बीजगणितीय समीकरण

गणित में, एक बीजगणितीय समीकरण या बहुपद समीकरण एक समीकरण का रूप होता है
 * $$P = 0$$

जहाँ P किसी क्षेत्र (गणित) में गुणांक वाला एक बहुपद है, अधिकांश परिमेय संख्याओं का क्षेत्र। कई लेखकों के लिए, शब्द बीजगणितीय समीकरण केवल अविभाजित समीकरणों को संदर्भित करता है, जो कि बहुपद समीकरण है जिसमें केवल एक चर (गणित) शामिल होता है। दूसरी ओर, एक बहुपद समीकरण में कई चर शामिल हो सकते हैं। कई चर (बहुभिन्नरूपी मामले) के मामले में, बहुपद समीकरण शब्द को सामान्यतः बीजगणितीय समीकरण के लिए पसंद किया जाता है।

उदाहरण के लिए,
 * $$x^5-3x+1=0$$
 * पूर्णांक गुणांक के साथ एक बीजगणितीय समीकरण है और
 * $$y^4 + \frac{xy}{2} - \frac{x^3}{3} + xy^2 + y^2 + \frac{1}{7} = 0$$

परिमेय पर एक बहुचर बहुपद समीकरण है।

परिमेय संख्या गुणांक वाले कुछ लेकिन सभी बहुपद समीकरणों का एक समाधान नहीं होता है जो एक बीजगणितीय व्यंजक होता है जिसे परिमित संख्या में संक्रियाओं का उपयोग करके पाया जा सकता है जिसमें केवल उसी प्रकार के गुणांक शामिल होते हैं (अर्थात्,जिसका बीजगणितीय समाधान हो सकता है)। यह बहुपद एक, दो, तीन या चार की घात वाले ऐसे सभी समीकरणों के लिए किया जा सकता है; लेकिन  घात पाँच या अधिक के लिए यह केवल कुछ समीकरणों के लिए किया जा सकता है, सभी के लिए नहीं.। अविभिन्न बीजगणितीय समीकरण ( वर्गमूल-खोज कलन विधि देखें) और कई बहुचर बहुपद समीकरणों के सामान्य समाधानों की वास्तविक संख्या या जटिल संख्या समाधानों के कुशलतापूर्वक एकदम सही अनुमानों की गणना करने के लिए बड़ी मात्रा में अनुसंधान समर्पित किया गया है (बहुपद समीकरणों की प्रणाली देखें).

शब्दावली
शब्द बीजगणितीय समीकरण उस समय से है जब बीजगणित की मुख्य समस्या अविभाजित बहुपद समीकरणों को हल करना था। 19वीं शताब्दी के दौरान यह समस्या पूरी तरह से हल हो गई थी; बीजगणित का मौलिक प्रमेय, एबेल-रफ़िनी प्रमेय और गैलोज़ सिद्धांत देखें।

तब से, बीजगणित का विस्तार प्रभावशाली रूप से बढ़ गया है। विशेष रूप से, इसमें उन समीकरणों का अध्ययन शामिल है जिनमें $n$वाँ मूल और अधिक सामान्यतः, बीजगणितीय व्यंजक शामिल है। यह शब्द बीजगणितीय समीकरण को पुरानी समस्या के संदर्भ से बाहर अस्पष्ट बना देता है। इसलिए बहुपद समीकरण शब्द को सामान्यतः पसंद किया जाता है, विशेष रूप से बहुभिन्नरूपी समीकरणों पर विचार करते समय अब यह अस्पष्टता हो सकती है।

इतिहास
बीजगणितीय समीकरणों का अध्ययन शायद उतना ही पुराना है जितना कि गणित: बेबीलोनियन गणित, 2000 ईसा पूर्व में कुछ प्रकार के द्विघात समीकरण को हल कर सकता था (प्रथम बेबीलोनियन राजवंश मिट्टी की गोलियों पर प्रदर्शित)।

परिमेय (अर्थात्, परिमेय संख्या गुणांकों के साथ) पर अविभिन्न बीजगणितीय समीकरणों का एक बहुत लंबा इतिहास रहा है। प्राचीन गणितज्ञ मूल भावों के रूप में समाधान चाहते थे, जैसे $$x=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$$ के धनात्मक समाधान के लिए $$x^2-x-1=0$$. प्राचीन मिस्रवासी घात 2 के समीकरणों को इस तरीके से हल करना जानते थे। भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त (597-668 ईस्वी) ने स्पष्ट रूप से 628 ईस्वी में प्रकाशित अपने ग्रंथ ब्रह्मस्फुतासिद्धांत में द्विघात सूत्र का वर्णन किया, लेकिन प्रतीकों के बजाय शब्दों में लिखा। 9वीं शताब्दी में मुहम्मद इब्न मूसा अल-ख्वारिज्मी और अन्य इस्लामी गणितज्ञों ने द्विघात सूत्र निकाला, घात 2 के समीकरणों का सामान्य समाधान, और विवेचक के महत्व को मान्यता दी। 1545 में पुनर्जागरण के दौरान, जेरोम कार्डानो ने स्किपियो डेल फेरो और निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया को घन फलन और चतुर्थक समारोह के लिए लोदोविको फेरारी के समाधान को प्रकाशित किया। अंत में नील्स हेनरिक एबेल ने 1824 में साबित किया कि द्विघात समीकरण और उच्चतर में कण का उपयोग करके सामान्य समाधान नहीं हैं। एवरिस्टे गैलोइस के नाम पर गैलोज सिद्धांत ने दिखाया कि कम से कम घात 5 के कुछ समीकरणों में कण में एक विशेष स्वभाव का समाधान भी नहीं है, और यह तय करने के लिए मानदंड दिया कि क्या कोई समीकरण वास्तव में कण का उपयोग करके हल करने योग्य है।

अध्ययन के क्षेत्र
बीजगणितीय समीकरण आधुनिक गणित के कई क्षेत्रों का आधार हैं: बीजगणितीय संख्या सिद्धांत परिमेय (अर्थात परिमेय संख्या गुणांकों के साथ) पर (अविभाजित) बीजगणितीय समीकरणों का अध्ययन है। इवरिस्ट गैलोइस द्वारा गाल्वा सिद्धांत पेश किया गया था ताकि यह तय किया जा सके कि एक बीजगणितीय समीकरण को मूलांक के रूप में हल किया जा सकता है या नहीं किया जा सकता। क्षेत्र सिद्धांत (गणित) में, एक बीजगणितीय विस्तार एक विस्तार है जैसे कि प्रत्येक तत्व आधार क्षेत्र पर एक बीजगणितीय समीकरण की वर्गमूल है। अतिश्रेष्ट संख्या सिद्धांत वास्तविक संख्याओं का अध्ययन है जो परिमेय पर बीजगणितीय समीकरण का समाधान नहीं हैं। एक डायोफैंटाइन समीकरण एक (सामान्यतः बहुचर) बहुपद समीकरण है जिसमें पूर्णांक गुणांक होते हैं जिसके लिए पूर्णांक समाधान में रुचि होती है। बीजगणितीय ज्यामिति बहुचर बहुपद समीकरणों के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र में समाधानों का अध्ययन है।

दो समीकरण समतुल्य होते हैं यदि उनके पास समीकरणों का एक ही समूह हो। विशेष रूप से समीकरण $$P = Q$$ के बराबर है  $$P-Q = 0$$. यह इस प्रकार है कि बीजगणितीय समीकरणों का अध्ययन बहुपदों के अध्ययन के बराबर है।

परिमेय पर एक बहुपद समीकरण हमेशा एक समतुल्य में परिवर्तित किया जा सकता है जिसमें गुणांक पूर्णांक होते हैं। उदाहरण के लिए, 42 से गुणा करना = 2·3·7 और इसके पदों को पहले सदस्य में समूहीकृत करना, पहले उल्लिखित बहुपद समीकरण $$y^4+\frac{xy}{2}=\frac{x^3}{3}-xy^2+y^2-\frac{1}{7}$$ हो जाता है
 * $$42y^4+21xy-14x^3+42xy^2-42y^2+6=0.$$

क्योंकि ज्या, घातांक, और 1/T बहुपद कार्य नहीं हैं,
 * $$e^T x^2+\frac{1}{T}xy+\sin(T)z -2 =0$$

परिमेय संख्याओं पर चार चर x, y, z, और T में एक बहुपद समीकरण नहीं है। हालाँकि, यह चर T में प्राथमिक कार्यों के क्षेत्र में तीन चर x, y और z में एक बहुपद समीकरण है।

बहुपद
अज्ञात $x$में एक समीकरण दिया है
 * $$(\mathrm E) \qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$$,

एक क्षेत्र $K$ में गुणांक के साथ (गणित), कोई समकक्ष कह सकता है कि $K$ में (E) के समाधान बहुपद के $K$ में वर्गमूल हैं
 * $$P = a_n X^n + a_{n - 1} X^{n - 1} + \dots + a_1 X + a_0 \quad \in K[X]$$.

यह दिखाया जा सकता है कि किसी क्षेत्र में घात $n$ वाले बहुपद के अधिक से अधिक है $n$ मूल होते है। इसलिये समीकरण (E) के अधिक से अधिक $n$ हल है।

यदि $K'$ $K$ का क्षेत्र विस्तार है, तो कोई (E) को $K$ में गुणांक के साथ एक समीकरण मान सकता है औरविचार कर सकता है और $K$ में (E) के समाधान भी $K'$ में समाधान भी हैं  (विपरीत सामान्य रूप से मान्य नहीं है)।  बहुपद $P$ विभंजन क्षेत्र के रूप में जाने वाले $K$ के क्षेत्र विस्तार को खोजना हमेशा संभव होता है  जिसमें (E) का कम से कम एक हल है।

वास्तविक और जटिल समीकरणों के समाधान का अस्तित्व
बीजगणित के मौलिक प्रमेय में कहा गया है कि जटिल संख्याओं का क्षेत्र (गणित) बीजगणितीय रूप से बंद है, अर्थात, जटिल गुणांक वाले सभी बहुपद समीकरण और कम से कम एक घात का समाधान होता है।

यह इस प्रकार है कि वास्तविक गुणांक वाले घात 1 या अधिक के सभी बहुपद समीकरणों का एक जटिल समाधान होता है। दूसरी ओर, एक समीकरण जैसे $$x^2 + 1 = 0 $$ $$\R $$ में कोई समाधान नहीं है (समाधान काल्पनिक इकाइयाँ हैं $i$ तथा $–i$).

जबकि वास्तविक समीकरणों के वास्तविक समाधान सहज (वे हैं $x$- उन बिंदुओं के निर्देशांक जहां वक्र है $y = P(x)$ प्रतिच्छेद करता है $x$-अक्ष) हैं, वास्तविक समीकरणों के जटिल समाधानों का अस्तित्व आश्चर्यजनक और कल्पना करने में कम आसान हो सकता है।

लेकिन, समता (गणित) घात के एक मोनिक बहुपद का एक वास्तविक मूल होना आवश्यक है। $x$ से संबंधित बहुपद फलन निरंतर है, और यह निकट तक पहुचता है क्यूकि $x$ $$-\infty$$ जैसा $x$ दृष्टिकोण $$-\infty$$ तथा $$+\infty$$ जैसा दृष्टिकोण $$+\infty$$.तक पहुचता है मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय द्वारा, इसलिए इसे कुछ वास्तविक पर मान  $x$ शून्य मान लेना चाहिए, जो तब बहुपद समीकरण का एक हल है।

गैलोज़ सिद्धांत से संबंध
उनके गुणांकों के एक समारोह के रूप में चार से कम या उसके बराबर घात के वास्तविक या जटिल बहुपदों के समाधान देने वाले सूत्र मौजूद हैं। नील्स हेनरिक एबेल ने दिखाया कि घात पांच या उच्चतर के समीकरणों के लिए इस तरह के एक सूत्र को सामान्य रूप से खोजना संभव नहीं है (केवल चार अंकगणितीय संचालन का उपयोग करके और वर्गमूलें लेना)। गैलोज सिद्धांत एक कसौटी प्रदान करता है जो किसी को यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि किसी दिए गए बहुपद समीकरण का समाधान मूलांक का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है या नहीं।

दृष्टिकोण
घात 1 के वास्तविक या जटिल समीकरण का स्पष्ट समाधान तुच्छ है। उच्च घात $n$ के एक समीकरण को हल करने वाला समीकरण संबद्ध बहुपद का गुणनखंड करने के लिए कम कर देता है, अर्थात, रूप में (E) को फिर से लिखना
 * $$a_n(x-z_1)\dots(x-z_n)=0$$,

जहां $$z_1, \dots, z_n$$. समाधान हैं तो समस्या यह है की $$z_i$$ के रूप में  $$a_i$$.किया जाये

यह दृष्टिकोण अधिक सामान्यतः लागू होता है यदि गुणांक और समाधान एक अभिन्न डोमेन से संबंधित होते हैं।

फैक्टरिंग
यदि एक घात $n$ वाले समीकरण $P(x) = 0$ का एक परिमेय वर्गमूल प्रमेय $α$ है, संबंधित बहुपद को रूप देने के लिए गुणनखण्ड किया जा सकता है $P(X) = (X – α)Q(X)$ (बहुपद विभाजन द्वारा $P(X)$ द्वारा $X – α$ या लिखकर $P(X) – P(α)$ प्रपत्र की शर्तों के एक रैखिक संयोजन के रूप में $X^{k} – α^{k}$, और फैक्टरिंग आउट $X – α$. हल $P(x) = 0$ इस प्रकार घात को हल करने के लिए कम हो जाता है $n – 1$ समीकरण $Q(x) = 0$. उदाहरण के लिए केस $n = 3$. देखें

उप-प्रमुख शब्द का विलोपन
घात $n$,के समीकरण को हल करने के लिए
 * $$(\mathrm E) \qquad a_n x^n + a_{n - 1} x^{n - 1} + \dots + a_1 x + a_0 = 0$$,

घात-$n - 1$ को खत्म करने के लिए एक सामान्य प्रारंभिक कदम है अवधि: अवस्थापन द्वारा $$x = y-\frac{a_{n-1}}{n\,a_n}$$, समीकरण (E) बन जाता है
 * $$a_ny^n + b_{n -2}y^{n -2} + \dots +b_1 x +b_0 = 0$$.

लियोनहार्ड यूलर ने इस तकनीक को घन फलन # कार्डानो की विधि केस $n = 3$ के लिए विकसित किया लेकिन यह चतुष्क फलन#यूलर के समाधान|मामले $n = 4$, पर भी लागू होता है उदाहरण के लिए।

द्विघात समीकरण
$$ax^2 + bx + c = 0$$ के रूप के द्विघात समीकरण को हल करने के लिए $$\Delta = b^2 - 4ac$$. one द्वारा परिभाषित विवेचक Δ की गणना करता है

यदि बहुपद के वास्तविक गुणांक हैं, तो इसमें है:
 * दो भिन्न वास्तविक वर्गमूल यदि $$\Delta > 0$$ ;
 * एक वास्तविक दोहरी वर्गमूल यदि $$\Delta = 0$$ ;
 * कोई वास्तविक वर्गमूल नहीं है यदि $$\Delta < 0$$, लेकिन दो जटिल संयुग्मी वर्गमूलें।

घन समीकरण
घन समीकरणों को मूलांक के रूप में लिखकर हल करने की सबसे प्रसिद्ध विधि है घन समीकरण कार्डानो का सूत्र|

चतुर्थांश समीकरण
कुछ समाधान विधियों की विस्तृत चर्चा के लिए देखें:
 * Tschirnhaus परिवर्तन (सामान्य विधि, सफल होने की गारंटी नहीं);
 * बेजआउट विधि (सामान्य विधि, सफल होने की गारंटी नहीं);
 * फेरारी विधि ( 4 के लिए समाधान);
 * यूलर विधि ( 4 के लिए समाधान);
 * लैग्रेंज विधि ( 4 के लिए समाधान);
 * डेसकार्टेस विधि (2 या 4 के लिए समाधान);

एक चतुर्थांश समीकरण $$ax^4+bx^3+cx^2+dx+e=0$$ साथ $$a\ne0$$ चर के परिवर्तन द्वारा एक द्विघात समीकरण में घटाया जा सकता है बशर्ते यह या तो द्विघात फलन #द्विघात समीकरण हो ($b = d = 0$) या क्वार्टिक फलन अर्ध-पैलिंड्रोमिक समीकरण ($e = a, d = b$).

त्रिकोणमिति या अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यो का उपयोग करके कुछ घन और चतुर्थक समीकरणों को हल किया जा सकता है।

उच्च- समीकरण
इवरिस्ट गैलोइस और नील्स हेनरिक एबेल ने स्वतंत्र रूप से दिखाया कि सामान्य रूप से 5 या उच्चतर के एक बहुपद को मूलांक का उपयोग करके हल नहीं किया जा सकता है। कुछ विशेष समीकरणों के हल होते हैं, जैसे कि घात 5 और 17 के साइक्लोटोमिक बहुपदो से जुड़े।

दूसरी ओर, चार्ल्स हर्मिट ने दिखाया कि 5 के बहुपद अण्डाकार कार्यों का उपयोग करके हल करने योग्य हैं।

अन्यथा, न्यूटन की विधि जैसे वर्गमूल-खोज कलन विधि का उपयोग करके वर्गमूलों को संख्यात्मक विश्लेषण मिल सकता है।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय कार्य
 * बीजगणितीय संख्या
 * वर्गमूल खोज
 * रैखिक समीकरण ( = 1)
 * द्विघात समीकरण ( = 2)
 * घन समीकरण ( = 3)
 * चतुर्थांश समीकरण ( = 4)
 * क्विंटिक समीकरण ( = 5)
 * सेक्सेटिक समीकरण ( = 6)
 * सेप्टिक समीकरण ( = 7)
 * रैखिक समीकरणों की प्रणाली
 * बहुपद समीकरणों की प्रणाली
 * रेखीय डायोफैंटाइन समीकरण
 * एक अंगूठी पर रैखिक समीकरण
 * क्रैमर का प्रमेय (बीजगणितीय वक्र), अंकों की संख्या पर आमतौर पर द्विभाजित एन-वें वक्र निर्धारित करने के लिए पर्याप्त होता है

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