कारण तंत्र

नियंत्रण सिद्धांत में, एक कारण प्रणाली (जिसे भौतिक प्रणाली या गैर प्रत्याशित प्रणाली के रूप में भी जाना जाता है) एक ऐसी प्रणाली है जहां आउटपुट अतीत पर निर्भर करता है और वर्तमान इनपुट लेकिन भविष्य के इनपुट नहीं - यानी, आउटपुट $$ y(t_{0})$$ केवल इनपुट पर निर्भर करता है $$x(t)$$ के मूल्यों के लिए $$t \le t_{0}$$.

यह विचार कि किसी भी समय किसी फ़ंक्शन का आउटपुट केवल इनपुट के अतीत और वर्तमान मूल्यों पर निर्भर करता है, उस संपत्ति द्वारा परिभाषित किया जाता है जिसे आमतौर पर कार्य-कारण कहा जाता है। एक प्रणाली जिसमें भविष्य से इनपुट मूल्यों पर कुछ निर्भरता होती है (अतीत या वर्तमान इनपुट मूल्यों पर संभावित निर्भरता के अलावा) को एक गैर-कारण या कारण प्रणाली कहा जाता है, और एक प्रणाली जो पूरी तरह से भविष्य के इनपुट मूल्यों पर निर्भर करती है वह एक एंटी-कारण प्रणाली है। ध्यान दें कि कुछ लेखकों ने एक कारण-विरोधी प्रणाली को एक ऐसी प्रणाली के रूप में परिभाषित किया है जो पूरी तरह से भविष्य और वर्तमान इनपुट मूल्यों पर निर्भर करती है या, अधिक सरलता से, एक ऐसी प्रणाली के रूप में जो पिछले इनपुट मूल्यों पर निर्भर नहीं होती है। शास्त्रीय रूप से प्रकृति या भौतिक यथार्थ को एक कारण-कारण व्यवस्था माना गया है। विशेष सापेक्षता या सामान्य सापेक्षता से जुड़े भौतिकी को कारणता की अधिक सावधानीपूर्वक परिभाषा की आवश्यकता होती है, जैसा कि कारणता (भौतिकी) में विस्तृत रूप से वर्णित है।

सिस्टम की कार्य-कारणता भी अंकीय संकेत प्रक्रिया  में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है, जहां एलटीआई सिस्टम सिद्धांत का निर्माण किया जाता है ताकि वे कारणात्मक हों, कभी-कभी कार्य-कारण की कमी को दूर करने के लिए गैर-कारण सूत्रीकरण को बदलकर ताकि इसे साकार किया जा सके। अधिक जानकारी के लिए, कारण फ़िल्टर देखें।

एक कारण प्रणाली के लिए, सिस्टम की आवेग प्रतिक्रिया को आउटपुट निर्धारित करने के लिए इनपुट के केवल वर्तमान और पिछले मूल्यों का उपयोग करना चाहिए। रैखिकता की परवाह किए बिना किसी प्रणाली के कारणात्मक होने के लिए यह आवश्यकता एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। ध्यान दें कि समान नियम अलग या निरंतर मामलों पर लागू होते हैं। भविष्य में किसी इनपुट मान की आवश्यकता नहीं होने की इस परिभाषा के अनुसार, सिस्टम को वास्तविक समय में संकेतों को संसाधित करने के लिए सक्षम होना चाहिए।

गणितीय परिभाषाएँ
परिभाषा 1: एक सिस्टम मैपिंग $$x$$ को $$y$$ इनपुट संकेतों की किसी भी जोड़ी के लिए यदि और केवल तभी कारणात्मक है $$x_{1}(t)$$, $$x_{2}(t)$$ और कोई भी विकल्प $$t_{0}$$, ऐसा है कि
 * $$x_{1}(t) = x_{2}(t), \quad \forall \ t < t_{0},$$

संबंधित आउटपुट संतुष्ट करते हैं
 * $$y_{1}(t) = y_{2}(t), \quad \forall \ t < t_{0}.$$

परिभाषा 2: मान लीजिए $$h(t)$$ किसी भी प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया है $$H$$ एक रैखिक स्थिरांक गुणांक विभेदक समीकरण द्वारा वर्णित। प्रणाली $$H$$ कारण है यदि और केवल यदि
 * $$h(t) = 0, \quad \forall \ t <0 $$

अन्यथा यह अकारण है.

उदाहरण
निम्नलिखित उदाहरण इनपुट वाले सिस्टम के लिए हैं $$x$$ और आउटपुट $$y$$.

कारण प्रणालियों के उदाहरण

 * स्मृतिहीन व्यवस्था
 * $$y \left( t \right) = 1 - x \left( t \right) \cos \left( \omega t \right)$$


 * ऑटोरेग्रेसिव फिल्टर
 * $$y \left( t \right) = \int_0^\infty x(t-\tau) e^{-\beta\tau}\,d\tau$$

गैर-कारण (अकारण) प्रणालियों के उदाहरण

 * $$y(t)=\int_{-\infty}^\infty \sin (t+\tau) x(\tau)\,d\tau$$
 * $$y(t)=\int_{-\infty}^\infty \sin (t+\tau) x(\tau)\,d\tau$$


 * सेंट्रल मूविंग एवरेज
 * $$y_n=\frac{1}{2}\,x_{n-1}+\frac{1}{2}\,x_{n+1}$$

कारण-विरोधी प्रणालियों के उदाहरण

 * $$y(t) =\int _0^\infty x (t+\tau)\,d\tau$$
 * $$y(t) =\int _0^\infty x (t+\tau)\,d\tau$$


 * भविष्य का ध्यान करना
 * $$y_n=x_{n+1}$$

संदर्भ


Systemtheorie (Ingenieurwissenschaften)