विमाहीन संख्या

एक आयाम रहित राशि (जिसे मात्र राशि, शुद्ध राशि या अदिश राशि के साथ-साथ ही एक आयाम की राशि के रूप में भी जाना जाता है ) एक राशि है जिसके लिए भौतिकी में,, एक (या 1), जो स्पष्ट रूप से प्रदर्शित नहीं होता है, के माप की इकाइयों की एक संगत अंतर्राष्ट्रीय प्रणाली के साथ,कोई आयाम निर्दिष्ट नहीं किया गया है। गणित, भौतिकी, रसायन विज्ञान, अभियांत्रिकी और अर्थशास्त्र जैसे अनेक क्षेत्रों में आयाम रहित राशिओं का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। आयाम रहित राशिएँ उन राशिओं से भिन्न होती हैं जिनके संबंधित आयाम होते हैं, जैसे समय (सेकण्ड्स में मापा जाता है)। आयाम रहित इकाइयाँ आयाम रहित मान हैं जो क्रमशः समतल कोणों और ठोस कोणों के लिए रेडियंस (rad) या स्टरेडियन (sr) जैसी अन्य राशिओं को व्यक्त करने के लिए माप की इकाइयों के रूप में काम करती हैं। उदाहरण के लिए, ऑप्टिकल सीमा को स्टेरेडियन द्वारा गुणा मीटर की इकाइयों के रूप में परिभाषित किया गया है।

इतिहास
एक (या 1) आयाम वाली राशियाँ ,आयाम रहित राशियाँ, नियमित रूप से विज्ञान में होती हैं, और आयामी विश्लेषण के क्षेत्र में औपचारिक रूप से प्रयोग की जाती हैं। उन्नीसवीं शताब्दी में, फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ फूरियर और स्कॉटिश भौतिक विज्ञानी जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने आयाम और इकाई (माप) की आधुनिक अवधारणाओं में होने वाले महत्वपूर्ण विकासो का नेतृत्व किया। बाद में ब्रिटिश भौतिकविदों ओसबोर्न रेनॉल्ड्स और लॉर्ड रेले के कार्य ने भौतिकी में आयाम रहित संख्याओं को समझने में योगदान दिया। रेले की विमीय विश्लेषण पद्धति पर के आधार पर, एडगर बकिंघम ने बकिंघम π प्रमेय$\pi$ प्रमेय (फ्रांसीसी गणितज्ञ जोसेफ बर्ट्रेंड के पिछले काम से स्वतंत्र) को, इन राशिओं की प्रकृति को औपचारिक रूप देने के लिए, सिद्ध किया| ।

1900 की शुरुआत में, विशेष रूप से द्रव यांत्रिकी और ऊष्मा स्थानान्तरण के क्षेत्रों में, अनेक आयामहीन संख्याएं, अधिकतर अनुपात, गढ़े गए थे। (व्युत्पन्न) इकाई dB (डेसिबल) में अनुपातों को मापने का आजकल व्यापक उपयोग होता है।

भौतिक आयामों के संबंध में भ्रम को कम करने के लिए SI प्रणाली को पैच करने के लिए समय-समय पर प्रस्ताव दिए गए हैं। उदाहरण के लिए, प्रकृति (पत्रिका) में 2017 का एक ऑप-एड ने रेडियन को एक भौतिक इकाई के रूप में औपचारिक रूप देने का तर्क दिया। विचार का खंडन किया गया इस आधार पर कि इस तरह के परिवर्तन से दोनों स्थापित आयाम रहित समूहों, जैसे स्ट्रोहल संख्या, और गणितीय रूप से अलग-अलग संस्थाओं के लिए विसंगतियां बढ़ेंगी, जो समान इकाइयों के साथ होती हैं, जैसे टोक़ (एक क्रॉस उत्पाद) बनाम ऊर्जा (एक डॉट) उत्पाद)। 2000 के दशक की शुरुआत में एक अन्य उदाहरण में, वज़न और माप के लिए अंतर्राष्ट्रीय समिति ने 1 की इकाई को यूनो (इकाई) के रूप में नामित करने पर चर्चा की, लेकिन 1 के लिए एक नया एसआई नाम पेश करने का विचार छोड़ दिया गया। रेफरी>

पूर्णांक
असतत आयाम रहित राशिओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए पूर्णांक संख्याओं का उपयोग किया जा सकता है।

विशेष रूप से, गिनती करने योग्य राशिओं को व्यक्त करने के लिए गिनती संख्याओं का उपयोग किया जा सकता है, जैसे कणों की संख्या और जनसंख्या का आकार। गणित में, एक समुच्चय में अवयवो की संख्या को गणनांक कहा जाता है। गणनीय संज्ञाएं एक संबंधित भाषाविज्ञान अवधारणा है।

गिनती की संख्या, जैसे कि बिट्स की संख्या, को आवृत्ति की इकाइयों (सेकंड का उल्टा) के साथ जोड़ा जा सकता है जिससे कि गणना दर की इकाइयां प्राप्त की जा सकें, जैसे बिट्स प्रति सेकंड।

गणना डेटा सांख्यिकी में एक संबंधित अवधारणा है।

अनुपात, समानुपात और कोण
आयाम रहित राशियां अधिकांशतः उन राशिओं के अनुपात के रूप में प्राप्त की जाती हैं जो आयाम रहित नहीं हैं, लेकिन जिनके आयाम गणितीय संक्रिया में समाप्त हो जाते हैं। उदाहरणों में ढलान की गणना या इकाइयों के रूपांतरण का घटक सम्मलित है। इस तरह के अनुपात का एक अधिक जटिल उदाहरण अभियांत्रिकी विकृति (एक भौतिक विरूपण की माप जिसे लंबाई में होने वाले परिवर्तन को प्रारंभिक लंबाई से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।) है। चूँकि दोनों राशियों की आयाम लंबाई है, उनका अनुपात आयाम रहित है। उदाहरणों का एक और समूह द्रव्यमान अंश (रसायन विज्ञान) या मोल अंश है जिसे अधिकांशतः अंश-प्रति संकेतन जैसे ppm (= 10−6), ppb (= 10−9) और ppt (= 10−12) का उपयोग करके लिखा जाता है, या संभवतः भ्रमित रूप से दो समान इकाइयों (किलोग्राम/किग्रा या (मोल/मोल) के अनुपात के रूप में। उदाहरण के लिए, आयतन द्वारा एल्कोहल, जो एल्कोहल पेय में एथेनॉल की एकाग्रता को दर्शाता है, mL / 100 mL के रूप में लिखा जा सकता है।

अन्य सामान्य अनुपात हैं प्रतिशत % (= 0.01), ‰ (= 0.001) और कोण इकाइयों जैसे रेडियन, डिग्री (° =$\pi⁄180$) और ग्रेडियन (=$\pi⁄200$)। सांख्यिकी में भिन्नता का गुणांक माध्य और मानक विचलन का अनुपात है, इसके साथ- साथ इसका उपयोग सांख्यिकीय आँकड़ों में सांख्यिकीय फैलाव को मापने के लिए किया जाता है।

यह तर्क दिया गया है कि राशिओं को अनुपात के रूप में Q = A/B द्वारा परिभाषित किया गया है  अंश और हर में समान आयाम वाले वास्तव में केवल इकाई रहित राशिएँ हैं और अभी भी भौतिक आयाम के रूप में परिभाषित हैं dim Q = dim A × dim B.

उदाहरण के लिए, नमी की मात्रा को आयतन के अनुपात के रूप में परिभाषित किया जा सकता है (अनुमापी नमी, m3⋅m−3, आयाम L3⋅L−3) या द्रव्यमान के अनुपात के रूप में (गुरुत्वाकर्षण नमी, इकाई kg⋅kg−1,विमा M⋅M−1) ; दोनों इकाई रहित राशिएँ होंगी, लेकिन विभिन्न आयामों की होगी।

बकिंघम π प्रमेय
बकिंघम π प्रमेय इंगित करता है कि भौतिकी के सिद्धांतो की वैधता एक विशिष्ट इकाई प्रणाली पर निर्भर नहीं करती है। इस प्रमेय का एक कथन यह है कि किसी भी भौतिक सिद्धांत को एक समरूपता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है जिसमें सिद्धांत से जुड़े चर के केवल आयाम रहित संयोजन (अनुपात या उत्पाद) सम्मलित होते हैं (जैसे, दबाव और आयतन बॉयल के नियम से जुड़े होते हैं - वे व्युत्क्रमणीय आनुपातिक हैं)। यदि इकाइयों के सिस्टम के साथ आयाम रहित संयोजनों का मान बदल जाता है, तो समीकरण एक समरूपता नहीं होगी, और बकिंघम का प्रमेय मान्य नहीं होगा।

प्रमेय का एक अन्य परिणाम यह है कि चर की एक निश्चित संख्या (जैसे, n) के बीच फलन निर्भरता को एक सेट देने के लिए उन चरों में होने वाले स्वतंत्र चर आयामों की संख्या (जिसे k कहते हैं ) से कम किया जा सकता है। p का ​​= n - k स्वतंत्र, आयाम रहित राशि। प्रयोगकर्ता के प्रयोजनों के लिए, आयाम रहित राशि द्वारा समान विवरण साझा करने वाली विभिन्न प्रणालियाँ समतुल्य हैं।

उदाहरण
π प्रमेय के अनुप्रयोग को प्रदर्शित करने के लिए, एक दिए गए आकार के साथ विलोडक की बिजली की खपत पर विचार करें।

शक्ति, P, जिसकी विमा [M · L2/T3] है, घनत्व, ρ [M/L3], और हिलाए जाने वाले द्रव की श्यानता, μ [M/(L · T)], साथ ही इसके व्यास  द्वारा दिए गए विलोडक का आकार, D [L], और विलोडक के कोणीय वेग की, n [1/T] , का एक फलन है। इसलिए, हमारे उदाहरण का प्रतिनिधित्व करने वाले कुल n = 5 चर हैं। वे n = 5 चर k = 3 मौलिक आयामों से निर्मित होते हैं, लंबाई: L (SI इकाइयाँ: मीटर की दूरी पर), समय: T (सेकंड), और द्रव्यमान: M (किलोग्राम)।

के अनुसार π-प्रमेय, p = n − k = 5 − 3 = 2 स्वतंत्र विमाहीन संख्याएँ बनाने के लिए n = 5 चरों को k = 3 विमाओं द्वारा कम किया जा सकता है। सामान्यतः, इन राशिओं को चुना जाता है $\mathrm{Re} = {\frac{\rho n D^2}{\mu}}$, सामान्यतः रेनॉल्ड्स संख्या का नाम दिया गया है जो द्रव प्रवाह शासन का वर्णन करता है, और $N_\mathrm{p} = \frac{P}{\rho n^3 D^5}$ , शक्ति संख्या, जो विलोडक का आयाम रहित विवरण है।

ध्यान दें कि दो आयाम रहित राशिएँ अद्वितीय नहीं हैं और निर्भर करती हैं कि n = 5 चरों में से किसे k = 3 स्वतंत्र आधार चर के रूप में चुना जाता है, जो दोनों आयाम रहित राशिओं में दिखाई देते हैं। उपरोक्त विश्लेषण से रेनॉल्ड्स संख्या और शक्ति संख्या गिरती है यदि $\rho$, n, और D को आधार चर के रूप में चुना जाता है। यदि इसके के अतिरिक्त, $\mu$ , n, और D का चयन किया जाता है, रेनॉल्ड्स संख्या को पुनः प्राप्त किया जाता है जबकि दूसरी आयामहीन राशि बन जाती है $N_\mathrm{Rep} = \frac{P}{\mu D^3 n^2}$. हमने ध्यान दिया कि $N_\mathrm{Rep}$ रेनॉल्ड्स संख्या और शक्ति संख्या का उत्पाद है।

विमाहीन भौतिक स्थिरांक
कुछ सार्वभौमिक आयाम वाले भौतिक स्थिरांक, जैसे कि निर्वात में प्रकाश की गति, सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक, प्लैंक स्थिरांक, कूलम्ब स्थिरांक, और बोल्ट्जमान स्थिरांक को 1 तक सामान्यीकृत किया जा सकता है यदि समय, लंबाई, द्रव्यमान, विद्युत आवेश के लिए उपयुक्त इकाइयाँ, और तापमान चुना जाता है। इकाइयों की परिणामी प्रणाली को प्राकृतिक इकाइयों के रूप में जाना जाता है, विशेष रूप से इन पांच स्थिरांकों, प्लैंक इकाइयों के संबंध में। चूंकि, इस तरीके से सभी भौतिक स्थिरांकों को सामान्य नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित स्थिरांक के मान इकाइयों की प्रणाली से स्वतंत्र हैं, परिभाषित नहीं किए जा सकते हैं, और केवल प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित किए जा सकते हैं:
 * α ≈ 1/137, सूक्ष्म-संरचना स्थिरांक, जो इलेक्ट्रॉनों के बीच विद्युत चुम्बकीय संपर्क के परिमाण की विशेषता है।
 * β (या μ) ≈ 1836, प्रोटॉन-से-इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान अनुपात। यह अनुपात इलेक्ट्रॉन के द्वारा विभाजित प्रोटॉन का शेष द्रव्यमान है। किसी भी प्राथमिक कण के लिए एक समान अनुपात को परिभाषित किया जा सकता है;
 * αs ≈ 1, शक्तिशाली परमाणु युग्मन शक्ति को निरूपित करने वाला एक स्थिरांक;
 * किसी दिए गए प्राथमिक कण के द्रव्यमान का प्लैंक द्रव्यमान से अनुपात, $\sqrt{\hbar c/G}$.

गैर-विमीयकरण द्वारा उत्पादित अन्य राशिएँ
अनेक अंतःक्रियात्मक भौतिक घटनाओं के साथ प्रणालियों के लक्षण वर्णन को सरल बनाने के लिए भौतिकी अधिकांशतः आयाम रहित राशि का उपयोग करती है। इन्हें बकिंघम π प्रमेय को लागू करके पाया जा सकता है या अन्यथा गैर-विमीयकरण की प्रक्रिया द्वारा आंशिक अवकलन समीकरणों को इकाई रहित बनाने से उभर सकता है। इंजीनियरिंग, अर्थशास्त्र और अन्य क्षेत्र अधिकांशतः इन विचारों को प्रासंगिक प्रणालियों के डिजाईन और विश्लेषण में विस्तारित करते हैं।

भौतिकी और अभियांत्रिकी

 * फ्रेस्नेल संख्या - दूरी पर तरंग संख्या
 * मैच संख्या - द्रव में ध्वनि की गति के सापेक्ष किसी वस्तु या प्रवाह की गति का अनुपात।


 * बीटा (प्लाज्मा भौतिकी) - प्लाज्मा दबाव का चुंबकीय दबाव के साथ अनुपात, जो चुंबकमंडल भौतिकी के साथ-साथ संलयन प्लाज्मा भौतिकी में  भी उपयोग किया जाता है।
 * डम्कोहलर नंबर (Da) - रासायनिक अभियांत्रिकी में रासायनिक प्रतिक्रिया टाइमस्केल (प्रतिक्रिया दर) को एक प्रणाली में होने वाली परिवहन घटना दर से संबंधित करने के लिए उपयोग किया जाता है।
 * थीले मॉडुलस - झरझरा उत्प्रेरक छर्रों में प्रसार और प्रतिक्रिया दर के बीच संबंध का वर्णन करता है जिसमें कोई बड़े पैमाने पर स्थानांतरण सीमा नहीं होती है।
 * संख्यात्मक छिद्र - कोणों की उस सीमा को दर्शाता है जिस पर सिस्टम प्रकाश को स्वीकार या उत्सर्जित कर सकता है।
 * शेरवुड नंबर - (जिसे द्रव्यमान स्थानान्तरण नुसेल्ट संख्या भी कहा जाता है) द्रव्यमान स्थानान्तरण संक्रिया में उपयोग की जाने वाली एक आयामहीन संख्या है। यह संवहन द्रव्यमान हस्तांतरण के अनुपात को फैलाने वाले द्रव्यमान परिवहन की दर का प्रतिनिधित्व करता है।
 * श्मिट संख्या - संवेग विसरणशीलता (कीनेमेटिक चिपचिपाहट) और द्रव्यमान विसरणशीलता के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है, और इसका उपयोग द्रव प्रवाह को चिह्नित करने के लिए किया जाता है जिसमें एक साथ गति और द्रव्यमान विसरण संवहन प्रक्रियाएं होती हैं।
 * रेनॉल्ड्स संख्या का उपयोग सामान्यतः द्रव यांत्रिकी में प्रवाह को चिह्नित करने के लिए किया जाता है, जिसमें द्रव और प्रवाह दोनों के गुण सम्मलित होते हैं। इसे चिपचिपी ताकतों के लिए जड़त्वीय बलों के अनुपात के रूप में व्याख्या की जाती है और यह प्रवाह शासन को इंगित कर सकता है और साथ ही पाइपों में प्रवाह के लिए आवेदन में घर्षण ताप से संबंधित हो सकता है।
 * ज़ुकोस्की संख्या, सामान्यतः Q* से प्रदर्शित किया जाता है, आग से निकलने वाली गैस की प्रवाह दर की एन्थैल्पी और आग से निकलने वाली गर्मी की दर का अनुपात है। आकस्मिक और प्राकृतिक आग में सामान्यतः ~1 का Q* होता है। चपटी आग जैसे जंगल में लगने वाली आग में Q*<1 होता है। दबाव वाले जहाजों या पाइपों से उत्पन्न होने वाली आग, दबाव के कारण होने वाली अतिरिक्त गति के साथ, Q*>>>1 होती है।

रसायन विज्ञान

 * आपेक्षिक घनत्व - जल के सापेक्ष घनत्व
 * सापेक्ष परमाणु द्रव्यमान, मानक परमाणु भार
 * संतुलन स्थिरांक (जो कभी-कभी आयाम रहित होता है)

अन्य क्षेत्र

 * परिवहन की लागत एक स्थान से दूसरे स्थान पर जाने की दक्षता है
 * लोच (अर्थशास्त्र) दूसरे में परिवर्तन के जवाब में एक आर्थिक चर के आनुपातिक परिवर्तन का माप है

यह भी देखें

 * अनियंत्रित इकाई
 * आयामी विश्लेषण
 * सामान्यीकरण (सांख्यिकी) और मानकीकृत क्षण, आँकड़ों में अनुरूप अवधारणाएँ
 * परिमाण के आदेश (संख्या)
 * समानता (मॉडल)
 * आयाम रहित राशिओं की सूची