प्रतिच्छेदन

गणित में, दो या दो से अधिक वस्तुओं के प्रतिच्छेदन से अन्य वस्तु होता है जिसमें वह सब कुछ सम्मिलित है जो सभी वस्तुओं में समकालिकत समाहित होता है। उदाहरण के लिए, यूक्लिडियन [[ज्यामिति]] में, जब एक समतल में दो रेखाएँ समानांतर नहीं होती हैं, तो उनका प्रतिच्छेदन वह बिंदु (ज्यामिति) होता है जिस पर वे मिलते हैं। अधिक सामान्यतः, सेट सिद्धांत में, समुच्चय के प्रतिच्छेदन को उन सभी तत्वों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया जाता है जो उन सभी से संबंधित होते हैं। यूक्लिडियन परिभाषा के विपरीत, यह नहीं माना जाता है कि विचाराधीन वस्तुएं एक सामान्य स्थान में स्थित हैं ।

प्रतिच्छेदन ज्यामिति की आधारिक अवधारणाओं में से एक है। एक प्रतिच्छेदन में विभिन्न ज्यामितीय आकार हो सकते हैं, किन्तु समतल ज्यामिति में एक बिंदु अधिक सामान्य है। आपतन ज्यामिति एक प्रतिच्छेदन (सामान्यतः, समतल के) को निम्न परिमाप की वस्तु के रूप में परिभाषित करती है जो प्रत्येक मूल वस्तुओं के लिए आपाती (ज्यामिति) है। इस दृष्टिकोण में एक चौराहे को कभी-कभी अपरिभाषित किया जा सकता है, जैसे समांतर रेखाओं के लिए। दोनों ही स्थितियों में प्रतिच्छेदन की अवधारणा तार्किक संयोजन पर निर्भर करती है। बीजगणितीय ज्यामिति प्रतिच्छेदन सिद्धांत के साथ अपने तरीके से प्रतिच्छेदन को परिभाषित करती हैं।

विशिष्टता
एक से अधिक अभाज्य वस्तुएँ हो सकती हैं, जैसे बिंदु (ऊपर चित्रित), जो एक प्रतिच्छेदन बनाते हैं। प्रतिच्छेदन को सामूहिक रूप से सभी साझा वस्तुओं के रूप में देखा जा सकता है (यानी, प्रतिच्छेदन के संचालन का परिणाम एक सेट (गणित), संभवतः रिक्त), या बहुविकल्पीय फ़ंक्शन (आंशिक फ़ंक्शन) के रूप में देखा जा सकता है।

समुच्चय सिद्धांत में


दो समुच्चयों A और B का प्रतिच्छेदन उन अवयवों का समुच्चय है जो A और B दोनों में हैं। औपचारिक रूप से,


 * $$A \cap B = \{ x: x \in A \text{  and  } x \in B\}$$.

उदाहरण के लिए, यदि $$A = \{1, 3, 5, 7\}$$ और $$B = \{1, 2, 4, 6\}$$, तब $$A \cap B = \{1\}$$. एक अधिक विस्तृत उदाहरण (अनंत समुच्चय सम्मिलित) है:
 * A = {x एक सम पूर्णांक है}
 * B = {x एक पूर्णांक है जो 3 से विभाज्य है}
 * $$A \cap B = \{6, 12, 18, \dots\}$$

एक अन्य उदाहरण के रूप में, संख्या 5 अभाज्य संख्याओं के समुच्चय {2, 3, 5, 7, 11, …} और सम संख्याओं के समुच्चय {2, 4, 6, 8, 10,…} के प्रतिच्छेदन में निहित नहीं है। }, क्योंकि यद्यपि 5 एक अभाज्य संख्या है, यह सम नहीं है। वास्तव में, संख्या 2 इन दो समुच्चय के प्रतिच्छेदन में एकमात्र संख्या है। इस स्थिति में, प्रतिच्छेदन का गणितीय अर्थ है: संख्या 2 एकमात्र सम अभाज्य संख्या है।

संकेत पद्धति
प्रतिच्छेदन को द्वारा निरूपित किया गया है।

प्रतीक सर्वप्रथम हरमन ग्रासमैन द्वारा डाई ऑस्देहनुंगस्लेह्रे वॉन वर्ष 1844 में सामान्य ऑपरेशन प्रतीक के रूप में उपयोग किया गया था, जो प्रतिच्छेदन के लिए विशेष नहीं था। वहां से, इसका उपयोग ग्यूसेप पीनो (1858-1932) द्वारा प्रतिच्छेदन के लिए,1888 में कैलको जियोमेट्रिको सेकेंडो ल'ऑस्देहनुंगस्लेह्रे डी एच. ग्रासमैन में किया गया था।

पीआनो ने अपनी 1908 की पुस्तक फ़ॉर्मूलेरियो मैथेमेटिको में सामान्य प्रतिच्छेदन और दो से अधिक वर्गों के यूनियन (समुच्चय सिद्धांत) लिए विशाल प्रतीक भी उत्पन्न किए।

यह भी देखें

 * रचनात्मक ठोस ज्यामिति, बूलियन प्रतिच्छेदन 2D/3D आकृतियों के संयोजन के विधियों में से एक है
 * विमीय रूप से प्रसारित 9-प्रतिच्छेदन मॉडल
 * मीट (झंझरी सिद्धांत)
 * प्रतिच्छेदन (समुच्चय सिद्धांत)
 * यूनियन (समुच्चय सिद्धांत)

बाहरी संबंध
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