स्थान पैरामीटर

सांख्यिकी में संभाव्यता वितरण का एक स्थान पैरामीटर एक स्केलर- या वेक्टर-मूल्यवान सांख्यिकीय पैरामीटर है $$x_0$$, जो वितरण के स्थान या बदलाव को निर्धारित करता है। स्थान पैरामीटर अनुमान के साहित्य में ऐसे पैरामीटर के साथ संभाव्यता वितरण औपचारिक रूप से निम्न समकक्ष तरीकों में से एक में परिभाषित होते हैं:
 * या तो प्रायिकता घनत्व फलन या प्रायिकता द्रव्यमान फलन के रूप में $$f(x - x_0)$$; या
 * एक संचयी वितरण समारोह होना $$F(x - x_0)$$; या
 * यादृच्छिक चर परिवर्तन के परिणामस्वरूप परिभाषित किया जा रहा है $$x_0 + X$$, कहाँ $$X$$ एक निश्चित, संभवतः अज्ञात, वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर है।

स्थान पैरामीटर का प्रत्यक्ष उदाहरण पैरामीटर है $$\mu$$ सामान्य वितरण का। इसे देखने के लिए ध्यान दें कि प्रायिकता घनत्व कार्य $$f(x | \mu, \sigma)$$ एक सामान्य वितरण का $$\mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$$ पैरामीटर हो सकता है $$\mu$$ फैक्टर आउट और इस रूप में लिखा जाए:

g(y - \mu | \sigma) = \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi} } e^{-\frac{1}{2}\left(\frac{y}{\sigma}\right)^2} $$ इस प्रकार ऊपर दी गई परिभाषाओं में से पहली को पूरा करना।

उपरोक्त परिभाषा एक आयामी स्थिति में इंगित करती है कि यदि $$x_0$$ बढ़ जाता है तो प्रायिकता घनत्व या द्रव्यमान कार्य अपने सटीक आकार को बनाए रखते हुए सख्ती से दाईं ओर परिवर्तित हो जाता है।

एक से अधिक पैरामीटर वाले परिवारों में एक स्थान पैरामीटर भी पाया जा सकता है जैसे स्थान-स्केल परिवार। इस स्थिति में प्रायिकता घनत्व फलन या प्रायिकता द्रव्यमान फलन अधिक सामान्य रूप का एक विशेष स्थिति मे होगा:
 * $$f_{x_0,\theta}(x) = f_\theta(x-x_0)$$

जहाँ $$x_0$$ स्थान पैरामीटर है और θ अतिरिक्त पैरामीटर का प्रतिनिधित्व करता है और $$f_\theta$$ अतिरिक्त पैरामीटर पर पैरामिट्रीकृत कार्य है।

परिभाषा
होने देना $$f(x)$$ कोई प्रायिकता घनत्व फलन हो और चलो $$\mu$$ और $$\sigma > 0$$ कोई भी स्थिरांक हो:

$$g(x| \mu, \sigma)= \frac{1}{\sigma}f\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)$$

प्रायिकता घनत्व फलन है।

स्थान परिवार को तब निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

होने देना $$ f(x) $$ कोई प्रायिकता घनत्व फलन हो। तब संभाव्यता घनत्व का परिवार कार्य करता है $$ \mathcal{F} = \{f(x-\mu) : \mu \in \mathbb{R}\} $$ मानक संभाव्यता घनत्व कार्य वाला स्थान परिवार कहा जाता है $$ f(x) $$ जहाँ $$ \mu $$ परिवार के लिए स्थान पैरामीटर कहा जाता है।

योगात्मक शोर
अतिरिक्त शोर की अवधारणा के माध्यम से स्थान परिवारों के बारे में सोचने का एक वैकल्पिक तरीका है। अगर $$x_0$$ एक स्थिर है और W संभाव्यता घनत्व के साथ यादृच्छिक शोर है $$f_W(w),$$ तब $$X = x_0 + W$$ संभाव्यता घनत्व है $$f_{x_0}(x) = f_W(x-x_0)$$ और इसका वितरण इसलिए एक स्थान परिवार का हिस्सा है।

प्रमाण
निरंतर अविभाज्य स्थिति के लिए प्रायिकता घनत्व कार्य पर विचार करें $$f(x | \theta), x \in [a, b] \subset \mathbb{R}$$, कहाँ $$\theta$$ मापदंडों का एक वेक्टर है। एक स्थान पैरामीटर $$x_0$$ परिभाषित करके जोड़ा जा सकता है:

g(x | \theta, x_0) = f(x - x_0 | \theta), \; x \in [a - x_0, b - x_0] $$ यह सिद्ध किया जा सकता है $$g$$ एक पीडीएफ है यह सत्यापित करके कि क्या यह दो शर्तों का सम्मान करता है $$g(x | \theta, x_0) \ge 0$$ और $$\int_{-\infty}^{\infty} g(x | \theta, x_0) dx = 1$$. $$g$$ 1 से एकीकृत होता है क्योंकि:

\int_{-\infty}^{\infty} g(x | \theta, x_0) dx = \int_{a - x_0}^{b - x_0} g(x | \theta, x_0) dx = \int_{a - x_0}^{b - x_0} f(x - x_0 | \theta) dx $$ अब परिवर्तनीय परिवर्तन कर रहा है $$u = x - x_0$$ और तदानुसार एकीकरण अंतराल को अद्यतन करना:

\int_{a}^{b} f(u | \theta) du = 1 $$ क्योंकि $$f(x | \theta)$$ एक पीडीएफ है परिकल्पना द्वारा। $$g(x | \theta, x_0) \ge 0$$ से अनुसरण करता है $$g$$ की ही तस्वीर साझा कर रहा हूं $$f$$, जो एक पीडीएफ है। इसलिए इसकी छवि समाहित है $$[0, 1]$$.

यह भी देखें

 * केंद्रीय प्रवृत्ति
 * स्थान परीक्षण
 * अपरिवर्तनीय अनुमानक
 * स्केल पैरामीटर
 * दो-पल निर्णय मॉडल