वर्ग (समुच्चय सिद्धांत)

पूरे गणित में सेट सिद्धांत और इसके अनुप्रयोगों में, एक वर्ग सेट (गणित)  (या कभी-कभी अन्य गणितीय वस्तुओं) का एक संग्रह है जिसे स्पष्ट रूप से एक संपत्ति _ (गणित) द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जिसे इसके सभी सदस्य साझा करते हैं। रसेल के विरोधाभास से बचने के लिए कक्षाएं सेट से अलग होने के दौरान सेट-जैसे संग्रह करने के तरीके के रूप में कार्य करती हैं (देखें ). वर्ग की सटीक परिभाषा मूलभूत संदर्भ पर निर्भर करती है। ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत पर काम में, वर्ग की धारणा अनौपचारिक है, जबकि अन्य सेट सिद्धांत, जैसे वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल सेट सिद्धांत, उचित वर्ग की धारणा को स्वयंसिद्ध करते हैं, उदाहरण के लिए, ऐसी संस्थाओं के रूप में जो किसी अन्य इकाई के सदस्य नहीं हैं।.

एक वर्ग जो एक सेट नहीं है (अनौपचारिक रूप से ज़र्मेलो-फ्रेंकेल में) को उचित वर्ग कहा जाता है, और एक वर्ग जो एक सेट होता है उसे कभी-कभी एक छोटी कक्षा कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सभी क्रमिक संख्याओं का वर्ग और सभी सेटों का वर्ग, कई औपचारिक प्रणालियों में उचित वर्ग हैं।

विलार्ड वैन ऑरमैन क्वीन के सेट-सैद्धांतिक लेखन में, वाक्यांश परम वर्ग का उपयोग अक्सर उचित वर्ग के वाक्यांश के बजाय किया जाता है, जिसमें जोर दिया जाता है कि जिन प्रणालियों में वे मानते हैं, कुछ वर्ग सदस्य नहीं हो सकते हैं, और इस प्रकार किसी भी सदस्यता श्रृंखला में अंतिम पद हैं जिसके लिए वे संबंधित होना।

सेट सिद्धांत के बाहर, शब्द वर्ग को कभी-कभी सेट के समानार्थक रूप से प्रयोग किया जाता है। यह उपयोग एक ऐतिहासिक काल से है जहां वर्गों और सेटों को अलग नहीं किया गया था क्योंकि वे आधुनिक सेट-सैद्धांतिक शब्दावली में हैं। 19वीं शताब्दी और उससे पहले की कक्षाओं की कई चर्चाएँ वास्तव में समुच्चयों का उल्लेख कर रही हैं, या शायद यह विचार किए बिना हो सकता है कि कुछ वर्ग समुच्चय बनने में विफल हो सकते हैं।

उदाहरण
किसी दिए गए प्रकार की सभी बीजगणितीय संरचना ओं का संग्रह आमतौर पर एक उचित वर्ग होगा। उदाहरणों में सभी समूहों (गणित) का वर्ग, सभी वेक्टर रिक्त स्थान का वर्ग, और कई अन्य शामिल हैं।  श्रेणी सिद्धांत  में, एक  श्रेणी (गणित)  जिसका ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) का संग्रह एक उचित वर्ग बनाता है (या जिसका  morphism s का संग्रह एक उचित वर्ग बनाता है) को एक  बड़ी श्रेणी  कहा जाता है।

वास्तविक संख्याएँ वस्तुओं का एक उचित वर्ग है जिसमें एक क्षेत्र (गणित)  के गुण होते हैं।

सेट थ्योरी के भीतर, सेट के कई संग्रह उचित वर्ग बन जाते हैं। उदाहरणों में सभी सेटों का वर्ग, सभी क्रमिक संख्याओं का वर्ग और सभी कार्डिनल संख्याओं का वर्ग शामिल है।

एक वर्ग को उचित साबित करने का एक तरीका यह है कि इसे सभी क्रमिक संख्याओं के वर्ग के साथ आपत्ति में रखा जाए। इस पद्धति का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए, सबूत में कि कोई मुक्त जाली नहीं है # पूर्ण मुक्त जाली पूर्ण जाली # तीन या अधिक जेनरेटर (गणित) पर मुक्त पूर्ण जाली।

विरोधाभास
सहज समुच्चय सिद्धांत#विरोधाभास को असंगत मौन धारणा  के संदर्भ में समझाया जा सकता है कि सभी वर्ग समुच्चय हैं। कठोर नींव के साथ, ये विरोधाभास सबूत (गणित) का सुझाव देते हैं कि कुछ वर्ग उचित हैं (यानी, कि वे सेट नहीं हैं)। उदाहरण के लिए, रसेल का विरोधाभास एक प्रमाण का सुझाव देता है कि सभी सेटों का वर्ग जिसमें स्वयं शामिल नहीं है, उचित है, और  बुराली-फोर्टी विरोधाभास  बताता है कि सभी क्रमिक संख्याओं का वर्ग उचित है। वर्गों के साथ विरोधाभास उत्पन्न नहीं होता है क्योंकि कक्षाओं वाले वर्गों की कोई धारणा नहीं है। अन्यथा, कोई, उदाहरण के लिए, उन सभी वर्गों के वर्ग को परिभाषित कर सकता है जिनमें स्वयं शामिल नहीं है, जो कक्षाओं के लिए रसेल विरोधाभास का कारण बन जाएगा। दूसरी ओर एक कांग्लोमरेट (श्रेणी सिद्धांत) में सदस्यों के रूप में उचित वर्ग हो सकते हैं, हालांकि कांग्लोमेरेट्स का सिद्धांत अभी तक अच्छी तरह से स्थापित नहीं है।

औपचारिक सेट सिद्धांतों में कक्षाएं
ZF सेट सिद्धांत कक्षाओं की धारणा को औपचारिक रूप नहीं देता है, इसलिए कक्षाओं के साथ प्रत्येक सूत्र को कक्षाओं के बिना एक सूत्र के रूप में वाक्य-विन्यास से कम किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, कोई सूत्र को कम कर सकता है $$A = \{x\mid x=x \}$$ को $$\forall x(x \in A \leftrightarrow x=x)$$. शब्दार्थ की दृष्टि से, एक धातुभाषा में, वर्गों को अच्छी तरह से निर्मित सूत्र के तुल्यता वर्गों के रूप में वर्णित किया जा सकता है: यदि $$\mathcal A$$ एक संरचना (गणितीय तर्क)  है जो ZF की व्याख्या करता है, फिर ऑब्जेक्ट लैंग्वेज क्लास-बिल्डर एक्सप्रेशन $$\{x \mid \phi \}$$ में व्याख्या की जाती है $$\mathcal A$$ के डोमेन से सभी तत्वों के संग्रह द्वारा $$\mathcal A$$ जिस पर $$\lambda x\phi$$ धारण करता है; इस प्रकार, वर्ग को समतुल्य सभी विधेय के समुच्चय के रूप में वर्णित किया जा सकता है $$\phi$$ (जो भी शामिल है $$\phi$$ अपने आप)। विशेष रूप से, कोई भी सभी सेटों के वर्ग को समतुल्य सभी विधेय के सेट के साथ पहचान सकता है $$x = x.$$ क्योंकि ZF के सिद्धांत में कक्षाओं की कोई औपचारिक स्थिति नहीं है, ZF के सिद्धांत तुरंत कक्षाओं पर लागू नहीं होते हैं। हालांकि, अगर एक दुर्गम कार्डिनल  $$\kappa$$ माना जाता है, तो छोटे रैंक के सेट ZF (एक  ग्रोथेंडिक ब्रह्मांड ) का एक मॉडल बनाते हैं, और इसके सबसेट को वर्गों के रूप में माना जा सकता है।

जेडएफ में, एक समारोह (गणित)  की अवधारणा को कक्षाओं में भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। एक वर्ग कार्य सामान्य अर्थों में एक कार्य नहीं है, क्योंकि यह एक सेट नहीं है; बल्कि यह एक सूत्र है $$\Phi(x,y)$$ संपत्ति के साथ कि किसी भी सेट के लिए $$x$$ एक से अधिक सेट नहीं है $$y$$ ऐसी जोड़ी $$(x,y)$$ संतुष्ट $$\Phi.$$ उदाहरण के लिए, क्लास फ़ंक्शन मैपिंग प्रत्येक सेट को उसके उत्तराधिकारी को सूत्र के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$y = x \cup \{x\}.$$ तथ्य यह है कि आदेशित जोड़ी $$(x,y)$$ संतुष्ट $$\Phi$$ आशुलिपि संकेतन के साथ व्यक्त किया जा सकता है $$\Phi(x) = y.$$ वॉन न्यूमैन-बर्नेज़-गोडेल स्वयंसिद्ध (एनबीजी) द्वारा एक और दृष्टिकोण लिया जाता है; इस सिद्धांत में कक्षाएं मूल वस्तुएं हैं, और एक सेट को तब एक वर्ग के रूप में परिभाषित किया जाता है जो किसी अन्य वर्ग का एक तत्व है। हालांकि, एनबीजी के वर्ग अस्तित्व स्वयंसिद्धों को प्रतिबंधित किया गया है ताकि वे सभी वर्गों के बजाय केवल सेटों पर मात्रा निर्धारित कर सकें। यह NBG को ZF का रूढ़िवादी विस्तार  बनाता है।

मोर्स-केली सेट सिद्धांत एनबीजी की तरह मूल वस्तुओं के रूप में उचित वर्गों को स्वीकार करता है, लेकिन इसके वर्ग अस्तित्व स्वयंसिद्धों में सभी उचित वर्गों पर परिमाणीकरण की अनुमति भी देता है। यह एमके को एनबीजी और जेडएफ दोनों से सख्ती से मजबूत बनाता है।

अन्य सेट सिद्धांतों में, जैसे नई नींव  या  semiset ्स का सिद्धांत, उचित वर्ग की अवधारणा अभी भी समझ में आती है (सभी वर्ग सेट नहीं हैं) लेकिन सेटहुड का मानदंड सबसेट के तहत बंद नहीं है। उदाहरण के लिए, सार्वभौमिक समुच्चय वाले किसी समुच्चय सिद्धांत में उचित वर्ग होते हैं जो समुच्चयों के उपवर्ग होते हैं।

संदर्भ

 * Raymond M. Smullyan, Melvin Fitting, 2010, Set Theory And The Continuum Problem. Dover Publications ISBN 978-0-486-47484-7.
 * Monk Donald J., 1969, Introduction to Set Theory. McGraw-Hill Book Co. ISBN 9780070427150.
 * Raymond M. Smullyan, Melvin Fitting, 2010, Set Theory And The Continuum Problem. Dover Publications ISBN 978-0-486-47484-7.
 * Monk Donald J., 1969, Introduction to Set Theory. McGraw-Hill Book Co. ISBN 9780070427150.