बैरीसेंट्रिक निर्देशांक प्रणाली

ज्यामिति में, बैरीसेंट्रिक निर्देशांक निकाय एक ऐसा निर्देशांक निकाय है जिसमें एक बिंदु का स्थान, एक सिंप्लेक्स (एक समतल में बिंदुओं के लिए एक त्रिभुज, त्रि-विमीय अंतरिक्ष में बिंदुओं के लिए एक चतुष्फलक, आदि) के संदर्भ में निर्दिष्ट होता है। एक बिंदु के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक का वर्णन सिम्प्लेक्स के शीर्ष पर रखे गए द्रव्यमान के रूप में किया जा सकता है, जैसे कि यह बिंदु इन द्रव्यमानों का द्रव्यमान-केंद्र (या बेरिसेंटर) है। ये द्रव्यमान शून्य या ऋणात्मक हो सकते हैं; ये सभी द्रव्यमान धनात्मक होते है, यदि और केवल यदि, बिंदु सिंप्लेक्स के अंदर है।

प्रत्येक बिंदु के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक होते हैं, और इनका योग शून्य नहीं होता है। बैरीसेंट्रिक निर्देशांक के दो ट्यूपल समान बिंदु को निर्दिष्ट करते हैं यदि और केवल यदि वे समानुपातिक हैं; अर्थात्, यदि एक ट्यूपल को दूसरे ट्यूपल के तत्वों को एक समान अशून्य संख्या से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है। इसलिए, बैरीसेंट्रिक निर्देशांक को या तो शून्येतर नियतांक से गुणन तक परिभाषित माना जाता है, या एक के योग के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों को अगस्त, 1827 में फर्डिनेंड मोबियस द्वारा प्रस्तुत किया गया था। ये विशेष समघातीय निर्देशांक हैं। बैरीसेंट्रिक निर्देशांक कार्तीय निर्देशांकों के साथ दृढ़ता से और अधिक सामान्य रूप से, एफाइन निर्देशांकों से संबंधित होते हैं।।

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक त्रिभुज ज्यामिति में विशेष रूप से उन गुणों का अध्ययन करने के लिए उपयोगी होते हैं जो त्रिभुज के कोणों पर निर्भर नहीं होते हैं, जैसे सीवा की प्रमेय, राउथ की प्रमेय और मेनेलॉस की प्रमेय। कंप्यूटर-एडेड डिज़ाइन (कैड) में, ये कुछ प्रकार की बेज़ियर सतहों को परिभाषित करने के लिए उपयोगी होते हैं।

परिभाषा
माना $$A_0, \ldots, A_n$$ एक यूक्लिड अंतरिक्ष, एक तल या $n$ विमाओं वाले एक एफाइन अंतरिक्ष $$\mathbf A$$ में $n + 1$ बिंदु हैं, जो आसन्नता से स्वतंत्र हैं; इसका अर्थ यह है कि यहाँ विमा $n$ वाला कोई एफाइन उप-अंतरिक्ष नहीं है जिसमें सभी बिंदु सम्मिलित हैं, या समतुल्य रूप से बिंदु एक सिंप्लेक्स को परिभाषित करते हैं। दिए गए किसी बिंदु $$P\in \mathbf A$$ के लिए अदिश $$a_0, \ldots, a_n$$, जो सभी शून्य नहीं हैं, इस प्रकार हैं कि
 * $$ ( a_0 + \cdots + a_n ) \overrightarrow{OP} = a_0 \overrightarrow {OA_0} + \cdots + a_n \overrightarrow {OA_n}, $$

किसी भी बिंदु $O$ के लिए, (सामान्य रूप से, संकेत $$\overrightarrow {AB}$$ अनुवाद सदिश या मुक्त सदिश को निरूपित करता है, जो बिंदु $A$ को बिंदु $B$ पर प्रतिचित्रित करता है।)

इस समीकरण को संतुष्ट करने वाले $a(n + 1)$ ट्यूपल $$(a_0: \dotsc: a_n)$$ के तत्वों को $$A_0, \ldots, A_n.$$ के सापेक्ष बिंदु $P$ के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक कहते हैं। ट्यूपल के संकेतन में अपूर्ण विराम चिह्न के उपयोग का अर्थ है कि बैरीसेंट्रिक निर्देशांक एक प्रकार के सजातीय निर्देशांक हैं, अर्थात्, यदि सभी निर्देशांकों को समान अशून्य स्थिरांक से गुणा किया जाता हैं, तो बिंदु नहीं बदलता है। इसके अतिरिक्त, यदि सहायक बिंदु $O$, मूलबिंदु   बदलता है, तो बैरीसेंट्रिक निर्देशांक भी नहीं बदलते हैं।

एक बिंदु के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक अंकन (स्केलिंग) तक अद्वितीय होते हैं। अर्थात्, दो ट्यूपल $$(a_0: \dotsc: a_n)$$ और $$(b_0: \dotsc: b_n)$$ एक ही बिंदु के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक हैं यदि और केवल यदि कोई शून्येतर अदिश $$\lambda$$ ऐसा है कि प्रत्येक $i$ के लिए $$b_i=\lambda a_i$$।

कुछ संदर्भों में, किसी बिंदु के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक को अद्वितीय बनाना उपयोगी होता है। यह निम्न शर्त को प्रयुक्त करने से प्राप्त होता है:
 * $$\sum a_i = 1,$$
 * या समतुल्य रूप से प्रत्येक $$a_i$$ को सभी $$a_i.$$ के योग से विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है। इन विशिष्ट बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों को सामान्यीकृत या पूर्ण बैरीसेंट्रिक निर्देशांक कहा जाता है। कभी-कभी, इन्हें एफाइन निर्देशांक भी कहा जाता है, हालांकि यह शब्द सामान्यतः थोड़ी अलग अवधारणा को संदर्भित करता है।

कभी-कभी, यह सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक होता हैं जिन्हें बैरीसेंट्रिक निर्देशांक कहा जाता है। इस स्थिति में ऊपर परिभाषित निर्देशांक, सजातीय बैरीसेंट्रिक निर्देशांक कहलाते हैं।

उपरोक्त संकेतन के साथ, एक सूचकांक $i$ को छोड़कर $Ai$ के सभी सजातीय बैरीसेंट्रिक निर्देशांक शून्य हैं। वास्तविक संख्याओं पर कार्य करते समय (उपर्युक्त परिभाषा का उपयोग किसी स्वेच्छ क्षेत्र पर एफाइन अंतरिक्ष के लिए भी किया जाता है), ये बिंदु, जिनके सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक गैर-ऋणात्मक होते हैं, $$\{A_0, \ldots, A_n\},$$ के उत्तल आवरण का निर्माण करते हैं, जो कि सिंप्लेक्स होता है जिसके शीर्ष, ये बिंदु होते हैं:

उपरोक्त संकेतन के साथ, एक ट्यूपल $$(a_1, \ldots, a_n)$$ ऐसा है कि
 * $$\sum_{i=0}^n a_i=0$$

किसी बिंदु को परिभाषित नहीं करता है, लेकिन सदिश
 * $$ a_0 \overrightarrow {OA_0} + \cdots + a_n \overrightarrow {OA_n}$$

मूलबिंदु $O$ से स्वतंत्र है। चूंकि इस सदिश की दिशा को नहीं बदला जाता है यदि सभी $$a_i$$ को एक ही अदिश से गुणा किया जाता है, सजातीय ट्यूपल $$(a_0: \dotsc: a_n)$$ रेखाओं की एक दिशा को परिभाषित करता है, जो कि अनंत पर एक बिंदु है। अधिक जानकारी के लिए नीचे देखें।

कार्तीय या एफाइन निर्देशांकों के साथ संबंध
बैरीसेंट्रिक निर्देशांक कार्तीय निर्देशांकों से दृढ़ता से और अधिक सामान्यतः एफाइन निर्देशांकों से संबंधित होते हैं। $n$ विमाओं वाले एक अंतरिक्ष के लिए, इन निर्देशांक निकायों को एक बिंदु $O$, मूल बिंदु, जिसके निर्देशांक शून्य हैं, और एक के बराबर वाले सूचकांक $i$ को छोड़कर $n$ बिंदुओं, $$A_1, \ldots, A_n,$$ जिनके निर्देशांक शून्य हैं, के रूप में परिभाषित किया गया है।

इस प्रकार के निर्देशांक निकाय के लिए एक बिंदु के निर्देशांक
 * $$(x_1, \ldots, x_n)$$
 * होते हैं, यदि और केवल यदि, बिंदुओं $$O, A_1, \ldots, A_n.$$ के सापेक्ष इसके सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक
 * $$(1-x_1-\cdots - x_n,x_1, \ldots, x_n)$$

हैं।

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक निकाय का मुख्य लाभ $n + 1$ परिभाषित बिंदुओं के संबंध में सममित होना है। इसलिए ये प्रायः ऐसे गुणों का अध्ययन करने के लिए उपयोगी होते हैं जो $n + 1$ बिन्दुओं के संबंध में सममित होते हैं। दूसरी ओर, दूरियों और कोणों को सामान्य बैरीसेंट्रिक निर्देशांक निकायों में व्यक्त करना कठिन होता है, और इनके सम्मिलित होने पर कार्तीय निर्देशांक निकाय का उपयोग सामान्यतः आसान होता है।

प्रक्षेपी निर्देशांकों के साथ संबंध
सजातीय बैरीसेंट्रिक निर्देशांक भी कुछ प्रक्षेपी निर्देशांकों के साथ दृढ़ता से संबंधित हैं। हालाँकि, यह संबंध एफाइन निर्देशांक की स्थिति की तुलना में अधिक सूक्ष्म है, और, स्पष्ट रूप से समझने के लिए, एफाइन अंतरिक्ष की प्रक्षेपीय पूर्णता की एक निर्देशांक-मुक्त परिभाषा और एक प्रक्षेपीय ढाँचे की परिभाषा की आवश्यकता होती है।

$n$ विमाओं वाले एक एफाइन अंतरिक्ष की अनुमानित पूर्णता, उसी विमा का एक प्रक्षेपीय अंतरिक्ष है जिसमें एफाइन अंतरिक्ष को हाइपरप्लेन के पूरक के रूप में सम्मिलित किया गया है। प्रक्षेपीय पूर्णता एक समरूपता तक अद्वितीय होती है। हाइपरप्लेन को अनंतता पर हाइपरप्लेन भी कहा जाता है, और इसके बिंदु एफाइन अंतरिक्ष के अनंत बिंदु होते हैं।

दिये हुए $n$ विमाओं वाले प्रक्षेपीय अंतरिक्ष के लिए, प्रक्षेपीय ढाँचा $n + 2$ बिन्दुओं वाला एक क्रमित समुच्चय होता है जो एक ही हाइपरप्लेन पर नहीं होते है। प्रक्षेपीय ढाँचा, एक प्रक्षेपीय निर्देशांक निकाय को इस प्रकार परिभाषित करता है, जैसे ढाँचे के $(n + 2)$वें बिंदु के निर्देशांक सभी बराबर हैं, और अन्यथा, $i$वें बिंदु को छोड़कर $i$वें बिंदु के सभी निर्देशांक शून्य होते हैं,

एक एफाइन निर्देशांक निकाय से प्रक्षेपीय पूर्णता का निर्माण करते समय, सामान्यतः इसे एक प्रक्षेपीय ढाँचे के सापेक्ष परिभाषित किया जाता है जिसमें हाइपरप्लेन के साथ निर्देशांक अक्षों के अनंतता पर, एफाइन अंतरिक्ष के बिंदुओं, और सभी एफाइन निर्देशांक "1" वाले बिन्दुओं के प्रतिच्छेद सम्मिलित होते हैं। इसका तात्पर्य है कि अनंत पर बिंदुओं का अंतिम निर्देशांक शून्य के बराबर होता है, और के एक बिंदु के प्रक्षेप्य निर्देशांक उसके एफ़ाइन निर्देशांक को एक वें निर्देशांक के रूप में पूरा करके प्राप्त किए जाते हैं।

और के एक बिंदु के प्रक्षेप्य निर्देशांकों को उसके एफ़ाइन निर्देशांकों को एक द्वारा पूर्ण करके $(n + 1)$वें निर्देशांक के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

जब किसी के पास बैरीसेंट्रिक निर्देशांक निकाय को परिभाषित करने वाले एफ़ाइन अंतरिक्ष में $n + 1$ बिंदु होते हैं, तो यह प्रक्षेपीय पूर्णता का एक और प्रक्षेपीय ढाँचा होता है, जो चयन के लिए सुविधाजनक होता है। इस ढाँचे में ये बिंदु और इनका केंद्रक होता है, अर्थात् वह बिंदु जिसके सभी बैरीसेंट्रिक निर्देशांक बराबर होते हैं। इस स्थिति में, सजातीय अंतरिक्ष में एक बिंदु के सजातीय बैरीसेंट्रिक निर्देशांक, इस बिंदु के प्रक्षेपीय निर्देशांकों के समान होते हैं। एक बिंदु अनंत पर होता है यदि और केवल यदि, इसके निर्देशांकों का योग शून्य है। यह बिंदु के अंत में परिभाषित सदिश की दिशा में होता है।

त्रिभुजों पर बैरीसेंट्रिक निर्देशांक
एक त्रिभुज के संदर्भ में, बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों को क्षेत्रफल निर्देशांक या क्षेत्रफलीय निर्देशांकों के रूप में भी जाना जाता है, क्योंकि त्रिभुज ABC के सापेक्ष बिंदु P के निर्देशांक, PBC, PCA और PAB के क्षेत्रफलों और संदर्भ त्रिभुज ABC के क्षेत्रफल (सांकेतिक) के अनुपात के बराबर होते हैं। ज्यामिति में क्षेत्रीय और त्रि-रैखिक निर्देशांकों का उपयोग समान उद्देश्यों के लिए किया जाता है।

बैरीसेंट्रिक या क्षेत्रफलीय निर्देशांक त्रिभुजीय सहप्रान्त से जुड़े अभियांत्रिकी अनुप्रयोगों में अत्यंत उपयोगी होते हैं। ये विश्लेषणात्मक समाकलन को प्रायः मूल्यांकन के लिए आसान बनाते हैं, और गॉस की चतुर्भुज तालिकाओं को प्रायः क्षेत्रफल निर्देशांकों के संदर्भ में प्रस्तुत किया जाता है।

तीन शीर्षों $$\mathbf{r}_{1}$$, $$\mathbf{r}_{2}$$ और $$\mathbf{r}_{3}$$ द्वारा परिभाषित एक त्रिभुज $$T$$ पर विचार करें। इस त्रिभुज के अंदर स्थित प्रत्येक बिंदु $$\mathbf{r}$$ को तीन शीर्षों के एक अद्वितीय उत्तल संयोजन के रूप में लिखा जा सकता है। दूसरे शब्दों में, प्रत्येक $$\mathbf{r}$$ के लिए तीन संख्याओं, $$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\geq 0$$ का एक ऐसा अद्वितीय अनुक्रम होता है, कि $$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$$ और


 * $$\mathbf{r} = \lambda_{1} \mathbf{r}_{1} + \lambda_{2} \mathbf{r}_{2} + \lambda_{3} \mathbf{r}_{3},$$

तीन संख्याएँ, $$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$$ त्रिभुज के सापेक्ष बिंदु $$\mathbf{r}$$ के "बैरीसेंट्रिक" या "क्षेत्रफल" निर्देशांकों को इंगित करती हैं। इन्हें प्रायः $$\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3$$ के स्थान पर $$\alpha,\beta,\gamma$$ के रूप में प्रदर्शित किया जाता है। ध्यान दें कि यहाँ निर्देशांक तीन हैं, परन्तु स्वतंत्रता की केवल दो कोटियाँ हैं, क्योंकि $$\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3=1$$। इस प्रकार प्रत्येक बिंदु को किन्हीं दो बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों द्वारा विशिष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है।

इन निर्देशांकों की व्याख्या क्षेत्रफलों के सांकेतिक अनुपात के रूप में करने के लिए, माना हम यूक्लिड के अंतरिक्ष $$\mathbf{E}^{3}$$ में कार्य करते हैं। यहाँ, कार्तीय निर्देशांक निकाय $$Oxyz$$ और उससे जुड़े आधार $$\{\mathbf{i},\mathbf{j},\mathbf{k}\}$$ पर विचार करें। $$Oxy$$ समतल में स्थितध नात्मक उन्मुख त्रिभुज $$ABC$$ पर भी विचार करें। यह ज्ञात है कि $$\mathbf{E}^{3}$$ के किसी भी आधार $$\{\mathbf{e},\mathbf{f},\mathbf{g}\}$$, और किसी मुक्त सदिश $$\mathbf{h}$$ के लिए:
 * $$\mathbf{h}=\frac{1}{(\mathbf{e},\mathbf{f},\mathbf{g})}\cdot\left[(\mathbf{h},\mathbf{f},\mathbf{g})\mathbf{e}+(\mathbf{e},\mathbf{h},\mathbf{g})\mathbf{f}+(\mathbf{e},\mathbf{f},\mathbf{h})\mathbf{g}\right],$$

जहाँ $$(\mathbf{e},\mathbf{f},\mathbf{g})=(\mathbf{e}\times\mathbf{f})\cdot\mathbf{g}$$ इन तीन सदिशों का त्रि-गुणन है।

माना $$\mathbf{e}=\vec{AB},\,\mathbf{f}=\vec{AC},\,\mathbf{g}=\mathbf{k},\,\mathbf{h}=\vec{AP}$$, जहाँ $$P$$, समतल $$Oxy$$ में एक स्वेच्छ बिंदु है, जो इस प्रकार है


 * $$(\mathbf{e},\mathbf{f},\mathbf{h})=(\vec{AB}\times\vec{AC})\cdot\vec{AP}=(\vert\vec{AB}\times\vec{AC}\vert\mathbf{k})\cdot\vec{AP} = 0.$$

मुक्त सदिशों के चयन से सम्बंधित एक सूक्ष्म बिंदु $$\mathbf{e}$$, वास्तव में, बाध्य सदिश $$\vec{AB}$$ का समतुल्य वर्ग है।

हमें यह प्राप्त होता है:


 * $$\vec{AP}=m_B\cdot\vec{AB}+m_C\cdot\vec{AC},\,\mbox{ where }\,m_B=\frac{(\vec{AP},\vec{AC},\mathbf{k})}{(\vec{AB},\vec{AC},\mathbf{k})},\,m_C=\frac{(\vec{AB},\vec{AP},\mathbf{k})}{(\vec{AB},\vec{AC},\mathbf{k})}.$$

त्रिभुज $$ABC$$ के धनात्मक (दक्षिणावर्त) अभिविन्यास के लिए, $$m_B$$ तथा $$m_C$$ दोनों का हर, त्रिभुज $$ABC$$ के क्षेत्रफल का ठीक दोगुना होता है,


 * $$(\vec{AP},\vec{AC},\mathbf{k})=(\vec{PC},\vec{PA},\mathbf{k})\,\mbox{ and }\,(\vec{AB},\vec{AP},\mathbf{k})=(\vec{PA},\vec{PB},\mathbf{k})$$

और इसलिए $$m_B$$ तथा $$m_C$$ के अंश, क्रमशः त्रिभुजों $$APC$$ और $$ABP$$ के सांकेतिक क्षेत्रफलों के दोगुने होते हैं।

इसके अतिरिक्त, हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि


 * $$\vec{OP}=(1-m_B-m_C)\cdot\vec{OA}+m_B\cdot\vec{OB}+m_C\cdot\vec{OC}$$

जिसका अर्थ है कि संख्याएँ $$1-m_B-m_C$$, $$m_B$$ तथा $$m_C$$, $$P$$ के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक हैं। इसी प्रकार, तीसरे बैरीसेंट्रिक निर्देशांक को पढ़ा जाता है:


 * $$m_A = 1 - m_B - m_C = \frac{(\vec{PB},\vec{PC},\mathbf{k})}{(\vec{AB},\vec{AC},\mathbf{k})}.$$

बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों का यह $$m$$-अक्षर संकेतन इस तथ्य से आता है कि बिंदु $$P$$ की व्याख्या, $$A$$, $$B$$ और $$C$$ में स्थित द्रव्यमानों क्रमशः $$m_A$$, $$m_B$$, $$m_C$$ के द्रव्यमान-केंद्र के रूप में की जा सकती है।

बैरीसेंट्रिक निर्देशांक और अन्य निर्देशांक निकायों के बीच आगे और पीछे पारस्परिक परिवर्तन करने से कुछ समस्याओं को हल करना बहुत आसान हो जाता है।

कोर दृष्टिकोण
एक त्रिभुज के तल में दिए गए एक बिंदु $$\mathbf{r}$$ के लिए, बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों $$\lambda_{1}$$, $$\lambda_{2}$$ तथा $$\lambda_{3}$$ को कार्तीय निर्देशांकों $$(x, y)$$ से प्राप्त किया जा सकता है और ठीक इसके विपरीत भी।

हम बिंदु $$\mathbf{r}$$ के कार्तीय निर्देशांकों को त्रिभुज के शीर्षों $$\mathbf{r}_1$$, $$\mathbf{r}_2$$, $$\mathbf{r}_3$$ के कार्तीय घटकों, जहाँ $$\mathbf{r}_i = (x_i, y_i)$$ और $$\mathbf{r}$$ के बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों के रूप में इस प्रकार लिख सकते हैं:



\begin{matrix} x = \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} +  \lambda_{3} x_{3} \\ y = \lambda_{1} y_{1} + \lambda_{2} y_{2} +  \lambda_{3} y_{3} \\ \end{matrix} $$ अतः किसी भी बिंदु के कार्तीय निर्देशांक, त्रिभुज के शीर्षों के कार्तीय निर्देशांकों का भारित औसत होते हैं, जिसमें भार, बिंदु के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक होते हैं, जिनका योग एक के बराबर होता है।

कार्तीय निर्देशांकों से बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों का उत्क्रम रूपान्तरण प्राप्त करने के लिए, हम पहले निम्न को प्राप्त करने के लिए $$\lambda_{3} = 1 - \lambda_{1} - \lambda_{2}$$ को उपरोक्त समीकरण में प्रतिस्थापित करते हैं



\begin{matrix} x = \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + (1 - \lambda_{1} - \lambda_{2}) x_{3} \\ y = \lambda_{1} y_{1} + \lambda_{2} y_{2} + (1 - \lambda_{1} - \lambda_{2}) y_{3} \\ \end{matrix} $$ पुनर्व्यवस्थित करने पर, यह निम्न रूप में प्राप्त होता है



\begin{matrix} \lambda_{1}(x_{1} - x_{3}) + \lambda_{2}(x_{2} - x_{3}) + x_{3} - x = 0 \\ \lambda_{1}(y_{1} - y_{3}) + \lambda_{2}(y_{2} - y_{3}) + y_{3} - y = 0 \\ \end{matrix} $$ इस रैखिक रूपान्तरण को और अधिक संक्षिप्त रूप में लिखा जा सकता है



\mathbf{T} \cdot \lambda = \mathbf{r}-\mathbf{r}_3 $$ जहाँ $$\lambda$$, पहले दो बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों का सदिश है, $$\mathbf{r}$$ कार्तीय निर्देशांकों का सदिश है, और $$\mathbf{T}$$ इस प्रकार दिया गया एक आव्यूह है:



\mathbf{T} = \left(\begin{matrix} x_1-x_3 & x_2-x_3 \\ y_1-y_3 & y_2-y_3 \\ \end{matrix}\right) $$ अब आव्यूह $$\mathbf{T}$$ व्युक्रमणीय है, क्योंकि $$\mathbf{r}_1-\mathbf{r}_3$$ तथा $$\mathbf{r}_2-\mathbf{r}_3$$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं (यदि ऐसा नहीं होता, तो $$\mathbf{r}_1$$, $$\mathbf{r}_2$$, तथा $$\mathbf{r}_3$$ संरेख होंगे और त्रिभुज का निर्माण नहीं करेंगे)। इस प्रकार, हम निम्न को प्राप्त करने के लिए उपरोक्त समीकरण को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं:



\left(\begin{matrix}\lambda_1 \\ \lambda_2\end{matrix}\right) = \mathbf{T}^{-1} ( \mathbf{r}-\mathbf{r}_3 ) $$ इस प्रकार बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों को प्राप्त करने से यह $$\mathbf{T}$$ के 2×2 व्युत्क्रम आव्यूह को प्राप्त करने के रूप में परिवर्तित हो गया है, जो कि एक आसान समस्या है।

स्पष्ट रूप से, कार्तीय निर्देशांकों (x, y) और त्रिभुज के शीर्षों के कार्तीय निर्देशांक के पदों में, बिंदु $$\mathbf{r}$$ के बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों के लिए सूत्र निम्न हैं:


 * $$\lambda_1=\frac{(y_2-y_3)(x-x_3)+(x_3-x_2)(y-y_3)}{\det(T)}=\frac{(y_2-y_3)(x-x_3)+(x_3-x_2)(y-y_3)}{(y_2-y_3)(x_1-x_3)+(x_3-x_2)(y_1-y_3)}\, ,$$
 * $$\lambda_2=\frac{(y_3-y_1)(x-x_3)+(x_1-x_3)(y-y_3)}{\det(T)}=\frac{(y_3-y_1)(x-x_3)+(x_1-x_3)(y-y_3)}{(y_2-y_3)(x_1-x_3)+(x_3-x_2)(y_1-y_3)}\, ,$$
 * $$\lambda_3=1-\lambda_1-\lambda_2\, .$$

शीर्ष दृष्टिकोण
कार्तीय से बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों में रूपांतरण को हल करने की एक अन्य विधि, संबंध को आव्यूह के रूप में लिखना है

$$\mathbf{R} = \left(\begin{matrix} \mathbf{r}_1 | \mathbf{r}_2 | \mathbf{r}_3 \end{matrix}\right)$$ तथा $$\boldsymbol{\lambda} = \left(\lambda_1,\lambda_2,\lambda_3\right)^\top$$ के साथ$$ \mathbf{R} \boldsymbol{\lambda} = \mathbf{r}$$अर्थात्,$$ \begin{pmatrix} x_1 & x_2 & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix} $$अद्वितीय सामान्यीकृत हल प्राप्त करने के लिए हमें $$\lambda_1 + \lambda_2 + \lambda_3 = 1$$ स्थिति जोड़ने की आवश्यकता होती है। इस प्रकार बैरीसेंट्रिक निर्देशांक, निम्न रैखिक समीकरणों के निकाय का हल हैं।$$ \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ x_1 & x_2 & x_3\\ y_1 & y_2 & y_3 \end{matrix}\right) \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} = \left(\begin{matrix} 1\\x\\y \end{matrix}\right) $$जो है:$$ \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \end{pmatrix} = \frac{1}{2A} \begin{pmatrix} x_2y_3-x_3y_2 & y_2-y_3 & x_3-x_2 \\ x_3y_1-x_1y_3 & y_3-y_1 & x_1-x_3 \\ x_1y_2-x_2y_1 & y_1-y_2 & x_2-x_1 \end{pmatrix}\begin{pmatrix} 1\\x\\y \end{pmatrix} $$जहाँ,$$ 2A = \det(1|R) = x_1(y_2-y_3) + x_2(y_3-y_1) + x_3(y_1-y_2)$$त्रिभुज के सांकेतिक क्षेत्रफल का दोगुना है। इस रैखिक निकाय में क्रैमर के नियम को प्रयुक्त करके बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों के क्षेत्रफल की व्याख्या को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

बैरीसेंट्रिक और त्रि-रैखिक निर्देशांकों के बीच रूपांतरण
x : y : z त्रि-रैखिक निर्देशांक वाले एक बिंदु के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक ax : by : cz होते हैं, जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाओं की लंबाइयाँ हैं। इसके विपरीत, $$\lambda_1 : \lambda_2 : \lambda_3$$ बैरीसेन्ट्रिक निर्देशांक वाले एक बिंदु के त्रि-रैखिक निर्देशांक $$\lambda_1/a:\lambda_2/b:\lambda_3/c$$ होते हैं।

बेरसेंट्रिक निर्देशांकों में समीकरण
तीन भुजाओं a, b, c के समीकरण क्रमशः हैं


 * $$\lambda_1=0, \quad \lambda_2=0, \quad \lambda_3=0.$$

त्रिभुज की यूलर रेखा का समीकरण है


 * $$ \begin{vmatrix} \lambda_1 & \lambda_2 & \lambda_3 \\1 & 1 & 1\\\tan A & \tan B & \tan C \end{vmatrix} =0.$$

बैरीसेंट्रिक और त्रि-रैखिक निर्देशांकों के बीच पूर्व में दिए गए रूपांतरण का उपयोग करके, त्रि-रैखिक निर्देशांक#सूत्रों में दिए गए विभिन्न अन्य समीकरणों को बैरीसेंट्रिक निर्देशांक के पदों में पुनः लिखा जा सकता है।

बिंदुओं के बीच की दूरी
दो सामान्यीकृत बिंदुओं $$P=(p_1,p_2,p_3)$$ तथा $$Q=(q_1,q_2,q_3)$$ का विस्थापन सदिश है


 * $$\overrightarrow{P Q}=(p_1-q_1,p_2-q_2,p_3-q_3).$$

$$P$$ तथा $$Q$$ के बीच की दूरी $$d$$, या विस्थापन सदिश $$\overrightarrow{P Q}=(x,y,z),$$ की लंबाई है


 * $$d^2=\left | P Q \right |^2 = -a^2yz - b^2zx - c^2xy =\frac{1}{2}[x^2(b^2+c^2-a^2)+y^2(c^2+a^2-b^2)+z^2(a^2+b^2-c^2)].$$

जहाँ a, b, c त्रिभुज की भुजाएँ हैं। पिछले दो व्यंजकों की समतुल्यता $$x+y+z=0,$$ द्वारा प्रयुक्त की जाती है, जो इसलिए सत्य है क्योंकि $$x+y+z=(p_1-q_1)+(p_2-q_2)+(p_3-q_3)=(p_1+p_2+p_3)-(q_1+q_2+q_3)=1-1=0.$$

एक बिंदु के बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों की गणना, त्रिभुज के तीन शीर्षों की दूरी के आधार पर निम्न समीकरण को हल करके की जा सकती है:

\left(\begin{matrix} -c^2 & c^2 & b^2-a^2\\ -b^2 & c^2-a^2 & b^2\\ 1 & 1 & 1 \end{matrix}\right) \boldsymbol{\lambda} = \left(\begin{matrix} d^2_A - d^2_B\\ d^2_A - d^2_C\\ 1 \end{matrix}\right). $$

त्रिभुज के सापेक्ष स्थान का निर्धारण
हालांकि बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों का उपयोग सामान्यतः त्रिभुज के आंतरिक भाग में स्थित बिंदुओं को व्यवस्थित करने के लिए किया जाता है, इनका उपयोग त्रिभुज के बाहर एक बिंदु का वर्णन करने के लिए भी किया जा सकता है। यदि बिंदु त्रिभुज के अंदर नहीं है, तब भी हम बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों की गणना करने के लिए उपरोक्त सूत्रों का उपयोग कर सकते हैं। हालाँकि, बिंदु के त्रिभुज के बाहर होने के कारण कम से कम एक निर्देशांक हमारी मूल धारणा $$\lambda_{1...3}\geq 0$$ का उल्लंघन करेगा। वास्तव में, कार्तीय निर्देशांकों में दिया गया कोई बिंदु है, हम इस तथ्य का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए कर सकते हैं कि त्रिभुज के सापेक्ष यह बिंदु कहाँ है।

यदि कोई बिंदु त्रिभुज के आंतरिक भाग में स्थित है, तो सभी बैरीसेंट्रिक निर्देशांक खुले अंतराल $$(0,1)$$ में स्थित होते हैं। यदि कोई बिंदु त्रिभुज की भुजा पर स्थित है, लेकिन किसी शीर्ष पर नहीं है, तो एक क्षेत्रफल निर्देशांक $$\lambda_{1...3}$$ ( विपरीत शीर्ष के साथ जुड़ा हुआ) शून्य होता है, जबकि अन्य दो निर्देशांक खुले अंतराल $$(0,1)$$ में स्थित होते हैं। यदि बिंदु एक शीर्ष पर स्थित होता है, तो उस शीर्ष से जुड़े निर्देशांक 1 के बराबर और अन्य शून्य के बराबर होते हैं। अंततः, यदि बिंदु त्रिभुज के बाहर स्थित होता है तो कम से कम एक निर्देशांक ऋणात्मक होता है।

संक्षेप में,
 * बिंदु $$\mathbf{r}$$ त्रिभुज के अंदर स्थित होता है यदि और केवल यदि $$0 < \lambda_i < 1 \;\forall\; i \text{ in } {1,2,3}$$.
 * बिंदु $$\mathbf{r}$$ त्रिभुज कि भुजा या शीर्ष पर स्थित होता है यदि $$0 \leq \lambda_i \leq 1 \;\forall\; i \text{ in } {1,2,3}$$ तथा $$\lambda_i = 0\; \text {, for some i in } {1, 2, 3}$$.
 * अन्यथा, $$\mathbf{r}$$ त्रिभुज के बाहर स्थित होता है।

विशेष रूप से, यदि कोई बिंदु किसी रेखा के दूर की ओर स्थित होता है, तो त्रिभुज के उस बिंदु (जो रेखा पर नहीं है) के बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों का मान ऋणात्मक होता है।

त्रिभुजाकार असंरचित ग्रिड पर प्रक्षेप
यदि $$f(\mathbf{r}_1),f(\mathbf{r}_2),f(\mathbf{r}_3)$$ ज्ञात राशियाँ हैं, लेकिन $$\mathbf{r}_1,\mathbf{r}_2,\mathbf{r}_3$$ द्वारा परिभाषित त्रिभुज के अंदर $$f$$ के मान अज्ञात है, तो रैखिक प्रक्षेपण का उपयोग करके इन्हें अनुमानित किया जा सकता है। बैरीसेंट्रिक निर्देशांक, इस प्रक्षेप की गणना करने की एक सुविधाजनक विधि प्रदान करते हैं। यदि बैरीसेंट्रिक निर्देशांक $$\lambda_{1}$$, $$\lambda_{2}$$, $$\lambda_{3}$$ वाला एक बिंदु $$\mathbf{r}$$, त्रिभुज के अंदर है, तब


 * $$f(\mathbf{r}) \approx \lambda_1 f(\mathbf{r}_1) + \lambda_2 f(\mathbf{r}_2) + \lambda_3 f(\mathbf{r}_3)$$

सामान्य रूप से, दिए हुए किसी भी असंरचित ग्रिड या बहुभुज जाल के लिए, इस प्रकार की तकनीक का उपयोग सभी बिंदुओं पर $$f$$ के मान को अनुमानित करने के लिए किया जा सकता है, जब तक कि जाल के सभी शीर्षों पर फलन का मान ज्ञात हो। इस स्थिति में, हमारे पास कई त्रिभुज हैं, जिनमें से प्रत्येक अंतरिक्ष के एक अलग हिस्से के अनुरूप है। बिंदु $$\mathbf{r}$$ पर एक फलन $$f$$ को प्रक्षेपित करने के लिए, बिंदु $$\mathbf{r}$$ को निहित करने वाला एक त्रिभुज लेना चाहिए। ऐसा करने के लिए, $$\mathbf{r}$$ को प्रत्येक त्रिभुज के बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों में रूपांतरित किया जाता है। यदि कुछ त्रिभुज इस प्रकार के होते हैं कि इनके निर्देशांक $$0 \leq \lambda_i \leq 1 \;\forall\; i \text{ in } 1,2,3$$ को संतुष्ट करते हैं, तब यह बिंदु इस त्रिभुज में या इसकी भुजा पर स्थित होता है (पिछले अनुभाग में वर्णन किया गया है)। तब $$f(\mathbf{r})$$ के मान को उपरोक्त अनुसार प्रक्षेपित किया जा सकता है।

इन विधियों के कई अनुप्रयोग हैं, जैसे परिमित तत्व विधि (एफईएम)।

त्रिभुज या चतुष्फलक पर समाकलन
त्रिभुज के प्रान्त पर एक फलन का समाकल कार्तीय निर्देशांक निकाय में गणना करने के लिए कष्टप्रद हो सकता है। सामान्यतः त्रिभुज को दो अर्द्धभागों में विभाजित करना पड़ता है, और इसके बाद बड़ी गड़बड़ी होती है। इसके स्थान पर, किन्हीं भी दो बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों में चर का परिवर्तन करना प्रायः आसान होता है, उदाहरण, $$\lambda_1,\lambda_2$$। चरों का यह परिवर्तन होने पर,



\int_{T} f(\mathbf{r}) \ d\mathbf{r} = 2A \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - \lambda_{2}} f(\lambda_{1} \mathbf{r}_{1} + \lambda_{2} \mathbf{r}_{2} + (1 - \lambda_{1} - \lambda_{2}) \mathbf{r}_{3}) \ d\lambda_{1} \ d\lambda_{2} $$ जहाँ $$A$$ त्रिभुज का क्षेत्रफल है। यह परिणाम इस तथ्य से अनुसरण करता है कि बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों वाला एक आयत, कार्तीय निर्देशांकों वाले एक चतुर्भुज के संगत होता है, और संबंधित निर्देशांक निकायों में संगत आकृतियों के क्षेत्रफलों का अनुपात $$2A$$ होता है। इसी प्रकार, चतुष्फलक पर समाकलन के लिए, समाकल को दो या तीन भिन्न-भिन्न भागों में विभाजित करने के स्थान पर चर के परिवर्तन के तहत त्रि-विमीय चतुष्फलकीय निर्देशांकों पर परस्पर परिवर्तित किया जा सकता है।$$ \int\int_{T} f(\mathbf{r}) \ d\mathbf{r} = 6V \int_{0}^{1} \int_{0}^{1 - \lambda_{3}} \int_ {0}^{1-\lambda_2-\lambda_3} f(\lambda_{1} \mathbf{r}_{1} + \lambda_{2} \mathbf{r}_{2} + \lambda_3 \mathbf{r}_{3} + (1-\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3)\mathbf{r}_{4})\ d\lambda_{1} \ d\lambda_{2} \ d\lambda_{3} $$जहाँ $$ V $$ चतुष्फलक का आयतन है।

विशेष बिंदुओं के उदाहरण
त्रिभुज के तीन शीर्षों के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक $$1:0:0$$, $$0:1:0$$, तथा $$0:0:1$$ होते हैं।

केन्द्रक के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक $$1/3:1/3:1/3$$ होते हैं

त्रिभुज ABC के परिकेन्द्र के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक होते हैं


 * $$ a^2(-a^2 + b^2 + c^2):\;b^2(a^2 - b^2 + c^2):\;c^2(a^2 + b^2 - c^2)$$
 * $$=\sin 2A :\sin 2B:\sin 2C=(1-\cos B\cos C ):(1-\cos C\cos A):(1-\cos A\cos B).$$

जहाँ a, b, c क्रमशः त्रिभुज की भुजाओं BC, CA, AB की लंबाईयाँ हैं।

लम्बकेंद्र के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक होते हैं


 * $$ (a^2 + b^2 - c^2)(a^2 - b^2 + c^2):\;(-a^2 + b^2 + c^2)(a^2 + b^2 - c^2):\;(a^2 - b^2 + c^2)(-a^2 + b^2 + c^2)$$
 * $$=\tan A:\tan B:\tan C=a\cos B\cos C:b\cos C\cos A:c\cos A\cos B.$$

अंतःकेंद्र के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक होते हैं
 * $$a:b:c=\sin A:\sin B:\sin C.$$

बहिर्केन्द्र के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक होते हैं


 * $$-a:b:c \quad \quad a:-b:c \quad \quad a:b:-c.$$

नौ-बिंदु केंद्र के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक होते हैं


 * $$a\cos(B-C):b\cos (C-A):c\cos (A-B)=(1+\cos B\cos C):(1+\cos C\cos A):(1+\cos A\cos B)$$
 * $$=[a^2(b^2+c^2)-(b^2-c^2)^2]:[b^2(c^2+a^2)-(c^2-a^2)^2]:[c^2(a^2+b^2)-(a^2-b^2)^2].$$

भुजाओं की लंबाईयाँ a, b, एवं c और अर्द्धपरिमाप s वाले त्रिभुज के गर्गोंन बिंदु का मान $$(s-b)(s-c):(s-c)(s-a):(s-a)(s-b)$$ होता है।

नागल बिंदु का मान $$s-a:s-b:s-c$$ होता है।

सममिती बिंदु, एक त्रिभुज के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक निकाय में $$a^2:b^2:c^2$$ पर स्थित होता है।

चतुष्फलक पर बैरीसेंट्रिक निर्देशांक
बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों को सरलता से तीन विमाओं तक बढ़ाया जा सकता है। त्रि-विमीय सिम्प्लेक्स एक चतुष्फलक (एक बहुफलक, जिसमें चार त्रिभुजाकार फलक और चार शीर्ष होते हैं) है। एक बार पुनः, चार बैरीसेंट्रिक निर्देशांक इस प्रकार परिभाषित किए गए हैं, कि पहला शीर्ष $$\mathbf{r}_1$$ बैरीसेंट्रिक निर्देशांक $$\lambda = (1,0,0,0)$$ को, दूसरा $$\mathbf{r}_2 \to (0,1,0,0)$$ को प्रतिचित्रित करता है और इसी प्रकार आगे भी।

यह पुनः एक रैखिक रूपान्तरण है, और हम त्रिभुज के लिए उपरोक्त प्रक्रिया का विस्तार कर सकते हैं जिससे चतुष्फलक के सापेक्ष बिंदु $$\mathbf{r}$$ के बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों को प्राप्त किया जा सके:



\left(\begin{matrix}\lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3\end{matrix}\right) = \mathbf{T}^{-1} ( \mathbf{r}-\mathbf{r}_4 ) $$ जहाँ $$\mathbf{T}$$ अब एक 3×3 आव्यूह है:



\mathbf{T} = \left(\begin{matrix} x_1-x_4 & x_2-x_4 & x_3-x_4\\ y_1-y_4 & y_2-y_4 & y_3-y_4\\ z_1-z_4 & z_2-z_4 & z_3-z_4 \end{matrix}\right) $$ तथा संगत कार्तीय निर्देशांकों के साथ $$\lambda_{4} = 1 - \lambda_{1} - \lambda_{2} - \lambda_{3}$$:$$\begin{matrix} x = \lambda_{1} x_{1} + \lambda_{2} x_{2} + \lambda_3 x_{3} + (1-\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3)x_4 \\ y = \lambda_{1} y_{1} + \lambda_{2} y_{2} + \lambda_3 y_{3} + (1-\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3)y_4 \\ z=\lambda_{1} z_{1} + \lambda_{2} z_{2} + \lambda_3 z_{3} + (1-\lambda_1-\lambda_2-\lambda_3)z_4 \\ \end{matrix}$$एक बार पुनः, 3×3 आव्यूह के प्रतिलोम से बैरीसेंट्रिक निर्देशांक प्राप्त करने की समस्या कम हो गई है।

त्रि-विमीय बैरीसेंट्रिक निर्देशांक का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि क्या कोई बिंदु चतुष्फलकीय आयतन के अंदर है; और इसका उपयोग चतुष्फलकीय जाल के भीतर एक फलन को द्वि-विमीय प्रक्रिया के समान विधि से अंतर्वेशित करने के लिए भी किया जा सकता है। चतुष्फलकीय जाल का उपयोग अक्सर परिमित तत्व विश्लेषण में किया जाता है क्योंकि बैरीसेंट्रिक निर्देशांक का उपयोग 3डी इंटरपोलेशन को बहुत सरल बना सकता है।

सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक
एक बिंदु $$p \in \mathbb{R}^n$$ के बैरीसेंट्रिक निर्देशांक $$(\lambda_1, \lambda_2, ..., \lambda_k)$$, जिसे सिंप्लेक्स के स्थान पर k बिंदुओं, $$x_1, x_2, ..., x_k \in \mathbb{R}^n$$ के परिमित समुच्चय के सापेक्ष परिभाषित किया गया है, सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक कहलाते हैं। इनके लिए, समीकरण


 * $$(\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_k)p = \lambda_1 x_1 + \lambda_2 x_2 + \cdots + \lambda_k x_k$$

के अभी भी सत्य होने की आवश्यकता है। सामान्यतः सामान्यीकृत निर्देशांक $$\lambda_1 + \lambda_2 + \cdots + \lambda_k = 1$$ का उपयोग किया जाता है। सिम्प्लेक्स की स्थिति में, गैर-ऋणात्मक सामान्यीकृत निर्देशांकों वाले बिंदु ($$0 \le \lambda_i \le 1$$), $x_{1}, ..., x_{n}$ के उत्तल आवरण का निर्माण करते हैं। यदि इसमें एक पूर्ण सिम्पलेक्स से अधिक अंक ($$k > n + 1$$) हैं, तो एक बिंदु के सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक अद्वितीय नहीं होते हैं, क्योंकि परिभाषित करने वाला रैखिक निकाय (यहाँ n=2 के लिए)$$ \left(\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & ... \\ x_1 & x_2 & x_3 & ... \\ y_1 & y_2 & y_3 & ... \end{matrix}\right) \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2 \\ \lambda_3 \\ \vdots \end{pmatrix} = \left(\begin{matrix} 1\\x\\y \end{matrix}\right) $$अनिर्धारित है। इसका सबसे सरल उदाहरण समतल में एक चतुर्भुज है। अद्वितीय बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों को परिभाषित करने के लिए विभिन्न प्रकार के अतिरिक्त प्रतिबंधों का उपयोग किया जा सकता है।

अमूर्तता
अधिक अमूर्त रूप से, सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक, विमाओं पर ध्यान दिए बिना, n शीर्षों वाले मानक $$(n-1)$$-सिम्प्लेक्स के प्रतिबिम्ब के रूप में n शीर्षों वाले एक उत्तल बहुभुज को अभिव्यक्त करते हैं, अतः प्रतिचित्रण आच्छादित है: $$\Delta^{n-1} \twoheadrightarrow P.$$। प्रतिचित्रण के समरूप होने की स्थिति में यह प्रतिचित्रण एकैकी होता है, यदि और केवल यदि बहुभुज एक सिंप्लेक्स है; P के सिम्प्लेक्स होने की स्थिति को छोड़कर यह उस बिंदु के संगत होता है, जिसमें विशिष्ट सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक नहीं होते हैं।

सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों के द्विक, अस्थिर चर होते हैं, जो यह मापते हैं कि एक बिंदु रैखिक व्यवरोधों को कितने अंतर से संतुष्ट करता है, और f-ऑर्थेंट में एक अन्तः स्थापन (एम्बेडिंग) $$P \hookrightarrow (\mathbf{R}_{\geq 0})^f$$प्रदान करता है, जहाँ f फलकों (शीर्षों के द्विक) की संख्या है। यह प्रतिचित्रण एकैकी (अस्थिर चर अद्वितीय रूप से परिभाषित होते हैं), लेकिन आच्छादित नहीं (सभी संयोजनों को महसूस नहीं किया जा सकता) होता है।

मानक $$(n-1)$$-सिम्प्लेक्स और f-ऑर्थेंट के मानक वस्तुओं के रूप में उपयोग, जिसे एक बहुभुज पर प्रतिचित्रित किया जाता है या जिसमें एक बहुभुज को प्रतिचित्रित किया जाता है, को सदिश अंतरिक्ष के लिए मानक सदिश अंतरिक्ष $$K^n$$ के मानक वस्तु के रूप में और एफाइन अंतरिक्ष के लिए मानक एफाइन अतिसमतल (हाइपरप्लेन) $$\{(x_0,\ldots,x_n) \mid \sum x_i = 1\} \subset K^{n+1}$$ के मानक वस्तु के रूप में उपयोग के विपरीत होना चाहिए, जहाँ प्रत्येक स्थिति में एक रेखीय आधार या एफिन आधार का चयन एक समरूपता प्रदान करता है, जिससे सभी सदिश अंतरिक्षों और एफाइन अंतरिक्षों को आच्छादित या एकैकी प्रतिचित्रण (प्रत्येक बहुभुज एक सिंप्लेक्स नहीं होता है) के स्थान पर इन मानक स्थानों के संदर्भ में मानकर विचार किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, n-ऑर्थेंट वह मानक वस्तु है जो शंकुओं को प्रतिचित्रित  करती है।

अनुप्रयोग
कंप्यूटर ग्राफिक्स और विशेष रूप से ज्यामितीय मॉडलिंग में सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों के अनुप्रयोग होते हैं। प्रायः, एक त्रि-विमीय मॉडल को बहुफलक के रूप में इस प्रकार अनुमानित किया जा सकता है जैसे कि सामान्यीकृत बैरीसेंट्रिक निर्देशांक का उस बहुफलक के सापेक्ष एक ज्यामितीय अर्थ होता है। इस प्रकार, इन अर्थपूर्ण निर्देशांकों का उपयोग करके मॉडल के प्रसंस्करण को सरल बनाया जा सकता है। बैरीसेंट्रिक निर्देशांकों का उपयोग भूभौतिकी में भी किया जाता है।

यह भी देखें

 * त्रिगुट क्षेत्र
 * उत्तल संयोजन
 * जल डालने वाली पहेली
 * सजातीय निर्देशांक

संदर्भ

 * Scott, J. A. Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry, Mathematical Gazette 83, November 1999, 472–477.
 * Schindler, Max; Chen, Evan (July 13, 2012). Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry (PDF). Retrieved 14 January 2016.
 * Clark Kimberling's Encyclopedia of Triangles Encyclopedia of Triangle Centers. Archived from the original on 2012-04-19. Retrieved 2012-06-02.
 * Barycentric Calculus In Euclidean And Hyperbolic Geometry: A Comparative Introduction, Abraham Ungar, World Scientific, 2010
 * Hyperbolic Barycentric Coordinates, Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.6, No.1, Article 18, pp. 1–35, 2009
 * Barycentric coordinates computation in homogeneous coordinates, Vaclav Skala, Computers and Graphics, Vol.32, No.1, pp. 120–127, 2008
 * Hyperbolic Barycentric Coordinates, Abraham A. Ungar, The Australian Journal of Mathematical Analysis and Applications, Vol.6, No.1, Article 18, pp. 1–35, 2009
 * Barycentric coordinates computation in homogeneous coordinates, Vaclav Skala, Computers and Graphics, Vol.32, No.1, pp. 120–127, 2008
 * Barycentric coordinates computation in homogeneous coordinates, Vaclav Skala, Computers and Graphics, Vol.32, No.1, pp. 120–127, 2008
 * Barycentric coordinates computation in homogeneous coordinates, Vaclav Skala, Computers and Graphics, Vol.32, No.1, pp. 120–127, 2008

बाहरी संबंध

 * Law of the lever
 * The uses of homogeneous barycentric coordinates in plane euclidean geometry
 * Barycentric Coordinates – a collection of scientific papers about (generalized) barycentric coordinates
 * Barycentric coordinates: A Curious Application (solving the "three glasses" problem) at cut-the-knot
 * Accurate point in triangle test
 * Barycentric Coordinates in Olympiad Geometry by Evan Chen and Max Schindler
 * Barycenter command and TriangleCurve command at Geogebra.