बहुभिन्नरूपी टी-वितरण

आँकड़ों में, बहुभिन्नरूपी 'टी'-वितरण (या बहुभिन्नरूपी छात्र वितरण) एक बहुभिन्नरूपी संभाव्यता वितरण है। यह विद्यार्थी के t-वितरण|छात्र के t-वितरण के यादृच्छिक सदिशों के लिए एक सामान्यीकरण है, जो कि अविभाजित यादृच्छिक चरों पर लागू होने वाला वितरण है। जबकि एक यादृच्छिक मैट्रिक्स के मामले को इस संरचना के भीतर माना जा सकता है, मैट्रिक्स टी-वितरण|मैट्रिक्स टी-वितरण अलग है और मैट्रिक्स संरचना का विशेष उपयोग करता है।

परिभाषा
एक बहुभिन्नरूपी टी-वितरण के निर्माण का एक सामान्य तरीका, के मामले में $$p$$ आयाम, अवलोकन पर आधारित है कि यदि $$\mathbf y$$ और $$u$$ स्वतंत्र हैं और के रूप में वितरित हैं $$N({\mathbf 0},{\boldsymbol\Sigma})$$ और $$\chi^2_\nu$$ (यानी बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण और ची-वर्ग वितरण) क्रमशः, मैट्रिक्स $$\mathbf{\Sigma}\,$$ एक पी × पी मैट्रिक्स है, और $${\boldsymbol\mu}$$ एक स्थिर सदिश है फिर यादृच्छिक चर ${\mathbf x}={\mathbf y}/\sqrt{u/\nu} +{\boldsymbol\mu}$ घनत्व है

\frac{\Gamma\left[(\nu+p)/2\right]}{\Gamma(\nu/2)\nu^{p/2}\pi^{p/2}\left|{\boldsymbol\Sigma}\right|^{1/2}}\left[1+\frac{1}{\nu}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})^T{\boldsymbol\Sigma}^{-1}({\mathbf x}-{\boldsymbol\mu})\right]^{-(\nu+p)/2}$$ और कहा जाता है कि इसे पैरामीटर के साथ बहुभिन्नरूपी टी-वितरण के रूप में वितरित किया जाता है $${\boldsymbol\Sigma},{\boldsymbol\mu},\nu$$. ध्यान दें कि $$\mathbf\Sigma$$ सहप्रसरण मैट्रिक्स नहीं है क्योंकि सहप्रसरण द्वारा दिया जाता है $$\nu/(\nu-2)\mathbf\Sigma$$ (के लिए $$\nu>2$$).

एक बहुभिन्नरूपी टी-वितरण की रचनात्मक परिभाषा एक साथ एक नमूना एल्गोरिथम के रूप में कार्य करती है: यह फॉर्मूलेशन मानक के पैमाने-मिश्रण के रूप में बहुभिन्नरूपी टी-वितरण के पदानुक्रमित प्रतिनिधित्व को जन्म देता है: $$u \sim \mathrm{Ga}(\nu/2,\nu/2)$$ कहाँ $$\mathrm{Ga}(a,b)$$ घनत्व के आनुपातिक गामा वितरण को इंगित करता है $$x^{a-1}e^{-bx}$$, और $$\mathbf{x}\mid u$$ सशर्त रूप से अनुसरण करता है $$N(\boldsymbol{\mu},u^{-1}\boldsymbol{\Sigma})$$.
 * 1) बनाना $$u \sim \chi^2_\nu$$ और $$\mathbf{y} \sim N(\mathbf{0}, \boldsymbol{\Sigma})$$, स्वतंत्र रूप से।
 * 2) गणना करें $$\mathbf{x} \gets \sqrt{\nu/u}\mathbf{y}+ \boldsymbol{\mu}$$.

विशेष मामले में $$\nu=1$$, बंटन एक कौशी बंटन है #बहुभिन्नरूपी कौशी बंटन।

व्युत्पत्ति
वास्तव में छात्र के टी-वितरण के बहुभिन्नरूपी सामान्यीकरण के लिए कई उम्मीदवार हैं। छात्र का टी-वितरण। क्षेत्र का एक व्यापक सर्वेक्षण कोट्ज़ और नादराजाह (2004) द्वारा दिया गया है। आवश्यक मुद्दा कई चरों के प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन को परिभाषित करना है जो कि एकतरफा मामले के लिए सूत्र का उपयुक्त सामान्यीकरण है। एक आयाम में ($$p=1$$), साथ $$t=x-\mu$$ और $$\Sigma=1$$, हमारे पास प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन है
 * $$f(t) = \frac{\Gamma[(\nu+1)/2]}{\sqrt{\nu\pi\,}\,\Gamma[\nu/2]} (1+t^2/\nu)^{-(\nu+1)/2}$$

और एक दृष्टिकोण कई चरों के संगत कार्य को लिखना है। यह दीर्घवृत्तीय वितरण सिद्धांत का मूल विचार है, जहां कोई संबंधित कार्य लिखता है $$p$$ चर $$t_i$$ वह बदल देता है $$t^2$$ सभी के एक द्विघात समारोह द्वारा $$t_i$$. यह स्पष्ट है कि यह केवल तभी समझ में आता है जब सभी सीमांत वितरणों में स्वतंत्रता की समान डिग्री (सांख्यिकी) होती है $$\nu$$. साथ $$ \mathbf{A} = \boldsymbol\Sigma^{-1}$$, किसी के पास बहुभिन्नरूपी घनत्व फ़ंक्शन का एक सरल विकल्प है


 * $$f(\mathbf t) = \frac{\Gamma((\nu+p)/2)\left|\mathbf{A}\right|^{1/2}}{\sqrt{\nu^p\pi^p\,}\,\Gamma(\nu/2)} \left(1+\sum_{i,j=1}^{p,p} A_{ij} t_i t_j/\nu\right)^{-(\nu+p)/2}$$

जो मानक है लेकिन एकमात्र विकल्प नहीं है।

एक महत्वपूर्ण विशेष मामला मानक द्विभाजित टी-वितरण है, पी = 2:


 * $$f(t_1,t_2) = \frac{\left|\mathbf{A}\right|^{1/2}}{2\pi} \left(1+\sum_{i,j=1}^{2,2} A_{ij} t_i t_j/\nu\right)^{-(\nu+2)/2}$$

ध्यान दें कि $$\frac{\Gamma \left(\frac{\nu +2}{2}\right)}{\pi \ \nu \Gamma \left(\frac{\nu }{2}\right)}= \frac {1} {2\pi}$$.

अब अगर $$\mathbf{A}$$ पहचान मैट्रिक्स है, घनत्व है


 * $$f(t_1,t_2) = \frac{1}{2\pi} \left(1+(t_1^2 + t_2^2)/\nu\right)^{-(\nu+2)/2}.$$

इस सूत्र द्वारा मानक प्रतिनिधित्व के साथ कठिनाई का पता चलता है, जो सीमांत एक आयामी वितरण के उत्पाद में कारक नहीं होता है। कब $$ \Sigma$$ विकर्ण है मानक प्रतिनिधित्व को शून्य पियर्सन उत्पाद-आघूर्ण सहसंबंध गुणांक दिखाया जा सकता है लेकिन सीमांत वितरण सांख्यिकीय स्वतंत्रता से सहमत नहीं हैं।

संचयी वितरण समारोह
एक आयाम में संचयी वितरण फलन (cdf) की परिभाषा को निम्नलिखित संभाव्यता को परिभाषित करके कई आयामों तक बढ़ाया जा सकता है (यहाँ $$\mathbf{x}$$ एक वास्तविक वेक्टर है):


 * $$ F(\mathbf{x}) = \mathbb{P}(\mathbf{X}\leq \mathbf{x}), \quad \textrm{where}\;\; \mathbf{X}\sim t_\nu(\boldsymbol\mu,\boldsymbol\Sigma).$$

के लिए कोई सरल सूत्र नहीं है $$F(\mathbf{x})$$, लेकिन यह मोंटे कार्लो एकीकरण के माध्यम से संख्यात्मक रूप से अनुमानित हो सकता है।

सशर्त वितरण
यह मुइरहेड द्वारा प्रदर्शित किया गया था हालांकि पहले कोर्निश द्वारा उपरोक्त सरल अनुपात प्रतिनिधित्व का उपयोग करके व्युत्पन्न किया गया था। चलो वेक्टर $$ X $$ बहुभिन्नरूपी टी वितरण का पालन करें और के दो उप-वैक्टरों में विभाजन करें $$ p_1, p_2 $$ तत्व:
 * $$ X_p = \begin{bmatrix}

X_1 \\ X_2 \end{bmatrix} \sim t_p \left (\mu_p, \Sigma_{p \times p}, \nu \right ) $$ कहाँ $$ p_1 + p_2 = p $$, ज्ञात माध्य सदिश है $$ \mu_p = \begin{bmatrix} \mu_1 \\ \mu_2 \end{bmatrix}$$ और स्केल मैट्रिक्स है $$ \Sigma_{p \times p} = \begin{bmatrix} \Sigma_{11} & \Sigma_{12} \\ \Sigma_{21} & \Sigma_{22} \end{bmatrix}  $$.

तब


 * $$ X_2|X_1 \sim t_{ p_2 }\left( \mu_{2|1},\frac{\nu + d_1}{\nu + p_1} \Sigma_{22|1}, \nu + p_1 \right)$$

कहाँ
 * $$ \mu_{2|1} = \mu_2 + \Sigma_{21} \Sigma_{11}^{-1} \left(X_1 - \mu_1 \right ) $$ सशर्त मतलब है जहां यह मौजूद है या अन्यथा माध्यिका है।
 * $$ \Sigma_{22|1} = \Sigma_{22} - \Sigma_{12} \Sigma_{11}^{-1} \Sigma_{21}   $$ का शूर पूरक है $$ \Sigma_{11} \text{ in } \Sigma. $$
 * $$ d_1 = (X_1 - \mu_1)^T \Sigma_{11}^{-1} (X_1 - \mu_1) $$ की वर्ग महालनोबिस दूरी है $$ X_1 $$ से $$\mu_1 $$ स्केल मैट्रिक्स के साथ $$ \Sigma_{11} $$

देखना उपरोक्त सशर्त वितरण के एक साधारण प्रमाण के लिए।

मल्टीवेरेट टी
पर आधारित कोपुलस ऐसे वितरण का उपयोग गणितीय वित्त में अनुप्रयोगों के कारण नए सिरे से रुचि का आनंद ले रहा है, विशेष रूप से छात्र के टी कोपुला (सांख्यिकी) के उपयोग के माध्यम से।

अण्डाकार प्रतिनिधित्व
अण्डाकार वितरण के रूप में निर्मित और गोलाकार समरूपता के साथ और बिना स्केलिंग के सबसे सरल केंद्रीकृत मामले में, $$ \Sigma = \operatorname{I} \, $$, बहुभिन्नरूपी t PDF रूप लेती है


 * $$ f_X(X)= g(X^T X) = \frac{\Gamma \big ( \frac{1}{2} (\nu + p ) \, \big )}{ ( \nu \pi)^{\,p/2} \Gamma \big( \frac{1}{2} \nu \big)} \bigg( 1 + \nu^{-1} X^T X \bigg)^{-( \nu + p )/2 } $$

कहाँ $$ X =(x_1, \cdots ,x_p )^T\text { is a sampled } p\text{-vector} $$ और $$  \nu $$ = स्वतंत्रता की डिग्री। मुइरहेड (धारा 1.5) इसे एक बहुभिन्नरूपी कॉची वितरण के रूप में संदर्भित करता है। का अपेक्षित सहप्रसरण $$X$$ है


 * $$ \int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty f_X(x_1,\dots, x_p) XX^T \, dx_1 \dots dx_p = \frac{ \nu }{ \nu - 2 } \operatorname{E} (XX^T)  $$

उद्देश्य कार्टेशियन पीडीएफ को रेडियल पीडीएफ में बदलना है। किबरिया और जोर्डर, एक ट्यूटोरियल-शैली के पेपर में, रेडियल माप को परिभाषित करें $$ r_2 = R^2 = \frac{X^TX}{p} $$ ऐसा है कि"$ \operatorname{E} [ r_2 ] = \int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty f_X(x_1,\dots, x_p) \frac {X^TX}{p}\, dx_1 \dots dx_p $"जो अपेक्षित भिन्नता के बराबर है $$ p $$-तत्व वेक्टर $$X$$ एक अविभाज्य शून्य-माध्य यादृच्छिक अनुक्रम के रूप में माना जाता है। वे ध्यान दें $$r_2$$ फिशर-स्नेडेकोर वितरण|फिशर-स्नेडेकोर या $$ F $$ वितरण:


 * $$ r_2 \sim F_{F}( p,\nu) = B \bigg( \frac {p}{2}, \frac {\nu}{2} \bigg ) ^{-1} \bigg (\frac{p}{\nu} \bigg )^{ p/2 } r_2^ { p/2 -1 }

\bigg( 1 + \frac{p}{\nu} r_2 \bigg) ^{-(p + \nu)/2 }$$ माध्य मान होना $$ \operatorname{E} [ r_2 ] = \frac { \nu }{ \nu - 2 } $$.

यादृच्छिक चर के परिवर्तन से $$ y = \frac{p}{\nu}  r_2 = \frac {X^T X}{\nu} $$ उपरोक्त समीकरण में, बनाए रखना $$ p $$-वेक्टर $$ X $$, अपने पास $$ \operatorname{E} [ y ] = \int_{-\infty}^\infty \cdots \int_{-\infty}^\infty f_X(X) \frac {X^TX}{ \nu}\, dx_1 \dots dx_p   =  \frac { p }{ \nu - 2 }$$ और संभाव्यता वितरण
 * $$ \begin{align} f_Y(y| \,p,\nu) & = \frac {\nu}{p}   B \bigg( \frac {p}{2}, \frac {\nu}{2} \bigg )^{-1}  \big (\frac{p}{\nu} \big )^{ \,p/2 } \big (\frac{p}{\nu} \big )^{ -p/2 -1} y^ {\, p/2 -1 }  \big( 1 + y \big) ^{-(p + \nu)/2 } \\ \\

& = B \bigg ( \frac {p}{2}, \frac {\nu}{2} \bigg )^{-1} y^{ \,p/2 -1 }(1+ y )^{-(\nu + p)/2}  \end{align}  $$ जो एक नियमित बीटा-प्राइम वितरण है $$ y \sim \beta \, ' \bigg(y; \frac {p}{2}, \frac {\nu}{2} \bigg ) $$ औसत मूल्य होना $$ \frac { \frac{1}{2} p }{ \frac{1}{2}\nu - 1 } = \frac { p }{ \nu - 2 }$$. का संचयी वितरण समारोह $$ y$$ इस प्रकार "के रूप में जाना जाता है$ F_Y(y) \sim I \, \bigg(\frac {y}{1+y}; \, \frac {p}{2}, \frac {\nu}{2} \bigg ) $"कहाँ $$ I$$ अधूरा बीटा कार्य है।

इन परिणामों को कार्तीय से गोलाकार में निर्देशांक के सीधे परिवर्तन द्वारा प्राप्त किया जा सकता है। एक स्थिर त्रिज्या सतह पर $$ R = (X^TX)^{1/2} $$ पीडीएफ के साथ $$ p_X(X)  \propto \bigg( 1 + \nu^{-1} R^2 \bigg)^{-(\nu+p)/2}  $$ एक आईएसओ-घनत्व सतह है। इस घनत्व मान को देखते हुए, क्षेत्रफल के सतह खोल में प्रायिकता की मात्रा $$ A_R $$ और मोटाई $$ \delta R $$ पर $$ R $$ है $$ \delta P = p_X(R) \, A_R \delta R  $$.

त्रिज्या का परिबद्ध गोला $$ R $$ में $$ p $$ आयामों में सतह क्षेत्र है  $$ A_R = \frac { 2\pi^{p/2  } R^{ \, p-1 } }{ \Gamma (p/2)} $$ और में प्रतिस्थापन $$ \delta P $$ दिखाता है कि खोल में संभाव्यता का तत्व है $$ \delta P = p_X(R) \frac { 2\pi^{p/2  } R^{ p-1 } }{ \Gamma (p/2)} \delta R $$. यह एक रेडियल घनत्व समारोह के बराबर है
 * $$ f_R(R) =  \frac{\Gamma \big ( \frac{1}{2} (\nu + p ) \, \big )}{\nu^{\,p/2} \pi^{\,p/2} \Gamma \big( \frac{1}{2} \nu \big)}  \frac { 2 \pi^{p/2  } R^{ p-1 } }{ \Gamma (p/2)} \bigg( 1 + \frac{ R^2 }{\nu} \bigg)^{-( \nu + p )/2 } $$

जो सरल करता है $$  f_R(R) =   \frac { 2}{ \nu ^{1/2} B \big( \frac{1}{2} p, \frac{1}{2} \nu \big)} \bigg( \frac {R^2}{ \nu } \bigg)^{ (p-1)/2 }   \bigg( 1 + \frac{ R^2 }{\nu} \bigg)^{-( \nu + p )/2 } $$ कहाँ $$ B(*,*) $$ बीटा कार्य है।

रेडियल वैरिएबल को में बदलना $$ y=R^2 / \nu $$ पिछला बीटा प्राइम वितरण लौटाता है $$ f_Y(y) =  \frac { 1}{ B \big( \frac{1}{2} p, \frac{1}{2} \nu \big)}  y^{\, p/2 - 1 }   \bigg( 1 + y \bigg)^{-( \nu + p )/2 } $$ रेडियल शेप फंक्शन को बदले बिना रेडियल वेरिएबल्स को स्केल करने के लिए, स्केल मैट्रिक्स को परिभाषित करें $$ \Sigma = \alpha \operatorname{I} $$, एक 3-पैरामीटर कार्टेशियन घनत्व फ़ंक्शन प्रदान करता है, अर्थात। संभावना $$ \Delta_P $$ मात्रा तत्व में $$ dx_1 \dots dx_p  $$ है


 * $$ \Delta_P \big (f_X(X \,|\alpha, p, \nu) \big ) = \frac{\Gamma \big ( \frac{1}{2} (\nu + p ) \, \big )}{ ( \nu \pi)^{\,p/2} \alpha^{\,p/2} \Gamma \big( \frac{1}{2} \nu \big)} \bigg( 1 + \frac{X^T X }{ \alpha \nu} \bigg)^{-( \nu + p )/2 } \; dx_1 \dots dx_p  $$

या, अदिश रेडियल चर के संदर्भ में $$ R $$,


 * $$ f_R(R \,|\alpha, p, \nu) =   \frac { 2}{\alpha^{1/2} \; \nu ^{1/2} B \big( \frac{1}{2} p, \frac{1}{2} \nu \big)} \bigg( \frac {R^2}{ \alpha \, \nu } \bigg)^{ (p-1)/2 }   \bigg( 1 + \frac{ R^2 }{ \alpha \, \nu} \bigg)^{-( \nu + p )/2 } $$

सभी रेडियल चरों के क्षणों को बीटा प्राइम वितरण से प्राप्त किया जा सकता है। अगर $$ Z \sim \beta'(a,b) $$ तब $$ \operatorname{E} (Z^m) = {\frac {B(a + m, b - m)}{B( a ,b )}}   $$, एक ज्ञात परिणाम। इस प्रकार, चर के लिए $$ y $$, के लिए आनुपातिक $$ R^2 $$, अपने पास
 * $$ \operatorname{E} (y^m) = {\frac {B(\frac{1}{2}p + m, \frac{1}{2} \nu - m)}{B( \frac{1}{2} p ,\frac{1}{2} \nu )}} = \frac{\Gamma \big(\frac{1}{2} p + m \big)\;  \Gamma \big(\frac{1}{2} \nu - m \big)  }{ \Gamma \big( \frac{1}{2} p \big) \; \Gamma \big( \frac{1}{2} \nu \big) } $$

के क्षण $$ r_2 = \nu \, y $$ हैं
 * $$ \operatorname{E} (r_2^m) = \nu^m\operatorname{E} (y^m) $$

स्केल मैट्रिक्स की शुरुआत करते हुए $$ \alpha \operatorname{I} $$ पैदावार
 * $$ \operatorname{E} (r_2^m | \alpha) = \alpha^m \nu^m \operatorname{E} (y^m) $$

रेडियल चर से संबंधित क्षण $$ R $$ सेटिंग करके पाए जाते हैं $$ R =(\alpha\nu y)^{1/2} $$ और $$ M=2m $$ जिस
 * $$ \operatorname{E} (R^M ) =\operatorname{E} \big((\alpha \nu y)^{1/2} \big)^{2 m } = (\alpha \nu )^{M/2} \operatorname{E} (y^{M/2})= (\alpha \nu )^{M/2} {\frac {B \big(\frac{1}{2} (p + M), \frac{1}{2} (\nu - M) \big )}{B( \frac{1}{2} p ,\frac{1}{2} \nu )}} $$

लीनियर कॉम्बिनेशन और एफ़िन ट्रांसफ़ॉर्मेशन
Kibria et.al के खंड 3.3 के बाद। होने देना $$ Z $$ एक हो $$ p $$-वेक्टर एक केंद्रीय गोलाकार बहुभिन्नरूपी टी वितरण से नमूना लिया गया $$ \nu $$ स्वतंत्रता की कोटियां: $$ Z_p \sim t_p(0, \operatorname{I}, \nu) $$. $$ X $$ से लिया गया है $$ Z $$ एक रैखिक परिवर्तन के माध्यम से:


 * $$ X = \mu + \Sigma^{1/2} Z $$

कहाँ $$ \Sigma $$ पूर्ण रैंक है, तो


 * $$ X \sim t_p(\mu, \Sigma, \nu) $$

वह है $$ \operatorname{E}(X) = \mu $$ और का सहप्रसरण $$ X $$ है $$ \operatorname{E} \big[ (X-\mu)(X-\mu)^T \big] = \frac {\nu}{\nu - 2} \Sigma $$ इसके अलावा, अगर $$ A $$ तब एक गैर-एकवचन मैट्रिक्स है


 * $$ Y = AX + b $$ $$ \sim t_p(A \mu + b,  A \Sigma A^T, \nu) $$

मतलब के साथ $$ \operatorname{E} (Y) = A \mu + b $$ और सहप्रसरण $$ \operatorname{E} \big[ (Y- A \mu -b)(Y- A \mu -b)^T \big] = \frac {\nu}{\nu - 2} A\Sigma A^T $$.

रोथ (नीचे संदर्भ) नोट करता है कि यदि $$ A $$ एक है $$ s \times p $$ स्क्वाट मैट्रिक्स के साथ $$ s < p $$ तब $$ Y $$ वितरण है $$ Y_s \sim t_s(A \mu + b, A \Sigma A^T, \nu) $$.

अगर $$ A $$ रूप धारण कर लेता है $$ Y_s =  \begin{bmatrix} \operatorname{I_{s \times s}} & 0_{s \times (p-s) }   \end{bmatrix} X_p $$ फिर पीडीएफ $$ Y_s $$ अग्रणी का सीमांत वितरण है  $$ s $$ घटक $$ X_p $$.

उपरोक्त में, स्वतंत्रता पैरामीटर की डिग्री $$ \nu $$ पूरे समय अपरिवर्तनीय रहता है और सभी वैक्टर अंततः एक प्रारंभिक आइसोट्रोपिक गोलाकार वेक्टर से प्राप्त होते हैं $$ Z $$ जिनके तत्व सांख्यिकीय रूप से स्वतंत्र नहीं हैं। स्वतंत्र ची-स्क्वेर्ड नमूनों और अलग-अलग के साथ उत्पन्न दो नमूना बहुभिन्नरूपी टी वैक्टर जोड़ना $$ \nu $$ मूल्य:  ${1}/\sqrt{u_1/\nu_1}, \; \; {1}/\sqrt{u_2/\nu_2}$ , जैसा कि प्रमुख पैराग्राफ में परिभाषित किया गया है, आंतरिक रूप से सुसंगत वितरण का उत्पादन नहीं करेगा, हालांकि वे बेहरेंस-फिशर समस्या उत्पन्न करेंगे।

संबंधित अवधारणाएं
अविभाजित आंकड़ों में, छात्र का टी-टेस्ट|छात्र का टी-परीक्षण छात्र के टी-वितरण का उपयोग करता है|छात्र का टी-वितरण। हॉटलिंग का टी-स्क्वेर्ड वितरण|होटेलिंग का टी-स्क्वेर्ड वितरण एक ऐसा वितरण है जो बहुभिन्नरूपी सांख्यिकी में उत्पन्न होता है। मैट्रिक्स टी-वितरण | मैट्रिक्स टी-वितरण एक मैट्रिक्स संरचना में व्यवस्थित यादृच्छिक चर के लिए एक वितरण है।

यह भी देखें

 * बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण, जो कि बहुभिन्नरूपी छात्र के टी-वितरण का सीमित मामला है जब $$\nu\uparrow\infty$$.
 * ची वितरण, छात्र के टी-वितरण के निर्माण में स्केलिंग कारक की प्रायिकता घनत्व समारोह और सामान्य रूप से वितरित वेक्टर (शून्य पर केंद्रित) के सामान्य (गणित)#पी-मान|2-मानदंड (या यूक्लिडियन मानदंड) ).
 * Rayleigh बंटन#छात्र का t, बहुभिन्नरूपी t-बंटन की यादृच्छिक सदिश लंबाई
 * महालनोबिस दूरी

बाहरी संबंध

 * Copula Methods vs Canonical Multivariate Distributions: the multivariate Student T distribution with general degrees of freedom
 * Multivariate Student's t distribution