लंबकोणीय प्रक्षेप

लंबकोणीय प्रक्षेप (ऑर्थोगोनल प्रक्षेप और एनालेम्मा भी) दो आयामों में त्रि-आयामी वस्तुओं का प्रतिनिधित्व करने का एक साधन है। ऑर्थोग्राफिक प्रक्षेप समानांतर प्रक्षेप का एक रूप है जिसमें सभी प्रक्षेप लाइनें प्रक्षेप विमान के लिए ओर्थोगोनल होती हैं, जिसके परिणामस्वरूप दृश्य के प्रत्येक विमान को देखने की सतह पर परिशोधन परिवर्तन में दिखाई देता है। एक लंबकोणीय प्रक्षेप का उल्टा एक तिरछा प्रक्षेप है, जो एक समानांतर प्रक्षेप है जिसमें प्रक्षेप तिरछा प्रक्षेप विमान के लिए ऑर्थोगोनल नहीं हैं।

लंबकोणीय शब्द का अर्थ कभी-कभी बहु दृश्य प्रक्षेप में एक विधि से होता है जिसमें मुख्य अक्ष या विषय के तल भी प्राथमिक दृश्य बनाने के लिए प्रक्षेप तल के समानांतर होते हैं। यदि लंबकोणीय प्रक्षेप में किसी वस्तु के प्रमुख तल या अक्ष प्रक्षेप तल के समानांतर नहीं हैं, तो चित्रण को एक्सोनोमेट्रिक या सहायक दृश्य कहा जाता है। (एक्सोनोमेट्रिक प्रक्षेप समानांतर प्रक्षेप का पर्याय है।) उप-प्रकार के प्राथमिक दृश्यों में योजना, एलिवेशन और सेक्शन सम्मिलित हैं; उप-प्रकार के सहायक दृश्यों में सममितीय, द्विमितीय और त्रिमितीय प्रक्षेप सम्मिलित हैं।

एक लेंस जो एक लंबकोणीय प्रक्षेप प्रदान करता है,वह वस्तु- स्थल दूरकेंद्रित लेंस है।

ज्यामिति
समतल (गणित) z = 0 पर एक साधारण ऑर्थोग्राफिक प्रक्षेप (रैखिक बीजगणित) को निम्नलिखित आव्यूह द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0  \\ 0 & 0 & 0  \\ \end{bmatrix} $$ प्रत्येक बिंदु के लिए v = (vx, vy, vz), रूपांतरित बिंदु Pv होगा

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0  \\ 0 & 0 & 0  \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \end{bmatrix} $$ अधिकांशतः, सजातीय निर्देशांको का उपयोग करना अधिक उपयोगी होता है। उपरोक्त परिवर्तन को सजातीय निर्देशांक के रूप में दर्शाया जा सकता है

P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ प्रत्येक सजातीय सदिश के लिए v = (vx, vy, vz, 1), रूपांतरित सदिश Pv होगा

Pv = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ v_z \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} v_x \\ v_y \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} $$ कंप्यूटर चित्रलेख में, ऑर्थोग्राफिक प्रक्षेप (रैखिक बीजगणित) के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे आम मेट्रिसेस में से एक को 6-ट्यूपल, (बाएं, दाएं, नीचे, ऊपर, पास, दूर) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जो क्लिपिंग को परिभाषित करता है ये विमान न्यूनतम कोने (बाएं, नीचे, -निकट) और अधिकतम कोने (दाएं, ऊपर, -दूर) के साथ एक बॉक्स बनाते हैं।

बॉक्स का अनुवाद किया जाता है जिससे इसका केंद्र मूल में हो, फिर इसे इकाई क्यूब में स्केल किया जाता है जिसे (-1,-1,-1) पर न्यूनतम कोने और (1,1,1 ) पर अधिकतम कोने से परिभाषित किया जाता है.

लंबकोणीय परिवर्तन निम्नलिखित आव्यूह द्वारा दिया जा सकता है:

P = \begin{bmatrix} \frac{2}{\text{right}-\text{left}} & 0 & 0 & -\frac{\text{right}+\text{left}}{\text{right}-\text{left}} \\ 0 & \frac{2}{\text{top}-\text{bottom}} & 0 & -\frac{\text{top}+\text{bottom}}{\text{top}-\text{bottom}} \\ 0 & 0 & \frac{-2}{\text{far}-\text{near}} & -\frac{\text{far}+\text{near}}{\text{far}-\text{near}} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ जिसे स्केलिंग S के रूप में दिया जा सकता है और उसके बाद अनुवाद T के रूप में दिया जा सकता है

P = ST = \begin{bmatrix} \frac{2}{\text{right}-\text{left}} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & \frac{2}{\text{top}-\text{bottom}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \frac{2}{\text{far}-\text{near}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & -\frac{\text{left}+\text{right}}{2} \\ 0 & 1 & 0 & -\frac{\text{top}+\text{bottom}}{2} \\ 0 & 0 & -1 & -\frac{\text{far}+\text{near}}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$ प्रक्षेप आव्यूह P−1 का व्युत्क्रम, जिसे अप्रक्षेप आव्यूह के रूप में उपयोग किया जा सकता है, परिभाषित किया गया है:

$$ P^{-1} = \begin{bmatrix} \frac{\text{right}-\text{left}}{2} & 0 & 0 & \frac{\text{left}+\text{right}}{2} \\ 0 & \frac{\text{top}-\text{bottom}}{2} & 0 & \frac{\text{top}+\text{bottom}}{2} \\ 0 & 0 & \frac{\text{far}-\text{near}}{-2} & -\frac{\text{far}+\text{near}}{2} \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} $$

प्रकार
लंबकोणीय प्रक्षेप के तीन उप-प्रकार सममितीय प्रक्षेप, द्विमितीय प्रक्षेप और त्रिमितीय प्रक्षेप हैं, जो उस स्पष्ट कोण पर निर्भर करता है जिस पर दृश्य ऑर्थोगोनल से विचलित होता है। सामान्यतः एक्सोनोमेट्रिक चित्रकला में, जैसा कि अन्य प्रकार के सचित्रों में होता है, अंतरिक्ष की एक धुरी को लंबवत दिखाया जाता है।

सममितीय प्रक्षेप में, इंजीनियरिंग ड्राइंग में एक्सोनोमेट्रिक प्रक्षेप का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला रूप, देखने की दिशा ऐसी है कि अंतरिक्ष के तीन अक्ष समान रूप से पूर्वाभासित (चित्रमय) या अग्रछोटा दिखाई देते हैं, और उनके बीच 120° का एक सामान्य कोण है। चूंकि अग्रछोटा के कारण होने वाली विकृति एक समान होती है, लंबाई के बीच आनुपातिकता संरक्षित होती है, और अक्ष का एक सामान्य मापदंड होता है; यह चित्रकला से सीधे माप लेने की क्षमता को आसान बनाता है। एक अन्य लाभ यह है कि 120° कोण आसानी से केवल एक कंपास और सीधे किनारे के निर्माण का उपयोग करके बनाए जाते हैं।

द्विमितीय प्रक्षेप में, देखने की दिशा ऐसी होती है कि अंतरिक्ष के तीन अक्षों में से दो समान रूप से अग्रसंक्षिप्त दिखाई देते हैं, जिनमें से परिचर पैमाने और प्रस्तुति के कोण देखने के कोण के अनुसार निर्धारित होते हैं; तीसरी दिशा का मापदंड अलग से निर्धारित किया जाता है। द्विमितीय चित्रकला में आकार सन्निकटन सामान्य हैं।

त्रिमितीय प्रक्षेप में, देखने की दिशा ऐसी होती है कि अंतरिक्ष के सभी तीन अक्ष असमान रूप से अग्रसंक्षिप्त दिखाई देते हैं। तीन अक्षों में से प्रत्येक के साथ पैमाने और उनके बीच के कोणों को अलग-अलग निर्धारित किया जाता है जैसा कि देखने के कोण से निर्धारित होता है। त्रिमितीय रेखाचित्रों में आयामी सन्निकटन सामान्य हैं, और त्रिमितीय परिप्रेक्ष्य का उपयोग संभवतः ही कभी विधि रेखाचित्रों में किया जाता है।

बहु दृश्य प्रक्षेप


बहु दृश्य प्रक्षेप में, वस्तु के छः चित्रों तक का उत्पादन किया जाता है, जिसे प्राथमिक दृश्य कहा जाता है, प्रत्येक प्रक्षेप विमान वस्तु के समन्वय अक्षों में से एक के समानांतर होता है। दो योजनाओं में से एक के अनुसार विचार एक दूसरे के सापेक्ष स्थित हैं: प्रथम-कोण या तृतीय-कोण प्रक्षेप। प्रत्येक में, विचारों के प्रकटन के बारे में सोचा जा सकता है कि उन विमानों पर प्रक्षेपित किया जा रहा है जो वस्तु के चारों ओर छह-पक्षीय बॉक्स बनाते हैं। चूंकि छह अलग-अलग पक्षों को खींचा जा सकता है, सामान्यतः चित्रकला के तीन दृश्य त्रि-आयामी वस्तु बनाने के लिए पर्याप्त जानकारी देते हैं। इन दृश्यों को सामने का दृश्य, शीर्ष दृश्य और अंत का दृश्य के रूप में जाना जाता है। इन दृश्यों के अन्य नामों में योजना, उन्नयन और खंड सम्मिलित हैं। जब चित्रित वस्तु का तल या अक्ष प्रक्षेप तल के समानांतर नहीं होता है, और जहां एक ही छवि में वस्तु के कई पक्ष दिखाई देते हैं, तो इसे सहायक दृश्य कहा जाता है। इस प्रकार सममितीय प्रक्षेप, द्विमितीय प्रक्षेप और त्रिमितीय प्रक्षेप को बहु दृश्य प्रक्षेप में सहायक दृश्य माना जाएगा। बहु दृश्य प्रक्षेप की एक विशिष्ट विशेषता यह है कि अंतरिक्ष की एक धुरी को सामान्यतः ऊर्ध्वाधर के रूप में प्रदर्शित किया जाता है।

मानचित्रकारी
एक ऑर्थोग्राफिक प्रक्षेप मैप मानचित्रकारी का एक नक्शा प्रक्षेप है। त्रिविम प्रक्षेप और ग्नोमोनिक प्रक्षेप की तरह, ऑर्थोग्राफिक प्रक्षेप एक परिप्रेक्ष्य प्रक्षेप है। परिप्रेक्ष्य (या अज़ीमुथल) प्रक्षेप, जिसमें गोले को एक स्पर्शरेखा विमान या सिकेंट विमान पर प्रक्षेपित किया जाता है। ऑर्थोग्राफिक प्रक्षेप के लिए परिप्रेक्ष्य बिंदु अनंत दूरी पर है। यह ग्लोब के एक क्षेत्र को दर्शाता है क्योंकि यह बाह्य अंतरिक्ष से प्रकट होता है, जहां क्षितिज एक बड़ा चक्र है। आकार और क्षेत्र विरूपणया नक्शा अनुमान हैं, विशेष रूप से किनारों के पास विकृत होते हैं।। ऑर्थोग्राफिक प्रक्षेप पुरातनता के बाद से जाना जाता है, इसके मानचित्रकारी उपयोगों को अच्छी तरह से प्रलेखित किया गया है। हिप्पार्कस ने दूसरी शताब्दी ईसा पूर्व में सितारा वृद्धि और सितारा अस्त के स्थानों को निर्धारित करने के लिए प्रक्षेप का उपयोग किया जाता है । लगभग 14 ई.पू. में, रोमन इंजीनियर विट्रूवियस ने प्रक्षेप का उपयोग धूपघड़ी बनाने और सूर्य की स्थिति की गणना करने के लिए किया था।

ऐसा लगता है कि विटरुवियस ने प्रक्षेप के लिए लंबकोणीय शब्द (ग्रीक ऑर्थोस (= "स्ट्रेट") और ग्राफे (= "ड्राइंग") से तैयार किया है। आम नाम जब तक एंटवर्प के फ्रांकोइस डी'एगुइलन ने 1613 में अपने वर्तमान नाम को बढ़ावा नहीं दिया।

प्रक्षेप पर सबसे पुराने जीवित नक्शे 1509 (गुमनाम), 1533 और 1551 (जोहान्स शॉनेर), और 1524 और 1551 (एपियन) के स्थलीय ग्लोब के वुडकट ड्राइंग के रूप में दिखाई देते हैं।

बाहरी संबंध

 * Normale (orthogonale) Axonometrie
 * Orthographic Projection Video and mathematics

Orthogonale Projektion