संघ (समुच्चय सिद्धान्त)

समुच्चय सिद्धांत में, समुच्चयों के एक संग्रह का संघ (∪ द्वारा निरूपित), उस संग्रह के सभी तत्वों का समुच्चय होता है। यह मूलभूत संक्रियाओं में से एक होता है, जिसके माध्यम से समुच्चयों को संयोजित और परस्पर संबंधित किया जा सकता है। एक शून्य संघ, शून्य ($$0$$) समुच्चयों के एक संघ को संदर्भित करता है, और परिभाषा के अनुसार यह रिक्त समुच्चय के बराबर होता है।

इस लेख में प्रयुक्त प्रतीकों की व्याख्या के लिए गणितीय प्रतीकों की तालिका देखें।

दो समुच्चयों का संघ
दो समुच्चय A और B का संघ, उन तत्वों का समुच्चय है जो A में, B में या A और B दोनों में हैं। समुच्चय-निर्माण निरूपण में,


 * $$A \cup B = \{ x: x \in A \text{  or  } x \in B\}$$.

उदाहरण के लिए, यदि A = {1, 3, 5, 7} और B = {1, 2, 4, 6, 7} तो A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}। इसका एक अधिक विस्तृत उदाहरण (दो अपरिमित समुच्चयों को सम्मिलित करते हुए) है:
 * A = {x, 1 से बड़ा एक सम पूर्णांक है}
 * B = {x, 1 से बड़ा एक विषम पूर्णांक है}
 * $$A \cup B = \{2,3,4,5,6, \dots\}$$

एक अन्य उदाहरण के रूप में, संख्या 9 अभाज्य अभाज्य संख्याओं के समुच्चय {2, 3, 5, 7, 11, ...} और सम संख्याओं के समुच्चय {2, 4, 6, 8, 10 के संघ में नहीं है।, ...}, क्योंकि 9 न तो अभाज्य है और न ही सम।

समुच्चय में डुप्लिकेट तत्व नहीं हो सकते हैं, इसलिए समुच्चय {1, 2, 3} और {2, 3, 4} का संघ {1, 2, 3, 4} है। समान तत्वों की एकाधिक घटनाओं का किसी समुच्चय या उसकी सामग्री की कार्डिनैलिटी पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है।

बीजगणितीय गुण
बाइनरी यूनियन एक सहयोगी ऑपरेशन है; यानी किसी भी समुच्चय के लिए $$A, B, \text{ and } C,$$$$A \cup (B \cup C) = (A \cup B) \cup C.$$इस प्रकार अस्पष्टता के बिना कोष्ठकों को छोड़ा जा सकता है: उपरोक्त में से किसी को भी $$A \cup B \cup C.$$ के रूप में लिखा जा सकता है। साथ ही, संघ क्रमविनिमेय है, इसलिए समुच्चय किसी भी क्रम में लिखा जा सकता है। संघ के संचालन के लिए खाली समुच्चय एक पहचान तत्व है। यानी, $$A \cup \varnothing = A,$$ किसी भी समुच्चय के लिए {\displaystyle A.}A. इसके अलावा, संघ संचालन निष्क्रिय है: $$A.$$ $$A \cup A = A.$$ ये सभी गुण तार्किक संयोजन के बारे में समान तथ्यों से अनुसरण करते हैं।

सर्वनिष्ठ, संघ पर वितरण संक्रिया का पालन करता है $$A \cap (B \cup C) = (A \cap B)\cup(A \cap C)$$ संघ, सर्वनिष्ठ पर वितरण संक्रिया का पालन करता है $$A \cup (B \cap C) = (A \cup B) \cap (A \cup C).$$ एक समुच्चय {\displaystyle U,}{\displaystyle U,}$$U,$$ का अधि-समुच्चय, यूनियन, इंटरसेक्शन और पूरक (समुच्चय सिद्धांत) द्वारा दिए गए संचालन के साथ एक बूलियन बीजगणित (संरचना) है। इस बूलियन बीजगणित में, संघ को सूत्र द्वारा प्रतिच्छेदन और पूरक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है$$A \cup B = \left(A^\text{c} \cap B^\text{c} \right)^\text{c},$$

जहां सुपरस्क्रिप्ट $${}^\text{c}$$ ब्रह्मांड में पूरक को दर्शाता है (गणित) $$U.$$

परिमित संघ
कोई एक साथ कई समुच्चयों का संघ कर सकता है। उदाहरण के लिए, तीन समुच्चय ए, बी और सी के संघ में ए के सभी तत्व, बी के सभी तत्व और सी के सभी तत्व शामिल हैं, और कुछ नहीं। इस प्रकार, x, A ∪ B ∪ C का एक अवयव है यदि और केवल यदि x कम से कम A, B और C में से एक में है।

एक परिमित संघ समुच्चयों की एक सीमित संख्या का संघ है; वाक्यांश का यह अर्थ नहीं है कि संघ समुच्चय एक परिमित समुच्चय है।

स्वेच्छ संघ
सबसे सामान्य धारणा समुच्चयों के एक मनमाना संग्रह का संघ है, जिसे कभी-कभी एक अपरिमित संघ कहा जाता है। यदि M एक समुच्चय या वर्ग है जिसके अवयव समुच्चय हैं, तो x, M के संघ का एक अवयव है यदि और केवल यदि M का कम से कम एक अवयव A हो, जैसे कि x, A का एक अवयव हो। प्रतीकों में:
 * $$x \in \bigcup \mathbf{M} \iff \exists A \in \mathbf{M},\ x \in A.$$

यह विचार पिछले अनुभागों को सम्मिलित करता है—उदाहरण के लिए, A ∪ B ∪ C संग्रह {A, B, C} का संघ है। साथ ही, यदि 'M' खाली संग्रह है, तो 'M का संघ रिक्त समुच्चय है।

निरूपण
सामान्य अवधारणा के लिए संकेतन काफी भिन्न हो सकते हैं। समुच्चयों के परिमित संघ के लिए $$S_1, S_2, S_3, \dots, S_n$$ अक्सर लिखता है $$S_1 \cup S_2 \cup S_3 \cup \dots \cup S_n$$ या $$\bigcup_{i=1}^n S_i$$. मनमानी यूनियनों के लिए विभिन्न सामान्य नोटेशन में शामिल हैं $$\bigcup \mathbf{M}$$, $$\bigcup_{A\in\mathbf{M}} A$$, तथा $$\bigcup_{i\in I} A_{i}$$. इनमें से अंतिम संकेतन संग्रह के संघ को संदर्भित करता है $$\left\{A_i : i \in I\right\}$$, जहां मैं एक सूचकांक समुच्चय है और $$A_i$$ प्रत्येक के लिए एक समुच्चय है $$i \in I$$. इस मामले में कि सूचकांक समुच्चय I प्राकृतिक संख्या ओं का समूह है, एक संकेतन का उपयोग करता है $$\bigcup_{i=1}^{\infty} A_{i}$$, जो श्रृंखला में अनंत राशियों के अनुरूप है।

जब प्रतीक "∪" को अन्य प्रतीकों (उनके बीच के बजाय) से पहले रखा जाता है, तो इसे आमतौर पर बड़े आकार के रूप में प्रस्तुत किया जाता है।

निरूपण संकेतीकरण
यूनिकोड में, संघ को वर्ण द्वारा दर्शाया जाता है. टीएक्स में, $$\cup$$ \ कप से प्रदान किया जाता है।

यह भी देखें



 * - स्ट्रिंग्स के समुच्चय का संघ

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

 * समुच्चय सिद्धान्त
 * तत्व (समुच्चय सिद्धांत)
 * जोड़नेवाला
 * तार्किक वियोजन
 * चौराहे (समुच्चय सिद्धांत)
 * ब्रह्मांड (गणित)
 * परिमित समुच्चय
 * अगर और केवल अगर
 * कक्षा (समुच्चय सिद्धांत)
 * मैं अनंत हूँ
 * टेक्स

बाहरी संबंध

 * Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.
 * Infinite Union and Intersection at ProvenMath De Morgan's laws formally proven from the axioms of set theory.