परिचालन गणना

सामान्यतः परिचालन गणना, जिसे परिचालन विश्लेषण के रूप में भी जाना जाता है। यह ऐसी विधि होती है, जिसके द्वारा गणितीय विश्लेषण की समस्याएँ, विशेष रूप से अंतर समीकरणों में, बीजगणितीय समस्याओं में परिवर्तित कर दी जाती हैं। इस प्रकार सामान्यतः बहुपद समीकरण को हल करने की समस्या होती है।

इतिहास
परिचालन के रूप में गणना, विभेदन और एकीकरण की प्रक्रियाओं का प्रतिनिधित्व करने के विचार का लंबा इतिहास है, जो गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज तक जाता है। इस प्रकार गणितज्ञ लुइस फ़्राँस्वा एंटोनी अर्बोगैस्ट इन प्रतीकों को उस कार्य से स्वतंत्र रूप से हेरफेर करने वाले पहले लोगों में से थे, जिस पर उन्हें प्रयुक्त किया गया था।

इस दृष्टिकोण को फ्रेंकोइस-जोसेफ सर्वोइस द्वारा विकसित किया गया था, जिन्होंने सुविधाजनक अंकन विकसित किए थे। इस प्रकार सर्वोइस के पश्चात् ब्रिटिश और आयरिश गणितज्ञों का स्कूल आया था, जिसमें चार्ल्स जेम्स हारग्रेव, जॉर्ज बूले, बोनिन, कारमाइकल, डौकिन, ग्रेव्स, मर्फी, विलियम स्पोटिसवोडे और सिल्वेस्टर सम्मिलित होते थे।

सामान्यतः सन्न 1855 में रॉबर्ट बेल कारमाइकल द्वारा और सन्न 1859 में बोले द्वारा साधारण और आंशिक अंतर समीकरणों के लिए ऑपरेटर विधियों के अनुप्रयोग का वर्णन करने वाले ग्रंथ लिखे गए थे।

इस प्रकार टेलीग्राफी में अपने कार्य के सिलसिले में इस विधि को सन्न 1893 में भौतिक विज्ञानी ओलिवर हीविसाइड द्वारा पूर्ण प्रकार से विकसित किया गया था।
 * अपने परिपथ अध्ययन के पीछे अंतर्ज्ञान और भौतिकी पर उनके ज्ञान के धन से अधिक निर्देशित, [हेविसाइड] ने परिचालन गणना को विकसित किया था, जो अब उनके नाम पर है।

उस समय, हीविसाइड की विधिया कठोर नहीं थी और उनका कार्य गणितज्ञों द्वारा और विकसित नहीं किया गया था। इस प्रकार सन्न 1910 के पश्चात्, अर्न्स्ट जूलियस बर्ग, जॉन रेनशॉ कार्सन और वन्नेवर बुश के आवेग के अनुसार, परिचालन गणना ने सबसे पहले विद्युत अभियन्त्रण समस्याओं में अनुप्रयोगों की खोज की थी।

हीविसाइड के परिचालन विधियों का कठोर गणितीय औचित्य ब्रोमविच के कार्य के पश्चात् ही आया था। जो लाप्लास परिवर्तन की विधि के साथ संबंधित परिचालन गणना थी (विस्तृत विवरण के लिए जेफरीज़, कार्सलॉ या मैकलाचलन द्वारा पुस्तकें देखें)। अतः सन्न 1920 के दशक के मध्य में अभिन्न समीकरण विधि (कार्सन द्वारा किया गया) या फूरियर रूपांतरण (जैसा कि नॉर्बर्ट वीनर द्वारा किया गया) का उपयोग करके हीविसाइड के परिचालन की विधियों को सही ठहराने की अन्य विधि प्रस्तुत की गयी थी।

सन्न 1930 के दशक में पोलिश गणितज्ञ जान मिकुसिन्स्की द्वारा बीजगणितीय तर्क का उपयोग करते हुए परिचालन गणना के लिए भिन्न दृष्टिकोण विकसित किया गया था।

इस प्रकार नॉर्बर्ट वीनर ने सन्न 1926 में परिचालन गणना की अस्तित्वगत स्थिति की अपनी समीक्षा में ऑपरेटर सिद्धांत की नींव रखी थी।
 * हीविसाइड का शानदार कार्य विशुद्ध रूप से अनुमानी होता है। यहां तक ​​कि गणितीय कठोरता के ढोंग से भी रहित होता है। इसके संचालक विद्युत वोल्टेज और धाराओं पर प्रयुक्त होते हैं, जो बंद हो सकते हैं और निश्चित रूप से विश्लेषणात्मक होने की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए, पसंदीदा कॉर्पस विले जिस पर वह अपने ऑपरेटरों का प्रयास करता है। वह हैवीसाइड स्टेप फलन है जो मूल के बाईं ओर विलुप्त हो जाता है और दाईं ओर 1 होता है। इस प्रकार यह पिंचरले की विधियों के किसी भी प्रत्यक्ष अनुप्रयोग को बाहर करता है ...
 * यद्यपि हीविसाइड के विकास को ऑपरेटरों के विशुद्ध गणितीय सिद्धांत की वर्तमान स्थिति द्वारा उचित नहीं ठहराया गया है, किन्तु हम उनकी वैधता के प्रायोगिक साक्ष्य कह सकते हैं और वह विद्युत इंजीनियरों के लिए अधिक मूल्यवान होता हैं। चूंकि, यह ऐसी स्थिति होती हैं जहां वह अस्पष्ट या विरोधाभासी परिणाम देते हैं।

सिद्धांत
परिचालन गणना का प्रमुख तत्व समय व्युत्पन्न को संकारक (गणित) p =$d⁄dt$ के रूप में मानता ​​है और फलन (गणित) पर कार्य करता है। इस प्रकार फिर रेखीय अंतर समीकरणों को ज्ञात फलन के समान्तर अज्ञात फलन पर कार्यरत ऑपरेटर p का "फलन" $F(p)$ के रूप में फिर से तैयार किया जा सकता है। यहाँ, $F$ कुछ ऐसा परिभाषित कर रहा है, जो ऑपरेटर p लेता है और दूसरा ऑपरेटर $F(p)$ देता है। चूँकि $F$ के व्युत्क्रम संकारक को ज्ञात फलन पर कार्य करके समाधान प्राप्त किया जाता है। अतः संक्रियात्मक गणना सामान्यतः दो प्रतीकों, संचालिका p और हीविसाइड चरण फलन 1 द्वारा प्ररूपित किया जाता है। इसके प्रयोग में संकारक संभवतः भौतिक की तुलना में अधिक गणितीय होता है, जिससे कि इकाई कार्य गणितीय की तुलना में अधिक भौतिक होता है। इस प्रकार हीविसाइड गणना में ऑपरेटर p=$d⁄dt$ प्रारंभ में समय विभेदक का प्रतिनिधित्व करना होता है। इसके अतिरिक्त, यह वांछित होता है कि यह ऑपरेटर पारस्परिक संबंध रखता है जैसे कि p$&minus;1$ एकीकरण के संचालन को दर्शाता है।

विद्युत परिपथ सिद्धांत में, आवेग के लिए विद्युत परिपथ की प्रतिक्रिया निर्धारित करने का प्रयास किया जाता है। इस प्रकार रैखिकता के कारण, इकाई कदम पर विचार करना पर्याप्त होता है।
 * हेविसाइड कदम फलन: $H(t)$ जैसे कि H(t) = 0 यदि t < 0 और H(t) = 1 यदि t > 0

परिचालन गणना के अनुप्रयोग का सबसे सरल उदाहरण हल करना होता है। $p y = H(t)$ जो देता है,


 * $$y = \operatorname{p}^{-1} H = \int_0^t H(u) \, du = t\ H(t)$$.

इस उदाहरण से, कोई $$\operatorname{p}^{-1}$$ यह देखता है। इस प्रकार अभिन्न का प्रतिनिधित्व करता है। इसके अतिरिक्त $n$ पुनरावृत्त एकीकरण $$\operatorname{p}^{-n},$$ द्वारा दर्शाया गया है। जिससे कि
 * $$\operatorname{p}^{-n} H(t) = \frac{t^n}{n!} H(t).$$

सामान्यतः p का इलाज करना जारी रखा जाता है। जैसे कि यह चर होता था।
 * $$\frac{\operatorname{p}}{\operatorname{p}-a }H(t)=\frac{1}{1 - \frac{a}{\operatorname{p}}}\ H(t),$$ जिसे ज्यामितीय श्रृंखला विस्तार का उपयोग करके पुनः लिखा जा सकता है।

$$\frac{1}{1-\frac{a}{\operatorname{p}}}H(t)=\sum_{n=0}^\infty a^n \operatorname{p}^{-n} H(t)=\sum_{n=0}^\infty \frac{a^n t^n}{n!} H(t)=e^{at} H(t).$$ इस प्रकार आंशिक अंश अपघटन का उपयोग करके ऑपरेटर p में किसी भी अंश को परिभाषित किया जा सकता है और इसकी क्रिया $H(t)$ की गणना की जा सकती है। इसके अतिरिक्त, यदि फलन 1/F(p) के रूप का श्रृंखला विस्तार होता है।
 * $$\frac{1}{\ F(\operatorname{p})\ }= \sum_{n=0}^\infty a_n \operatorname{p}^{-n},$$

इसे खोजना सरल होता है।


 * $$\frac{1}{ F(\operatorname{p})} H(t) = \sum_{n=0}^\infty a_n \frac{t^n}{n!} H(t). $$

इस नियम को प्रयुक्त करते हुए किसी भी रेखीय अवकल समीकरण को हल करना विशुद्ध रूप से बीजगणितीय समस्या में परिवर्तित किया जाता है।

हीविसाइड आगे चला गया और p की भिन्नात्मक शक्ति को परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार परिचालन गणना और भिन्नात्मक गणना के मध्य संबंध स्थापित किया जाता है। सामान्यतः टेलर विस्तार का उपयोग करके लैग्रेंज-बूले अनुवाद सूत्र, $e^{a p} f(t) = f(t + a)$ शिफ्ट ऑपरेटर को भी सत्यापित किया जा सकता है, अतः परिचालन परिमित अंतर समीकरणों और विलंबित संकेतों के साथ विद्युत इंजीनियरिंग समस्याओं पर भी प्रयुक्त होता है।

संदर्भ

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 * O. Heaviside (1892) Electrical Papers, London
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 * O. Heaviside (1893) Proc. Roy. Soc. (London) 52: 504-529, 54: 105-143 (1894)
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 * James B. Calvert (2002) Heaviside, Laplace, and the Inversion Integral, from University of Denver.
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बाहरी संबंध

 * IV Lindell HEAVISIDE OPERATIONAL RULES APPLICABLE TO ELECTROMAGNETIC PROBLEMS
 * Ron Doerfler Heaviside's Calculus
 * Jack Crenshaw essay showing use of operators More On the Rosetta Stone