परिमित प्रतिच्छेदन गुण

सामान्य टोपोलॉजी में, गणित की एक शाखा, एक सेट (गणित) के सबसेट का एक गैर-रिक्त परिवार ए $$X$$ कहा जाता है कि परिमित प्रतिच्छेदन गुण (FIP) होता है यदि प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) किसी भी परिमित उपसंग्रह पर हो $$A$$ खाली सेट है|गैर-खाली। यदि किसी परिमित उपसंग्रह पर प्रतिच्छेदन होता है तो इसमें मजबूत परिमित प्रतिच्छेदन गुण (एसएफआईपी) होता है $$A$$ अनंत है. परिमित प्रतिच्छेदन गुण वाले सेट को केंद्रित सिस्टम और फ़िल्टर सबबेस भी कहा जाता है।

परिमित प्रतिच्छेदन संपत्ति का उपयोग बंद सेट के संदर्भ में टोपोलॉजिकल सघनता  को सुधारने के लिए किया जा सकता है; यह इसका सबसे प्रमुख अनुप्रयोग है. अन्य अनुप्रयोगों में यह साबित करना शामिल है कि कुछ बिल्कुल सही सेट  बेशुमार हैं, और अल्ट्राफिल्टर (सेट सिद्धांत) का निर्माण।

परिभाषा
होने देना $X$ एक सेट हो और $\mathcal{A}$  के सेट का एक गैर-रिक्त परिवार $X$ ; वह है, $\mathcal{A}$  के  सत्ता स्थापित  का एक उपसमुच्चय है $X$. तब $\mathcal{A}$ कहा जाता है कि उसके पास परिमित प्रतिच्छेदन संपत्ति है यदि प्रत्येक गैररिक्त परिमित उपपरिवार में गैररिक्त प्रतिच्छेदन है; ऐसा कहा जाता है कि इसमें मजबूत परिमित प्रतिच्छेदन गुण होता है यदि वह प्रतिच्छेदन हमेशा अनंत होता है।

प्रतीकों में, $\mathcal{A}$ यदि किसी परिमित गैर-रिक्त उपसमुच्चय के किसी भी विकल्प के लिए एफआईपी है $\mathcal{B}$  का $\mathcal{A}$ ,वहाँ एक बिंदु मौजूद होना चाहिए $$x\in\bigcap_{B\in \mathcal{B}}{B}\text{.}$$ वैसे ही, $\mathcal{A}$  ऐसे प्रत्येक विकल्प के लिए, यदि उसके पास एसएफआईपी है $\mathcal{B}$ ,ऐसे अनन्त रूप से अनेक हैं $x$.

फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) के अध्ययन में, सेट के एक परिवार के सामान्य प्रतिच्छेदन को कर्नेल (फ़िल्टर) कहा जाता है, जिसकी व्युत्पत्ति सूरजमुखी (गणित) के समान ही है। खाली कर्नेल वाले परिवारों को मुफ़्त फ़िल्टर कहा जाता है; गैर-रिक्त कर्नेल वाले, निश्चित फ़िल्टर (गणित)गणित)।

उदाहरणों और गैर-उदाहरणों के परिवार
खाली सेट परिमित प्रतिच्छेदन गुण वाले किसी भी संग्रह से संबंधित नहीं हो सकता है।

एफआईपी प्रतिच्छेदन संपत्ति के लिए एक पर्याप्त शर्त एक गैर-रिक्त कर्नेल है। यह विपरीत आम तौर पर गलत है, लेकिन सीमित परिवारों के लिए लागू होता है; वह है, यदि $$\mathcal{A}$$ तो फिर, परिमित है $$\mathcal{A}$$ परिमित प्रतिच्छेदन गुण है यदि और केवल यदि यह निश्चित है।

जोड़ीवार प्रतिच्छेदन
परिमित प्रतिच्छेदन संपत्ति जोड़ीवार प्रतिच्छेदन की तुलना में सख्ती से अधिक मजबूत है; परिवार $$\{\{1,2\}, \{2,3\}, \{1,3\}\}$$ जोड़ीवार प्रतिच्छेदन है, लेकिन एफआईपी नहीं।

अधिक सामान्यतः, चलो $n \in \N\setminus\{1\}$ एकता से बड़ा एक धनात्मक पूर्णांक हो, $[n]=\{1,\dots,n\}$, और $\mathcal{A}=\{[n]\setminus\{j\}:j\in[n]\}$. फिर का कोई उपसमुच्चय $$\mathcal{A}$$ से कम के साथ $n$ तत्वों में गैर-रिक्त प्रतिच्छेदन है, लेकिन $\mathcal{A}$  एफआईपी का अभाव है।

अंत-प्रकार के निर्माण
अगर $$A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \cdots$$ गैर-रिक्त सेटों का घटता क्रम है, फिर परिवार $\mathcal{A} = \left\{A_1, A_2, A_3, \ldots\right\}$ परिमित प्रतिच्छेदन गुण है (और यहां तक ​​कि एक पाई-प्रणाली भी है|)।$\pi$-प्रणाली)। यदि समावेशन $$A_1 \supseteq A_2 \supseteq A_3 \cdots$$ तो, सख्त उपसमुच्चय हैं $\mathcal{A}$  मजबूत परिमित प्रतिच्छेदन गुण को भी स्वीकार करता है।

अधिक सामान्यतः, कोई भी $\mathcal{A}$ यानी समावेशन द्वारा कुल ऑर्डर में एफआईपी है।

उसी समय, का कर्नेल $\mathcal{A}$ खाली हो सकता है: यदि $A_j=\{j,j+1,j+2,\dots\}$, फिर का #कर्नेल $$\mathcal{A}$$ खाली सेट है. इसी प्रकार अन्तराल का परिवार $$\left\{[r, \infty) : r \in \R\right\}$$ (एस)एफआईपी भी है, लेकिन खाली कर्नेल।

सामान्य सेट और गुण
सभी बोरेल सेट का परिवार $$[0, 1]$$ लेब्सग्यू माप के साथ $1$ एफआईपी है, जैसा कि  आओगेरे  सेट के परिवार के पास है। अगर $X$  एक अनंत सेट है, फिर फ़्रेचेट फ़िल्टर (परिवार)। $\{X\setminus C:C\text{ finite}\}$ ) के पास एफआईपी है। ये सभी निःशुल्क फ़िल्टर हैं; वे ऊपर की ओर बंद हैं और उनका अनंत प्रतिच्छेदन खाली है।

अगर $$X = (0, 1)$$ और, प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $$i,$$ उपसमुच्चय $$X_i$$ बिल्कुल सभी तत्व हैं $$X$$ अंक होना (गणित) $$0$$ में $$i$$वें दशमलव स्थान, फिर कोई भी परिमित प्रतिच्छेदन $$X_i$$ खाली नहीं है—बस ले लो $$0$$ उन बहुत सी जगहों पर और $$1$$ बाकी में। लेकिन का चौराहा $$X_i$$ सभी के लिए $$i \geq 1$$ खाली है, क्योंकि कोई तत्व नहीं है $$(0, 1)$$ सभी शून्य अंक हैं.

ग्राउंड सेट का विस्तार
(मजबूत) परिमित प्रतिच्छेदन संपत्ति परिवार की एक विशेषता है $\mathcal{A}$, ग्राउंड सेट नहीं $X$. यदि एक परिवार $\mathcal{A}$ मंच पर $X$  (एस)एफआईपी और स्वीकार करता है $X\subseteq Y$, तब $\mathcal{A}$  सेट पर एक परिवार भी है $Y$  एफआईपी (सम्मान एसएफआईपी) के साथ।

जेनरेट किए गए फ़िल्टर और टोपोलॉजी
अगर $$K \subseteq X$$ के साथ सेट हैं $$K \neq \varnothing$$ फिर परिवार $$\mathcal{A}=\{S \subseteq X : K \subseteq S\}$$ एफआईपी है; इस परिवार को प्रमुख फ़िल्टर कहा जाता है $X$ द्वारा उत्पन्न $K$. उपसमुच्चय $$\mathcal{B} = \{I \subseteq \R : K \subseteq I \text{ and } I \text{ an open interval}\}$$ एफआईपी भी इसी कारण से है: कर्नेल में गैर-रिक्त सेट होता है $K$. अगर $K$ एक खुला अंतराल है, फिर समुच्चय $K$  वास्तव में की गुठली के बराबर है $\mathcal{A}$  या $\mathcal{B}$, और इसी प्रकार प्रत्येक फ़िल्टर का एक तत्व है। लेकिन सामान्य तौर पर फ़िल्टर के कर्नेल को फ़िल्टर का एक तत्व होना आवश्यक नहीं है।

एक उचित फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) में परिमित प्रतिच्छेदन गुण होता है। टोपोलॉजिकल स्पेस में एक बिंदु पर प्रत्येक पड़ोस उपआधार में एफआईपी होता है, और यही बात प्रत्येक पड़ोस के आधार और एक बिंदु पर प्रत्येक पड़ोस फिल्टर के लिए भी सच है (क्योंकि प्रत्येक, विशेष रूप से, एक पड़ोस उपआधार भी है)।

संबंध π-सिस्टम और फिल्टर
एक पाई-प्रणाली|π-सिस्टम सेटों का एक गैर-रिक्त परिवार है जो परिमित चौराहों के तहत बंद है। सेट $$\pi(\mathcal{A}) = \left\{A_1 \cap \cdots \cap A_n : 1 \leq n < \infty \text{ and } A_1, \ldots, A_n \in \mathcal{A}\right\}$$एक या अधिक सेटों के सभी परिमित प्रतिच्छेदनों का $$\mathcal{A}$$ पाई-प्रणाली कहा जाता है|π-प्रणाली द्वारा उत्पन्न $\mathcal{A}$, क्योंकि यह न्यूनतम तत्व है π-प्रणाली होना $\mathcal{A}$ एक उपसमुच्चय के रूप में.

का ऊपर की ओर बंद होना $$\pi(\mathcal{A})$$ में $X$ सेट है $$\pi(\mathcal{A})^{\uparrow X} = \left\{S \subseteq X : P \subseteq S \text{ for some } P \in \pi(\mathcal{A})\right\}\text{.}$$ किसी भी परिवार के लिए $\mathcal{A}$, परिमित प्रतिच्छेदन संपत्ति निम्नलिखित में से किसी के बराबर है:

पाई-प्रणाली|π-प्रणाली द्वारा उत्पन्न $$\mathcal{A}$$ तत्व के रूप में खाली सेट नहीं है; वह है, $$\varnothing \notin \pi(\mathcal{A}).$$  सेट $$\pi(\mathcal{A})$$ परिमित प्रतिच्छेदन गुण है। सेट $$\pi(\mathcal{A})$$ एक (उचित) है पूर्व फिल्टर परिवार $$\mathcal{A}$$ कुछ (उचित) प्रीफ़िल्टर का एक उपसमूह है। ऊपर की ओर बंद होना $\pi(\mathcal{A})^{\uparrow X}$ एक उचित फ़िल्टर (सेट सिद्धांत)|(उचित) फ़िल्टर चालू है $X$. इस मामले में, $$\pi(\mathcal{A})^{\uparrow X}$$ फ़िल्टर ऑन कहा जाता है $X$ द्वारा उत्पन्न $\mathcal{A}$, क्योंकि यह न्यूनतम है (के संबंध में)। $$\,\subseteq\,$$) फ़िल्टर चालू करें $$X$$ उसमें सम्मिलित है $$\mathcal{A}$$ एक उपसमुच्चय के रूप में. <ली>$$\mathcal{A}$$ कुछ (उचित) का एक उपसमुच्चय है फ़िल्टर.

सघनता
परिमित प्रतिच्छेदन गुण सघन स्थान  की वैकल्पिक परिभाषा तैयार करने में उपयोगी है:

$$

कॉम्पैक्टनेस के इस सूत्रीकरण का उपयोग टाइकोनॉफ़ के प्रमेय के कुछ प्रमाणों में किया जाता है।

पूर्ण स्थानों की बेशुमारता
एक अन्य सामान्य अनुप्रयोग यह साबित करना है कि वास्तविक संख्याएँ बेशुमार सेट हैं। $$प्रमेय के कथन में सभी शर्तें आवश्यक हैं:
 * 1) हम हॉसडॉर्फ स्थिति को समाप्त नहीं कर सकते; अविवेकी टोपोलॉजी के साथ एक गणनीय सेट (कम से कम दो बिंदुओं के साथ) कॉम्पैक्ट होता है, इसमें एक से अधिक बिंदु होते हैं, और यह गुण संतुष्ट करता है कि कोई भी एक बिंदु सेट खुला नहीं है, लेकिन यह बेशुमार नहीं है।
 * 2) जैसा कि परिमेय संख्याओं के सेट से पता चलता है, हम सघनता की स्थिति को समाप्त नहीं कर सकते।
 * 3) हम इस शर्त को समाप्त नहीं कर सकते कि एक बिंदु सेट खुला नहीं हो सकता, जैसा कि असतत टोपोलॉजी के साथ कोई भी सीमित स्थान दिखाता है।

$$$$

$$

$$

अल्ट्राफिल्टर
होने देना $$X$$ गैर-रिक्त होना, $$F \subseteq 2^X.$$ $$F$$ परिमित प्रतिच्छेदन गुण होना। फिर वहाँ एक मौजूद है $$U$$ अल्ट्राफ़िल्टर (सेट सिद्धांत) (में $$2^X$$) ऐसा है कि $$F \subseteq U.$$ इस परिणाम को अल्ट्राफिल्टर लेम्मा के रूप में जाना जाता है।

सामान्य स्रोत

 * (टोपोलॉजी और मीट्रिक स्पेस में फ़िल्टर की परिचयात्मक समीक्षा प्रदान करता है।)
 * (टोपोलॉजी और मीट्रिक स्पेस में फ़िल्टर की परिचयात्मक समीक्षा प्रदान करता है।)
 * (टोपोलॉजी और मीट्रिक स्पेस में फ़िल्टर की परिचयात्मक समीक्षा प्रदान करता है।)
 * (टोपोलॉजी और मीट्रिक स्पेस में फ़िल्टर की परिचयात्मक समीक्षा प्रदान करता है।)
 * (टोपोलॉजी और मीट्रिक स्पेस में फ़िल्टर की परिचयात्मक समीक्षा प्रदान करता है।)
 * (टोपोलॉजी और मीट्रिक स्पेस में फ़िल्टर की परिचयात्मक समीक्षा प्रदान करता है।)
 * (टोपोलॉजी और मीट्रिक स्पेस में फ़िल्टर की परिचयात्मक समीक्षा प्रदान करता है।)
 * (टोपोलॉजी और मीट्रिक स्पेस में फ़िल्टर की परिचयात्मक समीक्षा प्रदान करता है।)
 * (टोपोलॉजी और मीट्रिक स्पेस में फ़िल्टर की परिचयात्मक समीक्षा प्रदान करता है।)
 * (टोपोलॉजी और मीट्रिक स्पेस में फ़िल्टर की परिचयात्मक समीक्षा प्रदान करता है।)