अनिर्धार्य रूप

कलन और गणितीय विश्लेषण की अन्य शाखाओं में, एक स्वतंत्र चर में कार्यों के बीजगणितीय संयोजन वाली सीमाओं का मूल्यांकन अक्सर इन कार्यों को उनकी सीमा (गणित) द्वारा प्रतिस्थापित करके किया जा सकता है; यदि इस प्रतिस्थापन के बाद प्राप्त अभिव्यक्ति मूल सीमा निर्धारित करने के लिए पर्याप्त जानकारी प्रदान नहीं करती है, तो अभिव्यक्ति को अनिश्चित रूप कहा जाता है। अधिक विशेष रूप से, एक अनिश्चित रूप एक गणितीय अभिव्यक्ति है जिसमें अधिकतम दो शामिल हैं $$0~$$, $$1$$ या $$\infty$$, एक सीमा निर्धारित करने के प्रयास की प्रक्रिया में बीजगणितीय सीमा प्रमेय को लागू करके प्राप्त किया जाता है, जो उस सीमा को एक विशिष्ट मूल्य या अनंत तक सीमित करने में विफल रहता है, और इस प्रकार मांगी जाने वाली सीमा निर्धारित नहीं करता है। अनंत होने की पुष्टि की गई सीमा अनिश्चित नहीं है क्योंकि इसे एक विशिष्ट मान (अनंत) के लिए निर्धारित किया गया है। यह शब्द मूल रूप से कॉची के छात्र मोइग्नो द्वारा 19वीं शताब्दी के मध्य में पेश किया गया था।

सात अनिश्चित रूप हैं जिन्हें आमतौर पर साहित्य में माना जाता है:


 * $$\frac 00,~ \frac{\infty}{\infty},~ 0\times\infty,~ \infty - \infty,~ 0^0,~ 1^\infty, \text{ and } \infty^0 .$$

एक अनिश्चित रूप का सबसे आम उदाहरण दो कार्यों के अनुपात की सीमा का निर्धारण करते समय होता है, जिसमें ये दोनों कार्य सीमा में शून्य हो जाते हैं, और इसे अनिश्चित रूप कहा जाता है $$0/0$$. उदाहरण के लिए, जैसा $$x$$ दृष्टिकोण $$0~$$, अनुपात $$x/x^3$$, $$x/x$$, तथा $$x^2/x$$ के लिए जाओ $$\infty$$, $$1$$, तथा $$0~$$ क्रमश। प्रत्येक स्थिति में, यदि अंश और हर की सीमाएँ प्रतिस्थापित कर दी जाएँ, तो परिणामी व्यंजक है $$0/0$$, जो अपरिभाषित है। बोलने के ढीले तरीके में, $$0/0$$ मान ग्रहण कर सकते हैं $$0~$$, $$1$$, या $$\infty$$, और समान उदाहरणों का निर्माण करना आसान है जिसके लिए सीमा कोई विशेष मान है।

तो, दिया गया है कि दो कार्य (गणित) $$f(x)$$ तथा $$g(x)$$ दोनों आ रहे हैं $$0~$$ जैसा $$x$$ किसी सीमा बिंदु तक पहुँचता है $$c$$, यह तथ्य अकेले किसी फ़ंक्शन की सीमा का मूल्यांकन करने के लिए पर्याप्त जानकारी नहीं देता है

प्रत्येक अपरिभाषित बीजगणितीय अभिव्यक्ति एक अनिश्चित रूप से मेल नहीं खाती है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति $$1/0$$ वास्तविक संख्या के रूप में अपरिभाषित है लेकिन अनिश्चित रूप से संगत नहीं है; इस रूप को उत्पन्न करने वाली कोई भी परिभाषित सीमा अनंत तक अलग हो जाएगी।

बीजगणितीय सीमा प्रमेय को लागू करने के अलावा अन्य तरीकों से उत्पन्न होने वाली अभिव्यक्ति में अनिश्चित रूप का एक ही रूप हो सकता है। हालाँकि, किसी अभिव्यक्ति को अनिश्चित रूप कहना उचित नहीं है यदि अभिव्यक्ति सीमा निर्धारण के संदर्भ से बाहर की गई है। उदाहरण के लिए, $$0/0$$ जो स्थानापन्न करने से उत्पन्न होता है $$0~$$ के लिये $$x$$ समीकरण में $$f(x)=|x|/(|x-1|-1)$$ एक अनिश्चित रूप नहीं है क्योंकि यह अभिव्यक्ति एक सीमा के निर्धारण में नहीं बनाई गई है (यह वास्तव में शून्य से विभाजन के रूप में अपरिभाषित है)। एक अन्य उदाहरण अभिव्यक्ति है $$0^0$$. क्या इस व्यंजक को अपरिभाषित छोड़ दिया गया है, या बराबर के रूप में परिभाषित किया गया है $$1$$, आवेदन के क्षेत्र पर निर्भर करता है और लेखकों के बीच भिन्न हो सकता है। अधिक जानकारी के लिए, शून्य की घात शून्य का लेख देखें। ध्यान दें कि $$0^\infty$$ और अनंतता से जुड़े अन्य भाव # ऐसे भाव जो अनिश्चित रूप नहीं हैं।

अनिश्चित रूप 0/0
अनिश्चित रूप $$0/0$$ कैलकुलस में विशेष रूप से आम है, क्योंकि यह अक्सर यौगिक के मूल्यांकन में सीमा के संदर्भ में उनकी परिभाषा का उपयोग करते हुए उत्पन्न होता है।

जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है,

जबकि

यह दर्शाने के लिए काफी है गणित> 0/0  एक अनिश्चित रूप है। इस अनिश्चित रूप वाले अन्य उदाहरणों में शामिल हैं

तथा

उस संख्या का प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन$$x$$इनमें से किसी भी अभिव्यक्ति में दृष्टिकोण से पता चलता है कि ये उदाहरण अनिश्चित रूप से मेल खाते हैं $$0/0$$, लेकिन ये सीमाएँ कई भिन्न मान ग्रहण कर सकती हैं। कोई वांछित मूल्य $$a$$ इस अनिश्चित रूप के लिए निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है:

मूल्य $$\infty$$ भी प्राप्त किया जा सकता है (अनंत के विचलन के अर्थ में):

अनिश्चित रूप 0 0
निम्नलिखित सीमाएं दर्शाती हैं कि अभिव्यक्ति $$0^0$$ एक अनिश्चित रूप है:

इस प्रकार, सामान्य तौर पर, यह जानना $$\textstyle\lim_{x \to c} f(x) \;=\; 0\!$$ तथा $$\textstyle\lim_{x \to c} g(x) \;=\; 0$$ सीमा का मूल्यांकन करने के लिए पर्याप्त नहीं है

यदि कार्य करता है $$f$$ तथा $$g$$ पर विश्लेषणात्मक कार्य हैं $$c$$, तथा $$f$$ के लिए सकारात्मक है $$x$$ पर्याप्त रूप से करीब (लेकिन बराबर नहीं)। $$c$$, फिर की सीमा $$f(x)^{g(x)}$$ होगा $$1$$. अन्यथा, सीमा का मूल्यांकन करने के लिए नीचे अनिश्चित रूपों की #सूची में परिवर्तन का उपयोग करें।

अभिव्यक्तियाँ जो अनिश्चित रूप नहीं हैं
भावाभिव्यक्ति $$1/0$$ आमतौर पर एक अनिश्चित रूप के रूप में नहीं माना जाता है, क्योंकि यदि की सीमा $$f/g$$ मौजूद है तो इसके मूल्य के बारे में कोई अस्पष्टता नहीं है, क्योंकि यह हमेशा अलग हो जाती है। विशेष रूप से, अगर $$f$$ दृष्टिकोण $$1$$ तथा $$g$$ दृष्टिकोण $$0~$$, फिर $$f$$ तथा $$g$$ चुना जा सकता है ताकि:


 * 1) $$f/g$$ दृष्टिकोण $$+\infty$$
 * 2) $$f/g$$ दृष्टिकोण $$-\infty$$
 * 3) सीमा मौजूद नहीं है।

प्रत्येक मामले में निरपेक्ष मूल्य $$|f/g|$$ दृष्टिकोण $$+\infty$$, और इसलिए भागफल $$f/g$$ विस्तारित वास्तविक संख्याओं के अर्थ में विचलन करना चाहिए (अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा के ढांचे में, सीमा अनंत पर बिंदु है $$\infty$$ तीनों मामलों में ). इसी प्रकार, रूप की कोई भी अभिव्यक्ति $$a/0$$ साथ $$a\ne0$$ (समेत $$a=+\infty$$ तथा $$a=-\infty$$) एक अनिश्चित रूप नहीं है, क्योंकि इस तरह की अभिव्यक्ति को जन्म देने वाला भाग हमेशा अलग हो जाएगा।

भावाभिव्यक्ति $$0^\infty$$ अनिश्चित रूप नहीं है। भावाभिव्यक्ति $$0^{+\infty}$$ विचार करने से प्राप्त होता है $$\lim_{x \to c} f(x)^{g(x)}$$ सीमा देता है $$0~$$, उसे उपलब्ध कराया $$f(x)$$ के रूप में अऋणात्मक रहता है $$x$$ दृष्टिकोण $$c$$. भावाभिव्यक्ति $$0^{-\infty}$$ के समान ही है $$1/0$$; यदि $$f(x) > 0$$ जैसा $$x$$ दृष्टिकोण $$c$$सीमा के रूप में बाहर आता है $$+\infty$$.

देखने के लिए क्यों, चलो $$L = \lim_{x \to c} f(x)^{g(x)},$$ कहाँ पे $$ \lim_{x \to c} {f(x)}=0,$$ तथा $$ \lim_{x \to c} {g(x)}=\infty.$$ दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेकर और प्रयोग करके $$ \lim_{x \to c} \ln{f(x)}=-\infty,$$ हमें वह मिलता है $$\ln L = \lim_{x \to c} ({g(x)}\times\ln{f(x)})=\infty\times{-\infty}=-\infty,$$ जिसका अर्थ है कि $$L = {e}^{-\infty}=0.$$

अनिश्चित रूपों का मूल्यांकन
विशेषण अनिश्चित का अर्थ यह नहीं है कि सीमा मौजूद नहीं है, जैसा कि ऊपर दिए गए कई उदाहरणों से पता चलता है। कई मामलों में, बीजगणितीय विलोपन, L'Hôpital's नियम, या अन्य विधियों का उपयोग अभिव्यक्ति में हेरफेर करने के लिए किया जा सकता है ताकि सीमा का मूल्यांकन किया जा सके।

समतुल्य अपरिमित
जब दो चर $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ एक ही सीमा बिंदु पर शून्य में अभिसरण और $$\textstyle \lim \frac{\beta}{\alpha} = 1$$, वे समतुल्य अपरिमित कहलाते हैं (equiv। $$\alpha \sim \beta$$).

इसके अलावा, यदि चर $$\alpha'$$ तथा $$\beta'$$ ऐसे हैं $$\alpha \sim \alpha'$$ तथा $$\beta \sim \beta'$$, फिर:

यहाँ एक संक्षिप्त प्रमाण है:

मान लीजिए कि दो तुल्य अपरिमित हैं $$\alpha \sim \alpha'$$ तथा $$\beta \sim \beta'$$.
 * $$\lim \frac{\beta}{\alpha} = \lim \frac{\beta \beta' \alpha'}{\beta' \alpha' \alpha} = \lim \frac{\beta}{\beta'} \lim \frac{\alpha'}{\alpha} \lim \frac{\beta'}{\alpha'} = \lim \frac{\beta'}{\alpha'}$$

अनिश्चित रूप के मूल्यांकन के लिए $$0/0$$, समतुल्य अत्यणुओं के बारे में निम्नलिखित तथ्यों का उपयोग किया जा सकता है (उदाहरण के लिए, $$x\sim\sin x$$ अगर एक्स शून्य के करीब हो जाता है):

उदाहरण के लिए:
 * $$\begin{align}\lim_{x \to 0} \frac{1}{x^3} \left[\left(\frac{2+\cos x}{3}\right)^x - 1 \right] & = \lim_{x \to 0} \frac{e^{x\ln{\frac{2 + \cos x}{3}}}-1}{x^3} \\ & = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln \frac{2+ \cos x}{3} \\ & = \lim_{x \to 0} \frac{1}{x^2} \ln \left(\frac{\cos x -1}{3}+1\right) \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{\cos x -1}{3x^2} \\ &= \lim_{x \to 0} -\frac{x^2}{6x^2} \\ & = -\frac{1}{6}\end{align}$$

दूसरी समानता में, $$e^y - 1 \sim y$$ कहाँ पे $$y = x\ln{2+\cos x \over 3}$$ जब y 0 के करीब हो जाता है तो इसका उपयोग किया जाता है, और $$y \sim \ln {(1+y)}$$ कहाँ पे $$y = {{\cos x - 1} \over 3}$$ चौथी समानता में प्रयोग किया जाता है, और $$1-\cos x \sim {x^2 \over 2}$$ 5 वीं समानता में प्रयोग किया जाता है।

अस्पताल का नियम
L'Hôpital's नियम अनिश्चित रूपों के मूल्यांकन के लिए एक सामान्य विधि है $$0/0$$ तथा $$\infty/\infty$$. यह नियम बताता है कि (उपयुक्त परिस्थितियों में)

कहाँ पे $$f'$$ तथा $$g'$$ के व्युत्पन्न (कलन) हैं $$f$$ तथा $$g$$. (ध्यान दें कि यह नियम अभिव्यक्तियों पर लागू नहीं होता है $$\infty/0$$, $$1/0$$, और इसी तरह, क्योंकि ये भाव अनिश्चित रूप नहीं हैं।) ये डेरिवेटिव किसी को बीजगणितीय सरलीकरण करने और अंततः सीमा का मूल्यांकन करने की अनुमति देंगे।

L'Hôpital के नियम को पहले उपयुक्त बीजगणितीय परिवर्तन का उपयोग करते हुए, अन्य अनिश्चित रूपों पर भी लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, फॉर्म 0 का मूल्यांकन करने के लिए0:

दाहिना भाग रूप का है $$\infty/\infty$$, इसलिए L'Hôpital का नियम इस पर लागू होता है। ध्यान दें कि यह समीकरण मान्य है (जब तक दाहिनी ओर परिभाषित है) क्योंकि प्राकृतिक लघुगणक (ln) एक सतत कार्य है; यह अप्रासंगिक है कि कितना अच्छा व्यवहार किया $$f$$ तथा $$g$$ हो सकता है (या नहीं भी हो सकता है)। $$f$$ विषम रूप से सकारात्मक है। (लघुगणक का प्रांत सभी धनात्मक वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।)

हालांकि ल'हॉपिटल का नियम दोनों पर लागू होता है $$0/0$$ तथा $$\infty/\infty$$, इनमें से एक रूप किसी विशेष मामले में दूसरे की तुलना में अधिक उपयोगी हो सकता है (बाद में बीजगणितीय सरलीकरण की संभावना के कारण)। कोई इन रूपों के बीच परिवर्तन करके बदल सकता है $$f/g$$ प्रति $$(1/g)/(1/f)$$.

अनिश्चित रूपों की सूची
निम्न तालिका सबसे आम अनिश्चित रूपों और l'Hôpital के नियम को लागू करने के लिए परिवर्तनों को सूचीबद्ध करती है।

यह भी देखें

 * परिभाषित और अपरिभाषित
 * शून्य से विभाजन
 * विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा
 * अनिश्चित समीकरण
 * अनिश्चित व्यवस्था
 * अनिश्चित (चर)
 * L'hopital का नियम

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * गणना
 * समारोह (गणित)
 * एक समारोह की सीमा
 * अनंत पर इंगित करें
 * बहुत छोता
 * व्युत्पन्न (पथरी)
 * निरंतर कार्य
 * अनिश्चित प्रणाली