सबमैनिफोल्ड

गणित में, मैनिफोल्ड M का एक सबमैनिफोल्ड एक उपसमुच्चय S है जिसमें मैनिफोल्ड की संरचना स्वयं होती है, और जिसके लिए समावेशन प्रतिचित्र S → M कुछ गुणों को संतुष्ट करता है। वास्तव में किन गुणों की आवश्यकता है, इसके आधार पर विभिन्न प्रकार के सबमैनिफोल्ड होते हैं। अलग-अलग लेखकों की प्रायः अलग-अलग परिभाषाएँ होती हैं।

औपचारिक परिभाषा
निम्नलिखित में हम मानते हैं कि सभी मैनिफ़ोल्ड एक निश्चित r ≥ 1 के लिए वर्ग Cr के भिन्न-भिन्न मैनिफ़ोल्ड हैं, और सभी आकारिकी वर्ग Cr के भिन्न-भिन्न हैं।

विसर्जित उपमान
मैनिफोल्ड M का एक निमज्जित सबमैनफोल्ड एक निमज्‍जन (इमर्शन) प्रतिचित्र की इमेज S है f : N → M; सामान्य तौर पर यह इमेज एक उपसमुच्चय के रूप में एक उपमान नहीं होगी, और एक इमर्शन प्रतिचित्र को इंजेक्शन (एक-से-एक) होने की भी आवश्यकता नहीं है - इसमें स्व-प्रतिच्छेदन हो सकते हैं।

अधिक संकीर्ण रूप से, किसी को प्रतिचित्र की आवश्यकता हो सकती है f : N → M एक इंजेक्शन (एक-से-एक) बनें, जिसमें हम इसे एक इंजेक्शन इमर्शन (गणित) कहते हैं, और एक टोपोलॉजी (संरचना) और विभेदक संरचना जैसे इमेज उपसमुच्चय S के रूप में एक निमज्जित हुए उपमान को परिभाषित करते हैं वह S एक मैनिफोल्ड है और समावेशन एफ एक भिन्नरूपता है: यह सिर्फ N पर टोपोलॉजी है, जो सामान्य तौर पर उपसमुच्चय टोपोलॉजी से सहमत नहीं होगा: सामान्य तौर पर उपसमुच्चय टोपोलॉजी में S, M का उपमान नहीं है।

किसी भी इंजेक्शन इमर्शन को देखते हुए f : N → M M में N की इमेज (गणित) को विशिष्ट रूप से एक निमज्जित हुए सबमैनिफोल्ड की संरचना दी जा सकती है ताकि f : N → f(N) एक भिन्नरूपता है। इससे यह पता चलता है कि विसर्जित सबमैनिफोल्ड्स वास्तव में इंजेक्शन इमर्शन की इमेज हैं।

निमज्जित हुए सबमैनिफोल्ड पर सबमैनिफोल्ड टोपोलॉजी को एम से विरासत में मिली उपसमष्‍टि टोपोलॉजी होने की आवश्यकता नहीं है। सामान्य तौर पर, यह उपसमष्‍टि टोपोलॉजी की तुलना में बेहतर टोपोलॉजी होगी (यानी इसमें अधिक विवृत समुच्चय होंगे)।

निमज्जित हुए सबमैनिफोल्ड लाई समूहों के सिद्धांत में होते हैं जहां लाई उपसमूह स्वाभाविक रूप से निमज्जित हुए सबमैनिफोल्ड होते हैं। वे पत्तियों से सजाना के अध्ययन में भी दिखाई देते हैं जहां निमज्जित हुए सबमैनिफोल्ड्स फ्रोबेनियस प्रमेय (डिफरेंशियल टोपोलॉजी) को साबित करने के लिए सही संदर्भ प्रदान करते हैं।

एंबेडेड सबमैनिफोल्ड्स
एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड (जिसे रेगुलर सबमैनिफोल्ड भी कहा जाता है), एक इमर्शन सबमैनिफोल्ड है जिसके लिए समावेशन मानचित्र एक टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग है। अर्थात्, S पर सबमैनिफोल्ड टोपोलॉजी, उपसमष्‍टि टोपोलॉजी के समान है।

किसी भी एम्बेडिंग को देखते हुए f : N → M M में मैनिफोल्ड N की इमेज एफ(N) में स्वाभाविक रूप से एक एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड की संरचना होती है। अर्थात्, एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड्स बिल्कुल एम्बेडिंग की इमेजयां हैं।

एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड की एक आंतरिक परिभाषा है जो प्रायः उपयोगी होती है। मान लीजिए कि M एक n-आयामी मैनिफ़ोल्ड है, और मान लीजिए कि k एक पूर्णांक है 0 ≤ k ≤ n. एम का एक के-आयामी एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड एक उपसमुच्चय है S ⊂ M ऐसा कि हर बिंदु के लिए p ∈ S एक चार्ट उपस्थित है (टोपोलॉजी) (U ⊂ M, φ : U → Rn) जिसमें p इस प्रकार है φ(S ∩ U) φ(U) के साथ एक k-आयामी प्लेन (समतल गणित) का प्रतिच्छेदन है। जोड़े (S ∩ U, φ Sपर विभेदक संरचना के लिए एक एटलस (टोपोलॉजी) बनाएं।

अलेक्जेंडर का प्रमेय और स्कोनफ्लाइज़ प्रमेय|जॉर्डन-स्कोनफ्लाइज़ प्रमेय सुचारू एम्बेडिंग के अच्छे उदाहरण हैं।

अन्य विविधताएँ
साहित्य में प्रयुक्त उपमानों की कुछ अन्य विविधताएँ भी हैं। एक नीट सबमैनिफोल्ड एक ऐसा मैनिफोल्ड है जिसकी सीमा संपूर्ण मैनिफोल्ड की सीमा से मेल खाती है शार्प (1997) एक प्रकार के सबमैनिफोल्ड को परिभाषित करता है जो एक एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड और एक निमज्जित हुए सबमैनिफोल्ड के बीच कहीं स्थित होता है।

कई लेखक टोपोलॉजिकल सबमैनिफोल्ड्स को भी परिभाषित करते हैं। कई लेखक टोपोलॉजिकल सबमैनिफोल्ड्स को भी परिभाषित करते हैं। ये r = 0 के साथ Cr सबमेनिफोल्ड्स के समान हैं। एम्बेडिंग का विस्तार करने वाले प्रत्येक बिंदु पर एक समष्‍टिीय चार्ट के अस्तित्व के अर्थ में एक एम्बेडेड टोपोलॉजिकल सबमैनिफोल्ड आवश्यक रूप से नियमित नहीं है। प्रतिउदाहरणों में वाइल्ड चाप (आर्क्स) और वाइल्ड गांठें (क्नोट्स) सम्मिलित हैं।

गुण
एम के किसी भी निमज्जित हुए सबमैनफोल्ड Sको देखते हुए, S में एक बिंदु P के स्पर्शरेखा समष्‍टि को स्वाभाविक रूप से M में P के स्पर्शरेखा समष्‍टि के एक रैखिक उप-समष्‍टि के रूप में माना जा सकता है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि समावेशन प्रतिचित्र एक इमर्शन है और एक प्रदान करता है इंजेक्शन
 * $$i_{\ast}: T_p S \to T_p M.$$

मान लीजिए कि S, M का एक इमर्शन हुआ सबमैनिफोल्ड है। यदि समावेशन प्रतिचित्र i : S → M सवृत मैप है तो S वास्तव में का M एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड है। इसके विपरीत, यदि Sएक एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड है जो एक सवृत उपसमुच्चय भी है तो समावेशन मैप सवृत है। समावेशन प्रतिचित्र i : S → M सवृत है यदि और केवल यदि यह एक उचित प्रतिचित्र है (अर्थात कॉम्पैक्ट समुच्चय की व्युत्क्रम इमेजयां कॉम्पैक्ट हैं)। यदि i सवृत है तो S को M का 'क्लोज्ड एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड ' कहा जाता है। सवृत एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड्स सबमैनिफोल्ड्स का सबसे अच्छा वर्ग बनाते हैं।

वास्तविक समन्वय समष्‍टि के सबमैनफोल्ड
स्मूथ मैनिफोल्ड्स को कभी-कभी कुछ n के लिए वास्तविक समन्वय समष्‍टि Rn के एम्बेडेड सबमैनिफोल्ड्स के रूप में परिभाषित किया जाता है।, यह दृष्टिकोण सामान्य, अमूर्त दृष्टिकोण के समतुल्य है, क्योंकि, व्हिटनी एम्बेडिंग प्रमेय के अनुसार, किसी भी दूसरे-गणनीय स्मूथ (अमूर्त) एम-मैनिफोल्ड को R2m में आसानी से एम्बेड किया जा सकता है।