रेखा-रेखा प्रतिच्छेदन

यूक्लिडियन ज्यामिति में, रेखा और रेखा का प्रतिच्छेदन खाली सेट, बिंदु (ज्यामिति), या दूसरी रेखा (ज्यामिति) हो सकती है। इन स्तिथियों को भिन्न करना और प्रतिच्छेदन (यूक्लिडियन ज्यामिति) ज्ञात करना, उदाहरण के लिए, कंप्यूटर चित्रलेख, गति योजना  और संघट्टन ज्ञात करने में उपयोग करता है।

त्रि-आयामी यूक्लिडियन ज्यामिति में, यदि दो रेखाएँ समान तल (ज्यामिति) में नहीं हैं, तो उनका कोई प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं होता है और उन्हें तिरछी रेखाएँ कहा जाता है। यदि वे समान तल में हैं, तथापि, तीन संभावनाएँ हैं- यदि वे संयोग करते हैं (भिन्न-भिन्न रेखाएँ नहीं हैं), तो उनके निकट समान रूप से बिंदुओं की अनंतता होती है (अर्थात् उनमें से किसी पर भी सभी बिंदु); यदि वे भिन्न-भिन्न हैं किन्तु ढलान समान है, तो उन्हें समानांतर (ज्यामिति) कहा जाता है और उनके निकट कोई बिंदु नहीं है, अन्यथा, उनके निकट प्रतिच्छेदन का बिंदु है।

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की विशिष्ट विशेषताएं दो रेखाओं के मध्य संभावित प्रतिच्छेदन की संख्या और स्थान हैं और किसी दिए गए रेखा के साथ कोई प्रतिच्छेदन (समानांतर रेखाएं) वाली संभावित रेखाओं की संख्या नहीं है।

सूत्र
दो रेखाओं को प्रतिच्छेद करने के लिए एक आवश्यक शर्त यह है कि वे एक ही तल में हों—अर्थात् तिरछी रेखाएँ न हों। इस स्थिति की संतुष्टि चतुर्पाश्वीय  के बराबर है, जिसमें एक रेखा पर दो बिंदुओं पर और दूसरी रेखा पर दो बिंदु शून्य आयतन होने के अर्थ में अध: पतन (गणित) हैं। इस स्थिति के बीजगणितीय रूप के लिए देखें.

प्रत्येक पंक्ति पर दो बिंदु दिए गए हैं
पहले हम दो रेखाओं के प्रतिच्छेदन पर विचार करते हैं $L_{1}$ और $L_{2}$ द्वि-आयामी अंतरिक्ष में, रेखा के साथ $L_{1}$ दो अलग-अलग बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जा रहा है $(x_{1}, y_{1})$ और $(x_{2}, y_{2})$, और रेखा $L_{2}$ दो अलग-अलग बिंदुओं द्वारा परिभाषित किया जा रहा है $(x_{3}, y_{3})$ और $(x_{4}, y_{4})$. चौराहा $P$ रेखा की $L_{1}$ और $L_{2}$ निर्धारकों का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है।



P_x = \frac{\begin{vmatrix} \begin{vmatrix} x_1 & y_1\\x_2 & y_2\end{vmatrix} & \begin{vmatrix} x_1 & 1\\x_2 & 1\end{vmatrix} \\\\ \begin{vmatrix} x_3 & y_3\\x_4 & y_4\end{vmatrix} & \begin{vmatrix} x_3 & 1\\x_4 & 1\end{vmatrix} \end{vmatrix} } {\begin{vmatrix} \begin{vmatrix} x_1 & 1\\x_2 & 1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix} y_1 & 1\\y_2 & 1\end{vmatrix} \\\\ \begin{vmatrix} x_3 & 1\\x_4 & 1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix} y_3 & 1\\y_4 & 1\end{vmatrix} \end{vmatrix}}\,\! \qquad P_y = \frac{\begin{vmatrix} \begin{vmatrix} x_1 & y_1\\x_2 & y_2\end{vmatrix} & \begin{vmatrix} y_1 & 1\\y_2 & 1\end{vmatrix} \\\\ \begin{vmatrix} x_3 & y_3\\x_4 & y_4\end{vmatrix} & \begin{vmatrix} y_3 & 1\\y_4 & 1\end{vmatrix} \end{vmatrix} } {\begin{vmatrix} \begin{vmatrix} x_1 & 1\\x_2 & 1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix} y_1 & 1\\y_2 & 1\end{vmatrix} \\\\ \begin{vmatrix} x_3 & 1\\x_4 & 1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix} y_3 & 1\\y_4 & 1\end{vmatrix} \end{vmatrix}}\,\! $$ निर्धारकों को इस प्रकार लिखा जा सकता है:



\begin{align} P_x&= \frac{(x_1 y_2-y_1 x_2)(x_3-x_4)-(x_1-x_2)(x_3 y_4-y_3 x_4)}{(x_1-x_2) (y_3-y_4) - (y_1-y_2) (x_3-x_4)} \\[4px] P_y&= \frac{(x_1 y_2-y_1 x_2)(y_3-y_4)-(y_1-y_2)(x_3 y_4-y_3 x_4)}{(x_1-x_2) (y_3-y_4) - (y_1-y_2) (x_3-x_4)} \end{align} $$ जब दो रेखाएँ समानांतर या संपाती होती हैं, तो भाजक शून्य होता है।

प्रत्येक रेखा खंड पर दो बिंदु दिए गए हैं
ऊपर का प्रतिच्छेदन बिंदु बिंदुओं के बीच रेखा खंडों के बजाय बिंदुओं द्वारा परिभाषित असीम रूप से लंबी रेखाओं के लिए है, और दो रेखा खंडों में शामिल नहीं होने वाले चौराहे बिंदु का उत्पादन कर सकता है। रेखाखंडों के संबंध में प्रतिच्छेदन की स्थिति ज्ञात करने के लिए, हम रेखाओं को परिभाषित कर सकते हैं $L_{1}$ और $L_{2}$ पहली डिग्री बेज़ियर वक्र#रैखिक वक्र|बेज़ियर पैरामीटर के संदर्भ में:



L_1 =  \begin{bmatrix}x_1     \\ y_1\end{bmatrix} + t \begin{bmatrix}x_2-x_1 \\ y_2-y_1\end{bmatrix}, \qquad L_2 =  \begin{bmatrix}x_3     \\ y_3\end{bmatrix} + u \begin{bmatrix}x_4-x_3 \\ y_4-y_3\end{bmatrix} $$ (कहाँ $t$ और $u$ वास्तविक संख्याएँ हैं)। रेखाओं का प्रतिच्छेदन बिंदु निम्नलिखित मानों में से एक के साथ पाया जाता है $t$ या $u$, कहाँ



t = \frac{\begin{vmatrix} x_1-x_3 & x_3-x_4\\y_1-y_3 & y_3-y_4\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_1-x_2 & x_3-x_4\\y_1-y_2 & y_3-y_4\end{vmatrix}} = \frac{(x_1 - x_3)(y_3-y_4)-(y_1-y_3)(x_3-x_4)}{(x_1-x_2)(y_3-y_4)-(y_1-y_2)(x_3-x_4)} $$ और

u = \frac{\begin{vmatrix} x_1-x_3 & x_1-x_2\\y_1-y_3 & y_1-y_2\end{vmatrix}}{\begin{vmatrix} x_1-x_2 & x_3-x_4\\y_1-y_2 & y_3-y_4\end{vmatrix}} = \frac{(x_1 - x_3)(y_1-y_2)-(y_1-y_3)(x_1-x_2)}{(x_1-x_2)(y_3-y_4)-(y_1-y_2)(x_3-x_4)}, $$ साथ

(P_x, P_y)= \bigl(x_1 + t (x_2-x_1),\; y_1 + t (y_2-y_1)\bigr) \quad \text{or} \quad (P_x, P_y) = \bigl(x_3 + u (x_4-x_3),\; y_3 + u (y_4-y_3)\bigr) $$ अगर कोई चौराहा होगा $0 ≤ t ≤ 1$ और $0 ≤ u ≤ 1$. प्रतिच्छेदन बिंदु प्रथम पंक्ति खंड के भीतर आता है यदि $0 ≤ t ≤ 1$, और यह दूसरी पंक्ति खंड के अंतर्गत आता है यदि $0 ≤ u ≤ 1$. इन असमानताओं को विभाजन की आवश्यकता के बिना परीक्षण किया जा सकता है, इसके सटीक बिंदु की गणना करने से पहले किसी भी रेखा खंड चौराहे के अस्तित्व का तेजी से निर्धारण करने की अनुमति देता है।

दो लाइन समीकरण
दिए गए हैं $x}|x$ और $y$ निम्नलिखित प्रतिस्थापन और पुनर्व्यवस्था का उपयोग करके दो गैर-ऊर्ध्वाधर रेखाओं के चौराहे के बिंदु के निर्देशांक आसानी से पाए जा सकते हैं।

मान लीजिए कि दो रेखाओं में समीकरण हैं $y = ax + c$ और $y = bx + d$ कहाँ $a$ और $b$ रेखाओं के ढलान (ढाल) हैं और कहाँ हैं $c$ और $d$ हैं $y$-रेखाओं का अवरोधन। उस बिंदु पर जहां दो रेखाएं प्रतिच्छेद करती हैं (यदि वे करती हैं), दोनों $y$ निर्देशांक समान होंगे, इसलिए निम्नलिखित समानता:


 * $$ax+c = bx+d.$$

का मान निकालने के लिए हम इस व्यंजक को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं $x$,


 * $$ax-bx = d-c,$$

इसलिए,
 * $$x = \frac{d-c}{a-b}.$$

खोजने के लिए $y$ कोऑर्डिनेट करते हैं, हमें बस इतना करना है कि इसके मूल्य को प्रतिस्थापित करना है $x$ दो पंक्ति समीकरणों में से किसी एक में, उदाहरण के लिए, पहले में:


 * $$y = a\frac{d-c}{a-b}+c.$$

इसलिए, प्रतिच्छेदन बिंदु है
 * $$P = \left( \frac{d-c}{a-b}, a\frac{d-c}{a-b}+c \right) .$$

ध्यान दें अगर $a = b$ तो दो रेखाएँ समानांतर (ज्यामिति) हैं। अगर $c ≠ d$ साथ ही, रेखाएँ भिन्न हैं और कोई प्रतिच्छेदन नहीं है, अन्यथा दो रेखाएँ समान हैं और प्रत्येक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं।

सजातीय निर्देशांक का उपयोग
सजातीय निर्देशांक का उपयोग करके, दो स्पष्ट रूप से परिभाषित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु को काफी आसानी से निर्धारित किया जा सकता है। 2D में, प्रत्येक बिंदु को एक 3D बिंदु के प्रक्षेपण के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसे आदेशित ट्रिपल के रूप में दिया गया है $(x, y, w)$. 3D से 2D निर्देशांकों की मैपिंग है $(x′, y′) = (x⁄w, y⁄w)$. हम उन्हें परिभाषित करके 2D बिंदुओं को सजातीय निर्देशांक में परिवर्तित कर सकते हैं $(x, y, 1)$.

मान लें कि हम 2-आयामी अंतरिक्ष में दो अनंत रेखाओं के प्रतिच्छेदन को खोजना चाहते हैं, जिसे परिभाषित किया गया है $a_{1}x + b_{1}y + c_{1} = 0$ और $a_{2}x + b_{2}y + c_{2} = 0$. हम इन दो पंक्तियों को रेखा निर्देशांक में इस प्रकार निरूपित कर सकते हैं $U_{1} = (a_{1}, b_{1}, c_{1})$ और $U_{2} = (a_{2}, b_{2}, c_{2})$. चौराहा P′}दो पंक्तियों का } तो बस द्वारा दिया जाता है
 * $$P' = (a_p, b_p, c_p) = U_1 \times U_2 = (b_1 c_2 - b_2 c_1, a_2 c_1-a_1 c_2, a_1 b_2 - a_2 b_1)$$

अगर $c_{p} = 0$, रेखाएँ प्रतिच्छेद नहीं करती हैं।

दो पंक्तियों से अधिक
अतिरिक्त लाइनों को शामिल करने के लिए दो लाइनों के चौराहे को सामान्यीकृत किया जा सकता है। के लिए अस्तित्व और अभिव्यक्ति $n$-लाइन चौराहा समस्या इस प्रकार हैं।

दो आयामों में
दो आयामों में, दो से अधिक रेखाएँ लगभग निश्चित रूप से एक बिंदु पर प्रतिच्छेद नहीं करती हैं। यह निर्धारित करने के लिए कि क्या वे करते हैं और, यदि ऐसा है, तो प्रतिच्छेदन बिंदु खोजने के लिए, लिखें $i$समीकरण ($i = 1, …, n$) जैसा


 * $$\begin{bmatrix} a_{i1} & a_{i2} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = b_i,$$

और इन समीकरणों को मैट्रिक्स रूप में स्टैक करें


 * $$\mathbf{A}\mathbf{w}=\mathbf{b},$$

जहां $i$वीं पंक्ति $n × 2$ आव्यूह $A$ है $[a_{i1}, a_{i2}]$, $w$ 2 × 1 वेक्टर है $[ x y ]$, और यह i}कॉलम वेक्टर का }वाँ तत्व $b$ है $b_{i}$. अगर $A$ में स्वतंत्र कॉलम हैं, इसकी मैट्रिक्स रैंक 2 है। फिर अगर और केवल अगर संवर्धित मैट्रिक्स की रैंक $[A | b]$ भी 2 है, मैट्रिक्स समीकरण का एक समाधान मौजूद है और इस प्रकार का एक प्रतिच्छेदन बिंदु है $n$ पंक्तियां। चौराहा बिंदु, यदि यह मौजूद है, द्वारा दिया गया है


 * $$\mathbf{w} = \mathbf{A}^\mathrm{g} \mathbf{b} = \left(\mathbf{A}^\mathsf{T} \mathbf{A}\right)^{-1} \mathbf{A}^\mathsf{T} \mathbf{b},$$

कहाँ $A^{g}$ मूर-पेनरोज़ प्रतिलोम है|मूर-पेनरोज़ सामान्यीकृत प्रतिलोम है $A$ (जिसमें फॉर्म दिखाया गया है क्योंकि $A$ का पूरा कॉलम रैंक है)। वैकल्पिक रूप से, किसी भी दो स्वतंत्र समीकरणों को संयुक्त रूप से हल करके समाधान पाया जा सकता है। किन्तु अगर की रैंक $A$ केवल 1 है, तो यदि संवर्धित मैट्रिक्स की कोटि 2 है तो कोई हल नहीं है किन्तु यदि इसकी कोटि 1 है तो सभी रेखाएँ एक-दूसरे से मेल खाती हैं।

तीन आयामों में
उपरोक्त दृष्टिकोण को आसानी से तीन आयामों तक बढ़ाया जा सकता है। तीन या अधिक आयामों में, यहां तक ​​कि दो रेखाएं लगभग निश्चित रूप से प्रतिच्छेद नहीं करती हैं; असमांतर रेखाओं के युग्म जो प्रतिच्छेद नहीं करते हैं तिरछी रेखाएँ कहलाती हैं। किन्तु अगर कोई चौराहा मौजूद है तो इसे निम्नानुसार पाया जा सकता है।

तीन आयामों में एक रेखा को दो विमानों के प्रतिच्छेदन द्वारा दर्शाया जाता है, जिनमें से प्रत्येक के रूप का एक समीकरण होता है


 * $$\begin{bmatrix} a_{i1} & a_{i2} & a_{i3} \end{bmatrix} \begin{bmatrix}x \\ y \\ z\end{bmatrix} = b_i.$$

इस प्रकार का एक सेट $n$ रेखाओं द्वारा दर्शाया जा सकता है $2n$ 3-आयामी निर्देशांक सदिश में समीकरण $w$:


 * $$\mathbf{A}\mathbf{w}=\mathbf{b}$$

कहाँ हैं $A$ है $2n × 3$ और $b$ है $2n × 1$. पहले की तरह एक अनूठा चौराहा बिंदु है अगर और केवल अगर $A$ में पूर्ण स्तंभ रैंक और संवर्धित मैट्रिक्स है $[A | b]$ नहीं है, और अद्वितीय चौराहा यदि मौजूद है, तो इसके द्वारा दिया गया है


 * $$\mathbf{w} = \left(\mathbf{A}^\mathsf{T} \mathbf{A} \right)^{-1} \mathbf{A}^\mathsf{T} \mathbf{b}.$$

तिरछी रेखाओं के निकटतम बिंदु


दो या दो से अधिक आयामों में, हम आमतौर पर एक ऐसा बिंदु खोज सकते हैं जो कम से कम वर्ग अर्थों में दो या दो से अधिक रेखाओं के परस्पर निकटतम हो।

दो आयामों में
द्वि-आयामी मामले में, पहले, रेखा का प्रतिनिधित्व करें $i$ बिंदु के रूप में $p_{i}$ लाइन पर और एक इकाई वेक्टर सामान्य वेक्टर $n̂_{i}$, उस रेखा के लंबवत। यानी अगर $x_{1}$ और $x_{2}$ पंक्ति 1 पर बिंदु हैं, तो मान लीजिए $p_{1} = x_{1}$ और जाने


 * $$\mathbf{\hat n}_1:= \begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \frac{\mathbf{x}_2 - \mathbf{x}_1} {\|\mathbf{x}_2-\mathbf{x}_1\|}$$

जो एक समकोण द्वारा घुमाई गई रेखा के साथ इकाई सदिश है।

एक बिंदु से दूरी $x$ लाइन के लिए $(p, n̂)$ द्वारा दिया गया है


 * $$d\bigl(\mathbf{x},(\mathbf{p},\mathbf{\hat n})\bigr) = \bigl|(\mathbf{x}-\mathbf{p})\cdot \mathbf{\hat n}\bigr| = \left|(\mathbf{x}-\mathbf{p})^\mathsf{T} \mathbf{\hat n}\right| = \left|\mathbf{\hat n} ^\mathsf{T} (\mathbf{x}-\mathbf{p})\right| = \sqrt{(\mathbf{x}-\mathbf{p})^\mathsf{T} \mathbf{\hat n} \mathbf{\hat n}^\mathsf{T} (\mathbf{x}-\mathbf{p})}.$$

और इसलिए एक बिंदु से वर्ग दूरी $x$ एक पंक्ति के लिए है


 * $$d\bigl(\mathbf{x},(\mathbf{p},\mathbf{\hat n})\bigr)^2 = (\mathbf{x}-\mathbf{p})^\mathsf{T} \left(\mathbf{\hat n} \mathbf{\hat n}^\mathsf{T} \right) (\mathbf{x}-\mathbf{p}).$$

कई रेखाओं की वर्ग दूरियों का योग हानि फलन है:


 * $$E(\mathbf{x}) = \sum_i (\mathbf{x}-\mathbf{p}_i)^\mathsf{T} \left(\mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T}\right) (\mathbf{x}-\mathbf{p}_i).$$

इसे पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है:



\begin{align} E(\mathbf{x}) & = \sum_i \mathbf{x}^\mathsf{T} \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T} \mathbf{x} - \mathbf{x}^\mathsf{T} \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T} \mathbf{p}_i - \mathbf{p}_i^\mathsf{T} \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T} \mathbf{x} + \mathbf{p}_i^\mathsf{T} \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T} \mathbf{p}_i \\ & = \mathbf{x}^\mathsf{T} \left(\sum_i \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T}\right) \mathbf{x} - 2 \mathbf{x}^\mathsf{T} \left(\sum_i \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T} \mathbf{p}_i\right) + \sum_i \mathbf{p}_i^\mathsf{T} \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T} \mathbf{p}_i. \end{align} $$ न्यूनतम खोजने के लिए, हम इसके संबंध में अंतर करते हैं $x$ और परिणाम को शून्य वेक्टर के बराबर सेट करें:


 * $$\frac{\partial E(\mathbf{x})}{\partial \mathbf{x}} = \boldsymbol{0} = 2 \left(\sum_i \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T}\right) \mathbf{x} - 2 \left(\sum_i \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T} \mathbf{p}_i\right) $$

इसलिए


 * $$\left(\sum_i \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T}\right) \mathbf{x} = \sum_i \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T} \mathbf{p}_i$$

इसलिए


 * $$\mathbf{x} = \left(\sum_i \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T}\right)^{-1} \left(\sum_i \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T} \mathbf{p}_i\right).$$

दो से अधिक आयामों में
जबकि $n̂_{i}$ दो से अधिक आयामों में अच्छी तरह से परिभाषित नहीं है, इसे नोट करके किसी भी आयाम के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है $n̂_{i} n̂_{i}^{T}$ के बीच की दूरी पर एक सेमिनोर्म  प्रदान करने वाली रेखा के साथ दिशा में एक शून्य ईजेनवेल्यू को छोड़कर सभी ईजेनवेल्यूज एकता के साथ केवल सममित मैट्रिक्स है $p_{i}$ और एक अन्य बिंदु रेखा को दूरी दे रहा है। किसी भी संख्या में आयामों में, यदि $v̂_{i}$ के साथ एक इकाई वेक्टर है $i$वीं पंक्ति, फिर


 * $$\mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T}$$ बन जाता है $$\mathbf{I} - \mathbf{\hat v}_i \mathbf{\hat v}_i^\mathsf{T}$$

कहाँ $I$ पहचान मैट्रिक्स है, और इसलिए
 * $$ x= \left(\sum_i \mathbf{I}-\mathbf{\hat v}_i \mathbf{\hat v}_i^\mathsf{T}\right)^{-1} \left(\sum_i \left(\mathbf{I}-\mathbf{\hat v}_i \mathbf{\hat v}_i^\mathsf{T} \right) \mathbf{p}_i\right).$$

सामान्य व्युत्पत्ति
रेखाओं के एक समूह का प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात करने के लिए, हम उनसे न्यूनतम दूरी वाले बिंदु की गणना करते हैं। प्रत्येक पंक्ति को एक मूल द्वारा परिभाषित किया गया है $a_{i}$ और एक इकाई दिशा वेक्टर $n̂_{i}$. एक बिंदु से दूरी का वर्ग $p$ पाइथागोरस से एक पंक्ति दी गई है:


 * $$ d_i^2 = \left\| \mathbf{p} - \mathbf{a}_i \right\|^2 - \left( \left( \mathbf{p} - \mathbf{a}_i \right)^\mathsf{T} \mathbf{\hat n}_i \right)^2

= \left( \mathbf{p} - \mathbf{a}_i \right)^\mathsf{T} \left( \mathbf{p} - \mathbf{a}_i \right) - \left( \left( \mathbf{p} - \mathbf{a}_i \right)^\mathsf{T} \mathbf{\hat n}_i \right)^2$$ कहाँ $(p − a_{i})^{T} n̂_{i}$ का प्रक्षेपण है $p − a_{i}$ ऑनलाइन $i$. वर्ग से सभी रेखाओं की दूरियों का योग है


 * $$ \sum_i d_i^2 = \sum_i \left( {\left( \mathbf{p}- \mathbf{a}_i \right)^\mathsf{T}} \left( \mathbf{p}- \mathbf{a}_i \right)- {\left( \left( \mathbf{p}- \mathbf{a}_i \right)^\mathsf{T} \mathbf{\hat n}_i \right)^2} \right) $$

इस अभिव्यक्ति को कम करने के लिए, हम इसके संबंध में अंतर करते हैं $p$.


 * $$ \sum_i \left( 2\left( \mathbf{p} - \mathbf{a}_i \right)- 2 \left(\left( \mathbf{p} - \mathbf{a}_i \right)^\mathsf{T} \mathbf{\hat n}_i\right) \mathbf{\hat n}_i\right)=\boldsymbol{0}

$$
 * $$ \sum_i \left( \mathbf{p} - \mathbf{a}_i \right) = \sum_i \left( \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T} \right) \left( \mathbf{p} - \mathbf{a}_i \right)

$$ जिसके परिणामस्वरूप


 * $$ \left(\sum_i\left(\mathbf{I} - \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T} \right)\right) \mathbf{p}

= \sum_i \left(\mathbf{I} - \mathbf{\hat n}_i \mathbf{\hat n}_i^\mathsf{T} \right) \mathbf{a}_i$$ कहाँ $I$ पहचान मैट्रिक्स है। यह एक मैट्रिक्स है $Sp = C$, समाधान के साथ $p = S^{+}C$, कहाँ $S^{+}$ का प्रतिलोम है $S$.

गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति
गोलाकार ज्यामिति में, कोई भी दो रेखाएँ प्रतिच्छेद करती हैं। अतिपरवलयिक ज्यामिति में, किसी भी रेखा और किसी बिंदु को दिए जाने पर, उस बिंदु से होकर जाने वाली अपरिमित रूप से कई रेखाएँ होती हैं जो दी गई रेखा को नहीं काटती हैं।

यह भी देखें

 * रेखा खंड चौराहा
 * प्रक्षेपी समतल#बिंदुओं को मिलाने वाली रेखाएँ और रेखाओं का प्रतिच्छेदन ।28द्वैत का उपयोग करते हुए।29
 * दो समानांतर रेखाओं के बीच की दूरी
 * बिंदु से रेखा तक की दूरी
 * लाइन-प्लेन चौराहा
 * समानांतर अभिधारणा
 * त्रिकोण (कंप्यूटर दृष्टि)

बाहरी संबंध

 * Distance between Lines and Segments with their Closest Point of Approach, applicable to two, three, or more dimensions.