रुद्धोष्म क्वांटम गणना

रुद्धोष्म क्वांटम संगणना (एक्यूसी) क्वांटम कम्प्यूटिंग का एक रूप है जो गणना करने के लिए रुद्धोष्म प्रमेय पर निर्भर करता है और क्वांटम एनीलिंग से निकटता से संबंधित है।

विवरण
सबसे पहले, एक (संभावित रूप से जटिल) हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) पाया जाता है जिसकी जमीनी स्थिति रुचि की समस्या के समाधान का वर्णन करती है। इसके पश्चात्, एक सरल हैमिल्टनियन वाला एक प्रणाली तैयार किया जाता है और उसे जमीनी स्थिति में आरंभ किया जाता है। अंत में सरल हैमिल्टनियन को रुद्धोष्म रूप से वांछित जटिल हैमिल्टनियन में विकसित किया जाता है। रुद्धोष्म प्रमेय के अनुसार, प्रणाली जमीनी अवस्था में रहता है, इसलिए अंत में प्रणाली की स्थिति समस्या के समाधान का वर्णन करती है। एडियाबेटिक क्वांटम कंप्यूटिंग को सर्किट मॉडल में पारंपरिक क्वांटम कंप्यूटिंग के बहुपद के समान दिखाया गया है।

रुद्धोष्म एल्गोरिथ्म के लिए समय जटिलता रुद्धोष्म विकास को पूरा करने में लगने वाला समय है जो हैमिल्टनियन के ऊर्जा इगेनवैल्यू ​​(वर्णक्रमीय अंतराल) में अंतर पर निर्भर है। विशेष रूप से, यदि प्रणाली को जमीनी अवस्था में रखा जाना है, तो जमीनी अवस्था और $$H(t)$$ की पहली उत्तेजित अवस्था के बीच ऊर्जा अंतर उस दर पर एक ऊपरी सीमा प्रदान करता है जिस पर हैमिल्टनियन को समय $t$. पर विकसित किया जा सकता है। जब वर्णक्रमीय अंतर छोटा होता है, तो हैमिल्टनियन को धीरे-धीरे विकसित करना पड़ता है। संपूर्ण एल्गोरिदम के लिए रनटाइम को निम्न द्वारा सीमित किया जा सकता है:

$$T = O\left(\frac{1}{g_{min}^2}\right) $$

जहाँ $$g_{min}$$ के लिए न्यूनतम वर्णक्रमीय अंतराल$H(t)$. है

क्वांटम अपव्यय की समस्या से छुटकारा पाने के लिए एक्यूसी एक संभावित विधि है। चूँकि क्वांटम प्रणाली जमीनी अवस्था में है, बाहरी दुनिया के साथ हस्तक्षेप इसे निचली अवस्था में नहीं ले जा सकता है। यदि बाहरी दुनिया की ऊर्जा (अर्थात्, स्नान का तापमान) को जमीनी अवस्था और अगली उच्च ऊर्जा अवस्था के बीच ऊर्जा अंतर से कम रखा जाता है, तो प्रणाली में उच्च ऊर्जा अवस्था में जाने की आनुपातिक रूप से कम संभावना होती है। इस प्रकार प्रणाली जब तक आवश्यकता हो तब तक एकल प्रणाली ईजेनस्टेट में रह सकता है।

रुद्धोष्म मॉडल में सार्वभौमिकता के परिणाम क्वांटम जटिलता और क्यूएमए-कठिन समस्याओं से जुड़े हैं। k-स्थानीय हैमिल्टनियन, k ≥ 2 के लिए क्यूएमए-पूर्ण है। क्यूएमए-कठोरता परिणाम क्वैबिट के भौतिक रूप से यथार्थवादी जाली मॉडल के लिए जाने जाते हैं जैसे कि

$$ H = \sum_{i}h_i Z_i + \sum_{i<j}J^{ij}Z_iZ_j + \sum_{i<j}K^{ij}X_iX_j $$

जहाँ $$Z, X$$ पॉल के मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करें $\sigma_z, \sigma_x$. ऐसे मॉडल का उपयोग सार्वभौमिक रुद्धोष्म क्वांटम गणना के लिए किया जाता है। क्यूएमए-संपूर्ण समस्या के लिए हैमिल्टनवासियों को क्वैबिट के दो आयामी ग्रिड पर कार्य करने के लिए भी प्रतिबंधित किया जा सकता है या प्रति कण 12 अवस्थाओं वाले क्वांटम कणों की एक पंक्ति मे यदि ऐसे मॉडल भौतिक रूप से साकार होने योग्य पाए जाते हैं, तो उनका उपयोग सार्वभौमिक एडियाबेटिक क्वांटम कंप्यूटर के निर्माण खंड बनाने के लिए भी किया जा सकता है।

वास्तव में, गणना के समय समस्याएँ आती हैं। जैसे-जैसे हैमिल्टनियन को धीरे-धीरे बदला जाता है, रौचक भाग (मौलिक के विपरीत क्वांटम व्यवहार) तब घटित होते हैं जब कई क्वैबिट एक टिपिंग बिंदु के समीप होते हैं। यह ठीक इसी बिंदु पर है जब जमीनी स्थिति (क्विबिट ओरिएंटेशन का एक सेट) पहली ऊर्जा स्थिति (ओरिएंटेशन की एक अलग व्यवस्था) के बहुत समीप हो जाती है। थोड़ी मात्रा में ऊर्जा जोड़ने से (बाहरी स्नान से, या हैमिल्टनियन को धीरे-धीरे बदलने के परिणामस्वरूप) प्रणाली को जमीनी स्थिति से बाहर ले जाया जा सकता है, और गणना व्यर्थ हो सकती है। गणना को अधिक तेजी से करने का प्रयास करने से बाहरी ऊर्जा बढ़ जाती है; क्वैबिट की संख्या को स्केल करने से टिपिंग बिंदुओं पर ऊर्जा अंतर कम हो जाता है।

संतोषजनक समस्याओं में रुद्धोष्म क्वांटम गणना
रुद्धोष्म क्वांटम संगणना संतुष्टि समस्याओं और अन्य संयोजन खोज समस्याओं को हल करती है। विशेष रूप से, इस प्रकार की समस्याएँ ऐसी स्थिति की खोज करती हैं जो $$ C_1 \wedge C_2 \wedge \cdots \wedge C_M $$ को संतुष्ट करती हो। इस अभिव्यक्ति में एम क्लॉज की संतुष्टि सम्मिलित है, जिसके लिए क्लॉज $$C_i$$ का मान सही या गलत है, और इसमें n बिट्स सम्मिलित हो सकते हैं। प्रत्येक बिट एक वैरिएबल $$x_j\in \{ 0,1\}$$ है जैसे कि $$C_i$$ $$x_1, x_2, \dots, x_n$$ का एक बूलियन मान फलन है। क्यूएए क्वांटम एडियाबेटिक इवोल्यूशन का उपयोग करके इस प्रकार की समस्या का समाधान करता है। इसकी प्रारंभ प्रारंभिक हैमिल्टनियन $$H_B$$ से होती है।

$$	H_B=H_{B_1}+H_{B_2}+\dots+H_{B_M} $$

जहां $$H_{B_i}$$ खंड $$C_i$$ के अनुरूप हैमिल्टनियन को दर्शाता है। समान्यता:, $$H_{B_i}$$ का चुनाव अलग-अलग खंडों पर निर्भर नहीं होगा, इसलिए सभी खंडों में प्रत्येक बिट के सम्मिलित होने की कुल संख्या ही अर्थ रखती है। इसके बाद, यह रुद्धोष्म विकास से गुजरता है, समस्या हैमिल्टनियन $$H_P$$ में समाप्त होता है।

$$	H_P=\sum\limits_{C}^{} H_{P,C} $$

जहाँ $$H_{P,C}$$ खंड सी का संतोषजनक हैमिल्टनियन है।

इसके इगेनवैल्यू ​​हैं:

$$	h_C(z_{1C},z_{2C}\dots z_{nC})= \begin{cases} 0 & \mbox{clause } C \mbox{ satisfied} \\ 1 & \mbox{clause } C \mbox{ violated} \end{cases} $$

रन टाइम टी के साथ रुद्धोष्म विकास के सरल मार्ग के लिए, इस पर विचार करें:

$$	H(t)=(1-t/T)H_{B}+(t/T)H_{P} $$

और जाने $$s=t/T$$. फिर हमारे पास है

$$	\tilde{H}(s)=(1-s)H_{B}+sH_{P} $$,

जो हमारे एल्गोरिदम का रुद्धोष्म विकास हैमिल्टनियन है।

रुद्धोष्म प्रमेय के अनुसार, हम प्रारंभ में हैमिल्टनियन $$H_B$$ की जमीनी अवस्था से प्रारंभ करते हैं, रुद्धोष्म प्रक्रिया से आगे बढ़ते हैं, और समस्या हैमिल्टनियन $$H_P$$ की जमीनी अवस्था में समाप्त होते हैं।

फिर हम अंतिम अवस्था में प्रत्येक n स्पिन के z-घटक को मापते हैं। यह एक स्ट्रिंग $$z_1,z_2,\dots,z_n$$ उत्पन्न करेगा जो हमारी संतुष्टि समस्या का परिणाम होने की अत्यधिक संभावना है। परिणाम की शुद्धता सुनिश्चित करने के लिए रन टाइम टी पर्याप्त रूप से लंबा होना चाहिए। रुद्धोष्म प्रमेय के अनुसार, T लगभग $$\varepsilon/g_\mathrm{min}^{2}$$ है, जहाँ $$ g_\mathrm{min}=\min_{0\le s\le 1}(E_1(s)-E_0(s)) $$  जमीनी अवस्था और पहली उत्तेजित अवस्था के बीच न्यूनतम ऊर्जा अंतर है।

गेट-आधारित क्वांटम कंप्यूटिंग से तुलना
रुद्धोष्म क्वांटम कंप्यूटिंग मानक गेट-आधारित क्वांटम कंप्यूटिंग की शक्ति के समान है जो इच्छित रूप से एकात्मक संचालन को प्रयुक्त करता है। चूँकि गेट-आधारित क्वांटम उपकरणों पर मैपिंग चुनौती क्वांटम एनीलर से अधिक भिन्न होती है क्योंकि तार्किक चर केवल एकल क्यूबिट में मैप किए जाते हैं, श्रृंखलाओं में नहीं किये जाते है ।

डी-वेव क्वांटम प्रोसेसर
डी-वेव वन कनाडाई कंपनी डी-वेव सिस्टम द्वारा बनाया गया एक उपकरण है, जो प्रमाणित करता है कि यह अनुकूलन समस्याओं को हल करने के लिए क्वांटम एनीलिंग का उपयोग करता है। 25 मई 2011 को, लॉकहीड मार्टिन ने लगभग 10 मिलियन अमेरिकी डॉलर में डी-वेव वन खरीदा मई 2013 में, गूगल ने 512 क्यूबिट डी-वेव टू खरीदा जाता है।

यह प्रश्न कि क्या डी-वेव प्रोसेसर क्लासिकल प्रोसेसर की तुलना में स्पीडअप प्रदान करते हैं, अभी भी अनुत्तरित है। क्वांटम आर्टिफिशियल इंटेलिजेंस लैब (नासा), दक्षिणी कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, ईटीएच ज्यूरिख और गूगल के शोधकर्ताओं द्वारा किए गए परीक्षणों से पता चलता है कि 2015 तक, क्वांटम लाभ का कोई प्रमाण नहीं है।

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