असंयुक्त संघ

गणित में, समुच्चयों के एक परिवार का एक असंयुक्त संघ (या विभेदित संघ)। $$(A_i : i\in I)$$ एक सेट है $$A,$$ अक्सर द्वारा निरूपित किया जाता है $\bigsqcup_{i \in I} A_i,$ प्रत्येक के एक इंजेक्शन समारोह के साथ $$A_i$$ में $$A,$$ जैसे कि इन इंजेक्शनों की छवि (गणित) एक विभाजन (सेट सिद्धांत) बनाती है $$A$$ (अर्थात, प्रत्येक तत्व $$A$$ बिल्कुल इन छवियों में से एक से संबंधित है)। जोड़ीवार असंयुक्त समुच्चयों के परिवार का असंयुक्त मिलन ही उनका संघ (सेट सिद्धांत) है।

श्रेणी सिद्धांत में, असंयुक्त संघ समुच्चयों की श्रेणी का सहउत्पाद है, और इस प्रकार एक आक्षेप तक परिभाषित किया गया है। इस संदर्भ में, संकेतन $\coprod_{i\in I} A_i$ अक्सर प्रयोग किया जाता है.

दो समुच्चयों का असंयुक्त मिलन $$A$$ और $$B$$ इन्फिक्स संकेतन के साथ लिखा गया है $$A \sqcup B$$. कुछ लेखक वैकल्पिक संकेतन का उपयोग करते हैं $$A \uplus B$$ या $$A \operatorname{{\cup}\!\!\!{\cdot}\,} B$$ (संबंधित के साथ $\biguplus_{i\in I} A_i$ या $\operatorname{{\bigcup}\!\!\!{\cdot}\,}_{i\in I} A_i$ ).

असंबद्ध संघ के निर्माण का एक मानक तरीका परिभाषित करना है $$A$$ क्रमित युग्मों के समुच्चय के रूप में $$(x, i)$$ ऐसा है कि $$x \in A_i,$$ और इंजेक्शन $$A_i \to A$$ जैसा $$x \mapsto (x, i).$$

उदाहरण
सेट पर विचार करें $$A_0 = \{5, 6, 7\}$$ और $$A_1 = \{5, 6\}.$$ संबंधित सेट बनाकर सेट तत्वों को सेट मूल के अनुसार अनुक्रमित करना संभव है $$\begin{align} A^*_0 & = \{(5, 0), (6, 0), (7, 0)\} \\ A^*_1 & = \{(5, 1), (6, 1)\}, \\ \end{align} $$ जहां प्रत्येक जोड़ी में दूसरा तत्व मूल सेट की सबस्क्रिप्ट से मेल खाता है (उदाहरण के लिए,)। $$0$$ में $$(5, 0)$$ में सबस्क्रिप्ट से मेल खाता है $$A_0,$$ वगैरह।)। असंयुक्त संघ $$A_0 \sqcup A_1$$ फिर इसकी गणना इस प्रकार की जा सकती है: $$A_0 \sqcup A_1 = A^*_0 \cup A^*_1 = \{(5, 0), (6, 0), (7, 0), (5, 1), (6, 1)\}.$$

सिद्धांत परिभाषा सेट करें
औपचारिक रूप से, चलो $$\left\{A_i : i \in I\right\}$$ द्वारा अनुक्रमित सेटों का एक परिवार बनें $$I.$$ इस परिवार का विघटित मिलन ही समुच्चय है $$\bigsqcup_{i \in I} A_i = \bigcup_{i \in I} \left\{(x, i) : x \in A_i\right\}.$$ असंयुक्त संघ के तत्वों को क्रमित जोड़े कहा जाता है $$(x, i).$$ यहाँ $$i$$ एक सहायक सूचकांक के रूप में कार्य करता है जो इंगित करता है कि कौन सा है $$A_i$$ तत्व $$x$$ से आया।

प्रत्येक सेट $$A_i$$ सेट के लिए विहित रूप से समरूपी है $$A_i^* = \left\{(x,i) : x \in A_i\right\}.$$ इस समरूपता के माध्यम से, कोई इस पर विचार कर सकता है $$A_i$$ विहित संघ में विहित रूप से अंतर्निहित है। के लिए $$i \neq j,$$ सेट $$A_i^*$$ और $$A_j^*$$ समुच्चय भले ही असंयुक्त हों $$A_i$$ और $$A_j$$ नहीं हैं।

चरम मामले में जहां प्रत्येक $$A_i$$ कुछ निश्चित समुच्चय के बराबर है $$A$$ प्रत्येक के लिए $$i \in I,$$ असंयुक्त संघ कार्तीय गुणनफल है $$A$$ और $$I$$: $$\bigsqcup_{i \in I} A_i = A \times I.$$ कभी-कभी, संकेतन $$\sum_{i \in I} A_i$$ समुच्चयों के एक परिवार के असंयुक्त संघ या संकेतन के लिए उपयोग किया जाता है $$A + B$$ दो सेटों के असंयुक्त मिलन के लिए. यह संकेतन इस तथ्य का सूचक है कि असंयुक्त संघ की प्रमुखता परिवार में शर्तों की प्रमुखताओं का योग है। इसकी तुलना सेटों के परिवार के कार्टेशियन उत्पाद के संकेतन से करें।

श्रेणी सिद्धांत की भाषा में, असंयुक्त संघ समुच्चयों की श्रेणी में सहउत्पाद है। इसलिए यह संबंधित सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करता है। इसका यह भी अर्थ है कि असंयुक्त संघ कार्टेशियन उत्पाद निर्माण का स्पष्ट द्वैत है। अधिक विवरण के लिए सह-उत्पाद देखें।

कई उद्देश्यों के लिए, सहायक सूचकांक की विशेष पसंद महत्वहीन है, और अंकन के सरलीकृत दुरुपयोग में, अनुक्रमित परिवार को केवल सेटों के संग्रह के रूप में माना जा सकता है। इस मामले में $$A_i^*$$ ए के रूप में जाना जाता है का $$A_i$$ और संकेतन $$\underset{A \in C}{\,\,\bigcup\nolimits^{*}\!} A$$ कभी-कभी प्रयोग किया जाता है।

श्रेणी सिद्धांत दृष्टिकोण
श्रेणी सिद्धांत में असंयुक्त संघ को सेट की श्रेणी में एक सहउत्पाद के रूप में परिभाषित किया गया है।

इस प्रकार, असंयुक्त संघ को एक समरूपता तक परिभाषित किया गया है, और उपरोक्त परिभाषा दूसरों के बीच सह-उत्पाद की सिर्फ एक प्राप्ति है। जब सेट जोड़ीदार रूप से असंयुक्त होते हैं, तो सामान्य मिलन सह-उत्पाद का एक और एहसास होता है। यह लीड में दूसरी परिभाषा को सही ठहराता है।

असंयुक्त संघ का यह स्पष्ट पहलू बताता है कि क्यों $$\coprod$$ के स्थान पर अक्सर प्रयोग किया जाता है $$\bigsqcup,$$ सहउत्पाद को निरूपित करने के लिए।