बर्नूली का प्रमेय



बर्नौली का प्रमेय तरल गतिविज्ञान में एक महत्वपूर्ण प्रमेय है जो दबाव, गति और ऊचाई का संबंध स्थापित करता है। बरनौली के प्रमेय में कहा गया है कि स्थिर दबाव में कमी या द्रव की संभावित ऊर्जा में कमी के साथ-साथ द्रव की गति में वृद्धि होती है। इस प्रमेय का नाम स्विस गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी डेनियल बर्नौली के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने इसे 1738 में अपनी पुस्तक हाइड्रोडायनामिका में प्रकाशित किया था। यद्यपि बर्नौली ने निष्कर्ष निकाला कि प्रवाह की गति बढ़ने पर दबाव कम हो जाता है, यह 1752 में लियोनहार्ड यूलर था जिसने बर्नौली के समीकरण को अपने सामान्य रूप में व्युत्पन्न किया था। बर्नौली के प्रमेय को ऊर्जा के संरक्षण के प्रमेय से प्राप्त किया जा सकता है। यह बताता है कि, एक स्थिर प्रवाह में, तरल पदार्थ में ऊर्जा के सभी रूपों का योग उन सभी बिंदुओं पर समान होता है जो चिपचिपी शक्तियों से मुक्त होते हैं। इसके लिए आवश्यक है कि गतिज ऊर्जा, संभावित ऊर्जा और आंतरिक ऊर्जा का योग स्थिर रहे।  इस प्रकार द्रव की गति में वृद्धि - इसकी गतिज ऊर्जा में वृद्धि का अर्थ इसकी संभावित ऊर्जा और आंतरिक ऊर्जा में एक साथ कमी के साथ होता है। यदि किसी जलाशय से द्रव प्रवाहित हो रहा है, तो ऊर्जा के सभी रूपों का योग समान होता है क्योंकि एक जलाशय में इकाई आयतन की ऊर्जा दबाव और गुरुत्वाकर्षणीय संभावित ऊर्जा के योग ρ g h हर जगह समान होती है।

बर्नौली का प्रमेय भी सीधे आइज़क न्यूटन के द्वितीय गति के नियम से निकाला जा सकता है। जब अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं और गैर-स्थिरोष्मप्रक्रियाओं के प्रभाव छोटे होते हैं और उन्हें उपेक्षित किया जा सकता है। यद्यपि, इस प्रमेय को इन सीमाओं के अंदर विभिन्न प्रकार के प्रवाह पर लागू किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप बर्नौली के समीकरण के विभिन्न रूप सामने आते हैं। बर्नौली के समीकरण का सरल रूप असंपीड्य प्रवाह के लिए मान्य है उदाहरण के लिए अधिकांश तरल प्रवाह और कम मैक संख्या पर चलने वाली गैसे। उच्च मैक संख्या पर संपीड़ित प्रवाह पर अधिक उन्नत रूपों को लागू किया जा सकता है।

बरनौली के प्रमेय को सीधे आइजैक न्यूटन के दूसरे न्यूटन के गति के नियमों से भी प्राप्त किया जा सकता है। यदि द्रव का एक छोटा आयतन उच्च दाब के क्षेत्र से क्षैतिज रूप से निम्न दाब के क्षेत्र की ओर प्रवाहित होता है, तो सामने की अपेक्षा पीछे का दाब अधिक होता है। यह आयतन पर शुद्ध बल देता है, इसे धारारेखा के साथ तेज करता है।

द्रव के कण केवल दबाव और अपने भार के अधीन होते हैं। यदि कोई द्रव क्षैतिज रूप से और धारारेखा के एक खंड के साथ बह रहा है, जहां गति बढ़ जाती है तो यह केवल इसलिए हो सकता है क्योंकि उस खंड पर द्रव उच्च दबाव वाले क्षेत्र से कम दबाव वाले क्षेत्र में चला गया है; और यदि इसकी गति कम हो जाती है, तो यह केवल इसलिए हो सकता है क्योंकि यह कम दबाव वाले क्षेत्र से उच्च दबाव वाले क्षेत्र में चला गया है। नतीजतन, क्षैतिज रूप से बहने वाले तरल पदार्थ के अंदर, उच्चतम गति तब होती है जहां दबाव सबसे कम होता है, और सबसे कम गति वहां होती है जहां दबाव उच्चतम होता है।

असंगत प्रवाह समीकरण
तरल पदार्थों के अधिकांश प्रवाहों में, और कम मच संख्या पर गैसों में, प्रवाह में दबाव भिन्नताओं के अतिरिक्त द्रव खण्ड़ के घनत्व को स्थिर माना जा सकता है। इसलिए, द्रव को असम्पीडित माना जा सकता है, और इन प्रवाहों को असम्पीडित प्रवाह कहा जाता है। बरनौली ने तरल पदार्थों पर अपने प्रयोग किए, इसलिए उसका समीकरण अपने मूल रूप में केवल असंपीड्य प्रवाह के लिए मान्य है। बरनौली के समीकरण का एक सामान्य रूप है:

जहाँ:
 * $$v$$ एक बिंदु पर द्रव प्रवाह गति है,
 * $$g$$ गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है,
 * z एक संदर्भ सतह के ऊपर बिंदु की ऊंचाई है, जिसमें सकारात्मक z-दिशा ऊपर की ओर प्रदर्शित होती है - इसलिए गुरुत्वाकर्षण त्वरण की विपरीत दिशा में।
 * $$p$$ चुने हुए बिंदु पर दबाव है, और
 * $$\rho$$ द्रव में सभी बिंदुओं पर द्रव का घनत्व है।

बर्नौली के समीकरण और बर्नौली स्थिरांक प्रवाह के किसी भी क्षेत्र में लागू होते हैं जहां द्रव्यमान की प्रति इकाई ऊर्जा एक समान होती है। एक जलाशय में तरल पदार्थ के द्रव्यमान की प्रति इकाई ऊर्जा पूरे जलाशय में एक समान होती है, इसलिए यदि जलाशय तरल को पाइप या प्रवाह क्षेत्र में खिलाता है, बर्नौली के समीकरण और बर्नौली स्थिरांक का उपयोग हर जगह द्रव प्रवाह का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है, सिवाय इसके कि जहां चिपचिपा बलउपस्थित है और प्रति इकाई द्रव्यमान ऊर्जा को नष्ट कर देता है।

इस बर्नौली समीकरण को लागू करने के लिए निम्नलिखित मान्यताओं को पूरा किया जाना चाहिए:
 * प्रवाह द्रव गतिकी होना चाहिए, अर्थात प्रवाह पैरामीटर (वेग, घनत्व, आदि) किसी भी बिंदु पर समय के साथ नहीं बदल सकते हैं,
 * प्रवाह असंपीड्य होना चाहिए - भले ही दबाव भिन्न हो, घनत्व एक प्रवाह रेखा के साथ स्थिर रहना चाहिए;
 * श्यानता बलों द्वारा घर्षण नगण्य होना चाहिए।

रूढ़िवादी बल क्षेत्रों के लिए, बर्नौली के समीकरण को सामान्यीकृत किया जा सकता है: $$\frac{v^2}{2} + \Psi + \frac{p}{\rho} = \text{constant}$$ जहाँ $dp⁄dx < 0$ माना बिंदु पर बल क्षमता है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण के लिए $Ψ$.

द्रव घनत्व के साथ गुणा करके $x$, समीकरण ($l$) के रूप में पुनः लिखा जा सकता है: $$\tfrac{1}{2} \rho v^2 + \rho g z + p = \text{constant}$$ या: $$q + \rho g h = p_0 + \rho g z = \text{constant}$$ जहाँ बर्नौली समीकरण में स्थिरांक को सामान्यीकृत किया जा सकता है। $$H = z + \frac{p}{\rho g} + \frac{v^2}{2g} = h + \frac{v^2}{2g},$$ उपरोक्त समीकरण सुझाव देते हैं कि एक प्रवाह गति होती है जिस पर दबाव शून्य होता है, और इससे भी अधिक गति पर दबाव नकारात्मक होता है। प्रायः, गैस और तरल पदार्थ नकारात्मक निरपेक्ष दबाव या शून्य दबाव के लिए भी सक्षम नहीं होते हैं, इसलिए स्पष्ट रूप से बर्नौली का समीकरण शून्य दबाव तक पहुंचने से पहले ही मान्य हो जाता है। तरल पदार्थों में - जब दबाव बहुत कम हो जाता है - गुहिकायन होता है। उपरोक्त समीकरण प्रवाह गति चुकता और दबाव के बीच एक रैखिक संबंध का उपयोग करते हैं। गैसों में उच्च प्रवाह गति पर, या तरल में ध्वनि तरंगों के लिए, द्रव्यमान घनत्व में परिवर्तन महत्वपूर्ण हो जाते हैं जिससे कि निरंतर घनत्व की धारणा अमान्य हो जाती है।
 * $Ψ = gz$ गतिशील दबाव है,
 * $q = 1⁄2ρv^{2}$ पीजोमेट्रिक सिर या हाइड्रोलिक हेड (ऊंचाई का योग) है $x$ और दबाव सिर) और
 * $h = z + p⁄ρg$ स्थैतिक दबाव है (स्थैतिक दबाव का योग $$ और गतिशील दबाव $ρ$).

सरलीकृत रूप
बर्नौली के प्रमेय के कई समीकरण में, ρgz शब्दांश के परिवर्तन को दूसरे शब्दांशों के सापेक्ष में इतना छोटा माना जाता है कि इसे अनदेखा किया जा सकता है। उड़ान भरते हुए विमान के विषयो में उच्चता z का परिवर्तन इतना छोटा होता है कि ρgz शब्दांश को छोड़ दिया जा सकता है। इससे उपरोक्त प्रमेय को निम्नलिखित सरलीकृत रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है: $$p + q = p_0$$ जहाँ $p_{0} = p + q$ कुल दबाव कहा जाता है, और $$ गतिशील दबाव है। कई लेखक दबाव का उल्लेख करते हैं $z$ इसे कुल दबाव से अलग करने के लिए स्थिर दबाव के रूप में $p_{0}$ और गतिशील दबाव $p$. वायुगतिकी में, एल.जे. क्लैंसी लिखते हैं: इसे कुल और गतिशील दबावों से अलग करने के लिए, द्रव का वास्तविक दबाव, जो इसकी गति से नहीं बल्कि इसकी स्थिति से जुड़ा होता है, को प्रायः    स्थिर दबाव के रूप में जाना जाता है, लेकिन जहां शब्द दबाव अकेले प्रयोग किया जाता है यह इस स्थिर दबाव को संदर्भित करता है।

बर्नौली के समीकरण के सरलीकृत रूप को निम्नलिखित यादगार शब्द समीकरण में संक्षेपित किया जा सकता है:

स्थिरतापूर्वक प्रवाहित हुए द्रव में हर बिंदु, उस बिंदु पर द्रव की गति के अपेक्षा, अपने विशिष्ट स्थिरताप p और गतिज दबाव q रखता है। उनके योग p + q को कुल दबाव p0 के रूप में परिभाषित किया जाता है। बरनौली के प्रमेय के महत्व को अब संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है क्योंकि चिपचिपा बलों से मुक्त किसी भी क्षेत्र में कुल दबाव स्थिर होता है। यदि तरल प्रवाह को किसी बिंदु पर विराम में लाया जाता है, तो इस बिंदु को स्थैतिक बिंदु कहा जाता है, और इस बिंदु पर स्थैतिक दबाव स्थैतिक दबाव के बराबर होता है।

यदि द्रव प्रवाह अघूर्णी प्रवाह है, तो कुल दबाव एक समान होता है और बर्नौली के प्रमेय को सारांशित किया जा सकता है क्योंकि द्रव प्रवाह में हर जगह कुल दबाव स्थिर होता है। यह मान लेना उचित है कि किसी भी स्थिति में अघूर्णन प्रवाह उपस्थित होता है जहां द्रव का एक बड़ा पिंड एक ठोस पिंड से होकर बह रहा हो। उदाहरण उड़ान में विमान और पानी के खुले निकायों में चल रहे जहाज हैं। यद्यपि, बर्नौली का प्रमेय महत्वपूर्ण रूप से सीमा परत में लागू नहीं होता है जैसे लंबे पाइप प्रवाह के माध्यम से प्रवाह में।

अस्थिर संभावित प्रवाह
अस्थिर संभाव्य प्रवाह के लिए बर्नौली का प्रमेय समुद्री सतह की लहरों और ध्वनिकीय में विक्रिया में उपयोग किया जाता है। एक विकर्ण रहित प्रवाह के लिए, प्रवाह वेग को वेग साधारित φ की ग्रेडिएंट ∇φ के रूप में वर्णित किया जा सकता है। उस विषयो में, और एक स्थिर घनत्व ρ के लिए, यूलर प्रमेय के प्रवाहमान समीकरणों को समेकित किया जा सकता है:: $$\frac{\partial \varphi}{\partial t} + \tfrac12 v^2 + \frac{p}{\rho} + gz = f(t),$$ यह बर्नौली का प्रमेय अस्थिर या समय निर्भर प्रवाहों के लिए भी मान्य है। यहाँ $p_{0}$ वेग साधारित φ के साथ संबंधित समय t के साथ वेग साधारित φ की आंशिक विलोमिक अवकलन को दर्शाता है, और $∂φ⁄∂t$ प्रवाह की गति है। फलन  $v = |∇φ|$  केवल समय पर निर्भर करता है और नहीं द्रव में स्थान पर। इस परिणामस्वरूप, किसी क्षण t पर बर्नौली का प्रमेय पूरे द्रव क्षेत्र में लागू होता है। यह एक स्थिर विकर्ण वायुमंडल के विशेष मामले के लिए भी सत्य है, जिस मामले में $q$ संपूर्ण द्रव डोमेन में लागू होता है। यह एक स्थिर अघूर्णन प्रवाह के विशेषविषयो के लिए भी सही है, इस विषयो में $q$ और $f(t)$ स्थिरांक हैं इसलिए समीकरण ($p$) द्रव डोमेन के हर बिंदु पर लागू किया जा सकता है।  आगे  f(t) परिवर्तन का उपयोग करके वेग क्षमता में इसे सम्मिलित करके शून्य के बराबर बनाया जा सकता है:$$\Phi = \varphi - \int_{t_0}^t f(\tau)\, \mathrm{d}\tau,$$ जिसके परिणामस्वरूप: $$\frac{\partial \Phi}{\partial t} + \tfrac12 v^2 + \frac{p}{\rho} + gz = 0.$$ ध्यान दें कि प्रवाह वेग की क्षमता का संबंध इस परिवर्तन से अप्रभावित है: $∂φ⁄∂t$.

अस्थिर संभावित प्रवाह के लिए बर्नौली समीकरण भी ल्यूक के परिवर्तनशील प्रमेय में एक केंद्रीय भूमिका निभाते हुए प्रतीत होता है, लैग्रेंगियन यांत्रिकी का उपयोग करते हुए मुक्त-सतह प्रवाह का एक परिवर्तनशील विवरण।

संपीड़ित प्रवाह समीकरण
बर्नौली ने अपने प्रमेय को तरल पदार्थों पर टिप्पणियों से विकसित किया, और बर्नौली का समीकरण आदर्श तरल पदार्थों के लिए मान्य है: वे जो असम्पीडित, इरोटेशनल, इनविसिड और रूढ़िवादी बलों के अधीन हैं। यह कभी-कभी गैसों के प्रवाह के लिए मान्य होता है: बशर्ते कि गैस के प्रवाह से गैस के संपीड़न या विस्तार के लिए गतिज या संभावित ऊर्जा का कोई हस्तांतरण न हो। यदि गैस का दबाव और आयतन दोनों एक साथ बदलते हैं, तो काम गैस पर या उसके द्वारा किया जाएगा। इस विषयो में, बर्नौली के समीकरण अपने असंपीड़ित प्रवाह रूप में - मान्य नहीं माना जा सकता। यद्यपि, यदि  गैस प्रक्रिया पूरी तरह से आइसोबैरिक प्रक्रिया है, या आइसोकोरिक प्रक्रिया है, तो गैस पर या उसके द्वारा कोई काम नहीं किया जाता है (इसलिए सरल ऊर्जा संतुलन परेशान नहीं होता है)। गैस कानून के अनुसार, गैस में निरंतर घनत्व सुनिश्चित करने के लिए एक आइसोबैरिक या आइसोकोरिक प्रक्रिया आमतौर पर एकमात्र तरीका है। साथ ही गैस का घनत्व दबाव और पूर्ण तापमान के अनुपात के समानुपाती होगा; हालाँकि, यह अनुपात संपीड़न या विस्तार पर अलग-अलग होगा, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि गैर-शून्य मात्रा में गर्मी को जोड़ा या हटाया जाता है। एकमात्र अपवाद तब होता है जब शुद्ध ताप हस्तांतरण शून्य होता है, जैसा कि एक पूर्ण थर्मोडायनामिक चक्र में या एक व्यक्तिगत आइसेंट्रोपिक प्रक्रिया (घर्षण रहित एडियाबेटिक प्रक्रिया) प्रक्रिया में होता है, और तब भी इस प्रतिवर्ती प्रक्रिया को उलट दिया जाना चाहिए, ताकि गैस को मूल दबाव में बहाल किया जा सके और विशिष्ट मात्रा, और इस प्रकार घनत्व। तभी मूल, असंशोधित बर्नौली समीकरण लागू होता है। इस विषयो में समीकरण का उपयोग किया जा सकता है यदि गैस की प्रवाह गति ध्वनि की गति से पर्याप्त रूप से कम हो, जैसे कि गैस के घनत्व में भिन्नता (इस प्रभाव के कारण) प्रत्येक स्ट्रीमलाइन के साथ अनदेखी की जा सकती है। मच संख्या 0.3 से कम पर रुद्धोष्म प्रवाह सामान्यतः काफी धीमा माना जाता है। संपीड़ित तरल पदार्थों पर लागू होने वाले समान समीकरणों को विकसित करने के लिए भौतिकी के मूलभूत प्रमेय का उपयोग करना संभव है। कई समीकरण हैं, प्रत्येक एक विशेष अनुप्रयोग के लिए सिलवाया गया है, लेकिन सभी बर्नौली के समीकरण के समान हैं और सभी भौतिकी के मूलभूत प्रमेय जैसे कि न्यूटन के गति के नियम या ऊष्मप्रवैगिकी के पहले नियम से ज्यादा कुछ नहीं पर भरोसा करते हैं।

द्रव गतिकी में संकुचित प्रवाह
एक संपीड़ित द्रव के लिए, क्षेत्र के बैरोट्रोपिक द्रव समीकरण के साथ, और रूढ़िवादी बलों की कार्रवाई के तहत, $$\frac {v^2}{2}+ \int_{p_1}^p \frac {\mathrm{d}\tilde{p}}{\rho\left(\tilde{p}\right)} + \Psi = \text{constant (along a streamline)}$$ कहाँ:
 * $q$ दबाव है
 * $t$ घनत्व है और $∇Φ = ∇φ$ संकेत करता है कि यह दबाव का एक कार्य है
 * $f$ प्रवाह की गति है
 * $ρ(p)$ रूढ़िवादी बल क्षेत्र से जुड़ी क्षमता है, प्रायः गुरुत्वाकर्षण क्षमता

इंजीनियरिंग स्थितियों में, ऊंचाई आम तौर पर पृथ्वी के आकार की तुलना में छोटी होती है, और तरल प्रवाह के समय के पैमाने क्षेत्र के समीकरण को रूद्धोष्म मानने के लिए काफी छोटे होते हैं। इस स्थिति में, एक आदर्श गैस के लिए उपरोक्त समीकरण बन जाता है: $$\frac {v^2}{2}+ gz + \left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right) \frac {p}{\rho} = \text{constant (along a streamline)}$$ जहां, ऊपर सूचीबद्ध शर्तों के अतिरिक्त:
 * $$ द्रव का ताप क्षमता अनुपात है
 * $p$ गुरुत्वाकर्षण के कारण त्वरण है
 * $ρ$ एक संदर्भ तल के ऊपर बिंदु की ऊंचाई है

संपीड़ित प्रवाह के कई अनुप्रयोगों में, ऊंचाई में परिवर्तन अन्य शर्तों की तुलना में नगण्य है, इसलिए शब्द $v$ मिटाया जा सकता है। तब समीकरण का एक बहुत ही उपयोगी रूप है: $$\frac {v^2}{2}+\left( \frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p}{\rho} = \left(\frac {\gamma}{\gamma-1}\right)\frac {p_0}{\rho_0}$$ जहाँ:
 * $Ψ$ स्थैतिक दबाव है
 * $p_{0}$ कुल घनत्व है

ऊष्मप्रवैगिकी में संपीड़ित प्रवाह
(अर्ध) स्थिर प्रवाह के विषयो में ऊष्मप्रवैगिकी में उपयोग के लिए उपयुक्त समीकरण का सबसे सामान्य रूप है:

$$\frac{v^2}{2} + \Psi + w = \text{constant}.$$ यहाँ $γ$ तापीय धारिता  प्रति इकाई द्रव्यमान है जिसे $g$ प्रायः इस रूप में भी लिखा जाता है ।

ध्यान दें कि $$w =e + \frac{p}{\rho} \left(= \frac{\gamma}{\gamma-1} \frac{p}{\rho}\right)$$ जहाँ $z$ ऊष्मागतिकी ऊर्जा प्रति इकाई द्रव्यमान है, जिसे विशिष्ट ऊर्जा आंतरिक ऊर्जा के रूप में भी जाना जाता है। तो, निरंतर आंतरिक ऊर्जा के लिए $$e$$ समीकरण असंपीड्य-प्रवाह रूप में कम हो जाता है।

दाईं ओर के स्थिरांक को प्रायः बर्नौली स्थिरांक कहा जाता है और इसे निरूपित किया जाता है $gz$. बिना किसी अतिरिक्त स्रोत या ऊर्जा के सिंक के स्थिर अदृश्य रूद्धोष्म प्रवाह के लिए, $w$ किसी भी स्ट्रीमलाइन के साथ स्थिर है। अधिक आम तौर पर, कब $h$ स्ट्रीमलाइन के साथ भिन्न हो सकता है, यह अभी भी एक उपयोगी पैरामीटर साबित होता है, जो द्रव के सिर से संबंधित है (नीचे देखें)।

जब में परिवर्तन $ρ_{0}$ को अनदेखा किया जा सकता है, इस समीकरण का एक बहुत ही उपयोगी रूप है: $$\frac{v^2}{2} + w = w_0$$ जहाँ $Ψ$ कुल उत्साह है। आदर्श गैस जैसे कैलोरी की दृष्टि से परिपूर्ण गैस के लिए, तापीय धारिता सीधे तापमान के समानुपाती होती है, और यह कुल या स्थैतिक तापमान की अवधारणा की ओर ले जाती है।

जब शॉक तरंगें उपस्थित होती हैं, संदर्भ के एक फ्रेम में जिसमें झटका स्थिर होता है और प्रवाह स्थिर होता है, तो बर्नौली समीकरण के कई पैरामीटर झटके से गुजरने में अचानक परिवर्तन का सामना करते हैं। बर्नौली पैरामीटर अप्रभावित रहता है। इस नियम का एक अपवाद विकिरण संबंधी झटके हैं, जो बर्नौली समीकरण के लिए अग्रणी धारणाओं का उल्लंघन करते हैं, अर्थात् अतिरिक्त सिंक या ऊर्जा के स्रोतों की कमी।

अस्थिर संभावित प्रवाह
क्षेत्र के बैरोट्रोपिक समीकरण के साथ एक संपीड़ित तरल पदार्थ के लिए, अस्थिर गति संरक्षण समीकरण $$\frac{\partial \vec{v}}{\partial t} + \left(\vec{v}\cdot \nabla\right)\vec{v} = -\vec{g} - \frac{\nabla p}{\rho}$$ध्यान दें कि इस परिवर्तन से प्रवाह वेग के साथ वेग साधारित के बीच संबंध प्रभावित नहीं होता है: ∇Φ = ∇φ। $$\frac{\partial \nabla \phi}{\partial t} + \nabla \left(\frac{\nabla \phi \cdot \nabla \phi}{2}\right) = -\nabla \Psi - \nabla \int_{p_1}^{p}\frac{d \tilde{p}}{\rho(\tilde{p})}$$ जिससे होता है $$\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\nabla \phi \cdot \nabla \phi}{2} + \Psi + \int_{p_1}^{p}\frac{d \tilde{p}}{\rho(\tilde{p})} = \text{constant}$$ इस विषयो में, आइसेंट्रोपिक प्रवाह के लिए उपरोक्त समीकरण बन जाता है: $$\frac{\partial \phi}{\partial t} + \frac{\nabla \phi \cdot \nabla \phi}{2} + \Psi + \frac{\gamma}{\gamma-1}\frac{p}{\rho} = \text{constant}$$

व्युत्पत्ति
then: और इसलिए इस समय अंतराल में किया गया कुल कार्य $w_{0}$ है $$W = W_\text{pressure} + W_\text{gravity}.$$ गतिज ऊर्जा में वृद्धि है $$\Delta E_\text{kin} = \tfrac12 \Delta m\, v_2^2-\tfrac12 \Delta m\, v_1^2.$$ इन्हें एक साथ रखने पर, कार्य-गतिज ऊर्जा प्रमेय $dx$ देता है: $$\delta m \frac{p_1}{\rho} - \delta m \frac{p_2}{\rho} + \delta m\,g z_1 - \delta m\,g z_2 = \tfrac12 \Delta m\, v_2^2 - \tfrac12 \Delta m\, v_1^2$$ or $$\tfrac12 \Delta m\, v_1^2 + \Delta m\, g z_1 + \Delta m \frac{p_1}{\rho} = \tfrac12 \Delta m\, v_2^2 + \Delta m\, g z_2 + \Delta m \frac{p_2}{\rho}.$$ द्रव्यमान से विभाजित करने के बाद $a dx'$ the result is: $$\tfrac12 v_1^2 +g z_1 + \frac{p_1}{\rho}=\tfrac12 v_2^2 +g z_2 + \frac{p_2}{\rho}$$ या, जैसा कि पहले पैराग्राफ में कहा गया है: {{NumBlk|| $$\frac{v^2}{2}+g z+\frac{p}{\rho} = C$$ {{!}}$e$, जो समीकरण (ए) भी है। $b$ से आगे विभाजन करने पर निम्नलिखित समीकरण बनता है। ध्यान दें कि प्रत्येक पद को लंबाई आयाम (जैसे मीटर) में वर्णित किया जा सकता है। यह बर्नौली के सिद्धांत से प्राप्त प्रमुख समीकरण है: {{NumBlk||$$\frac{v^2}{2 g}+z+\frac{p}{\rho g}=C$$|$b$}} मध्य पद, $b$, एक संदर्भ तल के संबंध में इसकी ऊंचाई के कारण तरल पदार्थ की संभावित ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है। अब, $ρ$ को उन्नयन शीर्ष कहा जाता है और पदनाम $dx$} दिया जाता है।

सभी तीन समीकरण किसी प्रणाली पर ऊर्जा संतुलन के सरलीकृत संस्करण मात्र हैं। }}

अनुप्रयोग
आधुनिक रोजमर्रा के जीवन में ऐसे कई प्रेक्षण हैं जिन्हें बरनौली के प्रमेय के प्रयोग द्वारा सफलतापूर्वक समझाया जा सकता है, भले ही कोई भी वास्तविक द्रव पूरी तरह से अदृश्य न हो, और एक छोटी चिपचिपाहट का प्रायः प्रवाह पर बड़ा प्रभाव पड़ता है।


 * बरनौली के प्रमेय का उपयोग एयरफ़ोइल पर लिफ्ट बल की गणना के लिए किया जा सकता है, यदि फ़ॉइल के आसपास के द्रव प्रवाह का व्यवहार ज्ञात हो। उदाहरण के लिए, यदि किसी विमान के पंख की ऊपरी सतह से बहने वाली हवा नीचे की सतह से गुजरने वाली हवा की तुलना में तेजी से आगे बढ़ रही है, तो बर्नौली के प्रमेय का अर्थ है कि पंख की सतहों पर दबाव नीचे की तुलना में ऊपर कम होगा। इस दबाव के अंतर के परिणामस्वरूप ऊपर की ओर लिफ्ट (बल) होती है। जब भी एक पंख की ऊपरी और निचली सतहों से पहले गति का वितरण ज्ञात होता है, लिफ्ट बलों की गणना (एक अच्छे सन्निकटन के लिए) बर्नौली के समीकरणों का उपयोग करके की जा सकती है, जो उड़ान के उद्देश्य के लिए पहले मानव निर्मित पंखों का उपयोग करने से पहले एक शताब्दी से पहले बर्नौली द्वारा स्थापित किए गए थे।


 * कई प्रत्यागामी इंजन में प्रयोग होने वाले कैब्युरटर में वेंटुरी प्रभाव होता है जिससे कार्बोरेटर में ईंधन खींचने के लिए कम दबाव का क्षेत्र बनता है और इसे आने वाली हवा के साथ अच्छी तरह मिलाता है। वेंचुरी के गले में कम दबाव को बर्नौली के प्रमेय        द्वारा समझाया जा सकता है; संकीर्ण गले में, हवा अपनी सबसे तेज गति से चलती है और इसलिए यह अपने सबसे कम दबाव पर होती है।
 * भाप गतिविशिष्ट या स्टेटिक बायलर पर एक अंतःक्षेपक।
 * विमान पर पिटोट पाइप  और पिटोट-स्थैतिक प्रणाली का उपयोग विमान को निर्धारित करने के लिए किया जाता है। ये दो डिवाइस हवा की गति सूचक  से जुड़े होते हैं, जो विमान के अतीत के एयरफ्लो के गतिशील दबाव को निर्धारित करता है। बर्नौली के प्रमेय का उपयोग एयरस्पीड इंडिकेटर को कैलिब्रेट करने के लिए किया जाता है जिससे यह गतिशील दबाव के लिए उपयुक्त संकेतित वायुगति को प्रदर्शित करे।
 * एक डी लवल नोजल रॉकेट प्रणोदक के दहन से उत्पन्न दबाव ऊर्जा को वेग में बदलकर एक बल बनाने के लिए बर्नौली के प्रमेय का उपयोग करता है। यह तब न्यूटन के गति के नियमों के माध्यम से जोर उत्पन्न करता है न्यूटन की गति का तीसरा नियम।
 * तरल पदार्थ की प्रवाह गति को वेंटुरी मीटर या छिद्र प्लेट जैसे उपकरण का उपयोग करके मापा जा सकता है, जिसे प्रवाह के व्यास को कम करने के लिए पाइपलाइन में रखा जा सकता है। एक क्षैतिज उपकरण के लिए, निरंतरता समीकरण से पता चलता है कि एक असम्पीडित द्रव के लिए, व्यास में कमी से द्रव प्रवाह की गति में वृद्धि होगी। इसके बाद, बर्नौली के प्रमेय        से पता चलता है कि कम व्यास वाले क्षेत्र में दबाव में कमी होनी चाहिए। इस घटना को वेंटुरी प्रभाव के रूप में जाना जाता है।
 * आधार पर छेद या नल वाले टैंक के लिए अधिकतम संभव निकासी दर की गणना बर्नौली के समीकरण से सीधे की जा सकती है और यह टैंक में तरल पदार्थ की ऊंचाई के वर्गमूल के अनुपात में पाई जाती है। यह टोरिकेली का नियम है, जो बरनौली के प्रमेय के अनुकूल है। बढ़ी हुई चिपचिपाहट इस नाली दर को कम करती है; यह निर्वहन गुणांक में परिलक्षित होता है, जो रेनॉल्ड्स संख्या और छिद्र के आकार का एक कार्य है।


 * बर्नौली ग्रिप सतह और ग्रिपर के बीच एक गैर-संपर्क चिपकने वाला बल बनाने के लिए इस प्रमेय पर निर्भर करती है।
 * क्रिकेट मैच के समय, बॉलिंग (क्रिकेट) गेंद के एक तरफ को लगातार पॉलिश करता है। कुछ समय बाद, एक पक्ष काफी खुरदरा होता है और दूसरा अभी भी चिकना होता है। इसलिए, जब गेंद फेंकी जाती है और हवा में से गुजरती है, तो गेंद के एक तरफ की गति दूसरी तरफ से तेज होती है, और इसके परिणामस्वरूप पक्षों के बीच दबाव अंतर होता है; इससे गेंद हवा में घूमने के समय   घूमती (स्विंग) होती है, जिससे गेंदबाजों को फायदा होता है।

वायुपन्नी उन्नयन
वायुगतिकीय लिफ्ट की सबसे सरल गलत व्याख्याओं में से एक का दावा है कि हवा को एक ही समय में एक पंख की ऊपरी और निचली सतहों को पार करना चाहिए, जिसका अर्थ है कि चूंकि ऊपरी सतह एक लंबा रास्ता प्रस्तुत करती है, इसलिए हवा को ऊपर से तेजी से आगे बढ़ना चाहिए। नीचे की तुलना में पंख का। बर्नौली के प्रमेय को तब निष्कर्ष निकालने के लिए उद्धृत किया गया है कि नीचे की तुलना में पंख के शीर्ष पर दबाव कम होना चाहिए। यद्यपि, ऐसा कोई भौतिक प्रमेय नहीं है जिसके लिए समान समय में ऊपरी और निचली सतहों को पार करने के लिए हवा की आवश्यकता हो। वास्तव में, प्रमेय भविष्यवाणी करता है और प्रयोग पुष्टि करते हैं कि हवा नीचे की सतह की तुलना में कम समय में ऊपरी सतह को पार करती है, और समान पारगमन समय के आधार पर यह स्पष्टीकरण गलत है।   जबकि यह व्याख्या गलत है, यह बर्नौली प्रमेय नहीं है जो झूठा है, क्योंकि यह प्रमेय अच्छी तरह से स्थापित है; वायुगतिकीय लिफ्ट के सामान्य गणितीय उपचारों में बर्नौली के समीकरण का सही उपयोग किया जाता है।

सामान्य कक्षा प्रदर्शन
कई सामान्य कक्षा प्रदर्शन हैं जिन्हें कभी-कभी बर्नौली के प्रमेय का उपयोग करके गलत तरीके से समझाया जाता है। एक में कागज के एक टुकड़े को क्षैतिज रूप से पकड़ना सम्मिलित है जिससे वह नीचे की ओर गिरे और फिर उसके ऊपर उड़ जाए। जैसे ही प्रदर्शनकारी कागज पर फूंक मारता है, कागज ऊपर उठ जाता है। तब यह दावा किया जाता है कि ऐसा इसलिए है क्योंकि तेज गति से चलने वाली हवा का दबाव कम होता है। इस स्पष्टीकरण के साथ एक समस्या कागज़ के निचले भाग में फूंक मारने से देखी जा सकती है: यदि विक्षेपण तेज गति से चलने वाली हवा के कारण होता है, तो कागज को नीचे की ओर विक्षेपित होना चाहिए; लेकिन कागज ऊपर की ओर विक्षेपित होता है चाहे तेज गति से चलने वाली हवा ऊपर या नीचे हो। एक और समस्या यह है कि जब हवा प्रदर्शनकारी के मुंह से निकलती है तो इसका दबाव आसपास की हवा के समान होता है; वायु के गतिमान होने के कारण उसका दाब कम नहीं होता; प्रदर्शन में, प्रदर्शनकर्ता के मुंह से निकलने वाली हवा का स्थैतिक दबाव आसपास की हवा के दबाव के बराबर होता है। एक तीसरी समस्या यह है कि बर्नौली के समीकरण का उपयोग करके कागज के दोनों किनारों पर प्रवाह के बीच संबंध बनाना झूठा है क्योंकि ऊपर और नीचे की हवा अलग-अलग प्रवाह क्षेत्र हैं और बर्नौली का प्रमेय केवल प्रवाह क्षेत्र के अंदर ही लागू होता है।   चूंकि प्रमेय का शब्दांकन इसके निहितार्थ को बदल सकता है, प्रमेय को सही ढंग से बताना महत्वपूर्ण है। बर्नौली का प्रमेय वास्तव में क्या कहता है कि निरंतर ऊर्जा के प्रवाह के अंदर, जब द्रव कम दबाव के क्षेत्र से प्रवाहित  है तो यह गति करता है और इसके विपरीत। इस प्रकार, बर्नौली के प्रमेय गति में परिवर्तन और एक प्रवाह क्षेत्र के अंदर  दबाव में परिवर्तन के साथ खुद को चिंतित करता है। इसका उपयोग विभिन्न प्रवाह क्षेत्रों की तुलना करने के लिए नहीं किया जा सकता है।

कागज क्यों उगता है इसकी एक सही व्याख्या से पता चलेगा कि प्लूम कागज के वक्र का अनुसरण करता है और यह कि एक घुमावदार स्ट्रीमलाइन प्रवाह की दिशा के लंबवत दबाव प्रवणता विकसित करेगी, वक्र के अंदर कम दबाव के साथ. बरनौली का प्रमेय भविष्यवाणी करता है कि दबाव में कमी गति में वृद्धि के साथ जुड़ी हुई है; दूसरे शब्दों में, जैसे ही हवा कागज के ऊपर से गुजरती है, यह तेज हो जाती है और प्रदर्शनकारी के मुंह से निकलने की तुलना में तेजी से आगे बढ़ती है। लेकिन प्रदर्शन से ऐसा नहीं लग रहा है।  अन्य सामान्य कक्षा प्रदर्शनों, जैसे दो निलंबित गोले के बीच फूंक मारना, एक बड़े बैग को फुलाना, या एक गेंद को हवा की धारा में निलंबित करना, कभी-कभी समान रूप से भ्रामक तरीके से यह कहकर समझाया जाता है कि तेजी से चलती हवा में दबाव कम होता है।

यह भी देखें

 * कोंडा प्रभाव
 * यूलर समीकरण (द्रव गतिकी) - एक अदृश्य द्रव के प्रवाह के लिए
 * जलगति विज्ञान - तरल पदार्थ के लिए लागू द्रव यांत्रिकी
 * नेवियर-स्टोक्स समीकरण - एक चिपचिपे द्रव के प्रवाह के लिए
 * चायदानी प्रभाव
 * द्रव गतिकी # द्रव गतिकी में शब्दावली

बाहरी संबंध

 * Science 101 Q: Is It Really Caused by the Bernoulli Effect?
 * Bernoulli equation calculator
 * Denver University – Bernoulli's equation and pressure measurement
 * Millersville University – Applications of Euler's equation
 * NASA – Beginner's guide to aerodynamics
 * Misinterpretations of Bernoulli's equation – Weltner and Ingelman-Sundberg