सामान्य उपसमूह

"अपरिवर्तनीय उपसमूह" यहां पुनर्निर्देश करता है। पूरी तरह अपरिवर्तनीय उपसमूह के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। अमूर्त बीजगणित में, सामान्य उपसमूह (जिसे एक अपरिवर्तनीय उपसमूह या स्व-संयुग्मित उपसमूह के रूप में भी जाना जाता है) उपसमूह है जो समूह (गणित) के सदस्यों द्वारा आंतरिक संयुग्मन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है, जिसका यह एक भाग है। दूसरे शब्दों में, एक उपसमूह $$N$$ समूह का $$G$$ में सामान्य है $$G$$ यदि और केवल यदि $$gng^{-1} \in N$$ सभी $$g \in G$$ और $$n \in N$$ के लिए है। इस संबंध के लिए सामान्य संकेतन $$N \triangleleft G$$ है।

सामान्य उपसमूह महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे (और केवल वे) दिए गए समूह के भागफल समूह के निर्माण के लिए उपयोग किए जा सकते हैं। इसके अतिरिक्त, $$G$$ के सामान्य उपसमूह प्रक्षेत्र $$G,$$ के साथ समूह समरूपता के कर्नेल हैं जिसका अर्थ है कि उनका उपयोग उन समरूपताओं को आंतरिक रूप से वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

एवरिस्ट गैलोइस सामान्य उपसमूहों के अस्तित्व के महत्व को समझने वाले पहले व्यक्ति थे।

परिभाषाएँ
समूह $$G$$ के उपसमूह $$N$$ को $$G$$ का सामान्य उपसमूह कहा जाता है यदि यह आंतरिक संयुग्मन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है; अर्थात् $$G$$ के एक तत्व द्वारा $$N$$ के एक तत्व का संयुग्मन हमेशा $$N$$ मे होता है। इस संबंध के लिए सामान्य संकेतन $$N \triangleleft G$$ है।

समतुल्य शर्तें
$$G$$ के किसी भी उपसमूह $$N$$ के लिए, निम्नलिखित स्थितियाँ तार्किक तुल्यता $$N$$ के समान हैं जो $$G$$ का एक सामान्य उपसमूह है। इसलिए, उनमें से किसी एक को परिभाषा के रूप में लिया जा सकता है:


 * $$G$$ के किसी भी तत्व द्वारा $$N$$ के संयुग्मन की छवि का $$N$$ उपसमुच्चय है
 * $$G$$ के किसी भी तत्व द्वारा $$N$$ के संयुग्मन की छवि के $$N$$ बराबर है
 * सभी के लिए $$g \in G,$$ बाएँ और दाएँ सह-समुच्चय $$gN$$ और $$Ng$$ बराबर हैं।
 * $$G$$ में $$N$$ के बाएँ और दाएँ सहसमुच्चयों के समुच्चय के समान है।
 * $$g$$ के संबंध मे $$N$$ के बाएं सहसमुच्चय के एक तत्व का उत्पाद और $$h$$ के संबंध में $$N$$ के बाएं सहसमुच्चय का एक तत्व $$g h$$ है: सभीके संबंध में $$N$$ के बाएं सहसमुच्चय का एक तत्व $$x, y, g, h \in G,$$ यदि $$x \in g N$$और $$y \in h N$$ तब $$x y \in (g h) N$$ है।
 * $$N,$$$$G$$ के संयुग्मन वर्गों का एक संघ (समुच्चय सिद्धांत) है।
 * $$N$$ को $$G$$ के आंतरिक स्वसमाकृतिकता संरक्षित किया जाता है।
 * कुछ समूह समरूपता $$G \to H$$ है जिसका $$N$$ कर्नेल (बीजगणित) है।
 * $$G$$ पर कुछ सर्वांगसमता संबंध है जिसके लिए सर्वसमिका तत्व का तुल्यता वर्ग $$N$$ है।
 * सभी $$n\in N$$ और $$g\in G$$ के लिए, क्रमविनिमेयक $$[n,g] = n^{-1} g^{-1} n g$$ में $$N$$ है।
 * सामान्य उपसमूह सदस्यता संबंध के संबंध में किन्हीं दो तत्वों का आदान-प्रदान होता है। अर्थात $$g, h \in G,$$ $$g h \in N$$ सभी के लिए यदि और केवल यदि $$h g \in N$$ है।

उदाहरण
किसी भी समूह $$G$$ के लिए सामान्य उपसमूह $$\{ e \}$$ जिसमे सिर्फ $$G$$ का सर्वसमिका तत्व सम्मिलित है हमेशा $$G$$ का एक सामान्य उपसमूह होता है वैसे ही, $$G$$ स्वयं हमेशा $$G$$ एक सामान्य उपसमूह होता है (यदि ये केवल सामान्य उपसमूह हैं, तो $$G$$ सरल समूह कहा जाता है।) एकपक्षीय समूह के अन्य नामित सामान्य उपसमूहों में केंद्र (समूह सिद्धांत) (तत्वों का समूह जो अन्य सभी तत्वों के साथ परिवर्तन करता है) और क्रमविनिमेयक उपसमूह $$[G,G]$$ सम्मिलित हैं। अधिक सामान्य रूप से, चूंकि संयुग्मन एक समरूपता है, कोई भी विशेषता उपसमूह सामान्य उपसमूह है।

यदि $$G$$ प्रत्येक उपसमूह की तुलना में एक एबेलियन समूह है $$N$$ का $$G$$ सामान्य है, क्योंकि $$gN = \{gn\}_{n\in N} = \{ng\}_{n\in N} = Ng$$ समूह जो एबेलियन नहीं है, लेकिन जिसके लिए प्रत्येक उपसमूह सामान्य है, हैमिल्टनियन समूह कहलाता है।

सामान्य उपसमूह का एक मूर्त उदाहरण उपसमूह $$N = \{(1), (123), (132)\}$$है सममित समूह का $$S_3,$$ जिसमे सर्वसमिका और दोनों तीन चक्रों से सम्मिलित है। विशेष रूप से, कोई यह जांच सकता है कि $$N$$ प्रत्येक सहसमुच्चय या तो $$N$$ के बराबर है या $$(12)N = \{ (12), (23), (13)\}$$ के बराबर है दूसरी ओर, उपसमूह $$H = \{(1), (12)\}$$ में सामान्य $$S_3$$ नहीं है क्योंकि $$(123)H = \{(123), (13) \} \neq \{(123), (23) \} = H(123)$$ है। यह सामान्य तथ्य को दर्शाता है कि सूचकांक दो का कोई भी उपसमूह $$H \leq G$$ सामान्य है।

रुबिक के घन समूह में, संक्रिया वाले उपसमूह जो केवल कोणस्थ के भाग के उन्मुखीकरण को प्रभावित करते हैं, सामान्य होते हैं।

स्थानांतरण समूह किसी भी आयाम में यूक्लिडियन समूह का एक सामान्य उपसमूह है। इसका अर्थ है: एक अनमनीय परिवर्तन प्रयुक्त करना, उसके बाद एक अनुवाद और फिर व्युत्क्रम अनमनीय परिवर्तन, एकल अनुवाद के समान प्रभाव डालता है। इसके विपरीत, उत्पत्ति के बारे में सभी घूर्णनों का उपसमूह यूक्लिडियन समूह का सामान्य उपसमूह नहीं है, जब तक आयाम कम से कम 2 है: पहले अनुवाद करना, फिर उत्पत्ति के बारे में क्रमावर्ती करना, और फिर वापस अनुवाद करना सामान्य रूप से मूल को ठीक नहीं करेगा और इसलिए उत्पत्ति के बारे में क्रमावर्ती के समान प्रभाव नहीं होगा।

गुण

 * यदि $$H,$$ $$G$$ का सामान्य उपसमूह है और $$K$$ $$H,$$ युक्त $$G$$ का एक उपसमूह है तब $$H,$$ $$K$$ का सामान्य उपसमूह है।
 * किसी समूह के सामान्य उपसमूह के सामान्य उपसमूह का समूह में सामान्य होना आवश्यक नहीं है। अर्थात्, सामान्यता सकर्मक संबंध नहीं है। इस घटना को प्रदर्शित करने वाला सबसे छोटा समूह क्रम 8 का डायहेड्रल समूह है। हालांकि, सामान्य उपसमूह का एक विशेषता उपसमूह सामान्य है। समूह जिसमें सामान्यता सकर्मक होती है उसे T-समूह (गणित) कहा जाता है।
 * दो समूह $$G$$ और $$H$$ उनके समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद $$G \times H$$ के सामान्य उपसमूह हैं।
 * यदि समूह $$G$$ एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद $$G = N \rtimes H$$ है तब $$N$$ में सामान्य $$G$$ है यद्यपि $$H$$ में सामान्य $$G$$ नहीं होना चाहिए।
 * यदि $$M$$ और $$N$$ योगात्मक समूह के सामान्य उपसमूह $$G$$ हैं जैसे कि $$G = M + N$$ और $$M \cap N = \{0\}$$, तब $$G = M \oplus N$$
 * प्रक्षेप्य समरूपता के अंतर्गत सामान्यता संरक्षित है; अर्थात यदि $$G \to H$$ एक विशेषण समूह समरूपता है और $$N$$ में सामान्य $$G$$ है फिर छवि $$f(N)$$ में सामान्य $$H$$ है।
 * व्युत्क्रम छवि लेकर सामान्यता को बनाए रखा जाता है; अर्थात यदि $$G \to H$$ समूह समरूपता है और $$N$$ में सामान्य $$H$$ है, फिर प्रतिवृत चित्र $$f^{-1}(N)$$ में सामान्य $$G$$ है।
 * समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद लेने पर सामान्यता बनी रहती है; अर्थात यदि $$N_1 \triangleleft G_1$$ और $$N_2 \triangleleft G_2,$$ तब $$N_1 \times N_2\; \triangleleft \;G_1 \times G_2.$$
 * घातांक (समूह सिद्धांत) 2 का प्रत्येक उपसमूह सामान्य है। अधिक सामान्यतः, एक उपसमूह, $$H,$$ परिमित सूचकांक का $$n,$$ में $$G$$ उपसमूह सम्मिलित $$K$$ है, $$G$$ में सामान्य और सूचकांक विभाजन की $$n!$$ सामान्य कोर कहा जाता है। विशेष रूप से, यदि $$p$$ के क्रम को विभाजित करने वाला सबसे छोटा अभाज्य $$G$$ है, तब घातांक $$p$$ यह सामान्य है।
 * तथ्य यह है कि $$G$$ के सामान्य उपसमूह सामान्य उपसमूहों के महत्व में से कुछ के लिए $$G$$ गणनापर परिभाषित समूह समरूपता के कर्नेल हैं;; वे एक समूह पर परिभाषित सभी समरूपताओं को आंतरिक रूप से वर्गीकृत करने का एक तरीका हैं। उदाहरण के लिए, एक गैर-सर्वसमिका परिमित समूह सरल समूह है यदि और केवल यदि यह अपनी सभी गैर-सर्वसमिका समरूप छवियों के लिए समरूपी है, परिमित समूह पूर्ण समूह है यदि और केवल यदि उसके उपसमूह के मुख्य सूचकांक का कोई सामान्य उपसमूह नहीं है, और एक समूह अपूर्ण समूह है यदि और केवल यदि व्युत्पन्न उपसमूह किसी उपयुक्त सामान्य उपसमूह द्वारा पूरक नहीं है।

सामान्य उपसमूहों की लैटिस
दो सामान्य उपसमूहों को देखते हुए, $$N$$ और $$M,$$ का $$G,$$ उनका प्रतिच्छेदन $$N\cap M$$और उनका उत्पाद $$N M = \{n m : n \in N\; \text{ and }\; m \in M \}$$ के सामान्य उपसमूह भी $$G$$ हैं $$G$$ के सामान्य उपसमूह कम से कम तत्व के साथ उपसमुच्चय समावेशन के अंतर्गत लैटिस (आदेश) $$\{ e \}$$ बनाएं, और सबसे बड़ा तत्व $$G$$ दो सामान्य उपसमूहों का संयोजन (लैटिस सिद्धांत), $$N$$ और $$M,$$ इस लैटिस में उनका प्रतिच्छेदन है और जुड़ना (लैटिस सिद्धांत) उनका उत्पाद है।

लैटिस पूर्ण लैटिस और मॉड्यूलर लैटिस है।

सामान्य उपसमूह, भागफल समूह और समरूपता
यदि $$N$$ एक सामान्य उपसमूह है, हम सहसमुच्चय पर गुणन को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं: $$\left(a_1 N\right) \left(a_2 N\right) := \left(a_1 a_2\right) N.$$ यह संबंध मानचित्रण $$G/N\times G/N \to G/N$$ को परिभाषित करता है यह दिखाने के लिए कि यह मानचित्रण अच्छी तरह से परिभाषित है, किसी को प्रतिनिधि तत्वों को चयन कर प्रमाणित करने की आवश्यकता है और $$a_1, a_2$$ परिणाम को प्रभावित नहीं करता। इसके लिए, कुछ अन्य प्रतिनिधि तत्वों $$a_1'\in a_1 N, a_2' \in a_2 N$$ पर विचार करें तब $$n_1, n_2\in N$$ है जैसे कि $$a_1' = a_1 n_1, a_2' = a_2 n_2.$$ यह इस प्रकार है कि $$a_1' a_2' N = a_1 n_1 a_2 n_2 N =a_1 a_2 n_1' n_2 N=a_1 a_2 N,$$जहां हमने इस तथ्य का भी उपयोग किया कि $$N$$ सामान्य उपसमूह है, और इसलिए $$n_1'\in N$$ जैसे कि $$n_1 a_2 = a_2 n_1'.$$ यह प्रमाणित करता है कि यह उत्पाद सह-समुच्चय के बीच एक अच्छी तरह से परिभाषित मानचित्रण है।

इस संक्रिया के साथ, सहसमुच्चयों का समुच्चय अपने आप में एक समूह होता है, जिसे भागफल समूह कहा जाता है और इसे से निरूपित $$G/N$$ के द्वारा किया जाता है यह प्राकृतिक समूह समरूपता है, $$f : G \to G/N,$$ द्वारा $$f(a) = a N$$ दिए गए यह समरूपता मानचित्र $$N$$ के सर्वसमिका तत्व में $$G/N,$$ जो कि सह-समुच्चय $$e N = N$$ है, और $$\ker(f) = N.$$

सामान्य रूप से, समूह समरूपता, $$f : G \to H$$ के उपसमूह भेजता है $$G$$ उपसमूहों के लिए इसके अतिरिक्त $$H$$ के किसी भी उपसमूह की पूर्वछवि $$H$$ का एक उपसमूह $$G$$ है हम सामान्य समूह की पूर्वछवि $$\{ e \}$$ में $$H$$ समरूपता का कर्नेल (बीजगणित) और इसे $$\ker f$$ निरूपित करें जैसा कि यह पता चला है, कर्नेल हमेशा सामान्य होता है और इसकी छवि $$G, f(G),$$ के लिए हमेशा समरूप $$G / \ker f$$ (पहला समरूपता प्रमेय) होता है। वास्तव में, यह पत्राचार $$G, G / N,$$ सभी भागफल समूहों के समुच्चय के बीच एक आक्षेप है और सभी समरूप छवियों का समुच्चय $$G$$ (समरूपता तक) है। यह देखना भी आसान है कि भागफल मानचित्र का कर्नेल, $$f : G \to G/N,$$ है $$N$$ स्वयं, इसलिए सामान्य उपसमूह एक फलन के प्रक्षेत्र के साथ समरूपता के कर्नेल $$G$$ हैं।

सामान्य उपसमूह और साइलो प्रमेय
दूसरा साइलो प्रमेय कहता है: यदि $$P$$ और $$K$$ एक समूह के साइलो P-उपसमूह $$G$$ हैं, तो वहाँ $$x \in G$$ सम्मिलित है जैसे कि $$P = x^{-1}Kx.$$

उपरोक्त प्रमेय का प्रत्यक्ष परिणाम है: मान लीजिए $$G$$ एक परिमित समूह हो और $$K$$ कुछ अभाज्य के लिए एक साइलो $$p$$ उपसमूह है, तब $$K$$ में सामान्य $$G$$ है यदि और केवल यदि $$K$$ में एकमात्र साइलो P-उपसमूह $$G$$ है।

उपसमूहों को उपसमूहों में ले जाने वाली संक्रियाएं

 * प्रसामान्यक
 * संयुग्म संवृत
 * सामान्य कोर

सामान्यता के पूरक (या विपरीत) उपसमूह गुण

 * [[असामान्य उपसमूह]]
 * विषम उपसमूह
 * असामान्य उपसमूह
 * स्व-सामान्यीकरण उपसमूह

उपसमूह गुण सामान्य से अधिक प्रबल

 * विशेषता उपसमूह
 * पूरी तरह से विशिष्ट उपसमूह

सामान्य से दुर्बल उपसमूह गुण

 * उपसामान्य उपसमूह
 * आरोही उपसमूह
 * अवरोही उपसमूह
 * अर्धसामान्य उपसमूह
 * अर्ध-सामान्य उपसमूह
 * संयुग्मी क्रमपरिवर्तनीय उपसमूह
 * मॉड्यूलर उपसमूह
 * सार्वनामिक उपसमूह
 * [[असामान्य उपसमूह]]
 * बहुसामान्य उपसमूह
 * C-सामान्य उपसमूह

बीजगणित में संबंधित धारणाएं

 * आदर्श (वलय सिद्धांत)

अग्रिम पठन

 * I. N. Herstein, Topics in algebra. Second edition. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ont., 1975. xi+388 pp.

बाहरी संबंध

 * Normal subgroup in Springer's Encyclopedia of Mathematics
 * Robert Ash: Group Fundamentals in Abstract Algebra. The Basic Graduate Year
 * Timothy Gowers, Normal subgroups and quotient groups
 * John Baez, What's a Normal Subgroup?
 * John Baez, What's a Normal Subgroup?