सीमांत स्थिरता

गतिशील प्रणालियों और नियंत्रण सिद्धांत में, एक रैखिक प्रणाली समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली मामूली रूप से स्थिर होती है यदि यह न तो असम्बद्ध रूप से स्थिर है और न ही अस्थिर है। समान्यतः कहा जाए तो, एक प्रणाली स्थिर होती है यदि यह हमेशा किसी विशेष स्थिति (जिसे स्थिर अवस्था कहा जाता है) पर लौटती है और उसके पास रहती है, और अस्थिर होती है यदि यह किसी भी स्थिति से बिना बंधे हुए दूर और दूर जाती है । एक सीमांत प्रणाली, जिसे कभी-कभी तटस्थ स्थिरता के रूप में संदर्भित किया जाता है, इन दो प्रकारों के बीच है: जब विस्थापित किया जाता है, तो यह एक सामान्य स्थिर स्थिति के पास नहीं लौटता है, और न ही यह असीमित रूप से जहां से शुरू हुआ था, वहां से दूर जाता है।

सीमांत स्थिरता, अस्थिरता की तरह एक ऐसी विशेषता है जिससे नियंत्रण सिद्धांत बचना चाहता है; हम चाहते हैं कि, जब किसी बाहरी बल से परेशान हो, तब एक प्रणाली वांछित स्थिति में वापस आ जाएगी। यह उचित रूप से निर्माण किए गए नियंत्रण एल्गोरिदम के उपयोग की आवश्यकता है।

अर्थमिति में, देखी गई समय श्रृंखला में एक इकाई जड़ की उपस्थिति, उन्हें मामूली स्थिर प्रदान करते हुए, एक निर्भर चर पर स्वतंत्र चर के प्रभाव के संबंध में अमान्य प्रतिगमन विश्लेषण परिणाम को जन्म दे सकता है, जब तक कि प्रणाली को एक स्थिर प्रणाली में परिवर्तित करने के लिए उपयुक्त तकनीकों का उपयोग नहीं किया जाता है।

निरंतर समय
एक सजातीय अंतर समीकरण निरंतर समय रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली मामूली रूप से स्थिर होती है यदि और केवल प्रणाली के हस्तांतरण-फलन में प्रत्येक ध्रुव (जटिल विश्लेषण) (eigenvalue) का वास्तविक भाग गैर-सकारात्मक है, एक या अधिक ध्रुवों में शून्य वास्तविक भाग होता है और गैर-शून्य काल्पनिक भाग, और शून्य वास्तविक भाग वाले सभी ध्रुव सरल मूल हैं (अर्थात जटिल तल पर ध्रुव एक दूसरे से अलग हैं)। इसके विपरीत, यदि सभी ध्रुवों में कठोरता से नकारात्मक वास्तविक भाग होते हैं, तो प्रणाली के अतिरिक्त असम्बद्ध रूप से स्थिर होती है। यदि एक या अधिक ध्रुवों में सकारात्मक वास्तविक भाग होते हैं, तो प्रणाली अस्थिर होता है।

यदि प्रणाली अवस्था स्थान प्रतिनिधित्व में है, तो जॉर्डन सामान्य रूप प्राप्त करके सीमांत स्थिरता का विश्लेषण किया जा सकता है: यदि जॉर्डन ब्लॉक शून्य वास्तविक भाग वाले ध्रुवों के अनुरूप हैं तो स्केलर प्रणाली मामूली रूप से स्थिर है।

असतत समय
एक सजातीय असतत समय रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली आंशिक रूप से स्थिर होती है यदि और केवल हस्तांतरण फलन के किसी भी ध्रुव (ईगेनवेल्यूज) का सबसे बड़ा परिमाण 1 है, और 1 के बराबर परिमाण वाले ध्रुव सभी अलग हैं। यही है, वितरण फलन का वर्णक्रमीय त्रिज्या 1 है। यदि वर्णक्रमीय त्रिज्या 1 से कम है, तो इस प्रणाली इसके बजाय असम्बद्ध रूप से स्थिर है।

एक सरल उदाहरण में एक प्रथम-क्रम रैखिक अंतर समीकरण शामिल है: मान लीजिए कि एक अवस्था चर x के अनुसार विकसित होता है


 * $$x_t=ax_{t-1}$$

पैरामीटर a> 0 के साथ। यदि पद्धति मान $$x_0,$$ से परेशान है इसके बाद के मानों का क्रम है $$ax_0, \, a^2x_0, \, a^3x_0, \, \dots .$$ यदि a < 1, तो ये संख्याएँ आरंभिक मान की परवाह किए बिना 0 के निकट और निकट आ जाती हैं $$x_0,$$ जबकि यदि a> 1 संख्या बिना किसी सीमा के बड़ी और बड़ी हो जाती है। लेकिन यदि a = 1, संख्याएं इनमें से कुछ भी नहीं करती हैं: इसके अतिरिक्त, x के भविष्य के सभी मान $$x_0.$$ के मान के बराबर होते हैं इस प्रकार मामला a = 1 सीमांत स्थिरता प्रदर्शित करता है।

प्रणाली प्रतिक्रिया
एक मामूली रूप से स्थिर प्रणाली वह है, जिसे यदि इनपुट के रूप में परिमित परिमाण का एक डायराक डेल्टा समारोह दिया जाता है, तो वह विस्फोट नहीं करेगा और एक असीमित आउटपुट देगा, लेकिन न तो आउटपुट शून्य पर वापस आएगा। आउटपुट में एक सीमित ऑफ़सेट या दोलन अनिश्चित काल तक बने रहेंगे, और इसलिए सामान्य रूप से कोई अंतिम स्थिर-स्थिति आउटपुट नहीं होगा। यदि एक सतत प्रणाली को शून्य वास्तविक भाग वाले ध्रुव की आवृत्ति के बराबर आवृत्ति पर इनपुट दिया जाता है, तो प्रणाली का आउटपुट अनिश्चित काल तक बढ़ जाएगा (इसे शुद्ध अनुनाद के रूप में जाना जाता है) ). यह बताता है कि बीआईबीओ स्थिरता के लिए एक प्रणाली के लिए, ध्रुवों के वास्तविक हिस्सों को सख्ती से नकारात्मक (और केवल गैर-सकारात्मक नहीं) होना चाहिए।

काल्पनिक ध्रुवों वाली एक सतत प्रणाली, अर्थात ध्रुवों में शून्य वास्तविक भाग होने से, आउटपुट में निरंतर दोलन उत्पन्न होंगे। उदाहरण के लिए, एक अडम्प्ड सेकंड-ऑर्डर सिस्टम जैसे कि एक ऑटोमोबाइल में निलंबनप्रणाली (एक द्रव्यमान-स्प्रिंग-डैम्पर प्रणाली), जिसमें से डैम्पर को हटा दिया गया है और स्प्रिंग आदर्श है, अर्थात कोई घर्षण नहीं है, सिद्धांत रूप में हमेशा के लिए दोलन करेगा । एक अन्य उदाहरण एक घर्षण रहित लोलक (गणित) है। मूल बिंदु पर एक ध्रुव के साथ एक प्रणाली भी मामूली रूप से स्थिर है लेकिन इस स्थितियों में प्रतिक्रिया में कोई दोलन नहीं होगा क्योंकि काल्पनिक भाग भी शून्य है (jw = 0 का अर्थ है w = 0 rad/sec)। ऐसी प्रणाली का एक उदाहरण घर्षण के साथ सतह पर द्रव्यमान है। जब एक बग़ल में आवेग लगाया जाता है, तो द्रव्यमान गति करेगा और कभी भी शून्य पर नहीं लौटेगा। हालांकि, द्रव्यमान घर्षण के कारण रुक जाएगा, और बग़ल में गति बंधी रहेगी।

चूंकि सीमांत ध्रुवों के स्थान बिल्कुल काल्पनिक अक्ष या इकाई सर्कल (क्रमशः निरंतर समय और असतत समय प्रणालियों के लिए) पर होना चाहिए ताकि एक प्रणाली मामूली रूप से स्थिर हो, यह स्थिति व्यवहार में होने की संभावना नहीं है जब तक कि सीमांत स्थिरता एक अंतर्निहित सैद्धांतिक नहीं है प्रणाली की विशेषता।

स्टोकेस्टिक गतिकी
स्टोचैस्टिक गतिकी के संदर्भ में सीमांत स्थिरता भी एक महत्वपूर्ण अवधारणा है। उदाहरण के लिए, कुछ प्रक्रियाएँ यादृच्छिक चलन का अनुसरण कर सकती हैं, जैसा कि असतत समय में दिया गया है


 * $$x_t=x_{t-1}+e_t,$$

जहाँ $$e_t$$ एक आई.आई.डी. आँकड़ों में त्रुटियां और अवशेष। इस समीकरण की एक इकाई मूल है (इसकी विशेषता समीकरण (अंतर समीकरण के) के ईगेनवेल्यूज के लिए 1 का मान), और इसलिए सीमांत स्थिरता प्रदर्शित करता है, इसलिए इस तरह के समीकरण वाली प्रणाली को अनुभवजन्य रूप से मॉडलिंग करने में विशेष समय श्रृंखला तकनीकों का उपयोग किया जाना चाहिए।

मामूली रूप से स्थिर मार्कोव श्रृंखला वे हैं जिनके पास मार्कोव चेन या गुण वर्ग हैं।

यह भी देखें

 * लायपुनोव स्थिरता
 * घातीय स्थिरता