कोणीय वेग

भौतिकी में, कोणीय वेग या घूर्णी वेग ($ω$या$ω = dθ / dt$), कोणीय आवृत्ति वेक्टर के रूप में भी जाना जाता है, एक स्यूडोवेटर  प्रतिनिधित्व है कि किसी वस्तु की  कोणीय स्थिति  या अभिविन्यास कितनी तेजी से समय के साथ बदलता है (यानी एक वस्तु कितनी जल्दी घूमती है या किसी बिंदु या अक्ष के सापेक्ष घूमती है)।Pseudovector का परिमाण  कोणीय गति  का प्रतिनिधित्व करता है, जिस दर पर वस्तु घूमती है या घूमती है, और इसकी दिशा  सामान्य (ज्यामिति)  रोटेशन या कोणीय विस्थापन के तात्कालिक विमान के लिए सामान्य (ज्यामिति) है।कोणीय वेग का उन्मुखीकरण पारंपरिक रूप से दाएं हाथ के नियम द्वारा निर्दिष्ट किया जाता है। कोणीय वेग  के दो प्रकार हैं।
 * कक्षीय कोणीय वेग एक निश्चित अक्ष के चारों ओर एक बिंदु ऑब्जेक्ट रोटेशन कितनी तेजी से संदर्भित करता है, अर्थात् मूल (गणित)  के सापेक्ष अपनी कोणीय स्थिति के परिवर्तन की समय दर।
 * स्पिन कोणीय वेग से तात्पर्य है कि एक कठोर शरीर कितनी तेजी से रोटेशन के केंद्र के संबंध में घूमता है और कक्षीय कोणीय वेग के विपरीत, मूल की पसंद से स्वतंत्र है।

सामान्य तौर पर, कोणीय वेग में प्रति यूनिट समय कोण (भौतिकी) का आयाम (भौतिकी)  होता है (कोण को आम तौर पर समय के साथ रैखिक वेग से  दूरी  की जगह)।कोणीय वेग की एसआई इकाई  प्रति सेकंड रेडियन  है,  कांति  एक  आयामहीन मात्रा  होने के साथ, इस प्रकार कोणीय वेग की एसआई इकाइयों को एस के रूप में सूचीबद्ध किया जा सकता है−1।कोणीय वेग आमतौर पर प्रतीक  ओमेगा  द्वारा दर्शाया जाता है ($ω$, कभी-कभी$Ω$)।सम्मेलन द्वारा, सकारात्मक कोणीय वेग काउंटर-क्लॉकवाइज रोटेशन को इंगित करता है, जबकि नकारात्मक  दक्षिणावर्त  है।

उदाहरण के लिए, एक जियोसिंक्रोनस ऑर्बिट  सैटेलाइट  भूमध्य रेखा  के ऊपर प्रति दिन एक कक्षा को पूरा करता है, या प्रति 24 घंटे 360 डिग्री, और कोणीय वेग   '= (360 °)/(24 और nbsp; h) = 15 °/h, या या 15 °/h, या है, या होता है,।यदि कोण को रेडियन में मापा जाता है, तो रैखिक वेग कोणीय वेग का त्रिज्या समय होता है, $$v = r\omega$$।ऑर्बिटल त्रिज्या के साथ 42,000 & nbsp; पृथ्वी के केंद्र से किमी, अंतरिक्ष के माध्यम से उपग्रह की गति इस प्रकार v = 42,000 & nbsp; km & times;0.26/h and 11,000 & nbsp; किमी/एच।कोणीय वेग सकारात्मक है क्योंकि उपग्रह पृथ्वी के रोटेशन (उत्तरी ध्रुव के ऊपर से काउंटर-क्लॉकवाइज) के साथ पूर्व की ओर यात्रा करता है।

दो आयामों में कण
त्रिज्या पर परिपत्र गति के सबसे सरल मामले में $$r$$, कोणीय विस्थापन द्वारा दी गई स्थिति के साथ $$\phi(t)$$ एक्स-अक्ष से, कक्षीय कोणीय वेग समय के संबंध में कोण के परिवर्तन की दर है: $\omega = \frac{d\phi}{dt}$ ।यदि $$\phi$$ रेडियन में मापा जाता है, सर्कल के चारों ओर सकारात्मक एक्स-अक्ष से चाप-लंबाई कण है $$\ell=r\phi$$, और रैखिक वेग है $v(t) = \frac{d\ell}{dt} = r\omega(t)$, ताकि $\omega = \frac{v}{r}$ ।

विमान में जाने वाले एक कण के सामान्य मामले में, कक्षीय कोणीय वेग वह दर है जिस पर एक चुने हुए मूल के सापेक्ष स्थिति वेक्टर कोण से बाहर निकलती है।आरेख स्थिति वेक्टर दिखाता है $$\mathbf{r}$$ मूल से $$O$$ एक कण को $$P$$, इसके ध्रुवीय निर्देशांक के साथ $$(r, \phi)$$।(सभी चर समय के कार्य हैं $$t$$।) कण में रैखिक वेग के रूप में विभाजित होता है $$\mathbf{v} = \mathbf{v}_\|+\mathbf{v}_\perp$$, रेडियल घटक के साथ $$\mathbf{v}_\|$$ त्रिज्या के समानांतर, और क्रॉस-रेडियल (या स्पर्शरेखा) घटक $$\mathbf{v}_\perp$$ त्रिज्या के लिए लंबवत।जब कोई रेडियल घटक नहीं होता है, तो कण एक वृत्त में मूल के चारों ओर चलता है;लेकिन जब कोई क्रॉस-रेडियल घटक नहीं होता है, तो यह मूल से एक सीधी रेखा में चलता है।चूंकि रेडियल गति कोण को अपरिवर्तित छोड़ देती है, केवल रैखिक वेग का क्रॉस-रेडियल घटक कोणीय वेग में योगदान देता है।

कोणीय वेग ω समय के संबंध में कोणीय स्थिति के परिवर्तन की दर है, जिसे क्रॉस-रेडियल वेग से गणना की जा सकती है:



यहाँ क्रॉस-रेडियल स्पीड $$v_\perp$$ का हस्ताक्षरित परिमाण है $$\mathbf{v}_\perp$$, काउंटर-क्लॉकवाइज गति के लिए सकारात्मक, दक्षिणावर्त के लिए नकारात्मक।रैखिक वेग के लिए ध्रुवीय निर्देशांक लेना $$\mathbf{v}$$ परिमाण देता है $$v$$ (रैखिक गति) और कोण $$\theta$$ त्रिज्या वेक्टर के सापेक्ष;इन शब्दों में, $$v_\perp = v\sin(\theta)$$, ताकि



इन सूत्रों को किया जा सकता है $$\mathbf{r}=(r\cos(\varphi),r\sin(\varphi))$$, हो रहा $$r$$ समय के संबंध में मूल के लिए दूरी का एक कार्य, और $$\varphi$$ वेक्टर और एक्स अक्ष के बीच कोण का एक कार्य।फिर \frac{d\mathbf{r}}{Dutt} = (\ dot {r} \ chos (\ varfi) - r \ dot {\ varfi} \ sin (\ varfi), \ dot {r} \ sin (\ varaf) \ chos (\ varfa)) <) <) < / मैट>।|undefined विच आइस के साथ $\dot{r}(\cos(\varphi), \sin(\varphi)) + r\dot{\varphi}(-\sin(\varphi), \cos(\varphi)) = \dot{r}\hat{r} + r\dot{\varphi}\hat{\varphi}$. (बेलनाकार निर्देशांक में इकाई वेक्टर  देखें)।जानने $\frac{d\mathbf{r}}{dt} = \ mathbf {v} $ ,|undefined हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि वेग का रेडियल घटक द्वारा दिया गया है $\dot{r}$, क्योंकि $$\hat{r}$$ एक रेडियल यूनिट वेक्टर है;और लंबवत घटक द्वारा दिया गया है $$r\dot{\varphi}$$ क्योंकि $$\hat{\varphi}$$ एक लंबवत इकाई वेक्टर है।

दो आयामों में, कोणीय वेग प्लस या माइनस साइन के साथ एक संख्या है जो अभिविन्यास का संकेत देती है, लेकिन एक दिशा में इंगित नहीं करती है।यदि RADIUS वेक्टर काउंटर-क्लॉकवाइज हो जाता है, और यदि दक्षिणावर्त हो तो नकारात्मक हो जाता है।कोणीय वेग को तब एक स्यूडोस्केलर  कहा जा सकता है, एक संख्यात्मक मात्रा जो एक  समता (भौतिकी)  के तहत हस्ताक्षर को बदलता है, जैसे कि एक अक्ष को इनवर्ट करना या दो अक्षों को स्विच करना।

तीन आयामों में कण
त्रि-आयामी स्थान में, हमारे पास फिर से एक चलती कण की स्थिति वेक्टर आर है।यहां, कक्षीय कोणीय वेग एक स्यूडोवेक्टर है जिसका परिमाण वह दर है जिस पर आर कोण को बाहर निकालता है, और जिसकी दिशा तात्कालिक विमान के लिए लंबवत है जिसमें आर आर कोण को बाहर निकालता है (यानी विमान आर और वी द्वारा फैलाया जाता है)।हालांकि, जैसा कि किसी भी विमान के लिए लंबवत  दो  दिशाएं हैं, कोणीय वेग की दिशा को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करने के लिए एक अतिरिक्त स्थिति आवश्यक है;परंपरागत रूप से, दाहिने हाथ के नियम का उपयोग किया जाता है।

Pseudovector को चलो $$\mathbf{u}$$ आर और वी द्वारा फैले हुए विमान के लिए यूनिट वेक्टर लंबवत बनें, ताकि दाहिने हाथ का नियम संतुष्ट हो (यानी कोणीय विस्थापन की तात्कालिक दिशा काउंटर-क्लॉकवाइज है जो ऊपर से दिख रही है $$\mathbf{u}$$)।ध्रुवीय निर्देशांक लेना $$(r,\phi)$$ इस विमान में, जैसा कि ऊपर दो-आयामी मामले में, कोई भी कक्षीय कोणीय वेग वेक्टर को परिभाषित कर सकता है:


 * $$\boldsymbol\omega =\omega \mathbf u = \frac{d\phi}{dt}\mathbf u=\frac{v \sin(\theta)}{r}\mathbf u,$$

जहां and 'r' और 'v' के बीच का कोण है।क्रॉस उत्पाद के संदर्भ में, यह है:


 * $$\boldsymbol\omega

=\frac{\mathbf r\times\mathbf v}{r^2}.$$ उपरोक्त समीकरण से, कोई भी स्पर्शरेखा वेग को ठीक कर सकता है:


 * $$\mathbf{v}_{\perp} =\boldsymbol{\omega} \times\mathbf{r}$$

एक कठोर शरीर या संदर्भ फ्रेम का स्पिन कोणीय वेग
तीन यूनिट समन्वय वैक्टर के एक घूर्णन फ्रेम को देखते हुए, तीनों में प्रत्येक तत्काल में एक ही कोणीय गति होनी चाहिए।इस तरह के फ्रेम में, प्रत्येक वेक्टर को निरंतर स्केलर त्रिज्या के साथ एक चलती कण के रूप में माना जा सकता है।

घूर्णन फ्रेम कठोर शरीर के संदर्भ में दिखाई देता है, और इसके लिए विशेष उपकरण विकसित किए गए हैं: स्पिन कोणीय वेग को वेक्टर के रूप में या समकक्ष रूप से एक टेन्सर  के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

सामान्य परिभाषा के अनुरूप, एक फ्रेम के स्पिन कोणीय वेग को रोटेशन के अपने स्वयं के केंद्र के संबंध में तीन वैक्टर (सभी के लिए समान) के कक्षीय कोणीय वेग के रूप में परिभाषित किया गया है।फ्रेम के लिए कोणीय वेग वैक्टर के अलावा भी सामान्य वेक्टर जोड़ (रैखिक आंदोलनों की संरचना) द्वारा परिभाषित किया गया है, और रोटेशन को एक गिम्बल  में विघटित करने के लिए उपयोगी हो सकता है।वेक्टर के सभी घटकों की गणना चलती फ्रेम (यूलर कोण या रोटेशन मैट्रिसेस) को परिभाषित करने वाले मापदंडों के डेरिवेटिव के रूप में की जा सकती है।जैसा कि सामान्य मामले में, इसके अलावा कम्यूटेटिव है: $$\omega_1 + \omega_2 = \omega_2 + \omega_1$$।

यूलर के रोटेशन प्रमेय द्वारा, किसी भी घूर्णन फ्रेम में रोटेशन की एक तात्कालिक अक्ष होता है, जो कोणीय वेग वेक्टर की दिशा है, और कोणीय वेग का परिमाण दो-आयामी मामले के अनुरूप है।

यदि हम एक संदर्भ बिंदु चुनते हैं $${\boldsymbol R}$$ कठोर शरीर में तय, वेग $$ \dot {\boldsymbol r}$$ शरीर में किसी भी बिंदु द्वारा दिया जाता है


 * $$ \dot {\boldsymbol r}= \dot {\boldsymbol R}+ {\boldsymbol\omega}\times({\boldsymbol r}-{\boldsymbol R})

$$

बॉडी-फिक्स्ड फ्रेम के आधार वैक्टर से घटक
एक निश्चित बिंदु ओ के बारे में एक कठोर शरीर पर विचार करें। शरीर में एक संदर्भ फ्रेम का निर्माण करें जिसमें वैक्टर के एक ऑर्थोनॉर्मल सेट शामिल हैं $$\mathbf{e}_1, \mathbf{e}_2, \mathbf{e}_3 $$ शरीर के लिए और ओ में उनके सामान्य मूल के साथ। ओ के बारे में फ्रेम और शरीर दोनों के स्पिन कोणीय वेग वेक्टर तब है
 * $$\boldsymbol\omega = \left(\dot \mathbf{e}_1\cdot\mathbf{e}_2\right) \mathbf{e}_3 + \left(\dot \mathbf{e}_2\cdot\mathbf{e}_3\right) \mathbf{e}_1 + \left(\dot \mathbf{e}_3\cdot\mathbf{e}_1\right) \mathbf{e}_2,

$$ कहाँ पे $$ \dot \mathbf{e}_i= \frac{d \mathbf{e}_i}{dt} $$ फ्रेम वेक्टर के परिवर्तन की समय दर है $$ \mathbf{e}_i, i=1,2,3,$$ रोटेशन के कारण।

ध्यान दें कि यह सूत्र कक्षीय कोणीय वेग के लिए अभिव्यक्ति के साथ असंगत है


 * $$\boldsymbol\omega

=\frac{\mathbf r\times\mathbf v}{r^2},$$ चूंकि यह सूत्र ओ के बारे में एक बिंदु के लिए कोणीय वेग को परिभाषित करता है, जबकि इस खंड में सूत्र एक फ्रेम या कठोर शरीर पर लागू होता है।एक कठोर शरीर के मामले में एक एकल $$ \boldsymbol\omega$$ शरीर में सभी कणों की गति के लिए जिम्मेदार है।

यूलर कोण से घटक
स्पिन कोणीय वेग pseudovector के घटकों की गणना पहले लियोनहार्ड यूलर  द्वारा अपने  यूलर कोण ों और एक मध्यवर्ती फ्रेम के उपयोग का उपयोग करके की गई थी:
 * संदर्भ फ्रेम की एक धुरी (प्रीसेशन एक्सिस)
 * संदर्भ फ्रेम (पोषण अक्ष) के संबंध में मूविंग फ्रेम के नोड्स की रेखा
 * चलती फ्रेम की एक अक्ष (आंतरिक रोटेशन अक्ष)

यूलर ने साबित किया कि इन तीन अक्षों में से प्रत्येक पर कोणीय वेग स्यूडोवेक्टर के अनुमान इसके संबद्ध कोण का व्युत्पन्न है (जो तात्कालिक रोटेशन को तीन तात्कालिक यूलर रोटेशन  में विघटित करने के बराबर है)।इसलिए:
 * $$\boldsymbol\omega = \dot\alpha\mathbf u_1+\dot\beta\mathbf u_2+\dot\gamma \mathbf u_3$$

यह आधार ऑर्थोनॉर्मल नहीं है और इसका उपयोग करना मुश्किल है, लेकिन अब वेग वेक्टर को निश्चित फ्रेम या मूविंग फ्रेम में केवल ठिकानों के परिवर्तन के साथ बदला जा सकता है।उदाहरण के लिए, मोबाइल फ्रेम में बदलना:


 * $$\boldsymbol\omega =

(\dot\alpha \sin\beta \sin\gamma + \dot\beta\cos\gamma) \hat\mathbf i+ (\dot\alpha \sin\beta \cos\gamma - \dot\beta\sin\gamma) \hat\mathbf j + (\dot\alpha \cos\beta + \dot\gamma) \hat\mathbf k$$ कहाँ पे $$\hat\mathbf i, \hat\mathbf j, \hat\mathbf k$$ मूविंग बॉडी में तय किए गए फ्रेम के लिए यूनिट वैक्टर हैं।यह उदाहरण Z-X-Z कन्वेंशन के लिए Euler कोणों के लिए किया गया है।

टेंसर
कोणीय वेग वेक्टर $$\boldsymbol\omega=(\omega_x,\omega_y,\omega_z)$$ ऊपर परिभाषित किया जा सकता है एक कोणीय वेग टेंसर के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, मैट्रिक्स (या रैखिक मानचित्रण)  w  =  w    t '') द्वारा परिभाषित:



W = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0 \\ \end{pmatrix}$$ यह एक कोणीय विस्थापन#infinitesimal रोटेशन मैट्रिसेस है।रैखिक मैपिंग डब्ल्यू के रूप में कार्य करता है $$(\boldsymbol\omega \times)$$:


 * $$\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} = W \cdot\mathbf{r}. $$

अभिविन्यास मैट्रिक्स से गणना
एक वेक्टर $$\mathbf r$$ एक निश्चित अक्ष के आसपास समान परिपत्र गति से गुजरना संतुष्टि:


 * $$\frac {d \mathbf r} {dt} = \boldsymbol{\omega} \times\mathbf{r} = W \cdot \mathbf{r}$$

एक फ्रेम के ओरिएंटेशन मैट्रिक्स ए (टी) को देखते हुए, जिनके कॉलम चलती ऑर्थोनॉर्मल कोऑर्डिनेट वैक्टर हैं $$\mathbf e_1,\mathbf e_2,\mathbf e_3$$, हम इसके कोणीय वेग टेंसर डब्ल्यू (टी) प्राप्त कर सकते हैं।कोणीय वेग तीन वैक्टर के लिए समान होना चाहिए $$\mathbf r = \mathbf e_i$$, इसलिए एक मैट्रिक्स के स्तंभों में तीन वेक्टर समीकरणों की व्यवस्था करना, हमारे पास है:


 * $$\frac {dA}{dt} = W \cdot A.$$

(यह तब भी धारण करता है जब a (t) समान रूप से नहीं घूमता है।) इसलिए कोणीय वेग टेंसर है:


 * $$W = \frac {dA} {dt} \cdot A^{-1} = \frac {dA} {dt} \cdot A^{\mathrm{T}},$$

ऑर्थोगोनल मैट्रिक्स के व्युत्क्रम के बाद से $$A$$ इसका ट्रांसपोज़ है $$A^{\mathrm{T}}$$।

गुण
सामान्य तौर पर, एन-डायमेंशनल स्पेस में कोणीय वेग कोणीय विस्थापन टेंसर का समय व्युत्पन्न होता है, जो एक दूसरी रैंक तिरछी-सममितीय टेंसर है।

यह टेंसर डब्ल्यू होगा n(n−1)/2 स्वतंत्र घटक, जो एक एन-डायमेंशनल इनर प्रोडक्ट स्पेस के रोटेशन  के  झूठ समूह  के  झूठ बीजगणित  का आयाम है।

वेग वेक्टर के संबंध में द्वंद्व
तीन आयामों में, कोणीय वेग को एक स्यूडोवेक्टर द्वारा दर्शाया जा सकता है क्योंकि दूसरे रैंक टेन्सर तीन आयामों में स्यूडोवेक्टर्स के लिए दोहरे स्थान हैं।चूंकि कोणीय वेग टेंसर w = w (t) एक तिरछा-सममित मैट्रिक्स है:



W = \begin{pmatrix} 0 & -\omega_z & \omega_y \\ \omega_z & 0 & -\omega_x \\ -\omega_y & \omega_x & 0\\ \end{pmatrix}, $$ इसका हॉज ड्यूल एक वेक्टर है, जो पिछले कोणीय वेग वेक्टर है $$\boldsymbol\omega=[\omega_x,\omega_y,\omega_z]$$।

डब्ल्यू
का घातांक

यदि हम एक प्रारंभिक फ्रेम ए (0) जानते हैं और हमें एक निरंतर कोणीय वेग टेंसर डब्ल्यू दिया जाता है, तो हम किसी भी टी के लिए ए (टी) प्राप्त कर सकते हैं।मैट्रिक्स अंतर समीकरण को याद करें:


 * $$\frac {dA} {dt} = W \cdot A .$$

इस समीकरण को देने के लिए एकीकृत किया जा सकता है:


 * $$A(t) = e^{Wt}A(0) ,$$

जो रोटेशन के झूठ समूह के साथ एक संबंध दिखाता है।

डब्ल्यू तिरछा-सममितीय है
हम साबित करते हैं कि कोणीय वेग टेंसर तिरछा-सममित मैट्रिक्स है, अर्थात् $$W = \frac {dA(t)}{dt} \cdot A^\text{T} $$ संतुष्ट $$W^\text{T} = -W$$।

एक रोटेशन मैट्रिक्स ए ऑर्थोगोनल है, इसके ट्रांसपोज़ के लिए उलटा है, इसलिए हमारे पास है $$I=A\cdot A^\text{T}$$।के लिए $$A=A(t)$$ एक फ्रेम मैट्रिक्स, समीकरण का समय व्युत्पन्न देता है:


 * $$0=\frac{dA}{dt}A^\text{T}+A\frac{dA^\text{T}}{dt}$$

सूत्र को लागू करना $$(A B)^\text{T}=B^\text{T}A^\text{T}$$,


 * $$0 = \frac{dA}{dt}A^\text{T}+\left(\frac{dA}{dt} A^\text{T}\right)^\text{T} = W + W^\text{T}$$

इस प्रकार, डब्ल्यू इसके ट्रांसपोज़ का नकारात्मक है, जिसका अर्थ है कि यह तिरछा सममित है।

समन्वय-मुक्त विवरण
किसी भी पल में $$t$$, कोणीय वेग टेंसर स्थिति वेक्टर के बीच एक रैखिक मानचित्र का प्रतिनिधित्व करता है $$\mathbf{r}(t)$$ और वेग वैक्टर $$\mathbf{v}(t)$$ मूल के चारों ओर घूमने वाले एक कठोर शरीर पर एक बिंदु:


 * $$ \mathbf{v} = W\mathbf{r} .$$

इस रैखिक मानचित्र और कोणीय वेग pseudovector के बीच संबंध $$\boldsymbol\omega$$ निम्नलखित में से कोई।

क्योंकि w एक ऑर्थोगोनल परिवर्तन  का व्युत्पन्न है, बिलिनियर रूप


 * $$B(\mathbf{r},\mathbf{s}) = (W\mathbf{r}) \cdot \mathbf{s} $$

बिलिनियर फॉर्म#सममित, तिरछा-सममितीय और वैकल्पिक रूप हैं। स्केव-सममितीय।इस प्रकार हम बाहरी बीजगणित  के तथ्य को लागू कर सकते हैं कि एक अद्वितीय  रैखिक रूप  है $$L$$ पर $$\Lambda^2 V $$ वह


 * $$L(\mathbf{r}\wedge \mathbf{s}) = B(\mathbf{r},\mathbf{s})$$

कहाँ पे $$\mathbf{r}\wedge \mathbf{s} \in \Lambda^2 V $$ का बाहरी उत्पाद  है $$\mathbf{r}$$ और $$\mathbf{s}$$।

संगीत आइसोमोर्फिज्म एल लेना$♯$ एल हम प्राप्त करते हैं


 * $$ (W\mathbf{r})\cdot \mathbf{s} = L^\sharp \cdot (\mathbf{r}\wedge \mathbf{s}) $$

परिचय $$ \boldsymbol\omega := {\star} (L^\sharp) $$, एल के हॉज दोहरे के रूप में$♯$, और हॉज की परिभाषा को दो बार दो बार लागू करना, यह मानते हुए कि पसंदीदा इकाई 3-वेक्टर है $$ \star 1$$
 * $$ (W\mathbf{r}) \cdot \mathbf{s} = {\star} ( {\star} ( L^\sharp ) \wedge \mathbf{r} \wedge \mathbf{s}) = {\star} (\boldsymbol\omega \wedge \mathbf{r} \wedge \mathbf{s}) = {\star} (\boldsymbol\omega \wedge \mathbf{r} ) \cdot \mathbf{s} = (\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} ) \cdot \mathbf{s} ,$$

कहाँ पे


 * $$\boldsymbol\omega \times \mathbf{r} := {\star} (\boldsymbol\omega \wedge \mathbf{r}) $$

परिभाषा से।

क्योंकि $$\mathbf{s}$$ एक मनमाना वेक्टर है, स्केलर उत्पाद के nondegeneracy से


 * $$ W\mathbf{r} = \boldsymbol\omega \times \mathbf{r}$$

वेक्टर क्षेत्र के रूप में कोणीय वेग
चूंकि एक कठोर शरीर का स्पिन कोणीय वेग टेंसर (इसके आराम फ्रेम में) एक रैखिक परिवर्तन है जो मैप्स को वेग (कठोर शरीर के भीतर) के लिए स्थान देता है, इसे एक निरंतर वेक्टर क्षेत्र के रूप में माना जा सकता है।विशेष रूप से, स्पिन कोणीय वेग 3-आयामी रोटेशन समूह SO (3) के झूठ बीजगणित SO (3) के एक तत्व से संबंधित एक हत्या वेक्टर क्षेत्र है।

इसके अलावा, यह दिखाया जा सकता है कि स्पिन कोणीय वेग वेक्टर क्षेत्र कठोर शरीर के रैखिक वेग वेक्टर क्षेत्र V (R) के कर्ल (गणित)  का आधा हिस्सा है।प्रतीकों में,


 * $$ \boldsymbol{\omega} = \frac{1}{2} \nabla\times\mathbf{v}$$

कठोर शरीर के विचार
कोणीय गति के लिए समान समीकरणों को एक घूर्णन कठोर शरीर पर तर्क प्राप्त किया जा सकता है।यहाँ यह नहीं माना जाता है कि कठोर शरीर मूल के चारों ओर घूमता है।इसके बजाय, यह एक मनमाना बिंदु के चारों ओर घूमता हुआ माना जा सकता है जो प्रत्येक तत्काल में एक रैखिक वेग v (t) के साथ आगे बढ़ रहा है।

समीकरणों को प्राप्त करने के लिए, फ्रेम से जुड़े एक कठोर शरीर की कल्पना करना और एक समन्वय प्रणाली पर विचार करना सुविधाजनक है जो कठोर शरीर के संबंध में तय है।फिर हम इस समन्वय और निश्चित प्रयोगशाला प्रणाली के बीच समन्वय परिवर्तनों का अध्ययन करेंगे।

जैसा कि दाईं ओर आंकड़े में दिखाया गया है, लैब सिस्टम की उत्पत्ति बिंदु ओ पर है, कठोर शरीर प्रणाली की उत्पत्ति पर है और ओ से वेक्टर  क्या आर। एक कण ( i ) कठोर शरीर में बिंदु P पर स्थित है और इस कण की वेक्टर स्थिति r हैi लैब फ्रेम में, और स्थिति आर परi शरीर के फ्रेम में।यह देखा जाता है कि कण की स्थिति लिखी जा सकती है:


 * $$\mathbf{R}_i=\mathbf{R}+\mathbf{r}_i$$

एक कठोर शरीर की परिभाषित विशेषता यह है कि कठोर शरीर में किसी भी दो बिंदुओं के बीच की दूरी समय में अपरिवर्तित होती है।इसका मतलब है कि वेक्टर की लंबाई $$\mathbf{r}_i$$ अपरिवर्तित है।यूलर के रोटेशन प्रमेय द्वारा, हम वेक्टर को बदल सकते हैं $$\mathbf{r}_i$$ साथ $$\mathcal{R}\mathbf{r}_{io}$$ कहाँ पे $$\mathcal{R}$$ एक 3 × 3 रोटेशन मैट्रिक्स  है और $$\mathbf{r}_{io}$$ समय में कुछ निश्चित बिंदु पर कण की स्थिति है, कहते हैं t = 0।यह प्रतिस्थापन उपयोगी है, क्योंकि अब यह केवल रोटेशन मैट्रिक्स है $$\mathcal{R}$$ यह समय में बदल रहा है न कि संदर्भ वेक्टर $$\mathbf{r}_{io}$$, जैसे कि कठोर शरीर बिंदु के बारे में घूमता है ।इसके अलावा, चूंकि रोटेशन मैट्रिक्स के तीन कॉलम कठोर शरीर के साथ एक साथ घूमते हुए एक संदर्भ फ्रेम के तीन  पाठ्यक्रम में हो ्स का प्रतिनिधित्व करते हैं, किसी भी अक्ष के बारे में कोई भी रोटेशन अब दिखाई देता है, जबकि वेक्टर $$\mathbf{r}_i$$ यदि रोटेशन अक्ष इसके समानांतर थे, तो नहीं घूमेंगे, और इसलिए यह केवल एक अक्ष के बारे में एक रोटेशन का वर्णन करेगा (यानी, यह कोणीय वेग के घटक को नहीं देखेगा, इसके समानांतर स्यूडोवेक्टर, और केवल गणना की अनुमति देगाइसके लिए लंबवत घटक)।कण की स्थिति अब के रूप में लिखी गई है:


 * $$\mathbf{R}_i=\mathbf{R}+\mathcal{R}\mathbf{r}_{io}$$

समय व्युत्पन्न लेने से कण का वेग पैदा होता है:


 * $$\mathbf{V}_i=\mathbf{V}+\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathbf{r}_{io}$$

जहां वीi कण का वेग (लैब फ्रेम में) और v का वेग है (कठोर शरीर के फ्रेम की उत्पत्ति)।तब से $$\mathcal{R}$$ एक रोटेशन मैट्रिक्स है इसका उलटा इसका ट्रांसपोज़ है।तो हम स्थानापन्न करते हैं $$\mathcal{I}=\mathcal{R}^\text{T}\mathcal{R}$$:


 * $$\mathbf{V}_i = \mathbf{V}+\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{I}\mathbf{r}_{io}$$
 * $$\mathbf{V}_i = \mathbf{V}+\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{R}^\text{T}\mathcal{R}\mathbf{r}_{io}$$
 * $$\mathbf{V}_i = \mathbf{V}+\frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{R}^\text{T}\mathbf{r}_{i}$$

या


 * $$\mathbf{V}_i = \mathbf{V}+W\mathbf{r}_{i}$$

कहाँ पे $$W = \frac{d\mathcal{R}}{dt}\mathcal{R}^\text{T}$$ पिछले कोणीय वेग टेंसर  है।

यह #W हो सकता है कि यह तिरछा है कि यह एक तिरछा-सममितीय मैट्रिक्स है, इसलिए हम एक 3 आयामी स्यूडोवेक्टर प्राप्त करने के लिए इसकी दोहरी जगह ले सकते हैं जो पिछले कोणीय वेग वेक्टर है $$\boldsymbol \omega$$:


 * $$\boldsymbol\omega=[\omega_x,\omega_y,\omega_z]$$

उपरोक्त वेग अभिव्यक्ति में डब्ल्यू के लिए ω को प्रतिस्थापित करना, और एक समकक्ष क्रॉस उत्पाद द्वारा मैट्रिक्स गुणन को बदलना:


 * $$\mathbf{V}_i=\mathbf{V}+\boldsymbol\omega\times\mathbf{r}_i$$

यह देखा जा सकता है कि एक कठोर शरीर में एक बिंदु के वेग को दो शब्दों में विभाजित किया जा सकता है - कठोर शरीर में तय एक संदर्भ बिंदु का वेग और क्रॉस उत्पाद शब्द संदर्भ के संबंध में कण के कक्षीय कोणीय वेग को शामिल करता हैबिंदु।यह कोणीय वेग वह है जिसे भौतिक विज्ञानी कठोर शरीर के स्पिन कोणीय वेग को कहते हैं, जैसा कि संदर्भ बिंदु के कक्षीय कोणीय वेग के विपरीत है मूल के बारे में ओ।

स्थिरता
हमने माना है कि कठोर शरीर एक मनमाना बिंदु के चारों ओर घूमता है।हमें यह साबित करना चाहिए कि पहले परिभाषित स्पिन कोणीय वेग मूल की पसंद से स्वतंत्र है, जिसका अर्थ है कि स्पिन कोणीय वेग कताई कठोर शरीर की एक आंतरिक संपत्ति है।(एक बिंदु कण के कक्षीय कोणीय वेग के साथ इसके चिह्नित विपरीत पर ध्यान दें, जो निश्चित रूप से मूल की पसंद पर निर्भर करता है।)

[[image:AngularVelocity03.svg|right|320 पीएक्स |अँगूठा

ग्राफ को दाईं ओर देखें: लैब फ्रेम की उत्पत्ति ओ है, जबकि ओ1 और ओ2 कठोर शरीर पर दो निश्चित बिंदु हैं, जिसका वेग है $$\mathbf{v}_1$$ और $$\mathbf{v}_2$$ क्रमश।मान लीजिए कि ओ के संबंध में कोणीय वेग1 और ओ2 है $$\boldsymbol{\omega}_1$$ और $$\boldsymbol{\omega}_2$$ क्रमश।प्वाइंट पी और ओ के बाद से2 केवल एक वेग है,


 * $$ \mathbf{v}_1 + \boldsymbol{\omega}_1\times\mathbf{r}_1 = \mathbf{v}_2 + \boldsymbol{\omega}_2\times\mathbf{r}_2 $$
 * $$ \mathbf{v}_2 = \mathbf{v}_1 + \boldsymbol{\omega}_1\times\mathbf{r} = \mathbf{v}_1 + \boldsymbol{\omega}_1\times (\mathbf{r}_1 - \mathbf{r}_2) $$

उपरोक्त दो पैदावार


 * $$ (\boldsymbol{\omega}_2-\boldsymbol{\omega}_1) \times \mathbf{r}_2=0 $$

बिंदु पी के बाद से (और इस प्रकार $$ \mathbf{r}_2 $$) मनमाना है, यह इस प्रकार है


 * $$ \boldsymbol{\omega}_1 = \boldsymbol{\omega}_2 $$

यदि संदर्भ बिंदु रोटेशन की तात्कालिक अक्ष है, तो कठोर शरीर में एक बिंदु के वेग की अभिव्यक्ति सिर्फ कोणीय वेग शब्द होगा।ऐसा इसलिए है क्योंकि रोटेशन के तात्कालिक अक्ष का वेग शून्य है।रोटेशन के तात्कालिक अक्ष का एक उदाहरण एक दरवाजे का काज है।एक अन्य उदाहरण एक विशुद्ध रूप से रोलिंग गोलाकार (या, अधिक आम तौर पर, उत्तल) कठोर शरीर के संपर्क का बिंदु है।

यह भी देखें

 * कोणीय त्वरण
 * कोणीय आवृत्ति
 * कोणीय गति
 * एरियल वेग
 * आइसोमेट्री
 * ऑर्थोगोनल ग्रुप
 * कठोर शरीर की गतिशीलता
 * Vorticity

बाहरी कड़ियाँ

 * A college text-book of physics By Arthur Lalanne Kimball (Angular Velocity of a particle)