3-बहुआयामी

गणित में, 3-कई गुना एक स्थलीय स्थान है जो स्थानीय रूप से त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष जैसा दिखता है। ब्रह्मांड के संभावित आकार के रूप में 3-कई गुना के बारे में सोचा जा सकता है। जिस तरह एक गोला एक छोटे पर्याप्त पर्यवेक्षक को एक समतल (ज्यामिति) की तरह दिखता है, उसी तरह सभी 3-मैनिफोल्ड ऐसे दिखते हैं जैसे हमारा ब्रह्मांड एक छोटे से पर्याप्त पर्यवेक्षक को करता है। इसे नीचे दी गई परिभाषा में और अधिक सटीक बनाया गया है।

परिभाषा
एक टोपोलॉजिकल स्पेस $$M$$ एक 3-कई गुना है यदि यह दूसरी-गिनने योग्य हॉसडॉर्फ स्थान है और यदि प्रत्येक बिंदु अंदर है $$M$$ एक पड़ोस (गणित) है जो यूक्लिडियन 3-स्पेस के लिए होमियोमॉर्फिक है।

3-कई गुना का गणितीय सिद्धांत
टोपोलॉजिकल, टुकड़ा-टुकड़ा रैखिक कई गुना  | पीसवाइज-लीनियर, और स्मूथ कैटेगरी सभी तीन आयामों में समान हैं, इसलिए इसमें बहुत कम अंतर किया जाता है कि क्या हम टोपोलॉजिकल 3-मैनिफोल्ड या स्मूथ 3-मैनिफोल्ड के साथ काम कर रहे हैं।

तीन आयामों में घटनाएं अन्य आयामों में घटनाओं से आश्चर्यजनक रूप से भिन्न हो सकती हैं, और इसलिए बहुत विशिष्ट तकनीकों का प्रचलन है जो तीन से अधिक आयामों को सामान्यीकृत नहीं करते हैं। इस विशेष भूमिका ने अन्य क्षेत्रों की विविधता के लिए घनिष्ठ संबंधों की खोज की है, जैसे गाँठ सिद्धांत, ज्यामितीय [[समूह सिद्धांत]], अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति, संख्या सिद्धांत, टीचमुलर स्पेस | टीचमुलर सिद्धांतटोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत सिद्धांत, गेज सिद्धांत, फ्लोर होमोलॉजी, और आंशिक अंतर समीकरण। 3-कई गुना सिद्धांत को निम्न-आयामी टोपोलॉजी या ज्यामितीय टोपोलॉजी का एक हिस्सा माना जाता है।

सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण विचार यह है कि इसमें एम्बेडेड विशेष सतह (टोपोलॉजी) पर विचार करके 3-गुना का अध्ययन करना है। कोई सतह को 3-कई गुना में अच्छी तरह से रखने के लिए चुन सकता है, जो एक असंपीड्य सतह के विचार और हेकन कई गुना के सिद्धांत की ओर जाता है, या कोई भी पूरक टुकड़ों को जितना संभव हो उतना अच्छा चुन सकता है, जैसे कि संरचनाओं के लिए अग्रणी हीगार्ड विभाजन, जो गैर-हेकन मामले में भी उपयोगी होते हैं।

विलियम थर्स्टन | सिद्धांत में थर्स्टन के योगदान ने कई मामलों में एक विशेष थर्स्टन मॉडल ज्यामिति (जिनमें से आठ हैं) द्वारा दी गई अतिरिक्त संरचना पर भी विचार करने की अनुमति दी है। सबसे प्रचलित ज्यामिति अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति है। विशेष सतहों के अतिरिक्त ज्यामिति का उपयोग करना अक्सर फलदायी होता है।

3-कई गुना के मौलिक समूह 3-कई गुना से संबंधित ज्यामितीय और सांस्थितिक जानकारी को मजबूती से दर्शाते हैं। इस प्रकार, समूह सिद्धांत और सामयिक तरीकों के बीच एक परस्पर क्रिया होती है।

3-कई गुना
का वर्णन करने वाले अपरिवर्तनीय 3-कई गुना कम-आयामी टोपोलॉजी का एक दिलचस्प विशेष मामला है क्योंकि उनके टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट सामान्य रूप से उनकी संरचना के बारे में बहुत सारी जानकारी देते हैं। अगर हम जाने दें $$M$$ एक 3-कई गुना हो और $$\pi = \pi_1(M)$$ इसका मौलिक समूह हो, तो उनसे बहुत सी जानकारी प्राप्त की जा सकती है। उदाहरण के लिए, पोंकारे द्वैत और ह्युरेविक्ज़ प्रमेय का उपयोग करते हुए, हमारे पास निम्नलिखित होमोलॉजी समूह हैं: <ब्लॉककोट>$$\begin{align} H_0(M) &= H^3(M) =& \mathbb{Z} \\ H_1(M) &= H^2(M) =& \pi/[\pi,\pi] \\ H_2(M) &= H^1(M) =& \text{Hom}(\pi,\mathbb{Z}) \\ H_3(M) &= H^0(M) = & \mathbb{Z} \end{align}$$ जहां अंतिम दो समूह समूह कोहोलॉजी और कोहोलॉजी के लिए आइसोमॉर्फिक हैं $$\pi$$, क्रमश; वह है, <ब्लॉककोट>$$\begin{align} H_1(\pi;\mathbb{Z}) &\cong \pi/[\pi,\pi] \\ H^1(\pi;\mathbb{Z}) &\cong \text{Hom}(\pi,\mathbb{Z}) \end{align}$$ इस जानकारी से 3-कई गुना का एक बुनियादी होमोटोपी सिद्धांतिक वर्गीकरण पाया जा सकता है। नोट पोस्टनिकोव टॉवर से एक विहित नक्शा है"$q: M \to B\pi$"अगर हम मौलिक वर्ग के पुशफॉरवर्ड को लें $$[M] \in H_3(M)$$ में $$H_3(B\pi)$$ हमें एक तत्व मिलता है $$\zeta_M = q_*([M])$$. यह समूह निकलता है $$\pi$$ साथ में समूह समरूपता वर्ग $$\zeta_M \in H_3(\pi,\mathbb{Z})$$ होमोटॉपी प्रकार का पूर्ण बीजगणितीय विवरण देता है $$M$$.

जुड़ा योग
एक महत्वपूर्ण टोपोलॉजिकल ऑपरेशन दो 3-कई गुना का जुड़ा हुआ योग है $$M_1\# M_2$$. वास्तव में, टोपोलॉजी में सामान्य प्रमेयों से, हम एक जुड़े योग अपघटन के साथ तीन गुना के लिए पाते हैं $$M = M_1\# \cdots \# M_n$$ ऊपर के लिए अपरिवर्तनीय $$M$$ से गणना की जा सकती है $$M_i$$. विशेष रूप से <ब्लॉककोट>$$\begin{align} H_1(M) &= H_1(M_1)\oplus \cdots \oplus H_1(M_n) \\ H_2(M) &= H_2(M_1)\oplus \cdots \oplus H_2(M_n) \\ \pi_1(M) &= \pi_1(M_1) * \cdots * \pi_1(M_n) \end{align}$$ इसके अलावा, एक 3-कई गुना $$M$$ जिसे दो 3-कई गुना के जुड़े योग के रूप में वर्णित नहीं किया जा सकता है, उसे अभाज्य कहा जाता है।

दूसरा होमोटॉपी समूह
प्राइम 3-मैनिफोल्ड्स के जुड़े योग द्वारा दिए गए 3-मैनिफ़ोल्ड के मामले में, यह पता चला है कि दूसरे मौलिक समूह का एक अच्छा विवरण है $$\mathbb{Z}[\pi]$$-मापांक। प्रत्येक होने के विशेष मामले के लिए $$\pi_1(M_i)$$ अनंत है लेकिन चक्रीय नहीं है, अगर हम 2-क्षेत्र <ब्लॉकक्वोट> के आधार पर एम्बेडिंग लेते हैं$$\sigma_i:S^2 \to M$$ कहाँ $$\sigma_i(S^2) \subset M_i - \{B^3\} \subset M$$ फिर दूसरे मौलिक समूह की प्रस्तुति"है$\pi_2(M) = \frac{\mathbb{Z}[\pi]\{ \sigma_1,\ldots,\sigma_n\}}{(\sigma_1 + \cdots + \sigma_n)}$|undefined"इस समूह की सीधी गणना दे रहा हूँ।

यूक्लिडियन 3-स्पेस
यूक्लिडियन 3-स्पेस 3-मैनिफ़ोल्ड का सबसे महत्वपूर्ण उदाहरण है, क्योंकि अन्य सभी इसके संबंध में परिभाषित हैं। यह वास्तविक संख्याओं पर मानक 3-आयामी सदिश स्थल  है।

3-गोला
एक 3-गोला एक गोले का उच्च-आयामी एनालॉग है। इसमें 4-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक निश्चित केंद्रीय बिंदु से समतुल्य बिंदुओं का समूह होता है। जिस तरह एक साधारण गोला (या 2-गोला) एक द्वि-आयामी सतह (टोपोलॉजी) है जो तीन आयामों में एक गेंद (गणित) की सीमा बनाता है, एक 3-गोला तीन आयामों वाली एक वस्तु है जो एक की सीमा बनाती है चार आयामों में गेंद। एक परिमित समूह द्वारा 3-गोले के भागफल लेकर 3-मैनिफोल्ड के कई उदाहरणों का निर्माण किया जा सकता है $$\pi$$ स्वतंत्र रूप से कार्य करना $$S^3$$ एक मानचित्र के माध्यम से $$\pi \to \text{SO}(4)$$, इसलिए $$M = S^3/\pi$$.

वास्तविक प्रक्षेपी 3-स्थान
वास्तविक प्रोजेक्टिव 3-स्पेस, या आरपी3, 'R' में मूल 0 से गुजरने वाली रेखाओं का सांस्थितिक स्थान है4। यह एक कॉम्पैक्ट जगह है, डायमेंशन 3 का  चिकना कई गुना, और एक स्पेशल केस 'Gr'(1, 'R' 4) एक  ग्रासमानियन  अंतरिक्ष का।

आर.पी3 SO(3) के लिए (भिन्नरूपी) है, इसलिए एक समूह संरचना को स्वीकार करता है; कवरिंग मैप एस3 → आरपी3 समूह स्पिन(3) → SO(3) का एक मानचित्र है, जहां स्पिन समूह|स्पिन(3) एक लाइ समूह है जो SO(3) का सार्वभौमिक आवरण है।

3-टोरस
3-आयामी टोरस 3 मंडलियों का उत्पाद है। वह है:


 * $$\mathbf{T}^3 = S^1 \times S^1 \times S^1.$$

3-टोरस, टी3 को R के भागफल के रूप में वर्णित किया जा सकता है3 किसी भी निर्देशांक में अभिन्न बदलाव के तहत। यानी 3-टोरस आर है3 पूर्णांक जाली (समूह) Z की समूह क्रिया (गणित) मॉड्यूलो3 (वेक्टर जोड़ के रूप में की जा रही कार्रवाई के साथ)। समान रूप से, 3-टोरस को 3-आयामी घन से विपरीत चेहरों को एक साथ जोड़कर प्राप्त किया जाता है।

इस अर्थ में एक 3-टोरस 3-आयामी कॉम्पैक्ट स्पेस मैनिफोल्ड का एक उदाहरण है। यह कॉम्पैक्ट एबेलियन समूह  लाइ ग्रुप का भी एक उदाहरण है। यह इस तथ्य से अनुसरण करता है कि यूनिट सर्कल एक कॉम्पैक्ट एबेलियन लाइ ग्रुप है (जब गुणा के साथ यूनिट जटिल संख्या के साथ पहचाना जाता है)। टोरस पर समूह गुणन तब समन्वय-वार गुणन द्वारा परिभाषित किया जाता है।

अतिशयोक्तिपूर्ण 3-स्थान
हाइपरबोलिक स्पेस एक सजातीय स्थान है जिसे रिमेंनियन मैनिफोल्ड्स के एक निरंतर कार्य नकारात्मक वक्रता द्वारा चित्रित किया जा सकता है। यह अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति का मॉडल है। यह यूक्लिडियन रिक्त स्थान से शून्य वक्रता के साथ अलग है जो यूक्लिडियन ज्यामिति को परिभाषित करता है, और अण्डाकार ज्यामिति के मॉडल (जैसे 3-क्षेत्र) जिसमें एक निरंतर सकारात्मक वक्रता होती है। जब यूक्लिडियन स्पेस (उच्च आयाम के) में एम्बेड किया जाता है, तो हाइपरबोलिक स्पेस का हर बिंदु एक लादने की सीमा  होता है। एक अन्य विशिष्ट संपत्ति रिमेंनियन वॉल्यूम फॉर्म है जो 3-बॉल द्वारा हाइपरबॉलिक 3-स्पेस में कवर किया गया है: यह बहुपद के बजाय गेंद के त्रिज्या के संबंध में घातीय वृद्धि को बढ़ाता है।

पोनकारे डोडेकाहेड्रल स्पेस
हेनरी पोनकारे|पोंकारे समरूपता क्षेत्र (जिसे पोंकारे डोडेकाहेड्रल स्पेस के रूप में भी जाना जाता है) एक समरूपता क्षेत्र का एक विशेष उदाहरण है। एक गोलाकार 3-कई गुना होने के नाते, यह एक परिमित मौलिक समूह के साथ एकमात्र होमोलॉजी 3-क्षेत्र (3-गोले के अलावा) है। इसके मौलिक समूह को बाइनरी इकोसाहेड्रल समूह के रूप में जाना जाता है और इसका क्रम 120 है।

2003 में, कॉस्मिक माइक्रोवेव पृष्ठभूमि में सबसे बड़े पैमाने (60 डिग्री से ऊपर) पर संरचना की कमी, जैसा कि विल्किंसन माइक्रोवेव अनिसोट्रॉपी जांच अंतरिक्ष यान द्वारा एक वर्ष के लिए मनाया गया, पेरिस वेधशाला और सहयोगियों के जीन पियरे ल्यूमिनेट  द्वारा सुझाव दिया गया। कि ब्रह्मांड का आकार पोंकारे गोला है।  2008 में, खगोलविदों ने मॉडल के लिए आकाश पर सबसे अच्छा अभिविन्यास पाया और WMAP अंतरिक्ष यान द्वारा तीन वर्षों की टिप्पणियों का उपयोग करते हुए मॉडल की कुछ भविष्यवाणियों की पुष्टि की। हालाँकि, अभी तक मॉडल की शुद्धता के लिए कोई मजबूत समर्थन नहीं है।

सीफर्ट-वेबर स्पेस
गणित में, सीफर्ट-वेबर स्पेस (हर्बर्ट सीफर्ट और कॉन्स्टेंटिन वेबर द्वारा प्रस्तुत) एक बंद कई गुना  हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड है। इसे सीफ़र्ट-वेबर डोडेकाहेड्रल स्पेस और हाइपरबोलिक डोडेकाहेड्रल स्पेस के रूप में भी जाना जाता है। यह बंद अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना के पहले खोजे गए उदाहरणों में से एक है।

इसका निर्माण एक द्वादशफलक के प्रत्येक फलक को इसके विपरीत इस तरह से चिपका कर किया जाता है जिससे एक बंद 3-कई गुना उत्पादन होता है। इस ग्लूइंग को लगातार करने के तीन तरीके हैं। विपरीत चेहरे एक मोड़ के 1/10 द्वारा गलत संरेखित होते हैं, इसलिए उन्हें मिलान करने के लिए उन्हें 1/10, 3/10 या 5/10 मोड़ से घुमाया जाना चाहिए; 3/10 का रोटेशन सीफर्ट-वेबर स्पेस देता है। 1/10 के रोटेशन से पोंकारे होमोलॉजी स्फेयर मिलता है, और 5/10 के रोटेशन से 3-डायमेंशनल वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान  मिलता है।

3/10-टर्न ग्लूइंग पैटर्न के साथ, मूल डोडेकाहेड्रोन के किनारों को पांच के समूहों में एक दूसरे से चिपकाया जाता है। इस प्रकार, सीफर्ट-वेबर अंतरिक्ष में, प्रत्येक किनारा पांच पंचकोणीय चेहरों से घिरा हुआ है, और इन पंचकोणों के बीच का डायहेड्रल कोण 72 ° है। यह यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक नियमित द्वादशफलक के 117° द्वितल कोण से मेल नहीं खाता है, लेकिन अतिशयोक्तिपूर्ण स्थान में 60° और 117° के बीच किसी भी द्वितल कोण के साथ नियमित द्वादशफलक मौजूद है, और द्वितल कोण 72° के साथ अतिपरवलयिक द्वादशफलक का उपयोग किया जा सकता है सीफर्ट-वेबर अंतरिक्ष एक अतिशयोक्तिपूर्ण कई गुना के रूप में एक ज्यामितीय संरचना। यह इस डायहेड्रल कोण के साथ डोडेकाहेड्रा द्वारा अतिशयोक्तिपूर्ण 3-अंतरिक्ष के एक नियमित पॉलीटॉप चौकोर क्रम-5 डोडेकाहेड्रल मधुकोश मधुकोश का एक भागफल स्थान (टोपोलॉजी) है।

गीसेकिंग मैनिफोल्ड
गणित में, गिसेकिंग मैनिफोल्ड परिमित आयतन का अतिशयोक्तिपूर्ण 3-मैनिफ़ोल्ड 3-मैनिफ़ोल्ड है। यह उन्मुखता  है। नॉन-ओरिएंटेबल और नॉन-कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड्स के बीच सबसे छोटी मात्रा है, जिसकी मात्रा लगभग 1.01494161 है। द्वारा खोजा गया था.

गिसेकिंग मैनिफोल्ड का निर्माण एक चतुर्पाश्वीय से कोने को हटाकर किया जा सकता है, फिर एफाइन-रैखिक मानचित्रों का उपयोग करके जोड़े में चेहरों को एक साथ जोड़कर बनाया जा सकता है। शीर्षों को 0, 1, 2, 3 पर लेबल करें। उस क्रम में चेहरे को 0,1,2 के साथ चेहरे पर 3,1,0 के साथ चिपकाएं। उस क्रम में चेहरे को 0,2,3 से चेहरे को 3,2,1 पर गोंद दें। गिसेकिंग मैनिफोल्ड की अतिशयोक्तिपूर्ण संरचना में, यह आदर्श टेट्राहेड्रॉन डेविड बी. ए. एपस्टीन और रॉबर्ट सी. पेननर का विहित बहुफलकीय अपघटन है। इसके अलावा, चेहरों द्वारा बनाया गया कोण है $$\pi/3$$. त्रिकोणासन में एक चतुष्फलक, दो फलक, एक किनारा और कोई शीर्ष नहीं है, इसलिए मूल चतुष्फलक के सभी किनारे आपस में चिपके हुए हैं।

3-गुणों के कुछ महत्वपूर्ण वर्ग

 * ग्राफ कई गुना
 * हेकेन मैनिफोल्ड
 * अनुरूपता क्षेत्रों
 * अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना
 * मैं-बंडल
 * गाँठ और लिंक पूरक
 * लेंस स्थान
 * Seifert फाइबर रिक्त स्थान, सर्किल बंडल
 * गोलाकार 3-कई गुना
 * सर्कल के ऊपर सरफेस बंडल
 * टोरस बंडल

हाइपरबॉलिक लिंक पूरक
एक हाइपरबॉलिक लिंक 3-गोले में गाँठ पूरक के साथ एक लिंक (गांठ सिद्धांत) है जिसमें निरंतर नकारात्मक वक्रता का एक पूर्ण रिमेंनियन मीट्रिक है, यानी एक हाइपरबोलिक ज्यामिति है। एक अतिशयोक्तिपूर्ण गाँठ एक जुड़े हुए स्थान के साथ एक अतिशयोक्तिपूर्ण कड़ी है।

निम्नलिखित उदाहरण विशेष रूप से प्रसिद्ध और अध्ययन किए गए हैं।


 * आकृति-आठ गांठ (गणित)
 * व्हाइटहेड लिंक
 * बोरोमियन रिंग्स

कक्षाएं परस्पर अनन्य नहीं हैं।

3-कई गुना
पर कुछ महत्वपूर्ण संरचनाएं

संपर्क ज्यामिति
कॉन्टैक्ट ज्योमेट्री, स्पर्शरेखा बंडल में हाइपरप्लेन वितरण (अंतर ज्यामिति)  द्वारा दिए गए स्मूथ मैनिफोल्ड्स पर एक ज्यामितीय संरचना का अध्ययन है और एक  विभेदक रूप  द्वारा निर्दिष्ट है। पूर्ण गैर-अभिन्नता'। फ्रोबेनियस प्रमेय (डिफरेंशियल टोपोलॉजी) से, एक स्थिति को उस स्थिति के विपरीत के रूप में पहचानता है जो वितरण को कई गुना ('पूर्ण पूर्णांक') पर एक कोडिमेंशन वन  पत्तियों से सजाना  द्वारा निर्धारित किया जाता है।

संपर्क ज्यामिति कई तरह से सह-आयामी ज्यामिति का एक विषम-आयामी समकक्ष है, जो समान-आयामी दुनिया से संबंधित है। संपर्क और सहानुभूतिपूर्ण ज्यामिति दोनों शास्त्रीय यांत्रिकी के गणितीय औपचारिकता से प्रेरित हैं, जहां कोई यांत्रिक प्रणाली के सम-आयामी चरण स्थान या विषम-आयामी विस्तारित चरण स्थान पर विचार कर सकता है जिसमें समय चर शामिल है।

कई गुना हुक
एक हेकेन मैनिफोल्ड एक कॉम्पैक्ट स्पेस है, P²-irreducible 3-मैनिफ़ोल्ड जो पर्याप्त रूप से बड़ा है, जिसका अर्थ है कि इसमें ठीक से एम्बेडेड 2-पक्षीय | दो तरफा असंपीड्य सतह शामिल है। कभी-कभी कोई केवल ओरिएंटेबल हेकेन मैनिफोल्ड्स पर विचार करता है, इस मामले में हेकेन मैनिफोल्ड एक कॉम्पैक्ट, ओरिएंटेबल, इरेड्यूसिबल 3-मैनिफोल्ड होता है जिसमें एक ओरिएंटेबल, असम्पीडित सतह होती है।

हेकेन मैनिफोल्ड द्वारा परिमित रूप से कवर किए गए 3-मैनीफोल्ड को वस्तुतः हेकेन कहा जाता है। वस्तुतः हेकेन अनुमान का दावा है कि अनंत मौलिक समूह के साथ प्रत्येक कॉम्पैक्ट, इरेड्यूसेबल 3-मैनिफोल्ड वास्तव में हेकेन है।

हेकेन मैनिफोल्ड्स वोल्फगैंग हेकेन द्वारा पेश किए गए थे। हेकेन ने साबित किया कि हेकेन मैनिफोल्ड्स में एक पदानुक्रम है, जहां उन्हें असम्पीडित सतहों के साथ 3-गेंदों में विभाजित किया जा सकता है। हेकेन ने यह भी दिखाया कि अगर 3-मैनिफोल्ड में एक होता तो एक असम्पीडित सतह को खोजने की एक सीमित प्रक्रिया होती। जैको और ओरटेल ने यह निर्धारित करने के लिए एक एल्गोरिथम दिया कि क्या 3-कई गुना हैकन था।

आवश्यक फाड़ना
एक आवश्यक लेमिनेशन एक लैमिनेशन (टोपोलॉजी) है जहां हर पत्ती असम्पीडित होती है और अंत में असम्पीडित होती है, यदि लेमिनेशन के पूरक क्षेत्र इर्रेड्यूबल हैं, और यदि कोई गोलाकार पत्तियां नहीं हैं।

आवश्यक लैमिनेशन हेकेन मैनिफोल्ड्स में पाई जाने वाली असम्पीडित सतहों को सामान्यीकृत करते हैं।

हीगार्ड विभाजन
एक हीगार्ड विभाजन एक कॉम्पैक्ट उन्मुख 3-कई गुना का अपघटन है जो इसे दो android  में विभाजित करने के परिणामस्वरूप होता है।

प्रत्येक बंद, उन्मुख तीन गुना प्राप्त किया जा सकता है; यह एडविन ई. मोइज़ के कारण तीन गुना की त्रिकोणीयता पर गहरे परिणामों से आता है। यह उच्च-आयामी मैनिफोल्ड के साथ दृढ़ता से विरोधाभास करता है, जिसमें चिकनी या टुकड़े-टुकड़े रैखिक संरचनाओं को स्वीकार करने की आवश्यकता नहीं होती है। सहजता को मानते हुए हीगार्ड विभाजन का अस्तित्व भी मोर्स सिद्धांत से संभाल अपघटन के बारे में सँकरा  के कार्य से अनुसरण करता है।

तना हुआ फोलिएशन
एक तना हुआ फोलिएशन संपत्ति के साथ 3-कई गुना का एक codimension  1 फोलिएशन है, जिसमें हर पत्ती को पार करने वाला एक एकल अनुप्रस्थ चक्र होता है। अनुप्रस्थ वृत्त से तात्पर्य एक बंद लूप से है जो हमेशा पत्ते के स्पर्शरेखा क्षेत्र के अनुप्रस्थ होता है। समतुल्य रूप से, डेनिस सुलिवन के परिणामस्वरूप, एक कोडिमेंशन 1 फोलिएशन तना हुआ है यदि कोई रिमेंनियन मीट्रिक मौजूद है जो प्रत्येक पत्ती को एक न्यूनतम सतह बनाता है।

विलियम थर्स्टन और डेविड गबाई के काम से तने हुए पत्तों को प्रमुखता से लाया गया।

मूलभूत परिणाम
ऐतिहासिक कलाकृतियों के परिणामस्वरूप कुछ परिणामों को अनुमान के रूप में नामित किया गया है।

हम विशुद्ध रूप से सामयिक से शुरू करते हैं:

मोइज़ प्रमेय
ज्यामितीय टोपोलॉजी में, एडविन ई. मोइस द्वारा सिद्ध किए गए मोइज़ के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी टोपोलॉजिकल 3-मैनिफ़ोल्ड में एक अनिवार्य रूप से अद्वितीय टुकड़ा-रेखीय संरचना और चिकनी संरचना होती है।

परिणाम के रूप में, प्रत्येक कॉम्पैक्ट 3-मैनिफ़ोल्ड में एक हीगार्ड विभाजन होता है।

प्रधान अपघटन प्रमेय
3-मैनिफ़ोल्ड्स के लिए प्रमुख अपघटन प्रमेय बताता है कि प्रत्येक कॉम्पैक्ट स्पेस, ओरिएंटेबिलिटी 3-मैनिफ़ोल्ड प्रधान गुणक  के एक अद्वितीय (होमियोमोर्फिज्म तक) संग्रह का जुड़ा हुआ योग है। प्राइम 3-मैनिफ़ोल्ड।

एक कई गुना 'प्राइम' है अगर इसे एक से अधिक कई गुना के जुड़े योग के रूप में प्रस्तुत नहीं किया जा सकता है, जिनमें से कोई भी समान आयाम का क्षेत्र नहीं है।

केनेसर-हकेन परिमितता
केनेसर-हेकन परिमितता का कहना है कि प्रत्येक 3-कई गुना के लिए, एक स्थिर सी होता है जैसे कि सी से अधिक कार्डिनैलिटी की सतहों के किसी भी संग्रह में समानांतर तत्व होते हैं।

लूप और स्फीयर प्रमेय
लूप प्रमेय देह के लेम्मा का एक सामान्यीकरण है और इसे अधिक उचित रूप से डिस्क प्रमेय कहा जाना चाहिए। यह पहली बार 1956 में देह के लेम्मा और स्फीयर प्रमेय (3-कई गुना) के साथ क्रिस्टोस पापाकिरियाकोपोलोस द्वारा सिद्ध किया गया था।

लूप प्रमेय का एक सरल और उपयोगी संस्करण बताता है कि यदि कोई मानचित्र है


 * $$f\colon (D^2,\partial D^2)\to (M,\partial M) \, $$

साथ $$f|\partial D^2$$ में अशक्त नहीं $$\partial M$$, तो उसी संपत्ति के साथ एक एम्बेडिंग होती है।

का गोला प्रमेय एम्बेडेड क्षेत्रों द्वारा प्रतिनिधित्व किए जाने वाले 3-कई गुना के दूसरे होमोटोपी समूह के तत्वों के लिए शर्तें देता है।

एक उदाहरण निम्न है:

होने देना $$M$$ एक उन्मुख 3-कई गुना ऐसा हो $$\pi_2(M)$$ तुच्छ समूह नहीं है। तब का एक अशून्य तत्व मौजूद होता है $$\pi_2(M)$$ एक प्रतिनिधि है जो एक एम्बेडिंग है $$S^2\to M$$.

वलय और टोरस प्रमेय
एनलस प्रमेय में कहा गया है कि यदि तीन गुना की सीमा पर अलग-अलग सरल बंद वक्रों की एक जोड़ी स्वतंत्र रूप से होमोटोपिक है तो वे एक उचित रूप से एम्बेडेड एनलस को बाध्य करते हैं। इसे समान नाम के उच्च विमीय प्रमेय के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए।

टोरस प्रमेय इस प्रकार है: चलो एम एक कॉम्पैक्ट, इरेड्यूसिबल 3-कई गुना गैर-रिक्त सीमा के साथ हो। यदि एम एक टोरस के एक आवश्यक मानचित्र को स्वीकार करता है, तो एम एक टोरस या एनुलस के आवश्यक एम्बेडिंग को स्वीकार करता है

जेएसजे अपघटन
जेएसजे अपघटन, जिसे टोरस्र्स अपघटन के रूप में भी जाना जाता है, निम्नलिखित प्रमेय द्वारा दिया गया एक सामयिक निर्माण है:


 * इरिड्यूसिबल (गणित) ओरिएंटेबिलिटी क्लोज्ड (यानी, कॉम्पैक्ट और बिना सीमा के) 3-मैनिफोल्ड्स में एक अनोखा (होमोटॉपी तक) न्यूनतम संग्रह होता है, जो असम्पीडित रूप से एम्बेडिंग असम्पीडित सतह टॉरस का होता है, जैसे कि टोरी के साथ काटने से प्राप्त 3-मैनिफोल्ड का प्रत्येक घटक है या तो एटोरोइडल या सीफर्ट-फाइबर।

संक्षिप्त नाम JSJ विलियम जैको, पीटर शालेन और क्लॉस जोहानसन के लिए है। पहले दो एक साथ काम करते थे, और तीसरा स्वतंत्र रूप से काम करता था।

स्कॉट कोर प्रमेय
स्कॉट कोर प्रमेय जी पीटर स्कॉट के कारण 3-कई गुना के मौलिक समूहों की परिमित प्रस्तुति के बारे में एक प्रमेय है। सटीक कथन इस प्रकार है:

बारीक रूप से उत्पन्न समूह मौलिक समूह के साथ 3-कई गुना (आवश्यक रूप से कॉम्पैक्ट कई गुना नहीं) दिया गया है, कॉम्पैक्ट त्रि-आयामी सबमेनिफोल्ड है, जिसे कॉम्पैक्ट कोर या स्कॉट कोर कहा जाता है, जैसे कि इसका समावेशन मानचित्र मौलिक समूहों पर एक समरूपता को प्रेरित करता है। विशेष रूप से, इसका मतलब है कि एक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न 3-कई गुना समूह एक समूह की प्रस्तुति है।

एक सरलीकृत प्रमाण दिया गया है, और एक मजबूत अद्वितीयता कथन में सिद्ध होता है।

लिकोरिश-वालेस प्रमेय
लिकोरिश-वालेस प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी बंद मैनिफोल्ड, ओरिएंटेबल, कनेक्टेड 3-मैनीफोल्ड को 3-क्षेत्र में एक फ़्रेमयुक्त लिंक पर डीएचएन सर्जरी करके प्राप्त किया जा सकता है $$\pm 1$$ सर्जरी गुणांक। इसके अलावा, लिंक के प्रत्येक घटक को अज्ञात माना जा सकता है।

स्थलाकृतिक कठोरता पर वाल्डहॉसन के प्रमेय
टोपोलॉजिकल कठोरता पर फ्रीडेलम वाल्डहॉसन के प्रमेयों का कहना है कि सीमा का सम्मान करने वाले मौलिक समूहों का एक समरूपता होने पर कुछ 3-कई गुना (जैसे कि एक असम्पीडित सतह वाले) होमियोमॉर्फिक हैं।

हीगार्ड विभाजन पर वाल्डहॉसन अनुमान
वाल्डहौसेन ने अनुमान लगाया कि प्रत्येक बंद ओरिएंटेबल 3-मैनिफोल्ड में किसी भी जीनस के केवल बहुत से हीगार्ड विभाजन (होमोमोर्फिज्म तक) हैं।

स्मिथ अनुमान
स्मिथ अनुमान (अब सिद्ध) में कहा गया है कि यदि f ऑर्डर के 3-क्षेत्र (समूह सिद्धांत) का एक भिन्नता है, तो f का निश्चित बिंदु सेट एक गैर-तुच्छ गाँठ (गणित) नहीं हो सकता है।

चक्रीय सर्जरी प्रमेय
चक्रीय सर्जरी प्रमेय में कहा गया है कि, एक कॉम्पैक्ट स्पेस, कनेक्टेड स्पेस, ओरिएंटेबिलिटी, इरेड्यूसबिलिटी (गणित) के लिए तीन गुना एम जिसकी सीमा एक टोरस टी है, अगर एम सीफर्ट नहीं है सीफर्ट-फाइबर वाली जगह और आर, एस टी पर ढलान हैं जैसे कि उनकी देह्न सर्जरी में चक्रीय मौलिक समूह है, फिर आर और एस के बीच की दूरी (न्यूनतम समय) कि आर और एस का प्रतिनिधित्व करने वाले टी में दो सरल बंद वक्र अधिकतम 1 हैं। नतीजतन, चक्रीय मौलिक समूह के साथ एम के अधिकतम तीन देह भराव हैं.

थर्स्टन की अतिशयोक्तिपूर्ण डेन सर्जरी प्रमेय और जोर्जेंसन-थर्स्टन प्रमेय
थर्स्टन की अतिशयोक्तिपूर्ण डेन सर्जरी प्रमेय कहती है: $$M(u_1, u_2, \dots, u_n)$$ असाधारण ढलानों के एक सीमित सेट के रूप में अतिशयोक्तिपूर्ण है $$E_i$$ प्रत्येक i के लिए i-th पुच्छल से बचा जाता है। इसके साथ ही, $$M(u_1, u_2, \dots, u_n)$$ सभी के रूप में M में H में परिवर्तित हो जाता है $$p_i^2+q_i^2 \rightarrow \infty$$ सभी के लिए $$p_i/q_i$$ गैर-खाली देह भरने के अनुरूप $$u_i$$.

यह प्रमेय विलियम थर्स्टन के कारण है और अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना के सिद्धांत के लिए मौलिक है। यह दर्शाता है कि ज्यामितीय टोपोलॉजी के एच। ट्रॉल्स जोर्गेनसन के अध्ययन में गैर-तुच्छ सीमाएं मौजूद हैं, आगे यह दर्शाता है कि सभी गैर-तुच्छ सीमाएं प्रमेय के रूप में देह भरने से उत्पन्न होती हैं।

थर्स्टन का एक और महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि अतिशयोक्तिपूर्ण डीहन भरने के तहत मात्रा घट जाती है। वास्तव में, प्रमेय में कहा गया है कि टोपोलॉजिकल डीएचएन फिलिंग के तहत वॉल्यूम घटता है, यह मानते हुए कि डेहान से भरा मैनिफोल्ड हाइपरबोलिक है। सबूत ग्रोमोव मानदंड के बुनियादी गुणों पर निर्भर करता है।

जोर्जेंसन ने यह भी दिखाया कि इस स्थान पर आयतन कार्य एक सतत कार्य है, उचित मानचित्र कार्य। इस प्रकार पिछले परिणामों के अनुसार, एच में गैर-तुच्छ सीमाएं वॉल्यूम के सेट में गैर-तुच्छ सीमाओं के लिए ली जाती हैं। वास्तव में, कोई और निष्कर्ष निकाल सकता है, जैसा कि थर्स्टन ने किया था, कि परिमित आयतन अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना के संस्करणों के सेट में क्रमिक संख्या होती है $$\omega^\omega$$. इस परिणाम को थर्स्टन-जोर्गेनसन प्रमेय के रूप में जाना जाता है। इस समुच्चय की विशेषता बताने वाला आगे का कार्य मिखाइल ग्रोमोव (गणितज्ञ) द्वारा किया गया था।

इसके अलावा, गबाई, मेयेरहॉफ और मिले ने दिखाया कि सप्ताह कई गुना  में किसी भी बंद ओरिएंटेबल हाइपरबोलिक 3-मैनिफोल्ड की सबसे छोटी मात्रा है।

हेकन मैनिफोल्ड्स के लिए थर्स्टन का हाइपरबोलाइज़ेशन प्रमेय
थर्स्टन के ज्यामितिकरण प्रमेय का एक रूप कहता है: यदि M एक कॉम्पैक्ट इरेड्यूसिबल एटोरॉयडल हेकेन मैनिफोल्ड है, जिसकी सीमा में शून्य यूलर विशेषता है, तो M के आंतरिक भाग में परिमित आयतन की पूर्ण हाइपरबोलिक संरचना है।

मोस्टो कठोरता प्रमेय का तात्पर्य है कि यदि कम से कम 3 आयाम के कई गुना परिमित मात्रा की एक अतिशयोक्तिपूर्ण संरचना है, तो यह अनिवार्य रूप से अद्वितीय है।

मैनिफोल्ड एम को इरेड्यूसिबल और एटोरॉयडल होने की शर्तें आवश्यक हैं, क्योंकि हाइपरबोलिक मैनिफोल्ड में ये गुण होते हैं। हालाँकि यह शर्त कि कई गुना होकेन अनावश्यक रूप से मजबूत है। थर्स्टन के हाइपरबोलाइज़ेशन अनुमान में कहा गया है कि अनंत मौलिक समूह के साथ एक बंद इरेड्यूसिबल एटोरॉयडल 3-मैनिफ़ोल्ड हाइपरबोलिक है, और यह थर्स्टन ज्यामितीय अनुमान के पेरेलमैन के प्रमाण से अनुसरण करता है।

टैमनेस कंजेक्चर, जिसे मार्डन कंजेक्चर या टेम एंड्स कंजेक्चर भी कहा जाता है
टैमनेस प्रमेय में कहा गया है कि प्रत्येक पूर्ण अतिशयोक्तिपूर्ण 3-मैनिफ़ोल्ड फ़ाइनली जनरेट किए गए मौलिक समूह के साथ स्थैतिक रूप से वश में है, दूसरे शब्दों में होमोमोर्फिज़्म एक कॉम्पैक्ट स्पेस 3-मैनिफ़ोल्ड के इंटीरियर के लिए है।

टैमनेस प्रमेय का अनुमान मार्डन ने लगाया था। यह अगोल द्वारा और स्वतंत्र रूप से डैनी कैलगरी और डेविड गबाई द्वारा सिद्ध किया गया था। यह ज्यामितीय रूप से अनंत अतिपरवलयिक 3-मैनिफोल्ड्स के मौलिक गुणों में से एक है, साथ में क्लेनियन समूहों के घनत्व प्रमेय और अंतिम लेमिनेशन प्रमेय के साथ। इसका तात्पर्य अहलफोर्स माप अनुमान से भी है।

समाप्त लेमिनेशन अनुमान
अंतिम लेमिनेशन प्रमेय, मूल रूप से विलियम थर्स्टन द्वारा अनुमान लगाया गया था और बाद में जेफरी ब्रॉक, रिचर्ड कैनरी और यायर मिन्स्की द्वारा सिद्ध किया गया था, जिसमें कहा गया है कि अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना अंतिम रूप से उत्पन्न समूह मौलिक समूहों के साथ उनके टोपोलॉजी द्वारा निश्चित अंत अपरिवर्तनीय के साथ निर्धारित किया जाता है, जो हैं मैनिफोल्ड की सीमा में कुछ सतहों पर जियोडेसिक लैमिनेशन (टोपोलॉजी)।

पोंकारे अनुमान
3-गोला एक विशेष रूप से महत्वपूर्ण 3-कई गुना है क्योंकि अब सिद्ध पोंकारे अनुमान है। मूल रूप से हेनरी पोंकारे द्वारा अनुमानित, प्रमेय एक ऐसे स्थान से संबंधित है जो स्थानीय रूप से सामान्य त्रि-आयामी अंतरिक्ष की तरह दिखता है लेकिन जुड़ा हुआ है, आकार में परिमित है, और किसी भी सीमा का अभाव है (एक बंद कई गुना 3-कई गुना)। पोंकारे अनुमान का दावा है कि यदि ऐसी जगह में अतिरिक्त संपत्ति है कि अंतरिक्ष में प्रत्येक पथ (टोपोलॉजी) को एक बिंदु पर लगातार कड़ा किया जा सकता है, तो यह अनिवार्य रूप से एक त्रि-आयामी क्षेत्र है। कुछ समय के लिए एक सामान्यीकृत पोंकारे अनुमान उच्च आयामों में जाना जाता है।

गणितज्ञों द्वारा लगभग एक सदी के प्रयास के बाद, त्वरित पेरेलमैन  ने 2002 और 2003 में arXiv पर उपलब्ध कराए गए तीन पत्रों में अनुमान का प्रमाण प्रस्तुत किया। समस्या पर हमला करने के लिए रिक्की प्रवाह का उपयोग करने के लिए रिचर्ड एस। हैमिल्टन के कार्यक्रम से सबूत का पालन किया गया। पेरेलमैन ने मानक रिक्की प्रवाह का एक संशोधन पेश किया, जिसे सर्जरी के साथ रिक्की प्रवाह कहा जाता है ताकि एक नियंत्रित तरीके से व्यवस्थित रूप से एकवचन क्षेत्रों को विकसित किया जा सके। गणितज्ञों की कई टीमों ने सत्यापित किया है कि पेरेलमैन का प्रमाण सही है।

थर्स्टन का ज्यामितीय अनुमान
थर्स्टन के ज्यामितीय अनुमान में कहा गया है कि कुछ त्रि-आयामी टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान प्रत्येक में एक अद्वितीय ज्यामितीय संरचना होती है जो उनके साथ जुड़ी हो सकती है। यह द्वि-आयामी सतह (टोपोलॉजी) के लिए एकरूपता प्रमेय का एक एनालॉग है, जिसमें कहा गया है कि प्रत्येक सरलता से जुड़े रीमैन सतह को तीन ज्यामिति (यूक्लिडियन ज्यामिति, गोलाकार ज्यामिति, या अतिपरवलयिक ज्यामिति) में से एक दिया जा सकता है। तीन आयामों में, एक एकल ज्यामिति को पूरे टोपोलॉजिकल स्पेस में असाइन करना हमेशा संभव नहीं होता है। इसके बजाय, ज्यामितीय अनुमान बताता है कि प्रत्येक बंद 3-कई गुना को विहित तरीके से टुकड़ों में विघटित किया जा सकता है, जिनमें से प्रत्येक में आठ प्रकार की ज्यामितीय संरचना होती है। अनुमान विलियम द्वारा प्रस्तावित किया गया था, और कई अन्य अनुमानों को दर्शाता है, जैसे कि पोंकारे अनुमान और थर्स्टन का दीर्घवृत्त अनुमान।

थर्स्टन के हाइपरबोलाइज़ेशन प्रमेय का तात्पर्य है कि हेकेन मैनिफोल्ड्स ज्यामितीय अनुमान को संतुष्ट करते हैं। थर्स्टन ने 1980 के दशक में एक प्रमाण की घोषणा की और तब से कई पूर्ण प्रमाण छपे हैं।

ग्रिगोरी पेरेलमैन ने 2003 में सर्जरी सिद्धांत के साथ रिक्की प्रवाह का उपयोग करते हुए पूर्ण ज्यामितीय अनुमान का एक प्रमाण तैयार किया। सबूत के विवरण के साथ अब कई अलग-अलग पांडुलिपियां (नीचे देखें) हैं। पोंकारे अनुमान और गोलाकार अंतरिक्ष रूप अनुमान ज्यामितीय अनुमान के परिणाम हैं, हालांकि पूर्व के छोटे प्रमाण हैं जो ज्यामितीय अनुमान का नेतृत्व नहीं करते हैं।

वस्तुतः रेशेदार अनुमान और वस्तुतः हकेन अनुमान
संयुक्त राज्य अमेरिका के गणितज्ञ विलियम थर्स्टन द्वारा तैयार किए गए वस्तुतः तंतुमय अनुमान में कहा गया है कि प्रत्येक बंद मैनिफोल्ड, अलघुकरणीय कई गुना, एटोरॉयडल 3-मैनिफोल्ड विथ इनफिनिटी फंडामेंटल ग्रुप में एक परिमित अंतरिक्ष को कवर करना  है जो सर्कल के ऊपर एक सतह बंडल है।

वस्तुतः हेकेन अनुमान कहता है कि प्रत्येक कॉम्पैक्ट मैनिफोल्ड, कुंडा कई गुना, इरेड्यूसिबल मैनिफोल्ड थ्री-डायमेंशनल मैनिफोल्ड विथ इनफिनिटी फंडामेंटल ग्रुप 'वस्तुतः हेकेन' है। यही है, इसका एक परिमित आवरण है (एक परिमित-से-एक आच्छादित मानचित्र के साथ एक आच्छादन स्थान) जो कि हेकेन मैनिफोल्ड है।

25 अगस्त 2009 को ArXiv पर एक पोस्टिंग में, डैनियल वाइज (गणितज्ञ) ने निहित रूप से निहित किया (तत्कालीन अप्रकाशित लंबी पांडुलिपि का हवाला देते हुए) कि उन्होंने उस मामले के लिए वस्तुतः रेशेदार अनुमान को सिद्ध किया था जहां 3-कई गुना बंद है, अतिशयोक्तिपूर्ण और हेकेन। इसके बाद गणितीय विज्ञान में इलेक्ट्रॉनिक अनुसंधान घोषणाओं में एक सर्वेक्षण लेख आया। कई और प्रीप्रिंट समझदार द्वारा पूर्वोक्त लंबी पांडुलिपि सहित, का पालन किया है। मार्च 2012 में, पेरिस में इंस्टीट्यूट हेनरी पॉइनकेयर में एक सम्मेलन के दौरान, इयान अगोल ने घोषणा की कि वह बंद अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना के लिए आभासी रूप से हकन अनुमान को साबित कर सकता है। कहन और मार्कोविक के परिणामों पर निर्मित प्रमाण भूतल उपसमूह अनुमान के उनके प्रमाण में और असामान्य विशेष भागफल प्रमेय को सिद्ध करने में बुद्धिमान के परिणाम और समूहों के संचयन के लिए बर्जरॉन और वाइज के परिणाम। समझदार के परिणामों के साथ मिलकर, यह सभी बंद अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना के लिए वस्तुतः फाइबरयुक्त अनुमान का तात्पर्य है।

सरल पाश अनुमान
अगर $$f\colon S \rightarrow T$$ बंद कनेक्टेड सतहों का एक नक्शा है जैसे कि $$f_\star \colon \pi_1(S) \rightarrow \pi_1(T)$$ इंजेक्शन नहीं है, तो एक गैर-संविदात्मक सरल बंद मौजूद है वक्र $$\alpha \subset S $$ ऐसा है कि $$f|_a$$ समरूप रूप से तुच्छ है। यह अनुमान डेविड गबाई द्वारा सिद्ध किया गया था।

भूतल उपसमूह अनुमान
फ्रिडेलम वाल्डहौसेन के सतह उपसमूह अनुमान में कहा गया है कि अनंत मौलिक समूह के साथ हर बंद, इरेड्यूसबल 3-कई गुना का मूल समूह एक सतह उपसमूह है। सतही उपसमूह से हमारा तात्पर्य एक बंद सतह के मौलिक समूह से है न कि 2-गोले से। यह समस्या Robion Kirby की समस्या सूची में समस्या 3.75 के रूप में सूचीबद्ध है। ज्यामितीय अनुमान को मानते हुए, एकमात्र खुला मामला बंद अतिशयोक्तिपूर्ण 3-कई गुना का था। इस मामले के प्रमाण की घोषणा 2009 की गर्मियों में जेरेमी क्हान  और व्लादिमीर मार्कोविक द्वारा की गई थी और 4 अगस्त 2009 को यूटा विश्वविद्यालय द्वारा आयोजित FRG (फोकस्ड रिसर्च ग्रुप) सम्मेलन में एक वार्ता में इसकी रूपरेखा दी गई थी। अक्टूबर 2009 में अर्क्सिव पर एक प्रीप्रिंट दिखाई दिया। उनका पेपर 2012 में गणित के इतिहास में प्रकाशित हुआ था। जून 2012 में, क्ले गणित संस्थान द्वारा  ऑक्सफ़ोर्ड  में एक समारोह में क्हान और मार्कोविक को क्ले रिसर्च अवार्ड्स दिए गए।

केबलिंग अनुमान
केबलिंग अनुमान बताता है कि यदि 3-गोले में गाँठ पर देह्न सर्जरी से 3-कई गुना कम हो जाता है, तो वह गाँठ एक है $$(p,q)$$-केबल किसी अन्य गाँठ पर, और ढलान का उपयोग करके सर्जरी की गई होगी $$pq$$.

लुबोट्ज़्की–सरनाक अनुमान
किसी परिमित आयतन का मूलभूत समूह अतिशयोक्तिपूर्ण n-कई गुना करता है संपत्ति τ नहीं है।

बाहरी संबंध

 * Strickland, Neil, A Bestiary of Topological Objects
 * Strickland, Neil, A Bestiary of Topological Objects