सार्वभौमिक सामान्यीकरण

विधेय तर्क में, सामान्यीकरण (सार्वभौमिक सामान्यीकरण या सार्वभौमिक परिचय भी,  GEN) अनुमान का एक वैधता (तर्क) नियम है। इसमें कहा गया है कि यदि $$\vdash \!P(x)$$ तब व्युत्पन्न किया गया है $$\vdash \!\forall x \, P(x)$$ प्राप्त किया जा सकता है।

परिकल्पनाओं के साथ सामान्यीकरण
पूर्ण सामान्यीकरण नियम घूमने वाला दरवाज़ा (प्रतीक)प्रतीक) के बाईं ओर परिकल्पना की अनुमति देता है, लेकिन प्रतिबंधों के साथ। मान लीजिए $$\Gamma$$ सूत्रों का एक सेट है, $$\varphi$$ एक सूत्र, और $$\Gamma \vdash \varphi(y)$$ निकाला गया है. सामान्यीकरण नियम यह बताता है $$\Gamma \vdash \forall x \, \varphi(x)$$ यदि प्राप्त किया जा सकता है $$y$$ में उल्लेख नहीं है $$\Gamma$$ और $$x$$ में नहीं होता है $$\varphi$$.

सुदृढ़ता के लिए ये प्रतिबंध आवश्यक हैं। पहले प्रतिबंध के बिना, कोई निष्कर्ष निकाल सकता है $$\forall x P(x)$$ परिकल्पना से $$P(y)$$. दूसरे प्रतिबंध के बिना, कोई निम्नलिखित कटौती कर सकता है:
 * 1) $$\exists z \, \exists w \, ( z \not = w) $$ (परिकल्पना)
 * 2) $$\exists w \, (y \not = w) $$ (अस्तित्वगत तात्कालिकता)
 * 3) $$y \not = x$$ (अस्तित्वगत तात्कालिकता)
 * 4) $$\forall x \, (x \not = x)$$ (दोषपूर्ण सार्वभौमिक सामान्यीकरण)

इसका तात्पर्य यह दर्शाना है $$\exists z \, \exists w \, ( z \not = w) \vdash \forall x \, (x \not = x),$$ जो एक अनुचित कटौती है. ध्यान दें कि $$\Gamma \vdash \forall y \, \varphi(y)$$ यदि अनुमति है $$y$$ में उल्लेख नहीं है $$\Gamma$$ (दूसरे प्रतिबंध को शब्दार्थ संरचना के रूप में लागू करने की आवश्यकता नहीं है $$\varphi(y)$$ किसी भी चर के प्रतिस्थापन द्वारा नहीं बदला जा रहा है)।

प्रमाण का उदाहरण
सिद्ध करना: $$ \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) \rightarrow (\forall x \, P(x) \rightarrow \forall x \, Q(x)) $$ से व्युत्पन्न है $$ \forall x \, (P(x) \rightarrow Q(x)) $$ और $$ \forall x \, P(x) $$.

सबूत: इस प्रमाण में, सार्वभौमिक सामान्यीकरण का उपयोग चरण 8 में किया गया था। कटौती प्रमेय चरण 10 और 11 में लागू था क्योंकि स्थानांतरित किए जा रहे सूत्रों में कोई मुक्त चर नहीं है।

यह भी देखें

 * प्रथम-क्रम तर्क
 * जल्दबाजी में सामान्यीकरण
 * सार्वभौमिक तात्कालिकता