अनिसोट्रोपिक प्रसार

छवि प्रसंस्करण और कंप्यूटर दृष्टि में, अनिसोट्रोपिक प्रसार, जिसे पेरोना-मलिक प्रसार भी कहा जाता है, छवि सामग्री के महत्वपूर्ण भागों को हटाए बिना छवि शोर को कम करने के उद्देश्य से एक तकनीक है, आमतौर पर किनारों, रेखाओं या अन्य विवरण जो छवि की व्याख्या के लिए महत्वपूर्ण हैं. एनिस्ट्रोपिक प्रसार उस प्रक्रिया से मिलता-जुलता है जो एक स्केल स्पेस बनाता है, जहां एक छवि प्रसार प्रक्रिया के आधार पर क्रमिक रूप से अधिक से अधिक धुंधली छवियों का एक पैरामीटरयुक्त परिवार उत्पन्न करती है। इस परिवार में परिणामी छवियों में से प्रत्येक को छवि और एक 2डी समदैशिक   गाऊसी फिल्टर  के बीच एक कनवल्शन के रूप में दिया गया है, जहां पैरामीटर के साथ फिल्टर की चौड़ाई बढ़ जाती है। यह प्रसार प्रक्रिया मूल छवि का एक रैखिक और अंतरिक्ष-अपरिवर्तनीय परिवर्तन है। अनिसोट्रोपिक प्रसार इस प्रसार प्रक्रिया का एक सामान्यीकरण है: यह पैरामिट्रीकृत छवियों के एक परिवार का उत्पादन करता है, लेकिन प्रत्येक परिणामी छवि मूल छवि और एक फिल्टर के बीच एक संयोजन है जो मूल छवि की स्थानीय सामग्री पर निर्भर करता है। परिणामस्वरूप, अनिसोट्रोपिक प्रसार मूल छवि का एक गैर-रैखिक और अंतरिक्ष-भिन्न परिवर्तन है।

1987 में पीटर पेरोना और जितेंद्र मलिक द्वारा प्रस्तुत अपने मूल सूत्रीकरण में, स्पेस-वैरिएंट फ़िल्टर वास्तव में आइसोट्रोपिक है, लेकिन छवि सामग्री पर निर्भर करता है जैसे कि यह किनारों और अन्य संरचनाओं के करीब एक आवेग फ़ंक्शन का अनुमान लगाता है जिसे परिणामी स्केल स्पेस के विभिन्न स्तरों पर छवि में संरक्षित किया जाना चाहिए। इस सूत्रीकरण को पेरोना और मलिक द्वारा अनिसोट्रोपिक प्रसार के रूप में संदर्भित किया गया था, हालांकि स्थानीय रूप से अनुकूलित फ़िल्टर आइसोट्रोपिक है, लेकिन इसे अमानवीय और गैर-रैखिक प्रसार के रूप में भी संदर्भित किया गया है। या पेरोना-मलिक प्रसार अन्य लेखकों द्वारा। एक अधिक सामान्य सूत्रीकरण स्थानीय रूप से अनुकूलित फ़िल्टर को किनारों या रेखाओं जैसे रैखिक संरचनाओं के करीब सही मायने में अनिसोट्रोपिक होने की अनुमति देता है: इसकी संरचना द्वारा दिया गया एक अभिविन्यास है जैसे कि यह संरचना के साथ लम्बी और संकरी होती है। इस तरह के तरीकों को affine आकार अनुकूलन | शेप-एडेप्टेड स्मूथिंग कहा जाता है या सुसंगतता प्रसार को बढ़ाता है। परिणामस्वरूप, परिणामी छवियां रैखिक संरचनाओं को संरक्षित करती हैं जबकि एक ही समय में इन संरचनाओं के साथ चौरसाई की जाती है। इन दोनों मामलों को सामान्य प्रसार समीकरण के सामान्यीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है जहां प्रसार गुणांक, स्थिर स्केलर होने के बजाय, छवि स्थिति का एक कार्य है और एक मैट्रिक्स (गणित) (या  टेन्सर ) मान (संरचना टेंसर देखें) मानता है।

यद्यपि छवियों के परिणामी परिवार को मूल छवि और स्पेस-वैरिएंट फ़िल्टर के बीच संयोजन के रूप में वर्णित किया जा सकता है, स्थानीय रूप से अनुकूलित फ़िल्टर और छवि के साथ इसके संयोजन को अभ्यास में महसूस नहीं किया जाना चाहिए। अनिसोट्रोपिक प्रसार सामान्य रूप से सामान्यीकृत प्रसार समीकरण के सन्निकटन के माध्यम से कार्यान्वित किया जाता है: परिवार में प्रत्येक नई छवि की गणना इस समीकरण को पिछली छवि पर लागू करके की जाती है। नतीजतन, अनिसोट्रोपिक प्रसार एक पुनरावृत्त प्रक्रिया है जहां गणना का एक अपेक्षाकृत सरल सेट परिवार में प्रत्येक क्रमिक छवि की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है और यह प्रक्रिया तब तक जारी रहती है जब तक कि पर्याप्त मात्रा में चौरसाई प्राप्त नहीं हो जाती।

औपचारिक परिभाषा
औपचारिक रूप से, चलो $$ \Omega \subset \mathbb{R}^2 $$ विमान के एक सबसेट को निरूपित करें और $$ I(\cdot,t): \Omega \rightarrow \mathbb{R} $$ ग्रे स्केल इमेज का परिवार बनें। प्रारंभिक_शर्त |$$ I(\cdot, 0) $$इनपुट छवि है। फिर अनिसोट्रोपिक प्रसार को इस रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$ \frac{\partial I}{\partial t} = \operatorname{div} \left( c(x,y,t) \nabla I \right)= \nabla c \cdot \nabla I + c(x,y,t) \, \Delta I $$

कहाँ $$ \Delta $$ लाप्लासियन को दर्शाता है, $$ \nabla $$ ढाल को दर्शाता है, $$ \operatorname{div}(\cdots) $$ विचलन ऑपरेटर है और $$ c(x,y,t) $$ प्रसार गुणांक है।

के लिए $$ t > 0 $$, आउटपुट छवि के रूप में उपलब्ध है $$ I(\cdot, t) $$, बड़े के साथ $$ t $$ धुंधली छवियां बनाना।

$$ c(x,y,t) $$ प्रसार की दर को नियंत्रित करता है और आमतौर पर छवि ढाल के कार्य के रूप में चुना जाता है ताकि छवि में किनारों को संरक्षित किया जा सके। पिएत्रो पेरोना और जितेंद्र मलिक ने 1990 में अनिसोट्रोपिक प्रसार के विचार को आगे बढ़ाया और प्रसार गुणांक के लिए दो कार्य प्रस्तावित किए:
 * $$ c\left(\|\nabla I\|\right) = e^{-\left(\|\nabla I\| / K\right)^2} $$

और
 * $$ c\left(\| \nabla I\| \right) = \frac{1}{1 + \left(\frac{\|\nabla I\|}{K}\right)^2} $$

निरंतर K किनारों की संवेदनशीलता को नियंत्रित करता है और आमतौर पर प्रयोगात्मक रूप से या छवि में शोर के कार्य के रूप में चुना जाता है।

प्रेरणा
होने देना $$ M $$ चिकनी छवियों के कई गुना निरूपित करें, तो ऊपर प्रस्तुत प्रसार समीकरणों को ऊर्जा कार्यात्मकता को कम करने के लिए ढाल वंश समीकरणों के रूप में व्याख्या की जा सकती है $$ E: M \rightarrow \mathbb{R} $$ द्वारा परिभाषित
 * $$ E[I] = \frac{1}{2} \int_{\Omega} g\left( \| \nabla I(x)\|^2 \right)\, dx $$

कहाँ $$ g:\mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} $$ एक वास्तविक-मूल्यवान कार्य है जो प्रसार गुणांक से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। फिर किसी भी तरह से समर्थित असीम रूप से भिन्न परीक्षण फ़ंक्शन के लिए $$ h $$,


 * $$ \begin{align}

\left.\frac{d}{dt} \right|_{t=0} E[I + th] &= \frac{d}{dt} \big|_{t=0}\frac{1}{2} \int_\Omega g\left( \| \nabla (I+th)(x)\|^2 \right)\, dx \\[5pt] &= \int_\Omega g'\left(\| \nabla I(x)\|^2 \right) \nabla I \cdot \nabla h\, dx \\[5pt] &= -\int_\Omega \operatorname{div}(g'\left( \| \nabla I(x)\|^2 \right) \nabla I) h\, dx \end{align} $$ जहां अंतिम पंक्ति भागों द्वारा बहुआयामी एकीकरण से होती है। दे $$ \nabla E_I $$ के संबंध में E की प्रवणता निरूपित करें $$ L^2(\Omega, \mathbb{R})$$ आंतरिक उत्पाद I पर मूल्यांकन किया गया, यह देता है
 * $$ \nabla E_I = - \operatorname{div}(g'\left( \| \nabla I(x)\|^2 \right) \nabla I) $$

इसलिए, कार्यात्मक ई पर ग्रेडिएंट डिसेंट समीकरण द्वारा दिए गए हैं


 * $$ \frac{\partial I}{\partial t} = - \nabla E_I = \operatorname{div}(g'\left( \| \nabla I(x)\|^2 \right) \nabla I) $$

इस प्रकार दे कर $$ c = g' $$ अनिसोट्रोपिक प्रसार समीकरण प्राप्त होते हैं।

नियमितीकरण
प्रसार गुणांक, $$ c(x,y,t) $$, जैसा कि पेरोना और मलिक द्वारा प्रस्तावित किया गया है, जब अस्थिरता हो सकती है $$ \| \nabla I\|^2 > K^2 $$. यह सिद्ध किया जा सकता है कि यह स्थिति भौतिक प्रसार गुणांक के समतुल्य है (जो पेरोना और मलिक द्वारा परिभाषित गणितीय प्रसार गुणांक से भिन्न है) नकारात्मक हो रहा है और यह पिछड़े प्रसार की ओर जाता है जो छवि की तीव्रता के विपरीत को बढ़ाता है बजाय उन्हें चिकना करने के। समस्या से बचने के लिए, नियमितीकरण आवश्यक है और लोगों ने दिखाया है कि स्थानिक नियमितीकरण अभिसरण और निरंतर स्थिर-राज्य समाधान की ओर ले जाता है।

इसके लिए संशोधित पेरोना-मलिक मॉडल में से एक (जिसे पी-एम समीकरण के नियमितीकरण के रूप में भी जाना जाता है) पर चर्चा की जाएगी। इस दृष्टिकोण में, संशोधित पेरोना-मलिक समीकरण प्राप्त करने के लिए अज्ञात को गैर-रैखिकता के अंदर एक गॉसियन के साथ जोड़ा जाता है।
 * $$ \frac{\partial I}{\partial t}=\operatorname{div} \left(c(|\nabla(G_\sigma * I)|^2)\nabla I \right) $$

कहाँ $$ G_\sigma=C\sigma^{-1/2}\exp\left(-|x|^2/4\sigma\right)$$.

इस नियमितीकरण से समीकरण की अच्छी स्थिति प्राप्त की जा सकती है लेकिन यह धुंधला प्रभाव भी पेश करता है, जो नियमितीकरण का मुख्य दोष है। शोर के स्तर का पूर्व ज्ञान आवश्यक है क्योंकि नियमितीकरण पैरामीटर का चुनाव इस पर निर्भर करता है।

अनुप्रयोग
अनिसोट्रोपिक प्रसार का उपयोग किनारों को धुंधला किए बिना डिजिटल छवियों से शोर को दूर करने के लिए किया जा सकता है। एक निरंतर प्रसार गुणांक के साथ, अनिसोट्रोपिक प्रसार समीकरण गर्मी समीकरण को कम करते हैं जो गॉसियन ब्लरिंग के बराबर है। यह शोर को दूर करने के लिए आदर्श है, लेकिन अंधाधुंध रूप से किनारों को भी धुंधला कर देता है। जब प्रसार गुणांक को किनारे से बचने वाले कार्य के रूप में चुना जाता है, जैसे कि पेरोना-मलिक में, परिणामी समीकरण चिकनी छवि तीव्रता के क्षेत्रों के भीतर प्रसार (इसलिए चौरसाई) को प्रोत्साहित करते हैं और इसे मजबूत किनारों पर दबा देते हैं। इसलिए छवि से शोर को दूर करते हुए किनारों को संरक्षित किया जाता है।

शोर हटाने के समान लाइनों के साथ, अनिसोट्रोपिक प्रसार का उपयोग एज डिटेक्शन एल्गोरिदम में किया जा सकता है। पुनरावृत्तियों की एक निश्चित संख्या के लिए प्रसार गुणांक की मांग करने वाले किनारे के साथ प्रसार को चलाकर, छवि को किनारों के रूप में पहचाने जाने वाले निरंतर घटकों के बीच की सीमाओं के साथ एक टुकड़े की स्थिर छवि की ओर विकसित किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * द्विपक्षीय फिल्टर
 * किनारे का पता लगाना
 * एज-प्रोटेक्टिंग स्मूथिंग
 * ऊष्मा समीकरण
 * छवि शोर
 * शोर में कमी
 * स्केल स्पेस
 * कुल भिन्नता denoising
 * परिबद्ध भिन्नता

बाहरी संबंध

 * Mathematica PeronaMalikFilter function.
 * IDL nonlinear anisotropic diffusion package(edge enhancing and coherence enhancing):