स्यूडोस्केलर

रैखिक बीजगणित में, एक स्यूडोस्केलर एक मात्रा है जो एक स्केलर (भौतिकी) की तरह व्यवहार करती है, सिवाय इसके कि यह समता (भौतिकी) के तहत संकेत बदलता है जबकि एक सच्चा अदिश ऐसा नहीं करता है।

एक छद्मवेक्टर और एक साधारण वेक्टर (गणित और भौतिकी) के बीच कोई भी अदिश उत्पाद एक छद्मवेक्टर होता है। स्यूडोस्केलर का प्रोटोटाइप उदाहरण स्केलर ट्रिपल उत्पाद है, जिसे ट्रिपल उत्पाद में एक वेक्टर के बीच स्केलर उत्पाद और दो अन्य वैक्टरों के बीच क्रॉस उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, जहां बाद वाला एक छद्मवेक्टर है। एक स्यूडोस्केलर, जब एक साधारण सदिश स्थल  से गुणा किया जाता है, तो एक स्यूडोवेक्टर बन जाता है|स्यूडोवेक्टर (अक्षीय वेक्टर); एक समान निर्माण  स्यूडोटेन्सर  बनाता है।

गणितीय रूप से, एक स्यूडोस्केलर एक सदिश स्थान की शीर्ष बाहरी शक्ति, या क्लिफ़ोर्ड बीजगणित की शीर्ष शक्ति का एक तत्व है; स्यूडोस्केलर (क्लिफ़ोर्ड बीजगणित) देखें। अधिक सामान्यतः, यह विभेदक मैनिफोल्ड के विहित बंडल का एक तत्व है।

भौतिकी में
भौतिकी में, एक स्यूडोस्केलर एक स्केलर (भौतिकी) के अनुरूप भौतिक मात्रा को दर्शाता है। दोनों भौतिक मात्राएँ हैं जो एक ही मान मानती हैं जो उचित घुमाव के तहत अपरिवर्तनीय है। हालाँकि, समता परिवर्तन के तहत, स्यूडोस्केलर अपने संकेतों को फ़्लिप करते हैं जबकि स्केलर ऐसा नहीं करते हैं। चूँकि एक समतल के माध्यम से परावर्तन (गणित) समता परिवर्तन के साथ एक घूर्णन का संयोजन है, छद्मस्केलर भी परावर्तन के तहत संकेत बदलते हैं।

प्रेरणा
भौतिकी में सबसे शक्तिशाली विचारों में से एक यह है कि जब कोई इन कानूनों का वर्णन करने के लिए उपयोग की जाने वाली समन्वय प्रणाली को बदलता है तो भौतिक कानून नहीं बदलते हैं। जब निर्देशांक अक्ष उलटे होते हैं तो एक स्यूडोस्केलर अपने संकेत को उलट देता है, यह बताता है कि यह भौतिक मात्रा का वर्णन करने के लिए सबसे अच्छी वस्तु नहीं है। 3डी-स्पेस में, छद्मवेक्टर द्वारा वर्णित मात्राएं क्रम 2 के एंटीसिमेट्रिक टेंसर हैं, जो व्युत्क्रम के तहत अपरिवर्तनीय हैं। छद्मवेक्टर उस मात्रा का एक सरल प्रतिनिधित्व हो सकता है, लेकिन व्युत्क्रम के तहत संकेत के परिवर्तन से ग्रस्त है। इसी तरह, 3डी-स्पेस में, एक अदिश का हॉज दोहरे  3-आयामी लेवी-सिविटा प्रतीक के स्थिर समय के बराबर होता है|लेवी-सिविटा स्यूडोटेंसर (या क्रमपरिवर्तन स्यूडोटेंसर); जबकि स्यूडोस्केलर का हॉज डुअल क्रम तीन का एक एंटी-सिमेट्रिक (शुद्ध) टेंसर है। लेवी-सिविटा स्यूडोटेंसर एक पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक टेन्सर है | ऑर्डर 3 का एंटी-सिमेट्रिक स्यूडोटेंसर है। चूंकि स्यूडोस्केलर का दोहरा दो छद्म-मात्राओं का उत्पाद है, परिणामी टेन्सर एक सच्चा टेन्सर है, और व्युत्क्रमण पर संकेत नहीं बदलता है कुल्हाड़ियों का. स्थिति स्यूडोवेक्टर और ऑर्डर 2 के एंटी-सिमेट्रिक टेन्सर की स्थिति के समान है। स्यूडोवेक्टर का डुअल ऑर्डर 2 (और इसके विपरीत) का एंटी-सिमेट्रिक टेन्सर है। समन्वय व्युत्क्रम के तहत टेंसर एक अपरिवर्तनीय भौतिक मात्रा है, जबकि छद्मवेक्टर अपरिवर्तनीय नहीं है।

स्थिति को किसी भी आयाम तक बढ़ाया जा सकता है। आम तौर पर एन-डायमेंशनल स्पेस में ऑर्डर आर टेंसर का हॉज डुअल ऑर्डर का एक एंटी-सिमेट्रिक स्यूडोटेंसर होगा (n − r) और इसके विपरीत। विशेष रूप से, विशेष सापेक्षता के चार-आयामी स्पेसटाइम में, एक स्यूडोस्केलर चौथे क्रम के टेंसर का दोहरा होता है और चार-आयामी लेवी-सिविटा प्रतीक | लेवी-सिविटा स्यूडोटेंसर के समानुपाती होता है।

उदाहरण

 * स्ट्रीम फ़ंक्शन $$\psi(x,y)$$ द्वि-आयामी, असंपीड्य द्रव प्रवाह के लिए $$\mathbf{v}\left(x,y\right)=\left\langle \partial_{y}\psi,-\partial_{x}\psi\right\rangle $$.
 * चुंबकीय आवेश एक छद्मस्केलर है क्योंकि इसे गणितीय रूप से परिभाषित किया गया है, भले ही यह भौतिक रूप से मौजूद हो या नहीं।
 * चुंबकीय प्रवाह एक वेक्टर (सतह सामान्य) और स्यूडोवेक्टर (चुंबकीय क्षेत्र) के बीच एक डॉट उत्पाद का परिणाम है।
 * हेलिसिटी (कण भौतिकी) एक स्पिन (भौतिकी) स्यूडोवेक्टर का संवेग की दिशा (एक सच्चा वेक्टर) पर प्रक्षेपण (डॉट उत्पाद) है।
 * स्यूडोस्केलर कण, यानी स्पिन 0 और विषम समता वाले कण, यानी, तरंग फ़ंक्शन के साथ कोई आंतरिक स्पिन वाला कण जो पैरिटी (भौतिकी) के तहत संकेत बदलता है। उदाहरण स्यूडोस्केलर मेसन हैं।

ज्यामितीय बीजगणित में
ज्यामितीय बीजगणित में एक स्यूडोस्केलर बीजगणित का उच्चतम श्रेणी वाला वेक्टर स्पेस तत्व है। उदाहरण के लिए, दो आयामों में दो ऑर्थोगोनल आधार वेक्टर हैं, $$e_1$$, $$e_2$$ और संबंधित उच्चतम श्रेणी का आधार तत्व है


 * $$e_1 e_2 = e_{12}.$$

तो एक स्यूडोस्केलर ई का गुणज है12. तत्व ई12 वर्ग -1 तक और सभी सम तत्वों के साथ भ्रमण करता है - इसलिए जटिल संख्याओं में काल्पनिक अदिश i की तरह व्यवहार करता है। ये अदिश-जैसे गुण ही हैं जो इसके नाम को जन्म देते हैं।

इस सेटिंग में, एक स्यूडोस्केलर समता व्युत्क्रम के तहत चिह्न बदलता है, यदि


 * (इ1, यह है2) → (में1, में2)

तब, आधार का परिवर्तन एक ऑर्थोगोनल परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है


 * इ1e2 → यू1u2 = ±e1e2,

जहां संकेत परिवर्तन के निर्धारक पर निर्भर करता है। इस प्रकार ज्यामितीय बीजगणित में स्यूडोस्केलर भौतिकी में स्यूडोस्केलर के अनुरूप होते हैं।