प्राथमिक अंकगणित

प्राथमिक अंकगणितगणित की एक शाखा है जो बुनियादी संख्यात्मक संचालन जैसे जोड़, घटाव, गुणा और भाग (गणित) से संबंधित है। अपने निम्न स्तर के अमूर्तन, अनुप्रयोग की विस्तृत श्रृंखला और सभी गणित की मूलभूत नींव होने के कारण, प्रारंभिक अंकगणित गणित की सबसे अधिक पढ़ाई जाने वाली शाखा है।

अंक
अंक प्रणाली में संख्याओं के मान को दर्शाने के लिए अंक नामक प्रतीकों का उपयोग किया जाता है। सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले अंक अरबी अंक  (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9) हैं। हिंदू-अरबी अंक प्रणाली सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली अंक प्रणाली है, इन अंकों का उपयोग करके संख्याओं को दर्शाने के लिए एक स्थितिगत अंकन प्रणाली का उपयोग किया जाता है।

उत्तरवर्ती फलन और आकार
प्रारंभिक अंकगणित में, एक प्राकृतिक संख्या (शून्य सहित) का उत्तरवर्ती उस संख्या में 1 जोड़कर प्राप्त किया गया परिणाम होता है, जबकि एक प्राकृतिक संख्या का पूर्ववर्ती (शून्य को छोड़कर) उस संख्या से 1 घटाकर प्राप्त परिणाम होता है। उदाहरण के लिए, शून्य का उत्तरवर्ती एक होता है और ग्यारह का पूर्ववर्ती दस, या गणितीय शब्दों में:, '$$0+1=1$$और $$11-1=10$$ होता है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या का एक उत्तरवर्ती होता है, और सभी प्राकृतिक संख्याओं (शून्य को छोड़कर) का एक पूर्ववर्ती होता है।

यदि पहली संख्या दूसरी संख्या (>) से बड़ी है, तो दूसरी संख्या पहली संख्या (<) से कम है। तीन आठ से छोटा है (3 <8), और आठ तीन से बड़ा है (8 > 3)।

गणना
गिनती में सेट में उपस्थित प्रत्येक वस्तु को एक प्राकृतिक संख्या से निर्दिष्ट करना तथा पहली वस्तु के लिए एक से शुरू होकर और प्रत्येक बाद की वस्तु के लिए एक से बढ़ना सम्मिलित होता है। सेट में वस्तु की संख्या गिनती है और सेट में किसी वस्तु को निर्दिष्ट उच्चतम प्राकृतिक संख्या के बराबर जाना जाता है। इस गिनती को सेट की गणनांक के रूप में भी जाना जाता है।

गिनती मिलान चिह्नों का उपयोग करके मिलान करने, सेट में प्रत्येक वस्तु के लिए एक चिह्न बनाने की प्रक्रिया भी हो सकती है।

अधिक उन्नत गणित में, गिनती की प्रक्रिया को एक सेट के तत्वों और सेट {1, ..., n} के बीच एकैक फलन पत्राचार (या आक्षेप) के निर्माण के रूप में सोचा जा सकता है, जहां n एक है प्राकृतिक संख्या, और समुच्चय का आकार n है।

जोड़
जोड़ एक गणितीय संक्रिया है जो दो या दो से अधिक संख्याओं को जोड़ती है,जिन्हें जोड़ या सारांश कहा जाता है, जिससे अंतिम संख्या उत्पन्न होती है, जिसे योग कहा जाता है। दो संख्याओं का योग धन चिह्न "+" का उपयोग करके व्यक्त किया जाता है इसे निम्नलिखित नियमों के अनुसार किया जाता है,


 * दो संख्याओं का योग उनके व्यक्तिगत मानों को जोड़ने पर प्राप्त संख्या के बराबर होता है।
 * जिस क्रम में जोड़ जोड़े जाते हैं वह योग को प्रभावित नहीं करता है। इस गुण को जोड़ के क्रमविनिमेय गुण के रूप में जाना जाता है।
 * दो संख्याओं का योग अद्वितीय होता है, जिसका अर्थ है कि संख्याओं के किसी भी जोड़े के योग के लिए केवल एक ही सही उत्तर होता है।
 * जोड़ में एक व्युत्क्रम संचालन होता है, जिसे घटाव कहा जाता है, जिसका उपयोग दो संख्याओं के बीच अंतर जानने के लिए किया जा सकता है।

जोड़ का उपयोग विभिन्न संदर्भों में किया जाता है, जिसमें मात्राओं की तुलना करना, मात्राओं को जोड़ना और मापना सम्मिलित है। जब अंकों की एक जोड़ी का योग दो अंकों की संख्या में परिणत होता है, तो "दहाई" अंक को जोड़ कलन विधि में "कैरी अंक" के रूप में जाना जाता है। प्रारंभिक अंकगणित में, छात्र सामान्यतः पूर्ण संख्याओं और दशमलवों को जोड़ना सीखते हैं, और ऋणात्मक संख्याओं और भिन्नों जैसे अधिक उन्नत विषयों के बारे में भी सीख सकते हैं।

उदाहरण
संख्या 653 और 274 को एक के कॉलम से शुरू करते हुए जोड़ने पर तीन और चार का योग सात होता है।

50 और 70 का योग 120 है। 120 से दहाई का अंक दहाई के कॉलम के नीचे लिखा जाता है, जबकि सैकड़ों का अंक सैकड़ों के कॉलम के ऊपर कैरी अंक के रूप में लिखा जाता है।

600 और 200 का योग 800 है, लेकिन कैरी अंक उपस्थित है, जिसे 800 में जोड़ने पर 900 आता है।

परिणाम,


 * $$653 + 274 = 927$$

घटाव
घटाव का उपयोग दो संख्याओं के बीच अंतर का मूल्यांकन करने के लिए किया जाता है, जहां व्यवकल्य वह संख्या होता है जिससे घटाया जाता है, और व्यवकलित वह संख्या होता है जो घटाया जाता है। इसे ऋण चिह्न (-) का उपयोग करके दर्शाया जाता है।

घटाव क्रमविनिमेय नहीं है, जिसका अर्थ है कि संक्रिया में संख्याओं का क्रम परिणाम को बदल सकता है। उदाहरण के लिए, 3 - 5, 5 - 3 के समान नहीं है। प्रारंभिक अंकगणित में, सकारात्मक परिणाम उत्पन्न करने के लिए व्यवकल्य हमेशा व्यवकलित से बड़ा होता है।

घटाव का उपयोग अन्य संदर्भों में मात्राओं को अलग करने, संयोजित करने और खोजने के लिए भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, "टॉम के पास 8 सेब हैं। वह 3 सेब दे देता है। उसके पास अब कितने बचे हैं?" एक विभाजन को प्रतिष्ठापित करता है, जबकि "टॉम के पास 8 सेब हैं। तीन सेब हरे हैं, और शेष सभी लाल हैं। कितने लाल हैं?" संयोजन को प्रतिष्ठापित करता है। कुछ स्थितियों में, किसी समूह में वस्तुओं की कुल संख्या ज्ञात करने के लिए घटाव का भी उपयोग किया जा सकता है, जैसे कि "टॉम के पास कुछ सेब थे। जेन ने उसे 3 और सेब दिए, तो अब उसके पास 8 सेब हैं। उसने कितने से प्रारम्भ की थी?"

घटाव को पूरा करने की कई विधियाँ हैं। पारंपरिक गणित पद्धति प्राथमिक विद्यालय के छात्रों को हाथ की गणना के लिए उपयुक्त तरीकों का उपयोग करके घटाना सिखाती है। सुधार गणित को सामान्यतः किसी विशिष्ट तकनीक के लिए प्राथमिकता की कमी से अलग किया जाता है, जिसे दूसरी कक्षा के छात्रों को गणना के अपने तरीकों का आविष्कार करने के लिए मार्गदर्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जैसे कि टीईआरसी के मामले में नकारात्मक संख्याओं के गुणों का उपयोग करना।

संयुक्त राज्य अमेरिका में जिस विधि को पारंपरिक गणित कहा जाता है, वह प्राथमिक विद्यालय के छात्रों को हाथ की गणना के लिए उपयुक्त विधियों का उपयोग करके घटाना सिखाती है। उपयोग की जाने वाली विशेष विधि अलग-अलग देशों में भिन्न होती है, और एक देश के भीतर, अलग-अलग समय पर अलग-अलग तरीके फैशन में होते हैं। सुधार गणित को सामान्यतः किसी विशिष्ट तकनीक के लिए वरीयता की कमी से अलग किया जाता है, दूसरी कक्षा के छात्रों को गणना के अपने तरीकों का आविष्कार करने के लिए मार्गदर्शन द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जैसे संख्याओं, डेटा और अंतरिक्ष में जांच के मामले में नकारात्मक संख्याओं के गुणों का उपयोग करना।

अमेरिकी स्कूल वर्तमान में उधार का उपयोग करके घटाव की विधि सिखाते हैं। हालाँकि, उधार लेने की एक विधि पूर्व पाठ्यपुस्तकों में ज्ञात और प्रकाशित की गई थी। "क्रचेस" विलियम ए. ब्रोवेल का आविष्कार है, जिन्होंने नवंबर 1937 में एक अध्ययन में उनका उपयोग किया था। उधार लेने की विधि में, घटाव की सुविधा के लिए इकाई के स्थान पर जोड़ने के लिए दहाई के स्थान से 10 उधार लेकर 86-39 जैसी घटाव समस्या को हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, 6 में से 9 घटाने पर दहाई के स्थान से 10 उधार लेना सम्मिलित है, जिससे समस्या (70 + 16) - 39 हो जाती है। इसे 8 को काटकर, उसके ऊपर 7 लिखकर, और 6 के ऊपर 1 लिखकर दर्शाया जाता है। इन चिह्नों को "क्रचेस" कहा जाता है।

कुछ यूरोपीय देशों में छात्रों को पढ़ाया जाता है, और कुछ पुराने अमेरिकी घटाव की एक विधि का उपयोग किया जाता हैं जिसे ऑस्ट्रियाई विधि कहा जाता है, जिसे जोड़ विधि के रूप में भी जाना जाता है। इस पद्धति में कोई उधार नहीं लेना पड़ता।

कुछ यूरोपीय देशों में छात्रों को सिखाया जाता है, और कुछ पुराने अमेरिकी घटाव की एक विधि का उपयोग करते हैं जिसे ऑस्ट्रियन पद्धति कहा जाता है, जिसे अतिरिक्त विधि के रूप में भी जाना जाता है। इस पद्धति में कोई उधार नहीं है। ऐसी क्रचेस भी हैं जो देश के अनुसार अलग-अलग होती हैं।  यह समस्या को (80 + 16) - (39 + 10) में बदल देता है। अनुस्मारक के रूप में व्यवकलित अंक के नीचे एक छोटा 1 अंकित है।

उदाहरण
संख्या 792 और 308 को घटाने पर, इकाई-स्तंभ से प्रारंभ करते हुए, 2, 8 से छोटा है, 90 से 10 को उधार लेते हैं, जिससे 90 को 80 बना दिया जाता है। इस 10 को 2 में जोड़ने पर, समस्या 12 - 8 में बदल जाती है, जो कि 4 है।

90 में से 10 लेने पर यह अब 80 है। 80 और 0 के बीच का अंतर 80 है।

700 और 300 के बीच का अंतर 400 है।

परिणाम,


 * $$792 - 308 = 484$$

गुणन
गुणन बार-बार जोड़ने की एक गणितीय संक्रिया है। जब दो संख्याओं को आपस में गुणा किया जाता है, तो परिणामी मान गुणनफल कहलाता है। गुणा की जाने वाली संख्याओं को गुणितांक और गुणक कहा जाता है और कुल मिलाकर गुणनखंड के रूप में जाना जाता है।

उदाहरण के लिए, यदि पाँच थैले हैं, जिनमें से प्रत्येक में तीन सेब हैं, और सभी पाँच थैलों में से सेब एक खाली थैले में रखे गए हैं, तो खाली थैले में 15 सेब होंगे। इसे निम्नलिखित रूपों में लिखा जा सकता है, "पांच गुणा तीन बराबर है पंद्रह" "पांच गुणा तीन पंद्रह है" "पंद्रह पांच और तीन का गुणनफल है

"गुणाकार को प्रतिष्ठापित करने के लिए, गुणन चिह्न (×), एस्ट्रिस्क (*), ब्रैकेट, या डॉट (⋅) का प्रयोग किया जाता है।" इसलिए, कथन "पांच गुना तीन बराबर पंद्रह" को "5 × 3 = 15", "5 * 3 = 15", "(5)(3) = 15", या "5 ⋅ 3 = 15" के रूप में लिखा जा सकता है। बीजगणित में, गुणाकार चिह्न को छोड़ा जा सकता है, उदाहरण के लिए, xy, x × y को दर्शाता है।

दो संख्याओं को गुणा करने का क्रम परिणाम को प्रभावित नहीं करता है। इसे गुणन के क्रमविनिमेय गुण के रूप में जाना जाता है।

गुणन कलन विधि में, अंकों की एक जोड़ी के उत्पाद के दसवें अंक को "कैरी अंक" कहा जाता है। तालिका का उपयोग करके अंकों की एक जोड़ी को गुणा करने के लिए, पहले अंक की पंक्ति और दूसरे अंक के कॉलम के प्रतिच्छेदन का पता लगाना होगा, जिसमें दो अंकों का उत्पाद सम्मिलित होगा। अधिकांश अंकों के युग्म परिणाम दो अंकों की संख्याओं में होता है।

एकल-अंकीय गुणनखंड के लिए गुणन का उदाहरण
729 और 3 को गुणा करने पर, इकाई के कॉलम से शुरू करते हुए, 9 और 3 का गुणनफल 27 होता है। एक के कॉलम के नीचे 7 लिखा जाता है और दहाई के कॉलम के ऊपर कैरी अंक के रूप में 2 लिखा जाता है।

2 और 3 का गुणनफल 6 है, और कैरी अंक 2 से 6 जोड़ता है, इसलिए दहाई कॉलम के नीचे 8 लिखा जाता है।

7 और 3 का गुणनफल 21 है, और चूँकि यह अंतिम अंक है, इसलिए 2 को कैरी अंक के रूप में नहीं लिखा जाएगा, बल्कि 1 के समीप में लिखा जाएगा।

परिणाम,
 * $$3 \times 729 = 2187$$

बहु-अंकीय गुणनखंडों के लिए गुणन का उदाहरण
789 और 345 को इकाई-स्तंभ से गुणा करने पर, 789 और 5 का गुणनफल 3945 होता है। 4 दहाई अंक में है। गुणक 40 है, 4 नहीं। 789 और 40 का गुणनफल 31560 है। 3 सैकड़े के अंक में है। गुणक 300 है। 789 और 300 का गुणनफल 236700 है। सभी उत्पादों को जोड़कर, परिणाम,
 * $$789 \times 345 = 272205$$.

विभाजन
भाग एक अंकगणितीय संक्रिया है जो गुणन का व्युत्क्रम है।

विशेष रूप से, एक संख्या a और एक गैर-शून्य संख्या b दी गई है, यदि कोई अन्य संख्या c गुणा b a के बराबर है, अर्थात
 * $$c \times b = a$$,
 * तो a को b से विभाजित करने पर c बराबर होता है। वह


 * $$\frac ab = c$$
 * है, उदाहरण के लिए,


 * $$\frac 63 = 2$$ ।

उपरोक्त अभिव्यक्ति में, a को 'लाभांश', b को 'भाजक' और c को 'भागफल' कहा जाता है। प्रारंभिक अंकगणित में शून्य से विभाजन को या तो अर्थहीन या अपरिभाषित कहा जाता है।

विभाजन को विभाजक के ऊपर एक क्षैतिज रेखा, जिसे रेखा कोष्ठक भी कहा जाता है, तथा इसके बीच रखकर दिखाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, a को b से विभाजित करने पर इस प्रकार लिखा जाता है, $$\frac ab$$

यह मौखिक रूप से "a विभाजित b" या "a ऊपर b" के रूप में पढ़ा जा सकता है।

विभाजन को एक पंक्ति में व्यक्त करने का दूसरा तरीका यह है कि लाभांश, फिर स्लैश (विराम चिह्न), फिर भाजक को इस प्रकार लिखें,

$$a/b$$

अधिकांश कंप्यूटर प्रोग्रामिंग लैंग्वेज में विभाजन निर्दिष्ट करने का यह सामान्य तरीका है।

एक हस्तलिखित या मुद्रण भिन्नता एक सॉलिडस (अंश स्लैश) का उपयोग करती है लेकिन लाभांश को बढ़ाती है और भाजक को कम करती है,



इन सभी रूपों का उपयोग एक भिन्न को प्रदर्शित करने के लिए किया जा सकता है। एक सामान्य भिन्न एक विभाजन अभिव्यक्ति है जहां लाभांश और भाजक दोनों संख्याएं हैं (हालांकि सामान्यतः अंश और हर कहा जाता है), और इसका कोई निहितार्थ नहीं है कि विभाजन का आगे मूल्यांकन करने की आवश्यकता है।
 * $$a \div b.$$

अस्पष्ट होने के कारण बुनियादी अंकगणित को छोड़कर यह रूप दुर्लभ है और अधिक जटिल अंकगणित के लिए निराश है। उदाहरण के लिए, कैलकुलेटर  की कुंजी पर एक लेबल के रूप में, ओबेलस का उपयोग अकेले डिवीजन ऑपरेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जाता है।

कुछ गैर- अंग्रेजी भाषी -संस्कृतियों में, "a को b से विभाजित" को a : b लिखा जाता है। है a : b. हालांकि, अंग्रेजी उपयोग में अपूर्ण विराम अनुपात की अवधारणा ("a से b") तक ही सीमित है।

गुणन सारणी के ज्ञान के साथ, दो संख्याओं को लंबे विभाजन की विधि का उपयोग करके कागज पर विभाजित किया जा सकता है। दीर्घ विभाजन विधि का उपयोग करके दो संख्याओं को कागज पर विभाजित किया जा सकता है। दीर्घ विभाजन, लघु विभाजन का संक्षिप्त रूप, छोटे भाजक के लिए भी उपयोग किया जा सकता है।

एक कम व्यवस्थित विधि में खंडीयन की अवधारणा सम्मिलित है। जिसमें प्रत्येक चरण में आंशिक शेष से अधिक गुणकों को घटाना सम्मिलित है।

किसी भिन्न से विभाजित करने के लिए, कोई व्यक्ति उस भिन्न के व्युत्क्रम (ऊपर और नीचे के हिस्सों की स्थिति को उलट कर) से गुणा कर सकता है। उदाहरण के लिए,


 * $$\textstyle{5 \div {1 \over 2} = 5 \times {2 \over 1} = 5 \times 2 = 10}$$
 * $$\textstyle{{2 \over 3} \div {2 \over 5} = {2 \over 3} \times {5 \over 2} = {10 \over 6} = {5 \over 3}}$$

उदाहरण
272 और 8 को सैकड़ों अंकों से विभाजित करने पर, 2, 8 से विभाज्य नहीं होता है, 20 को 7 में जोड़ने पर 27 प्राप्त होता है। 27 और 8 को विभाजित करने के लिए, हमें लाभांश को महत्तम सामान्य भाजक (जीसीडी) से घटाना होगा। 27 और 8 की जीसीडी 24 है। 27 में से 24 घटाने पर 3 मिलता है।

8, 3 से बड़ा है, इसलिए हमें विभाजन जारी रखने के लिए इकाई के अंक की ओर जाना चाहिए, जिसमें संख्या 2 है। 30 और 2 को जोड़ने पर 32 प्राप्त होता है, जो 8 से विभाज्य है, और 32 और 8 का भागफल 4 होता है। 4 को इकाई-स्तंभ के नीचे लिखा जाता है।

परिणाम
 * $$272 \div 8 = 34$$

शैक्षिक मानक
प्राथमिक अंकगणित सामान्यतः प्राथमिक या माध्यमिक विद्यालय स्तर पर पढ़ाया जाता है और स्थानीय शैक्षिक मानकों द्वारा शासित होता है। संयुक्त राज्य अमेरिका और कनाडा में, प्रारंभिक अंकगणित पढ़ाने के लिए उपयोग की जाने वाली सामग्री और विधियों के बारे में बहस चल रही है।एक मुद्दा मैन्युअल गणना बनाम कैलकुलेटर का उपयोग रहा है, कुछ लोगों का तर्क है कि मानसिक अंकगणितीय कौशल को बढ़ावा देने के लिए कैलकुलेटर का उपयोग सीमित होना चाहिए। एक और बहस पारंपरिक और सुधार गणित के बीच अंतर पर केंद्रित है, पारंपरिक तरीकों में अक्सर बुनियादी गणना कौशल और सुधार विधियों पर अधिक ध्यान केंद्रित किया जाता है, जो बीजगणित, सांख्यिकी और समस्या-समाधान जैसी उच्च-स्तरीय गणितीय अवधारणाओं पर अधिक जोर देते हैं।

संयुक्त राज्य अमेरिका में, 1989 के राष्ट्रीय गणित शिक्षक परिषद (एनसीटीएम) के मानकों ने प्राथमिक विद्यालय के पाठ्यक्रम में एक बदलाव का नेतृत्व किया, जिसमें कॉलेज पर अधिक ध्यान केंद्रित करने के पक्ष में पारंपरिक रूप से प्रारंभिक अंकगणित का हिस्सा माने जाने वाले कुछ विषयों पर जोर नहीं दिया गया या हटा दिया गया- जिसमे बीजगणित और सांख्यिकी जैसी स्तरीय अवधारणाएँ बनी रही। यह बदलाव विवादास्पद रहा है, कुछ लोगों का तर्क है कि इसके परिणामस्वरूप बुनियादी गणना कौशल पर जोर देने की कमी हो गई है जो बाद की गणित कक्षाओं में सफलता के लिए महत्वपूर्ण हैं।

यह भी देखें

 * प्रारंभिक अंकगणित
 * प्रारंभिक गणित
 * खंडीयन (विभाजन)
 * प्लस और माइनस संकेत
 * पीनो अभिगृहीत
 * शून्य से विभाजन
 * वास्तविक संख्या
 * काल्पनिक संख्या

बाहरी कड़ियाँ

 * "A Friendly Gift on the Science of Arithmetic" is an Arabic document from the 15th century that talks about basic arithmetic.