संपीडित संवेदन

कंप्रेस्ड सेंसिंग (जिसे कंप्रेसिव सेंसिंग, कंप्रेसिव सैंपलिंग या स्पार्स सैंपलिंग के रूप में भी जाना जाता है) अनिर्धारित रैखिक प्रणालियों के समाधान ढूंढकर, सिग्नल को कुशलतापूर्वक प्राप्त करने और पुनर्निर्माण करने के लिए एक सिग्नल प्रोसेसिंग तकनीक है। यह इस सिद्धांत पर आधारित है कि, अनुकूलन के माध्यम से, एक सिग्नल की विरलता का उपयोग नाइक्विस्ट-शैनन नमूना प्रमेय की आवश्यकता से बहुत कम नमूनों से इसे पुनर्प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। ऐसी दो स्थितियाँ हैं जिनके अंतर्गत पुनर्प्राप्ति संभव है। पहला है विरलता, जिसके लिए कुछ डोमेन में सिग्नल का विरल होना आवश्यक है। दूसरा असंगति है, जिसे आइसोमेट्रिक गुण के माध्यम से लागू किया जाता है, जो विरल संकेतों के लिए पर्याप्त है।

सिंहावलोकन
सिग्नल प्रोसेसिंग के इंजीनियरिंग क्षेत्र का एक सामान्य लक्ष्य नमूना माप की श्रृंखला से सिग्नल का पुनर्निर्माण करना है। सामान्य तौर पर, यह कार्य असंभव है क्योंकि उस समय के दौरान सिग्नल को फिर से बनाने का कोई तरीका नहीं है जब सिग्नल को मापा नहीं जाता है। फिर भी, सिग्नल के बारे में पूर्व ज्ञान या धारणाओं के साथ, मापों की एक श्रृंखला से सिग्नल को पूरी तरह से पुनर्निर्माण करना संभव हो जाता है (मापों की इस श्रृंखला को प्राप्त करना नमूनाकरण कहा जाता है)। समय के साथ, इंजीनियरों ने अपनी समझ में सुधार किया है कि कौन सी मान्यताएँ व्यावहारिक हैं और उन्हें कैसे सामान्यीकृत किया जा सकता है।

सिग्नल प्रोसेसिंग में एक प्रारंभिक सफलता नाइक्विस्ट-शैनन नमूनाकरण प्रमेय थी। इसमें कहा गया है कि यदि किसी वास्तविक सिग्नल की उच्चतम आवृत्ति नमूनाकरण दर के आधे से कम है, तो सिग्नल को सिन इंटरपोलेशन के माध्यम से पूरी तरह से पुनर्निर्माण किया जा सकता है। मुख्य विचार यह है कि सिग्नल की आवृत्तियों पर बाधाओं के बारे में पूर्व ज्ञान के साथ, सिग्नल को फिर से बनाने के लिए कम नमूनों की आवश्यकता होती है।

2004 के आसपास, इमैनुएल कैंडेस, जस्टिन रोमबर्ग, टेरेंस ताओ और डेविड डोनोहो ने साबित किया कि सिग्नल की विरलता के बारे में ज्ञान होने पर, सैंपलिंग प्रमेय की आवश्यकता से भी कम नमूनों के साथ सिग्नल का पुनर्निर्माण किया जा सकता है। यह विचार संकुचित संवेदन का आधार है।

इतिहास
संपीड़ित संवेदन $$L^1$$ तकनीकों पर निर्भर करता है, जिनका उपयोग कई अन्य वैज्ञानिक क्षेत्रों ने ऐतिहासिक रूप से किया है। आंकड़ों में, न्यूनतम वर्ग पद्धति को $$L^1$$-मानदंड द्वारा पूरक किया गया था, जिसे लाप्लास द्वारा पेश किया गया था। रैखिक प्रोग्रामिंग और डेंटज़िग के सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म की शुरूआत के बाद, $$L^1$$-मानदंड का उपयोग कम्प्यूटेशनल आंकड़ों में किया गया था। सांख्यिकीय सिद्धांत में, $$L^1$$-मानदंड का उपयोग जॉर्ज डब्लू. ब्राउन और बाद के लेखकों द्वारा मध्य-निष्पक्ष अनुमानकों पर किया गया था। इसका उपयोग पीटर जे. ह्यूबर और मजबूत सांख्यिकी पर काम करने वाले अन्य लोगों द्वारा किया गया था। $$L^1$$-मानदंड का उपयोग सिग्नल प्रोसेसिंग में भी किया गया था, उदाहरण के लिए, 1970 के दशक में, जब भूकंपविज्ञानियों ने डेटा के आधार पर पृथ्वी के भीतर परावर्तक परतों की छवियों का निर्माण किया था जो कि नाइक्विस्ट-शैनन मानदंड को पूरा नहीं करते थे। इसका उपयोग 1993 में मिलान खोज में, 1996 में रॉबर्ट टिब्शिरानी द्वारा LASSO अनुमानक में और 1998 में आधार खोज में किया गया था। ऐसे सैद्धांतिक परिणाम थे जो बताते थे कि इन एल्गोरिदम ने विरल समाधान कब प्राप्त किए, लेकिन माप के आवश्यक प्रकार और संख्या उप-इष्टतम थे और बाद में संपीड़ित सेंसिंग द्वारा काफी सुधार किया गया।

पहली नज़र में, संपीड़ित संवेदन नमूना प्रमेय का उल्लंघन करता प्रतीत हो सकता है, क्योंकि संपीड़ित संवेदन प्रश्न में सिग्नल की विरलता पर निर्भर करता है, न कि इसकी उच्चतम आवृत्ति पर। यह एक ग़लतफ़हमी है, क्योंकि नमूना प्रमेय पर्याप्त, आवश्यक नहीं, स्थितियों को देखते हुए सही पुनर्निर्माण की गारंटी देता है। क्लासिकल फिक्स्ड-रेट सैंपलिंग से मौलिक रूप से अलग एक सैंपलिंग विधि सैंपलिंग प्रमेय का "उल्लंघन" नहीं कर सकती है। शास्त्रीय निश्चित-दर नमूने की तुलना में संपीड़ित सेंसिंग का उपयोग करके उच्च आवृत्ति घटकों वाले विरल संकेतों को अत्यधिक कम नमूना किया जा सकता है।

अनिर्धारित रैखिक प्रणाली
रैखिक समीकरणों की एक अनिर्धारित प्रणाली में समीकरणों की तुलना में अधिक अज्ञात होता है और आमतौर पर समाधानों की संख्या अनंत होती है। नीचे दिया गया चित्र ऐसे समीकरण प्रणाली $$ \mathbf{y}=D\mathbf{x} $$ को दर्शाता है जहाँ हम $$ \mathbf{x} $$ के लिए एक समाधान खोजना चाहते हैं।



ऐसी प्रणाली का समाधान चुनने के लिए, किसी को उचित रूप से अतिरिक्त बाधाएं या शर्तें (जैसे सुगमता) लगानी होंगी। संपीड़ित संवेदन में, विरलता की बाधा को जोड़ा जाता है, जिससे केवल ऐसे समाधानों की अनुमति मिलती है जिनमें गैर-शून्य गुणांक की एक छोटी संख्या होती है। रैखिक समीकरणों की सभी अनिर्धारित प्रणालियों का कोई विरल समाधान नहीं होता है। हालाँकि, यदि अनिर्धारित प्रणाली के लिए कोई अद्वितीय विरल समाधान है, तो संपीड़ित संवेदन ढांचा उस समाधान की पुनर्प्राप्ति की अनुमति देता है।

समाधान/पुनर्निर्माण विधि
कंप्रेस्ड सेंसिंग कई दिलचस्प संकेतों में अतिरेक का लाभ उठाती है - वे शुद्ध शोर नहीं हैं। विशेष रूप से, कई सिग्नल विरल होते हैं, यानी, जब कुछ डोमेन में दर्शाया जाता है, तो उनमें शून्य के करीब या उसके बराबर कई गुणांक होते हैं। यह वही अंतर्दृष्टि है जिसका उपयोग कई प्रकार के हानिपूर्ण संपीड़न में किया जाता है।

संपीड़ित संवेदन आम तौर पर नमूनों के भारित रैखिक संयोजन को लेने से शुरू होता है, जिसे संपीड़न माप भी कहा जाता है, उस आधार से भिन्न आधार पर जिसमें संकेत विरल माना जाता है। इमैनुएल कैंडेस, जस्टिन रोमबर्ग, टेरेंस ताओ और डेविड डोनोहो द्वारा पाए गए परिणामों से पता चला है कि इन संपीड़ित मापों की संख्या छोटी हो सकती है और फिर भी इसमें लगभग सभी उपयोगी जानकारी शामिल हो सकती है। इसलिए, छवि को वापस इच्छित डोमेन में परिवर्तित करने के कार्य में एक अनिर्धारित मैट्रिक्स समीकरण को हल करना शामिल है क्योंकि ली गई संपीड़ित माप की संख्या पूर्ण छवि में पिक्सेल की संख्या से कम है। हालाँकि, यह बाधा जोड़ने से कि प्रारंभिक संकेत विरल है, रैखिक समीकरणों की इस अनिर्धारित प्रणाली को हल करने में सक्षम हो जाता है।

ऐसी समस्याओं का न्यूनतम वर्ग समाधान $$L^2$$ मानक को न्यूनतम करना है - अर्थात, सिस्टम में ऊर्जा की मात्रा को कम करना। यह आम तौर पर गणितीय रूप से सरल होता है (इसमें नमूने के आधार के छद्म-व्युत्क्रम द्वारा केवल मैट्रिक्स गुणन शामिल होता है)। हालाँकि, इससे कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए खराब परिणाम सामने आते हैं, जिनके लिए अज्ञात गुणांकों में गैर-शून्य ऊर्जा होती है।

रैखिक समीकरणों की अल्पनिर्धारित प्रणाली को हल करते समय विरलता बाधा को लागू करने के लिए, कोई समाधान के गैर-शून्य घटकों की संख्या को कम कर सकता है। एक वेक्टर के गैर-शून्य घटकों की संख्या की गणना करने वाले फ़ंक्शन को डेविड डोनोहो द्वारा $$L^0$$ "मानदंड" कहा गया था।

कैंडेस एट अल. ने साबित किया कि कई समस्याओं के लिए यह संभव है कि तकनीकी दृष्टि से $$L^1$$ मानक $$L^0$$ मानक के बराबर है: यह समकक्ष परिणाम किसी को $$L^1$$ समस्या को हल करने की अनुमति देता है, जो $$L^0$$ समस्या से आसान है। सबसे छोटे $$L^1$$ मानदंड वाले उम्मीदवार को ढूंढना अपेक्षाकृत आसानी से एक रैखिक कार्यक्रम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसके लिए कुशल समाधान विधियां पहले से ही मौजूद हैं। जब माप में शोर की एक सीमित मात्रा हो सकती है, तो आधार खोज डीनोइज़िंग को रैखिक प्रोग्रामिंग पर प्राथमिकता दी जाती है, क्योंकि यह शोर की स्थिति में विरलता को संरक्षित करता है और एक सटीक रैखिक कार्यक्रम की तुलना में तेजी से हल किया जा सकता है।

टीवी नियमितीकरण की भूमिका
कुल भिन्नता को एक गैर-नकारात्मक वास्तविक-मूल्यवान कार्यात्मकता के रूप में देखा जा सकता है जो वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के स्थान पर (एक चर के कार्यों के मामले में) या पूर्णांक कार्यों के स्थान पर (कई चर के कार्यों के मामले में) परिभाषित होती है। सिग्नल्स के लिए, खासतौर पर, कुल विभिन्नता सिग्नल की ग्रेडियेंट की पूर्णांकिता को संकेत करती है। सिग्नल और चित्र निर्माण में, इसे कुल भिन्नता नियमितीकरण के रूप में प्रयुक्त किया जाता है जहाँ मूल सिद्धांत यह है कि वह सिग्नल जिसमें अत्यधिक विवरण है, उसकी कुल विभिन्नता उच्च होती है और इन विवरणों को हटाने के द्वारा, जबकि महत्वपूर्ण जानकारी जैसे कि किनारों को बनाए रखते हुए, सिग्नल की कुल विभिन्नता कम की जा सकती है और सिग्नल को समस्या में मूल सिग्नल के पास पहुंचाना आसान हो सकता है।

(work done)

सिग्नल और छवि पुनर्निर्माण के प्रयोजन के लिए, $$\ell_1$$ न्यूनतमकरण मॉडल का उपयोग किया जाता है। अन्य दृष्टिकोणों में न्यूनतम-वर्ग भी शामिल हैं जैसा कि इस आलेख में पहले चर्चा की जा चुकी है। ये विधियां बेहद धीमी हैं और सिग्नल का बिल्कुल सही पुनर्निर्माण नहीं करती हैं। वर्तमान सीएस नियमितीकरण मॉडल मूल छवि के विरल पूर्ववर्तियों को शामिल करके इस समस्या का समाधान करने का प्रयास करते हैं, जिनमें से एक कुल भिन्नता (टीवी) है। पारंपरिक टीवी दृष्टिकोण को टुकड़े-टुकड़े निरंतर समाधान देने के लिए डिज़ाइन किया गया है। इनमें से कुछ में शामिल हैं (जैसा कि आगे चर्चा की गई है) - विवश $\ell_1$ -न्यूनीकरण जो एक पुनरावृत्तीय योजना का उपयोग करता है। यह विधि, हालांकि तेज़ है, बाद में किनारों को अत्यधिक चिकना कर देती है जिसके परिणामस्वरूप छवि के किनारे धुंधले हो जाते हैं। छवियों में बड़े ग्रेडिएंट मान परिमाण के प्रभाव को कम करने के लिए पुनरावृत्त पुन: भार के साथ टीवी विधियों को लागू किया गया है। इसका उपयोग टोमोग्राफी (सीटी) पुनर्निर्माण में एक ऐसी विधि के रूप में किया गया है जिसे एज-प्रिजर्विंग टोटल वेरिएशन के रूप में जाना जाता है। हालाँकि, चूंकि डेटा निष्ठा और नियमितीकरण शर्तों के बीच सापेक्ष दंड भार के अनुमान के लिए ग्रेडिएंट परिमाण का उपयोग किया जाता है, यह विधि शोर और कलाकृतियों के लिए मजबूत नहीं है और सीएस छवि/सिग्नल पुनर्निर्माण के लिए पर्याप्त सटीक नहीं है और इसलिए, छोटी संरचनाओं को संरक्षित करने में विफल रहती है।

इस समस्या पर हालिया प्रगति में सीएस पुनर्निर्माण के लिए पुनरावृत्त दिशात्मक टीवी शोधन का उपयोग करना शामिल है। इस विधि में 2 चरण होंगे: पहला चरण प्रारंभिक अभिविन्यास क्षेत्र का अनुमान लगाएगा और परिष्कृत करेगा - जिसे दी गई छवि के किनारे-पहचान के माध्यम से एक शोर बिंदु-वार प्रारंभिक अनुमान के रूप में परिभाषित किया गया है। दूसरे चरण में, दिशात्मक टीवी रेगुलराइज़र का उपयोग करके सीएस पुनर्निर्माण मॉडल प्रस्तुत किया गया है। इन टीवी-आधारित दृष्टिकोणों के बारे में अधिक विवरण - पुनरावृत्त रूप से पुन: भारित एल1 न्यूनतमकरण, किनारे-संरक्षित टीवी और दिशात्मक अभिविन्यास क्षेत्र और टीवी का उपयोग करके पुनरावृत्त मॉडल - नीचे दिए गए हैं।

पुनरावृत्तीय रूप से पुनः भारित $ℓ_{1}$ न्यूनीकरण
सीएस पुनर्निर्माण मॉडल में विवशता का उपयोग किया जाता है $$\ell_1$$ न्यूनतमकरण, बड़े गुणांकों पर भारी जुर्माना लगाया जाता है $$\ell_1$$ आदर्श. का एक भारित सूत्रीकरण करने का प्रस्ताव किया गया था $$\ell_1$$ गैर-शून्य गुणांकों को अधिक लोकतांत्रिक तरीके से दंडित करने के लिए डिज़ाइन किया गया न्यूनतमकरण। उचित भार के निर्माण के लिए एक पुनरावृत्त एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है। प्रत्येक पुनरावृत्ति के लिए एक को हल करने की आवश्यकता होती है $$\ell_1$$ अवतल दंड फ़ंक्शन के स्थानीय न्यूनतम को ढूंढकर न्यूनतमकरण समस्या जो अधिक निकटता से मिलती जुलती है $$\ell_0$$ आदर्श. एक अतिरिक्त पैरामीटर, आमतौर पर पेनल्टी फ़ंक्शन वक्र में किसी भी तेज बदलाव से बचने के लिए, स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए पुनरावृत्त समीकरण में पेश किया जाता है और ताकि एक पुनरावृत्ति में शून्य अनुमान जरूरी नहीं कि अगले पुनरावृत्ति में शून्य अनुमान हो। इस पद्धति में अनिवार्य रूप से अगले पुनरावृत्ति में उपयोग किए जाने वाले वजन की गणना के लिए वर्तमान समाधान का उपयोग करना शामिल है।

फायदे और नुकसान
प्रारंभिक पुनरावृत्तियों में गलत नमूना अनुमान मिल सकते हैं, हालांकि यह विधि छोटे गैर-शून्य सिग्नल अनुमानों को अधिक महत्व देने के लिए बाद के चरण में इनका नमूना कम कर देगी। नुकसानों में से एक वैध प्रारंभिक बिंदु को परिभाषित करने की आवश्यकता है क्योंकि फ़ंक्शन की समतलता के कारण हर बार वैश्विक न्यूनतम प्राप्त नहीं किया जा सकता है। एक और नुकसान यह है कि यह विधि अंतर्निहित छवि संरचनाओं के बावजूद छवि ढाल को समान रूप से दंडित करती है। इससे किनारों की अति-स्मूथिंग हो जाती है, विशेष रूप से कम कंट्रास्ट वाले क्षेत्रों की, जिसके परिणामस्वरूप कम कंट्रास्ट जानकारी का नुकसान होता है। इस पद्धति के फायदों में शामिल हैं: विरल संकेतों के लिए नमूनाकरण दर में कमी; शोर और अन्य कलाकृतियों को हटाने के लिए मजबूत होते हुए छवि का पुनर्निर्माण; और बहुत कम पुनरावृत्तियों का उपयोग। यह कम ग्रेडिएंट वाली छवियों को पुनर्प्राप्त करने में भी मदद कर सकता है।

नीचे दिखाए गए चित्र में, P1 पंखे-बीम ज्यामिति के प्रक्षेपण मैट्रिक्स P के पुनरावृत्त पुनर्निर्माण प्रक्रिया के पहले चरण को संदर्भित करता है, जो डेटा निष्ठा शब्द द्वारा बाधित है। इसमें शोर और कलाकृतियाँ हो सकती हैं क्योंकि कोई नियमितीकरण नहीं किया जाता है। P1 का न्यूनतमकरण संयुग्म ग्रेडिएंट न्यूनतम वर्ग विधि के माध्यम से हल किया जाता है। पी2 पुनरावृत्त पुनर्निर्माण प्रक्रिया के दूसरे चरण को संदर्भित करता है जिसमें यह शोर और कलाकृतियों को हटाने के लिए किनारे-संरक्षण कुल भिन्नता नियमितीकरण शब्द का उपयोग करता है, और इस प्रकार पुनर्निर्मित छवि/सिग्नल की गुणवत्ता में सुधार करता है। P2 का न्यूनतमकरण एक सरल ग्रेडिएंट डिसेंट विधि के माध्यम से किया जाता है। अभिसरण का निर्धारण प्रत्येक पुनरावृत्ति के बाद, छवि सकारात्मकता के परीक्षण द्वारा, जाँच करके किया जाता है $$f^{k-1} = 0$$ मामले के लिए जब $$f^{k-1} < 0$$ (ध्यान दें कि $$f$$ रोगी छवि के विभिन्न स्वरों पर विभिन्न एक्स-रे रैखिक क्षीणन गुणांक को संदर्भित करता है)।

किनारे-संरक्षण कुल भिन्नता (टीवी)-आधारित संपीड़ित संवेदन
यह एक पुनरावृत्त सीटी पुनर्निर्माण एल्गोरिथ्म है जिसमें एज-प्रिज़र्विंग टीवी नियमितीकरण के साथ कम वर्तमान स्तर (मिलीएम्पियर) के माध्यम से कम खुराक सीटी पर प्राप्त अत्यधिक कम नमूने वाले डेटा से सीटी छवियों का पुनर्निर्माण किया जाता है। इमेजिंग खुराक को कम करने के लिए, इस्तेमाल किए जाने वाले तरीकों में से एक स्कैनर डिटेक्टरों द्वारा प्राप्त एक्स-रे अनुमानों की संख्या को कम करना है। हालाँकि, यह अपर्याप्त प्रक्षेपण डेटा, जिसका उपयोग सीटी छवि को फिर से बनाने के लिए किया जाता है, विकृत कलाकृतियों का कारण बन सकता है। इसके अलावा, मानक टीवी एल्गोरिदम में इन अपर्याप्त अनुमानों का उपयोग करने से समस्या कम-निर्धारित हो जाती है और इस प्रकार अनगिनत संभावित समाधान सामने आते हैं। इस पद्धति में, मूल टीवी मानदंड को एक अतिरिक्त दंड भारित फ़ंक्शन सौंपा गया है। यह छवियों में तीव्रता में तीव्र असंतुलन का आसानी से पता लगाने की अनुमति देता है और इस प्रकार सिग्नल/छवि पुनर्निर्माण की प्रक्रिया के दौरान पुनर्प्राप्त किनारे की जानकारी को संग्रहीत करने के लिए वजन को अनुकूलित करता है। पैरामीटर $$\sigma$$ किनारों पर पिक्सेल को गैर-किनारे वाले पिक्सेल से अलग करने के लिए उन पर लागू स्मूथिंग की मात्रा को नियंत्रित करता है। का मान है $$\sigma$$ ग्रेडिएंट परिमाण के हिस्टोग्राम के मूल्यों के आधार पर अनुकूल रूप से बदला जाता है ताकि पिक्सेल के एक निश्चित प्रतिशत में ग्रेडिएंट मान इससे बड़े हों $$\sigma$$. इस प्रकार, बढ़त-संरक्षण कुल भिन्नता शब्द विरल हो जाता है और इससे कार्यान्वयन में तेजी आती है। आगे-पीछे विभाजन एल्गोरिथ्म के रूप में जानी जाने वाली दो-चरणीय पुनरावृत्ति प्रक्रिया का उपयोग किया जाता है। अनुकूलन समस्या को दो उप-समस्याओं में विभाजित किया गया है जिन्हें फिर संयुग्मित ग्रेडिएंट न्यूनतम वर्ग विधि से हल किया जाता है और क्रमशः सरल ग्रेडिएंट डिसेंट विधि। जब वांछित अभिसरण प्राप्त हो जाता है या पुनरावृत्तियों की अधिकतम संख्या पहुँच जाती है तो विधि रोक दी जाती है।

फायदे और नुकसान
इस पद्धति के कुछ नुकसान पुनर्निर्मित छवि में छोटी संरचनाओं की अनुपस्थिति और छवि रिज़ॉल्यूशन में गिरावट हैं। हालाँकि, इस किनारे को संरक्षित करने वाले टीवी एल्गोरिदम को पारंपरिक टीवी एल्गोरिदम की तुलना में कम पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है। पुनर्निर्मित छवियों के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर तीव्रता प्रोफाइल का विश्लेषण करते हुए, यह देखा जा सकता है कि किनारे बिंदुओं पर तेज उछाल है और गैर-किनारे बिंदुओं पर नगण्य, मामूली उतार-चढ़ाव है। इस प्रकार, यह विधि टीवी विधि की तुलना में कम सापेक्ष त्रुटि और उच्च सहसंबंध की ओर ले जाती है। यह किसी भी प्रकार के छवि शोर और स्ट्रीकिंग जैसी छवि कलाकृतियों को प्रभावी ढंग से दबाता और हटाता है।

दिशात्मक अभिविन्यास क्षेत्र और दिशात्मक कुल भिन्नता का उपयोग करते हुए पुनरावृत्त मॉडल
किनारों और बनावट विवरणों को अत्यधिक चिकना करने से रोकने और एक पुनर्निर्मित सीएस छवि प्राप्त करने के लिए जो शोर और कलाकृतियों के लिए सटीक और मजबूत है, इस पद्धति का उपयोग किया जाता है। सबसे पहले, छवि के शोर बिंदु-वार अभिविन्यास क्षेत्र का प्रारंभिक अनुमान $$I$$, $$\hat{d}$$, प्राप्त होना। इस शोर अभिविन्यास क्षेत्र को परिभाषित किया गया है ताकि इसे बाद के चरण में परिष्कृत किया जा सके ताकि अभिविन्यास क्षेत्र के आकलन में शोर के प्रभाव को कम किया जा सके। फिर संरचना टेंसर के आधार पर एक मोटे अभिविन्यास क्षेत्र का अनुमान पेश किया जाता है जिसे इस प्रकार तैयार किया जाता है: $$ J_\rho(\nabla I_\sigma) = G_\rho * (\nabla I_\sigma \otimes \nabla I_\sigma) = \begin{pmatrix}J_{11} & J_{12}\\J_{12} & J_{22}\end{pmatrix}$$. यहाँ, $$ J_\rho $$ मानक विचलन वाले छवि पिक्सेल बिंदु (i,j) से संबंधित संरचना टेंसर को संदर्भित करता है $$\rho$$. $$G$$ गॉसियन कर्नेल को संदर्भित करता है $$(0, \rho ^2)$$ मानक विचलन के साथ $$\rho$$. $$\sigma$$ छवि के लिए मैन्युअल रूप से परिभाषित पैरामीटर को संदर्भित करता है $$I$$ जिसके नीचे किनारे का पता लगाना शोर के प्रति असंवेदनशील है। $$\nabla I_\sigma$$ छवि के ग्रेडिएंट को संदर्भित करता है $$I$$ और $$(\nabla I_\sigma \otimes \nabla I_\sigma)$$ इस ग्रेडिएंट का उपयोग करके प्राप्त टेंसर उत्पाद को संदर्भित करता है। प्राप्त संरचना टेंसर एक गाऊसी कर्नेल के साथ जुड़ा हुआ है $$G$$ अभिविन्यास अनुमान की सटीकता में सुधार करने के लिए $$\sigma$$ अज्ञात शोर स्तरों को ध्यान में रखते हुए उच्च मानों पर सेट किया जा रहा है। छवि में प्रत्येक पिक्सेल (i,j) के लिए, संरचना टेंसर J एक सममित और सकारात्मक अर्ध-निश्चित मैट्रिक्स है। छवि के सभी पिक्सेल को साथ में संयोजित करना $$G$$, ऑर्थोनॉर्मल आइजन वैक्टर ω और υ देता है $$J$$ आव्यूह। ω सबसे बड़े कंट्रास्ट वाले प्रमुख अभिविन्यास की दिशा में इंगित करता है और υ सबसे छोटे कंट्रास्ट वाले संरचना अभिविन्यास की दिशा में इंगित करता है। अभिविन्यास क्षेत्र मोटे प्रारंभिक अनुमान $$\hat{d}$$ परिभाषित किया जाता है $$\hat{d}$$ = υ. यह अनुमान मजबूत किनारों पर सटीक है। हालाँकि, कमज़ोर किनारों पर या शोर वाले क्षेत्रों पर इसकी विश्वसनीयता कम हो जाती है।

इस कमी को दूर करने के लिए, एक परिष्कृत अभिविन्यास मॉडल को परिभाषित किया गया है जिसमें डेटा शब्द शोर के प्रभाव को कम करता है और सटीकता में सुधार करता है जबकि एल 2-मानदंड के साथ दूसरा दंड शब्द एक निष्ठा शब्द है जो प्रारंभिक मोटे अनुमान की सटीकता सुनिश्चित करता है।

इस अभिविन्यास क्षेत्र को समीकरण के माध्यम से सीएस पुनर्निर्माण के लिए दिशात्मक कुल भिन्नता अनुकूलन मॉडल में पेश किया गया है: $$\min_\Chi\lVert \nabla \Chi \bullet d \rVert _1 + \frac{\lambda}{2}\ \lVert Y - \Phi\Chi \rVert ^2_2$$. $$\Chi$$ वस्तुनिष्ठ संकेत है जिसे पुनर्प्राप्त करने की आवश्यकता है। Y संगत माप वेक्टर है, d पुनरावृत्तीय परिष्कृत अभिविन्यास क्षेत्र है और $$\Phi$$ सीएस माप मैट्रिक्स है। यह विधि कुछ पुनरावृत्तियों से गुजरती है और अंततः अभिसरण की ओर ले जाती है।$$\hat{d}$$ पुनर्निर्मित छवि का अभिविन्यास क्षेत्र अनुमानित अनुमान है $$X^{k-1}$$ पिछले पुनरावृत्ति से (अभिसरण और उसके बाद के ऑप्टिकल प्रदर्शन की जांच करने के लिए, पिछले पुनरावृत्ति का उपयोग किया जाता है)। द्वारा दर्शाए गए दो वेक्टर फ़ील्ड के लिए $$\Chi$$ और $$d$$, $$\Chi \bullet d$$ संबंधित क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर वेक्टर तत्वों के गुणन को संदर्भित करता है $$\Chi$$ और $$d$$ उसके बाद उनका अगला जोड़। इन समीकरणों को उत्तल न्यूनीकरण समस्याओं की एक श्रृंखला में बदल दिया जाता है जिन्हें फिर परिवर्तनीय विभाजन और संवर्धित लैग्रेंजियन (एक बंद फॉर्म समाधान के साथ एफएफटी-आधारित फास्ट सॉल्वर) तरीकों के संयोजन के साथ हल किया जाता है। इसे (ऑगमेंटेड लैग्रेंजियन) स्प्लिट ब्रेगमैन पुनरावृत्ति के समतुल्य माना जाता है जो इस विधि के अभिसरण को सुनिश्चित करता है। ओरिएंटेशन फ़ील्ड, d को बराबर के रूप में परिभाषित किया गया है $$(d_h, d_v)$$, कहाँ $$d_h, d_v$$ के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अनुमानों को परिभाषित करें $$d$$.

अभिविन्यास क्षेत्र के लिए संवर्धित लैग्रेंजियन विधि, $$\min_\Chi\lVert \nabla \Chi \bullet d \rVert _1 + \frac{\lambda}{2}\ \lVert Y - \Phi\Chi \rVert^2_2$$, आरंभीकरण शामिल है $$d_h, d_v, H, V$$ और फिर इसका अनुमानित न्यूनतम पता लगाना $$L_1$$ इन चरों के संबंध में. फिर लैग्रेंजियन मल्टीप्लायरों को अद्यतन किया जाता है और अभिसरण प्राप्त होने पर पुनरावृत्त प्रक्रिया रोक दी जाती है। पुनरावृत्त दिशात्मक कुल भिन्नता शोधन मॉडल के लिए, संवर्धित लैग्रेंजियन विधि में आरंभीकरण शामिल है $$\Chi, P, Q, \lambda_P, \lambda_Q$$. यहाँ, $$H, V, P, Q$$ जहां नए पेश किए गए वेरिएबल हैं $$H$$ = $$\nabla d_{h}$$, $$V$$ = $$\nabla d_v$$, $$P$$ = $$\nabla \Chi$$, और $$Q$$ = $$P \bullet d$$. $$\lambda_H, \lambda_V, \lambda_P, \lambda_Q$$ के लिए लैग्रेंजियन गुणक हैं $$H, V, P, Q$$. प्रत्येक पुनरावृत्ति के लिए, का अनुमानित न्यूनतम $$L_2$$ चर के संबंध में ($$\Chi, P, Q$$) परिकलित। और जैसा कि फ़ील्ड शोधन मॉडल में होता है, लैग्रेंजियन मल्टीप्लायरों को अद्यतन किया जाता है और अभिसरण प्राप्त होने पर पुनरावृत्त प्रक्रिया रोक दी जाती है।

ओरिएंटेशन फ़ील्ड शोधन मॉडल के लिए, लैग्रेंजियन मल्टीप्लायरों को पुनरावृत्तीय प्रक्रिया में निम्नानुसार अद्यतन किया जाता है:


 * $$(\lambda_H)^k = (\lambda_H)^{k-1} + \gamma_H(H^k - \nabla (d_h)^k)$$
 * $$(\lambda_V)^k = (\lambda_V)^{k-1} + \gamma_V(V^k - \nabla (d_v)^k)$$

पुनरावृत्त दिशात्मक कुल भिन्नता शोधन मॉडल के लिए, लैग्रेंजियन मल्टीप्लायरों को निम्नानुसार अद्यतन किया जाता है:


 * $$(\lambda_P)^k = (\lambda_P)^{k-1} + \gamma_P P^k - \nabla (\Chi)^k)$$
 * $$(\lambda_Q)^k = (\lambda_Q)^{k-1} + \gamma_Q(Q^k - P^k \bullet d)$$

यहाँ, $$\gamma_H, \gamma_V, \gamma_P, \gamma_Q$$ सकारात्मक स्थिरांक हैं.

फायदे और नुकसान
पीक सिग्नल-टू-शोर अनुपात (पीएसएनआर) और संरचनात्मक समानता सूचकांक (एसएसआईएम) मेट्रिक्स और परीक्षण प्रदर्शन के लिए ज्ञात जमीनी सच्चाई छवियों के आधार पर, यह निष्कर्ष निकाला गया है कि पुनरावृत्त दिशात्मक कुल भिन्नता में गैर-पुनरावृत्त तरीकों की तुलना में बेहतर पुनर्निर्मित प्रदर्शन है। किनारे और बनावट वाले क्षेत्रों को संरक्षित करना। प्रदर्शन में इस सुधार में ओरिएंटेशन फ़ील्ड परिशोधन मॉडल एक प्रमुख भूमिका निभाता है क्योंकि यह किनारों वाले क्षेत्रों में ओरिएंटेशन फ़ील्ड स्थिरता को बढ़ाते हुए समतल क्षेत्र में दिशाहीन पिक्सेल की संख्या बढ़ाता है।

अनुप्रयोग
कंप्रेसिव सेंसिंग का क्षेत्र सिग्नल प्रोसेसिंग और कम्प्यूटेशनल गणित में कई विषयों से संबंधित है, जैसे कि अनिर्धारित प्रणाली | अनिर्धारित रैखिक-प्रणाली, समूह परीक्षण, भारी हिटर, विरल कोडिंग, बहुसंकेतन, विरल नमूनाकरण और नवाचार की सीमित दर। इसके व्यापक दायरे और व्यापकता ने सिग्नल प्रोसेसिंग और संपीड़न, व्युत्क्रम समस्याओं के समाधान, विकिरण प्रणालियों के डिजाइन, रडार और थ्रू-द-वॉल इमेजिंग और एंटीना लक्षण वर्णन में कई नवीन सीएस-संवर्धित दृष्टिकोणों को सक्षम किया है। कंप्रेसिव सेंसिंग के साथ मजबूत संबंध वाली इमेजिंग तकनीकों में कोडित एपर्चर और कम्प्यूटेशनल फोटोग्राफी शामिल हैं।

पारंपरिक सीएस पुनर्निर्माण विवशता के माध्यम से पुनर्निर्माण के लिए विरल संकेतों (आमतौर पर नाइक्विस्ट नमूना दर से कम दर पर नमूना) का उपयोग करता है $$l_{1}$$ न्यूनीकरण इस तरह के दृष्टिकोण के शुरुआती अनुप्रयोगों में से एक प्रतिबिंब भूकंप विज्ञान में था, जो उप-सतह परतों के बीच परिवर्तनों को ट्रैक करने के लिए बैंड-सीमित डेटा से विरल प्रतिबिंबित संकेतों का उपयोग करता था। जब 1990 के दशक में विरल मॉडलों के चयन के लिए एक सांख्यिकीय पद्धति के रूप में LASSO मॉडल प्रमुखता में आया, इस पद्धति का उपयोग अति-पूर्ण शब्दकोशों से विरल संकेत प्रतिनिधित्व के लिए कम्प्यूटेशनल हार्मोनिक विश्लेषण में किया गया था। कुछ अन्य अनुप्रयोगों में रडार दालों का असंगत नमूनाकरण शामिल है। बॉयड एट अल द्वारा कार्य। विरल मॉडल के चयन के लिए LASSO मॉडल को लागू किया गया है - एनालॉग से डिजिटल कन्वर्टर्स की ओर (वर्तमान वाले परिमाणित शैनन प्रतिनिधित्व के साथ-साथ नाइक्विस्ट दर से अधिक नमूना दर का उपयोग करते हैं)। इसमें एक समानांतर आर्किटेक्चर शामिल होगा जिसमें एनालॉग सिग्नल की ध्रुवीयता उच्च दर पर बदलती है, जिसके बाद परिवर्तित डिजिटल सिग्नल प्राप्त करने के लिए प्रत्येक समय-अंतराल के अंत में इंटीग्रल को डिजिटाइज़ किया जाता है।

फ़ोटोग्राफ़ी
एक प्रायोगिक मोबाइल फोन कैमरा सेंसर में कंप्रेस्ड सेंसिंग का उपयोग किया गया है। यह दृष्टिकोण जटिल डीकंप्रेसन एल्गोरिदम की कीमत पर प्रति छवि छवि अधिग्रहण ऊर्जा को 15 के कारक तक कम करने की अनुमति देता है; गणना के लिए ऑफ-डिवाइस कार्यान्वयन की आवश्यकता हो सकती है। चावल विश्वविद्यालय के सिंगल-पिक्सेल कैमरों में कंप्रेस्ड सेंसिंग का उपयोग किया जाता है। बेल लैब्स ने इस तकनीक को एक लेंस रहित एकल-पिक्सेल कैमरे में नियोजित किया जो ग्रिड से यादृच्छिक रूप से चुने गए एपर्चर के बार-बार स्नैपशॉट का उपयोग करके चित्र लेता है। स्नैपशॉट की संख्या के साथ छवि गुणवत्ता में सुधार होता है, और लेंस/फोकस-संबंधित विपथन को दूर करते हुए, आम तौर पर पारंपरिक इमेजिंग के डेटा के एक छोटे हिस्से की आवश्यकता होती है।

होलोग्रफ़ी
एक होलोग्राम से अनुमानित स्वरों की संख्या बढ़ाकर होलोग्राफी में छवि पुनर्निर्माण को बेहतर बनाने के लिए संपीड़ित सेंसिंग का उपयोग किया जा सकता है।  इसका उपयोग ऑप्टिकल में अंडरसैंपल माप से छवि पुनर्प्राप्ति के लिए भी किया जाता है  और मिलीमीटर-तरंग होलोग्राफी.

चेहरे की पहचान
चेहरे की पहचान प्रणाली अनुप्रयोगों में संपीड़ित संवेदन का उपयोग किया गया है।

चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग
संपीड़ित संवेदन का उपयोग किया गया है पारंपरिक हार्डवेयर पर चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग स्कैनिंग सत्र को छोटा करना।   पुनर्निर्माण के तरीकों में शामिल हैं रेफरी> आदि.
 * यह
 * दल
 * रुकना
 * ईप्रेस
 * इविस्टा
 * ईविस्टार

संपीड़ित संवेदन कम फूरियर गुणांक को मापकर तेजी से अधिग्रहण को सक्षम करके उच्च स्कैन समय की समस्या का समाधान करता है। यह अपेक्षाकृत कम स्कैन समय के साथ उच्च गुणवत्ता वाली छवि तैयार करता है। एक अन्य अनुप्रयोग (आगे भी चर्चा की गई है) कम एक्स-रे अनुमानों के साथ सीटी पुनर्निर्माण के लिए है। इस मामले में, संपीड़ित संवेदन, उच्च स्थानिक ढाल भागों को हटा देता है - मुख्य रूप से, छवि शोर और कलाकृतियाँ। इसमें जबरदस्त क्षमता है क्योंकि कोई भी कम विकिरण खुराक पर (कम वर्तमान-एमए सेटिंग्स के माध्यम से) उच्च-रिज़ॉल्यूशन सीटी छवियां प्राप्त कर सकता है। रेफरी नाम = एमआरआई >

नेटवर्क टोमोग्राफी
संपीड़ित संवेदन ने नेटवर्क प्रबंधन में नेटवर्क टोमोग्राफी के अनुप्रयोग में उत्कृष्ट परिणाम दिखाए हैं। नेटवर्क विलंब अनुमान और नेटवर्क भीड़ का पता लगाना दोनों को रैखिक समीकरणों की अनिर्धारित प्रणाली के रूप में तैयार किया जा सकता है जहां गुणांक मैट्रिक्स नेटवर्क रूटिंग मैट्रिक्स है। इसके अलावा, इंटरनेट में, नेटवर्क रूटिंग मैट्रिसेस आमतौर पर संपीड़ित सेंसिंग का उपयोग करने की कसौटी पर खरे उतरते हैं।

शॉर्टवेव-इन्फ्रारेड कैमरे
2013 में एक कंपनी ने शॉर्टवेव-इन्फ्रारेड कैमरों की घोषणा की जो संपीड़ित सेंसिंग का उपयोग करते हैं। इन कैमरों में प्रकाश संवेदनशीलता 0.9 μm से 1.7 μm तक होती है, तरंग दैर्ध्य मानव आंखों के लिए अदृश्य है।

एपर्चर संश्लेषण खगोल विज्ञान
रेडियो खगोल विज्ञान और ऑप्टिकल खगोलीय इंटरफेरोमेट्री में, फूरियर विमान का पूर्ण कवरेज आमतौर पर अनुपस्थित होता है और अधिकांश हार्डवेयर कॉन्फ़िगरेशन में चरण की जानकारी प्राप्त नहीं होती है। एपर्चर संश्लेषण छवियों को प्राप्त करने के लिए, विभिन्न संपीड़ित सेंसिंग एल्गोरिदम कार्यरत हैं। रेडियो इंटरफेरोमीटर से प्राप्त छवियों के पुनर्निर्माण के लिए CLEAN (एल्गोरिदम)|होगबॉम CLEAN एल्गोरिदम का उपयोग 1974 से किया जा रहा है, जो ऊपर उल्लिखित मिलान खोज एल्गोरिदम के समान है।

ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी
ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी में छवियों की अधिग्रहण दर को बढ़ाने के लिए चलती एपर्चर के साथ संयुक्त संपीड़ित संवेदन का उपयोग किया गया है। स्कैनिंग ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी में, इलेक्ट्रॉन बीम की यादृच्छिक स्कैनिंग के साथ संयुक्त संपीड़न संवेदन ने तेजी से अधिग्रहण और कम इलेक्ट्रॉन खुराक दोनों को सक्षम किया है, जो इलेक्ट्रॉन बीम संवेदनशील सामग्रियों की इमेजिंग की अनुमति देता है।

यह भी देखें

 * शोरबाज़
 * विरल सन्निकटन
 * विरल कोडिंग
 * कम घनत्व समता-जाँच कोड
 * वाक् संकेतों में संपीड़ित संवेदन

अग्रिम पठन

 * "The Fundamentals of Compressive Sensing" Part 1, Part 2 and Part 3: video tutorial by Mark Davenport, Georgia Tech. at SigView, the IEEE Signal Processing Society Tutorial Library.
 * Using Math to Turn Lo-Res Datasets Into Hi-Res Samples Wired Magazine article
 * Compressive Sensing Resources at Rice University.
 * Compressed Sensing Makes Every Pixel Count – article in the AMS What's Happening in the Mathematical Sciences series
 * Wiki on sparse reconstruction