चैनल क्षमता

विद्युत अभियन्त्रण, कंप्यूटर विज्ञान  और  सूचना सिद्धांत  में चैनल क्षमता, उस दर पर कड़ी ऊपरी सीमा है जिस पर संचार चैनल पर सूचना को मज़बूती से प्रसारित किया जा सकता है।

शोर-चैनल कोडिंग प्रमेय की शर्तों के बाद, किसी दिए गए  चैनल (संचार)  की चैनल क्षमता उच्चतम सूचना दर है (प्रति इकाई समय में सूचना एंट्रोपी की इकाइयों में) जिसे मनमाने ढंग से छोटी त्रुटि संभावना के साथ प्राप्त किया जा सकता है। 1948 में क्लाउड ई. शैनन द्वारा विकसित सूचना सिद्धांत, चैनल क्षमता की धारणा को परिभाषित करता है और एक गणितीय मॉडल प्रदान करता है जिसके द्वारा इसकी गणना की जा सकती है। मुख्य परिणाम बताता है कि चैनल की क्षमता, जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, चैनल के इनपुट और आउटपुट के बीच पारस्परिक जानकारी के अधिकतम द्वारा दिया जाता है, जहां इनपुट वितरण के संबंध में अधिकतमकरण होता है। चैनल क्षमता की धारणा आधुनिक वायरलाइन और वायरलेस संचार प्रणालियों के विकास के लिए केंद्रीय रही है, उपन्यास त्रुटि सुधार कोड  तंत्र के आगमन के साथ जिसके परिणामस्वरूप चैनल क्षमता द्वारा वादा की गई सीमा के बहुत करीब प्रदर्शन प्राप्त हुआ है।

औपचारिक परिभाषा
संचार प्रणाली के लिए बुनियादी गणितीय मॉडल निम्नलिखित है:

कहां:
 * $$W$$ प्रेषित किया जाने वाला संदेश है;
 * $$X$$ चैनल इनपुट प्रतीक है ($$X^n$$ का क्रम है $$n$$ प्रतीक) एक वर्णमाला में लिया गया_(औपचारिक_भाषा) $$\mathcal{X}$$;
 * $$Y$$ चैनल आउटपुट प्रतीक है ($$Y^n$$ का क्रम है $$n$$ प्रतीक) एक वर्णमाला में लिया गया $$\mathcal{Y}$$;
 * $$\hat{W}$$ प्रेषित संदेश का अनुमान है;
 * $$f_n$$ लंबाई के ब्लॉक के लिए एन्कोडिंग फ़ंक्शन है $$n$$;
 * $$p(y|x) = p_{Y|X}(y|x)$$ शोर वाला चैनल है, जिसे एक सशर्त संभाव्यता वितरण  द्वारा प्रतिरूपित किया जाता है; और,
 * $$g_n$$ लंबाई के ब्लॉक के लिए डिकोडिंग फ़ंक्शन है $$n$$.

होने देना $$X$$ और $$Y$$ यादृच्छिक चर के रूप में मॉडलिंग करें। इसके अलावा, चलो $$ p_{Y|X}(y|x)$$ का सशर्त प्रायिकता बंटन फलन हो $$Y$$ दिया गया $$X$$, जो संचार चैनल की एक अंतर्निहित निश्चित संपत्ति है। फिर सीमांत वितरण  का विकल्प $$p_X(x)$$ पूरी तरह से  संयुक्त संभाव्यता वितरण  निर्धारित करता है $$p_{X,Y}(x,y)$$ पहचान के कारण


 * $$\ p_{X,Y}(x,y)=p_{Y|X}(y|x)\,p_X(x) $$

जो, बदले में, एक पारस्परिक सूचना को प्रेरित करता है $$I(X;Y)$$. चैनल क्षमता के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$\ C = \sup_{p_X(x)} I(X;Y)\, $$

जहां सभी संभावित विकल्पों पर Infimum और supremum को लिया जाता है $$p_X(x)$$.

चैनल क्षमता की योगात्मकता
चैनल क्षमता स्वतंत्र चैनलों पर योगात्मक है। इसका अर्थ है कि दो स्वतंत्र चैनलों का संयुक्त रूप से उपयोग करने से वैसी ही सैद्धांतिक क्षमता मिलती है जैसी उन्हें स्वतंत्र रूप से उपयोग करने की होती है। अधिक औपचारिक रूप से, चलो $$p_{1}$$ और $$p_{2}$$ ऊपर के रूप में प्रतिरूपित दो स्वतंत्र चैनल बनें; $$p_{1}$$ एक इनपुट वर्णमाला होना $$\mathcal{X}_{1}$$ और एक आउटपुट वर्णमाला $$\mathcal{Y}_{1}$$. मैं आगे जा रहा हूँ $$p_{2}$$. हम उत्पाद चैनल को परिभाषित करते हैं $$p_{1}\times p_2$$ जैसा $$\forall (x_{1}, x_{2}) \in (\mathcal{X}_{1}, \mathcal{X}_{2}),\;(y_{1}, y_{2}) \in (\mathcal{Y}_{1}, \mathcal{Y}_{2}),\; (p_{1}\times p_{2})((y_{1}, y_{2}) | (x_{1},x_{2}))=p_{1}(y_{1}|x_{1})p_{2}(y_{2}|x_{2})$$ यह प्रमेय कहता है: $$ C(p_{1}\times p_{2}) = C(p_{1}) + C(p_{2})$$

एक ग्राफ की शैनन क्षमता
यदि G एक अप्रत्यक्ष ग्राफ  है, तो इसका उपयोग एक संचार चैनल को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है जिसमें प्रतीक ग्राफ के कोने होते हैं, और दो कोडवर्ड एक दूसरे के साथ भ्रमित हो सकते हैं यदि प्रत्येक स्थिति में उनके प्रतीक समान या आसन्न हों। ऐसे चैनल की शैनन क्षमता को खोजने की कम्प्यूटेशनल जटिलता खुली रहती है, लेकिन यह एक अन्य महत्वपूर्ण ग्राफ इनवेरिएंट, लोवाज़ नंबर द्वारा ऊपरी सीमा में हो सकती है।

शोर-चैनल कोडिंग प्रमेय
शोर-चैनल कोडिंग प्रमेय बताता है कि किसी भी त्रुटि संभावना के लिए ε> 0 और किसी भी संचरण सूचना सिद्धांत के लिए # दर आर चैनल क्षमता सी से कम है, एक एन्कोडिंग और डिकोडिंग योजना है जो दर आर पर डेटा संचारित करती है जिसकी त्रुटि संभावना ε से कम है पर्याप्त बड़ी ब्लॉक लंबाई के लिए। साथ ही, चैनल क्षमता से अधिक किसी भी दर के लिए, रिसीवर पर त्रुटि की संभावना 0.5 हो जाती है क्योंकि ब्लॉक की लंबाई अनंत हो जाती है।

उदाहरण आवेदन
बी हर्ट्ज बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग)  और सिग्नल-टू-शोर अनुपात एस/एन के साथ एक योगात्मक सफेद गॉसियन शोर (एडब्ल्यूजीएन) चैनल के लिए चैनल क्षमता अवधारणा का एक अनुप्रयोग शैनन-हार्टले प्रमेय है:
 * $$ C = B \log_2 \left( 1+\frac{S}{N} \right)\ $$

C को बिट्स प्रति सेकंड  में मापा जाता है यदि लघुगणक को आधार 2 में लिया जाता है, या Nat (यूनिट) प्रति सेकंड यदि  प्राकृतिक  लघुगणक का उपयोग किया जाता है, तो B को  हेटर्स ़ में माना जाता है; संकेत और शोर शक्तियाँ S और N एक रेखीय शक्ति_(भौतिकी)#इकाइयों (जैसे वाट या वोल्ट) में व्यक्त की जाती हैं2). चूंकि S/N के आंकड़े अक्सर  डेसिबल  में उद्धृत किए जाते हैं, इसलिए रूपांतरण की आवश्यकता हो सकती है। उदाहरण के लिए, 30 dB का सिग्नल-टू-नॉइज़ अनुपात एक रैखिक शक्ति अनुपात के अनुरूप होता है $$ 10^{30/10} = 10^3 = 1000$$.

वायरलेस संचार में चैनल क्षमता
यह अनुभाग सिंगल-एंटीना, पॉइंट-टू-पॉइंट परिदृश्य पर केंद्रित है। एकाधिक एंटेना वाले सिस्टम में चैनल क्षमता के लिए, एमआईएमओ पर आलेख देखें।

बैंडलिमिटेड AWGN चैनल
यदि औसत प्राप्त शक्ति है $$\bar{P}$$ [डब्ल्यू], कुल बैंडविड्थ है $$W$$ हर्ट्ज़ में, और शोर शक्ति वर्णक्रमीय घनत्व है $$N_0$$ [W/Hz], AWGN चैनल क्षमता है


 * $$C_{\text{AWGN}}=W\log_2\left(1+\frac{\bar{P}}{N_0 W}\right)$$ [बिट्स/एस],

कहां $$\frac{\bar{P}}{N_0 W}$$ प्राप्त सिग्नल-टू-शोर अनुपात (SNR) है। इस परिणाम को शैनन-हार्टले प्रमेय के रूप में जाना जाता है। जब SNR बड़ा होता है (SNR ≫ 0 dB), क्षमता $$C\approx W\log_2 \frac{\bar{P}}{N_0 W} $$ शक्ति में लघुगणक और बैंडविड्थ में लगभग रैखिक है। इसे बैंडविड्थ-सीमित शासन कहा जाता है।

जब एसएनआर छोटा होता है (एसएनआर ≪ 0 डीबी), क्षमता $$C\approx \frac{\bar{P}}{N_0 \ln 2} $$ शक्ति में रैखिक है लेकिन बैंडविड्थ के प्रति असंवेदनशील है। इसे शक्ति-सीमित शासन कहा जाता है।

बैंडविड्थ-सीमित शासन और शक्ति-सीमित शासन चित्र में सचित्र हैं।

आवृत्ति-चयनात्मक AWGN चैनल
लुप्त होती की क्षमता | आवृत्ति-चयनात्मक चैनल तथाकथित पानी भरने वाले एल्गोरिदम बिजली आवंटन द्वारा दिया जाता है,


 * $$C_{N_c}=\sum_{n=0}^{N_c-1} \log_2 \left(1+\frac{P_n^* |\bar{h}_n|^2}{N_0} \right),$$

कहां $$P_n^*=\max \left\{ \left(\frac{1}{\lambda}-\frac{N_0}{|\bar{h}_n|^2} \right),0 \right\}$$ और $$|\bar{h}_n|^2$$ सबचैनल का लाभ है $$n$$, साथ $$\lambda$$ शक्ति की कमी को पूरा करने के लिए चुना गया।

धीमा-लुप्त होती चैनल
एक लुप्त होती | धीमी-लुप्त होती चैनल में, जहां सुसंगतता समय विलंबता की आवश्यकता से अधिक है, चैनल द्वारा समर्थित विश्वसनीय संचार की अधिकतम दर के रूप में कोई निश्चित क्षमता नहीं है, $$\log_2 (1+|h|^2 SNR)$$, यादृच्छिक चैनल लाभ पर निर्भर करता है $$|h|^2$$, जो ट्रांसमीटर के लिए अज्ञात है। यदि ट्रांसमीटर दर पर डेटा को एनकोड करता है $$R$$ [बिट्स / एस / हर्ट्ज], एक गैर-शून्य संभावना है कि डिकोडिंग त्रुटि संभावना को मनमाने ढंग से छोटा नहीं किया जा सकता है,


 * $$p_{out}=\mathbb{P}(\log(1+|h|^2 SNR)<R)$$,

जिस स्थिति में कहा जाता है कि सिस्टम आउटेज में है। एक गैर-शून्य संभावना के साथ कि चैनल गहरा फीका है, धीमी गति से लुप्त होती चैनल की क्षमता सख्त अर्थों में शून्य है। हालांकि, का सबसे बड़ा मूल्य निर्धारित करना संभव है $$R$$ जैसे आउटेज की संभावना $$p_{out}$$ मै रुक जाना $$\epsilon$$. इस मान को के रूप में जाना जाता है $$\epsilon$$-आउटेज क्षमता।

तेजी से लुप्त होती चैनल
एक फेडिंग | फास्ट-फेडिंग चैनल में, जहां विलंबता की आवश्यकता सुसंगतता समय से अधिक है और कोडवर्ड की लंबाई कई सुसंगतता अवधियों तक फैली हुई है, बड़ी संख्या में सुसंगतता समय अंतरालों पर कोडिंग करके कई स्वतंत्र चैनल फ़ेड्स पर औसत कर सकते हैं। इस प्रकार, संचार की विश्वसनीय दर प्राप्त करना संभव है $$\mathbb{E}(\log_2 (1+|h|^2 SNR))$$ [बिट्स/सेकंड/हर्ट्ज] और इस मूल्य को तेजी से लुप्त होती चैनल की क्षमता के रूप में बोलना सार्थक है।

यह भी देखें

 * बैंडविड्थ (कंप्यूटिंग)
 * बैंडविड्थ (सिग्नल प्रोसेसिंग)
 * बिट दर
 * कोड दर
 * त्रुटि प्रतिपादक
 * निक्विस्ट दर
 * नेगेंट्रॉपी
 * अतिरेक (सूचना सिद्धांत)
 * प्रेषक, डेटा संपीड़न, रिसीवर (सूचना सिद्धांत)
 * शैनन-हार्टले प्रमेय
 * स्पेक्ट्रल दक्षता
 * प्रवाह

उन्नत संचार विषय

 * मिमो
 * सहकारी विविधता

बाहरी कड़ियाँ

 * AWGN Channel Capacity with various constraints on the channel input (interactive demonstration)
 * AWGN Channel Capacity with various constraints on the channel input (interactive demonstration)