पंक्ति और स्तंभ सदिश

रैखिक बीजगणित में, एक स्तंभ सदिश प्रविष्टियों का एक स्तंभ होता है, उदाहरण के लिए,


 * $$\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix} \,. $$

इसी तरह, एक पंक्ति सदिश प्रविष्टियों की एक पंक्ति है
 * $$\boldsymbol a = \begin{bmatrix} a_1 & a_2 & \dots & a_n \end{bmatrix} \,. $$

बोल्डफेस का उपयोग प्रारंभ से अंत तक पंक्ति और स्तंभ वैक्टर दोनों के लिए किया जाता है। पंक्ति सदिश का स्थानान्तरण (T द्वारा दर्शाया गया) स्तंभ सदिश है


 * $$\begin{bmatrix} x_1 \; x_2 \; \dots \; x_m \end{bmatrix}^{\rm T} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix} \,,$$

और स्तंभ सदिश का स्थानान्तरण पंक्ति सदिश है


 * $$\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_m \end{bmatrix}^{\rm T} = \begin{bmatrix} x_1 \; x_2 \; \dots \; x_m \end{bmatrix} \,.$$

n प्रविष्टियों वाले सभी पंक्ति सदिशों का समुच्चय एक n-आयामी सदिश स्थान बनाता है; इसी प्रकार, m प्रविष्टियों वाले सभी स्तंभ सदिश का सेट एक m-आयामी सदिश स्पेस बनाता है।

n प्रविष्टियों के साथ पंक्ति सदिश के स्थान को n प्रविष्टियों वाले स्तंभ सदिश के स्थान के दोहरे स्थान के रूप में माना जा सकता है, क्योंकि स्तंभ सदिश के स्थान पर किसी भी रैखिक कार्यात्मक को एक अद्वितीय पंक्ति सदिश के बाएं-गुणन के रूप में दर्शाया जा सकता है।

संकेत चिन्ह
स्तंभ सदिश को अन्य पाठ के साथ इन-लाइन लिखने को आसान बनाने के लिए, कभी-कभी उन्हें पंक्ति सदिश के रूप में लिखा जाता है, जिसमें जगह बदलना संचालन लागू होता है।


 * $$\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1 \; x_2 \; \dots \; x_m \end{bmatrix}^{\rm T}$$

या


 * $$\boldsymbol{x} = \begin{bmatrix} x_1, x_2, \dots, x_m \end{bmatrix}^{\rm T}$$

कुछ लेखक स्तंभ सदिश और पंक्ति सदिश दोनों को पंक्तियों के रूप में लिखने की परंपरा का भी उपयोग करते हैं, लेकिन पंक्ति सदिश तत्वों को अल्पविराम से और स्तंभ सदिश तत्वों को अर्धविराम से अलग करते हैं (नीचे दी गई तालिका में वैकल्पिक संकेत चिन्ह 2 देखें)।

संचालन
आव्यूह गुणन में एक आव्यूह के प्रत्येक पंक्ति सदिश को दूसरे आव्यूह के प्रत्येक स्तंभ सदिश से गुणा करने की क्रिया सम्मालित है।

दो स्तंभ सदिश a और b का गुणन उत्पाद b के साथ a के स्थानान्तरण के आव्यूह उत्पाद के बराबर है,


 * $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \mathbf{a}^\intercal \mathbf{b} = \begin{bmatrix}

a_1 & \cdots  & a_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_1 \\ \vdots \\ b_n \end{bmatrix} = a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n \,, $$ गुणन उत्पाद की समरूपता से, दो स्तंभ सदिश a और b का गुणन उत्पाद भी a के साथ b के पक्षांतरित के आव्यूह उत्पाद के बराबर है,


 * $$\mathbf{b} \cdot \mathbf{a} = \mathbf{b}^\intercal \mathbf{a} = \begin{bmatrix}

b_1 & \cdots  & b_n \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1 \\ \vdots \\ a_n \end{bmatrix} = a_1 b_1 + \cdots + a_n b_n\,. $$ स्तंभ और पंक्ति सदिश का आव्यूह उत्पाद दो सदिश a और b का बाहरी उत्पाद देता है, जो अधिक सामान्य टेंसर उत्पाद का एक उदाहरण है। a के स्तंभ सदिश प्रतिनिधित्व और b के पंक्ति वे सदिश प्रतिनिधित्व का आव्यूह उत्पाद उनके युग्मकीय उत्पाद के घटक देता है,


 * $$\mathbf{a} \otimes \mathbf{b} = \mathbf{a} \mathbf{b}^\intercal = \begin{bmatrix}

a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} b_1 & b_2 & b_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} a_1b_1 & a_1b_2 & a_1b_3 \\ a_2b_1 & a_2b_2 & a_2b_3 \\ a_3b_1 & a_3b_2 & a_3b_3 \\ \end{bmatrix} \,, $$ जो b के स्तंभ सदिश प्रतिनिधित्व के आव्यूह उत्पाद का स्थानान्तरण है और a की पंक्ति सदिश प्रतिनिधित्व है,


 * $$\mathbf{b} \otimes \mathbf{a} = \mathbf{b} \mathbf{a}^\intercal = \begin{bmatrix}

b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1 & a_2 & a_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} b_1a_1 & b_1a_2 & b_1a_3 \\ b_2a_1 & b_2a_2 & b_2a_3 \\ b_3a_1 & b_3a_2 & b_3a_3 \\ \end{bmatrix} \,. $$

आव्यूह परिवर्तन
एक n × n आव्यूह M एक रेखीय मैप का प्रतिनिधित्व कर सकता है और रैखिक मैप के परिवर्तन आव्यूह के रूप में पंक्ति और स्तंभ सदिश पर कार्य कर सकता है। एक पंक्ति सदिश v के लिए, गुणनफल vM एक अन्य पंक्ति सदिश p है:


 * $$ v M = p \,.$$

अन्य n × n आव्यूह Q, p पर कार्य कर सकता है,


 * $$ p Q = t \,. $$

फिर कोई t = p Q = v MQ लिख सकता है, इसलिए आव्यूह उत्पाद परिवर्तन MQ मैप v को सीधे t तक ले जाता है। पंक्ति सदिश के साथ जारी रखते हुए, आव्यूह रूपांतरणों को आगे पुन: कॉन्फ़िगर करते हुए n-स्पेस   को पिछले आउटपुट के दाईं ओर लागू किया जा सकता है।

जब एक स्तंभ सदिश को n × n आव्यूह क्रिया के अनुसार दूसरे स्तंभ सदिश में बदल दिया जाता है, तो ऑपरेशन बाईं ओर होता है,


 * $$ p^\mathrm{T} = M v^\mathrm{T} \,,\quad t^\mathrm{T} = Q p^\mathrm{T} $$,

vT इनपुट से रचित आउटपुट के लिए बीजगणितीय व्यंजक vT के लिए अग्रणी QM होता है vT के लिए अग्रणी। मैट्रिक्स ट्रांसफ़ॉर्मेशन के इनपुट के लिए स्तम्भ सदिश के इस उपयोग में आव्यूह रूपांतरणों बाईं ओर आयोजित होता है

यह भी देखें

 * सहप्रसरण और सदिशों का अंतर्विपंक्तिध
 * सूचकांक संकेतन
 * लोगों का सदिश
 * सिंगल-एंट्री सदिश
 * मानक इकाई सदिश
 * इकाई सदिश