अंकगणितीय कार्य

संख्या सिद्धांत में, एक अंकगणितीय, अंकगणितीय, या संख्या-सैद्धांतिक कार्य अधिकांश लेखकों के लिए है   कोई भी फलन (गणित) f(n) जिसका प्रांत प्राकृत संख्या है और जिसका विस्तार सम्मिश्र संख्याओं का उपसमुच्चय है। हार्डी एंड राइट ने अपनी परिभाषा में इस आवश्यकता को शामिल किया है कि एक अंकगणितीय फ़ंक्शन n की कुछ अंकगणितीय संपत्ति को व्यक्त करता है। एक अंकगणितीय फ़ंक्शन का एक उदाहरण विभाजक फ़ंक्शन है जिसका मान धनात्मक पूर्णांक n पर n के विभाजकों की संख्या के बराबर है।

संख्या-सैद्धांतिक कार्यों का एक बड़ा वर्ग है जो उपरोक्त परिभाषा में फिट नहीं होता है, उदाहरण के लिए, अभाज्य-गणना कार्य। यह आलेख दोनों वर्गों के कार्यों के लिंक प्रदान करता है।

अंकगणितीय कार्य अक्सर अत्यंत अनियमित होते हैं (कुछ अंकगणितीय कार्यों के #पहले 100 मान देखें), लेकिन उनमें से कुछ में रामानुजन के योग के संदर्भ में श्रृंखला विस्तार है।

गुणक और योगात्मक कार्य
एक अंकगणितीय फलन a है
 * 'पूर्ण योग फलन' यदि a(mn) = a(m) + a(n) सभी प्राकृत संख्याओं m और n के लिए;
 * 'पूरी तरह से गुणा फलन' अगर a(mn) = a(m)a(n) सभी प्राकृत संख्याओं m और n के लिए;

दो पूर्ण संख्याएँ m और n सहअभाज्य कहलाती हैं यदि उनका सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है, अर्थात यदि कोई अभाज्य संख्या नहीं है जो दोनों को विभाजित करती है।

तब एक अंकगणितीय फलन a है
 * 'योगात्मक फलन' यदि a(mn) = a(m) + a(n) सभी coprime प्राकृत संख्याओं m और n के लिए;
 * 'गुणात्मक फलन' यदि a(mn) = a(m)a(n) सभी सहअभाज्य प्राकृतिक संख्याओं m और n के लिए।

नोटेशन
इस आलेख में, $\sum_p f(p)$ और $\prod_p f(p)$  इसका मतलब है कि योग या उत्पाद सभी अभाज्य संख्याओं से अधिक है: $$\sum_p f(p) = f(2) + f(3) + f(5) + \cdots$$ और $$\prod_p f(p)= f(2)f(3)f(5)\cdots.$$ इसी प्रकार, $\sum_{p^k} f(p^k)$ और $\prod_{p^k} f(p^k)$  इसका मतलब है कि योग या उत्पाद पूरी तरह से सकारात्मक एक्सपोनेंट के साथ सभी प्रमुख शक्तियों से अधिक है (इसलिए $k = 0$ शामिल नहीं है): $$\sum_{p^k} f(p^k) = \sum_p\sum_{k > 0} f(p^k) = f(2) + f(3) + f(4) +f(5) +f(7)+f(8)+f(9)+\cdots.$$ अंकन $\sum_{d\mid n} f(d)$ और $\prod_{d\mid n} f(d)$  इसका अर्थ है कि योग या गुणनफल n के सभी धनात्मक विभाजकों से अधिक है, जिसमें 1 और n शामिल हैं। उदाहरण के लिए, अगर $n = 12$, तब $$\prod_{d\mid 12} f(d) = f(1)f(2) f(3) f(4)  f(6)  f(12). $$ नोटेशन को जोड़ा जा सकता है: $\sum_{p\mid n} f(p)$ और $\prod_{p\mid n} f(p)$  इसका मतलब है कि योग या उत्पाद n के सभी प्रमुख विभाजकों से अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि n = 18, तब $$\sum_{p\mid 18} f(p) = f(2) + f(3), $$ और इसी तरह $\sum_{p^k\mid n} f(p^k)$ और $\prod_{p^k\mid n} f(p^k)$  इसका मतलब यह है कि योग या उत्पाद एन को विभाजित करने वाली सभी प्रमुख शक्तियों से अधिक है। उदाहरण के लिए, यदि n = 24, तब $$\prod_{p^k\mid 24} f(p^k) = f(2) f(3) f(4) f(8). $$

Ω(एन), ω(एन), एनp(एन) - प्रधान शक्ति अपघटन
अंकगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी सकारात्मक पूर्णांक n को अभाज्य की शक्तियों के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से दर्शाया जा सकता है: $$ n = p_1^{a_1}\cdots p_k^{a_k} $$ जहां प1 < पृ2 < ... < पीk अभाज्य हैं और एjसकारात्मक पूर्णांक हैं। (1 खाली उत्पाद द्वारा दिया गया है।)

इसे सभी अभाज्य संख्याओं पर अनंत गुणनफल के रूप में लिखना अक्सर सुविधाजनक होता है, जहां परिमित संख्या को छोड़कर सभी में शून्य घातांक होता है। p-adic मूल्यांकन|p-adic मूल्यांकन 'ν परिभाषित करेंp(n)' प्रधान p की उच्चतम शक्ति का प्रतिपादक होना जो n को विभाजित करता है। अर्थात, यदि p, p में से एक हैi फिर वीp(एन) = एi, अन्यथा यह शून्य है। तब $$n = \prod_p p^{\nu_p(n)}.$$ उपरोक्त के संदर्भ में प्राइम ओमेगा फ़ंक्शन ω और Ω द्वारा परिभाषित किया गया है

पुनरावृत्ति से बचने के लिए, इस आलेख में सूचीबद्ध कार्यों के लिए जब भी संभव सूत्र एन और संबंधित पी के संदर्भ में दिए गए हैंi, एi, ω, और Ω।

पीk(एन), τ(एन), डी(एन) - विभाजक रकम
'भाजक समारोह | पीk(n)' n के सकारात्मक विभाजकों की k वीं शक्तियों का योग है, जिसमें 1 और n शामिल हैं, जहाँ k एक सम्मिश्र संख्या है।

'σ1(n)', n के (सकारात्मक) विभाजकों का योग, आमतौर पर 'σ(n)' द्वारा दर्शाया जाता है।

चूँकि शून्य घात की एक धनात्मक संख्या एक है, 'σ0(n)' इसलिए n के (सकारात्मक) विभाजकों की संख्या है; इसे आमतौर पर 'd(n)' या 'τ(n)' (जर्मन टेयलर = विभाजक के लिए) द्वारा दर्शाया जाता है।

$$\sigma_k(n) = \prod_{i=1}^{\omega(n)} \frac{p_i^{(a_i+1)k}-1}{p_i^k-1}= \prod_{i=1}^{\omega(n)} \left(1 + p_i^k + p_i^{2k} + \cdots + p_i^{a_i k}\right).$$ दूसरे गुणनफल में k = 0 सेट करने पर प्राप्त होता है $$\tau(n) = d(n) = (1 + a_{1})(1+a_{2})\cdots(1+a_{\omega(n)}).$$

φ(n) - यूलर टोटिएंट फंक्शन
'यूलर टोटिएंट फंक्शन|φ(n)', यूलर टोटिएंट फंक्शन, धनात्मक पूर्णांकों की वह संख्या है जो n से अधिक नहीं है जो n के सहअभाज्य हैं।

$$\varphi(n) = n \prod_{p\mid n} \left(1-\frac{1}{p}\right) = n \left(\frac{p_1 - 1}{p_1}\right)\left(\frac{p_2 - 1}{p_2}\right) \cdots \left(\frac{p_{\omega(n)} - 1}{p_{\omega(n)}}\right) .$$

जेk(एन) - जॉर्डन कुल समारोह
'जॉर्डन कुल समारोह | जेk(n)', जोर्डन टोटिएंट फंक्शन, n से कम या उसके बराबर सकारात्मक पूर्णांकों के k-टुपल्स की संख्या है जो n के साथ मिलकर एक कोप्राइम (k + 1)-ट्यूपल बनाता है। यह यूलर के टोटेंट का सामान्यीकरण है, $φ(n) = J_{1}(n)$. $$J_k(n) = n^k \prod_{p\mid n} \left(1-\frac{1}{p^k}\right) = n^k \left(\frac{p^k_1 - 1}{p^k_1}\right)\left(\frac{p^k_2 - 1}{p^k_2}\right) \cdots \left(\frac{p^k_{\omega(n)} - 1}{p^k_{\omega(n)}}\right) .$$

μ(एन) - मोबियस फ़ंक्शन
'मोबियस फ़ंक्शन|μ(n)', मोबियस फ़ंक्शन, मोबियस उलटा सूत्र के कारण महत्वपूर्ण है। नीचे #Dirichlet कनवल्शन देखें।

$$\mu(n)=\begin{cases} (-1)^{\omega(n)}=(-1)^{\Omega(n)} &\text{if }\; \omega(n) = \Omega(n)\\ 0&\text{if }\;\omega(n) \ne \Omega(n). \end{cases}$$ इसका तात्पर्य है कि μ(1) = 1. (क्योंकि Ω(1) = ω(1) = 0.)

τ(n) – रामानुजन ताऊ फलन
'रामानुजन ताऊ फलन|τ(n)', रामानुजन ताऊ फलन, इसकी जनक फलन पहचान द्वारा परिभाषित है:

$$\sum_{n\geq 1}\tau(n)q^n=q\prod_{n\geq 1}(1-q^n)^{24}.$$ हालांकि यह कहना मुश्किल है कि वास्तव में n का अंकगणितीय गुण क्या व्यक्त करता है, (τ(n) है (2π)मॉड्यूलर डिस्क्रिमिनेंट#मॉड्यूलर डिस्क्रिमिनेंट फ़ंक्शन के q-विस्तार में −12 गुना nवां फूरियर गुणांक) इसे अंकगणितीय कार्यों में शामिल किया गया है क्योंकि यह गुणक है और यह कुछ σ वाली सर्वसमिकाओं में होता हैk(एन) और आरk(एन) कार्य करता है (क्योंकि ये भी मॉड्यूलर रूपों के विस्तार में गुणांक हैं)।

सीq(एन) - रामानुजन का योग
'रामानुजन की राशि | सीq(n)', रामानुजन का योग, एकता के आदिम qवें मूल की nवीं शक्तियों का योग है: $$c_q(n) = \sum_{\stackrel{1\le a\le q}{ \gcd(a,q)=1}} e^{2 \pi i \tfrac{a}{q} n}.$$ भले ही इसे जटिल संख्याओं के योग के रूप में परिभाषित किया गया हो (q के अधिकांश मानों के लिए अपरिमेय), यह एक पूर्णांक है। n के निश्चित मान के लिए यह q में गुणक है:
 * 'यदि q और r सहअभाज्य हैं', तब $$c_q(n)c_r(n)=c_{qr}(n).$$

ψ(n) - डेडकाइंड साई फंक्शन
डेडेकाइंड साई फंक्शन सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है $$ \psi(n) = n \prod_{p|n}\left(1+\frac{1}{p}\right).$$

λ (एन) - लिउविल फ़ंक्शन
'लिउविल फंक्शन|λ(n)', लिउविल फंक्शन, द्वारा परिभाषित किया गया है $$\lambda (n) = (-1)^{\Omega(n)}.$$

χ(एन) - अक्षर
सभी 'डिरिचलेट वर्ण χ(n)' पूरी तरह गुणक हैं। दो वर्णों के विशेष अंकन हैं:

'प्रमुख चरित्र (मॉड एन)' को χ द्वारा निरूपित किया जाता है0(ए) (या χ1(ए))। इसे के रूप में परिभाषित किया गया है $$ \chi_0(a) = \begin{cases} 1 & \text{if } \gcd(a,n) = 1, \\ 0 & \text{if } \gcd(a,n) \ne 1. \end{cases} $$ द्विघात वर्ण (mod n) विषम n के लिए जैकोबी प्रतीक द्वारा निरूपित किया जाता है (यह n के लिए भी परिभाषित नहीं है): $$\left(\frac{a}{n}\right) = \left(\frac{a}{p_1}\right)^{a_1}\left(\frac{a}{p_2}\right)^{a_2}\cdots \left(\frac{a}{p_{\omega(n)}}\right)^{a_{\omega(n)}}.$$ इस सूत्र में $$(\tfrac{a}{p})$$ लीजेंड्रे प्रतीक है, जो सभी पूर्णांकों a और सभी विषम अभाज्य p द्वारा परिभाषित है $$ \left(\frac{a}{p}\right) = \begin{cases} \;\;\,0 & \text{if } a \equiv 0 \pmod p, \\+1 & \text{if }a \not\equiv 0\pmod p \text{ and for some integer }x, \;a\equiv x^2\pmod p \\-1 & \text{if there is no such } x. \end{cases}$$ खाली उत्पाद के लिए सामान्य सम्मेलन के बाद, $$\left(\frac{a}{1}\right) = 1.$$

ω(n) - विशिष्ट अभाज्य भाजक
'ω(n)', n को विभाजित करने वाली अलग-अलग प्राइम्स की संख्या के रूप में ऊपर परिभाषित, योगात्मक है (प्राइम ओमेगा फ़ंक्शन देखें)।

Ω(एन) - प्रधान विभाजक
'प्राइम फ़ैक्टर|Ω(n)', जिसे ऊपर n के प्राइम फ़ैक्टर की संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है, जिसे बहुगुणों के साथ गिना जाता है, पूरी तरह से योगात्मक है (प्राइम ओमेगा फ़ंक्शन देखें)।

एनp(एन) - पी-एडिक वैल्यूएशन|पी-एडिक वैल्यूएशन ऑफ एन इंटीजर एन
नियत अभाज्य p के लिए, 'νp(n)', जिसे ऊपर n को विभाजित करने वाले p की सबसे बड़ी शक्ति के घातांक के रूप में परिभाषित किया गया है, पूरी तरह से योज्य है।

लघुगणक व्युत्पन्न
$$\operatorname{ld}(n)=\frac{D(n)}{n} = \sum_{\stackrel{p\mid n}{p\text{ prime}}} \frac {v_p(n)} {p}$$, कहाँ $$D(n)$$ अंकगणितीय व्युत्पन्न है।

$\pi$(x), Π(x), θ(x), ψ(x) - प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन
ये महत्वपूर्ण कार्य (जो अंकगणितीय कार्य नहीं हैं) को गैर-नकारात्मक वास्तविक तर्कों के लिए परिभाषित किया गया है, और विभिन्न बयानों और अभाज्य संख्या प्रमेय के प्रमाणों में उपयोग किया जाता है। वे अंकगणितीय कार्यों के योग कार्य हैं (नीचे मुख्य भाग देखें) जो न तो गुणक हैं और न ही योगात्मक हैं।

'प्राइम-काउंटिंग फंक्शन |π(x)', प्राइम-काउंटिंग फ़ंक्शन, प्राइम्स की संख्या x से अधिक नहीं है। यह अभाज्य संख्याओं के सूचक फलन का योग फलन है। $$\pi(x) = \sum_{p \le x} 1$$ एक संबंधित फ़ंक्शन प्राइम शक्तियों की गणना करता है, प्राइम के लिए वजन 1, उनके वर्गों के लिए 1/2, क्यूब्स के लिए 1/3, ... यह अंकगणितीय फ़ंक्शन का योग फ़ंक्शन है जो पूर्णांक पर मान 1/k लेता है जो k हैं कुछ अभाज्य संख्या की -थ घात, और अन्य पूर्णांकों पर मान 0।

$$\Pi(x) = \sum_{p^k\le x}\frac{1}{k}.$$ चेबीशेव फ़ंक्शन|θ(x) और ψ(x), चेबीशेव फ़ंक्शन, को अभाज्य संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक के योग के रूप में परिभाषित किया गया है जो ''x' से अधिक नहीं है '। $$\vartheta(x)=\sum_{p\le x} \log p,$$ $$ \psi(x) = \sum_{p^k\le x} \log p.$$ चेबीशेव फलन ψ(x) ठीक नीचे वॉन मैंगोल्ड्ट फलन का योग फलन है।

Λ(एन) - वॉन मैंगोल्ड फ़ंक्शन
'वॉन मैंगोल्ड फ़ंक्शन|Λ(n)', वॉन मैंगोल्ड फ़ंक्शन, 0 है जब तक कि तर्क n एक प्रमुख शक्ति नहीं है $p^{k}$, जिस स्थिति में यह अभाज्य p का प्राकृतिक लघुगणक है: $$\Lambda(n) = \begin{cases} \log p &\text{if } n = 2,3,4,5,7,8,9,11,13,16,\ldots=p^k \text{ is a prime power}\\ 0&\text{if } n=1,6,10,12,14,15,18,20,21,\dots \;\;\;\;\text{ is not a prime power}. \end{cases}$$

पी (एन) - विभाजन समारोह
'विभाजन फलन (संख्या सिद्धांत)|p(n)', विभाजन फलन, धनात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में n को दर्शाने के तरीकों की संख्या है, जहां भिन्न क्रम में समान योग वाले दो निरूपणों को भिन्न होने के रूप में नहीं गिना जाता है : $$p(n) = \left|\left\{ (a_1, a_2,\dots a_k): 0 < a_1 \le a_2 \le \cdots \le a_k\; \land \;n=a_1+a_2+\cdots +a_k \right\}\right|.$$

λ (एन) - कारमाइकल फ़ंक्शन
'कारमाइकल फंक्शन|λ(n)', कारमाइकल फंक्शन, सबसे छोटी सकारात्मक संख्या है जैसे कि $$a^{\lambda(n)}\equiv 1 \pmod{n}$$ सभी के लिए n के लिए एक coprime। समतुल्य रूप से, यह पूर्णांक मॉड्यूलो एन के गुणक समूह के तत्वों के आदेशों का कम से कम सामान्य गुणक है।

विषम अभाज्य संख्याओं की घातों के लिए और 2 और 4 के लिए, λ(n) n के यूलर कुल फलन के बराबर है; 4 से अधिक 2 की शक्तियों के लिए यह n के यूलर टोटेंट फ़ंक्शन के आधे के बराबर है: $$\lambda(n) = \begin{cases} \;\;\phi(n) &\text{if }n = 2,3,4,5,7,9,11,13,17,19,23,25,27,\dots\\ \tfrac 1 2 \phi(n)&\text{if }n=8,16,32,64,\dots \end{cases}$$ और सामान्य n के लिए यह n के प्रमुख शक्ति कारकों में से प्रत्येक के λ का कम से कम सामान्य गुणक है: $$\lambda(p_1^{a_1}p_2^{a_2} \dots p_{\omega(n)}^{a_{\omega(n)}}) = \operatorname{lcm}[\lambda(p_1^{a_1}),\;\lambda(p_2^{a_2}),\dots,\lambda(p_{\omega(n)}^{a_{\omega(n)}}) ].$$

एच (एन) - कक्षा संख्या
'आदर्श वर्ग समूह|h(n)', वर्ग संख्या फलन, विविक्तकर n वाले परिमेय के बीजगणितीय विस्तार के आदर्श वर्ग समूह का क्रम है। संकेतन अस्पष्ट है, क्योंकि सामान्य रूप से एक ही विवेचक के साथ कई विस्तार होते हैं। शास्त्रीय उदाहरणों के लिए द्विघात क्षेत्र और चक्रीय क्षेत्र देखें।

आरk(एन) - के वर्गों का योग
'वर्गों का योग फलन|आरk(n)' उन तरीकों की संख्या है जिन्हें n को k वर्गों के योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, जहाँ निरूपण जो केवल योग के क्रम में भिन्न होते हैं या वर्गमूल के चिह्नों में भिन्न के रूप में गिने जाते हैं।

$$r_k(n) = \left|\left\{(a_1, a_2,\dots,a_k):n=a_1^2+a_2^2+\cdots+a_k^2\right\}\right|$$

डी (एन) - अंकगणितीय व्युत्पन्न
डेरिवेटिव के लिए डिफरेंशियल ऑपरेटर # नोटेशन का उपयोग करना, अंकगणितीय डेरिवेटिव डी (एन) एक ऐसा फ़ंक्शन है
 * $$ D(n) = 1$$ अगर एन प्राइम, और
 * $$D(mn) = m D(n) + D(m) n$$ (उत्पाद नियम)

योग समारोह
एक अंकगणितीय फ़ंक्शन दिया गया है), यह 'समेशन फ़ंक्शन' A(x) द्वारा परिभाषित किया गया है $$ A(x) := \sum_{n \le x} a(n) .$$ A को एक वास्तविक चर के कार्य के रूप में माना जा सकता है। एक सकारात्मक पूर्णांक एम दिया गया है, ए खुले अंतराल एम <एक्स <एम + 1 के साथ स्थिर है, और प्रत्येक पूर्णांक पर असंतोष का वर्गीकरण है जिसके लिए ए (एम) ≠ 0 है।

चूँकि इस तरह के कार्यों को अक्सर श्रृंखला और अभिन्न द्वारा दर्शाया जाता है, बिंदुवार अभिसरण प्राप्त करने के लिए यह सामान्य रूप से बाएँ और दाएँ मानों के औसत के रूप में विच्छिन्नता पर मान को परिभाषित करता है: $$ A_0(m) := \frac 1 2 \left(\sum_{n < m} a(n) +\sum_{n \le m} a(n)\right) = A(m) - \frac 1 2 a(m) .$$ अंकगणितीय कार्यों के व्यक्तिगत मूल्यों में बेतहाशा उतार-चढ़ाव हो सकता है - जैसा कि उपरोक्त अधिकांश उदाहरणों में है। योग कार्य इन उतार-चढ़ाव को सुचारू करते हैं। कुछ मामलों में यह संभव हो सकता है कि बड़े x के योग समारोह के लिए स्पर्शोन्मुख विश्लेषण खोजा जाए।

इस घटना का एक शास्त्रीय उदाहरण विभाजक सारांश समारोह द्वारा दिया जाता है, डी (एन) का योग समारोह, एन के विभाजकों की संख्या: $$\liminf_{n\to\infty} d(n) = 2$$ $$\limsup_{n\to\infty}\frac{\log d(n) \log\log n}{\log n} = \log 2$$ $$\lim_{n\to\infty}\frac{d(1) + d(2)+ \cdots +d(n)}{\log(1) + \log(2)+ \cdots +\log(n)} = 1.$$ एक अंकगणितीय फ़ंक्शन का एक औसत क्रम कुछ सरल या बेहतर समझा जाने वाला फ़ंक्शन होता है, जिसमें समान रूप से समान योग फ़ंक्शन होता है, और इसलिए औसत पर समान मान लेता है। हम कहते हैं कि g f का औसत क्रम है यदि $$ \sum_{n \le x} f(n) \sim \sum_{n \le x} g(n) $$ एक्स के रूप में अनंत की ओर जाता है। उपरोक्त उदाहरण से पता चलता है कि डी (एन) में औसत ऑर्डर लॉग (एन) है।

डिरिचलेट कनवल्शन
अंकगणितीय फलन a(n) दिया है, मान लीजिए Fa(s), जटिल s के लिए, संबंधित डिरिचलेट श्रृंखला (जहां यह अभिसारी श्रृंखला) द्वारा परिभाषित कार्य है: $$ F_a(s) := \sum_{n=1}^\infty \frac{a(n)}{n^s} .$$ Fa(s) को a(n) का जनरेटिंग फंक्शन कहा जाता है। सभी n के लिए स्थिर फलन a(n) = 1 के अनुरूप ऐसी सबसे सरल श्रृंखला, ς(s) रीमैन जीटा फ़ंक्शन है।

मोबियस फ़ंक्शन का जनरेटिंग फ़ंक्शन ज़ेटा फ़ंक्शन का व्युत्क्रम है: $$\zeta(s)\,\sum_{n=1}^\infty\frac{\mu(n)}{n^s}=1, \;\;\Re s >0.$$ दो अंकगणितीय कार्यों a और b और उनके संबंधित जनन फलन F पर विचार करेंa(एस) और एफb(एस)। उत्पाद एफa(एस) एफb(एस) की गणना निम्नानुसार की जा सकती है: $$ F_a(s)F_b(s) = \left( \sum_{m=1}^{\infty}\frac{a(m)}{m^s} \right)\left( \sum_{n=1}^{\infty}\frac{b(n)}{n^s} \right). $$ यह दिखाने के लिए एक सीधा अभ्यास है कि यदि c(n) द्वारा परिभाषित किया गया है $$ c(n) := \sum_{ij = n} a(i)b(j) = \sum_{i\mid n}a(i)b\left(\frac{n}{i}\right), $$ तब $$F_c(s) = F_a(s) F_b(s).$$ इस फ़ंक्शन c को a और b का डिरिचलेट कनवल्शन कहा जाता है और इसे इसके द्वारा दर्शाया जाता है $$a*b$$.

एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण मामला सभी n के लिए स्थिर फ़ंक्शन a(n) = 1 के साथ कनवल्शन है, जो जेता फ़ंक्शन द्वारा जनरेटिंग फ़ंक्शन को गुणा करने के अनुरूप है: $$g(n) = \sum_{d \mid n}f(d).$$ ज़ेटा फ़ंक्शन के व्युत्क्रम से गुणा करने पर मोबियस उलटा सूत्र मिलता है: $$f(n) = \sum_{d\mid n}\mu\left(\frac{n}{d}\right)g(d).$$ यदि f गुणक है, तो g भी गुणक है। अगर f पूरी तरह से गुणक है, तो g गुणक है, लेकिन पूरी तरह से गुणक हो भी सकता है और नहीं भी।

कार्यों के बीच संबंध
अंकगणितीय कार्यों को एक दूसरे के साथ और विश्लेषण के कार्यों, विशेष रूप से शक्तियों, जड़ों, और घातीय और लॉग कार्यों के साथ जोड़ने वाले बहुत से सूत्र हैं। पृष्ठ विभाजक योग पहचान में अंकगणितीय कार्यों को शामिल करने वाली पहचान के कई और सामान्यीकृत और संबंधित उदाहरण हैं।

कुछ उदाहरण निम्नलिखित हैं:

डिरिचलेट कनवल्शन


\sum_{\delta\mid n}\mu(\delta)= \sum_{\delta\mid n}\lambda\left(\frac{n}{\delta}\right)|\mu(\delta)|= \begin{cases} 1 & \text{if } n=1\\ 0 & \text{if } n\ne1 \end{cases} $$ जहां λ लिउविल फ़ंक्शन है।
 * $$\sum_{\delta\mid n}\varphi(\delta) = n.$$
 * $$\varphi(n)

=\sum_{\delta\mid n}\mu\left(\frac{n}{\delta}\right)\delta =n\sum_{\delta\mid n}\frac{\mu(\delta)}{\delta}. $$ मोबियस उलटा
 * $$\sum_{d \mid n } J_k(d) = n^k.$$

J_k(n) =\sum_{\delta\mid n}\mu\left(\frac{n}{\delta}\right)\delta^k =n^k\sum_{\delta\mid n}\frac{\mu(\delta)}{\delta^k}. $$ मोबियस उलटा
 * $$\sum_{\delta\mid n}\delta^sJ_r(\delta)J_s\left(\frac{n}{\delta}\right) = J_{r+s}(n)$$
 * $$\sum_{\delta\mid n}\varphi(\delta)d\left(\frac{n}{\delta}\right) = \sigma(n).$$
 * $$\sum_{\delta\mid n}|\mu(\delta)| = 2^{\omega(n)}.$$
 * $$|\mu(n)|=\sum_{\delta\mid n}\mu\left(\frac{n}{\delta}\right)2^{\omega(\delta)}.$$ मोबियस उलटा
 * $$\sum_{\delta\mid n}2^{\omega(\delta)}=d(n^2).$$
 * $$2^{\omega(n)}=\sum_{\delta\mid n}\mu\left(\frac{n}{\delta}\right)d(\delta^2).$$ मोबियस उलटा
 * $$\sum_{\delta\mid n}d(\delta^2)=d^2(n).$$
 * $$d(n^2)=\sum_{\delta\mid n}\mu\left(\frac{n}{\delta}\right)d^2(\delta).$$ मोबियस उलटा
 * $$\sum_{\delta\mid n}d\left(\frac{n}{\delta}\right)2^{\omega(\delta)}=d^2(n).$$
 * $$\sum_{\delta\mid n}\lambda(\delta)=\begin{cases}

&1\text{ if } n \text{ is a square }\\ &0\text{ if } n \text{ is not square.} \end{cases}$$ जहां λ लिउविल समारोह है।
 * $$\sum_{\delta\mid n}\Lambda(\delta) = \log n.$$
 * $$\Lambda(n)=\sum_{\delta\mid n}\mu\left(\frac{n}{\delta}\right)\log(\delta).$$ मोबियस उलटा

वर्गों का योग
सभी के लिए $$k \ge 4,\;\;\; r_k(n) > 0.$$ (लैग्रेंज का चार-वर्ग प्रमेय)।



r_2(n) = 4\sum_{d\mid n}\left(\frac{-4}{d}\right), $$ जहां क्रोनकर प्रतीक का मान है

\left(\frac{-4}{n}\right) = \begin{cases} +1&\text{if }n\equiv 1 \pmod 4 \\ -1&\text{if }n\equiv 3 \pmod 4\\ \;\;\;0&\text{if }n\text{ is even}.\\ \end{cases} $$ आर के लिए एक सूत्र है3 नीचे #कक्षा संख्या से संबंधित अनुभाग में। $$ r_4(n) = 8 \sum_{\stackrel{d\mid n}{ 4\, \nmid \,d}}d = 8 (2+(-1)^n)\sum_{\stackrel{d\mid n}{ 2\, \nmid \,d}}d = \begin{cases} 8\sigma(n)&\text{if } n \text{ is odd }\\ 24\sigma\left(\frac{n}{2^\nu}\right)&\text{if } n \text{ is even } \end{cases}, $$ कहाँ $ν = ν_{2}(n)$.

$$r_6(n) = 16 \sum_{d\mid n} \chi\left(\frac{n}{d}\right)d^2 - 4\sum_{d\mid n} \chi(d)d^2,$$ कहाँ $$ \chi(n) = \left(\frac{-4}{n}\right).$$<रेफरी नाम = हार्डी एंड राइट, § 20.13>हार्डी एंड राइट, § 20.13

फलन को परिभाषित कीजिए $σ_{k}^{*}(n)$ जैसा $$\sigma_k^*(n) = (-1)^{n}\sum_{d\mid n}(-1)^d d^k= \begin{cases} \sum_{d\mid n} d^k=\sigma_k(n)&\text{if } n \text{ is odd }\\ \sum_{\stackrel{d\mid n}{ 2\, \mid \,d}}d^k -\sum_{\stackrel{d\mid n}{ 2\, \nmid \,d}}d^k&\text{if } n \text{ is even}. \end{cases} $$ अर्थात्, यदि n विषम है, $σ_{k}^{*}(n)$ n के विभाजकों की kवीं शक्तियों का योग है, अर्थात, $σ_{k}(n),$ और यदि n भी है तो यह n के सम विभाजकों की k वीं शक्तियों का योग है जो n के विषम विभाजकों की k वीं शक्तियों का योग है।


 * $$r_8(n) = 16\sigma_3^*(n).$$ <रेफरी नाम = हार्डी एंड राइट, § 20.13 />

रामानुजन की जो परम्परा है उसे अपनाओ $τ(x) = 0$ यदि x 'पूर्णांक नहीं है।'



r_{24}(n) = \frac{16}{691}\sigma_{11}^*(n) + \frac{128}{691}\left\{ (-1)^{n-1}259\tau(n)-512\tau\left(\frac{n}{2}\right)\right\} $$

भाजक योग कनवल्शन
यहाँ कनवल्शन का मतलब डिरिचलेट कनवल्शन नहीं है, बल्कि पावर सीरीज़ के गुणांकों के लिए फॉर्मूला को संदर्भित करता है # गुणन और विभाजन:


 * $$ \left(\sum_{n=0}^\infty a_n x^n\right)\left(\sum_{n=0}^\infty b_n x^n\right)

= \sum_{i=0}^\infty \sum_{j=0}^\infty a_i b_j x^{i+j} = \sum_{n=0}^\infty \left(\sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}\right) x^n = \sum_{n=0}^\infty c_n x^n .$$ क्रम $$c_n = \sum_{i=0}^n a_i b_{n-i}$$ अनुक्रम a का कनवल्शन या कॉची उत्पाद कहा जाता हैn और बीn. इन सूत्रों को विश्लेषणात्मक रूप से सिद्ध किया जा सकता है (आइज़ेंस्टीन श्रृंखला देखें) या प्राथमिक तरीकों से।

\sigma_3(n) = \frac{1}{5}\left\{6n\sigma_1(n)-\sigma_1(n) + 12\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_1(n-k)\right\}. $$

\sigma_5(n) = \frac{1}{21}\left\{10(3n-1)\sigma_3(n)+\sigma_1(n) + 240\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_3(n-k)\right\}. $$

\begin{align} \sigma_7(n) &=\frac{1}{20}\left\{21(2n-1)\sigma_5(n)-\sigma_1(n) + 504\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_5(n-k)\right\}\\ &=\sigma_3(n) + 120\sum_{0<k<n}\sigma_3(k)\sigma_3(n-k). \end{align} $$

\begin{align} \sigma_9(n) &= \frac{1}{11}\left\{10(3n-2)\sigma_7(n)+\sigma_1(n) + 480\sum_{0<k<n}\sigma_1(k)\sigma_7(n-k)\right\}\\ &= \frac{1}{11}\left\{21\sigma_5(n)-10\sigma_3(n) + 5040\sum_{0<k<n}\sigma_3(k)\sigma_5(n-k)\right\}. \end{align} $$

\tau(n) = \frac{65}{756}\sigma_{11}(n) + \frac{691}{756}\sigma_{5}(n) - \frac{691}{3}\sum_{0<k<n}\sigma_5(k)\sigma_5(n-k), $$ जहां τ(n) रामानुजन का फलन है। चूंकि पीk(n) (प्राकृतिक संख्या k के लिए) और τ(n) पूर्णांक हैं, उपरोक्त सूत्रों का उपयोग सर्वांगसमता सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है कार्यों के लिए। कुछ उदाहरणों के लिए रामानुजन ताऊ फंक्शन कार्य देखें।

सेटिंग द्वारा पार्टीशन फंक्शन के डोमेन का विस्तार करें $p(0) = 1.$



p(n)=\frac{1}{n}\sum_{1\le k\le n}\sigma(k)p(n-k). $$     इस पुनरावृत्ति का उपयोग p(n) की गणना के लिए किया जा सकता है।

वर्ग संख्या संबंधित
पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट ने ऐसे सूत्रों की खोज की जो द्विघात संख्या क्षेत्रों के वर्ग संख्या h को जैकोबी प्रतीक से संबंधित करते हैं। एक पूर्णांक डी को 'मौलिक विभेदक' कहा जाता है यदि यह द्विघात संख्या क्षेत्र का विभेदक है। यह डी ≠ 1 के बराबर है और या तो ए) डी free है और डी ≡ 1 (मॉड 4) या बी) डी ≡ 0 (मोड 4), डी/4 स्क्वायरफ्री है, और डी/4 ≡ 2 या 3 (मॉड 4) ). क्रोनकर प्रतीक को परिभाषित करके भाजक में सम संख्याओं को स्वीकार करने के लिए जैकोबी प्रतीक का विस्तार करें: $$\left(\frac{a}{2}\right) = \begin{cases} \;\;\,0&\text{ if } a \text{ is even} \\(-1)^{\frac{a^2-1}{8}}&\text{ if }a \text{ is odd. } \end{cases}$$ तब यदि D <-4 एक मूलभूत विविक्तकर है $$\begin{align} h(D) & = \frac{1}{D} \sum_{r=1}^{|D|}r\left(\frac{D}{r}\right)\\     & = \frac{1}{2-\left(\tfrac{D}{2}\right)} \sum_{r=1}^{|D|/2}\left(\frac{D}{r}\right). \end{align}$$ r से संबंधित एक सूत्र भी है3 और वह। दोबारा, डी को मौलिक भेदभाव करने दें, डी <-4। तब $$r_3(|D|) = 12\left(1-\left(\frac{D}{2}\right)\right)h(D).$$

प्रधान-गणना संबंधित
होने देना $$H_n = 1 + \frac 1 2 + \frac 1 3 + \cdots +\frac{1}{n}$$ nth हार्मोनिक संख्या हो। तब


 * $$ \sigma(n) \le H_n + e^{H_n}\log H_n$$ प्रत्येक प्राकृतिक संख्या n के लिए सत्य है यदि और केवल यदि रीमैन परिकल्पना सत्य है।

रीमैन परिकल्पना भी इस कथन के समतुल्य है कि, सभी n > 5040 के लिए, $$\sigma(n) < e^\gamma n \log \log n $$ (जहां γ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है)। यह भाजक फलन#अनुमानित वृद्धि दर|रॉबिन प्रमेय है।


 * $$\sum_{p}\nu_p(n) = \Omega(n).$$
 * $$\psi(x)=\sum_{n\le x}\Lambda(n).$$
 * $$\Pi(x)= \sum_{n\le x}\frac{\Lambda(n)}{\log n}.$$
 * $$e^{\theta(x)}=\prod_{p\le x}p.$$
 * $$e^{\psi(x)}= \operatorname{lcm}[1,2,\dots,\lfloor x\rfloor].$$

मेनन की पहचान
1965 में पी केशव मेनन ने साबित किया $$\sum_{\stackrel{1\le k\le n}{ \gcd(k,n)=1}} \gcd(k-1,n)=\varphi(n)d(n).$$ यह कई गणितज्ञों द्वारा सामान्यीकृत किया गया है। उदाहरण के लिए, \sum_{\stackrel{1\le k_1, k_2, \dots, k_s\le n}{ \gcd(k_1,n)=1}} \gcd(k_1-1,k_2,\dots,k_s,n) = \varphi(n)\sigma_{s-1}(n).$$ \sum_{\stackrel{1\le k_1, k_2, \dots, k_s\le n}{ \gcd(k_1,k_2,\dots,k_s,n)=1}} \gcd(k_1-a_1,k_2-a_2,\dots,k_s-a_s,n)^s =J_s(n)d(n), $$ जहाँ एक1, ए2, ..., एs पूर्णांक हैं, gcd(a1, ए2, ..., एs, एन) = 1। \sum_{\stackrel{1\le k\le m}{ \gcd(k,m)=1}} \gcd(k^2-1,m_1)\gcd(k^2-1,m_2) =\varphi(n)\sum_{\stackrel{d_1\mid m_1} {d_2\mid m_2}} \varphi(\gcd(d_1, d_2))2^{\omega(\operatorname{lcm}(d_1, d_2))}, $$ जहां एम1 और एम2 विषम हैं, एम = एलसीएम (एम1, एम2).
 * बी सूरी $$
 * एन राव $$
 * टोथ लेज़्लो फेजेस $$

वास्तव में, यदि f कोई अंकगणितीय फलन है $$\sum_{\stackrel{1\le k\le n}{ \gcd(k,n)=1}} f(\gcd(k-1,n)) =\varphi(n)\sum_{d\mid n}\frac{(\mu*f)(d)}{\varphi(d)},$$ कहाँ $$*$$ डिरिचलेट कनवल्शन के लिए खड़ा है।

विविध
एम और एन को विशिष्ट, विषम और सकारात्मक होने दें। तब जैकोबी प्रतीक द्विघात पारस्परिकता के नियम को संतुष्ट करता है: $$ \left(\frac{m}{n}\right) \left(\frac{n}{m}\right) = (-1)^{(m-1)(n-1)/4}.$$ चलो डी (एन) अंकगणितीय व्युत्पन्न हो। फिर लॉगरिदमिक व्युत्पन्न $$\frac{D(n)}{n} = \sum_{\stackrel{p\mid n}{p\text{ prime}}} \frac {v_{p}(n)} {p}.$$ विवरण के लिए अंकगणितीय व्युत्पन्न देखें।

मान लीजिए λ(n) लियूविल का फलन है। तब


 * $$|\lambda(n)|\mu(n) =\lambda(n)|\mu(n)| = \mu(n),$$ और
 * $$\lambda(n)\mu(n) = |\mu(n)| =\mu^2(n).$$

मान लीजिए λ(n) कार्मिकेल का फलन है। तब


 * $$\lambda(n)\mid \phi(n).$$ आगे,


 * $$\lambda(n)= \phi(n) \text{ if and only if }n=\begin{cases}

1,2, 4;\\ 3,5,7,9,11, \ldots \text{ (that is, } p^k \text{, where }p\text{ is an odd prime)};\\ 6,10,14,18,\ldots \text{ (that is, } 2p^k\text{, where }p\text{ is an odd prime)}. \end{cases}$$ पूर्णांक मॉड्यूलो एन और आदिम रूट मॉड्यूलो एन के गुणक समूह देखें।


 * $$2^{\omega(n)} \le d(n) \le 2^{\Omega(n)}.$$
 * $$\frac{6}{\pi^2}<\frac{\phi(n)\sigma(n)}{n^2} < 1.$$
 * $$\begin{align}

c_q(n) &=\frac{\mu\left(\frac{q}{\gcd(q, n)}\right)}{\phi\left(\frac{q}{\gcd(q, n)}\right)}\phi(q)\\ &=\sum_{\delta\mid \gcd(q,n)}\mu\left(\frac{q}{\delta}\right)\delta. \end{align}$$     ध्यान दें कि$$\phi(q) = \sum_{\delta\mid q}\mu\left(\frac{q}{\delta}\right)\delta.$$
 * $$c_q(1) = \mu(q).$$
 * $$c_q(q) = \phi(q).$$
 * $$\sum_{\delta\mid n}d^{3}(\delta) = \left(\sum_{\delta\mid n}d(\delta)\right)^2.$$     इसकी तुलना करें $1^{3} + 2^{3} + 3^{3} + ... + n^{3} = (1 + 2 + 3 + ... + n)^{2}$


 * $$d(uv) = \sum_{\delta\mid \gcd(u,v)}\mu(\delta)d\left(\frac{u}{\delta}\right)d\left(\frac{v}{\delta}\right).

$$
 * $$\sigma_k(u)\sigma_k(v) = \sum_{\delta\mid \gcd(u,v)}\delta^k\sigma_k\left(\frac{uv}{\delta^2}\right).

$$
 * $$\tau(u)\tau(v) = \sum_{\delta\mid \gcd(u,v)}\delta^{11}\tau\left(\frac{uv}{\delta^2}\right),

$$ जहां τ(n) रामानुजन का फलन है।

बाहरी संबंध

 * Matthew Holden, Michael Orrison, Michael Varble Yet another Generalization of Euler's Totient Function
 * Huard, Ou, Spearman, and Williams. Elementary Evaluation of Certain Convolution Sums Involving Divisor Functions
 * Dineva, Rosica, The Euler Totient, the Möbius, and the Divisor Functions
 * László Tóth, Menon's Identity and arithmetical sums representing functions of several variables
 * László Tóth, Menon's Identity and arithmetical sums representing functions of several variables