सहउत्पाद

श्रेणी सिद्धांत में, सह-उत्पाद, या श्रेणीबद्ध योग, एक निर्माण है जिसमें उदाहरण के रूप में सेट (गणित) और असम्बद्ध संघ (टोपोलॉजी), समूह (गणित) का मुक्त उत्पाद और मॉड्यूल (गणित) का प्रत्यक्ष योग शामिल है। ) और वेक्टर रिक्त स्थान। वस्तुओं के एक परिवार का प्रतिफल अनिवार्य रूप से कम से कम विशिष्ट वस्तु है जिसके लिए परिवार में प्रत्येक वस्तु एक आकारिकी को स्वीकार करती है। यह उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत) के लिए श्रेणी-सैद्धांतिक दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) है, जिसका अर्थ है कि परिभाषा उत्पाद के समान है लेकिन सभी रूपवाद के साथ उलट है। नाम और संकेतन में इस प्रतीत होने वाले सहज परिवर्तन के बावजूद, उत्पाद हो सकते हैं और आमतौर पर उत्पादों से नाटकीय रूप से भिन्न होते हैं।

परिभाषा
होने देना $$C$$ एक श्रेणी (गणित) बनें और दें $$X_1$$ और $$X_2$$ की वस्तुएं हों $$C.$$ वस्तु का प्रतिफल कहा जाता है $$X_1$$ और $$X_2,$$ लिखा हुआ $$X_1 \sqcup X_2,$$ या $$X_1 \oplus X_2,$$ या कभी-कभी बस $$X_1 + X_2,$$ अगर वहाँ morphisms मौजूद हैं $$i_1 : X_1 \to X_1 \sqcup X_2$$ और $$i_2 : X_2 \to X_1 \sqcup X_2$$ निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करना: किसी भी वस्तु के लिए $$Y$$ और कोई morphisms $$f_1 : X_1 \to Y$$ और $$f_2 : X_2 \to Y,$$ एक अद्वितीय morphism मौजूद है $$f : X_1 \sqcup X_2 \to Y$$ ऐसा है कि $$f_1 = f \circ i_1$$ और $$f_2 = f \circ i_2.$$ अर्थात्, निम्न आरेख कम्यूटेटिव आरेख:

अनोखा तीर $$f$$ इस आरेख को कम्यूट करना निरूपित किया जा सकता है $$f_1 \sqcup f_2,$$ $$f_1 \oplus f_2,$$ $$f_1 + f_2,$$ या $$\left[f_1, f_2\right].$$ रूपवाद $$i_1$$ और $$i_2$$ कहा जाता है, हालांकि उन्हें इंजेक्शन समारोह या मोनोमोर्फिज्म भी नहीं होना चाहिए।

एक उत्पाद की परिभाषा को एक सेट द्वारा अनुक्रमित वस्तुओं के मनमाने ढंग से अनुक्रमित परिवार तक बढ़ाया जा सकता है $$J.$$ परिवार का प्रतिफल $$\left\{ X_j : j \in J \right\}$$ एक वस्तु है $$X$$ एक साथ morphisms का एक संग्रह $$i_j : X_j \to X$$ जैसे कि, किसी भी वस्तु के लिए $$Y$$ और morphisms का कोई संग्रह $$f_j : X_j \to Y$$ एक अद्वितीय morphism मौजूद है $$f : X \to Y$$ ऐसा है कि $$f_j = f \circ i_j.$$ अर्थात्, निम्न आरेख प्रत्येक के लिए क्रमविनिमेय आरेख $$j \in J$$:

अनुत्पादक $$X$$ परिवार की $$\left\{ X_j \right\}$$ अक्सर निरूपित किया जाता है $$\coprod_{j\in J}X_j$$ या $$\bigoplus_{j \in J} X_j.$$ कभी-कभी रूपवाद $$f : X \to Y$$ निरूपित किया जा सकता है $$\coprod_{j \in J} f_j$$ व्यक्ति पर इसकी निर्भरता को इंगित करने के लिए $$f_j$$एस।

उदाहरण
समुच्चयों की श्रेणी में सहउत्पाद केवल असम्बद्ध संघ#सेट सिद्धांत की परिभाषा नक्शों के साथ ''ijसमावेशन मानचित्र होने के नाते। प्रत्यक्ष उत्पादों के विपरीत, अन्य श्रेणियों में सह-उत्पाद सभी स्पष्ट रूप से सेट की धारणा पर आधारित नहीं होते हैं, क्योंकि संघ संचालन को संरक्षित करने के संबंध में अच्छा व्यवहार नहीं करते हैं (उदाहरण के लिए दो समूहों के संघ को एक समूह नहीं होना चाहिए), और इसलिए अलग-अलग उत्पाद श्रेणियां नाटकीय रूप से एक दूसरे से भिन्न हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, समूहों की श्रेणी में सह-उत्पाद, जिसे 'मुक्त उत्पाद' कहा जाता है, काफी जटिल है। दूसरी ओर, एबेलियन समूहों (और समान रूप से वेक्टर रिक्त स्थान के लिए) की श्रेणी में, 'प्रत्यक्ष योग' नामक सह-उत्पाद में प्रत्यक्ष उत्पाद के तत्व होते हैं, जिनके पास केवल परिमित कई गैर-शून्य शब्द होते हैं। (इसलिए यह निश्चित रूप से कई कारकों के मामले में प्रत्यक्ष उत्पाद के साथ मेल खाता है।)

क्रमविनिमेय वलय R दिया गया है, क्रमविनिमेय बीजगणित की श्रेणी में सहउत्पाद| क्रमविनिमेय R-अल्जेब्रा की श्रेणी बीजगणित का टेंसर उत्पाद है। रिंग्स#R-algebras|(नॉनकम्यूटेटिव) R-एलजेब्रा की श्रेणी में, सहउत्पाद टेन्सर बीजगणित का भागफल है (साहचर्य बीजगणित का मुफ्त उत्पाद देखें)।

टोपोलॉजिकल स्पेस के मामले में, कोप्रोडक्ट्स अपने डिसजॉइंट यूनियन (टोपोलॉजी) के साथ यूनियनों को अलग कर देते हैं। यही है, यह अंतर्निहित सेटों का एक अलग संघ है, और खुले सेट प्रत्येक रिक्त स्थान में एक स्पष्ट अर्थ में खुले सेट हैं। नुकीला स्थान  की श्रेणी में,  होमोटॉपी सिद्धांत  में मौलिक, कोप्रोडक्ट वेज योग है (जो एक सामान्य आधार बिंदु पर आधार बिंदुओं के साथ रिक्त स्थान के संग्रह में शामिल होने के बराबर है)।

असंयुक्त संघ की अवधारणा गुप्त रूप से उपरोक्त उदाहरणों को रेखांकित करती है: एबेलियन समूहों का प्रत्यक्ष योग लगभग असंयुक्त संघ द्वारा उत्पन्न समूह है (एक सामान्य शून्य के साथ मिलकर सभी गैर-शून्य तत्वों का असंबद्ध संघ), इसी तरह वेक्टर रिक्त स्थान के लिए: अंतरिक्ष रैखिक अवधि लगभग असम्बद्ध संघ द्वारा; समूहों के लिए मुफ्त उत्पाद समान लगभग असम्बद्ध संघ से सभी अक्षरों के सेट द्वारा उत्पन्न होता है जहां विभिन्न सेटों से दो तत्वों को आवागमन की अनुमति नहीं होती है। यह पैटर्न किसी भी किस्म (सार्वभौमिक बीजगणित) के लिए है।

छोटे नक्शों के साथ बनच रिक्त स्थान  की श्रेणी में कोप्रोडक्ट एलपी स्पेस है$l^{1}$ योग, जिसे इतनी आसानी से लगभग असम्बद्ध राशि के रूप में अवधारणा नहीं किया जा सकता है, लेकिन यूनिट बॉल द्वारा लगभग-असंबद्ध रूप से उत्पन्न एक यूनिट बॉल कॉफ़ैक्टर्स है। एक पोसेट श्रेणी का प्रतिफल ज्वाइन (गणित) है।

चर्चा
ऊपर दिया गया सह-उत्पाद निर्माण वास्तव में श्रेणी सिद्धांत में एक कोलिमिट का एक विशेष मामला है। एक श्रेणी में प्रतिउत्पाद $$C$$ असतत श्रेणी से किसी भी ऑपरेटर के कोलिमिट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$J$$ में $$C$$. हर परिवार नहीं $$\lbrace X_j\rbrace$$ सामान्य रूप से एक प्रतिउत्पाद होगा, लेकिन यदि ऐसा होता है, तो प्रतिफल एक मजबूत अर्थ में अद्वितीय है: यदि $$i_j:X_j\rightarrow X$$ और $$k_j:X_j\rightarrow Y$$ परिवार के दो उत्पाद हैं $$\lbrace X_j\rbrace$$, तब (उत्पादों की परिभाषा के अनुसार) एक अद्वितीय समरूपता मौजूद है $$f:X\rightarrow Y$$ ऐसा है कि $$f \circ i_j = k_j$$ प्रत्येक के लिए $$j \in J$$.

जैसा कि किसी भी सार्वभौमिक संपत्ति के साथ होता है, उत्पाद को एक सार्वभौमिक आकारिकी के रूप में समझा जा सकता है। होने देना $$\Delta : C\rightarrow C\times C$$ विकर्ण फ़ैक्टर बनें जो प्रत्येक ऑब्जेक्ट को असाइन करता है $$X$$ आदेशित जोड़ी $$\left(X, X\right)$$ और प्रत्येक रूपवाद के लिए $$f : X\rightarrow Y$$ जोड़ी $$\left(f, f\right)$$. फिर प्रतिफल $$X + Y$$ में $$C$$ फ़ैक्टर को एक सार्वभौमिक आकारिकी द्वारा दिया जाता है $$\Delta$$ वस्तु से $$\left(X, Y\right)$$ में $$C\times C$$.

खाली सेट (यानी, एक खाली उत्पाद) द्वारा अनुक्रमित सह-उत्पाद एक प्रारंभिक वस्तु के समान है $$C$$.

अगर $$J$$ एक ऐसा सेट है जिसके साथ अनुक्रमित परिवारों के लिए सभी उत्पाद हैं $$J$$ मौजूद हैं, तो उत्पादों को एक संगत फैशन में चुनना संभव है ताकि प्रतिफल एक फ़ैक्टर में बदल जाए $$C^J\rightarrow C$$. परिवार का प्रतिफल $$\lbrace X_j\rbrace$$ तो अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है
 * $$\coprod_{j\in J} X_j$$

और नक्शे $$i_j$$ समावेशन मानचित्र के रूप में जाना जाता है।

दे $$\operatorname{Hom}_C\left(U, V\right)$$ से सभी morphisms के सेट को निरूपित करें $$U$$ को $$V$$ में $$C$$ (यानी, एक होम सेट  इन $$C$$), हमारे पास एक प्राकृतिक समरूपता है
 * $$\operatorname{Hom}_C\left(\coprod_{j\in J}X_j,Y\right) \cong \prod_{j\in J}\operatorname{Hom}_C(X_j,Y)$$

द्विभाजन द्वारा दिया गया है जो आकारिकी के हर टपल को मैप करता है
 * $$(f_j)_{j\in J} \in \prod_{j \in J}\operatorname{Hom}(X_j,Y)$$

(सेट में एक उत्पाद, सेट की श्रेणी, जो कार्टेशियन उत्पाद है, इसलिए यह morphisms का एक टपल है) morphism के लिए
 * $$\coprod_{j\in J} f_j \in \operatorname{Hom}\left(\coprod_{j\in J}X_j,Y\right).$$

यह नक्शा आरेख की क्रमविनिमेयता से अनुसरण करता है: कोई आकारिकी $$f$$ टपल का प्रतिफल है
 * $$(f\circ i_j)_{j \in J}.$$

यह एक इंजेक्शन है जो सार्वभौमिक निर्माण से अनुसरण करता है जो ऐसे मानचित्रों की विशिष्टता को निर्धारित करता है। समरूपता की स्वाभाविकता भी आरेख का एक परिणाम है। इस प्रकार प्रतिपरिवर्ती होम-फ़ंक्टर सह-उत्पादों को उत्पादों में बदल देता है। दूसरे तरीके से कहा गया, आदमी-संचालक, विपरीत श्रेणी से एक फंक्टर के रूप में देखा गया $$C^\operatorname{op}$$ सेट करना निरंतर है; यह सीमाओं को संरक्षित करता है (एक प्रतिउत्पाद में $$C$$ में एक उत्पाद है $$C^\operatorname{op}$$).

अगर $$J$$ एक परिमित समुच्चय है, कहते हैं $$J = \lbrace 1,\ldots,n\rbrace$$, फिर वस्तुओं का प्रतिफल $$X_1,\ldots,X_n$$ द्वारा अक्सर दर्शाया जाता है $$X_1\oplus\ldots\oplus X_n$$. मान लीजिए कि सभी परिमित सह-उत्पाद C में मौजूद हैं, सह-उत्पाद फ़ैक्टरों को ऊपर के रूप में चुना गया है, और 0 खाली उत्पाद के अनुरूप C की प्रारंभिक वस्तु को दर्शाता है। हमारे पास तब प्राकृतिक समरूपताएं हैं
 * $$X\oplus (Y \oplus Z)\cong (X\oplus Y)\oplus Z\cong X\oplus Y\oplus Z$$
 * $$X\oplus 0 \cong 0\oplus X \cong X$$
 * $$X\oplus Y \cong Y\oplus X.$$

ये गुण औपचारिक रूप से एक कम्यूटेटिव मोनोइड के समान हैं; परिमित उत्पाद वाली श्रेणी एक सममित मोनोइडल श्रेणी का एक उदाहरण है।

यदि श्रेणी में शून्य वस्तु है $$Z$$, तब हमारे पास एक अद्वितीय रूपवाद है $$X\rightarrow Z$$ (तब से $$Z$$ टर्मिनल वस्तु  है) और इस प्रकार एक रूपवाद $$X\oplus Y\rightarrow Z\oplus Y$$. तब से $$Z$$ प्रारंभिक भी है, हमारे पास एक विहित समरूपता है $$Z\oplus Y\cong Y$$ जैसा कि पिछले पैराग्राफ में है। इस प्रकार हमारे पास morphisms हैं $$X\oplus Y\rightarrow X$$ और $$X\oplus Y\rightarrow Y$$, जिसके द्वारा हम एक विहित आकारिकी का अनुमान लगाते हैं $$X\oplus Y\rightarrow X\times Y$$. यह किसी भी परिमित उत्पाद से संबंधित उत्पाद तक एक विहित आकारिकी में प्रेरण द्वारा बढ़ाया जा सकता है। यह आकारिकी सामान्य रूप से एक तुल्याकारिता नहीं होनी चाहिए; जीआरपी में यह सेट में रहते हुए एक उचित अधिरूपता है* (नुकीले सेटों की श्रेणी) यह एक उचित मोनोमोर्फिज्म है। किसी भी पूर्ववर्ती श्रेणी में, यह आकृतिवाद एक समरूपता है और संबंधित वस्तु को द्वि-उत्पाद के रूप में जाना जाता है। सभी सीमित द्विउत्पाद  वाली श्रेणी को योगात्मक श्रेणी के रूप में जाना जाता है।

यदि वस्तुओं के सभी परिवारों द्वारा अनुक्रमित $$J$$ में उत्पाद हैं $$C$$, तो सह-उत्पाद में एक फ़ंक्टर शामिल होता है $$C^J\rightarrow C$$. ध्यान दें कि, उत्पाद की तरह, यह फ़ंक्टर सहसंयोजक है।

यह भी देखें

 * उत्पाद (श्रेणी सिद्धांत)
 * सीमा (श्रेणी सिद्धांत)
 * समतुल्य
 * सीधी सीमा

बाहरी संबंध

 * Interactive Web page which generates examples of coproducts in the category of finite sets. Written by Jocelyn Paine.