यूनिपोटेंसी

गणित में, एक वलय का एक अनिपोटेंट तत्व r (गणित) R एक ऐसा है कि r − 1 एक निलपोटेंट तत्व है; दूसरे शब्दों में, (r − 1)n कुछ n के लिए शून्य है।

विशेष रूप से, एक वर्ग मैट्रिक्स M एक 'यूनिपोटेंट मैट्रिक्स' है यदि और केवल यदि इसका अभिलक्षणिक बहुपद P(t) t − 1 की घात है। इस प्रकार एक यूनिपोटेंट मैट्रिक्स के सभी अभिलक्षणिक मान (eigenvalues) ​​​​1 हैं।

'अर्ध-एकशक्तिशाली' शब्द का अर्थ है कि कुछ शक्ति एकशक्तिशाली है, उदाहरण के लिए eigenvalues ​​​​के साथ एक विकर्ण मैट्रिक्स के लिए जो एकता की सभी जड़ें हैं।

बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत में, एक समूह तत्व 'यूनीपोटेंट' होता है यदि यह एक निश्चित प्राकृतिक समूह प्रतिनिधित्व में यूनिपोटेंट रूप से कार्य करता है। एक 'यूनिपोटेंट एफाइन अलजेब्रिक ग्रुप' तब एक ऐसा समूह होता है जिसके सभी तत्व यूनिपोटेंट होते हैं।

मैट्रिक्स के साथ परिभाषा
समूह पर विचार करें (गणित) $$\mathbb{U}_n$$ ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स के साथ|ऊपरी-त्रिकोणीय मैट्रिक्स के साथ $$1$$विकर्ण के अनुदिश है, इसलिए वे मैट्रिक्स (गणित) का समूह हैं
 * $$\mathbb{U}_n = \left\{

\begin{bmatrix} 1 & * & \cdots & * & * \\ 0 & 1 & \cdots & * & * \\ \vdots & \vdots & &\vdots & \vdots \\ 0& 0& \cdots & 1 &* \\ 0 & 0 & \cdots & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}.$$ फिर, एक एकशक्तिशाली समूह को कुछ लोगों के उपसमूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\mathbb{U}_n$$. योजना (गणित) का उपयोग करके समूह $$\mathbb{U}_n$$ समूह योजना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है
 * $$\text{Spec}\left(

\frac{\mathbb{C}\!\left[x_{11},x_{12},\ldots, x_{nn}, \frac{1}{\text{det}}\right]}{ (x_{ii} = 1, x_{i > j} = 0) } \right)$$ और एक एफ़िन समूह योजना अप्रभावी है यदि यह इस योजना की एक बंद समूह योजना है।

रिंग सिद्धांत के साथ परिभाषा
एक एफ़िन बीजगणितीय समूह का एक तत्व x एकसमान होता है जब उसका संबद्ध सही अनुवाद ऑपरेटर, r होता हैx, जी के एफ़िन कोऑर्डिनेट रिंग ए[जी] पर, ए[जी] के रैखिक मानचित्र के रिंग के एक तत्व के रूप में स्थानीय रूप से यूनिपोटेंट है। (स्थानीय रूप से यूनिपोटेंट का मतलब है कि ए [जी] के किसी भी परिमित-आयामी स्थिर उप-स्थान पर इसका प्रतिबंध सामान्य रिंग-सैद्धांतिक अर्थ में यूनिपोटेंट है।)

एक एफ़िन बीजगणितीय समूह को 'यूनिपोटेंट' कहा जाता है यदि इसके सभी तत्व यूनिपोटेंट हैं। कोई भी एकरूपी बीजगणितीय समूह विकर्ण प्रविष्टियों 1 के साथ ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूहों के समूह के एक बंद उपसमूह के लिए समरूपी  है, और उलटा (तर्क) ऐसा कोई भी उपसमूह एकरूपी है। विशेष रूप से कोई भी एकशक्तिशाली समूह एक शून्यशक्तिशाली समूह है, हालांकि इसका विपरीत सत्य नहीं है (प्रतिउदाहरण: जीएल के विकर्ण मैट्रिक्स)n(क))।

उदाहरण के लिए, का मानक प्रतिनिधित्व $$\mathbb{U}_n$$ पर $$k^n$$ मानक आधार के साथ $$e_i$$ निश्चित वेक्टर है $$e_1$$.

प्रतिनिधित्व सिद्धांत के साथ परिभाषा
यदि एक यूनिपोटेंट समूह एक एफ़िन विविधता पर कार्य करता है, तो इसकी सभी कक्षाएँ बंद हो जाती हैं, और यदि यह एक परिमित-आयामी सदिश स्थल पर रैखिक रूप से कार्य करता है तो इसमें एक गैर-शून्य निश्चित वेक्टर होता है। वास्तव में, बाद वाली संपत्ति एकाधिकारहीन समूहों की विशेषता बताती है। विशेष रूप से, इसका तात्पर्य यह है कि कोई गैर-तुच्छ अर्धसरल निरूपण नहीं हैं।

यूn
बेशक, मैट्रिक्स का समूह $$\mathbb{U}_n$$ अशक्तिशाली है. निचली केंद्रीय श्रृंखला का उपयोग करना
 * $$\mathbb{U}_n = \mathbb{U}_n^{(0)} \supset \mathbb{U}_n^{(1)} \supset \mathbb{U}_n^{(2)} \supset \cdots \supset \mathbb{U}_n^{(m)} = e$$

कहाँ
 * $$\mathbb{U}_n^{(1)} = [\mathbb{U}_n,\mathbb{U}_n]$$ और $$\mathbb{U}_n^{(2)} = [\mathbb{U}_n, \mathbb{U}_n^{(1)}]$$

वहाँ संबद्ध एकाधिकार समूह हैं। उदाहरण के लिए, पर $$n = 4$$, केंद्रीय श्रृंखला मैट्रिक्स समूह हैं
 * $$\mathbb{U}_4 = \left\{

\begin{bmatrix} 1 & * & * & * \\ 0 & 1 & * & * \\ 0 & 0 & 1 & * \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}$$, $$\mathbb{U}_4^{(1)} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & * & * \\ 0 & 1 & 0 & * \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}$$, $$\mathbb{U}_4^{(2)} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & * \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}$$, और $$\mathbb{U}_4^{(3)} = \left\{ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \right\}$$ एकशक्तिशाली समूहों के कुछ प्रेरित उदाहरण दिए गए हैं।

जीan
योगात्मक समूह $$\mathbb{G}_a$$ एम्बेडिंग के माध्यम से एक अशक्तिशाली समूह है
 * $$a \mapsto \begin{bmatrix}

1 & a\\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ ध्यान दें कि मैट्रिक्स गुणन क्या देता है
 * $$\begin{bmatrix}

1 & a \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 & b \\ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & a + b \\ 0 & 1 \end{bmatrix}$$ इसलिए यह एक समूह एम्बेडिंग है। अधिक सामान्यतः, एक एम्बेडिंग होती है $$\mathbb{G}_a^n \to \mathbb{U}_{n+1}$$ मानचित्र से
 * $$(a_1,\ldots, a_n) \,\mapsto \begin{bmatrix}

1 & a_1 & a_2 & \cdots & a_{n-1} &a_n \\ 0 & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & \cdots &1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & \cdots &0 & 1 \end{bmatrix}$$ योजना सिद्धांत का उपयोग करते हुए, $$\mathbb{G}_a$$ ऑपरेटर द्वारा दिया गया है
 * $$\mathcal{O}:\textbf{Sch}^{op} \to \textbf{Sets}$$

कहाँ
 * $$(X,\mathcal{O}_X) \mapsto \mathcal{O}_X(X)$$

फ्रोबेनियस का कर्नेल
फ़नकार पर विचार करें $$\mathcal{O}$$ उपश्रेणी पर $$\textbf{Sch}/\mathbb{F}_p$$, वहाँ सबफ़ंक्टर है $$\alpha_p$$ कहाँ
 * $$\alpha_p(X) = \{ x \in \mathcal{O}(X) : x^p = 0 \}$$

तो यह फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म के कर्नेल द्वारा दिया गया है।

विशेषता 0 पर एकशक्तिशाली समूहों का वर्गीकरण
विशेषता (बीजगणित) 0 से अधिक, निलपोटेंट लाई बीजगणित के संबंध में एकशक्तिशाली बीजगणितीय समूहों का एक अच्छा वर्गीकरण है। याद रखें कि एक निलपोटेंट ले बीजगणित कुछ का एक उपबीजगणित है $$\mathfrak{gl}_n$$ जैसे कि पुनरावृत्त सहायक क्रिया अंततः शून्य-मानचित्र पर समाप्त हो जाती है। आव्यूह के संदर्भ में, इसका मतलब यह है कि यह एक उपबीजगणित है $$\mathfrak{g}$$ का $$\mathfrak{n}_n$$, मैट्रिक्स के साथ $$a_{ij} = 0$$ के लिए $$i \leq j$$.

फिर, परिमित-आयामी निलपोटेंट लाई बीजगणित और यूनिपोटेंट बीजगणितीय समूहों की श्रेणियों की समानता है। पृष्ठ 261 इसका निर्माण बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ़ सूत्र का उपयोग करके किया जा सकता है|बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ़ श्रृंखला $$H(X,Y)$$, जहां एक परिमित-आयामी निलपोटेंट झूठ बीजगणित, नक्शा दिया गया है
 * $$H:\mathfrak{g}\times\mathfrak{g} \to \mathfrak{g} \text{ where } (X,Y)\mapsto H(X,Y)$$

एक यूनिपोटेंट बीजगणितीय समूह संरचना देता है $$\mathfrak{g}$$.

दूसरी दिशा में घातीय मानचित्र (झूठ सिद्धांत) किसी भी शून्य-शक्तिशाली वर्ग मैट्रिक्स को एक यूनिपोटेंट मैट्रिक्स में ले जाता है। इसके अलावा, यदि यू एक क्रमविनिमेय एकशक्तिशाली समूह है, तो घातांकीय मानचित्र यू से यू के लाई बीजगणित से एक समरूपता उत्पन्न करता है।

टिप्पणियाँ
किसी भी आयाम के बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर यूनिपोटेंट समूहों को सैद्धांतिक रूप से वर्गीकृत किया जा सकता है, लेकिन व्यवहार में वर्गीकरण की जटिलता आयाम के साथ बहुत तेजी से बढ़ती है, इसलिए लोग आयाम 6 के आसपास कहीं न कहीं हार मानने की प्रवृत्ति होती है।

एकशक्तिशाली मूलक
एक बीजगणितीय समूह जी का एकशक्तिशाली मूलांक जी के एक बीजगणितीय समूह के मूलांक में एकशक्तिशाली तत्वों का समूह है। यह जी का एक जुड़ा हुआ एकशक्तिशाली सामान्य उपसमूह है, और इसमें ऐसे सभी अन्य उपसमूह शामिल हैं। किसी समूह को रिडक्टिव कहा जाता है यदि उसका एकशक्तिशाली मूलांक तुच्छ हो। यदि जी रिडक्टिव है तो इसका मूलांक एक टोरस है।

बीजगणितीय समूहों का अपघटन
बीजगणितीय समूहों को एकशक्तिशाली समूहों, गुणक समूहों और एबेलियन किस्मों में विघटित किया जा सकता है, लेकिन वे कैसे विघटित होते हैं इसका विवरण उनके आधार क्षेत्र (गणित) की विशेषता पर निर्भर करता है।

लक्षण 0
विशेषता 0 पर एक बीजगणितीय समूह का एक अच्छा अपघटन प्रमेय है $$G$$ इसकी संरचना को एक रैखिक बीजगणितीय समूह और एबेलियन किस्म की संरचना से संबंधित करना। समूहों का एक संक्षिप्त सटीक क्रम है पृष्ठ 8
 * $$0 \to M\times U \to G \to A \to 0$$

कहाँ $$A$$ एक एबेलियन किस्म है, $$M$$ गुणात्मक प्रकार का है (अर्थ, $$M$$ ज्यामितीय रूप से, फॉर्म के टोरी और बीजगणितीय समूहों का एक उत्पाद है $$\mu_n$$) और $$U$$ एक अशक्तिशाली समूह है.

विशेषता पी
जब आधार क्षेत्र की विशेषता p होती है तो एक अनुरूप कथन होता है एक बीजगणितीय समूह के लिए $$G$$: वहाँ एक सबसे छोटा उपसमूह मौजूद है $$H$$ ऐसा है कि


 * 1) $$G/H$$ एक अशक्तिशाली समूह है
 * 2) $$H$$ एबेलियन किस्म का विस्तार है $$A$$ एक समूह द्वारा $$M$$ गुणात्मक प्रकार का.
 * 3) $$M$$ अनुरूपता (समूह सिद्धांत) तक अद्वितीय है $$G$$ और $$A$$ आइसोजेनी तक अद्वितीय है।

जॉर्डन अपघटन
एक पूर्ण क्षेत्र पर रैखिक बीजगणितीय समूह के किसी भी तत्व g को उत्पाद g = g के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता हैu&हेयरस्प;&हेयरस्प;जीs कम्यूटिंग यूनिपोटेंट और सेमी-सादगी वाले तत्व जीu और जीs. समूह जीएल के मामले मेंn(सी), यह अनिवार्य रूप से कहता है कि कोई भी व्युत्क्रमणीय सम्मिश्र संख्या मैट्रिक्स एक विकर्ण मैट्रिक्स और एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स के उत्पाद से संयुग्मित होता है, जो (कमोबेश) जॉर्डन-चेवेल्ली अपघटन का गुणक संस्करण है।

समूहों के लिए जॉर्डन अपघटन का एक संस्करण भी है: एक पूर्ण क्षेत्र पर कोई भी क्रमविनिमेय रैखिक बीजगणितीय समूह एक एकशक्तिशाली समूह और एक अर्धसरल समूह का उत्पाद है।

यह भी देखें

 * रिडक्टिव ग्रुप
 * अद्वितीय प्रतिनिधित्व
 * डेलिग्ने-लुस्ज़टिग सिद्धांत

संदर्भ

 * A. Borel, Linear algebraic groups, ISBN 0-387-97370-2