समिश्र गतिशीलता

जटिल गतिशीलता या होलोमोर्फिक गतिशीलता, एक जटिल विश्लेषणात्मक मानचित्रण को पुनरावृत्त करके प्राप्त गतिशील प्रणालियों का अध्ययन है। यह आलेख बीजगणितीय गतिशीलता के मामले पर केंद्रित है, जहां एक बहुपद या तर्कसंगत फ़ंक्शन को दोहराया जाता है। ज्यामितीय शब्दों में, यह कुछ बीजगणितीय विविधता से मानचित्रण को पुनरावृत्त करने के समान है। अंकगणितीय गतिशीलता का संबंधित सिद्धांत जटिल संख्याओं के बजाय तर्कसंगत संख्याओं या पी-एडिक संख्याओं पर पुनरावृत्ति का अध्ययन करता है।

जटिल आयाम में गतिशीलता 1
एक सरल उदाहरण जो जटिल गतिशीलता में कुछ मुख्य मुद्दों को दिखाता है, वह है जटिल संख्या C से $$f(z)=z^2$$ की मैपिंग। जटिल संख्याओं में एक बिंदु $$\infty$$ जोड़कर, इसे जटिल प्रक्षेप्य रेखा $$\mathbf{CP}^1$$ से स्वयं के मानचित्र के रूप में देखना सहायक होता है। $$\mathbf{CP}^1$$ को सघन होने का लाभ है।) मूल प्रश्न को $$\mathbf{CP}^1$$ में एक बिंदु $$z$$ दिया गया है कि इसकी कक्षा (या आगे की कक्षा) $$\mathbf{CP}^1$$ कैसे होती है।
 * $$z,\; f(z)=z^2,\; f(f(z))=z^4, f(f(f(z)))=z^8,\; \ldots $$

गुणात्मक व्यवहार करें? इसका उत्तर यह है कि यदि निरपेक्ष मान |z| 1 से कम है तो कक्षा 0 पर परिवर्तित हो जाती है वास्तव में चरघातांकीय गति से भी अधिक।यदि |z| 1 से अधिक है, तो कक्षा $$\mathbf{CP}^1$$ में बिंदु $$\infty$$ पर परिवर्तित हो जाती है, जो फिर से घातांकीय गति से भी अधिक है। यहां 0 और $$\infty$$ के सुपरआकर्षक निश्चित बिंदु (गणित) हैं, जिसका अर्थ है कि उन बिंदुओं पर f का व्युत्पन्न शून्य है। एक आकर्षक निश्चित बिंदु का अर्थ है वह जहां f के व्युत्पन्न का निरपेक्ष मान 1 से कम है।

दूसरी ओर, मान लीजिए कि$$|z|=1$$ जिसका अर्थ है कि z, C में इकाई वृत्त पर है। इन बिंदुओं पर, f की गतिशीलता विभिन्न तरीकों से अराजक है। उदाहरण के लिए, माप सिद्धांत के संदर्भ में वृत्त पर लगभग सभी बिंदुओं z के लिए, z की आगे की कक्षा वृत्त में सघन है, और वास्तव में वृत्त पर समान रूप से वितरित अनुक्रम है। कुछ धनात्मक पूर्णांक r के लिए $$f^r(z)=z$$ वाले बिंदु

वृत्त पर अनन्त रूप से अनेक आवर्त बिन्दु भी होते हैं, अर्थात् कुछ धनात्मक पूर्णांक r के लिए $$f^r(z)=z$$ वाले बिंदु (यहां $$f^r(z)$$ का अर्थ है f से z r बार $$f(f(\cdots(f(z))\cdots))$$ लगाने का परिणाम।) यहां तक ​​कि वृत्त पर आवधिक बिंदु z पर भी, f की गतिशीलता को अराजक माना जा सकता है, चूँकि z के निकट के बिंदु f की पुनरावृत्ति करने पर z से तेजी से विचलन करते हैं। इकाई वृत्त पर f के आवधिक बिंदु प्रतिकर्षित कर रहे हैं यदि $$f^r(z)=z$$, तो z पर $$f^r$$ के अवकलज का निरपेक्ष मान 1 से अधिक है।

पियरे फतौ और गैस्टन जूलिया ने 1910 के दशक के अंत में दिखाया कि इस कहानी का अधिकांश भाग $$\mathbf{CP}^1$$ से लेकर 1 से अधिक डिग्री वाले किसी भी जटिल बीजगणितीय मानचित्र तक फैला हुआ है। निरंतर मानचित्रण की डिग्री 1 से अधिक होती है। ऐसी मैपिंग जटिल गुणांक वाले बहुपद $$f(z)$$ द्वारा या अधिक सामान्यतः एक तर्कसंगत फ़ंक्शन द्वारा दी जा सकती है। अर्थात्, हमेशा जूलिया सेट, $$\mathbf{CP}^1$$ का एक कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय होता है, जिस पर f की गतिशीलता अव्यवस्थित होती है। मैपिंग $$f(z)=z^2$$ के लिए, जूलिया सेट यूनिट सर्कल है। अन्य बहुपद मानचित्रणों के लिए, जूलिया सेट अक्सर अत्यधिक अनियमित होता है, उदाहरण के लिए एक भग्न इस अर्थ में कि इसका हॉसडॉर्फ आयाम एक पूर्णांक नहीं है। यह स्थिरांक $$c\in\mathbf{C}$$ के लिए $$f(z)=z^2+c$$ जैसी सरल मैपिंग के लिए भी होता है। मैंडेलब्रॉट सेट सम्मिश्र संख्याओं c का समुच्चय है, जिससे $$f(z)=z^2+c$$ का जूलिया सेट जुड़ा होता है। फ़तौ सेट में, जूलिया सेट का पूरक, एक तर्कसंगत फ़ंक्शन $$f\colon\mathbf{CP}^1\to \mathbf{CP}^1$$ की संभावित गतिशीलता का एक पूर्ण वर्गीकरण है, जहां गतिशीलता "है" वश में"। अर्थात्, डेनिस सुलिवान ने दिखाया कि फतौ सेट का प्रत्येक जुड़ा घटक यू पूर्व-आवधिक है जिसका अर्थ है कि प्राकृतिक संख्याएं $$a<b$$ हैं जैसे कि ($$f^a(U)=f^b(U)$$

इसलिए, किसी घटक U पर गतिशीलता का विश्लेषण करने के लिए, कोई व्यक्ति f को पुनरावृत्त द्वारा प्रतिस्थापित करने के बाद मान सकता है कि $$f(U)=U$$ फिर या तो (1) यू में एफ के लिए एक आकर्षक निश्चित बिंदु शामिल है (2) यू इस अर्थ में परवलयिक है कि यू में सभी बिंदु यू की सीमा में एक निश्चित बिंदु तक पहुंचते हैं (3) यू एक सीगल डिस्क है, जिसका अर्थ है कि की क्रिया यू पर एफ खुली इकाई डिस्क के एक अपरिमेय घुमाव से संयुग्मित है या (4) यू एक हरमन रिंग है, जिसका अर्थ है कि यू पर एफ की क्रिया एक खुले वलय के एक अपरिमेय घुमाव से संयुग्मित है। (ध्यान दें कि U में एक बिंदु z की "पिछली कक्षा",$$\mathbf{CP}^1$$ में बिंदुओं का सेट जो f के कुछ पुनरावृत्त के तहत z तक मैप करता है, उसे U में समाहित करने की आवश्यकता नहीं है।)

एंडोमोर्फिज्म का संतुलन माप
जटिल गतिशीलता को किसी भी आयाम में प्रभावी ढंग से विकसित किया गया है। यह अनुभाग उदाहरणों के सबसे समृद्ध स्रोत, जटिल प्रक्षेप्य स्थान $$\mathbf{CP}^n$$ से मैपिंग पर केंद्रित है। $$\mathbf{CP}^n$$ के मुख्य परिणामों को किसी भी प्रक्षेप्य किस्म से लेकर तर्कसंगत मानचित्रों के एक वर्ग तक विस्तारित किया गया है। हालाँकि, ध्यान दें कि कई किस्मों में कोई दिलचस्प स्व-मानचित्र नहीं होता है।

मान लीजिए कि f $$\mathbf{CP}^n$$ का एक एंडोमोर्फिज्म है, जिसका अर्थ है एक सकारात्मक पूर्णांक n के लिए $$\mathbf{CP}^n$$ से बीजीय किस्मों का एक रूपवाद। ऐसी मैपिंग सजातीय निर्देशांक में दी गई है:
 * $$f([z_0,\ldots,z_n])=[f_0(z_0,\ldots,z_n),\ldots,f_n(z_0,\ldots,z_n)]$$

समान घात d के कुछ समांगी बहुपद $$f_0,\ldots,f_n$$ के लिए जिनका $$\mathbf{CP}^n$$ में कोई उभयनिष्ठ शून्य नहीं है।

(चाउ के प्रमेय के अनुसार, यह $$\mathbf{CP}^n$$ से स्वयं तक होलोमार्फिक मैपिंग के समान है।) मान लें कि d 1 से अधिक है तो मैपिंग f की डिग्री $$d^n$$ है जो 1 से भी अधिक है।

फिर $$\mathbf{CP}^n$$ पर एक अद्वितीय संभाव्यता माप $$\mu_f$$ है जो f का संतुलन माप है जो f की गतिशीलता के सबसे अराजक भाग का वर्णन करता है। (इसे ग्रीन माप या अधिकतम एन्ट्रापी का माप भी कहा जाता है।) इस माप को हंस ब्रोलिन (1965) द्वारा एक चर में बहुपद के लिए परिभाषित किया गया था, अलेक्जेंड्रे फ़्रेयर, आर्टूर लोप्स, रिकार्डो माने और मिखाइल लुबिच द्वारा $$n=1$$ के लिए परिभाषित किया गया था। 1983 के आसपास), और किसी भी आयाम में जॉन हबर्ड, पीटर पापाडोपोल, जॉन फ़ोर्नेस और सिबोनी द्वारा (1994 के आसपास)। छोटा जूलिया सेट $$J^*(f)$$} में संतुलन माप का समर्थन (माप सिद्धांत) है, यह केवल जूलिया सेट है जब $$n=1$$

उदाहरण

 * $$\mathbf{CP}^1$$ पर मैपिंग $$f(z)=z^2$$ के लिए, संतुलन माप $$\mu_f$$ यूनिट पर Haar माप (मानक माप, कुल माप 1 के लिए स्केल किया गया) है वृत्त $$|z|=1$$
 * अधिक सामान्यतः, एक पूर्णांक के लिए $$d>1$$, होने देना $$f\colon \mathbf{CP}^n\to\mathbf{CP}^n$$ मैपिंग हो
 * $$f([z_0,\ldots,z_n])=[z_0^d,\ldots,z_n^d].$$
 * तब संतुलन माप $$\mu_f$$-आयामी टोरस पर Haar माप $$\{[1,z_1,\ldots,z_n]: |z_1|=\cdots=|z_n|=1\}.$$ से अधिक सामान्य होलोमोर्फिक मैपिंग के लिए, संतुलन माप $$\mathbf{CP}^n$$ यह बहुत अधिक जटिल हो सकता है, जैसा कि जूलिया सेट की तस्वीरों से पहले से ही जटिल आयाम 1 में देखा जा सकता है।

संतुलन माप की विशेषताएँ
संतुलन माप की एक बुनियादी संपत्ति यह है कि यह एफ के तहत अपरिवर्तनीय है, इस अर्थ में कि पुशफॉरवर्ड माप $$f_*\mu_f$$ के बराबर है $$\mu_f$$. चूँकि f एक परिमित रूपवाद है, पुलबैक माप है $$f^*\mu_f$$ भी परिभाषित किया गया है, और $$\mu_f$$ इस अर्थ में पूरी तरह से अपरिवर्तनीय है $$f^*\mu_f=\deg(f)\mu_f$$.

संतुलन माप की एक उल्लेखनीय विशेषता यह है कि यह लगभग हर बिंदु के स्पर्शोन्मुखता का वर्णन करता है $$\mathbf{CP}^n$$ जब जीन-यवेस ब्रिएंड, जूलियन डुवाल, पैलेस टीएन-कुओंग|तिएन-कुओंग दिन्ह और सिबोनी द्वारा समय के साथ पीछे की ओर पीछा किया गया। अर्थात्, एक बिंदु z के लिए $$\mathbf{CP}^n$$ और एक धनात्मक पूर्णांक r, संभाव्यता माप पर विचार करें $$(1/d^{rn})(f^r)^*(\delta_z)$$ जो समान रूप से वितरित है $$d^{rn}$$ अंक w के साथ $$f^r(w)=z$$. फिर एक ज़ारिस्की बंद उपसमुच्चय है $$E\subsetneq \mathbf{CP}^n$$ ऐसा है कि ई में नहीं सभी बिंदुओं के लिए, उपायों ने संतुलन माप के उपायों के कमजोर अभिसरण को परिभाषित किया है $$\mu_f$$ जैसे r अनंत तक जाता है। अधिक विस्तार से: केवल सीमित रूप से कई बंद जटिल उपस्थान $$\mathbf{CP}^n$$ एफ के अंतर्गत पूरी तरह से अपरिवर्तनीय हैं (जिसका अर्थ है $$f^{-1}(S)=S$$), और कोई असाधारण सेट ई को अद्वितीय सबसे बड़ा पूरी तरह से अपरिवर्तनीय बंद जटिल उप-स्थान के बराबर नहीं ले सकता है $$\mathbf{CP}^n$$.

संतुलन माप का एक और लक्षण वर्णन (ब्रिएंड और डुवल के कारण) इस प्रकार है। प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक r के लिए, अवधि r के आवधिक बिंदुओं की संख्या (अर्थात् $$f^r(z)=z$$), बहुलता के साथ गिना जाता है, है $$(d^{r(n+1)}-1)/(d^r-1)$$, जो मोटे तौर पर है $$d^{rn}$$. संभाव्यता माप पर विचार करें जो अवधि r के बिंदुओं पर समान रूप से वितरित है। फिर ये उपाय भी संतुलन उपाय में परिवर्तित हो जाते हैं $$\mu_f$$ जैसे r अनंत तक जाता है। इसके अलावा, अधिकांश आवधिक बिंदु विकर्षक होते हैं और झूठ बोलते हैं $$J^*(f)$$, और इसलिए किसी को केवल प्रतिकर्षित आवधिक बिंदुओं पर औसत करके समान सीमा माप प्राप्त होता है $$J^*(f)$$. बाहर प्रतिकारक आवधिक बिंदु भी हो सकते हैं $$J^*(f)$$.

संतुलन माप किसी भी बंद जटिल उपस्थान को शून्य द्रव्यमान देता है $$\mathbf{CP}^n$$ वह संपूर्ण स्थान नहीं है. चूंकि आवधिक बिंदु अंदर हैं $$J^*(f)$$ में सघन हैं $$J^*(f)$$, यह इस प्रकार है कि एफ के आवधिक बिंदु ज़ारिस्की घना हैं $$\mathbf{CP}^n$$. इस ज़ारिस्की घनत्व का अधिक बीजगणितीय प्रमाण नजमुद्दीन फखरुद्दीन द्वारा दिया गया था। का एक और परिणाम $$\mu_f$$ बंद जटिल उपस्थानों को शून्य द्रव्यमान देना न के बराबर है $$\mathbf{CP}^n$$ यह है कि प्रत्येक बिंदु का द्रव्यमान शून्य है। परिणामस्वरूप, समर्थन $$J^*(f)$$ का $$\mu_f$$ इसमें कोई पृथक बिंदु नहीं है, और इसलिए यह एक पूर्ण सेट है।

संतुलन माप का समर्थन $$J^*(f)$$ बहुत छोटा नहीं है, इस अर्थ में कि इसका हॉसडॉर्फ आयाम हमेशा शून्य से अधिक होता है। उस अर्थ में, 1 से अधिक डिग्री के साथ जटिल प्रक्षेप्य स्थान का एंडोमोर्फिज्म हमेशा कम से कम अंतरिक्ष के हिस्से पर अराजक व्यवहार करता है। (ऐसे उदाहरण हैं जहां $$J^*(f)$$ सब कुछ है $$\mathbf{CP}^n$$. ) यह स्पष्ट करने का एक और तरीका है कि f में कुछ अराजक व्यवहार है, f की टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी हमेशा शून्य से अधिक होती है, वास्तव में $$n\log d$$ के बराबर होती है।

अंत में, कोई संतुलन माप के समर्थन पर एफ की गतिशीलता के बारे में अधिक कह सकता है: फोर्नेस और सिबोनी द्वारा, एफ एर्गोडिक है और, अधिक दृढ़ता से, उस माप के संबंध में मिश्रण (गणित) है। उदाहरण के लिए, यह इस प्रकार है कि $$\mu_f$$ के संबंध में लगभग हर बिंदु के लिए, इसकी आगे की कक्षा $$\mu_f$$ के संबंध में समान रूप से वितरित की जाती है।

लैटेस मानचित्र
लैटेस मानचित्र एक एंडोमोर्फिज्म एफ है $$\mathbf{CP}^n$$ एक परिमित समूह द्वारा विभाजित करके एबेलियन किस्म के एंडोमोर्फिज्म से प्राप्त किया गया। इस मामले में, एफ का संतुलन माप लेब्सेग माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर माप है $$\mathbf{CP}^n$$. इसके विपरीत, अन्ना ज़डुनिक, फ्रांकोइस बर्टेलूट और क्रिस्टोफ़ ड्यूपॉन्ट द्वारा, एकमात्र एंडोमोर्फिज्म $$\mathbf{CP}^n$$ जिसका संतुलन माप लेबेस्ग माप के संबंध में बिल्कुल निरंतर है, लैटेस उदाहरण हैं। अर्थात्, सभी गैर-लैट्स एंडोमोर्फिज्म के लिए, $$\mu_f$$ लेब्सगेग माप 0 के कुछ बोरेल सेट को अपना पूर्ण द्रव्यमान 1 निर्दिष्ट करता है। आयाम 1 में, संतुलन माप की अनियमितता के बारे में अधिक जानकारी है। अर्थात्, संभाव्यता माप के हॉसडॉर्फ आयाम को परिभाषित करें $$\mu$$ पर $$\mathbf{CP}^1$$ (या अधिक आम तौर पर एक चिकनी मैनिफोल्ड पर) द्वारा
 * $$\dim(\mu)=\inf \{\dim_H(Y):\mu(Y)=1\},$$

जहां $$\dim_H(Y)$$ बोरेल सेट Y के हॉसडॉर्फ आयाम को दर्शाता है। 1 से अधिक डिग्री के $$\mathbf{CP}^1$$ के एंडोमोर्फिज्म f के लिए, Zdunik ने दिखाया कि $$\mu_f$$ इसके समर्थन के हॉसडॉर्फ़ आयाम (जूलिया सेट) के बराबर है यदि और केवल यदि f एक लैटेस मानचित्र, एक चेबीशेव बहुपद (हस्ताक्षर तक) या एक पावर मानचित्र $$f(z)=z^{\pm d}$$ से संयुग्मित है अपराह्न $$d\geq 2$$ के साथ (बाद के मामलों में, जूलिया सेट क्रमशः एक बंद अंतराल या एक वृत्त $$\mathbf{CP}^1$$ का है। इस प्रकार, उन विशेष मामलों के बाहर, संतुलन माप अत्यधिक अनियमित है जो सकारात्मक द्रव्यमान प्रदान करता है जूलिया सेट के कुछ बंद उपसमुच्चय पूरे जूलिया सेट की तुलना में छोटे हॉसडॉर्फ आयाम के साथ हैं।

प्रक्षेपी किस्मों की स्वचालितता
अधिक आम तौर पर जटिल गतिशीलता पुनरावृत्ति के तहत तर्कसंगत मानचित्रों के व्यवहार का वर्णन करना चाहती है। एक मामला जिसका कुछ सफलता के साथ अध्ययन किया गया है, वह एक चिकनी जटिल प्रक्षेप्य किस्म एक्स के ऑटोमोर्फिज्म का है, जिसका अर्थ है एक्स से स्वयं तक आइसोमोर्फिज्म एफ। मुख्य रुचि का मामला वह है जहां f एकवचन कोहोलॉजी $$H^*(X,\mathbf{Z})$$ पर गैर-तुच्छ रूप से कार्य करता है।

ग्रोमोव और योसेफ योमडिन ने दिखाया कि एक चिकनी जटिल प्रोजेक्टिव किस्म के एंडोमोर्फिज्म (उदाहरण के लिए, एक ऑटोमोर्फिज्म) की टोपोलॉजिकल एन्ट्रॉपी कोहोमोलॉजी पर इसकी कार्रवाई से निर्धारित होती है। स्पष्ट रूप से, जटिल आयाम n और के X के लिए $$0\leq p\leq n$$, होने देना $$d_p$$ हॉज सिद्धांत समूह पर पुलबैक द्वारा कार्य करने वाली f की वर्णक्रमीय त्रिज्या बनें $$H^{p,p}(X)\subset H^{2p}(X,\mathbf{C})$$. फिर f की टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी है
 * $$h(f)=\max_p \log d_p.$$

(f की टोपोलॉजिकल एन्ट्रॉपी संपूर्ण कोहोमोलॉजी $$H^*(X,\mathbf{C})$$ पर f के वर्णक्रमीय त्रिज्या का लघुगणक भी है।) इस प्रकार f में इस अर्थ में कुछ अराजक व्यवहार है कि इसकी टोपोलॉजिकल एन्ट्रॉपी शून्य से अधिक है यदि और केवल यदि यह 1 से अधिक निरपेक्ष मान के eigenvalue के साथ कुछ सह-समरूपता समूह पर कार्य करता है। कई प्रक्षेप्य किस्मों में ऐसी ऑटोमोर्फिज्म नहीं होती है, लेकिन (उदाहरण के लिए) कई तर्कसंगत सतहों और K3 सतहों में ऐसी ऑटोमोर्फिज्म होती है।

माना जाता है कि एक्स एक कॉम्पैक्ट काहलर मैनिफोल्ड है, जिसमें एक चिकनी जटिल प्रोजेक्टिव किस्म का मामला शामिल है। मान लें कि X के ऑटोमोर्फिज्म f में कोहोलॉजी पर सरल कार्रवाई होती है यदि: केवल एक संख्या p है जैसे कि $$d_p$$ अपना अधिकतम मान लेता है, $$H^{p,p}(X)$$ पर f की कार्रवाई में केवल एक ही है निरपेक्ष मान $$d_p$$ के साथ eigenvalue और यह एक सरल eigenvalue है। उदाहरण के लिए, सर्ज कैंटैट ने दिखाया कि सकारात्मक टोपोलॉजिकल एन्ट्रॉपी के साथ कॉम्पैक्ट काहलर सतह के प्रत्येक ऑटोमोर्फिज्म में कोहोमोलॉजी पर सरल कार्रवाई होती है। (यहां एक "ऑटोमोर्फिज्म" जटिल विश्लेषणात्मक है, लेकिन एक्स पर काहलर मीट्रिक को संरक्षित करने के लिए नहीं माना जाता है। वास्तव में, प्रत्येक ऑटोमोर्फिज्म जो मीट्रिक को संरक्षित करता है, उसमें टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी शून्य होती है।)

कोहोमोलॉजी पर सरल क्रिया के साथ एक ऑटोमोर्फिज्म एफ के लिए, जटिल गतिशीलता के कुछ लक्ष्यों को प्राप्त किया गया है। दीन्ह, सिबोनी और हेनरी डी थेलिन ने दिखाया कि एफ के लिए अधिकतम एन्ट्रापी का एक अद्वितीय अपरिवर्तनीय संभाव्यता माप $$\mu_f$$ है, जिसे संतुलन माप (या ग्रीन माप, या अधिकतम एन्ट्रापी का माप) कहा जाता है। (विशेष रूप से $$\mu_f$$ में f के संबंध में एन्ट्रापी $$\log d_p$$ है। $$\mu_f$$ के समर्थन को छोटा जूलिया सेट $$J^*(f)$$ कहा जाता है। अनौपचारिक रूप से f में कुछ अराजक व्यवहार होता है, और सबसे अराजक व्यवहार छोटे जूलिया सेट पर केंद्रित होता है। कम से कम जब (अधिक सटीक रूप से $$\mu_f$$ पर्याप्त रूप से छोटे हॉसडॉर्फ आयाम के सभी सेटों को शून्य द्रव्यमान प्रदान करता है।)

कुमेर ऑटोमोर्फिज्म
कुछ एबेलियन किस्मों में सकारात्मक एन्ट्रापी का ऑटोमोर्फिज्म होता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि E एक जटिल अण्डाकार वक्र है और मान लीजिए कि X एबेलियन सतह $$E\times E$$ है। फिर व्युत्क्रमणीय $$2\times 2$$ पूर्णांक आव्यूहों का समूह $$GL(2,\mathbf{Z})$$ पर कार्य करता है। कोई भी समूह तत्व f जिसका ट्रेस (रैखिक बीजगणित) का पूर्ण मान 2 से अधिक है, उदाहरण के लिए $$\begin{pmatrix}2&1\\1&1\end{pmatrix}$$, का वर्णक्रमीय त्रिज्या 1 से अधिक है, और इसलिए यह X का एक सकारात्मक-एन्ट्रॉपी ऑटोमोर्फिज्म देता है। F का संतुलन माप X पर Haar माप (मानक लेबेस्ग माप) है।

कुमेर ऑटोमोर्फिज्म को ऑटोमोर्फिज्म के साथ एबेलियन सतह के एक सीमित समूह द्वारा भागफल स्थान लेकर और फिर सतह को चिकना बनाने के लिए उड़ाकर परिभाषित किया जाता है। परिणामी सतहों में कुछ विशेष K3 सतहें और तर्कसंगत सतहें शामिल हैं। कुमेर ऑटोमोर्फिज्म के लिए, संतुलन माप में एक्स के बराबर समर्थन होता है और कई वक्रों के बाहर चिकना होता है। इसके विपरीत, कैंटैट और ड्यूपॉन्ट ने दिखाया कि कुमेर उदाहरणों को छोड़कर सकारात्मक एन्ट्रापी के सभी सतह ऑटोमोर्फिज्म के लिए, लेबेस्ग माप के संबंध में संतुलन माप बिल्कुल निरंतर नहीं है। इस अर्थ में, ऑटोमोर्फिज्म के संतुलन माप का कुछ हद तक अनियमित होना सामान्य है।

सैडल आवधिक बिंदु
F के एक आवधिक बिंदु z को सैडल आवधिक बिंदु कहा जाता है, यदि एक सकारात्मक पूर्णांक r के लिए ऐसा हो कि $$f^r(z)=z$$ पर स्पर्शरेखा स्थान पर $$f^r$$ के व्युत्पन्न का कम से कम एक eigenvalue का निरपेक्ष मान 1 से कम है, कम से कम एक का निरपेक्ष मान 1 से अधिक है, और किसी का भी निरपेक्ष मान 1 के बराबर नहीं है। (इस प्रकार f कुछ दिशाओं में विस्तार कर रहा है और दूसरों पर, z के निकट सिकुड़ रहा है।) कोहोमोलॉजी पर सरल क्रिया के साथ एक ऑटोमोर्फिज्म f के लिए, काठी आवधिक बिंदु संतुलन माप के समर्थन $$J^*(f)$$ में घने हैं।$$\mu_f$$ दूसरी ओर, माप $$\mu_f$$ बंद जटिल उप-स्थानों पर गायब हो जाता है जो X के बराबर नहीं है। यह इस प्रकार है कि f के आवधिक बिंदु (या यहां तक ​​कि केवल $$\mu_f$$ के समर्थन में निहित काठी आवधिक बिंदु) X में ज़ारिस्की घने हैं।

कोहोमोलोजी पर सरल क्रिया के साथ एक ऑटोमोर्फिज्म एफ के लिए, एफ और इसका उलटा नक्शा एर्गोडिक है और, अधिक दृढ़ता से, संतुलन माप $$\mu_f$$ के संबंध में मिश्रण करता है। इसका तात्पर्य यह है कि $$\mu_f$$ के संबंध में लगभग हर बिंदु z के लिए, z की आगे और पीछे की कक्षाएँ $$\mu_f$$ के संबंध में समान रूप से वितरित की जाती हैं।

$$\mathbf{CP}^n$$ के एंडोमोर्फिज्म के मामले में एक उल्लेखनीय अंतर यह है कि कोहोलॉजी पर सरल कार्रवाई के साथ एक ऑटोमोर्फिज्म एफ के लिए, एक्स का एक गैर-रिक्त खुला उपसमुच्चय हो सकता है, जिस पर न तो आगे और न ही पीछे की कक्षाएँ समर्थन J^ तक पहुंचती हैं। संतुलन माप का $$J^*(f)$$ उदाहरण के लिए, एरिक बेडफोर्ड, क्यूंघी किम और कर्टिस मैकमुलेन ने सकारात्मक टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी (इसलिए कोहोमोलॉजी पर सरल कार्रवाई) के साथ एक चिकनी प्रक्षेप्य तर्कसंगत सतह के ऑटोमोर्फिज्म एफ का निर्माण किया, जैसे कि एफ में एक सीगल डिस्क है, जिस पर एफ की कार्रवाई एक से संयुग्मित है तर्कहीन घूर्णन उस खुले सेट में बिंदु कभी भी f या इसके व्युत्क्रम की क्रिया के तहत $$J^*(f)$$ तक नहीं पहुंचते हैं।

कम से कम जटिल आयाम 2 में, एफ का संतुलन माप एफ के पृथक आवधिक बिंदुओं के वितरण का वर्णन करता है। (एफ या पुनरावृत्त द्वारा निर्धारित जटिल वक्र भी हो सकते हैं, जिन्हें यहां नजरअंदाज कर दिया गया है।) अर्थात्, मान लीजिए कि एफ सकारात्मक टोपोलॉजिकल एन्ट्रापी $$h(f)=\log d_1$$ के साथ एक कॉम्पैक्ट काहलर सतह X का ऑटोमोर्फिज्म है। संभाव्यता माप पर विचार करें जो अवधि r के अलग-अलग आवधिक बिंदुओं पर समान रूप से वितरित किया जाता है जिसका अर्थ है कि $$f^r(z)=z$$ एरिक बेडफोर्ड, ल्युबिच और जॉन स्मिली (गणितज्ञ) द्वारा जब r अनंत तक जाता है तो यह माप कमजोर रूप से $$\mu_f$$ में परिवर्तित हो जाता है। सैडल आवधिक बिंदुओं के सबसेट के लिए भी यही बात लागू होती है, क्योंकि आवधिक बिंदुओं के दोनों सेट $$(d_1)^r$$ की दर से बढ़ते हैं।

यह भी देखें

 * जटिल आयाम 1 में गतिशीलता
 * जटिल विश्लेषण
 * जटिल द्विघात बहुपद
 * विश्लेषणात्मक कार्यों की अनंत रचनाएँ
 * मॉन्टेल का प्रमेय
 * पोंकारे मीट्रिक
 * ब्लैक लेम्मा
 * रीमैन मानचित्रण प्रमेय
 * कैराथोडोरी का प्रमेय (अनुरूप मानचित्रण)
 * बॉटचर का समीकरण
 * कक्षा चित्र
 * जीन-क्रिस्टोफ़ योकोज़ पहेलियाँ


 * गतिकी के संबंधित क्षेत्र
 * अंकगणितीय गतिशीलता
 * अराजकता सिद्धांत
 * प्रतीकात्मक गतिशीलता

बाहरी संबंध

 * Gallery of dynamics (Curtis McMullen)
 * Surveys in Dynamical Systems