संतुलन समीकरण

संभाव्यता सिद्धांत में, संतुलन समीकरण एक समीकरण है जो स्टेट्स या स्टेट्स के समुच्चय के अंदर और बाहर मार्कोव श्रृंखला से जुड़े संभाव्यता प्रवाह का वर्णन करता है।

वैश्विक संतुलन
वैश्विक संतुलन समीकरण (पूर्ण संतुलन समीकरण के रूप में भी जाना जाता है ) समीकरणों का एक समुच्चय है जो मार्कोव श्रृंखला के संतुलन वितरण (या किसी भी स्थिर वितरण) को चिह्नित करता है, जब ऐसा वितरण उपस्थित होता है।

स्टेट स्पेस $$\mathcal{S}$$ के साथ निरंतर समय मार्कोव श्रृंखला के लिए, स्टेट $$i$$ से $$j$$ तक संक्रमण दर $$q_{ij}$$ द्वारा दी गई है और संतुलन वितरण $$\pi$$ द्वारा दिया गया है, वैश्विक संतुलन समीकरण द्वारा दिए गए हैं
 * $$\pi_i = \sum_{j \in S} \pi_j q_{ji},$$

या समकक्ष
 * $$ \pi_i \sum_{j \in S\setminus \{i\}} q_{ij} = \sum_{j \in S\setminus \{i\}} \pi_j q_{ji}.$$

सभी $$i \in S$$ के लिए। यहां $$\pi_i q_{ij}$$ स्टेट $$i$$ से स्टेट $$j$$ तक संभाव्यता प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है। तो बायां हाथ स्टेट के बाहर से कुल प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है i के अतिरिक्त अन्य स्टेट्स में, जबकि दाहिना हाथ सभी स्टेट्स $$j \neq i$$ स्टेट में $$i$$ के कुल प्रवाह का प्रतिनिधित्व करता है। सामान्यतः अधिकांश क्यूइंग मॉडल के लिए समीकरणों की इस प्रणाली का समाधान करने के लिए यह कम्प्यूटेशनल रूप से अट्रैक्टिव है।

विस्तृत संतुलन
निरंतर समय के लिए संक्रमण दर मैट्रिक्स $$Q$$ के साथ मार्कोव श्रृंखला (सीटीएमसी) यदि $$\pi_i$$ इस प्रकार पाया जा सकता है कि स्टेट्स की प्रत्येक जोड़ी के लिए $$i$$ और $$j$$
 * $$\pi_i q_{ij} = \pi_j q_{ji}$$

धारण करता है, तो $$j$$ पर योग करके, वैश्विक संतुलन समीकरण संतुष्ट होते हैं और $$\pi$$ प्रक्रिया का स्थिर वितरण है। यदि इस प्रकार का समाधान पाया जा सकता है तो परिणामी समीकरण सामान्यतः वैश्विक संतुलन समीकरणों का सीधे समाधान करने की तुलना में बहुत आसान होते हैं।

सीटीएमसी उत्क्रमणीय है यदि और केवल यदि स्टेट्स की प्रत्येक जोड़ी $$i$$ और $$j$$ के लिए विस्तृत संतुलन शर्तें संतुष्ट हैं.

संक्रमण मैट्रिक्स $$P$$ और संतुलन वितरण $$\pi$$ के साथ एक असतत समय मार्कोव श्रृंखला (डीटीएमसी) को विस्तृत संतुलन में कहा जाता है यदि सभी जोड़े $$i$$ और $$j$$ के लिए,
 * $$\pi_i p_{ij} = \pi_j p_{ji}.$$

जब एक समाधान पाया जा सकता है, जैसा कि सीटीएमसी के स्थिति में होता है, तो गणना सामान्यतः वैश्विक संतुलन समीकरणों का सीधे समाधान करने की तुलना में बहुत तेज होती है।

स्थानीय संतुलन
कुछ स्थितियों में, वैश्विक संतुलन समीकरणों के दोनों ओर की शर्तें निरस्त हो जाती हैं। तब वैश्विक संतुलन समीकरणों को स्थानीय संतुलन समीकरणों (आंशिक संतुलन समीकरण स्वतंत्र संतुलन समीकरण या व्यक्तिगत संतुलन समीकरण के रूप में भी जाना जाता है) का एक समुच्चय देने के लिए विभाजित किया जा सकता है। इन संतुलन समीकरणों पर सर्वप्रथम पीटर व्हिटल (गणितज्ञ) ने विचार किया था। परिणामी समीकरण कहीं विस्तृत संतुलन और वैश्विक संतुलन समीकरणों के बीच हैं। कोई भी समाधान $$\pi$$ स्थानीय संतुलन समीकरणों के लिए सदैव वैश्विक संतुलन समीकरणों (हम संबंधित स्थानीय संतुलन समीकरणों को जोड़ कर वैश्विक संतुलन समीकरणों को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं) का समाधान होता है, किन्तु व्युत्क्रम सदैव सत्य नहीं होती है। अधिकांश, स्थानीय संतुलन समीकरणों का निर्माण कुछ शर्तों के लिए वैश्विक संतुलन समीकरणों में बाहरी योगों को हटाने के बराबर होता है।

1980 के दशक के समय यह सोचा गया था कि उत्पाद-रूप संतुलन वितरण के लिए स्थानीय संतुलन एक आवश्यकता है, किन्तु एरोल गेलेनबे के जी नेटवर्क मॉडल ने दिखाया कि ऐसा नहीं है।

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