नेबरहुड प्रणाली

टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, नेबरहुड प्रणाली, नेबरहुड की पूर्ण प्रणाली, या नेबरहुड फ़िल्टर $$\mathcal{N}(x)$$ बिंदु के लिए $$x$$ टोपोलॉजिकल समिष्ट में सभी नेबरहुड का संग्रह $$x.$$ होता है।

परिभाषाएँ
किसी बिंदु या समुच्चय का नेबरहुड

बिंदु (या उपसमुच्चय) का $$x$$ टोपोलॉजिकल समिष्ट में $$X$$ संवृत समुच्चय है $$U$$ में $$X$$ सम्मिलित है $$x.$$ का कोई उपसमुच्चय है $$N \subseteq X$$ जिसमें   संवृत नेबरहुड सम्मिलित है, $$x$$ स्पष्ट रूप से, $$N$$ का नेबरहुड है $$x$$ में $$X$$ यदि केवल संवृत उपसमुच्चय उपस्तिथ है $$U$$ के साथ $$x \in U \subseteq N$$समान रूप से, नेबरहुड $$x$$ का समुच्चय है जिसमें सम्मिलित $$x$$ इसके आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) है।

महत्वपूर्ण रूप से, नेबरहुड संवृत समुच्चय होना आवश्यक  है; वे नेबरहुड जो संवृत समुच्चय भी होते हैं, उन्हें "संवृत नेबरहुड" के रूप में जाना जाता है। इसी प्रकार, नेबरहुड जो  विवृत समुच्चय (क्रमशः, सघन समिष्ट, जुड़ा हुआ समिष्ट इत्यादि) होता है, उसे  (क्रमश,, , आदि।) कहा जाता है। कई अन्य प्रकार के नेबरहुड हैं जिनका उपयोग टोपोलॉजी और कार्यात्मक विश्लेषण जैसे संबंधित क्षेत्रों में किया जाता है। निश्चित उपयोगी गुण रखने वाले सभी नेबरहुड के सदस्य प्रायः नेबरहुड का आधार बनाते हैं, चूँकि कई बार, ये नेबरहुड आवश्यक रूप से संवृत नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, समिष्टीय रूप से जटिल समिष्ट, वे समिष्ट हैं, जिनमें सभी बिंदु पर नेबरहुड का आधार होता है, जिसमें पूर्ण रूप से जटिल समुच्चय होते हैं।

नेबरहुड फ़िल्टर

बिंदु (या अरिक्त उपसमुच्चय) के लिए नेबरहुड प्रणाली $$x$$ फ़िल्टर (समुच्चय सिद्धांत) है जिसे कहा जाता है। बिंदु के लिए नेबरहुड फ़िल्टर $$x \in X$$ सिंगलटन समुच्चय के नेबरहुड फ़िल्टर $$\{x\}.$$ के समान है।

नेबरहुड का आधार

किसी बिंदु के लिए  या  (या   या ) $$x$$ नेबरहुड फ़िल्टर का फ़िल्टर आधार है; इसका तात्पर्य यह है कि यह उपसमुच्चय है: $$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}(x)$$ ऐसा सभी के लिए $$V \in \mathcal{N}(x),$$ वहाँ कुछ उपस्तिथ है $$B \in \mathcal{B}$$ ऐसा है कि $$B \subseteq V.$$अर्थात किसी भी नेबरहुड के लिए $$V$$ नेबरहुड का परिक्षण कर सकते हैं $$B$$ नेबरहुड के आधार में $$V.$$निहित है।

समान रूप से, $$\mathcal{B}$$ पर समिष्टीय आधार है $$x$$ यदि केवल नेबरहुड फ़िल्टर $$\mathcal{N}$$ से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है $$\mathcal{B}$$ इस अर्थ में कि निम्नलिखित समानता है: $$\mathcal{N}(x) = \left\{ V \subseteq X ~:~ B \subseteq V \text{ for some } B \in \mathcal{B} \right\}\!\!\;.$$ सदस्य $$\mathcal{B} \subseteq \mathcal{N}(x)$$ के लिए नेबरहुड का आधार $$x$$ है यदि केवल $$\mathcal{B}$$ का सहअंतिम उपसमुच्चय है $$\left(\mathcal{N}(x), \supseteq\right)$$ आंशिक क्रम के संबंध में $$\supseteq$$ (महत्वपूर्ण बात यह है कि यह आंशिक क्रम सुपरसमुच्चय संबंध है न कि उपसमुच्चय संबंध) है।

नेबरहुड उपआधार
पर $$x$$ सदस्य है उपसमुच्चय का $$\mathcal{S}$$, $$X,$$ जिनमें से प्रत्येक में सम्मिलित है $$x,$$ जैसे कि तत्वों के सभी संभावित परिमित प्रतिच्छेदनों (समुच्चय सिद्धांत) का संग्रह $$\mathcal{S}$$ पर नेबरहुड का आधार $$x.$$ बनता है।

उदाहरण
यदि $$\R$$ के नेबरहुड की तुलना में यह सामान्य यूक्लिडियन टोपोलॉजी है $$0$$ वे सभी उपसमुच्चय हैं $$N \subseteq \R$$ जिसके लिए कुछ वास्तविक संख्या उपस्तिथ है $$r > 0$$ ऐसा है कि $$(-r, r) \subseteq N.$$ उदाहरण के लिए, निम्नलिखित सभी समुच्चय $$0$$ में $$\R$$ के नेबरहुड हैं: $$(-2, 2), \; [-2,2], \; [-2, \infty), \; [-2, 2) \cup \{10\}, \; [-2, 2] \cup \Q, \; \R$$ किन्तु निम्नलिखित में से कोई भी समुच्चय का नेबरहुड $$0$$ नहीं है: $$\{0\}, \; \Q, \; (0,2), \; [0, 2), \; [0, 2) \cup \Q, \; (-2, 2) \setminus \left\{1, \tfrac{1}{2}, \tfrac{1}{3}, \tfrac{1}{4}, \ldots\right\}$$जहाँ $$\Q$$ तर्कसंगत संख्याओं को दर्शाता है।

यदि $$U$$ टोपोलॉजिकल समिष्ट का संवृत उपसमुच्चय है $$X$$ सभी के लिए $$u \in U,$$ $$U$$ का नेबरहुड है $$u$$ में $$X.$$ अधिक सामान्यतः, यदि $$N \subseteq X$$ क्या कोई समुच्चय है और $$\operatorname{int}_X N$$ के आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) को दर्शाता है $$N$$ में $$X,$$ तब $$N$$ का नेबरहुड $$X$$ है) सभी बिंदु का $$x \in \operatorname{int}_X N$$ और इसके अतिरिक्त, $$N$$ किसी अन्य बिंदु का नेबरहुड  है। भिन्न रूप में कहा गया है कि, $$N$$ बिंदु का नेबरहुड $$x \in X$$ है यदि केवल $$x \in \operatorname{int}_X N.$$ है।

नेबरहुड के आधार

किसी भी टोपोलॉजिकल समिष्ट में, किसी बिंदु के लिए नेबरहुड प्रणाली भी बिंदु के लिए नेबरहुड का आधार है। बिंदु पर सभी संवृत नेबरहुड का समुच्चय उस बिंदु पर नेबरहुड का आधार बनाता है। किसी भी बिंदु के लिए $$x$$ मीट्रिक समिष्ट में, चारों ओर संवृत गेंदों का क्रम $$x$$ त्रिज्या के साथ $$1/n$$ गणनीय नेबरहुड आधार बनाते हैं, $$\mathcal{B} = \left\{B_{1/n} : n = 1,2,3,\dots \right\}$$ इसका तात्पर्य यह है कि प्रत्येक मीट्रिक समिष्ट प्रथम-गणनीय है।

समिष्ट दी गई $$X$$ अविवेकी टोपोलॉजी के साथ किसी भी बिंदु के लिए नेबरहुड प्रणाली $$x$$ में केवल संपूर्ण समिष्ट $$\mathcal{N}(x) = \{X\}$$ समाहित है,

किसी समिष्ट पर माप के समिष्ट पर टोपोलॉजी में $$E,$$ नेबरहुड का आधार $$\nu$$ द्वारा दिया गया है: $$\left\{\mu \in \mathcal{M}(E) : \left|\mu f_i - \nu f_i\right| < r_i, \, i = 1,\dots,n\right\}$$ जहाँ $$f_i$$ सतत परिबद्ध फलन (टोपोलॉजी) हैं, $$E$$ वास्तविक संख्याओं तक और $$r_1, \dots, r_n$$ सकारात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं।

सेमीनोर्म्ड रिक्त समिष्ट और टोपोलॉजिकल समूह

सेमीनॉर्म्ड समिष्ट में, जो सेमिनॉर्म से प्रेरित टोपोलॉजिकल समिष्ट वाला सदिश समिष्ट है, सभी नेबरहुड प्रणालियों का निर्माण मूल के लिए नेबरहुड प्रणाली के अनुवाद (ज्यामिति) द्वारा किया जा सकता है, $$\mathcal{N}(x) = \mathcal{N}(0) + x.$$ ऐसा इसलिए है, क्योंकि धारणा के अनुसार, प्रेरित टोपोलॉजी में सदिश जोड़ भिन्न से निरंतर होता है। इसलिए, टोपोलॉजी मूल में इसकी नेबरहुड प्रणाली द्वारा निर्धारित की जाती है। अधिक सामान्यतः, यह तब भी सत्य रहता है जब समिष्ट टोपोलॉजिकल समूह होता है इस टोपोलॉजी को स्यूडोमेट्रिक समिष्ट द्वारा परिभाषित किया जाता है।

गुण
कल्पना कीजिये $$u \in U \subseteq X$$ और $$\mathcal{N}$$ के लिए नेबरहुड का आधार बनाया जाता है, $$u$$ में $$X.$$ निर्माण $$\mathcal{N}$$ सुपरसमुच्चय समावेशन द्वारा आंशिक रूप से क्रमबद्ध करके निर्देशित समुच्चय में $$\,\supseteq.$$ तब $$U$$ का नेबरहुड  है, $$u$$ में $$X$$ यदि उपस्तिथ है $$\mathcal{N}$$-अनुक्रमित नेट (गणित) $$\left(x_N\right)_{N \in \mathcal{N}}$$ में $$X \setminus U$$ ऐसा है कि $$x_N \in N \setminus U$$ प्रत्येक के लिए $$N \in \mathcal{N}$$ (जिसका तात्पर्य यह है $$\left(x_N\right)_{N \in \mathcal{N}} \to u$$ में $$X$$) है।