संपीडित संवेदन

कंप्रेस्ड सेंसिंग (जिसे कंप्रेसिव सेंसिंग, कंप्रेसिव सैंपलिंग या स्पार्स सैंपलिंग के रूप में भी जाना जाता है) अनिर्धारित रैखिक प्रणालियों के हल खोज कर, सिग्नल को दक्षतापूर्वक प्राप्त करने और पुनःनिर्माण करने के लिए एक सिग्नल प्रसंस्करण (प्रोसेसिंग) तकनीक होती है। यह सिद्धांत पर आधारित है कि, इष्टमीकरण (ऑप्टिमाइजेशन) के माध्यम से सिग्नल की विरलता को श्रृंगारिक रूप से उपयोग किया जा सकता है ताकि यह नाइक्विस्ट-शैनन सैम्पलिंग सिद्धांत द्वारा आवश्यक प्रतिदर्शों से बहुत कम प्रतिदर्शों से पुनर्प्राप्ति की जा सके। पुनर्प्राप्ति दो स्थितियों के आधार पर संभव है। प्रथम स्थिति विरलता, जिसके लिए कुछ डोमेन में सिग्नल का विरल होना आवश्यक है। द्वितीय स्थिति असंगति (इनकोहरेन्स) है, जिसे आइसोमेट्रिक गुण के माध्यम से लागू किया जाता है, जो विरल सिग्नल्स के लिए पर्याप्त है।

अवलोकन
सिग्नल प्रसंस्करण के अभियांत्रिकी क्षेत्र का एक सामान्य लक्ष्य प्रतिदर्श माप की श्रृंखला से सिग्नल का पुनःनिर्माण करना है। सामान्यतः, यह कार्य असंभव है क्योंकि उस समय के दौरान सिग्नल को फिर से बनाने का कोई तरीका नहीं है जब सिग्नल को मापा नहीं जाता है। फिर भी, सिग्नल के बारे में पूर्व ज्ञान या धारणाओं के साथ, मापों की एक श्रृंखला से सिग्नल को पूरी तरह से पुनःनिर्माण करना संभव हो जाता है (मापों की इस श्रृंखला को प्राप्त करना प्रतिदर्शकरण कहा जाता है)। समय के साथ, अभियाँत्रिकों ने अपनी समझ में सुधार किया है कि कौन सी मान्यताएँ व्यावहारिक हैं और उन्हें कैसे सामान्यीकृत किया जा सकता है।

सिग्नल प्रसंस्करण में एक प्रारंभिक सफलता नाइक्विस्ट-शैनन प्रतिदर्शकरण प्रमेय थी। इसमें कहा गया है कि यदि किसी वास्तविक सिग्नल की उच्चतम आवृत्ति प्रतिदर्शकरण दर के आधे से कम है, तो सिग्नल को सिन इंटरपोलेशन के माध्यम से पूरी तरह से पुनःनिर्माण किया जा सकता है। मुख्य विचार यह है कि सिग्नल की आवृत्तियों पर बाधाओं के बारे में पूर्व ज्ञान के साथ, सिग्नल को फिर से बनाने के लिए कम प्रतिदर्शों की आवश्यकता होती है।

2004 के आसपास, इमैनुएल कैंडेस, जस्टिन रोमबर्ग, टेरेंस ताओ और डेविड डोनोहो ने प्रमाणित किया कि सिग्नल की विरलता के बारे में ज्ञान होने पर, सैंपलिंग प्रमेय की आवश्यकता से भी कम प्रतिदर्शों के साथ सिग्नल का पुनःनिर्माण किया जा सकता है। यह विचार कंप्रेस्ड सेंसिंग का आधार है।

इतिहास
कंप्रेस्ड सेंसिंग $$L^1$$ तकनीकों पर निर्भर करता है, जिनका उपयोग कई अन्य वैज्ञानिक क्षेत्रों ने ऐतिहासिक रूप से किया है। आंकड़ों में, न्यूनतम वर्ग पद्धति को $$L^1$$-प्रतिमानक द्वारा पूरक किया गया था, जिसे लाप्लास द्वारा प्रस्तुत किया गया था। रैखिक प्रसंस्करण और डेंटज़िग के सिम्प्लेक्स एल्गोरिथ्म की शुरूआत के बाद, $$L^1$$-प्रतिमानक का उपयोग अभिकलनात्मक आंकड़ों में किया गया था। सांख्यिकीय सिद्धांत में, $$L^1$$-प्रतिमानक का उपयोग जॉर्ज डब्लू. ब्राउन और बाद के लेखकों द्वारा मध्य-निष्पक्ष अनुमानकों पर किया गया था। इसका उपयोग पीटर जे. ह्यूबर और मजबूत सांख्यिकी पर काम करने वाले अन्य लोगों द्वारा किया गया था। $$L^1$$-प्रतिमानक का उपयोग सिग्नल प्रसंस्करण में भी किया गया था, उदाहरण के लिए, 1970 के दशक में, जब भूकंपविज्ञानियों ने डेटा के आधार पर पृथ्वी के भीतर परावर्तक परतों की छवियों का निर्माण किया था जो कि नाइक्विस्ट-शैनन प्रतिमानक को पूरा नहीं करते थे। इसका उपयोग 1993 में मिलान खोज में, 1996 में रॉबर्ट टिब्शिरानी द्वारा एलएएसएसओ अनुमानक में और 1998 में बेसिस परसूट में किया गया था। ऐसे सैद्धांतिक परिणाम थे जो बताते थे कि इन एल्गोरिदम ने विरल हल कब प्राप्त किए, लेकिन माप के आवश्यक प्रकार और संख्या उप-इष्टतम थे और बाद में कंप्रेस्ड सेंसिंग द्वारा काफी सुधार किया गया।

पहली नज़र में, कंप्रेस्ड सेंसिंग प्रतिदर्श प्रमेय का उल्लंघन करता प्रतीत हो सकता है, क्योंकि कंप्रेस्ड सेंसिंग प्रश्न में सिग्नल की विरलता पर निर्भर करता है, न कि इसकी उच्चतम आवृत्ति पर। यह एक ग़लतफ़हमी है, क्योंकि प्रतिदर्श प्रमेय पर्याप्त, आवश्यक नहीं, स्थितियों को देखते हुए सही पुनःनिर्माण की गारंटी देता है। क्लासिकल फिक्स्ड-रेट सैंपलिंग से मौलिक रूप से अलग एक सैंपलिंग विधि सैंपलिंग प्रमेय का "उल्लंघन" नहीं कर सकती है। शास्त्रीय निश्चित-दर नमूने की तुलना में कंप्रेस्ड सेंसिंग का उपयोग करके उच्च आवृत्ति घटकों वाले विरल संकेतों को अत्यधिक कम प्रतिदर्श किया जा सकता है।

अनिर्धारित रैखिक प्रणाली
रैखिक समीकरणों की एक अनिर्धारित प्रणाली में समीकरणों की तुलना में अधिक अज्ञात होता है और सामान्यतः हलों की संख्या अनंत होती है। नीचे दिया गया चित्र ऐसे समीकरण प्रणाली $$ \mathbf{y}=D\mathbf{x} $$ को दर्शाता है जहाँ हम $$ \mathbf{x} $$ के लिए एक हल खोजना चाहते हैं।



ऐसी प्रणाली का हल चुनने के लिए, किसी को उचित रूप से अतिरिक्त बाधाएं या शर्तें (जैसे सुगमता) लगानी होंगी। कंप्रेस्ड सेंसिंग में, विरलता की बाधा को जोड़ा जाता है, जिससे केवल ऐसे हलों की अनुमति मिलती है जिनमें गैर-शून्य गुणांक की एक छोटी संख्या होती है। रैखिक समीकरणों की सभी अनिर्धारित प्रणालियों का कोई विरल हल नहीं होता है। हालाँकि, यदि अनिर्धारित प्रणाली के लिए कोई अद्वितीय विरल हल है, तो कंप्रेस्ड सेंसिंग ढांचा उस हल की पुनर्प्राप्तिि की अनुमति देता है।

हल/पुनःनिर्माण विधि
कंप्रेस्ड सेंसिंग कई उचित संकेतों में अतिरेक का लाभ उठाती है - वे शुद्ध नॉइज़ नहीं हैं। विशेष रूप से, कई सिग्नल विरल होते हैं, अर्थात, जब कुछ डोमेन में दर्शाया जाता है, तो उनमें शून्य के निकट या उसके बराबर कई गुणांक होते हैं। यह वही अंतर्दृष्टि है जिसका उपयोग कई प्रकार के हानिप्रद कम्प्रेस्सिंग में किया जाता है।

कंप्रेस्ड सेंसिंग सामान्यतः प्रतिदर्शों के भारित रैखिक संयोजन को लेने से शुरू होता है, जिसे संपीड़न माप भी कहा जाता है, उस आधार से भिन्न आधार पर जिसमें संकेत विरल माना जाता है। इमैनुएल कैंडेस, जस्टिन रोमबर्ग, टेरेंस ताओ और डेविड डोनोहो द्वारा पाए गए परिणामों से पता चला है कि इन कंप्रेस्ड मापों की संख्या छोटी हो सकती है और फिर भी इसमें लगभग सभी उपयोगी जानकारी सम्मिलित हो सकती है। इसलिए, छवि को वापस इच्छित डोमेन में परिवर्तित करने के कार्य में एक अनिर्धारित आव्यूह समीकरण को हल करना सम्मिलित है क्योंकि ली गई कंप्रेस्ड माप की संख्या पूर्ण छवि में पिक्सेल की संख्या से कम है। हालाँकि, यह बाधा जोड़ने से कि प्रारंभिक संकेत विरल है, रैखिक समीकरणों की इस अनिर्धारित प्रणाली को हल करने में सक्षम हो जाता है।

ऐसी समस्याओं का न्यूनतम वर्ग हल $$L^2$$ मानक को न्यूनतम करना है - अर्थात, सिस्टम में ऊर्जा की मात्रा को कम करना। यह सामान्यतः गणितीय रूप से सरल होता है (इसमें नमूने के आधार के छद्म-व्युत्क्रम द्वारा केवल आव्यूह गुणन सम्मिलित होता है)। हालाँकि, इससे कई व्यावहारिक अनुप्रयोगों के लिए खराब परिणाम सामने आते हैं, जिनके लिए अज्ञात गुणांकों में गैर-शून्य ऊर्जा होती है।

रैखिक समीकरणों की अल्पनिर्धारित प्रणाली को हल करते समय विरलता बाधा को लागू करने के लिए, कोई हल के गैर-शून्य घटकों की संख्या को कम कर सकता है। एक वेक्टर के गैर-शून्य घटकों की संख्या की गणना करने वाले फ़ंक्शन को डेविड डोनोहो द्वारा $$L^0$$ "प्रतिमानक" कहा गया था।

कैंडेस एट अल. ने प्रमाणित किया कि कई समस्याओं के लिए यह संभव है कि तकनीकी दृष्टि से $$L^1$$ मानक $$L^0$$ मानक के बराबर है: यह समकक्ष परिणाम किसी को $$L^1$$ समस्या को हल करने की अनुमति देता है, जो $$L^0$$ समस्या से आसान है। सबसे छोटे $$L^1$$ प्रतिमानक वाले पदान्वेषी को खोजना अपेक्षाकृत आसानी से एक रैखिक कार्यक्रम के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जिसके लिए कुशल हल विधियां पहले से ही मौजूद हैं। जब माप में नॉइज़ की एक सीमित मात्रा हो सकती है, तो बेसिस परसूट डीनोइज़िंग को रैखिक प्रसंस्करण पर प्राथमिकता दी जाती है, क्योंकि यह नॉइज़ की स्थिति में विरलता को संरक्षित करता है और एक सटीक रैखिक कार्यक्रम की तुलना में तेजी से हल किया जा सकता है।

टीवी नियमितीकरण की भूमिका
कुल भिन्नता को एक अऋणात्मक वास्तविक-मूल्यवान कार्यात्मकता के रूप में देखा जा सकता है जो वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन के स्थान पर (एक चर के फलनों के स्थिति में) या पूर्णांक फलनों के स्थान पर (कई चर के फलनों के स्थिति में) परिभाषित होती है। सिग्नल्स के लिए, विशेष रूप से, कुल विभिन्नता सिग्नल की ग्रेडियेंट की पूर्णांकिता को संकेत करती है। सिग्नल और चित्र निर्माण में, इसे कुल भिन्नता नियमितीकरण के रूप में प्रयुक्त किया जाता है जहाँ मूल सिद्धांत यह है कि वह सिग्नल जिसमें अत्यधिक विवरण है, उसकी कुल विभिन्नता उच्च होती है और इन विवरणों को हटाने के द्वारा, जबकि महत्वपूर्ण जानकारी जैसे कि एज़ेस को बनाए रखते हुए, सिग्नल की कुल विभिन्नता कम की जा सकती है और सिग्नल को समस्या में मूल सिग्नल के पास पहुंचाना आसान हो सकता है।

सिग्नल और छवि पुनःनिर्माण के प्रयोजन के लिए, $$\ell_1$$ न्यूनतमकरण मॉडल का उपयोग किया जाता है। अन्य दृष्टिकोणों में न्यूनतम-वर्ग भी सम्मिलित हैं जैसा कि इस लेख में पहले चर्चा की गई है। ये विधियां बेहद धीमी हैं और सिग्नल का बिल्कुल सही पुनःनिर्माण नहीं लौटाती हैं। वर्तमान सीएस नियमितीकरण मॉडल मूल छवि के स्पार्सिटी पुजारियों को सम्मिलित करके इस समस्या का हल करने का प्रयास करते हैं, जिनमें से एक कुल भिन्नता (टीवी) है। पारंपरिक टीवी दृष्टिकोण टुकड़े-टुकड़े निरंतर हल देने के लिए डिज़ाइन किए गए हैं। इनमें से कुछ में सम्मिलित है (जैसा कि आगे चर्चा की गई है) - विवश $\ell_1$ -न्यूनीकरण जो एक पुनरावृत्त योजना का उपयोग करता है। यह विधि, हालांकि तेज़ है, बाद में एज़ेस को अत्यधिक चिकना कर देती है जिसके परिणामस्वरूप छवि के एज धुंधले हो जाते हैं। छवियों में बड़े ग्रेडिएंट मान परिमाण के प्रभाव को कम करने के लिए पुनरावृत्त पुन:भार वाले टीवी तरीकों को लागू किया गया है। इसका उपयोग कंप्यूटेड टोमोग्राफी (सीटी) पुनःनिर्माण में एक ऐसी विधि के रूप में किया गया है जिसे एज-प्रिज़र्विंग टोटल वेरिएशन के रूप में जाना जाता है। हालाँकि, चूंकि ग्रेडिएंट परिमाण का उपयोग डेटा निष्ठा और नियमितीकरण शर्तों के बीच सापेक्ष दंड भार के आकलन के लिए किया जाता है, यह विधि नॉइज़ और कलाकृतियों के लिए मजबूत नहीं है और सीएस छवि/सिग्नल पुनःनिर्माण के लिए पर्याप्त सटीक नहीं है और इसलिए, छोटी संरचनाओं को संरक्षित करने में विफल रहती है।

इस समस्या पर हालिया प्रगति में सीएस पुनःनिर्माण के लिए पुनरावृत्तीय दिशात्मक टीवी शोधन का उपयोग करना सम्मिलित है। इस पद्धति के 2 चरण होंगे: पहला चरण प्रारंभिक अभिविन्यास क्षेत्र का अनुमान लगाएगा और परिष्कृत करेगा - जिसे दी गई छवि के एज-पहचान के माध्यम से नॉइज़ बिंदु-वार प्रारंभिक अनुमान के रूप में परिभाषित किया गया है। दूसरे चरण में, सीएस पुनःनिर्माण मॉडल को दिशात्मक टीवी रेगुलराइज़र का उपयोग करके प्रस्तुत किया जाता है। इन टीवी-आधारित दृष्टिकोणों के बारे में अधिक विवरण - पुनरावृत्त रूप से पुन: भारित एल1 न्यूनतमकरण, एज-संरक्षण टीवी और दिशात्मक अभिविन्यास क्षेत्र और टीवी का उपयोग करके पुनरावृत्त मॉडल- नीचे दिए गए हैं।

पुनरावृत्तीय रूप से पुनः भारित $ℓ_{1}$ न्यूनीकरण
सीएस पुनःनिर्माण मॉडल में प्रतिबंधित $$\ell_1$$ न्यूनीकरण का उपयोग करते हुए, बड़े गुणांकों को $$\ell_1$$ प्रतिमानक में भारी दंडित किया जाता है। गैर-शून्य गुणांकों को अधिक लोकतांत्रिक रूप से दंडित करने के लिए $$\ell_1$$ न्यूनतमकरण का एक भारित सूत्रीकरण करने का प्रस्ताव किया गया था। उचित भार के निर्माण के लिए एक पुनरावृत्त एल्गोरिदम का उपयोग किया जाता है। प्रत्येक पुनरावृत्ति के लिए एक अवतल दंड फ़ंक्शन के स्थानीय न्यूनतम को खोज कर एक $$\ell_1$$ न्यूनीकरण समस्या को हल करने की आवश्यकता होती है जो $$\ell_0$$ मानक से अधिक निकटता से मिलती है। एक अतिरिक्त पैरामीटर, सामान्यतः पेनल्टी फ़ंक्शन वक्र में किसी भी तेज बदलाव से बचने के लिए, स्थिरता सुनिश्चित करने के लिए पुनरावृत्त समीकरण में प्रस्तुत किया जाता है और ताकि एक पुनरावृत्ति में शून्य अनुमान अगले पुनरावृत्ति में शून्य अनुमान का कारण न बने। इस विधि में अनिवार्य रूप से अगले पुनरावृत्ति में उपयोग किए जाने वाले वजन की गणना के लिए विद्यमान हल का उपयोग करना सम्मिलित है।

लाभ और हानि
प्रारंभिक परिणाम में अनुपयुक्त प्रतिदर्श अनुमान मिल सकते हैं, हालांकि इस विधि में ये नमूने बाद में डाउन-सैम्पल होंगे ताकि छोटे गैर-शून्य सिग्नल के अनुमान को अधिक वजन दिया जा सके। इसकी एक ऋणात्मक बात यह है कि इसके लिए एक मान्य शुरुआती बिंदु की परिभाषा की आवश्यकता है क्योंकि कार्य की गहराई के कारण प्रत्येक बार सर्वाधिक न्यूनतम प्राप्त नहीं किया जा सकता है। इस विधि की एक अन्य कमी यह है कि यह चित्र सीमा के ग्रेडिएंट को संघटित रूप में दंडित करने की प्रवृत्ति रखती है, चाहे उसमें कौन सी भव्य चित्र संरचना हो। यह किसी विशेष चर्चित क्षेत्र की कम विविधता वाली एज़ेस की अत्यधिक स्मूदी का कारण बनती है, जिससे न्यून विविधता जानकारी की हानि होती है। इस विधि के लाभ में सम्मिलित हैं: विरल सिग्नल्स के लिए नमूने की प्रतिदर्श दर; नॉइज़ और अन्य कल्पना के हटाए जाने के प्रति संवेदनशील रहकर चित्र का पुनःनिर्माण; और बहुत कुछ कम संख्या में पुनरावृत्ति का उपयोग करना। यह विरल ग्रेडिएंट वाली छवियों को पुनर्प्राप्ति करने में भी सहायता कर सकता है।

नीचे दिखाई गई चित्र में, P1 पहले पदक को संक्षेप रूप में प्रस्तुत करता है, जो फैन-बीम ज्यामिति के प्रोजेक्शन आव्यूह P की पहली कदम की आवृत्ति प्रक्रिया है, जिसे डेटा विश्वसनीयता टर्म द्वारा प्रतिबंधित किया जाता है। इसमें नॉइज़ और आर्टिफैक्ट्स सम्मिलित हो सकते हैं क्योंकि कोई भी नियमन नहीं किया जाता है। P1 की न्यूनतमीकरण को संजुगेट ग्राडिएंट लीस्ट स्क्वेयर्स मेथड के माध्यम से हल किया जाता है। P2 प्रक्रिया की दूसरी कदम का संक्षेप रूप में है, जिसमें यह नॉइज़ और आर्टिफैक्ट्स को हटाने के लिए एज-प्रिजर्विंग टोटल वैरिएशन नियमन टर्म का उपयोग करता है, और इस प्रकार पुनर्निर्मित छवि/सिग्नल की गुणवत्ता में सुधार करता है। P2 की न्यूनतमीकरण को एक साधारण ग्राडिएंट डिसेंट मेथड के माध्यम से किया जाता है। प्रत्येक पुनरावृत्ति के बाद, छवि धनात्मकता के लिए परीक्षण द्वारा अभिसरण निर्धारित किया जाता है, यह जांच कर कि क्या स्थिति के लिए $$f^{k-1} = 0$$ है जब $$f^{k-1} < 0$$ (ध्यान दें कि $$f$$ रोगी छवि के विभिन्न स्वरों पर विभिन्न एक्स-रे रैखिक क्षीणन गुणांक को संदर्भित करता है)।

एज-प्रिजर्विंग टोटल वेरिएशन (टीवी)-आधारित कंप्रेस्ड सेंसिंग
यह एक पुनरावृत्त सीटी पुनःनिर्माण एल्गोरिथ्म है जिसमें एज-प्रिज़र्विंग टीवी नियमितीकरण के साथ कम वर्तमान स्तर (मिलीएम्पियर) के माध्यम से कम खुराक सीटी पर प्राप्त अत्यधिक अंडरसैंपल डेटा से सीटी छवियों का पुनःनिर्माण किया जाता है I इमेजिंग खुराक को कम करने के लिए, उपयोग किए जाने वाले दृष्टिकोणों में से एक स्कैनर डिटेक्टरों द्वारा प्राप्त एक्स-रे अनुमानों की संख्या को कम करना है। हालाँकि, यह अपर्याप्त प्रक्षेपण डेटा जिसका उपयोग सीटी छवि को फिर से बनाने के लिए किया जाता है, कलाकृतियों में धारियाँ पैदा कर सकता है। इसके अलावा, मानक टीवी एल्गोरिदम में इन अपर्याप्त अनुमानों का उपयोग करने से समस्या कम निर्धारित हो जाती है और इस प्रकार असीमित रूप से कई संभावित हल सामने आते हैं। इस पद्धति में, मूल टीवी प्रतिमानक के लिए एक अतिरिक्त दंड भारित फ़ंक्शन सौंपा गया है। यह छवियों में तीव्रता में तेज असंतुलन का आसानी से पता लगाने की अनुमति देता है और इस प्रकार सिग्नल/छवि पुनःनिर्माण की प्रक्रिया के दौरान बरामद एज की जानकारी को संग्रहीत करने के लिए वजन को अनुकूलित करता है। पैरामीटर $$\sigma$$ गैर-एज वाले पिक्सेल से उन्हें अलग करने के लिए एज़ेस पर पिक्सेल पर लागू स्मूथिंग की मात्रा को नियंत्रित करता है। $$\sigma$$ की मान ग्रेडिएंट मैग्नीट्यूड के हिसाब से स्वाभाविक रूप से बदलती है, ताकि कुछ निश्चित प्रतिशत के पिक्सेल्स के ग्रेडिएंट मान $$\sigma$$ से अधिक हों। इस प्रकार, एज-प्रिजर्विंग टोटल वैरिएशन टर्म सूख्ष्म हो जाता है और इससे कार्यान्वयन में गति आती है। एक दो-कदम प्रक्रिया, जिसे फॉरवर्ड-बैकवर्ड स्प्लिटिंग एल्गोरिदम के रूप में जाना जाता है, का उपयोग किया जाता है। ऑप्टिमाइजेशन समस्या को दो उप-समस्याओं में विभाजित किया जाता है जिन्हें संजुगेट ग्रेडिएंट लीस्ट स्क्वेयर्स मेथड और सामान्य ग्रेडिएंट डिसेंट मेथड से सॉल्व किया जाता है। इस मेथड को वांछित संघटन हासिल होने पर या यदि अधिक संख्या की पुनरावृत्ति तक पहुँच जाती है तो बंद किया जाता है।

लाभ और हानि
इस विधि के कुछ हानि पुनर्निर्मित छवि में छोटी संरचनाओं की अनुपस्थिति और छवि रिज़ॉल्यूशन में कमी हैं। हालाँकि, इस एज को संरक्षित करने वाले टीवी एल्गोरिदम को पारंपरिक टीवी एल्गोरिदम की तुलना में कम पुनरावृत्तियों की आवश्यकता होती है। पुनर्निर्मित छवियों की क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर तीव्रता प्रोफाइल का विश्लेषण करते हुए, यह देखा जा सकता है कि एज के बिंदुओं पर तेज उछाल है और गैर-एज के बिंदुओं पर नगण्य, मामूली उतार-चढ़ाव है। इस प्रकार, टीवी पद्धति की तुलना में यह पद्धति कम सापेक्ष त्रुटि और उच्च सहसंबंध की ओर ले जाती है। यह किसी भी प्रकार की छवि नॉइज़ और स्ट्रीकिंग जैसी छवि कलाकृतियों को प्रभावी ढंग से दबाता है और हटाता है।

दिशात्मक अभिविन्यास क्षेत्र और दिशात्मक कुल भिन्नता का उपयोग करते हुए पुनरावृत्त मॉडल
एज़ेस और टेक्सचर विवरणों को अत्यधिक चिकना करने से रोकने के लिए और एक पुनर्निर्मित सीएस छवि प्राप्त करने के लिए जो नॉइज़ और कलाकृतियों के लिए सटीक और मजबूत है, इस विधि का उपयोग किया जाता है। सबसे पहले, छवि $$I$$, $$\hat{d}$$, के नॉइज़ वाले बिंदु-वार अभिविन्यास क्षेत्र का प्रारंभिक अनुमान प्राप्त किया जाता है। इस नॉइज़ अभिविन्यास क्षेत्र को परिभाषित किया गया है ताकि अभिविन्यास क्षेत्र के आकलन में नॉइज़ के प्रभाव को कम करने के लिए इसे बाद के चरण में परिष्कृत किया जा सके। इसके बाद संरचना टेंसर के आधार पर एक मोटे अभिविन्यास क्षेत्र का अनुमान प्रस्तुत किया जाता है, जिसे इस प्रकार तैयार किया जाता है:

$$ J_\rho(\nabla I_\sigma) = G_\rho * (\nabla I_\sigma \otimes \nabla I_\sigma) = \begin{pmatrix}J_{11} & J_{12}\\J_{12} & J_{22}\end{pmatrix}$$ यहां, $$ J_\rho $$ मानक विचलन वाले छवि पिक्सेल बिंदु (i,j) से संबंधित संरचना टेंसर को संदर्भित करता है $$\rho$$. $$G$$ मानक विचलन के साथ गॉसियन कर्नेल $$(0, \rho ^2)$$ को संदर्भित करता है $$\rho$$. $$\sigma$$ छवि $$I$$ के लिए मैन्युअल रूप से परिभाषित पैरामीटर को संदर्भित करता है जिसके नीचे एज का पता लगाना नॉइज़ के प्रति असंवेदनशील है। $$\nabla I_\sigma$$ छवि के ग्रेडिएंट को संदर्भित करता है $$I$$ और $$(\nabla I_\sigma \otimes \nabla I_\sigma)$$ इस ग्रेडिएंट का उपयोग करके प्राप्त टेंसर उत्पाद को संदर्भित करता है।

प्राप्त संरचना टेंसर को ओरिएंटेशन अनुमान की सटीकता में सुधार करने के लिए गॉसियन कर्नेल $$G$$ के साथ संयोजित किया गया है, जिसमें अज्ञात नॉइज़ स्तरों को ध्यान में रखते हुए $$\sigma$$ को उच्च मानों पर सेट किया गया है। छवि में प्रत्येक पिक्सेल (आई,जे) के लिए, संरचना टेंसर जे एक सममित और धनात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह है। छवि में सभी पिक्सेल को $$G$$ के साथ संयोजित करने पर, $$J$$ आव्यूह के ऑर्थोनॉर्मल ईजेन वैक्टर ω और υ मिलते हैं। ω सबसे बड़े विरोधाभास वाले प्रमुख अभिविन्यास की दिशा में इंगित करता है और υ सबसे छोटे विरोधाभास वाले संरचना अभिविन्यास की दिशा में इंगित करता है। अभिविन्यास क्षेत्र मोटे प्रारंभिक अनुमान $$\hat{d}$$ को $$\hat{d}$$ = υ के रूप में परिभाषित किया गया है। यह अनुमान मजबूत एज़ेस पर सटीक है। हालाँकि, कमजोर एज़ेस पर या नॉइज़ वाले क्षेत्रों पर, इसकी विश्वसनीयता कम हो जाती है।

इस कमी को दूर करने के लिए, एक परिष्कृत ओरिएंटेशन मॉडल को परिभाषित किया गया है जिसमें डेटा शब्द नॉइज़ के प्रभाव को कम करता है और सटीकता में सुधार करता है जबकि एल 2-प्रतिमानक के साथ दूसरा दंड शब्द एक निष्ठा शब्द है जो प्रारंभिक मोटे अनुमान की सटीकता सुनिश्चित करता है।

इस ओरिएंटेशन फ़ील्ड को समीकरण के माध्यम से सीएस पुनःनिर्माण के लिए दिशात्मक कुल भिन्नता अनुकूलन मॉडल में प्रस्तुत किया गया है: $$\min_\Chi\lVert \nabla \Chi \bullet d \rVert _1 + \frac{\lambda}{2}\ \lVert Y - \Phi\Chi \rVert ^2_2$$. $$\Chi$$ उद्देश्य संकेत है जिसे पुनर्प्राप्ति करने की आवश्यकता है। Y संबंधित माप वेक्टर है, d पुनरावृत्त परिष्कृत अभिविन्यास क्षेत्र है और $$\Phi$$ CS माप आव्यूह है। यह विधि कुछ पुनरावृत्तियों से गुजरती है जो अंततः अभिसरण.$$\hat{d}$$ की ओर ले जाती है, जो कि पिछले पुनरावृत्ति से पुनर्निर्मित छवि $$X^{k-1}$$ का अभिविन्यास क्षेत्र अनुमानित अनुमान है (अभिसरण और बाद के ऑप्टिकल प्रदर्शन की जांच करने के लिए, पिछले पुनरावृत्ति का उपयोग किया जाता है)। $$\Chi$$ और $$d$$ द्वारा दर्शाए गए दो वेक्टर क्षेत्रों के लिए, $$\Chi \bullet d$$, $$\Chi$$ और $$d$$ के संबंधित क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर वेक्टर तत्वों के गुणन को संदर्भित करता है, जिसके बाद उनका बाद में जोड़ होता है। इन समीकरणों को उत्तल न्यूनीकरण समस्याओं की एक श्रृंखला में बदल दिया जाता है, जिन्हें फिर परिवर्तनीय विभाजन और संवर्धित लैग्रेंजियन (एक बंद फॉर्म हल के साथ एफएफटी-आधारित फास्ट सॉल्वर) विधियों के संयोजन के साथ हल किया जाता है। इसे (ऑगमेंटेड लैग्रेन्जियन) स्प्लिट ब्रेगमैन पुनरावृत्ति के समतुल्य माना जाता है जो इस पद्धति के अभिसरण को सुनिश्चित करता है। ओरिएंटेशन फ़ील्ड, डी को $$(d_h, d_v)$$ के बराबर परिभाषित किया गया है, जहां $$d_h, d_v$$, $$d$$ के क्षैतिज और ऊर्ध्वाधर अनुमान को परिभाषित करता है।

ओरिएंटेशन फ़ील्ड, $$\min_\Chi\lVert \nabla \Chi \bullet d \rVert _1 + \frac{\lambda}{2}\ \lVert Y - \Phi\Chi \rVert^2_2$$ के लिए संवर्धित लैग्रेन्जियन विधि में $$d_h, d_v, H, V$$ को आरंभ करना और फिर इन चर के संबंध में $$L_1$$ का अनुमानित न्यूनतम खोजना सम्मिलित है। लैग्रेंजियन मल्टीप्लायरों को फिर अद्यतन किया जाता है और अभिसरण प्राप्त होने पर पुनरावृत्त प्रक्रिया रोक दी जाती है। पुनरावृत्त दिशात्मक कुल भिन्नता शोधन मॉडल के लिए, संवर्धित लैग्रेन्जियन विधि में $$\Chi, P, Q, \lambda_P, \lambda_Q$$ को प्रारंभ करना सम्मिलित है।

यहां, $$H, V, P, Q$$ नए प्रस्तुत किए गए वेरिएबल हैं जहां $$H$$ = $$\nabla d_{h}$$, $$V$$ = $$\nabla d_v$$, $$P$$ = $$\nabla \Chi$$, और $$Q$$ = $$P \bullet d$$. $$\lambda_H, \lambda_V, \lambda_P, \lambda_Q$$, $$H, V, P, Q$$ के लिए लैग्रैन्जियन गुणक हैं। प्रत्येक पुनरावृत्ति के लिए, चर ($$\Chi, P, Q$$) के संबंध में $$L_2$$ के अनुमानित न्यूनतमक की गणना की जाती है। और जैसा कि क्षेत्र परिशोधन मॉडल में होता है, लैग्रेन्जियन मल्टीप्लायरों को अद्यतन किया जाता है और अभिसरण प्राप्त होने पर पुनरावृत्त प्रक्रिया रोक दी जाती है।

ओरिएंटेशन फ़ील्ड शोधन मॉडल के लिए, लैग्रेंजियन मल्टीप्लायरों को निम्नानुसार पुनरावृत्त प्रक्रिया में अद्यतन किया जाता है:


 * $$(\lambda_H)^k = (\lambda_H)^{k-1} + \gamma_H(H^k - \nabla (d_h)^k)$$
 * $$(\lambda_V)^k = (\lambda_V)^{k-1} + \gamma_V(V^k - \nabla (d_v)^k)$$

पुनरावृत्त दिशात्मक कुल भिन्नता शोधन मॉडल के लिए, लैग्रेंजियन गुणक निम्नानुसार अद्यतन किए गए हैं:


 * $$(\lambda_P)^k = (\lambda_P)^{k-1} + \gamma_P P^k - \nabla (\Chi)^k)$$
 * $$(\lambda_Q)^k = (\lambda_Q)^{k-1} + \gamma_Q(Q^k - P^k \bullet d)$$

यहाँ, $$\gamma_H, \gamma_V, \gamma_P, \gamma_Q$$ धनात्मक स्थिरांक हैं.

लाभ और हानि
पीक सिग्नल-टू-नॉय्ज रेशियो (पीएसएनआर) और संरचनात्मक समानता सूचकांक (एसएसआईएम) मापकों और परीक्षण प्रदर्शन के लिए ज्ञात मूल्यांकन चित्रों के आधार पर यह निष्कर्ष निकाला गया है कि इटरेटिव डायरेक्शनल टोटल वेरिएशन शीर्षक का प्रदर्शन सुरक्षित करने में गैर-इटरेटिव विधियों से उन्नत है, जैसे कि एज और टेक्सचर क्षेत्रों को संरक्षित करने में। इस प्रदर्शन में सुधार में यह ओरिएंटेशन फील्ड शुद्धिकरण मॉडल का मुख्य योगदान होता है क्योंकि यह समतल क्षेत्रों में निर्देशहीन पिक्सेल्स की संख्या बढ़ाता है जबकि यह एज वाले क्षेत्रों में ओरिएंटेशन फील्ड की संघटनता को बढ़ाता है।

अनुप्रयोग
कंप्रेसिव सेंसिंग का क्षेत्र सिग्नल प्रसंस्करण और अभिकलनात्मक गणित में कई विषयों से संबंधित है, जैसे कि कम निर्धारित रैखिक-सिस्टम, समूह परीक्षण, भारी हिटर, विरल कोडिंग, बहुसंकेतन, विरल प्रतिदर्शकरण और नवाचार की सीमित दर। इसके व्यापक दायरे और व्यापकता ने सिग्नल प्रसंस्करण और संपीड़न, व्युत्क्रम समस्याओं के हल, विकिरण प्रणालियों के डिजाइन, रडार और थ्रू-द-वॉल इमेजिंग, और एंटीना लक्षण वर्णन में कई नवीन सीएस-संवर्धित दृष्टिकोणों को सक्षम किया है। कंप्रेसिव सेंसिंग के साथ मजबूत संबंध रखने वाली इमेजिंग तकनीकों में कोडित एपर्चर और अभिकलनात्मक  फोटोग्राफी सम्मिलित हैं।

पारंपरिक सीएस पुनःनिर्माण विवश $$l_{1}$$ न्यूनीकरण के माध्यम से पुनःनिर्माण के लिए विरल संकेतों (सामान्यतः नाइक्विस्ट प्रतिदर्शकरण दर से कम दर पर प्रतिदर्श) का उपयोग करता है। इस तरह के दृष्टिकोण के शुरुआती अनुप्रयोगों में से एक प्रतिबिंब भूकंप विज्ञान में था, जिसमें उप-सतह परतों के बीच परिवर्तनों को ट्रैक करने के लिए बैंड-सीमित डेटा से विरल परावर्तित संकेतों का उपयोग किया जाता था। जब 1990 के दशक में विरल मॉडल के चयन के लिए एक सांख्यिकीय पद्धति के रूप में एलएएसएसओ मॉडल प्रमुखता में आया, इस पद्धति का उपयोग अति-पूर्ण शब्दकोशों से विरल संकेत प्रतिनिधित्व के लिए अभिकलनात्मक हार्मोनिक विश्लेषण में किया गया था। कुछ अन्य अनुप्रयोगों में राडार पल्स का असंगत प्रतिदर्शकरण सम्मिलित है। बॉयड एट अल द्वारा किया गया कार्य। विरल मॉडल के चयन के लिए एलएएसएसओ मॉडल को लागू किया गया है - एनालॉग से डिजिटल कन्वर्टर्स की ओर (वर्तमान वाले क्वांटाइज्ड शैनन प्रतिनिधित्व के साथ-साथ नाइक्विस्ट दर से अधिक प्रतिदर्श दर का उपयोग करते हैं)। इसमें एक समानांतर वास्तुकला सम्मिलित होगी जिसमें एनालॉग सिग्नल की ध्रुवीयता उच्च दर पर बदलती है, जिसके बाद परिवर्तित डिजिटल सिग्नल प्राप्त करने के लिए प्रत्येक समय-अंतराल के अंत में इंटीग्रल को डिजिटलीकृत किया जाता है।

फ़ोटोग्राफ़ी
एक प्रायोगिक मोबाइल फ़ोन कैमरा सेंसर में कंप्रेस्ड सेंसिंग का उपयोग किया गया है। यह दृष्टिकोण जटिल डिकंप्रेशन एल्गोरिदम की कीमत पर प्रति छवि छवि अधिग्रहण ऊर्जा में 15 के कारक तक की कमी की अनुमति देता है; गणना के लिए ऑफ-डिवाइस कार्यान्वयन की आवश्यकता हो सकती है।

राइस यूनिवर्सिटी के सिंगल-पिक्सेल कैमरों में कंप्रेस्ड सेंसिंग का उपयोग किया जाता है। बेल बेल लैब्सलैब्स ने इस तकनीक को एक लेंस रहित सिंगल-पिक्सेल कैमरे में नियोजित किया है जो ग्रिड से यादृच्छिक रूप से चुने गए एपर्चर के बार-बार स्नैपशॉट का उपयोग करके तस्वीरें लेता है। स्नैपशॉट की संख्या के साथ छवि गुणवत्ता में सुधार होता है, और सामान्यतः लेंस/फोकस-संबंधित विपथन को दूर करते हुए, पारंपरिक इमेजिंग के डेटा के एक छोटे से अंश की आवश्यकता होती है।

होलोग्रफ़ी
होलोग्राम से अनुमानित स्वरों की संख्या बढ़ाकर होलोग्राफी में छवि पुनःनिर्माण को उन्नत बनाने के लिए कंप्रेस्ड सेंसिंग का उपयोग किया जा सकता है।  इसका उपयोग ऑप्टिकल  और मिलीमीटर-वेव होलोग्राफी में कम नमूने वाले माप से छवि पुनर्प्राप्तिि के लिए भी किया जाता है।

चेहरे की पहचान (फेशियल रिकग्निशन)
चेहरे की पहचान प्रणाली अनुप्रयोगों में कंप्रेस्ड सेंसिंग का उपयोग किया गया है।

चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग
पारंपरिक हार्डवेयर पर चुंबकीय अनुनाद इमेजिंग स्कैनिंग सत्र को छोटा करने के लिए कंप्रेस्ड सेंसिंग का उपयोग किया गया है।   पुनःनिर्माण के तरीकों में सम्मिलित हैं


 * आईएसटीए
 * एफआईएसटीए
 * एसआईएसटीए
 * ईपीआरईएसएस
 * ईडब्लूआईएसटीए
 * ईडब्लूआईएसटीएआरएस इत्यादि

कम्प्रेस्ड सेंसिंग कम फूरियर गुणांक को मापकर तेजी से अधिग्रहण को सक्षम करके उच्च स्कैन समय की समस्या का हल करता है। यह अपेक्षाकृत कम स्कैन समय के साथ उच्च गुणवत्ता वाली छवि उत्पन्न करता है। एक अन्य अनुप्रयोग (जिसकी चर्चा आगे भी की गई है) कम एक्स-रे प्रक्षेपणों के साथ सीटी पुनःनिर्माण के लिए है। कंप्रेस्ड सेंसिंग, इस स्थिति में, उच्च स्थानिक ढाल वाले हिस्सों को हटा देता है - मुख्य रूप से, छवि नॉइज़ और कलाकृतियाँ। इसमें जबरदस्त क्षमता है क्योंकि कोई भी व्यक्ति कम विकिरण खुराक पर (कम करंट-एमए सेटिंग्स के माध्यम से) उच्च-रिज़ॉल्यूशन वाली सीटी छवियां प्राप्त कर सकता है।

नेटवर्क टोमोग्राफी
नेटवर्क टोमोग्राफी से लेकर नेटवर्क प्रबंधन तक के अनुप्रयोग में कंप्रेस्ड सेंसिंग ने उत्कृष्ट परिणाम दिखाए हैं। नेटवर्क विलंब अनुमान और नेटवर्क संकुलन का पता लगाना दोनों को रैखिक समीकरणों की अल्पनिर्धारित प्रणालियों के रूप में तैयार किया जा सकता है जहां गुणांक आव्यूह नेटवर्क रूटिंग आव्यूह है। इसके अलावा, इंटरनेट में, नेटवर्क रूटिंग मैट्रिस सामान्यतः कंप्रेस्ड सेंसिंग का उपयोग करने के प्रतिमानक को पूरा करते हैं।

लघु तरंग-अवरक्त कैमरे
2013 में एक कंपनी ने लघु तरंग-अवरक्त कैमरों की घोषणा की जो कंप्रेस्ड सेंसिंग का उपयोग करते हैं। इन कैमरों में प्रकाश संवेदनशीलता 0.9 μm से 1.7 μm तक होती है, तरंग दैर्ध्य मानव आंखों के लिए अदृश्य होती है।

एपर्चर सिंथेसिस खगोल विज्ञान
रेडियो खगोल विज्ञान और ऑप्टिकल खगोलीय इंटरफेरोमेट्री में, फूरियर विमान का पूर्ण कवरेज सामान्यतः अनुपस्थित होता है और अधिकांश हार्डवेयर कॉन्फ़िगरेशन में चरण की जानकारी प्राप्त नहीं होती है। एपर्चर संश्लेषण छवियों को प्राप्त करने के लिए, विभिन्न कंप्रेस्ड सेंसिंग एल्गोरिदम कार्यरत हैं। रेडियो इंटरफेरोमीटर से प्राप्त छवियों के पुनःनिर्माण के लिए 1974 से हॉगबॉम क्लीन एल्गोरिदम का उपयोग किया जा रहा है, जो ऊपर उल्लिखित मिलान खोज एल्गोरिदम के समान है।

ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोप
एक ट्रांसमिशन इलेक्ट्रॉन माइक्रोस्कोपी में छवियों की अधिग्रहण दर को बढ़ाने के लिए एक चलती एपर्चर के साथ संयुक्त कंप्रेस्ड सेंसिंग का उपयोग किया गया है। स्कैनिंग मोड में, इलेक्ट्रॉन बीम की यादृच्छिक स्कैनिंग के साथ संयुक्त संपीड़न संवेदन ने तेजी से अधिग्रहण और कम इलेक्ट्रॉन खुराक दोनों को सक्षम किया है, जो इलेक्ट्रॉन बीम संवेदनशील सामग्रियों की इमेजिंग की अनुमति देता है।

यह भी देखें

 * नॉइज़लेट
 * विरल सन्निकटन
 * विरल कोडिंग
 * निम्न-घनत्व समता-जांच कोड
 * वाक् संकेतों में कंप्रेस्ड सेंसिंग

अग्रिम पठन

 * "The Fundamentals of Compressive Sensing" Part 1, Part 2 and Part 3: video tutorial by Mark Davenport, Georgia Tech. at SigView, the IEEE Signal Processing Society Tutorial Library.
 * Using Math to Turn Lo-Res Datasets Into Hi-Res Samples Wired Magazine article
 * Compressive Sensing Resources at Rice University.
 * Compressed Sensing Makes Every Pixel Count – article in the AMS What's Happening in the Mathematical Sciences series
 * Wiki on sparse reconstruction