क्रम टोपोलॉजी

गणित में, क्रम सांस्थितिकी एक निश्चित सांस्थितिकी है जिसे किसी भी पूर्णतः क्रमित समुच्चय पर परिभाषित किया जा सकता है। यह वास्तविक संख्याओं की सांस्थितिकी का मनमाने ढंग से पूर्णतः क्रमबद्ध समुच्चयों का प्राकृतिक सामान्यीकरण है।

यदि X एक पूर्णतः क्रमित समुच्चय है, तो X पर क्रम सांस्थितिकी "विवृत अर्धरखाओं" के उप आधार द्वारा उत्पन्न होती है।
 * $$\{ x \mid a < x\}$$
 * $$\{x \mid x < b\}$$

X में सभी a, b के लिए। बशर्ते कि X में कम से कम दो तत्व हों, यह विवृत अंतराल कहने के बराबर है
 * $$(a,b) = \{x \mid a < x < b\}$$

उपरोक्त अर्धरेखाओं के साथ मिलकर क्रम सांस्थितिकी के लिए आधार बनता है। X में विवृत समुच्चय वे समुच्चय हैं जो (संभवतः अनंत रूप से कई) ऐसे विवृत अंतराल और अर्धरेखाओं का एक समुच्च हैं। सांस्थितिक अंतराल X को क्रम करने योग्य या रैखिक रूप से ऑर्डर करने योग्य कहा जाता है यदि उसके तत्वों पर कुल क्रम उपस्थित होता है जैसे कि उस क्रम से प्रेरित क्रम सांस्थितिकी और X पर दी गई सांस्थितिकी मेल खाती है। क्रम सांस्थितिकी X को पूरी तरह से सामान्य हॉसडॉर्फ़ अंतराल में बदल देती है।

R, Q, Z और N पर मानक सांस्थितिकी क्रम सांस्थितिकी हैं।

प्रेरित क्रम सांस्थितिकी
यदि Y, X का उपसमुच्चय है, X पूर्णतया क्रमित समुच्चय है, तो Y को X से कुल क्रम प्राप्त होता है। इसलिए समुच्चय Y में क्रम सांस्थितिकी, प्रेरित क्रम सांस्थितिकी है। X के उपसमुच्चय के रूप में, Y में भी एक उपअंतराल सांस्थितिकी है। उपअंतराल सांस्थितिकी सदैव कम से कम प्रेरित क्रम सांस्थितिकी जितनी ही अच्छी होती है, लेकिन वे सामान्य तौर पर समान नहीं होती हैं।

उदाहरण के लिए, परिमेय में उपसमुच्चय Y = {–1} ∪ {1/n}n∈N पर विचार करें। उपअंतराल सांस्थितिकी के तहत, एकल समुच्चय {–1} Y में विवृत है, लेकिन प्रेरित क्रम सांस्थितिकी के तहत, -1 वाले किसी भी विवृत समुच्चय में अंतराल के सभी लेकिन सीमित रूप से कई सदस्य सम्मिलत होने चाहिए।

रैखिक रूप से क्रमित अंतराल के उप-अंतराल का उदाहरण जिसकी सांस्थितिकी क्रम सांस्थितिकी नहीं है
यद्यपि उपरोक्त अनुभाग में Y = {–1} ∪ {1/n}n∈N की उप-अंतराल सांस्थितिकी को Y पर प्रेरित क्रम द्वारा उत्पन्न नहीं किया गया है, फिर भी यह Y पर एक क्रम सांस्थितिकी है वास्तव में, उपअंतराल सांस्थितिकी में प्रत्येक बिंदु पृथक (अर्थात, एकल {y} Y में प्रत्येक y के लिए Y में विवृत है) है, इसलिए उप-अंतराल सांस्थितिकी Y पर (वह सांस्थितिकी जिसमें Y का प्रत्येक उपसमुच्चय विवृत समुच्चय है) असतत सांस्थितिकी है, और किसी भी समुच्चय पर असतत सांस्थितिकी क्रम सांस्थितिकी है। Y पर कुल क्रम को परिभाषित करने के लिए जो Y पर असतत सांस्थितिकी उत्पन्न करता है, केवल -1 को Y का सबसे बड़ा तत्व परिभाषित करके Y पर प्रेरित क्रम को संशोधित करें और अन्यथा अन्य बिंदुओं के लिए समान क्रम रखें, ताकि इस नए क्रम में (इसे <1 कहें) हमारे पास सभी n ∈ N के लिए 1/n <1 –1 है। फिर, <1 द्वारा उत्पन्न Y पर क्रम सांस्थितिकी में, Y का प्रत्येक बिंदु Y में पृथक होता है।

हम यहां रैखिक रूप से क्रमित सांस्थितिक अंतराल X के उपसमुच्चय Z को इस प्रकार परिभाषित करना चाहते हैं कि Z पर कोई भी कुल क्रम Z पर उपअंतराल सांस्थितिकी उत्पन्न नहीं करता है, ताकि उपअंतराल सांस्थितिकी क्रम सांस्थितिक न हो, यद्यपि यह उस अंतराल की उपअंतराल सांस्थितिकी हो, जिसकी सांस्थितिकी क्रम सांस्थितिकी है।

मान लीजिए $$Z = \{-1\}\cup (0,1) $$ वास्तविक रेखा में है। पहले जैसा ही तर्क दिखाता है कि Z पर उपअंतराल सांस्थितिकी Z पर प्रेरित क्रम सांस्थितिकी के बराबर नहीं है, लेकिन कोई यह दिखा सकता है कि Z पर उपअंतराल सांस्थितिकी Z पर किसी भी क्रम सांस्थितिकी के बराबर नहीं हो सकती है।

तर्क इस प्रकार है। विरोधाभास के माध्यम से मान लीजिए कि Z पर कुछ दृढ़ कुल क्रम < है, जैसे कि < द्वारा उत्पन्न क्रम सांस्थितिकी Z पर उपअंतराल सांस्थितिकी (ध्यान दें कि हम यह नहीं मान रहे हैं कि < Z पर प्रेरित क्रम है, बल्कि Z पर मनमाने ढंग से दिया गया कुल क्रम है जो उपअंतराल सांस्थितिकी उत्पन्न करता है) के बराबर है। निम्नलिखित में, अंतराल संकेतन की व्याख्या < संबंध के सापेक्ष की जानी चाहिए। साथ ही, यदि A और B समुच्चय हैं, तो $$ A<B $$ का अर्थ होगा कि A में प्रत्येक a और B में b के लिए $$ a<b $$।

माना M = Z \ {-1}, इकाई अंतराल है। M जुड़ा हुआ है। यदि m, n ∈ M और m < -1 < n, तो $$(-\infty, -1)$$ और $$(-1, \infty)$$ M को अलग करते हैं, जो विरोधाभास है। समान तर्कों के अनुसार, M अपने आप में सघन है और < के संबंध में इसमें कोई अंतराल नहीं है। इस प्रकार, M < {-1} or {-1} < M। व्यापकता की हानि के बिना मान लें कि {-1} < M। चूँकि Z में {-1} विवृत है, M में कुछ बिंदु p है जिससे अंतराल (-1, p) खाली है। चूँकि {-1} < M, हम जानते हैं कि -1 Z का एकमात्र तत्व है जो p से कम है, इसलिए p, M का न्यूनतम है। फिर M \ {p} = A ∪ B, जहां A और B क्रमशः वास्तविक रेखा (0,p) और (p,1) के अंतराल द्वारा दिए गए M के गैर-रिक्त विवृत और असंयुक्त उपसमुच्चय हैं। ध्यान दें कि A और B की सीमाएँ दोनों p की एकात्मक हैं। A में व्यापकता हानि बिना a और b में B को ऐसे मान लें कि aa\}$$ रूप के सभी अंतराल हैं।
 * X पर बाएँ क्रम सांस्थितिकी वह सांस्थितिकी है जिसका आधार समुच्चय X के साथ $$(-\infty,a)=\{x\in X\mid x<a\}$$ रूप के सभी अंतराल हैं।

बाएँ और दाएँ क्रम सांस्थितिकी का उपयोग सामान्य सांस्थितिकी में प्रतिउदाहरण देने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, परिबद्ध समुच्चय पर बाएँ या दाएँ क्रम सांस्थतिकी सघन अंतराल का उदाहरण प्रदान करती है जो हॉसडॉर्फ नहीं है।

बाएँ क्रम सांस्थितिकी एक मानक सांस्थितिकी है जिसका उपयोग बूलियन बीजगणित पर कई समुच्चय-सैद्धांतिक उद्देश्यों के लिए किया जाता है।

क्रमसूचक अंतराल
किसी भी क्रमसूचक संख्या λ के लिए कोई क्रमसूचक संख्याओं के अंतरालों पर विचार कर सकता है
 * $$[0,\lambda) = \{\alpha \mid \alpha < \lambda\}$$
 * $$[0,\lambda] = \{\alpha \mid \alpha \le \lambda\}$$

प्राकृतिक क्रम सांस्थितिकी के साथ। इन अंतरालों को क्रमसूचक अंतराल कहा जाता है। (ध्यान दें कि क्रमसूचक संख्याओं के सामान्य समुच्चय-सैद्धांतिक निर्माण में हमारे पास λ = [0,λ) और λ + 1 = [0,λ] होता है)। स्पष्टतः, ये अंतराल अधिकतर तब रुचिकर होते हैं जब λ एक अनंत क्रमसूचक है अन्यथा (परिमित क्रमसूचक के लिए), क्रम सांस्थितिकी केवल असतत सांस्थितिकी है।

जब λ = ω (प्रथम अनंत क्रमसूचक), अंतराल [0,ω) सामान्य (अभी भी असतत) सांस्थितिकी के साथ सिर्फ N है, जबकि [0,ω] N का एक-बिंदु संघनन है।

विशेष रुचि की स्थिति तब होती है जब λ = ω1, सभी गणनीय क्रमसूचकों का समुच्चय, और प्रथम असंख्य क्रमसूचक होता है। तत्व ω1 उपसमुच्चय [0,ω1) का एक सीमा बिंदु है, यद्यपि [0,ω1) में तत्वों के किसी भी अनुक्रम में तत्व ω1 इसकी सीमा के रूप में नहीं है। विशेष रूप से, [0,ω1] प्रथम-गणनीय नहीं है। हालाँकि, उप-स्थान [0,ω1) प्रथम-गणनीय है, क्योंकि गणनीय स्थानीय आधार के बिना [0,ω1] में एकमात्र बिंदु ω1 है। कुछ और गुणों में सम्मिलित हैं
 * न तो [0,ω1) या [0,ω1] वियोज्य या द्वितीय-गणनीय है
 * [0,ω1] सघन है, जबकि [0,ω1) क्रमिक रूप से सघन और गणनीय रूप से सघन है, लेकिन सघन या अनुसंहत नहीं है

सांस्थितिक अंतराल के रूप में क्रमसूचक
किसी भी क्रमसूचक संख्या को क्रम सांस्थितिकी (चूँकि, अच्छी तरह से क्रमबद्ध होने के कारण, क्रमसूचक विशेष रूप से पूरी तरह से क्रमित होता है) के साथ संपन्न करके सांस्थितिक अंतराल में बनाया जा सकता है- इसके विपरीत संकेत के अभाव में, सदैव क्रम सांस्थितिकी का अर्थ तब होता है जब क्रमसूचक को सांस्थितिक अंतराल के रूप में माना जाता है। (ध्यान दें कि यदि हम एक उचित वर्ग को सांस्थितिक अंतराल के रूप में स्वीकार करने के इच्छुक हैं, तो सभी क्रमसूचक का वर्ग भी क्रम सांस्थितिकी के लिए सांस्थितिक अंतराल है।)

किसी क्रमसूचक α के सीमा बिंदुओं का समुच्चय बिल्कुल α से कम सीमा वाले क्रमसूचकों का समुच्चय है। α से कम के आनुक्रमिक क्रमसूचक (और शून्य) α में पृथक बिंदु हैं। विशेष रूप से, परिमित क्रमसूचक और ω अलग सांस्थितिक अंतराल हैं, और इससे परे कोई भी क्रमसूचक अलग नहीं है। क्रमसूचक α एक सांस्थितिक अंतराल के रूप में सघन है यदि और केवल तभी जब α आनुक्रमिक क्रमसूचक है।

सीमा क्रमसूचक α के संवृत्त समुच्चय केवल उस अर्थ में संवृत्त समुच्चय हैं जिन्हें हम पहले ही परिभाषित कर चुके हैं, अर्थात्, जिनमें सीमा क्रमसूचक होता है जब भी उनमें इसके नीचे सभी पर्याप्त रूप से बड़े क्रमसूचक होते हैं।

कोई भी क्रमसूचक, निश्चित रूप से, किसी भी आगे के क्रमसूचक का एक विवृत उपसमुच्चय है। हम क्रमसूचक पर सांस्थितिकी को निम्नलिखित विवेचनात्मक तरीके से भी परिभाषित कर सकते हैं- 0 खाली सांस्थितिक अंतराल है, α+1 α के एक-बिंदु संघनन को लेकर प्राप्त किया जाता है, और δ सीमा क्रमसूचक के लिए, δ प्रेरक सीमा सांस्थितिकी से सुसज्जित है। ध्यान दें कि यदि α आनुक्रमिक क्रमसूचक है, तो α सघन है, इस स्थिति में इसका एक-बिंदु संघनन α+1 α और बिंदु का असंयुक्त समुच्च है।

सांस्थितिक अंतराल के रूप में, सभी क्रमसूचक हॉसडॉर्फ और यहां तक ​​कि सामान्य भी हैं। वे भी पूरी तरह से अलग (जुड़े हुए घटक बिंदु हैं) हो गए हैं, बिखरे (प्रत्येक गैर-रिक्त उप-स्थान में एक पृथक बिंदु होता है इस स्थिति में, केवल सबसे छोटा तत्व लें) हुए हैं, शून्य-आयामी (सांस्थितिकी का एक क्लोपेन आधार है- यहां, γ '<γ के लिए क्लोपेन अंतराल (β,γ '+1)=[β+1,γ '] के समुच्च के रूप में विवृत अंतराल (β,γ) लिखें। हालाँकि, वे सामान्य रूप से (विवृत समुच्चय हैं, उदाहरण के लिए ω से सम संख्याएँ, जिनका समापन विवृत नहीं है) अत्यधिक रूप से विच्छेदित नहीं हैं।

सांस्थितिक अंतराल ω1 और उसके आनुक्रमिक ω1+1 को प्रायः गैर-गणनीय सांस्थितिक अंतराल के पाठ्य-पुस्तक उदाहरण के रूप में उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, सांस्थितिक अंतराल ω1+1 में, तत्व ω1 उपसमुच्चय ω1 के समापन में है, भले ही ω1 में तत्वों के किसी भी अनुक्रम में तत्व ω1 इसकी सीमा के रूप में नहीं है- ω1 में तत्व गणनीय समुच्चय है ऐसे समुच्चयों के किसी भी क्रम के लिए, इन समुच्चयों का मिलन अनगिनत गणनीय समुच्चयों का मिलन है, इसलिए फिर भी गणनीय है यह समुच्च अनुक्रम के तत्वों की ऊपरी सीमा है, और इसलिए अनुक्रम की सीमा, यदि इसमें कोई है।

अंतराल ω1 प्रथम-गणनीय है, लेकिन द्वितीय-गणनीय नहीं है, और सघन होने के बावजूद, ω1+1 में इन दोनों में से कोई भी गुण नहीं है। यह भी ध्यान देने योग्य है कि ω1 से R (वास्तविक रेखा) तक कोई भी निरंतर फलन अंततः स्थिर होता है- इसलिए ω1 का स्टोन-सेच संघनन ω1+1 है, ठीक उसी तरह जैसे इसका एक-बिंदु संघनन (ω के ठीक विपरीत, जिसका स्टोन-सेच संघनन ω से बहुत बड़ा है)।

क्रमसूचक-अनुक्रमित अनुक्रम
यदि α सीमा क्रमसूचक है और X समुच्चय है, तो X के तत्वों के α-अनुक्रमित अनुक्रम का अर्थ केवल α से X तक फलन है। यह अवधारणा, अनंत अनुक्रम या क्रमिक-अनुक्रमित अनुक्रम, अनुक्रम की अवधारणा का सामान्यीकरण है। एक साधारण अनुक्रम स्थिति α = ω से मेल खाता है।

यदि X सांस्थितिक अंतराल है, तो हम कहते हैं कि X के तत्वों का α-अनुक्रमित अनुक्रम सीमा x में परिवर्तित हो जाता है जब यह एक नेट के रूप में परिवर्तित होता है, दूसरे शब्दों में, जब x का कोई पड़ोस U दिया जाता है तो क्रमिक β<α होता है इस प्रकार कि सभी ι≥β के लिए xι U में है। सांस्थितिकी में सीमाएं निर्धारित करने के लिए सामान्य-अनुक्रमित अनुक्रम सामान्य (ω-अनुक्रमित) अनुक्रमों की तुलना में अधिक शक्तिशाली हैं- उदाहरण के लिए, ω1 (ओमेगा-वन, सभी गणनीय क्रमसूचक संख्याओं का समुच्चय, और सबसे छोटी असंख्य क्रमसूचक संख्या), ω1+1 का सीमा बिंदु है (क्योंकि यह एक सीमा क्रमसूचक है), और, वास्तव में, यह ω1-अनुक्रमित अनुक्रम की सीमा है जो ω1 से कम किसी भी क्रमसूचक को स्वयं में मैप करता है- हालाँकि, यह ω1 में किसी भी सामान्य (ω-अनुक्रमित) अनुक्रम की सीमा नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई भी सीमा इसके तत्वों के समुच्च से कम या उसके बराबर है, जो गणनीय समुच्चयों का गणनीय समुच्च है, इसलिए स्वयं गणनीय है।

हालाँकि, सामान्य रूप से नेट (या फ़िल्टर) को बदलने के लिए क्रमिक-अनुक्रमित अनुक्रम पर्याप्त शक्तिशाली नहीं हैं- उदाहरण के लिए, टाइकोनोफ़ प्लैंक पर (उत्पाद अंतराल $$(\omega_1+1)\times(\omega+1)$$, कोण बिंदु $$(\omega_1,\omega)$$ विवृत उपसमुच्चय $$\omega_1\times\omega$$ का सीमा बिंदु है (यह संवृत होने में है), लेकिन यह क्रमिक-अनुक्रमित अनुक्रम की सीमा नहीं है।

यह भी देखें

 * सांस्थितिकी की सूची
 * निम्न सीमा सांस्थितिकी
 * दीर्घ रेखा (सांस्थितिकी)
 * रैखिक सातत्य
 * क्रम सांस्थितिकी (कार्यात्मक विश्लेषण)
 * आंशिक रूप से क्रमित अंतराल

संदर्भ

 * Steen, Lynn A. and Seebach, J. Arthur Jr.; Counterexamples in Topology, Holt, Rinehart and Winston (1970). ISBN 0-03-079485-4.
 * Stephen Willard, General Topology, (1970) Addison-Wesley Publishing Company, Reading Massachusetts.