फजी लॉजिक

फजी (अस्पष्ट) लॉजिक को हम अस्पष्ट तर्क भी कह सकते है जो अनेक-मूल्यवान तर्क का रूप होती है। जिसमें चर का सत्य मान 0 और 1 के मध्य कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। चूँकि इसे आंशिक सत्य की अवधारणा को संभालने के लिए नियोजित किया जाता है, जहाँ सत्य मान पूर्ण प्रकार से सत्य और पूर्ण प्रकार से गलत के मध्य हो सकता है। इसके विपरीत, बूलियन बीजगणित में, चर के सत्य मान सिर्फ पूर्णांक मान 0 या 1 हो सकते हैं।

समान्यतः फज़ी लॉजिक (अस्पष्ट तर्क) शब्द की शुरुआत सन् 1965 में ईरानी अज़रबैजानी गणितज्ञ लोत्फ़ी ए. ज़ादेह द्वारा फजी (अस्पष्ट) सेट सिद्धांत के प्रस्ताव के साथ की गई थी। चूंकि फजी (अस्पष्ट) लॉजिक (अस्पष्ट तर्क) का अध्ययन सन् 1920 के दशक से किया गया था, जैसा कि लुकासिविक्ज़ लॉजिक अनंत-मूल्यवान लॉजिक—मुख्य रूप से जान लुकासिविज़, लुकासिविक्ज़ और अल्फ्रेड टार्स्की द्वारा स्पष्ट किया गया है।

फजी (अस्पष्ट) लॉजिक (अस्पष्ट तर्क) इस अवलोकन पर आधारित है कि लोग त्रुटिहीन और गैर-संख्यात्मक जानकारी के आधार पर निर्णय लेते हैं। चूँकि फजी (अस्पष्ट) प्रतिरूप या सेट अस्पष्टता और त्रुटिहीन जानकारी का प्रतिनिधित्व करने के गणितीय साधन हैं अतः फजी (अस्पष्ट) शब्द इन प्रतिरूपों में आकड़े और सूचना को पहचानने, प्रतिनिधित्व करने, युक्ति करने, व्याख्या करने और उपयोग करने की क्षमता को दर्शाती है जो मुख्यतः अस्पष्ट होती हैं और निश्चितता की कमी होती है। 

नियंत्रण सिद्धांत से लेकर कृत्रिम बुद्धिमत्ता तक, कई क्षेत्रों में फ़ज़ी लॉजिक लागू किया गया है।

सिंहावलोकन
शास्त्रीय तर्क केवल उन निष्कर्षों की अनुमति देता है जो सत्य या असत्य हैं। हालाँकि, चर उत्तरों के साथ प्रस्ताव भी हैं, जैसे कि लोगों के एक समूह को एक रंग की पहचान करने के लिए कहने पर मिल सकता है। ऐसे उदाहरणों में, सत्य अयथार्थ या आंशिक ज्ञान से तर्क के परिणाम के रूप में प्रकट होता है जिसमें नमूना उत्तरों को स्पेक्ट्रम पर मैप किया जाता है।

सत्य के परिमाण और प्रायिकता दोनों की सीमा 0 और 1 के मध्य होती है और अतः प्रथम रूप में समान लगती है, किन्तु उचित रूप से फजी लॉजिक (अस्पष्ट तर्क) सत्य के परिमाण का उपयोग अस्पष्टता के गणितीय प्रतिरूप के रूप में करता है, चूँकि संभवतः यह अज्ञानता का गणितीय प्रतिरूप है।

सत्य मान प्रयुक्त करना
अधिकांशतः अनुप्रयोग चर (गणित) की विभिन्न उप-श्रेणियों की विशेषता हो सकती है। उदाहरण के लिए, लॉक - रोधी ब्रेकिंग प्रणाली के लिए तापमान माप इत्यादि। एंटी-लॉक ब्रेक में ब्रेक को समुचित रूप से नियंत्रित करने के लिए आवश्यक विशेष तापमान सीमा को परिभाषित करने वाले अनेक भिन्न-भिन्न सदस्यता के माध्यम से कार्य होते हैं। प्रत्येक प्रतिक्रिया के समान तापमान के मान को 0 से 1 श्रेणी में सत्य मान पर मानचित्र करता है। अतः इन सत्य मानों का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि ब्रेक को कैसे नियंत्रित किया जाना चाहिए। फजी (अस्पष्ट) सेट सिद्धांत अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व करने के लिए साधन प्रदान करता है।

भाषाई चर
फजी लॉजिक (अस्पष्ट तर्क) अनुप्रयोगों में, गैर-संख्यात्मक मानों का उपयोग अधिकांशतः नियमों और तथ्यों की अभिव्यक्ति को सुविधाजनक बनाने के लिए किया जाता है।

भाषाई चर जैसे उम्र युवा और उसके प्राचीन विलोम जैसे मूल्यों को स्वीकार कर सकता है। चूँकि प्राकृतिक भाषाओं में फज़ी (अस्पष्ट) मूल्य आकड़ो को व्यक्त करने के लिए सामान्तः पर्याप्त मूल्य शब्द नहीं होते हैं, विशेषण या क्रियाविशेषणों के साथ भाषाई मूल्यों को संशोधित करना साधारण क्रिया है। उदाहरण के लिए, हम हेज (भाषाविज्ञान) का उपयोग कर सकते हैं और कुछ मात्रा में प्राचीन या कुछ नए अतिरिक्त मूल्यों का निर्माण कर सकते हैं।

ममदानी
सबसे प्रसिद्ध प्रणाली इब्राहिम ममदानी के नियम पर आधारित है। यह निम्नलिखित नियमों का उपयोग करता है।
 * 1) फजी (अस्पष्ट) सदस्यता कार्यों में सभी इनपुट मानों को अस्पष्ट करें।
 * 2) फजी (अस्पष्ट) आउटपुट प्रतिक्रियाओ की गणना करने के लिए नियम आधार में सभी प्रयुक्त नियमों को निष्पादित करती है।
 * 3) भंगुर आउटपुट मान प्राप्त करने के लिए अस्पष्ट आउटपुट प्रतिक्रियाओ को पुनः अस्पष्ट करें।

फजिफिकेशन (अस्पष्टता)
अस्पष्टता कुछ मात्रा तक सदस्यता के साथ फजी (अस्पष्ट) सेट के लिए प्रणाली के संख्यात्मक इनपुट के कार्य करने की प्रक्रिया है। सदस्यता की यह परिमाण अंतराल [0,1] के अंदर कहीं भी हो सकती है। यदि यह 0 है तो मान दिए गए फजी (अस्पष्ट) सेट से संबंधित नहीं है और यदि यह 1 है तो मान पूरी फजी (अस्पष्ट) सेट के अंतर्गत आता है। 0 और 1 के मध्य का कोई भी मान अनिश्चितता की परिमाण का प्रतिनिधित्व करता है जो मान सेट में होता है। उन्हें अस्पष्ट सेटों को विशेष रूप से शब्दों द्वारा वर्णित किया जाता है और अतः फजी (अस्पष्ट) सेटों को प्रणाली इनपुट निर्दिष्ट करके, हम इसके साथ भाषाई रूप से प्राकृतिक विधि से तर्क कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, नीचे दीए गये प्रतिबिम्ब में भावों के अर्थ ठंडे, गर्म और गर्म तापमान के मापन कार्यों द्वारा दर्शाए गए हैं। उस मापन पर बिंदु के तीन सत्य मान होते हैं जो तीन कार्यों में से प्रत्येक के लिए प्रतिबिम्ब में लंबवत रेखा विशेष तापमान का प्रतिनिधित्व करती है जिसे तीन तीर (सत्य मान) प्रमापी होते हैं। चूँकि लाल तीर शून्य की ओर संकेत करता है, इस तापमान की व्याख्या के रूप में गर्म नहीं की जा सकती है अर्थात फजी (अस्पष्ट) सेट उष्ण में इस तापमान की शून्य सदस्यता होती है। चूँकि नारंगी तीर (0.2 की ओर संकेत करते हुए) इसे थोड़ा गर्म और नीला तीर (0.8 की ओर संकेत करते हुए) अधिक ठंडा प्रतीत होता है। अतः, इस तापमान में फजी (अस्पष्ट) सेट उष्ण में 0.2 सदस्यता और फजी (अस्पष्ट) सेट ठंडे में 0.8 सदस्यता होती है। प्रत्येक फजी (अस्पष्ट) सेट के लिए कार्य की गई सदस्यता के परिमाण में अस्पष्टता का परिणाम है।

फजी (अस्पष्ट) सेट को अधिकांशतः त्रिभुज या समलम्बाकार के आकार के वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है, चूँकि प्रत्येक मान में ढलान होगी जहाँ मूल्य बढ़ रहा है, और मान 1 के समान्तर है (जिसकी लंबाई 0 या अधिक हो सकती है) और ढलान जहाँ मूल्य घट रहा है। उन्हें सिग्मॉइड प्रतिक्रिया का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता है। लॉजिस्टिक फंक्शन के रूप में परिभाषित सामान्य स्थिति है।


 * $$ S(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} $$

जिसमें निम्नलिखित समरूपता गुण है।


 * $$ S(x) + S(-x) = 1 $$

इससे यह अनुसरण करता है।

$$ (S(x) + S(-x)) \cdot (S(y) + S(-y)) \cdot (S(z) + S(-z)) = 1 $$

फजी लॉजिक (अस्पष्ट तर्क) ऑपरेटर्स
फजी लॉजिक(अस्पष्ट तर्क) सदस्यता मूल्यों के साथ इस प्रकार कार्य करता है जो बूलियन तर्क की प्रतिलिपि करता है। इसके लिए बेसिक अनुरूप(कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) के AND, OR, NOT के लिए प्रतिस्थापन उपलब्ध होना चाहिए। इसके अनेक विधि हैं। जिसे सामान्य प्रतिस्थापन कहा जाता है।

सही/1 और गलत/0 के लिए, फजी (अस्पष्ट) अभिव्यक्ति बूलियन अभिव्यक्ति के समान परिणाम उत्पन्न करते हैं।

इसके सामान्यतः अन्य अनुरूप भी हैं जो प्रकृति में अधिक भाषाई, जिन्हें हेजेज कहा जाता है उसे प्रयुक्त किया जा सकता है। ये विशेष रूप से क्रियाविशेषण होते हैं जैसे बहुत, या कुछ मात्रा तक, जो गणितीय सूत्र का उपयोग करके सेट के अर्थ को संशोधित करते हैं।

चूंकि, अनैतिक विकल्प सूची हमेशा फजी लॉजिक (अस्पष्ट तर्क) प्रतिक्रिया को परिभाषित नहीं करती है। कागज में (जैतसेव, एट अल), यह पहचानने के लिए मानदंड तैयार किया गया है कि क्या दी गई अभिव्‍यक्ति तालिका फजी लॉजिक (अस्पष्ट तर्क) प्रतिक्रिया को परिभाषित करती है और फजी लॉजिक (अस्पष्ट तर्क) प्रतिक्रिया संश्लेषण का सरल प्रारूप न्यूनतम और अधिकतम घटकों की प्रस्तुत अवधारणाओं के आधार पर प्रस्तावित किया गया है।फजी लॉजिक (अस्पष्ट तर्क) प्रतिक्रिया न्यूनतम के घटकों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है, जहां न्यूनतम का घटक इस क्षेत्र में प्रतिक्रिया मान से अधिक या उसके समान वर्तमान क्षेत्र के चर का संयोजन है (असमानता में प्रतिक्रिया मान के दाईं ओर, सहित प्रतिक्रिया मान)।

AND/OR अनुरूपों का और सेट गुणन पर आधारित है, जहां

एक्स और वाई = एक्स * वाई

एक्स = 1 - एक्स नहीं

इस प्रकार,

एक्स या वाई = नहीं (और (नहीं (एक्स), नहीं (वाई)))

एक्स या वाई = नहीं (और (1-एक्स, 1-वाई))

एक्स या वाई = नहीं ((1-एक्स) * (1-वाई))

x या y = 1-(1-x)*(1-y)

x या y = x+y-xy

AND/OR/NOT में से किन्हीं दो को देखते हुए, तीसरा प्राप्त करना संभव है। जंहा AND के सामान्यीकरण को t-मानक के रूप में जाना जाता है।

यदि-तो नियम
IF-THEN नियम वांछित आउटपुट सत्य मानों के लिए इनपुट या गणना किए गए सत्य मानों को मानचित्र करते हैं। उदाहरण

यदि तापमान बहुत ठंडा है तो पंखे की गति बंद कर दी जाती है।

यदि तापमान ठंडा है तो पंखे की गति धीमी है।

यदि तापमान गर्म है तो पंखे की गति मध्यम है।

यदि तापमान गर्म है तो पंखे की गति अधिक है।

निश्चित तापमान को देखते हुए, फजी (अस्पष्ट) परिवर्तनीय उष्ण का निश्चित सत्य मान होता है, जिसे उच्च चर में प्रतिलिपि किया जाता है।

यदि कोई आउटपुट चर अनेक THEN भागों में होता है, तो संबंधित IF भागों के मानों को OR अनुरूप का उपयोग करके संयोजित किया जाता है।

डीफजिफिकेशन
लक्ष्य फजी (अस्पष्ट) सत्य मान से सतत चर प्राप्त करना है।

यह सरल प्रकार होगा यदि आउटपुट सत्य मान वास्तव में किसी दिए गए नंबर के अस्पष्टता से प्राप्त किए गए हों।

चूंकि, सभी आउटपुट सत्य मूल्यों की स्वतंत्र रूप से गणना की जाती है,तब ज्यादातर स्थितियों में वे संख्याओं के ऐसे सेट का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं।

इस प्रकार तब संख्या तय करनी होती है जो सत्य मान में कूटलेखन किए गए विचार से सबसे उत्तम प्रकार से मेल खाती है।

उदाहरण के लिए, पंखे की गति के अनेक सत्य मानों के लिए, वास्तविक गति का व्याख्यान लगाना चाहिए जो 'धीमी', 'मध्यम' और इसी प्रकार के चरों के संगणित सत्य मानों के लिए सबसे उपयुक्त हो।

इस उद्देश्य के लिए कोई एकल कलन विधि नहीं है।

एक सामान्य एल्गोरिदम है।
 * 1) प्रत्येक सत्य मान के लिए, सदस्यता प्रतिक्रिया को इस मान पर काटें जाते है।
 * 2) OR अनुरूप का उपयोग करके परिणामी वक्रों को संयोजित किया जाता है।
 * 3) वक्र के अंतर्गत क्षेत्र का केंद्र-भार ज्ञात करें।
 * 4) इस केंद्र की x स्थिति अंतिम आउटपुट है।

ताकगी-सुगेनो-कांग (टीएसके)
टीएसके प्रणाली ममदानी के समान है, किन्तु अस्पष्टीकरण प्रक्रिया फजी नियमों के निष्पादन में सम्मलित है। इन्हें भी अनुकूलित किया जाता है, जिससे कि इसके अतिरिक्त नियम के परिणाम को बहुपद समारोह (सामान्यतः स्थिर या रैखिक) के माध्यम से प्रदर्शित किया जा सके। जो स्थिर आउटपुट वाले नियम का उदाहरण होता है। इस स्थिति में, आउटपुट परिणामी के स्थिरांक के समान्तर होगा। (उदाहरण 2) अधिकांश परिदृश्यों में हमारे समीप 2 या अधिक नियमों के साथ संपूर्ण नियम आधार होगा। यदि यह स्थिति है, तो पूरे नियम आधार का उत्पादन प्रत्येक नियम i (Yi), इसके पूर्ववर्ती के सदस्यता मूल्य के अनुसार भारित (एचi):

$$\frac{\sum_i (h_i \cdot Y_i)}{\sum_i h_i}$$ रैखिक आउटपुट वाले नियम का उदाहरण इसके अतिरिक्त होगा: इस स्थिति में, नियम का आउटपुट परिणाम में प्रतिक्रिया का परिणाम होगा। प्रतिक्रिया के भीतर चर अस्पष्टता के बाद सदस्यता मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं, क्रिस्प मूल्यों का नहीं। पहले की प्रकार, यदि हमारे पास 2 या अधिक नियमों के साथ संपूर्ण नियम आधार है, तो कुल आउटपुट प्रत्येक नियम के आउटपुट के मध्य भारित औसत होगा।

ममदानी पर टीएसके का उपयोग करने का मुख्य लाभ यह है कि यह कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल है और अन्य एल्गोरिदम जैसे कि पीआईडी ​​​​नियंत्रण और अनुकूलन एल्गोरिदम के साथ अच्छी प्रकार से कार्य करता है। यह आउटपुट सतह की निरंतरता की गारंटी भी दे सकता है। चूंकि, ममदानी लोगों के साथ कार्य करने में अधिक सहज और आसान है। अतः, टीएसके सामान्यतः अन्य जटिल तरीकों के भीतर प्रयोग किया जाता है, जैसे कि अनुकूली न्यूरो फजी (अस्पष्ट)इनफेरेंस प्रणाली में।

इनपुट और फजी नियमों की आम सहमति बनाना
चूंकि फजी (अस्पष्ट)प्रणाली आउटपुट सभी इनपुट और सभी नियमों की सहमति है, फजी (अस्पष्ट)लॉजिक प्रणाली को अच्छी प्रकार से व्यवहार किया जा सकता है जब इनपुट मान उपलब्ध नहीं होते हैं या भरोसेमंद नहीं होते हैं। नियम आधार में प्रत्येक नियम में भार को वैकल्पिक रूप से जोड़ा जा सकता है और भार का उपयोग उस परिमाण को विनियमित करने के लिए किया जा सकता है जिस पर नियम आउटपुट मानों को प्रभावित करता है। ये नियम भार प्रत्येक नियम की प्राथमिकता, विश्वसनीयता या स्थिरता पर आधारित हो सकते हैं। ये नियम भार स्थिर हो सकते हैं या अन्य नियमों के आउटपुट के आधार पर भी गतिशील रूप से बदले जा सकते हैं।

अनुप्रयोग
फजी (अस्पष्ट)लॉजिक का उपयोग नियंत्रण प्रणालियों में किया जाता है जिससे कि विशेषज्ञों को अस्पष्ट नियमों का योगदान करने की अनुमति मिल सके जैसे कि यदि आप गंतव्य स्टेशन के करीब हैं और तेज़ी से आगे बढ़ रहे हैं, तो ट्रेन के ब्रेक दबाव में वृद्धि करें; इन अस्पष्ट नियमों नियंत्रण प्रणाली के भीतर संख्यात्मक रूप से परिष्कृत किया जा सकता है।

फजी (अस्पष्ट)लॉजिक के अनेक प्रारंभिक सफल अनुप्रयोग जापान में प्रयुक्त किए गए थे। पहला उल्लेखनीय अनुप्रयोग सेंदाई सबवे 1000 श्रृंखला पर था, जिसमें फजी (अस्पष्ट)लॉजिक अर्थव्यवस्था, आराम और सवारी की त्रुटिहीनता में सुधार करने में सक्षम था। इसका उपयोग सोनी पॉकेट कंप्यूटर, हेलीकॉप्टर उड़ान सहायता, सबवे प्रणाली नियंत्रण, ऑटोमोबाइल ईंधन दक्षता में सुधार, सिंगल-बटन वाशिंग मशीन नियंत्रण, वैक्यूम क्लीनर में स्वत: बिजली नियंत्रण, और भूकंप विज्ञान संस्थान के माध्यम से भूकंप की शीघ्र पहचान के लिए लिखावट की पहचान के लिए भी किया गया है। मौसम विज्ञान ब्यूरो, जापान।

कृत्रिम बुद्धि
एआई और फजी (अस्पष्ट)लॉजिक, जब विश्लेषण किया जाता है, ही चीज़ हैं - तंत्रिका नेटवर्क का अंतर्निहित तर्क फजी (अस्पष्ट)है। तंत्रिका नेटवर्क विभिन्न प्रकार के मूल्यवान इनपुट लेगा, उन्हें दूसरे के संबंध में भिन्न-भिन्न भार देगा, और निर्णय पर पहुंचेगा जिसका सामान्य रूप से भी मूल्य होता है। उस प्रक्रिया में कहीं भी या तो-या निर्णयों के अनुक्रम जैसा कुछ नहीं है जो गैर-फजी गणित, लगभग सभी कंप्यूटर प्रोग्रामिंग और डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स की विशेषता है। 1980 के दशक में, शोधकर्ताओं को मशीन सीखने के लिए सबसे प्रभावी दृष्टिकोण के बारे में विभाजित किया गया था: सामान्य ज्ञान प्रतिरूप या तंत्रिका नेटवर्क। पूर्व दृष्टिकोण के लिए बड़े निर्णय वृक्षों की आवश्यकता होती है और यह बाइनरी लॉजिक का उपयोग करता है, जिस हार्डवेयर पर यह चलता है उससे मेल खाता है। भौतिक उपकरण बाइनरी लॉजिक तक सीमित हो सकते हैं, किन्तु एआई इसकी गणना के लिए सॉफ्टवेयर का उपयोग कर सकता है। तंत्रिका नेटवर्क इस दृष्टिकोण को अपनाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप जटिल स्थितियों के अधिक त्रुटिहीन प्रतिरूप मिलते हैं। तंत्रिका नेटवर्क ने जल्द ही अनेक इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों पर अपना रास्ता खोज लिया।

चिकित्सा निर्णय लेना
नैदानिक ​​निर्णय समर्थन प्रणाली में फजी (अस्पष्ट)लॉजिक महत्वपूर्ण अवधारणा है। चूंकि चिकित्सा और स्वास्थ्य संबंधी डेटा व्यक्तिपरक या फजी हो सकता है, अतः इस डोमेन के अनुप्रयोगों में फजी (अस्पष्ट)लॉजिक आधारित दृष्टिकोणों का उपयोग करके बहुत अधिक लाभ उठाने की क्षमता है।

चिकित्सा निर्णय लेने के ढांचे के भीतर अनेक भिन्न-भिन्न पहलुओं में फजी (अस्पष्ट)लॉजिक का उपयोग किया जा सकता है। ऐसे पहलू सम्मलित हैं   मेडिकल इमेज एनालिसिस, बायोमेडिकल सिग्नल एनालिसिस, प्रतिबिम्ब विभाजन में या संकेत, और सुविधा निष्कर्षण / प्रतिबिम्बयों का चयन या संकेत। इस एप्लिकेशन क्षेत्र में सबसे बड़ा सवाल यह है कि फ़ज़ी लॉजिक का उपयोग करते समय कितनी उपयोगी जानकारी प्राप्त की जा सकती है। एक बड़ी चुनौती यह है कि आवश्यक फ़ज़ी डेटा कैसे प्राप्त किया जाए। यह तब और भी चुनौतीपूर्ण हो जाता है जब किसी को ऐसे डेटा को मनुष्यों (आमतौर पर, रोगियों) से प्राप्त करना होता है। जैसा कहा गया है "'The envelope of what can be achieved and what cannot be achieved in medical diagnosis, ironically, is itself a fuzzy one'" फजी (अस्पष्ट)डेटा कैसे प्राप्त करें, और डेटा की त्रुटिहीनता को कैसे मान्य करें, अभी भी फजी (अस्पष्ट)लॉजिक के अनुप्रयोग से संबंधित सतत प्रयास है। फजी (अस्पष्ट)डेटा की गुणवत्ता का आकलन करने की समस्या कठिन है। यही कारण है कि फजी (अस्पष्ट)लॉजिक चिकित्सा निर्णय लेने के आवेदन क्षेत्र के भीतर अत्यधिक आशाजनक संभावना है, किन्तु अभी भी इसकी पूरी क्षमता हासिल करने के लिए और अधिक शोध की आवश्यकता है। यद्यपि चिकित्सा निर्णय लेने में फजी (अस्पष्ट)लॉजिक का उपयोग करने की अवधारणा रोमांचक है, फिर भी अनेक चुनौतियाँ हैं जो चिकित्सा निर्णय लेने के ढांचे के भीतर फजी (अस्पष्ट)दृष्टिकोण का सामना करती हैं।

प्रतिबिम्ब आधारित कंप्यूटर एडेड निदान
फजी (अस्पष्ट)लॉजिक का उपयोग करने वाले सामान्य अनुप्रयोग क्षेत्रों में से चिकित्सा में प्रतिबिम्ब-आधारित कंप्यूटर-एडेड डायग्नोसिस (CAD) है। सीएडी अंतर-संबंधित उपकरणों का कम्प्यूटरीकृत सेट है जिसका उपयोग चिकित्सकों को उनके नैदानिक ​​निर्णय लेने में सहायता करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब चिकित्सक को ऐसा घाव मिलता है जो असामान्य है किन्तु अभी भी विकास के बहुत प्रारंभिक चरण में है तो वह घाव को चिह्नित करने और इसकी प्रकृति का निदान करने के लिए सीएडी दृष्टिकोण का उपयोग कर सकता है। इस घाव की प्रमुख विशेषताओं का वर्णन करने के लिए फजी (अस्पष्ट)लॉजिक अत्यधिक उपयुक्त हो सकता है।

फजी (अस्पष्ट)डेटाबेस
एक बार फजी (अस्पष्ट)संबंध परिभाषित हो जाने के बाद, फजी (अस्पष्ट)संबंध का डेटाबेस विकसित करना संभव है। पहला फजी (अस्पष्ट)रिलेशनल डेटाबेस, FRDB, मारिया ज़मानकोवा के शोध प्रबंध (1983) में दिखाई दिया। बाद में, कुछ अन्य प्रतिरूप उत्पन्न हुए जैसे बकल्स-पेट्री प्रतिरूप, प्रेड-टेस्टेमेल प्रतिरूप, उमानो-फुकार्यी प्रतिरूप या जेएम मदीना, एमए विला एट अल द्वारा जीईएफआरईडी प्रतिरूप।

अस्पष्ट पूछताछ भाषाओं को परिभाषित किया गया है, जैसे कि SQLf by P. Bosc et al। और J. Galindo et al द्वारा FSQL। SQL कथनों में फजी (अस्पष्ट)पहलुओं को सम्मलित करने के लिए ये भाषाएँ कुछ संरचनाओं को परिभाषित करती हैं, जैसे फजी (अस्पष्ट)स्थितियाँ, फजी (अस्पष्ट)तुलनित्र, फजी (अस्पष्ट)स्थिरांक, फजी (अस्पष्ट)कंस्ट्रेंट, फजी (अस्पष्ट)थ्रेसहोल्ड, भाषाई लेबल आदि।

तार्किक विश्लेषण
गणितीय तर्क में, फजी (अस्पष्ट)लॉजिक की अनेक औपचारिक प्रणालियाँ हैं, जिनमें से अधिकांश टी-मानदंड फजी (अस्पष्ट)लॉजिक के परिवार में हैं।

प्रस्तावित फजी (अस्पष्ट)लॉजिक्स
सबसे महत्वपूर्ण प्रस्तावक फजी (अस्पष्ट)लॉजिक्स हैं:
 * एमटीएल (तर्क) |मोनॉयडल टी-नॉर्म-आधारित प्रोपोज़िशनल फजी (अस्पष्ट)लॉजिक एमटीएल स्वयंसिद्ध प्रणाली है#तर्क का स्वयंसिद्धीकरण जहां तार्किक संयोजन को बाएं निरंतर टी-मानदंड द्वारा परिभाषित किया गया है और निहितार्थ को टी-मानदंड के अवशेष के रूप में परिभाषित किया गया है। इसकी संरचना (गणितीय तर्क) एमटीएल-बीजगणित के अनुरूप है जो पूर्व-रैखिक कम्यूटेटिव बाउंड इंटीग्रल अवशिष्ट जाली हैं।
 * बीएल (तर्क) बीएल एमटीएल तर्क का विस्तार है जहां संयोजन को निरंतर टी-मानदंड द्वारा परिभाषित किया जाता है, और निहितार्थ को टी-मानदंड के अवशेष के रूप में भी परिभाषित किया जाता है। इसके प्रतिरूप बीएल-अलजेब्रस के अनुरूप हैं।
 * लुकासिविक्ज़ फजी (अस्पष्ट)लॉजिक|लुकासिविज़ फजी (अस्पष्ट)लॉजिक बुनियादी फजी (अस्पष्ट)लॉजिक बीएल का विस्तार है जहाँ मानक संयोजन लुकासिविज़ टी-नॉर्म है। इसमें बुनियादी फजी (अस्पष्ट)लॉजिक के स्वयंसिद्ध और दोहरे निषेध का स्वयंसिद्ध है, और इसके प्रतिरूप एमवी-बीजगणित के अनुरूप हैं।
 * गोडेल फजी (अस्पष्ट)लॉजिक बेसिक फजी (अस्पष्ट)लॉजिक बीएल का विस्तार है जहाँ संयुग्मन गोडेल टी-नॉर्म (अर्थात न्यूनतम) है। इसमें BL के स्वयंसिद्ध और संयुग्मन की निष्क्रियता का स्वयंसिद्ध है, और इसके प्रतिरूप को G-अल्जेब्रस कहा जाता है।
 * उत्पाद फजी (अस्पष्ट)लॉजिक बेसिक फजी (अस्पष्ट)लॉजिक BL का विस्तार है जहाँ संयोजन उत्पाद टी-नॉर्म है। इसमें BL के अभिगृहीत और संयोजन की रद्दीकरण के लिए अन्य अभिगृहीत है, और इसके प्रतिरूप को उत्पाद बीजगणित कहा जाता है।
 * मूल्यांकित सिंटैक्स के साथ फजी (अस्पष्ट)लॉजिक (कभी-कभी पावेल्का लॉजिक भी कहा जाता है), EVŁ द्वारा निरूपित, गणितीय फजी (अस्पष्ट)लॉजिक का और सामान्यीकरण है। जबकि उपरोक्त प्रकार के फजी (अस्पष्ट)लॉजिक में पारंपरिक सिंटैक्स और अनेक-मूल्यवान शब्दार्थ हैं, EVŁ सिंटैक्स में भी मूल्यांकन किया जाता है। इसका मतलब है कि प्रत्येक सूत्र का मूल्यांकन होता है। EVŁ का स्वयंसिद्धीकरण लुकास्ज़ीविक्ज़ फजी (अस्पष्ट)लॉजिक से उपजा है। मौलिक गोडेल पूर्णता प्रमेय का सामान्यीकरण EVŁ में सिद्ध किया जा सकता है.

विधेय फजी लॉजिक्स
प्रस्तावक कलन से पहले क्रम का तर्क बनाने के विधि के समान, प्रेडिकेट फजी (अस्पष्ट)लॉजिक फजी (अस्पष्ट)प्रणाली को यूनिवर्सल क्वांटिफायर और अस्तित्वगत परिमाणक द्वारा एक्सटेंड करते हैं। टी-नॉर्म फज़ी लॉजिक्स में यूनिवर्सल क्वांटिफायर का सिमेंटिक्स क्वांटिफाइड सबफॉर्मुला के उदाहरणों की ट्रुथ डिग्रियों का सबसे कम है, जबकि अस्तित्व क्वांटिफायर का शब्दार्थ उसी का सर्वोच्च है।

निर्णायकता मुद्दे
मौलिक गणित और मौलिक  तर्क के लिए निर्णायक उपसमुच्चय और पुनरावर्ती गणना योग्य उपसमुच्चय की धारणाएं बुनियादी हैं। इस प्रकार फजी (अस्पष्ट)सेट थ्योरी के लिए उनके उपयुक्त विस्तार का प्रश्न महत्वपूर्ण है। इस प्रकार की दिशा में पहला प्रस्ताव ई.एस. सैंटोस द्वारा फजी (अस्पष्ट)ट्यूरिंग मशीन, मार्कोव सामान्य फजी (अस्पष्ट)एल्गोरिथम और फजी (अस्पष्ट)प्रोग्राम (सैंटोस 1970 देखें) की धारणाओं द्वारा किया गया था। क्रमिक रूप से, एल. बियासिनो और जी. गेरला ने तर्क दिया कि प्रस्तावित परिभाषाएँ संदिग्ध हैं। उदाहरण के लिए, में one दिखाता है कि फजी (अस्पष्ट)ट्यूरिंग मशीन फजी (अस्पष्ट)लैंग्वेज थ्योरी के लिए पर्याप्त नहीं हैं क्योंकि प्राकृतिक फजी (अस्पष्ट)लैंग्वेज सहज रूप से गणना योग्य हैं जिन्हें फजी (अस्पष्ट)ट्यूरिंग मशीन द्वारा पहचाना नहीं जा सकता है। तब उन्होंने निम्नलिखित परिभाषाएँ प्रस्तावित कीं। [0,1] में परिमेय संख्याओं के समुच्चय को Ü से निरूपित करें। फिर फजी (अस्पष्ट)उपसमुच्चय s : S $$\rightarrow$$[0,1] सेट S का पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य है यदि पुनरावर्ती मानचित्र h : S×'N' $$\rightarrow$$Ü इस प्रकार उपस्तिथ है कि, S में प्रत्येक x के लिए, प्रतिक्रिया h(x,n) n और s(x) = lim h(x,n) के संबंध में बढ़ रहा है। हम कहते हैं कि s निर्णायक है यदि दोनों s और इसके पूरक - पुनरावर्ती रूप से गणनीय हैं। एल-उपसमुच्चय के सामान्य मामले में इस प्रकार के सिद्धांत का विस्तार संभव है (गेरला 2006 देखें)। प्रस्तावित परिभाषाएँ फजी (अस्पष्ट)लॉजिक से अच्छी प्रकार से संबंधित हैं। वास्तव में, निम्नलिखित प्रमेय सत्य है (बशर्ते कि फजी (अस्पष्ट)लॉजिक का कटौती उपकरण कुछ स्पष्ट प्रभावशीलता संपत्ति को संतुष्ट करता है)।

कोई भी स्वयंसिद्ध फजी (अस्पष्ट)सिद्धांत पुनरावर्ती गणना योग्य है। विशेष रूप से, तार्किक रूप से सही सूत्रों का फजी (अस्पष्ट)सेट पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य है, इस तथ्य के बावजूद कि मान्य सूत्रों का कुरकुरा सेट सामान्य रूप से पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य नहीं है। इसके अतिरिक्त, कोई भी स्वयंसिद्ध और पूर्ण सिद्धांत निर्णायक है।

फजी (अस्पष्ट)गणित के लिए चर्च थीसिस के लिए समर्थन देने के लिए यह खुला प्रश्न है, फजी (अस्पष्ट)सबसेट के लिए पुनरावर्ती गणना की प्रस्तावित धारणा पर्याप्त है। इसे हल करने के लिए फजी (अस्पष्ट)ग्रामर और फजी (अस्पष्ट)ट्यूरिंग मशीन की धारणाओं का विस्तार आवश्यक है। अन्य खुला प्रश्न इस धारणा से प्रारंभ करना है कि गोडेल के प्रमेयों का फजी (अस्पष्ट)लॉजिक तक विस्तार खोजा जाए।

संभावना
फजी (अस्पष्ट)लॉजिक और प्रायिकता अनिश्चितता के विभिन्न रूपों को संबोधित करते हैं। जबकि फजी (अस्पष्ट)लॉजिक और संभाव्यता सिद्धांत दोनों कुछ प्रकार के व्यक्तिपरक विश्वास की परिमाण का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, फजी (अस्पष्ट)सेट सिद्धांत फजी (अस्पष्ट)सेट सदस्यता की अवधारणा का उपयोग करता है, अर्थात, अस्पष्ट रूप से परिभाषित सेट के भीतर कितना अवलोकन है, और संभाव्यता सिद्धांत व्यक्तिपरक संभाव्यता की अवधारणा का उपयोग करता है।, अर्थात, घटना की आवृत्ति या किसी घटना या स्थिति की संभावना. फजी (अस्पष्ट)सेट की अवधारणा को बीसवीं सदी के मध्य में बर्कले में विकसित किया गया था संयुक्त रूप से अनिश्चितता और अस्पष्टता के प्रतिरूपिंग के लिए संभाव्यता सिद्धांत की कमी की प्रतिक्रिया के रूप में। बार्ट कोस्को फज़ीनेस बनाम प्रायिकता में प्रामाणित करता है वह संभाव्यता सिद्धांत फजी (अस्पष्ट)लॉजिक का उपसिद्धांत है, क्योंकि संभाव्यता सिद्धांत में पारस्परिक रूप से अनन्य सेट सदस्यता में विश्वास की परिमाण के प्रश्नों को फजी (अस्पष्ट)सिद्धांत में गैर-पारस्परिक रूप से अनन्य श्रेणीबद्ध सदस्यता के कुछ मामलों के रूप में दर्शाया जा सकता है। उस संदर्भ में, वह फजी (अस्पष्ट)सबसेटहुड की अवधारणा से बेयस प्रमेय को भी प्राप्त करता है। लोट्फी ए. ज़ादेह का तर्क है कि फजी (अस्पष्ट)लॉजिक चरित्र में संभाव्यता से भिन्न है, और यह इसका प्रतिस्थापन नहीं है। उन्होंने संभाव्यता को फजी प्रायिकता के रूप में अस्पष्ट कर दिया और इसे संभावना सिद्धांत के लिए सामान्यीकृत भी किया। अधिक आम तौर पर, फजी (अस्पष्ट)लॉजिक मौलिक तर्क के अनेक भिन्न-भिन्न एक्सटेंशनों में से है, जिसका उद्देश्य मौलिक  तर्क के दायरे से बाहर अनिश्चितता के मुद्दों से निपटना है, अनेक डोमेन में संभाव्यता सिद्धांत की अनुपयुक्तता, और डेम्पस्टर-शेफ़र सिद्धांत के विरोधाभास।

इकोरिथम्स
कम्प्यूटेशनल थिओरिस्ट लेस्ली बहादुर इकोरिथम्स शब्द का उपयोग यह बताने के लिए करता है कि कितने कम त्रुटिहीन प्रणाली और फजी (अस्पष्ट)लॉजिक (और कम मजबूत लॉजिक) जैसी तकनीकों को सीखने के एल्गोरिदम पर प्रयुक्त किया जा सकता है। वैलेंट अनिवार्य रूप से मशीन लर्निंग को विकासवादी के रूप में पुनर्परिभाषित करता है। सामान्य उपयोग में, ईकोरिथम एल्गोरिदम हैं जो उनके अधिक जटिल वातावरण (अतः इको-) से सामान्यीकरण, अनुमान और समाधान तर्क को सरल बनाने के लिए सीखते हैं। फजी (अस्पष्ट)लॉजिक की प्रकार, वे निरंतर चर या प्रणालियों को दूर करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियाँ हैं जो पूरी प्रकार से या पूरी प्रकार से समझने या समझने के लिए बहुत जटिल हैं। इकोरिथम्स और फजी (अस्पष्ट)लॉजिक में भी संभावनाओं से अधिक संभावनाओं से निपटने की सामान्य संपत्ति होती है, चूंकि फीडबैक और फीडफॉरवर्ड नियंत्रण)नियंत्रण), मूल रूप से स्टोचैस्टिक वेट, उदाहरण के लिए, गतिशील प्रणाली से निपटने के समय दोनों की विशेषता है।

गोडेल जी∞ तर्क
एक अन्य तार्किक प्रणाली जहां सत्य मान 0 और 1 के मध्य वास्तविक संख्याएं हैं और जहां AND और OR अनुरूपों को MIN और MAX से बदल दिया जाता है, वह गोडेल का जी है∞ तर्क। इस तर्क में फजी (अस्पष्ट)लॉजिक के साथ अनेक समानताएँ हैं किन्तु नकारात्मकता को अलग प्रकार से परिभाषित करता है और इसका आंतरिक निहितार्थ है। नकार $$\neg_G$$ और निहितार्थ $$\xrightarrow[G]{}$$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:


 * $$\begin{align}

\neg_G u &= \begin{cases} 1, & \text{if }u = 0 \\ 0, & \text{if }u > 0 \end{cases} \\[3pt] u \mathrel{\xrightarrow[G]{}} v &= \begin{cases} 1, & \text{if }u \leq v \\ v, & \text{if }u > v                          \end{cases} \end{align}$$ जो परिणामी तार्किक प्रणाली को अंतर्ज्ञानवादी तर्क के लिए प्रतिरूप में बदल देता है, जिससे तार्किक प्रणालियों के सभी संभावित विकल्पों में विशेष रूप से अच्छी प्रकार से व्यवहार किया जाता है, जिसमें 0 और 1 के मध्य वास्तविक संख्याएं सत्य मान के रूप में होती हैं। इस मामले में, निहितार्थ की व्याख्या की जा सकती है क्योंकि x, y से कम सत्य है और निषेध के रूप में x 0 से कम सत्य है या x सख्ती से गलत है, और किसी के लिए $$x$$ और $$y$$, हमारे पास वह है $$ AND(x, x \mathrel{\xrightarrow[G]{}} y) = AND(x,y) $$. विशेष रूप से, गोडेल तर्क में निषेध अब अंतर्वलन नहीं है और दोहरा निषेध किसी भी गैर-शून्य मान को 1 में मैप करता है।

क्षतिपूरक फजी (अस्पष्ट)लॉजिक
प्रतिपूरक फजी (अस्पष्ट)लॉजिक (CFL) फजी (अस्पष्ट)लॉजिक की शाखा है जिसमें संयोजन और संयोजन के लिए संशोधित नियम हैं। जब संयोजन या वियोग के घटक का सत्य मान बढ़ता या घटता है, तो दूसरे घटक को क्षतिपूर्ति के लिए घटाया या बढ़ाया जाता है। सत्य मूल्य में यह वृद्धि या कमी किसी अन्य घटक में वृद्धि या कमी से ऑफसेट हो सकती है। कुछ निश्चित सीमाएँ पूरी होने पर ऑफ़सेट ब्लॉक किया जा सकता है। समर्थकों का प्रामाणित है कि सीएफएल उत्तम कम्प्यूटेशनल सिमेंटिक व्यवहार और प्राकृतिक भाषा की नकल करने की अनुमति देता है। जेसुस सेजस मोंटेरो (2011) के अनुसार प्रतिपूरक फजी (अस्पष्ट)लॉजिक में चार निरंतर अनुरूपहोते हैं: संयुग्मन (c); संयोजन (डी); फजी सख्त आदेश (या); और निषेध (एन)। संयुग्मन ज्यामितीय माध्य है और इसके दोहरे संयोजक और वियोगी संकारक हैं।

मार्कअप भाषा मानकीकरण
IEEE 1855, IEEE मानक 1855–2016, अस्पष्ट मार्कअप भाषा (FML) नामक विशिष्ट भाषा के बारे में है। IEEE Standards Association द्वारा विकसित। FML फजी (अस्पष्ट)लॉजिक प्रणाली को मानव-पठनीय और हार्डवेयर स्वतंत्र विधि से प्रतिरूपिंग करने की अनुमति देता है। FML एक्स्टेंसिबल मार्कअप लैंग्वेज (XML) पर आधारित है। FML के साथ फजी (अस्पष्ट)प्रणाली के डिजाइनरों के पास इंटरऑपरेबल फजी (अस्पष्ट)प्रणाली का वर्णन करने के लिए एकीकृत और उच्च-स्तरीय कार्यप्रणाली है। IEEE STANDARD 1855–2016 FML प्रोग्राम के सिंटैक्स और शब्दार्थ को परिभाषित करने के लिए W3C XML स्कीमा (W3C) परिभाषा भाषा का उपयोग करता है।

FML की शुरुआत से पहले, फजी (अस्पष्ट)लॉजिक प्रैक्टिशनर अपने फजी (अस्पष्ट)एल्गोरिदम के बारे में जानकारी का आदान-प्रदान कर सकते थे, अपने सॉफ़्टवेयर फ़ंक्शंस में फजी (अस्पष्ट)कंट्रोल लैंग्वेज (FCL) के साथ संगत फॉर्म में पढ़ने, सही ढंग से पार्स करने और अपने कार्य के परिणाम को स्टोर करने की क्षमता जोड़कर। IEC 61131 के भाग 7 द्वारा वर्णित और निर्दिष्ट।

यह भी देखें

 * अनुकूली न्यूरो फ़ज़ी इंफ़ेक्शन सिस्टम (ANFIS)
 * कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क
 * अस्पष्टीकरण
 * विशेषज्ञ प्रणाली
 * मिथ्या दुविधा
 * फजी वास्तुशिल्प स्थानिक विश्लेषण
 * फजी वर्गीकरण
 * फजी अवधारणा
 * फ़ज़ी कंट्रोल लैंग्वेज
 * फजी नियंत्रण प्रणाली
 * फजी इलेक्ट्रॉनिक्स
 * फजी सबलजेब्रा
 * फ़ज़ीक्लिप्स
 * उच्च प्रदर्शन फ़ज़ी कंप्यूटिंग
 * IEEE कम्प्यूटेशनल इंटेलिजेंस सोसायटी#प्रकाशन
 * अंतराल परिमित तत्व
 * यंत्र अधिगम
 * न्यूरो फजी
 * शोर आधारित तर्क
 * मोटा सेट
 * सोराइट्स विरोधाभास
 * टाइप -2 फ़ज़ी सेट और सिस्टम
 * वेक्टर तर्क

बाहरी संबंध

 * Formal fuzzy logic – article at Citizendium
 * IEC 1131-7 CD1 IEC 1131-7 CD1 PDF
 * Fuzzy Logic – article at Scholarpedia
 * Modeling With Words – article at Scholarpedia
 * Fuzzy logic – article at Stanford Encyclopedia of Philosophy
 * Fuzzy Math – Beginner level introduction to Fuzzy Logic
 * Fuzziness and exactness – Fuzziness in everyday life, science, religion, ethics, politics, etc.
 * Fuzzylite – A cross-platform, free open-source Fuzzy Logic Control Library written in C++. Also has a very useful graphic user interface in QT4.
 * More Flexible Machine Learning – MIT describes one application.
 * Semantic Similarity MIT provides details about fuzzy semantic similarity.