क्रमपरिवर्तन की समता

गणित में, जब X कम से कम दो तत्वों वाला एक परिमित समुच्चय होता है, तो X के क्रमपरिवर्तन (अर्थात् X से यदि X का कोई कुल क्रम निश्चित है, तो क्रमपरिवर्तन की 'समता' ('विषमता' या 'समता') $$\sigma$$ X को σ के लिए व्युत्क्रम (असतत गणित) की संख्या की समता के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात, X के तत्व x, y के जोड़े जैसे कि x < y और σ(x) > σ(y).

क्रमपरिवर्तन σ के चिह्न, हस्ताक्षर या संकेत को sgn(σ) दर्शाया जाता है और यदि σ सम है तो +1 के रूप में परिभाषित किया जाता है और यदि σ विषम है तो -1 के रूप में परिभाषित किया जाता है। हस्ताक्षर सममित समूह एस के वैकल्पिक चरित्र (गणित) को परिभाषित करता हैn. क्रमपरिवर्तन के संकेत के लिए एक और संकेतन अधिक सामान्य लेवी-सिविटा प्रतीक (ε) द्वारा दिया गया हैσ), जिसे एक्स से एक्स तक सभी मानचित्रों के लिए परिभाषित किया गया है, और आक्षेप | के लिए मान शून्य है गैर-उद्देश्यपरक मानचित्र.

क्रमपरिवर्तन का संकेत स्पष्ट रूप से इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

जहां N(σ) σ में व्युत्क्रम (असतत गणित) की संख्या है।

वैकल्पिक रूप से, क्रमपरिवर्तन के चिह्न को इसके अपघटन से ट्रांसपोज़िशन के उत्पाद (गणित) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है

जहाँ m अपघटन में स्थानान्तरण की संख्या है। यद्यपि ऐसा अपघटन अद्वितीय नहीं है, सभी अपघटनों में ट्रांसपोज़िशन की संख्या की समानता समान है, जिसका अर्थ है कि क्रमपरिवर्तन का संकेत अच्छी तरह से परिभाषित है।

उदाहरण
सेट के क्रमपरिवर्तन σ पर विचार करें $\{1, 2, 3, 4, 5\}$ द्वारा परिभाषित $$\sigma(1) = 3,$$ $$\sigma(2) = 4,$$ $$\sigma(3) = 5,$$ $$\sigma(4) = 2,$$ और $$\sigma(5) = 1.$$ एक-पंक्ति संकेतन में, इस क्रमपरिवर्तन को 34521 दर्शाया गया है। इसे पहचान क्रमपरिवर्तन 12345 से तीन स्थानान्तरण द्वारा प्राप्त किया जा सकता है: पहले संख्या 2 और 4 का आदान-प्रदान करें, फिर 3 और 5 का आदान-प्रदान करें, और अंत में 1 और 3 का आदान-प्रदान करें। इससे पता चलता है कि दिया गया क्रमपरिवर्तन σ विषम है। Permutation#Cycle_notation आलेख की विधि का अनुसरण करते हुए, इसे बाएँ से दाएँ लिखते हुए, इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$\sigma=\begin{pmatrix}1&2&3&4&5\\

3&4&5&2&1\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&3&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}1&3\end{pmatrix} \begin{pmatrix}3&5\end{pmatrix} \begin{pmatrix}2&4\end{pmatrix} .$$ उदाहरण के लिए, ट्रांसपोज़िशन की कार्यात्मक संरचना के रूप में σ लिखने के कई अन्य तरीके हैं

लेकिन इसे सम संख्या में स्थानान्तरण के उत्पाद के रूप में लिखना असंभव है।

गुण
पहचान क्रमपरिवर्तन एक सम क्रमपरिवर्तन है। एक सम क्रमपरिवर्तन को सम और विषम संख्याओं की संरचना के रूप में प्राप्त किया जा सकता है और दो तत्वों के केवल एक सम संख्या के आदान-प्रदान (जिन्हें ट्रांसपोज़िशन (गणित) कहा जाता है) के रूप में प्राप्त किया जा सकता है, जबकि एक विषम क्रमपरिवर्तन (केवल) एक विषम संख्या के ट्रांसपोज़िशन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है।.

निम्नलिखित नियम सीधे पूर्णांकों के योग के संबंधित नियमों का अनुसरण करते हैं: *दो सम क्रमपरिवर्तनों का संघटन सम होता है इनसे यह निष्कर्ष निकलता है
 * दो विषम क्रमपरिवर्तनों का संघटन सम है
 * विषम और सम क्रमपरिवर्तन की संरचना विषम होती है
 * प्रत्येक सम क्रमपरिवर्तन का व्युत्क्रम भी सम होता है
 * प्रत्येक विषम क्रमपरिवर्तन का व्युत्क्रम विषम होता है

सममित समूह S को ध्यान में रखते हुएn सेट {1, ..., n} के सभी क्रमपरिवर्तनों से, हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि मानचित्र

जो प्रत्येक क्रमपरिवर्तन को अपना हस्ताक्षर निर्दिष्ट करता है वह एक समूह समरूपता है। इसके अलावा, हम देखते हैं कि सम क्रमपरिवर्तन एस का एक उपसमूह बनाते हैंn. यह n अक्षरों पर एक प्रत्यावर्ती समूह है, जिसे A द्वारा दर्शाया जाता हैn. यह समरूपता sgn का कर्नेल (बीजगणित) है। रेफरी>गुडमैन, [ पी। 116, परिभाषा 2.4.21] विषम क्रमपरिवर्तन एक उपसमूह नहीं बना सकते, क्योंकि दो विषम क्रमपरिवर्तनों का संयोजन सम है, लेकिन वे A का एक सहसमुच्चय बनाते हैंn (एस मेंn). अगर n > 1, तो S में उतने ही सम क्रमपरिवर्तन हैंn जैसे कि विषम हैं; फलस्वरूप, एn फैक्टोरियल|एन!/2 क्रमपरिवर्तन शामिल हैं। (कारण यह है कि यदि σ तब भी है (1  2)σ विषम है, और यदि σ विषम है तो (1  2)σ सम है, और ये दोनों मानचित्र एक दूसरे के व्युत्क्रम हैं।)

एक चक्रीय क्रमपरिवर्तन सम होता है और केवल तभी जब इसकी लंबाई विषम हो। यह जैसे सूत्रों से अनुसरण करता है
 * $$(a\ b\ c\ d\ e)=(d\ e)(c\ e)(b\ e)(a\ e)\text{ or }(a\ b)(b\ c)(c\ d)(d\ e).$$

व्यवहार में, यह निर्धारित करने के लिए कि दिया गया क्रमपरिवर्तन सम है या विषम, कोई क्रमपरिवर्तन को असंयुक्त चक्रों के उत्पाद के रूप में लिखता है। क्रमपरिवर्तन विषम है यदि और केवल यदि इस गुणनखंड में विषम संख्या में सम-लंबाई चक्र शामिल हों।

यह निर्धारित करने के लिए एक और तरीका है कि कोई दिया गया क्रमपरिवर्तन सम है या विषम, संबंधित क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स का निर्माण करना और उसके निर्धारक की गणना करना है। निर्धारक का मान क्रमपरिवर्तन की समता के समान है।

विषम क्रम (समूह सिद्धांत) का प्रत्येक क्रमपरिवर्तन सम होना चाहिए। क्रमपरिवर्तन (1 2)(3 4) में एक4 दर्शाता है कि इसका विपरीत सामान्यतः सत्य नहीं है।

दो परिभाषाओं की समानता
यह खंड प्रमाण प्रस्तुत करता है कि क्रमपरिवर्तन σ की समता को दो समकक्ष तरीकों से परिभाषित किया जा सकता है:


 * σ में व्युत्क्रमों की संख्या की समता के रूप में (किसी भी क्रम के तहत); या
 * ट्रांसपोज़िशन की संख्या की समता के रूप में σ को विघटित किया जा सकता है (हालाँकि हम इसे विघटित करना चुनते हैं)।

अन्य परिभाषाएँ एवं प्रमाण
के क्रमपरिवर्तन की समता $$n$$ इसके चक्रीय क्रमपरिवर्तन में अंक भी एन्कोड किए गए हैं।

मान लीजिए σ = (i1 i2 ... मैंr+1)(जे1 j2 ... जेs+1)...(ℓ1 ℓ2 ... ℓu+1) असंयुक्त चक्रों में σ का अद्वितीय चक्र संकेतन | अपघटन हो, जिसे किसी भी क्रम में बनाया जा सकता है क्योंकि वे आवागमन करते हैं। एक चक्र (a b c ... x y z) शामिल है k + 1 अंक हमेशा k ट्रांसपोज़िशन (2-चक्र) बनाकर प्राप्त किए जा सकते हैं:


 * $$(a\ b\ c \dots x\ y\ z)=(a\ b)(b\ c) \dots (x\ y)(y\ z),$$

इसलिए k को चक्र का आकार कहें, और देखें कि, इस परिभाषा के तहत, स्थानान्तरण आकार 1 के चक्र हैं। m विसंयुक्त चक्रों में एक अपघटन से हम σ का एक अपघटन प्राप्त कर सकते हैं k1 + k2 + ... + km ट्रांसपोज़िशन, जहां ki ith चक्र का आकार है. जो नंबर N(σ) = k1 + k2 + ... + km को σ का विभेदक कहा जाता है, और इसकी गणना इस प्रकार भी की जा सकती है


 * $$n \text{ minus the number of disjoint cycles in the decomposition of } \sigma$$

यदि हम σ के निश्चित बिंदुओं को 1-चक्र के रूप में शामिल करने का ध्यान रखते हैं।

मान लीजिए कि क्रमपरिवर्तन σ के बाद एक ट्रांसपोज़िशन (एबी) लागू किया जाता है। जब a और b σ के विभिन्न चक्रों में होते हैं
 * $$(a\ b)(a\ c_1\ c_2 \dots c_r)(b\ d_1\ d_2 \dots d_s) = (a\ c_1\ c_2 \dots c_r\ b\ d_1\ d_2 \dots d_s)$$,

और यदि a और b σ के एक ही चक्र में हैं


 * $$(a\ b)(a c_1 c_2 \dots c_r\ b\ d_1\ d_2 \dots d_s) = (a\ c_1\ c_2 \dots c_r)(b\ d_1\ d_2 \dots d_s)$$.

किसी भी स्थिति में, यह देखा जा सकता है N((a b)σ) = N(σ) ± 1, इसलिए N((a b)σ) की समता N(σ) की समता से भिन्न होगी।

अगर σ = t1t2 ... tr आर ट्रांसपोज़िशन को लागू करके, ट्रांसपोज़िशन में क्रमपरिवर्तन σ का एक मनमाना अपघटन है $$t_1$$ टी के बाद2 के बाद ... टी के बादr पहचान के बाद (जिसका N शून्य है) देखें कि N(σ) और r में समान समानता है। σ की समता को N(σ) की समता के रूप में परिभाषित करके, एक क्रमपरिवर्तन जिसमें एक समान लंबाई का अपघटन होता है वह एक सम क्रमपरिवर्तन होता है और एक क्रमपरिवर्तन जिसमें एक विषम लंबाई का अपघटन होता है वह एक विषम क्रमपरिवर्तन होता है।


 * टिप्पणियां:
 * उपरोक्त तर्क की सावधानीपूर्वक जांच से पता चलता है r ≥ N(σ), और चूंकि चक्रों में σ का कोई भी अपघटन, जिसका आकार r के बराबर है, को r स्थानान्तरण की संरचना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, संख्या N(σ) σ के अपघटन में चक्रों के आकार का न्यूनतम संभव योग है, जिसमें शामिल है ऐसे मामले जिनमें सभी चक्र स्थानान्तरण हैं।
 * यह प्रमाण उन बिंदुओं के समूह में (संभवतः मनमाना) क्रम प्रस्तुत नहीं करता है जिन पर σ कार्य करता है।

सामान्यीकरण
समता को कॉक्सेटर समूहों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है: एक लंबाई फ़ंक्शन ℓ(v) को परिभाषित करता है, जो जेनरेटर की पसंद पर निर्भर करता है (सममित समूह, आसन्न ट्रांसपोज़िशन के लिए), और फिर फ़ंक्शन v ↦ (&minus;1)ℓ(v) एक सामान्यीकृत संकेत मानचित्र देता है।

यह भी देखें

 * पन्द्रह पहेली एक क्लासिक एप्लीकेशन है
 * ज़ोलोटारेव की लेम्मा

संदर्भ


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