बोरेल तुल्यता संबंध

गणित में, पोलिश स्थान  X पर बोरेल तुल्यता संबंध X पर एक तुल्यता संबंध है जो X × X का बोरेल बीजगणित उपसमुच्चय है (उत्पाद टोपोलॉजी में).

औपचारिक परिभाषा
पोलिश स्थानों X और Y पर क्रमशः बोरेल तुल्यता संबंधों E और F को देखते हुए, कोई कहता है कि E प्रतीक E ≤B में F के लिए बोरेल कम करने योग्य है F, अगर और केवल अगर कोई बोरेल फलन है


 * Θ : X → Y

जैसे कि सभी x,x ' ∈ X के लिए, एक के पास है


 * x E x ' ⇔ Θ(x) F Θ(x ' ).

संकल्पनात्मक रूप से, यदि E, F के लिए बोरेल रिड्यूसिबल है, तो E, F से "अधिक जटिल नहीं है", और भागफल स्थान X/E में Y/F की तुलना में न्यूनतर या समान बोरेल प्रमुखता है, जहां "बोरेल कार्डिनैलिटी" कार्डिनैलिटी की तरह है, पर निश्चितता प्रतिबंध को छोड़कर साक्षी मानचित्रण।

कुराटोव्स्की का प्रमेय
माप स्थान X को 'मानक बोरेल स्थान' कहा जाता है यदि यह पोलिश स्थान के बोरेल उपसमुच्चय के लिए बोरेल-आइसोमोर्फिक है। कुराटोव्स्की के प्रमेय में कहा गया है कि दो मानक बोरेल रिक्त स्थान X और Y बोरेल-समरूपी iff हैं |X| = |Y|।

संदर्भ

 * Kanovei, Vladimir; Borel equivalence relations. Structure and classification. University Lecture Series, 44. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. x+240 pp. ISBN 978-0-8218-4453-3
 * Kanovei, Vladimir; Borel equivalence relations. Structure and classification. University Lecture Series, 44. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. x+240 pp. ISBN 978-0-8218-4453-3
 * Kanovei, Vladimir; Borel equivalence relations. Structure and classification. University Lecture Series, 44. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. x+240 pp. ISBN 978-0-8218-4453-3
 * Kanovei, Vladimir; Borel equivalence relations. Structure and classification. University Lecture Series, 44. American Mathematical Society, Providence, RI, 2008. x+240 pp. ISBN 978-0-8218-4453-3