डंडेलिन गोले

ज्यामिति में, डंडेलिन के गोले एक या दो गोले होते हैं जो एक समतल (ज्यामिति) और एक शंकु (ज्यामिति) दोनों के स्पर्शरेखा होते हैं जो समतल को काटते हैं। शंकु और समतल का प्रतिच्छेदन एक शंक्वाकार खंड है, और जिस बिंदु पर कोई भी गोला समतल को स्पर्श करता है, वह शंकु खंड का फोकस (ज्यामिति) होता है, इसलिए डेंडेलिन क्षेत्रों को कभी-कभी फोकल क्षेत्र भी कहा जाता है। डंडेलिन क्षेत्रों की खोज 1822 में हुई थी। उनका नाम फ्रांस के गणितज्ञ जर्मिनल पियरे डंडेलिन के सम्मान में रखा गया है, हालांकि एडोल्फ क्वेटलेट को कभी-कभी आंशिक श्रेय भी दिया जाता है।  डंडेलिन क्षेत्रों का उपयोग पेरगा के एपोलोनियस को ज्ञात दो प्राचीन ग्रीस प्रमेय के सुरुचिपूर्ण आधुनिक प्रमाण देने के लिए किया जा सकता है। पहला प्रमेय यह है कि एक बंद शंक्वाकार खंड (यानी एक दीर्घवृत्त) बिंदुओं का स्थान (गणित) है जैसे कि दो निश्चित बिंदुओं (फोसी) की दूरियों का योग स्थिर है। दूसरा प्रमेय यह है कि किसी भी शंक्वाकार खंड के लिए, एक निश्चित बिंदु (फोकस) से दूरी एक निश्चित रेखा (नियंता (शंकु खंड)) से दूरी के समानुपाती होती है, आनुपातिकता के स्थिरांक को विलक्षणता (गणित) कहा जाता है।  शंकु खंड में प्रत्येक फोकस के लिए एक डंडेलिन क्षेत्र होता है। एक दीर्घवृत्त में शंकु के एक ही Nappe (बहुविकल्पी) को स्पर्श करने वाले दो डंडेलिन क्षेत्र होते हैं, जबकि  अतिशयोक्ति  में दो डंडेलिन क्षेत्र होते हैं जो विपरीत लंगोट को छूते हैं। एक परवलय में केवल एक डंडेलिन गोला होता है।

प्रमाण है कि प्रतिच्छेदन वक्र में foci
की दूरी का निरंतर योग है

उदाहरण पर विचार करें, शीर्ष पर शीर्ष S के साथ एक शंकु का चित्रण। एक समतल e वक्र C (नीले आतंरिक भाग वाला) में शंकु को काटता है। निम्नलिखित प्रमाण से पता चलेगा कि वक्र C एक दीर्घवृत्त है।

दो भूरे डंडेलिन गोले, जी1 और जी2, समतल और शंकु दोनों पर स्पर्शरेखा रखी जाती है: G1 विमान के ऊपर, जी2 नीचे। प्रत्येक गोला शंकु को एक वृत्त (सफेद रंग) के साथ स्पर्श करता है, $$k_1$$ और $$k_2$$.

जी के साथ विमान की स्पर्शरेखा के बिंदु को निरूपित करें1 एफ द्वारा1, और इसी तरह जी के लिए2 और एफ2. मान लीजिए P वक्र C पर एक विशिष्ट बिंदु है।

सिद्ध करना : दूरियों का योग $$ d(P,F_1) + d(P,F_2)$$ बिंदु P के रूप में स्थिर रहता है, प्रतिच्छेद की वक्र C के साथ चलता है। (यह C की दीर्घवृत्त होने की एक परिभाषा है, साथ में $$F_1$$ और $$F_2$$ इसका फोकस होना।)
 * शंकु के P और शीर्ष (ज्यामिति) S से गुजरने वाली एक रेखा G को स्पर्श करते हुए दो वृत्तों को काटती है1 और जी2 क्रमशः बिंदु P पर1 और पी2.
 * P वक्र के चारों ओर घूमता है, P1 और पी2 दो वृत्तों के साथ चलते हैं, और उनकी दूरी d(P1, पी2) स्थिर रहता है।
 * P से F की दूरी1 P से P की दूरी के समान है1, क्योंकि रेखा खंड PF1 और पीपी1 दोनों एक ही गोले G की स्पर्श रेखाएँ हैं1.
 * एक सममित तर्क से, पी से एफ की दूरी2 P से P की दूरी के समान है2.
 * नतीजतन, हम दूरियों के योग की गणना करते हैं $$ d(P,F_1) + d(P,F_2) \ =\ d(P,P_1) + d(P,P_2) \ =\ d(P_1,P_2), $$ जो स्थिर है क्योंकि P वक्र के साथ चलता है।

यह पेरगा के एपोलोनियस के एक प्रमेय का एक अलग प्रमाण देता है।

यदि हम एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करते हैं जिसका अर्थ बिंदु P का स्थान है जैसे कि d(F1, पी) + डी (एफ2, P) = एक स्थिरांक, तो उपरोक्त तर्क यह साबित करता है कि प्रतिच्छेदन वक्र C वास्तव में एक दीर्घवृत्त है। कि शंकु के साथ समतल का प्रतिच्छेदन F से होकर जाने वाली रेखा के लंब समद्विभाजक के सापेक्ष सममित है1 और एफ2 विरोधाभासी हो सकता है, लेकिन यह तर्क इसे स्पष्ट करता है।

इस तर्क के अनुकूलन हाइपरबोला के लिए काम करते हैं # एक शंकु और अनुवृत्त के समतल अनुभाग के रूप में # एक शंकु के साथ एक विमान के चौराहों के रूप में डंडेलिन क्षेत्रों के साथ वैकल्पिक प्रमाण। एक अन्य अनुकूलन एक दीर्घवृत्त के लिए काम करता है जिसे एक समवृत्ताकार सिलेंडर (ज्यामिति) के साथ एक विमान के प्रतिच्छेद के रूप में महसूस किया जाता है।

फोकस-डायरेक्ट्री गुण का प्रमाण
डंडेलिन के निर्माण का उपयोग करके एक शांकव खंड का नियंता पाया जा सकता है। डंडेलिन का प्रत्येक गोला शंकु को वृत्त पर प्रतिच्छेद करता है; इन दोनों वृत्तों को अपने-अपने तलों को परिभाषित करने दें। शंक्वाकार खंड के तल के साथ इन दो समानांतर विमानों का प्रतिच्छेद दो समानांतर रेखाएँ होंगी; ये रेखाएँ शांकव परिच्छेद की निदेशिकाएँ हैं। हालांकि, एक अनुवृत्त में एकमात्र डंडेलिन क्षेत्र होता है, और इस प्रकार केवल एक नियंता होता है।

डंडेलिन क्षेत्रों का उपयोग करके, यह साबित किया जा सकता है कि कोई भी शंक्वाकार खंड बिंदुओं का स्थान है जिसके लिए एक बिंदु (फोकस) से दूरी नियंता से दूरी के समानुपाती होती है। अलेक्जेंड्रिया के पप्पस जैसे प्राचीन यूनानी गणितज्ञ इस संपत्ति के बारे में जानते थे, लेकिन डैंडेलिन क्षेत्र प्रमाण की सुविधा प्रदान करते हैं।

फ़ोकस-नियंता संपत्ति को साबित करने के लिए न तो डंडेलिन और न ही क्वेटलेट ने डैंडेलिन क्षेत्रों का उपयोग किया। ऐसा करने वाले पहले व्यक्ति 1829 में पियर्स मोर्टन रहे होंगे, या शायद ह्यूग हैमिल्टन (बिशप) जिन्होंने (1758 में) टिप्पणी की थी कि एक गोला शंकु को एक वृत्त पर स्पर्श करता है जो एक समतल को परिभाषित करता है जिसका शंकु खंड के तल के साथ प्रतिच्छेदन एक नियता है।  फोकस-नियंता संपत्ति का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि केप्लर के ग्रहों की गति के नियम # सूर्य के चारों ओर न्यूटन के नियमों से व्युत्पन्न हैं।

बाहरी संबंध

 * Dandelin Spheres page by Hop David
 * Math Academy page on Dandelin's spheres
 * Les théorèmes belges by Xavier Hubaut (in French).
 * Conic Section Orbits-Dandelin spheres by Egan greg
 * Conic Section Orbits-Dandelin spheres by Egan greg