सेप्स्ट्रम

फूरियर विश्लेषण में, सेपस्ट्रम (बहुवचन cepstra, विशेषण cepstra) अनुमानित सिग्नल स्पेक्ट्रम के लघुगणक के व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण (IFT) की गणना का परिणाम है। विधि आवृत्ति स्पेक्ट्रा में आवधिक संरचनाओं की जांच के लिए एक उपकरण है। पावर सेप्स्ट्रम में मानव भाषण के विश्लेषण में अनुप्रयोग हैं।

सेप्स्ट्रम शब्द की व्युत्पत्ति स्पेक्ट्रम के पहले चार अक्षरों को उलट कर हुई थी। सेप्स्ट्रा पर संचालन को क्वेफ़्रेंसी विश्लेषण (या क्वेफ़्रेंसी एलानेसिस) लेबल किया जाता है ), लिफ्टिंग, या सेपस्ट्रल विश्लेषण। इसे दिए गए दो तरीकों से उच्चारित किया जा सकता है, दूसरे में केपस्ट्रम के साथ भ्रम से बचने का फायदा है।



उत्पत्ति
सेपस्ट्रम की अवधारणा 1963 में बी.पी. बोगर्ट, एम.जे.हीली और जे.डब्ल्यू.तुके द्वारा पेश की गई थी। यह आवृत्ति स्पेक्ट्रा में आवधिक संरचनाओं की जांच के लिए एक उपकरण के रूप में कार्य करता है। इस तरह के प्रभाव संकेत में ध्यान देने योग्य प्रतिध्वनि या परावर्तन (भौतिकी) या हार्मोनिक आवृत्तियों (हार्मोनिक श्रृंखला (संगीत) # आंशिक, ओवरटोन) की घटना से संबंधित हैं। गणितीय रूप से यह फ़्रीक्वेंसी स्पेस में सिग्नलों के विघटन की समस्या से संबंधित है।

एक ग्रंथ सूची में बोगर्ट पेपर के सन्दर्भों को अक्सर गलत तरीके से संपादित किया जाता है। आवृत्ति, विश्लेषण, स्पेक्ट्रम और चरण में अक्षरों को पुनर्व्यवस्थित करके लेखकों द्वारा क्वेफ़्रेंसी, एलानेसिस, सेप्स्ट्रम और सैफ़ शब्द का आविष्कार किया गया था। आविष्कार किए गए शब्दों को पुराने शब्दों के अनुरूप परिभाषित किया गया है।

सामान्य परिभाषा
सेप्स्ट्रम गणितीय संक्रियाओं के निम्नलिखित अनुक्रम का परिणाम है:
 * टाइम डोमेन से फ़्रीक्वेंसी डोमेन में सिग्नल का परिवर्तन
 * वर्णक्रमीय आयाम के लघुगणक की गणना
 * क्वेफ़्रेंसी डोमेन में परिवर्तन, जहाँ अंतिम स्वतंत्र चर, क्वेफ़्रेंसी, का एक समय पैमाना होता है।

प्रकार
सेपस्ट्रम का उपयोग कई रूपों में किया जाता है। सबसे महत्वपूर्ण हैं:
 * पावर सेप्स्ट्रम: लॉगरिदम पावर स्पेक्ट्रम से लिया गया है
 * जटिल सेप्स्ट्रम: लघुगणक स्पेक्ट्रम से लिया जाता है, जिसकी गणना फूरियर विश्लेषण के माध्यम से की जाती है

सेप्स्ट्रम की व्याख्या करने के लिए सूत्रों में निम्नलिखित संक्षिप्ताक्षरों का उपयोग किया गया है:

पावर सेपस्ट्रम
सेपस्ट्रम को मूल रूप से निम्नलिखित संबंधों द्वारा पावर सेप्स्ट्रम के रूप में परिभाषित किया गया था:


 * $$C_{p}=\left|\mathcal{F}^{-1}\left\{\log\left(\left|\mathcal{F}\{f(t)\}\right|^2\right)\right\}\right|^2$$

ध्वनि और कंपन संकेतों के विश्लेषण में पावर सेप्स्ट्रम के मुख्य अनुप्रयोग हैं। यह वर्णक्रमीय विश्लेषण का एक पूरक उपकरण है।

कभी-कभी इसे इस प्रकार भी परिभाषित किया जाता है:


 * $$C_{p}=\left|\mathcal{F}\left\{\log\left(\left|\mathcal{F}\{f(t)\}\right|^2\right)\right\}\right|^2$$

इस सूत्र के कारण, सेपस्ट्रम को कभी-कभी स्पेक्ट्रम का स्पेक्ट्रम भी कहा जाता है। यह दिखाया जा सकता है कि दोनों सूत्र एक दूसरे के अनुरूप हैं क्योंकि आवृत्ति वर्णक्रमीय वितरण समान रहता है, केवल अंतर स्केलिंग कारक होता है जिसे बाद में लागू किया जा सकता है। कुछ लेख दूसरे सूत्र को पसंद करते हैं।

अन्य संकेत इस तथ्य के कारण संभव हैं कि यदि स्केलिंग कारक 2 लागू किया जाता है तो पावर स्पेक्ट्रम का लॉग स्पेक्ट्रम के लॉग के बराबर होता है: :$$\log |\mathcal{F}|^2 = 2 \log |\mathcal{F}| $$ और इसीलिए:
 * $$C_{p}=\left|\mathcal{F}^{-1}\left\{2\log |\mathcal{F}|\right\}\right|^2, \text{ or} $$
 * $$C_{p}=4\cdot\left|\mathcal{F}^{-1}\left\{\log |\mathcal{F}| \right\}\right|^2,$$

जो वास्तविक सेपस्ट्रम से संबंध प्रदान करता है (नीचे देखें)।

इसके अलावा, यह ध्यान दिया जाएगा कि पावर स्पेक्ट्रम के लिए फॉर्मूला में अंतिम स्क्वेरिंग ऑपरेशन $$C_{p}$$ कभी-कभी अनावश्यक कहा जाता है और इसलिए कभी-कभी छोड़ दिया जाता है।

असली सेपस्ट्रम सीधे पावर सेप्स्ट्रम से संबंधित है:


 * $$C_{p}=4\cdot C_{r}^2$$

यह चरण की जानकारी (जटिल लघुगणक के काल्पनिक भाग में निहित) को छोड़कर जटिल सेप्स्ट्रम (नीचे परिभाषित) से प्राप्त होता है। यह स्पेक्ट्रम के आयामों में आवधिक प्रभावों पर ध्यान केंद्रित करता है:
 * $$C_{r}=\mathcal{F}^{-1}\left\{\log(\mathcal{|\mathcal{F}\{f(t) \}|})\right\}$$

जटिल सेप्स्ट्रम
जटिल सेप्स्ट्रम को ओपेनहेम ने होमोमोर्फिक सिस्टम सिद्धांत के विकास में परिभाषित किया था। सूत्र अन्य साहित्य में भी प्रदान किया गया है।


 * $$C_{c}=\mathcal{F}^{-1}\left\{\log( \mathcal{F}\{f(t) \})\right\}$$

जैसा $$\mathcal{F}$$ जटिल है लॉग-टर्म को इसके साथ भी लिखा जा सकता है $$\mathcal{F}$$ परिमाण और चरण के उत्पाद के रूप में, और बाद में योग के रूप में। आगे सरलीकरण स्पष्ट है, यदि लॉग आधार के साथ एक प्राकृतिक लघुगणक है:


 * $$\log(\mathcal{F}) = \log(\mathcal{|F| \cdot e^{i\varphi}})$$
 * $$\log_e(\mathcal{F}) = \log_e(\mathcal{|F|}) + \log_e(e^{i\varphi}) = \log_e(\mathcal{|F|}) + i\varphi$$

इसलिए: जटिल सेप्स्ट्रम को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:


 * $$C_{c}=\mathcal{F}^{-1}\left\{\log_e(\mathcal{|F|}) + i\varphi\right\}$$

जटिल सेप्स्ट्रम चरण के बारे में जानकारी रखता है। इस प्रकार व्युत्क्रम संचालन द्वारा क्वेफ्रेन्सी डोमेन से समय डोमेन पर वापस आना हमेशा संभव होता है:


 * $$f(t)=\mathcal{F}^{-1}\left\{b^\left(\mathcal{F}\{C_c\}\right)\right\},$$

जहाँ b प्रयुक्त लघुगणक का आधार है।

मुख्य अनुप्रयोग वर्णक्रमीय आवृत्ति डोमेन में फ़िल्टरिंग के लिए एनालॉग ऑपरेशन के रूप में क्वेफ्रेन्सी डोमेन (लिफ्टिंग) में सिग्नल का संशोधन है। एक उदाहरण कुछ विशिष्टताओं के दमन द्वारा प्रतिध्वनि प्रभावों का दमन है।

चरण सेप्स्ट्रम (चरण स्पेक्ट्रम के बाद) जटिल सेप्स्ट्रम से संबंधित है:
 * चरण स्पेक्ट्रम = (जटिल सेपस्ट्रम - जटिल सेप्स्ट्रम का समय उत्क्रमण) 2.

संबंधित अवधारणाएं
सेस्ट्रल ग्राफ के आश्रित और स्वतंत्र चर को क्वेफ्रेन्सी कहा जाता है। क्वेफ़्रेंसी समय का माप है, हालांकि समय डोमेन में सिग्नल के अर्थ में नहीं। उदाहरण के लिए, अगर किसी ऑडियो सिग्नल की सैंपलिंग दर 44100 हर्ट्ज़ है और सेपस्ट्रम में एक बड़ा शिखर है जिसकी क्वफ़्रेंसी 100 नमूने है, तो शिखर एक मौलिक आवृत्ति की उपस्थिति को इंगित करता है जो 44100/100 = 441 हर्ट्ज है। यह शिखर सेप्स्ट्रम में होता है क्योंकि स्पेक्ट्रम में हार्मोनिक्स आवधिक होते हैं और अवधि मौलिक आवृत्ति से मेल खाती है, क्योंकि हार्मोनिक्स मौलिक आवृत्ति के पूर्णांक गुणक होते हैं। रेफरी>https://support.ircam.fr/docs/AudioSculpt/3.0/co/Discrete%20Cepstrum.html

केपस्ट्रम, जो कोलमोगोरोव-समीकरण शक्ति-श्रृंखला समय प्रतिक्रिया के लिए खड़ा है, सेपस्ट्रम के समान है और इसका वही संबंध है जो अपेक्षित मूल्य का सांख्यिकीय औसत से है, अर्थात सेपस्ट्रम अनुभवजन्य रूप से मापी गई मात्रा है, जबकि केपस्ट्रम सैद्धांतिक मात्रा है। यह सेपस्ट्रम से पहले उपयोग में था।

Autocepstrum को autocorrelation के cepstrum के रूप में परिभाषित किया गया है। गूँज के साथ डेटा के विश्लेषण में सेप्स्ट्रम की तुलना में ऑटोसेप्स्ट्रम अधिक सटीक है।

विपर्यय विषय पर आगे खेलते हुए, एक फिल्टर जो एक सेपस्ट्रम पर संचालित होता है उसे एक लिफ्टर कहा जा सकता है। लो-पास लिफ्टर फ़्रीक्वेंसी डोमेन में लो-पास फ़िल्टर के समान है। इसे क्वेफ्रेंसी डोमेन में एक विंडो द्वारा गुणा करके और फिर फ़्रीक्वेंसी डोमेन में वापस परिवर्तित करके कार्यान्वित किया जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक संशोधित सिग्नल होता है, यानी सिग्नल इको कम हो जाता है।

व्याख्या
सेपस्ट्रम को विभिन्न स्पेक्ट्रम बैंड में परिवर्तन की दर के बारे में जानकारी के रूप में देखा जा सकता है। यह मूल रूप से भूकंप और बम विस्फोटों से उत्पन्न भूकंपीय प्रतिध्वनि (घटना) को चिह्नित करने के लिए आविष्कार किया गया था। इसका उपयोग मानव भाषण की मौलिक आवृत्ति को निर्धारित करने और रडार सिग्नल रिटर्न का विश्लेषण करने के लिए भी किया गया है। सेपस्ट्रम पिच निर्धारण विशेष रूप से प्रभावी है क्योंकि मुखर उत्तेजना (पिच) और मुखर पथ (फॉर्मेंट) के प्रभाव पावर स्पेक्ट्रम के लॉगरिदम में योगात्मक होते हैं और इस प्रकार स्पष्ट रूप से अलग होते हैं।

सेप्स्ट्रम एक प्रतिनिधित्व है जिसका उपयोग होमोमोर्फिक फ़िल्टरिंग में किया जाता है, जो कि कनवल्शन (जैसे एक स्रोत और फिल्टर) द्वारा संयुक्त संकेतों को उनके सेपस्ट्रा के योग में रैखिक पृथक्करण के लिए परिवर्तित करता है। विशेष रूप से, पावर सेप्स्ट्रम को अक्सर मानव आवाज और संगीत संकेतों का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक फीचर वेक्टर के रूप में उपयोग किया जाता है। इन अनुप्रयोगों के लिए, स्पेक्ट्रम को आमतौर पर मेल स्केल का उपयोग करके पहले रूपांतरित किया जाता है। परिणाम को मेल-फ़्रीक्वेंसी सेप्स्ट्रम या MFC (इसके गुणांकों को मेल-फ़्रीक्वेंसी सेप्स्ट्रल गुणांक, या MFCCs कहा जाता है) कहा जाता है। इसका उपयोग वॉयस आइडेंटिफिकेशन, पिच डिटेक्शन एल्गोरिथम और बहुत कुछ के लिए किया जाता है। सेपस्ट्रम इन अनुप्रयोगों में उपयोगी है क्योंकि मुखर रस्सियों से कम आवृत्ति आवधिक उत्तेजना और मुखर पथ के फॉर्मेंट फ़िल्टरिंग, जो समय डोमेन में घूमते हैं और आवृत्ति डोमेन में गुणा करते हैं, योगात्मक होते हैं और क्वेफ़्रेंसी डोमेन में विभिन्न क्षेत्रों में होते हैं।.

ध्यान दें कि एक शुद्ध साइन वेव का उपयोग सेप्स्ट्रम के परीक्षण के लिए क्वेफ्रेन्सी से उसके पिच निर्धारण के लिए नहीं किया जा सकता है क्योंकि शुद्ध साइन वेव में कोई हार्मोनिक्स नहीं होता है और यह क्वेफ्रेन्सी चोटियों की ओर नहीं ले जाता है। इसके बजाय, हार्मोनिक्स युक्त एक परीक्षण संकेत का उपयोग किया जाना चाहिए (जैसे कम से कम दो साइन का योग जहां दूसरी साइन पहली साइन के कुछ हार्मोनिक (एकाधिक) है, या बेहतर, एक वर्ग या त्रिकोण तरंग के साथ एक संकेत, जैसे संकेत स्पेक्ट्रम में कई ओवरटोन प्रदान करते हैं।)

सेप्स्ट्रल डोमेन की एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि दो संकेतों के दृढ़ संकल्प को उनके जटिल सेप्स्ट्रा के अतिरिक्त के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$x_1 * x_2 \mapsto x'_1 + x'_2.$$

आवेदन
सेप्स्ट्रम की अवधारणा ने कई अनुप्रयोगों को जन्म दिया है: * प्रतिबिंब अनुमान से निपटना (रडार, सोनार अनुप्रयोग, पृथ्वी भूकंप विज्ञान) हाल ही में सेप्स्ट्रम आधारित डीकोनवोल्यूशन का उपयोग स्टोकेस्टिक इम्पल्स ट्रेनों के प्रभाव को दूर करने के लिए किया गया था, जो कि एसईएमजी सिग्नल के पावर स्पेक्ट्रम से इलेक्ट्रोमोग्राफी#सर्फेस और इंट्रामस्क्युलर ईएमजी रिकॉर्डिंग इलेक्ट्रोड सिग्नल उत्पन्न करता है। इस तरह, केवल मोटर यूनिट एक्शन पोटेंशिअल (MUAP) आकार और आयाम की जानकारी को बनाए रखा जाता था, और फिर, MUAP के टाइम-डोमेन मॉडल के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए उपयोग किया जाता था। मानव भाषण के निर्धारण को पिच करने के लिए आवेदन के लिए मैनफ्रेड आर श्रोएडर और नोल द्वारा एक अल्पकालिक सेपस्ट्रम विश्लेषण प्रस्तावित किया गया था।
 * स्पीकर मौलिक आवृत्ति का अनुमान (पिच)
 * भाषण विश्लेषण और मान्यता
 * इलेक्ट्रोएन्सेफलोग्राम (ईईजी) और मस्तिष्क तरंगों के विश्लेषण में चिकित्सा अनुप्रयोग
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 * "Speech Signal Analysis"
 * "Speech analysis: Cepstral analysis vs. LPC", www.advsolned.com
 * "A tutorial on Cepstrum and LPCCs"
 * "Speech analysis: Cepstral analysis vs. LPC", www.advsolned.com
 * "A tutorial on Cepstrum and LPCCs"