समुच्चय सिद्धान्त



समुच्चय (सेट) सिद्धांत गणितीय तर्क की वह शाखा है जो अध्ययन समुच्चय (सेट) करती है, जिसे अनौपचारिक रूप से वस्तुओं के संग्रह के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यद्यपि किसी भी प्रकार की वस्तुओं को एक समुच्चय (सेट) में एकत्र किया जा सकता है,समुच्चय (सेट) सिद्धांत, गणित की एक शाखा के रूप में, ज्यादातर उन लोगों से संबंधित है जो समग्र रूप से गणित के लिए प्रासंगिक हैं।

1870 के दशक में जर्मन गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिंड और जॉर्ज कैंटर द्वारा समुच्चय (सेट) सिद्धांत का आधुनिक अध्ययन शुरू किया गया था। विशेष रूप से, जॉर्ज कैंटर को आमतौर पर समुच्चय (सेट) सिद्धांत का संस्थापक माना जाता है। इस प्रारंभिक चरण के दौरान जांच की गई गैर-स्वरूपित प्रणालियों को  भोले समुच्चय (सेट) सिद्धांत  के नाम से जाना जाता है। भोले समुच्चय (सेट) सिद्धांत (जैसे कि रसेल के विरोधाभास, कैंटर के विरोधाभास और बुल्ली-फ़ॉर्टी विरोधाभास) के भीतर विरोधाभासों की खोज के बाद, बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में विभिन्न स्वयंसिद्ध प्रणालियों का प्रस्ताव किया गया था, जिनमें से ज़रमेलो-फ्रेनकेल समुच्चय (सेट) सिद्धांत (पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ या बिना) निर्धारित किया था अभी भी सबसे प्रसिद्ध और सबसे अधिक अध्ययन किया गया है।

समुच्चय (सेट) सिद्धांत को आमतौर पर पूरे गणित के लिए एक मूलभूत प्रणाली के रूप में नियोजित किया जाता है, विशेष रूप से ज़रमेलो -फ्रेनकेल समुच्चय (सेट) सिद्धांत के रूप में पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ। इसकी मूलभूत भूमिका के अलावा, समुच्चय (सेट) सिद्धांत भी अनंत के एक गणितीय सिद्धांत को विकसित करने के लिए रूपरेखा प्रदान करता है, और संगणक (कंप्यूटर) विज्ञान (जैसे कि संबंधपरक बीजगणित के सिद्धांत में), दर्शन और औपचारिक अर्थशास्त्र में विभिन्न अनुप्रयोग हैं। इसकी मूलभूत प्रार्थना, इसके विरोधाभासों के साथ, अनंत की अवधारणा और इसके कई अनुप्रयोगों के लिए इसके निहितार्थ, ने सिद्धांत को गणित के तर्कशास्त्रियों (लॉजिशियन) और दार्शनिकों के लिए प्रमुख रुचि का एक क्षेत्र बना दिया है। समुच्चय (सेट) सिद्धांत में समकालीन शोध में विषयों की एक विशाल सरणी शामिल है, जिसमें वास्तविक संख्या रेखा की संरचना से लेकर बड़े आधारभूत (कार्डिनल्स) की स्थिरता के अध्ययन तक के विषयों की एक विस्तृत श्रृंखला शामिल है।

इतिहास
गणितीय विषय आमतौर पर कई शोधकर्ताओं के बीच बातचीत के माध्यम से उभरते और विकसित होते हैं। समुच्चय (सेट) सिद्धांत, हालांकि, 1874 में जॉर्ज कैंटर द्वारा एक एकल लेख द्वारा स्थापित किया गया था: "सभी वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं के संग्रह की एक संपत्ति पर।"

5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व से, पश्चिम में एलेया के ग्रीक गणितज्ञ ज़ेनो के साथ और पूर्व में प्रारंभिक भारतीय गणितज्ञों के साथ शुरुआत करते हुए, गणितज्ञों ने अनंत की अवधारणा के साथ संघर्ष किया था। 19वीं सदी के पूर्वार्द्ध में बर्नार्ड बोलजानो का काम विशेष रूप से उल्लेखनीय है। अनंत की आधुनिक समझ 1870-1874 में शुरू हुई, और वास्तविक विश्लेषण में कैंटर के काम से प्रेरित थी। कैंटर और रिचर्ड डेडेकिंड के बीच 1872 की एक बैठक ने कैंटर की सोच को प्रभावित किया, और कैंटर के 1874 लेख में इसका समापन हुआ।

कैंटर के काम ने शुरू में अपने समय के गणितज्ञों का ध्रुवीकरण किया। जबकि कार्ल वेयरस्ट्रास और डेडेकिंड ने कैंटर का समर्थन किया, लियोपोल्ड क्रोनकर, जिसे अब गणितीय रचनावाद के संस्थापक के रूप में देखा गया था, ने नहीं किया। कैंटोरियन समुच्चय (सेट) सिद्धांत अंततः व्यापक हो गया, कैंटोरियन अवधारणाओं की उपयोगिता के कारण, जैसे कि समुच्चय के बीच एक-से-एक पत्राचार, उनका प्रमाण है कि पूर्णांक की तुलना में अधिक वास्तविक संख्याएं हैं, और सत्ता से उत्पन्न होने वाली "अनंत की अनंतता" (कैंटर का स्वर्ग) संचालन समुच्चय करें। समुच्चय (सेट) सिद्धांत की इस उपयोगिता ने लेख मेंगेनलेहेरे के लिए नेतृत्व किया, 1898 में आर्थर शॉनफ्लिस द्वारा क्लेन के विश्वकोश (एनसाइक्लोपीडिया) में योगदान दिया।

समुच्चय (सेट) सिद्धांत में उत्साह की अगली लहर 1900 के आसपास आई, जब यह पता चला कि कैंटोरियन समुच्चय (सेट) सिद्धांत की कुछ व्याख्याओं ने कई विरोधाभासों को जन्म दिया, जिसे अधिकार-विरोध (एंटिनोमी) या विरोधाभास कहा जाता है। बर्ट्रेंड रसेल और अर्नस्ट ज़रमेलो ने स्वतंत्र रूप से सबसे सरल और सबसे प्रसिद्ध विरोधाभास पाया, जिसे अब रसेल का विरोधाभास कहा जाता है: "उन सभी समुच्चयों के समुच्चय पर विचार करें जो स्वयं के सदस्य नहीं हैं", जो एक विरोधाभास की ओर जाता है क्योंकि यह स्वयं का सदस्य होना चाहिए और कोई सदस्य नहीं होना चाहिए। 1899 में, कैंटर ने खुद सवाल उठाया था कि सभी समुच्चयों  के समुच्चय  का कार्डिनल नंबर क्या है? , और एक संबंधित विरोधाभास प्राप्त किया। रसेल ने 1903 में अपने गणित के सिद्धांतों में महाद्वीपीय गणित की समीक्षा में अपने विरोधाभास को एक विषय के रूप में इस्तेमाल किया। समुच्चय (सेट) शब्द के बजाय, रसेल ने वर्ग शब्द का इस्तेमाल किया, जिसे बाद में तकनीकी रूप से अधिक इस्तेमाल किया गया।

1906 में, कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस द्वारा प्रकाशित पति और पत्नी विलियम हेनरी यंग और ग्रेस चिशोल्म यंग की पुस्तक थ्योरी ऑफ़ सेट्स ऑफ़ पॉइंट्स में सेट शब्द दिखाई दिया।

समुच्चय (सेट) सिद्धांत की गति ऐसी थी कि विरोधाभासों पर बहस ने इसके परित्याग को जन्म नहीं दिया।1908 में ज़र्मेलो का काम और 1922 में अब्राहम फ्रेंकेल और थोरलफ स्कोलेम के काम के परिणामस्वरूप स्वयंसिद्ध जेडएफसी का समुच्चय बन गया, जो समुच्चय (सेट) सिद्धांत के लिए सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला समुच्चय (सेट) बन गया। विश्लेषकों का काम, जैसे कि हेनरी लेबेसग ने, समुच्चय (सेट) सिद्धांत की महान गणितीय उपयोगिता का प्रदर्शन किया, जो तब से आधुनिक गणित के ताने-बाने में बुना गया है। समुच्चय (सेट) सिद्धांत का उपयोग आमतौर पर एक मूलभूत प्रणाली के रूप में किया जाता है, हालांकि कुछ क्षेत्रों में - जैसे कि बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय सांस्थिति (टोपोलॉजी) -श्रेणी सिद्धांत को एक पसंदीदा आधार माना जाता है।

बुनियादी अवधारणाएं और संकेतन
समुच्चय (सेट) सिद्धांत एक वस्तु o और समुच्चय A के बीच एक मौलिक द्विआधारी संबंध से शुरू होता है। यदि $o$ का एक सदस्य (या तत्व) है $A$, संकेतन $o ∈ A$ उपयोग किया जाता है। एक समुच्चय (सेट) को अल्पविराम द्वारा अलग किए गए तत्वों को सूचीबद्ध करके, या इसके तत्वों की एक विशेषता संपत्ति द्वारा, ब्रेसिज़ {} के भीतर वर्णित किया जाता है। चूंकि समुच्चय (सेट) वस्तुएँ हैं, इसलिए सदस्यता संबंध समुच्चयों (सेटों) से भी संबंधित हो सकता है।

दो सेटों के बीच एक व्युत्पन्न द्विआधारी संबंध उपसमुच्चय (सबसेट) संबंध है, जिसे समुच्चय (सेट) समावेशन भी कहा जाता है। यदि समुच्चय (सेट) $A$ के सभी सदस्य भी समुच्चय (सेट) $B$ के सदस्य हैं, तो A, B का एक उपसमुच्चय है, जिसे A ⊆ B निरूपित किया जाता है। उदाहरण के लिए, ${1, 2 }$ {1, 2, 3} का उपसमुच्चय है, और ऐसे ही ${2 }$ लेकिन ${1, 4 }$ नहीं है। जैसा कि इस परिभाषा से निहित है, एक समुच्चय (सेट) स्वयं का एक उपसमुच्चय (सबसेट) है। ऐसे मामलों के लिए जहां यह संभावना अनुपयुक्त है या उन्हें अस्वीकार करने के लिए समझ में आता है, उचित उपसमुच्चय (सबसेट) शब्द को परिभाषित किया गया है। A को B का उचित उपसमुच्चय कहा जाता है यदि और केवल यदि A, B का उपसमुच्चय है, लेकिन A, B के बराबर नहीं है। साथ ही, 1, 2, और 3 समुच्चय {1, 2, 3} के सदस्य (तत्व) हैं, लेकिन इसके उपसमुच्चय (सबसेट) नहीं हैं;और बदले में,उपसमुच्चय (सबसेट), जैसे ${1 }$, समुच्चय {1, 2, 3} के सदस्य नहीं हैं।

जिस तरह अंकगणित संख्याओं पर द्विचर (बाइनरी) ऑपरेशन की सुविधा देता है, उसी तरह समुच्चय (सेट) सिद्धांत में सेट पर द्विचर (बाइनरी) ऑपरेशन होते हैं। उनमें से एक आंशिक सूची निम्नलिखित है:
 * सेट का संघ $A$ तथा $B$, निरूपित $A ∪ B$, उन सभी वस्तुओं का समुच्चय (सेट) है जो एक सदस्य हैं $A$, या $B$, अथवा दोनों। उदाहरण के लिए, संघ ${1, 2, 3 }$ तथा ${2, 3, 4 }$ समुच्चय (सेट) ${1, 2, 3, 4 }$ है।
 * समुच्चय A और B का प्रतिच्छेदन, निरूपित $A ∩ B$, उन सभी वस्तुओं का समुच्चय (सेट) है जो $A$ तथा $B$ दोनों के सदस्य हैं। उदाहरण के लिए, प्रतिच्छेदन का ${1, 2, 3 }$ तथा ${2, 3, 4 }$ समुच्चय (सेट) है ${2, 3 }$।
 * U और A का समुच्चय अंतर, जिसे U \ A कहा जाता है, U के उन सभी सदस्यों का समुच्चय है जो A के सदस्य नहीं हैं। निर्धारित अंतर ${1, 2, 3} \ {2, 3, 4}$है${1 }$, जबकि इसके विपरीत, निर्धारित अंतर ${2, 3, 4} \ {1, 2, 3 }$ है ${4 }$।जब A, U का एक उपसमुच्चय है, तो समुच्चय (सेट) अंतर U \ A को U में A का पूरक भी कहा जाता है। इस मामले में, यदि U का विकल्प संदर्भ से स्पष्ट है, तो कभी-कभी U \ A के बजाय संकेतन $A^{c}$ का उपयोग किया जाता है, खासकर अगर $U$ वेन आरेखों के अध्ययन में एक सार्वभौमिक समुच्चय (सेट) है।
 * सेट का सममित अंतर $A$ तथा $B$, निरूपित $A △ B$ या $A ⊖ B$, उन सभी वस्तुओं का सेट है जो बिल्कुल एक के सदस्य हैं $A$ तथा $B$ (तत्व जो सेट में से एक में हैं, लेकिन दोनों में नहीं)। उदाहरण के लिए, समुच्चय (सेट) ${1, 2, 3 }$ तथा ${2, 3, 4 }$, सममित अंतर समुच्चय (सेट) है ${1, 4 }$। यह संघ और चौराहे का निर्धारित अंतर है, $(A ∪ B) \ (A ∩ B)$ या $(A \ B) ∪ (B \ A)$।
 * कार्टेशियन उत्पाद $A$ तथा $B$, निरूपित $A × B$, वह समुच्चय (सेट) है जिसके सदस्य सभी संभव ऑर्डर किए गए जोड़े हैं $(a, b)$, जहां पे $a$ का सदस्य है $A$ तथा $b$ का सदस्य है $B$। उदाहरण के लिए, कार्टेशियन उत्पाद {1, 2} and {लाल, सफेद} is {(1, लाल), (1, सफेद), (2, लाल), (2, सफेद)}.
 * एक सेट का पावर सेट $A$, निरूपित $$\mathcal{P}(A)$$, वह समुच्चय (सेट) है जिसके सदस्य $A$ के सभी संभावित उपसमुच्चय (सबसेट) हैं । उदाहरण के लिए, का पावर सेट ${1, 2 }$ है ${ {}, {1}, {2}, {1, 2} }$।

केंद्रीय महत्व के कुछ बुनियादी समुच्चय (सेट) प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय (सेट) हैं, वास्तविक संख्याओं का समुच्चय (सेट) और खाली समुच्चय (सेट) - अद्वितीय समुच्चय (सेट) जिसमें कोई तत्व नहीं है। खाली समुच्चय (सेट) को कभी -कभी शून्य (नल) समुच्चय (सेट) भी कहा जाता है, हालांकि यह नाम अस्पष्ट है और इसकी कई व्याख्याएं हो सकती हैं।

सत्व शास्त्र (आंटलजी)
एक समुच्चय (सेट) शुद्ध है यदि उसके सभी सदस्य समुच्चय (सेट) हैं, तो उसके सभी सदस्यों के सदस्य तैयार हैं। उदाहरण के लिए, समुच्चय (सेट) $–$ केवल खाली समुच्चय (सेट) युक्त एक गैर -शुद्ध शुद्ध समुच्चय (सेट) है। आधुनिक समुच्चय (सेट) सिद्धांत में, शुद्ध समुच्चयों (सेटों) के वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड पर ध्यान देना आम बात है, और स्वयंसिद्ध समुच्चय (सेट) सिद्धांत के कई प्रणालियों को केवल शुद्ध समुच्चयों (सेटों) को स्वयंसिद्ध करने के लिए बनावट किया गया है।इस प्रतिबंध के कई तकनीकी लाभ हैं, और थोड़ी व्यापकता खो जाती है, क्योंकि अनिवार्य रूप से सभी गणितीय अवधारणाओं को शुद्ध समुच्चय (सेट) द्वारा तैयार किया जा सकता है। वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड में समुच्चय (सेट) एक संचयी पदानुक्रम में आयोजित किए जाते हैं, इस आधार पर कि उनके सदस्य, सदस्यों के सदस्य आदि कितनी गहराई से स्थिर करते हैं। इस पदानुक्रम में प्रत्येक समुच्चय (सेट) को (ट्रांसफ़िनाइट रिकर्सेशन द्वारा) एक ऑर्डिनल नंबर सौंपा गया है $$\alpha$$, इसके पद के रूप में जाना जाता है। एक शुद्ध समुच्चय (सेट) का पद $$X$$ सबसे कम क्रमिक रूप से परिभाषित किया गया है जो इसके किसी भी तत्व के पद से अधिक है। उदाहरण के लिए, खाली समुच्चय (सेट) को रैंक 0 सौंपा गया है, जबकि समुच्चय (सेट) $–$ केवल खाली समुच्चय (सेट) युक्त पद 1 को सौंपा गया है। प्रत्येक अध्यादेश के लिए $$\alpha$$, समुच्चय (सेट) $$V_{\alpha}$$ से कम रैंक के साथ सभी शुद्ध समुच्चयों (सेटों) से मिलकर परिभाषित किया गया है $$\alpha$$।पूरे वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड को $$V$$ निरूपित किया है ।

औपचारिक समुच्चय (सेट) सिद्धांत
प्राथमिक समुच्चय (सेट) सिद्धांत को अनौपचारिक और सहज रूप से अध्ययन किया जा सकता है, और इसलिए प्राथमिक विद्यालयों में वेन आरेखों का उपयोग करके पढ़ाया जा सकता है। सहज ज्ञान युक्त दृष्टिकोण स्पष्ट रूप से मानता है कि किसी विशेष परिभाषित स्थिति को संतुष्ट करने वाली सभी वस्तुओं के वर्ग से एक समुच्चय (सेट) बन सकता है। यह धारणा विरोधाभासों को जन्म देती है, सबसे सरल और सबसे अच्छी तरह से जाना जाता है, जो रसेल के विरोधाभास और बुल्ली-फ़ॉर्टी विरोधाभास हैं। स्वयंसिद्ध समुच्चय (सेट) सिद्धांत मूल रूप से इस तरह के विरोधाभासों के समुच्चय (सेट) सिद्धांत से छुटकारा पाने के लिए तैयार किया गया था।

स्वयंसिद्ध समुच्चय (सेट) सिद्धांत के सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए गए प्रणाली का अर्थ है कि सभी समुच्चय (सेट) एक संचयी पदानुक्रम बनाते हैं। इस तरह की प्रणालियाँ दो स्वादों में आती हैं, जिनके सत्व शास्त्र (ऑन्कोलॉजी) में शामिल हैं: उपरोक्त प्रणालियों को मूल तत्व (यूरेलेमेंट्स), वस्तुओं की अनुमति देने के लिए संशोधित किया जा सकता है जो समुच्चय (सेट) के सदस्य हो सकते हैं लेकिन यह स्वयं समुच्चय (सेट) नहीं हैं और उनके पास कोई सदस्य नहीं है।
 * अकेले समुच्चय (सेट)। इसमें सबसे आम स्वयंसिद्ध समुच्चय (सेट) सिद्धांत, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय (सेट) सिद्धांत शामिल है। 'जेडएफसी' के अंशों में शामिल हैं:
 * ज़र्मेलो समुच्चय (सेट) सिद्धांत, जो पृथक्करण के साथ प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध योजना को प्रतिस्थापित करता है;
 * सामान्य समुच्चय (सेट) सिद्धांत, पीनो एंसिओम्स और परिमित समुच्चयों (सेटों) के लिए ज़रमेलो समुच्चय (सेट) सिद्धांत का एक छोटा सा टुकड़ा;
 * क्रिपके-प्लेटेक समुच्चय (सेट) सिद्धांत, जो अनंत, शक्तियों और पसंद के सिद्धांतों को छोड़ देता है, और अलगाव और प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध योजना को कमजोर करता है।
 * समुच्चय (सेट) और उचित कक्षाएं। इनमें वॉन न्यूमैन -बेरनेज़ -गोडेल समुच्चय (सेट) सिद्धांत शामिल हैं, जिसमें अकेले समुच्चय (सेट) के बारे में प्रमेय के लिए जेडएफसी के रूप में एक ही ताकत है, और मोर्स -केली समुच्चय (सेट) सिद्धांत और टार्स्की -ग्रोथेन्डिएक समुच्चय (सेट) सिद्धांत, दोनों जेडएफसी से अधिक मजबूत हैं।

'एनएफयू' की नई नींव प्रणाली (यूरेलमेंट्स की अनुमति) और 'एनएफ' (उनकी कमी) एक संचयी पदानुक्रम पर आधारित नहीं हैं। एनएफ और एनएफयू में हर चीज का एक समुच्चय (सेट) शामिल है, जिसके सापेक्ष प्रत्येक समुच्चय (सेट) का पूरक है। इन प्रणालियों में मूल तत्व (यूरेलेमेंट्स) मायने रखता है, क्योंकि एनएफ, लेकिन एनएफयू नहीं, ऐसे समुच्चय (सेट) का उत्पादन करता है जिसके लिए पसंद का स्वयंसिद्ध नहीं होता है। एनएफ की सत्व शास्त्र (ऑन्कोलॉजी) पारंपरिक संचयी पदानुक्रम को प्रतिबिंबित नहीं करने और अच्छी तरह से स्थापितता का उल्लंघन करने के बावजूद, थॉमस फोर्स्टर ने तर्क दिया है कि यह समुच्चय (सेट) के एक पुनरावृत्ति अवधारणा को दर्शाता है।

सीएसटी, सीजेडएफ, और आईजेडएफ जैसे रचनात्मक समुच्चय (सेट) सिद्धांत के व्यवस्था, शास्त्रीय तर्क के बजाय अंतर्ज्ञानवादी में अपने समुच्चय (सेट) स्वयंसिद्ध को अंतर्निहित करते हैं। फिर भी अन्य प्रणालियां शास्त्रीय तर्क को स्वीकार करती हैं, लेकिन एक गैर -मानक सदस्यता संबंध पेश करती हैं। इनमें रूखा (रफ) समुच्चय (सेट) सिद्धांत और फजी समुच्चय (सेट) सिद्धांत शामिल हैं, जिसमें सदस्यता संबंध को मूर्त रूप देने वाले परमाणु सूत्र का मूल्य केवल सही या गलत नहीं है। जेडएफसी के बूलियन-मूल्यवान नमूना एक संबंधित विषय हैं।

1977 में एडवर्ड नेल्सन द्वारा आंतरिक समुच्चय (सेट) सिद्धांत नामक जेडएफसी का एक संवर्धन प्रस्तावित किया गया था।

अनुप्रयोग
कई गणितीय अवधारणाओं को केवल समुच्चय (सेट) सैद्धांतिक (थियोरेटिक0 अवधारणाओं का उपयोग करके सटीक रूप से परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, लेखाचित्र (ग्राफ़), विविध (मैनिफोल्ड्स), वृत्त (रिंग), वेक्टर रिक्त स्थान और संबंधपरक बीजगणित के रूप में विविध गणितीय संरचनाएं सभी को विभिन्न (स्वयंसिद्ध) गुणों को संतुष्ट करने वाले समुच्चय (सेट) के रूप में परिभाषित की जा सकती हैं।समतुल्यता और आदेश संबंध गणित में सर्वव्यापी हैं, और गणितीय संबंधों के सिद्धांत को समुच्चय (सेट) सिद्धांत में वर्णित किया जा सकता है।

समुच्चय (सेट) सिद्धांत गणित के लिए एक आशाजनक आधारभूत प्रणाली भी है। प्रिंसिपिया मैथेमेटिका के पहले खंड के प्रकाशन के बाद से, यह दावा किया गया है कि अधिकांश (या सभी) गणितीय प्रमेयों को समुच्चय (सेट) सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्धों के एक उपयुक्त रूप से डिज़ाइन किए गए समुच्चय (सेट) का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, जो पहले या दूसरे क्रम के तर्क का उपयोग करके कई परिभाषाओं के साथ संवर्धित है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक और वास्तविक संख्याओं के गुणों को समुच्चय (सेट) सिद्धांत के भीतर प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक संख्या प्रणाली को एक उपयुक्त तुल्यता संबंध के तहत तुल्यता वर्गों के एक समुच्चय (सेट) के साथ पहचाना जा सकता है जिसका क्षेत्र कुछ अनंत समुच्चय (सेट) है।

गणितीय विश्लेषण, सांस्थिति (टोपोलॉजी), अमूर्त बीजगणित और असतत गणित के लिए एक नींव के रूप में सिद्धांत निर्धारित करें, वैसे ही विवादास्पद है; गणितज्ञ स्वीकार करते हैं (सिद्धांत रूप में) कि इन क्षेत्रों में प्रमेय प्रासंगिक परिभाषाओं और समुच्चय (सेट) सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं। हालांकि, यह बना हुआ है कि समुच्चय (सेट) सिद्धांत से जटिल गणितीय प्रमेयों के कुछ पूर्ण व्युत्पन्न को औपचारिक रूप से सत्यापित किया गया है, क्योंकि इस तरह के औपचारिक व्युत्पन्न अक्सर प्राकृतिक भाषा प्रमाण गणितज्ञों की तुलना में अधिक लंबे होते हैं जो आमतौर पर मौजूद होते हैं। एक सत्यापन परियोजना, मेटागणित में जेडएफसी समुच्चय (सेट) सिद्धांत, प्रथम-क्रम तर्क और प्रस्ताव तर्क से शुरू होने वाले 12,000 से अधिक प्रमेयों के मानव-लिखित, संगणक (कंप्यूटर)-सत्यापित व्युत्पन्न शामिल हैं।

अध्ययन के क्षेत्र
समुच्चय (सेट) सिद्धांत गणित में अनुसंधान का एक प्रमुख क्षेत्र है, जिसमें कई परस्पर संबंधित उप -क्षेत्र हैं।

मिश्रित समुच्चय सिद्धांत (कॉम्बिनेटरियल सेट थ्योरी)
मिश्रित समुच्चय सिद्धांत (कॉम्बिनेटरियल सेट थ्योरी) अनंत समुच्चयों (सेटों) के लिए परिमित साहचर्य (कॉम्बीनेटरिक्स) के विस्तार (एक्सटेंशन) की चिंता करता है। इसमें कार्डिनल अंकगणित का अध्ययन और रामसे के प्रमेय के विस्तार का अध्ययन जैसे एर्ड -रादो प्रमेय शामिल है।

वर्णनात्मक समुच्चय (सेट) सिद्धांत
वर्णनात्मक समुच्चय (सेट) सिद्धांत वास्तविक रेखा के उपसमुच्चय (सबसेट) का अध्ययन है और, अधिक सामान्यतः, पोलिश रिक्त स्थान के उपसमुच्चय (सबसेट)। यह बोरेल पदानुक्रम में बिंदु वर्गों (पॉइंटक्लास) के अध्ययन के साथ शुरू होता है और प्रक्षेप्य पदानुक्रम और वाडगे पदानुक्रम जैसे अधिक जटिल पदानुक्रमों के अध्ययन तक विस्तारित होता है। बोरेल समुच्चय (सेट) के कई गुणों को जेडएफसी में स्थापित किया जा सकता है, लेकिन अधिक जटिल समुच्चयों (सेटों) के लिए इन गुणों को साबित करने के लिए नियुक्ति और बड़े कार्डिनल्स से संबंधित अतिरिक्त स्वयंसिद्धों की आवश्यकता होती है।

प्रभावी वर्णनात्मक समुच्चय (सेट) सिद्धांत का क्षेत्र समुच्चय (सेट) सिद्धांत और पुनरावृत्ति सिद्धांत के बीच है। इसमें लाइटफेस पॉइंटक्लास का अध्ययन शामिल है, और अति अंकगणितीय (हाइपरएरिथिक) सिद्धांत से निकटता से संबंधित है। कई मामलों में, शास्त्रीय वर्णनात्मक समुच्चय (सेट) सिद्धांत के परिणामों में प्रभावी संस्करण हैं; कुछ मामलों में, नए परिणाम पहले प्रभावी संस्करण को साबित करके प्राप्त किए जाते हैं और फिर इसे और अधिक व्यापक रूप से लागू करने के लिए सापेक्ष (रिलेटिवाइज़िंग) का विस्तार किया जाता है।

अनुसंधान का एक हालिया क्षेत्र बोरेल तुल्यता संबंधों और अधिक जटिल निश्चित समतुल्यता संबंधों की चिंता करता है। यह गणित के कई क्षेत्रों में अपरिवर्तनीयों के अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

धुंधला समुच्चय सिद्धांत (फजी सेट थ्योरी)
समुच्चय सिद्धांत (सेट थ्योरी) में जैसा कि कैंटर ने परिभाषित किया और ज़र्मेलो और फ्रेंकेल ने स्वयंसिद्ध किया, एक वस्तु या तो एक समुच्चय (सेट) का सदस्य है या नहीं। धुंधला समुच्चय  सिद्धांत (फजी सेट थ्योरी) में इस स्थिति को लोटफी ए  ज़ादेह द्वारा शिथिल किया गया था, इसलिए एक वस्तु में एक समुच्चय (सेट) में सदस्यता की डिग्री होती है, 0 और 1 के बीच की संख्या। उदाहरण के लिए, लम्बे लोगों के समुच्चय (सेट) में एक व्यक्ति की सदस्यता की उपाधि सरल हां या ना में उत्तर की तुलना में अधिक लचीला है और 0.75 जैसी वास्तविक संख्या हो सकती है।

आंतरिक प्रतिरूप सिद्धांत (इनर मॉडल थ्योरी)
ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समुच्चय सिद्धांत (जेडएफ) का एक आंतरिक प्रतिरूप (मॉडल) एक सकर्मक वर्ग है जिसमें सभी गणनसंख्या (ऑर्डिनल) शामिल हैं और जेडएफ के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। विहित (कैनोनिकल) उदाहरण गोडेल द्वारा विकसित रचनात्मक ब्रह्मांड एल है। एक कारण यह है कि आंतरिक प्रतिरूप (मॉडल) का अध्ययन रुचि का है कि इसका उपयोग निरंतरता परिणामों को साबित करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि जेडएफ का एक प्रतिरूप (मॉडल) V, सातत्य परिकल्पना या पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है, मूल प्रतिरूप (मॉडल) के अंदर निर्मित आंतरिक प्रतिरूप (मॉडल) L सामान्यीकृत निरंतरता परिकल्पना और पसंद के स्वयंसिद्ध दोनों को संतुष्ट करेगा। इस प्रकार यह धारणा कि जेडएफ सुसंगत है (कम से कम एक प्रतिरूप  है) का अर्थ है कि जेडएफ इन दो सिद्धांतों के साथ मिलकर सुसंगत है।

नियति और बड़े गणनसंख्या (ऑर्डिनल) के अध्ययन में आंतरिक प्रतिरूप (मॉडल) का अध्ययन आम है, खासकर जब स्वयंसिद्धता के स्वयंसिद्ध जैसे स्वयंसिद्धों पर विचार करते हैं जो पसंद के स्वयंसिद्ध का खंडन करते हैं। यहां तक ​​कि अगर समुच्चय (सेट) सिद्धांत का एक निश्चित प्रतिरूप (मॉडल) पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है, यह संभव है कि एक आंतरिक प्रतिरूप (मॉडल) पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने में विफल हो। उदाहरण के लिए, पर्याप्त रूप से बड़े गणनसंख्या (ऑर्डिनल) के अस्तित्व का तात्पर्य है कि एक आंतरिक प्रतिरूप (मॉडल) है जो नियतता के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है (और इस प्रकार पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट नहीं करता है)।

बड़े गणनसंख्या (कार्डिनल्स)
एक बड़ा गणनसंख्या (कार्डिनल्स) एक अतिरिक्त संपत्ति के साथ एक गणनसंख्या (कार्डिनल्स) नंबर है। इस तरह के कई गुणों का अध्ययन किया जाता है, जिसमें दुर्गम गणनसंख्या (कार्डिनल्स), औसत दर्जे का गणनसंख्या (कार्डिनल्स) और कई और शामिल हैं।ये गुण आम तौर पर इंगित करते हैं कि गणनसंख्या (कार्डिनल्स) संख्या बहुत बड़ी होनी चाहिए, जिसमें गणनसंख्या (कार्डिनल्स) के अस्तित्व के साथ ज़रमेलो -फ्रेनकेल समुच्चय (सेट) सिद्धांत में निर्दिष्ट संपत्ति के साथ अप्राप्य है।

निर्धारण
निर्धारण इस तथ्य को संदर्भित करता है कि,उपयुक्त मान्यताओं के तहत, सही जानकारी के कुछ दो-खिलाड़ी खेल इस अर्थ में शुरू से निर्धारित किए जाते हैं कि एक खिलाड़ी के पास एक जीतने की रणनीति होनी चाहिए। वर्णनात्मक समुच्चय (सेट) सिद्धांत में इन रणनीतियों के अस्तित्व के महत्वपूर्ण परिणाम हैं, क्योंकि यह धारणा कि खेलों का एक व्यापक वर्ग निर्धारित किया जाता है, अक्सर इसका अर्थ है कि समुच्चय (सेट) के एक व्यापक वर्ग में एक संस्थानिक (टोपोलॉजिकल) संपत्ति होगी। निर्धारण (एडी) का स्वयंसिद्ध अध्ययन का एक महत्वपूर्ण उद्देश्य है;यद्यपि पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ असंगत, एडी का तात्पर्य है कि वास्तविक रेखा के सभी उपसमुच्चय (सबसेट) अच्छी तरह से व्यवहार करते हैं (विशेष रूप से, मापने योग्य और पूर्ण समुच्चय (सेट) संपत्ति के साथ)। एडी का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि वैज उपाधि में एक सुरुचिपूर्ण संरचना है।

प्रणोदन
पॉल कोहेन ने जेडएफसी के एक प्रतिरूप (मॉडल) की खोज करते हुए मजबूर करने की विधि का आविष्कार किया, जिसमें निरंतरता परिकल्पना विफल हो जाती है, या जेडएफ का एक प्रतिरूप (मॉडल) जिसमें पसंद का स्वयंसिद्ध विफल हो जाता है। निर्माण और मूल प्रतिरूप द्वारा निर्धारित गुणों (यानी प्रणोदन) के साथ एक बड़ा प्रतिरूप बनाने के लिए समुच्चय (सेट) सिद्धांत अतिरिक्त समुच्चय (सेट) के कुछ दिए गए प्रतिरूप के अतिरिक्त समुच्चय (सेट) को मजबूर करना। उदाहरण के लिए, कोहेन का निर्माण मूल प्रतिरूप के किसी भी गणनसंख्या (कार्डिनल्स) संख्या को बदलने के बिना प्राकृतिक संख्याओं के अतिरिक्त उपसमुच्चय (सबसेट) को जोड़ता है। प्रणोदन (फोर्सिंग) भी परिमित तरीकों से सापेक्ष स्थिरता साबित करने के लिए दो तरीकों में से एक है, दूसरी विधि बूलियन-मूल्यवान प्रतिरूप है।

गणनसंख्या अपरिवर्तनशीलताओं (कार्डिनल इनवेरिएंट्स)
एक गणनसंख्या (कार्डिनल) अपरिवर्तनीय एक गणनसंख्या (कार्डिनल) नंबर द्वारा मापी गई वास्तविक रेखा का गुण है। उदाहरण के लिए, एक अच्छी तरह से अध्ययन किया गया अपरिवर्तनीय वास्तविक के अल्प समुच्चय (सेट) के संग्रह का सबसे छोटा गणनसंख्या (कार्डिनलिटी) है, जिसका मिलन संपूर्ण वास्तविक रेखा है। ये इस अर्थ में अपरिवर्तनीय हैं कि समुच्चय (सेट) सिद्धांत के किसी भी दो समरूपी (आइसोमॉर्फिक) प्रतिरूप (मॉडल) को प्रत्येक अपरिवर्तनीय के लिए एक ही गणनसंख्या (कार्डिनल) देना चाहिए। कई गणनसंख्या (कार्डिनल) अपरिवर्तनीय (इनवेरिएंट्स) का अध्ययन किया गया है, और उनके बीच संबंध अक्सर जटिल होते हैं औरसमुच्चय (सेट) सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से संबंधित होते हैं।

समुच्चय (सेट)-सिद्धांतिक सांस्थिति (टोपोलॉजी)
समुच्चय (सेट)-सिद्धांतिक सांस्थिति (टोपोलॉजी) सामान्य सांस्थिति (टोपोलॉजी) के प्रश्नों का अध्ययन करती है जो प्रकृति में समुच्चय (सेट)-सिद्धांतीय हैं या जिनके समाधान के लिए समुच्चय (सेट) सिद्धांत के उन्नत तरीकों की आवश्यकता होती है। इनमें से कई प्रमेय जेडएफसी से स्वतंत्र हैं, उनके प्रमाण के लिए मजबूत स्वयंसिद्धों की आवश्यकता होती है। एक प्रसिद्ध समस्या सामान्य मूर अंतरिक्ष प्रश्न है, सामान्य सांस्थिति (टोपोलॉजी) में एक प्रश्न जो गहन अनुसंधान का विषय था। सामान्य मूर अंतरिक्ष प्रश्न का उत्तर अंततः जेडएफसी से स्वतंत्र साबित हुआ।

सिद्धांत स्थापित करने पर आपत्ति
समुच्चय (सेट) सिद्धांत की स्थापना से ही, कुछ गणितज्ञों ने गणित की नींव के रूप में इसका विरोध किया है। समुच्चय (सेट) सिद्धांत के लिए सबसे आम आपत्ति, एक क्रोनकर ने समुच्चय (सेट) सिद्धांत के शुरुआती वर्षों में आवाज उठाई, रचनात्मक दृष्टिकोण से शुरू होता है कि गणित की गणना से शिथिल रूप से संबंधित है। यदि यह दृश्य प्रदान किया जाता है, तो भोले और स्वयंसिद्ध समुच्चय (सेट) सिद्धांत दोनों में अनंत समुच्चयों (सेटों) का उपचार, गणित के तरीकों और वस्तुओं का परिचय देता है जो सिद्धांत रूप में भी गणना योग्य नहीं हैं। गणित के विकल्प के रूप में रचनावाद की व्यवहार्यता को इरेट बिशप की प्रभावशाली पुस्तक फाउंडेशन ऑफ कंस्ट्रक्टिव एनालिसिस द्वारा काफी बढ़ा दिया गया था।

हेनरी पोइंकेरे द्वारा रखी गई एक अलग आपत्ति यह है कि विनिर्देश और प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध योजना का उपयोग करके समुच्चय (सेट) को परिभाषित करना, साथ ही साथ शक्ति समुच्चय (सेट) का स्वयंसिद्ध, गणितीय वस्तुओं की परिभाषाओं में अभेद्यता, एक प्रकार की वृत्ताकारता का परिचय देता है। अनुमानित रूप से स्थापित गणित की गुंजाइश, जबकि सामान्य रूप से स्वीकृत ज़रमेलो -फ्रेनकेल सिद्धांत की तुलना में कम है, रचनात्मक गणित की तुलना में बहुत अधिक है, इस बिंदु पर कि सोलोमन फफरमैन ने कहा है कि "वैज्ञानिक रूप से लागू सभी विश्लेषण विकसित किए जा सकते हैं [विधेय का उपयोग करके तरीके]"।।

लुडविग विट्गेन्स्टाइन ने गणितीय प्‍लैटोवाद (प्लैटोनिज्म) के अपने अर्थों के लिए दार्शनिक रूप से समुच्चय (सेट) सिद्धांत की निंदा की। उन्होंने लिखा है कि "समुच्चय (सेट) सिद्धांत गलत है", क्योंकि यह काल्पनिक प्रतीकवाद की "बकवास" पर आधारित है, इसमें "खतरनाक मुहावरे" हैं, और यह "सभी संख्याओं" के बारे में बात करना निरर्थक है। विट्गेन्स्टाइन ने कलन विधि (एल्गोरिथम) मानव कटौती के साथ साथ पहचाना; गणित के लिए एक सुरक्षित नींव की आवश्यकता, उसे, निरर्थक लगती थी। इसके अलावा, चूंकि मानव प्रयास आवश्यक रूप से परिमित है, विट्गेन्स्टाइन के दर्शन को कट्टरपंथी रचनावाद और परिमितता के लिए एक सत्तामूलक (ऑन्कोलॉजिकल) प्रतिबद्धता की आवश्यकता थी। मेटा-गणितीय (मैथेमेटिकल)  कथन  (स्टेटमेंट्स)-जो, विट्गेन्स्टाइन के लिए, अनंत डोमेन पर किसी भी कथन को शामिल करते हैं, और इस प्रकार लगभग सभी आधुनिक सेट सिद्धांत-गणित नहीं हैं। कुछ आधुनिक दार्शनिकों ने गणित की नींव पर टिप्पणी में शानदार गड़बड़ी के बाद विट्गेन्स्टाइन के विचारों को अपनाया है: विट्गेन्स्टाइन ने केवल सार पढ़ने के बाद गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों का खंडन करने का प्रयास किया। समीक्षकों के रूप में क्रेसेल, बर्नेज़, डुमेट, और आर। एल। गुडस्टीन | गुडस्टीन ने सभी को इंगित किया, उनके कई आलोचकों ने कागज पर पूर्ण रूप से लागू नहीं किया। केवल हाल ही में दार्शनिकों जैसे क्रिस्पिन राइट ने विट्गेन्स्टाइन के तर्कों का पुनर्वास करना शुरू कर दिया।

श्रेणी सिद्धांतकारों ने टॉपोस सिद्धांत को पारंपरिक स्वयंसिद्ध समुच्चय (सेट) सिद्धांत के विकल्प के रूप में प्रस्तावित किया है। टोपोस सिद्धांत उस सिद्धांत के लिए विभिन्न विकल्पों की व्याख्या कर सकता है, जैसे कि निर्माणवाद, परिमित समुच्चय (सेट) सिद्धांत और संगणनीय (कम्प्यूटेबल) समुच्चय (सेट) सिद्धांत। टोपोई भी जेडएफ से पसंद की स्वतंत्रता के लिए मजबूर करने और चर्चा के लिए एक प्राकृतिक स्थापना देता है, साथ ही साथ व्यर्थ सांस्थिति (टोपोलॉजी) और पत्थर के स्थानों के लिए रूपरेखा प्रदान करता है।

अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र एकतरफा नींव है और यह होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत से संबंधित है। होमोटॉपी प्रकार के सिद्धांत के भीतर, एक समुच्चय (सेट) को होमोटॉपी 0-प्रकार के रूप में माना जा सकता है, जिसमें उच्च अपरिवर्तनीय प्रकारों के आगमनात्मक और पुनरावर्ती गुणों से उत्पन्न होने वाले सेट के सार्वभौमिक गुण हैं। पसंद के स्वयंसिद्ध और बहिष्कृत मध्य के कानून जैसे सिद्धांतों को समुच्चय (सेट) सिद्धांत में शास्त्रीय सूत्रीकरण के अनुरूप या शायद सिद्धांत को मुद्रलेख (टाइप) करने के लिए विशिष्ट तरीकों के एक तरंग (स्पेक्ट्रम) में तैयार किया जा सकता है। इनमें से कुछ सिद्धांत अन्य सिद्धांतों का परिणाम साबित हो सकते हैं। इन स्वयंसिद्ध सिद्धांतों के योगों (फॉर्मूलेशन) की विविधता विभिन्न गणितीय परिणामों को प्राप्त करने के लिए आवश्यक योगों (फॉर्मूलेशन) के विस्तृत विश्लेषण के लिए अनुमति देती है।

गणितीय शिक्षा में सिद्धांत निर्धारित करें
जैसा कि समुच्चय (सेट) सिद्धांत ने आधुनिक गणित के लिए एक नींव के रूप में लोकप्रियता हासिल की है, गणित की शिक्षा में शुरुआती भोले समुच्चय (सेट) सिद्धांत की मूल बातें शुरू करने के विचार का समर्थन किया गया है।

1960 के दशक में अमेरिका में, नए गणित प्रयोग का उद्देश्य प्राथमिक विद्यालय के छात्रों के लिए अन्य अमूर्त अवधारणाओं के साथ बुनियादी समुच्चय (सेट) सिद्धांत को पढ़ाना था, लेकिन इसकी बहुत आलोचना हुई। यूरोपीय विद्यालय में गणित के पाठ्यक्रम ने इस प्रवृत्ति का अनुसरण किया, और वर्तमान में सभी श्रेणी में विभिन्न स्तरों पर विषय शामिल है। प्राथमिक विद्यालय के छात्रों को बुनियादी समुच्चय (सेट)-सिद्धांत संबंधों को समझाने के लिए वेन आरेखों का व्यापक रूप सेउपयोग किया जाता है (भले ही जॉन वेन ने मूल रूप से उन्हें शब्द तर्क (टर्म लॉजिक) में अनुमानों की वैधता का आकलन करने के लिए एक प्रक्रिया के हिस्से के रूप में तैयार किया था)।

समुच्चय (सेट) सिद्धांत का उपयोग छात्रों को तार्किक प्रचालक (ऑपरेटरों) (नहीं, और, या), और अर्थ (सिमेंटिक) या नियम विवरण (तकनीकी रूप से गहन परिभाषा (नहीं)से परिचित कराने के लिए किया जाता है (जैसे कि अक्षर ए से शुरू होने वाले महीने), जो संगणक कार्यक्रम (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) सीखते समय उपयोगी हो सकता है, क्योंकि बूलियन लॉजिक का उपयोग विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में किया जाता है।इसी तरह, समुच्चय (सेट) और अन्य संग्रह जैसी वस्तुएं, जैसे कि बहु समुच्चय (सेट) मल्टीसेट और सूचियाँ, संगणक (कंप्यूटर) विज्ञान और प्रोग्रामिंग में सामान्य तथ्य प्रकार (डेटाटाइप)  हैं।

इसके अलावा, समुच्चय (सेट) को आमतौर पर गणितीय शिक्षण में संदर्भित किया जाता है जब विभिन्न प्रकार के नंबरों के बारे में बात करते हैं ($N$, $Z$, $R$, ...), और जब एक समुच्चय (सेट) (डोमेन) से दूसरे समुच्चय (सेट) (रेंज) से संबंध के रूप में गणितीय कार्य (फ़ंक्शन) को परिभाषित करते हैं।

यह भी देखें

 * समुच्चय (सेट) सिद्धांत (थ्योरी) की शब्दावली
 * वर्ग समुच्चय (सेट) सिद्धांत
 * समुच्चय (सेट) सिद्धांत विषयों की सूची
 * संबंधपरक प्रतिरूप (मॉडल) - समुच्चय (सेट) सिद्धांत (थ्योरी) से उधार
 * वेन आरेख

बाहरी संबंध

 * Daniel Cunningham, Set Theory article in the Internet Encyclopedia of Philosophy.
 * Jose Ferreiros, The Early Development of Set Theory article in the [Stanford Encyclopedia of Philosophy].
 * Foreman, Matthew, Akihiro Kanamori, eds. Handbook of Set Theory. 3 vols., 2010. Each chapter surveys some aspect of contemporary research in set theory. Does not cover established elementary set theory, on which see Devlin (1993).
 * Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre in Klein's encyclopedia.
 * Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre in Klein's encyclopedia.
 * Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre in Klein's encyclopedia.

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