प्राथमिक तुल्यता

मॉडल सिद्धांत में, गणितीय तर्क की एक शाखा, एक ही हस्ताक्षर (गणितीय तर्क) σ की दो संरचना (गणितीय तर्क) एम और एन को 'प्राथमिक रूप से समतुल्य' कहा जाता है यदि वे समान प्रथम-क्रम तर्क को संतुष्ट करते हैं|प्रथम-क्रम वाक्य ( गणितीय तर्क)|σ-वाक्य।

यदि N, M का सबस्ट्रक्चर (गणित) है, तो अक्सर एक मजबूत स्थिति की आवश्यकता होती है। इस मामले में N को M का 'प्राथमिक उपसंरचना' कहा जाता है यदि प्रत्येक प्रथम-क्रम σ-सूत्र φ(a1, …, एn) पैरामीटर ए के साथ1, …, एn N से N सत्य है यदि और केवल यदि यह M में सत्य है। यदि N, M का एक प्राथमिक उपसंरचना है, तो M को N का 'प्राथमिक विस्तार' कहा जाता है। एक एम्बेडिंग # यूनिवर्सल बीजगणित और मॉडल सिद्धांत h: N → M को N में M का 'प्राथमिक एम्बेडिंग' कहा जाता है यदि h(N) M का एक प्रारंभिक उपसंरचना है।

एम का एक उपसंरचना एन प्राथमिक है यदि और केवल यदि यह 'टार्स्की-वॉच टेस्ट' पास करता है: प्रत्येक प्रथम-क्रम सूत्र φ(x,b)1, …, बीn) एन में पैरामीटर के साथ जिसका एम में समाधान है, एम में मूल्यांकन करने पर एन में भी समाधान होता है। कोई यह साबित कर सकता है कि दो संरचनाएं प्राथमिक रूप से एहरनफेक्ट-फ्रैसे गेम के बराबर हैं।

प्राथमिक एम्बेडिंग का उपयोग रैंक-में-रैंक सहित बड़े कार्डिनल्स के अध्ययन में किया जाता है।

प्राथमिक रूप से समतुल्य संरचनाएँ
एक ही हस्ताक्षर की दो संरचनाएँ M और N σ 'प्राथमिक रूप से समतुल्य' हैं यदि σ पर प्रत्येक प्रथम-क्रम वाक्य (मुक्त चर के बिना सूत्र) M में सत्य है यदि और केवल यदि यह N में सत्य है, अर्थात यदि M और N में सत्य है वही पूर्ण सिद्धांत प्रथम-क्रम सिद्धांत। यदि एम और एन मौलिक रूप से समतुल्य हैं, तो कोई एम ≡ एन लिखता है।

एक प्रथम-क्रम सिद्धांत (गणितीय तर्क) तभी पूर्ण होता है जब इसके कोई भी दो मॉडल मौलिक रूप से समकक्ष हों।

उदाहरण के लिए, एक द्विआधारी संबंध प्रतीक '<' वाली भाषा पर विचार करें। अपने सामान्य क्रम के साथ वास्तविक संख्याओं का मॉडल 'आर' और अपने सामान्य क्रम के साथ तर्कसंगत संख्याओं का मॉडल 'क्यू' मौलिक रूप से समतुल्य हैं, क्योंकि वे दोनों '<' को एक असीमित घने रैखिक क्रम के रूप में व्याख्या करते हैं। यह प्राथमिक तुल्यता सुनिश्चित करने के लिए पर्याप्त है, क्योंकि सघन क्रम का सिद्धांत पूर्ण है, जैसा कि लोश-वॉच परीक्षण द्वारा दिखाया जा सकता है।

अधिक आम तौर पर, अनंत मॉडल वाले किसी भी प्रथम-क्रम सिद्धांत में गैर-आइसोमोर्फिक, प्राथमिक रूप से समकक्ष मॉडल होते हैं, जिन्हें लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार, उदाहरण के लिए, अंकगणित के गैर-मानक मॉडल हैं|पीनो अंकगणित के गैर-मानक मॉडल, जिनमें केवल संख्या 0, 1, 2, आदि के अलावा अन्य वस्तुएं शामिल हैं, और फिर भी वे मूल रूप से मानक मॉडल के बराबर हैं।

प्राथमिक उपसंरचनाएं और प्रारंभिक विस्तार
N, M का एक 'प्राथमिक उपसंरचना' या 'प्राथमिक उपमॉडल' है यदि N और M एक ही हस्ताक्षर (गणितीय तर्क) σ की संरचनाएं हैं जैसे कि सभी प्रथम-क्रम σ-सूत्रों के लिए φ(x)1, …, एक्सn) मुक्त चर x के साथ1, …, एक्सn, और सभी तत्व ए1, …, एn का एन, φ(ए1, …, एn) N में धारण करता है यदि और केवल यदि यह M में धारण करता है: $$N \models \varphi(a_1, \dots, a_n) \text{ if and only if } M \models \varphi(a_1, \dots, a_n).$$ यह परिभाषा सबसे पहले टार्स्की, वॉट (1957) में दिखाई देती है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि N, M की एक उपसंरचना है।

यदि N, M की एक उपसंरचना है, तो N और M दोनों को हस्ताक्षर σ में संरचनाओं के रूप में व्याख्या किया जा सकता हैN N के प्रत्येक तत्व के लिए एक नए स्थिर प्रतीक के साथ σ शामिल है। तब N, M का एक प्राथमिक उपसंरचना है यदि और केवल यदि N, M का एक उपसंरचना है और N और M मूल रूप से σ के बराबर हैंN-संरचनाएं।

यदि N, M की प्रारंभिक उपसंरचना है, तो कोई N लिखता है $$\preceq$$ M और कहता है कि M, N:M का 'प्रारंभिक विस्तार' है $$\succeq$$ एन।

डाउनवर्ड लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय अधिकतम गणनीय हस्ताक्षर में किसी भी अनंत प्रथम-क्रम संरचना के लिए एक गणनीय प्राथमिक उपसंरचना देता है; उर्ध्व लोवेनहेम-स्कोलेम प्रमेय मनमाने ढंग से बड़ी कार्डिनैलिटी के किसी भी अनंत प्रथम-क्रम संरचना का प्रारंभिक विस्तार देता है।

टार्स्की-वाउट टेस्ट
टार्स्की-वॉट परीक्षण (या टार्स्की-वॉट मानदंड) एक संरचना एम के उपसंरचना एन के प्राथमिक उपसंरचना होने के लिए एक आवश्यक और पर्याप्त शर्त है। यह किसी बड़ी संरचना की प्राथमिक उपसंरचना के निर्माण के लिए उपयोगी हो सकता है।

मान लीजिए M हस्ताक्षर σ की एक संरचना है और N M की एक उपसंरचना है। तब एन एम का एक प्रारंभिक उपसंरचना है यदि और केवल यदि प्रत्येक प्रथम-क्रम सूत्र φ(x, y) के लिए1, …, औरn) σ और सभी तत्वों पर बी1, …, बीn N से, यदि M $$\models$$ x φ(x, b1, …, बीn), तो N में एक तत्व a इस प्रकार है कि M $$\models$$ φ(ए, बी1, …, बीn).

प्राथमिक एम्बेडिंग
एक संरचना एन को एक ही हस्ताक्षर σ की संरचना एम में प्राथमिक रूप से एम्बेड करना एक मानचित्र एच है: एन → एम जैसे कि प्रत्येक प्रथम-क्रम σ-सूत्र φ(x1, …, एक्सn) और सभी तत्व ए1, …, एn एन का,
 * एन $$\models$$ एफ(ए1, …, एn) यदि और केवल यदि एम $$\models$$ φ(एच(ए1), ...,एच(एn)).

प्रत्येक प्राथमिक एम्बेडिंग एक संरचना (गणितीय तर्क)#समरूपता है, और इसकी छवि एक प्राथमिक उपसंरचना है।

मॉडल सिद्धांत में प्राथमिक एम्बेडिंग सबसे महत्वपूर्ण महत्वपूर्ण बिंदु (सेट सिद्धांत) में, प्राथमिक एम्बेडिंग जिसका डोमेन V (सेट सिद्धांत का ब्रह्मांड) है, बड़े कार्डिनल्स के सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं (क्रिटिकल पॉइंट (सेट सिद्धांत) भी देखें)।