गणनांक

गणित में, किसी समुच्चय की कार्डिनैलिटी समुच्चय के तत्वों की संख्या का माप है। उदाहरण के लिए, समुच्चय $$A = \{2, 4, 6\}$$ में 3 तत्व हैं, और इसलिए $$A$$ की कार्डिनैलिटी 3 है। 19वीं सदी के अंत में आरंभ करते हुए, इस अवधारणा को अनंत समुच्चयों के लिए सामान्यीकृत किया गया था, जो किसी को विभिन्न प्रकार के अनंत के मध्य अंतर करने और उन पर अंकगणित करने की अनुमति देता है। कार्डिनैलिटी के दो दृष्टिकोण हैं: एक जो द्विभाजन और अंतःक्षेपक का उपयोग करके स्पष्ट रुप से समुच्चयों की तुलना करता है, और दूसरा जो गणन संख्या का उपयोग करता है। किसी समुच्चय की कार्डिनैलिटी को उसका आकार भी कहा जाता है, जब आकार की अन्य धारणाओं के साथ कोई भ्रम संभव नहीं होता है।

समुच्चय $$A$$ की कार्डिनैलिटी को सामान्यतः $$|A|$$ दर्शाया जाता है, जिसमें प्रत्येक तरफ एक ऊर्ध्वाधर पट्टी होती है; यह निरपेक्ष मूल्य के समान ही संकेतन है, और अर्थ संदर्भ पर निर्भर करता है। समुच्चय $$A$$ की कार्डिनैलिटी को वैकल्पिक रूप से $$n(A)$$, $$A$$ $$\operatorname{card}(A)$$, या $$\#A$$ द्वारा दर्शाया जा सकता है।

इतिहास
कार्डिनैलिटी की एक अपरिष्कृत भावना, एक जानकारी है कि वस्तु या घटनाओं के समूह की तुलना अन्य समूहों से अधिक, जिसमें अधिक, कम, या समान संख्या में उदाहरणों के द्वारा की जाती है, वर्तमान समय की विभिन्न पशु प्रजातियों में देखा गया है, जो लाखों साल पहले एक उत्पत्ति का सुझाव देता है। कार्डिनैलिटी की मानवीय अभिव्यक्ति $40,000$ साल पहले देखी गई थी, जिसमें एक समूह के आकार को अभिलिखित नौच के समूह, या अन्य वस्तु के प्रतिनिधि संग्रह, जैसे कि छड़ी और सीपियाँ के साथ समान किया गया था। एक संख्या के रूप में कार्डिनैलिटी की अमूर्तता 3000 ईसा पूर्व से सुमेरियन गणित में और वस्तु या घटनाओं के एक विशिष्ट समूह के संदर्भ के बिना संख्याओं के प्रहस्तन में स्पष्ट है।

छठी शताब्दी ईसा पूर्व से, ग्रीक दार्शनिकों के लेखन अनंत समुच्चयों की कार्डिनैलिटी का पहला संकेत मिलता है। जबकि वे अनंत की धारणा को क्रियाओं की एक अंतहीन श्रृंखला के रूप में मानते थे, जैसे कि किसी संख्या में बार-बार 1 जोड़ना, उन्होंने संख्याओं के अनंत समुच्चय के आकार को एक वस्तु नहीं माना है। अनंत की प्राचीन यूनानी धारणा ने वस्तु को बिना किसी सीमा के दोहराए गए भागों में विभाजित करने पर भी विचार किया गया था। यूक्लिड के तत्वों में, अनुरूपता को दो रेखा खंडों, a और b की लंबाई की अनुपात के रूप में तुलना करने की क्षमता के रूप में वर्णित किया गया था, जब तक एक तीसरा खंड था, चाहे वह कितना भी छोटा क्यों न हो, उसे a और b दोनों में एक से दूसरे अंत तक कई बार रखा जा सकता था। अपरिमेय संख्या के अनवेषण के साथ, यह देखा गया कि सभी परिमेय संख्याओं का अनंत समुच्चय भी प्रत्येक संभावित रेखाखंड की लंबाई का वर्णन करने के लिए पर्याप्त नहीं था। फिर भी, अनंत समुच्चय की ऐसी कोई अवधारणा नहीं थी, जिसमें कार्डिनैलिटी थी।

अनंत समुच्चयों को श्रेष्ठतर समझने के लिए, समुच्चय सिद्धांत के प्रवर्तक जॉर्ज कैंटोर द्वारा 1880 के आसपास कार्डिनैलिटी की धारणा तैयार की गई थी। उन्होंने दो समुच्चयों को एक अद्वितीय संबंध के आधार पर दो समुच्चयों के तत्वों के मध्य प्रत्येक से अलग समानता के साथ समीकरण करने की प्रक्रिया की जांच की थी। 1891 में, कैंटर के विकर्ण तर्क के प्रकाशन के साथ उन्होंने प्रदर्शित किया कि संख्याओं के ऐसे समुच्चय हैं जिन्हें प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के साथ प्रत्येक से अलग समानता में नहीं रखा जा सकता है, अर्थात अगणनीय समुच्चय जिनमें प्राकृतिक संख्याओं के अनंत समुच्चय की तुलना में अधिक तत्व होते हैं।

समुच्चय की तुलना
जबकि एक परिमित समुच्चय की कार्डिनैलिटी केवल उसके तत्वों की संख्या है, इस धारणा को अनंत समुच्चयों तक विस्तारित करना सामान्यतः स्वेच्छाचारी समुच्चय (जिनमें से कुछ संभवतः अनंत हैं) की तुलना की धारणा को परिभाषित करने के साथ प्रारंभ होता है।

परिभाषा 1: $|A|$ = $|B|$

 * यदि A से B तक एक द्विभाजन (उर्फ, प्रत्येक से अलग समानता) उपस्तिथ है, तो दो समुच्चय A और B में समान कार्डिनैलिटी है, अर्थात A से B तक एक फलन जो अंतःक्षेपक और विशेषण दोनों है। ऐसे समुच्चयों को समविभव, समान या समसंख्यक कहा जाता है। इस संबंध को A ≈ B या A ~ B से भी दर्शाया जा सकता है।


 * उदाहरण के लिए, गैर-ऋणात्मक सम संख्याओं के समुच्चय E = {0, 2, 4, 6, ...} में प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N = {0, 1, 2, 3, ... } के समान कार्डिनैलिटी होती है, क्योंकि फलन f(n) = 2n N से E की ओर एक द्विभाजन है (चित्र देखें)।


 * परिमित समुच्चय A और B के लिए, यदि A से B तक कुछ द्विभाजन प्रस्तुत है, तो A से B तक प्रत्येक अंतःक्षेपक या विशेषण फलन एक द्विभाजन है। यह अब अनंत A और B के लिए यथार्थ नहीं है। उदाहरण के लिए, g(n) = 4n द्वारा परिभाषित N से E तक फलन g अंतःक्षेपक है, लेकिन विशेषण नहीं है, और N से E तक h, h(n) = n - (n mod 2) द्वारा परिभाषित विशेषण है, लेकिन अंतःक्षेपक नहीं है। g और h दोनों में से कोई भी  $|E|$ = $|N|$ को चुनौती दे सकते हैं, जो कि f के अस्तित्व द्वारा स्थापित किया गया था।

परिभाषा 2: $|A|$ ≤ $|B|$

 * यदि A से B में कोई अंतःक्षेपक फलन प्रस्तुत है, तो A की कार्डिनैलिटी B की कार्डिनैलिटी से कम या उसके समान है।

परिभाषा 3: $|A|$ < $|B|$

 * यदि A से B तक कोई विशेषण फलन है, लेकिन कोई अंतःक्षेपक फलन नहीं है, तो A की कार्डिनैलिटी B की कार्डिनैलिटी से पूर्णतः कम है।


 * उदाहरण के लिए, सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय N की कार्डिनैलिटी उसके घात समुच्चय P(N) से पूर्णतः कम है, क्योंकि g(n) = { n } N से P(N) तक एक अंतःक्षेपक फलन है, और यह दिखाया जा सकता है कि N से P(N) तक कोई भी फलन विशेषण नहीं हो सकता है (चित्र देखें)। इसी तर्क के अनुसार, N की कार्डिनैलिटी सभी वास्तविक संख्याओं के समुच्चय R की कार्डिनैलिटी से पूर्णतः कम है। प्रमाण के लिए, कैंटर का विकर्ण तर्क या कैंटर का पहला अगणनीय प्रमाण देखें।

यदि $|A|$ ≤ $|B|$ तथा $|B|$ ≤ $|A|$, फिर $|A|$ = $|B|$ (एक तथ्य जिसे श्रोडर-बर्नस्टीन प्रमेय के नाम से जाना जाता है)। चयन का स्वयंसिद्ध इस कथन के समतुल्य है कि प्रत्येक A, B के लिए $|A|$ ≤ $|B|$ या $|B|$ ≤ $|A|$ है।

कार्डिनल नंबर
उपरोक्त खंड में, एक समुच्चय की कार्डिनैलिटी को फलनात्मक रूप से परिभाषित किया गया था। दूसरे शब्दों में, इसे एक विशिष्ट वस्तु के रूप में परिभाषित नहीं किया गया था। हालाँकि, ऐसी वस्तु को निम्नानुसार परिभाषित किया जा सकता है।

समान कार्डिनैलिटी होने के संबंध को समरूपता  कहा जाता है, और यह सभी समुच्चयों के वर्ग (समुच्चय थ्योरी) पर एक  तुल्यता संबंध  है। इस संबंध के तहत एक समुच्चय ए के समकक्ष वर्ग में, उन सभी समुच्चयों का समावेश होता है जिनकी कार्डिनैलिटी ए के समान होती है। समुच्चय की कार्डिनैलिटी को परिभाषित करने के दो तरीके हैं:


 * 1) समुच्चय A की कार्डिनैलिटी को समनुक्रमिकता के तहत इसके  तुल्यता वर्ग  के रूप में परिभाषित किया गया है।
 * 2) एक  प्रतिनिधि (गणित)  समुच्चय को प्रत्येक समकक्ष वर्ग के लिए नामित किया गया है। सबसे आम पसंद  वॉन न्यूमैन कार्डिनल असाइनमेंट  है। इसे सामान्यतः  स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत  में कार्डिनल नंबर की परिभाषा के रूप में लिया जाता है।

पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, अनंत समुच्चयों की कार्डिनैलिटी को निरूपित किया जाता है
 * $$\aleph_0 < \aleph_1 < \aleph_2 < \ldots . $$

प्रत्येक सामान्य संख्या के लिए $$\alpha$$, $$\aleph_{\alpha + 1}$$ से कम से कम कार्डिनल संख्या है $$\aleph_\alpha$$.

प्राकृतिक संख्या ओं की कार्डिनैलिटी को अलेफ नंबर  | एलेफ-नल ($$\aleph_0$$), जबकि वास्तविक संख्याओं की कार्डिनैलिटी को द्वारा निरूपित किया जाता है$$\mathfrak c$$(एक लोअरकेस फ्रैक्टूर (स्क्रिप्ट) सी), और इसे  सातत्य की कार्डिनैलिटी  के रूप में भी जाना जाता है। कैंटर ने कैंटर के विकर्ण तर्क का उपयोग करते हुए दिखाया कि $${\mathfrak c} >\aleph_0$$. हम दिखा सकते हैं कि $$\mathfrak c = 2^{\aleph_0}$$, यह प्राकृत संख्याओं के सभी उपसमुच्चयों के समुच्चय की प्रमुखता भी है।

सातत्य परिकल्पना कहती है कि $$\aleph_1 = 2^{\aleph_0}$$, अर्थात। $$2^{\aleph_0}$$ से बड़ी सबसे छोटी कार्डिनल संख्या है $$\aleph_0$$, यानी ऐसा कोई समुच्चय नहीं है जिसकी कार्डिनैलिटी पूर्णांकों और वास्तविक संख्याओं के मध्य सख्ती से हो। निरंतरता परिकल्पना ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत की स्वतंत्रता (गणितीय तर्क)  पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ है, समुच्चय सिद्धांत का एक मानक स्वयंसिद्धकरण; अर्थात्, ZFC से सातत्य परिकल्पना या इसके निषेध को सिद्ध करना असंभव है - बशर्ते कि ZFC संगत हो। अधिक विवरण के लिए, कार्डिनैलिटी#कार्डिनैलिटी ऑफ़ द कॉन्टिनम|§ नीचे दिए गए कॉन्टिनम की कार्डिनैलिटी देखें।

परिमित, गणनीय और बेशुमार समुच्चय
यदि पसंद का स्वयंसिद्ध धारण करता है, तो ट्राइकोटॉमी (गणित)  कार्डिनैलिटी के लिए है। इस प्रकार हम निम्नलिखित परिभाषाएँ बना सकते हैं:


 * कोई भी समुच्चय X जिसकी कार्डिनैलिटी प्राकृत संख्याओं से कम है, या | X | < | 'N' |, एक परिमित समुच्चय कहा जाता है।
 * कोई भी समुच्चय X जिसमें प्राकृत संख्याओं के समुच्चय के समान कार्डिनैलिटी हो, या | X | = | 'एन' | = $$\aleph_0$$, को एक अनंत अनंत समुच्चय कहा जाता है। *कोई भी समुच्चय X जिसकी कार्डिनैलिटी प्राकृत संख्याओं से अधिक है, या | X | > | 'एन' |, उदाहरण के लिए | 'आर' | = $$\mathfrak c $$ > | N |, को बेशुमार समुच्चय कहा जाता है।

अनंत समुच्चय
परिमित समुच्चयों से प्राप्त हमारा अंतर्ज्ञान अनंत समुच्चयों के साथ व्यवहार करते समय टूट जाता है। उन्नीसवीं सदी के उत्तरार्ध में जॉर्ज कैंटर, थैंक गॉड फ्रीज,  रिचर्ड डेडेकिंड  और अन्य ने इस विचार को खारिज कर दिया कि पूरे हिस्से के आकार के समान नहीं हो सकते।  इसका एक उदाहरण ग्रैंड होटल के हिल्बर्ट का विरोधाभास है। दरअसल, डेडेकाइंड ने एक अनंत समुच्चय को एक के रूप में परिभाषित किया है जिसे एक सख्त उपसमुच्चय के साथ एक-से-एक पत्राचार में रखा जा सकता है (अर्थात, कैंटर के अर्थ में समान आकार वाला); अनंत की इस धारणा को डेडेकाइंड अनंत  कहा जाता है। कैंटर ने कार्डिनल नंबरों को पेश किया, और दिखाया- आकार की उनकी द्विभाजन-आधारित परिभाषा के अनुसार- कि कुछ अनंत समुच्चय दूसरों की तुलना में बड़े हैं। सबसे छोटी अनंत कार्डिनैलिटी प्राकृतिक संख्याओं की है ($$\aleph_0$$).

सातत्य की कार्डिनैलिटी
कैंटर के सबसे महत्वपूर्ण परिणामों में से एक यह था कि सातत्य की प्रमुखता ($$\mathfrak{c}$$) प्राकृत संख्याओं से अधिक है ($$\aleph_0$$); अर्थात्, प्राकृत संख्याओं N से अधिक वास्तविक संख्याएँ R हैं। अर्थात्, कैंटर ने दिखाया कि $$\mathfrak{c} = 2^{\aleph_0} = \beth_1$$ (बेथ नंबर देखें#बेथ वन) संतुष्ट करता है:
 * $$2^{\aleph_0} > \aleph_0$$
 * (कैंटोर का विकर्ण तर्क या कैंटर का पहला बेशुमार प्रमाण देखें)।

सातत्य परिकल्पना में कहा गया है कि वास्तविक संख्याओं की कार्डिनैलिटी और प्राकृतिक संख्याओं की कार्डिनैलिटी के मध्य कोई कार्डिनल संख्या नहीं है, अर्थात,
 * $$2^{\aleph_0} = \aleph_1$$

हालाँकि, इस परिकल्पना को व्यापक रूप से स्वीकृत ZFC  स्वयंसिद्ध समुच्चय सिद्धांत के भीतर न तो सिद्ध किया जा सकता है और न ही अस्वीकृत किया जा सकता है, यदि ZFC सुसंगत है।

कार्डिनल अंकगणित का उपयोग न केवल यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि एक वास्तविक संख्या रेखा  में बिंदुओं की संख्या उस रेखा के किसी भी  रेखा खंड  में बिंदुओं की संख्या के समान होती है, बल्कि यह कि यह एक समतल पर बिंदुओं की संख्या के समान है और वास्तव में, किसी भी परिमित-आयामी स्थान में। ये परिणाम अत्यधिक प्रतिकूल हैं, क्योंकि उनका अर्थ है कि अनंत समुच्चय एस के उचित उपसमुच्चय और  उचित सुपरसमुच्चय मौजूद हैं, जिनका आकार एस के समान है, हालांकि एस में ऐसे तत्व शामिल हैं जो इसके उपसमुच्चय से संबंधित नहीं हैं, और एस के सुपरसमुच्चय में ऐसे तत्व होते हैं जो इसमें शामिल नहीं हैं।

इनमें से पहला परिणाम, उदाहरण के लिए, स्पर्शरेखा फलन पर विचार करके स्पष्ट होता है, जो अंतराल (गणित)  (-½π, ½π) और 'आर' के मध्य एक-से-एक पत्राचार प्रदान करता है (हिल्बर्ट के ग्रैंड के विरोधाभास को भी देखें) होटल)।

दूसरा परिणाम पहली बार 1878 में कैंटर द्वारा प्रदर्शित किया गया था, लेकिन यह 1890 में और अधिक स्पष्ट हो गया, जब ग्यूसेप पीनो  ने अंतरिक्ष-भरने वाले घटता, घुमावदार रेखाएं पेश कीं जो किसी भी वर्ग, या घन, या  अतिविम  को भरने के लिए पर्याप्त मोड़ और मोड़ देती हैं। या परिमित-आयामी स्थान। ये वक्र प्रत्यक्ष प्रमाण नहीं हैं कि एक रेखा में परिमित-आयामी स्थान के समान अंक होते हैं, लेकिन इनका उपयोग अंतरिक्ष-भरने वाले वक्र को प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है # प्रमाण है कि एक वर्ग और उसके पक्ष में समान अंक होते हैं।

कैंटर ने यह भी दिखाया कि कार्डिनैलिटी वाले समुच्चय सख्ती से से अधिक हैं $$\mathfrak c$$ मौजूद हैं (उनके कैंटर के विकर्ण तर्क # सामान्य समुच्चय और कैंटर के प्रमेय देखें)। उनमें शामिल हैं, उदाहरण के लिए:


 * R के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय, अर्थात, R का घात समुच्चय, लिखा हुआ P(R) या 2आर
 * समुच्चय आरR R से R . तक सभी फलनों का

दोनों में कार्डिनैलिटी है
 * $$2^\mathfrak {c} = \beth_2 > \mathfrak c $$
 * (बेथ संख्या#बेथ दो देखें)।

निरंतरता की कार्डिनैलिटी#कार्डिनल समानताएं $$\mathfrak{c}^2 = \mathfrak{c},$$ $$\mathfrak c^{\aleph_0} = \mathfrak c,$$ तथा $$\mathfrak c ^{\mathfrak c} = 2^{\mathfrak c}$$ कार्डिनल अंकगणित का उपयोग करके प्रदर्शित किया जा सकता है:
 * $$\mathfrak{c}^2 = \left(2^{\aleph_0}\right)^2 = 2^{2\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c},$$
 * $$\mathfrak c^{\aleph_0} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\aleph_0} = 2^{{\aleph_0}\times{\aleph_0}} = 2^{\aleph_0} = \mathfrak{c},$$
 * $$ \mathfrak c ^{\mathfrak c} = \left(2^{\aleph_0}\right)^{\mathfrak c} = 2^{\mathfrak c\times\aleph_0} = 2^{\mathfrak c}.$$

उदाहरण और गुण

 * यदि एक्स = {ए, बी, सी} और वाई = {सेब, संतरे, आड़ू}, जहां ए, बी, और सी अलग हैं, तो | X | = | यू| क्योंकि {(ए, सेब), (बी, संतरे), (सी, आड़ू)} समुच्चय एक्स और वाई के मध्य एक द्विभाजन है। एक्स और वाई में से प्रत्येक की कार्डिनैलिटी 3 है।
 * अगर | X | | Y |, तब Z का अस्तित्व इस प्रकार है कि | X | = | Z | और जेड वाई।
 * अगर | X | | यू| और | यू| | एक्स |, फिर | X | = | यू|. यह अनंत कार्डिनल्स के लिए भी मान्य है, और इसे कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय के रूप में जाना जाता है।
 * सातत्य की प्रधानता# सातत्य की प्रधानता के साथ समुच्चय में सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय, सभी अपरिमेय संख्याओं का समुच्चय और अंतराल शामिल है $$[0, 1]$$.

संघ और चौराहा
यदि A और B असंयुक्त समुच्चय हैं, तो
 * $$\left\vert A \cup B \right\vert = \left\vert A \right\vert + \left\vert B \right\vert.$$

इससे, कोई यह दिखा सकता है कि सामान्य तौर पर, संघ (समुच्चय थ्योरी) और इंटरसेक्शन (समुच्चय थ्योरी) की कार्डिनैलिटी निम्नलिखित समीकरण से संबंधित हैं:
 * $$ \left\vert C \cup D \right\vert + \left\vert C \cap D \right\vert = \left\vert C \right\vert + \left\vert D \right\vert.$$

यह भी देखें

 * अलेफ नंबर
 * बेथ नंबर
 * कैंटोर का विरोधाभास
 * कैंटर की प्रमेय
 * गणनीय समुच्चय
 * गिनती
 * साधारणता
 * कबूतर सिद्धांत