्भर नहीं करता है, और इसके अलावा निर्देशांक पर भी निर्भर नहीं करता है।

विकास ऑपरेटर द्वारा प्रेरित चरण-अंतरिक्ष परिवर्तन मोयल ब्रैकेट को संरक्षित करते हैं और पॉइसन ब्रैकेट को संरक्षित नहीं करते हैं, इसलिए विकास मानचित्र


 * $$\xi \rightarrow \acute{\xi} = q(\xi,\tau),$$ O(τ) से परे विहित नहीं है। τ में पहला क्रम परिवर्तन समूह के बीजगणित को परिभाषित करता है। जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, शास्त्रीय यांत्रिकी के विहित परिवर्तनों का बीजगणित क्वांटम यांत्रिकी के एकात्मक परिवर्तनों के बीजगणित के साथ मेल खाता है। हालाँकि, ये दोनों समूह अलग-अलग हैं क्योंकि शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी में गुणन संचालन अलग-अलग हैं।

हिल्बर्ट अंतरिक्ष में एकात्मक परिवर्तनों के तहत विहित चर और चरण-स्थान कार्यों के परिवर्तन गुणों में चरण स्थान में विहित परिवर्तनों के मामले से महत्वपूर्ण अंतर हैं।

रचना नियम
क्वांटम विशेषताओं को शायद ही उन प्रक्षेप पथों के रूप में देखा जा सकता है जिनके साथ भौतिक कण चलते हैं। इसका कारण तारा-रचना नियम में निहित है
 * $$q(\xi ,\tau_1 + \tau_2 ) = q(\star q(\xi ,\tau_1 ),\tau_2),$$

जो गैर-स्थानीय है और शास्त्रीय यांत्रिकी के डॉट-रचना नियम से अलग है।

ऊर्जा संरक्षण
ऊर्जा संरक्षण का तात्पर्य है
 * $$H(\xi)=H(\star q(\xi ,\tau )),$$

कहाँ
 * $$H(\xi )= \mathrm{Tr}[\hat{B}(\xi )\hat{H}]$$

हैमिल्टन का कार्य है. सामान्य ज्यामितीय अर्थ में, $$H(\xi )$$ क्वांटम विशेषताओं के साथ संरक्षित नहीं है।

सारांश
विशेषताओं की विधि की उत्पत्ति का पता हाइजेनबर्ग के मैट्रिक्स यांत्रिकी में लगाया जा सकता है। मान लीजिए कि हमने मैट्रिक्स यांत्रिकी में विहित निर्देशांक और संवेग के संचालकों के लिए विकास समीकरणों को हल कर लिया है हाइजेनबर्ग प्रतिनिधित्व। ये ऑपरेटर्स के अनुसार विकसित होते हैं
 * $$\hat{\xi}^{i} \rightarrow \hat{\xi}^{i}(\tau)=\hat{U}^{\dagger}\hat{\xi}^{i}\hat{U}.$$ यह किसी भी ऑपरेटर के लिए जाना जाता है $$\hat{f}$$ कोई फ़ंक्शन ढूंढ सकता है $f (ξ)$ जिसके माध्यम से

$$\hat{f}$$ रूप में दर्शाया गया है $$f(\hat{\xi})$$. वही ऑपरेटर $$\hat{f}$$ समय पर $τ$ के बराबर है
 * $$ \hat{f}(\tau) = \hat{U}^{\dagger}\hat{f}\hat{U} = \hat{U}^{\dagger} f(\hat{\xi})\hat{U} = f(\hat{U}^{\dagger} \hat{\xi}\hat{U} ) = f(\hat{\xi}(\tau)).$$

यह समीकरण यह दर्शाता है $$\hat{\xi}(\tau)$$ हैं विशेषताएँ जो Op(L) में सभी ऑपरेटरों के विकास को निर्धारित करती हैं2(आरn)). विरूपण परिमाणीकरण पर और, की सीमा में, यह संपत्ति पूरी तरह से चरण स्थान में स्थानांतरित हो जाती है $ħ → 0$, शास्त्रीय यांत्रिकी के लिए।


 * {| class="wikitable" style="text-align:center;"

तालिका शास्त्रीय और क्वांटम यांत्रिकी में विशेषताओं के गुणों की तुलना करती है। पीडीई और ओडीई क्रमशः आंशिक अंतर समीकरण और साधारण अंतर समीकरण दर्शाते हैं। क्वांटम लिउविले समीकरण श्रोडिंगर चित्र | श्रोडिंगर प्रतिनिधित्व में घनत्व मैट्रिक्स के लिए वॉन न्यूमैन विकास समीकरण का वेइल-विग्नर रूपांतरण है। क्वांटम हैमिल्टन समीकरण हाइजेनबर्ग चित्र में विहित निर्देशांक और संवेग के संचालकों के लिए विकास समीकरणों के वेइल-विग्नर रूपांतरण हैं।
 * + Classical dynamics vs. Quantum dynamics
 * colspan="2"| Liouville equation
 * colspan="1"| First-order PDE
 * colspan="1"| Infinite-order PDE
 * |$$\frac{\partial}{\partial \tau} \rho(\xi,\tau) = - \{ \rho(\xi,\tau), \mathcal{H}(\xi) \}$$ || $$\frac{\partial }{\partial \tau }W(\xi ,\tau ) = - W(\xi ,\tau ) \wedge H(\xi )$$
 * colspan="2"| Hamilton's equations
 * colspan="1"| Finite-order ODE
 * colspan="1"| Infinite-order PDE
 * |$$\frac{\partial}{\partial \tau} c^{i}(\xi,\tau) = \{\zeta^{i}, \mathcal{H}(\zeta)\}|_{\zeta = c(\xi,\tau)}$$ || $$\frac{\partial }{\partial \tau }q^{i}(\xi ,\tau ) = \{\zeta ^{i},H(\zeta )\}|_{\zeta =\star q(\xi ,\tau )}$$
 * colspan="1"| Initial conditions
 * colspan="1"| Initial conditions
 * $$c^{i}(\xi,0) = \xi^{i}$$
 * $$q^{i}(\xi,0) = \xi^{i}$$
 * colspan="2"| Composition law
 * colspan="1"| Dot-composition
 * colspan="1"| $$\star$$-composition
 * $$c(\xi ,\tau_1 + \tau_2 ) = c(     c(\xi ,\tau_1 ),\tau_2)$$
 * $$q(\xi ,\tau_1 + \tau_2 ) = q(\star q(\xi ,\tau_1 ),\tau_2)$$
 * colspan="2"| Invariance
 * colspan="1"| Poisson bracket
 * colspan="1"| Moyal bracket
 * $$\{c^i(\xi,\tau), c^j(\xi,\tau)\} = \{\xi^i, \xi^j\} $$
 * $$q^i(\xi,\tau)\wedge q^j(\xi,\tau) = \xi^i\wedge \xi^j $$
 * colspan="2"| Energy conservation
 * colspan="1"| Dot-composition
 * colspan="1"| $$\star$$-composition
 * $$H(\xi )=H(     c(\xi ,\tau ))$$
 * $$H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau ))$$
 * colspan="2"| Solution to Liouville equation
 * colspan="1"| Dot-composition
 * colspan="1"| $$\star$$-composition
 * $$\rho(\xi,\tau) = \rho(c(\xi ,- \tau ),0)$$
 * $$W(\xi,\tau) = W(\star q(\xi ,- \tau ),0)$$
 * }
 * colspan="2"| Invariance
 * colspan="1"| Poisson bracket
 * colspan="1"| Moyal bracket
 * $$\{c^i(\xi,\tau), c^j(\xi,\tau)\} = \{\xi^i, \xi^j\} $$
 * $$q^i(\xi,\tau)\wedge q^j(\xi,\tau) = \xi^i\wedge \xi^j $$
 * colspan="2"| Energy conservation
 * colspan="1"| Dot-composition
 * colspan="1"| $$\star$$-composition
 * $$H(\xi )=H(     c(\xi ,\tau ))$$
 * $$H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau ))$$
 * colspan="2"| Solution to Liouville equation
 * colspan="1"| Dot-composition
 * colspan="1"| $$\star$$-composition
 * $$\rho(\xi,\tau) = \rho(c(\xi ,- \tau ),0)$$
 * $$W(\xi,\tau) = W(\star q(\xi ,- \tau ),0)$$
 * }
 * $$H(\xi )=H(     c(\xi ,\tau ))$$
 * $$H(\xi )=H(\star q(\xi ,\tau ))$$
 * colspan="2"| Solution to Liouville equation
 * colspan="1"| Dot-composition
 * colspan="1"| $$\star$$-composition
 * $$\rho(\xi,\tau) = \rho(c(\xi ,- \tau ),0)$$
 * $$W(\xi,\tau) = W(\star q(\xi ,- \tau ),0)$$
 * }
 * $$\rho(\xi,\tau) = \rho(c(\xi ,- \tau ),0)$$
 * $$W(\xi,\tau) = W(\star q(\xi ,- \tau ),0)$$
 * }
 * }

शास्त्रीय प्रणालियों में, विशेषताएँ $$c^i(\xi,\tau)$$ आमतौर पर प्रथम-क्रम ODE को संतुष्ट करते हैं, उदाहरण के लिए, शास्त्रीय हैमिल्टन के समीकरण, और प्रथम-क्रम PDE को हल करते हैं, उदाहरण के लिए, शास्त्रीय लिउविले समीकरण। कार्य $$q^i(\xi,\tau)$$ दोनों के बावजूद विशेषताएँ भी हैं $$q^i(\xi,\tau)$$ और $$f(\xi,\tau)$$ अनंत-क्रम पीडीई का पालन करना।

क्वांटम चरण प्रवाह में क्वांटम विकास के बारे में सारी जानकारी शामिल है। क्वांटम विशेषताओं का अर्धशास्त्रीय विस्तार और $$\star$$-एक शक्ति श्रृंखला में क्वांटम विशेषताओं के कार्य $ħ$ चरण अंतरिक्ष प्रक्षेपवक्र और जैकोबी क्षेत्रों के लिए ओडीई की एक परिमित-क्रम युग्मित प्रणाली को हल करके समय-निर्भर भौतिक वेधशालाओं के औसत मूल्यों की गणना की अनुमति देता है।  ODEs की प्रणाली का क्रम पावर श्रृंखला के कटाव पर निर्भर करता है। सुरंग बनाने का प्रभाव अप्रभावी है $ħ$ और विस्तार द्वारा कब्जा नहीं किया गया है। क्वांटम संभाव्यता द्रव का घनत्व चरण-स्थान में संरक्षित नहीं होता है, क्योंकि क्वांटम द्रव फैलता है। क्वांटम विशेषताओं को अलग किया जाना चाहिए डी ब्रोगली-बोहम सिद्धांत के प्रक्षेप पथ, आयामों के लिए चरण स्थान में पथ-अभिन्न विधि के प्रक्षेप पथ और विग्नर फ़ंक्शन, और विग्नर प्रक्षेप पथ। अब तक, क्वांटम विशेषताओं की पद्धति का उपयोग करके केवल कुछ क्वांटम प्रणालियों को स्पष्ट रूप से हल किया गया है।

यह भी देखें

 * विशेषताओं की विधि
 * विग्नर-वेइल परिवर्तन
 * विरूपण सिद्धांत
 * विग्नर वितरण समारोह
 * संशोधित विग्नर वितरण फ़ंक्शन
 * विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण
 * नकारात्मक संभावना

पाठ्यपुस्तकें
[Category:Partial differential equation
 * H. Weyl, The Theory of Groups and Quantum Mechanics, (Dover Publications, New York Inc., 1931).
 * V. I. Arnold, Mathematical Methods of Classical Mechanics, (2-nd ed. Springer-Verlag, New York Inc., 1989).
 * M. V. Karasev and V. P. Maslov, Nonlinear Poisson brackets. Geometry and quantization. Translations of Mathematical Monographs, 119. (American Mathematical Society, Providence, RI, 1993).