प्रतीकात्मक गतिशीलता

गणित में, प्रतीकात्मक गतिशीलता एक असतत स्थान द्वारा एक टोपोलॉजिकल या चिकनी गतिशील प्रणाली को मॉडलिंग करने का अभ्यास है जिसमें अमूर्त प्रतीकों के अनंत अनुक्रम होते हैं, जिनमें से प्रत्येक प्रणाली की गतिशील प्रणाली से मेल खाती है, जिसमें बदलाव द्वारा दी गई गतिशीलता (विकास) होती है। ऑपरेटर। औपचारिक रूप से, मार्कोव विभाजन का उपयोग सुचारू प्रणाली के लिए एक सीमित आवरण प्रदान करने के लिए किया जाता है; कवर का प्रत्येक सेट एक एकल प्रतीक के साथ जुड़ा हुआ है, और प्रतीकों के अनुक्रम के परिणामस्वरूप सिस्टम का एक प्रक्षेपवक्र एक कवरिंग सेट से दूसरे तक चलता है।

इतिहास
यह विचार नकारात्मक वक्रता की सतह (टोपोलॉजी) पर जियोडेसिक्स पर जैक्स हैडामर्ड के 1898 के पेपर पर आधारित है। इसे 1921 में मार्स्टन मोर्स द्वारा एक गैर-आवधिक आवर्ती जियोडेसिक के निर्माण के लिए लागू किया गया था। संबंधित कार्य एमिल आर्टिन द्वारा 1924 में किया गया था (सिस्टम के लिए जिसे अब बिलियर्ड्स की कला  कहा जाता है), पेक्का मायरबर्ग, पॉल कोबे, जैकब नीलसन (गणितज्ञ), जी ए हेडलंड।

पहला औपचारिक उपचार मोर्स और हेडलंड ने अपने 1938 के पेपर में विकसित किया था। जॉर्ज बिरखॉफ़, नॉर्मन लेविंसन और जोड़ी मैरी कार्टराईट और जे. ई. लिटिलवुड ने गैर-स्वायत्त दूसरे क्रम के अंतर समीकरणों के गुणात्मक विश्लेषण के लिए समान तरीकों को लागू किया है।

क्लाउड शैनन ने अपने 1948 के पेपर संचार के गणितीय सिद्धांत में प्रतीकात्मक अनुक्रमों और परिमित प्रकार के बदलाव का उपयोग किया जिसने सूचना सिद्धांत को जन्म दिया।

1960 के दशक के उत्तरार्ध के दौरान रॉय एडलर और बेंजामिन वीस द्वारा हाइपरबोलिक टोरल ऑटोमोर्फिज्म के लिए प्रतीकात्मक गतिशीलता की पद्धति विकसित की गई थी, और जैकब सिनाई  द्वारा एनोसोव भिन्नता के लिए जिन्होंने गिब्स उपायों के निर्माण के लिए प्रतीकात्मक मॉडल का उपयोग किया था। 1970 के दशक की शुरुआत में इस सिद्धांत को मरीना रैटनर द्वारा एनोसोव प्रवाह तक और रूफस बोवेन द्वारा एक्सिओम ए डिफियोमोर्फिज्म और प्रवाह तक विस्तारित किया गया था।

प्रतीकात्मक गतिशीलता के तरीकों का एक शानदार अनुप्रयोग एक अंतराल के निरंतर मानचित्र की आवधिक कक्षाओं के बारे में शारकोव्स्की का प्रमेय है (1964)।

उदाहरण
हेटरोक्लिनिक कक्षाएँ और होमोक्लिनिक कक्षाएँ जैसी अवधारणाओं का प्रतीकात्मक गतिशीलता में विशेष रूप से सरल प्रतिनिधित्व है।

यात्रा कार्यक्रम
विभाजन के संबंध में बिंदु का यात्रा कार्यक्रम प्रतीकों का एक क्रम है। यह बिंदु की गतिशीलता का वर्णन करता है।

अनुप्रयोग
प्रतीकात्मक गतिशीलता की उत्पत्ति सामान्य गतिशील प्रणालियों का अध्ययन करने की एक विधि के रूप में हुई; अब इसकी तकनीकों और विचारों को डेटा भंडारण उपकरण और डेटा ट्रांसमिशन, रैखिक बीजगणित, ग्रहों की गति और कई अन्य क्षेत्रों में महत्वपूर्ण अनुप्रयोग मिल गए हैं।. प्रतीकात्मक गतिशीलता में विशिष्ट विशेषता यह है कि समय को अलग-अलग समय अंतरालों में मापा जाता है। इसलिए प्रत्येक समय अंतराल पर सिस्टम एक विशेष स्थिति में होता है। प्रत्येक राज्य एक प्रतीक के साथ जुड़ा हुआ है और सिस्टम के विकास को प्रतीकों के एक अनंत अनुक्रम द्वारा वर्णित किया गया है - जिसे स्ट्रिंग (कंप्यूटर विज्ञान) के रूप में प्रभावी ढंग से दर्शाया गया है। यदि सिस्टम की स्थिति स्वाभाविक रूप से अलग नहीं है, तो जितना राज्य को अलग किया जाना चाहिए, ताकि सिस्टम का मोटे तौर पर विवरण प्राप्त किया जा सके।

यह भी देखें

 * उपाय-संरक्षण गतिशील प्रणाली
 * कॉम्बिनेटरिक्स और डायनेमिक सिस्टम
 * जगह बदलें
 * परिमित प्रकार का बदलाव
 * जटिल गतिशीलता
 * अंकगणितीय गतिशीलता

अग्रिम पठन

 * Bruce Kitchens, Symbolic dynamics. One-sided, two-sided and countable state Markov shifts. Universitext, Springer-Verlag, Berlin, 1998. x+252 pp. ISBN 3-540-62738-3
 * G. A. Hedlund, Endomorphisms and automorphisms of the shift dynamical system. Math. Systems Theory, Vol. 3, No. 4 (1969) 320–3751
 * G. A. Hedlund, Endomorphisms and automorphisms of the shift dynamical system. Math. Systems Theory, Vol. 3, No. 4 (1969) 320–3751
 * G. A. Hedlund, Endomorphisms and automorphisms of the shift dynamical system. Math. Systems Theory, Vol. 3, No. 4 (1969) 320–3751

बाहरी संबंध

 * ChaosBook.org Chapter "Transition graphs"
 * A simulation of the three-bumper billiard system and its symbolic dynamics, from Chaos V: Duhem's Bull