इलास्टिक पेंडुलम



भौतिकी और गणित में, गतिशील प्रणालियों के क्षेत्र में, एक लोचदार पेंडुलम (इसे स्प्रिंग पेंडुलम भी कहा जाता है  या झूलता हुआ स्प्रिंग) एक भौतिक प्रणाली है जहां द्रव्यमान का एक टुकड़ा एक स्प्रिंग (उपकरण) से जुड़ा होता है ताकि परिणामी गति में पेंडुलम (गणित) और एक आयामी स्प्रिंग-द्रव्यमान प्रणाली दोनों के तत्व शामिल हों। प्रणाली कैओस सिद्धांत को प्रदर्शित करती है और प्रारंभिक स्थितियों में तितली प्रभाव डालती है। एक लोचदार पेंडुलम की गति युग्मित साधारण अंतर समीकरणों के एक सेट द्वारा नियंत्रित होती है।

विश्लेषण और व्याख्या
प्रणाली एक साधारण पेंडुलम की तुलना में बहुत अधिक जटिल है, क्योंकि स्प्रिंग के गुण प्रणाली में स्वतंत्रता का एक अतिरिक्त आयाम जोड़ते हैं। उदाहरण के लिए, जब स्प्रिंग संपीड़ित होता है, तो छोटी त्रिज्या कोणीय गति के संरक्षण के कारण स्प्रिंग को तेजी से आगे बढ़ने का कारण बनती है। यह भी संभव है कि स्प्रिंग की एक सीमा होती है जो पेंडुलम की गति से आगे निकल जाती है, जिससे यह पेंडुलम की गति के प्रति व्यावहारिक रूप से तटस्थ हो जाती है।

लैग्रेंजियन
वसंत की बाकी लंबाई होती है $$l_0$$ और लम्बाई तक खींचा जा सकता है $$x$$. पेंडुलम का दोलन कोण है $$\theta$$.

लैग्रेंजियन (क्षेत्र सिद्धांत) $$L$$ है:
 * $$L = T - V$$

कहाँ $$T$$ गतिज ऊर्जा है और $$V$$ स्थितिज ऊर्जा है.

देखना। हुक का नियम स्प्रिंग की स्थितिज ऊर्जा ही है:
 * $$V_k=\frac{1}{2}kx^2$$

कहाँ $$k$$ वसंत स्थिरांक है.

दूसरी ओर, गुरुत्वाकर्षण से संभावित ऊर्जा द्रव्यमान की ऊंचाई से निर्धारित होती है। किसी दिए गए कोण और विस्थापन के लिए, स्थितिज ऊर्जा है:
 * $$V_g=-gm(l_0+x)\cos \theta$$

कहाँ $$g$$ गुरुत्वाकर्षण त्वरण है.

गतिज ऊर्जा निम्न द्वारा दी जाती है:
 * $$T=\frac{1}{2}mv^2$$

कहाँ $$v$$ द्रव्यमान का वेग है. संबंधित करने के लिए $$v$$ अन्य चरों के लिए, वेग को स्प्रिंग के अनुदिश और लंबवत गति के संयोजन के रूप में लिखा जाता है:
 * $$T=\frac{1}{2}m(\dot x^2+(l_0+x)^2\dot \theta^2)$$

तो लैग्रेंजियन बन जाता है: :$$L = T -V_k - V_g$$
 * $$L[x,\dot x,\theta, \dot \theta] = \frac{1}{2}m(\dot x^2+(l_0+x)^2\dot \theta^2) -\frac{1}{2}kx^2 + gm(l_0+x)\cos \theta $$

गति के समीकरण
स्वतंत्रता की दो डिग्री के साथ, के लिए $$x$$ और $$\theta$$गति के समीकरण दो यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का उपयोग करके पाए जा सकते हैं:
 * $${\partial L\over\partial x}-{\operatorname d \over \operatorname dt} {\partial L\over\partial \dot x}=0$$
 * $${\partial L\over\partial \theta}-{\operatorname d \over \operatorname dt} {\partial L\over\partial \dot \theta}=0$$

के लिए $$x$$: :$$m(l_0+x)\dot \theta^2 -kx + gm\cos \theta-m \ddot x=0$$ $$\ddot x$$ एकाकी:
 * $$\ddot x =(l_0+x)\dot \theta^2 -\frac{k}{m}x + g\cos \theta$$

और के लिए $$\theta$$: :$$-gm(l_0+x)\sin \theta - m(l_0+x)^2\ddot \theta- 2m(l_0+x)\dot x \dot \theta=0$$ $$\ddot \theta$$ एकाकी:
 * $$\ddot \theta=-\frac{g}{l_0+x}\sin \theta-\frac{2\dot x}{l_0+x}\dot \theta$$

लोचदार पेंडुलम को अब दो युग्मित साधारण अंतर समीकरणों के साथ वर्णित किया गया है। इन्हें संख्यात्मक विश्लेषण से हल किया जा सकता है। इसके अलावा, कोई व्यक्ति ऑर्डर-अराजकता-ऑर्डर की दिलचस्प घटना का अध्ययन करने के लिए विश्लेषणात्मक तरीकों का उपयोग कर सकता है इस प्रणाली में.

यह भी देखें

 * दोहरा पेंडुलम
 * डफ़िंग थरथरानवाला
 * पेंडुलम (गणित)
 * स्प्रिंग-मास प्रणाली

बाहरी संबंध

 * Holovatsky V., Holovatska Y. (2019) "Oscillations of an elastic pendulum" (interactive animation), Wolfram Demonstrations Project, published February 19, 2019.