ध्रुवण सर्वसमिका

रेखीय बीजगणित में, गणित की एक शाखा, ध्रुवीकरण की पहचान सूत्रों के परिवार में से कोई एक है जो एक आदर्श सदिश स्थान के मानदंड (गणित) के संदर्भ में दो सदिश (ज्यामिति) के आंतरिक उत्पाद को व्यक्त करता है। यदि एक आंतरिक उत्पाद से एक मानदंड (गणित) उत्पन्न होता है तो ध्रुवीकरण पहचान का उपयोग इस आंतरिक उत्पाद को पूरी तरह से मानदंड के रूप में व्यक्त करने के लिए किया जा सकता है। ध्रुवीकरण की पहचान दर्शाती है कि अधिकतम एक आंतरिक उत्पाद से एक मानक उत्पन्न हो सकता है; हालाँकि, ऐसे मानक मौजूद हैं जो किसी आंतरिक उत्पाद से उत्पन्न नहीं होते हैं।

किसी भी आंतरिक उत्पाद स्थान से जुड़ा मानदंड समांतर चतुर्भुज कानून को संतुष्ट करता है: $$\|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2\|x\|^2 + 2\|y\|^2.$$ वास्तव में, जैसा कि जॉन वॉन न्यूमैन ने देखा, समांतरोग्राम कानून उन मानदंडों को दर्शाता है जो आंतरिक उत्पादों से उत्पन्न होते हैं। नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस दिया गया है $$(H, \|\cdot\|)$$, समांतर चतुर्भुज कानून लागू होता है $$\|\cdot\|$$ अगर और केवल अगर कोई आंतरिक उत्पाद मौजूद है $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$ पर $$H$$ ऐसा है कि $$\|x\|^2 = \langle x,\ x\rangle$$ सभी के लिए $$x \in H,$$ किस मामले में यह आंतरिक उत्पाद विशिष्ट रूप से ध्रुवीकरण पहचान के माध्यम से आदर्श द्वारा निर्धारित किया जाता है।

ध्रुवीकरण पहचान
सदिश स्थान पर कोई भी आंतरिक उत्पाद स्थान समीकरण द्वारा एक आदर्श को प्रेरित करता है $$\|x\| = \sqrt{\langle x, x \rangle}.$$ ध्रुवीकरण की पहचान इस संबंध को उलट देती है, आंतरिक उत्पाद को आदर्श से पुनर्प्राप्त करती है। प्रत्येक आंतरिक उत्पाद संतुष्ट करता है: $$\|x + y\|^2 = \|x\|^2 + \|y\|^2 + 2\operatorname{Re}\langle x, y \rangle \qquad \text{ for all vectors } x, y.$$ के लिए हल करना $$\operatorname{Re}\langle x, y \rangle$$ सूत्र देता है $$\operatorname{Re}\langle x, y \rangle = \frac{1}{2} \left(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\right).$$ यदि आंतरिक उत्पाद वास्तविक है तो $$\operatorname{Re}\langle x, y \rangle = \langle x, y \rangle$$ और यह सूत्र वास्तविक आंतरिक उत्पादों के लिए ध्रुवीकरण की पहचान बन जाता है।

वास्तविक सदिश स्थान
यदि सदिश समष्टि वास्तविक संख्याओं से अधिक है तो ध्रुवीकरण सर्वसमिकाएँ हैं:

$$\begin{alignat}{4} \langle x, y \rangle &= \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2\right) \\[3pt] &= \frac{1}{2} \left(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\right) \\[3pt] &= \frac{1}{2} \left(\|x\|^2 + \|y\|^2 - \|x-y\|^2\right). \\[3pt] \end{alignat}$$ ये विभिन्न रूप समांतर चतुर्भुज कानून के समतुल्य हैं:

$$2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 = \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2.$$ इसका अर्थ यह भी है $$L^p$$ क्लास कभी भी हिल्बर्ट अंतरिक्ष नहीं है $$p\neq 2$$, क्योंकि समांतर चतुर्भुज कानून संतुष्ट नहीं है। प्रति उदाहरण के लिए, विचार करें $$x=1_A$$ तथा $$y=1_B$$ किन्हीं दो असंयुक्त उपसमुच्चयों के लिए $$A,B$$ सामान्य डोमेन का $$\Omega\subset\mathbb{R}^n$$ और समांतर चतुर्भुज नियम के अंतर्गत दोनों समुच्चयों की माप की गणना कर सकेंगे।

जटिल वेक्टर रिक्त स्थान
जटिल संख्याओं पर वेक्टर रिक्त स्थान के लिए, उपरोक्त सूत्र बिल्कुल सही नहीं हैं क्योंकि वे (जटिल) आंतरिक उत्पाद के काल्पनिक भाग का वर्णन नहीं करते हैं। हालांकि, एक समान अभिव्यक्ति यह सुनिश्चित करती है कि वास्तविक और काल्पनिक दोनों भागों को बरकरार रखा जाए। आंतरिक उत्पाद का जटिल हिस्सा इस बात पर निर्भर करता है कि यह पहले या दूसरे तर्क में एंटीलाइनर नक्शा है या नहीं। अंकन $$\langle x | y \rangle,$$ जो आमतौर पर भौतिकी में उपयोग किया जाता है, उसे एंटीलीनियर मैप माना जाएगा तर्क जबकि $$\langle x,\, y \rangle,$$ जो आमतौर पर गणित में प्रयोग किया जाता है, उसे एंटीलीनियर माना जाएगा  बहस। वे सूत्र द्वारा संबंधित हैं: $$\langle x,\, y \rangle = \langle y \,|\, x \rangle \quad \text{ for all } x, y \in H.$$ किसी भी आंतरिक उत्पाद का वास्तविक भाग (इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि कौन सा तर्क एंटीलीनियर है और इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि यह असली या जटिल है) एक सममित बिलिनियर मानचित्र है जो किसी भी के लिए $$x, y \in H$$ हमेशा बराबर होता है: $$\begin{alignat}{4} R(x, y)
 * &= \operatorname{Re} \langle x \mid y \rangle = \operatorname{Re} \langle x, y \rangle \\

&= \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2\right) \\ &= \frac{1}{2} \left(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\right) \\[3pt] &= \frac{1}{2} \left(\|x\|^2 + \|y\|^2 - \|x-y\|^2\right). \\[3pt] \end{alignat}$$ यह हमेशा एक सममित नक्शा होता है, जिसका अर्थ है $$R(x, y) = R(y, x) \quad \text{ for all } x, y \in H,$$ और यह भी संतुष्ट करता है: $$R(y, ix) = - R(x, iy) \quad \text{ for all } x, y \in H.$$ इस प्रकार $$R(ix, y) = - R(x, iy),$$ जो सादे अंग्रेजी में कहता है कि एक कारक को स्थानांतरित करना $$i = \sqrt{-1}$$ दूसरे तर्क के लिए, एक नकारात्मक चिह्न का परिचय दें।

होने देना $$R(x, y) := \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2\right).$$ फिर $$2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 = \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2$$ तात्पर्य $$R(x, y) = \frac{1}{4} \left(\left(2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 - \|x-y\|^2\right) - \|x-y\|^2\right) = \frac{1}{2} \left(\|x\|^2 + \|y\|^2 - \|x-y\|^2\right)$$ तथा $$R(x, y) = \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \left(2\|x\|^2 + 2\|y\|^2 - \|x+y\|^2\right)\right) = \frac{1}{2} \left(\|x+y\|^2 - \|x\|^2 - \|y\|^2\right).$$ इसके अतिरिक्त, $$4R(x, y) = \|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 = \|y+x\|^2 - \|y-x\|^2 = 4R(y, x),$$ जो यह साबित करता है $$R(x, y) = R(y, x).$$ से $$1 = i (-i)$$ यह इस प्रकार है कि $$y-ix = i(-iy-x) = -i(x+iy)$$ तथा $$y+ix = i(-iy+x) = i(x-iy)$$ ताकि $$-4R(y, ix) = \|y-ix\|^2 - \|y+ix\|^2 = \|(-i)(x+iy)\|^2 - \|i(x-iy)\|^2 = \|x+iy\|^2 - \|x-iy\|^2 = 4R(x, iy),$$ जो यह साबित करता है $$R(y, ix) = - R(x, iy).$$ $$\blacksquare$$

इसके वास्तविक भाग के विपरीत, एक जटिल आंतरिक उत्पाद का काल्पनिक हिस्सा इस बात पर निर्भर करता है कि कौन सा तर्क विरोधी है।

पहले तर्क में एंटीलाइनर

आंतरिक उत्पाद के लिए ध्रुवीकरण की पहचान $$\langle x \,|\, y \rangle,$$ जो कि एंटीलीनियर मैप है तर्क, हैं
 * $$\begin{alignat}{4}

\langle x \,|\, y \rangle &= \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 - i\|x + iy\|^2 + i\|x - iy\|^2\right) \\ &= R(x, y) - i R(x, iy) \\ &= R(x, y) + i R(ix, y) \\ \end{alignat}$$ कहाँ पे $$x, y \in H.$$ दूसरी से अंतिम समानता एक रैखिक कार्यात्मक के वास्तविक और काल्पनिक भागों के सूत्र के समान है $$\varphi$$ इसके वास्तविक भाग के संदर्भ में: $$\varphi(y) = \operatorname{Re} \varphi(y) - i (\operatorname{Re} \varphi)(i y).$$ दूसरे तर्क में एंटीलीनियर

आंतरिक उत्पाद के लिए ध्रुवीकरण की पहचान $$\langle x, \ y \rangle,$$ जो कि एंटीलीनियर मैप है तर्क, का अनुसरण करता है $$\langle x \,|\, y \rangle$$ रिश्ते से: $$\langle x, \ y \rangle := \langle y \,|\, x \rangle = \overline{\langle x \,|\, y \rangle} \quad \text{ for all } x, y \in H.$$ तो किसी के लिए $$x, y \in H,$$
 * $$\begin{alignat}{4}

\langle x,\, y \rangle &= \frac{1}{4} \left(\|x+y\|^2 - \|x-y\|^2 + i\|x + iy\|^2 - i\|x - iy\|^2\right) \\ &= R(x, y) + i R(x, iy) \\ &= R(x, y) - i R(ix, y). \\ \end{alignat}$$ इस अभिव्यक्ति को सममित रूप से व्यक्त किया जा सकता है: $$\langle x, y \rangle = \frac{1}{4} \sum_{k=0}^3 i^k \left\|x + i^k y\right\|^2.$$ दोनों मामलों का सारांश

इस प्रकार यदि $$R(x, y) + i I(x, y)$$ बिंदु पर कुछ आंतरिक उत्पाद के मूल्य के वास्तविक और काल्पनिक भागों को दर्शाता है $$(x, y) \in H \times H$$ इसके डोमेन का, तो इसका काल्पनिक हिस्सा होगा: $$I(x, y) ~=~ \begin{cases} ~R({\color{red}i} x, y) & \qquad \text{ if antilinear in the } {\color{red}1} \text{st argument} \\ ~R(x, {\color{blue}i} y) & \qquad \text{ if antilinear in the } {\color{blue}2} \text{nd argument} \\ \end{cases}$$ जहां अदिश $$i$$ हमेशा एक ही तर्क में स्थित होता है कि आंतरिक उत्पाद एंटीलीनियर है।

का उपयोग करते हुए $$R(ix, y) = - R(x, iy),$$ काल्पनिक भाग के लिए उपरोक्त सूत्र बन जाता है: $$I(x, y) ~=~ \begin{cases} -R(x, {\color{black}i} y) & \qquad \text{ if antilinear in the } {\color{black}1} \text{st argument} \\ -R({\color{black}i} x, y) & \qquad \text{ if antilinear in the } {\color{black}2} \text{nd argument} \\ \end{cases}$$

आंतरिक उत्पाद का पुनर्निर्माण
एक आदर्श स्थान में $$(H, \|\cdot\|),$$ यदि समानांतर चतुर्भुज कानून $$\|x+y\|^2 ~+~ \|x-y\|^2 ~=~ 2\|x\|^2+2\|y\|^2$$ धारण करता है, तो एक अद्वितीय आंतरिक उत्पाद मौजूद होता है $$\langle \cdot,\ \cdot\rangle$$ पर $$H$$ ऐसा है कि $$\|x\|^2 = \langle x,\ x\rangle$$ सभी के लिए $$x \in H.$$

$$ एक आंतरिक उत्पाद मौजूद होने के लिए एक और आवश्यक और पर्याप्त शर्त जो किसी दिए गए मानदंड को प्रेरित करती है $$\|\cdot\|$$ टॉलेमी की असमानता को संतुष्ट करने के लिए मानदंड है, जो है: $$\|x - y\| \, \|z\| ~+~ \|y - z\| \, \|x\| ~\geq~ \|x - z\| \, \|y\| \qquad \text{ for all vectors } x, y, z.$$

अनुप्रयोग और परिणाम
यदि $$H$$ तब एक जटिल हिल्बर्ट स्थान है $$\langle x \mid y \rangle$$ वास्तविक है अगर और केवल अगर इसका काल्पनिक हिस्सा है $$0 = R(x, iy) = \frac{1}{4} \left(\|x+iy\|^2 - \|x-iy\|^2\right),$$ जो होता है अगर और केवल अगर $$\|x+iy\| = \|x-iy\|.$$ इसी प्रकार, $$\langle x \mid y \rangle$$ (विशुद्ध रूप से) काल्पनिक है अगर और केवल अगर $$\|x+y\| = \|x-y\|.$$ उदाहरण के लिए, से $$\|x+ix\| = |1+i| \|x\| = \sqrt{2} \|x\| = |1-i| \|x\| = \|x-ix\|$$ यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है $$\langle x | x \rangle$$ वास्तविक है और वह $$\langle x | ix \rangle$$ विशुद्ध काल्पनिक है।

आइसोमेट्रिज
यदि $$A : H \to Z$$ दो हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बीच एक रैखिक नक्शा आइसोमेट्री है (इसलिए $$\|A h\| = \|h\|$$ सभी के लिए $$h \in H$$) फिर $$\langle A h, A k \rangle_Z = \langle h, k \rangle_H \quad \text{ for all } h, k \in H;$$ अर्थात्, रैखिक आइसोमेट्री आंतरिक उत्पादों को संरक्षित करती है।

यदि $$A : H \to Z$$ इसके बजाय एक एंटीलीनियर मैप आइसोमेट्री है $$\langle A h, A k \rangle_Z = \overline{\langle h, k \rangle_H} = \langle k, h \rangle_H \quad \text{ for all } h, k \in H.$$

कोसाइन के नियम से संबंध
ध्रुवीकरण पहचान का दूसरा रूप इस रूप में लिखा जा सकता है $$\|\textbf{u}-\textbf{v}\|^2 = \|\textbf{u}\|^2 + \|\textbf{v}\|^2 - 2(\textbf{u} \cdot \textbf{v}).$$ यह अनिवार्य रूप से सदिशों द्वारा गठित त्रिभुज के लिए कोसाइन के नियम का सदिश रूप है $$\textbf{u}, \textbf{v},$$ तथा $$\textbf{u}-\textbf{v}.$$ विशेष रूप से, $$\textbf{u}\cdot\textbf{v} = \|\textbf{u}\|\,\|\textbf{v}\| \cos\theta,$$ कहाँ पे $$\theta$$ वैक्टर के बीच का कोण है $$\textbf{u}$$ तथा $$\textbf{v}.$$

व्युत्पत्ति
मानदंड और डॉट उत्पाद के बीच मूल संबंध समीकरण द्वारा दिया गया है $$\|\textbf{v}\|^2 = \textbf{v} \cdot \textbf{v}.$$ फिर $$\begin{align} \|\textbf{u} + \textbf{v}\|^2 &= (\textbf{u} + \textbf{v}) \cdot (\textbf{u} + \textbf{v}) \\[3pt] &= (\textbf{u} \cdot \textbf{u}) + (\textbf{u} \cdot \textbf{v}) + (\textbf{v} \cdot \textbf{u}) + (\textbf{v} \cdot \textbf{v}) \\[3pt] &= \|\textbf{u}\|^2 + \|\textbf{v}\|^2 + 2(\textbf{u} \cdot \textbf{v}), \end{align}$$ और इसी तरह $$\|\textbf{u} - \textbf{v}\|^2 = \|\textbf{u}\|^2 + \|\textbf{v}\|^2 - 2(\textbf{u} \cdot \textbf{v}).$$ ध्रुवीकरण पहचान के रूप (1) और (2) अब इन समीकरणों को हल करके अनुसरण करते हैं $$\textbf{u} \cdot \textbf{v},$$ जबकि फॉर्म (3) इन दो समीकरणों को घटाने के बाद आता है। (इन दोनों समीकरणों को एक साथ जोड़ने पर समांतर चतुर्भुज नियम प्राप्त होता है।)

सममित द्विरेखीय रूप
ध्रुवीकरण की पहचान आंतरिक उत्पादों तक ही सीमित नहीं है। यदि $$B$$ सदिश स्थान पर कोई भी सममित द्विरेखीय रूप है, और $$Q$$ द्वारा परिभाषित द्विघात रूप है $$Q(v) = B(v, v),$$ फिर $$\begin{align} 2 B(u, v) &= Q(u + v) - Q(u) - Q(v), \\ 2 B(u, v) &= Q(u)    + Q(v) - Q(u - v), \\ 4 B(u, v) &= Q(u + v)       - Q(u - v). \end{align}$$ तथाकथित सजातीय बहुपद बाद के सूत्र को प्रतिस्थापित करते हुए सामान्यीकृत करता है $$Q$$ डिग्री के एक सजातीय बहुपद द्वारा $$k$$ द्वारा परिभाषित $$Q(v) = B(v, \ldots, v),$$ कहाँ पे $$B$$ एक सममित है $$k$$-रैखिक नक्शा। ऊपर दिए गए सूत्र उस मामले में भी लागू होते हैं जहां स्केलर (गणित) के क्षेत्र (गणित) में विशेषता (बीजगणित) दो हैं, हालांकि इस मामले में बाएं हाथ के सभी शून्य हैं। नतीजतन, विशेषता दो में द्विघात रूप के संदर्भ में एक सममित द्विरेखीय रूप के लिए कोई सूत्र नहीं है, और वे वास्तव में अलग धारणाएं हैं, एक तथ्य जिसका एल-सिद्धांत में महत्वपूर्ण परिणाम हैं; संक्षिप्तता के लिए, इस संदर्भ में सममित द्विरेखीय रूपों को अक्सर सममित रूपों के रूप में संदर्भित किया जाता है।

ये सूत्र एक क्रमविनिमेय अंगूठी पर मॉड्यूल (गणित) पर बिलिनियर रूपों पर भी लागू होते हैं, हालांकि फिर से कोई केवल हल कर सकता है $$B(u, v)$$ अगर 2 अंगूठी में उलटा है, और अन्यथा ये अलग-अलग धारणाएं हैं। उदाहरण के लिए, पूर्णांकों पर, अभिन्न द्विघात रूपों को अभिन्न से अलग किया जा सकता है रूप, जो एक संकीर्ण धारणा है।

अधिक आम तौर पर, एक रिंग इनवोल्यूशन की उपस्थिति में या जहां 2 व्युत्क्रमणीय नहीं है, कोई ε-द्विघात रूप को अलग करता है|$$\varepsilon$$-द्विघात रूप और ε-सममित रूप |$$\varepsilon$$- सममित रूप; एक सममित रूप एक द्विघात रूप को परिभाषित करता है, और द्विघात रूप से एक सममित रूप में ध्रुवीकरण पहचान (2 के एक कारक के बिना) को समरूपता मानचित्र कहा जाता है, और सामान्य रूप से एक समरूपता नहीं है। यह ऐतिहासिक रूप से एक सूक्ष्म अंतर रहा है: पूर्णांकों पर यह 1950 के दशक तक नहीं था कि दो बाहर (अभिन्न) के बीच संबंध फॉर्म) और दो में (इंटीग्रल  रूप) समझा गया - अभिन्न द्विघात रूप में चर्चा देखें; और सर्जरी सिद्धांत के बीजगणित में, मिशचेंको मूल रूप से इस्तेमाल किया  एल-समूह, सही के बजाय  एल-समूह (दीवार और रानीकी के रूप में) - एल-सिद्धांत पर चर्चा देखें।

उच्च डिग्री के सजातीय बहुपद
अंत में, इनमें से किसी भी संदर्भ में इन सर्वसमिकाओं को एक बहुपद की मनमानी डिग्री के सजातीय बहुपदों (अर्थात, बीजगणितीय रूपों) तक बढ़ाया जा सकता है, जहां इसे ध्रुवीकरण सूत्र के रूप में जाना जाता है, और ध्रुवीकरण पर लेख में अधिक विस्तार से समीक्षा की जाती है। एक बीजगणितीय रूप का।

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * लीनियर अलजेब्रा
 * नॉर्म्ड वेक्टर स्पेस
 * वेक्टर (ज्यामिति)
 * अंदरूनी प्रोडक्ट
 * अंक शास्त्र
 * समानांतर चतुर्भुज कानून
 * सामान्य (गणित)
 * रैखिक मानचित्र
 * त्रिकोण
 * कोसाइन का कानून
 * एल सिद्धांत
 * अदिश (गणित)
 * समभागीकरण
 * शल्य चिकित्सा सिद्धांत
 * एक बहुपद की डिग्री
 * एक बीजगणितीय रूप का ध्रुवीकरण