गणन संख्या



गणित में, क्रमसूचक संख्या, या संक्षेप में क्रमसूचक, सेट (गणित) के प्रमुखता को मापने के लिए उपयोग की जाने वाली प्राकृतिक संख्याओं का सामान्यीकरण है। परिमित समूह की प्रमुखता समूह में तत्वों की संख्या में प्राकृतिक संख्या पर निर्भर करती है। 'अनंत संख्या' क्रमसूचक संख्या, जिसे प्रायः हिब्रू प्रतीक का उपयोग करके दर्शाया जाता है इस प्रकार $$\aleph$$ (एलेफ (हिब्रू)) सबस्क्रिप्ट के पश्चात अनंत समूह के आकार का वर्णन करता हैं।

क्रमसूचक संख्या को विशेषण कार्यों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। दो समूहों में समान प्रमुखता होती है, और केवल अगर, दो समूहों के तत्वों के बीच एक-से-एक पत्राचार (आक्षेप) होता है। परिमित समूह के स्थिति में, यह आकार की सहज धारणा से सहमत है। अपरिमित समुच्चयों की स्थिति में व्यवहार अधिक जटिल होता है। जॉर्ज कैंटर के कारण मौलिक प्रमेय से पता चलता है कि अनंत समूहों के लिए अलग-अलग प्रमुखता होना संभव है, और विशेष रूप से वास्तविक संख्याओं के समूह की प्रमुखता प्राकृतिक संख्याओं के समूह की प्रमुखता से अधिक है। अनंत समुच्चय के उचित उपसमुच्चय के लिए मूल समुच्चय के समान प्रमुखता होना भी संभव है - ऐसा कुछ जो परिमित समुच्चय के उचित उपसमुच्चय के साथ नहीं होती हैं।

क्रमसूचक संख्याओं का अनंत क्रम है:
 * $$0, 1, 2, 3, \ldots, n, \ldots ; \aleph_0, \aleph_1, \aleph_2, \ldots, \aleph_{\alpha}, \ldots.\ $$

यह अनुक्रम शून्य (परिमित क्रमसूचक) सहित प्राकृतिक संख्याओं से प्रारंभ होता है, जिसके पश्चात एलेफ़ संख्याएँ (सुव्यवस्थित समूहों के अनंत क्रमसूचक) होती हैं। एलीफ संख्याओं को क्रमिक संख्याओं द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। इसके स्वयंसिद्ध होने की धारणा के अनुसार, इस क्रम में प्रत्येक क्रमसूचक संख्या सम्मलित है। यदि पसंद का स्वयंसिद्ध स्वतंत्रता उस स्वयंसिद्ध है, तो स्थिति अधिक जटिल है, अतिरिक्त अनंत क्रमसूचक के साथ जो एलेफ्स नहीं हैं।

समुच्चय सिद्धान्त के हिस्से के रूप में प्रमुखता का अध्ययन स्वयं के लिए किया जाता है। यह मॉडल सिद्धांत, साहचर्य, अमूर्त बीजगणित और गणितीय विश्लेषण सहित गणित की शाखाओं में उपयोग किया जाने वाला उपकरण भी है। श्रेणी सिद्धांत में, क्रमसूचक संख्या समूह की श्रेणी का प्रारूप(श्रेणी सिद्धांत) बनाते हैं।

इतिहास
प्रमुखता की धारणा जैसा कि अब समझा जाता है, इसे 1874-1884 में समूह सिद्धांत के प्रवर्तक जॉर्ज कैंटर द्वारा तैयार किया गया था। प्रमुखता का उपयोग परिमित समूह के पहलू की तुलना करने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, समूह {1,2,3} और {4,5,6} बराबर नहीं हैं, किन्तु इनमें प्रमुखता बराबर है। यह दो समूहों के बीच आक्षेप (अर्ताथ, एक-से-एक पत्राचार) के अस्तित्व से स्थापित होता है, जैसे कि पत्राचार {1→4, 2→5, 3→6}।

कैंटर ने अपनी आपत्ति की अवधारणा को अनंत समूहों पर लागू किया (उदाहरण के लिए प्राकृतिक संख्याओं का समुच्चय N = {0, 1, 2, 3, ...})। इस प्रकार, उन्होंने N काउंटेबल समूह के साथ आक्षेप वाले सभी समूहों को बुलाया था। इस क्रमसूचक संख्या को अलेफ संख्या या $$\aleph_0$$ कहा जाता है। उन्होंने अनंत समूहों के क्रमसूचक संख्याओं को ट्रांसफिनिट क्रमसूचक संख्या कहा हैं।

कैंटर ने सिद्ध किया कि N के किसी भी बंधे हुए समूह में N के समान ही प्रमुखता है, भले ही यह अंतर्ज्ञान के विपरीत प्रतीत होती हैं। उन्होंने यह भी सिद्ध किया कि प्राकृतिक संख्याओं के सभी क्रमित युग्म का समुच्चय अगणनीय है, इसका तात्पर्य यह है कि सभी परिमेय संख्याओं का समुच्चय भी भाज्य है, क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या को पूर्णांकों की जोड़ी द्वारा दर्शाया जाता है। उन्होंने बाद में सिद्ध किया कि सभी वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं का समुच्चय भी अभाज्य होता है। प्रत्येक वास्तविक B गणितीय संख्या z  को पूर्णांकों के परिमित अनुक्रम के रूप में N को कोड किया जाता है, जो बहुपद समीकरण में गुणांक हैं, जिसका यह समाधान है, अर्थात आदेशित n-टपल (a0, a1, ..., an), ai∈ 'Z' परिमेय की जोड़ी के साथ (B0, B1) ऐसा है कि गुणांक के साथ बहुपद की अनूठी जड़ है (a0, a1, ..., an) जो अंतराल में (B0, B1)है ।

अपने 1874 के पेपर ऑन ए प्रॉपर्टी ऑफ द कलेक्शन ऑफ ऑल रियल बीजगणितीय संख्याओं में, कैंटर ने सिद्ध किया कि उच्च-क्रम के क्रमसूचक संख्या सम्मलित हैं, यह दिखाते हुए कि वास्तविक संख्याओं के समूह में N की तुलना में प्रमुखता अधिक है। उनके प्रमाण ने नेस्टेड के साथ तर्क का उपयोग किया अंतराल, किन्तु 1891 के पेपर में, उन्होंने अपने सरल और बहुत सरल कैंटर के विकर्ण तर्क का उपयोग करके उसी परिणाम को सिद्ध कर दिया। वास्तविक संख्याओं के समूह की नई क्रमसूचक संख्या को इसके सातत्य की प्रमुखता कहा जाता है और कैंटर ने इसके लिए $$\mathfrak{c}$$ प्रतीक का उपयोग किया जाता हैं।

कैंटर ने क्रमसूचक संख्या के सामान्य सिद्धांत का बड़ा हिस्सा भी विकसित किया, उन्होंने सिद्ध किया कि सबसे छोटी ट्रांसफिनिट क्रमसूचक संख्या है ($$\aleph_0$$, aleph-null), और यह कि प्रत्येक क्रमसूचक संख्या के लिए अगला बड़ा क्रमसूचक होता है


 * $$(\aleph_1, \aleph_2, \aleph_3, \ldots).$$

उनकी सातत्य परिकल्पना यह प्रस्ताव है कि प्रमुखता $$\mathfrak{c}$$ वास्तविक संख्याओं के $$\aleph_1$$ समुच्चय के समान है. यह परिकल्पना गणितीय समूह सिद्धांत के मानक स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र है, अर्थात यह न तो उनसे सिद्ध किया जाता है और न ही अप्रमाणित किया जाता हैं। यह 1963 में पॉल कोहेन (गणितज्ञ) द्वारा दिखाया गया था, जो 1940 में कर्ट गोडेल द्वारा पहले के कार्य का पूरक था।

प्रेरणा
अनौपचारिक उपयोग में, क्रमसूचक संख्या वह होता है जिसे सामान्यतः गिनती संख्या के रूप में संदर्भित किया जाता है, बशर्ते कि 0 का मान इसमें सम्मलित हो जैसे 0, 1, 2, .... इसमें 0 से प्रारंभ होने वाली प्राकृतिक संख्याओं के साथ पहचाना जाता है। गिनती संख्याएं हैं वास्तव में क्या औपचारिक रूप से परिमित समूह क्रमसूचक संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है। अनंत क्रमसूचक केवल उच्च स्तर के गणित और तर्कशास्त्र में होते हैं।

अधिक औपचारिक रूप से, गैर-शून्य संख्या का उपयोग दो उद्देश्यों के लिए किया जाता है: समूह के आकार का वर्णन करने के लिए, या किसी क्रम में किसी तत्व की स्थिति का वर्णन करने के लिए। परिमित समुच्चयों और अनुक्रमों के लिए यह देखना सरल है कि ये दो धारणाएँ मेल खाती हैं, क्योंकि अनुक्रम में किसी स्थिति का वर्णन करने वाली प्रत्येक संख्या के लिए हम ऐसे समुच्चय का निर्माण कर सकते हैं जिसका आकार बिल्कुल सही हो। उदाहरण के लिए, 3 अनुक्रम <'a', 'b', 'c', 'd',...> में 'c' की स्थिति का वर्णन करता है, और हम समूह {a,b,c} का निर्माण कर सकते हैं, जिसमें 3 तत्व होते है।

चूंकि, अनंत समूहों के साथ व्यवहार करते समय, दोनों के बीच अंतर करना आवश्यक है, क्योंकि दो धारणाएं वास्तव में अनंत समूहों के लिए अलग-अलग हैं। स्थिति पहलू को ध्यान में रखते हुए क्रमिक संख्याएं होती हैं, जबकि आकार पहलू को यहां वर्णित क्रमसूचक संख्याओं द्वारा सामान्यीकृत किया जाता है।

क्रमसूचक की औपचारिक परिभाषा के पीछे अंतर्ज्ञान समूह के सापेक्ष आकार या बड़ेपन की धारणा का निर्माण है। परिमित समुच्चयों के लिए यह सरल है, जिसमें एक बस समूह में सम्मलित तत्वों की संख्या को गिनता है। बड़े समूहों के आकार की तुलना करने के लिए, अधिक परिष्कृत धारणाओं को अपील करना आवश्यक है।

एक समूह Y कम से कम समूह X जितना बड़ा होता है यदि X के तत्वों से Y के तत्वों के लिए इंजेक्शन फंक्शन मैप (गणित) होता है। इंजेक्शन मैपिंग समूह X के प्रत्येक तत्व को समूह के अद्वितीय तत्व के साथ पहचानती है Y. इसे उदाहरण से सबसे सरलता से समझा जाता है, मान लें कि हमारे पास X = {1,2,3} और Y = {a,b,c,d} समूह हैं, तो आकार की इस धारणा का उपयोग करके, हम देखेंगे कि मैपिंग है:
 * 1 →a
 * 2 → b
 * 3 → c

जो अंतःक्षेपी है, और इसलिए यह निष्कर्ष निकालता है कि Y की प्रमुखता X से अधिक या उसके बराबर है। तत्व d में इसके लिए कोई तत्व मानचित्रण नहीं है, किन्तु इसकी अनुमति है क्योंकि हमें केवल अंतःक्षेपी मानचित्रण की आवश्यकता है, न कि विशेषण मानचित्रण की थी। इस धारणा का लाभ यह है कि इसे अनंत समूहों तक बढ़ाया जाता है।

इसके बाद हम इसे समानता-शैली के संबंध में बढ़ा सकते हैं। दो समूह (गणित) X और Y को समान प्रमुखता कहा जाता है यदि X और Y के बीच आक्षेप सम्मलित है। कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय द्वारा या X से Y, और Y से X तक इंजेक्शन मैपिंग द्वारा मिलता हैं।

फिर हम लिखते हैं


 * X| = |Y|

X= |X| की क्रमसूचक संख्या को प्रायः कम से कम क्रमिक के साथ परिभाषित किया जाता है। इसे वॉन न्यूमैन क्रमसूचक असाइनमेंट कहा जाता है, इस परिभाषा को समझने के लिए यह सिद्ध किया जाना चाहिए कि प्रत्येक समूह में कुछ क्रमवाचक के समान ही प्रमुखता होती है, यह कथन सुव्यवस्थित सिद्धांत है। चूंकि वस्तुओं को स्पष्ट रूप से नाम दिए बिना समूह की सापेक्ष प्रमुखता पर चर्चा करना संभव है।

उपयोग किया जाने वाला क्लासिक उदाहरण अनंत होटल विरोधाभास का है, जिसे ग्रांड होटल का हिल्बर्ट का विरोधाभास भी कहा जाता है। मान लीजिए कि होटल में सराय का मालिक है, जिसके पास अनंत संख्या में कमरे हैं। होटल भरा हुआ है, और फिर नया तत्त्व आता है। कमरे 1 में सम्मलित अतिथि को कमरे 2 में जाने के लिए, कमरे 2 में अतिथि को कमरे 3 में जाने के लिए, और इसी तरह कमरा 1 को खाली छोड़कर अतिरिक्त अतिथि को फिट करना संभव है। हम इस मानचित्रण का खंड स्पष्ट रूप से लिख सकते हैं:
 * 1 → 2
 * 2 → 3
 * 3 → 4
 * n→ n + 1
 * n→ n + 1

इस स्थानीकरण के साथ, हम देखते हैं कि समूह {1,2,3,...} में समूह {2,3,4,...} के समान प्रमुखता है, क्योंकि पहले और दूसरे के बीच आपत्ति को दिखाया गया हैं। यह अनंत समूह की परिभाषा को किसी भी समूह के रूप में प्रेरित करता है जिसमें समान प्रमुखता (अर्ताथ, डेडेकिंड-अनंत समूह) का उचित उपसमुच्चय होता है, इस स्थिति में {2,3,4,...} {1,2,3,...} का उचित उपसमुच्चय है।

इन बड़ी वस्तुओं पर विचार करते समय, कोई भी यह देखना चाह सकता है कि क्या गणना क्रम की धारणा इन अनंत समूहों के लिए ऊपर परिभाषित क्रमसूचक के साथ मेल खाती है। ऐसा होता है कि ऐसा नहीं होता, उपरोक्त उदाहरण पर विचार करके हम देखते हैं कि यदि कोई वस्तु अनंत से बड़ी है, तो उसमें वही प्रमुखता होनी चाहिए जो अनंत समूह के साथ हमने प्रारंभ की थी। संख्या के लिए अलग औपचारिक धारणा का उपयोग करना संभव है, जिसे क्रमिक संख्या कहा जाता है, गिनती के विचारों के आधार पर और प्रत्येक संख्या पर बारी-बारी से विचार किया जाता है, और हमें पता चलता है कि बार जब हम परिमित संख्या से बाहर निकल जाते हैं तो प्रमुखता और ऑर्डिनलिटी की धारणाएँ अलग हो जाती हैं।

यह सिद्ध किया जाता है कि वास्तविक संख्याओं की प्रमुखता अभी वर्णित प्राकृतिक संख्याओं की तुलना में अधिक है। कैंटर के विकर्ण तर्क का उपयोग करके इसकी कल्पना की जा सकती है,

प्रमुखता के मौलिक प्रश्न (उदाहरण के लिए सातत्य परिकल्पना) यह पता लगाने से संबंधित हैं कि क्या अन्य अनंत क्रमसूचकता की कुछ जोड़ी के बीच कुछ क्रमसूचक है। हाल के दिनों में, गणितज्ञ बड़े और बड़े क्रमसूचक के गुणों का वर्णन करते रहे हैं।

चूँकि गणित में प्रमुखता ऐसी सामान्य अवधारणा है, इसलिए विभिन्न प्रकार के नाम उपयोग में हैं। प्रमुखता की समरूपता को कभी-कभी समता, समता, या समतुल्यता के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस प्रकार यह कहा जाता है कि समान प्रमुखता वाले दो समुच्चय क्रमश: समशक्ति, समशक्ति या समविभव होते हैं।

औपचारिक परिभाषा
औपचारिक रूप से, पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, समूह X की प्रमुखता कम से कम क्रमिक संख्या α है जैसे कि X और α के बीच आपत्ति है। इस परिभाषा को वॉन न्यूमैन क्रमसूचक असाइनमेंट के रूप में जाना जाता है। यदि पसंद का स्वयंसिद्ध नहीं माना जाता है, तो अलग दृष्टिकोण की आवश्यकता होती है। समूह X की कार्डिनालिटी की सबसे पुरानी परिभाषा (कैंटर में निहित और फ्रीज और गणितीय सिद्धांत में स्पष्ट) सभी समूहों के वर्ग [X] के रूप में है जो X के समतुल्य हैं। यह जेडएफसी या स्वयंसिद्ध के अन्य संबंधित प्रणालियों में कार्य नहीं करता है समूह थ्योरी क्योंकि यदि X खाली नहीं है, तो यह संग्रह समूह होने के लिए बहुत बड़ा है। वास्तव में, X ≠ ∅ के लिए समुच्चय m को {m} × X पर मैप करके ब्रह्मांड से [X] में अंतःक्षेपण होता है, और इसलिए आकार की सीमा के अभिगृहीत द्वारा, [X] उचित वर्ग है। परिभाषा चूंकि प्रकार सिद्धांत और नई नींव और संबंधित प्रणालियों में कार्य करती है। चूंकि, अगर हम इस वर्ग से X के साथ समतुल्य तक सीमित हैं जिनके पास कम से कम रैंक (समूह सिद्धांत) है, तो यह कार्य करेगा (यह दाना स्कॉट के कारण चाल है: यह कार्य करता है क्योंकि किसी दिए गए रैंक वाले ऑब्जेक्ट्स का संग्रह समूह है)।

वॉन न्यूमैन क्रमसूचक असाइनमेंट का तात्पर्य है कि परिमित समूह की क्रमसूचक संख्या उस समूह के सभी संभावित क्रमों की सामान्य क्रमिक संख्या है, और क्रमसूचक और क्रमिक अंकगणित (इसके अतिरिक्त, गुणा, शक्ति, उचित घटाव) फिर परिमित के लिए समान उत्तर का मान देता हैं। चूंकि, वे अनंत संख्याओं के लिए भिन्न हैं। उदाहरण के लिए, $$2^\omega=\omega<\omega^2$$ क्रमिक अंकगणित में जबकि $$2^{\aleph_0}>\aleph_0=\aleph_0^2$$ क्रमसूचक अंकगणित में, चूंकि वॉन न्यूमैन असाइनमेंट में $$\aleph_0=\omega$$मान इंगित करता है। दूसरी ओर, स्कॉट की चाल का अर्थ है कि क्रमसूचक संख्या 0 है $$\{\emptyset\}$$, जो क्रमांक 1 भी है, और यह भ्रमित करने वाला होती है। संभावित मान (अनंत अंकगणित में पसंद और भ्रम की स्वयंसिद्धता पर निर्भरता से बचने के समय परिमित अंकगणित में संरेखण का लाभ उठाने के लिए किया जाता हैं) वॉन न्यूमैन असाइनमेंट को परिमित समूहों के क्रमसूचक संख्याओं पर लागू करना है (जो अच्छी तरह से आदेशित हो सकते हैं और नहीं हैं) उचित उपसमुच्चयों के लिए समबल) और अन्य समूहों की क्रमसूचक संख्याओं के लिए स्कॉट की चाल का उपयोग करने के लिए किया जाता हैं।

औपचारिक रूप से, क्रमसूचक संख्याओं के बीच क्रम को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: |X| ≤ |Y फ़ंक्शन X से Y तक। कैंटर-बर्नस्टीन-श्रोएडर प्रमेय कहता है कि यदि |X| ≤ |Y| और | Y | ≤ |X| फिर |X| = |Y| के अनुसार इसमें अभिगृहीत उस कथन के समतुल्य है जिसमें दो समुच्चय X और Y, या तो |X| ≤ |Y| या |Y| ≤ |X| में दिए गए हैं

एक समुच्चय X डिडिकाइन्ड-अनंत है यदि |X| के साथ X का उचित उपसमुच्चय Y सम्मलित है = |Y|, और डेडेकाइंड परिमित यदि ऐसा उपसमुच्चय सम्मलित नहीं है। परिमित समुच्चय क्रमसूचक केवल प्राकृतिक संख्याएँ हैं, इस अर्थ में कि समुच्चय X परिमित है यदि और केवल यदि |X| = |N| = n किसी प्राकृत संख्या n के लिए कोई अन्य समुच्चय अनंत समुच्चय होता है।

पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, यह सिद्ध किया जाता है कि डेडेकाइंड की धारणा मानक के अनुरूप है। यह भी सिद्ध किया जाता है कि क्रमसूचक $$\aleph_0$$ (अलेफ नल या एलेफ-0, जहां एलेफ हिब्रू वर्णमाला में पहला अक्षर है, दर्शाया गया है $$\aleph$$) प्राकृतिक संख्याओं के समूह का सबसे छोटा अनंत क्रमसूचक है (अर्ताथ, किसी भी अनंत समूह में प्रमुखता का सबसमूह $$\aleph_0$$ है ), इस प्रकार अगले बड़े क्रमसूचक को $$\aleph_1$$ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है, और इसी प्रकार प्रत्येक क्रमिक संख्या α के लिए, क्रमसूचक संख्या $$\aleph_{\alpha},$$ होती है और यह सूची सभी अनंत क्रमसूचक संख्याओं को समाप्त कर देती है।

क्रमसूचक अंकगणित
हम मूल संख्याओं पर अंकगणितीय संक्रियाओं को परिभाषित कर सकते हैं जो प्राकृतिक संख्याओं के लिए सामान्य संक्रियाओं का सामान्यीकरण करती हैं। यह दिखाया जाता है कि परिमित क्रमसूचक के लिए, ये संक्रियाएँ प्राकृतिक संख्याओं के लिए सामान्य संक्रियाओं के साथ मेल खाती हैं। इसके अतिरिक्त, ये ऑपरेशन साधारण अंकगणित के साथ कई गुण साझा करते हैं।

उत्तराधिकारी क्रमसूचक
यदि पसंद का स्वयंसिद्ध धारण करता है, तो प्रत्येक क्रमसूचक κ का उत्तराधिकारी होता है, जिसे κ+ दर्शाया जाता है, जहां κ+ > κ और κ और उसके उत्तराधिकारी के बीच कोई क्रमसूचक नहीं है। (पसंद के अभिगृहीत के बिना, हरटाग्स संख्या या हरटाग्स प्रमेय का उपयोग करके, यह दिखाया जाता है कि किसी भी क्रमसूचक संख्या κ के लिए, न्यूनतम क्रमसूचक κ+ है ऐसा कि $$\kappa^+\nleq\kappa. $$) परिमित क्रमसूचक के लिए, उत्तराधिकारी केवल κ + 1 है। अनंत क्रमसूचक के लिए, उत्तराधिकारी क्रमसूचक उत्तराधिकारी क्रमसूचक से भिन्न होता है।

क्रमसूचक जोड़
यदि X और Y असम्बद्ध समुच्चय हैं, तो जोड़ X और Y के मिलन (समुच्चय सिद्धांत) द्वारा दिया जाता है। यदि दो समुच्चय पहले से ही असंयुक्त नहीं हैं, तो उन्हें समान क्रमसूचक संख्या के असंयुक्त समुच्चय द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (उदाहरण के लिए, X द्वारा प्रतिस्थापित करें) X×{0} और Y by Y×{1}).
 * $$|X| + |Y| = | X \cup Y|.$$

शून्य योगात्मक की पहचान κ + 0 = 0 + κ = κ है

जोड़ साहचर्य (κ + μ) + ν = κ + (μ + ν) है।

योग विनिमेय κ + μ = μ + κ है।

जोड़ दोनों तर्कों में गैर-घट रहा है:
 * $$(\kappa \le \mu) \rightarrow ((\kappa + \nu \le \mu + \nu) \mbox{ and } (\nu + \kappa \le \nu + \mu)).$$

पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, अनंत क्रमसूचक संख्याओं का जोड़ सरल है। यदि या तो κ या μ अपरिमित है, तब
 * $$\kappa + \mu = \max\{\kappa, \mu\}\,.$$

घटाव
इस पसंद के स्वयंसिद्ध मानते हुए और, अनंत क्रमसूचक σ और क्रमसूचक μ दिए जाने पर, क्रमसूचक κ सम्मलित है जैसे कि μ + κ = σ अगर और केवल अगर μ ≤ σ। यह अद्वितीय (और σ के बराबर) होगा यदि और केवल यदि μ < σ के मान के समान हो।

क्रमसूचक गुणन
क्रमसूचक का उत्पाद कार्टेशियन उत्पाद से आता है।
 * $$|X|\cdot|Y| = |X \times Y|$$

κ·0 = 0·κ = 0.

κ·μ = 0 → (κ = 0 या μ = 0)।

एक गुणक पहचान κ·1 = 1·κ = κ है।

गुणा सहयोगी है (κ·μ)·ν = κ·(μ·ν)।

गुणन कम्यूटेटिव κ·μ = μ·κ है।

गुणा दोनों तर्कों में गैर-घट रहा है:

κ ≤ μ → (κ·ν ≤ μ·ν और ν·κ ≤ ν·μ).

योग पर गुणन वितरण:

κ·(μ + ν) = κ·μ + κ·ν और (M + N) · K = M · K + N · K।

पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए, अनंत क्रमसूचक संख्याओं का गुणन भी सरल है। यदि या तो κ या μ अनंत है और दोनों गैर-शून्य हैं, तो
 * $$\kappa\cdot\mu = \max\{\kappa, \mu\}.$$

विभाग
पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए और, अनंत क्रमसूचक π और गैर-शून्य क्रमसूचक μ दिए जाने पर, क्रमसूचक κ सम्मलित है जैसे कि μ · κ = π इसका मान तभी संतुष्ट होता हैं जब  μ ≤ π को संतुष्ट करता हैं। यह अद्वितीय (और π के बराबर) होगा जब μ < π का मान होगा।

क्रमसूचक घातांक
घातांक किसके द्वारा दिया जाता है
 * $$|X|^{|Y|} = \left|X^Y\right|,$$

जहां XY, Y से X तक सभी प्रकार्य (गणित) का समुच्चय है।
 * K0 = 1 (विशेष रूप से 00 = 1), खाली कार्य देखें।
 * यदि 1 ≤ μ, तो 0μ = 0।
 * 1μ = 1।
 * K1 = μ
 * Km + n = K m·μn
 * K m · n = (m μ) n.
 * (μ) n = K m·m n.

दोनों तर्कों में घातांक गैर-घट रहा है:
 * (1 ≤ ν और κ ≤ μ) → (ν) K ≤ Nm )
 * (κ ≤ μ) → (κ n ≤ m n).

2undefined समूह X के सत्ता स्थापित की प्रमुखता है और कैंटर के विकर्ण तर्क से पता चलता है कि 2undefined > |X| किसी भी समूह X के लिए। यह सिद्ध करता है कि कोई भी सबसे बड़ा क्रमसूचक सम्मलित नहीं है (क्योंकि किसी भी क्रमसूचक κ के लिए, हम हमेशा बड़ा क्रमसूचक 2κ के रूप में पा सकते हैं). वास्तव में, क्रमसूचक का वर्ग (समूह सिद्धांत) उचित वर्ग है। (यह प्रमाण कुछ समूह सिद्धांतों, विशेष रूप से न्यू फ़ाउंडेशन में विफल रहता है।)

इस खंड में शेष सभी प्रस्ताव पसंद के स्वयंसिद्ध मानते हैं:


 * यदि κ और μ दोनों सीमित हैं और 1 से अधिक हैं, और ν अनंत है, तो κ n = m n.
 * यदि κ अनंत है और μ परिमित और शून्य के सामान नहीं होता है, तो κμ = κ.

यदि 2 ≤ κ और 1 ≤ μ और उनमें से कम से कम अपरिमित है, तो:
 * अधिकतम मान के लिए (κ, 2μ) ≤ Kμ ≤ अधिकतम (22 μ).

कोनिग के प्रमेय (समूह सिद्धांत) का उपयोग करना या कोनिग के प्रमेय, कोई भी κ < κcf(κ) सिद्ध कर सकता है, और κ <cf(2κ) किसी अनंत क्रमसूचक κ के लिए, जहां cf(κ) κ की अंतिमता है।

रूट्स
पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए और, अनंत क्रमसूचक κ और परिमित क्रमसूचक μ0 से अधिक दिया गया, $$\kappa$$ क्रमसूचक के लिए ν संतोषजनक $$\nu^\mu = \kappa$$ होगा।

लघुगणक
पसंद के स्वयंसिद्ध को मानते हुए और, अनंत क्रमसूचक κ और परिमित क्रमसूचक μ1 से अधिक दिया गया है, क्रमसूचक λ संतोषजनक होती है या नहीं भी होती है $$\mu^\lambda = \kappa$$. चूंकि, यदि ऐसा क्रमसूचक सम्मलित है, तो यह अनंत है और κ से कम है, और 1 से अधिक कोई परिमित प्रमुखता भी संतुष्ट करेगी।

$$\nu^\lambda = \kappa$$.

एक अनंत क्रमसूचक संख्या κ के लघुगणक को कम से कम क्रमसूचक संख्या μ के रूप में परिभाषित किया गया है जैसे कि κ ≤ 2μ. गणित के कुछ क्षेत्रों में अनंत क्रमसूचक के लॉगरिदम उपयोगी होते हैं, उदाहरण के लिए टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान के क्रमसूचक अपरिवर्तनीय के अध्ययन में, चूंकि उनमें कुछ गुणों की कमी होती है जो सकारात्मक वास्तविक संख्याओं के लॉगरिदम के पास होती हैं।

सातत्य परिकल्पना
सातत्य परिकल्पना (सीएच) में कहा गया है कि सख्ती के बीच कोई क्रमसूचक नहीं हैं $$\aleph_0$$ और $$2^{\aleph_0}.$$ बाद के क्रमसूचक संख्या को भी प्रायः द्वारा निरूपित किया जाता है $$\mathfrak{c}$$, यह सातत्य (वास्तविक संख्याओं का समुच्चय) की प्रमुखता है।

इस स्थिति में $$2^{\aleph_0} = \aleph_1.$$

इसी तरह, सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना (जीसीएच) कहती है कि प्रत्येक अनंत क्रमसूचक के लिए $$\kappa$$ के मान के लिए इसका कोई क्रमसूचक नहीं हैं, इस प्रकार $$\kappa$$ और $$2^\kappa$$ सातत्य परिकल्पना और सामान्यीकृत सातत्य परिकल्पना दोनों समूह सिद्धांत के सामान्य स्वयंसिद्धों से स्वतंत्र सिद्ध हुए हैं, ज़र्मेलो-फ्रेंकेल स्वयंसिद्ध साथ पसंद के स्वयंसिद्ध (ज़र्मेलो-फ्रेंकेल समूह सिद्धांत) के साथ होता हैं।

इस प्रकार ईस्टन के प्रमेय से पता चलता है कि, नियमित क्रमसूचक के लिए $$\kappa$$, केवल ZFC की प्रमुखता पर प्रतिबंध लगाता है जिसका मान $$2^\kappa$$ के समान होता है इस प्रकार $$ \kappa < \operatorname{cf}(2^\kappa) $$ के लिए यह घातीय फलन घटता है।

यह भी देखें

 * अलेफ संख्या
 * बेथ संख्या
 * कैंटर का विरोधाभास
 * कार्डिनल नंबर (भाषा विज्ञान)
 * गिनती
 * समावेश-बहिष्करण सिद्धांत
 * बड़ा कार्डिनल
 * अंग्रेजी में संख्याओं के नाम
 * नाममात्र संख्या
 * क्रमसूचक संख्या
 * नियमित कार्डिनल

संदर्भ
Notes

Bibliography
 * Hahn, Hans, Infinity, Part IX, Chapter 2, Volume 3 of The World of Mathematics. New York: Simon and Schuster, 1956.
 * Halmos, Paul, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).
 * Halmos, Paul, Naive set theory. Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Reprinted by Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN 0-387-90092-6 (Springer-Verlag edition).