प्रतिरूपकता (नेटवर्क)

प्रतिरूपकता जटिल संजाल या लेखाचित्र (असतत गणित) की संरचना का एक माप है जो एक संजाल के प्रतिरूपक में विभाजन की ताकत को मापता है (जिसे समूह, समूह या समुदाय भी कहा जाता है)। उच्च प्रतिरुपकता वाले संजाल में प्रतिरूपक के भीतर पर्णग्रंथि के बीच घने संयोजन होते हैं लेकिन विभिन्न प्रतिरूपक में पर्णग्रंथि के बीच विरल संयोजन होते हैं। संजाल में सामुदायिक संरचना का पता लगाने के लिए प्रतिरुपकता का उपयोग प्रायः अनुकूलन विधियों में किया जाता है। जानवरों के दिमाग सहित जैविक संजाल, उच्च स्तर की प्रतिरूपकता प्रदर्शित करते हैं। हालांकि, प्रतिरूपकता अधिकतमकरण सांख्यिकीय रूप से सुसंगत नहीं है, और समुदायों को अपने स्वयं के अशक्त प्रतिरूप, यानी पूरी तरह से यादृच्छिक रेखांकन में पाता है, और इसलिए इसका उपयोग अनुभवजन्य संजाल में सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सामुदायिक संरचनाओं को खोजने के लिए नहीं किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, यह दिखाया गया है कि प्रतिरूपकता एक संकल्प सीमा से ग्रस्त है और इसलिए, यह छोटे समुदायों का पता लगाने में असमर्थ है।

प्रेरणा
कई वैज्ञानिक रूप से महत्वपूर्ण समस्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है और अनुभवजन्य रूप से संजाल का उपयोग करके अध्ययन किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जैविक और सामाजिक पतिरूप, वर्ल्ड वाइड वेब, चयापचयी संजाल, फूड वेब, तंत्रिकीय संजाल और तर्कहीन संजाल वास्तविक दुनिया की समस्याएं हैं जिन्हें गणितीय रूप से दर्शाया जा सकता है और कुछ अप्रत्याशित संरचनात्मक विशेषताओं को प्रकट करने के लिए स्थैतिक रूप से अध्ययन किया जा सकता है। इनमें से अधिकांश संजाल में एक निश्चित सामुदायिक संरचना होती है जिसका संजाल की गतिशीलता के बारे में समझ बनाने में पर्याप्त महत्व होता है। उदाहरण के लिए, एक निकट से जुड़ा हुआ सामाजिक समुदाय एक शक्तिहीन रूप से जुड़े समुदाय की तुलना में उनके बीच सूचना या अफवाह के प्रसारण की तीव्र दर का संकेत देगा। इस प्रकार, यदि एक संजाल को संयोजन से जुड़े कई अलग-अलग पर्णग्रंथि द्वारा दर्शाया जाता है जो पर्णग्रंथि के बीच एक निश्चित घात की पारस्परिक प्रभाव को दर्शाता है, तो समुदायों को सघन रूप से परस्पर जुड़े पर्णग्रंथि के समूह के रूप में परिभाषित किया जाता है जो केवल बाकी संजाल से जुड़े होते हैं। इसलिए, संजाल में समुदायों की पहचान करना अत्यावश्यक हो सकता है क्योंकि समुदायों में पर्णग्रंथि घात, गुच्छन गुणांक, समानता, केंद्रीयता जैसे काफी भिन्न गुण हो सकते हैं। प्रतिरूपकता एक ऐसा उपाय है, जो अधिकतम होने पर किसी दिए गए संजाल में समुदायों की उपस्थिति की ओर जाता है।

परिभाषा
प्रतिरूपकता किनारों का अंश है जो दिए गए समूहों के भीतर आता है, यदि किनारों को यादृच्छिक रूप से वितरित किया जाता है तो अपेक्षित अंश घटा दिया जाता है। अभारित और अप्रत्यक्ष रेखांकन के लिए प्रतिरूपकता का मान सीमा $$[-1/2,1]$$ में निहित है। यह सकारात्मक है अगर समूहों के भीतर किनारों की संख्या मौके के आधार पर अपेक्षित संख्या से अधिक हो। कुछ प्रतिरूपक में संजाल के ऊर्ध्वाधर के दिए गए विभाजन के लिए, प्रतिरुपकता प्रतिरूपक का चिंतन किए बिना सभी पर्णग्रंथि के बीच संयोजन के यादृच्छिक वितरण की तुलना में प्रतिरूपक के भीतर किनारों की एकाग्रता को दर्शाती है।

प्रतिरुपकता की गणना के लिए अलग-अलग तरीके हैं। अवधारणा के सबसे सामान्य संस्करण में, किनारों का यादृच्छिकीकरण किया जाता है ताकि प्रत्येक शीर्ष की घात को संरक्षित किया जा सके। n पर्णग्रंथि और m श्रंखला (किनारों) के साथ एक लेखाचित्र पर विचार करें जैसे कि सदस्यता चर S का उपयोग करके लेखाचित्र को दो समुदायों में विभाजित किया जा सकता है। यदि एक पर्णग्रंथि $$v$$ समुदाय 1 के अंतर्गत $$s_v = 1$$ आता है, या अगर $$v$$ समुदाय 2 के अंतर्गत $$s_v = -1$$ आता है। बता दें कि संजाल के लिए आसन्न आव्यूह $$A$$ को इसके द्वारा दर्शाया गया है, जहाँ $$A_=0$$ का अर्थ है कि पर्णग्रंथि के बीच कोई किनारा $$v$$ और $$w$$ और $$A_{vw} = 1$$ (कोई प्रतिच्छेदन नहीं) है मतलब दोनों के बीच एक किनारा है। साथ ही सरलता के लिए हम एक अप्रत्यक्ष संजाल पर विचार करते हैं। इस प्रकार $$A_{vw} = A_{wv}$$ है। (यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि दो पर्णग्रंथि के बीच कई किनारे उपस्थित हो सकते हैं, लेकिन यहां हम सबसे सरल स्तिथि का आकलन करते हैं)।

प्रतिरूपकता $$Q$$ तब किनारों के अंश के रूप में परिभाषित किया जाता है जो समूह 1 या 2 के भीतर आते हैं, दिए गए संजाल के समान पर्णग्रंथि घात वितरण के साथ एक यादृच्छिक लेखाचित्र के लिए समूह 1 और 2 के भीतर किनारों की अपेक्षित संख्या घटाते हैं।

विन्यास प्रतिरूप की अवधारणा का उपयोग करके किनारों की अपेक्षित संख्या की गणना की जाएगी। समाकृति प्रतिरूप एक विशेष संजाल का एक यादृच्छिक अनुभूति है। $$n$$ पर्णग्रंथि के साथ एक संजाल दिया गया है, जहां प्रत्येक पर्णग्रंथि $$v$$ एक पर्णग्रंथि घात $$k_v$$ है, समाकृति प्रतिरूप प्रत्येक किनारे को दो हिस्सों में काटता है, और फिर प्रत्येक आधा किनारा, जिसे स्थूण कहा जाता है, उसको संजाल में किसी अन्य स्थूण के साथ बेतरतीब ढंग से फिर से जोड़ा जाता है, यहां तक ​​कि स्वपाश की अनुमति देता है (जो तब होता है जब एक स्थूण को दूसरे स्थूण से फिर से जोड़ा जाता है।) और दो पर्णग्रंथि के बीच कई-किनारे हैं। इस प्रकार, भले ही लेखाचित्र का पर्णग्रंथि घात वितरण बरकरार रहता है, समाकृति प्रतिरूप का परिणाम पूरी तरह से यादृच्छिक संजाल होता है।

पर्णग्रंथि के बीच किनारों की अपेक्षित संख्या
अब दो गांठों $$v$$ और $$w$$ पर विचार करें, क्रमशः पर्णग्रंथि घात $$k_v$$ और $$k_w$$ के साथ, जैसा कि एक बेतरतीब ढंग से पुनःतारन संजाल से वर्णित है। हम इन पर्णग्रंथि के बीच पूर्ण किनारों की अपेक्षित संख्या की गणना करते हैं।

आइए हम पर्णग्रंथि v के $$k_v$$ प्रतिपर्ण्स में से प्रत्येक पर विचार करें और उनके लिए संबंधित संकेतक चर {$$I_i^{(v,w)}$$ बनाएं, $$i = 1, \ldots, k_v$$, सहित $$I_i^{(v,w)} = 1$$ अगर $$i$$ प्रतिपर्ण इस विशेष यादृच्छित लेखाचित्र में पर्णग्रंथि w के $$k_w$$ प्रतिपर्ण्स में से किसी एक से संयोजित होता है। अगर ऐसा नहीं होता है, तो $$I_i^{(v,w)}=0$$ संयोजित होता है। चूँकि पर्णग्रंथि $$v$$ का $$i$$ स्टब किसी भी $$2m-1$$ शेष स्टब्स से समान संभावना के साथ जुड़ सकता है, और चूँकि $$k_w$$ स्टब्स हैं, यह पर्णग्रंथि $$w$$ से संबद्ध हो सकता है, स्पष्ट रूप से

p(I_i^{(v,w)} = 1) = E[I_i^{(v,w)}] = \frac{k_w}{2m-1} $$ पूर्ण किनारों की कुल संख्या $$J_{vw}$$ बीच में $$v$$ और $$w$$ बस $$J_{vw} = \sum_{i=1}^{k_v}I_i^{(v,w)}$$ है, तो इस मात्रा का अपेक्षित मूल्य निम्न है

E[J_{vw}] = E\left[\sum_{i=1}^{k_v} I_i^{(v,w)}\right] = \sum_{i=1}^{k_v} E[I_i^{(v,w)}] = \sum_{i=1}^{k_v} \frac{k_w}{2m-1} = \frac{k_v k_w}{2m - 1} $$ बड़ी संख्या में किनारों के साथ यादृच्छिक संजाल के लिए कई पाठ तब निम्नलिखित अनुमान लगाते हैं। जब m बड़ा होता है, तो वे उपरोक्त भाजक में 1 का घटाव छोड़ देते हैं और दो पर्णग्रंथि्स के बीच किनारों की अपेक्षित संख्या के लिए बस अनुमानित अभिव्यक्ति $$\frac{k_v k_w}{2m}$$ का उपयोग करते हैं। इसके अतिरिक्त, एक बड़े यादृच्छिक संजाल में, स्वपाश और बहु-अश्रि की संख्या गायब हो जाती है। स्वपाश और बहु-अश्रि को अनदेखा करने से कोई यह मान सकता है कि किसी भी दो पर्णग्रंथि के बीच अधिकतम एक किनारा है। उस स्तिथि में, $$J_{vw}$$ एक युग्मक संकेतक परिवर्त्य बन जाता है, इसलिए इसका अपेक्षित मान भी प्रायिकता है कि यह $$1$$ बराबर है, जिसका अर्थ है कि कोई पर्णग्रंथि के बीच उपस्थित किनारे की संभावना का अनुमान लगा सकता है।

प्रतिरुपकता
इसलिए, पर्णग्रंथि के बीच किनारों की वास्तविक संख्या के बीच का अंतर $$v$$ और $$w$$ और उनके बीच किनारों की अपेक्षित संख्या है

$$A_{vw} - \frac{k_v k_w}{2m}$$

सभी पर्णग्रंथि जोड़े पर योग करने से प्रतिरूपकता के लिए समीकरण $$Q$$ मिलता है।

यह ध्यान रखने के लिए महत्वपूर्ण है $$ केवल दो समुदायों में विभाजन के लिए सही है। पदानुक्रमित विभाजन (यानी दो समुदायों में विभाजन, फिर दो उप-समुदायों को आगे दो छोटे उप समुदायों में केवल Q को अधिकतम करने के लिए विभाजित किया गया) एक संजाल में कई समुदायों की पहचान करने के लिए एक संभावित दृष्टिकोण है। इसके अतिरिक्त, (3) एक संजाल को c समुदायों में विभाजित करने के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है।

जहां Eij समुदाय i में एक छोर के साथ किनारों का अंश है और दूसरा समुदाय j में है:

e_{ij}= \sum_{vw} \frac{A_{vw}}{2m} 1_{v\in c_i} 1_{w\in c_j} $$ और ai किनारों के सिरों का अंश है जो समुदाय i में शीर्ष से जुड़ा हुआ है:

a_i=\frac{k_i}{2m} = \sum_{j} e_{ij} $$

एकाधिक समुदाय पहचान का उदाहरण
हम 10 पर्णग्रंथि और 12 किनारों और निम्नलिखित आसन्न आव्यूह के साथ एक अप्रत्यक्ष संजाल पर विचार करते हैं।

लेखाचित्र में समुदायों को चित्र 1 में लाल, हरे और नीले पर्णग्रंथि समूहों द्वारा दर्शाया गया है। इष्टतम सामुदायिक विभाजन चित्र 2 में दर्शाए गए हैं।

आव्यूह सूत्रीकरण
प्रतिरूपकता का एक वैकल्पिक सूत्रीकरण, विशेष रूप से वर्णक्रमीय अनुकूलन कलन विधि में उपयोगी, इस प्रकार है। परिभाषित करना $$S_{vr}$$ होना $$1$$ यदि कोणबिंदु $$v$$ समूह $$r$$ और $$0$$ के अंतर्गत आता है। तब



\delta(c_v,c_w) = \sum_r S_{vr} S_{wr} $$ और इसलिए



Q = \frac{1}{2m} \sum_{vw} \sum_r \left[ A_{vw} - \frac{k_v k_w}{2m} \right] S_{vr} S_{wr} = \frac{1}{2m} \mathrm{Tr}(\mathbf{S}^\mathrm{T}\mathbf{BS}), $$ जहाँ $$S$$ तत्व वाले (गैर-वर्ग) आव्यूह है $$S_{v}$$ और $$B$$ तथाकथित प्रतिरुपकता आव्यूह है, जिसमें तत्व हैं



B_{vw} = A_{vw} - \frac{k_v k_w}{2m}. $$ प्रतिरूपकता आव्यूह की सभी पंक्तियों और स्तंभों का योग शून्य है, जिसका अर्थ है कि एक अविभाजित संजाल की प्रतिरूपकता भी हमेशा $$0$$ होती है।

केवल दो समुदायों में विभाजित संजाल के लिए, कोई वैकल्पिक रूप से $$s_v = \pm 1$$ को परिभाषित कर सकता है ताकि समुदाय को इंगित किया जा सके कि कौन सा पर्णग्रंथि $$v$$ संबंधित है, जिसके बाद



Q = {1\over 4m} \sum_{vw} B_{vw} s_v s_w = {1\over 4m} \mathbf{s}^\mathrm{T}\mathbf{Bs}, $$ जहाँ $$s$$ तत्वों के साथ स्तंभ सदिश $$s_v$$ है।

इस फलन का एक आइसिंग प्रचक्रण ग्लास के हैमिल्टनियन (परिमाण यांत्रिकी) के रूप में एक ही रूप है, एक संयोजन जिसका उपयोग सरल कंप्यूटर कलन विधि बनाने के लिए किया गया है, उदाहरण के लिए अनुकारित अनीलन का उपयोग करके, प्रतिरुपकता को अधिकतम करने के लिए किया गया है। समुदायों की स्वेच्छाचारी संख्या के लिए प्रतिरूपकता का सामान्य रूप पॉट्स प्रचक्रण ग्लास के बराबर है और इस स्तिथि के लिए भी इसी तरह के कलन विधि विकसित किए जा सकते हैं।

अत्युपपन्न
यद्यपि प्रतिरुपकता अधिकतमकरण की विधि शून्य प्रतिरूप से विचलन की गणना करके प्रेरित होती है, लेकिन इस विचलन की गणना सांख्यिकीय रूप से सुसंगत तरीके से नहीं की जाती है। इस वजह से, विधि कुख्यात रूप से उच्च समंकन समुदायों को अपने अशक्त प्रतिरूप (समाकृति प्रतिरूप) में पाती है, जो परिभाषा के अनुसार सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण नहीं हो सकता। इस वजह से, अनुभवजन्य संजाल में सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण सामुदायिक संरचना को शक्तिशाली रूप से प्राप्त करने के लिए विधि का उपयोग नहीं किया जा सकता है।

संकल्प सीमा
प्रतिरूपकता एक स्तवक के अंदर किनारों की संख्या की तुलना किनारों की अपेक्षित संख्या से करती है। यदि संजाल समान संख्या में पर्णग्रंथि के साथ एक यादृच्छिक संजाल था और जहां स्तवक में पाया जाएगा। प्रत्येक पर्णग्रंथि अपनी घात रखता है, लेकिन किनारों को अन्यथा बेतरतीब ढंग से जोड़ा जाता है। यह यादृच्छिक अशक्त प्रतिरूप स्पष्ट रूप से मानता है कि प्रत्येक पर्णग्रंथि संजाल के किसी अन्य पर्णग्रंथि से जुड़ा हो सकता है। यह धारणा हालांकि अनुचित है यदि संजाल बहुत बड़ा है, क्योंकि पर्णग्रंथि के क्षितिज में संजाल का एक छोटा सा हिस्सा सम्मिलित है, इसमें से अधिकांश को अनदेखा कर रहा है। इसके अतिरिक्त, इसका तात्पर्य यह है कि यदि संजाल का आकार बढ़ता है तो पर्णग्रंथि के दो समूहों के बीच किनारों की अपेक्षित संख्या घट जाती है। इसलिए, यदि कोई संजाल काफी बड़ा है, प्रतिरुपकता के नल प्रतिरूप में पर्णग्रंथि के दो समूहों के बीच किनारों की अपेक्षित संख्या एक से छोटी हो सकती है। यदि ऐसा होता है, तो दो समूहों के बीच एक किनारे को प्रतिरूपकता द्वारा दो समूहों के बीच एक शक्तिशाली सहसंबंध के संकेत के रूप में व्याख्या की जाएगी, और प्रतिरूपकता को अनुकूलित करने से समूहों की विशेषताओं से स्वतंत्र रूप से दो समूहों का विलय हो जाएगा। इसलिए, यहां तक ​​​​कि शक्तिहीन रूप से जुड़े हुए पूर्ण लेखाचित्र, जिनमें आंतरिक किनारों का उच्चतम संभव घनत्व है, और सर्वोत्तम पहचान योग्य समुदायों का प्रतिनिधित्व करते हैं, यदि संजाल पर्याप्त रूप से बड़ा था, तो प्रतिरुपकता अनुकूलीकरण द्वारा विलय कर दिया जाएगा। इस कारण से, बड़े संजाल में प्रतिरूपकता का अनुकूलन छोटे समुदायों को हल करने में विफल होगा, भले ही वे अच्छी तरह से परिभाषित हों। यह पक्षपात प्रतिरुपकता अनुकूलीकरण जैसे तरीकों के लिए अनिवार्य है, जो वैश्विक शून्य प्रतिरूप पर भरोसा करते हैं।

बहुविकल्पी विधियाँ
दो मुख्य दृष्टिकोण हैं जो प्रतिरुपकता संदर्भ के भीतर संकल्प सीमा को हल करने का प्रयास करते हैं: प्रत्येक पर्णग्रंथि के लिए प्रतिरोध आर के अतिरिक्त, एक आत्म पाश के रूप में, जो बढ़ता है (r > 0) या घटता है (r <0) घटता है ; या प्रतिरुपकता की परिभाषा में अक्षम-विभक्ति अवधि के सामने एक मापदण्ड γ>0 जोड़ना, जो समुदायों के आंतरिक संयोजन और नल प्रतिरूप के बीच सापेक्ष महत्व को नियंत्रित करता है। इन मापदंडों के मूल्यों के लिए उनकी संबंधित उपयुक्त श्रेणियों में प्रतिरूपकता का अनुकूलन, संजाल के पूरे मध्य मापक्रम को पुनर्प्राप्त करना संभव है, मध्य मापक्रम से जिसमें सभी पर्णग्रंथि एक ही समुदाय से संबंधित हैं, सूक्ष्म मापक्रम पर जिसमें प्रत्येक पर्णग्रंथि अपना समुदाय बनाता है। हालाँकि, यह दिखाया गया है कि इन विधियों की सीमाएँ हैं जब समुदाय आकार में बहुत विषम हैं।

सॉफ्टवेयर उपकरण
ऐसे कुछ सॉफ़्टवेयर उपकरण उपलब्ध हैं जो अच्छी प्रतिरुपकता वाले लेखाचित्र में गुच्छन की गणना करने में सक्षम हैं।

बहु-स्तरीय लौवेन पद्धति का मूल कार्यान्वयन।

लीडेन कलन विधि जो अतिरिक्त रूप से असंबद्ध समुदायों से बचा जाता है।

विएना लेखाचित्र गुच्छन (वीईक्लस) कलन विधि, एक समानांतर मेमेटिक कलन विधि।

यह भी देखें

 * जटिल संजाल
 * सामुदायिक संरचना
 * अशक्त प्रतिरूप
 * परकोलेशन सिद्धांत