वेब्लेन फलन

गणित में, वेब्लेन फलन, सामान्य फलन का पदानुक्रम है (क्रमवाचक संख्या से क्रमांक तक कठोरता से बढ़ते फलन), जिसे में ओसवाल्ड वेब्लेन द्वारा प्रस्तुत किया गया। यदि φ0 कोई सामान्य कार्य है, तो किसी भी गैर-शून्य क्रमिक α के लिए, φα β<α के लिए φβ के सामान्य निश्चित बिंदुओं की गणना करने वाला कार्य है। ये सभी सामान्य कार्य हैं।

वेब्लेन पदानुक्रम
विशेष स्थिति में जब φ0(α) = ωα कार्यों के इस परिवार को वेब्लेन पदानुक्रम के रूप में जाना जाता है। फलन φ1, ε फलन के समान है: φ1(α) = εα यदि $$\alpha < \beta \,,$$ तब $$\varphi_{\alpha}(\varphi_{\beta}(\gamma)) = \varphi_{\beta}(\gamma)$$ होता है। इससे और तथ्य यह है कि φβ कठोरता से बढ़ रहा है हम आदेश प्राप्त करते हैं: $$\varphi_\alpha(\beta) < \varphi_\gamma(\delta) $$ यदि और केवल यदि या तो ($$\alpha = \gamma $$ और $$\beta < \delta $$) या ($$\alpha < \gamma $$ और $$\beta < \varphi_\gamma(\delta) $$) या ($$\alpha > \gamma $$ और $$\varphi_\alpha(\beta) < \delta $$) होता है।

वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रम
कोफिनलिटी ω के साथ क्रमसूचक के लिए मौलिक अनुक्रम विशिष्ट रूप से बढ़ता हुआ ω-अनुक्रम है जिसकी सीमा के रूप में क्रमसूचक है। यदि किसी के निकट α और सभी छोटे सीमा अध्यादेशों के लिए मौलिक अनुक्रम हैं, तो कोई ω और α के मध्य स्पष्ट रचनात्मक आक्षेप बना सकता है, (अर्थात रूचि के स्वयंसिद्ध का उपयोग नहीं कर रहा है)। यहां हम क्रमसूचक्स के वेब्लेन पदानुक्रम के लिए मौलिक अनुक्रमों का वर्णन करेंगे। α के मौलिक अनुक्रम के अनुसार n की छवि α[n] द्वारा प्रदर्शित की जाएगी।

वेब्लेन पदानुक्रम के संबंध में उपयोग किए जाने वाले कैंटर सामान्य रूप की भिन्नता है - प्रत्येक गैर-शून्य क्रमिक संख्या α को विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है $$\alpha = \varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \varphi_{\beta_2}(\gamma_2) + \cdots + \varphi_{\beta_k}(\gamma_k)$$, जहाँ k>0 प्राकृत संख्या है और पूर्व के पश्चात का प्रत्येक पद पूर्व पद से अल्प या समान है, $$\varphi_{\beta_m}(\gamma_m) \geq \varphi_{\beta_{m+1}}(\gamma_{m+1}) \,,$$ और प्रत्येक $$\gamma_m < \varphi_{\beta_m}(\gamma_m) \,$$है। यदि अंतिम पद के लिए मौलिक अनुक्रम प्रदान किया जा सकता है, तो उस पद को प्राप्त करने के लिए ऐसे अनुक्रम  $$\alpha [n] = \varphi_{\beta_1}(\gamma_1) + \cdots + \varphi_{\beta_{k-1}}(\gamma_{k-1}) + (\varphi_{\beta_k}(\gamma_k) [n]) \,$$से प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

किसी भी β के लिए, यदि γ सीमा है $$\gamma < \varphi_{\beta} (\gamma) \,,$$ तो मान लीजिये $$\varphi_{\beta}(\gamma) [n] = \varphi_{\beta}(\gamma [n]) \,$$होता है।

ऐसा कोई क्रम प्रदान नहीं किया जा सकता है $$\varphi_0(0)$$ = ω0 = 1 क्योंकि इसमें अंतिमता ω नहीं है।

$$\varphi_0(\gamma+1) = \omega ^{\gamma+1} = \omega^ \gamma \cdot \omega \,,$$ के लिए, हम $$\varphi_0(\gamma+1) [n] = \varphi_0(\gamma) \cdot n = \omega^{\gamma} \cdot n \,$$का चयन करते हैं।

$$\varphi_{\beta+1}(0) \,$$ के लिए हम $$\varphi_{\beta+1}(0) [0] = 0 $$ और $$\varphi_{\beta+1}(0) [n+1] = \varphi_{\beta}(\varphi_{\beta+1}(0) [n]) \,,$$ का उपयोग करते हैं, अर्थात। 0, $$\varphi_{\beta}(0)$$, $$\varphi_{\beta}(\varphi_{\beta}(0))$$, आदि।

$$\varphi_{\beta+1}(\gamma+1)$$ के लिए, हम $$\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [0] = \varphi_{\beta+1}(\gamma)+1 $$ और $$\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [n+1] = \varphi_{\beta} (\varphi_{\beta+1}(\gamma+1) [n]) \,$$का उपयोग करते हैं।

अब मान लीजिए कि β सीमा है:

यदि $$\beta < \varphi_{\beta}(0)$$, तो करने दें $$\varphi_{\beta}(0) [n] = \varphi_{\beta [n]}(0) \,.$$ के लिए $$\varphi_{\beta}(\gamma+1)$$, उपयोग $$\varphi_{\beta}(\gamma+1) [n] = \varphi_{\beta [n]}(\varphi_{\beta}(\gamma)+1) \,.$$ अन्यथा, छोटे अध्यादेशों के उपयोग के संदर्भ में क्रमसूचक का वर्णन नहीं किया जा सकता है $$\varphi$$ और यह योजना उस पर लागू नहीं होती है।

Γ फलन
फलन Γ क्रमांक α की गणना करता है जैसे कि φα(0) = α होता है। Γ0 फ़ेफ़रमैन-शुट्टे क्रमसूचक है, अर्थात यह सबसे छोटा α है जैसे कि φα(0) = α।

Γ0 के लिए, मौलिक अनुक्रम $$\Gamma_0 [0] = 0 $$ और $$\Gamma_0 [n+1] = \varphi_{\Gamma_0 [n]} (0) \,$$का चयन किया जा सकता है।

Γβ+1 के लिए, मान लीजिए $$\Gamma_{\beta+1} [0] = \Gamma_{\beta} + 1 $$ और $$\Gamma_{\beta+1} [n+1] = \varphi_{\Gamma_{\beta+1} [n]} (0) \,$$होता है।

Γβ के लिए जहाँ $$\beta < \Gamma_{\beta} $$ सीमा है, मान लीजिए $$\Gamma_{\beta} [n] = \Gamma_{\beta [n]} \,$$होता है।

अंत में कई चर
तर्कों की परिमित संख्या (अंतिम वेब्लेन फलन) के वेब्लेन फलन का निर्माण करने के लिए, बाइनरी फलन दें $$\varphi(\alpha, \gamma)$$ मान लीजिये $$\varphi_\alpha(\gamma)$$ जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है।

मान लीजिये $$z$$ रिक्त स्ट्रिंग या एक से अधिक अल्पविराम से भिन्न किए गए शून्य से युक्त  स्ट्रिंग हो $$0,0,...,0$$ और $$s$$  रिक्त स्ट्रिंग या एक से अधिक कॉमा-सेपरेटेड क्रमसूचक्स से युक्त स्ट्रिंग हो $$\alpha _{1},\alpha _{2},...,\alpha _{n}$$ साथ $$\alpha _{1}>0$$ है बाइनरी फलन $$\varphi (\beta ,\gamma )$$ के रूप में लिखा जा सकता है $$\varphi (s,\beta ,z,\gamma )$$ जहां दोनों $$s$$ और $$z$$ रिक्त स्ट्रिंग हैं।

अंतिम वेब्लेन कार्यों को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: उदाहरण के लिए, $$\varphi(1,0,\gamma)$$ है $$(1+\gamma)$$- कार्यों का निश्चित बिंदु $$\xi\mapsto\varphi(\xi,0)$$ है, अर्थात् $$\Gamma_\gamma$$; तब $$\varphi(1,1,\gamma)$$ उस फलन के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है, अर्थात $$\xi\mapsto\Gamma_\xi$$ फलन; और $$\varphi(2,0,\gamma)$$ सभी के निश्चित बिंदुओं की गणना करता है $$\xi\mapsto\varphi(1,\xi,0)$$ सामान्यीकृत वेब्लेन फलन का प्रत्येक उदाहरण अंतिम नॉनज़रो वेरिएबल में निरंतर है (अर्थात, यदि वेरिएबल को भिन्न-भिन्न बनाया जाता है और पश्चात के सभी वेरिएबल्स को निरंतर शून्य के समान रखा जाता है)।
 * $$\varphi (\gamma )=\omega ^{\gamma }$$
 * $$\varphi (z,s,\gamma )=\varphi (s,\gamma )$$
 * यदि $$\beta >0$$, तब $$\varphi (s,\beta ,z,\gamma )$$ दर्शाता है $$(1+\gamma )$$ कार्यों का सामान्य निश्चित बिंदु $$\xi \mapsto \varphi (s,\delta ,\xi ,z)$$ प्रत्येक के लिए $$\delta <\beta$$ होता है।

क्रमसूचक $$\varphi(1,0,0,0)$$ कभी-कभी एकरमैन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है। $$\varphi(1,0,...,0)$$ की सीमा जहां शून्य की संख्या ω से अधिक होती है, उसे कभी-कभी छोटे वेब्लेन क्रमसूचक के रूप में जाना जाता है।

प्रत्येक गैर-शून्य क्रमसूचक $$\alpha$$ छोटे वेब्लेन क्रमसूचक (एसवीओ) से अल्प विशिष्ट वेब्लेन फलन के लिए सामान्य रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है:

$$\alpha =\varphi (s_{1})+\varphi (s_{2})+\cdots +\varphi (s_{k})$$

जहाँ
 * $$k$$ सकारात्मक पूर्णांक है।
 * $$\varphi (s_{1})\geq \varphi (s_{2})\geq \cdots \geq \varphi (s_{k})$$
 * $$s_{m}$$ स्ट्रिंग है जिसमें एक या अधिक कॉमा-सेपरेटेड क्रमसूचक्स होते हैं $$\alpha _{m,1},\alpha _{m,2},...,\alpha _{m,n_{m}}$$ जहाँ $$\alpha _{m,1}>0$$ और प्रत्येक $$\alpha _{m,i}<\varphi (s_{m})$$ होता है।

अंतिम वेब्लेन फलन की सीमा क्रम के लिए मौलिक अनुक्रम
सीमा अध्यादेशों के लिए $$\alpha<SVO$$, परिमित वेब्लेन फलन के लिए सामान्य रूप में लिखा गया है: n \quad \text{if} \quad \gamma=1\\ \varphi(\gamma-1)\cdot n \quad \text{if} \quad \gamma \quad \text{is a successor ordinal}\\ \varphi(\gamma[n]) \quad \text{if} \quad \gamma \quad \text{is a limit ordinal}\\ \end{array}\right. $$,
 * $$(\varphi(s_1)+\varphi(s_2)+\cdots+\varphi(s_k))[n]=\varphi(s_1)+\varphi(s_2)+\cdots+\varphi(s_k)[n]$$,
 * $$\varphi(\gamma)[n]=\left\{\begin{array}{lcr}
 * $$\varphi(s,\beta,z,\gamma)[0]=0$$ और $$\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n+1]=\varphi(s,\beta-1,\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n],z)$$ यदि $$\gamma=0$$ और $$\beta$$ उत्तराधिकारी क्रमसूचक है,
 * $$\varphi(s,\beta,z,\gamma)[0]=\varphi(s,\beta,z,\gamma-1)+1$$ और $$\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n+1]=\varphi(s,\beta-1,\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n],z)$$ यदि $$\gamma$$ और $$\beta$$ उत्तराधिकारी अध्यादेश हैं,
 * $$\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n]=\varphi(s,\beta,z,\gamma[n])$$ यदि $$\gamma$$ सीमा क्रमसूचक है,
 * $$\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n]=\varphi(s,\beta[n],z,\gamma)$$ यदि $$\gamma=0$$ और $$\beta$$ सीमा क्रमसूचक है,
 * $$\varphi(s,\beta,z,\gamma)[n]=\varphi(s,\beta[n],\varphi(s,\beta,z,\gamma-1)+1,z)$$ यदि $$\gamma$$ उत्तराधिकारी क्रमसूचक है और $$\beta$$  सीमा क्रमसूचक है।

अनंत रूप से अनेक चर
सामान्यतः, वेब्लेन ने दिखाया कि φ को क्रमसूचक्स αβ के ट्रांसफिनिट अनुक्रम के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है, उनमें से परिमित संख्या को त्यागकर सभी शून्य हों। ध्यान दें कि यदि क्रमसूचक्स का ऐसा क्रम उन असंख्य नियमित कार्डिनल κ से अल्प में से चयन किया जाता है, तो अनुक्रम को κk (क्रमिक घातांक) से अल्प एकल क्रमसूचक के रूप में एन्कोड किया जा सकता है। अतः कोई फलन φ को kκ से κ में परिभाषित कर रहा है।

परिभाषा इस प्रकार दी जा सकती है: मान लीजिए α क्रमसूचकों का ट्रांसफिनिट अनुक्रम है (अर्थात् परिमित समर्थन वाला क्रमसूचक फलन) जो शून्य पर समाप्त होता है (अर्थात्, जैसे कि α0=0), और माना α [γ@0] उसी फलन को प्रदर्शित करता है जहां अंतिम 0 को γ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। फिर γ↦φ( α [γ@0]) को फलन के रूप में परिभाषित किया गया है जो सभी फलन के सामान्य निश्चित बिंदुओं की गणना करता है ξ↦φ( β ) जहां β उन सभी अनुक्रमों पर होता है जो α के सबसे छोटे-अनुक्रमित गैर-शून्य मान को घटाकर प्राप्त किया जाता है। और कुछ छोटे-अनुक्रमित मान को अनिश्चित ξ (अर्थात्, βα[ζ@ι0,ξ@ι] के साथ प्रतिस्थापित करना जिसका अर्थ है कि सबसे छोटी अनुक्रमणिका ι0 के लिए ऐसा है कि αι 0 गैर-शून्य है पश्चात वाले को कुछ मूल्य ζ<αι0 से परिवर्तित कर दिया गया है और कि कुछ छोटे सूचकांक ι<ι0 के लिए, मान αι= 0 को ξ से परिवर्तित कर दिया गया है)।

उदाहरण के लिए, यदि α =(1@ω) ω और 0 पर मान 1 के साथ ट्रांसफिनिट अनुक्रम को दर्शाता है, तो φ(1@ω) सभी कार्यों का सबसे छोटा निश्चित बिंदु है ξ↦ φ(ξ,0,...,0) बहुत सारे अंतिम शून्य के साथ (यह φ(1,0,...,0) की सीमा भी है जिसमें बहुत सारे शून्य हैं, छोटा वेब्लेन क्रमसूचक हैं)।

सबसे छोटा क्रमिक α ऐसा है कि α φ से अधिक है जो α में समर्थन के साथ किसी भी फलन पर प्रारम्भ होता है (अर्थात्, जिसे नीचे से ट्रांसफ़ाइनली कई चरों के वेब्लेन फलन का उपयोग करके नहीं पहुँचा जा सकता है) को कभी-कभी बड़े वेबलेन क्रमसूचक या महान वेबलेन संख्या के रूप में जाना जाता है।

मूल्य
फलन कई प्रमुख मान लेता है:
 * $$\varphi(\omega,0)$$, सूक्ष्मता से कई फलन प्रतीकों के साथ पुनरावर्ती पथ क्रमों के क्रम प्रकारों पर सीमित होते है।
 * फेफ़रमैन-शुट्टे क्रमसूचक $$\Gamma_0$$ के समान $$\varphi(1,0,0)$$है।
 * लघु वेब्लेन क्रमसूचक $$\varphi\begin{pmatrix}1 \\ \omega\end{pmatrix}$$ के समान होता है।

संदर्भ

 * Hilbert Levitz, Transfinite Ordinals and Their Notations: For The Uninitiated, expository article (8 pages, in PostScript)
 * contains an informal description of the Veblen hierarchy.
 * contains an informal description of the Veblen hierarchy.
 * contains an informal description of the Veblen hierarchy.
 * contains an informal description of the Veblen hierarchy.