सदिश गोलीय प्रसंवादी

गणित में, सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स (वीएसएच) सदिश क्षेत्रों के उपयोग के लिए अदिश गोलाकार हार्मोनिक्स का विस्तार है। वीएसएच के घटक गोलाकार समन्वय प्रणाली में व्यक्त जटिल-मानित फलन हैं।

परिभाषा
वीएसएच को परिभाषित करने के लिए कई परिपाटी का उपयोग किया गया है।    हम बैरेरा एट अल का अनुसरण करते हैं। एक अदिश गोलाकार हार्मोनिक $Y_{ℓm}(θ, φ)$ दिया गया, हम तीन वीएसएच परिभाषित करते हैं:

जिसमें $$\hat{\mathbf{r}}$$ गोलाकार समन्वय प्रणाली में त्रिज्यीय दिशा के साथ इकाई सदिश है और $$\mathbf{r}$$ सदिश त्रिज्यीय दिशा के साथ त्रिज्या के समान मानदंड के साथ, अर्थात, $$\mathbf{r} = r\hat{\mathbf{r}}$$। त्रिज्यीय कारकों को यह गारंटी देने के लिए सम्मिलित किया गया है कि वीएसएच की विमा सामान्य गोलाकार हार्मोनिक्स के समान हैं और वीएसएच त्रिज्यीय गोलाकार समन्वय पर निर्भर नहीं है।
 * $$\mathbf{Y}_{\ell m} = Y_{\ell m}\hat{\mathbf{r}},$$
 * $$\mathbf{\Psi}_{\ell m} = r\nabla Y_{\ell m},$$
 * $$\mathbf{\Phi}_{\ell m} = \mathbf{r}\times\nabla Y_{\ell m},$$

गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करते समय इन नवीन सदिश क्षेत्रों का हित त्रिज्यीय निर्भरता को कोणीय से अलग करना है, ताकि एक सदिश क्षेत्र एक बहुध्रुव विस्तार

$$\mathbf{E} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left(E^r_{\ell m}(r) \mathbf{Y}_{\ell m} + E^{(1)}_{\ell m}(r) \mathbf{\Psi}_{\ell m} + E^{(2)}_{\ell m}(r) \mathbf{\Phi}_{\ell m}\right)$$ को स्वीकार कर सके।

घटकों पर लेबल यह दर्शाते हैं कि $$E^r_{\ell m}$$ सदिश क्षेत्र का त्रिज्यीय घटक है, जबकि $$E^{(1)}_{\ell m}$$ और $$E^{(2)}_{\ell m}$$ अनुप्रस्थ घटक हैं (त्रिज्या सदिश $$\mathbf{r}$$ के संबंध में )।

समरूपता
अदिश गोलाकार हार्मोनिक्स के जैसे, वीएसएच

$$\begin{align} \mathbf{Y}_{\ell,-m} &= (-1)^m \mathbf{Y}^*_{\ell m}, \\ \mathbf{\Psi}_{\ell,-m} &= (-1)^m \mathbf{\Psi}^*_{\ell m}, \\ \mathbf{\Phi}_{\ell,-m} &= (-1)^m \mathbf{\Phi}^*_{\ell m}, \end{align}$$ को संतुष्ट करता है जो स्वतंत्र फलनों की संख्या को लगभग आधा कर देता है। तारा जटिल संयुग्म को इंगित करता है।

लंबकोणीयता
वीएसएच प्रत्येक बिंदु $$\mathbf{r}$$ पर सामान्य त्रि-विमीय विधि से लांबिक फलन हैं :

$$\begin{align} \mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Psi}_{\ell m}(\mathbf{r}) &= 0, \\ \mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Phi}_{\ell m}(\mathbf{r}) &= 0, \\ \mathbf{\Psi}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Phi}_{\ell m}(\mathbf{r}) &= 0. \end{align}$$ वे हिल्बर्ट समष्टि में भी लांबिक हैं:

$$\begin{align} \int\mathbf{Y}_{\ell m}\cdot \mathbf{Y}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= \delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}, \\ \int\mathbf{\Psi}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Psi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= \ell(\ell+1)\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}, \\ \int\mathbf{\Phi}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= \ell(\ell+1)\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}, \\ \int\mathbf{Y}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Psi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= 0, \\ \int\mathbf{Y}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= 0, \\ \int\mathbf{\Psi}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= 0. \end{align}$$ एकल $$\mathbf{r}$$ पर एक अतिरिक्त परिणाम (बैरेरा एट अल, 1985 में रिपोर्ट नहीं किया गया) सभी $$\ell,m,\ell',m'$$,

$$\begin{align} \mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Psi}_{\ell'm'}(\mathbf{r}) &= 0, \\ \mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Phi}_{\ell'm'}(\mathbf{r}) &= 0 \end{align}$$ के लिए है।

सदिश बहुध्रुव आघूर्ण
लंबकोणीयता संबंध किसी को सदिश क्षेत्र के गोलाकार बहुध्रुव आघूर्ण को

$$\begin{align} E^r_{\ell m} &= \int \mathbf{E}\cdot \mathbf{Y}^*_{\ell m}\,d\Omega, \\ E^{(1)}_{\ell m} &= \frac{1}{\ell(\ell+1)}\int \mathbf{E}\cdot \mathbf{\Psi}^*_{\ell m}\,d\Omega, \\ E^{(2)}_{\ell m} &= \frac{1}{\ell(\ell+1)}\int \mathbf{E}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell m}\,d\Omega \end{align}$$ के रूप में परिकलित करने की अनुमति देते हैं।

एक अदिश क्षेत्र की प्रवणता
एक अदिश क्षेत्र

$$\phi = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \phi_{\ell m}(r) Y_{\ell m}(\theta,\phi),$$ के बहुध्रुव विस्तार को देखते हुए, हम वीएसएच के संदर्भ में

$$\nabla\phi = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell\left(\frac{d\phi_{\ell m}}{dr} \mathbf{Y}_{\ell m}+ \frac{\phi_{\ell m}}{r}\mathbf{\Psi}_{\ell m}\right)$$ के रूप में इसकी प्रवणता व्यक्त कर सकते हैं।

विचलन
किसी भी बहुध्रुवीय क्षेत्र के लिए हमारे निकट

$$\begin{align} \nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{Y}_{\ell m}\right) &= \left(\frac{df}{dr} + \frac{2}{r}f\right) Y_{\ell m}, \\ \nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{\Psi}_{\ell m}\right) &= -\frac{\ell(\ell+1)}{r} f Y_{\ell m}, \\ \nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}\right) &= 0 \end{align}$$ है।

अधिस्थापन द्वारा हम किसी भी सदिश क्षेत्र का विचलन प्राप्त करते हैं:

$$\nabla\cdot\mathbf{E} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left(\frac{dE^r_{\ell m}}{dr}+\frac{2}{r}E^r_{\ell m}-\frac{\ell(\ell+1)}{r}E^{(1)}_{\ell m}\right)Y_{\ell m}.$$ हम देखते हैं कि $Φ_{ℓm}$ पर घटक सदैव परिनालिकीय होता है।

कर्ल
किसी भी बहुध्रुवीय क्षेत्र के लिए हमारे निकट

$$\begin{align} \nabla\times\left(f(r)\mathbf{Y}_{\ell m}\right) &= -\frac{1}{r}f\mathbf{\Phi}_{\ell m}, \\ \nabla\times\left(f(r)\mathbf{\Psi}_{\ell m}\right) &= \left(\frac{df}{dr}+\frac{1}{r}f\right)\mathbf{\Phi}_{\ell m}, \\ \nabla\times\left(f(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}\right) &= -\frac{\ell(\ell+1)}{r}f\mathbf{Y}_{\ell m}-\left(\frac{df}{dr} + \frac{1}{r} f\right)\mathbf{\Psi}_{\ell m} \end{align}$$ है।

अध्यारोपण द्वारा हम किसी सदिश क्षेत्र का कर्ल (गणित) प्राप्त करते हैं:

$$\nabla\times\mathbf{E} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left(-\frac{\ell(\ell+1)}{r}E^{(2)}_{\ell m}\mathbf{Y}_{\ell m}-\left(\frac{dE^{(2)}_{\ell m}}{dr}+ \frac{1}{r}E^{(2)}_{\ell m}\right)\mathbf{\Psi}_{\ell m}+ \left(-\frac{1}{r}E^r_{\ell m}+\frac{dE^{(1)}_{\ell m}}{dr}+\frac{1}{r}E^{(1)}_{\ell m}\right)\mathbf{\Phi}_{\ell m}\right).$$

लाप्लासियन
लाप्लास प्रचालक $$\Delta = \nabla\cdot\nabla$$ की क्रिया निम्नानुसार अलग होती है:

$$\Delta\left(f(r)\mathbf{Z}_{\ell m}\right) = \left(\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right)\mathbf{Z}_{\ell m} + f(r)\Delta \mathbf{Z}_{\ell m},$$ जहां $$\mathbf{Z}_{\ell m} = \mathbf{Y}_{\ell m}, \mathbf{\Psi}_{\ell m}, \mathbf{\Phi}_{\ell m}$$ और

$$\begin{align} \Delta\mathbf{Y}_{\ell m} &= -\frac{1}{r^2}(2+\ell(\ell+1))\mathbf{Y}_{\ell m} +\frac{2}{r^2}\mathbf{\Psi}_{\ell m}, \\ \Delta\mathbf{\Psi}_{\ell m} &= \frac{2}{r^2}\ell(\ell+1)\mathbf{Y}_{\ell m} -\frac{1}{r^2}\ell(\ell+1)\mathbf{\Psi}_{\ell m}, \\ \Delta\mathbf{\Phi}_{\ell m} &= -\frac{1}{r^2}\ell(\ell+1)\mathbf{\Phi}_{\ell m}. \end{align}$$ यह भी ध्यान दें कि यह क्रिया सममित आव्यूह हो जाती है, अर्थात उचित सामान्यीकृत वीएसएच के लिए अप विकर्ण गुणांक $\frac{2}{r^2}\sqrt{\ell(\ell+1)}$ के बराबर हैं।

पहला सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स
सममिति संबंधों को लागू करके $m$ के ऋणात्मक मानों के लिए व्यंजक प्राप्त किए जाते हैं।

विद्युतगतिकी
वीएसएच बहुध्रुव विकिरण क्षेत्रों के अध्ययन में विशेष रूप से उपयोगी है। उदाहरण के लिए, एक चुंबकीय बहुध्रुव कोणीय आवृत्ति $$\omega$$ और जटिल विमा

$$\hat{\mathbf{J}}= J(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}$$ के साथ एक दोलन धारा के कारण होता है, और संबंधित विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र,

$$\begin{align} \hat{\mathbf{E}} &= E(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}, \\ \hat{\mathbf{B}} &= B^r(r)\mathbf{Y}_{\ell m}+B^{(1)}(r)\mathbf{\Psi}_{\ell m} \end{align}$$ के रूप में लिखे जा सकते हैं।

मैक्सवेल समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर, गॉस का नियम स्वचालित रूप से

$$\nabla\cdot\hat{\mathbf{E}}=0$$ संतुष्ट हो जाता है, जबकि फैराडे का नियम

$$\nabla\times\hat{\mathbf{E}}=-i\omega\hat{\mathbf{B}}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} \dfrac{\ell(\ell+1)}{r}E = i\omega B^r, \\ \dfrac{dE}{dr} +\dfrac{E}{r}= i\omega B^{(1)}\end{cases}$$ के रूप में अलग हो जाता है।

चुंबकीय क्षेत्र के लिए गॉस के नियम का अर्थ है

$$\nabla\cdot\hat{\mathbf{B}} = 0\quad\Rightarrow \quad\frac{dB^r}{dr}+\frac{2}{r}B^r - \frac{\ell(\ell+1)}{r}B^{(1)}=0,$$ और एम्पीयर-मैक्सवेल का समीकरण

$$\nabla\times\hat{\mathbf{B}} = \mu_0 \hat{\mathbf{J}} + i\mu_0\varepsilon_0\omega \hat{\mathbf{E}} \quad\Rightarrow\quad -\frac{B^r}{r}+\frac{dB^{(1)}}{dr}+\frac{B^{(1)}}{r} = \mu_0J+i\omega\mu_0\varepsilon_0E$$ देता है।

इस प्रकार, आंशिक अवकल समीकरण साधारण अवकल समीकरणों के समुच्चय में रूपांतरित हो गए हैं।

वैकल्पिक परिभाषा
कई अनुप्रयोगों में, सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स को गोलाकार निर्देशांक में सदिश हेल्महोल्त्ज़ समीकरण के हल के मौलिक समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस स्थिति में, सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स अदिश फलन द्वारा उत्पन्न होते हैं, जो तरंगसदिश $$ \mathbf k$$ के साथ अदिश हेल्महोल्त्ज़ समीकरण के हल हैं I $$\begin{array}{l} {\psi_{e m n} = \cos m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r)} \\ {\psi_{o m n} = \sin m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r)} \end{array} $$ यहाँ $$P_{n}^{m}(\cos \theta)$$ संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं, और $$ z_{n}({k} r) $$ कोई भी गोलाकार बेसेल फलन हैं।

सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: यहां हम हार्मोनिक्स वास्तविक-मानित कोणीय भाग का उपयोग करते हैं, जहां $$ m \geq 0 $$, लेकिन जटिल फलनों को उसी प्रकार पेश किया जा सकता है।
 * अनुदैर्ध्य हार्मोनिक्स : $$\mathbf{L}_{^e_o m n}=\mathbf{\nabla} \psi_{^e_o m n} $$
 * चुंबकीय हार्मोनिक्स : $$\mathbf{M}_{^e_o m n}=\nabla \times\left(\mathbf{r} \psi_{^e_o m n}\right) $$
 * इलेक्ट्रिक हार्मोनिक्स: $$\mathbf{N}_{^e_o m n}=\frac{\nabla \times \mathbf{M}_{^e_o m n}} $$

आइए हम संकेतन का परिचय दें $$\rho = kr$$। घटक रूप में सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स को इस प्रकार लिखा जाता है: $$\begin{aligned} {\mathbf{M}_{e m n}(k, \mathbf{r}) =\qquad {\frac{-m}{\sin (\theta)} \sin (m \varphi) P_{n}^{m}(\cos (\theta))} z_{n}(\rho)\mathbf{e}_{\theta}} \\ {{{}-\cos (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta}} }z_{n}(\rho) \mathbf{e}_{\varphi} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} {\mathbf{M}_{o m n}(k, \mathbf{r}) =\qquad {\frac{m}{\sin (\theta)} \cos (m \varphi) P_{n}^{m}(\cos (\theta)) }}z_{n}(\rho) \mathbf{e}_{\theta} \\ {{}-\sin (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta} z_{n}(\rho) \mathbf{e}_{\varphi}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} {\mathbf{N}_{e m n}(k, \mathbf{r}) =\qquad \frac{z_{n}(\rho)}{\rho} \cos (m \varphi) n(n+1) P_{n}^{m}(\cos (\theta)) \mathbf{e}_{\mathbf{r}}} \\ \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\theta} \\ \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\varphi} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \mathbf{N}_{o m n} (k, \mathbf{r}) =\qquad \frac{z_{n}(\rho)}{\rho} \sin (m \varphi) n(n+1) P_{n}^{m}(\cos (\theta)) \mathbf{e}_{\mathbf{r}} \\ {}+\sin (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\theta} \\ {}+{m \cos (m \varphi) \frac{P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{\sin (\theta)}} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\varphi} \end{aligned} $$ चुंबकीय हार्मोनिक्स के लिए कोई त्रिज्यीय भाग नहीं है। इलेक्ट्रिक हार्मोनिक्स के लिए, त्रिज्यीय भाग कोणीय और बड़े के लिए तेज़ी से घटता है $$\rho$$ उपेक्षित किया जा सकता है। हम यह भी देख सकते हैं कि विद्युत और चुंबकीय हार्मोनिक्स के लिए ध्रुवीय और अज़ीमुथल इकाई वैक्टर के क्रमपरिवर्तन तक कोणीय भाग समान होते हैं, इसलिए बड़े के लिए $$\rho$$ इलेक्ट्रिक और मैग्नेटिक हार्मोनिक्स वैक्टर एक दूसरे के मान और लंबवत के बराबर हैं।

अनुदैर्ध्य हार्मोनिक्स: $$ \begin{aligned} \mathbf{L}_{^e_o{m n}}(k, \mathbf{r}) {}=\qquad &\frac{\partial}{\partial r} z_{n}(k r) P_{n}^{m}(\cos \theta){^{\cos }_{\sin }} {m \varphi} \mathbf{e}_r \\ {}+{} &\frac{1}{r} z_{n}(k r) \frac{\partial}{\partial \theta} P_{n}^{m}(\cos \theta) {^{\cos }_{\sin}} m \varphi \mathbf{e}_{\theta} \\ {}\mp{} &\frac{m}{r \sin \theta} z_{n}(k r) P_{n}^{m}(\cos \theta) {^{\sin }_{\cos}} m \varphi \mathbf{e}_{\varphi} \end{aligned}$$

ओर्थोगोनलिटी
हेल्महोल्ट्ज़ सदिश समीकरण के हल निम्नलिखित लंबकोणीयता संबंधों का पालन करते हैं: $$\begin{align} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \mathbf{L}_{^e_omn} \cdot \mathbf{L}_{^e_omn} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi &= (1 + \delta_{m,0}) \frac{2 \pi}{(2 n+1)^{2}} \frac{(n+m) !}{(n-m) !} k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(k r)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(k r)\right]^{2}\right\} \\[3pt] \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \mathbf{M}_{^e_omn} \cdot \mathbf{M}_{^e_omn} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi &= (1 + \delta_{m,0}) \frac{2 \pi}{2 n+1} \frac{(n+m) !}{(n-m) !} n(n+1)\left[z_{n}(k r)\right]^2 \\[3pt] \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \mathbf{N}_{^e_omn} \cdot \mathbf{N}_{^e_omn} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi &= (1 + \delta_{m,0}) \frac{2 \pi}{(2 n + 1)^{2}} \frac{(n + m) !}{(n - m) !} n(n + 1)\left\{(n + 1)\left[z_{n-1}(k r)\right]^{2} + n\left[z_{n+1}(k r)\right]^{2}\right\} \\[3pt] \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \mathbf{L}_{^e_omn} \cdot \mathbf{N}_{^e_omn} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi &= (1 + \delta_{m,0}) \frac{2 \pi}{(2 n+1)^{2}} \frac{(n+m) !}{(n-m) !} n(n+1) k\left\{\left[z_{n-1}(k r)\right]^{2}-\left[z_{n+1}(k r)\right]^{2}\right\} \end{align}$$ विभिन्न फलनों या विभिन्न सूचकांकों के साथ फलनों के बीच के कोणों पर अन्य सभी अभिन्न शून्य के बराबर हैं।

रोटेशन और उलटा
रोटेशन के तहत, सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स एक दूसरे के माध्यम से उसी प्रकार से रूपांतरित होते हैं जैसे संबंधित गोलाकार हार्मोनिक्स#रोटेशन, जो एक विशिष्ट प्रकार के सदिश हार्मोनिक्स के लिए उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि जनरेटिंग फलन सामान्य गोलाकार हार्मोनिक्स हैं, तो सदिश हार्मोनिक्स भी विग्नर डी-आव्यूह | विग्नर डी-मैट्रिसेस के माध्यम से रूपांतरित हो जाएंगे। $$ \hat{D}(\alpha, \beta, \gamma) \mathbf{Y}_{JM}^{(s)}(\theta, \varphi)= \sum_{m' = -\ell}^\ell [D^{(\ell)}_{MM'}(\alpha, \beta, \gamma)]^* \mathbf{Y}_{JM'}^{(s)}(\theta, \varphi), $$ घूर्णन के तहत व्यवहार विद्युत, चुंबकीय और अनुदैर्ध्य हार्मोनिक्स के लिए समान है।

व्युत्क्रमण के तहत, विद्युत और अनुदैर्ध्य गोलाकार हार्मोनिक्स उसी प्रकार व्यवहार करते हैं जैसे अदिश गोलाकार फलन, अर्थात। $$ \hat{I}\mathbf{N}_{JM}(\theta, \varphi)= (-1)^J \mathbf{N}_{JM}(\theta, \varphi), $$ और चुंबकीय वाले विपरीत समानता रखते हैं: $$ \hat{I}\mathbf{M}_{JM}(\theta, \varphi)= (-1)^{J+1} \mathbf{M}_{JM}(\theta, \varphi), $$

द्रव गतिकी
ड्रैग के लिए स्टोक्स के नियम की गणना में कि एक चिपचिपा द्रव एक छोटे गोलाकार कण पर निकलता है, वेग वितरण जड़ता की उपेक्षा करते हुए नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का पालन करता है, अर्थात।

$$\begin{align} 0 &= \nabla\cdot \mathbf{v}, \\ \mathbf{0} &= -\nabla p + \eta \nabla^2\mathbf{v}, \end{align}$$ सीमा शर्तों के साथ

$$\mathbf{v} = \begin{cases} \mathbf{0}  & r = a, \\ -\mathbf{U}_0 & r \to \infty. \end{cases}$$ जहाँ U, कण से दूर द्रव में कण का आपेक्षिक वेग है। गोलीय निर्देशांकों में अनंत पर इस वेग को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$\mathbf{U}_0 = U_0\left(\cos\theta\, \hat{\mathbf{r}} - \sin\theta \,\hat{\mathbf{\theta}}\right) = U_0 \left(\mathbf{Y}_{10} + \mathbf{\Psi}_{10}\right).$$ अंतिम अभिव्यक्ति तरल वेग और दबाव के लिए गोलाकार हार्मोनिक्स में विस्तार का सुझाव देती है

$$\begin{align} p &= p(r)Y_{10}, \\ \mathbf{v} &= v^r(r) \mathbf{Y}_{10} + v^{(1)}(r) \mathbf{\Psi}_{10}. \end{align}$$ नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में प्रतिस्थापन गुणांकों के लिए सामान्य अंतर समीकरणों का एक समुच्चय उत्पन्न करता है।

अभिन्न संबंध
यहाँ निम्नलिखित परिभाषाओं का उपयोग किया जाता है:

$$\begin{align} Y_{e m n} &= \cos m \varphi P_{n}^{m}(\cos \theta) \\ Y_{o m n} &= \sin m \varphi P_{n}^{m}(\cos \theta) \end{align}$$

$$ \mathbf{X}_{^e_o m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) = \nabla \times\left(\mathbf{k} Y_{^o_e m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right)\right) $$

$$ \mathbf{Z}_{^o_e m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) = i \frac{\mathbf{k}}{k} \times \mathbf{X}_{^e_o m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) $$ स्थिति में, जब के बजाय $$z_n$$ गोलाकार बेसेल फलन हैं, समतल तरंग विस्तार की सहायता से निम्नलिखित अभिन्न संबंध प्राप्त किए जा सकते हैं:

$$ \mathbf {N}_{pmn}(k, \mathbf r) = \frac{i^{-n}}{4\pi} \int \mathbf Z_{pmn}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) e^{i \mathbf k \mathbf r} d\Omega_k $$

$$ \mathbf {M}_{pmn}(k, \mathbf r) =\frac{i^{-n}}{4\pi} \int \mathbf X_{pmn}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) e^{i \mathbf k \mathbf r} d\Omega_k $$ स्थिति में, कब $$z_n$$ गोलाकार हैंकेल फलन हैं, विभिन्न सूत्रों का उपयोग करना चाहिए। सदिश गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए निम्नलिखित संबंध प्राप्त होते हैं:

$$ \mathbf{M}_{p m n}^{(3)}(k, \mathbf{r}) = \frac{i^{-n}}{2 \pi k} \iint_{-\infty}^{\infty} d k_{ \|} \frac{e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y \pm k_{z} z\right)}}{k_{z}} \mathbf{X}_{p m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) $$

$$ \mathbf{N}_{p m n}^{(3)}(k, \mathbf{r}) = \frac{i^{-n}}{2 \pi k} \iint_{-\infty}^{\infty} d k_{ \|} \frac{e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y \pm k_{z} z\right)}}{k_{z}} \mathbf{Z}_{p m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) $$ जहां $ k_{z} = \sqrt{k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}} $, अनुक्रमणिका $$ (3) $$ इसका मतलब है कि गोलाकार हैंकेल फलनों का उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

 * गोलाकार हार्मोनिक्स
 * स्पिनर गोलाकार हार्मोनिक्स
 * स्पिन-भारित गोलाकार हार्मोनिक्स
 * विद्युत चुम्बकीय विकिरण
 * गोलाकार आधार

बाहरी संबंध

 * Vector Spherical Harmonics at Eric Weisstein's Mathworld