गतिशील लॉट-आकार मॉडल

इन्वेंट्री सिद्धांत में गतिशील लॉट-आकार मॉडल, आर्थिक ऑर्डर मात्रा मॉडल का एक सामान्यीकरण है जो इस बात को ध्यान में रखता है कि उत्पाद की मांग समय के साथ बदलती रहती है। यह मॉडल 1958 में हार्वे एम. वैगनर और थॉमसन एम. व्हिटिन द्वारा पेश किया गया था।

समस्या सेटअप
हमारे पास मांग पूर्वानुमान उपलब्ध है $dt$ प्रासंगिक समय क्षितिज पर t=1,2,...,N (उदाहरण के लिए हम जान सकते हैं कि अगले 52 सप्ताहों के लिए प्रत्येक सप्ताह कितने विजेट (अर्थशास्त्र) की आवश्यकता होगी)। एक सेटअप लागत है $st$ प्रत्येक ऑर्डर के लिए खर्च किया जाता है और एक इन्वेंट्री होल्डिंग लागत होती है $i_{t}$ प्रति आइटम प्रति अवधि ($s_{t</VAR >}$ और $i</VAR >_{t</VAR >}$ यदि चाहें तो समय के साथ भिन्न भी हो सकते हैं)। समस्या यह है कि कितनी इकाइयाँ $x</VAR >_{t</VAR >}$ सेटअप लागत और भंडार  लागत के योग को कम करने के लिए अभी ऑर्डर करें। आइए हम इन्वेंट्री को निरूपित करें:

$$I=I_{0}+\sum_{j=1}^{t-1}x_{j}-\sum_{j=1}^{t-1}d_{j}\geq0$$ न्यूनतम लागत नीति का प्रतिनिधित्व करने वाला कार्यात्मक समीकरण है:

$$f_{t}(I)=\underset{x_{t}\geq 0 \atop I+x_{t}\geq d_{t}}{\min}\left[ i_{t-1}I+H(x_{t})s_{t}+f_{t+1}\left( I+x_{t}-d_{t} \right) \right]$$ जहां H हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन है। वैगनर और व्हिटिन निम्नलिखित चार प्रमेय सिद्ध किये:


 * एक इष्टतम कार्यक्रम मौजूद है जैसे कि I$x</VAR >_{t</VAR >}$=0; ∀टी
 * एक इष्टतम कार्यक्रम मौजूद है जैसे कि ∀t: या तो $x</VAR >_{t</VAR >}$=0 या $$x_{t}=\textstyle \sum_{j=t}^{k} d_{j}$$ कुछ k (t≤k≤N) के लिए
 * एक इष्टतम कार्यक्रम मौजूद है जैसे कि यदि $d</VAR ><SUB >t*</VAR >$ कुछ से संतुष्ट है $x</VAR ><SUB >t**</VAR >$, t**<t*, फिर $d</VAR >_{t</VAR >}$, t=t**+1,...,t*-1, से भी संतुष्ट है $x</VAR ><SUB ><VAR >t**</VAR >$
 * यह देखते हुए कि अवधि t के लिए I = 0 है, अवधि 1 से t - 1 पर स्वयं विचार करना इष्टतम है

योजना क्षितिज प्रमेय
नियोजन क्षितिज प्रमेय के प्रमाण में पूर्ववर्ती प्रमेयों का उपयोग किया जाता है। होने देना

$$F(t)= \min\left[ {\underset{1\leq j < t}{\min}\left[ s_{j}+ \sum_{h=j}^{t-1}\sum_{k=h+1}^{t}i_{h}d_{k}+F(j-1) \right] \atop s_{t}+F(t-1)} \right]$$ 1 से 1 तक की अवधि के लिए न्यूनतम लागत कार्यक्रम को निरूपित करें। यदि अवधि t* पर F(t) में न्यूनतम j = t** ≤ t* के लिए होता है, तो अवधि t > t* में केवल t** ≤ j ≤ t पर विचार करना पर्याप्त है। विशेष रूप से, यदि t* = t**, तो ऐसे कार्यक्रमों पर विचार करना पर्याप्त है $<VAR >x</VAR ><SUB ><VAR >t*</VAR >$ > 0.

कलन विधि
वैगनर और व्हिटिन ने गतिशील प्रोग्रामिंग द्वारा इष्टतम समाधान खोजने के लिए एक एल्गोरिदम दिया। t*=1 से प्रारंभ करें:


 * 1) अवधि t**, t** = 1, 2, ..., t* पर ऑर्डर देने और मांगें भरने की नीतियों पर विचार करें $<VAR >d</VAR ><SUB ><VAR >t</VAR >$, t = t**, t** + 1, ... , t*, इस क्रम से
 * 2) एच जोड़ें($<VAR >x</VAR >_{<VAR >t**</VAR >}$)$<VAR >s</VAR >_{<VAR >t**</VAR >}$+$<VAR >i</VAR >_{<VAR >t**</VAR >}$$<VAR >I</VAR >_{<VAR >t**</VAR >}$ एल्गोरिथम के पिछले पुनरावृत्ति में निर्धारित अवधि 1 से t**-1 के लिए इष्टतम ढंग से कार्य करने की लागत
 * 3) इन t* विकल्पों में से, अवधि 1 से t* ​​के लिए न्यूनतम लागत नीति का चयन करें
 * 4) अवधि t*+1 पर आगे बढ़ें (या यदि t*=N हो तो रुकें)

चूँकि इस पद्धति को कुछ लोगों द्वारा कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत के रूप में माना जाता था, इसलिए कई लेखकों ने अनुमानित अनुमान भी विकसित किए (जैसे, सिल्वर-मील अनुमान) ) समस्या के लिए.

यह भी देखें

 * उत्पादित किए जा रहे हिस्से के लिए अनंत भरण दर: किफायती ऑर्डर मात्रा
 * उत्पादित किए जा रहे हिस्से के लिए निरंतर भरण दर: आर्थिक उत्पादन मात्रा
 * मांग यादृच्छिक है: शास्त्रीय समाचार विक्रेता मॉडल
 * एक ही मशीन पर उत्पादित कई उत्पाद: आर्थिक लॉट शेड्यूलिंग समस्या
 * पुनः आदेश बिंदु

अग्रिम पठन

 * Lee, Chung-Yee, Sila Çetinkaya, and Albert PM Wagelmans. "A dynamic lot-sizing model with demand time windows." Management Science 47.10 (2001): 1384–1395.
 * Federgruen, Awi, and Michal Tzur. "A simple forward algorithm to solve general dynamic lot sizing models with n periods in 0 (n log n) or 0 (n) time." Management Science 37.8 (1991): 909–925.
 * Jans, Raf, and Zeger Degraeve. "Meta-heuristics for dynamic lot sizing: a review and comparison of solution approaches." European Journal of Operational Research 177.3 (2007): 1855–1875.
 * H.M. Wagner and T. Whitin, "Dynamic version of the economic lot size model," Management Science, Vol. 5, pp. 89–96, 1958
 * H.M. Wagner: "Comments on Dynamic version of the economic lot size model", Management Science, Vol. 50 No. 12 Suppl., December 2004

बाहरी संबंध

 * Solving the Lot Sizing Problem using the Wagner-Whitin Algorithm
 * Dynamic lot size model
 * Python implementation of the Wagner-Whitin algorithm.