डौबेकीस वेवलेट

इंग्रिड डौबेकीस के काम के आधार पर डौबेकीस तरंगिका, असतत तरंगिका रूपांतरण को परिभाषित करने वाले लंबकोणीय तरंगिका का एक वर्ग है और कुछ दिए गए समर्थन (गणित) के लिए लुप्त होने वाले क्षण (गणित) की अधिकतम संख्या की विशेषता है। इस वर्ग के प्रत्येक तरंगिका प्रकार के साथ, एक सोपानी प्रकार्य होता है (जिसे 'उत्पादक तरंगिका' कहा जाता है) जो एक लंबकोणीय बहु विभेदन विश्लेषण विश्लेषण उत्पन्न करता है।

गुण
सामान्यतः डौबेकीस तरंगिका को दी गई समर्थन चौड़ाई (गुणांकों की संख्या) 2A के लिए लुप्त होने वाले क्षणों की उच्चतम संख्या A के लिए चुना जाता है, (यह सबसे ठीक चिकनाई नहीं है)। उपयोग में दो नामकरण योजनाएं हैं, डीएन लंबाई या नल की संख्या का उपयोग कर रहा है, और डीबीए लुप्त होने वाले क्षणों की संख्या का चर्चा कर रहा है। तो डी4 और डीबी 2 एक ही तरंगिका रूपांतरण हैं।

क्षण और लंबकोणीयता स्थितियों के लिए बीजगणितीय समीकरणों के 2 A−1 के बीच संभावित हलों में से, वह चुना जाता है जिसके सोपानी निस्यंदक में परम चरण होता तीव्र तरंगिका रूपांतरण को तीव्र तरंगिका रूपांतरण का उपयोग करके व्यवहार में लाना भी सरल है। डौबेकीस तरंगिका का व्यापक रूप से समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को हल करने में उपयोग किया जाता है, उदा. संकेत या आशिक समस्याओं, संकेत असांतत्य आदि की स्व-समानता गुण।

परिणामी सोपानी और तरंगिका प्रकार्य के संदर्भ में डौबेकीस तरंगिकाओं को परिभाषित नहीं किया गया है; वस्तुतः, उन्हें बंद अभिव्यक्ति के रूप में लिखना संभव नहीं है। नीचे दिए गए ग्राफ़ कैस्केड एल्गोरिदम का उपयोग करके उत्पन्न होते हैं, एक संख्यात्मक तकनीक जिसमें उलटा-रूपांतरण [1 0 0 0 0 ...] उचित संख्या में होता है।

ध्यान दें कि यहां दिखाया गया स्पेक्ट्रा उच्च और निम्न पास फिल्टर की आवृत्ति प्रतिक्रिया नहीं है, बल्कि सोपानी (नीला) और तरंगिका (लाल) प्रकार्य के निरंतर फूरियर रूपांतरणों के आयाम हैं।

डौबेकीस लंबकोणीय तरंगिका डी4–डी40 सम्मान। db1-db10 सामान्यतः उपयोग किए जाते हैं। सूचकांक संख्या गुणांकों की संख्या N को संदर्भित करती है। प्रत्येक तरंगिका में कई शून्य क्षण या लुप्त होने वाले क्षण होते हैं जो गुणांक की आधी संख्या के बराबर होते हैं। उदाहरण के लिए, डी4 में एक लुप्त होने वाला क्षण होता है, डी4 में दो होते हैं, आदि। लुप्त होने वाला क्षण तरंगों की क्षमता को एक संकेत में बहुपद व्यवहार या सूचना का प्रतिनिधित्व करने के लिए सीमित करता है। उदाहरण के लिए, डी4, एक लुप्त क्षण के साथ, सरलता से एक गुणांक, या निरंतर संकेत घटकों के बहुपदों को कूटबद्ध करता है। डी4 बहुपदों को दो गुणांकों के साथ कूटबद्ध करता है, अर्थात स्थिर और रेखीय संकेत घटक; और D6 3-बहुपद, यानी स्थिर, रैखिक और द्विघात बहुपद संकेत घटकों को कूटबद्ध करता है। संकेतों को एन्कोड करने की यह क्षमता फिर भी स्केल लीकेज की घटना और शिफ्ट-इनवेरियन की कमी के अधीन है, जो परिवर्तन के आवेदन के दौरान असतत शिफ्टिंग ऑपरेशन (नीचे) से बढ़ती है। उप-अनुक्रम जो रैखिक, द्विघात बहुपद (उदाहरण के लिए) संकेत घटकों का प्रतिनिधित्व करते हैं, उन्हें परिवर्तन द्वारा अलग-अलग तरीके से व्यवहार किया जाता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि अंक अनुक्रम में सम-या विषम-संख्या वाले स्थानों के साथ संरेखित हैं या नहीं। अनुवाद संबंधी व्युत्क्रम | शिफ्ट-इनवेरिएंस की महत्वपूर्ण संपत्ति की कमी के कारण, शिफ्ट इनवेरिएंट तरंगिका रूपांतरण | शिफ्ट-इनवेरिएंट (असतत) तरंगिका रूपांतरण के कई अलग-अलग संस्करणों का विकास हुआ है।

निर्माण
सोपानी सीक्वेंस (लो-पास फिल्टर) और तरंगिका सीक्वेंस (बैंड-पास फिल्टर) (इस निर्माण के विवरण के लिए लंबकोणीय तरंगिका देखें) दोनों को यहां 2 के बराबर योग और 2 वर्गों के योग के लिए सामान्यीकृत किया जाएगा। कुछ अनुप्रयोगों में, वे योग करने के लिए सामान्यीकृत हैं $$\sqrt{2}$$, ताकि दोनों अनुक्रम और गुणांक की एक समान संख्या द्वारा उनमें से सभी बदलाव एक दूसरे के लिए असामान्य हों।

सन्निकटन क्रम A के साथ एक लंबकोणीय असतत तरंगिका के सोपानी अनुक्रम के लिए सामान्य प्रतिनिधित्व का उपयोग करना,


 * $$a(Z)=2^{1-A}(1+Z)^A p(Z),$$ N = 2A के साथ, p के वास्तविक गुणांक हैं, p(1) = 1 और deg(p) = A − 1, ओर्थोगोनलिटी स्थिति को इस प्रकार लिख सकते हैं


 * $$a(Z)a \left (Z^{-1} \right )+a(-Z)a \left (-Z^{-1} \right )=4,$$ या समान रूप से


 * $$(2-X)^A P(X)+X^A P(2-X)=2^A \qquad (*),$$

लॉरेंट-बहुपद के साथ


 * $$X:= \frac{1}{2}\left (2-Z-Z^{-1} \right )$$ सभी सममित अनुक्रम उत्पन्न करना और $$X(-Z)=2-X(Z).$$ इसके अलावा, P(X) सममित लॉरेंट-बहुपद के लिए खड़ा है


 * $$P(X(Z))=p(Z)p \left ( Z^{-1} \right ).$$

तब से


 * $$X(e^{iw})=1-\cos(w)$$ :$$p(e^{iw})p(e^{-iw})=|p(e^{iw})|^2$$

पी सेगमेंट [0,2] पर गैर-नकारात्मक मान लेता है।

समीकरण (*) में प्रत्येक ए के लिए एक न्यूनतम हल है, जिसे एक्स में ट्रंकेटेड पावर श्रृंखला की अंगूठी में विभाजित करके प्राप्त किया जा सकता है,


 * $$P_A(X)=\sum_{k=0}^{A-1} \binom{A+k-1}{A-1} 2^{-k}X^k.$$

जाहिर है, इसका (0,2) सकारात्मक मान है।

(*) के लिए सजातीय समीकरण एक्स = 1 के बारे में विरोधी सममित है और इस प्रकार सामान्य हल है


 * $$X^A(X-1)R \left ((X-1)^2 \right ),$$

आर के साथ वास्तविक गुणांकों के साथ कुछ बहुपद। वह राशि


 * $$P(X)=P_A(X)+X^A(X-1)R \left ((X-1)^2 \right )$$

अंतराल पर गैर-ऋणात्मक होगा [0,2] आर के गुणांकों पर रैखिक प्रतिबंधों के एक सेट में अनुवाद करता है। अंतराल पर पी के मान [0,2] कुछ मात्रा से बंधे हैं $$4^{A-r},$$ अधिकतम असमानता स्थितियों के साथ एक रेखीय कार्यक्रम में परिणाम को अधिकतम करना।

हल करना


 * $$P(X(Z))=p(Z)p \left (Z^{-1} \right)$$ पी के लिए वर्णक्रमीय गुणनखंड सम्मान नामक तकनीक का उपयोग करता है। फेजेर-रिज्ज़-एल्गोरिदम। बहुपद P(X) रैखिक गुणनखंडों में विभक्त हो जाता है


 * $$P(X)=(X-\mu_1)\cdots(X-\mu_N), \qquad N=A+1+2\deg(R).$$ प्रत्येक रैखिक कारक एक लॉरेंट-बहुपद का प्रतिनिधित्व करता है


 * $$X(Z)-\mu =-\frac{1}{2}Z+1-\mu-\frac12Z^{-1}$$ जिसे दो रैखिक कारकों में विभाजित किया जा सकता है। कोई दो रैखिक कारकों में से किसी एक को पी (जेड) को असाइन कर सकता है, इस प्रकार कोई 2 प्राप्त करता हैN संभव हल। परम चरण के लिए एक वह चुनता है जिसमें पी (जेड) की सभी जटिल जड़ें अंदर या यूनिट सर्कल पर होती हैं और इस प्रकार वास्तविक होती हैं।

डौबेकीस तरंगिका रूपांतरण के लिए, रैखिक फिल्टर की एक जोड़ी का उपयोग किया जाता है। जोड़ी का प्रत्येक निस्यंदक एक चतुर्भुज दर्पण निस्यंदक होना चाहिए। रैखिक फिल्टर के गुणांक को हल करना $$c_i$$ चतुर्भुज दर्पण निस्यंदक संपत्ति का उपयोग क्रम 4 के निस्यंदक के लिए गुणांक मानों के लिए निम्न हल में होता है।


 * $$c_0 = \frac{1+\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \quad c_1 = \frac{3+\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \quad c_2 = \frac{3-\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}, \quad c_3 = \frac{1-\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}.$$

सबसे कम सन्निकटन क्रम का सोपानी क्रम
नीचे डी4-20 के लिए सोपानी प्रकार्य के गुणांक हैं। तरंगिका गुणांक तरंगिका # सोपानी प्रकार्य गुणांक के क्रम को उलट कर और फिर प्रत्येक दूसरे के चिह्न को उलट कर प्राप्त किया जाता है, (यानी, डी 4 तरंगिका $$\approx$$ {-0.1830127, -0.3169873, 1.1830127, -0.6830127})। गणितीय रूप से, ऐसा दिखता है $$b_k = (-1)^k a_{N-1-k} $$ जहाँ k गुणांक सूचकांक है, b तरंगिका अनुक्रम का गुणांक है और सोपानी अनुक्रम का गुणांक है। N तरंगिका सूचकांक है, अर्थात, डी4 के लिए 2।



निर्माण के कुछ हिस्सों का उपयोग बायोरथोगोनल कोहेन-डौबेचीज-फेउवेऊ तरंगिका (सीडीएफ) को प्राप्त करने के लिए भी किया जाता है।

कार्यान्वयन
जबकि Mathematica जैसे सॉफ़्टवेयर सीधे डौबेकीस wavelets को सपोर्ट करते हैं MATLAB में एक बुनियादी कार्यान्वयन संभव है (इस मामले में, डौबेकीस 4)। परिमित लंबाई संकेतों की समस्या को संभालने के लिए यह कार्यान्वयन आवधिकता का उपयोग करता है। अन्य, अधिक परिष्कृत तरीके उपलब्ध हैं, लेकिन अक्सर इनका उपयोग करना आवश्यक नहीं होता है क्योंकि यह केवल रूपांतरित संकेत के बहुत सिरों को प्रभावित करता है। आवधिकता MATLAB वेक्टर नोटेशन में सीधे आगे के परिवर्तन में पूरी की जाती है, और उलटा परिवर्तन का उपयोग करके पूरा किया जाता है  समारोह:

रूपांतरण, डी 4
यह माना जाता है कि तत्वों की सम संख्या वाले स्तंभ सदिश S को विश्लेषण किए जाने वाले संकेत के रूप में पूर्व-परिभाषित किया गया है। ध्यान दें कि डी4 गुणांक [1 + हैं$\sqrt{3}$, 3 + $\sqrt{3}$, 3 − $\sqrt{3}$, 1 − $\sqrt{3}$]/4.

द्विपद-QMF
1990 में अली अकांसु द्वारा यह दिखाया गया था कि द्विपद QMF (द्विपद QMF) डौबेकीस तरंगिका निस्यंदक के समान है, और इसके प्रदर्शन को असतत-समय संकेत प्रोसेसिंग परिप्रेक्ष्य से ज्ञात उप-स्थान हलों में स्थान दिया गया था। यह द्विपद गुणांक और हर्मिट बहुपदों पर पूर्व कार्य का विस्तार था, जिसने 1987 में संशोधित हर्मिट परिवर्तन (एमएचटी) के विकास का नेतृत्व किया।  द्विपद-क्यूएमएफ फिल्टर के परिमाण वर्ग कार्य दो-बैंड पूर्ण पुनर्निर्माण क्यूएमएफ (पीआर-क्यूएमएफ) डिजाइन फॉर्मूलेशन में अद्वितीय अधिकतम फ्लैट कार्य हैं जो निरंतर डोमेन में तरंगिका नियमितता से संबंधित हैं।

यह भी देखें

 * फास्ट तरंगिका ट्रांसफॉर्म

बाहरी संबंध

 * इंग्रिड डौबेकीस: Ten Lectures on Wavelets, SIAM 1992.
 * Proc. 1st NJIT Symposium on Wavelets, Subbands and Transforms, April 1990.
 * A.N. Akansu, Filter Banks and Wavelets in Signal Processing: A Critical Review, Proc. SPIE Video Communications and PACS for Medical Applications (Invited Paper), pp. 330-341, vol. 1977, Berlin, Oct. 1993.
 * Carlos Cabrelli, Ursula Molter: "Generalized Self-similarity", Journal of Mathematical Analysis and Applications, 230: 251–260, 1999.
 * Hardware implementation of wavelets
 * I. Kaplan, The डौबेकीस डी4 Wavelet Transform.
 * Jianhong (Jackie) Shen and Gilbert Strang, Applied and Computational Harmonic Analysis, 5(3), Asymptotics of डौबेकीस Filters, Scaling Functions, and Wavelets.
 * I. Kaplan, The डौबेकीस डी4 Wavelet Transform.
 * Jianhong (Jackie) Shen and Gilbert Strang, Applied and Computational Harmonic Analysis, 5(3), Asymptotics of डौबेकीस Filters, Scaling Functions, and Wavelets.
 * Jianhong (Jackie) Shen and Gilbert Strang, Applied and Computational Harmonic Analysis, 5(3), Asymptotics of डौबेकीस Filters, Scaling Functions, and Wavelets.