समूह परिवार

संभाव्यता सिद्धांत में, विशेष रूप से उस क्षेत्र का उपयोग आंकड़ों में किया जाता है, संभाव्यता वितरण का एक समूह परिवार एक परिवार है जो एक निश्चित वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर को परिवर्तनों के एक उपयुक्त परिवार जैसे स्थान-पैमाने परिवार, या अन्यथा एक परिवार के अधीन करके प्राप्त किया जाता है। संभाव्यता वितरण का समूह क्रिया (गणित) एक समूह द्वारा (गणित)। एक समूह परिवार के रूप में वितरण के एक विशेष परिवार पर विचार, सांख्यिकीय सिद्धांत में, एक सहायक सांख्यिकी की पहचान की ओर ले जा सकता है।

समूह परिवारों के प्रकार
एक निश्चित वितरण के साथ एक यादृच्छिक चर को कुछ उपयुक्त परिवर्तन (फ़ंक्शन) के अधीन करके एक समूह परिवार उत्पन्न किया जा सकता है। विभिन्न प्रकार के समूह परिवार इस प्रकार हैं:

स्थान परिवार
यह परिवार एक यादृच्छिक चर में एक स्थिरांक जोड़कर प्राप्त किया जाता है। होने देना $$X$$ एक यादृच्छिक चर हो और $$a \in R$$ स्थिर रहो. होने देना $Y = X + a$. तब $$F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(X+a \leq y) = P(X \leq y-a) = F_X(y-a) $$एक निश्चित वितरण के लिए, जैसे $$a $$ बदलता है $$-\infty $$ को $$\infty $$, जो वितरण हम प्राप्त करते हैं वह स्थान परिवार का निर्माण करते हैं।

स्केल परिवार
यह परिवार एक यादृच्छिक चर को एक स्थिरांक से गुणा करके प्राप्त किया जाता है। होने देना $$X$$ एक यादृच्छिक चर हो और $$c \in R^+$$ स्थिर रहो. होने देना $Y = cX$. तब$$F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(cX \leq y) = P(X \leq y/c) = F_X(y/c) $$

स्थान - स्केल परिवार
यह परिवार एक यादृच्छिक चर को एक स्थिरांक से गुणा करके और फिर उसमें कुछ अन्य स्थिरांक जोड़कर प्राप्त किया जाता है। होने देना $$X $$ एक यादृच्छिक चर बनें, $$a \in R$$ और $$c \in R^+$$स्थिर रहो. होने देना $$Y = cX + a $$. तब

$$F_Y(y) = P(Y\leq y) = P(cX+a \leq y) = P(X \leq (y-a)/c) = F_X((y-a)/c) $$ ध्यान दें कि यह महत्वपूर्ण है कि $a \in R $ और $$c \in R^+ $$ निम्नलिखित अनुभाग में उल्लिखित गुणों को संतुष्ट करने के लिए।

परिवर्तनों के गुण
यादृच्छिक चर पर लागू परिवर्तन (फ़ंक्शन) को निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करना होगा। * रचना के अंतर्गत समापन
 * व्युत्क्रमण के अंतर्गत बंद होना