बिहोलोमोर्फिज्म

जटिल विश्लेषण के कार्यों के गणित में या कई जटिल चरों के कार्य में, और जटिल बीजगणितीय ज्यामिति में भी, एक बिहोलोमोर्फिज्म या बिहोलोमोर्फिक फ़ंक्शन एक विशेषण होलोमोर्फिक फ़ंक्शन होता है जिसका व्युत्क्रम फ़ंक्शन भी होलोमोर्फिक फ़ंक्शन होता है।

औपचारिक परिभाषा
औपचारिक रूप से, एक बायोलोमोर्फिक फ़ंक्शन एक फ़ंक्शन है $$\phi$$ के एक खुले उपसमूह यू पर परिभाषित किया गया है $$n$$-आयामी जटिल स्थान सीn 'सी' में मानों के साथn जो होलोमोर्फिक फ़ंक्शन और विशेषण फ़ंक्शन है|एक-से-एक, जैसे कि इसकी छवि (गणित) एक खुला सेट है $$V$$ सी मेंnऔर उलटा $$\phi^{-1}:V\to U$$ होलोमोर्फिक फ़ंक्शन भी है। अधिक सामान्यतः, यू और वी जटिल कई गुना हो सकते हैं। जैसा कि एकल जटिल चर के कार्यों के मामले में, एक होलोमोर्फिक मानचित्र के लिए उसकी छवि पर बिहोलोमोर्फिक होने के लिए पर्याप्त शर्त यह है कि नक्शा इंजेक्टिव है, जिस स्थिति में व्युत्क्रम भी होलोमोर्फिक है (उदाहरण के लिए, गनिंग 1990, प्रमेय I देखें)। 11)।

यदि कोई बिहोलोमोर्फिज्म मौजूद है $$\phi \colon U \to V$$, हम कहते हैं कि यू और वी 'बिहोलोमॉर्फिक रूप से समतुल्य' हैं या वे 'बिहोलोमोर्फिक' हैं।

रीमैन मानचित्रण प्रमेय और सामान्यीकरण
अगर $$n=1,$$ संपूर्ण जटिल तल के अलावा प्रत्येक सरल रूप से जुड़ा हुआ खुला सेट यूनिट डिस्क के लिए बायोलोमोर्फिक है (यह रीमैन मानचित्रण प्रमेय है)। उच्च आयामों में स्थिति बहुत भिन्न है। उदाहरण के लिए, ओपन यूनिट बॉल और ओपन यूनिट पॉलीडिस्क बायोहोलोमोर्फिक रूप से समकक्ष नहीं हैं $$n>1.$$ वास्तव में, एक से दूसरे में कोई उचित मानचित्र होलोमोर्फिक फ़ंक्शन भी मौजूद नहीं है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ
मानचित्रों के मामले में एफ: यू → 'सी' को जटिल विमान 'सी' के एक खुले उपसमुच्चय यू पर परिभाषित किया गया है, कुछ लेखक (उदाहरण के लिए, फ्रीटैग 2009, परिभाषा IV.4.1) एक अनुरूप मानचित्र को गैर-शून्य के साथ एक इंजेक्शन मानचित्र के रूप में परिभाषित करते हैं। व्युत्पन्न अर्थात, U में प्रत्येक z के लिए f'(z)≠ 0। इस परिभाषा के अनुसार, एक मानचित्र f : U → 'C' अनुरूप है यदि और केवल यदि f: U → f(U) बिहोलोमोर्फिक है। ध्यान दें कि बिहोलोमोर्फिज्म की परिभाषा के अनुसार, उनके व्युत्पन्न के बारे में कुछ भी नहीं माना जाता है, इसलिए, इस तुल्यता में यह दावा शामिल है कि एक होमियोमोर्फिज्म जो जटिल विभेदीकरण योग्य है, वास्तव में हर जगह गैर-शून्य व्युत्पन्न होना चाहिए। अन्य लेखक (उदाहरण के लिए, कॉनवे 1978) एक अनुरूप मानचित्र को गैर-शून्य व्युत्पन्न वाले मानचित्र के रूप में परिभाषित करते हैं, लेकिन यह आवश्यक किए बिना कि मानचित्र इंजेक्टिव हो। इस कमजोर परिभाषा के अनुसार, एक अनुरूप मानचित्र को बिहोलोमोर्फिक होने की आवश्यकता नहीं है, भले ही यह स्थानीय रूप से बिहोलोमोर्फिक हो, उदाहरण के लिए, व्युत्क्रम फ़ंक्शन प्रमेय द्वारा। उदाहरण के लिए, यदि f: U → U को f(z) = z द्वारा परिभाषित किया गया है2 U = 'C'–{0} के साथ, तो f, U पर अनुरूप है, क्योंकि इसका व्युत्पन्न f'(z) = 2z ≠ 0 है, लेकिन यह बायोलोमोर्फिक नहीं है, क्योंकि यह 2-1 है।