परिमाणीकरण

गणित और अंकीय संकेत प्रसंस्करण में परिमाणीकरण, एक बड़े समुच्चय (अक्सर एक सतत समुच्चय) से निविष्ट मानों को उत्पादित मानों के एक (गणनीय) छोटे समुच्चय में प्रतिचित्रण करने की प्रक्रिया है, अक्सर तत्वों की एक सीमित संख्या के साथ। पूर्णांकन और खंडन परिमाणीकरण प्रक्रियाओं के विशिष्ट उदाहरण हैं। परिमाणीकरण लगभग सभी अंकीय संकेत प्रक्रिया में कुछ हद तक शामिल है, क्योंकि अंकीय रूप में संकेत का प्रतिनिधित्व करने की प्रक्रिया में आमतौर पर पूर्णांकन करना शामिल होता है। परिमाणीकरण अनिवार्य रूप से सभी हानिपूर्ण संपीड़न कलन विधि का मूल है।

निविष्ट मान और उसके परिमाणित मान (जैसे पूर्णांक त्रुटि) के बीच के अंतर को परिमाणीकरण त्रुटि कहा जाता है। एक उपकरण या कलन विधि समीकरण जो परिमाणीकरण करता है उसे परमारीकरण कहा जाता है। एक अनुरूप अंकीय परिवर्तक संपरिवर्तित्र परिमारीकरण का एक उदाहरण है।

उदाहरण
उदाहरण के लिए, एक वास्तविक संख्या $$x$$ को निकटतम पूर्णांक मान में निकटतम पूर्णांक मान पूर्णांकन करने से एक मूल प्रकार का परिमाणक बनाता है - एक समान। कुछ मूल्यों को $$\Delta$$ (डेल्टा) के बराबर परिमाणीकरण चरण आकार के साथ एक विशिष्ट (मध्य-चलने वाले) समान परिमाणीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।


 * $$Q(x) = \Delta \cdot \left\lfloor \frac{x}{\Delta} + \frac{1}{2} \right\rfloor$$,

जहां अंकन $$ \lfloor \ \rfloor $$ फ्लोर फंक्शन (floor function) को दर्शाता है।

परिमाणक की आवश्यक संपत्ति में संभावित उत्पादन मूल्य सदस्यों के एक गणनीय समुच्चय होते हैं जो संभावित निविष्ट मानों के समुच्चय से छोटे होते हैं। उत्पादन मूल्य के समुच्चय के सदस्य पूर्णांक, परिमेय या वास्तविक मान हो सकते हैं। निकटतम पूर्णांक के लिए सरल पूर्णांकन के लिए, चरण आकार $$\Delta$$, 1 के बराबर है। $$\Delta = 1$$ या $$\Delta$$ किसी भी अन्य पूर्णांक मान के बराबर है, इस परिमाणक में वास्तविक-मूल्यवान निविष्ट और पूर्णांक-मूल्यवान उत्पादन (आउटपुट) होता है।

जब परिमाणीकरण चरण का आकार (Δ) संकेत में भिन्नता के सापेक्ष छोटा होता है, तो यह दिखाना अपेक्षाकृत सरल होता है कि इस तरह के पूर्णांकन संचालन द्वारा उत्पादित माध्य वर्ग त्रुटि लगभग $$\Delta^2/ 12$$ होगी।     माध्य वर्ग त्रुटि को परिमाणीकरण नॉइज़ पावर भी कहा जाता है। परिमाणक में एक बिट जोड़ने से $$\Delta$$ का मान आधा हो जाता है, जो कारक द्वारा नॉइज़ पावर कम कर देता है। डेसिबल के संदर्भ में, नॉइज़ पावर परिवर्तन $$\scriptstyle 10\cdot \log_{10}(1/4)\ \approx\ -6\ \mathrm{dB}.$$ है। चूंकि परिमाणक के संभावित उत्पादित मानों का समुच्चय गणनीय है, किसी भी परिमाणक को दो अलग-अलग चरणों में विघटित किया जा सकता है, जिसे वर्गीकरण चरण (या आगे परिमारीकरण चरण) और पुनर्निर्माण चरण (या उलटा परिमारीकरण चरण) के रूप में जाना जाता है, जहां वर्गीकरण चरण निविष्ट को एक पूर्णांक परिमाणीकरण सूचकांक $$k$$ और पुनर्निर्माण चरण सूचकांक को मैप करता है $$k$$ और पुनर्निर्माण चरण अनुक्रमणिका $$y_k$$ यह निविष्ट मान का उत्पादित सन्निकटन है।

उदाहरण के लिए ऊपर वर्णित एकसमान परिमाणक, एक अन्य परिमाणीकरण चरण, के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।
 * $$k = \left\lfloor \frac{x}{\Delta} + \frac{1}{2}\right\rfloor$$,

और इस उदाहरण के लिए पुनर्निर्माण चरण केवल परिमाणक है
 * $$y_k = k \cdot \Delta$$।

यह अपघटन परिमाणीकरण व्यवहार के संरचना और विश्लेषण के लिए उपयोगी है, और यह दर्शाता है कि संचार चैनल पर परिमाणित डेटा को कैसे संप्रेषित किया जा सकता है - एक स्रोत एनकोडर आगे की मात्राकरण चरण का प्रदर्शन कर सकता है और एक संचार चैनल और एक डिकोडर के माध्यम से सूचकांक की जानकारी भेज सकता है। मूल निविष्ट डेटा के उत्पादित सन्निकटन का उत्पादन करने के लिए पुनर्निर्माण चरण कर सकते हैं। सामान्य तौर पर, आगे परिमाणीकरण चरण किसी भी समीकरण का उपयोग कर सकता है जो निविष्ट डेटा को परिमाणीकरण सूचकांक डेटा के पूर्णांक स्थान पर मैप करता है, और उलटा परिमाणीकरण चरण प्रत्येक परिमाणीकरण अनुक्रमणिका को मैप करने के लिए अवधारणात्मक (या शाब्दिक रूप से) एक सारणी अवलोकन संचालन हो सकता है। इसी पुनर्निर्माण मूल्य, यह दो-चरण अपघटन वेक्टर के साथ-साथ अदिश परिमाणक पर भी समान रूप से लागू होता है।

गणितीय गुण
चूंकि परिमाणीकरण कई-से-कुछ मानचित्रण है, यह एक स्वाभाविक रूप से गैर-रैखिक और अपरिवर्तनीय प्रक्रिया है (यानी, क्योंकि एक ही उत्पादित मान एकाधिक निविष्ट मानों द्वारा साझा किया जाता है, सामान्य रूप से सटीक निविष्ट मान को पुनर्प्राप्त करना असंभव है जब केवल उत्पादित मान दिया गया)।

संभावित निविष्ट मानों का समुच्चय असीम रूप से बड़ा हो सकता है, और संभवतः निरंतर और बेशुमार हो सकता है (जैसे कि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, या कुछ सीमित सीमा के भीतर सभी वास्तविक संख्याएं)। संभावित उत्पादित मानों का समुच्चय परिमित या अनगिनत अनंत हो सकता है। परिमाणीकरण में शामिल इनपुट और आउटपुट सेट को सामान्य रूप से परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, वेक्टर क्वांटिज़ेशन बहु-आयामी (वेक्टर-मूल्यवान) निविष्ट डेटा के लिए प्रमाणीकरण का अनुप्रयोग है।

अनुरूप से अंकीय रूपांतरण
एक अनुरूप से अंकीय रूपांतरण (एडीसी) को दो प्रक्रियाओं के रूप में तैयार किया जा सकता है:प्रतिदर्श एक समय-भिन्न वोल्टेज संकेत को असतत-समय संकेत, वास्तविक संख्याओं के अनुक्रम में परिवर्तित करता है। परिमाणीकरण प्रत्येक वास्तविक संख्या को असतत मूल्यों के एक परिमित समुच्चय से सन्निकटन के साथ बदल देता है। आमतौर पर, इन असतत मूल्यों को निश्चित-बिंदु शर्तों के रूप में दर्शाया जाता है। हालांकि परिमाणीकरण स्तरों की कोई भी संख्या संभव है, सामान्य शब्द लंबाई 8-बिट (256 स्तर), 16-बिट (65,536 स्तर) और 24-बिट (16.8 मिलियन स्तर) हैं। संख्याओं के अनुक्रम को परिमाणित करने से परिमाणीकरण त्रुटियों का एक क्रम उत्पन्न होता है जिसे कभी-कभी इसके स्टोकेस्टिक व्यवहार के कारण परिमाणीकरण नॉइज़ नामक एक योज्य यादृच्छिक संकेत के रूप में तैयार किया जाता है। एक परिमाणक जितने अधिक स्तरों का उपयोग करता है, उसकी परिमाणीकरण नॉइज़ पावर उतनी ही कम होती है।

दर–विरूपण अनुकूलन
क्षतिपूर्ण सांख्यकी संपीड़न कलन विधि के लिए स्रोत कूटलेखन (source coding) में दर-विरूपण अनुकूलित परिमाणीकरण का सामना करना पड़ता है, जहां उद्देश्य संचार चैनल या भंडारण माध्यम द्वारा समर्थित बिट (bit) दर की सीमा के भीतर विकृति का प्रबंधन करना है। इस संदर्भ में परिमाणीकरण के विश्लेषण में सांख्यकी की मात्रा का अध्ययन करना शामिल है (आमतौर पर अंकों या बिट्स या बिट दरों में मापा जाता है) जिसका उपयोग परिमाणक के उत्पादित और प्रमाणीकरण प्रक्रिया द्वारा शुरू की गई सटीकता का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है। (अर्थात विकृति) के नुकसान का अध्ययन करता है।

मिड-राइजर और मिड-ट्रेड यूनिफ़ॉर्म क्वांटाइज़र
हस्ताक्षरित इनपुट डेटा के लिए अधिकांश समान क्वांटाइज़र को दो प्रकारों में से एक के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता है: मिड-राइजर और मिड-ट्रेड।शब्दावली 0 के आसपास के क्षेत्र में क्या होता है, इस पर आधारित है, और एक सीढ़ी के रूप में क्वांटाइज़र के इनपुट-आउटपुट फ़ंक्शन को देखने की सादृश्य का उपयोग करता है।मिड-ट्रेड क्वांटाइज़र में एक शून्य-मूल्यवान पुनर्निर्माण स्तर (एक सीढ़ी के चलने के अनुरूप) होता है, जबकि मिड-राइजर क्वांटाइज़र में एक शून्य-मूल्यवान वर्गीकरण सीमा होती है (एक सीढ़ी के राइजर के अनुरूप)। मिड-ट्रेड क्वांटाइजेशन में राउंडिंग शामिल है।मध्य-व्यापार वर्दी परिमाणीकरण के लिए सूत्र पिछले अनुभाग में प्रदान किए गए हैं।

मिड-राइजर परिमाणीकरण में ट्रंकेशन शामिल है।एक मिड-राइजर यूनिफ़ॉर्म क्वांटाइज़र के लिए इनपुट-आउटपुट फॉर्मूला द्वारा दिया गया है:
 * $$Q(x) = \Delta\cdot\left(\left\lfloor \frac{x}{\Delta}\right\rfloor + \frac1{2}\right)$$,

जहां वर्गीकरण नियम द्वारा दिया गया है
 * $$k = \left\lfloor \frac{x}{\Delta} \right\rfloor$$

और पुनर्निर्माण नियम है
 * $$y_k = \Delta\cdot\left(k+\tfrac1{2}\right)$$।

ध्यान दें कि मिड-राइजर वर्दी क्वांटाइज़र में शून्य आउटपुट मान नहीं है-उनका न्यूनतम आउटपुट परिमाण आधा चरण आकार है।इसके विपरीत, मिड-ट्रेड क्वांटाइज़र में शून्य आउटपुट स्तर होता है।कुछ अनुप्रयोगों के लिए, एक शून्य आउटपुट सिग्नल प्रतिनिधित्व होना एक आवश्यकता हो सकती है।

सामान्य तौर पर, एक मिड-राइजर या मिड-ट्रेड क्वांटाइज़र वास्तव में एक समान क्वांटाइज़र नहीं हो सकता है-यानी, क्वांटाइज़र के वर्गीकरण अंतराल का आकार सभी समान नहीं हो सकता है, या इसके संभावित आउटपुट मूल्यों के बीच रिक्ति सभी समान नहीं हो सकती है।एक मिड-राइजर क्वांटाइज़र की विशिष्ट विशेषता यह है कि इसमें एक वर्गीकरण थ्रेशोल्ड वैल्यू है जो बिल्कुल शून्य है, और मिड-ट्रेड क्वांटाइज़र की विशिष्ट विशेषता यह है कि इसका पुनर्निर्माण मूल्य है जो बिल्कुल शून्य है।

डेड-ज़ोन क्वांटाइज़र
एक डेड-ज़ोन क्वांटाइज़र एक प्रकार का मध्य-व्यापार क्वांटाइज़र है जिसमें सममित व्यवहार है। इस तरह के क्वांटाइज़र के शून्य आउटपुट मान के आसपास के क्षेत्र को  डेड ज़ोन  या  डेडबैंड  के रूप में जाना जाता है।डेड ज़ोन कभी -कभी शोर गेट या स्क्वैच फ़ंक्शन के समान उद्देश्य की सेवा कर सकता है।विशेष रूप से संपीड़न अनुप्रयोगों के लिए, मृत-क्षेत्र को अन्य चरणों के लिए एक अलग चौड़ाई दी जा सकती है।अन्यथा-समान क्वांटाइज़र के लिए, मृत-क्षेत्र की चौड़ाई किसी भी मूल्य पर सेट की जा सकती है$$w$$ आगे की परिमाणीकरण नियम का उपयोग करके
 * $$k = \sgn(x) \cdot \max\left(0, \left\lfloor \frac{\left| x \right|-w/2}{\Delta}+1\right\rfloor\right)$$,

जहां समारोह साइन फ़ंक्शन है (जिसे साइनम फ़ंक्शन के रूप में भी जाना जाता है)।इस तरह के एक मृत-ज़ोन क्वांटाइज़र के लिए सामान्य पुनर्निर्माण नियम द्वारा दिया गया है
 * $$y_k = \sgn(k) \cdot\left(\frac{w}{2}+\Delta\cdot (|k|-1+r_k)\right)$$,

कहाँ पे $$r_k$$ चरण आकार के एक अंश के रूप में 0 से 1 की सीमा में एक पुनर्निर्माण ऑफसेट मान है।आमतौर पर, $$0 \le r_k \le \tfrac1{2}$$ जब एक विशिष्ट संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) के साथ इनपुट डेटा की मात्रा निर्धारित करते हैं जो शून्य के आसपास सममित होता है और शून्य (जैसे कि गॉसियन, लाप्लासियन, या सामान्यीकृत गौसियन पीडीएफ) पर इसके शिखर मूल्य तक पहुंचता है।यद्यपि $$r_k$$ पर निर्भर हो सकता है $$k$$ सामान्य तौर पर, और नीचे वर्णित इष्टतमता स्थिति को पूरा करने के लिए चुना जा सकता है, यह अक्सर केवल एक स्थिर के लिए सेट होता है, जैसे कि $$\tfrac1{2}$$।(ध्यान दें कि इस परिभाषा में, $$y_0 = 0$$ की परिभाषा के कारण कार्य, तो $$r_0$$ कोई प्रभाव नहीं है।)

एक बहुत ही आमतौर पर उपयोग किया जाने वाला विशेष मामला (जैसे, योजना आमतौर पर वित्तीय लेखांकन और प्राथमिक गणित में उपयोग की जाती है) सेट करना है $$w=\Delta$$ तथा $$r_k=\tfrac1{2}$$ सभी के लिए $$k$$।इस मामले में, डेड-ज़ोन क्वांटाइज़र भी एक समान क्वांटाइज़र है, क्योंकि इस क्वांटाइज़र के केंद्रीय मृत-क्षेत्र में इसके सभी अन्य चरणों के समान चौड़ाई होती है, और इसके सभी पुनर्निर्माण मूल्य समान रूप से भी फैले हुए हैं।

एडिटिव शोर मॉडल
परिमाणीकरण त्रुटि के विश्लेषण के लिए एक सामान्य धारणा यह है कि यह एक सिग्नल प्रोसेसिंग सिस्टम को एक समान तरीके से एडिटिव व्हाइट शोर के समान तरीके से प्रभावित करता है - सिग्नल के साथ नगण्य सहसंबंध और लगभग फ्लैट पावर स्पेक्ट्रल घनत्व।  एडिटिव शोर मॉडल का उपयोग आमतौर पर डिजिटल फ़िल्टरिंग सिस्टम में परिमाणीकरण त्रुटि प्रभाव के विश्लेषण के लिए किया जाता है, और यह इस तरह के विश्लेषण में बहुत उपयोगी हो सकता है।यह उच्च रिज़ॉल्यूशन परिमाणीकरण (छोटा) के मामलों में एक वैध मॉडल के रूप में दिखाया गया है$$\Delta$$ चिकनी पीडीएफ के साथ संकेत शक्ति के सापेक्ष)। एडिटिव शोर व्यवहार हमेशा एक वैध धारणा नहीं है।परिमाणीकरण त्रुटि (यहां वर्णित क्वांटाइज़र के लिए) के लिए निर्धारित रूप से सिग्नल से संबंधित है और इसके लिए पूरी तरह से स्वतंत्र नहीं है।इस प्रकार, आवधिक संकेत आवधिक परिमाणीकरण शोर पैदा कर सकते हैं।और कुछ मामलों में यह डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग सिस्टम में सीमा चक्रों को भी प्रदर्शित कर सकता है।स्रोत सिग्नल से परिमाणीकरण त्रुटि की प्रभावी स्वतंत्रता सुनिश्चित करने का एक तरीका यह है कि डेंटेड क्वांटाइजेशन (कभी-कभी शोर शेपिंग के साथ) का प्रदर्शन किया जाए, जिसमें परिमाणीकरण से पहले सिग्नल में यादृच्छिक (या छद्म-यादृच्छिक) शोर जोड़ना शामिल है।

परिमाणीकरण त्रुटि मॉडल
विशिष्ट मामले में, मूल संकेत एक कम से कम महत्वपूर्ण बिट (एलएसबी) से बहुत बड़ा है।जब यह मामला होता है, तो परिमाणीकरण त्रुटि सिग्नल के साथ महत्वपूर्ण रूप से सहसंबद्ध नहीं होती है, और लगभग एक समान वितरण होता है।जब राउंडिंग का उपयोग परिमाणित करने के लिए किया जाता है, तो परिमाणीकरण त्रुटि का मतलब शून्य होता है और रूट मीन स्क्वायर (आरएमएस) मान इस वितरण का मानक विचलन है, $$\scriptstyle {\frac{1}{\sqrt{12}}}\mathrm{LSB}\ \approx\ 0.289\,\mathrm{LSB}$$।जब ट्रंकेशन का उपयोग किया जाता है, तो त्रुटि का एक गैर-शून्य मतलब होता है $$\scriptstyle {\frac{1}{2}}\mathrm{LSB}$$ और आरएमएस मूल्य है $$\scriptstyle {\frac{1}{\sqrt{3}}}\mathrm{LSB}$$।हालांकि राउंडिंग से कम आरएमएस त्रुटि होती है, जो कि ट्रंकेशन की तुलना में कम होती है, लेकिन अंतर केवल स्थैतिक (डीसी) शब्द के कारण होता है $$\scriptstyle {\frac{1}{2}}\mathrm{LSB}$$<नोकी>।एसी त्रुटि के आरएमएस मूल्य दोनों मामलों में बिल्कुल समान हैं, इसलिए उन स्थितियों में ट्रंकेशन पर गोलाई का कोई विशेष लाभ नहीं है जहां त्रुटि के डीसी शब्द को अनदेखा किया जा सकता है (जैसे एसी युग्मित सिस्टम में)।या तो मामले में, मानक विचलन, पूर्ण सिग्नल रेंज के प्रतिशत के रूप में, मात्राकरण बिट्स की संख्या में प्रत्येक 1-बिट परिवर्तन के लिए 2 के एक कारक द्वारा बदल जाता है।संभावित सिग्नल-टू-क्वांटाइज़ेशन-शोर पावर अनुपात इसलिए 4, या में परिवर्तन होता है$$\scriptstyle 10\cdot \log_{10}(4)$$, लगभग 6 & nbsp; db प्रति बिट।

कम आयाम पर परिमाणीकरण त्रुटि इनपुट सिग्नल पर निर्भर हो जाती है, जिसके परिणामस्वरूप विरूपण होता है।यह विकृति एंटी-अलियासिंग फिल्टर के बाद बनाई गई है, और यदि ये विकृतियां 1/2 से ऊपर हैं तो नमूना दर वे वापस ब्याज के बैंड में अलियाई करेंगे।इनपुट सिग्नल से परिमाणीकरण त्रुटि को स्वतंत्र बनाने के लिए, सिग्नल को सिग्नल में शोर जोड़कर संकेत दिया जाता है।यह शोर अनुपात को थोड़ा कम करता है, लेकिन विकृति को पूरी तरह से समाप्त कर सकता है।

परिमाणीकरण शोर मॉडल
परिमाणीकरण शोर ADC में परिमाणीकरण द्वारा पेश किए गए परिमाणीकरण त्रुटि का एक मॉडल है।यह एडीसी के लिए एनालॉग इनपुट वोल्टेज और आउटपुट डिजीटल मान के बीच एक राउंडिंग त्रुटि है।शोर गैर-रैखिक और संकेत-निर्भर है।इसे कई अलग -अलग तरीकों से मॉडल किया जा सकता है।

एक आदर्श एडीसी में, जहां परिमाणीकरण त्रुटि को समान रूप से/1/2 एलएसबी और +1/2 एलएसबी के बीच वितरित किया जाता है, और सिग्नल में एक समान वितरण होता है, जो सभी परिमाणीकरण स्तरों को कवर करता है, सिग्नल-टू-क्वेंटाइजेशन-शोर अनुपात (SQNR) कर सकते हैंसे गणना की जा सकती है


 * $$\mathrm{SQNR} = 20 \log_{10}(2^Q) \approx 6.02 \cdot Q\ \mathrm{dB} \,\!$$

जहां क्यू मात्राकरण बिट्स की संख्या है।

सबसे आम परीक्षण संकेत जो इसे पूरा करते हैं, वे पूर्ण आयाम त्रिभुज तरंगें और आरी वेव हैं।

उदाहरण के लिए, एक 16-बिट एडीसी में अधिकतम सिग्नल-टू-क्वांटाइज़ेशन-शोर अनुपात 6.02 × 16 = 96.3 & nbsp; db है।

जब इनपुट सिग्नल एक पूर्ण-आयाम साइन वेव होता है, तो सिग्नल का वितरण अब समान नहीं होता है, और इसके बजाय संबंधित समीकरण होता है


 * $$ \mathrm{SQNR} \approx 1.761 + 6.02 \cdot Q \ \mathrm{dB} \,\!$$

यहां, परिमाणीकरण शोर को एक बार फिर से समान रूप से वितरित माना जाता है।जब इनपुट सिग्नल में एक उच्च आयाम और एक विस्तृत आवृत्ति स्पेक्ट्रम होता है तो यह मामला होता है। इस मामले में 16-बिट एडीसी में अधिकतम सिग्नल-टू-शोर अनुपात 98.09 & nbsp; db है।सिग्नल-टू-शोर में 1.761 अंतर केवल एक त्रिभुज या आरा के बजाय एक पूर्ण पैमाने पर साइन लहर होने के कारण होता है।

उच्च-रिज़ॉल्यूशन एडीसी में जटिल संकेतों के लिए यह एक सटीक मॉडल है।कम-रिज़ॉल्यूशन एडीसी के लिए, उच्च-रिज़ॉल्यूशन एडीसी में निम्न-स्तरीय संकेत, और सरल तरंगों के लिए मात्रा का शोर समान रूप से वितरित नहीं किया जाता है, जिससे यह मॉडल गलत हो जाता है। इन मामलों में सिग्नल के सटीक आयाम से परिमाणीकरण शोर वितरण दृढ़ता से प्रभावित होता है।

गणना पूर्ण पैमाने पर इनपुट के सापेक्ष हैं।छोटे संकेतों के लिए, सापेक्ष परिमाणीकरण विरूपण बहुत बड़ा हो सकता है।इस मुद्दे को दरकिनार करने के लिए, एनालॉग कंपैंडिंग का उपयोग किया जा सकता है, लेकिन यह विरूपण का परिचय दे सकता है।

दानेदार विरूपण और अधिभार विरूपण
अक्सर एक क्वांटाइज़र के डिजाइन में केवल संभावित आउटपुट मूल्यों की एक सीमित सीमा का समर्थन करना और आउटपुट को इस सीमा तक सीमित करने के लिए क्लिपिंग करना शामिल होता है, जब भी इनपुट समर्थित सीमा से अधिक हो जाता है।इस क्लिपिंग द्वारा शुरू की गई त्रुटि को अधिभार विरूपण के रूप में संदर्भित किया जाता है।समर्थित सीमा की चरम सीमाओं के भीतर, एक क्वांटाइज़र के चयन योग्य आउटपुट मूल्यों के बीच रिक्ति की मात्रा को इसकी ग्रैन्युलैरिटी के रूप में संदर्भित किया जाता है, और इस रिक्ति द्वारा शुरू की गई त्रुटि को दानेदार विरूपण के रूप में संदर्भित किया जाता है।यह एक क्वांटाइज़र के डिजाइन के लिए आम है कि दानेदार विरूपण और अधिभार विरूपण के बीच उचित संतुलन का निर्धारण करना शामिल है।संभावित आउटपुट मानों की दिए गए समर्थित संख्या के लिए, औसत दानेदार विरूपण को कम करने से औसत अधिभार विरूपण में वृद्धि हो सकती है, और इसके विपरीत।सिग्नल के आयाम को नियंत्रित करने के लिए एक तकनीक (या, समान रूप से, परिमाणीकरण चरण आकार$$\Delta$$) उचित संतुलन प्राप्त करने के लिए स्वचालित लाभ नियंत्रण (AGC) का उपयोग है।हालांकि, कुछ क्वांटाइज़र डिजाइनों में, दानेदार त्रुटि और अधिभार त्रुटि की अवधारणाएं लागू नहीं हो सकती हैं (उदाहरण के लिए, इनपुट डेटा की एक सीमित सीमा के साथ या चयन योग्य आउटपुट मानों के एक अनौपचारिक सेट के साथ एक क्वांटाइज़र के लिए)।

रेट -डिस्टॉर्शन क्वांटाइज़र डिज़ाइन
एक स्केलर क्वांटाइज़र, जो एक परिमाणीकरण ऑपरेशन करता है, को आमतौर पर दो चरणों में विघटित किया जा सकता है:
 * वर्गीकरण
 * एक प्रक्रिया जो इनपुट सिग्नल रेंज को वर्गीकृत करती है $$M$$ अन्वेषण अंतराल $$\{I_k\}_{k=1}^{M}$$, परिभाषित करके $$M-1$$ निर्णय सीमा मूल्य $$ \{b_k\}_{k=1}^{M-1} $$, ऐसा है कि $$ I_k = [b_{k-1}~,~b_k)$$ के लिये $$k = 1,2,\ldots,M$$, द्वारा परिभाषित चरम सीमाओं के साथ $$ b_0 = -\infty$$ तथा $$ b_M = \infty$$।सभी इनपुट $$x$$ यह एक दिए गए अंतराल रेंज में गिरता है $$I_k$$ एक ही परिमाणीकरण सूचकांक के साथ जुड़े हैं $$k$$।


 * पुनर्निर्माण
 * प्रत्येक अंतराल $$ I_k $$ एक पुनर्निर्माण मूल्य द्वारा प्रतिनिधित्व किया जाता है $$ y_k $$ जो मैपिंग को लागू करता है $$ x \in I_k \Rightarrow y = y_k $$।

इन दोनों चरणों में एक साथ गणितीय संचालन शामिल है$$y = Q(x)$$।

एन्ट्रापी कोडिंग तकनीकों को एक स्रोत एनकोडर से परिमाणीकरण सूचकांकों को संप्रेषित करने के लिए लागू किया जा सकता है जो पुनर्निर्माण चरण को करने वाले डिकोडर को वर्गीकरण चरण करता है।ऐसा करने का एक तरीका प्रत्येक परिमाणीकरण सूचकांक को संबद्ध करना है $$k$$ एक बाइनरी कोडवर्ड के साथ $$c_k$$।एक महत्वपूर्ण विचार यह है कि प्रत्येक कोडवर्ड के लिए उपयोग किए जाने वाले बिट्स की संख्या, यहाँ द्वारा निरूपित की गई है $$\mathrm{length}(c_k)$$।नतीजतन, एक का डिजाइन $$M$$-Level क्वांटाइज़र और इसके सूचकांक मूल्यों को संप्रेषित करने के लिए कोडवर्ड के एक संबद्ध सेट के लिए मूल्यों को खोजने की आवश्यकता है $$ \{b_k\}_{k=1}^{M-1} $$, $$\{c_k\}_{k=1}^{M} $$ तथा $$ \{y_k\}_{k=1}^{M} $$ जो बेहतर रूप से डिजाइन की कमी के एक चयनित सेट को संतुष्ट करता है जैसे कि बिट दर $$R$$ और विरूपण $$D$$।

यह मानते हुए कि एक सूचना स्रोत $$S$$ यादृच्छिक चर का उत्पादन करता है $$X$$ एक संबद्ध पीडीएफ के साथ $$f(x)$$, संभावना $$p_k$$ यादृच्छिक चर एक विशेष परिमाणीकरण अंतराल के भीतर आता है $$I_k$$ द्वारा दिया गया है:
 * $$ p_k = P[x \in I_k] = \int_{b_{k-1}}^{b_k} f(x)dx $$।

परिणामी बिट दर$$R$$, औसत बिट्स की इकाइयों में प्रति मात्रात्मक मूल्य, इस क्वांटाइज़र के लिए निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:
 * $$ R = \sum_{k=1}^{M} p_k \cdot \mathrm{length}(c_{k}) = \sum_{k=1}^{M} \mathrm{length}(c_k) \int_{b_{k-1}}^{b_k} f(x)dx $$।

यदि यह माना जाता है कि विरूपण को औसत वर्ग त्रुटि से मापा जाता है, विरूपण डी, द्वारा दिया गया है:
 * $$ D = E[(x-Q(x))^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x-Q(x))^2f(x)dx = \sum_{k=1}^{M} \int_{b_{k-1}}^{b_k} (x-y_k)^2 f(x)dx $$।

एक प्रमुख अवलोकन वह दर है $$R$$ निर्णय सीमाओं पर निर्भर करता है $$\{b_k\}_{k=1}^{M-1}$$ और कोडवर्ड की लंबाई $$\{\mathrm{length}(c_k)\}_{k=1}^{M}$$, जबकि विरूपण $$D$$ निर्णय सीमाओं पर निर्भर करता है $$\{b_k\}_{k=1}^{M-1}$$ और पुनर्निर्माण का स्तर $$\{y_k\}_{k=1}^{M}$$।

क्वांटाइज़र के लिए इन दो प्रदर्शन मेट्रिक्स को परिभाषित करने के बाद, क्वांटाइज़र डिजाइन समस्या के लिए एक विशिष्ट दर -विवाद निर्माण दो तरीकों में से एक में व्यक्त किया जा सकता है: अक्सर इन समस्याओं का समाधान समतुल्य (या लगभग) व्यक्त किया जा सकता है और अनियंत्रित समस्या में सूत्रीकरण को परिवर्तित करके हल किया जा सकता है $$\min\left\{ D + \lambda \cdot R \right\}$$ जहां lagrange गुणक $$\lambda$$ एक गैर-नकारात्मक स्थिरांक है जो दर और विरूपण के बीच उचित संतुलन स्थापित करता है।अप्रतिबंधित समस्या को हल करना समस्या के एक समान विवश सूत्रीकरण के लिए समाधान के परिवार के उत्तल पतवार पर एक बिंदु खोजने के बराबर है।हालांकि, एक समाधान खोजना-विशेष रूप से एक बंद-रूप अभिव्यक्ति | बंद-रूप समाधान-इन तीन समस्याओं के योगों में से किसी के लिए भी मुश्किल हो सकता है।ऐसे समाधान जिनके लिए बहु-आयामी पुनरावृत्ति अनुकूलन तकनीकों की आवश्यकता नहीं होती है, केवल तीन पीडीएफ के लिए प्रकाशित किए गए हैं: वर्दी, घातीय, और लाप्लासियन distributions. Iterative optimization approaches can be used to find solutions in other cases. ध्यान दें कि पुनर्निर्माण मान $$\{y_k\}_{k=1}^{M}$$ केवल विरूपण को प्रभावित करते हैं - वे बिट दर को प्रभावित नहीं करते हैं - और प्रत्येक व्यक्ति $$y_k$$ एक अलग योगदान देता है $$ d_k $$ कुल विरूपण के रूप में नीचे दिखाया गया है:
 * 1) अधिकतम विरूपण बाधा को देखते हुए $$D \le D_\max$$, बिट दर को कम करें $$R$$
 * 2) अधिकतम बिट दर की कमी को देखते हुए $$R \le R_\max$$, विरूपण को कम करें $$D$$
 * $$ D = \sum_{k=1}^{M} d_k $$

कहाँ पे
 * $$ d_k = \int_{b_{k-1}}^{b_k} (x-y_k)^2 f(x)dx $$

इस अवलोकन का उपयोग विश्लेषण को कम करने के लिए किया जा सकता है - दिया गया सेट $$\{b_k\}_{k=1}^{M-1}$$ मान, प्रत्येक का मूल्य $$y_k$$ विरूपण में इसके योगदान को कम करने के लिए अलग से अनुकूलित किया जा सकता है $$D$$।

माध्य-वर्ग त्रुटि विरूपण मानदंड के लिए, यह आसानी से दिखाया जा सकता है कि पुनर्निर्माण मूल्यों का इष्टतम सेट $$\{y^*_k\}_{k=1}^{M}$$ पुनर्निर्माण मान सेट करके दिया गया है $$y_k$$ प्रत्येक अंतराल के भीतर $$I_k$$ अंतराल के भीतर सशर्त अपेक्षित मूल्य (जिसे सेंट्रोइड के रूप में भी जाना जाता है) के रूप में दिया गया है, के रूप में:
 * $$y^*_k = \frac1{p_k} \int_{b_{k-1}}^{b_k} x f(x)dx$$।

पर्याप्त रूप से अच्छी तरह से डिज़ाइन की गई एन्ट्रापी कोडिंग तकनीकों का उपयोग थोड़ा दर का उपयोग कर सकता है जो सूचकांकों की सही सूचना सामग्री के करीब है$$\{k\}_{k=1}^{M}$$, ऐसा प्रभावी ढंग से
 * $$ \mathrm{length}(c_k) \approx -\log_2\left(p_k\right)$$

और इसीलिए
 * $$ R = \sum_{k=1}^{M} -p_k \cdot \log_2\left(p_k\right) $$।

इस सन्निकटन का उपयोग एन्ट्रापी कोडिंग डिजाइन समस्या को क्वांटाइज़र के डिजाइन से अलग करने की अनुमति दे सकता है।आधुनिक एन्ट्रापी कोडिंग तकनीक जैसे कि अंकगणितीय कोडिंग बिट दरों को प्राप्त कर सकती है जो एक स्रोत के वास्तविक एन्ट्रापी के बहुत करीब हैं, जिसे ज्ञात (या अनुकूल रूप से अनुमानित) संभावनाओं का एक सेट दिया गया है$$\{p_k\}_{k=1}^{M}$$।

कुछ डिजाइनों में, वर्गीकरण क्षेत्रों की एक विशेष संख्या के लिए अनुकूलन करने के बजाय $$M$$, क्वांटाइज़र डिजाइन समस्या में मूल्य का अनुकूलन शामिल हो सकता है $$M$$ भी।कुछ संभाव्य स्रोत मॉडल के लिए, सबसे अच्छा प्रदर्शन कब प्राप्त किया जा सकता है $$M$$ अनंतता के दृष्टिकोण।

एन्ट्रापी बाधा की उपेक्षा: लॉयड -मैक्स परिमाणीकरण
उपरोक्त सूत्रीकरण में, यदि बिट दर की कमी को सेट करके उपेक्षित किया जाता है $$\lambda$$ 0 के बराबर, या समकक्ष रूप से यदि यह माना जाता है कि एक निश्चित-लंबाई कोड (FLC) का उपयोग एक चर-लंबाई कोड (या कुछ अन्य एन्ट्रापी कोडिंग तकनीक जैसे कि अंकगणितीय कोडिंग के बजाय मात्राबद्ध डेटा का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाएगा जो एक से बेहतर हैदर -विवाद में FLC), अनुकूलन समस्या विकृति के न्यूनतमकरण को कम कर देती है $$D$$ अकेला।

एक द्वारा उत्पादित सूचकांकों$$M$$-level क्वांटाइज़र को एक निश्चित-लंबाई कोड का उपयोग करके कोडित किया जा सकता है $$ R = \lceil \log_2 M \rceil $$ बिट्स/प्रतीक।उदाहरण के लिए, जब $$M=$$256 स्तर, एफएलसी बिट दर $$R$$ 8 बिट्स/प्रतीक है।इस कारण से, इस तरह के क्वांटाइज़र को कभी-कभी 8-बिट क्वांटाइज़र कहा जाता है।हालांकि एक FLC का उपयोग करने से बेहतर एन्ट्रापी कोडिंग के उपयोग से प्राप्त होने वाले संपीड़न सुधार को समाप्त हो जाता है।

के साथ एक FLC मानते हुए $$M$$ स्तर, दर -विवाद न्यूनतम समस्या को कम करने के लिए कम किया जा सकता है।कम समस्या को निम्नानुसार कहा जा सकता है: एक स्रोत दिया गया$$X$$ पीडीएफ के साथ $$f(x)$$ और उस बाधा को जो क्वांटाइज़र को केवल उपयोग करना चाहिए $$M$$ वर्गीकरण क्षेत्र, निर्णय सीमाओं का पता लगाएं $$\{b_k\}_{k=1}^{M-1} $$ और पुनर्निर्माण स्तर $$\{y_k\}_{k=1}^M$$ परिणामी विरूपण को कम करने के लिए
 * $$ D=E[(x-Q(x))^2] = \int_{-\infty}^{\infty} (x-Q(x))^2f(x)dx = \sum_{k=1}^{M} \int_{b_{k-1}}^{b_k} (x-y_k)^2 f(x)dx =\sum_{k=1}^{M} d_k $$।

उपरोक्त समस्या के परिणामों के लिए एक इष्टतम समाधान खोजने के लिए एक क्वांटाइज़र में कभी-कभी एक MMSQE (न्यूनतम माध्य-वर्ग परिमाणीकरण त्रुटि) समाधान कहा जाता है, और परिणामस्वरूप पीडीएफ-अनुकूलित (गैर-समान) क्वांटाइज़र को एक लॉयड-मैक्स क्वांटाइज़र के रूप में संदर्भित किया जाता है, जिसका नाम दिया गया है।दो लोग जिन्होंने स्वतंत्र रूप से पुनरावृत्त तरीके विकसित किए के परिणामस्वरूप एक साथ समीकरणों के दो सेटों को हल करने के लिए $$ {\partial D / \partial b_k} = 0 $$ तथा $${\partial D/ \partial y_k} = 0 $$, निम्नलिखित नुसार:
 * $$ {\partial D \over\partial b_k} = 0 \Rightarrow b_k = {y_k + y_{k+1} \over 2} $$,

जो प्रत्येक दहलीज को पुनर्निर्माण मूल्यों की प्रत्येक जोड़ी के बीच मध्य बिंदु पर रखता है, और
 * $$ {\partial D \over\partial y_k} = 0 \Rightarrow y_k = { \int_{b_{k-1}}^{b_k} x f(x) dx \over \int_{b_{k-1}}^{b_k} f(x)dx } = \frac1{p_k} \int_{b_{k-1}}^{b_k} x f(x) dx $$

जो प्रत्येक पुनर्निर्माण मूल्य को उसके संबद्ध वर्गीकरण अंतराल के सेंट्रोइड (सशर्त अपेक्षित मूल्य) पर रखता है।

लॉयड का एल्गोरिथ्म | लॉयड्स मेथड I एल्गोरिथ्म, जो मूल रूप से 1957 में वर्णित है, को वेक्टर डेटा के लिए आवेदन के लिए सीधे तरीके से सामान्यीकृत किया जा सकता है।इस सामान्यीकरण के परिणामस्वरूप लिंडे-ब्यूजो-ग्रे एल्गोरिथ्म | लिंडे-ब्यूजो-ग्रे (एलबीजी) या के-मीन्स क्लस्टरिंग | के-मीन्स क्लासिफायर ऑप्टिमाइज़ेशन तरीके हैं।इसके अलावा, तकनीक को और सामान्य रूप से सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें वेक्टर डेटा के लिए एक एन्ट्रापी बाधा भी शामिल है।

समान मात्रा में मात्रा और 6 & nbsp; db/बिट सन्निकटन
लॉयड -मैक्स क्वांटाइज़र वास्तव में एक समान क्वांटाइज़र है जब इनपुट पीडीएफ को समान रूप से रेंज पर वितरित किया जाता है$$[y_1-\Delta/2,~y_M+\Delta/2)$$।हालांकि, एक स्रोत के लिए जिसमें एक समान वितरण नहीं होता है, न्यूनतम-विकृति क्वांटाइज़र एक समान क्वांटाइज़र नहीं हो सकता है।एक समान रूप से वितरित स्रोत पर लागू एक समान क्वांटाइज़र के विश्लेषण को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है:

एक सममित स्रोत एक्स के साथ मॉडलिंग की जा सकती है$$ f(x)= \tfrac1{2X_{\max}}$$, के लिये $$x \in [-X_{\max}, X_{\max}]$$ और 0 कहीं और। चरण आकार$$\Delta = \tfrac {2X_{\max}} {M} $$ और क्वांटाइज़र का मात्राकरण शोर अनुपात (SQNR) का संकेत है
 * $${\rm SQNR}= 10\log_{10}{\frac {\sigma_x^2}{\sigma_q^2}} = 10\log_{10}{\frac {(M\Delta)^2/12}{\Delta^2/12}}= 10\log_{10}M^2= 20\log_{10}M$$।

एक निश्चित-लंबाई कोड के लिए उपयोग कर $$N$$ बिट्स, $$M=2^N$$, जिसके परिणामस्वरूप $${\rm SQNR}= 20\log_{10}{2^N} = N\cdot(20\log_{10}2) = N\cdot 6.0206\,\rm{dB}$$,

या लगभग 6 & nbsp; db प्रति बिट।उदाहरण के लिए, के लिए $$N$$= 8 बिट्स, $$M$$= 256 स्तर और sqnr = 8 & बार; 6 = 48 & nbsp; db;और के लिए $$N$$= 16 बिट्स, $$M$$= 65536 और sqnr = 16 & बार; 6 = 96 & nbsp; db। मात्राकरण में उपयोग किए जाने वाले प्रत्येक अतिरिक्त बिट के लिए SQNR में 6 & nbsp; db सुधार की संपत्ति योग्यता का एक प्रसिद्ध आंकड़ा है। हालांकि, इसका उपयोग देखभाल के साथ किया जाना चाहिए: यह व्युत्पत्ति केवल एक समान स्रोत पर लागू एक समान क्वांटाइज़र के लिए है। अन्य स्रोत PDFS और अन्य क्वांटाइज़र डिजाइनों के लिए, SQNR 6 & nbsp; db/बिट द्वारा भविष्यवाणी की गई पीडीएफ के प्रकार, स्रोत के प्रकार, क्वांटाइज़र के प्रकार और ऑपरेशन की बिट दर सीमा के आधार पर कुछ अलग हो सकता है।

हालांकि, यह मान लेना आम है कि कई स्रोतों के लिए, एक क्वांटाइज़र SQNR फ़ंक्शन की ढलान को 6 & nbsp; db/बिट के रूप में अनुमानित किया जा सकता है, जब पर्याप्त रूप से उच्च बिट दर पर काम किया जाता है। Asymptotically उच्च बिट दरों पर, चरण के आकार को आधे में काटने से बिट दर में लगभग 1 बिट प्रति नमूना बढ़ जाता है (क्योंकि 1 बिट को यह इंगित करने की आवश्यकता होती है कि क्या मूल्य पूर्व डबल-आकार के अंतराल के बाएं या दाहिने आधे हिस्से में है) और कम करता है 4 (यानी, 6 & nbsp; db) के एक कारक द्वारा औसत चुकता त्रुटि$$\Delta^2/12$$ सन्निकटन।

Asymptotically उच्च बिट दरों पर, 6 & nbsp; db/बिट सन्निकटन को कठोर सैद्धांतिक विश्लेषण द्वारा कई स्रोत PDFs के लिए समर्थित किया जाता है।   इसके अलावा, इष्टतम स्केलर क्वांटाइज़र की संरचना (दर -विकृति अर्थ में) इन स्थितियों के तहत एक समान क्वांटाइज़र की बात करती है।

अन्य क्षेत्रों में
कई भौतिक मात्रा वास्तव में भौतिक संस्थाओं द्वारा निर्धारित की जाती है।उन क्षेत्रों के उदाहरण जहां इस सीमा पर लागू होती है, उनमें इलेक्ट्रॉनिक्स (इलेक्ट्रॉनों के कारण), ऑप्टिक्स (फोटॉन के कारण), जीव विज्ञान (डीएनए के कारण), भौतिकी (प्लैंक सीमा के कारण) और रसायन विज्ञान (अणुओं के कारण) शामिल हैं।

यह भी देखें

 * बीटा एनकोडर
 * रंग परिमाणीकरण
 * डेटा बिनिंग
 * विवेकाधिकार
 * विवेकाधीन त्रुटि
 * Posterization
 * पल्स कोड मॉडुलेशन
 * क्वांटाइल
 * परिमाणीकरण (छवि प्रसंस्करण)
 * प्रतिगमन कमजोर पड़ने - व्याख्यात्मक या स्वतंत्र चर में परिमाणीकरण जैसी त्रुटियों के कारण पैरामीटर अनुमानों में एक पूर्वाग्रह

अग्रिम पठन


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