मैक संख्या

मैक संख्या (M या Ma) (चेक: [अधिकतम]) द्रव गतिकी में एक आयामहीन मात्रा है जो ध्वनि की स्थानीय गति सीमा (उष्मागतिकी) से आगे प्रवाह वेग के अनुपात का प्रतिनिधित्व करती है। इसका नाम मोरावियन भौतिक विज्ञानी और दार्शनिक अर्नस्ट मच के नाम पर रखा गया है।
 * $$\mathrm{M} = \frac{u}{c},$$

कहां:
 * स्थानीय मैक संख्या है,
 * $u$ सीमाओं के संबंध में स्थानीय प्रवाह वेग है (या तो आंतरिक, जैसे प्रवाह में विसर्जित वस्तु, या बाहरी, एक चैनल की तरह), और
 * $c$ माध्यम में ध्वनि की गति है, जो हवा में उष्मागतिकी तापमान के वर्गमूल के साथ बदलती है।

परिभाषा के अनुसार, मैक1 पर, स्थानीय प्रवाह वेग $u$ ध्वनि की गति के बराबर होता है। मैक0.65 पर, $u$ ध्वनि की गति (सबसोनिक) का 65% है, और मैक1.35 पर, $u$ ध्वनि की गति (सुपरसोनिक) से 35% तेज है। उच्च-ऊंचाई वाले वांतरिक्ष वाहनों के पायलट वाहन के वास्तविक वायुगति को व्यक्त करने के लिए उड़ान मैक संख्या का उपयोग करते हैं, लेकिन वाहन के चारों ओर प्रवाह क्षेत्र तीन आयामों में भिन्न होता है, स्थानीय मैक संख्या में इसी भिन्नता के साथ।

ध्वनि की स्थानीय गति, और इसलिए मैक संख्या, आसपास की गैस के तापमान पर निर्भर करती है। मैक संख्या का उपयोग मुख्य रूप से उस सन्निकटन को निर्धारित करने के लिए किया जाता है जिसके साथ एक प्रवाह को एक असंपीड्य प्रवाह के रूप में माना जा सकता है। माध्यम गैस या तरल हो सकता है। सीमा माध्यम में यात्रा कर सकती है, या यह स्थिर हो सकती है जबकि माध्यम इसके साथ धाराप्रवाह है, या वे दोनों भिन्न भिन्न वेगों के साथ गतिमान हो सकते हैं: एक दूसरे के संबंध में उनका सापेक्ष वेग क्या मायने रखता है। सीमा माध्यम में डूबी किसी वस्तु की सीमा हो सकती है, या माध्यम को चैनल करने वाले नोजल, डिफ्यूज़र या विंड टनल जैसे चैनल की हो सकती है। जैसा कि मैक संख्या को दो गतियों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, यह एक आयाम रहित संख्या  है। यदि <0.2–0.3 और प्रवाह अर्ध-स्थिर और समतापी प्रक्रम, संपीड्यता प्रभाव छोटा होंगा और सरलीकृत असंपीड़ित प्रवाह समीकरणों का उपयोग किया जा सकता है।

व्युत्पत्ति
मैक संख्या का नाम मोरावियन भौतिक विज्ञानी और दार्शनिक अर्नस्ट मच के नाम पर रखा गया है, और यह 1929 में वैमानिकी इंजीनियर जैकब एकरेट द्वारा प्रस्तावित पदनाम है। जैसा कि मैक संख्या माप की इकाई के अतिरिक्त एक आयाम रहित मात्रा है, संख्या इकाई के बाद आती है; दूसरी मैक संख्या2 मैक(या मैक) के अतिरिक्त मैक 2 है। यह कुछ हद तक शुरुआती आधुनिक महासागर ध्वन्यात्मक यूनिट मार्क (थाह का एक पर्याय) की याद दिलाता है, जो यूनिट-प्रथम भी था, और जो मैक शब्द के उपयोग को प्रभावित कर सकता है। ध्वनि से तेज़ मानव उड़ान से पहले के दशक में, वैमानिकी अभियान्ताओं ने ध्वनि की गति को मैक की संख्या के रूप में संदर्भित किया, है।

सिंहावलोकन
मैक संख्या संकुचित प्रवाह  का एक उपाय है: द्रव (वायु) किसी दिए गए मैक नंबर पर समान तरीके से संपीड़ितता के प्रभाव में व्यवहार करता है, अन्य चरों की परवाह किए बिना। जैसा कि अंतर्राष्ट्रीय मानक वायुमंडल में प्रतिरूपित किया गया है,  औसत समुद्र तल  पर शुष्क हवा, का मानक तापमान 15 C, ध्वनि की गति है 340.3 m/s. ध्वनि की गति स्थिर नहीं है; एक गैस में, यह निरपेक्ष तापमान  के वर्गमूल के अनुपात में बढ़ता है, और चूंकि वायुमंडलीय तापमान आमतौर पर समुद्र के स्तर और के बीच बढ़ती ऊंचाई के साथ घटता है 11000 m, ध्वनि की गति भी कम हो जाती है। उदाहरण के लिए, मानक वातावरण मॉडल तापमान को कम कर देता है -56.5 C पर 11000 m ऊंचाई, ध्वनि की इसी गति के साथ (मैक1) का 295.0 m/s, समुद्र तल के मूल्य का 86.7%।

निरंतरता समीकरण में उपस्थिति
प्रवाह संपीड्यता के एक उपाय के रूप में, मच संख्या को निरंतरता समीकरण # द्रव गतिकी के एक उपयुक्त स्केलिंग से प्राप्त किया जा सकता है। सामान्य द्रव प्रवाह के लिए पूर्ण निरंतरता समीकरण है:$${\partial \rho\over{\partial t}} + \nabla\cdot(\rho {\bf u}) = 0 \equiv -{1\over{\rho}}{D\rho\over{Dt}} = \nabla \cdot {\bf u}$$कहां $$D/Dt$$ सामग्री व्युत्पन्न  है, $$\rho$$  घनत्व  है, और $${\bf u}$$ प्रवाह वेग है। Isentropic प्रक्रिया दबाव प्रेरित घनत्व परिवर्तन के लिए, $$dp = c^{2}d\rho$$ कहां $$c$$ ध्वनि की गति है। फिर इस संबंध को ध्यान में रखते हुए निरंतरता समीकरण को थोड़ा संशोधित किया जा सकता है:$$-{1\over{\rho c^{2}}}{Dp\over{Dt}} = \nabla \cdot {\bf u}$$अगला कदम नेवियर-स्टोक्स समीकरणों के गैर-आयामीकरण और स्केलिंग के लिए चर है:$${\bf x}^{*} = {\bf x}/L, \quad t^{*} = Ut/L, \quad {\bf u}^{*} = {\bf u}/U, \quad p^{*} = (p-p_{\infty})/\rho_{0}U^{2}, \quad \rho^{*} = \rho/\rho_{0}$$कहां $$L$$ विशेषता लंबाई पैमाने है, $$U$$ विशेषता वेग पैमाना है, $$p_{\infty}$$ संदर्भ दबाव है, और $$\rho_{0}$$ संदर्भ घनत्व है। तब निरंतरता समीकरण के गैर-आयामी रूप को इस प्रकार लिखा जा सकता है:$$-{U^{2}\over{c^{2}}} {1\over{\rho^{*}}} {Dp^{*}\over{Dt^{*}}} = \nabla^{*} \cdot {\bf u}^{*} \implies -\text{M}^{2}{1\over{\rho^{*}}} {Dp^{*}\over{Dt^{*}}} = \nabla^{*} \cdot {\bf u}^{*}$$जहां मच संख्या $$\text{M} = U/c$$. उस सीमा में $$\text{M} \rightarrow 0$$, निरंतरता समीकरण कम हो जाता है $$\nabla \cdot {\bf u} = 0$$ - यह असंपीड्य प्रवाह के लिए मानक आवश्यकता है।

मैक शासनों का वर्गीकरण
जबकि शब्द सबसोनिक और सुपरसोनिक, शुद्धतम अर्थों में क्रमशः ध्वनि की स्थानीय गति से नीचे और ऊपर की गति को संदर्भित करते हैं, वायु गतिकीय विशेषज्ञ अक्सर मच मानों की विशेष श्रेणियों के बारे में बात करने के लिए समान शब्दों का उपयोग करते हैं। यह उड़ान (फ्री स्ट्रीम) एम = 1 के आसपास एक ट्रांसोनिक शासन की उपस्थिति के कारण होता है, जहां सबसोनिक डिजाइन के लिए उपयोग किए जाने वाले  नेवियर-स्टोक्स समीकरण ों के अनुमान अब लागू नहीं होते हैं; सबसे सरल व्याख्या यह है कि स्थानीय रूप से एक एयरफ्रेम के चारों ओर प्रवाह M = 1 से अधिक होने लगता है, भले ही फ्री स्ट्रीम मच संख्या इस मान से कम हो।

इस बीच, सुपरसोनिक शासन का उपयोग आम तौर पर मैक संख्या के सेट के बारे में बात करने के लिए किया जाता है जिसके लिए रैखिक सिद्धांत का उपयोग किया जा सकता है, उदाहरण के लिए (वायु) प्रवाह रासायनिक रूप से प्रतिक्रिया नहीं कर रहा है, और जहां हवा और वाहन के बीच गर्मी हस्तांतरण उचित रूप से उपेक्षित हो सकता है गणना में।

निम्नलिखित तालिका में, मैक मूल्यों के शासन या श्रेणी को संदर्भित किया जाता है, न कि सबसोनिक और सुपरसोनिक शब्दों के शुद्ध अर्थ।

आम तौर पर, नासा  उच्च हाइपरसोनिक को 10 से 25 तक किसी भी मच संख्या के रूप में परिभाषित करता है, और मैक 25 से अधिक कुछ भी पुन: प्रवेश गति के रूप में परिभाषित करता है। इस व्यवस्था में चलने वाले विमानों में  अंतरिक्ष शटल  और विकास में विभिन्न अंतरिक्ष विमान शामिल हैं।

वस्तुओं के चारों ओर उच्च गति का प्रवाह
उड़ान को मोटे तौर पर छह श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है: तुलना के लिए: कम पृथ्वी की कक्षा  के लिए आवश्यक गति लगभग 7.5 km/s = मैक 25.4 उच्च ऊंचाई पर हवा में है।

ट्रांसोनिक गति पर, वस्तु के चारों ओर प्रवाह क्षेत्र में उप- और सुपरसोनिक दोनों भाग शामिल होते हैं। ट्रांसोनिक अवधि तब शुरू होती है जब ऑब्जेक्ट के चारों ओर एम> 1 प्रवाह के पहले क्षेत्र दिखाई देते हैं। एक एयरफ़ॉइल (जैसे कि एक विमान का पंख) के मामले में, यह आमतौर पर पंख के ऊपर होता है। सुपरसोनिक प्रवाह केवल एक सामान्य झटके में वापस सबसोनिक में धीमा हो सकता है; यह आमतौर पर ट्रेलिंग एज से पहले होता है। (चित्र 1क)

जैसे-जैसे गति बढ़ती है, M > 1 प्रवाह का क्षेत्र अग्रणी और अनुगामी दोनों किनारों की ओर बढ़ता है। जैसा कि एम = 1 तक पहुंच गया है और पारित हो गया है, सामान्य झटका अनुगामी किनारे तक पहुंचता है और एक कमजोर तिरछा झटका बन जाता है: प्रवाह सदमे से कम हो जाता है, लेकिन सुपरसोनिक रहता है। वस्तु के आगे एक सामान्य झटका बनाया जाता है, और प्रवाह क्षेत्र में एकमात्र सबसोनिक क्षेत्र वस्तु के अग्रणी किनारे के आसपास एक छोटा क्षेत्र होता है। (चित्र 1ख)

अंजीर। 1. एक एयरफ़ॉइल के चारों ओर ट्रांसोनिक एयरफ़्लो में मच संख्या; एम <1 (ए) और एम> 1 (बी)। 

जब एक विमान मच 1 (यानी ध्वनि अवरोध क) से अधिक हो जाता है, तो विमान के ठीक सामने एक बड़ा दबाव अंतर पैदा हो जाता है। यह अचानक दबाव अंतर, जिसे शॉक वेव कहा जाता है, एक शंकु के आकार (एक तथाकथित  मच कोन ) में विमान से पीछे और बाहर की ओर फैलता है। यह  सदमे की लहर  है जो एक तेज गति से चलने वाले विमान के ऊपरी हिस्से में यात्रा के रूप में सुनाई देने वाली  ध्वनि बूम  का कारण बनती है। विमान के अंदर बैठा व्यक्ति यह नहीं सुनेगा। गति जितनी अधिक होगी, शंकु उतना ही संकीर्ण होगा; एम = 1 के ठीक ऊपर यह शायद ही एक शंकु है, लेकिन थोड़ा अवतल विमान के करीब है।

पूरी तरह से सुपरसोनिक गति पर, शॉक वेव अपना शंकु आकार लेना शुरू कर देती है और प्रवाह या तो पूरी तरह से सुपरसोनिक होता है, या (कुंद वस्तु के मामले में), केवल एक बहुत छोटा सबसोनिक प्रवाह क्षेत्र वस्तु की नाक और इसके द्वारा बनाई जाने वाली शॉक वेव के बीच रहता है। खुद का। (नुकीली वस्तु के मामले में, नाक और शॉक वेव के बीच कोई हवा नहीं होती है: शॉक वेव नाक से शुरू होती है।)

जैसे-जैसे मच संख्या बढ़ती है, वैसे-वैसे शॉक वेव की ताकत और मच कोन तेजी से संकीर्ण होता जाता है। जैसे ही द्रव का प्रवाह शॉक वेव को पार करता है, इसकी गति कम हो जाती है और तापमान, दबाव और घनत्व बढ़ जाता है। झटका जितना मजबूत होगा, बदलाव उतने ही बड़े होंगे। उच्च पर्याप्त मच संख्या में झटके के ऊपर तापमान इतना बढ़ जाता है कि सदमे की लहर के पीछे गैस अणुओं का आयनीकरण और पृथक्करण शुरू हो जाता है। ऐसे प्रवाह को हाइपरसोनिक कहा जाता है।

यह स्पष्ट है कि हाइपरसोनिक गति से यात्रा करने वाली कोई भी वस्तु नाक शॉक वेव के पीछे गैस के समान चरम तापमान के संपर्क में आएगी, और इसलिए गर्मी प्रतिरोधी सामग्री का चुनाव महत्वपूर्ण हो जाता है।

एक चैनल में उच्च गति का प्रवाह
जैसे ही एक चैनल में प्रवाह सुपरसोनिक हो जाता है, एक महत्वपूर्ण परिवर्तन होता है। द्रव्यमान प्रवाह दर के संरक्षण से यह अपेक्षा की जाती है कि प्रवाह चैनल को अनुबंधित करने से प्रवाह की गति में वृद्धि होगी (अर्थात तेज वायु प्रवाह में चैनल को संकरा बना देगा) और सबसोनिक गति पर यह सच है। हालाँकि, एक बार जब प्रवाह सुपरसोनिक हो जाता है, तो प्रवाह क्षेत्र और गति का संबंध उलट जाता है: चैनल का विस्तार करने से वास्तव में गति बढ़ जाती है।

स्पष्ट परिणाम यह है कि सुपरसोनिक के प्रवाह में तेजी लाने के लिए, एक अभिसारी-अपसारी नोजल की आवश्यकता होती है, जहां अभिसरण खंड ध्वनि गति के प्रवाह को तेज करता है, और अपसारी खंड त्वरण जारी रखता है। ऐसे नोज़ल को डी लवल नोजल  कहा जाता है और अत्यधिक मामलों में वे  आवाज़ से जल्द  गति तक पहुँचने में सक्षम होते हैं (13 Mach 20 डिग्री सेल्सियस पर)।

एक विमान मैकमीटर  या इलेक्ट्रॉनिक उड़ान सूचना प्रणाली ( ईएफआईएस ) ठहराव दबाव ( पिटोट पाइप ) और स्थिर दबाव से प्राप्त मच संख्या प्रदर्शित कर सकता है।

गणना
जब ध्वनि की गति ज्ञात हो जाती है, तो उस मच संख्या की गणना की जा सकती है जिस पर एक विमान उड़ रहा है

\mathrm{M} = \frac{u}{c} $$ कहां:
 * M मच संख्या है
 * u गतिमान वायुयान का वेग है और
 * सी दी गई ऊंचाई पर ध्वनि की गति है (अधिक उचित तापमान)

और ध्वनि की गति थर्मोडायनामिक तापमान के साथ भिन्न होती है:


 * $$c = \sqrt{\gamma \cdot R_* \cdot T},$$

कहां:
 * $$\gamma\,$$ एक स्थिर आयतन (हवा के लिए 1.4) पर गर्म करने के लिए एक स्थिर दबाव पर गैस का ताप क्षमता अनुपात  है
 * $$ R_*$$ हवा के लिए विशिष्ट गैस स्थिरांक  है।
 * $$ T, $$ स्थिर हवा का तापमान है।

यदि ध्वनि की गति ज्ञात नहीं है, तो मच संख्या को विभिन्न वायु दाबों (स्थैतिक और गतिशील) को मापकर और निम्नलिखित सूत्र का उपयोग करके निर्धारित किया जा सकता है जो बर्नौली के सिद्धांत से लिया गया है। 1.0 से कम मच संख्याओं के लिए बर्नौली का समीकरण। हवा को एक आदर्श गैस  मानते हुए, सबसोनिक कंप्रेसिबल फ्लो में मैक संख्या की गणना करने का सूत्र है:
 * $$\mathrm{M} = \sqrt{\frac{2}{\gamma- 1 }\left[\left(\frac{q_c}{p} + 1\right)^\frac{\gamma - 1}{\gamma} - 1\right]}\,$$

कहां:
 * क्यूc प्रभाव दबाव (गतिशील दबाव) है और
 * p स्थिर दाब है
 * $$\gamma\,$$ एक स्थिर आयतन (हवा के लिए 1.4) पर गर्म करने के लिए एक स्थिर दबाव पर गैस का ताप क्षमता अनुपात है
 * $$ R_*$$ हवा के लिए विशिष्ट गैस स्थिरांक है।

सुपरसोनिक संपीड़ित प्रवाह में मच संख्या की गणना करने का सूत्र रेले संख्या  सुपरसोनिक पिटोट समीकरण से लिया गया है:
 * $$\frac{p_t}{p} =

\left[\frac{\gamma + 1}{2}\mathrm{M}^2\right]^\frac{\gamma}{\gamma-1} \cdot \left[\frac{\gamma + 1}{1 - \gamma + 2\gamma\, \mathrm{M}^2}\right]^\frac{1}{\gamma - 1} $$

पिटोट ट्यूब प्रेशर
से मच संख्या की गणना करना मच संख्या तापमान और वास्तविक वायुगति का फलन है। विमान उड़ान उपकरण, हालांकि, मैक संख्या की गणना करने के लिए दबाव अंतर का उपयोग करते हैं, तापमान नहीं।

हवा को एक आदर्श गैस मानते हुए, सबसोनिक कंप्रेसेबल फ्लो में मच संख्या की गणना करने का सूत्र बर्नौली के समीकरण से पाया जाता है M < 1 (के ऊपर): : $$\mathrm{M} = \sqrt{5\left[\left(\frac{q_c}{p} + 1\right)^\frac{2}{7} - 1\right]}\,$$ सुपरसोनिक संपीड़ित प्रवाह में मच संख्या की गणना करने का सूत्र रेले सुपरसोनिक पिटोट समीकरण (ऊपर) से हवा के लिए मापदंडों का उपयोग करके पाया जा सकता है:
 * $$\mathrm{M} \approx 0.88128485 \sqrt{\left(\frac{q_c}{p} + 1\right)\left(1 - \frac{1}{7\,\mathrm{M}^2}\right)^{2.5}}$$

कहां:
 * क्यूcएक सामान्य झटके के पीछे मापा गया गतिशील दबाव है।

जैसा कि देखा जा सकता है, एम समीकरण के दोनों किनारों पर प्रकट होता है, और व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए एक संख्यात्मक समाधान के लिए रूट-खोज एल्गोरिदम का उपयोग किया जाना चाहिए (समीकरण का समाधान एम में 7-क्रम बहुपद की जड़ है2 और, हालांकि इनमें से कुछ को स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है, एबेल-रफिनी प्रमेय गारंटी देता है कि इन बहुपदों की जड़ों के लिए कोई सामान्य रूप मौजूद नहीं है)। यह पहले निर्धारित किया जाता है कि क्या एम वास्तव में सबसोनिक समीकरण से एम की गणना करके 1.0 से अधिक है। यदि एम उस बिंदु पर 1.0 से अधिक है, तो सबसोनिक समीकरण से एम का मूल्य सुपरसोनिक समीकरण के निश्चित बिंदु पुनरावृत्ति  के लिए प्रारंभिक स्थिति के रूप में उपयोग किया जाता है, जो आमतौर पर बहुत तेजी से अभिसरण करता है। वैकल्पिक रूप से, न्यूटन की विधि का भी उपयोग किया जा सकता है।

बाहरी कड़ियाँ

 * Gas Dynamics Toolbox Calculate Mach number and normal shock wave parameters for mixtures of perfect and imperfect gases.
 * NASA's page on Mach Number Interactive calculator for Mach number.
 * NewByte standard atmosphere calculator and speed converter