सेरे द्वैत

बीजगणितीय ज्यामिति में, गणित की एक शाखा, सेरे द्वैत बीजगणितीय किस्मों के सुसंगत शीफ कोहोलॉजी के लिए एक द्वैत (गणित) है, जिसे जीन पियरे सेरे  द्वारा सिद्ध किया गया है। मूल संस्करण एक चिकनी प्रक्षेप्य किस्म पर वेक्टर बंडलों पर लागू होता है, लेकिन अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक ने व्यापक सामान्यीकरण पाया, उदाहरण के लिए एकवचन किस्मों के लिए। एन-आयामी विविधता पर, प्रमेय कहता है कि एक कोहोलॉजी समूह $$H^i$$ दूसरे का दोहरा स्थान है, $$H^{n-i}$$. सेरे द्वैत टोपोलॉजी में पोंकारे द्वैत के सुसंगत शीफ कोहोमोलॉजी के लिए एनालॉग है, जिसमें कैनोनिकल लाइन बंडल ओरिएंटेशन शीफ की जगह लेता है।

सेरे द्वैत प्रमेय जटिल ज्यामिति में भी अधिक सामान्यतः सत्य है, कॉम्पैक्ट जटिल अनेक गुना  के लिए जो आवश्यक रूप से प्रोजेक्टिव विविधता जटिल बीजगणितीय विविधता नहीं हैं। इस सेटिंग में, सेरे द्वैत प्रमेय डोल्बौल्ट कोहोमोलॉजी के लिए हॉज सिद्धांत का एक अनुप्रयोग है, और इसे अण्डाकार ऑपरेटरों के सिद्धांत में परिणाम के रूप में देखा जा सकता है।

सेरे द्वंद्व की ये दो अलग-अलग व्याख्याएं गैर-एकवचन प्रक्षेपी जटिल बीजगणितीय किस्मों के लिए मेल खाती हैं, डॉल्बौल्ट के प्रमेय के एक अनुप्रयोग द्वारा डॉल्बौल्ट कोहोलॉजी से संबंधित शीफ कोहॉमोलॉजी।

बीजगणितीय प्रमेय
मान लीजिए कि X एक फ़ील्ड k के ऊपर आयाम n की एक सहज विविधता है। 'कैनोनिकल लाइन बंडल' को परिभाषित करें $$K_X$$ सुसंगत शीफ का बंडल होना#वेक्टर बंडलों के उदाहरण|एक्स पर एन-फॉर्म, कोटैंजेंट बंडल की शीर्ष बाहरी शक्ति:
 * $$K_X=\Omega^n_X={\bigwedge}^n(T^*X).$$

इसके अलावा मान लीजिए कि X, k के ऊपर उचित रूपवाद (उदाहरण के लिए, प्रक्षेप्य विविधता) है। तब सेरे द्वैत कहता है: एक बीजगणितीय वेक्टर बंडल ई पर एक्स और एक पूर्णांक i के लिए, एक प्राकृतिक समरूपता है
 * $$H^i(X,E)\cong H^{n-i}(X,K_X\otimes E^{\ast})^{\ast}$$

परिमित-आयामी k-वेक्टर रिक्त स्थान का। यहाँ $$\otimes$$ वेक्टर बंडलों के टेंसर उत्पाद को दर्शाता है। इससे यह निष्कर्ष निकलता है कि दो सह-समरूपता समूहों के आयाम समान हैं:
 * $$h^i(X,E)=h^{n-i}(X,K_X\otimes E^{\ast}).$$

पोंकारे द्वैत की तरह, सेरे द्वैत में समरूपता शीफ ​​कोहोमोलॉजी में शीफ कोहोमोलॉजी#कप उत्पाद से आती है। अर्थात्, प्राकृतिक ट्रेस मानचित्र के साथ कप उत्पाद की संरचना $$H^n(X,K_X)$$ एक आदर्श जोड़ी है:
 * $$H^i(X,E)\times H^{n-i}(X,K_X\otimes E^{\ast})\to H^n(X,K_X)\to k.$$

ट्रेस मैप डॉ कहलमज गर्भाशय में एकीकरण के सुसंगत शीफ कोहोमोलॉजी के लिए एनालॉग है।

विभेदक-ज्यामितीय प्रमेय
सेरे ने एक्स (एक कॉम्पैक्ट जटिल अनेक गुना ) और ई (एक होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल) के लिए भी समान द्वैत कथन साबित किया। यहाँ, सेरे द्वैत प्रमेय हॉज सिद्धांत का परिणाम है। अर्थात्, एक कॉम्पैक्ट कॉम्प्लेक्स मैनिफोल्ड पर $$X$$ रीमैनियन मीट्रिक से सुसज्जित, एक हॉज स्टार ऑपरेटर है


 * $$\star: \Omega^p(X) \to \Omega^{2n-p}(X),$$

कहाँ $$\dim_{\mathbb{C}} X = n$$. इसके अतिरिक्त, चूंकि $$X$$ जटिल है, जटिल विभेदक रूपों का प्रकार के रूपों में विभाजन होता है $$(p,q)$$. हॉज स्टार ऑपरेटर (जटिल-रैखिक रूप से जटिल-मूल्यवान अंतर रूपों तक विस्तारित) इस ग्रेडिंग के साथ इंटरैक्ट करता है


 * $$\star: \Omega^{p,q}(X) \to \Omega^{n-q,n-p}(X).$$

ध्यान दें कि होलोमोर्फिक और एंटी-होलोमोर्फिक सूचकांकों ने स्थान बदल लिया है। जटिल विभेदक रूपों पर एक संयुग्मन होता है जो प्रकार के रूपों का आदान-प्रदान करता है $$(p,q)$$ और $$(q,p)$$, और यदि कोई संयुग्म-रेखीय हॉज स्टार ऑपरेटर को परिभाषित करता है $$\bar{\star}\omega = \star \bar{\omega}$$ तो हमारे पास हैं


 * $$\bar{\star} : \Omega^{p,q}(X) \to \Omega^{n-p,n-q}(X).$$

संयुग्म-रेखीय हॉज स्टार का उपयोग करके, कोई हर्मिटियन को परिभाषित कर सकता है $$L^2$$-जटिल अंतर रूपों पर आंतरिक उत्पाद, द्वारा
 * $$\langle \alpha, \beta \rangle_{L^2} = \int_X \alpha \wedge \bar{\star}\beta,$$

कहाँ हैं $$\alpha \wedge \bar{\star}\beta$$ एक $$(n,n)$$-रूप, और विशेष रूप से एक जटिल-मूल्यवान $$2n$$-रूप, और इसलिए इसे एकीकृत किया जा सकता है $$X$$ इसकी विहित अभिमुखता के संबंध में। इसके अलावा, मान लीजिए $$(E,h)$$ एक हर्मिटियन होलोमोर्फिक वेक्टर बंडल है। फिर हर्मिटियन मीट्रिक $$h$$ एक संयुग्म-रैखिक समरूपता देता है $$E\cong E^*$$ बीच में $$E$$ और इसका दोहरी वेक्टर बंडल, मान लीजिए $$\tau: E\to E^*$$. परिभाषित $$\bar{\star}_E (\omega \otimes s) = \bar{\star} \omega \otimes \tau(s)$$, व्यक्ति एक समरूपता प्राप्त करता है


 * $$\bar{\star}_E : \Omega^{p,q}(X,E) \to \Omega^{n-p,n-q}(X,E^*)$$

कहाँ $$\Omega^{p,q}(X,E)= \Omega^{p,q}(X) \otimes \Gamma(E)$$ चिकनी से मिलकर बनता है $$E$$-मूल्यवान जटिल विभेदक रूप। के बीच युग्म का उपयोग करना $$E$$ और $$E^*$$ द्वारा दिए गए $$\tau$$ और $$h$$, इसलिए कोई हर्मिटियन को परिभाषित कर सकता है $$L^2$$-ऐसे पर आंतरिक उत्पाद $$E$$-मूल्यवान प्रपत्र द्वारा
 * $$\langle \alpha, \beta \rangle_{L^2} = \int_X \alpha \wedge_h \bar{\star}_E \beta,$$

यहां कहां $$\wedge_h$$ इसका अर्थ है विभेदक रूपों का पच्चर उत्पाद और बीच में युग्मन का उपयोग करना $$E$$ और $$E^*$$ द्वारा दिए गए $$h$$.

डॉल्बुल्ट कोहोमोलॉजी के लिए हॉज प्रमेय इस बात पर जोर देता है कि यदि हम परिभाषित करते हैं


 * $$\Delta_{\bar{\partial}_E} = \bar{\partial}_E^* \bar{\partial}_E + \bar{\partial}_E \bar{\partial}_E^*$$

कहाँ $$\bar{\partial}_E$$ का डॉल्बुल्ट संचालक है $$E$$ और $$\bar{\partial}_E^*$$ तो, आंतरिक उत्पाद के संबंध में इसका औपचारिक जोड़ है
 * $$H^{p,q}(X,E) \cong \mathcal{H}^{p,q}_{\Delta_{\bar{\partial}_E}} (X).$$

बायीं ओर डोल्बौल्ट कोहोमोलॉजी है, और दायीं ओर हार्मोनिक का वेक्टर स्थान है $$E$$-मूल्यवान विभेदक रूपों द्वारा परिभाषित


 * $$\mathcal{H}^{p,q}_{\Delta_{\bar{\partial}_E}} (X) = \{\alpha \in \Omega^{p,q}(X,E) \mid \Delta_{\bar{\partial}_E} (\alpha) = 0\}.$$

इस विवरण का उपयोग करते हुए, सेरे द्वैत प्रमेय को इस प्रकार कहा जा सकता है: समरूपता $$\bar{\star}_E$$ एक जटिल रैखिक समरूपता उत्पन्न करता है


 * $$H^{p,q}(X,E) \cong H^{n-p,n-q}(X,E^*)^*.$$

उपरोक्त हॉज सिद्धांत का उपयोग करके इसे आसानी से सिद्ध किया जा सकता है। अर्थात्, यदि $$[\alpha]$$ में एक कोहोमोलॉजी कक्षा है $$H^{p,q}(X,E)$$ अद्वितीय हार्मोनिक प्रतिनिधि के साथ $$\alpha \in \mathcal{H}^{p,q}_{\Delta_{\bar{\partial}_E}} (X)$$, तब


 * $$(\alpha, \bar{\star}_E \alpha) = \langle \alpha, \alpha \rangle_{L^2} \ge 0$$

समानता के साथ यदि और केवल यदि $$\alpha = 0$$. विशेष रूप से, जटिल रैखिक युग्मन


 * $$(\alpha, \beta) = \int_X \alpha \wedge_h \beta$$

बीच में $$\mathcal{H}^{p,q}_{\Delta_{\bar{\partial}_E}} (X)$$ और $$\mathcal{H}^{n-p,n-q}_{\Delta_{\bar{\partial}_{E^*}}} (X)$$ गैर-पतित है, और सेरे द्वैत प्रमेय में समरूपता को प्रेरित करता है।

बीजगणितीय सेटिंग में सेरे द्वैत का कथन लेकर पुनः प्राप्त किया जा सकता है $$p=0$$, और डॉल्बुल्ट के प्रमेय को लागू करना, जो यह बताता है


 * $$H^{p,q}(X,E) \cong H^q(X, \boldsymbol{\Omega}^p \otimes E)$$

जहां बायीं ओर डॉल्बौल्ट कोहोमोलॉजी है और दाहिनी ओर शीफ कोहोमोलॉजी है, जहां $$\boldsymbol{\Omega}^p $$ होलोमोर्फिक के शीफ़ को दर्शाता है $$(p,0)$$-रूप। विशेष रूप से, हम प्राप्त करते हैं


 * $$H^q(X,E) \cong H^{0,q}(X,E) \cong H^{n,n-q}(X,E^*)^* \cong H^{n-q}(X, K_X \otimes E^*)^*$$

जहां हमने होलोमोर्फिक के शीफ का उपयोग किया है $$(n,0)$$-forms केवल विहित बंडल है $$X$$.

बीजगणितीय वक्र
सेरे द्वैत का एक मौलिक अनुप्रयोग बीजगणितीय वक्रों के लिए है। (जटिल संख्याओं पर, यह कॉम्पैक्ट रीमैन सतहों पर विचार करने के बराबर है।) फ़ील्ड k के ऊपर एक चिकने प्रक्षेप्य वक्र $$H^0(X,L)$$ और $$H^1(X,L)$$. सेरे द्वैत का वर्णन करता है $$H^1$$ एक के संदर्भ में समूह $$H^0$$ समूह (एक अलग लाइन बंडल के लिए)। चूँकि, यह अधिक ठोस है $$H^0$$ एक लाइन बंडल का बस उसके अनुभागों का स्थान है।

सेरे द्वैत वक्रों के लिए रीमैन-रोच प्रमेय के लिए विशेष रूप से प्रासंगिक है। जीनस (गणित) जी के वक्र एक्स पर डिग्री डी के एक लाइन बंडल एल के लिए, रीमैन-रोच प्रमेय कहता है कि
 * $$h^0(X,L)-h^1(X,L)=d-g+1.$$

सेरे द्वंद्व का उपयोग करते हुए, इसे और अधिक प्रारंभिक शब्दों में दोहराया जा सकता है:
 * $$h^0(X,L)-h^0(X,K_X\otimes L^*)=d-g+1.$$

बाद वाला कथन (भाजक (बीजगणितीय ज्यामिति) के संदर्भ में व्यक्त) वास्तव में 19वीं शताब्दी के प्रमेय का मूल संस्करण है। यह मुख्य उपकरण है जिसका उपयोग यह विश्लेषण करने के लिए किया जाता है कि किसी दिए गए वक्र को प्रक्षेप्य स्थान में कैसे एम्बेड किया जा सकता है और इसलिए बीजगणितीय वक्रों को वर्गीकृत किया जा सकता है।

उदाहरण: ऋणात्मक डिग्री वाले लाइन बंडल का प्रत्येक वैश्विक खंड शून्य है। इसके अलावा, विहित बंडल की डिग्री है $$2g-2$$. इसलिए, रीमैन-रोच का तात्पर्य है कि डिग्री के एक लाइन बंडल एल के लिए $$d>2g-2$$, $$h^0(X,L)$$ के बराबर है $$d-g+1$$. जब जीनस जी कम से कम 2 होता है, तो यह सेरे द्वैत का अनुसरण करता है $$h^1(X,TX)=h^0(X,K_X^{\otimes 2})=3g-3$$. यहाँ $$H^1(X,TX)$$ एक्स का प्रथम-क्रम विरूपण सिद्धांत है। यह दिखाने के लिए आवश्यक बुनियादी गणना है कि जीनस जी के वक्रों के मॉड्यूलि स्पेस में आयाम है $$3g-3$$.

सुसंगत ढेरों के लिए क्रमिक द्वंद्व
सेरे द्वैत का एक अन्य सूत्रीकरण केवल वेक्टर बंडलों के लिए नहीं, बल्कि सभी सुसंगत ढेरों के लिए है। सेरे द्वंद्व को सामान्य बनाने में पहले कदम के रूप में, ग्रोथेंडिक ने दिखाया कि यह संस्करण हल्की विलक्षणताओं वाली योजना (गणित) के लिए काम करता है, कोहेन-मैकाले रिंग|कोहेन-मैकाले योजनाएं, न कि केवल चिकनी योजनाएं।

अर्थात्, फ़ील्ड k पर शुद्ध आयाम n की कोहेन-मैकाले योजना X के लिए, ग्रोथेंडिक ने एक सुसंगत शीफ को परिभाषित किया $$\omega_X$$ एक्स पर 'डुअलाइजिंग शीफ' कहा जाता है। (कुछ लेखक इसे शीफ कहते हैं $$K_X$$.) इसके अलावा मान लीजिए कि X, k के ठीक ऊपर है। X पर एक सुसंगत शीफ़ E और एक पूर्णांक i के लिए, सेरे द्वैत कहता है कि एक प्राकृतिक समरूपता है
 * $$\operatorname{Ext}^i_X(E,\omega_X)\cong H^{n-i}(X,E)^*$$

परिमित-आयामी k-वेक्टर रिक्त स्थान का। यहां एक्सट ऑपरेटर को मॉड्यूल के शीव्स की एबेलियन श्रेणी में लिया गया है$$O_X$$-मॉड्यूल. इसमें पिछला कथन भी शामिल है $$\operatorname{Ext}^i_X(E,\omega_X)$$ के लिए समरूपी है $$H^i(X,E^*\otimes \omega_X)$$ जब E एक सदिश बंडल है।

इस परिणाम का उपयोग करने के लिए, किसी को कम से कम विशेष मामलों में, स्पष्ट रूप से दोहरीकरण शीफ को निर्धारित करना होगा। जब X, k के ऊपर चिकना होता है, $$\omega_X$$ कैनोनिकल लाइन बंडल है $$K_X$$ ऊपर परिभाषित. अधिक आम तौर पर, यदि
 * $$\omega_X\cong\mathcal{Ext}^r_{O_Y}(O_X,K_Y).$$

जब
 * $$\omega_X\cong K_Y|_X\otimes {\bigwedge}^r(N_{X/Y}).$$

इस मामले में, एक्स एक कोहेन-मैकाले योजना है $$\omega_X$$ एक लाइन बंडल, जो कहता है कि एक्स गोरेन्स्टीन योजना है।

उदाहरण: मान लीजिए कि प्रक्षेप्य स्थान में X एक पूर्ण प्रतिच्छेदन है $${\mathbf P}^n$$ सजातीय बहुपदों द्वारा परिभाषित एक फ़ील्ड k पर $$f_1,\ldots,f_r$$ डिग्रियों का $$d_1,\ldots,d_r$$. (यह कहने का अर्थ है कि यह एक पूर्ण प्रतिच्छेदन है कि X का आयाम है $$n-r$$.) लाइन बंडल O(d) पर हैं $${\mathbf P}^n$$ पूर्णांक d के लिए, इस गुण के साथ कि घात d के सजातीय बहुपदों को O(d) के अनुभागों के रूप में देखा जा सकता है। फिर X का दोहरीकरण शीफ लाइन बंडल है
 * $$\omega_X=O(d_1+\cdots+d_r-n-1)|_X,$$

योजक सूत्र द्वारा. उदाहरण के लिए, डिग्री d के समतल वक्र X का दोहरीकरण शीफ है $$O(d-3)|_X$$.

कैलाबी-यौ तीन गुना का जटिल मॉड्यूल
विशेष रूप से, हम जटिल विकृतियों की संख्या की गणना कर सकते हैं, के बराबर $$\dim(H^1(X,TX))$$ एक क्विंटिक तीन गुना के लिए $$\mathbb{P}^4$$, एक कैलाबी-यॉ किस्म, सेरे द्वैत का उपयोग करते हुए। चूँकि Calabi-Yau संपत्ति सुनिश्चित करती है $$K_X \cong \mathcal{O}_X$$ सेरे द्वंद्व हमें यह दिखाता है $$H^1(X,TX) \cong H^2(X, \mathcal{O}_X\otimes \Omega_X) \cong H^2(X, \Omega_X)$$ जटिल मॉड्यूल की संख्या को दर्शाना बराबर है $$h^{2,1}$$ हॉज हीरे में. बेशक, अंतिम कथन बोगोमोलेव-तियान-टोडोरोव प्रमेय पर निर्भर करता है जो बताता है कि कैलाबी-याउ पर प्रत्येक विकृति अबाधित है।

ग्रोथेंडिक द्वंद्व
ग्रोथेंडिक का सुसंगत द्वैत का सिद्धांत व्युत्पन्न श्रेणियों की भाषा का उपयोग करते हुए, सेरे द्वैत का एक व्यापक सामान्यीकरण है। फ़ील्ड k पर परिमित प्रकार की किसी भी योजना X के लिए, एक वस्तु होती है $$\omega_X^{\bullet}$$ X पर सुसंगत ढेरों की बंधी हुई व्युत्पन्न श्रेणी का, $$D^b_{\operatorname{coh}}(X)$$, जिसे k के ऊपर X का दोहरीकरण कॉम्प्लेक्स कहा जाता है। औपचारिक रूप से, $$\omega_X^{\bullet}$$ असाधारण व्युत्क्रम छवि फ़ैक्टर है $$f^!O_Y$$, जहां f दिया गया रूपवाद है $$X\to Y=\operatorname{Spec}(k)$$. जब X शुद्ध आयाम n का कोहेन-मैकाले है, $$\omega_X^{\bullet}$$ है $$\omega_X[n]$$; यानी, यह ऊपर चर्चा की गई द्वैतीकरण शीफ है, जिसे (कोहोमोलॉजिकल) डिग्री -एन में एक जटिल के रूप में देखा जाता है। विशेष रूप से, जब X, k के ऊपर चिकना होता है, $$\omega_X^{\bullet}$$ डिग्री −n में रखा गया कैनोनिकल लाइन बंडल है।

दोहरीकरण परिसर का उपयोग करते हुए, सेरे द्वैत किसी भी उचित योजना X को k से अधिक सामान्यीकृत करता है। अर्थात्, परिमित-आयामी k-वेक्टर रिक्त स्थान की एक प्राकृतिक समरूपता है
 * $$\operatorname{Hom}_X(E,\omega_X^{\bullet})\cong \operatorname{Hom}_X(O_X,E)^*$$

किसी भी वस्तु के लिए ई में $$D^b_{\operatorname{coh}}(X)$$. अधिक आम तौर पर, एक उचित योजना के लिए एक्स ओवर के, एक ऑब्जेक्ट ई इन $$D^b_{\operatorname{coh}}(X)$$, और एफ एक आदर्श परिसर है $$D_{\operatorname{perf}}(X)$$, एक के पास सुंदर कथन है:
 * $$\operatorname{Hom}_X(E,F\otimes \omega_X^{\bullet})\cong\operatorname{Hom}_X(F,E)^*.$$

यहां टेंसर उत्पाद का अर्थ व्युत्पन्न टेंसर उत्पाद है, जैसा कि व्युत्पन्न श्रेणियों में स्वाभाविक है। (पिछले फॉर्मूलेशन से तुलना करने के लिए, ध्यान दें $$\operatorname{Ext}^i_X(E,\omega_X)$$ के रूप में देखा जा सकता है $$\operatorname{Hom}_X(E,\omega_X[i])$$.) जब X, k के ऊपर भी चिकना होता है, तो प्रत्येक वस्तु अंदर आ जाती है $$D^b_{\operatorname{coh}}(X)$$ एक पूर्ण जटिल है, और इसलिए यह द्वंद्व सभी ई और एफ पर लागू होता है $$D^b_{\operatorname{coh}}(X)$$. उपरोक्त कथन को यह कहकर संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है $$F\mapsto F\otimes \omega_X^{\bullet}$$ यह एक सेरे ऑपरेटर है $$D^b_{\operatorname{coh}}(X)$$ X के लिए k के ऊपर चिकनी और उचित। किसी क्षेत्र में उचित बीजगणितीय रिक्त स्थान के लिए सेरे द्वैत अधिक सामान्यतः लागू होता है।