बहुभिन्नरूपी स्थिर वितरण

बहुभिन्नरूपी स्थिर वितरण एक बहुभिन्नरूपी संभाव्यता वितरण है जो कि अविभाज्य स्थिर वितरण का एक बहुभिन्नरूपी सामान्यीकरण है। बहुभिन्नरूपी स्थिर वितरण स्थिर वितरण सीमांतों के बीच रैखिक संबंधों को परिभाषित करता है। उसी प्रकार जैसे कि अविभाज्य मामले के लिए, वितरण को उसके विशिष्ट कार्य (संभावना सिद्धांत) के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।

बहुभिन्नरूपी स्थिर वितरण को बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के विस्तार के रूप में भी सोचा जा सकता है। इसमें पैरामीटर α है, जिसे 0 < α ≤ 2 की सीमा में परिभाषित किया गया है, और जहां मामला α = 2 बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के बराबर है। इसमें एक अतिरिक्त तिरछा पैरामीटर है जो गैर-सममित वितरण की अनुमति देता है, जहां बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण सममित है।

परिभाषा
होने देना $$ \mathbb{S} $$ इकाई क्षेत्र में हो $$\mathbb R^d\colon \mathbb{S} = \{u \in \mathbb R^d\colon|u| = 1\}$$. एक यादृच्छिक वेक्टर, $$ X $$, एक बहुभिन्नरूपी स्थिर वितरण है - के रूप में दर्शाया गया है $$X \sim S(\alpha, \Lambda, \delta)$$ -, यदि संयुक्त विशेषता कार्य $$X$$ है
 * $$\operatorname{E} \exp(i u^T X) = \exp \left\{-\int \limits_{s \in \mathbb S}\left\{|u^Ts|^\alpha + i \nu (u^Ts, \alpha) \right\} \, \Lambda(ds) + i u^T\delta\right\}$$

जहां 0 < α < 2, और के लिए $$ y\in\mathbb R$$
 * $$\nu(y,\alpha) =\begin{cases} -\mathbf{sign}(y) \tan(\pi \alpha / 2)|y|^\alpha & \alpha \ne 1, \\

(2/\pi)y \ln |y| & \alpha=1. \end{cases}$$ यह मूलतः फेल्डहाइम का परिणाम है, किसी भी स्थिर यादृच्छिक वेक्टर को वर्णक्रमीय माप द्वारा चित्रित किया जा सकता है $$\Lambda$$ (पर एक सीमित उपाय $$\mathbb S$$) और एक शिफ्ट वेक्टर $$\delta \in \mathbb R^d$$.

अनुमानों का उपयोग करके पैरामीट्रिज़ेशन
एक स्थिर यादृच्छिक वेक्टर का वर्णन करने का दूसरा तरीका अनुमानों के संदर्भ में है। किसी भी वेक्टर के लिए $$ u $$, प्रक्षेपण $$u^TX$$ अविभाज्य है $$\alpha-$$कुछ तिरछापन के साथ स्थिर $$\beta(u)$$, पैमाना $$\gamma(u)$$ और कुछ बदलाव $$\delta(u)$$. संकेतन $$X \sim S(\alpha,\beta(\cdot),\gamma(\cdot),\delta(\cdot))$$ यदि X स्थिर है तो इसका उपयोग किया जाता है $$u^TX \sim s(\alpha,\beta(\cdot),\gamma(\cdot),\delta(\cdot))$$ हरएक के लिए $$u \in \mathbb R^d$$. इसे प्रक्षेपण मानकीकरण कहा जाता है।

वर्णक्रमीय माप प्रक्षेपण पैरामीटर कार्यों को निम्न द्वारा निर्धारित करता है:


 * $$\gamma(u) =

\Bigl( \int_{s \in \mathbb{S}} |u^Ts|^\alpha \Lambda(ds) \Bigr)^{1/\alpha} $$

\beta(u) = \int_{s \in \mathbb{S}}|u^Ts|^\alpha \mathbf{sign}(u^Ts)\Lambda(ds)/ \gamma(u)^\alpha $$
 * $$\delta(u)=\begin{cases}u^T \delta & \alpha \ne 1\\u^T \delta -\int_{s \in \mathbb{S}}\tfrac{\pi}{2} u^Ts \ln|u^Ts|\Lambda(ds)&\alpha=1\end{cases}$$

विशेष मामले
ऐसे विशेष मामले हैं जहां बहुभिन्नरूपी विशेषता फ़ंक्शन (संभावना सिद्धांत) एक सरल रूप लेता है। एक स्थिर सीमांत के चारित्रिक कार्य को इस प्रकार परिभाषित करें


 * $$\omega(y|\alpha,\beta) =

\begin{cases}|y|^\alpha\left[1-i \beta(\tan \tfrac{\pi\alpha}{2})\mathbf{sign}(y)\right]& \alpha \ne 1\\ $$
 * y|\left[1+i \beta \tfrac{2}{\pi} \mathbf{sign}(y)\ln |y|\right] & \alpha = 1\end{cases}

आइसोट्रोपिक बहुभिन्नरूपी स्थिर वितरण
चारित्रिक कार्य है $$E \exp(i u^T X)=\exp\{-\gamma_0^\alpha|u|^\alpha+i u^T \delta)\}$$ वर्णक्रमीय माप निरंतर और एक समान है, जिससे रेडियल/आइसोट्रोपिक समरूपता प्राप्त होती है। बहुसामान्य मामले के लिए $$\alpha=2$$, यह स्वतंत्र घटकों से मेल खाता है, लेकिन ऐसा तब नहीं होता जब $$\alpha<2$$. आइसोट्रॉपी अण्डाकारता का एक विशेष मामला है (अगला पैराग्राफ देखें) - बस लें $$\Sigma$$ पहचान मैट्रिक्स का गुणज होना।

अण्डाकार रूप से समोच्च बहुभिन्नरूपी स्थिर वितरण
अण्डाकार वितरण बहुभिन्नरूपी स्थिर वितरण बहुभिन्नरूपी स्थिर वितरण का एक विशेष सममित मामला है। यदि X α-स्थिर है और अण्डाकार रूप से समोच्च है, तो इसमें संयुक्त विशेषता कार्य (संभावना सिद्धांत) है $$E \exp(i u^T X)=\exp\{-(u^T\Sigma u)^{\alpha/2}+i u^T \delta)\}$$ कुछ शिफ्ट वेक्टर के लिए $$\delta \in R^d$$ (जब यह मौजूद होता है तो माध्य के बराबर) और कुछ सकारात्मक निश्चित मैट्रिक्स $$\Sigma$$ (सहसंबंध मैट्रिक्स के समान, हालांकि सहसंबंध की सामान्य परिभाषा सार्थक होने में विफल रहती है)। बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के विशिष्ट कार्य के संबंध पर ध्यान दें: $$E \exp(i u^T X)=\exp\{-(u^T\Sigma u)+i u^T \delta)\}$$ जब α=2 प्राप्त होता है।

स्वतंत्र घटक
सीमांत स्वतंत्र हैं $$X_j \sim S(\alpha, \beta_j, \gamma_j, \delta_j)$$, फिर चारित्रिक कार्य है
 * $$E \exp(i u^T X) = \exp\left\{-\sum_{j=1}^m \omega(u_j|\alpha,\beta_j)\gamma_j^\alpha +i u^T \delta)\right\}$$

ध्यान दें कि जब α=2 यह फिर से बहुभिन्नरूपी सामान्य में कम हो जाता है; ध्यान दें कि आईआईडी केस और आइसोट्रोपिक केस α <2 होने पर मेल नहीं खाते हैं। स्वतंत्र घटक असतत वर्णक्रमीय माप (अगला पैराग्राफ देखें) का एक विशेष मामला है, जिसमें वर्णक्रमीय माप मानक इकाई वैक्टर द्वारा समर्थित है।

असतत
यदि वर्णक्रमीय माप द्रव्यमान के साथ अलग है $$\lambda_j$$ पर $$s_j \in \mathbb{S},j=1,\ldots,m$$ विशेषता कार्य है
 * $$E \exp(i u^T X)= \exp\left\{-\sum_{j=1}^m \omega(u^Ts_j|\alpha,1)\lambda_j^\alpha +i u^T \delta)\right\}$$

रैखिक गुण
अगर $$X \sim S(\alpha, \beta(\cdot), \gamma(\cdot), \delta(\cdot)) $$ डी-आयामी है, ए एक एमएक्सडी मैट्रिक्स है, और $$b \in \mathbb{R}^m,$$ तब AX + b m-आयामी है $$\alpha$$-स्केल फ़ंक्शन के साथ स्थिर $$\gamma(A^T\cdot),$$ तिरछापन समारोह $$\beta(A^T\cdot),$$ और स्थान फ़ंक्शन $$\delta(A^T\cdot) + b^T.$$

स्वतंत्र घटक मॉडल में अनुमान
हाल ही में यह दिखाया गया कि स्वतंत्र घटक मॉडल को शामिल करते हुए एक रैखिक मॉडल (या समकक्ष एक कारक विश्लेषण मॉडल) में बंद-रूप में अनुमान की गणना कैसे की जाती है।

अधिक विशेष रूप से, आइए $$X_i \sim S(\alpha, \beta_{x_i}, \gamma_{x_i}, \delta_{x_i}), i=1,\ldots,n$$ आई.आई.डी. का एक सेट बनें एक स्थिर वितरण से लिया गया अवलोकित अविभाज्य। आकार का एक ज्ञात रैखिक संबंध मैट्रिक्स ए दिया गया है $$n \times n$$, अवलोकन $$Y_i = \sum_{i=1}^n A_{ij}X_j$$ यह माना जाता है कि इसे छुपे हुए कारकों के एक संयोजन के रूप में वितरित किया गया है $$X_i$$. $$Y_i = S(\alpha, \beta_{y_i}, \gamma_{y_i}, \delta_{y_i})$$. अनुमान का कार्य सबसे संभावित की गणना करना है $$X_i$$, रैखिक संबंध मैट्रिक्स ए और अवलोकन दिए गए हैं $$Y_i$$. इस कार्य की गणना O(n) में बंद रूप में की जा सकती है3).

इस निर्माण के लिए एक एप्लिकेशन स्थिर, गैर-गाऊसी शोर के साथ बहुउपयोगकर्ता पहचान है।

यह भी देखें

 * बहुभिन्नरूपी कॉची वितरण
 * बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण

संसाधन

 * मार्क वेइलेट का स्थिर वितरण मैटलैब पैकेज http://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/37514
 * इस पृष्ठ के प्लॉट जहां रैखिक-स्थिर मॉडल मैटलैब पैकेज में डैनी बिक्सन के अनुमान का उपयोग करके प्लॉट किए गए हैं: https://www.cs.cmu.edu/~bickson/stable

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