मॉड्यूलेशनल अस्थिरता

गैर-रैखिक प्रकाशिकी और द्रव गतिकी के क्षेत्र में, मॉडुलन संबंधी अस्थिरता या साइडबैंड अस्थिरता एक ऐसी घटना है जिसके द्वारा आवधिक तरंग से विचलन गैर-रैखिकता द्वारा प्रबलित होते हैं, आवृत्ति स्पेक्ट्रम-साइडबैंड की निर्माण प्रक्रिया के लिए अग्रणी होते हैं और तरंग की एक ट्रेन में तरंग का अंतिम विघटन होता है।

यह व्यापक रूप से माना जाता है कि 1967 में टी. ब्रुक बेंजामिन और जिम ई. फेयर द्वारा गहरे पानी पर आवधिक सतह गुरुत्वाकर्षण तरंगों (स्टोक्स तरंगों) के लिए पहली बार इस घटना की खोज की गई थी - और मॉडलिंग की गई थी। इसलिए, इसे बेंजामिन-फेयर अस्थिरता के रूप में भी जाना जाता है। हालांकि, कार्बनिक विलायक में उच्च-शक्ति वाले लेसरों की स्थानिक मॉडुलन अस्थिरता रूसी वैज्ञानिकों एन.एफ. पिलिपेट्स्की और ए.आर. रुस्तमोव द्वारा 1965 में देखी गई थी, और मॉडुलन अस्थिरता की गणितीय व्युत्पत्ति 1966 में वी. आई. बेस्पालोव और वी. आई. तलानोव द्वारा प्रकाशित की गई थी। तरंगों की निर्माण प्रक्रिया के लिए प्रतिरुपण अस्थिरता एक संभावित तंत्र है।

प्रारंभिक अस्थिरता और लाभ
मॉडुलन अस्थिरता केवल कुछ विशेष परिस्थितियों में होती है। सबसे महत्वपूर्ण स्थिति विषम समूह वेग फैलाव संबंध है, जिससे छोटी तरंग दैर्ध्य वाली स्पंदन लंबी तरंग दैर्ध्य वाली स्पंदनों की तुलना में उच्च समूह वेग से संचरण करती हैं। (यह स्थिति फोकसिंग केर अरेखीयता मानती है, जिससे ऑप्टिकल तीव्रता के साथ अपवर्तक सूचकांक बढ़ता है।)

अस्थिरता दृढ़ता से अस्थिरता की आवृत्ति पर निर्भर है। कुछ आवृत्तियों पर, एक अस्थिरता का बहुत कम प्रभाव पड़ेगा, जबकि अन्य आवृत्तियों पर, अस्थिरता में घातीय वृद्धि होगी। समग्र लाभ (इलेक्ट्रॉनिक्स) स्पेक्ट्रम को विश्लेषणात्मक अभिव्यक्ति से प्राप्त किया जा सकता है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है। यादृच्छिक अस्थिरता में सामान्यतः आवृत्ति घटकों की एक विस्तृत श्रृंखला होती है, और इसलिए वर्णक्रमीय साइडबैंड की निर्माण प्रक्रिया का कारण बनता है जो अंतर्निहित लाभ स्पेक्ट्रम को दर्शाता है।

इसके बढ़ने के लिए सम्पीड़ित सिग्नल की प्रवृत्ति प्रतिरुपण अस्थिरता को एम्पलीफायर का एक रूप बनाती है। गेन स्पेक्ट्रम के शिखर पर एक इनपुट सिग्नल को ट्यून करके, एक ऑप्टिकल एम्पलीफायर बनाना संभव है।

गेन स्पेक्ट्रम की गणितीय व्युत्पत्ति
लाभ स्पेक्ट्रम प्राप्त किया जा सकता है अरेखीय श्रोडिंगर समीकरण पर आधारित मॉडुलन अस्थिरता के एक मॉडल के साथ शुरू करके


 * $$\frac{\partial A}{\partial z} + i\beta_2\frac{\partial^2A}{\partial t^2} = i\gamma|A|^2A,$$

जो एक जटिल संख्या के विकास का वर्णन करता है, जटिल-मान धीरे-धीरे अलग-अलग अवर्णित सन्निकटन $$A$$ समय के साथ $$t$$ और प्रसार की दूरी $$z$$ काल्पनिक इकाई $$i$$ संतुष्ट $$i^2=-1.$$ मॉडल में पैरामीटर द्वारा वर्णित समूह वेग फैलाव $$\beta_2$$ सम्मिलित है, और परिमाण के साथ केर प्रभाव $$\gamma.$$ निरंतर शक्ति का एक आवधिक कार्य तरंग $$P$$ ऐसा माना जाता है। यह समाधान द्वारा दिया गया है,


 * $$A = \sqrt{P} e^{i\gamma Pz},$$

जहां दोलनशील $$e^{i\gamma Pz}$$ लहर चरण कारक रैखिक अपवर्तक सूचकांक और संशोधित अपवर्तक सूचकांक के बीच अंतर के लिए संरक्षित हैं, जैसा कि केर प्रभाव द्वारा उठाया गया है। इस विलयन में अस्थिरता करके अस्थिरता के प्रारम्भ की जांच की जा सकती है


 * $$A = \left(\sqrt{P}+\varepsilon(t,z)\right)e^{i\gamma Pz},$$

जहां $$\varepsilon(t,z)$$ अस्थिरता शब्द है (जो, गणितीय सुविधा के लिए, उसी चरण कारक से गुणा किया गया है $$A$$). इसे वापस गैर-रैखिक श्रोडिंगर समीकरण में प्रतिस्थापित करने से प्रपत्र का एक अस्थिरता सिद्धांत मिलता है


 * $$\frac{\partial \varepsilon}{\partial z}+i\beta_2\frac{\partial^2\varepsilon}{\partial t^2}=i\gamma P \left(\varepsilon+\varepsilon^*\right),$$

जहां अस्थिरता को छोटा माना गया है, जैसे कि $$|\varepsilon|^2\ll P.$$ का जटिल संयुग्म $$\varepsilon$$ के रूप में दर्शाया गया है, अस्थिरता अब तेजी से बढ़ने वाले अस्थिरता समीकरण के समाधानों की खोज $$\varepsilon^*$$के द्वारा खोजी जा सकती है। यह सामान्य रूप के एक परीक्षण फलन का उपयोग करके किया जा सकता है


 * $$\varepsilon=c_1 e^{i k_m z - i \omega_m t} + c_2 e^{- i k_m^* z + i \omega_m t},$$

जहां $$k_m$$ और $$\omega_m$$ एक अस्थिरता की तरंग संख्या और (वास्तविक-मान) कोणीय आवृत्ति हैं, और $$c_1$$ और $$c_2$$ स्थिरांक हैं। मॉडल किए जा रहे प्रकाश की वाहक तरंग को हटाकर नॉनलाइनियर श्रोडिंगर समीकरण का निर्माण किया जाता है, और इसलिए प्रकाश की आवृत्ति औपचारिक रूप से शून्य होती है। इसलिए, $$\omega_m$$ और $$k_m$$ पूर्ण आवृत्तियों और तरंगों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, लेकिन इनके बीच और प्रकाश की प्रारंभिक किरण के बीच का अंतर यह दिखाया जा सकता है कि परीक्षण फलन मान्य है, बशर्ते $$c_2=c_1^*$$ और शर्त के अधीन है,


 * $$k_m = \pm\sqrt{\beta_2^2\omega_m^4 + 2 \gamma P \beta_2 \omega_m^2}.$$

यह फैलाव संबंध वर्गमूल के भीतर शब्द के संकेत पर निर्भर करता है, जैसे कि सकारात्मक, तरंग संख्या वास्तविक संख्या होगी, जो कि असंतुलित समाधान के चारों ओर मात्र दोलनों के अनुरूप होगी, जबकि ऋणात्मक होने पर, तरंग संख्या काल्पनिक संख्या बन जाएगी, जिसके अनुरूप घातीय वृद्धि और इस प्रकार अस्थिरता तब होगी जब, अस्थिरता तब होगी जब


 * $$\beta_2^2\omega_m^2 + 2 \gamma P \beta_2 < 0,$$ के लिए है  $$\omega_m^2 < -2 \frac{\gamma P}{\beta_2}.$$

यह स्थिति विषम फैलाव की आवश्यकता का वर्णन करती है (जैसे कि $$\gamma\beta_2$$ नकारात्मक है)। लाभ स्पेक्ट्रम को लाभ पैरामीटर के रूप में परिभाषित करके वर्णित किया जा सकता है $$g \equiv 2|\Im\{k_m\}|,$$ ताकि डिस्टर्बिंग सिग्नल की शक्ति दूरी के साथ बढ़ती जाए $$P\, e^{g z}.$$ लाभ इसलिए द्वारा दिया जाता है


 * $$g = \begin{cases}

2\sqrt{-\beta_2^2\omega_m^4-2\gamma P \beta_2\omega_m^2}, &\text{for } \displaystyle \omega_m^2 < -2 \frac{\gamma P}{\beta_2}, \\[2ex] 0, &\text{for } \displaystyle \omega_m^2 \ge - 2 \frac{\gamma P}{\beta_2}, \end{cases} $$ जहां ऊपर बताया गया है, $$\omega_m$$ अस्थिरता की आवृत्ति और प्रारंभिक प्रकाश की आवृत्ति के बीच का अंतर है की वृद्धि दर अधिकतम होती है $$\omega^2=-\gamma P/\beta_2.$$

सॉफ्ट सिस्टम में प्रतिरुपण अस्थिरता
फोटो-रासायनिक प्रणालियों में ऑप्टिकल क्षेत्रों की प्रतिरुपण अस्थिरता देखी गई है, अर्थात् फोटोपॉलीमराइज़ेबल माध्यम   प्रतिरुपण अस्थिरता अपवर्तक सूचकांक में फोटोरिएक्शन-प्रेरित परिवर्तनों के कारण सिस्टम की अंतर्निहित ऑप्टिकल गैर-रैखिकता के कारण होती है। फोटोरिएक्टिव सिस्टम की गैर-तात्कालिक प्रतिक्रिया के कारण स्थानिक और अस्थायी रूप से असंगत प्रकाश की प्रतिरुपण अस्थिरता संभव है, जो परिणामस्वरूप प्रकाश की समय-औसत तीव्रता पर प्रतिक्रिया करता है, जिसमें फेमटो-सेकंड उतार-चढ़ाव रद्द हो जाता है।