एकात्मक परिवर्तन (क्वांटम यांत्रिकी)

क्वांटम यांत्रिकी में, श्रोडिंगर समीकरण समय के साथ एक निकाय के परिवर्तन का वर्णन करता है। यह निकाय की स्थिति में होने वाले परिवर्तनों को निकाय में ऊर्जा के साथ संबंधित करके करता है (हैमिल्टोनियन नामक एक प्रचालक द्वारा दिया गया)। इसलिए, एक बार हैमिल्टोनियन ज्ञात हो जाने पर, समय गतिकी सैद्धांतिक रूप से ज्ञात है। जो कुछ बचा है वह हैमिल्टोनियन को श्रोडिंगर समीकरण में स्थान देना और समय के एक प्रकार्य के रूप में निकाय की स्थिति को हल करना है।

हालाँकि,अक्सर श्रोडिंगर समीकरण को हल करना मुश्किल होता है (यहां तक ​​कि एक कंप्यूटर के साथ भी)। इसलिए, भौतिकविदों ने इन समस्याओं को सरल बनाने और भौतिक रूप से क्या हो रहा है यह स्पष्ट करने के लिए गणितीय तकनीकों को विकसित किया है। ऐसी एक तकनीक है कि हैमिल्टोनियन पर एक ऐकिक रूपांतरण लागू किया जाता है। ऐसा करने से श्रोडिंगर समीकरण का एक सरलीकृत संस्करण प्राप्त हो सकता है फिर भी यह मूल हल के समान ही है।

परिवर्तन
एक एकात्मक परिवर्तन (या परिवर्तन तंत्र) को समय-निरपेक्ष हैमिल्टोनियन $$H(t)$$ और एकात्मक प्रचालक $$U(t)$$ के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है। इस परिवर्तन के तहत, हैमिल्टोनियन इस प्रकार परिवर्तित होता है:


 * $$H \to UH{U^\dagger} + i\hbar\,{\dot{U}U^\dagger}

=: \breve{H} \quad \quad (0)$$.

श्रोडिंगर समीकरण नए हैमिल्टोनियन पर लागू किया जाता है। अपरिवर्तित और परिवर्तित समीकरणों के हल भी $$U$$ से संबंधित है। विशेष रूप से, यदि तरंग फलन $$\psi(t)$$ मूल समीकरण को संतुष्ट करता है,

तो $$U\psi(t)$$ नये समीकरण को संतुष्ट करेगा.

व्युत्पत्ति
एकात्मक आव्यूह की परिभाषा के अनुसार याद रखें कि, $$U^\dagger U = 1$$ होता है। श्रोडिंगर समीकरण के साथ शुरू करें,


 * $$\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$$,

इसलिए हम इच्छानुसार $$U^\dagger U$$ को सम्मिलित कर सकते हैं। विशेष रूप से, इसे $$H/\hbar$$ के बाद में सम्मिलित करते हैं और दोनों पक्षों को $$U$$ से पूर्वगुणन करते हैं, हम पाते हैं


 * $$U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi\quad\quad (1)$$.

इसके बाद, ध्यान दें कि गुणनफल नियम द्वारा,


 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(U\psi\right)=\dot{U}\psi+U\dot{\psi}$$.

एक और $$U^\dagger U$$ सम्मिलित और पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है


 * $$U\dot{\psi} =

\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\Big(U\psi\Big) - \dot{U}U^\dagger U\psi \quad\quad(2)$$.

अंत में, उपरोक्त परिणामों (1) और (2) के संयोजन से वांछित परिवर्तन होता है:


 * $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\Big(U \psi\Big) =

-\frac{i}{\hbar}\Big(UH{U^\dagger} + i\hbar\, \dot{U}{U^\dagger}\Big) \Big(U\psi\Big) \quad\quad \left(3\right)$$.

यदि हम संकेतन $$\breve{\psi} := U\psi$$ को परिवर्तित तरंग फलन के वर्णन करने के लिए अपनाते हैं, समीकरणों को एक स्पष्ट रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, $$(3)$$ के रूप में पुनर्लेखित किया जा सकता है


 * $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\breve{\psi} =

-\frac{i}{\hbar} \breve{H}\breve{\psi} \quad\quad \left(4\right)$$,

जिसे मूल श्रोडिंगर समीकरण के रूप में पुनर्लेखित किया जा सकता है,


 * $$\breve{H}\breve{\psi} =

i\hbar{\operatorname{d}\!\breve{\psi}\over\operatorname{d}\!t}.$$ मूल तरंग फलन को $$\psi = U^{\dagger} \breve{\psi}$$ के रूप में पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

अंतःक्रिया चित्र से संबंध
एकात्मक परिवर्तनों को अंतःक्रिया (डिराक) चित्र के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। बाद के दृष्टिकोण में, हैमिल्टोनियन को समय-निरपेक्ष भाग और समय-आवधिक भाग में विभाजित किया जाता है,


 * $$H(t)=H_0 + V(t) \quad \quad (a)$$.

इस मामले में, श्रोडिंगर का समीकरण निम्नलिखित होता है:


 * $$\dot{\psi_I} =

-\frac{i}{\hbar} \left(e^{iH_0 t/\hbar} V e^{-iH_0 t/\hbar}\right) \psi_I$$, साथ $$\psi_I = e^{i H_0 t/\hbar} \psi$$. एक एकात्मक परिवर्तन के साथ संबंध स्थापित करने के लिए,एक चयन करके दिखाया जा सकता है $U(t)=\exp\left[{+i H_0 t / \hbar}\right]$. फलस्वरूप, $${U^\dagger}(t) = \exp \left[{-i H_{0} t}/\hbar\right].$$

ऊपर दिए गए संकेतन $$(0)$$ का उपयोग करते हुए,हमारा परिवर्तित हैमिल्टोनियन बन जाता है:


 * $$\breve{H} = U\left[H_0 + V(t)\right]U^{\dagger} + i\hbar \dot{U}U^{\dagger}

\quad \quad (b)$$ पहले ध्यान दें कि चूँकि $$U$$, $$H_0$$ का एक फलन है, इसलिए दोनों को आपस में क्रमविनिमेय करना होगा। तब


 * $$UH_0U^\dagger=H_0$$,

जो $$(b)$$में परिवर्तन में प्रथम पद का ध्यान रखता है, अर्थात $$\breve{H} = H_0 + UV(t)U^{\dagger} + i \hbar \dot{U}U^{\dagger}$$। इसके बाद गणना करने के लिए श्रृंखला नियम का उपयोग करें


 * $$\begin{align} i\hbar \dot{U}U^\dagger & =

i\hbar \left({\operatorname{d}\!U\over\operatorname{d}\!t}\right) e^{-iH_{0} t/\hbar} \\ & = i\hbar \Big(iH_{0}/\hbar\Big) e^{+iH_{0} t/\hbar} e^{-iH_{0} t/\hbar} \\ & = i \hbar \left({i H_0}/\hbar \right) \\ & = -H_{0}, \\ \end{align}$$ जो दूसरे $$H_0$$ के साथ रद्द हो जाता है। स्पष्ट रूप से हमारे पास $$\breve{H} = UVU^\dagger$$शेष रह जाता है,परिणामस्वरूप $$\dot{\psi_{I}} = -\frac{i}{\hbar} U V U^{\dagger} \psi_I $$ जैसा कि उपर दिखाया गया है।

हालाँकि, एक सामान्य एकात्मक परिवर्तन को लागू करते समय, यह आवश्यक नहीं है कि $$H(t)$$ को भागों में तोड़ दिया जाए,या फिर यह भी हो कि $$U(t)$$ हैमिल्टोनियन के किसी भी भाग का एक फलन हो।

घूर्णन तंत्र
दो-अवस्थाओं वाले एक परमाणु पर विचार करें, निम्नतम $$|g\rangle$$ और उत्साहित $$|e\rangle$$। परमाणु का एक हैमिल्टोनियन $$H = \hbar\omega {|{e}\rangle \langle {e}|}$$ है, जहाँ $$\omega$$, g-e संक्रमण के साथ जुड़े प्रकाश की आवृत्ति है।अब मान लीजिए हम $$\omega_d$$ आवृत्ति पर एक चालन के साथ परमाणु को प्रकाशित करते हैं जो दो स्थितियों को जोड़ती है, और कुछ समिश्र चालन शक्ति Ω के लिए समय-निरपेक्ष चालित हैमिल्टनियन
 * $$H/\hbar=\omega |e\rangle\langle e| + \Omega\ e^{i\omega_d t}|g\rangle\langle e| + \Omega^*\ e^{-i\omega_d t}|e\rangle\langle g|$$

है। प्रतिस्पर्धी आवृत्ति पैमानों ($$\omega$$, $$\omega_d$$, और $$\Omega$$) के कारण, चालन के प्रभाव का अनुमान लगाना मुश्किल है (चालित आवर्त गति देखें)।

बिना चालन के, $$|e\rangle$$ की अवस्था $$|g\rangle$$ के सापेक्ष दोलन करेगी। एक द्वि-अवस्था पद्धति के ब्लॉख क्षेत्र प्रतिनिधित्व में, यह z-अक्ष के चारों तरफ़ घूर्णन से मेल खाता है।  अवधारणात्मक रूप से, हम गतिकी के इस घटक को एकात्मक परिवर्तन $$U=e^{i\omega t|e\rangle\langle e|}$$ द्वारा परिभाषित संदर्भ के घूर्णन तंत्र में प्रवेश करके हटा सकते है। इस परिवर्तन के तहत, हैमिल्टनियन


 * $$H/\hbar\to \Omega\, e^{i(\omega_d-\omega)t} |g\rangle \langle e|

+ \Omega^*\, e^{i(\omega-\omega_d)t} |e\rangle \langle g|$$ बन जाता है।

यदि चालक आवृत्ति g-e संक्रमण की आवृत्ति के बराबर है, तो $$\omega_d=\omega$$ है, अनुनाद होगा और फिर उपरोक्त समीकरण


 * $$\breve{H} / \hbar =

\Omega\ |g\rangle\langle e| + \Omega^*\ |e\rangle\langle g|$$ कम हो जाता है।

इससे यह स्पष्ट है, यहां तक कि विवरण में जाए बिना भी, कि गतिकी में $$\Omega$$ आवृत्ति पर निम्नतम और उत्साहित अवस्थाओं के बीच एक दोलन सम्मिलित होगा।

एक अन्य सीमित मामले के रूप में, $$|\omega_d-\omega|\gg 0$$, मान लीजिए कि चालन बंद-अनुनादी से दूर है। हम श्रोडिंगर समीकरण को सीधे हल किए बिना उस मामले में गतिकी का पता लगा सकते हैं। मान लीजिए कि पद्धति निम्नतम अवस्था $$|g\rangle$$ में शुरू होती है। प्रारंभ में, हैमिल्टनियन $$|e\rangle$$ के कुछ घटक को आबाद करेगा। हालाँकि, थोड़े समय बाद, यह लगभग उतनी ही मात्रा में आबाद हो जाएगा $$|e\rangle$$ लेकिन पूरी तरह से अलग चरण के साथ. इस प्रकार एक ऑफ-रेजोनेंट ड्राइव का प्रभाव स्वयं को रद्द कर देगा। इसे यह कहकर भी व्यक्त किया जा सकता है कि एक ऑफ-रेजोनेंट ड्राइव घूर्णन तरंग सन्निकटन है।

इन अवधारणाओं को नीचे दी गई तालिका में दर्शाया गया है, जहां गोला बलोच क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, तीर परमाणु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है, और हाथ ड्राइव का प्रतिनिधित्व करता है।

विस्थापित तंत्र
उपरोक्त उदाहरण का विश्लेषण अंतःक्रिया चित्र में भी किया जा सकता था। हालाँकि, निम्नलिखित उदाहरण का एकात्मक परिवर्तनों के सामान्य सूत्रीकरण के बिना विश्लेषण करना अधिक कठिन है। दो क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर पर विचार करें, जिनके बीच हम एक बीम फाड़नेवाला  इंटरैक्शन को इंजीनियर करना चाहेंगे,


 * $$g\, ab^\dagger + g^*\, a^\dagger b$$.

इसे प्रयोगात्मक रूप से दो माइक्रोवेव कैविटी रेज़ोनेटर के साथ प्राप्त किया गया था $$a$$ और $$b$$. नीचे, हम इस प्रयोग के सरलीकृत संस्करण का विश्लेषण प्रस्तुत करते हैं।

माइक्रोवेव गुहाओं के अलावा, प्रयोग में एक ट्रांसमोन qubit भी शामिल था, $$c$$, दोनों मोड से जुड़ा हुआ। क्वबिट दो आवृत्तियों पर एक साथ संचालित होता है, $$\omega_1$$ और $$\omega_2$$, जिसके लिए $$\omega_1-\omega_2=\omega_a-\omega_b$$.


 * $$H_\mathrm{drive}/\hbar=\Re\left[\epsilon_1e^{i\omega_1 t}+\epsilon_2 e^{i\omega_2 t}\right](c+c^\dagger).$$

इसके अलावा, सन्निकटन#उच्च-क्रम|चतुर्थ-क्रम शर्तों मोड युग्मन के कई आदेश हैं, लेकिन उनमें से अधिकतर को उपेक्षित किया जा सकता है। इस प्रयोग में दो ऐसे शब्द हैं जो महत्वपूर्ण हो जायेंगे


 * $$H_4/\hbar=g_4\Big(e^{i(\omega_b-\omega_a)t}ab^\dagger + \text{h.c.}\Big)c^\dagger c$$.

(H.c. हर्मिटियन संयुग्म के लिए संकेतन का दुरुपयोग है।) हम एक विस्थापन ऑपरेटर परिवर्तन लागू कर सकते हैं, $$U=D(-\xi_1 e^{-i\omega_1 t}-\xi_2 e^{-i\omega_2 t})$$, मोड करने के लिए $$c$$. सावधानीपूर्वक चुने गए आयामों के लिए, यह परिवर्तन रद्द हो जाएगा $$H_\textrm{drive}$$ सीढ़ी ऑपरेटर को भी विस्थापित करते हुए, $$c\to c+\xi_1 e^{-i\omega_1 t}+\xi_2 e^{-i\omega_2 t}$$. यह हमारा साथ छोड़ देता है


 * $$H/\hbar = g_4\Big(e^{i(\omega_b-\omega_a)t}ab^\dagger + e^{i(\omega_a-\omega_b)t}a^\dagger b\big)(c^\dagger +\xi_1^* e^{i\omega_1t}+\xi_2^* e^{i\omega_2 t})(c +\xi_1 e^{-i\omega_1t}+\xi_2 e^{-i\omega_2 t})$$.

इस अभिव्यक्ति का विस्तार करने और तेजी से घूमने वाले शब्दों को छोड़ने पर, हमारे पास वांछित हैमिल्टनियन बचता है,


 * $$H/\hbar=g_4 \xi_1^*\xi_2 e^{i(\omega_b-\omega_a+\omega_1-\omega_2)t}\ ab^\dagger+\text{h.c.} = g\, ab^\dagger + g^*\, a^\dagger b$$.

बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र से संबंध
एकात्मक परिवर्तनों में शामिल ऑपरेटरों को ऑपरेटरों के घातांक के रूप में लिखा जाना आम बात है, $$U = e^X$$, जैसा कि ऊपर देखा गया है। इसके अलावा, घातांक में ऑपरेटर आमतौर पर संबंध का पालन करते हैं $$X^\dagger = -X$$, ताकि एक ऑपरेटर का परिवर्तन हो $$Y$$ है,$$UYU^\dagger = e^XYe^{-X}$$. अब इटरेटर कम्यूटेटर का परिचय देकर,


 * $$[(X)^n,Y] \equiv \underbrace{[X,\dotsb[X,[X}_{n \text { times }}, Y]] \dotsb],\quad [(X)^0,Y] \equiv Y,$$

हम इस परिवर्तन को संक्षिप्त रूप से लिखने के लिए बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र के एक विशेष परिणाम का उपयोग कर सकते हैं,


 * $$e^X Y e^{-X} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{[(X)^n,Y]}{n!},$$

या, पूर्णता के लिए लंबे रूप में,


 * $$e^{X}Y e^{-X} = Y+\left[X,Y\right]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots.$$