गुणनखण्ड

गणित में, गुणनखंड (या गुणनखंड, अंग्रेजी वर्तनी अंतर देखें) या फ़ैक्टरिंग में एक संख्या या अन्य गणितीय वस्तु को कई गुणनखंडों के उत्पाद के रूप में लिखना होता है, आमतौर पर एक ही तरह की छोटी या सरल उद्देश्य है। उदाहरण के लिए, 3 × 5 का गुणनखंडन पूर्णांक 15 है, और बहुपद (x - 2)(x + 2) का गुणनखंडन x2 - 4 है।

गुणनखंडन को आमतौर पर विभाजन वाली संख्या प्रणालियों के भीतर सार्थक नहीं माना जाता है, जैसे वास्तविक या जटिल संख्याएं है, क्योंकि किसी भी $$x$$ को तुच्छ रूप से $$(xy)\times(1/y)$$ लिखा जा सकता है जब भी $$y$$ शून्य नहीं है। हालांकि, एक परिमेय संख्या या एक परिमेय फलन के लिए एक सार्थक गुणनखंडन को सबसे कम शब्दों में लिखकर और उसके अंश और हर को अलग-अलग करके प्राप्त किया जा सकता है।

प्राचीन यूनानी गणितज्ञों ने सबसे पहले पूर्णांकों के मामले में गुणनखंडन पर विचार किया था। उन्होंने अंकगणित के मूलभूत प्रमेय को सिद्ध किया, जो यह दावा करता है कि प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक को अभाज्य संख्याओं के गुणनफल में विभाजित किया जा सकता है, जिसे आगे 1 से अधिक पूर्णांकों में विभाजित नहीं किया जा सकता है। इसके अलावा, यह गुणनखंड के क्रम तक अद्वितीय है। हालांकि पूर्णांक गुणनखंड गुणन का एक प्रकार है, यह कलनविधि (एल्गोरिथम) की दृष्टि से कहीं अधिक कठिन है, एक तथ्य है जिसका सार्वजनिक-कुंजी बीज-लेखन को लागू करने के लिए RSA क्रिप्टोसिस्टम में उपयोग किया जाता है।

सदियों से बहुपद गुणनखंड का भी अध्ययन किया गया है। प्रारंभिक बीजगणित में, बहुपद का गुणनखंड करने से इसकी मूल को खोजने की समस्या को गुणनखंडों की मूल को खोजने की समस्या कम हो जाती है। पूर्णांकों में या किसी क्षेत्र में गुणांक वाले बहुपदों में अद्वितीय गुणनखंडन गुण होते हैं, जो अभाज्य संख्याओं के साथ अंकगणित के मौलिक प्रमेय का एक संस्करण है जिसे अखंडनीय बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। विशेष रूप से, जटिल गुणांक वाला एक अविभाज्य बहुपद रैखिक बहुपदों में एक अद्वितीय (आदेश देने तक) गुणनखंड को स्वीकार करता है: यह बीजगणित के मौलिक प्रमेय का एक संस्करण है। इस मामले में, गुणनखंडकरण मूल निकालने की विधि के साथ किया जा सकता है। पूर्णांक गुणांक के साथ बहुपद का मामला कंप्यूटर बीजगणित के लिए मौलिक है। तर्कसंगत संख्या गुणांक के साथ बहुपद की अंगूठी के भीतर अभिकलन (कंप्यूटिंग) (पूर्ण) गुणनखंड के लिए कुशल अभिकलित्र कलनविधि (कंप्यूटर एल्गोरिदम) हैं (बहुपदों का गुणनखंड देखें)।

अद्वितीय गुणनखंड गुण वाले क्रमविनिमेय (कम्यूटेटिव) रिंग को एक अद्वितीय गुणनखंडकरण डोमेन कहा जाता है। संख्या प्रणालियाँ हैं, जैसे कि बीजगणितीय पूर्णांक के कुछ छल्ले, जो अद्वितीय गुणनखंड नहीं हैं। हालांकि, बीजगणितीय पूर्णांक के छल्ले डेडेकिंड डोमेन की कमजोर गुण को आदर्श गुणनखंड विशिष्ट आदर्शों में विशिष्ट रूप से संतुष्ट करते हैं।

गुणनखंडन एक गणितीय वस्तु के अधिक सामान्य अपघटन को छोटी या सरल वस्तुओं के उत्पाद में भी संदर्भित कर सकता है। उदाहरण के लिए, प्रत्येक फलन को एकैकी फलन के साथ एक विशेषण फलन की संरचना में शामिल किया जा सकता है। मैट्रिक्स में कई प्रकार के मैट्रिक्स गुणनखंड होते हैं। उदाहरण के लिए, प्रत्येक मैट्रिक्स में एक निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स L के उत्पाद के रूप में एक अद्वितीय LUP गुणनखंडन होता है, जिसमें सभी विकर्ण प्रविष्टियाँ एक के बराबर होती हैं, एक ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स U, और एक क्रमपरिवर्तन मैट्रिक्स प, यह गाऊसी उन्मूलन का एक मैट्रिक्स सूत्रीकरण है।

पूर्णांक
अंकगणित के मौलिक प्रमेय के अनुसार, 1 से अधिक के प्रत्येक पूर्णांक में अभाज्य संख्याओं में अद्वितीय (गुणनखंडों के क्रम तक) गुणनखंड होता है, जो वे पूर्णांक होते हैं जिन्हें एक से अधिक पूर्णांकों के गुणनफल में और अधिक गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है।

पूर्णांक n के गुणनखंडन की गणना के लिए, किसी को n के भाजक q को खोजने या यह तय करने के लिए एक कलन विधि (एल्गोरिथ्म) की आवश्यकता होती है कि n अभाज्य है। जब ऐसा भाजक पाया जाता है, तो q और n / q के गुणनखंडों के लिए इस कलन विधि (एल्गोरिथ्म) का बार-बार आवेदन अंततः n का पूर्ण गुणनखंडन देता है।.

n का भाजक q ज्ञात करने के लिए, यदि कोई हो, तो q के सभी मानों का इस प्रकार परीक्षण करना पर्याप्त है कि $1 < q$ तथा $q^{2} ≤ n$। वास्तव में, अगर $r$ का भाजक है $n$ तो $r^{2} > n$, फिर $q = n / r$ का भाजक है $n$ तो $q^{2} ≤ n$।

यदि कोई q के मानों को बढ़ते क्रम में परीक्षण करता है, तो पाया जाने वाला पहला भाजक अनिवार्य रूप से एक अभाज्य संख्या है, और सहगुणनखंड $r = n / q$ मेंसे छोटा कोई भाजक नहीं हो सकता है। पूर्ण गुणनखंडन प्राप्त करने के लिए, इस प्रकार $r$ के भाजक की खोज करके कलन विधि (एल्गोरिथ्म) को जारी रखना पर्याप्त है जो $q$ से छोटा नहीं है और$√r$ से बड़ा नहीं है।

विधि को लागू करने के लिए $q$ के सभी मानों का परीक्षण करने की कोई आवश्यकता नहीं है। सिद्धांत रूप में, यह केवल अभाज्य भाजक का परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है। इसके लिए अभाज्य संख्याओं की एक तालिका होनी चाहिए जो उदाहरण के लिए एराटोस्थनीज की चलनी के साथ उत्पन्न हो सकती है। चूंकि गुणनखंडन की विधि अनिवार्य रूप से एराटोस्थनीज की छलनी के समान काम करती है, इसलिए आमतौर पर केवल उन संख्याओं के भाजक के लिए परीक्षण करना अधिक कुशल होता है जिनके लिए यह तुरंत स्पष्ट नहीं होता है कि वे अभाज्य हैं या नहीं है। आमतौर पर, कोई 2, 3, 5, और संख्या >5  का परीक्षण करके आगे बढ़ सकता है, जिसका अंतिम अंक 1, 3, 7, 9 है और अंकों का योग 3 का गुणज नहीं है।

यह विधि छोटे पूर्णांकों के गुणनखंड के लिए अच्छी तरह से काम करती है, लेकिन बड़े पूर्णांकों के लिए अक्षम है। उदाहरण के लिए, पियरे डी फ़र्मेट 6 वीं फ़र्मेट नंबर पता लगाने में असमर्थ था
 * $$1 + 2^{2^5} = 1 + 2^{32} = 4\,294\,967\,297$$

वास्तव में, उपरोक्त विधि को लागू करने के लिए अधिक से अधिक की आवश्यकता होगी $10,000 प्रभाग$, संख्या के लिए जिसमें 10 दशमलव अंक हैं।

अधिक कुशल फैक्टरिंग कलन विधि (एल्गोरिथ्म) हैं। हालाँकि, वे अपेक्षाकृत अक्षम रहते हैं, क्योंकि, कला की वर्तमान स्थिति के साथ, कोई भी अधिक प्रभावशाली अभिकलित्र के साथ, 500 दशमलव अंकों की संख्या का गुणनखंड नहीं कर सकता है, जो कि दो यादृच्छिक रूप से चुनी गई अभाज्य संख्याओं का उत्पाद है। यह RSA क्रिप्टोसिस्टम की सुरक्षा सुनिश्चित करता है, जिसका व्यापक रूप से सुरक्षित इंटरनेट संचार के लिए उपयोग किया जाता है।

उदाहरण
फैक्टरिंग के लिए $n = 1386$ सम में:
 * 2 से विभाजन से शुरू करें: संख्या सम है, और $n = 2 · 693$। 693 और 2 को पहले भाजक उम्मीदवार के रूप में जारी रखें।
 * 693 विषम है (2 एक विभाजक नहीं है), लेकिन 3 में से एक है: एक है $693 = 3 · 231$ तथा $n = 2 · 3 · 231$। 231, और 3 के साथ पहले भाजक के उम्मीदवार के रूप में जारी रखें।
 * 231 भी 3 का गुणज है: एक में 231 = 3 · 77, और इस प्रकार n = 2 · 32 · 77 है। 77 के साथ जारी रखें, और 3 पहले भाजक उम्मीदवार के रूप में।
 * 77 का गुणज 3 नहीं है, क्योंकि इसके अंकों का योग 14 है, 3 का गुणज नहीं है। यह 5 का गुण ज भी नहीं है क्योंकि इसका अंतिम अंक 7 है। परीक्षण किया जाने वाला अगला विषम भाजक 7 है। 77 = 7 · 11, और इस प्रकार n = 2 · 32 · 7 · 11. इससे पता चलता है कि 7 अभाज्य है (सीधे परीक्षण करने में आसान)। पहले भाजक उम्मीदवार के रूप में 11, और 7 के साथ जारी रखें।
 * 72 > 11 के रूप में, समाप्त हो गया है। इस प्रकार 11 अभाज्य है, और अभाज्य गुणनखंड है

व्यंजक
व्यंजक में हेर-फेर करना बीजगणित का आधार है। कई कारणों से अभिव्यक्ति हेरफेर के लिए गुणनखण्ड सबसे महत्वपूर्ण तरीकों में से एक है। यदि कोई समीकरण को गुणनखंडित रूप $1386 = 2 · 3^{2} · 7 · 11$, में रख सकता है, तो समीकरण को हल करने की समस्या दो स्वतंत्र (और आम तौर पर आसान) समस्याओं  $E⋅F = 0$ तथा $E = 0$ में विभाजित हो जाती है। जब किसी व्यंजक को गुणनखंडित किया जा सकता है, तो गुणनखंड अक्सर बहुत सरल होते हैं, और इस प्रकार समस्या पर कुछ अंतर्दृष्टि प्रदान कर सकते हैं। उदाहरण के लिए,
 * $$x^3-ax^2-bx^2-cx^2+ abx+acx+bcx-abc$$

16 गुणन, 4 घटाव और 3 परिवर्धन, बहुत सरल अभिव्यक्ति में कारक किया जा सकता है
 * $$(x-a)(x-b)(x-c),$$
 * केवल दो गुणा और तीन घटाव के साथ होता है। इसके अलावा, गुणनखंडित रूप तुरंत x = a, b, c को बहुपद के मूल के रूप में देता है।

दूसरी ओर, गुणनखंडन हमेशा संभव नहीं होता है, और जब यह संभव होता है, तो गुणनखंड हमेशा सरल नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, $$x^{10}-1$$ को दो अपरिवर्तनीय गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है $$x-1$$ तथा$$x^{9}+x^{8}+\cdots+x^2+x+1$$।

गुणनखंडों को खोजने के लिए विभिन्न विधियों का विकास किया गया है, कुछ नीचे वर्णित हैं।

बीजीय समीकरणों को हल करना बहुपद गुणनखंडन की समस्या के रूप में देखा जा सकता है। वास्तव में, बीजगणित के मूल प्रमेय को इस प्रकार बताया जा सकता है: जटिल गुणांक वाले डिग्री $F = 0$ के $x$ में प्रत्येक बहुपद को $n$ रैखिक गुणनखंडों में विभाजित किया जा सकता है $$x-a_i,$$ के लिये $n$, जहां  $i = 1, ..., n$s बहुपद की मूल हैं। भले ही इन मामलों में गुणनखंडन की संरचना ज्ञात हो, $a_{i}$s की गणना आम तौर पर एबेल-रफिनी प्रमेय द्वारा रेडिकल्स  (nthमूल्स)  के रूप में नहीं की जा सकती है। ज्यादातर मामलों में, सबसे अच्छा जो किया जा सकता है वह है मूलनिर्धारण  कलन विधि (मूल-फाइंडिंग एल्गोरिथम) के साथ मूल के अनुमानित मूल्यों की गणना है।

व्यंजक के गुणनखंड का इतिहास
अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए बीजगणितीय जोड़तोड़ का व्यवस्थित उपयोग (अधिक विशेष रूप से समीकरण)) अल-ख्वारिज्मी की पुस्तक द कम्पेंडिअस बुक ऑन कैलकुलेशन बाय कंप्लीशन एंड बैलेंसिंग के साथ 9वीं शताब्दी तक की जा सकती है, जिसका शीर्षक दो प्रकार के हेरफेर के साथ है।

हालांकि, द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए भी, उनकी मृत्यु के दस साल बाद, 1631 में प्रकाशित हैरियट के काम से पहले फैक्टरिंग पद्धति का उपयोग नहीं किया गया था। अपनी पुस्तक आर्टिस एनालिटिका प्रैक्सिस एड एक्यूएशंस अल्जेब्राइकस रेसोलवेंडास में, हैरियट ड्रा, जोड़, घटाव, गुणा और एकपद, द्विपद और त्रिपदी के विभाजन के लिए टेबल है। फिर, एक दूसरे खंड में, उन्होंने समीकरण $a_{i}$, स्थापित किया, और दिखाया कि यह गुणन $aa − ba + ca = + bc$ देते हुए, उनके द्वारा पहले प्रदान किए गए गुणन के रूप से मेल खाता है।.

सामान्य तरीके
निम्नलिखित विधियाँ किसी भी व्यंजक पर लागू होती हैं जो एक योग है, या जिसे योग में परिवर्तित किया जा सकता है। इसलिए, वे अक्सर बहुपदों पर लागू होते हैं, हालांकि उन्हें तब भी लागू किया जा सकता है जब योग की शर्तें एकपदी नहीं होती हैं, यानी योग की शर्तें चर और स्थिरांक का उत्पाद होती हैं।

समापवर्तक
ऐसा हो सकता है कि किसी योग के सभी पद उत्पाद हों और कुछ गुणनखंड सभी पदों के लिए समान हों। इस मामले में, वितरण कानून इस समापवर्तक को अलग करने की अनुमति देता है। यदि ऐसे कई समापवर्तक हैं, तो ऐसे सबसे बड़े समापवर्तक को विभाजित करना बेहतर होता है। इसके अलावा, यदि पूर्णांक गुणांक हैं, तो कोई इन गुणांकों के सबसे बड़े सामान्य भाजक को निकाल सकता है।

उदाहरण के लिए,
 * $$6x^3y^2 + 8x^4y^3 - 10x^5y^3 = 2x^3y^2(3 + 4xy -5x^2y),$$

चूंकि 2 6, 8, और 10 का सबसे बड़ा सामान्य भाजक है, और $$x^3y^2$$ सभी शर्तों को विभाजित करता है।

समूहन
समूहीकरण शब्द एक गुणनखंड प्राप्त करने के लिए अन्य तरीकों का उपयोग करने की अनुमति दे सकते हैं।

उदाहरण के लिए, गुणनखंड के लिए
 * $$4x^2+20x+3xy+15y, $$

कोई टिप्पणी कर सकता है कि पहले दो पदों में एक उभयनिष्ठ गुणनखंड $x$, है, और अंतिम दो पदों में उभयनिष्ठ गुणनखंड $y$ है। इस प्रकार
 * $$4x^2+20x+3xy+15y = (4x^2+20x)+(3xy+15y) = 4x(x+5)+3y(x+5). $$

फिर एक साधारण निरीक्षण समापवर्तक $(a − b)(a + c)$ दिखाता है, जिससे गुणनखंड हो जाता है
 * $$4x^2+20x+3xy+15y = (4x+3y)(x+5).$$

सामान्य तौर पर, यह 4 पदों के योग के लिए कार्य करता है जो दो द्विपदों के गुणनफल के रूप में प्राप्त हुए हैं। हालांकि अक्सर नहीं, यह अधिक जटिल उदाहरणों के लिए भी काम कर सकता है।

शब्दों (टर्म) को जोड़ना और घटाना
कभी-कभी, कुछ शब्द समूहन एक पहचानने योग्य पैटर्न के हिस्से को प्रकट करता है। फिर पैटर्न को पूरा करने के लिए शब्दों (टर्म) को जोड़ना और घटाना उपयोगी होता है।

इसका एक विशिष्ट उपयोग द्विघात सूत्र प्राप्त करने के लिए वर्ग विधि को पूरा करना है।

अन्य उदाहरण $$x^4 + 1$$का गुणनखंडन है। यदि कोई -1 के अवास्तविक वर्गमूल का परिचय देता है, जिसे आमतौर पर i कहा जाता है, तो उसके पास वर्गों का अंतर होता है
 * $$x^4+1=(x^2+i)(x^2-i).$$

हालाँकि, कोई वास्तविक संख्या गुणांक के साथ एक गुणनखंड भी चाहता है। $$2x^2,$$ को जोड़कर और घटाकर और तीन शब्दों (टर्म) को एक साथ समूहीकृत करके, कोई व्यक्ति द्विपद के वर्ग को पहचान सकता है
 * $$x^4+1 = (x^4+2x^2+1)-2x^2 = (x^2+1)^2 - \left(x\sqrt2\right)^2 =\left(x^2+x\sqrt2+1\right)\left(x^2-x\sqrt2+1\right).$$

$$2x^2$$ को घटाने और जोड़ने से भी गुणनखंड प्राप्त होता है:
 * $$x^4+1 = (x^4-2x^2+1)+2x^2 = (x^2-1)^2 + \left(x\sqrt2\right)^2 =\left(x^2+x\sqrt{-2}-1\right)\left(x^2-x\sqrt{-2}-1\right).$$

ये गुणनखंडन केवल सम्मिश्र संख्याओं पर ही नहीं, बल्कि किसी भी क्षेत्र पर भी कार्य करते हैं, जहाँ या तो-1, 2 या -2 एक वर्ग है। एक परिमित क्षेत्र में, दो गैर-वर्गों का गुणनफल एक वर्ग होता है, इसका तात्पर्य यह है कि बहुपद $$x^4 + 1,$$ जो पूर्णांकों के ऊपर अलघुकरणीय (इरेड्यूसेबल) है, प्रत्येक अभाज्य संख्या में लघुकरणीय (रिड्यूसेबल) मॉड्यूलो है। उदाहरण के लिए,
 * $$x^4 + 1 \equiv (x+1)^4 \pmod 2;$$
 * $$x^4 + 1 \equiv (x^2+x-1)(x^2-x-1) \pmod 3,\qquad$$जबसे $$1^2 \equiv -2 \pmod 3;$$
 * $$x^4 + 1 \equiv (x^2+2)(x^2-2) \pmod 5,\qquad$$जबसे  $$2^2 \equiv -1 \pmod 5;$$
 * $$x^4 + 1 \equiv (x^2+3x+1)(x^2-3x+1) \pmod 7,\qquad$$जबसे  $$3^2 \equiv 2 \pmod 7.$$

पहचानने योग्य प्रतिलिपि
कई सर्वसमिकाएँ योग और उत्पाद के बीच समानता प्रदान करती हैं। उपरोक्त विधियों का उपयोग किसी पहचान के योग पक्ष को एक अभिव्यक्ति में प्रकट होने देने के लिए किया जा सकता है, जिसे एक उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।

नीचे वे पहचानें दी गई हैं जिनके बाएं हाथ के पक्षों को आमतौर पर प्रतिलिपि के रूप में उपयोग किया जाता है (इसका मतलब है कि इन पहचानों में दिखाई देने वाले चर E और F अभिव्यक्ति के किसी भी उप-अभिव्यक्ति का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं जिसे गुणनखंडित किया जाना है)।


 * दो वर्गों का अंतर
 * उदाहरण के लिए,
 * $$\begin{align}

a^2 + &2ab + b^2 - x^2 +2xy - y^2 \\ &= (a^2 + 2ab + b^2) - (x^2 -2xy + y^2) \\ &= (a+b)^2 - (x -y)^2 \\ &= (a+b + x -y)(a+b -x + y). \end{align} $$
 * दो घनों का योग/अंत
 * $$ E^3 + F^3 = (E + F)(E^2 - EF + F^2)$$
 * $$ E^3 - F^3 = (E - F)(E^2 + EF + F^2)$$
 * दो चौथी घात का अंतर

$$\begin{align} E^4 - F^4 &= (E^2 + F^2)(E^2 - F^2) \\ &= (E^2 + F^2)(E + F)(E - F) \end{align}$$


 * दो $n$वें घात का योग/अंतर
 * निम्नलिखित पहचानों में, गुणनखंडों को अक्सर आगे बढ़ाया जा सकता है:
 * अंतर, यहां तक कि घातांक
 * $$E^{2n}-F^{2n}= (E^n+F^n)(E^n-F^n)$$
 * अंतर, यहां तक कि या विषम प्रतिपादक
 * $$ E^n - F^n = (E-F)(E^{n-1} + E^{n-2}F + E^{n-3}F^2 + \cdots + EF^{n-2}  + F^{n-1} )$$
 * यह एक उदाहरण है जो यह दिखाता है कि गुणनखंड उस राशि से बहुत बड़े हो सकते हैं जो गुणनखंड किया गया है।
 * संक्षेप, विषम प्रतिपादक
 * $$ E^n + F^n = (E+F)(E^{n-1} - E^{n-2}F + E^{n-3}F^2 - \cdots - EF^{n-2}  + F^{n-1} )$$ (पूर्ववर्ती सूत्र में F को –F से बदलकर प्राप्त किया गया)
 * संक्षेप, यहां तक कि घातांक
 * यदि घातांक दो की घात है तो व्यंजक को, सामान्य रूप से, सम्मिश्र संख्याओं को प्रस्तुत किए बिना गुणनखंडित नहीं किया जा सकता है (यदि E और F में सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो यह मामला नहीं हो सकता है)। यदि n में एक विषम भाजक है, अर्थात यदि $x + 5$ साथ $p$ विषम, पर लागू पूर्ववर्ती सूत्र ("योग, विषम घातांक" में) का उपयोग कर सकता है $$(E^q)^p+(F^q)^p.$$
 * त्रिपद और घन सूत्र

$$ \begin{align} &x^2 + y^2 + z^2 + 2(xy +yz+xz)= (x + y+ z)^2 \\ &x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz = (x + y + z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - xz - yz)\\ &x^3 + y^3 + z^3 + 3x^2(y + z) +3y^2(x+z) + 3z^2(x+y) + 6xyz = (x + y+z)^3 \\ &x^4 + x^2y^2 + y^4 = (x^2 + xy+y^2)(x^2 - xy + y^2). \end{align} $$
 * द्विपद विस्तार द्विपद प्रमेय उन प्रतिलिपि की आपूर्ति करता है जिन्हें आसानी से उन पूर्णांकों से पहचाना जा सकता है जो उनमें दिखाई देते हैं
 * कम डिग्री में:
 * $$ a^2 + 2ab + b^2 = (a + b)^2$$
 * $$ a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$$
 * $$ a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3 = (a+b)^3 $$
 * $$ a^3 - 3a^2b + 3ab^2 - b^3 = (a-b)^3 $$
 * अधिक सामान्यतः, $$(a+b)^n$$ तथा$$(a-b)^n$$ के विस्तारित रूपों के गुणांक द्विपद गुणांक हैं, जो प्रकट होते हैं पास्कल त्रिभुज की nवीं पंक्ति में है।

इकाई के मूल
ईकाई के n वें मूल सम्मिश्र संख्याएँ जिनमें से प्रत्येक बहुपद $$x^n-1.$$ का मूल है। वे इस प्रकार संख्याएं हैं
 * $$e^{2ik\pi/n}=\cos \tfrac{2\pi k}n +i\sin \tfrac{2\pi k}n$$

$$k=0, \ldots, n-1.$$के लिये

यह इस प्रकार है कि किसी भी दो अभिव्यक्तियों के लिए $E$ तथा $F$, किसी के पास:
 * $$E^n-F^n= (E-F)\prod_{k=1}^{n-1} \left(E-F e^{2ik\pi/n}\right)$$
 * $$E^{n}+F^{n}=\prod_{k=0}^{n-1} \left(E-F e^{(2k+1)i\pi/n}\right) \qquad \text{if } n \text{ is even}$$
 * $$E^{n}+F^{n}=(E+F)\prod_{k=1}^{n-1}\left(E+F e^{2ik\pi/n}\right) \qquad \text{if } n \text{ is odd}$$

यदि E और F वास्तविक व्यंजक हैं, और कोई वास्तविक गुणनखंड चाहता है, तो जटिल संयुग्मी गुणनखंडों के प्रत्येक युग्म को उसके गुणनफल से बदलना होगा। $$e^{i\alpha}$$ है$$e^{-i\alpha},$$ के जटिल संयुग्म के रूप में तथा
 * $$\left(a-be^{i\alpha}\right)\left(a-be^{-i\alpha}\right)=

a^2-ab\left(e^{i\alpha}+e^{-i\alpha}\right)+b^2e^{i\alpha}e^{-i\alpha}= a^2-2ab\cos\,\alpha +b^2, $$ एक में निम्नलिखित वास्तविक गुणनखंड होते हैं (एक k को n - k या n 1 - k में बदलकर और सामान्य त्रिकोणमितीय सूत्रों को लागू करके एक से दूसरे में जाता है:
 * $$\begin{align}E^{2n}-F^{2n}&=

(E-F)(E+F)\prod_{k=1}^{n-1} \left(E^2-2EF \cos\,\tfrac{k\pi}n +F^2\right)\\ &=(E-F)(E+F)\prod_{k=1}^{n-1} \left(E^2+2EF \cos\,\tfrac{k\pi}n +F^2\right)\end{align}$$
 * $$ \begin{align}E^{2n} + F^{2n} &=

\prod_{k=1}^n \left(E^2 + 2EF\cos\,\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}+F^2\right)\\ &=\prod_{k=1}^n \left(E^2 - 2EF\cos\,\tfrac{(2k-1)\pi}{2n}+F^2\right) \end{align}$$ इन गुणनखंडों में दिखाई देने वाली कोसाइन (cosines) बीजगणितीय संख्याएँ हैं, और इन्हें मूलांक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है (यह संभव है क्योंकि उनका गैलोइस समूह चक्रीय है), हालाँकि, n के निम्न मानों को छोड़कर, ये मूल अभिव्यक्तियाँ उपयोग करने के लिए बहुत जटिल हैं। उदाहरण के लिए,
 * $$ a^4 + b^4 = (a^2 - \sqrt 2 ab + b^2)(a^2 + \sqrt 2 ab + b^2).$$
 * $$ a^5 - b^5 = (a - b)\left(a^2 + \frac{1-\sqrt 5}2 ab + b^2\right)\left(a^2 +\frac{1+\sqrt 5}2 ab + b^2\right),$$
 * $$ a^5 + b^5 = (a + b)\left(a^2 - \frac{1-\sqrt 5}2 ab + b^2\right)\left(a^2 -\frac{1+\sqrt 5}2 ab + b^2\right),$$

अक्सर कोई तर्कसंगत गुणांक के साथ एक गुणनखंड चाहता है। इस तरह के एक गुणनखंड में साइक्लोटोमिक बहुपद शामिल हैं। योगों और अंतरों या घातों के तर्कसंगत गुणनखंडों को व्यक्त करने के लिए, हमें एक बहुपद के समरूपीकरण के लिए एक संकेतन की आवश्यकता होती है: यदि $$P(x)=a_0x^n+a_ix^{n-1} +\cdots +a_n,$$ इसका समरूपीकरण द्विचर है बहुपद $$\overline P(x,y)=a_0x^n+a_ix^{n-1}y +\cdots +a_ny^n.$$ फिर, एक है
 * $$E^n-F^n=\prod_{k\mid n}\overline Q_n(E,F),$$
 * $$E^n+F^n=\prod_{k\mid 2n,k\not\mid n}\overline Q_n(E,F),$$

जहां उत्पादों को n के सभी भाजक पर ले लिया जाता है, या 2n के सभी भाजक जो n को विभाजित नहीं करते हैं, और $$Q_n(x)$$) nth चक्रविक्षिप्त (साइक्लोटॉमिक) बहुपद है।

उदाहरण के लिए,
 * $$a^6-b^6= \overline Q_1(a,b)\overline Q_2(a,b)\overline Q_3(a,b)\overline Q_6(a,b)=(a-b)(a+b)(a^2-ab+b^2)(a^2+ab+b^2),$$
 * $$a^6+b^6=\overline Q_4(a,b)\overline Q_{12}(a,b) = (a^2+b^2)(a^4-a^2b^2+b^4),$$

चूंकि 6 के विभाजक 1, 2, 3, 6 हैं, और 12 के विभाजक जो 6 को विभाजित नहीं करते हैं, वे 4 और 12 हैं।

बहुपद
बहुपदों के लिए, गुणनखंडन का बीजीय समीकरणों को हल करने की समस्या से गहरा संबंध है। बीजीय समीकरण का रूप होता है
 * $$P(x)\ \,\stackrel{\text{def}}{=}\ \,a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_n=0,$$

जहाँ $n = pq$ में एक बहुपद है $x$ साथ $$a_0\ne 0.$$इस समीकरण का एक हल (जिसे बहुपद का मूल भी कहा जाता है) है x का मान r ऐसा है कि
 * $$P(r)=0.$$

अगर $$P(x)=Q(x)R(x)$$ दो के गुणनफल के रूप में $P(x)$ का गुणनखंडन है बहुपद, तो $P(x) = 0$ की मूल $P(x)$ की मूल और $Q(x)$ की मूल का मिलन हैं। इस प्रकार $R(x)$ को हल करना $P(x) = 0$ तथा $Q(x) = 0$ को हल करने की सरल समस्याओं में कम हो जाता है।

इसके विपरीत, गुणनखंड प्रमेय यह दावा करता है कि, यदि $r$, $R(x) = 0$, का मूल है, तो फिर $P(x) = 0$ का गुणनखंड इस प्रकार किया जा सकता है
 * $$P(x)=(x-r)Q(x),$$

जहां $P(x)$ रैखिक (डिग्री एक) गुणनखंड$Q(x)$ द्वारा  $x – r$ के यूक्लिडियन विभाजन का भागफल है।

यदि $P(x) = 0$के गुणांक वास्तविक या सम्मिश्र संख्याएँ हैं, तो बीजगणित का मूल प्रमेय दावा करता है कि $P(x)$ का एक वास्तविक या सम्मिश्र मूल है। गुणनखंड प्रमेय का पुनरावर्ती रूप से प्रयोग करने पर यह परिणाम मिलता है कि
 * $$P(x)=a_0(x-r_1)\cdots (x-r_n),$$

जहां $$r_1, \ldots, r_n$$ $P$ P के वास्तविक या जटिल मूल हैं, जिनमें से कुछ को संभवतः दोहराया जा सकता है। यह पूर्ण गुणनखंडन गुणनखंडों के क्रम तक अद्वितीय है।

यदि $P(x)$ के गुणांक वास्तविक हैं, तो आम तौर पर एक ऐसा गुणनखंडन चाहता है जहां गुणनखंडों के वास्तविक गुणांक हों। इस मामले में, पूर्ण गुणनखंड में कुछ द्विघात (डिग्री दो) गुणनखंड हो सकते हैं। यह गुणनखंड उपरोक्त पूर्ण गुणनखंड से आसानी से निकाला जा सकता है। वास्तव में, यदि $P(x)$, $r = a + ib$ का अवास्तविक मूल है, तो इसका सम्मिश्र संयुग्म $P(x)$ भी $s = a - ib$ का मूल है। तो, उत्पाद
 * $$(x-r)(x-s) = x^2-(r+s)x+rs =x^2+2ax+a^2+b^2$$

वास्तविक गुणांकों के साथ $P(x)$ का एक गुणनखंड है। सभी अवास्तविक गुणनखंडों के लिए इसे दोहराने से रैखिक या द्विघात वास्तविक गुणनखंडों के साथ एक गुणनखंड मिलता है।

इन वास्तविक या जटिल गुणनखंडों की गणना के लिए, किसी को बहुपद की मूल की आवश्यकता होती है, जिसकी गणना ठीक से नहीं की जा सकती है, और केवल मूल निकालने की कलनविधि (मूल-फाइंडिंग एल्गोरिदम) का उपयोग करके अनुमानित किया जाता है।

व्यवहार में, ब्याज के अधिकांश बीजीय समीकरणों में पूर्णांक या परिमेय गुणांक होते हैं, और एक ही प्रकार के गुणनखंडों के साथ एक गुणनखंडन चाहता है। अंकगणित के मौलिक प्रमेय को इस मामले में सामान्यीकृत किया जा सकता है, जिसमें कहा गया है कि पूर्णांक या तर्कसंगत गुणांक वाले बहुपदों में अद्वितीय गुणन गुण होते हैं। अधिक सटीक रूप से, तर्कसंगत गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को उत्पाद में गुणनखंडित किया जा सकता है
 * $$P(x)=q\,P_1(x)\cdots P_k(x),$$

जहाँ $q$ एक परिमेय संख्या है और $$P_1(x), \ldots, P_k(x)$$ पूर्णांक गुणांक वाले गैर-स्थिर बहुपद हैं जो अलघुकरणीय (इरेड्यूसेबल) और आदिम हैं, इसका मतलब यह है कि $$P_i(x)$$  में से कोई भी उत्पाद दो बहुपद (पूर्णांक गुणांक वाले) के रूप में नहीं लिखा जा सकता है जो न तो 1 है और न ही -1 (पूर्णांकों को बहुपद माना जाता है) शून्य डिग्री)। इसके अलावा, यह गुणनखंड गुणनखंडों के क्रम और गुणनखंडों के संकेतों तक अद्वितीय है।

इस गुणनखंड की गणना के लिए कुशल कलनविधि (एल्गोरिथम) हैं, जिन्हें अधिकांश कंप्यूटर बीजगणित प्रणालियों में लागू किया जाता है। बहुपदों का गुणनखंडन देखें। दुर्भाग्य से, ये कलनविधि (एल्गोरिथम) कागज और पेंसिल गणना के लिए उपयोग करने के लिए बहुत जटिल हैं। उपरोक्त अनुमानों के अलावा, केवल कुछ विधियां हाथ की गणना के लिए उपयुक्त हैं, जो आम तौर पर केवल कम डिग्री के बहुपदों के लिए काम करती हैं, कुछ गैर-शून्य गुणांक के साथ। इस तरह की मुख्य विधियों का वर्णन अगले उपखंडों में किया गया है।

आदिम-भाग और सामग्री गुणनखंड
परिमेय गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद को एक अद्वितीय तरीके से गुणनखंडित किया जा सकता है, जैसे कि एक परिमेय संख्या का गुणनफल और पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद, जो आदिम है (अर्थात, गुणांक का सबसे बड़ा सामान्य भाजक 1 है), और एक है सकारात्मक अग्रणी गुणांक (उच्चतम डिग्री की अवधि का गुणांक)। उदाहरण के लिए:
 * $$-10x^2 + 5x + 5 = (-5)\cdot (2x^2 - x - 1)$$
 * $$\frac{1}{3}x^5 + \frac{7}{2} x^2 + 2x + 1 = \frac{1}{6} ( 2x^5 + 21x^2 + 12x + 6)$$

इस गुणनखंड में, परिमेय संख्या को सामग्री कहा जाता है, और आदिम बहुपद आदिम भाग होता है। इस गुणनखंड की गणना निम्नानुसार की जा सकती है: सबसे पहले, सभी गुणांक को एक सामान्य हर में कम करें, पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के पूर्णांक q द्वारा भागफल प्राप्त करने के लिए। फिर कोई इस बहुपद के गुणांकों के बड़े सामान्य भाजक p को आदिम भाग प्राप्त करने के लिए विभाजित करता है, सामग्री $$p/q.$$अंत में, यदि आवश्यक हो, तो व्यक्ति के संकेतों को बदल देता है p और आदिम भाग के सभी गुणांक।

यह गुणनखंड एक परिणाम उत्पन्न कर सकता है जो मूल बहुपद से बड़ा होता है (आमतौर पर जब कई सहअभाज्य भाजक होते हैं), लेकिन, जब यह मामला होता है, तब भी आगे के गुणन के लिए आदिम भाग में हेरफेर करना आसान होता है।

गुणनखंड प्रमेय का उपयोग करना
गुणनखंड प्रमेय कहता है कि, अगर $r$ एक बहुपद की मूल है
 * $$P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,$$

मतलब $P(x)$, तो एक गुणनखंड है
 * $$P(x)=(x-r)Q(x),$$

जहां
 * $$Q(x)=b_0x^{n-1}+\cdots+b_{n-2}x+b_{n-1},$$

$$a_0=b_0$$ के साथ। फिर बहुपद लंबा विभाजन या सिंथेटिक विभाजन दें:
 * $$b_i=a_0r^i +\cdots+a_{i-1}r+a_i \ \text{ for }\ i = 1,\ldots,n{-}1.$$

यह उपयोगी हो सकता है जब कोई जानता है या बहुपद की मूलका अनुमान लगा सकता है।

उदाहरण के लिए, $$P(x) = x^3 - 3x + 2,$$ के लिए आप आसानी से देख सकते हैं कि इसके गुणांकों का योग 0 है, इसलिए r = 1 एक मूल है। r 0 = 1 और $P(r) = 0$, तथा$$r^2 +0r-3=-2,$$ के रूप में एक है
 * $$x^3 - 3x + 2 = (x - 1)(x^2 + x - 2).$$

तर्कसंगत मूल
परिमेय संख्या गुणांक वाले बहुपदों के लिए, कोई ऐसे मूल की खोज कर सकता है जो परिमेय संख्याएँ हों। आदिम अंश-सामग्री गुणनखंडन (ऊपर देखें) परिमेय मूल की खोज की समस्या को कम करता है, ऐसे बहुपद के मामले में पूर्णांक गुणांक वाले कोई गैर-तुच्छ सामान्य भाजक नहीं है।

यदि $$x=\tfrac pq$$ इस तरह के एक बहुपद का तर्कसंगत मूल है
 * $$P(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+\cdots+a_{n-1}x+a_n,$$

गुणनखंड प्रमेय से पता चलता है कि एक का गुणनखंड है
 * $$P(x)=(qx-p)Q(x),$$

जहां दोनों गुणनखंडों में पूर्णांक गुणांक होते हैं (तथ्य यह है कि $Q$ के भागफल के लिए उपरोक्त सूत्र से पूर्णांक गुणांक परिणाम हैं $r + 0 = 1$ द्वारा $$x-p/q$$)।

डिग्री के गुणांक की तुलना करना $n$ और उपरोक्त समानता में निरंतर गुणांक दिखाता है कि, अगर $$\tfrac pq$$ कम रूप में एक तर्कसंगत मूलहै, फिर $q$ का भाजक है $$a_0,$$ तथा $p$ का भाजक है $$a_n.$$ इसलिए, संभावनाओं की एक सीमित संख्या है $p$ तथा $q$, जिसे व्यवस्थित रूप से जांच की जा सकती है।

उदाहरण के लिए, यदि बहुपद
 * $$P(x)=2x^3 - 7x^2 + 10x - 6$$

एक तर्कसंगत मूल ह$$\tfrac pq$$ सा थ$P(x)$, फि र$p$  6 को विभाजित करना चाहि, वह है $$p\in\{\pm 1,\pm 2,\pm3, \pm 6\}, $$ तथा $q$ 2 को विभाजित करना चाहिए, वह है $$q\in\{1, 2\}. $$ इसके अलावा, अगर $q > 0$, बहुपद के सभी शब्द नकारात्मक हैं, और इसलिए, एक मूलनकारात्मक नहीं हो सकती है। वह है, एक होना चाहिए
 * $$\tfrac pq \in \{1, 2, 3, 6, \tfrac 12, \tfrac 32\}.$$

एक प्रत्यक्ष संगणना से पता चलता है कि केवल$$\tfrac 32$$ एक मूल है, इसलिए कोई अन्य तर्कसंगत मूल नहीं हो सकती है। गुणनखंड प्रमेय को लागू करने से अंत में गुणनखंड की ओर जाता है $$2x^3 - 7x^2 + 10x - 6 = (2x -3)(x^2 -2x + 2).$$

द्विघात एसी विधि

उपरोक्त विधि को द्विघात बहुपद के लिए अनुकूलित किया जा सकता है, जिससे गुणनखंड की एसी विधि होती है।

द्विघात बहुपद पर विचार करें
 * $$P(x)=ax^2 + bx + c$$

पूर्णांक गुणांक के साथ, यदि इसका एक परिमेय मूल है, तो इसके हर को समान रूप से विभाजित करना चाहिए और इसे संभावित रूप से कम करने योग्य अंश के रूप में लिखा जा सकता है $$r_1 = \tfrac ra.$$ वियत के सूत्रों के अनुसार, दूसरा मूल $$r_2$$ है
 * $$r_2 = -\frac ba - r_1 = -\frac ba-\frac ra =-\frac{b+r}a = \frac sa,$$

साथ में $$s=-(b+r).$$ इस तरह दूसरा मूल भी परिमेय है, और वीटा का दूसरा सूत्र $$r_1 r_2=\frac ca$$ देता है
 * $$\frac sa\frac ra =\frac ca,$$

वह है
 * $$rs=ac\quad \text{and}\quad r+s=-b.$$

पूर्णांकों के उन सभी युग्मों की जाँच करना जिनका गुणनफल $x < 0$ है, परिमेय मूल, यदि कोई हों, प्राप्त होता है।

संक्षेप में, यदि $$ax^2 +bx+c$$ में परिमेय मूल हैं तो पूर्णांक $r$ तथा $s$ ऐसा $$rs=ac$$  तथा $$r+s=-b$$ (परीक्षण करने के लिए मामलों की एक सीमित संख्या), और मूल हैं $$\tfrac ra$$ तथा $$\tfrac sa.$$। दूसरे शब्दों में, किसी का गुणनखंडन होता है
 * $$a(ax^2+bx+c) = (ax-r)(ax-s).$$

उदाहरण के लिए, द्विघात बहुपद पर विचार करें
 * $$6x^2 + 13x + 6.$$

के गुणनखंडों का निरीक्षण $ac$ फलस्वरूप होता है $ac = 36$, दो मूल दे रहे हैं
 * $$r_1 = -\frac 46 =-\frac 23 \quad \text{and} \quad r_2 = -\frac96 = -\frac 32,$$

और गुणनखंड

6x^2 + 13x + 6 = 6(x+\tfrac 23)(x+\tfrac 32)= (3x+2)(2x+3). $$

बहुपद मूल के लिए सूत्रों का उपयोग करना
कोई भी अविभाज्य द्विघात बहुपद $$ax^2+bx+c$$ द्विघात सूत्र का उपयोग करके कारक किया जा सकता है:

ax^2 + bx + c = a(x - \alpha)(x - \beta) = a\left(x - \frac{-b + \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right) \left(x - \frac{-b - \sqrt{b^2-4ac}}{2a}\right), $$ जहां $$\alpha$$ तथा $$\beta$$ बहुपद की दो मूल हैं।

यदि $4 + 9 = 13 = b$ सभी वास्तविक हैं, गुणनखंड वास्तविक हैं यदि और केवल अगर भेदभावपूर्ण हैं $$b^2-4ac$$ गैर-नकारात्मक है।अन्यथा, द्विघात बहुपद को गैर-स्थिर वास्तविक गुणनखंडों में गुणनखंड नहीं किया जा सकता है।

द्विघात सूत्र तब मान्य होता है जब गुणांक दो से भिन्न विशेषता के किसी भी क्षेत्र से संबंधित होते हैं, और विशेष रूप से, विषम संख्या वाले तत्वों के साथ परिमित क्षेत्र में गुणांक के लिए।

घन (क्यूबिक) और क्वार्टिक बहुपदों की मूल के लिए भी सूत्र हैं, जो सामान्य रूप से व्यावहारिक उपयोग के लिए बहुत जटिल हैं। एबेल-रफिनी प्रमेय से पता चलता है कि डिग्री पांच या उससे अधिक के बहुपद के लिए रेडिकल के संदर्भ में कोई सामान्य मूल सूत्र नहीं हैं।

मूल के बीच संबंधों का उपयोग करना
ऐसा हो सकता है कि किसी को बहुपद के मूलों और उसके गुणांकों के बीच कुछ संबंध पता हो। इस ज्ञान का उपयोग करने से बहुपद का गुणनखंडन करने और उसके मूल ज्ञात करने में सहायता मिल सकती है। गैलोइस सिद्धांत मूल और गुणांक के बीच संबंधों के एक व्यवस्थित अध्ययन पर आधारित है, जिसमें विएटा के सूत्र शामिल हैं।

यहां, हम एक सरल मामले पर विचार करते हैं जहां एक बहुपद $$x_1$$ तथा $$x_2$$ एक बहुपद का $$P(x)$$ संबंध को संतुष्ट करें
 * $$x_2=Q(x_1),$$

जहाँ Q एक बहुपद है।

इसका मतलब है कि $$x_1$$ की एक सामान्य मूल है $$P(Q(x))$$ तथा$$P(x).$$ इसलिए यह इन दो बहुपदों के सबसे बड़े आम भाजक की मूल है। यह निम्नानुसार है कि यह सबसे बड़ा सामान्य विभाजक एक गैर -निरंतर गुणनखंड है $$P(x).$$ बहुपद के लिए यूक्लिडियन कलन विधि (एल्गोरिथ्म) इस सबसे बड़े समापवर्तक की गणना करने की अनुमति देता है।

उदाहरण के लिए, यदि कोई जानता है या अनुमान लगाता है कि:$$P(x)=x^3 -5x^2 -16x +80$$ दो मूल हैं जो शून्य पर हैं, एक यूक्लिडियन कलन विधि (एल्गोरिथ्म) को लागू कर सकता है $$P(x)$$ तथा $$P(-x).$$ पहला डिवीजन स्टेप जोड़ने में होता है $$P(x)$$ प्रति $$P(-x),$$ शेष को दे रहा है
 * $$-10(x^2-16).$$

फिर, विभाजित करना $$P(x)$$ द्वारा$$x^2-16$$ एक नए शेष के रूप में शून्य देता है, और$a, b, c$ एक भागफल के रूप में, पूर्ण गुणनखंड के लिए अग्रणी
 * $$x^3 - 5x^2 - 16x + 80 = (x -5)(x-4)(x+4).$$

अद्वितीय गुणनखंड डोमेन
क्षेत्र में पूर्णांक और बहुपद अद्वितीय गुणनखंड की गुणको साझा करते हैं, अर्थात, प्रत्येक गैर-शून्य तत्व को एक व्युत्क्रम तत्व (एक इकाई, पूर्णांक के मामले में ± 1) के उत्पाद और अलघुकरणीय (इरेड्यूसबल) तत्वों के उत्पाद में विभाजित किया जा सकता है ( अभाज्य संख्याएँ, पूर्णांकों के मामले में), और यह गुणनखंड गुणनखंडों को पुनर्व्यवस्थित करने और इकाइयों को गुणनखंडों के बीच स्थानांतरित करने तक अद्वितीय है।  समाकलन (इंटीग्रल) डोमेन जो इस गुण को साझा करते हैं उन्हें  एकमात्र गुणनखंड डोमेन (UFD) कहा जाता है।

UFDs में महत्तम समापवर्तक मौजूद होते हैं, और इसके विपरीत, प्रत्येक अभिन्न डोमेन जिसमें महत्तम समापवर्तक मौजूद होता है, UFD होता है। प्रत्येक प्रमुख आदर्श डोमेन UFD होता है।

यूक्लिडियन डोमेन एक अभिन्न डोमेन है जिस पर पूर्णांक के समान एक यूक्लिडियन विभाजन परिभाषित किया गया है। प्रत्येक यूक्लिडियन डोमेन एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, और इस प्रकार UFD है।

यूक्लिडियन डोमेन में, यूक्लिडियन डिवीजन महत्तम समापवर्तक की गणना के लिए एक यूक्लिडियन कलन विधि (एल्गोरिथ्म) को परिभाषित करने की अनुमति देता है। हालांकि यह एक गुणनखंड कलन विधि (एल्गोरिथ्म) के अस्तित्व को नहीं दर्शाता है। फ़ील्ड F का एक स्पष्ट उदाहरण है कि F के ऊपर यूक्लिडियन डोमेन F[x] में यूक्लिडियन डोमेन F[x] में कोई गुणनखंड कलन विधि (एल्गोरिथम) मौजूद नहीं हो सकता है।

आदर्श
बीजगणितीय संख्या सिद्धांत में, डायोफैंटाइन समीकरणों के अध्ययन ने 19वीं शताब्दी के दौरान, बीजगणितीय पूर्णांक नामक पूर्णांकों के सामान्यीकरण को प्रस्तुत करने के लिए गणितज्ञों का नेतृत्व किया था। बीजगणितीय पूर्णांकों की पहली अंगूठी जिसे माना गया है, वे गॉसियन पूर्णांक और ईसेनस्टीन पूर्णांक थे, जो सामान्य पूर्णांकों के साथ प्रमुख आदर्श डोमेन होने की गुणसाझा करते हैं, और इस प्रकार अद्वितीय गुणन गुण होते हैं।

दुर्भाग्य से, यह जल्द ही प्रकट हुआ कि बीजीय पूर्णांकों के अधिकांश वलय मूलधन नहीं होते हैं और उनमें अद्वितीय गुणनखंडन नहीं होता है। सबसे सरल उदाहरण है $$\mathbb Z[\sqrt{-5}],$$ जिसमें
 * $$9=3\cdot 3 = (2+\sqrt{-5})(2-\sqrt{-5}),$$

और ये सभी गुणनखंड अपूरणीय हैं।

अद्वितीय गुणनखंडन की यह कमी डायोफैंटाइन समीकरणों को हल करने के लिए एक बड़ी कठिनाई है। उदाहरण के लिए, फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के कई गलत प्रमाण (शायद फ़र्मेट के "इसका वास्तव में अद्भुत प्रमाण, जिसमें यह अंतर शामिल करने के लिए बहुत संकीर्ण है" सहित) अद्वितीय गुणनखंडन के निहित अनुमान पर आधारित थे।

इस कठिनाई को डेडेकिंड ने हल किया, जिन्होंने साबित किया कि बीजीय पूर्णांकों के रिंग में आदर्शों का अद्वितीय गुणनखंड होता है: इन रिंग में, प्रत्येक आदर्श प्रमुख आदर्शों का एक उत्पाद होता है, और यह गुणनखंड गुणनखंडों के क्रम में अद्वितीय होता है। अभिन्न डोमेन जिनके पास यह अद्वितीय गुणनखंडन गुण है, अब डेडेकाइंड डोमेन कहलाते हैं। उनके पास कई अच्छे गुण हैं जो उन्हें बीजीय संख्या सिद्धांत में मौलिक बनाते हैं।

 मैट्रिसेस 

आव्यूह रिंग गैर- क्रमविनिमेय (नॉन-कम्यूटेटिव) हैं और इनमें कोई अद्वितीय गुणनखंड नहीं है: सामान्य तौर पर, मैट्रिक्स के उत्पाद के रूप में आव्यूह को लिखने के कई तरीके हैं। इस प्रकार, गुणनखंडन समस्या में निर्दिष्ट प्रकार के गुणनखंडों का पता लगाना शामिल है। उदाहरण के लिए, LU अपघटन आव्यूह को ऊपरी त्रिकोणीय मैट्रिक्स द्वारा निचले त्रिकोणीय आव्यूह के उत्पाद के रूप में देता है। जैसा कि यह हमेशा संभव नहीं होता है, आम तौर पर एक "LUP अपघटन" को क्रम परिवर्तन आव्यूह वाले अपने तीसरे गुणनखंड के रूप में माना जाता है।

सबसे सामान्य प्रकार के अव्यूह गुणनखण्ड के लिए अव्यूह अपघटन देखें।

तार्किक अव्यूह एक द्विआधारी संबंध का प्रतिनिधित्व करता है, और अव्यूह गुणन संबंधों की संरचना से मेल खाता है। गुणनखंड के माध्यम से एक संबंध का अपघटन संबंध की प्रकृति को वर्णन करने के लिए कार्य करता है, जैसे कि एक अलग संबंध करता है।

यह भी देखें

 * पूर्णांक के लिए यूलर का गुणनखंड विधि
 * पूर्णांक के लिए Fermat का गुणनखंड विधि
 * मोनोइड गुणनखंड
 * गुणक विभाजन
 * गौसियन पूर्णांक गुणनखंड की तालिका

बाहरी संबंध

 * Wolfram Alpha can factorize too.

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