मात्सुबारा आवृत्ति

थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, मात्सुबारा आवृत्ति योग (ताकेओ मात्सुबारा के नाम पर) असतत काल्पनिक आवृत्तियों का योग है। यह निम्नलिखित रूप लेता है
 * $$S_\eta = \frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_n} g(i\omega_n),$$

जहाँ $$\beta = \hbar / k_{\rm B} T$$ विपरीत तापमान और आवृत्तियाँ है। सामान्यतः $$\omega_n$$निम्नलिखित दो समूहों $$n\in\mathbb{Z}$$ में से किसी एक के साथ लिया जाता है।
 * बोसोनिक आवृत्तियाँ: $$\omega_n=\frac{2n\pi}{\beta},$$
 * फ़र्मीओनिक आवृत्तियाँ: $$\omega_n=\frac{(2n+1)\pi}{\beta},$$

यदि योग $$g(z=i\omega)$$ अभिसारित होगा‚ 0 इंच की ओर जाता है $$z\to\infty$$ की तुलना में तेज़ प्रणाली से सीमित करें $$z^{-1}$$. बोसोनिक आवृत्तियों पर योग को $$S_{\rm B}$$ (with $$\eta=+1$$) इस प्रकार दर्शाया गया है, जबकि इस प्रकार उस ओवर फर्मिओनिक आवृत्तियों को $$S_{\rm F}$$ (with $$\eta=-1$$). $$\eta$$ इस रूप में दर्शाया गया है सांख्यिकीय संकेत हैं।

थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के अतिरिक्त, मात्सुबारा आवृत्ति योग विधि भी ठोस-अवस्था भौतिकी के आरेखीय दृष्टिकोण में एक आवश्यक भूमिका निभाती है, अर्थात्, यदि कोई परिमित तापमान पर आरेखों पर विचार करता है। इस प्रकार सामान्यतया, यदि पर $$T=0\,\text{K}$$, एक निश्चित फेनमैन आरेख को एक अभिन्न द्वारा $$\int_{T=0}  \mathrm{ d}\omega \ g(\omega )$$ दर्शाया गया है, परिमित तापमान पर यह योग $$S_\eta$$ द्वारा दिया जाता है।

सामान्य औपचारिकता
मात्सुबारा आवृत्ति योग का मूल्यांकन करने की चाल मात्सुबारा वेटिंग वेरिएबल h η ( z ) का उपयोग करना है जिसमें सरल ध्रुव $$ z=i\omega_n$$ बिल्कुल स्थित हैं बोसॉन केस η = +1 और फर्मियन केस η = −1 में भार कार्य भिन्न होते हैं। वेटिंग वेरिएबल के चुनाव पर पश्चात् में बहस की जाएगी। इस प्रकार वेटिंग वेरिएबल के साथ, योग को काल्पनिक अक्ष के चारों ओर एक समोच्च अभिन्न अंग द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
 * $$S_\eta=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega} g(i\omega)=\frac{1}{2\pi i\beta}\oint g(z) h_\eta(z) \,dz,$$

जैसा कि चित्र 1 में है, वेटिंग वेरिएबल काल्पनिक अक्ष पर ध्रुव (लाल क्रॉस) उत्पन्न करता है। समोच्च अभिन्न अंग इन ध्रुवों के अवशेषों (समष्टि विश्लेषण) को उठाता है, इस प्रकार जो योग के सामान्तर है। इस प्रक्रिया को कभी-कभी सोमरफेल्ड-वाटसन परिवर्तन भी कहा जाता है।

जी(जेड) (चित्र 2 में हरा क्रॉस) के सभी ध्रुवों पर g(z)hη(z) घेरने के लिए समोच्च रेखाओं के विरूपण द्वारा, जी(जेड) के अवशेषों को जोड़कर औपचारिक रूप से योग पूरा किया जा सकता है।


 * $$S_\eta=-\frac 1 \beta \sum_{z_0\in g(z)\text{ poles}} \operatorname{Res} g(z_0) h_\eta(z_0).$$

ध्यान दें कि ऋण चिह्न उत्पन्न होता है, क्योंकि ध्रुवों को दक्षिणावर्त दिशा में घेरने के लिए रूपरेखा विकृत हो जाती है, जिसके परिणाम स्वरूप इस प्रकार ऋणात्मक अवशेष प्राप्त होता है।

मात्सुबारा वेटिंग वेरिएबल का विकल्प
बोसोन आवृत्तियों पर सरल ध्रुवों का निर्माण करना $$z=i\omega_n$$, मात्सुबारा वेटिंग वेरिएबल के निम्नलिखित दो प्रकारों में से किसी एक को चुना जा सकता है
 * $$h_{\rm B}^{(1)}(z)=\frac{\beta}{1-e^{-\beta z}}=-\beta n_{\rm B}(-z)=\beta(1+n_{\rm B}(z)),$$
 * $$h_{\rm B}^{(2)}(z)=\frac{-\beta}{1-e^{\beta z}}=\beta n_{\rm B}(z),$$

यह इस पर निर्भर करता है कि अभिसरण को किस आधे तल में नियंत्रित किया जाना है। $$h_{\rm B}^{(1)}(z)$$ बाएं आधे तल में अभिसरण को नियंत्रित करता है (Re z < 0), जबकि $$h_{\rm B}^{(2)}(z)$$ दाहिने आधे तल में अभिसरण को नियंत्रित करता है (Re z > 0)। यहाँ $$n_{\rm B}(z)=(e^{\beta z}-1)^{-1}$$ बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी बोस-आइंस्टीन वितरण वेरिएबल है।

फ़र्मिअन आवृत्तियों के लिए स्थिति समान है। इस प्रकार मात्सुबारा वेटिंग वेरिएबल भी दो प्रकार के होते हैं जो $$z=i\omega_m$$सरल ध्रुव उत्पन्न करते हैं
 * $$h_{\rm F}^{(1)}(z)=\frac{\beta}{1+e^{-\beta z}}=\beta n_{\rm F}(-z)=\beta(1-n_{\rm F}(z)),$$
 * $$h_{\rm F}^{(2)}(z)=\frac{-\beta}{1+e^{\beta z}}=-\beta n_{\rm F}(z).$$

$$h_{\rm F}^{(1)}(z)$$ बाएं आधे तल में अभिसरण को नियंत्रित करता है (Re z < 0), जबकि $$h_{\rm F}^{(2)}(z)$$ दाहिने आधे तल में अभिसरण (Re z > 0) को नियंत्रित करता है। यहाँ $$n_{\rm F} (z)=(e^{\beta z}+1)^{-1}$$ फर्मी-डिराक सांख्यिकी फर्मी-डिराक वितरण फलन है।

ग्रीन के वेरिएबल गणना के अनुप्रयोग में, g(z) में सदैव संरचना होती है
 * $$g(z)=G(z)e^{-z\tau},$$

जो 0 < τ < β दिए गए बाएँ आधे तल में विचलन करता है। अभिसरण को नियंत्रित करने के लिए, पहले प्रकार का वेटिंग वेरिएबल $$h_\eta(z)=h_\eta^{(1)}(z)$$ सदैव चुना जाता है। चूँकि, यदि मात्सुबारा योग भिन्न नहीं होता है तब अभिसरण को नियंत्रित करने की कोई आवश्यकता नहीं है। इस प्रकार उस स्थिति में, मात्सुबारा वेटिंग वेरिएबल के किसी भी विकल्प से समान परिणाम प्राप्त होंगे।

मात्सुबारा आवृत्ति योग की तालिका
निम्न तालिका में सम्मिलित है $$S_\eta=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega}g(i\omega)$$

कुछ सरल तर्कसंगत फलनों g(z) के लिए। प्रतीक η = ±1 सांख्यिकीय चिह्न है, बोसोन के लिए +1 और फ़र्मियन के लिए -1।

[1] चूंकि योग अभिसरण नहीं करता है, इसलिए मात्सुबारा वेटिंग वेरिएबल की भिन्न-भिन्न पसंद पर परिणाम भिन्न हो सकते हैं।

[2] (1 ↔ 2) पहले की तरह ही अभिव्यक्ति को दर्शाता है किन्तु सूचकांक 1 और 2 आपस में बदल गए हैं।

शून्य तापमान सीमा
इस सीमा में $$\beta\rightarrow\infty$$, मात्सुबारा आवृत्ति योग काल्पनिक अक्ष पर काल्पनिक आवृत्ति के एकीकरण के सामान्तर है।
 * $$\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega}=\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\mathrm{d}(i\omega)}{2\pi i}.$$

कुछ अभिन्न अंग अभिसरण नहीं करते हैं। फ्रीक्वेंसी कटऑफ प्रयुक्त करके उन्हें नियमित किया जाना चाहिए $$\Omega$$, और फिर अपसारी भाग को घटाना ($$\Omega$$-निर्भर) की सीमा लेने से पहले अभिन्न से $$\Omega\rightarrow\infty$$. उदाहरण के लिए, मुक्त ऊर्जा लघुगणक के अभिन्न अंग द्वारा प्राप्त की जाती है,
 * $$\eta \lim_{\Omega\rightarrow\infty}\left[

\int_{-i\Omega}^{i\Omega}\frac{\mathrm{d}(i\omega)}{2\pi i} \left(\ln(-i\omega+\xi)-\frac{\pi\xi}{2\Omega}\right)-\frac{\Omega}{\pi}(\ln\Omega-1)\right] =\left\{ \begin{array}{cc} 0 & \xi\geq0, \\ -\eta\xi & \xi<0, \end{array} \right. $$ इसका कारण है कि शून्य तापमान पर, मुक्त ऊर्जा केवल रासायनिक क्षमता से नीचे की आंतरिक ऊर्जा से संबंधित होती है। साथ ही इस प्रकार वितरण फलन निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है
 * $$\eta \lim_{\Omega\rightarrow\infty}

\int_{-i\Omega}^{i\Omega}\frac{\mathrm{d}(i\omega)}{2\pi i} \left(\frac{1}{-i\omega+\xi}-\frac{\pi}{2\Omega}\right) =\left\{ \begin{array}{cc} 0 & \xi\geq0, \\ -\eta & \xi<0, \end{array} \right. $$ जो शून्य तापमान पर स्टेप वेरिएबल व्यवहार को दर्शाता है।

समय डोमेन
काल्पनिक समय अंतराल (0,β) पर परिभाषित एक वेरिएबल G(τ) पर विचार करें। इसे फूरियर श्रृंखला के संदर्भ में दिया जा सकता है,


 * $$G(\tau)=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega} G(i\omega) e^{-i\omega\tau},$$

जहां आवृत्ति केवल 2 के अंतर वाले भिन्न-भिन्न $\pi$/β मान लेती है।

आवृत्ति की विशेष पसंद वेरिएबल G(τ) की सीमा स्थिति पर निर्भर करती है। इस प्रकार भौतिकी में, G(τ) का अर्थ ग्रीन के वेरिएबल का काल्पनिक समय प्रतिनिधित्व है


 * $$G(\tau)=-\langle \mathcal{T}_\tau \psi(\tau)\psi^*(0) \rangle. $$

यह बोसोन क्षेत्र के लिए आवधिक सीमा शर्त G(τ+β)=G(τ) को संतुष्ट करता है। जबकि एक फर्मियन क्षेत्र के लिए सीमा की स्थिति एंटी-आवधिक G(τ+β)=−G(τ) है।

आवृत्ति डोमेन में ग्रीन के वेरिएबल G(iω) को देखते हुए, इसके काल्पनिक समय प्रतिनिधित्व G(τ) का मूल्यांकन मात्सुबारा आवृत्ति योग द्वारा किया जा सकता है। बोसोन या फ़र्मियन आवृत्तियों के आधार पर, जिनका योग किया जाना है, परिणामी G(τ) भिन्न हो सकता है। भेद करना, परिभाषित करना
 * $$G_\eta(\tau)= \begin{cases}

G_{\rm B}(\tau), & \text{if } \eta = +1, \\ G_{\rm F}(\tau), & \text{if } \eta = -1, \end{cases} $$ साथ
 * $$G_{\rm B}(\tau)=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_n}G(i\omega_n)e^{-i\omega_n\tau},$$
 * $$G_{\rm F}(\tau)=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_m}G(i\omega_m)e^{-i\omega_m\tau}.$$

ध्यान दें कि τ मुख्य अंतराल (0,β) में प्रतिबंधित है। इस प्रकार सीमा स्थिति का उपयोग G(τ) को मुख्य अंतराल से बाहर बढ़ाने के लिए किया जा सकता है। कुछ अधिकांशतः उपयोग किए जाने वाले परिणाम निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं।

ऑपरेटर स्विचिंग प्रभाव
छोटा सा काल्पनिक समय यहां एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। इस प्रकार छोटे काल्पनिक समय के संकेत बदलने पर संचालकों का क्रम बदल जाएगा।
 * $$\langle \psi\psi^*\rangle=\langle \mathcal{T}_\tau \psi(\tau=0^+) \psi^*(0)\rangle

=-G_\eta(\tau=0^+)=-\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega}G(i\omega)e^{-i\omega 0^+}$$
 * $$\langle \psi^*\psi\rangle=\eta\langle \mathcal{T}_\tau \psi(\tau=0^-) \psi^*(0)\rangle

=-\eta G_\eta(\tau=0^-)=-\frac{\eta}{\beta}\sum_{i\omega}G(i\omega)e^{i\omega 0^+}$$

वितरण फलन
ग्रीन के वेरिएबल G(τ) के τ = 0 पर असंतत होने के कारण वितरण वेरिएबल का मूल्यांकन कठिनाई हो जाता है। इस प्रकार योग का मूल्यांकन करने के लिए
 * $$ G(0) = \sum_{i\omega}(i\omega-\xi)^{-1},$$

वेटिंग वेरिएबल के दोनों विकल्प स्वीकार्य हैं, किन्तु परिणाम भिन्न हैं। इसे समझा जा सकता है यदि हम G(τ) को τ = 0 से थोड़ा दूर धकेलते हैं, तब अभिसरण को नियंत्रित करने के लिए, हमें लेना होगा $$h_\eta^{(1)}(z)$$ के लिए भारोत्तोलन वेरिएबल के रूप में $$G(\tau=0^+)$$, और $$h_\eta^{(2)}(z)$$ के लिए $$G(\tau=0^-)$$.

बोसॉनों
 * $$G_{\rm B}(\tau=0^-)=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_n}\frac{e^{i\omega_n 0^+}}{i\omega_n-\xi}=-n_{\rm B}(\xi),$$
 * $$G_{\rm B}(\tau=0^+)=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_n}\frac{e^{-i\omega_n 0^+}}{i\omega_n-\xi}=-(n_{\rm B}(\xi)+1).$$

फरमिओन्स
 * $$G_{\rm F}(\tau=0^-)=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_m}\frac{e^{i\omega_m 0^+}}{i\omega_m-\xi}=n_{\rm F}(\xi),$$
 * $$G_{\rm F}(\tau=0^+)=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_m}\frac{e^{-i\omega_m 0^+}}{i\omega_m-\xi}=-(1-n_{\rm F}(\xi)).$$

निःशुल्क ऊर्जा
बोसॉनों
 * $$\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_n} \ln(\beta(-i\omega_n+\xi))=\frac{1}{\beta}\ln(1-e^{-\beta\xi}),$$

फरमिओन्स
 * $$-\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_m} \ln(\beta(-i\omega_m+\xi))=-\frac{1}{\beta}\ln(1+e^{-\beta\xi}).$$

आरेख मूल्यांकन
अधिकांशतः सामने आने वाले आरेखों का मूल्यांकन यहां एकल मोड समूहिंग के साथ किया जाता है। इस प्रकार एकाधिक मोड समस्याओं का समाधान वर्णक्रमीय वेरिएबल इंटीग्रल द्वारा किया जा सकता है।

फर्मियन आत्म ऊर्जा

 * $$\Sigma(i\omega_m)=-\frac{1}{\beta }\sum _{i \omega_n } \frac{1}{i \omega_m +i \omega_n -\varepsilon }\frac{1}{i \omega_n -\Omega }=- \frac{n_{\rm B}(\varepsilon )+n_{\rm F}(\Omega )}{i \omega_m -\varepsilon +\Omega }.$$

कण-छिद्र बुलबुला

 * $$\Pi (i \omega_n )=\frac{1}{\beta }\sum _{i \omega_m } \frac{1}{i \omega_m +i \omega_n -\varepsilon }\frac{1}{i \omega_m -\varepsilon '}=\frac{n_{\rm B}(\varepsilon )+n_{\rm F} \left(\varepsilon '\right)}{i \omega_n -\varepsilon +\varepsilon'}.$$

कण-कण बुलबुला

 * $$\Pi (i \omega_n )=-\frac{1}{\beta }\sum _{i \omega_m } \frac{1}{i \omega_m +i \omega_n -\varepsilon }\frac{1}{-i \omega_m -\varepsilon '}=\frac{1-n_{\rm F}\left(\varepsilon '\right) + n_{\rm B}(\varepsilon )}{i \omega_n -\varepsilon -\varepsilon '}.$$

वितरण कार्य
सामान्य संकेतन $$n_\eta$$ या तब बोस (η=+1) या फर्मी (η=−1) वितरण वेरिएबल के लिए है
 * $$n_\eta(\xi)=\frac{1}{e^{\beta\xi}-\eta}.$$

यदि आवश्यक हो, विशिष्ट संकेतन nB और nF क्रमशः बोस और फर्मी वितरण कार्यों को इंगित करने के लिए उपयोग किया जाता है
 * $$n_\eta(\xi)= \begin{cases}

n_{\rm B}(\xi), & \text{if } \eta = +1, \\ n_{\rm F}(\xi), & \text{if } \eta = -1. \end{cases} $$

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों से संबंध
बोस वितरण वेरिएबल हाइपरबोलिक कोटैंजेंट वेरिएबल से संबंधित है
 * $$n_{\rm B}(\xi)=\frac{1}{2}\left(\operatorname{coth}\frac{\beta\xi}{2}-1\right).$$

फर्मी वितरण वेरिएबल हाइपरबोलिक स्पर्शरेखा वेरिएबल से संबंधित है
 * $$n_{\rm F}(\xi)=\frac{1}{2}\left(1-\operatorname{tanh}\frac{\beta\xi}{2}\right).$$

समता
दोनों वितरण कार्यों में निश्चित समानता नहीं है,
 * $$n_\eta(-\xi)=-\eta-n_\eta(\xi).$$

एक अन्य सूत्र के संदर्भ में है $$c_\eta$$ फलन
 * $$n_\eta(-\xi)=n_\eta(\xi)+2\xi c_\eta(0,\xi).$$

चूँकि उनके डेरिवेटिव में निश्चित समानता है।

बोस-फर्मी रूपांतरण
बोस और फर्मी वितरण वेरिएबल फर्मिओनिक आवृत्ति द्वारा चर के एक बदलाव के अनुसार प्रसारित होते हैं,
 * $$n_\eta(i\omega_m+\xi)=-n_{-\eta}(\xi).$$

चूँकि बोसोनिक आवृत्तियों द्वारा स्थानांतरण से कोई फर्क नहीं पड़ता।

पहला आदेश

 * $$n_{\rm B}^\prime(\xi)=-\frac{\beta}{4}\mathrm{csch}^2\frac{\beta \xi}{2},$$
 * $$n_{\rm F}^\prime(\xi)=-\frac{\beta}{4}\mathrm{sech}^2\frac{\beta \xi}{2}.$$

उत्पाद के संदर्भ में:
 * $$n_\eta^\prime(\xi)= -\beta n_\eta(\xi)(1+\eta n_\eta(\xi)).$$

शून्य तापमान सीमा में:
 * $$n_\eta^\prime(\xi)=\eta\delta(\xi) \text{ as } \beta\rightarrow\infty.$$

दूसरा क्रम

 * $$n_{\rm B}^{\prime\prime}(\xi)=\frac{\beta^2}{4}\operatorname{csch}^2\frac{\beta \xi}{2}\operatorname{coth}\frac{\beta \xi}{2},$$
 * $$n_{\rm F}^{\prime\prime}(\xi)=\frac{\beta^2}{4}\operatorname{sech}^2\frac{\beta \xi}{2}\operatorname{tanh}\frac{\beta \xi}{2}.$$

अंतर का सूत्र

 * $$n_\eta(a+b)-n_\eta(a-b)=-\frac{\mathrm{sinh}\beta b}{\mathrm{cosh}\beta a-\eta\,\mathrm{cosh}\beta b}.$$

केस ए = 0

 * $$n_{\rm B}(b)-n_{\rm B}(-b)=\mathrm{coth}\frac{\beta b}{2},$$
 * $$n_{\rm F}(b)-n_{\rm F}(-b)=-\mathrm{tanh}\frac{\beta b}{2}.$$

केस ए → 0

 * $$n_{\rm B}(a+b)-n_{\rm B}(a-b)=\operatorname{coth}\frac{\beta b}{2}+n_{\rm B}^{\prime\prime}(b)a^2+\cdots,$$
 * $$n_{\rm F}(a+b)-n_{\rm F}(a-b)=-\operatorname{tanh}\frac{\beta b}{2}+n_{\rm F}^{\prime\prime}(b)a^2+\cdots.$$

केस बी → 0

 * $$n_{\rm B}(a+b)-n_{\rm B}(a-b)=2n_{\rm B}^\prime(a)b+\cdots,$$
 * $$n_{\rm F}(a+b)-n_{\rm F}(a-b)=2n_{\rm F}^\prime(a)b+\cdots.$$

वेरिएबल सीη
परिभाषा:
 * $$c_\eta(a,b)\equiv-\frac{n_\eta(a+b)-n_\eta(a-b)}{2b}.$$

बोस और फर्मी प्रकार के लिए:
 * $$c_{\rm B}(a,b)\equiv c_+(a,b),$$
 * $$c_{\rm F}(a,b)\equiv c_-(a,b).$$

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों से संबंध

 * $$c_\eta(a,b)=\frac{\sinh\beta b}{2b(\cosh\beta a-\eta\cosh\beta b)}.$$

यह स्पष्ट है कि $$c_{\rm F}(a,b)$$ धनात्मक निश्चित है.

संख्यात्मक गणना में अतिप्रवाह से बचने के लिए tanh और coth वेरिएबल का उपयोग किया जाता है
 * $$c_{\rm B}(a,b)=\frac{1}{4b}\left(\operatorname{coth}\frac{\beta(a-b)}{2} - \operatorname{coth}\frac{\beta(a+b)}{2}\right),$$
 * $$c_{\rm F}(a,b)=\frac{1}{4b}\left(\operatorname{tanh}\frac{\beta(a+b)}{2} - \operatorname{tanh}\frac{\beta(a-b)}{2}\right).$$

केस ए = 0

 * $$c_{\rm B}(0,b)=-\frac{1}{2b}\operatorname{coth}\frac{\beta b}{2},$$
 * $$c_{\rm F}(0,b)=\frac{1}{2b}\operatorname{tanh}\frac{\beta b}{2}.$$

केस बी = 0

 * $$c_{\rm B}(a,0)=\frac{\beta}{4}\operatorname{csch}^2\frac{\beta a}{2},$$
 * $$c_{\rm F}(a,0)=\frac{\beta}{4}\operatorname{sech}^2\frac{\beta a}{2}.$$

निम्न तापमान सीमा
ए = 0 के लिए: $$c_{\rm F}(0,b)=\frac{1}{2|b|}.$$ बी = 0 के लिए: $$c_{\rm F}(a,0)=\delta(a).$$ सामान्य रूप में,
 * $$c_{\rm F}(a,b)=\begin{cases}

\frac{1}{2|b|}, & \text{if } |a|<|b| \\ 0, & \text{if } |a|>|b| \end{cases}$$

यह भी देखें

 * काल्पनिक समय
 * थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

बाहरी संबंध

 * अगस्टिन नीटो: मात्सुबारा आवृत्तियों पर रकम का मूल्यांकन। arXiv:hep-ph/9311210
 * जीथब रिपॉजिटरी: मात्सुबारसम मात्सुबारा आवृत्ति योग के लिए एक गणितज्ञ पैकेज।
 * ए. ताहेरिदेहकोर्डी, एस. कर्नो, जे.पी.एफ. लेब्लांक: हबर्ड-जैसे मॉडल के लिए एल्गोरिदमिक मात्सुबारा एकीकरण.. arXiv:cond-mat/1808.05188