हेगनर संख्या

संख्या सिद्धांत में, एक हेगनर संख्या (जैसा कि जॉन हॉर्टन कॉनवे और गाइ द्वारा कहा गया है) एक वर्ग-मुक्त पूर्णांक है | वर्ग-मुक्त धनात्मक पूर्णांक d इस प्रकार है कि काल्पनिक द्विघात क्षेत्र $$\Q\left[\sqrt{-d}\right]$$ आदर्श वर्ग समूह 1 है। समतुल्य, पूर्णांकों का वलय $$\Q\left[\sqrt{-d}\right]$$ अद्वितीय गुणनखंडन है। ऐसी संख्याओं का निर्धारण वर्ग संख्या समस्या का एक विशेष मामला है, और वे संख्या सिद्धांत में कई आश्चर्यजनक परिणामों का आधार हैं।

(बेकर-)स्टार्क-हीगनर प्रमेय के अनुसार, वास्तव में नौ हीगनर संख्याएँ हैं:

इस परिणाम का अनुमान कार्ल फ्रेडरिक गॉस द्वारा लगाया गया था और 1952 में कर्ट हेगनर द्वारा इसे छोटी खामियों तक साबित किया गया था। एलन बेकर (गणितज्ञ) और हेरोल्ड स्टार्क ने 1966 में स्वतंत्र रूप से परिणाम को साबित किया, और स्टार्क ने आगे संकेत दिया कि हेगनर के प्रमाण में अंतर मामूली था।

यूलर का अभाज्य-जनक बहुपद
अभाज्यों के लिए यूलर का सूत्र#अभाज्य सूत्र और बहुपद फलन|अभाज्य-जनक बहुपद $$n^2 + n + 41,$$ जो n = 0, ..., 39 के लिए (विशिष्ट) अभाज्य संख्या देता है, हेगनर संख्या 163 = 4 · 41 − 1 से संबंधित है।

जॉर्ज यूरी रेनिच यह साबित कर दिया $$n^2 + n + p$$ के लिए अभाज्य अंक देता है $$n=0,\dots,p-2$$ यदि और केवल यदि यह द्विघात विभेदक है $$1-4p$$ हेगनर संख्या का ऋणात्मक है।

(ध्यान दें कि $$p-1$$ पैदावार $$p^2$$, इसलिए $$p-2$$ अधिकतम है.)

1, 2, और 3 आवश्यक रूप में नहीं हैं, इसलिए हेगनर संख्याएँ जो काम करती हैं वे 7, 11, 19, 43, 67, 163 हैं, जो 2, 3, 5, 11, 17, के लिए यूलर फॉर्म के प्राइम जनरेटिंग फ़ंक्शन प्रदान करती हैं। 41; इन बाद वाले नंबरों को फ्रांकोइस ले लियोनिस|एफ द्वारा यूलर के भाग्यशाली नंबर कहा जाता है। ले लियोनिस।

लगभग पूर्णांक और रामानुजन का स्थिरांक
रामानुजन का स्थिरांक पारलौकिक संख्या है $$e^{\pi \sqrt{163}}$$, जो एक लगभग [[पूर्णांक]] है, इसमें यह गणितीय संयोग है#एक पूर्णांक में पाई या ई और संख्या 163 शामिल है: $$e^{\pi \sqrt{163}} = 262\,537\,412\,640\,768\,743.999\,999\,999\,999\,25\ldots\approx 640\,320^3+744.$$ इस संख्या की खोज 1859 में गणितज्ञ चार्ल्स हर्मिट ने की थी। अमेरिकी वैज्ञानिक पत्रिका में 1975 अप्रैल फूल्स डे लेख में, गणितीय खेलों के स्तंभकार मार्टिन गार्डनर ने झूठा दावा किया कि संख्या वास्तव में एक पूर्णांक थी, और भारतीय गणितीय प्रतिभा श्रीनिवास रामानुजन ने इसकी भविष्यवाणी की थी - इसलिए इसका नाम रखा गया।

इस संयोग को जटिल गुणन और j-अपरिवर्तनीय के q-विस्तार|q-विस्तार द्वारा समझाया गया है।

विस्तार
निम्नलिखित में, j(z) सम्मिश्र संख्या z के j-अपरिवर्तनीय को दर्शाता है। संक्षेप में, $$\textstyle j\left(\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\right)$$ d हेगनर संख्या के लिए एक पूर्णांक है, और $$e^{\pi \sqrt{d}} \approx -j\left(\frac{1+\sqrt{-d}}{2}\right) + 744$$ क्यू-विस्तार के माध्यम से।

अगर $$\tau$$ एक द्विघात अपरिमेय है, तो j-अपरिवर्तनीय डिग्री का एक बीजगणितीय पूर्णांक है $$\left|\mathrm{Cl}\bigl(\mathbf{Q}(\tau)\bigr)\right|$$, वर्ग संख्या (संख्या सिद्धांत) की $$\mathbf{Q}(\tau)$$ और जिस न्यूनतम (मोनिक इंटीग्रल) बहुपद को यह संतुष्ट करता है उसे 'हिल्बर्ट वर्ग बहुपद' कहा जाता है। इस प्रकार यदि काल्पनिक द्विघात विस्तार $$\mathbf{Q}(\tau)$$ इसकी कक्षा संख्या 1 है (इसलिए d एक हेगनर संख्या है), j-अपरिवर्तनीय एक पूर्णांक है।

जे का क्यू-विस्तार|क्यू-विस्तार, इसके फूरियर श्रृंखला विस्तार के साथ लॉरेंट श्रृंखला के रूप में लिखा गया है $$q=e^{2 \pi i \tau}$$, इस प्रकार शुरू होता है: $$j(\tau) = \frac{1}{q} + 744 + 196\,884 q + \cdots.$$ गुणांक $$c_n$$ स्पर्शोन्मुख रूप से बढ़ें $$\ln(c_n) \sim 4\pi \sqrt{n} + O\bigl(\ln(n)\bigr),$$ और निम्न क्रम गुणांक अधिक धीरे-धीरे बढ़ते हैं $$200\,000^n$$, अभीतक के लिए तो $$\textstyle q \ll \frac{1}{200\,000}$$, j को इसके पहले दो पदों द्वारा बहुत अच्छी तरह से अनुमानित किया गया है। सेटिंग $$\textstyle\tau = \frac{1+\sqrt{-163}}{2}$$ पैदावार $$ q=-e^{-\pi \sqrt{163}} \quad\therefore\quad \frac{1}{q}=-e^{\pi \sqrt{163}}. $$ अब $$j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)=\left(-640\,320\right)^3,$$ इसलिए, $$\left(-640\,320\right)^3=-e^{\pi \sqrt{163}}+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right).$$ या, $$e^{\pi \sqrt{163}}=640\,320^3+744+O\left(e^{-\pi \sqrt{163}}\right)$$ जहां त्रुटि का रैखिक पद है, $$\frac{-196\,884}{e^{\pi \sqrt{163}}} \approx \frac{-196\,884}{640\,320^3+744} \approx -0.000\,000\,000\,000\,75$$ क्यों समझा रहा हूँ $$e^{\pi \sqrt{163}}$$ एक पूर्णांक होने के लगभग ऊपर के भीतर है।

पाई सूत्र
चुडनोव्स्की बंधुओं ने 1987 में इसकी खोज की $$\frac{1}{\pi} = \frac{12}{640\,320^\frac32} \sum_{k=0}^\infty \frac{(6k)! (163 \cdot 3\,344\,418k + 13\,591\,409)}{(3k)!(k!)^3 (-640\,320)^{3k}},$$ जिसका एक प्रमाण इस तथ्य का उपयोग करता है $$j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right) = -640\,320^3.$$ समान सूत्रों के लिए, रामानुजन-सातो श्रृंखला देखें।

अन्य हेगनर संख्याएँ
चार सबसे बड़ी हेगनर संख्याओं के लिए, जो सन्निकटन प्राप्त होता है निम्नानुसार हैं। $$\begin{align} e^{\pi \sqrt{19}} &\approx {\color{white}000\,0}96^3+744-0.22\\ e^{\pi \sqrt{43}} &\approx {\color{white}000\,}960^3+744-0.000\,22\\ e^{\pi \sqrt{67}} &\approx {\color{white}00}5\,280^3+744-0.000\,0013\\ e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 640\,320^3+744-0.000\,000\,000\,000\,75 \end{align} $$ वैकल्पिक रूप से, $$\begin{align} e^{\pi \sqrt{19}} &\approx 12^3\left(3^2-1\right)^3{\color{white}00}+744-0.22\\ e^{\pi \sqrt{43}} &\approx 12^3\left(9^2-1\right)^3{\color{white}00}+744-0.000\,22\\ e^{\pi \sqrt{67}} &\approx 12^3\left(21^2-1\right)^3{\color{white}0}+744-0.000\,0013\\ e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 12^3\left(231^2-1\right)^3+744-0.000\,000\,000\,000\,75 \end{align} $$ जहां वर्गों का कारण कुछ आइज़ेंस्टीन श्रृंखला के कारण है। हेगनर संख्या के लिए $$d < 19$$, किसी को लगभग पूर्णांक प्राप्त नहीं होता है; यहां तक ​​की $$d = 19$$ उल्लेखनीय नहीं है. पूर्णांक j-अपरिवर्तनीय अत्यधिक गुणनखंडन योग्य हैं, जो प्रपत्र से अनुसरण करता है
 * $$12^3\left(n^2-1\right)^3=\left(2^2\cdot 3 \cdot (n-1) \cdot (n+1)\right)^3,$$

और कारक के रूप में, $$\begin{align} j\left(\frac{1+\sqrt{-19}}{2}\right) &= {\color{white}000\,0}96^3 =\left(2^5 \cdot 3\right)^3\\ j\left(\frac{1+\sqrt{-43}}{2}\right) &= {\color{white}000\,}960^3 =\left(2^6 \cdot 3 \cdot 5\right)^3\\ j\left(\frac{1+\sqrt{-67}}{2}\right) &= {\color{white}00}5\,280^3 =\left(2^5 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 11\right)^3\\ j\left(\frac{1+\sqrt{-163}}{2}\right)&= 640\,320^3 =\left(2^6 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 23 \cdot 29\right)^3. \end{align} $$ ये पारलौकिक संख्याएँ, पूर्णांकों (जो केवल डिग्री 1 की बीजीय संख्याएँ हैं) द्वारा बारीकी से अनुमानित होने के अलावा, डिग्री 3 की बीजगणितीय संख्याओं द्वारा बारीकी से अनुमानित की जा सकती हैं, $$\begin{align} e^{\pi \sqrt{19}} &\approx x^{24}-24.000\,31 ; & x^3-2x-2&=0\\ e^{\pi \sqrt{43}} &\approx x^{24}-24.000\,000\,31 ; & x^3-2x^2-2&=0\\ e^{\pi \sqrt{67}} &\approx x^{24}-24.000\,000\,0019 ; & x^3-2x^2-2x-2&=0\\ e^{\pi \sqrt{163}} &\approx x^{24}-24.000\,000\,000\,000\,0011 ; &\quad x^3-6x^2+4x-2&=0 \end{align} $$ क्यूबिक्स के एक फ़ंक्शन का मूल बिल्कुल डेडेकाइंड और फ़ंक्शन η(τ) के भागफल द्वारा दिया जा सकता है, एक मॉड्यूलर फ़ंक्शन जिसमें 24वां रूट शामिल है, और जो सन्निकटन में 24 की व्याख्या करता है। उन्हें घात 4 की बीजगणितीय संख्याओं द्वारा भी बारीकी से अनुमानित किया जा सकता है, $$\begin{align} e^{\pi \sqrt{19}} &\approx 3^5 \left(3-\sqrt{2\left(1- \tfrac{96}{24}+1\sqrt{3\cdot19}\right)} \right)^{-2}-12.000\,06\dots\\ e^{\pi \sqrt{43}} &\approx 3^5 \left(9-\sqrt{2\left(1- \tfrac{960}{24}+7\sqrt{3\cdot43}\right)} \right)^{-2}-12.000\,000\,061\dots\\ e^{\pi \sqrt{67}} &\approx 3^5 \left(21-\sqrt{2\left(1- \tfrac{5\,280}{24} +31\sqrt{3\cdot67}\right)} \right)^{-2}-12.000\,000\,000\,36\dots\\ e^{\pi \sqrt{163}} &\approx 3^5 \left(231-\sqrt{2\left(1- \tfrac{640\,320}{24}+2\,413\sqrt{3\cdot163}\right)} \right)^{-2}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots \end{align} $$ अगर $$x$$ कोष्ठक के भीतर अभिव्यक्ति को दर्शाता है (उदा. $$x=3-\sqrt{2\left(1- \tfrac{96}{24}+1\sqrt{3\cdot19}\right)}$$), यह क्रमशः चतुर्थक समीकरणों को संतुष्ट करता है $$\begin{align} x^4 -{\color{white}00} 4\cdot 3 x^3 + {\color{white}000\,0}\tfrac23( 96 +3) x^2 - {\color{white}000\,000}\tfrac23\cdot3(96-6)x - 3&=0\\ x^4 -{\color{white}00} 4\cdot 9x^3 + {\color{white}000\,}\tfrac23( 960 +3) x^2 - {\color{white}000\,00}\tfrac23\cdot9(960-6)x - 3&=0\\ x^4 -{\color{white}0} 4\cdot 21x^3 + {\color{white}00}\tfrac23( 5\,280 +3) x^2 - {\color{white}000}\tfrac23\cdot21(5\,280-6)x - 3&=0\\ x^4 - 4\cdot 231x^3 + \tfrac23( 640\,320 +3) x^2 - \tfrac23\cdot231(640\,320-6)x - 3&=0\\ \end{align} $$ पूर्णांकों के पुनः प्रकटन पर ध्यान दें $$n = 3, 9, 21, 231$$ साथ ही यह तथ्य भी $$\begin{align} 2^6 \cdot 3\left(-\left(1- \tfrac{96}{24}\right)^2+ 1^2 \cdot3\cdot 19 \right) &= 96^2\\ 2^6 \cdot 3\left(-\left(1- \tfrac{960}{24}\right)^2+ 7^2\cdot3 \cdot 43 \right) &= 960^2\\ 2^6 \cdot 3\left(-\left(1- \tfrac{5\,280}{24}\right)^2+ 31^2 \cdot 3\cdot67 \right) &= 5\,280^2\\ 2^6 \cdot 3\left(-\left(1- \tfrac{640\,320}{24}\right)^2+ 2413^2\cdot 3 \cdot163 \right) &= 640\,320^2 \end{align} $$ जो, उचित भिन्नात्मक शक्ति के साथ, सटीक रूप से जे-अपरिवर्तनीय हैं।

इसी प्रकार घात 6 की बीजगणितीय संख्याओं के लिए, $$\begin{align} e^{\pi \sqrt{19}} &\approx \left(5x\right)^3-6.000\,010\dots\\ e^{\pi \sqrt{43}} &\approx \left(5x\right)^3-6.000\,000\,010\dots\\ e^{\pi \sqrt{67}} &\approx \left(5x\right)^3-6.000\,000\,000\,061\dots\\ e^{\pi \sqrt{163}} &\approx \left(5x\right)^3-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{align} $$ जहां xs क्रमशः सेक्सटिक समीकरणों की उचित जड़ द्वारा दिए गए हैं, $$\begin{align} 5x^6-{\color{white}000\,0}96x^5-10x^3+1&=0\\ 5x^6-{\color{white}000\,}960x^5-10x^3+1&=0\\ 5x^6-{\color{white}00}5\,280x^5-10x^3+1&=0\\ 5x^6-640\,320x^5-10x^3+1&=0 \end{align} $$ जे-इनवेरिएंट के फिर से प्रकट होने के साथ। ये सेक्स्टिक्स न केवल बीजगणितीय हैं, वे एनवें मूल में हल करने योग्य समूह भी हैं क्योंकि वे विस्तार पर दो घन समीकरण में कारक हैं $$\Q\sqrt{5}$$ (पहले गुणनखंडन के साथ आगे दो द्विघात समीकरण में)। इन बीजगणितीय सन्निकटनों को डेडेकाइंड ईटा भागफल के रूप में सटीक रूप से व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के तौर पर, आइए $$\textstyle \tau = \frac{1+\sqrt{-163}}{2}$$, तब, $$\begin{align} e^{\pi \sqrt{163}} &= \left( \frac{e^\frac{\pi i}{24} \eta(\tau)}{\eta(2\tau)} \right)^{24}-24.000\,000\,000\,000\,001\,05\dots\\ e^{\pi \sqrt{163}} &= \left( \frac{e^\frac{\pi i}{12} \eta(\tau)}{\eta(3\tau)} \right)^{12}-12.000\,000\,000\,000\,000\,21\dots\\ e^{\pi \sqrt{163}} &= \left( \frac{e^\frac{\pi i}{6} \eta(\tau)}{\eta(5\tau)} \right)^{6}-6.000\,000\,000\,000\,000\,034\dots \end{align} $$ जहां ईटा भागफल ऊपर दी गई बीजगणितीय संख्याएं हैं।

कक्षा 2 संख्या
तीन संख्याएँ 88, 148, 232, जिसके लिए काल्पनिक द्विघात क्षेत्र $$\Q\left[\sqrt{-d}\right]$$ आदर्श वर्ग समूह 2 है, हेगनर संख्याएं नहीं हैं लेकिन लगभग पूर्णांकों के संदर्भ में कुछ समान गुण हैं। उदाहरण के लिए, $$\begin{align} e^{\pi \sqrt{88}} +8\,744 &\approx {\color{white}00\,00}2\,508\,952^2-0.077\dots\\ e^{\pi \sqrt{148}} +8\,744 &\approx {\color{white}00\,}199\,148\,648^2-0.000\,97\dots\\ e^{\pi \sqrt{232}} +8\,744 &\approx 24\,591\,257\,752^2-0.000\,0078\dots\\ \end{align} $$ और $$\begin{align} e^{\pi \sqrt{22}} -24 &\approx {\color{white}00}\left(6+4\sqrt{2}\right)^{6} +0.000\,11\dots\\ e^{\pi \sqrt{37}} +24 &\approx \left(12+ 2 \sqrt{37}\right)^6 -0.000\,0014\dots\\ e^{\pi \sqrt{58}} -24 &\approx \left(27 + 5 \sqrt{29}\right)^6 -0.000\,000\,0011\dots\\ \end{align} $$

लगातार अभाज्य
यदि कोई गणना करता है, तो उसे एक विषम अभाज्य p दिया गया है $$k^2 \mod p$$ के लिए $$\textstyle k=0,1,\dots,\frac{p-1}{2}$$ (यह पर्याप्त है क्योंकि $$\left(p-k\right)^2\equiv k^2\mod p$$), किसी को लगातार कंपोजिट मिलता है, उसके बाद लगातार अभाज्य संख्याएं मिलती हैं, यदि और केवल यदि पी एक हेगनर संख्या है। विवरण के लिए, रिचर्ड मोलिन द्वारा लिखित द्विघात बहुपद, जो लगातार विशिष्ट अभाज्य और जटिल द्विघात क्षेत्रों के वर्ग समूहों का निर्माण करते हैं, देखें।

बाहरी संबंध

 * Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: Detailed history of problem.
 * Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: Detailed history of problem.
 * Gauss' Class Number Problem for Imaginary Quadratic Fields, by Dorian Goldfeld: Detailed history of problem.