स्पर्शरेखा

ज्यामिति में, किसी दिए गए बिंदु पर एक समतल वक्र के लिए एक स्पर्शरेखा (या मात्र स्पर्शरेखा) एक सीधी रेखा होती है जो उस बिंदु पर वक्र को "केवल स्पर्श" करती है। लाइबनिट्स (Leibniz) ने इसे वक्र पर असीम रूप से करीबी बिंदुओं की एक जोड़ी के माध्यम से लाइन के रूप में परिभाषित किया। अधिक सटीक रूप से, एक सीधी रेखा को एक वक्र का एक स्पर्शरेखा कहा जाता है एक बिंदु पर  यदि रेखा बिंदु से गुजरती है (c, f(c)) वक्र पर और ढलान है f'(c), जहां f' f का व्युत्पन्न है। इसी तरह की परिभाषा एन-डायमेंशनल (n-dimensional) यूक्लिडियन स्पेस में अंतरिक्ष वक्र (space curve and curves in n-dimensional) पर लागू होती है।

जैसा कि यह उस बिंदु से गुजरता है जहां स्पर्शरेखा रेखा और वक्र मिलते हैं, जिसे 'स्पर्शरेखा का बिंदु' कहा जाता है, स्पर्शरेखा रेखा वक्र के समान दिशा में जा रही है, और इस प्रकार उस पर वक्र के लिए सबसे अच्छी सीधी रेखा का अनुमान है।बिंदु।

एक अलग वक्र पर एक बिंदु के लिए स्पर्शरेखा रेखा को एक स्पर्शरेखा रेखा सन्निकटन के रूप में भी सोचा जा सकता है, एफाइन फलन (affine function) का ग्राफ जो दिए गए बिंदु पर मुख्य फलन को सबसे अच्छा लगता है। इसी तरह, एक दिए गए बिंदु पर एक सतह पर स्पर्शरेखा सतह है जो उस बिंदु पर सतह को छूता है। एक स्पर्शरेखा की अवधारणा डिफरेंशियल ज्यामिति में सबसे मौलिक धारणाओं में से एक है और इसे बड़े पैमाने पर सामान्यीकृत किया गया है; ।

स्पर्शरेखा शब्द लैटिन tangere 'स्पर्श' से आता है ।

इतिहास
यूक्लिड स्पर्शरेखा के कई संदर्भ बनाता है Euclid के तत्वों की पुस्तक-III में एक सर्कल के लिए सिद्धांत (ἐφαπτομένη ephaptoménē) (c. 300 ईसा पूर्व)। अपोलोनियस के काम के शंकुधारी (सी। 225 ईसा पूर्व) में वह एक स्पर्शरेखा को एक लाइन के रूप में परिभाषित करता है जैसे कि कोई अन्य सीधी रेखा नहीं कर सकती है इसके और वक्र के बीच गिरना। आर्किमिडीज (c. 287 - c. 212 ईसा पूर्व) वक्र के साथ चलते हुए एक बिंदु के पथ पर विचार करके एक आर्किमेडियन सर्पिल को स्पर्शरेखा मिला।

1630 के दशक में फर्मेट ने विश्लेषण में स्पर्शरेखा और अन्य समस्याओं की गणना करने के लिए पर्याप्तता की तकनीक विकसित की और इसका उपयोग परवलय को स्पर्शरेखा की गणना करने के लिए किया। पर्याप्तता की तकनीक के बीच अंतर लेने के समान है $$f(x+h)$$ तथा $$f(x)$$ और $$h$$ की घात  से विभाजित करने के समान है।   स्वतंत्र रूप से डेसकार्टेस ने अवलोकन के आधार पर मानदंडों की अपनी विधि का उपयोग किया कि एक वृत्त की त्रिज्या हमेशा वृत्त के लिए सामान्य होती है। इन विधियों ने 17 वीं शताब्दी में विभेदक कलन (Differential calculus) के विकास के नेतृत्व में कई लोगों ने योगदान दिया। रोबर्वल ने स्पर्शरेखा को चित्रित करने की एक सामान्य विधि की खोज की, एक वक्र पर विचार करके एक चलती बिंदु द्वारा वर्णित, जिसकी गति कई सरल गतियों का परिणाम है। रेने-फ्रांस्वा डे स्लूस और जोहान्स हड ने स्पर्शरेखा को खोजने के लिए बीजगणितीय एल्गोरिदम पाया। आगे के घटनाक्रम में जॉन वालिस और इसहाक बैरो शामिल थे, जो इसहाक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज के सिद्धांत के लिए अग्रणी थे। एक स्पर्शरेखा की एक 1828 की परिभाषा एक सही रेखा थी जो एक वक्र को छूती है, लेकिन जब उत्पादित होने पर, इसे काटता नहीं है। यह पुरानी परिभाषा विभक्ति बिंदुओं को किसी भी स्पर्शरेखा होने से रोकती है। इसे खारिज कर दिया गया है और आधुनिक परिभाषाएँ लीबनिज़ के बराबर हैं, जिन्होंने वक्र पर असीम रूप से करीबी बिंदुओं की एक जोड़ी के माध्यम से स्पर्शरेखा रेखा को परिभाषित किया।

एक सतह वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा
सहज ज्ञान युक्त धारणा कि एक स्पर्शरेखा रेखा एक वक्र को छूती है, दो बिंदुओं, A और B से गुजरने वाली सीधी रेखाओं (छेदक लाइनों) के अनुक्रम पर विचार करके अधिक स्पष्ट किया जा सकता है, जो फ़ंक्शन वक्र पर स्थित हैं। एक पर स्पर्शरेखा की सीमा होती है जब बिंदु B अनुमानित करता है या A को जाता है। स्पर्शरेखा का अस्तित्व और विशिष्टता एक निश्चित प्रकार की गणितीय सरलता पर निर्भर करती है, जिसे भिन्नता के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, यदि दो गोलाकार चाप (arcs) एक नुकीले बिंदु (एक शीर्ष) पर मिलते हैं, तो शीर्ष पर कोई विशिष्ट रूप से परिभाषित स्पर्शरेखा नहीं है क्योंकि छेदक लाइनों की प्रगति की सीमा उस दिशा पर निर्भर करती है जिसमें बिंदु B शीर्ष के पास पहुंचता है।

अधिकांश बिंदुओं पर, स्पर्शरेखा इसे पार किए बिना वक्र को छूती है (हालांकि यह, जब जारी रह सकती है, तो स्पर्शरेखा के बिंदु से दूर अन्य स्थानों पर वक्र को पार कर सकती है।) एक बिंदु जहां स्पर्शरेखा (इस बिंदु पर) वक्र को पार करती है, को एक विभक्ति बिंदु कहा जाता है। वृत्त, परवलय, अतिपरवलय और दीर्घवृत्त में कोई विभक्ति बिंदु नहीं होता है, लेकिन अधिक जटिल होता है, जैसे कि क्यूबिक फ़ंक्शन का ग्राफ होता है, जिसमें बिल्कुल एक विभक्ति बिंदु होता है, या एक साइनसॉइड (sinusoid,) होता है, जिसमें प्रत्येक अवधि के अनुसार दो विभक्ति बिंदु ज्या (sine) होते हैं।

इसके विपरीत, ऐसा हो सकता है कि वक्र पूरी तरह से एक सीधी रेखा के एक तरफ है जो उस पर एक बिंदु से गुजरता है, और फिर भी यह सीधी रेखा एक स्पर्शरेखा रेखा नहीं है। यह मामला है, उदाहरण के लिए, एक त्रिभुज के शीर्ष से गुजरने वाली एक पंक्ति के लिए और इसे अन्यथा नहीं, जहां ऊपर बताए गए कारणों के लिए स्पर्शरेखा रेखा मौजूद नहीं है। उत्तल ज्यामिति में, ऐसी लाइनों को सहायक लाइनें कहा जाता है।



विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण
स्पर्शरेखा रेखा की सीमा के रूप में स्पर्शरेखा रेखा का ज्यामितीय विचार विश्लेषणात्मक तरीकों के लिए प्रेरणा के रूप में कार्य करता है जो स्पष्ट रूप से स्पर्शरेखा रेखाओं को खोजने के लिए उपयोग किए जाते हैं।एक ग्राफ, या स्पर्शरेखा रेखा की समस्या के लिए स्पर्शरेखा रेखा को खोजने का सवाल, 17 वीं शताब्दी में कैलकुलस के विकास के लिए अग्रणी केंद्रीय प्रश्नों में से एक था।उनकी  ज्यामिति  की दूसरी पुस्तक में, रेने डेसकार्टेस ने एक वक्र के लिए स्पर्शरेखा के निर्माण की समस्या के बारे में कहा, "और मैं कहता हूं कि यह न केवल ज्यामिति में सबसे उपयोगी और सबसे सामान्य समस्या है जो मुझे पता है, लेकिन यहां तक कि मुझे भी पता है कि मैं कभी जानना चाहता हूं।"

सहज ज्ञान युक्त विवरण
मान लीजिए कि एक वक्र को एक फ़ंक्शन के ग्राफ के रूप में दिया जाता है, y = f (x) बिंदु p = (a, f (a)) पर स्पर्शरेखा रेखा को खोजने के लिए, वक्र पर एक और पास के बिंदु q = (a + h, f (a + h)) पर विचार करें। p और q से गुजरने वाली छेदक लाइन का ढलान अंतर भागफल के बराबर है


 * $$\frac{f(a+h)-f(a)}{h}.$$

जैसे-जैसे बिंदु q, p के पास पहुंचता है, जो h को छोटा और छोटा बनाने के लिए संगत है, अंतर भागफल को एक निश्चित सीमित मान k से संपर्क करना चाहिए, जो बिंदु p पर स्पर्शरेखा रेखा का ढलान है। यदि k ज्ञात है, तो स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण बिंदु-ढलान के रूप में पाया जा सकता है:


 * $$ y-f(a) = k(x-a).\,$$

अधिक कठोर विवरण
पूर्ववर्ती तर्क को कठोर बनाने के लिए, किसी को यह समझाना होगा कि अंतर भागफल का क्या मतलब है एक निश्चित सीमित मूल्य k के करीब पहुंचने के लिए।सटीक गणितीय सूत्रीकरण ऑगस्टिन-लुइस कॉची द्वारा दिया गया था। 19 वीं शताब्दी में कॉची और सीमा की धारणा पर आधारित है। मान लीजिए कि ग्राफ में p पर एक ब्रेक या एक तेज धार नहीं है और यह न तो प्लंब है और न ही p के पास बहुत अधिक है। फिर k का एक अनूठा मान होता है जैसे कि, जैसे-जैसे h, 0 के पास जाता है, अंतर भागफल k के करीब और करीब हो जाता है, और h के आकार की तुलना में उनके बीच की दूरी नगण्य हो जाती है, यदि h काफी छोटा है। यह फ़ंक्शन f के लिए अंतर उद्धरणों की सीमा के रूप में ग्राफ में स्पर्शरेखा रेखा की ढलान की परिभाषा की ओर जाता है। यह सीमा x = a पर फ़ंक्शन f का व्युत्पन्न है, f(a) को दर्शाया गया है। यौगिक (derivative) का उपयोग करते हुए, स्पर्शरेखा रेखा के समीकरण को निम्नानुसार कहा जा सकता है:


 * $$ y=f(a)+f'(a)(x-a).\,$$

कैलकुलस कार्यों के डेरिवेटिव (derivative) की गणना के लिए नियम प्रदान करता है जो सूत्रों द्वारा दिए गए हैं, जैसे कि पावर फ़ंक्शन, त्रिकोणमितीय कार्य, घातीय कार्य, लॉगरिदम और उनके विभिन्न संयोजनों। इस प्रकार, इन सभी कार्यों के रेखांकन के लिए स्पर्शरेखा के समीकरण, साथ ही साथ कई अन्य, कैलकुलस के तरीकों से पाए जा सकते हैं।

विधि कैसे विफल हो सकती है
कैलकुलस यह भी दर्शाता है कि उनके रेखांकन पर कार्य और बिंदु हैं जिनके लिए स्पर्शरेखा रेखा के ढलान को निर्धारित करने वाली सीमा मौजूद नहीं है। इन बिंदुओं के लिए फ़ंक्शन f गैर-विभेद्य है। विफल होने के लिए सीमाओं और डेरिवेटिव के आधार पर स्पर्शरेखाओं को खोजने की विधि के दो संभावित कारण हैं या तो ज्यामितीय स्पर्शरेखा मौजूद है, लेकिन यह एक ऊर्ध्वाधर रेखा है, जो कि बिंदु-ढलान के रूप में नहीं दी जा सकती है क्योंकि यह नहीं है। ढलान, या ग्राफ तीन व्यवहारों में से एक को प्रदर्शित करता है जो एक ज्यामितीय स्पर्शरेखा को रोकता है।

ग्राफ y = x1/3 पहली संभावना को दिखाता है, यहां a = 0 पर अंतर भागफल h के बराबर है h1/3/h = h−2/3, जो बहुत बड़ा हो जाता है क्योंकि h दृष्टिकोण 0, इस वक्र में मूल में एक स्पर्शरेखा रेखा होती है जो ऊर्ध्वाधर होती है।

ग्राफ y = x2/3 एक और संभावना दिखाता है, इस ग्राफ में मूल में एक उभार (cusp) है। इसका मतलब यह है कि, जब h, 0 के पास पहुंचता है, तो x के संकेत के आधार पर a = 0 पर अंतर कोटिएंट प्लस या माइनस इन्फिनिटी का दृष्टिकोण होता है। इस प्रकार वक्र की दोनों शाखाएँ आधी ऊर्ध्वाधर रेखा के पास हैं, जिसके लिए y = 0, लेकिन कोई भी इस लाइन के नकारात्मक भाग के पास नहीं है। मूल रूप से, इस मामले में मूल में कोई स्पर्शरेखा नहीं है, लेकिन कुछ संदर्भ में एक इस रेखा को एक स्पर्शरेखा के रूप में, और यहां तक ​​कि बीजगणितीय ज्यामिति में, एक डबल स्पर्शरेखा के रूप में मान सकता है।

ग्राफ y = | x | निरपेक्ष मान फ़ंक्शन में दो सीधी रेखाएं होती हैं, जिनमें विभिन्न ढलानों के साथ मूल में शामिल होते हैं। एक बिंदु Q के रूप में दाईं ओर से मूल के पास पहुंचता है, सेकेंट लाइन में हमेशा ढलान होता है। एक बिंदु क्यू के रूप में बाईं ओर से मूल के पास पहुंचता है, सेकेंट लाइन में हमेशा ढलान होता है। 1। इसलिए, मूल में ग्राफ के लिए कोई अद्वितीय स्पर्शरेखा नहीं है। दो अलग-अलग (लेकिन परिमित) ढलान को एक कोने कहा जाता है।

अंत में, चूंकि भिन्नता का अर्थ निरंतरता है, इसलिए विरोधाभासी स्थिति असंतोष का अर्थ गैर-अंतरतापूर्णता है। ऐसी किसी भी कूद या बिंदु असंतोष में कोई स्पर्शरेखा रेखा नहीं होगी। इसमें ऐसे मामले शामिल हैं जहां एक ढलान सकारात्मक अनंतता के करीब पहुंचता है जबकि दूसरा नकारात्मक अनंतता के करीब पहुंचता है, जिससे एक अनंत कूदता है

समीकरण
जब वक्र y = f (x) द्वारा दिया जाता है तो स्पर्शरेखा का ढलान होता है $$\frac{dy}{dx},$$ तो रैखिक समीकरण द्वारा#बिंदु -धीमी गति से
 * $$y-Y=\frac{dy}{dx}(X) \cdot (x-X)$$

जहां (x, y) स्पर्शरेखा रेखा पर किसी भी बिंदु के निर्देशांक हैं, और जहां व्युत्पन्न का मूल्यांकन किया जाता है $$x=X$$. जब वक्र y = f (x) द्वारा दिया जाता है, तो स्पर्शरेखा रेखा समीकरण भी पाया जा सकता है विभाजित करने के लिए बहुपद विभाजन का उपयोग करके $$f \, (x)$$ द्वारा $$(x-X)^2$$;यदि शेष को निरूपित किया जाता है $$g(x)$$, फिर स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण द्वारा दिया गया है


 * $$y=g(x).$$

जब वक्र का समीकरण फॉर्म f (x, y) = 0 में दिया जाता है, तो ढलान का मान निहित भेदभाव द्वारा पाया जा सकता है, दे रहा है
 * $$\frac{dy}{dx}=-\frac{\frac{\partial f}{\partial x}}{\frac{\partial f}{\partial y}}.$$

एक बिंदु (x, y) पर स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण जैसे कि f (x, y) = 0 तब है :$$\frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) \cdot (x-X)+\frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) \cdot (y-Y)=0.$$ यह समीकरण सच है अगर $$\frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) = 0$$ लेकिन $$\frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) \neq 0$$ (इस मामले में स्पर्शरेखा का ढलान अनंत है)।यदि $$\frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) = \frac{\partial f}{\partial x}(X,Y)  =0, $$ स्पर्शरेखा रेखा को परिभाषित नहीं किया गया है और बिंदु (x, y) को विलक्षण कहा जाता है।

बीजगणितीय घटता के लिए, कम्प्यूटेशन को सजातीय निर्देशांक में परिवर्तित करके कुछ हद तक सरल किया जा सकता है। विशेष रूप से, वक्र के सजातीय समीकरण को G (x, y, z) = 0 होने दें, जहां G डिग्री n का एक सजातीय कार्य है।फिर, अगर (x, y, z) वक्र पर स्थित है, यूलर का प्रमेय का अर्थ है $$\frac{\partial g}{\partial x} \cdot X +\frac{\partial g}{\partial y} \cdot Y+\frac{\partial g}{\partial z} \cdot Z=ng(X, Y, Z)=0.$$ यह इस प्रकार है कि स्पर्शरेखा रेखा का सजातीय समीकरण है
 * $$\frac{\partial g}{\partial x}(X,Y,Z) \cdot x+\frac{\partial g}{\partial y}(X,Y,Z) \cdot y+\frac{\partial g}{\partial z}(X,Y,Z) \cdot z=0.$$

कार्टेशियन निर्देशांक में स्पर्शरेखा रेखा का समीकरण इस समीकरण में z = 1 सेट करके पाया जा सकता है। इसे बीजगणितीय घटता पर लागू करने के लिए, f (x, y) के रूप में लिखें
 * $$f=u_n+u_{n-1}+\dots+u_1+u_0\,$$

जहां प्रत्येक यूr डिग्री आर की सभी शर्तों का योग है।वक्र का सजातीय समीकरण तब है
 * $$g=u_n+u_{n-1}z+\dots+u_1 z^{n-1}+u_0 z^n=0.\,$$

उपरोक्त समीकरण को लागू करना और z = 1 सेट करना पैदा करता है
 * $$\frac{\partial f}{\partial x}(X,Y) \cdot x + \frac{\partial f}{\partial y}(X,Y) \cdot y + \frac{\partial g}{\partial z}(X,Y,1) =0$$

स्पर्शरेखा रेखा के समीकरण के रूप में। इस रूप में समीकरण अक्सर व्यवहार में उपयोग करने के लिए सरल होता है क्योंकि इसे लागू होने के बाद कोई और सरलीकरण की आवश्यकता नहीं होती है।

यदि वक्र को पैरामीट्रिक रूप से दिया जाता है
 * $$x=x(t),\quad y=y(t)$$

फिर स्पर्शरेखा का ढलान है
 * $$\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{dy}{dt}}{\frac{dx}{dt}}$$

स्पर्शरेखा रेखा के लिए समीकरण दे रहा है $$\, t=T, \, X=x(T), \, Y=y(T)$$ जैसा
 * $$\frac{dx}{dt}(T) \cdot (y-Y)=\frac{dy}{dt}(T) \cdot (x-X).$$

यदि $$\frac{dx}{dt}(T)= \frac{dy}{dt}(T) =0, $$ स्पर्शरेखा रेखा को परिभाषित नहीं किया गया है।हालांकि, यह हो सकता है कि स्पर्शरेखा रेखा मौजूद है और वक्र के एक अंतर्निहित समीकरण से गणना की जा सकती है।

एक वक्र के लिए सामान्य रेखा
स्पर्शरेखा के बिंदु पर एक वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा के लंबवत रेखा को उस बिंदु पर वक्र के लिए सामान्य रेखा कहा जाता है।लंबवत रेखाओं की ढलानों में उत्पाद −1 होता है, इसलिए यदि वक्र का समीकरण

y = f (x) है तो सामान्य रेखा का ढलान है
 * $$-\frac{1}{\frac{dy}{dx}}$$

और यह निम्नानुसार है कि सामान्य रेखा का समीकरण (x, y) है
 * $$(x-X)+\frac{dy}{dx}(y-Y)=0.$$

इसी तरह, यदि वक्र के समीकरण में फॉर्म f (x, y) = 0 है, तो सामान्य रेखा का समीकरण द्वारा दिया गया है
 * $$\frac{\partial f}{\partial y}(x-X)-\frac{\partial f}{\partial x}(y-Y)=0.$$

यदि वक्र को पैरामीट्रिक रूप से दिया जाता है
 * $$x=x(t),\quad y=y(t)$$

फिर सामान्य रेखा का समीकरण है

$$\frac{dx}{dt}(x-X)+\frac{dy}{dt}(y-Y)=0.$$

वक्रों के बीच कोण
एक बिंदु पर दो घटता के बीच का कोण जहां वे प्रतिच्छेद करते हैं, को उस बिंदु पर उनकी स्पर्शरेखा लाइनों के बीच के कोण के रूप में परिभाषित किया जाता है। अधिक विशेष रूप से, दो वक्रों को एक बिंदु पर स्पर्शरेखा कहा जाता है यदि उनके पास एक बिंदु पर एक ही स्पर्शरेखा है, और ऑर्थोगोनल यदि उनकी स्पर्शरेखा रेखाएं ऑर्थोगोनल हैं।

एक बिंदु पर कई स्पर्शरेखा
जब बिंदु एक विलक्षण बिंदु होता है, तो उपरोक्त सूत्र विफल होते हैं। इस मामले में वक्र की दो या अधिक शाखाएँ हो सकती हैं जो बिंदु से गुजरती हैं, प्रत्येक शाखा में अपनी स्पर्शरेखा रेखा होती है। जब बिंदु मूल होता है, तो इन पंक्तियों के समीकरणों को बीजगणितीय घटता के लिए पाया जा सकता है, जो मूल समीकरण से सभी लेकिन सबसे कम डिग्री की शर्तों को समाप्त करके गठित समीकरण को फैक्टर कर देता है। चूंकि किसी भी बिंदु को चर के परिवर्तन (या वक्र का अनुवाद करके) द्वारा मूल बनाया जा सकता है, यह किसी भी विलक्षण बिंदु पर स्पर्शरेखा लाइनों को खोजने के लिए एक विधि देता है।

उदाहरण के लिए, दाईं ओर दिखाए गए लीमैकॉन ट्रिसेक्ट्रिक्स का समीकरण है
 * $$(x^2+y^2-2ax)^2=a^2(x^2+y^2).\,$$

इसका विस्तार करना और डिग्री २ की शर्तों को समाप्त करना देता है
 * $$a^2(3x^2-y^2)=0\,$$

जो, जब फैक्ट किया हुआ, बन जाता है
 * $$y=\pm\sqrt{3}x.$$

तो ये मूल के माध्यम से दो स्पर्शरेखा लाइनों के समीकरण हैं। जब वक्र स्व-क्रॉस नहीं होता है, तो एक संदर्भ बिंदु पर स्पर्शरेखा को अभी भी विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं किया जा सकता है क्योंकि वक्र उस बिंदु पर भिन्न नहीं है, हालांकि यह कहीं और अलग है। इस मामले में बाएं और दाएं डेरिवेटिव को व्युत्पन्न की सीमा के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिस बिंदु पर इसका मूल्यांकन किया जाता है, वह क्रमशः बाएं (निम्न मान) या दाएं (उच्च मान) से संदर्भ बिंदु तक पहुंचता है। उदाहरण के लिए, वक्र y = | x | x = 0 पर भिन्न नहीं है: इसके बाएं और दाएं डेरिवेटिव में संबंधित ढलान −1 और 1 है; उन ढलानों के साथ उस बिंदु पर स्पर्शरेखा को बाएं और दाएं स्पर्शरेखा कहा जाता है।  कभी -कभी बाएं और दाएं स्पर्शरेखा रेखाओं की ढलान समान होती है, इसलिए स्पर्शरेखा रेखाएं मेल खाती हैं। यह सच है, उदाहरण के लिए, वक्र y = x के लिए 2/3, जिसके लिए x = 0 पर बाएं और दाएं दोनों डेरिवेटिव अनंत हैं;बाईं और दाएं स्पर्शरेखा रेखाओं दोनों में समीकरण x = 0 है।

एक अंतरिक्ष वक्र के लिए स्पर्शरेखा रेखा
गणित में, एक स्पर्शरेखा वेक्टर एक सदिश होता है जो किसी दिए गए बिंदु पर वक्र या सतह की स्पर्शरेखा होता है। स्पर्शरेखा सदिशों को Rn में वक्रों के संदर्भ में वक्रों की विभेदक ज्यामिति में वर्णित किया गया है। अधिक आम तौर पर, स्पर्शरेखा वैक्टर एक अलग-अलग मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा स्थान के तत्व होते हैं। स्पर्शरेखा सदिशों को germ के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है। औपचारिक रूप से, बिंदु {\displaystyle x}x पर एक स्पर्शरेखा वेक्टर {\displaystyle x}x पर रोगाणुओं के सेट द्वारा परिभाषित बीजगणित की एक रैखिक व्युत्पत्ति है।

स्पर्शरेखा वृत्त
स्पर्शरेखा घेरे के दो जोड़े। आंतरिक रूप से और नीचे के बाहरी रूप से गैर-समान त्रिज्या के बाहरी रूप से tangent two सर्कल, दोनों एक ही सतह में, एक दूसरे के लिए स्पर्शरेखा कहा जाता है यदि वे केवल एक बिंदु पर मिलते हैं।बराबर, दो सर्कल, आर के रेडी के साथi और केंद्रों पर केंद्र (xi, yi), और i = 1, 2 के लिए कहा जाता है
 * $$\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=\left(r_1\pm r_2\right)^2.\,$$


 * दो सर्कल 'बाहरी रूप से स्पर्शरेखा' हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनके रेडी के योग के बराबर है।
 * $$\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=\left(r_1 + r_2\right)^2.\,$$

$$\left(x_1-x_2\right)^2+\left(y_1-y_2\right)^2=\left(r_1 - r_2\right)^2.\,$$
 * दो सर्कल 'आंतरिक रूप से स्पर्शरेखा' हैं यदि उनके केंद्रों के बीच की दूरी उनके रेडी के बीच के अंतर के बराबर है।

एक सतह पर स्पर्शरेखा सतह
किसी दिए गए बिंदु पर एक सतह पर स्पर्शरेखा सतह p  को स्पर्शरेखा रेखा के अनुरूप तरीके से परिभाषित किया गया है। यह सतह p का सबसे अच्छा अनुमानित सतह  है, और इसे  P  के करीब सतह पर 3 अलग-अलग बिंदुओं से गुजरने वाले सतह की सीमित स्थिति के रूप में प्राप्त किया जा सकता है क्योंकि ये बिंदु p में परिवर्तित होते हैं।

उच्च-आयामी कई गुना
अधिक आम तौर पर, एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन स्पेस में के-आयामी कई गुना के प्रत्येक बिंदु पर एक के-आयामी स्पर्शरेखा स्थान होता है।

यह भी देखें

 * न्यूटन की विधि
 * सामान्य (ज्यामिति)
 * ऑस्कुलेटिंग वृत्त
 * ऑस्कुलेटिंग वक्र
 * लंबवत
 * उपस्पर्शी
 * सहायक रेखा
 * स्पर्शरेखा शंकु
 * स्पर्शरेखा कोण
 * स्पर्शरेखा घटक
 * वृत्त की स्पर्श रेखाएं
 * स्पर्शरेखा वेक्टर
 * बहुलता (गणित)#एक बहुमूल के निकट बहुपद फलन का व्यवहार
 * बीजगणितीय वक्र#एक बिंदु पर स्पर्शरेखा

बाहरी संबंध

 * Tangent to a circle With interactive animation
 * Tangent and first derivative — An interactive simulation
 * Tangent to a circle With interactive animation
 * Tangent and first derivative — An interactive simulation