कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली

एक कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली (सीएएस) या प्रतीकात्मक बीजगणित प्रणाली (एसएएस) गणितज्ञों और वैज्ञानिकों के पारंपरिक नियमावली कंप्यूटेशंस के समान गणितीय अभिव्यक्ति में हेरफेर करने की क्षमता वाला कोई भी गणितीय सॉफ्टवेयर है। 20वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली का विकास कंप्यूटर बीजगणित या प्रतीकात्मक संगणना के अनुशासन का हिस्सा है, जिसने बहुपद जैसे गणितीय वस्तुओं पर कलन विधि में काम को प्रेरित किया है।

कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों को दो वर्गों में विभाजित किया जा सकता है: विशिष्ट और सामान्य-उद्देश्य। विशिष्ट वाले गणित के एक विशिष्ट भाग के लिए समर्पित होते हैं, जैसे कि संख्या सिद्धांत, समूह सिद्धांत, या प्रारंभिक गणित का शिक्षण होता है।

सामान्य-उद्देश्य वाले कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली का उद्देश्य किसी भी वैज्ञानिक क्षेत्र में काम करने वाले उपयोगकर्ता के लिए उपयोगी होना है जिसके लिए गणितीय अभिव्यक्तियों में हेरफेर की आवश्यकता होती है। उपयोगी होने के लिए, एक सामान्य प्रयोजन के कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली में विभिन्न विशेषताएं सम्मिलित होनी चाहिए जैसे:
 * एक उपयोगकर्ता इंटरफ़ेस जो उपयोगकर्ता को सामान्यतः कीबोर्ड, मेनू चयन, माउस या स्टाइलस से गणितीय सूत्र अंकित करने और प्रदर्शित करने की अनुमति देता है|
 * एक प्रोग्रामिंग भाषा और एक दुभाषिया (कंप्यूटिंग) (एक संगणना का परिणाम सामान्यतः एक अप्रत्याशित रूप और एक अप्रत्याशित आकार होता है; इसलिए उपयोगकर्ता के हस्तक्षेप की अधिकांशतः आवश्यकता होती है),
 * एक प्रतीकात्मक संगणना या सरलीकरण, जो गणित के सूत्रों को सरल बनाने के लिए पुनर्लेखन प्रणाली है,
 * एक स्मृति प्रबंधन, जिसमें एक कचरा संग्रहकर्ता (कंप्यूटिंग) सम्मिलित है, जिसकी आवश्यकता मध्यवर्ती डेटा के विशाल आकार के लिए होती है, जो एक संगणना के समय प्रकट हो सकता है,
 * एक मनमाना-स्पष्ट अंकगणित, जो पूर्णांकों के विशाल आकार के लिए आवश्यक हो सकता है,
 * गणितीय एल्गोरिदम और विशेष कार्यों का एक बड़ा पुस्तकालय होता है।

पुस्तकालय को न केवल उपयोक्ताओं की आवश्यकताओं की पूर्ति करनी चाहिए, किंतु सरलीकरण की आवश्यकताओं की भी पूर्ति करनी चाहिए। उदाहरण के लिए, बहुपद के सबसे बड़े सामान्य विभाजक की गणना व्यवस्थित रूप से अंशों से जुड़े भावों के सरलीकरण के लिए की जाती है।

आवश्यक कंप्यूटर क्षमताओं की यह बड़ी मात्रा सामान्य-उद्देश्य वाले कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों की छोटी संख्या की व्याख्या करती है। महत्वपूर्ण प्रणालियों में स्वयंसिद्ध (कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली), मैक्सिमा (सॉफ्टवेयर), मैग्मा (कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली), मेपल (सॉफ्टवेयर), गणित, और सेजगणित सम्मिलित हैं।

इतिहास
1960 के दशक में कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियाँ दिखाई देने लगीं और दो बिल्कुल अलग स्रोतों से विकसित हुईं- सैद्धांतिक भौतिकविदों की आवश्यकताएँ और कृत्रिम बुद्धिमत्ता में शोध है।

पहले विकास के लिए एक प्रमुख उदाहरण भौतिकी में बाद के नोबेल पुरस्कार विजेता मार्टिन वेल्टमैन  द्वारा किया गया अग्रणी कार्य था, जिन्होंने 1963 में सांकेतिक गणित, विशेष रूप से उच्च-ऊर्जा भौतिकी के लिए एक कार्यक्रम तैयार किया, जिसे साफ जहाज (स्वच्छ जहाज के लिए डच) कहा जाता है। एक और प्रारंभिक कार्य प्रणाली फोरमक (प्रोग्रामिंग भाषा) थी।

प्रोग्रामिंग के आधार के रूप में लिस्प (प्रोग्रामिंग_भाषा) का उपयोग करते हुए, कार्ल एंगेलमैन ने 1964 में मिटर में एक कृत्रिम-बुद्धिमत्ता अनुसंधान वातावरण के अंदर गणित प्रयोगशाला बनाया। बाद में गणित प्रयोगशाला को पीडीपी-6 और पीडीपी-10 प्रणाली पर उपयोगकर्ताओं के लिए उपलब्ध कराया गया, जो विश्वविद्यालयों में सबसे ऊपर-10 या टेनेक्स चला रहे थे। आज भी इसका उपयोग पीडीपी-10 के सिम एमुलेशन पर किया जा सकता है। गणित प्रयोगशाला (गणितीय प्रयोगशाला) को मैथलैब (मैट्रिक्स प्रयोगशाला) के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो न्यू मैक्सिको विश्वविद्यालय में 15 साल बाद निर्मित संख्यात्मक गणना के लिए एक प्रणाली है।

पहले लोकप्रिय कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियाँ थीं म्यू गणित, कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली को कम करें, व्युत्पन्न (कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली) (म्यू गणितपर आधारित), और मैक्सिमा; मैक्सिमा (सॉफ्टवेयर) नामक मैकसिमा का एक लोकप्रिय कॉपीलेफ्ट संस्करण सक्रिय रूप से बनाए रखा जा रहा है। 2008 में कम (कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली) मुफ्त सॉफ्टवेयर बन गया। आज से, सर्वाधिक लोकप्रिय व्यावसायिक प्रणालियां मैथेमेटिका और मेपल (सॉफ्टवेयर) हैं, जो सामान्यतः अनुसंधान गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और इंजीनियरों द्वारा उपयोग किया जाता है। स्वतंत्र रूप से उपलब्ध विकल्पों में सेजमैथ सम्मिलित है (जो कई अन्य निःशुल्क और गैर-मुक्त सीएएस के लिए फ्रंट-एंड के रूप में कार्य कर सकता है)।

1987 में, हेवलेट पैकर्ड ने एच पी-28 श्रृंखला के साथ पहला हाथ में कैलकुलेटर सीएएस प्रस्तुत किया, और यह संभव था, पहली बार किसी कैलकुलेटर में, बीजगणितीय व्यंजकों, अवकलन, सीमित सांकेतिक समाकलन, टेलर श्रृंखला निर्माण और बीजगणितीय समीकरणों के लिए सॉल्वर की व्यवस्था करना। 1999 में, एचपी48 श्रृंखला के लिए स्वतंत्र रूप से विकसित सीएएस एरबल उभरती हुई एचपी49/50 श्रृंखला के फर्मवेयर का आधिकारिक रूप से एकीकृत हिस्सा बन गया, और एक साल बाद एचपी40 श्रृंखला में भी, जबकि एचपीप्राइम ने एक्स कैस प्रणाली को अपनाया 2013 में।

1995 में टेक्सस उपकरण  कंपनी ने टी आई-92 कैलकुलेटर को सीएएस के साथ जारी किया, जो सॉफ्टवेयर व्युत्पन्न कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली पर आधारित था; 2007 में टीआई-एनस्पायर श्रृंखला ने व्युत्पत्ति को प्रतिस्थापित किया। टीआई-89 श्रृंखला, जिसे पहली बार 1998 में जारी किया गया था, में एक सीएएस भी सम्मिलित  है।

कैसियोने सीएफएक्स-9970जी के साथ अपना पहला सीएएस कैलकुलेटर जारी किया और 1999-2003 में कैसियो बीजगणित एफएक्स श्रृंखला और वर्तमान कैसियो क्लासपैड 300 के साथ सफल रहा।

हाल ही में, कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क का उपयोग करके कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली प्रयुक्त की गई है।

प्रतीकात्मक जोड़तोड़
सामान्यतः समर्थित प्रतीकात्मक जोड़तोड़ में सम्मिलित हैं:
 * एक छोटी अभिव्यक्ति या कुछ विहित रूप में सरलीकरण, जिसमें मान्यताओं के साथ स्वत: सरलीकरण और बाधाओं के साथ सरलीकरण सम्मिलित है
 * कुछ अभिव्यक्तियों के लिए प्रतीकों या संख्यात्मक मानों का प्रतिस्थापन (बीजगणित)।
 * अभिव्यक्तियों के रूप में परिवर्तन: उत्पादों और शक्तियों का विस्तार, आंशिक और पूर्ण गुणनखंडन, आंशिक अंशों के रूप में पुनर्लेखन, बाधा संतुष्टि, त्रिकोणमितीय कार्यों को घातांक के रूप में पुनर्लेखन, तर्क अभिव्यक्ति को बदलना, आदि।
 * आंशिक विभेदीकरण और पूर्ण विभेदीकरण
 * कुछ विरोधी विभेदीकरण और अभिन्न (प्रतीकात्मक एकीकरण देखें), जिसमें बहुआयामी अभिन्न सम्मिलित हैं
 * प्रतीकात्मक विवश और अप्रतिबंधित वैश्विक अनुकूलन
 * विभिन्न डोमेन पर रैखिक और कुछ गैर-रैखिक समीकरणों का बंद रूप समाधान
 * कुछ [ अंतर समीकरण ] और अंतर समीकरणों का समाधान
 * कार्यों की कुछ सीमा लेना
 * अभिन्न परिवर्तन
 * गणितीय श्रृंखला संचालन जैसे विस्तार, योग और उत्पाद
 * प्रत्यक्ष उत्पाद (मैट्रिक्स), मैट्रिक्स व्युत्क्रम आदि सहित मैट्रिक्स संचालन।
 * सांख्यिकीय पैकेजों की सूची
 * प्रमेय सिद्ध करना और प्रमाण सत्यापन जो प्रयोगात्मक गणित के क्षेत्र में बहुत उपयोगी है
 * स्वचालित प्रोग्रामिंग या  कार्यान्वयन

उपरोक्त में, कुछ शब्द इंगित करता है कि ऑपरेशन सदैव नहीं किया जा सकता है।

अतिरिक्त क्षमताएं
कई में ये भी सम्मिलित हैं: कुछ में सम्मिलित हैं:
 * एक प्रोग्रामिंग भाषा, जो उपयोगकर्ताओं को अपने स्वयं के एल्गोरिदम को प्रयुक्त करने की अनुमति देती है
 * मनमाना-स्पष्ट संख्यात्मक संचालन
 * स्पष्ट पूर्णांक अंकगणित और संख्या सिद्धांत कार्यक्षमता
 * सूत्र संपादक द्वि-आयामी रूप में
 * दो और तीन आयामों में फ़ंक्शन के फ़ंक्शन का ग्राफ़ प्लॉट करना और उन्हें एनिमेट करना
 * चार्ट और आरेख बनाना
 * अप्लिकेशन प्रोग्रामिंग अंतरफलक इसे एक बाहरी प्रोग्राम जैसे डेटाबेस से जोड़ने के लिए, या कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली का उपयोग करने के लिए प्रोग्रामिंग भाषा में उपयोग करने के लिए
 * स्ट्रिंग हेरफेर जैसे स्ट्रिंग मिलान और स्ट्रिंग खोज
 * भौतिकी, जैव सूचना विज्ञान, कम्प्यूटेशनल रसायन शास्त्र और कम्प्यूटेशनल भौतिकी के पैकेज जैसे प्रयुक्त गणित में उपयोग के लिए ऐड-ऑन
 * अंतर समीकरणों के लिए सॉल्वर
 * कंप्यूटर चित्रलेख उत्पादन और संपादन जैसे कंप्यूटर जनित इमेजरी और  मूर्ति प्रोद्योगिकी  के रूप में  संकेत आगे बढ़ाना
 * ध्वनि संश्लेषण

कुछ कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियाँ विशेष विषयों पर ध्यान केंद्रित करती हैं; ये सामान्यतः शिक्षा में विकसित होते हैं और स्वतंत्र होते हैं। संख्यात्मक-विश्लेषण सॉफ्टवेयर की तुलना में वे संख्यात्मक संचालन के लिए अक्षम हो सकते हैं।

भाव के प्रकार
सीएएस द्वारा हेरफेर किए गए अभिव्यक्तियों में सामान्यतः कई चर में बहुपद सम्मिलित होते हैं; अभिव्यक्तियों के मानक कार्य (त्रिकोणमितीय कार्य, घातीय कार्य, आदि); विभिन्न विशेष कार्य (गामा फ़ंक्शन | Γ, रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन | ζ, त्रुटि फ़ंक्शन, बेसेल समारोह, आदि); भावों के इच्छानुसार कार्य; अनुकूलन; डेरिवेटिव, इंटीग्रल, सरलीकरण, योग और अभिव्यक्ति के उत्पाद; गुणांक के रूप में अभिव्यक्ति के साथ छोटी श्रृंखला (गणित), अभिव्यक्तियों के मैट्रिक्स (गणित), और इसी तरह। समर्थित न्यूमेरिक डोमेन में सामान्यतः फ़्लोटिंग-पॉइंट अंकगणित सम्मिलित  हैं। वास्तविक संख्याओं का फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रतिनिधित्व, पूर्णांक (अनबाउंड आकार का), जटिल संख्या (फ़्लोटिंग-पॉइंट प्रतिनिधित्व), अंतराल अंकगणित, परिमेय संख्या (स्पष्ट प्रतिनिधित्व) और बीजगणितीय संख्याएँ है।

शिक्षा में प्रयोग
प्राथमिक और माध्यमिक-स्कूल कक्षाओं में कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली के उपयोग को बढ़ाने के लिए कई समर्थक रहे हैं। इस तरह की वकालत का प्राथमिक कारण यह है कि कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली कागज और पेंसिल या हाथ कैलकुलेटर आधारित गणित की तुलना में वास्तविक विश्व के गणित का अधिक प्रतिनिधित्व करती है।

गणित की कक्षाओं में कंप्यूटर के उपयोग को बढ़ाने के इस प्रयास को शिक्षा के कुछ बोर्डों द्वारा समर्थित किया गया है। कुछ क्षेत्रों के पाठ्यक्रम में इसे अनिवार्य भी कर दिया गया है।

कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली का उच्च शिक्षा में बड़े मापदंडे पर उपयोग किया गया है। कई विश्वविद्यालय या तो उनके उपयोग के विकास पर विशिष्ट पाठ्यक्रम प्रदान करते हैं, या वे छात्रों से अपेक्षा करते हैं कि वे अपने पाठ्यक्रम के काम के लिए उनका उपयोग करें। कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली विकसित करने वाली कंपनियों ने विश्वविद्यालय और कॉलेज के कार्यक्रमों में अपने प्रसार को बढ़ाने के लिए जोर दिया है।

एसीटी (परीक्षण), योजना (परीक्षण) और कुछ कक्षाओं में सीएएस से लैस कैलकुलेटर की अनुमति नहीं है चूंकि इसे कॉलेज समिति के सभी कैलकुलेटर-अनुमत परीक्षणों पर अनुमति दी जा सकती है, जिसमें SAT, कुछ SAT विषय परीक्षण और एपी पथरी, AP रसायन विज्ञान, AP भौतिकी और AP सांख्यिकी परीक्षाएँ सम्मिलित  हैं।

कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में प्रयुक्त गणित

 * नुथ-बेंडिक्स पूर्णता एल्गोरिथम
 * रूट-खोज एल्गोरिदम
 * प्रतीकात्मक एकीकरण उदा। Risch एल्गोरिथम या Risch-Norman एल्गोरिथम
 * हाइपरज्यामितीय योग उदाहरण के माध्यम से गोस्पर रिस्क एल्गोरिथम
 * सीमा (गणित) उदा। ग्रंट्ज़ का एल्गोरिदम
 * उदाहरण के माध्यम से बहुपद गुणनखंडन, परिमित क्षेत्रों पर, बर्लेकैंप का एल्गोरिथम या कैंटर-ज़सेनहॉस एल्गोरिथम।
 * महानतम सामान्य विभाजक उदा। यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म
 * गाउस विलोपन
 * ग्रोबनेर आधार उदा। बुचबर्गर का एल्गोरिदम; यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म का सामान्यीकरण और गॉसियन उन्मूलन
 * पदे सन्निकट
 * श्वार्ट्ज-ज़िपेल लेम्मा और परीक्षण बहुपद पहचान
 * चीनी शेष प्रमेय
 * डायोफैंटाइन समीकरण
 * क्वांटिफायर उन्मूलन ओवर रियल नंबर्स वाया उदा. टार्स्की की विधि/बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन
 * लैंडौ का एल्गोरिथ्म (नेस्टेड रेडिकल)
 * प्राथमिक कार्यों और विशेष कार्यों के डेरिवेटिव। (उदाहरण के लिए अपूर्ण गामा फ़ंक्शन के डेरिवेटिव देखें।)
 * बेलनाकार बीजगणितीय अपघटन

यह भी देखें

 * कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों की सूची
 * वैज्ञानिक गणना
 * सांख्यिकीय पैकेज
 * स्वचालित प्रमेय सिद्ध करना
 * बीजगणितीय मॉडलिंग भाषा
 * बाधा-तर्क प्रोग्रामिंग
 * संतुष्टि मॉड्यूलो सिद्धांत

बाहरी संबंध

 * Curriculum and Assessment in an Age of Computer Algebra Systems - From the Education Resources Information Center Clearinghouse for Science, Mathematics, and Environmental Education, Columbus, Ohio.
 * Richard J. Fateman. "Essays in algebraic simplification." Technical report MIT-LCS-TR-095, 1972. (Of historical interest in showing the direction of research in computer algebra. At the MIT LCS website: )