खुला सेट

गणित में, खुले सेट वास्तविक रेखा में खुले अंतरालों का सामान्यीकरण हैं।

एक मीट्रिक स्थान में (किसी भी दो बिंदुओं के बीच परिभाषित एक मीट्रिक (गणित) के साथ एक सेट (गणित)), खुले सेट वे सेट होते हैं, जो हर बिंदु के साथ होते हैं $P$, वे सभी बिंदु शामिल करें जो पर्याप्त रूप से निकट हैं $P$ (अर्थात, सभी बिंदु जिनकी दूरी $P$ के आधार पर कुछ मूल्य से कम है $P$).

अधिक आम तौर पर, एक खुले सेट को किसी दिए गए सेट के सबसेट के दिए गए संग्रह के सदस्यों के रूप में परिभाषित करता है, एक संग्रह जिसमें इसके सदस्यों के प्रत्येक संघ (सेट सिद्धांत) को शामिल करने की संपत्ति होती है, इसके सदस्यों के प्रत्येक परिमित चौराहे (सेट सिद्धांत), खाली सेट, और पूरा सेट ही। एक सेट जिसमें ऐसा संग्रह दिया जाता है उसे टोपोलॉजिकल स्पेस कहा जाता है, और संग्रह को टोपोलॉजी (संरचना) कहा जाता है। ये स्थितियाँ बहुत ढीली हैं, और खुले सेटों के चुनाव में अत्यधिक लचीलेपन की अनुमति देती हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक उपसमुच्चय खुला ([[असतत टोपोलॉजी]]) हो सकता है, या कोई भी सेट खुला नहीं हो सकता है, केवल स्थान और खाली सेट (अविवेकी टोपोलॉजी) को छोड़कर।

व्यवहार में, हालांकि, खुले सेट आमतौर पर दूरी की धारणा के बिना, मीट्रिक रिक्त स्थान के समान निकटता की धारणा प्रदान करने के लिए चुने जाते हैं। विशेष रूप से, एक टोपोलॉजी निरंतर कार्य, जुड़ा हुआ स्थान और सघनता जैसे गुणों को परिभाषित करने की अनुमति देती है, जिन्हें मूल रूप से दूरी के माध्यम से परिभाषित किया गया था।

किसी भी दूरी के बिना एक टोपोलॉजी का सबसे आम मामला विविध द्वारा दिया जाता है, जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं, जो प्रत्येक बिंदु के पास, यूक्लिडियन अंतरिक्ष के एक खुले सेट के समान होते हैं, लेकिन जिस पर सामान्य रूप से कोई दूरी परिभाषित नहीं होती है। गणित की अन्य शाखाओं में कम सहज टोपोलॉजी का उपयोग किया जाता है; उदाहरण के लिए, जरिस्की टोपोलॉजी, जो बीजगणितीय ज्यामिति और योजना सिद्धांत में मौलिक है।

प्रेरणा
सहजता से, एक खुला सबसेट दो बिंदु (ज्यामिति) को अलग करने के लिए एक विधि प्रदान करता है। उदाहरण के लिए, यदि एक टोपोलॉजिकल स्पेस में दो बिंदुओं में से एक के बारे में एक खुला सेट मौजूद है जिसमें अन्य (अलग) बिंदु नहीं है, तो दो बिंदुओं को टोपोलॉजिकल रूप से अलग-अलग कहा जाता है। इस तरीके से, कोई इस बारे में बात कर सकता है कि मेट्रिक (गणित) को ठोस रूप से परिभाषित किए बिना एक टोपोलॉजिकल स्पेस के दो बिंदु, या अधिक आम तौर पर दो उपसमुच्चय निकट हैं या नहीं। इसलिए, टोपोलॉजिकल स्पेस को दूरी की धारणा से लैस स्पेस के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, जिसे मेट्रिक स्पेस कहा जाता है।

सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय में, किसी के पास प्राकृतिक यूक्लिडियन मीट्रिक है; अर्थात्, एक ऐसा कार्य जो दो वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी को मापता है: $x^{2} + y^{2} = r^{2}$. इसलिए, एक वास्तविक संख्या x दी गई है, उस वास्तविक संख्या के करीब सभी बिंदुओं के समुच्चय के बारे में बात की जा सकती है; अर्थात्, x के ε के भीतर। संक्षेप में, x के ε के भीतर बिंदु ε डिग्री की सटीकता के करीब x का अनुमान लगाते हैं। ध्यान दें कि ε> 0 हमेशा लेकिन जैसे-जैसे ε छोटा और छोटा होता जाता है, वैसे-वैसे अंक प्राप्त होते हैं जो x को सटीकता के उच्च और उच्च स्तर तक ले जाते हैं। उदाहरण के लिए, यदि x = 0 और ε = 1, x के ε के भीतर के बिंदु अंतराल (गणित) # अंतराल के लिए संकेत (−1, 1); यानी, -1 और 1 के बीच सभी वास्तविक संख्याओं का सेट। हालांकि, ε = 0.5 के साथ, x के ε के भीतर बिंदु ठीक (-0.5, 0.5) के बिंदु हैं। स्पष्ट रूप से, ये बिंदु ε = 1 की तुलना में सटीकता की एक बड़ी डिग्री के करीब x का अनुमान लगाते हैं।

पिछली चर्चा से पता चलता है, केस x = 0 के लिए, कि ε को छोटा और छोटा परिभाषित करके x को सटीकता के उच्च और उच्च डिग्री तक अनुमानित किया जा सकता है। विशेष रूप से, फॉर्म के सेट (−ε, ε) हमें x = 0 के करीब बिंदुओं के बारे में बहुत सारी जानकारी देते हैं। इस प्रकार, ठोस यूक्लिडियन मीट्रिक के बारे में बात करने के बजाय, x के करीब बिंदुओं का वर्णन करने के लिए सेट का उपयोग किया जा सकता है। इस अभिनव विचार के दूरगामी परिणाम होते हैं; विशेष रूप से, 0 वाले समुच्चयों के विभिन्न संग्रहों को परिभाषित करके (समुच्चयों (−ε, ε) से अलग), कोई 0 और अन्य वास्तविक संख्याओं के बीच की दूरी के संबंध में भिन्न परिणाम प्राप्त कर सकता है। उदाहरण के लिए, यदि हम दूरी को मापने के लिए 'R' को एकमात्र ऐसे सेट के रूप में परिभाषित करते हैं, तो सभी बिंदु 0 के करीब हैं क्योंकि सटीकता की केवल एक ही संभावित डिग्री है जिसे कोई 0 का अनुमान लगाने में प्राप्त कर सकता है: 'R' का सदस्य होने के नाते। इस प्रकार, हम पाते हैं कि एक मायने में, प्रत्येक वास्तविक संख्या 0 से 0 की दूरी पर है। इस मामले में माप को एक द्विआधारी स्थिति के रूप में सोचने में मदद मिल सकती है: 'R' में सभी चीजें समान रूप से 0 के करीब हैं, जबकि कोई भी आइटम जो 'आर' में नहीं है, 0 के करीब नहीं है।

सामान्य तौर पर, एक 'पड़ोस के आधार' के रूप में 0 वाले सेट के परिवार को संदर्भित करता है, जिसका उपयोग लगभग 0 के लिए किया जाता है; इस पड़ोस के आधार के एक सदस्य को 'ओपन सेट' के रूप में संदर्भित किया जाता है। वास्तव में, कोई इन धारणाओं को एक मनमाना सेट (एक्स) के लिए सामान्यीकृत कर सकता है; केवल वास्तविक संख्या के बजाय। इस मामले में, उस सेट का एक बिंदु (x) दिया गया है, कोई सेट के संग्रह को परिभाषित कर सकता है (यानी, युक्त) x, अनुमानित x के लिए उपयोग किया जाता है। बेशक, इस संग्रह को कुछ गुणों (जिन्हें 'स्वयंसिद्ध' के रूप में जाना जाता है) को पूरा करना होगा, अन्यथा हमारे पास दूरी मापने के लिए एक अच्छी तरह से परिभाषित विधि नहीं हो सकती है। उदाहरण के लिए, X के प्रत्येक बिंदु को कुछ हद तक सटीकता के साथ x का अनुमान लगाना चाहिए। इस प्रकार X को इस परिवार में होना चाहिए। एक बार जब हम x वाले छोटे सेट को परिभाषित करना शुरू करते हैं, तो हम x को अधिक सटीकता के साथ अनुमानित करते हैं। इसे ध्यान में रखते हुए, शेष एक्सिओम्स को परिभाषित किया जा सकता है जिसे संतुष्ट करने के लिए x के बारे में समुच्चयों के परिवार की आवश्यकता होती है।

परिभाषाएँ
तकनीकीता के बढ़ते क्रम में, यहाँ कई परिभाषाएँ दी गई हैं। हर एक अगले का एक विशेष मामला है।

यूक्लिडियन स्थान
उपसमुच्चय $$U$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष की|यूक्लिडियन $x^{2} + y^{2} &lt; r^{2}$-अंतरिक्ष $d(x, y) = |x − y|$ खुला है अगर, हर बिंदु के लिए $x$ में $$U$$, एक सकारात्मक वास्तविक संख्या मौजूद है $ε$ (इस पर निर्भर करते हुए $x$) ऐसा है कि किसी भी बिंदु में $n$ जिसकी यूक्लिडियन दूरी $x$ की तुलना में छोटा है $ε$ का है $$U$$. समान रूप से, एक उपसमुच्चय $$U$$ का $R^{n}$ खुला है अगर हर बिंदु में $$U$$ में निहित एक खुली गेंद का केंद्र है $$U.$$ उपसमुच्चय का उदाहरण $R^{n}$ जो खुला नहीं है वह अंतराल (गणित)#शब्दावली है $[0,1]$, न तो $R^{n}$ न $R$ का है $[0,1]$ किसी के लिए $0 - ε$, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता, कि कितना छोटा है।

मीट्रिक स्थान
मीट्रिक स्पेस का एक उपसमुच्चय U $1 + ε$ खुला कहा जाता है, अगर यू में किसी भी बिंदु एक्स के लिए, वास्तविक संख्या ε> 0 मौजूद है जैसे कि कोई बिंदु $$y \in M$$ संतुष्टि देने वाला $ε > 0$ यू से संबंधित है। समान रूप से, यू खुला है यदि यू में प्रत्येक बिंदु यू में निहित पड़ोस है।

यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष उदाहरण का सामान्यीकरण करता है, क्योंकि यूक्लिडियन दूरी के साथ यूक्लिडियन स्थान एक मीट्रिक स्थान है।

टोपोलॉजिकल स्पेस
एक टोपोलॉजी (संरचना) $$\tau$$ एक सेट पर $X$ के उपसमुच्चय का समुच्चय है $X$ नीचे के गुणों के साथ। का प्रत्येक सदस्य $$\tau$$ एक खुला सेट कहा जाता है।


 * $$X \in \tau$$ तथा $$\varnothing \in \tau$$
 * सेट का कोई भी संघ $$\tau$$ के संबंधित $$\tau$$: यदि $$\left\{ U_i : i \in I \right\} \subseteq \tau$$ फिर $$\bigcup_{i \in I} U_i \in \tau$$
 * सेट का कोई परिमित चौराहा $$\tau$$ के संबंधित $$\tau$$: यदि $$U_1, \ldots, U_n \in \tau$$ फिर $$U_1 \cap \cdots \cap U_n \in \tau$$

$X$ के साथ साथ $$\tau$$ टोपोलॉजिकल स्पेस कहा जाता है। ओपन सेट के परिमित इंटरसेक्शन को ओपन होने की जरूरत नहीं है। उदाहरण के लिए, प्रपत्र के सभी अंतरालों का प्रतिच्छेदन $$\left( -1/n, 1/n \right),$$ कहाँ पे $$n$$ एक धनात्मक पूर्णांक है, समुच्चय है $$\{ 0 \}$$ जो वास्तविक रेखा में नहीं खुलता है।

एक मेट्रिक स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, जिसकी टोपोलॉजी में सभी सबसेट का संग्रह होता है जो ओपन बॉल्स के यूनियन होते हैं। हालाँकि, ऐसे टोपोलॉजिकल स्पेस हैं जो मेट्रिक स्पेस नहीं हैं।

क्लोपेन सेट और नॉन-ओपन और/या नॉन-क्लोज्ड सेट
एक सेट खुला, बंद, दोनों या दोनों में से कोई भी हो सकता है। विशेष रूप से, खुले और बंद सेट पारस्परिक रूप से अनन्य नहीं होते हैं, जिसका अर्थ है कि यह सामान्य रूप से एक टोपोलॉजिकल स्पेस के सबसेट के लिए एक साथ एक ओपन सबसेट दोनों के लिए संभव है। एक बंद उपसमुच्चय। ऐसे उपसमुच्चय कहलाते हैं. स्पष्ट रूप से, एक उपसमूह $$S$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $$(X, \tau)$$ कहा जाता है अगर दोनों $$S$$ और इसका पूरक $$X \setminus S$$ के खुले उपसमुच्चय हैं $$(X, \tau)$$; या समकक्ष, अगर $$S \in \tau$$ तथा $$X \setminus S \in \tau.$$ में  टोपोलॉजिकल स्पेस $$(X, \tau),$$ खाली सेट $$\varnothing$$ और सेट $$X$$ खुद हमेशा क्लोपेन होते हैं। ये दो सेट क्लोपेन उपसमुच्चय के सबसे प्रसिद्ध उदाहरण हैं और वे दिखाते हैं कि क्लोपेन उपसमुच्चय मौजूद हैं  टोपोलॉजिकल स्पेस। देखने के लिए क्यों $$X$$ क्लोपेन है, यह याद करके शुरू करें कि सेट $$X$$ तथा $$\varnothing$$ परिभाषा के अनुसार, हमेशा खुले उपसमुच्चय (of $$X$$). साथ ही परिभाषा के अनुसार, एक उपसमुच्चय $$S$$ कहा जाता है अगर (और केवल अगर) इसका पूरक है $$X,$$ जो सेट है $$X \setminus S,$$ एक खुला उपसमुच्चय है। क्योंकि पूरक (में $$X$$) पूरे सेट का $$S := X$$ खाली सेट है (यानी $$X \setminus S = \varnothing$$), जो एक खुला उपसमुच्चय है, इसका मतलब है कि $$S = X$$ का बंद उपसमुच्चय है $$X$$ (बंद उपसमुच्चय की परिभाषा के अनुसार)। इसलिए, कोई फर्क नहीं पड़ता कि टोपोलॉजी को किस पर रखा गया है $$X,$$ संपूर्ण स्थान $$X$$ एक साथ एक खुला उपसमुच्चय भी है और एक बंद उपसमुच्चय भी है $$X$$; अलग ढंग से कहा, $$X$$ है  का एक क्लोपेन उपसमुच्चय $$X.$$ क्योंकि खाली सेट का पूरक है $$X \setminus \varnothing = X,$$ जो एक खुला उपसमुच्चय है, उसी तर्क का उपयोग निष्कर्ष निकालने के लिए किया जा सकता है $$S := \varnothing$$ का एक क्लोपेन उपसमुच्चय भी है $$X.$$ वास्तविक रेखा पर विचार करें $$\R$$ अपने सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संपन्न है, जिसके खुले सेट निम्नानुसार परिभाषित किए गए हैं: प्रत्येक अंतराल $$(a, b)$$ वास्तविक संख्याओं का संबंध टोपोलॉजी से है, ऐसे अंतरालों का प्रत्येक संघ, उदा। $$(a, b) \cup (c, d),$$ टोपोलॉजी से संबंधित है, और हमेशा की तरह, दोनों $$\R$$ तथा $$\varnothing$$ टोपोलॉजी से संबंधित हैं।


 * अंतराल $$I = (0, 1)$$ में खुला है $$\R$$ क्योंकि यह यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित है। यदि $$I$$ एक खुला पूरक होना था, परिभाषा के अनुसार इसका अर्थ होगा कि $$I$$ हमने बंद कर दिया। परंतु $$I$$ एक खुला पूरक नहीं है; इसका पूरक है $$\R \setminus I = (-\infty, 0] \cup [1, \infty),$$ जो करता है यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित हैं क्योंकि यह अंतराल (गणित) का एक संघ नहीं है # फॉर्म के अंत बिंदुओं को शामिल करना या बाहर करना $$(a, b).$$ अत, $$I$$ एक ऐसे समुच्चय का उदाहरण है जो खुला है लेकिन बंद नहीं है।
 * इसी तरह के तर्क से, अंतराल $$J = [0, 1]$$ एक बंद उपसमुच्चय है लेकिन एक खुला उपसमुच्चय नहीं है।
 * अंत में, न तो $$K = [0, 1)$$ न ही इसका पूरक $$\R \setminus K = (-\infty, 0) \cup [1, \infty)$$ यूक्लिडियन टोपोलॉजी से संबंधित है (क्योंकि इसे फॉर्म के अंतराल के संघ के रूप में नहीं लिखा जा सकता है $$(a, b)$$), इस का मतलब है कि $$K$$ न तो खुला है और न ही बंद है।

यदि एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ असतत टोपोलॉजी के साथ संपन्न है (ताकि परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक उपसमुच्चय $$X$$ खुला है) तो का हर सबसेट $$X$$ एक क्लोपेन उपसमुच्चय है। असतत टोपोलॉजी की याद दिलाने वाले अधिक उन्नत उदाहरण के लिए, मान लीजिए $$\mathcal{U}$$ गैर-खाली सेट पर एक ultrafilter है $$X.$$ फिर संघ $$\tau := \mathcal{U} \cup \{ \varnothing \}$$ पर एक टोपोलॉजी है $$X$$ उस संपत्ति के साथ गैर-खाली उचित सबसेट $$S$$ का $$X$$ है  एक खुला उपसमुच्चय या फिर एक बंद उपसमुच्चय, लेकिन दोनों कभी नहीं; वह है, अगर $$\varnothing \neq S \subsetneq X$$ (कहाँ पे $$S \neq X$$) फिर  निम्नलिखित दो कथनों में से सत्य है: या तो (1) $$S \in \tau$$ या फिर, (2) $$X \setminus S \in \tau.$$ अलग ढंग से कहा,  सबसेट खुला या बंद है लेकिन   उपसमुच्चय जो दोनों हैं (अर्थात जो क्लोपेन हैं) हैं $$\varnothing$$ तथा $$X.$$

नियमित खुले सेट
उपसमुच्चय $$S$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $$X$$ ए कहा जाता हैयदि $$\operatorname{Int} \left( \overline{S} \right) = S$$ या समकक्ष, अगर $$\operatorname{Bd} \left( \overline{S} \right) = \operatorname{Bd} S,$$ कहाँ पे $$\operatorname{Bd} S$$ (प्रति. $$\operatorname{Int} S,$$ $$\overline{S}$$) की सीमा (टोपोलॉजी) (प्रतिक्रिया आंतरिक (टोपोलॉजी), क्लोजर (टोपोलॉजी)) को दर्शाता है $$S$$ में $$X.$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस जिसके लिए एक बेस (टोपोलॉजी) मौजूद होता है जिसमें रेगुलर ओपन सेट होते हैं a. का एक उपसमुच्चय $$X$$ एक नियमित खुला सेट है अगर और केवल अगर इसका पूरक है $$X$$ एक नियमित बंद सेट है, जहां परिभाषा के अनुसार एक सबसेट है $$S$$ का $$X$$ ए कहा जाता हैयदि $$\overline{\operatorname{Int} S} = S$$ या समकक्ष, अगर $$\operatorname{Bd} \left( \operatorname{Int} S \right) = \operatorname{Bd} S.$$ प्रत्येक नियमित खुला सेट (प्रति. नियमित बंद सेट) एक खुला उपसमुच्चय है (प्रति. एक बंद उपसमुच्चय है) हालांकि सामान्य तौर पर, बातचीत कर रहे हैं सच।

गुण
खुले सेटों की किसी भी संख्या, या असीम रूप से कई खुले सेटों का संघ (सेट सिद्धांत) खुला है। खुले सेटों की परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) खुला है।

एक खुले सेट का एक पूरक (सेट सिद्धांत) (उस स्थान के सापेक्ष जिस पर टोपोलॉजी परिभाषित है) को एक बंद सेट कहा जाता है। एक सेट खुला और बंद दोनों हो सकता है (क्लोपेन सेट)। खाली सेट और पूरा स्थान ऐसे सेट के उदाहरण हैं जो खुले और बंद दोनों हैं।

उपयोग
टोपोलॉजी में ओपन सेट का मौलिक महत्व है। अवधारणा को टोपोलॉजिकल स्पेस और अन्य टोपोलॉजिकल संरचनाओं को परिभाषित करने और समझने की आवश्यकता है जो मीट्रिक रिक्त स्थान और समान रिक्त स्थान जैसे रिक्त स्थान के लिए निकटता और अभिसरण की धारणाओं से निपटते हैं।

टोपोलॉजिकल स्पेस X के हर सबसेट A में एक (संभवतः खाली) ओपन सेट होता है; अधिकतम (शामिल किए जाने के तहत आदेशित) इस तरह के खुले सेट को ए के टोपोलॉजिकल इंटीरियर कहा जाता है। इसका निर्माण ए में निहित सभी खुले सेटों का संघ लेकर किया जा सकता है।

एक समारोह (गणित) $$f : X \to Y$$ दो टोपोलॉजिकल स्पेस के बीच $$X$$ तथा $$Y$$ है अगर हर ओपन सेट की preimage है $$Y$$ में खुला है $$X.$$ कार्यक्रम $$f : X \to Y$$ कहा जाता है अगर हर खुले की छवि (गणित) में सेट है $$X$$ में खुला है $$Y.$$ वास्तविक रेखा पर एक खुले सेट की विशेषता संपत्ति है कि यह खुले अंतरालों को अलग करने का एक गणनीय संघ है।

ओपन को एक विशेष टोपोलॉजी
के सापेक्ष परिभाषित किया गया है

एक सेट खुला है या नहीं यह विचाराधीन टोपोलॉजी पर निर्भर करता है। संकेतन के दुरुपयोग का विकल्प चुनने के बाद, हम एक टोपोलॉजी के साथ संपन्न एक सेट X का उल्लेख करते हैं $$\tau$$ टोपोलॉजिकल स्पेस के बजाय टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के रूप में $$(X, \tau)$$, इस तथ्य के बावजूद कि सभी टोपोलॉजिकल डेटा में समाहित है $$\tau.$$ यदि एक ही सेट पर दो टोपोलॉजी हैं, तो एक सेट यू जो पहली टोपोलॉजी में खुला है, दूसरी टोपोलॉजी में खुलने में विफल हो सकता है। उदाहरण के लिए, यदि X कोई टोपोलॉजिकल स्पेस है और Y, X का कोई उपसमुच्चय है, तो सेट Y को अपना स्वयं का टोपोलॉजी दिया जा सकता है (जिसे 'सबस्पेस टोपोलॉजी' कहा जाता है) एक सेट U द्वारा परिभाषित किया गया है, जो Y पर सबस्पेस टोपोलॉजी में खुला है और केवल यदि यू एक्स पर मूल टोपोलॉजी से खुले सेट के साथ वाई का चौराहे है। यह संभावित रूप से नए खुले सेट पेश करता है: यदि वी एक्स पर मूल टोपोलॉजी में खुला है, लेकिन $$V \cap Y$$ एक्स पर मूल टोपोलॉजी में खुला नहीं है $$V \cap Y$$ वाई पर सबस्पेस टोपोलॉजी में खुला है।

इसका एक ठोस उदाहरण के रूप में, यदि U को अंतराल में परिमेय संख्याओं के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है $$(0, 1),$$ तब U परिमेय संख्याओं का एक खुला उपसमुच्चय है, लेकिन वास्तविक संख्याओं का नहीं। ऐसा इसलिए है क्योंकि जब आस-पास का स्थान परिमेय संख्या है, U में प्रत्येक बिंदु x के लिए, एक धनात्मक संख्या मौजूद होती है जैसे कि सभी x की दूरी a के भीतर बिंदु भी U में हैं। दूसरी ओर, जब आस-पास का स्थान वास्तविक है, तो U में प्रत्येक बिंदु x के लिए है  सकारात्मक ऐसा कि सभी  x की दूरी a के भीतर बिंदु U में हैं (क्योंकि U में कोई गैर-तर्कसंगत संख्या नहीं है)।

खुले सेटों का सामान्यीकरण
हर जगह, $$(X, \tau)$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस होगा।

उपसमुच्चय $$A \subseteq X$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस का $$X$$ कहा जाता है:

<उल> यदि $$A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right) \right)$$, और ऐसे समुच्चय का पूरक कहलाता है. ,, यायदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:  $$A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X A \right).$$ उपसमुच्चय मौजूद हैं $$D, U \subseteq X$$ ऐसा है कि $$U$$ में खुला है $$X,$$ $$D$$ का सघन उपसमुच्चय है $$X,$$ तथा $$A = U \cap D.$$ एक खुला मौजूद है (में $$X$$) सबसेट $$U \subseteq X$$ ऐसा है कि $$A$$ का सघन उपसमुच्चय है $$U.$$  प्रीओपन सेट के पूरक को कहा जाता है.  यदि $$A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X A \right) ~\cup~ \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right)$$. बी-ओपन सेट के पूरक को कहा जाता है. यायदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:  $$A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X \left( \operatorname{cl}_X A \right) \right)$$ $$ \operatorname{cl}_X A$$ का एक नियमित बंद उपसमुच्चय है $$X.$$ एक प्रीओपन सबसेट मौजूद है $$U$$ का $$X$$ ऐसा है कि $$U \subseteq A \subseteq \operatorname{cl}_X U.$$  β-ओपन सेट का पूरक कहलाता है.  यदि यह निम्नलिखित समतुल्य शर्तों में से किसी को भी संतुष्ट करता है:  जब भी कोई क्रम $$X$$ के किसी बिंदु पर अभिसरण करता है $$A,$$ तो वह क्रम अंततः अंदर है $$A.$$ स्पष्ट रूप से, इसका मतलब यह है कि अगर $$x_{\bull} = \left( x_i \right)_{i=1}^{\infty}$$ में क्रम है $$X$$ और अगर कुछ मौजूद है $$a \in A$$ इस प्रकार कि $$x_{\bull} \to x$$ में $$(X, \tau),$$ फिर $$x_{\bull}$$ अंत में है $$A$$ (अर्थात, कुछ पूर्णांक मौजूद हैं $$i$$ ऐसा कि अगर $$j \geq i,$$ फिर $$x_j \in A$$).</ली> $$A$$ इसके बराबर हैमें $$X,$$ जो परिभाषा के अनुसार सेट है
 * $$\begin{alignat}{4}

\operatorname{SeqInt}_X A
 * &= \{ a \in A ~:~ \text{ whenever a sequence in } X \text{ converges to } a \text{ in } (X, \tau), \text{ then that sequence is eventually in } A \} \\

&= \{ a \in A ~:~ \text{ there does NOT exist a sequence in } X \setminus A \text{ that converges in } (X, \tau) \text{ to a point in } A \} \\ \end{alignat} $$ </ली> </ओल> क्रमिक रूप से खुले सेट के पूरक को कहा जाता है. उपसमुच्चय $$S \subseteq X$$ में बंद कर दिया गया है $$X$$ अगर और केवल अगर $$S$$ इसके बराबर है, जो परिभाषा के अनुसार समुच्चय है $$\operatorname{SeqCl}_X S$$ सभी से मिलकर $$x \in X$$ जिसके लिए एक क्रम मौजूद है $$S$$ जो अभिसरण करता है $$x$$ (में $$X$$). </ली> और कहा जाता हैयदि कोई खुला उपसमुच्चय मौजूद है $$U \subseteq X$$ ऐसा है कि $$A \bigtriangleup U$$ एक अल्प समुच्चय है, जहाँ $$\bigtriangleup$$ सममित अंतर को दर्शाता है। यदि $$A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X \left( \operatorname{int}_X A \right)$$. में पूरक $$X$$ अर्ध-खुले सेट को कहा जाता है समूह। * द(में $$X$$) एक उपसमुच्चय का $$A \subseteq X,$$ द्वारा चिह्नित $$\operatorname{sCl}_X A,$$ के सभी अर्ध-बंद उपसमूहों का प्रतिच्छेदन है $$X$$ जिसमें शामिल है $$A$$ एक उपसमुच्चय के रूप में।</ली> यदि प्रत्येक के लिए $$x \in A$$ कुछ सेमीोपेन सबसेट मौजूद हैं $$U$$ का $$X$$ ऐसा है कि $$x \in U \subseteq \operatorname{sCl}_X U \subseteq A.$$</ली> (प्रति.) यदि इसका पूरक है $$X$$ एक θ-बंद (प्रतिक्रिया है। ) सेट, जहां परिभाषा के अनुसार, का एक सबसेट $$X$$ कहा जाता है(प्रति.) यदि यह अपने सभी θ-क्लस्टर पॉइंट्स (resp. δ-क्लस्टर पॉइंट्स) के सेट के बराबर है। एक बिंदु $$x \in X$$ ए कहा जाता है(सं. ए) एक उपसमुच्चय का $$B \subseteq X$$ अगर हर खुले पड़ोस के लिए $$U$$ का $$x$$ में $$X,$$ चौराहा $$B \cap \operatorname{cl}_X U$$ खाली नहीं है (सं. $$B \cap \operatorname{int}_X\left( \operatorname{cl}_X U \right)$$ खाली नहीं है)।</ली> </ul>
 * सबसेट $$A \subseteq X$$ कहा जाता है कि प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए प्रतिबंधित अर्थों में बायर संपत्ति है $$E$$ का $$X$$ चौराहा $$A\cap E$$ के सापेक्ष बायर संपत्ति है $$E$$. </ली>

इस तथ्य का उपयोग करना कि
 * $$A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X A ~\subseteq~ \operatorname{cl}_X B$$    तथा     $$\operatorname{int}_X A ~\subseteq~ \operatorname{int}_X B ~\subseteq~ B$$

जब भी दो उपसमुच्चय $$A, B \subseteq X$$ संतुष्ट करना $$A \subseteq B,$$ निम्नलिखित निष्कर्ष निकाला जा सकता है:


 * हर α-खुला सबसेट सेमी-ओपन, सेमी-प्रीओपन, प्रीओपन और बी-ओपन होता है।
 * हर बी-ओपन सेट सेमी-प्रीओपन (यानी β-ओपन) है।
 * हर प्रीओपन सेट बी-ओपन और सेमी-प्रीओपन है।
 * हर सेमी-ओपन सेट बी-ओपन और सेमी-प्रीओपन है।

इसके अलावा, एक सबसेट एक नियमित खुला सेट है अगर और केवल अगर यह प्रीओपन और सेमी-क्लोज्ड है। एक α-ओपन सेट और सेमी-प्रीओपन (रेस्प। सेमी-ओपन, प्रीओपेन, बी-ओपन) सेट का इंटरसेक्शन एक सेमी-प्रीओपेन (रेस्प. सेमी-ओपन, प्रीओपन, बी-ओपन) सेट है। प्रीओपन सेट को सेमी-ओपन होने की आवश्यकता नहीं है और सेमी-ओपन सेट को प्रीओपन होने की आवश्यकता नहीं है। प्रीओपन (प्रति. α-ओपन, बी-ओपन, सेमी-प्रीओपेन) सेट के मनमाना संघ एक बार फिर से प्रीओपेन (प्रति. α-ओपन, बी-ओपन, सेमी-प्रीओपेन) हैं। हालाँकि, प्रीओपन सेट के परिमित चौराहों को प्रीओपन होने की आवश्यकता नहीं है। किसी स्थान के सभी α-खुले उपसमुच्चय का समुच्चय $$(X, \tau)$$ पर एक टोपोलॉजी बनाता है $$X$$ वह टोपोलॉजी की तुलना है $$\tau.$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ हॉसडॉर्फ स्पेस है अगर और केवल अगर हर कॉम्पैक्ट जगह $$X$$ θ-बंद है। एक स्थान $$X$$ पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो जाता है अगर और केवल अगर हर नियमित बंद सबसेट प्रीओपन या समकक्ष है, अगर हर सेमी-ओपन सबसेट प्रीओपन है। इसके अलावा, अंतरिक्ष पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो गया है अगर और केवल अगरप्रत्येक प्रीओपन उपसमुच्चय खुला है।

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