सटीक संचालिका

गणित में, विशेष रूप से होमोलॉजिकल बीजगणित, वह एक्जेक्ट फ़ंक्टर है जो कि एक ऑपरेटर है, जो कि कम एक्जेक्ट अनुक्रमों को भी संरक्षित करता है। बीजगणितीय गणनाओं के लिए एक्जेक्ट कारक सुविधाजनक होते हैं क्योंकि उन्हें वस्तुओं की प्रस्तुतियों पर सीधे लागू किया जा सकता है। होमोलॉजिकल बीजगणित में अधिकांश कार्य उन फ़ंक्टरों से निपटने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं जो 'विफल' एक्जेक्ट होने के लिए हैं, लेकिन उन तरीकों से जिन्हें अभी भी नियंत्रित किया जा सकता है।

परिभाषाएँ
मान लीजिए कि P और Q आबेली श्रेणियाँ हैं, और मान लीजिए F: P→Q एक सहसंयोजक फ़ंक्टर योगात्मक कारक बनें (ताकि, विशेष रूप से, F(0) = 0), हम कहते हैं कि F एक एक्जेक्ट फ़ंक्टर है यदि जब भी


 * : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :$$0 \to A\ \stackrel{f}{\to} \ B\ \stackrel{g}{\to} \ C \to 0$$ P में एक छोटा एक्जेक्ट अनुक्रम है


 * $$0 \to F(A) \ \stackrel{F(f)}{\longrightarrow} \ F(B)\ \stackrel{F(g)}{\longrightarrow} \ F(C) \to 0$$ Q में एक संक्षिप्त एक्जेक्ट अनुक्रम है। (मानचित्र प्रायः छोड़े गए और निहित होते हैं, यह निर्गत करता है कि एक कहता है: यदि 0→A→B→C→0 एक्जेक्ट है, तो 0→' 'F(A)→F(B)→F(C)→0 भी एक्जेक्ट है।)

आगे यदि हम कहते हैं कि 'F' है


 * बाएं-एक्जेक्ट यदि जब भी 0→A→B→C→0 एक्जेक्ट है तो 0→F(A)→F (B)→F(C) एक्जेक्ट है;
 * सही-एक्जेक्ट यदि जब भी 0→A→B→C→0 एक्जेक्ट है तो F(A)→F(' 'B)→F(C)→0 एक्जेक्ट है;
 * आधा एक्जेक्ट यदि जब भी 0→A→B→C→0 एक्जेक्ट है तो F(A)→F(' 'B)→F(C) एक्जेक्ट है। यह एक टोपोलॉजिकल अर्ध-एक्जेक्ट फ़ंक्टर की धारणा से अलग है।

यदि G, P से Q तक एक प्रतिपरिवर्तक फ़ंक्टर एडिटिव फ़ंक्टर है, तो हम इसी तरह G को परिभाषित करते हैं


 * एक्जेक्ट यदि जब भी 0→A→B→C→0 एक्जेक्ट है तो 0→G(C)→G(' 'B)→G(A)→0 एक्जेक्ट है;
 * बाएं-एक्जेक्ट यदि जब भी 0→A→B→C→0 एक्जेक्ट है तो 0→G(C)→G (B)→G(A) एक्जेक्ट है;
 * सही-एक्जेक्ट यदि जब भी 0→A→B→C→0 एक्जेक्ट है तो G(C)→G(' 'B)→G(A)→0 एक्जेक्ट है;
 * आधा एक्जेक्ट यदि जब भी 0→A→B→C→0 एक्जेक्ट है तो G(C)→G(' 'B)→G(A) एक्जेक्ट है।

कुछ सटीकता को बनाए रखने के लिए सदैव संपूर्ण संक्षिप्त एक्जेक्ट अनुक्रम 0→A→B→C→0 से प्रारंभ करना आवश्यक नहीं है। निम्नलिखित परिभाषाएँ ऊपर दी गई परिभाषा के समतुल्य हैं:


 * F एक्जेक्ट है यदि और केवल यदि A→B→C एक्जेक्ट अर्थ F(A)→F( B)→F(C) एक्जेक्ट;
 * F वाम-एक्जेक्ट है यदि और केवल यदि 0→A→B→C एक्जेक्ट अर्थ 0→F(A)→ F(B)→F(C) एक्जेक्ट (अर्थात यदि F कर्नेल को कर्नेल में बदल देता है);
 * F सही-एक्जेक्ट है यदि और केवल यदि A→B→C→0 एक्जेक्ट अर्थ है F(A)→ F(B)→F(C)→0 एक्जेक्ट (अर्थात यदि F कोकर्नेल को कोकर्नेल में बदल देता है);
 * G वाम-एक्जेक्ट है यदि और केवल यदि A→B→C→0 एक्जेक्ट तात्पर्य 0→G(C)→ है G(B)→G(A) एक्जेक्ट (अर्थात यदि G कोकर्नेल को कर्नेल में बदल देता है);
 * G सही-एक्जेक्ट है यदि और केवल यदि 0→A→B→C का एक्जेक्ट अर्थ है G(C)→ G(B)→G(A)→0 एक्जेक्ट (अर्थात यदि G कर्नेल को कोकर्नेल में बदल देता है)।

उदाहरण
एबेलियन श्रेणियों की श्रेणियों की प्रत्येक समानता एक्जेक्ट है।

बाएँ एक्जेक्ट फ़ंक्टरों के सबसे बुनियादी उदाहरण होम फ़ैक्टर हैं: यदि A एक एबेलियन श्रेणी है और A, A की वस्तु है, तो FA(X) = HomA(A, X) एबेलियन समूहों की श्रेणी के लिए 'A' से सहसंयोजक बाएं-एक्जेक्ट फ़ंक्टर को परिभाषित करता है। एबेलियन समूहों की श्रेणी 'AB'। फ़ंक्टर FA एक्जेक्ट है यदि और केवल A प्रक्षेपी मॉड्यूल है। फ़ंक्टर GA(X) = HomA(X, A) एक विपरीत बाएं-एक्जेक्ट फ़ंक्टर है; यह एक्जेक्ट है यदि और केवल यदि A इंजेक्शन मॉड्यूल है।

यदि k एक क्षेत्र (गणित) है और V k पर एक सदिश समष्टि है, तो हम लिखते हैं V * = Homk(V, K) (इसे सामान्यतः दोहरी जगह के रूप में जाना जाता है)। यह वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से स्वयं के लिए K-वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी से एक विरोधाभासी एक्जेक्ट फ़ंक्टर उत्पन्न करता है। (सटीकता ऊपर से अनुसरण करती है: k एक इंजेक्शन मॉड्यूल k-मॉड्यूल (गणित) है। वैकल्पिक रूप से, कोई यह तर्क दे सकता है कि k-वेक्टर रिक्त स्थान का प्रत्येक छोटा एक्जेक्ट अनुक्रम एक्जेक्ट अनुक्रम को विभाजित करता है, और कोई भी एडिटिव फ़ंक्टर विभाजित अनुक्रमों को विभाजित अनुक्रमों में बदल देता है।)

यदि X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, तो हम X पर एबेलियन समूह के सभी शीफ (गणित) की एबेलियन श्रेणी पर विचार कर सकते हैं। सहसंयोजक फ़ंक्टर जो प्रत्येक शीफ़ F से जुड़ता है, वैश्विक वर्गों का समूह F(X) बाएँ-एक्जेक्ट है। बीजगणितीय गणनाओं के लिए एक्जेक्ट कारक सुविधाजनक होते हैं क्योंकि उन्हें वस्तुओं की प्रस्तुतियों पर सीधे लागू किया जा सकता है। होमोलॉजिकल बीजगणित में अधिकांश कार्य उन फ़ंक्टरों से निपटने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं जो 'विफल' एक्जेक्ट होने के लिए हैं, लेकिन उन तरीकों से जिन्हें अभी भी नियंत्रित किया जा सकता है।

यदि R एक वलय (गणित) है और T एक सही R-मॉड्यूल (गणित) है, तो हम एक फ़ंक्टर HT को परिभाषित कर सकते हैं एबेलियन श्रेणी के मॉड्यूल से आर: एच पर टेंसर उत्पाद का उपयोग करके सभी बाएं आर-मॉड्यूल की श्रेणी 'एबी' तकT(X) = T ⊗ X, यह एक सहसंयोजक सही एक्जेक्ट फ़ंक्टर है; यह एक्जेक्ट है यदि और केवल यदि टी फ्लैट मॉड्यूल है। दूसरे शब्दों में, बाएं R मॉड्यूल का एक एक्जेक्ट अनुक्रम A→B→C→0 दिया गया है, एबेलियन समूहों का अनुक्रम T ⊗ A → T ⊗ B → T ⊗ C → 0 एक्जेक्ट है।

उदाहरण के लिए, $$\mathbb{Q}$$ एक फ्लैट $$\mathbb{Z}$$-मापांक है, इसलिए, साथ टेंसरिंग $$\mathbb{Q}$$ के तौर पर $$\mathbb{Z}$$-मॉड्यूल एक एक्जेक्ट फ़ंक्टर है। प्रमाण: यह दर्शाने के लिए पर्याप्त है कि यदि i का एक अंतःक्षेपी मानचित्र है $$\mathbb{Z}$$-मॉड्यूल $$i:M\to N$$, फिर टेंसर उत्पादों के बीच संबंधित मानचित्र $$M \otimes \mathbb{Q} \to N\otimes \mathbb{Q}$$ इंजेक्शन है। कोई यह दिखा सकता है $$m \otimes q = 0$$ यदि और केवल यदि $$m$$ एक वक्राकार तत्व है या $$q = 0$$. दिए गए टेंसर उत्पादों में केवल शुद्ध टेंसर होते हैं। इसलिए, यह दिखाने के लिए पर्याप्त है कि यदि एक शुद्ध टेंसर $$m \otimes q $$ कर्नेल (बीजगणित) में है, तो यह शून्य है। लगता है कि $$m \otimes q $$ कर्नेल का एक तत्व है। तब, $$i(m)$$ वक्राकार है। तब से $$i$$ इंजेक्शन है, $$m$$ वक्राकार है। इसलिए, $$m \otimes q = 0$$. इसलिए, $$ M \otimes \mathbb{Q} \to N\otimes \mathbb{Q} $$ इंजेक्शन भी है।

सामान्यतः, यदि T समान नहीं है, तो टेन्सर उत्पाद एक्जेक्ट नहीं बचा है। उदाहरण के लिए, के संक्षिप्त एक्जेक्ट अनुक्रम पर विचार करें $$\mathbf{Z}$$-मॉड्यूल $$5\mathbf{Z} \hookrightarrow \mathbf{Z} \twoheadrightarrow \mathbf{Z}/5\mathbf{Z}$$. तानना खत्म $$\mathbf{Z}$$ साथ $$\mathbf{Z}/5\mathbf{Z}$$ एक अनुक्रम देता है जो अब एक्जेक्ट नहीं है, चूँकि $$\mathbf{Z}/5\mathbf{Z}$$ वक्राकार रहित नहीं है और इसलिए समान नहीं है।

यदि A एबेलियन श्रेणी है और C एक मनमानी छोटी श्रेणी श्रेणी (गणित) है, तो हम फ़ंक्टर श्रेणी AC पर विचार कर सकते हैं में C से A तक के सभी फ़ंक्टर सम्मिलित हैं; यह एबेलियन है। यदि X C की दी गई वस्तु है, तो हमें एक फ़ंक्टर EX मिलता है एक से से AC X पर फ़ंक्टरों का मूल्यांकन करके यह फ़ंक्टर EX एक्जेक्ट है।

जबकि टेंसरिंग एक्जेक्ट नहीं छोड़ा जा सकता है, यह दिखाया जा सकता है कि टेंसरिंग एक सही एक्जेक्ट फ़ंक्टर है:

प्रमेय: A, B, c और P को गुणात्मक पहचान वाले एक क्रमविनिमेय वलय R के लिए आर-मॉड्यूल होने दें। माना कि $$A \ \stackrel{f}{\to} \ B\ \stackrel{g}{\to} \ C \to 0$$ आर-मॉड्यूल का एक संक्षिप्त एक्जेक्ट अनुक्रम हो। तब
 * $$A\otimes_{R} P \stackrel{f \otimes P}\to B\otimes_{R} P \stackrel{g \otimes P}\to C \otimes_{R} P \to 0$$

आर-मॉड्यूल का एक संक्षिप्त एक्जेक्ट अनुक्रम भी है। (चूँकि R क्रमविनिमेय है, यह अनुक्रम R-मॉड्यूल का एक क्रम है और केवल एबेलियन समूहों का नहीं है)। यहाँ, हम परिभाषित करते हैं
 * $$f \otimes P(a \otimes p):=f(a) \otimes p, g \otimes P(b \otimes p):=g(b) \otimes p$$.

इसका एक उपयोगी परिणाम है: यदि I, R का एक आदर्श (रिंग थ्योरी) है और P ऊपर जैसा है, तो $$P \otimes_{R} (R/I) \cong P/IP$$.

परिणाम: $$ I \stackrel{f}\to R \stackrel{g}\to R/I \to 0$$, जहां एफ समावेशन है और G प्रक्षेपण है, आर-मॉड्यूल का एक एक्जेक्ट अनुक्रम है। ऊपर से हम पाते हैं कि:$$I\otimes_{R} P \stackrel{f \otimes P}\to R\otimes_{R} P \stackrel{g \otimes P}\to R/I \otimes_{R} P \to 0$$ R-मॉड्यूल का एक संक्षिप्त एक्जेक्ट अनुक्रम भी है। सटीकता से, $$R/I \otimes_{R} P \cong (R\otimes_{R} P)/Image(f\otimes P) = (R\otimes_{R} P)/(I \otimes_{R} P)$$, चूंकि f समावेशन है। अब, मॉड्यूल समरूपता पर विचार करें। R-मॉड्यूल समरूपता से $$R \otimes_R P \rightarrow P$$ शुद्ध टेंसरों पर परिभाषित मानचित्र को आर-रैखिक रूप से विस्तारित करके दिया गया है: $$r\otimes p \mapsto rp. rp=0 $$ इसका आशय है $$0= rp\otimes 1 = r \otimes p$$. इसलिए, इस मानचित्र के कर्नेल में कोई गैर-शून्य शुद्ध टेंसर नहीं हो सकता है। $$R \otimes_R P$$ केवल शुद्ध टेंसरों से बना है: के लिए $$ x_i \in R, \sum_{i} x_i (r_i \otimes p_i) = \sum_i 1 \otimes (r_i x_i p_i) = 1 \otimes (\sum_i  r_i x_i p_i)$$. तो, यह मानचित्र इंजेक्शन है। यह स्पष्ट रूप से विशेषण है। इसलिए, $$R \otimes_R P \cong P$$. इसी प्रकार, $$I \otimes_R P \cong IP$$. यह परिणाम सिद्ध करता है।

एक अन्य एप्लिकेशन के रूप में, हम दिखाते हैं कि, $$P =\mathbf{Z}[1/2]:= \{a/2^k : a,k \in \mathbf{Z}\}, P \otimes \mathbf{Z}/m\mathbf{Z} \cong P/k\mathbf{Z}P $$ कहाँ $$ k=m/2^n $$ और n दो विभाजक m की उच्चतम शक्ति है। हम एक विशेष मामला प्रमाणित करते हैं: M = 12।

प्रमाण: एक शुद्ध टेन्सर पर विचार करें $$(12z)\otimes (a/2^k ) \in (12\mathbf{Z} \otimes_{Z} P).(12z)\otimes (a/2^k ) = (3z)\otimes (a/2^{k-2}) $$. के लिए भी $$(3z)\otimes (a/2^k ) \in (3\mathbf{Z} \otimes_{Z} P), (3z)\otimes (a/2^k ) = (12z)\otimes (a/2^{k+2}) $$. इससे पता चलता है कि $$(12\mathbf{Z} \otimes_{Z} P) = (3\mathbf{Z} \otimes_{Z} P)$$. दे $$P= \mathbf{Z}[1/2], A = 12\mathbf{Z}, B= \mathbf{Z}, C = \mathbf{Z}/12\mathbf{Z} $$, ए, बी, सी, पी सामान्य गुणा क्रिया द्वारा R = 'Z' मॉड्यूल हैं और मुख्य प्रमेय की शर्तों को पूरा करते हैं। प्रमेय द्वारा निहित सटीकता और उपरोक्त नोट द्वारा हम इसे प्राप्त करते हैं $$: \mathbf{Z}/12\mathbf{Z} \otimes_{Z} P \cong (\mathbf{Z} \otimes_{Z} P) / (12\mathbf{Z} \otimes_{Z} P) = (\mathbf{Z} \otimes_{Z} P) / (3\mathbf{Z} \otimes_{Z} P) \cong \mathbf{Z}P/3\mathbf{Z} P $$. अंतिम सर्वांगसमता उपप्रमेय के प्रमाण में एक के समान तर्क द्वारा अनुसरण करती है जो यह दर्शाता है $$ I \otimes_R P \cong IP $$.

गुण और प्रमेय
एक फ़ंक्टर एक्जेक्ट है यदि और केवल यदि यह दोनों एक्जेक्ट और सही एक्जेक्ट है।

एक सहसंयोजक (आवश्यक रूप से योज्य नहीं) फ़ंक्टर को एक्जेक्ट छोड़ दिया जाता है यदि और केवल यदि यह परिमित सीमा (श्रेणी सिद्धांत) को सीमा में बदल देता है; एक सहसंयोजक फ़ंक्टर सही है यदि और केवल यदि यह परिमित कोलिमिट को कोलिमिट में बदल देता है; एक प्रतिपरिवर्ती फ़ंक्टर एक्जेक्ट छोड़ दिया जाता है यदि यह परिमित कॉलिमिट को सीमा में बदल देता है; एक कॉन्ट्रावैरिएंट फ़ंक्टर सही है यदि यह परिमित सीमा को कोलिमिट में बदल देता है।

जिस सीमा तक एक बाएं एक्जेक्ट फ़ंक्टर एक्जेक्ट होने में विफल रहता है, उसे इसके व्युत्पन्न फ़ंक्टर से मापा जा सकता है; जिस सीमा तक एक सही एक्जेक्ट फ़ंक्टर एक्जेक्ट होने में विफल रहता है, उसे उसके व्युत्पन्न फ़ंक्टर के साथ मापा जा सकता है।

मुख्य रूप से निम्न तथ्य के कारण बाएँ और दाएँ एक्जेक्ट फ़ंक्टर सर्वव्यापी हैं: यदि फ़ंक्टर F, G से सटे फ़ंक्टर हैं, तो F दाएँ एक्जेक्ट है और G बाएँ एक्जेक्ट है।

सामान्यीकरण
ग्रोथेंडिक के सेमिनेयर डे जियोमेट्री अल्गेब्रिक, टोम, सेक्शन 1 में, बाएं (दाएं) एक्जेक्ट फ़ंक्टरों की धारणा को सामान्य श्रेणियों के लिए परिभाषित किया गया है, न कि केवल एबेलियन वाले परिभाषा इस प्रकार है:
 * C को परिमित प्रोजेक्टिव (प्रतिक्रियात्मक) सीमाओं के साथ एक श्रेणी होने दें। तब C से दूसरी श्रेणी C' में एक फ़ंक्टर बाएँ (सही दाएं) एक्जेक्ट होता है यदि यह परिमित प्रक्षेप्य (उत्तर आगमनात्मक) सीमा के साथ प्रारम्भ होता है।

इसके अमूर्त होने के बावजूद, इस सामान्य परिभाषा के उपयोगी परिणाम हैं। उदाहरण के लिए, धारा 1.8 में, ग्रोथेंडिक प्रमाणित करता है कि श्रेणी C पर कुछ हल्की स्थितियों के तहत, एक फ़ंक्टर प्रो-प्रतिनिधित्व योग्य है यदि और केवल यदि इसे एक्जेक्ट छोड़ दिया जाए।

क्विलन की एक्जेक्ट श्रेणी के बीच एक्जेक्ट फ़ंक्टर यहां परिकलन की गई एबेलियन श्रेणियों के बीच एक्जेक्ट फ़ंक्टर का सामान्यीकरण करते हैं।

नियमित श्रेणी के बीच नियमित फ़ंक्टरों को कभी-कभी एक्जेक्ट फ़ंक्टर कहा जाता है और यहां पर परिकलन की गई एक्जेक्ट फ़ंक्टरों को सामान्यीकृत किया जाता है।