सम्मिश्र विश्लेषणात्मक विविधता

गणित में, और विशेष रूप से विभेदक ज्यामिति और जटिल ज्यामिति में, एक जटिल विश्लेषणात्मक विविधता या जटिल विश्लेषणात्मक स्थान एक जटिल कई गुना का सामान्यीकरण है जो विलक्षणता सिद्धांत की उपस्थिति की अनुमति देता है। जटिल विश्लेषणात्मक किस्में स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान हैं जो स्थानीय मॉडल स्थानों के लिए स्थानीय रूप से आइसोमोर्फिक हैं, जहां एक स्थानीय मॉडल स्थान होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के परिमित सेट के लुप्त होने वाले स्थान का एक खुला उपसमुच्चय है।

परिभाषा
मूल्य के साथ एक स्थलीय स्थान पर निरंतर शीफ (गणित) को निरूपित करें $$\mathbb{C}$$ द्वारा $$\underline{\mathbb{C}}$$. ए$$\mathbb{C}$$-अंतरिक्ष एक स्थानीय रूप से चक्राकार स्थान है $$(X, \mathcal{O}_X)$$, जिसकी संरचना शीफ ​​एक फील्ड ओवर पर एक बीजगणित है $$\underline{\mathbb{C}}$$.

एक खुला उपसमुच्चय चुनें $$U$$ कुछ जटिल एफ़िन स्पेस की $$\mathbb{C}^n$$, और सूक्ष्म रूप से कई होलोमोर्फिक कार्यों को ठीक करें $$f_1,\dots,f_k$$ में $$U$$. होने देना $$X=V(f_1,\dots,f_k)$$ इन होलोमॉर्फिक कार्यों का सामान्य लुप्त हो जाना, अर्थात $$X=\{x\mid f_1(x)=\cdots=f_k(x)=0\}$$. अंगूठियों के एक शीफ को परिभाषित करें $$X$$ जैसे भी हो $$\mathcal{O}_X$$ पर प्रतिबंध हो $$X$$ का $$\mathcal{O}_U/(f_1, \ldots, f_k)$$, कहाँ $$\mathcal{O}_U$$ होलोमॉर्फिक कार्यों का शीफ ​​है $$U$$. फिर स्थानीय बज उठा $$\mathbb{C}$$-अंतरिक्ष $$(X, \mathcal{O}_X)$$ एक स्थानीय मॉडल स्थान है।

एक जटिल विश्लेषणात्मक विविधता स्थानीय रूप से चक्राकार है $$\mathbb{C}$$-अंतरिक्ष $$(X, \mathcal{O}_X)$$ जो स्थानीय मॉडल स्थान के लिए स्थानीय रूप से आइसोमोर्फिक है।

जटिल विश्लेषणात्मक किस्मों के morphisms को अंतर्निहित स्थानीय रूप से चक्राकार स्थानों के morphisms के रूप में परिभाषित किया गया है, उन्हें होलोमोर्फिक मानचित्र भी कहा जाता है। एक संरचना शीफ ​​में नीलपोटेंट तत्व हो सकता है, और यह भी, जब जटिल विश्लेषणात्मक स्थान जिसका संरचना शीफ ​​कम हो जाता है, तो जटिल विश्लेषणात्मक स्थान कम हो जाता है, अर्थात जटिल विश्लेषणात्मक स्थान कम नहीं हो सकता है।

एक संबद्ध जटिल विश्लेषणात्मक स्थान (विविधता) $$X_h$$ इस प्रकार कि;


 * मान लीजिए कि X परिमित प्रकार की योजना (गणित) है $$\mathbb{C}$$, और एक्स को ओपन एफाइन सबसेट के साथ कवर करें $$Y_i = \operatorname{Spec} A_i$$ ($$X =\cup Y_i$$) (एक अंगूठी का स्पेक्ट्रम)। फिर प्रत्येक $$A_i$$ परिमित प्रकार का एक बीजगणित है $$\mathbb{C}$$, और $$A_i \simeq \mathbb{C}[z_1, \dots, z_n]/(f_1,\dots, f_m)$$. कहाँ $$f_1,\dots, f_m$$ में बहुपद हैं $$z_1, \dots, z_n$$, जिसे एक होलोमोर्फिक फ़ंक्शन के रूप में माना जा सकता है $$\mathbb{C}$$. इसलिए, समुच्चय का उनका उभयनिष्ठ शून्य जटिल विश्लेषणात्मक उपसमष्टि है $$(Y_i)_h \subseteq \mathbb{C}$$. यहां, ग्लूइंग स्कीम द्वारा प्राप्त स्कीम एक्स सेट के डेटा को स्कीम करता है $$Y_i$$, और फिर उसी डेटा का उपयोग जटिल विश्लेषणात्मक स्थान को चिपकाने के लिए किया जा सकता है $$(Y_i)_h$$ एक जटिल विश्लेषणात्मक स्थान में $$X_h$$, इसलिए हम कॉल करते हैं $$X_h$$ एक्स के साथ एक संबद्ध जटिल विश्लेषणात्मक स्थान। जटिल विश्लेषणात्मक स्थान एक्स को कम किया जाता है यदि और केवल यदि संबंधित जटिल विश्लेषणात्मक स्थान $$X_h$$ कम किया हुआ।

यह भी देखें

 * बीजगणितीय विविधता - मोटे तौर पर बोलना, एक (जटिल) विश्लेषणात्मक विविधता एक (जटिल) विश्लेषणात्मक फ़ंक्शन के सेट का एक शून्य स्थान है, जबकि एक बीजगणितीय विविधता एक बहुपद समारोह के एक सेट का शून्य स्थान है और एकवचन बिंदु की अनुमति देता है।
 * विश्लेषणात्मक स्थान
 * जटिल बीजगणितीय किस्म
 * बेहूदा
 * कठोर विश्लेषणात्मक स्थान

संदर्भ

 * (no.10-13)
 * (no.10-13)
 * (no.10-13)

बाहरी संबंध

 * Kiran Kedlaya. 18.726 Algebraic Geometry (LEC # 30 - 33 GAGA)Spring 2009. Massachusetts Institute of Technology: MIT OpenCourseWare Creative Commons BY-NC-SA.
 * Tasty Bits of Several Complex Variables(p.137) open source book by Jiří Lebl BY-NC-SA.