माध्य मान प्रमेय (विभाजित अंतर)

गणितीय विश्लेषण में, विभाजित अंतरों के लिए माध्य मान प्रमेय को उच्च व्युत्पन्न करने के लिए सामान्यीकृत करता है।

प्रमेय का कथन
किसी भी n + 1 जोड़ीवार भिन्न-भिन्न बिंदु x0, ..., xn के लिए, n-बार भिन्न अवकलनीय फलन के डोमेन में f आंतरिक बिंदु उपस्तिथ है:


 * $$ \xi \in (\min\{x_0,\dots,x_n\},\max\{x_0,\dots,x_n\}) \,$$

जहां f का nवां अवकलज n  ! के समान है, जो इन बिंदुओं पर nवें विभाजित अंतर का गुणा है:


 * $$ f[x_0,\dots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}.$$

n = 1 के लिए, अर्थात दो फलन बिंदु, सरल माध्य मान प्रमेय प्राप्त करता है।

प्रमाण
मन लीजिये $$P$$, x0, ..., xn पर f के लिए लैग्रेंज इंटरपोलेशन बहुपद है, फिर यह न्यूटन बहुपद से अनुसरण करता है $$P$$ वह उच्चतम पद है: $$f[x_0,\dots,x_n](x-x_{n-1})\dots(x-x_1)(x-x_0)$$.

मन लीजिये $$g$$ द्वारा परिभाषित प्रक्षेप का शेष भाग $$g = f - P$$ तब $$g$$ के पास है $$n+1$$ शून्य: x0, ..., xn सर्वप्रथम रोले के प्रमेय को प्रारंभ करके $$g$$, फिर तो $$g'$$, और इसी प्रकार जब तक $$g^{(n-1)}$$, प्राप्त करते है, $$g^{(n)}$$का शून्य $$\xi$$ है इस का तात्पर्य है कि


 * $$ 0 = g^{(n)}(\xi) = f^{(n)}(\xi) - f[x_0,\dots,x_n] n!$$,
 * $$ f[x_0,\dots,x_n] = \frac{f^{(n)}(\xi)}{n!}.$$

अनुप्रयोग
प्रमेय का उपयोग स्टोलार्स्की माध्य को दो से अधिक चरों के लिए सामान्यीकृत करने के लिए किया जा सकता है।