क्वांटम समूह

गणित और सैद्धांतिक भौतिकी में, क्वांटम समूह शब्द अतिरिक्त संरचना के साथ कुछ अलग प्रकार के गैर-अनुवांशिक बीजगणितों में से एक को दर्शाता है। इनमें ड्रिनफेल्ड-जिम्बो प्रकार के क्वांटम समूह (जो कि क्वासित्रिकोणीय हॉपफ बीजगणित हैं), कॉम्पैक्ट क्वांटम समूह (जो यूनिटल वियोज्य सी*-बीजगणित पर संरचनाएं हैं), और बाइक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह शामिल हैं। अपने नाम के बावजूद, उनके पास स्वयं एक प्राकृतिक समूह संरचना नहीं है, हालांकि वे कुछ अर्थों में एक समूह के 'करीब' हैं।

क्वांटम समूह शब्द पहली बार इंटीग्रेबल सिस्टम #क्वांटम इंटीग्रेबल सिस्टम के सिद्धांत में सामने आया, जिसे तब व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड और मिचियो जिम्बो ने हॉपफ बीजगणित के एक विशेष वर्ग के रूप में औपचारिक रूप दिया था। इसी शब्द का उपयोग अन्य हॉपफ बीजगणितों के लिए भी किया जाता है जो विकृत हैं या शास्त्रीय लाई समूहों या लाई बीजगणित के करीब हैं, जैसे कि ड्रिनफेल्ड और जिम्बो के काम के कुछ समय बाद एस हा हा एनएम ए ग्रेड द्वारा पेश किए गए क्वांटम समूहों का एक बाइक्रोसप्रोडक्ट वर्ग।

ड्रिनफेल्ड के दृष्टिकोण में, क्वांटम समूह एक सहायक पैरामीटर q या h के आधार पर हॉपफ बीजगणित के रूप में उत्पन्न होते हैं, जो एक निश्चित लाई बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित बन जाते हैं, अक्सर अर्धसरल लाई बीजगणित या एफ़िन लाई बीजगणित, जब  q = 1 या h = 0. निकट संबंधी कुछ दोहरी वस्तुएं हैं, जिन्हें हॉपफ बीजगणित भी कहा जाता है और इन्हें क्वांटम समूह भी कहा जाता है, जो संबंधित अर्धसरल बीजीय समूह या एक कॉम्पैक्ट लाई समूह पर कार्यों के बीजगणित को विकृत करते हैं।

सहज अर्थ
क्वांटम समूहों की खोज काफी अप्रत्याशित थी क्योंकि यह लंबे समय से ज्ञात था कि कॉम्पैक्ट समूह और अर्धसरल बीजगणित कठोर वस्तुएं हैं, दूसरे शब्दों में, उन्हें विकृत नहीं किया जा सकता है। क्वांटम समूहों के पीछे एक विचार यह है कि यदि हम एक ऐसी संरचना पर विचार करते हैं जो एक अर्थ में समतुल्य लेकिन बड़ी है, अर्थात् एक टोपोलॉजिकल समूह का समूह बीजगणित या एक सार्वभौमिक आवरण बीजगणित, तो एक समूह या आवरण बीजगणित को विकृत किया जा सकता है, हालांकि विरूपण अब एक समूह या घेरने वाला बीजगणित नहीं रहेगा। अधिक सटीक रूप से, विरूपण को हॉपफ बीजगणित की श्रेणी के भीतर पूरा किया जा सकता है, जिन्हें क्रमविनिमेय या सहअनुक्रमिक होना आवश्यक नहीं है। एलेन कोन्स की गैर-अनुवांशिक ज्यामिति की भावना में, विकृत वस्तु को एक गैर-अनुवांशिक स्थान पर कार्यों के बीजगणित के रूप में सोचा जा सकता है। हालाँकि, यह अंतर्ज्ञान तब आया जब क्वांटम समूहों के विशेष वर्गों ने लेनिनग्राद स्कूल (लुडविग फद्दीव, लियोन तख्तजान, येवगेनी स्क्लियानिन, नित्सोलाई रेशेतिहिन और) द्वारा विकसित क्वांटम यांग-बैक्सटर समीकरण और क्वांटम व्युत्क्रम बिखरने की विधि के अध्ययन में पहले ही अपनी उपयोगिता साबित कर दी थी। व्लादिमीर कोरेपिन) और जापानी स्कूल द्वारा संबंधित कार्य। क्वांटम समूहों के दूसरे, bicrossproduct, वर्ग के पीछे अंतर्ज्ञान अलग था और क्वांटम गुरुत्वाकर्षण के दृष्टिकोण के रूप में स्व-दोहरी वस्तुओं की खोज से आया था।

ड्रिनफेल्ड-जिम्बो प्रकार क्वांटम समूह
एक प्रकार की वस्तुएं जिन्हें आमतौर पर क्वांटम समूह कहा जाता है, व्लादिमीर ड्रिनफेल्ड और मिचियो जिम्बो के काम में हॉपफ बीजगणित की श्रेणी में एक अर्धसरल ले बीजगणित या, अधिक सामान्यतः, एक काक-मूडी बीजगणित के सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के विरूपण के रूप में दिखाई दीं। परिणामी बीजगणित में अतिरिक्त संरचना होती है, जो इसे अर्ध-त्रिकोणीय हॉपफ बीजगणित बनाती है।

माना A = (aij) केएसी-मूडी बीजगणित का कार्टन मैट्रिक्स बनें, और मान लें कि q ≠ 0, 1 एक जटिल संख्या है, तो क्वांटम समूह, यूq(जी), जहां जी झूठ बीजगणित है जिसका कार्टन मैट्रिक्स ए है, जेनरेटर के के साथ यूनिटल बीजगणित सहयोगी बीजगणित के रूप में परिभाषित किया गया हैλ(जहां λ वजन जाली का एक तत्व है, यानी 2(λ, αi)/(एi, एi) सभी i), और e के लिए एक पूर्णांक हैiऔर एफi(जड़ प्रणाली के लिए#सकारात्मक जड़ें और सरल जड़ें, αi), निम्नलिखित संबंधों के अधीन:


 * $$\begin{align}

k_0 &= 1 \\ k_\lambda k_\mu &= k_{\lambda+\mu} \\ k_\lambda e_i k_\lambda^{-1} &= q^{(\lambda,\alpha_i)} e_i \\ k_\lambda f_i k_\lambda^{-1} &= q^{- (\lambda,\alpha_i)} f_i \\ \left [e_i, f_j \right ] &= \delta_{ij} \frac{k_i - k_i^{-1}}{q_i - q_i^{-1}} && k_i = k_{\alpha_i}, q_i = q^{\frac{1}{2}(\alpha_i,\alpha_i)} \\ \end{align}$$ और i ≠ j के लिए हमारे पास q-सेरे संबंध हैं, जो जीन पियरे सेरे  संबंधों की विकृति हैं:


 * $$\begin{align}

\sum_{n=0}^{1 - a_{ij}} (-1)^n \frac{[1 - a_{ij}]_{q_i}!}{[1 - a_{ij} - n]_{q_i}! [n]_{q_i}!} e_i^n e_j e_i^{1 - a_{ij} - n} &= 0 \\[6pt] \sum_{n=0}^{1 - a_{ij}} (-1)^n \frac{[1 - a_{ij}]_{q_i}!}{[1 - a_{ij} - n]_{q_i}! [n]_{q_i}!} f_i^n f_j f_i^{1 - a_{ij} - n} &= 0 \end{align}$$ जहां q- कारख़ाने का, सामान्य फैक्टोरियल का q-एनालॉग, q-संख्या का उपयोग करके पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया है:


 * $$\begin{align}

{[0]}_{q_i}! &= 1 \\ {[n]}_{q_i}! &= \prod_{m=1}^n [m]_{q_i}, && [m]_{q_i} = \frac{q_i^m - q_i^{-m}}{q_i - q_i^{-1}} \end{align}$$ q → 1 जैसी सीमा में, ये संबंध सार्वभौमिक आवरण बीजगणित U(G) के संबंधों तक पहुंचते हैं, जहां


 * $$k_{\lambda} \to 1, \qquad \frac{k_\lambda - k_{-\lambda}}{q - q^{-1}} \to t_\lambda$$

और टीλकार्टन उपबीजगणित का तत्व संतोषजनक है (टीλ, h) = λ(h) कार्टन उपबीजगणित में सभी h के लिए।

विभिन्न कोलजेब्रा हैं जिनके अंतर्गत ये बीजगणित हॉपफ बीजगणित हैं, उदाहरण के लिए,


 * $$ \begin{array}{lll}

\Delta_1(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda & \Delta_1(e_i) = 1 \otimes e_i + e_i \otimes k_i & \Delta_1(f_i) = k_i^{-1} \otimes f_i + f_i \otimes 1 \\ \Delta_2(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda & \Delta_2(e_i) = k_i^{-1} \otimes e_i + e_i \otimes 1 & \Delta_2(f_i) = 1 \otimes f_i + f_i \otimes k_i \\ \Delta_3(k_\lambda) = k_\lambda \otimes k_\lambda & \Delta_3(e_i) = k_i^{-\frac{1}{2}} \otimes e_i + e_i \otimes k_i^{\frac{1}{2}} & \Delta_3(f_i) = k_i^{-\frac{1}{2}} \otimes f_i + f_i \otimes k_i^{\frac{1}{2}} \end{array}$$ जहां, यदि आवश्यक हो, तो k को शामिल करने के लिए जनरेटर का सेट बढ़ाया गया हैλλ के लिए जो भार जालक के एक तत्व और मूल जालक के आधे तत्व के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

इसके अलावा, कोई भी हॉपफ बीजगणित उलटे सहउत्पाद टी के साथ दूसरे की ओर ले जाता है o Δ, जहां T को T(x ⊗ y) = y ⊗ x द्वारा दिया गया है, जिससे तीन और संभावित संस्करण मिलते हैं।

यू पर गिनतीq(ए) इन सभी सह-उत्पादों के लिए समान है: ε(kλ) = 1, ई(ईi) = ई(एफi) = 0, और उपरोक्त सह-उत्पादों के लिए संबंधित हॉपफ बीजगणित इस प्रकार दिया गया है


 * $$ \begin{array}{lll}

S_1(k_\lambda) = k_{-\lambda} & S_1(e_i) = - e_i k_i^{-1} & S_1(f_i) = - k_i f_i \\ S_2(k_\lambda) = k_{-\lambda} & S_2(e_i) = - k_i e_i & S_2(f_i) = - f_i k_i^{-1} \\ S_3(k_\lambda) = k_{-\lambda} & S_3(e_i) = - q_i e_i & S_3(f_i) = - q_i^{-1} f_i \end{array}$$ वैकल्पिक रूप से, क्वांटम समूह यूq(जी) को 'सी' (क्यू) क्षेत्र पर एक बीजगणित के रूप में माना जा सकता है, जो 'सी' पर एक अनिश्चित क्यू के सभी तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र है।

इसी प्रकार, क्वांटम समूह यूq(जी) को क्षेत्र 'क्यू' (क्यू) पर एक बीजगणित के रूप में माना जा सकता है, जो 'क्यू' पर एक अनिश्चित क्यू के सभी तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र है (क्यू = 0 पर क्वांटम समूहों पर अनुभाग में नीचे देखें)। क्वांटम समूह के केंद्र को क्वांटम निर्धारक द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
जिस तरह केएसी-मूडी बीजगणित और उनके सार्वभौमिक आवरण बीजगणित के लिए कई अलग-अलग प्रकार के प्रतिनिधित्व हैं, उसी तरह क्वांटम समूहों के लिए भी कई अलग-अलग प्रकार के प्रतिनिधित्व हैं।

जैसा कि सभी हॉपफ बीजगणित का मामला है, यूq(जी) के पास एक मॉड्यूल के रूप में स्वयं पर एक सहायक एंडोमोर्फिज्म है, जिसके द्वारा कार्रवाई दी जा रही है
 * $$\mathrm{Ad}_x \cdot y = \sum_{(x)} x_{(1)} y S(x_{(2)}),$$

कहाँ
 * $$\Delta(x) = \sum_{(x)} x_{(1)} \otimes x_{(2)}.$$

केस 1: क्यू एकता की जड़ नहीं है
एक महत्वपूर्ण प्रकार का प्रतिनिधित्व वजन प्रतिनिधित्व है, और संबंधित मॉड्यूल (गणित) को वजन मॉड्यूल कहा जाता है। वेट मॉड्यूल वेट वैक्टर के आधार पर एक मॉड्यूल है। एक भार वेक्टर एक गैर-शून्य वेक्टर v है जैसे कि kλ· में = डीλv सभी λ के लिए, जहां dλसभी भारों के लिए जटिल संख्याएँ हैं λ जैसे कि


 * $$d_0 = 1,$$
 * $$d_\lambda d_\mu = d_{\lambda + \mu},$$ सभी भारों के लिए λ और μ।

यदि ई की क्रियाएं होती हैं तो एक वजन मॉड्यूल को इंटीग्रेबल कहा जाता हैiऔर एफiस्थानीय रूप से निलपोटेंट हैं (यानी मॉड्यूल में किसी भी वेक्टर v के लिए, एक सकारात्मक पूर्णांक k मौजूद है, संभवतः v पर निर्भर है, जैसे कि $$e_i^k.v = f_i^k.v = 0$$ सभी के लिए मैं)। पूर्णांक मॉड्यूल के मामले में, सम्मिश्र संख्याएँ dλ एक वजन वेक्टर संतुष्ट के साथ जुड़ा हुआ है $$d_\lambda = c_\lambda q^{(\lambda,\nu)}$$, जहां ν भार जाली का एक तत्व है, और सीλऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं


 * $$c_0 = 1,$$
 * $$c_\lambda c_\mu = c_{\lambda + \mu},$$ सभी भारों के लिए λ और μ,
 * $$c_{2\alpha_i} = 1$$ सबके लिए मैं

विशेष रुचि के उच्चतम-वजन वाले अभ्यावेदन और संबंधित उच्चतम-वजन वाले मॉड्यूल हैं। उच्चतम भार मॉड्यूल एक भार वेक्टर v द्वारा उत्पन्न मॉड्यूल है, जो k के अधीन हैλ · में = डीλv सभी भारों के लिए μ, और ei· सभी i के लिए v = 0. इसी तरह, एक क्वांटम समूह में सबसे कम वजन प्रतिनिधित्व और सबसे कम वजन मॉड्यूल हो सकता है, यानी एक वजन वेक्टर वी द्वारा उत्पन्न मॉड्यूल, के अधीनλ· में = डीλv सभी भारों के लिए λ, और fi· सभी i के लिए v = 0.

यदि भार ν हो तो एक सदिश v को परिभाषित करें $$k_\lambda\cdot v = q^{(\lambda,\nu)} v$$ वजन जाली में सभी λ के लिए।

यदि G एक Kac-Moody बीजगणित है, तो U के किसी भी अघुलनशील उच्चतम भार प्रतिनिधित्व मेंq(जी), उच्चतम वजन ν के साथ, वजन की बहुलता समान उच्चतम वजन के साथ यू (जी) के अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व में उनकी बहुलता के बराबर होती है। यदि उच्चतम वजन प्रमुख और अभिन्न है (एक वजन μ प्रमुख और अभिन्न है यदि μ इस शर्त को पूरा करता है कि $$2 (\mu,\alpha_i)/(\alpha_i,\alpha_i)$$ सभी i के लिए एक गैर-नकारात्मक पूर्णांक है), तो जी के लिए वेइल समूह के तहत अपरिवर्तनीय प्रतिनिधित्व का वजन स्पेक्ट्रम अपरिवर्तनीय है, और प्रतिनिधित्व पूर्णांक है।

इसके विपरीत, यदि उच्चतम भार मॉड्यूल पूर्णांकीय है, तो इसका उच्चतम भार वेक्टर v संतुष्ट करता है $$k_\lambda\cdot v = c_\lambda q^{(\lambda,\nu)} v$$, जहां सीλ · में = डीλv ऐसी सम्मिश्र संख्याएँ हैं


 * $$c_0 = 1,$$
 * $$c_\lambda c_\mu = c_{\lambda + \mu},$$ सभी भारों के लिए λ और μ,
 * $$c_{2\alpha_i} = 1$$ मैं सबके लिए,

और ν प्रमुख और अभिन्न है।

जैसा कि सभी हॉपफ बीजगणित के मामले में है, दो मॉड्यूल का टेंसर उत्पाद एक अन्य मॉड्यूल है। U के एक तत्व x के लिएq(जी), और संबंधित मॉड्यूल में वैक्टर वी और डब्ल्यू के लिए, x ⋅ (v ⊗ w) = Δ(x) ⋅ (v ⊗ w), ताकि $$k_\lambda\cdot(v \otimes w) = k_\lambda\cdot v \otimes k_\lambda.w$$, और सहउत्पाद के मामले में Δ1, $$e_i\cdot(v \otimes w) = k_i\cdot v \otimes e_i\cdot w + e_i\cdot v \otimes w$$ और $$f_i\cdot(v \otimes w) = v \otimes f_i\cdot w + f_i\cdot v \otimes k_i^{-1}\cdot w.$$ ऊपर वर्णित एकीकृत उच्चतम वजन मॉड्यूल एक-आयामी मॉड्यूल का एक टेंसर उत्पाद है (जिस पर kλ = सीλ सभी λ के लिए, और ईi= एफi= 0 सभी के लिए i) और एक गैर-शून्य वेक्टर v द्वारा उत्पन्न उच्चतम वजन मॉड्यूल0, का विषय है $$k_\lambda\cdot v_0 = q^{(\lambda,\nu)} v_0$$ सभी भारों के लिए λ, और $$e_i\cdot v_0 = 0$$ सबके लिए मैं

विशिष्ट मामले में जहां G एक परिमित-आयामी झूठ बीजगणित है (Kac-Moody बीजगणित के एक विशेष मामले के रूप में), तो प्रमुख अभिन्न उच्चतम भार के साथ अघुलनशील प्रतिनिधित्व भी परिमित-आयामी हैं।

उच्चतम वजन वाले मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद के मामले में, सबमॉड्यूल में इसका अपघटन केएसी-मूडी बीजगणित के संबंधित मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद के समान होता है (उच्चतम वजन समान होते हैं, जैसे उनकी बहुलताएं होती हैं)।

केस 1: क्यू एकता की जड़ नहीं है
सख्ती से, क्वांटम समूह यूq(जी) अर्धत्रिकोणीय नहीं है, लेकिन इसे लगभग अर्धत्रिकोणीय माना जा सकता है क्योंकि इसमें एक अनंत औपचारिक योग मौजूद है जो आर-मैट्रिक्स|आर-मैट्रिक्स की भूमिका निभाता है। यह अनंत औपचारिक योग जेनरेटर ई के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता हैiऔर एफi, और कार्टन जनरेटर टीλ, जहां केλऔपचारिक रूप से q से पहचाना जाता है tλ. अनंत औपचारिक योग दो कारकों का गुणनफल है,
 * $$q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}$$

और एक अनंत औपचारिक योग, जहां λj कार्टन उपबीजगणित और μ के दोहरे स्थान का आधार हैj दोहरा आधार है, और η = ±1.

औपचारिक अनंत योग जो आर-मैट्रिक्स | आर-मैट्रिक्स का हिस्सा निभाता है, दो अपरिवर्तनीय उच्चतम वजन मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद पर और दो सबसे कम वजन वाले मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद पर एक अच्छी तरह से परिभाषित कार्रवाई करता है। विशेष रूप से, यदि v का भार α है और w का भार β है, तो
 * $$q^{\eta \sum_j t_{\lambda_j} \otimes t_{\mu_j}}\cdot(v \otimes w) = q^{\eta (\alpha,\beta)} v \otimes w,$$

और तथ्य यह है कि मॉड्यूल दोनों उच्चतम वजन वाले मॉड्यूल हैं या दोनों सबसे कम वजन वाले मॉड्यूल v ⊗ W पर अन्य कारक की कार्रवाई को एक सीमित योग तक कम कर देते हैं।

विशेष रूप से, यदि वी एक उच्चतम वजन मॉड्यूल है, तो औपचारिक अनंत योग, आर, में वी ⊗ वी पर एक अच्छी तरह से परिभाषित, और उलटा कार्रवाई है, और आर का यह मान (अंत के एक तत्व के रूप में (वी ⊗ वी)) यांग-बैक्सटर समीकरण को संतुष्ट करता है, और इसलिए हमें ब्रैड समूह का प्रतिनिधित्व निर्धारित करने और गाँठ (गणित), लिंक (गाँठ सिद्धांत) और ब्रैड सिद्धांत के लिए अर्ध-अपरिवर्तनीय को परिभाषित करने की अनुमति देता है।

क्वांटम समूह q = 0
पर

मसाकी काशीवारा ने क्यू → 0 के रूप में क्वांटम समूहों के सीमित व्यवहार पर शोध किया है, और एक विशेष रूप से अच्छा व्यवहार वाला आधार पाया है जिसे क्रिस्टल आधार कहा जाता है।

रूट-सिस्टम और डायनकिन आरेख द्वारा विवरण और वर्गीकरण
उपरोक्त यू जैसे क्वांटम समूहों के परिमित भागफल का वर्णन करने में काफी प्रगति हुई हैq('जी') क्यू के लिएn = 1; कोई आमतौर पर 'नुकीले' हॉपफ बीजगणित के वर्ग पर विचार करता है, जिसका अर्थ है कि सभी उप-आकार 1-आयामी हैं और इस प्रकार उनका योग एक समूह बनता है जिसे 'कोरैडिकल' कहा जाता है:


 * 2002 में एच.-जे. श्नाइडर और एन. एंड्रुस्किवित्च एबेलियन सह-कट्टरपंथी समूह (अभाज्य 2, 3, 5, 7 को छोड़कर) के साथ नुकीले हॉपफ बीजगणित के अपने वर्गीकरण को समाप्त किया, विशेष रूप से यू के उपरोक्त परिमित भागफल के रूप मेंq('g') सामान्य सेमीसिम्पल लाई बीजगणित की तरह E′s (बोरेल भाग), दोहरे F′s और K′s (कार्टन बीजगणित) में विघटित होता है:
 * $$\left(\mathfrak{B}(V)\otimes k[\mathbf{Z}^n]\otimes\mathfrak{B}(V^*)\right)^\sigma$$
 * यहां, जैसा कि शास्त्रीय सिद्धांत में V, E's द्वारा फैलाए गए आयाम n का एक ब्रेडेड वेक्टर स्पेस है, और σ (एक तथाकथित कोसिलस ट्विस्ट) E's और F's के बीच गैर-तुच्छ 'लिंकिंग' बनाता है। ध्यान दें कि शास्त्रीय सिद्धांत के विपरीत, दो से अधिक जुड़े हुए घटक प्रकट हो सकते हैं। 'क्वांटम बोरेल बीजगणित' की भूमिका निकोलस बीजगणित द्वारा ली गई है $$\mathfrak{B}(V)$$ of the braided vectorspace. Dynkin4A3lift.png* सामान्यीकृत डायनकिन आरेखों के संदर्भ में एबेलियन समूहों के लिए आई. हेकेनबर्गर का निकोल्स बीजगणित एक महत्वपूर्ण घटक था। जब छोटे अभाज्य संख्याएँ मौजूद होती हैं, तो कुछ विदेशी उदाहरण, जैसे कि त्रिभुज, घटित होते हैं (रैंक 3 डंकिन आरेख का चित्र भी देखें)।

* इस बीच, श्नाइडर और हेकेनबर्गर आम तौर पर नॉनबेलियन मामले में भी एक अंकगणितीय जड़ प्रणाली के अस्तित्व को साबित किया है, जिससे पोंकारे-बिरखॉफ-विट प्रमेय का निर्माण होता है, जैसा कि एबेलियन मामले में खारचेको द्वारा सिद्ध किया गया है (परिमित आयाम पर धारणा के बिना)। इसका उपयोग किया जा सकता है विशिष्ट मामलों पर यूq('जी') और उदाहरण के लिए समझाता है इन क्वांटम समूहों के कुछ सहबद्ध उपबीजगणित और ली बीजगणित 'जी' के वेइल समूह के क्रम के बीच संख्यात्मक संयोग।

कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स क्वांटम समूह
एस. एल. वोरोनोविज़ ने कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स क्वांटम समूहों की शुरुआत की। कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स क्वांटम समूह अमूर्त संरचनाएं हैं जिन पर संरचना पर निरंतर कार्य C*-बीजगणित के तत्वों द्वारा दिए जाते हैं। एक कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स क्वांटम समूह की ज्यामिति एक गैर-अनुवांशिक ज्यामिति का एक विशेष मामला है।

कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ टोपोलॉजिकल स्पेस पर निरंतर जटिल-मूल्यवान फ़ंक्शन एक क्रमविनिमेय C*-बीजगणित बनाते हैं। गेलफैंड प्रतिनिधित्व के अनुसार, एक कम्यूटेटिव सी*-बीजगणित एक कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ टोपोलॉजिकल स्पेस पर निरंतर जटिल-मूल्य वाले कार्यों के सी*-बीजगणित के लिए आइसोमोर्फिक है, और टोपोलॉजिकल स्पेस को होमियोमोर्फिज्म तक सी*-बीजगणित द्वारा विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है।

एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समूह, जी के लिए, एक सी*-बीजगणित समरूपता मौजूद है Δ: सी(जी) → सी(जी) ⊗ सी(जी) (जहां सी(जी) ⊗ सी(जी) सी*-बीजगणित टेंसर है उत्पाद - C(G) और C(G) के बीजगणितीय टेंसर उत्पाद का पूरा होना, जैसे कि Δ(f)(x, y) = f(xy) सभी f ∈ C(G) के लिए, और सभी x के लिए, y ∈ G (जहां (f ⊗ g)(x, y) = f(x)g(y) सभी f, g ∈ C(G) और सभी x, y ∈ G के लिए)। एक रैखिक गुणात्मक मानचित्रण भी मौजूद है κ: C(G) → C(G), जैसे कि κ(f)(x) = f(x)−1) सभी f ∈ C(G) और सभी x ∈ G के लिए। सख्ती से, यह C(G) को एक हॉपफ बीजगणित नहीं बनाता है, जब तक कि G परिमित न हो। दूसरी ओर, G के एक परिमित-आयामी समूह प्रतिनिधित्व का उपयोग C(G) का *-उप-बीजगणित उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है जो कि एक Hopf *-बीजगणित भी है। विशेष रूप से, यदि $$g \mapsto (u_{ij}(g))_{i,j}$$ G का n-आयामी प्रतिनिधित्व है, तो सभी i, j u के लिएij∈ सी(जी) और


 * $$\Delta(u_{ij}) = \sum_k u_{ik} \otimes u_{kj}.$$

इससे यह पता चलता है कि आपके द्वारा उत्पन्न *-बीजगणितijसभी i, j और κ(u) के लिएij) सभी i के लिए, j एक Hopf *-बीजगणित है: गिनती ε(u) द्वारा निर्धारित की जाती हैij) = डीij सभी के लिए i, j (जहाँ δij क्रोनकर डेल्टा है), एंटीपोड κ है, और इकाई द्वारा दी गई है


 * $$1 = \sum_k u_{1k} \kappa(u_{k1}) = \sum_k \kappa(u_{1k}) u_{k1}.$$

सामान्य परिभाषा
सामान्यीकरण के रूप में, एक कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स क्वांटम समूह को एक जोड़ी (सी, यू) के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां सी एक सी*-बीजगणित है और $$u = (u_{ij})_{i,j = 1,\dots,n}$$ C में प्रविष्टियों वाला एक मैट्रिक्स है जैसे कि


 * द *-उपबीजगणित, सी0, C का, जो u के मैट्रिक्स तत्वों द्वारा उत्पन्न होता है, C में सघन है;


 * एक C*-बीजगणित समरूपता मौजूद है जिसे सहगुणन Δ कहा जाता है: C → C ⊗ C (जहाँ C ⊗ C, C*-बीजगणित टेंसर उत्पाद है - C और C के बीजगणितीय टेंसर उत्पाद का पूरा होना) जैसे कि सभी के लिए मैं, जे हमारे पास है:
 * $$\Delta(u_{ij}) = \sum_k u_{ik} \otimes u_{kj}$$
 * एक रेखीय प्रतिगुणात्मक मानचित्र मौजूद है κ: C0 → सी0 (संगत विपरीत) इस प्रकार कि κ(κ(v*)*) = v सभी v ∈ C के लिए0 और
 * $$\sum_k \kappa(u_{ik}) u_{kj} = \sum_k u_{ik} \kappa(u_{kj}) = \delta_{ij} I,$$

जहां I, C का पहचान तत्व है। चूँकि κ प्रतिगुणक है, तो C में सभी v, w के लिए κ(vw) = κ(w) κ(v)0.

निरंतरता के परिणामस्वरूप, C पर सहगुणन सहसंबद्ध है।

सामान्य तौर पर, C एक द्विफलगणित नहीं है, और C0 एक हॉपफ*-बीजगणित है।

अनौपचारिक रूप से, C को कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स क्वांटम समूह पर निरंतर जटिल-मूल्यवान कार्यों के *-बीजगणित के रूप में माना जा सकता है, और u को कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स क्वांटम समूह के एक परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व के रूप में माना जा सकता है।

अभ्यावेदन
कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स क्वांटम समूह का एक प्रतिनिधित्व हॉपफ *-बीजगणित के एक कोलजेब्रा द्वारा दिया गया है (एक कोइनिटल कोअसोसिएटिव कोलजेब्रा ए का एक मुख्य प्रस्तुतीकरण एक वर्ग मैट्रिक्स है) $$v = (v_{ij})_{i,j = 1,\dots,n}$$ A में प्रविष्टियों के साथ (इसलिए v, M(n, A) से संबंधित है) जैसे कि


 * $$\Delta(v_{ij}) = \sum_{k=1}^n v_{ik} \otimes v_{kj}$$

सभी i, j और ε(v) के लिएij) = डीij सभी के लिए मैं, जे). इसके अलावा, एक प्रतिनिधित्व v को एकात्मक कहा जाता है यदि v के लिए मैट्रिक्स एकात्मक है (या समकक्ष, यदि κ(v)ij) = वी*ijसभी के लिए मैं, जे).

उदाहरण
कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स क्वांटम समूह का एक उदाहरण एसयू हैμ(2), जहां पैरामीटर μ एक सकारात्मक वास्तविक संख्या है। तो एसयूμ(2) = (सी(एसयूμ(2)), यू), जहां सी(एसयूμ(2)) α और γ द्वारा उत्पन्न C*-बीजगणित है, जिसके अधीन है


 * $$\gamma \gamma^* = \gamma^* \gamma, $$
 * $$\alpha \gamma = \mu \gamma \alpha, $$
 * $$\alpha \gamma^* = \mu \gamma^* \alpha, $$
 * $$\alpha \alpha^* + \mu \gamma^* \gamma = \alpha^* \alpha + \mu^{-1} \gamma^* \gamma = I,$$

और


 * $$u = \left( \begin{matrix} \alpha & \gamma \\ - \gamma^* & \alpha^* \end{matrix} \right),$$

ताकि सहगुणन ∆(α) = α ⊗ α − γ ⊗ γ*, ∆(γ) = α ⊗ γ + γ ⊗ α* द्वारा निर्धारित हो, और संयोग κ(α) = α*, κ द्वारा निर्धारित हो (सी) = −एम−1γ, κ(γ*) = −μγ*, κ(α*) = α. ध्यान दें कि यू एक प्रतिनिधित्व है, लेकिन एकात्मक प्रतिनिधित्व नहीं है। यू एकात्मक प्रतिनिधित्व के बराबर है


 * $$v = \left( \begin{matrix} \alpha & \sqrt{\mu} \gamma \\ - \frac{1}{\sqrt{\mu}} \gamma^* & \alpha^* \end{matrix} \right).$$

समतुल्य, एसयूμ(2) = (सी(एसयूμ(2)), डब्ल्यू), जहां सी(एसयूμ(2)) α और β द्वारा उत्पन्न C*-बीजगणित है, जिसके अधीन है


 * $$\beta \beta^* = \beta^* \beta,$$
 * $$\alpha \beta = \mu \beta \alpha,$$
 * $$\alpha \beta^* = \mu \beta^* \alpha,$$
 * $$\alpha \alpha^* + \mu^2 \beta^* \beta = \alpha^* \alpha + \beta^* \beta = I,$$

और


 * $$w = \left( \begin{matrix} \alpha & \mu \beta \\ - \beta^* & \alpha^* \end{matrix} \right),$$

ताकि सहगुणन ∆(α) = α ⊗ α − μβ ⊗ β*, Δ(β) = α ⊗ β + β ⊗ α* द्वारा निर्धारित किया जाए, और संयोग व्युत्क्रम κ(α) = α*, κ द्वारा निर्धारित किया जाए (बी) = −एम−1β, κ(β*) = −μβ*, κ(α*) = α. ध्यान दें कि w एक एकात्मक निरूपण है। अहसासों को बराबर करके पहचाना जा सकता है $$\gamma = \sqrt{\mu} \beta$$.

जब μ = 1, तो SUμ(2) कंक्रीट कॉम्पैक्ट समूह SU(2) पर कार्यों के बीजगणित C(SU(2)) के बराबर है।

बाइक्रॉसप्रोडक्ट क्वांटम समूह
जबकि कॉम्पैक्ट मैट्रिक्स स्यूडोग्रुप आमतौर पर दोहरे फ़ंक्शन बीजगणित फॉर्मूलेशन में ड्रिनफेल्ड-जिम्बो क्वांटम समूहों के संस्करण होते हैं, अतिरिक्त संरचना के साथ, बाइक्रोसप्रोडक्ट क्वांटम समूहों का एक अलग दूसरा परिवार है, जो अर्ध-सरल झूठ समूहों के बजाय हल करने योग्य विकृतियों के रूप में बढ़ते महत्व के हैं। वे लाई बीजगणित के लाई विभाजन या लाई समूहों के स्थानीय गुणनखंडन से जुड़े हुए हैं और इन्हें बीजगणित के लिए दूसरे पर कार्य करने वाले कारकों में से एक के क्रॉस उत्पाद या मैके परिमाणीकरण के रूप में देखा जा सकता है और दूसरे कारक के साथ सहउत्पाद Δ के लिए एक समान कहानी है। पहले पर वापस अभिनय करना।

सबसे सरल गैर-तुच्छ उदाहरण स्थानीय रूप से एक-दूसरे पर कार्य करने वाली आर की दो प्रतियों से मेल खाता है और जनरेटर पी, के, के के साथ एक क्वांटम समूह (यहां बीजगणितीय रूप में दिया गया) में परिणत होता है।−1, कहते हैं, और सहउत्पाद


 * $$[p, K]=h K(K-1)$$
 * $$\Delta p=p\otimes K+1\otimes p$$
 * $$\Delta K=K\otimes K$$

जहां h विरूपण पैरामीटर है।

क्वांटम यांत्रिकी के हाइजेनबर्ग बीजगणित के विरूपण के रूप में देखे जाने पर यह क्वांटम समूह बोर्न पारस्परिकता को लागू करने वाले प्लैंक स्केल भौतिकी के एक खिलौना मॉडल से जुड़ा हुआ था। इसके अलावा, अर्धसरल लाई बीजगणित 'जी' के किसी भी कॉम्पैक्ट वास्तविक रूप से शुरू करते हुए, दोगुने आयाम के वास्तविक लाई बीजगणित के रूप में इसकी जटिलता 'जी' और एक निश्चित हल करने योग्य लाई बीजगणित (इवासावा अपघटन) में विभाजित हो जाती है, और यह एक विहित बाइक्रोसप्रोडक्ट प्रदान करता है। 'जी' से संबंधित क्वांटम समूह। 'सु'(2) के लिए 3 आयामों में गतियों के यूक्लिडियन समूह ई(3) का क्वांटम समूह विरूपण प्राप्त होता है।

यह भी देखें

 * हॉपफ बीजगणित
 * बायलजेब्रा झूठ बोलना
 * पॉइसन-लाई समूह
 * क्वांटम एफ़िन बीजगणित