बिल्डिंग (गणित)

गणित में, बिल्डिंग (टिट्स बिल्डिंग भी, जिसका नाम जैक्स टिट्स के नाम पर रखा गया है) संयुक्त और ज्यामितीय संरचना है जो साथ ध्वज विविध, परिमित प्रक्षेप्य विमानों और रीमैनियन सममित स्थानों के कुछ विषयों को सामान्यीकृत करती है। बिल्डिंग को प्रारम्भ करने में जैक्स टिट्स द्वारा लाई प्रकार के समूह की संरचना को समझने के साधन के रूप में प्रस्तुत किया गया था। ब्रुहट-टिट्स बिल्डिंग का अधिक विशिष्ट सिद्धांत (जिसका नाम फ्रांकोइस ब्रुहट के नाम पर भी रखा गया है) p-एडिक लाई समूह के अध्ययन में  भूमिका निभाता है| $p$-एडिक लाई समूह, लाई समूहों के सिद्धांत में सममित स्थानों के सिद्धांत के अनुरूप है।

अवलोकन
बिल्डिंग की अवधारणा का आविष्कार जैक्स टिट्स द्वारा स्वेच्छानुसार क्षेत्र (गणित) पर लाई प्रकार के समूह का वर्णन करने के साधन के रूप में किया गया था। स्तन ने ऐसे प्रत्येक समूह को प्रदर्शित किया (गणित) $G$ कोई सरल परिसर को जोड़ सकता है $SL(2,Q_{2})$ की समूह क्रिया (गणित) के साथ $G$, की गोलाकार बिल्डिंग कहलाती है $G$ समूह $G$ कॉम्प्लेक्स पर बहुत दृढ़ संयोजन नियमितता की स्थिति प्रस्तावित करता है $Δ = Δ(G)$ जो इस प्रकार उत्पन्न हो सकता है। सरलीकृत परिसरों के वर्ग के लिए इन स्थितियों को स्वयंसिद्ध मानकर, टिट्स बिल्डिंग की अपनी प्रथम परिभाषा पर पहुंचे है। किसी बिल्डिंग को परिभाषित करने वाले डेटा का भाग $Δ$ कॉक्सेटर समूह है $W$, जो अत्यधिक सममितीय सरलीकृत परिसर को निर्धारित करता है $Δ$, कॉक्सेटर कॉम्प्लेक्स कहा जाता है। बिल्डिंग $Σ = Σ(W,S)$ की कई प्रतियों को साथ एकत्रित कर दिया गया है $Δ$,  निश्चित नियमित फलन में, इसके अपार्टमेंट कहलाते हैं। कब $W$ परिमित कॉक्सेटर समूह है, कॉक्सेटर कॉम्प्लेक्स टोपोलॉजिकल क्षेत्र है, और संबंधित बिल्डिंग को गोलाकार प्रकार का कहा जाता है। कब $W$ एफ़िन वेइल समूह है, कॉक्सेटर कॉम्प्लेक्स एफ़िन विमान का उपखंड है और एफ़िन, या यूक्लिडियन, बिल्डिंग की चर्चा करता है। इस प्रकार की एफ़िन बिल्डिंग $Σ$ टर्मिनल शीर्षों के अतिरिक्त अनंत ट्री (ग्राफ़ सिद्धांत) के समान है।

यद्यपि अर्धसरल बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत ने बिल्डिंग की धारणा के लिए प्रारंभिक प्रेरणा प्रदान की, किन्तु सभी बिल्डिंग समूह से उत्पन्न नहीं होती हैं। विशेष रूप से, प्रक्षेप्य तल और सामान्यीकृत चतुर्भुज घटना ज्यामिति में अध्ययन किए गए ग्राफ़ के दो वर्ग बनाते हैं जो किसी बिल्डिंग के सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं, किन्तु किसी भी समूह से जुड़े नहीं हो सकते हैं। यह घटना संबंधित कॉक्सेटर प्रणाली (अर्थात्, दो) के निम्न रैंक से संबंधित है। टिट्स ने उल्लेखनीय प्रमेय सिद्ध किया हैं I कम से कम तीन रैंक की सभी गोलाकार बिल्डिंग समूह से जुड़ी हुई हैं; इसके अतिरिक्त, यदि कम से कम दो रैंक की बिल्डिंग किसी समूह से जुड़ी हुई है तो समूह अनिवार्य रूप से बिल्डिंग द्वारा निर्धारित होता है।

इवाहोरी-मात्सुमोतो, बोरेल-टिट्स और ब्रुहट-टिट्स ने प्रदर्शित किया कि टिट्स के गोलाकार बिल्डिंगों के निर्माण के अनुरूप, स्थानीय गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र पर कुछ समूहों, अर्थात् रिडक्टिव बीजगणितीय समूहों से भी एफ़िन बिल्डिंग का निर्माण किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, यदि समूह की विभाजित रैंक कम से कम तीन है, तो यह अनिवार्य रूप से इसकी बिल्डिंग द्वारा निर्धारित की जाती है। टिट्स ने पश्चात् में चैम्बर प्रणाली की धारणा का उपयोग करके बिल्डिंग के सिद्धांत के मूलभूत विषयों पर पुनः कार्य किया, बिल्डिंग को केवल अधिकतम आयाम की सरलता के आसन्न गुणों के संदर्भ में एन्कोड किया गया; इससे गोलाकार और एफ़िन दोनों विषयों में सरलीकरण होता है। उन्होंने सिद्ध किया कि, गोलाकार विषय के अनुरूप, एफ़िन प्रकार और कम से कम चार रैंक की प्रत्येक बिल्डिंग समूह से उत्पन्न होती है।

परिभाषा
$n$-आयामी बिल्डिंग $X$ अमूर्त सरल संकुल है जो उप संकुलों का  संघ है $A$अपार्टमेंट को ऐसे कहा जाता है


 * प्रत्येक $k$-का सरलीकरण $X$ कम से कम तीन के भीतर है $n$-सरल अगर $Ã_{1}$;
 * कोई $k < n$- अपार्टमेंट में सिंप्लेक्स $A$ बिल्कुल दो आसन्न में स्थित है $n$-का सरलीकरण $A$ और आसन्न का ग्राफ सिद्धांत $n$-सरल जुड़ा हुआ है;
 * कोई दो सरल में $X$ किसी आम अपार्टमेंट में लेट जाओ $A$;
 * यदि दो सिंपलिस दोनों अपार्टमेंट में झूठ बोलते हैं $A$ और $(n – 1)$, तो सरल समरूपता है $A$पर $A′$ दो सरलताओं के शीर्षों को ठीक करना।

$n$-सिम्पलेक्स इन $A$ को कक्ष कहा जाता है (मूल रूप से चैम्ब्रे, यानी फ्रेंच भाषा में कमरा)।

बिल्डिंग की श्रेणी को परिभाषित किया गया है $A′$.

प्राथमिक गुण
हर अपार्टमेंट $A$ बिल्डिंगमें कॉक्सेटर कॉम्प्लेक्स है। वास्तव में, प्रत्येक दो के लिए $n$- में सरल प्रतिच्छेद $n + 1$-सिम्प्लेक्स या पैनल, दो सरल ऑटोमोर्फिज्म की  अनूठी अवधि है $A$,  प्रतिबिंब कहा जाता है,  ले जाने वाला $n$-दूसरे पर सरलीकरण करना और उनके सामान्य बिंदुओं को ठीक करना। ये प्रतिबिंब  कॉक्सेटर समूह उत्पन्न करते हैं $W$, का वेइल समूह कहा जाता है $A$, और सरल जटिल $A$ के मानक ज्यामितीय बोध से मेल खाता है $W$. कॉक्सेटर समूह के मानक जनरेटर निश्चित कक्ष की दीवारों में प्रतिबिंब द्वारा दिए जाते हैं $A$. अपार्टमेंट के पश्चात् से $A$ बिल्डिंगद्वारा समरूपता तक निर्धारित किया जाता है, यही चर्चा किन्हीं दो सरलताओं के लिए भी सच है $X$ किसी सामान्य अपार्टमेंट में पड़ा हुआ $A$. कब $W$परिमित है, बिल्डिंग गोलाकार कहा गया है। जब यह एफ़िन वेइल समूह होता है, तो बिल्डिंगको एफ़िन या यूक्लिडियन कहा जाता है।

कक्ष प्रणाली कक्षों द्वारा गठित आसन्नता ग्राफ है; आसन्न कक्षों के प्रत्येक जोड़े को किसी मानक द्वारा लेबल किया जा सकता है कॉक्सेटर समूह के जनरेटर (देखें ).

हर बिल्डिंगमें विहित आंतरिक मीट्रिक होती है जो हिल्बर्ट स्थान के ऑर्थोनॉर्मल आधार के साथ शीर्षों की पहचान करके प्राप्त ज्यामितीय अहसास से विरासत में मिली है। संबद्ध बिल्डिंगों के लिए, यह मीट्रिक CAT(k) स्थान को संतुष्ट करता है|$(n – 1)$ अलेक्जेंडर डेनिलोविच अलेक्जेंड्रोव की तुलनात्मक असमानता, जिसे इस सेटिंग में जियोडेसिक त्रिकोण के लिए ब्रुहट-टिट्स गैर-सकारात्मक वक्रता स्थिति के रूप में जाना जाता है:  शीर्ष से विपरीत दिशा के मध्य बिंदु तक की दूरी समान भुजाओं की लंबाई वाले संबंधित यूक्लिडियन त्रिकोण में दूरी से अधिक नहीं है (देखें) ).

के साथ संबंध $CAT(0)$जोड़े
यदि कोई समूह $G$ किसी बिल्डिंगपर सरलता से कार्य करता है $X$, जोड़ों पर सकर्मक रूप से $(B, N)$ कक्षों का $C$ और अपार्टमेंट $A$उनसे युक्त, तो ऐसी जोड़ी के स्टेबलाइजर्स बीएन जोड़ी को परिभाषित करते हैं|$(C,A)$ जोड़ी या स्तन प्रणाली. वास्तव में उपसमूहों की जोड़ी


 * $(B, N)$ और $N = G_{A}$

ए के सिद्धांतों को संतुष्ट करता है $B = G_{C}$ जोड़ी और वेइल समूह की पहचान की जा सकती है $(B, N)$.

इसके विपरीत बिल्डिंग को पुनः प्राप्त किया जा सकता है $N / N ∩ B$ जोड़ी, ताकि प्रत्येक $(B, N)$ जोड़ी प्रामाणिक रूप से बिल्डिंगको परिभाषित करती है। वास्तव में, की शब्दावली का उपयोग करना $(B, N)$ जोड़े और किसी भी संयुग्म को बुलाना $B$  बोरेल उपसमूह और बोरेल उपसमूह वाला कोई भी समूह,  परवलयिक उपसमूह,


 * बिल्डिंगके शिखर $X$अधिकतम परवलयिक उपसमूहों के अनुरूप;
 * $(B, N)$ शीर्ष रूप बनाते हैं $k$-सिंप्लेक्स जब भी संबंधित अधिकतम परवलयिक उपसमूहों का प्रतिच्छेदन भी परवलयिक होता है;
 * अपार्टमेंट नीचे संयुग्मित हैं $G$ नीचे संयुग्मों द्वारा दिए गए शीर्षों के साथ सरल उपसंकुल का $N$ अधिकतम परवलयिक युक्त $B$.

ही बिल्डिंगका अक्सर अलग-अलग वर्णन किया जा सकता है $k + 1$ जोड़े। इसके अतिरिक्त, हर बिल्डिंग से नहीं आती $(B, N)$ जोड़ी: यह निम्न रैंक और आयाम में वर्गीकरण परिणामों की विफलता से मेल खाती है (नीचे देखें)।

गोलाकार और गोलाकार बिल्डिंग के लिए $(B, N)$
संबद्ध और गोलाकार बिल्डिंग की सरल संरचना $SL_{n}$, साथ ही उनके अंतर्संबंधों को केवल प्राथमिक बीजगणित और ज्यामिति की अवधारणाओं का उपयोग करके सीधे समझाना आसान है (देखें) ). इस विषय में तीन अलग-अलग बिल्डिंग हैं, दो गोलाकार और गोलाकार। प्रत्येक अपार्टमेंट का  संघ है, जो स्वयं सरल परिसर हैं। एफ़िन बिल्डिंग के लिए,  अपार्टमेंट  सरल जटिल  चौकोर  यूक्लिडियन स्थान है $SL_{n}(Q_{p})$ द्वारा $E^{n−1}$-आयामी सरलताएं; जबकि  गोलाकार बिल्डिंगके लिए यह सभी द्वारा निर्मित  सीमित सरल परिसर है $(n − 1)$ अनुरूप टेस्सेलेशन में किसी दिए गए सामान्य शीर्ष के साथ सरलता $(n − 1)!$.

प्रत्येक बिल्डिंग साधारण परिसर है $X$ जिसे निम्नलिखित सिद्धांतों को संतुष्ट करना होगा:


 * $X$अपार्टमेंट का संघ है.
 * कोई भी दो सरलताएँ $X$ सामान्य अपार्टमेंट में समाहित हैं।
 * यदि सिम्प्लेक्स दो अपार्टमेंटों में समाहित है, तो सभी सामान्य बिंदुओं को ठीक करते हुए  से दूसरे की सरल समरूपता होती है।

गोलाकार बिल्डिंग
होने देना $F$ क्षेत्र (गणित) बनें और रहने दें $X$ गैर-तुच्छ वेक्टर उप-स्थानों के शीर्षों के साथ सरल जटिल बनें $E^{n−2}$. दो उपस्थान $V = F^{n}$ और $U_{1}$ जुड़े हुए हैं यदि उनमें से दूसरे का उपसमुच्चय है। वह $k$-का सरलीकरण $X$ के सेट से बनते हैं $U_{2}$ परस्पर जुड़े हुए उपस्थान। लेने से अधिकतम कनेक्टिविटी प्राप्त होती है $k + 1$ उचित गैर-तुच्छ उप-स्थान और संगत $n − 1$-सिंप्लेक्स  ध्वज से मेल खाता है (रैखिक बीजगणित)



कम आयामी सरलताएं कम मध्यस्थ उपस्थानों वाले आंशिक झंडों के अनुरूप होती हैं $(n − 1)$.

अपार्टमेंट को परिभाषित करने के लिए $X$, इसमें फ़्रेम को परिभाषित करना सुविधाजनक है $V$ आधार रूप से ($(0) ⊂ U_{1} ⊂ ··· ⊂ U_{n – 1 } ⊂ V$) इसके प्रत्येक सदिश के अदिश गुणन तक निर्धारित किया जाता है $U_{i}$; दूसरे शब्दों में फ़्रेम -आयामी उप-स्थानों का  सेट है $v_{i}$ ऐसा कि कोई भी $k$ उनमें से  उत्पन्न होता है $k$-आयामी उपस्थान. अब ऑर्डर किया गया फ्रेम $v_{i}$ के माध्यम से  पूर्ण ध्वज को परिभाषित करता है



विभिन्न के पुनर्क्रमण के पश्चात् से $L_{i} = F·v_{i}$ फ़्रेम भी दें, यह देखना सीधा है कि उप-स्थान, के योग के रूप में प्राप्त होते हैं $L_{1}, ..., L_{n}$,  गोलाकार बिल्डिंगके अपार्टमेंट के लिए आवश्यक प्रकार का  सरल परिसर बनाएं। जॉर्डन-होल्डर अपघटन की विशिष्टता को सिद्ध करने के लिए उपयोग किए जाने वाले शास्त्रीय श्रेयर शोधन प्रमेय का उपयोग करके किसी बिल्डिंगके लिए सिद्धांतों को आसानी से सत्यापित किया जा सकता है।

एफ़िन बिल्डिंग
होने देना $K$ के बीच में फ़ील्ड हो $U_{i} = L_{1} ⊕ ··· ⊕ L_{i}$ और इसका p-एडिक नंबर|$p$-अर्थात् पूर्णता $L_{i}$ सामान्य आर्किमिडीयन संपत्ति के संबंध में|गैर-आर्किमिडीयन p-एडिक मानदंड|$p$-अर्थात आदर्श $L_{i}$ पर $Q$ कुछ प्राइम के लिए $p$. होने देना $R$ का उपरिंग हो $K$ द्वारा परिभाषित



कब $Q_{p}$, $R$ रिंग का स्थानीयकरण है $\|x\|_{p}$ पर $p$ और जब $Q$, $R = { x : \|x\|_{p} ≤ 1 }$, p-एडिक पूर्णांक|$p$-एडीआईसी पूर्णांक, यानी बंद करना $K = Q$ में $Z$.

बिल्डिंगके शिखर $X$ हैं $R$-में जाली $K = Q_{p}$, अर्थात। $R$-फॉर्म के उपमॉड्यूल



कहाँ $R = Z_{p}$ का आधार है $V$ ऊपर $K$. गुणक समूह के तत्व द्वारा दो जालकों को समतुल्य कहा जाता है यदि  दूसरे का अदिश गुणज है $Z$ का $K$ (वास्तव में केवल पूर्णांक घातें $p$ उपयोग करने की आवश्यकता है)। दो जाली $Q_{p}$ और $V = K^{n}$ को आसन्न कहा जाता है यदि कुछ जाली के बराबर हो $L = R·v_{1} ⊕ ··· ⊕ R·v_{n}$ बीच मे स्थित $(v_{i})$ और इसकी उदात्तता $K*$: यह संबंध सममित है. वह $k$-का सरलीकरण $X$ के समतुल्य वर्ग हैं $L_{1}$ परस्पर आसन्न जाली, वह $L_{2}$-सरलताएं, पुनः लेबल करने के पश्चात्, जंजीरों से मेल खाती हैं



जहां प्रत्येक क्रमिक भागफल का क्रम होता है $p$. अपार्टमेंट को आधार तय करके परिभाषित किया जाता है $L_{2}$ का $V$ और सभी जालकों को आधार के साथ लेना $L_{1}$ कहाँ $p·L_{1}$ में निहित है $k + 1$ और प्रत्येक प्रविष्टि में समान पूर्णांक जोड़ने तक विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।

परिभाषा के अनुसार प्रत्येक अपार्टमेंट का आवश्यक रूप होता है और उनका संघ संपूर्ण होता है $X$. दूसरा स्वयंसिद्ध श्रेयर शोधन तर्क के प्रकार का अनुसरण करता है। अंतिम स्वयंसिद्ध रूप के परिमित एबेलियन समूहों के आदेशों के आधार पर  सरल गिनती तर्क का पालन किया जाता है



मानक कॉम्पैक्टनेस तर्क यह दर्शाता है $X$ वास्तव में चयन से स्वतंत्र है $K$. विशेष रूप से लेना $(n − 1)$, यह इस प्रकार है कि $X$ गणनीय है. दूसरी ओर, ले रहा है $p·L_{n} ⊂ L_{1} ⊂ L_{2} ⊂ ··· ⊂ L_{n – 1 } ⊂ L_{n}$, परिभाषा यह दर्शाती है $(v_{i})$ बिल्डिंगपर स्वाभाविक सरल कार्रवाई को स्वीकार करता है।

बिल्डिंगअपने शीर्षों पर मूल्यों के साथ लेबलिंग से सुसज्जित है $(p^{a_{i}} v_{i})|undefined$. दरअसल, संदर्भ जाली को ठीक करना $L$, का लेबल $M$ द्वारा दिया गया है



के लिए $k$ पर्याप्त रूप से बड़ा. किसी का शीर्ष $(a_{i})$-सिम्पलेक्स इन $X$ के अलग-अलग लेबल हैं, जो संपूर्ण रूप से चल रहे हैं $Z^{n}$. कोई भी सरल ऑटोमोर्फिज्म $φ$ का $X$ क्रमपरिवर्तन को परिभाषित करता है $π$ का $L + p^{k} ·L_{i} / p^{k} ·L_{i}$ ऐसा है कि $K = Q$. विशेष रूप से के लिए $g$ में $K = Q_{p}$,



इस प्रकार $g$ यदि लेबल सुरक्षित रखता है $g$ में निहित है $GL_{n}(Q_{p})$.

स्वचालितता
टिट्स ने सिद्ध कर दिया कि एफ़िन बिल्डिंग का कोई भी लेबल-संरक्षण ऑटोमोर्फिज्म तत्व से उत्पन्न होता है $Z / nZ$. चूंकि बिल्डिंगकी ऑटोमोर्फिज्म लेबल को क्रमबद्ध करती है, इसलिए प्राकृतिक होमोमोर्फिज्म होता है



की कार्रवाई $label(M) = log_{p} |M / p^{k} L| modulo n$ चक्रीय क्रमपरिवर्तन को जन्म देता है|$n$-चक्र$τ$. बिल्डिंगकी अन्य ऑटोमोर्फिज्म बाहरी स्वचालितता से उत्पन्न होती हैं $(n – 1)$डाइनकिन आरेख के ऑटोमोर्फिज्म से जुड़ा हुआ है। ऑर्थोनॉर्मल आधार के साथ मानक सममित द्विरेखीय रूप लेना $Z / nZ$, जाली को उसकी दोहरी जाली में भेजने वाला नक्शा  ऑटोमोर्फिज्म देता है जिसका वर्ग पहचान है, जो क्रमपरिवर्तन देता है $σ$ जो प्रत्येक लेबल को उसके नकारात्मक मॉड्यूलो पर भेजता है $n$. उपरोक्त समरूपता की छवि किसके द्वारा उत्पन्न होती है $σ$ और $τ$ और डायहेड्रल समूह के लिए समरूp है $Z / nZ$ आदेश की $label(φ(M)) = π(label(M))$; कब $GL_{n}(Q_{p})$, यह संपूर्ण देता है $label(g·M) = label(M) + log_{p} \|det g\|_{p} modulo n$.

अगर $E$ का सीमित गैलोज़ विस्तार है $SL_{n}(Q_{p})$ एवं बिल्डिंग का निर्माण किया गया है $SL_{n}(Q_{p})$ के बजाय $Aut X → S_{n}$, गैलोज़ समूह $GL_{n}(Q_{p})$ बिल्डिंगपर ऑटोमोर्फिज्म द्वारा भी कार्य करेगा।

ज्यामितीय संबंध
एफ़िन बिल्डिंग के संबंध में गोलाकार बिल्डिंग दो बिल्कुल अलग-अलग तरीकों से उत्पन्न होती हैं $X$ के लिए $SL_{n}(Q_{p})$:


 * प्रत्येक शीर्ष का लिंक (ज्यामिति)। $L$ एफ़िन बिल्डिंग में सबमॉड्यूल से मेल खाता है $v_{i}$ परिमित क्षेत्र के अंतर्गत $D_{n}$. यह सिर्फ गोलाकार बिल्डिंगके लिए है $2n$.
 * बिल्डिंग$X$ के लिए गोलाकार बिल्डिंग को जोड़कर संघनन (गणित) किया जा सकता है $n = 3$ अनंत पर सीमा के रूप में (देखें या ).

ब्रुहट-जटिल गुणन वाले स्तन वृक्ष
कब $L$ समूह के लिए बिल्डिंग पर आर्किमिडीयन स्थानीय क्षेत्र है $S_{3}$ जटिल गुणन के साथ  बिल्डिंगकी अतिरिक्त संरचना लगाई जा सकती है। इन्हें सबसे पहले मार्टिन एल. ब्राउन द्वारा प्रस्तुत किया गया था. ये बिल्डिंग द्विघात विस्तार से उत्पन्न होती हैं $L$ सदिश समष्टि पर कार्य करता है $Q_{p}$. जटिल गुणन वाली इन बिल्डिंग को किसी भी वैश्विक क्षेत्र तक बढ़ाया जा सकता है। वे शास्त्रीय मॉड्यूलर वक्र पर हेगनर बिंदुओं पर हेके ऑपरेटरों की कार्रवाई का वर्णन करते हैं $SL_{n}(E)$ साथ ही ड्रिनफेल्ड मॉड्यूलर वक्र पर भी $SL_{n}(Q_{p})$. जटिल गुणन वाली ये बिल्डिंग पूरी तरह से विषय के लिए वर्गीकृत हैं $Gal(E / Q_{p})$ में

वर्गीकरण
टिट्स ने सिद्ध किया कि 2 से अधिक रैंक की सभी अपरिवर्तनीय गोलाकार बिल्डिंग (यानी परिमित वेइल समूह के साथ) सरल बीजगणितीय या शास्त्रीय समूहों से जुड़ी हैं।

समान परिणाम 2 से अधिक आयाम की इरेड्यूसिबल एफ़िन बिल्डिंग के लिए होता है (अनंत पर उनकी बिल्डिंग दो से अधिक रैंक के गोलाकार होती हैं)। निचली श्रेणी या आयाम में, ऐसा कोई वर्गीकरण नहीं है। दरअसल, प्रत्येक घटना संरचना रैंक 2 की गोलाकार बिल्डिंगदेती है (देखें)। ); और बॉलमैन और ब्रिन ने सिद्ध किया कि प्रत्येक 2-आयामी सरल परिसर जिसमें शीर्षों के लिंक  परिमित प्रक्षेप्य विमान के ध्वज परिसर के समरूp होते हैं,  बिल्डिंगकी संरचना होती है, जरूरी नहीं कि शास्त्रीय हो। कई 2-आयामी एफ़िन बिल्डिंग का निर्माण हाइपरबोलिक प्रतिबिंब समूहों या  कक्षीय ्स से जुड़े अन्य अधिक विदेशी निर्माणों का उपयोग करके किया गया है।

टिट्स ने यह भी सिद्ध किया कि हर बार किसी बिल्डिंगका वर्णन द्वारा किया जाता है $SL_{n}(Q_{p})$  समूह में जोड़ी, तो लगभग सभी विषयों में बिल्डिंगकी ऑटोमोर्फिज्म समूह की ऑटोमोर्फिज्म के अनुरूप होती है (देखें) ).

अनुप्रयोग
बिल्डिंग के सिद्धांत का कई अलग-अलग क्षेत्रों में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। सामान्य और स्थानीय क्षेत्रों में रिडक्टिव बीजगणितीय समूहों की संरचना के साथ पहले से उल्लिखित कनेक्शन के अतिरिक्त, बिल्डिंग का उपयोग उनके समूह प्रतिनिधित्व का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। किसी समूह के निर्माण द्वारा उसके निर्धारण पर टिट्स के परिणामों का जॉर्ज मोस्टो और ग्रिगोरी मार्गुलिस के मोस्टो कठोरता प्रमेय और मार्गुलिस अंकगणित के साथ गहरा संबंध है।

असतत गणित में विशेष प्रकार की बिल्डिंग का अध्ययन किया जाता है, और सरल समूहों को चिह्नित करने के लिए ज्यामितीय दृष्टिकोण का विचार परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में बहुत उपयोगी सिद्ध हुआ। गोलाकार या एफ़िन से अधिक सामान्य प्रकार की बिल्डिंग का सिद्धांत अभी भी अपेक्षाकृत अविकसित है, किन्तु इन सामान्यीकृत बिल्डिंग को पहले से ही बीजगणित में केएसी-मूडी बीजगणित | केएसी-मूडी समूहों के निर्माण और टोपोलॉजी में गैर-सकारात्मक रूप से घुमावदार विविध और हाइपरबोलिक समूहों के निर्माण के लिए आवेदन मिल चुके हैं। और ज्यामितीय समूह सिद्धांत।

यह भी देखें

 * ब्यूकेनहौट ज्यामिति
 * कॉक्सेटर समूह
 * (बी, एन) जोड़ी|$L / p·L$ जोड़ा
 * एफ़िन हेके बीजगणित
 * ब्रुहट अपघटन
 * सामान्यीकृत बहुभुज
 * मोस्टो कठोरता
 * कॉक्सेटर कॉम्प्लेक्स
 * वेइल दूरी फ़ंक्शन

बाहरी संबंध

 * Rousseau: Euclidean Buildings