मिट्टाग-लेफ़लर फ़ंक्शन

गणित में, मिट्टाग-लेफ़लर फलन $$E_{\alpha,\beta}$$ विशेष फलन है, जटिल संख्या फलन (गणित) जो दो जटिल पैरामीटर पर निर्भर करता है $$\alpha$$ और $$\beta$$ भाग निम्नलिखित श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $$\alpha$$ पूर्णतः सकारात्मक है:
 * $$E_{\alpha, \beta} (z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{\Gamma(\alpha k + \beta)},$$

जहाँ $$\Gamma(x) $$ गामा फलन है, जब $$\beta=1$$, इसका संक्षिप्त रूप इस प्रकार है $$E_\alpha(z) = E_{\alpha,1}(z)$$ के लिए $$\alpha=0$$, उपरोक्त श्रृंखला ज्यामितीय श्रृंखला के टेलर विस्तार के समान है और परिणामस्वरूप है:

$$E_{0,\beta}(z)=\frac{1}{\Gamma(\beta)}\frac{1}{1-z}$$.

यदि $$\alpha$$ और $$\beta$$ वास्तविक और सकारात्मक हैं, श्रृंखला तर्क के सभी मानों के लिए अभिसरण करती है $$z$$, इसलिए मिट्टाग-लेफ़लर फलन संपूर्ण फलन है। इस फलन का नाम गोस्टा मिट्टाग-लेफ़लर के नाम पर रखा गया है। भिन्नात्मक कलन के सिद्धांत में कार्यों का यह वर्ग महत्वपूर्ण है।

$$\alpha >0 $$, के लिए मिट्टाग-लेफ़लर फलन $$E_{\alpha,1}(z)$$ व्यवस्था का संपूर्ण फलन है $$1/\alpha$$, और कुछ अर्थों में इसके क्रम का सबसे सरल संपूर्ण फलन है।

मिट्टाग-लेफ़लर फलन पुनरावृत्ति गुण को संतुष्ट करता है (प्रमेय 5.1)।
 * $$E_{\alpha,\beta}(z)=\frac{1}{z}E_{\alpha,\beta-\alpha}(z)-\frac{1}{z \Gamma(\beta-\alpha)},$$

जिससे पोंकारे स्पर्शोन्मुख विस्तार हुआ,
 * $$E_{\alpha,\beta}(z)\sim -\sum_{k=1}\frac{1}{z^k \Gamma(\beta-k\alpha)}$$

$$z\to-\infty$$ अनुसरण करता है, जो सत्य है।

विशेष अवस्था
$$\alpha=0,1/2,1,2$$ के द्वारा प्राप्त करते है: (धारा 2)

त्रुटि फलन:


 * $$E_{\frac{1}{2}}(z) = \exp(z^2)\operatorname{erfc}(-z).$$

ज्यामितीय प्रगति का योग:
 * $$E_{0}(z) = \sum_{k=0}^\infty z^k = \frac{1}{1-z},\, |z|<1.$$

घातांक फलन:
 * $$E_{1}(z) = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{\Gamma (k + 1)} = \sum_{k=0}^\infty \frac{z^k}{k!} = \exp(z).$$

अतिशयोक्तिपूर्ण कोसाइन:
 * $$E_{2}(z) = \cosh(\sqrt{z}), \text{ and } E_{2}(-z^2) = \cos(z).$$

$$\beta=2$$, अपने पास है:


 * $$E_{1,2}(z) = \frac{e^z-1}{z},$$
 * $$E_{2,2}(z) = \frac{\sinh(\sqrt{z})}{\sqrt{z}}.$$

$$\alpha=0,1,2$$, अभिन्न है:


 * $$\int_0^z E_{\alpha}(-s^2) \, {\mathrm d}s$$

$$\arctan(z)$$, $$\tfrac{\sqrt{\pi}}{2}\operatorname{erf}(z)$$, $$\sin(z)$$ क्रमशः देता है:

मिट्टाग-लेफ़लर का अभिन्न प्रतिनिधित्व
मिट्टाग-लेफ़लर फलन का अभिन्न प्रतिनिधित्व (धारा 6) है:
 * $$E_{\alpha,\beta}(z)=\frac{1}{2\pi i}\oint_C \frac{t^{\alpha-\beta}e^t}{t^\alpha-z} \, dt,

\Re(\alpha)>0, \Re(\beta)>0,$$ जहां रूपरेखा $$C$$ प्रारंभ और समाप्त होती है $$-\infty$$ और इंटीग्रैंड की विलक्षणताओं और शाखा बिंदुओं के चारों ओर वृत्त है।

लाप्लास परिवर्तन और मिट्टाग-लेफ़लर योग से संबंधित अभिव्यक्ति $$m=0$$ (Eq (7.5)) है।


 * $$\int_0^{\infty}e^{-t z} t^{\beta-1} E_{\alpha,\beta}(\pm r\, t^\alpha) \,dt

= \frac{z^{\alpha-\beta}}{z^{\alpha}\mp r}, \Re(z)>0, \Re(\alpha)>0, \Re(\beta)>0.$$

मिटाग-लेफ़लर फलन के अनुप्रयोग
मिट्टाग-लेफ़लर फलन के अनुप्रयोगों में से भिन्नात्मक क्रम विस्कोलेस्टिक सामग्रियों के मॉडलिंग में है। विस्कोइलास्टिक सामग्रियों के समय-निर्भर विश्राम व्यवहार की प्रायोगिक परीक्षण में विश्राम प्रक्रिया के प्रारंभ में तनाव में अधिक तीव्रता से कमी और बड़े समय के लिए अधिक धीमी गति से अल्पता की विशेषता है। स्थिर स्पर्शोन्मुख मान तक पहुंचने में अधिक समय भी लग सकता है। इसलिए, पर्याप्त त्रुटिहीनता के साथ विश्राम व्यवहार का वर्णन करने के लिए अधिक मैक्सवेल एलिमेंट्स की आवश्यकता होती है। यह बड़ी संख्या में सामग्री पैरामीटर की पहचान करने के लिए कठिन अनुकूलन समस्या में समाप्त होता है। दूसरी ओर, पिछले कुछ वर्षों में, भिन्नात्मक व्युत्पन्न की अवधारणा को विस्कोइलास्टिकिटी के सिद्धांत से परिचित कराया गया है। इन मॉडलों में, फ्रैक्शनल जेनर मॉडल केवल कुछ ही सामग्री पैरामीटर के साथ रबर जैसी सामग्रियों की गतिशील प्रकृति की भविष्यवाणी करने के लिए अधिक प्रभावी पाया गया। संबंधित संवैधानिक समीकरण का समाधान मिट्टाग-लेफ़लर प्रकार के विश्राम फलन की ओर ले जाता है। इसे नकारात्मक तर्कों के साथ शक्ति श्रृंखला द्वारा परिभाषित किया गया है। यह फलन मूल पर जम्प के साथ निरंतर संकेत के प्रभाव में विश्राम प्रक्रिया के सभी आवश्यक गुणों का प्रतिनिधित्व करता है।

यह भी देखें

 * मित्तग-लेफ़लर सारांश
 * मिट्टाग-लेफ़लर वितरण
 * फॉक्स-राइट फलन

टिप्पणियाँ

 * R Package 'MittagLeffleR' by Gurtek Gill, Peter Straka. Implements the Mittag-Leffler function, distribution, random variate generation, and estimation.

संदर्भ

 * Mittag-Leffler, M.G.: Sur la nouvelle fonction E(x). C. R. Acad. Sci. Paris 137, 554–558 (1903)
 * Mittag-Leffler, M.G.: Sopra la funzione E˛.x/. Rend. R. Acc. Lincei, (Ser. 5) 13, 3–5 (1904)
 * Gorenflo R., Kilbas A.A., Mainardi F., Rogosin S.V., Mittag-Leffler Functions, Related Topics and Applications (Springer, New York, 2014) 443 pages ISBN 978-3-662-43929-6

बाहरी संबंध

 * Mittag-Leffler function: MATLAB code
 * Mittag-Leffler and stable random numbers: Continuous-time random walks and stochastic solution of space-time fractional diffusion equations