टाइम-इनवेरिएंट सिस्टम

नियंत्रण सिद्धांत में एक समय-अपरिवर्तनीय (TIV) प्रणाली के अंतर्गत एक समय-निर्भर प्रणालीय फलन होता है जो कि समय का प्रत्यक्ष फलन नहीं होता है। प्रणालीय विश्लेषण के क्षेत्र में ऐसी प्रणालियों को प्रणालियों की एक श्रेणी माना जाता है। समय-निर्भर प्रणाली फलन समय-निर्भर आगत फलन का एक फलन है। यदि यह फलन मात्र अप्रत्यक्ष रूप से समय-अनुक्षेत्र (उदहारण के रूप में आगत फलन द्वारा) पर निर्भर होता है तो यह प्रणाली एक ऐसी प्रणाली होगी जो समय-अपरिवर्तनीय मानी जा सकती है। इसके विपरीत, समय-अनुक्षेत्र पर प्रत्यक्ष निर्भरता होने पर प्रणालीय फलन को "समय-परिवर्ती प्रणाली" माना जा सकता है।

गणितीय रूप से कहा जाए तो, एक प्रणाली की "समय-अपरिवर्तनीयता" निम्नलिखित गुण है:
 * किसी ऐसी दी गयी प्रणाली, जिसका एक समय-निर्भर निर्गत फलन $$y(t),$$ तथा एक समय-निर्भर आगत फलन $$x(t)$$ हो तो वह प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय मानी जाएगी यदि, आगत पर लागू $$x(t + \delta)$$ का समय-विलम्ब प्रत्यक्ष रूप से निर्गत $$y(t + \delta)$$ फलन के समय-विलम्ब के बराबर हो।
 * उदाहरण के लिए, यदि समय $$t$$ "व्यतीत-समय" है तो "समय-अपरिवर्तनीयता" यह कहती है कि आगत फलन $$x(t)$$ तथा निर्गत फलन $$y(t)$$ के बीच, समय के सन्दर्भ में, अपरिवर्ती सम्बन्ध है:
 * $$y(t) = f( x(t), t ) = f( x(t)).$$

संकेत संसाधन की भाषा में यह गुण संतुष्ट किया जा सकता है यदि प्रणाली का अंतरित फलन प्रत्यक्ष रूप से समय का फलन न हो जिसमें आगत तथा निर्गत द्वारा अभिव्यक्त होना अपवाद है।

एक प्रणाली आरेख् के संदर्भ में, इस गुण को निम्नानुसार भी कहा जा सकता है, जैसा कि चित्र में दाईं ओर दिखाया गया है:


 * यदि एक प्रणाली समय-अपरिवर्ती है तो प्रणाली खण्ड एक स्वेच्छ विलम्ब के साथ संचालित होता है।

यदि एक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली भी रैखिक प्रणाली है, तो यह एनएमआर स्पेक्ट्रोस्कोपी, भूकंप विज्ञान, विद्युत नेटवर्क, सिग्नल प्रोसेसिंग, नियंत्रण सिद्धांत और अन्य तकनीकी क्षेत्रों में प्रत्यक्ष अनुप्रयोगों के साथ रैखिक समय-अपरिवर्तनीय सिद्धांत (रैखिक समय-अपरिवर्तनीय) का विषय है। नॉनलाइनियर प्रणाली समय-संस्करण प्रणाली में एक व्यापक, शासी सिद्धांत का अभाव है। असतत समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को शिफ्ट-अपरिवर्तनीय प्रणाली के रूप में जाना जाता है। जिन प्रणालियों में समय-अपरिवर्तनीय संपत्ति गुण का अभाव होता है, उनका अध्ययन समय-परिवर्ती प्रणालियों के रूप में किया जाता है।

सरल उदाहरण
यह प्रदर्शित करने के लिए कि कैसे यह निर्धारित किया जाए कि कोई प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है या नहीं, दो प्रणालियों पर विचार करें:

चूँकि प्रणाली अ के लिए प्रणाली फलन $$y(t)$$ स्पष्ट रूप से $$x(t)$$ के बाहर t पर निर्भर करता है, यह समय-अपरिवर्तीय नहीं है क्यूंकि समय-निर्भरता आगत फलन का स्पष्ट फलन नहीं है।
 * प्रणाली अ: $$y(t) = t x(t)$$
 * प्रणाली ब: $$y(t) = 10 x(t)$$

इसके विपरीत, प्रणाली ब की समय-निर्भरता केवल समय-परिवर्तीय आगत $$x(t)$$ का एक फलन है। यह प्रणाली ब को समय-अपरिवर्तनीय बनाता है।

नीचे दिया गया औपचारिक उदाहरण अधिक विस्तार से दिखाता है कि प्रणाली ब समय के एक फलन के रूप में एक शिफ्ट-अपरिवर्तनीय प्रणाली है, जबकि प्रणाली अ नहीं है।

औपचारिक उदाहरण
ऊपर दी गयी प्रणाली अ और ब में असमानता के कारण को स्पष्ट करने के लिए एक अधिक औपचारिक प्रमाण नीचे दिया जा रहा है। इस प्रमाण को करने के लिए द्वितीय परिभाषा का उपयोग किया जाएगा।


 * प्रणाली अ: आगत के विलम्ब से प्रारम्भ होती है, $$x_d(t) = x(t + \delta)$$
 * $$y(t) = t x(t)$$
 * $$y_1(t) = t x_d(t) = t x(t + \delta)$$
 * अब निर्गत में देरी करें $$\delta$$$$y(t) = t x(t)$$
 * $$y_2(t) = y(t + \delta) = (t + \delta) x(t + \delta)$$
 * स्पष्ट रूप से $$y_1(t) \ne y_2(t)$$, इसलिए प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय नहीं है।
 * प्रणाली ब: आगत के विलम्ब से प्रारम्भ होती है, $$x_d(t) = x(t + \delta)$$
 * $$y(t) = 10 x(t)$$
 * $$y_1(t) = 10 x_d(t) = 10 x(t + \delta)$$ अब निर्गत में देरी करें $$\delta$$
 * $$y(t) = 10 x(t)$$
 * $$y_2(t) = y(t + \delta) = 10 x(t + \delta)$$ स्पष्ट रूप से $$y_1(t) = y_2(t)$$, इसलिए प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है।
 * $$y_2(t) = y(t + \delta) = 10 x(t + \delta)$$ स्पष्ट रूप से $$y_1(t) = y_2(t)$$, इसलिए प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है।

सामान्यतः, आगत और निर्गत के बीच संबंध इस प्रकार है:


 * $$ y(t) = f(x(t), t),$$

और समय के साथ इसकी परिवृत्ति इस प्रकार है:


 * $$\frac{\mathrm{d} y}{\mathrm{d} t} = \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{\partial f}{\partial x} \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} t}.$$

समय-अपरिवर्तनीय प्रणालियों के लिए, प्रणाली गुण समय के साथ अपरिवर्ती रहते हैं,


 * $$ \frac{\partial f}{\partial t} =0.$$
 * ऊपर दी गयी प्रणाली अ और ब पर निम्न लागू होते हैं:
 * $$ f_A = t x(t) \qquad \implies \qquad \frac{\partial f_A}{\partial t} = x(t) \neq 0 $$ सामान्य तौर पर, इसलिए यह समय-अपरिवर्तनीय नहीं है,
 * $$ f_B = 10 x(t) \qquad \implies \qquad \frac{\partial f_B}{\partial t} = 0 $$ तो यह समय-अपरिवर्तनीय है।
 * $$ f_B = 10 x(t) \qquad \implies \qquad \frac{\partial f_B}{\partial t} = 0 $$ तो यह समय-अपरिवर्तनीय है।

संक्षिप्त उदाहरण
हम शिफ्ट प्रचालक को $$\mathbb{T}_r$$ द्वारा निरूपित कर सकते हैं, जहाँ $$r$$ वह मान है जिसके द्वारा एक वेक्टर के सूचिय समुच्चय को स्थानांतरित किया जाना चाहिए। उदाहरण के रूप में, 1-द्वारा-बढ़ना (एडवांस-बाय-1) प्रणाली के लिए,


 * $$x(t+1) = \delta(t+1) * x(t)$$

इसका निम्नलिखित संक्षिप्त संकेतन में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है:


 * $$\tilde{x}_1 = \mathbb{T}_1 \tilde{x}$$

जहाँ $$\tilde{x}$$ एक नीचे दिया हुआ फलन है


 * $$\tilde{x} = x(t) \forall t \in \R$$

जो कि प्रणाली के साथ निम्नांकित स्थानांतरित निर्गत देता है


 * $$\tilde{x}_1 = x(t + 1) \forall t \in \R$$

इसलिए $$\mathbb{T}_1$$ एक प्रचालक है जो आगत वेक्टर को 1 से आगे बढ़ाता है।

मान लें कि हम एक गणितीय प्रचालक $$\mathbb{H}$$ द्वारा एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करते हैं। यह प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है यदि यह शिफ्ट प्रचालक के साथ बदलती है, यानी,


 * $$\mathbb{T}_r \mathbb{H} = \mathbb{H} \mathbb{T}_r \forall r$$

यदि हमारा प्रणाली का समीकरण निम्न द्वारा दिया जाता है,


 * $$\tilde{y} = \mathbb{H} \tilde{x}$$

तो यह समय-अपरिवर्तनीय है यदि हम प्रणाली प्रचालक $$\mathbb{H}$$ को $$\tilde{x}$$ पर लागू कर सकते हैं तथा उसके बाद शिफ्ट प्रचालक $$\mathbb{T}_r$$ लागू कर दें, या हम शिफ्ट प्रचालक $$\mathbb{T}_r$$ लागू करने के बाद प्रणाली प्रचालक $$\mathbb{H}$$ लागू कर दें, जब कि यह दोनों संगणनाएँ सामान परिणाम उत्पन्न करें।

प्रणाली प्रचालक लागू किये जाने पर पहले निम्न परिणाम देता है


 * $$\mathbb{T}_r \mathbb{H} \tilde{x} = \mathbb{T}_r \tilde{y} = \tilde{y}_r$$

शिफ्ट प्रचालक लागू किये जाने पर पहले निम्न परिणाम देता है


 * $$\mathbb{H} \mathbb{T}_r \tilde{x} = \mathbb{H} \tilde{x}_r$$

यदि प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय है, तो


 * $$\mathbb{H} \tilde{x}_r = \tilde{y}_r$$

यह भी देखें

 * परिमित आवेग प्रतिक्रिया
 * शेफ़र अनुक्रम
 * राज्य स्थान (नियंत्रण)
 * सिग्नल-फ्लो ग्राफ
 * एलटीआई प्रणाली सिद्धांत
 * स्वायत्त प्रणाली (गणित)

संदर्भ
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