वास्तविक अनन्तता

गणित के दर्शन में, वास्तविक अनंत के अमूर्तन में दी गई, वास्तविक और पूर्ण वस्तुओं के रूप में अनंत संस्थाओं की स्वीकृति सम्मिलित होती है,  इसमें प्राकृतिक संख्याओं का समूह, विस्तारित वास्तविक संख्याएँ, एक असीमित भिन्न संख्याओं की अनंत श्रृंखला की सूची समाविष्ट हो सकती है। वास्तविक अनंतता को संभालने के लिए संभावित अनंतता के साथ तुलना की जा सकती है, जिसमें एक का अंत नहीं होता है और जहां प्रत्येक व्यक्तिगत परिणाम सीमित होता है और एक सीमित संख्या में प्राप्त किया जाता है। इसके परिणामस्वरूप, संभावित अनंतता को अक्षम करने के लिए सीमा की अवधारणा का उपयोग करके समारूपीकृत किया जाता है।

एनाक्सिमेंडर
संभावित या अनुचित अनंतता के लिए प्राचीन यूनानी शब्द एपिरॉन है, जो वास्तविक या उचित अनंतता अफोरिज्मेनॉन के विपरीत है। जबकि अपैरोन एक पेरस (सीमा) वाले वस्तु के विपरीत है। आजकल ये धारणाएं उचित अनंत और अपेक्षाकृत अनंत के द्वारा सूचित की जाती हैं।

एनाक्सिमेंडर (610–546 ईसा पूर्व) का कथन था कि एपिरॉन सभी वस्तुओं को संरचित करने वाला मुख्य तत्व था। स्पष्ट रूप से, 'एपिरॉन' एक प्रकार का मूलभूत पदार्थ था। प्लेटो की एपीरॉन की धारणा अधिक अप्रत्यक्ष होती है, जो अनिश्चित परिवर्तनशीलता से संबंधित है। प्लेटो द्वारा 'अपेरिओन' पर चर्चा की जाने वाली प्रमुख संवादों में पारमेनिडीज और फिलेबस सम्मिलित हैं। ये उनके अंतिम संवाद हैं जहां वे इस अवधारणा पर विचार करते हैं।

अरस्तू
अरस्तू ने अनंत पर अपने पूर्ववर्तियों के विचारों को इस प्रकार संक्षेप में प्रस्तुत किया है:

केवल पाइथोगोरस इंद्रियों के विषयों के बीच अनंत को स्थानित करते हैं, और कहते हैं कि जो आकाश के बाहर है वह अनंत है। प्लेटो, विपरीत, यह कहते हैं कि आकाश के बाहर कोई शरीर नहीं है, यद्यपि अनंत न केवल इंद्रियों के विषयों में उपस्थित है बल्कि प्रारूपों में भी।" (अरस्तू)

अरस्तू ने गणित और भौतिकी (प्रकृति का अध्ययन) के संदर्भ में अपेरोन के विचार को आगे ले जाने के द्वारा यह विषय प्रस्तुत किया था।

अनंत ऐसा नहीं होता है जैसा लोग कहते हैं। यह 'जिसके बाहर कुछ नहीं होता है' नहीं है, बल्कि 'जिसके बाहर सदैव कुछ होता है'।" (अरस्तू)

अनंत के अस्तित्व में विश्वास मुख्य रूप से पांच विचारों से आता है:
 * 1) समय की प्रकृति से - क्योंकि यह अनंत है।
 * 2) परिमाण के विभाजन से - गणितज्ञ अनंत की धारणा का भी उपयोग करते हैं।
 * 3) अगर आना और ख़त्म हो जाना, हार नहीं मानता, तो सिर्फ इसलिए कि जिससे वस्तु बनती हैं, वह अनंत है।
 * 4) क्योंकि सीमित हमेशा किसी न किसी वस्तु में अपनी सीमा पाता है, इसलिए कोई सीमा नहीं होनी चाहिए, यदि हर वस्तु सदैव अपने से अलग किसी वस्तु से सीमित होती है।
 * 5) सबसे बढ़कर, एक कारण जो विशेष रूप से उपयुक्त है और उस कठिनाई को प्रस्तुत करता है जिसे हर कोई महसूस करता है - न केवल संख्या बल्कि गणितीय परिमाण भी और जो स्वर्ग के बाहर है उसे अनंत माना जाता है क्योंकि वे कभी भी हमारे विचार में नहीं आते हैं। (अरस्तू)

अरस्तूने प्रस्तावित किया कि एक वास्तविक अनंत असंभव है, क्योंकि अगर यह संभव होता तो कुछ अनंत परिमाण प्राप्त हो गया होता, और वह "आकाश से भी बड़ा" होता। यद्यपि, उन्होंने कहा कि इस असंभावना के कारण अनंतता के संबंधित गणित में उपयोगिता की कमी नहीं हुई, क्योंकि गणितज्ञों को अपने सिद्धांतों के लिए अनंत की ज़रूरत नहीं होती, केवल एक सीमित, अनिश्चित परिमाण की आवश्यकता होती है।

अरस्तू की क्षमता-वास्तविक भेद
अरस्तू ने भौतिकी और तत्वशास्त्र में अनंतता के विषय को संघटित किया। उन्होंने वास्तविक और संभावित अनंत के बीच अंतर किया। वास्तविक अनंत पूर्ण और निश्चित होता है, और इसमें अनंत संख्या में तत्व होते हैं। संभावित अनंत कभी पूर्ण नहीं होता है: तत्व सदैव जोड़े जा सकते हैं, परंतु कभी भी अनंत संख्या में नहीं होते।

"'क्योंकि सामान्यतः अनंत का यह अस्तित्व रहता है: एक वस्तु सदैव एक के बाद ली जाती है, और हर एक वस्तु जो ली जाती है, सदैव सीमित होती है, लेकिन हमेशा अलग होती है।'"

अरस्तू ने जोड़ और विभाजन के संबंध में अनंत के बीच अंतर किया।

"लेकिन प्लेटो की दो अनन्तताएँ हैं, महान और लघु।"वृद्धि के संबंध में संभावित अनंत श्रृंखला के उदाहरण के रूप में, 1,2,3,... से प्रारंभ होने वाली श्रृंखला में सदैव एक संख्या के बाद दूसरी संख्या जोड़ी जा सकती है, लेकिन अधिक से अधिक संख्याओं को जोड़ने की प्रक्रिया नहीं की जा सकती समाप्त या पूरा हुआ हुआ।विभाजन के संबंध में, विभाजनों का एक संभावित अनंत क्रम प्रारंभ हो सकता है, उदाहरण के लिए, 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, लेकिन विभाजन की प्रक्रिया समाप्त या पूरी नहीं की जा सकती.

"'इस तथ्य के लिए कि विभाजन की प्रक्रिया कभी समाप्त नहीं होती है, यह सुनिश्चित करता है कि यह गतिविधि संभावित रूप से उपस्थित है, लेकिन यह नहीं कि अनंत अलग से उपस्थित है।'"

अरस्तू ने यह भी तर्क दिया कि ग्रीक गणितज्ञ वास्तविक अनंत और संभावित अनंत के बीच अंतर जानते थे, परंतु उन्हें अनंत की आवश्यकता नहीं है और वे इसका उपयोग नहीं करते हैं (भौतिकी III 2079 29)।

शैक्षिक, पुनर्जागरण और प्रबोधन विचारक
अधिकांश विद्वान दार्शनिकों ने आदर्श वाक्य अनन्त एक्टू नॉन डाटुर का पालन किया। इसका अर्थ है कि केवल एक संभावित अनंत होता है, परंतु एक वास्तविक अनंत नहीं होता है। यद्यपि, इस दृष्टिकोण में अपवाद भी थे, उदाहरण के लिए इंग्लैंड में।

यह ज्ञात है कि मध्ययुग में सभी विद्वान दर्शनशास्त्रीय अरस्तू के अनन्त एक्टू नॉन डाटुर को एक अखण्डनीय सिद्धांत के रूप में समर्थन        करते थे। (जी. कैंटर के )

वास्तविक अनंतता संख्या, समय और मात्रा में मौजूद है। (जे. बेकनथोरपे [9, पृष्ठ 96])

पुनर्जागरणकाल और आधुनिक काल में वास्तविक अनंत के पक्षधारी वाणिज्य द्वारा काफी कम थे।

"'अनंतर प्रतिक्षेप्टं से निर्मित होता है, जिसमें वास्तव में अनंत संख्या में तत्व होते हैं।' ग. गैलिली [9, पृष्ठ 97]"

मैं वास्तविक अनंत के पक्ष में हूं। जी.डब्ल्यू. लाइबनिट्स [9, पृष्ठ 97])

यद्यपि, अधिकांश पूर्व-आधुनिक विचारक गॉस के प्रसिद्ध उद्धरण से सहमत थे:

"मैं अनंत परिमाण के सम्पूर्ण रूप के उपयोग के विरुद्ध आपत्ति दर्ज करता हूँ, जो गणित में कभी अनुमति नहीं होता। अनंत केवल एक वाक्यिक ढंग है, वास्तविक अर्थ होता है कि कुछ अनुपात अनंतता के अत्यंत नजदीक पहुंचते हैं, जबकि कुछ अनुपात असीमित बढ़ते रहते हैं।" सी.एफ. गौस [शुमाकर को पत्र, 12 जुलाई 1831]

आधुनिक युग
वास्तविक अनन्तता को अब सामान्यतः स्वीकार कर लिया गया है। 19वीं सदी में बोल्ज़ानो और कैंटर द्वारा व्यापक परिवर्तन का प्रारंभ किया गया था ।

बर्नार्ड बोलजानो, जिन्होंने सेट की धारणा को प्रस्तुत किया था, और जॉर्ज कैंटर, जिन्होंने सेट सिद्धांत की प्रस्तावना की, सामान्य नियम के विपरीत थे। कैंटर ने तीन अवरों की अनंतता का विभाजन किया: (1) ईश्वर की अनंतता जिसे उन्होंने "अब्सोलूटम" कहा, (2) वास्तविकता की अनंतता जिसे उन्होंने "प्रकृति" कहा और (3) गणित के पारितानिक संख्याओं और सेट्स की अनंतता।

"'जो किसी निर्धारित प्रकार के सदस्यों के सेट का प्रत्येक सीमित सेट केवल उसका एक भाग होता है, उसे एक असीमित संख्या कहूँगा, जो कि किसी भी सीमित संख्या से अधिक संख्या की होती है।' ब. बोल्जानो [2, पृष्ठ 6]"

मेरे अनुसार, मैं ईश्वर और उनके गुणों के लिए एक अनन्त अविर्मान्य असीमितता या पूर्णतया को अलग करता हूँ, और एक सृजित असीमितता या अनंतता को भी अलग करता हूँ, जो सृजित प्रकृति में कहीं भी वास्तविक अनंतता को दर्शाने के लिए प्रयोग किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए, मेरे दृढ़ विश्वास के अनुसार, सृजित प्राकृतिक व्यक्तियों की वास्तविक असीमित संख्या के संबंध में, ब्रह्मांड में से लेकर हमारी पृथ्वी तक और प्रायः हर छोटे-से विस्तारित स्थान टुकड़े में भी। - जॉर्ज कैंटर [8, पृष्ठ 252]

"आर. डेडेकाइंड [3ए, पृ. III])"

एक प्रमाण ईश्वर की धारणा पर आधारित है। सबसे पहले, ईश्वर की सर्वोच्च पूर्णता से, हम अनंत के निर्माण की संभावना का अनुमान लगाते हैं, फिर, उसकी सर्व-कृपा और महिमा से, हम इस आवश्यकता का अनुमान लगाते हैं कि वास्तव में अनंत का निर्माण हुआ है। (जी. कैंटर [3, पृ. 400])

कैंटर ने दो प्रकार की वास्तविक अनंतता को प्रतिष्ठित किया, अनंत और निरपेक्ष, जिसके बारे में उन्होंने पुष्टि की है

इन अवधारणाओं को कठोरता, से अलग किया जाना चाहिए, जहां तक ​​कि पूर्व, निश्चित रूप से, अनंत है, फिर भी वृद्धि करने में सक्षम है, जबकि बाद वाली वृद्धि में असमर्थ है और इसलिए गणितीय अवधारणा के रूप में अनिश्चित है। उदाहरण के लिए, यह गलती हमें सर्वेश्वरवाद में मिलती है। (जी. कैंटर, उबेर वर्शिडीन स्टैंडपंकटे इन बेजुग औफ दास एक्टुएल अनेंड्लिचे, इन गेसमेल्टे एबंडलुंगेन मैथेमेटिसचेन अंड फिलोसोफिसचेन इनहाल्ट्स, पीपी. 375, 378)

वर्तमान गणितीय अभ्यास
वास्तविक अनंत को अब सामान्यतः स्वीकार कर लिया गया है, क्योंकि गणितज्ञों ने इसका उपयोग करके बीजगणितीय कथन बनाना सीख लिया है। उदाहरण के लिए, कोई एक प्रतीक लिख सकता है, $$\omega$$, मौखिक विवरण के साथ कि $$\omega$$ पूर्ण अनंत को दर्शाता है। इस प्रतीक को किसी भी सेट में यूआर-तत्व के रूप में जोड़ा जा सकता है। कोई स्वयंसिद्ध सिद्धांत भी प्रदान कर सकता है जो जोड़, गुणा और असमानता को परिभाषित करता है; विशेष रूप से, क्रमसूचक अंकगणित, जैसे कि भाव $$n<\omega$$ इसकी व्याख्या इस प्रकार की जा सकती है कि कोई भी प्राकृतिक संख्या पूर्ण अनंत से कम है। यहाँ तक कि सामान्य ज्ञान जैसे कथन भी $$\omega < \omega+1$$ संभव और सुसंगत हैं. सिद्धांत पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से विकसित है, बल्कि जटिल बीजगणितीय अभिव्यक्तियाँ, जैसे कि $$\omega^2$$, $$\omega^\omega$$ और भी $$2^\omega$$ वैध बीजगणितीय अभिव्यक्तियों के रूप में व्याख्या की जा सकती है, मौखिक विवरण दिया जा सकता है, और सुसंगत और सार्थक फैशन में विभिन्न प्रकार के प्रमेयों और दावों में उपयोग किया जा सकता है। क्रमिक संख्याओं को सुसंगत, सार्थक तरीके से परिभाषित करने की क्षमता, अधिकांश बहस को विवादास्पद बना देती है; अनंतता या रचनाशीलता के बारे में किसी की जो भी व्यक्तिगत राय हो, बीजगणित और तर्क के उपकरणों का उपयोग करके अनंत के साथ काम करने के लिए एक समृद्ध सिद्धांत का अस्तित्व स्पष्ट रूप से हाथ में है।

अंतर्ज्ञानवादी स्कूल का विरोध
वास्तविक अनंत में वास्तविक शब्द का गणितीय अर्थ निश्चित, पूर्ण, विस्तारित या अस्तित्वगत का पर्याय है,परंतु शारीरिक रूप से विद्यमान समझने की भूल नहीं की जानी चाहिए। यह प्रश्न कि क्या प्राकृतिक संख्या या वास्तविक संख्याएँ निश्चित समुच्चय बनाती हैं, इस प्रश्न से स्वतंत्र है कि क्या प्रकृति में अनंत वस्तु भौतिक रूप से उपस्थित हैं।

लियोपोल्ड क्रोनकर से लेकर अंतर्ज्ञानवाद के समर्थक इस दावे को खारिज करते हैं कि वास्तव में अनंत गणितीय वस्तुएं या सेट हैं। नतीजतन, वे गणित की नींव को इस तरह से पुनर्निर्मित करते हैं जो वास्तविक अनन्तताओं के अस्तित्व को नहीं मानता है। दूसरी ओर, रचनात्मक विश्लेषण पूर्णांकों की पूर्ण अनंतता के अस्तित्व को स्वीकार करता है।

अंतर्ज्ञानवादियों के लिए, अनंत को संभावित के रूप में वर्णित किया गया है; इस धारणा के पर्यायवाची शब्द बनना या रचनात्मक हैं। उदाहरण के लिए, स्टीफन क्लेन ट्यूरिंग मशीन टेप की धारणा को एक रैखिक 'टेप' के रूप में वर्णित करते हैं, दोनों दिशाओं में अनंत। साथ ही मशीन... को एक टेप के साथ आपूर्ति की जाती है जिसमें अनंत प्रिंटिंग होती है। चरण: इसलिए टेप केवल संभावित रूप से अनंत है, क्योंकि  जबकि हमेशा एक और कदम उठाने की क्षमता होती है  वास्तव में अनंत तक कभी नहीं पहुंचा जा सकता है। टेप को ठीक किया जा सकता है और रीडिंग हेड हिल सकता है। रोजर पेनरोज़ इसका सुझाव देते हैं क्योंकि: अपनी ओर से, मैं अपने सीमित उपकरण द्वारा संभावित अनंत टेप को पीछे और आगे ले जाने को लेकर थोड़ा असहज महसूस करता हूं। इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि इसकी सामग्री कितनी हल्की है, एक अनंत टेप को स्थानांतरित करना कठिन हो सकता है! पेनरोज़ के चित्र में बक्से से टीएम रीडिंग लंग टेप लेबल वाला एक निश्चित टेप हेड दिखाया गया है जो दृश्य लुप्त बिंदु तक फैला हुआ है। 1989, द एम्परर्स न्यू माइंड, ऑक्सफ़ोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, ऑक्सफ़ोर्ड यूके, अन्य लेखक जब मशीन ख़त्म होने वाली हो तो अधिक टेप लगाकर इस समस्या का समाधान करें।

गणितज्ञ सामान्यतः वास्तविक अनन्तताओं को स्वीकार करते हैं। वास्तविक अनन्तता, उदाहरण के लिए, एक सेट के रूप में पूर्णांकों की धारणा की स्वीकृति से आती है, जे जे ओ'कॉनर और ईएफ रॉबर्टसन देखें, जॉर्ज कैंटर सबसे महत्वपूर्ण गणितज्ञ हैं जिन्होंने वास्तविक अनंतता का बचाव किया। उन्होंने निर्णय लिया कि प्राकृतिक और वास्तविक संख्याओं का निश्चित समुच्चय होना संभव है, और यदि कोई यूक्लिडियन परिमितता के सिद्धांत को अस्वीकार करता है जो बताता है कि वास्तविकताएं, अकेले और समुच्चय में, आवश्यक रूप से सीमित हैं, तो वह किसी भी विरोधाभास में सम्मिलित नहीं है.

क्रमसूचक संख्या और कार्डिनल संख्याओं की वर्तमान पारंपरिक वित्तीय व्याख्या यह है कि उनमें विशेष प्रतीकों का संग्रह और एक संबद्ध औपचारिक भाषा सम्मिलित होती है, जिसके अंदर बयान दिए जा सकते हैं। ऐसे सभी कथन आवश्यक रूप से लंबाई में सीमित हैं। हेरफेर की सुदृढ़ता केवल औपचारिक भाषा के बुनियादी सिद्धांतों पर आधारित होती है: शब्द बीजगणित, शब्द पुनर्लेखन, और इसी तरह। अधिक संक्षेप में, दोनों प्रारूप सिद्धांत और प्रमाण सिद्धांत अनंत के साथ काम करने के लिए आवश्यक उपकरण प्रदान करते हैं। अनंत के लिए प्रतीकों का उपयोग करके बीजगणितीय रूप से मान्य अभिव्यक्तियों को लिखने के लिए किसी को अनंत में विश्वास करने की आवश्यकता नहीं है।

वास्तविक समुच्चय सिद्धांत
वास्तविक अनंतता की दार्शनिक समस्या यह सोचती है कि क्या यह धारणा संगठित और प्रमाणिक रूप से सत्य है।

परंपरागत समुच्चय सिद्धांत वास्तविक, पूर्ण अनंतता की धारणा को स्वीकार करता है। यद्यपि, कुछ गणितज्ञ और संरचनावादी दार्शनिक इस धारणा के विरोध में हैं।

यदि सकारात्मक संख्या n अनंतता के साथ अत्यधिक महत्त्वपूर्ण हो जाती है, तो अभिव्यक्ति 1/n शून्य के पास जाती है। इसी मानदंड में हम अयोग्य या संभावित अनंत के बारे में बात करते हैं। इसके सामकक्ष रूप में, उपलब्ध विचार किया जाने वाला समुच्चय एक तत्काल पूर्ण, अविच्छिन्न अनंत समुच्चय है, जो इसलिए अपने आप में स्थिर है, जिसमें अनंत संख्या में ठीक परिभाषित तत्व हैं, न कोई ज्यादा और न कोई कम। - ए. फ्रेंकेल [4, पृष्ठ 6] इस प्रकार वास्तविक अनंतता का विजय विज्ञानिक दृष्टिकोण का विस्तार के रूप में माना जा सकता है, जो कोपर्निकसिद्धांत या सापेक्षिकता और क्वांटम और पारमाणु भौतिकी की सिद्धांत की तरह क्रांतिकारी है। ए. फ्रेंकेल एट अल [4, पृष्ठ 245]

सभी समुच्चयों के ब्रह्मांड को एक निश्चित इकाई के रूप में नहीं बल्कि बढ़ने में सक्षम इकाई के रूप में देखने के लिए, अर्थात, हम बड़े और बड़े समुच्चय का उत्पादन करने में सक्षम हैं। (ए. फ्रैन्केल एट अल. [5, पृ.118])

लुइत्ज़ेन एगबर्टस जान ब्रौवर यह कहते हैं कि एक सच्चा अविग्येयता, जो गिनने योग्य नहीं है, मुक्त विकास का माध्यम बना सकती है; अर्थात्, विधियों द्वारा निर्धारित होने के कारण मौजूद होने वाले बिन्दुओं के अतिरिक्त, जैसे e, pi आदि, अविग्येयता के अन्य बिन्दु तत्पर नहीं होते हैं परंतु "चुनने वाली अनुक्रमणियों" के रूप में विकसित होते हैं। - ए. फ्रेंकेल एट अल. [5, पृष्ठ 255]

अनुभूतवादी लोग स्वतंत्र संख्या के एक अनिश्चित अनुक्रम की बात के बारे में तत्काल पूर्ण और निश्चित रूप से निर्दिष्ट करने की अवैध मानते हैं। ऐसी एक अनुक्रमणी को केवल एक बढ़ती हुई वस्तु माना जाता है और न कि एक पूर्ण वस्तु। - ए. फ्रेंकेल आदि [5, पृष्ठ 236]

उस समय तक, किसी को यह संभावना नहीं दिखाई दी कि अनंतताएं अलग-अलग आकारों में हो सकती हैं, और इसके अलावा, गणितज्ञों को "वास्तविक अनंतता" की कोई आवश्यकता नहीं थी। अनंतता का उपयोग करके प्रस्तावित किए गए तर्क, जैसे आइजैक न्यूटन और गॉटफ्राइड लीबनिज, असीम समुच्चयों का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं रखते हैं। - टी. जेक

गॉटलोब फ्रेगे, रिचर्ड डेडेकाइंड और कैंटर के विशाल एक साथ प्रयासों के कारण, अनंत को सिंहासन पर बिठाया गया और अपनी पूरी जीत का जश्न मनाया गया। अपनी साहसी उड़ान में अनंत सफलता की बुलंदियों तक पहुंच गया। डी. हिल्बर्ट [6, पृष्ठ 169])

गणित के सबसे प्रबल और फलदायी शाखाओं में से एक [...] जिसे कैंटर ने बनाया है, जहां से किसी ने हमेशा हमें निकालने का प्रयास नहीं किया है [...] यह गणितमती बुटी सबसे प्रशंसनीय है और मानव के केवल बौद्धिक गतिविधि के एक उत्कृष्ट उपलब्धियों में से एक है। - डी. हिलबर्ट द्वारा सेट सिद्धांत पर।

अंत में, हम अपने मूल विषय पर लौटें और असीमता पर हमारे सभी विचारों से निष्कर्ष निकालें। समग्र परिणाम यह है: अनंत कहीं भी प्राप्त नहीं होता है। न केवल यह प्रकृति में उपस्थित है, न केवल यह हमारे तार्किक विचार के आधार के रूप में स्वीकार्य है - एक अद्वितीय संतान बनाने और सोचने के बीच एक आश्चर्यजनक सामंजस्य। (डी. हिल्बर्ट [6, 190])

अनंत समग्रताएं शब्द के किसी भी अर्थ में मौजूद नहीं हैं। अधिक सटीक रूप से, अनंत समग्रताओं का कोई भी उल्लेख, या कथित उल्लेख, वस्तुतः अर्थहीन है। ए. रॉबिन्सन [10, पृष्ठ 507])

वास्तव में, मुझे लगता है कि औपचारिकता और अन्य जगहों पर, गणित की हमारी समझ को भौतिक दुनिया की हमारी समझ के साथ जोड़ने की वास्तविक आवश्यकता है। (ए. रॉबिन्सन)

जॉर्ज कैंटर की भव्य मेटा-कथा, सेट थ्योरी, द्वारा बनाई गई लगभग पंद्रह वर्षों की अवधि में वह लगभग अकेले ही एक वैज्ञानिक सिद्धांत से अधिक उच्च कला के नमूने जैसा दिखता है। (वाई. मनिन )

इस प्रकार, अभिव्यंजक साधनों के उत्कृष्ट अतिसूक्ष्मवाद का उपयोग कैंटर द्वारा एक उत्कृष्ट लक्ष्य को प्राप्त करने के लिए किया जाता है: अनंत को समझना, या अनंत की अनंतता को समझना। (वाई. मनिन )

कोई वास्तविक अनंतता नहीं है, जिसे कैंटोरियन भूल गए हैं और विरोधाभासों में फंस गए हैं। (हेनरी पोंकारे '14' (1906) पृष्ठ 316])

जब चर्चा की वस्तुएँ भाषाई इकाइयाँ होती हैं [...] तो उनके बारे में चर्चा के परिणामस्वरूप संस्थाओं का संग्रह भिन्न हो सकता है। इसका परिणाम यह है कि आज की प्राकृतिक संख्याएँ कल की प्राकृतिक संख्याओं के समान नहीं हैं। (डी. आइल्स )

संख्याओं को देखने के कम से कम दो अलग-अलग विधीया हैं: पूर्ण अनंत के रूप में और अपूर्ण अनंत के रूप में... संख्याओं को अपूर्ण अनंत के रूप में देखने से संख्याओं को पूर्ण अनंत के रूप में देखने का एक व्यवहार्य और रोचक विकल्प मिलता है। जो गणित के कुछ क्षेत्रों में महान सरलीकरण की ओर ले जाता है और जिसका अनंत जटिलता की समस्याओं के साथ मजबूत संबंध है। (ई. नेल्सन )

पुनर्जागरण के समय, विशेष रूप से जियोर्डानो ब्रूनो के साथ, वास्तविक अनंत ईश्वर से दुनिया में स्थानांतरित हो जाता है। समकालीन विज्ञान के सीमित विश्व प्रारूप स्पष्ट रूप से दिखाते हैं कि पारंपरिक भौतिकी के साथ वास्तविक अनंत के विचार की यह शक्ति कैसे समाप्त हो गई है। इस पहलू के अंतर्गत, गणित में वास्तविक अनंत का समावेश, जो स्पष्ट रूप से पिछली शताब्दी के अंत में जी. कैंटर के साथ ही प्रारंभ हुआ था, अप्रसन्नतापूर्ण लगता है। हमारी सदी की बौद्धिक समग्र तस्वीर के अंदर वास्तविक अनंतता कालभ्रम की छाप लाती है। (पी. लोरेंजेन)

यह भी देखें

 * सीमा (गणित)
 * सातत्य की प्रमुखता

स्रोत

 * द मैकट्यूटर हिस्ट्री ऑफ मैथमैटिक्स आर्काइव में अनंतता, समस्या सहित अनंत की धारणा के इतिहास का इलाज वास्तविक अनंत का.
 * अरस्तू, भौतिकी
 * बर्नार्ड बोल्ज़ानो, 1851, पैराडॉक्सेज़ ऑफ़ द इनफ़िनिट, रेक्लम, लीपज़िग।
 * बर्नार्ड बोल्ज़ानो 1837, विसेनशाफ्टस्लेह्रे, सुल्ज़बैक।
 * ई. ज़र्मेलो (सं.) 1966 में जॉर्ज कैंटर ने गणितीय और दार्शनिक सामग्री, ओल्म्स, हिल्डेशाइम पर ग्रंथ एकत्र किए।
 * 1960 में रिचर्ड डेडेकाइंड, संख्याएँ क्या हैं और क्या हैं?, व्यूएग, ब्राउनश्वेग।
 * एडॉल्फ अब्राहम फ्रेंकेल 1923, सेट सिद्धांत का परिचय, स्प्रिंगर, बर्लिन।
 * एडॉल्फ अब्राहम फ्रेंकेल, वाई बार-हिलेल, ए लेवी 1984, फ़ाउंडेशन ऑफ़ सेट थ्योरी, दूसरा संस्करण, नॉर्थ हॉलैंड, एम्स्टर्डम न्यूयॉर्क।
 * स्टीफ़न सी. क्लेन 1952 (1971 संस्करण, 10वीं प्रिंटिंग), मेटामैथेमेटिक्स का परिचय, नॉर्थ-हॉलैंड पब्लिशिंग कंपनी, एम्स्टर्डम न्यूयॉर्क। ISBN 0-444-10088-1.
 * एच. मेशकोव्स्की 1981, जॉर्ज कैंटर: जीवन, कार्य और प्रभाव (दूसरा संस्करण), बीआई, मैनहेम।
 * एच. मेशकोव्स्की, डब्ल्यू. निल्सन (संस्करण) 1991, जॉर्ज कैंटर - ब्रीफ, स्प्रिंगर, बर्लिन।
 * अब्राहम रॉबिन्सन 1979, सेलेक्टेड पेपर्स, खंड 2, डब्ल्यू.ए.जे. लक्ज़मबर्ग, एस. कोर्नर (सं.), नॉर्थ हॉलैंड, एम्स्टर्डम।

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