स्यूडोग्रुप

गणित में, स्यूडोग्रुप समष्टि के विवृत समूहों के बीच भिन्नता का एक समूह है, जो समूह-समान और शीफ-समान गुणों को संतुष्ट करता है। यह समूह की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है, जो अमूर्त  के ज्यामितीय दृष्टिकोण से उत्पन्न हुआ है।

सार बीजगणित (जैसे अर्धसमूह, उदाहरण के लिए) के अतिरिक्त अंतर समीकरणों की समरूपता की जांच करने के लिए। स्यूडोग्रुपका आधुनिक सिद्धांत 1900 की शुरुआत में एली कार्टन द्वारा विकसित किया गया था।

परिभाषा
एक स्यूडोग्रुप किसी दिए गए यूक्लिडियन समष्टि के विवृत समूह U पर परिभाषित होमोमोर्फिज्म (क्रमशः, डिफियोमोर्फिज्म) के एक समूह पर कई प्रतिबंध लगाता है या सामान्यतः एक निश्चित स्थलीय समष्टि (क्रमशः, अलग करने योग्य कई गुना) का होता है। चूँकि दो होमियोमोर्फिज्म, h : U → V तथा g : V → W U से W तक होमोमोर्फिज्म की रचना करते हैं,कोई पूछता है कि रचना और व्युत्क्रम के अनुसार छद्मसमूह बंद है।चूंकि, एक समूह के सिद्धांतों के विपरीत, स्यूडोग्रुप को परिभाषित करने वाले सिद्धांत विशुद्ध रूप से बीजगणितीय नहीं होते हैं; आगे की आवश्यकताएं होमोमोर्फिज्म को प्रतिबंधित करने और पैच करने की संभावना से संबंधित हैं (शेफ के वर्गों के लिए ग्लूइंग स्वयंसिद्ध के समान)।

अधिक त्रुटिहीन रूप से, एक स्थलीय समष्टि '$S$ पर एक 'स्यूडोग्रुप' निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करने वाले '$S$ के विवृत उपसमुच्चय के बीच होमोमोर्फिज्म का एक संग्रह है:
 * 1) $Γ$ ढकना $S$ में तत्वों  $g$ के डोमेन।
 * 2) इसके डोमेन में निहित किसी भी विवृत समुच्चय  में $Γ$ एक तत्व $g$ का प्रतिबंध भी में $Γ$  में (प्रतिबंध) में है।।
 * 3) $Γ$  के दो तत्वों का संयोजन रचना $g$ ○ $h$,परिभाषित होने पर,  $Γ$  ("संरचना") में होता है।
 * 4) $g$ के एक तत्व का व्युत्क्रम $Γ$ में है।
 * 5) $Γ$ में ली बोलने की संपत्ति समष्टिय है, अर्थात यदि  $g $: $U$ → $V$   $S$ तथा $U$  के विवृत समुच्चय के बीच एक होमोमोर्फिज्म है जो विवृत समुच्चय $U_{i}$ द्वारा कवर किया गया है, जिसमें प्रत्येक $i$ के लिए $Γ$ में स्थित $U_{i}$ तक सीमित है, तो $g$ भी $Γ$  में निहित है ("समष्टिय")।

परिणामस्वरूप $S$ के किसी भी विवृत उपसमुच्चय की पहचान होमोमोर्फिज्म $Γ$ में निहित है।

इसी तरह, एक स्मूथ मैनिफोल्ड $X$ पर एक छद्मसमूह  संग्रह के रूप में परिभाषित किया गया है '$Γ$ के विवृत उपसमुच्चय के बीच भिन्नता का $X$ अनुरूप गुणों को संतुष्ट करना (जहां हम होमोमोर्फिज्म को डिफियोमोर्फिज्म से बदल देते हैं)।

$X$ में दो बिंदुओं को एक ही कक्षा में कहा जाता है यदि Γ का तत्व एक दूसरे को भेजता है। छद्मसमूह की कक्षाएँ स्पष्ट रूप से $X$ का विभाजन बनाती हैं; एक छद्मसमूह को सकर्मक कहा जाता है यदि इसकी केवल एक कक्षा हो।

उदाहरण
किसी दिए गए ज्यामितीय संरचना को संरक्षित करने वाले छद्मसमूह द्वारा उदाहरणों का एक व्यापक वर्ग दिया गया है। उदाहरण के लिए, यदि (X, g)  एक रीमैनियन कई गुना है, तो इसके समष्टिय आइसोमेट्री का छद्मसमूह है; यदि (X, ω) एक सहानुभूतिपूर्ण मैनिफोल्ड है, तो किसी के पास समष्टिय सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म का छद्मसमूह है। इन स्यूडोग्रुपों को इन संरचनाओं की समष्टिय समरूपता के समुच्चय के रूप में माना जाना चाहिए।

समरूपता और ज्यामितीय संरचनाओं के स्यूडोग्रुप
अतिरिक्त संरचनाओं के साथ मैनिफोल्ड्स को प्रायः एक निश्चित समष्टिय मॉडल के समरूपता के स्यूडोग्रुप का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है। अधिक त्रुटिहीन रूप से, एक स्यूडोग्रुप $Γ$ दिया गया, एक स्थलीय समष्टि $S$ पर एक $Γ$-एटलस में $S$ पर एक मानक एटलस होता है जैसे कि निर्देशांक के परिवर्तन (अर्थात संक्रमण मानचित्र) Γ  से संबंधित हैंI  Γ  के समतुल्य वर्ग को Γ- भी कहा जाता हैI $S$ पर संरचनाI

विशेष रूप से,जब $Γ$ Rn के सभी समष्टिय रूप से परिभाषित भिन्नताओं का स्यूडोग्रुप है, तो स्मूथ एटलस और एक स्मूथ संरचना की मानक धारणा को पुनः प्राप्त करता है। अधिक सामान्यतः, निम्नलिखित वस्तुओं को एक स्थलीय समष्टि $S$ पर $Γ$ संरचनाओं के रूप में परिभाषित किया जा सकता है:


 * विहित यूक्लिडियन मीट्रिक के साथ Rn के आइसोमेट्री के $Γ$ छद्मसमूह के लिए फ्लैट कई गुना, रीमैनियन संरचनाएं;
 * सहानुभूतिपूर्ण संरचना, $Γ$ के लिए कैनोनिकल सिम्प्लेक्टिक फॉर्म के साथ R2n के सिम्प्लेक्टोमोर्फिज्म के छद्मसमूह;
 * विश्लेषणात्मक कई गुना, $Γ$ Rn के (वास्तविक-) लिए  विश्लेषणात्मक भिन्नता के छद्मसमूह के लिए;
 * एक सम्मिश्र चर के उलटे होलोमॉर्फिक फलन फलनों के $Γ$ स्यूडोग्रुप  के लिए रीमैन सतह।

अधिक सामान्यतः पर, किसी भी पूर्णांक $G$ संरचना और किसी भी ($G$, $X$) कई गुना उपयुक्त छद्मसमूह के लिए $Γ$ संरचनाओं की विशेष स्थितियाँ हैं I

स्यूडोग्रुप और लाई सिद्धांत
n सामान्य, छद्मसमूह का अध्ययन अनंत-आयामी लाई समूहों के संभावित सिद्धांत के रूप में किया गया था। एक समष्टिय ली समूह की अवधारणा, अर्थात् यूक्लिडियन अंतरिक्ष $E$ की उत्पत्ति के निकट में परिभाषित फलनों का एक स्यूडोग्रुप, वास्तव में लाइ समूह की मूल अवधारणा के निकट है, ऐसी स्थिति में जहां परिवर्तन सम्मिलित हैं, मापदंडों की एक सीमित संख्या पर निर्भर करते हैं। कई गुना के माध्यम से समकालीन परिभाषा की तुलना में। कार्टन की उपलब्धियों में सम्मिलित बिंदुओं को स्पष्ट करना था, जिसमें यह बिंदु भी सम्मिलित है कि एक समष्टिय लाई समूह हमेशा एक वैश्विक समूह को जन्म देता है, वर्तमान अर्थों में (ली के तीसरे प्रमेय के अनुरूप, एक समूह का निर्धारण करने वाले लाई बीजगणित पर)। औपचारिक समूह अभी तक ली समूहों के विनिर्देशन के लिए एक और दृष्टिकोण है। चूंकि, यह ज्ञात है कि समष्टिय स्थलीय समूहों के पास वैश्विक समकक्ष नहीं हैं।

अनंत-आयामी छद्मसमूह के उदाहरण प्रचुर मात्रा में हैं, जो $E$ कोलाई के सभी भिन्नताओं के स्यूडोग्रुप से प्रारम्भ होते हैंI रुचि मुख्य रूप से डिफियोमोर्फिज्म के उप-छद्मसमूहों में है, और इसलिए उन वस्तुओं के साथ जिनके पास सदिश क्षेत्रों का लीा बीजगणित अनुरूप है। कंप्यूटर बीजगणित की प्रगति को देखते हुए इन वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए लाई और कार्टन द्वारा प्रस्तावित उपाय अधिक व्यावहारिक हो गए हैं।

1950 के दशक में, कार्टन के सिद्धांत को शिंग-शेन चेर्न द्वारा सुधारा गया था, और छद्मसमूह के लिए एक सामान्य विरूपण सिद्धांत कुनिहिको कोडैरा और डी.सी. स्पेंसर द्वारा विकसित किया गया था।। 1960 के दशक में समरूप बीजगणित को सम्मलित मूल आंशिक अंतर समीकरण प्रश्नों पर लागू किया गया था, जिसमें अति-निर्धारण;चूंकि इससे पता चला कि सिद्धांत का बीजगणित संभावित रूप से बहुत भारी है। उसी दशक में अनंत-आयामी ली सिद्धांत के सैद्धांतिक भौतिकी के रुचि पहली बार  वर्तमान बीजगणित के आकार में दिखाई दी।

सरल रूप से,स्यूडोग्रुप एक स्यूडोग्रुप होना चाहिए जो पीडीई की प्रणाली से उत्पन्न होता है। साहित्य में कई समान और असमान धारणाएँ हैंI सही इस बात पर निर्भर करता है कि किसके मन में कौन सा अनुप्रयोग है।चूंकि, इन सभी विभिन्न दृष्टिकोणों में $Γ$ जेट बंडल सम्मिलित है ,जिन्हें एक लाइ ग्रुपॉइड कहा जाता है। विशेष रूप से, एक लाइ ली स्यूडोग्रुप को परिमित क्रम $k$ कहा जाता है यदि इसे इसके $k$- जेट समष्टि से पुनर्निर्मित किया जा सकता है।;