फोकस (ज्यामिति)

ज्यामिति में, केंद्रित या फोकी, एकवचन केंद्रबिंदु, विशेष बिंदु हैं जिनके संदर्भ में विभिन्न प्रकार के वक्रों का निर्माण किया जाता है। उदाहरण के लिए, शांक्व वर्गों को परिभाषित करने में एक या दो फोकी का उपयोग किया जा सकता है, जिनमें से चार प्रकार वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय हैं। इसके अलावा, दो फोकी का उपयोग कैसिनी अंडाकार कार्तीय अंडाकार को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, और दो से अधिक फोकी का उपयोग n-दीर्घवृत्त को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

दो फोकी के संदर्भ में शांकवों को परिभाषित करना
एक दीर्घवृत्त को बिंदुओं के स्थान (गणित) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसके लिए दो दिए गए फोकी की दूरियों का योग स्थिर है।

एक वृत्त एक दीर्घवृत्त का विशेष स्तिथि है जिसमें दो केंद्र एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं। इस प्रकार, एक वृत्त को अधिक आसानी से उन बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनमें से प्रत्येक एक दिए गए केंद्रबिन्दु से एक निश्चित दूरी है। एक वृत्त को अपोलोनियस के मंडलियों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, दो अलग-अलग फोकी के संदर्भ में, बिंदुओं के स्थान के रूप में दो फोकी के लिए दूरी का एक निश्चित अनुपात होता है।

परवलय दीर्घवृत्त की एक सीमित स्तिथि है जिसमें फोकी में से एक अनंत पर एक बिंदु है।

एक अतिपरवलय को उन बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके लिए दो दिए गए फोकी की दूरियों के बीच अंतर का निरपेक्ष मान स्थिर है।

केंद्रबिन्दु और नियंता के संदर्भ में शांकवों को परिभाषित करना
एकल केंद्रबिन्दु और एकल शांकव अनुभाग, केंद्रबिन्दु और नियंता के संदर्भ में सभी शांक्व वर्गों का वर्णन करना भी संभव है, जो एक दी गई रेखा (ज्यामिति) है जिसमें केंद्रबिन्दु नहीं है। एक शांक्व को उन बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनमें से प्रत्येक के लिए केंद्रबिन्दु की दूरी को नियंता की दूरी से विभाजित एक निश्चित सकारात्मक स्थिरांक होता है, जिसे विलक्षणता (गणित) कहा जाता है। यदि 0  1 है तो शांक्व एक अतिपरवलय है। यदि केंद्रबिन्दु की दूरी निश्चित है और नियता अनंत पर एक रेखा है, इसलिए उत्केन्द्रता शून्य है, तो शांक्व एक वृत्त है।

केंद्रबिन्दु और नियंता चक्र के संदर्भ में शांकवों को परिभाषित करना
यह भी संभव है कि सभी शांक्व वर्गों को उन बिंदुओं के लोकी के रूप में वर्णित किया जाए जो एक ही केंद्रबिन्दु और एक एकल, वृत्ताकार नियता से समान दूरी पर हों। दीर्घवृत्त के लिए, नियता वृत्त के केंद्र और केंद्रबिंदु दोनों के परिमित निर्देशांक होते हैं और नियता वृत्त की त्रिज्या इस वृत्त के केंद्र और केंद्रबिन्दु के बीच की दूरी से अधिक होती है; इस प्रकार, केंद्रबिन्दु नियंता चक्र के अंदर है। इस प्रकार उत्पन्न दीर्घवृत्त का अपना दूसरा केंद्रबिन्दु नियंता चक्र के केंद्र में होता है, और दीर्घवृत्त पूरी तरह से चक्र के भीतर स्थित होता है।

परवलय के लिए, नियंता का केंद्र अनंत पर बिंदु पर जाता है (प्रक्षेपीय ज्यामिति देखें)। नियंता चक्र शून्य वक्रता वाला एक वक्र बन जाता है, जो एक सीधी रेखा से अप्रभेद्य होता है। परवलय की दो भुजाएँ विस्तार के साथ-साथ समानांतर होती जाती हैं, और अनंत पर समानांतर हो जाती हैं; प्रक्षेपी ज्यामिति के सिद्धांतों का उपयोग करते हुए, दो समानांतर बिंदु अनंत पर एक दूसरे को काटते हैं और परवलय एक बंद वक्र (अण्डाकार प्रक्षेपण) बन जाता है।

अतिपरवलय उत्पन्न करने के लिए, नियता वृत्त की त्रिज्या को इस वृत्त के केंद्र और केंद्रबिन्दु के बीच की दूरी से कम चुना जाता है; इस प्रकार, केंद्रबिन्दु नियंता चक्र के बाहर है। अतिपरवलय की भुजाएँ स्पर्शोन्मुख रेखाओं तक पहुँचती हैं और अतिपरवलय की एक शाखा की दाहिनी भुजा अनंत पर बिंदु पर अतिपरवलय की दूसरी शाखा के बाएँ हाथ से मिलती है; यह इस सिद्धांत पर आधारित है कि प्रक्षेपी ज्यामिति में, एक रेखा स्वयं को अनंत पर एक बिंदु पर मिलती है। अतिपरवलय की दो शाखाएँ इस प्रकार अनंत पर बंद वक्र के दो (मुड़) भाग हैं।

प्रक्षेपी ज्यामिति में, सभी शांक्व इस अर्थ में समतुल्य हैं कि प्रत्येक प्रमेय जो एक के लिए कहा जा सकता है, वह दूसरों के लिए कहा जा सकता है।

खगोलीय महत्व
गुरुत्वीय दो-पिंड समस्या में, एक-दूसरे के बारे में दो पिंडों की कक्षाओं को दो अतिव्यापी शंक्वाकार वर्गों द्वारा वर्णित किया जाता है, जिनमें दो निकायों से एक का संपाती द्रव्यमान के केंद्र में दूसरे के फोकी में से एक के साथ होता है।

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, छोटे ग्रह प्लूटो के सबसे बड़े प्राकृतिक उपग्रह चारोन (चंद्रमा) की एक अण्डाकार कक्षा है जिसका एक केंद्रबिन्दु प्लूटो-चारोन प्रणाली के बेरिकेंटर पर है, जो एक बिंदु है जो दो पिंडों के बीच अंतरिक्ष में है; और प्लूटो भी पिंडों के बीच उसी बेरिकेंटर पर अपने केंद्रबिन्दु में से एक के साथ दीर्घवृत्त में चलता है। प्लूटो का दीर्घवृत्त पूरी तरह से चारोन के दीर्घवृत्त के अंदर है, जैसा कि चारोन (चंद्रमा) की कक्षा में दिखाया गया है।

तुलनात्मक रूप से, पृथ्वी का चंद्रमा एक दीर्घवृत्त में चलता है, जिसका एक केंद्रबिन्दु चंद्रमा और पृथ्वी के बायर्सेंटर पर होता है, यह बायर्सेंटर पृथ्वी के भीतर ही होता है, जबकि पृथ्वी (अधिक सटीक रूप से, इसका केंद्र) एक केंद्रबिन्दु के साथ दीर्घवृत्त में चलता है। बैरीसेंटर पृथ्वी के केंद्र से इसकी सतह तक की दूरी का लगभग तीन-चौथाई है।

इसके अलावा, प्लूटो-चारोन प्रणाली सूर्य के साथ अपने बेरिकेंटर के चारों ओर एक दीर्घवृत्त में चलती है, जैसा कि पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली (और हर दूसरे ग्रह-चंद्रमा प्रणाली या सौर मंडल में चंद्रमा रहित ग्रह) करती है। दोनों ही स्तिथि में सूर्य के शरीर के भीतर बेरिकेंटर अच्छी तरह से है।

दो युग्मक सितारे भी दीर्घवृत्त में गति करते हैं जो उनके बेरिकेंटर पर केंद्रबिन्दु साझा करते हैं; सजीवता के लिए, युग्मक स्टार देखें।

कार्तीय और कैसिनी अंडाकार
एक कार्तीय अंडाकार उन बिंदुओं का समूह होता है जिनमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरियों का भारित योग स्थिर होता है। यदि भार समान हैं, तो दीर्घवृत्त की विशेष स्तिथि परिणाम देती है।

एक कैसिनी अंडाकार उन बिंदुओं का समूह है जिनमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए फोकी की दूरियों का गुणनफल स्थिर होता है।

सामान्यीकरण
n-दीर्घवृत्त उन सभी बिंदुओं का समूह है जिनकी दूरी n फोकी के समान है (n = 2 स्तिथि पारंपरिक दीर्घवृत्त है)।

केंद्रबिन्दु की अवधारणा को व्यापक बीजगणितीय वक्रों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। C को वर्ग m का एक वक्र होने दें और I और J को अनंत पर वृत्ताकार बिंदुओं को निरूपित करने दें। और J में से प्रत्येक के माध्यम से C पर m स्पर्श रेखाएँ खींचें। m रेखाओं के दो सम्मुच्चय हैं जिनमें m2 प्रतिच्छेदन बिंदु होगा, कुछ स्तिथियों में विलक्षणताओं आदि के कारण अपवाद होंगे। प्रतिच्छेदन के इन बिंदुओं को C के केंद्रबिन्दु के रूप में परिभाषित किया गया है। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु P एक केंद्रबिन्दु है यदि PI और PJ दोनों C के लिए स्पर्शरेखा हैं। जब C एक वास्तविक वक्र है, तो केवल संयुग्म जोड़े के चौराहे वास्तविक हैं, इसलिए वास्तविक नाभियों में m और m2 हैं − m काल्पनिक केंद्रबिन्दु। जब C एक शांकव होता है, तो इस तरह से परिभाषित वास्तविक फोकी ठीक वही फोकी होते हैं जिनका उपयोग C के ज्यामितीय निर्माण में किया जा सकता है।

सनाभि वक्र
मान लीजिए P1, P2, ..., Pm वर्ग m के बीजगणितीय वक्र C के फोकी के रूप में दिए गए हैं। बता दें कि P इन बिंदुओं के स्पर्शरेखा समीकरणों का गुणनफल है और Q अनंत पर वृत्ताकार बिंदुओं के स्पर्शरेखा समीकरणों का गुणनफल है। फिर सभी रेखाएँ जो P = 0 और Q = 0 दोनों के लिए सामान्य स्पर्शरेखाएँ हैं, C की स्पर्शरेखा हैं। इसलिए, AF+BG प्रमेय के अनुसार, C के स्पर्शरेखा समीकरण का रूप HP + KQ = 0 है। चूँकि C का वर्ग m है, H एक स्थिरांक होना चाहिए और K लेकिन उसकी घात m−2 से कम या उसके बराबर होनी चाहिए। स्थिति H = 0 को पतित के रूप में समाप्त किया जा सकता है, इसलिए C के स्पर्शरेखा समीकरण को P + fQ = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ f एक बहुपद m2 की घात का एक स्वेच्छाचारी बहुपद है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए m = 2, P1 = (1,0), और P2 = (−1,0)। स्पर्शरेखा समीकरण X + 1 = 0 और X − 1 = 0 हैं इसलिए P = X2 − 1 = 0. अनंत पर गोलाकार बिंदुओं के लिए स्पर्शरेखा समीकरण हैं X + iY = 0 और X − iY = 0 इसलिए Q = X इसलिए, दिए गए फोकस के साथ शंकु के लिए स्पर्शरेखा समीकरण  X2 − 1 + c(X2 +Y2) = 0, or (1+ c)X2 + cY2 = 1 है जहां c एक स्वेच्छाचारी स्थिरांक है। बिंदु निर्देशांक में यह निम्न बन जाता है
 * $$\frac{x^2}{1+c} + \frac{y^2}{c} = 1.$$