संरचना (गणितीय तर्क)

सार्वभौमिक बीजगणित और मॉडल सिद्धांत में, संरचना में एक सेट (गणित) के साथ-साथ अंतिम संचालन और संबंधों का एक संग्रह होता है जो उस पर परिभाषित होते है।

सार्वभौम बीजगणित उन संरचनाओं का अध्ययन करता है जो समूह, वलय, क्षेत्र और सदिश स्थान जैसी बीजगणितीय संरचनाओं का सामान्यीकरण करती है। सार्वभौम बीजगणित शब्द का उपयोग प्रथम-क्रम के सिद्धांतों की संरचनाओं के लिए किया जाता है, जिसमें कोई संबंध प्रतीक नहीं होता है। मॉडल सिद्धांत का एक अलग दायरा है जिसमें सेट सिद्धांत के मॉडल जैसे मूलभूत संरचनाओं सहित अधिक मनमाना प्रथम-क्रम सिद्धांतों को सम्मलित किया गया है।

मॉडल-सैद्धांतिक दृष्टिकोण से, संरचनाएं पहले-क्रम तर्क के शब्दार्थ को परिभाषित करने के लिए उपयोग की जाने वाली वस्तुएं हैं, सीएफ टार्स्की का सत्य का सिद्धांत या टार्स्कियन अर्थविज्ञान का सिद्धांत भी है।

मॉडल सिद्धांत में दिए गए सिद्धांत के लिए, संरचना को एक मॉडल कहा जाता है यदि यह उस सिद्धांत के परिभाषित स्वीकृती को संतुष्ट करता है, चूंकि कभी-कभी इसे अर्थ-संबंधी मॉडल के रूप में असंबद्ध किया जाता है जब कोई गणितीय मॉडल की अधिक सामान्य समायोजन में धारणा पर चर्चा करता है। तर्कशास्त्री कभी-कभी संरचनाओं को व्याख्या के रूप में संदर्भित करते है, जबकि व्याख्या शब्द का सामान्यतः मॉडल सिद्धांत में एक अलग (चूंकि संबंधित) अर्थ होता है, व्याख्या (मॉडल सिद्धांत) देखें।

डेटाबेस सिद्धांत में, बिना किसी फलन वाली संरचनाओं का संबंधपरक डेटाबेस के मॉडल के रूप में अध्ययन किया जाता है।

परिभाषा
औपचारिक रूप से, एक संरचना को ट्रिपल के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$\mathcal{A} = (A, \sigma, I)$$ डोमेन से मिलकर $$A,$$ एक संकेत (तर्क) $$\sigma,$$ और एक व्याख्या फलन $$I$$ यह इंगित करता है कि डोमेन पर संकेत की व्याख्या कैसे की जानी है। यह इंगित करने के लिए कि संरचना में एक विशेष संकेत है $$\sigma$$ कोई इसे एक $$\sigma$$-संरचना के रूप में संदर्भित कर सकता है।

डोमेन
एक संरचना का डोमेन एक मनमाना सेट होता है, इसे संरचना का अंतर्निहित सेट व्योम या डोमेन भी कहा जाता है। मौलिक प्रथम-क्रम तर्क में, संरचना की परिभाषा रिक्त डोमेन को प्रतिबंधित करती है।

कभी-कभी अंकन $$\operatorname{dom}(\mathcal A)$$ या $$|\mathcal A|$$ के डोमेन के लिए प्रयोग किया जाता है $$\mathcal A,$$ लेकिन अधिकांशतः संरचना और उसके डोमेन के बीच कोई सांकेतिक भेद नहीं किया जाता है (अर्थात, एक ही प्रतीक $$\mathcal A$$ संरचना और उसके डोमेन दोनों को संदर्भित करता है।)

संकेत
संकेत (तर्क) $$\sigma = (S, \operatorname{ar})$$ संरचना में सम्मलित होते है:

चूंकि बीजगणित में उत्पन्न होने वाले संकेतों में अधिकांशतः केवल फलन प्रतीक होते है, बिना संबंध प्रतीकों वाले संकेत को बीजगणितीय संकेत कहा जाता है। ऐसे संकेत वाली संरचना को बीजगणित भी कहा जाता है; इसे किसी क्षेत्र पर बीजगणित की धारणा के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।
 * सेट $$S$$ फलन प्रतीकों और संबंध प्रतीकों के साथ होता है
 * फलन $$\operatorname{ar} : \ S \to \N_0$$ जो प्रत्येक प्रतीक को बताता है $$s$$ एक प्राकृतिक संख्या $$n = \operatorname{ar}(s).$$
 * प्राकृतिक संख्या $$n=\operatorname{ar}(s)$$ एक प्रतीक का $$s$$ का योग कहा जाता है क्योंकि यह व्याख्या [स्पष्टीकरण की आवशयकता] की अरिटी है

व्याख्या फलन
व्याख्या फलन $$I$$ का $$\mathcal A$$ संकेत के प्रतीकों को फलन और संबंध प्रदान करता है। प्रत्येक फलन प्रतीक $$f$$ की अरिटी $$n$$ असाइन किया गया है $$n$$- एरी फलन $$f^{\mathcal A} = I(f)$$ डोमेन पर प्रदान करता है। प्रत्येक संबंध प्रतीक $$R$$ अरिटी की $$n$$ असाइन किया गया है $$n$$-आरी संबंध $$R^{\mathcal A} = I(R)\subseteq A^{\operatorname{ar(R)}}$$ डोमेन पर। एक शून्य ($$= \, 0$$-आरी) फलन प्रतीक $$c$$ को स्थिर प्रतीक कहा जाता है, क्योंकि इसकी व्याख्या $$I(c)$$ को डोमेन के एक स्थिर तत्व के साथ पहचाना जा सकता है।

जब एक संरचना (और इसलिए व्याख्या फलन) संदर्भ द्वारा दी जाती है, तो प्रतीक $$s$$ और इसकी व्याख्या $$I(s).$$ के बीच कोई सांकेतिक भेद नहीं किया जाता है। उदाप्रत्येकण के लिए, यदि $$f$$ का एक बाइनरी फलन प्रतीक है $$\mathcal A,$$ केवल लिखता है $$f : \mathcal A^2 \to \mathcal A$$ इसके अतिरिक्त $$f^{\mathcal A} : |\mathcal A|^2 \to |\mathcal A|.$$

उदाप्रत्येकण
मानक संकेत $$\sigma_f$$ क्षेत्र (गणित) के लिए दो बाइनरी फलन प्रतीक होते है $$\mathbf{+}$$ और $$\mathbf{\times}$$ जहां अतिरिक्त प्रतीकों को प्राप्त किया जा सकता है, जैसे कि एकात्मक फलन प्रतीक $$\mathbf{-}$$ विशिष्ट रूप से निर्धारित किया गया $$\mathbf{+}$$) और दो स्थिर चिह्न $$\mathbf{0}$$ और $$\mathbf{1}$$ (विशिष्ट रूप से निर्धारित $$\mathbf{+}$$ और $$\mathbf{\times}$$ क्रमश)। इस प्रकार संकेत के लिए एक संरचना (बीजगणित) में तत्वों का एक समूह होता है $$A$$ एक साथ में दो बाइनरी फलन, जिन्हें एक यूनरी फलन और दो विशिष्ट तत्वों के साथ बढ़ाया जा सकता है, लेकिन इस बात की कोई आवश्यकता नहीं है कि यह किसी भी क्षेत्र के स्वीकृती को संतुष्ट करे। परिमेय संख्याएँ $$\Q,$$ वास्तविक संख्याएँ $$\Reals$$ और जटिल संख्याएँ $$\Complex,$$ किसी अन्य क्षेत्र की तरह माना जा सकता है $$\sigma$$-संरचना एक स्पष्ट विधि से:$$\begin{alignat}{3} \mathcal Q &= (\Q, \sigma_f, I_{\mathcal Q}) \\ \mathcal R &= (\Reals, \sigma_f, I_{\mathcal R}) \\ \mathcal C &= (\Complex, \sigma_f, I_{\mathcal C}) \\ \end{alignat}$$तीनों स्थितियों में हमारे द्वारा दिए गए मानक फलन हैं$$\sigma_f = (S_f, \operatorname{ar}_f)$$

साथ $$S_f = \{+, \times, -, 0, 1\}$$ और$$\begin{alignat}{3} \operatorname{ar}_f&(+) &&= 2, \\ \operatorname{ar}_f&(\times) &&= 2, \\ \operatorname{ar}_f&(-) &&= 1, \\ \operatorname{ar}_f&(0) &&= 0, \\ \operatorname{ar}_f&(1) &&= 0. \\ \end{alignat}$$

व्याख्या फलन $$I_{\mathcal Q}$$ है:


 * $$I_{\mathcal Q}(+) : \Q \times \Q \to \Q$$ परिमेय संख्याओं का जोड़ है,
 * $$I_{\mathcal Q}(\times) : \Q \times \Q \to \Q$$ परिमेय संख्याओं का गुणन है,
 * $$I_{\mathcal Q}(-) : \Q \to \Q$$ वह फलन है जो प्रत्येक तर्कसंगत संख्या लेता है $$x$$ को $$-x,$$ और
 * $$I_{\mathcal Q}(0) \in \Q$$ संख्या है $$0,$$ और
 * $$I_{\mathcal Q}(1) \in \Q$$ संख्या है $$1;$$

और $$I_{\mathcal R}$$ और $$I_{\mathcal C}$$ समान रूप से परिभाषित हैं।

लेकिन वलय पूर्णांको का $$\Z$$ जो एक क्षेत्र नहीं है, भी है $$\sigma_f$$-संरचना उसी तरह वास्तव में, इस बात की कोई आवश्यकता नहीं है कि कोई भी क्षेत्र अभिगृहीत a में हो $$\sigma_f$$-संरचना।

आदेशित फ़ील्ड के लिए एक संकेत के अतिरिक्त बाइनरी संबंध की आवश्यकता होती है जैसे $$\,<\,$$ या $$\,\leq,\,$$ और इसलिए इस तरह के संकेत के लिए संरचनाएं बीजगणित नहीं हैं, भले ही वे शब्द के सामान्य, अस्पष्ट अर्थों में निश्चित रूप से बीजगणितीय संरचनाएं हों।

समुच्चय सिद्धांत के लिए सामान्य संकेत में एक एकल द्विआधारी संबंध सम्मलित होता है $$\in.$$ इस संकेत के लिए एक संरचना में तत्व का एक सेट और व्याख्या होती है $$\in$$ इन तत्वों पर एक द्विआधारी संबंध के रूप में होता है।

प्रेरित अवसंरचनाएं और बंद उप-समूचय
$$\mathcal A$$ का एक (प्रेरित) उपसंरचना कहा जाता है $$\mathcal B$$ यदि इस संबंध के लिए सामान्य संकेतन है $$\mathcal A \subseteq \mathcal B.$$
 * $$\mathcal A$$ और $$\mathcal B$$ एक ही संकेत हैं $$\sigma(\mathcal A) = \sigma(\mathcal B);$$
 * $$\mathcal A$$ का डोमेन में सम्मलित होते है $$\mathcal B:$$ $$|\mathcal A|\subseteq |\mathcal B|;$$ और
 * सभी फलनों और संबंध प्रतीकों की व्याख्या पर सहमत हैं $$|\mathcal A|.$$

उप-समूचय $$B \subseteq |\mathcal A|$$ संरचना के डोमेन का $$\mathcal A$$ बंद कहा जाता है यदि यह के फलनों के तहत बंद है $$\mathcal A,$$ अर्थात्, यदि निम्न शर्त पूरी होती है: प्रत्येक प्राकृतिक संख्या के लिए $$n,$$ प्रत्येक $$n$$-एरी फलन प्रतीक $$f$$ ( संकेत में $$\mathcal A$$) और सभी तत्व $$b_1, b_2, \dots, b_n \in B,$$ लगाने का परिणाम $$f$$ तक $$n$$-टुपल $$b_1b_2\dots b_n$$ से एक तत्व है $$B:$$ $$f(b_1, b_2, \dots, b_n) \in B.$$

प्रत्येक उप-समूचय के लिए $$B\subseteq|\mathcal A|$$ का सबसे छोटा बंद उप-समूचय है गणित $$|\mathcal A|$$ उसमें सम्मिलित है $$B.$$ इसे किसके द्वारा उत्पन्न बंद उप-समूचय कहा जाता है $$B,$$ या पतवार और $$B,$$ द्वारा दर्शाया गया $$\langle B\rangle$$ या $$\langle B\rangle_{\mathcal A}$$. परिचालक $$\langle\rangle$$ के सबसेट के सेट पर फ़ाइनिटरी क्लोजर ऑपरेटर है $$|\mathcal A|$$.

यदि $$\mathcal A = (A, \sigma, I)$$ और $$B \subseteq A$$ एक बंद उप-समूचय है, तो $$(B, \sigma, I')$$ की एक प्रेरित उपसंरचना है $$\mathcal A,$$ कहाँ $$I'$$ σ के प्रत्येक प्रतीक को प्रतिबंध निर्दिष्ट करता है $$B$$ इसकी व्याख्या में $$\mathcal A.$$ इसके विपरीत, एक प्रेरित उपसंरचना का डोमेन एक बंद उप-समूचय है।

संरचना के बंद उप-समूचय (या प्रेरित अवसंरचना) एक लैटिस (क्रम) बनाते हैं। दो उप-समूचयों का मिलन (गणित) उनका प्रतिच्छेदन है। दो उप-समूचयों का जुड़ाव (गणित) उनके संघ द्वारा उत्पन्न बंद उप-समूचय है। सार्वभौम बीजगणित एक संरचना के अवसंरचनाओं की लैटिस का विस्तार से अध्ययन करता है।

उदाप्रत्येकण
होने देना $$\sigma = \{+, \times, -, 0, 1\}$$ फिर से फ़ील्ड के लिए मानक संकेत बनें होते है। जब माना जाता है $$\sigma$$ संरचनाएँ प्राकृतिक विधि परिमेय संख्याएँ वास्तविक संख्याओं का एक उपसंरचना बनाती हैं, और वास्तविक संख्याएँ जटिल संख्याओं का एक उपसंरचना बनाती हैं। परिमेय संख्याएँ वास्तविक (या सम्मिश्र) संख्याओं की सबसे छोटी उपसंरचना होती हैं जो क्षेत्र के स्वीकृति को भी संतुष्ट करती हैं।

पूर्णांकों का समुच्चय वास्तविक संख्याओं का और भी छोटा उपसंरचना देता है जो कि एक क्षेत्र नहीं है। दरअसल, पूर्णांक इस संकेत का उपयोग करते हुए रिक्त सेट द्वारा उत्पन्न वास्तविक संख्याओं का आधार हैं। सार बीजगणित में धारणा जो एक क्षेत्र के उपसंरचना से मेल खाती है, वह एक क्षेत्र विस्तार की अतिरिक्त एक सबवलय है।

ग्राफ़ को परिभाषित करने का सबसे स्पष्ट विधि वाली संरचना है $$\sigma$$ एक एकल बाइनरी संबंध प्रतीक होता है $$E.$$ ग्राफ़ के शीर्ष संरचना का डोमेन बनाते हैं, और दो शीर्षों के लिए $$a$$ और $$b,$$ $$(a, b)\!\in \text{E}$$ मतलब कि $$a$$ और $$b$$ किनारे से जुड़े हुए हैं। संकेतीकरण में, सबग्राफ्स की शब्दावली की धारणा से अधिक प्रतिबंधात्मक है। उदाप्रत्येकण के लिए, लेट $$G$$ एक ग्राफ बनें जिसमें किनारे से जुड़े दो कोने होते हैं, और $$H$$ एक ही कोने से बना ग्राफ है लेकिन कोई किनारा नहीं है। $$H$$ का उपसमूह है $$G,$$ लेकिन एक प्रेरित उपसंरचना नहीं। ग्राफ सिद्धांत में धारणा जो प्रेरित उप-संरचनाओं से मेल खाती है, वह प्रेरित उप-अनुच्छेदों की है।

समरूपता
दो संरचनाएं दी गई हैं $$\mathcal A$$ और $$\mathcal B$$ एक ही संकेत σ, a (σ-) समरूपता से $$\mathcal A$$ को $$\mathcal B$$ एक नक्शा है (गणित) $$h:|\mathcal A|\rightarrow|\mathcal B|$$ जो फलनों और संबंधों को संरक्षित करता है। ज्यादा ठीक:


 * प्रत्येक एन-एरी फ़ंक्शन के लिए σ और किसी भी तत्व का प्रतीक f के लिए $$a_1,a_2,\dots,a_n\in|\mathcal A|$$, निम्नलिखित समीकरण धारण करता है:
 * $$h(f(a_1,a_2,\dots,a_n))=f(h(a_1),h(a_2),\dots,h(a_n))$$.


 * प्रत्येक एन-एरी संबंध के लिए σ और किसी भी तत्व का प्रतीक आर $$a_1,a_2,\dots,a_n\in|\mathcal A|$$, निम्नलिखित निहितार्थ धारण करता है:
 * जहा $$(a_1,a_2,\dots,a_n)\in R^{\mathcal{A}} \implies (h(a_1),h(a_2),\dots,h(a_n))\in R^{\mathcal{B}}$$ कहाँ $$R^{\mathcal{A}}$$, $$R^{\mathcal{B}}$$ संबंध प्रतीक की व्याख्या है $$R$$ संरचना में वस्तु सिद्धांत की $$\mathcal{A}$$, $$\mathcal{B}$$ क्रमश।

एक समरूपता h से $$\mathcal A$$ को $$\mathcal B$$ सामान्यतः के रूप में दर्शाया गया है $$h: \mathcal A\rightarrow\mathcal B$$, चूंकि तकनीकी रूप से फलन h के बीच है $$|\mathcal{A}|$$, $$|\mathcal{B}|$$ दो संरचनाओं में से $$\mathcal{A}$$, $$\mathcal{B}$$.

प्रत्येक हस्ताक्षर σ के लिए एक ठोस श्रेणी σ-होम होती है जिसमें σ-संरचनाएं वस्तुओं के रूप में होती हैं और σ- होमोमोर्फिज्म आकारिकी के रूप में होती हैं।

एक समरूपता $$h: \mathcal A\rightarrow\mathcal B$$ को कभी-कभी मजबूत कहा जाता है यदि:

मजबूत समरूपता σ-होम श्रेणी की एक उपश्रेणी को जन्म देती हैं जिसका ऊपर विरोध किया गया था।
 * वस्तु सिद्धांत और किसी भी तत्व के प्रत्येक एन-आरी संबंध प्रतीक आर के लिएऔर किसी भी तत्व के लिए $$b_1,b_2,\dots,b_n\in|\mathcal B|$$ ऐसा है कि $$(b_1,b_2,\dots,b_n)\in R^{\mathcal{B}}$$, वहाँ हैं $$a_1,a_2,\dots,a_n\in|\mathcal A|$$ ऐसा है कि $$(a_1,a_2,\dots,a_n)\in R^{\mathcal{A}}$$ और $$b_1=h(a_1),\,b_2=h(a_2),\,\dots,\,b_n=h(a_n).$$

एम्बेडिंग
ए (σ-) समरूपता $$h:\mathcal A\rightarrow\mathcal B$$ एक (σ-) एम्बेडिंग कहा जाता है यदि यह अतिरक्‍तता फलन है | एक-से-एक और


 * σ और किसी भी तत्व के प्रत्येक n-आर्य संबंध प्रतीक 'R के लिए $$a_1,a_2,\dots,a_n$$, निम्नलिखित समानता रखती है:
 * $$(a_1,a_2,\dots,a_n)\in R^{\mathcal{A}} \iff(h(a_1),h(a_2),\dots,h(a_n))\in R^{\mathcal{B}}$$

(जहां पहले की तरह $$R^{\mathcal{A}}$$, $$R^{\mathcal{B}}$$ संरचना में वस्तु सिद्धांत σ के संबंध प्रतीक R की व्याख्या को संदर्भित करता है $$\mathcal{A}$$, $$\mathcal{B}$$ क्रमश)। इस प्रकार एक एम्बेडिंग एक मजबूत समरूपता के समान है जो एक-से-एक है। σ-संरचनाओं और σ-एम्बेडिंग की श्रेणी σ-Emb σ-होम की एक ठोस उपश्रेणी है।

प्रेरित अवसंरचनाएँ σ-Emb में उप-वस्तुओं के अनुरूप हैं। यदि σ में केवल फलन प्रतीक हैं, तो σ-Emb σ-होम के एकरूपता की उपश्रेणी है। इस स्थितियो में प्रेरित अवसंरचना भी σ-होम में उपवस्तु के अनुरूप होती है।

उदाप्रत्येकण
जैसा कि ऊपर देखा गया है, संरचनाओं के रूप में रेखांकन के मानक संकेतीकरणमें प्रेरित उप-संरचना ठीक-ठीक प्रेरित उप-अनुच्छेद हैं। चूंकि, एक ग्राफ समरूपता एक ही चीज़ है जो ग्राफ़ को कोड करने वाली दो संरचनाओं के बीच एक समरूपता है। पिछले अनुभाग के उदाप्रत्येकण में, भले ही G का सबग्राफ H प्रेरित नहीं है, पहचान मानचित्र आईडी: H → G एक समरूपता है। यह मानचित्र वास्तव में σ-होम श्रेणी में एक एकरूपता है, और इसलिए H, G का एक सबऑब्जेक्ट है जो एक प्रेरित आधार नहीं है।

समरूपता समस्या
निम्नलिखित समस्या को समरूपता समस्या के रूप में जाना जाता है:


 * दो परिमित संरचनाओं को देखते हुए $$\mathcal A$$ और $$\mathcal B$$ एक परिमित संबंधपरक संकेत के लिए, एक समरूपता खोजें $$h:\mathcal A\rightarrow\mathcal B$$ या दिखाएँ कि ऐसा कोई समरूपता उपस्थित नहीं है।

प्रत्येक प्रतिबन्धी संतुष्टि कि समस्या (CSP) का समरूपता समस्या में अनुवाद है। इसलिए, परिमित मॉडल सिद्धांत के विधियो का उपयोग करके प्रतिबन्धि संतुष्टि और समरूपता समस्या की जटिलता का अध्ययन किया जा सकता है।

एक अन्य अनुप्रयोग डेटाबेस सिद्धांत में है, जहां डेटाबेस का एक संबंध मॉडल अनिवार्य रूप से एक संबंध संरचना के समान होता है। इससे पता चलता है कि डेटाबेस पर एक संयोजन क्वेरी को डेटाबेस मॉडल के समान संकेत में किसी अन्य संरचना द्वारा वर्णित किया जा सकता है। संबंधपरक मॉडल से क्वेरी का प्रतिनिधित्व करने वाली संरचना के लिए एक समरूपता क्वेरी के समाधान के समान ही है। इससे पता चलता है कि संयोजक क्वेरी समस्या भी होमोमोरफिस्म समस्या के समतुल्य है।

संरचनाएं और प्रथम-क्रम तर्क
संरचनाओं को कभी-कभी "प्रथम-क्रम संरचना" के रूप में संदर्भित किया जाता है। ह भ्रामक है, क्योंकि उनकी परिभाषा में कुछ भी उन्हें किसी विशिष्ट तर्क से बांधता नहीं है, और वास्तव में वे शब्दार्थ वस्तुओं के रूप में उपयुक्त हैं, दोनों पहले क्रम के तर्क के बहुत सीमित अंशों के लिए जैसे कि सार्वभौमिक बीजगणित में उपयोग किया जाता है, और दूसरे क्रम के तर्क के लिए भी उपयोग किया जाता है। प्रथम-क्रम तर्क और मॉडल सिद्धांत के संबंध में, संरचनाओं को अधिकांशतः मॉडल कहा जाता है, तब भी जब प्रश्न किसका मॉडल? होता है तो कोई स्पष्ट उत्तर नहीं होता है।

संतुष्टि संबंध
प्रत्येक प्रथम-क्रम संरचना $$\mathcal{M} = (M, \sigma, I)$$ का संतुष्टि संबंध है$$\mathcal{M} \vDash \phi$$ सभी सूत्रों के लिए परिभाषित $$\, \phi$$ की भाषा से मिलकर भाषा में $$\mathcal{M}$$ के प्रत्येक तत्व के लिए एक स्थिर प्रतीक के साथ $$M,$$ जिसे उस तत्व के रूप में समझा जाता है। इस संबंध को टार्स्की की टी-स्कीमा का उपयोग करके आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है।

संरचना $$\mathcal{M}$$ सिद्धांत (गणितीय तर्क) का एक मॉडल कहा जाता है $$T$$ यदि भाषा $$\mathcal{M}$$ की भाषा के समान है $$T$$ और प्रत्येक वाक्य में $$T$$ से संतुष्ट है $$\mathcal{M}.$$ इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक "वलय" वलयों की भाषा के लिए एक संरचना है वलय के स्वीकृत को संतुष्ट करती है, और जेडएफसी सेट सिद्धांत मॉडल भाषा में एक संरचना है। जो प्रत्येक जेडएफसी स्वीकृत को संतुष्ट करती है।

निश्चित संबंध
एक $$n$$-आर्य संबंध $$R$$ व्योम पर (अर्थात डोमेन) $$M$$ संरचना का $$\mathcal{M}$$ परिभाषित करने योग्य कहा जाता है (या स्पष्ट रूप से परिभाषित करने योग्य सीएफ बेथ निश्चितता, या $$\emptyset$$-परिभाषित करने योग्य, या मापदंडों के साथ निश्चित $$\emptyset$$सीएफ नीचे) यदि कोई सूत्र है $$\varphi(x_1, \ldots, x_n)$$ जैसे कि$$R = \{ (a_1, \ldots, a_n ) \in M^n : \mathcal{M} \vDash \varphi(a_1,\ldots,a_n)\}.$$दूसरे शब्दों में, $$R$$ निश्चित है यदि कोई सूत्र है $$\varphi$$ जैसा कि$$(a_1,\ldots,a_n ) \in R \Leftrightarrow \mathcal{M} \vDash \varphi(a_1,\ldots,a_n)$$सही है।

एक महत्वपूर्ण विशेष स्थिति विशिष्ट तत्वों की निश्चितता है। तत्व $$m$$ का $$M$$ में निश्चित है $$\mathcal{M}$$ यदि और केवल यदि कोई सूत्र है $$\varphi(x)$$ जैसा कि$$\mathcal{M}\vDash \forall x ( x = m \leftrightarrow \varphi(x)).$$

मापदंडों के साथ निश्चितता
एक सन्दर्भ में, $$R$$ को मापदंडों के साथ निश्चित या परिभाषित किया जा सकता है (या $$|\mathcal M|$$-निश्चित) यदि कोई सूत्र है $$\varphi$$ मापदंडों के साथ $$\mathcal{M}$$ ऐसा है कि $$R$$ का प्रयोग करके निश्चित किया जा सकता है $$\varphi.$$ एक संरचना के प्रत्येक तत्व को प्राचल के रूप में तत्व का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है।

कुछ लेखक बिना मापदंडों के निश्चित अर्थ के लिए निश्चित का उपयोग करते है, जबकि अन्य लेखकों का मतलब मापदंडों के साथ निश्चित होता है। मोटे तौर पर, परिपाटी का अर्थ है कि उसे बिना मापदंडों के परिभाषित किया जा सकता है, सेट सिद्धांतकारों के बीच अधिक सामान्य होता है, जबकि विपरीत सम्मेलन मॉडल सिद्धांतकारों के बीच अधिक सामान्य होता है।

निहित निश्चितता
ऊपर से याद करें कि ए $$n$$-आर्य संबंध $$R$$ व्योम पर $$M$$ का $$\mathcal{M}$$ यदि कोई सूत्र है तो स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जा सकता है $$\varphi(x_1, \ldots, x_n)$$ ऐसा है कि$$R = \{ (a_1,\ldots,a_n ) \in M^n : \mathcal{M} \vDash \varphi(a_1,\ldots,a_n) \}.$$ यहाँ सूत्र $$\varphi$$ संबंध को परिभाषित करने के लिए प्रयोग किया जाता है $$R$$ के संकेत के ऊपर होना चाहिए $$\mathcal{M}$$ इसलिए $$\varphi$$ उल्लेख नहीं हो सकता $$R$$ खुद, के बाद से $$R$$ के संकेत में नहीं है $$\mathcal{M}.$$ यदि कोई सूत्र है $$\varphi$$ की भाषा युक्त विस्तारित भाषा में $$\mathcal{M}$$ और एक नया प्रतीक $$R,$$ और संबंध $$R$$ पर ही संबंध है $$\mathcal{M}$$ ऐसा है कि $$\mathcal{M} \vDash \varphi,$$ तब $$R$$ परोक्ष रूप से परिभाषित किया जा सकता है $$\mathcal{M}.$$ बेथ की प्रमेय, प्रत्येक निहित रूप से परिभाषित संबंध स्पष्ट रूप से निश्चित है।

कई प्रकार की संरचनाएं
ऊपर परिभाषित संरचनाओं को कभी-कभी अधिक सामान्य कई-क्रमबद्ध संरचनाओं से अलग करने के लिए एक-क्रमबद्ध संरचना कहा जाता है। कई-सॉर्ट की गई संरचना में डोमेन की मनमानी संख्या हो सकती है। सॉर्ट संकेत का हिस्सा होते है, और वे विभिन्न डोमेन के लिए नामों की भूमिका निभाते है। कई-सॉर्ट किए गए संकेत यह भी निर्धारित करते है कि किस प्रकार के कई प्रकार के ढांचे के फलनों और संबंधों को परिभाषित किया गया है। इसलिए, फलन प्रतीकों या संबंध प्रतीकों की समानताएं अधिक जटिल वस्तुएं होनी चाहिए जैसे कि प्राकृतिक संख्याओं के अतिरिक्त टुपल्स ऑफ सॉर्ट में होता है।

संचालन रिक्त स्थान, उदाप्रत्येकण के लिए, निम्नलिखित विधि से दो क्रमबद्ध संरचनाओं के रूप में माना जा सकता है। संचालन रिक्त स्थान के क्रमबद्ध संकेत में दो प्रकार के वी (वैक्टर के लिए) और एस (स्केलर्स के लिए) और निम्नलिखित फलन प्रतीक होते है:

यदि वी क्षेत्र एफ पर सदिश स्थान है, तो संबंधित दो-क्रमबद्ध संरचना $$\mathcal V$$ संचालन डोमेन के होते है $$|\mathcal V|_V=V$$, स्केलर डोमेन $$|\mathcal V|_S=F$$, और स्पष्ट फलन, जैसे सदिश शून्य $$0_V^{\mathcal V}=0\in|\mathcal V|_V$$, अदिश शून्य $$0_S^{\mathcal V}=0\in|\mathcal V|_S$$, या अदिश गुणन $$\times^{\mathcal V}:|\mathcal V|_S\times|\mathcal V|_V\rightarrow|\mathcal V|_V$$.

बहु-वर्गीकृत संरचनाओं को अधिकांशतः एक सुविधाजनक उपकरण के रूप में उपयोग किया जाता है। लेकिन उन्हें संभवतः ही कभी एक कठोर विधि से परिभाषित किया जाता है, क्योंकि यह सामान्यीकरण को स्पष्ट रूप से पूरा करने के लिए सीधा और थकाऊ (इसलिए अप्रतिबंधित) होते है।

अधिकांश गणितीय प्रयासों में, छँटाई पर अधिक ध्यान नहीं दिया जाता है। एक तरह का तर्क चूंकि, स्वाभाविक रूप से एक प्रकार के सिद्धांत की ओर जाता है। जैसा कि बार्ट जैकब्स कहते है: एक तर्क हमेशा एक प्रकार के सिद्धांत पर एक तर्क होता है। बदले में यह जोर श्रेणीबद्ध तर्क की ओर ले जाता है क्योंकि एक प्रकार के सिद्धांत पर एक तर्क स्पष्ट रूप से एक (कुल) श्रेणी से मेल खाता है, तर्क पर कब्जा करना, दूसरे (आधार) श्रेणी पर रेशेदार श्रेणी होना, प्रकार सिद्धांत पर कब्जा करना होता है।

आंशिक बीजगणित
सार्वभौमिक बीजगणित और मॉडल सिद्धांत दोनों (संरचनाओं या) बीजगणित की कक्षाओं का अध्ययन करते है जो एक संकेत और स्वीकृत के एक सेट द्वारा परिभाषित होते है। मॉडल सिद्धांत के स्थिति में इन स्वीकृत में पहले क्रम के वाक्यों का रूप है। सार्वभौमिक बीजगणित की औपचारिकता कहीं अधिक प्रतिबंधात्मक होती है, अनिवार्य रूप से यह केवल प्रथम-क्रम के वाक्यों की अनुमति देता है, जिनमें शब्दों के बीच सार्वभौमिक रूप से मात्रात्मक समीकरणों का रूप होता है, उदाप्रत्येकण एक्सy (x + y = y + x)। एक परिणाम यह है कि मॉडल सिद्धांत की तुलना में सार्वभौमिक बीजगणित में एक संकेत का चुनाव अधिक महत्वपूर्ण होता है। उदाप्रत्येकण के लिए, समूहों का वर्ग, जिसमें संकेत में बाइनरी फलन प्रतीक × और निरंतर प्रतीक 1 सम्मलित है, एक प्रारंभिक वर्ग है, लेकिन यह विविधता नहीं है। यूनिवर्सल बीजगणित इस समस्या को एक यूनरी फलन प्रतीक -1.जोड़कर हल करता है।

क्षेत्र के स्थिति में यह रणनीति सिर्फ जोड़ने के लिए काम करती है। गुणन के लिए यह विफल रहता है क्योंकि 0 में गुणक व्युत्क्रम नहीं होता है। इससे निपटने का एक तदर्थ प्रयास 0 को परिभाषित करना होगा−1 = 0. (यह प्रयास विफल हो जाता है, अनिवार्य रूप से क्योंकि इस परिभाषा के साथ 0 × 0-1 = 1 सत्य नहीं है)। इसलिए, स्वाभाविक रूप से किसी को आंशिक फलनों की अनुमति देने के लिए प्रेरित किया जाता है, अर्थात ऐसे फलन जो केवल उनके डोमेन के सबसेट पर परिभाषित होते है। चूँकि, धारणाओं को सामान्य बनाने के कई स्पष्ट विधि होते है जैसे कि सबसंरचना, समरूपता और पहचान होते है।

टाइप की गई भाषाओं के लिए संरचनाएं
प्रकार सिद्धांत में, कई प्रकार के चर होते है, जिनमें से प्रत्येक का एक प्रकार होता है। प्रकारों को आगमनात्मक रूप से परिभाषित किया गया है, दिए गए दो प्रकार δ और σ का एक प्रकार σ → δ भी है जो प्रकार σ की वस्तुओं से प्रकार δ की वस्तुओं के फलनों का प्रतिनिधित्व करता है। टाइप की गई भाषा के लिए एक संरचना (सामान्य प्रथम-क्रम शब्दार्थ में) प्रत्येक प्रकार की वस्तुओं का एक अलग सेट सम्मलित होना चाहिए, और फलन प्रकार के लिए संरचना में उस प्रकार के प्रत्येक वस्तु द्वारा दर्शाए गए फलन के बारे में पूरी जानकारी होनी चाहिए।

उच्च-क्रम की भाषाएँ
उच्च-क्रम तर्क के लिए एक से अधिक संभावित शब्दार्थ हैं, जैसा कि द्वितीय-क्रम तर्क पर लेख में चर्चा की गई है। पूर्ण उच्च-क्रम शब्दार्थ का उपयोग करते समय, एक संरचना के लिए केवल टाइप 0 की वस्तुओं के लिए एक व्योम की आवश्यकता होती है, और टी-स्कीमा को विस्तारित किया जाता है जिससे कि उच्च-क्रम प्रकार पर एक परिमाणक मॉडल द्वारा संतुष्ट होता है और केवल यदि यह अलग-अलग सत्य होता है। प्रथम-क्रम शब्दार्थ का उपयोग करते समय, प्रत्येक उच्च-क्रम प्रकार के लिए एक अतिरिक्त क्रम जोड़ा जाता है, जैसा कि कई क्रमबद्ध प्रथम क्रम भाषा के स्थिति में होता है।

संरचनाएं जो उचित वर्ग है
समुच्चय सिद्धांत और श्रेणी सिद्धांत के अध्ययन में, कभी-कभी उन संरचनाओं पर विचार करना उपयोगी होता है जिनमें संवाद का क्षेत्र एक समुच्चय के अतिरिक्त डोमेन का उचित वर्ग होता है। ऊपर चर्चा किए गए सेट मॉडल से अलग करने के लिए इन संरचनाओं को कभी-कभी क्लास मॉडल कहा जाता है। जब डोमेन एक उचित वर्ग होता है, तो प्रत्येक फलन और संबंध प्रतीक को उचित वर्ग द्वारा भी प्रदर्शित किया जाता है।

बर्ट्रेंड रसेल के 'गणितीय सिद्धांत' में, संरचनाओं को उनके डोमेन के रूप में उचित वर्ग रखने की भी अनुमति थी।

बाप्रत्येकी संबंध

 * Semantics section in Classical Logic (an entry ऑफ Stanford Encyclopedia ऑफ Philosophy)