लैटिस क्यूसीडी

जालक क्यूसीडी क्वार्क और ग्लूऑन के क्वांटम क्रोमोगतिकी (क्यूसीडी) सिद्धांत को हल करने के लिए ठीक रूप से स्थापित गैर-क्षोभ सिद्धांत (क्वांटम यांत्रिकी) दृष्टिकोण है। यह जालक गेज सिद्धांत है जो अंतरिक्ष और समय में बिंदुओं के ग्रिड या जालक (समूह) पर तैयार किया गया है। जब जालक का आकार अनंततः बड़ा लिया जाता है और इसकी साइटें एक-दूसरे के अत्यधिक निकट होती हैं, तो सातत्य क्यूसीडी पुनः प्राप्त हो जाता है।

इस प्रकार से दृढ़ बल की अत्यधिक गैर-रैखिक प्रकृति और बड़े युग्मन स्थिरांक के कारण कम-ऊर्जा क्यूसीडी में विश्लेषणात्मक या क्षोब हल प्राप्त करना जटिल या असंभव है। निरंतर दिक्काल के अतिरिक्त असतत में क्यूसीडी का यह सूत्रीकरण स्वाभाविक रूप से क्रम 1/a पर गति सीमा प्रस्तुत करता है, जहां a जालक रिक्ति है, जो सिद्धांत को पूर्ण रूप से नियमित करता है। परिणामस्वरूप, जालक क्यूसीडी गणितीय रूप से ठीक रूप से परिभाषित है। सबसे महत्वपूर्ण बात यह है कि जालक क्यूसीडी सीमाबद्ध और क्वार्क-ग्लूऑन प्लाज्मा निर्माण जैसी गैर-विपरीत घटनाओं की जांच के लिए रूपरेखा प्रदान करती है, जो विश्लेषणात्मक क्षेत्र सिद्धांतों के माध्यम से जटिल हैं।

अतः जालक क्यूसीडी में, क्वार्क का प्रतिनिधित्व करने वाले क्षेत्रों को जालक साइटों पर परिभाषित किया जाता है (जिससे फ़र्मियन दोहरीकरण होता है), जबकि ग्लूऑन क्षेत्र को निकटवर्ती साइटों को जोड़ने वाले सम्पर्क पर परिभाषित किया जाता है। इस प्रकार से यह सन्निकटन सातत्य क्यूसीडी के निकट पहुंचता है क्योंकि जालक साइटों के मध्य का अंतर शून्य हो जाता है। क्योंकि जालक रिक्ति कम होने पर संख्यात्मक अनुरूपण की संगणनात्मक लागत प्रभावशाली रूप से बढ़ सकती है, परिणाम प्रायः अलग-अलग जालक रिक्तियों पर बार-बार गणना करके a = 0 पर बहिर्वेशित होते हैं जो कि ट्रैक करने योग्य होने के लिए पर्याप्त रूप से बड़े होते हैं।

अतः मोंटे कार्लो विधियों का उपयोग करके संख्यात्मक जालक क्यूसीडी गणना अत्यधिक संगणनात्मक रूप से गहन हो सकती है, जिसके लिए सबसे बड़े उपलब्ध सुपर कंप्यूटर के उपयोग की आवश्यकता होती है। संगणनात्मक भार को कम करने के लिए, तथाकथित शमित सन्निकटन का उपयोग किया जा सकता है, जिसमें क्वार्क क्षेत्रों को गैर-गतिशील आलग्न चर के रूप में माना जाता है। यद्यपि प्रारंभिक जालक क्यूसीडी गणनाओं में यह सामान्य था, गतिशील फ़र्मियन अब मानक हैं। ये अनुरूपण सामान्यतः आणविक गतिशीलता या सूक्ष्मविहित समुदाय एल्गोरिदम पर आधारित एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं।

वर्तमान में, जालक क्यूसीडी मुख्य रूप से कम घनत्व पर लागू होती है जहां संख्यात्मक संकेत समस्या गणना में अन्तःक्षेप नहीं करती है। गेज समूह SU(2) (QC2D) के साथ क्यूसीडी की स्थिति में लागू होने पर मोंटे कार्लो विधियां संकेत समस्या से पूर्ण रूप से मुक्त होती हैं।

जालक क्यूसीडी पूर्व ही कई प्रयोगों से सफलतापूर्वक सहमत हो चुका है। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, प्रोटोन का द्रव्यमान सैद्धांतिक रूप से 2 प्रतिशत से कम की त्रुटि के साथ निर्धारित किया गया है। जालक क्यूसीडी भविष्यवाणी करता है कि प्रायोगिक माप की सीमा के भीतर, सीमित क्वार्क से क्वार्क-ग्लूऑन प्लाज्मा में संक्रमण $150 MeV$ ($1,700,000,000,000 K$) के तापमान के निकट होता है।

इस प्रकार से जालक क्यूसीडी का उपयोग उच्च-निष्पादन कंप्यूटिंग के लिए मानदण्ड के रूप में भी किया गया है, यह दृष्टिकोण मूल रूप से आईबीएम ब्लू जीन सुपरकंप्यूटर के संदर्भ में विकसित किया गया है।

मोंटे-कार्लो अनुरूपण
मोंटे कार्लो विधि चर की बड़ी समष्टि को छद्म-यादृच्छिक रूप से प्रतिदर्शित करने की विधि है। अतः मोंटे-कार्लो अनुरूपण में गेज विन्यास का चयन करने के लिए उपयोग की जाने वाली महत्वपूर्ण प्रतिदर्शीकरण तकनीक, दिक्काल के विक वर्तन द्वारा यूक्लिडियन समष्टि के उपयोग को लागू करती है।

इस प्रकार से जालक मोंटे-कार्लो अनुरूपण में उद्देश्य सहसंबंध फलन (क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत) की गणना करना है। यह स्पष्ट रूप से क्रिया (भौतिकी) की गणना करके, क्षेत्र विन्यास का उपयोग करके किया जाता है, जिसे वितरण फलन (भौतिकी) के अनुसार चयनित किया जाता है, जो क्रिया और क्षेत्र पर निर्भर करता है। सामान्यतः कोई गेज विन्यास की गणना करने के लिए क्रिया के गेज बोसॉन भाग और गेज-फर्मियन अन्तःक्रिया भाग से प्रारंभ करता है, और फिर हैड्रान प्रचारक और सहसंबंध फलनों की गणना करने के लिए अनुरूप गेज विन्यास का उपयोग करता है।

जालक पर फर्मिअन
अतः जालक क्यूसीडी सिद्धांत को पूर्व सिद्धांतों से, बिना किसी धारणा के, वांछित परिशुद्धता तक हल करने की रूप है। यद्यपि, व्यवहार में गणना सामर्थ्य सीमित है, जिसके लिए उपलब्ध संसाधनों के स्मार्ट उपयोग की आवश्यकता होती है। किसी को ऐसी अनुयोजन चयनित करने की आवश्यकता है जो उपलब्ध संगणनात्मक सामर्थ्य का उपयोग करके न्यूनतम त्रुटियों के साथ प्रणाली का सर्वोत्तम भौतिक विवरण दे। इस प्रकार से सीमित कंप्यूटर संसाधन किसी को अनुमानित भौतिक स्थिरांक का उपयोग करने के लिए विवश करते हैं जो उनके वास्तविक भौतिक मानों से भिन्न होते हैं:
 * जालक विवेकीकरण का अर्थ है परिमित जालक रिक्ति और आकार द्वारा निरंतर और अनंत दिक्काल का अनुमान लगाना। जालक जितनी छोटी होगी, और नोड के मध्य जितना बड़ा अंतर होगा, त्रुटि उतनी ही बड़ी होगी। सीमित संसाधन सामान्यतः छोटी भौतिक जालक और आवश्यकता से अधिक बड़ी जालक रिक्ति के उपयोग को विवश करते हैं, जिससे आवश्यकता से अधिक बड़ी त्रुटियां होती हैं।
 * क्वार्क द्रव्यमान भी अनुमानित हैं। क्वार्क द्रव्यमान प्रयोगात्मक रूप से मापे गए द्रव्यमान से बड़ा है। ये निरंतर अपने भौतिक मानों के निकट पहुंच रहे हैं, और पूर्व कुछ वर्षों के भीतर कुछ सहयोगों ने भौतिक मानों को कम करने के लिए लगभग भौतिक मानों का उपयोग किया है।

अतः त्रुटियों को क्षतिपूरित करने के लिए, मुख्य रूप से परिमित रिक्ति त्रुटियों को कम करने के लिए, विभिन्न विधियों से जालक अनुयोजन में संशोधन किया जाता है।

जालक विक्षोभ सिद्धांत
जालक विक्षोभ सिद्धांत में प्रकीर्णन आव्यूह को जालक रिक्ति, a की सामर्थ्यों में टेलर विस्तार किया जाता है। परिणाम मुख्य रूप से जालक क्यूसीडी मोंटे-कार्लो गणना के पुनर्सामान्यीकरण के लिए उपयोग किए जाते हैं। विक्षुब्ध गणनाओं में क्रिया के संचालक और प्रचारक दोनों की गणना जालक पर की जाती है और a की सामर्थ्यों में विस्तार किया जाता है। किसी गणना को पुन: सामान्यीकृत करते समय, विस्तार के गुणांकों को सामान्य सातत्य योजना, जैसे एमएस-बार योजना, के साथ मिलान करने की आवश्यकता होती है, अन्यथा परिणामों की तुलना नहीं की जा सकती है। विस्तार को सातत्य योजना और जालक में ही क्रम में किया जाना है।

इस प्रकार से जालक नियमितीकरण को प्रारंभ में विल्सन द्वारा गैर-विपरीत रूप से दृढ़ता से युग्मित सिद्धांतों का अध्ययन करने के लिए एक रूपरेखा के रूप में प्रस्तुत किया गया था। यद्यपि, इसे अनियमित गणनाओं के लिए भी उपयुक्त नियमितीकरण पाया गया। क्षोभ सिद्धांत में युग्मन स्थिरांक में विस्तार सम्मिलित है, और उच्च-ऊर्जा क्यूसीडी में ठीक रूप से उचित है जहां युग्मन स्थिरांक छोटा है, जबकि युग्मन बड़ा होने पर यह पूर्ण रूप से विफल हो जाता है और क्षोभ श्रृंखला में निम्न क्रमों की तुलना में उच्च क्रम संशोधन बड़े होते हैं। इस क्षेत्र में गैर-क्षोभ विधियाँ, जैसे सहसंबंध फलन का मोंटे-कार्लो प्रतिदर्शीकरण, आवश्यक हैं।

अतः जालक क्षोभ सिद्धांत संघनित पदार्थ सिद्धांत के लिए भी परिणाम प्रदान कर सकता है। वास्तविक परमाणु क्रिस्टल का प्रतिनिधित्व करने के लिए कोई जालक का उपयोग कर सकता है। इस स्थिति में जालक रिक्ति वास्तविक भौतिक मान है, न कि गणना की कलाकृति जिसे हटाया जाना है (एक यूवी नियामक), और एक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत को भौतिक जालक पर तैयार और हल किया जा सकता है।

क्वांटम कंप्यूटिंग
इस प्रकार से U(1), SU(2), और SU(3) जालक गेज सिद्धांतों को ऐसे रूप में पुन: तैयार किया जा सकता है जिसे सार्वभौमिक क्वांटम कंप्यूटर पर "चक्रण क्वबिट परिचालन" का उपयोग करके अनुकारित किया जा सकता है।

सीमाएँ
इस प्रकार से यह विधि कुछ सीमाओं से ग्रस्त है:
 * वर्तमान में जालक क्यूसीडी का कोई सूत्रीकरण नहीं है जो हमें क्वार्क-ग्लूऑन प्लाज्मा जैसे क्वार्क-ग्लूऑन प्रणाली की वास्तविक समय की गतिशीलता का अनुकरण करने की अनुमति देता है।
 * यह संगणनात्मक रूप से गहन है, जिसमें बाधा फ्लॉप नहीं जबकि मेमोरी एक्सेस की बैंडविस्तार है।
 * यह मात्र भारी क्वार्क वाले हैड्रॉन के लिए विश्वसनीय भविष्यवाणियां प्रदान करता है, जैसे कि हाइपरॉन, जिसमें या अधिक विचित्र क्वार्क होते हैं।

यह भी देखें

 * जालक मॉडल (भौतिकी)
 * जालक क्षेत्र सिद्धांत
 * जालक गेज सिद्धांत
 * क्यूसीडी स्थिति
 * SU(2) वर्ण अतिचालकता
 * क्यूसीडी योग नियम
 * विल्सन क्रिया

अग्रिम पठन

 * M. Creutz, Quarks, gluons and lattices, Cambridge University Press 1985.
 * I. Montvay and G. Münster, Quantum Fields on a Lattice, Cambridge University Press 1997.
 * J. Smit, Introduction to Quantum Fields on a Lattice, Cambridge University Press 2002.
 * H. Rothe, Lattice Gauge Theories, An Introduction, World Scientific 2005.
 * T. DeGrand and C. DeTar, Lattice Methods for Quantum Chromodynamics, World Scientific 2006.
 * C. Gattringer and C. B. Lang, Quantum Chromodynamics on the Lattice, Springer 2010.

बाहरी संबंध

 * Gupta - Introduction to Lattice क्यूसीडी
 * Lombardo - Lattice क्यूसीडी at Finite Temperature and Density
 * Chandrasekharan, Wiese - An Introduction to Chiral Symmetry on the Lattice
 * Kuti, Julius - Lattice क्यूसीडी and String Theory
 * The Fermiक्यूसीडी Library for Lattice Field theory
 * Flavour Lattice Averaging Group