सहसंबंध आयाम

कैओस सिद्धांत में, सहसंबंध आयाम ('ν'' द्वारा चिह्नित) यादृच्छिक बिंदुओं के एक सेट द्वारा कब्जा किए गए स्थान के आयाम का एक उपाय है, जिसे अक्सर फ्रैक्टल आयाम के एक प्रकार के रूप में संदर्भित किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास 0 और 1 के बीच वास्तविक संख्या रेखा पर यादृच्छिक बिंदुओं का एक सेट है, तो सहसंबंध आयाम ν = 1 होगा, जबकि यदि वे कहते हैं, त्रि-आयामी अंतरिक्ष (या m- आयामी स्थान), सहसंबंध आयाम ν = 2 होगा। हम आयाम के माप से सहज रूप से यही अपेक्षा करेंगे। सहसंबंध आयाम की वास्तविक उपयोगिता भग्न वस्तुओं के (संभवतः भिन्नात्मक) आयामों को निर्धारित करने में है। आयाम को मापने के अन्य तरीके हैं (उदाहरण के लिए हॉसडॉर्फ आयाम, बॉक्स-गिनती आयाम, और सूचना आयाम) लेकिन सहसंबंध आयाम का सीधा और त्वरित गणना होने का लाभ है, जब कम संख्या में अंक उपलब्ध होते हैं, तो कम शोर होता है, और अक्सर आयाम की अन्य गणनाओं के अनुरूप होता है।

एम-आयामी अंतरिक्ष में एन बिंदुओं के किसी भी सेट के लिए


 * $$\vec x(i)=[x_1(i),x_2(i),\ldots,x_m(i)], \qquad i=1,2,\ldots N$$

तो सहसंबंध अभिन्न सी (ε) द्वारा गणना की जाती है:


 * $$C(\varepsilon)=\lim_{N \rightarrow \infty} \frac{g}{N^2}$$

जहाँ g उन बिंदुओं के जोड़े की कुल संख्या है जिनके बीच की दूरी ε से कम है (ऐसे करीबी जोड़े का एक ग्राफिकल प्रतिनिधित्व पुनरावृत्ति प्लॉट है)। चूंकि अंकों की संख्या अनंत तक जाती है, और उनके बीच की दूरी शून्य हो जाती है, सहसंबंध अभिन्न, ε के छोटे मूल्यों के लिए, रूप ले लेगा:


 * $$C(\varepsilon) \sim \varepsilon^\nu $$

यदि अंकों की संख्या पर्याप्त रूप से बड़ी है, और समान रूप से वितरित है, तो सहसंबंध अभिन्न बनाम ε का लॉग-लॉग ग्राफ़ ν का अनुमान देगा। इस विचार को यह समझकर गुणात्मक रूप से समझा जा सकता है कि उच्च-आयामी वस्तुओं के लिए, बिंदुओं को एक-दूसरे के करीब रखने के अधिक तरीके होंगे, और इसलिए उच्च आयामों के लिए एक-दूसरे के करीब जोड़े की संख्या तेजी से बढ़ेगी।

1983 में पीटर ग्रासबर्गर और इटामर प्रोकैसिया ने इस तकनीक की शुरुआत की; लेख कई भग्न वस्तुओं के लिए ऐसे अनुमानों के परिणाम देता है, साथ ही भग्न आयाम के अन्य उपायों के मूल्यों की तुलना करता है। तकनीक का उपयोग (नियतात्मक) अराजक और वास्तव में यादृच्छिक व्यवहार के बीच अंतर करने के लिए किया जा सकता है, हालांकि यह नियतात्मक व्यवहार का पता लगाने में अच्छा नहीं हो सकता है यदि नियतात्मक उत्पादन तंत्र बहुत जटिल है। उदाहरण के तौर पर, सन इन टाइम लेख में, विधि का उपयोग यह दिखाने के लिए किया गया था कि दैनिक और 11-वर्षीय चक्रों जैसे ज्ञात चक्रों के लिए लेखांकन के बाद सूर्य पर धब्बे की संख्या बहुत कम यादृच्छिक फ्रैक्टल आकर्षण के साथ यादृच्छिक शोर नहीं है, बल्कि अराजक शोर है।.

यह भी देखें

 * टेकेंस 'प्रमेय
 * सहसंबंध अभिन्न
 * पुनरावृत्ति परिमाणीकरण विश्लेषण
 * अनुमानित एन्ट्रापी

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