संयुक्त माप का सिद्धांत

संयुक्त माप का सिद्धांत (जिसे संयुक्त माप या योगात्मक संयुक्त माप के रूप में भी जाना जाता है) सतत मात्रा का एक सामान्य औपचारिक सिद्धांत है। इसकी खोज स्वतंत्र रूप से फ्रांसीसी अर्थशास्त्री जेरार्ड डेब्रू ( वर्ष 1960), अमेरिकी गणितीय मनोवैज्ञानिक आर. डंकन लूस और सांख्यिकी जॉन टुकी द्वारा की गई थी।

यह सिद्धांत उस स्थिति से संबंधित है जहाँ कम से कम दो प्राकृतिक गुण, A और X, अन्योन्याक्रियाहीन रूप से तृतीय गुण, P से संबंधित हैं। यह आवश्यक नहीं है कि A, X या P मात्राएँ ज्ञात हों। P के स्तरों के मध्य विशिष्ट संबंधों के माध्यम से यह स्थापित किया जा सकता है कि P, A और X सतत मात्राएं हैं। इसलिए संयुक्त माप के सिद्धांत का उपयोग आनुभविक परिस्थितियों में विशेषताओं को मापने के लिए किया जा सकता है जहाँ एक साथ ऑपरेशन या संश्रृंखलन का उपयोग करके विशेषताओं के स्तर को संयोजित करना संभव नहीं है। इसलिए प्रवृति, संज्ञानात्मक योग्यता और उपादेयता जैसे मनोवैज्ञानिक गुणों का परिमाणन तार्किक रूप से प्रशंसनीय है। इसका अर्थ यह है कि मनोवैज्ञानिक विशेषताओं का वैज्ञानिक माप संभव है। यह भौतिक मात्राओं के समान एक मनोवैज्ञानिक मात्रा का परिमाण संभवतः एक वास्तविक संख्या तथा एक इकाई परिमाण के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

हालाँकि, मनोविज्ञान में संयुक्त माप के सिद्धांत का अनुप्रयोग सीमित है। यह तर्क दिया गया है कि यह उच्च स्तर के औपचारिक गणित के सम्मिलित होने के कारण है (उदाहरण के लिए, ) तथा यह सिद्धांत सामान्यतः मनोवैज्ञानिक अनुसंधान (उदाहरण के लिए, ) में खोजे गए "नॉयसी" डेटा का लेखा प्रदान नहीं करा सकती है। यह तर्क दिया गया है कि रैश मॉडल संयुक्त माप के सिद्धांत का एक स्टोकेस्टिक संस्करण है (उदाहरण के लिए, ; ; ; ; ; ), हालांकि, इस पर विवाद (उदाहरण के लिए, करबात्सोस, वर्ष 2001; क्यिंगडन, वर्ष 2008) किया गया है। पूर्व दशक में संयोजन माप के अभिगृहीत निरस्तीकरण के प्रायिकतात्मक परीक्षण करने के लिए प्रतिबंधित प्रणाली के तरीके विकसित किए गए हैं (उदाहरण के लिए, कराबात्सोस, 2001; डेविस-स्टॉबर, 2009)।

संयुक्त माप का सिद्धांत (भिन्न किंतु) संयुक्त विश्लेषण से संबंधित है जो कि योगात्मक उपयोगिता फलनों के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए विपणन में नियोजित एक सांख्यिकीय प्रयोग पद्धति है। प्रत्यर्थियों को विभिन्न बहु-विशेषता उत्तेजनाएँ प्रस्तुत की जाती हैं और प्रस्तुत उत्तेजनाओं के विषय में उनकी प्राथमिकताओं को मापने के लिए विभिन्न विधियों का प्रयोग किया जाता है।

ऐतिहासिक सिंहावलोकन
1930 के दशक में, ब्रिटिश एसोसिएशन फॉर द एडवांसमेंट ऑफ साइंस ने मनोवैज्ञानिक विशेषताओं को वैज्ञानिक रूप से मापने की संभावना की जांच करने के लिए फर्ग्यूसन समिति की स्थापना की। ब्रिटिश भौतिकीविद् और माप सिद्धांताकार नॉर्मन रॉबर्ट कैंपबेल समिति के एक प्रभावशाली सदस्य थे। अपनी अंतिम रिपोर्ट (फर्ग्यूसन एट अल., 1940) में, कैंपबेल और समिति ने निष्कर्ष निकाला कि चूंकि मनोवैज्ञानिक विशेषताएं श्रृखंलाबद्धीकरण संक्रिया को बनाए रखने में सक्षम नहीं थीं, इसलिए ऐसी विशेषताएं सतत मात्रा नहीं हो सकतीं। अत: इन्हें वैज्ञानिक दृष्टि से मापा नहीं जा सका। इसका मनोविज्ञान पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ा, इनमें से अत्यधिक महत्वपूर्ण वर्ष 1946 में हार्वर्ड मनोवैज्ञानिक स्टेनली स्मिथ स्टीवंस द्वारा माप के परिचालन संबंधी सिद्धांत का निर्माण था। स्टीवंस के माप के गैर-वैज्ञानिक सिद्धांत को सामान्यतः मनोविज्ञान और व्यवहार विज्ञान में व्यापक रूप से सर्वोत्तम माना जाता है।

जबकि जर्मन गणितज्ञ ओटो होल्डर (वर्ष 1901) ने संयुक्त माप के सिद्धांत की विशेषताओं को प्रत्याशित किया था, लूस एंड तुकी के मौलिक वर्ष 1964 पेपर के प्रकाशन तक ऐसा नहीं हुआ था कि सिद्धांत को अपना प्रथम पूर्ण विवरण प्राप्त हुआ था। लूस और तुकी की प्रस्तुति बीजगणितीय थी और इसलिए इसे डेब्रू (वर्ष 1960) के सांस्थितिक कार्य की तुलना में अधिक सामान्य माना जाता है, जो कि पूर्व की एक विशेष स्थिति है । जर्नल ऑफ़ मैथेमैटिकल साइकोलॉजी के प्रारंभिक प्रकाशन के प्रथम लेख में, ने सिद्ध किया कि संयोजन माप के सिद्धांत के माध्यम से उन विशेषताओं को परिमाणित किया जा सकता है जो संयोजन में सक्षम नहीं हैं। इस प्रकार एन.आर. कैम्पबेल और फर्ग्यूसन आयोग गलत सिद्ध हुए। यह कि दी गई मनोवैज्ञानिक विशेषता एक सतत मात्रा है, एक तार्किक रूप से सुसंगत और अनुभवजन्य परीक्षण योग्य परिकल्पना है।

उसी पत्रिका के अगले अंक में दाना स्कॉट ( वर्ष 1964) के महत्वपूर्ण पत्र प्रकाशित हुए, जिन्होंने सॉल्वैबिलिटी और आर्किमिडीयन सिद्धांतों के अप्रत्यक्ष परीक्षण के लिए रद्द करने की शर्तों का एक पदानुक्रम प्रस्तावित किया और डेविड क्रांत्ज़ (वर्ष 1964) जिन्होंने लूस एंड टुकी के कार्य को होल्डर (वर्ष 1901) के कार्य से युग्मन किया।

कार्य जल्द ही केवल दो से अधिक विशेषताओं को सम्मिलित करने के लिए संयुक्त माप के सिद्धांत का विस्तार करने पर केंद्रित हो गया। और अमोस टावर्सकी (वर्ष 1967) ने विकसित किया जिसे बहुपदीय संयुक्त माप के रूप में जाना जाता है,  एक रूपरेखा प्रदान करता है जिससे तीन या अधिक विशेषताओं की संयुक्त माप संरचनाओं का निर्माण किया जा सकता है। तत्पश्चात फ़ाउंडेशन ऑफ़ मेजरमेंट के प्रथम खंड (इसके दो चर, बहुपद और एन-घटक रूपों में) के प्रकाशन के साथ संयुक्त माप के सिद्धांत को एक संपूर्ण और उच्च तकनीकी उपचार प्राप्त हुआ, जिसे क्रांत्ज़, लूस, टावर्सकी और दार्शनिक पैट्रिक सपेस ने लिखा था (क्रांत्ज़ एट अल. र्ष 1971)।

(क्रांत्ज़ एट अल. र्ष 1971) के प्रकाशन के कुछ ही समय पश्चात, संयुक्त माप के सिद्धांत के लिए एक "त्रुटि सिद्धांत" विकसित करने पर ध्यान केंद्रित किया गया। संयुक्त सरणियों की संख्या पर अध्ययन किए गए जो केवल एकल निरस्तीकरण और एकल तथा दोहरे निरस्तीकरण दोनों का समर्थन करते थे । तत्पश्चात गणना अध्ययन बहुपदीय संयोजन माप पर केंद्रित थे । इन अध्ययनों में पाया गया कि यह अत्यधिक संभावना नहीं है कि संयुक्त माप के सिद्धांत के स्वयंसिद्ध यादृच्छिक रूप से संतुष्ट हों, बशर्ते कि कम से कम एक घटक विशेषताओं के तीन से अधिक स्तरों की पहचान की गई हो।

जोएल मिशेल (वर्ष 1988) ने बाद में पहचाना कि दोहरे निरस्तीकरण सिद्धांत के परीक्षणों का "कोई परीक्षण नहीं" वर्ग खाली था। इस प्रकार दोहरे निरस्तीकरण का कोई भी उदाहरण या तो सिद्धांत की स्वीकृति या अस्वीकृति है। मिशेल ने इस समय संयुक्त माप के सिद्धांत का एक गैर-तकनीकी परिचय भी लिखा, जिसमें स्कॉट के (वर्ष 1964) के कार्य के आधार पर उच्च कोटि के निरस्तीकरण की स्थिति प्राप्त करने के लिए एक रूपरेखा भी सम्मिलित था। मिशेल की रूपरेखा का उपयोग करते हुए बेन रिचर्ड्स (किंग्डन और रिचर्ड्स, वर्ष 2007) ने पाया कि त्रिपक्षीय निरस्तीकरण सिद्धांत के कुछ उदाहरण "असंगत" हैं क्योंकि वे एकल निरस्तीकरण सिद्धांत का खंडन करते हैं। इसके अतिरिक्त उन्होंने त्रिपक्षीय निरस्तीकरण के अनेक उदाहरणों की पहचान की जो दोहरे निरस्तीकरण का समर्थन करने पर तुच्छ रूप से सत्य हैं।

संयुक्त मापन के सिद्धांत के अभिगृहीत प्रसंभाव्य नहीं हैं; और निरस्तीकरण अनुक्रम सिद्धांतों द्वारा डेटा पर लगाए गए क्रमिक बाधाओं को देखते हुए प्रतिबंधित निष्कर्ष पद्धति का उपयोग किया जाना चाहिए । जॉर्ज काराबात्सोस और उनके सहयोगियों (कराबात्सोस, वर्ष 2001; ) ने मनोमिति सम्बन्धी अनुप्रयोगों के लिए बायेसियन मार्कोव श्रृंखला मोंटे कार्लो पद्धति विकसित की। करबात्सोस और उलरिच वर्ष 2002 ने प्रदर्शित किया कि इस संरचना  को बहुपदीय संयुक्त संरचनाओं तक किस प्रकार विस्तारित किया जा सकता है। करबात्सोस (वर्ष 2005) ने अपने बहुपदीय डिरिक्ले संरचना के साथ इस कार्य को सामान्यीकृत किया, जिसने गणितीय मनोविज्ञान के अनेक गैर-प्रसंभाव्य सिद्धांतों के प्रायिकतात्मक परीक्षण को सक्षम किया। अभी हाल ही में क्लिंटिन डेविस-स्टॉबर (वर्ष 2009) ने प्रतिबंधित अनुमान के लिए एक फ़्रीक्वेंटिस्ट संरचना विकसित की है जिसका उपयोग निरस्तीकरण सिद्धांतों का परीक्षण करने के लिए भी किया जा सकता है।

संभवतः संयुक्त माप के सिद्धांत का सबसे उल्लेखनीय (किंग्डन, वर्ष 2011) उपयोग इजरायली - अमेरिकी मनोवैज्ञानिक डैनियल काह्नमैन और अमोस टावर्सकी (कह्नमैन और टावर्सकी, वर्ष 1979) द्वारा प्रस्तावित पूर्वेक्षण सिद्धांत में था। पूर्वेक्षण सिद्धांत संकट और अस्थिरता के अंतर्गत निर्णय लेने का एक सिद्धांत था जो एलाइस मिथ्याभास जैसे विकल्प आचरण के लिए उत्तरदायी था। डेविड क्रांत्ज़ ने संयुक्त माप के सिद्धांत का उपयोग करते हुए संभावना सिद्धांत का औपचारिक प्रमाण लिखा। वर्ष 2002 में, कन्नमैन को पूर्वेक्षण सिद्धांत के लिए अर्थशास्त्र में नोबेल मेमोरियल पुरस्कार प्राप्त हुआ (बिर्नबाम, वर्ष 2008)।

मापन की चिरसम्मत/मानक परिभाषा
भौतिकी और मापविद्या में, मापन की मानक परिभाषा एक निरंतर मात्रा के परिमाण और उसी प्रकार की एक इकाई परिमाण के बीच के अनुपात का आकलन है (डी बोअर,वर्ष 1994/95; एमर्सन, वर्ष 2008)। उदाहरण के लिए, कथन "पीटर का प्रवेश कक्ष 4 मीटर लंबा है" प्रवेश कक्ष की लंबाई के लिए इकाई (इस स्थिति में मीटर) के अनुपात के रूप में अभी तक के अज्ञात लंबाई परिमाण (प्रवेश कक्ष की लंबाई) के मापन को व्यक्त करता है। इस शब्द के पूर्णतः गणितीय अर्थ में संख्या 4 एक वास्तविक संख्या है।

कुछ अन्य मात्राओं के लिए निश्चर गुण असमानताओं के मध्य अनुपात हैं। उदाहरण के लिए, तापमान पर विचार करें। परिचित नित्य प्रति उदाहरणों में, तापमान को फ़ारेनहाइट या सेल्सियस पैमाने में अंशांकित उपकरणों का उपयोग करके मापा जाता है। ऐसे उपकरणों से वास्तव में जो मापा जा रहा है, वह तापमान असमानताओं का परिमाण है। उदाहरण के लिए, एंडर्स सेल्सियस ने सेल्सियस पैमाने की इकाई को समुद्र तल पर जल के हिमांक और क्वथनाक बिन्दु के मध्य तापमान में अंतर के 1/100वें अंश के रूप में परिभाषित किया। 20 डिग्री सेल्सियस के मध्याह्न का तापमान मापन केवल मध्याह्न तापमान और हिमकारी जल के तापमान के अंतर को सेल्सियस इकाई और हिमकारी जल के तापमान के अंतर से विभाजित किया जाता है।

औपचारिक रूप से अभिव्यक्त, एक वैज्ञानिक मापन है:


 * $$ Q = r \times [Q]$$

जहाँ Q मात्रा का परिमाण है, r एक वास्तविक संख्या है और [Q] उसी प्रकार का एक इकाई परिमाण है।

विस्तीर्ण एवं सघन मात्रा
लंबाई एक मात्रा है जिसके लिए प्राकृतिक श्रृखंलाबद्धीकरण संचालन उपस्थित हैं। यानी उदाहरण के लिए, हम कठोर स्टील की छड़ों की लंबाई को साथ-साथ जोड़ सकते हैं, ताकि लंबाई के बीच योगात्मक संबंध सरलता से प्रेक्षित किया जा सके। यदि ऐसी चार 1 मीटर लंबाई के छड़ें हैं, तो उन्हें 4 मीटर की लंबाई प्राप्त करने के लिए एक सिरे से दूसरे सिरे तक रखा जा सकता हैं। श्रृखंलाबद्धीकरण में सक्षम मात्राएँ विस्तीर्ण मात्राएँ कहलाती हैं और इसमें द्रव्यमान, काल, विद्युत प्रतिरोध और समतल कोण सम्मिलित हैं। इन्हें भौतिकी और मापविद्या में आधार मात्रा के रूप में जाना जाता है।

तापमान एक ऐसी मात्रा है जिसके लिए श्रृखंलाबद्धीकरण संक्रियाओं का अभाव होता है। 40 डिग्री सेल्सियस तापमान वाले जल की मात्रा को 20 डिग्री सेल्सियस के जल की अन्य बाल्टी में नहीं डाला जा सकता हैं और 60 डिग्री सेल्सियस तापमान वाले जल की मात्रा की अपेक्षा नहीं किया जा सकता हैं। इसलिए तापमान एक सघन मात्रा है।

तापमान जैसे मनोवैज्ञानिक गुणों को सघन माना जाता है क्योंकि ऐसे गुणों को श्रृखंलाबद्धीकृत करने का कोई तरीका नहीं पाया गया है। लेकिन इसका अर्थ यह नहीं कि ऐसे गुण परिमाण निर्धारित करने योग्य नहीं हैं। संयुक्त मापन का सिद्धांत ऐसा करने का एक सैद्धांतिक साधन प्रदान करता है।

सिद्धांत
दो प्राकृतिक गुणों A और X पर विचार करें। A या X, या दोनों एक सतत मात्रा है या नहीं यह ज्ञात नहीं है। मान लें a, b, और c, A के तीन स्वतंत्र, अभिज्ञेय स्तरों का प्रतिनिधित्व करते हैं; और मान लें x, y और z, X के तीन स्वतंत्र, अभिज्ञेय स्तरों का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक तृतीय गुण P में A और X के स्तरों के नौ क्रमित युग्म सम्मिलित हैं। अर्थात्, (a, x),  (b, y),... , (c, z) (चित्र संख्या 1 देखें)। A, X और P के परिमाणन P के स्तर पर संबंध के व्यवहार पर निर्भर करता है। इन संबंधों को संयुक्त मापन के सिद्धांत में सूक्तियों के रूप में प्रस्तुत किया गया है।

एकल निरस्तीकरण या स्वतंत्र सिद्धांत
एकल रद्दीकरण स्वयंसिद्ध इस प्रकार है। P पर संबंध एकल निरस्तीकरण को संतुष्ट करता है यदि और केवल यदि A में सभी a और b के लिए, और X में x, (a, x) > (b, x) X में प्रत्येक w के लिए निहित है जैसे कि (a, w) > (बी, डब्ल्यू)। इसी तरह, एक्स में सभी एक्स और वाई के लिए और ए में ए, (ए, एक्स)> (ए, वाई) ए में हर डी के लिए निहित है जैसे कि (डी, एक्स)> (डी, वाई)। इसका अर्थ यह है कि यदि किन्हीं भी दो स्तरों, a, b, को आदेशित किया जाता है, तो यह क्रम X के प्रत्येक स्तर पर ध्यान दिए बिना लागू होता है। वही X के किसी भी दो स्तरों, x और y के लिए प्रत्येक स्तर के संबंध में लागू होता है। ए का

एकल रद्दीकरण तथाकथित है क्योंकि पी के दो स्तरों का एक सामान्य कारक शेष तत्वों पर समान क्रमिक संबंध छोड़ने के लिए रद्द हो जाता है। उदाहरण के लिए, a असमिका (a, x) > (a, y) को रद्द कर देता है क्योंकि यह दोनों पक्षों के लिए उभयनिष्ठ है, जिससे x > y बचता है। क्रांट्ज, एट अल।, (1971) ने मूल रूप से इस स्वयंसिद्ध स्वतंत्रता को कहा, क्योंकि एक विशेषता के दो स्तरों के बीच क्रमिक संबंध किसी अन्य विशेषता के किसी भी और सभी स्तरों से स्वतंत्र होता है। हालाँकि, यह देखते हुए कि स्वतंत्रता शब्द स्वतंत्रता की सांख्यिकीय अवधारणाओं के साथ भ्रम पैदा करता है, एकल रद्दीकरण बेहतर शब्द है। चित्र एक एकल निरस्तीकरण के एक उदाहरण का चित्रमय प्रतिनिधित्व है।

गुण A और X के परिमाणीकरण के लिए एकल निरस्तीकरण अभिगृहीत की संतुष्टि आवश्यक है, लेकिन पर्याप्त नहीं है। यह केवल दर्शाता है कि A, X और P के स्तर क्रमबद्ध हैं। अनौपचारिक रूप से, एकल निरस्तीकरण, ए और एक्स की मात्रा निर्धारित करने के लिए पी के स्तर पर आदेश को पर्याप्त रूप से बाधित नहीं करता है। उदाहरण के लिए, आदेशित जोड़े (ए, एक्स), (बी, एक्स) और (बी, वाई) पर विचार करें। यदि एकल रद्दीकरण होता है तो (ए, एक्स)> (बी, एक्स) और (बी, एक्स)> (बी, वाई)। इसलिए ट्रांज़िटिविटी (ए, एक्स)> (बी, वाई) के माध्यम से। इन बाद के दो आदेशित जोड़े के बीच का संबंध, अनौपचारिक रूप से एक बाएं-झुकाव वाला विकर्ण, एकल रद्दीकरण स्वयंसिद्ध की संतुष्टि से निर्धारित होता है, जैसा कि पी पर सभी बाएं झुकाव वाले विकर्ण संबंध हैं।

दोहरा रद्दीकरण स्वयंसिद्ध
एकल निरस्तीकरण पी पर दाएं झुकाव वाले विकर्ण संबंधों के क्रम को निर्धारित नहीं करता है। भले ही पारगमन और एकल रद्दीकरण द्वारा यह स्थापित किया गया था कि (ए, एक्स)> (बी, वाई), (ए, वाई) और (के बीच संबंध) बी, एक्स) अनिर्धारित रहता है। यह हो सकता है कि या तो (बी, एक्स) > (ए, वाई) या (ए, वाई) > (बी, एक्स) और ऐसी अस्पष्टता अनसुलझी नहीं रह सकती।

दोहरा निरस्तीकरण अभिगृहीत P पर ऐसे संबंधों के एक वर्ग से संबंधित है जिसमें दो पूर्ववर्ती असमानताओं की सामान्य शर्तें तीसरी असमानता उत्पन्न करने के लिए रद्द हो जाती हैं। दोहरे रद्दीकरण के उदाहरण पर विचार करें, जिसे चित्र दो द्वारा रेखांकन के रूप में दर्शाया गया है। दोहरे निरस्तीकरण के इस विशेष उदाहरण की पूर्ववर्ती असमानताएँ हैं:


 * $$(a, y) > (b, x)$$

और


 * $$(b, z)> (c, y).$$

मान लें कि:


 * $$ (a, y) > (b, x)$$

सच है अगर और केवल अगर $$ a + y > b + x; $$ और


 * $$(b, z) > (c, y)$$

सच है अगर और केवल अगर $$ b + z > c + y $$, यह इस प्रकार है कि:


 * $$a + y + b + z > b + x + c + y.$$

सामान्य शर्तों को रद्द करने के परिणामस्वरूप:


 * $$ (a, z) > (c, x). $$

अतः दोहरा निरसन केवल तभी प्राप्त हो सकता है जब A और X मात्राएँ हों।

दोहरा निरसन संतुष्ट होता है यदि और केवल यदि परिणामी असमानता पूर्ववर्ती असमानताओं का खंडन नहीं करती है। उदाहरण के लिए, यदि परिणामी असमानता उपरोक्त थी:


 * $$ (a, z)< (c, x),$$ या वैकल्पिक रूप से,


 * $$ (a, z) = (c, x),$$

तो दोहरे निरस्तीकरण का उल्लंघन होगा और यह निष्कर्ष नहीं निकाला जा सका कि A और X मात्राएँ हैं।

दोहरा निरस्तीकरण P पर दाएं झुकाव वाले विकर्ण संबंधों के व्यवहार से संबंधित है क्योंकि ये एकल रद्दीकरण द्वारा तार्किक रूप से लागू नहीं होते हैं। ने पाया कि जब ए और एक्स के स्तर अनंत तक पहुंचते हैं, तो सही झुकाव वाले विकर्ण संबंधों की संख्या पी पर कुल संबंधों की संख्या का आधा है। इसलिए यदि ए और एक्स मात्राएं हैं, तो पी पर संबंधों की संख्या का आधा कारण है ए और एक्स पर क्रमसूचक संबंधों के लिए और आधे ए और एक्स पर योगात्मक संबंधों के कारण हैं.

डबल रद्दीकरण के उदाहरणों की संख्या ए और एक्स दोनों के लिए पहचाने गए स्तरों की संख्या पर आकस्मिक है। यदि ए के एन स्तर और एक्स के एम हैं, तो डबल रद्दीकरण के उदाहरणों की संख्या एन है! × मी!. इसलिए, यदि n = m = 3, तो 3! × 3! = 6 × 6 = कुल 36 मामले दोहरा रद्दीकरण। हालाँकि, यदि एकल रद्दीकरण सत्य है, तो इनमें से 6 उदाहरणों को छोड़कर सभी सत्य हैं, और यदि इन 6 उदाहरणों में से कोई एक सत्य है, तो वे सभी सत्य हैं। ऐसा ही एक उदाहरण चित्र दो में दिखाया गया है। इसे दोहरे निरस्तीकरण का लूस-टकी उदाहरण कहता है।

यदि एकल रद्दीकरण का पहले डेटा के एक सेट पर परीक्षण किया गया है और स्थापित किया गया है, तो केवल दोहरे रद्दीकरण के लूस-टुकी उदाहरणों का परीक्षण करने की आवश्यकता है। ए के एन स्तरों और एक्स के एम के लिए, लूस-टुकी डबल रद्दीकरण उदाहरणों की संख्या है $$\tbinom{n}{3}$$$$\tbinom{m}{3}$$. उदाहरण के लिए, यदि n = m = 4, तो ऐसे 16 उदाहरण हैं। यदि n = m = 5 तो 100 हैं। A और X दोनों में स्तरों की संख्या जितनी अधिक होगी, उतनी ही कम संभावना है कि रद्दीकरण स्वयंसिद्ध यादृच्छिक रूप से संतुष्ट हों और मात्रा का अधिक कठोर परीक्षण संयुक्त माप का अनुप्रयोग बन जाता है।

सॉल्वेबिलिटी और आर्किमिडीयन स्वयंसिद्ध
निरंतर मात्रा स्थापित करने के लिए एकल और दोहरे रद्दीकरण स्वयंसिद्ध स्वयं पर्याप्त नहीं हैं। निरंतरता सुनिश्चित करने के लिए अन्य शर्तों को भी पेश किया जाना चाहिए। ये विलेयता और आर्किमिडीयन स्थितियाँ हैं।

घुलनशीलता का अर्थ है कि a, b, x और y के किसी भी तीन तत्वों के लिए चौथा मौजूद है जैसे कि समीकरण a x = b y हल हो जाता है, इसलिए स्थिति का नाम। घुलनशीलता अनिवार्य रूप से आवश्यकता है कि प्रत्येक स्तर P में A में एक तत्व और X में एक तत्व है। घुलनशीलता से A और X के स्तरों के बारे में कुछ पता चलता है - वे या तो वास्तविक संख्याओं की तरह सघन हैं या पूर्णांकों की तरह समान दूरी पर हैं.

आर्किमिडीज़ की स्थिति इस प्रकार है। मान लीजिए I क्रमागत पूर्णांकों का समुच्चय है, या तो परिमित या अनंत, धनात्मक या ऋणात्मक। A के स्तर एक मानक अनुक्रम बनाते हैं यदि और केवल यदि X में x और y मौजूद हैं जहाँ x ≠ y और I में सभी पूर्णांक i और i + 1 के लिए:


 * $$ (a_i, x) = (a_{i+1}, y).$$

इसका मूल रूप से मतलब यह है कि यदि x, y से अधिक है, उदाहरण के लिए, A के स्तर हैं जो पाए जा सकते हैं जो दो प्रासंगिक क्रमित जोड़े बनाते हैं, P के स्तर, बराबर।

आर्किमिडीज़ की स्थिति का तर्क है कि पी का कोई असीम रूप से सबसे बड़ा स्तर नहीं है और इसलिए ए या एक्स का कोई सबसे बड़ा स्तर नहीं है। यह स्थिति प्राचीन यूनानी गणितज्ञ आर्किमिडीज़ द्वारा दी गई निरंतरता की एक परिभाषा है, जिन्होंने लिखा है कि आगे, असमान रेखाओं की, असमान सतहें, और असमान ठोस, अधिक से अधिक इस तरह के परिमाण से कम से अधिक होता है, जब खुद में जोड़ा जाता है, उन लोगों के बीच किसी भी निर्धारित परिमाण को पार करने के लिए बनाया जा सकता है जो एक दूसरे के साथ तुलनीय हैं (गोले और सिलेंडर पर, पुस्तक I, धारणा 5). आर्किमिडीज ने माना कि निरंतर मात्रा के किन्हीं दो परिमाणों के लिए, एक दूसरे से कम होने के कारण, कम को एक पूर्ण संख्या से गुणा किया जा सकता है जैसे कि यह अधिक परिमाण के बराबर होता है। यूक्लिड ने यूक्लिड के तत्वों की पुस्तक V में एक स्वयंसिद्ध के रूप में आर्किमिडीयन स्थिति को बताया, जिसमें यूक्लिड ने निरंतर मात्रा और माप के अपने सिद्धांत को प्रस्तुत किया।

जैसा कि वे अनन्तवादी अवधारणाओं को शामिल करते हैं, सॉल्वेबिलिटी और आर्किमिडीयन स्वयंसिद्ध किसी भी परिमित अनुभवजन्य स्थिति में प्रत्यक्ष परीक्षण के लिए उत्तरदायी नहीं हैं। लेकिन इसका मतलब यह नहीं है कि इन स्वयंसिद्धों का अनुभवजन्य रूप से परीक्षण नहीं किया जा सकता है। स्कॉट (1964) के रद्द करने की शर्तों के परिमित सेट का उपयोग अप्रत्यक्ष रूप से इन स्वयंसिद्धों का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है; इस तरह के परीक्षण की सीमा अनुभवजन्य रूप से निर्धारित की जा रही है। उदाहरण के लिए, यदि ए और एक्स दोनों के पास तीन स्तर हैं, तो स्कॉट के (1964) पदानुक्रम के भीतर उच्चतम आदेश रद्दीकरण स्वयंसिद्ध है जो अप्रत्यक्ष रूप से सॉल्वेबिलिटी और आर्कमेडीनेस का परीक्षण करता है। चार स्तरों के साथ यह ट्रिपल रद्दीकरण (चित्र 3) है। यदि ऐसे परीक्षण संतुष्ट हैं, तो ए और एक्स पर अंतर में मानक अनुक्रमों का निर्माण संभव है। इसलिए ये विशेषताएँ वास्तविक संख्या के अनुसार सघन हो सकती हैं या पूर्णांक के अनुसार समान रूप से फैली हुई हो सकती हैं. दूसरे शब्दों में, A और X निरंतर मात्राएँ हैं।

माप की वैज्ञानिक परिभाषा से संबंध
संयुक्त माप की शर्तों की संतुष्टि का अर्थ है कि ए और एक्स के स्तरों के मापन को या तो परिमाण के बीच अनुपात या परिमाण अंतर के बीच अनुपात के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यह आमतौर पर उत्तरार्द्ध के रूप में व्याख्या की जाती है, यह देखते हुए कि अधिकांश व्यवहार वैज्ञानिक मानते हैं कि उनके परीक्षण और सर्वेक्षण तथाकथित अंतराल के पैमाने पर विशेषताओं को मापते हैं. यही है, उनका मानना ​​है कि परीक्षण मनोवैज्ञानिक विशेषताओं के पूर्ण शून्य स्तरों की पहचान नहीं करते हैं।

औपचारिक रूप से, यदि पी, ए और एक्स एक योजक संयोजन संरचना बनाते हैं, तो ए और एक्स से वास्तविक संख्या में ऐसे कार्य होते हैं जैसे ए और बी में ए और एक्स और वाई में एक्स:


 * $$(a, x)\succsim(b, y)\iff \varphi_A (a) + \varphi_X (x)\geqslant\varphi_A (b) + \varphi_X (y).$$

अगर $$\varphi'_A \, $$ और $$\varphi'_X \, $$ उपरोक्त अभिव्यक्ति को संतुष्ट करने वाले दो अन्य वास्तविक मूल्यवान कार्य मौजूद हैं $$\alpha > 0, \beta_A \, $$ और $$\beta_X \, $$ वास्तविक मूल्यवान स्थिरांक संतोषजनक:


 * $$\varphi'_A = \alpha \varphi_A + \beta_A \text{ and } \varphi'_X = \alpha \varphi_X + \beta_X. \, $$

वह है, $$\varphi'_A, \varphi_A, \varphi'_X \, $$ और $$\varphi_X \, $$ ए और एक्स के मापन परिवर्तन के लिए अद्वितीय हैं (यानी प्रत्येक स्टीवंस (1946) की भाषा में एक अंतराल पैमाना है)। इस परिणाम का गणितीय प्रमाण में दिया गया है.

इसका मतलब यह है कि ए और एक्स के स्तर परिमाण के अंतर हैं जो किसी प्रकार के यूनिट अंतर के सापेक्ष मापा जाता है। P का प्रत्येक स्तर A और X के स्तरों के बीच का अंतर है। हालांकि, साहित्य से यह स्पष्ट नहीं है कि कैसे एक इकाई को योगात्मक संयुक्त संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है। ने संयुक्त संरचनाओं के लिए एक स्केलिंग विधि प्रस्तावित की लेकिन उन्होंने इकाई पर भी चर्चा नहीं की।

संयुक्त मापन का सिद्धांत, तथापि, अंतरों के परिमाणन तक ही सीमित नहीं है। यदि P का प्रत्येक स्तर A के स्तर और X के स्तर का उत्पाद है, तो P एक अन्य भिन्न मात्रा है जिसका माप X के प्रति इकाई परिमाण A के परिमाण के रूप में व्यक्त किया जाता है। उदाहरण के लिए, A में द्रव्यमान होते हैं और X में होते हैं आयतनों की, तो P में आयतन की प्रति इकाई द्रव्यमान के रूप में मापे गए घनत्व होते हैं। ऐसे मामलों में, ऐसा प्रतीत होता है कि ए के एक स्तर और एक्स के एक स्तर को संयुक्त माप के आवेदन से पहले एक अस्थायी इकाई के रूप में पहचाना जाना चाहिए।

यदि P का प्रत्येक स्तर A के स्तर और X के स्तर का योग है, तो P वही मात्रा है जो A और X है। उदाहरण के लिए, ए और एक्स लंबाई हैं इसलिए पी होना चाहिए। इसलिए तीनों को एक ही इकाई में व्यक्त किया जाना चाहिए। ऐसे मामलों में, ऐसा प्रतीत होता है कि ए या एक्स के स्तर को अस्थायी रूप से इकाई के रूप में पहचाना जाना चाहिए। इसलिए ऐसा प्रतीत होता है कि संयुक्त माप के आवेदन के लिए प्रासंगिक प्राकृतिक प्रणाली के कुछ पूर्व वर्णनात्मक सिद्धांत की आवश्यकता होती है।

संयुक्त माप के अनुप्रयोग
संयुक्त माप के सिद्धांत के अनुभवजन्य अनुप्रयोग विरल रहे हैं.

दोहरे निरस्तीकरण के अनेक अनुभवजन्य मूल्यांकन संचालित किए गए हैं। इनमे से, ने बाइन्यूरल लाउडनेस के मनोभौतिकी के सिद्धांत का मूल्यांकन किया। उन्होंने पाया कि दोहरे निरस्तीकरण सिद्धांत को अस्वीकार कर दिया गया था।  ने इसी प्रकार की जांच की तथा लेवल्ट, एट अल' ( वर्ष 1972) के निष्कर्षों को दोहराया।  ने प्रेक्षित किया कि दोहरे निरस्तीकरण के मूल्यांकन में अधिक अतिरेक सम्मिलित है जो इसके अनुभवजन्य परीक्षण को जटिल बनाता है। इसलिए,  ने समतुल्य थॉमसन स्थिति सिद्धांत का मूल्यांकन किया जो इस अतिरेक से रक्षा करता है और गुणों को द्विकर्णीय प्रबलता में समर्थित पाया।, उस तिथि तक के साहित्य को सारांशित करता है, जिसमें यह अवलोकन भी शामिल है कि थॉमसन स्थिति के मूल्यांकन में एक अनुभवजन्य चुनौती भी शामिल है जिसे वे संयुक्त कम्यूटेटिविटी स्वयंसिद्ध द्वारा उपचारित पाते हैं, जिसे वे थॉमसन स्थिति के समकक्ष दिखाते हैं।  बायनॉरल लाउडनेस और ब्राइटनेस के लिए कंज्वाइंट कम्यूटेटिविटी सपोर्टेड पाया गया।

ने इस सिद्धांत को एल. एल. थर्स्टन (वर्ष 1927) के बहुआयामी युग्मित प्रवर्धन तुलना के सिद्धांत और कूम्ब्स (वर्ष 1964) के एकआयामी विकास के सिद्धांत पर प्रयुक्त किया। उन्हें केवल कॉम्ब्स (वर्ष 1964) सिद्धांत के साथ निरस्तीकरण सिद्धांतों का समर्थन प्राप्त हुआ।हालाँकि, थर्स्टन के सिद्धांत और बहुआयामी प्रवर्धन के परीक्षण में मिशेल (वर्ष 1990) द्वारा नियोजित सांख्यिकीय तकनीकों ने निरस्तीकरण सिद्धांतों द्वारा लगाए गए क्रमिक बाधाओं को ध्यान में नहीं रखा।.

, किंगडन (2006), मिशेल (1994) और ने कूम्ब्स' (1964) के एकआयामी खुलासा के सिद्धांत के उपयोग द्वारा प्राप्त इंटरस्टिमुलस मिडपॉइंट ऑर्डर के निरस्तीकरण सिद्धांतों का परीक्षण किया। तीनों अध्ययनों में कॉम्ब्स के सिद्धांत को छह कथनों के एक सेट पर लागू किया गया था। इन लेखकों ने पाया कि अभिगृहीत संतुष्ट थे, तथापि, ये एक सकारात्मक परिणाम के प्रति पक्षपाती अनुप्रयोग थे। छह उत्तेजनाओं के साथ, एक इंटरस्टिमुलस मिडपॉइंट ऑर्डर की संभावना यादृच्छिक रूप से डबल रद्दीकरण सिद्धांतों को संतुष्ट करती है। 5874 (मिशेल, 1994)। यह कोई असंभावित घटना नहीं है। किंगडन एंड रिचर्ड्स (2007) ने आठ कथनों को नियोजित किया और पाया कि इंटरस्टिमुलस मिडपॉइंट ऑर्डर ने दोहरी रद्दीकरण स्थिति को खारिज कर दिया।

ने एक दोषी पैरोल प्रश्नावली के लिए आइटम प्रतिक्रिया डेटा और डेनिश सैनिकों से एकत्रित खुफिया परीक्षण डेटा के लिए संयुक्त माप लागू किया। उन्होंने पैरोल प्रश्नावली डेटा में कैंसिलेशन एक्सिओम्स का काफी उल्लंघन पाया, लेकिन इंटेलिजेंस टेस्ट डेटा में नहीं। इसके अलावा, उन्होंने दोहरे रद्दीकरण के अनुमानित नो टेस्ट उदाहरण दर्ज किए। दोहरे निरस्तीकरण (मिशेल, 1988) के समर्थन में उदाहरणों के रूप में इनकी सही व्याख्या करना, के परिणाम वे जो मानते थे उससे बेहतर हैं।

अनुक्रम पूर्णता कार्यों पर प्रदर्शन के लिए संयुक्त माप लागू किया। उनके संयुक्त सरणियों (एक्स) के स्तंभों को पत्र श्रृंखला पूर्ण करने वाले कार्यों में कार्यशील मेमोरी प्लेस कीपर्स की बढ़ती संख्या के माध्यम से कार्यशील मेमोरी क्षमता पर रखी गई मांग द्वारा परिभाषित किया गया था। पंक्तियों को प्रेरणा के स्तर (ए) द्वारा परिभाषित किया गया था, जिसमें परीक्षण को पूरा करने के लिए अलग-अलग समय उपलब्ध थे। उनके डेटा (पी) में पूर्णता के समय और श्रृंखला की औसत संख्या सही थी। उन्हें रद्दीकरण स्वयंसिद्धों के लिए समर्थन मिला, हालांकि, उनका अध्ययन संयुक्त सरणियों के छोटे आकार (3 × 3 आकार है) और सांख्यिकीय तकनीकों द्वारा पक्षपाती था, जो रद्दीकरण स्वयंसिद्धों द्वारा लगाए गए क्रमिक प्रतिबंधों को ध्यान में नहीं रखते थे।

Kyngdon (2011) ने Karabatsos (2001) के आदेश-प्रतिबंधित निष्कर्ष ढांचे का उपयोग आइटम प्रतिक्रिया अनुपात (P) पढ़ने के एक संयुक्त मैट्रिक्स का परीक्षण करने के लिए किया, जहां परीक्षार्थी पढ़ने की क्षमता में संयुक्त सरणी (A) की पंक्तियाँ शामिल थीं और पढ़ने वाली वस्तुओं की कठिनाई सरणी के कॉलम (एक्स)। पढ़ने की क्षमता के स्तरों को कच्चे कुल परीक्षण स्कोर के माध्यम से पहचाना गया और पढ़ने के लिए लेक्साइल फ्रेमवर्क द्वारा पढ़ने की कठिनाई के स्तर की पहचान की गई. Kyngdon ने पाया कि रद्दीकरण स्वयंसिद्धों की संतुष्टि केवल मैट्रिक्स के क्रमपरिवर्तन के माध्यम से प्राप्त की गई थी जो आइटम कठिनाई के कल्पित लेक्साइल उपायों के साथ असंगत थी। Kyngdon ने बहुपद संयोजन माप का उपयोग करते हुए सिम्युलेटेड क्षमता परीक्षण प्रतिक्रिया डेटा का भी परीक्षण किया। डेटा को हम्फ्री के विस्तारित फ्रेम ऑफ रेफरेंस रेश मॉडल का उपयोग करके उत्पन्न किया गया था. उन्होंने तीन चरों में एक वितरणात्मक बहुपद संयुक्त संरचना के अनुरूप वितरण, एकल और दोहरे रद्दीकरण का समर्थन पाया।.

संदर्भ

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बाहरी संबंध

 * Karabatsos' S-Plus programs for testing conjoint axioms
 * Birnbaum's FORTRAN MONANOVA program for testing additivity
 * Kyngdon's R programs for enumerating cancellation tests, testing axioms and prospect theory
 * R statistical computing software