अक्षीय सदिश

भौतिकी और गणित में, एक छद्म सदिश (या अक्षीय सदिश) एक राशि है जो कई स्थितियों में एक सदिश के जैसा व्यवहार करती है, लेकिन इसकी दिशा तब अनुरूप नहीं होती है जब वस्तु को घूर्णन, स्थानांतरण, परावर्तन, आदि द्वारा दृढ़ता से रूपांतरित कर दिया जाता है। ऐसा तब भी हो सकता है जब समष्टि का अभिविन्यास बदल दिया जाता है। उदाहरण के लिए, कोणीय संवेग एक छद्मसदिश है क्योंकि इसे अधिकतर एक सदिश के रूप में वर्णित किया जाता है, लेकिन केवल संदर्भ की स्थिति को बदलने (और स्थिति सदिश को बदलने) से, कोणीय संवेग 'सदिश' दिशा को उत्क्रमित कर सकता है। यह दिशा उत्क्रमण वास्तविक सदिश के साथ नहीं होना चाहिए।

तीन आयामों में, एक बिंदु पर एक ध्रुवीय सदिश क्षेत्र का कर्ल और दो ध्रुवीय सदिशों का सदिश गुणनफल छद्मसदिश हैं।

छद्मसदिश का एक उदाहरण एक अभिविन्यस्त समतल का अभिलम्ब है। एक अभिविन्यस्त समतल को दो गैर-समानांतर सदिशों, a और b द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, जो समतल को स्पैन करते हैं। सदिश a × b समतल के लिए एक अभिलम्ब है (दो अभिलम्ब हैं, प्रत्येक तरफ एक - दाहिने हाथ का नियम यह निर्धारित करेगा कि कौन सा), और एक छद्मसदिश है। कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में इसके परिणाम होते हैं, जहां सतही अभिलंबों का रूपांतरण करते समय इस पर विचार करना पड़ता है।

भौतिकी में कई राशियाँ ध्रुवीय सदिशों के बजाय छद्मसदिश के रूप में व्यवहार करती हैं, जिनमें चुंबकीय क्षेत्र और कोणीय वेग सम्मिलित हैं। गणित में, तीन-आयामों में, छद्मसदिश बायवेक्टर के बराबर होते हैं, जिससे छद्मसदिश के रूपांतरण नियम प्राप्त किए जा सकते हैं। अधिक आम तौर पर n-विमीय ज्यामितीय बीजगणित में छद्मसदिश विमा n − 1 के साथ बीजगणित के अवयव होते हैं, जिसे ⋀n−1'R'n लिखा जाता है। लेबल "छद्म" को छद्मअदिश और छद्मप्रदिश के लिए और अधिक व्यापकीकृत किया जा सकता है, जो दोनों एक वास्तविक अदिश या प्रदिश की तुलना में अनुचित घूर्णनों के अंतर्गत एक अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप प्राप्त करते हैं।

भौतिक उदाहरण
छद्मसदिशों के भौतिक उदाहरणों में बलाघूर्ण, कोणीय वेग, कोणीय संवेग, चुंबकीय क्षेत्र, और चुंबकीय द्विध्रुवी आघूर्ण सम्मिलित हैं |

छद्मसदिश कोणीय संवेग L = Σ(r × p) पर विचार करें। कार में ड्राइविंग करते समय, और आगे देखते हुए, प्रत्येक पहिये में बाईं ओर संकेतन करने वाला एक कोणीय संवेग सदिश होता है। यदि दुनिया एक दर्पण में परावर्तित होती है जो कार के बाएं और दाएं तरफ स्विच करती है, तो इस कोणीय संवेग "सदिश" का "परावर्तन" (एक साधारण सदिश के रूप में देखा जाता है) दाईं ओर संकेत करता है, लेकिन पहिए का वास्तविक कोणीय संवेग सदिश (जो अभी भी प्रतिबिंब में आगे की ओर मुड़ रहा है) अभी भी बाईं ओर संकेत करता है, जो एक छद्मसदिश के परावर्तन में अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप के अनुरूप है।

भौतिकी तंत्रों के समाधान पर सममिति के प्रभाव को समझने में ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश के मध्य अंतर महत्वपूर्ण हो जाता है। z = 0 समतल में एक विद्युत धारा पाश पर विचार करें, जो पाश के भीतर z दिशा में अभिविन्यस्त एक चुंबकीय क्षेत्र उत्पन्न करता है। यह तंत्र इस समतल के माध्यम से दर्पण परावर्तन के अंतर्गत सममित (निश्चर) है, परावर्तन द्वारा चुंबकीय क्षेत्र अपरिवर्तित है। लेकिन उस समतल के माध्यम से चुंबकीय क्षेत्र को एक सदिश के रूप में परावर्तित करने से इसके उत्क्रम होने की अपेक्षा की जाएगी; इस अपेक्षा को यह समझकर ठीक किया जाता है कि चुंबकीय क्षेत्र एक छद्मसदिश है, जिसमें अतिरिक्त चिन्ह फ्लिप इसे अपरिवर्तित छोड़ देता है।

भौतिकी में, छद्मसदिश आम तौर पर दो ध्रुवीय सदिशों के सदिश गुणनफल या ध्रुवीय सदिश क्षेत्र के कर्ल को लेने के परिणाम होते हैं। सदिश गुणनफल और कर्ल को कन्वेंशन के अनुसार, दाहिने हाथ के नियम के अनुसार परिभाषित किया गया है, लेकिन इसे बाएं हाथ के नियम के पदों में भी उतनी ही आसानी से परिभाषित किया जा सकता था। भौतिकी का संपूर्ण निकाय जो (दाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और दाएँ हाथ के नियम से संबंधित है, बिना किसी समस्या के (बाएँ हाथ के) छद्मसदिशों और बाएँ हाथ के नियम का उपयोग करके प्रतिस्थापन किया जा सकता है। इस प्रकार परिभाषित (बाएं) छद्मसदिश दाएं हाथ के नियम द्वारा परिभाषित दिशा में विपरीत होंगे।

जबकि भौतिकी में सदिश संबंधों को निर्देशांक-मुक्त तरीकों से व्यक्त किया जा सकता है, सदिश और छद्मसदिश को संख्यात्मक राशियों के रूप में व्यक्त करने के लिए एक निर्देशांक पद्धति की आवश्यकता होती है। सदिशों को संख्याओं के क्रमित त्रिक के रूप में दर्शाया जाता है: उदाहरण के लिए $$\mathbf{a}=(a_x,a_y,a_z)$$, और छद्मसदिशों को इस रूप में भी दर्शाया गया है। बाएं और दाएं हाथ की निर्देशांक पद्धतियों के मध्य रूपांतरण करते समय, छद्मसदिशों का निरूपण सदिशों के रूप में रूपांतरित नहीं होता है| यह समस्या उपस्थित नहीं है यदि दो सदिशों के सदिश गुणनफल को दो सदिशों के बाह्य गुणनफल द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, जो एक बायवेक्टर उत्पन्न करता है जो 2 रैंक प्रदिश है और 3×3 मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। 2-प्रदिश का यह निरूपण किन्हीं दो निर्देशांक पद्धतियों के मध्य, उनकी सहजता से स्वतंत्र रूप से, सही ढंग से रूपांतरित होता है।

विवरण
भौतिकी में "सदिश" की परिभाषा (ध्रुवीय सदिश और छद्मसदिश दोनों सहित) "सदिश" (अर्थात्, अमूर्त सदिश समष्टि का कोई भी अवयव) की गणितीय परिभाषा से अधिक विशिष्ट है। भौतिकी की परिभाषा के अंतर्गत, एक "सदिश" में ऐसे घटकों की आवश्यकता होती है जो उचित घूर्णन के अंतर्गत एक निश्चित तरीके से "रूपांतरित" होते हैं: विशेष रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ घूर्णित किया जाए, तो सदिश बिल्कुल उसी प्रकार से घूर्णित होता है। (इस परिचर्चा में निर्देशांक पद्धति निर्धारित की गई है; दूसरे शब्दों में यह सक्रिय रूपांतरणों का परिप्रेक्ष्य है।) गणितीय रूप से, यदि ब्रह्मांड में सब कुछ एक घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा वर्णित घूर्णन से गुजरता है, ताकि एक विस्थापन सदिश x x = Rx में रूपांतरित हो जाए, तो किसी भी "सदिश" v को इसी प्रकार v = Rv में रूपांतरित किया जाना चाहिए। यह महत्वपूर्ण आवश्यकता ही एक सदिश (जो उदाहरण के लिए, वेग के x-, y- और z-घटकों से बना हो सकता है) को भौतिक राशियों के किसी भी अन्य त्रिक से अलग करती है (उदाहरण के लिए, एक आयताकार बॉक्स की लंबाई, चौड़ाई और ऊंचाई को सदिश के तीन घटक नहीं माने जा सकते हैं, क्योंकि बॉक्स को घुमाने से ये तीन घटक उचित रूप से रूपांतरित नहीं होते हैं।)

(अवकल ज्यामिति की भाषा में, यह आवश्यकता एक सदिश को सहप्रसरण का प्रदिश और कोटि एक के सदिश के प्रतिपरिवर्त को परिभाषित करने के तुल्य है। इस अधिक सामान्य फ्रेमवर्क में, उच्च कोटि प्रदिशों में स्वेच्छतः से कई और मिश्रित सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्त कोटि भी हो सकते हैं, जो आइंस्टीन संकलन प्रथा (कन्वेंशन) के भीतर उन्नत और कम सूचकांकों द्वारा दर्शाए जाते हैं।

सामान्य मैट्रिक्स गुणन संकारक के अंतर्गत पंक्ति और स्तंभ सदिशों के मूल और ठोस उदाहरण हैं: एक अनुक्रम में वे अदिश गुणनफल प्राप्त करते हैं, जो सिर्फ एक अदिश राशि है और इस प्रकार एक कोटि शून्य प्रदिश है, जबकि दूसरे में वे द्वैयकीय गुणनफल प्राप्त करते हैं, जिसमें एक प्रतिपरिवर्त और एक सहपरिवर्ती सूचकांक होता है। इस प्रकार, मानक मैट्रिक्स बीजगणित की गैर-क्रमविनिमेयता का उपयोग सहपरिवर्ती और प्रतिपरिवर्ती सदिशों के मध्य भिन्नता का अनुरेख रखने के लिए किया जा सकता है। वास्तव में, अधिक औपचारिक और व्यापकीकृत प्रदिश संकेतन के आने से पहले बहीखाता पद्धति इसी प्रकार की जाती थी। यह अभी भी स्वयं प्रकट होता है कि व्यावहारिक प्रहस्तन के लिए सामान्य प्रदिश समष्‍टि के मूल सदिश को कैसे प्रदर्शित किया जाता है।)

अब तक की परिचर्चा केवल उचित घूर्णन, यानी एक अक्ष के चारों ओर घूर्णन से संबंधित है। हालाँकि, कोई अनुचित घूर्णन पर भी विचार कर सकता है, अर्थात दर्पण-परावर्तन के बाद संभवतः उचित घूर्णन होता है। (अनुचित घूर्णन का एक उदाहरण 3-विमीय समष्टि में एक बिंदु के माध्यम से व्युत्क्रमण है।) मान लीजिए कि ब्रह्मांड में हर चीज अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा वर्णित एक अनुचित घूर्णन से गुजरती है, जिससे एक स्थिति सदिश x x = Rx में रूपांतरित हो जाता है। यदि सदिश v एक ध्रुवीय सदिश है, तो इसे v = Rv में रूपांतरित कर दिया जाता है। यदि यह एक छद्मसदिश है, तो इसे v = −Rv में रूपांतरित कर दिया जाता है।

ध्रुवीय सदिशों और छद्मसदिशों के लिए रूपांतरण नियमों को संक्षिप्त रूप से इस प्रकार बताया जा सकता है



\begin{align} \mathbf{v}' & = R\mathbf{v} & & \text{(polar vector)} \\ \mathbf{v}' & = (\det R)(R\mathbf{v}) & & \text{(pseudovector)} \end{align} $$ जहां प्रतीक ऊपर वर्णित अनुसार हैं, और घूर्णन मैट्रिक्स R या तो उचित या अनुचित हो सकते हैं। प्रतीक det सारणिक (डिटर्मिनेंट) को दर्शाता है; यह सूत्र काम करता है क्योंकि उचित और अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स के सारणिक क्रमशः +1 और -1 हैं।

योग, व्यवकलन, अदिश गुणन के अंतर्गत व्यवहार
मान लीजिए v1 और v2 ज्ञात छद्मसदिश हैं, और v3 को उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, v3 = v1 + v2 | यदि ब्रह्मांड को घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा रूपांतरित किया जाता है, तो v3 को रूपांतरित किया जाता है



\begin{align} \mathbf{v_3}' = \mathbf{v_1}'+\mathbf{v_2}' & = (\det R)(R\mathbf{v_1}) + (\det R)(R\mathbf{v_2}) \\ & = (\det R)(R(\mathbf{v_1}+\mathbf{v_2}))=(\det R)(R\mathbf{v_3}). \end{align} $$ तो v3 एक छद्मसदिश भी है| इसी प्रकार कोई यह दिखा सकता है कि दो छद्मसदिशों के मध्य का अंतर एक छद्मसदिश है, कि दो ध्रुवीय सदिशों का योग या अंतर एक ध्रुवीय सदिश है, कि एक ध्रुवीय सदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक और ध्रुवीय सदिश प्राप्त होता है, और एक छद्मसदिश को किसी भी वास्तविक संख्या से गुणा करने पर एक अन्य छद्मसदिश प्राप्त होता है।

दूसरी ओर, मान लीजिए कि v1 को एक ध्रुवीय सदिश के रूप में जाना जाता है, v2 को एक छद्मसदिश के रूप में जाना जाता है, और v3 को उनके योग के रूप में परिभाषित किया गया है, v3 = v1 + v2 | यदि ब्रह्माण्ड एक अनुचित घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा रूपांतरित होता है, तो v3 में रूपांतरित होता है



\mathbf{v_3}' = \mathbf{v_1}'+\mathbf{v_2}' = (R\mathbf{v_1}) + (\det R)(R\mathbf{v_2}) = R(\mathbf{v_1}+(\det R) \mathbf{v_2}). $$ इसलिए, v3 न तो एक ध्रुवीय सदिश है और न ही छद्मसदिश है (हालांकि भौतिकी की परिभाषा के अनुसार यह अभी भी एक सदिश है)। अनुचित घूर्णन के लिए, v3 सामान्यतः समान परिमाण भी नहीं रखता:


 * $$|\mathbf{v_3}| = |\mathbf{v_1}+\mathbf{v_2}|, \text{ but } \left|\mathbf{v_3}'\right| = \left|\mathbf{v_1}'-\mathbf{v_2}'\right|$$.

यदि v3 का परिमाण एक मापनीय भौतिक राशि का वर्णन करता है तो इसका अर्थ यह होगा कि यदि ब्रह्मांड को दर्पण में देखा जाए तो भौतिकी के नियम समान नहीं दिखेंगे। वास्तव में, दुर्बल अंतःक्रिया में ठीक यही होता है: कुछ रेडियोधर्मी क्षय "बाएँ" और "दाएँ" को अलग-अलग तरीके से व्यवहार करते हैं | (समता खंडन देखें।)

सदिश गुणनफलों के अंतर्गत व्यवहार

 * $$(R\mathbf{v_1})\times(R\mathbf{v_2}) = (\det R)(R(\mathbf{v_1}\times\mathbf{v_2}))$$,

जहां v1 और v2 कोई त्रि-विमीय सदिश हैं। (यह समीकरण या तो ज्यामितीय तर्क के माध्यम से या बीजगणितीय गणना के माध्यम से सिद्ध किया जा सकता है।)

मान लीजिए कि v1 और v2 ज्ञात ध्रुवीय सदिश हैं, और v3 को उनके सदिश गुणनफल, v3 = v1 × v2 के रूप में परिभाषित किया गया है। यदि ब्रह्मांड को घूर्णन मैट्रिक्स R द्वारा रूपांतरित किया जाता है, तो v3 को रूपांतरित किया जाता है
 * $$\mathbf{v_3}' = \mathbf{v_1}' \times \mathbf{v_2}' = (R\mathbf{v_1}) \times (R\mathbf{v_2}) = (\det R)(R(\mathbf{v_1} \times \mathbf{v_2})) = (\det R)(R\mathbf{v_3}).$$

तो v3 एक छद्मसदिश है| इसी प्रकार, कोई यह दिखा सकता है: यह योग मापांक 2 का समरूपी है, जहां "ध्रुवीय" 1 और "छद्म" 0 के संगत होता है।
 * ध्रुवीय सदिश × ध्रुवीय सदिश = छद्मसदिश
 * छद्मसदिश× छद्मसदिश= छद्मसदिश
 * ध्रुवीय सदिश × छद्म सदिश= ध्रुवीय सदिश
 * छद्मसदिश × ध्रुवीय सदिश = ध्रुवीय सदिश

उदाहरण
परिभाषा से यह स्पष्ट है कि विस्थापन सदिश एक ध्रुवीय सदिश है। वेग सदिश एक विस्थापन सदिश (एक ध्रुवीय सदिश) है जो समय (एक अदिश राशि) से विभाजित होता है, इसलिए यह एक ध्रुवीय सदिश भी है। इसी प्रकार, संवेग सदिश वेग सदिश (एक ध्रुवीय सदिश) गुना द्रव्यमान (एक अदिश) है, इसलिए एक ध्रुवीय सदिश है। कोणीय संवेग एक विस्थापन (एक ध्रुवीय सदिश) और संवेग (एक ध्रुवीय सदिश) का सदिश गुणनफल है, और इसलिए यह एक छद्मसदिश है। इस प्रकार से जारी रखते हुए, भौतिकी में किसी भी सामान्य सदिश को छद्मसदिश या ध्रुवीय सदिश के रूप में वर्गीकृत करना सरल है। (दुर्बल-अन्योन्य क्रिया के सिद्धांत में समता-खंडन वाले सदिश हैं, जो न तो ध्रुवीय सदिश हैं और न ही छद्मसदिश हैं। हालांकि, ये भौतिकी में बहुत कम ही होते हैं।)

दाहिने हाथ का नियम
ऊपर, सक्रिय रूपांतरणों का उपयोग करके छद्मसदिशों पर परिचर्चा की गई है। एक वैकल्पिक दृष्टिकोण, निष्क्रिय रूपांतरणों की पद्धति पर, ब्रह्मांड को नियत रखना है, लेकिन गणित और भौतिकी में हर जगह "दाएं हाथ के नियम" को "बाएं हाथ के नियम" से बदलना है, जिसमें सदिश गुणनफल और कर्ल की परिभाषा भी सम्मिलित है। कोई भी ध्रुवीय सदिश (उदाहरण के लिए, एक स्थानांतरण सदिश) अपरिवर्तित होता है, लेकिन छद्मसदिश (उदाहरण के लिए, एक बिंदु पर चुंबकीय क्षेत्र सदिश) चिन्हों को बदल देता है। फिर भी, कुछ रेडियोसक्रिय क्षयों जैसी समता-खंडन परिघटनाओं के अलावा, कोई भौतिक परिणाम नहीं होते हैं।

औपचारिकीकरण
छद्मसदिशों को औपचारिक बनाने का एक तरीका इस प्रकार है: यदि V एक n-विमीय सदिश समष्टि है, तो V का एक छद्मसदिश V की (n - 1)-वीं बाह्य घात का एक अवयव है: ⋀n−1(V)। V के छद्मसदिश V के समान आयाम वाला एक सदिश समष्टि बनाते हैं।

यह परिभाषा उस परिभाषा के समतुल्य नहीं है जिसके लिए अनुचित घूर्णन के अंतर्गत चिन्ह फ़्लिप की आवश्यकता होती है, लेकिन यह सभी सदिश समष्टि के लिए सामान्य है। विशेष रूप से, जब n सम होता है, तो ऐसे छद्मसदिशो को चिन्ह फ़्लिप का ज्ञान नहीं होता है, और जब V के अंतर्निहित क्षेत्र का पूर्णाश 2 होता है, तो चिन्ह फ़्लिप का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है। अन्यथा, परिभाषाएँ समतुल्य हैं, हालाँकि यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि अतिरिक्त संरचना (विशेष रूप से, या तो आयतन रूप या अभिविन्यास) के बिना, V के साथ ⋀n−1(V) की कोई प्राकृतिक पहचान नहीं है।

उन्हें औपचारिक बनाने का दूसरा तरीका उन्हें $$\text{O}(n)$$ के निरूपण समष्टि के अवयवों के रूप में मानना ​​है। सदिश $$(\mathbb{R}^n, \rho_{\text{fund}}, \text{O}(n))$$ द्वारा दिए गए डेटा O(n) के साथ मूलभूत निरूपण में रूपांतरित हो जाते हैं, ताकि किसी भी मैट्रिक्स के लिए $$R$$ में $$\text{O}(n)$$, किसी के पास $$\rho_{\text{fund}}(R) = R$$ हो| छद्मसदिश $$(\mathbb{R}^n, \rho_{\text{pseudo}}, \text{O}(n))$$ के साथ मूल निरूपण $$\rho_{\text{pseudo}}(R) = \det(R)R$$ में रूपांतरित हो जाते हैं। $$n$$ विषम की समरूपता को इस स्थिति $$\text{O}(n) \cong \text{SO}(n)\times \mathbb{Z}_2$$में देखा जा सकता है| तब $$\rho_{\text{pseudo}}$$ समूह समरूपता का प्रत्यक्ष गुणनफल है; यह $$\mathbb{Z}_2$$पर साधारण समरूपता के साथ So(n) पर मूलभूत समरूपता का प्रत्यक्ष गुणनफल है।

ज्यामितीय बीजगणित
ज्यामितीय बीजगणित में मूल अवयव सदिश होते हैं, और इनका उपयोग इस बीजगणित में गुणनफलों की परिभाषाओं का उपयोग करके अवयवों का पदानुक्रम बनाने के लिए किया जाता है। विशेष रूप से, बीजगणित सदिशों से छद्मसदिश बनाता है।

ज्यामितीय बीजगणित में मूल गुणन ज्यामितीय गुणनफल है, जिसे ab में दो सदिशों को जोड़कर दर्शाया जाता है। यह गुणनफल इस प्रकार व्यक्त किया गया है:


 * $$ \mathbf {ab} = \mathbf {a \cdot b} +\mathbf {a \wedge b} \, $$

जहां अग्रणी पद प्रथागत सदिश गुणनफल है और दूसरे पद को वेज गुणनफल कहा जाता है। बीजगणित की अभिधारणाओं का उपयोग करके, सदिश और वेज गुणनफलों के सभी संयोजनों का मूल्यांकन किया जा सकता है। विभिन्न संयोजनों का वर्णन करने के लिए एक शब्दावली प्रदान की गई है। उदाहरण के लिए, एक बहुसदिश विभिन्न k-मानों के k-फोल्ड वेज गुणनफलों का एक योग है। k-फ़ोल्ड वेज गुणनफल को k-ब्लेड के रूप में भी जाना जाता है।

वर्तमान संदर्भ में छद्मसदिश इन संयोजनों में से एक है। यह पद समष्टि के आयामों (अर्थात्, समष्टि में रैखिक रूप से स्वतंत्र सदिशों की संख्या) के आधार पर एक अलग बहुसदिश से जुड़ा हुआ है। तीन आयामों में, सबसे सामान्य 2-ब्लेड या द्विसदिश को दो सदिशों के वेज गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है और यह एक छद्मसदिश है। हालाँकि, चार आयामों में, छद्मसदिश त्रिसदिश हैं। सामान्य तौर पर, यह एक (n − 1)-ब्लेड है, जहां n समष्टि और बीजगणित का आयाम है। एक n-विमीय समष्टि में n आधार सदिश और n आधार छद्मसदिश भी होते हैं। कई आधार छद्म सदिश n आधार सदिशों में से एक को छोड़कर सभी के बाह्य (वेज) गुणनफल से बनते हैं। उदाहरण के लिए, चार आयामों में जहां आधार सदिशों को {e1, e2, e3, e4} माना जाता है, छद्मसदिशों को इस प्रकार लिखा जा सकता है: {e234, e134, e124, e123} |

तीन आयामों में परिवर्तन
तीन आयामों में छद्म सदिश के रूपांतरण गुणों की तुलना बेलिस द्वारा सदिश सदिश गुणनफल से की गई है। वह कहते हैं: "अक्षीय सदिश और छद्म सदिश को अधिकतर समानार्थी माना जाता है, लेकिन द्विसदिश को उसके द्वैती से विभेदन करने में सक्षम होना काफी उपयोगी है।" बेलिस की व्याख्या करने के लिए: तीन आयामों में दो ध्रुवीय सदिश (अर्थात, वास्तविक सदिश) ' a ' और ' b ' को देखते हुए, ' a ' और ' b ' से बना सदिश गुणनफल c = a × b द्वारा दिए गए उनके समतल के लिए सामान्य सदिश है। दाएं हाथ के ऑर्थोनॉर्मल आधार सदिश { eℓ } के एक समुच्चय को देखते हुए, सदिश गुणनफल को इसके घटकों के पदों में इस प्रकार व्यक्त किया जाता है:


 * $$\mathbf {a} \times \mathbf{b} = \left(a^2b^3 - a^3b^2\right) \mathbf {e}_1 + \left(a^3b^1 - a^1b^3\right) \mathbf {e}_2 + \left(a^1b^2 - a^2b^1\right) \mathbf {e}_3 ,$$

जहां सुपरस्क्रिप्ट सदिश घटकों को अंकित करते हैं। दूसरी ओर, दो सदिशों के तल को बाह्य गुणनफल या वेज गुणनफल द्वारा निरूपित किया जाता है जिसे a ∧ b द्वारा दर्शाया जाता है।ज्यामितीय बीजगणित के इस संदर्भ में, इस द्विसदिश को छद्मसदिश कहा जाता है, और यह सदिश गुणनफल का हॉज द्वैत है। e1 के द्वैत को e23 ≡ e2 ∧ e3 आदि के रूप में प्रस्तुत किया गया है। अर्थात, e1 का द्वैत,  e1 के लंबवत उपसमष्‍टि है, अर्थात् e2 और e3 द्वारा फैला हुआ उपसमष्‍टि  है। इस समझ के साथ,
 * $$ \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \left(a^2b^3 - a^3b^2\right) \mathbf {e}_{23} + \left(a^3b^1 - a^1b^3\right) \mathbf {e}_{31} + \left(a^1b^2 - a^2b^1\right) \mathbf {e}_{12} \ . $$

विवरण के लिए, हॉज स्टार संकारक § तीन आयाम देखें। सदिश गुणनफल और वेज गुणनफल निम्न से संबंधित हैं:


 * $$\mathbf {a} \ \wedge \ \mathbf{b} = \mathit i \ \mathbf {a} \ \times \ \mathbf{b} \ ,$$

जहां को इकाई छद्म अदिश कहा जाता है।  इसके गुण है:
 * $$\mathit{i}^2 = -1 \ . $$

उपरोक्त संबंधों का उपयोग करते हुए, यह देखा गया है कि यदि आधार सदिश को स्थिर छोड़ते हुए सदिश a और b को उनके घटकों के चिन्हों को बदलकर व्युत्क्रमित कर दिया जाता है, तो छद्मसदिश और सदिश गुणनफल दोनों निश्चर होते हैं। दूसरी ओर, यदि घटक स्थिर हैं और आधार सदिश eℓ व्युत्क्रमित हैं, तो छद्मसदिश निश्चर है, लेकिन सदिश गुणनफल चिन्ह बदल देता हैं। सदिश गुणनफलों का यह व्यवहार सदिश-जैसे अवयवों के रूप में उनकी परिभाषा के अनुरूप है, जो ध्रुवीय सदिश के विपरीत, दाएं हाथ से बाएं हाथ की निर्देशांक पद्धति में रूपांतरण के अंतर्गत चिन्ह बदलते हैं।

उपयोग पर ध्यान दें
एक तरफ, यह ध्यान दिया जा सकता है कि ज्यामितीय बीजगणित के क्षेत्र में सभी लेखक छद्म सदिश पद का उपयोग नहीं करते हैं, और कुछ लेखक ऐसी शब्दावली का पालन करते हैं जो छद्मसदिश और सदिश गुणनफल के मध्य भेद नहीं करता है। हालाँकि, क्योंकि सदिश गुणनफल तीन आयामों के अलावा अन्य के लिए व्यापकीकरण नहीं करता है, इसलिए सदिश गुणनफल पर आधारित छद्मसदिश की धारणा को किसी अन्य संख्या के आयामों वाले समष्टि तक प्रसारित नहीं किया जा सकता है। एन-विमीय समष्टि में (n – 1)-ब्लेड के रूप में छद्मसदिश इस प्रकार से प्रतिबंधित नहीं है।

एक और महत्वपूर्ण बात यह है कि छद्मसदिश, अपने नाम के बावजूद, एक सदिश समष्टि के अवयव होने के अर्थ में "सदिश" हैं। विचार यह है कि "एक छद्मसदिश एक सदिश से भिन्न होता है |

यह भी देखें

 * बाह्य बीजगणित
 * क्लिफोर्ड बीजगणित
 * प्रतिसदिश, क्लिफोर्ड बीजगणित में छद्म सदिश का एक व्यापकीकरण
 * अभिविन्यसनीयता - गैर-अभिविन्यसनीय समष्टि के बारे में विचार-विमर्श।
 * प्रदिश घनत्व

संदर्भ

 * Axial vector at Encyclopaedia of Mathematics
 * : The dual of the wedge product a ∧ b is the cross product a × b.
 * Axial vector at Encyclopaedia of Mathematics
 * : The dual of the wedge product a ∧ b is the cross product a × b.
 * : The dual of the wedge product a ∧ b is the cross product a × b.
 * : The dual of the wedge product a ∧ b is the cross product a × b.
 * : The dual of the wedge product a ∧ b is the cross product a × b.