सदिश अनुकूलन

वेक्टर अनुकूलन गणितीय अनुकूलन का एक उपक्षेत्र है जहां वेक्टर-मूल्यवान उद्देश्य कार्यों के साथ अनुकूलन समस्या को दिए गए आंशिक क्रम के संबंध में अनुकूलित किया जाता है और कुछ बाधाओं के अधीन होता है। एक बहु-उद्देश्यीय अनुकूलन समस्या एक वेक्टर अनुकूलन समस्या का एक विशेष मामला है: वस्तुनिष्ठ स्थान परिमित आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष है जो आंशिक रूप से घटक-वार कम या उसके बराबर होता है।

समस्या निर्माण
गणितीय शब्दों में, एक सदिश अनुकूलन समस्या को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$C\operatorname{-}\min_{x \in S} f(x)$$

कहाँ $$f: X \to Z$$ आंशिक रूप से आदेशित सदिश स्थल के लिए $$Z$$. आंशिक क्रम एक शंकु द्वारा प्रेरित होता है $$C \subseteq Z$$. $$X$$ एक मनमाना सेट है और $$S \subseteq X$$ व्यवहार्य समुच्चय कहलाता है।

समाधान अवधारणाएँ
उनमें से विभिन्न न्यूनतम धारणाएँ हैं:
 * $$\bar{x} \in S$$ यदि प्रत्येक के लिए एक कमजोर कुशल बिंदु (कमजोर मिनिमाइज़र) है $$x \in S$$ किसी के पास $$f(x) - f(\bar{x}) \not\in -\operatorname{int} C$$.
 * $$\bar{x} \in S$$ यदि प्रत्येक के लिए एक कुशल बिंदु (न्यूनतम) है $$x \in S$$ किसी के पास $$f(x) - f(\bar{x}) \not\in -C \backslash \{0\}$$.
 * $$\bar{x} \in S$$ एक उचित रूप से कुशल बिंदु (उचित मिनिमाइज़र) है यदि $$\bar{x}$$ क्लोजर (गणित) उत्तल शंकु के संबंध में एक कमजोर कुशल बिंदु है $$\tilde{C}$$ कहाँ $$C \backslash \{0\} \subseteq \operatorname{int} \tilde{C}$$.

हर उचित मिनिमाइज़र एक मिनिमाइज़र है। और हर मिनिमाइज़र एक कमजोर मिनिमाइज़र है। आधुनिक समाधान अवधारणाओं में न केवल न्यूनतमता की धारणाएं शामिल हैं बल्कि न्यूनतम उपलब्धि को भी ध्यान में रखा जाता है।

समाधान के तरीके

 * रैखिक वेक्टर अनुकूलन समस्याओं के लिए बेन्सन का एल्गोरिदम।

बहुउद्देश्यीय अनुकूलन से संबंध
किसी भी बहुउद्देश्यीय अनुकूलन समस्या को इस रूप में लिखा जा सकता है
 * $$\mathbb{R}^d_+\operatorname{-}\min_{x \in M} f(x)$$

कहाँ $$f: X \to \mathbb{R}^d$$ और $$\mathbb{R}^d_+$$ का गैर-नकारात्मक orthant है $$\mathbb{R}^d$$. इस प्रकार इस सदिश अनुकूलन समस्या का न्यूनीकरण पारेटो दक्ष बिंदु हैं।