योजक सफेद गाउसियन रव

योजक सफेद गाउसियन रव (एडब्ल्यूजीएन) एक मूल रव प्रतिरूप है जिसका उपयोग प्रकृति में होने वाली कई यादृच्छिक प्रक्रियाओं के प्रभाव की नकल करने के लिए सूचना सिद्धांत में किया जाता है। संशोधक विशिष्ट विशेषताओं को दर्शाते हैं:
 * योजक क्योंकि यह किसी भी रव में जोड़ा जाता है जो सूचना पद्धति में अंतर्निहित हो सकता है।
 * सफेद इस विचार को संदर्भित करता है कि इसमें सूचना पद्धति के लिए आवृत्ति बैंड में एक समान शक्ति स्पेक्ट्रमी घनत्व है। यह सफेद रंग का एक सादृश्य है जिसे दृश्य स्पेक्ट्रम में सभी आवृत्तियों पर समान उत्सर्जनों द्वारा महसूस किया जा सकता है।
 * गाउसियन क्योंकि इसका काल प्रक्षेत्र में औसत काल प्रक्षेत्र मान शून्य (गाउसियन प्रक्रिया) के साथ एक सामान्य वितरण है।

वाइडबैंड रव कई प्राकृतिक रव स्रोतों से आता है, जैसे कंडक्टरों में परमाणुओं के थर्मल कंपन (थर्मल रव या जॉनसन-नाइक्विस्ट रव के रूप में जाना जाता है), शॉट रव, पृथ्वी और अन्य गर्म वस्तुओं से ब्लैक-बॉडी विकिरण, और सूर्य जैसे आकाशीय स्रोतों से। संभाव्यता सिद्धांत की केंद्रीय सीमा प्रमेय इंगित करती है कि कई यादृच्छिक प्रक्रियाओं के योग में गाऊसी या सामान्य नामक वितरण होगा।

एडब्ल्यूजीएन को अक्सर एक संचार चैनल के रूप में उपयोग किया जाता है जिसमें संचार में एकमात्र बाधा निरंतर वर्णक्रमीय घनत्व (बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग) के प्रति हेटर्स  वाट के रूप में व्यक्त) और आयाम के गाऊसी वितरण के साथ वाइडबैंड या सफेद रव का एक रैखिक जोड़ है। प्रतिरूप लुप्त होती, आवृत्ति चयनात्मकता, हस्तक्षेप (संचार), गैर-रैखिकता या फैलाव (प्रकाशिकी) को ध्यान में नहीं रखता है। हालाँकि, यह सरल और सुव्यवस्थित गणितीय प्रतिरूप तैयार करता है जो इन अन्य घटनाओं पर विचार करने से पहले किसी प्रणाली के अंतर्निहित व्यवहार में अंतर्दृष्टि प्राप्त करने के लिए उपयोगी होते हैं।

एडब्ल्यूजीएन चैनल कई उपग्रह और गहरे अंतरिक्ष संचार लिंक के लिए एक अच्छा प्रतिरूप है। मल्टीपाथ, भूभाग अवरोधन, हस्तक्षेप आदि के कारण अधिकांश स्थलीय लिंक के लिए यह एक अच्छा प्रतिरूप नहीं है। हालाँकि, स्थलीय पथ प्रतिरूपिंग के लिए, एडब्ल्यूजीएन का उपयोग आमतौर पर मल्टीपाथ, भूभाग अवरोधन, हस्तक्षेप, जमीनी अव्यवस्था और स्वयं हस्तक्षेप के अलावा अध्ययन के तहत चैनल के पृष्ठभूमि रव का अनुकरण करने के लिए किया जाता है, जिसका सामना आधुनिक रेडियो सिस्टम स्थलीय संचालन में करते हैं।

चैनल क्षमता
एडब्ल्यूजीएन चैनल को आउटपुट की एक श्रृंखला द्वारा दर्शाया गया है $$Y_i$$ असतत-समय घटना सूचकांक पर $$i$$. $$Y_i$$ इनपुट का योग है $$X_i$$ और रव, $$Z_i$$, कहाँ $$Z_i$$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर है और भिन्नता के साथ शून्य-माध्य सामान्य वितरण से लिया गया है $$N$$ (ये रव)। $$Z_i$$ h> को आगे इसके साथ सहसंबद्ध नहीं माना जाता है $$X_i$$.

Z_i \sim \mathcal{N}(0, N) \,\!$$

Y_i = X_i + Z_i. \,\!$$ जब तक रव न हो, चैनल की क्षमता अनंत है $$N$$ शून्येतर है, और $$X_i$$ पर्याप्त रूप से प्रतिबंधित हैं. इनपुट पर सबसे आम बाधा तथाकथित पावर बाधा है, जिसके लिए कोडवर्ड की आवश्यकता होती है $$(x_1, x_2, \dots, x_k)$$ चैनल के माध्यम से प्रसारित, हमारे पास है:



\frac{1}{k}\sum_{i=1}^k x_i^2 \leq P, $$ कहाँ $$P$$ अधिकतम चैनल शक्ति का प्रतिनिधित्व करता है। इसलिए, बिजली-बाधित चैनल के लिए चैनल क्षमता इस प्रकार दी गई है:



C = \max \left\{ I(X;Y) : f \text{ s.t. } E \left( X^2 \right) \leq P \right\} \,\!$$ कहाँ $$f$$ का वितरण है $$X$$. बढ़ाना $$I(X;Y)$$, इसे विभेदक एन्ट्रापी के संदर्भ में लिखना:

\begin{align} & I(X;Y) = h(Y) - h(Y\mid X) \\[5pt] = {} & h(Y)-h(X+Z\mid X) \\[5pt] = {} & h(Y)-h(Z\mid X) \end{align} \,\!$$ लेकिन $$X$$ और $$Z$$ स्वतंत्र हैं, इसलिए:

I(X;Y) = h(Y) - h(Z) \,\!$$ गाऊसी की विभेदक एन्ट्रापी का मूल्यांकन करने पर यह मिलता है:

h(Z) = \frac{1}{2} \log(2 \pi e N) \,\!$$ क्योंकि $$X$$ और $$Z$$ स्वतंत्र हैं और उनका योग देता है $$Y$$:



E(Y^2) = E((X+Z)^2) = E(X^2) + 2E(X)E(Z)+E(Z^2) \leq P + N \,\!$$ इस सीमा से, हम अंतर एन्ट्रापी की एक संपत्ति से अनुमान लगाते हैं



h(Y) \leq \frac{1}{2} \log(2 \pi e(P+N)) \,\!$$ इसलिए, चैनल क्षमता पारस्परिक जानकारी पर उच्चतम प्राप्य सीमा द्वारा दी गई है:

I(X;Y) \leq \frac{1}{2}\log(2 \pi e (P+N)) - \frac {1}{2}\log(2 \pi e N) \,\!$$ कहाँ $$I(X;Y)$$ अधिकतम तब होता है जब:



X \sim \mathcal{N}(0, P) \,\!$$ इस प्रकार चैनल क्षमता $$C$$ एडब्ल्यूजीएन चैनल के लिए यह दिया गया है:

C = \frac {1}{2} \log\left(1+\frac{P}{N}\right) \,\!$$

चैनल क्षमता और क्षेत्र पैकिंग
मान लीजिए कि हम सूचकांक वाले चैनल के माध्यम से संदेश भेज रहे हैं $$1$$ को $$M$$, अलग-अलग संभावित संदेशों की संख्या। यदि हम एन्कोड करते हैं $$M$$ को संदेश $$n$$ बिट्स, फिर हम दर को परिभाषित करते हैं $$R$$ जैसा:



R = \frac {\log M}{n} \,\!$$ एक दर को प्राप्त करने योग्य कहा जाता है यदि कोड का अनुक्रम हो ताकि त्रुटि की अधिकतम संभावना शून्य हो जाए $$n$$ अनंत तक पहुंचता है. क्षमता $$C$$ उच्चतम प्राप्य दर है.

लंबाई के एक कोडवर्ड पर विचार करें $$n$$ रव स्तर के साथ एडब्ल्यूजीएन चैनल के माध्यम से भेजा गया $$N$$. प्राप्त होने पर, कोडवर्ड वेक्टर विचरण अब है $$N$$, और इसका माध्य भेजा गया कोडवर्ड है। वेक्टर के त्रिज्या के एक गोले में समाहित होने की बहुत संभावना है $\sqrt{n(N+\varepsilon)}$ चारों ओर कोडवर्ड भेजा गया। यदि हम प्राप्त प्रत्येक संदेश को इस क्षेत्र के केंद्र में कोडवर्ड पर मैप करके डिकोड करते हैं, तो त्रुटि तभी होती है जब प्राप्त वेक्टर इस क्षेत्र के बाहर होता है, जो बहुत ही असंभव है।

प्रत्येक कोडवर्ड वेक्टर में प्राप्त कोडवर्ड वैक्टर का एक संबद्ध क्षेत्र होता है जिसे इसमें डिकोड किया जाता है और ऐसे प्रत्येक क्षेत्र को एक कोडवर्ड पर विशिष्ट रूप से मैप किया जाना चाहिए। चूँकि इन गोले को एक दूसरे को नहीं काटना चाहिए, इसलिए हमें गोला पैकिंग की समस्या का सामना करना पड़ता है। हम अपने में कितने अलग-अलग कोडवर्ड पैक कर सकते हैं $$n$$-बिट कोडवर्ड वेक्टर? प्राप्त वैक्टर में अधिकतम ऊर्जा होती है $$n(P+N)$$ और इसलिए उसे त्रिज्या का एक क्षेत्र घेरना चाहिए $\sqrt{n(P+N)}$. प्रत्येक कोडवर्ड गोले की त्रिज्या होती है $$\sqrt{nN}$$. एक n-आयामी गोले का आयतन सीधे आनुपातिक होता है $$r^n$$, इसलिए ट्रांसमिशन पावर पी के साथ हमारे क्षेत्र में पैक किए जा सकने वाले विशिष्ट डिकोडेबल क्षेत्रों की अधिकतम संख्या है:

\frac{(n(P+N))^{n/2}}{(nN)^{n/2}} = 2^{(n/2) \log\left(1+P/N \right)} \,\!$$ इस तर्क से, दर R से अधिक नहीं हो सकती $$\frac{1}{2} \log \left( 1+\frac P N \right)$$.

साध्यता
इस खंड में, हम अंतिम खंड से दर पर ऊपरी सीमा की प्राप्ति दर्शाते हैं।

एनकोडर और डिकोडर दोनों के लिए ज्ञात एक कोडबुक, लंबाई n, i.i.d. के कोडवर्ड का चयन करके तैयार की जाती है। विचरण के साथ गाऊसी $$P-\varepsilon$$ और मतलब शून्य. बड़े n के लिए, कोडबुक का अनुभवजन्य विचरण इसके वितरण के विचरण के बहुत करीब होगा, जिससे संभावित रूप से शक्ति बाधा के उल्लंघन से बचा जा सकेगा।

प्राप्त संदेशों को कोडबुक में एक संदेश में डिकोड किया जाता है जो विशिष्ट रूप से संयुक्त रूप से विशिष्ट है। यदि ऐसा कोई संदेश नहीं है या यदि बिजली की कमी का उल्लंघन किया गया है, तो डिकोडिंग त्रुटि घोषित की जाती है।

होने देना $$X^n(i)$$ संदेश के लिए कोडवर्ड बताएं $$i$$, जबकि $$Y^n$$ प्राप्त वेक्टर से पहले की तरह है। निम्नलिखित तीन घटनाओं को परिभाषित करें:


 * 1) आयोजन $$U$$:प्राप्त संदेश की शक्ति इससे बड़ी है $$P$$.
 * 2) आयोजन $$V$$: प्रेषित और प्राप्त कोडवर्ड संयुक्त रूप से विशिष्ट नहीं हैं।
 * 3) आयोजन $$E_j$$: $$(X^n(j), Y^n)$$ में है $$A_\varepsilon^{(n)}$$, विशिष्ट सेट जहां $$i \neq j$$, जिसका अर्थ यह है कि गलत कोडवर्ड प्राप्त वेक्टर के साथ संयुक्त रूप से विशिष्ट है।

इसलिए एक त्रुटि उत्पन्न होती है यदि $$U$$, $$V$$ या इनमें से कोई भी $$E_i$$ घटित होना। बड़ी संख्या के नियम से, $$P(U)$$ जैसे-जैसे n अनंत के करीब पहुंचता है, शून्य हो जाता है और संयुक्त स्पर्शोन्मुख समविभाजन संपत्ति द्वारा भी यही बात लागू होती है $$P(V)$$. इसलिए, पर्याप्त रूप से बड़े के लिए $$n$$, दोनों $$P(U)$$ और $$P(V)$$ प्रत्येक से कम हैं $$\varepsilon$$. तब से $$X^n(i)$$ और $$X^n(j)$$ के लिए स्वतंत्र हैं $$i \neq j$$, हमारे पास वह है $$X^n(i)$$ और $$Y^n$$ स्वतंत्र भी हैं. इसलिए, संयुक्त एईपी द्वारा, $$P(E_j) = 2^{-n(I(X;Y)-3\varepsilon)}$$. यह हमें गणना करने की अनुमति देता है $$P^{(n)}_e$$, त्रुटि की संभावना इस प्रकार है:



\begin{align} P^{(n)}_e & \leq P(U) + P(V) + \sum_{j \neq i} P(E_j) \\ & \leq \varepsilon + \varepsilon + \sum_{j \neq i} 2^{-n(I(X;Y)-3\varepsilon)} \\ & \leq 2\varepsilon + (2^{nR}-1)2^{-n(I(X;Y)-3\varepsilon)} \\ & \leq 2\varepsilon + (2^{3n\varepsilon})2^{-n(I(X;Y)-R)} \\ & \leq 3\varepsilon \end{align} $$ इसलिए, जैसे-जैसे n अनंत की ओर बढ़ता है, $$P^{(n)}_e$$ शून्य पर चला जाता है और $$R < I(X;Y) - 3\varepsilon$$. इसलिए, दर आर का एक कोड मनमाने ढंग से पहले प्राप्त क्षमता के करीब है।

कोडिंग प्रमेय का व्युत्क्रम
यहां हम दिखाते हैं कि दरें क्षमता से अधिक हैं $$C = \frac {1}{2} \log\left( 1+\frac P N \right)$$ प्राप्य नहीं हैं.

मान लीजिए कि कोडबुक के लिए बिजली की कमी पूरी हो गई है, और आगे यह भी मान लें कि संदेश एक समान वितरण का पालन करते हैं। होने देना $$W$$ इनपुट संदेश हो और $$\hat{W}$$ आउटपुट संदेश. इस प्रकार जानकारी इस प्रकार प्रवाहित होती है:

$$W \longrightarrow X^{(n)}(W) \longrightarrow Y^{(n)} \longrightarrow \hat{W}$$ फ़ानो की असमानता का उपयोग करने से मिलता है:

$$H(W\mid\hat{W}) \leq 1+nRP^{(n)}_e = n \varepsilon_n$$ कहाँ $$\varepsilon_n \rightarrow 0$$ जैसा $$P^{(n)}_e \rightarrow 0$$ होने देना $$X_i$$ कोडवर्ड इंडेक्स i का एन्कोडेड संदेश हो। तब:



\begin{align} nR & = H(W) \\ & =I(W;\hat{W}) + H(W\mid\hat{W}) \\ & \leq I(W;\hat{W}) + n\varepsilon_n \\ & \leq I(X^{(n)}; Y^{(n)}) + n\varepsilon_n \\ & = h(Y^{(n)}) - h(Y^{(n)}\mid X^{(n)}) + n\varepsilon_n \\ & = h(Y^{(n)}) - h(Z^{(n)}) + n\varepsilon_n \\ & \leq \sum_{i=1}^n h(Y_i)- h(Z^{(n)}) + n\varepsilon_n \\ & \leq \sum_{i=1}^n I(X_i; Y_i) + n\varepsilon_n \end{align} $$ होने देना $$P_i$$ सूचकांक i के कोडवर्ड की औसत शक्ति हो:



P_i = \frac{1}{2^{nR}}\sum_{w}x^2_i(w) \,\!$$ जहां योग सभी इनपुट संदेशों से अधिक है $$w$$. $$X_i$$ और $$Z_i$$ स्वतंत्र हैं, अत: की शक्ति की अपेक्षा रखते हैं $$Y_i$$ रव के स्तर के लिए है $$N$$:



E(Y_i^2) = P_i+N \,\!$$ और अगर $$Y_i$$ सामान्य रूप से वितरित किया जाता है, हमारे पास वह है

h(Y_i) \leq \frac{1}{2}\log{2 \pi e} (P_i +N) \,\!$$ इसलिए,



\begin{align} nR & \leq \sum(h(Y_i)-h(Z_i)) + n \varepsilon_n \\ & \leq \sum \left( \frac{1}{2} \log(2 \pi e (P_i + N)) - \frac{1}{2} \log(2 \pi e N)\right) + n \varepsilon_n \\ & = \sum \frac{1}{2} \log \left(1 + \frac{P_i}N \right) + n \varepsilon_n \end{align} $$ हम जेन्सेन की समानता को लागू कर सकते हैं $$\log(1+x)$$, x का एक अवतल (नीचे की ओर) फ़ंक्शन, प्राप्त करने के लिए:

\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{2}\log\left(1+\frac{P_i}{N}\right) \leq \frac{1}{2}\log\left(1+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{P_i}{N}\right) \,\!$$ चूँकि प्रत्येक कोडवर्ड व्यक्तिगत रूप से शक्ति बाधा को संतुष्ट करता है, औसत भी शक्ति बाधा को संतुष्ट करता है। इसलिए,



\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \frac{P_i}{N}, \,\!$$ जिसे हम उपरोक्त असमानता को सरल बनाने के लिए लागू कर सकते हैं और प्राप्त कर सकते हैं:

\frac{1}{2}\log\left(1+\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}\frac{P_i}{N}\right) \leq \frac{1}{2}\log\left(1+\frac{P}{N}\right). \,\!$$ इसलिए, ऐसा होना ही चाहिए $$R \leq \frac{1}{2}\log \left(1+ \frac{P}{N}\right) + \varepsilon_n$$. इसलिए, आर को मनमाने ढंग से पहले प्राप्त क्षमता के करीब एक मूल्य से कम होना चाहिए $$\varepsilon_n \rightarrow 0$$.

समय क्षेत्र में प्रभाव
सीरियल डेटा संचार में, एडब्ल्यूजीएन गणितीय प्रतिरूप का उपयोग यादृच्छिक घबराना  (आरजे) के कारण होने वाली समय त्रुटि को प्रतिरूप करने के लिए किया जाता है।

दाईं ओर का ग्राफ़ एडब्ल्यूजीएन से जुड़ी समय संबंधी त्रुटियों का एक उदाहरण दिखाता है। चर Δt शून्य क्रॉसिंग में अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व करता है। जैसे-जैसे एडब्ल्यूजीएन का आयाम बढ़ता है, सिग्नल-टू-रव अनुपात कम हो जाता है। इसके परिणामस्वरूप अनिश्चितता बढ़ जाती है Δt।

जब एडब्ल्यूजीएन से प्रभावित होता है, तो एक संकीर्ण बैंडपास फिल्टर के आउटपुट पर प्रति सेकंड सकारात्मक या नकारात्मक शून्य क्रॉसिंग की औसत संख्या होती है जब इनपुट साइन तरंग होता है



\begin{align} & \frac{\text{positive zero crossings}}{\text{second}} = \frac{\text{negative zero crossings}}{\text{second}} \\[8pt] = {} & f_0 \sqrt{\frac{\text{SNR} + 1 + \frac{B^2}{12f_0^2}}{\text{SNR} + 1}}, \end{align} $$ कहाँ
 * 0 = फ़िल्टर की केंद्र आवृत्ति,
 * बी = फिल्टर बैंडविड्थ,
 * एसएनआर = रैखिक शब्दों में सिग्नल-टू-रव शक्ति अनुपात।

फ़ेसर डोमेन में प्रभाव
आधुनिक संचार प्रणालियों में, बैंडलिमिटेड एडब्ल्यूजीएन को नजरअंदाज नहीं किया जा सकता है। जब फेज़र डोमेन में बैंडलिमिटेड एडब्ल्यूजीएन की प्रतिरूपिंग की जाती है, तो सांख्यिकीय विश्लेषण से पता चलता है कि वास्तविक और काल्पनिक योगदान के आयाम स्वतंत्र चर हैं जो गॉसियन वितरण प्रतिरूप का पालन करते हैं। संयुक्त होने पर, परिणामी चरण का परिमाण एक रेले वितरण होता है | रेले-वितरित यादृच्छिक चर, जबकि चरण समान रूप से 0 से 2 तक वितरित होता है$\pi$.

दाईं ओर का ग्राफ़ एक उदाहरण दिखाता है कि बैंडलिमिटेड एडब्ल्यूजीएन एक सुसंगत वाहक सिग्नल को कैसे प्रभावित कर सकता है। रव वेक्टर की तात्कालिक प्रतिक्रिया का सटीक अनुमान नहीं लगाया जा सकता है, हालांकि, इसकी समय-औसत प्रतिक्रिया का सांख्यिकीय रूप से अनुमान लगाया जा सकता है। जैसा कि ग्राफ में दिखाया गया है, हम विश्वासपूर्वक अनुमान लगाते हैं कि रव चरण 1σ सर्कल के अंदर लगभग 38% समय, 2σ सर्कल के अंदर लगभग 86% समय और 3σ सर्कल के अंदर लगभग 98% समय रहेगा।

यह भी देखें

 * ज़मीन का उछाल
 * रव-चैनल कोडिंग प्रमेय
 * गाऊसी प्रक्रिया