मिश्रित पॉइसन वितरण

मिश्रित पॉइसन वितरण स्टोचैस्टिक्स में एक यूनीवेरिएट वितरण असतत संभाव्यता वितरण है। यह यह मानने से उत्पन्न होता है कि एक यादृच्छिक चर का सशर्त वितरण, दर पैरामीटर के मान को देखते हुए, एक पॉइसन वितरण है, और स्केल पैरामीटर # दर पैरामीटर को स्वयं एक यादृच्छिक चर माना जाता है। इसलिए यह मिश्रित संभाव्यता वितरण का एक विशेष मामला है। मिश्रित पॉइसन वितरण को बीमांकिक विज्ञान में दावों की संख्या के वितरण के लिए एक सामान्य दृष्टिकोण के रूप में पाया जा सकता है और इसे संक्रामक रोग के गणितीय मॉडलिंग के रूप में भी जांचा जाता है। इसे यौगिक पॉइसन वितरण या यौगिक पॉइसन प्रक्रिया के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए।

परिभाषा
एक यादृच्छिक चर X घनत्व के साथ मिश्रित पॉइसन वितरण को संतुष्ट करता है π(λ) यदि इसमें संभाव्यता वितरण है
 * $$\operatorname{P}(X=k) = \int_0^\infty \frac{\lambda^k}{k!}e^{-\lambda} \,\,\pi(\lambda)\,\mathrm d\lambda. $$

यदि हम पॉइसन वितरण की संभावनाओं को q द्वारा निरूपित करते हैंλ(ठीक है फिर


 * $$\operatorname{P}(X=k) = \int_0^\infty q_\lambda(k) \,\,\pi(\lambda)\,\mathrm d\lambda. $$

गुण

 * विचरण हमेशा अपेक्षित मूल्य से बड़ा होता है। इस गुण को अतिप्रकीर्णन कहा जाता है। यह पॉइसन वितरण के विपरीत है जहां माध्य और विचरण समान हैं।
 * व्यवहार में, लगभग केवल गामा वितरण, लॉग-सामान्य वितरण और व्युत्क्रम गाऊसी वितरण के घनत्व का उपयोग घनत्व के रूप में किया जाता है π(λ). यदि हम गामा वितरण का घनत्व चुनते हैं, तो हमें नकारात्मक द्विपद वितरण मिलता है, जो बताता है कि इसे पॉइसन गामा वितरण भी क्यों कहा जाता है।

निम्नलिखित में चलो $$\mu_\pi=\int\limits_0^\infty \lambda \,\,\pi(\lambda) \, d\lambda\,$$ घनत्व का अपेक्षित मान हो $$\pi(\lambda)\,$$ और $$\sigma_\pi^2 = \int\limits_0^\infty (\lambda-\mu_\pi)^2 \,\,\pi(\lambda) \, d\lambda\,$$ घनत्व का विचरण हो.

अपेक्षित मूल्य
मिश्रित पॉइसन वितरण का अपेक्षित मूल्य है


 * $$\operatorname{E}(X)  = \mu_\pi.$$

भिन्नता
भिन्नता के लिए एक मिलता है


 * $$\operatorname{Var}(X) = \mu_\pi+\sigma_\pi^2. $$

तिरछापन
तिरछापन को इस प्रकार दर्शाया जा सकता है


 * $$\operatorname{v}(X) = \Bigl(\mu_\pi+\sigma_\pi^2\Bigr)^{-3/2} \,\Biggl[\int_0^\infty(\lambda-\mu_\pi)^3\,\pi(\lambda)\,d{\lambda}+\mu_\pi\Biggr].$$

विशेषता कार्य
चारित्रिक कार्य का रूप होता है


 * $$\varphi_X(s)   = M_\pi(e^{is}-1).\,$$

कहाँ $$ M_\pi $$ घनत्व का क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य है।

संभाव्यता उत्पन्न करने वाला फलन
संभाव्यता उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन के लिए, कोई प्राप्त करता है


 * $$m_X(s) = M_\pi(s-1).\,$$

क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य
मिश्रित पॉइसन वितरण का क्षण-उत्पादक कार्य है


 * $$M_X(s) = M_\pi(e^s-1).\,$$

साहित्य

 * जान ग्रैंडेल: मिश्रित पॉइसन प्रक्रियाएं। चैपमैन एंड हॉल, लंदन 1997, आईएसबीएन 0-412-78700-8.
 * टॉम ब्रिटन: अनुमान के साथ स्टोकेस्टिक महामारी मॉडल। स्प्रिंगर, 2019,