रैखिक लोच

रैखिक लोच गणितीय मॉडल है कि कैसे निर्धारित लोडिंग स्थितियों के कारण ठोस वस्तुएं विरूपण (भौतिकी) और आंतरिक रूप से तनाव (यांत्रिकी) बन जाती हैं। यह अधिक सामान्य परिमित तनाव सिद्धांत और सातत्य यांत्रिकी की शाखा का सरलीकरण है।

रेखीय लोच की मौलिक रेखीयकरण धारणाएं हैं: अतिसूक्ष्म तनाव सिद्धांत या छोटे विरूपण (या तनाव) और तनाव और तनाव के घटकों के बीच रैखिक संबंध होता हैं। इसके अतिरिक्त रैखिक लोच केवल तनाव वाली स्थिति के लिए मान्य है जो यील्ड (इंजीनियरिंग) का उत्पादन नहीं करते हैं।

ये धारणाएँ कई इंजीनियरिंग सामग्री और इंजीनियरिंग डिज़ाइन परिदृश्यों के लिए उचित हैं। अधिकांशतः परिमित तत्व विश्लेषण की सहायता से रैखिक लोच इसलिए संरचनात्मक विश्लेषण और इंजीनियरिंग डिजाइन में बड़े पैमाने पर उपयोग किया जाता है।

गणितीय सूत्रीकरण
रैखिक लोचदार सीमा मूल्य समस्या को नियंत्रित करने वाले समीकरण संवेग के संरक्षण के लिए तीन टेन्सर आंशिक अंतर समीकरणों और छह अति सूक्ष्म तनाव-विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी) संबंधों पर आधारित हैं। अवकल समीकरणों की प्रणाली रैखिक समीकरण बीजगणितीय संघटक समीकरणों के सेट द्वारा पूरी की जाती है।

डायरेक्ट टेंसर फॉर्म
प्रत्यक्ष टेंसर रूप में जो समन्वय प्रणाली की पसंद से स्वतंत्र है, उक्त समीकरण इस प्रकार प्रदर्शित किया जाता हैं: जहाँ $$\boldsymbol{\sigma}$$ कॉची तनाव टेन्सर है, $$\boldsymbol{\varepsilon}$$ अतिसूक्ष्म तनाव टेंसर है, $$\mathbf{u}$$ विस्थापन (वेक्टर) है, $$\mathsf{C}$$ चौथा क्रम कठोरता टेन्सर कहलाता हैं, यहाँ पर $$\mathbf{F}$$ प्रति इकाई आयतन भौतिक बल है, $$\rho$$ द्रव्यमान घनत्व है, $$\boldsymbol{\nabla}$$ नाबला ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करता है, $$(\bullet)^\mathrm{T}$$ स्थानान्तरण का प्रतिनिधित्व करता है, $$\ddot{(\bullet)}$$ समय के संबंध में दूसरी व्युत्पत्ति का प्रतिनिधित्व करता है, और $$\mathsf{A}:\mathsf{B} = A_{ij}B_{ij}$$ दो दूसरे क्रम के टेंसरों का आंतरिक उत्पाद है जो विशेषकर दोहराए गए सूचकांकों पर योग को निहित रखता है)।
 * संवेग किसी निकाय के लिए रेखीय संवेग, जो न्यूटन के गति के नियमों की अभिव्यक्ति है, न्यूटन का दूसरा नियम के अनुसार: $$\boldsymbol{\nabla} \cdot \boldsymbol{\sigma} + \mathbf{F} = \rho \ddot{\mathbf{u}} $$
 * इनफिनिटिमल स्ट्रेन सिद्धांत या स्ट्रेन-विस्थापन समीकरण: $$\boldsymbol{\varepsilon} = \tfrac{1}{2} \left[\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} + (\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^\mathrm{T}\right]$$
 * संवैधानिक समीकरण को लोचदार सामग्री के लिए, हुक के नियम द्वारा इसके भौतिक स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है और अज्ञात तनावों से संबंधित रहता है। हुक के नियम का सामान्य समीकरण है इस प्रकार हैं- $$ \boldsymbol{\sigma} = \mathsf{C}:\boldsymbol{\varepsilon},$$

कार्तीय समन्वय रूप
आयताकार कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के संबंध में घटकों के संदर्भ में व्यक्त होने वाले रैखिक लोच के लिए स्थिति समीकरण को इस प्रकार प्रदर्शित करते हैं:

\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + F_x = \rho \frac{\partial^2 u_x}{\partial t^2} \\ \frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} + F_y = \rho \frac{\partial^2 u_y}{\partial t^2} \\ \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} + F_z = \rho \frac{\partial^2 u_z}{\partial t^2} \end{align}$$ \epsilon_x=\frac{\partial u_x}{\partial x} \\ \epsilon_y=\frac{\partial u_y}{\partial y} \\ \epsilon_z=\frac{\partial u_z}{\partial z} \end{align} \qquad \begin{align} \gamma_{xy}=\frac{\partial u_x}{\partial y}+\frac{\partial u_y}{\partial x} \\ \gamma_{yz}=\frac{\partial u_y}{\partial z}+\frac{\partial u_z}{\partial y} \\ \gamma_{zx}=\frac{\partial u_z}{\partial x}+\frac{\partial u_x}{\partial z} \end{align}$$
 * कॉची संवेग समीकरण: $$ \sigma_{ji,j} + F_i = \rho \partial_{tt} u_i$$ जहां $${(\bullet)}_{,j}$$ सबस्क्रिप्ट के लिए आशुलिपि है $$\partial{(\bullet)} / \partial x_j$$ और $$\partial_{tt}$$ दर्शाता है $$\partial^2 / \partial t^2$$, $$ \sigma_{ij} = \sigma_{ji}$$ कॉची स्ट्रेस (भौतिकी) टेंसर है, $$ F_i$$ भौतिक बल घनत्व है, $$ \rho$$ द्रव्यमान घनत्व है, और $$ u_i$$ विस्थापन है। ये रेखीय समीकरणों की 3 प्रणाली हैं 6 स्वतंत्र अज्ञात (तनाव) के साथ स्वतंत्रता समीकरण द्वारा इंजीनियरिंग संकेतन के रूप में इस प्रकार प्रदर्शित करते हैं: $$\begin{align}
 * विरूपण (यांत्रिकी) तनाव या तनाव विस्थापन समीकरण: $$\varepsilon_{ij} =\frac{1}{2} (u_{j,i} + u_{i,j})$$ जहाँ $$ \varepsilon_{ij}=\varepsilon_{ji}\,\!$$ तनाव है। ये 9 स्वतंत्र अज्ञात (स्ट्रेन और विस्थापन) के साथ तनाव और विस्थापन से संबंधित 6 स्वतंत्र समीकरण हैं। इंजीनियरिंग संकेतन में ये इस प्रकार हैं: $$\begin{align}
 * संवैधानिक समीकरण या हुक के नियम का समीकरण है: $$ \sigma_{ij} = C_{ijkl} \, \varepsilon_{kl} $$ जहाँ $$C_{ijkl}$$ कठोरता टेंसर है। ये तनाव और विकृति से संबंधित 6 स्वतंत्र समीकरण हैं। तनाव और तनाव टेंसरों की समरूपता की आवश्यकता से कई लोचदार स्थिरांक की समानता हो जाती है, जिससे विभिन्न तत्वों की संख्या 21 हो जाती है इसे $$ C_{ijkl} = C_{klij} = C_{jikl} = C_{ijlk}$$ द्वारा प्रदर्शित करते हैं।

आइसोटोपिक सजातीय मीडिया के लिए इलास्टोस्टेटिक सीमा के मान से होने वाली समस्या के लिए 15 स्वतंत्र समीकरणों और समान संख्या में अज्ञात (3 संतुलन समीकरण, 6 तनाव-विस्थापन समीकरण, और 6 संवैधानिक समीकरण) की प्रणाली बनाई जाती है। इस प्रकार सीमा शर्तों को निर्दिष्ट करते हुए सीमा मूल्य समस्या को पूर्ण रूप से परिभाषित किया जा सकता हैं। प्रणाली को हल करने के लिए सीमा मान समस्या की सीमा स्थितियों के अनुसार दो दृष्टिकोण विस्थापन सूत्रीकरण, और तनाव सूत्रीकरण अपनाए जाते हैं।

बेलनाकार निर्देशांक रूप
बेलनाकार निर्देशांक में ($$r,\theta,z$$) गति के समीकरण हैं $$\begin{align} & \frac{\partial \sigma_{rr}}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{r\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial \sigma_{rz}}{\partial z} + \cfrac{1}{r}(\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}) + F_r = \rho~\frac{\partial^2 u_r}{\partial t^2} \\ & \frac{\partial \sigma_{r\theta}}{\partial r} + \frac{1}{r} \frac{\partial \sigma_{\theta\theta}}{\partial \theta} + \frac{\partial \sigma_{\theta z}}{\partial z} + \frac{2}{r}\sigma_{r\theta} + F_\theta = \rho~\frac{\partial^2 u_\theta}{\partial t^2} \\ & \frac{\partial \sigma_{rz}}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{\theta z}}{\partial \theta} + \frac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} + \frac{1}{r} \sigma_{rz} + F_z = \rho~\frac{\partial^2 u_z}{\partial t^2} \end{align}$$तनाव-विस्थापन संबंध हैं$$\begin{align} \varepsilon_{rr} & = \frac{\partial u_r}{\partial r} ~; \varepsilon_{\theta\theta} = \frac{1}{r} \left(\cfrac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + u_r\right) ~; \varepsilon_{zz} = \frac{\partial u_z}{\partial z} \\ \varepsilon_{r\theta} & = \frac{1}{2} \left(\cfrac{1}{r}\cfrac{\partial u_r}{\partial \theta} + \cfrac{\partial u_\theta}{\partial r}- \cfrac{u_\theta}{r}\right) ~; \varepsilon_{\theta z} = \cfrac{1}{2} \left(\cfrac{\partial u_\theta}{\partial z} + \cfrac{1}{r}\cfrac{\partial u_z}{\partial \theta}\right) ~; \varepsilon_{zr} = \cfrac{1}{2} \left(\cfrac{\partial u_r}{\partial z} + \cfrac{\partial u_z}{\partial r}\right) \end{align}$$

और संवैधानिक संबंध कार्टेशियन निर्देशांक के समान हैं, इसके अतिरिक्त इसका सूचकांक $$1$$,$$2$$,$$3$$ इस स्थिति के लिए क्रमशः $$r$$,$$\theta$$,$$z$$, इस प्रकार हैं।

गोलाकार निर्देशांक रूप
गोलाकार निर्देशांक में ($$r,\theta,\phi$$) गति के समीकरण हैं $$\begin{align} & \frac{\partial \sigma_{rr}}{\partial r} + \cfrac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{r\theta}}{\partial \theta} + \cfrac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \sigma_{r\phi}}{\partial \phi} + \cfrac{1}{r} (2\sigma_{rr}-\sigma_{\theta\theta}-\sigma_{\phi\phi}+\sigma_{r\theta}\cot\theta) + F_r = \rho~\frac{\partial^2 u_r}{\partial t^2} \\ & \frac{\partial \sigma_{r\theta}}{\partial r} + \cfrac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{\theta\theta}}{\partial \theta} + \cfrac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \sigma_{\theta \phi}}{\partial \phi} + \cfrac{1}{r}[(\sigma_{\theta\theta}-\sigma_{\phi\phi})\cot\theta + 3\sigma_{r\theta}] + F_\theta = \rho~\frac{\partial^2 u_\theta}{\partial t^2} \\ & \frac{\partial \sigma_{r\phi}}{\partial r} + \cfrac{1}{r}\frac{\partial \sigma_{\theta \phi}}{\partial \theta} + \cfrac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \sigma_{\phi\phi}}{\partial \phi} + \cfrac{1}{r}(2\sigma_{\theta\phi}\cot\theta+3\sigma_{r\phi}) + F_\phi = \rho~\frac{\partial^2 u_\phi}{\partial t^2} \end{align}$$ गोलाकार निर्देशांक में तनाव टेन्सर है $$\begin{align} \varepsilon_{rr} & = \frac{\partial u_r}{\partial r}\\ \varepsilon_{\theta\theta}& = \frac{1}{r} \left(\frac{\partial u_\theta}{\partial \theta} + u_r\right)\\ \varepsilon_{\phi\phi} & = \frac{1}{r\sin\theta} \left(\frac{\partial u_\phi}{\partial \phi} + u_r\sin\theta + u_\theta\cos\theta\right)\\ \varepsilon_{r\theta} & = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{r} \frac{\partial u_r}{\partial \theta} + \frac{\partial u_\theta}{\partial r} - \frac{u_\theta}{r}\right) \\ \varepsilon_{\theta \phi} & = \frac{1}{2r} \left[\frac{1}{\sin\theta}\frac{\partial u_\theta}{\partial \phi} +\left(\frac{\partial u_\phi}{\partial \theta} - u_\phi \cot\theta\right)\right]\\ \varepsilon_{r \phi} & = \frac{1}{2} \left(\frac{1}{r \sin \theta} \frac{\partial u_r}{\partial \phi} + \frac{\partial u_\phi}{\partial r} - \frac{u_\phi}{r}\right). \end{align}$$

(ए) आइसोट्रोपिक (इन) सजातीय मीडिया
हूक के नियम आइसोट्रोपिक सामग्री मीडिया में, कठोरता टेन्सर तनावों (परिणामस्वरूप आंतरिक तनावों) और उपभेदों (परिणामस्वरूप विकृतियों) के बीच संबंध देता है। आइसोटोपिक माध्यम के लिए, कठोरता टेंसर की कोई पसंदीदा दिशा नहीं होती है: लागू बल समान विस्थापन (बल की दिशा के सापेक्ष) देगा, चाहे जिस दिशा में बल लगाया जाता हैं। आइसोटोपिक स्थिति में, कठोरता टेंसर लिखा जाता है: $$ C_{ijkl} = K \, \delta_{ij}\, \delta_{kl} + \mu\, (\delta_{ik}\delta_{jl}+\delta_{il}\delta_{jk}- \tfrac{2}{3}\, \delta_{ij}\,\delta_{kl}) $$ जहाँ $$\delta_{ij}$$ क्रोनकर डेल्टा है, K थोक मापांक (या असंपीड़्यता) है, और $$\mu$$ कतरनी मापांक (या कठोरता) है, जिसके लिए दो लोचदार मापांक निर्धारित किये जाते हैं। यदि माध्यम विषम होता हैं, तो आइसोट्रोपिक मॉडल का उपयोग किया जाता है इसके अतिरिक्त इसके माध्यम के लिए टुकड़े-टुकड़े पर स्थिर या कमजोर रूप से विषम स्थिति को दृढ़ता से अमानवीय चिकने मॉडल में, अनिसोट्रॉपी का हिसाब देना पड़ता है। यदि माध्यम सजातीय (रसायन विज्ञान) है, तो लोचदार मोडुली माध्यम में स्थिति से स्वतंत्र होगी तो संवैधानिक समीकरण को इस रूप में लिखा जा सकता है:$$ \sigma_{ij} = K \delta_{ij} \varepsilon_{kk} + 2\mu \left(\varepsilon_{ij} - \tfrac{1}{3} \delta_{ij} \varepsilon_{kk}\right).$$यह अभिव्यक्ति तनाव को बाईं ओर अदिश भाग में अलग करती है जो अदिश दबाव से जुड़ा हो सकता है, और दाईं ओर ट्रेसलेस भाग जो कतरनी बलों से जुड़ा हो सकता है। सरल अभिव्यक्ति है: $$ \sigma_{ij} = \lambda \delta_{ij} \varepsilon_{kk}+2\mu\varepsilon_{ij}$$जहां λ लैम पैरामीटर लैम का पहला पैरामीटर है। चूँकि संवैधानिक समीकरण केवल रेखीय समीकरणों का समूह है, तनाव को तनाव के कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है: $$\varepsilon_{ij} = \frac{1}{9K} \delta_{ij} \sigma_{kk} + \frac{1}{2\mu} \left(\sigma_{ij} - \tfrac{1}{3} \delta_{ij} \sigma_{kk}\right)$$जो फिर से, बाईं ओर अदिश भाग और दाईं ओर ट्रेसलेस कतरनी भाग है। इसके लिए समीकरण इस प्रकार हैं:$$\varepsilon_{ij} = \frac{1}{2\mu}\sigma_{ij} - \frac{\nu}{E} \delta_{ij}\sigma_{kk} = \frac{1}{E} [(1+\nu) \sigma_{ij}-\nu\delta_{ij}\sigma_{kk}]$$जहाँ $$\nu$$ पोइसन का अनुपात है और $$E$$ यंग का मापांक है।

इलास्टोस्टैटिक्स
इलास्टोस्टैटिक्स संतुलन की शर्तों के अनुसार रैखिक लोच का अध्ययन है, जिसमें लोचदार भौतिक पर सभी बलों का योग शून्य होता है, और विस्थापन समय का कार्य नहीं होता है। इस प्रकार इस प्रणाली के लिए रैखिक गति का मान कुछ इस प्रकार होता हैं-$$ \sigma_{ji,j} + F_i = 0.$$इंजीनियरिंग संकेतन में (कतरनी तनाव के रूप में टाऊ के साथ), यह खंड केवल आइसोट्रोपिक सजातीय की स्थिति पर आधारित हैं।
 * $$\frac{\partial \sigma_x}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yx}}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zx}}{\partial z} + F_x = 0$$
 * $$\frac{\partial \tau_{xy}}{\partial x} + \frac{\partial \sigma_y}{\partial y} + \frac{\partial \tau_{zy}}{\partial z} + F_y = 0$$
 * $$\frac{\partial \tau_{xz}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{yz}}{\partial y} + \frac{\partial \sigma_z}{\partial z} + F_z = 0$$

विस्थापन सूत्रीकरण
इस स्थिति में, सीमा में हर जगह विस्थापन निर्धारित हैं। इस दृष्टिकोण में, तनाव और तनाव को सूत्रीकरण से समाप्त कर दिया जाता है, विस्थापन को अज्ञात के रूप में इस स्थिति के लिए समीकरणों में हल करने के लिए छोड़ दिया जाता है। इस प्रकार सबसे पहले, तनाव-विस्थापन समीकरणों को संवैधानिक समीकरणों (हुक के नियम) में प्रतिस्थापित किया जाता है, अज्ञात के रूप में उपभेदों को हटा दिया जाता है:$$\sigma_{ij} = \lambda \delta_{ij} \varepsilon_{kk}+2\mu\varepsilon_{ij} = \lambda\delta_{ij}u_{k,k}+\mu\left(u_{i,j}+u_{j,i}\right). $$विभेद करना (मान लेना $$\lambda$$ और $$\mu$$ स्थानिक रूप से समान हैं) उपज:$$\sigma_{ij,j} = \lambda u_{k,ki}+\mu\left(u_{i,jj}+u_{j,ij}\right).$$संतुलन समीकरण पैदावार में प्रतिस्थापन:$$\lambda u_{k,ki}+\mu\left(u_{i,jj} + u_{j,ij}\right) + F_i = 0$$या (डबल (डमी) (= सारांश) सूचकांक k,k को j,j द्वारा प्रतिस्थापित करना और सूचकांकों को इंटरचेंज करना, ij से, ji के बाद, दूसरे डेरिवेटिव की समरूपता के आधार पर श्वार्ज प्रमेय द्वारा किया जाता हैं।)$$\mu u_{i,jj} + (\mu+\lambda) u_{j,ji} + F_i = 0$$जहाँ $$\lambda$$ और $$\mu$$ लमे पैरामीटर हैं। इस तरह, केवल अज्ञात ही विस्थापन रह जाता है, इसलिए इस फॉर्मूलेशन का नाम है। इस तरह से प्राप्त नियामक समीकरणों को इलास्टोस्टैटिक समीकरण कहा जाता है, जो नीचे दिए गए 'नेवियर-कॉची समीकरण' का विशेष स्थिति है।

एक बार विस्थापन क्षेत्र की गणना हो जाने के पश्चात विस्थापन को तनाव के समाधान के लिए तनाव-विस्थापन समीकरणों में प्रतिस्थापित किया जाता है, जो बाद में तनावों को हल करने के लिए संवैधानिक समीकरणों में उपयोग किया जाता है।

बिहारमोनिक समीकरण
इलास्टोस्टैटिक समीकरण लिखा जा सकता है: $$(\alpha^2-\beta^2) u_{j,ij} + \beta^2 u_{i,mm} = -F_i.$$ इलास्टोस्टेटिक समीकरण के दोनों पक्षों के विचलन को लेते हुए और यह मानते हुए कि भौतिक बलों ($$F_{i,i}=0\,\!$$) में शून्य विचलन (डोमेन में सजातीय) है- $$(\alpha^2-\beta^2) u_{j,iij} + \beta^2u_{i,imm} = 0.$$ यह देखते हुए कि सारांशित सूचकांकों का मिलान नहीं होना चाहिए, और यह कि आंशिक डेरिवेटिव कम्यूट करते हैं, दो अंतर शब्द समान दिखाई देते हैं: $$\alpha^2 u_{j,iij} = 0$$ जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि: $$u_{j,iij} = 0.$$ इलास्टोस्टैटिक समीकरण के दोनों पक्षों के लाप्लासियन को लेना, और इसके अतिरिक्त इसका मान $$F_{i,kk}=0\,\!$$ मानने पर हमारे पास उक्त समीकरण प्राप्त होता हैं- $$(\alpha^2-\beta^2) u_{j,kkij} + \beta^2u_{i,kkmm} = 0.$$ अपसरण समीकरण से, बाईं ओर का पहला पद शून्य है यहाँ पर ध्यान दें कि फिर से, सारांशित सूचकांकों का मिलान नहीं होना चाहिए:$$\beta^2 u_{i,kkmm} = 0$$जिससे हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि:$$u_{i,kkmm} = 0$$या, समन्वय मुक्त संकेतन में $$\nabla^4 \mathbf{u} = 0$$ जो कि सिर्फ बिहारमोनिक समीकरण $$\mathbf{u}\,\!$$ से प्रदर्शित होता है।

तनाव सूत्रीकरण
इस स्थिति में, सतही सीमा पर हर जगह सतही कर्षण निर्धारित हैं। इस दृष्टिकोण में, तनावों और विस्थापनों को समाप्त कर दिया जाता है जिससे तनावों को अज्ञात के रूप में शासकीय समीकरणों में हल किया जा सकता है। इस प्रकार तनाव क्षेत्र मिल जाने के बाद, तब संरचनात्मक समीकरणों का उपयोग करके उपभेदों को पाया जाता है।

स्ट्रेस टेन्सर के छह स्वतंत्र घटक हैं जिन्हें निर्धारित करने की आवश्यकता है, फिर भी विस्थापन सूत्रीकरण में, विस्थापन वेक्टर के केवल तीन घटक हैं जिन्हें निर्धारित करने की आवश्यकता है। इसका अर्थ यह है कि स्वतंत्रता की डिग्री की संख्या को तीन तक कम करने के लिए कुछ बाधाएं हैं जिन्हें तनाव टेंसर पर रखा जाना चाहिए। इसके लिए संवैधानिक समीकरणों का उपयोग करते हुए, इन बाधाओं को सीधे संबंधित बाधाओं से प्राप्त किया जाता है, जो तनाव टेंसर के लिए धारण करना चाहिए, जिसमें छह स्वतंत्र घटक भी होते हैं। विस्थापन सदिश क्षेत्र के कार्य के रूप में तनाव टेन्सर पर बाधाएं सीधे तनाव टेंसर की परिभाषा से व्युत्पन्न होती हैं, जिसका अर्थ है कि ये बाधाएं कोई नई अवधारणा या जानकारी प्रस्तुत नहीं करती हैं। यह तनाव टेंसर पर बाधाएं हैं जिन्हें सबसे आसानी से समझा जा सकता है। यदि लोचदार माध्यम को अप्रतिबंधित अवस्था में असीम घनों के सेट के रूप में देखा जाता है, तो माध्यम के तनावग्रस्त होने के पश्चात तनाव टेंसर के लिए ऐसी स्थिति में उत्पन्न करनी चाहिए जिसमें विकृत घन अभी भी अतिव्यापी बिना साथ फिट होते हैं। दूसरे शब्दों में, किसी दिए गए तनाव के लिए, निरंतर सदिश क्षेत्र (विस्थापन) सम्मिलित होना चाहिए जिससे उस तनाव टेंसर को प्राप्त किया जा सके। तनाव टेंसर पर बाधाएं जो यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक हैं कि यह स्थिति संत वेनेंट द्वारा खोजा गया था, और उन्हें संत-वेनेंट की अनुकूलता की स्थिति कहा जाता है। ये 81 समीकरण हैं, जिनमें से 6 स्वतंत्र गैर-तुच्छ समीकरण हैं, जो विभिन्न तनाव घटकों से संबंधित हैं। इन्हें इंडेक्स नोटेशन में इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:$$\varepsilon_{ij,km}+\varepsilon_{km,ij}-\varepsilon_{ik,jm}-\varepsilon_{jm,ik}=0.$$इसका इंजीनियरिंग संकेतन इस प्रकार हैं:$$\begin{align} &\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial x^2} = 2 \frac{\partial^2 \epsilon_{xy}}{\partial x \partial y} \\ &\frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial y^2} = 2 \frac{\partial^2 \epsilon_{yz}}{\partial y \partial z} \\ &\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial z^2} + \frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial x^2} = 2 \frac{\partial^2 \epsilon_{zx}}{\partial z \partial x} \\ &\frac{\partial^2 \epsilon_x}{\partial y \partial z} = \frac{\partial}{\partial x} \left ( -\frac{\partial \epsilon_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \epsilon_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \epsilon_{xy}}{\partial z}\right) \\ &\frac{\partial^2 \epsilon_y}{\partial z \partial x} = \frac{\partial}{\partial y} \left ( \frac{\partial \epsilon_{yz}}{\partial x} - \frac{\partial \epsilon_{zx}}{\partial y} + \frac{\partial \epsilon_{xy}}{\partial z}\right) \\ &\frac{\partial^2 \epsilon_z}{\partial x \partial y} = \frac{\partial}{\partial z} \left ( \frac{\partial \epsilon_{yz}}{\partial x} + \frac{\partial \epsilon_{zx}}{\partial y} - \frac{\partial \epsilon_{xy}}{\partial z}\right) \end{align}$$इस समीकरण में उपभेदों को तब संवैधानिक समीकरणों का उपयोग करते हुए तनावों के रूप में व्यक्त किया जाता है, जो तनाव टेंसर पर संबंधित बाधाओं को उत्पन्न करता है। तनाव टेंसर पर इन बाधाओं को बेल्ट्रामी-मिशेल अनुकूलता के समीकरण के रूप में जाना जाता है:$$\sigma_{ij,kk} + \frac{1}{1+\nu}\sigma_{kk,ij} + F_{i,j} + F_{j,i} + \frac{\nu}{1-\nu}\delta_{i,j} F_{k,k} = 0.$$विशेष स्थिति में जहां भौतिक बल सजातीय होता है, उपरोक्त समीकरण कम हो जाते हैं $$ (1+\nu)\sigma_{ij,kk}+\sigma_{kk,ij}=0.$$इस स्थिति में अनुकूलता के लिए आवश्यक, किन्तु अपर्याप्त शर्त $$\boldsymbol{\nabla}^4\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{0}$$ या $$\sigma_{ij,kk\ell\ell} = 0$$ है।

ये बाधाएं, संतुलन समीकरण (या इलास्टोडायनामिक्स के लिए गति के समीकरण) के साथ तनाव टेंसर क्षेत्र की गणना की अनुमति देती हैं। इन समीकरणों से तनाव क्षेत्र की गणना हो जाने के पश्चात उपभेदों को संवैधानिक समीकरणों से और विस्थापन क्षेत्र को तनाव-विस्थापन समीकरणों से प्राप्त किया जाता हैं।

इस प्रकार वैकल्पिक समाधान तकनीक तनाव टेंसर को तनाव कार्य के संदर्भ में व्यक्त किया जाता हैं जो स्वचालित रूप से संतुलन समीकरण के समाधान का उत्पादन करता है। तनाव कार्य तब एकल अंतर समीकरण का पालन करते हैं जो संगतता समीकरणों से मेल खाता है।

थॉमसन का समाधान - अनंत आइसोट्रोपिक माध्यम में बिंदु बल
नेवियर-कॉची या इलास्टोस्टैटिक समीकरण का सबसे महत्वपूर्ण समाधान अनंत समस्थानिक माध्यम में बिंदु पर अभिनय करने वाले बल के लिए है। यह समाधान 1848 (थॉमसन 1848) में विलियम थॉमसन, प्रथम बैरन केल्विन (बाद में लॉर्ड केल्विन) द्वारा खोजा गया था। यह समाधान इलेक्ट्रोस्टाटिक्स में कूलम्ब के नियम का अनुरूप है। लैंडौ और लाइफशिट्ज में व्युत्पत्ति दी गई है। $$a = 1-2\nu$$$$b = 2(1-\nu) = a+1$$जहाँ $$\nu$$ पोइसन का अनुपात है, समाधान के रूप में व्यक्त किया जा सकता है-$$u_i = G_{ik} F_k$$जहाँ $$F_k$$ बल वेक्टर बिंदु पर लागू किया जा रहा है, और $$G_{ik}$$ टेंसर ग्रीन का कार्य है जिसे कार्टेशियन निर्देशांक में लिखा जा सकता है:$$G_{ik} = \frac{1}{4\pi\mu r} \left[ \left(1 - \frac{1}{2b}\right) \delta_{ik} + \frac{1}{2b} \frac{x_i x_k}{r^2} \right]$$इसे संक्षेप में इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:$$G_{ik} = \frac{1}{4\pi\mu} \left[\frac{\delta_{ik}}{r} - \frac{1}{2b} \frac{\partial^2 r}{\partial x_i \partial x_k}\right]$$और इसे स्पष्ट रूप से लिखा जा सकता है:$$G_{ik}=\frac{1}{4\pi\mu r} \begin{bmatrix}

1-\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b}\frac{x^2}{r^2} & \frac{1}{2b}\frac{xy} {r^2} & \frac{1}{2b}\frac{xz} {r^2} \\

\frac{1}{2b}\frac{yx} {r^2} & 1-\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b}\frac{y^2}{r^2} & \frac{1}{2b}\frac{yz} {r^2} \\

\frac{1}{2b}\frac{zx} {r^2} & \frac{1}{2b}\frac{zy} {r^2} & 1-\frac{1}{2b}+\frac{1}{2b}\frac{z^2}{r^2} \end{bmatrix}$$बेलनाकार निर्देशांक में ($$\rho,\phi,z\,\!$$) इसे इस प्रकार लिखा जा सकता है:$$G_{ik} = \frac{1}{4\pi \mu r} \begin{bmatrix} 1 - \frac{1}{2b} \frac{z^2}{r^2} & 0 & \frac{1}{2b} \frac{\rho z}{r^2}\\ 0 & 1 - \frac{1}{2b} & 0\\ \frac{1}{2b} \frac{z \rho}{r^2}& 0 & 1 - \frac{1}{2b} \frac{\rho^2}{r^2} \end{bmatrix}$$जहाँ $r$ इंगित करने के लिए कुल दूरी है।

बिंदु बल के लिए विस्थापन को बेलनाकार निर्देशांक में लिखना विशेष रूप से सहायक होता है $$F_z$$ z- अक्ष के साथ निर्देशित। परिभाषित $$\hat{\boldsymbol{\rho}}$$ और $$\hat{\mathbf{z}}$$ इकाई वैक्टर के रूप में $$\rho$$ और $$z$$ निर्देश क्रमशः इस प्रकार प्रदर्शित किये जा सकते हैं:$$\mathbf{u} = \frac{F_z}{4\pi\mu r} \left[\frac{1}{4(1-\nu)} \, \frac{\rho z}{r^2} \hat{\boldsymbol{\rho}} + \left(1-\frac{1}{4(1-\nu)}\,\frac{\rho^2}{r^2}\right)\hat{\mathbf{z}}\right]$$

यह देखा जा सकता है कि बल की दिशा में विस्थापन का घटक है, जो कम हो जाता है, जैसा कि इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में क्षमता के स्थिति में होता है, जैसे बड़े r के लिए 1/r तथा इसके अतिरिक्त ρ-निर्देशित घटक भी सम्मिलित हैं।

बूसिनेसक सेरुति समाधान - अनंत आइसोट्रोपिक अर्ध-स्थान के मूल में बिंदु बल
एक अन्य उपयोगी समाधान बिंदु बल का है जो अनंत आधे स्थान की सतह पर कार्य करता है। यह बाऊसीनेस्क्यू द्वारा प्राप्त किया गया था स्पर्शरेखा बल के लिए सामान्य बल और सेरुति के लिए और लैंडौ और लाइफशिट्ज में व्युत्पत्ति दी गई है। इस स्थिति में, समाधान को फिर से हरे रंग के टेंसर के रूप में लिखा जाता है जो अनंत पर शून्य हो जाता है, और सतह पर सामान्य तनाव टेंसर का घटक विलुप्त हो जाता है। यह समाधान कार्टेशियन निर्देशांक में लिखा जा सकता है [याद रखें: $$a=(1-2\nu)$$ और $$b=2(1-\nu)$$, $$\nu$$ = प्वासों का अनुपात]:$$G_{ik} = \frac{1}{4\pi\mu} \begin{bmatrix}

\frac{b}{r}+\frac{x^2}{r^3}-\frac{ax^2}{r(r+z)^2}-\frac{az}{r(r+z)} & \frac{xy}{r^3}-\frac{axy}{r(r+z)^2}& \frac{xz}{r^3}-\frac{ax}{r(r+z)}\\

\frac{yx}{r^3} -\frac{ayx}{r(r+z)^2}& \frac{b}{r}+\frac{y^2}{r^3}-\frac{ay^2}{r(r+z)^2}-\frac{az}{r(r+z)} & \frac{yz}{r^3} -\frac{ay}{r(r+z)}\\

\frac{zx}{r^3}-\frac{ax}{r(r+z)}& \frac{zy}{r^3}-\frac{ay}{r(r+z)}& \frac{b}{r}+\frac{z^2}{r^3} \end{bmatrix} $$

अन्य उपाय

 * एक अनंत समस्थानिक अर्ध-अंतरिक्ष के अंदर बिंदु बल होता हैं।
 * एक आइसोटोपिक अर्ध-स्थान की सतह पर बिंदु बल। * दो लोचदार निकायों का संपर्क: हर्ट्ज समाधान (देखें मैटलैब कोड (Matlab code))। इसके लिए यांत्रिकी से संपर्क करें पर पेज भी देखें।

विस्थापन के संदर्भ में इलास्टोडायनामिक्स
इलास्टोडायनामिक्स लोचदार तरंगों का अध्ययन है और इसमें समय में भिन्नता के साथ रैखिक लोच सम्मिलित है। लोचदार तरंग प्रकार की यांत्रिक तरंग है जो लोचदार या चिपचिपापन सामग्री में फैलती है। सामग्री की लोच लहर की बहाली शक्ति प्रदान करती है। जब वे भूकंप या अन्य गड़बड़ी के परिणामस्वरूप पृथ्वी में उत्पन्न होती हैं, तो लोचदार तरंगों को सामान्यतः भूकंपीय तरंगें कहा जाता है।

रैखिक संवेग समीकरण केवल अतिरिक्त जड़त्वीय पद के साथ संतुलन समीकरण है: $$ \sigma_{ji,j}+ F_i = \rho\,\ddot{u}_i = \rho \, \partial_{tt} u_i.$$ यदि सामग्री अनिसोट्रोपिक हुक के नियम द्वारा नियंत्रित होती है (पूरी सामग्री में कठोरता टेंसर सजातीय के साथ), तो इलास्टोडायनामिक्स का विस्थापन समीकरण प्राप्त करता है:$$\left( C_{ijkl} u_{(k},_{l)}\right) ,_{j}+F_{i}=\rho \ddot{u}_{i}.$$यदि सामग्री आइसोटोपिक और सजातीय है, तो नेवियर-कॉची समीकरण प्राप्त होता है:$$ \mu u_{i,jj} + (\mu+\lambda)u_{j,ij}+F_i=\rho\partial_{tt}u_i \quad \text{or} \quad \mu \nabla^2\mathbf{u} + (\mu+\lambda)\nabla(\nabla\cdot\mathbf{u}) + \mathbf{F}=\rho\frac{\partial^2\mathbf{u}}{\partial t^2}.$$इलास्टोडायनामिक तरंग समीकरण को इस रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है$$ \left(\delta_{kl} \partial_{tt} - A_{kl}[\nabla]\right) u_l = \frac{1}{\rho} F_k$$जहाँ$$ A_{kl}[\nabla]=\frac{1}{\rho} \, \partial_i \, C_{iklj} \, \partial_j$$ध्वनिक अंतर ऑपरेटर है, और $$ \delta_{kl}$$ क्रोनकर डेल्टा है।

हूक के नियम आइसोट्रोपिक सामग्री मीडिया में, कठोरता टेंसर का रूप है$$ C_{ijkl} = K \, \delta_{ij}\, \delta_{kl} + \mu\, (\delta_{ik}\delta_{jl} + \delta_{il} \delta_{jk} - \frac{2}{3}\, \delta_{ij}\, \delta_{kl})$$जहाँ $$K$$ थोक मापांक (या असंपीड़्यता) है, और $$\mu$$ कतरनी मापांक (या कठोरता) है, दो लोचदार मापांक। यदि सामग्री सजातीय है (अर्ताथ कठोरता टेंसर पूरी सामग्री में स्थिर है), ध्वनिक ऑपरेटर बन जाता है:$$A_{ij}[\nabla] = \alpha^2 \partial_i \partial_j + \beta^2 (\partial_m \partial_m \delta_{ij} - \partial_i \partial_j)$$तरंगों के लिए, उपरोक्त अंतर ऑपरेटर ध्वनिक बीजगणितीय ऑपरेटर बन जाता है:$$A_{ij}[\mathbf{k}] = \alpha^2 k_i k_j + \beta^2(k_m k_m \delta_{ij}-k_i k_j)$$जहाँ$$ \alpha^2 = \left(K+\frac{4}{3}\mu\right)/\rho \qquad \beta^2 = \mu / \rho$$इसका आइजन मान $$A[\hat{\mathbf{k}}]$$ हैं, जिसे आइजन्वेक्टर के साथ $$\hat{\mathbf{u}}$$ दिशा के समानांतर और ऑर्थोगोनल $$\hat{\mathbf{k}}\,\!$$, द्वारा संबद्ध तरंगों को अनुदैर्ध्य और अपरूपण प्रत्यास्थ तरंगें कहा जाता है। भूकंपीय साहित्य में, संबंधित समतल तरंगों को पी-तरंगें और एस-तरंगें (भूकंपीय तरंग देखें) कहा जाता है।

तनाव के संदर्भ में इलास्टोडायनामिक्स
गवर्निंग समीकरणों से विस्थापन और तनाव के उन्मूलन से इलास्टोडायनामिक्स के इग्नाज़ाक समीकरण की ओर जाता है $$\left( \rho ^{-1} \sigma _{(ik},_{k}\right) ,_{j)} - S_{ijkl} \ddot{\sigma}_{kl} + \left( \rho ^{-1} F_{(i}\right) ,_{j)} = 0.$$स्थानीय आइसोट्रॉपी के स्थिति में, यह कम हो जाता है$$\left( \rho ^{-1} \sigma _{(ik},_{k}\right) ,_{j)} - \frac{1}{2\mu } \left( \ddot{\sigma}_{ij} - \frac{\lambda }{3 \lambda +2\mu }\ddot{\sigma}_{kk}\delta _{ij}\right) +\left( \rho ^{-1} F_{(i}\right) ,_{j)} = 0. $$इस फॉर्मूलेशन की प्रमुख विशेषताओं में सम्मिलित हैं: (1) अनुपालन के ग्रेडियेंट से बचा जाता है किन्तु द्रव्यमान घनत्व के ग्रेडियेंट प्रस्तुत करता है; (2) यह परिवर्तनशील सिद्धांत से व्युत्पन्न है; (3) यह कर्षण प्रारंभिक-सीमा मूल्य समस्याओं से निपटने के लिए फायदेमंद है, (4) लोचदार तरंगों के तन्य वर्गीकरण की अनुमति देता है, (5) लोचदार तरंग प्रसार समस्याओं में अनुप्रयोगों की श्रृंखला प्रदान करता है; (6) विभिन्न प्रकार के इंटरेक्टिंग क्षेत्रों (थर्मोलेस्टिक, द्रव-संतृप्त झरझरा, पीजोइलेक्ट्रो-इलास्टिक ...) के साथ-साथ नॉनलाइनियर मीडिया के साथ मौलिक या माइक्रोपोलर ठोस की गतिशीलता तक बढ़ाया जा सकता है।

अनिसोट्रोपिक सजातीय मीडिया
अनिसोट्रोपिक मीडिया के लिए, कठोरता टेंसर $$ C_{ijkl}$$ अधिक जटिल है। तनाव टेंसर की समरूपता $$\sigma_{ij}$$ इसका मतलब है कि तनाव के अधिकतम 6 अलग-अलग तत्व हैं। इसी प्रकार, तनाव टेन्सर के अधिक से अधिक 6 विभिन्न तत्व होते हैं $$\varepsilon_{ij}\,\!$$. इसलिए चौथे क्रम की कठोरता टेन्सर $$ C_{ijkl}$$ मैट्रिक्स के रूप में लिखा जा सकता है $$C_{\alpha \beta}$$ (दूसरे क्रम का टेंसर)। Voigt संकेतन टेन्सर सूचकांकों के लिए मानक मानचित्रण है,$$ \begin{matrix} ij & =\\ \Downarrow & \\ \alpha & = \end{matrix}

\begin{matrix} 11 & 22 & 33 & 23,32 & 13,31 & 12,21 \\ \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \Downarrow & \\ 1 &2 &  3 &  4 &  5 & 6 \end{matrix}$$इस अंकन के साथ, किसी भी रैखिक रूप से लोचदार माध्यम के लिए लोच मैट्रिक्स लिख सकते हैं:$$ C_{ijkl}  \Rightarrow C_{\alpha \beta} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & C_{14} & C_{15} & C_{16} \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} & C_{24} & C_{25} & C_{26} \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} & C_{34} & C_{35} & C_{36} \\ C_{14} & C_{24} & C_{34} & C_{44} & C_{45} & C_{46} \\ C_{15} & C_{25} & C_{35} & C_{45} & C_{55} & C_{56} \\ C_{16} & C_{26} & C_{36} & C_{46} & C_{56} & C_{66} \end{bmatrix}.$$जैसा कि दिखाया गया है, मैट्रिक्स $$ C_{\alpha \beta}$$ सममित है, यह तनाव ऊर्जा घनत्व समारोह के अस्तित्व का परिणाम है जो संतुष्ट करता है $$\sigma_{ij} = \frac{\partial W}{\partial\varepsilon_{ij}}$$. इसलिए, के अधिकतम 21 अलग-अलग तत्व $$ C_{\alpha \beta}\,\!$$ हैं।

आइसोटोपिक विशेष स्थिति में 2 स्वतंत्र तत्व हैं:$$ C_{\alpha \beta} = \begin{bmatrix} K+4 \mu\ /3 & K-2 \mu\ /3 & K-2 \mu\ /3 & 0 & 0  & 0 \\ K-2 \mu\ /3 & K+4 \mu\ /3 &  K-2 \mu\ /3 & 0 & 0  & 0 \\ K-2 \mu\ /3 & K-2 \mu\ /3 & K+4 \mu\ /3 & 0 & 0  & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \mu\ & 0  & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \mu\  & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0  & \mu\ \end{bmatrix}.$$सबसे सरल अनिसोट्रोपिक स्थिति, क्यूबिक समरूपता के 3 स्वतंत्र तत्व हैं: $$ C_{\alpha \beta} = \begin{bmatrix} C_{11} &  C_{12} &  C_{12} & 0 & 0  & 0 \\ C_{12} &  C_{11} &  C_{12} & 0 & 0  & 0 \\ C_{12} & C_{12}  &  C_{11} & 0 & 0  & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0  & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44}  & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0  & C_{44} \end{bmatrix}.$$ अनुप्रस्थ आइसोट्रॉपी का स्थिति, जिसे ध्रुवीय अनिसोट्रॉपी भी कहा जाता है, (समरूपता के एकल अक्ष (3-अक्ष) के साथ) में 5 स्वतंत्र तत्व हैं: $$ C_{\alpha \beta} = \begin{bmatrix} C_{11} &  C_{11}-2C_{66} &  C_{13} & 0 & 0  & 0 \\ C_{11}-2C_{66} &  C_{11} &  C_{13} & 0 & 0  & 0 \\ C_{13} & C_{13}  &  C_{33} & 0 & 0  & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0  & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_{44}  & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0  & C_{66} \end{bmatrix}.$$ जब अनुप्रस्थ आइसोट्रॉपी कमजोर होती है (अर्थात आइसोट्रॉपी के करीब), थॉमसन पैरामीटर का उपयोग करने वाला वैकल्पिक पैरामीट्रिजेशन, तरंग गति के सूत्रों के लिए सुविधाजनक होता है।

ऑर्थोट्रॉपी (एक ईंट की समरूपता) के स्थिति में 9 स्वतंत्र तत्व हैं:$$ C_{\alpha \beta} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} & C_{13} & 0 & 0 & 0 \\ C_{12} & C_{22} & C_{23} & 0 & 0 & 0 \\ C_{13} & C_{23} & C_{33} & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & C_{44} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & C_{55} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & C_{66} \end{bmatrix}.$$

इलास्टोडायनामिक्स
अनिसोट्रोपिक मीडिया के लिए इलास्टोडायनामिक वेव समीकरण को इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$ (\delta_{kl} \partial_{tt} - A_{kl}[\nabla])\, u_l = \frac{1}{\rho} F_k$$जहाँ$$ A_{kl}[\nabla]=\frac{1}{\rho} \, \partial_i \, C_{iklj} \, \partial_j$$ध्वनिक अंतर ऑपरेटर है, और $$ \delta_{kl}$$ क्रोनकर डेल्टा है।

समतल तरंगें और क्रिस्टोफेल समीकरण
समतल तरंग का रूप होता है$$ \mathbf{u}[\mathbf{x}, \, t] = U[\mathbf{k} \cdot \mathbf{x} - \omega \, t] \, \hat{\mathbf{u}}$$यहाँ पर $$\hat{\mathbf{u}}\,\!$$ इकाई लंबाई को प्रदर्शित करती हैं।

यह शून्य बल के साथ तरंग समीकरण का समाधान है, यदि और केवल यदि $$ \omega^2 $$ और $$\hat{\mathbf{u}}$$ ध्वनिक बीजगणितीय ऑपरेटर के आइगेनवैल्यू/ईजेनवेक्टर जोड़ी का गठन करता हैं।$$ A_{kl}[\mathbf{k}]=\frac{1}{\rho} \, k_i \, C_{iklj} \, k_j.$$इस प्रसार की स्थिति (जिसे 'क्रिस्टोफेल समीकरण' के रूप में भी जाना जाता है) को इस रूप में लिखा जा सकता है।$$A[\hat{\mathbf{k}}] \, \hat{\mathbf{u}} = c^2 \, \hat{\mathbf{u}}$$जहाँ

$$\hat{\mathbf{k}} = \mathbf{k} / \sqrt{\mathbf{k}\cdot\mathbf{k}}$$ प्रसार दिशा को दर्शाता है और $$c = \omega / \sqrt{\mathbf{k} \cdot \mathbf{k}}$$ चरण वेग है।

यह भी देखें

 * कैस्टिग्लिआनो की विधि
 * क्लैप्रोन प्रमेय (लोच)
 * संपर्क यांत्रिकी
 * विरूपण (यांत्रिकी)
 * लोच (भौतिकी)
 * इमारत
 * हुक का नियम
 * इनफिनिटिमल स्ट्रेन थ्योरी
 * मिशेल समाधान
 * प्लास्टिसिटी (भौतिकी)
 * सिग्नोरिनी समस्या
 * वसंत प्रणाली
 * तनाव (यांत्रिकी)
 * तनाव कार्य करता है