अनियमित-प्रतिदर्शी यंत्रविन्यास

एक यादृच्छिक-नमूनाकरण तंत्र (RSM) एक सच्चा तंत्र है जो पूर्व-मुक्त तंत्र और पूर्व-स्वतंत्र तंत्र में लगभग-इष्टतम लाभ प्राप्त करने के लिए नमूनाकरण (सांख्यिकी) का उपयोग करता है।

मान लीजिए हम नीलामी में कुछ वस्तुओं को बेचना चाहते हैं और अधिकतम लाभ प्राप्त करना चाहते हैं। महत्वपूर्ण कठिनाई यह है कि हम नहीं जानते कि प्रत्येक खरीदार किसी वस्तु के लिए कितना भुगतान करने को तैयार है। यदि हम जानते हैं, कम से कम, कि खरीदारों का मूल्यांकन कुछ ज्ञात संभाव्यता वितरण के साथ यादृच्छिक चर हैं, तो हम बायेसियन-इष्टतम तंत्र का उपयोग कर सकते हैं। लेकिन अक्सर हम वितरण को नहीं जानते हैं। इस मामले में, यादृच्छिक-नमूनाकरण तंत्र एक वैकल्पिक समाधान प्रदान करते हैं।

बाजार आधा करने की योजना
जब बाजार बड़ा होता है, तो निम्नलिखित सामान्य योजना का उपयोग किया जा सकता है: इस योजना को रैंडम-सैंपलिंग एम्पिरिकल मायर्सन (आरएसईएम) कहा जाता है।
 * 1) खरीदारों से उनके मूल्यांकन को प्रकट करने के लिए कहा जाता है।
 * 2) खरीदार दो उप-बाजारों में विभाजित हैं, $$M_L$$ (बाएं) और $$M_R$$ (दाएं), सरल यादृच्छिक नमूनाकरण का उपयोग करते हुए: प्रत्येक खरीदार एक उचित सिक्के को उछालकर किसी एक पक्ष में जाता है।
 * 3) प्रत्येक उप-बाजार में $$M_s$$, एक अनुभवजन्य वितरण समारोह $$F_s$$ परिकलित।
 * 4) बायेसियन-इष्टतम तंत्र (मायर्सन तंत्र) उप-बाजार में लागू होता है $$M_R$$ वितरण के साथ $$F_L$$, और में $$M_L$$ साथ $$F_R$$.

प्रत्येक खरीदार की घोषणा का उसके द्वारा भुगतान की जाने वाली कीमत पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है; कीमत अन्य उप-बाजार में खरीदारों द्वारा निर्धारित की जाती है। इसलिए, खरीदारों के लिए अपना सही मूल्यांकन प्रकट करना एक प्रमुख रणनीति है। दूसरे शब्दों में, यह एक सच्चा तंत्र है।

सहज रूप से, बड़ी संख्या के कानून द्वारा, यदि बाजार पर्याप्त रूप से बड़ा है तो अनुभवजन्य वितरण पर्याप्त रूप से वास्तविक वितरण के समान हैं, इसलिए हम उम्मीद करते हैं कि RSEM निकट-इष्टतम लाभ प्राप्त करेगा। हालांकि, यह सभी मामलों में जरूरी नहीं है। कुछ खास मामलों में यह सच भी साबित हुआ है।

सबसे सरल मामला डिजिटल सामान की नीलामी है। वहां, चरण 4 सरल है और इसमें केवल प्रत्येक उप-बाजार में इष्टतम मूल्य की गणना करना शामिल है। में इष्टतम मूल्य $$M_L$$ पर लागू होता है $$M_R$$ और इसके विपरीत। इसलिए, तंत्र को रैंडम-सैंपलिंग इष्टतम मूल्य (RSOP) कहा जाता है। यह मामला सरल है क्योंकि यह हमेशा संभव आवंटन की गणना करता है। यानी, एक तरफ से गणना की गई कीमत को दूसरी तरफ लागू करना हमेशा संभव होता है। जरूरी नहीं कि भौतिक वस्तुओं के मामले में ऐसा ही हो।

डिजिटल सामानों की नीलामी में भी, RSOP आवश्यक रूप से इष्टतम लाभ के अनुरूप नहीं होता है। यह केवल बंधे हुए मूल्यांकन धारणा के तहत अभिसरण करता है: प्रत्येक खरीदार के लिए, आइटम का मूल्यांकन 1 और के बीच होता है $$h$$, कहाँ $$h$$ कुछ स्थिर है। इष्टतमता के लिए RSOP की अभिसरण दर निर्भर करती है $$h$$. अभिसरण दर तंत्र द्वारा विचार किए गए संभावित प्रस्तावों की संख्या पर भी निर्भर करता है। यह समझने के लिए कि एक प्रस्ताव क्या है, एक डिजिटल सामान की नीलामी पर विचार करें जिसमें खरीदारों का मूल्यांकन, डॉलर में, सीमित होने के लिए जाना जाता है। $$[1,h]$$. यदि तंत्र केवल पूरे डॉलर की कीमतों का उपयोग करता है, तो केवल वही होते हैं $$h$$ संभावित प्रस्ताव।

सामान्य तौर पर, अनुकूलन समस्या में केवल एक मूल्य से कहीं अधिक शामिल हो सकता है। उदाहरण के लिए, हम कई अलग-अलग डिजिटल सामान बेचना चाह सकते हैं, जिनमें से प्रत्येक की कीमत अलग हो सकती है। इसलिए कीमत के बजाय हम ऑफर पर बात करते हैं। हम मानते हैं कि एक वैश्विक सेट है $$G$$ संभावित प्रस्तावों की। हर प्रस्ताव के लिए $$g\in G$$ और एजेंट $$i$$, $$g(i)$$ वह राशि है जो एजेंट है $$i$$ प्रस्ताव के साथ प्रस्तुत किए जाने पर भुगतान करता है $$g$$. डिजिटल सामान के उदाहरण में, $$G$$ संभावित कीमतों का सेट है। हर संभव कीमत के लिए $$p$$, एक समारोह है $$g_p$$ ऐसा है कि $$g_p(i)$$ या तो 0 है (यदि $$v_i0$$ प्रस्तावित आवंटन प्राप्त करता है और भुगतान करता है $$g_L(i)$$; प्रत्येक खरीदार में $$M_R$$ किसने कहा कि $$g_L(i)=0$$ प्राप्त न करें और कुछ भी भुगतान न करें। प्रस्ताव $$g_R$$ में खरीदारों पर लागू होता है $$M_L$$ एक समान तरीके से।

लाभ-ओरेकल योजना
प्रॉफिट ऑरेकल एक अन्य आरएसएम योजना है जिसका उपयोग बड़े बाजारों में किया जा सकता है। यह तब उपयोगी होता है जब हमारे पास एजेंटों के मूल्यांकन (जैसे गोपनीयता कारणों से) तक सीधी पहुंच नहीं होती है। हम केवल इतना कर सकते हैं कि एक नीलामी करें और इसके अपेक्षित लाभ पर नजर रखें। एकल-आइटम नीलामी में, जहाँ हैं $$n$$ बोली लगाने वाले, और प्रत्येक बोली लगाने वाले के लिए अधिकतम हैं $$K$$ संभावित मान (अज्ञात संभावनाओं के साथ यादृच्छिक रूप से चयनित), अधिकतम-राजस्व नीलामी का उपयोग करके सीखा जा सकता है:
 * $$O(n^2 K^2)$$

ऑरेकल-प्रॉफिट को कॉल करता है।

छोटे बाजारों में आरएसएम
आरएसएम का सबसे खराब स्थिति में भी अध्ययन किया गया, जिसमें बाजार छोटा है। ऐसे मामलों में, हम एक निरपेक्ष गुणक सन्निकटन कारक प्राप्त करना चाहते हैं, जो बाजार के आकार पर निर्भर नहीं करता है।

बाजार आधा करना, डिजिटल सामान
इस सेटिंग में पहला शोध एकल-पैरामीटर उपयोगिता  के साथ डिजिटल सामान की नीलामी के लिए था। यादृच्छिक-नमूनाकरण इष्टतम-मूल्य तंत्र के लिए, कई तेजी से बेहतर सन्निकटनों की गणना की गई है:


 * द्वारा, तंत्र लाभ इष्टतम का कम से कम 1/7600 है।
 * द्वारा, तंत्र लाभ इष्टतम का कम से कम 1/15 है।
 * द्वारा, तंत्र लाभ इष्टतम का कम से कम 1/4.68 है, और ज्यादातर मामलों में इष्टतम का 1/4 है, जो तंग है।

एकल-नमूना, भौतिक सामान
जब एजेंटों का मूल्यांकन कुछ तकनीकी नियमितता की स्थिति (मोनोटोन जोखिम दर कहा जाता है) को पूरा करता है, तो निम्नलिखित तंत्र का उपयोग करके अधिकतम-लाभ नीलामी के लिए एक स्थिर-कारक सन्निकटन प्राप्त करना संभव है: इस तंत्र का लाभ कम से कम है $${n-1 \over 4n}$$, कहाँ $$n$$ एजेंटों की संख्या है। यह 1/8 है जब दो एजेंट होते हैं, और एजेंटों की संख्या बढ़ने पर 1/4 की ओर बढ़ता है। इस योजना को एजेंटों के सबसेट पर बाधाओं को संभालने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है जो एक साथ जीत सकते हैं (उदाहरण के लिए, आइटमों की केवल एक सीमित संख्या है)। यह विभिन्न विशेषताओं वाले एजेंटों को भी संभाल सकता है (जैसे युवा बनाम पुराने बोलीदाता)।
 * एक एकल यादृच्छिक एजेंट का नमूना लें और उसके मूल्य की क्वेरी करें (एजेंटों को एकल-पैरामीटर उपयोगिता माना जाता है)।
 * अन्य एजेंटों पर, नमूने लिए गए एजेंट द्वारा निर्धारित आरक्षित मूल्य के साथ एक वीसीजी नीलामी चलाएँ।

नमूना जटिलता
एक यादृच्छिक-नमूनाकरण तंत्र की नमूना जटिलता इष्टतम कल्याण के उचित अनुमान को प्राप्त करने के लिए नमूना करने के लिए आवश्यक एजेंटों की संख्या है।

में परिणाम एकल-आइटम नीलामियों के राजस्व-अधिकतमकरण की नमूना-जटिलता पर कई सीमाएं लागू करें:
 * एक के लिए $$1/4$$इष्टतम अपेक्षित राजस्व का अनुमान, नमूना-जटिलता है $$1$$ - एक नमूना पर्याप्त है। यह तब भी सच है जब बोली लगाने वाले आई.आई.डी.
 * एक के लिए $$1-\epsilon$$इष्टतम अपेक्षित राजस्व का अनुमान, जब बोली लगाने वाले i.i.d हैं या जब वस्तुओं (डिजिटल सामान) की असीमित आपूर्ति होती है, तो नमूना-जटिलता होती है $$O(1/\epsilon^2)$$ जब एजेंटों के वितरण में मोनोटोन खतरा दर हो, और $$O(1/\epsilon^3)$$ जब एजेंटों के वितरण नियमित होते हैं लेकिन मोनोटोन-हैज़र्ड-रेट नहीं होते हैं।

स्थिति तब और जटिल हो जाती है जब एजेंट i.i.d नहीं होते हैं (प्रत्येक एजेंट का मूल्य एक अलग नियमित वितरण से लिया जाता है) और माल की सीमित आपूर्ति होती है। जब से एजेंट आते हैं $$k$$ विभिन्न वितरण, की नमूना जटिलता $$1-\epsilon$$-एकल-आइटम नीलामियों में इष्टतम अपेक्षित राजस्व का अनुमान है: * अधिक से अधिक $$O({k^{10}\over \epsilon^7}\ln^3{k\over\epsilon})$$ - अनुभवजन्य मायर्सन नीलामी के एक प्रकार का उपयोग करना।
 * कम से कम $$\Omega({k\over \sqrt{\epsilon\ln k}})$$ (मोनोटोन-खतरा-दर नियमित मूल्यांकन के लिए) और कम से कम $$\Omega({k\over \epsilon})$$ (मनमानी नियमित मूल्यांकन के लिए)।

एकल-पैरामीटर उपयोगिता एजेंटों (न केवल एकल-आइटम नीलामी), और मनमाने ढंग से नीलामी-तंत्र (न केवल विशिष्ट नीलामी) के साथ मनमाना नीलामियों पर चर्चा करें। नमूना जटिलता के बारे में ज्ञात परिणामों के आधार पर, वे दिखाते हैं कि नीलामियों के किसी दिए गए वर्ग से अधिकतम-राजस्व नीलामी का अनुमान लगाने के लिए आवश्यक नमूनों की संख्या है:
 * $$O\bigg(({H\over \epsilon})^2(D \ln ({H\over \epsilon})+\ln({1\over\delta}))\bigg)$$

कहाँ:
 * एजेंटों का मूल्यांकन सीमित है $$[1,H]$$,
 * नीलामियों के वर्ग का छद्म-वीसी आयाम अधिक से अधिक है $$D$$,
 * आवश्यक सन्निकटन कारक है $$1-\epsilon$$,
 * आवश्यक सफलता की संभावना है $$1-\delta$$.

विशेष रूप से, वे साधारण नीलामियों के एक वर्ग पर विचार करते हैं जिन्हें कहा जाता है$$t$$-स्तर की नीलामी: के साथ नीलामी $$t$$ आरक्षित मूल्य (एक एकल आरक्षित मूल्य के साथ एक विकरी नीलामी 1-स्तरीय नीलामी है)। वे सिद्ध करते हैं कि इस वर्ग का छद्म कुलपति-आयाम है $$O(nt \ln (nt))$$, जो तुरंत उनकी सामान्यीकरण त्रुटि और नमूना-जटिलता पर बाध्यता का अनुवाद करता है। वे नीलामियों के इस वर्ग की प्रतिनिधित्व त्रुटि पर सीमा भी साबित करते हैं।

ईर्ष्या
यादृच्छिक-नमूनाकरण तंत्र का एक नुकसान यह है कि यह ईर्ष्या-मुक्त नहीं है। उदाहरण के लिए, यदि दो उप-बाजारों में इष्टतम मूल्य $$M_L$$ और $$M_R$$ अलग हैं, तो प्रत्येक उप-बाजार में खरीदारों को एक अलग कीमत की पेशकश की जाती है। दूसरे शब्दों में, मूल्य भेदभाव है। यह निम्नलिखित अर्थों में अपरिहार्य है: कोई एकल-मूल्य रणनीति-प्रूफ नीलामी नहीं है जो इष्टतम लाभ का अनुमान लगाती हो।

यह भी देखें

 * बाजार अनुसंधान
 * मूल्य निर्धारण
 * आम सहमति का अनुमान - पूर्व-मुक्त तंत्र डिजाइन के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण।