गणितीय संरचनाओं की समतुल्य परिभाषाएँ

गणित में, समतुल्य परिभाषाओं का उपयोग दो अलग-अलग तरीकों से किया जाता है। सबसे पहले, एक विशेष गणितीय सिद्धांत के भीतर (उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन ज्यामिति), एक धारणा (उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त#परिभाषा या न्यूनतम सतह#परिभाषाएँ) की एक से अधिक परिभाषाएँ हो सकती हैं। ये परिभाषाएँ दी गई गणितीय संरचना (इस मामले में यूक्लिडियन अंतरिक्ष ) के संदर्भ में समतुल्य हैं। दूसरा, एक गणितीय संरचना में एक से अधिक परिभाषाएँ हो सकती हैं (उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस में कम से कम टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी के लक्षण हैं; ऑर्डर किए गए फ़ील्ड में कम से कम ऑर्डर किए गए फ़ील्ड#परिभाषा हैं)।

पूर्व मामले में, दो परिभाषाओं की समानता का अर्थ है कि एक गणितीय वस्तु (उदाहरण के लिए, ज्यामितीय निकाय) एक परिभाषा को संतुष्ट करती है यदि और केवल अगर यह दूसरी परिभाषा को संतुष्ट करती है।

बाद के मामले में, तुल्यता का अर्थ (संरचना की दो परिभाषाओं के बीच) अधिक जटिल है, क्योंकि एक संरचना किसी वस्तु की तुलना में अधिक अमूर्त है। कई अलग-अलग वस्तुएं एक ही संरचना को लागू कर सकती हैं।

आइसोमॉर्फिक कार्यान्वयन
प्राकृतिक संख्या # औपचारिक परिभाषाएँ 0 = के रूप में लागू की जा सकती हैं $\{ \}$, 1 = $\{0\}$ = $\{\{ \}\}$, 2 = $\{0, 1\}$ = $\{\{ \}, \{\{ \}\}\}$, 3 = $\{0, 1, 2\}$ = $\{\{ \}, \{\{ \}\}, \{\{ \}, \{\{ \}\}\}\}$ और इसी तरह; या वैकल्पिक रूप से 0 = $\{ \}$, 1 = $\{0\}$ =$\{\{ \}\}$, 2 = $\{1\}$ = $\{\{\{ \}\}\}$ और इसी तरह। ये सेट थ्योरी में प्राकृतिक संख्याओं के दो अलग-अलग लेकिन समाकृतिकता  कार्यान्वयन हैं। वे पीनो सिद्धांतों के मॉडल के रूप में आइसोमोर्फिक हैं # मॉडल, यानी, ट्रिपल (एन, 0, एस) जहां एन एक सेट है, 0 एन का एक तत्व है, और एस (उत्तराधिकारी फ़ंक्शन कहा जाता है) एन का नक्शा स्वयं (संतोषजनक) उपयुक्त शर्तें)। पहले क्रियान्वयन में S(n) = n ∪ $\{n\}$; दूसरे कार्यान्वयन में एस (एन) = $\{n\}$. जैसा कि बेनसेराफ की पहचान की समस्या में जोर दिया गया है, दो कार्यान्वयन इस प्रश्न के उत्तर में भिन्न हैं कि क्या 0 ∈ 2; हालाँकि, यह प्राकृतिक संख्याओं के बारे में एक वैध प्रश्न नहीं है (चूंकि संबंध ∈ प्रासंगिक हस्ताक्षर द्वारा निर्धारित नहीं किया गया है, अगला खंड देखें)। इसी तरह, जटिल संख्या#औपचारिक निर्माण के लिए अलग लेकिन आइसोमोर्फिक कार्यान्वयन का उपयोग किया जाता है।

डिड्यूस्ड स्ट्रक्चर और क्रिप्टोमोर्फिज्म
प्राकृतिक संख्याओं पर परवर्ती फलन S, पीआनो अभिगृहीतों#अंकगणित, जोड़ और गुणन, और कुल क्रम की ओर ले जाता है, इस प्रकार N को एक पीआनो अभिगृहीत#समतुल्य अभिगृहीतीकरण संरचना प्रदान करता है। यह एक व्युत्पन्न संरचना का एक उदाहरण है। ऑर्डर की गई सेमीरिंग संरचना (N, +, ·, ≤) निम्नलिखित प्रक्रिया द्वारा पीनो संरचना (N, 0, S) से निकाली गई है: n + 0 = n,   m + S (n) = S (m + n),   m · 0 = 0,   m · S (n) = m + (m · n), और m ≤ n अगर और केवल अगर वहाँ k ∈ N का अस्तित्व इस प्रकार है कि m + k = n। और इसके विपरीत, Peano संरचना को आदेशित सेमीरिंग संरचना से निम्नानुसार निकाला जाता है: S (n) = n + 1, और 0 को 0 + 0 = 0 द्वारा परिभाषित किया गया है। इसका अर्थ है कि N पर दो संरचनाएँ इसके माध्यम से समतुल्य हैं दो प्रक्रियाएँ।

पिछले खंड में वर्णित प्राकृतिक संख्याओं के दो आइसोमॉर्फिक कार्यान्वयन ट्रिपल (एन, 0, एस) के रूप में आइसोमोर्फिक हैं, यानी, एक ही हस्ताक्षर (तर्क) (0, एस) की संरचनाएं जिसमें निरंतर प्रतीक 0 और एक यूनरी फ़ंक्शन शामिल है एस। एक आदेशित सेमिरिंग संरचना (एन, +, ·, ≤) में एक और हस्ताक्षर (+, ·, ≤) है जिसमें दो बाइनरी फ़ंक्शंस और एक बाइनरी रिलेशन शामिल है। समरूपता की धारणा विभिन्न हस्ताक्षरों की संरचनाओं पर लागू नहीं होती है। विशेष रूप से, एक पीआनो संरचना एक आदेशित सेमिरिंग के लिए आइसोमोर्फिक नहीं हो सकती है। हालाँकि, एक पीनो संरचना से प्राप्त एक आदेशित सेमिरिंग एक अन्य आदेशित सेमिरिंग के लिए आइसोमोर्फिक हो सकता है। विभिन्न हस्ताक्षरों की संरचनाओं के बीच इस तरह के संबंध को कभी-कभी क्रिप्टोमोर्फिज्म कहा जाता है।

परिवेश ढांचे
एक संरचना को सेट थ्योरी ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी, या अन्य सेट थ्योरी जैसे वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट थ्योरी, नई नींव, सेट की श्रेणी के प्राथमिक सिद्धांत के भीतर लागू किया जा सकता है। वैकल्पिक रूप से, एक संरचना को पहले क्रम के तर्क, दूसरे क्रम के तर्क, उच्च क्रम के तर्क, एक प्रकार के सिद्धांत, होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत आदि के ढांचे में माना जा सकता है।

बौरबाकी
के अनुसार संरचनाएं


 * गणित [...] को गणितीय संरचना जैसी किसी एक अवधारणा द्वारा पूरी तरह से नहीं समझाया जा सकता है। फिर भी, बॉरबाकी का संरचनावादी दृष्टिकोण हमारे पास सबसे अच्छा है।


 * इन दिनों गणितीय संरचना की धारणा स्पष्ट प्रतीत हो सकती है, कम से कम 20वीं शताब्दी के मध्य तक इसे स्पष्ट नहीं किया गया था। फिर यह बोर्बाकी-प्रोजेक्ट का प्रभाव था और फिर बाद में श्रेणी सिद्धांत का विकास जिसने धारणा को स्पष्ट किया (nLab)।

निकोलस बोरबाकी के अनुसार, किसी दिए गए सेट एक्स पर सेट के पैमाने में कार्टेशियन उत्पादों और सत्ता स्थापित ों को किसी भी संयोजन में, एक्स से उत्पन्न होने वाले सभी सेट होते हैं, जो कि कई बार परिमित संख्या में होते हैं। उदाहरण: एक्स; एक्स × एक्स; पी (एक्स); P(P(X × X) × X × P(P(X))) × X. (यहाँ A × B, A और B का गुणनफल है, और P(A) A का घात है।) विशेष रूप से, एक जोड़ी (0, एस) जिसमें एक तत्व 0 ∈ एन और एक यूनरी फ़ंक्शन एस शामिल है: एन → एन एन × पी (एन × एन) से संबंधित है (फ़ंक्शन (गणित) # परिभाषा के बाद से)। एक ट्रिपल (+, ·, ≤) जिसमें दो बाइनरी फ़ंक्शंस एन × एन → एन और एन पर एक बाइनरी रिलेशन शामिल है, पी (एन × एन × एन) × पी (एन × एन × एन) × पी (एन × एन) से संबंधित है ). इसी तरह, सेट पर प्रत्येक बीजगणितीय संरचना X पर सेट के पैमाने में संबंधित सेट से संबंधित होती है।

एक सेट एक्स पर गैर-बीजीय संरचनाओं में अक्सर एक्स के सबसेट के सेट शामिल होते हैं (यानी, पी (एक्स) के सबसेट, दूसरे शब्दों में, पी (पी (एक्स)) के तत्व)। उदाहरण के लिए, एक टोपोलॉजिकल स्पेस की संरचना, जिसे एक्स पर टोपोलॉजी कहा जाता है, को टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में माना जाता है#ओपन सेट परिभाषा|ओपन सेट का सेट; या मापने योग्य स्थान की संरचना, जिसे सिग्मा-बीजगणित के रूप में माना जाता है|σ-मापने योग्य सेटों का बीजगणित; दोनों P(P(X)) के अवयव हैं। ये दूसरे क्रम की संरचनाएँ हैं। अधिक जटिल गैर-बीजगणितीय संरचनाएं एक बीजगणितीय घटक और एक गैर-बीजीय घटक को जोड़ती हैं। उदाहरण के लिए, एक टोपोलॉजिकल समूह की संरचना में एक टोपोलॉजी और एक समूह की संरचना होती है। इस प्रकार यह P(P(X)) और दूसरे (बीजगणितीय) के गुणनफल से संबंधित है जो पैमाने में सेट है; यह उत्पाद फिर से पैमाने में एक सेट है।

संरचनाओं का परिवहन; समरूपता
दो सेट X, Y और एक आक्षेप f: X → Y दिए गए हैं, एक स्केल सेट के बीच संबंधित आक्षेप बनाता है। अर्थात्, आक्षेप X × X → Y × Y भेजता है (x1,एक्स2) से (एफ (एक्स1), च (एक्स2)); आक्षेप P(X) → P(Y) X का एक सबसेट A अपनी छवि (गणित) f(A) में Y में भेजता है; और इसी तरह, पुनरावर्ती: एक स्केल सेट या तो स्केल सेट का उत्पाद है या स्केल सेट का पावर सेट है, दो निर्माणों में से एक लागू होता है।

चलो (एक्स, यू) और (वाई, वी) एक ही हस्ताक्षर के दो ढांचे बनें। फिर U स्केल सेट S से संबंधित हैX, और V संबंधित स्केल सेट S से संबंधित हैY. आक्षेप F : S का प्रयोग करनाX → एसY एक आक्षेप f : X → Y से निर्मित, एक परिभाषित करता है:
 * f (X,U) और (Y,V) के बीच एक तुल्याकारिता है यदि F(U) = V.

समरूपता की यह सामान्य धारणा नीचे सूचीबद्ध कई कम सामान्य धारणाओं का सामान्यीकरण करती है। वास्तव में, बॉरबाकी दो अतिरिक्त विशेषताओं को निर्धारित करता है। सबसे पहले, कई सेट एक्स1, ..., एक्सn (तथाकथित प्रिंसिपल बेस सेट) का उपयोग एकल सेट X के बजाय किया जा सकता है। हालाँकि, यह सुविधा बहुत कम उपयोग की है। ऊपर सूचीबद्ध सभी आइटम एकल प्रमुख आधार सेट का उपयोग करते हैं। दूसरा, तथाकथित सहायक आधार सेट ई1, ..., औरm उपयोग किया जा सकता है। इस सुविधा का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। वास्तव में, सदिश समष्टि की संरचना के लिए न केवल X × X → X को जोड़ना आवश्यक है, बल्कि अदिश गुणन 'R' × X → X (यदि 'R' अदिशों का क्षेत्र है) भी आवश्यक है। इस प्रकार, 'आर' एक सहायक आधार सेट है (जिसे बाहरी भी कहा जाता है ). सेट के पैमाने में कार्टेशियन उत्पादों और पावर सेटों को लेकर सभी बेस सेट (प्रमुख और सहायक दोनों) से उत्पन्न होने वाले सभी सेट होते हैं। फिर भी, मानचित्र f (संभवतः एक तुल्याकारिता) केवल X पर कार्य करता है; सहायक सेट पहचान मानचित्रों द्वारा संपन्न होते हैं। (हालांकि, एन प्रिंसिपल सेट का मामला एन मैप्स की ओर जाता है।)
 * बीजगणितीय संरचनाओं के लिए: समरूपता # विशिष्ट प्रकार की समरूपता।
 * विशेष रूप से, वेक्टर रिक्त स्थान के लिए: रैखिक ऑपरेटर # रैखिक परिवर्तनों के बीजगणितीय वर्गीकरण।
 * आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट के लिए: आइसोमोर्फिज्म ऑर्डर करें।
 * ग्राफ़ के लिए (असतत गणित): ग्राफ़ समरूपता।
 * अधिक सामान्यतः, एक द्विआधारी संबंध के साथ संपन्न सेट के लिए: समरूपता#Relation-preserving isomorphism|relation-preserving isomorphism।
 * टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए: होमोमोर्फिज्म।
 * समान स्थानों के लिएएक समान समरूपता
 * मीट्रिक रिक्त स्थान के लिए: मीट्रिक स्थान # मीट्रिक स्थान तुल्यता की धारणाएँ।
 * टोपोलॉजिकल समूहों के लिए: टोपोलॉजिकल ग्रुप # होमोमोर्फिज्म।
 * टोपोलॉजिकल सदिश स्थल  के लिए: वेक्टर स्पेस ग्राफ समरूपता जो कि अंतर्निहित टोपोलॉजिकल स्पेस का होमियोमोर्फिज्म भी है।
 * बनच स्थान के लिए: बैनच स्पेस # लीनियर ऑपरेटर्स, आइसोमोर्फिज्म।
 * हिल्बर्ट रिक्त स्थान के लिए: एकात्मक परिवर्तन।
 * झूठे समूहों के लिए: झूठ समूह # होमोमोर्फिज्म आदेश समरूपता
 * अलग करने योग्य कई गुना के लिए: डिफियोमोर्फिज्म।
 * सिंपलेक्टिक मैनिफोल्ड ्स के लिए: sympletomorphism
 * रीमैनियन कई गुना ्स के लिए: रिमैनियन मैनिफोल्ड#आइसोमेट्रिज।
 * अनुरूप ज्यामिति के लिए: अनुरूप परिवर्तन#Riemannian ज्यामिति।
 * प्रायिकता रिक्त स्थान के लिए: मानक प्रायिकता स्थान # समाकृतिकता।
 * affine अंतरिक्ष के लिए: विशेषण affine परिवर्तन
 * प्रक्षेपण स्थान के लिए: होमोग्राफी।

कार्यात्मकता
श्रेणियों का उल्लेख किए बिना बोरबाकी द्वारा तैयार किए गए कई बयानों को श्रेणी सिद्धांत की भाषा में आसानी से सुधारा जा सकता है। सबसे पहले, कुछ शब्दावली।
 * सेट के पैमाने को सोपानक निर्माण योजनाओं द्वारा अनुक्रमित किया जाता है, प्रकार भी कहते हैं। कोई सोच सकता है, मान लीजिए, समुच्चय P(P(X × X) × X × P(P(X))) × X को समुच्चय X के रूप में सूत्र P(P(a × a) × a × P में प्रतिस्थापित किया गया है। (पी (ए))) × ए चर ए के लिए; यह सूत्र संगत सोपानक निर्माण योजना है। (यह धारणा, सभी संरचनाओं के लिए परिभाषित, केवल बीजगणितीय संरचनाओं के लिए परिभाषित हस्ताक्षर के सामान्यीकरण के रूप में सोचा जा सकता है।)
 * लेट सेट * सेट और बायजेक्शन के groupoid  को दर्शाता है। अर्थात्, वह श्रेणी जिसकी वस्तुएँ (सभी) समुच्चय हैं, और आकारिकी (सभी) आक्षेप हैं।

प्रस्ताव। प्रत्येक सोपानक निर्माण योजना सेट* से स्वयं के लिए एक फ़ंक्टर की ओर ले जाती है।

विशेष रूप से, एक सेट X का क्रमचय समूह हर स्केल सेट S पर समूह क्रिया (गणित)X.

एक और प्रस्ताव तैयार करने के लिए, संरचनाओं की धारणा प्रजातियों की आवश्यकता है, क्योंकि सोपानक निर्माण योजना संरचना पर केवल प्रारंभिक जानकारी देती है। उदाहरण के लिए, क्रमविनिमेय समूह और (मनमाना) समूह एक ही सोपानक निर्माण योजना की दो अलग-अलग प्रजातियाँ हैं। एक अन्य उदाहरण: टोपोलॉजिकल स्पेस और औसत दर्जे का स्पेस। वे प्रजातियों के तथाकथित स्वयंसिद्ध में भिन्न हैं। यह स्वयंसिद्ध सभी आवश्यक गुणों का संयोजन है, जैसे गुणन समूहों के लिए साहचर्य है, या खुले सेटों का संघ सामयिक स्थानों के लिए एक खुला सेट है।
 * संरचनाओं की एक प्रजाति में एक सोपानक निर्माण योजना और प्रजातियों का एक स्वयंसिद्ध होता है।

प्रस्ताव। संरचनाओं की प्रत्येक प्रजाति सेट* से स्वयं के लिए एक फ़ैक्टर की ओर ले जाती है।

उदाहरण। समूहों की प्रजातियों के लिए, फ़ंक्टर एफ एक्स पर सभी समूह संरचनाओं के सेट एफ(एक्स) के सेट एक्स को मैप करता है। टोपोलॉजिकल स्पेस की प्रजातियों के लिए, फंक्शनल एफ एक्स पर सभी टोपोलॉजी के सेट एफ(एक्स) के सेट एक्स को मैप करता है। मोर्फिज्म F(f) : F(X) → F(Y) एक बायजेक्शन f के संगत: X → Y संरचनाओं का परिवहन है। Y की टोपोलॉजी X की टोपोलॉजी के अनुरूप है। समूह संरचनाओं आदि के लिए भी यही है।

विशेष रूप से, किसी दिए गए सेट पर दी गई प्रजातियों की सभी संरचनाओं का सेट क्रमपरिवर्तन समूह की कार्रवाई के तहत इसी पैमाने के सेट S पर अपरिवर्तनीय है।X, और एक अन्य स्केल सेट P(S) पर समूह की कार्रवाई का एक निश्चित बिंदु (गणित) हैX). हालांकि, इस क्रिया के सभी निश्चित बिंदु संरचनाओं की प्रजातियों के अनुरूप नहीं हैं। दो प्रजातियों को देखते हुए, बोरबाकी कटौती की धारणा प्रक्रिया को परिभाषित करता है (पहली प्रजाति की संरचना से दूसरी प्रजाति की संरचना की)। कटौती की परस्पर व्युत्क्रम प्रक्रियाओं की एक जोड़ी धारणा समकक्ष प्रजातियों की ओर ले जाती है। उदाहरण। एक टोपोलॉजिकल स्पेस की संरचना को एक टोपोलॉजिकल स्पेस # ओपन सेट डेफिनिशन या वैकल्पिक रूप से, एक टोपोलॉजिकल स्पेस # डेफिनिशन वाया क्लोज्ड सेट्स के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। कटौती की दो संगत प्रक्रियाएं मेल खाती हैं; हर एक एक्स के सभी दिए गए सबसेट को उनके पूरक (सेट सिद्धांत) के साथ बदल देता है। इस अर्थ में, ये दो समतुल्य प्रजातियाँ हैं।

बोरबाकी की सामान्य परिभाषा में, कटौती प्रक्रिया में प्रमुख आधार सेट (एस) का परिवर्तन शामिल हो सकता है, लेकिन इस मामले का इलाज यहां नहीं किया जाता है। श्रेणी सिद्धांत की भाषा में निम्नलिखित परिणाम होते हैं।

प्रस्ताव। संरचनाओं की दो प्रजातियों के बीच समानता एक प्राकृतिक परिवर्तन की ओर ले जाती है # संबंधित फ़ैक्टरों के बीच परिभाषा।

हालांकि, सामान्य तौर पर, इन फ़ैक्टरों के बीच सभी प्राकृतिक समरूपताएं प्रजातियों के बीच समानता संबंध के अनुरूप नहीं हैं।

गणितीय अभ्यास

 * हम अक्सर उन संरचनाओं में अंतर नहीं करते हैं जो तुल्याकारी हैं और अक्सर ऐसा कहते हैं {{'}समरूपता तक दो संरचनाएं समान हैं'.
 * संरचनाओं का अध्ययन करते समय हम केवल उनके रूप में रुचि रखते हैं, लेकिन जब हम उनके अस्तित्व को सिद्ध करते हैं तो हमें उनका निर्माण करने की आवश्यकता होती है।
 * 'गणितज्ञ निश्चित रूप से अभ्यास में आइसोमॉर्फिक संरचनाओं की पहचान करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, लेकिन वे आम तौर पर संकेतन के दुरुपयोग, या किसी अन्य अनौपचारिक उपकरण से ऐसा करते हैं, यह जानते हुए कि इसमें शामिल वस्तुएं वास्तव में समान नहीं हैं।' (एक मूल रूप से बेहतर दृष्टिकोण की उम्मीद है, लेकिन अभी के लिए, समर 2014, ऊपर उद्धृत निश्चित पुस्तक संरचनाओं पर विस्तृत नहीं है।)

व्यवहार में, संरचनाओं की समतुल्य प्रजातियों के बीच कोई भेद नहीं करता है।

आमतौर पर, प्राकृतिक संख्याओं पर आधारित एक पाठ (उदाहरण के लिए, लेख अभाज्य संख्या) प्राकृतिक संख्याओं की प्रयुक्त परिभाषा को निर्दिष्ट नहीं करता है। इसी तरह, टोपोलॉजिकल स्पेस पर आधारित एक पाठ (उदाहरण के लिए, होमोटॉपी लेख, या आगमनात्मक आयाम) एक टोपोलॉजिकल स्पेस की प्रयुक्त परिभाषा को निर्दिष्ट नहीं करता है। इस प्रकार, यह संभव है (और बल्कि संभावित) कि पाठक और लेखक अलग-अलग परिभाषाओं के अनुसार पाठ की अलग-अलग व्याख्या करते हैं। फिर भी, संचार सफल है, जिसका अर्थ है कि ऐसी विभिन्न परिभाषाओं को समतुल्य माना जा सकता है।

टोपोलॉजिकल स्पेस से परिचित व्यक्ति पड़ोस, अभिसरण, निरंतरता, सीमा, क्लोजर, इंटीरियर, ओपन सेट, क्लोज्ड सेट के बीच बुनियादी संबंधों को जानता है, और यह जानने की जरूरत नहीं है कि इनमें से कुछ धारणाएं प्राथमिक हैं, जो एक टोपोलॉजिकल स्पेस की परिभाषा में निर्धारित हैं।, जबकि अन्य गौण हैं, प्राथमिक धारणाओं के संदर्भ में विशेषता है। इसके अलावा, यह जानते हुए कि एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट स्वयं टोपोलॉजिकल स्पेस हैं, साथ ही टोपोलॉजिकल स्पेस के उत्पाद भी हैं, व्यक्ति परिभाषा के बावजूद कुछ नए टोपोलॉजिकल स्पेस का निर्माण करने में सक्षम है।

इस प्रकार, व्यवहार में एक सेट पर एक टोपोलॉजी को एक सार डेटा प्रकार की तरह माना जाता है जो सभी आवश्यक धारणाएं प्रदान करता है (और निर्माता (ऑब्जेक्ट-ओरिएंटेड प्रोग्रामिंग)) लेकिन प्राथमिक और माध्यमिक धारणाओं के बीच अंतर को छुपाता है। यही बात अन्य प्रकार की गणितीय संरचनाओं पर भी लागू होती है। दिलचस्प बात यह है कि सेट थ्योरी में संरचनाओं की औपचारिकता कंप्यूटर के लिए संरचनाओं की औपचारिकता के समान कार्य है।

विहित, न सिर्फ प्राकृतिक
जैसा कि उल्लेख किया गया था, संरचनाओं की दो प्रजातियों के बीच समानता संबंधित फ़ैक्टरों के बीच एक प्राकृतिक समरूपता की ओर ले जाती है। हालाँकि, प्राकृतिक परिवर्तन का अर्थ कैनोनिकल नक्शा नहीं है। एक प्राकृतिक परिवर्तन आम तौर पर गैर-अद्वितीय होता है।

उदाहरण। प्राकृतिक संख्याओं के लिए फिर से दो समान संरचनाओं पर विचार करें। एक Peano संरचना (0,S) है, अन्य क्रमित सेमिरिंग की संरचना (+, ·, ≤) है। यदि एक सेट एक्स दोनों संरचनाओं से संपन्न है, तो एक तरफ, एक्स = $\{ a_{0}, a_{1}, a_{2}, ... \}$ जहां एस (एn) = एn+1 सभी के लिए एन और 0 = ए0; और दूसरी ओर, एक्स = $\{ b_{0}, b_{1}, b_{2}, ... \}$ जहां बीm+n = खm + खn, बीm·n = खm · बीn, और बीm ≤bn अगर और केवल अगर एम ≤ एन। आवश्यकता है कि एn = खn सभी n के लिए दो संरचनाओं के बीच विहित तुल्यता प्राप्त करता है। हालाँकि, किसी को भी आवश्यकता हो सकती है0 = ख1, ए1 = ख0, और एn = खn सभी n > 1 के लिए, इस प्रकार एक और, गैर-विहित, प्राकृतिक समरूपता प्राप्त करना। इसके अलावा, इंडेक्स सेट का हर क्रमपरिवर्तन $\{ 0, 1, 2, ... \}$ एक प्राकृतिक समरूपता की ओर जाता है; वे अनगिनत हैं!

एक और उदाहरण। सेट वी = पर एक (सरल) ग्राफ की संरचना $\{ 1, 2, ..., n \}$ कोने को इसके आसन्न मैट्रिक्स के माध्यम से वर्णित किया जा सकता है, a (0,1) - मैट्रिक्स का आकार n×n (विकर्ण पर शून्य के साथ)। अधिक आम तौर पर, मनमाना V के लिए V × V पर आसन्न फ़ंक्शन का उपयोग किया जा सकता है। विहित तुल्यता नियम द्वारा दी गई है: 1 का अर्थ है जुड़ा हुआ (किनारे के साथ), 0 का अर्थ जुड़ा नहीं है। हालांकि, एक अन्य नियम, 0 का अर्थ जुड़ा हुआ है, 1 का अर्थ नहीं है, का उपयोग किया जा सकता है, और दूसरे नियम की ओर ले जाता है, प्राकृतिक लेकिन विहित नहीं, तुल्यता। इस उदाहरण में, प्रामाणिकता परंपरा का विषय है। लेकिन यहां तो और भी बुरा मामला है। 0 और 1 के स्थान पर, मान लीजिए, समतल 'R' के दो संभावित अभिविन्यासों का उपयोग किया जा सकता है।2 (क्लॉकवाइज़ और काउंटरक्लॉकवाइज़)। इस मामले में एक वैधानिक नियम चुनना मुश्किल है!

प्राकृतिक एक अच्छी तरह से परिभाषित गणितीय धारणा है, लेकिन यह विशिष्टता सुनिश्चित नहीं करती है। कैनोनिकल करता है, लेकिन आम तौर पर कमोबेश पारंपरिक होता है। विहित समकक्षों का एक सुसंगत विकल्प गणितीय संरचनाओं की समकक्ष परिभाषाओं का एक अनिवार्य घटक है।

यह भी देखें

 * ठोस श्रेणी
 * शब्दावली का दुरुपयोग # समानता बनाम समरूपता
 * श्रेणियों की समानता

बाहरी संबंध

 * nLab:structured set "Almost everything in contemporary mathematics is an example of a structured set." (quoted from Section "Examples")
 * nLab: structure in model theory
 * nLab: stuff, structure, property
 * MathOverflow: What is the definition of “canonical”? "a rule of thumb: there is a canonical isomorphism between X and Y if and only if you would feel comfortable writing X = Y" (Reid Barton)
 * Abstract Math:Mathematical structures "When you think of a structure it is best to think of it as containing all that information, not just the stuff in the definition" (Charles Wells)
 * MathStackExchange: A pedantic question about defining new structures in a path-independent way `We would continue making statements like, "A topological space is determined by its open sets," but would never make a statement like, "A topological space is an ordered pair $$(X,\mathcal O)$$ such that..."'
 * MathStackExchange: Does there exist another way of obtaining a topological space from a metric space equally deserving of the term “canonical”?