एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित

कार्यात्मक विश्लेषण में, एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित एक हिल्बर्ट स्थान पर प्रचालकों का एक वॉन न्यूमैन बीजगणित होता है जिसमें सभी तत्व विनिमेय होते है।

एक एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित का प्रोटोटाइपिक उदाहरण हिल्बर्ट स्थान है L2(X, μ) पर प्रचालकों के बीजगणित के रूप में X पर μ a σ-परिमित माप के लिए बीजगणित L∞(X, μ) होता है: प्रत्येक f ∈ L∞(X, μ) की पहचान गुणन संकारक से की जाती है


 * $$ \psi \mapsto f \psi. $$

अलग-अलग स्थान हिल्बर्ट स्थान पर एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित विशेष रूप से महत्वपूर्ण होते है, खासकर जब से वे सरल आक्रमणकारियों द्वारा पूरी तरह से वर्गीकृत होते है।

चूंकि गैर-वियोज्य हिल्बर्ट स्थान पर वॉन न्यूमैन बीजगणित के लिए एक सिद्धांत है (और वास्तव में उस स्थिति में बहुत सामान्य सिद्धांत अभी भी है) अलग-अलग स्थानों पर बीजगणित के लिए सिद्धांत अधिक सरल होते है और केवल गणित या भौतिकी के अन्य क्षेत्रों के लिए अधिकांश अनुप्रयोग वियोज्य हिल्बर्ट स्थान का उपयोग करते है। ध्यान दें कि यदि माप स्थान (X, μ) एक मानक माप स्थान है (अर्थात X - N कुछ शून्य सेट N के लिए एक मानक बोरेल स्थान है और μ एक σ-सीमित माप है) तो L2(X, μ) वियोज्य है।

वर्गीकरण
क्रमविनिमेय वॉन न्यूमैन बीजगणित और माप स्थान के बीच संबंध क्रमविनिमेय सी*- बीजगणित और स्थानीय रूप से हौसडॉर्फ स्थान के बीच के समान होता है। एक वियोज्य हिल्बर्ट स्थान पर प्रत्येक विनिमेय वॉन न्यूमैन बीजगणित कुछ मानक माप स्थान (X, μ) के लिए L∞(X) के लिए समरूपी होते है और इसके विपरीत, प्रत्येक मानक माप स्थान X के लिए, L∞(X) एक वॉन न्यूमैन बीजगणित है। कहा गया है कि यह समरूपता एक बीजगणितीय समरूपता होती है। वास्तव में हम इसे और अधिक त्रुटिहीन रूप से इस प्रकार बता सकते है:

प्रमेय वियोज्य हिल्बर्ट स्थान पर संचालकों का कोई भी एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित निम्नलिखित में से ठीक एक के लिए *-समरूपी होता है कमजोर प्रचालक टोपोलॉजी को संरक्षित करने के लिए समरूपता को चुना जा सकता है।
 * $$\ell^\infty(\{1,2, \ldots, n\}), \quad n \geq 1 $$
 * $$\ell^\infty(\mathbf{N}) $$
 * $$L^\infty([0,1]) $$
 * $$L^\infty([0,1] \cup \{1,2, \ldots, n\}), \quad n \geq 1 $$
 * $$L^\infty([0,1] \cup \mathbf{N}). $$

उपरोक्त सूची में, अंतराल [0,1] में लेबेस्ग माप होती है और सेट {1, 2, ..., n} और 'N' में गिनती माप होती है। यह वर्गीकरण अनिवार्य रूप से वियोज्य माप बीजगणित के लिए महारम के वर्गीकरण प्रमेय का एक रूप होता है। महारम के वर्गीकरण प्रमेय का संस्करण जो सबसे अधिक उपयोगी होते है।

यद्यपि प्रत्येक मानक माप स्थान उपरोक्त में से किसी एक के लिए समरूपी होता है, एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित A की स्थिति में माप स्थान के लिए अधिक विहित विकल्प होते है: सभी प्रोजेक्टरों का सेट एक होता है $$\sigma$$-पूर्ण बूलियन बीजगणित, जो एक बिंदु-मुक्त है $$\sigma$$-बीजगणित। विशेष स्थिति में $$A=L^\infty(X,\mathfrak{A},\mu)$$ एक सार पुनर्प्राप्त करता है $$\sigma$$-बीजगणित $$\mathfrak{A}/\{A \mid \mu(A)=0\}$$. इस बिंदु मुक्त दृष्टिकोण को गेलफैंड के लिए एक द्वैत प्रमेय अनुरूप में बदल दिया जाता है - एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित की श्रेणी और अमूर्त की श्रेणी के बीच द्वैत $$\sigma$$-बीजगणित होती है।


 * चलो μ और ν गैर-परमाणु उपाय होते है | मानक बोरेल स्थान X और Y पर क्रमशः गैर-परमाणु संभाव्यता उपाय होते है। फिर X का μ उपसमुच्चय N, Y का ν उपसमुच्चय M और बोरेल समाकृतिकता है


 * $$ \phi: X \setminus N \rightarrow Y \setminus M, \quad $$
 * जो μ को ν में ले जाता है।

ध्यान दें कि उपरोक्त परिणाम में, परिणाम कार्य करने के लिए माप शून्य के सेट को दूर करना आवश्यक होता है।

उपरोक्त प्रमेय में, कमजोर प्रचालक टोपोलॉजी को संरक्षित करने के लिए समरूपता की आवश्यकता होती है। जैसा कि, बीजगणित L के लिए∞(X, μ), निम्नलिखित टोपोलॉजी मानक बाध्य सेटों पर सहमत है:


 * 1) L∞(X, μ) पर कमजोर प्रचालक टोपोलॉजी,
 * 2) L∞(X, μ) पर अति कमजोर प्रचालक टोपोलॉजी
 * 3) L∞(X, μ) पर कमजोर अभिसरण की टोपोलॉजी को L1 का दोहरा स्थान माना जाता है (X, μ)

चूंकि, एक एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित A के लिए एक वियोज्य हिल्बर्ट स्थान पर प्रचालकों के बीजगणित के रूप में A की प्राप्ति अत्यधिक गैर-अद्वितीय है। A के प्रचालक बीजगणित की प्राप्ति का पूर्ण वर्गीकरण वर्णक्रमीय बहुलता सिद्धांत द्वारा दिया गया है और इसके लिए प्रत्यक्ष इंटीग्रल के उपयोग की आवश्यकता होती है।

स्थानिक समरूपता
प्रत्यक्ष अभिन्न सिद्धांत का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि L∞(X, μ) के एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित L2(X, μ) पर प्रचालकों के रूप में कार्य करता है सभी अधिकतम एबेलियन होते है। इसका मतलब यह है कि उन्हें उचित रूप से बड़े एबेलियन बीजगणित तक नहीं बढ़ाया जा सकता है। उन्हें अधिकतम एबेलियन स्व-आसन्न बीजगणित (या M.A.S.A.) के रूप में भी जाना जाता है। उनका वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाने वाला एक अन्य वाक्यांश एकसमान बहुलता 1 का एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित होता है, यह विवरण केवल नीचे वर्णित बहुलता सिद्धांत के संबंध में समझ में आता है।

वॉन न्यूमैन बीजगणित A पर H, B पर K स्थानिक रूप से समरूपी (या एकात्मक रूप से समरूपी) होते है यदि और केवल अगर एक एकात्मक प्रचालक U: H → K होता है


 * $$ U A U^* = B.$$

विशेष रूप से स्थानिक रूप से समरूपी वॉन न्यूमैन बीजगणितीय रूप से समरूपी होते है।

स्थानिक आइसोमोर्फिज्म तक पृथक हिल्बर्ट स्थान H पर सबसे सामान्य एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित का वर्णन करने के लिए, हमें H के प्रत्यक्ष अभिन्न अपघटन को संदर्भित करने की आवश्यकता होती है। इस अपघटन के विवरण पर एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित के प्रत्यक्ष अभिन्न अपघटन में चर्चा की गई है। विशेष रूप से:

प्रमेय कोई भी एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित एक वियोज्य हिल्बर्ट स्थान H पर L∞(X, μ) के लिए स्थानिक रूप से समरूपी होते है


 * $$ \int_X^\oplus H(x) \, d \mu(x) $$

हिल्बर्ट स्थान के कुछ मापने योग्य निकटतम के लिए है {Hx}x ∈ X

ध्यान दें कि एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित के लिए इस तरह के प्रत्यक्ष अभिन्न स्थानों पर कार्य करना, कमजोर प्रचालक टोपोलॉजी की समानता, अति कमजोर टोपोलॉजी और कमजोर टोपोलॉजी सेट पर अभी भी कायम है।

समरूपता का बिंदु और स्थानिक अहसास
एर्गोडिक सिद्धांत में कई समस्याएं एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित के समरूपता के बारे में समस्याओं को कम करती है। इस संबंध में, निम्नलिखित परिणाम उपयोगी है:

प्रमेय मान लेते है μ, ν क्रमशः X, Y पर मानक उपाय है। फिर कोई समावेशी समरूपता है


 * $$ \Phi: L^\infty(X, \mu) \rightarrow L^\infty(Y, \nu) $$

जो कमजोर है*- द्विसतत निम्नलिखित अर्थों में एक बिंदु परिवर्तन से मेल खाता है: Y X और N के बोरेल नल उपसमुच्चय और एक बोरेल समरूपतावाद है


 * $$ \eta: X \setminus M \rightarrow Y \setminus N $$

ऐसा है कि
 * 1) η माप μ को Y पर एक माप μ' में ले जाता है जो ν के बराबर होता है इस अर्थ में कि μ' और ν में माप शून्य के समान सेट होता है,
 * 2) η परिवर्तन Φ का एहसास करता है, अर्थात


 * $$ \Phi (f) = f \circ \eta^{-1}. $$

ध्यान दें कि सामान्यतः हम η से μ को ν में ले जाने की उम्मीद नही करते है।

अगला परिणाम एकात्मक परिवर्तनों से संबंधित होता है जो एबेलियन वॉन न्यूमैन बीजगणित के बीच एक कमजोर*-द्विनिरंतर समरूपता को प्रेरित करता है।

प्रमेय मान लेते है μ, ν X, Y मानक उपाय होते है


 * $$ H = \int_X^\oplus H_x d \mu(x), \quad K = \int_Y^\oplus K_y d \nu(y) $$

हिल्बर्ट स्थान के औसत दर्जे के निकटतम के लिए है {Hx}x ∈ X, {Ky}y ∈ Y. यदि U : H → K एक एकात्मक है जैसे कि


 * $$ U \, L^\infty(X, \mu) \, U^* = L^\infty(Y, \nu) $$

तब लगभग हर जगह परिभाषित बोरेल बिंदु परिवर्तन होता है η : X → Y जैसा कि पिछले प्रमेय और एक औसत दर्जे का निकटतम {Ux}x ∈ X एकात्मक प्रचालक है


 * $$ U_x: H_x \rightarrow K_{\eta(x)} $$

ऐसा है कि


 * $$ U \bigg(\int_X^\oplus \psi_x d \mu(x) \bigg)= \int_Y^\oplus \sqrt{ \frac{d (\mu \circ \eta^{-1})}{d \nu}(y)} \ U_{\eta^{-1}(y)} \bigg(\psi_{\eta^{-1}(y)}\bigg) d \nu(y),$$

जहां वर्गमूल चिह्न में व्यंजक ν के संबंध में μ η−1 का रैडॉन-निकोडीम व्युत्पन्न है। यह कथन प्रत्यक्ष इंटीग्रल पर लेख में बताए गए विकर्ण योग्य प्रचालकों के बीजगणित को चित्रित करने वाले प्रमेय के साथ ऊपर बताए गए समरूपता के बिंदु प्राप्ति पर प्रमेय के संयोजन का अनुसरण करता है।

संदर्भ

 * J. Dixmier, Les algèbres d'opérateurs dans l'espace Hilbertien, Gauthier-Villars, 1969. See chapter I, section 6.
 * Masamichi Takesaki ''Theory of Operator Algebras I,II,III", encyclopedia of mathematical sciences, Springer-Verlag, 2001–2003 (the first volume was published 1979 in 1. Edition) ISBN 3-540-42248-X