सम्मिश्र लघुगणक

गणित में, जटिल लघुगणक गैर-शून्य जटिल संख्याओं के प्राकृतिक लघुगणक का सामान्यीकरण है। शब्द निम्नलिखित में से एक को संदर्भित करता है, जो दृढ़ता से संबंधित हैं: $$ को $$\log z$$ द्वारा निरूपित किया जाता हैI यदि $$z$$ के रूप में ध्रुवीय रूप में $$z = re^{i\theta}$$ दिया गया है, जहां $$r$$ तथा $$\theta$$ के साथ $$r>0$$ वास्तविक संख्याएँ हैं, तो $$\ln r + i \theta$$ का एक लघुगणक है $$z$$, और $$z$$ के सभी जटिल लघुगणक $$\ln r + i\left(\theta + 2\pi k\right)$$ पूर्णांकों के लिए $$k$$. ये लघुगणक समान रूप से जटिल तल में एक ऊर्ध्वाधर रेखा के साथ स्थित हैं।
 * गैर-शून्य जटिल संख्या $$z$$, का जटिल लघुगणक, जिसे किसी भी सम्मिश्र संख्या के रूप में परिभाषित किया गया है जिसके लिए $$w$$, $$e^w = z$$.  ऐसी संख्या $$w
 * जटिल-मूल्यवान कार्य $$\log \colon U \to \mathbb{C}$$, के कुछ उप-समुच्चय $$U$$ पर परिभाषित समुच्चय का $$\mathbb{C}^*$$ गैर-शून्य सम्मिश्र संख्याओं का, संतोषजनक $$e^{\log z} = z$$ सभी के लिए $$z$$ में $$U$$. इस प्रकार के जटिल वास्तविक लघुगणक कार्य के अनुरूप होते हैं $$\ln \colon \mathbb{R}_{>0} \to \mathbb{R}$$, जो वास्तविक चर घातीय फलन का व्युत्क्रम है इसलिए सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं $z$ के लिए $log(z)$ को संतुष्ट करता है। $$1/z$$ के एकीकरण द्वारा या विश्लेषणात्मक निरंतरता की प्रक्रिया द्वारा वास्तविक-मूल्यवान कार्यों को सम्मलित करने वाले स्पष्ट सूत्रों द्वारा जटिल लघुगणक कार्यों का निर्माण किया जा सकता है।

सभी $$\mathbb{C}^*$$ पर परिभाषित कोई निरंतर जटिल लघुगणक फलन नहीं है। इससे निपटने के उपायों में शाखा बिंदु, संबंधित रीमैन सतह, और जटिल घातीय फलन के आंशिक व्युत्क्रम सम्मलित हैं। मुख्य मान एक विशेष जटिल लघुगणक फलन को परिभाषित करता हैI $$\operatorname{Log} \colon \mathbb{C}^* \to \mathbb{C}$$ जो ऋणात्मक वास्तविक अक्ष को छोड़कर निरंतर है; ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं के साथ जटिल तल पर 0 को हटा दिया गया I यह (वास्तविक) प्राकृतिक लघुगणक की विश्लेषणात्मक निरंतरता है।

जटिल चर घातांकी फलन में परिवर्तन की समस्या
किसी फलन का व्युत्क्रम होने के लिए, उसे भिन्न-भिन्न मानों को भिन्न-भिन्न मानों में मापित करना चाहिए, यह एकैकी होना चाहिए। लेकिन जटिल घातीय कार्य एकैकी नहीं है, क्योंकि $$e^{w+2\pi i k} = e^w$$ किसी भी सम्मिश्र संख्या $$w$$ और पूर्णांक $$k$$, के लिए, क्योंकि $$i \theta$$ को $$z$$ में जोड़ने से $$e^w$$ वामावर्त $$\theta$$ .तो अंक
 * $$\ldots,\;w-4\pi i, \;w-2\pi i, \;w, \;w + 2\pi i, \;w+4\pi i, \;\ldots,$$

लंबवत रेखा के साथ समान दूरी पर, सभी को घातीय फलन द्वारा समान संख्या में मापित किया जाता है। इसका अर्थ यह है कि घातीय फलन का मानक अर्थों में व्युत्क्रम फलन नहीं होता है। इस समस्या के दो समाधान हैं।

घातीय फलन के कार्यक्षेत्र को एक ऐसे क्षेत्र तक सीमित करना है जिसमें $$\mathit{2\pi i}$$ के पूर्णांक गुणक से भिन्न कोई भी दो संख्याएं सम्मलित नहीं हैं। यह स्वाभाविक रूप से $$\log z$$, की शाखाओं की परिभाषा की ओर ले जाता है, जो कुछ ऐसे कार्य हैं जो अपने कार्यक्षेत्र में प्रत्येक संख्या के एक लघुगणक को एकल करते हैं। यह $$\arcsin x$$ $$[-1, 1]$$ पर $$\sin \theta$$  के प्रतिबंध के व्युत्क्रम के रूप में परिभाषा के समान है। अंतराल के लिए $$[-\pi/2, \pi/2]$$ अनंत रूप से कई वास्तविक संख्याएं हैं $$\sin \theta = x$$ के साथ, लेकिन एक मनमाने ढंग से एक को चुनता है $$[-\pi/2, \pi/2]$$.

अनिश्चितता को समाधान करने का एक अन्य उपाय लघुगणक को एक ऐसे कार्य के रूप में देखना है जिसका कार्यक्षेत्र जटिल समतल में एक क्षेत्र नहीं है, लेकिन एक रीमैन सतह है जो छिद्रित जटिल तल को अनंत-से-1 उपाय से ढक लेता है।

शाखाओं का यह लाभ है कि उनका मूल्यांकन जटिल संख्याओं पर किया जा सकता है। दूसरी ओर, रीमैन सतह पर कार्य सुरुचिपूर्ण है क्योंकि यह लघुगणक की सभी शाखाओं को एक साथ संकुलित करता है और इसकी परिभाषा के भाग के रूप में मनमाना विकल्प की आवश्यकता नहीं होती है।

परिभाषा
प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या $$z$$ के लिए, प्रमुख मूल्य $$\operatorname{Log} z$$ वह लघुगणक है जिसका काल्पनिक भाग अंतराल $$(-\pi, \pi]$$ में स्थित है . $$\operatorname{Log} 0$$ अपरिभाषित छोड़ दिया गया है क्योंकि वहाँ कोई सम्मिश्र संख्या नहीं है $$w$$ संतुष्टि देने वाला $$e^w = 0$$.

जब संकेतन $$\operatorname{Log} z$$ निर्दिष्ट किए बिना किसी विशेष के लघुगणक प्रकट होता है, तो सामान्यतः यह मान लेना सबसे अच्छा होता है कि मुख्य मान अभीष्ट है। विशेष रूप से, यह z के वास्तविक मान के अनुरूप एक मान देता है, z एक धनात्मक वास्तविक संख्या है।

जब अंकन $$\log z$$ बिना किसी विशेष के लघुगणक प्रकट होता है, तो सामान्यतः यह मान लेना सबसे अच्छा होता है कि प्रमुख मूल्य अभीष्ट है। विशेष रूप से, यह $$\ln z$$ के वास्तविक मूल्य के अनुरूप मान देता है जब $$z$$ एक धनात्मक वास्तविक संख्या है। संकेतन $$\text{Log}$$ में पूंजीकरण का उपयोग कुछ लेखकों द्वारा $$z$$ के अन्य लघुगणकों से मुख्य मान को भिन्न करने के लिए किया जाता है।

प्रमुख मूल्य की गणना

अशून्य सम्मिश्र संख्या का ध्रुवीय रूप $$z= x + yi$$ है $$z=re^{i\theta}$$, जहां  $r = |z| = \sqrt{x^2 + y^2}$  का निरपेक्ष मान है $$z$$, तथा $$\theta$$ इसका तर्क है (जटिल विश्लेषण)। निरपेक्ष मूल्य वास्तविक और सकारात्मक है। तर्क को $|z|$ के एक पूर्णांक गुणक के योग तक परिभाषित किया गया हैI इसका प्रमुख मूल्य वह मान है जो अंतराल $$(-\pi, \pi]$$ से संबंधित है, जिसे atan2 के रूप में व्यक्त किया जाता है, $$\operatorname{atan2}(y,x)$$

यह जटिल लघुगणक के प्रमुख मूल्य के लिए निम्न सूत्र की ओर जाता है:
 * $$\operatorname{Log} z = \ln r + i \theta = \ln |z| + i \operatorname{Arg} z = \ln\sqrt{x^2+y^2} + i \operatorname{atan2}(y,x).$$

उदाहरण के लिए, $$\operatorname{Log}(-3i) = \ln 3 - \pi i/2$$, तथा $$\operatorname{Log}(-3) = \ln 3 + \pi i$$.

प्रतिलोम फलन के रूप में मुख्य मान
$$\operatorname{Log} z$$ का वर्णन करने का एक अन्य उपाय जटिल घातीय फलन के प्रतिबंध के व्युत्क्रम के रूप में है। जैसा कि पिछले अनुभाग में बताया गया है। क्षैतिज पट्टी $$S$$ जिसमें सम्मिश्र संख्याएँ $$w = x + yi$$ होती हैं, जैसे कि $$-\pi < y \le \pi$$ एक ऐसे क्षेत्र का उदाहरण है जिसमें $$2\pi i$$ के एक पूर्णांक गुणक से भिन्न किन्हीं भी दो संख्याओं का अंतर नहीं है, इसलिए $$S$$ का व्युत्क्रम है। इसलिए घातीय फलन मानचित्र का प्रतिबंध $$S$$ जटिल समतल $$\mathbb{C}^* = \mathbb{C} \setminus \{0\}$$ और इस प्रतिबंध का विलोम है $$\operatorname{Log}\colon \mathbb{C}^* \to S$$. नीचे अनुरूप मानचित्रण अनुभाग इस मानचित्र के ज्यामितीय गुणों को और अधिक विस्तार से समझाता है।

गुण
$$\ln$$

https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c0de5ba4f372ede555d00035e70c50ed0b9625d0 से संतुष्ट सभी सर्वसमिकाएँ सम्मिश्र संख्याओं तक विस्तारित नहीं होतीं हैं। यह सच है कि $$e^{\operatorname{Log} z} = z$$ सभी के लिए $$z \not = 0$$ (इसका अर्थ यही है $$\operatorname{Log} z$$ का लघुगणक होना$$z$$), लेकिन पहचान $$\operatorname{Log} (e^z) = z$$ पट्टी $$S$$ के बाहर $$z$$ के लिए विफल रहता है I इस कारण से कोई हमेशा $$\text{Log}$$ को एक पहचान $$e^z = e^w$$ के दोनों पक्षों पर लागू नहीं कर सकता है। $$z = w$$ निकालने के लिए। साथ ही,$$\operatorname{Log}(z_1 z_2) = \operatorname{Log}z_1 + \operatorname{Log}z_2$$असफल हो सकता है: दोनों पक्ष $$2 \pi i$$ उदाहरण के लिए,
 * $$\operatorname{Log}((-1)i) = \operatorname{Log}(-i) = \ln(1) -\frac{\pi i}{2} = -\frac{\pi i}{2}, $$

लेकिन
 * $$\operatorname{Log}(-1) + \operatorname{Log}(i) = \left( \ln(1) + \pi i \right) + \left( \ln(1) + \frac{\pi i}{2} \right) = \frac{3\pi i}{2} \ne -\frac{\pi i}{2}.$$

फलन $$\operatorname{Log} z$$ प्रत्येक ऋणात्मक वास्तविक संख्या पर असंतत है, लेकिन $$\mathbb{C}^*$$ अन्य सभी में निरंतर हैI विच्छिन्नता की व्याख्या करने के लिए, विचार करें कि $$\arg z$$ का क्या होता है जब $$z$$ एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या $$a$$ तक पहुँचता हैI यदि $$z$$ ऊपर से $$a$$ तक पहुंचता है, तो $$\arg z$$, $$\pi$$ की ओर बढ़ता है,जो कि $$\arg a$$ है I लेकिन यदि $$z$$ नीचे से, $$a$$ तक पहुंचता है, तो $$\arg z$$ $$-\pi$$ तक पहुंचता है। इसलिए $$\arg z$$ द्वारा कूदता है $$2\pi$$ द्वारा $$z$$ नकारात्मक वास्तविक अक्ष को पार करता है, और इसी प्रकार $$\operatorname{Log} z$$, $$2 \pi i$$ द्वारा कूदता हैI

जटिल लघुगणक की शाखाएँ
क्या प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या का लघुगणक चुनने का कोई भिन्न उपाय है जिससे कि एक ऐसा फलन बनाया जा सके $$\operatorname{L} (z)$$ जो सभी पर निरंतर है $$\mathbb{C}^*$$? उत्तर न है। इसका कारण जानने के लिए $$\operatorname{L} \left( e^{i\theta} \right)$$के रूप में $$\theta$$, $$0$$ से बढ़कर $$2\pi$$ इकाई घेराI यदि $$\operatorname{L} (z)$$ निरंतर है, तो ऐसा है $$\operatorname{L} \left( e^{i\theta} \right) - i \theta$$, लेकिन बाद वाला $$e^{i\theta}$$ दो लघुगणकों का अंतर है, इसलिए यह असतत समुच्चय में मान लेता है इसलिए यह स्थिर है। विशेष रूप से, $$\operatorname{L} \left( e^{2\pi i} \right) - 2\pi i = \operatorname{L} \left( e^0 \right) - 0$$ जो विरोधाभासी है, $$\operatorname{L} \left( e^{2\pi i} \right) - 2\pi =  \operatorname{L} \left( e^0 \right) - 0$$, $$2\pi i \mathbb{Z}$$,.

सम्मिश्र संख्याओं पर परिभाषित एक सतत लघुगणक प्राप्त करने के लिए, इसलिए यह आवश्यक है कि कार्यक्षेत्र को एक छोटे उपसमुच्चय $$U$$ तक सीमित कर दिया जाए। क्योंकि लक्ष्यों में से एक कार्य को व्युत्पन्न करने में सक्षम होना है, यह मान लेना उचित है कि कार्य अपने कार्यक्षेत्र के प्रत्येक बिंदु को निकटतम पर परिभाषित करता है; दूसरे शब्दों में, $$U$$ एक खुला समुच्चय होना चाहिए। इसके अतिरिक्त साथ ही यह मानना ​​भी उचित है $$U$$ (संयुक्तता ) विभिन्न घटकों पर फलन मान एक दूसरे से असंबंधित हो सकते हैं। यह सब निम्नलिखित परिभाषा को प्रेरित करता है:


 * $$\log z$$ की 'शाखा' एक सतत कार्य है $$\operatorname{L} (z)$$ एक जुड़े हुए खुले उपसमुच्चय पर परिभाषित जटिल तल का $$U$$ इस प्रकार है कि $$\operatorname{L} (z)$$ प्रत्येक के लिए $$z$$ का लघुगणक है $$z$$ में $$U$$.

उदाहरण के लिए, प्रमुख मूल्य खुले समुच्चय पर एक शाखा को परिभाषित करता है जहां यह निरंतर है, जो कि समुच्चय है $$\mathbb{C}-\mathbb{R}_{\le 0}$$ जटिल तल से 0 और सभी नकारात्मक वास्तविक संख्याओं को हटाकर प्राप्त किया गया।

एक अन्य उदाहरण: मर्केटर श्रृंखला

\ln(1+u)=\sum_{n=1}^\infty \frac{(-1)^{n+1}}{n} u^n = u - \frac{u^2}{2} + \frac{u^3}{3} - \cdots $$ $$|u| < 1$$ के लिए ,समान रूप से स्थानीय रूप से अभिसरण करता है, इसलिए $$z = 1 + u$$ समुच्चय करना की एक शाखा को परिभाषित करता है $$\log z$$ त्रिज्या 1 की खुली डिस्क 1 पर केंद्रित है। वास्तव में, यह केवल $$\operatorname{Log} z$$ का प्रतिबंध है जैसा कि अंतर को भिन्न करके 1 पर मूल्यों की तुलना करके दिखाया जा सकता है।

एक बार शाखा तय हो जाने के बाद,यदि कोई भ्रम नहीं हो सकता है,तो इसे $$\log z$$ के रूप में निरूपित किया जा सकता है I भिन्न -भिन्न शाखाएँ किसी विशेष जटिल संख्या के लघुगणक के लिए भिन्न -भिन्न मान दे सकती हैं, चूंकि, $$\log z$$ के क्रम में एक शाखा को पहले से तय किया जाना चाहिए (या फिर मुख्य शाखा को समझा जाना चाहिए) एक सटीक स्पष्ट अर्थ रखने के लिए।

शाखा परिवर्तन
इकाई घेरा को सम्मलित करने वाला उपरोक्त तर्क यह दिखाने के लिए सामान्यीकृत करता है कि $$\log z$$ की कोई भी शाखा एक खुले समुच्चय $$U$$ पर सम्मलित नहीं है जिसमें एक बंद वक्र है जो 0 के आसपास घुमावदार संख्या है। एक कहता है कि '$$\log z$$ का शाखा बिंदु 0 पर है। 0 के आसपास घुमावदार बंद वक्रों से बचने के लिए, $$U$$ सामान्यतः किसी दिशा में 0 से अनंत तक जाने वाले जटिल तल में किरण या वक्र के पूरक के रूप में चुना जाता है। इस स्थिति में, वक्र को शाखा कट के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, मुख्य शाखा में ऋणात्मक वास्तविक अक्ष के साथ एक शाखा कटी हुई है।

यदि फलन $$\operatorname{L} (z)$$ को शाखा कट के एक बिंदु पर परिभाषित होने के लिए विस्तारित किया जाता है, यह अनिवार्य रूप से वहाँ बंद हो जाएगा; सर्वोत्तम रूप से यह "एक ओर" निरंतर होगा, जैसे $$\operatorname{Log} z$$ एक ऋणात्मक वास्तविक संख्या पर।

जटिल लघुगणक का व्युत्पन्न
प्रत्येक शाखा $$\operatorname{L} (z)$$ का $$\log z$$ एक खुले समुच्चय पर $$U$$ घातीय फलन के प्रतिबंध का व्युत्क्रम है, अर्थात् छवि के लिए प्रतिबंध $$\operatorname{L} (U)$$. चूँकि चरघातांकी फलन होलोमॉर्फिक है (अर्थात् जटिल अवकलनीय) अविच्छिन्न अवकलज के साथ, व्युत्क्रम फलन प्रमेय का जटिल अनुरूप लागू होता है। यह दिखाता है कि  $$\operatorname{L} (z)$$और  $$U$$ होलोमॉर्फिक है, $$\operatorname{L}'(z) = 1/z$$ प्रत्येक के लिए''  $$z$$ में  $$U$$. ''इसे सिद्ध करने का एक और उपाय है, कॉची-रीमैन समीकरणों की जांच करना है।

एकीकरण के माध्यम से शाखाओं का निर्माण
फलन $$\ln(x)$$ वास्तविक में $$x > 0$$ सूत्र द्वारा बनाया जा सकता है $$\ln(x) = \int_1^x \frac{du}{u}.$$ यदि एकीकरण की सीमा 1 के अतिरिक्त किसी धनात्मक संख्या $$a$$ से प्रारंभ होती है तो सूत्र को होना चाहिए $$\ln(x) = \ln(a) + \int_a^x \frac{du}{u}$$ के अतिरिक्त I

जटिल लघुगणक के लिए अनुरूप विकसित करने में, एक अतिरिक्त जटिलता है: जटिल अभिन्न की परिभाषा के लिए पथ पसंद की आवश्यकता होती है। सौभाग्य से, यदि एकीकृत होलोमोर्फिक है, तो अभिन्न का मान पथ को विकृत करके होमोटॉपी (अंतिम बिंदुओं को स्थिर रखते हुए) से अपरिवर्तित होता है, और एक सरल रूप से जुड़े क्षेत्र में $$U$$(बिना छेद वाला क्षेत्र),$$a$$ से $$z$$ के अंदर $$U$$का कोई भी पथ लगातार $$U$$ के अंदर किसी अन्य में विकृत हो सकता है। यह सब निम्नलिखित की ओर जाता है-

अनुरूप मानचित्र के रूप में जटिल लघुगणक
कोई भी होलोमॉर्फिक मानचित्र $$f\colon U \to \mathbb{C}$$ संतोषजनक $$f'(z) \ne 0$$ सभी के लिए $$z \in U$$ एक अनुरूप मानचित्र है, जिसका अर्थ है कि यदि दो वक्र एक बिंदु $$U$$ से गुजरते हुए एक कोण बनाते हैं $$a$$ (इस अर्थ में कि $$a$$ पर वक्र की स्पर्शरेखा एक कोण बनाती हैं $$\alpha$$ तो दो वक्र की छवियां एक ही कोण बनाती हैं $$f(a)$$, चूंकि $$\log z$$ की एक शाखा होलोमॉर्फिक है,और चूंकि इसका व्युत्पन्न $$\log z$$ कभी 0 नहीं है, यह एक अनुरूप मानचित्र को परिभाषित करता है।

उदाहरण के लिए, प्रमुख शाखा $$w = \operatorname{Log} z$$, से मानचित्रण के रूप में देखा गया I $$\left| \operatorname{Im}z \right| < \pi$$, द्वारा परिभाषित क्षैतिज पट्टी के लिए, $$\mathbb{C}-\mathbb{R}_{\le 0}$$में निम्नलिखित गुण हैं, जो ध्रुवीय रूप के संदर्भ में सूत्र के प्रत्यक्ष परिणाम हैं:
 * z-तल में वृत्त को 0 पर केंद्रित करके w-समतल में $$a - \pi i$$ को $$a + \pi i$$  से जोड़ने वाले ऊर्ध्वाधर खंड में मापित किया जाता है। जहाँ  $$a$$ वृत्त की त्रिज्या का वास्तविक लघुगणक है।
 * z-तल में 0 से निकलने वाली किरणों को w-समतल में क्षैतिज रेखाओं से मापित किया जाता है।

ऊपर के प्रकार z-तल में प्रत्येक घेरा और किरण समकोण पर मिलते हैं। लॉग के अंतर्गत उनकी छवियां w-समतल में एक ऊर्ध्वाधर खंड और एक क्षैतिज रेखा (क्रमशः) हैं, और ये भी समकोण पर मिलती हैं। यह लॉग की अनुरूप संपत्ति का एक उदाहरण है।

निर्माण
$$\log z$$ की विभिन्न शाखाओं को एक सतत कार्य देने के लिए चिपकाया नहीं जा सकता $$\log \colon \mathbb{C}^* \to \mathbb{C}$$ क्योंकि दो शाखाएँ उस बिंदु पर भिन्न-भिन्न मान दे सकती हैं जहाँ दोनों परिभाषित हैं। तुलना करें, उदाहरण के लिए, प्रमुख शाखा $$\operatorname{Log} z$$ पर $$\mathbb{C}-\mathbb{R}_{\le 0}$$ काल्पनिक भाग के साथ $$\theta$$ $$(-\pi, \pi)$$ और शाखा $$\operatorname{L} (z)$$ पर $$\mathbb{C}-\mathbb{R}_{\ge 0}$$. जिसका काल्पनिक भाग $$\theta$$,$$(0, 2 \pi)$$ में निहित है I ये ऊपरी आधे तल पर सहमत हैं, लेकिन निचले आधे तल पर नहीं। तो यह इन शाखाओं के कार्यक्षेत्र को केवल ऊपरी आधे तल की प्रतियों के साथ गोंद करने के लिए समझ में आता है। परिणामी कार्यक्षेत्र जुड़ा हुआ है, लेकिन इसमें निचले आधे तल की दो प्रतियां हैं। उन दो प्रतियों को एक पार्किंग गैरेज के दो स्तरों के रूप में देखा जा सकता है, और एक $$\text{Log}$$  निचले आधे के स्तर से प्राप्त किया जा सकता है। $$2 \pi$$ रेडियंस $ln(x)$ के आसपास वामावर्त जाकर,पहले सकारातमक को पार करते हुए निचले आधे तल का स्तर वास्तविक अक्ष (के $$\text{Log}$$ स्तर) ऊपरी आधे तल की साझा प्रतिलिपि में और फिर नकारात्मक वास्तविक अक्ष  $$\text{L}$$ स्तर को $$\text{L}$$ स्तर  में नीचे आधा तल ।

काल्पनिक भाग में,$$(\pi, 3 \pi)$$ $$(2 \pi, 4 \pi)$$ और इसी प्रकार, और दूसरी दिशा में, काल्पनिक भाग वाली शाखाएँ $$\theta$$, $$(-2 \pi, 0)$$ होती है। अंतिम परिणाम एक जुड़ा हुआ सतह है जिसे ऊपर और नीचे दोनों ओर फैले अनंत रूप से कई स्तरों के साथ एक उत्साही पार्किंग गैरेज के रूप में देखा जा सकता है। यह रीमैन सतह $$R$$, $$\log z$$ से संबंधित हैI $$R$$ पर एक बिंदु $$(z, \theta)$$ की एक जोड़ी के रूप में माना जा सकता है, $$\theta$$ का एक संभावित मान है इस प्रकार $x$ को $$\mathbb{C} \times \mathbb{R} \approx \mathbb{R}^3$$में एम्बेड किया जा सकता है I

रीमैन सतह पर लघुगणक फलन
क्योंकि शाखाओं के कार्यक्षेत्र केवल खुले समुच्चयों के साथ चिपके हुए थे जहां उनके मान सहमत थे, शाखाएं एक अच्छे प्रकार से परिभाषित फलन  $$\log_R \colon R \to \mathbb{C}$$ देने के लिए गोंद करती हैं I यह प्रत्येक बिंदु $$(z, \theta)$$ को $$R$$ से $$\ln |z| + i \theta$$ पर मापित करता है संगत होलोमोर्फिक कार्यों को जोड़कर मूल शाखा $$\text{Log}$$ को विस्तारित करने की इस प्रक्रिया को विश्लेषणात्मक निरंतरता के रूप में जाना जाता है।

$$R$$ से $$\mathbb{C}^*$$ एक प्रक्षेपण मानचित्र है जो कुंडली को "समतल" करता है,$$(z, \theta)$$ से $$z$$ किसी भी $$z \in \mathbb{C}^*$$के लिए, यदि कोई सभी बिंदुओं को लेता है $$(z, \theta)$$,$$R$$ सीधे ऊपर स्थित है $$z$$ का मूल्यांकन करता है '$$\log_R$$ इन सभी बिंदुओं पर,$$z$$ को सभी लघुगणक प्राप्त होते हैं I

$$\log z$$ की सभी शाखाओं को जोड़ना
केवल ऊपर चुनी गई शाखाओं को जोड़ने के अतिरिक्त, कोई भी $$\log z$$ सभी शाखाओं से शुरू कर सकता है, और साथ ही शाखाओं की प्रत्येक जोड़ी $$L_1\colon U_1 \to \mathbb{C}$$ और $$L_2\colon U_2 \to \mathbb{C}$$, $$U_1 \cap U_2$$ का सबसे बड़ा खुला उप-समुच्चय जिस पर $$L_1$$ तथा$$L_2$$ सहमत होना। इससे पहले की तरह रीमैन सतह $$R$$ और '$$\log_R$$ मिलते हैं। यह दृष्टिकोण, चूंकि कल्पना करना थोड़ा कठिन है, इसमें अधिक स्वाभाविक है कि इसमें किसी विशेष शाखा का चयन करने की आवश्यकता नहीं है।

यदि $$U'$$, $$R$$ का खुला उप-समुच्चय है जो अपनी छवि $$U$$ को $$\mathbb{C}^*$$ के लिए विशेष रूप से परियोजित  करता है , तो  $$\log_R$$ से $$U'$$तक का प्रतिबंध  $$\log z$$ की एक शाखा से संयोग करता है $$z$$ पर  $$U$$ को परिभाषित किया गया है। $$\log z$$ की प्रत्येक शाखा इस प्रकार उत्पन्न होती है।

एक सार्वभौमिक आवरण के रूप में रीमैन सतह
प्रक्षेपण मानचित्र $$R \to \mathbb{C}^*$$ एहसास $$R$$ के आवरण स्थान के रूप में $$\mathbb{C}^*$$. वास्तव में, यह एक गैलोइस है जो डेक परिवर्तन समुच्चय आइसोमोर्फिक के साथ ढका रहता है $$\mathbb{Z}$$, होमियोमोर्फिज्म भेजने से उत्पन्न होता है $$(z, \theta)$$ प्रति $$(z, \theta+2\pi)$$.

एक जटिल कई गुना के रूप में, $$R$$ के साथ बिहोलोमोर्फिक है $$\mathbb{C}$$ के द्वारा $$\log_R$$. (उलटा मानचित्र भेजता है $$z$$ प्रति$$\left(e^z, \operatorname{Im}(z)\right)$$।) यह दर्शाता है कि $$R$$ बस जुड़ा हुआ है, इसलिए $$R$$ का सार्वभौम आवरण है $$\mathbb{C}^*$$.

अनुप्रयोग

 * घातांक को परिभाषित करने के लिए जटिल लघुगणक की आवश्यकता होती है जिसमें आधार एक जटिल संख्या हैI जटिल संख्याओं की घातें जिनमें आधार एक जटिल संख्या है। अर्थात्, यदि $$a$$ तथा $$b$$, $$a \not = 0$$ वाली सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो $$a^b = e^{b \operatorname{Log} a}$$को परिभाषित करने के लिए मुख्य मान का उपयोग किया जा सकता है। कोई  $$\operatorname{Log}a$$ को $$a$$ अन्य लघुगणकों द्वारा $$a^b$$ के अन्य मान प्राप्त करने के लिए भी बदल सकता है। $$e^{2\pi i nb}$$ के रूप में भिन्न होते हैं। अभिव्यक्ति $$a^b$$का एक मान है यदि केवल $$b$$ एक पूर्णांक है। क्योंकि त्रिकोणमितीय कार्यों को $$e^{iz}$$ तर्कसंगत कार्यों  के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों को जटिल लघुगणक के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है।
 * चूंकि मानचित्रण $$w=\operatorname{Log}z$$ $e^{ln x} = x$ पर केन्द्रित वृत्तों को ऊर्ध्वाधर सीधी रेखा खंडों में रूपांतरित करता है, यह वलय वाले अभियांत्रिकी अनुप्रयोगों में उपयोगी हैI

अन्य आधारों के लघुगणक
वास्तविक संख्याओं के प्रकार, सम्मिश्र संख्याओं $$b$$ और x को परिभाषित किया जा सकता है

तथा $$x$$: $$\log_b x = \frac{\log x}{\log b},$$

एकमात्र सतर्कता के साथ कि इसका मान $$b$$ और $$x$$ (साथ '$$\log b \not = 0$$) के साथ) पर परिभाषित लॉग की एक शाखा की पसंद पर निर्भर करता है।उदाहरण के लिए, प्रमुख मूल्य का उपयोग करके देता है
 * $$\log_i e = \frac{\operatorname{Log} e}{\operatorname{Log} i} = \frac1{\pi i/2} = -\frac{2i}{\pi}.$$

होलोमोर्फिक कार्यों के लघुगणक
यदि f, $$\mathbb{C}$$ एक जुड़े हुए खुले उप-समुच्चय $$U$$ पर एक होलोमोर्फिक फलन है तो $$\log f$$ की एक शाखा $$U$$ एक सतत कार्य है $$U$$ ऐसा है कि $$e^{g(z)} = f(z)$$ सभी के लिए $$z$$ में $$U$$. ऐसा फलन $$g$$, $$g'(z) = f'(z)/f(z)$$के साथ अनिवार्य रूप से होलोमोर्फिक है सभी के लिए $$z$$ में $$U$$.

यदि $$U$$, $$\mathbb{C}$$ का एक साधारण रूप से जुड़ा हुआ खुला उपसमुच्चय है, तथा $$f$$' , $$U$$ पर कहीं नहीं लुप्त होनेवाला होलोमॉर्फिक फलन है, फिर ' $$\log f$$, $$U$$ पर परिभाषित की एक शाखा को $$U$$ में एक शुरुआती बिंदु चुनकर बनाया जा सकता है, एक लघुगणक $$b$$ और $$f(a)$$, परिभाषित करना I


 * $$g(z) = b + \int_a^z \frac{f'(w)}{f(w)}\,dw$$

प्रत्येक के लिए $$z$$ में $$U$$.