आंशिक अनुरेखण

रैखिक बीजगणित और कार्यात्मक विश्लेषण में, आंशिक निशान (रैखिक बीजगणित) का एक सामान्यीकरण है। जबकि निशान संक्रियकों पर अदिश (गणित) मानित फलन है, आंशिक निशान संक्रियक (गणित) -मानित फलन है। आंशिक निशान में क्वांटम सूचना और असम्बद्धता में अनुप्रयोग हैं जो क्वांटम माप के लिए प्रासंगिक हैं और इस प्रकार क्वांटम यांत्रिकी की व्याख्याओं के लिए निरंतर इतिहास और सापेक्ष अवस्था व्याख्या सहित निर्णायक दृष्टिकोण हैं।

विवरण
मान लीजिए कि $$V$$, $$W$$ क्रमश विमाओं $$m$$ और $$n$$ के साथ क्षेत्र (गणित) पर परिमित-विमीय सदिश समष्टि हैं। किसी भी समष्टि $$A$$ के लिए, $$L(A)$$ को $$A$$ पर रैखिक संक्रियकों की समष्टि को इंगित करें। $$W$$पर आंशिक निशान तब $$\operatorname{Tr}_W: \operatorname{L}(V \otimes W) \to \operatorname{L}(V)$$ के रूप में लिखा जाता है।

इसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: $$ T\in \operatorname{L}(V \otimes W)$$ के लिए, मान लीजिए $$e_1, \ldots, e_m $$, और $$f_1, \ldots, f_n $$, क्रमशः V और W के आधार हैं; तो T में $$ V \otimes W$$ के आधार $$ e_k \otimes f_\ell $$ के सापेक्ष आव्यूह प्रतिनिधित्व


 * $$ \{a_{k \ell, i j}\} \quad 1 \leq k, i \leq m, \quad 1 \leq \ell,j \leq n $$

है।

अब सूचकांक k, i के लिए श्रेणी 1, ..., m में, योग
 * $$ b_{k, i} = \sum_{j=1}^n a_{k j, i j} $$ पर विचार करें।

यह आव्यूह Bk, i देता है। V पर संबंधित रैखिक संक्रियक आधारों के चुनाव से स्वतंत्र है और परिभाषा के अनुसार 'आंशिक निशान' है।

भौतिकविदों के बीच, इसे प्रायः W पर मात्र एक संक्रियक छोड़ने के संदर्भ में W पर अनुरेखण बाह्य या अनुरेखण कहा जाता है जहां W और V क्वांटम संक्रियक से जुड़े हिल्बर्ट रिक्त समष्टि हैं (नीचे देखें)।

अपरिवर्तनीय परिभाषा
आंशिक निशान संक्रियक को अपरिवर्तनीय रूप से परिभाषित किया जा सकता है (अर्थात, आधार के संदर्भ के बिना) इस प्रकार है: यह अद्वितीय रैखिक प्रतिचित्र
 * $$ \operatorname{Tr}_W: \operatorname{L}(V \otimes W) \rightarrow \operatorname{L}(V) $$ है जैसे कि
 * $$ \operatorname{Tr}_W(R \otimes S) = \operatorname{Tr}(S) \, R \quad \forall R \in \operatorname{L}(V) \quad \forall S \in \operatorname{L}(W). $$

यह देखने के लिए कि उपरोक्त स्थितियाँ आंशिक निशान को अद्वितीय रूप से निर्धारित करती है, माना $$v_1, \ldots, v_m$$ $$V$$ के लिए आधार बनाते हैं, $$w_1, \ldots, w_n$$ को $$W$$ के लिए एक आधार बनाते हैं, $$E_{ij} \colon V \to V$$ को प्रतिचित्र बनाते हैं जो $$v_i$$ को $$v_j$$ (और अन्य सभी आधार अवयवों को शून्य करने के लिए) भेजता है, और $$F_{kl} \colon W \to W$$ को वह प्रतिचित्र बनने दें जो $$w_k$$ को $$w_l$$ भेजता है। चूंकि सदिश $$v_i \otimes w_k$$ $$V \otimes W$$ के लिए एक आधार बनाते हैं, प्रतिचित्र $$E_{ij} \otimes F_{kl}$$ $$\operatorname{L}(V \otimes W)$$ के लिए आधार बनाते हैं।

इस अमूर्त परिभाषा से, निम्न गुण अनुसरण करते हैं:


 * $$ \operatorname{Tr}_W (I_{V \otimes W}) = \dim W \ I_{V} $$
 * $$ \operatorname{Tr}_W (T (I_V \otimes S)) = \operatorname{Tr}_W ((I_V \otimes S) T) \quad \forall S \in \operatorname{L}(W) \quad \forall T \in \operatorname{L}(V \otimes W).$$

श्रेणी सैद्धांतिक धारणा
यह रैखिक परिवर्तनों का आंशिक निशान है जो जॉयल, स्ट्रीट और निशान मोनोइडल श्रेणी की सत्यता की धारणा का विषय है। एक अनुरेखित मोनोइडल श्रेणी एक मोनोइडल श्रेणी $$(C,\otimes,I)$$ है, साथ में श्रेणी में X, Y, U के लिए, होम-समुच्चय का एक फलन,


 * $$\operatorname{Tr}^U_{X,Y}\colon \operatorname{Hom}_C(X\otimes U, Y\otimes U) \to \operatorname{Hom}_C(X,Y)$$

कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है।

आंशिक निशान की इस अमूर्त धारणा की अन्य स्थिति परिमित समुच्चयों और उनके बीच आपत्तियों की श्रेणी में होते है, जिसमें मोनोइडल उत्पाद असंयुक्त संघ है। कोई दिखा सकता है कि किसी भी परिमित समुच्चय के लिए, X, Y, U और द्विभाजन $$X+U\cong Y+U$$ में संबंधित "आंशिक रूप से पता लगाया गया" द्विभाजन $$X\cong Y$$ स्थित है।

हिल्बर्ट रिक्त समष्टि पर संक्रियकों के लिए आंशिक निशान
आंशिक निशान संक्रियकों को अनंत विमीय हिल्बर्ट रिक्त समष्टि पर सामान्यीकृत करता है। मान लीजिए V, W हिल्बर्ट रिक्त समष्टि हैं, और


 * $$ \{f_i\}_{i \in I} $$

को W के लिए असामान्य आधार होने दें। अब सममितीय समरूपता


 * $$ \bigoplus_{\ell \in I} (V \otimes \mathbb{C}   f_\ell) \rightarrow V \otimes W$$ है

इस अपघटन के अंतर्गत, किसी भी संक्रियक $$ T \in \operatorname{L}(V \otimes W)$$ को V


 * $$ \begin{bmatrix} T_{11} & T_{12} & \ldots & T_{1 j} & \ldots \\

T_{21} & T_{22} & \ldots & T_{2 j} & \ldots \\ \vdots & \vdots & & \vdots \\ T_{k1}& T_{k2} & \ldots & T_{k j} & \ldots \\ \vdots & \vdots & & \vdots \end{bmatrix}$$ पर संक्रियकों के अनंत आव्यूह के रूप में माना जा सकता है, जहां $$ T_{k \ell} \in \operatorname{L}(V) $$।

पहले मान लीजिए कि T एक गैर-ऋणात्मक संकारक है। इस स्थिति में, उपरोक्त आव्यूह की सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ V पर गैर-ऋणात्मक संकारक हैं। यदि योग


 * $$ \sum_{\ell} T_{\ell \ell} $$

के दृढ संक्रियक सांस्थिति में परिवर्तित हो जाते है, तो यह W के चुने हुए आधार से स्वतंत्र होते है। आंशिक निशान TrW (T) को इस संक्रियक के रूप में परिभाषित किया गया है। स्व-संलग्न संक्रियक का आंशिक निशान परिभाषित किया गया है यदि और मात्र यदि धनात्मक और ऋणात्मक भागों के आंशिक निशान परिभाषित किए गए हैं।

आंशिक निशान की गणना
मान लीजिए W का एक प्रसामान्य आधार है, जिसे हम केट सदिश संकेतन द्वारा $$ \{| \ell \rangle\}_\ell $$ के रूप में निरूपित करते हैं। तब


 * $$ \operatorname{Tr}_W\left(\sum_{k,\ell} T^{(k \ell)} \, \otimes \, | k \rangle \langle \ell |\right) = \sum_j T^{(j j)} .$$

कोष्ठक में अधिलेख आव्यूह घटकों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, बल्कि आव्यूह को ही लेबल करते हैं।

आंशिक निशान और अपरिवर्तनीय एकीकरण
परिमित विमीय हिल्बर्ट रिक्त समष्टि की स्थिति में, आंशिक निशान को देखने की एक उपयोगी विधि है जिसमें W के एकात्मक समूह U (W) पर उपयुक्त सामान्यीकृत हार माप μ के संबंध में एकीकरण सम्मिलित है। उपयुक्त रूप से सामान्यीकृत का अर्थ है कि μ को कुल द्रव्यमान dim (W) के साथ माप के रूप में लिया जाता है।

'प्रमेय'. मान लीजिए V, W सीमित विमीय हिल्बर्ट रिक्त समष्टि हैं। तब


 * $$ \int_{\operatorname{U}(W)} (I_V \otimes U^*) T (I_V \otimes U) \ d \mu(U) $$

रूप $$ I_V \otimes S $$ के सभी संक्रियकों के साथ काम करते है और इसलिए यह रूप $$ R \otimes I_W $$ का विशिष्ट है। संक्रियक R T का आंशिक निशान है।

क्वांटम संक्रियक के रूप में आंशिक निशान
आंशिक निशान को क्वांटम संक्रियक के रूप में देखा जा सकता है। क्वांटम यांत्रिक संक्रियक पर विचार करें जिसकी अवस्था समष्टि हिल्बर्ट रिक्त समष्टिका टेंसर उत्पाद $$H_A \otimes H_B$$ है। मिश्रित अवस्था का वर्णन घनत्व आव्यूह ρ द्वारा किया जाता है, जो टेन्सर उत्पाद $$ H_A \otimes H_B $$ पर निशान 1 का एक गैर-ऋणात्मक निशान-वर्ग है। संक्रियक B के संबंध में ρ का आंशिक निशान, जिसे $$\rho ^A$$ द्वारा दर्शाया गया है, संक्रियक A पर ρ की घटी हुई अवस्था कहा जाता है। प्रतीकों में,


 * $$\rho^A = \operatorname{Tr}_B \rho.$$

यह दिखाने के लिए कि यह वस्तुतः A उपसंक्रियक पर ρ को अवस्था आवंटित करने की समझदार विधि है, हम निम्नलिखित प्रामाणिकता प्रदान करते हैं। M को उपसंक्रियक A पर अवलोकन योग्य होने दें, फिर समग्र संक्रियक पर संबंधित अवलोकन योग्य $$M \otimes I$$ है। यद्यपि घटी हुई अवस्था $$\rho^A$$को परिभाषित करने का विकल्प चुनता है, मापन आँकड़ों की निरंतरता होनी चाहिए। उपसंक्रियक A के $$\rho ^A$$ में तैयार होने के बाद M का अपेक्षित मान ρ में संयोजन संक्रियक तैयार होने पर $$M \otimes I$$ के समान होना चाहिए, अर्थात निम्नलिखित समानता होनी चाहिए:


 * $$\operatorname{Tr} ( M \cdot \rho^A) = \operatorname{Tr} ( M \otimes I \cdot \rho).$$

हम देखते हैं कि यह संतुष्ट है यदि $$\rho ^A$$ आंशिक निशान के माध्यम से ऊपर परिभाषित किया गया है। इसके अतिरिक्त, ऐसा संक्रियक अद्वितीय है।

बता दें कि T (H) हिल्बर्ट समष्टि H पर निशान-वर्ग संक्रियकों का बनच समष्टि है। यह सरलता से जांचा जा सकता है कि प्रतिचित्र
 * $$\operatorname{Tr}_B : T(H_A \otimes H_B) \rightarrow T(H_A)$$

के रूप में देखा जाने वाला आंशिक निशान पूर्ण रूप से धनात्मक और निशान-संरक्षित है।

घनत्व आव्यूह ρ हर्मिटियन आव्यूह है, धनात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह है, और इसमें 1 का निशान है। इसमें एक वर्णक्रमीय अपघटन (आव्यूह) है:


 * $$\rho=\sum_{m}p_m|\Psi_m\rangle\langle \Psi_m|;\ 0\leq p_m\leq 1,\ \sum_{m}p_m=1$$

यह देखना सरल है कि आंशिक निशान $$\rho ^A$$ भी इन प्रतिबंधों को पूरा करता है। उदाहरण के लिए, $$H_A$$ में किसी शुद्ध अवस्था $$|\psi_A\rangle$$ के लिए, हमारे निकट
 * $$\langle\psi_A|\rho^A|\psi_A\rangle=\sum_{m}p_m\operatorname{Tr}_B[\langle\psi_A|\Psi_m\rangle\langle \Psi_m|\psi_A\rangle]\geq 0$$ है

ध्यान दें कि शब्द $$\operatorname{Tr}_B[\langle\psi_A|\Psi_m\rangle\langle \Psi_m|\psi_A\rangle]$$ अवस्था $$|\psi_A\rangle$$ को खोजने की संभावना का प्रतिनिधित्व करते है जब समग्र प्रणाली अवस्था $$|\Psi_m\rangle$$ में होती है। यह $$\rho ^A$$ की धनात्मक अर्ध-निश्चितता सिद्ध करते है।

जैसा कि ऊपर दिया गया है, आंशिक निशान प्रतिचित्र


 * $$\operatorname{Tr}_B ^* (A) = A \otimes I$$
 * द्वारा दिए गए $$\; H_A$$ और $$H_A \otimes H_B$$ पर परिबद्ध संक्रियक के सी * - बीजगणित के बीच एक दोहरे प्रतिचित्र $$\operatorname{Tr}_B ^*$$ को प्रेरित करते है।

$$\operatorname{Tr}_B ^*$$ प्रेक्षणीय को प्रेक्षणीय में प्रतिचित्रित करता है और $$\operatorname{Tr}_B$$ का हाइजेनबर्ग चित्र प्रतिनिधित्व है।

शास्त्रीय स्थिति के साथ तुलना
मान लीजिए क्वांटम यांत्रिक संक्रियक के अतिरिक्त, दो संक्रियक A और B शास्त्रीय हैं। प्रत्येक प्रणाली के लिए प्रेक्षणीय का समष्टि तब एबेलियन सी * - बीजगणित है। ये सघन समष्टि X, Y के लिए क्रमशः C (X) और C (Y) के रूप में हैं। संयुक्त संक्रियक की अवस्था समष्टि मात्र


 * $$C(X) \otimes C(Y) = C(X \times Y)$$ है।

समग्र प्रणाली पर अवस्था C (X× Y) के दोहरे का एक धनात्मक अवयव ρ है, जो कि रिज़-मार्कोव प्रमेय द्वारा X× Y पर नियमित बोरेल माप से मेल खाता है। इसी घटी हुई अवस्था को माप ρ से X तक प्रक्षेपित करके प्राप्त किया जाता है। इस प्रकार आंशिक निशान इस संक्रियक के क्वांटम यांत्रिक समतुल्य है।

श्रेणी:रैखिक बीजगणित

श्रेणी:कार्यात्मक विश्लेषण