पेरिडायनामिक्स

पेरिडायनामिक्स सातत्य यांत्रिकी का एक सूत्रीकरण है जो विकृति (इंजीनियरिंग) की ओर विशेष रूप से भंजन के साथ उन्मुख है।

उद्देश्य
पेरिडायनामिक सिद्धांत अभिन्न समीकरणों पर आधारित है, जो सातत्य यांत्रिकी के चिरप्रतिष्ठित सिद्धांत के विपरीत है, जो आंशिक अंतर समीकरणों पर आधारित है। चूंकि आघात सतहों और अन्य गणितीय विलक्षणता पर आंशिक व्युत्पन्न उपस्थित नहीं हैं, इसलिए सातत्य यांत्रिकी के चिरप्रतिष्ठित समीकरणों को सीधे लागू नहीं किया जा सकता है जब ऐसी विशेषताएं विरूपण (इंजीनियरिंग) में उपस्थित हों। पेरिडायनामिक सिद्धांत के अभिन्न समीकरणों को सीधे लागू किया जा सकता है, क्योंकि उन्हें आंशिक व्युत्पन्न की आवश्यकता नहीं होती है।

एक विकृत संरचना के गणितीय प्रतिरूप में सभी बिंदुओं पर सीधे समान समीकरणों को लागू करने की क्षमता पेरिडायनामिक दृष्टिकोण को भंजन यांत्रिकी की विशेष तकनीकों की आवश्यकता से बचने में मदद करती है। उदाहरण के लिए, पेरिडायनामिक्स में, तनाव तीव्रता कारक के आधार पर एक अलग दरार वृद्धि नियम की आवश्यकता नहीं है।

परिभाषा और बुनियादी शब्दावली
पेरिडायनामिक्स का मूल समीकरण गति का निम्नलिखित समीकरण है:


 * $$\rho(x)\ddot u(x,t)=\int_R f(u(x',t)-u(x,t),x'-x,x)dV_{x'} + b(x,t)$$

जहाँ $$x$$ तत्व में एक बिंदु $$R$$ है, $$t$$ समय है, $$u$$ विस्थापन (सदिश) क्षेत्र है, और $$\rho$$ अविकृत शरीर में द्रव्यमान घनत्व है। $$x'$$ एकीकरण का एक प्रतिरूप चर है।

सदिश मान फलन $$f$$ वह बल घनत्व है जो $$x'$$ $$x$$ पर आरोपित करता है। यह बल घनत्व आपेक्षिक विस्थापन और आपेक्षिक स्थिति सदिशों $$x'$$ और $$x$$ के बीच निर्भर करता है। $$f$$ के आयाम बल प्रति आयतन वर्ग हैं। फलन $$f$$ युग्‍मानूसार बल कार्य कहा जाता है और इसमें सभी संवैधानिक समीकरण (सामग्री-निर्भर) गुण होते हैं। यह वर्णन करता है कि आंतरिक बल विरूपण पर कैसे निर्भर करते हैं।

किसी $$x$$ और $$x'$$ के बीच के पारस्परिक प्रभाव को आबंध कहा जाता है। इस पारस्परिक प्रभाव में भौतिक तंत्र को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं है।

सामान्यतः ऐसा माना जाता है कि जब भी $$x$$ $$x'$$ के प्रतिवैस से बाहर होता है तो $$f$$ गायब हो जाता है (अविकृत विन्यास में) वह क्षितिज कहलाता है।

पेरिडायनामिक शब्द, एक विशेषण, वर्ष 2000 में प्रस्तावित किया गया था और उपसर्ग पेरी से आया है, जिसका अर्थ है चारों ओर, निकट या आसपास; और मूल डायना, जिसका अर्थ है बल या शक्ति। पेरिडायनामिक्स शब्द, एक संज्ञा, ठोस यांत्रिकी के पेरिडायनामिक प्रतिरूप वाक्यांश का संक्षिप्त रूप है।

जोड़ो में बल कार्य
संक्षिप्त अंकन $$u=u(x,t)$$ और $$u'=u(x',t)$$ का उपयोग करने पर न्यूटन का तीसरा नियम $$f$$ पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाता है :



\displaystyle f(u-u', x-x', x') = -f(u'-u, x'-x, x) $$ किसी $$x, x', u, u'$$ के लिए होता है। यह समीकरण बताता है कि बल घनत्व सदिश जो x' पर x लगाता है, बल घनत्व सदिश घटाता है जो x' x पर लगाता है। कोणीय गति के संतुलन के लिए आवश्यक है कि f x की विकृत स्थिति को x की विकृत स्थिति से जोड़ने वाले सदिश के समानांतर हो:


 * $$\displaystyle ((x'+u')-(x+u))\times f(u'-u, x'-x, x)=0.$$

एक जोड़ीदार बल फलन के एक लेखाचित्र द्वारा निर्दिष्ट किया गया है $$|f|$$ बनाम बंधन दीर्धीकरण $$e$$, द्वारा परिभाषित

$$\displaystyle e=|(x'+u')-(x+u)|-|x'-x|.$$

दो विशिष्ट बिंदुओं को जोड़ने वाले बंधन के लिए जोड़ीदार बल कार्य का एक योजनाबद्ध निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है:



हानि
जब उनका बढ़ाव कुछ निर्धारित मूल्य से अधिक हो जाता है, तो आबंध को टूटने की अनुमति देकर जोड़ीदार बल फलन में क्षति को सम्मिलित किया जाता है। एक बंधन के टूटने के बाद, यह अब किसी भी बल का समर्थन नहीं करता है, और समापन बिंदु प्रभावी रूप से एक दूसरे से अलग हो जाते हैं। जब एक बंधन टूटता है, तो जो बल वह ले रहा था वह अन्य बंधनों में पुनर्वितरित होता है जो अभी तक टूटा नहीं है। यह बढ़ा हुआ भार इस बात की अधिक संभावना बनाता है कि ये अन्य बंधन टूट जाएंगे। बंधन टूटने और भार पुनर्वितरण की प्रक्रिया, आगे टूटने की ओर अग्रसर होती है, इस प्रकार पेरिडायनामिक प्रतिरूप में दरारें बढ़ती हैं।

पेरिडायनामिक स्थिति
ऊपर वर्णित सिद्धांत मानता है कि प्रत्येक पेरिडायनामिक बंधन अन्य सभी से स्वतंत्र रूप से प्रतिक्रिया करता है। यह अधिकांश सामग्रियों के लिए एक सरलीकरण है और उन सामग्रियों के प्रकारों पर प्रतिबंध लगाता है जिन्हें प्रतिरूप किया जा सकता है। विशेष रूप से, इस धारणा का अर्थ है कि कोई भी रैखिक लोचदार सामग्री 1/4 के पॉइसन अनुपात तक सीमित है।

व्यापकता की इस कमी को दूर करने के लिए, पेरिडायनामिक स्थिति का विचार प्रस्तुत किया गया था। यह प्रत्येक आबंध में बल घनत्व को अपने स्वयं के खिंचाव के अतिरिक्त, इसके समापन बिंदुओं से जुड़े सभी आबंध में खिंचाव पर निर्भर करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, आबंध में बल अंतिम बिंदुओं पर शुद्ध आयतन परिवर्तन पर निर्भर हो सकता है। आबंध खिंचाव के प्रभाव के सापेक्ष इस आयतन परिवर्तन का प्रभाव पॉसों अनुपात को निर्धारित करता है। पेरिडायनामिक स्थिति के साथ, कोई भी सामग्री जिसे सातत्य यांत्रिकी के मानक सिद्धांत के भीतर प्रतिरूप किया जा सकता है, भंजन के लिए पेरिडायनामिक सिद्धांत के लाभों को बनाए रखते हुए एक पेरिडायनामिक सामग्री के रूप में तैयार किया जा सकता है।

ठोस शरीर यांत्रिकी के समीकरणों के अभिन्न रूप और आई. ए. कुनिन "सूक्ष्मसंरचना के साथ इलास्टिक मीडिया के सिद्धांत" में कर्नेल के रूप पर प्रतिबंधों की विस्तारित चर्चा पा सकते हैं। लोच का गैर-स्थानीय सिद्धांत। 1975 (रूसी में); आई. ए. कुनिन, माइक्रोस्ट्रक्चर के साथ इलास्टिक मीडिया I. वन-डायमेंशनल मॉडल्स (स्प्रिंगर, बर्लिन, 1982); I. A. कुनिन, माइक्रोस्ट्रक्चर II के साथ इलास्टिक मीडिया। त्रि-आयामी प्रतिरूप (स्प्रिंगर, बर्लिन, 1983) (अंग्रेज़ी में)।

यह भी देखें

 * भंजन यांत्रिकी
 * सातत्यक यांत्रिकी
 * जंगम सेलुलर automaton

बाहरी संबंध

 * Peridigm, an open-source computational peridynamics code
 * website on peridynamics
 * PeriDoX open-source repository for peridynamics and its documentation
 * Implementation of finite element and finite difference approximation of Nonlocal models