पुलबैक (अंतर ज्यामिति)

$$\phi:M\to N$$ स्मूथ मैनिफोल्ड $$M$$ और $$N$$.के बीच स्मूथ मैप  के रूप में बनें होते है, इसके बाद 1-फॉर्म के स्थान से संबद्ध एक $$N$$ रैखिक मैप के रूप में होता है। इस रैखिक मानचित्र को  $$\phi$$ पुलबैक के रूप में जाना जाता है और इसे अधिकांशतः  $$\phi^*$$.द्वारा निरूपित किया जाता है और इस प्रकार सामान्यतः किसी भी सहसंयोजक टेंसर क्षेत्र विशेष रूप से N पर किसी भी अवकलन रूप को  $$\phi$$. का उपयोग करके M पर वापस खींचा जा सकता है।

जब मैप $$\phi$$ एक भिन्नता के रूप में है, तो पुलबैक, पुशफॉरवर्ड के साथ किसी भी टेंसर क्षेत्र को N से M या इसके विपरीत बदलने के लिए उपयोग किया जा सकता है और इस प्रकार विशेष रूप से, यदि  $$\phi$$ के विवृत  उपसमुच्चय के बीच एक भिन्नता $$\R^n$$ और $$\R^n$$ निर्देशांक के परिवर्तन के रूप में देखा जाता है और संभवतः  विभिन्न मैनिफोल्ड चार्ट्स के बीच मैनिफोल्ड पर $$M$$ फिर पुलबैक और पुशफॉरवर्ड विषय के अधिक संकीर्ण समन्वय निर्भर दृष्टिकोणों में उपयोग किए जाने वाले सदिश टेंसरों के कोवैरिएंट और कॉन्ट्रावैरिएंट के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं।

पुलबैक के पीछे का विचार अनिवार्य रूप से एक फलन के दूसरे प्रफलन के साथ संयोजन की धारणा है। चूंकि इस विचार को कई भिन्न भिन्न संदर्भो में जोड़कर बहुत जटिल पुलबैक ऑपरेशंस का निर्माण किया जा सकता है। इइस लेख की शुरुआत सरल संक्रियाओं से प्रारंभ होता है, फिर उनका उपयोग अधिक जटिल संक्रियाओं के निर्माण के लिए के लिए उपयोग में लाया जाता है और इस प्रकार सामान्यतः पुलबैक मैकेनिज्म प्रीकम्पोजिशन का उपयोग करके अवकलन ज्यामिति में कई प्रतिपरिवर्ती संचालिका कार्यात्मक के रूप में बदल देती है।

स्मूथ फलन और स्मूथ नक्शों का पुलबैक
माना कि $$\phi:M\to N$$ स्मूथ मैनिफोल्ड $$M$$ और $$N$$.के बीच स्मूथ मैप  के रूप में बनें होते है और मान लीजिए $$f:N\to\R$$ एक सुचारू फलन के रूप में $$N$$.है,  फिर $$\phi$$ द्वारा $$f$$ का पुलबैक स्मूथ $$(\phi^*f)(x)=f(\phi(x))$$ द्वारा परिभाषित $$M$$ पर स्मूथ  फलन $$\phi^*f$$ .के रूप में है, इसी प्रकार यदि $$f$$ एक विवृत समुच्चय  पर एक सहज फलन $$U$$ और  $$N$$ के रूप में है तो वही सूत्र  $$\phi^{-1}(U)$$.में विवृत  समुच्चय  $$f$$ पर एक स्मूथ फलन को परिभाषित करता है। (शेफ (गणित) की पुलबैक भाषा में $$M$$ स्मूथ  फलन के शीफ से  $$\phi$$ द्वारा  प्रत्यक्ष छवि शीफ के लिए  $$N$$ पर स्मूथ फलन के शीफ मोर्फिज्म को परिभाषित करता है।

अधिक सामान्यतः यदि $$f:N\to A$$, $$N$$ से किसी भी अन्य गुना $$A$$ के लिए स्मूथ मैप के रूप में है और  तब $$(\phi^*f)(x)=f(\phi(x))$$  $$M$$ को $$A$$ तक एक स्मूथ  मैप  के रूप में है।

बंडलों और सेक्शन का पुलबैक
यदि $$E$$ सदिश बंडल है अथवा वास्तव में किसी भी फाइबर बंडल  $$N$$ और $$\phi:M\to N$$ के ऊपर का एक स्मूथ  मैप है तो पुलबैक बंडल $$\phi^*E$$  सदिश बंडल अथवा $$M$$ फाइबर बंडल के रूप में होता है जिसका फाइबर $$x$$ से अधिक $$M$$ में  $$(\phi^*E)_x=E_{\phi(x)}$$ के द्वारा दिया गया है

इस स्थिति में, पूर्वसंगठन के अनुभागों पर पुलबैक ऑपरेशन को परिभाषित करता है $$E$$: यदि $$s$$ का एक खंड फाइबर बंडल है तो $$E$$ के ऊपर $$N$$, फिर पुलबैक बंडल $$\phi^*s=s\circ\phi$$ का एक भाग है और $$M$$ के ऊपर $$\phi^*E$$ है।

बहुरेखीय रूपों का पुलबैक
होने देना Φ: V → W सदिश रिक्त स्थान वी और डब्ल्यू के बीच एक रैखिक मानचित्र बनें (अर्थात, Φ का एक तत्व है L(V, W), भी निरूपित Hom(V, W)), और जाने


 * $$F:W \times W \times \cdots \times W \rightarrow \mathbf{R}$$

डब्ल्यू पर एक बहुरेखीय रूप हो (जिसे एक टेन्सर  के रूप में भी जाना जाता है - एक टेंसर फ़ील्ड के साथ भ्रमित नहीं होना - रैंक का (0, s), जहां s उत्पाद में W के कारकों की संख्या है)। फिर पुलबैक Φ∗Φ द्वारा F का F, V पर एक बहुरेखीय रूप है, जिसे Φ के साथ F को पूर्वनिर्मित करके परिभाषित किया गया है। अधिक सटीकता से, दिए गए सदिश v1, में2, ..., मेंs वी में, Φ∗F सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$(\Phi^*F)(v_1,v_2,\ldots,v_s) = F(\Phi(v_1), \Phi(v_2), \ldots ,\Phi(v_s)),$$

जो वी पर एक बहुरेखीय रूप है। इसलिए Φ∗ एक (रैखिक) संकारक है जो W पर बहुरेखीय रूपों से V पर बहुरेखीय रूपों तक होता है। एक विशेष स्थितियों े के रूप में, ध्यान दें कि यदि F, W पर एक रैखिक रूप (या (0,1)-टेंसर) है, जिससे कि F, W का एक अवयव है∗, W का दोहरा स्थान, फिर Φ∗F, V का एक अवयव है∗, और इसलिए Φ द्वारा पुलबैक दोहरे स्थानों के बीच एक रेखीय मानचित्र को परिभाषित करता है जो रेखीय मानचित्र Φ के विपरीत दिशा में फलन करता है:


 * $$\Phi\colon V\rightarrow W, \qquad \Phi^*\colon W^*\rightarrow V^*.$$

तन्यता के दृष्टिकोण से, मनमाना रैंक के टेंसरों के लिए पुलबैक की धारणा का विस्तार करने की कोशिश करना स्वाभाविक है, अर्थात, W की r प्रतियों के टेन्सर उत्पाद में मान लेने वाले W पर बहुरेखीय नक्शों के लिए, अर्थात, W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. चूंकि, ऐसे टेंसर उत्पाद के तत्व स्वाभाविक रूप से पीछे नहीं हटते हैं: इसके अतिरिक्त एक पुशफॉरवर्ड ऑपरेशन होता है V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V को W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W द्वारा दिए गए


 * $$\Phi_*(v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_r)=\Phi(v_1)\otimes \Phi(v_2)\otimes\cdots\otimes \Phi(v_r).$$

फिर भी, यह इस बात का अनुसरण करता है कि यदि Φ उलटा है, पुलबैक को व्युत्क्रम फलन Φ द्वारा पुशफॉरवर्ड का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है-1. इन दो निर्माणों के संयोजन से किसी भी रैंक के टेंसरों के लिए एक उलटा रैखिक मानचित्र के साथ एक पुशफॉरवर्ड ऑपरेशन प्राप्त होता है (r, s).

कॉटैंजेंट सदिश और 1-फॉर्म
का पुलबैक

चलो φ : एम → एन स्मूथ कई गुनाओं के बीच एक स्मूथ  मैप  बनें। फिर φ का पुशफॉरवर्ड (अंतर), φ लिखा*, dφ, या Dφ, M के स्पर्शरेखा बंडल TM से पुलबैक बंडल φ तक एक सदिश बंडल आकारिकी (M से अधिक) है*टीएन। φ की दोहरी जगह* इसलिए φ से एक बंडल मैप  है*टी*N से T*M, M का कोटैंजेंट बंडल।

अब मान लीजिए α T का एक खंड (फाइबर बंडल) है*N (एक अवकलन फॉर्म|N पर 1-फॉर्म), और φ का पुलबैक बंडल प्राप्त करने के लिए α को φ के साथ प्रीकंपोज़ करें*टी*एन. उपरोक्त बंडल मानचित्र (बिंदुवार) को इस अनुभाग में लागू करने से α का 'पुलबैक' φ द्वारा प्राप्त होता है, जो 1-रूप φ है*α ऑन एम द्वारा परिभाषित
 * $$ (\varphi^*\alpha)_x(X) = \alpha_{\varphi(x)}(d\varphi_x(X))$$

एम में एक्स और टी में एक्स के लिएxएम।

(सहसंयोजक) टेंसर फ़ील्ड्स का पुलबैक
पिछले खंड का निर्माण रैंक के दसियों के लिए तुरंत सामान्यीकृत होता है $$(0,s)$$ किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए $$s$$: ए $$(0,s)$$ कई गुना पर टेंसर क्षेत्र $$N$$ टेंसर बंडल का एक भाग चालू है $$N$$ जिसका फाइबर पर $$y$$ में $$N$$ बहुरेखीय का स्थान है $$s$$-रूप
 * $$ F: T_y N\times\cdots \times T_y N\to \R.$$

ले कर $$\phi$$ एक स्मूथ मानचित्र के (बिंदुवार) अवकलन के बराबर $$\phi$$ से $$M$$ को $$N$$, बहुरेखीय रूपों के पुलबैक को पुलबैक उत्पन्न करने के लिए वर्गों के पुलबैक के साथ जोड़ा जा सकता है $$(0,s)$$ टेंसर फ़ील्ड चालू $$M$$. अधिक सटीक यदि $$S$$ एक है $$(0,s)$$-टेंसर फील्ड ऑन $$N$$, फिर का पुलबैक $$S$$ द्वारा $$\phi$$ है $$(0,s)$$-टेंसर क्षेत्र $$\phi^*S$$ पर $$M$$ द्वारा परिभाषित
 * $$ (\varphi^*S)_x(X_1,\ldots, X_s) = S_{\varphi(x)}(d\varphi_x(X_1),\ldots, d\varphi_x(X_s))$$

के लिए $$x$$ में $$M$$ और $$X_j$$ में $$T_xM$$.

अवकलन रूपों का पुलबैक
सहसंयोजक टेंसर क्षेत्रों के पुलबैक का एक विशेष महत्वपूर्ण स्थितियों अवकलन रूपों का पुलबैक है। यदि  $$\alpha$$ एक अवकलन है $$k$$-फॉर्म, अर्थात  बाहरी बंडल का एक हिस्सा $$\Lambda^k(T^*N)$$ (फाइबरवाइज) बारी-बारी से $$k$$-फॉर्म चालू है $$TN$$, फिर का पुलबैक $$\alpha$$ अवकलन है $$k$$-फॉर्म ऑन $$M$$ पिछले अनुभाग के समान सूत्र द्वारा परिभाषित:
 * $$ (\varphi^*\alpha)_x(X_1,\ldots, X_k) = \alpha_{\varphi(x)}(d\varphi_x(X_1),\ldots, d\varphi_x(X_k))$$

के लिए $$x$$ में $$M$$ और $$X_j$$ में $$T_xM$$.

अवकलन फॉर्म के पुलबैक में दो गुण होते हैं जो इसे बहुत  उपयोगी बनाते हैं।


 * 1) यह वेज उत्पाद के साथ इस अर्थ में संगत है कि अवकलन रूपों के लिए $$\alpha$$ और $$\beta$$ पर $$N$$,
 * $$\varphi^*(\alpha \wedge \beta)=\varphi^*\alpha \wedge \varphi^*\beta.$$
 * 1) यह बाहरी व्युत्पन्न के साथ संगत है $$d$$: यदि  $$\alpha$$ पर अवकलन रूप है $$N$$ तब
 * $$\varphi^*(d\alpha) = d(\varphi^*\alpha).$$

अलग-भिन्न रूपों द्वारा पुलबैक
जब मैप $$\phi$$ मैनिफोल्ड्स के बीच एक डिफियोमोर्फिज्म है, अर्थात, इसका एक स्मूथ  व्युत्क्रम है, फिर पुलबैक को सदिश क्षेत्रों के साथ-साथ 1-रूपों के लिए परिभाषित किया जा सकता है, और इस प्रकार, विस्तार द्वारा, कई गुना पर एक मनमाना मिश्रित टेंसर क्षेत्र के लिए। रेखीय मैप
 * $$\Phi = d\varphi_x \in \operatorname{GL}\left(T_x M, T_{\varphi(x)}N\right)$$

देने के लिए उलटा किया जा सकता है
 * $$\Phi^{-1} = \left({d\varphi_x}\right)^{-1} \in \operatorname{GL}\left(T_{\varphi(x)}N, T_x M\right).$$

एक सामान्य मिश्रित टेंसर फ़ील्ड तब का उपयोग कर रूपांतरित हो जाएगा $$\phi$$ और $$\phi^{-1}$$ टेंसर उत्पाद के अनुसार टेंसर बंडल की प्रतियों में अपघटन $$TN$$ और $$T^*N$$. कब $$M=N$$, फिर पुलबैक और पुशफॉरवर्ड (अवकलन ) कई गुना पर टेंसर के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं $$M$$. संकीर्ण शब्दों में, पुलबैक टेंसर के सहसंयोजक सूचकांकों के परिवर्तन गुणों का वर्णन करता है; इसके विपरीत, सदिश सूचकांकों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण का परिवर्तन एक पुशफॉरवर्ड (अंतर) द्वारा दिया जाता है।

ऑटोमोर्फिज्म द्वारा पुलबैक
पिछले खंड के निर्माण में एक प्रतिनिधित्व-सैद्धांतिक व्याख्या है जब $$\phi$$ कई गुना से एक भिन्नता है $$M$$ खुद को। इस स्थितियों े में व्युत्पन्न $$d\phi$$ का एक भाग है $$\operatorname{GM}(TM,\phi^*TM)$$. यह फ्रेम बंडल से जुड़े किसी भी बंडल के अनुभागों पर पुलबैक क्रिया को प्रेरित करता है $$\operatorname{GM}(m)$$ का $$M$$ सामान्य रैखिक समूह के प्रतिनिधित्व द्वारा $$\operatorname{GM}(m)$$ (कहाँ $$m=\dim M$$).

पुलबैक और झूठ व्युत्पन्न
लाइ डेरिवेटिव देखें। सदिश क्षेत्र द्वारा परिभाषित भिन्नता के स्थानीय 1-पैरामीटर समूह में पूर्ववर्ती विचारों को लागू करके $$M$$, और पैरामीटर के संबंध में अवकलन करते हुए, किसी भी संबद्ध बंडल पर लाई डेरिवेटिव की धारणा प्राप्त की जाती है।

कनेक्शन का पुलबैक (सहसंयोजक डेरिवेटिव)
यदि $$\nabla$$ एक सदिश बंडल पर एक कनेक्शन (सदिश बंडल) (या सहसंयोजक व्युत्पन्न) है $$E$$ ऊपर $$N$$ और $$\phi$$ से एक स्मूथ  मैप  है $$M$$ को $$N$$, तो एक पुलबैक कनेक्शन है $$\phi^*\nabla$$ पर $$\phi^*E$$ ऊपर $$M$$, विशिष्ट रूप से इस शर्त द्वारा निर्धारित किया गया है कि
 * $$\left(\varphi^*\nabla\right)_X\left(\varphi^*s\right) = \varphi^*\left(\nabla_{d\varphi(X)} s\right).$$

यह भी देखें

 * पुशफॉरवर्ड (अंतर)
 * पुलबैक बंडल
 * पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत)

संदर्भ

 * See sections 1.5 and 1.6.
 * See section 1.7 and 2.3.