लाप्लासियन आव्यूह

ग्राफ सिद्धांत के गणित क्षेत्र में, लाप्लासियन मैट्रिक्स, जिसे डिस्क्रीट_लाप्लेस_ऑपरेटर#ग्राफ_लाप्लासियन, प्रवेश मैट्रिक्स, किरचॉफ मैट्रिक्स या डिस्क्रीट लाप्लास ऑपरेटर भी कहा जाता है, एक ग्राफ (असतत गणित) का एक मैट्रिक्स (गणित) प्रतिनिधित्व है। पियरे-साइमन लाप्लास के नाम पर, ग्राफ लाप्लासियन मैट्रिक्स को परिमित अंतर विधि द्वारा प्राप्त नकारात्मक निरंतर लाप्लासियन का अनुमान लगाने वाले ग्राफ पर नकारात्मक असतत लाप्लास ऑपरेटर के मैट्रिक्स रूप के रूप में देखा जा सकता है।

लाप्लासियन मैट्रिक्स एक ग्राफ़ के कई उपयोगी गुणों से संबंधित है। किरचॉफ के प्रमेय के साथ, इसका उपयोग किसी दिए गए ग्राफ़ के लिए फैले हुए पेड़ों (गणित) की संख्या की गणना करने के लिए किया जा सकता है। ग्राफ़ के कट (ग्राफ़ सिद्धांत)#सबसे कम कट का अनुमान फिडलर वेक्टर के माध्यम से लगाया जा सकता है - ग्राफ़ लाप्लासियन के दूसरे सबसे छोटे आइगेनवैल्यू के अनुरूप ईजेनवेक्टर - जैसा कि चीगर स्थिरांक (ग्राफ़ सिद्धांत)#चीगर असमानताओं|चीगर की असमानता द्वारा स्थापित किया गया है। लाप्लासियन मैट्रिक्स के एक मैट्रिक्स का आइगेंडेकंपोजिशन नॉनलाइनर डायमेंशनलिटी रिडक्शन#लाप्लासियन आइजेनमैप्स का निर्माण करने की अनुमति देता है जो कई यंत्र अधिगम  अनुप्रयोगों में दिखाई देते हैं और ग्राफ ड्राइंग में एक वर्णक्रमीय लेआउट निर्धारित करते हैं। ग्राफ-आधारित  संकेत आगे बढ़ाना  असतत फूरियर रूपांतरण पर आधारित है जो सिग्नल के अनुरूप ग्राफ के लाप्लासियन मैट्रिक्स के ईजेनवेक्टरों के लिए जटिल संख्या साइन तरंगों के मानक आधार को प्रतिस्थापित करके पारंपरिक असतत फूरियर ट्रांसफॉर्म का विस्तार करता है।

लाप्लासियन मैट्रिक्स एक साधारण ग्राफ के लिए परिभाषित करना सबसे आसान है, लेकिन ग्लोसरी_ऑफ_ग्राफ_थ्योरी#वेटेड_ग्राफ|एज-वेटेड ग्राफ के लिए अनुप्रयोगों में अधिक आम है, यानी, इसके किनारों पर वजन के साथ - ग्राफ आसन्न मैट्रिक्स की प्रविष्टियां। वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत एक ग्राफ के गुणों को एक स्पेक्ट्रम से जोड़ता है, यानी, आइगेनवैल्यू, और ग्राफ से जुड़े मैट्रिक्स के आइगेनवेक्टर, जैसे कि इसकी आसन्न मैट्रिक्स या लाप्लासियन मैट्रिक्स। असंतुलित भार मैट्रिक्स स्पेक्ट्रम को अवांछित रूप से प्रभावित कर सकता है, जिससे सामान्यीकरण की आवश्यकता होती है - मैट्रिक्स प्रविष्टियों का एक कॉलम/पंक्ति स्केलिंग - जिसके परिणामस्वरूप सामान्यीकृत आसन्नता और लाप्लासियन मैट्रिक्स होते हैं।

लाप्लासियन मैट्रिक्स
एक सरल ग्राफ दिया गया है $$G$$ साथ $$n$$ कोने $$v_1, \ldots, v_n$$, इसका लाप्लासियन मैट्रिक्स $L_{n \times n}$ है तत्वानुसार परिभाषित
 * $$L_{i,j} := \begin{cases}

\deg(v_i) & \mbox{if}\ i = j \\ -1 & \mbox{if}\ i \neq j\ \mbox{and}\ v_i \mbox{ is adjacent to } v_j \\ 0 & \mbox{otherwise}, \end{cases}$$ या मैट्रिक्स द्वारा समकक्ष
 * $$L = D - A, $$

जहां D डिग्री मैट्रिक्स है और A ग्राफ़ का आसन्न मैट्रिक्स है। तब से $G$ एक सरल ग्राफ है, $A$  इसमें केवल 1s या 0s हैं और इसके विकर्ण तत्व सभी 0s हैं।

यहां एक लेबल, अप्रत्यक्ष ग्राफ़ और उसके लाप्लासियन मैट्रिक्स का एक सरल उदाहरण दिया गया है।

हम अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के लिए देखते हैं कि आसन्न मैट्रिक्स और लाप्लासियन मैट्रिक्स दोनों सममित हैं, और लाप्लासियन मैट्रिक्स की पंक्ति और स्तंभ-योग सभी शून्य हैं।

निर्देशित ग्राफ़ के लिए, या तो डिग्री (ग्राफ़ सिद्धांत) का उपयोग किया जा सकता है, जो कि अनुप्रयोग पर निर्भर करता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है: निर्देशित ग्राफ़ में, आसन्न मैट्रिक्स और लाप्लासियन मैट्रिक्स दोनों असममित हैं। इसके लाप्लासियन मैट्रिक्स में, कॉलम-योग या पंक्ति-योग शून्य हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि डिग्री (ग्राफ़ सिद्धांत) का उपयोग किया गया है या नहीं।

घटना मैट्रिक्स के माध्यम से सममित लाप्लासियन
$|v| \times |e|$ h>तत्व बी के साथ घटना मैट्रिक्स बीve शीर्ष v और किनारे e के लिए (शीर्षों को जोड़ने वाला)। $v_i$  और $v_j$, i > j के साथ) द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$B_{ve} = \left\{\begin{array}{rl}

1, & \text{if } v = v_i\\ -1, & \text{if } v = v_j\\ 0, & \text{otherwise}. \end{array}\right.$$ भले ही इस परिभाषा में किनारों को तकनीकी रूप से निर्देशित किया गया है, उनकी दिशाएँ मनमाने ढंग से हो सकती हैं, फिर भी समान सममित लाप्लासियन का परिणाम होता है $|v| \times |v|$ मैट्रिक्स एल के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$L = B B^\textsf{T}$$

कहाँ $B^\textsf{T}$ बी का स्थानान्तरण है.

एक वैकल्पिक उत्पाद $$B^\textsf{T}B$$ तथाकथित को परिभाषित करता है $|e| \times |e|$ किनारे-आधारित लाप्लासियन, आमतौर पर उपयोग किए जाने वाले मूल वर्टेक्स-आधारित लाप्लासियन मैट्रिक्स एल के विपरीत।

निर्देशित ग्राफ़ के लिए सममित लाप्लासियन
एक निर्देशित ग्राफ का लाप्लासियन मैट्रिक्स परिभाषा के अनुसार आम तौर पर गैर-सममित होता है, जबकि, उदाहरण के लिए, पारंपरिक वर्णक्रमीय क्लस्टरिंग मुख्य रूप से सममित आसन्नता और लाप्लासियन मैट्रिक्स के साथ अप्रत्यक्ष ग्राफ के लिए विकसित की जाती है। समरूपता की आवश्यकता वाली तकनीकों को लागू करने के लिए एक तुच्छ दृष्टिकोण मूल निर्देशित ग्राफ को एक अप्रत्यक्ष ग्राफ में बदलना और बाद के लिए लाप्लासियन मैट्रिक्स का निर्माण करना है।

मैट्रिक्स नोटेशन में, अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के आसन्न मैट्रिक्स को, उदाहरण के लिए, आसन्न मैट्रिक्स के OR गेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$A$$ मूल निर्देशित ग्राफ़ और उसके मैट्रिक्स का स्थानान्तरण $$A^T$$, जहां शून्य और एक की प्रविष्टियाँ हैं $$A$$ मानों को संख्यात्मक के बजाय तार्किक माना जाता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है:

लाप्लासियन मैट्रिक्स सामान्यीकरण
बड़ी डिग्री वाला एक शीर्ष, जिसे भारी नोड भी कहा जाता है, के परिणामस्वरूप मैट्रिक्स गुणों पर हावी होने वाले लाप्लासियन मैट्रिक्स में एक बड़ी विकर्ण प्रविष्टि होती है। सामान्यीकरण का उद्देश्य लाप्लासियन मैट्रिक्स की प्रविष्टियों को शीर्ष डिग्री द्वारा विभाजित करके ऐसे शीर्षों के प्रभाव को अन्य शीर्षों के प्रभाव के बराबर बनाना है। शून्य से विभाजन से बचने के लिए, शून्य डिग्री वाले पृथक शीर्षों को सामान्यीकरण की प्रक्रिया से बाहर रखा गया है।

सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन
सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$L^\text{sym} := (D^+)^{1/2} L (D^+)^{1/2} = I - (D^+)^{1/2} A (D^+)^{1/2},$$

कहाँ $$D^+$$ मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम है।

के तत्व $L^\text{sym}$ इस प्रकार द्वारा दिए गए हैं


 * $$L^\text{sym}_{i,j} := \begin{cases}

1 & \mbox{if } i = j \mbox{ and } \deg(v_i) \neq 0\\ -\frac{1}{\sqrt{\deg(v_i)\deg(v_j)}} & \mbox{if } i \neq j \mbox{ and } v_i \mbox{ is adjacent to } v_j \\ 0 & \mbox{otherwise}. \end{cases}$$ सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स सममित है यदि और केवल यदि आसन्न मैट्रिक्स सममित है। निर्देशित ग्राफ़ के गैर-सममित आसन्न मैट्रिक्स के लिए, किसी भी डिग्री (ग्राफ़ सिद्धांत) का उपयोग सामान्यीकरण के लिए किया जा सकता है:

बाएँ (यादृच्छिक-चलना) और दाएँ सामान्यीकृत लाप्लासियन
बाएं (रैंडम-वॉक) सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$L^\text{rw} := D^+L = I - D^+A,$$

कहाँ $$D^+$$ मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम है। के तत्व $L^\text{rw}$ द्वारा दिए गए हैं
 * $$L^\text{rw}_{i,j} := \begin{cases}

1 & \mbox{if } i = j \mbox{ and } \deg(v_i) \neq 0\\ -\frac{1}{\deg(v_i)} & \mbox{if } i \neq j \mbox{ and } v_i \mbox{ is adjacent to } v_j \\ 0 & \mbox{otherwise}. \end{cases}$$ इसी प्रकार, सही सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$L D^+ = I - A D^+$$.

यदि सभी पृथक शीर्षों के तुच्छ मामले को छोड़कर, आसन्न मैट्रिक्स सममित है, तो बाएँ या दाएँ सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स सममित नहीं है। उदाहरण के लिए, उदाहरण यह भी दर्शाता है कि यदि $$G$$ तो फिर, इसका कोई पृथक शीर्ष नहीं है $$D^+A$$ स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स और इसलिए एक यादृच्छिक चलने का मैट्रिक्स है, ताकि बाईं ओर लाप्लासियन सामान्यीकृत हो $$L^\text{rw} := D^+L = I - D^+A$$ प्रत्येक पंक्ति का योग शून्य है। इस प्रकार हम कभी-कभी वैकल्पिक रूप से कॉल करते हैं $$L^\text{rw}$$ रैंडम वॉक|रैंडम-वॉक सामान्यीकृत लाप्लासियन। कम असामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले दाएँ सामान्यीकृत लाप्लासियन में $$L D^+ = I - A D^+$$ चूँकि प्रत्येक कॉलम का योग शून्य है $$A D^+$$ स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स है.

निर्देशित ग्राफ़ के गैर-सममित आसन्न मैट्रिक्स के लिए, किसी को सामान्यीकरण के लिए डिग्री (ग्राफ़ सिद्धांत) चुनने की भी आवश्यकता होती है: पंक्ति-योग के साथ लेफ्ट आउट-डिग्री सामान्यीकृत लाप्लासियन सभी 0 स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स से संबंधित है $$D_{\text{out}}^+A$$, जबकि सभी 0 के कॉलम-योग के साथ डिग्री में सामान्यीकृत लाप्लासियन में स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स शामिल है $$AD_{\text{in}}^+$$.

भारित किनारों वाले ग्राफ़ के लिए परिभाषाएँ
अनुप्रयोगों में सामान्य भारित किनारों वाले ग्राफ़ को आसानी से उनके आसन्न मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया जाता है जहां प्रविष्टियों के मान संख्यात्मक होते हैं और अब शून्य और एक तक सीमित नहीं होते हैं। वर्णक्रमीय क्लस्टरिंग और ग्राफ़-आधारित सिग्नल प्रोसेसिंग में, जहां ग्राफ़ शीर्ष डेटा बिंदुओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, किनारे के वजन की गणना की जा सकती है, उदाहरण के लिए, डेटा बिंदुओं के जोड़े के बीच Distance_matrix के व्युत्क्रमानुपाती के रूप में, जिसके परिणामस्वरूप सभी वजन अनौपचारिक रूप से बड़े मूल्यों के साथ गैर-नकारात्मक होते हैं डेटा बिंदुओं के अधिक समान जोड़े के अनुरूप। डेटा बिंदुओं के बीच सहसंबंध और विरोधी सहसंबंध का उपयोग करने से स्वाभाविक रूप से सकारात्मक और नकारात्मक दोनों प्रकार के भार उत्पन्न होते हैं। सरल ग्राफ़ की अधिकांश परिभाषाएँ गैर-नकारात्मक भार के मानक मामले तक तुच्छ रूप से विस्तारित हैं, जबकि नकारात्मक भार पर अधिक ध्यान देने की आवश्यकता होती है, खासकर सामान्यीकरण में।

लाप्लासियन मैट्रिक्स
लाप्लासियन मैट्रिक्स द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$L = D - A, $$

जहां D डिग्री मैट्रिक्स है और A ग्राफ़ का आसन्न मैट्रिक्स है।

निर्देशित ग्राफ़ के लिए, या तो डिग्री (ग्राफ़ सिद्धांत) का उपयोग किया जा सकता है, जो कि अनुप्रयोग पर निर्भर करता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है: ग्राफ़ सेल्फ-लूप्स, जो आसन्न मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर गैर-शून्य प्रविष्टियों द्वारा स्वयं को प्रकट करते हैं, की अनुमति है लेकिन ग्राफ़ लाप्लासियन मानों को प्रभावित नहीं करते हैं।

घटना मैट्रिक्स के माध्यम से सममित लाप्लासियन
भारित किनारों वाले ग्राफ़ के लिए कोई भारित घटना मैट्रिक्स बी को परिभाषित कर सकता है और इसका उपयोग संबंधित सममित लाप्लासियन के निर्माण के लिए कर सकता है $$L = B B^\textsf{T}$$. यहां वर्णित एक वैकल्पिक क्लीनर दृष्टिकोण, वज़न को कनेक्टिविटी से अलग करना है: नियमित ग्राफ़ के लिए घटना मैट्रिक्स का उपयोग करना जारी रखें और केवल वज़न के मान रखने वाले मैट्रिक्स को पेश करें। एक वसंत प्रणाली  इस मॉडल का एक उदाहरण है जिसका उपयोग यांत्रिकी में दी गई कठोरता और इकाई लंबाई के स्प्रिंग्स की एक प्रणाली का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जहां कठोरता के मूल्य ग्राफ किनारों के वजन की भूमिका निभाते हैं।

इस प्रकार हम भारहीन की परिभाषा का पुन: उपयोग करते हैं $|v| \times |e|$ तत्व बी के साथ घटना मैट्रिक्स बीve शीर्ष v और किनारे e के लिए (शीर्षों को जोड़ने वाला)। $v_i$  और $v_j$, i > j) द्वारा परिभाषित
 * $$B_{ve} = \left\{\begin{array}{rl}

1, & \text{if } v = v_i\\ -1, & \text{if } v = v_j\\ 0, & \text{otherwise}. \end{array}\right.$$ अब हम एक विकर्ण को भी परिभाषित करते हैं $|e| \times |e|$ मैट्रिक्स W जिसमें किनारे का भार है। भले ही बी की परिभाषा में किनारों को तकनीकी रूप से निर्देशित किया गया है, उनकी दिशाएं मनमानी हो सकती हैं, फिर भी समान सममित लाप्लासियन का परिणाम होता है $|v| \times |v|$  मैट्रिक्स एल के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$L = B W B^\textsf{T}$$

कहाँ $B^\textsf{T}$ बी का स्थानान्तरण है.

निर्माण को निम्नलिखित उदाहरण में दर्शाया गया है, जहां हर किनारा $e_i$ भार मान i, के साथ निर्दिष्ट किया गया है $i=1, 2, 3, 4.$

निर्देशित ग्राफ़ के लिए सममित लाप्लासियन
साधारण ग्राफ़ की तरह, एक निर्देशित भारित ग्राफ़ का लाप्लासियन मैट्रिक्स परिभाषा के अनुसार आम तौर पर गैर-सममित होता है। लाप्लासियन के निर्माण से पहले मूल निर्देशित ग्राफ को अप्रत्यक्ष ग्राफ में बदलकर समरूपता लागू की जा सकती है। अप्रत्यक्ष ग्राफ़ के आसन्न मैट्रिक्स को, उदाहरण के लिए, आसन्न मैट्रिक्स के योग के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$A$$ मूल निर्देशित ग्राफ़ और उसके मैट्रिक्स का स्थानान्तरण $$A^T$$ जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है: जहाँ शून्य और एक की प्रविष्टियाँ हैं $$A$$ सरल ग्राफ़, मानों को तार्किक के बजाय संख्यात्मक माना जाता है, जो परिणामों में अंतर को समझाते हैं - सरल ग्राफ़ के लिए, सममित ग्राफ़ को अभी भी सरल होने की आवश्यकता है, इसके सममित आसन्न मैट्रिक्स में केवल तार्किक होते हैं, संख्यात्मक मान नहीं, उदाहरण के लिए, तार्किक योग 1 v 1 = 1 है, जबकि संख्यात्मक योग 1 + 1 = 2 है।

वैकल्पिक रूप से, सममित लाप्लासियन मैट्रिक्स की गणना डिग्री (ग्राफ सिद्धांत) का उपयोग करके दो लाप्लासियन से की जा सकती है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है: आउट-डिग्री लाप्लासियन ट्रांसपोज़्ड और इन-डिग्री लाप्लासियन का योग सममित लाप्लासियन मैट्रिक्स के बराबर होता है।

लाप्लासियन मैट्रिक्स सामान्यीकरण
सामान्यीकरण का लक्ष्य, सरल ग्राफ़ की तरह, लाप्लासियन मैट्रिक्स की विकर्ण प्रविष्टियों को सभी इकाई बनाना है, साथ ही ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियों को तदनुसार स्केल करना है। ग्लोसरी_ऑफ_ग्राफ_थ्योरी#वेटेड_ग्राफ में, एक शीर्ष में जुड़े हुए किनारों की एक छोटी संख्या के कारण बड़ी डिग्री हो सकती है, लेकिन बड़े वजन के साथ-साथ यूनिट वजन के साथ बड़ी संख्या में जुड़े किनारों के कारण भी।

ग्राफ़ सेल्फ-लूप, यानी, आसन्न मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण पर गैर-शून्य प्रविष्टियाँ, ग्राफ़ लाप्लासियन मानों को प्रभावित नहीं करती हैं, लेकिन सामान्यीकरण कारकों की गणना के लिए गणना करने की आवश्यकता हो सकती है।

सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन
सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$L^\text{sym} := (D^+)^{1/2} L (D^+)^{1/2} = I - (D^+)^{1/2} A (D^+)^{1/2},$$

जहां एल असामान्य लाप्लासियन है, ए आसन्न मैट्रिक्स है, डी डिग्री मैट्रिक्स है, और $$D^+$$ मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम है। चूँकि डिग्री मैट्रिक्स D विकर्ण है, इसका व्युत्क्रम वर्गमूल है $(D^+)^{1/2}$ केवल विकर्ण मैट्रिक्स है जिसकी विकर्ण प्रविष्टियाँ D की विकर्ण प्रविष्टियों के वर्गमूलों के व्युत्क्रम हैं। यदि सभी किनारे के भार गैर-नकारात्मक हैं तो सभी डिग्री मान स्वचालित रूप से भी गैर-नकारात्मक हैं और इसलिए प्रत्येक डिग्री मान का एक अद्वितीय सकारात्मक वर्गमूल होता है। शून्य से विभाजन से बचने के लिए, शून्य डिग्री वाले शीर्षों को सामान्यीकरण की प्रक्रिया से बाहर रखा गया है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण में है: सममित रूप से सामान्यीकृत लाप्लासियन एक सममित मैट्रिक्स है यदि और केवल यदि आसन्न मैट्रिक्स ए सममित है और डी की विकर्ण प्रविष्टियाँ गैर-नकारात्मक हैं, तो उस स्थिति में हम 'सममित सामान्यीकृत लाप्लासियन' शब्द का उपयोग कर सकते हैं।

सममित सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है
 * $$L^\text{sym} := (D^+)^{1/2} L (D^+)^{1/2} = (D^+)^{1/2}B W B^\textsf{T} (D^+)^{1/2} = S S^T$$

भारहीन का उपयोग करना $|v| \times |e|$ आपतन मैट्रिक्स बी और विकर्ण $|e| \times |e|$  मैट्रिक्स डब्ल्यू जिसमें किनारे का वजन शामिल है और नए को परिभाषित करता है $|v| \times |e|$  भारित घटना मैट्रिक्स $S=(D^+)^{1/2}B W^{{1}/{2}}$  जिनकी पंक्तियाँ शीर्षों द्वारा अनुक्रमित होती हैं और जिनके स्तंभ G के किनारों द्वारा अनुक्रमित होते हैं, जैसे कि किनारे e = {u, v} के अनुरूप प्रत्येक स्तंभ में एक प्रविष्टि होती है $\frac{1}{\sqrt{d_u}}$  यू के अनुरूप पंक्ति में, एक प्रविष्टि $-\frac{1}{\sqrt{d_v}}$  v के अनुरूप पंक्ति में, और अन्यत्र 0 प्रविष्टियाँ हैं।

रैंडम वॉक सामान्यीकृत लाप्लासियन
रैंडम वॉक सामान्यीकृत लाप्लासियन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$L^\text{rw} := D^+ L = I - D^+ A$$

जहाँ D डिग्री मैट्रिक्स है। चूँकि डिग्री मैट्रिक्स D विकर्ण है, यह व्युत्क्रम है $D^+$ इसे बस एक विकर्ण मैट्रिक्स के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसमें विकर्ण प्रविष्टियाँ हैं जो डी की संगत विकर्ण प्रविष्टियों के व्युत्क्रम हैं। पृथक शीर्षों (डिग्री 0 वाले) के लिए, एक सामान्य विकल्प संबंधित तत्व को सेट करना है $L^\text{rw}_{i,i}$  से 0. के मैट्रिक्स तत्व $L^\text{rw}$ द्वारा दिए गए हैं
 * $$L^{\text{rw}}_{i,j} := \begin{cases}

1 & \mbox{if}\ i = j\ \mbox{and}\ \deg(v_i) \neq 0\\ -\frac{1}{\deg(v_i)} & \mbox{if}\ i \neq j\ \mbox{and}\ v_i \mbox{ is adjacent to } v_j \\ 0 & \mbox{otherwise}. \end{cases}$$ रैंडम-वॉक सामान्यीकृत लाप्लासियन का नाम इस तथ्य से आता है कि यह मैट्रिक्स है $L^\text{rw} = I - P$, कहाँ $P = D^+A$ गैर-नकारात्मक भार मानते हुए, ग्राफ़ पर एक यादृच्छिक वॉकर का संक्रमण मैट्रिक्स है। उदाहरण के लिए, चलो $ e_i $  i-वें मानक आधार वेक्टर को निरूपित करें। तब $x = e_i P $  एक संभाव्यता वेक्टर है जो शीर्ष से एक कदम उठाने के बाद यादृच्छिक वॉकर के स्थानों के वितरण का प्रतिनिधित्व करता है $i$ ; अर्थात।, $x_j = \mathbb{P}\left(v_i \to v_j\right)$. अधिक सामान्यतः, यदि वेक्टर $ x $ तब, ग्राफ़ के शीर्षों पर एक यादृच्छिक वॉकर के स्थान का संभाव्यता वितरण होता है $x' = x P^t$  बाद में वॉकर का संभाव्यता वितरण है $t$  कदम।

रैंडम वॉक सामान्यीकृत लाप्लासियन को बायां सामान्यीकृत लाप्लासियन भी कहा जा सकता है $$L^\text{rw} := D^+L$$ चूंकि सामान्यीकरण सामान्यीकरण मैट्रिक्स द्वारा लाप्लासियन को गुणा करके किया जाता है $$D^+$$ बाईं तरफ। तब से इसकी प्रत्येक पंक्ति का योग शून्य है $$P = D^+A$$ स्टोचैस्टिक मैट्रिक्स है, यह मानते हुए कि सभी भार गैर-नकारात्मक हैं।

कम असामान्य रूप से उपयोग किए जाने वाले दाएँ सामान्यीकृत लाप्लासियन में $$L D^+ = I - A D^+$$ चूँकि प्रत्येक कॉलम का योग शून्य है $$A D^+$$ स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स है.

निर्देशित ग्राफ़ के गैर-सममित आसन्न मैट्रिक्स के लिए, किसी को सामान्यीकरण के लिए डिग्री (ग्राफ़ सिद्धांत) चुनने की भी आवश्यकता होती है: पंक्ति-योग के साथ लेफ्ट आउट-डिग्री सामान्यीकृत लाप्लासियन सभी 0 स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स से संबंधित है $$D_{\text{out}}^+A$$, जबकि सभी 0 के कॉलम-योग के साथ डिग्री में सामान्यीकृत लाप्लासियन में स्टोकेस्टिक मैट्रिक्स शामिल है $$AD_{\text{in}}^+$$.

नकारात्मक भार
नकारात्मक भार सामान्यीकरण के लिए कई चुनौतियाँ प्रस्तुत करते हैं:
 * नकारात्मक भार की उपस्थिति के परिणामस्वरूप गैर-पृथक शीर्षों के लिए स्वाभाविक रूप से शून्य पंक्ति- और/या स्तंभ-योग हो सकता है। सकारात्मक भारों की एक बड़ी पंक्ति-योग और समान रूप से नकारात्मक भारों की समान रूप से बड़ी पंक्ति-योग वाला एक शीर्ष, जिसका योग शून्य है, को एक भारी नोड माना जा सकता है और दोनों बड़े मानों को स्केल किया जा सकता है, जबकि विकर्ण प्रविष्टि शून्य रहती है, जैसे कि पृथक शीर्ष.
 * नकारात्मक भार नकारात्मक पंक्ति- और/या स्तंभ-योग भी दे सकते हैं, जिससे कि गैर-सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स में संबंधित विकर्ण प्रविष्टि नकारात्मक होगी और सममित सामान्यीकरण के लिए आवश्यक सकारात्मक वर्गमूल मौजूद नहीं होगा।
 * सामान्यीकरण के प्रयोजन के लिए पंक्ति- और/या स्तंभ-योग का पूर्ण मान लेने के लिए तर्क दिए जा सकते हैं, इस प्रकार संभावित मान -1 को सामान्यीकृत लाप्लासियन मैट्रिक्स के मुख्य विकर्ण की एक वैध इकाई प्रविष्टि के रूप में माना जा सकता है।

गुण
एक (अप्रत्यक्ष) ग्राफ़ G और उसके लाप्लासियन मैट्रिक्स L के लिए eigenvalues ​​​​के साथ $\lambda_0 \le \lambda_1 \le \cdots \le \lambda_{n-1}$ :


 * L सममित मैट्रिक्स है.
 * एल सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है | सकारात्मक-अर्ध-निश्चित (अर्थात $\lambda_i \ge 0$ सभी के लिए $i$ ). इसे इस तथ्य से देखा जा सकता है कि लाप्लासियन सममित और विकर्ण रूप से प्रभावशाली मैट्रिक्स#अनुप्रयोग और गुण है।
 * एल एक एम-मैट्रिक्स है (इसकी ऑफ-विकर्ण प्रविष्टियाँ गैर-सकारात्मक हैं, फिर भी इसके स्वदेशी मानों के वास्तविक भाग गैर-नकारात्मक हैं)।
 * L की प्रत्येक पंक्ति और स्तंभ का योग शून्य है। वास्तव में, योग में, शीर्ष की डिग्री को प्रत्येक पड़ोसी के लिए -1 के साथ जोड़ा जाता है।
 * परिणामस्वरूप, $\lambda_0 = 0$, क्योंकि वेक्टर $\mathbf{v}_0 = (1, 1, \dots, 1)$ संतुष्ट $L \mathbf{v}_0 = \mathbf{0} .$  इसका तात्पर्य यह भी है कि लाप्लासियन मैट्रिक्स एकवचन है।
 * ग्राफ़ में कनेक्टेड कंपोनेंट (ग्राफ सिद्धांत) की संख्या लाप्लासियन के कर्नेल (रैखिक बीजगणित) का आयाम है और 0 आइगेनवैल्यू की आइगेनवैल्यू और आइजेनवेक्टर#बीजगणितीय बहुलता है।
 * L के सबसे छोटे गैर-शून्य eigenvalue को वर्णक्रमीय अंतराल कहा जाता है।
 * L का दूसरा सबसे छोटा eigenvalue (शून्य हो सकता है) G की बीजगणितीय कनेक्टिविटी (या फ़िडलर मान) है और ग्राफ़ के कट (ग्राफ_थ्योरी) #Sparsest कट का अनुमान लगाता है।
 * लाप्लासियन फ़ंक्शंस के एन-डायमेंशनल वेक्टर स्पेस पर एक ऑपरेटर है $f : V \to \mathbb{R}$, कहाँ $V$ G का शीर्ष समुच्चय है, और $n = |V|$.
 * जब G, के-नियमित ग्राफ|k-रेगुलर है, तो सामान्यीकृत लाप्लासियन है: $\mathcal{L} = \tfrac{1}{k} L = I - \tfrac{1}{k} A$, जहां A आसन्नता मैट्रिक्स है और I एक पहचान मैट्रिक्स है।
 * एकाधिक कनेक्टेड घटक (ग्राफ़ सिद्धांत) वाले ग्राफ़ के लिए, एल एक ब्लॉक मैट्रिक्स#ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स मैट्रिक्स है, जहां प्रत्येक ब्लॉक प्रत्येक घटक के लिए संबंधित लाप्लासियन मैट्रिक्स है, संभवतः शीर्षों को पुन: व्यवस्थित करने के बाद (यानी एल क्रमपरिवर्तन-समान है) ब्लॉक विकर्ण मैट्रिक्स)।
 * लाप्लासियन मैट्रिक्स एल का ट्रेस बराबर है $2m$ कहाँ $m$  विचारित ग्राफ़ के किनारों की संख्या है।
 * अब एक eigendecomposition पर विचार करें $L$, यूनिट-मानक eigenvectors के साथ $\mathbf{v}_i$ और संगत eigenvalues $\lambda_i$ :
 * $$\begin{align}

\lambda_i & = \mathbf{v}_i^\textsf{T} L \mathbf{v}_i \\ & = \mathbf{v}_i^\textsf{T} M^\textsf{T} M \mathbf{v}_i \\ & = \left(M \mathbf{v}_i\right)^\textsf{T} \left(M \mathbf{v}_i\right). \\ \end{align}$$ क्योंकि $\lambda_i$ वेक्टर के आंतरिक उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है $M \mathbf{v}_i$  अपने आप से, यह पता चलता है $\lambda_i \ge 0$  और इसलिए के eigenvalues $L$  सभी गैर-नकारात्मक हैं.
 * सामान्यीकृत सममित लाप्लासियन के सभी eigenvalues ​​​​0 = μ को संतुष्ट करते हैं0 ≤ … ≤ एमn−1 ≤ 2. ये eigenvalues ​​(सामान्यीकृत लाप्लासियन के स्पेक्ट्रम के रूप में जाना जाता है) सामान्य ग्राफ़ के लिए अन्य ग्राफ़ अपरिवर्तनीयों से अच्छी तरह से संबंधित हैं।


 * कोई इसकी जाँच कर सकता है:
 * $$L^\text{rw} = I-D^{-\frac{1}{2}}\left(I - L^\text{sym}\right) D^\frac{1}{2}$$,

अर्थात।, $L^\text{rw}$ सामान्यीकृत लाप्लासियन के लिए मैट्रिक्स_समानता है $L^\text{sym}$. इस कारण भले ही $L^\text{rw}$ यह सामान्यतः सममित नहीं है, इसके वास्तविक स्वदेशी मान हैं - बिल्कुल सामान्यीकृत सममित लाप्लासियन के स्वदेशी मूल्यों के समान $L^\text{sym}$.

निरंतर लाप्लासियन का अनुमान लगाने वाले असतत लाप्लास ऑपरेटर के रूप में व्याख्या
ग्राफ़ लाप्लासियन मैट्रिक्स को परिमित अंतर विधि द्वारा प्राप्त नकारात्मक निरंतर लाप्लासियन ऑपरेटर का अनुमान लगाने वाले ग्राफ़ पर नकारात्मक असतत लाप्लास ऑपरेटर के मैट्रिक्स रूप के रूप में देखा जा सकता है। (असतत पॉइसन समीकरण देखें) इस व्याख्या में, प्रत्येक ग्राफ शीर्ष को ग्रिड बिंदु के रूप में माना जाता है; शीर्ष की स्थानीय कनेक्टिविटी इस ग्रिड बिंदु पर परिमित अंतर सन्निकटन स्टेंसिल (संख्यात्मक विश्लेषण) निर्धारित करती है, ग्रिड का आकार हमेशा प्रत्येक किनारे के लिए एक होता है, और किसी भी ग्रिड बिंदु पर कोई बाधा नहीं होती है, जो सजातीय न्यूमैन के मामले से मेल खाती है सीमा की स्थिति, यानी, मुक्त सीमा। इस तरह की व्याख्या किसी को अनुमति देती है, उदाहरण के लिए, अनंत संख्या में शीर्षों और किनारों वाले ग्राफ़ के मामले में लाप्लासियन मैट्रिक्स को सामान्यीकृत करना, जिससे अनंत आकार का लाप्लासियन मैट्रिक्स बनता है।

सामान्यीकृत लाप्लासियन
सामान्यीकृत लाप्लासियन $$Q$$ परिभाषित किया जाता है:
 * $$\begin{cases}

Q_{i,j} < 0 & \mbox{if } i \neq j \mbox{ and } v_i \mbox{ is adjacent to } v_j\\ Q_{i,j} = 0 & \mbox{if } i \neq j \mbox{ and } v_i \mbox{ is not adjacent to } v_j \\ \mbox{any number} & \mbox{otherwise}. \end{cases}$$ ध्यान दें कि साधारण लाप्लासियन एक सामान्यीकृत लाप्लासियन है।

चुंबकीय लाप्लासियन
आसन्न मैट्रिक्स की प्रविष्टियाँ जटिल-मूल्यवान हो सकती हैं, जिस स्थिति में मैट्रिक्स समरूपता की धारणा को हर्मिटियन मैट्रिक्स के साथ प्रतिस्थापित करने की आवश्यकता होती है। वास्तविक भार के साथ निर्देशित ग्राफ़ के लिए चुंबकीय लाप्लासियन $$w_{ij}$$ जटिल संख्या प्रविष्टियों के साथ सममित लाप्लासियन और हर्मिटियन चरण मैट्रिक्स के Symmetric_matrix#Real_symmetric_matrices के हैडामर्ड उत्पाद (मैट्रिसेस) के रूप में निर्मित किया गया है।
 * $$\gamma_q(i, j) = e^{i2 \pi q(w_{ij}-w_{ji})}$$

जो जटिल तल में किनारे की दिशा को चरण में कूटबद्ध करता है। क्वांटम भौतिकी के संदर्भ में, चुंबकीय लाप्लासियन की व्याख्या उस ऑपरेटर के रूप में की जा सकती है जो एक ग्राफ पर एक मुक्त आवेशित कण की घटना विज्ञान का वर्णन करता है, जो एक चुंबकीय क्षेत्र और पैरामीटर की कार्रवाई के अधीन है $$q$$ विद्युत आवेश कहलाता है। निम्नलिखित उदाहरण में $$q=1/4$$:

विकृत लाप्लासियन
विकृत लाप्लासियन को आमतौर पर इस प्रकार परिभाषित किया जाता है


 * $$\Delta(s) = I - sA + s^2(D - I)$$

जहां I पहचान मैट्रिक्स है, A आसन्न मैट्रिक्स है, D डिग्री मैट्रिक्स है, और s एक (जटिल-मूल्यवान) संख्या है। मानक लाप्लासियन बस है $\Delta(1)$ और $\Delta(-1) = D + A$  चिन्हहीन लाप्लासियन है।

साइनलेस लाप्लासियन
साइनलेस लाप्लासियन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$Q = D + A$$

कहाँ $$D$$ डिग्री मैट्रिक्स है, और $$A$$ आसन्नता मैट्रिक्स है. हस्ताक्षरित लाप्लासियन की तरह $$L$$, साइनलेस लाप्लासियन $$Q$$ यह सकारात्मक अर्ध-निश्चित भी है क्योंकि इसे इस रूप में गुणनखंडित किया जा सकता है
 * $$Q = RR^\textsf{T}$$

कहाँ $R$ घटना मैट्रिक्स है. $$Q$$ इसमें 0-ईजेनवेक्टर है यदि और केवल तभी जब इसमें पृथक शीर्षों के अलावा कोई द्विदलीय जुड़ा घटक हो। इसे इस प्रकार दर्शाया जा सकता है
 * $$\mathbf{x}^\textsf{T} Q \mathbf{x} = \mathbf{x}^\textsf{T} R R^\textsf{T} \mathbf{x} \implies R^\textsf{T} \mathbf{x} = \mathbf{0}.$$

इसका समाधान कहां है $$\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$$ यदि और केवल यदि ग्राफ़ में द्विदलीय जुड़ा हुआ घटक है।

निर्देशित मल्टीग्राफ
निर्देशित मल्टीग्राफ के लिए लाप्लासियन मैट्रिक्स का एक एनालॉग परिभाषित किया जा सकता है। इस मामले में लाप्लासियन मैट्रिक्स एल को इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$L = D - A$$

जहां D, D के साथ एक विकर्ण मैट्रिक्स हैi,i शीर्ष i और A की आउटडिग्री के बराबर, A के साथ एक मैट्रिक्स हैi,j i से j तक किनारों की संख्या के बराबर (लूप सहित)।

ओपन सोर्स सॉफ़्टवेयर कार्यान्वयन

 * SciPy
 * नेटवर्कएक्स

एप्लीकेशन सॉफ्टवेयर

 * स्किकिट-लर्न स्पेक्ट्रल क्लस्टरिंग
 * PyGSP: पायथन में ग्राफ़ सिग्नल प्रोसेसिंग
 * मेगामैन: लाखों अंकों के लिए मैनिफोल्ड लर्निंग
 * चिकनीजी
 * डायनामिक ग्राफ़ के लिए लाप्लासियन चेंज पॉइंट डिटेक्शन (KDD 2020)
 * लाप्लासियनऑप्ट (लाप्लासियन के भारित ग्राफ़ के दूसरे आइगेनवैल्यू को अधिकतम करने के लिए एक जूलिया पैकेज)
 * LigMG (बड़ा अनियमित ग्राफ़ मल्टीग्रिड)
 * लाप्लासियंस.जे.एल

यह भी देखें

 * कठोरता मैट्रिक्स
 * प्रतिरोध दूरी
 * संक्रमण दर मैट्रिक्स
 * परिमित भारित ग्राफ़ पर गणना
 * ग्राफ फूरियर रूपांतरण