पेरिडायनामिक्स

पेरिडायनामिक्स सातत्य यांत्रिकी का एक सूत्रीकरण है जो विकृति (इंजीनियरिंग) की ओर उन्मुख है, विशेष रूप से भंग  के साथ।

उद्देश्य
पेरिडायनामिक सिद्धांत अभिन्न समीकरणों पर आधारित है, जो सातत्य यांत्रिकी के शास्त्रीय सिद्धांत के विपरीत है, जो आंशिक अंतर समीकरणों पर आधारित है। चूंकि दरार सतहों और अन्य गणितीय विलक्षणता पर आंशिक डेरिवेटिव मौजूद नहीं हैं, इसलिए सातत्य यांत्रिकी के शास्त्रीय समीकरणों को सीधे लागू नहीं किया जा सकता है जब ऐसी विशेषताएं विरूपण (इंजीनियरिंग) में मौजूद हों। पेरिडायनामिक सिद्धांत के अभिन्न समीकरणों को सीधे लागू किया जा सकता है, क्योंकि उन्हें आंशिक डेरिवेटिव की आवश्यकता नहीं होती है।

एक विकृत संरचना के गणितीय मॉडल में सभी बिंदुओं पर सीधे समान समीकरणों को लागू करने की क्षमता पेरिडायनामिक दृष्टिकोण को फ्रैक्चर यांत्रिकी की विशेष तकनीकों की आवश्यकता से बचने में मदद करती है। उदाहरण के लिए, पेरिडायनामिक्स में, तनाव तीव्रता कारक के आधार पर एक अलग दरार वृद्धि कानून की आवश्यकता नहीं है।

परिभाषा और बुनियादी शब्दावली
पेरिडायनामिक्स का मूल समीकरण गति का निम्नलिखित समीकरण है:


 * $$\rho(x)\ddot u(x,t)=\int_R f(u(x',t)-u(x,t),x'-x,x)dV_{x'} + b(x,t)$$

कहाँ $$x$$ शरीर में एक बिंदु है $$R$$, $$t$$ यह समय है, $$u$$ विस्थापन (वेक्टर) क्षेत्र है, और $$\rho$$ अविकृत शरीर में द्रव्यमान घनत्व है। $$x'$$ एकीकरण का एक डमी चर है।

वेक्टर (ज्यामितीय) मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) $$f$$ बल घनत्व है कि $$x'$$ पर जोर देता है $$x$$. यह बल घनत्व आपेक्षिक विस्थापन और आपेक्षिक स्थिति सदिशों के बीच निर्भर करता है $$x'$$ और $$x$$. के आयाम $$f$$ बल प्रति आयतन वर्ग हैं। कार्यक्रम $$f$$ जोड़ीदार बल कार्य कहा जाता है और इसमें सभी संवैधानिक समीकरण (सामग्री-निर्भर) गुण होते हैं। यह वर्णन करता है कि आंतरिक बल विरूपण पर कैसे निर्भर करते हैं।

किसी के बीच की बातचीत $$x$$ और $$x'$$ बंधन कहा जाता है। इस इंटरैक्शन में भौतिक तंत्र को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता नहीं है। आमतौर पर ऐसा माना जाता है $$f$$ जब भी गायब हो जाता है $$x'$$ के पड़ोस से बाहर है $$x$$ (अविकृत विन्यास में) क्षितिज कहलाता है।

पेरिडायनामिक शब्द, एक विशेषण, वर्ष 2000 में प्रस्तावित किया गया था और उपसर्ग पेरी से आया है, जिसका अर्थ है चारों ओर, निकट या आसपास; और मूल डायना, जिसका अर्थ है बल या शक्ति। पेरिडायनामिक्स शब्द, एक संज्ञा, ठोस यांत्रिकी के पेरिडायनामिक मॉडल वाक्यांश का संक्षिप्त रूप है।

जोड़ो में बल कार्य
संक्षिप्त अंकन का उपयोग करना $$u=u(x,t)$$ और $$u'=u(x',t)$$ न्यूटन का तीसरा नियम निम्नलिखित प्रतिबंध लगाता है $$f$$:



\displaystyle f(u-u', x-x', x') = -f(u'-u, x'-x, x) $$ किसी के लिए $$x, x', u, u'$$. यह समीकरण बताता है बल घनत्व वेक्टर $$x$$ पर जोर देता है $$x'$$ बल घनत्व सदिश को घटाकर बराबर करता है $$x'$$ पर जोर देता है $$x$$. कोणीय गति के संतुलन की आवश्यकता है $$f$$ की विकृत स्थिति को जोड़ने वाले वेक्टर के समानांतर हो $$x$$ की विकृत स्थिति में $$x'$$:


 * $$\displaystyle ((x'+u')-(x+u))\times f(u'-u, x'-x, x)=0.$$

एक जोड़ीदार बल समारोह के एक ग्राफ द्वारा निर्दिष्ट किया गया है $$|f|$$ बनाम बंधन बढ़ाव $$e$$, द्वारा परिभाषित

$$\displaystyle e=|(x'+u')-(x+u)|-|x'-x|.$$ दो विशिष्ट बिंदुओं को जोड़ने वाले बंधन के लिए जोड़ीदार बल कार्य का एक योजनाबद्ध निम्नलिखित चित्र में दिखाया गया है:



नुकसान
जब उनका बढ़ाव कुछ निर्धारित मूल्य से अधिक हो जाता है, तो बॉन्ड को टूटने की अनुमति देकर जोड़ीदार बल फ़ंक्शन में क्षति को शामिल किया जाता है। एक बंधन के टूटने के बाद, यह अब किसी भी बल का समर्थन नहीं करता है, और समापन बिंदु प्रभावी रूप से एक दूसरे से अलग हो जाते हैं। जब एक बंधन टूटता है, तो जो बल वह ले रहा था वह अन्य बंधनों में पुनर्वितरित होता है जो अभी तक टूटा नहीं है। यह बढ़ा हुआ भार इस बात की अधिक संभावना बनाता है कि ये अन्य बंधन टूट जाएंगे। बंधन टूटने और लोड पुनर्वितरण की प्रक्रिया, आगे टूटने की ओर अग्रसर होती है, पेरिडायनामिक मॉडल में दरारें कैसे बढ़ती हैं।

पेरिडायनामिक स्टेट्स
ऊपर वर्णित सिद्धांत मानता है कि प्रत्येक पेरिडायनामिक बंधन अन्य सभी से स्वतंत्र रूप से प्रतिक्रिया करता है। यह अधिकांश सामग्रियों के लिए एक सरलीकरण है और उन सामग्रियों के प्रकारों पर प्रतिबंध लगाता है जिन्हें मॉडल किया जा सकता है। विशेष रूप से, इस धारणा का अर्थ है कि कोई भी रैखिक लोचदार सामग्री 1/4 के पॉइसन अनुपात तक सीमित है।

व्यापकता की इस कमी को दूर करने के लिए, पेरिडायनामिक राज्यों का विचार पेश किया गया था। यह प्रत्येक बांड में बल घनत्व को अपने स्वयं के खिंचाव के अलावा, इसके समापन बिंदुओं से जुड़े सभी बांडों में खिंचाव पर निर्भर करने की अनुमति देता है। उदाहरण के लिए, बांड में बल अंतिम बिंदुओं पर शुद्ध आयतन परिवर्तन पर निर्भर हो सकता है। बांड खिंचाव के प्रभाव के सापेक्ष इस आयतन परिवर्तन का प्रभाव पॉसों अनुपात को निर्धारित करता है। पेरिडायनामिक स्टेट्स के साथ, कोई भी सामग्री जिसे सातत्य यांत्रिकी के मानक सिद्धांत के भीतर मॉडल किया जा सकता है, फ्रैक्चर के लिए पेरिडायनामिक सिद्धांत के लाभों को बनाए रखते हुए एक पेरिडायनामिक सामग्री के रूप में तैयार किया जा सकता है।

ठोस शरीर यांत्रिकी के समीकरणों के अभिन्न रूप और I.A.Kunin "माइक्रोस्ट्रक्चर के साथ लोचदार मीडिया के सिद्धांत" में कर्नेल के रूप पर प्रतिबंधों की विस्तारित चर्चा पा सकते हैं। लोच का गैर-स्थानीय सिद्धांत। 1975 (रूसी में); आई. ए. कुनिन, इलास्टिक मीडिया विद माइक्रोस्ट्रक्चर I. वन-डायमेंशनल मॉडल्स (स्प्रिंगर, बर्लिन, 1982); I. A. कुनिन, माइक्रोस्ट्रक्चर II के साथ इलास्टिक मीडिया। त्रि-आयामी मॉडल (स्प्रिंगर, बर्लिन, 1983) (अंग्रेज़ी में)।

यह भी देखें

 * फ्रैक्चर यांत्रिकी
 * सातत्यक यांत्रिकी
 * जंगम सेलुलर automaton

बाहरी संबंध

 * Peridigm, an open-source computational peridynamics code
 * website on peridynamics
 * PeriDoX open-source repository for peridynamics and its documentation
 * Implementation of finite element and finite difference approximation of Nonlocal models