वर्ग क्रमांक समस्या

गणित में, गॉस वर्ग संख्या समस्या (काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों के लिए), जैसा कि आमतौर पर समझा जाता है, प्रत्येक n ≥ 1 के लिए काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों की पूरी सूची प्रदान करना है $$\mathbb{Q}(\sqrt{d})$$ (ऋणात्मक पूर्णांकों के लिए d) वर्ग संख्या (संख्या सिद्धांत) n। इसका नाम कार्ल फ्रेडरिक गॉस के नाम पर रखा गया है। इसे बीजगणितीय संख्या क्षेत्र के विभेदक के संदर्भ में भी कहा जा सकता है। वास्तविक द्विघात क्षेत्रों और व्यवहार के लिए संबंधित प्रश्न हैं $$d \to -\infty$$.

कठिनाई सीमाओं की प्रभावी गणना में है: किसी दिए गए विभेदक के लिए, वर्ग संख्या की गणना करना आसान है, और वर्ग संख्या पर कई अप्रभावी निचली सीमाएं हैं (जिसका अर्थ है कि उनमें एक स्थिरांक शामिल है जिसकी गणना नहीं की जाती है), लेकिन प्रभावी सीमाएं ( और सूचियों की पूर्णता के स्पष्ट प्रमाण) कठिन हैं।

गॉस के मूल अनुमान
समस्याएँ 1801 के गॉस के अंकगणितीय विवेचन (खंड V, अनुच्छेद 303 और 304) में प्रस्तुत की गई हैं। गॉस पहले दो अनुमानों को बताते हुए अनुच्छेद 303 में काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों पर चर्चा करते हैं, और तीसरे अनुमान को बताते हुए अनुच्छेद 304 में वास्तविक द्विघात क्षेत्रों पर चर्चा करते हैं।
 * गॉस अनुमान (वर्ग संख्या अनंत की ओर प्रवृत्त होती है): $$h(d) \to \infty\text{ as }d\to -\infty.$$
 * गॉस वर्ग संख्या समस्या (निम्न वर्ग संख्या सूचियाँ): दिए गए निम्न वर्ग संख्या (जैसे 1, 2, और 3) के लिए, गॉस दिए गए वर्ग संख्या के साथ काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों की सूचियाँ देता है और उन्हें पूर्ण मानता है।
 * वर्ग संख्या एक के साथ अनंत रूप से कई वास्तविक द्विघात क्षेत्र: गॉस का अनुमान है कि वर्ग संख्या एक के साथ अनंत रूप से कई वास्तविक द्विघात क्षेत्र हैं।

काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों के लिए मूल गॉस वर्ग संख्या समस्या आधुनिक कथन की तुलना में काफी अलग और आसान है: वह विभेदकों तक ही सीमित है, और गैर-मौलिक विभेदकों की अनुमति देता है।

स्थिति

 * गॉस अनुमान: हल, हेइलब्रॉन, 1934।
 * निम्न वर्ग संख्या सूचियाँ: वर्ग संख्या 1: हल, बेकर (1966), स्टार्क (1967), हेगनर (1952)।
 * कक्षा संख्या 2: हल, बेकर (1971), स्टार्क (1971)
 * कक्षा संख्या 3: हल, ओस्टरले (1985) :कक्षा संख्याएँ 100 तक: हल, वाटकिंस 2004


 * वर्ग संख्या एक के साथ अनंत रूप से कई वास्तविक द्विघात क्षेत्र: खुला।

वर्ग क्रमांक 1 के विभेदकों की सूचियाँ
काल्पनिक द्विघात संख्या फ़ील्ड के लिए, (मौलिक) काल्पनिक द्विघात फ़ील्ड#वर्ग संख्या 1 के विभेदक हैं:
 * $$d=-3,-4,-7,-8,-11,-19,-43,-67,-163.$$

वर्ग संख्या 1 के गैर-मौलिक विभेदक हैं:
 * $$d=-12,-16,-27,-28.$$

इस प्रकार, वर्ग संख्या 1 के सम विभेदक, मौलिक और गैर-मौलिक (गॉस का मूल प्रश्न) हैं:
 * $$d=-4,-8,-12,-16,-28.$$

आधुनिक विकास
1934 में, हंस हेइलब्रोन ने गॉस अनुमान को सिद्ध किया। समान रूप से, किसी भी वर्ग संख्या के लिए, उस वर्ग संख्या के साथ केवल सीमित रूप से कई काल्पनिक द्विघात संख्या फ़ील्ड होते हैं।

इसके अलावा 1934 में, हेइलब्रॉन और एडवर्ड लिनफ़ुट ने दिखाया कि वर्ग संख्या 1 के साथ अधिकतम 10 काल्पनिक द्विघात संख्या फ़ील्ड थे (9 ज्ञात, और अधिकतम एक आगे)। परिणाम अप्रभावी था (संख्या सिद्धांत में प्रभावी परिणाम देखें): इसने शेष क्षेत्र के आकार पर कोई सीमा नहीं दी।

बाद के विकास में, मामले n = 1 पर पहली बार कर्ट हेगनर द्वारा चर्चा की गई थी, जिसमें मॉड्यूलर रूपों और मॉड्यूलर समीकरणों का उपयोग करके दिखाया गया था कि ऐसा कोई क्षेत्र मौजूद नहीं हो सकता है। यह कार्य प्रारंभ में स्वीकार नहीं किया गया था; केवल हेरोल्ड स्टार्क और ब्रायन बिर्च  के बाद के काम से (उदाहरण के लिए स्टार्क-हेगनर प्रमेय और हेगनर संख्या पर) स्थिति स्पष्ट हुई और हेगनर के काम को समझा गया। व्यावहारिक रूप से एक साथ, एलन बेकर (गणितज्ञ) ने बीजगणितीय संख्याओं के लघुगणक में रैखिक रूपों पर वह साबित किया जिसे अब हम बेकर के प्रमेय के रूप में जानते हैं, जिसने समस्या को पूरी तरह से अलग विधि से हल किया। मामले n = 2 को कुछ ही समय बाद, कम से कम सैद्धांतिक रूप से, बेकर के काम के अनुप्रयोग के रूप में निपटाया गया। वर्ग संख्या 1 के साथ काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों की पूरी सूची है $$\mathbf{Q}(\sqrt{d})$$ जहां d इनमें से एक है
 * $$-1, -2, -3, -7, -11, -19, -43, -67, -163.$$

सामान्य मामला 1976 में डोरियन गोल्डफील्ड की खोज की प्रतीक्षा कर रहा था कि वर्ग संख्या समस्या को अण्डाकार वक्रों के एल-फ़ंक्शन|एल-फ़ंक्शन से जोड़ा जा सकता है। इसने ऐसे एल-फ़ंक्शन के एकाधिक शून्य के अस्तित्व को स्थापित करने के बारे में प्रभावी दृढ़ संकल्प के प्रश्न को प्रभावी ढंग से कम कर दिया। 1986 में ग्रॉस-ज़ैगियर प्रमेय के प्रमाण के साथ, किसी दिए गए वर्ग संख्या के साथ काल्पनिक द्विघात क्षेत्रों की एक पूरी सूची एक सीमित गणना द्वारा निर्दिष्ट की जा सकती है। n = 100 तक के सभी मामलों की गणना 2004 में वाटकिंस द्वारा की गई थी। की कक्षा संख्या $$\mathbf{Q}(\sqrt{-d})$$ क्योंकि d = 1, 2, 3, ... है


 * $$1, 1, 1, 1, 2, 2, 1, 1, 1, 2, 1, 1, 2, 4, 2, 1, 4, 1, 1, 2, 4, 2, 3, 2, 1, 6, 1, 1, 6, 4, 3, 1, ...$$.

वास्तविक द्विघात फ़ील्ड
वास्तविक द्विघात क्षेत्रों का विरोधाभासी मामला बहुत अलग है, और बहुत कम ज्ञात है। ऐसा इसलिए है क्योंकि वर्ग संख्या के लिए विश्लेषणात्मक सूत्र में जो प्रवेश करता है वह अपने आप में वर्ग संख्या h नहीं है - बल्कि h log ε है, जहां ε एक मौलिक इकाई (संख्या सिद्धांत) है। इस अतिरिक्त कारक को नियंत्रित करना कठिन है। यह अच्छी तरह से मामला हो सकता है कि वास्तविक द्विघात क्षेत्रों के लिए वर्ग संख्या 1 अनंत बार होती है।

कोहेन-लेनस्ट्रा अनुमान द्विघात क्षेत्रों के वर्ग समूहों की संरचना के बारे में अधिक सटीक अनुमानों का एक सेट है। वास्तविक क्षेत्रों के लिए उनका अनुमान है कि अभाज्य के वर्गमूल से सटे हुए प्राप्त लगभग 75.45% क्षेत्रों में वर्ग संख्या 1 होगी, जो परिणाम गणनाओं से मेल खाता है।

यह भी देखें

 * वर्ग संख्या एक के साथ संख्या फ़ील्ड की सूची