समानांतर निर्देशांक



समानांतर निर्देशांक उच्च-आयामी डेटासेट को देखने और उनका विश्लेषण करने का एक सामान्य विधि है।

$$n $$-आयामी स्थान में बिंदुओं का एक समूह दिखाने के लिए, एक पृष्ठभूमि तैयार की जाती है जिसमें n समानांतर रेखाएं होती हैं, जो सामान्यतः ऊर्ध्वाधर और समान दूरी पर होती हैं। n-आयामी अंतरिक्ष में एक बिंदु को समानांतर अक्षों पर शीर्षों के साथ एक पॉलीलाइन के रूप में दर्शाया जाता है; i-वें अक्ष पर शीर्ष की स्थिति बिंदु के i-वें निर्देशांक से मेल खाती है।

यह विज़ुअलाइज़ेशन समय श्रृंखला विज़ुअलाइज़ेशन से निकटता से संबंधित है, अतिरिक्त इसके कि यह डेटा पर प्रयुक्त होता है जहां अक्ष समय में बिंदुओं के अनुरूप नहीं होते हैं, और इसलिए प्राकृतिक क्रम नहीं होता है। इसलिए, विभिन्न अक्ष व्यवस्थाएँ रुचिकर हो सकती हैं।

इतिहास
अधिकांशतः कहा जाता है कि समानांतर निर्देशांक का आविष्कार 1885 में फिलबर्ट मौरिस डी'ओकाग्ने ने किया था, किंतु तथापि किताब के शीर्षक में कोर्डोनीज़ पैरेलल्स शब्द दिखाई देते हैं, किंतु इस काम का उसी नाम की विज़ुअलाइज़ेशन तकनीकों से कोई लेना-देना नहीं है; पुस्तक केवल समन्वय परिवर्तन की एक विधि का वर्णन करती है। किंतु 1885 से पहले भी समानांतर निर्देशांक का उपयोग किया जाता था, उदाहरण के लिए हेनरी गैनेट के जनरल सारांश में, स्थिति की सीमा  दिखाते हुए, अनुपात द्वारा 1880, या उसके बाद 1898 में हेनरी गैनेट की प्रत्येक जनगणना में जनसंख्या में राज्यों और क्षेत्रों की सीमा, 1790-1890 में उन्हें 87 साल बाद अल्फ्रेड इनसेलबर्ग द्वारा फिर से लोकप्रिय बनाया गया था। 1985 में और 1977 से व्यवस्थित रूप से एक समन्वय प्रणाली के रूप में विकसित किया गया है। कुछ महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हवाई यातायात नियंत्रण (1987-3 यूएसए पेटेंट), डेटा माइनिंग (यूएसए पेटेंट), कंप्यूटर विज़न (यूएसए पेटेंट), अनुकूलन के लिए ट्रैफिक टकराव बचाव प्रणाली में हैं। प्रक्रिया नियंत्रण, वर्तमान में अतिक्रमण का पता लगाने वाली प्रणाली और अन्य जगहों पर भी है ।

उच्च आयाम
xy कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के साथ समतल पर समानांतर निर्देशांक में अधिक आयाम जोड़ने ( अधिकांशतः संक्षिप्त रूप से ||-कोर्ड्स या पीसीपी) में अधिक अक्षों को जोड़ना सम्मिलित होता है। समानांतर निर्देशांक का मूल्य यह है कि उच्च आयामों में कुछ ज्यामितीय गुण आसानी से देखे जाने वाले 2डी प्रतिरूप में बदल जाते हैं। उदाहरण के लिए, n-स्पेस में एक रेखा पर बिंदुओं का एक सेट समानांतर निर्देशांक में पॉलीलाइन के एक सेट में बदल जाता है, जो सभी n − 1 बिंदुओं पर प्रतिच्छेद करते हैं। जो n = 2 के लिए यह एक बिंदु-रेखा द्वैत उत्पन्न करता है जो बताता है कि समानांतर निर्देशांक की गणितीय नींव यूक्लिडियन अंतरिक्ष स्थान के अतिरिक्त प्रक्षेप्य स्थान में क्यों विकसित की जाती है। रेखाओं का एक जोड़ा एक अद्वितीय बिंदु पर प्रतिच्छेद करता है जिसमें दो निर्देशांक होते हैं और इसलिए, एक अद्वितीय रेखा के अनुरूप हो सकता है जिसे दो मापदंडों (या दो बिंदुओं) द्वारा भी निर्दिष्ट किया जाता है। इसके विपरीत एक वक्र को निर्दिष्ट करने के लिए दो से अधिक बिंदुओं की आवश्यकता होती है और वक्रों की एक जोड़ी में एक अद्वितीय प्रतिच्छेद नहीं हो सकता है। इसलिए रेखाओं के अतिरिक्त  समानांतर निर्देशांक में वक्रों का उपयोग करने से, प्रक्षेप्य ज्यामिति के अन्य सभी गुणों और (हाइपर) विमानों, वक्रों, कई स्मूथ (हाइपर) सतहों के अनुरूप ज्ञात अच्छे उच्च-आयामी प्रतिरूप के साथ बिंदु रेखा द्वैत खो जाता है। जो की निकटता, उत्तलता और वर्तमान में गैर-अभिविन्यास लक्ष्य n-आयामी संबंधों को 2डी प्रतिरूप में मैप करना है। इसलिए, समानांतर निर्देशांक एक बिंदु-से-बिंदु मैपिंग नहीं है, किंतु 2डी सबसेट मैपिंग का एक nd सबसेट है, इससे जानकारी का कोई हानि नहीं होता है। ध्यान दें: nD में एक बिंदु को भी 2D में एक बिंदु में मैप नहीं किया जाता है, किंतु एक बहुभुज रेखा में मैप किया जाता है - 2D का एक सबसेट है।

सांख्यिकीय विचार
जब सांख्यिकीय डेटा विज़ुअलाइज़ेशन के लिए उपयोग किया जाता है तो अक्षों के रोटेशन और स्केलिंग के क्रम पर तीन महत्वपूर्ण विचार होते हैं।

सुविधाओं को खोजने के लिए अक्षों का क्रम महत्वपूर्ण है, और विशिष्ट डेटा विश्लेषण में कई पुन: क्रम की प्रयाश करने की आवश्यकता होगी। कुछ लेखक ऑर्डरिंग हेरिस्टिक्स लेकर आए हैं जो प्रकाशित करने वाले ऑर्डर तैयार कर सकते हैं।

अक्षों का घूर्णन समानांतर निर्देशांकों में एक अनुवाद है और यदि रेखाएँ समानांतर अक्षों के बाहर प्रतिच्छेद करती हैं तो इसे घूर्णन द्वारा उनके बीच अनुवादित किया जा सकता है। इसका सबसे सरल उदाहरण अक्ष को 180 डिग्री तक घुमाना है।

स्केलिंग आवश्यक है क्योंकि कथानक चर के निरन्तर जोड़े के प्रक्षेप (रैखिक संयोजन) पर आधारित है। इसलिए, चर सामान्य मापदंड पर होने चाहिए, और डेटा तैयारी प्रक्रिया के भाग के रूप में विचार करने के लिए कई स्केलिंग विधियां हैं जो अधिक जानकारीपूर्ण दृश्य प्रकट कर सकती हैं।

स्प्लिंस के साथ एक सहज समानांतर समन्वय प्लॉट प्राप्त किया जाता है। स्मूथ कथानक में, प्रत्येक अवलोकन को एक पैरामीट्रिक रेखा (या वक्र) में मैप किया जाता है, जो स्मूथ अक्षों पर निरंतर और प्रत्येक समानांतर अक्ष पर ऑर्थोगोनल होती है। यह डिज़ाइन प्रत्येक डेटा विशेषता के लिए परिमाणीकरण स्तर पर जोर देता है।

पढ़ना
इन्सेलबर्ग ने समानांतर निर्देशांक के संबंधपरक प्रतिरूप को दृष्टिगत रूप से पढ़ने के विधि की पूरी समीक्षा की थी। जब दो समानांतर अक्षों के बीच अधिकांश रेखाएं कुछ हद तक एक-दूसरे के समानांतर होती हैं, तो यह इन दोनों आयामों के बीच एक सकारात्मक संबंध का सुझाव देती है। जब रेखाएं एक प्रकार के x-आकार के सुपरपोजिशन में क्रॉस करती हैं, तो यह एक ऋणात्मक संबंध है। जब रेखाएं व्यवस्थित रूप से कमी होती हैं या समानांतर होती हैं, तो यह दर्शाता है कि कोई विशेष संबंध नहीं है।

सीमाएँ
समानांतर निर्देशांक में, प्रत्येक अक्ष में अधिकतम दो निकटतम अक्ष हो सकते हैं (एक बाईं ओर, और एक दाईं ओर) डी-आयामी डेटा सेट के लिए, एक समय में अधिकतम डी-1 संबंध दिखाए जा सकते हैं। समय श्रृंखला दृश्य में, एक प्राकृतिक पूर्ववर्ती और उत्तराधिकारी उपस्थित होता है; इसलिए इस विशेष स्थिति में, एक पसंदीदा व्यवस्था उपस्थित है। चूँकि, जब अक्षों का कोई अद्वितीय क्रम नहीं होता है, तो एक अच्छी अक्ष व्यवस्था खोजने के लिए अनुमान और प्रयोग की आवश्यकता होती है। अधिक समष्टि संबंधों का पता लगाने के लिए, अक्षों को पुन: व्यवस्थित किया जाना चाहिए।

अक्षों को 3-आयामी स्थान में व्यवस्थित करने से (चूँकि अभी भी समानांतर में, कील बिस्तर में कीलों की तरह), एक अक्ष में केंद्रीय विशेषता के चारों ओर एक सर्कल में दो से अधिक निकटतम हो सकते हैं, और व्यवस्था की समस्या आसान हो जाती है (उदाहरण के लिए) न्यूनतम फैले हुए ट्री का उपयोग करना)। इस विज़ुअलाइज़ेशन का एक प्रोटोटाइप डेटा माइनिंग सॉफ़्टवेयर एल्की के विस्तार के रूप में उपलब्ध है। चूँकि रैखिक क्रम की तुलना में विज़ुअलाइज़ेशन की व्याख्या करना और उसके साथ व्याख्या करना कठिन है।

सॉफ्टवेयर
जबकि समानांतर निर्देशांक के बारे में बड़ी संख्या में पेपर उपस्थित हैं, जो की डेटाबेस को समानांतर निर्देशांक ग्राफिक्स में परिवर्तित करने के लिए केवल कुछ उल्लेखनीय सॉफ़्टवेयर सार्वजनिक रूप से उपलब्ध हैं। उल्लेखनीय सॉफ़्टवेयर एल्की, जीगोबी, मोंड्रियन डेटा विश्लेषण, ऑरेंज (सॉफ़्टवेयर) और रूट हैं पुस्तकालयों में प्रोटोविस.जेएस सम्मिलित हैं, डी3.जेएस मूलभूत उदाहरण प्रदान करता है। डी3.पार्कोर्ड्स.जेएस (एक D3-आधारित लाइब्रेरी) जो विशेष रूप से समानांतर निर्देशांक ग्राफ़िक निर्माण के लिए समर्पित है, भी प्रकाशित किया गया है। पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा) डेटा संरचना और विश्लेषण लाइब्रेरी पांडास (सॉफ्टवेयर) प्लॉटिंग लाइब्रेरी मैटप्लाटलिब  का उपयोग करके समानांतर निर्देशांक प्लॉटिंग को कार्यान्वित करता है।

बहुभिन्नरूपी डेटा के लिए अन्य विज़ुअलाइज़ेशन

 * रडार चार्ट - रेडियल रूप से व्यवस्थित समन्वय अक्षों के साथ एक दृश्य
 * एंड्रयूज की साजिश - समानांतर निर्देशांक ग्राफ का फूरियर रूपांतरण

अग्रिम पठन

 * Heinrich, Julian and Weiskopf, Daniel (2013) State of the Art of Parallel Coordinates, Eurographics 2013 - State of the Art Reports, pp. 95–116
 * Moustafa, Rida (2011)  Parallel coordinate and parallel coordinate density plots, Wiley Interdisciplinary Reviews: Computational Statistics, Vol 3(2), pp. 134–148.
 * Weidele, Daniel Karl I. (2019) Conditional Parallel Coordinates, IEEE Visualization Conference (VIS) 2019, pp. 221–225

बाहरी संबंध

 * Alfred Inselberg's Homepage, with Visual Tutorial, History, Selected Publications and Applications
 * An Investigation of Methods for Visualising Highly Multivariate Datasets by C. Brunsdon, A. S. Fotheringham & M. E. Charlton, University of Newcastle, UK
 * Using Curves to Enhance Parallel Coordinate Visualisations by Martin Graham & Jessie Kennedy, Napier University, Edinburgh, UK
 * Parallel Coordinates, a tutorial by Robert Kosara
 * Conditional Parallel Coordinates – Recursive variant of Parallel Coordinates, where a categorical value can expand to reveal another level of Parallel Coordinates.