सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला

गणितीय विश्लेषण में, फूरियर श्रृंखला के कई सामान्यीकरण उपयोगी साबित हुए हैं। वे सभी आंतरिक उत्पाद स्थान के ऑर्थोनॉर्मल आधार पर विघटन के विशेष मामले हैं। यहां हम वास्तविक रेखा के अंतराल (गणित) पर परिभाषित वर्ग-अभिन्न कार्यों पर विचार करते हैं, जो अन्य बातों के अलावा, प्रक्षेप सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण है।

परिभाषा
मानों के साथ वर्ग-अभिन्न कार्यों के एक सेट पर विचार करें $$ \mathbb{F} = \Complex$$ या $$\mathbb{F} = \R$$, $$\Phi = \{\varphi_n:[a,b] \to \mathbb{F}\}_{n=0}^\infty,$$ जो आंतरिक उत्पाद के लिए जोड़ीवार ओर्थोगोनल  हैं $$\langle f, g\rangle_w = \int_a^b f(x)\,\overline{g}(x)\,w(x)\,dx$$ कहाँ $$w(x)$$ एक वज़न फ़ंक्शन है, और $$\overline\cdot$$ जटिल संयुग्मन का प्रतिनिधित्व करता है, अर्थात, $$\overline{g}(x) = g(x)$$ के लिए $$ \mathbb{F} = \R$$.

एक वर्ग-अभिन्न फ़ंक्शन की सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला $$f : [a, b] \to \mathbb{F}$$, Φ के संबंध में, तब है $$f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty c_n\varphi_n(x),$$ जहां गुणांक दिए गए हैं $$c_n = {\langle f, \varphi_n \rangle_w\over \|\varphi_n\|_w^2}.$$ यदि Φ एक पूर्ण सेट है, यानी, [ए, बी] पर सभी वर्ग-अभिन्न कार्यों के स्थान का एक ऑर्थोगोनल आधार, एक छोटे ऑर्थोगोनल सेट के विपरीत, संबंध $$\sim $$ L2 स्पेस|L में समानता हो जाती है2बोध, अधिक सटीक रूप से मॉड्यूलो $$|\cdot|_w $$ (जरूरी नहीं कि बिंदुवार, न ही लगभग हर जगह)।

उदाहरण (फूरियर-लीजेंड्रे श्रृंखला)
लीजेंड्रे बहुपद स्टर्म-लिउविल सिद्धांत का समाधान हैं|स्टर्म-लिउविल समस्या


 * $$ \left((1-x^2)P_n'(x)\right)'+n(n+1)P_n(x)=0$$

और स्टर्म-लिउविले सिद्धांत के कारण, ये बहुपद समस्या के स्वदेशी कार्य हैं और इकाई भार के साथ उपरोक्त आंतरिक उत्पाद के संबंध में ऑर्थोगोनल समाधान हैं। तो हम लीजेंड्रे बहुपदों को शामिल करते हुए एक सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला (जिसे फूरियर-लीजेंडर श्रृंखला के रूप में जाना जाता है) बना सकते हैं, और


 * $$f(x) \sim \sum_{n=0}^\infty c_n P_n(x),$$
 * $$c_n = {\langle f, P_n \rangle_w\over \|P_n\|_w^2}$$

उदाहरण के तौर पर, आइए हम [−1,1] पर f(x)=cosxx के लिए फूरियर-लीजेंड्रे श्रृंखला की गणना करें। अब,



\begin{align} c_0 & = {\int_{-1}^1 \cos{x}\,dx \over \int_{-1}^1 (1)^2 \,dx} = \sin{1} \\ c_1 & = {\int_{-1}^1 x \cos{x}\,dx \over \int_{-1}^1 x^2 \, dx} = {0 \over 2/3 } =0 \\ c_2 & = {\int_{-1}^1 {3x^2 - 1 \over 2} \cos{x} \, dx \over \int_{-1}^1 {9x^4-6x^2+1 \over 4} \, dx} = {6 \cos{1} - 4\sin{1} \over 2/5 } \end{align} $$ और इन शर्तों को शामिल करने वाली एक श्रृंखला


 * $$\begin{align}c_2P_2(x)+c_1P_1(x)+c_0P_0(x)&= {5 \over 2} (6 \cos{1} - 4\sin{1})\left({3x^2 - 1 \over 2}\right) + \sin1\\

&= \left({45 \over 2} \cos{1} - 15 \sin{1}\right)x^2+6 \sin{1} - {15 \over 2}\cos{1}\end{align}$$ जो cos x से लगभग 0.003, लगभग 0 से भिन्न है। ऐसी फूरियर-लीजेंड्रे श्रृंखला का उपयोग करना फायदेमंद हो सकता है क्योंकि eigenfunctions सभी बहुपद हैं और इसलिए अभिन्न अंग हैं और इस प्रकार गुणांक की गणना करना आसान है।

गुणांक प्रमेय
गुणांक पर कुछ प्रमेय cn शामिल करना:

बेसेल की असमानता

 * $$\sum_{n=0}^\infty |c_n|^2\leq\int_a^b|f(x)|^2w(x)\,dx.$$

पारसेवल का प्रमेय
यदि Φ एक पूर्ण समुच्चय है, तो
 * $$ \sum_{n=0}^\infty |c_n|^2 = \int_a^b |f(x)|^2w(x)\, dx.$$

यह भी देखें

 * बनाच स्थान
 * eigenfunctions
 * फ्रैक्शनल फूरियर रूपांतरण
 * कार्य स्थान
 * हिल्बर्ट स्थान
 * न्यूनतम-वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
 * ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन
 * रूढ़िवादिता
 * टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस
 * सदिश स्थल

श्रेणी:फूरियर विश्लेषण