स्लेटर-प्रकार की कक्षा

स्लाटर-टाइप ऑर्बिटल्स (एसटीओ) परमाणु ऑर्बिटल्स आणविक कक्षीय विधि के रैखिक संयोजन में परमाणु ऑर्बिटल्स के रूप में उपयोग किए जाने वाले कार्य हैं। उनका नाम भौतिक विज्ञानी जॉन सी. स्लेटर के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने उन्हें 1930 में पेश किया था। उनके पास लंबी दूरी पर घातीय क्षय और काटो प्रमेय | कम दूरी पर काटो की पुच्छल स्थिति (जब हाइड्रोजन जैसे परमाणु कार्यों के रूप में संयुक्त होती है, यानी एक इलेक्ट्रॉन परमाणुओं के लिए स्थिर श्रोडिंगर समीकरण के विश्लेषणात्मक समाधान)। हाइड्रोजन-जैसे (हाइड्रोजिक) श्रोडिंगर ऑर्बिटल्स के विपरीत, एसटीओ के पास कोई रेडियल नोड नहीं है (न ही गॉसियन ऑर्बिटल्स। गॉसियन-टाइप ऑर्बिटल्स)।

परिभाषा
STO में निम्नलिखित रेडियल भाग होते हैं:


 * $$R(r) = N r^{n-1} e^{-\zeta r}\,$$

कहाँ
 * $n$ एक प्राकृतिक संख्या है जो प्रमुख क्वांटम संख्या की भूमिका निभाती है, $n$ = 1,2,...,
 * $N$ एक सामान्यीकरण स्थिरांक है,
 * $r$ परमाणु नाभिक से इलेक्ट्रॉन की दूरी है, और
 * $$\zeta$$ नाभिक के प्रभावी विद्युत आवेश से संबंधित एक स्थिरांक है, परमाणु आवेश को इलेक्ट्रॉनों द्वारा आंशिक रूप से परिरक्षित किया जाता है। ऐतिहासिक रूप से, स्लेटर के नियमों द्वारा प्रभावी परमाणु प्रभार का अनुमान लगाया गया था।

सामान्यीकरण स्थिरांक की गणना गामा समारोह से की जाती है
 * $$ \int_0^\infty x^n e^{-\alpha x} \, \mathrm dx = \frac{n!}{~\alpha^{n+1}\,}~. $$

इस तरह
 * $$N^2 \int_0^\infty \left(r^{n-1} e^{-\zeta r}\right)^2 r^2 \, \mathrm dr = 1 \Longrightarrow N = (2\zeta)^n \sqrt{\frac{2\zeta}{(2n)!}}~. $$

गोलाकार हार्मोनिक्स का उपयोग करना आम है $$Y_l^m(\mathbf{r})$$ ध्रुवीय निर्देशांक के आधार पर स्थिति वेक्टर की $$\mathbf{r}$$ स्लेटर कक्षीय के कोणीय भाग के रूप में।

डेरिवेटिव्स
स्लाटर-टाइप ऑर्बिटल के रेडियल भाग का पहला रेडियल व्युत्पन्न है
 * $$ {\partial R(r)\over \partial r} = \left[\frac{(n - 1)}{r} - \zeta\right] R(r) $$

रेडियल लैपलेस ऑपरेटर दो अंतर ऑपरेटरों में विभाजित है
 * $$ \nabla^2 = {1 \over r^2}{\partial \over \partial r}\left(r^2 {\partial \over \partial r}\right) $$

लैपलेस ऑपरेटर का पहला डिफरेंशियल ऑपरेटर यील्ड देता है
 * $$ \left(r^2 {\partial\over \partial r} \right) R(r) = \left[(n - 1) r - \zeta r^2 \right] R(r) $$

दूसरे अवकल संकारक को लागू करने के बाद कुल लाप्लास संकारक प्राप्त होता है
 * $$ \nabla^2 R(r) = \left({1 \over r^2} {\partial\over \partial r} \right) \left[(n - 1) r - \zeta r^2 \right] R(r) $$

परिणाम
 * $$\nabla^2 R(r) = \left[{n (n - 1) \over r^2} - {2 n \zeta \over r} + \zeta^2 \right] R(r) $$

गोलाकार हार्मोनिक्स के कोणीय निर्भर डेरिवेटिव रेडियल फ़ंक्शन पर निर्भर नहीं होते हैं और उन्हें अलग से मूल्यांकन किया जाना चाहिए।

इंटीग्रल्स
मौलिक गणितीय गुण वे हैं जो एक एकल नाभिक के केंद्र में कक्षीय की नियुक्ति के लिए गतिज ऊर्जा, परमाणु आकर्षण और कूलम्ब प्रतिकर्षण इंटीग्रल से जुड़े हैं। सामान्यीकरण कारक छोड़ना $N$, नीचे के कक्षकों का निरूपण है
 * $$\chi_{n \ell m}({\mathbf{r}}) =

r^{n-1}~e^{-\zeta\,r}~Y_\ell^m({\mathbf{r}})~.$$ फूरियर रूपांतरण है
 * $$\begin{align}

\chi_{n \ell m}({\mathbf{k}}) &= \int e^{i{\mathbf{k}}\cdot {\mathbf{r}}}~\chi_{n \ell m}({\mathbf{r}})~\mathrm{d}^3 r \\ &=4\pi~(n-\ell)!~(2\zeta)^n~(i k/\zeta)^\ell~Y_\ell^m({\mathbf{k}}) \sum_{s=0}^{\lfloor(n-\ell)/2\rfloor} \frac{\omega_s^{n \ell}}{~(k^2+\zeta^2)^{n+1-s}}, \end{align}$$ जहां $$\omega$$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\omega_s^{n \ell} \equiv \left( -\frac{1}{4\zeta^2} \right)^s\,\frac{(n-s)!}{~s!~(n-\ell-2s)!~}.$$

ओवरलैप इंटीग्रल है
 * $$ \int \chi^*_{n \ell m}(r)~\chi_{n'\ell'm'}(r)~\mathrm{d}^3 r = \delta_{\ell \ell'}\,\delta_{mm'}\, \frac{(n+n')!}{~(\zeta+\zeta')^{n+n'+1}}$$

जिनमें से सामान्यीकरण अभिन्न एक विशेष मामला है। सुपरस्क्रिप्ट स्टार जटिल संयुग्म | जटिल-संयुग्मन को दर्शाता है।

काइनेटिक एनर्जी#क्वांटम मैकेनिकल काइनेटिक एनर्जी ऑफ रिजिड बॉडी इंटीग्रल है $$\begin{align}& \int \chi^*_{n \ell m}(r)~\left(-\tfrac{1}{2} \nabla^2\right)\,\chi_{n'\ell'm'}(r)~\mathrm{d}^3 r \\&= \frac{1}{2}\delta_{\ell\ell'}\,\delta_{mm'}\, \int_0^\infty e^{-(\zeta+\zeta')\,r} \left[ [\ell'(\ell'+1) - n'(n'-1)]\,r^{n+n'-2} + 2\zeta'n'\,r^{n+n'-1} - \zeta'^2\,r^{n+n'} \right]~ \mathrm dr~, \end{align}$$ ऊपर पहले से ही गणना किए गए तीन ओवरलैप इंटीग्रल का योग।

फूरियर प्रतिनिधित्व का उपयोग करके कूलम्ब प्रतिकर्षण अभिन्न का मूल्यांकन किया जा सकता है (ऊपर देखें)



\chi^*_{n \ell m}({\mathbf{r}}) = \int \frac{~e^{i \mathbf{k} \cdot \mathbf{r}}~}{(2\pi)^3}~ \chi^*_{n \ell m}({\mathbf{k}})~\mathrm{d}^3 k $$ कौन सी पैदावार $$\begin{align} \int \chi^*_{n \ell m}( \mathbf{r} ) \frac{1}{ \left| \mathbf{r} - \mathbf{r}' \right|}~\chi_{n'\ell'm'}( \mathbf{r}')~ \mathrm{d}^3 r &= 4\pi \int \frac{1}{(2\pi)^3}~ \chi^*_{n \ell m}( \mathbf{k} ) ~\frac{1}{k^2}~\chi_{n'\ell'm'}( \mathbf{k} ) ~\mathrm{d}^3 k \\ &= 8\,\delta_{\ell \ell'}\, \delta_{mm'}~ (n-\ell)!~ (n'-\ell)!~ \frac{\,(2\zeta)^n\,}{\zeta^\ell} \frac{\,(2\zeta')^{n'}\,}{\zeta'^\ell} \int_0^\infty k^{2\ell} \left[ \sum_{s=0}^{\lfloor (n-\ell)/2\rfloor} \frac{\omega_s^{n \ell}}{(k^2+\zeta^2)^{n+1-s}} \sum_{s'=0}^{\lfloor (n'-\ell)/2\rfloor} \frac{\omega_{s'}^{n'\ell'}}{(k^2+\zeta'^2)^{n'+1-s'}~} \right] \mathrm dk \end{align}$$ इन्हें या तो व्यक्तिगत रूप से समोच्च एकीकरण के तरीकों के साथ या पुनरावर्ती रूप से क्रूज़ एट अल द्वारा प्रस्तावित के रूप में गणना की जाती है। (1978)।

एसटीओ सॉफ्टवेयर
कुछ क्वांटम केमिस्ट्री सॉफ्टवेयर 1s स्लेटर-टाइप फ़ंक्शन | स्लेटर-टाइप फ़ंक्शंस (STF) के सेट का उपयोग स्लेटर प्रकार के ऑर्बिटल्स के अनुरूप करते हैं, लेकिन कुल आणविक ऊर्जा को कम करने के लिए चुने गए चर घातांक के साथ (ऊपर दिए गए स्लेटर के नियमों के बजाय)। तथ्य यह है कि अलग-अलग परमाणुओं पर दो एसटीओ के उत्पादों को गॉसियन कार्यों (जो एक विस्थापित गॉसियन देते हैं) की तुलना में व्यक्त करना अधिक कठिन होता है, जिससे कई लोगों ने गॉसियन के संदर्भ में उनका विस्तार किया है। बहुपरमाणुक अणुओं के लिए विश्लेषणात्मक एब इनिटियो सॉफ्टवेयर विकसित किया गया है, उदाहरण के लिए, STOP: 1996 में एक स्लेटर टाइप ऑर्बिटल पैकेज। SMILES उपलब्ध होने पर विश्लेषणात्मक अभिव्यक्तियों का उपयोग करता है और गाऊसी  विस्तार अन्यथा। इसे पहली बार 2000 में रिलीज़ किया गया था।

विभिन्न ग्रिड एकीकरण योजनाएं विकसित की गई हैं, कभी-कभी चतुर्भुज (स्क्रोको) के लिए विश्लेषणात्मक कार्य के बाद, सबसे प्रसिद्ध डीएफटी कोड के एडीएफ सूट में।

जॉन पोपल, वॉरेन के काम के बाद। जे. हेहरे और रॉबर्ट एफ. स्टीवर्ट, गॉसियन-टाइप ऑर्बिटल्स के योग के रूप में स्लेटर परमाणु ऑर्बिटल्स का कम से कम वर्ग प्रतिनिधित्व का उपयोग किया जाता है। उनके 1969 के पेपर में, इस सिद्धांत के मूल सिद्धांतों पर चर्चा की गई और फिर आगे सुधार किया गया और गॉसियन डीएफटी कोड में उपयोग किया गया।

यह भी देखें

 * आधार सेट (रसायन विज्ञान)