शून्य से विभाजन

अन्य उपयोगों के लिए, विभाजन को शून्य (बहुविकल्पी) देखें। गणित में, शून्य से विभाजन वह विभाजन है जहाँ भाजक (हर) शून्य होता है इस तरह के विभाजन को औपचारिक रूप से व्यक्त किया जा रहा है $\tfrac{a}{0}$, जहाँ पर $x$ लाभांश (अंश) है। साधारण अंकगणित में, अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है, क्योंकि ऐसी कोई संख्या नहीं है, जिसे गुणा करने पर $y = 1⁄x$, देता है $y$ (मान लिया $a \neq 0$ ); इस प्रकार, शून्य से विभाजन अपरिभाषित (गणित) है। चूँकि कोई भी संख्या शून्य से गुणा करने पर शून्य होती है, व्यंजक 0/0|$$\tfrac{0}{0}$$अपरिभाषित भी है; जब यह एक सीमा (गणित) का रूप है, तो यह एक अनिश्चित रूप 0/0 है। ऐतिहासिक रूप से, मान निर्दिष्ट करने की गणितीय असंभवता के लिए सबसे पहले प्रस्तुत किए गए संदर्भों में से एक $\tfrac{a}{0}$  एंग्लो-आयरिश दार्शनिक जॉर्ज बर्कले की 1734 में विश्लेषक (दिवंगत राशियों के प्रतिच्छाया) में अतिसूक्ष्म कलन की पर्यवेक्षण में निहित है। गणितीय संरचनाएं हैं जिनमें $\tfrac{a}{0}$ कुछ के लिए परिभाषित किया गया है $x$ जैसे कि रीमैन क्षेत्र (विस्तारित जटिल तल का एक गणितीय मॉडल) और प्रक्षेपित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा; हालांकि, ऐसी संरचनाएं अंकगणित (क्षेत्र के सिद्धांत) के हर सामान्य नियम को संतुष्ट नहीं करती हैं।

कंप्यूटिंग में, क्रमानुदेश त्रुटि शून्य से विभाजित करने के प्रयास के परिणामस्वरूप हो सकती है। क्रमानुदेश परिवेश और संख्या के प्रकार (उदाहरण के लिए, चल-बिंदु, पूर्णांक) के आधार पर शून्य से विभाजित होने पर, यह आईईईई 754 चल बिन्दु मानक द्वारा, धनात्मक या ऋणात्मक अनंतता उत्पन्न कर सकता है, आपत्ति उत्पन्न कर सकता है, त्रुटि संदेश उत्पन्न कर सकता है जिससे क्रमानुदेश विशेष गैर-संख्या मान या क्रैश में परिणाम समाप्त करें।

प्रारंभिक अंकगणित
जब विभाजन को प्रारंभिक अंकगणितीय स्तर पर समझाया जाता है, तो इसे प्रायः वस्तुओं के एक समूह को समान भागों में विभाजित करने के रूप में माना जाता है। एक उदाहरण के रूप में, दस कुकीज़ होने पर विचार करें, और इन कुकीज़ को एक मेज पर पाँच लोगों के बीच समान रूप से वितरित किया जाना है। प्रत्येक व्यक्ति को प्राप्त होगा $$\tfrac{10}{5} = 2$$ कुकीज़। इसी तरह यदि दस कुकीज़ हैं, और मेज पर केवल एक व्यक्ति है, तो वह व्यक्ति प्राप्त करेगा $$\tfrac{10}{1} = 10$$ कुकीज़।

तो, शून्य से विभाजित करने के लिए, प्रत्येक व्यक्ति को प्राप्त होने वाली कुकीज़ की संख्या क्या है जब 10 कुकीज़ समान रूप से 0 लोगों के बीच मेज पर वितरित की जाती हैं? समस्या को स्पष्ट करने के लिए कुछ शब्दों को प्रश्न में इंगित किया जा सकता है। इस प्रश्न के साथ समस्या यह है कि जब किसी को भी 10 कुकीज वितरण का कोई तरीका नहीं है। इसलिए, $$\tfrac{10}{0}$$—कम से कम प्राथमिक अंकगणित में—अर्थहीन या अपरिभाषित कहा जाता है।

यदि 5 कुकीज़ और 2 लोग हैं, तो समस्या समान रूप से वितरित करने में है। 5 चीजों के किसी भी पूर्णांक विभाजन में 2 भागों में, विभाजन के किसी एक भाग में दूसरे की तुलना में अधिक तत्व होंगे या शेष होगा (जैसा लिखा गया है) $y$ = 2 आर 1)।या, 5 कुकीज़ और 2 लोगों की समस्या को एक कुकी को आधा काट कर हल किया जा सकता है, जो भिन्नों के विचार का परिचय देता है ($a$ = $a$) . दूसरी ओर, 5 कुकीज़ और 0 लोगों के साथ समस्या को किसी भी तरह से हल नहीं किया जा सकता है जो "विभाजन" के अर्थ को सुरक्षित रखता है |

प्रारंभिक बीजगणित में, विभाजन को शून्य से देखने का एक और तरीका यह है कि विभाजन को हमेशा गुणन का उपयोग करके जांचा जा सकता है। विचार $a$ उपरोक्त उदाहरण, संस्थापन x = $5⁄2$, यदि x बराबर दस को शून्य से विभाजित किया जाता है, तो x गुणा शून्य दस के बराबर होता है, लेकिन ऐसा कोई x नहीं है,अतिरिक्त से गुणा करने पर, दस (या शून्य के अतिरिक्त कोई भी संख्या) देता है। यदि, x के स्थान पर = $5⁄2$, एक्स = $2 1⁄2$, तब प्रत्येक x प्रश्न को संतुष्ट करता है कि किस संख्या x को शून्य से गुणा करने पर शून्य प्राप्त होता है?

प्रारंभिक प्रयास
ब्रह्मगुप्त का ब्रह्मस्फुटसिद्धांत (सी. 598-668) 0 (संख्या) को अपने आप में एक संख्या के रूप में मानने और शून्य से संबंधित संक्रियाओं को परिभाषित करने वाला सबसे पहला पाठ है। लेखक अपने ग्रंथों में शून्य से विभाजन की व्याख्या नहीं कर सका: उसकी परिभाषा आसानी से बीजगणितीय असावधानियों को उत्पन्न कर सकती है। ब्रह्मगुप्त के अनुसार,

"शून्य से विभाजित होने पर एक धनात्मक या ऋणात्मक संख्या शून्य के साथ एक अंश है। शून्य को ऋणात्मक या धनात्मक संख्या से विभाजित करने पर या तो शून्य होता है या अंश के रूप में शून्य के साथ एक अंश के रूप में व्यक्त किया जाता है और परिमित मात्रा हर के रूप में होती है। शून्य को शून्य से विभाजित करने पर शून्य होता है।"

830 में, महावीर ने अपनी पुस्तक गनिता सारा संग्रह में ब्रह्मगुप्त की गलती को सुधारने का असफल प्रयास किया: "शून्य से विभाजित होने पर एक संख्या अपरिवर्तित रहती है।

बीजगणित
प्राथमिक अंकगणित में कुछ प्रतिबंधों के साथ पूर्ण संख्याओं (धनात्मक पूर्णांकों) पर लागू चार आधारिक संरचना संक्रियाएँ - जोड़, घटाव, गुणा और भाग - को उन संख्याओं के क्षेत्र के विस्तार का समर्थन करने के लिए रूपरेखा के रूप में उपयोग किया जाता है, जिन पर वे लागू होते हैं। उदाहरण के लिए, किसी भी पूर्ण संख्या को दूसरे से घटाना सम्मिलित होने के लिए, ऋणात्मक पूर्णांकों को सम्मिलित करने के लिए संख्याओं के क्षेत्र  को पूर्णांकों के पूरे समुच्चय तक विस्तारित किया जाना चाहिए। इसी तरह, किसी भी पूर्णांक के किसी अन्य द्वारा विभाजन का समर्थन करने के लिए, संख्याओं के क्षेत्र को परिमेय संख्याओं तक विस्तारित करने  के समय  संख्या प्रणाली के इस क्रमिक विस्तार के समय, यह सुनिश्चित करने के लिए ध्यान रखा जाता है कि विस्तारित संचालन, जब पुरानी संख्याओं पर लागू किया जाता है, तो भिन्न परिणाम उत्पन्न न करें। अस्पष्ट  रूप  से बोलते हुए, चूंकि पूर्ण संख्या संस्थापन  में शून्य से विभाजन का कोई अर्थ नहीं है (अपरिभाषित है), यह सही रहता है क्योंकि संस्थापन  वास्तविक संख्या या यहां तक ​​​​कि जटिल संख्याओं तक फैलती है।

जैसे-जैसे संख्याओं का क्षेत्र बढ़ता जाता है जिन पर इन संक्रिया को लागू किया जा सकता है, वैसे-वैसे संक्रिया को देखने के तरीके में भी बदलाव होते हैं। उदाहरण के लिए, पूर्णांकों के क्षेत्र  में, घटाव को अब मूल संक्रिया नहीं माना जाता है क्योंकि इसे हस्ताक्षरित संख्याओं के जोड़ से बदला जा सकता है । इसी तरह, जब परिमेय संख्याओं को सम्मिलित करने के लिए संख्याओं के क्षेत्र  का विस्तार होता है, तो विभाजन को कुछ परिमेय संख्याओं के गुणन से बदल दिया जाता है। इस दृष्टिकोण के परिवर्तन को ध्यान में रखते हुए, प्रश्न, हम शून्य से भाग क्यों नहीं दे सकते? एक परिमेय संख्या का हर शून्य क्यों नहीं हो सकता? . इस संशोधित प्रश्न का परिशुद्ध उत्तर देने के लिए परिमेय संख्याओं की परिभाषा की ध्यानपूर्वक से जाँच करने की आवश्यकता है।

वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र के निर्माण के आधुनिक दृष्टिकोण में, परिमेय संख्या विकास में मध्यवर्ती चरण के रूप में प्रकट होती है जो समुच्चय सिद्धांत पर आधारित होती है। सबसे पहले, प्राकृतिक संख्याएँ (शून्य सहित) स्वयंसिद्ध आधार पर स्थापित की जाती हैं जैसे कि पियानों की अभिगृहीत प्रणाली और फिर इसे पूर्णांकों के वलय तक विस्तारित किया जाता है। अगला चरण परिमेय संख्याओं को इस बात को ध्यान में रखते हुए परिभाषित करना है कि यह केवल उन समुच्चयों और संक्रियाओं का उपयोग करके किया जाना चाहिए जो पहले ही स्थापित किए जा चुके हैं, अर्थात् योग, गुणन और पूर्णांकों के क्रमित युग्मो  के समुच्चय से प्रारंभ करते हुए, $0$ साथ $0$, द्वारा इस समुच्चय पर एक द्विआधारी संबंध परिभाषित करें $0$ और केवल यदि ${(a, b)}$. इस संबंध को एक तुल्यता संबंध के रूप में दिखाया गया है और इसके तुल्यता वर्गो को परिमेय संख्याओं के रूप में परिभाषित किया गया है। यह औपचारिक प्रमाण में है कि यह संबंध एक तुल्यता संबंध है इसकी आवश्यकता है कि दूसरा निर्देशांक शून्य नहीं है (सकर्मक संबंध को सत्यापित करने के लिए) की आवश्यकता है।

उपरोक्त व्याख्या कई उद्देश्यों के लिए बहुत सारगर्भित और तकनीकी हो सकती है, लेकिन यदि कोई परिमेय संख्याओं के स्थिति और गुणों को मानता है, जैसा कि सामान्य रूप से प्रारंभिक गणित में किया जाता है, तो "कारण" कि शून्य से विभाजन की स्वीकृति नहीं है, दृश्य से छिपा हुआ है। तथापि, इस संस्थापन में  (गैर-स्थूल) औचित्य दिया जा सकता है।

यह उस संख्या प्रणाली के गुणों से अनुसरण करता है जिसका हम उपयोग कर रहे हैं (अर्थात, पूर्णांक, परिमेय, वास्तविक, आदि), यदि $b ≠ 0$ फिर समीकरण $(a, b) ≃ (c, d)$ के बराबर है $ad = bc$. ये मानते हुए $b ≠ 0$ एक संख्या है $10⁄0$, तो यह होना ही चाहिए $a⁄b = c$ हालाँकि, एकल संख्या $10⁄0$ तब समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाना होगा $a = b × c$, लेकिन प्रत्येक संख्या इस समीकरण को पूरा करती है, इसलिए हम इसके लिए संख्यात्मक मान $a⁄0$ निर्दिष्ट नहीं कर सकते है।

गुणा के व्युत्क्रम के रूप में विभाजन
बीजगणित में विभाजन (गणित) की व्याख्या करने वाली अवधारणा यह है कि यह गुणन का व्युत्क्रम है। उदाहरण के लिए, $$\frac{6}{3}=2$$ तब से $a = 0 × c = 0$ वह मान है जिसके लिए अज्ञात मात्रा है $$?\times 3 = 6$$ क्या सच है। लेकिन अभिव्यक्ति $$\frac{6}{0} = \, x$$ में अज्ञात मात्रा के लिए मान खोजने की आवश्यकता है $$x\times 0 = 6.$$ लेकिन किसी भी संख्या का गुणा $0 = 0 × c$ है $0⁄0$ और इसलिए ऐसी कोई संख्या नहीं है जो समीकरण को हल कर सके।

अभिव्यक्ति $$\frac{0}{0} = \, x$$ में अज्ञात मात्रा के लिए मान खोजने की आवश्यकता है $$x \times 0 = 0.$$ पुनः, किसी भी संख्या का गुणा $2$ है और $0$ इसलिए इस बार प्रत्येक संख्या समीकरण को हल करती है  इसके अतिरिक्त कि  संख्या को मान $0$ के रूप में लिया जा सकता है।

सामान्य रूप से, एकल मान को उस अंश के लिए निर्दिष्ट नहीं किया जा सकता है जहां भाजक है $0$ इसलिए मान अस्वीकृत है।

दोष
शून्य से विभाजन की स्वीकृति अप्रतिरोध्य कारण यह है कि, यदि इसकी स्वीकृति दी जाती, तो कई निरर्थक परिणाम (अर्थात,दोष) उत्पन्न होते है। संख्यात्मक मात्राओं के साथ काम करते समय यह निर्धारित करना आसान होता है कि कब शून्य से विभाजित करने का अनुपयुक्त प्रयास किया जा रहा है। उदाहरण के लिए, निम्नलिखित गणना पर विचार करें।

अभिगृहिताओ के साथ: $$\begin{align} 0\times 1 &= 0, \\ 0\times 2 &= 0, \end{align}$$ निम्नलिखित सत्य है: $$0\times 1 = 0\times 2.$$ दोनों पक्षों को शून्य से भाग प्राप्त होता है: $$\begin{align} \frac{0 \times 1}{0} &= \frac{0\times 2}{0} \\[6px] \frac{0}{0}\times 1 &= \frac{0}{0}\times 2. \end{align}$$ सरलीकृत, यह प्रतिफल: $$1 = 2.$$ यहाँ दोष यह धारणा है कि 0 को 0 से विभाजित करना उपयुक्त संक्रिया है जिसमें समान गुण होते हैं जो किसी अन्य संख्या से विभाजित होते हैं।

हालांकि, बीजगणितीय तर्क में विभाजन को शून्य से छिपाना संभव है, जिसके परिणामस्वरूप अमान्य प्रमाण हैं, उदाहरण के लिए, $0$ जैसे निम्नलिखित:

शून्य से प्रच्छन्न विभाजन तब होता है जब x − 1 = 0 जब x = 1 होता है।

विस्तारित वास्तविक रेखा
पहली दृष्टि में a/b के फलन की सीमा पर विचार करके a/0 को परिभाषित करना संभव लगता है क्योंकि b 0 तक पहुंचता है।

किसी भी धनात्मक a के लिए, दाएँ से सीमा है $$\lim_{b \to 0^+} {a \over b} = +\infty$$ हालाँकि, बाएँ से सीमा है $$\lim_{b \to 0^-} {a \over b} = -\infty$$ और इसलिए $$\lim_{b \to 0} {a \over b}$$ अपरिभाषित है ऋणात्मक a के लिए सीमा भी अपरिभाषित है)।

इसके अतिरिक्त, 0/0 की कोई स्पष्ट परिभाषा नहीं है जिसे किसी अनुपात की सीमा पर विचार करके प्राप्त किया जा सकता है। सीमा $$ \lim_{(a,b) \to (0,0)} {a \over b} $$ सम्मिलित नहीं होना। रूप की सीमाएँ $$ \lim_{x \to 0} {f(x) \over g(x)} $$ जिसमें f(x) और g(x) दोनों 0 तक पहुंचते हैं जैसे x 0 तक पहुंचता है, विशेष फलन f और g के आधार पर, किसी भी वास्तविक या अनंत मान के बराबर हो सकता है, या बिल्कुल भी सम्मिलित नहीं हो सकता है।

उदाहरण के लिए, विचार करें: $$ \lim_{x \to 1} {x^2 - 1 \over x - 1} $$ यह प्रारंभिक रूप से अनिश्चित प्रतीत होता है। हालाँकि: $$\begin{align} &= \lim_{x \to 1} {(x - 1)(x + 1) \over x - 1} \\ &= \lim_{x \to 1} {(x + 1)} \\ &= 2 \end{align}$$ और इसलिए परिसीमा सम्मिलित है, और $$2$$ के बराबर है

ये और इसी तरह के अन्य तथ्य बताते हैं कि अभिव्यक्ति $$\frac{0}{0}$$ सीमा के रूप में अच्छी तरह से परिभाषित नहीं किया जा सकता है।

औपचारिक संचालन
गणना का परिणाम अच्छी तरह से परिभाषित है या नहीं, इस पर विचार किए बिना अंकगणित के नियमों का उपयोग करके औपचारिक गणना की जाती है। इस प्रकार, कभी-कभी a/0, जहां a ≠ 0, के $$\infty$$ रूप में विचार उपयोगी होता है। संदर्भ के आधार पर यह अनंत या तो धनात्मक, ऋणात्मक या असंकेतिक हो सकता है। उदाहरण के लिए, औपचारिक रूप से: $$\lim_{x \to 0} {\frac{1}{x} = \frac{\lim\limits_{x \to 0} {1}}{\lim\limits_{x \to 0} {x}}} = \infty.$$ किसी भी औपचारिक गणना के साथ, अमान्य परिणाम प्राप्त हो सकते हैं। तार्किक रूप से स्थूल (औपचारिक के विपरीत) संगणना केवल उसी पर जोर देगी $$\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{x} = +\infty ~\text{ and }~ \lim_{x \to 0^-} \frac{1}{x} = -\infty.$$ चूंकि एकपक्षीय सीमाएं अलग हैं, वास्तविक संख्या के मानक संरचना में द्विपक्षीय सीमा सम्मिलित नहीं है। इसके अतिरिक्त, अंश 1/0 को विस्तारित वास्तविक रेखा में अपरिभाषित छोड़ दिया गया है, इसलिए यह और $$ \frac{\lim\limits_{x \to 0} 1 }{\lim\limits_{x \to 0} x}$$ अर्थहीन अभिव्यक्ति (गणित) हैं।

वास्तविक रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा
समुच्चय $$\mathbb{R}\cup\{\infty\}$$ प्रक्षेप्य रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा है, जो वास्तविक रेखा का एक-बिंदु संघनन है। यहां $$\infty$$ का अर्थ है एक अहस्ताक्षरित अनंतता या अनंत पर बिंदु, अनंत मात्रा जो न तो धनात्मक है और न ही ऋणात्मक। यह मात्रा $$-\infty = \infty$$  पूरा करती है, जो इस संदर्भ में आवश्यक है। इस संरचना में, $$\frac{a}{0} = \infty$$ अशून्य के लिए  $0⁄0$ परिभाषित किया जा सकता है और $$\frac{a}{\infty} = 0$$ जब $0$ क्या नहीं है $$\infty$$ यह त्रिकोणमिति के स्पर्शरेखा फलन और को स्पर्श फलन की सीमा को देखने का स्वाभाविक तरीका है: $1 = 2$ अनंत पर एकल बिंदु की ओर बढ़ता है क्योंकि $1 = x$ किसी भी दिशा से $1$ या $x − 1$ तक पहुंचता है।

यह परिभाषा कई रोचक परिणामों की ओर ले जाती है। हालांकि, परिणामी बीजगणितीय संरचना क्षेत्र (गणित) नहीं है, और एक की तरह व्यवहार करने की उपेक्षा नहीं की जानी चाहिए। उदाहरण के लिए, वास्तविक रेखा के इस विस्तार में $$\infty+\infty$$ अपरिभाषित है।

रीमैन क्षेत्र
समुच्चय $$\mathbb{C}^*=\mathbb{C}\cup\{\tilde\infty\}$$ रीमैन क्षेत्र है, जो जटिल विश्लेषण में प्रमुख महत्व रखता है। यहां $$\tilde\infty$$ जटिल अनंतता का प्रतिनिधित्व करता है, जो अनंत पर एक बिंदु भी है। यह समुच्चय अनुमानित रूप से विस्तारित वास्तविक रेखा के अनुरूप है, इसके अतिरिक्त कि यह जटिल संख्याओं के क्षेत्र (गणित) पर आधारित है। रीमैन क्षेत्र में, $$\frac{1}{0}=\tilde\infty$$ और $$\frac{1}{\tilde\infty} = 0$$, लेकिन $$\frac{0}{0}$$, $$\frac{\tilde\infty}{\tilde\infty}$$, और $$0\times\tilde\infty$$ अपरिभाषित हैं।

उच्च गणित
हालांकि शून्य से विभाजन को वास्तविक संख्याओं और पूर्णांकों के साथ समझदारी से परिभाषित नहीं किया जा सकता है, लेकिन अन्य गणितीय संरचनाओं में इसे या इसी तरह के संचालन को निरंतर परिभाषित करना संभव है।

अमानक विश्लेषण
अतिवास्तविक संख्या और वास्तविक संख्या में, शून्य से विभाजन अभी भी असंभव है, लेकिन गैर-शून्य अपरिमेय द्वारा विभाजन संभव है।

वितरण सिद्धांत
बंटन (गणित) में फलन का विस्तार किया जा सकता है $\frac{1}{x}$ वास्तविक संख्याओं के पूरे स्थान पर एक वितरण के लिए (कॉची प्रमुख मूल्यों का उपयोग करके)। हालाँकि, x = 0 पर इस वितरण का "मान" पूछने का कोई अर्थ नहीं है; एक परिष्कृत उत्तर वितरण के विलक्षण समर्थन को दर्शाता है।

रेखीय बीजगणित
मैट्रिक्स (गणित) बीजगणित (या सामान्य रूप से रेखीय बीजगणित) में, a/b = ab+ समुच्चय करके छद्म-विभाजन को परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें b+ b के छद्म व्युत्क्रम का प्रतिनिधित्व करता है अतः यह सिद्ध  किया जा सकता है कि यदि b-1 सम्मिलित है, तो b+ = b-1. यदि b 0 के बराबर है, तो b+ = 0 है।

सार बीजगणित
अमूर्त बीजगणित में, पूर्णांक, परिमेय संख्याएँ, वास्तविक संख्याएँ, और जटिल संख्याएँ अधिक सामान्य बीजगणितीय संरचनाओं के लिए सारगर्भित की जा सकती हैं, जैसे कि एक क्रमविनिमेय वलय, जो एक गणितीय संरचना है जहाँ जोड़, घटाव और गुणा व्यवहार करते हैं जैसा वे करते हैं अधिक परिचित संख्या प्रणालियों में, लेकिन विभाजन को परिभाषित नहीं किया जा सकता है। गुणक व्युत्क्रम को क्रमविनिमेय वलय से जोड़ने को स्थानीयकरण (क्रमविनिमेय बीजगणित) कहा जाता है। हालाँकि, शून्य पर प्रत्येक क्रमविनिमेय वलय का स्थानीयकरण तुच्छ वलय है, जहाँ $$0 = 1$$, इसलिए गैर-तुच्छ क्रमविनिमेय वलयों में शून्य पर व्युत्क्रम नहीं होते हैं, और इस प्रकार शून्य से विभाजन गैर-तुच्छ क्रमविनिमेय वलयों के लिए अपरिभाषित है।

तथापि, कोई भी संख्या प्रणाली जो क्रमविनिमेय वलय बनाती है, उसे संभव्यता ही कभी इस्तेमाल की जाने वाली संरचना तक बढ़ाया जा सकता है जिसे व्हील सिद्धांत कहा जाता है जिसमें शून्य से विभाजन हमेशा संभव होता है। हालाँकि, परिणामी गणितीय संरचना अब एक क्रमविनिमेय वलय नहीं है, क्योंकि अतिरिक्त जोड़ पर वितरित नहीं होता है। इसके अतिरिक्त, पहिया में, एक तत्व का विभाजन स्वयं गुणक पहचान तत्व में नहीं होता है $$1$$, और यदि मूल प्रणाली एक अभिन्न प्रक्षेत्र थी, तो पहिया में गुणन का परिणाम रद्द करने वाले अर्धसमूह में नहीं होता है।

मानक अंकगणित पर लागू होने वाली अवधारणाएं वलय (गणित) और क्षेत्र (गणित) जैसी अधिक सामान्य बीजगणितीय संरचनाओं के समान हैं। क्षेत्र में, प्रत्येक अशून्य तत्व गुणन के अंतर्गत व्युत्क्रमणीय होता है; ऊपर के रूप में, विभाजन केवल शून्य से विभाजित करने का प्रयास करते समय समस्याएं उत्पन्न करता है। यह तिरछा क्षेत्र में भी सच है (जो इस कारण से एक विभाजन वलय कहा जाता है)। हालाँकि, अन्य वलयों मेपैदा्य तत्वों द्वारा विभाजन भी समस्याएँ उत्पन्न कर सकता है। उदाहरण के लिए, पूर्णांक मॉड 6 की वलय Z/6Z। अभिव्यक्ति का अर्थ $\frac{2}{2}$  समीकरण का हल x होना चाहिए $$2x = 2$$. लेकिन वलय Z/6Z में, 2 एक शून्य भाजक है। इस समीकरण के दो भिन्न हल हैं, $x = 1$ और $a$, इसलिए अभिव्यक्ति $\frac{2}{2}$ परिभाषित और अपरिभाषित है।

क्षेत्र सिद्धांत में, अभिव्यक्ति $\frac{a}{b}$ औपचारिक अभिव्यक्ति ab के लिए केवल आशुलिपि है-1, जहां b−1 b का गुणक प्रतिलोम है। चूँकि क्षेत्र अभिगृहीत केवल अशून्य तत्वों के लिए ऐसे व्युत्क्रमों के अस्तित्व की गारंटी देते हैं, इस अभिव्यक्ति का कोई अर्थ नहीं है जब b शून्य है। आधुनिक ग्रंथ, जो क्षेत्रों को एक विशेष प्रकार की वलय के  परिभाषित करते हैं, में स्वयंसिद्ध सम्मिलित है $a$ क्षेत्र (या इसके समतुल्य) के लिए ताकि शून्य वलय को क्षेत्र होने से बाहर रखा जा सके। शून्य वलय में, शून्य से विभाजन संभव है, जो दर्शाता है कि क्षेत्र में शून्य से विभाजन को बाहर करने के लिए अन्य क्षेत्र स्वयंसिद्ध पर्याप्त नहीं हैं।

कंप्यूटर अंकगणित
चल-बिन्दु यूनिट]], लगभग सभी आधुनिक चल-बिन्दु इकाइयों द्वारा समर्थित, निर्दिष्ट करता है कि प्रत्येक चल-बिन्दु अंकगणितीय ऑपरेशन, शून्य से विभाजन सहित, एक अच्छी तरह से परिभाषित परिणाम है। मानक हस्ताक्षरित शून्य, साथ ही अनंत और NaN (संख्या नहीं) का समर्थन करता है। दो शून्य हैं: +0 (धनात्मक शून्य) और -0 (ऋणात्मक शून्य) और यह विभाजित करते समय किसी भी अस्पष्टता को दूर करता है। IEEE 754 अंकगणित में, a ÷ +0 धनात्मक अनन्तता है जब a धनात्मक है, ऋणात्मक अनन्तता जब a ऋणात्मक है, और NaN जब a = ±0 है। इसके बजाय -0 (संख्या)|−0 से विभाजित करने पर अनंत चिह्न बदल जाते हैं।

इस परिभाषा का औचित्य अंकगणितीय अंतर्प्रवाह के मामले में परिणाम के चिह्न को संरक्षित करना है। उदाहरण के लिए, एकल-परिशुद्धता संगणना में 1/(x/2), जहां x = ±2−149, परिकलन x/2 अंतर्प्रवाहित होता है और चिह्न मिलान x के साथ ±0 उत्पन्न करता है, और परिणाम चिह्न मिलान x के साथ ±∞ ​​होगा। यह चिह्न परिशुद्ध परिणाम ±2 के चिह्न से मेल खाएगा150, लेकिन परिशुद्ध  परिणाम का परिमाण प्रतिनिधित्व करने के लिए बहुत बड़ा है, इसलिए अतिप्रवाह इंगित करने के लिए अनंत का उपयोग सामान्य रूप सेहै।

शून्य से पूर्णांक विभाजन को समानरूप से चल-बिन्दु से अलग तरीके से नियंत्रित किया जाता है क्योंकि परिणाम के लिए कोई पूर्णांक प्रतिनिधित्व नहीं होता है। जब एक पूर्णांक को शून्य से विभाजित करने का प्रयास किया जाता है तो कुछ प्रोसेसर अपवाद प्रबंधन उत्पन्न करते हैं, हालांकि अन्य बस जारी रहेंगे और विभाजन के लिए गलत परिणाम उत्पन्न करेंगे। परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि विभाजन कैसे कार्यान्वित किया जाता है, और या तो शून्य हो सकता है, या कभी-कभी सबसे बड़ा संभावित पूर्णांक हो सकता है।

शून्य से विभाजन के लिए किसी भी मान को निर्दिष्ट करने के अनुचित बीजगणितीय परिणामों के कारण, कई कंप्यूटर क्रमानुदेश भाषाएं (कैलकुलेटर द्वारा उपयोग की जाने वाली भाषाओं सहित) ऑपरेशन के निष्पादन को स्पष्ट रूप से मना करती हैं और समय से पहले एकक्रमानुदेश को रोक सकती हैं जो इसे करने का प्रयास करती है, कभी-कभी शून्य त्रुटि से विभाजन को प्रस्तावित करती है। इन स्थितियों में, यदि शून्य से विभाजन के लिए कुछ विशेष व्यवहार वांछित है, तो स्थिति का स्पष्ट रूप से परीक्षण किया जाना चाहिए (उदाहरण के लिए, if कथन का उपयोग करके)। कुछक्रमानुदेश (विशेष रूप से वे जो फिक्स्ड-पॉइंट अंकगणित का उपयोग करते हैं, जहां कोई समर्पित चल-बिन्दु हार्डवेयर उपलब्ध नहीं है) आईईईई मानक के समान व्यवहार का उपयोग करेंगे, बड़े धनात्मक और ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग करके अनन्तता का अनुमान लगाएंगे। कुछ क्रमानुदेश भाषाओं में, अपरिभाषित व्यवहार में शून्य परिणामों से विभाजित करने का प्रयास। ग्राफिकल क्रमानुदेश लैंग्वेज स्क्रैच (क्रमानुदेश लैंग्वेज) | स्क्रैच 2.0 और 3.0 का उपयोग कई स्कूलों में किया जाता है जो लाभांश के संकेत के आधार पर इन्फिनिटी या -इनफिनिटी लौटाता है।

दो के पूरक अंकगणित में, सबसे छोटे हस्ताक्षरित पूर्णांक को -1 से विभाजित करने के प्रयासों में समान समस्याएं होती हैं, और स्पष्ट त्रुटि स्थितियों से लेकर अपरिभाषित व्यवहार तक, समाधानों की समान श्रेणी के साथ नियंत्रित किया जाता है।

अधिकांश कैलकुलेटर या तो एक त्रुटि लौटाते हैं या बताते हैं कि 1/0 अपरिभाषित है; हालांकि, कुछ टेक्सास इंस्ट्रूमेंट्स और हेवलेट पैकर्ड ग्राफिंग कैलकुलेटर मूल्यांकन करेंगे (1/0)2 से ∞.

माइक्रोसॉफ्ट गणित और गणित वापसी  1/0 के लिए। मेपल (सॉफ्टवेयर) और सेजमैथ 1/0 के लिए एक त्रुटि संदेश लौटाते हैं, और 1/0.0 के लिए अनंत (0.0 इन प्रणालियों को बीजगणितीय अंकगणित के बजाय चल-बिन्दु अंकगणित का उपयोग करने के लिए कहते हैं)।

कुछ आधुनिक कैल स्वीकृति िशेष स्थितियों में शून्य से विभाजन की स्वीकृतिदेते हैं, जहां यह छात्रों के लिए उपयोगी होगा और संभवतः गणितज्ञों द्वारा संदर्भ में समझा जाएगा। कुछ कैलकुलेटर, ऑनलाइन डेस्मोस (ग्राफ़िंग) कैलकुले स्वीकृति एक उदाहरण है, आर प्रायःेंट (1/0) की स्वीकृति दें। छात्रों को प्रायः सिखाया जाता है कि व्युत्क्रम कोटिस्पर्श फलन, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय फलन, की गणना व्युत्क्रम के चापस्पर्शज्या को लेकर की जानी चाहिए, और इसलिए एक कैलकु स्वीकृति स्पर्शज्या (1/0) को आउटपुट देने की स्वीकृति दे सकता है $\tfrac{\pi}{2}$, जो चाप स्पर्शरेखा 0 का सही मान है। गणितीय औचित्य यह है कि चाप स्पर्शरेखा 1/x की x के शून्य तक जाने की सीमा है $\tfrac{\pi}{2}$.

ऐतिहासिक दुर्घटनाएँ

 * 21 सितंबर, 1997 को, यूएसएस यॉर्कटाउन (सीजी-48) पर "दूरस्थ डेटा आधार प्रबंधक" में शून्य त्रुटि से डिवीजन ने नेटवर्क पर सभी मशीनों को नीचे लाया, जिससे जहाज की प्रणोदन प्रणाली विफल हो गई।

यह भी देखें

 * अनंतस्पर्शी
 * परिभाषित और अपरिभाषित
 * डिवीजन बाय जीरो (कहानी), टेड चियांग की एक लघु कहानी
 * अनिश्चित रूप
 * शून्य विभक्त
 * शून्य की घात शून्य

स्रोत

 * पैट्रिक सपेस 1957 (1999 डोवर संस्करण), लॉजिक का परिचय, डोवर प्रकाशन, इंक, माइनोला, न्यूयॉर्क। ISBN 0-486-40687-3 (पीबीके।)। यह पुस्तक प्रिंट में है और आसानी से उपलब्ध है। सपेस की §8.5 जीरो द्वारा विभाजन की समस्या इस तरह से शुरू होती है: गणित में भी, सभी संभव संसारों में सर्वश्रेष्ठ के लिए सब कुछ नहीं है, प्राथमिक सिद्धांत में विभाजन के संचालन को परिभाषित करने की परेशान करने वाली समस्या से अच्छी तरह से चित्रित किया गया है। अंकगणित (पृष्ठ 163)। अपने §8.7 'ज़ीरो द्वारा विभाजन के लिए पांच दृष्टिकोण' में उन्होंने टिप्पणी की कि ...कोई समान रूप से संतोषजनक समाधान नहीं है (पृष्ठ 166)
 * चार्ल्स सीफ 2000, ज़ीरो: द बायोग्राफी ऑफ़ ए डेंजरस आइडिया, पेंगुइन बुक्स, एनवाई, ISBN 0-14-029647-6 (पीबीके।)। यह पुरस्कार विजेता पुस्तक बहुत ही सुलभ है। (कुछ के लिए) एक घृणित धारणा और दूसरों के लिए एक सांस्कृतिक संपत्ति के आकर्षक इतिहास के साथ, वर्णन करता है कि गुणा और विभाजन के संबंध में शून्य का गलत उपयोग कैसे किया जाता है।
 * अल्फ्रेड टार्स्की 1941 (1995 डोवर संस्करण), इंट्रोडक्शन टू लॉजिक एंड टू द मेथोडोलॉजी ऑफ डिडक्टिव साइंसेज, डोवर पब्लिकेशन, इंक, माइनोला, न्यूयॉर्क। ISBN 0-486-28462-X (पीबीके।)। तर्स्की की §53 परिभाषाएं जिनकी परिभाषा में पहचान चिह्न शामिल है, चर्चा करती है कि गलतियां कैसे की जाती हैं (कम से कम शून्य के संबंध में)। वह अपना अध्याय समाप्त करता है (इस बल्कि कठिन समस्या की चर्चा [परिभाषा को संतुष्ट करने वाली एक संख्या] को यहां छोड़ दिया जाएगा। *) (पृष्ठ 183)। * व्यायाम #24 (पृष्ठ 189) की ओर इशारा करता है जिसमें वह निम्नलिखित का प्रमाण मांगता है: खंड 53 में, संख्या '0' की परिभाषा एक उदाहरण के माध्यम से बताई गई थी। यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह परिभाषा किसी विरोधाभास की ओर नहीं ले जाती है, इसके पहले निम्नलिखित प्रमेय होना चाहिए: बिल्कुल एक संख्या x का अस्तित्व है, किसी भी संख्या y के लिए, एक के पास: y + x = y
 * पैट्रिक सपेस 1957 (1999 डोवर संस्करण), लॉजिक का परिचय, डोवर प्रकाशन, इंक, माइनोला, न्यूयॉर्क। ISBN 0-486-40687-3 (पीबीके।)। यह पुस्तक प्रिंट में है और आसानी से उपलब्ध है। सपेस की §8.5 जीरो द्वारा विभाजन की समस्या इस तरह से शुरू होती है: गणित में भी, सभी संभव संसारों में सर्वश्रेष्ठ के लिए सब कुछ नहीं है, प्राथमिक सिद्धांत में विभाजन के संचालन को परिभाषित करने की परेशान करने वाली समस्या से अच्छी तरह से चित्रित किया गया है। अंकगणित (पृष्ठ 163)। अपने §8.7 'ज़ीरो द्वारा विभाजन के लिए पांच दृष्टिकोण' में उन्होंने टिप्पणी की कि ...कोई समान रूप से संतोषजनक समाधान नहीं है (पृष्ठ 166)
 * चार्ल्स सीफ 2000, ज़ीरो: द बायोग्राफी ऑफ़ ए डेंजरस आइडिया, पेंगुइन बुक्स, एनवाई, ISBN 0-14-029647-6 (पीबीके।)। यह पुरस्कार विजेता पुस्तक बहुत ही सुलभ है। (कुछ के लिए) एक घृणित धारणा और दूसरों के लिए एक सांस्कृतिक संपत्ति के आकर्षक इतिहास के साथ, वर्णन करता है कि गुणा और विभाजन के संबंध में शून्य का गलत उपयोग कैसे किया जाता है।
 * अल्फ्रेड टार्स्की 1941 (1995 डोवर संस्करण), इंट्रोडक्शन टू लॉजिक एंड टू द मेथोडोलॉजी ऑफ डिडक्टिव साइंसेज, डोवर पब्लिकेशन, इंक, माइनोला, न्यूयॉर्क। ISBN 0-486-28462-X (पीबीके।)। तर्स्की की §53 परिभाषाएं जिनकी परिभाषा में पहचान चिह्न शामिल है, चर्चा करती है कि गलतियां कैसे की जाती हैं (कम से कम शून्य के संबंध में)। वह अपना अध्याय समाप्त करता है (इस बल्कि कठिन समस्या की चर्चा [परिभाषा को संतुष्ट करने वाली एक संख्या] को यहां छोड़ दिया जाएगा। *) (पृष्ठ 183)। * व्यायाम #24 (पृष्ठ 189) की ओर इशारा करता है जिसमें वह निम्नलिखित का प्रमाण मांगता है: खंड 53 में, संख्या '0' की परिभाषा एक उदाहरण के माध्यम से बताई गई थी। यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह परिभाषा किसी विरोधाभास की ओर नहीं ले जाती है, इसके पहले निम्नलिखित प्रमेय होना चाहिए: बिल्कुल एक संख्या x का अस्तित्व है, किसी भी संख्या y के लिए, एक के पास: y + x = y
 * चार्ल्स सीफ 2000, ज़ीरो: द बायोग्राफी ऑफ़ ए डेंजरस आइडिया, पेंगुइन बुक्स, एनवाई, ISBN 0-14-029647-6 (पीबीके।)। यह पुरस्कार विजेता पुस्तक बहुत ही सुलभ है। (कुछ के लिए) एक घृणित धारणा और दूसरों के लिए एक सांस्कृतिक संपत्ति के आकर्षक इतिहास के साथ, वर्णन करता है कि गुणा और विभाजन के संबंध में शून्य का गलत उपयोग कैसे किया जाता है।
 * अल्फ्रेड टार्स्की 1941 (1995 डोवर संस्करण), इंट्रोडक्शन टू लॉजिक एंड टू द मेथोडोलॉजी ऑफ डिडक्टिव साइंसेज, डोवर पब्लिकेशन, इंक, माइनोला, न्यूयॉर्क। ISBN 0-486-28462-X (पीबीके।)। तर्स्की की §53 परिभाषाएं जिनकी परिभाषा में पहचान चिह्न शामिल है, चर्चा करती है कि गलतियां कैसे की जाती हैं (कम से कम शून्य के संबंध में)। वह अपना अध्याय समाप्त करता है (इस बल्कि कठिन समस्या की चर्चा [परिभाषा को संतुष्ट करने वाली एक संख्या] को यहां छोड़ दिया जाएगा। *) (पृष्ठ 183)। * व्यायाम #24 (पृष्ठ 189) की ओर इशारा करता है जिसमें वह निम्नलिखित का प्रमाण मांगता है: खंड 53 में, संख्या '0' की परिभाषा एक उदाहरण के माध्यम से बताई गई थी। यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह परिभाषा किसी विरोधाभास की ओर नहीं ले जाती है, इसके पहले निम्नलिखित प्रमेय होना चाहिए: बिल्कुल एक संख्या x का अस्तित्व है, किसी भी संख्या y के लिए, एक के पास: y + x = y

आगे की पढाई

 * Jakub Czajko (July 2004) "", Chaos, Solitons and Fractals, volume 21, number 2, pages 261–271.
 * To Continue with Continuity Metaphysica 6, pp. 91–109, a philosophy paper from 2005, reintroduced the (ancient Indian) idea of an applicable whole number equal to 1/0, in a more modern (Cantorian) style.
 * To Continue with Continuity Metaphysica 6, pp. 91–109, a philosophy paper from 2005, reintroduced the (ancient Indian) idea of an applicable whole number equal to 1/0, in a more modern (Cantorian) style.