मौलिक मैट्रिक्स (कंप्यूटर विज़न)

कंप्यूटर दृष्टि में, मौलिक मैट्रिक्स $$ \mathbf{F} $$ एक 3×3 मैट्रिक्स (गणित) है जो स्टीरियोस्कोपी में संबंधित बिंदुओं से संबंधित है। एपिपोलर ज्यामिति में, एक स्टीरियो इमेज जोड़ी में संबंधित बिंदुओं के सजातीय_निर्देशांक, x और x' के साथ, Fx एक रेखा (एक ज़रा सा ) का वर्णन करता है, जिस पर दूसरी छवि पर संबंधित बिंदु x' स्थित होना चाहिए। इसका मतलब है, सभी युग्मों के लिए संगत बिंदु मान्य हैं


 * $$ \mathbf{x}'^{\top} \mathbf{F x} = 0. $$

रैंक दो का होने और केवल पैमाने तक निर्धारित होने के कारण, मौलिक मैट्रिक्स का अनुमान कम से कम सात बिंदु पत्राचार के आधार पर लगाया जा सकता है। इसके सात पैरामीटर कैमरों के बारे में एकमात्र ज्यामितीय जानकारी का प्रतिनिधित्व करते हैं जिन्हें अकेले बिंदु पत्राचार के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है।

फंडामेंटल मैट्रिक्स शब्द क्यूटी लुओंग द्वारा अपने प्रभावशाली पीएचडी थीसिस में गढ़ा गया था। इसे कभी-कभी बाइफोकल टेंसर भी कहा जाता है। एक टेंसर के रूप में यह एक दो-बिंदु टेंसर है जिसमें यह अलग-अलग समन्वय प्रणालियों में बिंदुओं से संबंधित एक द्विरेखीय रूप है।

उपरोक्त संबंध जो मौलिक मैट्रिक्स को परिभाषित करता है, 1992 में ओलिवियर फौगेरस और रिचर्ड हार्टले (वैज्ञानिक) दोनों द्वारा प्रकाशित किया गया था। यद्यपि एच. क्रिस्टोफर लॉन्गुएट-हिगिंस का आवश्यक मैट्रिक्स एक समान संबंध को संतुष्ट करता है, आवश्यक मैट्रिक्स कैलिब्रेटेड कैमरों से संबंधित एक मीट्रिक ऑब्जेक्ट है, जबकि मौलिक मैट्रिक्स प्रोजेक्टिव ज्यामिति के अधिक सामान्य और मौलिक शब्दों में पत्राचार का वर्णन करता है। इसे मौलिक मैट्रिक्स के बीच संबंध द्वारा गणितीय रूप से पकड़ लिया गया है $$\mathbf{F}$$ और इसके अनुरूप आवश्यक मैट्रिक्स $$\mathbf{E}$$, जो है
 * $$ \mathbf{E} = ({\mathbf{K}'})^{\top} \; \mathbf{F} \; \mathbf{K} $$

$$\mathbf{K}$$ और $$\mathbf{K}'$$ आंतरिक अंशांकन होना शामिल दो छवियों के मैट्रिक्स।

परिचय
मौलिक मैट्रिक्स एक ही दृश्य की किन्हीं दो छवियों के बीच एक संबंध है जो रोकता है कि दृश्य से बिंदुओं का प्रक्षेपण दोनों छवियों में कहां हो सकता है। छवियों में से एक में एक दृश्य बिंदु के प्रक्षेपण को देखते हुए दूसरी छवि में संबंधित बिंदु एक रेखा तक सीमित हो जाता है, जिससे खोज में मदद मिलती है, और गलत पत्राचार का पता लगाने की अनुमति मिलती है। संगत बिंदुओं के बीच का संबंध, जिसे मौलिक मैट्रिक्स दर्शाता है, को एपिपोलर बाधा, मिलान बाधा, असतत मिलान बाधा, या घटना संबंध के रूप में जाना जाता है।

प्रक्षेप्य पुनर्निर्माण प्रमेय
मौलिक मैट्रिक्स को पत्राचार समस्या के एक सेट द्वारा निर्धारित किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, इन संबंधित छवि बिंदुओं को इस मौलिक मैट्रिक्स से सीधे प्राप्त कैमरा मैट्रिक्स की सहायता से विश्व बिंदुओं पर त्रिकोणित किया जा सकता है। इन विश्व बिंदुओं से बना दृश्य वास्तविक दृश्य के प्रक्षेपी परिवर्तन के अंतर्गत है।

प्रमाण
कहें कि छवि बिंदु पत्राचार $$\mathbf{x} \leftrightarrow \mathbf{x'}$$ विश्व बिंदु से निकला है $$\textbf{X}$$ कैमरा मैट्रिसेस के नीचे $$\left ( \textbf{P}, \textbf{P}' \right )$$ जैसा

\begin{align} \mathbf{x} & = \textbf{P} \textbf{X} \\ \mathbf{x'} & = \textbf{P}' \textbf{X} \end{align} $$ मान लें कि हम एक सामान्य होमोग्राफी (कंप्यूटर विज़न) मैट्रिक्स द्वारा अंतरिक्ष को बदलते हैं $$\textbf{H}_{4 \times 4}$$ ऐसा है कि $$\textbf{X}_0 = \textbf{H} \textbf{X}$$.

कैमरे फिर रूपांतरित हो जाते हैं

\begin{align} \textbf{P}_0 & = \textbf{P} \textbf{H}^{-1} \\ \textbf{P}_0' & = \textbf{P}' \textbf{H}^{-1} \end{align} $$
 * $$\textbf{P}_0 \textbf{X}_0 = \textbf{P} \textbf{H}^{-1} \textbf{H} \textbf{X} = \textbf{P} \textbf{X} = \mathbf{x}$$ और इसी तरह के साथ $$\textbf{P}_0'$$ अभी भी हमें वही छवि बिंदु मिलते हैं।

समतलीय स्थिति का उपयोग करके मौलिक मैट्रिक्स की व्युत्पत्ति
मौलिक मैट्रिक्स को समतलीय स्थिति का उपयोग करके भी प्राप्त किया जा सकता है।

उपग्रह चित्रों के लिए
मौलिक मैट्रिक्स एपिपोलर ज्यामिति को स्टीरियो छवियों में व्यक्त करता है। परिप्रेक्ष्य कैमरों से ली गई छवियों में एपिपोलर ज्यामिति सीधी रेखाओं के रूप में दिखाई देती है। हालाँकि, उपग्रह छवियों में, छवि अपनी कक्षा (पुशब्रूम सेंसर) के साथ सेंसर की गति के दौरान बनती है। इसलिए, एक छवि दृश्य के लिए कई प्रक्षेपण केंद्र होते हैं और एपिपोलर रेखा एक एपिपोलर वक्र के रूप में बनती है। हालाँकि, विशेष परिस्थितियों जैसे छोटी छवि टाइलों में, उपग्रह छवियों को मौलिक मैट्रिक्स का उपयोग करके ठीक किया जा सकता है।

गुण
मौलिक मैट्रिक्स रैंक (रैखिक बीजगणित) 2 का है। इसका कर्नेल (मैट्रिक्स) एपिपोलर ज्यामिति#एपिपोल या एपिपोलर बिंदु को परिभाषित करता है।

यह भी देखें

 * एपिपोलर ज्यामिति
 * आवश्यक मैट्रिक्स
 * ट्राइफोकल टेंसर
 * आठ-बिंदु एल्गोरिथ्म

संदर्भ




























टूलबॉक्स

 * मजबूत आँकड़ों के लिए एक GPL C (प्रोग्रामिंग भाषा)/C++ लाइब्रेरी है, गैर-रेखीय (लेवेनबर्ग-मार्क्वार्ड एल्गोरिथ्म पर आधारित) मौलिक मैट्रिक्स मिलान किए गए बिंदु जोड़े और विभिन्न वस्तुनिष्ठ कार्यों से अनुमान (मानोलिस लौराकिस)।
 * MATLAB में संरचना और मोशन टूलकिट (फिलिप एच.एस. टोर)
 * मौलिक मैट्रिक्स अनुमान टूलबॉक्स (जोआकिम साल्वी)
 * एपिपोलर ज्योमेट्री टूलबॉक्स (ईजीटी)

बाहरी संबंध

 * Epipolar Geometry and the Fundamental Matrix (chapter from Hartley &amp; Zisserman)
 * Determining the epipolar geometry and its uncertainty: A review (Zhengyou Zhang)
 * Visualization of epipolar geometry (originally by Sylvain Bougnoux of INRIA Robotvis, requires Java)
 * The Fundamental Matrix Song Video demonstrating laws of epipolar geometry.