पुलबैक (अंतर ज्यामिति)

$$\phi:M\to N$$ स्मूथ मैनिफोल्ड $$M$$ और $$N$$.के बीच स्मूथ मैप के रूप में बनें होते है, इसके बाद 1-फॉर्म के स्थान से संबद्ध एक $$N$$ रैखिक मैप के रूप में होता है। इस रैखिक मैप को $$\phi$$ पुलबैक के रूप में जाना जाता है और इसे अधिकांशतः $$\phi^*$$.द्वारा निरूपित किया जाता है और इस प्रकार सामान्यतः किसी भी सहसंयोजक टेंसर क्षेत्र विशेष रूप से N पर किसी भी अवकलन रूप को $$\phi$$. का उपयोग करके M पर वापस खींचा जा सकता है।

जब मैप $$\phi$$ एक भिन्नता के रूप में है, तो पुलबैक, पुशफॉरवर्ड के साथ किसी भी टेंसर क्षेत्र को N से M या इसके विपरीत बदलने के लिए उपयोग किया जा सकता है और इस प्रकार विशेष रूप से, यदि $$\phi$$ के विवृत उपसमुच्चय के बीच एक भिन्नता $$\R^n$$ और $$\R^n$$ निर्देशांक के परिवर्तन के रूप में देखा जाता है और संभवतः विभिन्न मैनिफोल्ड चार्ट्स के बीच मैनिफोल्ड पर $$M$$ फिर पुलबैक और पुशफॉरवर्ड विषय के अधिक संकीर्ण समन्वय निर्भर दृष्टिकोणों में उपयोग किए जाने वाले सदिश टेंसरों के कोवैरिएंट और कॉन्ट्रावैरिएंट के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं।

पुलबैक के पीछे का विचार अनिवार्य रूप से एक फलन के दूसरे प्रफलन के साथ संयोजन की धारणा है। चूंकि इस विचार को कई भिन्न भिन्न संदर्भो में जोड़कर बहुत जटिल पुलबैक ऑपरेशंस का निर्माण किया जा सकता है। इइस लेख की शुरुआत सरल संक्रियाओं से प्रारंभ होता है, फिर उनका उपयोग अधिक जटिल संक्रियाओं के निर्माण के लिए के लिए उपयोग में लाया जाता है और इस प्रकार सामान्यतः पुलबैक मैकेनिज्म प्रीकम्पोजिशन का उपयोग करके अवकलन ज्यामिति में कई प्रतिपरिवर्ती संचालिका कार्यात्मक के रूप में बदल देती है।

स्मूथ फलन और स्मूथ मैप का पुलबैक
माना कि $$\phi:M\to N$$ स्मूथ मैनिफोल्ड $$M$$ और $$N$$.के बीच स्मूथ मैप के रूप में बनें होते है और मान लीजिए $$f:N\to\R$$ एक सुचारू फलन के रूप में $$N$$.है, फिर $$\phi$$ द्वारा $$f$$ का पुलबैक स्मूथ $$(\phi^*f)(x)=f(\phi(x))$$ द्वारा परिभाषित $$M$$ पर स्मूथ फलन $$\phi^*f$$ .के रूप में है, इसी प्रकार यदि $$f$$ एक विवृत समुच्चय पर एक सहज फलन $$U$$ और $$N$$ के रूप में है तो वही सूत्र $$\phi^{-1}(U)$$.में विवृत समुच्चय $$f$$ पर एक स्मूथ फलन को परिभाषित करता है। (शेफ (गणित) की पुलबैक भाषा में $$M$$ स्मूथ फलन के शीफ से $$\phi$$ द्वारा प्रत्यक्ष छवि शीफ के लिए $$N$$ पर स्मूथ फलन के शीफ मोर्फिज्म को परिभाषित करता है।

अधिक सामान्यतः यदि $$f:N\to A$$, $$N$$ से किसी भी अन्य गुना $$A$$ के लिए स्मूथ मैप के रूप में है और तब $$(\phi^*f)(x)=f(\phi(x))$$ $$M$$ को $$A$$ तक एक स्मूथ मैप के रूप में है।

बंडलों और सेक्शन का पुलबैक
यदि $$E$$ सदिश बंडल है अथवा वास्तव में किसी भी फाइबर बंडल $$N$$ और $$\phi:M\to N$$ के ऊपर का एक स्मूथ मैप है तो पुलबैक बंडल $$\phi^*E$$ सदिश बंडल अथवा $$M$$ फाइबर बंडल के रूप में होता है जिसका फाइबर $$x$$ से अधिक $$M$$ में $$(\phi^*E)_x=E_{\phi(x)}$$ के द्वारा दिया गया है

इस स्थिति में, पूर्वसंगठन के अनुभागों पर पुलबैक ऑपरेशन को परिभाषित करता है $$E$$: यदि $$s$$ का एक खंड फाइबर बंडल है तो $$E$$ के ऊपर $$N$$, फिर पुलबैक बंडल $$\phi^*s=s\circ\phi$$ का एक भाग है और $$M$$ के ऊपर $$\phi^*E$$ है।

बहुरेखीय रूपों का पुलबैक
माना Φ: V → W सदिश रिक्त समष्टि वी और डब्ल्यू के बीच रैखिक मैप के रूप में होते है अर्थात, Φ का एक तत्व L(V, W) है जिसे Hom(V, W)),से निरूपित करते है और प्रकार दिखाते है


 * $$F:W \times W \times \cdots \times W \rightarrow \mathbf{R}$$

डब्ल्यू एक बहुरेखीय रूप होता है, जिसे टेन्सर के रूप में भी जाना जाता है और इस प्रकार टेंसर क्षेत्र के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए रैंक का (0, s), जहां s गुणन में W के कारकों की संख्या है। फिर पुलबैक Φ∗Φ द्वारा F का F, V पर बहुरेखीय रूप है, जिसे Φ के साथ F को पूर्वनिर्मित करके परिभाषित किया जाता है और इस प्रकार अधिक सटीकता से दिए गए सदिश v1, v2, ..., vs में v में, Φ∗F सूत्र द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$(\Phi^*F)(v_1,v_2,\ldots,v_s) = F(\Phi(v_1), \Phi(v_2), \ldots ,\Phi(v_s)),$$

जो v पर एक बहुरेखीय रूप है। इसलिए Φ∗ एक रैखिक ऑपरेटर है, जो W पर बहुरेखीय से V पर बहुरेखीय रूपों तक होता है और इस प्रकार एक विशेष स्थितियों के रूप में यदि ध्यान दें कि F, W पर एक रैखिक रूप या (0,1) टेंसर के रूप में है, जिससे कि F, W का एक अवयव है, जो W का दोहरा स्थान Φ∗F, V का एक अवयव है और इसलिए Φ द्वारा पुलबैक दोहरे स्थानों के बीच एक रेखीय मैप को परिभाषित करता है, जो रेखीय मैप Φ के विपरीत दिशा में फलन के रूप में होता है


 * $$\Phi\colon V\rightarrow W, \qquad \Phi^*\colon W^*\rightarrow V^*.$$

तन्यता के दृष्टिकोण से यादृच्छिक रैंक के टेंसरों के लिए पुलबैक की धारणा का विस्तार करने की कोशिश करना स्वाभाविक है, अर्थात W की r प्रतियों के टेन्सर गुणन में मान लेने वाले W पर बहुरेखीय मैप के लिए होते है अर्थात, W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W. चूंकि, ऐसे टेंसर गुणन के तत्व स्वाभाविक रूप से पीछे नहीं हटते हैं, इसके अतिरिक्त एक पुशफॉरवर्ड ऑपरेशन होता है जो इस रूप में दिए गए है V ⊗ V ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ V को W ⊗ W ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ W


 * $$\Phi_*(v_1\otimes v_2\otimes\cdots\otimes v_r)=\Phi(v_1)\otimes \Phi(v_2)\otimes\cdots\otimes \Phi(v_r).$$

फिर भी, यह इस बात का अनुसरण करता है कि यदि Φ उलटा है, पुलबैक को व्युत्क्रम फलन Φ1 द्वारा पुशफॉरवर्ड का उपयोग करके परिभाषित किया जा सकता है, तो इन दो निर्माणों के संयोजन से किसी भी रैंक के टेंसरों के लिए उलटा रैखिक मैप के साथ एक पुशफॉरवर्ड ऑपरेशन (r, s).के रूप में प्राप्त होता है

कॉटैंजेंट सदिश और 1-फॉर्म का पुलबैक
माना φ : M → N स्मूथ मैनिफोल्ड के बीच स्मूथ मैप होता है । फिर φ का अवकलन जिसे φ*, dφ, या Dφ के रूप में लिखा जाता है और M के स्पर्शरेखा बंडल TM से पुलबैक बंडल φ*TN तक M पर सदिश बंडल मोरफोलॉजी है*टीएन। इसलिए φ* का स्थानान्तरण φ*T*N से T*M तक का बंडल मैप के रूप में है, जो M का कॉटैंजेंट बंडल है।

अब मान लीजिए α T*N का एक खंड N पर 1-फॉर्म फाइबर बंडल है और φ*T*N का पुलबैक अनुभाग बंडल प्राप्त करने के लिए α को φ के साथ पूर्वनिर्मित करता है। उपरोक्त बंडल जो मैप को इस खंड में बिंदुवार लागू करने से α का 'पुलबैक' φ द्वारा प्राप्त होता है, जो 1-फॉर्म द्वारा परिभाषित 1-फॉर्म φ*α के रूप में है
 * $$ (\varphi^*\alpha)_x(X) = \alpha_{\varphi(x)}(d\varphi_x(X))$$

TxM. में M और x में X के रूप में होता है।

(कोवेरिएन्ट) टेंसर क्षेत्र का पुलबैक
पिछले खंड का निर्माण किसी भी प्राकृतिक संख्या s के लिए रैंक $$(0,s)$$ के टेंसर बंडलों को तुरंत सामान्यीकृत करता है और इस प्रकार $$s$$, $$(0,s)$$ टेंसर क्षेत्र कई गुना $$N$$ पर टेंसर बंडल का एक भाग होता है, जिसका फाइबर $$y$$ में $$N$$ के बहुरेखीय s-फॉर्म में होता है।


 * $$ F: T_y N\times\cdots \times T_y N\to \R.$$

$$M$$ से $$N$$ तक स्मूथ मैप Q के बिंदुवार अवकलन के बराबर $$\phi$$ है और इस प्रकार बहुरेखीय फॉर्म के पुलबैक को $$M$$ पर पुलबैक ($$(0,s)$$ टेंसर क्षेत्र प्राप्त करने के लिए वर्गों के पुलबैक के साथ जोड़ा जा सकता है और यह अधिक सटीक रूप से यदि $$S$$ एक $$(0,s)$$ $$N$$ पर टेंसर क्षेत्र के रूप में है, तो फिर $$\phi$$ द्वारा $$S$$ का पुलबैक $$(0,s)$$-टेंसर क्षेत्र $$\phi^*S$$ पर $$M$$ द्वारा परिभाषित है।


 * $$ (\varphi^*S)_x(X_1,\ldots, X_s) = S_{\varphi(x)}(d\varphi_x(X_1),\ldots, d\varphi_x(X_s))$$

$$T_xM$$.में $$M$$ और $$x$$ में $$X_j$$ के रूप में है।

अवकलन फॉर्म का पुलबैक
कोवेरिएन्ट टेंसर क्षेत्र के पुलबैक का एक विशेष महत्वपूर्ण स्थिति अवकलन फॉर्म का पुलबैक है। यदि $$\alpha$$ अवकलन है $$k$$-फॉर्म में है अर्थात $$\Lambda^k(T^*N)$$ फाइबरवाइज वैकल्पिक रूप में $$k$$-फॉर्म के बाहरी बंडल $$TN$$ का एक खंड है, तो $$\alpha$$ का पुलबैक $$M$$ पर अवकलन k-फॉर्म में है जिसे पिछले खंड में फॉर्मूले द्वारा परिभाषित किया गया है।
 * $$ (\varphi^*\alpha)_x(X_1,\ldots, X_k) = \alpha_{\varphi(x)}(d\varphi_x(X_1),\ldots, d\varphi_x(X_k))$$

$$T_xM$$.में $$M$$ और $$x$$ में $$X_j$$ के रूप में है।

अवकलन फॉर्म के पुलबैक में दो गुण होते हैं जो इसे बहुत उपयोगी बनाते हैं।


 * 1) यह वेज गुणन के साथ इस अर्थ में संगत है कि अवकलन रूपों के लिए $$\alpha$$ और $$\beta$$ पर $$N$$ के रूप में होते है।
 * $$\varphi^*(\alpha \wedge \beta)=\varphi^*\alpha \wedge \varphi^*\beta.$$
 * 1) यह बाहरी व्युत्पन्न के साथ संगत के रूप में $$d$$:है, यदि $$\alpha$$ पर अवकलन $$N$$ रूप में हो तब,
 * $$\varphi^*(d\alpha) = d(\varphi^*\alpha).$$

डिफियोमॉर्फिज्म द्वारा पुलबैक
जब मैप $$\phi$$ मैनिफोल्ड्स के बीच एक डिफियोमोर्फिज्म है, अर्थात इसमें एक स्मूथ व्युत्क्रम है, तो फिर पुलबैक को सदिश क्षेत्र के साथ-साथ 1-फॉर्म के लिए परिभाषित किया जा सकता है, और इस प्रकार रेखीय मैप कई गुना यादृच्छिक मिश्रित टेंसर क्षेत्र के लिए विस्तारीत होता है।
 * $$\Phi = d\varphi_x \in \operatorname{GL}\left(T_x M, T_{\varphi(x)}N\right)$$

प्रतिलोम के रूप में किया जा सकता है।
 * $$\Phi^{-1} = \left({d\varphi_x}\right)^{-1} \in \operatorname{GL}\left(T_{\varphi(x)}N, T_x M\right).$$

एक सामान्य मिश्रित टेंसर क्षेत्र तब $$\phi$$ और $$\phi^{-1}$$ का उपयोग करके टेंसर गुणन के अनुसार टेंसर बंडल की प्रतियों में अपघटन $$TN$$ और $$T^*N$$ के रूप में रूपांतरित हो जाता है, जब $$M=N$$ पुलबैक और पुशफॉरवर्ड अवकलन कई गुना $$M$$.पर टेंसर के परिवर्तन गुणों का वर्णन करते हैं संकीर्ण शब्दों में पुलबैक टेंसर के सहसंयोजक सूचकांकों के परिवर्तन गुणों का वर्णन करता है; इसके विपरीत सदिश सूचकांकों के कोवेरिएन्ट का परिवर्तन पुशफॉरवर्ड अवकलन द्वारा दिया जाता है।

ऑटोमोर्फिज्म द्वारा पुलबैक
पिछले खंड के निर्माण में एक प्रतिनिधित्व-सैद्धांतिक व्याख्या है जब $$\phi$$ कई गुना $$M$$ से स्वयं के लिए एक भिन्नता है। इस स्थितियों में व्युत्पन्न $$d\phi$$ का एक भाग $$\operatorname{GM}(TM,\phi^*TM)$$.के रूप में है, यह फ्रेम बंडल से जुड़े किसी भी बंडल के अनुभागों पर पुलबैक क्रिया को प्रेरित करता है और इस प्रकार $$\operatorname{GM}(m)$$ का $$M$$ सामान्य रैखिक समूह के प्रतिनिधित्व $$\operatorname{GM}(m)$$ द्वारा दिया जाता है। जहाँ $$m=\dim M$$.है।

पुलबैक और लाई अवकलज
लाइ अवकलज देखें। सदिश क्षेत्र द्वारा परिभाषित भिन्नता के स्थानीय 1-पैरामीटर समूह में पूर्ववर्ती विचारों को लागू करके $$M$$ और पैरामीटर के संबंध में अवकलन करते हुए, किसी भी संबद्ध बंडल पर लाई अवकलज की धारणा प्राप्त की जाती है।

कनेक्शन का पुलबैक (कोवेरिएन्ट अवकलज)
यदि $$\nabla$$ एक सदिश बंडल पर संयोजन सदिश बंडल या कोवेरिएन्ट अवकलज है $$E$$ के ऊपर $$N$$ और $$\phi$$ के रूप में स्मूथ मैप है और इस प्रकार $$M$$ से $$N$$ एक पुलबैक संयोजन है जो $$\phi^*\nabla$$ पर $$\phi^*E$$ के ऊपर $$M$$, विशिष्ट रूप से इस स्थिति द्वारा निर्धारित कियाजाता है।
 * $$\left(\varphi^*\nabla\right)_X\left(\varphi^*s\right) = \varphi^*\left(\nabla_{d\varphi(X)} s\right).$$

यह भी देखें

 * पुशफॉरवर्ड (अवकलन )
 * पुलबैक बंडल
 * पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत)

संदर्भ

 * See sections 1.5 and 1.6.
 * See section 1.7 and 2.3.