बीजगणितीय तर्क

गणितीय तर्क में, बीजगणितीय तर्क मुक्त चर और बाध्य चर के साथ समीकरणों में हेरफेर करके प्राप्त किया गया तर्क है।

जिसे अब सामान्यतः मौलिक बीजगणितीय तर्क कहा जाता है, विभिन्न तर्कशास्त्रों के अध्ययन के लिए उपयुक्त मॉडल सिद्धांत की पहचान और बीजगणितीय विवरण पर केंद्रित है (बीजगणित के वर्गों के रूप में जो इन निगमनात्मक प्रणालियों के लिए बीजगणितीय शब्दार्थ (गणितीय तर्क) का गठन करते हैं) और संबंधित समस्याएं प्रतिनिधित्व (गणित) और द्वंद्व की तरह। बूलियन बीजगणित और स्टोन द्वैत के लिए प्रतिनिधित्व प्रमेय जैसे प्रसिद्ध परिणाम मौलिक बीजगणितीय तर्क की छत्रछाया में आते हैं.

अधिक हाल के सार बीजगणितीय तर्क (एएएल) में काम करता है बीजगणित की प्रक्रिया पर ही ध्यान केंद्रित करता है, जैसे लीबनिज ऑपरेटर का उपयोग करके बीजगणितीयता के विभिन्न रूपों को वर्गीकृत करना.

संबंधों की गणना
कुछ सेट X के लिए X × X के सत्ता स्थापित में सजातीय बाइनरी संबंध पाया जाता है, जबकि X × Y के पावर सेट में विषम संबंध पाया जाता है, जहां X ≠ Y. क्या दिया गया संबंध दो व्यक्तियों के लिए अंश है सूचना का, इसलिए बूलियन अंकगणित के साथ संबंधों का अध्ययन किया जाता है। पावर सेट के तत्वों को आंशिक रूप से समावेशन (सेट सिद्धांत) द्वारा आदेश दिया जाता है, और इन सेटों की जाली सापेक्ष गुणन या संबंधों की संरचना के माध्यम से बीजगणित बन जाती है।

मूल संचालन सेट-सैद्धांतिक संघ, प्रतिच्छेदन और पूरकता, सापेक्ष गुणन और रूपांतरण हैं। रूपांतरण विपरीत संबंध को संदर्भित करता है जो हमेशा मौजूद रहता है, कार्य सिद्धांत के विपरीत। दिए गए संबंध को तार्किक मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जा सकता है; तब विलोम संबंध को खिसकाना़ मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है। दो अन्य की संरचना के रूप में प्राप्त संबंध तब बूलियन अंकगणित का उपयोग करके मैट्रिक्स गुणन द्वारा प्राप्त तार्किक मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाता है।

उदाहरण
कामुकता, प्रश्नों के सिद्धांत में संबंधों की कलन का उदाहरण उत्पन्न होता है। कथनों के ब्रह्मांड में कथन (तर्क) S और प्रश्न Q हैं। Q से S तक दो संबंध π और α हैं: q α a धारण करता है जब a प्रश्न q का सीधा उत्तर होता है। अन्य संबंध, q π p तब धारण करता है जब p पूर्वधारणा#प्रश्न q की तार्किक रचना है। विलोम संबंध πT S से Q तक चलता है जिससे कि रचना π होटी;α एस पर सजातीय संबंध है। पर्याप्त उत्तर प्राप्त करने के लिए सही प्रश्न पूछने की कला को सुकरात पद्धति संवाद में मान्यता प्राप्त है।

कार्य
संबंधों की कलन के साथ प्रमुख द्विआधारी संबंध गुणों का विवरण तैयार किया गया है। कार्यों की अद्वितीयता संपत्ति संबंध का वर्णन करती है $$R$$ जो सूत्र को संतुष्ट करता है $$R^T R \subseteq I ,$$ कहाँ $$I$$ की सीमा पर पहचान संबंध है $$R$$. अंतःक्षेपी गुण की एकरूपता से मेल खाता है $$R^T$$, या सूत्र $$R R^T \subseteq I ,$$ इस बार कहाँ $$I$$ के डोमेन पर पहचान है $$R$$.

किन्तु असमान संबंध केवल आंशिक फलन होता है, जबकि असमान कुल संबंध फलन (गणित) होता है। समग्रता का सूत्र है $$I \subseteq R R^T .$$ चार्ल्स लोवेनर और गुंथर श्मिट कुल, असमान संबंध के लिए मैपिंग शब्द का उपयोग करते हैं। पूरक संबंधों की सुविधा ने ऑगस्टस डी मॉर्गन और अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ) को प्रेरित किया। अर्नस्ट श्रोडर ने संबंधों की संरचना # श्रोडर नियमों का उपयोग करके $$\bar{R}$$ संबंध के पूरक के लिए $$R$$. ये तुल्यताएं असमान संबंधों के लिए वैकल्पिक सूत्र प्रदान करती हैं ($$ R \bar{I} \subseteq \bar{R}$$), और कुल संबंध ($$\bar{R} \subseteq R \bar{I}$$). इसलिए, मानचित्रण सूत्र को संतुष्ट करते हैं $$\bar{R} = R \bar{I} .$$ श्मिट इस सिद्धांत का उपयोग बाईं ओर से निषेध के नीचे फिसलने के रूप में करते हैं। मैपिंग के लिए $$f, \quad f\bar{A} = \overline{f A} .$$

अमूर्त
सेट थ्योरी पर आधारित संबंध बीजगणित संरचना, टार्स्की द्वारा इसका वर्णन करने वाले स्वयंसिद्धों के साथ पार किया गया था। फिर उसने पूछा कि क्या अभिगृहीतों को संतुष्ट करने वाले प्रत्येक बीजगणित को समुच्चय संबंध द्वारा निरूपित किया जा सकता है। नकारात्मक उत्तर सार बीजगणितीय तर्क की सीमा खोली।

तर्कशास्त्र के मॉडल के रूप में बीजगणित
बीजगणितीय तर्क बीजगणितीय संरचनाओं का व्यवहार करता है, अधिकांशतः जाली (आदेश), कुछ लॉजिक्स के मॉडल (व्याख्या) के रूप में, तर्क को आदेश सिद्धांत की शाखा बनाते हैं।

बीजगणितीय तर्क में:
 * चर प्रवचन के कुछ ब्रह्मांड पर मौन रूप से सार्वभौमिक परिमाणीकरण हैं। कोई अस्तित्वगत परिमाणीकरण या वाक्य (गणितीय तर्क) नहीं हैं;
 * टर्म (तर्क) आदिम और परिभाषित ऑपरेशन (गणित) का उपयोग करके चर से निर्मित होते हैं। कोई तार्किक संबंध नहीं हैं;
 * सामान्य तरीके से शब्दों से निर्मित सूत्रों की बराबरी की जा सकती है यदि वे तार्किक तुल्यता हैं। तनातनी (तर्क) को व्यक्त करने के लिए, सूत्र को सत्य मान के साथ समान करें;
 * सबूत के नियम बराबर के लिए बराबर का प्रतिस्थापन, और समान प्रतिस्थापन हैं। मूड सेट करना वैध रहता है, किन्तु संभवतः ही कभी इसका उपयोग किया जाता है।

नीचे दी गई तालिका में, बाएँ स्तंभ में या अधिक तार्किक प्रणाली या गणितीय प्रणालियाँ हैं, और बीजगणितीय संरचना जो इसके मॉडल हैं, उसी पंक्ति में दाईं ओर दिखाई गई हैं। इनमें से कुछ संरचनाएं या तो बूलियन बीजगणित (संरचना) हैं या उनके उचित विस्तार हैं। मॉडल तर्क और अन्य गणितीय लॉजिक # नॉनक्लासिकल और मोडल लॉजिक सामान्यतः ऑपरेटरों के साथ बूलियन अल्जेब्रा कहलाते हैं।

कम से कम कुछ स्थितियों में प्रथम-क्रम तर्क से परे जाने वाली बीजगणितीय औपचारिकताओं में सम्मलित हैं:
 * संयोजन तर्क, समुच्चय सिद्धान्त की अभिव्यंजक शक्ति होना;
 * संबंध बीजगणित, यकीनन प्रतिमान बीजगणितीय तर्क, पियानो अंकगणित और सबसे स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत को व्यक्त कर सकता है, जिसमें विहित ZFC भी सम्मलित है।

इतिहास
बीजगणितीय तर्क, संभवतः, औपचारिक तर्क के लिए सबसे पुराना दृष्टिकोण है, यकीनन इसकी प्रारंभ 1680 के दशक में गॉटफ्रीड विल्हेम लीबनिज द्वारा लिखे गए कई ज्ञापनों से हुई थी, जिनमें से कुछ 19वीं शताब्दी में प्रकाशित हुए थे और 1918 में क्लेरेंस लुईस द्वारा अंग्रेजी में अनुवादित किए गए थे। किन्तु बीजगणितीय तर्क पर लाइबनिट्स का लगभग सभी ज्ञात कार्य केवल 1903 में प्रकाशित हुआ था, जब लुई कॉटुरेट ने लीबनिज के जागीर में इसकी खोज की थी।  और  Couturat की मात्रा से अंग्रेजी में अनुवादित चयन।

आधुनिक गणितीय तर्क 1847 में दो पैम्फलेट के साथ प्रारंभ हुआ, जिसके संबंधित लेखक जॉर्ज बूले थे और ऑगस्टस डी मॉर्गन। 1870 में चार्ल्स सैंडर्स पियर्स ने रिश्तेदारों के तर्क पर कई कार्यों में से पहला प्रकाशित किया। अलेक्जेंडर मैकफर्लेन ने तर्क के बीजगणित के सिद्धांतों को प्रकाशित किया 1879 में, और 1883 में, जॉन्स हॉपकिन्स विश्वविद्यालय में पियर्स के छात्र क्रिस्टीन लैड ने तर्क के बीजगणित पर प्रकाशित किया। तर्क अधिक बीजगणितीय हो गया जब द्विआधारी संबंधों को संबंधों की संरचना के साथ जोड़ दिया गया। सेट ए और बी के लिए, संबंधों को पहले बूलियन बीजगणित द्वारा वर्णित गुणों के साथ ए × बी के पावर सेट के तत्वों के रूप में समझा गया था। संबंधों की गणना तार्किक रूप से तर्क के प्रति लीबनिज के दृष्टिकोण की पराकाष्ठा है। हॉशचुले कार्लज़ूए में संबंधों की गणना का वर्णन अर्नस्ट श्रोडर (गणितज्ञ)|अर्नस्ट श्रोडर द्वारा किया गया था। विशेष रूप से उन्होंने संबंधों की संरचना#श्रोडर नियम|श्रोडर नियम तैयार किए, चूंकि डी मॉर्गन ने अपने प्रमेय K के साथ उनका अनुमान लगाया था।

1903 में बर्ट्रेंड रसेल ने आदिम धारणा # रसेल के प्रिमिटिव के रूप में कैलकुलस के संचालन के आधार पर शुद्ध गणित के अपने संस्करण के रूप में संबंधों और तर्कवाद की कलन को विकसित किया। 1918 में क्लेरेंस लुईस द्वारा पाठ्यपुस्तक में कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, बर्कले में तर्क के बूले-श्रोडर बीजगणित का विकास किया गया था। उन्होंने संबंधों के तर्क को दो या दो से अधिक चरों के प्रस्तावात्मक कार्यों से प्राप्त किया।

ह्यूग मैककॉल, भगवान फ्रीज का शुक्र है, जोसेफ पीनो और ए.एन. व्हाइटहेड सभी ने लीबनिज के प्रतीकात्मक तर्क, गणित और दर्शन के संयोजन के सपने को साझा किया।

गणितीय सिद्धांत पर लियोपोल्ड लोवेनहेम और थोराल्फ़ स्कोलेम के कुछ लेख 1910-13 में प्रिन्सिपिया अंक शास्त्र के प्रकाशन के बाद प्रकट हुए, और टार्स्की ने अपने 1941 के निबंध ऑन द कैलकुलस ऑफ़ रिलेशंस के साथ संबंधों में रुचि को पुनर्जीवित किया।

हेलेना रसिओवा के अनुसार, 1920-40 के वर्षों में, विशेष रूप से पोलिश स्कूल ऑफ लॉजिक में, गैर-मौलिक प्रस्तावपरक गणना पर शोध किया गया, जिसे तार्किक मैट्रिक्स विधि कहा जाता है। चूँकि तार्किक आव्यूह कुछ अमूर्त बीजगणित होते हैं, इसने तर्क में बीजगणितीय पद्धति का उपयोग किया।

बीजगणितीय तर्क और मॉडल सिद्धांत के बीच समृद्ध ऐतिहासिक संबंधों पर चर्चा करता है। मॉडल सिद्धांत के संस्थापक, अर्नस्ट श्रोडर और लियोपोल्ड लोवेनहेम, बीजगणितीय परंपरा में तार्किक थे। समकालीन गणितीय तर्क की प्रमुख शाखा के रूप में सेट थ्योरी मॉडल थ्योरी के संस्थापक अल्फ्रेड टार्स्की भी:
 * संबंध बीजगणित के साथ अमूर्त बीजगणितीय तर्क की प्रारंभ की
 * बेलनाकार बीजगणित का आविष्कार किया
 * सह-खोज लिंडेनबाम-टार्स्की बीजगणित।

संबंधों की कलन के अभ्यास में, जैक्स रिगुएट ने उपयोगी अवधारणाओं को आगे बढ़ाने के लिए बीजगणितीय तर्क का उपयोग किया: उन्होंने विषम संबंध की धारणा के साथ समतुल्य संबंध (एक सेट पर) की अवधारणा को विषम स्थिति में विस्तारित किया। रिगुएट ने अपने नोट द्वारा विषम संदर्भ में आदेश देने का विस्तार किया कि सीढ़ी तार्किक मैट्रिक्स में पूरक है जो सीढ़ी भी है, और यह कि एनएम फेरर्स का प्रमेय सीढ़ी के स्थानान्तरण की व्याख्या से होता है। रिगुएट ने तार्किक सदिशों के बाह्य गुणनफल को लेकर आयताकार संबंध उत्पन्न किए; ये औपचारिक अवधारणा विश्लेषण के गैर-विस्तारित आयतों में योगदान करते हैं।

लीबनिज का बीजगणितीय तर्क के उदय पर कोई प्रभाव नहीं था क्योंकि पार्किंसंस और लोएमकर अनुवादों से पहले उनके तार्किक लेखन का बहुत कम अध्ययन किया गया था। तर्कशास्त्री के रूप में लीबनिज की हमारी वर्तमान समझ मुख्य रूप से वोल्फगैंग लेनजेन के कार्य से उपजी है, जिसका सारांश निम्नलिखित में दिया गया है:. यह देखने के लिए कि कैसे तर्क और तत्वमीमांसा में वर्तमान समय का कार्य लीबनिज के विचारों से प्रेरणा ले सकता है और उन पर प्रकाश डाल सकता है, देखें.

यह भी देखें

 * बूलियन बीजगणित
 * कॉड की प्रमेय
 * कंप्यूटर बीजगणित
 * सार्वभौमिक बीजगणित

अग्रिम पठन

 * Good introduction for readers with prior exposure to non-classical logics but without much background in order theory and/or universal algebra; the book covers these prerequisites at length. This book however has been criticized for poor and sometimes incorrect presentation of AAL results. Review by Janusz Czelakowski
 * Draft.
 * Ramon Jansana (2011), "Propositional Consequence Relations and Algebraic Logic". Stanford Encyclopedia of Philosophy. Mainly about abstract algebraic logic.
 * Stanley Burris (2015), "The Algebra of Logic Tradition". Stanford Encyclopedia of Philosophy.
 * Willard Quine, 1976, "Algebraic Logic and Predicate Functors" pages 283 to 307 in The Ways of Paradox, Harvard University Press.

Historical perspective
 * Ivor Grattan-Guinness, 2000. The Search for Mathematical Roots. Princeton University Press.
 * Irving Anellis & N. Houser (1991) "Nineteenth Century Roots of Algebraic Logic and Universal Algebra", pages 1–36 in Algebraic Logic, Colloquia Mathematica Societatis János Bolyai # 54, János Bolyai Mathematical Society & Elsevier ISBN 0444885439

बाहरी संबंध

 * Algebraic logic at PhilPapers