बहुमान फलन

गणित में बहुमान फलन, जिसे बहुफलन और कई-मूल्यवान फलन भी कहा जाता है, एक सेट-वैल्यूड फलन होता है जिसमें निरंतरता गुण होते हैं जो इसे स्थानीय रूप से सामान्य फलन के रूप में मानने की स्वीकृति देते हैं।

बहुमान फलन सामान्यतः अंतर्निहित कार्य प्रमेय के अनुप्रयोगों में उत्पन्न होते हैं, क्योंकि इस प्रमेय को एक बहुमान फलन के अस्तित्व पर जोर देने के रूप में देखा जा सकता है। विशेष रूप से, एक अवकलनीय फलन का व्युत्क्रम फलन एक बहुमान फलन होता है। उदाहरण के लिए, जटिल लघुगणक एक बहुमान फलन है, जो घातीय फलन के व्युत्क्रम के रूप में है। इसे एक सामान्य कार्य के रूप में नहीं माना जा सकता है, क्योंकि जब कोई 0 पर केन्द्रित एक वृत्त के साथ लघुगणक के एक मान का पालन करता है, तो उसे एक पूर्ण मोड़ के बाद प्रारंभिक मान से एक और मान मिलता है। इस घटना को मोनोड्रोमी कहा जाता है।

एक बहुमान फलन को परिभाषित करने का एक अन्य सामान्य तरीका विश्लेषणात्मक निरंतरता है, जो सामान्यतः कुछ मोनोड्रोमी उत्पन्न करता है: एक बंद वक्र के साथ विश्लेषणात्मक निरंतरता एक अंतिम मान उत्पन्न कर सकती है जो प्रारंभिक मूल्य से भिन्न होती है।

बहुमान फलन अंतर समीकरणों के समाधान के रूप में भी उत्पन्न होते हैं, जहां विभिन्न मूल्यों को प्रारंभिक स्थितियों द्वारा पैरामीट्रिज किया जाता है।

प्रेरणा
मल्टीवैल्यूड फलन शब्द की उत्पत्ति विश्लेषणात्मक निरंतरता से जटिल विश्लेषण में हुई है।प्रायः ऐसा होता है कि एक बिंदु $$z=a$$ के किसी पड़ोस में एक जटिल विश्लेषणात्मक फलन $$f(z)$$ का मान जानता है। निहित फलन प्रमेय या $$z=a$$ के आस-पास टेलर श्रृंखला द्वारा परिभाषित कार्यों के लिए यही स्थिति है। ऐसी स्थिति में, एक से शुरू होने वाले जटिल विमान में वक्रों के साथ एकल-मूल्यवान फलन $$f(z)$$ के डोमेन का विस्तार किया जा सकता है। ऐसा करने पर, कोई यह पाता है कि एक बिंदु $$z=b$$ पर विस्तारित फलन का मान a से b तक के चुने हुए वक्र पर निर्भर करता है क्योंकि कोई भी नया मान दूसरों की तुलना में अधिक स्वाभाविक नहीं है, उन सभी को इसमें शामिल किया गया है। एक बहुविकल्पी समारोह।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए $$f(z)=\sqrt{z}\,$$ धनात्मक वास्तविक संख्याओं पर सामान्य वर्गमूल फलन है। कोई अपने डोमेन को जटिल विमान में z = 1 के पड़ोस तक बढ़ा सकता है, और फिर $$z=1$$ से शुरू होने वाले वक्रों के साथ आगे बढ़ सकता है, ताकि किसी दिए गए वक्र के मान लगातार $$\sqrt{1}=1$$ से भिन्न हो। नकारात्मक वास्तविक संख्याओं तक विस्तार करने पर, वर्गमूल के लिए दो विपरीत मान प्राप्त होते हैं - उदाहरण के लिए $±i$ के लिए $–1$ इस पर निर्भर करता है कि डोमेन को जटिल विमान के ऊपरी या निचले आधे हिस्से के माध्यम से बढ़ाया गया है या नहीं। यह घटना बहुत बार-बार होती है, $n$वें मूल, लघुगणक और प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए घटित होती है।

एक जटिल बहुमान फलन से एकल-मूल्यवान फलन को परिभाषित करने के लिए, एक से अधिक मानों में से एक को मुख्य मान के रूप में अलग किया जा सकता है, जो पूरे विमान पर एकल-मूल्यवान फलन का उत्पादन करता है जो कुछ सीमा वक्रों के साथ बंद है। वैकल्पिक रूप से, मल्टीवैल्यूड फलन से निपटने से कुछ ऐसा होता है जो हर जगह निरंतर होता है, संभावित मूल्य परिवर्तन की कीमत पर जब कोई बंद पथ (मोनोड्रोमी) का पालन करता है। रीमैन सतहों के सिद्धांत में इन समस्याओं का समाधान किया गया है: एक बहुमान फलन $$f(z)$$ को किसी भी मूल्य को छोड़े बिना एक सामान्य फलन के रूप में विचार करने के लिए डोमेन को कई-स्तरित कवरिंग स्पेस में कई गुना गुणा करता है जो कि $$f(z)$$ से जुड़ी रीमैन सतह है।

उदाहरण
\tan\left(\tfrac{\pi}{4}\right) = \tan\left(\tfrac{5\pi}{4}\right) = \tan\left({\tfrac{-3\pi}{4}}\right) = \tan\left({\tfrac{(2n+1)\pi}{4}}\right) = \cdots = 1. $$
 * शून्य से बड़ी प्रत्येक वास्तविक संख्या के दो वास्तविक वर्गमूल होते हैं, ताकि वर्गमूल को एक बहुमूल्यवान फलन माना जा सके। उदाहरण के लिए, हम लिख सकते हैं $$\sqrt{4}=\pm 2=\{2,-2\}$$; हालाँकि शून्य का केवल एक वर्गमूल होता है, $$\sqrt{0} =\{0\}$$.
 * प्रत्येक अशून्य सम्मिश्र संख्या में दो वर्गमूल, तीन घनमूल और सामान्यतया n nवां मूल होता है। 0 का केवल nवाँ मूल 0 है।
 * जटिल लघुगणक फलन बहुमान है। द्वारा ग्रहण किए गए मान $$\log(a+bi)$$ वास्तविक संख्या के लिए $$a$$ और $$b$$ हैं $$\log{\sqrt{a^2 + b^2}} + i\arg (a+bi) + 2 \pi n i$$ सभी पूर्णांकों के लिए $$n$$.
 * प्रतिलोम त्रिकोणमितीय कार्य बहुमान होते हैं क्योंकि त्रिकोणमितीय कार्य आवधिक होते हैं। अपने पास $$
 * नतीजतन, आर्कटान (1) सहज रूप से कई मूल्यों से संबंधित है: $\pi$/4, 5π/4, −3π/4,, और इसी तरह। हम tan x के डोमेन को −π/2 < x < π/2 एक डोमेन जिस पर tan x नीरस रूप से बढ़ रहा है, तक सीमित करके आर्कटान को एकल-मूल्यवान फलन के रूप में मान सकते हैं। इस प्रकार, आर्कटान (एक्स) की सीमा−π/2 < y < π/2 बन जाती है। प्रतिबंधित डोमेन के इन मानों को प्रमुख मान कहा जाता है।
 * एंटीडेरिवेटिव को बहुमान फलन के रूप में माना जा सकता है। किसी फलन का प्रतिपक्षी उन फलनों का समुच्चय होता है जिसका व्युत्पन्न वह फलन होता है। एकीकरण की निरंतरता इस तथ्य से अनुसरण करती है कि एक स्थिर कार्य का व्युत्पन्न 0 है।
 * जटिल डोमेन पर व्युत्क्रम अतिपरवलयिक कार्य बहुमान होते हैं क्योंकि अतिशयोक्तिपूर्ण कार्य काल्पनिक अक्ष के साथ आवधिक होते हैं। रियल में, वे आर्कोश और आर्सेच को छोड़कर एकल-मूल्यवान हैं।

ये सभी बहुमान कार्यों के उदाहरण हैं जो गैर-इंजेक्शन कार्यों से आते हैं। चूंकि मूल कार्य उनके इनपुट की सभी सूचनाओं को सुरक्षित नहीं रखते हैं, इसलिए वे उत्क्रमणीय नहीं हैं। प्रायः एक बहुमान फलन का प्रतिबंध मूल फलन का आंशिक व्युत्क्रम होता है।

शाखा बिंदु
एक जटिल चर के बहुमान फलनों में शाखा बिंदु होते हैं। उदाहरण के लिए, nवें मूल और लघुगणक कार्यों के लिए, 0 एक शाखा बिंदु है; आर्कटैंजेंट फलन के लिए, काल्पनिक इकाइयां i और -i शाखा बिंदु हैं। शाखा बिंदुओं का उपयोग करके, इन कार्यों को सीमा को प्रतिबंधित करके एकल-मूल्यवान कार्यों के रूप में पुनर्परिभाषित किया जा सकता है। एक शाखा कट के उपयोग के माध्यम से एक उपयुक्त अंतराल पाया जा सकता है, एक प्रकार का वक्र जो शाखा बिंदुओं के जोड़े को जोड़ता है, इस प्रकार फलन की बहुस्तरीय रीमैन सतह को एक परत में कम कर देता है। जैसा कि वास्तविक कार्यों के मामले में, प्रतिबंधित सीमा को फलन की प्रमुख शाखा कहा जा सकता है।

अनुप्रयोग
भौतिकी में, बहुमान फलन तेजी से महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं। वे पॉल डिराक के चुंबकीय मोनोपोल के लिए गणितीय आधार बनाते हैं, क्रिस्टल में दोषों के सिद्धांत और सामग्रियों की परिणामी प्लास्टिसिटी (भौतिकी के लिए, सुपरफ्लूड्स और सुपरकंडक्टर्स में भंवरों के लिए, और इन प्रणालियों में चरण संक्रमण के लिए, उदाहरण के लिए पिघलने और क्वार्क कारावास। वे भौतिकी की कई शाखाओं में गेज क्षेत्र संरचनाओं के मूल हैं।

अग्रिम पठन

 * H. Kleinert, Multivalued Fields in Condensed Matter, Electrodynamics, and Gravitation, World Scientific (Singapore, 2008) (also available online)
 * H. Kleinert, Gauge Fields in Condensed Matter, Vol. I: Superflow and Vortex Lines, 1–742, Vol. II: Stresses and Defects, 743–1456, World Scientific, Singapore, 1989 (also available online: Vol. I and Vol. II)