कार्नोट प्रमेय (थर्मोडायनामिक्स)

ऊष्मा गतिकी में, कार्नोट की प्रमेय, 1824 में निकोलस लियोनार्ड सादी कार्नोट द्वारा विकसित किया गया, जिसे कार्नोट का नियम भी कहा जाता है, एक सिद्धांत है जो अधिकतम दक्षता पर सीमा निर्दिष्ट करता है जो कोई भी ताप इंजन प्राप्त कर सकता है।

कार्नोट की प्रमेय में कहा गया है कि एक ही दो तापीय या ऊष्माशय के बीच काम करने वाले सभी ताप इंजनों में समान  ऊष्माशय  के बीच चलने वाली प्रतिवर्ती प्रक्रिया (ऊष्मा गतिकी) ताप इंजन से अधिक दक्षता नहीं हो सकती है। इस प्रमेय का एक परिणाम यह है कि ऊष्माशय की एक जोड़ी के बीच काम करने वाला प्रत्येक प्रतिवर्ती ऊष्मा इंजन समान रूप से कुशल होता है, भले ही कार्यरत पदार्थ या संचालन विवरण कुछ भी हो। चूंकि एक कार्नोट ताप इंजन भी एक प्रतिवर्ती इंजन है, सभी प्रतिवर्ती ताप इंजनों की दक्षता कार्नोट ताप इंजन की दक्षता के रूप में निर्धारित की जाती है जो पूर्ण रूप से अपने उष्ण और शीतल ऊष्माशयों के तापमान पर निर्भर करती है।

शीतल और उष्ण ऊष्माशयों के बीच चलने वाले ऊष्मा इंजन की अधिकतम दक्षता (अर्थात, कार्नोट ताप के इंजन दक्षता) जिसे क्रमशः $H$ और $C$  के रूप में दर्शाया जाता है,  ऊष्माशयों के बीच तापमान के अंतर के उष्ण ऊष्माशय के तापमान से अनुपात होता है, जिसे समीकरण
 * $$\eta_{\text{max}} = \frac{T_\mathrm{H}-T_\mathrm{C}}{T_\mathrm{H}},$$

में व्यक्त किया जाता है जहाँ $T_\mathrm{H}$ और $T_\mathrm{C}$ क्रमशः उष्ण और शीतल ऊष्माशयों के पूर्ण तापमान हैं, और दक्षता $\eta$ इंजन इंजन द्वारा (पर्यावरण के लिए) किए गए कार्य (ऊष्मा गतिकी) का अनुपात है जो  उष्ण ऊष्माशय (इंजन के लिए) से  कर्षित ऊष्मा है।

$\eta_\text{max}$ शून्य से अधिक है यदि और मात्र यदि दो ऊष्माशय के बीच तापमान का अंतर है। चूँकि $\eta_\text{max}$ सभी उत्क्रमणीय  और अपरिवर्तनीय ताप इंजन दक्षता की ऊपरी सीमा है, यह निष्कर्ष निकाला गया है कि एक ताप इंजन से काम का उत्पादन तभी किया जा सकता है जब इंजन से जुड़ने वाले दो तापीय  ऊष्माशयों  के बीच तापमान का अंतर हो।

कार्नोट की प्रमेय ऊष्मा गतिकी के दूसरे नियम का परिणाम है। ऐतिहासिक रूप से, यह समकालीन कैलोरी सिद्धांत पर आधारित था, और दूसरे नियम की स्थापना से पहले था।

प्रमाण
कार्नोट प्रमेय का प्रमाण विरोधाभास या रिडक्टियो एड बेतुका द्वारा एक प्रमाण है (इस धारणा से एक गलत या विरोधाभासी बयान को गलत या तार्किक रूप से प्राप्त करके एक बयान को साबित करने की एक विधि), सही आंकड़े जैसी स्थिति के आधार पर जहां दो गर्मी होती है अलग-अलग हीट इंजन वाले इंजन # दक्षता अलग-अलग तापमान पर दो ऊष्माशय के बीच काम कर रहे हैं। अपेक्षाकृत उष्ण ऊष्माशय को उष्ण ऊष्माशय और दूसरे ऊष्माशय को ठंडा ऊष्माशय कहा जाता है। ए (जरूरी नहीं कि प्रतिवर्ती प्रक्रिया (ऊष्मा गतिकी)) ऊष्मा इंजन $$M$$ अधिक दक्षता के साथ $$\eta_{_M}$$ एक प्रतिवर्ती ताप इंजन चला रहा है $$L$$ कम दक्षता के साथ $$\eta_{_L}$$, जिससे बाद वाला ऊष्मा पम्प के रूप में कार्य करता है। इंजन के लिए आवश्यकताएँ $$L$$ कार्य को समझाने के लिए उत्क्रमणीय होना आवश्यक है $$W$$ और गर्मी $$Q$$ इसकी ज्ञात दक्षता का उपयोग करके इसके साथ जुड़ा हुआ है। हालाँकि, तब से $$\eta_{_M}>\eta_{_L}$$, शुद्ध ऊष्मा प्रवाह पीछे की ओर होगा, अर्थात उष्ण ऊष्माशय में:


 * $$Q^\text{out}_\text{h} = Q < \frac{\eta_{_M}}{\eta_{_L}}Q=Q^\text{in}_\text{h},$$

जहाँ $$Q$$ गर्मी का प्रतिनिधित्व करता है, $$\text{in}$$ सबस्क्रिप्ट द्वारा निरूपित किसी वस्तु के इनपुट के लिए, $$\text{out}$$ सबस्क्रिप्ट द्वारा निरूपित किसी वस्तु से आउटपुट के लिए, और $$h$$ उष्ण ऊष्माशय के लिए। यदि गर्मी $$Q^\text{out}_\text{h} $$ उष्ण ऊष्माशय से बहता है तो + का चिन्ह होता है जबकि यदि $$Q^\text{in}_\text{h} $$ उष्ण ऊष्माशय से बहती है तो इसका चिह्न होता है -। ऊष्मा इंजन की परिभाषा का उपयोग करके इस अभिव्यक्ति को आसानी से प्राप्त किया जा सकता है # ऊष्मा इंजन की दक्षता, $$\eta=W/Q_h^{out}$$, जहां इस अभिव्यक्ति में काम और गर्मी प्रति इंजन चक्र शुद्ध मात्रा है, और प्रत्येक इंजन के लिए ऊर्जा का संरक्षण जैसा कि नीचे दिखाया गया है। काम का संकेत सम्मेलन $$W$$, जिसके साथ एक इंजन द्वारा अपने परिवेश में किए गए कार्य के लिए + का चिन्ह लगाया जाता है।

उपरोक्त अभिव्यक्ति का अर्थ है कि इंजन जोड़ी से उष्ण ऊष्माशय में गर्मी (एक इंजन के रूप में माना जा सकता है) उष्ण ऊष्माशय से इंजन जोड़ी में गर्मी से अधिक है (अर्थात, उष्ण ऊष्माशय लगातार ऊर्जा प्राप्त करता है)। कम दक्षता वाला एक प्रतिवर्ती ऊष्मा इंजन इस इंजन को दिए गए कार्य (ऊर्जा) के लिए उष्ण ऊष्माशय में अधिक ऊष्मा (ऊर्जा) प्रदान करता है, जब इसे ऊष्मा पम्प के रूप में चलाया जाता है। इन सभी का मतलब है कि गर्मी बिना बाहरी काम के शीतल से उष्ण स्थानों में स्थानांतरित हो सकती है, और ऊष्मा गतिकी के दूसरे नियम द्वारा ऐसा गर्मी हस्तांतरण असंभव है।


 * यह अजीब लग सकता है कि ऊष्मा गतिकी के दूसरे नियम का उल्लंघन करने के लिए कम दक्षता वाले एक काल्पनिक प्रतिवर्ती ताप पंप का उपयोग किया जाता है, लेकिन रेफ्रिजरेटर इकाइयों के लिए योग्यता का आंकड़ा दक्षता नहीं है, $$W/Q_\text{h}^\text{out}$$, लेकिन प्रदर्शन का गुणांक (COP), जो है $$Q_\text{c}^\text{out}/W$$ जहां इस $$W$$ ऊपर के विपरीत चिह्न है (+ इंजन के लिए किए गए कार्य के लिए)।

आइए काम के मूल्यों का पता लगाएं $$W$$और गर्मी $$Q$$ सही चित्र में दर्शाया गया है जिसमें एक उत्क्रमणीय ऊष्मा इंजन है $$L$$ कम दक्षता के साथ $$\eta_{_L}$$ ऊष्मा इंजन द्वारा ऊष्मा पम्प के रूप में चलाया जाता है $$M$$ अधिक दक्षता के साथ $$\eta_{_M}$$.

ऊष्मा इंजन की परिभाषा#दक्षता है $$\eta = W/Q_\text{h}^\text{out}$$ प्रत्येक इंजन के लिए और निम्नलिखित भाव बनाए जा सकते हैं:


 * $$\eta_M= \frac{W_M}{Q^{\text{out},M}_\text{h}} = \frac{\eta_M Q}{Q}=\eta_M,$$
 * $$ \eta_L = \frac{W_L}{Q^{\text{out},L}_h} = \frac{-\eta_M Q}{-\frac{\eta_M}{\eta_L}Q} = \eta_L.$$

दूसरे व्यंजक का भाजक, $$ Q^{\text{out},L}_h = -\frac{\eta_M}{\eta_L}Q$$, अभिव्यक्ति को सुसंगत बनाने के लिए बनाया गया है, और यह इंजन के लिए काम और गर्मी के मूल्यों को भरने में मदद करता है $$L$$.

प्रत्येक इंजन के लिए, इंजन में प्रवेश करने वाली ऊर्जा का निरपेक्ष मान, $$ E_\text{abs}^\text{in} $$, इंजन से निकलने वाली ऊर्जा के पूर्ण मूल्य के बराबर होना चाहिए, $$ E_\text{abs}^\text{out} $$. अन्यथा, इंजन में ऊर्जा लगातार जमा होती है या इंजन से इनपुट ऊर्जा की तुलना में इंजन से अधिक ऊर्जा लेने से ऊर्जा के संरक्षण का उल्लंघन होता है:


 * $$E_\text{M,abs}^\text{in} = Q = (1-\eta_M)Q + \eta_M Q = E_\text{M,abs}^\text{out}, $$
 * $$E_\text{L,abs}^\text{in} = \eta_M Q + \eta_M Q \left(\frac{1}{\eta_L}- 1 \right ) = \frac{\eta_M}{\eta_L}Q = E_\text{L,abs}^\text{out}. $$

दूसरी अभिव्यक्ति में, $ \left| Q^{\text{out},L}_h \right| = \left| - \frac{\eta_M}{\eta_L}Q \right|$ पद का पता लगाने के लिए प्रयोग किया जाता है $\eta_M Q \left(\frac{1}{\eta_L}- 1 \right ) $  शीतल ऊष्माशय से ली गई ऊष्मा की मात्रा का वर्णन करते हुए, कार्य और ऊष्मा के निरपेक्ष मान भावों को सही आंकड़े में पूरा करना।

यह स्थापित करने के बाद कि सही आंकड़ा मान सही हैं, कार्नोट का प्रमेय अपरिवर्तनीय और प्रतिवर्ती ताप इंजनों के लिए सिद्ध हो सकता है जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

प्रतिवर्ती इंजन
यह देखने के लिए कि प्रत्येक प्रतिवर्ती प्रक्रिया (ऊष्मा गतिकी) तापमान पर ऊष्माशयों के बीच काम कर रही है $$T_1$$ और $$T_2$$ समान दक्षता होनी चाहिए, मान लें कि दो प्रतिवर्ती ताप इंजनों की अलग-अलग दक्षताएँ हैं, और अपेक्षाकृत अधिक कुशल इंजन दें $$M$$ अपेक्षाकृत कम कुशल इंजन चलाएं $$L$$ ऊष्मा पम्प के रूप में। जैसा कि सही आंकड़ा दिखाता है, यह बाहरी काम के बिना ठंड से उष्ण ऊष्माशय में गर्मी का प्रवाह करेगा, जो ऊष्मा गतिकी के दूसरे नियम का उल्लंघन करता है। इसलिए, दोनों (प्रतिवर्ती) ऊष्मा इंजनों की दक्षता समान होती है, और हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि:


 * सभी उत्क्रमणीय ऊष्मा इंजन जो समान दो तापीय (ऊष्मा) ऊष्माशयों के बीच कार्य करते हैं, उनकी दक्षता समान होती है।

उत्क्रमणीय ऊष्मा इंजन की दक्षता कार्नोट ऊष्मा इंजन का प्रतिवर्ती ऊष्मा इंजनों में से एक के रूप में विश्लेषण करके निर्धारित की जा सकती है।

यह निष्कर्ष एक महत्वपूर्ण परिणाम है क्योंकि यह क्लॉसियस प्रमेय को स्थापित करने में मदद करता है, जिसका अर्थ है कि एन्ट्रापी में परिवर्तन $$S$$ सभी प्रतिवर्ती प्रक्रियाओं के लिए अद्वितीय है:
 * $$\Delta S = \int_a^b \frac {dQ_\text{rev}}T $$

एन्ट्रॉपी परिवर्तन के रूप में, जो एक थर्मोडायनामिक संतुलन राज्य से संक्रमण के दौरान किया जाता है $$a$$ एक राज्य के लिए $$b$$ वीटी (आयतन-तापमान) स्थान में, इन दो राज्यों के बीच सभी प्रतिवर्ती प्रक्रिया पथों पर समान है। यदि यह अभिन्न पथ स्वतंत्र नहीं होता, तो एन्ट्रापी एक राज्य कार्य नहीं होता।

अपरिवर्तनीय इंजन
आइए सोचते हैं दो इंजन, एक है $$M$$ यह अपेक्षाकृत अधिक कुशल अपरिवर्तनीय इंजन है जबकि दूसरा है $$L$$ यह अपेक्षाकृत कम कुशल प्रतिवर्ती इंजन है, और हम सही चित्र में वर्णित मशीन का निर्माण करते हैं ($$M$$ ड्राइव $$L$$ हीट पंप के रूप में)। तब यह मशीन ऊष्मा गतिकी के दूसरे नियम का उल्लंघन करती है। चूँकि एक कार्नोट ऊष्मा इंजन एक उत्क्रमणीय ऊष्मा इंजन है, उपरोक्त दो उत्क्रमणीय ऊष्मा इंजनों के बारे में चर्चा में निष्कर्ष के साथ, हमारे पास कार्नोट के प्रमेय का पहला भाग है:


 * एक ही दो ऊष्माशय के बीच काम कर रहे एक कार्नोट ताप इंजन की तुलना में कोई अपरिवर्तनीय ताप इंजन अधिक कुशल नहीं है।

थर्मोडायनामिक तापमान की परिभाषा
ऊष्मा इंजन की दक्षता इंजन द्वारा प्रति इंजन चक्र या इंजन में पेश की गई गर्मी से विभाजित कार्य है

जहाँ $$w_{cy}$$ इंजन द्वारा किया गया कार्य है, $$q_C$$ इंजन से शीतल ऊष्माशय की गर्मी है, और $$q_H$$ प्रति चक्र, उष्ण ऊष्माशय से इंजन की गर्मी है। इस प्रकार, दक्षता मात्र पर निर्भर करती है $$\frac{q_C}{q_H}$$. क्योंकि सभी प्रतिवर्ती ताप इंजन तापमान के बीच काम करते हैं $$T_1$$ और $$T_2$$ समान दक्षता होनी चाहिए, एक प्रतिवर्ती ताप इंजन की दक्षता मात्र दो ऊष्माशय तापमानों का एक कार्य है:

इसके अलावा, एक प्रतिवर्ती ताप इंजन तापमान के बीच काम करता है $$T_1$$ और $$T_3$$ दो चक्रों में से एक के बीच समान दक्षता होनी चाहिए $$T_1$$ और दूसरा (मध्यवर्ती) तापमान $$T_2$$, और दूसरा बीच में $$T_2$$ और $$T_3$$ ($$T_1 < T_2 < T_3$$). ऐसा तभी हो सकता है जब

इस मामले में विशेषज्ञता $$T_1$$ एक निश्चित संदर्भ तापमान है: पानी के त्रिगुण बिंदु का तापमान 273.16 के रूप में। (निश्चित रूप से किसी भी संदर्भ तापमान और किसी भी सकारात्मक संख्यात्मक मान का उपयोग किया जा सकता है - यहाँ विकल्प केल्विन पैमाने से मेल खाता है।) फिर किसी के लिए $$T_2$$ और $$T_3$$,


 * $$f(T_2,T_3) = \frac{f(T_1,T_3)}{f(T_1,T_2)} = \frac{273.16 \cdot f(T_1,T_3)}{273.16 \cdot f(T_1,T_2)}.$$

इसलिए, यदि थर्मोडायनामिक तापमान द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$T' = 273.16 \cdot f(T_1,T),$$

तो समारोह थर्मोडायनामिक तापमान के एक समारोह के रूप में देखा जाता है
 * $$f(T_2,T_3) = \frac{T_3'}{T_2'}.$$

यह तुरंत अनुसरण करता है

उपरोक्त समीकरण में इस समीकरण को वापस प्रतिस्थापित करना $$\frac{q_C}{q_H} = f(T_H,T_C)$$ थर्मोडायनामिक तापमान के मामले में दक्षता के लिए संबंध देता है:

ईंधन सेल और बैटरी के लिए प्रयोज्यता
चूंकि ईंधन सेल और बैटरी (बिजली) उपयोगी शक्ति उत्पन्न कर सकते हैं जब सिस्टम के सभी घटक एक ही तापमान पर हों ($$T=T_H=T_C$$), वे स्पष्ट रूप से कार्नोट के प्रमेय द्वारा सीमित नहीं हैं, जो बताता है कि जब कोई शक्ति उत्पन्न नहीं की जा सकती $$T_H=T_C$$. ऐसा इसलिए है क्योंकि कार्नोट का प्रमेय तापीय ऊर्जा को काम करने के लिए परिवर्तित करने वाले इंजनों पर लागू होता है, जबकि ईंधन सेल और बैटरी रासायनिक ऊर्जा को कार्य करने के लिए परिवर्तित करते हैं। फिर भी, ऊष्मा गतिकी का दूसरा नियम अभी भी ईंधन सेल और बैटरी ऊर्जा रूपांतरण पर प्रतिबंध प्रदान करता है। कार्नोट बैटरी एक प्रकार की ऊर्जा भंडारण प्रणाली है जो बिजली को ताप भंडारण में संग्रहीत करती है और संग्रहीत गर्मी को वापस थर्मोडायनामिक चक्रों के माध्यम से बिजली में परिवर्तित करती है।

यह भी देखें

 * एंडोरेवर्सिबल ऊष्मा गतिकी # नोविकोव इंजन | चंबल-नोविकोव दक्षता
 * हीट पंप और प्रशीतन चक्र # प्रदर्शन का गुणांक