द्विसदिश

गणित में, द्विसदिश या 2- सदिश बाहरी बीजगणित या ज्यामितीय बीजगणित में परिमाण है जो अदिश (गणित) और सदिश के विचार को बढ़ाता है। यदि अदिश को डिग्री-शून्य परिमाण माना जाता है, और सदिश डिग्री-एक परिमाण है, तो एक द्विसदिश को डिग्री दो के रूप में माना जा सकता है। गणित और भौतिकी के कई क्षेत्रों में द्विसदिश के अनुप्रयोग हैं। वे दो आयामों में जटिल संख्या से और तीन आयामों में छद्म सदिश और चतुर्धातुक दोनों से संबंधित हैं। उनका उपयोग किसी भी आयाम में आवर्तन (गणित) उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, और ऐसे घूर्णन को वर्गीकृत करने के लिए एक उपयोगी उपकरण है। उनका उपयोग भौतिकी में भी किया जाता है, जो कई अन्य असंबंधित परिमाणओं को एक साथ जोड़ते हैं।

सदिश पर बाहरी गुणनफल द्वारा द्विसदिश उत्पन्न होते हैं: दो सदिश a और b दिए गए, उनके बाहरी गुणनफल a ∧ b द्विसदिश है, जैसा कि किसी भी द्विसदिश का योग है। सभी द्विसदिशों को एक बाहरी गुणनफल के रूप में उत्पन्न नहीं किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, द्विसदिश जिसे बाहरी गुणनफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, सरल कहलाता है, तीन आयामों तक सभी द्विसदिश सरल होते हैं, लेकिन उच्च आयामों में ऐसा नहीं होता है। दो सदिशों का बाह्य गुणनफल बहुरेखीय मानचित्र का प्रत्यावर्ती गुणन है, इसलिए  b ∧ a द्विसदिश का निषेध है a ∧ b, विपरीत दिशा का निर्माण, और a ∧ a शून्य द्विसदिश है।

ज्यामितीय रूप से, साधारण द्विसदिश को उन्मुख समतल (ज्यामिति) खंड के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, जितना कि यूक्लिडियन सदिश को निर्देशित रेखा खंड के रूप में माना जा सकता है। द्विसदिश a ∧ b किनारों a और b के साथ समांतारचतुर्भुज के क्षेत्र के बराबर एक परिमाण (गणित) है, a और b द्वारा फैला हुआ समतल का संस्थिति(ज्यामिति) है, और अभिविन्यास का अर्थ है आवर्तन जो a को b के साथ संरेखित करेगा।

आम शब्दों में, कोई भी सतह ही द्विसदिश होती है, यदि उसका क्षेत्रफल समान है, और एक ही तल के समानांतर है (आकृति देखें)।

इतिहास
द्विसदिश को पहली बार 1844 में जर्मन गणितज्ञ हरमन ग्रासमैन द्वारा बाहरी बीजगणित में दो सदिश के बाहरी गुणनफल के परिणाम के रूप में परिभाषित किया गया था। पिछले साल ही आयरलैंड में विलियम रोवन हैमिल्टन ने चतुष्कोणों की खोज की थी। हैमिल्टन ने सदिश और द्विसदिश दोनों को गढ़ा, बाद वाले ने अपने लेक्चर्स ऑन चतुष्कोण्स (1853) में द्विगुणन की शुरुआत की, जिसमें उनके सदिश भागों के लिए द्विसदिश(जटिल) हैं। यह तब तक नहीं था जब 1888 में अंग्रेजी गणितज्ञ विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड ने ग्रासमैन के बीजगणित में ज्यामितीय गुणनफल को जोड़ा, जिसमें हैमिल्टन और ग्रासमैन दोनों के विचारों को सम्मिलित किया गया, और क्लिफर्ड बीजगणि की स्थापना की, कि इस लेख का द्विसदिश उत्पन्न हुआ। 1941 में बाहरी बीजगणित को विकसित करने के लिए हेनरी फोर्डर ने द्विसदिश शब्द का इस्तेमाल किया।

1890 के दशक में योशिय्याह विलार्ड गिब्स और ओलिवर हीविसाइड ने सदिश गणना विकसित किया, जिसमें अलग-अलग क्रॉस गुणनफल और डॉट गुणनफल सम्मिलित थे जो चतुर्धातुक गुणन से प्राप्त हुए थे।   सदिश गणना और गिब्स और एडविन बिडवेल विल्सन की पुस्तक सदिश विश्लेषण की सफलता का प्रभाव था कि हैमिल्टन और क्लिफोर्ड की अंतर्दृष्टि को लंबे समय तक अनदेखा किया गया था, क्योंकि 20वीं शताब्दी के अधिकांश गणित और भौतिकी  सदिश शब्दों में तैयार किए गए थे। गिब्स ने तीन आयामों में द्विसदिश की भूमिका को भरने के लिए सदिश का इस्तेमाल किया, और हैमिल्टन के अर्थ में द्विसदिश(कॉम्प्लेक्स) का इस्तेमाल किया, एक ऐसा प्रयोग जिसे कभी-कभी अनुकरण किया गया है।   आज द्विसदिश का व्यापक रूप से ज्यामितीय बीजगणित में विषय के रूप में अध्ययन किया जाता है, वास्तविक संख्या पर क्लिफर्ड बीजगणित या द्विघात रूप के साथ वास्तविक या जटिल वेक्टर रिक्त समष्टि। इसके पुनरुत्थान का नेतृत्व डेविड हेस्टेन्स  ने किया, जिन्होंने अन्य लोगों के साथ, भौतिकी में कई नए अनुप्रयोगों के लिए ज्यामितीय बीजगणित लागू किया।

व्युत्पत्ति
इस लेख के लिए द्विसदिश को केवल वास्तविक ज्यामितीय बीजगणित में माना जाएगा। यह व्यवहार में बहुत अधिक प्रतिबंध नहीं है, क्योंकि सभी उपयोगी अनुप्रयोग ऐसे बीजगणित से लिए गए हैं। इसके अलावा जब तक अन्यथा न कहा गया हो, सभी उदाहरणों में यूक्लिडियन मिलता है्रिक और इसलिए सकारात्मक-निश्चित द्विघात रूप होता है।

ज्यामितीय बीजगणित और ज्यामितीय गुणनफल
द्विसदिश सदिश समष्टि पर ज्यामितीय गुणनफल की परिभाषा से उत्पन्न होता है। सदिश a, b और c के लिए, सदिश पर ज्यामितीय गुणनफल निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:

साहचर्य: $$ (\mathbf{ab})\mathbf{c} = \mathbf{a}(\mathbf{bc}) $$

बाएँ और दाएँ वितरण :

$$\begin{align} \mathbf{a}(\mathbf{b} + \mathbf{c}) &= \mathbf{ab} + \mathbf{ac} \\ (\mathbf{b} + \mathbf{c})\mathbf{a} &= \mathbf{ba} + \mathbf{ca} \end{align}$$
 * संक्षेपण: $$ {\mathbf{a}}^2 = Q(\mathbf{a}) = \epsilon_{\mathbf{a}}{\left |\mathbf{a}\right|}^2$$:जहाँ Q द्विघात रूप है, |a| a का परिमाण) है और a मिलता है्रिक हस्ताक्षर है। यूक्लिडियन मिलता है्रिक ϵa के साथ एक समष्टि के लिए 1 है इसलिए छोड़ा जा सकता है, और संकुचन की स्थिति बन जाती है::$$ {\mathbf{a}}^2 = {\left |\mathbf{a}\right|}^2$$

अदिश गुणनफल
साहचर्य से,, अदिश गुणा b. जब b समांतर नहीं है और इसलिए a का अदिश गुणज नहीं है, ab अदिश नहीं हो सकता। परंतु


 * $$ \frac{1}{2}(\mathbf{ab} + \mathbf{ba}) = \frac{1}{2} \left((\mathbf{a} + \mathbf{b})^2 - \mathbf{a}^2 - \mathbf{b}^2\right)$$

अदिशों का योग है और इसलिए अदिश है। सदिशों द्वारा बने त्रिभुज पर कोसाइन के नियम से इसका मान है $|a|$ $|b|$ cos θ, जहां θ सदिशों के बीच का कोण है। इसलिए यह दो सदिशों के बीच अदिश गुणनफल के समान है, और उसी तरह लिखा जाता है,


 * $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{ab} + \mathbf{ba}).$$

यह सममित, अदिश-मान है, और इसका उपयोग दो सदिशों के बीच के कोण को निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है: विशेष रूप से यदि a और b ओर्थोगोनल हैं तो गुणनफल शून्य होता है।

बाहरी गुणनफल
जिस तरह अदिश गुणनफल को किसी अन्य परिमाण के ज्यामितीय गुणनफल के सममित भाग के रूप में तैयार किया जा सकता है, बाहरी गुणनफल (कभी-कभी पच्चर या प्रगतिशील गुणनफल के रूप में जाना जाता है) को इसके प्रतिसममित भाग के रूप में तैयार किया जा सकता है:


 * $$ \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{ab} - \mathbf{ba})$$

यह a और b में प्रतिसममित है
 * $$ \mathbf{b} \wedge \mathbf{a} = \frac{1}{2}(\mathbf{ba} - \mathbf{ab}) = -\frac{1}{2}(\mathbf{ab} - \mathbf{ba}) = -\mathbf{a} \wedge \mathbf{b}$$

और इसके अलावा:


 * $$\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \frac{1}{2}(\mathbf{ab} + \mathbf{ba}) + \frac{1}{2}(\mathbf{ab} - \mathbf{ba}) = \mathbf{ab}$$

यही है, ज्यामितीय गुणनफल सममित अदिश गुणनफल और वैकल्पिक बाहरी गुणनफल का योग है।

प्रकृति का परीक्षण करना a ∧ b, सूत्र पर विचार करें
 * $$(\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 - (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})^2 = \mathbf{a}^2\mathbf{b}^2 ,$$

जो पाइथागोरस त्रिकोणमितीय पहचान का उपयोग करके का मान देता है (a ∧ b)2
 * $$ (\mathbf{a} \wedge \mathbf{b})^2 = (\mathbf{a} \cdot \mathbf{b})^2 - \mathbf{a}^2\mathbf{b}^2 = \left|\mathbf{a}\right|^2\left|\mathbf{b}\right|^2( \cos^2 \theta - 1) = -\left|\mathbf{a}\right|^2\left|\mathbf{b}\right|^2\sin^2 \theta$$

ऋणात्मक वर्ग के साथ अदिश या सदिश राशि नहीं हो सकती है, इसलिए यह नए प्रकार की वस्तु द्विसदिश है। इसमें परिमाण (गणित) है $|a|$ $|b||$ $|sin θ||$, जहां θ सदिशों के बीच का कोण है, और ऐसा ही समांतर सदिशों के लिए शून्य है।

उन्हें सदिशों से अलग करने के लिए, द्विसदिशों को बोल्ड कैपिटल के साथ यहां लिखा गया है, उदाहरण के लिए:


 * $$\mathbf{A} = \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = -\mathbf{b} \wedge \mathbf{a} \ ,$$

हालाँकि अन्य समागम का उपयोग किया जाता है, विशेष रूप से क्योंकि सदिश और द्विसदिश ज्यामितीय बीजगणित के दोनों तत्व हैं।

समष्टि ⋀2Rn
ज्यामितीय गुणनफल द्वारा उत्पन्न बीजगणित सदिश समष्टि पर ज्यामितीय बीजगणित है। यूक्लिडियन सदिश समष्टि के लिए इसे लिखा जाता है $$\mathcal{G}_n$$ या Cln(R), जहां 'n सदिश समष्टि Rn का आयाम है। Cln(R), Rn में सदिश के बीच सभी गुणनफलों द्वारा उत्पन्न सदिश समष्टि और बीजगणित दोनों है, इसलिए इसमें सभी सदिश और द्विसदिश सम्मिलित हैं। अधिक सटीक रूप से सदिश समष्टि के रूप में इसमें रैखिक उप-समष्टिों के रूप में सदिश और द्विसदिश होते हैं, हालांकि उप-बीजगणित नहीं (चूंकि दो सदिशों का ज्यामितीय गुणनफल सामान्यतः एक और सदिश नहीं होता है)। सभी द्विसदिश का समष्टि ⋀2Rn लिखा जाता है। 

सम उप-बीजगणित
द्विसदिश द्वारा उत्पन्न उप-बीजगणित ज्यामितीय बीजगणित का सम उप-बीजगणित है, जिसे Cl+n(R) लिखा गया है। यह बीजगणित ज्यामितीय गुणनफल द्वारा उत्पन्न अदिश और द्विसदिश के सभी गुणनफलों पर विचार करने का परिणाम है। इसका आयाम है 2n−1, और इसमें ⋀2Rn आयाम के साथ रेखीय उपसमष्टि के रूप में $1⁄2$n(n − 1) ( त्रिकोणीय संख्या) सम्मिलित है। दो और तीन आयामों में सम उप-बीजगणित में केवल अदिश और द्विसदिश होते हैं, और प्रत्येक विशेष रुचि का होता है। दो आयामों में सम उप-बीजगणित जटिल संख्याओं C के समरूपी है,  जबकि तीन में यह चतुर्धातुक के लिए समरूप है, H। अधिक सामान्यतः सम उप-बीजगणित का उपयोग किसी भी आयाम में आवर्तन (गणित) उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, और इसे उत्पन्न बीजगणित में द्विसदिश द्वारा किया जा सकता है।

परिमाण
जैसा कि पिछले खंड में उल्लेख किया गया है साधारण परिमाण, जो कि दो सदिश a और b का बाहरी गुणनफल है, है $|a|$ $|b|$ sin θ, जहां θ सदिशों के बीच का कोण है। यह लिखा है $|B|$, जहाँ B द्विसदिश है।

सामान्य द्विसदिश के लिए परिमाण की गणना समष्टि ⋀2Rn में सदिश के रूप में माने जाने वाले द्विसदिश की प्रमाण को लेकर की जा सकती है। यदि परिमाण शून्य है तो सभी द्विसदिश के घटक शून्य हैं, और द्विसदिश शून्य द्विसदिश है जो कि ज्यामितीय बीजगणित के तत्व के रूप में अदिश शून्य के बराबर होता है।

इकाई द्विसदिश
इकाई द्विसदिश इकाई परिमाण एक होता है। यह द्विसदिश को उसके परिमाण द्वारा विभाजित करके किसी भी गैर-शून्य द्विसदिश से प्राप्त किया जा सकता है, अर्थात


 * $$\frac{\mathbf{B}}{\left|\mathbf{B}\right|}.$$

विशेष रुचि के मानक आधार के गुणनफलों से बने इकाई द्विसदिश हैं। अगर ei और ej अलग-अलग आधार सदिश हैं तो गुणनफल ei ∧ ej द्विसदिश है। चूंकि सदिश  लंबकोणीय हैं, यह सिर्फ eiej, लिखित eij है, जिसमें इकाई परिमाण के साथ सदिश इकाई सदिश हैं। ऐसे सभी द्विसदिश का समुच्चय ⋀2Rn के लिए एक आधार बनाता है। उदाहरण के लिए चार आयामों में  ⋀2R4 का आधार है (e1e2, e1e3, e1e4, e2e3, e2e4, e3e4) or (e12, e13, e14, e23, e24, e34)।.

सरल द्विसदिश
दो सदिशों का बाहरी गुणनफल द्विसदिश है, लेकिन सभी द्विसदिश दो सदिशों के बाहरी गुणनफल नहीं हैं। उदाहरण के लिए, चार आयामों में द्विसदिश


 * $$ \mathbf{B} = \mathbf{e}_1 \wedge \mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3 \wedge \mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_1\mathbf{e}_2 + \mathbf{e}_3\mathbf{e}_4 = \mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34}$$

दो सदिश के बाहरी गुणनफल के रूप में नहीं लिखा जा सकता है। द्विसदिश जिसे दो सदिशों के बाह्य गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, सरल है। दो और तीन आयामों में सभी द्विसदिश सरल होते हैं, लेकिन चार या अधिक आयामों में नहीं, चार आयामों में प्रत्येक द्विसदिश अधिकतम दो बाहरी गुणनफलों का योग होता है। द्विसदिश का एक वास्तविक वर्ग होता है यदि और केवल यदि यह सरल है, और केवल साधारण द्विसदिश को एक उन्मुख समतल क्षेत्र द्वारा ज्यामितीय रूप से दर्शाया जा सकता है।

दो द्विसदिशों का गुणनफल
दो द्विसदिश, a और b का ज्यामितीय गुणनफल है


 * $$ \mathbf{A}\mathbf{B} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \mathbf{B}  + \mathbf{A} \wedge \mathbf{B}.  $$

परिमाण A · B अदिश-मान अदिश गुणनफल है, जबकि A ∧ B श्रेणी 4 बाहरी गुणनफल है जो चार या अधिक आयामों में उत्पन्न होता है।  परिमाण A × B द्वारा दिया गया द्विसदिश-मान  क्रमविनिमेयक गुणनफल है

द्विसदिश का समष्टि ⋀2Rn लाई बीजगणित 'R' के ऊपर है, जिसमें क्रमविनिमेयक गुणनफल लाई ब्रैकेट के रूप में है। द्विसदिश का पूर्ण ज्यामितीय गुणनफल सम उप-बीजगणित उत्पन्न करता है।
 * $$ \mathbf{A} \times \mathbf{B} = \frac{1}{2}(\mathbf{AB} - \mathbf{BA}),$$

विशेष रूप से रुचि स्वयं के साथ द्विसदिश का गुणनफल है। चूंकि क्रमविनिमेयक गुणनफल प्रतिसममित है, इसलिए गुणनफल को सरल करता है


 * $$ \mathbf{A}\mathbf{A} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{A} + \mathbf{A} \wedge \mathbf{A}. $$

यदि द्विसदिश सरल है तो अंतिम शब्द शून्य है और गुणनफल अदिश-मानहै A · A, जिसका उपयोग सरलता के लिए जाँच के रूप में किया जा सकता है। विशेष रूप से द्विसदिश का बाहरी गुणनफल केवल चार या अधिक आयामों में मौजूद होता है, इसलिए दो और तीन आयामों में सभी द्विसदिश सरल होते हैं।

सामान्य द्विसदिश और आव्यूह
द्विसदिश तिरछा-सममित आव्यूह के लिए समरूपी हैं। तिरछा-सममित आव्यूह, सामान्य द्विसदिश B23e23 + B31e31 + B12e12 आव्यूह के लिए मानचित्र


 * $$M_B = \begin{pmatrix} 0 & B_{12} & -B_{31} \\ -B_{12} & 0 & B_{23}\\ B_{31} & -B_{23} & 0  \end{pmatrix}.$$

यह दोनों पक्षों पर सदिश द्वारा गुणा किया जाता है, सदिश वही देता है जो सदिश के गुणनफल के रूप में होता है और द्विसदिश माइनस बाहरी गुणनफल होता है, उदाहरण कोणीय वेग प्रदिश है।

तिरछा सममित आव्यूह घातीय मानचित्र के माध्यम से निर्धारक 1 के साथ लंबकोणीय आव्यूह उत्पन्न करता है। विशेष रूप से,आवर्तन से जुड़े द्विसदिश का चरघातांक आवर्तन आव्यूह है, जो कि आवर्तन आव्यूह MR है उपरोक्त तिरछा-सममित आव्यूह द्वारा दिया गया है


 * $$M_R = e^{M_B}.$$

MR द्वारा वर्णित घूर्णनघूर्णक द्वारा वर्णित R के समान है


 * $$ R = e^{\frac{B}{2}},$$

और आव्यूह MR सीधेघूर्णकR से भी गणना की जा सकती है:


 * $$M_R = \begin{pmatrix} (R\mathbf{e}_1R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_1 & (R\mathbf{e}_2R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_1 & (R\mathbf{e}_3R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_1 \\ (R\mathbf{e}_1R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_2 & (R\mathbf{e}_2R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_2 & (R\mathbf{e}_3R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_2 \\ (R\mathbf{e}_1R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_3 & (R\mathbf{e}_2R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_3 & (R\mathbf{e}_3R^{-1}) \cdot \mathbf{e}_3 \end{pmatrix}.$$

द्विसदिश आवर्तन आव्यूह के अभिलक्षणिक मान s ​​​​से संबंधित हैं। आवर्तन आव्यूह M को देखते हुए अभिलक्षणिक मान उस आव्यूह 0 = det(M − λI) के लिए विशेषता समीकरण को हल करके गणना की जा सकती है। बीजगणित के मूल प्रमेय के अनुसार इसकी तीन जड़ें होती हैं (जिनमें से केवल एक ही वास्तविक है क्योंकि केवल अभिलक्षणिक सदिश है, यानी रोटेशन की धुरी)। अन्य जड़ें जटिल संयुग्मी जोड़ी होनी चाहिए। उनके पास इकाई परिमाण इतना विशुद्ध रूप से काल्पनिक लघुगणक है, जो रोटेशन से जुड़े द्विसदिश के परिमाण के बराबर है, जो कि रोटेशन का कोण भी है। जटिल अभिलक्षणिक मान ​​के साथ जुड़े अभिलक्षणिक सदिश द्विसदिश के विमान में हैं, इसलिए दो गैर-समानांतर अभिलक्षणिक सदिश के बाहरी गुणनफल का परिणाम द्विसदिश (या उसके एक गुणक) में होता है।

दो आयाम
ज्यामितीय बीजगणित में निर्देशांक के साथ काम करते समय आधार सदिश को लिखना सामान्य होता है (e1, e2, ...), समागम जिसका उपयोग यहां किया जाएगा।

वास्तविक द्वि-आयामी समष्टि में यूक्लिडियन सदिश R2 लिखा जा सकता है, जहाँ a1 और a2 वास्तविक संख्याएँ हैं,  e1 और e2 ऑर्थोनॉर्मल आधार सदिश हैं। ऐसे दो सदिशों का ज्यामितीय गुणनफल है


 * $$ \begin{align} \mathbf{a}\mathbf{b} &= (a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2)(b_1\mathbf{e}_1 + b_2\mathbf{e}_2) \\&= a_1b_1\mathbf{e}_1\mathbf{e}_1 + a_1b_2\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2 + a_2b_1\mathbf{e}_2\mathbf{e}_1 + a_2b_2\mathbf{e}_2\mathbf{e}_2 \\&= a_1b_1 + a_2b_2 + (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2. \end{align}$$

इसे सममित, अदिश-मान, अदिश गुणनफल और प्रतिसममित, द्विसदिश-मान बाहरी गुणनफल में विभाजित किया जा सकता है:


 * $$\begin{align} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= a_1b_1 + a_2b_2, \\ \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} &= (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2 = (a_1b_2 - a_2b_1)\mathbf{e}_{12}. \end{align}$$

दो आयामों में सभी द्विसदिश इस रूप के होते हैं, जो द्विसदिश e1e2 के गुणक होते हैं, लिखित e12 इस पर जोर देना सदिश के बजाय द्विसदिश है। e12का परिमाण 1 है, साथ


 * $$\mathbf{e}_{12}^2 = -1, $$

इसलिए इसे इकाई द्विसदिश कहा जाता है। शब्द इकाई द्विसदिश का उपयोग अन्य आयामों में किया जा सकता है लेकिन यह केवल दो आयामों में विशिष्ट रूप से परिभाषित (संकेत तक) है और सभी द्विसदिश e12 के गुणक हैं बीजगणित के उच्चतम श्रेणी तत्व के रूप में e12 स्यूडो अदिश (क्लिफर्ड बीजगणित) भी है जिसे प्रतीक i दिया गया है।

जटिल संख्या
ऋणात्मक वर्ग और इकाई परिमाण के गुणों के साथ, इकाई द्विसदिश को जटिल संख्याओं से  गुणा्पनिक इकाई के साथ पहचाना जा सकता है। द्विसदिश और अदिश मिलकर ज्यामितीय बीजगणित का सम उप बीजगणित बनाते हैं, जो सम्मिश्र संख्या C के लिए समरूप है। सम उप बीजगणित का आधार (1, e12) है, पूरे बीजगणित का आधार (1, e1, e2, e12) होता है।

जटिल संख्याओं को आमतौर पर समन्वय अक्षों और द्वि-आयामी सदिश के साथ पहचाना जाता है, जिसका अर्थ है कि उन्हें ज्यामितीय बीजगणित के सदिश तत्वों के साथ जोड़ना होगा। इसमें कोई विरोधाभास नहीं है, क्योंकि सामान्य सदिश से जटिल संख्या तक पहुंचने के लिए एक अक्ष को वास्तविक अक्ष e1 के रूप में पहचाना जाना चाहिए। यह सभी सदिशों द्वारा गुणा करके सम उप-बीजगणित के तत्व उत्पन्न करता है।

सम्मिश्र संख्याओं के सभी गुण द्विसदिश से प्राप्त किए जा सकते हैं, लेकिन दो विशेष रुचि के हैं। पहले के रूप में द्विसदिश के जटिल संख्या गुणनफलों के साथ और इसलिए भी उप-बीजगणित क्रमविनिमेयता हैं। यह केवल दो आयामों में सच है, इसलिए दो आयामों में द्विसदिश के गुण जो क्रमविनिमेयता पर निर्भर करते हैं, आमतौर पर उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत नहीं होते हैं।

दूसरा सामान्य द्विसदिश लिखा जा सकता है


 * $$\theta\mathbf{e}_{12} = i\theta,$$

जहाँ वास्तविक संख्या है। घातांक फलन के लिए इसे टेलर श्रृंखला में रखना और e122 = −1 गुण का उपयोग करना का परिणाम यूलर के सूत्र के द्विसदिश संस्करण में होता है,


 * $$e^{\theta\mathbf{e}_{12}} = e^{i\theta} = \cos{\theta} + i\sin{\theta},$$

जो जब किसी सदिश से गुणा किया जाता है तो मूल के बारे में कोण θ के माध्यम से इसे घुमाता है:


 * $$ (x'\mathbf{e}_1 + y'\mathbf{e}_2) = (x\mathbf{e}_1 + y\mathbf{e}_2)e^{i\theta}.$$

दो आयामों में द्विसदिश के साथ सदिश का गुणनफल एंटी क्रमविनिमेय है, इसलिए निम्नलिखित गुणनफल सभी एक ही आवर्तन उत्पन्न करते हैं


 * $$ \mathbf{v}' = \mathbf{v}e^{i\theta}  = e^{-i\theta}\mathbf{v} = e^{\frac{-i\theta}{2}} \mathbf{v}e^{\frac{i\theta}{2}}.$$

इनमें से अंतिम गुणनफल वह है जो उच्च आयामों में सामान्यीकृत होता है। आवश्यक परिमाण कोघूर्णक(गणित) कहा जाता है और इसे प्रतीक R दिया जाता है, इसलिए दो आयामों में एकघूर्णकजो कोण θ से घूमता है, लिखा जा सकता है


 * $$ R = e^{\frac{-i\theta}{2}} = e^{\frac{-\theta\mathbf{e}_{12}}{2}}, $$

और यह जो घुमाव उत्पन्न करता है वह है
 * $$\mathbf{v}' = R\mathbf{v}R^{-1}.\,$$

तीन आयाम
तीन विमाओं में दो सदिशों का गुणोत्तर गुणनफल होता है
 * $$ \begin{align} \mathbf{ab} &= (a_1\mathbf{e}_1 + a_2\mathbf{e}_2 + a_3\mathbf{e}_3)(b_1\mathbf{e}_1 + b_2\mathbf{e}_2 + b_3\mathbf{e}_3) \\ &= a_1 b_1{\mathbf{e}_1}^2 + a_2 b_2{\mathbf{e}_2}^2 + a_3 b_3{\mathbf{e}_3}^2 + (a_2 b_3 - a_3 b_2)\mathbf{e}_2\mathbf{e}_3  + (a_3 b_1 - a_1 b_3)\mathbf{e}_3\mathbf{e}_1 + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\mathbf{e}_1\mathbf{e}_2. \end{align}$$

इसे सममित, अदिश-मान, अदिश गुणनफल और प्रतिसममित, द्विसदिश-मान, बाहरी गुणनफल में विभाजित किया जा सकता है:


 * $$\begin{align} \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} &= a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3 \\ \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} &= (a_2 b_3 - a_3 b_2)\mathbf{e}_{23} + (a_3 b_1 - a_1 b_3)\mathbf{e}_{31} + (a_1 b_2 - a_2 b_1)\mathbf{e}_{12}. \end{align}$$

तीन आयामों में सभी द्विसदिश सरल हैं और इसलिए बाहरी गुणनफल का नतीजा है। इकाई द्विसदिश e23, e31 तथा e12 द्विसदिश के समष्टि के लिए आधार बनाएं ⋀2R3, जो अपने आप में एक त्रि-आयामी रैखिक समष्टि है। तो अगर एक सामान्य द्विसदिश है:


 * $$\mathbf{A} = A_{23}\mathbf{e}_{23} + A_{31}\mathbf{e}_{31} + A_{12}\mathbf{e}_{12}, $$

उन्हें सदिश की तरह जोड़ा जा सकता है


 * $$\mathbf{A} + \mathbf{B} = (A_{23} + B_{23})\mathbf{e}_{23} + (A_{31} + B_{31})\mathbf{e}_{31} + (A_{12} + B_{12})\mathbf{e}_{12}. $$

जब गुणा किया जाता है तो वे निम्नलिखित का गुणनफलन करते हैं


 * $$\mathbf{A} \mathbf{B} = -A_{23}B_{23} - A_{31}B_{31} - A_{12}B_{12} + (A_{12}B_{31} - A_{31}B_{12})\mathbf{e}_{23} + (A_{23}B_{12} - A_{12}B_{23})\mathbf{e}_{31} + (A_{31}B_{23} - A_{23}B_{31})\mathbf{e}_{12} $$

जिसे सममित अदिश और  प्रतिसममित द्विसदिश भागों में निम्नानुसार विभाजित किया जा सकता है


 * $$\begin{align} \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} &= -A_{12}B_{12} - A_{31}B_{31} - A_{23}B_{23} \\ \mathbf{A} \times \mathbf{B} &= (A_{23}B_{31} - A_{31}B_{23})\mathbf{e}_{12} + (A_{12}B_{23} - A_{23}B_{12})\mathbf{e}_{13} + (A_{31}B_{12} - A_{12}B_{31})\mathbf{e}_{23}. \end{align}$$

तीन आयामों में दो द्विसदिश का बाह्य गुणनफल शून्य होता है।

द्विसदिश B को उसके परिमाण और इकाई द्विसदिश के गुणनफल के रूप में लिखा जा सकता है, इसलिए |B| के लिए β लिखा जा सकता है। और घातांक मानचित्र के लिए टेलर श्रृंखला का उपयोग करके यह दिखाया जा सकता है कि


 * $$e^\mathbf{B} = e^{\beta\frac{\mathbf{B}}{\beta}} = \cos{\beta} + \frac{\mathbf{B}}{\beta}\sin{\beta}.$$

यह यूलर के सूत्र का एक और संस्करण है, लेकिन तीन आयामों में एक सामान्य द्विसदिश के साथ। दो आयामों के विपरीत द्विसदिश क्रमविनिमेय नहीं होते हैं इसलिए क्रमविनिमेयता पर निर्भर गुण तीन आयामों में लागू नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य तौर पर eA+B ≠ eAeB तीन (या अधिक) आयामों में। तीन आयामों में पूर्ण ज्यामितीय बीजगणित, Cl3(R), आधार (1, e1, e2, e3, e23, e31, e12, e123) तत्व है ज्यामिति के लिए ट्राइवेक्टर और स्यूडो अदिश है। तीन आयामों में द्विसदिशों को कभी-कभी स्यूडोसदिशों के साथ पहचाना जाता है जिससे वे संबंधित अक्षीय सदिश के रूप में हैं।

चतुष्कोण
ज्यामितीय गुणनफल के तहत द्विसदिश बंद नहीं होते हैं, लेकिन यहां तक ​​​​कि उप-बीजगणित भी है। तीन आयामों में इसमें ज्यामितीय बीजगणित के सभी अदिश और द्विसदिश तत्व होते हैं, इसलिए सामान्य तत्व को उदाहरण के लिए a + A लिखा जा सकता है, जहाँ a अदिश भाग है और 'A' द्विसदिश भाग है। Cl$+ 3$ इसका आधार है (1, e23, तथा31, तथा12) सम उप-बीजगणित के दो सामान्य तत्वों का गुणनफल होता है


 * $$(a + \mathbf{A})(b + \mathbf{B}) = ab + a\mathbf{B} + b\mathbf{A} + \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \mathbf{B}.$$

सम उप-बीजगणित, यानी बीजगणित जिसमें अदिश और द्विसदिश होते हैं, चतुष्कोणों, H के लिए समरूपी है। इसे चतुष्कोण आधार के आधार की तुलना करके या उपरोक्त गुणनफल से देखा जा सकता है, जो चतुष्कोण गुणनफल के समान है, को छोड़कर द्विसदिश अदिश गुणनफल में ऋणात्मक गुणनफलों से संबंधित संकेत का परिवर्तन A · B. अन्य चतुर्धातुक गुण समान रूप से ज्यामितीय बीजगणित से संबंधित या व्युत्पन्न हो सकते हैं।

इससे पता चलता है कि चतुर्भुज का अदिश और सदिश भागों में सामान्य विभाजन को अदिश और द्विसदिश भागों में विभाजन के रूप में बेहतर ढंग से दर्शाया जाएगा, यदि ऐसा किया जाता है तो चतुर्धातुक गुणनफल केवल ज्यामितीय गुणनफल होता है। यह तीन आयामों में चतुर्भुजों को दो में जटिल संख्याओं से भी संबंधित करता है, क्योंकि प्रत्येक आयाम के लिए सम उप-बीजगणित के लिए समरूप है, एक संबंध जो उच्च आयामों को सामान्यीकृत करता है।

आवर्तन सदिश
आवर्तन सदिश, आवर्तन के अक्ष - कोण प्रतिनिधित्व से, तीन आयामों में आवर्तन  का प्रतिनिधित्व करने का संक्षिप्त तरीका है। अपने सबसे संक्षिप्त रूप में, इसमें सदिश होता है, इकाई सदिश ω का गुणनफल जो आवर्तन के (हस्ताक्षरित) कोण के साथ आवर्तन की धुरी है, ताकि समग्र आवर्तन सदिश θω वर्तन कोण का परिमाण (अहस्ताक्षरित) के बराबर हो ।

आवर्तन से जुड़ा चतुर्धातुक है


 * $$q = \left(\cos\left(\frac{\theta}{2}\right), \omega \sin\left(\frac{\theta}{2}\right)\right)$$

ज्यामितीय बीजगणित में घुमाव को द्विसदिश द्वारा दर्शाया जाता है। इसे चतुष्कोणों के संबंध में देखा जा सकता है। चलो Ω इकाई द्विसदिशआवर्तन के समतल में बनें, और θ को आवर्तन के कोण होने दें। फिर आवर्तन द्विसदिश Ωθ है। चतुष्कोणीय द्विसदिश Ωθ के आधे के घातांक के साथ निकटता से मेल खाता है। यही है, चतुर्धातुक के घटक निम्नलिखित अभिव्यक्ति के अदिश और द्विसदिश भागों के अनुरूप हैं: $$e^{\frac{\Omega\theta}{2}} = \cos\left(\frac{\theta}{2}\right) + \Omega\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) $$ घातांक को इसकी घात श्रृंखला के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, और इस तथ्य का उपयोग करके आसानी से मूल्यांकन किया जा सकता है कि वर्ग -1 है।

तो घुमावों को द्विसदिश द्वारा दर्शाया जा सकता है। जैसे चतुर्भुज ज्यामितीय बीजगणित के तत्व हैं, वे उस बीजगणित में घातीय मानचित्र से संबंधित हैं।

घूर्णक
द्विसदिश Ωθ घातांक मानचित्र के माध्यम से घूर्णन उत्पन्न करता है। सम तत्व उत्पन्न एक सामान्य सदिश को तीन आयामों में उसी तरह घुमाते हैं जैसे कि चतुर्धातुक: $$\mathbf{v}' = e^{-\frac{\boldsymbol{\Omega}\theta}{2}}\mathbf{v}e^{\frac{\boldsymbol{\Omega}\theta}{2}}.$$ दो आयामों के रूप में, परिमाण  e-Ωθ/2 को घूर्णक(गणित) कहा जाता है और इसे R लिखा जाता है।  परिमाण eΩθ/2 फिर  R−1 है, और वे घुमाव उत्पन्न करते हैं  यह दो आयामों के समान है, सिवाय इसके किघूर्णक चतुष्कोणों के लिए चार-आयामी वस्तुएं  समरूपी हैं। यह सभी आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है,  घूर्णक के साथ, इकाई परिमाण के साथ सम उप-बीजगणित के तत्व, द्विसदिशों से घातीय मानचित्र द्वारा उत्पन्न किया जा रहा है। वे आवर्तन  समूह पर डबल कवरिंग ग्रुप  बनाते हैं, इसलिए घूर्णक R और    -R एक ही आवर्तन का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अक्षीय सदिश
आवर्तन सदिश अक्षीय सदिश का उदाहरण है। अक्षीय सदिश, या स्यूडो सदिश, विशेष विशेषता वाले सदिश हैं कि उनके निर्देशांक सामान्य सदिश (जिसे ध्रुवीय सदिश भी कहा जाता है) के सापेक्ष एक संकेत परिवर्तन से गुजरते हैं, मूल के माध्यम से उलटा, समतल में प्रतिबिंब, या अन्य अभिविन्यास- उत्क्रमण रैखिक परिवर्तन। उदाहरणों में बलाघूर्ण, कोणीय गति  और  सदिश चुंबकीय क्षेत्र  जैसी परिमाणएँ सम्मिलित हैं। सदिश बीजगणित में अक्षीय सदिश का उपयोग करने वाली  परिमाणएँ ज्यामितीय बीजगणित में द्विसदिशों द्वारा ठीक से प्रदर्शित की जाती हैं। अधिक सटीक रूप से, यदि अंतर्निहित अभिविन्यास चुना जाता है, तो अक्षीय सदिश सामान्य सदिश के साथ स्वाभाविक रूप से पहचाने जाते हैं, हॉज द्विक त्रि-आयामी उदाहरण तब अक्षीय सदिश और द्विवार्षिक के बीच समरूपता देता है, इसलिए प्रत्येक अक्षीय  सदिश एक द्विसदिश और इसके विपरीत जुड़ा होता है, वह है


 * $$\mathbf{A} = * \mathbf{a} \,,\quad \mathbf{a} = * \mathbf{A}$$

जहां ∗ हॉज द्विक को इंगित करता है। ध्यान दें कि यदि अंतर्निहित अभिविन्यास मूल के माध्यम से व्युत्क्रम द्वारा उलटा हो जाता है, तो सामान्य सदिश और हॉज द्विक परिवर्तन चिह्न के साथ अक्षीय सदिश की पहचान दोनों, लेकिन द्विसदिश हिलते नहीं हैं। वैकल्पिक रूप से, Cl3(R में स्यूडो अदिश इकाई का उपयोग करना, i = e1e2e3 देता है


 * $$\mathbf{A} = \mathbf{a}i \,,\quad \mathbf{a} = - \mathbf{A} i. $$

इसका उपयोग करना आसान है क्योंकि गुणनफल केवल ज्यामितीय गुणनफल है। लेकिन यह प्रतिसममित है क्योंकि (दो आयामों के रूप में) इकाई स्यूडो अदिश i वर्ग -1 है, इसलिए गुणनफलों में से एक में ऋणात्मक की आवश्यकता है।

यह संबंध सदिश-मान क्रॉस गुणनफल और द्विसदिश-मान बाहरी गुणनफल जैसे संचालन तक फैला हुआ है, जब निर्धारक के रूप में लिखा जाता है तो उनकी गणना उसी तरह की जाती है:


 * $$\mathbf{a} \times \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_1 & \mathbf{e}_2 & \mathbf{e}_3\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix} \,,\quad \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{e}_{23} & \mathbf{e}_{31} & \mathbf{e}_{12}\\a_1 & a_2 & a_3\\b_1 & b_2 & b_3 \end{vmatrix}\ ,$$

तो हॉज द्विकसे संबंधित हैं:


 * $${* (\mathbf a \wedge \mathbf b )} = \mathbf {a \times b} \,,\quad {* (\mathbf {a \times b} )} = \mathbf a \wedge \mathbf b . $$

अक्षीय सदिशों की तुलना में द्विसदिशों के कई लाभ हैं। वे अक्षीय और ध्रुवीय सदिशों को बेहतर ढंग से अलग करते हैं, जो कि उनके द्वारा दर्शाई गई परिमाणएँ हैं, इसलिए यह स्पष्ट है कि कौन से संचालन की अनुमति है और उनके परिणाम क्या हैं। उदाहरण के लिए, ध्रुवीय सदिश के आंतरिक गुणनफल और त्रिक गुणनफल में क्रॉस गुणनफल से उत्पन्न अक्षीय सदिश का परिणाम स्यूडो अदिश में होना चाहिए, एक परिणाम जो अधिक स्पष्ट है यदि गणना को सदिश और द्विसदिशके बाहरी गुणनफल के रूप में तैयार किया जाता है। वे अन्य आयामों के लिए सामान्यीकरण करते हैं, विशेष रूप से द्विसदिश का उपयोग दो और साथ ही तीन आयामों में बलाघूर्ण और कोणीय गति जैसी परिमाणओं का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है। इसके अलावा, वे कई तरह से ज्यामितीय अंतर्ज्ञान से मेल खाते हैं, जैसा कि अगले भाग में देखा गया है।

ज्यामितीय व्याख्या
जैसा कि उनके और बीजगणित के नाम से पता चलता है, द्विसदिश के आकर्षण में से एक यह है कि उनके पास प्राकृतिक ज्यामितीय व्याख्या है। यह किसी भी आयाम में वर्णित किया जा सकता है लेकिन तीन में सबसे अच्छा किया जाता है जहां उच्च आयामों पर लागू होने से पहले अधिक परिचित वस्तुओं के साथ समानताएं खींची जा सकती हैं। दो आयामों में ज्यामितीय व्याख्या तुच्छ है, क्योंकि समष्टि द्वि-आयामी है, इसलिए इसमें केवल एक ही तल है, और सभी द्विसदिश इसके साथ जुड़े हुए हैं जो केवल एक पैमाने कारक से भिन्न होते हैं।

सभी द्विसदिशों को समतल (ज्यामिति) के रूप में  या अधिक सटीक रूप से निर्देशित समतल खंडों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। तीन आयामों में एक द्विसदिश के तीन गुण होते हैं जिन्हें ज्यामितीय रूप से व्याख्या किया जा सकता है:
 * समष्टि में समतल की व्यवस्था, समतल के सटीक दृष्टिकोण (ज्यामिति) (या वैकल्पिक रूप से आवर्तन (गणित), अभिविन्यास (ज्यामिति) या  समतल के ढाल, द्विसदिश घटकों के अनुपात से जुड़ा हुआ है। विशेष रूप से तीन आधार द्विसदिश, e23, e31 तथाe12, या उनमें से अदिश गुणज क्रमशः yz-समतल, zx-समतल और xy-समतल से जुड़े होते हैं।
 * द्विसदिश का परिमाण (गणित) समतल खंड के क्षेत्र फल से जुड़ा होता है। क्षेत्र का कोई विशेष आकार नहीं है इसलिए किसी भी आकार का उपयोग किया जा सकता है। इसे अन्य तरीकों से जैसे कि कोणीय माप द्वारा भी दर्शाया जा सकता है। लेकिन अगर सदिश की व्याख्या लंबाई के रूप में की जाती है, तो आमतौर पर द्विसदिश की व्याख्या समान इकाइयों वाले क्षेत्र के रूप में की जाती है, जैसा कि निम्नानुसार है।
 * यूक्लिडियन सदिश की दिशा की तरह द्विसदिश से जुड़े समतल में दिशा, परिसंचरण या घूर्णन की भावना होती है, जो समतल में नहीं देखने के दृष्टिकोण से देखे जाने पर दक्षिणावर्त और वामावर्त के रूप में देखे जाने वाले दो मान लेता है। यह द्विसदिश में संकेत के परिवर्तन के साथ जुड़ा हुआ है, अर्थात यदि दिशा उलट जाती है तो द्विसदिश नकारा जाता है। वैकल्पिक रूप से यदि दो द्विसदिश का दृष्टिकोण और परिमाण समान लेकिन विपरीत दिशाएं हैं तो एक दूसरे का ऋणात्मक है।
 * यदि एक समांतर चतुर्भुज के रूप में कल्पना की जाती है, जिसकी उत्पत्ति 0 पर सदिश के लिए होती है, तो हस्ताक्षरित क्षेत्र सदिश के कार्तीय निर्देशांक (ax by − bx ay) के निर्धारक आव्यूह है।

तीन आयामों में सभी द्विसदिश दो सदिश के बाहरी गुणनफल द्वारा उत्पन्न किए जा सकते हैं। अगर द्विसदिश B = a ∧ b तो B का परिमाण है


 * $$\left|\mathbf{B}\right| = \left|\mathbf{a}\right|\left|\mathbf{b}\right|\sin{\theta},$$

जहाँ सदिशों के बीच का कोण है। यह a और b किनारों वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल है, जैसा कि चित्र में दिखाया गया है। व्याख्या यह है कि क्षेत्र b से बह जाता है क्योंकि यह a के ​​साथ चलता है। बाहरी गुणनफल प्रतिसममित है, इसलिए a और b के क्रम को उलटने से a को b के साथ ले जाने के लिए विपरीत दिशा के साथ एक द्विसदिश में परिणाम होता है जो कि पहले का ऋणात्मक है। द्विसदिश का  समतल a ∧ b इसमें a और b दोनों सम्मिलित हैं इसलिए वे दोनों समतल के समानांतर हैं।

द्विसदिश और अक्षीय सदिश हॉज द्विक से संबंधित हैं। वास्तविक सदिश समष्टि में हॉज द्विक उप-समष्टि को अपने लंबकोणीय पूरक से संबंधित करता है, इसलिए यदि द्विसदिश को एक समतल द्वारा दर्शाया जाता है तो इसके साथ जुड़े अक्षीय सदिश केवल समतल की सतह सामान्य है। समतल में दो मानक होते हैं, प्रत्येक तरफ एक,  समतल और द्विसदिश के लिए दो संभावित अभिविन्यास (ज्यामिति) देता है।

यह क्रॉस गुणनफल को बाहरी गुणनफल से संबंधित करता है। इसका उपयोग भौतिक परिमाणओं, जैसे बलाघूर्ण और कोणीय गति का प्रतिनिधित्व करने के लिए भी किया जा सकता है।  सदिश बीजगणित में वे आमतौर पर सदिश द्वारा दर्शाए जाते हैं, बल के  समतल के लंबवत, रैखिक गति या विस्थापन जिससे उनकी गणना की जाती है। लेकिन अगर इसके बजाय द्विसदिश का उपयोग किया जाता है, तो समतल द्विसदिश का समतल है, इसलिए परिमाणओं और जिस तरह से वे कार्य करते हैं, उसका प्रतिनिधित्व करने का अधिक प्राकृतिक तरीका है। यह सदिश प्रतिनिधित्व के विपरीत भी अन्य आयामों में सामान्यीकरण करता है।

दो द्विसदिशों के गुणनफल की ज्यामितीय व्याख्या है। गैर-शून्य द्विसदिश A और B के लिए गुणनफल को सममित और प्रतिसममित भागों में विभाजित किया जा सकता है:


 * $$ \mathbf{AB} = \mathbf{A} \cdot \mathbf{B} + \mathbf{A} \times \mathbf{B}.$$

सदिशों की भाँति इनमें भी परिमाण होते हैं $|A · B|$ = $|A|$ $|B|$ cos θ तथा $|A × B|$ = $|A|$ $|B|$ sin θ, जहां θ समतलों के बीच का कोण है। तीन आयामों में यह समतलों के द्विक सामान्य सदिशों के बीच के कोण के समान है, और यह कुछ हद तक उच्च आयामों में सामान्यीकरण करता है।

क्षेत्रों के रूप में द्विसदिश को एक साथ जोड़ा जा सकता है। तीन आयामों में दो गैर-शून्य द्विसदिश B और C को देखते हुए हमेशा सदिश ढूंढना संभव होता है जो दोनों में निहित होता है, इसलिए द्विसदिश को बाहरी गुणनफलों के रूप में लिखा जा सकता है जिसमें सम्मिलित हैं:


 * $$\begin{align}\mathbf{B} &= \mathbf{a} \wedge \mathbf{b}\\ \mathbf{C} &= \mathbf{a} \wedge \mathbf{c}\end{align}$$

इसे ज्यामितीय रूप से समझा जा सकता है जैसा कि आरेख में देखा गया है: दो क्षेत्रों का योग एक तिहाई देता है, तीन क्षेत्रों के साथ प्रिज्म (ज्यामिति) के चेहरे बनाते हैं जिसमें a, b, c और b + c किनारों के रूप में। यह बाहरी गुणनफल की वितरणता का उपयोग करके क्षेत्र की गणना करने के दो तरीकों से मेल खाता है:


 * $$ \begin{align} \mathbf{B} + \mathbf{C} &= \mathbf{a} \wedge \mathbf{b} + \mathbf{a} \wedge \mathbf{c} \\ &= \mathbf{a} \wedge (\mathbf{b} + \mathbf{c}).\end{align}$$

यह केवल तीन आयामों में काम करता है क्योंकि यह एकमात्र आयाम है जहां दोनों द्विसदिशों के समानांतर सदिश मौजूद होना चाहिए। उच्च आयामों में द्विसदिश सामान्यतः एक ही समतल से जुड़े नहीं होते हैं, या यदि वे (सरल द्विसदिश) हैं तो दो द्विसदिशों में कोई सदिश सामान्य नहीं हो सकता है, और इसलिए एक गैर-साधारण द्विसदिश के योग  हो सकता है।

चार आयाम
चार आयामों में समष्टि के लिए आधार तत्व ⋀2R4 द्विसदिश हैं (e12, e13, e14, e23, e24, e34), इसलिए सामान्य द्विसदिश फॉर्म का है


 * $$ \mathbf{A} = a_{12}\mathbf{e}_{12} + a_{13}\mathbf{e}_{13} + a_{14}\mathbf{e}_{14} + a_{23}\mathbf{e}_{23} + a_{24}\mathbf{e}_{24} + a_{34}\mathbf{e}_{34}.$$

लंबकोणीय
चार आयामों में द्विसदिश का हॉज द्विक द्विसदिश है, और समष्टि ⋀2R4 स्वयं से द्वैत है। सामान्य सदिश अद्वितीय नहीं हैं, इसके बजाय प्रत्येक समतल अपने हॉज द्विक समष्टि में सभी सदिशों के लिए लंबकोणीय है। इसका उपयोग द्विसदिशों को दो 'हिस्सों' में विभाजित करने के लिए निम्न तरीके से किया जा सकता है। हमारे पास लंबकोणीय द्विसदिश के तीन जोड़े हैं: (e12, e34), (e13, e24) तथा (e14, e23)। पहले दो जोड़ियों में से प्रत्येक में से एक द्विसदिश चुनने के चार अलग-अलग तरीके हैं, और एक बार जब इन पहले दो को चुना जाता है तो दूसरी जोड़ी से तीसरा द्विसदिश प्राप्त होता है। उदाहरण के लिए, (e12, e13, e14) और (e23, e24, e34)।

4D में सरल द्विसदिश

R4 में सदिश के बाहरी गुणनफल द्वारा चार आयामों में द्विसदिश उत्पन्न होते हैं, लेकिन R3 और R2 से एक महत्वपूर्ण अंतर के साथ। चार आयामों में सभी द्विभाजक सरल नहीं होते हैं। e12 + e34 जैसे द्विभाजक हैं जो दो सदिश के बाहरी उत्पाद द्वारा उत्पन्न नहीं किए जा सकते हैं। इसका मतलब यह भी है कि उनके पास असली नहीं है, जो अदिश, वर्ग है। इस मामले में


 * $$(\mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34})^2 =\mathbf{e}_{12} \mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{12} \mathbf{e}_{34} + \mathbf{e}_{34} \mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34} \mathbf{e}_{34} = -2 + 2 \mathbf{e}_{1234}.$$

तत्व e1234, Cl4 में स्यूडो अदिश है, अदिश से भिन्न है, इसलिए वर्ग अदिश है।

अधिकतम दो बाहरी गुणनफलों और चार सदिशों का उपयोग करके चार आयामों में सभी द्विसदिश उत्पन्न किए जा सकते हैं। उपरोक्त द्विसदिश के रूप में लिखा जा सकता है


 * $$\mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34} = \mathbf{e}_{1} \wedge \mathbf{e}_{2} + \mathbf{e}_{3} \wedge \mathbf{e}_{4}.$$

इसी तरह, प्रत्येक द्विसदिश को दो साधारण द्विसदिशों के योग के रूप में लिखा जा सकता है। इसके लिए दो लंबकोणीय द्विसदिश चुनना उपयोगी होता है, और ऐसा करना हमेशा संभव होता है। इसके अलावा, सामान्य द्विसदिश के लिए साधारण द्विसदिश का विकल्प अद्वितीय है, अर्थात, लंबकोणीय द्विसदिश में विघटित होने का केवल एक ही तरीका है, एकमात्र अपवाद तब होता है जब दो लंबकोणीय द्विसदिशों का परिमाण समान होता है (जैसा कि उपरोक्त उदाहरण में है): इस मामले में अपघटन अद्वितीय नहीं है। सरल द्विसदिश के मामले में अपघटन हमेशा अद्वितीय होता है, अतिरिक्त बोनस के साथलंबकोणीय भागों में से एक शून्य है।

R4 में घूर्णन
जैसा कि तीन आयामों में चार आयामों में द्विसदिश घातीय मानचित्र के माध्यम से घुमाव उत्पन्न करते हैं, और सभी घुमाव इस तरह से उत्पन्न किए जा सकते हैं। जैसे तीन आयामों में यदि B द्विसदिश है तो घूर्णकR,  eB/2 है और घुमाव एक ही तरह से उत्पन्न होते हैं:


 * $$v' = RvR^{-1}.\,$$

हालांकि उत्पन्न घुमाव अधिक जटिल हैं। उन्हें निम्नानुसार वर्गीकृत किया जा सकता है:
 * सरल घुमाव घुमाव वे हैं जो समतल को 4D में ठीक करते हैं, और इस समतल के बारे में कोण से घुमाते हैं।
 * डबल आवर्तन में केवल निश्चित बिंदु, मूल होता है, और दो कोणों के माध्यम से दो लंबकोणीय समतलों के माध्यम से घूमता है। सामान्यतः कोण अलग होते हैं और  समतल विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट होते हैं
 * समनमन घुमाव द्विक घुमाव होते हैं जहां आवर्तन के कोण बराबर होते हैं। इस मामले में जिन तलों के बारे में घूर्णन हो रहा है वे अद्वितीय नहीं हैं।

ये द्विसदिश द्वारा सीधे तरीके से उत्पन्न होते हैं। साधारण घुमाव साधारण द्विसदिशस्थिर समतल के साथ द्विसदिश के समतल के लिए द्विकया  लंबकोणीय द्वारा उत्पन्न होते हैं। द्विसदिश के तल में उस तल के बारे में घूर्णन कहा जा सकता है। अन्य सभी द्विसदिश द्विक घुमाव उत्पन्न करते हैं, घूर्णन के दो कोणों के साथ गैर-साधारण द्विसदिश दो सरल द्विसदिशों के परिमाण के बराबर होते हैं। जब ये परिमाण समान होते हैं, तो  समनमन घुमाव उत्पन्न होते हैं, इस मामले में दो साधारण द्विसदिशों में अपघटन अद्वितीय नहीं होता है।

सामान्य रूप से द्विसदिश बदलना नहीं करते हैं, लेकिन अपवाद लंबकोणीय द्विसदिश और उनके प्रतिपादक हैं। तो अगर द्विसदिश, जहां B1 और  B2 लंबकोणीय सरल द्विसदिश हैं, इसका उपयोग आवर्तन उत्पन्न करने के लिए किया जाता है जो इसे दो सरल घुमावों में विघटित करता है जो निम्नानुसार है:


 * $$ R = e^{\frac{\mathbf{B}_1 + \mathbf{B}_2}{2}} = e^{\frac{\mathbf{B}_1}{2}}e^{\frac{\mathbf{B}_2}{2}} = e^{\frac{\mathbf{B}_2}{2}}e^{\frac{\mathbf{B}_1}{2}}$$

ऐसा करना हमेशा संभव है क्योंकि सभी सदिशों को लंबकोणीय सदिशों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

समष्टि समय आवर्तन
समष्टि समय हमारे ब्रह्मांड के लिए गणितीय मॉडल है जिसका उपयोग विशेष सापेक्षता में किया जाता है। इसमें तीन यूक्लिडियन समष्टि आयाम और भौतिकी आयाम में बार एक चार-आयामी समष्टि में संयुक्त होते हैं। यह स्वाभाविक रूप से ज्यामितीय बीजगणित और द्विसदिशों का उपयोग करके वर्णित किया गया है, यूक्लिडियन मिलता है्रिक को मिंकोव्स्की मिलता है्रिक द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है। वह बीजगणित यूक्लिडियन समष्टि के समान है, सिवाय इसके कि मिलता है्रिक हस्ताक्षर बदल दिया गया है, इसलिए


 * $$ {\mathbf{e}_i}^2 = \begin{cases} 1, & i = 1, 2, 3 \\  -1, & i = 4 \end{cases} $$

(ध्यान दें कि उपरोक्त क्रम और सूचकांक सार्वभौमिक नहीं हैं - यहां e4 समय जैसा आयाम है)। ज्यामितीय बीजगणित Cl3,1(R) है, और द्विसदिश का उप-समष्टि ⋀2R3,1है .।

साधारण द्विसदिश दो प्रकार के होते हैं। साधारण द्विसदिशe23, e31 और e12 ऋणात्मक वर्ग हैं और यूक्लिडियन समष्टि, R3 के अनुरूप त्रि-आयामी उप-समष्टि के द्विसदिश हैं। ये द्विसदिश  R3 में साधारण घुमाव उत्पन्न करते हैं।

साधारण द्विसदिश e14, e24 और e34 सकारात्मक वर्ग हैं और जैसे ही समतल समष्टि आयाम और समय आयाम फैलाते हैं। ये घातांक मानचित्र के माध्यम से भी घुमाव उत्पन्न करते हैं, लेकिन त्रिकोणमितीय कार्यों के बजाय, अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों की आवश्यकता होती है, जो निम्नानुसार घूर्णक उत्पन्न करता है:


 * $$e^{\frac{\boldsymbol{\Omega}\theta}{2}} = \cosh\left(\frac{\theta}{2}\right) + \boldsymbol{\Omega}\sinh\left(\frac{\theta}{2}\right), $$

जहां Ω द्विसदिश है (e14, आदि), R3,1 के प्रतिसममित रैखिक परिवर्तन के साथ मिलता है्रिक के माध्यम से पहचाना गया। ये लोरेंत्ज़ रूपांतरण हैं, किसी भी दिशा में बढ़ावा, एक विशेष रूप से  संक्षिप्त तरीके से व्यक्त किया गया है, उसी तरह के बीजगणित का उपयोग करके जैसा कि R3 और R4  में है।

सामान्य तौर पर सभी समष्टि समय आवर्तन द्विसदिश से घातीय मानचित्र के माध्यम से उत्पन्न होते हैं, अर्थात, द्विसदिश A द्वारा उत्पन्न एक सामान्य घूर्णक फॉर्म का होता है


 * $$R = e^{\frac{\mathbf{A}}{2}}.$$

समष्टि समय में सभी घुमावों का समुच्चय लोरेंत्ज़ समूह बनाता है, और उनमें से विशेष सापेक्षता के अधिकांश परिणाम नि गुणाे जा सकते हैं। सामान्यतः यह दिखाता है कि यूक्लिडियन समष्टिऔर समष्टि समय में सभी परिवर्तनों को एक ही तरह के बीजगणित का उपयोग करके कैसे वर्णित किया जा सकता है।

मैक्सवेल के समीकरण
(नोट: इस खंड में पारंपरिक 3-सदिश को प्रतीकों और समष्टि समय सदिश और द्विसदिश के ऊपर की रेखाओं द्वारा बोल्ड प्रतीकों द्वारा दर्शाया गया है, सदिश J और A के साथ बड़ा अक्षर में असाधारण रूप से)

मैक्सवेल के समीकरणों का उपयोग भौतिकी में विद्युत क्षेत्र और चुंबकीय क्षेत्र क्षेत्रों के बीच संबंधों का वर्णन करने के लिए किया जाता है। सामान्यतः चार अंतर समीकरणों के रूप में दिए जाने पर उनके पास एक विशेष रूप से संक्षिप्तरूप होता है जब क्षेत्र को से समष्टि समय द्विसदिश  ⋀2R3,1 के रूप में व्यक्त किया जाता है। यदि R3 में विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र हैं $\overline{E}$ तथा $\overline{B}$ तब विद्युत चुम्बकीय द्विसदिश है


 * $$ \mathbf{F} = \frac{1}{c}\overline{E}\mathbf{e}_4 + \overline{B}\mathbf{e}_{123},$$

जहां e4 समय जैसे आयाम के लिए फिर से आधार सदिश है और c प्रकाश की गति है। गुणनफल $\overline{B}$e123 हॉज द्विक द्विसदिश उत्पन्न करता है $\overline{B}$ तीन आयामों में, अक्षीय सदिशों के रूप में, जबकि $\overline{E}$e4 लंबकोणीय सदिश के गुणनफल के रूप में भी द्विसदिश-मान है। समग्र रूप से यह विद्युतचुंबकीय प्रदिश है जो द्विसदिश के रूप में अधिक सघन रूप से व्यक्त किया जाता है, और इसका उपयोग निम्नानुसार किया जाता है। सबसे पहले यह 4-वर्तमान J से संबंधित है, जो द्वारा दी गई सदिश राशि है


 * $$ \mathbf{J} = \overline{j} + c\rho\mathbf{e}_4,$$

कहाँ पे $\overline{j}$ वर्तमान घनत्व है और ρ आवेश घनत्व है। वे एक अंतर ऑपरेटर ∂ से संबंधित हैं, जो है


 * $$\partial = \nabla - \mathbf{e}_4\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t}.$$

ऑपरेटर ∇ ज्यामितीय बीजगणित में विभेदक ऑपरेटर है, जो समष्टि आयामों पर कार्य करता है और इसके द्वारा दिया जाता है ∇M = ∇·M + ∇∧M. जब सदिशों पर लागू किया जाता है तो ∇·M विचलन होता है और ∇∧M कर्ल (गणित) होता है, लेकिन सदिश परिणाम के बजाय द्विसदिश के साथ, जो कर्ल के तीन आयामों में दोहरा होता है। सामान्य  परिमाण M के लिए वे  श्रेणी कम करने और अंतर ऑपरेटरों को बढ़ाने के रूप में का र्य करते हैं। विशेष रूप से यदि M अदिश है तो यह ऑपरेटर केवल ढाल है, और इसे ज्यामितीय बीजगणितीय डेल ऑपरेटर के रूप में माना जा सकता है।

इन्हें मिलाकर मैक्सवेल के स्रोतों के साथ समीकरणों के लिए एक विशेष रूप से संक्षिप्तरूप देने के लिए उपयोग किया जा सकता है:


 * $$ \partial\mathbf{F} = \mathbf{J}.$$

यह समीकरण, जब ज्यामितीय बीजगणित के अनुसार विघटित हो जाता है, तो ज्यामितीय गुणनफलों का उपयोग करते हुए, जिनमें श्रेणी बढ़ाने और  श्रेणी कम करने के प्रभाव दोनों होते हैं, मैक्सवेल के चार समीकरणों के बराबर होते हैं। यह विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता से भी संबंधित है, सदिश A द्वारा दिया गया है


 * $$ \mathbf{A} = \overline{A} + \frac{1}{c}V\mathbf{e}_4,$$

कहाँ पे $\overline{A}$ सदिश चुंबकीय क्षमता है और V विद्युत क्षमता है। यह  विद्युत् चुंबकीय द्विसदिश से निम्नानुसार संबंधित है


 * $$ \partial\mathbf{A} = -\mathbf{F},$$

एक ही अंतर ऑपरेटर ∂ का उपयोग करना।

उच्च आयाम
जैसा कि पिछले खंडों में सुझाव दिया गया है कि ज्यामितीय बीजगणित का अधिकांश भाग उच्च आयामों में अच्छी तरह से सामान्य हो जाता है। वास्तविक समष्टि Rn के लिए ज्यामितीय बीजगणित Cln(R) है, और द्विसदिश का उप-समष्टि ⋀2Rn है।

सामान्य द्विसदिश बनाने के लिए आवश्यक साधारण द्विसदिशों की संख्या आयाम के साथ बढ़ती है, इसलिए n विषम के लिए यह है (n − 1) / 2, n के लिए भी यह n / 2 है। तो चार और पांच-आयामी समष्टि आयामों के लिए केवल दो सरल द्विसदिशों की आवश्यकता होती है, लेकिन छह-आयामी समष्टि और सात-आयामी समष्टि आयामों के लिए तीन की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, मानक आधार के साथ छह आयामों में (e1, e2, e3, e4, e5, e6) द्विसदिश


 * $$ \mathbf{e}_{12} + \mathbf{e}_{34} + \mathbf{e}_{56} $$

तीन साधारण द्विसदिशों का योग है लेकिन कम नहीं। जैसा कि चार आयामों में इस राशि के लिए लंबकोणीय सरल द्विसदिशों को खोजना हमेशा संभव होता है।

उच्च आयामों में घुमाव
जैसा कि तीन और चार आयामों में घूर्णक घातीय मानचित्र द्वारा उत्पन्न होते हैं, इसलिए


 * $$e^{\frac{\mathbf{B}}{2}}$$

द्विसदिश B द्वारा उत्पन्न घूर्णकहै। सरल घुमाव, जो आयाम के निश्चित ब्लेड (ज्यामिति) के चारों ओर आवर्तन के समतल में होता है (n − 2) साधारण द्विसदिशों द्वारा उत्पन्न होते हैं, जबकि अन्य द्विसदिश अधिक जटिल घुमाव उत्पन्न करते हैं, जिन्हें साधारण द्विसदिशों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है, प्रत्येक आवर्तन के समतल से संबंधित हैं। सभी द्विसदिशों को लंबकोणीय और क्रमविनिमेय सरल द्विसदिशों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, इसलिए इन द्विसदिशों से जुड़े  समतलों के बारे में आवर्तन  को हमेशा क्रमविनिमेय आवर्तन  के  समुच्चय में विघटित किया जा सकता है। n आयामों में  घूर्णक का समूह  स्पिन समूह, स्पिन (n) है।

उल्लेखनीय विशेषता, साधारण द्विसदिशों की संख्या और इस प्रकार घूर्णन समतलों से संबंधित है, यह है कि विषम आयामों में प्रत्येक घुमाव में एक निश्चित धुरी होती है - इसे आवर्तन  की धुरी कहना भ्रामक है क्योंकि उच्च आयामों में घुमाव कई  समतलों में  लंबकोणीय हो रहे हैं। इसे। यह द्विसदिश से संबंधित है, क्योंकि विषम आयामों में द्विसदिश्स नीचे के समान आयामों के समान संख्या में द्विसदिश में विघटित होते हैं, इसलिए  समतलों की संख्या समान होती है, लेकिन एक अतिरिक्त आयाम होता है। जैसा कि प्रत्येक  समतल विषम आयामों में दो आयामों में घुमाव उत्पन्न करता है, एक आयाम होना चाहिए, वह एक अक्ष है, जिसे घुमाया नहीं जा रहा है।

द्विसदिश n आयामों में आवर्तन आव्यूह से भी संबंधित हैं। जैसा कि तीन आयामों में अभिलक्षणिक बहुपद आव्यूह के अभिलक्षणिक समीकरण को अभिलक्षणिक मान ​​खोजने के लिए हल किया जा सकता है। विषम आयामों में इसकी वास्तविक जड़ होती है,अभिलक्षणिक सदिश निश्चित अक्ष के साथ, और यहां तक ​​कि आयामों में इसकी कोई वास्तविक जड़ें नहीं होती हैं, इसलिए या तो सभी या सभी लेकिन जड़ों में से एक जटिल संयुग्म जोड़े हैं। प्रत्येक जोड़ी आवर्तन से जुड़े द्विसदिश के एक साधारण घटक से जुड़ी होती है। विशेष रूप से प्रत्येक जोड़ी का लॉग ± परिमाण है, जबकि जड़ों से उत्पन्न अभिलक्षणिक सदिश समानांतर हैं और इसलिए इसका उपयोग द्विसदिश उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है। सामान्य तौर पर अभिलक्षणिक मान ​​और द्विसदिश अद्वितीय होते हैं, और अभिलक्षणिक मान ​​का समुच्चय सरल द्विसदिश में पूर्ण अपघटन देता है, यदि जड़ों को दोहराया जाता है तो द्विसदिश का सरल द्विसदिश में अपघटन अद्वितीय नहीं है।

प्रक्षेपी ज्यामिति
ज्यामितीय बीजगणित को प्रक्षेपी ज्यामिति पर सीधे तरीके से लागू किया जा सकता है। प्रयुक्त ज्यामितीय बीजगणित है Cln(R), n ≥ 3, वास्तविक सदिश समष्टि Rn का बीजगणित  है। इसका उपयोग वास्तविक प्रक्षेप्य समष्टि 'RPn−1 में वस्तुओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है। Cln(R) या Rn में शून्येतर सदिश  प्रक्षेपीय समष्टि में बिंदुओं से जुड़े होते हैं, इसलिए  सदिश जो केवल स्केल कारक से भिन्न होते हैं, इसलिए उनका बाहरी गुणनफल शून्य है, उसी बिंदु पर मैप करें। ⋀2Rn में गैर-शून्य सरल द्विसदिश RPn−1 में पंक्तियों का प्रतिनिधित्व करता है, द्विसदिश केवल एक ही रेखा का प्रतिनिधित्व करने वाले (सकारात्मक या  ऋणात्मक) स्केल कारक से भिन्न होते हैं।

बुनियादी संचालन का उपयोग करके ज्यामितीय बीजगणित में प्रक्षेपीय ज्यामिति का विवरण बनाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, RPn−1 में दो अलग-अलग बिंदु दिए गए हैं को सदिशों a और b द्वारा प्रदर्शित किया जाता है, जिसमें वे रेखाएँ होती हैं a ∧ b (या b ∧ a) दो रेखाएँ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं यदि A ∧ B = 0 उनके द्विसदिश A और B के लिए। यह बिंदु सदिश द्वारा दिया गया है


 * $$ \mathbf{p} = \mathbf{A} \lor \mathbf{B} = (\mathbf{A} \times \mathbf{B}) J^{-1}.$$

ऑपरेशन ∨ मिलता है, जिसे ज्वाइन के संदर्भ में ऊपर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है,  गैर शून्य के लिए A ∧ B । इन संक्रियाओं का उपयोग करते हुए प्रक्षेपी ज्यामिति को ज्यामितीय बीजगणित के रूप में तैयार किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, तीसरा (गैर-शून्य) द्विसदिश C दिया गया बिंदु p, C  द्वारा दी गई रेखा पर स्थित है यदि और केवल यदि


 * $$ \mathbf{p} \land \mathbf{C} = 0. $$

अत: A, B और C द्वारा दी गई रेखाओं के संरेख होने की शर्त है


 * $$ (\mathbf{A} \lor \mathbf{B}) \land \mathbf{C} = 0, $$

जो Cl3(R) और RP2 को सरल करता है


 * $$ \langle \mathbf{ABC} \rangle = 0,$$

जहाँ कोण कोष्ठक ज्यामितीय गुणनफल के अदिश भाग को दर्शाते हैं। उसी तरह सभी प्रक्षेपीय समष्टि ऑपरेशंस को ज्यामितीय बीजगणित के संदर्भ में लिखा जा सकता है, जिसमें द्विसदिश  प्रक्षेपीय समष्टिमें सामान्य रेखाओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, इसलिए ज्यामितीय बीजगणित का उपयोग करके पूरी ज्यामिति विकसित की जा सकती है।

प्रदिश और आव्यूह

 * 1) आव्यूह के रूप में द्विसदिश को तिरछा-सममित आव्यूह के रूप में लिखा जा सकता है, जो घातीय मानचित्र के माध्यम से आवर्तन आव्यूह उत्पन्न करता है जो घूर्णक के समान आवर्तन का वर्णन करता है, जो घातीय मानचित्र द्वारा भी उत्पन्न होता है लेकिन सदिश पर लागू होता है। लेकिन इसका उपयोग अन्य द्विसदिश जैसे कोणीय वेग  प्रदिश और विद्युत् चुंबकीय प्रदिश क्रमशः 3×3 और 4×4 तिरछा-सममित आव्यूह या प्रदिश के साथ भी किया जाता है।

⋀2Rn में वास्तविक द्विसदिश n×n तिरछा-सममित आव्यूह के लिए समरूपी हैं, या वैकल्पिक रूप से Rn पर डिग्री 2 के प्रतिसममित प्रदिश के लिए हैं। जबकि द्विसदिश तीन आयामों में सदिश ( द्विक के माध्यम से) के लिए समरूपी होते हैं, उन्हें किसी भी आयाम में तिरछा-सममित आव्यूह द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है। यह द्विसदिश को आव्यूह द्वारा वर्णित समस्याओं से संबंधित करने के लिए उपयोगी है, इसलिए उन्हें बायोएक्टर्स के संदर्भ में फिर से कास्ट किया जा सकता है, ज्यामितीय व्याख्या दी जाती है, फिर अक्सर अधिक आसानी से या अन्य द्विसदिश समस्याओं से संबंधित ज्यामितीय रूप से हल किया जाता है।

सामान्यतः हर वास्तविक ज्यामितीय बीजगणित क्लिफोर्ड बीजगणित का वर्गीकरण है। इनमें द्विसदिश उप-समष्टि के रूप में होते हैं, हालांकि अक्सर एक तरह से जो विशेष रूप से उपयोगी नहीं होता है। क्लिफोर्ड बीजगणित को वर्गीकृत करने के तरीके के रूप में ये आव्यूह मुख्य रूप से रुचि रखते हैं।

यह भी देखें

 * मल्टी सदिश
 * बहुरेखीय बीजगणित
 * डायैडिक्स

सामान्य संदर्भ


श्रेणी:क्लिफर्ड बीजगणित|* श्रेणी:ज्यामितीय बीजगणित श्रेणी:बहुरेखीय बीजगणित श्रेणी: सदिश कलन श्रेणी: प्रदिश