सीमित तत्व विधि



परिमित तत्व विधि ( एफईएम ) इंजीनियरिंग और गणितीय मॉडलिंग में उत्पन्न होने वाले अंतर समीकरणों को संख्यात्मक रूप से हल करने के लिए एक लोकप्रिय विधि है। और रुचि के विशिष्ट समस्या क्षेत्रों में संरचनात्मक विश्लेषण, ऊष्मा हस्तांतरण, द्रव प्रवाह, जन परिवहन, और विद्युत चुम्बकीय क्षमता के पारंपरिक क्षेत्र सम्मिलित हैं।

इस प्रकार से एफईएम दो या तीन अंतरिक्ष वेरिएबल (अर्थात, कुछ सीमा मूल्य समस्याओं) में आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए सामान्य संख्यात्मक विधि है। किन्तु किसी समस्या को हल करने के लिए, एफईएम औच्च प्रणाली को लघु, सरल भागों में विभाजित करता है जिन्हें परिमित तत्व कहा जाता है। यह अंतरिक्ष आयामों में विशेष अंतरिक्ष विवेक द्वारा प्राप्त किया जाता है, जो की वस्तु के प्रकार के मेश के निर्माण द्वारा कार्यान्वित किया जाता है: अतः समाधान के लिए संख्यात्मक डोमेन, जिसमें अंकों की सीमित संख्या होती है।

अतः सीमा मूल्य समस्या का परिमित तत्व विधि सूत्रीकरण अंततः बीजगणितीय समीकरणों की प्रणाली में परिणत होता है। विधि डोमेन पर अज्ञात फ़ंक्शन का अनुमान लगाती है।

सरल समीकरण जो इन परिमित तत्वों को प्रतिरूपित करते हैं, तब उन्हें समीकरणों की उच्च प्रणाली को एकत्रित किया जाता है जो की संपूर्ण समस्या का प्रतिरूप बनाता है। और एफईएम तब भिन्नताओं की गणना के माध्यम से संबंधित त्रुटि फ़ंक्शन को कम करके समाधान का अनुमान लगाता है।

इस प्रकार से एफईएम के साथ घटना का अध्ययन या विश्लेषण प्रायः परिमित तत्व विश्लेषण (एफईए) के रूप में जाना जाता है।

मूलभूत अवधारणाएँ
अतः पूर्ण डोमेन को सरल भागों में विभाजित करने के अनेक लाभ  हैं:
 * सम्मिश्र ज्यामिति का स्पष्ट  प्रतिनिधित्व
 * असमान भौतिक गुणों का समावेश
 * कुल समाधान का सरल प्रतिनिधित्व
 * स्थानीय प्रभावों पर अधिकृत है।

इस प्रकार से विधि के विशिष्ट कार्य में सम्मिलित हैं:
 * 1) समस्या के डोमेन को सबडोमेन के संग्रह में विभाजित करना, प्रत्येक सबडोमेन को मूल समस्या के तत्व समीकरणों के सेट द्वारा दर्शाया गया है
 * 2) अंतिम गणना के लिए समीकरणों की वैश्विक प्रणाली में तत्व समीकरणों के सभी सेटों को व्यवस्थित रूप से पुनर्संयोजित करना है।

किन्तु समीकरणों की वैश्विक प्रणाली में ज्ञात समाधान तकनीकें हैं, और संख्यात्मक उत्तर प्राप्त करने के लिए मूल समस्या के प्रारंभिक मूल्यों से गणना की जा सकती है।

इस प्रकार से ऊपर दिए गए प्रथम चरण में, तत्व समीकरण साधारण समीकरण होते हैं जो की अध्ययन किए जाने वाले मूल सम्मिश्र समीकरणों का स्थानीय रूप से अनुमान लगाते हैं, और जहां मूल समीकरण प्रायः  आंशिक अंतर समीकरण (पीडीई) होते हैं। इस प्रक्रिया में सन्निकटन की व्याख्या करने के लिए, परिमित तत्व विधि को सामान्यतः  गैलेरकिन विधि के विशेष स्तिथि  के रूप में प्रस्तुत  किया जाता है। और प्रक्रिया, गणितीय भाषा में, अवशिष्ट और भार कार्यों के आंतरिक उत्पाद का अभिन्न निर्माण करना है अतः अभिन्न को शून्य पर सेट करना है। तथा सरल शब्दों में, यह ऐसी प्रक्रिया है जो की पीडीई में परीक्षण कार्यों को फिट करके सन्निकटन की त्रुटि को कम करती है। किन्तु अवशिष्ट परीक्षण कार्यों के कारण होने वाली त्रुटि है, और भार कार्य बहुपद सन्निकटन कार्य हैं जो की अवशिष्ट की परियोजना करते हैं। चूंकि प्रक्रिया पीडीई से सभी स्थानिक डेरिवेटिव को समाप्त करती है, इस प्रकार स्थानीय रूप से पीडीई का अनुमान लगाती है
 * स्थिर अवस्था समस्याओं के लिए बीजगणितीय समीकरणों का सेट है।
 * क्षणिक समस्याओं के लिए सामान्य अंतर समीकरणों का एक सेट है।

ये समीकरण सेट तत्व समीकरण हैं। यदि अंतर्निहित पीडीई रैखिक है तो वे रैखिक और इसके विपरीत हैं। स्थिर-अवस्था की समस्याओं में उत्पन्न होने वाले बीजगणितीय समीकरण सेट संख्यात्मक रेखीय बीजगणित विधियों का उपयोग करके हल किए जाते हैं, जबकि साधारण अंतर समीकरण सेट जो क्षणिक समस्याओं में उत्पन्न होते हैं, और मानक तकनीकों जैसे कि यूलर की विधि या रनगे-कुट्टा विधियों का उपयोग करके संख्यात्मक एकीकरण द्वारा हल किए जाते हैं।

अतः उपरोक्त चरण (2) में, उप-डोमेन के स्थानीय नोड्स से डोमेन के वैश्विक नोड्स में निर्देशांक के परिवर्तन के माध्यम से तत्व समीकरणों से समीकरणों की वैश्विक प्रणाली उत्पन्न होती है। इस स्थानिक परिवर्तन में संदर्भ समन्वय प्रणाली के संबंध में प्रयुक्त उपयुक्त परिवर्तन आव्यूह  सम्मिलित  हैं। उप-डोमेन से उत्पन्न निर्देशांक डेटा का उपयोग करके प्रक्रिया प्रायः  एफईएम सॉफ़्टवेयर द्वारा की जाती है।

एफईएम के व्यावहारिक अनुप्रयोग को परिमित तत्व विश्लेषण (एफईए) के रूप में जाना जाता है। इंजीनियरिंग में प्रयुक्त एफईए इंजीनियरिंग विश्लेषण करने के लिए कम्प्यूटेशनल टूल है। इसमें सम्मिश्र  प्रणाली को छोटे तत्वों में विभाजित करने के लिए मेश जनरेशन तकनीकों का उपयोग, साथ ही एफईएम एल्गोरिथम के साथ कोडित सॉफ़्टवेयर का उपयोग सम्मिलित  है। एफईए को प्रयुक्त  करने में, सम्मिश्र  समस्या सामान्यतः  अंतर्निहित भौतिकी के साथ भौतिक प्रणाली है जैसे यूलर-बर्नौली बीम सिद्धांत यूलर-बर्नौली बीम समीकरण, ताप समीकरण, या नेवियर-स्टोक्स समीकरण या तो पीडीई या इंटीग्रल समीकरणों में व्यक्त किए जाते हैं, जबकि सम्मिश्र  समस्या के विभाजित छोटे तत्व भौतिक प्रणाली में विभिन्न क्षेत्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं।

एफईए का उपयोग सम्मिश्र डोमेन (जैसे कारों और तेल पाइपलाइनों) पर समस्याओं का विश्लेषण करने के लिए किया जा सकता है, जब डोमेन परिवर्तित होता है (एक चलती सीमा के साथ ठोस-अवस्था प्रतिक्रिया के समय ), जब वांछित स्पष्ट ता पूर्ण डोमेन में भिन्न होती है, या जब समाधान चिकनाई की कमी है। तब  एफईए सिमुलेशन मूल्यवान संसाधन प्रदान करते हैं क्योंकि वे विभिन्न उच्च निष्ठा स्थितियों के लिए कठिन प्रोटोटाइप के निर्माण और परीक्षण के अनेक  उदाहरणों को हटाते हैं। इस प्रकार से उदाहरण के लिए, फ्रंटल क्रैश सिमुलेशन में कार के सामने जैसे महत्वपूर्ण क्षेत्रों में भविष्यवाणी की स्पष्ट ता को बढ़ाना संभव है और इसके पिछले भाग  में इसे कम करना (इस प्रकार सिमुलेशन की निवेश  को कम करना) है। और उदाहरण संख्यात्मक मौसम की भविष्यवाणी में होता है, जहां अपेक्षाकृत शांत क्षेत्रों के अतिरिक्त  अत्यधिक अरेखीय घटनाओं (जैसे कि वातावरण में उष्णकटिबंधीय चक्रवात, या समुद्र में एडी (द्रव गतिकी)) के विकास पर स्पष्ट  भविष्यवाणियां करना अधिक महत्वपूर्ण है।

इस दृष्टिकोण की स्पष्ट, विस्तृत और व्यावहारिक प्रस्तुति इंजीनियरों के लिए परिमित तत्व विधि में पाई जा सकती है।

इतिहास
चूंकि  परिमित तत्व विधि के आविष्कार की तारीख को उद्धृत करना मुश्किल है, सिविल इंजीनियरिंग और वैमानिकी इंजीनियरिंग में सम्मिश्र  लोच (भौतिकी) और संरचनात्मक विश्लेषण समस्याओं को हल करने की आवश्यकता से उत्पन्न विधि। इसके विकास का पता एलेक्जेंडर ह्रेनिकॉफ़ |ए के काम से लगाया जा सकता है। हरेनिकॉफ़ और रिचर्ड कौरंट|आर. कुरंट 1940 के दशक की शुरुआत में। अन्य अग्रणी Ioannis Argyris थे। यूएसएसआर में, विधि के व्यावहारिक अनुप्रयोग की शुरूआत सामान्यतः लियोनार्ड ओगनेसियन के नाम से जुड़ी हुई है। बाद में 1950 के दशक और 1960 के दशक के प्रारंभ में फेंग कांग द्वारा बांध निर्माण की गणना के आधार पर चीन में इसे स्वतंत्र रूप से फिर से खोजा गया था, जहां इसे भिन्नता सिद्धांत के आधार पर परिमित अंतर विधि कहा जाता था। चूंकि   इन अग्रदूतों द्वारा उपयोग किए जाने वाले दृष्टिकोण अलग-अलग हैं, लेकिन वे आवश्यक विशेषता साझा करते हैं: पॉलीगॉन मेश निरंतर डोमेन का असतत उप-डोमेन के सेट में विखंडन करता है, जिसे सामान्यतः  तत्व कहा जाता है।

Hrennikoff का काम जाली (समूह) सादृश्य का उपयोग करके डोमेन को अलग करता है, जबकि कोर्टेंट का दृष्टिकोण आंशिक अंतर समीकरण को हल करने के लिए डोमेन को परिमित त्रिकोणीय उप-क्षेत्रों में विभाजित करता है # दूसरे क्रम के अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों के रैखिक समीकरण जो मरोड़ (यांत्रिकी) की समस्या से उत्पन्न होते हैं। सिलेंडर (ज्यामिति)। कुरेंट का योगदान विकासवादी था, जो जॉन विलियम स्ट्रट, तीसरे बैरन रेले, वाल्थर रिट्ज और बोरिस गैलेर्किन द्वारा विकसित पीडीई के लिए पहले के परिणामों के बड़े निकाय पर चित्रित किया गया था।

परिमित तत्व विधि ने 1960 और 1970 के दशक में जॉन आरगाईरिस|जे के विकास से अपनी वास्तविक गति प्राप्त की। स्टुटगार्ट विश्वविद्यालय में सहकर्मियों के साथ एच. आर्गारिस, रे डब्ल्यू. क्लॉघ|आर. कैलिफोर्निया विश्वविद्यालय, बर्कले में सहकर्मियों के साथ डब्ल्यू. क्लो, ओल्गिएर्ड ज़िएनक्यूविज़|ओ. C. Zienkiewicz सहकर्मियों अर्नेस्ट हिंटन, ब्रूस आयरन्स (इंजीनियर) के साथ और स्वानसी विश्वविद्यालय में अन्य, पियरे-एंड-मैरी-क्यूरी विश्वविद्यालय में फिलिप जी सियारलेट और कॉर्नेल विश्वविद्यालय में सहकर्मियों के साथ रिचर्ड गैलाघेर। इन वर्षों में उपलब्ध मुक्त स्रोत परिमित तत्व कार्यक्रमों द्वारा और अधिक प्रोत्साहन प्रदान किया गया। नासा ने NASTRAN के मूल संस्करण को प्रायोजित किया, और यूसी बर्कले ने परिमित तत्व कार्यक्रम SAP IV बनाया व्यापक रूप से उपलब्ध। नॉर्वे में जहाज वर्गीकरण सोसायटी Det Norske Veritas (अब DNV GL) ने जहाजों के विश्लेषण में उपयोग के लिए 1969 में SESAM (FEM) विकसित किया। 1973 में गिल्बर्ट स्ट्रैंग और जॉर्ज फिक्स द्वारा प्रकाशन के साथ परिमित तत्व पद्धति के लिए कठोर गणितीय आधार प्रदान किया गया था। इसके बाद से इस पद्धति को व्यापक रूप से विभिन्न प्रकार के इंजीनियरिंग विषयों में भौतिक प्रणालियों के संख्यात्मक विश्लेषण के लिए सामान्यीकृत किया गया है, उदाहरण के लिए, विद्युत चुंबकत्व, ऊष्मा हस्तांतरण और द्रव गतिकी।

परिमित तत्व विधियों की संरचना
एक परिमित तत्व विधि की विशेषता विविधताओं की गणना, विवेचनात्मक रणनीति, या अधिक समाधान एल्गोरिदम और पोस्ट-प्रोसेसिंग प्रक्रियाएं हैं।

वैरिएबल फॉर्मूलेशन के उदाहरण हैं गैलेरकिन विधि, असंतत गैलेर्किन विधि, मिश्रित विधियाँ आदि। एक विवेकपूर्ण रणनीति को उन प्रक्रियाओं के स्पष्ट रूप से परिभाषित सेट के रूप में समझा जाता है जो कवर करते हैं (ए) परिमित तत्व मेश का निर्माण, (बी) संदर्भ तत्वों पर आधार फ़ंक्शन की परिभाषा (जिसे आकृति फ़ंक्शन भी कहा जाता है) और (सी) संदर्भ की मैपिंग मेश के तत्वों पर तत्व। विवेकीकरण रणनीतियों के उदाहरण हैं एच-संस्करण, पी-एफईएम|पी-संस्करण, एचपी-एफईएम|एचपी-संस्करण, विस्तारित परिमित तत्व विधि|एक्स-फेम, समज्यामितीय विश्लेषण, आदि। प्रत्येक विवेकाधिकार रणनीति के कुछ लाभ और नुकसान हैं। विशेष मॉडल वर्ग में गणितीय मॉडल के व्यापक सेट के लिए लगभग इष्टतम प्रदर्शन का एहसास करने के लिए विवेकपूर्ण रणनीति का चयन करने में उचित मानदंड है।

विभिन्न संख्यात्मक समाधान एल्गोरिदम को दो व्यापक श्रेणियों में वर्गीकृत किया जा सकता है; प्रत्यक्ष और पुनरावृत्त सॉल्वर। इन एल्गोरिदम को मेट्रिसेस की दुर्लभता का फायदा उठाने के लिए डिज़ाइन किया गया है जो भिन्नता निर्माण और विवेकाधिकार रणनीति के विकल्पों पर निर्भर करता है।

पोस्टप्रोसेसिंग प्रक्रियाओं को परिमित तत्व समाधान से ब्याज के डेटा के निष्कर्षण के लिए डिज़ाइन किया गया है। समाधान सत्यापन की आवश्यकताओं को पूरा करने के लिए, पोस्टप्रोसेसरों को ब्याज की मात्रा के संदर्भ में पश्चवर्ती त्रुटि अनुमान प्रदान करने की आवश्यकता होती है। जब सन्निकटन की त्रुटियां स्वीकार्य मानी जाने वाली से बड़ी होती हैं तो विवेक को या तो स्वचालित अनुकूली प्रक्रिया या विश्लेषक की कार्रवाई से बदलना पड़ता है। कुछ बहुत ही कुशल पोस्टप्रोसेसर हैं जो सुपरकन्वर्जेंस की प्राप्ति प्रदान करते हैं।

निदर्शी समस्याएँ P1 और P2
निम्नलिखित दो समस्याएं परिमित तत्व विधि को प्रदर्शित करती हैं।

P1 आयामी समस्या है
 * $$\mbox{ P1 }:\begin{cases}

u''(x)=f(x) \mbox{ in } (0,1), \\ u(0)=u(1)=0, \end{cases}$$ कहां $$f$$ दिया हुआ है, $$u$$ का अज्ञात कार्य है $$x$$, और $$u''$$ का दूसरा व्युत्पन्न है $$u$$ इसके संबंध में $$x$$.

P2 द्वि-आयामी समस्या है (डाइरिचलेट समस्या)
 * $$\mbox{P2 }:\begin{cases}

u_{xx}(x,y)+u_{yy}(x,y)=f(x,y) & \mbox{ in } \Omega, \\ u=0 & \mbox{ on } \partial \Omega, \end{cases}$$ कहां $$\Omega$$ में जुड़ा हुआ खुला क्षेत्र है $$(x,y)$$ विमान जिसकी सीमा $$\partial \Omega$$ अच्छा है (उदाहरण के लिए, चिकनी अनेक गुना या बहुभुज), और $$u_{xx}$$ और $$u_{yy}$$ के संबंध में दूसरे डेरिवेटिव को निरूपित करें $$x$$ और $$y$$, क्रमश।

समस्या P1 को सीधे एंटीडेरिवेटिव्स की गणना करके हल किया जा सकता है। चूंकि, सीमा मूल्य समस्या (बीवीपी) को हल करने का यह तरीका केवल तभी काम करता है जब स्थानिक आयाम हो और उच्च-आयामी समस्याओं या समस्याओं जैसे सामान्यीकरण न हो $$u+u''=f$$. इस कारण से, हम P1 के लिए परिमित तत्व विधि विकसित करेंगे और P2 के लिए इसके सामान्यीकरण की रूपरेखा तैयार करेंगे।

हमारी व्याख्या दो चरणों में आगे बढ़ेगी, जो एफईएम का उपयोग करके सीमा मूल्य समस्या (BVP) को हल करने के लिए दो आवश्यक कदमों को प्रतिबिंबित करती है। इस दूसरे चरण के बाद, हमारे पास बड़ी लेकिन परिमित-आयामी रैखिक समस्या के लिए ठोस सूत्र हैं, जिसका समाधान मूल BVP को लगभग हल कर देगा। यह परिमित-आयामी समस्या तब कंप्यूटर पर कार्यान्वित की जाती है।
 * पहले चरण में, मूल बीवीपी को उसके कमजोर रूप में दोहराया जाता है। सामान्यतः इस चरण के लिए बहुत कम या कोई संगणना की आवश्यकता नहीं होती है। परिवर्तन कागज पर हाथ से किया जाता है।
 * दूसरा चरण विवेकीकरण है, जहां कमजोर रूप को परिमित-आयामी स्थान में विवेकित किया जाता है।

कमजोर सूत्रीकरण
पहला कदम P1 और P2 को उनके समतुल्य कमजोर योगों में बदलना है।

P1 का कमजोर रूप
यदि $$u$$ P1 को हल करता है, फिर किसी भी सुचारू कार्य के लिए $$v$$ जो विस्थापन सीमा शर्तों को संतुष्ट करता है, अर्थात $$v=0$$ पर $$x=0$$ और $$x=1$$, अपने पास

इसके विपरीत यदि $$u$$ साथ $$u(0) = u(1) = 0$$ संतुष्ट करता है (1) हर सुचारू कार्य के लिए $$v(x)$$ तो कोई यह दिखा सकता है कि यह $$u$$ P1 को हल करेगा। प्रमाण दो बार लगातार भिन्न होने के लिए सरल है $$u$$ (औसत मूल्य प्रमेय), लेकिन वितरण (गणित) अर्थ में भी सिद्ध किया जा सकता है।

हम नए ऑपरेटर या मानचित्र को परिभाषित करते हैं $$\phi(u,v)$$ (1) के दाईं ओर भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करके:

जहां हमने इस धारणा का उपयोग किया है कि $$v(0) = v(1) = 0$$.

P2 का कमजोर रूप
यदि हम ग्रीन की पहचान के रूप का उपयोग करके भागों को एकीकृत करते हैं, तो हम देखते हैं कि यदि $$u$$ P2 हल करता है, तो हम परिभाषित कर सकते हैं $$\phi(u,v)$$ किसी के लिए $$v$$ द्वारा


 * $$\int_\Omega fv\,ds = -\int_\Omega \nabla u \cdot \nabla v \, ds \equiv -\phi(u,v),$$

कहां $$\nabla$$ ढाल को दर्शाता है और $$\cdot$$ द्वि-आयामी विमान में डॉट उत्पाद को दर्शाता है। बार फिर $$\,\!\phi$$ उपयुक्त स्थान पर आंतरिक उत्पाद में बदल दिया जा सकता है $$H_0^1(\Omega)$$ बार के अलग-अलग कार्यों की $$\Omega$$ जो जीरो पर हैं $$\partial \Omega$$. हमने भी माना है $$v \in H_0^1(\Omega)$$ (सोबोलेव रिक्त स्थान देखें)। समाधान के अस्तित्व और विशिष्टता को भी दिखाया जा सकता है।

अस्तित्व की प्रमाण रूपरेखा और समाधान की विशिष्टता
हम शिथिल रूप से सोच सकते हैं $$H_0^1(0,1)$$ के बिल्कुल निरंतर कार्य होना $$(0,1)$$ वे हैं $$0$$ पर $$x=0$$ और $$x=1$$ (सोबोलेव रिक्त स्थान देखें)। इस तरह के कार्य (कमजोर रूप से) बार अलग-अलग होते हैं और यह सममित बिलिनियर मानचित्र निकलता है $$\!\,\phi$$ फिर आंतरिक उत्पाद को परिभाषित करता है जो बदल जाता है $$H_0^1(0,1)$$ हिल्बर्ट स्पेस में (एक विस्तृत प्रमाण अनौपचारिक है)। दूसरी ओर, बाएँ हाथ की ओर $$\int_0^1 f(x)v(x)dx$$ आंतरिक उत्पाद भी है, इस बार एलपी स्पेस पर $$L^2(0,1)$$. हिल्बर्ट रिक्त स्थान के लिए रिज प्रतिनिधित्व प्रमेय का अनुप्रयोग दर्शाता है कि अद्वितीय है $$u$$ समाधान (2) और इसलिए P1। यह समाधान केवल प्राथमिकता का सदस्य है $$H_0^1(0,1)$$, लेकिन अण्डाकार ऑपरेटर नियमितता का उपयोग करते हुए, यदि सुचारू हो जाएगा $$f$$ है।

विवेचन
P1 और P2 विवेकाधीन होने के लिए तैयार हैं जो सामान्य उप-समस्या (3) की ओर ले जाता है। मूल विचार अनंत-आयामी रैखिक समस्या को बदलना है:
 * पाना $$u \in H_0^1$$ ऐसा है कि
 * $$\forall v \in H_0^1, \; -\phi(u,v)=\int fv$$

परिमित-आयामी संस्करण के साथ:

कहां $$V$$ की परिमित आयामी रैखिक उपसमष्टि है $$H_0^1$$. के लिए अनेक संभावित विकल्प हैं $$V$$ (एक संभावना वर्णक्रमीय विधि की ओर ले जाती है)। हालाँकि, परिमित तत्व विधि के लिए हम लेते हैं $$V$$ टुकड़े-टुकड़े बहुपद कार्यों का स्थान होना।

समस्या P1 के लिए
हम अंतराल लेते हैं $$(0,1)$$, चयन करें $$n$$ के मान $$x$$ साथ $$0=x_0 < x_1 < \cdots < x_n < x_{n+1}=1$$ और हम परिभाषित करते हैं $$V$$ द्वारा:


 * $$V=\{v:[0,1] \rightarrow \mathbb R\;: v\mbox{ is continuous, }v|_{[x_k,x_{k+1}]} \mbox{ is linear for } k=0,\dots,n \mbox{, and } v(0)=v(1)=0 \} $$

जहां हम परिभाषित करते हैं $$x_0=0$$ और $$x_{n+1}=1$$. ध्यान दें कि में कार्य करता है $$V$$ कलन की प्रारंभिक परिभाषा के अनुसार भिन्न नहीं हैं। दरअसल, अगर $$v \in V$$ तब व्युत्पन्न को सामान्यतः किसी भी रूप में परिभाषित नहीं किया जाता है $$x=x_k$$, $$k=1,\ldots,n$$. हालाँकि, व्युत्पन्न के हर दूसरे मूल्य पर मौजूद है $$x$$ और कोई इस व्युत्पन्न का उपयोग भागों द्वारा एकीकरण के उद्देश्य से कर सकता है।



समस्या के लिए P2
ज़रुरत है $$V$$ के कार्यों का सेट होना $$\Omega$$. दाईं ओर की आकृति में, हमने 15 भुजाओं वाले बहुभुज क्षेत्र के बहुभुज त्रिभुज को चित्रित किया है $$\Omega$$ समतल में (नीचे), और इस बहुभुज का टुकड़ा-वार रेखीय फलन (ऊपर, रंग में) जो त्रिकोणासन के प्रत्येक त्रिभुज पर रेखीय है; अंतरिक्ष $$V$$ ऐसे कार्य सम्मिलित होंगे जो चुने हुए त्रिकोण के प्रत्येक त्रिकोण पर रैखिक हों।

एक उम्मीद करता है कि जैसे-जैसे अंतर्निहित त्रिकोणीय मेश महीन और महीन होता जाता है, असतत समस्या (3) का समाधान कुछ अर्थों में मूल सीमा मान समस्या P2 के समाधान में परिवर्तित हो जाएगा। इस मेश की सुंदरता को मापने के लिए, त्रिभुज को वास्तविक-मूल्यवान पैरामीटर द्वारा अनुक्रमित किया जाता है $$h > 0$$ जो बहुत छोटा लगता है। यह पैरामीटर त्रिभुज में सबसे बड़े या औसत त्रिकोण के आकार से संबंधित होगा। जैसा कि हम त्रिकोणासन को परिष्कृत करते हैं, टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्यों का स्थान $$V$$ के साथ भी बदलना चाहिए $$h$$. इस वजह से प्रायः पढ़ता है $$V_h$$ के अतिरिक्त  $$V$$ साहित्य में। चूंकि हम ऐसा विश्लेषण नहीं करते हैं, इसलिए हम इस संकेतन का उपयोग नहीं करेंगे।

आधार चुनना
विवेक को पूरा करने के लिए, हमें आधार (रैखिक बीजगणित) का चयन करना होगा $$V$$. आयामी स्तिथि में, प्रत्येक नियंत्रण बिंदु के लिए $$x_k$$ हम टुकड़े-टुकड़े रैखिक फ़ंक्शन का चयन करेंगे $$v_k$$ में $$V$$ जिसका मूल्य है $$1$$ पर $$x_k$$ और प्रत्येक पर शून्य $$x_j,\;j \neq k$$, अर्थात।,


 * $$v_{k}(x)=\begin{cases}

{x-x_{k-1} \over x_k\,-x_{k-1}} & \mbox{ if } x \in [x_{k-1},x_k], \\ {x_{k+1}\,-x \over x_{k+1}\,-x_k} & \mbox{ if } x \in [x_k,x_{k+1}], \\ 0 & \mbox{ otherwise}, \end{cases}$$ के लिए $$k=1,\dots,n$$; यह आधार शिफ्ट और स्केल्ड टेंट फंक्शन है। द्वि-आयामी स्तिथि के लिए, हम फिर से आधार फ़ंक्शन चुनते हैं $$v_k$$ प्रति शिखर $$x_k$$ तलीय क्षेत्र के त्रिकोणासन की $$\Omega$$. कार्यक्रम $$v_k$$ का अनूठा कार्य है $$V$$ जिसका मूल्य है $$1$$ पर $$x_k$$ और प्रत्येक पर शून्य $$x_j,\;j \neq k$$.

लेखक के आधार पर, परिमित तत्व विधि में शब्द तत्व या तो डोमेन में त्रिभुजों को संदर्भित करता है, टुकड़े-टुकड़े रैखिक आधार फ़ंक्शन, या दोनों। उदाहरण के लिए, घुमावदार डोमेन में रुचि रखने वाला लेखक त्रिकोण को घुमावदार आदिम से बदल सकता है, और इसलिए तत्वों को घुमावदार होने के रूप में वर्णित कर सकता है। दूसरी ओर, कुछ लेखक टुकड़ेवार रेखीय को खंडवार द्विघात या यहाँ तक कि टुकड़ेवार बहुपद द्वारा प्रतिस्थापित करते हैं। लेखक तब उच्च डिग्री बहुपद के अतिरिक्त उच्च क्रम तत्व कह सकता है। परिमित तत्व विधि त्रिभुजों तक सीमित नहीं है (या 3-डी में टेट्राहेड्रा, या बहुआयामी स्थानों में उच्च-क्रम के सिंप्लेक्स), लेकिन चतुर्भुज उपडोमेन (हेक्साहेड्रा, प्रिज्म, या 3-डी में पिरामिड, और इसी तरह) पर परिभाषित किया जा सकता है।. उच्च-क्रम के आकार (वक्रीय तत्व) को बहुपद और यहां तक ​​कि गैर-बहुपद आकार (जैसे दीर्घवृत्त या वृत्त) के साथ परिभाषित किया जा सकता है।

hp-FEM और स्पेक्ट्रल एलिमेंट मेथड ऐसे तरीकों के उदाहरण हैं जो उच्च डिग्री के टुकड़ों के आधार पर बहुपद आधार कार्यों का उपयोग करते हैं।

अधिक उन्नत कार्यान्वयन (अनुकूली परिमित तत्व विधियाँ) परिणामों की गुणवत्ता का आकलन करने के लिए विधि का उपयोग करते हैं (त्रुटि अनुमान सिद्धांत के आधार पर) और समाधान के समय मेश को संशोधित करते हैं, जिसका उद्देश्य निरंतर समस्या के स्पष्ट  समाधान से कुछ सीमा के भीतर अनुमानित समाधान प्राप्त करना है।. मेष अनुकूलता विभिन्न तकनीकों का उपयोग कर सकती है, सबसे लोकप्रिय हैं:
 * मूविंग नोड्स (आर-अनुकूलता)
 * शोधन (और अपरिष्कृत) तत्व (एच-अनुकूलता)
 * आधार कार्यों का परिवर्तित क्रम (पी-अनुकूलता)
 * उपरोक्त के संयोजन (hp-FEM|hp-अनुकूलता)।

आधार का छोटा सहारा
आधार के इस चुनाव का प्राथमिक लाभ यह है कि आंतरिक उत्पाद
 * $$\langle v_j,v_k \rangle=\int_0^1 v_j v_k\,dx$$

और
 * $$\phi(v_j,v_k)=\int_0^1 v_j' v_k'\,dx$$

लगभग सभी के लिए शून्य होगा $$j,k$$.

(आव्यूह युक्त $$\langle v_j,v_k \rangle$$ में $$(j,k)$$ स्थान को ग्रामियन आव्यूह  के रूप में जाना जाता है।)

एक आयामी स्तिथि में, का समर्थन (गणित)। $$v_k$$ अंतराल है $$[x_{k-1},x_{k+1}]$$. इसलिए, के एकीकृत $$\langle v_j,v_k \rangle$$ और$$\phi(v_j,v_k)$$समान रूप से शून्य हैं $$|j-k|>1$$.

इसी तरह, प्लेनर स्तिथि में, अगर $$x_j$$ और $$x_k$$ त्रिभुज के किनारे को साझा न करें, फिर इंटीग्रल
 * $$\int_{\Omega} v_j v_k\,ds$$

और
 * $$\int_{\Omega} \nabla v_j \cdot \nabla v_k\,ds$$

दोनों शून्य हैं।

समस्या का आव्यूह रूप
अगर हम लिखते हैं $$u(x)=\sum_{k=1}^n u_k v_k(x)$$ और $$f(x)=\sum_{k=1}^n f_k v_k(x)$$ फिर समस्या (3), लेना $$v(x)=v_j(x)$$ के लिए $$j=1,\dots,n$$, बन जाता है

अगर हम द्वारा निरूपित करते हैं $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{f}$$ कॉलम वैक्टर $$(u_1,\dots,u_n)^t$$ और $$(f_1,\dots,f_n)^t$$, और अगर हम जाने दें
 * $$L=(L_{ij})$$

और
 * $$M=(M_{ij})$$

मेट्रिसेस बनें जिनकी प्रविष्टियाँ हैं
 * $$L_{ij}=\phi (v_i,v_j)$$

और
 * $$M_{ij}=\int v_i v_j dx$$

तो हम (4) को इस रूप में बदल सकते हैं

मानना ​​जरूरी नहीं है $$f(x)=\sum_{k=1}^n f_k v_k(x)$$. सामान्य समारोह के लिए $$f(x)$$, समस्या (3) के साथ $$v(x)=v_j(x)$$ के लिए $$j=1,\dots,n$$ वास्तव में सरल हो जाता है, क्योंकि कोई आव्यूह नहीं है $$M$$ प्रयोग किया जाता है,

कहां $$\mathbf{b}=(b_1,\dots,b_n)^t$$ और $$b_j=\int f v_j dx$$ के लिए $$j=1,\dots,n$$.

जैसा कि हमने पहले चर्चा की है, की अधिकांश प्रविष्टियाँ $$L$$ और $$M$$ शून्य हैं क्योंकि आधार कार्य करता है $$v_k$$ छोटा सा समर्थन है। तो अब हमें अज्ञात में रेखीय प्रणाली को हल करना है $$\mathbf{u}$$ जहां आव्यूह की अधिकांश प्रविष्टियां $$L$$, जिन्हें हमें उल्टा करना है, शून्य हैं।

ऐसे मैट्रिसेस को स्पार्स आव्यूह के रूप में जाना जाता है, और ऐसी समस्याओं के लिए कुशल सॉल्वर हैं (वास्तव में आव्यूह  को बदलने की तुलना में बहुत अधिक कुशल।) इसके अलावा, $$L$$ सममित और सकारात्मक निश्चित है, इसलिए संयुग्म ढाल विधि जैसी तकनीक का समर्थन किया जाता है। उन समस्याओं के लिए जो बहुत बड़ी नहीं हैं, विरल LU अपघटन और Cholesky अपघटन अभी भी अच्छी तरह से काम करते हैं। उदाहरण के लिए, MATLAB का बैकस्लैश ऑपरेटर (जो विरल LU, विरल चोल्स्की और अन्य गुणन विधियों का उपयोग करता है) लाख कोने वाले मेश के लिए पर्याप्त हो सकता है।

साँचा $$L$$ सामान्यतः कठोरता आव्यूह  के रूप में संदर्भित किया जाता है, जबकि आव्यूह  $$M$$ मास आव्यूह  कहा जाता है।

परिमित तत्व विधि का सामान्य रूप
सामान्य तौर पर, परिमित तत्व विधि की विशेषता निम्नलिखित प्रक्रिया से होती है।


 * कोई ग्रिड चुनता है $$\Omega$$. पिछले उपचार में, ग्रिड में त्रिकोण सम्मिलित थे, लेकिन कोई वर्ग या घुमावदार बहुभुज का भी उपयोग कर सकता है।
 * फिर, व्यक्ति आधार कार्यों को चुनता है। हमारी चर्चा में, हमने टुकड़े-टुकड़े रैखिक आधार कार्यों का इस्तेमाल किया, लेकिन टुकड़े के आधार पर बहुपद आधार कार्यों का उपयोग करना भी आम है।

अलग विचार आधार कार्यों की चिकनाई है। दूसरे क्रम के दीर्घवृत्तीय सीमा मान समस्याओं के लिए, खंडवार बहुपद आधार फलन जो केवल निरंतर पर्याप्त है (अर्थात्, डेरिवेटिव असंतत हैं।) उच्च-क्रम आंशिक अंतर समीकरणों के लिए, किसी को भी सहज आधार कार्यों का उपयोग करना चाहिए। उदाहरण के लिए, चौथे क्रम की समस्या के लिए जैसे $$u_{xxxx}+u_{yyyy}=f$$, कोई टुकड़ेवार द्विघात आधार कार्यों का उपयोग कर सकता है जो कि सुचारू कार्य # निरंतरता का क्रम हैं$$C^1$$.

एक अन्य विचार परिमित-आयामी स्थान का संबंध है $$V$$ ऊपर के उदाहरणों में, इसके अनंत-आयामी समकक्ष के लिए $$H_0^1$$. अनुरूप तत्व विधि वह है जिसमें स्थान होता है $$V$$ निरंतर समस्या के लिए तत्व स्थान का उपसमूह है। उपरोक्त उदाहरण ऐसी विधि है। यदि यह स्थिति संतुष्ट नहीं होती है, तो हम गैर-अनुरूप तत्व विधि प्राप्त करते हैं, जिसका उदाहरण मेश के ऊपर टुकड़े-टुकड़े रैखिक कार्यों का स्थान है जो प्रत्येक किनारे के मध्य बिंदु पर निरंतर होता है। चूंकि ये कार्य किनारों के साथ सामान्य रूप से बंद हैं, यह परिमित-आयामी स्थान मूल का उप-स्थान नहीं है $$H_0^1$$.

सामान्यतः, किसी दिए गए मेश को लेने और इसे उप-विभाजित करने के लिए किसी के पास एल्गोरिदम होता है। यदि परिशुद्धता बढ़ाने के लिए मुख्य विधि मेश को उप-विभाजित करना है, तो उसके पास एच-विधि होती है (एच सामान्यतः मेश में सबसे बड़े तत्व का व्यास होता है।) इस तरीके से, यदि कोई दिखाता है कि ग्रिड के साथ त्रुटि $$h$$ से ऊपर घिरा हुआ है $$Ch^p$$, कुछ के लिए $$C<\infty$$ और $$p>0$$, तो किसी के पास आदेश p विधि है। कुछ परिकल्पनाओं के तहत (उदाहरण के लिए, यदि डोमेन उत्तल है), क्रम का टुकड़ा-वार बहुपद $$d$$ विधि में आदेश की त्रुटि होगी $$p=d+1$$.

यदि h को छोटा करने के अतिरिक्त, आधार फलन में प्रयुक्त बहुपदों की मात्रा को बढ़ाया जाता है, तो उसके पास p-विधि होती है। यदि कोई इन दो शोधन प्रकारों को मिलाता है, तो उसे hp-विधि (hp-FEM) प्राप्त होती है। hp-FEM में, बहुपद की डिग्री तत्व से दूसरे तत्व में भिन्न हो सकती है। बड़े समान पी वाले उच्च क्रम के तरीकों को वर्णक्रमीय परिमित तत्व विधियाँ (वर्णक्रमीय तत्व विधि) कहा जाता है। इन्हें स्पेक्ट्रल विधियों से भ्रमित नहीं होना चाहिए।

सदिश आंशिक अंतर समीकरणों के लिए, आधार फलन मान ले सकते हैं $$\mathbb{R}^n$$.

एईएम
एप्लाइड एलिमेंट मेथड या AEM, एफईएम और डिस्क्रीट एलिमेंट मेथड, या (DEM) दोनों की विशेषताओं को जोड़ती है।

ए-फेम
संवर्धित-परिमित तत्व विधि यांग और लुई द्वारा प्रस्तुत की गई है जिसका लक्ष्य अतिरिक्त डीओएफ की आवश्यकता के बिना कमजोर और मजबूत असंतोषों को मॉडल करना था जैसा कि पीयूएम में कहा गया है।

सामान्यीकृत परिमित तत्व विधि
सामान्यीकृत परिमित तत्व विधि (जीएफईएम) स्थानीय रिक्त स्थान का उपयोग करता है, जिसमें आवश्यक रूप से बहुपद नहीं होते हैं, जो अज्ञात समाधान पर उपलब्ध जानकारी को दर्शाते हैं और इस प्रकार अच्छा स्थानीय सन्निकटन सुनिश्चित करते हैं। फिर एकता के विभाजन का उपयोग इन रिक्त स्थानों को साथ अनुमानित उप-स्थान बनाने के लिए "बॉन्ड" करने के लिए किया जाता है। GFEM की प्रभावशीलता को तब दिखाया गया है जब सम्मिश्र सीमाओं वाले डोमेन की समस्याओं, माइक्रो-स्केल के साथ समस्याओं और सीमा परतों के साथ समस्याओं पर प्रयुक्त  किया गया है।

मिश्रित परिमित तत्व विधि
मिश्रित परिमित तत्व विधि प्रकार की परिमित तत्व विधि है जिसमें आंशिक अंतर समीकरण समस्या के विवेक के समय अतिरिक्त स्वतंत्र वेरिएबल को नोडल वेरिएबल के रूप में प्रस्तुत  किया जाता है।

चर - बहुपद
असाधारण तेजी से, घातीय अभिसरण दर प्राप्त करने के लिए hp-FEM वेरिएबल आकार h और बहुपद डिग्री p वाले तत्वों को अनुकूल रूप से जोड़ता है।

एचपीके-एफईएम
hpk-FEM सर्वोत्तम अभिसरण दरों को प्राप्त करने के लिए अनुकूली रूप से, वेरिएबल आकार h, स्थानीय सन्निकटन p की बहुपद डिग्री और स्थानीय सन्निकटन (k-1) की वैश्विक भिन्नता के साथ तत्वों को जोड़ता है।

एक्सएफईएम
विस्तारित परिमित तत्व विधि (XFEM) सामान्यीकृत परिमित तत्व विधि (GFEM) और एकता पद्धति (PUM) के विभाजन पर आधारित संख्यात्मक तकनीक है। यह असतत कार्यों के साथ अंतर समीकरणों के समाधान के लिए समाधान स्थान को समृद्ध करके क्लासिकल परिमित तत्व विधि का विस्तार करता है। विस्तारित परिमित तत्व विधियाँ सन्निकटन स्थान को समृद्ध करती हैं ताकि यह स्वाभाविक रूप से रुचि की समस्या से जुड़ी चुनौतीपूर्ण विशेषता को पुन: उत्पन्न कर सके: विच्छिन्नता, विलक्षणता, सीमा परत, आदि। यह दिखाया गया था कि कुछ समस्याओं के लिए, समस्या की विशेषता का ऐसा एम्बेडिंग सन्निकटन स्थान अभिसरण दरों और स्पष्ट ता में काफी सुधार कर सकता है। इसके अलावा, XFEMs के साथ विच्छिन्नता के साथ समस्याओं का इलाज विच्छिन्नता सतहों को मेश और फिर से मेश करने की आवश्यकता को दबा देता है, इस प्रकार कम्प्यूटेशनल निवेश और परंपरागत परिमित तत्व विधियों से जुड़े प्रक्षेपण त्रुटियों को कम करने के लिए, विच्छेदन को जाली किनारों तक सीमित करने की कीमत पर।

अनेक शोध कोड इस तकनीक को विभिन्न स्तरों पर प्रयुक्त  करते हैं: 1. गेटफेम++ 2. एक्सफेम ++ 3. ओपनएक्सफेम++

XFEM को Altair Radios, ASTER, Morfeo, और Abaqus जैसे कोड में भी प्रयुक्त किया गया है। इसे कुछ प्लगइन्स और वास्तविक कोर कार्यान्वयन (ANSYS, SAMCEF, OOFELIE, आदि) के साथ अन्य वाणिज्यिक परिमित तत्व सॉफ़्टवेयर द्वारा तेजी से अपनाया जा रहा है।

स्केल्ड सीमा परिमित तत्व विधि (एसबीएफईएम)
स्केल्ड बाउंड्री फाइनाइट एलिमेंट मेथड (SBFEM) की शुरुआत सॉन्ग एंड वुल्फ (1997) से हुई। फ्रैक्चर यांत्रिकी समस्याओं के संख्यात्मक विश्लेषण के क्षेत्र में एसबीएफईएम सबसे लाभदायक योगदानों में से रहा है। यह अर्ध-विश्लेषणात्मक मौलिक-समाधान रहित विधि है जो परिमित तत्व योगों और प्रक्रियाओं और सीमा तत्व विवेक दोनों के लाभों को जोड़ती है। चूंकि, सीमा तत्व विधि के विपरीत, मौलिक अंतर समाधान की आवश्यकता नहीं है।

एस-फेम
S-FEM, स्मूथेड फाइनाइट एलिमेंट मेथड्स, भौतिक घटनाओं के अनुकरण के लिए संख्यात्मक सिमुलेशन एल्गोरिदम का विशेष वर्ग है। यह परिमित तत्व विधि के साथ मेशफ्री विधियों को मिलाकर विकसित किया गया था।

वर्णक्रमीय तत्व विधि
वर्णक्रमीय तत्व विधियाँ परिमित तत्वों के ज्यामितीय लचीलेपन और वर्णक्रमीय विधियों की तीव्र स्पष्ट ता को जोड़ती हैं। वर्णक्रमीय विधियाँ कमजोर रूप के आंशिक समीकरणों का अनुमानित समाधान हैं जो उच्च-क्रम लैग्रैंगियन इंटरपोलेंट्स पर आधारित हैं और केवल कुछ चतुर्भुज नियमों के साथ उपयोग की जाती हैं।

लौबिनैक पुनरावृत्ति
लुबिग्नाक पुनरावृति परिमित तत्व विधियों में पुनरावृत्त विधि है।

क्रिस्टल प्लास्टिसिटी परिमित तत्व विधि (CPFEM)
क्रिस्टल प्लास्टिसिटी परिमित तत्व विधि (CPFEM) फ्रांज रोटर्स द्वारा विकसित उन्नत संख्यात्मक उपकरण है। धातुओं को क्रिस्टल समुच्चय के रूप में माना जा सकता है और यह विरूपण के तहत अनिसोट्रॉपी का व्यवहार करता है, उदाहरण के लिए, असामान्य तनाव और तनाव स्थानीयकरण। पर्ची पर आधारित CPFEM (कतरनी तनाव दर) दिनचर्या के समय क्रिस्टल अनिसोट्रॉपी पर विचार करने के लिए अव्यवस्था, क्रिस्टल अभिविन्यास और अन्य बनावट की जानकारी की गणना कर सकता है। अब इसे सामग्री विरूपण, सतह खुरदरापन, फ्रैक्चर आदि के संख्यात्मक अध्ययन में प्रयुक्त  किया गया है।

वर्चुअल एलिमेंट मेथड (VEM)
Beirão da Veiga et al द्वारा प्रस्तुत किया गया वर्चुअल एलिमेंट मेथड (VEM)। (2013) मिमिसिस (गणित) परिमित अंतर विधि (एमएफडी) विधियों के विस्तार के रूप में, मनमाना तत्व ज्यामिति के लिए मानक परिमित तत्व विधि का सामान्यीकरण है। यह सामान्य बहुभुज (या 3डी में पॉलीहेड्रा) के प्रवेश की अनुमति देता है जो आकार में अत्यधिक अनियमित और गैर-उत्तल हैं। आभासी नाम इस तथ्य से निकला है कि स्थानीय आकार के कार्य के आधार के ज्ञान की आवश्यकता नहीं है, और वास्तव में इसकी स्पष्ट रूप से गणना नहीं की जाती है।

ग्रेडिएंट डिस्क्रिटाइजेशन विधि के साथ लिंक करें
कुछ प्रकार की परिमित तत्व विधियाँ (अनुरूप, गैर-अनुरूप, मिश्रित परिमित तत्व विधियाँ) ग्रेडिएंट डिस्क्रीटाइज़ेशन विधि (GDM) के विशेष स्तिथि हैं। इसलिए जीडीएम के अभिसरण गुण, जो समस्याओं की श्रृंखला (रैखिक और गैर-रैखिक अण्डाकार समस्याओं, रैखिक, गैर-रैखिक, और पतित परवलयिक समस्याओं) के लिए स्थापित हैं, इन विशेष परिमित तत्व विधियों के लिए भी मान्य हैं।

परिमित अंतर विधि की तुलना
परिमित अंतर विधि (एफडीएम) पीडीई के समाधान का अनुमान लगाने का वैकल्पिक तरीका है। एफईएम और FDM के बीच अंतर हैं:


 * FEM की सबसे आकर्षक विशेषता इसकी सम्मिश्र ज्यामिति (और सीमाओं) को सापेक्ष सरल ी से संभालने की क्षमता है। जबकि FDM अपने मूल रूप में आयताकार आकार और उसके सरल परिवर्तनों को संभालने के लिए प्रतिबंधित है, एफईएम में ज्यामिति का संचालन सैद्धांतिक रूप से सीधा है।
 * FDM का उपयोग सामान्यतः अनियमित CAD ज्यामिति के लिए नहीं किया जाता है, लेकिन अधिक बार आयताकार या ब्लॉक आकार के मॉडल के लिए किया जाता है।
 * एफईएम सामान्यतः एफडीएम की तुलना में अधिक लचीली मेश अनुकूलता की अनुमति देता है।
 * परिमित अंतर की सबसे आकर्षक विशेषता यह है कि इसे प्रयुक्त करना बहुत सरल  है।
 * FDM को एफईएम दृष्टिकोण का विशेष मामला मानने के अनेक तरीके हैं। उदाहरण के लिए, पहला क्रम एफईएम Poisson के समीकरण के लिए FDM के समान है, यदि समस्या नियमित आयताकार मेश द्वारा विखंडन है जिसमें प्रत्येक आयत को दो त्रिभुजों में विभाजित किया गया है।
 * उदाहरण के लिए, परिमित तत्व सन्निकटन के गणितीय आधार पर अधिक ध्वनि पर विचार करने के कारण हैं, क्योंकि FDM में ग्रिड बिंदुओं के बीच सन्निकटन की गुणवत्ता खराब है।
 * एफईएम सन्निकटन की गुणवत्ता प्रायः इसी एफडीएम दृष्टिकोण की तुलना में अधिक होती है, लेकिन यह अत्यंत समस्या-निर्भर है और इसके विपरीत अनेक  उदाहरण प्रदान किए जा सकते हैं।

सामान्यतः, एफईएम संरचनात्मक यांत्रिकी में सभी प्रकार के विश्लेषण में पसंद की विधि है (अर्थात ठोस निकायों या संरचनाओं की गतिशीलता में विरूपण और तनाव के लिए समाधान) जबकि कम्प्यूटेशनल द्रव गतिकी (CFD) FDM या परिमित मात्रा विधि जैसे अन्य तरीकों का उपयोग करते हैं ( एफवीएम)। सीएफडी समस्याओं में सामान्यतः बड़ी संख्या में कोशिकाओं/ग्रिडपॉइंट्स (लाखों और अधिक) में समस्या के विवेक की आवश्यकता होती है, इसलिए समाधान की निवेश  प्रत्येक सेल के भीतर सरल, निम्न-क्रम सन्निकटन का समर्थन करती है। यह 'बाहरी प्रवाह' समस्याओं के लिए विशेष रूप से सच है, जैसे कार या हवाई जहाज के चारों ओर वायु प्रवाह, या मौसम सिमुलेशन।

आवेदन
मैकेनिकल इंजीनियरिंग अनुशासन (जैसे वैमानिकी, बायोमैकेनिकल और ऑटोमोटिव उद्योग) की छत्रछाया में विभिन्न प्रकार की विशेषज्ञताएं सामान्यतः अपने उत्पादों के डिजाइन और विकास में एकीकृत एफईएम का उपयोग करती हैं। अनेक  आधुनिक एफईएम पैकेजों में थर्मल, इलेक्ट्रोमैग्नेटिक, फ्लुइड और स्ट्रक्चरल वर्किंग एनवायरनमेंट जैसे विशिष्ट घटक सम्मिलित  हैं। संरचनात्मक सिमुलेशन में, एफईएम कठोरता और ताकत के दृश्य बनाने में और वजन, सामग्री और निवेश  को कम करने में भी काफी मदद करता है। एफईएम विस्तृत दृश्यता की अनुमति देता है जहां संरचनाएं झुकती हैं या मुड़ती हैं, और तनाव और विस्थापन के वितरण को इंगित करती हैं। एफईएम सॉफ्टवेयर मॉडलिंग और सिस्टम के विश्लेषण दोनों की सम्मिश्र ता को नियंत्रित करने के लिए सिमुलेशन विकल्पों की विस्तृत श्रृंखला प्रदान करता है। इसी तरह, अधिकांश इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों को संबोधित करने के लिए आवश्यक स्पष्ट ता के वांछित स्तर और संबंधित कम्प्यूटेशनल समय की आवश्यकताओं को साथ प्रबंधित किया जा सकता है। एफईएम डिज़ाइन के निर्माण से पहले पूरे डिज़ाइन को निर्मित, परिष्कृत और अनुकूलित करने की अनुमति देता है। मेश मॉडल का अभिन्न अंग है और सर्वोत्तम परिणाम देने के लिए इसे सावधानीपूर्वक नियंत्रित किया जाना चाहिए। सामान्यतः मेश में तत्वों की संख्या जितनी अधिक होती है, उतनी ही स्पष्ट  समस्या का समाधान होता है। हालाँकि, मूल्य है जिस पर परिणाम अभिसरण होते हैं और आगे मेश शोधन स्पष्ट ता में वृद्धि नहीं करता है। इस शक्तिशाली डिज़ाइन टूल ने अनेक औद्योगिक अनुप्रयोगों में इंजीनियरिंग डिज़ाइन के मानक और डिज़ाइन प्रक्रिया की कार्यप्रणाली दोनों में महत्वपूर्ण सुधार किया है। एफईएम की शुरूआत ने उत्पादों को अवधारणा से उत्पादन लाइन तक ले जाने के समय को काफी हद तक कम कर दिया है। यह मुख्य रूप से एफईएम का उपयोग करके प्रारंभिक प्रोटोटाइप डिजाइनों में सुधार के माध्यम से है कि परीक्षण और विकास को गति दी गई है। सारांश में, एफईएम के लाभों में बढ़ी हुई स्पष्ट ता, उन्नत डिज़ाइन और महत्वपूर्ण डिज़ाइन पैरामीटर, वर्चुअल प्रोटोटाइपिंग, कम हार्डवेयर प्रोटोटाइप, तेज़ और कम खर्चीला डिज़ाइन चक्र, उत्पादकता में वृद्धि और राजस्व में वृद्धि सम्मिलित  है।

1990 के दशक में एफईएम को संख्यात्मक रूप से हल करने वाले संभाव्यता मॉडल के लिए स्टोकेस्टिक मॉडलिंग में उपयोग के लिए प्रस्तावित किया गया था और बाद में विश्वसनीयता मूल्यांकन के लिए।

यह भी देखें

 * लागू तत्व विधि
 * सीमा तत्व विधि
 * सीईए की लेम्मा
 * कंप्यूटर प्रयोग
 * प्रत्यक्ष कठोरता विधि
 * विच्छेदन लेआउट अनुकूलन
 * असतत तत्व विधि
 * परिमित अंतर विधि
 * परिमित तत्व मशीन
 * संरचनात्मक यांत्रिकी में परिमित तत्व विधि
 * परिमित मात्रा विधि
 * अस्थिर प्रवाह के लिए परिमित मात्रा विधि
 * अनंत तत्व विधि
 * अंतराल परिमित तत्व
 * समज्यामितीय विश्लेषण
 * लैटिस बोल्ट्जमैन तरीके
 * परिमित तत्व सॉफ्टवेयर पैकेजों की सूची
 * मेशफ्री तरीके
 * चल सेलुलर automaton
 * बहुविषयक डिजाइन अनुकूलन
 * बहुभौतिकी
 * पैच परीक्षण (परिमित तत्व)
 * रेले-रिट्ज विधि
 * अंतरिक्ष मानचित्रण
 * कतरा7
 * टेसलेशन (कंप्यूटर ग्राफिक्स)
 * कमजोर कमजोर रूप

आगे की पढाई

 * G. Allaire and A. Craig: Numerical Analysis and Optimization: An Introduction to Mathematical Modelling and Numerical Simulation.
 * K. J. Bathe: Numerical methods in finite element analysis, Prentice-Hall (1976).
 * Thomas J.R. Hughes: The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis, Prentice-Hall (1987).
 * J. Chaskalovic: Finite Elements Methods for Engineering Sciences, Springer Verlag, (2008).
 * Endre Süli: Finite Element Methods for Partial Differential Equations.
 * O. C. Zienkiewicz, R. L. Taylor, J. Z. Zhu : The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals, Butterworth-Heinemann (2005).
 * N. Ottosen, H. Petersson : Introduction to the Finite Element Method, Prentice-Hall (1992).
 * Zohdi, T. I. (2018) A finite element primer for beginners-extended version including sample tests and projects. Second Edition https://link.springer.com/book/10.1007/978-3-319-70428-9