बीमस्प्लिटर

एक बीम स्प्लिटर या बीमस्प्लिटर एक ऑप्टिकल उपकरण है जो प्रकाश की किरण को एक संचरित और एक परावर्तित किरण में विभाजित करता है। यह कई ऑप्टिकल प्रायोगिक और माप प्रणालियों का एक महत्वपूर्ण हिस्सा है, जैसे कि इंटरफेरोमेट्री, फ़ाइबर ऑप्टिक दूरसंचार में व्यापक अनुप्रयोग भी ढूंढ रही है।

डिजाइन
अपने सबसे सामान्य रूप में, एक क्यूब, एक बीम स्प्लिटर दो त्रिकोणीय ग्लास प्रिज्म (ऑप्टिक्स) से बनाया जाता है, जो पॉलिएस्टर, ई पोक्सी, या यूरेथेन-आधारित चिपकने वाले का उपयोग करके अपने आधार पर एक साथ चिपके होते हैं। (इन सिंथेटिक रेजिन से पहले, प्राकृतिक रेजिन का उपयोग किया जाता था, उदाहरण के लिए कनाडा बालसम) राल परत की मोटाई को इस तरह समायोजित किया जाता है कि (एक निश्चित तरंग दैर्ध्य के लिए) आधा प्रकाश एक पोर्ट (अर्थात, क्यूब का चेहरा) के माध्यम से आपतित होता है। (भौतिकी) और अन्य आधा कुल आंतरिक प्रतिबिंब एफटीआईआर (निष्क्रिय कुल आंतरिक प्रतिबिंब) एफटीआईआर (निष्क्रिय कुल आंतरिक प्रतिबिंब) के कारण प्रसारित होता है। पोलराइज़र, जैसे कि वोलास्टन प्रिज्म, प्रकाश को ऑर्थोगोनल ध्रुवीकरण (तरंगों) अवस्थाओं के दो बीमों में विभाजित करने के लिए द्विप्रतिरोधी सामग्री का उपयोग करते हैं।

एक अन्य डिजाइन अर्ध-रजतयुक्त दर्पण का उपयोग है। यह एक ऑप्टिकल सब्सट्रेट से बना है, जो प्रायः धातु की आंशिक रूप से पारदर्शी पतली परत के साथ कांच या प्लास्टिक की एक शीट होती है। भौतिक वाष्प जमाव विधि का उपयोग करके पतली कोटिंग को अल्युमीनियम वाष्प से जमा किया जा सकता है। जमा की मोटाई को नियंत्रित किया जाता है जिससे कि प्रकाश का वह भाग (सामान्यतः आधा), जो 45 डिग्री के कोण पर होता है और कोटिंग या सब्सट्रेट सामग्री द्वारा अवशोषित नहीं होता है, जो कि प्रेषित होता है और शेष परिलक्षित होता है। फोटोग्राफी में उपयोग किए जाने वाले एक बहुत पतले अर्ध-सिल्वर वाले दर्पण को प्रायः पेलिकल मिरर कहा जाता है। परावर्तक कोटिंग द्वारा अवशोषण के कारण प्रकाश के नुकसान को कम करने के लिए, तथाकथित स्विस चीज़ (उत्तरी अमेरिका) स्विस-चीज़ बीम-स्प्लिटर दर्पण का उपयोग किया गया है। मूल रूप से, ये अत्यधिक पॉलिश धातु की चादरें थीं जिनमें छिद्रों के साथ छिद्रित किया गया था जिससे कि संचरण के प्रतिबिंब के वांछित अनुपात को प्राप्त किया जा सके। बाद में, धातु को कांच पर स्पटरिंग किया गया जिससे कि एक असंतुलित कोटिंग बनाई जा सके, या एक निरंतर कोटिंग के छोटे क्षेत्रों को रासायनिक या यांत्रिक क्रिया द्वारा हटा दिया गया जिससे कि एक बहुत ही अर्ध-चांदी की सतह का उत्पादन किया जा सके।

धात्विक लेप के अतिरिक्त, डीक्रोइक ऑप्टिकल लेप का उपयोग किया जा सकता है। इसकी विशेषताओं के आधार पर, संचरण के प्रतिबिंब का अनुपात घटना प्रकाश की तरंग दैर्ध्य के एक फलन के रूप में भिन्न होगा। अवांछित अवरक्त (गर्मी) विकिरण को विभाजित करने के लिए और लेजर निर्माण में आउटपुट युग्मक के रूप में डाइक्रोइक दर्पण का उपयोग कुछ दीर्घवृत्तीय परावर्तक स्पॉटलाइट्स में किया जाता है। यह एक ऑप्टिकल सब्सट्रेट से बना है, जो प्रायः धातु की आंशिक रूप से पारदर्शी पतली परत के साथ कांच या प्लास्टिक की एक शीट होती है।

बीम स्प्लिटर का तीसरा संस्करण एक डाइक्रोइक प्रिज्म असेंबली है जो आने वाले प्रकाश बीम को स्पेक्ट्रल रूप से अलग आउटपुट बीम में विभाजित करने के लिए द्विवर्णता ऑप्टिकल कोटिंग का उपयोग करता है। इस तरह के उपकरण का उपयोग तीन-पिकअप-ट्यूब रंगीन टेलीविजन कैमरा और तीन-स्ट्रिप टेक्नीकलर मूवी कैमरा में किया गया था। यह वर्तमान में आधुनिक तीन-सीसीडी कैमरों में उपयोग किया जाता है। तीन-एलसीडी छवि प्रोजेक्टर में बीम-कॉम्बिनर के रूप में वैकल्पिक रूप से समान प्रणाली का उपयोग रिवर्स में किया जाता है, जिसमें प्रक्षेपण के लिए तीन अलग-अलग मोनोक्रोम एलसीडी डिस्प्ले से प्रकाश को एक पूर्ण-रंग छवि में जोड़ा जाता है।

बीम एकल-मोड के साथ विभक्त होता है निष्क्रिय ऑप्टिकल नेटवर्क के लिए फाइबर बीम को विभाजित करने के लिए एकल-मोड व्यवहार का उपयोग करता है। एक्स के रूप में दो तंतुओं को एक साथ शारीरिक रूप से जोड़कर स्प्लिटर किया जाता है।

एक लेंस और एक एक्सपोजर के साथ स्टीरियोस्कोपी छवि जोड़े को चित्रित करने के लिए कैमरा अटैचमेंट के रूप में उपयोग किए जाने वाले दर्पण या प्रिज्म की व्यवस्था को कभी-कभी बीम स्प्लिटर्स कहा जाता है, लेकिन यह एक मिथ्या नाम है, क्योंकि वे प्रभावी रूप से प्रकाश की किरणों को पुनर्निर्देशित करने वाले पेरिस्कोप की एक जोड़ी हैं जो पहले से ही गैर-संयोगी हैं, स्टीरियोस्कोपिक फोटोग्राफी के लिए कुछ बहुत ही असामान्य संलग्नक में, बीम स्प्लिटर्स के समान दर्पण या प्रिज्म ब्लॉक विपरीत कार्य करते हैं, रंग फिल्टर के माध्यम से दो अलग-अलग दृष्टिकोणों से विषय के सुपरइम्पोज़िंग दृश्य को एनाग्लिफ 3डी छवि के प्रत्यक्ष उत्पादन की अनुमति देने के लिए, या तेजी से वैकल्पिक शटर के माध्यम से सक्रिय शटर 3डी सिस्टम वीडियो रिकॉर्ड करने के लिए विपरीत कार्य करते हैं।

फेज शिफ्ट
बीम स्प्लिटर्स का उपयोग कभी-कभी प्रकाश की किरणों को पुनर्संयोजित करने के लिए किया जाता है, जैसा कि मच-ज़ेन्डर इंटरफेरोमीटर में होता है। इस प्रकरण में दो इनकमिंग बीम और संभावित रूप से दो आउटगोइंग बीम हैं। लेकिन दो आउटगोइंग बीम के एम्पलीट्यूड प्रत्येक आने वाले बीम से गणना किए गए (जटिल) एम्पलीट्यूड के योग हैं, और इसका परिणाम यह हो सकता है कि दो आउटगोइंग बीम में से एक का आयाम शून्य है। ऊर्जा को संरक्षित करने के लिए (अगला खंड देखें), कम से कम एक आउटगोइंग बीम में चरण बदलाव होना चाहिए। उदाहरण के लिए (दाईं ओर चित्र में लाल तीर देखें), यदि हवा में एक ध्रुवीकृत प्रकाश तरंग एक ढांकता हुआ सतह जैसे कांच से टकराती है, और प्रकाश तरंग का विद्युत क्षेत्र सतह के तल में है, तो परावर्तित तरंग होगी π का फेज शिफ्ट, जबकि ट्रांसमिटेड वेव में फेज शिफ्ट नहीं होगा; नीला तीर एक चरण-शिफ्ट नहीं उठाता है, क्योंकि यह कम अपवर्तक सूचकांक वाले माध्यम से परिलक्षित होता है। व्यवहार फ्रेस्नेल समीकरण द्वारा निर्धारित होता है। यह एक ऑप्टिकल सब्सट्रेट से बना है, जो प्रायः धातु की आंशिक रूप से पारदर्शी पतली परत के साथ कांच या प्लास्टिक की एक शीट होती है। यह प्रवाहकीय (धात्विक) कोटिंग्स द्वारा आंशिक प्रतिबिंब पर लागू नहीं होता है, जहां अन्य चरण बदलाव सभी पथों (प्रतिबिंबित और प्रेषित) में होते हैं। किसी भी प्रकरण में, चरण बदलाव का विवरण बीम स्प्लिटर के प्रकार और ज्यामिति पर निर्भर करता है।

प्राचीन दोषरहित बीम स्प्लिटर
विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण Ea के साथ प्राचीन, दोषरहित बीम स्प्लिटर का उपयोग करते हुए, दो इनकमिंग बीम वाले बीम स्प्लिटर्स के लिए और Eb एक इनपुट पर प्रत्येक घटना, दो आउटपुट फ़ील्ड Ec और Ed के माध्यम से इनपुट से रैखिक रूप से संबंधित हैं

\mathbf{E}_\text{out} = \begin{bmatrix} E_c \\ E_d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} r_{ac}& t_{bc} \\ t_{ad}& r_{bd} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_a \\ E_b \end{bmatrix} = \tau\mathbf{E}_\text{in}, $$ जहां 2×2 तत्व $$\tau$$ बीम-स्प्लिटर ट्रांसफर मैट्रिक्स है और R और T बीम स्प्लिटर के माध्यम से एक विशेष पथ के साथ परावर्तन और संप्रेषण हैं, उस पथ को सबस्क्रिप्ट द्वारा इंगित किया जा रहा है। (मान प्रकाश के ध्रुवीकरण पर निर्भर करते हैं।)

यदि बीम स्प्लिटर प्रकाश पुंज से कोई ऊर्जा नहीं निकालता है, तो कुल आउटपुट ऊर्जा को कुल इनपुट ऊर्जा, रीडिंग के साथ बराबर किया जा सकता है

$$ ऊपर स्थानांतरण समीकरण से परिणाम सम्मिलित करना $$E_b=0$$ का उत्पादन
 * E_c|^2+|E_d|^2=|E_a|^2+|E_b|^2.

$$ और इसी तरह तब के लिए $$E_a=0$$ :$$ $$
 * r_{ac}|^2+|t_{ad}|^2=1,
 * r_{bd}|^2+|t_{bc}|^2=1.

जब दोनों $$E_a$$ और $$E_b$$ गैर-शून्य हैं, और इन दो परिणामों का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

r_{ac}t^{\ast}_{bc}+t_{ad}r^{\ast}_{bd}=0, $$ जहाँ$$^\ast$$जटिल संयुग्म को इंगित करता है। अब इसे दिखाना आसान है $$\tau^\dagger\tau=\mathbf{I}$$ जहाँ $$\mathbf{I}$$ पहचान है, अर्थात बीम-स्प्लिटर ट्रांसफर मैट्रिक्स एकात्मक मैट्रिक्स है। यह एक ऑप्टिकल सब्सट्रेट से बना है, जो प्रायः धातु की आंशिक रूप से पारदर्शी पतली परत के साथ कांच या प्लास्टिक की एक शीट होती है।

विस्तार करते हुए, इसे प्रत्येक R और T को एक जटिल संख्या के रूप में एक आयाम और चरण कारक के रूप में लिखा जा सकता है; उदाहरण के लिए, $$r_{ac}=|r_{ac}|e^{i\phi_{ac}}$$. चरण कारक बीम के चरण में संभावित बदलाव के लिए खाता है क्योंकि यह उस सतह पर प्रतिबिंबित या प्रसारित होता है। फिर प्राप्त होता है

$$ आगे सरलीकरण, संबंध बन जाता है
 * r_{ac}||t_{bc}|e^{i(\phi_{ac}-\phi_{bc})}+|t_{ad}||r_{bd}|e^{i(\phi_{ad}-\phi_{bd})}=0.

\frac{|r_{ac}|}{|t_{ad}|}=-\frac{|r_{bd}|}{|t_{bc}|}e^{i(\phi_{ad}-\phi_{bd}+\phi_{bc}-\phi_{ac})} $$ जो सच है जब $$\phi_{ad}-\phi_{bd}+\phi_{bc}-\phi_{ac}=\pi$$ और घातीय शब्द -1 तक कम हो जाता है। इस नई शर्त को लागू करने और दोनों पक्षों का वर्ग करने पर यह बन जाता है

\frac{1-|t_{ad}|^2}{|t_{ad}|^2}=\frac{1-|t_{bc}|^2}{|t_{bc}|^2}, $$ जहां प्रपत्र के प्रतिस्थापन $$|r_{ac}|^2=1-|t_{ad}|^2$$ बनाया गया। यह परिणाम की ओर जाता है

$$ और इसी तरह,
 * t_{ad}|=|t_{bc}|\equiv T,

$$ यह इस प्रकार है कि $$R^2+T^2=1$$. दोषरहित बीम स्प्लिटर का वर्णन करने वाली बाधाओं को निर्धारित करने के बाद, प्रारंभिक अभिव्यक्ति को पुनः लिखा जा सकता है
 * r_{ac}|=|r_{bd}|\equiv R.

\begin{bmatrix} E_c \\ E_d \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} Re^{i\phi_{ac}}& Te^{i\phi_{bc}} \\ Te^{i\phi_{ad}}& Re^{i\phi_{bd}} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} E_a \\ E_b \end{bmatrix}. $$ आयामों और चरणों के लिए अलग-अलग मूल्यों को लागू करने से बीम स्प्लिटर के कई अलग-अलग रूप हो सकते हैं जिन्हें व्यापक रूप से उपयोग किया जा सकता है।

स्थानांतरण मैट्रिक्स में 6 आयाम और चरण पैरामीटर दिखाई देते हैं, लेकिन इसमें 2 बाधाएँ भी हैं: $$R^2+T^2=1$$ और $$\phi_{ad}-\phi_{bd}+\phi_{bc}-\phi_{ac}=\pi$$. बाधाओं को सम्मिलित करने और 4 स्वतंत्र मापदंडों को सरल बनाने के लिए, हम लिख सकते हैं $$\phi_{ad}=\phi_0+\phi_T, \phi_{bc}=\phi_0-\phi_T, \phi_{ac}=\phi_0+\phi_R$$ (और बाधा से $$\phi_{bd}=\phi_0-\phi_R-\pi$$), जिससे कि



\begin{align} \phi_T & = \tfrac{1}{2}\left(\phi_{ad} - \phi_{bc} \right)\\ \phi_R & = \tfrac{1}{2}\left(\phi_{ac} - \phi_{bd} +\pi \right)\\ \phi_0 & = \tfrac{1}{2}\left(\phi_{ad} + \phi_{bc} \right) \end{align} $$ जहाँ $$2\phi_T$$ संचरित बीम और इसी तरह के बीच चरण अंतर है $$2\phi_R$$, और $$\phi_0$$ एक वैश्विक चरण है।

अंत में दूसरी बाधा का उपयोग करना $$R^2+T^2=1$$ हम परिभाषित करते हैं $$\theta = \arctan(R/T) $$

जिससे कि $$T=\cos\theta,R=\sin\theta$$, इस तरह



\tau=e^{i\phi_0}\begin{bmatrix} \sin\theta e^{i\phi_R} & \cos\theta e^{-i\phi_T} \\ \cos\theta e^{i\phi_T} & -\sin\theta e^{-i\phi_R} \end{bmatrix}. $$ एक 50:50 बीम स्प्लिटर तब उत्पन्न होता है जब $$\theta=\pi/4$$. ऊपर कला बदलाव, उदाहरण के लिए है

\tau=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & 1 \\  1 & -1 \end{bmatrix}, $$ अर्थात। $$\phi_T = \phi_R =\phi_0=0$$, जबकि लाउडॉन का सममित किरण विभाजक है

\tau=\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 & i \\ i & 1 \end{bmatrix}, $$ अर्थात $$\phi_T = 0, \phi_R =-\pi/2, \phi_0=\pi/2$$.

प्रयोगों में प्रयोग
बीम स्प्लिटर्स का उपयोग विचार प्रयोगों और प्रायोगिक भौतिकी दोनों में किया गया है। क्वांटम यांत्रिकी और सापेक्षता सिद्धांत और भौतिकी के अन्य क्षेत्रों के क्षेत्र में वास्तविक दुनिया के प्रयोग इसमे सम्मिलित है:
 * पानी में प्रकाश की गति को मापने के लिए 1851 का फिज़ाऊ प्रयोग
 * प्रकाश की गति पर (काल्पनिक) चमकदार ईथर के प्रभाव को मापने के लिए 1887 का माइकलसन-मॉर्ले प्रयोग
 * 1935 का हैमर प्रयोग, मिशेलसन-मॉर्ले प्रयोग की पुनरावृत्ति से सकारात्मक परिणाम के डेटन मिलर के दावे का खंडन करने के लिए
 * 1932 का कैनेडी-थोर्नडाइक प्रयोग प्रकाश की गति की स्वतंत्रता और मापने वाले उपकरण के वेग का परीक्षण करने के लिए
 * बेल परीक्षण प्रयोग (सीए 1972 से) क्वांटम उलझाव के परिणामों को प्रदर्शित करने और स्थानीय छिपे-चर सिद्धांत को बाहर करने के लिए स्थानीय छिपे-चर सिद्धांत
 * 1978, 1984 आदि का व्हीलर का विलंबित विकल्प प्रयोग, यह परीक्षण करने के लिए कि फोटॉन तरंग या कण के रूप में क्या व्यवहार करता है और यह जब होता है
 * लेजर इंटरफेरोमेट्री एक्स-रे प्रयोग (2000 में प्रस्तावित) के साथ फ्री-ऑर्बिट प्रयोग पेनरोस व्याख्या का परीक्षण करने के लिए कि जितना अध्यारोपण स्पेसटाइम वक्रता पर निर्भर करता है
 * मच-ज़ेन्डर इंटरफेरोमीटर, विभिन्न प्रयोगों में उपयोग किया जाता है, जिसमें एलित्ज़ुर-वैदमैन बम परीक्षक सम्मिलित है जिसमें अंतःक्रिया-मुक्त माप सम्मिलित है; और दूसरों में क्वांटम संगणना के क्षेत्र में

क्वांटम यांत्रिक विवरण
क्वांटम यांत्रिकी में, विद्युत क्षेत्र संचालक होते हैं जैसा कि द्वितीय परिमाणीकरण और फॉक अवस्था द्वारा समझाया गया है। यह एक ऑप्टिकल सब्सट्रेट से बना है, जो प्रायः धातु की आंशिक रूप से पारदर्शी पतली परत के साथ कांच या प्लास्टिक की एक शीट होती है। प्रत्येक विद्युत क्षेत्र ऑपरेटर को तरंग व्यवहार और आयाम ऑपरेटरों का प्रतिनिधित्व करने वाले मोड (विद्युत चुंबकत्व) के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जो सामान्यतः आयाम रहित निर्माण और विनाश ऑपरेटरों द्वारा दर्शाए जाते हैं। इस सिद्धांत में, बीम स्प्लिटर के चार पोर्टों को एक फोटॉन नंबर स्टेट द्वारा दर्शाया जाता है $$|n\rangle$$ और एक निर्माण ऑपरेशन की क्रिया है $$\hat{a}^\dagger|n\rangle=\sqrt{n+1}|n+1\rangle$$. निम्नलिखित रेफरी का एक सरलीकृत संस्करण है। प्राचीन क्षेत्र के आयाम के बीच संबंध $${E}_{a},{E}_{b}, {E}_{c}$$, और $${E}_{d}$$ बीम स्प्लिटर द्वारा उत्पादित इसी क्वांटम निर्माण (या विनाश) ऑपरेटरों के समान संबंध में अनुवादित किया जाता है $$\hat{a}_a^\dagger,\hat{a}_b^\dagger, \hat{a}_c^\dagger$$, और $$\hat{a}_d^\dagger$$, जिससे कि



\left(\begin{matrix} \hat{a}_c^\dagger\\ \hat{a}_d^\dagger \end{matrix}\right)= \tau \left(\begin{matrix} \hat{a}_a^\dagger\\ \hat{a}_b^\dagger \end{matrix}\right) $$ जहां ट्रांसफर मैट्रिक्स ऊपर क्लासिकल लॉसलेस बीम स्प्लिटर सेक्शन में दिया गया है:



\tau=\left(\begin{matrix} r_{ac} & t_{bc}\\ t_{ad} & r_{bd} \end{matrix}\right) =e^{i\phi_0}\left(\begin{matrix} \sin\theta e^{i\phi_R} & \cos\theta e^{-i\phi_T} \\   \cos\theta e^{i\phi_T} & -\sin\theta e^{-i\phi_R} \end{matrix}\right). $$ तब से $$\tau$$ एकात्मक है, $$\tau^{-1}=\tau^\dagger$$, अर्थात।

\left(\begin{matrix} \hat{a}_a^\dagger\\ \hat{a}_b^\dagger \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} r_{ac}^\ast & t_{ad}^\ast\\ t_{bc}^\ast & r_{bd}^\ast \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} \hat{a}_c^\dagger\\ \hat{a}_d^\dagger \end{matrix}\right). $$ यह कहने के बराबर है कि यदि हम निर्वात अवस्था से प्रारंभ करें $$|00\rangle_{ab}$$ और उत्पादन के लिए पोर्ट A में एक फोटॉन जोड़ें
 * $$|\psi_\text{in}\rangle=\hat{a}_a^\dagger|00\rangle_{ab}=|10\rangle_{ab},$$ तब बीम स्प्लिटर के आउटपुट पर एक सुपरपोज़िशन बनाता है
 * $$|\psi_\text{out}\rangle=\left(r_{ac}^\ast\hat{a}_c^\dagger+t_{ad}^\ast\hat{a}_d^\dagger\right)|00\rangle_{cd}=r_{ac}^\ast|10\rangle_{cd}+t_{ad}^\ast|01\rangle_{cd}.$$

फोटॉन के पोर्टों c और d पर बाहर निकलने की संभावना इसलिए है $$|r_{ac}|^2$$ और $$|t_{ad}|^2$$, जैसे कि संभावना की जा सकती है।

इसी तरह, किसी भी इनपुट स्थिति के लिए $$|nm\rangle_{ab}$$ :$$ =\frac{1}{\sqrt{n!}}\left(\hat{a}_a^\dagger\right)^n\frac{1}{\sqrt{m!}}\left(\hat{a}_b^\dagger\right)^m|00\rangle_{ab} $$ और आउटपुट है
 * \psi_\text{in}\rangle=|nm\rangle_{ab}

=\frac{1}{\sqrt{n!}} \left(r_{ac}^\ast\hat{a}_c^\dagger+t_{ad}^\ast\hat{a}_d^\dagger\right)^n \frac{1}{\sqrt{m!}} \left(t_{bc}^\ast\hat{a}_c^\dagger+r_{bd}^\ast\hat{a}_d^\dagger\right)^m $$ द्विपद प्रमेय बहुद्विपद प्रमेय|बहुद्विपद प्रमेय का प्रयोग करके इसे लिखा जा सकता है
 * \psi_\text{out}\rangle
 * 00\rangle_{cd}.

\begin{align} &=\frac{1}{\sqrt{n!m!}} \sum_{j=0}^n \sum_{k=0}^m \binom{n}{j} \left( r_{ac}^\ast \hat{a}_c^\dagger \right)^j \left( t_{ad}^\ast \hat{a}_d^\dagger \right) ^{(n-j)} \binom{m}{k} \left( t_{bc}^\ast \hat{a}_c^\dagger \right)^k \left( r_{bd}^\ast \hat{a}_d^\dagger \right) ^{(m-k)} \\ &=\frac{1}{\sqrt{n!m!}} \sum_{N=0}^{n+m} \sum_{j=0}^N \binom{n}{j} r_{ac}^{\ast j} t_{ad}^{\ast (n-j)} \binom{m}{N-j} t_{bc}^{\ast (N-j)} r_{bd}^{\ast (m-N+j)} \left(\hat{a}_c^\dagger\right)^N \left( \hat{a}_d^\dagger\right)^{M}|00\rangle_{cd}, \\ &=\frac{1}{\sqrt{n!m!}} \sum_{N=0}^{n+m} \sum_{j=0}^N \binom{n}{j} \binom{m}{N-j} r_{ac}^{\ast j} t_{ad}^{\ast (n-j)} t_{bc}^{\ast (N-j)} r_{bd}^{\ast (m-N+j)} \sqrt{N!M!} \quad |N,M\rangle_{cd},\end{align} $$ जहाँ $$M=n+m-N$$ और यह $$\tbinom{n}{j}$$ एक द्विपद गुणांक है और यह समझा जाना चाहिए कि गुणांक शून्य है यदि $$j\notin\{ 0,n \}$$ ।
 * \psi_\text{out}\rangle
 * 00\rangle_{cd}

अंतिम समीकरण में संचरण/प्रतिबिंब गुणांक कारक को कम किए गए मापदंडों के संदर्भ में लिखा जा सकता है जो एकात्मकता सुनिश्चित करते हैं:



r_{ac}^{\ast j} t_{ad}^{\ast (n-j)} t_{bc}^{\ast (N-j)} r_{bd}^{\ast (m-N+j)} =(-1)^j\tan^{2j}\theta(-\tan\theta)^{m-N}\cos^{n+m}\theta\exp-i\left[(n+m)(\phi_0+\phi_T)-m(\phi_R+\phi_T)+N(\phi_R-\phi_T)\right]. $$ जहां यह देखा जा सकता है कि यदि बीम स्प्लिटर 50:50 है तो $$\tan\theta=1$$ और एकमात्र कारक जो j पर निर्भर करता है वह है $$(-1)^j$$ अवधि। यह कारक दिलचस्प हस्तक्षेप रद्दीकरण का कारण बनता है। उदाहरण के लिए, यदि $$n=m$$ और फिर बीम स्प्लिटर 50:50 है

\begin{align} \left(\hat{a}_a^\dagger\right)^n\left(\hat{a}_b^\dagger\right)^m &\to \left[\hat{a}_a^\dagger\hat{a}_b^\dagger\right]^n \\ &=   \left[\left(r_{ac}^\ast\hat{a}_c^\dagger+t_{ad}^\ast\hat{a}_d^\dagger\right) \left(t_{bc}^\ast\hat{a}_c^\dagger+r_{bd}^\ast\hat{a}_d^\dagger\right) \right]^n \\ &=   \left[\frac{e^{-i\phi_0}}{\sqrt{2}}\right]^{2n} \left[\left(e^{-i\phi_R}\hat{a}_c^\dagger+e^{-i\phi_T}\hat{a}_d^\dagger\right) \left(e^{i\phi_T}\hat{a}_c^\dagger-e^{i\phi_R}\hat{a}_d^\dagger\right) \right]^n \\ &=   \frac{e^{-2in\phi_0}}{2^n}\left[e^{i(\phi_T-\phi_R)} \left(\hat{a}_c^\dagger\right)^2 +e^{-i(\phi_T-\phi_R)}\left(\hat{a}_d^\dagger\right)^2 \right]^n \end{align} $$ जहां $$ \hat{a}_c^\dagger \hat{a}_d^\dagger $$ अवधि रद्द कर दी है। इसलिए आउटपुट अवस्थाओं में सदैव प्रत्येक भुजा में फोटॉन की संख्या भी होती है। इसका एक प्रसिद्ध उदाहरण हांग-ओ-मैंडेल प्रभाव है, जिसमें इनपुट है $$n=m=1$$, आउटपुट सदैव होता है $$|20\rangle_{cd}$$ या $$|02\rangle_{cd}$$, अर्थात प्रत्येक मोड (एक संयोग घटना) में एक फोटॉन के साथ आउटपुट की संभावना शून्य है। ध्यान दें कि यह सभी प्रकार के 50:50 बीम स्प्लिटर के लिए सही है, भले ही चरणों का विवरण कुछ भी हो, और फोटॉनों को केवल अप्रभेद्य होना चाहिए। यह प्राचीन परिणाम के विपरीत है, जिसमें 50:50 बीम स्प्लिटर पर समान इनपुट के लिए दोनों भुजाओं में समान आउटपुट विशिष्ट बीम स्प्लिटर चरणों (जैसे एक सममित बीम स्प्लिटर) के लिए दिखाई देता है। $$\phi_0=\phi_T=0,\phi_R=\pi/2$$), और अन्य चरणों के लिए जहां आउटपुट एक हाथ में जाता है (उदाहरण के लिए डाइइलेक्ट्रिक बीम स्प्लिटर $$\phi_0=\phi_T=\phi_R=0$$) आउटपुट सदैव एक ही आर्म में होता है, जैसा कि यहां प्रकरण है, किसी भी आर्म में रैंडम नहीं है। पत्राचार सिद्धांत से हम संभावना कर सकते हैं कि क्वांटम परिणाम बड़े n की सीमा में प्राचीन एक की ओर रुख करते हैं, लेकिन इनपुट पर बड़ी संख्या में अप्रभेद्य फोटोन की उपस्थिति एक गैर-प्राचीन स्थिति है जो एक प्राचीन क्षेत्र पैटर्न के अनुरूप नहीं है। जो बदले में अलग-अलग सांख्यिकीय मिश्रण का उत्पादन करता है $$|n,m\rangle$$ फोटॉन सांख्यिकी पोइसोनियन प्रकाश के रूप में जाना जाता है।

फ़र्न-लाउडन 1987 के पेपर में कठोर व्युत्पत्ति दी गई है और रेफरी में विस्तारित घनत्व मैट्रिक्स के साथ सांख्यिकीय मिश्रण सम्मिलित करने के लिए।

गैर-सममित बीम-स्प्लिटर
सामान्यतः, एक गैर-सममित बीम-स्प्लिटर के लिए, अर्थात् एक बीम-स्प्लिटर जिसके लिए संचरण और प्रतिबिंब गुणांक समान नहीं होते हैं, एक कोण को परिभाषित कर सकता है $$\theta$$ ऐसा है कि

$$\begin{cases} \end{cases}$$
 * R| = \sin(\theta)\\
 * T| = \cos(\theta)

जहाँ $$R$$ और $$T$$ प्रतिबिंब और संचरण गुणांक हैं। फिर बीम-स्प्लिटर से जुड़ा एकात्मक ऑपरेशन तब होता है

$$ \hat{U}=e^{i\theta\left(\hat{a}_{a}^{\dagger}\hat{a}_{b}+\hat{a}_{a}\hat{a}_{b}^{\dagger}\right)}. $$

क्वांटम कंप्यूटिंग के लिए आवेदन
2000 में निल, लाफलामे और मिलबर्न (केएलएम प्रोटोकॉल) ने प्रमाणित किया कि केवल बीम स्प्लिटर्स, फेज शिफ्टर्स, फोटोडेटेक्टर्स और सिंगल फोटॉन स्रोतों के साथ एक सार्वभौमिक एक कंप्यूटर जितना बनाना संभव है। अवस्था जो इस प्रोटोकॉल में एक qubit बनाते हैं, वे दो मोड के एक-फोटॉन अवस्था हैं, अर्थात अवस्था |01⟩ और |10⟩ दो मोड के व्यवसाय संख्या प्रतिनिधित्व (फॉक बताता है) में हैं। यह एक ऑप्टिकल सब्सट्रेट से बना है, जो प्रायः धातु की आंशिक रूप से पारदर्शी पतली परत के साथ कांच या प्लास्टिक की एक शीट होती है। इन संसाधनों का उपयोग करके किसी भी एकल क्यूबिट गेट और 2-क्विबिट प्रोबेबिलिस्टिक गेट्स को लागू करना संभव है। इस योजना में बीम स्प्लिटर एक आवश्यक घटक है क्योंकि यह एकमात्र ऐसा है जो फॉक अवस्थाओं के बीच क्वांटम उलझाव उत्पन्न करता है।

निरंतर-चर क्वांटम सूचना के लिए समान सेटिंग्स उपलब्ध हैं। निरंतर-चर क्वांटम सूचना प्रसंस्करण वास्तव में, बीम स्प्लिटर्स, फेज़ शिफ्टर्स और फोटोडेटेक्टर्स के माध्यम से प्रकाश की एक क्वांटम स्थिति के मनमाना बोगोलीबोव परिवर्तन का अनुकरण करना संभव है, संगठित हुआ सुसंगत अवस्था दिया गया है। दो-मोड संगठित हुआ निर्वात अवस्था एक पूर्व के रूप में उपलब्ध हैं केवल संसाधन (इसलिए यह सेटिंग KLM प्रोटोकॉल के गाऊसी समकक्ष के साथ कुछ समानताएं साझा करती है)। इस सिमुलेशन प्रक्रिया का निर्माण खंड यह तथ्य है कि एक बीम स्प्लिटर एक संगठित हुआ सुसंगत अवस्था आंशिक टी-समरूपता के अनुसार ऑपरेटर प्रतिनिधित्व के बराबर है।

यह भी देखें

 * पावर डिवाइडर और दिशात्मक कप्लर्स