फलनात्मक विश्लेषण

फलनात्मक विश्लेषण गणितीय विश्लेषण की शाखा है, जिसका मूल सदिश रिक्त समष्टि के अध्ययन से बनता है जो किसी प्रकार की सीमा-संबंधित संरचना (जैसे आंतरिक उत्पाद, मानदंड, सांस्थिति ,आदि) से संपन्न होता है और इन समष्टिों को परिभाषित रैखिक परिवर्तन करता है, और उपयुक्त अर्थों में इन संरचनाओं का सम्मान करता है। फलनात्मक विश्लेषण की ऐतिहासिक जड़ें फलनों के रिक्त समष्टि तथा फलनों के परिवर्तनों के गुणों के निर्माण में निहित हैं जैसे कि फुरियर रूपांतरण के रूप में फलन रिक्त समष्टि के बीच निरंतर, एकात्मक आदि संचालक को परिभाषित करता है। यह दृष्टिकोण अंतर और अभिन्न समीकरण के अध्ययन के लिए विशेष रूप से उपयोगी निकला है।

संज्ञा के रूप में 'फलनात्मक' शब्द का उपयोग विविधताओं के कलन पर पुनः जाता है, जो उच्च-क्रम के फलन को लागू करता है। इस शब्द का पहली बार प्रयोग जैक्स हैडमार्ड की 1910 की पुस्तक में उस विषय पर किया गया था। चूँकि, फलनात्मक की सामान्य अवधारणा को पहले 1887 में इतालवी गणितज्ञ और भौतिक विज्ञानी वीटो वोल्टेरा द्वारा दर्शाया गया था। हैडमार्ड के छात्रों, विशेष रूप से मौरिस रेने फ्रेचेट और पॉल लेवी द्वारा अरैखिक फलनों के सिद्धांत को जारी रखा था। हैडमर्ड ने रेखीय प्रफलनात्मक विश्लेषण के आधुनिक स्कूल की भी स्थापना की, जिसे स्टीफन बनच के आस-पास फ्रिगिज़ रिज़्ज़ और पोलैंड के गणितज्ञों के ल्वॉव स्कूल ऑफ़ मैथेमेटिक्स द्वारा विकसित किया गया।

फलनात्मक विश्लेषण पर आधुनिक परिचयात्मक ग्रंथों में, विषय को सदिश रिक्त समष्टि के अध्ययन के रूप में देखा जाता है, विशेष रूप से आयाम समष्टिों में, एक सांस्थिति के साथ संपन्न होता है। इसके विपरीत, रैखिक बीजगणित अधिक परिमित-आयामी रिक्त समष्टि से संबंधित है, जो सांस्थिति का उपयोग नहीं करता है। फलनात्मक विश्लेषण का एक महत्वपूर्ण भाग अभिन्न और अनंत आयामी रिक्त समष्टि का माप, एकीकरण और संभावना के सिद्धांत का विस्तार है, जिसे अनंत आयामी विश्लेषण भी कहा जाता है।

नॉर्म्ड सदिश समष्टि
फलनात्मक विश्लेषण में अध्ययन किए गए मूल और ऐतिहासिक रूप से प्रथम श्रेणी के रिक्त समष्टि वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं पर पूर्ण मानक सदिश समष्टि हैं। ऐसे समष्टिों को बनच समष्टि कहा जाता है। महत्वपूर्ण उदाहरण हिल्बर्ट समष्टि है, जहां आंतरिक उत्पाद से आदर्श उत्पन्न होता है। ये समष्टि कई क्षेत्रों में प्राथमिक महत्व के हैं, जिनमें क्वांटम यांत्रिकी के गणितीय सूत्रीकरण, कर्नेल हिल्बर्ट समष्टि का पुनरुत्पादन, आंशिक अंतर समीकरण और फूरियर विश्लेषण सम्मलित हैं।

अधिकांशतः फलनात्मक विश्लेषण में फ्रेचेट रिक्त समष्टि और अन्य संसमष्टििक सदिश रिक्त समष्टि का अध्ययन सम्मलित होता है जो मानक के साथ संपन्न नहीं होता है।

फलनात्मक विश्लेषण में अध्ययन का महत्वपूर्ण उद्देश्य बनच और हिल्बर्ट रिक्त समष्टि पर परिभाषित निरंतर फलन रैखिक परिवर्तन है। ये स्वाभाविक रूप से C - बीजगणित और अन्य संचालक बीजगणित की परिभाषा की ओर ले जाते हैं।

हिल्बर्ट रिक्त समष्टि
हिल्बर्ट रिक्त समष्टि को पूरी तरह से वर्गीकृत किया जा सकता है: ऑर्थोनॉर्मल आधार के प्रत्येक मूलभूती संख्या के लिए समरूपता तक अद्वितीय हिल्बर्ट समष्टि है। परिमित-आयामी हिल्बर्ट रिक्त समष्टि पूरी तरह से रैखिक बीजगणित में समझाए जाते हैं, और अनंत-आयामी भिन्न -भिन्न समष्टि हिल्बर्ट समष्टि अनुक्रम समष्टि ℓp रिक्त समष्टि के लिए आइसोमोर्फिक हैं।$$\ell^{\,2}(\aleph_0)\,$$. अनुप्रयोगों के लिए पृथक्करणीयता महत्वपूर्ण है, हिल्बर्ट रिक्त समष्टि के फलनात्मक विश्लेषण के परिणामस्वरूप प्रायः इस समष्टि से संबंधित हैं। फलनात्मक विश्लेषण में खुली समस्याओं में से यह सिद्ध करना है कि हिल्बर्ट समष्टि पर प्रत्येक परिबद्ध रैखिक संचालक के पास उचित अपरिवर्तनीय उप-समष्टि है। इस अपरिवर्तनीय उप-समष्टि समस्या के कई विशेष विषय पहले ही सिद्ध हो चुके हैं।

बनच समष्टि
साधारण बनच समष्टि हिल्बर्ट समष्टिों की तुलना में अधिक जटिल हैं, और उन्हें इतने सरल उपाय से वर्गीकृत नहीं किया जा सकता है। विशेष रूप से, कई बनच रिक्त समष्टि में अलौकिक आधार के समान धारणा की कमी होती है।

बनच समष्टि के उदाहरण हैं- $$L^p$$-किसी भी वास्तविक संख्या के लिए समष्टि $p\geq1$. माप $$\mu$$ भी दिया गया है समुच्चय पर $X$, फिर $L^p(X)$, कभी-कभी $$L^p(X,\mu)$$ या $L^p(\mu)$, इसके सदिश के रूप में है मापने योग्य फलनों के समकक्ष वर्ग $$[\,f\,]$$ जिनके निरपेक्ष मान की $$p$$-वें शक्ति का परिमित अभिन्न है; वह फलन जिसके लिए किसी के पास $$f$$ है
 * $$\int_{X}\left|f(x)\right|^p\,d\mu(x) < +\infty.$$

यदि $$\mu$$ गणना माप है, तो समाकल को योग द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। जैसे हमें चाहिए
 * $$\sum_{x\in X}\left|f(x)\right|^p<+\infty .$$

फिर समतुल्य वर्गों से निपटने के लिए आवश्यक नहीं है, $\ell^p(X)$, समष्टि को निरूपित किया जाता है $$\ell^p$$ अधिक सरलता से लिखा गया है, जब $$X$$ गैर-ऋणात्मक पूर्णांकों का समुच्चय है।

बनच रिक्त समष्टि में, अध्ययन के बड़े भाग में दुगुनी जगह सम्मलित हैI समष्टि से सभी निरंतर रैखिक मानचित्रों को इसके अंतर्निहित क्षेत्र में, तथाकथित फलनात्मकता है। बनच समष्टि को इसकी बोली के उप-समष्टि के साथ प्रामाणिक रूप से पहचाना जा सकता है, जो इसके समष्टि का दुगना है। संबंधित चित्र एक सममितीय है लेकिन सामान्य आच्छादक नहीं है। परिमित-आयामी स्थिति के विपरीत, सामान्य बनच समष्टि और इसकी बोली-प्रक्रिया को किसी भी प्रकार से सममितीय रूप से समरूप होने की आवश्यकता नहीं है। यह दुगुने समष्टि लेख में समझाया गया है।

इसके अतिरिक्त, यौगिक की धारणा को बनच रिक्त समष्टि के बीच मनमाना फलनों के लिए बढ़ाया जा सकता है। उदाहरण के लिए देखें, फ्रेचेट व्युत्पन्न लेख।

प्रमुख और मूलभूत परिणाम
चार प्रमुख प्रमेय हैं जिन्हें कभी-कभी फलनात्मक विश्लेषण को चार स्तंभ कहा जाता है: हैन-बनाक प्रमेय, खुला मानचित्रण प्रमेय, बंद ग्राफ प्रमेयऔर समान सीमा सिद्धांत, जिसे बनच -स्टाइनहॉस प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है। फलनात्मक विश्लेषण के महत्वपूर्ण परिणामों में सम्मलित हैं:

समान सीमा सिद्धांत
समान परिबद्धता सिद्धांत या बनच-स्टीनहॉस प्रमेय फलनात्मक विश्लेषण में प्राथमिक परिणामों में से है। हैन-बनाक प्रमेय और खुला मानचित्रण प्रमेय के साथ, इसे क्षेत्र का कोना माना जाता है। मूल रूप में, इसका अर्थ है कि निरंतर रैखिक संचालको (और इस प्रकार बाध्य संचालनों) के परिवार के लिए जिसका फलनक्षेत्र बनच समष्टि है, बिंदुवार सीमा संचालक मानदंड में समान सीमा के बराबर है।

प्रमेय पहली बार 1927 में स्टीफन बनच और ह्यूगो स्टीनहॉस द्वारा प्रकाशित किया गया था, लेकिन यह हंस हैन द्वारा स्वतंत्र रूप से सिद्ध भी किया गया था।

प्रमेय (समान परिबद्धता सिद्धांत)I मान लें कि $$X$$ बनच समष्टि है और $$Y$$ मानक सदिश समष्टि है। मान लीजिए कि $$F$$ निरंतर रैखिक संचालको का संग्रह हैI यदि सभी के लिए  $$x$$ में $$X$$ किसी के पास


 * $$\sup\nolimits_{T \in F} \|T(x)\|_Y < \infty, $$

फिर


 * $$\sup\nolimits_{T \in F} \|T\|_{B(X,Y)} < \infty.$$

स्पेक्ट्रल प्रमेय
वर्णक्रमीय प्रमेय के रूप में जानी जाने वाली कई प्रमेय हैं, लेकिन विशेष रूप से फलनात्मक विश्लेषण में कई अनुप्रयोग हैं।

स्पेक्ट्रल प्रमेय। मान लें कि $$A$$ हिल्बर्ट समष्टि $$H$$ पर स्वसंबद्ध बंधा हुआ संचालको में से है। फिर माप समष्टि $$(X,\Sigma,\mu)$$ और वास्तविक-मूल्यवान अनिवार्य रूप से परिबद्ध मापनीय फलन $$f$$ पर $$X$$ और एकात्मक संचालको $$U:H\to L^2_\mu(X)$$ ऐसा है कि


 * $$ U^* T U = A \;$$

जहाँ T गुणन संकारक है:


 * $$ [T \varphi](x) = f(x) \varphi(x). \;$$

तथा $$\|T\| = \|f\|_\infty$$

यह संचालक सिद्धांत नामक फलनात्मक विश्लेषण के विशाल शोध क्षेत्र की शुरुआत है; स्पेक्ट्रल माप स्पेक्ट्रल माप भी देखें।

हिल्बर्ट रिक्त समष्टि पर बंधे सामान्य संचालको के लिए एक समान वर्णक्रमीय प्रमेय भी है। निष्कर्ष में केवल इतना ही अंतर है कि $$f$$ जटिल-मूल्यवान हो सकता है।

हैन-बनच प्रमेय
हैन-बनच प्रमेय फलनात्मक विश्लेषण में केंद्रीय उपकरण है। यह पूरे समष्टि में कुछ सदिश समष्टि के उप-समष्टि पर परिभाषित परिबद्ध संचालिका के विस्तार की अनुमति देता है, और यह भी दर्शाता है कि दुगुने समष्टि के अध्ययन को रोचक बनाने के लिए प्रत्येक आदर्श सदिश समष्टि पर परिभाषित पर्याप्त निरंतर फलन रैखिक फलनात्मक हैं।.

हैन-बनच प्रमेय: यदि $$p:V\to\mathbb{R}$$ एक उपरैखिक फलन है, और $$\varphi:U\to\mathbb{R}$$ रेखीय उप-समष्टि $$U\subseteq V$$ पर रेखीय प्रफलन है जिस पर $$p$$ पर $$U$$; वह है,


 * $$\varphi(x) \leq p(x)\qquad\forall x \in U$$

तब रेखीय विस्तार सम्मलित है $$\psi:V\to\mathbb{R}$$ का $$\varphi$$ पूरे समष्टि के लिए $$V$$ जिस पर $$p$$ पर $$V$$ अर्थात्, एक रैखिक फलनात्मक $$\psi$$ सम्मलित है ऐसा है कि


 * $$\psi(x)=\varphi(x)\qquad\forall x\in U,$$
 * $$\psi(x) \le p(x)\qquad\forall x\in V.$$

खुला मानचित्रण प्रमेय
खुला मानचित्रण प्रमेय, जिसे बनच-शाउडर प्रमेय (स्टीफन बनच और जूलियस शॉडर के नाम पर रखा गया) के रूप में भी जाना जाता है, प्राथमिक परिणाम है जो बताता है कि यदि बनच रिक्त समष्टि के बीच परिबद्ध रैखिक संचालक विशेषण है तो यह खुला चित्र है :


 * खुला मानचित्रण प्रमेय, यदि $$X$$ तथा $$Y$$ बनच समष्टि हैं और $$A:X\to Y$$ विशेषण निरंतर रैखिक संचालक है, तो $$A$$ खुला चित्र है (जैसे, यदि $$U$$ खुला समुच्चय है $$X$$, फिर $$A(U)$$ में खुला है $$Y$$).

प्रमाण बायर श्रेणी प्रमेय और दोनों की पूर्णता का उपयोग करता है $$X$$ तथा $$Y$$ प्रमेय के लिए आवश्यक है। प्रमेय का कथन सत्य नहीं है यदि कोई भी समष्टि केवल मानक समष्टि माना जाता है, लेकिन सत्य है यदि $$X$$ तथा $$Y$$ फ्रेचेट रिक्त समष्टि के रूप में लिया जाता है।

बंद ग्राफ प्रमेय
बंद ग्राफ प्रमेय निम्नलिखित बताता है: यदि $$X$$ समष्टि है और $$Y$$ सघन जगह हॉसडॉर्फ समष्टि है, फिर रेखीय मानचित्र का ग्राफ $$T$$ से $$X$$ प्रति $$Y$$ बंद है यदि केवल $$T$$ निरंतर फलन (सांस्थिति) है।

गणित के विचारों की मूलभूत
फलनात्मक विश्लेषण में माने जाने वाले अधिकांश समष्टिों में अनंत आयाम होते हैं। ऐसे समष्टिों के लिए सदिश समष्टि आधार के अस्तित्व को दिखाने के लिए ज़ोर्न के लेम्मा की आवश्यकता हो सकती है। चूँकि, कुछ भिन्न अवधारणा, शाउडर आधार, सामान्यतः फलनात्मक विश्लेषण में अधिक प्रासंगिक है। बहुत महत्वपूर्ण प्रमेयों के लिए हैन-बनच प्रमेय की आवश्यकता होती है, सामान्यतः पसंद के स्वयंसिद्ध का उपयोग करके सिद्ध किया जाता है, चूँकि कठोरता से कमजोर बूलियन प्रधान आदर्श प्रमेय पर्याप्त है। कई महत्वपूर्ण प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए आवश्यक बायर श्रेणी प्रमेय के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध के रूप की भी आवश्यकता होती है।

दृष्टिकोण
इसमें फलनात्मक विश्लेषण निम्नलिखित प्रवृत्तियाँ सम्मिलित हैं:
 * सार विश्लेषण, समष्टि समूहों, समष्टि छल्ला और संसमष्टििक सदिश समष्टि के आधार पर विश्लेषण के लिए एक दृष्टिकोण।
 * बनच रिक्त समष्टि की ज्यामिति में कई विषय सम्मिलित हैं। एक जॉन बौर्गेन से जुड़ा जुझारूपन दृष्टिकोण है; दूसरा बनच समष्टिों का लक्षण वर्णन है जिसमें बड़ी संख्या के कानून के विभिन्न रूप धारण करते हैं।
 * गैर अनुमेय ज्यामिति एलेन कॉन्स द्वारा विकसित, आंशिक रूप से पूर्व धारणाओं पर निर्माण, जैसे जॉर्ज मैके के एर्गोडिक सिद्धांत के दृष्टिकोण।
 * क्वांटम यांत्रिकी के साथ संबंध या तो संकीर्ण रूप से गणितीय भौतिकी के रूप में परिभाषित किया गया है, या व्यापक रूप से व्याख्या की गई है, उदाहरण के लिए, इज़राइल गेलफैंड, अधिकांश प्रकार के प्रतिनिधित्व सिद्धांत को सम्मिलित करने के लिए।

यह भी देखें

 * फलनात्मक विश्लेषण विषयों की सूची
 * वर्णक्रमीय सिद्धांत

अग्रिम पठन

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बाहरी संबंध

 * Topics in Real and Functional Analysis by Gerald Teschl, University of Vienna.
 * Lecture Notes on Functional Analysis by Yevgeny Vilensky, New York University.
 * Lecture videos on functional analysis by Greg Morrow from University of Colorado Colorado Springs
 * Lecture videos on functional analysis by Greg Morrow from University of Colorado Colorado Springs