लेबेस्ग कवरिंग आयाम

गणित में, टोपोलॉजिकल स्थान के आयाम या टोपोलॉजिकल आयाम को आवरण करने वाला लेबेस्ग्यू स्थान के आयाम को परिभाषित करने के कई अलग-अलग विधियों में से सामयिक अपरिवर्तनीय विधि है।

अनौपचारिक चर्चा
सामान्य यूक्लिडियन अंतरिक्ष स्थान के लिए, लेबेस्ग आवरण आयाम केवल साधारण यूक्लिडियन आयाम है: अंक के लिए शून्य, रेखाओं के लिए, विमानों के लिए दो, और इसी तरह चूँकि, सभी टोपोलॉजिकल स्थान में इस तरह का स्पष्ट आयाम नहीं होता है, और इसलिए ऐसे स्थितियों में स्पष्ट परिभाषा की आवश्यकता होती है। जब अंतरिक्ष विवर्त समुच्च्यो द्वारा आवरण किया जाता है तो क्या होता है इसकी जांच करके परिभाषा आगे बढ़ती है।

सामान्यतः, टोपोलॉजिकल स्थान एक्स विवर्त समुच्च्य हो सकता है, जिसमें कोई विवर्त समुच्च्य का संग्रह पा सकता है जैसे कि एक्स उनके संघ (समुच्च्य थ्योरी) के अंदर स्थित है। आवरण आयाम सबसे छोटी संख्या n है जैसे कि प्रत्येक आवरण के लिए, शोधन (टोपोलॉजी) होता है जिसमें X में प्रत्येक बिंदु n + 1 आवरण समुच्च्य से अधिक नहीं के प्रतिच्छेदन (समुच्च्य थ्योरी) में निहित होता है। यह नीचे दी गई औपचारिक परिभाषा का सार है। परिभाषा का लक्ष्य संख्या ( पूर्णांक) प्रदान करना है जो स्थान का वर्णन करता है, और बदलता नहीं है क्योंकि स्थान लगातार विकृत होता है; अर्थात्, संख्या जो होमियोमोर्फिज्म के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।

सामान्य विचार नीचे दिए गए आरेखों में चित्रित किया गया है, जो वृत्त और वर्ग के आवरण और परिशोधन को दर्शाता है।

औपचारिक परिभाषा
आयाम को आवरण करने की पहली औपचारिक परिभाषा एडुआर्ड सीच द्वारा दी गई थी, जो हेनरी लेबेस्ग्यू के पहले के परिणाम पर आधारित थी। आधुनिक परिभाषा इस प्रकार है। टोपोलॉजिकल स्थान का विवर्त आवरण $X$ विवर्त समुच्च्य का वर्ग है | संपूर्ण स्थान $U$$α$ जैसे वर्ग है, जैसे कि  विवर्त आवरण $$\cup_\alpha$$ $U$$α$ = $X$. का क्रम या प्लाई $$\mathfrak A$$ = {$U$$α$} सबसे छोटी संख्या $m$ है (यदि यह उपस्थित है) जिसके लिए अंतरिक्ष का प्रत्येक बिंदु अधिक से अधिक $m$ आवरण में विवर्त समुच्च्य से संबंधित है |

विशेष स्थिति के रूप में, गैर-खाली टोपोलॉजिकल स्थान शून्य-आयामी स्थान है। आवरण आयाम के संबंध में शून्य-आयामी यदि अंतरिक्ष के प्रत्येक विवर्त आवरण में परिशोधन होता है जिसमें असंबद्ध समुच्च्य विवर्त समुच्च्य होते हैं जिससे अंतरिक्ष में कोई भी बिंदु हो इस परिशोधन के ठीक विवर्त समुच्च्य में समाहित है।

खाली समुच्च्य में आवरण आयाम -1 है: खाली समुच्च्य के किसी भी विवर्त आवरण के लिए, खाली समुच्च्य का प्रत्येक बिंदु आवरण के किसी भी तत्व में समाहित नहीं है, इसलिए किसी भी विवर्त आवरण का क्रम 0 है।

उदाहरण
इकाई गोले के किसी भी दिए गए विवर्त आवरण में विवर्त (टोपोलॉजी) चापों के संग्रह से युक्त परिशोधन होगा। इस परिभाषा के अनुसार वृत्त का आयाम एक है, क्योंकि इस तरह के किसी भी आवरण को उस अवस्था में और परिष्कृत किया जा सकता है जहाँ वृत्त का बिंदु x अधिक से अधिक दो विवर्त चापों में समाहित है। यही है, चापों का जो भी संग्रह हम शुरू करते हैं, कुछ को छोड़ दिया या छोटा किया जा सकता है, जैसे कि शेष अभी भी गोले को आवरण करता है किन्तु सरल अतिव्याप्ति के साथ होता है।

इसी तरह, द्वि-आयामी स्थान (गणित) में इकाई डिस्क के किसी भी विवर्त आवरण को परिष्कृत किया जा सकता है जिससे डिस्क का कोई भी बिंदु तीन से अधिक विवर्त समुच्च्यो में समाहित न हो, जबकि दो सामान्य रूप से पर्याप्त नहीं हैं। डिस्क का आवरण आयाम इस प्रकार दो है।

अधिक सामान्यतः, एन-आयाम यूक्लिडियन स्थान $$\mathbb{E}^n$$ आवरण आयाम n है।

गुण

 * होमोमॉर्फिक रिक्त स्थान का आवरण आयाम समान होता है। यही है, आवरण आयाम टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट है।
 * सामान्य स्थान X का आवरण आयाम है $$\le n$$ यदि और केवल यदि $X$ के किसी भी संवृत उपसमुच्चय ए के लिए, यदि $$ f:A\rightarrow S^n $$ निरंतर है, तो $$ f $$ को $$ g:X\rightarrow S^n $$ का विस्तार है.| यहाँ, $$ S^n $$ n-sphere|n-विम क्षेत्र है।
 * 'रंगीन आयाम पर ऑस्ट्रैंड की प्रमेय यदि $X$ सामान्य टोपोलॉजिकल स्थान है और $$\mathfrak A$$ = {$U$$α$} क्रम ≤ $n$ + 1 के $X$ स्थानीय रूप से परिमित आवरण है, फिर, प्रत्येक 1 ≤ $i$ ≤ $n$ + 1 के लिए , जोड़ीदार असंयुक्त विवर्त समुच्च्यो का वर्ग उपस्थित है $$\mathfrak B$$$i$ = {$V$$i$,$α$} सिकुड़ना $$\mathfrak A$$, अर्थात। $V$$i$,$α$ ⊆ $U$$α$, और $X$ साथ आवरण करना होता है |

आयाम की अन्य धारणाओं से संबंध

 * पैराकॉम्पैक्ट स्थान $X$ के लिए, आवरण आयाम को समान रूप से $n$ न्यूनतम मान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है , जैसे है कि प्रत्येक विवर्त आवरण $$\mathfrak A$$ का $X$ (किसी भी आकार का) में विवर्त परिशोधन है $$\mathfrak B$$ क्रम $n$ + 1 के साथ प्रयुक्त होता है | विशेष रूप से, यह सभी आव्यूह रिक्त स्थान के लिए प्रयुक्त होता है।
 * लेबेस्ग आवरण आयाम परिमित सरल जटिल के एफ़िन आयाम के साथ निर्दिष्ट है।
 * सामान्य स्थान का आवरण आयाम बड़े आगमनात्मक आयाम से कम या उसके सामान होता है।
 * पैराकॉम्पैक्ट स्थान हॉसडॉर्फ स्थान का आवरण आयाम $$X$$ इसके कोहोलॉजिकल आयाम से बड़ा या सामान है (शेफ (गणित) के अर्थ में), जिससे प्रत्येक पूले के लिए $$H^i(X,A) = 0$$ $$A$$ है | $$X$$ पर एबेलियन समूहों पर और प्रत्येक $$i$$ $$X$$ के आवरण आयाम से बड़ा है |
 * आव्यूह स्थान में, आवरण की बहुलता की धारणा को शक्तिशाली कर सकता है: आवरण में $r$- गुणक $n + 1$ होता है | यदि प्रत्येक $r$-गेंद अधिकतम $n + 1$ के साथ प्रतिच्छेद करती है । यह विचार स्थान के स्पर्शोन्मुख आयाम की परिभाषाओं की ओर ले जाता है और स्पर्शोन्मुख आयाम $n$ वाला स्थान $n$-आयामी बड़े मापदंड पर, और असौद-नागाटा आयाम $n$ के साथ स्थान पर प्रत्येक मापदंड पर $n$ आयामी है।

यह भी देखें

 * कैराथियोडोरी का विस्तार प्रमेय
 * ज्यामितीय समुच्च्य आवरण समस्या
 * आयाम सिद्धांत
 * मेटाकॉम्पैक्ट विमान
 * बिंदु-परिमित संग्रह

ऐतिहासिक

 * कार्ल मेन्जर, जनरल स्पेसेस एंड कार्टेसियन स्पेसेस, (1926) एम्स्टर्डम एकेडमी ऑफ साइंसेज के लिए संचार। क्लासिक्स ऑन फ्रैक्टल्स में पुनर्मुद्रित अंग्रेजी अनुवाद, जेराल्ड ए एडगर, संपादक, एडिसन-वेस्ले (1993) ISBN 0-201-58701-7
 * कार्ल मेन्जर, आयाम थ्योरी, (1928) बी.जी. टेबनेर पब्लिशर्स, लीपज़िग।

आधुनिक

 * वी. वी. फेडोरचुक, द फंडामेंटल ऑफ़ आयाम थ्योरी, एनसाइक्लोपीडिया ऑफ़ मैथेमेटिकल साइंसेज, वॉल्यूम 17, जनरल टोपोलॉजी I, (1993) ए. वी. अर्खांगेल'स्की और एलएस पोंट्रीगिन (एड्स), स्प्रिंगर-वर्लाग, बर्लिन ISBN 3-540-18178-4.
 * वी. वी. फेडोरचुक, द फंडामेंटल ऑफ़ आयाम थ्योरी, एनसाइक्लोपीडिया ऑफ़ मैथेमेटिकल साइंसेज, वॉल्यूम 17, जनरल टोपोलॉजी I, (1993) ए. वी. अर्खांगेल'स्की और एलएस पोंट्रीगिन (एड्स), स्प्रिंगर-वर्लाग, बर्लिन ISBN 3-540-18178-4.