एपेरियोडिक टाइलिंग

एक एपेरियोडिक टाइलिंग एक गैर-आवधिक चौकोर है जिसमें अतिरिक्त संपत्ति है कि इसमें मनमाने ढंग से बड़े आवधिक क्षेत्र या पैच नहीं होते हैं। टाइल-प्रकार (या प्रोटोटाइप के लिए ्स) का एक सेट प्रोटोटाइल्स का एपेरियोडिक सेट है यदि इन टाइलों की प्रतियां केवल गैर-आवधिक टाइलिंग बना सकती हैं।

पेनरोज़ टाइलिंग एपेरियोडिक टाइलिंग का एक प्रसिद्ध उदाहरण है। मार्च 2023 में, चार शोधकर्ताओं, डेविड स्मिथ, जोसेफ सैमुअल मायर्स, क्रेग एस. कापलान और चैम गुडमैन-स्ट्रॉस ने आइंस्टीन समस्या की खोज की घोषणा की। एपेरियोडिक टिलिंग क्वैसिक क्रिस्टल, भौतिक ठोस के लिए गणितीय मॉडल के रूप में काम करते हैं जिन्हें 1982 में और शेख्टमैन द्वारा खोजा गया था। जिन्होंने बाद में 2011 में नोबेल पुरस्कार जीता। हालांकि, इन सामग्रियों की विशिष्ट स्थानीय संरचना अभी भी खराब समझी जाती है।

एपेरियोडिक टाइलिंग के निर्माण के लिए कई तरीके ज्ञात हैं।

परिभाषा और चित्रण
यूनिट वर्गों द्वारा आवधिक टाइलिंग पर विचार करें (यह अनंत ग्राफ़ पेपर  जैसा दिखता है)। अब एक वर्ग को दो आयतों में काट लें। इस तरह से प्राप्त टाइलिंग गैर-आवधिक है: कोई गैर-शून्य बदलाव नहीं है जो इस टाइलिंग को स्थिर रखता है। लेकिन स्पष्ट रूप से यह उदाहरण पेनरोज टाइलिंग की तुलना में बहुत कम दिलचस्प है। इस तरह के उबाऊ उदाहरणों को रद्द करने के लिए, एक एपेरियोडिक टाइलिंग को परिभाषित करता है जिसमें मनमाने ढंग से बड़े आवधिक भाग नहीं होते हैं।

एक टाइलिंग को एपेरियोडिक कहा जाता है यदि इसकी पतवार में केवल गैर-आवधिक टाइलिंग होती पतवार (टाइलिंग) का हल (टाइलिंग)। $$T \subset \R^d$$ सभी अनुवाद शामिल हैं T + x का T, एक साथ सभी टाइलिंग के साथ जो T के अनुवाद द्वारा अनुमानित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से यह सेट का बंद होना है $$\{ T+x \, : \, x \in \R^d \}$$ स्थानीय टोपोलॉजी में। स्थानीय टोपोलॉजी में (संबंधित मीट्रिक के अनुसार) दो टाइलिंग हैं $$\varepsilon$$-बंद अगर वे त्रिज्या की एक गेंद में सहमत हैं $$1/\varepsilon$$ मूल के आस-पास (संभवतः किसी एक टाइलिंग को इससे कम राशि से स्थानांतरित करने के बाद $$\varepsilon$$).

उपरोक्त से भी सरल उदाहरण देने के लिए, रेखा के एक आयामी टाइलिंग टी पर विचार करें जो दिखता है ...aaaaaabaaaaa... जहां a लंबाई एक के अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है, b लंबाई दो के अंतराल का प्रतिनिधित्व करता है। इस प्रकार टाइलिंग T में a की अपरिमित रूप से कई प्रतियाँ और b की एक प्रति (केंद्र 0 के साथ, कहते हैं) शामिल हैं। अब टी के सभी अनुवाद एक बी के साथ कहीं और के रूप में टाइलिंग हैं। टाइलिंग का क्रम जहां b पर केंद्रित है $$1,2,4, \ldots,2^n,\ldots$$ अभिसरण - स्थानीय टोपोलॉजी में - आवधिक टाइलिंग में केवल के रूप में। इस प्रकार टी एक एपरियोडिक टाइलिंग नहीं है, क्योंकि इसकी पतवार में आवधिक टाइलिंग होती है ...aaaaaa....

अच्छी तरह से व्यवहार किए गए टाइलिंग के लिए (उदाहरण के लिए कई स्थानीय पैटर्न के साथ प्रतिस्थापन टाइलिंग) धारण करता है: यदि एक टाइलिंग गैर-आवधिक और दोहरावदार टाइलिंग है (यानी प्रत्येक पैच पूरे टाइलिंग में समान रूप से घने तरीके से होता है), तो यह एपेरियोडिक है।

इतिहास
एपेरियोडिक झुकाव की पहली विशिष्ट घटना 1961 में उत्पन्न हुई, जब लॉजिशियन हाओ वांग (अकादमिक) ने यह निर्धारित करने की कोशिश की कि क्या डोमिनोज़ समस्या निर्णायक है - यानी, क्या यह तय करने के लिए एक एल्गोरिथ्म मौजूद है कि प्रोटोटाइल्स का दिया गया परिमित सेट एक टाइलिंग को स्वीकार करता है या नहीं। विमान। वैंग ने एल्गोरिदम को उन टाइलों की गणना करने के लिए पाया जो विमान को टाइल नहीं कर सकते हैं, और टाइलसेट जो इसे समय-समय पर टाइल करते हैं; इसके द्वारा उन्होंने दिखाया कि इस तरह का एक निर्णय एल्गोरिथ्म मौजूद है यदि विमान के टाइलिंग को स्वीकार करने वाले प्रोटोटाइल्स का हर परिमित सेट आवधिक टाइलिंग को भी स्वीकार करता है। 1964 में, रॉबर्ट बर्जर (गणितज्ञ) ने प्रोटोटाइल्स का एक एपेरियोडिक सेट पाया, जिससे उन्होंने प्रदर्शित किया कि टाइलिंग समस्या वास्तव में निर्णायक नहीं है। इस तरह के पहले सेट, जिसे बर्जर ने अपने अनिर्णीतता के प्रमाण में इस्तेमाल किया, के लिए 20,426 वांग टाइलों की आवश्यकता थी। बर्जर ने बाद में अपने सेट को घटाकर 104 कर दिया, और हंस लॉचली ने बाद में एक एपरियोडिक सेट पाया जिसमें केवल 40 वांग टाइलों की आवश्यकता थी। 1971 में राफेल एम. रॉबिन्सन द्वारा छह एपरियोडिक टाइलों (वांग टाइलों पर आधारित) का एक छोटा सेट खोजा गया था। रोजर पेनरोज़ ने 1973 और 1974 में तीन और सेटों की खोज की, आवश्यक टाइलों की संख्या घटाकर दो कर दी, और रॉबर्ट अम्मन ने 1977 में कई नए सेटों की खोज की। 2023 में डेविड स्मिथ, जोसेफ सैमुअल मायर्स, क्रेग एस. कापलान और चैम गुडमैन-स्ट्रॉस द्वारा आवश्यक टाइलों की संख्या घटाकर एक कर दी गई थी।

एपेरियोडिक पेनरोज़ टाइलिंग न केवल प्रोटोटाइल्स के एपेरियोडिक सेट द्वारा उत्पन्न किया जा सकता है, बल्कि एक प्रतिस्थापन टाइलिंग और एपेरियोडिक टाइलिंग#कट-एंड-प्रोजेक्ट विधि|कट-एंड-प्रोजेक्ट विधि द्वारा भी उत्पन्न किया जा सकता है। क्वासिक क्रिस्टल की खोज के बाद एपेरियोडिक टिलिंग का भौतिकविदों और गणितज्ञों द्वारा गहन अध्ययन किया जाता है। निकोलस गवर्नमेंट डी ब्रुइज़न की कट-एंड-प्रोजेक्ट विधि|एन.जी. पेनरोज़ टिलिंग्स के लिए डी ब्रुइज़न अंततः मेयर सेट के सिद्धांत का एक उदाहरण बन गया। आज एपेरियोडिक टाइलिंग पर बड़ी मात्रा में साहित्य है।

एक आइंस्टीन समस्या (ein Stein, एक पत्थर) एक एपेरियोडिक टाइलिंग है जो केवल एक आकार का उपयोग करती है। इस तरह की पहली टाइल 2013 में खोजी गई थी - सोकोलर-टेलर टाइल, जो हालांकि एक टुकड़े में जुड़ी नहीं है। 2023 में एक जुड़ी हुई टाइल की खोज की गई थी, जिसे टोपी नाम की आकृति का उपयोग किया गया था।

निर्माण
एपेरियोडिक टाइलिंग के कुछ निर्माण ज्ञात हैं। कुछ निर्माण टाइलों के एपेरियोडिक सेट के अनंत परिवारों पर आधारित हैं। जो निर्माण पाए गए हैं, वे ज्यादातर कुछ तरीकों से बनाए गए हैं, मुख्य रूप से किसी प्रकार की गैर-आवधिक श्रेणीबद्ध संरचना को मजबूर करके। इसके बावजूद, डोमिनोज़ समस्या की अनिर्णीत समस्या यह सुनिश्चित करती है कि निर्माण के असीम रूप से कई अलग-अलग सिद्धांत होने चाहिए, और वास्तव में, टाइलों के एपेरियोडिक सेट मौजूद हैं, जिनके लिए उनकी एपरियोडिकिटी का कोई प्रमाण नहीं हो सकता है।

एपेरियोडिक पदानुक्रमित झुकाव
आज तक, टाइलिंग में पदानुक्रमित संरचना होने पर वर्णन करने वाली कोई औपचारिक परिभाषा नहीं है; बहरहाल, यह स्पष्ट है कि प्रतिस्थापन झुकाव उनके पास है, जैसा कि बर्जर, डोनाल्ड नुथ, हंस लॉचली | लॉचली और राफेल रॉबिन्सन की टाइलिंग करते हैं। एपरियोडिक टाइलिंग शब्द के साथ ही, एपेरियोडिक पदानुक्रमित टाइलिंग शब्द एक सुविधाजनक आशुलिपि है, जिसका अर्थ है कि टाइलों के एक सेट की तर्ज पर एक पदानुक्रमित संरचना के साथ केवल गैर-आवधिक झुकाव को स्वीकार करना।

टाइल्स के इन सेटों में से प्रत्येक, किसी भी टाइलिंग में वे स्वीकार करते हैं, एक विशेष पदानुक्रमित संरचना को बल देते हैं। (बाद के कई उदाहरणों में, इस संरचना को प्रतिस्थापन टाइलिंग प्रणाली के रूप में वर्णित किया जा सकता है; यह नीचे वर्णित है)। इस तरह के टाइलों के सेट द्वारा स्वीकृत कोई भी टाइलिंग आवधिक नहीं हो सकती है, केवल इसलिए कि कोई एकल अनुवाद संपूर्ण पदानुक्रमित संरचना को अपरिवर्तनीय नहीं छोड़ सकता है। रॉबिन्सन की 1971 की टाइलों पर विचार करें:

इन टाइलों द्वारा कोई भी टाइलिंग केवल चौकोर जाली के पदानुक्रम को प्रदर्शित कर सकती है: किसी भी नारंगी वर्ग का केंद्र एक बड़े नारंगी वर्ग का एक कोना भी होता है, एड इनफिनिटम। कोई भी अनुवाद वर्ग के आकार से छोटा होना चाहिए, और इसलिए ऐसा कोई टाइलिंग अपरिवर्तनीय नहीं छोड़ा जा सकता है।

रॉबिन्सन साबित करता है कि इन टाइलों को इस संरचना को अनिवार्य रूप से बनाना चाहिए; वास्तव में, टाइलों को ऐसे ब्लॉक बनाने चाहिए जो स्वयं मूल टाइलों के बड़े संस्करणों के रूप में एक साथ फिट हों, और इसी तरह आगे भी। यह विचार - टाइल्स के सेट खोजने का जो केवल पदानुक्रमित संरचनाओं को स्वीकार कर सकता है - आज तक टाइल्स के सबसे ज्ञात एपरियोडिक सेट के निर्माण में उपयोग किया गया है।

प्रतिस्थापन
प्रतिस्थापन टाइलिंग सिस्टम एपेरियोडिक टाइलिंग का एक समृद्ध स्रोत प्रदान करते हैं। टाइल्स का एक सेट जो प्रतिस्थापन संरचना को उभरने के लिए मजबूर करता है, प्रतिस्थापन संरचना को लागू करने के लिए कहा जाता है। उदाहरण के लिए, नीचे दिखाई गई चेयर टाइलें एक प्रतिस्थापन स्वीकार करती हैं, और प्रतिस्थापन टाइलिंग का एक भाग ठीक नीचे दिखाया गया है। ये प्रतिस्थापन टिलिंग आवश्यक रूप से गैर-आवधिक हैं, जैसा कि ऊपर वर्णित है, ठीक उसी तरह से, लेकिन कुर्सी टाइल स्वयं एपेरियोडिक नहीं है - अचिह्नित कुर्सी टाइलों द्वारा आवधिक टिलिंग को खोजना आसान है।

हालाँकि, नीचे दिखाई गई टाइलें कुर्सी प्रतिस्थापन संरचना को उभरने के लिए मजबूर करती हैं, और इसलिए वे स्वयं अपरियोडिक हैं।

पेनरोज़ टाइलें, और उसके तुरंत बाद अम्मान की टाइलों के कई अलग-अलग सेट, एक प्रतिस्थापन टाइलिंग संरचना को उभरने के लिए स्पष्ट रूप से मजबूर करने के आधार पर पहला उदाहरण था। जोशुआ चॉकलेट, रोजर पेनरोज़, लुडविग डेंजर, और चैम गुडमैन-स्ट्रॉस बाद के कई सेट मिले हैं। शाहर मूसा ने पहला सामान्य निर्माण दिया, जिसमें दिखाया गया है कि एक आयामी प्रतिस्थापन प्रणाली के प्रत्येक उत्पाद को मिलान नियमों द्वारा लागू किया जा सकता है। चार्ल्स रेडिन ने पाया कि पिनव्हील टाइलिंग|कॉनवे-पिनव्हील प्रतिस्थापन टाइलिंग प्रणाली को लागू करने वाले नियम। 1998 में, चैम गुडमैन-स्ट्रॉस|गुडमैन-स्ट्रॉस ने दिखाया कि स्थानीय मिलान नियमों को किसी भी प्रतिस्थापन टाइलिंग संरचना को लागू करने के लिए पाया जा सकता है, कुछ मामूली स्थितियों के अधीन।

कट-एंड-प्रोजेक्ट विधि
गैर-आवधिक टाइलिंग को उच्च-आयामी संरचनाओं के प्रक्षेपण से निम्न आयाम वाले स्थानों में भी प्राप्त किया जा सकता है और कुछ परिस्थितियों में ऐसी टाइलें हो सकती हैं जो इस गैर-आवधिक संरचना को लागू करती हैं और इसलिए एपेरियोडिक हैं। पेनरोज़ टाइलें इसका पहला और सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं, जैसा कि सबसे पहले निकोलस गवर्नमेंट डी ब्रुजन के अग्रणी कार्य में उल्लेख किया गया है। कट और प्रोजेक्ट टाइलिंग का अभी तक कोई पूर्ण (बीजगणितीय) लक्षण वर्णन नहीं है, जिसे मिलान नियमों द्वारा लागू किया जा सकता है, हालांकि कई आवश्यक या पर्याप्त शर्तें ज्ञात हैं।



अन्य तकनीकें
केवल कुछ भिन्न प्रकार के निर्माण पाए गए हैं। विशेष रूप से, जार्को कारी ने टाइलों की पंक्तियों द्वारा एन्कोड किए गए वास्तविक संख्याओं के 2 या 2/3 गुणा के आधार पर वैंग टाइलों का एक एपेरियोडिक सेट दिया (एन्कोडिंग स्टर्मियन शब्द से संबंधित है जो बीट्टी अनुक्रमों के लगातार तत्वों के अंतर के रूप में बनाया गया है), साथ में aperiodicity मुख्य रूप से इस तथ्य पर निर्भर करता है कि 2एन/3m किसी भी धनात्मक पूर्णांक n और m के लिए कभी भी 1 के बराबर नहीं होता है। इस विधि को बाद में चैम गुडमैन-स्ट्रॉस | शाहर मोज़ेस ने टाइलों के एपेरियोडिक सेटों के कई वैकल्पिक निर्माण पाए हैं, कुछ अधिक विदेशी सेटिंग्स में; उदाहरण के लिए अर्ध-सरल झूठ समूहों में। ब्लॉक और वेनबर्गर ने सभी गैर-सहयोगी समूह के लिए टाइलों के एपेरियोडिक सेट के निर्माण के लिए होमोलॉजिकल तरीकों का इस्तेमाल किया। जोशुआ सोकोलर ने वैकल्पिक स्थिति के संदर्भ में, एपेरियोडिसिटी को लागू करने का एक और तरीका भी दिया। यह आमतौर पर प्रतिस्थापन से प्राप्त टाइल की तुलना में बहुत छोटे टाइल सेट की ओर जाता है।

भौतिकी
1984 तक एपेरियोडिक टिलिंग को गणितीय कलाकृतियों के रूप में माना जाता था, जब भौतिक विज्ञानी डैन शेचमैन ने एक एल्यूमीनियम-मैंगनीज मिश्र धातु के एक चरण की खोज की घोषणा की, जो एक स्पष्ट पांच गुना समरूपता के साथ एक तेज डिफ्रेक्टोग्राम का उत्पादन करता था। - तो यह एक क्रिस्टलीय पदार्थ होना चाहिए जिसमें आईकोसाहेड्रल समरूपता हो। 1975 में रॉबर्ट अम्मन ने पहले ही पेनरोज़ निर्माण को त्रि-आयामी आईकोसाहेड्रल समकक्ष तक बढ़ा दिया था। ऐसे मामलों में 'टाइलिंग' शब्द का अर्थ 'अंतरिक्ष को भरना' माना जाता है। फोटोनिक उपकरणों को वर्तमान में विभिन्न परतों के एपेरियोडिकल अनुक्रमों के रूप में बनाया गया है, इस प्रकार एक दिशा में एपेरियोडिक और अन्य दो में आवधिक है। Cd-Te की अर्ध-क्रिस्टल संरचनाएँ परमाणु परतों से बनी प्रतीत होती हैं जिनमें परमाणु एक समतलीय अपरियोडिक पैटर्न में व्यवस्थित होते हैं। कभी-कभी ऐसी एपेरियोडिक संरचनाओं के लिए एक ऊर्जावान न्यूनतम या अधिकतम एंट्रॉपी होती है। स्टाइनहार्ट ने दिखाया है कि गममेल्ट के अतिव्यापी डेकागन एक चरम सिद्धांत के अनुप्रयोग की अनुमति देते हैं और इस प्रकार एपेरियोडिक टाइलिंग के गणित और क्वासिक क्रिस्टल की संरचना के बीच की कड़ी प्रदान करते हैं। फैराडे तरंगों को एपेरियोडिक पैटर्न के बड़े पैच बनाने के लिए देखा गया है। इस खोज की भौतिकी ने असामान्य संरचनाओं और आवृत्तियों में रुचि को पुनर्जीवित किया है जो एपेरियोडिक झुकाव को हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) घटना के साथ जोड़ने का सुझाव देता है।

शब्दावली के संबंध में भ्रम
एपेरियोडिक शब्द का उपयोग गणितीय साहित्य में विभिन्न तरीकों से किया गया है (और अन्य गणितीय क्षेत्रों में भी, जैसे कि डायनेमिक सिस्टम या ग्राफ सिद्धांत, पूरी तरह से अलग अर्थों के साथ)। टाइलिंग के संबंध में एपेरियोडिक शब्द को कभी-कभी गैर-आवधिक शब्द के साथ समानार्थी रूप से प्रयोग किया जाता था। एक गैर-आवधिक टाइलिंग केवल एक है जो किसी भी गैर-तुच्छ अनुवाद द्वारा तय नहीं की जाती है। कभी-कभी वर्णित शब्द - अप्रत्यक्ष रूप से या स्पष्ट रूप से - प्रोटोटाइल्स के एपेरियोडिक सेट द्वारा उत्पन्न टाइलिंग। बार-बार एपेरियोडिक शब्द का उपयोग विचाराधीन संरचनाओं का वर्णन करने के लिए अस्पष्ट रूप से किया गया था, भौतिक एपेरियोडिक ठोस, अर्थात् क्वासिक क्रिस्टल, या किसी प्रकार की वैश्विक व्यवस्था के साथ गैर-आवधिक के संदर्भ में। टाइलिंग शब्द का उपयोग इसकी सीधी परिभाषा के बावजूद भी समस्याग्रस्त है। कोई एकल पेनरोज़ टाइलिंग नहीं है, उदाहरण के लिए: पेनरोज़ रॉम्ब असीमित रूप से कई टाइलिंग स्वीकार करते हैं (जिन्हें स्थानीय रूप से अलग नहीं किया जा सकता है)। तकनीकी लेखन में शब्दों का सावधानीपूर्वक उपयोग करने का प्रयास करना एक सामान्य समाधान है, लेकिन अनौपचारिक शब्दों के व्यापक उपयोग को पहचानना है।

यह भी देखें

 * गिरिह टाइल्स
 * टाइलों के एपेरियोडिक सेट की सूची
 * क्वासिक्रिस्टल
 * ज़ुल्ली

बाहरी संबंध

 * The Geometry Junkyard
 * Aperiodic Tilings
 * The Infinite Pattern That Never Repeats