स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित)

क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में, स्थानीयकरण किसी दिए गए वलय (गणित) या मॉड्यूल (गणित) में "भाजक" को परिचित कराने का औपचारिक विधि है। अर्थात् यह आधुनिक वलय/मॉड्यूल 'R ' से बाहर नया वलय/मॉड्यूल प्रस्तुत करता है, जिससे इसमें बीजगणितीय अंश $$\frac{m}{s},$$ हो जैसे कि हर s किसी दिए गए उपसमुच्चय से संबंधित हो R का S यदि S एक अभिन्न डोमेन के गैर-शून्य तत्वों का समुच्चय है, तो स्थानीयकरण अंशों का क्षेत्र है: यह स्थिति वलय के परिमेय संख्याओं के क्षेत्र $$\Q$$ के निर्माण को सामान्य करता है पूर्णांकों का $$\Z$$ है ।

विधि मौलिक हो गई है विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में क्योंकि यह शीफ (गणित) सिद्धांत के लिए प्राकृतिक लिंक प्रदान करती है। वास्तव में, स्थानीयकरण शब्द की उत्पत्ति बीजगणितीय ज्यामिति में हुई है: यदि R किसी ज्यामितीय वस्तु (बीजीय विविधता) V पर परिभाषित फलन (गणित) का वलय है और कोई बिंदु p के पास स्थानीय रूप से इस विविधता का अध्ययन करना चाहता है, तो कोई इस पर विचार करता है सभी कार्यों के एस समुच्चय करें जो पी पर शून्य नहीं हैं और S के संबंध में R को स्थानांतरित करते हैं। परिणामी वलय $$S^{-1}R$$ p के पास V के सम्बन्ध के बारे में जानकारी सम्मिलित है और ऐसी जानकारी को बाहर करता है जो स्थानीय नहीं है जैसे किसी फलन का शून्य जो V के बाहर है (c.f. स्थानीय वलय में दिया गया उदाहरण)।

वलय का स्थानीयकरण
गुणात्मक रूप से संवृत समुच्चय $S$ द्वारा एक कम्यूटेटिव वलय $R$ का स्थानीयकरण एक नया वलय $$S^{-1}R$$ है जिसके तत्व $R$ में अंश और $S$ में हर के साथ अंश हैं।

यदि वलय अभिन्न डोमेन है, तो निर्माण अंशों के क्षेत्र का सामान्यीकरण करता है और सूक्ष्मता से अनुसरण करता है, और विशेष रूप से परिमेय संख्याओं का पूर्णांकों के भिन्नों के क्षेत्र के रूप में उन वलयों के लिए जिनमें शून्य विभाजक हैं निर्माण समान है किन्तु अधिक देखभाल की आवश्यकता है।

गुणक समुच्चय
स्थानीयकरण सामान्यतः वलय $R$ के तत्वों के गुणक रूप से संवृत समुच्चय $S$ (जिसे गुणक समुच्चय या गुणक प्रणाली भी कहा जाता है) के संबंध में किया जाता है जो कि $R$ का एक उपसमुच्चय है जो गुणन के तहत संवृत होता है और इसमें $1$ होता है।

आवश्यकता है कि $S$ गुणक समुच्चय होना स्वाभाविक है, क्योंकि इसका तात्पर्य है कि स्थानीयकरण द्वारा प्रस्तुत किए गए सभी भाजक $S$ से संबंधित हैं एक समुच्चय $U$ द्वारा स्थानीयकरण जो गुणात्मक रूप से संवृत नहीं है, को भी परिभाषित किया जा सकता है, संभावित भाजक के सभी उत्पादों के रूप में ले कर $U$ के तत्व चूँकि $U$ के तत्वों के सभी उत्पादों के गुणात्मक रूप से संवृत समुच्चय $S$ का उपयोग करके एक ही स्थानीयकरण प्राप्त किया जाता है। जैसा कि यह अधिकांशतः तर्क और अंकन को सरल बनाता है, यह गुणक समुच्चयों द्वारा केवल स्थानीयकरण पर विचार करने के लिए मानक अभ्यास है।

उदाहरण के लिए, एक एकल तत्व $s$ द्वारा स्थानीयकरण $$\tfrac a s,$$ के रूप के अंशों का परिचय देता है, लेकिन ऐसे अंशों के उत्पाद भी, जैसे कि $$\tfrac {ab} {s^2}.$$ इसलिए, हर, s की घात के गुणक समुच्चय $$\{1, s, s^2, s^3,\ldots\}$$ से संबंधित होंगे। इसलिए सामान्यतः "तत्व द्वारा स्थानीयकरण" की अतिरिक्त"तत्व की शक्तियों द्वारा स्थानीयकरण" की बात की जाती है।

गुणक समुच्चय $S$ द्वारा एक वलय $R$ का स्थानीयकरण सामान्यतः $$S^{-1}R,$$ निरूपित किया जाता है, किन्तु कुछ विशेष स्थितियों में सामान्यतः अन्य संकेतन का उपयोग किया जाता है: यदि $$S= \{1, t, t^2,\ldots \}$$ में एक ही तत्व की शक्तियाँ होती हैं,$$S^{-1}R$$ को अधिकांशतः $$R_t;$$ यदि $$S=R\setminus \mathfrak p$$ एक प्रमुख आदर्श $$\mathfrak p$$ का पूरक है, तो $$S^{-1}R$$ को $$R_\mathfrak p.$$ के रूप में दर्शाया जाता है।

इस लेख के शेष भाग में गुणक समुच्चय द्वारा केवल स्थानीयकरण पर विचार किया जाता है।

इंटीग्रल डोमेन
जब वलय $R$9 एक अभिन्न डोमेन है और $S$ में $0$ नहीं है, तो वलय $$S^{-1}R$$, $R$ के अंशों के क्षेत्र का एक उपवलय है। इस प्रकार एक डोमेन का स्थानीयकरण एक डोमेन है।

अधिक स्पष्ट रूप से, यह $R$ के अंशों के क्षेत्र का सबवलय है, जिसमें भिन्न $$\tfrac a s$$ सम्मिलित हैं, जैसे कि $$s\in S.$$ यह एक सबवलय है क्योंकि योग $$\tfrac as + \tfrac bt = \tfrac {at+bs}{st},$$ और उत्पाद $$\tfrac as \, \tfrac bt = \tfrac {ab}{st}$$, $$S^{-1}R$$ के दो तत्व $$S^{-1}R.$$ यह गुणक समुच्चय की परिभाषित संपत्ति से परिणाम है, जिसका अर्थ यह भी है कि $$1=\tfrac 11\in S^{-1}R.$$ इस स्थितियों में , $R$ $$S^{-1}R.$$ का एक सबवलय है। यह नीचे दिखाया गया है कि यह अब सामान्य रूप से सत्य नहीं है सामान्यतः जब $S$ में शून्य विभाजक होते हैं।

उदाहरण के लिए, दशमलव अंश दस की शक्तियों के गुणात्मक समुच्चय द्वारा पूर्णांकों की वलय का स्थानीयकरण है। इस स्थिति में $$S^{-1}R$$ में परिमेय संख्याएँ होती हैं जिन्हें $$\tfrac n{10^k},$$ के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ $n$ एक पूर्णांक है, और $k$ एक पूर्णांक है गैर ऋणात्मक पूर्णांक है ।

सामान्य निर्माण
सामान्य स्थिति में, शून्य भाजक के साथ समस्या उत्पन्न होती है। चलो $S$ एक कम्यूटेटिव वलय $R$ में एक गुणक समुच्चय है। मान लीजिए कि $$s\in S,$$और $$0\ne a\in R$$ $$as=0.$$के साथ एक शून्य विभाजक है। $$\tfrac a1$$, $$S^{-1}R$$ में $$a\in R,$$ की छवि है और एक में $$\tfrac a1 = \tfrac {as}s = \tfrac 0s = \tfrac 01.$$ इस प्रकार $R$ के कुछ गैर-शून्य तत्व $$S^{-1}R.$$ में शून्य होने चाहिए इसके बाद के निर्माण को इसे ध्यान में रखकर बनाया गया है।

उपरोक्त के रूप में $R$ और $S$ को देखते हुए, $$R\times S$$ पर समतुल्य संबंध पर विचार किया जाता है, जो कि$$(r_1, s_1) \sim (r_2, s_2)$$ द्वारा परिभाषित है यदि कोई $$t\in S$$ ऐसा उपस्थित $$t(s_1r_2-s_2r_1)=0.$$p है कि

स्थानीयकरण $$S^{-1}R$$ को इस संबंध के समतुल्य वर्गों के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है। $(r, s)$ की वर्ग को $$\frac rs,$$ $$r/s,$$ या $$s^{-1}r.$$ के रूप में दर्शाया जाता है। इसलिए, एक के पास $$\tfrac{r_1}{s_1}=\tfrac{r_2}{s_2}$$ यदि और केवल यदि वहाँ $$t\in S$$ ऐसा है कि $$t(s_1r_2-s_2r_1)=0.$$ $$t$$ ऊपर दिए गए स्थितियों को संभालना है $$\tfrac a1 = \tfrac 01,$$ जहां $$s_1r_2-s_2r_1$$ शून्येतर है तथापि अंशों को समान माना जाना चाहिए।

स्थानीयकरण $$S^{-1}R$$ जोड़ के साथ क्रमविनिमेय वलय है
 * $$\frac {r_1}{s_1}+\frac {r_2}{s_2} = \frac{r_1s_2+r_2s_1}{s_1s_2},$$

गुणा
 * $$\frac {r_1}{s_1}\,\frac {r_2}{s_2} = \frac{r_1r_2}{s_1s_2},$$

जोड़ने योग्य पहचान $$\tfrac 01,$$ और गुणक पहचान $$\tfrac 11.$$

फलन (गणित)
 * $$r\mapsto \frac r1$$

$$R$$ से $$S^{-1}R,$$ में एक वलय समरूपता को परिभाषित करता है जो इंजेक्शन है यदि और केवल यदि $S$ में कोई शून्य विभाजक नहीं है।

यदि $$0\in S,$$ तो $$S^{-1}R$$ शून्य वलय है जिसमें $0$ अद्वितीय तत्व है।

यदि $S$, $R$ के सभी नियमित तत्वों का समुच्चय है (अर्थात वे तत्व जो शून्य भाजक नहीं हैं), तो $$S^{-1}R$$ को $R$ के अंशों का कुल वलय कहा जाता है।

सार्वभौमिक गुण
(ऊपर परिभाषित) वलय समरूपता $$j\colon R\to S^{-1}R$$ नीचे वर्णित एक सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करती है। यह $$S^{-1}R$$ को एक तुल्याकारिता तक अभिलक्षित करता है। इसलिए स्थानीयकरण के सभी गुणों को सार्वभौमिक संपत्ति से स्वतंत्र रूप से उनके निर्माण के विधि से घटाया जा सकता है। इसके अतिरिक्त स्थानीयकरण के कई महत्वपूर्ण गुण सार्वभौमिक गुणों के सामान्य गुणों से आसानी से निकाले जाते हैं, जबकि उनका प्रत्यक्ष प्रमाण एक साथ तकनीकी,सरल और बोवलय हो सकता है।

सार्वभौमिक संपत्ति से संतुष्ट $$j\colon R\to S^{-1}R$$ निम्नलखित में से कोई:
 * यदि $$f\colon R\to T$$ एक वलय समरूपता है जो $S$ के प्रत्येक तत्व को $T$ में इकाई (वलय सिद्धांत)) से मैप करता है, तो एक अद्वितीय वलय समरूपता उपस्थित है $$g\colon S^{-1}R\to T$$ ऐसा है कि $$f=g\circ j.$$.

श्रेणी सिद्धांत का उपयोग करते हुए, यह कहकर व्यक्त किया जा सकता है कि स्थानीयकरण एक मज़ेदार है जो एक भुलक्कड़ ऑपरेटर के साथ छोड़ दिया गया है। अधिक सटीक रूप से, मान लें कि $$\mathcal C$$ और $$\mathcal D$$ वे श्रेणियां हैं जिनकी वस्तुएं क्रमविनिमेय वलय के जोड़े हैं और क्रमशः गुणनात्मक मोनोइड या वलय की इकाइयों के समूह के एक सबमोनॉइड हैं। इन श्रेणियों के रूपवाद वलय समरूपता हैं जो पहली वस्तु के सबमोनॉइड को दूसरे के सबमोनॉइड में मैप करते हैं। अंत में,$$\mathcal F\colon \mathcal D \to \mathcal C$$ को भुलक्कड़ फ़नकार होने दें जो यह भूल जाता है कि जोड़ी के दूसरे तत्व के तत्व विपरीत हैं.

फिर गुणनखंड $$f=g\circ j$$ सार्वभौमिक संपत्ति की आपत्ति को परिभाषित करता है
 * $$\hom_\mathcal C((R,S), \mathcal F(T,U))\to \hom_\mathcal D ((S^{-1}R, j(S)), (T,U)).$$

यह सार्वभौमिक संपत्ति को व्यक्त करने का जटिल विधि प्रतीत हो सकता है, किन्तु यह इस तथ्य का उपयोग करके आसानी से कई गुणों को दिखाने के लिए उपयोगी है कि दो बाएं आसन्न कारको की संरचना बाएं आसन्न कारक है।

उदाहरण

 * यदि $$R=\Z$$ पूर्णांकों का वलय है, और $$S=\Z\setminus \{0\},$$ तो $$S^{-1}R$$ क्षेत्र है $$\Q$$ परिमेय संख्याओं का गणित है
 * यदि $R$ अभिन्न डोमेन है, और $$S=R\setminus \{0\},$$ तब $$S^{-1}R$$, $R$ के अंशों का क्षेत्र है पूर्ववर्ती उदाहरण इसका विशेष स्थिति है।
 * यदि $R$ क्रमविनिमेय वलय है, और यदि $S$ इसके तत्वों का सब समुच्चय है जो शून्य विभाजक नहीं हैं तो $$S^{-1}R$$, $R$ के अंशों का कुल वलय है इस स्थितियों में, $S$ सबसे बड़ा बहुगुणक समुच्चय है जैसे समरूपता $$R\to S^{-1}R$$ एकात्मक है। पूर्ववर्ती उदाहरण इसका विशेष स्थिति है।
 * यदि $x$ क्रमविनिमेय वलय $R$ का तत्व है और $$S=\{1, x, x^2, \ldots\},$$ तब $$S^{-1}R$$ पहचाना जा सकता है ( विहित समरूपता है) $$R[x^{-1}]=R[s]/(xs-1).$$ (प्रमाण में यह दिखाना सम्मिलित है कि यह वलय उपरोक्त सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करती है।) इस प्रकार का स्थानीयकरण संबंध योजना की परिभाषा में मौलिक भूमिका निभाता है।
 * यदि $$\mathfrak p$$ क्रमविनिमेय वलय $R$ का एक प्रमुख आदर्श है, तो $R$ में $$\mathfrak p$$ का समुच्चय पूरक $$S=R\setminus \mathfrak p$$ एक गुणक समुच्चय है (अभाज्य की परिभाषा के अनुसार) आदर्श)। वलय $$S^{-1}R$$ एक स्थानीय वलय है जिसे सामान्यतः $$R_\mathfrak p,$$ के रूप में दर्शाया जाता है और $$\mathfrak p.$$ पर $R$ का स्थानीय वलय कहा जाता है। इस प्रकार का स्थानीयकरण क्रमविनिमेय बीजगणित में मूलभूत है, क्योंकि एक क्रमविनिमेय वलय के कई गुणों को इसके स्थानीय वलय पर पढ़ा जा सकता है। ऐसी संपत्ति को अधिकांशतः स्थानीय संपत्ति कहा जाता है। उदाहरण के लिए, एक वलय नियमित है यदि और केवल यदि उसके सभी स्थानीय वलय नियमित हैं।

वलय गुण
स्थानीयकरण समृद्ध निर्माण है जिसमें कई उपयोगी गुण हैं। इस खंड में केवल वलयों और एकल स्थानीयकरण से संबंधित गुणों पर विचार किया जाता है। अन्य वर्गों में आदर्श (वलय सिद्धांत), मॉड्यूल (गणित) या कई गुणात्मक समुच्चय से संबंधित गुणों पर विचार किया जाता है।


 * $$S^{-1}R = 0$$ यदि और केवल यदि $S$ में $0$ है।
 * वलय समरूपता $$R\to S^{-1}R$$ इंजेक्शन है यदि और केवल यदि $S$ में कोई शून्य भाजक नहीं है।
 * वलय समरूपता $$R\to S^{-1}R$$ वलय की श्रेणी में अधिरूपता है जो सामान्य रूप से विशेषण नहीं है।
 * वलय $$S^{-1}R$$ एक सपाट $R$-मॉड्यूल है (विवरण के लिए मॉड्यूल का स्थानीयकरण देखें)।
 * यदि $$S=R\setminus \mathfrak p$$ प्रधान आदर्श $$\mathfrak p$$ का पूरक है, तो $$S^{-1} R,$$ $$R_\mathfrak p,$$एक स्थानीय वलय है; अर्थात्, इसका केवल एक अधिकतम आदर्श है।

संपत्तियों को दूसरे खंड में स्थानांतरित किया जाना है
 * स्थानीयकरण परिमित रकम, उत्पादों, प्रतिच्छेदन और रेडिकल्स के निर्माण के साथ प्रारंभिक होता है; उदा., यदि $$\sqrt{I}$$ R में आदर्श के मूलांक को निरूपित करें, तब
 * $$\sqrt{I} \cdot S^{-1}R = \sqrt{I \cdot S^{-1}R}\,.$$
 * विशेष रूप से, R कम वलय है यदि और केवल यदि इसके अंशों की कुल वलय कम हो जाती है।


 * मान लें कि R अंश K के क्षेत्र के साथ अभिन्न डोमेन है। फिर इसका स्थानीयकरण $$R_\mathfrak{p}$$ प्रमुख आदर्श पर $$\mathfrak{p}$$ K. K उप-वलय के रूप में देखा जा सकता है। इसके अतिरिक्त
 * $$R = \bigcap_\mathfrak{p} R_\mathfrak{p} = \bigcap_\mathfrak{m} R_\mathfrak{m}$$
 * जहां पहला प्रतिच्छेदन सभी प्रमुख आदर्शों पर है और दूसरा अधिकतम आदर्शों पर है।


 * S−1R की प्रधान आदर्शों के समुच्चय और R की प्रधान आदर्शों के समुच्चय के बीच एक आक्षेप है जो S को प्रतिच्छेद नहीं करता है। यह आक्षेप दिए गए समाकारिता R → S −1R. से प्रेरित है।

गुणक समुच्चय की संतृप्ति
होने देना $$S \subseteq R$$ गुणक समुच्चय हो। $$S$$ का संतृप्ति $$\hat{S}$$ समुच्चय है
 * $$\hat{S} = \{ r \in R \colon \exists s \in R, rs \in S \}.$$

गुणक समुच्चय $S$ संतृप्त है यदि यह अपनी संतृप्ति के बराबर है, अर्थात यदि $$\hat{S}=S$$, या समकक्ष, यदि $$rs \in S$$ इसका आशय है $r$ और $s$ में हैं

यदि $S$ संतृप्त नहीं है, और $$rs \in S,$$ तो $$\frac s{rs}$$ में $r$ की छवि का गुणात्मक व्युत्क्रम है। इसलिए, $$\hat S$$ के तत्वों की छवियां $$\hat S$$ में प्रतिलोम हैं और सार्वभौमिक संपत्ति का अर्थ है कि $$S^{-1}R$$ और $$S^{-1}R$$ कैनोनिक रूप से आइसोमोर्फिक हैं, अर्थात उनके बीच एक अद्वितीय आइसोमोर्फिज्म है जो $R$ के तत्वों की छवियों को ठीक करता है।

यदि $S$ और $T$ दो गुणक समुच्चय हैं, तो $$S^{-1}R$$ और $$T^{-1}R$$ आइसोमॉर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान संतृप्ति है, या, समकक्ष, यदि $s$ एक से संबंधित है गुणक समुच्चय का, तब $$t\in R$$ उपस्थित होता है जैसे कि $st$ दूसरे का होता है।

संतृप्त गुणात्मक समुच्चय व्यापक रूप से स्पष्ट रूप से उपयोग नहीं किए जाते हैं, क्योंकि यह सत्यापित करने के लिए कि समुच्चय संतृप्त है किसी को वलय की सभी इकाई (वलय सिद्धांत) को जानना चाहिए।

संदर्भ द्वारा समझाया शब्दावली
स्थानीयकरण शब्द की उत्पत्ति आधुनिक गणित की सामान्य प्रवृत्ति से हुई है जो स्थानीय रूप से ज्यामिति और टोपोलॉजी वस्तुओं का अध्ययन करने के लिए है जो कि प्रत्येक बिंदु के पास उनके सम्बन्ध के संदर्भ में है। इस प्रवृत्ति के उदाहरण कई गुना, रोगाणु (गणित) और शीफ (गणित) की मौलिक अवधारणाएं हैं। बीजगणितीय ज्यामिति में सजातीय बीजगणितीय समुच्चय को बहुपद वलय के भागफल की वलय के साथ इस तरह से पहचाना जा सकता है कि बीजगणितीय समुच्चय के बिंदु वलय के अधिकतम आदर्शों के अनुरूप होते हैं (यह हिल्बर्ट का नलस्टेलेंसैट है)। इस पत्राचार को जरिस्की टोपोलॉजी से लैस टोपोलॉजिकल स्पेस कम्यूटेटिव वलय के प्रमुख आदर्शों के समुच्चय को बनाने के लिए सामान्यीकृत किया गया है; इस टोपोलॉजिकल स्पेस को वलय का स्पेक्ट्रम कहा जाता है।

इस संदर्भ में, गुणक समुच्चय द्वारा स्थानीयकरण को प्रमुख आदर्शों (बिंदुओं के रूप में देखा गया) के उप-क्षेत्र के लिए वलय के स्पेक्ट्रम के प्रतिबंध के रूप में देखा जा सकता है जो गुणक समुच्चय को नहीं काटते हैं।

स्थानीयकरण के दो वर्गों को अधिक सामान्यतः माना जाता है:
 * गुणक समुच्चय वलय $R$ के प्रधान आदर्श $$\mathfrak p$$ का पूरक है। इस स्थिति में, कोई "$$\mathfrak p$$ पर स्थानीयकरण", या "एक बिंदु पर स्थानीयकरण" की बात करता है। परिणामी वलय, जिसे $$R_\mathfrak p$$ के रूप में दर्शाया गया है, एक स्थानीय वलय है, और कीटाणुओं के वलय का बीजगणितीय अनुरूप है।
 * गुणात्मक समुच्चय में वलय $R$ के तत्व $t$ की सभी शक्तियाँ होती हैं। परिणामी वलय को सामान्यतः $$R_t,$$ के रूप में दर्शाया जाता है और इसका स्पेक्ट्रम प्रमुख आदर्शों का ज़ारिस्की विवर्त समुच्चय है जिसमें $t$ नहीं होता है। इस प्रकार स्थानीयकरण एक स्थलीय स्थान के एक बिंदु के निकट के प्रतिबंध का एनालॉग है (प्रत्येक प्रमुख आदर्श में एक निकट का आधार होता है जिसमें इस फॉर्म के ज़रिस्की विवर्त समुच्चय होते हैं)।

संख्या सिद्धांत और बीजगणितीय टोपोलॉजी में, जब पूर्णांकों के वलय $$\Z$$ पर काम करते हैं, तो एक पूर्णांक n के सापेक्ष संपत्ति को $n$ पर या $n$ से दूर एक संपत्ति के रूप में संदर्भित करता है, जो स्थानीयकरण पर निर्भर करता है। "$n$ से दूर" का अर्थ है कि संपत्ति को $n$ की शक्तियों द्वारा स्थानीयकरण के बाद माना जाता है, और यदि $p$ एक अभाज्य संख्या है, तो "पर $p$" का अर्थ है कि संपत्ति को प्रमुख आदर्श $$p\Z$$ पर स्थानीयकरण के बाद माना जाता है। इस शब्दावली को इस तथ्य से समझाया जा सकता है कि, यदि p अभाज्य है, तो $$\Z$$ के स्थानीयकरण के अशून्य अभाज्य आदर्श या तो सिंगलटन समुच्चय $\{p\}$ हैं या अभाज्य संख्याओं के समुच्चय में इसके पूरक हैं।

स्थानीयकरण और आदर्शों की संतृप्ति
चलो $S$ एक कम्यूटेटिव वलय $R$ में एक गुणक समुच्चय हो, और $$j\colon R\to S^{-1}R$$ कैनोनिकल वलय समरूपता हो। $R$ में एक आदर्श $I$ दिया गया है, मान लीजिए $$S^{-1}I$$, $$S^{-1}R$$ में भिन्नों का समुच्चय है जिसका अंश $I$ में है। यह $$S^{-1}R,$$ जो $j(I)$ द्वारा उत्पन्न होता है, और $S$ द्वारा $I$ का स्थानीयकरण कहा जाता है।

$S$ द्वारा $I$ की संतृप्ति है $$j^{-1}(S^{-1}I);$$ यह $R$ का एक आदर्श है, जिसे $$r\in R$$ के तत्वों के समुच्चय के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जैसे कि वहाँ $$s\in S$$ ,$$sr\in I.$$ के साथ उपस्थित है।

आदर्शों के कई गुणों को या तो संतृप्ति और स्थानीयकरण द्वारा संरक्षित किया जाता है, या स्थानीयकरण और संतृप्ति के सरल गुणों की विशेषता हो सकती है। निम्नलिखित में, $S$ एक वलय $R$ में गुणनात्मक समुच्चय है, और $I$ और $J$, $R$ की आदर्श हैं; गुणक समुच्चय $S$ द्वारा एक आदर्श $I$ की संतृप्ति को $$\operatorname{sat}_S (I),$$ या, जब गुणक समुच्चय $S$ संदर्भ से स्पष्ट है, $$\operatorname{sat}(I).$$ को निरूपित किया जाता है।

* $$1 \in S^{-1}I \quad\iff\quad 1\in \operatorname{sat}(I) \quad\iff\quad S\cap I \neq \emptyset$$
 * $$I \subseteq J \quad\ \implies \quad\ S^{-1}I \subseteq S^{-1}J \quad\ \text{and} \quad\ \operatorname{sat}(I)\subseteq \operatorname{sat}(J)$$ (यह सख्त उपसमुच्चय के लिए सदैव सत्य नहीं होता है)
 * $$S^{-1}(I \cap J) = S^{-1}I \cap S^{-1}J,\qquad\, \operatorname{sat}(I \cap J) = \operatorname{sat}(I) \cap \operatorname{sat}(J)$$
 * $$S^{-1}(I + J) = S^{-1}I + S^{-1}J,\qquad \operatorname{sat}(I + J) = \operatorname{sat}(I) + \operatorname{sat}(J)$$
 * $$S^{-1}(I \cdot J) = S^{-1}I \cdot S^{-1}J,\qquad\quad \operatorname{sat}(I \cdot J) = \operatorname{sat}(I) \cdot \operatorname{sat}(J)$$
 * यदि $$\mathfrak p$$ एक प्रमुख आदर्श है जैसे कि $$\mathfrak p \cap S = \emptyset,$$ तो $$S^{-1}\mathfrak p$$ एक अभाज्य आदर्श है और $$\mathfrak p = \operatorname{sat}(\mathfrak p)$$यदि प्रतिच्छेदन खाली नहीं है, तो $$S^{-1}\mathfrak p = S^{-1}R$$ और $$\operatorname{sat}(\mathfrak p)=R.$$है

मॉड्यूल का स्थानीयकरण
$R$ को एक कम्यूटेटिव वलय होने दें,$S$, $R$ में एक गुणक समुच्चय हो, और $M$ एक $R$-मॉड्यूल हो $S$ द्वारा मॉड्यूल $M$ का स्थानीयकरण, $S^{−1}M$ को निरूपित किया गया, एक $S^{−1}R$-मॉड्यूल है जो $R$ के स्थानीयकरण के समान ही बनाया गया है, सिवाय इसके कि अंशों के अंश $M$ से संबंधित हैं। अर्थात, एक समुच्चय के रूप में, यह समतुल्य वर्ग होते हैं, $$\frac ms$$, जोड़े $(m, s)$ के, जहां $$m\in M$$ और $$s\in S,$$ और दो जोड़े $(m, s)$ और $(n, t)$ समकक्ष हैं यदि $S$ में कोई तत्व $u$ है जैसे कि
 * $$u(sn-tm)=0.$$

योग और अदिश गुणन को सामान्य भिन्नों के रूप में परिभाषित किया गया है (निम्नलिखित सूत्र में, $$r\in R,$$ $$s,t\in S,$$ और $$m,n\in M$$):
 * $$\frac{m}{s} + \frac{n}{t} = \frac{tm+sn}{st},$$
 * $$\frac rs \frac{m}{t} = \frac{r m}{st}.$$

इसके अतिरिक्त, $S^{−1}M$ भी है $R$-अदिश गुणन के साथ मॉड्यूल
 * $$ r\, \frac{m}{s} = \frac r1 \frac ms = \frac{rm}s.$$

यह जांचना सीधा है कि ये ऑपरेशन अच्छी तरह से परिभाषित हैं अर्थात वे भिन्नों के प्रतिनिधियों के विभिन्न विकल्पों के लिए समान परिणाम देते हैं।

मॉड्यूल के स्थानीयकरण को मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का उपयोग करके समान रूप से परिभाषित किया जा सकता है:
 * $$S^{-1}M=S^{-1}R \otimes_R M.$$

तुल्यता का प्रमाण (कैनोनिकल आइसोमोर्फिज़्म तक) यह दिखा कर किया जा सकता है कि दो परिभाषाएँ ही सार्वभौमिक संपत्ति को संतुष्ट करती हैं।

मॉड्यूल गुण
यदि $M$ एक $R$-मॉड्यूल $N$ का सबमॉड्यूल है, और $S$, $R$ में एक गुणक समुच्चय है, तो एक का $$S^{-1}M\subseteq S^{-1}N.$$इसका तात्पर्य है कि, यदि$$f\colon M\to N$$ एक इंजेक्शन मॉड्यूल समरूपता है, फिर
 * $$S^{-1}R\otimes_R f : \quad S^{-1}R\otimes_R M\to S^{-1}R\otimes_R N$$

इंजेक्शन समरूपता भी है।

चूंकि टेंसर उत्पाद एक सही स्पष्ट कारक है, इसका तात्पर्य है कि $S$ द्वारा स्थानीयकरण $R$-मॉड्यूल के सटीक अनुक्रमों को $$S^{-1}R$$-मॉड्यूल के स्पष्ट अनुक्रमों के लिए मैप करता है। दूसरे शब्दों में, स्थानीयकरण एक स्पष्ट कारक है, और $$S^{-1}R$$ एक समतल $R$-मॉड्यूल है।

यह समतलता और तथ्य यह है कि स्थानीयकरण सार्वभौमिक संपत्ति को हल करता है जिससे स्थानीयकरण मॉड्यूल और वलयों के कई गुणों को संरक्षित करता है, और अन्य सार्वभौमिक गुणों के समाधान के साथ संगत है। उदाहरण के लिए, प्राकृतिक परिवर्तन
 * $$S^{-1}(M \otimes_R N) \to S^{-1}M \otimes_{S^{-1}R} S^{-1}N$$

समरूपता है। यदि $$M$$ बारीक रूप से प्रस्तुत किया गया मॉड्यूल, प्राकृतिक मानचित्र है
 * $$S^{-1} \operatorname{Hom}_R (M, N) \to \operatorname{Hom}_{S^{-1}R} (S^{-1}M, S^{-1}N)$$

समरूपता भी है।

यदि मॉड्यूल M, R के ऊपर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है, तो एक के पास होता है
 * $$S^{-1}(\operatorname{Ann}_R(M)) = \operatorname{Ann}_{S^{-1}R}(S^{-1}M),$$

जहाँ $$\operatorname{Ann}$$ समुच्छेदक (वलय सिद्धांत) को दर्शाता है, जो कि वलय के तत्वों का आदर्श है जो मॉड्यूल के सभी तत्वों को शून्य करने के लिए मैप करता है। विशेष रूप से,
 * $$S^{-1} M = 0\quad \iff \quad S\cap \operatorname{Ann}_R(M) \ne \emptyset,$$ वह है, यदि $$t M = 0$$ कुछ के लिए $$t \in S.$$

प्राइम्स पर स्थानीयकरण
एक प्रमुख आदर्श की परिभाषा का तात्पर्य तुरंत है कि पूरक $$S=R\setminus \mathfrak p$$ क्रमविनिमेय वलय $R$ में एक प्रमुख आदर्श $$\mathfrak p$$ का एक गुणक समुच्चय है। इस स्थितियों में, स्थानीयकरण $$S^{-1}R$$ को सामान्यतः $$R_\mathfrak p.$$ के रूप में दर्शाया जाता है। वलय $$R_\mathfrak p$$ एक लोकल वलय है, यानी $$\mathfrak p.$$ पर $R$ का लोकल वलय कहलाता है। इसका मतलब है कि $$\mathfrak p\,R_\mathfrak p=\mathfrak p\otimes_R R_\mathfrak p$$वलय $$R_\mathfrak p.$$ की अद्वितीय उच्चिष्ठ आदर्श है।

इस तरह के स्थानीयकरण कई कारणों से क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति के लिए मौलिक हैं। यह है कि सामान्य क्रमविनिमेय वलय की तुलना में स्थानीय वलय का अध्ययन करना अधिकांशतः आसान होता है विशेष रूप से एम्मा नाकायमा के कारण चूंकि मुख्य कारण यह है कि कई गुण वलय के लिए सही हैं यदि और केवल यदि वे इसके सभी स्थानीय वलयों के लिए सही हैं। उदाहरण के लिए वलय नियमित वलय है यदि और केवल यदि इसके सभी स्थानीय वलय नियमित स्थानीय वलय हैं।

वलय के गुण जिन्हें इसके स्थानीय वलय पर चित्रित किया जा सकता है, स्थानीय गुण कहलाते हैं और अधिकांशतः बीजगणितीय विविधताओ की ज्यामितीय स्थानीय संपत्ति के बीजगणितीय समकक्ष होते हैं, जो ऐसे गुण होते हैं जिनका अध्ययन विविधता के प्रत्येक बिंदु के छोटे से निकट में प्रतिबंध द्वारा किया जा सकता है। (स्थानीय संपत्ति की और अवधारणा है जो ज़रिस्की विवर्त समुच्चयों के स्थानीयकरण को संदर्भित करती है; देखें, नीचे।)

कई स्थानीय गुण इस तथ्य का परिणाम हैं कि मॉड्यूल
 * $$\bigoplus_\mathfrak p R_\mathfrak p$$

एक विश्वसनीय समतल मॉड्यूल है जब सभी प्रमुख आदर्शों (या $R$ के सभी अधिकतम आदर्शों पर) का प्रत्यक्ष योग लिया जाता है। ईमानदारी से सपाट डिसेंट भी देखें।

स्थानीय गुणों के उदाहरण
संपत्ति $P$ की $R$-मापांक $M$ स्थानीय संपत्ति है यदि निम्न स्थितियाँ समतुल्य हैं:
 * $P$, $M$ के लिए रखता है.
 * $P$ सभी के लिए है $$M_\mathfrak{p},$$ जहां $$\mathfrak{p}$$, $R$ की प्रधान आदर्श है।
 * $P$ सभी के लिए है $$M_\mathfrak{m},$$ जहाँ $$\mathfrak{m}$$ ,$R$ का अधिकतम आदर्श है

निम्नलिखित स्थानीय गुण हैं:
 * $M$ शून्य है।
 * $M$ मरोड़-मुक्त है (स्थितियों में जहां $R$ क्रमविनिमेय डोमेन है)।
 * $M$ समतल मॉड्यूल है।
 * $M$ उलटा मॉड्यूल है (स्थितियों में जहां $R$ क्रमविनिमेय डोमेन है, और $M$, $R$ अंशों के क्षेत्र का सबमॉड्यूल है ).
 * $$f\colon M \to N$$ इंजेक्शन (प्रतिक्रिया विशेषण) है, जहां $N$ एक और $R$-मॉड्यूल है।

दूसरी ओर कुछ संपत्तियां स्थानीय संपत्तियां नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, क्षेत्र (गणित) का अनंत प्रत्यक्ष उत्पाद अभिन्न डोमेन नहीं है और न ही नोथेरियन वलय है, जबकि इसके सभी स्थानीय वलय क्षेत्र हैं और इसलिए नोथेरियन इंटीग्रल डोमेन हैं।

गैर-कम्यूटेटिव केस
गैर-कम्यूटेटिव वलय का स्थानीयकरण करना अधिक कठिन है। जबकि संभावित इकाइयों के प्रत्येक समुच्चय S के लिए स्थानीयकरण उपस्थित है, यह ऊपर वर्णित के लिए अलग रूप ले सकता है। नियम जो यह सुनिश्चित करती है कि स्थानीयकरण अच्छी तरह से सम्बन्ध किया जाता है वह अयस्क की स्थिति है।

गैर-कम्यूटेटिव वलयों के लिए स्थिति जहां स्थानीयकरण का स्पष्ट हित अंतर ऑपरेटरों के वलयों के लिए है। इसकी व्याख्या है, उदाहरण के लिए, औपचारिक व्युत्क्रम D−1 से सटे हुए अवकलन संकारक D के लिए यह अवकल समीकरणों के विधियों में कई संदर्भों में किया जाता है। इसके बारे में अब बड़ा गणितीय सिद्धांत है जिसे माइक्रोलोकल विश्लेषण कहा जाता है, जो कई अन्य शाखाओं से जुड़ता है। माइक्रो-टैग विशेष रूप से फूरियर सिद्धांत के साथ संबंध के साथ करना है।

यह भी देखें

 * स्थानीय विश्लेषण
 * श्रेणी का स्थानीयकरण
 * टोपोलॉजिकल स्पेस का स्थानीयकरण

संदर्भ

 * Atiyah and MacDonald. Introduction to Commutative Algebra. Addison-Wesley.
 * Borel, Armand. Linear Algebraic Groups (2nd ed.). New York: Springer-Verlag. ISBN 0-387-97370-2.
 * Matsumura. Commutative Algebra.  Benjamin-Cummings
 * Serge Lang, "Algebraic Number Theory," Springer, 2000. pages 3–4.
 * Matsumura. Commutative Algebra.  Benjamin-Cummings
 * Serge Lang, "Algebraic Number Theory," Springer, 2000. pages 3–4.
 * Serge Lang, "Algebraic Number Theory," Springer, 2000. pages 3–4.
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बाहरी संबंध

 * Localization from MathWorld.