हेरोनियन टेट्राहेड्रॉन

हेरोनियन चतुष्फलक (जिसे हेरॉन चतुष्फलक भी कहा जाता है  या सही पिरामिड ) एक चतुष्फलक है जिसके किनारे की लंबाई, फलक का क्षेत्रफल और आयतन सभी पूर्णांक हैं। इसलिए फलक सभी हेरोनियन त्रिकोण होने चाहिए। प्रत्येक हेरोनियन चतुष्फलक को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में व्यवस्थित किया जा सकता है जिससे इसके शीर्ष निर्देशांक भी पूर्णांक हों जाए।

उदाहरण
लियोनहार्ड यूलर के लिए जाना जाने वाला एक उदाहरण एक हेरोनियन द्विआयताकार चतुष्फलक है, जो तीन समन्वय अक्षों के समानांतर तीन किनारों के पथ के साथ एक चतुष्फलक है और सभी फलक सही त्रिकोण हैं। अक्ष-समानांतर किनारों के पथ पर किनारों की लंबाई 153 104 और 672 है और अन्य तीन किनारों की लंबाई 185, 680, और 697 है जो पाइथागोरस ट्रिपल (153,104,185) (104,672,680), (153,680,697) और (185,672,697) द्वारा वर्णित चार समकोण त्रिकोण फलक बनाते हैं।

रेनहोल्ड हॉपी द्वारा 1877 में हेरोनियन चतुष्फलक के आठ उदाहरणों की खोज की गई थी।

117 (संख्या) अभिन्न किनारे की लंबाई के साथ आदर्श चतुष्फलक के सबसे लंबे किनारे की सबसे छोटी संभव लंबाई है। इसके अन्य किनारों की लंबाई 51, 52, 53, 80 और 84 है। 8064 पूर्ण चतुष्फलक का सबसे छोटा संभव आयतन है (और 6384 सबसे छोटा संभव पृष्ठीय क्षेत्रफल है)। इस मात्रा और सतह क्षेत्र के साथ हेरोनियन चतुष्फलक की अभिन्न किनारे की लंबाई 25, 39, 56, 120, 153 और 160 है।

1943 में, ई.पी. स्टार्क ने एक और उदाहरण प्रकाशित किया, जिसमें दो फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं जिनका आधार 896 और भुजाएँ 1073 हैं, और अन्य दो फलक भी समद्विबाहु त्रिभुज हैं जिनका आधार 990 और समान भुजाएँ हैं। चूँकि, स्टार्क ने इसकी मात्रा की सूची करने में त्रुटि की है जो व्यापक रूप से अनुकृति हो गई है। सही आयतन $124,185,600$,है स्टार्क द्वारा सूची की गई संख्या से दोगुनी है।

सास्चा कुर्ज़ कंप्यूटर खोज एल्गोरिदम का उपयोग सभी हेरोनियन चतुष्फलक को सबसे लंबे किनारे की लंबाई के साथ $600,000$ खोजने के लिए किया है |

वर्गीकरण, अनंत परिवार, और विशेष प्रकार के चतुष्फलक
नियमित चतुष्फलक (सभी फलक समबाहु होने के साथ) एक हेरोनियन चतुष्फलक नहीं हो सकता है, क्योंकि नियमित चतुष्फलक के लिए जिसकी किनारे की लंबाई पूर्णांक होती है, फलक के क्षेत्र और आयतन अपरिमेय संख्या होते हैं। इसी कारण से किसी भी हेरोनियन चतुष्फलक के फलक के रूप में समबाहु त्रिभुज नहीं हो सकता है।

अनंत रूप से कई हेरोनियन चतुष्फलक हैं, और अधिक दृढ़ता से कई हेरोनियन डिफेनोइड, चतुष्फलक हैं जिनमें सभी फलक सर्वांगसम हैं और विपरीत पक्षों के प्रत्येक जोड़े की लंबाई समान है। इस स्थिति में, चतुष्फलक का वर्णन करने के लिए छह के अतिरिक्त केवल तीन किनारे की लंबाई की आवश्यकता होती है, और हेरोनियन चतुष्फलक को परिभाषित करने वाली लंबाई के ट्रिपल को एक अण्डाकार वक्र का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है। चार समान किनारों की लंबाई का चक्र के साथ अनंत रूप से कई हेरोनियन चतुष्फलक भी हैं | जिसमें सभी फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

अनंत रूप से कई हेरोनियन द्विभाजित चतुष्फलक भी हैं। इस प्रकार के चतुष्फलक को उत्पन्न करने की विधि अक्ष-समानांतर किनारे की लंबाई $$a$$, $$b$$, और $$c$$ शक्तियों के दो सामान योग से प्राप्त करती है |
 * $$p^4+s^4=q^4+r^4$$

सूत्रों का उपयोग करना
 * $$a=\bigl|(pq)^2-(rs)^2\bigr|,$$
 * $$b=\bigl|2pqrs\bigr|,$$
 * $$c=\bigl|(pr)^2)-|(qs)^2\bigr|.$$

उदाहरण के लिए, लियोनहार्ड यूलर $$59^4+158^4=133^4+134^4$$ की पहचान से इस तरह व्युत्पन्न चतुष्फलक में,$386,678,175$, $332,273,368$, के सामान, है और $379,083,360$, समकोण त्रिभुज के कर्ण के साथ $$ab$$ $509,828,993$ के सामान , समकोण त्रिभुज का कर्ण $504,093,032$ $$bc$$ के सामान हो, और शेष दो भुजाओं का कर्ण $635,318,657$ सामान हो | इन चतुष्फलक के लिए, $$a$$, $$b$$, और $$c$$ के लिए लगभग-परिपूर्ण घनाभ के किनारों की लंबाई एक आयताकार घनाभ बनाते हैं | जिसमें भुजाएँ, तीन में से दो विकर्ण, और शरीर का विकर्ण सभी पूर्णांक हैं।

हेरोनियन त्रिकोणीय चतुर्भुज का कोई उदाहरण नहीं मिला था और किसी ने भी यह सिद्ध नहीं किया है कि कोई भी अस्तित्व में नहीं है।

सभी हेरोनियन चतुष्फलक का पूर्ण वर्गीकरण अज्ञात रहता है।

संबंधित आकृतियाँ
हेरोनियन त्रिभुजों की एक वैकल्पिक परिभाषा यह है कि वे दो पायथागॉरियन त्रिगुणों को सामान पक्ष के साथ जोड़कर बनाया जा सकता है।

इस परिभाषा को भी तीन आयामों के लिए सामान्यीकृत किया गया है, जिससे चतुष्फलक के अलग वर्ग की ओर अग्रसर होता है जिसे हेरोन चतुष्फलक भी कहा जाता है।