अर्ध-घातांकीय फलन

गणित में, अर्ध-घातांकीय फलन किसी घातांकीय फलन का कार्यात्मक वर्गमूल होता है। यानी एक फ़ंक्शन (गणित) $$f$$ ऐसा है कि $$f$$ फ़ंक्शन संरचना स्वयं के साथ एक घातांकीय फ़ंक्शन में परिणत होती है: $$f\bigl(f(x)\bigr) = ab^x,$$ कुछ स्थिरांक के लिए $a$ and $b$.

बंद-फ़ॉर्म सूत्र की असंभवता
यदि कोई फ़ंक्शन $$f$$ मानक अंकगणितीय संचालन, घातांक, लघुगणक और वास्तविक संख्या-मूल्यवान स्थिरांक का उपयोग करके परिभाषित किया गया है, फिर $$f\bigl(f(x)\bigr)$$ या तो सबएक्सपोनेंशियल या सुपरएक्सपोनेंशियल है। इस प्रकार, एक हार्डी फ़ील्ड#उदाहरण|हार्डी $L$-फ़ंक्शन अर्ध-घातांकीय नहीं हो सकता.

निर्माण
किसी भी घातीय फलन को स्व-रचना के रूप में लिखा जा सकता है $$f(f(x))$$ के अपरिमित रूप से अनेक संभावित विकल्पों के लिए $$f$$. विशेष रूप से, प्रत्येक के लिए $$A$$ खुले अंतराल में $$(0,1)$$ और प्रत्येक सतत कार्य के लिए मोनोटोनिक फ़ंक्शन फ़ंक्शन $$g$$ से $$[0,A]$$ विशेषण फलन $$[A,1]$$, इस फ़ंक्शन का निरंतर सख्ती से बढ़ते फ़ंक्शन तक विस्तार है $$f$$ वास्तविक संख्याओं पर जैसे कि $f\bigl(f(x)\bigr)=\exp x$. कार्यक्रम $$f$$ कार्यात्मक समीकरण का अद्वितीय समाधान है $$ f (x) = \begin{cases} g (x) & \mbox{if } x \in [0,A], \\ \exp g^{-1} (x) & \mbox{if } x \in (A,1], \\ \exp f ( \ln x) & \mbox{if } x \in (1,\infty), \\ \ln f ( \exp x) & \mbox{if } x \in (-\infty,0). \\ \end{cases} $$

एक सरल उदाहरण, जो की ओर ले जाता है $$f$$ सर्वत्र सतत् प्रथम व्युत्पत्ति का होना, लेना है $$A=\tfrac12$$ और $$g(x)=x+\tfrac12$$, देना $$ f (x) = \begin{cases} \log_e\left(e^x +\tfrac12\right) & \mbox{if } x \le -\log_e 2, \\ e^x - \tfrac12 & \mbox{if } {-\log_e 2} \le x \le 0, \\ x +\tfrac12 & \mbox{if } 0 \le x \le \tfrac12, \\ e^{x-1/2} & \mbox{if } \tfrac12 \le x \le 1, \\ x \sqrt{e} & \mbox{if } 1 \le x \le \sqrt{e}, \\ e^{x / \sqrt{e}} & \mbox{if } \sqrt{e} \le x \le e, \\ x^{\sqrt{e}} & \mbox{if } e \le x \le e^{\sqrt{e}}, \\ e^{x^{1/\sqrt{e}}} & \mbox{if } e^{\sqrt{e}} \le x \le e^e, \ldots\\ \end{cases} $$

आवेदन
बहुपद और घातांक के बीच मध्यवर्ती विकास दर के लिए कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में अर्ध-घातीय कार्यों का उपयोग किया जाता है। एक समारोह $$f$$ यदि यह मोनोटोनिक फ़ंक्शन है, तो कम से कम किसी अर्ध-घातांकीय फ़ंक्शन के रूप में तेजी से बढ़ता है (इसकी संरचना स्वयं के साथ तेजी से बढ़ती है) | गैर-घटती नहीं है और $$f^{-1}(x^C)=o(\log x)$$, के लिए every $C>0$.

बाहरी संबंध

 * Does the exponential function have a (compositional) square root?
 * “Closed-form” functions with half-exponential growth