संबंध (गणित)



गणित में, समुच्चयपर एक संबंध दो दिए गए सेट सदस्यों के बीच हो भी सकता है और नहीं भी। उदाहरण के लिए, "इससे कम है" प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय पर एक संबंध है; यह धारण करता है उदा। 1 और 3 के बीच (1<3 के रूप में दर्शाता है), और इसी तरह 3 और 4 के बीच (3<4 के रूप में चिह्नित), लेकिन न तो 3 और 1 के बीच और न ही 4 और 4 के बीच। एक अन्य उदाहरण के रूप में, "इसकी बहन" एक संबंध है सभी लोगों के सेट पर, यह धारण करता है उदा। मैरी क्यूरी और ब्रोनिस्लावा डुस्का के बीच, और इसी तरह इसके विपरीत। सेट सदस्य "एक निश्चित डिग्री" के संबंध में नहीं हो सकते हैं, इसलिए उदा। "इसमें कुछ समानता है" एक संबंध नहीं हो सकता।

औपचारिक रूप से, समुच्चय X पर संबंध R को X के सदस्यों के क्रमित युग्मों(x, y) के समुच्चय के रूप में देखा जा सकता है। संबंध R, x और y के बीच रखता है यदि (x, y) R का सदस्य है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक संख्याओं पर संबंध "से कम है" एक अनंत सेट है जिसमें प्राकृतिक संख्याओं के जोड़े शामिल हैं जिनमें दोनों (1, 3) और (3,4), लेकिन न तो (3,1) और न ही (4,4)। एक-अंकीय प्राकृत संख्याओं के समुच्चय पर संबंध "का एक गैर-तुच्छ भाजक है" यहाँ दिखाए जाने के लिए पर्याप्त रूप से छोटा है: Rdiv = { (2,4), (2,6), (2,8), (3, 6), (3,9), (4,8)}; उदाहरण के लिए 2 8 का एक गैर-तुच्छ भाजक है, लेकिन इसके विपरीत नहीं, इसलिए (2,8) Rdiv, लेकिन (8,2) Rdiv।

यदि R एक ऐसा संबंध है जो x और y के लिए है तो अक्सर xRy लिखा जाता है। गणित में सबसे आम संबंधों के लिए, विशेष प्रतीकों को पेश किया जाता है, जैसे "<" के लिए "इससे कम है", और "|" के लिए "का एक गैर-तुच्छ भाजक है", और, सबसे लोकप्रिय "=" के लिए "के बराबर है"। उदाहरण के लिए, "1<3", "1 3 से कम है", और "(1,3) Rless" का अर्थ सभी समान है; कुछ लेखक "(1,3) (<)" भी लिखते हैं।

संबंधों के विभिन्न गुणों की जांच की जाती है। एक संबंध R स्वतुल्य है यदि xRx सभी x के लिए धारण करता है, और अपरिवर्तनीय है यदि xRx कोई x के लिए धारण नहीं करता है। यह सममित है यदि xRy का अर्थ हमेशा yRx होता है, और असममित यदि xRy का अर्थ है कि yRx असंभव है। यह सकर्मक है यदि xRy और yRz का अर्थ हमेशा xRz होता है। उदाहरण के लिए, "इससे कम है" अपरिवर्तनीय, असममित और सकर्मक है, लेकिन न तो प्रतिवर्त और न ही सममित, "की बहन है" सममित और संक्रमणीय है, लेकिन न तो प्रतिवर्त (जैसे पियरे क्यूरी खुद की बहन नहीं है) और न ही असममित, जबकि अपरिवर्तनीय होना या न होना परिभाषा का विषय हो सकता है (क्या हर महिला खुद की बहन है?), "पूर्वज है" सकर्मक है, जबकि "माता-पिता" नहीं है। गणितीय प्रमेयों को संबंध गुणों के संयोजन के बारे में जाना जाता है, जैसे "एक संक्रमणीय संबंध अपरिवर्तनीय है, और केवल अगर, यह असममित है"।

विशेष महत्व के संबंध हैं जो गुणों के कुछ संयोजनों को संतुष्ट करते हैं। एक आंशिक क्रम एक ऐसा संबंध है जो अपरिवर्तनीय, असममित और संक्रमणीय है, एक तुल्यता संबंधएक ऐसा संबंध है जो प्रतिवर्त, सममित और संक्रमणीय है,एक फ़ंक्शन एक ऐसा संबंध है जो सही-अद्वितीय और बाएं-कुल है (नीचे देखें) है।

चूंकि संबंध सेट हैं, इसलिए उन्हें सेट ऑपरेशन का उपयोग करके जोड़-तोड़ किया जा सकता है, जिसमें संघ (सेट सिद्धांत), प्रतिच्छेदन, और पूरक (सेट सिद्धांत)शामिल हैं, और सेट के बीजगणित के नियमों को संतुष्ट करते हैं। इसके अलावा, संबंध के विलोम और संबंधों की संरचना संबंधों के गहन विश्लेषण में उन्हें अवधारणा नामक उपसमुच्चय में विघटित करना और उन्हें एक पूर्ण जाली में रखना शामिल है।

संबंध की उपरोक्त अवधारणा को दो अलग-अलग सेटों के सदस्यों के बीच संबंधों को स्वीकार करने के लिए सामान्यीकृत किया गया है (विषम संबंध,जैसे सभी बिंदुओं के सेट के बीच "झूठ पर" और ज्यामिति में सभी पंक्तियों के बीच), तीन या अधिक के बीच संबंध सेट (समुच्चय संबंध,जैसे "व्यक्ति x समय z पर शहर y में रहता है"), और वर्ग (गणित)के बीच संबंध (जैसे सभी सेटों के वर्ग पर "का एक तत्व है", बाइनरी संबंध देखें सेट बनाम वर्ग).

परिभाषा
दिए गए समुच्चय X और Y, कार्तीय गुणनफल $A = { a, b, c, d }$ {(x, y) | के रूप में परिभाषित किया गया है x ∈ X और y ∈ Y}, और इसके अवयवों को क्रमित युग्म कहा जाता है।

सेट X और Y पर एक बाइनरी रिलेशन R का एक सबसेट है $(b,a), (b,d),$. सेट X को 'डोमेन' कहा जाता है या R के प्रस्थान का सेट, और सेट Y को कोडोमेन या R के गंतव्य का सेट। सेट X और Y के विकल्पों को निर्दिष्ट करने के लिए, कुछ लेखक एक द्विआधारी संबंध या पत्राचार को एक आदेशित ट्रिपल के रूप में परिभाषित करते हैं ${{math|1= (c,b), (d,c), (d,d) } }}$, जहां G का उपसमुच्चय है $X × Y$ बाइनरी रिलेशन का ग्राफ कहा जाता है। कथन $X × Y$ पढ़ता है कि x, R से संबंधित है और इसे infix संकेतन में xRy के रूप में लिखा गया है। परिभाषा का डोमेन या सक्रिय डोमेन R का सभी x का ऐसा समुच्चय है कि कम से कम एक y के लिए xRy है। परिभाषा का कोडोमेन, सक्रिय कोडोमेन, छवि (गणित) या R के किसी फलन की श्रेणी सभी y का ऐसा समुच्चय है जो कम से कम एक x के लिए xRy हो। आर का क्षेत्र परिभाषा के अपने डोमेन और परिभाषा के कोडोमेन का संघ है। कब $(X, Y, G)$, एक द्विआधारी संबंध को #सजातीय संबंध (या एंडोरेलेशन) कहा जाता है। अन्यथा यह एक विषम संबंध है। एक द्विआधारी संबंध में, तत्वों का क्रम महत्वपूर्ण होता है; यदि $X × Y$ तब yRx, xRy से स्वतंत्र होकर सत्य या असत्य हो सकता है। उदाहरण के लिए, 3 9 को विभाजित करता है, लेकिन 9 3 को विभाजित नहीं करता है।

सजातीय संबंधों के गुण
सजातीय संबंध के कुछ महत्वपूर्ण गुण $x$ एक सेट पर $y$ हो सकता है:


 * : सभी के लिए $(x, y) ∈ R$, $X = Y$. उदाहरण के लिए, ≥ एक स्वतुल्य संबंध है लेकिन > नहीं है।


 * (या ): सभी के लिए $x ≠ y$, नहीं $x ∈ X$. उदाहरण के लिए, > एक अप्रासंगिक संबंध है, लेकिन ≥ नहीं है।

पिछले 2 विकल्प संपूर्ण नहीं हैं; उदाहरण के लिए, लाल बाइनरी संबंध $xRx$ खण्ड में दिया गया है न तो अपवर्तक है, न ही प्रतिवर्ती है, क्योंकि इसमें युग्म है $x ∈ X$, लेकिन नहीं $xRx$, क्रमश।


 * : सभी के लिए $y = x^{2}$, यदि $(0, 0)$ फिर $(2, 2)$. उदाहरण के लिए, एक रक्त रिश्तेदार एक सममित संबंध है, क्योंकि $x$ का रक्त संबंधी है $y$ अगर और केवल अगर $R$ का रक्त संबंधी है $X$.


 * : सभी के लिए $x, y ∈ X$, यदि $xRy$ तथा $yRx$ फिर $x, y ∈ X$. उदाहरण के लिए, ≥ एक असममित संबंध है; ऐसा है>, लेकिन रिक्त सत्य (परिभाषा में स्थिति हमेशा गलत होती है)।
 * : सभी के लिए $xRy$, यदि $yRx$ फ़िर नही $x = y$. एक संबंध असममित है यदि और केवल यदि यह प्रतिसममित और अपरिवर्तनीय दोनों है। उदाहरण के लिए, > एक असममित संबंध है, लेकिन ≥ नहीं है।

फिर से, पिछले 3 विकल्प संपूर्ण होने से बहुत दूर हैं; प्राकृतिक संख्या, संबंध पर एक उदाहरण के रूप में $x, y ∈ X$ द्वारा परिभाषित $xRy$ न तो सममित है और न ही विषम है, अकेले असममित होने दें।


 * : सभी के लिए $yRx$, यदि $xRy$ तथा $x > 2$ फिर $x, y, z ∈ X$. एक सकर्मक संबंध अपरिवर्तनीय है अगर और केवल अगर यह असममित है। उदाहरण के लिए, का पूर्वज सकर्मक संबंध है, जबकि का जनक नहीं है।


 * : सभी के लिए $xRy$ ऐसा है कि $yRz$, कुछ मौजूद है $xRz$ ऐसा है कि $x, y ∈ X$ तथा $xRy$. इसका उपयोग घने आदेशों में किया जाता है।


 * : सभी के लिए $z ∈ X$, यदि $xRz$ फिर $zRy$ या $x, y ∈ X$. इस संपत्ति को कभी-कभी कुल कहा जाता है, जो खंड में दी गई कुल परिभाषा से अलग है.


 * : सभी के लिए $x ≠ y$, $xRy$ या $yRx$. इस संपत्ति को कभी-कभी कुल कहा जाता है, जो खंड में दी गई कुल परिभाषा से अलग है.


 * : सभी के लिए $x, y ∈ X$, बिल्कुल एक $xRy$, $yRx$ या $x, y ∈ X$ रखती है। उदाहरण के लिए, > एक त्रिगुणात्मक संबंध है, जबकि प्राकृतिक संख्याओं पर विभाजित संबंध नहीं है।
 * : हर गैर-खाली सबसेट $x$ का $y$ के संबंध में एक अधिकतम और न्यूनतम तत्व शामिल हैं $y$. अच्छी तरह से स्थापित होने का तात्पर्य अवरोही श्रृंखला की स्थिति से है (अर्थात, कोई अनंत श्रृंखला नहीं है ... $xRy$ मौजूद हो सकता है)। यदि आश्रित पसंद का स्वयंसिद्ध मान लिया जाए, तो दोनों स्थितियाँ समतुल्य हैं।
 * : एक रिश्ता जो स्वतुल्य और सकर्मक है।
 * (भी, या ): एक संबंध जो प्रतिवर्त, सकर्मक और जुड़ा हुआ है।


 * (भी, ): एक संबंध जो प्रतिवर्ती, प्रतिसममित और सकर्मक है।


 * (भी, ): एक संबंध जो अप्रासंगिक, प्रतिसममित और सकर्मक है।


 * (भी,, , या ): एक संबंध जो प्रतिवर्त, प्रतिसममित, सकर्मक और जुड़ा हुआ है।
 * (भी,, , या ): एक संबंध जो अप्रतिवर्ती, प्रतिसममित, सकर्मक और जुड़ा हुआ है।


 * : एक संबंध जो सममित और सकर्मक है।


 * : एक संबंध जो स्वतुल्य, सममित और सकर्मक है। यह एक ऐसा संबंध भी है जो सममित, सकर्मक और क्रमिक है, क्योंकि ये गुण प्रतिवर्तता का संकेत देते हैं।

(विषम) संबंधों के गुण
सेट X और Y पर कुछ महत्वपूर्ण प्रकार के बाइनरी संबंध R नीचे सूचीबद्ध हैं।

विशिष्टता गुण:
 * इंजेक्शन (जिसे वाम-अद्वितीय भी कहा जाता है) सभी के लिए $yRx$ और सभी $x = y$, यदि $x_{n}R...Rx_{3}Rx_{2}Rx_{1}$ तथा $x, z ∈ X$ फिर $y ∈ Y$. ऐसे संबंध के लिए, {Y} को R की प्राथमिक कुंजी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले द्विआधारी संबंध इंजेक्शन हैं, लेकिन लाल वाला नहीं है (क्योंकि यह -1 और 1 से 1 दोनों से संबंधित है), न ही काला वाला (क्योंकि यह -1 और 1 से 0 दोनों से संबंधित है).
 * कार्यात्मक (जिसे सही-अद्वितीय भी कहा जाता है, सही-निश्चित या असंबद्ध): सभी के लिए $xRy$ और सभी $zRy$, यदि $x = z$ तथा $x ∈ X$ फिर $y, z ∈ Y$. इस तरह के बाइनरी रिलेशन को कहा जाता है . ऐसे संबंध के लिए, {X} कहा जाता है आर का उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कार्यात्मक हैं, लेकिन नीला नहीं है (क्योंकि यह 1 से -1 और 1 दोनों से संबंधित है), और न ही काला वाला (क्योंकि यह 0 से -1 और 1 दोनों से संबंधित है).
 * एक-से-एक: इंजेक्शन और कार्यात्मक। उदाहरण के लिए, आरेख में हरा बाइनरी संबंध एक-से-एक है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
 * एक-से-कई: इंजेक्शन और कार्यात्मक नहीं। उदाहरण के लिए, आरेख में नीला बाइनरी संबंध एक-से-कई है, लेकिन लाल, हरा और काला नहीं है।
 * कई-से-एक: कार्यात्मक और इंजेक्शन नहीं। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल बाइनरी संबंध कई-से-एक है, लेकिन हरा, नीला और काला नहीं है।
 * मैनी-टू-मैनी: न तो इंजेक्टिव और न ही फंक्शनल। उदाहरण के लिए, आरेख में काला बाइनरी संबंध कई-से-अनेक है, लेकिन लाल, हरा और नीला नहीं है।

संपूर्णता गुण (केवल तभी परिभाषित किया जा सकता है जब डोमेन X और कोडोमेन Y निर्दिष्ट हों):


 * कुल (बाएं-कुल भी कहा जाता है): एक्स में सभी एक्स के लिए वाई में ऐसा मौजूद है $xRy$. दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का डोमेन X के बराबर है। यह संपत्ति जुड़ा हुआ संबंध की परिभाषा से अलग है (जिसे कुछ लेखकों द्वारा टोटल भी कहा जाता है) खंड बाइनरी संबंध # गुण में। इस तरह के बाइनरी रिलेशन को बहुविकल्पी समारोह कहा जाता है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के द्विआधारी संबंध कुल हैं, लेकिन नीला वाला नहीं है (क्योंकि यह -1 को किसी वास्तविक संख्या से संबंधित नहीं करता है), और न ही काला वाला (क्योंकि यह 2 को किसी वास्तविक संख्या से संबंधित नहीं करता है) ).


 * (या ): सभी के लिए $xRz$, कुछ मौजूद है $y = z$ ऐसा है कि $xRy$. उदाहरण के लिए, > पूर्णांकों पर एक क्रमिक संबंध है। लेकिन यह धनात्मक पूर्णांकों पर क्रमिक संबंध नहीं है, क्योंकि ऐसा नहीं है $x$ सकारात्मक पूर्णांकों में जैसे कि $x ∈ X$. हालाँकि, <धनात्मक पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक संख्याओं पर एक क्रमिक संबंध है। हर रिफ्लेक्सिव रिलेशन सीरियल है: दिए गए के लिए $S$, चुनें $y ∈ X$.


 * विशेषण (जिसे राइट-टोटल भी कहा जाता है or on): Y में सभी y के लिए, X में एक x मौजूद है जैसे कि xRy। दूसरे शब्दों में, R की परिभाषा का कोडोमेन Y के बराबर है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे और नीले रंग के बाइनरी संबंध विशेषण हैं, लेकिन लाल नहीं है (क्योंकि यह किसी वास्तविक संख्या को -1 से संबंधित नहीं करता है), न ही काला वाला (क्योंकि यह किसी भी वास्तविक संख्या को 2 से संबंधित नहीं करता है)।

विशिष्टता और समग्रता गुण (केवल डोमेन एक्स और कोडोमेन वाई निर्दिष्ट होने पर परिभाषित किया जा सकता है):
 * ए : एक द्विआधारी संबंध जो कार्यात्मक और कुल है। उदाहरण के लिए, आरेख में लाल और हरे रंग के बाइनरी संबंध कार्य हैं, लेकिन नीले और काले वाले नहीं हैं।
 * एक : एक फ़ंक्शन जो इंजेक्शन है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरे रंग का बाइनरी संबंध एक इंजेक्शन है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
 * ए : एक कार्य जो विशेषण है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरा बाइनरी संबंध एक अनुमान है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।
 * ए : एक फलन जो अंतःक्षेपी और आच्छादक है। उदाहरण के लिए, आरेख में हरा बाइनरी संबंध एक आक्षेप है, लेकिन लाल, नीला और काला नहीं है।

सजातीय संबंधों पर संचालन
यदि R एक सेट X पर एक सजातीय संबंध है तो निम्नलिखित में से प्रत्येक X पर एक सजातीय संबंध है:
 * : आर=, R के रूप में परिभाषित किया गया है = = {(एक्स, एक्स) | x ∈ X} ∪ R या R युक्त X पर सबसे छोटा रिफ्लेक्सिव संबंध। यह R वाले सभी रिफ्लेक्सिव संबंधों के प्रतिच्छेदन (सेट सिद्धांत) के बराबर साबित हो सकता है।
 * : आर≠, R के रूप में परिभाषित किया गया है≠ = R \ {(x, x) | x ∈ X} या R में निहित X पर सबसे बड़ा अप्रासंगिक संबंध।
 * : आर+, R युक्त X पर सबसे छोटे सकर्मक संबंध के रूप में परिभाषित किया गया है। इसे R वाले सभी सकर्मक संबंधों के प्रतिच्छेदन के बराबर देखा जा सकता है।
 * : आर *, के रूप में परिभाषित किया गया $xRy$, सबसे छोटा पूर्व आदेश जिसमें R है।
 * : आर≡, R वाले X पर सबसे छोटे समतुल्य संबंध के रूप में परिभाषित किया गया है।

अनुभाग में परिभाषित सभी ऑपरेशन सजातीय संबंधों पर भी लागू होता है।
 * {| class="wikitable sortable" style="text-align:center;"

! ! Reflexivity ! Symmetry ! Transitivity ! Connectedness ! Symbol ! Example ! Directed graph ! Undirected graph ! Dependency ! Tournament ! Preorder ! Total preorder ! Partial order ! Strict partial order ! Total order ! Strict total order ! Partial equivalence relation ! Equivalence relation
 * + align="top" | Homogeneous relations by property
 * Symmetric
 * Symmetric
 * Reflexive
 * Symmetric
 * Irreflexive
 * Antisymmetric
 * Pecking order
 * Pecking order
 * Pecking order
 * Pecking order
 * Reflexive
 * Yes
 * Preference
 * Preference
 * Preference
 * Preference
 * Reflexive
 * Yes
 * Yes
 * Yes
 * Reflexive
 * Antisymmetric
 * Yes
 * Subset
 * Subset
 * Subset
 * Irreflexive
 * Antisymmetric
 * Yes
 * Strict subset
 * Strict subset
 * Strict subset
 * Reflexive
 * Antisymmetric
 * Yes
 * Yes
 * Alphabetical order
 * Alphabetical order
 * Irreflexive
 * Antisymmetric
 * Yes
 * Yes
 * Strict alphabetical order
 * Strict alphabetical order
 * Symmetric
 * Yes
 * Yes
 * Reflexive
 * Symmetric
 * Yes
 * Equality
 * }
 * Equality
 * }

(विषम) संबंधों पर संचालन

 * : यदि आर और एस सेट एक्स और वाई पर द्विआधारी संबंध हैं तो R ∪ S = {(x, y) | xRy या xSy है X और Y के ऊपर R और S का। पहचान तत्व खाली संबंध है। उदाहरण के लिए, ≤ < और = का मिलन है, और ≥ > और = का मिलन है।


 * : यदि आर और एस सेट एक्स और वाई पर द्विआधारी संबंध हैं तो R ∩ S = {(x, y) | xRy और xSy है एक्स और वाई पर आर और एस का। पहचान तत्व सार्वभौमिक संबंध है। उदाहरण के लिए, संबंध 6 से विभाज्य है संबंधों का प्रतिच्छेदन 3 से विभाज्य है और 2 से विभाज्य है।


 * : यदि R सेट X और Y पर एक बाइनरी रिलेशन है, और S सेट Y और Z पर एक बाइनरी रिलेशन है तो S ∘ R = {(x, z) | वहाँ y ∈ Y का अस्तित्व है जैसे कि xRy और ySz} (द्वारा भी निरूपित) $1 > y$) है एक्स और जेड पर आर और एस का। पहचान तत्व पहचान संबंध है। अंकन में R और S का क्रम $y = x$, यहाँ प्रयुक्त कार्यों की संरचना के लिए मानक अंकन क्रम से सहमत है। उदाहरण के लिए, रचना ∘ की जननी है, उपज की जननी है, की नानी है, जबकि रचना ∘ की जननी है, उपज की जननी है। पूर्व मामले के लिए, यदि x, y का माता-पिता है और y, z की माता है, तो x, z का नाना-नानी है।


 * : यदि R समुच्चय X और Y पर एक द्विआधारी संबंध है तो R टी = {(वाई, एक्स) | xRy} Y और X पर R का विलोम संबंध है। उदाहरण के लिए, = स्वयं का विलोम है, जैसा ≠ है, और < और > एक दूसरे के विलोम हैं, जैसे ≤ और ≥ हैं। एक द्विआधारी संबंध इसके विलोम के बराबर है यदि और केवल यदि यह सममित संबंध है।


 * : यदि R समुच्चय X और Y पर एक द्विआधारी संबंध है तो $X$ = {(एक्स, वाई) | xRy नहीं (द्वारा भी दर्शाया गया है R या $R* = (R^{+})^{=}$) X और Y पर R का पूरक संबंध है। उदाहरण के लिए, = और ≠ एक दूसरे के पूरक हैं, जैसे ⊆ और ⊈, ⊇ और ⊉, और ∈ और ∉, और, कुल ऑर्डर के लिए भी < और ≥, और > और ≤. विलोम संबंध का पूरक $R; S$ पूरक का विलोम है: $$\overline{R^\mathsf{T}} = \bar{R}^\mathsf{T}.$$
 * : यदि R एक समुच्चय X पर एक द्विआधारी सजातीय संबंध है और S, X का एक उपसमुच्चय है तो Rundefined = {(एक्स, वाई) | xRy और x ∈ S और y ∈ S} है का R से S के ऊपर X। यदि R, X और Y के सेट पर एक द्विआधारी संबंध है और यदि S, X का एक उपसमूह है तो Rundefined = {(एक्स, वाई) | xRy और x ∈ S} है {{em|{{visible anchor|left-restriction relation|Left-restriction relation}}}एक्स और वाई पर आर से एस का }। यदि आर सेट एक्स और वाई पर एक द्विआधारी संबंध है और यदि एस वाई का सबसेट है तो Rundefined = {(एक्स, वाई) | xRy और y ∈ S} है {{em|{{visible anchor|right-restriction relation|Right-restriction relation}}}एक्स और वाई पर आर से एस का }। यदि कोई संबंध रिफ्लेक्टिव संबंध, अपरिवर्तनीय, सममित संबंध, एंटीसिमेट्रिक संबंध, असममित संबंध, सकर्मक संबंध, सीरियल संबंध, ट्राइकोटॉमी (गणित), एक आंशिक क्रम, कुल आदेश, सख्त कमजोर क्रम है, सख्त कमजोर आदेश#कुल पूर्व आदेश (कमजोर आदेश), या एक तुल्यता संबंध, फिर भी इसके प्रतिबंध हैं। हालांकि, एक प्रतिबंध का सकर्मक समापन सकर्मक बंद होने के प्रतिबंध का एक उपसमुच्चय है, अर्थात, सामान्य रूप से समान नहीं है। उदाहरण के लिए, महिलाओं के लिए y का जनक x है संबंध को प्रतिबंधित करने से संबंध x, महिला y की मां है; इसका सकर्मक समापन एक महिला को उसकी नानी से संबंधित नहीं करता है। दूसरी ओर, के माता-पिता का सकर्मक समापन है का पूर्वज है; महिलाओं के लिए इसका प्रतिबंध एक महिला को उसकी नानी से जोड़ता है।

एक बाइनरी रिलेशन R ओवर सेट X और Y कहा जाता है X और Y पर एक संबंध S लिखा है $$R \subseteq S,$$ यदि R, S का उपसमुच्चय है, अर्थात सभी के लिए $$x \in X$$ तथा $$y \in Y,$$ अगर xRy, तो xSy। यदि R, S में समाहित है और S, R में समाहित है, तो R और S को बराबर लिखा R = S कहा जाता है। यदि R, S में समाहित है, लेकिन S, R में समाहित नहीं है, तो R को कहा जाता है  S से, लिखा हुआ $S ∘ R$. उदाहरण के लिए, परिमेय संख्याओं पर संबंध > ≥ से छोटा होता है, और संघटन के बराबर होता है $&not; R$

उदाहरण

 * सख्त आदेश सहित आदेश संबंध:
 * से अधिक
 * इससे बड़ा या इसके बराबर
 * से कम
 * से कम या बराबर
 * विभाजित (समान रूप से)
 * का भाग
 * तुल्यता संबंध:
 * समानता (गणित)
 * समानांतर (ज्यामिति) के साथ (एफ़िन रिक्त स्थान के लिए)
 * के साथ आपत्ति में है
 * समरूपता
 * टॉलरेंस रिलेशन, एक रिफ्लेक्सिव और सिमेट्रिक रिलेशन:
 * निर्भरता संबंध, एक परिमित सहिष्णुता संबंध
 * स्वतंत्रता संबंध, कुछ निर्भरता संबंध का पूरक
 * रिश्तेदारी#संबंधों की संरचना

यह भी देखें

 * सार पुनर्लेखन प्रणाली
 * योज्य संबंध, मॉड्यूल के बीच एक बहु-मूल्यवान समरूपता
 * संबंधों की श्रेणी, वस्तुओं के रूप में सेट वाली श्रेणी और आकारिकी के रूप में विषम द्विआधारी संबंध
 * संगम (शब्द पुनर्लेखन), द्विआधारी संबंधों के कई असामान्य लेकिन मौलिक गुणों पर चर्चा करता है
 * पत्राचार (बीजीय ज्यामिति), बीजगणितीय समीकरणों द्वारा परिभाषित एक द्विआधारी संबंध
 * हस्स आरेख, एक ग्राफिक का मतलब ऑर्डर संबंध प्रदर्शित करना है
 * घटना संरचना, बिंदुओं और रेखाओं के सेट के बीच एक विषम संबंध
 * रिश्तेदारों का तर्क, चार्ल्स सैंडर्स पियर्स द्वारा संबंधों का एक सिद्धांत
 * आदेश सिद्धांत, आदेश संबंधों के गुणों की जांच करता है