सिग्मॉइड फ़ंक्शन

एक सिग्मॉइड फ़ंक्शन एक गणितीय फ़ंक्शन है जिसमें एक एस-आकार का वक्र या सिग्मॉइड वक्र होता है।

सिग्मॉइड फ़ंक्शन का एक सामान्य उदाहरण रसद समारोह है जो पहले चित्र में दिखाया गया है और सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है: :$$S(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} = \frac{e^x}{e^x + 1}=1-S(-x).$$ अन्य मानक सिग्मॉइड फ़ंक्शन #उदाहरणों में दिए गए हैं। कुछ क्षेत्रों में, विशेष रूप से कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क के संदर्भ में, सिग्मॉइड फ़ंक्शन शब्द का उपयोग लॉजिस्टिक फ़ंक्शन के लिए एक उपनाम के रूप में किया जाता है।

सिग्मॉइड फ़ंक्शन के विशेष मामलों में गोम्पर्ट्ज़ वक्र (मॉडलिंग सिस्टम में उपयोग किया जाता है जो x के बड़े मूल्यों पर संतृप्त होता है) और ओगी वक्र (कुछ बांधों के स्पिलवे में उपयोग किया जाता है) शामिल हैं। सिग्मॉइड फ़ंक्शंस में सभी वास्तविक संख्याओं का डोमेन होता है, वापसी (प्रतिक्रिया) मान के साथ आमतौर पर मोनोटोनिक रूप से बढ़ता है लेकिन घट सकता है। सिग्मॉइड फ़ंक्शंस अक्सर 0 से 1 की सीमा में वापसी मान (y अक्ष) दिखाते हैं। एक और आमतौर पर इस्तेमाल की जाने वाली सीमा -1 से 1 तक होती है।

कृत्रिम न्यूरॉन्स के सक्रियण समारोह के रूप में रसद और अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा कार्यों सहित सिग्मॉइड कार्यों की एक विस्तृत विविधता का उपयोग किया गया है। सिग्मॉइड वक्र आँकड़ों में संचयी वितरण कार्यों (जो 0 से 1 तक जाते हैं) के रूप में भी सामान्य हैं, जैसे कि रसद घनत्व के अभिन्न अंग, सामान्य घनत्व और छात्र का टी-वितरण | छात्र का टी संभाव्यता घनत्व कार्य। लॉजिस्टिक सिग्मॉइड फ़ंक्शन व्युत्क्रमणीय है, और इसका व्युत्क्रम लॉगिट फ़ंक्शन है।

परिभाषा
एक सिग्मॉइड फ़ंक्शन एक बंधा हुआ फ़ंक्शन, अलग-अलग फ़ंक्शन, वास्तविक फ़ंक्शन है जो सभी वास्तविक इनपुट मानों के लिए परिभाषित किया गया है और प्रत्येक बिंदु पर एक गैर-नकारात्मक व्युत्पन्न है और ठीक एक विभक्ति बिंदु। सिग्मॉइड फ़ंक्शन और सिग्मॉइड वक्र एक ही वस्तु को संदर्भित करते हैं।

गुण
सामान्य तौर पर, एक सिग्मॉइड फ़ंक्शन मोनोटोनिक फ़ंक्शन होता है, और इसका पहला व्युत्पन्न होता है जो घंटी के आकार का फ़ंक्शन होता है। इसके विपरीत, किसी भी निरंतर, गैर-नकारात्मक, घंटी के आकार का कार्य (एक स्थानीय अधिकतम और कोई स्थानीय न्यूनतम, जब तक पतित न हो) सिग्मोइडल होगा। इस प्रकार कई सामान्य संभाव्यता वितरण के लिए संचयी वितरण कार्य सिग्मोइडल हैं। ऐसा ही एक उदाहरण त्रुटि फलन है, जो एक सामान्य बंटन के संचयी बंटन फलन से संबंधित है; दूसरा artan फलन है, जो कॉची बंटन के संचयी बंटन फलन से संबंधित है।

एक सिग्मॉइड फ़ंक्शन क्षैतिज स्पर्शोन्मुख की एक जोड़ी के रूप में विवश है $$x \rightarrow \pm \infty$$.

सिग्मॉइड फ़ंक्शन किसी विशेष बिंदु से कम मानों के लिए उत्तल फ़ंक्शन है, और यह उस बिंदु से अधिक मानों के लिए अवतल फ़ंक्शन है: यहां कई उदाहरणों में, वह बिंदु 0 है।

उदाहरण
* लॉजिस्टिक फंक्शन $$ f(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} $$ {\displaystyle \left( \int_0^1 \left(1 - u^2\right)^N du \right)^{-1} \int_0^x \left( 1 - u^2 \right)^N \ du}, & |x| \le 1 \\ \\ \sgn(x) & |x| \ge 1 \\ \end{cases} \quad N \in \mathbb{Z} \ge 1 $$
 * अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा (उपरोक्त लॉजिस्टिक फ़ंक्शन का स्थानांतरित और स्केल किया गया संस्करण) $$ f(x) = \tanh x = \frac{e^x-e^{-x}}{e^x+e^{-x}} $$
 * आर्कटैंजेंट फ़ंक्शन $$ f(x) = \arctan x $$
 * गुडरमैनियन फ़ंक्शन $$ f(x) = \operatorname{gd}(x) = \int_0^x \frac{dt}{\cosh t} = 2\arctan\left(\tanh\left(\frac{x}{2}\right)\right) $$
 * त्रुटि समारोह $$ f(x) = \operatorname{erf}(x) = \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_0^x e^{-t^2} \, dt $$
 * सामान्यीकृत रसद समारोह $$ f(x) = \left(1 + e^{-x} \right)^{-\alpha}, \quad \alpha > 0 $$
 * स्मूथस्टेप फंक्शन $$ f(x) = \begin{cases}
 * कुछ बीजगणितीय कार्य, उदाहरण के लिए $$ f(x) = \frac{x}{\sqrt{1+x^2}} $$
 * और अधिक सामान्य रूप में $$ f(x) = \frac{x}{\left(1 + |x|^{k}\right)^{1/k}} $$
 * शिफ्ट और स्केलिंग तक, कई सिग्मोइड्स के विशेष मामले हैं $$ f(x) = \varphi(\varphi(x, \beta), \alpha), $$ कहाँ $$ \varphi(x, \lambda) = \begin{cases} (1 - \lambda x)^{1/\lambda} & \lambda \ne 0 \\e^{-x} & \lambda = 0 \\ \end{cases} $$ नकारात्मक बॉक्स-कॉक्स परिवर्तन का व्युत्क्रम है, और $$\alpha < 1$$ और $$\beta < 1$$ आकार के पैरामीटर हैं। * गैर-विश्लेषणात्मक_चिकना_कार्य#चिकना_संक्रमण_कार्य सामान्यीकृत करने के लिए (-1,1) और $$n$$ शून्य पर ढलान है:

$$\begin{align}f(x) &= \begin{cases} {\displaystyle \frac{2}{1+e^{2n\frac{x}{(x+1)(x-1)}}} - 1}, n=2 & |x| < 1 \\ \\ \sgn(x) & |x| \ge 1 \\ \end{cases} \\ &= \begin{cases} {\displaystyle \tanh\left(n\frac{x}{1-x^2}\right)}, n=2 & |x| < 1 \\ \\ \sgn(x) & |x| \ge 1 \\ \end{cases}\end{align}$$ ऊपर उल्लिखित अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा का उपयोग करना।

अनुप्रयोग
कई प्राकृतिक प्रक्रियाएं, जैसे कि जटिल सिस्टम सीखने की अवस्था ्स, छोटी शुरुआत से एक प्रगति प्रदर्शित करती हैं जो समय के साथ एक चरमोत्कर्ष को गति देती है और पहुंचती है। जब एक विशिष्ट गणितीय मॉडल की कमी होती है, तो सिग्मॉइड फ़ंक्शन का उपयोग अक्सर किया जाता है।

वैन जेनुचटेन-गुप्ता मॉडल एक उल्टे एस-वक्र पर आधारित है और मिट्टी की लवणता के लिए फसल की उपज की प्रतिक्रिया पर लागू होता है।

मिट्टी की लवणता और मिट्टी में पानी की मेज की गहराई दोनों के लिए फसल उपज (गेहूं) की प्रतिक्रिया के लिए रसद एस-वक्र के आवेदन के उदाहरण रसद समारोह # कृषि में: मॉडलिंग फसल प्रतिक्रिया में दिखाए जाते हैं।

कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क में, दक्षता के बजाय कभी-कभी गैर-चिकनी कार्यों का उपयोग किया जाता है; इन्हें कठिन अवग्रह ्स के रूप में जाना जाता है।

ऑडियो सिग्नल प्रोसेसिंग में, सिग्मॉइड फ़ंक्शंस का उपयोग एनालॉग सर्किटरी क्लिपिंग (ऑडियो) की ध्वनि का अनुकरण करने के लिए webshaper  स्थानांतरण प्रकार्य के रूप में किया जाता है।

जीव रसायन और औषध  में, हिल समीकरण (जैव रसायन) और हिल-लैंगमुइर समीकरण सिग्मॉइड फ़ंक्शन हैं।

कंप्यूटर ग्राफिक्स और रीयल-टाइम रेंडरिंग में, कुछ सिग्मॉइड फ़ंक्शंस का उपयोग रंगों या ज्यामिति को दो मानों के बीच सुचारू रूप से और दृश्यमान सीम या असंततता के बिना मिश्रित करने के लिए किया जाता है।

पीएच पैमाने की लॉगरिदमिक प्रकृति के कारण मजबूत एसिड और मजबूत आधारों के बीच अनुमापन घटता सिग्मॉइड आकार का होता है।

एक प्रकार 3 का उपयोग करके लॉजिस्टिक फ़ंक्शन की कुशलता से गणना की जा सकती है।

यह भी देखें

 * समारोह की ओर कदम बढ़ाएं
 * साइन समारोह
 * भारी कदम समारोह
 * संभार तन्त्र परावर्तन
 * लॉग इन करें
 * सॉफ्टप्लस फ़ंक्शन
 * सोबोलेवा संशोधित अतिशयोक्तिपूर्ण स्पर्शरेखा
 * सॉफ्टमैक्स फ़ंक्शन
 * स्विश समारोह
 * वीबुल वितरण
 * फर्मी-डिराक सांख्यिकी

अग्रिम पठन

 * . (NB. In particular see "Chapter 4: Artificial Neural Networks" (in particular pp. 96–97) where Mitchell uses the word "logistic function" and the "sigmoid function" synonymously – this function he also calls the "squashing function" – and the sigmoid (aka logistic) function is used to compress the outputs of the "neurons" in multi-layer neural nets.)
 * (NB. Properties of the sigmoid, including how it can shift along axes and how its domain may be transformed.)