स्टेबलाइजर कोड

कितना राज्य सुधार का सिद्धांत व्यावहारिक कार्यान्वयन और इंजीनियरिंग में एक प्रमुख भूमिका निभाता है क्वांटम कम्प्यूटिंग और क्वांटम संचार उपकरण। पहला क्वांटम त्रुटि-सुधार करने वाले कोड आश्चर्यजनक रूप से त्रुटि-सुधार के समान होते हैं संचालन और प्रदर्शन. क्वांटम त्रुटि-सुधार करने वाले कोड शोर को बहाल करते हैं, क्वांटम अवस्था को शुद्ध क्वांटम अवस्था में बदलना। ए ग्रुप एक्शन (गणित)#ऑर्बिट्स और स्टेबिलाइजर्स क्वांटम त्रुटि-सुधार कोड एंसीला (क्वांटम कंप्यूटिंग) को जोड़ता है उन qubits के लिए जिनकी हम रक्षा करना चाहते हैं। एक एकात्मक एन्कोडिंग सर्किट घूमता है एक बड़े हिल्बर्ट अंतरिक्ष के उप-स्थान में वैश्विक स्थिति। यह अत्यधिक क्वांटम उलझाव, एन्कोडेड स्थिति स्थानीय शोर संबंधी त्रुटियों को ठीक करती है। एक क्वांटम त्रुटि-सुधार करने वाला कोड क्वांटम गणना करता है और प्रेषक के लिए एक रास्ता प्रदान करके क्वांटम संचार व्यावहारिक है एक शोर रहित क्वबिट चैनल का अनुकरण करने के लिए रिसीवर को एक शोरयुक्त क्वबिट चैनल दिया गया है जिसका शोर एक विशेष त्रुटि मॉडल के अनुरूप होता है।

क्वांटम त्रुटि सुधार का स्टेबलाइजर सिद्धांत किसी को कुछ आयात करने की अनुमति देता है क्वांटम कोड के रूप में उपयोग के लिए शास्त्रीय बाइनरी या चतुर्धातुक कोड। हालाँकि, आयात करते समय शास्त्रीय कोड, इसे दोहरे कोड को संतुष्ट करना होगा|दोहरे-युक्त (या स्व-ऑर्थोगोनैलिटी) बाधा. शोधकर्ताओं ने शास्त्रीय कोड के कई उदाहरण संतोषजनक पाए हैं यह बाधा है, लेकिन अधिकांश शास्त्रीय कोड में ऐसा नहीं है। फिर भी, इस तरह से शास्त्रीय कोड आयात करना अभी भी उपयोगी है (हालांकि, देखें कि उलझाव-सहायता वाली स्टेबलाइज़र औपचारिकता इस कठिनाई को कैसे दूर करती है)।

गणितीय पृष्ठभूमि
स्टेबलाइज़र औपचारिकता के तत्वों का शोषण करता है पाउली समूह $$\Pi$$ क्वांटम त्रुटि-सुधार कोड तैयार करने में। सेट $$\Pi=\left\{ I,X,Y,Z\right\}  $$ पाउली संचालक में शामिल हैं:

I\equiv \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & 1 \end{bmatrix} ,\ X\equiv \begin{bmatrix} 0 & 1\\ 1 & 0 \end{bmatrix} ,\ Y\equiv \begin{bmatrix} 0 & -i\\ i & 0 \end{bmatrix} ,\ Z\equiv \begin{bmatrix} 1 & 0\\ 0 & -1 \end{bmatrix} . $$ उपरोक्त ऑपरेटर एकल qubit पर कार्य करते हैं - एक स्थिति जो एक वेक्टर द्वारा द्वि-आयामी में दर्शायी जाती है हिल्बर्ट स्थान. ऑपरेटरों में $$\Pi$$ स्वदेशी मूल्य हैं $$\pm1$$ और या तो क्रमविनिमेय संपत्ति या आवागमन विरोधी. सेट $$\Pi^{n}$$ के होते हैं $$n$$-फोल्ड टेंसर उत्पाद पाउली संचालक:

\Pi^{n}=\left\{ \begin{array} [c]{c} e^{i\phi}A_{1}\otimes\cdots\otimes A_{n}:\forall j\in\left\{ 1,\ldots ,n\right\} A_{j}\in\Pi,\ \ \phi\in\left\{  0,\pi/2,\pi,3\pi/2\right\} \end{array} \right\}. $$ घटक $$\Pi^{n}$$ के क्वांटम रजिस्टर पर कार्य करें $$n$$ qubits. हम कभी-कभी निम्नलिखित में टेंसर उत्पाद प्रतीकों को छोड़ दें ताकि
 * $$A_{1}\cdots A_{n}\equiv A_{1}\otimes\cdots\otimes A_{n}.$$

$$n$$वें>-गुना पाउली समूह $$\Pi^{n}$$ एन्कोडिंग सर्किट और दोनों के लिए एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है क्वांटम स्टेबलाइज़र कोड की त्रुटि-सुधार प्रक्रिया समाप्त हो गई है $$n$$ qubits.

परिभाषा
आइए एक को परिभाषित करें $$\left[ n,k\right]  $$ स्टेबलाइज़र क्वांटम त्रुटि-सुधार एनकोड करने के लिए कोड $$k$$ तार्किक qubits में $$n$$ भौतिक qubits. ऐसी की दर कोड है $$k/n$$. यह स्टेबलाइजर है $$\mathcal{S}$$ का एक एबेलियन समूह उपसमूह है $$n$$-फोल्ड पाउली समूह $$\Pi^{n}$$. $$\mathcal{S}$$ ऑपरेटर शामिल नहीं है $$-I^{\otimes n}$$. एक साथ $$+1$$-संचालनों का eigenspace कोडस्पेस का गठन करता है। कोडस्पेस का आयाम है $$2^{k}$$ ताकि हम एनकोड कर सकें $$k$$ इसमें qubits. स्टेबलाइजर $$\mathcal{S}$$ के संदर्भ में न्यूनतम प्रतिनिधित्व (गणित) है $$n-k$$ स्वतंत्र जनरेटर
 * $$\left\{ g_{1},\ldots,g_{n-k}\ |\ \forall i\in\left\{

1,\ldots,n-k\right\} ,\ g_{i}\in\mathcal{S}\right\} .$$ जेनरेटर हैं इस अर्थ में स्वतंत्र कि उनमें से कोई भी अन्य दो (ऊपर) का उत्पाद नहीं है क्वांटम अवस्था में)। संचालक $$g_{1},\ldots,g_{n-k}$$ उसी में कार्य करें जिस तरह एक समता जाँच मैट्रिक्स  एक क्लासिकल  रैखिक ब्लॉक कोड  के लिए करता है।

स्टेबलाइज़र त्रुटि-सुधार की स्थिति
क्वांटम त्रुटि सुधार सिद्धांत में मूलभूत धारणाओं में से एक यह है कि यह पाउली समूह में समर्थन (गणित) के साथ सेट की गई असतत सेट त्रुटि को ठीक करने के लिए पर्याप्त है $$\Pi^{n}$$. मान लीजिए कि त्रुटियाँ a को प्रभावित करती हैं एन्कोडेड क्वांटम अवस्था एक उपसमुच्चय है $$\mathcal{E}$$ पाउली समूह के $$\Pi^{n}$$:
 * $$\mathcal{E}\subset\Pi^{n}.$$

क्योंकि $$\mathcal{E}$$ और $$\mathcal{S}$$ के दोनों उपसमुच्चय हैं $$\Pi^{n}$$, एक गलती $$E\in\mathcal{E}$$ जो एक को प्रभावित करता है एन्कोडेड क्वांटम स्थिति या तो कम्यूटेटिव गुण या किसी विशेष के साथ एंटीकम्यूट्स तत्व $$g$$ में $$\mathcal{S}$$. त्रुटि $$E$$ यदि यह सुधार योग्य है एक तत्व के साथ एंटीकम्यूट्स $$g$$ में $$\mathcal{S}$$. एक एंटीकम्यूटिंग त्रुटि $$E$$ प्रत्येक तत्व को क्वांटम माप द्वारा पता लगाया जा सकता है $$g$$ में $$\mathcal{S}$$ और एक सिंड्रोम की गणना $$\mathbf{r}$$ की पहचान $$E$$. सिंड्रोम एक द्विआधारी है वेक्टर $$\mathbf{r}$$ लंबाई के साथ $$n-k$$ जिनके तत्व पहचानते हैं कि क्या गलती $$E$$ प्रत्येक के साथ आवागमन या प्रतिगमन $$g\in\mathcal{S}$$. एक गलती $$E$$ जो हर तत्व के साथ संचार करता है $$g$$ में $$\mathcal{S}$$ सुधार योग्य है यदि और केवल अगर यह अंदर है $$\mathcal{S}$$. यदि यह एन्कोडेड स्थिति को दूषित करता है के हर तत्व के साथ आवागमन करता है $$\mathcal{S}$$ लेकिन झूठ नहीं बोलता $$\mathcal{S} $$. इसलिए हम स्टेबलाइज़र त्रुटि-सुधार स्थितियों को संक्षिप्त रूप से संक्षेप में प्रस्तुत करते हैं: ए स्टेबलाइजर कोड किसी भी त्रुटि को ठीक कर सकता है $$E_{1},E_{2}$$ में $$\mathcal{E}$$ अगर
 * $$E_{1}^{\dagger}E_{2}\notin\mathcal{Z}\left( \mathcal{S}\right)  $$

या


 * $$E_{1}^{\dagger}E_{2}\in\mathcal{S}$$

कहाँ $$\mathcal{Z}\left( \mathcal{S} \right)  $$ का केंद्रीकरणकर्ता है $$\mathcal{S}$$ (यानी, तत्वों का उपसमूह जो सभी सदस्यों के साथ आवागमन करता है $$\mathcal{S}$$, जिसे कम्यूटेंट के रूप में भी जाना जाता है)।

स्टेबलाइजर कोड का सरल उदाहरण
स्टेबलाइजर कोड का एक सरल उदाहरण तीन क्विबिट है $$\left 3,1,3\right  $$ स्टेबलाइजर कोड. यह एन्कोड करता है $$k=1$$ तार्किक qubit में $$n=3$$ भौतिक क्वैबिट और सिंगल-बिट फ़्लिप से बचाता है सेट में त्रुटि $$\left\{ X_{i}\right\}$$. यह सेट में चरण फ़्लिप त्रुटियों जैसी अन्य पाउली त्रुटियों से रक्षा नहीं करता है $$\left\{ Y_{i}\right\}$$।या $$\left\{ Z_{i}\right\}$$. इसमें कोड दूरी है $$d=3$$. इसके स्टेबलाइजर में शामिल हैं $$n-k=2$$ पाउली संचालक:

\begin{array} [c]{ccc} g_{1} & = & Z & Z & I\\ g_{2} & = & I & Z & Z\\ \end{array} $$ यदि कोई बिट-फ़्लिप त्रुटियाँ नहीं हैं, तो दोनों ऑपरेटर $$g_{1}$$ और $$g_{2}$$ आवागमन, सिंड्रोम +1,+1 है, और कोई त्रुटि नहीं पाई गई है।

यदि पहले एन्कोडेड क्वबिट पर बिट-फ्लिप त्रुटि है, तो ऑपरेटर $$g_{1}$$ आवागमन विरोधी होगा और $$g_{2}$$ आवागमन, सिंड्रोम -1,+1 है, और त्रुटि का पता चला है। यदि दूसरे एन्कोडेड क्वबिट पर बिट-फ्लिप त्रुटि है, तो ऑपरेटर $$g_{1}$$ आवागमन विरोधी होगा और  $$g_{2}$$ एंटी-कम्यूट, सिंड्रोम -1,-1 है, और त्रुटि का पता चला है। यदि तीसरे एन्कोडेड क्वबिट पर बिट-फ्लिप त्रुटि है, तो ऑपरेटर $$g_{1}$$ आवागमन करेंगे और  $$g_{2}$$ एंटी-कम्यूट, सिंड्रोम +1,-1 है, और त्रुटि का पता चला है।

स्टेबिलाइजर कोड का उदाहरण
स्टेबलाइजर कोड का एक उदाहरण फाइव क्वबिट है $$\left 5,1,3\right  $$ स्टेबलाइजर कोड. यह एन्कोड करता है $$k=1$$ तार्किक qubit में $$n=5$$ भौतिक क्वैबिट और मनमाने सिंगल-क्विबिट से बचाता है गलती। इसमें कोड दूरी है $$d=3$$. इसके स्टेबलाइजर में शामिल हैं $$n-k=4$$ पाउली संचालक:

\begin{array} [c]{ccccccc} g_{1} & = & X & Z & Z & X & I\\ g_{2} & = & I & X & Z & Z & X\\ g_{3} & = & X & I & X & Z & Z\\ g_{4} & = & Z & X & I & X & Z \end{array} $$ उपरोक्त ऑपरेटर आवागमन करते हैं। इसलिए, कोडस्पेस एक साथ है +1-उपरोक्त ऑपरेटरों का ईजेनस्पेस। मान लीजिए कि सिंगल-क्विबिट त्रुटि होती है एन्कोडेड क्वांटम रजिस्टर। सेट में सिंगल-क्विबिट त्रुटि है $$\left\{ X_{i},Y_{i},Z_{i}\right\}$$ कहाँ $$A_{i}$$ क्वैबिट पर पाउली त्रुटि को दर्शाता है $$i$$. यह सत्यापित करना सीधा है कि किसी भी मनमानी सिंगल-क्विबिट त्रुटि में एक है अद्वितीय सिंड्रोम. रिसीवर किसी भी सिंगल-क्विबिट त्रुटि की पहचान करके उसे ठीक करता है समता माप और सुधारात्मक ऑपरेशन के माध्यम से सिंड्रोम।

पाउली समूह और बाइनरी वैक्टर के बीच संबंध
के तत्वों के बीच एक सरल लेकिन उपयोगी मानचित्रण मौजूद है $$\Pi$$ और बाइनरी सदिश स्थल $$\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2}$$. यह मैपिंग एक देता है क्वांटम त्रुटि सुधार सिद्धांत का सरलीकरण। यह क्वांटम कोड का प्रतिनिधित्व करता है पाउली ऑपरेटरों के बजाय बिट वेक्टर और बाइनरी ऑपरेशन के साथ क्रमशः मैट्रिक्स संचालन।

हम सबसे पहले वन-क्विबिट मामले के लिए मैपिंग देते हैं। कल्पना करना $$\left[ A\right]  $$ एक ऑपरेटर (भौतिकी) के समतुल्य वर्गों का एक सेट है $$A$$ जिनका चरण (तरंगें) समान है:

\left[ A\right]  =\left\{  \beta A\ |\ \beta\in\mathbb{C},\ \left\vert \beta\right\vert =1\right\}. $$ होने देना $$\left[ \Pi\right]  $$ जहां चरण-मुक्त पाउली ऑपरेटरों का सेट हो $$\left[ \Pi\right]  =\left\{  \left[  A\right]  \ |\ A\in\Pi\right\}  $$. मानचित्र को परिभाषित करें $$N:\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2}\rightarrow\Pi$$ जैसा

00 \to I, \,\, 01 \to X, \,\, 11 \to Y, \,\, 10 \to Z $$ कल्पना करना $$u,v\in\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2}$$. आइए हम रोजगार दें आशुलिपि $$u=\left( z|x\right)  $$ और $$v=\left(  z^{\prime}|x^{\prime }\right)  $$ कहाँ $$z$$, $$x$$, $$z^{\prime}$$, $$x^{\prime}\in\mathbb{Z}_{2}$$. के लिए उदाहरण, मान लीजिए $$u=\left( 0|1\right)  $$. तब $$N\left( u\right)  =X$$. नक्शा $$N$$ एक समरूपता उत्पन्न करता है $$\left[ N\right]  :\left(  \mathbb{Z} _{2}\right)  ^{2}\rightarrow\left[  \Pi\right]  $$ क्योंकि सदिशों का योग में $$\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2}$$ के गुणन के बराबर है पाउली संचालक वैश्विक चरण तक:

\left[ N\left(  u+v\right)  \right]  =\left[  N\left(  u\right)  \right] \left[ N\left(  v\right)  \right]. $$ होने देना $$\odot$$ दो तत्वों के बीच सहानुभूति उत्पाद को निरूपित करें $$u,v\in\left( \mathbb{Z}_{2}\right) ^{2}$$:

u\odot v\equiv zx^{\prime}-xz^{\prime}. $$ सिंपलेक्टिक उत्पाद $$\odot$$ के तत्वों का क्रमविनिमेय गुण संबंध देता है $$\Pi$$:

N\left( u\right)  N\left(  v\right)  =\left(  -1\right)  ^{\left(  u\odot v\right)  }N\left(  v\right)  N\left(  u\right). $$ सिंपलेक्टिक उत्पाद और मानचित्रण $$N$$ इस प्रकार वाक्यांश का एक उपयोगी तरीका प्रदान करें बूलियन बीजगणित (तर्क) के संदर्भ में पाउली संबंध। उपरोक्त परिभाषाओं और मानचित्रण का विस्तार $$N$$ एकाधिक qubits के लिए है सीधा। होने देना $$\mathbf{A}=A_{1}\otimes\cdots\otimes A_{n}$$ एक को निरूपित करें का मनमाना तत्व $$\Pi^{n}$$. हम इसी प्रकार चरण-मुक्त को परिभाषित कर सकते हैं $$n$$-क्विबिट पाउली समूह $$\left[ \Pi^{n}\right]  =\left\{  \left[ \mathbf{A}\right] \ |\ \mathbf{A}\in\Pi^{n}\right\}  $$ कहाँ

\left[ \mathbf{A}\right]  =\left\{  \beta\mathbf{A}\ |\ \beta\in \mathbb{C},\ \left\vert \beta\right\vert =1\right\}. $$ समूह संचालन $$\ast$$ उपरोक्त तुल्यता वर्ग के लिए इस प्रकार है:
 * $$ \left[ \mathbf{A}\right]  \ast\left[  \mathbf{B}\right]    \equiv\left[

A_{1}\right] \ast\left[  B_{1}\right]  \otimes\cdots\otimes\left[ A_{n}\right] \ast\left[  B_{n}\right]  =\left[  A_{1}B_{1}\right]  \otimes\cdots\otimes\left[  A_{n}B_{n}\right] =\left[ \mathbf{AB}\right]. $$ तुल्यता वर्ग $$\left[ \Pi^{n}\right]  $$ एक क्रमविनिमेय समूह बनाता है ऑपरेशन के तहत $$\ast$$. इसपर विचार करें $$2n$$-आयामी वेक्टर अंतरिक्ष

\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2n}=\left\{  \left(  \mathbf{z,x}\right)
 * \mathbf{z},\mathbf{x}\in\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{n}\right\}.

$$ यह क्रमविनिमेय समूह बनाता है $$(\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2n},+)$$ साथ संचालन $$+$$ बाइनरी वेक्टर जोड़ के रूप में परिभाषित किया गया है। हम संकेतन का प्रयोग करते हैं $$\mathbf{u}=\left( \mathbf{z}|\mathbf{x}\right)  ,\mathbf{v}=\left( \mathbf{z}^{\prime}|\mathbf{x}^{\prime}\right)  $$ किसी भी वेक्टर का प्रतिनिधित्व करने के लिए $$\mathbf{u,v}\in\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2n}$$ क्रमश। प्रत्येक वेक्टर $$\mathbf{z}$$ और $$\mathbf{x}$$ तत्व हैं $$\left( z_{1},\ldots ,z_{n}\right)  $$ और $$\left(  x_{1},\ldots,x_{n}\right)  $$ क्रमशः साथ के लिए समान अभ्यावेदन $$\mathbf{z}^{\prime}$$ और $$\mathbf{x}^{\prime}$$. सिंपलेक्टिक उत्पाद $$\odot$$ का $$\mathbf{u}$$ और $$\mathbf{v}$$ है

\mathbf{u}\odot\mathbf{v\equiv}\sum_{i=1}^{n}z_{i}x_{i}^{\prime}-x_{i} z_{i}^{\prime}, $$ या

\mathbf{u}\odot\mathbf{v\equiv}\sum_{i=1}^{n}u_{i}\odot v_{i}, $$ कहाँ $$u_{i}=\left( z_{i}|x_{i}\right)  $$ और $$v_{i}=\left(  z_{i}^{\prime }|x_{i}^{\prime}\right)  $$. आइए एक मानचित्र को परिभाषित करें $$\mathbf{N}:\left( \mathbb{Z}_{2}\right) ^{2n}\rightarrow\Pi^{n}$$ निम्नलिखित नुसार:

\mathbf{N}\left( \mathbf{u}\right)  \equiv N\left(  u_{1}\right) \otimes\cdots\otimes N\left( u_{n}\right). $$ होने देना

\mathbf{X}\left( \mathbf{x}\right)   \equiv X^{x_{1}}\otimes\cdots\otimes X^{x_{n}}, \,\,\,\,\,\,\, \mathbf{Z}\left( \mathbf{z}\right)     \equiv Z^{z_{1}}\otimes\cdots\otimes Z^{z_{n}}, $$ ताकि $$\mathbf{N}\left( \mathbf{u}\right)  $$ और $$\mathbf{Z}\left( \mathbf{z}\right)  \mathbf{X}\left(  \mathbf{x}\right)  $$ उसी के हैं तुल्यता वर्ग:

\left[ \mathbf{N}\left(  \mathbf{u}\right)  \right]  =\left[  \mathbf{Z} \left( \mathbf{z}\right)  \mathbf{X}\left(  \mathbf{x}\right)  \right]. $$ वो नक्शा $$\left[ \mathbf{N}\right]  :\left(  \mathbb{Z}_{2}\right) ^{2n}\rightarrow\left[ \Pi^{n}\right]  $$ उसी के लिए एक समरूपता है पिछले मामले की तरह ही कारण दिया गया:

\left[ \mathbf{N}\left(  \mathbf{u+v}\right)  \right]  =\left[ \mathbf{N}\left( \mathbf{u}\right)  \right]  \left[  \mathbf{N}\left( \mathbf{v}\right)  \right]  , $$ कहाँ $$\mathbf{u,v}\in\left( \mathbb{Z}_{2}\right)  ^{2n}$$. सिंपलेक्टिक उत्पाद किसी भी ऑपरेटर के कम्यूटेशन संबंधों को कैप्चर करता है $$\mathbf{N}\left( \mathbf{u}\right) $$ और $$\mathbf{N}\left(  \mathbf{v}\right)  $$:

\mathbf{N\left( \mathbf{u}\right)  N}\left(  \mathbf{v}\right)  =\left( -1\right)  ^{\left(  \mathbf{u}\odot\mathbf{v}\right)  }\mathbf{N}\left( \mathbf{v}\right)  \mathbf{N}\left(  \mathbf{u}\right). $$ उपरोक्त द्विआधारी निरूपण और सिंपलेक्टिक बीजगणित बनाने में उपयोगी हैं शास्त्रीय रैखिक त्रुटि सुधार और क्वांटम त्रुटि सुधार के बीच संबंध अधिक स्पष्ट है।

इस भाषा में क्वांटम त्रुटि सुधार कोड की तुलना सिम्प्लेक्टिक वेक्टर स्पेस से करके, हम निम्नलिखित देख सकते हैं। एक सिंपलेक्टिक वेक्टर स्पेस#सबस्पेसेस सबस्पेस पाउली अलजेब्रा (यानी, एन्कोडेड क्वबिट्स) के प्रत्यक्ष योग से मेल खाता है, जबकि एक सिंपलेक्टिक वेक्टर स्पेस#सबस्पेसेज सबस्पेस स्टेबलाइजर्स के एक सेट से मेल खाता है।

संदर्भ

 * D. Gottesman, "Stabilizer codes and quantum error correction," quant-ph/9705052, Caltech Ph.D. thesis. https://arxiv.org/abs/quant-ph/9705052
 * A. Calderbank, E. Rains, P. Shor, and N. Sloane, “Quantum error correction via codes over GF(4),” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 44, pp. 1369–1387, 1998. Available at https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006
 * A. Calderbank, E. Rains, P. Shor, and N. Sloane, “Quantum error correction via codes over GF(4),” IEEE Trans. Inf. Theory, vol. 44, pp. 1369–1387, 1998. Available at https://arxiv.org/abs/quant-ph/9608006
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