न्यूनतम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण

न्यूनतम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण (एलएसएसए) फूरियर विश्लेषण के समान, डेटा नमूनों में साइन तरंगों के न्यूनतम-वर्ग फिट के आधार पर वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान या अवलोकन का आकलन करने की विधि है। फूरियर विश्लेषण, विज्ञान में सबसे अधिक उपयोग  की जाने वाली वर्णक्रमीय विधि, सामान्यतः  लंबे और गैप वाले रिकॉर्ड में लंबी-आवधिक ध्वनि को बढ़ाती है; एलएसएसए ऐसी समस्याओं को कम करता है। जो की फूरियर विश्लेषण के विपरीत, एलएसएसए का उपयोग करने के लिए डेटा को समान रूप से स्थान देने की आवश्यकता नहीं है।

इस प्रकार से 1969 में विकसित किया गया है और 1971, एलएसएसए को वानीसेक विधि के रूप में भी जाना जाता है और गॉस-वानीसेक विधि पेट्र वानीसेक के पश्चात, और लोम्ब विधि के रूप में या लोम्ब-स्कार्गल पेरियोडोग्राम, निकोलस आर. लोम्ब द्वारा प्रथम सरलीकरण पर आधारित हैं और फिर जेफरी डी. स्कार्गल द्वारा व्यक्त किया गया है ।

ऐतिहासिक पृष्ठभूमि
फूरियर विश्लेषण, पेरिओडोग्राम और साइनसोइड्स की न्यूनतम-वर्ग फिटिंग के मध्य  घनिष्ठ संबंध लंबे समय से ज्ञात हैं। चूंकि, अधिकांश विकास समान दूरी वाले नमूनों के पूर्ण डेटा समुच्चय  तक ही सीमित हैं।किन्तु  1963 में, सेंट्रम विस्कुंडे और इंफॉर्मेटिका, एम्स्टर्डम के फ्रीक जे. एम. बार्निंग ने समान विधियों द्वारा असमान दूरी वाले डेटा को संभाला गया, और वर्तमान समय में  जिसे लोम्ब विधि कहा गया  है उसके समतुल्य पीरियोडोग्राम विश्लेषण और ऐसे पीरियोडोग्राम से निर्धारित साइनसोइड्स की चयनित आवृत्तियों की न्यूनतम-वर्ग फिटिंग दोनों को सम्मिलित   करना - और प्रक्रिया द्वारा जुड़ा हुआ है जिसे आज पोस्ट-बैक फिटिंग के साथ मिलान खोज के रूप में जाना जाता है। या ऑर्थोगोनल मिलान खोज।

न्यू ब्रंसविक विश्वविद्यालय के कनाडाई भूभौतिकी और भूगणित विशेषज्ञ पेट्र वानीसेक ने 1969 में समान और असमान स्थान वाले डेटा के लिए मिलान-अनुसंधान दृष्टिकोण का प्रस्ताव रखा, जिसे उन्होंने क्रमिक वर्णक्रमीय विश्लेषण और परिणाम को न्यूनतम-वर्ग आवर्त सारणी कहा। उन्होंने साधारण माध्य से परे किसी भी व्यवस्थित घटक, जैसे कि अज्ञात परिमाण की अनुमानित रैखिक (द्विघात, घातीय, ...) धर्मनिरपेक्ष प्रवृत्ति को ध्यान में रखते हुए इस विधि को सामान्यीकृत किया, और इसे 1971 में विभिन्न नमूनों पर लागू किया।

वानीसेक की न्यूनतम-वर्ग विधि को 1976 में सिडनी विश्वविद्यालय के निकोलस आर. लोम्ब द्वारा सरल बनाया गया, जिन्होंने पीरियोडोग्राम विश्लेषण के साथ इसके घनिष्ठ संबंध की ओर इशारा किया। इसके बाद, नासा एम्स रिसर्च सेंटर के जेफरी डी. स्कार्गल द्वारा असमान दूरी वाले डेटा के पीरियडोग्राम की परिभाषा को संशोधित और विश्लेषण किया गया। जिन्होंने दिखाया कि, मामूली बदलावों के साथ, यह व्यक्तिगत साइनसॉइड आवृत्तियों को फिट करने के लिए लोम्ब के न्यूनतम-वर्ग सूत्र के समान हो जाता है।

स्कार्गल का कहना है कि उनका पेपर किसी नई पहचान विधि का परिचय नहीं देता है, बल्कि सबसे अधिक उपयोग  की जाने वाली विधि, पीरियोडोग्राम के साथ पता लगाने की विश्वसनीयता और दक्षता का अध्ययन करता है, ऐसे मामले में जहां अवलोकन समय असमान रूप से फैली हुई समय श्रृंखला है, और आगे बताते हैं पेरियोडोग्राम विश्लेषण की तुलना में साइनसोइड्स की न्यूनतम-वर्ग फिटिंग, कि उनका पेपर स्पष्ट रूप से पहली बार स्थापित करता है, कि (प्रस्तावित संशोधनों के साथ) ये दो विधियां बिल्कुल बराबर हैं।

प्रेस विकास को इस प्रकार सारांशित करता है:

"A completely different method of spectral analysis for unevenly sampled data, one that mitigates these difficulties and has some other very desirable properties, was developed by Lomb, based in part on earlier work by Barning and Vanicek, and additionally elaborated by Scargle."

1989 में, किंग्स्टन में क्वींस यूनिवर्सिटी के माइकल जे. कोरेनबर्ग|किंग्स्टन, ओन्टारियो में क्वींस यूनिवर्सिटी ने स्पेक्ट्रा या अन्य समस्याओं के निकट-इष्टतम अपघटन को अधिक तेज़ी से ढूंढने के लिए तेज़ ऑर्थोगोनल खोज विधि विकसित की, उस विधि के समान जिसे बाद में ऑर्थोगोनल मिलान खोज के रूप में जाना जाने लगा।

वैनिसेक विधि
वानीसेक विधि में, अलग डेटा समुच्चय को मानक रैखिक प्रतिगमन या न्यूनतम-वर्ग फिट का उपयोग करके उत्तरोत्तर निर्धारित आवृत्तियों के साइनसॉइड के भारित योग द्वारा अनुमानित किया जाता है। आवृत्तियों को बार्निंग के समान विधि का उपयोग करके चुना जाता है, लेकिन आवृत्ति को चुनकर प्रत्येक क्रमिक नई आवृत्ति की पसंद को अनुकूलित करने में आगे बढ़ते हुए, जो कम से कम वर्ग फिटिंग के बाद अवशिष्ट को कम करता है (फिटिंग विधि  के बराबर जिसे अब प्री- के साथ मिलान खोज के रूप में जाना जाता है) बैकफ़िटिंग ). साइनसॉइड की संख्या डेटा नमूनों की संख्या से कम या उसके बराबर होनी चाहिए (समान आवृत्ति के साइन और कोसाइन को अलग-अलग साइनसॉइड के रूप में गिनना)।

डेटा वेक्टर Φ को साइनसॉइडल आधार फ़ंक्शंस के भारित योग के रूप में दर्शाया जाता है, जिसे वेट वेक्टर x के साथ नमूना समय पर प्रत्येक फ़ंक्शन का मूल्यांकन करके मैट्रिक्स 'ए' में सारणीबद्ध किया जाता है:


 * $$\phi \approx \textbf{A}x$$,

जहां वेट वेक्टर x को अनुमानित Φ में वर्ग त्रुटियों के योग को कम करने के लिए चुना जाता है। मानक रैखिक प्रतिगमन का उपयोग करते हुए, x का समाधान बंद-रूप में है:


 * $$x = (\textbf{A}^{\mathrm{T}}\textbf{A})^{-1}\textbf{A}^{\mathrm{T}}\phi.$$

यहां मैट्रिक्स ए नमूना समय पर मूल्यांकन किए जाने पर पारस्परिक रूप से स्वतंत्र (जरूरी नहीं कि ऑर्थोगोनल) कार्यों के किसी भी समुच्चय पर आधारित हो सकता है; वर्णक्रमीय विश्लेषण के लिए उपयोग किए जाने वाले फ़ंक्शन सामान्यतः  साइन और कोसाइन होते हैं जो ब्याज की आवृत्ति सीमा पर समान रूप से वितरित होते हैं। यदि हम बहुत संकीर्ण आवृत्ति रेंज में बहुत अधिक आवृत्तियों का चयन करते हैं, तो फ़ंक्शन अपर्याप्त रूप से स्वतंत्र होंगे, मैट्रिक्स खराब स्थिति में होगा, और परिणामी स्पेक्ट्रम अर्थहीन होगा।

जब ए में आधार फ़ंक्शन ऑर्थोगोनल होते हैं (अर्थात, सहसंबद्ध नहीं होते हैं, जिसका अर्थ है कि कॉलम में शून्य जोड़ी-वार डॉट उत्पाद हैं), मैट्रिक्स एटीए विकर्ण है; जब सभी स्तंभों की शक्ति (तत्वों के वर्गों का योग) समान होती है, तो वह मैट्रिक्स पहचान मैट्रिक्स गुणा स्थिरांक होता है, इसलिए व्युत्क्रम तुच्छ होता है। उत्तरार्द्ध वह मामला है जब नमूना समय समान दूरी पर होते हैं और साइनसॉइड को साइन और कोसाइन के रूप में चुना जाता है जो आवृत्ति अंतराल 0 से आधे चक्र प्रति नमूना पर जोड़े में समान दूरी पर होते हैं (प्रति नमूना 1/एन चक्र द्वारा अंतर किया जाता है, साइन चरणों को 0 पर छोड़ दिया जाता है) और अधिकतम आवृत्ति जहां वे समान रूप से शून्य हैं)। इस मामले को असतत फूरियर रूपांतरण के रूप में जाना जाता है, जिसे माप और गुणांक के संदर्भ में थोड़ा फिर से लिखा गया है।


 * $$x = \textbf{A}^{\mathrm{T}}\phi$$ - अदिश कारक के भीतर एन समान दूरी वाले नमूनों और आवृत्तियों के लिए डीएफटी मामला।

लोम्ब विधि
1976 में वानीसेक पद्धति के कम्प्यूटेशनल बोझ को कम करने की कोशिश की जा रही थी (अब कोई मुद्दा नहीं), लोम्ब ने समान आवृत्ति के साइन और कोसाइन आधारों के मध्य जोड़ी-वार सहसंबंधों को छोड़कर, सामान्य रूप से उपरोक्त सरलीकरण का उपयोग करने का प्रस्ताव दिया, क्योंकि साइनसोइड्स के जोड़े के मध्य  सहसंबंध अक्सर छोटे होते हैं, कम से कम जब वे कसकर नहीं होते हैं दूरी यह सूत्रीकरण अनिवार्य रूप से पारंपरिक पीरियडोग्राम जैसा है लेकिन असमान दूरी वाले नमूनों के साथ उपयोग के लिए अनुकूलित किया गया है। वेक्टर x अंतर्निहित स्पेक्ट्रम का काफी अच्छा अनुमान है, लेकिन चूंकि हम किसी भी सहसंबंध को नजरअंदाज करते हैं, 'A'x अब सिग्नल के लिए अच्छा सन्निकटन नहीं है, और यह विधि अब न्यूनतम-वर्ग विधि नहीं है - फिर भी साहित्य में अभी भी इसी रूप में संदर्भित किया जाता है।

सीधे साइन और कोसाइन तरंगों के साथ डेटा के डॉट उत्पादों को लेने के बजाय, स्कार्गल ने समय विलंब का पता लगाने के लिए मानक पीरियडोग्राम फॉर्मूला को संशोधित किया। $$\tau$$ सबसे पहले, जैसे कि साइनसोइड्स की यह जोड़ी नमूना समय पर पारस्परिक रूप से ऑर्थोगोनल होगी $$t_j$$ और आवृत्ति पर शक्ति का बेहतर अनुमान प्राप्त करने के लिए, इन दो आधार कार्यों की संभावित असमान शक्तियों के लिए भी समायोजित किया गया है। इस प्रक्रिया ने उनकी संशोधित आवर्तलेख विधि को बिल्कुल लोम्ब की विधि के समकक्ष बना दिया। समय विलंब $$\tau$$ परिभाषा के अनुसार के बराबर है


 * $$\tan{2 \omega \tau} = \frac{\sum_j \sin 2 \omega t_j}{\sum_j \cos 2 \omega t_j}.

$$ फिर आवृत्ति पर पीरियडोग्राम $$\omega$$ इस प्रकार अनुमानित है:


 * $$P_x(\omega) = \frac{1}{2}

\left( \frac { \left[ \sum_j X_j \cos \omega ( t_j - \tau ) \right] ^ 2}        { \sum_j \cos^2 \omega ( t_j - \tau ) } + \frac {\left[ \sum_j X_j \sin \omega ( t_j - \tau ) \right] ^ 2}        { \sum_j \sin^2 \omega ( t_j - \tau ) } \right) $$,

जिसका, स्कार्गल की रिपोर्ट के अनुसार, समान रूप से नमूने वाले मामले में पीरियोडोग्राम के समान सांख्यिकीय वितरण है।

किसी भी व्यक्तिगत आवृत्ति पर $$\omega$$, यह विधि वही शक्ति देती है जो न्यूनतम-वर्ग उस आवृत्ति और रूप के साइनसोइड्स में फिट होती है:


 * $$\phi(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t.$$

व्यवहार में, यह तय करना हमेशा मुश्किल होता है कि दिया गया लोम्ब शिखर महत्वपूर्ण है या नहीं, खासकर जब ध्वनि की प्रकृति अज्ञात है, इसलिए उदाहरण के लिए ध्वनि आवधिक संकेत के लोम्ब पीरियोडोग्राम विश्लेषण में गलत-अलार्म वर्णक्रमीय शिखर का परिणाम हो सकता है अशांति डेटा में शोर. पैच-अप या अन्यथा संपादित डेटा का विश्लेषण करते समय फूरियर विधियां झूठी वर्णक्रमीय चोटियों की रिपोर्ट भी कर सकती हैं।

सामान्यीकृत लोम्ब-स्कार्गल पीरियडोग्राम
मानक लोम्ब-स्कार्गल पीरियोडोग्राम केवल शून्य माध्य वाले मॉडल के लिए मान्य है। सामान्यतः, इसका अनुमान लगाया जाता है - आवर्त सारणी की गणना करने से पहले डेटा का माध्य घटाकर। चूंकि , यह गलत धारणा है जब मॉडल (फिट किए गए साइनसॉइड) का माध्य गैर-शून्य है। सामान्यीकृत लोम्ब-स्कार्गल पीरियडोग्राम इस धारणा को हटा देता है और माध्य के लिए स्पष्ट रूप से हल करता है। इस मामले में, फ़ंक्शन फिट है


 * $$\phi(t) = A \sin \omega t + B \cos \omega t + C.$$

सामान्यीकृत लोम्ब-स्कार्गल पेरियोडोग्राम को साहित्य में फ्लोटिंग माध्य पेरियोडोग्राम के रूप में भी संदर्भित किया गया है।

कोरेनबर्ग की तेज़ ऑर्थोगोनल खोज विधि
किंग्स्टन में क्वींस यूनिवर्सिटी के माइकल कोरेनबर्ग|किंग्स्टन, ओंटारियो में क्वींस यूनिवर्सिटी ने अति-पूर्ण समुच्चय से घटकों के विरल समुच्चय  को चुनने के लिए विधि विकसित की - जैसे कि वर्णक्रमीय विश्लेषण के लिए साइनसॉइडल घटक - जिसे फास्ट ऑर्थोगोनल सर्च (एफओएस) कहा जाता है। गणितीय रूप से, एफओएस माध्य-वर्ग त्रुटि कटौती (एमएसईआर) प्रक्रिया में थोड़ा संशोधित चोल्स्की अपघटन का उपयोग करता है, जिसे विरल मैट्रिक्स व्युत्क्रम के रूप में कार्यान्वित किया जाता है। अन्य एलएसएसए तरीकों की तरह, एफओएस असतत फूरियर विश्लेषण की बड़ी कमी से बचाता है, इसलिए यह एम्बेडेड आवधिकों की सटीक पहचान कर सकता है और असमान स्थान वाले डेटा के साथ उत्कृष्टता प्राप्त कर सकता है। तेज़ ऑर्थोगोनल खोज पद्धति को अन्य समस्याओं, जैसे नॉनलाइनियर सिस्टम पहचान, पर भी लागू किया गया था।

पामर की ची-वर्ग विधि
पामर ने हार्मोनिक्स की किसी भी चुनी हुई संख्या के लिए सबसे उपयुक्त फ़ंक्शन खोजने के लिए विधि विकसित की है, जिससे गैर-साइनसॉइडल हार्मोनिक फ़ंक्शन को खोजने में अधिक स्वतंत्रता मिलती है। गैर-समान मानक त्रुटियों के साथ मनमाने ढंग से दूरी वाले डेटा पर न्यूनतम-वर्ग विश्लेषण#भारित न्यूनतम-वर्ग|भारित न्यूनतम-वर्ग विश्लेषण के लिए उनकी तेज़ (फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म-आधारित) विधि है। इस विधि  को लागू करने वाला स्रोत कोड उपलब्ध है।

क्योंकि डेटा को अक्सर समान रूप से अलग-अलग समय पर नमूना नहीं लिया जाता है, यह विधि नमूना समय पर समय श्रृंखला सरणी को कम भरकर डेटा को ग्रिड करती है। सभी मध्यवर्ती ग्रिड बिंदुओं को शून्य सांख्यिकीय भार प्राप्त होता है, जो नमूनों के मध्य कई बार अनंत त्रुटि पट्टियों के बराबर होता है।

अनुप्रयोग
एलएसएसए की सबसे उपयोगी विशेषता अपूर्ण रिकॉर्ड को आवृत्ति स्पेक्ट्रम विश्लेषण करने में सक्षम बनाना है - डेटा हेरफेर डेटा की आवश्यकता के बिना या अन्यथा गैर-मौजूद डेटा का आविष्कार करने की आवश्यकता के बिना।

एलएसएसए आवृत्ति स्पेक्ट्रम में परिमाण (गणित) समय श्रृंखला के विचरण में आवृत्ति या अवधि के योगदान को दर्शाता है। सामान्यतः, इस प्रकार परिभाषित वर्णक्रमीय परिमाण आउटपुट के सीधे महत्व स्तर शासन को सक्षम करते हैं। वैकल्पिक रूप से, वानीसेक स्पेक्ट्रम में वर्णक्रमीय परिमाण को डेसिबल में भी व्यक्त किया जा सकता है। ध्यान दें कि वानीसेक स्पेक्ट्रम में वर्णक्रमीय परिमाण बीटा वितरण|β-वितरण का अनुसरण करते हैं।

वानीसेक के एलएसएसए का व्युत्क्रम परिवर्तन संभव है, जैसा कि फॉरवर्ड ट्रांसफॉर्म को मैट्रिक्स के रूप में लिखकर सबसे आसानी से देखा जा सकता है; मैट्रिक्स व्युत्क्रम (जब मैट्रिक्स एकवचन नहीं है) या छद्म-व्युत्क्रम तब व्युत्क्रम परिवर्तन होगा; यदि चयनित साइनसॉइड नमूना बिंदुओं पर परस्पर स्वतंत्र हैं और उनकी संख्या डेटा बिंदुओं की संख्या के बराबर है, तो व्युत्क्रम मूल डेटा से बिल्कुल मेल खाएगा। पीरियोडोग्राम विधि के लिए ऐसी कोई व्युत्क्रम प्रक्रिया ज्ञात नहीं है।

कार्यान्वयन
LSSA को MATLAB कोड के पेज से भी कम समय में लागू किया जा सकता है। संक्षेप में: न्यूनतम-वर्ग स्पेक्ट्रम की गणना करने के लिए हमें m वर्णक्रमीय मानों की गणना करनी चाहिए ... जिसमें प्रत्येक बार अलग आवृत्ति के लिए [वर्णक्रमीय शक्ति] प्राप्त करने के लिए न्यूनतम-वर्ग सन्निकटन m बार निष्पादित करना सम्मिलित  है। यानी, आवृत्तियों के वांछित समुच्चय में प्रत्येक आवृत्ति के लिए, डेटा नमूनों के अनुरूप समय पर उन लोगों के और कोज्या फ़ंक्शन का मूल्यांकन किया जाता है, और साइनसॉइड वैक्टर के साथ डेटा समन्वय वेक्टर के डॉट उत्पादों को लिया जाता है और उचित रूप से सामान्यीकृत किया जाता है; लोम्ब/स्कार्गल पीरियोडोग्राम के रूप में जानी जाने वाली विधि का पालन करते हुए, डॉट उत्पाद से पहले साइन और कोसाइन घटकों को ऑर्थोगोनलाइज़ करने के लिए प्रत्येक आवृत्ति के लिए समय बदलाव की गणना की जाती है; अंततः, उन दो आयाम घटकों से शक्ति की गणना की जाती है। यही प्रक्रिया असतत फूरियर रूपांतरण को कार्यान्वित करती है जब डेटा समय में समान रूप से दूरी पर होता है और चुनी गई आवृत्तियाँ परिमित डेटा रिकॉर्ड पर चक्रों की पूर्णांक संख्याओं के अनुरूप होती हैं।

यह विधि प्रत्येक साइनसॉइडल घटक का स्वतंत्र रूप से या संदर्भ से बाहर व्यवहार करती है, भले ही वे डेटा बिंदुओं के लिए ऑर्थोगोनल न हों; यह वानीसेक की मूल विधि है। इसके अलावा, मैट्रिक्स समीकरण को हल करके और निर्दिष्ट साइनसॉइड आवृत्तियों के मध्य कुल डेटा विचरण को विभाजित करके पूर्ण साथ या संदर्भ में न्यूनतम-वर्ग फिट करना संभव है। ऐसा मैट्रिक्स न्यूनतम-वर्ग समाधान MATLAB में बैकस्लैश ऑपरेटर के रूप में मूल रूप से उपलब्ध है।

इसके अलावा, साथ या इन-संदर्भ विधि, स्वतंत्र या आउट-ऑफ-संदर्भ संस्करण (साथ ही लोम्ब के कारण पीरियडोग्राम संस्करण) के विपरीत, डेटा नमूनों की तुलना में अधिक घटकों (साइन और कोसाइन) को फिट नहीं कर सकती है, इसलिए वह:

""...serious repercussions can also arise if the selected frequencies result in some of the Fourier components (trig functions) becoming nearly linearly dependent with each other, thereby producing an ill-conditioned or near singular N. To avoid such ill conditioning it becomes necessary to either select a different set of frequencies to be estimated (e.g., equally spaced frequencies) or simply neglect the correlations in N (i.e., the off-diagonal blocks) and estimate the inverse least squares transform separately for the individual frequencies...""

दूसरी ओर, लोम्ब की पीरियोडोग्राम विधि, मानक पीरियोडोग्राम की तरह, आवृत्ति घटकों की मनमाने ढंग से उच्च संख्या या घनत्व का उपयोग कर सकती है; अर्थात्, आवृत्ति डोमेन को मनमाना कारक द्वारा अति-नमूना किया जा सकता है। चूंकि, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, किसी को यह ध्यान में रखना चाहिए कि लोम्ब के सरलीकरण और न्यूनतम वर्ग मानदंड से विचलन ने उनकी विधि को त्रुटियों के गंभीर स्रोतों तक खोल दिया, जिसके परिणामस्वरूप झूठी वर्णक्रमीय चोटियाँ भी सामने आईं।

फ़ोरियर विश्लेषण में, जैसे कि फूरियर रूपांतरण और असतत फ़ोरियर ट्रांसफ़ॉर्म, डेटा में फिट किए गए साइनसोइड्स सभी परस्पर ऑर्थोगोनल होते हैं, इसलिए सरल आउट-ऑफ़-संदर्भ डॉट-प्रोडक्ट-आधारित प्रक्षेपण के आधार फ़ंक्शंस बनाम इन-फ़ंक्शन के मध्य कोई अंतर नहीं होता है। संदर्भ साथ न्यूनतम-वर्ग फिट; अर्थात्, विभिन्न आवृत्तियों के ऑर्थोगोनल साइनसोइड्स के मध्य  विचरण को न्यूनतम-वर्ग विभाजन के लिए किसी मैट्रिक्स व्युत्क्रम की आवश्यकता नहीं होती है। अतीत में, फ़ोरियर अपने प्रसंस्करण-कुशल तेज़ फ़ोरियर रूपांतरण कार्यान्वयन के कारण कई लोगों के लिए पसंद की विधि थी, जब समान दूरी वाले नमूनों के साथ पूर्ण डेटा रिकॉर्ड उपलब्ध होते हैं, और उन्होंने गैप रिकॉर्ड का विश्लेषण करने के लिए विधियों  के फ़ोरियर परिवार का भी उपयोग किया, जो, चूंकि, फूरियर-आधारित एल्गोरिदम को चलाने में सक्षम होने के लिए गैर-मौजूद डेटा में हेरफेर और यहां तक ​​कि आविष्कार की आवश्यकता होती है।

यह भी देखें

 * गैर-समान असतत फूरियर रूपांतरण
 * ऑर्थोगोनल कार्य
 * सिगस्पेक
 * साइनसोइडल मॉडल
 * वर्णक्रमीय घनत्व
 * प्रतिस्पर्धी विकल्पों के लिए वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान

बाहरी संबंध

 * LSSA package freeware download, FORTRAN, Vaníček's least-squares spectral analysis method, from the University of New Brunswick.
 * LSWAVE package freeware download, MATLAB, includes the Vaníček's least-squares spectral analysis method, from the U.S. National Geodetic Survey.
 * LSSA software freeware download (via ftp), FORTRAN, Vaníček's method, from the Natural Resources Canada.