ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय

यूक्लिडियन ज्यामिति में, ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय एक स्वेच्छाचारी त्रिकोण के लम्बकेन्द्र के माध्यम से दो लंबवत रेखाओं की विशेषता है।

मान लीजिए कि $$T$$ शीर्ष $$A$$, $$B$$ और $$C$$ वाला एक त्रिभुज है, और $$H$$ को इसका लंबकेन्द्र (इसकी तीन शीर्ष रेखाओं का उभयनिष्ठ बिंदु) होने दें। मान लीजिए $$L_1$$और $$L_2$$ $$H$$ से होकर जाने वाली दो परस्पर लंब रेखाएँ हैं। मान लीजिए $$A_1$$, $$B_1$$, और $$C_1$$ वे बिंदु हों जहां $$L_1$$ पार्श्व रेखाओं $$BC$$, $$CA$$, और $$AB$$ को क्रमश काटता है। इसी तरह, मान लीजिए $$A_2$$, $$B_2$$, और $$C_2$$ वे बिंदु हों जहां $$L_2$$ उन पार्श्व रेखाओं को काटता है। ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय कहता है कि तीन खंडों के मध्य बिंदु $$A_1A_2$$, $$B_1B_2$$, और $$C_1C_2$$ संरेख हैं।

प्रमेय 1899 में अर्नोल्ड ड्रोज़-फ़ार्नी द्वारा कहा गया था, लेकिन यह स्पष्ट नहीं है कि उसके पास प्रमाण था या नहीं।

गुर्माघटघ का सामान्यीकरण
ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय का एक सामान्यीकरण 1930 में रेने गोरमाघट द्वारा सिद्ध किया गया था।

ऊपर की तरह, मान लीजिए कि $$T$$ एक त्रिभुज है जिसके शीर्ष $$A$$, $$B$$ और $$C$$ हैं। मान लीजिए कि P, $$A$$, $$B$$ और $$C$$ से अलग कोई बिंदु है, और $$L$$, $$P$$ से होकर जाने वाली कोई रेखा है।मान लीजिए $$A_1$$, $$B_1$$, और $$C_1$$ भुजा रेखाओं $$BC$$, $$CA$$, और $$AB$$ पर क्रमशः बिंदु हैं, जैसे कि रेखाएँ $$PA_1$$, $$PB_1$$, और $$PC_1$$ लाइन $$L$$ के खिलाफ प्रतिबिंब द्वारा क्रमशः $$PA$$, $$PB$$ और $$PC$$ लाइनों की छवियां हैं

ड्रोज़-फ़ार्नी रेखा प्रमेय इस परिणाम का एक विशेष स्तिथि है, जब $$P$$ त्रिभुज का लंबकेन्द्र है $$T$$.

दाओ का सामान्यीकरण
चाकू थान ओई द्वारा प्रमेय को और सामान्यीकृत किया गया था। सामान्यीकरण इस प्रकार है:

पहला सामान्यीकरण: ABC को एक त्रिभुज होने दें, P समतल पर एक बिंदु हो, तीन समानांतर खंड AA', BB', CC' इस तरह दें कि इसके मध्यबिंदु और P संरेख हों। फिर PA', PB', PC' क्रमशः 'BC, CA, AB'' से तीन संरेख बिंदुओं पर मिलते हैं।

दूसरा सामान्यीकरण: मान लीजिए कि समतल (ज्यामिति) पर एक शंकु S और एक बिंदु (ज्यामिति) P है। तीन रेखाएँ बनाएँ (ज्यामिति) da, db, dc P से होकर इस प्रकार कि वे शंकु को A, A' पर मिलते हैं; B, B '; C, C 'क्रमशः। मान लीजिए D ध्रुव पर एक बिंदु है और बिंदु P का ध्रुव (S) के संबंध में है या D शंकु (S) पर स्थित है। माना DA' ∩ BC =A0; DB' ∩ AC = B0; DC' ∩ AB= C0. फिर A0, B0, C0 संरेख हैं।