गणन संख्या



गणित में, कार्डिनल नंबर, या संक्षेप में कार्डिनल, सेट (गणित) के कार्डिनैलिटी (आकार) को मापने के लिए उपयोग की जाने वाली प्राकृतिक संख्याओं का एक सामान्यीकरण है। एक परिमित सेट की प्रमुखता एक प्राकृतिक संख्या है: सेट में तत्वों की संख्या। 'अनंत संख्या' कार्डिनल नंबर, जिसे अक्सर हिब्रू प्रतीक का उपयोग करके दर्शाया जाता है $$\aleph$$ (एलेफ (हिब्रू)) एक सबस्क्रिप्ट के बाद, अनंत सेट के आकार का वर्णन करें।

कार्डिनलिटी को विशेषण कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। दो सेटों में समान कार्डिनैलिटी होती है, और केवल अगर, दो सेटों के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार (आक्षेप) होता है। परिमित सेट के मामले में, यह आकार की सहज धारणा से सहमत है। अपरिमित समुच्चयों की स्थिति में व्यवहार अधिक जटिल होता है। जॉर्ज कैंटर के कारण एक मौलिक प्रमेय से पता चलता है कि अनंत सेटों के लिए अलग-अलग कार्डिनैलिटी होना संभव है, और विशेष रूप से वास्तविक संख्याओं के सेट की कार्डिनैलिटी प्राकृतिक संख्याओं के सेट की कार्डिनैलिटी से अधिक है। अनंत समुच्चय के उचित उपसमुच्चय के लिए मूल समुच्चय के समान प्रमुखता होना भी संभव है - ऐसा कुछ जो परिमित समुच्चय के उचित उपसमुच्चय के साथ नहीं हो सकता।

कार्डिनल नंबरों का एक अनंत क्रम है:
 * $$0, 1, 2, 3, \ldots, n, \ldots ; \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \ldots, \aleph_{\alpha}, \ldots.\ $$

यह अनुक्रम शून्य (परिमित कार्डिनल्स) सहित प्राकृतिक संख्याओं से शुरू होता है, जिसके बाद एलेफ़ संख्याएँ (सुव्यवस्थित सेटों के अनंत कार्डिनल्स) होती हैं। एलीफ नंबरों को क्रमिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। पसंद के स्वयंसिद्ध की धारणा के तहत, इस असीम क्रम में प्रत्येक कार्डिनल संख्या शामिल है। यदि पसंद का एक स्वयंसिद्ध # स्वतंत्रता उस स्वयंसिद्ध है, तो स्थिति अधिक जटिल है, अतिरिक्त अनंत कार्डिनल्स के साथ जो एलेफ्स नहीं हैं।

समुच्चय सिद्धान्त के हिस्से के रूप में कार्डिनैलिटी का अध्ययन स्वयं के लिए किया जाता है। यह मॉडल सिद्धांत, साहचर्य, अमूर्त बीजगणित और गणितीय विश्लेषण सहित गणित की शाखाओं में उपयोग किया जाने वाला एक उपकरण भी है। श्रेणी सिद्धांत में, क्रमसूचक संख्या सेट की श्रेणी का एक कंकाल (श्रेणी सिद्धांत) बनाते हैं।

इतिहास
कार्डिनैलिटी की धारणा, जैसा कि अब समझा जाता है, 1874-1884 में सेट सिद्धांत के प्रवर्तक जॉर्ज कैंटर द्वारा तैयार की गई थी। कार्डिनैलिटी का उपयोग परिमित सेट के एक पहलू की तुलना करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, सेट {1,2,3} और {4,5,6} बराबर नहीं हैं, लेकिन एक ही कार्डिनैलिटी है, अर्थात् तीन। यह दो सेटों के बीच एक आक्षेप (यानी, एक-से-एक पत्राचार) के अस्तित्व से स्थापित होता है, जैसे कि पत्राचार {1→4, 2→5, 3→6}।

कैंटर ने अपनी आपत्ति की अवधारणा को अनंत सेटों पर लागू किया (उदाहरण के लिए प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय N = {0, 1, 2, 3, ...})। इस प्रकार, उन्होंने एन काउंटेबल सेट के साथ एक आक्षेप वाले सभी सेटों को बुलाया। इस कार्डिनल नंबर को कहा जाता है $$\aleph_0$$, अलेफ संख्या | अलेफ-नल। उन्होंने अनंत सेटों के कार्डिनल नंबरों को ट्रांसफिनिट कार्डिनल नंबर कहा।

कैंटर ने साबित किया कि N के किसी भी बंधे हुए सेट में N के समान ही कार्डिनैलिटी है, भले ही यह अंतर्ज्ञान के विपरीत प्रतीत हो। उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि प्राकृतिक संख्याओं के सभी क्रमित युग्मों का समुच्चय अगणनीय है; इसका तात्पर्य यह है कि सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी भाज्य है, क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या को पूर्णांकों की एक जोड़ी द्वारा दर्शाया जा सकता है। उन्होंने बाद में सिद्ध किया कि सभी वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय भी अभाज्य होता है। प्रत्येक वास्तविक बीजगणितीय संख्या  z  को पूर्णांकों के परिमित अनुक्रम के रूप में एन्कोड किया जा सकता है, जो बहुपद समीकरण में गुणांक हैं, जिसका यह एक समाधान है, अर्थात आदेशित n-tuple (a0, ए1, ..., एn), एi∈ 'Z' परिमेय की एक जोड़ी के साथ (बी0, बी1) ऐसा है कि गुणांक के साथ बहुपद की अनूठी जड़ है (ए0, एक1, ..., एn) जो अंतराल में है (बी0, बी1).

अपने 1874 के पेपर ऑन ए प्रॉपर्टी ऑफ द कलेक्शन ऑफ ऑल रियल बीजगणितीय संख्याओं में, कैंटर ने साबित किया कि उच्च-क्रम के कार्डिनल नंबर मौजूद हैं, यह दिखाते हुए कि वास्तविक संख्याओं के सेट में एन की तुलना में कार्डिनैलिटी अधिक है। उनके प्रमाण ने नेस्टेड के साथ एक तर्क का उपयोग किया अंतराल, लेकिन 1891 के एक पेपर में, उन्होंने अपने सरल और बहुत सरल कैंटर के विकर्ण तर्क का उपयोग करके उसी परिणाम को साबित कर दिया। वास्तविक संख्याओं के सेट की नई कार्डिनल संख्या को सातत्य की प्रमुखता कहा जाता है और कैंटर ने प्रतीक का उपयोग किया $$\mathfrak{c}$$ इसके लिए।

कैंटर ने कार्डिनल संख्या के सामान्य सिद्धांत का एक बड़ा हिस्सा भी विकसित किया; उन्होंने साबित किया कि एक सबसे छोटी ट्रांसफिनिट कार्डिनल संख्या है ($$\aleph_0$$, aleph-null), और यह कि प्रत्येक कार्डिनल संख्या के लिए अगला बड़ा कार्डिनल होता है


 * $$(\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \ldots).$$

उनकी सातत्य परिकल्पना यह प्रस्ताव है कि कार्डिनैलिटी $$\mathfrak{c}$$ वास्तविक संख्याओं के समुच्चय के समान है $$\aleph_1$$. यह परिकल्पना गणितीय सेट सिद्धांत के मानक स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र है, अर्थात यह न तो उनसे सिद्ध किया जा सकता है और न ही अप्रमाणित। यह 1963 में पॉल कोहेन (गणितज्ञ) द्वारा दिखाया गया था, जो 1940 में कर्ट गोडेल द्वारा पहले के काम का पूरक था।

प्रेरणा
अनौपचारिक उपयोग में, एक क्रमसूचक संख्या वह होता है जिसे आम तौर पर गिनती संख्या के रूप में संदर्भित किया जाता है, बशर्ते कि 0 शामिल हो: 0, 1, 2, .... उन्हें 0 से शुरू होने वाली प्राकृतिक संख्याओं के साथ पहचाना जा सकता है। गिनती संख्याएं हैं वास्तव में क्या औपचारिक रूप से परिमित सेट कार्डिनल संख्या के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। अनंत कार्डिनल केवल उच्च स्तर के गणित और तर्कशास्त्र में होते हैं।

अधिक औपचारिक रूप से, एक गैर-शून्य संख्या का उपयोग दो उद्देश्यों के लिए किया जा सकता है: एक सेट के आकार का वर्णन करने के लिए, या किसी क्रम में किसी तत्व की स्थिति का वर्णन करने के लिए। परिमित समुच्चयों और अनुक्रमों के लिए यह देखना आसान है कि ये दो धारणाएँ मेल खाती हैं, क्योंकि अनुक्रम में किसी स्थिति का वर्णन करने वाली प्रत्येक संख्या के लिए हम एक ऐसे समुच्चय का निर्माण कर सकते हैं जिसका आकार बिल्कुल सही हो। उदाहरण के लिए, 3 अनुक्रम <'a', 'b', 'c', 'd',...> में 'c' की स्थिति का वर्णन करता है, और हम सेट {a,b,c} का निर्माण कर सकते हैं, जिसमें 3 तत्व हों।

हालांकि, अनंत सेटों के साथ व्यवहार करते समय, दोनों के बीच अंतर करना आवश्यक है, क्योंकि दो धारणाएं वास्तव में अनंत सेटों के लिए अलग-अलग हैं। स्थिति पहलू को ध्यान में रखते हुए क्रमिक संख्याएं होती हैं, जबकि आकार पहलू को यहां वर्णित कार्डिनल संख्याओं द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है।

कार्डिनल की औपचारिक परिभाषा के पीछे अंतर्ज्ञान एक सेट के सापेक्ष आकार या बड़ेपन की धारणा का निर्माण है, बिना इसके सदस्यों के प्रकार के संदर्भ में। परिमित समुच्चयों के लिए यह आसान है; one बस एक सेट में मौजूद तत्वों की संख्या को गिनता है। बड़े सेटों के आकार की तुलना करने के लिए, अधिक परिष्कृत धारणाओं को अपील करना आवश्यक है।

एक सेट वाई कम से कम एक सेट एक्स जितना बड़ा होता है यदि एक्स के तत्वों से वाई के तत्वों के लिए इंजेक्शन समारोह मैप (गणित) होता है। एक इंजेक्शन मैपिंग सेट एक्स के प्रत्येक तत्व को सेट के अद्वितीय तत्व के साथ पहचानती है Y. इसे एक उदाहरण से सबसे आसानी से समझा जा सकता है; मान लें कि हमारे पास X = {1,2,3} और Y = {a,b,c,d} सेट हैं, तो आकार की इस धारणा का उपयोग करके, हम देखेंगे कि एक मैपिंग है:
 * 1 → अ
 * 2 → बी
 * 3 → सी

जो अंतःक्षेपी है, और इसलिए यह निष्कर्ष निकालता है कि Y की कार्डिनैलिटी X से अधिक या उसके बराबर है। तत्व d में इसके लिए कोई तत्व मानचित्रण नहीं है, लेकिन इसकी अनुमति है क्योंकि हमें केवल एक अंतःक्षेपी मानचित्रण की आवश्यकता है, न कि एक विशेषण मानचित्रण की। इस धारणा का लाभ यह है कि इसे अनंत सेटों तक बढ़ाया जा सकता है।

इसके बाद हम इसे समानता-शैली के संबंध में बढ़ा सकते हैं। दो सेट (गणित) X और Y को समान कार्डिनैलिटी कहा जाता है यदि X और Y के बीच एक आक्षेप मौजूद है। कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय द्वारा | X से Y, और Y से X तक एक इंजेक्शन मैपिंग। फिर हम |X| लिखते हैं = |वाई|। एक्स की कार्डिनल संख्या को अक्सर कम से कम क्रमिक ए के साथ परिभाषित किया जाता है = |एक्स|। इसे वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट कहा जाता है; इस परिभाषा को समझने के लिए, यह सिद्ध किया जाना चाहिए कि प्रत्येक सेट में कुछ क्रमवाचक के समान ही प्रमुखता होती है; यह कथन सुव्यवस्थित सिद्धांत है। हालाँकि वस्तुओं को स्पष्ट रूप से नाम दिए बिना सेट की सापेक्ष कार्डिनैलिटी पर चर्चा करना संभव है।

इस्तेमाल किया जाने वाला क्लासिक उदाहरण अनंत होटल विरोधाभास का है, जिसे ग्रांड होटल का हिल्बर्ट का विरोधाभास भी कहा जाता है। मान लीजिए कि एक होटल में एक सराय का मालिक है, जिसके पास अनंत संख्या में कमरे हैं। होटल भरा हुआ है, और फिर एक नया मेहमान आता है। कमरे 1 में मौजूद अतिथि को कमरे 2 में जाने के लिए, कमरे 2 में अतिथि को कमरे 3 में जाने के लिए, और इसी तरह कमरा 1 को खाली छोड़कर अतिरिक्त अतिथि को फिट करना संभव है। हम इस मानचित्रण का एक खंड स्पष्ट रूप से लिख सकते हैं:
 * 1 → 2
 * 2 → 3
 * 3 → 4
 * एन → एन + 1
 * एन → एन + 1

इस असाइनमेंट के साथ, हम देख सकते हैं कि सेट {1,2,3,...} में सेट {2,3,4,...} के समान कार्डिनैलिटी है, क्योंकि पहले और दूसरे के बीच एक आपत्ति है दिखाया गया। यह एक अनंत सेट की परिभाषा को किसी भी सेट के रूप में प्रेरित करता है जिसमें समान कार्डिनैलिटी (यानी, एक डेडेकिंड-अनंत सेट) का उचित उपसमुच्चय होता है; इस मामले में {2,3,4,...} {1,2,3,...} का उचित उपसमुच्चय है।

इन बड़ी वस्तुओं पर विचार करते समय, कोई भी यह देखना चाह सकता है कि क्या गणना क्रम की धारणा इन अनंत सेटों के लिए ऊपर परिभाषित कार्डिनल के साथ मेल खाती है। ऐसा होता है कि ऐसा नहीं होता; उपरोक्त उदाहरण पर विचार करके हम देख सकते हैं कि यदि कोई वस्तु अनंत से बड़ी है, तो उसमें वही कार्डिनैलिटी होनी चाहिए जो अनंत सेट के साथ हमने शुरू की थी। संख्या के लिए एक अलग औपचारिक धारणा का उपयोग करना संभव है, जिसे क्रमिक संख्या कहा जाता है, गिनती के विचारों के आधार पर और प्रत्येक संख्या पर बारी-बारी से विचार किया जाता है, और हमें पता चलता है कि एक बार जब हम परिमित संख्या से बाहर निकल जाते हैं तो कार्डिनैलिटी और ऑर्डिनलिटी की धारणाएँ अलग हो जाती हैं।

यह सिद्ध किया जा सकता है कि वास्तविक संख्याओं की कार्डिनैलिटी अभी वर्णित प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में अधिक है। कैंटर के विकर्ण तर्क का उपयोग करके इसकी कल्पना की जा सकती है; कार्डिनैलिटी के क्लासिक प्रश्न (उदाहरण के लिए सातत्य परिकल्पना) यह पता लगाने से संबंधित हैं कि क्या अन्य अनंत कार्डिनल्स की कुछ जोड़ी के बीच कुछ कार्डिनल है। हाल के दिनों में, गणितज्ञ बड़े और बड़े कार्डिनल के गुणों का वर्णन करते रहे हैं।

चूँकि गणित में कार्डिनैलिटी एक ऐसी सामान्य अवधारणा है, इसलिए विभिन्न प्रकार के नाम उपयोग में हैं। कार्डिनैलिटी की समरूपता को कभी-कभी समता, समता, या समतुल्यता के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस प्रकार यह कहा जाता है कि समान कार्डिनैलिटी वाले दो समुच्चय क्रमश: समशक्ति, समशक्ति या समविभव होते हैं।

औपचारिक परिभाषा
औपचारिक रूप से, पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, एक सेट X की कार्डिनैलिटी कम से कम क्रमिक संख्या α है जैसे कि X और α के बीच एक आपत्ति है। इस परिभाषा को वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट के रूप में जाना जाता है। यदि पसंद का स्वयंसिद्ध नहीं माना जाता है, तो एक अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। एक सेट एक्स की कार्डिनालिटी की सबसे पुरानी परिभाषा (कैंटर में निहित और फ्रीज और गणितीय सिद्धांत में स्पष्ट) सभी सेटों के वर्ग [एक्स] के रूप में है जो एक्स के समतुल्य हैं। यह जेडएफसी या स्वयंसिद्ध के अन्य संबंधित प्रणालियों में काम नहीं करता है सेट थ्योरी क्योंकि यदि X खाली नहीं है, तो यह संग्रह सेट होने के लिए बहुत बड़ा है। वास्तव में, X ≠ ∅ के लिए एक समुच्चय m को {m} × X पर मैप करके ब्रह्मांड से [X] में एक अंतःक्षेपण होता है, और इसलिए आकार की सीमा के अभिगृहीत द्वारा, [X] एक उचित वर्ग है। परिभाषा हालांकि प्रकार सिद्धांत और नई नींव और संबंधित प्रणालियों में काम करती है। हालांकि, अगर हम इस वर्ग से एक्स के साथ समतुल्य तक सीमित हैं जिनके पास कम से कम रैंक (सेट सिद्धांत) है, तो यह काम करेगा (यह दाना स्कॉट के कारण एक चाल है: यह काम करता है क्योंकि किसी दिए गए रैंक वाले ऑब्जेक्ट्स का संग्रह एक सेट है)।

वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट का तात्पर्य है कि एक परिमित सेट की कार्डिनल संख्या उस सेट के सभी संभावित क्रमों की सामान्य क्रमिक संख्या है, और कार्डिनल और क्रमिक अंकगणित (इसके अलावा, गुणा, शक्ति, उचित घटाव) फिर परिमित के लिए समान उत्तर दें नंबर। हालाँकि, वे अनंत संख्याओं के लिए भिन्न हैं। उदाहरण के लिए, $$2^\omega=\omega<\omega^2$$ क्रमिक अंकगणित में जबकि $$2^{\aleph_0}>\aleph_0=\aleph_0^2$$ कार्डिनल अंकगणित में, हालांकि वॉन न्यूमैन असाइनमेंट डालता है $$\aleph_0=\omega$$. दूसरी ओर, स्कॉट की चाल का अर्थ है कि कार्डिनल संख्या 0 है $$\{\emptyset\}$$, जो क्रमांक 1 भी है, और यह भ्रमित करने वाला हो सकता है। एक संभावित समझौता (अनंत अंकगणित में पसंद और भ्रम की स्वयंसिद्धता पर निर्भरता से बचने के दौरान परिमित अंकगणित में संरेखण का लाभ उठाने के लिए) वॉन न्यूमैन असाइनमेंट को परिमित सेटों के कार्डिनल नंबरों पर लागू करना है (जो अच्छी तरह से आदेशित हो सकते हैं और नहीं हैं) उचित उपसमुच्चयों के लिए समबल) और अन्य सेटों की कार्डिनल संख्याओं के लिए स्कॉट की चाल का उपयोग करने के लिए।

औपचारिक रूप से, कार्डिनल नंबरों के बीच क्रम को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: |X| ≤ |Y फ़ंक्शन X से Y तक। कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय कहता है कि यदि |X| ≤ |वाई| और | वाई | ≤ |एक्स| फिर |एक्स| = |वाई|। पसंद का अभिगृहीत उस कथन के समतुल्य है जिसमें दो समुच्चय X और Y, या तो |X| दिए गए हैं ≤ |वाई| या |वाई| ≤ |एक्स|। एक समुच्चय X Dedekind-अनंत है यदि |X| के साथ X का उचित उपसमुच्चय Y मौजूद है = |Y|, और डेडेकाइंड परिमित यदि ऐसा उपसमुच्चय मौजूद नहीं है। परिमित समुच्चय कार्डिनल केवल प्राकृतिक संख्याएँ हैं, इस अर्थ में कि समुच्चय X परिमित है यदि और केवल यदि |X| = |एन| = n किसी प्राकृत संख्या n के लिए। कोई अन्य समुच्चय अनंत समुच्चय होता है।

पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, यह साबित किया जा सकता है कि डेडेकाइंड की धारणा मानक के अनुरूप है। यह भी साबित किया जा सकता है कि कार्डिनल $$\aleph_0$$ (अलेफ नल या एलेफ-0, जहां एलेफ हिब्रू वर्णमाला में पहला अक्षर है, दर्शाया गया है $$\aleph$$) प्राकृतिक संख्याओं के सेट का सबसे छोटा अनंत कार्डिनल है (यानी, किसी भी अनंत सेट में कार्डिनैलिटी का एक सबसेट है $$\aleph_0$$). अगले बड़े कार्डिनल द्वारा दर्शाया गया है $$\aleph_1$$, और इसी तरह। प्रत्येक क्रमिक संख्या α के लिए, एक कार्डिनल संख्या होती है $$\aleph_{\alpha},$$ और यह सूची सभी अनंत कार्डिनल नंबरों को समाप्त कर देती है।

कार्डिनल अंकगणित
हम मूल संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं को परिभाषित कर सकते हैं जो प्राकृतिक संख्याओं के लिए सामान्य संक्रियाओं का सामान्यीकरण करती हैं। यह दिखाया जा सकता है कि परिमित कार्डिनल के लिए, ये संक्रियाएँ प्राकृतिक संख्याओं के लिए सामान्य संक्रियाओं के साथ मेल खाती हैं। इसके अलावा, ये ऑपरेशन साधारण अंकगणित के साथ कई गुण साझा करते हैं।

उत्तराधिकारी कार्डिनल
यदि पसंद का स्वयंसिद्ध धारण करता है, तो प्रत्येक कार्डिनल κ का एक उत्तराधिकारी होता है, जिसे κ दर्शाया जाता है+, जहां κ+ > κ और κ और उसके उत्तराधिकारी के बीच कोई कार्डिनल नहीं है। (पसंद के अभिगृहीत के बिना, Hartogs number|Hartogs' प्रमेय का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि किसी भी कार्डिनल संख्या κ के लिए, एक न्यूनतम कार्डिनल κ है+ ऐसा कि $$\kappa^+\nleq\kappa. $$) परिमित कार्डिनल के लिए, उत्तराधिकारी केवल κ + 1 है। अनंत कार्डिनल के लिए, उत्तराधिकारी कार्डिनल उत्तराधिकारी क्रमसूचक से भिन्न होता है।

कार्डिनल जोड़
यदि X और Y असम्बद्ध समुच्चय हैं, तो जोड़ X और Y के मिलन (समुच्चय सिद्धांत) द्वारा दिया जाता है। यदि दो समुच्चय पहले से ही असंयुक्त नहीं हैं, तो उन्हें समान कार्डिनलिटी के असंयुक्त समुच्चय द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, X द्वारा प्रतिस्थापित करें) X×{0} और Y by Y×{1}).
 * $$|X| + |Y| = | X \cup Y|.$$

शून्य एक योगात्मक पहचान है κ + 0 = 0 + κ = κ।

जोड़ साहचर्य (κ + μ) + ν = κ + (μ + ν) है।

योग विनिमेय κ + μ = μ + κ है।

जोड़ दोनों तर्कों में गैर-घट रहा है:
 * $$(\kappa \le \mu) \rightarrow ((\kappa + \nu \le \mu + \nu) \mbox{ and } (\nu + \kappa \le \nu + \mu)).$$

पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, अनंत कार्डिनल संख्याओं का जोड़ आसान है। यदि या तो κ या μ अपरिमित है, तब
 * $$\kappa + \mu = \max\{\kappa, \mu\}\,.$$

घटाव
पसंद के स्वयंसिद्ध मानते हुए और, एक अनंत कार्डिनल σ और एक कार्डिनल μ दिए जाने पर, एक कार्डिनल κ मौजूद है जैसे कि μ + κ = σ अगर और केवल अगर μ ≤ σ। यह अद्वितीय (और σ के बराबर) होगा यदि और केवल यदि μ < σ।

कार्डिनल गुणन
कार्डिनल्स का उत्पाद कार्टेशियन उत्पाद से आता है।
 * $$|X|\cdot|Y| = |X \times Y|$$

κ·0 = 0·κ = 0.

κ·μ = 0 → (κ = 0 या μ = 0)।

एक गुणक पहचान κ·1 = 1·κ = κ है।

गुणा सहयोगी है (κ·μ)·ν = κ·(μ·ν)।

गुणन कम्यूटेटिव κ·μ = μ·κ है।

गुणा दोनों तर्कों में गैर-घट रहा है: κ ≤ μ → (κ·ν ≤ μ·ν और ν·κ ≤ ν·μ).

योग पर गुणन वितरण: κ·(μ + ν) = κ·μ + κ·ν और (एम + एन) · के = एम · के + एन · के।

पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, अनंत कार्डिनल संख्याओं का गुणन भी आसान है। यदि या तो κ या μ अनंत है और दोनों गैर-शून्य हैं, तो
 * $$\kappa\cdot\mu = \max\{\kappa, \mu\}.$$

विभाग
पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए और, एक अनंत कार्डिनल π और एक गैर-शून्य कार्डिनल μ दिए जाने पर, एक कार्डिनल κ मौजूद है जैसे कि μ · κ = π अगर और केवल अगर μ ≤ π। यह अद्वितीय (और π के बराबर) होगा यदि और केवल यदि μ < π।

कार्डिनल घातांक
घातांक किसके द्वारा दिया जाता है
 * $$|X|^{|Y|} = \left|X^Y\right|,$$

जहां एक्सY, Y से X तक सभी प्रकार्य (गणित) का समुच्चय है।
 * क0 = 1 (विशेष रूप से 00 = 1), खाली कार्य देखें।
 * यदि 1 ≤ μ, तो 0μ = 0।
 * 1μ = 1।
 * क1 = मि.
 * कएम + एन  = के म·मिएन.
 * कएम · एन  = (एम मी)एन.
 * (मि·मी)एन  = के एन·एमएन.

दोनों तर्कों में घातांक गैर-घट रहा है:
 * (1 ≤ ν और κ ≤ μ) → (νकश्मीर ≤ एन मी) और
 * (κ ≤ μ) → (κएन ≤ एम एन).

2undefined सेट X के सत्ता स्थापित की कार्डिनैलिटी है और कैंटर के विकर्ण तर्क से पता चलता है कि 2undefined > |X| किसी भी सेट एक्स के लिए। यह साबित करता है कि कोई भी सबसे बड़ा कार्डिनल मौजूद नहीं है (क्योंकि किसी भी कार्डिनल κ के लिए, हम हमेशा एक बड़ा कार्डिनल 2 पा सकते हैंκ). वास्तव में, कार्डिनल्स का वर्ग (सेट सिद्धांत) एक उचित वर्ग है। (यह प्रमाण कुछ सेट सिद्धांतों, विशेष रूप से न्यू फ़ाउंडेशन में विफल रहता है।)

इस खंड में शेष सभी प्रस्ताव पसंद के स्वयंसिद्ध मानते हैं:


 * यदि κ और μ दोनों सीमित हैं और 1 से अधिक हैं, और ν अनंत है, तो κएन  = एम एन.
 * यदि κ अनंत है और μ परिमित और गैर-शून्य है, तो κμ = κ.

यदि 2 ≤ κ और 1 ≤ μ और उनमें से कम से कम एक अपरिमित है, तो:
 * मैक्स (κ, 2मी) ≤ केμ ≤ अधिकतम (2क, 2 μ).

कोनिग के प्रमेय (सेट सिद्धांत) का उपयोग करना | कोनिग के प्रमेय, कोई भी κ < κ साबित कर सकता हैcf(κ) और κ <cf(2κ) किसी अनंत कार्डिनल κ के लिए, जहां cf(κ) κ की अंतिमता है।

जड़ें
पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए और, एक अनंत कार्डिनल κ और एक परिमित कार्डिनल μ 0 से अधिक दिया गया, कार्डिनल ν संतोषजनक $$\nu^\mu = \kappa$$ होगा $$\kappa$$.

लघुगणक
पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए और, एक अनंत कार्डिनल κ और एक परिमित कार्डिनल μ 1 से अधिक दिया गया है, एक कार्डिनल λ संतोषजनक हो सकता है या नहीं भी हो सकता है $$\mu^\lambda = \kappa$$. हालांकि, यदि ऐसा कार्डिनल मौजूद है, तो यह अनंत है और κ से कम है, और 1 से अधिक कोई परिमित कार्डिनैलिटी भी संतुष्ट करेगी $$\nu^\lambda = \kappa$$.

एक अनंत कार्डिनल संख्या κ के लघुगणक को कम से कम कार्डिनल संख्या μ के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे कि κ ≤ 2μ. गणित के कुछ क्षेत्रों में अनंत कार्डिनल के लॉगरिदम उपयोगी होते हैं, उदाहरण के लिए टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान के कार्डिनल अपरिवर्तनीय के अध्ययन में, हालांकि उनमें कुछ गुणों की कमी होती है जो सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लॉगरिदम के पास होती हैं।

सातत्य परिकल्पना
सातत्य परिकल्पना (सीएच) में कहा गया है कि सख्ती के बीच कोई कार्डिनल नहीं हैं $$\aleph_0$$ और $$2^{\aleph_0}.$$ बाद के कार्डिनल नंबर को भी अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है $$\mathfrak{c}$$; यह सातत्य (वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) की प्रमुखता है। इस मामले में $$2^{\aleph_0} = \aleph_1.$$ इसी तरह, सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना (जीसीएच) कहती है कि प्रत्येक अनंत कार्डिनल के लिए $$\kappa$$, बीच में सख्ती से कोई कार्डिनल नहीं हैं $$\kappa$$ और $$2^\kappa$$. सातत्य परिकल्पना और सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना दोनों सेट सिद्धांत के सामान्य स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र साबित हुए हैं, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्ध एक साथ पसंद के स्वयंसिद्ध (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत) के साथ।

दरअसल, ईस्टन के प्रमेय से पता चलता है कि, नियमित कार्डिनल्स के लिए $$\kappa$$, केवल ZFC की कार्डिनैलिटी पर प्रतिबंध लगाता है $$2^\kappa$$ वो है $$ \kappa < \operatorname{cf}(2^\kappa) $$, और यह कि घातीय फलन गैर-घटता है।

यह भी देखें

 * अलेफ संख्या
 * बेथ संख्या
 * कैंटर का विरोधाभास
 * कार्डिनल नंबर (भाषा विज्ञान)
 * गिनती
 * समावेश-बहिष्करण सिद्धांत
 * बड़ा कार्डिनल
 * अंग्रेजी में संख्याओं के नाम
 * नाममात्र संख्या
 * क्रमसूचक संख्या
 * नियमित कार्डिनल

संदर्भ
Notes

Bibliography
 * Hahn, Hans, Infinity, Part IX, Chapter 2, Volume 3 of The World of Mathematics. New York: Simon and Schuster, 1956.
 * Halmos, Paul, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
 * Halmos, Paul, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).