साधारण अवकल समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधियाँ

संख्यात्मक एकीकरण चित्रण, चरण विभेदक समीकरण के लिए संख्यात्मक एकीकरण का चित्रण $$y'=y, y(0)=1.$$ {{legend|#0000F0|नीला: यूलर विधि}} {{legend|#00D000|हरा: मध्यबिंदु विधि}} {{legend|#F00000|लाल: स्पष्ट समाधान: $y=e^t$.}} चरण का आकार है $h=1.0$.

संख्यात्मक एकीकरण चित्रण चरण के लिए वही चित्रण $$h=0.25.$$ मध्यबिंदु विधि, यूलर विधि $$h \to 0$$ की तुलना में तीव्र से अभिसरण करती है.

इस प्रकार से साधारण अंतर समीकरण के लिए संख्यात्मक विधियाँ साधारण अंतर समीकरणों (ओडीई) के समाधानों के लिए संख्यात्मक विश्लेषण सन्निकटन खोजने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियाँ होती हैं। इसके उपयोग को संख्यात्मक एकीकरण के रूप में भी जाना जाता है, चूंकि यह शब्द अभिन्न की गणना को भी संदर्भित कर सकता है।

चून्ली कई अवकल समीकरणों को स्पष्ट रूप से हल नहीं किया जा सकता है। चूंकि, व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए - जैसे कि इंजीनियरिंग में - समाधान के लिए संख्यात्मक अनुमान सदैव पर्याप्त होता है। इस प्रकार से अध्ययन किए गए कलन विधि का उपयोग ऐसे सन्निकटन की गणना करने के लिए किया जा सकता है। और समाधान का श्रृंखलाबद्ध विस्तार प्राप्त करने के लिए कैलकुलस की विधियों का उपयोग करना वैकल्पिक विधि होती है।

इस प्रकार से सामान्य अंतर समीकरण भौतिकी, रसायन विज्ञान, जीव विज्ञान और अर्थशास्त्र सहित कई वैज्ञानिक विषयों में होते हैं। इसके अतिरिक्त, संख्यात्मक आंशिक अंतर समीकरण में कुछ विधियाँ आंशिक अंतर समीकरण को साधारण अंतर समीकरण में परिवर्तन कर देती हैं, जिसे तब हल किया जाना चाहिए।

समस्या
इस प्रकार से प्रथम-क्रम विभेदक समीकरण प्रपत्र की प्रारंभिक मूल्य समस्या (आईवीपी ) है,

जहाँ $$f$$ फलन $$f:[t_0, \infty) \times \R^d \to \R^d$$ है, और प्रारंभिक स्थिति $$y_0 \in \R^d $$ दिया गया वेक्टर है. प्रथम-क्रम का अर्थ है कि समीकरण में केवल y का पहला व्युत्पन्न दिखाई देता है, और उच्च व्युत्पन्न अनुपस्थित हैं।

अतः उच्च-क्रम प्रणालियों की व्यापकता के हानि के बिना, हम स्वयं को प्रथम-क्रम अंतर समीकरणों तक ही सीमित रखते हैं, क्योंकि उच्च-क्रम ओडीई को अतिरिक्त वरिएबल उपस्तिथ करके प्रथम-क्रम समीकरणों की उच्च प्रणाली में परिवर्तित किया जा सकता है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, दूसरे क्रम का समीकरण y ′′ = −y को दो प्रथम-क्रम समीकरणों के रूप में पुनः से लिखा जा सकता है: y ′ = z और z′ = −y.

इस खंड में, हम आईवीपी के लिए संख्यात्मक विधियों का वर्णन करते हैं, और टिप्पणी करते हैं कि सीमा मूल्य समस्याओं (बीवीपी) के लिए उपकरणों के अलग समुच्चय की आवश्यकता होती है। और बीवीपी में, कोई से अधिक बिंदुओं पर मानों या समाधान y के घटकों को परिभाषित करता है। इस वजह से, बीवीपी को हल करने के लिए विभिन्न विधियों का उपयोग करने की आवश्यकता है। उदाहरण के लिए, शूटिंग विधि (और इसके प्रकार) या वैश्विक विधियाँ जैसे परिमित अंतर, गैलेरकिन विधियाँ, या सहसंयोजन विधियाँ समस्याओं के उस वर्ग के लिए उपयुक्त किया जाता हैं।

अतः पिकार्ड-लिंडेलोफ प्रमेय में कहा गया है कि अद्वितीय समाधान है, जिससे कि f लिप्सचिट्ज़ निरंतरता है। लिप्सचिट्ज़-निरंतर।

विधि
प्रथम-क्रम आईवीपी को हल करने के लिए संख्यात्मक विधि सदैव दो उच्च श्रेणियों में से में आते हैं: रैखिक मल्टीस्टेप विधियाँ, या रनगे-कुट्टा विधियाँ। विधियों को स्पष्ट और अंतर्निहित विधियों में विभाजित करके और विभाजन का एहसास किया जा सकता है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, अंतर्निहित रैखिक मल्टीस्टेप विधियों में रैखिक मल्टीस्टेप विधि या एडम्स-मौलटन विधियाँ एडम्स-मौलटन विधियाँ, और बैकवर्ड विभेदन सूत्र (बीडीएफ) सम्मिलित होते हैं, जबकि अंतर्निहित रनगे-कुट्टा विधियाँ विकर्ण रूप से अंतर्निहित रनगे-कुट्टा (डीआईआरके) सम्मिलित करें, अकेले तिरछे अंतर्निहित रंज-कुट्टा (एसडीआईआरके), और गॉस-राडौ (गॉसियन चतुर्भुज पर आधारित) होते है और संख्यात्मक विधि । लीनियर मल्टीस्टेप विधि के स्पष्ट उदाहरणों में एडम्स-बैशफोर्थ विधियां सम्मिलित होते हैं, और कम विकर्ण कसाई झांकी के साथ कोई भी रनगे-कुट्टा विधि स्पष्ट रनगे-कुट्टा विधियां हैं। अंगूठे का ढीला नियम यह निर्देश देता है कि कठोर समीकरण अंतर समीकरणों के लिए अंतर्निहित योजनाओं के उपयोग की आवश्यकता होती है, जबकि गैर-कठोर समस्याओं को स्पष्ट योजनाओं के साथ अधिक कुशलता से हल किया जा सकता है।

अतः तथाकथित सामान्य रैखिक विधियाँ (जीएलएम) विधियों के उपरोक्त दो उच्च वर्गों का सामान्यीकरण हैं।

यूलर विधि
इस प्रकार से वक्र के किसी भी बिंदु से, आप वक्र की स्पर्शरेखा रेखा के अनुदिश थोड़ी दूरी तय करके वक्र पर किसी नजदीकी बिंदु का अनुमान पा सकते हैं।

विभेदक समीकरण ($$) से प्रारंभ करते हुए, हम व्युत्पन्न y′ को परिमित अंतर सन्निकटन से प्रतिस्थापित करते हैं

जिसे पुनः व्यवस्थित करने पर निम्नलिखित सूत्र प्राप्त होता है
 * $$ y(t+h) \approx y(t) + hy'(t) $$

और ($$) का उपयोग करते हुए देता है:

यह फार्मूला सामान्यतः निम्नलिखित विधि से प्रयुक्त किया जाता है। हम चरण आकार h चुनते हैं, और हम अनुक्रम का निर्माण करते हैं $$t_0, t_1 = t_0 + h, t_2 = t_0 + 2h,...$$ हम $$y_n$$ द्वारा निरूपित करते हैं ($$), स्पष्ट समाधान $$y(t_n)$$ का संख्यात्मक अनुमान. द्वारा प्रेरित हम इन अनुमानों की गणना निम्नलिखित प्रत्यावर्तन योजना द्वारा करते हैं

यह यूलर विधि है (या फॉरवर्ड यूलर विधि, बैकवर्ड यूलर विधि के विपरीत, जिसका वर्णन नीचे किया जाएगा)। इस विधि का नाम लियोनहार्ड यूलर के नाम पर रखा गया है जिन्होंने 1768 में इसका वर्णन किया था।

इस प्रकार से यूलर विधि स्पष्ट और अंतर्निहित विधि विधि का उदाहरण है। इसका मतलब है कि नया मान yn+1 उन चीज़ों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है जो प्रथम से ही ज्ञात हैं, जैसे yn.

बैकवर्ड यूलर विधि
यदि, के अतिरिक्त ($$), हम सन्निकटन का उपयोग करते हैं

हमें पश्चगामी यूलर विधि प्राप्त होती है:

बैकवर्ड यूलर विधि स्पष्ट और अंतर्निहित विधि विधि है, जिसका अर्थ है कि हमें yn+1 खोजने के लिए समीकरण को हल करना होगा. इसे प्राप्त करने के लिए व्यक्ति सदैव निश्चित-बिंदु पुनरावृत्ति या (कुछ संशोधन) न्यूटन की विधि | न्यूटन-रेफसन विधि का उपयोग करता है।

इस समीकरण को हल करने में स्पष्ट विधियों की तुलना में अधिक समय लगता है; जब कोई उपयोग करने की विधि का चयन करता है तो इस निवेश को ध्यान में रखा जाना चाहिए।($$) अंतर्निहित विधियों का लाभ जैसे यह है कि वे सामान्यतः कठोर समीकरण को हल करने के लिए अधिक स्थिर होते हैं, जिसका अर्थ है कि उच्च चरण आकार h का उपयोग किया जा सकता है।

प्रथम-क्रम घातीय समाकलक विधि
एक्सपोनेंशियल इंटीग्रेटर्स इंटीग्रेटर्स के उच्च वर्ग का वर्णन करते हैं जिन्होंने वर्तमान समय में अधिक अधिक विकास देखा है। वे कम से कम 1960 के दशक के होते हैं।

($$) की जगह, हम मानते हैं कि अंतर समीकरण किसी भी रूप में है

या इसे रेखीय शब्द बनाने के लिए पृष्ठभूमि स्थिति के अतिरिक्त में स्थानीय रूप से रेखीयकृत किया गया है $$-Ay$$ और अरेखीय शब्द $$\mathcal{N}(y)$$.

एक्सपोनेंशियल इंटीग्रेटर्स का निर्माण $e^{A t}$ द्वारा ($$), को गुणा करके और एक समय अंतराल $$[t_n, t_{n+1} = t_n + h]$$ पर परिणाम को सही एकीकृत करके किया जाता है:
 * $$ y_{n+1} = e^{-A h } y_n + \int_{0}^{h} e^{ -(h-\tau) A } \mathcal{N}\left( y\left( t_n+\tau \right) \right)\, d\tau. $$

यह अभिन्न समीकरण स्पष्ट है, किन्तु यह अभिन्न को परिभाषित नहीं करता है।

प्रथम-क्रम घातीय इंटीग्रेटर को पूर्ण अंतराल $$\mathcal{N}( y( t_n+\tau ) )$$ पर स्थिरांक रखकर महसूस किया जा सकता है:

सामान्यीकरण
इस प्रकार से यूलर विधि सदैव पर्याप्त स्पष्ट नहीं होती है। अधिक स्पष्ट शब्दों में, इसमें केवल ऑर्डर है (ऑर्डर की अवधारणा नीचे बताई गई है)। इससे गणितज्ञों को उच्च-क्रम के विधियों की खोज करनी पड़ी।

एक संभावना यह है कि yn+1 न केवल प्रथम से गणना किए गए मान yn का उपयोग किया जाए निर्धारित करने के लिए, किन्तु समाधान को अधिक पुराने मूल्यों पर निर्भर करना। इससे तथाकथित मल्टीस्टेप विधि प्राप्त होती है। शायद सबसे सरल लीपफ्रॉग विधि है जो दूसरे क्रम की है और (मोटे तौर पर कहें तो) दो समय मूल्यों पर निर्भर करती है।

लगभग सभी व्यावहारिक मल्टीस्टेप विधियाँ रैखिक मल्टीस्टेप विधियों के परिवार में आती हैं, जिनका स्वरूप होता है $$\begin{align} &{} \alpha_k y_{n+k} + \alpha_{k-1} y_{n+k-1} + \cdots + \alpha_0 y_n \\ &{} \quad = h \left[ \beta_k f(t_{n+k},y_{n+k}) + \beta_{k-1} f(t_{n+k-1},y_{n+k-1}) + \cdots + \beta_0 f(t_n,y_n) \right]. \end{align}$$ एक अन्य संभावना अंतराल $$[t_n,t_{n+1}]$$ में अधिक बिंदुओं का उपयोग करना है. यह रूंज-कुट्टा पद्धतियों के परिवार की ओर ले जाता है, जिसका नाम कार्ल डेविड टॉल्मे रूंज और मार्टिन कुट्टा के नाम पर रखा गया है। उनकी चौथे क्रम की विधियों में से विशेष रूप से लोकप्रिय माना गया है।

उन्नत सुविधाएँ
ओडीई को हल करने के लिए इन विधियों में से किसी के अच्छे कार्यान्वयन में समय-चरण सूत्र से कहीं अधिक की आवश्यकता होती है।

किन्तु प्रत्येक समय ही चरण आकार का उपयोग करना सदैव अक्षम होता है, इसलिए परिवर्तनशील चरण-आकार के विधि विकसित किए गए हैं। सामान्यतः, चरण का आकार इस प्रकार चुना जाता है कि प्रति चरण (स्थानीय) त्रुटि कुछ सहनशीलता स्तर से नीचे हो। इसका मतलब यह है कि विधियों को त्रुटि संकेतक, स्थानीय त्रुटि का अनुमान भी गणना करना चाहिए।

इस विचार का विस्तार विभिन्न आदेशों के विभिन्न विधियों के मध्य गतिशील रूप से चयन करना है (इसे परिवर्तनीय क्रम विधि कहा जाता है)। रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन पर आधारित विधियाँ, जैसे कि बुलिर्श-स्टोएर एल्गोरिथम, सदैव विभिन्न ऑर्डरों की विभिन्न विधियों के निर्माण के लिए उपयोग किया जाता है।

अन्य वांछनीय विशेषताओं में सम्मिलित हैं:
 * सघन आउटपुट: संपूर्ण एकीकरण अंतराल के लिए सस्ते संख्यात्मक सन्निकटन, न कि केवल बिंदु टी पर t0, t1, t2, ...पर।
 * घटना स्थान: उस समय का पता लगाना जहां, मान लीजिए, कोई विशेष फलन गायब हो जाता है। इसके लिए सामान्यतः जड़-खोज एल्गोरिदम के उपयोग की आवश्यकता होती है।
 * समानांतर कंप्यूटिंग के लिए समर्थन।
 * जब समय, समय प्रतिवर्तीता के संबंध में एकीकरण के लिए उपयोग किया जाता है

वैकल्पिक विधियाँ
इस प्रकार से कई विधियाँ यहाँ चर्चा की गई रूपरेखा के अंतर्गत नहीं आती हैं। वैकल्पिक विधियों के कुछ वर्ग हैं: इस प्रकार से परिमाणित राज्य प्रणाली विधियाँ, स्टेट क्वांटाइजेशन के विचार पर आधारित ओडीई एकीकरण विधियों का परिवार है। वे बार-बार होने वाली रुकावटों वाली विरल प्रणालियों का अनुकरण करते समय कुशल होते हैं।
 * बहुव्युत्पन्न विधियाँ, जो न केवल फलन f का उपयोग करती हैं किन्तु इसके डेरिवेटिव का भी उपयोग करती हैं। इस वर्ग में हरमाइट-ओब्रेशकॉफ़ विधियाँ और रनगे-कुट्टा-फ़ेहलबर्ग विधि, साथ ही पार्कर-सोचाकी विधि जैसी विधियाँ सम्मिलित की गयी हैं। या बाइचकोव-शेर्बकोव विधि, जो समाधान y की टेलर श्रृंखला के गुणांकों की पुनरावर्ती गणना करती है।
 * दूसरे क्रम वाले ओडीई के लिए विधि ।इस प्रकार से प्रस्तुत कि गयी सभी उच्च-क्रम वाले ओडीई को फॉर्म (1) के प्रथम-क्रम वाले ओडीई में परिवर्तन जा सकता है। चूंकि यह निश्चित रूप से सच है, यह आगे बढ़ने का सबसे सही विधि नहीं हो सकता है। विशेष रूप से, निस्ट्रॉम विधियाँ दूसरे क्रम के समीकरणों के साथ सीधे काम करती हैं।
 * ज्यामितीय समाकलक विशेष रूप से ओडीई के विशेष वर्गों के लिए डिज़ाइन किए गए हैं (उदाहरण के लिए, हैमिल्टनियन यांत्रिकी के समाधान के लिए सिंपलेक्टिक इंटीग्रेटर)। वे इस संवाद का ध्यान रखते हैं कि संख्यात्मक समाधान इन वर्गों की अंतर्निहित संरचना या ज्यामिति का सम्मान करता है।

समय-समय पर समानांतर विधियाँ
इस प्रकार से उन अनुप्रयोगों के लिए जिन्हें सुपर कंप्यूटर पर समानांतर कंप्यूटिंग की आवश्यकता होती है, संख्यात्मक विधि द्वारा प्रदान की जाने वाली समवर्तीता की डिग्री प्रासंगिक हो जाती है।

एक्सास्केल कंप्यूटिंग सिस्टम की चुनौतियों को देखते हुए, प्रारंभिक मूल्य समस्याओं के लिए संख्यात्मक विधियों का अध्ययन किया जा रहा है जो अस्थायी दिशा में समवर्तीता प्रदान कर सकते हैं।

किन्तु पैरारियल इस प्रकार के समानांतर-समय एकीकरण पद्धति का अपेक्षाकृत प्रसिद्ध उदाहरण है, किन्तु प्रारंभिक विचार 1960 के दशक में वापस चले गए थे ।

इस प्रकार से एक्सास्केल कंप्यूटिंग के आगमन में, समय-समानांतर एकीकरण विधियों पर पुनः से ध्यान बढ़ गया है। एक्सपोनेंशियल इंटीग्रेटर्स के लिए एल्गोरिदम लाभ उठा सकते हैं, उदाहरण के लिए, मानकीकृत बैचेड बीएलएएस फलन जो समानांतर इंटीग्रेटर्स के आसान और कुशल कार्यान्वयन की अनुमति देते हैं।

विश्लेषण
संख्यात्मक विश्लेषण न केवल संख्यात्मक विधियों का डिज़ाइन है, किन्तु उनका विश्लेषण भी है। इस विश्लेषण में तीन केंद्रीय अवधारणाएँ प्राप्त की गयी हैं:
 * अभिसरण: क्या विधि समाधान का अनुमान लगाती है,
 * क्रम: यह समाधान का कितना सही अनुमान लगाता है, और
 * संख्यात्मक स्थिरता: क्या त्रुटियां दूर हो गई हैं।

अभिसरण
एक संख्यात्मक विधि को अभिसरण कहा जाता है यदि संख्यात्मक समाधान स्पष्ट समाधान तक पहुंचता है क्योंकि चरण आकार h 0 पर जाता है। अधिक स्पष्ट रूप से, हमें लिप्सचिट्ज़ निरंतर फलन f और प्रत्येक t* > 0, के साथ प्रत्येक ओडीई (1) के लिए इसकी आवश्यकता होती है।


 * $$ \lim_{h\to0^+} \max_{n=0,1,\dots,\lfloor t^*/h\rfloor} \left\| y_{n,h} - y(t_n) \right\| = 0. $$

ऊपर उल्लिखित सभी विधियाँ अभिसरण हैं।

संगति और क्रम
मान लीजिए संख्यात्मक विधि है


 * $$ y_{n+k} = \Psi(t_{n+k}; y_n, y_{n+1}, \dots, y_{n+k-1}; h). \, $$

विधि की स्थानीय (ट्रंकेशन) त्रुटि विधि के चरण द्वारा की गई त्रुटि है। अर्थात्, यह विधि द्वारा दिए गए परिणाम, यह मानते हुए कि प्रथम के चरणों में कोई त्रुटि नहीं हुई थी, और स्पष्ट समाधान के मध्य का अंतर है:


 * $$ \delta^h_{n+k} = \Psi \left( t_{n+k}; y(t_n), y(t_{n+1}), \dots, y(t_{n+k-1}); h \right) - y(t_{n+k}). $$

विधि को सुसंगत कहा जाता है यदि
 * $$ \lim_{h\to 0} \frac{\delta^h_{n+k}}{h} = 0. $$

यदि $$p$$ विधि में क्रम है
 * $$ \delta^h_{n+k} = O(h^{p+1}) \quad\mbox{as } h\to0. $$

इसलिए विधि सुसंगत है यदि इसका क्रम 0 से अधिक है। ऊपर प्रस्तुत (फॉरवर्ड) यूलर विधि (4) और बैकवर्ड यूलर विधि (6) दोनों का क्रम 1 है, इसलिए वे सुसंगत हैं। व्यवहार में उपयोग की जा रही अधिकांश विधियाँ उच्च क्रम प्राप्त करती हैं। अभिसरण के लिए संगति आवश्यक नियम है, किन्तु पर्याप्त नहीं; किसी विधि के अभिसरण होने के लिए, यह सुसंगत और शून्य-स्थिर दोनों होना चाहिए।

इस प्रकार से संबंधित अवधारणा वैश्विक (ट्रंकेशन) त्रुटि है, निश्चित समय $$t$$ तक पहुंचने के लिए आवश्यक सभी चरणों में होने वाली त्रुटि. स्पष्ट रूप से, समय $$t$$ पर वैश्विक त्रुटि $$y_N - y(t)$$ है जहाँ $$N = (t - t_0)/h$$. ए की वैश्विक त्रुटि $$p$$th आदेश एक-चरणीय विधि है $$O(h^p)$$; विशेष रूप से, ऐसी विधि अभिसारी है। बहु-चरणीय विधियों के लिए यह कथन आवश्यक रूप से सत्य नहीं है।

स्थिरता और कठोरता
इस प्रकार से कुछ विभेदक समीकरणों के लिए, मानक विधियों का अनुप्रयोग - जैसे कि यूलर विधि, स्पष्ट रनगे-कुट्टा विधियाँ, या मल्टीस्टेप विधियाँ (उदाहरण के लिए, एडम्स-बैशफोर्थ विधियाँ) - समाधान में अस्थिरता प्रदर्शित करती हैं, चूंकि अन्य विधियाँ स्थिर समाधान उत्पन्न कर सकती हैं। समीकरण में यह कठिन व्यवहार (जो जरूरी नहीं कि स्वयं जटिल हो) को कठोरता के रूप में वर्णित किया गया है, और सदैव अंतर्निहित समस्या में अलग-अलग समय के माप की उपस्थिति के कारण होता है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, प्रभाव दोलक जैसी यांत्रिक प्रणाली में टकराव सामान्यतः वस्तुओं की गति के समय की तुलना में अधिक छोटे समय के माप पर होता है; यह विसंगति राज्य मापदंडों के वक्रों में अधिक  तीव्र मोड़  लाती है।

किन्तु रासायनिक गतिकी, नियंत्रण सिद्धांत, ठोस यांत्रिकी, मौसम पूर्वानुमान, जीव विज्ञान, प्लाज्मा भौतिकी और इलेक्ट्रानिक्स में कठिन समस्याएं सर्वव्यापी हैं। कठोरता को दूर करने का विधि अंतर समीकरण की धारणा को अंतर समावेशन तक विस्तारित करना है, जो गैर-चिकनीपन की अनुमति देता है और मॉडल करता है।

इतिहास
नीचे इस क्षेत्र में कुछ महत्वपूर्ण विकासों का कालक्रम दिया गया है।
 * 1768 - लियोनहार्ड यूलर ने अपनी पद्धति प्रकाशित की।
 * 1824 - ऑगस्टिन लुई कॉची ने यूलर पद्धति का अभिसरण सिद्ध किया। इस प्रमाण में, कॉची अंतर्निहित यूलर विधि का उपयोग करता है।
 * 1855 - फ्रांसिस बैशफोर्थ द्वारा लिखे गए पत्र में जॉन काउच एडम्स की मल्टीस्टेप विधियों का प्रथम उल्लेख किया गया।
 * 1895 - कार्ल डेविड टॉल्मे रंज ने पहली रंज-कुट्टा विधि प्रकाशित कीया ।
 * 1901 - मार्टिन कुट्टा ने लोकप्रिय चौथे क्रम के रनगे-कुट्टा विधि का वर्णन किया।
 * 1910 - लुईस फ्राई रिचर्डसन ने अपनी एक्सट्रपलेशन विधि, रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन की घोषणा की थी ।
 * 1952 - चार्ल्स एफ. कर्टिस और जोसेफ ओकलैंड हिर्शफेल्डर ने कठोर समीकरण शब्द प्राप्त किये गये ।
 * 1963 - जर्मुंड डहलक्विस्ट ने एकीकरण विधियों के कठोर समीकरणया ए-स्थिरता ए-स्थिरता का परिचय दिया।

दूसरे क्रम की एक-आयामी सीमा मान समस्याओं का संख्यात्मक समाधान
इस प्रकार से सीमा मूल्य समस्याएं (बीवीपी) सामान्यतः मूल बीवीपी को अलग करके प्राप्त लगभग समतुल्य मैट्रिक्स समस्या को हल करके संख्यात्मक रूप से हल की जाती हैं। बीवीपी को आयाम में संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली विधि को परिमित अंतर विधि कहा जाता है। यह विधि परिमित अंतर गुणांक बनाने के लिए बिंदु मानों के रैखिक संयोजनों का लाभ उठाती है जोकी फलन के डेरिवेटिव का वर्णन करती है। उदाहरण के लिए, प्रथम व्युत्पन्न के लिए दूसरे क्रम का केंद्रीय अंतर सन्निकटन इस प्रकार दिया गया है:


 * $$ \frac{u_{i+1}-u_{i-1}}{2h} = u'(x_i) + \mathcal{O}(h^2), $$

और दूसरे व्युत्पन्न के लिए दूसरे क्रम का केंद्रीय अंतर इस प्रकार दिया गया है:


 * $$ \frac{u_{i+1}- 2 u_i + u_{i-1}}{h^2} = u''(x_i) + \mathcal{O}(h^2). $$

इन दोनों सूत्रों में, $$ h=x_i-x_{i-1}$$ विखंडित डोमेन पर निकतम x मानों के मध्य की दूरी है। पुनः रैखिक प्रणाली का निर्माण किया जाता है जिसे मानक संख्यात्मक रैखिक बीजगणित द्वारा हल किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हल किया जाने वाला समीकरण है:


 * $$\begin{align}

&{} \frac{d^2 u}{dx^2} -u =0,\\ &{} u(0)=0, \\ &{} u(1)=1. \end{align}$$ इस प्रकार से समस्या को अलग करना और रैखिक व्युत्पन्न सन्निकटन जैसे का उपयोग करना होगा


 * $$ u''_i =\frac{u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^2} $$

और रैखिक समीकरणों की परिणामी प्रणाली को हल करें। इससे ऐसे समीकरण बनेंगे:


 * $$ \frac{u_{i+1}-2u_{i}+u_{i-1}}{h^2}-u_i = 0, \quad \forall i={1,2,3,...,n-1}.$$

प्रथम समय देखने पर, समीकरणों की इस प्रणाली में इस तथ्य से जुड़ी कठिनाई प्रतीत होती है कि समीकरण में ऐसे कोई पद सम्मिलित नहीं किये जाते हैं जिन्हें वरिएबल से गुणा नहीं किया जाता है, किन्तु वास्तव में यह गलत है। i = 1 और n - 1 पर पद है जिसमें सीमा मान $$u(0)=u_0 $$ सम्मिलित है और $$ u(1)=u_n $$ और चूंकि ये दो मान ज्ञात हैं, कोई भी उन्हें सरलता से इस समीकरण में प्रतिस्थापित कर सकता है और परिणामस्वरूप समीकरणों की गैर-सजातीय रैखिक प्रणाली हो सकती है जिसमें गैर-तुच्छ समाधान होते हैं।

यह भी देखें

 * कूरेंट-फ्रेडरिक-लेवी स्थिति
 * ऊर्जा बहाव
 * सामान्य रैखिक विधियाँ
 * संख्यात्मक विश्लेषण विषयों की सूची या सामान्य अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक विधि
 * प्रतिवर्ती संदर्भ प्रणाली प्रसार एल्गोरिथ्म
 * मोडीएलिका   भाषा और ओपनमोडेलिका सॉफ्टवेयर

संदर्भ

 * J. C. Butcher, Numerical methods for ordinary differential equations, ISBN 0-471-96758-0
 * Ernst Hairer, Syvert Paul Nørsett and Gerhard Wanner, Solving ordinary differential equations I: Nonstiff problems, second edition, Springer Verlag, Berlin, 1993. ISBN 3-540-56670-8.
 * Ernst Hairer and Gerhard Wanner, Solving ordinary differential equations II: Stiff and differential-algebraic problems, second edition, Springer Verlag, Berlin, 1996. ISBN 3-540-60452-9. (This two-volume monograph systematically covers all aspects of the field.)
 * Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-55376-8 (hardback), ISBN 0-521-55655-4 (paperback). (Textbook, targeting advanced undergraduate and postgraduate students in mathematics, which also discusses numerical partial differential equations.)
 * John Denholm Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, John Wiley & Sons, Chichester, 1991. ISBN 0-471-92990-5. (Textbook, slightly more demanding than the book by Iserles.)
 * Arieh Iserles, A First Course in the Numerical Analysis of Differential Equations, Cambridge University Press, 1996. ISBN 0-521-55376-8 (hardback), ISBN 0-521-55655-4 (paperback). (Textbook, targeting advanced undergraduate and postgraduate students in mathematics, which also discusses numerical partial differential equations.)
 * John Denholm Lambert, Numerical Methods for Ordinary Differential Systems, John Wiley & Sons, Chichester, 1991. ISBN 0-471-92990-5. (Textbook, slightly more demanding than the book by Iserles.)

बाहरी संबंध

 * Joseph W. Rudmin, Application of the Parker–Sochacki Method to Celestial Mechanics, 1998.
 * Dominique Tournès, L'intégration approchée des équations différentielles ordinaires (1671-1914), thèse de doctorat de l'université Paris 7 - Denis Diderot, juin 1996. Réimp. Villeneuve d'Ascq : Presses universitaires du Septentrion, 1997, 468 p. (Extensive online material on ओडीई numerical analysis history, for English-language material on the history of ओडीई numerical analysis, see, for example, the paper books by Chabert and Goldstine quoted by him.)
 * (C++ library with rigorous ओडीई solvers)
 * INTLAB (A library made by MATLAB/GNU Octave which includes rigorous ओडीई solvers)
 * INTLAB (A library made by MATLAB/GNU Octave which includes rigorous ओडीई solvers)