यूक्लिडियन क्वांटम गुरुत्व

सैद्धांतिक भौतिकी में, यूक्लिडियन परिमाण गुरुत्व परिमाण गुरुत्व का एक संस्करण है। यह परिमाण यांत्रिकी के सिद्धांतों के अनुसार गुरुत्वाकर्षण बल का वर्णन करने के लिए वर्तिका क्रमावर्तन का उपयोग करना चाहता है।

वर्तिका क्रमावर्तन
भौतिकी में, जियान-कार्लो वर्तिका के नाम पर वर्तिका क्रमावर्तन, $$n$$ आयाम में उनके विवरणों को n+1 आयामों में स्थानांतरित करके, समय के एक आयाम के लिए स्थान के एक आयाम का व्यापार करके गतिशीलता समस्याओं का समाधान खोजने की एक विधि है। अधिक सटीक रूप से, यह मिन्कोवस्की दिक में एक गणितीय समस्या को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक संबंधित समस्या में एक परिवर्तन के माध्यम से प्रतिस्थापित करता है जो एक वास्तविक संख्या चर के लिए एक काल्पनिक-संख्या चर को प्रतिस्थापित करता है।

इसे घूर्णन कहा जाता है क्योंकि जब जटिल संख्याओं को एक समतल के रूप में दर्शाया जाता है, तो किसी जटिल संख्या को $$i$$ से गुणा करना मूल बिंदु के बारे में $$\pi/2$$ रेडियन के कोण द्वारा उस संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले सदिश को घुमाने के बराबर होता है।

उदाहरण के लिए, वर्तिका क्रमावर्तन का उपयोग स्थूलदर्शित घटना तापमान प्रसार (जैसे स्नान में) को अणुओं के अंतर्निहित ऊष्मीय संचलन से जोड़ने के लिए किया जा सकता है। यदि हम तापमान के विभिन्न अनुप्रवण के साथ स्नान के आयतन को प्रतिरूप करने का प्रयास करते हैं तो हमें इस आयतन को अनंत छोटे आयतनों में विभाजित करना होगा और देखना होगा कि वे कैसे परस्पर क्रिया करते हैं। हम जानते हैं कि ऐसे अनंत आयतन वास्तव में पानी के अणु हैं। यदि हम समस्या को सरल बनाने के प्रयास में स्नान में सभी अणुओं को केवल एक अणु द्वारा निरूपित करते हैं, तो इस अद्वितीय अणु को उन सभी संभावित रास्तों पर चलना चाहिए जिनका वास्तविक अणु अनुसरण कर सकते हैं। पथ अभिन्न सूत्रीकरण एक वैचारिक उपकरण है जिसका उपयोग इस अद्वितीय अणु की गतिविधियों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, और वर्तिका क्रमावर्तन गणितीय उपकरणों में से एक है जो पथ अभिन्न समस्या का विश्लेषण करने के लिए बहुत उपयोगी है।

परिमाण यांत्रिकी में अनुप्रयोग
कुछ इसी तरह से, परिमाण यांत्रिकी द्वारा वर्णित परिमाण वस्तु की गति का तात्पर्य है कि यह विभिन्न स्थितियों में एक साथ उपस्थित हो सकती है और इसकी गति अलग-अलग हो सकती है। यह किसी चिरप्रतिष्ठित वस्तु (उदाहरण के लिए बिलियर्ड बॉल) की गति से स्पष्ट रूप से भिन्न है, क्योंकि इस स्तिथि में सटीक स्थिति और गति के साथ एक ही पथ का वर्णन किया जा सकता है। एक परिमाण वस्तु एक ही पथ से A से B की ओर नहीं जाती है, बल्कि एक ही समय में सभी संभावित तरीकों से A से B की ओर गति करती है। परिमाण यांत्रिकी के फेनमैन पथ-अभिन्न सूत्रीकरण के अनुसार, परिमाण वस्तु के पथ को गणितीय रूप से उन सभी संभावित पथों के भारित औसत के रूप में वर्णित किया गया है। 1966 में ब्राइस डेविट द्वारा एक स्पष्ट रूप से गेज अपरिवर्तनीय कार्यात्मक-अभिन्न कलन विधि पाई गई, जिसने फेनमैन के नए नियमों को सभी आदेशों तक विस्तारित किया। इस नए दृष्टिकोण में जो आकर्षक बात है वह इसकी विलक्षणताओं की कमी है, जब वे सामान्य सापेक्षता में अपरिहार्य हैं।

उपयोग किए गए गणितीय उपकरणों की जटिलता के कारण, सामान्य सापेक्षता के साथ एक और परिचालन समस्या संगणनात्मक (कम्प्यूटेशनल) कठिनाई है। इसके विपरीत पथ पूर्णांकी का उपयोग उन्नीसवीं सदी के अंत से यांत्रिकी में किया जाता रहा है और यह सर्वविदित है। इसके अतिरिक्त, पथ-अभिन्न औपचारिकता का उपयोग चिरप्रतिष्ठित और परिमाण भौतिकी दोनों में किया जाता है, इसलिए यह सामान्य सापेक्षता और परिमाण सिद्धांतों को एकीकृत करने के लिए एक अच्छा प्रारंभिक बिंदु हो सकता है। उदाहरण के लिए, परिमाण-यांत्रिक श्रोडिंगर समीकरण और चिरप्रतिष्ठित ताप समीकरण वर्तिका क्रमावर्तन से संबंधित हैं। इसलिए किसी चिरप्रतिष्ठित घटना को परिमाण घटना से जोड़ने के लिए वर्तिका संबंध एक अच्छा उपकरण है। यूक्लिडियन परिमाण गुरुत्व की महत्वाकांक्षा एक स्थूल घटना, गुरुत्वाकर्षण और कुछ अधिक सूक्ष्म चीज़ों के बीच संबंध खोजने के लिए वर्तिका क्रमावर्तन का उपयोग करना है।

अधिक कठोर उपचार
यूक्लिडियन परिमाण गुरुत्व परिमाण गुरुत्व के वर्तिका घुमाए गए संस्करण को संदर्भित करता है, जिसे परिमाण क्षेत्र सिद्धांत के रूप में तैयार किया गया है। इस सूत्रीकरण में जिन बहुविध का उपयोग किया गया है, वे छद्म रीमैनियन बहुविध के स्थान पर 4-आयामी रीमैनियन बहुविध हैं। यह भी माना जाता है कि बहुविध सघन, आनुषंगिक और सीमा (सांस्थिति) हैं (यानी कोई गुरुत्वाकर्षण विलक्षणता नहीं है)। सामान्य परिमाण क्षेत्र-सैद्धांतिक सूत्रीकरण के बाद, निर्वात से निर्वात आयाम को मापीय प्रदिश पर एक कार्यात्मक अभिन्न (क्यूएफटी) के रूप में लिखा जाता है, जो अब विचाराधीन परिमाण क्षेत्र है।


 * $$\int \mathcal{D}\mathbf{g}\, \mathcal{D}\phi\, \exp\left(\int d^4x \sqrt{|\mathbf{g}|}(R+\mathcal{L}_\mathrm{matter})\right)$$

जहां φ सभी पदार्थ क्षेत्रों को दर्शाता है। आइंस्टीन-हिल्बर्ट कार्रवाई देखें।

एडीएम औपचारिकता से संबंध
यूक्लिडियन परिमाण गुरुत्वाकर्षण विहित परिमाण गुरुत्वाकर्षण में प्रयुक्त एडीएम औपचारिकता से संबंधित है और विभिन्न परिस्थितियों में व्हीलर-डेविट समीकरण को पुनः प्राप्त करता है। यदि हमारे पास कोई पदार्थ क्षेत्र $$\phi$$ है, फिर पथ अभिन्न निम्न अनूशीलन करता है


 * $$Z = \int \mathcal{D}\mathbf{g}\, \mathcal{D}\phi\, \exp\left(\int d^4x \sqrt{|\mathbf{g}|}(R+\mathcal{L}_\mathrm{matter})\right)$$

जहां एकीकरण में तीन-मापीय, त्रुटि फलन $$N$$ और स्थानांतरण सदिश $$N^{a}$$ $$\mathcal{D}\mathbf{g}$$ पर एकीकरण सम्मिलित है। लेकिन हम मांग करते हैं कि $$Z$$ त्रुटि फलन और सीमाओं पर स्थानांतरण सदिश से स्वतंत्र हो, इसलिए हम निम्नलिखित प्राप्त करते हैं


 * $$\frac{\delta Z}{\delta N}=0=\int \mathcal{D}\mathbf{g}\, \mathcal{D}\phi\, \left.\frac{\delta S}{\delta N}\right|_{\Sigma} \exp\left(\int d^4x \sqrt{|\mathbf{g}|}(R+\mathcal{L}_\mathrm{matter})\right)$$

जहाँ $$\Sigma$$ त्रि-आयामी सीमा है। गौर करें कि यह अभिव्यक्ति विलुप्त हो जाती है, जिसका अर्थ है कार्यात्मक व्युत्पन्न विलुप्त हो जाता है, जिससे हमें व्हीलर-डेविट समीकरण मिलता है। डिफोमोर्फिज्म बाधा के लिए एक समान बयान दिया जा सकता है (इसके स्थान पर स्थानांतरण फलन के संबंध में कार्यात्मक व्युत्पन्न लें)।

संदर्भ

 * Richard P. Feynman, Lectures on Gravitation, Notes by F.B. Morinigo and W.G. Wagner, Caltech 1963 (Addison Wesley 1995).
 * Gary W. Gibbons and Stephen W. Hawking (eds.), Euclidean quantum gravity, World Scientific (1993).
 * Herbert W. Hamber, Quantum Gravitation - The Feynman Path Integral Approach, Springer Publishing 2009, ISBN 978-3-540-85293-3.
 * Stephen W. Hawking, The Path Integral Approach to Quantum Gravity, in General Relativity - An Einstein Centenary Survey, Cambridge U. Press, 1977.
 * Formally relates Euclidean quantum gravity to ADM formalism.
 * Claus Kiefer, Quantum Gravity (third ed.). Oxford University Press 2012.
 * Martin J.G. Veltman, Quantum Theory of Gravitation, in Methods in Field Theory, Les Houches Session XXVIII, North Holland 1976.
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