द्वितीय-क्रम अंकगणित

गणितीय तर्क में, द्वितीय-क्रम अंकगणित स्वयंसिद्ध प्रणालियों का एक संग्रह है जो प्राकृतिक संख्याओं और उनके उपसमुच्चय को औपचारिक रूप देता है। यह गणित के बहुत से, लेकिन सभी के लिए गणित की नींव के रूप में स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत का एक विकल्प है।

दूसरे क्रम के अंकगणित का अग्रदूत जिसमें तीसरे क्रम के पैरामीटर शामिल हैं, डेविड हिल्बर्ट और पॉल बर्नीस ने अपनी पुस्तक ग्रुंडलाजेन डेर मैथेमेटिक में पेश किया था। दूसरे क्रम के अंकगणित के मानक स्वयंसिद्धीकरण को Z2 द्वारा निरूपित किया जाता है।

दूसरे क्रम के अंकगणित में इसके पहले क्रम के समकक्ष पीनो अंकगणित शामिल है, लेकिन यह उससे काफी मजबूत है। पीनो अंकगणित के विपरीत, दूसरे क्रम का अंकगणित प्राकृतिक संख्याओं के सेट के साथ-साथ स्वयं संख्याओं के परिमाणीकरण की अनुमति देता है। क्योंकि वास्तविक संख्याओं को प्रसिद्ध तरीकों से प्राकृतिक संख्याओं के (अनंत सेट) के रूप में दर्शाया जा सकता है, और क्योंकि दूसरे क्रम का अंकगणित ऐसे सेटों पर परिमाणीकरण की अनुमति देता है, इसलिए दूसरे क्रम के अंकगणित में वास्तविक संख्याओं को औपचारिक रूप देना संभव है। इस कारण से, दूसरे क्रम के अंकगणित को कभी-कभी " विश्लेषण " कहा जाता है।

द्वितीय-क्रम अंकगणित को सेट सिद्धांत के एक कमजोर संस्करण के रूप में भी देखा जा सकता है जिसमें प्रत्येक तत्व या तो एक प्राकृतिक संख्या या प्राकृतिक संख्याओं का एक सेट है। यद्यपि यह ज़ेर्मेलो-फ्रांकेल सेट सिद्धांत की तुलना में बहुत कमजोर है, दूसरे क्रम का अंकगणित अनिवार्य रूप से शास्त्रीय गणित के सभी परिणामों को अपनी भाषा में व्यक्त करने योग्य साबित कर सकता है।

दूसरे क्रम के अंकगणित का एक उपप्रणाली दूसरे क्रम के अंकगणित की भाषा में एक सिद्धांत (तर्क) है, जिसका प्रत्येक स्वयंसिद्ध पूर्ण दूसरे क्रम के अंकगणित (Z2) का एक प्रमेय है। ऐसे उपप्रणालियाँ गणित को उलटने के लिए आवश्यक हैं, एक शोध कार्यक्रम यह जांच करता है कि अलग-अलग ताकत के कुछ कमजोर उपप्रणालियों में शास्त्रीय गणित का कितना हिस्सा प्राप्त किया जा सकता है। इन कमजोर उपप्रणालियों में अधिकांश मुख्य गणित को औपचारिक रूप दिया जा सकता है, जिनमें से कुछ को नीचे परिभाषित किया गया है। उलटा गणित यह भी स्पष्ट करता है कि शास्त्रीय गणित किस सीमा और तरीके से गैर-रचनात्मक है।

सिंटेक्स
दूसरे क्रम के अंकगणित की भाषा द्विक्रमीय होती है। पहले प्रकार के पद और विशेष रूप से चर, जिन्हें आमतौर पर छोटे अक्षरों द्वारा दर्शाया जाता है, में ऐसे व्यक्ति शामिल होते हैं, जिनकी इच्छित व्याख्या प्राकृतिक संख्याओं के रूप में होती है। अन्य प्रकार के चर, जिन्हें विभिन्न प्रकार से "सेट चर", "वर्ग चर", या यहां तक कि "विधेय" भी कहा जाता है, आमतौर पर बड़े अक्षरों द्वारा दर्शाए जाते हैं। वे व्यक्तियों के वर्गों/विधेय/गुणों का उल्लेख करते हैं, और इसलिए उन्हें प्राकृतिक संख्याओं के सेट के रूप में सोचा जा सकता है। व्यक्तियों और सेट चर दोनों को सार्वभौमिक या अस्तित्वगत रूप से परिमाणित किया जा सकता है। एक सूत्र जिसमें कोई बाध्य चर सेट चर नहीं है (अर्थात सेट चर पर कोई क्वांटिफायर नहीं) को अंकगणित कहा जाता है। एक अंकगणितीय सूत्र में मुक्त सेट चर और बाध्य व्यक्तिगत चर हो सकते हैं।

व्यक्तिगत पद स्थिरांक 0, यूनरी फ़ंक्शन एस (उत्तराधिकारी फ़ंक्शन), और बाइनरी ऑपरेशन + और से बनते हैं ⋅ (जोड़ और गुणा)। उत्तराधिकारी फ़ंक्शन अपने इनपुट में 1 जोड़ता है। संबंध = (समानता) और < (प्राकृतिक संख्याओं की तुलना) दो व्यक्तियों से संबंधित हैं, जबकि संबंध ∈ (सदस्यता) एक व्यक्ति और एक सेट (या वर्ग) से संबंधित है। $$\mathcal{L}=\{0,S,+,\cdot,=,<,\in\}$$ इस प्रकार अंकन में दूसरे क्रम के अंकगणित की भाषा हस्ताक्षर द्वारा दी जाती है

उदाहरण के लिए, $$\forall n (n\in X \rightarrow Sn \in X)$$ दूसरे क्रम के अंकगणित का एक सुव्यवस्थित सूत्र है जो अंकगणितीय है, इसमें एक मुक्त सेट चर $$\exists X \forall n(n\in X \leftrightarrow n < SSSSSS0\cdot SSSSSSS0)$$

एक सुगठित सूत्र है जो अंकगणितीय नहीं है, जिसमें एक बाध्य सेट चर X और एक बाध्य व्यक्तिगत चर n है।

शब्दार्थ
परिमाणकों की कई अलग-अलग व्याख्याएँ संभव हैं। यदि दूसरे क्रम के तर्क के पूर्ण शब्दार्थ का उपयोग करके दूसरे क्रम के अंकगणित का अध्ययन किया जाता है तो सेट क्वांटिफायर व्यक्तिगत चर की सीमा के सभी सबसेट पर होते हैं। यदि दूसरे क्रम के अंकगणित को प्रथम-क्रम तर्क (हेनकिन शब्दार्थ) के शब्दार्थ का उपयोग करके औपचारिक रूप दिया जाता है, तो किसी भी मॉडल में सेट चर के लिए एक डोमेन शामिल होता है, और यह डोमेन व्यक्तिगत चर के डोमेन के पूर्ण पॉवरसेट का एक उचित उपसमूह हो सकता है (शापिरो 1991, पीपी। 74-75)।

बुनियादी
निम्नलिखित स्वयंसिद्धों को मूल स्वयंसिद्धों या कभी-कभी रॉबिन्सन स्वयंसिद्धों के रूप में जाना जाता है। परिणामी प्रथम-क्रम सिद्धांत, जिसे रॉबिन्सन अंकगणित के रूप में जाना जाता है, अनिवार्य रूप से प्रेरण के बिना पीनो अंकगणित है। परिमाणित चरों के लिए प्रवचन का क्षेत्र प्राकृतिक संख्याएँ हैं, जिन्हें सामूहिक रूप से N द्वारा दर्शाया जाता है, और विशिष्ट सदस्य भी शामिल हैं 0, जिसे "शून्य" कहा जाता है।

आदिम फलन एकात्मक उत्तराधिकारी फलन हैं, जो उपसर्ग द्वारा निरूपित होते हैं $$S$$, और दो बाइनरी ऑपरेशन, जोड़ और गुणा, इन्फ़िक्स ऑपरेटर "+" और "द्वारा दर्शाया गया है, . ", क्रमशः। ऑर्डर नामक एक आदिम बाइनरी संबंध भी है, जिसे इन्फ़िक्स ऑपरेटर "<" द्वारा दर्शाया गया है।

उत्तराधिकारी फ़ंक्शन और शून्य को नियंत्रित करने वाले सिद्धांत:
 * 1. $$\forall m [Sm=0 \rightarrow \bot].$$ (प्राकृतिक संख्या का उत्तराधिकारी कभी शून्य नहीं होता)
 * 2. $$\forall m \forall n [Sm=Sn \rightarrow m=n].$$ (उत्तराधिकारी फ़ंक्शन इंजेक्टिव है)
 * 3. $$\forall n [0=n \lor \exists m [Sm=n] ].$$ (प्रत्येक प्राकृतिक संख्या शून्य या उत्तराधिकारी होती है)

जोड़ पुनरावर्ती रूप से परिभाषित:
 * 4. $$\forall m [m+0=m].$$
 * 5. $$\forall m \forall n [m+Sn = S(m+n)].$$

गुणन को पुनरावर्ती रूप से परिभाषित किया गया:
 * 6. $$\forall m [m\cdot 0 = 0].$$
 * 7. $$\forall m \forall n [m \cdot Sn = (m\cdot n)+m].$$

आदेश संबंध "<" को नियंत्रित करने वाले अभिगृहीत:
 * 8. $$\forall m [m<0 \rightarrow \bot].$$ (कोई भी प्राकृत संख्या शून्य से छोटी नहीं होती)
 * 9. $$\forall n \forall m [m<Sn \leftrightarrow (m<n \lor m=n)].$$
 * 10. $$\forall n [0=n \lor 0<n].$$ (प्रत्येक प्राकृतिक संख्या शून्य या शून्य से बड़ी होती है)
 * 11। $$\forall m \forall n [(Sm<n \lor Sm=n) \leftrightarrow m<n].$$

ये सभी स्वयंसिद्ध कथन प्रथम-क्रम के कथन हैं। अर्थात्, सभी चर प्राकृतिक संख्याओं पर आधारित में होते हैं न कि उनके सेटों के, यह तथ्य उनके अंकगणितीय होने से भी अधिक मजबूत है। इसके अलावा, अभिगृहीत 3 में केवल एक अस्तित्वगत परिमाणक है। अभिगृहीत 1 और 2, प्रेरण के एक अभिगृहीत स्कीमा के साथ मिलकर N की सामान्य पीनो-डेडेकाइंड परिभाषा बनाते हैं। इन अभिगृहीतों में प्रेरण के किसी भी प्रकार के अभिगृहीत स्कीमा को जोड़ने से अभिगृहीत 3, 10, और 11 निरर्थक हो जाते हैं।

प्रेरण और समझ स्कीमा
यदि φ(n) एक मुक्त व्यक्तिगत चर n और संभवतः अन्य मुक्त व्यक्तिगत या सेट चर (लिखित m1,...,mk and X1,...,Xl) के साथ दूसरे क्रम के अंकगणित का एक सूत्र है, तो φ के लिए प्रेरण स्वयंसिद्ध स्वयंसिद्ध है:
 * $$\forall m_1\dots m_k \forall X_1\dots X_l ((\varphi(0) \land \forall n (\varphi(n) \rightarrow \varphi(Sn))) \rightarrow \forall n \varphi(n))$$

(पूर्ण) दूसरे क्रम की प्रेरण योजना में सभी दूसरे क्रम के सूत्रों पर, इस स्वयंसिद्ध के सभी उदाहरण शामिल हैं।

प्रेरण योजना का एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण उदाहरण है जब φ सूत्र है $$n \in X$$ इस तथ्य को व्यक्त करता है कि n, X का एक सदस्य है (X एक मुक्त सेट चर है): इस मामले में, φ के लिए प्रेरण स्वयंसिद्ध है
 * $$\forall X ((0\in X \land \forall n (n\in X \rightarrow Sn\in X)) \rightarrow \forall n (n\in X))$$

इस वाक्य को द्वितीय-क्रम प्रेरण स्वयंसिद्ध कहा जाता है।

यदि φ(n) एक मुक्त चर n और संभवतः अन्य मुक्त चर के साथ एक सूत्र है, लेकिन चर Z नहीं है, तो φ के लिए समझ स्वयंसिद्ध सूत्र है।
 * $$\exists Z \forall n (n\in Z \leftrightarrow \varphi(n))$$

यह स्वयंसिद्ध समुच्चय बनाना संभव बनाता है $$Z = \{ n | \varphi(n) \}$$ φ(n) को संतुष्ट करने वाली प्राकृतिक संख्याओं का एक तकनीकी प्रतिबंध है कि सूत्र φ में चर Z शामिल नहीं हो सकता है, अन्यथा सूत्र के लिए $$n \not \in Z$$ समझ के सिद्धांत की ओर ले जाएगा
 * $$\exists Z \forall n ( n \in Z \leftrightarrow n \not \in Z)$$,

जो असंगत है. इस सम्मेलन को इस लेख के शेष भाग में माना गया है।

पूरा सिस्टम
दूसरे क्रम के अंकगणित के औपचारिक सिद्धांत (दूसरे क्रम के अंकगणित की भाषा में) में मूल स्वयंसिद्ध, प्रत्येक सूत्र φ (अंकगणित या अन्यथा) के लिए समझ स्वयंसिद्ध और दूसरे क्रम प्रेरण स्वयंसिद्ध शामिल हैं। इस सिद्धांत को नीचे परिभाषित इसकी उपप्रणालियों से अलग करने के लिए कभी-कभी पूर्ण द्वितीय-क्रम अंकगणित भी कहा जाता है। चूँकि पूर्ण दूसरे क्रम के शब्दार्थ का अर्थ यह है कि हर संभव सेट मौजूद है, जब पूर्ण दूसरे क्रम के शब्दार्थ को नियोजित किया जाता है, तो समझ के सिद्धांतों को निगमनात्मक प्रणाली का हिस्सा माना जा सकता है (शापिरो 1991, पृष्ठ 66)।

मॉडल
यह खंड प्रथम-क्रम के शब्दार्थ के साथ दूसरे-क्रम के अंकगणित का वर्णन करता है। इस प्रकार एक मॉडल $$\mathcal{M}$$ दूसरे क्रम की अंकगणित की भाषा में एक सेट एम (जो अलग-अलग चर की श्रेणी बनाता है) के साथ एक स्थिरांक 0 (एम का एक तत्व), एम से एम तक एक फ़ंक्शन एस, दो बाइनरी ऑपरेशन + और · एम पर, एक बाइनरी संबंध < पर एम, और एम के उपसमुच्चय का एक संग्रह डी शामिल होता है, जो सेट चर की सीमा है। डी को छोड़ने से प्रथम-क्रम अंकगणित की भाषा का एक मॉडल तैयार होता है।

जब D, मॉडल M का पूर्ण पावरसेट है $$\mathcal{M}$$ को पूर्ण मॉडल कहा जाता है। पूर्ण दूसरे क्रम के शब्दार्थ का उपयोग दूसरे क्रम के अंकगणित के मॉडल को पूर्ण मॉडल तक सीमित करने के बराबर है। वास्तव में, दूसरे क्रम के अंकगणित के सिद्धांतों में केवल एक पूर्ण मॉडल होता है। यह इस तथ्य से पता चलता है कि दूसरे क्रम के प्रेरण स्वयंसिद्ध वाले पीनो सिद्धांतों में दूसरे क्रम के शब्दार्थ के तहत केवल एक मॉडल होता है।

परिभाषित कार्य
प्रथम-क्रम के फलन जो दूसरे-क्रम के अंकगणित में कुल फ़ंक्शन सिद्ध होते हैं, जो सिस्टम एफ में दर्शाए जा सकते हैं। लगभग समान रूप से, सिस्टम एफ दूसरे क्रम के अंकगणित के अनुरूप कार्यात्मकता का सिद्धांत है, जो गोडेल की प्रणाली टी डायलेक्टिका व्याख्या में प्रथम-क्रम अंकगणित से मेल खाती है।

अधिक प्रकार के मॉडल
जब दूसरे क्रम के अंकगणित की भाषा के एक मॉडल में कुछ गुण होते हैं, तो इसे इन अन्य नामों से भी कहा जा सकता है:
 * जब एम अपने सामान्य संचालन के साथ प्राकृतिक संख्याओं का सामान्य सेट है, $$\mathcal{M}$$ ω-मॉडल कहा जाता है। इस मामले में, मॉडल की पहचान डी से की जा सकती है, यह प्राकृतिक के सेट का संग्रह है, क्योंकि यह सेट पूरी तरह से ω-मॉडल निर्धारित करने के लिए पर्याप्त है। अद्वितीय पूर्ण $$\omega$$-मॉडल, जो अपनी सामान्य संरचना और उसके सभी उपसमुच्चयों के साथ प्राकृतिक संख्याओं का सामान्य सेट है, दूसरे क्रम के अंकगणित का इच्छित या मानक मॉडल कहा जाता है।
 * एक प्रतिमा $$\mathcal M$$ दूसरे क्रम के अंकगणित की भाषा को β-मॉडल कहा जाता है यदि $$\mathcal M\prec_1^1\mathcal P(\omega)$$, यानी विश्लेषणात्मक पदानुक्रम|Σ11-से मापदंडों के साथ बयान $$\mathcal M$$ जिससे संतुष्ट हैं $$\mathcal M$$ पूर्ण मॉडल से संतुष्ट लोगों के समान ही हैं। कुछ धारणाएँ जो β-मॉडल के संबंध में निरपेक्ष हैं, उनमें शामिल हैं$$A\subseteq\omega\times\omega$$ एक सुव्यवस्थित क्रम को एन्कोड करता है और$$A\subseteq\omega\times\omega$$ एक वृक्ष है (सेट सिद्धांत)। *उपरोक्त परिणाम को β की अवधारणा तक विस्तारित किया गया हैn-मॉडल के लिए $$n\in\mathbb N$$, जिसकी उपरोक्त के अलावा वही परिभाषा है $$\prec_1^1$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$\prec_n^1$$, अर्थात। $$\Sigma_1^1$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$\Sigma_n^1$$. इस परिभाषा का उपयोग करना β0-मॉडल ω-मॉडल के समान हैं।

उपप्रणाली
दूसरे क्रम के अंकगणित के कई नामित उपप्रणालियाँ हैं।

किसी सबसिस्टम के नाम में एक सबस्क्रिप्ट 0 इंगित करता है कि इसमें केवल शामिल है पूर्ण द्वितीय-क्रम प्रेरण योजना का एक प्रतिबंधित भाग (फ़्रीडमैन 1976)। इस तरह का प्रतिबंध सिस्टम की प्रमाण-सैद्धांतिक ताकत को काफी कम कर देता है। उदाहरण के लिए, सिस्टम ACA0 नीचे वर्णित पीनो अंकगणित के साथ समरूपता है। संबंधित सिद्धांत एसीए, जिसमें एसीए शामिल है0 साथ ही पूर्ण दूसरे क्रम की प्रेरण योजना, पीनो अंकगणित से अधिक मजबूत है।

अंकगणितीय समझ
अच्छी तरह से अध्ययन किए गए कई उपप्रणालियाँ मॉडलों के समापन गुणों से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि पूर्ण दूसरे क्रम के अंकगणित का प्रत्येक ω-मॉडल ट्यूरिंग जंप के तहत बंद है, लेकिन ट्यूरिंग जंप के तहत बंद किया गया प्रत्येक ω-मॉडल पूर्ण दूसरे क्रम के अंकगणित का एक मॉडल नहीं है। सबसिस्टम ACA0 ट्यूरिंग जंप के तहत बंद होने की धारणा को पकड़ने के लिए पर्याप्त स्वयंसिद्ध बातें शामिल हैं।

ए.सी.ए0 इसे सिद्धांत के रूप में परिभाषित किया गया है जिसमें मूल स्वयंसिद्ध, अंकगणितीय समझ स्वयंसिद्ध योजना (दूसरे शब्दों में प्रत्येक अंकगणितीय सूत्र φ के लिए समझ स्वयंसिद्ध) और सामान्य दूसरे क्रम के प्रेरण स्वयंसिद्ध शामिल हैं। यह संपूर्ण अंकगणितीय प्रेरण अभिगृहीत योजना को भी शामिल करने के बराबर होगा, दूसरे शब्दों में प्रत्येक अंकगणितीय सूत्र φ के लिए प्रेरण अभिगृहीत को शामिल करने के लिए।

यह दिखाया जा सकता है कि ω के उपसमुच्चय का संग्रह S ACA का ω-मॉडल निर्धारित करता है0 यदि और केवल यदि एस ट्यूरिंग जंप, ट्यूरिंग रिड्यूसिबिलिटी और ट्यूरिंग जॉइन के तहत बंद है (सिम्पसन 2009, पीपी. 311-313)।

ACA में सबस्क्रिप्ट 00 इंगित करता है कि प्रेरण स्वयंसिद्ध योजना के प्रत्येक उदाहरण में यह उपप्रणाली शामिल नहीं है। इससे ω-मॉडल के लिए कोई फर्क नहीं पड़ता है, जो स्वचालित रूप से प्रेरण सिद्धांत के प्रत्येक उदाहरण को संतुष्ट करता है। हालाँकि, गैर-ω-मॉडल के अध्ययन में इसका महत्व है। एसीए से युक्त प्रणाली0 सभी सूत्रों के लिए प्लस इंडक्शन को कभी-कभी बिना किसी सबस्क्रिप्ट के एसीए कहा जाता है।

सिस्टम एसीए0 प्रथम-क्रम अंकगणित (या प्रथम-क्रम पीनो स्वयंसिद्धों) का एक रूढ़िवादी विस्तार है, जिसे मूल स्वयंसिद्धों के रूप में परिभाषित किया गया है, साथ ही प्रथम-क्रम अंकगणित की भाषा में प्रथम-क्रम प्रेरण स्वयंसिद्ध योजना (सभी सूत्रों φ के लिए कोई वर्ग चर शामिल नहीं है, बाध्य या अन्यथा), प्रथम-क्रम अंकगणित की भाषा में (जो बिल्कुल भी वर्ग चर की अनुमति नहीं देता है)। विशेष रूप से इसमें समान क्रमवाचक विश्लेषण|प्रमाण-सैद्धांतिक क्रमवाचक एप्सिलॉन संख्या|ε है0सीमित प्रेरण स्कीमा के कारण प्रथम-क्रम अंकगणित के रूप में।

सूत्रों के लिए अंकगणितीय पदानुक्रम
किसी सूत्र को परिबद्ध अंकगणित या Δ कहा जाता है00, जब इसके सभी परिमाणक ∀n1 (या कभी-कभी Σ उप>1), क्रमशः Π01 (या कभी-कभी Π उप>1) जब यह ∃m के रूप का होundefinedφ, क्रमशः ∀mundefinedφ जहां φ एक परिबद्ध अंकगणितीय सूत्र है और m एक व्यक्तिगत चर है (जो φ में मुफ़्त है)। अधिक सामान्यतः, एक सूत्र को Σ कहा जाता है0n, क्रमशः Π0n जब इसे Π में अस्तित्वगत, क्रमशः सार्वभौमिक, व्यक्तिगत क्वांटिफायर जोड़कर प्राप्त किया जाता है0n−1 , क्रमशः Σ0n−1 फॉर्मूला (और Σ00 और Π00 दोनों Δ के बराबर हैं00 )। निर्माण के अनुसार, ये सभी सूत्र अंकगणितीय हैं (कोई भी वर्ग चर कभी भी बाध्य नहीं होता है) और, वास्तव में, स्कोलेम प्रीनेक्स फॉर्म में सूत्र डालने से कोई यह देख सकता है कि प्रत्येक अंकगणितीय सूत्र तार्किक रूप से Σ के बराबर है0n या Π0n सभी बड़े पर्याप्त n के लिए सूत्र।

पुनरावर्ती समझ
सबसिस्टम आरसीए0 ACA की तुलना में एक कमजोर प्रणाली है0 और अक्सर विपरीत गणित में आधार प्रणाली के रूप में उपयोग किया जाता है। इसमें शामिल हैं: मूल सिद्धांत, Σ01 इंडक्शन स्कीम, और Δ01 समझ योजना। पूर्व शब्द स्पष्ट है: Σ01 प्रेरण योजना प्रत्येक Σ के लिए प्रेरण अभिगृहीत है0<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.65em >1 सूत्र एफ। शब्द डी0<sub style= मार्जिन-बाएँ:-0.65em >1 समझ अधिक जटिल है, क्योंकि Δ जैसी कोई चीज़ नहीं है0<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.65em >1 फॉर्मूला। Δ0<sub style= मार्जिन-बाएँ:-0.65em >1 समझ योजना इसके बजाय प्रत्येक Σ के लिए समझ सिद्धांत पर जोर देती है0<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.65em >1 सूत्र जो तार्किक रूप से Π के समतुल्य है0<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.65em >1 फॉर्मूला। इस योजना में प्रत्येक Σ के लिए शामिल है0<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.65em >1 सूत्र φ और प्रत्येक Π0<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.65em >1 सूत्र ψ, अभिगृहीत:


 * $$\forall m \forall X ((\forall n (\varphi(n) \leftrightarrow \psi(n))) \rightarrow \exists Z \forall n (n\in Z \leftrightarrow \varphi(n)))$$

आरसीए के प्रथम-क्रम परिणामों का सेट0 सबसिस्टम IΣ के समान ही है1 पीनो अंकगणित का जिसमें प्रेरण Σ तक सीमित है0<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.65em >1 सूत्र। बदले में, मैंΣ उप>1 के लिए आदिम पुनरावर्ती अंकगणित (पीआरए) पर रूढ़िवादी है $$\Pi^0_2$$ वाक्य। इसके अलावा, प्रमाण-सैद्धांतिक क्रम $$\mathrm{RCA}_0$$ ω हैω, PRA के समान।

यह देखा जा सकता है कि ω के सबसेट का एक संग्रह S, RCA का ω-मॉडल निर्धारित करता है0 यदि और केवल यदि एस ट्यूरिंग रिड्यूसिबिलिटी और ट्यूरिंग जॉइन के तहत बंद है। विशेष रूप से, ω के सभी गणना योग्य सेटों का संग्रह आरसीए का एक ω-मॉडल देता है0. इस प्रणाली के नाम के पीछे यही प्रेरणा है - यदि आरसीए का उपयोग करके एक सेट का अस्तित्व साबित किया जा सकता है0, तो सेट पुनरावर्ती है (अर्थात गणना योग्य)।

कमजोर सिस्टम
कभी-कभी आरसीए से भी कमजोर प्रणाली0 वांछित है। ऐसी एक प्रणाली को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: किसी को पहले अंकगणित की भाषा को एक घातीय फ़ंक्शन प्रतीक के साथ बढ़ाना होगा (मजबूत प्रणालियों में घातांक को सामान्य चाल द्वारा जोड़ और गुणा के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है, लेकिन जब प्रणाली बहुत कमजोर हो जाती है तो यह अब संभव नहीं है) और स्पष्ट स्वयंसिद्धों द्वारा मूल स्वयंसिद्ध गुणन से आगमनात्मक रूप से घातांक को परिभाषित करना; तब सिस्टम में (समृद्ध) बुनियादी सिद्धांत, प्लस Δ शामिल होते हैं0<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.65em >1 समझ, प्लस Δ0<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.65em >0 इंडक्शन।

मजबूत सिस्टम
एसीए के ऊपर0, दूसरे क्रम के अंकगणित का प्रत्येक सूत्र Σ के बराबर है1<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.6em >n या Π1<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.6em >n सभी बड़े पर्याप्त n के लिए सूत्र। प्रणाली 'Π1<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.6em >1 -कॉम्प्रिहेंशन वह प्रणाली है जिसमें मूल सिद्धांतों के साथ-साथ सामान्य दूसरे क्रम के इंडक्शन एक्सिओम्स और प्रत्येक (बोल्डफेस (गणित)) के लिए कॉम्प्रिहेंशन एक्सिओम्स शामिल हैं ) पीआई1<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.6em >1 सूत्र φ। यह Σ के बराबर है1<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.6em >1 -समझ (दूसरी ओर, Δ1<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.6em >1 -समझ, Δ के अनुरूप परिभाषित0<sub style= मार्जिन-लेफ्ट:-0.65em >1 -समझदारी, कमजोर है)।

प्रक्षेप्य नियति
प्रक्षेप्य निर्धारण यह दावा है कि प्रत्येक दो-खिलाड़ी की चालों के साथ पूर्ण जानकारी वाला खेल प्राकृतिक संख्या, खेल की लंबाई ω और प्रक्षेप्य सेट पेऑफ सेट निर्धारित होता है, यानी, खिलाड़ियों में से एक के पास जीतने की रणनीति होती है। (यदि खेल पेऑफ सेट से संबंधित है तो पहला खिलाड़ी गेम जीतता है; अन्यथा, दूसरा खिलाड़ी जीतता है।) एक सेट प्रोजेक्टिव है यदि और केवल तभी (एक विधेय के रूप में) यह दूसरे क्रम की भाषा में एक सूत्र द्वारा व्यक्त किया जा सकता है अंकगणित, वास्तविक संख्याओं को पैरामीटर के रूप में अनुमति देता है, इसलिए प्रक्षेप्य निर्धारण Z की भाषा में एक स्कीमा के रूप में व्यक्त किया जा सकता है2.

दूसरे क्रम के अंकगणित की भाषा में अभिव्यक्त होने वाले कई प्राकृतिक प्रस्ताव Z से स्वतंत्र हैं2 और यहां तक ​​कि ZFC भी लेकिन प्रक्षेप्य निर्धारण से सिद्ध करने योग्य हैं। उदाहरणों में सह-विश्लेषणात्मक परफेक्ट सेट संपत्ति, मापनीयता और बेयर की संपत्ति शामिल है $$\Sigma^1_2$$ सेट, $$\Pi^1_3$$ कमजोर आधार सिद्धांत (जैसे आरसीए) पर एकरूपता (सेट सिद्धांत), आदि0), प्रक्षेप्य निर्धारण का तात्पर्य समझ से है और दूसरे क्रम के अंकगणित का एक अनिवार्य रूप से पूर्ण सिद्धांत प्रदान करता है - Z की भाषा में प्राकृतिक कथन2 जो Z से स्वतंत्र हैं2 प्रक्षेप्य निर्धारण के साथ खोजना कठिन है। ZFC + {n वुड के कार्डिनल ्स हैं: n एक प्राकृतिक संख्या है} Z पर रूढ़िवादी है2 प्रक्षेप्य निश्चय के साथ, अर्थात दूसरे क्रम के अंकगणित की भाषा में एक कथन Z में सिद्ध किया जा सकता है2 प्रक्षेप्य निर्धारण के साथ यदि और केवल यदि सेट सिद्धांत की भाषा में इसका अनुवाद ZFC + में सिद्ध किया जा सकता है, तो n वुडिन कार्डिनल्स हैं: n∈N}।

कोडिंग गणित
दूसरे क्रम का अंकगणित सीधे प्राकृतिक संख्याओं और प्राकृतिक संख्याओं के सेट को औपचारिक बनाता है। हालाँकि, यह कोडिंग तकनीकों के माध्यम से अप्रत्यक्ष रूप से अन्य गणितीय वस्तुओं को औपचारिक रूप देने में सक्षम है, एक तथ्य जिसे सबसे पहले हरमन वेइल (सिम्पसन 2009, पृष्ठ 16) ने देखा था। पूर्णांक, तर्कसंगत संख्या और वास्तविक संख्या सभी को सबसिस्टम आरसीए में औपचारिक रूप दिया जा सकता है0, पूर्ण [[मीट्रिक स्थान]] वियोज्य स्पेस मीट्रिक स्पेस और उनके बीच निरंतर कार्यों के साथ (सिम्पसन 2009, अध्याय II)।

रिवर्स गणित का अनुसंधान कार्यक्रम गणितीय प्रमेयों को सिद्ध करने के लिए आवश्यक सेट-अस्तित्व सिद्धांतों का अध्ययन करने के लिए दूसरे क्रम के अंकगणित में गणित की इन औपचारिकताओं का उपयोग करता है (सिम्पसन 2009, पृष्ठ 32)। उदाहरण के लिए, वास्तविक से वास्तविक तक के कार्यों के लिए मध्यवर्ती मूल्य प्रमेय आरसीए में सिद्ध करने योग्य है0 (सिम्पसन 2009, पृ. 87), जबकि बोलजानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय|बोलजानो-वीयरस्ट्रैस प्रमेय एसीए के बराबर है0 आरसीए के ऊपर0 (सिम्पसन 2009, पृष्ठ 34)।

उपरोक्त कोडिंग निरंतर और कुल कार्यों के लिए अच्छी तरह से काम करती है, जैसा कि (कोहलेनबैक 2002, धारा 4) में दिखाया गया है, एक उच्च-क्रम आधार सिद्धांत और कोनिग की लेम्मा | कमजोर कोनिग की लेम्मा को मानते हुए। जैसा कि शायद अपेक्षित था, टोपोलॉजी या माप सिद्धांत के मामले में, कोडिंग समस्याओं के बिना नहीं है, जैसा कि उदाहरण में पता लगाया गया है। (हंटर, 2008) या (नॉर्मन एंड सैंडर्स, 2019)। हालाँकि, यहां तक ​​कि रीमैन अभिन्न फ़ंक्शंस को कोड करने से भी समस्याएं पैदा होती हैं: जैसा कि (नॉर्मन एंड सैंडर्स, 2020) में दिखाया गया है, रीमैन इंटीग्रल के लिए आर्ज़ेला के अभिसरण प्रमेय को साबित करने के लिए आवश्यक न्यूनतम (समझ) सिद्धांत बहुत अलग हैं, यह इस बात पर निर्भर करता है कि कोई दूसरे-क्रम कोड या तीसरे-क्रम फ़ंक्शंस का उपयोग करता है या नहीं।

यह भी देखें

 * पेरिस-हैरिंगटन प्रमेय
 * प्रेस्बर्गर अंकगणित
 * सच्चा अंकगणित

संदर्भ

 * Burgess, J. P. (2005), Fixing Frege, Princeton University Press.
 * Buss, S. R. (1998), Handbook of proof theory, Elsevier. ISBN 0-444-89840-9
 * Friedman, H. (1976), "Systems of second order arithmetic with restricted induction," I, II (Abstracts). Journal of Symbolic Logic, v. 41, pp. 557– 559. JStor
 * Hilbert, D. and Bernays, P. (1934), Grundlagen der Mathematik, Springer-Verlag.
 * Hunter, James, Higher order Reverse Topology, Dissertation, University of Madison-Wisconsin .
 * Kohlenbach, U., Foundational and mathematical uses of higher types, Reflections on the foundations of mathematics, Lect. Notes Log., vol. 15, ASL, 2002, pp. 92–116.
 * Shapiro, S. (1991), Foundations without foundationalism, Oxford University Press. ISBN 0-19-825029-0
 * Simpson, S. G. (2009), Subsystems of second order arithmetic, 2nd edition, Perspectives in Logic, Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88439-6
 * Takeuti, G. (1975) Proof theory ISBN 0-444-10492-5