फूरियर विश्लेषण



गणित में, फूरियर विश्लेषण सामान्य फलन (गणित) को सरल त्रिकोणमितीय फलनों के  योग  द्वारा प्रदर्शित या अनुमानित करने के तरीके का अध्ययन है। फूरियर विश्लेषण फूरियर श्रृंखला के अध्ययन से विकसित हुआ, और इसका नाम  जोसेफ फूरियर  के नाम पर रखा गया, जिन्होंने दिखाया कि  त्रिकोणमितीय कार्य ों के योग के रूप में एक फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करना गर्मी हस्तांतरण के अध्ययन को बहुत सरल करता है।

फूरियर विश्लेषण के विषय में गणित का एक विशाल स्पेक्ट्रम शामिल है। विज्ञान और इंजीनियरिंग में, एक फ़ंक्शन को दोलन घटकों में विघटित करने की प्रक्रिया को अक्सर फूरियर विश्लेषण कहा जाता है, जबकि इन टुकड़ों से फ़ंक्शन के पुनर्निर्माण के संचालन को फूरियर संश्लेषण के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करने के लिए कि एक संगीत नोट में कौन से घटक आवृत्ति  मौजूद हैं, नमूनाकृत संगीत नोट के  फूरियर रूपांतरण  की गणना करना शामिल होगा। फूरियर विश्लेषण में सामने आए आवृत्ति घटकों को शामिल करके एक ही ध्वनि को फिर से संश्लेषित किया जा सकता है। गणित में, 'फूरियर विश्लेषण' शब्द अक्सर दोनों संक्रियाओं के अध्ययन को संदर्भित करता है।

अपघटन प्रक्रिया को ही फूरियर रूपांतरण कहा जाता है। इसका आउटपुट, फूरियर परिवर्तन, अक्सर एक अधिक विशिष्ट नाम दिया जाता है, जो फ़ंक्शन के डोमेन और फ़ंक्शन के अन्य गुणों पर निर्भर करता है। इसके अलावा, फूरियर विश्लेषण की मूल अवधारणा को अधिक से अधिक अमूर्त और सामान्य स्थितियों पर लागू करने के लिए समय के साथ विस्तारित किया गया है, और सामान्य क्षेत्र को अक्सर  हार्मोनिक विश्लेषण  के रूप में जाना जाता है। विश्लेषण के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रत्येक  रूपांतरण (गणित)  में एक समान उलटा कार्य परिवर्तन होता है जिसका उपयोग संश्लेषण के लिए किया जा सकता है।

फूरियर विश्लेषण का उपयोग करने के लिए, डेटा समान दूरी पर होना चाहिए। असमान स्थान वाले डेटा का विश्लेषण करने के लिए अलग-अलग दृष्टिकोण विकसित किए गए हैं, विशेष रूप से कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण  (एलएसएसए) विधियां जो फूरियर विश्लेषण के समान, डेटा नमूनों के लिए साइन तरंगों के कम से कम वर्गों का उपयोग करती हैं। फूरियर विश्लेषण, विज्ञान में सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली वर्णक्रमीय विधि, आम तौर पर लंबे अंतराल वाले रिकॉर्ड में लंबी अवधि के शोर को बढ़ाती है; एलएसएसए ऐसी समस्याओं को कम करता है।

अनुप्रयोग
फूरियर विश्लेषण के कई वैज्ञानिक अनुप्रयोग हैं - भौतिकी में, आंशिक अंतर समीकरण, संख्या सिद्धांत,  साहचर्य ,  संकेत प्रसंस्करण ,  डिजिटल इमेज प्रोसेसिंग , प्रायिकता सिद्धांत, सांख्यिकी,  फोरेंसिक ,  विकल्प मूल्य निर्धारण ,  क्रिप्टोग्राफी ,  संख्यात्मक विश्लेषण , ध्वनिकी, समुद्र विज्ञान,  सोनार ,  प्रकाशिकी ,  विवर्तन  ,  ज्यामिति ,  प्रोटीन  संरचना विश्लेषण, और अन्य क्षेत्र।

यह व्यापक प्रयोज्यता परिवर्तनों के कई उपयोगी गुणों से उत्पन्न होती है:
 * रूपान्तरण रेखीय संचालक हैं और, उचित सामान्यीकरण के साथ, एकात्मक संचालिका भी हैं (एक संपत्ति जिसे पारसेवल के प्रमेय के रूप में जाना जाता है या, अधिक सामान्यतः, प्लैंकेरल प्रमेय के रूप में, और सबसे आम तौर पर पोंट्रीगिन द्वैत  के माध्यम से)। * रूपांतरण आमतौर पर उलटा होता है।
 * घातांक प्रकार्य  यौगिक  के  eigenfunction  हैं, जिसका अर्थ है कि यह प्रतिनिधित्व रैखिक  अंतर समीकरण ों को निरंतर गुणांक वाले साधारण बीजगणितीय में बदल देता है। इसलिए,  एलटीआई प्रणाली  के व्यवहार | रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली का प्रत्येक आवृत्ति पर स्वतंत्र रूप से विश्लेषण किया जा सकता है।
 * [[ घुमाव प्रमेय ]] द्वारा, फूरियर रूपांतरण जटिल कनवल्शन ऑपरेशन को सरल गुणन में बदल देता है, जिसका अर्थ है कि वे कनवल्शन-आधारित संचालन जैसे सिग्नल फ़िल्टरिंग,  बहुपद  गुणन और गुणन एल्गोरिथ्म # फूरियर रूपांतरण विधियों की गणना करने का एक कुशल तरीका प्रदान करते हैं। * फूरियर रूपांतरण के  असतत फूरियर रूपांतरण  संस्करण (नीचे देखें) का तेजी से फूरियर रूपांतरण (FFT) एल्गोरिदम का उपयोग करके कंप्यूटर पर मूल्यांकन किया जा सकता है।

फोरेंसिक में, प्रयोगशाला इन्फ्रारेड स्पेक्ट्रोफोटोमीटर प्रकाश के तरंग दैर्ध्य को मापने के लिए फूरियर ट्रांसफॉर्म विश्लेषण का उपयोग करते हैं जिस पर इन्फ्रारेड स्पेक्ट्रम में एक सामग्री अवशोषित होगी। एफटी पद्धति का उपयोग मापा संकेतों को डिकोड करने और तरंग दैर्ध्य डेटा रिकॉर्ड करने के लिए किया जाता है। और एक कंप्यूटर का उपयोग करके, इन फूरियर गणनाओं को तेजी से किया जाता है, ताकि सेकंड के मामले में, एक कंप्यूटर संचालित एफटी-आईआर उपकरण एक प्रिज्म उपकरण की तुलना में इन्फ्रारेड अवशोषण पैटर्न का उत्पादन कर सके।

एक संकेत के कॉम्पैक्ट प्रतिनिधित्व के रूप में फूरियर रूपांतरण भी उपयोगी है। उदाहरण के लिए, जेपीईजी  संपीड़न डिजिटल छवि के छोटे वर्ग टुकड़ों के फूरियर रूपांतरण (असतत कोज्या परिवर्तन) के एक संस्करण का उपयोग करता है। प्रत्येक वर्ग के फूरियर घटकों को कम सटीकता (अंकगणित) के लिए गोल किया जाता है, और कमजोर घटकों को पूरी तरह से समाप्त कर दिया जाता है, ताकि शेष घटकों को बहुत सघन रूप से संग्रहीत किया जा सके। छवि पुनर्निर्माण में, प्रत्येक छवि वर्ग को संरक्षित अनुमानित फूरियर-रूपांतरित घटकों से पुन: जोड़ा जाता है, जो मूल छवि के सन्निकटन का उत्पादन करने के लिए उलटा-रूपांतरित होते हैं।

सिग्नल प्रोसेसिंग में, फूरियर रूपांतरण अक्सर एक समय श्रृंखला  या  निरंतर समय  का एक कार्य लेता है, और इसे  आवृत्ति स्पेक्ट्रम  में मैप करता है। अर्थात्, यह समय डोमेन से फ़्रीक्वेंसी डोमेन में एक फ़ंक्शन लेता है; यह विभिन्न आवृत्तियों की साइन लहर में एक समारोह की ओर्थोगोनल प्रणाली है; फूरियर श्रृंखला या असतत फूरियर रूपांतरण के मामले में, साइनसोइड विश्लेषण किए जा रहे फ़ंक्शन की मौलिक आवृत्ति के  लयबद्ध ्स हैं।

जब कोई समारोह $$s(t)$$ समय का एक कार्य है और एक भौतिक सिग्नल (सूचना सिद्धांत)  का प्रतिनिधित्व करता है, परिवर्तन की सिग्नल की आवृत्ति स्पेक्ट्रम के रूप में एक मानक व्याख्या है। परिणामी जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन का  परिमाण (गणित) । $$S(f)$$ आवृत्ति पर $$f$$ एक आवृत्ति घटक के  आयाम  का प्रतिनिधित्व करता है जिसका चरण (तरंगें) के कोण द्वारा दिया जाता है $$S(f)$$ (धुवीय निर्देशांक)।

फूरियर रूपांतरण समय के कार्यों और लौकिक आवृत्तियों तक सीमित नहीं हैं। वे समान रूप से स्थानिक आवृत्तियों का विश्लेषण करने के लिए और वास्तव में लगभग किसी भी फ़ंक्शन डोमेन के लिए लागू किए जा सकते हैं। यह मूर्ति प्रोद्योगिकी,  गर्मी चालन  और  स्वत: नियंत्रण  जैसी विविध शाखाओं में उनके उपयोग को सही ठहराता है।

ध्वनि, रेडियो तरंग ों, प्रकाश तरंगों, भूकंपीय तरंगों और यहां तक ​​कि छवियों जैसे संकेतों को संसाधित करते समय, फूरियर विश्लेषण एक मिश्रित तरंग के नैरोबैंड घटकों को अलग कर सकता है, उन्हें आसानी से पहचानने या हटाने के लिए केंद्रित कर सकता है। सिग्नल प्रोसेसिंग तकनीकों के एक बड़े परिवार में फूरियर-ट्रांसफॉर्मिंग सिग्नल, फूरियर-रूपांतरित डेटा को सरल तरीके से हेरफेर करना और परिवर्तन को उलटना शामिल है।

कुछ उदाहरणों में शामिल हैं:
 * बंदपास छननी की एक श्रृंखला के साथ ऑडियो रिकॉर्डिंग का समकरण (ऑडियो);
 * सुपरहेट्रोडाइन सर्किट के बिना डिजिटल रेडियो रिसेप्शन, जैसा कि एक आधुनिक सेल फोन या  रेडियो स्कैनर  में होता है;
 * समय-समय पर या एनिस्ट्रोपिक  कलाकृतियों को हटाने के लिए इमेज प्रोसेसिंग जैसे  इंटरलेस्ड वीडियो  से  गुड़,  पट्टी हवाई फोटोग्राफी  से स्ट्रिप आर्टिफैक्ट, या डिजिटल कैमरे में  रेडियो आवृत्ति हस्तक्षेप  से वेव पैटर्न;
 * सह-संरेखण के लिए समान छवियों का क्रॉस सहसंबंध;
 * एक्स - रे क्रिस्टलोग्राफी अपने विवर्तन पैटर्न से क्रिस्टल संरचना का पुनर्निर्माण करने के लिए;
 * एक चुंबकीय क्षेत्र में साइक्लोट्रॉन गति की आवृत्ति से आयनों के द्रव्यमान को निर्धारित करने के लिए फूरियर-रूपांतरित आयन साइक्लोट्रॉन अनुनाद द्रव्यमान स्पेक्ट्रोमेट्री;
 * स्पेक्ट्रोस्कोपी के कई अन्य रूप, अवरक्त स्पेक्ट्रोस्कोपी  और परमाणु चुंबकीय अनुनाद स्पेक्ट्रोस्कोपी सहित;
 * ध्वनियों का विश्लेषण करने के लिए उपयोग किए जाने वाले ध्वनि spectrogram  का निर्माण;
 * निष्क्रिय सोनार मशीनरी शोर के आधार पर लक्ष्यों को वर्गीकृत करता था।

(सतत) फूरियर रूपांतरण
बहुधा, अयोग्य शब्द फूरियर रूपांतरण एक निरंतर वास्तविक संख्या  तर्क के कार्यों के परिवर्तन को संदर्भित करता है, और यह आवृत्ति के एक निरंतर कार्य का उत्पादन करता है, जिसे 'आवृत्ति वितरण' के रूप में जाना जाता है। एक कार्य दूसरे में परिवर्तित हो जाता है, और संक्रिया उत्क्रमणीय होती है। जब इनपुट (प्रारंभिक) फ़ंक्शन का डोमेन समय ($t$), और आउटपुट (अंतिम) फ़ंक्शन का डोमेन फ़्रीक्वेंसी है, फ़ंक्शन का परिवर्तन $S(f)$ आवृत्ति पर $f$ जटिल संख्या द्वारा दिया जाता है:


 * $$S(f) = \int_{-\infty}^{\infty} s(t) \cdot e^{- i2\pi f t} \, dt.$$

के सभी मानों के लिए इस मात्रा का मूल्यांकन करना $f$ फ़्रीक्वेंसी-डोमेन फ़ंक्शन उत्पन्न करता है। फिर $s(t)$ सभी संभावित आवृत्तियों के जटिल घातांक ों के पुनर्संयोजन के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है:


 * $$s(t) = \int_{-\infty}^{\infty} S(f) \cdot e^{i2\pi f t} \, df,$$

जो उलटा परिवर्तन सूत्र है। जटिल संख्या, $s(t)$, आवृत्ति के आयाम और चरण दोनों को व्यक्त करता है $f$.

अधिक जानकारी के लिए फूरियर रूपांतरण देखें, जिसमें शामिल हैं:
 * आयाम सामान्यीकरण और आवृत्ति स्केलिंग/इकाइयों के लिए सम्मेलन
 * गुणों को रूपांतरित करें
 * विशिष्ट कार्यों के सारणीबद्ध परिवर्तन
 * छवियों जैसे कई आयामों के कार्यों के लिए एक विस्तार/सामान्यीकरण।

फूरियर श्रृंखला
एक आवधिक समारोह का फूरियर रूपांतरण, $S(f)$, अवधि के साथ $P$, जटिल गुणांकों  के अनुक्रम द्वारा संशोधित एक डायराक कंघी फ़ंक्शन बन जाता है:


 * $$S[k] = \frac{1}{P}\int_{P} s_P(t)\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{P} t}\, dt, \quad k\in\Z,$$ (कहां $s_{P}(t)$ लंबाई पी के किसी भी अंतराल पर अभिन्न है)।

व्युत्क्रम रूपांतरण, जिसे 'फूरियर श्रृंखला' के रूप में जाना जाता है, का प्रतिनिधित्व है $∫_{P}$ सामंजस्यपूर्ण रूप से संबंधित साइनसोइड्स या जटिल घातीय कार्यों की संभावित अनंत संख्या के योग के संदर्भ में, प्रत्येक एक गुणांक द्वारा निर्दिष्ट एक आयाम और चरण के साथ:


 * $$s_P(t)\ \ =\ \ \mathcal{F}^{-1}\left\{\sum_{k=-\infty}^{+\infty} S[k]\, \delta \left(f-\frac{k}{P}\right)\right\}\ \ =\ \ \sum_{k=-\infty}^\infty S[k]\cdot e^{i2\pi \frac{k}{P} t}.$$

कोई भी $s_{P}(t)$ किसी अन्य फ़ंक्शन के आवधिक योग  के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, $s_{P}(t)$:


 * $$s_P(t) \,\triangleq\, \sum_{m=-\infty}^\infty s(t-mP),$$

और गुणांक के नमूने के आनुपातिक हैं $s(t)$ के असतत अंतराल पर $S(f)$:

ध्यान दें कि कोई $1⁄P$ जिनके परिवर्तन में समान असतत नमूना मान हैं, उनका उपयोग आवधिक योग में किया जा सकता है। ठीक होने के लिए पर्याप्त स्थिति $s(t)$ (और इसीलिए $s(t)$) केवल इन नमूनों से (यानी फूरियर श्रृंखला से) गैर-शून्य भाग है $S(f)$ अवधि के ज्ञात अंतराल तक सीमित रहें $P$, जो निक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय का आवृत्ति डोमेन दोहरा है।
 * $$S[k] =\frac{1}{P}\cdot S\left(\frac{k}{P}\right).$$

अधिक जानकारी के लिए फूरियर श्रृंखला देखें, जिसमें ऐतिहासिक विकास भी शामिल है।

असतत-समय फूरियर रूपांतरण (DTFT)
DTFT टाइम-डोमेन फूरियर श्रृंखला का गणितीय दोहरा है। इस प्रकार, आवृत्ति डोमेन में अभिसारी आवधिक योग को फूरियर श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिसके गुणांक संबंधित निरंतर समय समारोह के नमूने हैं:


 * $$S_\frac{1}{T}(f)\ \triangleq\ \underbrace{\sum_{k=-\infty}^{\infty} S\left(f - \frac{k}{T}\right) \equiv \overbrace{\sum_{n=-\infty}^{\infty} s[n] \cdot e^{-i2\pi f n T}}^{\text{Fourier series (DTFT)}}}_{\text{Poisson summation formula}} = \mathcal{F} \left \{ \sum_{n=-\infty}^{\infty} s[n]\ \delta(t-nT)\right \},\,$$

जिसे DTFT के नाम से जाना जाता है। इस प्रकार डी.टी.टी.टी $s(t)$ अनुक्रम संग्राहक डायराक कंघी समारोह का फूरियर रूपांतरण भी है। फूरियर श्रृंखला गुणांक (और उलटा परिवर्तन), द्वारा परिभाषित किया गया है:


 * $$s[n]\ \triangleq\ T \int_\frac{1}{T} S_\frac{1}{T}(f)\cdot e^{i2\pi f nT} \,df = T \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} S(f)\cdot e^{i2\pi f nT} \,df}_{\triangleq\, s(nT)}.$$

पैरामीटर $T$ नमूनाकरण अंतराल के अनुरूप है, और इस फूरियर श्रृंखला को अब पोइसन योग सूत्र के एक रूप के रूप में पहचाना जा सकता है। इस प्रकार हमारे पास महत्वपूर्ण परिणाम है कि जब एक असतत डेटा अनुक्रम, $s[n]$, एक अंतर्निहित निरंतर कार्य के नमूने के समानुपातिक है, $s[n]$, कोई निरंतर फूरियर रूपांतरण का आवधिक योग देख सकता है, $s(t)$. ध्यान दें कि कोई $S(f)$ समान असतत नमूना मूल्यों के साथ समान DTFT का उत्पादन होता है लेकिन कुछ आदर्श स्थितियों के तहत सैद्धांतिक रूप से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है $s(t)$ और $S(f)$ बिल्कुल सही। पूर्ण पुनर्प्राप्ति के लिए एक पर्याप्त शर्त यह है कि गैर-शून्य भाग $s(t)$ चौड़ाई के ज्ञात आवृत्ति अंतराल तक ही सीमित रहें $S(f)$. जब वह अंतराल है $1⁄T$, लागू पुनर्निर्माण सूत्र व्हिटेकर-शैनन प्रक्षेप सूत्र है। यह अंकीय संकेत प्रक्रिया  की नींव में आधारशिला है।

रुचि रखने का एक और कारण $[−1⁄2T, 1⁄2T]$ यह है कि यह अक्सर नमूनाकरण प्रक्रिया के कारण अलियासिंग  की मात्रा में अंतर्दृष्टि प्रदान करता है।

DTFT के अनुप्रयोग नमूनाकृत कार्यों तक सीमित नहीं हैं। इस और अन्य विषयों पर अधिक जानकारी के लिए असतत-समय फूरियर रूपांतरण  देखें, जिसमें शामिल हैं:
 * सामान्यीकृत आवृत्ति इकाइयाँ
 * विंडोिंग (परिमित-लंबाई अनुक्रम)
 * गुणों को रूपांतरित करें
 * विशिष्ट कार्यों के सारणीबद्ध परिवर्तन

असतत फूरियर रूपांतरण (डीएफटी)
फूरियर श्रृंखला के समान, आवधिक अनुक्रम का DTFT, $$s_N[n]$$, अवधि के साथ $$N$$, जटिल गुणांकों के अनुक्रम द्वारा संशोधित एक डायराक कंघी फ़ंक्शन बन जाता है (देखें ):


 * $$S[k] = \sum_n s_N[n]\cdot e^{-i2\pi \frac{k}{N} n}, \quad k\in\Z,$$ (कहां $S1/T(f)$ लंबाई के किसी भी अनुक्रम का योग है $N$). $Σ_{n}$ }} अनुक्रम वह है जिसे आमतौर पर एक चक्र के डीएफटी के रूप में जाना जाता है $S[k]$. ये भी $N$-आवधिक, इसलिए इससे अधिक की गणना करना कभी भी आवश्यक नहीं है $N$ गुणांक। व्युत्क्रम परिवर्तन, जिसे असतत फूरियर श्रृंखला  के रूप में भी जाना जाता है, द्वारा दिया गया है:


 * $$s_N[n] = \frac{1}{N} \sum_{k} S[k]\cdot e^{i2\pi \frac{n}{N}k},$$ कहां $sN$ लंबाई के किसी भी अनुक्रम का योग है $N$.

कब $Σ_{k}$ किसी अन्य फ़ंक्शन के आवधिक योग के रूप में व्यक्त किया गया है:

गुणांक के नमूने के आनुपातिक हैं $sN[n]$ के असतत अंतराल पर $S1/T(च)$:
 * $$s_N[n]\, \triangleq\, \sum_{m=-\infty}^{\infty} s[n-mN],$$ और $$s[n]\, \triangleq\, s(nT),$$


 * $$S[k] = \frac{1}{T}\cdot S_\frac{1}{T}\left(\frac{k}{P}\right).$$

इसके विपरीत, जब कोई मनमानी संख्या की गणना करना चाहता है ($T$) निरंतर DTFT के एक चक्र के असतत नमूने, $1⁄P = 1⁄NT$, यह अपेक्षाकृत सरल डीएफटी की गणना करके किया जा सकता है $S1/T(एफ)$, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है। अधिकतर मामलों में, $N$ के गैर-शून्य भाग की लंबाई के बराबर चुना जाता है $sN[एन]$. बढ़ रहा $N$, शून्य-गद्दी या प्रक्षेप के रूप में जाना जाता है, जिसके परिणामस्वरूप एक चक्र के अधिक निकटवर्ती नमूने होते हैं $s[n]$। घटाना $N$, टाइम-डोमेन (अलियासिंग के अनुरूप) में ओवरलैप (जोड़ना) का कारण बनता है, जो फ़्रीक्वेंसी डोमेन में डिकिमिनेशन से मेल खाता है। (देखो ) व्यावहारिक हित के अधिकांश मामलों में, $S1/T(एफ)$ अनुक्रम एक लंबे अनुक्रम का प्रतिनिधित्व करता है जिसे परिमित-लंबाई खिड़की समारोह  या  फिल्टर के लिए  सरणी के अनुप्रयोग द्वारा छोटा कर दिया गया था।

डीएफटी की गणना एक तेज फूरियर ट्रांसफॉर्म (एफएफटी) एल्गोरिथम का उपयोग करके की जा सकती है, जो इसे कंप्यूटर पर एक व्यावहारिक और महत्वपूर्ण परिवर्तन बनाती है।

अधिक जानकारी के लिए असतत फूरियर रूपांतरण देखें, जिसमें शामिल हैं:
 * गुणों को रूपांतरित करें
 * अनुप्रयोग
 * विशिष्ट कार्यों के सारणीबद्ध परिवर्तन

सारांश
आवधिक कार्यों के लिए, फूरियर रूपांतरण और DTFT दोनों में आवृत्ति घटकों (फूरियर श्रृंखला) का केवल एक असतत सेट होता है, और उन आवृत्तियों पर परिवर्तन होता है। एक सामान्य अभ्यास (ऊपर चर्चा नहीं की गई) डिराक डेल्टा  और डिराक कॉम्ब फ़ंक्शंस के माध्यम से उस विचलन को संभालना है। लेकिन एक ही वर्णक्रमीय जानकारी आवधिक कार्य के सिर्फ एक चक्र से समझी जा सकती है, क्योंकि अन्य सभी चक्र समान हैं। इसी तरह, परिमित-अवधि के कार्यों को फूरियर श्रृंखला के रूप में दर्शाया जा सकता है, जिसमें सूचना का कोई वास्तविक नुकसान नहीं होता है, सिवाय इसके कि व्युत्क्रम परिवर्तन की आवधिकता एक मात्र विरूपण साक्ष्य है।

व्यवहार में s(•) की अवधि तक सीमित होना सामान्य है, $N$ या $P$. लेकिन इन सूत्रों के लिए उस शर्त की आवश्यकता नहीं है।

समरूपता गुण
जब एक जटिल कार्य के वास्तविक और काल्पनिक भागों को उनके सम और विषम कार्यों # सम-विषम अपघटन में विघटित किया जाता है, तो चार घटक होते हैं, जिन्हें सबस्क्रिप्ट आरई, आरओ, आईई और आईओ द्वारा निरूपित किया जाता है। और एक जटिल समय समारोह के चार घटकों और इसके जटिल आवृत्ति परिवर्तन के चार घटकों के बीच एक-से-एक मानचित्रण होता है:



\begin{array}{rccccccccc} \text{Time domain} & s & = & s_{_{\text{RE}}} & + & s_{_{\text{RO}}} & + & i s_{_{\text{IE}}} & + & \underbrace{i\ s_{_{\text{IO}}}} \\ &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F} & &\ \ \Bigg\Updownarrow\mathcal{F}\\ \text{Frequency domain} & S & = & S_\text{RE} & + & \overbrace{\,i\ S_\text{IO}\,} & + & i S_\text{IE} & + & S_\text{RO} \end{array} $$ इससे विभिन्न संबंध स्पष्ट होते हैं, उदाहरण के लिए:
 * वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन का रूपांतरण ($s[n]$) सम और विषम फलन#जटिल-मूल्यवान फलन फलन है $s(t)$. इसके विपरीत, एक सम-सममित परिवर्तन का तात्पर्य वास्तविक-मूल्यवान समय-डोमेन से है।
 * एक काल्पनिक-मूल्यवान फ़ंक्शन का रूपांतरण ($s(nT)$) सम और विषम फलन#जटिल-मूल्यवान फलन फलन है $sRE + सRO$, और इसका विलोम सत्य है।
 * सम-सममित फलन का परिवर्तन ($SRE + आई एसIO$) वास्तविक-मूल्यवान कार्य है $i sIE + मैं एसIO$, और इसका विलोम सत्य है।
 * एक विषम-सममित फ़ंक्शन का रूपांतरण ($SRO + आई एसIE$) काल्पनिक-मूल्यवान कार्य है $sRE + मैं एसIO$, और इसका विलोम सत्य है।

इतिहास
हार्मोनिक श्रृंखला का एक प्रारंभिक रूप प्राचीन बेबीलोनियन गणित  से मिलता है, जहां उनका उपयोग  समाचार पत्र  (खगोलीय स्थिति की सारणी) की गणना करने के लिए किया जाता था।

खगोल विज्ञान की टॉलेमिक प्रणाली  में  डिफ्रेंट और एपिसायकल  की शास्त्रीय ग्रीक अवधारणाएं फूरियर श्रृंखला से संबंधित थीं (देखें ).

आधुनिक समय में, एक कक्षा की गणना करने के लिए 1754 में एलेक्सिस क्लेराट  द्वारा असतत फूरियर रूपांतरण के रूपों का उपयोग किया गया था, जिसे DFT के लिए पहला सूत्र बताया गया है, और 1759 में  जोसेफ लुइस लाग्रेंज  द्वारा, कंपन स्ट्रिंग के लिए त्रिकोणमितीय श्रृंखला के गुणांकों की गणना में। तकनीकी रूप से, क्लेराट का काम केवल कोसाइन श्रृंखला (असतत कोज्या परिवर्तन का एक रूप) था, जबकि लाग्रेंज का काम साइन-ओनली श्रृंखला ( असतत साइन परिवर्तन  का एक रूप) था; क्षुद्रग्रह कक्षाओं के  त्रिकोणमितीय प्रक्षेप  के लिए 1805 में  कार्ल फ्रेडरिक गॉस  द्वारा एक सच्चे कोसाइन + साइन डीएफटी का उपयोग किया गया था। यूलर और लाग्रेंज दोनों ने वाइब्रेटिंग स्ट्रिंग समस्या को अलग कर दिया, जिसे आज के नमूने कहा जाएगा।

फूरियर विश्लेषण की दिशा में एक प्रारंभिक आधुनिक विकास 1770 का पेपर रिफ्लेक्शंस सुर ला रेजोल्यूशन एल्गेब्रिक डेस इक्वेशन बाय लैग्रेंज था, जिसमें लैग्रेंज सॉल्वैंट्स  की विधि में घन के समाधान का अध्ययन करने के लिए एक जटिल फूरियर अपघटन का उपयोग किया गया था: लैग्रेंज ने जड़ों को बदल दिया $SRE + एसRO$ समाधानकर्ताओं में:


 * $$\begin{align}

r_1 &= x_1 + x_2 + x_3\\ r_2 &= x_1 + \zeta x_2 + \zeta^2 x_3\\ r_3 &= x_1 + \zeta^2 x_2 + \zeta x_3 \end{align}$$ कहां $N$ एकता का घनमूल है, जो क्रम 3 का DFT है।

कई लेखकों, विशेष रूप से जीन ले रोंड डी'अलेम्बर्ट और कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने गर्मी समीकरण का अध्ययन करने के लिए त्रिकोणमितीय श्रृंखला  का उपयोग किया, लेकिन सफलता का विकास जोसेफ फूरियर द्वारा 1807 का पेपर मेमोइर सुर ला प्रोपेगेशन डे ला चालुर डन्स लेस कॉर्प्स सॉलिड था, जिसकी महत्वपूर्ण अंतर्दृष्टि त्रिकोणमितीय श्रृंखला द्वारा सभी कार्यों को मॉडल करना था, फूरियर श्रृंखला की शुरुआत करना।

फूरियर सिद्धांत के विकास के लिए लैग्रेंज और अन्य लोगों को श्रेय देने के लिए इतिहासकार विभाजित हैं: डेनियल बर्नौली  और  लियोनहार्ड यूलर  ने कार्यों के त्रिकोणमितीय निरूपण की शुरुआत की थी, और लैग्रेंज ने तरंग समीकरण के लिए फूरियर श्रृंखला समाधान दिया था, इसलिए फूरियर का योगदान मुख्य रूप से था साहसिक दावा है कि एक फूरियर श्रृंखला द्वारा एक मनमानी समारोह का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है।

क्षेत्र के बाद के विकास को हार्मोनिक विश्लेषण के रूप में जाना जाता है, और यह प्रतिनिधित्व सिद्धांत  का प्रारंभिक उदाहरण भी है।

डीएफटी के लिए पहला फास्ट फूरियर रूपांतरण (एफएफटी) एल्गोरिथम 1805 के आसपास कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा खोजा गया था, जब 3 जूनो  और  2 पलास  क्षुद्रग्रहों की कक्षा के मापों को प्रक्षेपित किया गया था, हालांकि उस विशेष एफएफटी एल्गोरिदम को अक्सर इसके आधुनिक पुनर्खोजकर्ता कूली- के लिए जिम्मेदार ठहराया जाता है। तुकी एफएफटी एल्गोरिदम।

समय-आवृत्ति बदल जाती है
सिग्नल प्रोसेसिंग शर्तों में, एक फ़ंक्शन (समय का) सही समय संकल्प के साथ एक संकेत का प्रतिनिधित्व है, लेकिन कोई आवृत्ति जानकारी नहीं है, जबकि फूरियर रूपांतरण में पूर्ण आवृत्ति संकल्प है, लेकिन समय की जानकारी नहीं है।

फूरियर रूपांतरण के विकल्प के रूप में, समय-आवृत्ति विश्लेषण में, समय-आवृत्ति रूपांतरण का उपयोग एक ऐसे रूप में संकेतों का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जाता है जिसमें कुछ समय की जानकारी और कुछ आवृत्ति की जानकारी होती है - अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा, इनके बीच एक समझौता होता है। ये फूरियर रूपांतरण के सामान्यीकरण हो सकते हैं, जैसे कि कम समय के फूरियर रूपांतरण, गैबोर रूपांतरण या भिन्नात्मक फूरियर रूपांतरण (FRFT), या संकेतों का प्रतिनिधित्व करने के लिए विभिन्न कार्यों का उपयोग कर सकते हैं, जैसे तरंगिका रूपांतरण और चिरलेट रूपांतरण, तरंगिका अनुरूप के साथ (निरंतर) फूरियर ट्रांसफॉर्म का निरंतर  तरंगिका रूपांतरित होती है  होना।

फूरियर मनमाने ढंग से स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन  टोपोलॉजिकल समूह ों
पर रूपांतरित होता है फूरियर रूपों को स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह  टोपोलॉजिकल समूहों पर फूरियर रूपांतरणों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिनका हार्मोनिक विश्लेषण में अध्ययन किया जाता है; वहां, फूरियर ट्रांसफॉर्म दोहरे समूह पर कार्य करने के लिए एक समूह पर कार्य करता है। यह उपचार कनवल्शन प्रमेय के एक सामान्य सूत्रीकरण की भी अनुमति देता है, जो फूरियर रूपांतरण और कनवल्शन से संबंधित है। फूरियर रूपांतरण के सामान्यीकृत आधारों के लिए पोंट्रीगिन द्वैत भी देखें।

अधिक विशिष्ट, फूरियर विश्लेषण कोसेट पर किया जा सकता है, असतत कोसेट भी।

यह भी देखें

 * संयुग्म फूरियर श्रृंखला
 * सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला
 * फूरियर-बेसेल श्रृंखला
 * फूरियर से संबंधित रूपांतरण
 * लाप्लास रूपांतरण (एलटी)
 * दो तरफा लाप्लास परिवर्तन
 * मध्य परिवर्तन
 * गैर-समान असतत फूरियर रूपांतरण (एनडीएफटी)
 * क्वांटम फूरियर रूपांतरण (QFT)
 * संख्या-सैद्धांतिक परिवर्तन
 * आधार वैक्टर
 * बिस्पेक्ट्रम
 * विशेषता कार्य (संभावना सिद्धांत)
 * ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन
 * श्वार्ट्ज अंतरिक्ष
 * वर्णक्रमीय घनत्व
 * वर्णक्रमीय घनत्व अनुमान
 * स्पेक्ट्रल संगीत
 * वाल्श समारोह
 * छोटा लहर

आगे की पढाई




बाहरी कड़ियाँ

 * Tables of Integral Transforms at EqWorld: The World of Mathematical Equations.
 * An Intuitive Explanation of Fourier Theory by Steven Lehar.
 * Lectures on Image Processing: A collection of 18 lectures in pdf format from Vanderbilt University. Lecture 6 is on the 1- and 2-D Fourier Transform. Lectures 7–15 make use of it., by Alan Peters