हैंडल अपघटन

गणित में, m-बहुरूपता M का हैंडल अपघटन समुच्च है$$\emptyset = M_{-1} \subset M_0 \subset M_1 \subset M_2 \subset \dots \subset M_{m-1} \subset M_m = M$$जहां प्रत्येक $$M_i$$ को $$i$$-हैंडल संलग्न करके $$M_{i-1}$$ से प्राप्त किया जाता है। हैंडल अपघटन सांस्थितिक अंतराल के लिए सीडब्ल्यू (CW)-अपघटन के समान बहुरूपता है - कई स्थितियों में हैंडल अपघटन का उद्देश्य सीडब्ल्यू-संकुलों के अनुरूप एक भाषा है, लेकिन निष्कोण बहुरूपता की दुनिया के लिए अनुकूलित है। इस प्रकार i-हैंडल i-सेल का निष्कोण अनुरूप है। मोर्स सिद्धांत के माध्यम से बहुरूपताओं का हैंडल विघटन स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होता है। हैंडल संरचनाओं का संशोधन सेर्फ़ सिद्धांत से निकटता से जुड़ा हुआ है।



अभिप्रेरण
एक शून्य सेल और n-सेल के साथ n-वृत्त के मानक सीडब्ल्यू-अपघटन पर विचार करें। निष्कोण बहुरूपता के दृष्टिकोण से, यह वृत्त का एक विकृत अपघटन है, क्योंकि इस अपघटन की दृष्टि से $$S^n$$ की निष्कोण संरचना को देखने का कोई प्राकृतिक तरीका नहीं है- विशेष रूप से 0-सेल के निकट निष्कोण संरचना $$S^{n-1}$$ के क्षेत्र में विशेषता मानचित्र $$\chi : D^n \to S^n$$ के व्यवहार पर निर्भर करती है।

सीडब्ल्यू-अपघटन के साथ समस्या यह है कि सेलों के लिए संलग्न मानचित्र बहुरूपता के बीच निष्कोण मानचित्रों की दुनिया में नहीं रहते हैं। इस दोष को ठीक करने के लिए रोगाणु संबंधी अंतर्दृष्टि नलिकाकार क्षेत्र प्रमेय है। बहुरूपता M में एक बिंदु p दिया गया है, इसका संवृत्त नलिकाकार क्षेत्र $$N_p$$, $$D^m$$ से भिन्न है, इस प्रकार हमने M को $$N_p$$ और $$M \setminus \operatorname{int}(N_p)$$ के असंयुक्त समुच्च में विघटित कर दिया है, जो उनकी सामान्य सीमा से जुड़ा हुआ है। यहां महत्वपूर्ण मुद्दा यह है कि चिपकाने वाला मानचित्र एक भिन्नरूपता है। इसी प्रकार, $$M \setminus \operatorname{int}(N_p)$$ में निष्कोण अंतःस्थापित चाप लें, इसका नलिकाकार क्षेत्र $$I \times D^{m-1}$$ से भिन्न है। यह हमें $$M$$ को तीन बहुरूपताओं के समुच्च के रूप में लिखने की अनुमति देता है, जो उनकी सीमाओं के कुछ भागों के साथ चिपके हुए हैं- 1) $$D^m$$ 2) $$I \times D^{m-1}$$ और 3) $$M \setminus \operatorname{int}(N_p)$$ में चाप के विवृत नलिकाकार क्षेत्र का पूरक। ध्यान दें कि सभी चिपकाने वाले मानचित्र निष्कोण मानचित्र हैं - विशेष रूप से जब हम $$I \times D^{m-1}$$ को $$D^m$$ से चिपकाते हैं तो समतुल्य संबंध $$\partial D^m$$ में $$(\partial I)\times D^{m-1}$$ के अंतःस्थापन द्वारा उत्पन्न होता है, जो नलिकाकार क्षेत्र प्रमेय द्वारा निष्कोण होता है।

हैंडल अपघटन स्टीफ़न स्माले का आविष्कार है। उनके मूल सूत्रीकरण में, j-हैंडल को m-बहुरूपता M से जोड़ने की प्रक्रिया यह मानती है कि किसी के पास $$f : S^{j-1} \times D^{m-j} \to \partial M$$ का निष्कोण अंतःस्थापन है। माना $$H^j = D^j \times D^{m-j}$$। बहुरूपता $$M \cup_f H^j$$ (शब्दों में, M समुच्च j-हैंडल f के साथ) $$M$$ और $$H^j$$ के असंयुक्त समुच्च को संदर्भित करता है जिसमें $$\partial M$$ में इसके चित्र के साथ $$S^{j-1} \times D^{m-j}$$ की पहचान होती है, अर्थात,$$ M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim$$जहां समतुल्य संबंध $$\sim$$ सभी $$(p,x) \in S^{j-1} \times D^{m-j} \subset D^j \times D^{m-j}$$ के लिए $$(p,x) \sim f(p,x)$$ द्वारा उत्पन्न होता है। एक का कहना है कि j-हैंडल संलग्न करके M से बहुरूपता N प्राप्त किया जाता है यदि M का निश्चित रूप से अनेक j-हैंडल के साथ समुच्च N से भिन्न है। हैंडल अपघटन की परिभाषा तब परिचय के समान है। इस प्रकार, बहुरूपता में केवल 0-हैंडल के साथ हैंडल अपघटन होता है यदि यह गेंदों के असंयुक्त समुच्च के लिए भिन्न होता है। संबद्ध बहुरूपता जिसमें केवल दो प्रकार के हैंडल होते हैं (अर्थात- 0-हैंडल और कुछ निश्चित j के लिए j-हैंडल) को हैंडलबॉडी कहा जाता है।

शब्दावली
M समुच्च बनाते समय एक j-हैंडल $$H^j$$$$ M \cup_f H^j = \left( M \sqcup (D^j \times D^{m-j}) \right) / \sim$$$$f(S^{j-1} \times \{0\}) \subset M$$ को संलग्न क्षेत्र के रूप में जाना जाता है। $$f$$ को कभी-कभी संलग्न क्षेत्र की फ्रेमिंग भी कहा जाता है, क्योंकि यह इसके सामान्य बंडल का तुच्छीकरण देता है।

$$\{0\}^j \times S^{m-j-1} \subset D^j \times D^{m-j} = H^j$$, $$ M \cup_f H^j$$ में हैंडल $$H^j$$ का बेल्ट क्षेत्र है।

डिस्क $$D^m$$ पर g k-हैंडल जोड़कर प्राप्त किया गया बहुरूपता वर्ग g का (m,k)-हैंडलबॉडी है।

कोबॉर्डिज़्म प्रस्तुतियाँ
कोबॉर्डिज्म की हैंडल प्रस्तुति में कोबॉर्डिज्म W सम्मिलित होता है जहां $$\partial W = M_0 \cup M_1$$ और आरोही समुच्च होता है$$W_{-1} \subset W_0 \subset W_1 \subset \cdots \subset W_{m+1} = W $$जहां $M$, $m$-आयामी है, $W$, m+1-आयामी है, $$W_{-1}$$, $$M_0 \times [0,1]$$ से भिन्न है और $$W_i$$ को i-हैंडल के अनुलग्नक द्वारा $$W_{i-1}$$ से प्राप्त किया जाता है। जबकि हैंडल अपघटन बहुरूपता के लिए अनुरूप हैं, सेल अपघटन सांस्थितिक अंतराल के लिए क्या हैं, कोबॉर्डिज्म की हैंडल प्रस्तुतियाँ सीमा के साथ बहुरूपता होती हैं जो अंतराल के जोड़े के लिए सापेक्ष सेल विघटन होता हैं।

मोर्स सैद्धांतिक दृष्टिकोण
सघन सीमाहीन बहुरूपता M पर मोर्स फलन $$f : M \to \R$$ दिया गया है, जैसे कि f के क्रांतिक बिंदु $$\{p_1, \ldots, p_k\} \subset M$$, $$f(p_1) < f(p_2) < \cdots < f(p_k) $$ को संतुष्ट करते हैं, और प्रदान किया गया है$$t_0 < f(p_1) < t_1 < f(p_2) < \cdots < t_{k-1} < f(p_k) < t_k ,$$फिर सभी j के लिए, $$f^{-1}[t_{j-1},t_{j}]$$, $$(f^{-1}(t_{j-1}) \times [0,1]) \cup H^{I(j)}$$ से भिन्न है, जहां I(j) क्रांतिक बिंदु $$p_{j}$$ का सूचकांक है। सूचकांक I(j) स्पर्शी अंतराल $$T_{p_j}M$$ के अधिकतम उप-अंतराल के आयाम को संदर्भित करता है जहां हेसियन ऋणात्मक निश्चित है।

बशर्ते सूचकांक $$I(1) \leq I(2) \leq \cdots \leq I(k)$$ को संतुष्ट करें, यह M का एक हैंडल अपघटन है, इसके अलावा, प्रत्येक बहुरूपता में ऐसे मोर्स फलन होते हैं, इसलिए उनके पास हैंडल अपघटन होता है। इसी तरह, $$ \partial W = M_0 \cup M_1$$ के साथ कोबॉर्डिज्म $$W$$ और फलन $$ f: W \to \R$$ दिया गया है, जो आंतरिक भाग पर मोर्स है और सीमा पर स्थिर है और बढ़ते सूचकांक गुण को संतुष्ट करता है, कोबॉर्डिज्म W की प्रेरित हैंडल प्रस्तुति है।

जब f, M पर मोर्स फलन है, तो -f भी एक मोर्स फलन है। संगत हैंडल अपघटन/प्रस्तुति को द्वि अपघटन कहा जाता है।

कुछ प्रमुख प्रमेय एवं अवलोकन

 * संवृत, अभिविन्यसनीय 3-बहुरूपता का हीगार्ड विभाजन, उनकी सामान्य सीमा के साथ दो (3,1)-हैंडलबॉडी के समुच्च में 3-बहुरूपता का अपघटन है, जिसे हीगार्ड विभाजन सतह कहा जाता है। हीगार्ड विभाजन कई प्राकृतिक तरीकों से 3-बहुरूपता तक उत्पन्न होता है- 3-बहुरूपता के हैंडल अपघटन को देखते हुए, 0 और 1-हैंडल का समुच्च (3,1)-हैंडलबॉडी है, और 3 और 2-हैंडल का समुच्च भी (3,1)-हैंडलबॉडी (द्वि अपघटन के दृष्टिकोण से) है, इस प्रकार हीगार्ड विभाजन होता है। यदि 3-बहुरूपता में त्रिकोणीय T है, तो प्रेरित हीगार्ड विभाजन होता है जहां प्रथम (3,1)-हैंडलबॉडी 1-रूपरेखा $$T^1$$ का नियमित क्षेत्र होता है, और दूसरा (3,1)-हैंडलबॉडी द्वि 1-रूपरेखा का नियमित क्षेत्र है।
 * अनुक्रमिक में दो हैंडल संलग्न करते समय $$(M \cup_f H^i) \cup_g H^j$$, अनुलग्नक के क्रम को स्विच करना संभव है, बशर्ते कि $$j \leq i$$, अर्थात- उपयुक्त संलग्न मानचित्रों के लिए यह बहुरूपता रूप $$(M \cup H^j) \cup H^i$$ के बहुरूपता से भिन्न है।
 * $$M \cup_f H^j$$ की सीमा फ़्रेमयुक्त वृत्त $$f$$ के अनुदिश $$\partial M$$ से भिन्न है। यह सर्जरी, हैंडल और मोर्स फलन के बीच प्राथमिक लिंक है।
 * परिणामस्वरूप, m-बहुरूपता M, एक m+1-बहुरूपता W की सीमा है यदि और केवल यदि M को $$S^m$$ में फ़्रेम किए गए लिंक के संग्रह पर सर्जरी द्वारा $$S^m$$ से प्राप्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह ज्ञात है कि कोबॉर्डिज्म पर रेने थॉम के काम के कारण प्रत्येक 3-बहुरूपता 4-बहुरूपता (क्रमशः अभिविन्यस्त और चक्रण 3-बहुरूपता बाध्य अभिविन्यस्त और चक्रण 4-बहुरूपता) को सीमित करता है। इस प्रकार प्रत्येक 3-बहुरूपता को 3-वृत्त में फ़्रेमयुक्त लिंक पर सर्जरी के माध्यम से प्राप्त किया जा सकता है। अभिविन्यस्त स्थिति में, इस फ़्रेम किए गए लिंक को वृत्तों के असंयुक्त समुच्च के फ़्रेमयुक्त अंतःस्थापन में कम करना सांकेतिक है।
 * H-कोबॉर्डिज्म प्रमेय को निष्कोण बहुरूपता के हैंडल अपघटन को सरल बनाकर सिद्ध किया गया है।

यह भी देखें

 * कैसन हैंडल
 * कोबॉर्डिज्म सिद्धांत
 * सीडब्ल्यू संकुल
 * हैण्डलबॉडी
 * किर्बी गणना
 * बहुरूपता अपघटन

सामान्य सन्दर्भ

 * ए. कोसिंस्की, डिफरेंशियल मैनिफोल्ड्स वॉल्यूम 138 प्योर एंड एप्लाइड मैथमेटिक्स, एकेडमिक प्रेस (1992)।
 * रॉबर्ट गोम्फ और एंड्रास स्टिप्सिक्ज़, 4-मैनिफोल्ड्स और किर्बी कैलकुलस, (1999) (गणित में स्नातक अध्ययन में खंड 20), अमेरिकन गणितीय सोसायटी, प्रोविडेंस, आरआई ISBN 0-8218-0994-6