अर्ध-विभेदीकरण

गणना में, गणित की एक शाखा, एक वास्तविक चर के वास्तविक संख्या-मूल्य वाले फ़ंक्शन (गणित) एफ की एक तरफा भिन्नता और अर्ध-भिन्नता की धारणाएं भिन्नता से कमजोर होती हैं। विशेष रूप से, फ़ंक्शन f को एक बिंदु a पर सही अवकलनीय कहा जाता है, यदि, मोटे तौर पर कहें तो, एक व्युत्पन्न (गणित) को फ़ंक्शन के तर्क x के a पर ले जाने के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। दाएं से, और बाएं से ए पर अंतर किया जा सकता है यदि व्युत्पन्न को एक्स के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जो बाएं से ए'' की ओर बढ़ता है।

एक-आयामी मामला
गणित में, एक बायां व्युत्पन्न और एक दायां व्युत्पन्न व्युत्पन्न (किसी फ़ंक्शन के परिवर्तन की दर) हैं जो किसी फ़ंक्शन के तर्क द्वारा केवल एक दिशा (बाएं या दाएं, यानी कम या उच्च मान) में आंदोलन के लिए परिभाषित होते हैं।

परिभाषाएँ
मान लीजिए f वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय I पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन को दर्शाता है।

अगर $a &isin; I$ का एक सीमा बिंदु है $I ∩$ $[a,∞)$ और एकतरफ़ा सीमा


 * $$\partial_+f(a):=\lim_\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

एक वास्तविक संख्या के रूप में मौजूद है, तो f को a और सीमा ∂ पर 'सही अवकलनीय' कहा जाता है+f(a) को a पर f का 'सही अवकलज' कहा जाता है।

अगर $a &isin; I$ का एक सीमा बिंदु है $I ∩$ $(–∞,a]$ और एकतरफ़ा सीमा


 * $$\partial_-f(a):=\lim_\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$

एक वास्तविक संख्या के रूप में मौजूद है, तो एफ को ए और सीमा पर 'बाएं अवकलनीय' कहा जाता है–f(a) को a पर f का 'वाम अवकलज' कहा जाता है।

अगर $a &isin; I$ का एक सीमा बिंदु है $I ∩$ $[a,∞)$ और $I ∩ (–∞,a]$ और यदि f, a पर बाएँ और दाएँ अवकलनीय है, तो f को a पर 'अर्ध-विभेदनीय' कहा जाता है।

यदि बाएँ और दाएँ व्युत्पन्न समान हैं, तो उनका मान सामान्य (द्विदिशात्मक) व्युत्पन्न के समान है। कोई एक सममित व्युत्पन्न को भी परिभाषित कर सकता है, जो बाएं और दाएं व्युत्पन्न (जब वे दोनों मौजूद हैं) के अंकगणितीय माध्य के बराबर होता है, इसलिए सममित व्युत्पन्न तब मौजूद हो सकता है जब सामान्य व्युत्पन्न मौजूद नहीं होता है।

टिप्पणियाँ और उदाहरण

 * एक फ़ंक्शन किसी फ़ंक्शन के डोमेन के आंतरिक बिंदु a पर व्युत्पन्न होता है यदि और केवल यदि यह a पर अर्ध-विभेदित होता है और बायां व्युत्पन्न दाएं व्युत्पन्न के बराबर होता है।
 * अर्ध-विभेदनीय फलन का एक उदाहरण, जो अवकलनीय नहीं है, निरपेक्ष मान फलन है $$ f(x)=|x| $$, a = 0 पर। हम आसानी से पाते हैं $$ \partial_-f(0)=-1, \partial_+f(0)=1. $$
 * यदि कोई फ़ंक्शन किसी बिंदु a पर अर्ध-विभेदनीय है, तो इसका तात्पर्य यह है कि यह a पर निरंतर है।
 * सूचक फ़ंक्शन 1[ 0,∞) प्रत्येक वास्तविक a पर सही अवकलनीय है, लेकिन शून्य पर असंतत है (ध्यान दें कि यह सूचक फ़ंक्शन शून्य पर अवकलनीय नहीं छोड़ा गया है)।

आवेदन
यदि वास्तविक रेखा के अंतराल I पर परिभाषित एक वास्तविक-मूल्यवान, अवकलनीय फ़ंक्शन f का हर जगह शून्य व्युत्पन्न है, तो यह स्थिर है, जैसा कि माध्य मान प्रमेय के अनुप्रयोग से पता चलता है। भिन्नता की धारणा को एफ की निरंतरता और एकतरफा भिन्नता के कारण कमजोर किया जा सकता है। दाएँ अवकलनीय कार्यों का संस्करण नीचे दिया गया है, बाएँ अवकलनीय कार्यों का संस्करण अनुरूप है।

$$

$$

बायीं या दायीं ओर काम करने वाले विभेदक ऑपरेटर
एक अन्य सामान्य उपयोग इन्फिक्स संकेतन  में बाइनरी ऑपरेटरों के रूप में व्यवहार किए गए डेरिवेटिव का वर्णन करना है, जिसमें डेरिवेटिव को बाएं या दाएं  ओपेरंड  पर लागू किया जाना है। यह उपयोगी है, उदाहरण के लिए, पॉइसन ब्रैकेट के सामान्यीकरण को परिभाषित करते समय। फ़ंक्शन f और g की एक जोड़ी के लिए, बाएँ और दाएँ डेरिवेटिव को क्रमशः इस प्रकार परिभाषित किया गया है
 * $$f \stackrel{\leftarrow }{\partial }_x g = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot g$$
 * $$f \stackrel{\rightarrow }{\partial }_x g = f \cdot \frac{\partial g}{\partial x}.$$

ब्रा-केट नोटेशन में, व्युत्पन्न ऑपरेटर दाएं ऑपरेंड पर नियमित व्युत्पन्न के रूप में या बाईं ओर नकारात्मक व्युत्पन्न के रूप में कार्य कर सकता है।

उच्च-आयामी मामला
इस उपरोक्त परिभाषा को 'आर' के उपसमुच्चय पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।nदिशा व्युत्पन्न के कमजोर संस्करण का उपयोग करना। मान लीजिए a, f के प्रांत का एक आंतरिक बिंदु है। तब बिंदु a पर f को अर्ध-विभेदक कहा जाता है यदि प्रत्येक दिशा के लिए u ∈ 'R'nसीमा


 * $$\partial_uf(a)=\lim_{h\to 0^+}\frac{f(a+h\, u)-f(a)}{h}$$

साथ $$ h \in $$ R एक वास्तविक संख्या के रूप में मौजूद है।

इस प्रकार अर्ध-विभेदीकरण गेटॉक्स व्युत्पन्न की तुलना में कमजोर है, जिसके लिए कोई h को केवल सकारात्मक मानों तक सीमित किए बिना h → 0 से ऊपर की सीमा लेता है।

उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन $$f(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$$ पर अर्ध-विभेद्य है $$(0, 0)$$, लेकिन गेटॉक्स वहां भिन्न नहीं है। वास्तव में, $$ f(hx,hy)=|h|f(x,y) \text{ and for } h \geq 0, f(hx,hy)=h f(x,y), f(hx,hy)/h=f(x,y), $$ साथ $$ a= 0, u=(x,y), \partial_uf(0)=f(x,y) $$ (ध्यान दें कि यह सामान्यीकरण n = 1 की मूल परिभाषा के बराबर नहीं है क्योंकि एक तरफा सीमा बिंदुओं की अवधारणा को आंतरिक बिंदुओं की मजबूत अवधारणा से बदल दिया गया है।)

गुण

 * आर के उत्तल खुले सेट पर कोई उत्तल फ़ंक्शनnअर्ध-विभेदनीय है।
 * जबकि एक चर का प्रत्येक अर्ध-विभेद्य फलन सतत होता है; यह अब कई चरों के लिए सत्य नहीं है।

सामान्यीकरण
वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शंस के बजाय, कोई R में मान लेने वाले फ़ंक्शंस पर विचार कर सकता हैnया बनच स्थान में।

यह भी देखें

 * व्युत्पन्न
 * दिशात्मक व्युत्पन्न
 * आंशिक व्युत्पन्न
 * ढाल
 * गैटेक्स व्युत्पन्न
 * फ़्रेचेट व्युत्पन्न
 * व्युत्पन्न (सामान्यीकरण)
 * चरण अंतरिक्ष सूत्रीकरण#स्टार उत्पाद
 * दीनी व्युत्पन्न