इंटीरियर (टोपोलॉजी)

[[Image:Interior illustration.svg|right|thumb|बिंदु $x$, $S$ का आंतरिक बिंदु है।

बिंदु $y$, $S$ की सीमा पर है।]]गणित में, विशेष रूप से सामान्य टोपोलॉजी में, टोपोलॉजिकल स्थान $X$ के उपसमुच्चय $S$ का अभ्यंतर, $S$ के उन सभी उपसमुच्चयों का संघ है, जो $X$ में खुले सम्मुच्च्य हैं। बिंदु जो $S$ के अभ्यंतर में है, $S$ का आतंरिक बिंदु है।

$S$ का आंतरिक भाग $S$ के पूरक के क्लोज़र (टोपोलॉजी) का पूरक है। इस अर्थ में आंतरिक भाग और क्लोज़र दोहरी धारणाएं हैं।

समुच्चय $S$ का बाह्य भाग $S$ के बंद होने का पूरक है; इसमें ऐसे बिंदु होते हैं, जो न तो सम्मुच्च्य में हैं और न ही इसकी सीमा में है। उपसमुच्चय के आंतरिक, सीमा और बाहरी एक साथ पूरे स्थान को तीन खंडो में विभाजित करते हैं (या इनमें से एक या अधिक खाली होने पर कम)।

आंतरिक बिंदु
यदि $$S$$ यूक्लिडियन स्थान का उपसमुच्चय है, तब $$x$$, $$S$$ का आंतरिक बिंदु है, यदि $$x$$ पर केंद्रित खुली गेंद उपस्थित है, जो पूरी तरह से $$S$$ में सम्मिलित है। (यह इस लेख के परिचयात्मक खंड में सचित्र है।)

यह परिभाषा यूक्लिडियन स्थान $$X$$ के किसी भी उपसमुच्चय $$S$$ को आव्यूह $$d$$ के साथ सामान्यीकृत करती है: $$x$$, $$S$$ का आंतरिक बिंदु है, यदि वहाँ वास्तविक संख्या $$r > 0$$ उपस्थित है, जैसे कि दूरी $$d(x, y) < r$$ में $$S$$ में $$y$$ है।

यह परिभाषा "खुले सम्मुच्च्य" के साथ "खुली गेंद" को परिवर्तित कर टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान को सामान्य करती है। यदि $$S$$ टोपोलॉजिकल स्थान $$X$$ का उपसमुच्चय है, तब $$x$$, $$X$$ में $$S$$ का  है, यदि $$x$$, $$X$$ के खुले उपसमुच्चय में सम्मिलित है, जो पूरी तरह से $$S$$ में सम्मिलित है।(समान रूप से, $$x$$, $$S$$ का आंतरिक बिंदु है, यदि $$S$$, $$x$$ का पड़ोसी (गणित) है।)

सम्मुच्च्य का आंतरिक भाग
टोपोलॉजिकल स्थान $$X$$ के उपसमुच्चय $$S$$ का आंतरिक भाग, $$\operatorname{int}_X S$$, $$\operatorname{int} S$$ या $$S^\circ$$ द्वारा चिह्नित किया जाता है, तथा निम्नलिखित में से किसी भी तरह से परिभाषित किया जा सकता है: यदि स्थान $$X$$ संदर्भ से समझा जाता है तो छोटा संकेतन $$\operatorname{int} S$$ सामान्यतः $$\operatorname{int}_X S$$ के लिए पसंद किया जाता है।
 * 1) $$\operatorname{int} S$$, $$S$$ में सम्मिलित $$X$$ का सबसे बड़ा खुला उपसमुच्चय है।
 * 2) $$\operatorname{int} S$$, $$S$$ में सम्मिलित $$X$$ के सभी खुले सम्मुच्च्यों का मिलन है।
 * 3) $$\operatorname{int} S$$, $$S$$ के सभी आंतरिक बिंदुओं का समुच्चय है।

उदाहरण

 * किसी भी स्थान में, रिक्त समुच्चय का अभ्यंतर रिक्त समुच्चय होता है।
 * किसी भी स्थान $$X$$ पर, यदि $$S \subseteq X$$ है, तब $$\operatorname{int} S \subseteq S$$ होता है।
 * यदि $$X$$ वास्तविक रेखा $$\Reals$$ है (मानक टोपोलॉजी के साथ), तब $$\operatorname{int} ([0, 1]) = (0, 1)$$ होगा जबकि परिमेय संख्याओं के सम्मुच्च्य $$\Q$$ का आंतरिक भाग खाली $$\operatorname{int} \Q = \varnothing$$ है।
 * यदि $$X$$ सम्मिश्र संख्या $$\Complex$$ है, तब $$\operatorname{int} (\{z \in \Complex : |z| \leq 1\}) = \{z \in \Complex : |z| < 1\}$$ होगा।
 * किसी भी यूक्लिडियन स्थान में, किसी परिमित समुच्चय का अभ्यंतर रिक्त समुच्चय होता है।

वास्तविक संख्याओं के सम्मुच्च्य पर, मानक के अतिरिक्त अन्य टोपोलॉजी रख सकते हैं:


 * यदि $$X$$ निचली सीमा टोपोलॉजी के साथ वास्तविक संख्या $$\Reals$$ है, तब $$\operatorname{int} ([0, 1]) = [0, 1)$$।
 * यदि कोई $$\Reals$$ पर विचार करता है, जिसमें असतत टोपोलॉजी का हर सम्मुच्च्य खुला है, तब $$\operatorname{int} ([0, 1]) = [0, 1]$$।
 * यदि कोई $$\Reals$$ पर विचार करता है, जिसमें टोपोलॉजी एकमात्र खुले सम्मुच्च्य खाली सम्मुच्च्य हैं और $$\Reals$$ स्वयं है, तब $$\operatorname{int} ([0, 1])$$ खाली सम्मुच्च्य है।

इन उदाहरणों से पता चलता है कि सम्मुच्च्य का आंतरिक भाग अंतर्सम्मिलित स्थान की टोपोलॉजी पर निर्भर करता है। पिछले दो उदाहरण निम्नलिखित की विशेष स्थिति हैं।


 * किसी भी असतत स्थान में, चूंकि हर सम्मुच्च्य खुला है, हर सम्मुच्च्य अपने आंतरिक भाग के बराबर है।
 * किसी भी अविच्छिन्न स्थान $$X$$ में, चूँकि केवल खुले समुच्चय ही रिक्त समुच्चय होते हैं और $$X$$ अपने आप, $$\operatorname{int} X = X$$ और हर उपसमुच्चय के लिए $$S$$ का $$X,$$ $$\operatorname{int} S$$ खाली सम्मुच्च्य है।

गुण
माना $$X$$ टोपोलॉजिकल स्थान है और माना $$S$$ और $$T$$, $$X$$ का उपसमुच्चय हो। अन्य गुणों में सम्मिलित हैं:
 * $$\operatorname{int} S$$, $$X$$ में खुला है।
 * यदि $$T$$, $$X$$ में खुला है, तब $$T \subseteq S$$ यदि और केवल यदि $$T \subseteq \operatorname{int} S$$।
 * $$\operatorname{int} S$$, $$S$$ का खुला उपसमुच्चय है, जब $$S$$ सबस्थान टोपोलॉजी दी गई है।
 * $$S$$, $$X$$ का खुला उपसमुच्चय है, यदि और केवल यदि $$\operatorname{int} S = S$$।
 * : $$\operatorname{int} S \subseteq S$$
 * $$\operatorname{int} (\operatorname{int} S) = \operatorname{int} S$$
 * /: $$\operatorname{int} (S \cap T) = (\operatorname{int} S) \cap (\operatorname{int} T)$$
 * चूँकि, आंतरिक भाग ऑपरेटर ऑपरेटर संघों पर वितरित नहीं करता है, क्योंकि केवल $$\operatorname{int} (S \cup T) ~\supseteq~ (\operatorname{int} S) \cup (\operatorname{int} T)$$ की सुनिश्चिता सामान्य रूप से है और समानता पकड़ नहीं सकती है। उदाहरण के लिए, यदि $$X = \Reals, S = (-\infty, 0],$$ और $$T = (0, \infty)$$ तब $$(\operatorname{int} S) \cup (\operatorname{int} T) = (-\infty, 0) \cup (0, \infty) = \Reals \setminus \{0\}$$ का उचित उपसमुच्चय $$\operatorname{int} (S \cup T) = \operatorname{int} \Reals = \Reals$$ है।
 * /: यदि $$S \subseteq T$$ तब $$\operatorname{int} S \subseteq \operatorname{int} T$$ होगा।


 * यदि $$S$$, $$X$$ और $$\operatorname{int} T = \varnothing$$ में बंद है, तब $$\operatorname{int} (S \cup T) = \operatorname{int} S$$।

क्लोजर से संबंध
उपरोक्त कथन सही रहेंगे यदि प्रतीकों/शब्दों के सभी उदाहरण
 * "इंटीरियर", "इंट", "ओपन", "सबसेट", और "लार्जेस्ट"

द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है:

"क्लोजर", "सीएल", "क्लोज्ड", "सुपरसेट", और "स्मालेस्ट"

और निम्नलिखित प्रतीकों की अदला-बदली की जाती है:
 * 1) "$$\subseteq$$" को "$$\supseteq$$" से बदला जाता है।
 * 2) "$$\cup$$" को "$$\cap$$" से बदला जाता है। इस स्थिति पर अधिक जानकारी के लिए, नीचे आंतरिक भाग (टोपोलॉजी) आंतरिक भाग ऑपरेटर देखें या लेख कुराटोव्स्की क्लोजर एक्सिओम्स देखें।

आंतरिक ऑपरेटर
आंतरिक संचालक $$\operatorname{int}_X$$ क्लोजर (टोपोलॉजी) ऑपरेटर के लिए दोहरी है, जिसे $$\operatorname{cl}_X$$ द्वारा या ओवरलाइन द्वारा — निरूपित किया जाता है, इस अर्थ में कि $$\operatorname{int}_X S = X \setminus \overline{(X \setminus S)}$$ और भी $$\overline{S} = X \setminus \operatorname{int}_X (X \setminus S),$$ जहाँ $$X$$ टोपोलॉजिकल स्थान $$S$$ युक्त है और बैकस्लैश $$\,\setminus\,$$ पूरक सम्मुच्च्य-सैद्धांतिक अंतर को दर्शाता है। इसलिए, क्लोजर ऑपरेटरों के सार सिद्धांत और कुराटोस्की क्लोजर स्वयंसिद्धों को सम्मुच्च्य को उनके पूरक $$X$$ के साथ परिवर्तित कर आंतरिक ऑपरेटरों की भाषा में आसानी से अनुवादित किया जा सकता है। सामान्य तौर पर, आंतरिक भाग ऑपरेटर संघों के साथ काम नहीं करता है। चूँकि, पूर्ण मीट्रिक स्थान में निम्नलिखित परिणाम धारण करता है:

$$

उपरोक्त परिणाम का तात्पर्य है कि प्रत्येक पूर्ण मीट्रिक स्थान, बायर स्थान है।

सम्मुच्च्य का बाहरी भाग
उपसमुच्चय का बाहरी भाग $$S$$ टोपोलॉजिकल स्थान $$X$$ का $$\operatorname{ext}_X S$$ द्वारा चिह्नित या केवल $$\operatorname{ext} S$$, $$S$$ से सबसे बड़ा खुला सम्मुच्च्य असंयुक्त (सम्मुच्च्य) है अर्थात्, यह सभी खुले सम्मुच्च्यों का मिलन है, जो $$X$$ से अलग हैं। $$S$$ बाहरी पूरक का आंतरिक भाग है, जो समापन के पूरक के समान है; सूत्रों में, $$\operatorname{ext} S = \operatorname{int}(X \setminus S) = X \setminus \overline{S}.$$ इसी प्रकार, आंतरिक भाग पूरक का बाहरी हिस्सा है: $$\operatorname{int} S = \operatorname{ext}(X \setminus S).$$ सम्मुच्च्य का आंतरिक, सीमा (टोपोलॉजी), और बाहरी भाग $$S$$ एक साथ पूरे स्थान को तीन खंडो में सम्मुच्च्य करें (या इनमें से एक या अधिक खाली होने पर कम): $$X = \operatorname{int} S \cup \partial S \cup \operatorname{ext} S,$$ जहाँ $$\partial S$$, $$S$$ की सीमा को दर्शाता है, आंतरिक और बाहरी भाग सदैव खुले सम्मुच्च्य होते हैं, जबकि सीमा बंद सम्मुच्च्य होती है।

बाहरी ऑपरेटर के कुछ गुण आंतरिक भाग ऑपरेटर के गुणों के विपरीत हैं:
 * बाहरी ऑपरेटर समावेशन को उलट देता है; यदि $$S \subseteq T,$$ तब $$\operatorname{ext} T \subseteq \operatorname{ext} S$$
 * बाहरी ऑपरेटर मूर्ख नहीं है। उसके पास $$\operatorname{int} S \subseteq \operatorname{ext}\left(\operatorname{ext} S\right)$$ गुण है।

आंतरिक-विच्छेद आकार
दो आकार $$a$$ और $$b$$ आंतरिक-विच्छेद कहलाते हैं, यदि उनके आंतरिक भाग का प्रतिच्छेदन खाली है। आंतरिक-असंबद्ध आकृतियाँ अपनी सीमा में प्रतिच्छेद कर सकती हैं या नहीं भी कर सकती हैं।