तरंग

भौतिकी, गणित और संबंधित क्षेत्रों में, तरंग एक या अधिक मात्राओं का गतिशील विक्षोभ (संतुलन से परिवर्तन) है। तरंगें आवर्ती हो सकती हैं, ऐसी स्थिति में वे मात्राएँ संतुलन (बाकी) मान के बारे में किसी आवृत्ति पर बार-बार दोलन करती हैं। जब पूरी तरंग एक दिशा में गमन करती है, तो उसे यात्रा तरंग कहते हैं; इसके विपरीत, विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली आरोपित आवर्ती तरंगों का एक जोड़ा एक स्थायी तरंग बनाता है। एक स्थायी तरंग में, उस स्थिति में कंपन का आयाम शून्य होता है जहां तरंग का आयाम छोटा या शून्य भी प्रतीत होता है। तरंगो को अक्सर एक एकल तरंग समीकरण (दो विपरीत तरंगों के स्थायी तरंग क्षेत्र) या परिभाषित दिशा में फैलने वाली एकल तरंग के लिए एकांगी तरंग समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है।

चिरसम्मत भौतिकी में, दो प्रकार की तरंगों का सबसे अधिक अध्ययन किया जाता है। एक यांत्रिक तरंग में, प्रतिबल और विकृति क्षेत्र यांत्रिक संतुलन के संबंध में में दोलन करते हैं। एक यांत्रिक तरंग कुछ भौतिक माध्यम में एक स्थानीय विकृति (तनाव) है जो एक स्थानीय तनाव बनाकर कण से कण तक फैलती है जो निकटवर्ती कणों में तनाव भी पैदा करती है। उदाहरण के लिए, ध्वनि तरंगें स्थानीय दबाव और कण गति के रूपांतर हैं जो एक माध्यम से फैलती हैं। यांत्रिक तरंगों के अन्य उदाहरण भूकंपीय तरंगें, गुरुत्वाकर्षण तरंगें, सतही तरंगें, तार कंपन और भंवर हैं। मैक्सवेल के समीकरणों के अनुसार, विद्युत चुम्बकीय तरंग (जैसे प्रकाश) में, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्रों के बीच युग्मन इन क्षेत्रों को घेरने वाली तरंग के प्रसार को बनाए रखता है।विद्युत चुम्बकीय तरंगें एक निर्वात और परावैद्युत माध्यम (तरंग दैर्ध्य पर जहां उन्हें पारदर्शी माना जाता है) के माध्यम से अवतरण कर सकते हैं। विद्युत चुम्बकीय तरंगों में रेडियो तरंग, अवरक्त विकिरण, टेराहर्ट्ज तरंग, दृश्य प्रकाश, पराबैंगनी विकिरण, एक्स-रे और गामा किरणों सहित उनकी आवृत्तियों (या तरंग दैर्ध्य) के अनुसार अधिक विशिष्ट पदनाम होते हैं।

अन्य प्रकार की तरंगों में गुरुत्वाकर्षण तरंगें शामिल हैं, जो दिक्काल गड़बड़ी हैं जो सामान्य सापेक्षता गर्मी प्रसार तरंगों के अनुसार फैलती हैं, प्लाज्मा तरंगें जो यांत्रिक विकृतियों को जोड़ती हैं, और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र प्रतिक्रिया-प्रसार तरंगें, जैसे कि बेलौसोव-ज़ाबोटिन्स्की प्रतिक्रिया और कई अन्य। यांत्रिक और विद्युत चुम्बकीय तरंगें ऊर्जा, गति और सूचना को स्थानांतरित करती हैं, लेकिन वे कणों को माध्यम में नहीं ले जाती हैं। गणित और इलेक्ट्रॉनिक्स में तरंगों का अध्ययन संकेतों के रूप में किया जाता है। दूसरी ओर, कुछ तरंगों में ऐसे आवरण होते हैं जो बिल्कुल भी हिलते नहीं हैं जैसे कि अप्रगामी तरंगें (जो संगीत के लिए मूलभूत हैं) और द्रव-चालित अकस्मात वृद्धि। कुछ, क्वांटम यांत्रिकी के संभाव्यता तरंग कार्यों की तरह, पूरी तरह से स्थिर हो सकते हैं।.

एक भौतिक तरंग क्षेत्र लगभग हमेशा अंतरिक्ष के कुछ सीमित क्षेत्र तक ही सीमित रहता है, जिसे उसका कार्यक्षेत्र कहा जाता है। उदाहरण के लिए, भूकंप से उत्पन्न भूकंपीय तरंगें केवल ग्रह के आंतरिक और सतह पर ही महत्वपूर्ण होती हैं, इसलिए उन्हें इसके बाहर नजरअंदाज किया जा सकता है। हालांकि, अनंत कार्यक्षेत्र वाली तरंगें, जो अंतरिक्ष में फैली हुई हैं, आमतौर पर गणित में अध्ययन की जाती हैं और परिमित कार्यक्षेत्र में भौतिक तरंगों को समझने के लिए बहुत मूल्यवान उपकरण हैं।

समतल तरंग एक महत्वपूर्ण गणितीय आदर्शीकरण है जहां किसी भी (अनंत) समतल के साथ यात्रा की एक विशिष्ट दिशा के लिए अशांति समान होती है। गणितीय रूप से, सरलतम तरंग एक ज्यावक्रीय समतल तरंग है जिसमें किसी भी बिंदु पर क्षेत्र आवृत्ति पर सरल लयबद्ध गति का अनुभव करता है। रैखिक माध्यम में, जटिल तरंगों को आम तौर पर कई ज्यावक्रीय समतल तरंगों के योग के रूप में विघटित किया जा सकता है, प्रसार की विभिन्न दिशाओं और/या विभिन्न आवृत्तियों के साथ। एक समतल तरंग को अनुप्रस्थ तरंग के रूप में वर्गीकृत किया जाता है यदि प्रत्येक बिंदु पर क्षेत्र विक्षोभ को प्रसार की दिशा (ऊर्जा हस्तांतरण की दिशा भी) के लंबवत वेक्टर द्वारा वर्णित किया जाता है; या एक अनुदैर्ध्य तरंग यदि वे वैक्टर प्रसार दिशा के साथ संरेखित हों। यांत्रिक तरंगों में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य दोनों तरंगें शामिल हैं; दूसरी ओर, विद्युत चुम्बकीय समतल तरंगें सख्ती से अनुप्रस्थ होती हैं जबकि तरल पदार्थ (जैसे वायु) में ध्वनि तरंगें केवल अनुदैर्ध्य हो सकती हैं। प्रसार दिशा के सापेक्ष एक दोलन क्षेत्र की भौतिक दिशा, जिसे तरंग के ध्रुवीकरण के रूप में भी जाना जाता है, एक महत्वपूर्ण विशेषता हो सकती है।

एकल तरंगें
एक तरंग को एक क्षेत्र की तरह वर्णित किया जा सकता है, अर्थात, एक फ़ंक्शन $$F(x,t)$$ के रूप में जहां $$x$$ एक स्थिति है और $$t$$ एक समय है।

$$x$$ का मान अंतराल में एक बिंदु है, विशेष रूप से वह क्षेत्र जिसमें तरंग परिभाषित होती है।गणितीय शब्दों में, यह आमतौर पर कार्तीय त्रि-आयामी अंतराल $$\mathbb{R}^3$$ में एक वेक्टर होता है। हालांकि, कई मामलों में कोई एक आयाम को अनदेखा कर सकता है, और $$x$$ को एक कार्टेशियन तल $$\mathbb{R}^2$$ एक बिंदु के रूप में मान सकता है। यह मामला है, उदाहरण के लिए, सर्वपृष्ठी कंपन का अध्ययन करते समय। कोई व्यक्ति $$x$$ कार्टेशियन लाइन $$\R$$ वास्तविक संख्याओं के समहू पर एक बिंदु तक सीमित कर सकता है। ह मामला है, उदाहरण के लिए, जब वायलिन स्ट्रिंग पर या रिकॉर्डर में कंपन का अध्ययन किया जाता है। दूसरी ओर, समय $$t$$ को हमेशा एक अदिश राशि अर्थात वास्तविक संख्या माना जाता है।

का मूल्य $$F(x,t)$$ किसी भी भौतिक मात्रा को बिंदु पर सौंपा जा सकता है $$x$$ यह समय के साथ भिन्न हो सकता है।उदाहरण के लिए, यदि $$F$$ एक लोचदार ठोस के अंदर कंपन का प्रतिनिधित्व करता है, मूल्य $$F(x,t)$$ आमतौर पर एक वेक्टर है जो वर्तमान विस्थापन देता है $$x$$ भौतिक कणों में से जो बिंदु पर होंगे $$x$$ कंपन की अनुपस्थिति में। एक विद्युत चुम्बकीय तरंग के लिए, $$F$$ का मान एक विद्युत क्षेत्र वेक्टर $$E$$, या एक चुंबकीय क्षेत्र वेक्टर $$H$$, या कोई भी संबंधित मात्रा हो सकता है, जैसे कि सूचक वेक्टर $$E\times H$$। द्रव की गतिशीलता में, मूल्य $$F(x,t)$$ बिंदु पर द्रव का वेग वेक्टर हो सकता है $$x$$, या किसी भी अदिश संपत्ति जैसे दबाव, तापमान, या घनत्व। एक रासायनिक प्रतिक्रिया में, $$F(x,t)$$ बिंदु $$x$$ के पड़ोस में किसी पदार्थ की सांद्रता प्रतिक्रिया माध्यम हो सकती है।

किसी भी आयाम $$d$$ (1, 2, या 3), के लिए, तरंग का कार्यक्षेत्र तब $$\mathbb{R}^d$$ का एक उपसमुच्चय $$D$$ होता है, ताकि फ़ंक्शन मान $$F(x,t)$$को $$D$$ में किसी भी बिंदु $$x$$ के लिए परिभाषित किया सकता है। उदाहरण के लिए, सर्वपृष्ठी की गति का वर्णन करते समय, कोई विचार कर सकता है $$D$$ सतह पर एक डिस्क (सर्कल) होना $$\mathbb{R}^2$$ मूल में केंद्र के साथ $$(0,0)$$, और मान लीजिए कि बिंदु $$x$$ पर $$F(x,t)$$ सर्वपृष्ठी का लंबवत विस्थापन है और $$x$$ पर समय $$t$$ है।

तरंग परिवार
कभी-कभी एक विशिष्ट तरंग में रुचि होती है। अधिक बार, हालांकि, किसी को संभावित तरंगों के एक बड़े सेट को समझने की आवश्यकता होती है; सभी तरीकों की तरह, ड्रमस्टिक, या हवाई अड्डों के पास हवाई जहाजों से प्राप्त सभी संभावित रडार गूँज से टकराने के बाद ड्रम की त्वचा कंपन करती है।

उनमें से कुछ स्थितियों में, एक फ़ंक्शन $$F(A,B,\ldots;x,t)$$ द्वारा तरंगों के ऐसे परिवार का वर्णन कर सकता है जो $$x$$ और $$t$$ के अलावा कुछ पैरामीटर $$A,B,\ldots$$ पर निर्भर करता है। फिर कोई अलग-अलग तरंग-कार्य प्राप्त कर सकता है - यानी $$x$$ और $$t$$ के विभिन्न कार्य - उनके लिए अलग-अलग मान चुनकर मापदंड।

उदाहरण के लिए, एक रिकॉर्डर के अंदर ध्वनि दबाव जो "शुद्ध" सुर बजा रहा है, आमतौर पर एक स्थायी तरंग होता है, जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$F(A,L,n,c;x,t) = A \left(\cos 2\pi x\frac{2 n - 1}{4 L}\right) \left(\cos 2\pi c t\frac{2n - 1}{4 L}\right)$$

पैरामीटर $$A$$ लहर के आयाम को परिभाषित करता है (अर्थात, बोर में अधिकतम ध्वनि दबाव, जो सुर की ज़ोर से संबंधित है); $$c$$ ध्वनि की गति है; $$L$$ बोर की लंबाई है;तथा $$n$$ एक सकारात्मक पूर्णांक (1,2,3,…) है जो स्थायी तरंग में नोड्स की संख्या को निर्दिष्ट करता है। (स्थिति $$x$$ माउथपीस और समय से मापा जाना चाहिए $$t$$ किसी भी क्षण से, जिस पर मुखपत्र पर दबाव अधिकतम होता है। मात्रा $$\lambda = 4L/(2 n - 1)$$ उत्सर्जित नोट की तरंग दैर्ध्य है, और $$f = c/\lambda$$ इसकी आवृत्ति है।) इन तरंगों के कई सामान्य गुणों को इस सामान्य समीकरण से अनुमान लगाया जा सकता है, मापदंडों के लिए विशिष्ट मूल्यों का चयन किए बिना।

एक अन्य उदाहरण के रूप में, यह हो सकता है कि एक ही प्रहार के बाद ड्रम की त्वचा का कंपन केवल त्वचा के केंद्र से स्ट्राइक बिंदु तक की दूरी $$r$$ और स्ट्राइक $$s$$ की ताकत पर निर्भर करता है। तब सभी संभावित हमलों के लिए कंपन हो सकता है एक प्रकार्य$$F(r,s;x,t)$$ द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

कभी -कभी ब्याज की लहरों के परिवार में कई मापदंड होते हैं। उदाहरण के लिए, कोई यह वर्णन करना चाह सकता है कि धातु की छड़ में तापमान का क्या होता है जब इसे शुरू में इसकी लंबाई के साथ अलग-अलग बिंदुओं पर अलग-अलग तापमान पर गर्म किया जाता है और फिर वैक्यूम में अपने आप ठंडा हो जाता है।उस स्थिति में, एक स्केलर या वेक्टर के बजाय, पैरामीटर को एक प्रकार्य होना होगा $$h$$ ऐसा है कि $$h(x)$$ प्रत्येक बिंदु पर प्रारंभिक तापमान है $$x$$ के बार के प्रत्येक बिंदु पर प्रारंभिक तापमान हो। फिर बाद के समय में तापमान एक क्रिया द्वारा व्यक्त किया जा सकता है $$F$$ यह क्रिया पर निर्भर करता है $$h$$ (वह है, एक कार्यात्मक परिचालक), ताकि बाद में तापमान हो $$F(h;x,t)$$।

विभेदक तरंग समीकरण
तरंगों के परिवार का वर्णन और अध्ययन करने का एक अन्य तरीका एक गणितीय समीकरण देना है, जो स्पष्ट रूप से $$F(x,t)$$का मान देने के बजाय, केवल यह बताता है कि वे मान समय के साथ कैसे बदल सकते हैं। फिर प्रश्न में लहरों के परिवार में सभी कार्य होते हैं $$F$$ यह उन बाधाओं को पूरा करता है - अर्थात, समीकरण के सभी समाधान।

भौतिकी में यह दृष्टिकोण अत्यंत महत्वपूर्ण है क्योंकि बाधाएं आमतौर पर उन भौतिक प्रक्रियाओं का परिणाम होती हैं जो लहर को विकसित करने का कारण बनती हैं। उदाहरण के लिए, यदि $$F(x,t)$$ एक सजातीय और समरूप ठोस के एक ब्लॉक के अंदर का तापमान है, तो इसकी वृद्धि आंशिक अंतर समीकरण द्वारा बाधित होती है
 * $$\frac{\partial F}{\partial t}(x,t) = \alpha \left(\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}(x,t) \right) + \beta Q(x,t)$$

जंहा पे $$Q(p,f)$$ क्या गर्मी है जो प्रति यूनिट वॉल्यूम और समय के पड़ोस में उत्पन्न हो रही है $$x$$ समय पर $$t$$ (उदाहरण के लिए, वहां हो रही रासायनिक प्रतिक्रियाओं द्वारा); $$x_1,x_2,x_3$$ बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक हैं $$x$$; $$\partial F/\partial t$$ का (पहले) व्युत्पन्न है $$F$$ इसके संबंध में $$t$$;तथा $$\partial^2 F/\partial x_i^2$$ का दूसरा व्युत्पन्न है $$F$$ के सापेक्ष $$x_i$$।(प्रतीक$$\partial$$यह संकेत देने के लिए है कि, कुछ चर के संबंध में व्युत्पन्न में, अन्य सभी चर को निश्चित माना जाना चाहिए।)

यह समीकरण भौतिकी के नियमों से प्राप्त किया जा सकता है जो ठोस मीडिया में गर्मी के प्रसार को नियंत्रित करते हैं।उस कारण से, इसे गणित में हीट समीकरण कहा जाता है, भले ही यह तापमान के अलावा कई अन्य भौतिक मात्राओं पर लागू होता है।

एक अन्य उदाहरण के लिए, हम एक क्रिया द्वारा गैस के कंटेनर के भीतर गूंजने वाली सभी संभावित ध्वनियों का वर्णन कर सकते हैं $$F(x,t)$$ जो एक बिंदु पर दबाव देता है $$x$$ और समय $$t$$ उस कंटेनर के भीतर। यदि गैस शुरू में एक समान तापमान और संरचना पर थी, तो का विकास $$F$$ सूत्र द्वारा विवश है
 * $$\frac{\partial^2 F}{\partial t^2}(x,t) = \alpha \left(\frac{\partial^2 F}{\partial x_1^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_2^2}(x,t) + \frac{\partial^2 F}{\partial x_3^2}(x,t) \right) + \beta P(x,t)$$

यहां $$P(x,t)$$ कुछ अतिरिक्त संपीड़न बल है जो गैस के पास लागू किया जा रहा है $$x$$ कुछ बाहरी प्रक्रिया द्वारा, जैसे कि लाउडस्पीकर या पिस्टन के ठीक बगल में $$p$$।

यह समान अंतर समीकरण एक सजातीय आइसोट्रोपिक गैर-संवाहक ठोस में यांत्रिक कंपन और विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के व्यवहार का वर्णन करता है। ध्यान दें कि यह समीकरण ही गर्मी के प्रवाह से भिन्न होता है, केवल बाईं ओर की ओर होता है $$\partial^2 F/\partial t^2$$, का दूसरा व्युत्पन्न $$F$$ समय के संबंध में, पहले व्युत्पन्न के बजाय $$\partial F/\partial t$$। फिर भी यह छोटा परिवर्तन समाधान के सेट पर एक बड़ा अंतर बनाता है $$F$$। इस अंतर समीकरण को गणित में तरंग समीकरण कहा जाता है, भले ही यह केवल एक बहुत ही विशेष प्रकार की तरंगों का वर्णन करता है।

तन्य माध्यम में तरंग
एक स्ट्रिंग (मध्यम) पर यात्रा करने वाली एक अनुप्रस्थ तरंग (जो एक पल्स हो सकती है) पर विचार करें। स्ट्रिंग को स्थानिक आयाम के लिए मानें। इस लहर को एक यात्रा के रूप में सोचें


 * में $$x$$ अंतरिक्ष में दिशा।उदाहरण के लिए, सकारात्मक होने दें $$x$$ दिशा दाईं ओर है, और नकारात्मक $$x$$ दिशा बाईं ओर हो।
 * निरंतर आयाम के साथ $$u$$
 * निरंतर वेग के साथ $$v$$, कहाँ पे $$v$$ है
 * तरंग दैर्ध्य से स्वतंत्र (कोई फैलाव नहीं)
 * आयाम से स्वतंत्र (रैखिक मीडिया, नॉनलाइनियर नहीं)।
 * निरंतर तरंग, या आकार के साथ

इस लहर को तब दो-आयामी कार्यों द्वारा वर्णित किया जा सकता है


 * $$u(x,t) = F(x - v t)$$ (तरंग $$F$$ दाईं ओर यात्रा)
 * $$u(x,t) = G(x + v t)$$ (तरंग $$G$$ बाईं ओर यात्रा)

या, अधिक आम तौर पर, डी'अलेम्बर्ट (D'Alembert) के सूत्र द्वारा:
 * $$u(x,t) = F(x - vt) + G(x + vt). $$

दो घटक तरंगों का प्रतिनिधित्व करना $$F$$ तथा $$G$$ विपरीत दिशाओं में माध्यम से यात्रा करना।इस लहर का एक सामान्यीकृत प्रतिनिधित्व प्राप्त किया जा सकता है आंशिक अंतर समीकरण के रूप में


 * $$\frac{1}{v^2}\frac{\partial^2 u}{\partial t^2}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2}.$$

सामान्य समाधान दुहमेल के सिद्धांत पर आधारित हैं। दूसरे ऑर्डर वेव समीकरणों के अलावा जो एक स्थायी तरंग क्षेत्र का वर्णन कर रहे हैं, एक-तरफ़ा तरंग समीकरण एक परिभाषित दिशा में एकल तरंग के प्रसार का वर्णन करता है।

तरंग रूप
D'Alembert के सूत्र में F के रूपों या आंकड़ों में तर्क x - vt शामिल है। इस तर्क के निरंतर मान F के निरंतर मानों के अनुरूप हैं, और ये स्थिर मान तब होते हैं जब x उसी दर से बढ़ता है जो vt बढ़ता है। अर्थात्, तरंग के आकार का फलन F धनात्मक x-दिशा में v वेग से यात्रा करेगा (और G ऋणात्मक x-दिशा में समान गति से यात्रा करेगा)। n आवर्त फलन F की अवधि के साथ, अर्थात्, F(x + - vt) = F(x - vt) के मामले में, अंतरिक्ष में F की आवृत्ति का अर्थ है कि कोई व्यक्ति किसी निश्चित समय पर तरंग का एक स्नैपशॉट पाता है। टी समय अंतरिक्ष में अवधि (लहर की तरंग दैर्ध्य) के साथ बदलता है। इसी तरह, f की यह आवधिकता समय में आवधिकता को भी दर्शाती है: f(x - v(t + t)) = f(x - vt) दिया गया vt =, इसलिए एक निश्चित स्थान पर तरंग का अवलोकन x अवधि T = साथ / v आवधिक तरंग को लहरदार पाते हैं।

आयाम और मॉड्यूलेशन


एक तरंग का आयाम स्थिर हो सकता है (जिस स्थिति में लहर एक C.W.(continuous wave) या निरंतर तरंग है), या इसे समय और/या स्थिति के साथ बदलने के लिए संशोधित किया जा सकता है। आयाम में भिन्नता के पैटर्न को तरंग का आवरण कहा जाता है। गणितीय रूप से, एक संग्राहक तरंग को इस प्रकार लिखा जा सकता है::
 * $$u(x,t) = A(x,t) \sin \left(kx - \omega t + \phi \right), $$

कहाँ पे $$A(x,\ t)$$ लहर का आयाम आवरण है, $$k$$ लहरें है और $$\phi$$ चरण है। यदि समूह वेग $$v_g$$ (नीचे देखें) तरंग दैर्ध्य-स्वतंत्र है, इस समीकरण को सरल किया जा सकता है:
 * $$u(x,t) = A(x - v_g t) \sin \left(kx - \omega t + \phi \right), $$

यइससे पता चलता है कि आवरण समूह वेग के साथ गति करता है और अपना आकार बनाए रखता है। अन्यथा, ऐसे मामलों में जहां समूह वेग तरंग दैर्ध्य के साथ बदलता है, पल्स आकार एक आवरण समीकरण का उपयोग करके वर्णित तरीके से बदलता है।

चरण वेग और समूह वेग
दो वेग हैं जो तरंगों, चरण वेग और समूह वेग से जुड़े होते हैं।

चरण वेग वह दर है जिस पर तरंग का चरण अंतराल पर फैलता है: लहर का कोई भी चरण (उदाहरण के लिए, शिखा) चरण वेग के साथ यात्रा करता हुआ दिखाई देगा। चरण वेग तरंग दैर्ध्य के संदर्भ में दिया जाता है $λ$ (लैम्ब्डा) और अवधि $T$ जैसा


 * $$v_\mathrm{p} = \frac{\lambda}{T}.$$

समूह वेग तरंगों की एक संपत्ति है जिसमें एक परिभाषित आवरण होता है, जो कि तरंगों के आयामों के समग्र आकार के अंतरिक्ष के माध्यम से प्रसार को मापता है (या लहर के मॉड्यूलेशन या आवरण;

ज्या तरंगें
ज्या तरंग, ज्यावक्रीय तरंग, या सिर्फ ज्यावक्र एक गणितीय वक्र है जिसे ज्या त्रिकोणमितीय क्रिया के संदर्भ में परिभाषित किया गया है जिसमें यह एक ग्राफ है। यह एक प्रकार की सतत तरंग है और यह एक स्वतःस्फूर्त समय फलन भी है। यह अक्सर गणित, साथ ही भौतिकी, इंजीनियरिंग, सिग्नल प्रोसेसिंग और कई अन्य क्षेत्रों में होता है।

समतल तरंगें
समतल तरंग एक प्रकार की तरंग है जिसका मान केवल एक स्थानिक दिशा में भिन्न होता है। अर्थात् उस दिशा के लम्बवत तल पर इसका मान स्थिर होता है। समतल तरंगों को इकाई लंबाई $$\hat n$$ के एक वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है जो उस दिशा को इंगित करता है जिसमें तरंग विचलन करती है, और एक तरंग रूपरेखा यह बताती है कि उस दिशा के साथ विस्थापन के कार्य के रूप में तरंग कैसे बदलती है। ($$\hat n \cdot \vec{x}$$  और समय ( t ) चूंकि तरंग रूपरेखा $$\hat n \cdot \vec{x}$$  संयोजन में केवल स्थिति $$\vec{x}$$ पर निर्भर करती है, $$\hat n$$ के लंबवत दिशाओं में कोई भी विस्थापन क्षेत्र के मान को प्रभावित नहीं कर सकता है।

समतल तरंगों का उपयोग अक्सर विद्युत चुम्बकीय तरंगों को प्रतिरूप करने के लिए किया जाता है जो एक स्रोत से बहुत दूर होती हैं। विद्युत चुम्बकीय समतल तरंगों के लिए, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र स्वयं प्रसार की दिशा में अनुप्रस्थ होते हैं, और एक दूसरे के लंबवत भी होते हैं।

स्थायी तरंगें
एक स्थायी तरंग, जिसे एक स्थिर तरंग के रूप में भी जाना जाता है, एक तरंग है जिसका आवरण स्थिर अवस्था में रहता है। यह घटना विपरीत दिशाओं में यात्रा करने वाली दो तरंगों के बीच हस्तक्षेप के परिणामस्वरूप होती है।

दो प्रति-प्रसार तरंगों का योग (एक ही आयाम और आवृत्ति की) एक स्थायी तरंग बनाता है। स्थायी तरंगें आमतौर पर तब उत्पन्न होती हैं जब एक सीमा लहर के आगे के प्रसार को अवरुद्ध करती है, इस प्रकार लहर को प्रतिबिंबित करती है, और इसलिए एक प्रति-प्रसार लहर का परिचय देती है। उदाहरण के लिए, जब एक वायलिन स्ट्रिंग को विस्थापित किया जाता है, तो अनुप्रस्थ तरंगें उस बिंदु तक फैलती हैं जहां स्ट्रिंग को पुल और अखरोट पर रखा जाता है, जहां तरंगें वापस परावर्तित होती हैं। पुल और नट पर, दो विरोधी तरंगें विरोधी चरण में होती हैं और एक दूसरे को रद्द करके एक नोड बनाती हैं। दो नोड्स के बीच में, एक एंटीनोड होता है, जहां दो प्रति-प्रसार तरंगें एक-दूसरे को अधिकतम रूप से बढ़ाती हैं। समय के साथ ऊर्जा का कोई शुद्ध अपव्यय नहीं है।

भौतिक गुण
तरंगें कई मानक परिस्थितियों में सामान्य व्यवहार प्रदर्शित करती हैं, उदाहरण के लिए:

संचरण और संचार माध्यम
तरंगें आम तौर पर एक ट्रांसमिशन माध्यम के माध्यम से एक सीधी रेखा (यानी, यानी, आयतवाद) में चलती हैं। इस तरह के मीडिया को निम्नलिखित श्रेणियों में से एक या अधिक में वर्गीकृत किया जा सकता है:
 * एक परिबद्ध माध्यम यदि वह सीमा में परिमित है, अन्यथा एक असंबद्ध माध्यम।
 * एक रैखिक माध्यम यदि माध्यम में किसी विशेष बिंदु पर विभिन्न तरंगों के आयामों को जोड़ा जा सकता है।
 * एक समान माध्यम या सजातीय माध्यम यदि इसके भौतिक गुण अंतरिक्ष में विभिन्न स्थानों पर अपरिवर्तित हैं।
 * एक विषमदैशिक माध्यम यदि इसके एक या अधिक भौतिक गुण एक या अधिक दिशाओं में भिन्न होते हैं।
 * एक समदिक माध्यम यदि इसके भौतिक गुण सभी दिशाओं में समान हैं।

अवशोषण
तरंगों को आमतौर पर मीडिया में परिभाषित किया जाता है जो बिना किसी नुकसान के अधिकांश या सभी तरंगों की ऊर्जा को प्रसारित करने की अनुमति देते हैं। हालांकि, सामग्रियों को "हानिकारक" के रूप में वर्णित किया जा सकता है यदि वे एक तरंग से ऊर्जा निकालते हैं, आमतौर पर इसे गर्मी में परिवर्तित करते हैं। इसे "अवशोषण" कहते हैं। एक सामग्री जो एक तरंग की ऊर्जा को अवशोषित करती है, या तो संचरण या प्रतिबिंब में, एक अपवर्तक सूचकांक द्वारा विशेषता होती है जो जटिल होती है। अवशोषण की मात्रा आमतौर पर तरंग की आवृत्ति (तरंग दैर्ध्य) पर निर्भर करती है, जो उदाहरण के लिए, यह बताती है कि वस्तुएं रंगीन क्यों दिखाई दे सकती हैं।

प्रतिबिंब
जब कोई तरंग किसी परावर्तक सतह से टकराती है, तो दिशा इस तरह बदल जाती है कि आपतित तरंग द्वारा अंतरित कोण और सतह पर अभिलंब रेखा परावर्तित तरंग द्वारा अंतरित कोण और समान अभिलंब रेखा के बराबर हो जाती है।

अपवर्तन
अपवर्तन एक तरंग के वेग में परिवर्तन की घटना है। गणितीय रूप से, इसका मतलब है कि चरण वेग का आकार बदला गया है। आमतौर पर, अपवर्तन तब होता है जब एक तरंग एक माध्यम से दूसरे माध्यम में जाती है। वह मात्रा जिससे किसी पदार्थ द्वारा तरंग का अपवर्तन किया जाता है, सामग्री के अपवर्तनांक द्वारा दी जाती है। आपतन और अपवर्तन की दिशाएं स्नेल के नियम के अनुसार दो पदार्थों के अपवर्तनांक से संबंधित हैं।

विवर्तन
एक तरंग विवर्तन प्रदर्शित करती है जब वह एक बाधा का सामना करती है जो लहर को मोड़ती है या जब यह एक उद्घाटन से निकलने के बाद फैलती है। विवर्तन प्रभाव तब अधिक स्पष्ट होते हैं जब बाधा या उद्घाटन का आकार तरंग की तरंग दैर्ध्य के बराबर होता है।

हस्तक्षेप
जब एक रेखीय माध्यम में तरंगें (सामान्य स्थिति) अंतरिक्ष के एक क्षेत्र में एक दूसरे को पार करती हैं, तो वे वास्तव में एक-दूसरे के साथ बातचीत नहीं करती हैं, लेकिन इस तरह जारी रहती हैं जैसे कि कोई मौजूद नहीं थी। हालांकि, उस क्षेत्र में किसी भी बिंदु पर, उन तरंगों का वर्णन करने वाली क्षेत्र मात्राएं अध्यारोपण सिद्धांत के अनुसार जुड़ती हैं। यदि तरंगें एक निश्चित चरण संबंध में समान आवृत्ति की होती हैं, तो आम तौर पर ऐसी स्थितियाँ होंगी जिन पर दो तरंगें चरण में होती हैं और उनके आयाम जुड़ते हैं, और अन्य स्थितियाँ जहाँ वे चरण से बाहर होती हैं और उनके आयाम (आंशिक रूप से या पूरी तरह से) रद्द करना। इसे व्यतिकरण प्रतिरूप कहते हैं।

ध्रुवीकरण
ध्रुवीकरण की घटना तब उत्पन्न होती है जब तरंग गति एक साथ दो लंबवत दिशाओं में हो सकती है। अनुप्रस्थ तरंगों को ध्रुवीकृत किया जा सकता है, उदाहरण के लिए। जब ध्रुवीकरण को बिना योग्यता के एक विवरणक के रूप में प्रयोग किया जाता है, तो यह आमतौर पर रैखिक ध्रुवीकरण के विशेष, सरल मामले को संदर्भित करता है। एक अनुप्रस्थ तरंग को रैखिक रूप से ध्रुवीकृत किया जाता है यदि यह केवल एक दिशा या तल में दोलन करती है। रैखिक ध्रुवीकरण के मामले में, उस विमान के सापेक्ष अभिविन्यास को जोड़ने के लिए अक्सर उपयोगी होता है, यात्रा की दिशा के लंबवत, जिसमें दोलन होता है, जैसे "क्षैतिज", उदाहरण के लिए, यदि ध्रुवीकरण का विमान समानांतर है मैदान। उदाहरण के लिए, मुक्त स्थान में प्रसारित विद्युत चुम्बकीय तरंगें अनुप्रस्थ होती हैं; ध्रुवीकरण फिल्टर के उपयोग से उन्हें ध्रुवीकरण किया जा सकता है।

अनुदैर्ध्य तरंगें, जैसे ध्वनि तरंगें, ध्रुवीकरण नहीं दिखाती हैं। इन तरंगों के लिए दोलन की केवल एक ही दिशा होती है, अर्थात् यात्रा की दिशा के साथ।

प्रसार


तरंग का प्रकीर्णन तब होता है जब या तो प्रावस्था वेग या समूह वेग तरंग आवृत्ति पर निर्भर करता है। सफेद प्रकाश को प्रिज्म से गुजरने देने से फैलाव सबसे आसानी से देखा जा सकता है, जिसका परिणाम इंद्रधनुष के रंगों के स्पेक्ट्रम का उत्पादन करना है। आइजैक न्यूटन ने प्रकाश और प्रिज्म के साथ प्रयोग किए, ऑप्टिक्स (1704) में अपने निष्कर्ष प्रस्तुत किए कि सफेद प्रकाश में कई रंग होते हैं और इन रंगों को आगे और विघटित नहीं किया जा सकता है।

तार पर तरंगें
एक कंपन स्ट्रिंग (v) के साथ यात्रा करने वाली अनुप्रस्थ तरंग की गति रैखिक द्रव्यमान घनत्व (μ) पर स्ट्रिंग (T) के तनाव के वर्गमूल के सीधे आनुपातिक होती है:


 * $$ v = \sqrt{\frac{T}{\mu}}, $$

जहां रैखिक घनत्व μ स्ट्रिंग की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।

ध्वनिक तरंगें
ध्वनिक या ध्वनि तरंगें द्वारा दी गई गति से यात्रा करती हैं


 * $$ v = \sqrt{\frac{B}{\rho_0}}, $$

या स्थिरोष्म बल्क मापांक का वर्गमूल परिवेशी द्रव घनत्व (ध्वनि की गति देखें) से विभाजित है।

जल तरंगें



 * एक तालाब की सतह पर लहरें वास्तव में अनुप्रस्थ और अनुदैर्ध्य तरंगों का संयोजन होती हैं; इसलिए, सतह पर स्थित बिंदु कक्षीय मार्ग का अनुसरण करते हैं।
 * ध्वनि - एक यांत्रिक तरंग जो गैसों, तरल पदार्थों, ठोस पदार्थों और प्लाज्मा के माध्यम से फैलती है।
 * जड़त्वीय तरंगें, जो गतिमान तरल पदार्थों में होती हैं और कोरिओलिस प्रभाव से बहाल हो जाती हैं।
 * महासागरीय सतही तरंगें वे विक्षोभ हैं जो जल के माध्यम से फैलती हैं।

भूकंपीय तरंगें
भूकंपीय तरंगें ऊर्जा की तरंगें हैं जो पृथ्वी की पपड़ी के माध्यम से यात्रा करती हैं और भूकंप, ज्वालामुखी विस्फोट, मैग्मा आंदोलन, बड़े भूस्खलन और बड़े मानव निर्मित विस्फोटों का परिणाम हैं जो कम आवृत्ति ध्वनिक ऊर्जा का उत्सर्जन करते हैं।

डॉपलर प्रभाव
डॉप्लर प्रभाव (या डॉप्लर शिफ्ट) एक प्रेक्षक के संबंध में तरंग की आवृत्ति में परिवर्तन है जो तरंग स्रोत के सापेक्ष गति कर रहा है। इसका नाम ऑस्ट्रियाई भौतिक विज्ञानी क्रिश्चियन डॉपलर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इस घटना का वर्णन 1842 में किया था।

आघात तरंग


आघात तरंग एक प्रकार का प्रसार गड़बड़ी है। जब कोई तरंग किसी द्रव में ध्वनि की स्थानीय गति से तेज गति से यात्रा करती है, तो यह आघात तरंग होती है। एक साधारण लहर की तरह, आघात तरंग ऊर्जा वहन करती है और एक माध्यम से फैल सकती है; हालांकि, यह माध्यम के दबाव, तापमान और घनत्व में अचानक, लगभग असंतुलित परिवर्तनों की विशेषता है।

अन्य

 * यातायात की लहरें, यानी मोटर वाहनों के विभिन्न घनत्वों का प्रसार, और आगे, जिसे गतिज तरंगों के रूप में प्रतिरूपित किया जा सकता है।
 * मेटाक्रोनल तरंग समन्वित अनुक्रमिक क्रियाओं द्वारा उत्पादित एक यात्रा तरंग की उपस्थिति को संदर्भित करती है।

विद्युत चुम्बकीय तरंगें


विद्युत चुम्बकीय तरंग में दो तरंगें होती हैं जो विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र के दोलन होते हैं। एक विद्युत चुम्बकीय तरंग एक दिशा में यात्रा करती है जो दोनों क्षेत्रों की दोलन दिशा के समकोण पर है। 19वीं शताब्दी में, जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने दिखाया कि, निर्वात में, विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र तरंग समीकरण को प्रकाश की गति के बराबर गति के साथ संतुष्ट करते हैं। इससे यह विचार उभरा कि प्रकाश एक विद्युत चुम्बकीय तरंग है। विद्युत चुम्बकीय तरंगों में अलग-अलग आवृत्तियाँ (और इस प्रकार तरंग दैर्ध्य) हो सकती हैं, जिससे विभिन्न प्रकार के विकिरण जैसे रेडियो तरंगें, माइक्रोवेव, अवरक्त, दृश्य प्रकाश, पराबैंगनी, एक्स-रे और गामा किरणें उत्पन्न होती हैं।

श्रोडिंगर समीकरण
श्रोडिंगर समीकरण क्वांटम यांत्रिकी में कणों के तरंग जैसे व्यवहार का वर्णन करता है। इस समीकरण के हल तरंग फलन हैं जिनका उपयोग किसी कण के प्रायिकता घनत्व का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।

DIRAC समीकरण
DIRAC समीकरण एक आपेक्षिक तरंग समीकरण है जो विद्युतचुंबकीय अंतःक्रियाओं का विवरण देता है। DIRAC तरंगों ने पूरी तरह से कठोर तरीके से हाइड्रोजन स्पेक्ट्रम के बारीक विवरण के लिए जिम्मेदार हैं। तरंग समीकरण ने पदार्थ के एक नए रूप, प्रतिकण के अस्तित्व को भी निहित किया, जो पहले से अनसुना और अप्रमाणित था और जिसकी प्रयोगात्मक पुष्टि की गई थी। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में, स्पिन-आधा कणों के अनुरूप क्वांटम क्षेत्रों का वर्णन करने के लिए DIRAC समीकरण की पुनर्व्याख्या की जाती है।



डी ब्रोगली तरंगें
लुईस डी ब्रोगली ने कहा कि संवेग वाले सभी कणों की तरंगदैर्घ्य होती है


 * $$\lambda = \frac{h}{p},$$

जहाँ h प्लांक नियतांक है और p कण के संवेग का परिमाण है। यह परिकल्पना क्वांटम यांत्रिकी पर आधारित थी। आजकल, इस तरंगदैर्घ्य को डी ब्रोग्ली तरंगदैर्घ्य कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सीआरटी डिस्प्ले में इलेक्ट्रॉनों में लगभग 10−13 m डी ब्रोगली तरंगदैर्ध्य होती है।

k-दिशा में यात्रा कर रहे ऐसे कण का प्रतिनिधित्व करने वाली तरंग तरंग फ़ंक्शन द्वारा निम्नानुसार व्यक्त की जाती है:


 * $$\psi (\mathbf{r}, \, t=0) = A e^{i\mathbf{k \cdot r}}, $$

जहां तरंग दैर्ध्य को वेव वेक्टर के रूप में निर्धारित किया जाता है:


 * $$ \lambda = \frac {2 \pi}{k}, $$

और द्वारा गति:


 * $$ \mathbf{p} = \hbar \mathbf{k} . $$

हालांकि, इस तरह की एक निश्चित तरंग दैर्ध्य के साथ एक लहर अंतरिक्ष में स्थानीयकृत नहीं होती है, और इसलिए अंतरिक्ष में स्थानीयकृत कण का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकती है। एक कण को स्थानीयकृत करने के लिए, डी ब्रोगली ने एक तरंग पैकेट में एक केंद्रीय मूल्य के आसपास विभिन्न तरंग दैर्ध्य के एक सुपरपोजिशन का प्रस्ताव रखा, एक कण के तरंग कार्य का वर्णन करने के लिए क्वांटम यांत्रिकी में अक्सर इस्तेमाल किया जाने वाला एक तरंग। एक तरंग पैकेट में, कण की तरंग दैर्ध्य सटीक नहीं होती है, और स्थानीय तरंगदैर्घ्य मुख्य तरंग दैर्ध्य मान के दोनों ओर विचलित हो जाता है।

एक स्थानीयकृत कण के तरंग कार्य का प्रतिनिधित्व करने में, तरंग पैकेट को अक्सर गाऊसी आकार के लिए लिया जाता है और इसे गाऊसी तरंग पैकेट कहा जाता है। गाऊसी तरंग पैकेट का उपयोग पानी की तरंगों का विश्लेषण करने के लिए भी किया जाता है। उदाहरण के लिए, एक गाऊसी तरंग का रूप ले सकता है:
 * $$ \psi(x,\, t=0) = A \exp \left( -\frac{x^2}{2\sigma^2} + i k_0 x \right), $$

प्रारंभिक समय में t = 0, जहां केंद्रीय तरंग दैर्ध्य केंद्रीय तरंग सदिश k0 से 0 = 2π / k0 के रूप में संबंधित होता है। फूरियर विश्लेषण के सिद्धांत,, या हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी के मामले में) से यह सर्वविदित है कि एक स्थानीय तरंग पैकेट का निर्माण करने के लिए तरंग दैर्ध्य की एक संकीर्ण सीमा आवश्यक है, और लिफाफा जितना अधिक हो स्थानीयकृत है, आवश्यक तरंगदैर्घ्य में प्रसार जितना अधिक होगा। एक गाऊसी का फूरियर रूपांतरण अपने आप में एक गाऊसी है। गौसियन को देखते हुए:


 * $$f(x) = e^{-x^2 / \left(2\sigma^2\right)}, $$

फूरियर ट्रांसफॉर्म है:


 * $$\tilde{ f} (k) = \sigma e^{-\sigma^2 k^2 / 2} . $$

अंतरिक्ष में गौसियन इसलिए लहरों से बना है:


 * $$f(x) = \frac{1}{\sqrt{2 \pi}} \int_{-\infty}^{\infty} \ \tilde{f} (k) e^{ikx} \ dk ; $$

अर्थात्, तरंग दैर्ध्य की एक संख्या λ जैसे कि kλ = 2 π।

मापदंड σ एक्स-अक्ष के साथ गाऊसी के स्थानिक प्रसार को तय करता है, जबकि फूरियर रूपांतरण 1/σ द्वारा निर्धारित तरंग वेक्टर k में एक प्रसार दिखाता है। अर्थात्, अंतरिक्ष में विस्तार जितना छोटा होगा, k में विस्तार उतना ही अधिक होगा, और इसलिए λ = 2π/k में।



गुरुत्वाकर्षण तरंगें
गुरुत्वाकर्षण तरंगें एक तरल माध्यम में या दो माध्यमों के बीच अंतराफलक में उत्पन्न होने वाली तरंगें होती हैं, जब गुरुत्वाकर्षण बल या उत्प्लावकता संतुलन को बहाल करने का प्रयास करती है। एक तालाब पर लहर इसका एक उदाहरण है।

गुरुत्वीय तरंगे
गुरत्वीय तरंगें भी अंतरिक्ष से होकर गुजरती हैं। गुरुत्वाकर्षण तरंगों के पहले अवलोकन की घोषणा 11 फरवरी 2016 को की गई थी। गुरुत्वाकर्षण तरंगें अंतरिक्ष की वक्रता में गड़बड़ी हैं, जिसकी भविष्यवाणी आइंस्टीन के सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत द्वारा की गई थी।

यह भी देखें

 * तरंग लेखों का सूचकांक

सामान्य रूप से लहरें
• Wave equation, general

• One-way wave equation, for waves running in pre-defined direction

• Wave propagation, any of the ways in which waves travel

• Interference (wave propagation), a phenomenon in which two waves superpose to form a resultant wave

• Mechanical wave, in media transmission

• Wave Motion (journal), a scientific journal

• Wavefront, an advancing surface of wave propagation

पैरामीटर
• Phase (waves), offset or angle of a sinusoidal wave function at its origin

• Standing wave ratio, in telecommunications

• Wavelength

• Wavenumber

• Wave period

तरंग
• Creeping wave, a wave diffracted around a sphere

• Evanescent wave

• Longitudinal wave

• Periodic travelling wave

• Sine wave

• Square wave

• Standing wave

• Transverse wave

विद्युत चुम्बकीय तरंगें
• Dyakonov surface waves

• Dyakonov–Voigt wave

• Earth-Ionosphere waveguide, in radio transmission

• Electromagnetic wave

• Electromagnetic wave equation, describes electromagnetic wave propagation

• Microwave, a form of electromagnetic radiation

तरल पदार्थ में

 * द्रव की गतिशीलता में हवादार तरंग सिद्धांत
 * केशिका तरंग, द्रव की गतिशीलता में
 * द्रव की गतिशीलता में cnoidal तरंग
 * किनारे की लहर, एक कठोर सीमा के खिलाफ अपवर्तन द्वारा तय की गई सतह गुरुत्व तरंग
 * फैराडे वेव, तरल पदार्थों में एक प्रकार की लहर
 * गुरुत्वाकर्षण तरंग, द्रव की गतिशीलता में
 * ध्वनि तरंग, हवा या पानी जैसे माध्यम के माध्यम से ध्वनि की एक लहर
 * समुद्री तरंग स्पेक्ट्रम
 * शॉक वेव, वायुगतिकी में
 * आंतरिक तरंग, एक तरल माध्यम के भीतर एक लहर
 * ज्वारीय लहर, एक सुनामी के लिए एक वैज्ञानिक रूप से गलत नाम
 * टोलमीन -स्लीचिंग वेव, द्रव की गतिशीलता में

क्वांटम यांत्रिकी में
• Bloch's theorem

• Matter wave

• Pilot wave, in Bohmian mechanics

• Wave function

• Wave packet

• Wave–particle duality

सापेक्षता में
• Gravitational wave, in relativity theory

• Relativistic wave equations, wave equations that consider special relativity

• pp-wave spacetime, a set of exact solutions to Einstein's field equation

अन्य विशिष्ट प्रकार की लहरें

 * प्लाज्मा भौतिकी में अल्फवेन वेव
 * वायुमंडलीय लहर, वायुमंडलीय चर के क्षेत्र में एक आवधिक गड़बड़ी
 * देवदार लहर, एक वन विन्यास
 * भेड़ का बच्चा लहरें, ठोस पदार्थों में
 * रेले लहरें, सतह ध्वनिक तरंगें जो ठोस पदार्थों पर यात्रा करती हैं
 * स्पिन वेव, चुंबकत्व में
 * स्पिन-घनत्व तरंग, ठोस पदार्थों में
 * ट्रोजन वेव पैकेट, कण विज्ञान में
 * प्लाज्मा में प्लाज्मा में लहरें, प्लाज्मा भौतिकी में

संबंधित विषय

 * बीट (ध्वनिकी)
 * Cymatics
 * डॉपलर प्रभाव
 * लिफाफा डिटेक्टर
 * समान रूप से फैले हुए डेटा में कंप्यूटिंग आवधिकता के लिए फूरियर रूपांतरण
 * समूह वेग
 * हार्मोनिक
 * तरंग लेखों का सूचकांक
 * जड़त्वीय लहर
 * असमान रूप से फैले हुए डेटा में गणना आवधिकता के लिए कम से कम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
 * लोगों के नाम पर लहरों की सूची
 * चरण वेग
 * प्रतिक्रिया -प्रसार प्रणाली
 * प्रतिध्वनि
 * रिपल टैंक
 * शरारती लहर
 * उथले पानी के समीकरण
 * जॉन एन। शिव#शिव वेव मशीन | शिव वेव मशीन
 * ध्वनि
 * स्टैंडिंग वेव
 * संचरण माध्यम
 * लहर अशांति
 * पवन वेव

बाहरी संबंध

 * The Feynman Lectures on Physics: Waves
 * Interactive Visual Representation of Waves
 * Linear and nonlinear waves
 * Science Aid: Wave properties – Concise guide aimed at teens