लेवल सेट

गणित में, वास्तविक-मूल्यवान फलन का स्तर समुच्चय $f$ का $n$ कई वास्तविक चरों का फलन एक समुच्चय (गणित) है जहाँ फलन दिए गए स्थिरांक (गणित) मान $c$ पर ले जाता है, अर्थात्:


 * $$ L_c(f) = \left\{ (x_1, \ldots, x_n) \mid  f(x_1, \ldots, x_n) = c \right\}~, $$

जब स्वतंत्र चरों की संख्या दो होती है, तो स्तर समूह को स्तर वक्र कहा जाता है, जिसे समोच्च रेखा या आइसोलाइन भी कहा जाता है; इसलिए एक स्तर वक्र दो चरों में एक समीकरण के सभी वास्तविक-मूल्यवान समाधानों का समुच्चय है $x2 = f (x1)$ तथा $x3 = f (x1, x2)$. कब $x4 = f (x1, x2, x3)$, स्तर समूह को स्तर     की सतह (गणित) (या आइसोसफेस) कहा जाता है; इसलिए एक समतल सतह तीन चरों में एक समीकरण के सभी वास्तविक-मूल्यवान मूलों का समुच्चय है $(n − 1)$, $f (x1, x2, …, xn) = a1x1 + a2x2 + ⋯ + anxn$ तथा $a1, a2, …, an$. के उच्च मूल्यों के लिए $n$, स्तर समूह एक स्तर ऊनविम पृष्ठ है, एक समीकरण के सभी वास्तविक-मूल्यवान जड़ों का समूह $(n + 1)$ चर।

एक स्तर समूह फाइबर (गणित) की एक विशेष स्तिथि है।

वैकल्पिक नाम
स्तर समूह कई अनुप्रयोगों में अधिकांशतः अलग-अलग नामों के अंतर्गत दिखाई देते हैं। उदाहरण के लिए, एक अंतर्निहित वक्र एक स्तर वक्र है, जिसे इसके पड़ोसी वक्रों से स्वतंत्र रूप से माना जाता है, इस बात पर बल देते हुए कि इस तरह के वक्र को एक अंतर्निहित समीकरण द्वारा परिभाषित किया गया है। समान रूप से, एक स्तर की सतह को कभी-कभी अंतर्निहित सतह या आइसोसफेस कहा जाता है।

आइसोकॉन्टूर नाम का भी उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ है समान ऊंचाई का समोच्च। विभिन्न अनुप्रयोग क्षेत्रों में, आइसोकॉन्टोर को विशिष्ट नाम प्राप्त हुए हैं, जो प्रायः माने गए फलन के मूल्यों की प्रकृति को इंगित करते हैं, जैसे कि आइसोबार (मौसम विज्ञान), आइसोथर्म (समोच्च रेखा), कंटूर लाइन # प्रकार, आइसोक्रोन मानचित्र, समोत्पाद और उदासीनता वक्र।

उदाहरण
2-आयामी यूक्लिडियन दूरी पर विचार करें: $$d(x, y) = \sqrt{x^2 + y^2}$$ एक स्तर समूह $$L_r(d)$$ इस फलन के उन बिंदुओं से मिलकर बनता है जो मूल से $$r$$ की दूरी पर स्थित होते हैं, जो एक वृत्त बनाता है। उदाहरण के लिए, $$(3, 4) \in L_5(d)$$, इसलिये $$d(3, 4) = 5$$. ज्यामितीय रूप से, इसका अर्थ है कि बिंदु $$(3, 4)$$ मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 5 के वृत्त पर स्थित है। सामान्यतः, एक मीट्रिक अंतरिक्ष में एक क्षेत्र $$(M, m)$$ त्रिज्या के साथ $$r$$ पर केंद्रित है $$x \in M$$ स्तर समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$L_r(y \mapsto m(x, y))$$.

एक दूसरा उदाहरण दाईं ओर की आकृति में दिखाए गए हिममेलब्लौ के कार्य का प्लॉट है। दिखाया गया प्रत्येक वक्र फलन का एक स्तर वक्र है, और उन्हें लघुगणकीय रूप से स्थान दिया गया है: यदि एक वक्र का प्रतिनिधित्व करता है $$L_x$$, वक्र सीधे भीतर दर्शाता है $$L_{x/10}$$, और वक्र सीधे बाहर का प्रतिनिधित्व करता है $$L_{10x}$$.

स्तर समूह बनाम ढाल


इसका अर्थ समझने के लिए, कल्पना करें कि दो पर्वतारोही पहाड़ पर एक ही स्थान पर हैं। उनमें से एक बोल्ड है, और वह उस दिशा में जाने का निश्चय करता है जहां ढलान सबसे तेज है। दूसरा अधिक सतर्क है; वह न तो चढ़ना चाहता है और न ही उतरना, ऐसा रास्ता चुनना जो उसे उसी ऊंचाई पर रखे। हमारी सादृश्यता में, उपरोक्त प्रमेय कहता है कि दो पर्वतारोही एक दूसरे के लंबवत दिशाओं में प्रस्थान करेंगे।

इस प्रमेय का एक परिणाम (और इसकी उपपत्ति) यह है कि यदि $f$ अलग-अलग है, एक स्तर समूह एक हाइपरसफेस है और महत्वपूर्ण बिंदु (गणित) के बाहर कई गुना है $f$. एक महत्वपूर्ण बिंदु पर, एक स्तर समूह को एक बिंदु तक कम किया जा सकता है (उदाहरण के लिए स्थानीय चरम पर $f$ ) या हो सकता है एक बीजगणितीय विविधता का एकवचन बिंदु जैसे कि एक प्रतिच्छेदन सिद्धांत | स्व-प्रतिच्छेदन बिंदु या एक कस्प (विलक्षणता)।

उप स्तर और उत्तम स्तर समूह
फॉर्म का एक समूह


 * $$ L_c^-(f) = \left\{ (x_1, \dots, x_n) \mid f(x_1, \dots, x_n) \leq c \right\} $$

f का एक उप स्तर समूह (या, वैकल्पिक रूप से, एक निचला स्तर समूह या f का ट्रेंच) कहा जाता है। f का एक कठोर उप स्तर समूह है


 * $$ \left\{ (x_1, \dots, x_n) \mid f(x_1, \dots, x_n) < c \right\} $$

उसी प्रकार


 * $$ L_c^+(f) = \left\{ (x_1, \dots, x_n) \mid  f(x_1, \dots, x_n) \geq c \right\} $$

f का उत्तम स्तर समूह (या, वैकल्पिक रूप से, f का ऊपरी स्तर समूह ) कहा जाता है। और 'f' का एक कठोर उत्तम स्तर समूह है


 * $$ \left\{ (x_1, \dots, x_n) \mid f(x_1, \dots, x_n) > c \right\} $$

गणितीय अनुकूलन में उप स्तर समूह महत्वपूर्ण हैं। अत्यधिक मूल्य प्रमेय द्वारा अर्ध-निरंतर कार्यों के लिए विस्तार | वीयरस्ट्रैस प्रमेय के द्वारा, कुछ खाली समूह का पूरी तरह से घिरा हुआ समूह | गैर-रिक्त उप स्तर समूह और फलन के निचले-अर्ध-निरंतरता का अर्थ है कि एक फलन अपने न्यूनतम को प्राप्त करता है। सभी उप स्तर समूह के उत्तल समूह के कार्यों की विशेषता है।

यह भी देखें

 * एपिग्राफ (गणित)
 * स्तर-समूह विधि
 * स्तर समूह (डेटा संरचनाएं)