नेबरहुड (गणित)

टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, पड़ोस (या पड़ोस) एक टोपोलॉजिकल स्पेस में बुनियादी अवधारणाओं में से एक है। यह खुला सेट और इंटीरियर (टोपोलॉजी) की अवधारणाओं से निकटता से संबंधित है। सहजता से बोलते हुए, एक बिंदु का एक पड़ोस उस बिंदु से युक्त बिंदुओं का एक सेट (गणित) है जहां कोई सेट को छोड़े बिना उस बिंदु से किसी भी दिशा में कुछ राशि ले जा सकता है।

एक बिंदु का पड़ोस
यदि $$X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और $$p$$ में एक बिंदु है $$X,$$ फिर एकका $$p$$ एक उपसमुच्चय है $$V$$ का $$X$$ जिसमें एक खुला सेट शामिल है $$U$$ युक्त $$p$$, $$p \in U \subseteq V \subseteq X.$$ यह भी बिंदु के बराबर है $$p \in X$$ आंतरिक (टोपोलॉजी) से संबंधित # का आंतरिक बिंदु $$V$$ में $$X.$$ पड़ोस $$V$$ जरुरत एक खुला उपसमुच्चय बनें $$X,$$ लेकिन जब $$V$$ में खुला है $$X$$ तो इसे एक कहा जाता है. कुछ लेखकों को पड़ोस के खुले रहने की आवश्यकता के लिए जाना जाता है, इसलिए सम्मेलनों को नोट करना महत्वपूर्ण है।

एक सेट जो इसके प्रत्येक बिंदु का एक पड़ोस है, खुला है क्योंकि इसे इसके प्रत्येक बिंदु वाले खुले सेट के संघ के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। एक आयत, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है, अपने सभी बिंदुओं का पड़ोस नहीं है; आयत के किनारों या कोनों पर बिंदु आयत के भीतर निहित किसी भी खुले सेट में शामिल नहीं हैं।

किसी बिंदु के सभी पड़ोसों के संग्रह को बिंदु पर पड़ोस प्रणाली कहा जाता है।

एक सेट का पड़ोस
यदि $$S$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का सबसेट है $$X$$, फिर का एक पड़ोस $$S$$ एक सेट है $$V$$ जिसमें एक खुला सेट शामिल है $$U$$ युक्त $$S$$,$$S \subseteq U \subseteq V \subseteq X.$$यह इस प्रकार है कि एक सेट $$V$$ का पड़ोस है $$S$$ अगर और केवल अगर यह सभी बिंदुओं का पड़ोस है $$S.$$ आगे, $$V$$ का पड़ोस है $$S$$ अगर और केवल अगर $$S$$ के आंतरिक (टोपोलॉजी) का एक उपसमुच्चय है $$V.$$ का एक पड़ोस $$S$$ यह भी एक खुला उपसमुच्चय है $$X$$ एक कहा जाता हैका $$S.$$ एक बिंदु का पड़ोस इस परिभाषा का एक विशेष मामला है।

एक मीट्रिक स्थान में
एक मीट्रिक स्थान में $$M = (X, d),$$ एक सेट $$V$$ एक बिंदु का पड़ोस है $$p$$ अगर केंद्र के साथ एक खुली गेंद मौजूद है $$p$$ और त्रिज्या $$r>0,$$ ऐसा है कि $$B_r(p) = B(p; r) = \{ x \in X : d(x, p) < r \}$$ में निहित है $$V.$$

$$V$$ एक सेट का एकसमान पड़ोस कहा जाता है $$S$$ अगर वहाँ एक सकारात्मक संख्या मौजूद है $$r$$ ऐसा कि सभी तत्वों के लिए $$p$$ का $$S,$$ $$B_r(p) = \{ x \in X : d(x, p) < r \}$$ में निहित है $$V.$$ के लिये $$r > 0,$$ $$r$$-अड़ोस-पड़ोस $$S_r$$ एक सेट का $$S$$ में सभी बिंदुओं का समुच्चय है $$X$$ से कम दूरी पर हैं $$r$$ से $$S$$ (या समकक्ष, $$S_r$$ त्रिज्या की सभी खुली गेंदों का मिलन है $$r$$ जो एक बिंदु पर केंद्रित होते हैं $$S$$): $$S_r = \bigcup\limits_{p\in{}S} B_r(p).$$ यह सीधे इस प्रकार है कि ए $$r$$-पड़ोस एक समान पड़ोस है, और यह कि एक सेट एक समान पड़ोस है अगर और केवल अगर इसमें शामिल है $$r$$-पड़ोस के कुछ मूल्य के लिए $$r.$$

उदाहरण
वास्तविक संख्याओं के समुच्चय को देखते हुए $$\R$$ सामान्य यूक्लिडियन मीट्रिक और एक सबसेट के साथ $$V$$ के रूप में परिभाषित किया गया है $$V := \bigcup_{n \in \N} B\left(n\,;\,1/n \right),$$ फिर $$V$$ सेट के लिए एक पड़ोस है $$\N$$ प्राकृतिक संख्या की, लेकिन है इस सेट का एक समान पड़ोस।

पड़ोस से टोपोलॉजी
उपरोक्त परिभाषा उपयोगी है यदि खुले सेट की धारणा पहले से ही परिभाषित है। एक टोपोलॉजी को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक तरीका है, पहले पड़ोस प्रणाली को परिभाषित करके, और फिर उन सेटों को खोलें, जिनमें उनके प्रत्येक बिंदु का पड़ोस होता है।

एक पड़ोस प्रणाली चालू है $$X$$ फ़िल्टर का कार्य है (सेट सिद्धांत) $$N(x)$$ के सबसेट का $$X$$ प्रत्येक के लिए $$x$$ में $$X,$$ ऐसा है कि कोई यह दिखा सकता है कि दोनों परिभाषाएँ संगत हैं, अर्थात्, खुले सेट का उपयोग करके परिभाषित पड़ोस प्रणाली से प्राप्त टोपोलॉजी मूल है, और इसके विपरीत जब पड़ोस प्रणाली से शुरू होती है।
 * 1) बिंदु $$x$$ प्रत्येक का एक तत्व है $$U$$ में $$N(x)$$
 * 2) प्रत्येक $$U$$ में $$N(x)$$ कुछ शामिल हैं $$V$$ में $$N(x)$$ ऐसा कि प्रत्येक के लिए $$y$$ में $$V,$$ $$U$$ में है $$N(y).$$

समान पड़ोस
एक समान स्थान में $$S = (X, \Phi),$$ $$V$$ का एक समान पड़ोस कहा जाता है $$P$$ यदि कोई Entourage (टोपोलॉजी) मौजूद है $$U \in \Phi$$ ऐसा है कि $$V$$ के सभी बिंदु शामिल हैं $$X$$ वो हैं $$U$$-किसी बिंदु के करीब $$P;$$ वह है, $$U[x] \subseteq V$$ सभी के लिए $$x \in P.$$

हटाए गए पड़ोस
एक बिंदु का हटाया गया पड़ोस $$p$$ (कभी-कभी पंक्चर पड़ोस कहा जाता है) का पड़ोस है $$p,$$ बिना $$\{p\}.$$ उदाहरण के लिए, अंतराल (गणित) $$(-1, 1) = \{y : -1 < y < 1\}$$ का पड़ोस है $$p = 0$$ वास्तविक रेखा में, इसलिए सेट $$(-1, 0) \cup (0, 1) = (-1, 1) \setminus \{0\}$$ का हटाया गया पड़ोस है $$0.$$ किसी दिए गए बिंदु का हटाया गया पड़ोस वास्तव में बिंदु का पड़ोस नहीं है। हटाए गए पड़ोस की अवधारणा एक फ़ंक्शन की सीमा # टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर और सीमा बिंदुओं की परिभाषा (अन्य चीजों के बीच) में होती है।

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 * समतल ज्यामिति)
 * अंक शास्त्र
 * सबसेट
 * फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)
 * प्रतिवेश (टोपोलॉजी)