समूहों के उदाहरण

गणित में समूहों के कुछ प्रारंभिक उदाहरण समूह (गणित) पर दिए गए हैं। आगे के उदाहरण यहां सूचीबद्ध हैं।

तीन तत्वों के समुच्चय का क्रमपरिवर्तन


तीन रंगीन ब्लॉकों (लाल, हरा और नीला) पर विचार करें, जिन्हें शुरू में आरजीबी क्रम में रखा गया था। मान लीजिए a ऑपरेशन है, पहले ब्लॉक और दूसरे ब्लॉक को स्वैप करें, और b ऑपरेशन है, दूसरे ब्लॉक और तीसरे ब्लॉक को स्वैप करें।

हम ऑपरेशन के लिए xy लिख सकते हैं पहले y करें, फिर x करें; ताकि ab ऑपरेशन RGB → RBG → BRG हो, जिसे इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है कि पहले दो ब्लॉकों को एक स्थिति दाईं ओर ले जाएं और तीसरे ब्लॉक को पहली स्थिति में रखें। यदि हम ब्लॉकों को वैसे ही छोड़ने के लिए ई लिखते हैं जैसे वे हैं (पहचान तत्व ऑपरेशन), तो हम तीन ब्लॉकों के छह क्रमपरिवर्तन इस प्रकार लिख सकते हैं:


 * ई : आरजीबी → आरजीबी
 * ए : आरजीबी → जीआरबी
 * बी : आरजीबी → आरबीजी
 * एबी : आरजीबी → बीआरजी
 * बीए: आरजीबी → जीबीआर
 * एबीए : आरजीबी → बीजीआर

ध्यान दें कि aa का प्रभाव RGB → GRB → RGB है; तो हम aa = e लिख सकते हैं। इसी प्रकार, bb = (aba)(aba) = e; (एबी)(बीए) = (बीए)(एबी) = ई; इसलिए प्रत्येक तत्व का एक व्युत्क्रम तत्व होता है।

निरीक्षण द्वारा, हम साहचर्यता और समापन (गणित) निर्धारित कर सकते हैं; विशेष रूप से ध्यान दें कि (ba)b = bab = b(ab)।

चूँकि यह बुनियादी संक्रियाओं a और b से बना है, हम कहते हैं कि सेट {a, b} इस समूह का सेट उत्पन्न करता है। समूह को सममित समूह एस कहा जाता है3, का क्रम (समूह सिद्धांत) 6 है, और यह गैर-एबेलियन समूह है|गैर-एबेलियन (क्योंकि, उदाहरण के लिए, ab ≠ ba)।

विमान के अनुवादों का समूह
यूक्लिडियन विमान का अनुवाद एक निश्चित दिशा में एक निश्चित दूरी के लिए विमान के प्रत्येक बिंदु की कठोर गति है। उदाहरण के लिए उत्तर-पूर्व दिशा में 2 मील तक चलना विमान का अनुवाद है। ए और बी जैसे दो अनुवाद एक नया अनुवाद ए ∘ बी बनाने के लिए फ़ंक्शन संरचना का उपयोग इस प्रकार कर सकते हैं: पहले बी के नुस्खे का पालन करें, फिर ए का। उदाहरण के लिए, यदि
 * a = 3 मील उत्तर-पूर्व की ओर बढ़ें

और
 * बी = 4 मील तक दक्षिण-पूर्व की ओर बढ़ें

तब
 * a ∘ b = 5 मील के लिए 8.13° बेयरिंग की ओर बढ़ें (बेयरिंग को वामावर्त और पूर्व से मापा जाता है)

या अगर
 * ए = 3 मील के लिए 36.87° बेयरिंग की ओर बढ़ें (बेयरिंग को वामावर्त और पूर्व से मापा जाता है)

और
 * बी = 4 मील के लिए 306.87° बियरिंग की ओर बढ़ें (बियरिंग को वामावर्त और पूर्व से मापा जाता है)

तब
 * a ∘ b = 5 मील पूर्व की ओर बढ़ें

(ज्यामितीय रूप से ऐसा क्यों है, इसके लिए पाइथागोरस प्रमेय देखें)।

ऑपरेशन के रूप में संरचना के साथ विमान के सभी अनुवादों का सेट एक समूह बनाता है:


 * 1) यदि a और b अनुवाद हैं, तो a ∘ b भी एक अनुवाद है।
 * 2) अनुवादों की संरचना साहचर्य है: (a ∘ b) ∘ c = a ∘ (b ∘ c).
 * 3) इस समूह के लिए पहचान तत्व नुस्खे के साथ किसी भी दिशा में शून्य मील की दूरी पर अनुवाद है।
 * 4) अनुवाद का व्युत्क्रम समान दूरी तक विपरीत दिशा में चलकर दिया जाता है।

यह एक एबेलियन समूह है और लाई समूह का हमारा पहला (अविच्छिन्न) उदाहरण है: एक समूह जो कई गुना भी है।

एक वर्ग का समरूपता समूह: क्रम 8 का डायहेड्रल समूह
वस्तुओं की समरूपता का वर्णन करने के लिए समूह बहुत महत्वपूर्ण हैं, चाहे वे ज्यामिति ( चतुर्पाश्वीय की तरह) या बीजगणितीय (समीकरणों के सेट की तरह) हों। उदाहरण के तौर पर, हम एक निश्चित मोटाई के कांच के वर्ग पर विचार करते हैं (जिस पर अलग-अलग स्थितियों को अलग-अलग दिखाने के लिए उस पर अक्षर F लिखा होता है)।

इसकी समरूपता का वर्णन करने के लिए, हम वर्ग के उन सभी कठोर आंदोलनों का समूह बनाते हैं जो कोई दृश्य अंतर नहीं बनाते हैं (एफ को छोड़कर)। उदाहरण के लिए, यदि कोई वस्तु 90° दक्षिणावर्त घूमती है तब भी वैसी ही दिखती है, तो गति सेट का एक तत्व है, उदाहरण के लिए a। हम इसे एक ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर भी पलट सकते हैं ताकि इसकी निचली सतह इसकी ऊपरी सतह बन जाए, जबकि बायां किनारा दायां किनारा बन जाए। फिर, इस क्रिया को करने के बाद, कांच का वर्ग वैसा ही दिखता है, इसलिए यह भी हमारे सेट का एक तत्व है और हम इसे बी कहते हैं। वह गति जो कुछ नहीं करती उसे e से दर्शाया जाता है।

ऐसे दो आंदोलनों x और y को देखते हुए, संरचना x ∘ y को ऊपर बताए अनुसार परिभाषित करना संभव है: पहले आंदोलन y किया जाता है, उसके बाद आंदोलन x किया जाता है। परिणाम स्वरूप स्लैब पहले जैसा दिखने लगेगा।

मुद्दा यह है कि उन सभी आंदोलनों का सेट, संचालन के रूप में संरचना के साथ, एक समूह बनाता है। यह समूह वर्ग की समरूपता का सबसे संक्षिप्त विवरण है। रसायनज्ञ क्रिस्टल और अणुओं की समरूपता का वर्णन करने के लिए इस प्रकार के समरूपता समूहों का उपयोग करते हैं।

समूह बनाना
आइए हमारे वर्ग के समरूपता समूह की कुछ और जाँच करें। अभी, हमारे पास ए, बी और ई तत्व हैं, लेकिन हम आसानी से और अधिक तत्व बना सकते हैं: उदाहरण के लिए a ∘ a, जिसे a भी लिखा जाता है2, 180° डिग्री का मोड़ है। ए3270° दक्षिणावर्त घुमाव (या 90° वामावर्त घुमाव) है। हम यह भी देखते हैं कि बी2=ई और ए भी4=ई. यहाँ एक दिलचस्प बात है: a ∘ b क्या करता है? पहले क्षैतिज रूप से पलटें, फिर घुमाएँ। कल्पना करने का प्रयास करें कि a ∘ b = b ∘ a3. यह भी एक2 ∘ b एक ऊर्ध्वाधर फ्लिप है और b ∘ a के बराबर है2.

हम कहते हैं कि तत्व ए और बी एक समूह का समूह उत्पन्न करते हैं।

क्रम 8 के इस समूह में निम्नलिखित केली तालिका है:

समूह में किन्हीं दो तत्वों के लिए, तालिका रिकॉर्ड करती है कि उनकी संरचना क्या है। यहां हमने एक लिखा है3b a के लिए आशुलिपि के रूप में3 ∘ बी.

गणित में इस समूह को क्रम 8 के 'डायहेड्रल समूह' के रूप में जाना जाता है, और इसे या तो दिह कहा जाता है4, डी4 या डी8, सम्मेलन पर निर्भर करता है। यह एक गैर-एबेलियन समूह का उदाहरण था: यहां ऑपरेशन ∘ क्रमविनिमेय नहीं है, जिसे तालिका से देखा जा सकता है; तालिका मुख्य विकर्ण के प्रति सममित नहीं है।



सामान्य उपसमूह
केली तालिका के इस संस्करण से पता चलता है कि इस समूह में लाल पृष्ठभूमि के साथ दिखाया गया एक सामान्य उपसमूह है। इस तालिका में r का अर्थ घूर्णन है, और f का अर्थ फ़्लिप है। क्योंकि उपसमूह सामान्य है, बायां कोसेट दाएँ कोसेट के समान है।


 * {| class="wikitable" style="float:left; text-align:center; margin:.5em 0 .5em 1em; width:40ex; height:40ex;"

! style="width:12%; background:#fdd; border-top:solid black 2px; border-left:solid black 2px;"| ! style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| e !  style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| r1 !  style="background:#fdd; border-top:solid black 2px; width:11%;"| r2 !  style="background:#fdd; border-right:solid black 2px; border-top:solid black 2px; width:11%;"| r3 ! style="width:11%;"| fv !! style="width:11%;"| fh !! style="width:11%;"| fd !! style="width:11%;"| fc !style="background:#FDD; border-left:solid black 2px;" | e !style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | r1 !style="background:#FDD;  border-left:solid black 2px;" | r2 !style="background:#FDD; border-bottom:solid black 2px; border-left:solid black 2px;" | r3 ! fv ! fh ! fd ! fc
 * + Group table of D4
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 * style="background:#FDD;"| r1
 * style="background:#FDD;" | r2
 * style="background:#FDD; border-right:solid black 2px;"| r3 || fv || fh || fd
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 * colspan="9" style="text-align:left"| The elements e, r1, r2, and r3 form a subgroup, highlighted in red (upper left region). A left and right coset of this subgroup is highlighted in  green (in the last row) and  yellow (last column), respectively.
 * }
 * }

दो जेनरेटर पर निःशुल्क समूह
दो जनरेटर ए और बी वाले मुक्त समूह में सभी परिमित स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान)/शब्द शामिल हैं जिन्हें चार प्रतीकों ए, ए से बनाया जा सकता है।−1, b और b−1ऐसा कि कोई भी a सीधे a के बगल में नहीं दिखता है−1 और कोई भी b सीधे a b के बगल में नहीं दिखता है−1. ऐसी दो स्ट्रिंग्स को संयोजित किया जा सकता है और निषिद्ध सबस्ट्रिंग्स को खाली स्ट्रिंग के साथ बार-बार प्रतिस्थापित करके इस प्रकार की स्ट्रिंग में परिवर्तित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए: अबाब−1a−1के साथ संघटित आबब−1ए से अबाब निकलता है−1a−1अबाब−1a, जो घटकर अबाब हो जाता है−1a. कोई यह जांच सकता है कि इस ऑपरेशन के साथ उन स्ट्रिंग्स का सेट खाली स्ट्रिंग के साथ एक समूह बनाता है ε := पहचान तत्व है (आमतौर पर उद्धरण चिह्न छोड़ दिए जाते हैं; यही कारण है कि प्रतीक ε की आवश्यकता होती है)।

यह एक और अनंत गैर-एबेलियन समूह है।

बीजगणितीय टोपोलॉजी में मुक्त समूह महत्वपूर्ण हैं; दो जनरेटरों में मुक्त समूह का उपयोग बानाच-टार्स्की विरोधाभास के गणितीय प्रमाण के लिए भी किया जाता है।

एक सेट से एक समूह तक मानचित्रों का सेट
माना G एक समूह है और S एक समुच्चय है। मानचित्रों का सेट एम(एस,जी) स्वयं एक समूह है; अर्थात् दो मानचित्रों f, g के S से G के लिए हम fg को इस प्रकार मानचित्र के रूप में परिभाषित करते हैं कि S और f में प्रत्येक x के लिए (fg)(x)=f(x)g(x)−1मानचित्र इस प्रकार होना चाहिए कि f−1(x)=f(x)−1.

एम(एस, जी) में मानचित्र एफ, जी और एच लें। S में प्रत्येक x के लिए, f(x) और g(x) दोनों G में हैं, और (fg)(x) भी ऐसा ही है। इसलिए, fg भी M(S, G) में है, यानी M(S, G) बंद है। M(S,G) साहचर्य है क्योंकि ((fg)h)(x)=(fg)(x)h(x)=(f(x)g(x))h(x)=f(x)( g(x)h(x)) = f(x)(gh)(x) = (f(gh))(x). और एक मानचित्र i इस प्रकार है कि i(x)=e जहां e, G का पहचान तत्व है। मानचित्र i ऐसा है जो M(S,G) में सभी f के लिए हमारे पास है fi = if = f, अर्थात i, M(S,G) का पहचान तत्व है। इस प्रकार, एम(एस,जी) वास्तव में एक समूह है।

यदि G एबेलियन है तो (fg)(x) = f(x)g(x) = g(x)f(x) = (gf)(x), और इसलिए M(S,G) भी ऐसा ही है।

क्रमपरिवर्तन के समूह
मान लीजिए कि G अपने आप में एक समुच्चय S की विशेषण मानचित्रण का समुच्चय है। फिर जी मैपिंग की सामान्य फ़ंक्शन संरचना के तहत एक समूह बनाता है। इस समूह को 'सममित समूह' कहा जाता है, और इसे आमतौर पर दर्शाया जाता है $$\operatorname{Sym}(S)$$, एसS, या $$\mathfrak{S}_{S}$$. G का पहचान तत्व S का पहचान मानचित्र है। दो मानचित्रों के लिए G में f, g विशेषण हैं, fg भी विशेषण है। इसलिए, G बंद है। मानचित्रों की संरचना साहचर्यात्मक होती है; अतः G एक समूह है। S या तो परिमित या अनंत समुच्चय हो सकता है।

मैट्रिक्स समूह
यदि n कुछ धनात्मक पूर्णांक है, तो हम वास्तविक संख्या घटकों के साथ सभी व्युत्क्रमणीय मैट्रिक्स n बटा n मैट्रिक्स (गणित) के सेट पर विचार कर सकते हैं। यह ऑपरेशन के रूप में मैट्रिक्स गुणन वाला एक समूह है। इसे 'सामान्य रैखिक समूह' कहा जाता है और इसे GL कहा जाता हैn(आर) या जीएल(एन, आर) (जहां आर वास्तविक संख्याओं का सेट है)। ज्यामितीय रूप से, इसमें एन-आयामी यूक्लिडियन स्थान  के घूर्णन, प्रतिबिंब, फैलाव और तिरछे परिवर्तनों के सभी संयोजन शामिल हैं जो एक दिए गए बिंदु (मूल) को निश्चित बिंदु (गणित) देते हैं।

यदि हम स्वयं को सारणिक 1 वाले आव्यूहों तक सीमित रखते हैं, तो हमें एक अन्य समूह, विशेष रैखिक समूह, SL मिलता हैn(आर) या एसएल(एन, आर)। ज्यामितीय रूप से, इसमें GL के सभी तत्व शामिल हैंn(आर) जो यूक्लिडियन अंतरिक्ष में विभिन्न ज्यामितीय ठोस पदार्थों के अभिविन्यास और आयतन दोनों को संरक्षित करता है।

यदि इसके बजाय हम स्वयं को ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स तक सीमित रखते हैं, तो हमें ऑर्थोगोनल समूह O मिलता हैn(आर) या ओ(एन, आर)। ज्यामितीय रूप से, इसमें घुमावों और प्रतिबिंबों के सभी संयोजन शामिल होते हैं जो मूल को तय करते हैं। ये बिल्कुल वे परिवर्तन हैं जो लंबाई और कोणों को संरक्षित करते हैं।

अंत में, यदि हम दोनों प्रतिबंध लगाते हैं, तो हमें विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO मिलता हैn(आर) या एसओ(एन, आर), जिसमें केवल घूर्णन शामिल हैं।

ये समूह अनंत गैर-एबेलियन समूहों के हमारे पहले उदाहरण हैं। वे झूठ समूह भी होते हैं। वास्तव में, अधिकांश महत्वपूर्ण झूठ समूहों (लेकिन सभी नहीं) को मैट्रिक्स समूहों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यदि इस विचार को प्रविष्टियों के रूप में जटिल संख्याओं वाले आव्यूहों के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, तो हमें और भी उपयोगी झूठ समूह मिलते हैं, जैसे कि एकात्मक समूह यू(एन)। हम चतुर्भुज वाले आव्यूहों को भी प्रविष्टियों के रूप में मान सकते हैं; इस मामले में, एक निर्धारक की कोई अच्छी तरह से परिभाषित धारणा नहीं है (और इस प्रकार चतुर्धातुक आयतन को परिभाषित करने का कोई अच्छा तरीका नहीं है), लेकिन हम अभी भी ऑर्थोगोनल समूह के अनुरूप एक समूह को परिभाषित कर सकते हैं, सहानुभूति समूह एसपी(एन ).

इसके अलावा, इस विचार को किसी भी क्षेत्र (गणित) पर मैट्रिक्स के साथ पूरी तरह से बीजगणितीय रूप से व्यवहार किया जा सकता है, लेकिन फिर समूह झूठ समूह नहीं हैं।

उदाहरण के लिए, हमारे पास परिमित क्षेत्रों पर सामान्य रैखिक समूह हैं। समूह सिद्धांतकार जे.एल. अल्पेरिन ने लिखा है कि एक परिमित समूह का विशिष्ट उदाहरण जीएल (एन, क्यू) है, जो क्यू के साथ क्षेत्र पर एन आयामों का सामान्य रैखिक समूह है। 'तत्व. जिस छात्र को अन्य उदाहरणों से विषय से परिचित कराया जाता है, उसे पूरी तरह से गुमराह किया जा रहा है।

यह भी देखें

 * छोटे समूहों की सूची
 * 230 क्रिस्टलोग्राफिक 3डी अंतरिक्ष समूहों की सूची