जैक परिवर्तन

गणित में, जैक रूपांतरित होता है (इज़राइल गेलफैंड मैपिंग के रूप में भी जाना जाता है) एक निश्चित ऑपरेशन है जो इनपुट के रूप में एक वेरिएबल का एक फ़ंक्शन लेता है और आउटपुट के रूप में दो वेरिएबल्स का एक फ़ंक्शन उत्पन्न करता है। आउटपुट फ़ंक्शन को इनपुट फ़ंक्शन का जैक ट्रांसफॉर्म कहा जाता है। परिवर्तन को एक अनंत श्रृंखला के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें प्रत्येक पद फ़ंक्शन के एक पूर्णांक और एक घातीय फ़ंक्शन द्वारा अनुवाद (ज्यामिति) के फैलाव (एफ़िन ज्यामिति) का उत्पाद है।  संकेत आगे बढ़ाना  के लिए जैक ट्रांसफॉर्म के अनुप्रयोगों में इनपुट फ़ंक्शन एक सिग्नल (इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग) का प्रतिनिधित्व करता है और ट्रांसफॉर्म सिग्नल का मिश्रित समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व होगा। संकेत वास्तविक संख्या या जटिल संख्या | जटिल-मूल्यवान हो सकता है, जो एक निरंतर सेट (उदाहरण के लिए, वास्तविक संख्या) या एक अलग सेट (उदाहरण के लिए, पूर्णांक या पूर्णांक का एक सीमित उपसमूह) पर परिभाषित हो सकता है। जैक परिवर्तन असतत फूरियर परिवर्तन का एक सामान्यीकरण है। ज़ैक ट्रांसफॉर्म की खोज विभिन्न क्षेत्रों में कई लोगों द्वारा की गई थी और इसे अलग-अलग नामों से बुलाया गया था। इसे गेलफैंड मैपिंग कहा गया क्योंकि इज़राइल गेलफैंड ने इसे eigenfunction विस्तार पर अपने काम में पेश किया था। इस परिवर्तन को 1967 में जोशुआ ज़क द्वारा स्वतंत्र रूप से फिर से खोजा गया था, जिन्होंने इसे k-q प्रतिनिधित्व कहा था। ऐसा प्रतीत होता है कि इस क्षेत्र के विशेषज्ञों के बीच इसे ज़ैक ट्रांसफ़ॉर्म कहने पर आम सहमति है, क्योंकि ज़ैक पहले व्यक्ति थे जिन्होंने अधिक सामान्य सेटिंग में उस ट्रांसफ़ॉर्म का व्यवस्थित रूप से अध्ययन किया और इसकी उपयोगिता को पहचाना।

निरंतर-समय जैक परिवर्तन: परिभाषा
निरंतर-समय जैक परिवर्तन को परिभाषित करने में, इनपुट फ़ंक्शन एक वास्तविक चर का एक फ़ंक्शन है। तो, मान लीजिए कि f(t) एक वास्तविक चर t का एक फलन है। f(t) का सतत-समय जैक रूपांतरण दो वास्तविक चरों का एक फलन है जिनमें से एक t है। अन्य चर को w द्वारा निरूपित किया जा सकता है। निरंतर-समय जैक परिवर्तन को विभिन्न प्रकार से परिभाषित किया गया है।

परिभाषा 1
मान लीजिए कि a एक धनात्मक स्थिरांक है। f(t) का जैक रूपांतरण, Z द्वारा दर्शाया गया हैa[f], द्वारा परिभाषित t और w का एक फलन है :$$Z_a[f](t,w) = \sqrt{a}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(at + ak)e^{-2\pi kw i}$$.

परिभाषा 2
= 1 लेकर प्राप्त परिभाषा 1 के विशेष मामले को कभी-कभी जैक परिवर्तन की परिभाषा के रूप में लिया जाता है। इस विशेष मामले में, f(t) का जैक रूपांतरण Z[f] द्वारा दर्शाया गया है।
 * $$Z[f](t,w) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(t + k)e^{-2\pi kw i}$$.

परिभाषा 3
अंकन Z[f] का उपयोग जैक परिवर्तन के दूसरे रूप को दर्शाने के लिए किया जाता है। इस रूप में, f(t) के जैक रूपांतरण को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$Z[f](t,\nu) = \sum_{k=-\infty}^{\infty}f(t + k)e^{-k\nu i}$$.

परिभाषा 4
माना T एक धनात्मक स्थिरांक है। f(t) का जैक रूपांतरण, Z द्वारा दर्शाया गया हैT[f], द्वारा परिभाषित t और w का एक फलन है :$$Z_T[f](t,w) = \sqrt{T}\sum_{k=-\infty}^{\infty}f(t + kT)e^{-2\pi kwT i}$$. यहां t और w को 0 ≤ t ≤ T और 0 ≤ w ≤ 1/T की शर्तों को पूरा करने वाला माना गया है।

उदाहरण
फ़ंक्शन का जैक रूपांतरण
 * $$\phi(t)=\begin{cases}1,&0\le t<1 \\ 0, &\text{otherwise}\end{cases}$$

द्वारा दिया गया है
 * $$Z[\phi](t,w)=e^{-2\pi \lceil -t\rceil w i}$$

कहाँ $$\lceil - t\rceil $$ से कम नहीं सबसे छोटे पूर्णांक को दर्शाता है $$-t$$ (सील समारोह)।

ज़क परिवर्तन के गुण
निम्नलिखित में यह माना जाएगा कि जैक परिवर्तन परिभाषा 2 में दिया गया है।

1. रैखिकता

मान लीजिए a और b कोई वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं। तब
 * $$Z[af+bg](t,w)=aZ[f](t,w)+bZ[g](t,w)$$

2. आवधिकता


 * $$Z[f](t, w+1) = Z[f](t,w)$$

3. अर्ध-आवधिकता
 * $$Z[f](t+1, w)= e^{2\pi w i}Z[f](t,w)$$

4. संयुग्मन
 * $$ Z[\bar{f}](t,w)=\overline{Z[f]}(t,-w)$$

5. समरूपता


 * यदि f(t) तब भी है $$Z[f](t,w)=Z[f](-t,-w)$$
 * यदि f(t) विषम है तो $$Z[f](t,w)= -Z[f](-t,-w)$$

6. कनवल्शन

होने देना $$ \star$$ चर t के संबंध में कनवल्शन को निरूपित करें।
 * $$Z[f\star g](t,w)=Z[f](t,w)\star Z[g](t,w)$$

उलटा सूत्र
किसी फ़ंक्शन के जैक रूपांतरण को देखते हुए, फ़ंक्शन को निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके पुनर्निर्मित किया जा सकता है:
 * $$f(t)= \int_0^1 Z[f](t,w)\, dw.$$

असतत जैक परिवर्तन: परिभाषा
होने देना $$f(n)$$ एक पूर्णांक चर का एक फलन बनें $$n \in \mathbb Z$$ (एक क्रम)। का असतत जैक रूपांतरण $$f(n)$$ दो वास्तविक चरों का एक फलन है, जिनमें से एक पूर्णांक चर है $$n$$. अन्य चर एक वास्तविक चर है जिसे इसके द्वारा निरूपित किया जा सकता है $$w$$. असतत जैक परिवर्तन को भी विभिन्न प्रकार से परिभाषित किया गया है। हालाँकि, नीचे केवल एक परिभाषा दी गई है।

परिभाषा
फ़ंक्शन का असतत जैक रूपांतरण $$f(n)$$ कहाँ $$n$$ एक पूर्णांक चर है, जिसे द्वारा दर्शाया जाता है $$Z[f]$$, द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$Z[f](n,w)=\sum_{k=-\infty}^{\infty} f(n+k)e^{-2\pi k w i}.$$

उलटा सूत्र
किसी फ़ंक्शन के असतत परिवर्तन को देखते हुए $$f(n)$$, फ़ंक्शन को निम्न सूत्र का उपयोग करके पुनर्निर्मित किया जा सकता है:
 * $$f(n)= \int_0^1 Z[f](n,w)\, dw.$$

अनुप्रयोग
ज़ैक ट्रांसफॉर्म का भौतिकी में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में सफलतापूर्वक उपयोग किया गया है, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में सिग्नलों के समय-आवृत्ति प्रतिनिधित्व और डिजिटल डेटा ट्रांसमिशन में। जैक ट्रांसफॉर्म का गणित में भी अनुप्रयोग है। उदाहरण के लिए, इसका उपयोग गैबोर प्रतिनिधित्व समस्या में किया गया है।