टोपोलॉजी

गणित में, टोपोलॉजी किसी ज्यामितीय वस्तु के गुणों से संबंधित है जो निरंतर विकृतियों के अंतर्गत संरक्षित हैं, जैसे स्ट्रेचिंग, व्यावर्तन (ट्विस्टिंग), क्रम्पलिंग और बंकन (बेन्डिंग); अर्थात, छिद्रों को बंद किए बिना, छिद्रों को खोलना, विदारण (टीयरिंग), ग्लोइंग या स्वयं से गुजरे बिना।

टोपोलॉजिकल स्पेस एक संरचना से संपन्न एक सेट है, जिसे टोपोलॉजी कहा जाता है, जो उप-स्थानों के निरंतर विरूपण को परिभाषित करने की अनुमति देता है, और, अधिक सामान्यतः, सभी प्रकार की निरंतरता। यूक्लिडियन स्पेस स्थान, और, अधिक आम तौर पर, मीट्रिक रिक्त स्थान एक टोपोलॉजिकल स्पेस के उदाहरण हैं, क्योंकि कोई भी दूरी या मीट्रिक एक टोपोलॉजी को परिभाषित करता है। टोपोलॉजी में जिन विकृतियों पर विचार किया जाता है वे होमोमोर्फिज्म और होमोटोपीज़ हैं। एक संपत्ति जो इस तरह की विकृतियों के तहत अपरिवर्तनीय है वह एक टोपोलॉजिकल संपत्ति है। टोपोलॉजिकल गुणों के बुनियादी उदाहरण निम्नलिखित हैं: आयाम, जो एक रेखा और एक सतह के बीच अंतर करने की अनुमति देता है; सघनता, जो एक रेखा और एक वृत्त के बीच अंतर करने की अनुमति देती है; कनेक्टिविटी, जो एक वृत्त को दो गैर-प्रतिच्छेदी वृत्तों से अलग करने की अनुमति देती है।

टोपोलॉजी के अंतर्निहित विचार गॉटफ्राइड लाइबनिज़ के पास जाते हैं, जिन्होंने 17 वीं शताब्दी में जियोमेट्रिया साइटस और विश्लेषण साइटस की कल्पना की थी। लियोनहार्ड यूलर की कोनिग्सबर्ग के सात पुल समस्या और पॉलीहेड्रॉन फॉर्मूला यकीनन क्षेत्र के पहले प्रमेय हैं। टोपोलॉजी शब्द 19वीं शताब्दी में जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग द्वारा पेश किया गया था; हालाँकि, 20वीं शताब्दी के पहले दशकों तक टोपोलॉजिकल स्पेस का विचार विकसित नहीं हुआ था।

प्रेरणा
टोपोलॉजी के पीछे प्रेरक अंतर्दृष्टि यह है कि कुछ ज्यामितीय समस्याएं सम्मिलित वस्तुओं के यथार्थ आकार पर निर्भर नहीं करती हैं, बल्कि उन्हें साथ रखने के तरीके पर निर्भर करती हैं। उदाहरण के लिए, वर्ग और वृत्त में कई गुण समान हैं: वे दोनों एक विमीय वस्तुएं हैं (सामयिक दृष्टिकोण से) और दोनों विमान को दो भागों (आतंरिक व बाहरी भागों) में विभाजित करते हैं।

टोपोलॉजी में पहले पत्रों में से एक में, लियोनहार्ड यूलर ने दर्शाया कि कोनिग्सबर्ग (अब कैलिनिनग्राद) शहर के माध्यम से एक मार्ग खोजना असंभव था जो इसके सात पुलों में से प्रत्येक को एक बार पार कर सके। यह परिणाम पुलों की लंबाई या एक-दूसरे से उनकी दूरी पर निर्भर नहीं करता था, बल्कि केवल कनेक्टिविटी गुणों पर निर्भर करता था: कौन से पुल किस द्वीप या नदी तट से जुड़ते हैं। कोनिग्सबर्ग समस्या के इस सात पुलों ने गणित की उस शाखा को जन्म दिया जिसे ग्राफ सिद्धांत के नाम से जाना जाता है।

इसी तरह, बीजगणितीय टोपोलॉजी के बालों वाली गेंद प्रमेय का कहना है कि "कोई भी काउलिक बनाए बिना बालों वाली गेंद पर सीधे बालों में कंघी नहीं कर सकता है।" यह तथ्य अधिकांश लोगों को तुरंत आश्वस्त कर देता है, भले ही वे प्रमेय के अधिक औपचारिक कथन को नहीं पहचान पाते हैं, कि गोले पर कोई गैर-लुप्त होने वाला निरंतर स्पर्शरेखा वेक्टर क्षेत्र नहीं है। कोनिग्सबर्ग के पुलों के समान, परिणाम गोले के आकार पर निर्भर नहीं करता है; यह किसी भी प्रकार की चिकनी बूँद पर तब तक लागू होता है, जब तक उसमें कोई छेद न हो।

इन समस्याओं से निपटने के लिए जो वस्तुओं के सटीक आकार पर निर्भर नहीं करती हैं, किसी को यह स्पष्ट होना चाहिए कि ये समस्याएं किन गुणों पर निर्भर करती हैं। इस आवश्यकता से होमियोमोर्फिज्म की धारणा उत्पन्न होती है। प्रत्येक पुल को केवल एक बार पार करने की असंभवता कोनिग्सबर्ग में पुलों की होमोमोर्फिक किसी भी व्यवस्था पर लागू होती है, और हेअरी बॉल प्रमेय किसी गोले के होमोमोर्फिक किसी भी स्थान पर लागू होती है।

सहज रूप से, दो स्थान होमियोमॉर्फिक हैं यदि एक को बिना काटे या चिपकाए दूसरे में विकृत किया जा सकता है। एक पारंपरिक मज़ाक यह है कि एक टोपोलॉजिस्ट एक कॉफी मग को डोनट से अलग नहीं कर सकता है, क्योंकि एक पर्याप्त लचीले डोनट को एक डिंपल बनाकर और उसे उत्तरोत्तर बड़ा करके, एक हैंडल में छेद को सिकोड़ते हुए एक कॉफी कप में फिर से आकार दिया जा सकता है।

होमोमॉर्फिज्म को सबसे बुनियादी टोपोलॉजिकल तुल्यता माना जा सकता है। दूसरा है होमोटॉपी समतुल्यता। तकनीकी जानकारी के बिना इसका वर्णन करना कठिन है, लेकिन आवश्यक धारणा यह है कि दो वस्तुएं समरूप समतुल्य हैं यदि वे दोनों किसी बड़ी वस्तु को "कुचलने" के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती हैं।

एक परिचयात्मक अभ्यास (गणित) होमोमोर्फिज्म और समरूपता के अनुसार अंग्रेजी वर्णमाला के बड़े अक्षरों को वर्गीकृत करना है। परिणाम उपयोग किए गए फ़ॉन्ट पर निर्भर करता है, और इस बात पर निर्भर करता है कि अक्षरों को बनाने वाले स्ट्रोक में कुछ मोटाई है या बिना मोटाई के आदर्श वक्र हैं। यहां के आंकड़े बिना-सेरिफ़ मैरियाड (फ़ॉन्ट) फ़ॉन्ट का उपयोग करते हैं और माना जाता है कि इसमें मोटाई के बिना आदर्श वक्र होते हैं। होमियोमॉर्फिज्म की तुलना में होमोटोपी तुल्यता एक मोटे संबंध है; एक समरूप तुल्यता वर्ग में कई समरूपता वर्ग हो सकते हैं। ऊपर वर्णित होमोटॉपी तुल्यता का सरल मामला यहां दो अक्षरों को दिखाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है जो समरूप समकक्ष हैं। उदाहरण के लिए, ओ पी के अंदर फिट बैठता है और पी की पूंछ को छेद वाले हिस्से में घुमाया जा सकता है।

होमोमोर्फिज्म वर्ग हैं:
 * सी, जी, आई, जे, एल, एम, एन, एस, यू, वी, डब्ल्यू, और जेड के अनुरूप कोई छेद नहीं;
 * ई, एफ, टी, और वाई के अनुरूप कोई छेद और तीन पूंछ नहीं;
 * एक्स के अनुरूप कोई छेद और चार पूंछ नहीं;
 * एक छेद और डी और ओ के अनुरूप कोई पूंछ नहीं;
 * पी और क्यू के अनुरूप एक छेद और एक पूंछ;
 * ए और आर के अनुरूप एक छेद और दो पूंछ;
 * दो छेद और बी के अनुरूप कोई पूंछ नहीं; तथा
 * एच और के के अनुरूप चार पूंछ वाली एक पट्टी; K पर बार देखने में लगभग बहुत छोटा है।

होमोटोपी वर्ग बड़े होते हैं, क्योंकि पूंछ को एक बिंदु तक नीचे गिराया जा सकता है। वे हैं:
 * एक छेद,
 * दो छेद, और
 * कोई छेद नहीं।

अक्षरों को सही ढंग से वर्गीकृत करने के लिए, हमें यह दिखाना होगा कि एक ही कक्षा में दो अक्षर समतुल्य हैं और विभिन्न वर्गों में दो अक्षर समान नहीं हैं। होमियोमॉर्फिज्म के मामले में, यह बिंदुओं का चयन करके किया जा सकता है और उनके निष्कासन को अलग-अलग तरीके से हटा देता है। उदाहरण के लिए, एक्स और वाई होमियोमॉर्फिक नहीं हैं क्योंकि एक्स के केंद्र बिंदु को हटाने से चार टुकड़े निकलते हैं; Y में जो भी बिंदु इस बिंदु से मेल खाता है, उसका निष्कासन अधिकतम तीन टुकड़े छोड़ सकता है। समरूपता तुल्यता का मामला कठिन है और एक अधिक विस्तृत तर्क की आवश्यकता है जो एक बीजीय अपरिवर्तनीय को दर्शाता है, जैसे कि मौलिक समूह, माना जाता है कि भिन्न वर्गों पर भिन्न होता है।

टोपोलॉजी, एक अच्छी तरह से प में लेटर टोपोलॉजी की व्यावहारिक प्रासंगिकता है। उदाहरण के लिए, �� में उत्पन्न होती है, ले� फ़ॉन्ट स्टैंसिल एक जुड़े हुए सामग्री के टुकड़े से बने होते हैं।

इतिहास
टोपोलॉजी, एक अच्छी तरह से परिभाषित गणितीय अनुशासन के रूप में, बीसवीं सदी के शुरुआती भाग में उत्पन्न हुई, लेकिन कुछ अलग-अलग परिणाम कई शताब्दियों में खोजे जा सकते हैं। इनमें लियोनहार्ड यूलर द्वारा जांच की गई ज्यामिति के कुछ प्रश्न शामिल हैं। कोनिग्सबर्ग के सात पुलों पर उनके 1736 के पेपर को टोपोलॉजी के पहले व्यावहारिक अनुप्रयोगों में से एक माना जाता है। 14 नवंबर 1750 को, यूलर ने एक मित्र को लिखा कि उसे बहुफलक के किनारों के महत्व का एहसास हो गया है। इससे उनका बहुफलकीय सूत्र, $V − E + F = 2$ (जहाँ $V$, $E$, और $F$ क्रमशः बहुफलक के शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या दर्शाते हैं) प्राप्त हुआ। कुछ अधिकारी इस विश्लेषण को पहला प्रमेय मानते हैं, जो टोपोलॉजी के जन्म का संकेत देता है।

आगे योगदान ऑगस्टिन-लुई कॉची, लुडविग श्लाफली, जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग, बर्नहार्ड रिमेंन और एनरिको बेट्टी द्वारा किया गया। लिस्टिंग ने 1847 में अपने मूल जर्मन भाषा में लिखे गए वोरस्टुडियन ज़ूर टोपोलॉजी में "टोपोलोजी" शब्द की शुरुआत की, प्रिंट में पहली बार आने से पहले दस साल तक पत्राचार में इस शब्द का इस्तेमाल किया गया था। अंग्रेजी रूप "टोपोलॉजी" का उपयोग 1883 में नेचर जर्नल में लिस्टिंग के मृत्युलेख में "गुणात्मक ज्यामिति को सामान्य ज्यामिति से अलग करने के लिए किया गया था जिसमें मुख्य रूप से मात्रात्मक संबंधों का इलाज किया जाता है"।

हेनरी पोंकारे द्वारा उनके काम को सही किया गया, समेकित किया गया और काफी विस्तारित किया गया। 1895 में, उन्होंने एनालिसिस साइटस पर अपना अभूतपूर्व पेपर प्रकाशित किया, जिसमें उन अवधारणाओं को प्रस्तुत किया गया, जिन्हें अब होमोटॉपी और होमोलॉजी के रूप में जाना जाता है, जिन्हें अब बीजगणितीय टोपोलॉजी का हिस्सा माना जाता है। जॉर्ज कैंटोर, वीटो वोल्टेरा, सेसारे अर्जेला, जैक्स हैडामर्ड, गिउलिओ एस्कोलिक और अन्य के फ़ंक्शन स्पेस पर काम को एकीकृत करते हुए, मौरिस फ़्रेचेट ने 1906 में मीट्रिक स्पेस की शुरुआत की। एक मीट्रिक स्पेस को अब सामान्य टोपोलॉजिकल स्पेस का एक विशेष मामला माना जाता है, जिसमें कोई भी टोपोलॉजिकल स्पेस संभावित रूप से कई अलग-अलग मीट्रिक स्पेस को जन्म दे सकता है। 1914 में, फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ ने "टोपोलॉजिकल स्पेस" शब्द गढ़ा और उसे परिभाषा दी जिसे अब हॉसडॉर्फ स्पेस कहा जाता है। वर्तमान में, टोपोलॉजिकल स्पेस हौसडॉर्फ़ स्पेस का एक छोटा सा सामान्यीकरण है, जो 1922 में काज़िमिर्ज़ कुरातोवस्की द्वारा दिया गया था।

आधुनिक टोपोलॉजी 19वीं शताब्दी के उत्तरार्ध में जॉर्ज कैंटर द्वारा विकसित सेट सिद्धांत के विचारों पर बहुत अधिक निर्भर करती है। सेट सिद्धांत के मूल विचारों को स्थापित करने के अलावा, कैंटर ने फूरियर श्रृंखला के अपने अध्ययन के हिस्से के रूप में यूक्लिडियन अंतरिक्ष में बिंदु सेट पर विचार किया। आगे के विकास के लिए, पॉइंट-सेट टोपोलॉजी और बीजीय टोपोलॉजी देखें।

2022 का एबेल पुरस्कार डेनिस सुलिवन को "टोपोलॉजी के व्यापक अर्थों में और विशेष रूप से इसके बीजगणितीय, ज्यामितीय और गतिशील पहलुओं में उनके अभूतपूर्व योगदान के लिए" प्रदान किया गया।

सेट पर टोपोलॉजी
टोपोलॉजी शब्द का तात्पर्य गणित के क्षेत्र के केंद्र में मौजूद एक विशिष्ट गणितीय विचार से भी है जिसे टोपोलॉजी कहा जाता है। अनौपचारिक रूप से, एक टोपोलॉजी बताती है कि किसी सेट के तत्व एक दूसरे से स्थानिक रूप से कैसे संबंधित होते हैं। एक ही सेट में विभिन्न टोपोलॉजी हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा, जटिल तल और कैंटर सेट को अलग-अलग टोपोलॉजी के साथ एक ही सेट के रूप में सोचा जा सकता है।

मौलिक रूप से, $g$ को एक सेट होने दें और $g$ के सबसेट का एक परिवार होने दें। तब $c$ को $g$ पर टोपोलॉजी कहा जाता है यदि:


 * 1) रिक्त समुच्चय और $c$ दोनों $X$ के अवयव हैं।
 * 2) $X$ के तत्वों का कोई भी संघ $τ$ का एक तत्व है।
 * 3) $X$ के अत्यंत अनेक तत्वों का कोई भी प्रतिच्छेदन $X$ का एक तत्व है।

यदि $τ$ $τ$ पर एक टोपोलॉजी है, तो जोड़ी $2 − 2g$ को टोपोलॉजिकल स्पेस कहा जाता है। नोटेशन $2g$ का उपयोग विशेष टोपोलॉजी $τ$ से संपन्न सेट $τ$ को दर्शाने के लिए किया जा सकता है। परिभाषा के अनुसार, प्रत्येक टोपोलॉजी एक $\pi$-सिस्टम है।

$τ$ के सदस्यों को $τ$ में खुले सेट कहा जाता है। $X$ के एक उपसमुच्चय को बंद कहा जाता है यदि इसका पूरक $τ$ में है (अर्थात, इसका पूरक खुला है)। $X$ का एक उपसमुच्चय खुला, बंद, दोनों (एक क्लॉपेन सेट) या दोनों में से कोई भी नहीं हो सकता है। ख़ाली समुच्चय और $τ$ स्वयं हमेशा बंद और खुले दोनों होते हैं। एक्स का एक खुला उपसमुच्चय जिसमें एक बिंदु $X$ होता है, $X$ का पड़ोस कहलाता है।

सतत कार्य और होमियोमॉर्फिज्म
यदि किसी खुले सेट की उलटी छवि खुली हो तो एक टोपोलॉजिकल स्पेस से दूसरे तक के फ़ंक्शन या मानचित्र को निरंतर कहा जाता है। यदि फ़ंक्शन वास्तविक संख्याओं को वास्तविक संख्याओं (मानक टोपोलॉजी के साथ दोनों रिक्त स्थान) पर मैप करता है, तो निरंतर की यह परिभाषा कैलकुलस में निरंतर की परिभाषा के बराबर है। यदि एक सतत फलन एक-से-एक और आच्छादक है, और यदि फलन का व्युत्क्रम भी सतत है, तो फलन को होमियोमॉर्फिज्म कहा जाता है और फ़ंक्शन के डोमेन को सीमा के लिए होमियोमॉर्फिक कहा जाता है। इसे कहने का दूसरा तरीका यह है कि फ़ंक्शन का टोपोलॉजी में प्राकृतिक विस्तार होता है। यदि दो स्थान होमियोमॉर्फिक हैं, तो उनमें समान टोपोलॉजिकल गुण होते हैं, और उन्हें टोपोलॉजिकल रूप से समान माना जाता है। क्यूब और गोला होमियोमॉर्फिक हैं, जैसे कॉफ़ी कप और डोनट हैं। हालाँकि, गोला डोनट का होमियोमॉर्फिक नहीं है।

कई गुना
जबकि टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान बेहद विविध और विदेशी हो सकते हैं, टोपोलॉजी के कई क्षेत्र रिक्त स्थान के अधिक परिचित वर्ग पर ध्यान केंद्रित करते हैं जिन्हें मैनिफोल्ड के रूप में जाना जाता है। मैनिफ़ोल्ड एक टोपोलॉजिकल स्पेस है जो प्रत्येक बिंदु के निकट यूक्लिडियन स्पेस जैसा दिखता है। अधिक सटीक रूप से, एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड के प्रत्येक बिंदु में एक पड़ोस होता है जो आयाम $τ$ के यूक्लिडियन स्थान के लिए होमोमोर्फिक होता है। रेखाएं और वृत्त, लेकिन अंक आठ नहीं, एक-आयामी मैनिफ़ोल्ड हैं। द्वि-आयामी मैनिफ़ोल्ड्स को सतहें भी कहा जाता है, हालाँकि सभी सतहें मैनिफ़ोल्ड नहीं होती हैं। उदाहरणों में विमान, गोला और टोरस शामिल हैं, जिन्हें तीन आयामों में आत्म-प्रतिच्छेदन के बिना महसूस किया जा सकता है, और क्लेन बोतल और वास्तविक प्रक्षेप्य विमान, जो नहीं किया जा सकता है (अर्थात, उनकी सभी अनुभूतियां सतह हैं जो कई गुना नहीं हैं) ।

सामान्य टोपोलॉजी
सामान्य टोपोलॉजी टोपोलॉजी की वह शाखा है जो टोपोलॉजी में उपयोग की जाने वाली बुनियादी सेट-सैद्धांतिक परिभाषाओं और निर्माणों से संबंधित है। यह टोपोलॉजी की अधिकांश अन्य शाखाओं की नींव है, जिसमें अंतर टोपोलॉजी, ज्यामितीय टोपोलॉजी और बीजगणितीय टोपोलॉजी शामिल है। सामान्य टोपोलॉजी का दूसरा नाम बिंदु-सेट टोपोलॉजी है।

अध्ययन का मूल उद्देश्य टोपोलॉजिकल स्पेस है, जो टोपोलॉजी से सुसज्जित सेट हैं, यानी, सबसेट का एक परिवार, जिसे ओपन सेट कहा जाता है, जो परिमित चौराहों और (परिमित या अनंत) यूनियनों के तहत क्लोजर है। टोपोलॉजी की मूलभूत अवधारणाएँ, जैसे निरंतरता, सघनता और जुड़ाव, को खुले सेट के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। सहज रूप से, निरंतर कार्य निकटवर्ती बिंदुओं को निकटवर्ती बिंदुओं तक ले जाते हैं। कॉम्पैक्ट सेट वे होते हैं जिन्हें मनमाने ढंग से छोटे आकार के बहुत सारे सेटों द्वारा कवर किया जा सकता है। कनेक्टेड सेट वे सेट होते हैं जिन्हें दूर-दूर के दो टुकड़ों में विभाजित नहीं किया जा सकता। निकट, मनमाने ढंग से छोटे और दूर के शब्दों को खुले सेट का उपयोग करके सटीक बनाया जा सकता है। किसी दिए गए स्थान पर कई टोपोलॉजी परिभाषित की जा सकती हैं। टोपोलॉजी बदलने में खुले सेटों का संग्रह बदलना शामिल है। इससे यह परिवर्तन होता है कि कौन से कार्य सतत हैं और कौन से उपसमूह सघन या जुड़े हुए हैं।

मीट्रिक रिक्त स्थान टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का एक महत्वपूर्ण वर्ग है जहां किन्हीं दो बिंदुओं के बीच की दूरी को मीट्रिक नामक फ़ंक्शन द्वारा परिभाषित किया जाता है। एक मीट्रिक स्थान में, एक खुला सेट खुली डिस्क का एक संघ है, जहां $X$ पर केंद्रित त्रिज्या $X$ की एक खुली डिस्क उन सभी बिंदुओं का समूह है जिनकी $X$ से दूरी $X$ से कम है। कई सामान्य स्थान टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान हैं जिनकी टोपोलॉजी को एक मीट्रिक द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। यह वास्तविक रेखा, जटिल तल, वास्तविक और जटिल वेक्टर रिक्त स्थान और यूक्लिडियन रिक्त स्थान का मामला है। मीट्रिक होने से अनेक प्रमाण सरल हो जाते हैं।

बीजीय टोपोलॉजी
बीजगणितीय टोपोलॉजी गणित की एक शाखा है जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का अध्ययन करने के लिए बीजगणित के उपकरणों का उपयोग करती है। मूल लक्ष्य बीजगणितीय अपरिवर्तनीयों को ढूंढना है जो टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को होमोमोर्फिज्म तक वर्गीकृत करते हैं, हालांकि आमतौर पर अधिकांश होमोटॉपी समकक्ष तक वर्गीकृत होते हैं।

इन अपरिवर्तनीयों में से सबसे महत्वपूर्ण हैं होमोटोपी समूह, होमोलॉजी और कोहोलॉजी।

हालाँकि बीजगणितीय टोपोलॉजी मुख्य रूप से टोपोलॉजिकल समस्याओं का अध्ययन करने के लिए बीजगणित का उपयोग करती है, लेकिन कभी-कभी बीजगणितीय समस्याओं को हल करने के लिए टोपोलॉजी का उपयोग करना भी संभव है। उदाहरण के लिए, बीजगणितीय टोपोलॉजी एक सुविधाजनक प्रमाण की अनुमति देती है कि एक स्वतंत्र समूह का कोई भी उपसमूह फिर से एक स्वतंत्र समूह है।

डिफरेंशियल टोपोलॉजी
डिफरेंशियल टोपोलॉजी, डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स पर डिफरेंशियल कार्यों से निपटने वाला क्षेत्र है। यह विभेदक ज्यामिति से निकटता से संबंधित है और साथ में वे विभेदक कई गुना के ज्यामितीय सिद्धांत बनाते हैं।

अधिक विशेष रूप से, विभेदक टोपोलॉजी उन गुणों और संरचनाओं पर विचार करती है जिन्हें परिभाषित करने के लिए केवल कई गुना पर एक चिकनी संरचना की आवश्यकता होती है। अतिरिक्त ज्यामितीय संरचनाओं वाले मैनिफोल्ड्स की तुलना में स्मूथ मैनिफोल्ड्स "नरम" होते हैं, जो विभेदक टोपोलॉजी में मौजूद कुछ प्रकार के समकक्षों और विकृतियों के लिए रुकावट के रूप में कार्य कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, वॉल्यूम और रीमैनियन वक्रता ऐसे अपरिवर्तनीय हैं जो एक ही चिकनी मैनिफोल्ड पर विभिन्न ज्यामितीय संरचनाओं को अलग कर सकते हैं - अर्थात, कोई भी कुछ मैनिफोल्ड को आसानी से "सपाट" कर सकता है, लेकिन इसके लिए स्थान को विकृत करने और वक्रता या वॉल्यूम को प्रभावित करने की आवश्यकता हो सकती है।

ज्यामितीय टोपोलॉजी
ज्यामितीय टोपोलॉजी टोपोलॉजी की एक शाखा है जो मुख्य रूप से निम्न-आयामी मैनिफोल्ड्स (अर्थात, आयाम 2, 3, और 4 के स्थान) और ज्यामिति के साथ उनकी बातचीत पर ध्यान केंद्रित करती है, लेकिन इसमें कुछ उच्च-आयामी टोपोलॉजी भी शामिल है। ज्यामितीय टोपोलॉजी में विषयों के कुछ उदाहरण हैं उन्मुखता, विघटन को संभालना, स्थानीय समतलता, क्रम्प्लिंग और समतल और उच्च-आयामी स्कोनफ्लाइज़ प्रमेय।

उच्च-आयामी टोपोलॉजी में, विशेषता वर्ग एक मूल अपरिवर्तनीय हैं, और सर्जरी सिद्धांत एक प्रमुख सिद्धांत है।

निम्न-आयामी टोपोलॉजी दृढ़ता से ज्यामितीय है, जैसा कि 2 आयामों में एकरूपता प्रमेय में परिलक्षित होता है - प्रत्येक सतह एक स्थिर वक्रता मीट्रिक स्वीकार करती है; ज्यामितीय दृष्टि से, इसमें 3 संभावित ज्यामितियों में से एक है: सकारात्मक वक्रता/गोलाकार, शून्य वक्रता/सपाट, और नकारात्मक वक्रता/अतिपरवलयिक - और 3 आयामों में ज्यामितिकरण अनुमान (अब प्रमेय) - प्रत्येक 3-मैनिफोल्ड को टुकड़ों में काटा जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में आठ संभावित ज्यामिति में से एक है।

2-आयामी टोपोलॉजी को एक चर में जटिल ज्यामिति के रूप में अध्ययन किया जा सकता है (रीमैन की सतहें जटिल वक्र हैं) - एकरूपीकरण प्रमेय के अनुसार मीट्रिक का प्रत्येक अनुरूप वर्ग एक अद्वितीय जटिल के बराबर है, और 4-आयामी टोपोलॉजी का अध्ययन दो चर (जटिल सतह) में जटिल ज्यामिति के दृष्टिकोण से किया जा सकता है, हालांकि हर 4-मैनिफोल्ड एक जटिल संरचना को स्वीकार नहीं करता है।

सामान्यीकरण
कभी-कभी, किसी को टोपोलॉजी के उपकरणों का उपयोग करने की आवश्यकता होती है लेकिन "बिंदुओं का सेट" उपलब्ध नहीं होता है। निरर्थक टोपोलॉजी में कोई खुले सेटों की जाली को सिद्धांत की मूल धारणा के रूप में मानता है, जबकि ग्रोथेंडिक टोपोलॉजी मनमानी श्रेणियों पर परिभाषित संरचनाएं हैं जो उन श्रेणियों पर शीफ की परिभाषा की अनुमति देती हैं, और इसके साथ ही सामान्य कोहोलॉजी सिद्धांतों की परिभाषा भी देती हैं।

जीव विज्ञान
टोपोलॉजी का उपयोग अणुओं और नैनोसंरचना (जैसे, झिल्लीदार वस्तुएं ) सहित विभिन्न जैविक प्रणालियों का अध्ययन करने के लिए किया गया है। विशेष रूप से, मुड़े हुए प्रोटीन और न्यूक्लिक एसिड की टोपोलॉजी को वर्गीकृत करने और तुलना करने के लिए सर्किट टोपोलॉजी और गाँठ सिद्धांत को बड़े पैमाने पर लागू किया गया है। सर्किट टोपोलॉजी उनके अंतर-श्रृंखला संपर्कों और श्रृंखला क्रॉसिंग की जोड़ीदार व्यवस्था के आधार पर मुड़ी हुई आणविक श्रृंखलाओं को वर्गीकृत करती है। टोपोलॉजी की एक शाखा, नॉट सिद्धांत का उपयोग डीएनए पर कुछ एंजाइमों के प्रभावों का अध्ययन करने के लिए जीव विज्ञान में किया जाता है। ये एंजाइम डीएनए को काटते हैं, मोड़ते हैं और फिर से जोड़ते हैं, जिससे धीमी वैद्युतकणसंचलन जैसे अवलोकनीय प्रभावों के साथ गांठें बनती हैं। फेनोटाइप और जीनोटाइप के बीच संबंध को दर्शाने के लिए टोपोलॉजी का उपयोग विकासवादी जीव विज्ञान में भी किया जाता है। फेनोटाइपिक रूप जो बिल्कुल अलग दिखाई देते हैं, उन्हें केवल कुछ उत्परिवर्तन द्वारा अलग किया जा सकता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि विकास के दौरान फेनोटाइपिक परिवर्तनों में आनुवांशिक परिवर्तन कैसे होते हैं। तंत्रिका विज्ञान में, तंत्रिका नेटवर्क में गतिविधि के पैटर्न की जटिलता को मापने के लिए यूलर विशेषता और बेटी संख्या जैसी टोपोलॉजिकल मात्रा का उपयोग किया गया है।

कंप्यूटर विज्ञान
टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण किसी सेट की बड़े पैमाने की संरचना को निर्धारित करने के लिए बीजगणितीय टोपोलॉजी की तकनीकों का उपयोग करता है (उदाहरण के लिए, यह निर्धारित करना कि बिंदुओं का एक बादल गोलाकार है या टॉरॉयडल)। टोपोलॉजिकल डेटा विश्लेषण द्वारा प्रयुक्त मुख्य विधि है:


 * 1) निकटता पैरामीटर द्वारा अनुक्रमित, सरल कॉम्प्लेक्स के परिवार के साथ डेटा बिंदुओं के एक सेट को बदलें।
 * 2) बीजीय टोपोलॉजी के माध्यम से इन टोपोलॉजिकल कॉम्प्लेक्स का विश्लेषण करें - विशेष रूप से, लगातार होमोलॉजी के सिद्धांत के माध्यम से।
 * 3) डेटा सेट की सतत समरूपता को बेट्टी नंबर के पैरामीटरयुक्त संस्करण के रूप में एनकोड करें, जिसे बारकोड कहा जाता है।

प्रोग्रामिंग भाषा शब्दार्थ की कई शाखाएँ, जैसे कि डोमेन सिद्धांत, को टोपोलॉजी का उपयोग करके औपचारिक रूप दिया जाता है। इस संदर्भ में, स्टीव विकर्स, सैमसन अब्राम्स्की और माइकल बी. स्मिथ के काम पर आधारित, खुले सेटों पर बूलियन या हेयटिंग बीजगणित के रूप में टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की विशेषता बताते हैं, जिन्हें अर्ध-निर्णायक योग्य (समकक्ष, सूक्ष्म रूप से देखने योग्य) गुणों के रूप में चित्रित किया जाता है।

भौतिकी
टोपोलॉजी संघनित पदार्थ भौतिकी, क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत और भौतिक ब्रह्मांड विज्ञान जैसे क्षेत्रों में भौतिकी के लिए प्रासंगिक है।

ठोसों में यांत्रिक गुणों की स्थलाकृतिक निर्भरता मैकेनिकल इंजीनियरिंग और सामग्री विज्ञान के विषयों में रुचि रखती है। विद्युत और यांत्रिक गुण सामग्रियों में अणुओं और प्राथमिक इकाइयों की व्यवस्था और नेटवर्क संरचनाओं पर निर्भर करते हैं। ऐसी संरचनाओं की भार के प्रति उच्च शक्ति को समझने के प्रयासों में, जो अधिकतर खाली जगह होती हैं, क्रुम्पल्ड टोपोलॉजी की संपीड़ित ताकत का अध्ययन किया जाता है। संपर्क यांत्रिकी में टोपोलॉजी का और भी अधिक महत्व है, जहां सतह संरचनाओं की आयामीता पर कठोरता और घर्षण की निर्भरता बहु-निकाय भौतिकी में अनुप्रयोगों के साथ रुचि का विषय है।

एक टोपोलॉजिकल क्वांटम फील्ड थ्योरी (या टोपोलॉजिकल फ़ील्ड सिद्धांत या टीक्यूएफटी) एक क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत है जो टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट की गणना करता है।

यद्यपि टीक्यूएफटी का आविष्कार भौतिकविदों द्वारा किया गया था, वे गणितीय रुचि के भी हैं, अन्य चीजों के अलावा, गाँठ सिद्धांत, बीजगणितीय टोपोलॉजी में चार-कई गुना के सिद्धांत, और बीजगणितीय ज्यामिति में मॉड्यूलि रिक्त स्थान के सिद्धांत से संबंधित हैं। डोनाल्डसन, जोन्स, विटेन और कोनत्सेविच सभी ने टोपोलॉजिकल फील्ड सिद्धांत से संबंधित काम के लिए फील्ड्स मेडल जीते हैं।

कैलाबी-याउ मैनिफ़ोल्ड्स के टोपोलॉजिकल वर्गीकरण का स्ट्रिंग सिद्धांत में महत्वपूर्ण प्रभाव है, क्योंकि विभिन्न मैनिफ़ोल्ड्स विभिन्न प्रकार के स्ट्रिंग्स को बनाए रख सकते हैं।

ब्रह्मांड विज्ञान में, टोपोलॉजी का उपयोग ब्रह्मांड के समग्र आकार का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। अनुसंधान के इस क्षेत्र को सामान्यतः स्पेसटाइम टोपोलॉजी के रूप में जाना जाता है।

संघनित पदार्थ में टोपोलॉजिकल भौतिकी के लिए एक प्रासंगिक अनुप्रयोग एक-तरफ़ा करंट प्राप्त करने की संभावना से आता है, जो बैकस्कैटरिंग से संरक्षित करंट है। इसे सबसे पहले इलेक्ट्रॉनिक्स में प्रसिद्ध क्वांटम हॉल प्रभाव के साथ खोजा गया था, और फिर इसे भौतिकी के अन्य क्षेत्रों में सामान्यीकृत किया गया, उदाहरण के लिए एफ.डी.एम. हल्दाने द्वारा फोटोनिक्स में ।

रोबोटिक्स
रोबोट की संभावित स्थितियों को कॉन्फ़िगरेशन स्पेस नामक मैनिफ़ोल्ड द्वारा वर्णित किया जा सकता है। गति नियोजन के क्षेत्र में, कोई व्यक्ति कॉन्फ़िगरेशन स्थान में दो बिंदुओं के बीच पथ ढूंढता है। ये पथ रोबोट के जोड़ों और अन्य हिस्सों की वांछित मुद्रा में गति का प्रतिनिधित्व करते हैं।

खेल और पहेलियाँ
विच्छेदन पहेली के आकार और घटकों के स्थलाकृतिक पहलुओं पर आधारित होती हैं।

फाइबर कला
एक मॉड्यूलर निर्माण में टुकड़ों को लगातार जोड़ने के लिए, एक क्रम में एक अखंड पथ बनाना आवश्यक है जो प्रत्येक टुकड़े को घेरता है और प्रत्येक किनारे को केवल एक बार पार करता है। यह प्रक्रिया यूलेरियन पथ का अनुप्रयोग है।

यह भी देखें

 * टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी की विशेषताएँ
 * समतुल्य टोपोलॉजी
 * बीजगणितीय टोपोलॉजी विषयों की सूची
 * सामान्य टोपोलॉजी में उदाहरणों की सूची
 * सामान्य टोपोलॉजी विषयों की सूची
 * ज्यामितीय टोपोलॉजी विषयों की सूची
 * टोपोलॉजी विषयों की सूची
 * टोपोलॉजी में प्रकाशन
 * टोपोइज़ोमर
 * टोपोलॉजी शब्दावली
 * टोपोलॉजिकल गैलोइस सिद्धांत
 * टोपोलॉजिकल ज्यामिति
 * टोपोलॉजिकल ऑर्डर

अग्रिम पठन

 * Ryszard Engelking, General Topology, Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, December 1989, ISBN 3-88538-006-4.
 * Bourbaki; Elements of Mathematics: General Topology, Addison–Wesley (1966).
 * (Provides a well motivated, geometric account of general topology, and shows the use of groupoids in discussing van Kampen's theorem, covering spaces, and orbit spaces.)
 * Wacław Sierpiński, General Topology, Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-41148-6
 * (Provides a popular introduction to topology and geometry)
 * Wacław Sierpiński, General Topology, Dover Publications, 2000, ISBN 0-486-41148-6
 * (Provides a popular introduction to topology and geometry)

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक लिंक की सूची

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 * पदार्थ विज्ञान
 * मोडुली स्पेस
 * चार गुना
 * भग्न आयाम
 * ब्रह्मांड का आकार
 * संयुक्त

बाहरी संबंध

 * Elementary Topology: A First Course Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
 * The Topological Zoo at The Geometry Center.
 * Topology Atlas
 * Topology Course Lecture Notes Aisling McCluskey and Brian McMaster, Topology Atlas.
 * Topology Glossary
 * Moscow 1935: Topology moving towards America, a historical essay by Hassler Whitney.
 * Topology Glossary
 * Moscow 1935: Topology moving towards America, a historical essay by Hassler Whitney.