हेरोनियन टेट्राहेड्रॉन

हेरोनियन चतुष्फलक (जिसे हेरॉन चतुष्फलक भी कहा जाता है  या सही पिरामिड ) एक चतुष्फलक है जिसके किनारे की लंबाई, फलक का क्षेत्रफल और आयतन सभी पूर्णांक हैं। इसलिए चेहरे सभी हेरोनियन त्रिकोण होने चाहिए।

प्रत्येक हेरोनियन चतुष्फलक को यूक्लिडियन अंतरिक्ष में व्यवस्थित किया जा सकता है ताकि इसके शीर्ष निर्देशांक भी पूर्णांक हों।

'''हेरोनियन त्रिभुजों की एक वैकल्पिक परिभाषा यह है कि वे दो पायथागॉरियन त्रिगुणों को आम पक्ष के साथ जोड़कर बनाया जा सकता है। इस परिभाषा को भी

उदाहरण
लियोनहार्ड यूलर के लिए जाना जाने वाला उदाहरण एक हेरोनियन श्लाफली ऑर्थोशेम है,  चतुष्फलक जिसमें तीन किनारों का मार्ग तीन समन्वय अक्षों के समानांतर होता है और सभी चेहरे सही त्रिकोण होते हैं। अक्ष-समानांतर किनारों के पथ पर किनारों की लंबाई 153, 104, और 672 है, और अन्य तीन किनारों की लंबाई 185, 680 और 697 है, जो पायथागॉरियन ट्रिपल (153,104,185) द्वारा वर्णित चार समकोण त्रिभुज चेहरों का निर्माण करती है। 104,672,680), (153,680,697), और (185,672,697)।

रेनहोल्ड हॉपी द्वारा 1877 में हेरोनियन टेट्राहेड्रा के आठ उदाहरणों की खोज की गई थी।

117 (संख्या) अभिन्न किनारे की लंबाई के साथ आदर्श चतुष्फलक के सबसे लंबे किनारे की सबसे छोटी संभव लंबाई है। इसके अन्य किनारों की लंबाई 51, 52, 53, 80 और 84 है। 8064 पूर्ण चतुष्फलक का सबसे छोटा संभव आयतन है (और 6384 सबसे छोटा संभव पृष्ठीय क्षेत्रफल है)। इस मात्रा और सतह क्षेत्र के साथ हेरोनियन चतुष्फलक की अभिन्न किनारे की लंबाई 25, 39, 56, 120, 153 और 160 है।

1943 में, ई.पी. स्टार्क ने एक और उदाहरण प्रकाशित किया, जिसमें दो फलक समद्विबाहु त्रिभुज हैं जिनका आधार 896 और भुजाएँ 1073 हैं, और अन्य दो फलक भी समद्विबाहु त्रिभुज हैं जिनका आधार 990 और समान भुजाएँ हैं। हालांकि, स्टार्क ने इसकी मात्रा की रिपोर्ट करने में त्रुटि की है जो व्यापक रूप से कॉपी हो गई है। सही आयतन है $124,185,600$, स्टार्क द्वारा रिपोर्ट की गई संख्या से दोगुनी है।

सास्चा कुर्ज़ ने सभी हेरोनियन टेट्राहेड्रा को सबसे लंबे किनारे की लंबाई के साथ खोजने के लिए कंप्यूटर खोज एल्गोरिदम का उपयोग किया है $600,000$.

वर्गीकरण, अनंत परिवार, और विशेष प्रकार के चतुष्फलक
नियमित चतुष्फलक (सभी चेहरे समबाहु होने के साथ) एक हेरोनियन टेट्राहेड्रोन नहीं हो सकता है, क्योंकि नियमित टेट्राहेड्रा के लिए जिसकी किनारे की लंबाई पूर्णांक होती है, चेहरे के क्षेत्र और आयतन अपरिमेय संख्या होते हैं। इसी कारण से किसी भी हेरोनियन चतुष्फलक के फलक के रूप में  समबाहु त्रिभुज नहीं हो सकता।

असीम रूप से कई हेरोनियन टेट्राहेड्रा हैं, और अधिक दृढ़ता से कई हेरोनियन डिफेनोइड्स, टेट्राहेड्रा हैं जिनमें सभी चेहरे सर्वांगसम हैं और विपरीत पक्षों के प्रत्येक जोड़े की लंबाई समान है। इस मामले में, छह के बजाय टेट्राहेड्रोन का वर्णन करने के लिए केवल तीन किनारे की लंबाई की आवश्यकता होती है, और हेरोनियन टेट्राहेड्रा को परिभाषित करने वाली लंबाई के ट्रिपल को एक अण्डाकार वक्र का उपयोग करके चित्रित किया जा सकता है। असीम रूप से कई हेरोनियन टेट्राहेड्रा भी हैं जिनमें चार समान किनारों की लंबाई का चक्र है, जिसमें सभी चेहरे समद्विबाहु त्रिभुज हैं।

असीम रूप से कई हेरोनियन द्विभाजित टेट्राहेड्रा भी हैं। इस प्रकार के टेट्राहेड्रा को उत्पन्न करने की विधि अक्ष-समानांतर किनारे की लंबाई प्राप्त करती है $$a$$, $$b$$, और $$c$$ शक्तियों के दो बराबर योग से
 * $$p^4+s^4=q^4+r^4$$

सूत्रों का उपयोग करना
 * $$a=\bigl|(pq)^2-(rs)^2\bigr|,$$
 * $$b=\bigl|2pqrs\bigr|,$$
 * $$c=\bigl|(pr)^2)-|(qs)^2\bigr|.$$

उदाहरण के लिए, लियोनहार्ड यूलर की पहचान से इस तरह व्युत्पन्न चतुष्फलक, $$59^4+158^4=133^4+134^4$$, है $$a$$, $$b$$, और $$c$$ के बराबर $386,678,175$, $332,273,368$, और $379,083,360$, समकोण त्रिभुज के कर्ण के साथ $$ab$$ के बराबर $509,828,993$, समकोण त्रिभुज का कर्ण $$bc$$ के बराबर $504,093,032$, और शेष दो भुजाओं का कर्ण बराबर $635,318,657$. इन टेट्राहेड्रा के लिए, $$a$$, $$b$$, और $$c$$ यूलर ईंट के किनारों की लंबाई बनाएं#लगभग-परिपूर्ण घनाभ|लगभग-परिपूर्ण घनाभ,  आयताकार घनाभ जिसमें भुजाएँ, तीन में से दो विकर्ण, और शरीर का विकर्ण सभी पूर्णांक हैं।

हेरोनियन त्रिकोणीय चतुर्भुज का कोई उदाहरण नहीं मिला था और किसी ने भी यह साबित नहीं किया है कि कोई भी अस्तित्व में नहीं है।

सभी हेरोनियन टेट्राहेड्रा का पूर्ण वर्गीकरण अज्ञात रहता है।

संबंधित आकार
हेरोनियन त्रिभुजों की एक वैकल्पिक परिभाषा यह है कि वे दो पायथागॉरियन त्रिगुणों को आम पक्ष के साथ जोड़कर बनाया जा सकता है। इस परिभाषा को भी तीन आयामों के लिए सामान्यीकृत किया गया है, जिससे टेट्राहेड्रा के अलग वर्ग की ओर अग्रसर होता है जिसे हेरोन टेट्राहेड्रा भी कहा जाता है।