पर्सिमेट्रिक मैट्रिक्स

गणित में, पर्सिमेट्रिक आव्यूह का उल्लेख हो सकता है: प्रथम परिभाषा साहित्य में सबसे सामान्य है। पदनाम हैंकेल आव्यूह का उपयोग अधिकांशतः दूसरी परिभाषा में गुण को संतुष्ट करने वाले आव्यूह के लिए किया जाता है।
 * 1) वर्ग आव्यूह जो उत्तर-पूर्व से दक्षिण-पश्चिम विकर्ण के संबंध में सममित है; अथवा
 * 2) ऐसा वर्ग आव्यूह जिसमें मुख्य विकर्ण के लंबवत प्रत्येक रेखा पर मान किसी दी गई रेखा के लिए समान होते हैं।

परिभाषा 1
मान लीजिए A = (aij) n × n आव्यूह है। पर्सिमेट्रिक की प्रथम परिभाषा के लिए इसकी आवश्यकता है-
 * $$a_{ij} = a_{n-j+1,n-i+1}$$ सभी i, j के लिए है

उदाहरण के लिए, 5 × 5 पर्सिमेट्रिक आव्यूह इस प्रकार के होते हैं-
 * $$A = \begin{bmatrix}

a_{11} & a_{12} & a_{13} & a_{14} & a_{15} \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & a_{24} & a_{14} \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & a_{23} & a_{13} \\ a_{41} & a_{42} & a_{32} & a_{22} & a_{12} \\ a_{51} & a_{41} & a_{31} & a_{21} & a_{11} \end{bmatrix}.$$ इसे समान रूप से AJ = JAT के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जहां J विनिमय आव्यूह है।

सममित आव्यूह जिसका मान उत्तर-पश्चिम से दक्षिण-पूर्व विकर्ण में सममित होता है। यदि सममित आव्यूह को 90° घुमाया जाता है, तो यह द्विसममितीय आव्यूह बन जाता है। इस प्रकार सममित पर्सिमेट्रिक आव्यूह को कभी-कभी द्विसममितीय आव्यूह भी कहा जाता है।

परिभाषा 2
द्वितीय परिभाषा थॉमस मुइर (गणितज्ञ) के कारण है। यह कहते है कि वर्ग आव्यूह A = (aij) परसिमेट्रिक है, यदि aij केवल i+j पर निर्भर करता है। इस अर्थ में पर्सिमेट्रिक आव्यूह, अथवा हैंकेल आव्यूह, जैसा कि उन्हें अधिकांशतः कहा जाता है, निम्नलिखित रूप के होते हैं I
 * $$ A = \begin{bmatrix}

r_1 & r_2 & r_3 & \cdots & r_n \\ r_2 & r_3 & r_4 & \cdots & r_{n+1} \\ r_3 & r_4 & r_5 & \cdots & r_{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ r_n & r_{n+1} & r_{n+2} & \cdots & r_{2n-1} \end{bmatrix}. $$ आव्यूह सारणिक पर्सिमेट्रिक आव्यूह का सारणिक होता है।

आव्यूह जिसके मुख्य विकर्ण के समानांतर प्रत्येक रेखा पर मान स्थिर होते हैं, टोएप्लिट्ज़ आव्यूह कहलाता है।

यह भी देखें

 * सेंट्रोसिमेट्रिक आव्यूह