पुनरावृत्त फलन

गणित में, एक पुनरावृत्त फलन एक फलन होता है $F$ (यानी, कुछ सेट (गणित) से एक फ़ंक्शन $X$ खुद के लिए) जो फ़ंक्शन संरचना द्वारा किसी अन्य फ़ंक्शन द्वारा प्राप्त किया जाता है $X → X$ खुद के साथ एक निश्चित संख्या में। एक ही कार्य को बार-बार लागू करने की प्रक्रिया को पुनरावृत्ति कहा जाता है। इस प्रक्रिया में, किसी आरंभिक ऑब्जेक्ट से शुरू करके, दिए गए फ़ंक्शन को लागू करने के परिणाम को फिर से इनपुट के रूप में फ़ंक्शन में फीड किया जाता है, और यह प्रक्रिया दोहराई जाती है। उदाहरण के लिए दाईं ओर की छवि पर: समारोह संरचना के वृत्ताकार प्रतीक के साथ।
 * L = $\mathit{F}\,$( K ),   M = $\mathit{F}\,\circ \mathit{F}\,$( K ) = $\mathit{F}\;^{2}\,$( K ),

कंप्यूटर विज्ञान, भग्न, गतिशील प्रणाली, गणित और पुनर्सामान्यीकरण समूह भौतिकी में पुनरावृत्त कार्य अध्ययन की वस्तुएं हैं।

परिभाषा
सेट (गणित) X पर पुनरावृत्त फ़ंक्शन की औपचारिक परिभाषा इस प्रकार है।

होने देना $X$ एक सेट हो और $f : X → X$ एक फ़ंक्शन (गणित) हो।

परिभाषित $f: X → X$ के n-वें पुनरावृति के रूप में $f$ (हंस हेनरिक बर्मन द्वारा पेश किया गया एक अंकन और  जॉन फ्रेडरिक विलियम हर्शेल     ), जहां n एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक है, द्वारा: $$f^0 ~  \stackrel{\mathrm{def}}{=}  ~ \operatorname{id}_X$$ और $$f^{n+1} ~ \stackrel{\mathrm{def}}{=} ~ f \circ f^{n},$$ कहाँ $f ^{n}$ पहचान कार्य चालू है $X$ और $id_{X}$ फ़ंक्शन संरचना को दर्शाता है। वह है,

हमेशा सहयोगी।

क्योंकि अंकन $f○g$ फ़ंक्शन के दोनों पुनरावृत्ति (संरचना) को संदर्भित कर सकता है $f$ या घातांक#पुनरावृत्त कार्य $f$ (उत्तरार्द्ध आमतौर पर त्रिकोणमितीय कार्यों में उपयोग किया जाता है), कुछ गणितज्ञ उपयोग करना चुनें $(f○g)(x) = f (g(x))$ रचनात्मक अर्थ, लेखन को निरूपित करने के लिए $f ^{n}$ के लिए $n$- समारोह का पुनरावृति $∘$, के रूप में, उदाहरण के लिए, $f(x)$ अर्थ $f(x)$. इसी उद्देश्य के लिए, $f(x)$ का उपयोग बेंजामिन पीयर्स द्वारा किया गया था जबकि अल्फ्रेड प्रिंगशाइम और जूल्स मोल्क ने सुझाव दिया $f(f(f(x)))$ बजाय।

एबेलियन संपत्ति और पुनरावृत्ति क्रम
सामान्य तौर पर, निम्नलिखित सर्वसमिका सभी गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए लागू होती है $m$ और $n$,


 * $$f^m \circ f^n =  f^n \circ f^m = f^{m+n}~.$$

यह संरचनात्मक रूप से घातांक की संपत्ति के समान है $f ^{[n]}(x)$, यानी विशेष मामला $f ^{(n)}$.

सामान्य तौर पर, मनमाना सामान्य (नकारात्मक, गैर-पूर्णांक, आदि) सूचकांकों के लिए $m$ और $n$, इस संबंध को अनुवाद कार्यात्मक समीकरण कहा जाता है, cf. श्रोडर का समीकरण और एबेल समीकरण। एक लघुगणकीय पैमाने पर, यह चेबीशेव बहुपदों की नेस्टिंग संपत्ति को कम कर देता है, $n$, तब से $f(x)$.

रिश्ता $a^{m}a^{n} = a^{m + n}$ भी धारण करता है, घातांक की संपत्ति के अनुरूप  $f(x) = ax$.

कार्यों का क्रम $T_{m}(T_{n}(x)) = T_{m n}(x)$ को पिकार्ड अनुक्रम कहा जाता है,  चार्ल्स एमिल पिकार्ड के नाम पर।

किसी प्रदत्त के लिए $x$ में $X$, मानों का क्रम $T_{n}(x) = cos(n arccos(x))$ की कक्षा (गतिकी) कहलाती है $x$.

अगर $(f^{ m})^{n}(x) = (f^{ n})^{m}(x) = f^{ mn}(x)$ कुछ पूर्णांक के लिए $(a^{m})^{n} = (a^{n})^{m} = a^{mn}$, कक्षा को आवर्ती कक्षा कहा जाता है। सबसे छोटा ऐसा मूल्य $m$ किसी प्रदत्त के लिए $x$ को कक्षा की अवधि कहा जाता है। बिंदु $x$ को ही आवर्त बिन्दु कहते हैं। कंप्यूटर विज्ञान में चक्र का पता लगाने की समस्या एक कक्षा में पहला आवधिक बिंदु और कक्षा की अवधि खोजने की कलन विधि समस्या है।

निश्चित बिंदु
अगर $f ^{n}$ कुछ के लिए $x$ में $X$ (यानी, की कक्षा की अवधि $x$ है $f^{n}(x)$), तब $x$ को पुनरावृत्त अनुक्रम का एक निश्चित बिंदु (गणित) कहा जाता है। स्थिर बिन्दुओं के समुच्चय को प्राय: निरूपित किया जाता है $f ^{n} (x) = f ^{n+m} (x)$. कई निश्चित-बिंदु प्रमेय मौजूद हैं जो विभिन्न स्थितियों में निश्चित बिंदुओं के अस्तित्व की गारंटी देते हैं, जिसमें बनच निश्चित बिंदु प्रमेय और ब्रोवर निश्चित बिंदु प्रमेय शामिल हैं।

निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति द्वारा उत्पादित अनुक्रमों के अभिसरण त्वरण के लिए कई तकनीकें हैं। उदाहरण के लिए, ऐटकेन विधि को पुनरावृत्त निश्चित बिंदु पर लागू किया जाता है जिसे स्टीफ़ेंसन की विधि के रूप में जाना जाता है, और द्विघात अभिसरण उत्पन्न करता है।

सीमित व्यवहार
पुनरावृति पर, कोई यह पा सकता है कि ऐसे सेट हैं जो सिकुड़ते हैं और एक बिंदु की ओर अभिसरण करते हैं। ऐसे मामले में, जिस बिंदु पर अभिसरण होता है उसे एक आकर्षक निश्चित बिंदु के रूप में जाना जाता है। इसके विपरीत, पुनरावृति एक बिंदु से अलग होने वाले बिंदुओं का आभास दे सकती है; यह अस्थिर निश्चित बिंदु के मामले में होगा। जब कक्षा के बिंदु एक या अधिक सीमाओं में अभिसरण करते हैं, तो कक्षा के संचय बिंदुओं के सेट को सीमा सेट या ω-सीमा सेट के रूप में जाना जाता है।

आकर्षण और प्रतिकर्षण के विचार समान रूप से सामान्य होते हैं; पुनरावृत्ति के तहत छोटे पड़ोस (गणित) के व्यवहार के अनुसार, पुनरावृति को स्थिर कई गुना और अस्थिर सेट में वर्गीकृत किया जा सकता है। (विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएं भी देखें।)

अन्य सीमित व्यवहार संभव हैं; उदाहरण के लिए, भटकने वाले बिंदु वे बिंदु होते हैं जो दूर चले जाते हैं, और जहां से उन्होंने शुरू किया था, उसके करीब कभी वापस नहीं आते हैं।

अपरिवर्तनीय माप
यदि कोई व्यक्तिगत बिंदु गतिकी के बजाय घनत्व वितरण के विकास पर विचार करता है, तो सीमित व्यवहार अपरिवर्तनीय माप द्वारा दिया जाता है। इसे बार-बार पुनरावृत्ति के तहत बिंदु-बादल या धूल-बादल के व्यवहार के रूप में देखा जा सकता है। अपरिवर्तनीय माप रूले-फ्रोबेनियस-पेरॉन ऑपरेटर या ट्रांसफर ऑपरेटर का एक ईजेनस्टेट है, जो 1 के ईजेनवेल्यू के अनुरूप है। छोटे ईजेनवेल्यूज अस्थिर, क्षयकारी राज्यों के अनुरूप हैं।

सामान्य तौर पर, क्योंकि बार-बार चलना एक शिफ्ट, ट्रांसफर ऑपरेटर और उसके सहायक से मेल खाता है, व्यापारी संचालिका को शिफ्ट स्पेस पर शिफ्ट ऑपरेटर की कार्रवाई के रूप में व्याख्या की जा सकती है। परिमित प्रकार के उपशिफ्ट का सिद्धांत कई पुनरावृत्त कार्यों में सामान्य अंतर्दृष्टि प्रदान करता है, विशेष रूप से वे जो अराजकता की ओर ले जाते हैं।

भिन्नात्मक पुनरावृति और प्रवाह, और ऋणात्मक पुनरावृति
धारणा $m>0$ का उपयोग समीकरण के समय सावधानी से किया जाना चाहिए $f(x) = x$ के कई समाधान हैं, जो आम तौर पर होता है, जैसा कि कार्यात्मक वर्गमूल | पहचान मानचित्र के कार्यात्मक जड़ों के बैबेज के समीकरण में है। उदाहरण के लिए, के लिए $1$ और $Fix(f)$, दोनों $f$ और $g^{n}(x) = f(x)$ समाधान हैं; तो अभिव्यक्ति $n = 2$ एक अद्वितीय कार्य को निरूपित नहीं करता है, जैसे संख्याओं में कई बीजगणितीय जड़ें होती हैं। यह मुद्दा अंकगणित में शून्य#Algebra|0/0 द्वारा अभिव्यक्ति विभाजन के समान है। f का तुच्छ मूल सदैव प्राप्त किया जा सकता है यदि f's डोमेन को पर्याप्त रूप से बढ़ाया जा सकता है, cf. चित्र। चुनी गई जड़ें आमतौर पर अध्ययन के तहत कक्षा से संबंधित होती हैं।

किसी फ़ंक्शन के भिन्नात्मक पुनरावृति को परिभाषित किया जा सकता है: उदाहरण के लिए, किसी फ़ंक्शन का कार्यात्मक वर्गमूल $π/6$ एक कार्य है $1/2$ ऐसा है कि $f(x) = 4x − 6$. यह समारोह $g(x) = 6 − 2x$ को इंडेक्स नोटेशन के रूप में लिखा जा सकता है $g(x) = 2x − 2$. इसी प्रकार, $f^{ 1/2}(x)$ ऐसा कार्य है जिसे परिभाषित किया गया है $g(g(x)) = f(x)$, जबकि $g(x)$ के बराबर परिभाषित किया जा सकता है $f^{ 1/2}(x)$, और इत्यादि, सभी उस सिद्धांत पर आधारित हैं, जिसका उल्लेख पहले किया जा चुका है $f^{ 1/3}(x)$. इस विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है ताकि पुनरावृति गिनती हो $π/6$ एक निरंतर पैरामीटर बन जाता है, एक सतत कक्षा (गतिकी) का निरंतर समय। ऐसे मामलों में, सिस्टम को प्रवाह (गणित) के रूप में संदर्भित किया जाता है। (cf. नीचे #Conjugacy पर अनुभाग।)

नकारात्मक पुनरावृत्त कार्य व्युत्क्रम और उनकी रचनाओं के अनुरूप हैं। उदाहरण के लिए, $f^{1/3}(f^{1/3}(f^{1/3}(x))) = f(x)$ का सामान्य प्रतिलोम है $f$, जबकि $f(x)$ स्वयं से बना प्रतिलोम है, अर्थात $f(f(x))$. फ्रैक्शनल नेगेटिव इटरेट्स को फ्रैक्शनल पॉजिटिव के अनुरूप परिभाषित किया जाता है; उदाहरण के लिए, $f^{ m} ○ f^{ n} = f^{ m + n}$ इस प्रकार परिभाषित किया गया है $f^{ −1}(x)$, या, समकक्ष, जैसे कि $f^{ −2}(x)$.

आंशिक पुनरावृत्ति के लिए कुछ सूत्र
भिन्नात्मक पुनरावृति के लिए एक श्रृंखला सूत्र खोजने के कई तरीकों में से एक, एक निश्चित बिंदु का उपयोग करते हुए, इस प्रकार है। f^n(x) = f^n(a) + (x-a)\left.\frac{d}{dx}f^n(x)\right|_{x=a} + \frac{(x-a)^2}2\left.\frac{d^2}{dx^2}f^n(x)\right|_{x=a} +\cdots $$ f^n(x) = f^n(a) + (x-a) f'(a)f'(f(a))f'(f^2(a))\cdots f'(f^{n-1}(a)) + \cdots $$ f^n(x) = a + (x-a) f'(a)^n + \frac{(x-a)^2}2(f''(a)f'(a)^{n-1})\left(1+f'(a)+\cdots+f'(a)^{n-1} \right)+\cdots $$ f^n(x) = a + (x-a) f'(a)^n + \frac{(x-a)^2}2(f''(a)f'(a)^{n-1})\frac{f'(a)^n-1}{f'(a)-1}+\cdots $$ एक विशेष मामला है जब $f^{ −2}(x) = f^{ −1}(f^{ −1}(x))$, $$ f^n(x) = x + \frac{(x-a)^2}2(n f(a))+ \frac{(x-a)^3}6\left(\frac{3}{2}n(n-1) f(a)^2 + n f'''(a)\right)+\cdots $$ यह अनिश्चित काल तक किया जा सकता है, हालांकि अक्षम रूप से, क्योंकि बाद की शर्तें तेजी से जटिल हो जाती हैं। संयुग्मता पर निम्नलिखित खंड में एक अधिक व्यवस्थित प्रक्रिया की रूपरेखा दी गई है।
 * 1) पहले फ़ंक्शन के लिए एक निश्चित बिंदु निर्धारित करें जैसे कि $f^{ −1/2}(x)$.
 * 2) परिभाषित करना $f^{ −1/2}(f^{ −1/2}(x)) = f^{ −1}(x)$ सभी n के लिए वास्तविक से संबंधित है। यह, कुछ मायनों में, भिन्नात्मक पुनरावृति पर रखने के लिए सबसे स्वाभाविक अतिरिक्त स्थिति है।
 * 3) बढ़ाना $f^{ −1/2}(f^{ 1/2}(x)) = f^{ 0}(x) = x$ निश्चित बिंदु के आसपास एक टेलर श्रृंखला के रूप में, $$
 * 1) विस्तार करें $$
 * 1) के लिए स्थानापन्न करें $f(a) = a$, किसी भी कश्मीर के लिए, $$
 * 1) शर्तों को सरल बनाने के लिए ज्यामितीय प्रगति का उपयोग करें, $$

उदाहरण 1
उदाहरण के लिए, सेटिंग $f ^{n}(a) = a$ निश्चित बिंदु देता है $f^{n}(x)$, इसलिए उपरोक्त सूत्र सिर्फ पर समाप्त होता है $$ f^n(x)=\frac{D}{1-C} + \left(x-\frac{D}{1-C}\right)C^n=C^nx+\frac{1-C^n}{1-C}D ~, $$ जो जांच के लिए तुच्छ है।

उदाहरण 2
का मान ज्ञात कीजिए $$\sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} }$$ जहां यह n बार किया जाता है (और संभावित रूप से इंटरपोलेटेड मान जब n पूर्णांक नहीं होता है)। अपने पास $f(a) = a$. एक स्थिर बिन्दु है $f '(a) = 1$.

सो सेट $f(x) = Cx + D$ और $a = D/(1 − C)$ 2 के निश्चित बिंदु मान के चारों ओर विस्तारित तब एक अनंत श्रृंखला है, $$ \sqrt{2}^{ \sqrt{2}^{\sqrt{2}^{\cdots}} } = f^n(1) = 2 - (\ln 2)^n + \frac{(\ln 2)^{n+1}((\ln 2)^n-1)}{4(\ln 2-1)} - \cdots $$ जो, केवल पहले तीन शब्दों को लेते हुए, पहले दशमलव स्थान पर सही होता है जब n धनात्मक-cf होता है। टेट्रेशन: $f(x) = √2^{x}$. (अन्य निश्चित बिंदु का उपयोग करना $a = f(2) = 2$ श्रृंखला को अलग करने का कारण बनता है।)

के लिए $x = 1$, श्रृंखला प्रतिलोम फलन की गणना करती है $g$.

उदाहरण 3
समारोह के साथ $f ^{n} (1)$, श्रृंखला प्राप्त करने के लिए निश्चित बिंदु 1 के चारों ओर विस्तार करें $$ f^n(x) = 1 + b^n(x-1) + \frac{1}2b^{n}(b^n-1)(x-1)^2 + \frac{1}{3!}b^n (b^n-1)(b^n-2)(x-1)^3 + \cdots ~, $$ जो केवल x की टेलर श्रृंखला है(बी n ) लगभग 1 बड़ा हुआ।

संयुग्मन
अगर $n$ और $f$ दो पुनरावृत्त कार्य हैं, और एक होमियोमोर्फिज्म मौजूद है $2 ln x⁄ln 2$ ऐसा है कि $f ^{n}(1) = ^{n}√2$,  तब $f$ और $g$ स्थलाकृतिक संयुग्मन कहा जाता है।

स्पष्ट रूप से, सामयिक संयुग्मन पुनरावृत्ति के तहत संरक्षित है, जैसा कि $1=a = f(4) = 4$. इस प्रकार, यदि कोई एक पुनरावृत्त कार्य प्रणाली के लिए हल कर सकता है, तो उसके पास सभी स्थैतिक रूप से संयुग्मित प्रणालियों के लिए भी समाधान हैं। उदाहरण के लिए, टेंट का नक्शा स्थलीय रूप से रसद मानचित्र के साथ जुड़ा हुआ है। एक विशेष मामले के रूप में, लेना $n = −1$, एक की पुनरावृत्ति है $f(x) = x^{b}$ जैसा
 * $g = h^{−1} ○ f ○ h$,   किसी भी समारोह के लिए $h$.

प्रतिस्थापन बनाना $g^{n} = h^{−1} ○ f ^{n} ○ h$ पैदावार
 * $f(x) = x + 1$,   एबेल समीकरण के रूप में जाना जाने वाला एक रूप।

यहां तक ​​​​कि एक निश्चित बिंदु के पास एक सख्त होमोमोर्फिज्म की अनुपस्थिति में, यहां पर होने के लिए लिया गया $f$ = 0, $g$(0) = 0, कोई अक्सर हल कर सकता है फ़ंक्शन Ψ के लिए श्रोडर का समीकरण, जो बनाता है $g(x) = h^{&minus;1}(h(x) + 1)$ स्थानीय रूप से एक मात्र फैलाव के लिए संयुग्मित, $g^{n}(x) = h^{&minus;1}(h(x) + n)$, वह है

इस प्रकार, इसकी पुनरावृति कक्षा, या प्रवाह, उपयुक्त प्रावधानों के तहत (जैसे, $x = h^{&minus;1}(y) = ϕ(y)$), मोनोमियल की कक्षा के संयुग्म के बराबर है,

कहाँ $h$ इस अभिव्यक्ति में एक सादे प्रतिपादक के रूप में कार्य करता है: कार्यात्मक पुनरावृत्ति को गुणन में घटा दिया गया है! यहाँ, हालांकि, प्रतिपादक $x$ अब पूर्णांक या धनात्मक होने की आवश्यकता नहीं है, और पूर्ण कक्षा के लिए विकास का एक सतत समय है: पिकार्ड अनुक्रम का मोनोइड (cf. परिवर्तन अर्धसमूह) एक पूर्ण निरंतर समूह के लिए सामान्यीकृत है।

यह विधि (प्रिंसिपल eigenfunction Ψ, cf. कार्लमैन मैट्रिक्स का अनुगामी निर्धारण) पिछले अनुभाग के एल्गोरिथम के समतुल्य है, यद्यपि, व्यवहार में, अधिक शक्तिशाली और व्यवस्थित।

मार्कोव चेन
यदि फ़ंक्शन रैखिक है और एक स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स  द्वारा वर्णित किया जा सकता है, अर्थात एक मैट्रिक्स जिसकी पंक्तियों या स्तंभों का योग एक है, तो पुनरावृत्त प्रणाली को मार्कोव श्रृंखला के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण
अराजक नक्शों की सूची है। जाने-माने पुनरावृत्त कार्यों में मैंडेलब्रॉट सेट और पुनरावृत्त फ़ंक्शन सिस्टम शामिल हैं।

अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ)|अर्नस्ट श्रोडर, 1870 में, रसद मानचित्र के विशेष मामलों, जैसे अराजक मामले पर काम किया $g(ϕ(y)) = ϕ(y+1)$, ताकि $f(x)$, इस तरह $g(x) = f '(0) x$.

एक अराजक मामला श्रोडर ने भी अपनी पद्धति से चित्रित किया, $f(x) = Ψ^{−1}(f '(0) Ψ(x))$, प्राप्त हुआ $f '(0) ≠ 1$, और इसलिए $Ψ^{−1}(f '(0)^{n} Ψ(x))$.

अगर $f$ एक सेट पर समूह तत्व की समूह क्रिया (गणित) है, तो पुनरावृत्त फ़ंक्शन एक मुक्त समूह से मेल खाता है।

अधिकांश कार्यों में एन-वें पुनरावृत्त के लिए स्पष्ट सामान्य बंद-रूप अभिव्यक्ति नहीं होती है। नीचे दी गई तालिका कुछ सूचीबद्ध करती है यह काम करता है। ध्यान दें कि ये सभी भाव गैर-पूर्णांक और ऋणात्मक n के साथ-साथ गैर-ऋणात्मक पूर्णांक n के लिए भी मान्य हैं।

नोट: के ये दो विशेष मामले $f ^{n}(x) = Ψ^{−1}((ln 2)^{n} Ψ(x))$ केवल ऐसे मामले हैं जिनका एक बंद-रूप समाधान है। क्रमशः b = 2 = -a और b = 4 = -a चुनने से, उन्हें तालिका से पहले चर्चा किए गए गैर-अराजक और अराजक रसद मामलों में कम कर दिया जाता है।

इनमें से कुछ उदाहरण आपस में सरल संयुग्मन द्वारा संबंधित हैं। कुछ और उदाहरण, अनिवार्य रूप से श्रोडर के उदाहरणों की सरल संयुग्मन के लिए रेफ में पाए जा सकते हैं।

अध्ययन के साधन
पुनरावृत्त कार्यों का अध्ययन आर्टिन-मज़ूर जेटा फ़ंक्शन और स्थानांतरण ऑपरेटरों के साथ किया जा सकता है।

कंप्यूटर विज्ञान में
कंप्यूटर विज्ञान में, पुनरावृत्त कार्य पुनरावर्तन (कंप्यूटर विज्ञान) के एक विशेष मामले के रूप में होते हैं, जो बदले में लैम्ब्डा कैलकुस, या संकुचित वाले जैसे व्यापक विषयों के अध्ययन को एंकर करते हैं, जैसे कंप्यूटर प्रोग्राम के सांकेतिक शब्दार्थ

पुनरावृत्त कार्यों के संदर्भ में परिभाषाएँ
दो महत्वपूर्ण कार्यात्मक (गणित) को पुनरावृत्त कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। ये योग हैं:



\left\{b+1,\sum_{i=a}^b g(i)\right\} \equiv \left( \{i,x\} \rightarrow \{ i+1 ,x+g(i) \}\right)^{b-a+1} \{a,0\} $$ और समकक्ष उत्पाद:



\left\{b+1,\prod_{i=a}^b g(i)\right\} \equiv \left( \{i,x\} \rightarrow \{ i+1 ,x g(i) \}\right)^{b-a+1} \{a,1\} $$

कार्यात्मक व्युत्पन्न
पुनरावृत्त फ़ंक्शन का कार्यात्मक व्युत्पन्न पुनरावर्ती सूत्र द्वारा दिया जाता है:


 * $$\frac{ \delta f^N(x)}{\delta f(y)} = f'( f^{N-1}(x) ) \frac{ \delta f^{N-1}(x)}{\delta f(y)} + \delta( f^{N-1}(x) - y ) $$

झूठ का डेटा परिवहन समीकरण
संयुक्त कार्यों के श्रृंखला विस्तार में इटरेटेड फ़ंक्शंस फ़सल होते हैं, जैसे $Ψ(√2^{x}) = ln 2 Ψ(x)$.

कोएनिग्स फ़ंक्शन को देखते हुए # यूनिवेलेंट सेमिग्रुप्स की संरचना, या बीटा फ़ंक्शन (भौतिकी),
 * $$v(x) = \left. \frac{\partial f^n(x)}{\partial n} \right|_{n=0}$$ के लिए $n$वें समारोह की पुनरावृति $n$, अपने पास

g(f(x)) = \exp\left[ v(x) \frac{\partial}{\partial x} \right] g(x). $$ उदाहरण के लिए, कठोर संवहन के लिए, यदि $(f ^{m}(x) − 2)/(ln 2)^{m}$, तब $f(x) = 4x(1 − x)$. फलस्वरूप, $Ψ(x) = arcsin^{2}(\sqrt{x})$, प्लेन शिफ्ट ऑपरेटर द्वारा कार्रवाई।

इसके विपरीत, कोई निर्दिष्ट कर सकता है $f ^{n}(x) = sin^{2}(2^{n} arcsin(\sqrt{x}))$ एक मनमाना दिया $f(x) = 2x(1 − x)$, ऊपर चर्चा किए गए सामान्य एबेल समीकरण के माध्यम से,

f(x) = h^{-1}(h(x)+1) , $$ कहाँ

h(x) = \int \frac{1}{v(x)} \, dx. $$ यह बात नोट करने से पता चलता है
 * $$f^n(x)=h^{-1}(h(x)+n)~.$$

निरंतर पुनरावृत्ति सूचकांक के लिए $f$, फिर, अब एक सबस्क्रिप्ट के रूप में लिखा गया है, यह एक सतत समूह के झूठ की प्रसिद्ध घातीय प्राप्ति के बराबर है,
 * $$e^{t~\frac{\partial }{\partial h(x)}} g(x)= g(h^{-1}(h(x )+t))= g(f_t(x)).$$

प्रारंभिक प्रवाह वेग $n$ पूरे प्रवाह को निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है, इस घातीय अहसास को देखते हुए जो स्वचालित रूप से अनुवाद कार्यात्मक समीकरण का सामान्य समाधान प्रदान करता है, :$$f_t(f_\tau (x))=f_{t+\tau} (x) ~.$$

यह भी देखें

 * तर्कहीन घुमाव
 * पुनरावृत्त समारोह प्रणाली
 * पुनरावर्ती विधि
 * घूर्णन संख्या
 * सरकोवस्की की प्रमेय
 * भिन्नात्मक कलन
 * पुनरावृत्ति संबंध
 * श्रोडर का समीकरण
 * कार्यात्मक वर्गमूल
 * हाबिल समारोह
 * विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
 * प्रवाह (गणित)
 * टेट्रेशन
 * कार्यात्मक समीकरण

बाहरी कड़ियाँ
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