टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन

ज्यामिति में, एक toroidल बहुतल एक पॉलीहेड्रॉन होता है जो एक टोरॉयड भी होता है (ए $g$-होलेड टोरस), एक टोपोलॉजी (गणित) जीनस (गणित) ($g$) 1 या अधिक का। उल्लेखनीय उदाहरणों में सेस्ज़ार पॉलीहेड्रॉन | सेस्ज़ार और सिलासी पॉलीहेड्रॉन शामिल हैं।

परिभाषा में बदलाव
टॉरॉयडल पॉलीहेड्रा को बहुभुजों के संग्रह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उनके किनारों और कोने पर मिलते हैं, जैसा कि वे करते हैं। अर्थात्, प्रत्येक किनारे को बिल्कुल दो बहुभुजों द्वारा साझा किया जाना चाहिए, और प्रत्येक शीर्ष पर किनारे और चेहरे जो शीर्ष पर मिलते हैं, उन्हें वैकल्पिक किनारों और चेहरों के एक चक्र में एक साथ जोड़ा जाना चाहिए, शीर्ष का लिंक (ज्यामिति)। टोरॉयडल पॉलीहेड्रा के लिए, यह कई गुना एक उन्मुखता है। कुछ लेखकों ने टोरोइडल पॉलीहेड्रा वाक्यांश को विशेष रूप से पॉलीहेड्रा को (जीनस 1) टोरस के समतुल्य के रूप में सीमित करने के लिए प्रतिबंधित किया है। इस क्षेत्र में, एम्बेडिंग टोरॉयडल पॉलीहेड्रा को अलग करना महत्वपूर्ण है, जिनके चेहरे त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में फ्लैट बहुभुज हैं जो खुद को या एक दूसरे को पार नहीं करते हैं, सार पॉलीहेड्रा से, टोपोलॉजिकल सतहों से बिना किसी निर्दिष्ट ज्यामितीय प्राप्ति के। इन दो चरम सीमाओं के बीच इंटरमीडिएट यूक्लिडियन अंतरिक्ष में ज्यामितीय बहुभुज या स्टार बहुभुज द्वारा गठित पॉलीहेड्रा हैं जो एक दूसरे को पार करने की अनुमति देते हैं।

इन सभी मामलों में पॉलीहेड्रॉन की टोरॉयडल प्रकृति को इसकी उन्मुखता और इसकी यूलर विशेषता के गैर-सकारात्मक होने से सत्यापित किया जा सकता है। यूलर की विशेषता वी - ई + एफ = 2 - 2 एन के लिए सामान्यीकृत होती है, जहां एन छेदों की संख्या है।

Császár और Szilassi पॉलीहेड्रा
सबसे सरल संभव एम्बेडेड टोरॉयडल पॉलीहेड्रा में से दो Császár और Szilassi पॉलीहेड्रा हैं।

Császár पॉलीहेड्रॉन 21 किनारों और 14 त्रिकोणीय चेहरों वाला सात-वर्टेक्स टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन है। यह और चतुष्फलक एकमात्र ज्ञात बहुफलक हैं जिसमें दो शीर्षों को जोड़ने वाला प्रत्येक संभव रेखा खंड बहुफलक का किनारा बनाता है। इसके दोहरे, स्ज़ीलासी पॉलीहेड्रॉन में सात षट्कोणीय चेहरे हैं जो सभी एक दूसरे से सटे हुए हैं, इसलिए चार रंग प्रमेय का आधा अस्तित्व प्रदान करना # सामान्यीकरण कि एक (जीनस एक) टोरस पर एक मानचित्र के लिए आवश्यक रंगों की अधिकतम संख्या सात है। Császár पॉलीहेड्रॉन में किसी भी एम्बेडेड टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन के सबसे कम संभव कोने हैं, और स्ज़ीलासी पॉलीहेड्रॉन में किसी भी एम्बेडेड टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन के सबसे कम संभव चेहरे हैं।

स्टीवर्ट टॉरॉयड्स
टोरॉयडल पॉलीहेड्रा की एक विशेष श्रेणी विशेष रूप से नियमित बहुभुज चेहरों द्वारा बनाई जाती है, क्रॉसिंग के बिना, और एक और प्रतिबंध के साथ कि आसन्न चेहरे एक दूसरे के समान विमान में नहीं हो सकते हैं। इन्हें स्टीवर्ट टॉरॉयड्स कहा जाता है, बोनी स्टीवर्ट के नाम पर, जिन्होंने उनका गहन अध्ययन किया। उत्तल पॉलीहेड्रॉन के मामले में वे जॉनसन ठोस के समान हैं; हालांकि, जॉनसन सॉलिड्स के विपरीत, असीम रूप से कई स्टीवर्ट टॉरॉयड्स हैं। इनमें टॉरॉयडल डेल्टाहेड्रोन, पॉलीहेड्रा भी शामिल हैं जिनके चेहरे सभी समबाहु त्रिभुज हैं।

स्टीवर्ट टोरॉयड्स का एक प्रतिबंधित वर्ग, जिसे स्टीवर्ट द्वारा भी परिभाषित किया गया है, अर्ध-उत्तल टॉरॉयडल पॉलीहेड्रा हैं। ये स्टीवर्ट टॉरॉयड्स हैं जिनमें उनके उत्तल हल्स के सभी किनारे शामिल हैं। ऐसे पॉलीहेड्रॉन के लिए, उत्तल पतवार का प्रत्येक चेहरा या तो टॉरॉयड की सतह पर स्थित होता है, या एक बहुभुज होता है, जिसके सभी किनारे टॉरॉयड की सतह पर होते हैं।

स्व-क्रॉसिंग पॉलीहेड्रा
एक पॉलीहेड्रॉन जो क्रॉसिंग पॉलीगॉन की एक प्रणाली द्वारा बनाई गई है, उसके पॉलीगोन और उनके साझा किनारों और कोने की प्रणाली द्वारा बनाई गई एक सार टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड से मेल खाती है, और पॉलीहेड्रॉन का जीनस इस अमूर्त मैनिफोल्ड से निर्धारित किया जा सकता है। उदाहरणों में जीनस-1 Octahemioctahedron, जीनस-3 छोटा क्यूबिकुबोक्टाहेड्रोन और जीनस-4 महान द्वादशफलक शामिल हैं।

क्राउन पॉलीहेड्रा
एक क्राउन पॉलीहेड्रॉन या स्टेफ़नॉइड एक टॉरॉयडल पॉलीहेड्रॉन है जो कि नोबल पॉलीहेड्रॉन भी है, जो समकोणीय आकृति (बराबर कोने) और आइसोहेड्रल आकृति (समान चेहरे) दोनों हैं। क्राउन पॉलीहेड्रा स्व-प्रतिच्छेदी हैं और स्थलाकृतिक रूप से स्व-द्वैत पॉलीहेड्रॉन हैं। स्व-द्वैत।

यह भी देखें

 * प्रक्षेपी बहुफलक
 * तिरछा एपिरोहेड्रोन (अनंत तिरछा पॉलीहेड्रॉन)
 * गोलाकार पॉलीहेड्रॉन
 * टॉरॉयडल ग्राफ

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * विविध
 * तारा बहुभुज
 * चतुर्पाश्वीय
 * उत्तल बहुफलक
 * छोटा क्यूबिक्यूबोक्टाहेड्रोन
 * स्व-दोहरी पॉलीहेड्रॉन
 * प्रोजेक्टिव पॉलीहेड्रॉन
 * इनफिनिटिमल्स का आकाश

बाहरी संबंध

 * Stewart Toroids (Toroidal Solids with Regular Polygon Faces)
 * Stewart's polyhedra
 * Toroidal Polyhedra
 * Stewart toroids
 * Stewart toroids