विलक्षणता सिद्धांत

गणित में, विलक्षणता सिद्धांत उन स्थानों का अध्ययन करता है जो लगभग कई गुना हैं, परन्तु पूर्णतया नहीं। एक तार एक विमीय कई गुना के उदाहरण के रूप में काम कर सकता है, यदि कोई इसकी मोटाई की उपेक्षा करता है। इसे गुलिकायन करके, इसे तल पर प्रक्षेपण(गणित) करके और इसे सपाटन करके एक विलक्षणता बनाई जा सकती है। कुछ स्थानों पर सपाट जॉर्डन वक्र स्वयं को लगभग X आकार में काटेगा। तल (ज्यामिति) पर बिंदु जहां यह एक प्रकार की विलक्षणता (गणित) है, दोहरा बिंदु: तल का एक बिट ( सांस्थिति) रज्जु के बहुप्रतिचित्र बिट से मेल खाता है। संभवतः रज्जु भी एक रेखांकित U के जैसे, बिना पारण के स्वयं को स्पर्श करेगी। यह एक अन्य प्रकार की विलक्षणता है। दोहरे बिंदु के विपरीत, यह स्थिर नहीं है, इस अर्थ में कि एक छोटा सा धक्का U के तल को रेखांकन से दूर उठा देगा।

व्लादिमीर अर्नोल्ड विलक्षणता सिद्धांत के मुख्य लक्ष्य को परिभाषित करता है कि कैसे वस्तुएं मापदंडों पर निर्भर करती हैं, विशेष रूप से ऐसी स्थिति में जहां मापदंडों के एक छोटे से परिवर्तन के अंतर्गत गुणों में अचानक परिवर्तन होता है। इन स्थितियों को पुनःसंरचना कहा जाता है, द्विभाजन या आपदा। परिवर्तनों के प्रकारों को वर्गीकृत करना और इन परिवर्तनों को जन्म देने वाले मापदंडों के समूह को चिह्नित करना कुछ मुख्य गणितीय लक्ष्य हैं। विलक्षणता गणितीय वस्तुओं की एक विस्तृत श्रृंखला में हो सकती है, आव्यूह से लेकर तरंगाग्र तक के मापदंडों पर निर्भर करती है।

विलक्षणताएँ कैसे उत्पन्न हो सकती हैं
विलक्षणता सिद्धांत में बिंदुओं की सामान्य घटना और विलक्षण के समूह का अध्ययन किया जाता है, इस अवधारणा के भाग के रूप में कि कई गुना (बिना विलक्षणता के स्थान) कई मार्गों से विशेष, विलक्षण बिंदु प्राप्त कर सकते हैं। 3डी प्रक्षेपण एक विधि है, दृश्य पदों में बहुत स्पष्ट है जब त्रि-विमीय वस्तुओं को दो विमा में प्रक्षेपित किया जाता है (उदाहरण के लिए हमारी मानव आंखों में से एक में); शास्त्रीय प्रतिमा को देखने में चिलमन का वलय सबसे स्पष्ट विशेषताओं में से हैं। इस प्रकार की विलक्षणताओं में किरणस्पर्शी (गणित) सम्मिलित हैं, जो तरण ताल के तल पर प्रकाश पैटर्न के रूप में बहुत परिचित हैं।

अन्य विधि जिनमें विलक्षणताएँ होती हैं, कई गुना संरचना के अध: पतन (गणित) द्वारा होती हैं। समरूपता की उपस्थिति ओरबीफोल्ड पर विचार करने के लिए ठीक कारण हो सकती है, जो कि कई गुना हैं जो वलय की प्रक्रिया में कोनों का अधिग्रहण कर चुके हैं, एक करपट के सिलवट जैसा दिखता है।

बीजगणितीय वक्र विलक्षणता
ऐतिहासिक रूप से, विलक्षणताओं को सबसे पहले बीजगणितीय वक्रों के अध्ययन में देखा गया था। वक्र


 * $$y^2 = x^2 + x^3 $$

का (0, 0) पर दोहरा बिंदु और


 * $$y^2 = x^3\ $$

का वहां का पुच्छ (विलक्षणता) गुणात्मक रूप से भिन्न होता है, जैसा कि मात्र रेखाचित्र से देखा जा सकता है। आइजैक न्यूटन ने सभी घन वक्रों का विस्तृत अध्ययन किया, सामान्य वर्ग जिससे ये उदाहरण संबंधित हैं। बेज़ाउट के प्रमेय के निर्माण में यह देखा गया था कि इस प्रकार के विलक्षण बिंदुओं को बहुलता (गणित) के साथ गिना जाना चाहिए (2 एक दोहरे बिंदु के लिए, 3 एक  उभयाग्र के लिए), वक्रों के प्रतिच्छेदन के लिए लेखांकन में।

बीजगणितीय विविधता के एक विलक्षण बिंदु की सामान्य धारणा को परिभाषित करने के लिए यह एक छोटा चरण था; वह है, उच्च विमा की अनुमति देना।

बीजगणितीय ज्यामिति में विलक्षणताओं की सामान्य स्थिति
बीजगणितीय ज्यामिति में इस प्रकार की विलक्षणताओं का अध्ययन करना सिद्धांत रूप में सबसे सरल है, क्योंकि वे बहुपद समीकरणों द्वारा परिभाषित हैं और इसलिए एक समन्वय प्रणाली के संदर्भ में हैं। कोई कह सकता है कि एक विलक्षण बिंदु का बाह्य अर्थ प्रश्न में नहीं है; यह मात्र इतना है कि आंतरिक पदों में परिवेश स्थान में निर्देशांक सीधे बिंदु पर बीजगणितीय विविधता की ज्यामिति का अनुवाद नहीं करते हैं। इस प्रकार की विलक्षणताओं के गहन अध्ययन ने अंत में हीसुके हिरोनका के मौलिक प्रमेय को विलक्षण के संकल्प पर (विशेषता (बीजगणित) 0 में द्विवार्षिक ज्यामिति में) का नेतृत्व किया। इसका अर्थ यह है कि एक दोहरे बिंदु पर व्यस्तस्त के स्पष्ट उपयोग से रज्जु के एक टुकड़े को उठाने की सरल प्रक्रिया अनिवार्य रूप से भ्रामक नहीं है: बीजगणितीय ज्यामिति की सभी विलक्षणताओं को किसी प्रकार के बहुत सामान्य पतन के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। (कई प्रक्रियाओं के माध्यम से)। इस परिणाम का उपयोग प्रायः अनुमानित ज्यामिति को प्रक्षेपी ज्यामिति तक विस्तारित करने के लिए किया जाता है: यह अनंतता पर  अधिसमतल पर विलक्षण बिंदुओं को प्राप्त करने के लिए एक एफ़िन किस्म के लिए पूर्ण रूप से विशिष्ट है, जब प्रक्षेपण स्थान में इसका समापन किया जाता है। रिज़ॉल्यूशन का कहना है कि इस प्रकार की विलक्षणताओं को एक (जटिल) प्रकार के संघनन (गणित)गणित) के रूप में नियंत्रित किया जा सकता है, जो एक कॉम्पैक्ट कई गुना (मजबूत सांस्थिति के लिए, जरिस्की सांस्थिति के बजाय, यानी) के साथ समाप्त होता है।

सहज सिद्धांत और तबाही
हिरोनाका के काम के लगभग उसी समय, रेने थॉम के आपदा सिद्धांत पर पूर्णतया ध्यान दिया जा रहा था। यह महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) पर हस्लर व्हिटनी के पहले के काम के आधार पर विलक्षणता सिद्धांत की एक और शाखा है। मोटे तौर पर बोलना, एक सुचारू कार्य का एक महत्वपूर्ण बिंदु है जहां स्तर समूह ज्यामितीय अर्थों में एक विलक्षण बिंदु विकसित करता है। यह सिद्धांत मात्र बहुपदों के बजाय सामान्य रूप से अलग-अलग कार्यों से संबंधित है। क्षतिपूर्ति करने के लिए, मात्र स्थिर परिघटनाओं पर विचार किया जाता है। कोई यह तर्क दे सकता है कि प्रकृति में छोटे-छोटे परिवर्तनों से नष्ट हुई कोई भी चीज देखी नहीं जा सकती है; दृश्यमान स्थिर है। व्हिटनी ने दिखाया था कि चर की कम संख्या में महत्वपूर्ण बिंदुओं की स्थिर संरचना स्थानीय शर्तों में बहुत सीमित है। थॉम ने इस पर, और अपने पहले के काम पर, प्रकृति में निरंतर परिवर्तन के लिए जिम्मेदार एक आपदा सिद्धांत बनाने के लिए बनाया।

अर्नोल्ड का विचार
जबकि थॉम एक प्रसिद्ध गणितज्ञ थे, क्रिस्टोफर ज़िमन द्वारा प्रचारित प्रारंभिक तबाही सिद्धांत की बाद की फैशनेबल प्रकृति ने विशेष रूप से व्लादिमीर अर्नोल्ड की ओर से एक प्रतिक्रिया का कारण बना। वह बीजीय ज्यामिति से इनपुट सहित क्षेत्र में 'विलक्षणता सिद्धांत' पद को लागू करने के साथ-साथ व्हिटनी, थॉम और अन्य लेखकों के काम से बहने के लिए पूर्णतया हद तक जिम्मेदार हो सकता है। उन्होंने क्षेत्र के एक छोटे से भाग पर बहुत प्रचारित जोर देने के लिए अपनी अरुचि को स्पष्ट करते हुए लिखा। सहज विलक्षणताओं पर मूलभूत कार्य विलक्षण बिंदुओं और रोगाणु (गणित) पर तुल्यता संबंधों के निर्माण के रूप में तैयार किया गया है। तकनीकी रूप से इसमें जेट (गणित) के रिक्त स्थान पर झूठ समूहों की समूह क्रिया (गणित) सम्मिलित है; कम अमूर्त पदों में टेलर श्रृंखला की जांच चर के परिवर्तन तक की जाती है, पर्याप्त यौगिक के साथ विलक्षणता को कम करते हुए। अर्नोल्ड के अनुसार, अनुप्रयोगों को शास्त्रीय यांत्रिकी के ज्यामितीय रूप के रूप में सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति में देखा जाना चाहिए।

द्वैत
विलक्षणताओं के गणित में समस्याएँ पैदा करने का एक महत्वपूर्ण कारण यह है कि, कई गुना संरचना की विफलता के साथ, पोंकारे द्वैत का आह्वान भी अस्वीकृत है। चौराहा कोहोलॉजी की शुरूआत एक प्रमुख प्रगति थी, जो प्रारंभ में स्तर के उपयोग से द्वैत को बहाल करने के प्रयासों से उत्पन्न हुई थी। मूल विचार से उत्पन्न कई कनेक्शन और अनुप्रयोग, उदाहरण के लिए होमोलॉजिकल बीजगणित में विकृत शीफ की अवधारणा।

अन्य संभावित अर्थ
ऊपर वर्णित सिद्धांत गणितीय विलक्षणता की अवधारणा से सीधे तौर पर एक मूल्य के रूप में संबंधित नहीं है जिस पर एक फ़ंक्शन परिभाषित नहीं है। उसके लिए, उदाहरण के लिए पृथक विलक्षणता, आवश्यक विलक्षणता, हटाने योग्य विलक्षणता देखें। जटिल डोमेन में, विलक्षणताओं के इर्द-गिर्द विभेदक समीकरणों का मोनोड्रोमी सिद्धांत हालांकि, ज्यामितीय सिद्धांत के साथ संबंध में आता है। मोटे तौर पर बोलना, मोनोड्रोमी उस विधि का अध्ययन करता है जिस प्रकार से एक कवरिंग नक्शा पतित हो सकता है, जबकि सिंग्युलैरिटी सिद्धांत उस विधि का अध्ययन करता है जिस प्रकार से एक कई गुना पतित हो सकता है; और ये क्षेत्र जुड़े हुए हैं।

यह भी देखें

 * स्पर्शरेखा
 * ज़रिस्की स्पर्शरेखा स्थान
 * सामान्य स्थिति
 * संपर्क (गणित)
 * एकल उपाय
 * स्तरीकरण (गणित)
 * इंटरसेक्शन होमोलॉजी
 * मिश्रित हॉज संरचना
 * व्हिटनी छाता
 * गोल समारोह
 * विक्टर गोर्युनोव

संदर्भ