आकार की सीमा का सिद्धांत

समुच्चय सिद्धांत में, आकार की सीमा का सिद्धांत जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा समुच्चय और क्लास के लिए अपने 1925 स्वयंसिद्ध प्रणाली में प्रस्तावित किया गया था। यह आकार सिद्धांत की सीमा को औपचारिक बनाता है, जो समुच्चय सिद्धांत के पहले के सूत्रीकरण में सामने आए विरोधाभासों से बचाता है, यह पहचानकर कि कुछ वर्ग समुच्चय होने के लिए बहुत बड़े हैं। वॉन न्यूमैन ने अनुभव किया कि इन बड़े वर्गों को एक वर्ग का सदस्य बनने की अनुमति देने से विरोधाभास पैदा होता है। एक वर्ग जो एक वर्ग का सदस्य है वह एक समुच्चय है; एक वर्ग जो समुच्चय नहीं है वह एक उचित वर्ग है। प्रत्येक वर्ग V का उपवर्ग है, सभी समुच्चयों का वर्ग है। आकार की सीमा का सिद्धांत कहता है कि एक वर्ग एक समुच्चय है यदि और केवल अगर यह V से छोटा है - अर्थात, इसे V पर मैप करने वाला कोई फलन नहीं है। प्रायः, यह सिद्धांत तार्किक रूप से समकक्ष रूप में बताया गया है: एक वर्ग एक उचित वर्ग है यदि और केवल अगर कोई फलन है जो इसे V पर मैप करता है।

वॉन न्यूमैन का अभिगृहीत प्रतिस्थापन के अभिगृहीत, पृथक्करण के अभिगृहीत, मिलन के अभिगृहीत और वैश्विक चयन के अभिगृहीत के सिद्धांतों को दर्शाता है। यह वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल समुच्चय सिद्धांत (एनबीजी) और मोर्स-केली समुच्चय सिद्धांत में प्रतिस्थापन, संघ और वैश्विक पसंद के संयोजन के बराबर है। वर्ग सिद्धांतों की बाद की व्याख्याएँ - जैसे कि पॉल बर्नेज़, कर्ट गोडेल और जॉन एल. केली - वॉन न्यूमैन के स्वयंसिद्ध के बजाय प्रतिस्थापन, संघ और वैश्विक पसंद के समकक्ष एक विकल्प स्वयंसिद्ध का उपयोग करते हैं। 1930 में, अर्नेस्ट ज़र्मेलो ने आकार की सीमा के सिद्धांत को संतुष्ट करते हुए समुच्चय सिद्धांत के मॉडल को परिभाषित किया।

अब्राहम फ्रेंकेल और एज़्रिएल लेवी ने कहा है कि आकार की सीमा का सिद्धांत "आकार सिद्धांत की सीमा" पर अधिकृत नहीं करता है क्योंकि यह घात समुच्चय के सिद्धांत को नहीं दर्शाता है। माइकल हैलेट ने तर्क दिया है कि आकार सिद्धांत की सीमा घात समुच्चय स्वयंसिद्ध को उचित नहीं ठहराती है और "वॉन न्यूमैन की स्पष्ट धारणा [घात-समुच्चय की लघुता की] ज़र्मेलो, फ्रेंकेल और लेवी की घात-समुच्चय की लघुता की अस्पष्ट रूप से छिपी अंतर्निहित धारणा के लिए बेहतर लगती है।"

औपचारिक कथन
आकार की सीमा के सिद्धांत का सामान्य संस्करण - एक वर्ग एक उचित वर्ग है यदि और केवल तभी जब कोई फलन होता है जो इसे V  पर मैप करता है—तो समुच्चय सिद्धांत की औपचारिक भाषा में इस प्रकार व्यक्त किया गया है:
 * $$\begin{align}

\forall C \Bigl[ \lnot \exist D \left(C \in D\right) \iff \exist F \bigl[&\,\forall y \bigl(\exist D(y \in D) \implies \exist x [\,x \in C \land (x, y) \in F\,]\bigr) \\ &\, \land \, \forall x \forall y \forall z \bigl(\,[\,(x, y) \in F \land (x, z) \in F\,] \implies y = z\bigr)\,\bigr]\,\Bigr] \end{align}$$ गोडेल ने यह परिपाटी प्रस्तुत की कि अपरकेस चर सभी वर्गों में विस्तृत होते हैं, जबकि लोअरकेस चर सभी समुच्चयों में विस्तृत होते हैं। यह सम्मेलन हमें लिखने की अनुमति देता है: indent=1
 * $$\exist y\, \varphi(y)$$ के बजाय $$\exist y \bigl(\exist D (y \in D) \land \varphi(y)\bigr)$$
 * $$\forall y\, \varphi(y)$$ के बजाय $$\forall y \bigl(\exist D (y \in D) \implies \varphi(y)\bigr)$$

गोडेल के सम्मेलन के साथ, आकार की सीमा का सिद्धांत लिखा जा सकता है:
 * $$\begin{align}

\forall C \Bigl[ \lnot \exist D \left( C \in D\right) \iff \exist F \bigl[&\,\forall y \exist x \bigl( x \in C \land (x, y) \in F \bigr) \\ &\, \land \, \forall x \forall y \forall z \bigl(\,[\,(x, y) \in F \land (x, z) \in F\,] \implies y = z\bigr)\,\bigr]\,\Bigr] \end{align}$$

स्वयंसिद्ध के निहितार्थ
वॉन न्यूमैन ने प्रमाणित किया कि आकार की सीमा का सिद्धांत प्रतिस्थापन के सिद्धांत का तात्पर्य है, जिसे इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है: यदि F एक फलन है और A एक समुच्चय है, तो F (ए) एक समुच्चय है। यह बात विरोधाभास से सिद्ध होती है। मान लीजिए F एक फलन है और A एक समुच्चय है। मान लें कि F(A) एक उचित वर्ग है। फिर एक फलन G है जो F(A) को V पर मैप करता है। चूंकि समग्र फलन G∘F, A को V पर मैप करता है, आकार की सीमा के सिद्धांत का तात्पर्य है कि A एक उचित वर्ग है, जो A के एक समुच्चय होने का खंडन करता है। इसलिए, F(A) एक समुच्चय है। चूंकि प्रतिस्थापन का सिद्धांत पृथक्करण के सिद्धांत को दर्शाता है, आकार की सीमा का सिद्धांत पृथक्करण के सिद्धांत को दर्शाता है।

वॉन न्यूमैन ने यह भी प्रमाणित किया कि उनके स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि V को सुव्यवस्थित किया जा सकता है। प्रमाण विरोधाभास से यह प्रमाणित करने से प्रारम्भ होता है कि ऑर्ड, सभी क्रमसूचकों का वर्ग, एक उचित वर्ग है। मान लीजिए कि ऑर्ड एक समुच्चय है। चूँकि यह एक सकर्मक समुच्चय है जो ∈ द्वारा सुक्रमित सुव्यवस्थित है, यह एक क्रमसूचक है। तो ऑर्ड ∈ ऑर्ड, जो ∈ द्वारा ऑर्ड को सुक्रमित सुव्यवस्थित किए जाने का खंडन करता है। इसलिए, ऑर्ड एक उचित वर्ग है। तो वॉन न्यूमैन के स्वयंसिद्ध का अर्थ है कि एक फलन F है जो ऑर्ड को V पर मैप करता है। V के एक सुव्यवस्थित क्रम को परिभाषित करने के लिए, मान लीजिए कि G, F का उपवर्ग है जिसमें क्रमित जोड़े (α,x) सम्मिलित हैं जहां α न्यूनतम β है जैसे कि (β,x)∈F; अर्थात्, G = {(α, x) ∈ F: ∀β((β,x) ∈F ⇒ α ≤ β)}। फलन G, ऑर्ड और V के अर्धसमुच्चय के बीच एक-से-एक पत्राचार है। इसलिए, x < y यदि G−1(x)<G−1(y) V के एक सुव्यवस्थित क्रम को परिभाषित करता है। यह सुव्यवस्थित क्रम एक वैश्विक विकल्प फलन को परिभाषित करता है: Inf(x) को एक गैर-रिक्त समुच्चय x का सबसे छोटा अल्पांश हो। चूँकि Inf(x) ∈ x, यह फलन प्रत्येक गैर-रिक्त समुच्चय x के लिए x का एक अल्पांश चुनता है। इसलिए, Inf(x) एक वैश्विक पसंद फलन है, इसलिए वॉन न्यूमैन का स्वयंसिद्ध वैश्विक पसंद के स्वयंसिद्ध का तात्पर्य है।

1968 में, एज़्रिएल लेवी ने प्रमाणित किया कि वॉन न्यूमैन का सिद्धांत संघ के सिद्धांत को दर्शाता है। सबसे पहले, उन्होंने संघ के स्वयंसिद्ध का उपयोग किए बिना प्रमाणित किया कि अध्यादेशों के प्रत्येक समुच्चय की एक ऊपरी सीमा होती है। फिर उन्होंने एक फलन का उपयोग किया जो यह प्रमाणित करने के लिए ऑर्ड को वी पर मैप करता है कि यदि A एक समुच्चय है, तो ∪A एक समुच्चय है.

प्रतिस्थापन, वैश्विक पसंद और संघ (एनबीजी के अन्य सिद्धांतों के साथ) के सिद्धांत आकार की सीमा के सिद्धांत को दर्शाते हैं। इसलिए, यह स्वयंसिद्ध एनबीजी या मोर्स-केली समुच्चय सिद्धांत में प्रतिस्थापन, वैश्विक विकल्प और संघ के संयोजन के बराबर है। इन समुच्चय सिद्धांतों ने केवल प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध और आकार की सीमा के स्वयंसिद्ध के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध के एक रूप को प्रतिस्थापित किया क्योंकि वॉन न्यूमैन की स्वयंसिद्ध प्रणाली में संघ का स्वयंसिद्ध सम्मिलित है। लेवी का यह प्रमाण कि यह सिद्धांत निरर्थक है, कई वर्षों बाद आया।

वैश्विक पसंद के सिद्धांत के साथ एनबीजी के सिद्धांतों को पसंद के सामान्य सिद्धांत द्वारा प्रतिस्थापित करने से आकार की सीमा का सिद्धांत नहीं लगता है। 1964 में, विलियम बी. ईस्टन ने वैश्विक पसंद के साथ एनबीजी का एक मॉडल बनाने के लिए दबाव का उपयोग किया, जिसमें वैश्विक विकल्प को पसंद के सिद्धांत द्वारा प्रतिस्थापित किया गया। ईस्टन के मॉडल में, V को रैखिक रूप से क्रमित नहीं किया जा सकता है, इसलिए इसे सुव्यवस्थित नहीं किया जा सकता है। इसलिए, आकार की सीमा का सिद्धांत इस मॉडल में विफल रहता है। ऑर्ड एक उचित वर्ग का उदाहरण है जिसे V पर मैप नहीं किया जा सकता क्योंकि (जैसा कि ऊपर प्रमाणित हुआ है) यदि ऑर्ड को V पर मैप करने वाला कोई फलन है, तो V को अच्छी तरह से सुक्रमित किया जा सकता है।

प्रतिस्थापन के सिद्धांत के साथ एनबीजी के सिद्धांतों को पृथक्करण के कमजोर सिद्धांत द्वारा प्रतिस्थापित करने से आकार की सीमा का सिद्धांत नहीं लगता है। $$\omega_\alpha$$ परिभाषित करना $$\alpha$$-वें अनंत प्रारंभिक क्रमसूचक के रूप में, जो कार्डिनल संख्या $$\aleph_\alpha$$ भी है ; क्रमांकन $$0$$ से प्रारम्भ होती है, इसलिए $$\omega_0 = \omega$$। 1939 में, गोडेल ने बताया कि Lω ω, रचनात्मक ब्रह्मांड का एक अर्धसमुच्चय, ZFC का एक मॉडल है जिसमें प्रतिस्थापन के स्थान पर पृथक्करण होता है। इसे पृथक्करण द्वारा प्रतिस्थापन के साथ एनबीजी के एक मॉडल में विस्तारित करने के लिए, इसकी कक्षाएं Lω ω+1 के समुच्चय होने दें, जो Lω ω के रचनात्मक अर्धसमुच्चय हैं। यह मॉडल एनबीजी के वर्ग अस्तित्व सिद्धांतों को संतुष्ट करता है क्योंकि इन सिद्धांतों के समुच्चय चर को Lω ω तक सीमित करने से अलगाव के सिद्धांत के उदाहरण उत्पन्न होते हैं, जो L में होता है।undefined यह वैश्विक पसंद के सिद्धांत को संतुष्ट करता है क्योंकि Lω ω+1 से संबंधित एक फलन है जो ω ω को पर मैप करता है, जिसका अर्थ है कि Lω ω सुव्यवस्थित है।  आकार की सीमा का सिद्धांत विफल हो जाता है क्योंकि उचित वर्ग {ωn: n ∈ ω} में गणनांक $$\aleph_0$$ है, इसलिए इसे Lω ω पर मैप नहीं किया जा सकता, जिसमें गणनांक  $$\aleph_\omega$$है।

1923 में ज़र्मेलो को लिखे एक पत्र में, वॉन न्यूमैन ने अपने स्वयंसिद्ध कथन का पहला संस्करण बताया: एक वर्ग एक उचित वर्ग है यदि और केवल तभी जब इसके और V के बीच एक-से-एक पत्राचार हो। आकार की सीमा का सिद्धांत वॉन न्यूमैन के 1923 के सिद्धांत का तात्पर्य है। इसलिए, इसका यह भी तात्पर्य है कि सभी उचित वर्ग V के समतुल्य हैं।

$$

जर्मेलो के मॉडल और आकार की सीमा का सिद्धांत
1930 में, ज़र्मेलो ने समुच्चय सिद्धांत के मॉडल पर एक लेख प्रकाशित किया, जिसमें उन्होंने प्रमाणित किया कि उनके कुछ मॉडल आकार की सीमा के सिद्धांत को संतुष्ट करते हैं। ये मॉडल जेडएफसी में संचयी पदानुक्रम Vα का उपयोग करके बनाए गए हैं, जिसे परिमितातीत प्रतिवर्तन द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * 1) V0= ∅.
 * 2) Vα+1= Vα ∪ P(Vα) अर्थात Vα और उसके घात समुच्चय का मिलन।
 * 3) सीमा β के लिए:  β: Vβ = ∪α < β Vα. अर्थात Vβ पूर्ववर्ती Vα का मिलन है।

ज़र्मेलो ने Vκ फॉर्म के मॉडल के साथ काम किया जहां κ एक कार्डिनल है। मॉडल की कक्षाएं Vκ के अर्धसमुच्चय हैं, और मॉडल का ∈-संबंध मानक ∈-संबंध है। मॉडल के समुच्चय वर्ग X हैं कि X ∈ Vκ है। ज़र्मेलो ने कार्डिनल्स κ की पहचान इस तरह की कि Vκ संतुष्ट करता है:
 * प्रमेय 1. एक वर्ग X एक समुच्चय है यदि और केवल यदि |X| < κ.
 * प्रमेय 2. |Vκ| = κ.

चूँकि प्रत्येक वर्ग Vκ का अर्धसमुच्चय है, प्रमेय 2 का तात्पर्य है कि प्रत्येक वर्ग X में कार्डिनैलिटी ≤ κ है। इसे प्रमेय 1 के साथ संयोजित करने से सिद्ध होता है: प्रत्येक उचित वर्ग में कार्डिनैलिटी κ होती है। इसलिए, प्रत्येक उचित वर्ग को Vκ के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है। यह पत्राचार Vκ का एक अर्धसमुच्चय है, तो यह मॉडल का एक वर्ग है। इसलिए, आकार की सीमा का सिद्धांत मॉडल Vκ के लिए लागू होता है।

प्रमेय बताता है कि Vκ एक सुव्यवस्थितता है, इसे सीधे सिद्ध किया जा सकता है। चूँकि κ कार्डिनैलिटी κ और |Vκ| का एक क्रमसूचक है = κ, κ और Vκ के बीच एक-से-एक पत्राचार है। यह पत्राचार Vκ का सुव्यवस्थित क्रम उत्पन्न करता है। वॉन न्यूमैन का प्रमाण अप्रत्यक्ष प्रमाण है। यह विरोधाभास द्वारा यह प्रमाणित करने के लिए बुराली-फोर्टी विरोधाभास का उपयोग करता है कि सभी अध्यादेशों का वर्ग एक उचित वर्ग है। इसलिए, आकार की सीमा के सिद्धांत का तात्पर्य है कि एक फलन है जो सभी समुच्चयों के वर्ग पर सभी ऑर्डिनल्स के वर्ग को मैप करता है। यह फलन Vκ का सुव्यवस्थित क्रम उत्पन्न करता है।

मॉडल Vω
यह प्रदर्शित करने के लिए कि प्रमेय 1 और 2 कुछ Vκ के लिए मान्य हैं, हम पहले यह सिद्ध करते हैं कि यदि कोई समुच्चय Vα का है तो यह बाद के सभी Vβ से संबंधित है, या समकक्ष: α ≤ β के लिए Vα⊆ Vβ है। यह β पर परिमितातीत प्रेरण द्वारा सिद्ध होता है: चरण β+1 पर घात समुच्चय P(Vβ) के माध्यम से समुच्चय संचयी पदानुक्रम में प्रवेश करते हैं) । निम्नलिखित परिभाषाओं की आवश्यकता होगी:
 * 1) β=0: V0⊆ V0.
 * 2) β+1 के लिए: आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा, Vα⊆ Vβ। इसलिए, Vα ⊆ Vβ ⊆ Vβ ∪ P(Vβ) = Vβ+1 ।
 * 3) सीमा β के लिए: यदि α < β, तो Vα ⊆ ∪ξ < β Vξ = Vβ। यदि α=β, तो Vα⊆ Vβ।
 * यदि x एक समुच्चय है, तो रैंक(x) न्यूनतम क्रमसूचक β है जैसे कि x∈Vβ+1।
 * सुपर ए द्वारा निरूपित ऑर्डिनल्स A के एक समुच्चय का सर्वोच्च, सबसे कम ऑर्डिनल β है जैसे कि सभी α ∈ A के लिए α ≤ β है।

ज़र्मेलो का सबसे छोटा मॉडल Vω है। गणितीय प्रेरण यह सिद्ध करता है कि Vn सभी n < ω के लिए परिमित है:
 * |V0| = 0.
 * |Vn+1| = |Vn ∪ P(Vn)| ≤ |Vn| + 2 undefined, जो कि से परिमित है क्योंकि Vn आगमनात्मक परिकल्पना द्वारा परिमित है।

प्रमेय 1 का प्रमाण: एक समुच्चय X कुछ n < ω के लिए P(Vn) के माध्यम से Vω में प्रवेश करता है, इसलिए X ⊆ Vn। चूंकि Vn परिमित है, X परिमित है। इसके विपरीत: यदि वर्ग X परिमित है, तो मान लीजिए N = सुप {रैंक(x): x ∈ X}। चूंकि सभी x ∈ X के लिए रैंक(x) ≤ N है, हमारे पास X ⊆ VN+1 है, तो X ∈ VN+2 ⊆ Vω है। इसलिए, X ∈ Vω है।

प्रमेय 2 का प्रमाण: वीω बढ़ते हुए आकार के अनगिनत अनंत अनेक परिमित समुच्चयों का मिलन है। इसलिए, इसमें प्रमुखता है $$\aleph_0$$, जो वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट द्वारा ω के बराबर है।

वी के समुच्चय और वर्गω अनंत के सिद्धांत को छोड़कर एनबीजी के सभी सिद्धांतों को संतुष्ट करें।

मॉडल वीκ जहां κ एक अत्यंत दुर्गम कार्डिनल
है V के लिए प्रमेय 1 और 2 को सिद्ध करने के लिए परिमितता के दो गुणों का उपयोग किया गया थाω: अनंत के सिद्धांत को संतुष्ट करने वाले मॉडल खोजने के लिए, दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल्स को परिभाषित करने वाले गुणों का उत्पादन करने के लिए परिमित को < κ से बदलें। एक कार्डिनल κ अत्यधिक पहुंच योग्य नहीं है यदि κ >  ω और: ये गुण दावा करते हैं कि κ तक नीचे से नहीं पहुंचा जा सकता है। पहली संपत्ति कहती है कि κ तक घात समुच्चय द्वारा नहीं पहुंचा जा सकता; दूसरा कहता है कि प्रतिस्थापन के सिद्धांत द्वारा κ तक नहीं पहुंचा जा सकता। जिस तरह ω प्राप्त करने के लिए अनंत के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है, उसी प्रकार दृढ़ता से दुर्गम कार्डिनल्स को प्राप्त करने के लिए एक स्वयंसिद्ध की आवश्यकता होती है। ज़र्मेलो ने अत्यधिक दुर्गम कार्डिनल्स के एक असीमित अनुक्रम के अस्तित्व की परिकल्पना की।
 * 1) यदि λ एक परिमित कार्डिनल है, तो 2λपरिमित है।
 * 2) यदि A इस प्रकार के अध्यादेशों का एक समुच्चय है कि |A| परिमित है, और α सभी α∈A के लिए परिमित है, तो सुप A परिमित है।
 * 1) यदि λ एक कार्डिनल है जैसे कि λ < κ, तो 2λ < κ.
 * 2) यदि A इस प्रकार के अध्यादेशों का एक समुच्चय है कि |A| < κ, और α < κ सभी α ∈ A के लिए, फिर समर्थन A < κ।

यदि κ एक अत्यधिक दुर्गम कार्डिनल है, तो ट्रांसफिनिट इंडक्शन |V प्रमाणित होता हैα| <k सभी के लिए a<k:
 * 1) α = 0: |वी0| = 0.
 * 2) α+1 के लिए: |Vα+1| =|वीα∪पी(वीα)| ≤ |वीα| + 2 undefined= 2undefined < κ. अंतिम असमानता आगमनात्मक परिकल्पना का उपयोग करती है और κ अत्यधिक दुर्गम है।
 * 3) सीमा α के लिए: |Vα| = |∪ξ < αमेंξ| ≤ समर्थन{|वीξ| : ξ<α}<κ. अंतिम असमानता आगमनात्मक परिकल्पना का उपयोग करती है और κ अत्यधिक दुर्गम है।

प्रमेय 1 का प्रमाण: एक समुच्चय X, V में प्रवेश करता हैκ पी(वी) के माध्यम सेα) कुछ α< κ के लिए, इसलिए X ⊆Vα. चूंकि |वीα| < κ, हमें |X| प्राप्त होता है < κ. इसके विपरीत: यदि वर्ग X में |X| < κ, मान लीजिए β = सुपर {रैंक(x): x ∈ X}। चूँकि κ अत्यंत दुर्गम है, |X| < κ और रैंक (x) < κ सभी x ∈ X के लिए β = super {rank(x): x ∈ X} < κ है। चूंकि सभी x ∈X के लिए रैंक(x) ≤ β, हमारे पास X ⊆V हैβ+1, तो एक्स ∈ वीβ+2⊆ वीκ. इसलिए, X∈Vκ.

प्रमेय 2 का प्रमाण: |वीκ| = |∪α < κमेंα| ≤सुपर{|वीα| : α< κ}. मान लीजिए β यह सर्वोच्च है। चूँकि सर्वोच्च में प्रत्येक क्रमसूचक κ से कम है, हमारे पास β ≤ κ है। मान लीजिए β< κ. फिर एक कार्डिनल λ है जैसे कि β < λ < κ; उदाहरण के लिए, मान लीजिए λ=2undefined. चूंकि λ ⊆ वीλ और |वीλ| सर्वोच्च में है, हमारे पास λ ≤ |V हैλ| ≤β. यह β<<λ का खंडन करता है। इसलिए, |वीκ| = β = κ.

वी के समुच्चय और वर्गκ एनबीजी के सभी सिद्धांतों को संतुष्ट करें।

आकार सिद्धांत की सीमा
आकार सिद्धांत की सीमा एक अनुमानी सिद्धांत है जिसका उपयोग समुच्चय सिद्धांत के सिद्धांतों को उचित ठहराने के लिए किया जाता है। यह पूर्ण (विरोधाभासी) समझ स्वयंसिद्ध स्कीमा को प्रतिबंधित करके समुच्चय सैद्धांतिक विरोधाभासों से बचाता है:
 * $$\forall w_1,\ldots,w_n \, \exists x \, \forall u \, ( u \in x \iff \varphi(u, w_1, \ldots, w_n) )$$

ऐसे उदाहरणों के लिए जो समुच्चय को उनके द्वारा उपयोग किए जाने वाले समुच्चय से 'बहुत अधिक बड़ा' नहीं देते हैं। यदि बड़े का अर्थ कार्डिनल आकार में बड़ा है, तो अधिकांश सिद्धांतों को उचित ठहराया जा सकता है: पृथक्करण का सिद्धांत x का एक अर्धसमुच्चय उत्पन्न करता है जो x से बड़ा नहीं है। प्रतिस्थापन का सिद्धांत एक छवि समुच्चय f(x) उत्पन्न करता है जो x से बड़ा नहीं है। संघ का सिद्धांत एक ऐसे संघ का निर्माण करता है जिसका आकार संघ में सबसे बड़े समुच्चय के आकार से बड़ा नहीं होता है, जो कि संघ में समुच्चयों की संख्या से बड़ा होता है। पसंद का सिद्धांत एक विकल्प समुच्चय का निर्माण करता है जिसका आकार गैर-रिक्त समुच्चय के दिए गए समुच्चय के आकार से बड़ा नहीं है।

आकार सिद्धांत की सीमा अनंत के सिद्धांत को उचित नहीं ठहराती:
 * $$\exists y \, [\empty \in y \, \land \, \forall x (x \in y \implies x \cup \{x\} \in y)],$$

जो उत्तराधिकारी क्रमसूचक को पुनरावृत्त करके खाली समुच्चय और खाली समुच्चय से प्राप्त समुच्चय का उपयोग करता है। चूँकि ये समुच्चय परिमित हैं, इस स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने वाला कोई भी समुच्चय, जैसे ω, इन समुच्चयों से बहुत बड़ा है। फ्रेंकेल और लेवी खाली समुच्चय और प्राकृतिक संख्याओं के अनंत समुच्चय को मानते हैं, जिसका अस्तित्व अनंत और पृथक्करण के सिद्धांतों द्वारा निहित है, समुच्चय उत्पन्न करने के लिए शुरुआती बिंदु के रूप में। आकार की सीमा के बारे में वॉन न्यूमैन का दृष्टिकोण आकार की सीमा के सिद्धांत का उपयोग करता है। जैसा कि उल्लेख किया गया है, वॉन न्यूमैन का स्वयंसिद्ध पृथक्करण, प्रतिस्थापन, मिलन और चयन के सिद्धांतों को दर्शाता है। फ्रेंकेल और लेवी की तरह, वॉन न्यूमैन को अनंत के स्वयंसिद्ध को अपने सिस्टम में जोड़ना पड़ा क्योंकि इसे उनके अन्य सिद्धांतों से सिद्ध नहीं किया जा सकता है। आकार की सीमा पर वॉन न्यूमैन के दृष्टिकोण और फ्रेंकेल और लेवी के दृष्टिकोण के बीच अंतर हैं: इस बात पर असहमति है कि क्या आकार सिद्धांत की सीमा घात समुच्चय सिद्धांत को उचित ठहराती है। माइकल हैलेट ने फ्रेंकेल और लेवी द्वारा दिए गए तर्कों का विश्लेषण किया है। उनके कुछ तर्क कार्डिनल आकार के अलावा अन्य मानदंडों के आधार पर आकार को मापते हैं - उदाहरण के लिए, फ्रेंकेल व्यापकता और विस्तारशीलता का परिचय देता है। हैलेट बताते हैं कि वह उनके तर्कों में क्या खामियां मानते हैं। इसके बाद हैलेट का तर्क है कि समुच्चय सिद्धांत के परिणामों से यह प्रतीत होता है कि अनंत समुच्चय के आकार और उसके घात समुच्चय के आकार के बीच कोई संबंध नहीं है। इसका मतलब यह होगा कि आकार सिद्धांत की सीमा घात समुच्चय सिद्धांत को उचित ठहराने में असमर्थ है क्योंकि इसके लिए आवश्यक है कि x का घात समुच्चय x से बहुत बड़ा न हो। उस मामले के लिए जहां आकार को कार्डिनल आकार द्वारा मापा जाता है, हैलेट ने पॉल कोहेन के काम का उल्लेख किया है। <संदर्भ नाम = हैलेट 1984 206-207 >. ZFC और के एक मॉडल से शुरुआत $$\aleph_\alpha$$, कोहेन ने एक मॉडल बनाया जिसमें ω के घात समुच्चय की कार्डिनैलिटी है $$\aleph_\alpha$$ यदि की सह-अंतिमता $$\aleph_\alpha$$ ω नहीं है; अन्यथा, इसकी प्रमुखता है $$\aleph_{\alpha+1}$$. चूँकि ω के घात समुच्चय की कार्डिनैलिटी की कोई सीमा नहीं है, इसलिए ω के कार्डिनल आकार और P(ω) के कार्डिनल आकार के बीच कोई संबंध नहीं है। हैलेट उस मामले पर भी चर्चा करता है जहां आकार को व्यापकता द्वारा मापा जाता है, जो एक संग्रह को बहुत बड़ा मानता है यदि वह असीमित समझ या असीमित सीमा का है। वह बताते हैं कि एक अनंत समुच्चय के लिए, हम यह सुनिश्चित नहीं कर सकते हैं कि ब्रह्मांड की असीमित सीमा से गुज़रे बिना हमारे पास इसके सभी अर्धसमुच्चय हैं। उन्होंने जॉन लेन बेल|जॉन एल. बेल और मोशे मैकओवर को भी उद्धृत किया: ... किसी दिए गए [अनंत] समुच्चय यू का घात समुच्चय पी (यू) न केवल यू के आकार के लिए आनुपातिक है, बल्कि 'समृद्धि' के लिए भी आनुपातिक है। सम्पूर्ण ब्रह्माण्ड... इन टिप्पणियों को करने के बाद, हैलेट कहते हैं: किसी को यह संदेह हो जाता है कि अनंत ए के आकार (व्यापकता) और पी (ए) के आकार के बीच कोई संबंध नहीं है। <संदर्भ नाम = हैलेट 1984 206-207 />
 * वॉन न्यूमैन का स्वयंसिद्ध सिद्धांत एक स्वयंसिद्ध प्रणाली में आकार की सीमा डालता है, जिससे अधिकांश समुच्चय अस्तित्व स्वयंसिद्धों को प्रमाणित करना संभव हो जाता है। आकार सिद्धांत की सीमा अनौपचारिक तर्कों का उपयोग करके स्वयंसिद्धों को उचित ठहराती है जो प्रमाण की तुलना में असहमति के लिए अधिक खुले हैं।
 * वॉन न्यूमैन ने घात समुच्चय स्वयंसिद्ध को मान लिया क्योंकि इसे उनके अन्य सिद्धांतों से सिद्ध नहीं किया जा सकता है। फ्रेंकेल और लेवी का कहना है कि आकार सिद्धांत की सीमा घात समुच्चय सिद्धांत को उचित ठहराती है।

हैलेट समुच्चय सिद्धांत के अधिकांश सिद्धांतों को उचित ठहराने के लिए आकार सिद्धांत की सीमा को मूल्यवान मानते हैं। उनके तर्क केवल यह संकेत देते हैं कि यह अनन्तता और घात समुच्चय के सिद्धांतों को उचित नहीं ठहरा सकता। उन्होंने निष्कर्ष निकाला कि वॉन न्यूमैन की स्पष्ट धारणा [घात-समुच्चय की लघुता की] ज़र्मेलो, फ्रेंकेल और लेवी की घात-समुच्चय की लघुता की अस्पष्ट रूप से छिपी हुई अंतर्निहित धारणा के लिए बेहतर लगती है।

इतिहास
वॉन न्यूमैन ने समुच्चयों की पहचान करने की एक नई विधि के रूप में आकार की सीमा के सिद्धांत को विकसित किया। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत अपने समुच्चय बिल्डिंग सिद्धांतों के माध्यम से समुच्चय की पहचान करता है। हालाँकि, जैसा कि अब्राहम फ्रेंकेल ने बताया: प्रक्रियाओं का मनमाना चरित्र, जो सिद्धांत के आधार के रूप में Z [ZFC] के सिद्धांतों में चुना गया है, तार्किक तर्कों के बजाय समुच्चय-सिद्धांत के ऐतिहासिक विकास द्वारा उचित है। ZFC स्वयंसिद्धों का ऐतिहासिक विकास 1908 में प्रारम्भ हुआ जब ज़र्मेलो ने विरोधाभासों को खत्म करने और सुव्यवस्थित प्रमेय के अपने प्रमाण का समर्थन करने के लिए स्वयंसिद्धों को चुना। 1922 में, अब्राहम फ्रेंकेल और थोरल्फ़ स्कोलेम  ने बताया कि ज़र्मेलो समुच्चय सिद्धांत | ज़र्मेलो के स्वयंसिद्ध समुच्चय के अस्तित्व को प्रमाणित नहीं कर सकते हैं {Z0, साथ1, साथ2,...} जहां Z0 प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय है, और Zn+1 Z का घात समुच्चय हैn. उन्होंने प्रतिस्थापन का सिद्धांत भी पेश किया, जो इस समुच्चय के अस्तित्व की गारंटी देता है। हालाँकि, आवश्यक होने पर स्वयंसिद्ध कथनों को जोड़ने से न तो सभी उचित समुच्चयों के अस्तित्व की गारंटी मिलती है और न ही उन समुच्चयों के बीच अंतर स्पष्ट होता है जो उपयोग के लिए सुरक्षित हैं और ऐसे संग्रह जो विरोधाभासों को जन्म देते हैं।

1923 में ज़र्मेलो को लिखे एक पत्र में, वॉन न्यूमैन ने समुच्चय सिद्धांत के लिए एक दृष्टिकोण की रूपरेखा तैयार की जो उन समुच्चयों की पहचान करता है जो बहुत बड़े हैं और विरोधाभास पैदा कर सकते हैं। वॉन न्यूमैन ने मानदंड का उपयोग करके इन समुच्चयों की पहचान की: एक समुच्चय 'बहुत बड़ा' है यदि और केवल तभी जब यह सभी चीजों के समुच्चय के बराबर हो। फिर उन्होंने प्रतिबंधित किया कि इन समुच्चयों का उपयोग कैसे किया जा सकता है: ... विरोधाभासों से बचने के लिए जो [समुच्चय] 'बहुत बड़े' हैं उन्हें तत्वों के रूप में अस्वीकार्य घोषित किया गया है। इस प्रतिबंध को अपने मानदंड के साथ जोड़कर, वॉन न्यूमैन ने आकार की सीमा के सिद्धांत का पहला संस्करण प्राप्त किया, जो वर्गों की भाषा में कहता है: एक वर्ग एक उचित वर्ग है यदि और केवल अगर यह वी के साथ समतुल्य है। 1925 तक, वॉन न्यूमैन ने अपने स्वयंसिद्ध को संशोधित करके इसे V के साथ समतुल्य कर दिया। इसे V पर मैप किया जा सकता है, जो आकार की सीमा का सिद्धांत उत्पन्न करता है। इस संशोधन ने वॉन न्यूमैन को प्रतिस्थापन के सिद्धांत का एक सरल प्रमाण देने की अनुमति दी। वॉन न्यूमैन का स्वयंसिद्ध समुच्चय समुच्चय को उन वर्गों के रूप में पहचानता है जिन्हें वी पर मैप नहीं किया जा सकता है। वॉन न्यूमैन ने अनुभव किया कि, इस सिद्धांत के साथ भी, उनका समुच्चय सिद्धांत समुच्चय को पूरी तरह से चित्रित नहीं करता है।

गोडेल ने वॉन न्यूमैन के स्वयंसिद्ध को बहुत रुचिकर पाया:


 * विशेष रूप से मेरा मानना ​​​​है कि उनकी [वॉन न्यूमैन की] आवश्यक और पर्याप्त शर्त, जिसे एक संपत्ति को पूरा करना चाहिए, एक समुच्चय को परिभाषित करने के लिए, बहुत रुचि है, क्योंकि यह स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के विरोधाभासों के संबंध को स्पष्ट करता है। यह स्थिति वास्तव में चीजों के सार को समझती है, यह इस तथ्य से देखा जाता है कि यह पसंद के सिद्धांत को दर्शाता है, जो पहले अन्य अस्तित्व संबंधी सिद्धांतों से काफी अलग था। चीजों को देखने के इस तरीके से संभव होने वाले विरोधाभासों की सीमा वाले निष्कर्ष, मुझे न केवल बहुत सुंदर लगते हैं, बल्कि तार्किक दृष्टिकोण से भी बहुत दिलचस्प लगते हैं। इसके अलावा मेरा मानना ​​है कि केवल इस दिशा में आगे बढ़ने से, अर्थात् रचनावाद (गणित) के विपरीत दिशा में, अमूर्त समुच्चय सिद्धांत की बुनियादी समस्याएं हल हो जाएंगी।

ग्रन्थसूची

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