स्पेसटाइम बीजगणित

गणितीय भौतिकी में, स्पेसटाइम बीजगणित (एसटीए) क्लिफर्ड बीजगणित Cl1,3(R) का एक नाम है। या इसके समकक्ष ज्यामितीय बीजगणित G(M4).के रूप में एक नाम है। डेविड हेस्टेन्स के अनुसार स्पेसटाइम बीजगणित विशेष सापेक्षता और सापेक्षवादी स्पेसटाइम की ज्यामिति के साथ विशेष रूप से निकटता से जुड़ा हो सकता है।

यह एक सदिश क्षेत्र के रूप में है, जो न केवल सदिश (ज्यामिति) की अनुमति देता है, लेकिन द्विसदिश  ने विशेष समतल से जुड़ी मात्राओं को भी निर्देशित किया, जैसे कि क्षेत्रों या घुमावों या विशेष हाइपर वॉल्यूम से जुड़े ब्लेड (ज्यामिति) की मात्राओं को संयुक्त करने के साथ-साथ यह विशेष सापेक्षता में घूर्णन, परावर्तन (गणित) या लोरेंत्ज़ को बढ़ावा दिया। यह विशेष सापेक्षता में स्पिनरों का प्राकृतिक मूल बीजगणित के रूप में है। ये गुण भौतिकी के कई सबसे महत्वपूर्ण समीकरणों को विशेष रूप से सरल रूपों में व्यक्त करने की अनुमति देते हैं और उनके अर्थों की अधिक ज्यामितीय समझ के लिए बहुत सहायक रूप में होते है।

संरचना
स्पेसटाइम बीजगणित को एक समय, जैसे सदिश $$\gamma_0$$ और तीन समतल जैसे वैक्टर, $$\{\gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\}$$, के ऑर्थोगोनल आधार से गुणन नियम के रूप में बनाया जा सकता है।
 * $$ \gamma_\mu \gamma_\nu + \gamma_\nu \gamma_\mu = 2 \eta_{\mu \nu} $$

जहाँ $$\eta_{\mu \nu}$$ सिग्नेचर के साथ मिन्कोव्स्की मीट्रिक के रूप में होते है (+ &minus; &minus; &minus;).

इस प्रकार, $$\gamma_0^2 = {+1}$$, $$\gamma_1^2 = \gamma_2^2 = \gamma_3^2 = {-1}$$, अन्यथा $$\gamma_\mu \gamma_\nu = - \gamma_\nu \gamma_\mu$$.

आधार सदिश $$\gamma_k$$ इन गुणताओं को डिराक आव्यूह के साथ साझा करते हैं, लेकिन एसटीए में किसी स्पष्ट आव्यूह प्रतिनिधित्व का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं होती है।

यह एक अदिश (गणित) का आधार तैयार करता है। $$\{1\}$$, चार सदिश (ज्यामितीय)। $$\{\gamma_0, \gamma_1, \gamma_2, \gamma_3\}$$, छह द्विभाजक $$\{\gamma_0\gamma_1, \, \gamma_0\gamma_2,\, \gamma_0\gamma_3, \, \gamma_1\gamma_2, \, \gamma_2\gamma_3, \, \gamma_3\gamma_1\}$$, चार छद्म सदिश $$\{i\gamma_0, i\gamma_1, i\gamma_2, i\gamma_3\}$$ और एक  छद्म अदिश  $$\{i\}$$, के रूप में संदर्भित होते है जहाँ  $$i=\gamma_0 \gamma_1 \gamma_2 \gamma_3$$.के रूप में है

पारस्परिक फ्रेम
ऑर्थोगोनल आधार से संबद्ध $$\{\gamma_\mu\}$$ पारस्परिक आधार $$\{\gamma^\mu = {\gamma_\mu}^{-1}\}$$ के रूप में संदर्भित होते है, $$\mu = 0, \dots, 3$$, संबंध को संतुष्ट करता है
 * $$\gamma_\mu \cdot \gamma^\nu = {\delta_\mu}^\nu .$$

ये पारस्परिक फ्रेम सदिश केवल एक संकेत से भिन्न होते हैं $$\gamma^0 = \gamma_0$$, और $$\gamma^k = -\gamma_k$$ के लिए $$k = 1, \dots, 3$$.के रूप में संदर्भित होते है

एक सदिश को ऊपरी या निचले सूचकांक निर्देशांक में दर्शाया जा सकता है, $$a = a^\mu \gamma_\mu = a_\mu \gamma^\mu$$ संकलन ओवर के साथ संदर्भित होते है $$\mu = 0, \dots, 3$$, आइंस्टीन संकेतन के अनुसार, जहां आधार सदिश या उनके पारस्परिक के साथ डॉट उत्पाद लेकर निर्देशांक निकाले जा सकते हैं।
 * $$\begin{align}a \cdot \gamma^\nu &= a^\nu \\ a \cdot \gamma_\nu &= a_\nu .\end{align}$$

स्पेसटाइम ग्रेडिएंट
यूक्लिडियन समतल में ढाल की तरह स्पेसटाइम ग्रेडियेंट को परिभाषित किया गया है कि दिशात्मक व्युत्पन्न संबंध इस रूप में होते है,


 * $$a \cdot \nabla F(x)= \lim_{\tau \rightarrow 0} \frac{F(x + a\tau) - F(x)}{\tau} .$$

इसके लिए ग्रेडिएंट की परिभाषा होना आवश्यक होता है,
 * $$ \nabla = \gamma^\mu \frac{\partial}{\partial x^\mu} = \gamma^\mu \partial_\mu .$$

$$x = ct \gamma_0 + x^k \gamma_k$$, के साथ स्पष्ट रूप से लिखा गया है, ये आंशिक रूप में निम्न प्रकार के होते है,
 * $$ \partial_0 = \frac{1}{c} \frac{\partial}{\partial t}, \quad \partial_k = \frac{\partial}{\partial {x^k}} $$

स्पेसटाइम स्प्लिट
स्पेसटाइम बीजगणित में, एक स्पेसटाइम विभाजन चार-आयामी समतल से (3+1) आयामी समतल  में एक चयनित संदर्भ फ्रेम के साथ होता है निम्नलिखित दो कार्यों के माध्यम से एक प्रक्षेपण होता है, यह टाइमलाइक बेसिस सदिश द्वारा प्री या पोस्ट गुणन $$\gamma_0$$ द्वारा प्राप्त किया जाता है, जो एक चार सदिश को एक अदिश टाइमलाइक और एक द्विसदिश स्पेसलाइक घटक में विभाजित करने का कार्य करता है। और $$x = x^\mu \gamma_\mu$$ हमारे पास है
 * चुने हुए समय अक्ष का पतन, द्विसदिश द्वारा फैलाए गए 3डी क्षेत्र के रूप में विकसित होते है
 * चयनित समय अक्ष पर 4D क्षेत्र का एक प्रक्षेपण अदिश के 1D क्षेत्र के रूप में विकसित होते है।

\begin{align}x \gamma_0 &= x^0 + x^k \gamma_k \gamma_0 \\ \gamma_0 x &= x^0 - x^k \gamma_k \gamma_0 \end{align} $$ इन द्विभाजकों के रूप में $$\gamma_k \gamma_0$$ एकात्मक के वर्ग, वे एक स्थानिक आधार के रूप में कार्य करते हैं। जो पाउली आव्यूह अंकन पद्धति का उपयोग करते हुए इन्हें लिखा जाता है $$\sigma_k = \gamma_k \gamma_0$$. एसटीए में स्थानिक सदिशों को बोल्डफेस में निरूपित किया जाता है; फिर साथ $$\mathbf{x} = x^k \sigma_k$$ $$\gamma_0$$-समतल  समय विभाजन $$x \gamma_0$$ और इसका प्रतिलोम $$\gamma_0 x$$ के रूप में होता है,

\begin{align}x \gamma_0 &= x^0 + x^k \sigma_k = x^0 + \mathbf{x} \\ \gamma_0 x &= x^0 - x^k \sigma_k = x^0 - \mathbf{x} \end{align} $$

बहुसदिश डिवीजन
स्पेसटाइम बीजगणित एक विभाजन बीजगणित के रूप में नहीं है, क्योंकि इसमें निष्क्रिय तत्व के रूप में सम्मलित होते है, $$\tfrac{1}{2}(1 \pm \gamma_0\gamma_i)$$ और अशून्य शून्य विभाजक $$(1 + \gamma_0\gamma_i)(1 - \gamma_0\gamma_i) = 0$$. के रूप में सम्मलित होते है, इन्हें ऐसे प्रोजेक्टरों के लिए क्रमशः प्रकाश-शंकु और ऑर्थोगोनलिटी संबंधों पर प्रोजेक्टर के रूप में व्याख्यायित किया जाता है। लेकिन कुछ स्थितियों में एक बहुसदिश मात्रा को दूसरे से विभाजित करना और परिणाम का अर्थ निकालना संभव होता है, उदाहरण के लिए, एक ही तल में एक सदिश द्वारा विभाजित एक निर्देशित क्षेत्र पहले ऑर्थोगोनल के लिए एक सदिश देता है।

गैर-सापेक्ष क्वांटम यांत्रिकी
स्पेसटाइम बीजगणित आव्यूह सिद्धांत के स्थान पर वास्तविक संख्या सिद्धांत के संदर्भ में पाउली समीकरण के विवरण की अनुमति देता है। पाउली कण का आव्यूह सिद्धांत विवरण है:
 * $$i \hbar \, \partial_t \Psi = H_S \Psi - \frac{e \hbar}{2mc} \, \hat\sigma \cdot \mathbf{B} \Psi ,$$

जहाँ $$\Psi$$ एक स्पिनर है, $$i$$ एक काल्पनिक इकाई है जिसमें कोई ज्यामितीय व्याख्या नहीं है, $$\hat\sigma_i$$ पाउली मैट्रिसेस हैं ('हैट' संकेतन के साथ जो यह दर्शाता है $$\hat\sigma$$ एक आव्यूह ऑपरेटर है और ज्यामितीय बीजगणित में एक तत्व नहीं है), और $$H_S$$ श्रोडिंगर हैमिल्टनियन है। स्पेसटाइम बीजगणित में पाउली कण को ​​वास्तविक पाउली-श्रोडिंगर समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है: :$$\partial_t \psi \, i \sigma_3 \, \hbar = H_S \psi - \frac{e \hbar}{2mc} \, \mathbf{B} \psi \sigma_3 ,$$ जहाँ हैं $$i$$ इकाई छद्म अदिश है $$i = \sigma_1 \sigma_2 \sigma_3$$, और $$\psi$$ और $$\sigma_3$$ ज्यामितीय बीजगणित के तत्व हैं, के साथ $$\psi$$ एक भी बहु-वेक्टर; $$H_S$$ फिर से श्रोडिंगर हैमिल्टनियन है। हेस्टेन्स इसे वास्तविक पाउली-श्रोडिंगर सिद्धांत के रूप में संदर्भित करता है जिससे कि  जोर दिया जा सके कि यह सिद्धांत श्रोडिंगर सिद्धांत को कम कर देता है यदि चुंबकीय क्षेत्र को सम्मलित  करने वाले शब्द को हटा दिया जाता है।

सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी
सापेक्षवादी क्वांटम वेवफंक्शन को कभी-कभी स्पिनर क्षेत्र के रूप में व्यक्त किया जाता है, अर्थात
 * $$ \psi = e^{\frac{1}{2} ( \mu + \beta i + \phi )} ,$$

जहाँ $$\phi$$ एक बायसदिश है, और
 * $$ \psi = R (\rho e^{i \beta})^\frac{1}{2} ,$$

जहां, डेविड हेस्टेन्स द्वारा इसकी व्युत्पत्ति के अनुसार, $$ \psi = \psi(x)$$ स्पेसटाइम पर एक समान बहुसदिश -वैल्यू फंक्शन है, $$R = R(x)$$ एक यूनिमॉड्यूलर स्पिनर (या "रोटर") है ), और $$ \rho = \rho(x)$$ और $$ \beta = \beta(x)$$ अदिश-मूल्यवान कार्य हैं।

इस समीकरण की व्याख्या स्पिन को काल्पनिक स्यूडोअदिश से जोड़ने के रूप में की जाती है। $$R$$ लोरेंत्ज़ रोटेशन के रूप में देखा जाता है जो सदिश का एक फ्रेम है $$\gamma_\mu$$ सदिश के दूसरे फ्रेम में $$e_\mu$$ ऑपरेशन द्वारा $$e_\mu = R \gamma_\mu \tilde{R}$$, जहाँ टिल्ड प्रतीक रिवर्स को इंगित करता है (रिवर्स को अधिकांशतः डैगर सिंबल द्वारा भी दर्शाया जाता है, ज्यामितीय बीजगणित#रोटेशन भी देखें)।

इसे स्थानीय रूप से भिन्न वेक्टर- और स्केलर-मूल्यवान वेधशालाओं के लिए एक ढांचा प्रदान करने के लिए विस्तारित किया गया है और मूल रूप से श्रोडिंगर द्वारा प्रस्तावित क्वांटम यांत्रिकी की हिलाने की क्रिया व्याख्या के लिए समर्थन किया गया है।

हेस्टेन्स ने अपनी अभिव्यक्ति की तुलना की है $$\psi$$ पथ अभिन्न सूत्रीकरण में इसके लिए फेनमैन की अभिव्यक्ति के साथ:
 * $$ \psi = e^{i \Phi_\lambda / \hbar} ,$$

जहाँ $$\Phi_\lambda$$ के साथ मौलिक  क्रिया है $$\lambda$$-पथ।

स्पेसटाइम बीजगणित एक आव्यूह सिद्धांत के स्थान पर एक वास्तविक संख्या सिद्धांत के संदर्भ में डायराक समीकरण का वर्णन सक्षम करता है। डायराक कण का आव्यूह सिद्धांत विवरण है:
 * $$\hat \gamma^\mu (\mathbf{j} \partial_\mu - e \mathbf{A}_\mu) |\psi\rangle = m |\psi\rangle ,$$

जहाँ $$\hat\gamma$$ डिराक मेट्रिसेस हैं। स्पेसटाइम बीजगणित में डायराक कण को ​​समीकरण द्वारा वर्णित किया गया है: :$$\nabla \psi \, i \sigma_3 - \mathbf{A} \psi = m \psi \gamma_0$$ यहाँ, $$\psi$$ और $$\sigma_3$$ ज्यामितीय बीजगणित के तत्व हैं, और $$\nabla = \gamma^\mu \partial_\mu$$ स्पेसटाइम सदिश व्युत्पन्न है।

सामान्य सापेक्षता का एक नया सूत्रीकरण
लेसेनबी, क्रिस जे.एल. डोरान और कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी के गल ने गुरुत्वाकर्षण के एक नए सूत्रीकरण का प्रस्ताव दिया है, जिसे गेज सिद्धांत गुरुत्वाकर्षण (जीटीजी) कहा जाता है, जिसमें स्पेसटाइम बीजगणित का उपयोग मिन्कोवस्की समतल पर वक्रता को प्रेरित करने के लिए किया जाता है, जबकि घटनाओं की मनमानी चिकनी रीमैपिंग के अनुसार  गेज समरूपता को स्वीकार किया जाता है। स्पेसटाइम (लेसेनबी, एट अल।); एक गैर-तुच्छ व्युत्पत्ति तब जियोडेसिक समीकरण की ओर ले जाती है,
 * $$ \frac{d}{d \tau} R = \frac{1}{2} (\Omega - \omega) R $$

और सहपरिवर्ती व्युत्पन्न
 * $$ D_\tau = \partial_\tau + \frac{1}{2} \omega ,$$

जहाँ $$\omega$$ गुरुत्वाकर्षण क्षमता से जुड़ा संबंध है, और $$\Omega$$ एक बाहरी संपर्क है जैसे विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र।

सिद्धांत ब्लैक होल के इलाज के लिए कुछ वादा दिखाता है, क्योंकि श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान का इसका रूप एकवचन में नहीं टूटता है; सामान्य सापेक्षता के अधिकांश परिणाम गणितीय रूप से पुनरुत्पादित किए गए हैं, और मौलिक इलेक्ट्रोडायनामिक्स के सापेक्षवादी सूत्रीकरण को क्वांटम यांत्रिकी और डायराक समीकरण तक विस्तारित किया गया है।

यह भी देखें

 * ज्यामितीय बीजगणित
 * डायराक बीजगणित
 * डायराक समीकरण
 * सामान्य सापेक्षता

बाहरी संबंध

 * Imaginary numbers are not real – the geometric algebra of spacetime, a tutorial introduction to the ideas of geometric algebra, by S. Gull, A. Lasenby, C. Doran
 * Physical Applications of Geometric Algebra course-notes, see especially part 2.
 * Cambridge University Geometric Algebra group
 * Geometric Calculus research and development