बेसेल फिल्टर

इलेक्ट्रानिक्स और संकेत का प्रक्रमण  में, एक बेसेल फ़िल्टर एक प्रकार का एनालॉग रैखिक फ़िल्टर है जिसमें अधिकतम फ्लैट समूह/चरण विलंब (अधिकतम रैखिक चरण प्रतिक्रिया) होता है, जो पासबैंड में फ़िल्टर्ड सिग्नल के तरंग आकार को सुरक्षित रखता है। बेसेल फिल्टर अक्सर ऑडियो क्रॉसओवर सिस्टम में उपयोग किए जाते हैं।

फ़िल्टर का नाम जर्मन गणितज्ञ फ्रेडरिक बेसेल (1784-1846) का संदर्भ है, जिन्होंने गणितीय सिद्धांत विकसित किया जिस पर फ़िल्टर आधारित है। डब्ल्यू ई थॉमसन की मान्यता में फिल्टर को बेसेल-थॉमसन फिल्टर भी कहा जाता है,जिन्होंने 1949 में डिज़ाइन को फ़िल्टर करने के लिए बेसेल फलन को लागू करने का तरीका निकाला।

बेसेल फ़िल्टर गॉस फिल्टर के समान ही है, और फ़िल्टर क्रम बढ़ने पर उसी आकार की ओर जाता है। जबकि गॉस फ़िल्टर के टाइम-डोमेन चरण प्रतिक्रिया में शून्य अतिक्रमण (संकेत) होता है, बेसेल फ़िल्टर में थोड़ी मात्रा में अतिक्रमण होता है,  लेकिन फिर भी अन्य सामान्य आवृत्ति-डोमेन फ़िल्टर की तुलना में बहुत कम होता है,जैसे बटरवर्थ फिल्टर। यह ध्यान दिया गया है कि बेसेल-थॉमसन फिल्टर की आवेग प्रतिक्रिया एक गॉस की ओर जाती है क्योंकि फिल्टर का क्रम बढ़ जाता है।

गॉस फ़िल्टर के परिमित-आदेश अनुमानों की तुलना में, बेसेल फ़िल्टर में बेहतर आकार देने वाला कारक, फ्लैटर फेज़ में होने वाली देरी, और समान क्रम के गॉस की तुलना में फ्लैटर समूह में होने वाली देरी, चूँकि गॉस में कम समय विलंब और शून्य अतिक्रमण होता है।

स्थानांतरण फलन
एक बेसेल लो पास फिल्टर को इसके स्थानांतरण प्रकार्य की विशेषता है:


 * $$H(s) = \frac{\theta_n(0)}{\theta_n(s/\omega_0)}\,$$

कहाँ पे $$\theta_n(s)$$ एक उल्टा बेसेल बहुपद  है जिससे फ़िल्टर का नाम मिलता है और $$\omega_0$$ वांछित अंतक आवृत्ति देने के लिए चुनी गई आवृत्ति है। फ़िल्टर में कम आवृत्ति समूह  में होने वाली देरी है  $$1 / \omega_0$$. तब से $$\theta_n (0) $$ विपरीत बेसेल बहुपद की परिभाषा से अनिश्चित है, लेकिन एक हटाने योग्य विलक्षणता है, यह परिभाषित किया गया है कि $$\theta_n (0) = \lim_{x \rightarrow 0} \theta_n (x) $$.

बेसेल बहुपद
बेसेल फ़िल्टर का स्थानांतरण फलन एक तर्कसंगत कार्य है जिसका हर एक विपरीत बेसेल बहुपद है, जैसे कि निम्न:


 * $$n=1: \quad s+1$$
 * $$n=2: \quad s^2+3s+3$$
 * $$n=3: \quad s^3+6s^2+15s+15$$
 * $$n=4: \quad s^4+10s^3+45s^2+105s+105$$
 * $$n=5: \quad s^5+15s^4+105s^3+420s^2+945s+945$$

विलोम बेसेल बहुपद निम्न द्वारा दिए गए हैं:


 * $$\theta_n(s)=\sum_{k=0}^n a_ks^k,$$

कहाँ पे


 * $$a_k=\frac{(2n-k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!} \quad k=0,1,\ldots,n.$$

उदाहरण


तीसरे क्रम (तीन-पोल) बेसेल कम-पास फ़िल्टर के लिए स्थानांतरण फलन $$\omega_0 = 1$$ है


 * $$H(s)=\frac{15}{s^3+6s^2+15s+15},$$

जहां अंश को शून्य आवृत्ति पर एकता लाभ देने के लिए चुना गया है ($$s = 0$$)। हर बहुपद की जड़ों, फिल्टर के ध्रुव, में एक वास्तविक ध्रुव शामिल होता है $$s=-2.3222$$, और एक जटिल संयुग्म | ध्रुवों की जटिल-संयुग्म जोड़ी $$s = -1.8389 \pm j1.7544$$, ऊपर प्लॉट किया गया।

लाभ तो है


 * $$G(\omega) = |H(j\omega)| = \frac{15}{\sqrt{\omega^6+6\omega^4+45\omega^2+225}}. \, $$

−3-dB बिंदु, जहाँ $$|H(j\omega)| = \frac{1}\sqrt{2}, \, $$ पर होता है $$\omega = 1.756 $$. इसे पारंपरिक रूप से कट-ऑफ आवृत्ति कहा जाता है।

चरण है


 * $$\phi(\omega)=-\arg(H(j\omega))=

\arctan\left(\frac{15\omega-\omega^3}{15-6\omega^2}\right). \, $$ समूह में होने वाली देरी है


 * $$D(\omega)=-\frac{d\phi}{d\omega} =

\frac{6 \omega^4+ 45 \omega^2+225}{\omega^6+6\omega^4+45\omega^2+225}. \, $$ समूह में होने वाली देरी का टेलर श्रृंखला  विस्तार है


 * $$D(\omega) = 1-\frac{\omega^6}{225}+\frac{\omega^8}{1125}+\cdots.$$

ध्यान दें कि दो शब्दों में $$\omega^2$$ तथा $$\omega^4$$ शून्य हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक बहुत ही सपाट समूह में होने वाली देरी होता है $$\omega=0$$. यह सबसे बड़ी संख्या है जिसे शून्य पर उत्पन्न किया जा सकता है, क्योंकि तीसरे क्रम के बेसेल बहुपद में कुल चार गुणांक हैं, जिन्हें परिभाषित करने के लिए चार समीकरणों की आवश्यकता होती है। एक समीकरण निर्दिष्ट करता है कि लाभ एकता है $$\omega=0$$ और एक दूसरा निर्दिष्ट करता है कि लाभ शून्य हो $$\omega=\infty$$, श्रृंखला विस्तार में दो पदों को शून्य होने के लिए निर्दिष्ट करने के लिए दो समीकरणों को छोड़कर। यह ऑर्डर के बेसेल फ़िल्टर के लिए समूह में होने वाली देरी की एक सामान्य संपत्ति है $$n$$: सबसे पहला $n-1$ समूह में होने वाली देरी की श्रृंखला विस्तार में शर्तें शून्य होंगी, इस प्रकार समूह में होने वाली देरी की समतलता को अधिकतम किया जा सकता है $\omega=0$.

डिजिटल
चूंकि बेसेल फ़िल्टर की महत्वपूर्ण विशेषता इसकी अधिकतम-फ्लैट समूह में होने वाली देरी है, और आयाम प्रतिक्रिया नहीं है, इसलिए एनालॉग बेसेल फ़िल्टर को डिजिटल रूप में परिवर्तित करने के लिए द्विरेखीय परिवर्तन का उपयोग करना अनुचित है (चूंकि यह आयाम प्रतिक्रिया को संरक्षित करता है लेकिन समूह में होने वाली देरी को नहीं)।

डिजिटल समकक्ष थिरन फिल्टर है, जो अधिकतम-फ्लैट समूह में होने वाली देरी के साथ एक ऑल-पोल लो-पास फिल्टर भी है, जिसे आंशिक विलंब को लागू करने के लिए एक ऑलपास फिल्टर में भी बदला जा सकता है। [13]

यह भी देखें

 * बटरवर्थ फ़िल्टर
 * कंघी फिल्टर
 * चेबीशेव फ़िल्टर
 * अण्डाकार फिल्टर
 * बेसेल फलन
 * समूह में होने वाली देरी और चरण विलंब

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 * जटिल सन्युग्म

बाहरी संबंध

 * Bessel and Linear Phase Filters — Nuhertz
 * Bessel Filter Constants — C.R. Bond
 * Bessel Filters Polynomials, Poles and Circuit Elements — C.R. Bond
 * Java source code to compute Bessel filter poles