वीक़ ऑर्डरिंग

गणित में, विशेष रूप से ऑर्डर सिद्धांत में, एक वीक़ ऑर्डरिंग एक सेट (गणित) की रैंकिंग की सहज धारणा का गणितीय औपचारिकीकरण है, जिसके कुछ सदस्य एक दूसरे के साथ टाई (ड्रा) हो सकते हैं। वीक़ ऑर्डर पूरे प्रकार से ऑर्डर किए गए सेट (संबंधों के बिना रैंकिंग) का सामान्यीकरण है और बदले में आंशिक रूप से ऑर्डर किए गए सेट और पूर्व आदेश द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है।

वीक़ ऑर्डर्स को औपचारिक बनाने के कई सामान्य विधि हैं, जो क्रिप्टोमोर्फिज्म (जानकारी की हानि के बिना अंतर-परिवर्तनीय) के अतिरिक्त एक-दूसरे से भिन्न हैं: उन्हें सख्त वीक़ ऑर्डर्स के रूप में स्वयंसिद्ध किया जा सकता है (सख्ती से आंशिक रूप से आदेशित सेट जिसमें अतुलनीयता एक सकर्मक संबंध है), जैसे कुल प्रीऑर्डर (सकर्मक द्विआधारी संबंध जिसमें तत्वों की प्रत्येक जोड़ी के बीच दो संभावित संबंधों में से कम से कम एक उपस्तिथ होता है), या क्रमित विभाजन के रूप में (तत्वों के एक सेट को असंयुक्त उपसमुच्चय में विभाजित करना, उपसमुच्चय पर कुल क्रम के साथ) कई स्थितियों में यह भी संभव है की एक अन्य प्रतिनिधित्व जिसे उपयोगिता फ़ंक्शन के आधार पर अधिमान्य व्यवस्था कहा जाता है।

वीक़ ऑर्डरों की गणना ऑर्डर किए गए बेल नंबरों द्वारा की जाती है। इनका उपयोग कंप्यूटर विज्ञान में विभाजन शोधन कलन विधि के भाग के रूप में और C++ मानक लाइब्रेरी में किया जाता है।

उदाहरण
घुड़दौड़ में, फोटो खत्म के उपयोग ने कुछ, लेकिन सभी को नहीं, संबंधों या (जैसा कि उन्हें इस संदर्भ में कहा जाता है) मृत हीट घुड़दौड़ की सूची को समाप्त कर दिया है, इसलिए घुड़दौड़ का परिणाम वीक़ क्रम के आधार पर तैयार किया जा सकता है। 2007 में मैरीलैंड हंट कप स्टीपलचेज़ के एक उदाहरण में, ब्रूस स्पष्ट विजेता था, लेकिन दो घोड़े बग रिवर और लियर चार्म दूसरे स्थान पर रहे, जबकि शेष घोड़े पीछे थे; तीन घोड़े ख़त्म नहीं हुए. इस परिणाम का वर्णन करने वाले वीक़ क्रम में, द ब्रूस पहले स्थान पर होगा, बग रिवर और लियर चार्म को ब्रूस के बाद स्थान दिया जाएगा, लेकिन समाप्त होने वाले अन्य सभी घोड़ों से पहले, और जो तीन घोड़े समाप्त नहीं हुए, उन्हें क्रम में अंतिम स्थान पर रखा जाएगा लेकिन एक दूसरे से बंधे हुए.

यूक्लिडियन विमान के बिंदुओं को मूल (गणित) से उनकी यूक्लिडियन दूरी के आधार पर क्रमबद्ध किया जा सकता है, जो अनंत कई तत्वों के साथ वीक़ क्रम का एक और उदाहरण देता है, बंधे हुए तत्वों के अनंत रूप से कई उपसमुच्चय (बिंदुओं के सेट जो एक सामान्य केंद्र से संबंधित होते हैं) मूल पर), और इन उपसमुच्चय के भीतर अनंत रूप से कई बिंदु हैं। हालाँकि इस क्रम में सबसे छोटा तत्व (स्वयं मूल) है, लेकिन इसमें कोई दूसरा सबसे छोटा तत्व नहीं है, न ही कोई सबसे बड़ा तत्व है।

राजनीतिक चुनावों में जनमत सर्वेक्षण एक प्रकार के ऑर्डर का उदाहरण प्रदान करता है जो वीक़ ऑर्डर जैसा दिखता है, लेकिन अन्य तरीकों से गणितीय रूप से बेहतर विधि से तैयार किया जाता है। किसी सर्वेक्षण के नतीजों में, एक उम्मीदवार स्पष्ट रूप से दूसरे से आगे हो सकता है, या दो उम्मीदवार सांख्यिकीय रूप से बंधे हो सकते हैं, जिसका अर्थ यह नहीं है कि उनके मतदान परिणाम बराबर हैं, बल्कि यह कि वे एक-दूसरे की त्रुटि के दायरे में हैं। हालाँकि, यदि उम्मीदवार $$x$$ सांख्यिकीय रूप से जुड़ा हुआ है $$y,$$ और $$y$$ सांख्यिकीय रूप से जुड़ा हुआ है $$z,$$ यह अभी भी संभव हो सकता है $$x$$ से स्पष्टतः बेहतर होना $$z,$$ इसलिए इस मामले में बंधा होना कोई सकर्मक संबंध नहीं है। इस संभावना के कारण, इस प्रकार की रैंकिंग को वीक़ ऑर्डर की तुलना में सेमीऑर्डर के रूप में बेहतर विधि से तैयार किया जाता है।

स्वयंसिद्धीकरण
मान लीजिए कि उस दौरान $$\,<\,$$ एक समुच्चय पर एक सजातीय संबंध द्विआधारी संबंध है $$S$$ (वह है, $$\,<\,$$ का एक उपसमुच्चय है $$S \times S$$) और हमेशा की प्रकार, लिखें $$x < y$$ और ऐसा कहो या  अगर और केवल अगर $$(x, y) \in \,<.\,$$

सख्त वीक़ आदेश
अतुलनीयता और अतुलनीयता की परिवर्तनशीलता पर प्रारंभिक बातें

दो तत्व $$x$$ और $$y$$ का $$S$$ कहा जाता है इसके संबंध में $$\,<\,$$ यदि न तो $$x < y$$ और न $$y < x$$ क्या सच है। के संबंध में अतुलनीयता $$\,<\,$$ पर स्वयं एक सजातीय सममित संबंध है $$S$$ वह प्रतिवर्ती है यदि और केवल यदि $$\,<\,$$ अपरिवर्तनीय संबंध है (मतलब कि $$x < x$$ हमेशा गलत होता है), जिसे यह माना जा सकता है कि सकर्मक संबंध ही एकमात्र संपत्ति है जिसकी इस अतुलनीयता संबंध को समतुल्य संबंध होने के लिए आवश्यकता होती है। प्रेरित सजातीय संबंध को भी परिभाषित करें $$\,\lesssim\,$$ पर $$S$$ इसकी घोषणा करके $$x \lesssim y \text{ is true } \quad \text{ if and only if } \quad y < x \text{ is false}$$ जहाँ महत्वपूर्ण बात यह है कि यह परिभाषा है  आवश्यक रूप से वैसा ही: $$x \lesssim y$$ अगर और केवल अगर $$x < y \text{ or } x = y.$$ दो तत्व $$x, y \in S$$ के संबंध में अतुलनीय हैं $$\,<\,$$ अगर और केवल अगर $$x \text{ and } y$$ हैं  इसके संबंध में $$\,\lesssim\,$$ (या कम शब्दाडंबरपूर्वक, ), जिसकी परिभाषा का अर्थ है कि दोनों $$x \lesssim y \text{ and } y \lesssim x$$ सच हैं। संबंध के संबंध में अतुलनीय हैं $$\,<$$इस प्रकार संबंध के समान (अर्थात, बराबर) हैं $$\,\lesssim$$-समतुल्य (इसलिए विशेष रूप से, पूर्व सकर्मक है यदि और केवल यदि बाद वाला है)। कब $$\,<\,$$ अपरिवर्तनीय है तो #अतुलनीयता की परिवर्तनशीलता (नीचे परिभाषित) के रूप में जाना जाने वाला गुण है शर्त यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक और पर्याप्त है कि संबंध हैं $$\,\lesssim$$-समतुल्य वास्तव में एक समतुल्य संबंध बनाता है $$S.$$ जब यह मामला होता है, तो यह किन्हीं दो तत्वों की अनुमति देता है $$x, y \in S$$ संतुष्टि देने वाला $$x \lesssim y \text{ and } y \lesssim x$$ एक ही वस्तु के रूप में पहचाने जाने के लिए (विशेष रूप से, उन्हें उनके सामान्य तुल्यता वर्ग में एक साथ पहचाना जाता है)।

परिभाषा

एक सेट पर एक सख्त वीक़ आदेश $$S$$ एक सख्त आंशिक आदेश है $$\,<\,$$ पर $$S$$ जिसके लिए प्रेरित किया $$S$$ द्वारा $$\,<\,$$ एक सकर्मक संबंध है. स्पष्ट रूप से, एक सख्त वीक़ आदेश पर $$S$$ एक सजातीय संबंध है $$\,<\,$$ पर $$S$$ इसमें निम्नलिखित सभी चार गुण हैं:  <ली>: सभी के लिए $$x \in S,$$ यह सच नहीं है $$x < x.$$ <ली>: सभी के लिए $$x, y, z \in S,$$ अगर $$x < y \text{ and } y < z$$ तब $$x < z.$$ <ली>: सभी के लिए $$x, y \in S,$$ अगर $$x < y$$ तो फिर सच है $$y < x$$ गलत है. <ली>: सभी के लिए $$x, y, z \in S,$$ अगर $$x$$ के साथ अतुलनीय है $$y$$ (मतलब यह कि न तो $$x < y$$ और न $$y < x$$ सत्य है) और यदि $$y$$ के साथ अतुलनीय है $$z,$$ तब $$x$$ के साथ अतुलनीय है $$z.$$ 
 * यह शर्त केवल तभी लागू होती है जब प्रेरित संबंध हो $$\,\lesssim\,$$ पर $$S$$ प्रतिवर्ती संबंध है, जहां $$\,\lesssim\,$$ की घोषणा करके परिभाषित किया गया है $$x \lesssim y$$ सत्य है यदि और केवल यदि $$y < x$$ है.
 * दो तत्व $$x \text{ and } y$$ के संबंध में अतुलनीय हैं $$\,<\,$$ यदि और केवल यदि वे प्रेरित संबंध के संबंध में समतुल्य हैं $$\,\lesssim\,$$ (जिसका परिभाषा के अनुसार अर्थ है $$x \lesssim y \text{ and } y \lesssim x$$ दोनों सत्य हैं), जहां पहले की प्रकार, $$x \lesssim y$$ सत्य घोषित किया जाता है यदि और केवल यदि $$y < x$$ गलत है। इस प्रकार यह स्थिति तभी लागू होती है जब सममित संबंध चालू हो $$S$$ द्वारा परिभाषित$$x \text{ and } y$$ के संबंध में समतुल्य हैं $$\,\lesssim\,$$एक सकर्मक संबंध है, अर्थात जब भी $$x \text{ and } y$$ हैं $$\,\lesssim$$-समतुल्य और भी $$y \text{ and } z$$ हैं $$\,\lesssim$$-समतुल्य तो आवश्यक रूप से $$x \text{ and } z$$ हैं $$\,\lesssim$$-बराबर। इसे इस प्रकार भी दोहराया जा सकता है: जब भी $$x \lesssim y \text{ and } y \lesssim x$$ और भी $$y \lesssim z \text{ and } z \lesssim y$$ तो आवश्यक रूप से $$x \lesssim z \text{ and } z \lesssim x.$$

गुण (1), (2), और (3) एक सख्त आंशिक क्रम के परिभाषित गुण हैं, हालांकि इस सूची में कुछ अतिरेक है क्योंकि विषमता (3) का अर्थ अपरिवर्तनीयता (1) है, और इसलिए भी कि अपरिवर्तनीयता (1) और परिवर्तनशीलता (2) मिलकर विषमता (3) दर्शाती है। अतुलनीयता संबंध हमेशा सममित संबंध होता है और यह प्रतिवर्ती संबंध होगा यदि और केवल यदि $$\,<\,$$ एक अपरिवर्तनीय संबंध है (जिसे उपरोक्त परिभाषा द्वारा माना गया है)। नतीजतन, एक सख्त आंशिक आदेश $$\,<\,$$ एक सख्त वीक़ आदेश है यदि और केवल यदि इसका प्रेरित अतुलनीयता संबंध एक तुल्यता संबंध है। इस मामले में, इसकी समतुल्यता एक सेट के विभाजन को वर्गीकृत करती है $$S$$ और इसके अतिरिक्त, सेट $$\mathcal{P}$$ इन तुल्यता वर्गों का एक द्विआधारी संबंध द्वारा सख्त कुल क्रम हो सकता है, जिसे इसके द्वारा भी दर्शाया जा सकता है $$\,<,$$ वह सभी के लिए परिभाषित है $$A, B \in \mathcal{P}$$ द्वारा:


 * $$A < B \text{ if and only if } a < b$$ कुछ (या समकक्ष, सभी के लिए) प्रतिनिधियों के लिए $$a \in A \text{ and } b \in B.$$ इसके विपरीत, विभाजन पर कोई सख्त कुल आदेश (सेट सिद्धांत) $$\mathcal{P}$$ का $$S$$ सख्त वीक़ व्यवस्था को जन्म देता है $$\,<\,$$ पर $$S$$ द्वारा परिभाषित $$a < b$$ यदि और केवल यदि सेट उपस्तिथ हैं $$A, B \in \mathcal{P}$$ इस विभाजन में ऐसा है कि $$a \in A, b \in B, \text{ and } A < B.$$ प्रत्येक आंशिक आदेश अतुलनीयता के लिए संक्रमणीय कानून का पालन नहीं करता है। उदाहरण के लिए, सेट में आंशिक क्रम पर विचार करें $$\{ a, b ,c \}$$ रिश्ते द्वारा परिभाषित $$b < c.$$ जोड़े $$a, b \text{ and } a, c$$ अतुलनीय हैं लेकिन $$b$$ और $$c$$ संबंधित हैं, इसलिए अतुलनीयता तुल्यता संबंध नहीं बनाती है और यह उदाहरण सख्त वीक़ क्रम नहीं है।

अतुलनीयता की परिवर्तनशीलता के लिए, निम्नलिखित शर्तों में से प्रत्येक आवश्यकता और पर्याप्तता है, और सख्त आंशिक ऑर्डर्स के लिए भी आवश्यकता और पर्याप्तता है:
 * अगर $$x < y$$ फिर सबके लिए $$z,$$ दोनों में से एक $$x < z \text{ or } z < y$$ अथवा दोनों।
 * अगर $$x$$ के साथ अतुलनीय है $$y$$ फिर सबके लिए $$z$$, दोनों में से एक ($$x < z \text{ and } y < z$$) या ($$z < x \text{ and } z < y$$) या ($$z$$ के साथ अतुलनीय है $$x$$ और $$z$$ के साथ अतुलनीय है $$y$$).

कुल अग्रिम-आदेश
सख्त वीक़ आदेश कुल प्रीऑर्डर या (गैर-सख्त) वीक़ ऑर्डर से बहुत निकटता से संबंधित हैं, और वही गणितीय अवधारणाएं जिन्हें सख्त वीक़ ऑर्डर के साथ मॉडल किया जा सकता है, उन्हें कुल प्रीऑर्डर के साथ समान रूप से अच्छी प्रकार से मॉडल किया जा सकता है। कुल प्रीऑर्डर या वीक़ ऑर्डर एक प्रीऑर्डर है जिसमें कोई भी दो तत्व तुलनीय होते हैं। कुल प्रीऑर्डर $$\,\lesssim\,$$ निम्नलिखित गुणों को संतुष्ट करता है:

कुल ऑर्डर एक कुल प्रीऑर्डर है जो एंटीसिमेट्रिक है, दूसरे शब्दों में, जो आंशिक रूप से ऑर्डर किया गया सेट भी है। कुल अग्रिम-ऑर्डर्स को कभी-कभी वरीयता संबंध भी कहा जाता है।
 * : सभी के लिए $$x, y, \text{ and } z,$$ अगर $$x \lesssim y \text{ and } y \lesssim z$$ तब $$x \lesssim z.$$
 * : सभी के लिए $$x \text{ and } y,$$ $$x \lesssim y \text{ or } y \lesssim x.$$
 * जो ये दर्शाता हे : सभी के लिए $$x,$$ $$x \lesssim x.$$

सख्त वीक़ आदेश का पूरक (सेट सिद्धांत) कुल प्रीऑर्डर है, और इसके विपरीत, लेकिन सख्त वीक़ ऑर्डर और कुल प्रीऑर्डर को इस प्रकार से जोड़ना अधिक स्वाभाविक लगता है जो तत्वों के क्रम को उलटने के बजाय संरक्षित करता है। इस प्रकार हम पूरक का विपरीत संबंध लेते हैं: सख्त वीक़ क्रम के लिए $$\,<,$$ कुल प्रीऑर्डर परिभाषित करें $$\,\lesssim\,$$ व्यवस्थित करके $$x \lesssim y$$ जब भी ऐसा नहीं है $$y < x.$$ दूसरी दिशा में, कुल प्रीऑर्डर से एक सख्त वीक़ ऑर्डरिंग को परिभाषित करना $$\,\lesssim,$$ तय करना $$x < y$$ जब भी ऐसा नहीं है $$y \lesssim x.$$ किसी भी प्रीऑर्डर में एक प्रीऑर्डर#कंस्ट्रक्शन होता है जहां दो तत्व होते हैं $$x$$ और $$y$$ यदि समतुल्य के रूप में परिभाषित किया गया है $$x \lesssim y \text{ and } y \lesssim x.$$ ए के मामले में तुल्यता वर्गों के सेट पर संबंधित आंशिक क्रम को प्रीऑर्डर करना कुल ऑर्डर है। कुल प्रीऑर्डर में दो तत्व समतुल्य हैं यदि और केवल तभी जब वे संबंधित सख्त वीक़ क्रम में अतुलनीय हों।

आदेशित विभाजन
एक सेट का विभाजन $$S$$ के गैर-रिक्त असंयुक्त उपसमुच्चय का एक परिवार है $$S$$ है कि $$S$$ उनके संघ के रूप में. एक विभाजन, विभाजन के सेट पर कुल क्रम के साथ, एक संरचना देता है जिसे रिचर्ड पी. स्टेनली ने एक क्रमबद्ध विभाजन कहा है और थिओडोर मोत्ज़किन  द्वारा सेट की एक सूची। किसी परिमित समुच्चय के क्रमित विभाजन को विभाजन में समुच्चयों के परिमित अनुक्रम के रूप में लिखा जा सकता है: उदाहरण के लिए, समुच्चय के तीन क्रमित विभाजन $$\{a, b\}$$ हैं $$\{a\}, \{b\},$$ $$\{b\}, \{a\}, \; \text{ and }$$ $$\{a, b\}.$$ सख्त वीक़ क्रम में, अतुलनीयता के समतुल्य वर्ग एक सेट विभाजन देते हैं, जिसमें सेट अपने तत्वों से कुल ऑर्डर प्राप्त करते हैं, जिससे एक ऑर्डर किए गए विभाजन को जन्म मिलता है। दूसरी दिशा में, कोई भी क्रमबद्ध विभाजन एक सख्त वीक़ क्रम को जन्म देता है जिसमें दो तत्व अतुलनीय होते हैं जब वे विभाजन में एक ही सेट से संबंधित होते हैं, और अन्यथा उन सेटों के क्रम को प्राप्त करते हैं जिनमें वे शामिल होते हैं।

कार्यों द्वारा प्रतिनिधित्व
पर्याप्त रूप से छोटी प्रमुखता के सेट के लिए, वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के आधार पर एक तीसरा स्वयंसिद्धीकरण संभव है। अगर $$X$$ क्या कोई भी सेट एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है $$f : X \to \R$$ पर $$X$$ पर एक सख्त वीक़ आदेश प्रेरित करता है $$X$$ व्यवस्थित करके $$a < b \text{ if and only if } f(a) < f(b).$$ संबंधित कुल प्रीऑर्डर सेटिंग द्वारा दिया गया है $$a {}\lesssim{} b \text{ if and only if } f(a) \leq f(b)$$ और सेटिंग द्वारा संबंधित तुल्यता $$a {}\sim{} b \text{ if and only if } f(a) = f(b).$$ रिश्ते कब से नहीं बदलते $$f$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$g \circ f$$ (फ़ंक्शन रचना), कहाँ $$g$$ एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन है जिसे कम से कम सीमा पर परिभाषित किया गया है $$f.$$ इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक यूटिलिटी#यूटिलिटी फ़ंक्शन एक प्राथमिकता संबंध को परिभाषित करता है। इस संदर्भ में, वीक़ ऑर्डर्स को तरजीही व्यवस्था के रूप में भी जाना जाता है। अगर $$X$$ परिमित या गणनीय है, प्रत्येक वीक़ क्रम पर $$X$$ किसी फ़ंक्शन द्वारा इस प्रकार दर्शाया जा सकता है. हालाँकि, ऐसे सख्त वीक़ आदेश उपस्तिथ हैं जिनका कोई वास्तविक कार्य नहीं है। उदाहरण के लिए, शब्दावली क्रम के लिए ऐसा कोई फ़ंक्शन उपस्तिथ नहीं है $$\R^n.$$ इस प्रकार, जबकि अधिकांश प्राथमिकता संबंध मॉडल में संबंध ऑर्डर-संरक्षण परिवर्तनों तक एक उपयोगिता फ़ंक्शन को परिभाषित करता है, शब्दकोषीय प्राथमिकताएँ के लिए ऐसा कोई फ़ंक्शन नहीं है।

अधिक सामान्यतः, यदि $$X$$ एक सेट है, $$Y$$ सख्त वीक़ क्रम वाला एक सेट है $$\,<,\,$$ और $$f : X \to Y$$ तो फिर, यह एक फ़ंक्शन है $$f$$ एक सख्त वीक़ आदेश को प्रेरित करता है $$X$$ व्यवस्थित करके $$a < b \text{ if and only if } f(a) < f(b).$$ पहले की प्रकार, संबंधित कुल प्रीऑर्डर सेटिंग द्वारा दिया गया है $$a {}\lesssim{} b \text{ if and only if } f(a) {}\lesssim{} f(b),$$ और सेटिंग द्वारा संबंधित तुल्यता $$a {}\sim{} b \text{ if and only if } f(a) {}\sim{} f(b).$$ यहाँ ऐसा नहीं माना गया है $$f$$ एक इंजेक्शन समारोह है, इसलिए दो समकक्ष तत्वों का एक वर्ग $$Y$$ समतुल्य तत्वों के एक बड़े वर्ग को प्रेरित कर सकता है $$X.$$ भी, $$f$$ इसे एक विशेषण फलन नहीं माना जाता है, इसलिए समतुल्य तत्वों का एक वर्ग $$Y$$ एक छोटी या खाली कक्षा को प्रेरित कर सकता है $$X.$$ हालाँकि, फ़ंक्शन $$f$$ एक इंजेक्टिव फ़ंक्शन को प्रेरित करता है जो विभाजन को मैप करता है $$X$$ उस पर $$Y.$$ इस प्रकार, परिमित विभाजन के मामले में, वर्गों की संख्या $$X$$ कक्षाओं की संख्या से कम या उसके बराबर है $$Y.$$

ऑर्डरिंग के संबंधित प्रकार
अर्ध-आदेश सख्त वीक़ ऑर्डर्स को सामान्यीकृत करते हैं, लेकिन अतुलनीयता की परिवर्तनशीलता को नहीं मानते हैं। एक सख्त वीक़ आदेश जो कि ट्राइकोटॉमी (गणित) है, को सख्त कुल आदेश कहा जाता है। कुल प्रीऑर्डर जो कि इसके पूरक का व्युत्क्रम है, इस मामले में कुल ऑर्डर है।

सख्त वीक़ आदेश के लिए $$\,<\,$$ एक अन्य संबद्ध रिफ्लेक्सिव संबंध इसका बाइनरी रिलेशन#ऑपरेशंस है, जो एक (गैर-सख्त) आंशिक क्रम है $$\,\leq.$$ दो संबद्ध प्रतिवर्ती संबंध भिन्न-भिन्न के संबंध में भिन्न-भिन्न हैं $$a$$ और $$b$$ जिसके लिए न तो $$a < b$$ और न $$b < a$$: कुल प्रीऑर्डर में एक सख्त वीक़ ऑर्डर के अनुरूप हमें मिलता है $$a \lesssim b$$ और $$b \lesssim a,$$ जबकि रिफ्लेक्सिव क्लोजर द्वारा दिए गए आंशिक क्रम में हमें कुछ भी नहीं मिलता है $$a \leq b$$ और न $$b \leq a.$$ सख्त कुल ऑर्डर्स के लिए ये दो संबंधित प्रतिवर्ती संबंध समान हैं: संबंधित (गैर-सख्त) कुल आदेश। सख्त वीक़ क्रम का रिफ्लेक्सिव क्लोजर एक प्रकार का श्रृंखला-समानांतर आंशिक क्रम है।

संयुक्त गणना
एक पर विशिष्ट कमज़ोर ऑर्डर्स की संख्या (या तो सख्त कमज़ोर ऑर्डर्स के रूप में या कुल अग्रिम ऑर्डर्स के रूप में दर्शाई गई)। $$n$$-तत्व सेट निम्नलिखित अनुक्रम द्वारा दिया गया है :

इन नंबरों को फ़ुबिनी नंबर या ऑर्डर किए गए बेल नंबर भी कहा जाता है।

उदाहरण के लिए, तीन लेबल वाली वस्तुओं के एक सेट के लिए, एक वीक़ क्रम है जिसमें सभी तीन वस्तुएं बंधी हुई हैं। वस्तुओं को एक सिंगलटन (गणित) सेट और दो बंधी हुई वस्तुओं के एक समूह में विभाजित करने के तीन विधि हैं, और इनमें से प्रत्येक विभाजन दो वीक़ ऑर्डर देता है (एक जिसमें सिंगलटन दो के समूह से छोटा है, और एक जिसमें) इस क्रम को उलट दिया गया है), इस प्रकार के छह वीक़ आदेश दिए गए हैं। और सेट को तीन सिंगलटन में विभाजित करने का एक ही तरीका है, जिसे पूरे प्रकार से छह अलग-अलग तरीकों से ऑर्डर किया जा सकता है। इस प्रकार, कुल मिलाकर, तीन वस्तुओं पर 13 अलग-अलग वीक़ ऑर्डर हैं।

आसन्नता संरचना
आंशिक ऑर्डर्स के विपरीत, किसी दिए गए परिमित सेट पर वीक़ ऑर्डर का परिवार आम तौर पर उन चालों से जुड़ा नहीं होता है जो किसी दिए गए ऑर्डर से एकल ऑर्डर संबंध जोड़ते या हटाते हैं। उदाहरण के लिए, तीन तत्वों के लिए, जिस क्रम में सभी तीन तत्वों को बांधा गया है, वह एक ही सेट पर किसी भी अन्य वीक़ क्रम से कम से कम दो जोड़े से भिन्न होता है, या तो सख्त वीक़ क्रम या कुल प्रीऑर्डर स्वयंसिद्धीकरण में। हालाँकि, एक अलग प्रकार का कदम संभव है, जिसमें सेट पर वीक़ ऑर्डर अधिक मजबूती से जुड़े होते हैं। ए को परिभाषित करें दो समतुल्य वर्गों के साथ एक वीक़ क्रम होना, और एक द्वंद्व को परिभाषित करना  किसी दिए गए वीक़ क्रम के साथ यदि क्रम में संबंधित प्रत्येक दो तत्व या तो एक ही प्रकार से संबंधित हैं या द्वंद्व में बंधे हैं। वैकल्पिक रूप से, एक द्विभाजन को वीक़ क्रम के लिए डेडेकाइंड कट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। फिर एक वीक़ क्रम को उसके संगत द्विभाजन के सेट द्वारा चित्रित किया जा सकता है। लेबल किए गए आइटमों के एक सीमित सेट के लिए, वीक़ ऑर्डरों की प्रत्येक जोड़ी को चालों के अनुक्रम द्वारा एक दूसरे से जोड़ा जा सकता है जो एक समय में डाइकोटॉमी के इस सेट में या उससे एक डाइकोटॉमी को जोड़ता या हटाता है। इसके अतिरिक्त, अप्रत्यक्ष ग्राफ जिसके शीर्षों के रूप में वीक़ क्रम हैं, और ये उसके किनारों के रूप में चलते हैं, एक आंशिक घन बनाता है। ज्यामितीय रूप से, किसी दिए गए परिमित सेट के कुल क्रम को परमुटोहेड्रोन के शीर्षों के रूप में दर्शाया जा सकता है, और इसी सेट पर द्विभाजन को परमुटोहेड्रोन के पहलुओं के रूप में दर्शाया जा सकता है। इस ज्यामितीय प्रतिनिधित्व में, सेट पर वीक़ ऑर्डर पर्मुटोहेड्रोन के सभी अलग-अलग आयामों के चेहरों के अनुरूप होते हैं (परमुटोहेड्रोन सहित, लेकिन एक चेहरे के रूप में खाली सेट नहीं)। किसी चेहरे का संहिताकरण  संबंधित वीक़ क्रम में समतुल्य वर्गों की संख्या देता है। इस ज्यामितीय प्रतिनिधित्व में वीक़ क्रम पर चालों का आंशिक घन पर्मुटोहेड्रा के चेहरे की जाली के कवरिंग संबंध का वर्णन करने वाला ग्राफ है। उदाहरण के लिए, के लिए $$n = 3,$$ तीन तत्वों पर पर्मुटोहेड्रोन सिर्फ एक नियमित षट्भुज है। षट्भुज की फलक जाली (फिर से, षट्भुज को एक फलक के रूप में शामिल करते हुए, लेकिन खाली सेट को शामिल नहीं करते हुए) में तेरह तत्व होते हैं: एक षट्भुज, छह किनारे, और छह शीर्ष, जो पूरे प्रकार से बंधे हुए वीक़ क्रम के अनुरूप होते हैं, छह वीक़ क्रम एक टाई और कुल छह ऑर्डर के साथ। इन 13 वीक़ क्रमों पर चाल का ग्राफ चित्र में दिखाया गया है।

अनुप्रयोग
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, वीक़ ऑर्डर्स का उपयोगिता सिद्धांत में अनुप्रयोग होता है। रैखिक प्रोग्रामिंग और अन्य प्रकार की संयुक्त अनुकूलन समस्या में, समाधानों या आधारों की प्राथमिकता अक्सर एक वीक़ क्रम द्वारा दी जाती है, जो एक वास्तविक-मूल्यवान उद्देश्य फ़ंक्शन द्वारा निर्धारित की जाती है; इन क्रमों में संबंधों की घटना को अध:पतन कहा जाता है, और अध: पतन के कारण होने वाली समस्याओं को रोकने के लिए इस वीक़ क्रम को कुल क्रम में परिष्कृत करने के लिए कई प्रकार के टाई-ब्रेकिंग नियम का उपयोग किया गया है। लेक्सिकोग्राफ़िक चौड़ाई-प्रथम खोज और कॉफ़मैन-ग्राहम कलन विधि के लिए विभाजन शोधन आधारित कलन विधि में, कंप्यूटर विज्ञान में भी वीक़ ऑर्डर्स का उपयोग किया गया है। इन कलन विधि में, एक ग्राफ के शीर्षों पर एक वीक़ क्रम (सेट के एक परिवार के रूप में दर्शाया गया है जो एक सेट के शीर्षों का विभाजन करता है, साथ में सेट पर कुल ऑर्डर प्रदान करने वाली दोगुनी लिंक की गई सूची) को धीरे-धीरे परिष्कृत किया जाता है। एल्गोरिथम, अंततः कुल ऑर्डर तैयार करता है जो एल्गोरिथम का आउटपुट है। C++ प्रोग्रामिंग भाषा के लिए C++ मानक लाइब्रेरी में, एसोसिएटिव कंटेनर (C++) अपने इनपुट को एक तुलनात्मक फ़ंक्शन द्वारा सॉर्ट करते हैं जो टेम्पलेट इंस्टेंटेशन के समय निर्दिष्ट होता है, और यह एक सख्त वीक़ ऑर्डरिंग को लागू करने के लिए माना जाता है।

यह भी देखें

 * − किसी दिए गए संबंध के अनुरूप सर्वोत्तम वीक़ क्रम में समतुल्य उपसमुच्चय
 * − किसी दिए गए संबंध के अनुरूप सर्वोत्तम वीक़ क्रम में समतुल्य उपसमुच्चय
 * − किसी दिए गए संबंध के अनुरूप सर्वोत्तम वीक़ क्रम में समतुल्य उपसमुच्चय