बूलियन-मूल्यवान मॉडल

गणितीय तर्क में, एक बूलियन-मूल्यवान मॉडल मॉडल सिद्धांत से संरचना (गणितीय तर्क) की सामान्य अल्फ्रेड टार्स्की धारणा का सामान्यीकरण है। एक बूलियन-मूल्यवान मॉडल में, प्रस्तावों के सत्य मान सत्य और असत्य तक सीमित नहीं हैं, बल्कि इसके बजाय कुछ निश्चित पूर्ण बूलियन बीजगणित में मान लेते हैं।

1960 के दशक में दाना स्कॉट, रॉबर्ट एम. सोलोवे और पेट्र वोपेंका द्वारा बूलियन-मूल्यवान मॉडल पेश किए गए थे ताकि पॉल कोहेन (गणितज्ञ) की फोर्सिंग (गणित) की विधि को समझने में मदद मिल सके। वे अंतर्ज्ञानवादी तर्क में हेटिंग बीजगणित शब्दार्थ से भी संबंधित हैं।

परिभाषा
एक पूर्ण बूलियन बीजगणित बी ठीक करें और पहले क्रम की भाषा एल; एल के हस्ताक्षर (गणितीय तर्क) में निरंतर प्रतीकों, फ़ंक्शन प्रतीकों और संबंध प्रतीकों का संग्रह शामिल होगा।

भाषा एल के लिए एक बूलियन-मूल्यवान मॉडल में ब्रह्मांड (गणित) एम होता है, जो प्रतीकों के लिए व्याख्याओं के साथ तत्वों (या 'नाम') का एक सेट है। विशेष रूप से, मॉडल को L के प्रत्येक स्थिर प्रतीक को M का एक तत्व, और L के प्रत्येक n-ary फ़ंक्शन प्रतीक f और प्रत्येक n-tuple को निर्दिष्ट करना चाहिए $⟨a_{0},...,a_{n-1}⟩$ एम के तत्वों में से, मॉडल को एम के एक तत्व को एफ (ए) शब्द के लिए निर्दिष्ट करना चाहिए0,...,एn-1).

एल के परमाणु सूत्रों की व्याख्या अधिक जटिल है। एम के तत्वों की प्रत्येक जोड़ी ए और बी के लिए, मॉडल को एक सत्य मान निर्दिष्ट करना चाहिए $\|a = b\|$ अभिव्यक्ति के लिए $a = b$; यह सत्य मान बूलियन बीजगणित बी से लिया गया है। इसी तरह, एल के प्रत्येक एन-आरी संबंध प्रतीक आर और प्रत्येक एन-ट्यूपल के लिए $⟨a_{0},...,a_{n-1}⟩$ एम के तत्वों में से, मॉडल को सत्य मान होने के लिए बी का एक तत्व निर्दिष्ट करना चाहिए $\|R(a_{0},...,a_{n-1})\|$.

अन्य सूत्रों और वाक्यों की व्याख्या
बूलियन बीजगणित की संरचना का उपयोग करके, परमाणु सूत्रों के सत्य मूल्यों का उपयोग अधिक जटिल सूत्रों के सत्य मूल्यों के पुनर्निर्माण के लिए किया जा सकता है। प्रस्तावात्मक संयोजकों के लिए, यह आसान है; one उप-सूत्रों के सत्य मूल्यों के लिए संबंधित बूलियन ऑपरेटरों को बस लागू करता है। उदाहरण के लिए, यदि φ(x) और ψ(y,z) क्रमशः एक और दो मुक्त चर वाले सूत्र हैं, और यदि a, b, c मॉडल के ब्रह्मांड के तत्व हैं जिन्हें x, y, और z के लिए प्रतिस्थापित किया जाना है, फिर का सत्य मूल्य
 * $$\phi(a)\land\psi(b,c)$$

सादा है
 * $$\|\phi(a)\land\psi(b,c)\|=\|\phi(a)\|\ \land\ \|\psi(b,c)\| $$

परिमाणित सूत्रों के लिए सत्य मानों को परिभाषित करने के लिए बूलियन बीजगणित की पूर्णता आवश्यक है। यदि φ(x) मुक्त चर x (और संभवतः अन्य मुक्त चर जो दब गए हैं) के साथ एक सूत्र है, तो
 * $$\|\exists x\phi(x)\|=\bigvee_{a\in M}\|\phi(a)\|,$$

जहां दाहिनी ओर को सभी सत्य मूल्यों के समुच्चय B में सर्वोच्च के रूप में समझा जाना है ||φ(a)|| M से अधिक की श्रेणी के रूप में।

सूत्र का सत्य मान पूर्ण बूलियन बीजगणित बी का एक तत्व है।

सेट सिद्धांत के बूलियन-मूल्यवान मॉडल
एक पूर्ण बूलियन बीजगणित B दिया गया है वी द्वारा निरूपित एक बूलियन-मूल्यवान मॉडल हैबी, जो वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड वी का बूलियन-मूल्यवान एनालॉग है। (सख्ती से बोलना, वीB एक उचित वर्ग है, इसलिए हमें उचित रूप से मॉडल सिद्धांत होने का क्या अर्थ है, इसकी पुनर्व्याख्या करने की आवश्यकता है।) अनौपचारिक रूप से, V के तत्वB बूलियन-मूल्यवान समुच्चय हैं। एक सामान्य समुच्चय A दिया हुआ है, प्रत्येक समुच्चय या तो सदस्य है या नहीं है; लेकिन एक बूलियन-मूल्यवान सेट दिया गया है, प्रत्येक सेट में ए में एक निश्चित, निश्चित सदस्यता डिग्री है।

बूलियन-मूल्यवान सेट के तत्व, बदले में, बूलियन-मूल्यवान सेट भी होते हैं, जिनके तत्व भी बूलियन-मूल्यवान सेट होते हैं, और इसी तरह। बूलियन-वैल्यू सेट की एक गैर-परिपत्र परिभाषा प्राप्त करने के लिए, उन्हें संचयी पदानुक्रम के समान एक पदानुक्रम में आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है। V के प्रत्येक क्रमिक α के लिए, सेट V बीαनिम्नानुसार परिभाषित किया गया है। कक्षा वीB को सभी समुच्चयों V के मिलन के रूप में परिभाषित किया गया है बीα.
 * वी बी0 खाली सेट है।
 * वी बीα+1 V से सभी कार्यों का सेट है बीαसे B. (ऐसा फलन V के उपसमुच्चय को निरूपित करता है बीα; यदि f ऐसा फलन है, तो किसी के लिए भी $x ∈ V^{B}_{α}$, मान f(x) सेट में x की सदस्यता की डिग्री है।)
 * यदि α एक सीमा क्रमसूचक है, V बीαवी. का संघ है बीβके लिए $β &lt; α$.

इस पूरे निर्माण को ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट थ्योरी (या कभी-कभी इसका एक टुकड़ा) के कुछ सकर्मक मॉडल एम से संबंधित करना भी संभव है। बूलियन-मूल्यवान मॉडल एमB M के अंदर उपरोक्त निर्माण को लागू करके प्राप्त किया जाता है। सकर्मक मॉडल के लिए प्रतिबंध गंभीर नहीं है, क्योंकि मोस्टोव्स्की पतन का अर्थ है कि प्रत्येक उचित (अच्छी तरह से स्थापित, विस्तारित) मॉडल एक सकर्मक के लिए आइसोमोर्फिक है। (यदि मॉडल एम सकर्मक नहीं है तो चीजें गड़बड़ हो जाती हैं, क्योंकि एम की व्याख्या के रूप में यह एक कार्य या एक क्रमसूचक होने का अर्थ बाहरी व्याख्या से भिन्न हो सकता है।)

एक बार वी के तत्वB को ऊपर परिभाषित किया गया है, तो V पर समानता और सदस्यता के B-मूल्यवान संबंधों को परिभाषित करना आवश्यक हैबी. यहाँ V पर एक B-मूल्यवान संबंध है B एक फलन है $V^{B} × V^{B}$ से B. सामान्य समानता और सदस्यता के साथ भ्रम से बचने के लिए, इन्हें इसके द्वारा दर्शाया जाता है $\|x = y\|$ और $\|x ∈ y\|$ V में x और y के लिए बी. उन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $\|x ∈ y\|$ परिभाषित किया गया है $Σ_{t ∈ Dom(y)} \|1=x = t\| ∧ y(t)$   ( x y में है अगर यह y में किसी चीज़ के बराबर है)।
 * $\|1=x = y\|$ परिभाषित किया गया है $\|x ⊆ y\|∧\|y ⊆ x\|$   ( x बराबर y अगर x और y दोनों एक दूसरे के उपसमुच्चय हैं), जहां
 * $\|x ⊆ y\|$ परिभाषित किया गया है $Π_{t ∈ Dom(x)} x(t) ⇒ \|1=t ∈ y\|$   ( x y का एक उपसमुच्चय है यदि x के सभी अवयव y में हैं)

प्रतीकों Σ और Π पूर्ण बूलियन बीजगणित बी में क्रमशः कम से कम ऊपरी बाउंड और सबसे बड़ी निचली बाउंड ऑपरेशंस को दर्शाते हैं। पहली नजर में उपरोक्त परिभाषाएं परिपत्र प्रतीत होती हैं: $\|∈\|$ पर निर्भर करता है $\|1==\|$, जिस पर निर्भर करता है $\|⊆\|$, जिस पर निर्भर करता है $\|∈\|$. हालाँकि, एक करीबी परीक्षा से पता चलता है कि की परिभाषा $\|∈\|$ पर ही निर्भर करता है $\|∈\|$ छोटी रैंक के तत्वों के लिए, इसलिए $\|∈\|$ और $\|1==\|$ V से अच्छी तरह से परिभाषित कार्य हैं बी×वी बी से बी.

यह दिखाया जा सकता है कि बी-मूल्यवान संबंध $\|∈\|$ और $\|1==\|$ वह अंदर हैबी वी बनाओसेट सिद्धांत के बूलियन-मूल्यवान मॉडल में B। प्रथम-क्रम सेट सिद्धांत के प्रत्येक वाक्य में कोई मुक्त चर नहीं है, बी में एक सत्य मूल्य है; यह दिखाया जाना चाहिए कि समानता के सिद्धांतों और जेडएफ सेट सिद्धांत के सभी सिद्धांतों (मुक्त चर के बिना लिखे गए) में सत्य मान 1 (बी का सबसे बड़ा तत्व) है। यह प्रमाण सीधा है, लेकिन यह लंबा है क्योंकि कई अलग-अलग स्वयंसिद्ध हैं जिन्हें जाँचने की आवश्यकता है।

जबरन संबंध
सेट सिद्धांतकार स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) प्राप्त करने और अन्य उद्देश्यों के लिए सेट सिद्धांत के मॉडल बनाने के लिए फोर्सिंग (गणित) नामक तकनीक का उपयोग करते हैं। यह विधि मूल रूप से पॉल कोहेन (गणितज्ञ) द्वारा विकसित की गई थी, लेकिन तब से इसका काफी विस्तार किया गया है। एक रूप में, फोर्सिंग ब्रह्मांड में एक poset  का एक सामान्य फिल्टर सबसेट जोड़ता है, पॉसेट को नए जोड़े गए ऑब्जेक्ट पर दिलचस्प गुण लगाने के लिए डिज़ाइन किया जा रहा है। शिकन यह है कि (दिलचस्प पॉसेट्स के लिए) यह साबित किया जा सकता है कि पोसेट का ऐसा कोई सामान्य उपसमुच्चय नहीं है। इससे निपटने के तीन सामान्य तरीके हैं:
 * 'सिंटैक्टिक फोर्सिंग' एक जबरदस्ती का रिश्ता $$ p\Vdash\phi$$ पोसेट के तत्वों पी और जबरदस्ती भाषा के सूत्र φ के बीच परिभाषित किया गया है। इस संबंध को वाक्यात्मक रूप से परिभाषित किया गया है और इसका कोई शब्दार्थ नहीं है; यानी कभी कोई मॉडल तैयार नहीं किया जाता है। बल्कि, इस धारणा से शुरू करते हुए कि ZFC (या सेट थ्योरी के कुछ अन्य स्वयंसिद्ध) स्वतंत्र कथन को सिद्ध करते हैं, एक दिखाता है कि ZFC को भी एक विरोधाभास साबित करने में सक्षम होना चाहिए। हालाँकि, बल V से अधिक है; अर्थात्, एक गणनीय सकर्मक मॉडल के साथ प्रारंभ करना आवश्यक नहीं है। इस पद्धति की व्याख्या के लिए कुनेन (1980) देखें।
 * 'गणनीय सकर्मक मॉडल' एक गणनीय सेट सकर्मक सेट मॉडल एम के साथ शुरू होता है, जो वांछित उद्देश्य के लिए आवश्यक सेट थ्योरी के रूप में होता है, और जिसमें पॉसेट होता है। फिर एम पर सामान्य होने वाले पॉकेट पर फ़िल्टर मौजूद हैं; अर्थात्, जो पोसेट के सभी सघन खुले उपसमुच्चयों से मिलते हैं जो एम के तत्व भी होते हैं।
 * 'काल्पनिक सामान्य वस्तुएं' आम तौर पर, सेट थिओरिस्ट केवल दिखावा करेंगे कि पोसेट का एक उपसमुच्चय है जो सभी V पर सामान्य है। यह सामान्य वस्तु, गैर-तुच्छ मामलों में, V का तत्व नहीं हो सकता है, और इसलिए वास्तव में मौजूद नहीं है। (बेशक, यह दार्शनिक विवाद का एक बिंदु है कि क्या कोई सेट वास्तव में मौजूद है, लेकिन वह वर्तमान चर्चा के दायरे से बाहर है।) शायद आश्चर्यजनक रूप से, थोड़े से अभ्यास के साथ यह विधि उपयोगी और विश्वसनीय है, लेकिन यह दार्शनिक रूप से असंतोषजनक हो सकती है।

बूलियन-वैल्यू मॉडल और सिंटैक्टिक फोर्सिंग
बूलियन-वैल्यू मॉडल का उपयोग सिंटैक्टिक फोर्सिंग को शब्दार्थ देने के लिए किया जा सकता है; भुगतान की गई कीमत यह है कि शब्दार्थ 2-मूल्यवान (सही या गलत) नहीं है, लेकिन कुछ पूर्ण बूलियन बीजगणित से सत्य मान प्रदान करता है। एक फोर्सिंग पॉसेट पी को देखते हुए, एक पूर्ण बूलियन बीजगणित बी होता है, जिसे अक्सर पी के नियमित खुले सेट के संग्रह के रूप में प्राप्त किया जाता है, जहां पी पर टोपोलॉजी को सभी निचले सेट खुले (और सभी ऊपरी सेट बंद) घोषित करके परिभाषित किया जाता है। (बी के निर्माण के अन्य तरीकों पर नीचे चर्चा की गई है।)

अब बी पर आदेश (शून्य तत्व को हटाने के बाद) मजबूर करने के उद्देश्यों के लिए पी को प्रतिस्थापित कर सकता है, और मजबूती के संबंध को यह कहकर अर्थपूर्ण रूप से व्याख्या किया जा सकता है कि, पी के लिए बी का एक तत्व और φ मजबूर भाषा का एक सूत्र है,
 * $$p\Vdash\phi\iff p\leq||\phi||$$

जहां ||φ|| V में φ का सत्य मान है बी.

यह दृष्टिकोण काल्पनिक सामान्य वस्तुओं का सहारा लिए बिना V पर बल देने के लिए शब्दार्थ निर्दिष्ट करने में सफल होता है। नुकसान यह है कि शब्दार्थ 2-मूल्यवान नहीं है, और यह कि बी के कॉम्बिनेटरिक्स अक्सर अंतर्निहित पॉसेट पी की तुलना में अधिक जटिल होते हैं।

बूलियन-मूल्यवान मॉडल और गणनीय सकर्मक मॉडल पर सामान्य वस्तुएं
फोर्सिंग की एक व्याख्या ZF सेट सिद्धांत के एक गणनीय सकर्मक मॉडल M के साथ शुरू होती है, आंशिक रूप से आदेशित सेट P, और P का एक सामान्य उपसमुच्चय G, और इन वस्तुओं से ZF सेट सिद्धांत का एक नया मॉडल बनाता है। (प्रतियोगिता के गणनीय और सकर्मक होने की शर्तें कुछ तकनीकी समस्याओं को सरल करती हैं, लेकिन आवश्यक नहीं हैं।) कोहेन का निर्माण बूलियन-मूल्यवान मॉडल का उपयोग करके किया जा सकता है।
 * पोसेट पी द्वारा उत्पन्न पूर्ण बूलियन बीजगणित के रूप में एक पूर्ण बूलियन बीजगणित बी का निर्माण करें।
 * पी के जेनेरिक उपसमुच्चय जी से बी पर एक अल्ट्राफिल्टर यू का निर्माण करें (या समतुल्य रूप से बी से बूलियन बीजगणित {सही, गलत}) के लिए एक समरूपता।
 * बूलियन-मूल्यवान मॉडल एम को चालू करने के लिए होमोमोर्फिज्म का उपयोग बी से {true, false} तक करेंZF के एक साधारण मॉडल में उपरोक्त अनुभाग का B।

अब हम इन चरणों को और अधिक विस्तार से समझाते हैं।

किसी भी स्थिति P के लिए एक पूर्ण बूलियन बीजगणित B और P से B तक एक मानचित्र e है+ (बी के गैर-शून्य तत्व) जैसे कि छवि घनी है, e(p)≤e(q) जब भी p≤q, और e(p)e(q)=0 जब भी p और q असंगत हैं। यह बूलियन बीजगणित समरूपता तक अद्वितीय है। इसे पी के टोपोलॉजिकल स्पेस में नियमित खुले सेट के बीजगणित के रूप में बनाया जा सकता है (अंतर्निहित सेट पी के साथ, और सेट यू द्वारा दिए गए आधारp तत्वों क्यू के साथ q≤p)।

पोसेट P से पूर्ण बूलियन बीजगणित B का नक्शा सामान्य रूप से इंजेक्शन नहीं है। नक्शा इंजेक्शन है अगर और केवल अगर पी में निम्नलिखित संपत्ति है: यदि प्रत्येक आरपी क्यू के साथ संगत है, तो पी≤क्यू।

बी पर अल्ट्राफिल्टर यू को बी के तत्वों के सेट के रूप में परिभाषित किया गया है जो जी के कुछ तत्वों (की छवि) से अधिक है। बूलियन बीजगणित पर एक अल्ट्राफिल्टर यू दिया गया है, हमें {true, false} के लिए एक समरूपता मिलती है। यू को सही और इसके पूरक को गलत पर मैप करके। इसके विपरीत, इस तरह के समरूपता को देखते हुए, सत्य की प्रतिलोम छवि एक अल्ट्राफ़िल्टर है, इसलिए अल्ट्राफ़िल्टर अनिवार्य रूप से समरूपता के समान {सत्य, असत्य} के समान हैं। (बीजगणित अल्ट्राफिल्टर के बजाय अधिकतम आदर्शों का उपयोग करना पसंद कर सकते हैं: एक अल्ट्राफिल्टर का पूरक एक अधिकतम आदर्श है, और इसके विपरीत अधिकतम आदर्श का पूरक एक अल्ट्राफिल्टर है।)

अगर जी बूलियन बीजगणित बी से बूलियन बीजगणित सी और एम तक एक समरूपता हैबी कोई भी है जेडएफ (या उस मामले के लिए किसी अन्य सिद्धांत) के बी-मूल्यवान मॉडल हम एम को बदल सकते हैंB सभी सूत्रों के मान पर होमोमोर्फिज्म g को लागू करके C-मान वाले मॉडल में। विशेष रूप से यदि C {सत्य, असत्य} है तो हमें एक {सत्य, असत्य}-मूल्यवान मॉडल मिलता है। यह लगभग एक साधारण मॉडल के समान है: वास्तव में हमें || के तहत समकक्ष वर्गों के सेट पर एक सामान्य मॉडल मिलता है = || {true, false}-मूल्यवान मॉडल का। तो हम एम से शुरू करके जेडएफ सेट सिद्धांत का एक सामान्य मॉडल प्राप्त करते हैं, एक बूलियन बीजगणित बी, और बी पर एक अल्ट्राफिल्टर यू। (इस तरह निर्मित ZF का मॉडल सकर्मक नहीं है। व्यवहार में इसे सकर्मक मॉडल में बदलने के लिए मोस्टोव्स्की पतन को लागू किया जाता है।)

हमने देखा है कि बूलियन-मूल्यवान मॉडल का उपयोग करके बल दिया जा सकता है, एक सामान्य उपसमुच्चय के साथ एक पोसेट से अल्ट्राफिल्टर के साथ एक बूलियन बीजगणित का निर्माण करके। दूसरे तरीके से वापस जाना भी संभव है: एक बूलियन बीजगणित बी दिया गया है, हम बी के सभी गैर-शून्य तत्वों का एक पोसेट पी बना सकते हैं, और बी पर एक सामान्य अल्ट्राफिल्टर पी पर एक सामान्य सेट तक सीमित है। इसलिए मजबूर करने की तकनीकें और बूलियन-मूल्यवान मॉडल अनिवार्य रूप से समतुल्य हैं।

संदर्भ

 * Bell, J. L. (1985) Boolean-Valued Models and Independence Proofs in Set Theory, Oxford. ISBN 0-19-853241-5
 * Contains an account of Boolean-valued models and applications to Riesz spaces, Banach spaces and algebras.
 * Contains an account of forcing and Boolean-valued models written for mathematicians who are not set theorists.
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 * Contains an account of forcing and Boolean-valued models written for mathematicians who are not set theorists.
 * Contains an account of forcing and Boolean-valued models written for mathematicians who are not set theorists.