गतिशील प्रणाली

गणित में, एक गतिशील प्रणाली एक प्रणाली है जिसमें एक फ़ंक्शन (गणित) एक परिवेशी स्थान में एक बिंदु (ज्यामिति)  की  समय  निर्भरता का वर्णन करता है। उदाहरणों में गणितीय मॉडल शामिल हैं जो एक घड़ी के  लंगर  के दोलन, द्रव गतिकी,  एक प्रकार कि गति  और जनसंख्या गतिकी का वर्णन करते हैं। सबसे सामान्य परिभाषा  अंतरिक्ष  के विभिन्न विकल्पों की अनुमति देकर और समय को कैसे मापा जाता है, गणित में कई अवधारणाओं को एकीकृत करती है जैसे सामान्य अंतर समीकरण और  एर्गोडिक सिद्धांत । समय को पूर्णांकों द्वारा,  [[ वास्तविक संख्या  ]] या  जटिल संख्या ओं द्वारा मापा जा सकता है या एक अधिक सामान्य बीजगणितीय वस्तु हो सकती है, इसकी भौतिक उत्पत्ति की स्मृति खो जाती है, और स्थान एक की आवश्यकता के बिना कई गुना या बस एक  सेट (गणित)  हो सकता है।  भिन्नता  स्पेस-टाइम स्ट्रक्चर इस पर परिभाषित है।

किसी भी समय, एक गतिशील प्रणाली में एक राज्य (नियंत्रण)  होता है जो एक उपयुक्त राज्य स्थान में एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करता है। यह राज्य अक्सर वास्तविक संख्याओं के एक  टपल  या ज्यामितीय कई गुना में एक सदिश स्थान द्वारा दिया जाता है। गतिशील प्रणाली का विकास नियम एक ऐसा कार्य है जो बताता है कि भविष्य के राज्य वर्तमान स्थिति से क्या अनुसरण करते हैं। अक्सर कार्य  नियतात्मक प्रणाली (गणित)  है, अर्थात, एक निश्चित समय अंतराल के लिए केवल एक भविष्य की स्थिति वर्तमान स्थिति से अनुसरण करती है।  हालाँकि, कुछ प्रणालियाँ  स्टोकेस्टिक प्रणाली  हैं, जिसमें यादृच्छिक घटनाएँ राज्य चर के विकास को भी प्रभावित करती हैं।

भौतिकी में, एक गतिशील प्रणाली को एक कण या कणों के समूह के रूप में वर्णित किया जाता है, जिसका राज्य समय के साथ बदलता रहता है और इस प्रकार समय डेरिवेटिव वाले अंतर समीकरण ों का पालन करता है। सिस्टम के भविष्य के व्यवहार के बारे में भविष्यवाणी करने के लिए, कंप्यूटर सिमुलेशन के माध्यम से ऐसे समीकरणों का एक विश्लेषणात्मक समाधान या समय के साथ उनका एकीकरण महसूस किया जाता है।

डायनेमिक सिस्टम का अध्ययन गतिशील प्रणाली सिद्धांत  का फोकस है, जिसमें गणित, भौतिकी, जैसे विभिन्न प्रकार के क्षेत्रों में अनुप्रयोग हैं।  जीव विज्ञान,  रसायन विज्ञान,  अभियांत्रिकी ,  अर्थशास्त्र ,  क्लियोडायनामिक्स , और  दवा । डायनेमिक सिस्टम  अराजकता सिद्धांत ,  रसद मानचित्र  डायनामिक्स,  द्विभाजन सिद्धांत , स्व-विधानसभा और स्व-संगठन प्रक्रियाओं और अराजकता अवधारणा के किनारे का एक मूलभूत हिस्सा हैं।

सिंहावलोकन
एक गतिशील प्रणाली की अवधारणा का मूल न्यूटोनियन यांत्रिकी  में है। वहां, अन्य प्राकृतिक विज्ञानों और इंजीनियरिंग विषयों की तरह, गतिशील प्रणालियों का विकास नियम एक अंतर्निहित संबंध है जो भविष्य में थोड़े समय के लिए प्रणाली की स्थिति देता है। (संबंध या तो एक विभेदक समीकरण,  पुनरावृत्ति संबंध  या अन्य  समय पैमाने की गणना  है।) भविष्य के सभी समयों के लिए स्थिति का निर्धारण करने के लिए संबंध को कई बार पुनरावृत्त करने की आवश्यकता होती है - प्रत्येक समय एक छोटा कदम आगे बढ़ता है। पुनरावृत्ति प्रक्रिया को सिस्टम को हल करने या सिस्टम को एकीकृत करने के रूप में जाना जाता है। यदि सिस्टम को हल किया जा सकता है, तो प्रारंभिक बिंदु दिए जाने पर भविष्य की सभी स्थितियों को निर्धारित करना संभव है, बिंदुओं का एक संग्रह जिसे  प्रक्षेपवक्र  या  कक्षा (गतिकी)  के रूप में जाना जाता है।

कंप्यूटर के आगमन से पहले, एक कक्षा खोजने के लिए परिष्कृत गणितीय तकनीकों की आवश्यकता होती थी और इसे केवल गतिशील प्रणालियों के एक छोटे वर्ग के लिए ही पूरा किया जा सकता था। इलेक्ट्रॉनिक कंप्यूटिंग मशीनों पर कार्यान्वित संख्यात्मक विधियों ने गतिशील प्रणाली की कक्षाओं को निर्धारित करने के कार्य को सरल बना दिया है।

सरल गतिशील प्रणालियों के लिए, प्रक्षेपवक्र को जानना अक्सर पर्याप्त होता है, लेकिन अधिकांश गतिशील प्रणालियां व्यक्तिगत प्रक्षेपवक्रों के संदर्भ में समझने के लिए बहुत जटिल होती हैं। कठिनाइयाँ उत्पन्न होती हैं क्योंकि:
 * अध्ययन की गई प्रणालियाँ केवल लगभग ज्ञात हो सकती हैं - प्रणाली के मापदंडों को ठीक से ज्ञात नहीं हो सकता है या समीकरणों से शब्द गायब हो सकते हैं। उपयोग किए गए सन्निकटन संख्यात्मक समाधानों की वैधता या प्रासंगिकता पर सवाल उठाते हैं। इन सवालों का समाधान करने के लिए गतिशील प्रणालियों के अध्ययन में स्थिरता की कई धारणाएं पेश की गई हैं, जैसे लायपुनोव स्थिरता  या  संरचनात्मक स्थिरता । गतिशील प्रणाली की स्थिरता का अर्थ है कि मॉडल या प्रारंभिक स्थितियों का एक वर्ग है जिसके लिए ट्रैजेक्टोरियां समकक्ष होंगी। स्थिरता की विभिन्न धारणाओं के साथ उनके  तुल्यता संबंध  को स्थापित करने के लिए कक्षाओं की तुलना करने की प्रक्रिया।
 * प्रक्षेपवक्र का प्रकार एक विशेष प्रक्षेपवक्र से अधिक महत्वपूर्ण हो सकता है। कुछ प्रक्षेपवक्र आवधिक हो सकते हैं, जबकि अन्य सिस्टम के कई अलग-अलग राज्यों में भटक सकते हैं। अनुप्रयोगों को अक्सर इन वर्गों की गणना करने या सिस्टम को एक वर्ग के भीतर बनाए रखने की आवश्यकता होती है। सभी संभावित प्रक्षेपवक्रों को वर्गीकृत करने से गतिशील प्रणालियों के गुणात्मक अध्ययन का मार्ग प्रशस्त हुआ है, अर्थात्, ऐसे गुण जो समन्वय परिवर्तनों के तहत नहीं बदलते हैं। रेखीय गतिकीय प्रणालियाँ और पॉइंकेयर-बेंडिक्ससन प्रमेय गतिकीय प्रणालियों के उदाहरण हैं जहाँ कक्षाओं के संभावित वर्गों को समझा जाता है।
 * एक पैरामीटर के एक समारोह के रूप में प्रक्षेपवक्र का व्यवहार एक आवेदन के लिए आवश्यक हो सकता है। एक पैरामीटर के रूप में विविध है, गतिशील प्रणालियों में द्विभाजन सिद्धांत हो सकता है जहां गतिशील प्रणाली का गुणात्मक व्यवहार बदल जाता है। उदाहरण के लिए, यह अशांति  के रूप में, केवल आवधिक गति से स्पष्ट रूप से अनिश्चित व्यवहार तक जा सकता है।
 * सिस्टम के प्रक्षेपवक्र अनियमित दिखाई दे सकते हैं, जैसे कि यादृच्छिक। इन मामलों में एक बहुत लंबे प्रक्षेपवक्र या कई अलग-अलग प्रक्षेपवक्रों का उपयोग करके औसत की गणना करना आवश्यक हो सकता है। एर्गोडिक सिद्धांत के लिए औसत को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है और अनोसोव डिफोमोर्फिज्म  के लिए एक अधिक विस्तृत समझ तैयार की गई है। गतिशील प्रणालियों के संभाव्य पहलुओं को समझने से  सांख्यिकीय यांत्रिकी  और अराजकता सिद्धांत की नींव स्थापित करने में मदद मिली है।

इतिहास
बहुत से लोग फ्रांसीसी गणितज्ञ हेनरी पोंकारे को गतिशील प्रणालियों के संस्थापक के रूप में मानते हैं। पोनकारे ने अब दो क्लासिकल मोनोग्राफ, न्यू मेथड्स ऑफ सेलेस्टियल मैकेनिक्स (1892-1899) और लेक्चर्स ऑन सेलेस्टियल मैकेनिक्स (1905-1910) प्रकाशित किए। उनमें, उन्होंने तीन निकायों की गति की समस्या पर अपने शोध के परिणामों को सफलतापूर्वक लागू किया और समाधानों के व्यवहार (आवृत्ति, स्थिरता, स्पर्शोन्मुख, और इसी तरह) का विस्तार से अध्ययन किया। इन पेपर्स में पोंकारे रिकरेंस प्रमेय शामिल है, जिसमें कहा गया है कि कुछ प्रणालियां पर्याप्त रूप से लंबे लेकिन सीमित समय के बाद प्रारंभिक अवस्था के बहुत करीब की स्थिति में वापस आ जाएंगी।

अलेक्जेंडर लायपुनोव ने कई महत्वपूर्ण सन्निकटन विधियों का विकास किया। उनकी विधियाँ, जो उन्होंने 1899 में विकसित कीं, साधारण अवकल समीकरणों के समुच्चयों की स्थिरता को परिभाषित करना संभव बनाती हैं। उन्होंने एक गतिशील प्रणाली की स्थिरता का आधुनिक सिद्धांत बनाया।

1913 में, जॉर्ज डेविड बिरखॉफ ़ ने पोंकारे के पोंकारे-बिरखॉफ़ प्रमेय को साबित किया, जो  तीन-शरीर की समस्या  का एक विशेष मामला था, जिसके परिणाम ने उन्हें विश्व प्रसिद्ध बना दिया। 1927 में, उन्होंने अपना Dynamical Systems प्रकाशित किया। बिरखॉफ का सबसे टिकाऊ परिणाम उनकी 1931 की खोज है जिसे अब  एर्गोडिक प्रमेय  कहा जाता है।  माप सिद्धांत  के साथ  एर्गोडिक परिकल्पना  पर भौतिकी से अंतर्दृष्टि का संयोजन, इस प्रमेय ने हल किया, कम से कम सिद्धांत रूप में, सांख्यिकीय  यांत्रिकी  की मूलभूत समस्या। एर्गोडिक प्रमेय का भी गतिकी पर प्रभाव पड़ा है।

स्टीफन स्मेल ने भी महत्वपूर्ण प्रगति की। उनका पहला योगदान  घोड़े की नाल का नक्शा  था जिसने डायनेमिक सिस्टम में महत्वपूर्ण शोध शुरू किया। उन्होंने कई अन्य लोगों द्वारा किए गए एक शोध कार्यक्रम को भी रेखांकित किया।

ऑलेक्ज़ेंडर मायकोलायोविच शार्कोवस्की ने 1964 में असतत गतिशील प्रणालियों की अवधियों पर शार्कोवस्की के प्रमेय को विकसित किया। प्रमेय के निहितार्थों में से एक यह है कि यदि  वास्तविक रेखा  पर एक  असतत गतिशील प्रणाली  का  आवधिक बिंदु  3 है, तो इसमें प्रत्येक के आवधिक बिंदु होने चाहिए। अन्य अवधि।

20वीं शताब्दी के अंत में आंशिक अंतर समीकरणों के लिए गतिशील प्रणाली के परिप्रेक्ष्य ने लोकप्रियता प्राप्त करना शुरू कर दिया। फिलीस्तीनी यांत्रिक इंजीनियर अली एच. नायफेह ने यांत्रिकी और इंजीनियरिंग प्रणालियों में अरैखिक गतिशीलता लागू की। अनुप्रयुक्त अरेखीय गतिशीलता में उनका अग्रणी कार्य मशीनों  और  संरचनाओं  के निर्माण और रखरखाव में प्रभावशाली रहा है जो दैनिक जीवन में आम हैं, जैसे जहाज,  क्रेन (मशीन), पुल, भवन, गगनचुंबी इमारतें,  जेट इंजन ,  रॉकेट इंजन , विमान और  अंतरिक्ष यान.

औपचारिक परिभाषा
सबसे सामान्य अर्थ में, एक गतिशील प्रणाली एक टपल (T, X, Φ) है जहां T एक मोनोइड  है, जिसे योगात्मक रूप से लिखा गया है, X एक गैर-खाली सेट (गणित) है और Φ एक कार्य है (गणित)
 * $$\Phi: U \subseteq (T \times X) \to X$$

साथ
 * $$\mathrm{proj}_{2}(U) = X$$ (कहाँ पे $$\mathrm{proj}_{2}$$ दूसरा प्रक्षेपण है (सेट सिद्धांत))

और एक्स में किसी भी एक्स के लिए:
 * $$\Phi(0,x) = x$$
 * $$\Phi(t_2,\Phi(t_1,x)) = \Phi(t_2 + t_1, x),$$ के लिए $$\, t_1,\, t_2 + t_1 \in I(x)$$ और $$\ t_2 \in I(\Phi(t_1, x)) $$, जहां हमने समुच्चय को परिभाषित किया है $$ I(x) := \{ t \in T : (t,x) \in U \}$$ एक्स में किसी भी एक्स के लिए।

विशेष रूप से, उस मामले में $$ U = T \times X $$ हमारे पास एक्स में हर एक्स के लिए है $$ I(x) = T $$ और इस प्रकार Φ X पर T के एक Semigroup_action को परिभाषित करता है।

फ़ंक्शन Φ(t,x) को डायनेमिक सिस्टम का 'एवोल्यूशन फंक्शन' कहा जाता है: यह सेट एक्स में हर बिंदु x से जुड़ा होता है, जो चर टी पर निर्भर करता है, जिसे 'एवोल्यूशन पैरामीटर' कहा जाता है। X को ' चरण स्थान ' या 'स्टेट स्पेस' कहा जाता है, जबकि वेरिएबल x सिस्टम की 'प्रारंभिक अवस्था' का प्रतिनिधित्व करता है।

हम अक्सर लिखते हैं
 * $$\Phi_x(t) \equiv \Phi(t,x)$$
 * $$\Phi^t(x) \equiv \Phi(t,x)$$

यदि हम किसी एक चर को स्थिर मान लें।
 * $$\Phi_x:I(x) \to X$$

x के माध्यम से प्रवाह और x के माध्यम से इसका ग्राफ (फ़ंक्शन)  प्रक्षेपवक्र कहा जाता है। सेट
 * $$\gamma_x \equiv\{\Phi(t,x) : t \in I(x)\}$$

'x'' के माध्यम से कक्षा (गतिकी) कहा जाता है। ध्यान दें कि x के माध्यम से कक्षा x के माध्यम से प्रवाह की छवि (गणित)  है। स्टेट स्पेस X के एक सबसेट S को Φ-invariant कहा जाता है यदि S में सभी x और T में सभी t के लिए
 * $$\Phi(t,x) \in S.$$

इस प्रकार, विशेष रूप से, यदि S Φ-'अपरिवर्तनीय है,' $$I(x) = T$$ एस में सभी एक्स के लिए। यानी, एक्स के माध्यम से प्रवाह को एस के प्रत्येक तत्व के लिए हमेशा के लिए परिभाषित किया जाना चाहिए।

अधिक सामान्यतः एक गतिशील प्रणाली के लिए परिभाषाओं के दो वर्ग होते हैं: एक सामान्य अंतर समीकरणों से प्रेरित होता है और स्वाद में ज्यामितीय होता है; और दूसरा एर्गोडिक सिद्धांत से प्रेरित है और स्वाद में माप (गणित) #माप सिद्धांत है।

ज्यामितीय परिभाषा
ज्यामितीय परिभाषा में, एक गतिशील प्रणाली टपल है $$ \langle \mathcal{T}, \mathcal{M}, f\rangle $$. $$\mathcal{T}$$ समय के लिए डोमेन है - कई विकल्प हैं, आमतौर पर वास्तविक या पूर्णांक, संभवतः गैर-नकारात्मक होने के लिए प्रतिबंधित हैं। $$\mathcal{M}$$ एक कई गुना है, यानी स्थानीय रूप से एक बैनाच स्पेस या यूक्लिडियन स्पेस, या असतत मामले में एक ग्राफ (असतत गणित) । f एक विकास नियम t → f हैटी (के साथ $$t\in\mathcal{T}$$) ऐसा है कि fटी अपने आप में कई गुना का एक भिन्नता है। तो, f टाइम-डोमेन की एक सहज मैपिंग है $$ \mathcal{T}$$ अपने आप में कई गुना के डिफियोमोर्फिज्म के स्थान में। दूसरे शब्दों में, f(t) डोमेन में हर बार t के लिए एक भिन्नता है $$ \mathcal{T}$$.

वास्तविक गतिशील प्रणाली
एक वास्तविक गतिशील प्रणाली, वास्तविक समय गतिशील प्रणाली, निरंतर समय  गतिशील प्रणाली, या  प्रवाह (गणित)  एक टपल (टी, एम, Φ) है जिसमें टी वास्तविक संख्या 'आर' में एक  खुला अंतराल  है, एम कई गुना स्थानीय रूप से अलग-अलग है। एक  बनच स्थान, और Φ एक सतत कार्य। यदि Φ निरंतर अवकलनीय है तो हम कहते हैं कि तंत्र एक अवकलनीय गत्यात्मक तंत्र है। यदि मैनिफोल्ड एम स्थानीय रूप से 'आर' के लिए भिन्न हैn, गतिकीय प्रणाली परिमित-विमीय है; यदि नहीं, तो गतिशील प्रणाली अनंत-विमीय है। ध्यान दें कि यह एक सहानुभूतिपूर्ण कई गुना नहीं मानता है। जब T को वास्तविक मान लिया जाता है, तो गतिशील प्रणाली को वैश्विक या प्रवाह (गणित) कहा जाता है; और यदि टी गैर-नकारात्मक वास्तविकों तक सीमित है, तो गतिशील प्रणाली अर्ध-प्रवाह है।

असतत गतिशील प्रणाली
एक असतत गतिशील प्रणाली, असतत-समय गतिशील प्रणाली एक टपल (टी, एम, Φ) है, जहां एम एक बानाच स्थान के लिए स्थानीय रूप से अलग-अलग भिन्न है, और Φ एक फ़ंक्शन है। जब T को पूर्णांक के रूप में लिया जाता है, तो यह एक कैस्केड या मानचित्र होता है। यदि T गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों तक सीमित है, तो हम सिस्टम को सेमी-कैस्केड कहते हैं।

सेलुलर automaton
एक सेलुलर ऑटोमेटन एक टपल (टी, एम, Φ) है, जिसमें टी एक जाली (समूह)  है जैसे  पूर्णांक  या उच्च-आयामी  पूर्णांक जाली, एम एक पूर्णांक जाली से कार्यों का एक सेट है (फिर से, एक या अधिक के साथ) आयाम) एक परिमित सेट के लिए, और Φ a (स्थानीय रूप से परिभाषित) विकास कार्य। जैसे कि  सेल्यूलर आटोमेटा  डायनेमिक सिस्टम हैं। एम में जाली अंतरिक्ष जाली का प्रतिनिधित्व करती है, जबकि टी में एक समय जाली का प्रतिनिधित्व करती है।

बहुआयामी सामान्यीकरण
गतिशील प्रणालियों को आमतौर पर एक स्वतंत्र चर पर परिभाषित किया जाता है, जिसे समय माना जाता है। सिस्टम का एक अधिक सामान्य वर्ग कई स्वतंत्र चर पर परिभाषित किया गया है और इसलिए इसे बहुआयामी सिस्टम कहा जाता है। ऐसी प्रणालियाँ मॉडलिंग के लिए उपयोगी होती हैं, उदाहरण के लिए, मूर्ति प्रोद्योगिकी ।

एक गतिशील प्रणाली का संघनन
स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट और  हॉसडॉर्फ स्पेस   टोपोलॉजिकल स्पेस  'एक्स' पर एक वैश्विक गतिशील प्रणाली (आर, एक्स, Φ) को देखते हुए, यह अक्सर Φ के निरंतर विस्तार Φ* का अध्ययन करने के लिए उपयोगी होता है। एक्स का एक्स*। यद्यपि हम मूल प्रणाली की विभेदक संरचना को खो देते हैं, अब हम नई प्रणाली (R, X*, Φ*) का विश्लेषण करने के लिए कॉम्पैक्टनेस तर्कों का उपयोग कर सकते हैं।

कॉम्पैक्ट डायनेमिक सिस्टम में किसी भी कक्षा की सीमा निर्धारित  गैर-खाली,  कॉम्पैक्ट जगह  और  बस जुड़ा हुआ है ।

सैद्धांतिक परिभाषा मापें
एक गतिशील प्रणाली को औपचारिक रूप से माप स्थान के माप-संरक्षण परिवर्तन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, ट्रिपलेट (टी, (एक्स, Σ, μ), Φ)। यहाँ, T एक मोनोइड (आमतौर पर गैर-नकारात्मक पूर्णांक) है, X एक सेट (गणित) है, और (X, Σ, μ) एक माप स्थान है, जिसका अर्थ है कि Σ X पर सिग्मा-बीजगणित  है और μ एक है (X, Σ) पर परिमित माप (गणित)। एक नक्शा Φ: X → X को मापने योग्य कार्य कहा जाता है|Σ-मापने योग्य अगर और केवल अगर, Σ में प्रत्येक σ के लिए, एक है $$\Phi^{-1}\sigma \in \Sigma$$. एक नक्शा Φ कहा जाता है कि माप को संरक्षित करने के लिए अगर और केवल अगर, प्रत्येक  σ  के लिए Σ में, एक है $$\mu(\Phi^{-1}\sigma ) = \mu(\sigma)$$. उपरोक्त को मिलाकर, एक मानचित्र Φ को X का माप-संरक्षण परिवर्तन कहा जाता है, यदि यह X से स्वयं का मानचित्र है, तो यह Σ-मापने योग्य है, और माप-संरक्षण है। ट्रिपलेट (T, (X, Σ, μ), Φ), ऐसे Φ के लिए, फिर एक गतिशील प्रणाली के रूप में परिभाषित किया जाता है।

नक्शा Φ गतिशील प्रणाली के समय के विकास का प्रतीक है। इस प्रकार, असतत गतिशील प्रणालियों के लिए पुनरावृत्त कार्य $$\Phi^n = \Phi \circ \Phi \circ \dots \circ \Phi$$ प्रत्येक पूर्णांक n के लिए अध्ययन किया जाता है। निरंतर गतिशील प्रणालियों के लिए, मानचित्र Φ को एक सीमित समय के विकास मानचित्र के रूप में समझा जाता है और निर्माण अधिक जटिल होता है।

ज्यामितीय परिभाषा से संबंध
माप सैद्धांतिक परिभाषा माप-संरक्षण परिवर्तन के अस्तित्व को मानती है। किसी एक विकास नियम से कई अलग-अलग अपरिवर्तनीय उपायों को जोड़ा जा सकता है। यदि डायनेमिक सिस्टम डिफरेंशियल इक्वेशन के सिस्टम द्वारा दिया गया है तो उपयुक्त माप निर्धारित किया जाना चाहिए। इससे एर्गोडिक सिद्धांत को अंतर समीकरणों से शुरू करना मुश्किल हो जाता है, इसलिए एर्गोडिक सिद्धांत के भीतर एक गतिशील प्रणाली-प्रेरित परिभाषा के लिए सुविधाजनक हो जाता है जो माप की पसंद को साइड-स्टेप करता है और मानता है कि पसंद किया गया है। एक सरल निर्माण (कभी-कभी क्रायलोव-बोगोलीबॉव प्रमेय कहा जाता है) से पता चलता है कि प्रणालियों के एक बड़े वर्ग के लिए हमेशा एक माप का निर्माण करना संभव होता है ताकि गतिशील प्रणाली के विकास नियम को एक माप-संरक्षण परिवर्तन बनाया जा सके। निर्माण में राज्य अंतरिक्ष के एक दिए गए माप को प्रक्षेपवक्र के भविष्य के सभी बिंदुओं के लिए सम्‍मिलित किया जाता है, जो कि निरंकुशता को सुनिश्चित करता है।

कुछ प्रणालियों में एक प्राकृतिक माप होता है, जैसे कि हैमिल्टनियन प्रणालियों में लिउविले के प्रमेय (हैमिल्टनियन), अन्य अपरिवर्तनीय उपायों पर चुना जाता है, जैसे कि हैमिल्टनियन प्रणाली  की आवधिक कक्षाओं पर समर्थित उपाय। अराजक अपव्यय प्रणालियों के लिए अपरिवर्तनीय माप का विकल्प तकनीकी रूप से अधिक चुनौतीपूर्ण है। उपाय को आकर्षित करने वाले पर समर्थित होने की आवश्यकता है, लेकिन आकर्षित करने वालों के पास शून्य Lebesgue माप है और Lebesgue माप के संबंध में अपरिवर्तनीय उपायों को विलक्षण होना चाहिए। समय के विकास के तहत चरण स्थान का एक छोटा क्षेत्र सिकुड़ता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण गतिशील प्रणालियों के लिए, सिनाई-रूएल-बोवेन उपाय प्राकृतिक पसंद प्रतीत होते हैं। वे गतिशील प्रणाली के स्थिर कई गुना  की ज्यामितीय संरचना पर निर्मित होते हैं; वे छोटे-छोटे व्यवधानों के तहत शारीरिक रूप से व्यवहार करते हैं; और वे अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणालियों के देखे गए कई आँकड़ों की व्याख्या करते हैं।

डायनेमिक सिस्टम का निर्माण
समय में विकास की अवधारणा गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत के केंद्र में है जैसा कि पिछले खंडों में देखा गया है: इस तथ्य का मूल कारण यह है कि सिद्धांत की प्रारंभिक प्रेरणा शास्त्रीय यांत्रिकी  के समय व्यवहार का अध्ययन था। लेकिन एक गतिशील प्रणाली बनने से पहले सामान्य अंतर समीकरणों की एक प्रणाली को हल किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए  प्रारंभिक मूल्य समस्या  पर विचार करें जैसे निम्न:


 * $$\dot{\boldsymbol{x}}=\boldsymbol{v}(t,\boldsymbol{x})$$
 * $$\boldsymbol{x}|_=\boldsymbol{x}_0$$

कहाँ पे
 * $$\dot{\boldsymbol{x}}$$ सामग्री बिंदु x के वेग  का प्रतिनिधित्व करता है
 * एम एक परिमित आयामी कई गुना है
 * v: T × M → TM R में एक सदिश क्षेत्र हैn या 'सी'n और चरण स्थान M में दिए गए भौतिक बिंदु पर कार्य करने वाले ज्ञात बलों द्वारा प्रेरित वेग के परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। परिवर्तन चरण स्थान M में एक वेक्टर नहीं है, बल्कि इसके बजाय स्पर्शरेखा अंतरिक्ष TM में है।

समीकरण में उच्च क्रम डेरिवेटिव की कोई आवश्यकता नहीं है, न ही v(t,x) में पैरामीटर टी के लिए, क्योंकि इन्हें उच्च आयामों की प्रणालियों पर विचार करके समाप्त किया जा सकता है।

इस सदिश क्षेत्र के गुणों के आधार पर यांत्रिक प्रणाली कहलाती है
 * 'ऑटोनोमस', जब 'v'(t, 'x') = 'v'('x')
 * 'सजातीय' जब 'v'(t, '0') = 0 सभी टी के लिए

समाधान मानक ODE तकनीकों का उपयोग करके पाया जा सकता है और इसे पहले से ही ऊपर पेश किए गए विकास कार्य के रूप में दर्शाया गया है


 * $$\boldsymbol(t)=\Phi(t,\boldsymbol_0)$$

गतिशील प्रणाली तब (टी, एम, Φ) है।

ऊपर दिखाए गए अंतर समीकरणों की प्रणाली का कुछ औपचारिक हेरफेर समीकरणों का एक अधिक सामान्य रूप देता है जिसे एक गतिशील प्रणाली को संतुष्ट करना चाहिए


 * $$\dot{\boldsymbol{x}}-\boldsymbol{v}(t,\boldsymbol{x})=0 \qquad\Leftrightarrow\qquad \mathfrak\left(t,\Phi(t,\boldsymbol_0)\right)=0$$

कहाँ पे $$\mathfrak{G}:{{(T\times M)}^M}\to\mathbf{C}$$ विकास कार्यों के सेट से जटिल संख्याओं के क्षेत्र तक एक कार्यात्मक (गणित)  है।

जटिल बाधाओं के साथ मैकेनिकल सिस्टम मॉडलिंग करते समय यह समीकरण उपयोगी होता है।

गतिशील प्रणालियों में कई अवधारणाओं को अनंत-आयामी मैनिफोल्ड्स तक बढ़ाया जा सकता है- जो कि स्थानीय रूप से बानाच रिक्त स्थान हैं- इस मामले में अंतर समीकरण आंशिक अंतर समीकरण हैं।

उदाहरण

 * अर्नोल्ड की बिल्ली का नक्शा
 * बेकर का नक्शा अराजक टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्य मानचित्र का एक उदाहरण है
 * गतिशील बिलियर्ड्स और  गतिशील बाहरी बिलियर्ड्स
 * उछलती गेंद की गतिशीलता
 * सर्किल नक्शा
 * जटिल द्विघात बहुपद
 * डबल पेंडुलम
 * डायाडिक परिवर्तन
 * हेनोन मानचित्र
 * तर्कहीन घुमाव
 * कापलान-यॉर्क नक्शा
 * अराजक नक्शों की सूची
 * लॉरेंज अट्रैक्टर
 * जटिल द्विघात बहुपद#मानचित्र
 * Rössler नक्शा
 * स्विंगिंग एटवुड की मशीन
 * टेंट का नक्शा

रैखिक गतिशील प्रणाली
सरल कार्यों और वर्गीकृत सभी कक्षाओं के व्यवहार के संदर्भ में रैखिक गतिशील प्रणालियों को हल किया जा सकता है। एक रैखिक प्रणाली में चरण स्थान एन-आयामी यूक्लिडियन स्थान है, इसलिए चरण स्थान में किसी भी बिंदु को एन संख्या वाले वेक्टर द्वारा दर्शाया जा सकता है। रैखिक प्रणालियों का विश्लेषण संभव है क्योंकि वे एक सुपरपोजिशन सिद्धांत  को संतुष्ट करते हैं: यदि यू(टी) और डब्ल्यू(टी) वेक्टर क्षेत्र के लिए अंतर समीकरण को संतुष्ट करते हैं (लेकिन जरूरी नहीं कि प्रारंभिक स्थिति), तो यू(टी) + डब्ल्यू (टी)।

प्रवाह
एक प्रवाह (गणित) के लिए, सदिश क्षेत्र v(x) चरण स्थान में स्थिति का एक परिशोधित रूपांतरण फलन है, अर्थात,
 * $$ \dot{x} = v(x) = A x + b,$$

A मैट्रिक्स के साथ, b संख्याओं का सदिश और x स्थिति सदिश है। सुपरपोज़िशन सिद्धांत (रैखिकता) का उपयोग करके इस प्रणाली का समाधान पाया जा सकता है। मामला b ≠ 0 A = 0 के साथ b की दिशा में बस एक सीधी रेखा है:


 * $$\Phi^t(x_1) = x_1 + b t. $$

जब b शून्य होता है और A ≠ 0 मूल प्रवाह का एक संतुलन (या एकवचन) बिंदु होता है, अर्थात, यदि x0= 0, तो कक्षा वहीं रहती है। अन्य प्रारंभिक स्थितियों के लिए, गति का समीकरण मैट्रिक्स घातांक द्वारा दिया जाता है: प्रारंभिक बिंदु x के लिए0,


 * $$\Phi^t(x_0) = e^{t A} x_0. $$

जब b = 0, A के eigenvalue s ​​​​चरण स्थान की संरचना का निर्धारण करते हैं। ए के eigenvalues ​​​​और  eigenvector s से यह निर्धारित करना संभव है कि प्रारंभिक बिंदु मूल बिंदु पर संतुलन बिंदु पर अभिसरण या विचलन करेगा या नहीं।

मामले में दो अलग-अलग प्रारंभिक स्थितियों के बीच की दूरी ए ≠ 0 ज्यादातर मामलों में घातीय रूप से बदल जाएगी, या तो घातीय रूप से तेजी से एक बिंदु की ओर परिवर्तित हो जाएगी, या घातीय रूप से तेजी से विचलन करेगी। रैखिक प्रणालियाँ विचलन के मामले में प्रारंभिक स्थितियों पर संवेदनशील निर्भरता प्रदर्शित करती हैं। गैर-रैखिक प्रणालियों के लिए यह अराजकता सिद्धांत के लिए (आवश्यक लेकिन पर्याप्त नहीं) स्थितियों में से एक है।



मानचित्र
असतत-समय गतिशील प्रणाली | असतत-समय, Affine परिवर्तन गतिशील प्रणाली में एक मैट्रिक्स अंतर समीकरण  का रूप होता है:
 * $$ x_{n+1} = A x_n + b, $$

A मैट्रिक्स और b वेक्टर के साथ। जैसा कि निरंतर स्थिति में होता है, निर्देशांक x→ x + (1 − A) का परिवर्तन-1b शब्द b को समीकरण से हटा देता है। नई समन्वय प्रणाली  में, मूल मानचित्र का एक निश्चित बिंदु है और समाधान रैखिक प्रणाली ए के हैंएनएक्स0. मानचित्र के लिए समाधान अब वक्र नहीं हैं, लेकिन ऐसे बिंदु हैं जो चरण स्थान में कूदते हैं। कक्षाओं को घटता या तंतुओं में व्यवस्थित किया जाता है, जो उन बिंदुओं का संग्रह होता है जो मानचित्र की क्रिया के तहत स्वयं में मानचित्रित होते हैं।

जैसा कि निरंतर मामले में, ए के eigenvalues ​​​​और eigenvectors चरण स्थान की संरचना निर्धारित करते हैं। उदाहरण के लिए, यदि यू1 A का एक ईजेनवेक्टर है, जिसका वास्तविक ईजेनवैल्यू एक से छोटा है, फिर α u के साथ बिंदुओं द्वारा दी गई सीधी रेखाएं1, α ∈ 'R' के साथ, मानचित्र का एक अपरिवर्तनीय वक्र है। इस सीधी रेखा के बिंदु निश्चित बिंदु पर चलते हैं।

अराजक नक्शों की भी कई सूचियाँ हैं।

स्थानीय गतिकी
गतिशील प्रणालियों के गुणात्मक गुण निर्देशांक के एक सहज परिवर्तन के तहत नहीं बदलते हैं (इसे कभी-कभी गुणात्मक की परिभाषा के रूप में लिया जाता है): वेक्टर क्षेत्र का एक विलक्षण बिंदु (एक बिंदु जहां v(x) = 0) एक विलक्षण बिंदु रहेगा चिकनी परिवर्तनों के तहत; एक आवधिक कक्षा चरण स्थान में एक लूप है और चरण स्थान की चिकनी विकृति इसे लूप होने में नहीं बदल सकती है। यह एकवचन बिंदुओं और आवधिक कक्षाओं के पड़ोस में है कि एक गतिशील प्रणाली के चरण स्थान की संरचना को अच्छी तरह से समझा जा सकता है। गतिशील प्रणालियों के गुणात्मक अध्ययन में, दृष्टिकोण यह दिखाना है कि निर्देशांक (आमतौर पर अनिर्दिष्ट, लेकिन गणना योग्य) में परिवर्तन होता है जो गतिशील प्रणाली को यथासंभव सरल बनाता है।

सुधार
चरण स्थान के अधिकांश छोटे पैच में प्रवाह को बहुत सरल बनाया जा सकता है। यदि y एक बिंदु है जहां सदिश क्षेत्र v(y) ≠ 0 है, तो y के आस-पास के क्षेत्र के लिए निर्देशांक में परिवर्तन होता है जहां सदिश क्षेत्र समान परिमाण के समांतर सदिशों की एक श्रृंखला बन जाता है। इसे सुधार प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

सुधार प्रमेय कहता है कि गणितीय विलक्षणता  से दूर एक छोटे से पैच में एक बिंदु की गतिशीलता एक सीधी रेखा है। कई पैच को एक साथ सिलाई करके पैच को कभी-कभी बड़ा किया जा सकता है, और जब यह पूरे चरण स्थान एम में काम करता है तो डायनेमिक सिस्टम इंटीग्रेबल होता है। ज्यादातर मामलों में पैच को पूरे चरण स्थान तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। सदिश क्षेत्र में एकवचन बिंदु हो सकते हैं (जहाँ v(x) = 0); या पैच छोटे और छोटे हो सकते हैं जैसे-जैसे कोई बिंदु करीब आता है। अधिक सूक्ष्म कारण एक वैश्विक बाधा है, जहां एक पैच में प्रक्षेपवक्र शुरू होता है, और अन्य पैच की एक श्रृंखला का दौरा करने के बाद मूल एक पर वापस आ जाता है। यदि अगली बार कक्षा चरण स्थान के चारों ओर एक अलग तरीके से चक्कर लगाती है, तो पैच की पूरी श्रृंखला में वेक्टर क्षेत्र को सुधारना असंभव है।

आवधिक कक्षाओं के पास
सामान्य तौर पर, आवधिक कक्षा के पड़ोस में सुधार प्रमेय का उपयोग नहीं किया जा सकता है। पोनकारे ने एक ऐसा दृष्टिकोण विकसित किया जो आवधिक कक्षा के निकट के विश्लेषण को एक मानचित्र के विश्लेषण में बदल देता है। एक बिंदु x उठाओ0 कक्षा में γ और उस पड़ोस में चरण अंतरिक्ष में बिंदुओं पर विचार करें जो लंबवत हैं v(x0). ये बिंदु पॉइनकेयर अनुभाग S(γ, x0), कक्षा का। प्रवाह अब एक मानचित्र को परिभाषित करता है, Poincaré मानचित्र F : S → S, बिंदुओं के लिए S से प्रारंभ होकर S पर लौटता है। इन सभी बिंदुओं को वापस आने में समान समय नहीं लगेगा, लेकिन समय समय के करीब होगा इसमें x लगता है0.

पॉइनकेयर अनुभाग के साथ आवधिक कक्षा का प्रतिच्छेदन पोंकारे मानचित्र F का एक निश्चित बिंदु है। एक अनुवाद द्वारा, बिंदु को x = 0 पर माना जा सकता है। मानचित्र की टेलर श्रृंखला F(x) = J · है एक्स + ओ (एक्स2), इसलिए निर्देशांक h के परिवर्तन से केवल F को इसके रैखिक भाग में सरल बनाने की अपेक्षा की जा सकती है


 * $$ h^{-1} \circ F \circ h(x) = J \cdot x.$$

इसे संयुग्मन समीकरण के रूप में जाना जाता है। इस समीकरण को धारण करने के लिए परिस्थितियों का पता लगाना गतिशील प्रणालियों में अनुसंधान के प्रमुख कार्यों में से एक रहा है। पोंकारे ने सबसे पहले सभी कार्यों को विश्लेषणात्मक मानते हुए संपर्क किया और इस प्रक्रिया में गैर-अनुनाद स्थिति की खोज की। यदि λ1, ..., एलν J के eigenvalues ​​​​हैं, वे गुंजयमान होंगे यदि एक eigenvalue दो या दो से अधिक का एक पूर्णांक रैखिक संयोजन है। प्रपत्र λ के संदर्भ मेंi - Σ (अन्य eigenvalues ​​​​के गुणक) फ़ंक्शन h के लिए शर्तों के भाजक में होता है, गैर-अनुनाद स्थिति को छोटे विभाजक समस्या के रूप में भी जाना जाता है।

संयुग्मन परिणाम
संयुग्मन समीकरण के समाधान के अस्तित्व पर परिणाम J के eigenvalues ​​​​और h से आवश्यक चिकनाई की डिग्री पर निर्भर करते हैं। जैसा कि J को किसी विशेष समरूपता की आवश्यकता नहीं है, इसके eigenvalues ​​आमतौर पर जटिल संख्याएँ होंगी। जब J के eigenvalues ​​​​यूनिट सर्कल में नहीं होते हैं, तो गति निश्चित बिंदु x के पास होती है0 F का अतिशयोक्तिपूर्ण निश्चित बिंदु  कहा जाता है और जब eigenvalues ​​​​यूनिट सर्कल और कॉम्प्लेक्स पर होते हैं, तो गतिकी को अण्डाकार कहा जाता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण मामले में, हार्टमैन-ग्रोबमैन प्रमेय एक सतत कार्य के अस्तित्व के लिए शर्तें देता है जो नक्शे के निश्चित बिंदु के पड़ोस को रैखिक मानचित्र J·x पर मैप करता है। अतिशयोक्तिपूर्ण मामला भी संरचनात्मक रूप से स्थिर है। सदिश क्षेत्र में छोटे परिवर्तन केवल पोंकारे मानचित्र में छोटे परिवर्तन उत्पन्न करेंगे और ये छोटे परिवर्तन जटिल तल में J के आइगेनमानों की स्थिति में छोटे परिवर्तनों को प्रतिबिंबित करेंगे, जिसका अर्थ है कि नक्शा अभी भी अतिशयोक्तिपूर्ण है।

कोलमोगोरोव-अर्नोल्ड-मोजर प्रमेय | कोलमोगोरोव-अर्नोल्ड-मोजर (केएएम) प्रमेय एक दीर्घवृत्त बिंदु के निकट व्यवहार देता है।

द्विभाजन सिद्धांत
जब विकास मानचित्र Φt (या जिस सदिश क्षेत्र से इसे प्राप्त किया गया है) एक पैरामीटर μ पर निर्भर करता है, चरण स्थान की संरचना भी इस पैरामीटर पर निर्भर करेगी। एक विशेष मूल्य μ तक छोटे परिवर्तन चरण स्थान में कोई गुणात्मक परिवर्तन नहीं कर सकते हैं0 पहुंच गया। इस बिंदु पर चरण स्थान गुणात्मक रूप से बदलता है और कहा जाता है कि गतिशील प्रणाली द्विभाजन से गुजरी है।

द्विभाजन सिद्धांत चरण स्थान (आमतौर पर एक निश्चित बिंदु (गणित), एक आवधिक कक्षा, या एक अपरिवर्तनीय  टोरस्र्स ) में एक संरचना पर विचार करता है और पैरामीटर μ के कार्य के रूप में इसके व्यवहार का अध्ययन करता है। द्विभाजन बिंदु पर संरचना अपनी स्थिरता को बदल सकती है, नई संरचनाओं में विभाजित हो सकती है या अन्य संरचनाओं के साथ विलय कर सकती है। नक्शों की टेलर श्रृंखला सन्निकटन का उपयोग करके और उन अंतरों की समझ जो निर्देशांक के परिवर्तन से समाप्त हो सकते हैं, गतिशील प्रणालियों के द्विभाजनों को सूचीबद्ध करना संभव है।

एक अतिशयोक्तिपूर्ण निश्चित बिंदु x का द्विभाजन0 एक प्रणाली परिवार एफμसिस्टम DF के पहले व्युत्पन्न के eigenvalues  ​​​​द्वारा विशेषता दी जा सकती हैμ(एक्स0) द्विभाजन बिंदु पर गणना की गई। एक मानचित्र के लिए, द्विभाजन तब होगा जब DF के eigenvalues ​​​​होंगेμयूनिट सर्कल पर। एक प्रवाह के लिए, यह तब होगा जब काल्पनिक अक्ष पर eigenvalues ​​​​होंगे। अधिक जानकारी के लिए द्विभाजन सिद्धांत पर मुख्य लेख देखें।

कुछ द्विभाजन चरण स्थान में बहुत जटिल संरचनाओं को जन्म दे सकते हैं। उदाहरण के लिए, रूले-टेकेंस परिदृश्य बताता है कि कैसे एक आवधिक कक्षा एक टोरस और टोरस को एक अजीब आकर्षण  में विभाजित करती है। एक अन्य उदाहरण में,  द्विभाजन आरेख  | Feigenbaum अवधि-दोहरीकरण वर्णन करता है कि कैसे एक स्थिर आवधिक कक्षा  अवधि-दोहरीकरण द्विभाजन  की एक श्रृंखला के माध्यम से जाती है।

एर्गोडिक सिस्टम
कई गतिशील प्रणालियों में, सिस्टम के निर्देशांक चुनना संभव है ताकि चरण अंतरिक्ष में मात्रा (वास्तव में एक ν-आयामी मात्रा) अपरिवर्तनीय हो। यह न्यूटन के नियमों से प्राप्त यांत्रिक प्रणालियों के लिए होता है जब तक कि निर्देशांक स्थिति और संवेग हैं और आयतन (स्थिति) × (संवेग) की इकाइयों में मापा जाता है। प्रवाह एक उपसमुच्चय A के बिंदुओं को Φ में ले जाता हैटी(ए) और फेज स्पेस के इनवेरियन का मतलब है
 * $$ \mathrm{vol} (A) = \mathrm{vol} ( \Phi^t(A) ). $$

हैमिल्टनियन यांत्रिकी में, एक समन्वय दिए जाने पर उचित (सामान्यीकृत) गति को प्राप्त करना संभव है जैसे संबंधित मात्रा प्रवाह द्वारा संरक्षित है। वॉल्यूम की गणना लिउविल के प्रमेय (हैमिल्टनियन) द्वारा की जाती है।

हैमिल्टनियन प्रणाली में, प्रारंभिक स्थिति से स्थिति और संवेग के सभी संभव विन्यासों तक नहीं पहुँचा जा सकता है। ऊर्जा संरक्षण के कारण, प्रारंभिक स्थिति के समान ऊर्जा वाले राज्य ही सुलभ हैं। समान ऊर्जा वाले राज्य एक ऊर्जा शेल Ω बनाते हैं, जो चरण स्थान का एक उप-कई गुना है। Liouville माप का उपयोग करके गणना की गई ऊर्जा खोल की मात्रा, विकास के तहत संरक्षित है।

उन प्रणालियों के लिए जहां आयतन को प्रवाह द्वारा संरक्षित किया जाता है, पोनकारे ने पोंकारे पुनरावृत्ति प्रमेय की खोज की: मान लें कि चरण स्थान में एक परिमित लिउविले आयतन है और F को चरण स्थान आयतन-संरक्षण मानचित्र और चरण स्थान का एक सबसेट होने दें। तब A का लगभग हर बिंदु A पर असीम रूप से लौटता है। पोंकेयर पुनरावर्तन प्रमेय का उपयोग अर्नेस्ट ज़र्मेलो  द्वारा  लुडविग बोल्ट्जमैन  की टकराव परमाणुओं की एक गतिशील प्रणाली में एंट्रॉपी में वृद्धि की व्युत्पत्ति पर आपत्ति करने के लिए किया गया था।

बोल्ट्जमैन के काम द्वारा उठाए गए सवालों में से एक समय औसत और अंतरिक्ष औसत के बीच संभावित समानता थी, जिसे उन्होंने एर्गोडिक परिकल्पना कहा। परिकल्पना बताती है कि एक क्षेत्र A में एक विशिष्ट प्रक्षेपवक्र खर्च करने की अवधि vol(A)/vol(Ω) है।

एर्गोडिक परिकल्पना सांख्यिकीय यांत्रिकी के विकास के लिए आवश्यक आवश्यक संपत्ति नहीं निकली और भौतिक प्रणालियों के प्रासंगिक पहलुओं को पकड़ने के लिए अन्य एर्गोडिक-जैसे गुणों की एक श्रृंखला पेश की गई। बर्नार्ड कोपमैन  ने  कार्यात्मक विश्लेषण  के उपयोग से एर्गोडिक सिस्टम के अध्ययन से संपर्क किया। एक अवलोकन योग्य एक ऐसा कार्य है जो चरण स्थान के प्रत्येक बिंदु पर एक संख्या को जोड़ता है (तात्कालिक दबाव, या औसत ऊंचाई कहते हैं)। विकास फलन φ का उपयोग करके एक प्रेक्षण योग्य के मूल्य की गणना किसी अन्य समय में की जा सकती हैटी. यह एक ऑपरेटर यू का परिचय देता हैटी, ट्रांसफर ऑपरेटर ,


 * $$ (U^t a)(x) = a(\Phi^{-t}(x)). $$

रैखिक ऑपरेटर यू के वर्णक्रमीय गुणों का अध्ययन करके Φ के एर्गोडिक गुणों को वर्गीकृत करना संभव हो जाता हैटी. एक प्रेक्षणीय कार्य पर प्रवाह की कार्रवाई पर विचार करने के कोपमैन दृष्टिकोण का उपयोग करने में, परिमित-आयामी अरैखिक समस्या जिसमें Φ शामिल हैt यू से जुड़ी एक अनंत-आयामी रैखिक समस्या में मैप हो जाता है।

Liouville उपाय ऊर्जा सतह Ω तक सीमित है जो सांख्यिकीय यांत्रिकी में गणना की गई औसत का आधार है। प्रक्षेपवक्र के साथ समय में एक औसत सांख्यिकीय यांत्रिकी#कैनोनिकल पहनावा|बोल्ट्ज़मान कारक ऍक्स्प (−βH) के साथ गणना किए गए अंतरिक्ष में एक औसत के बराबर है। इस विचार को सिनाई, बोवेन और रूएल (SRB) द्वारा गतिशील प्रणालियों के एक बड़े वर्ग के लिए सामान्यीकृत किया गया है जिसमें विघटनकारी प्रणालियाँ शामिल हैं। एसआरबी उपाय  बोल्ट्जमैन कारक की जगह लेते हैं और उन्हें अराजक प्रणालियों के आकर्षित करने वालों पर परिभाषित किया जाता है।

अरैखिक गतिशील प्रणालियां और अराजकता
सरल अरैखिक गतिकीय प्रणालियां और यहां तक ​​कि टुकड़ों के अनुसार रैखिक प्रणालियां पूरी तरह से अप्रत्याशित व्यवहार प्रदर्शित कर सकती हैं, जो इस तथ्य के बावजूद यादृच्छिक प्रतीत हो सकता है कि वे मौलिक रूप से नियतात्मक हैं। इस प्रतीत होने वाले अप्रत्याशित व्यवहार को अराजकता सिद्धांत कहा गया है। एनोसोव डिफियोमोर्फिज्म सटीक रूप से परिभाषित गतिशील प्रणालियां हैं जो अराजक प्रणालियों के लिए बताए गए गुणों को प्रदर्शित करती हैं। अतिशयोक्तिपूर्ण प्रणालियों में एक प्रक्षेपवक्र के लंबवत स्पर्शरेखा स्थान को दो भागों में अच्छी तरह से अलग किया जा सकता है: एक उन बिंदुओं के साथ जो कक्षा की ओर अभिसरण करते हैं (स्थिर कई गुना) और अन्य बिंदु जो कक्षा से अलग हो जाते हैं (अस्थिर कई गुना)।

गणित की यह शाखा गतिशील प्रणालियों के दीर्घकालिक गुणात्मक व्यवहार से संबंधित है। यहां, डायनेमिक सिस्टम (जो अक्सर निराशाजनक होता है) को परिभाषित करने वाले समीकरणों के सटीक समाधान खोजने पर ध्यान नहीं दिया जाता है, बल्कि इस तरह के सवालों के जवाब देने के लिए कि क्या सिस्टम लंबी अवधि में एक स्थिर स्थिति में बस जाएगा, और यदि हां, तो क्या हैं संभावित आकर्षित करने वाले? या सिस्टम का दीर्घकालिक व्यवहार इसकी प्रारंभिक स्थिति पर निर्भर करता है?

ध्यान दें कि जटिल प्रणालियों का अराजक व्यवहार कोई समस्या नहीं है। मौसम विज्ञान जटिल-यहां तक ​​कि अराजक-व्यवहार को शामिल करने के लिए वर्षों से जाना जाता है। कैओस सिद्धांत इतना आश्चर्यजनक रहा है क्योंकि अराजकता लगभग तुच्छ प्रणालियों में पाई जा सकती है। रसद नक्शा केवल एक दूसरी डिग्री बहुपद है; घोड़े की नाल का नक्शा टुकड़े-टुकड़े रैखिक है।

परिमित अवधि के समाधान
गैर-रैखिक स्वायत्त ODEs के लिए कुछ शर्तों के तहत परिमित अवधि के समाधान विकसित करना संभव है, यहाँ अर्थ यह है कि अपनी स्वयं की गतिकी से, सिस्टम एक अंत समय में शून्य मान तक पहुँच जाएगा और वहाँ हमेशा के लिए शून्य में रहता है। ये परिमित-अवधि के समाधान संपूर्ण वास्तविक रेखा पर विश्लेषणात्मक कार्य नहीं कर सकते हैं, और क्योंकि वे अपने अंतिम समय में गैर-लिप्सचिट्ज़ कार्य करेंगे, वे लिप्सचिट्ज़ अंतर समीकरणों के समाधान की विशिष्टता को बर्दाश्त नहीं करते हैं।

उदाहरण के रूप में, समीकरण:
 * $$y'= -\text{sgn}(y)\sqrt{|y|},\,\,y(0)=1$$

परिमित अवधि समाधान स्वीकार करता है:
 * $$y(x)=\frac{1}{4}\left(1-\frac{x}{2}+\left|1-\frac{x}{2}\right|\right)^2$$

यह भी देखें

 * व्यवहार मॉडलिंग
 * संज्ञानात्मक मॉडल # गतिशील प्रणाली
 * जटिल गतिकी
 * दूसरी भाषा के विकास के लिए गतिशील दृष्टिकोण
 * प्रतिक्रिया निष्क्रियता
 * विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
 * डायनेमिक सिस्टम विषयों की सूची
 * दोलन
 * सिस्टम और नियंत्रण में लोग
 * शार्कोवस्की की प्रमेय
 * प्रणाली की गतिशीलता
 * सिस्टम सिद्धांत
 * अधिकतम क्षमता का सिद्धांत

संदर्भ

 * online version of first edition on the EMIS site.
 * online version of first edition on the EMIS site.

आगे की पढाई
Works providing a broad coverage:
 * (available as a reprint: ISBN 0-201-40840-6)
 * Encyclopaedia of Mathematical Sciences has a sub-series on dynamical systems with reviews of current research.

Introductory texts with a unique perspective:

Textbooks

Popularizations:

बाहरी कड़ियाँ

 * Arxiv preprint server has daily submissions of (non-refereed) manuscripts in dynamical systems.
 * Encyclopedia of dynamical systems A part of Scholarpedia — peer reviewed and written by invited experts.
 * Nonlinear Dynamics. Models of bifurcation and chaos by Elmer G. Wiens
 * Sci.Nonlinear FAQ 2.0 (Sept 2003) provides definitions, explanations and resources related to nonlinear science


 * Online books or lecture notes
 * Geometrical theory of dynamical systems. Nils Berglund's lecture notes for a course at ETH at the advanced undergraduate level.
 * Dynamical systems. George D. Birkhoff's 1927 book already takes a modern approach to dynamical systems.
 * Chaos: classical and quantum. An introduction to dynamical systems from the periodic orbit point of view.
 * Learning Dynamical Systems. Tutorial on learning dynamical systems.
 * Ordinary Differential Equations and Dynamical Systems. Lecture notes by Gerald Teschl


 * Research groups
 * Dynamical Systems Group Groningen, IWI, University of Groningen.
 * Chaos @ UMD. Concentrates on the applications of dynamical systems.
 * , SUNY Stony Brook. Lists of conferences, researchers, and some open problems.
 * Center for Dynamics and Geometry, Penn State.
 * Control and Dynamical Systems, Caltech.
 * Laboratory of Nonlinear Systems, Ecole Polytechnique Fédérale de Lausanne (EPFL).
 * Center for Dynamical Systems, University of Bremen
 * Systems Analysis, Modelling and Prediction Group, University of Oxford
 * Non-Linear Dynamics Group, Instituto Superior Técnico, Technical University of Lisbon
 * Dynamical Systems, IMPA, Instituto Nacional de Matemática Pura e Applicada.
 * Nonlinear Dynamics Workgroup, Institute of Computer Science, Czech Academy of Sciences.
 * UPC Dynamical Systems Group Barcelona, Polytechnical University of Catalonia.
 * Center for Control, Dynamical Systems, and Computation, University of California, Santa Barbara.