बेथे एन्सैट्ज़

भौतिक विज्ञान में, बेथे एन्सैट्ज़ कुछ एक-आयामी क्वांटम बहुत आकार के सटीक तरंग फलन को खोजने के लिए एक असार विधि है। 1931 में हंस बेथे द्वारा इसका आविष्कार किया गया था एक आयामी प्रतिचुंबकीय हाइजेनबर्ग मॉडल हैमिल्टनियन के सटीक आईगेन वैल्यू और आईगेनवेक्टर खोजने के लिए प्रयोग की गयी विधि है तब से इस विधि को एक आयाम में अन्य मॉडलों के लिए बढ़ा दिया गया है: (अनिसोट्रोपिक) हाइजेनबर्ग श्रृंखला (XXZ मॉडल), लिब-लिनिगर इंटरेक्टिंग बोस गैस, हबर्ड मॉडल, मॉडल कोंडो, एंडरसन अशुद्धता मॉडल, रिचर्डसन मॉडल आदि।.

चर्चा
बहु-निकाय क्वांटम यांत्रिकी के ढांचे में, बेथे एन्सैट्ज द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडल की तुलना मुक्त फर्मियन मॉडल से की जा सकती है। यह कहा जा सकता है कि एक मुक्त मॉडल की गतिकी एक-पिंड को कम करने योग्य है: फ़र्मियन् (बोसॉन) के लिए कई-आकार के तरंग फलन एक-आकार के तरंग फलन का एंटी-सममितीकृत (सममित) उत्पाद है।बेथे एन्सैट्ज द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडल मुक्त नहीं हैं: दो-निकाय क्षेत्र में एक गैर-साधारण बिखरने वाला मैट्रिक्स है, जो सामान्य रूप से संवेग पर निर्भर करता है।

दूसरी ओर, बेथे एन्सैट्ज द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडलों की गतिशीलता दो-निकाय  है: कई-निकाय में बिखरने वाला मैट्रिक्स दो-शरीर बिखरने वाले मैट्रिसेस का एक उत्पाद है। कई-निकाय टकराव दो-शरीर टक्करों के अनुक्रम के रूप में होते हैं और कई-शरीर तरंग फलन को ऐसे रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है जिसमें दो-शरीर तरंग कार्यों से केवल तत्व के रूप में  होते हैं। बहु-निकाय बिखरने वाला मैट्रिक्स जोड़ीदार बिखरने वाले मैट्रिक्स के उत्पाद के बराबर है।

कई तरंग फलन-b के लिए बेथे एनात्ज़ का सामान्य रूप इस प्रकार है



\Psi_M(j_1, \cdots, j_M) = \prod_{M \geq a > b \geq 1} \text{sgn}(j_a - j_b) \sum_{P \in P_M} (-1)^{[P]} e^{i \sum_{a=1}^M k_{P_a} j_a + \frac{i}{2}\sum_{M \geq a > b \geq 1} \mathrm{sgn}(j_a - j_b) \phi(k_{P_a}, k_{P_b})} $$ जिसमें $$M$$ कणों की संख्या है, $$j_a, a=1, \cdots M$$ उनकी स्थिति, $$P_M$$ पूर्णांकों के सभी क्रमपरिवर्तनों का समुच्चय है $$1, \cdots, M$$, $$k_a$$ की (अर्ध-) गति है {M} पूर्णांकों के सभी क्रमपरिवर्तनों का समुच्चय है k अर्ध गति है a वें कण,है जो $$\phi$$ प्रकीर्णन चरण बिखराव कला स्थानांतरण फलन है और sgn साइन फलन है। यह रूप सार्वभौमिक है (कम से कम गैर- स्थिर निकाय के लिए), गति और बिखरने वाले कार्यों के मॉडल-निर्भर होने के साथ

यांग-बैक्सटर समीकरण निर्माण की निरंतरता की गारंटी देता है। पाउली बहिष्करण सिद्धांत बेथे एनात्ज़ द्वारा हल किए जा सकने वाले मॉडल के लिए मान्य है, यहां तक ​​कि परस्पर क्रिया करने वाले बोसोन के मॉडल के लिए भी यह मान्य है।

निचली अवस्था एक फर्मी क्षेत्र है। आवधिक सीमा की स्थिति बेथे एनात्ज़ समीकरणों की ओर ले जाती है। लघुगणकीय रूप में यांग क्रिया द्वारा बेथ एनात्ज़ समीकरण उत्पन्न किए जा सकते हैं। बेथ तरंग फलन  के मानदंड का वर्ग यांग एक्टि के दूसरे व्युत्पन्न के मैट्रिक्स के निर्धारक के बराबर है। बीजगणितीय बेथे एनात्ज़ ने [कौन?] बताते हुए आवश्यक प्रगति की ओर अग्रसर किया। वह

"क्वांटम व्युत्क्रम बिखरने की विधि एक अच्छी तरह से विकसित विधि ने गैर-रैखिक विकास समीकरणों की एक विस्तृत श्रेणी को हल करने की अनुमति दी है। यह बेथे एनात्ज़ की बीजगणितीय प्रकृति की व्याख्या करता है।"

उन्होंने तथाकथित s-d मॉडल (1980 में पी.बी. विगमैन द्वारा और स्वतंत्र रूप से एन.आंद्रेई द्वारा, 1980 में भी) और एंडरसन मॉडल (1981 में पी.बी. विगमैन द्वारा, और एन द्वारा) के सटीक समाधान 1981 में कावाकामी और ए. ओकीजी भी बेथे एन्सैट्ज पर आधारित हैं। इन दो मॉडलों के बहु-चैनल सामान्यीकरण उपस्थित हैं जो सटीक समाधान के लिए उत्तरदायी हैं (एन. आंद्रेई और सी. डेस्ट्री द्वारा और सी.जे. बोलेच और एन. आंद्रेई द्वारा )हाल ही में  बेथ एनात्ज़ द्वारा हल किए जा सकने वाले कई मॉडलों को प्रायोगिक तौर पर महसूस किया गया। इन प्रयोगों के सैद्धांतिक विवरण में एक महत्वपूर्ण भूमिका जीन-सेबास्टियन कॉक्स और एलेक्सी त्वेलिक द्वारा निभाई गई थी।

शब्दावली
इसी तरह के और भी तरीके हैं जो बेथ एनात्ज़ के नाम से आते हैं
 * बीजीय बेथे एनात्ज़। क्वांटम व्युत्क्रम प्रकीर्णन विधि बीजगणितीय बेथ एनात्ज़ द्वारा समाधान की विधि है, और दोनों व्यावहारिक रूप से पर्यायवाची हैं।
 * विश्लेषणात्मक बेथे एनात्ज़
 * बेथे अंसत्ज़ का समन्वय करें
 * कार्यात्मक बेथे दृष्टिकोण
 * नेस्टेड बेथे दृष्टिकोण
 * ऊष्मागतिक बेथे दृष्टिकोण

हाइजेनबर्ग एंटीफेरोमैग्नेटिक चेन
हाइजेनबर्ग एंटीफेरोमैग्नेटिक चेन को हैमिल्टनियन द्वारा परिभाषित किया गया है (आवधिक सीमा स्थितियों को मानते हुए)



H = J \sum_{j=1}^N \mathbf{S}_{j} \cdot \mathbf{S}_{j+1}, \qquad \mathbf{S}_{j+N} \equiv \mathbf{S}_j. $$ यह मॉडल (समन्वय) बेथ एनात्ज़ का उपयोग करके हल करने योग्य है। स्कैटरिंग फेज शिफ्ट फंक्शन है $$\phi(k_a(\lambda_a), k_b(\lambda_b)) = \theta_2 (\lambda_a - \lambda_b)$$, साथ $$\theta_n (\lambda) \equiv 2 \arctan \frac{2\lambda}{n}$$ जिसमें संवेग को सुविधाजनक रूप से पुनर्मूल्यांकन किया गया है $$k(\lambda) = \pi - 2 \arctan 2\lambda$$ तेज़ी के संदर्भ में $$\lambda$$. (यहाँ, आवधिक) सीमा की स्थितियाँ बेथ समीकरणों को लागू करती हैं



\left[ \frac{ \lambda_a + i/2}{\lambda_a - i/2} \right]^N = \prod_{b \neq a}^M \frac{\lambda_a - \lambda_b + i}{\lambda_a - \lambda_b - i}, \qquad a = 1, ..., M $$ या अधिक आसानी से लघुगणकीय रूप में



\theta_1(\lambda_a) - \frac{1}{N} \sum_{b = 1}^M \theta_2(\lambda_a - \lambda_b) = 2\pi \frac{I_a}{N} $$ जहां क्वांटम नंबर $$I_j$$ के लिए विशिष्ट अर्ध-विषम पूर्णांक हैं $$N - M$$ सम, के लिए पूर्णांक $$N - M$$ विषम (साथ $$I_j$$ परिभाषित मोड$$(N)$$).

प्रयोज्यता
बेथ एनात्ज़ का उपयोग करके निम्नलिखित प्रणालियों को हल किया जा सकता है
 * एंडरसन अशुद्धता मॉडल
 * गौडिन मॉडल
 * XXX और XXZ हाइजेनबर्ग स्पिन श्रृंखला मनमाना स्पिन के लिए $$s$$
 * हबर्ड मॉडल
 * कोंडो मॉडल
 * लीब-लिनिगर मॉडल
 * छह-शीर्ष मॉडल और आठ-शीर्ष मॉडल (हाइजेनबर्ग स्पिन चेन के माध्यम से)

कालक्रम

 * 1928: वर्नर हाइजेनबर्ग ने क्वांटम हाइजेनबर्ग मॉडल प्रकाशित किया।
 * 1930: फेलिक्स बलोच ने एक अतिसरलीकृत ansatz का प्रस्ताव रखा जो हाइजेनबर्ग श्रृंखला के लिए श्रोडिंगर समीकरण के समाधानों की संख्या को गलत तरीके से गिनता है।
 * 1931: हंस बेथे ने सही ansatz का प्रस्ताव दिया और ध्यान से दिखाया कि यह सही संख्या में eigenfunctions का उत्पादन करता है। * 1938: हाइजेनबर्ग मॉडल की सटीक जमीन-राज्य ऊर्जा प्राप्त करता है।
 * 1958: रेमंड ली ओरबैक ने हाइजेनबर्ग मॉडल को अनिसोट्रोपिक इंटरैक्शन के साथ हल करने के लिए बेथ एन्सैट्ज का उपयोग किया।
 * 1962: जे. डेस क्लिज़ॉक्स और जे. जे. पियर्सन ने हाइजेनबर्ग एंटीफेरोमैग्नेट (स्पिनन फैलाव संबंध) का सही स्पेक्ट्रम प्राप्त किया, दिखा रहा है कि यह एंडरसन की स्पिन-वेव थ्योरी की भविष्यवाणियों से अलग है (निरंतर प्रीफैक्टर अलग है)।
 * 1963: इलियट एच. लिब और वर्नर लिंगर  ने 1d δ-फंक्शन इंटरेक्टिंग बोस गैस का सटीक समाधान प्रदान किया (अब लिब-लाइनर मॉडल के रूप में जाना जाता है)। लिब स्पेक्ट्रम का अध्ययन करता है और दो बुनियादी प्रकार के उत्तेजनाओं को परिभाषित करता है।
 * 1964: रॉबर्ट बी. ग्रिफिथ्स ने शून्य तापमान पर हाइजेनबर्ग मॉडल का चुंबकीयकरण वक्र प्राप्त किया।
 * 1966: यांग चेन-निंग|सी.एन. यांग और सी.पी. यांग दृढ़ता से साबित करते हैं कि हाइजेनबर्ग श्रृंखला की जमीनी स्थिति बेथे एनात्ज़ द्वारा दी गई है। वे गुणों और अनुप्रयोगों का अध्ययन करते हैं और।
 * 1967: यांग चेन-निंग|सी.एन. यांग ने लिब और लिनिगर के δ-फंक्शन इंटरेक्टिंग बोस गैस के समाधान को वेवफंक्शन के मनमाना क्रमपरिवर्तन समरूपता के लिए सामान्यीकृत किया, जिससे नेस्टेड बेथे एन्सैट्ज को जन्म दिया।
 * 1968: इलियट एच. लीब और एफ.वाई. वू ने 1डी हबर्ड मॉडल को हल किया।
 * 1969: यांग चेन-निंग|सी.एन. यांग और सी.पी. जो लीब-लिनिगर मॉडल के ऊष्मप्रवैगिकी को प्राप्त करते हैं, उष्मागतिक बेथे ansatz (TBA) का आधार प्रदान करना।

बाहरी संबंध

 * Introduction to the बेथ एनात्ज़