घटाना

 घटाना (जिसे ऋण चिह्न द्वारा दर्शाया जाता है −) जोड़, गुणा और भाग के साथ चार अंकगणितीय संक्रियाओं में से एक है। घटाना एक ऑपरेशन है जो संग्रह से वस्तुओं को हटाने का प्रतिनिधित्व करता है। उदाहरण के लिए, निकटवर्ती चित्र में, हैं 5 − 2 आड़ू—अर्थात् 5 आड़ू जिनमें से 2 निकाले गए, परिणामस्‍वरूप कुल 3 आड़ू। इसलिए, 5 और 2 का अंतर 3 है; अर्थात् वह है, 5 − 2 = 3. जबकि मुख्य रूप से अंकगणित में प्राकृतिक संख्याओं से जुड़ा हुआ है, घटाना भी नकारात्मक संख्याओं, अंश (गणित), अपरिमेय संख्या ओं, यूक्लिडियन सदिश, दशमलव, फलन और आव्यूह सहित विभिन्न प्रकार की वस्तुओं का उपयोग करके भौतिक और अमूर्त मात्रा को हटाने या घटाने का प्रतिनिधित्व आव्यूह कर सकता है।

इस प्रकार से एक अर्थ में, घटाना जोड़ का उलटा है। अर्थात्, c = a - b यदि और केवल यदि c + b = a। शब्दों में: दो संख्याओं का अंतर वह संख्या है जो पहली संख्या को दूसरी संख्या में जोड़ने पर प्राप्त होती है।

घटाना कई महत्वपूर्ण पैटर्न का अनुसरण करता है। यह प्रतिकम्यूटेटिव है, जिसका अर्थ है कि क्रम परवर्तन से उत्तर का चिन्ह परिवर्तित हो जाता है। यह साहचर्यता भी नहीं है, जिसका अर्थ है कि जब कोई दो से अधिक संख्याओं को घटाता है, तो जिस क्रम में घटाना किया जाता है वह मायने रखता है। इसलिये योगात्मक पहचान है, इसे घटाने से कोई संख्या परिवर्तित नहीं होती है। और घटाना भी संबंधित फलन ों से संबंधित अनुमानित नियमों का पालन करता है, जैसे जोड़ और गुणा । ये सभी नियम गणितीय प्रमाण हो सकते हैं, जो पूर्णांकों के घटाना से प्रारंभ होते हैं और वास्तविक संख्याओं के माध्यम से और आगे सामान्यीकरण किया जा सकता है। इन पैटर्नों का पालन करने वाले सामान्य बाइनरी ऑपरेशनों का सार बीजगणित में अध्ययन किया जाता है।

इस प्रकार से प्राकृतिक संख्याओं पर घटाना करना सबसे सरल संख्यात्मक फलन ों में से है। छोटे बच्चों के लिए बहुत छोटी संख्या का घटाना सुलभ होते है। उदाहरण के लिए प्राथमिक शिक्षा में, छात्रों को दशमलव प्रणाली में संख्याओं को घटाना सिखाया जाता है, जो अंक से प्रारंभ होता है और धीरे-धीरे अधिक कठिन समस्याओं से निपटता है।

किन्तु उन्नत बीजगणित और कंप्यूटर बीजगणित में, अभिव्यक्ति जिसमें घटाना शामिल है A − B सामान्यतः जोड़ के लिए शॉर्टहैंड नोटेशन के रूप में माना जाता है A + (−B). इस प्रकार, A − B इसमें दो शब्द हैं, अर्थात् A और -B। यह साहचर्य और क्रमविनिमेयता के आसान उपयोग की अनुमति देता है।

संकेतन और शब्दावली
इस प्रकार से घटाना सामान्यतः पदों के मध्य ऋण चिह्न "−" का उपयोग करके अंकित जाता है अर्थात्, इंफिक्स नोटेशन में है । उदाहरण के लिए परिणाम समान चिह्न के साथ व्यक्त किया जाता है।,
 * $$2 - 1 = 1 $$ (उच्चारण के रूप में दो ऋण समान एक)
 * $$4 - 2 = 2 $$ (चार घटा दो समान दो के रूप में उच्चारित)
 * $$6 - 3 = 3 $$ (उच्चारण छह घटा तीन समान तीन )
 * $$4 - 6 = -2 $$ (चार घटा सिक्स समान नेगेटिव दो के रूप में उच्चारित)

अतः कुछ ऐसी भी स्थितियाँ होती हैं जहाँ घटाना समझा जाता है, भले ही कोई प्रतीक प्रकट न हो:
 * लाल रंग में निचली संख्या के साथ दो संख्याओं का स्तंभ, सामान्यतः इंगित करता है कि स्तंभ में निचली संख्या को पंक्ति के नीचे लिखे अंतर के साथ घटाया जाना है। यह लेखांकन में सबसे समान होती है।

औपचारिक रूप से, जिस संख्या को घटाया जा रहा है उसे घटाना के रूप में जाना जाता है, जबकि वह लघु-अंत है जिस संख्या से इसे घटाया जाता है ।  अतः परिणाम में अंतर होता है।
 * $$ {\rm minuend} - {\rm subtrahend} = {\rm difference} $$.

यह सभी शब्दावली लैटिन से ली गई है। "घटाना" अंग्रेजी भाषा का शब्द है जो लैटिन क्रिया सबट्राहेरे से लिया गया है, जो बदले में "अंडर से" और "टू पुल" का यौगिक (भाषाविज्ञान) है। इस प्रकार, घटाना नीचे से निकालना है, या दूर करना है। गेरुंडिव प्रत्यय -एनडी का उपयोग करने से "सबट्रैहेंड", "घटाई जाने वाली चीज़" प्राप्त होती है। इसी तरह मिन्यूएरे से "कम करना या कम करना" प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है "कम की जाने वाली चीज़" आदि ।

पूर्णांक
लंबाई b के रेखा खंड की कल्पना करें जिसके बाएँ सिरे पर a और दाएँ सिरे पर c अंकित हो। a से प्रारंभ करके, c तक पहुँचने के लिए दाईं ओर b कदम उठाता है। दाईं ओर यह आंदोलन गणितीय रूप से अतिरिक्त रूप से तैयार किया गया है:
 * a + b = c.

c से, a पर वापस जाने के लिए बायीं ओर b कदम उठाने पड़ते हैं। बाईं ओर का यह आंदोलन घटाना द्वारा प्रतिरूपित है:
 * c − b = a.

अब, संख्याओं के साथ लेबल किया गया रेखा खंड, , तथा. स्थिति 3 से, 3 पर बने रहने के लिए बाईं ओर कोई कदम नहीं उठाता है, इसलिए 3 − 0 = 3. स्थिति 1 पर पहुंचने के लिए बाईं ओर 2 कदम लगते हैं, इसलिए 3 − 2 = 1. यह चित्र वर्णन करने के लिए अपर्याप्त है कि स्थिति 3 के बाईं ओर 3 कदम जाने के पश्चात क्या होगा। इस प्रकार के ऑपरेशन का प्रतिनिधित्व करने के लिए, रेखा को बढ़ाया जाना चाहिए।

मनमाना प्राकृतिक संख्या ओं को घटाने के लिए, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...) वाली रेखा से प्रारंभ होता है। 3 से, 0 तक पहुँचने के लिए बाईं ओर 3 कदम लगते हैं, इसलिए 3 − 3 = 0. परंतु 3 − 4 अभी भी अमान्य है, क्योंकि यह फिर से लाइन छोड़ देता है। प्राकृतिक संख्याएँ घटाना के लिए उपयोगी संदर्भ नहीं हैं।

समाधान पूर्णांक संख्या रेखा (..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, ...) पर विचार करना है। इस तरह, -1 तक पहुँचने के लिए 3 से बाईं ओर 4 कदम लगते हैं:
 * 3 − 4 = −1.

प्राकृतिक संख्याएं
इस प्रकार से प्राकृतिक संख्याओं का घटाना क्लोजर (गणित) नहीं है: अंतर प्राकृतिक संख्या नहीं है जब तक कि मिन्यूएंड सबट्रेंड से अधिक या उसके समान न हो। उदाहरण के लिए, प्राकृत संख्या देने के लिए 11 में से 26 नहीं घटाया जा सकता। ऐसा स्तिथियों दो विधियों में से का उपयोग किया जाता है:
 * 1) निष्कर्ष निकालें कि 11 में से 26 नहीं घटाया जा सकता; घटाना आंशिक फलन बन जाता है।
 * 2) उत्तर को ऋणात्मक संख्या का प्रतिनिधित्व करने वाले पूर्णांक के रूप में दें, इसलिए 11 में से 26 से घटाने पर −15 प्राप्त होता है।

वास्तविक संख्या
वास्तविक संख्याओं के क्षेत्र (गणित) को केवल दो द्विआधारी संक्रियाओं, जोड़ और गुणा को निर्दिष्ट करते हुए परिभाषित किया जा सकता है, साथ में योज्य प्रतिलोम और गुणक व्युत्क्रम उत्पन्न करने वाले एकल संक्रियाओं के साथ। अन्य (न्यूनतम) से वास्तविक संख्या (सबट्रेंड) का घटाना तब मिनीएंड के जोड़ और सबट्रेंड के योगात्मक व्युत्क्रम के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $3 − π = 3 + (−π)$. वैकल्पिक रूप से, इन यूनरी ऑपरेशंस की आवश्यकता के अतिरिक्त, घटाना और डिवीजन (गणित) के द्विआधारी संचालन को मूल के रूप में लिया जा सकता है।

प्रतिसंक्रामकता
घटाना विरोधी कम्यूटेटिव है, जिसका अर्थ है कि यदि कोई बाएं से दाएं के अंतर में शब्दों को उलट देता है, तो परिणाम मूल परिणाम का नकारात्मक होता है। प्रतीकात्मक रूप से, यदि a और b कोई दो संख्याएँ हैं, तो
 * a − b = −(b − a).

गैर-सहयोगी
घटाना साहचर्य है | गैर-सहयोगी, जो तब सामने आता है जब कोई बार-बार घटाना को परिभाषित करने की कोशिश करता है। सामान्यतः पर, अभिव्यक्ति होती है ।
 * "a − b − c"

इसे या तो (a − b) − c या a − (b − c) अर्थ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिससे इन दो संभावनाओं से अलग-अलग उत्तर मिलते हैं। इस समस्या को हल करने के लिए, अलग-अलग परिणाम देने वाले विभिन्न आदेशों के साथ, किसी को संचालन का क्रम स्थापित करना होगा। जिसमें अलग-अलग आदेशों से अलग-अलग परिणाम मिलते है ।

पूर्ववर्ती
पूर्णांकों के संदर्भ में, 1 (संख्या) का घटाना भी विशेष भूमिका निभाता है: किसी भी पूर्णांक a के लिए, पूर्णांक (a − 1) a से छोटा सबसे बड़ा पूर्णांक है, जिसे a के पूर्ववर्ती के रूप में भी जाना जाता है।

माप की इकाइयाँ
इस प्रकार से माप की इकाइयों जैसे कि किलोग्राम या पाउंड (द्रव्यमान) के साथ दो संख्याओं को घटाते समय, उनकी ही इकाई होनी चाहिए। अधिकतर स्तिथियों में, अंतर की मूल संख्या के समान इकाई होती है ।

प्रतिशत
प्रतिशत में परिवर्तन को कम से कम दो रूपों में रिपोर्ट किया जा सकता है, प्रतिशत परिवर्तन और प्रतिशत बिंदु परिवर्तन। प्रतिशत परिवर्तन दो मात्राओं के मध्य सापेक्ष परिवर्तन को प्रतिशत के रूप में दर्शाता है, जबकि प्रतिशत बिंदु परिवर्तन केवल दो प्रतिशत घटाकर प्राप्त संख्या है

उदाहरण के तौर पर, मान लीजिए कि किसी फैक्ट्री में बने 30% विजेट खराब हैं। छह महीने बाद, 20% विजेट खराब हैं। प्रतिशत परिवर्तन $20% − 30%⁄30%$ = −$1⁄3$ = $−33 1⁄3$%, है जबकि प्रतिशत बिंदु परिवर्तन -10 प्रतिशत अंक है।

कंप्यूटिंग में
पूरक विधि ऐसी विधिया होती है जिसका उपयोग केवल सकारात्मक संख्याओं के योग का उपयोग करके संख्या को दूसरे से घटाने के लिए किया जाता है। इस पद्धति का उपयोग सामान्यतः यांत्रिक कैलकुलेटर में किया जाता था, और अभी भी आधुनिक कंप्यूटर में इसका उपयोग किया जाता है।

एक बाइनरी संख्या x (सबट्रेंड) को किसी अन्य संख्या y (न्यूनतम) से घटाने के लिए y, के पूरक को x में जोड़ा जाता है और को योग में जोड़ा जाता है। इसके बाद परिणाम का अग्रणी अंक "1" हटा दिया जाता है।

पूरक की विधि बाइनरी (मूलांक 2) में विशेष रूप से उपयोगी है क्योंकि प्रत्येक बिट को उल्टा करके ("0" को "1" में बदलना और इसके विपरीत) बहुत आसानी से पूरक प्राप्त किया जाता है। और दो का पूरक प्राप्त करने के लिए 1 जोड़ना कम से कम महत्वपूर्ण बिट में कैरी का अनुकरण करके किया जा सकता है। उदाहरण के लिए:

01100100 (x, दशमलव 100 के समान है) - 00010110 (y, दशमलव 22 के समान है)

योग बन जाता है:

01100100 (x) + 11101001 (y का पूरक) + 1 (दोनो का पूरक प्राप्त करने के लिए) ——————————— 101001110

प्रारंभिक "1" को छोड़ने पर उत्तर मिलता है: 01001110 (दशमलव 78 के समान )

स्कूलों में घटाना की पढ़ाई
इस प्रकार से प्राथमिक विद्यालय में घटाना सिखाने के लिए उपयुक्त की जाने वाली विधियाँ अलग-अलग देशों में अलग-अलग होती हैं, और देश के अंदर, अलग-अलग समय पर अलग-अलग विधियाँ अपनाए जाते हैं। जिसे संयुक्त राज्य अमेरिका में पारंपरिक गणित के रूप में जाना जाता है, प्रथम वर्ष के अंत में (या दूसरे वर्ष के समय ) छात्रों को बहु-अंकीय पूर्ण संख्याओं के उपयोग के लिए विशिष्ट प्रक्रिया सिखाई जाती है, और इसे चौथे या चौथे वर्ष में बढ़ाया जाता है। पांचवीं कक्षा में भिन्नात्मक संख्याओं के दशमलव निरूपण को सम्मिलित किया जाता है ।

अमेरिका में
इस प्रकार से लगभग सभी अमेरिकी स्कूल वर्तमान में ऋृण या पुनर्समूहन (अपघटन एल्गोरिथम) और बैसाखी नामक चिह्नों की प्रणाली का उपयोग करके घटाना की विधि सिखाते हैं। चूँकि ऋृण लेने की विधि प्रथम से ही पाठ्यपुस्तकों में जानी और प्रकाशित की गई थी, विलियम ए ब्राउनेल द्वारा अध्ययन प्रकाशित करने के बाद अमेरिकी स्कूलों में बैसाखी का उपयोग फैल गया - यह दावा करते हुए कि इस पद्धति का उपयोग करने वाले छात्रों के लिए बैसाखी लाभकारी थी। इस प्रणाली ने तेजी से लोकप्रियता प्राप्त की और उस समय अमेरिका में उपयोग में आने वाली घटाना की अन्य विधियों को विस्थापित कर दिया गया ।

यूरोप में
किन्तु कुछ यूरोपीय स्कूल ऑस्ट्रियन पद्धति नामक घटाना की विधि को नियोजित करते हैं, जिसे अतिरिक्त विधि के रूप में भी जाना जाता है। इस पद्धति में कोई ऋृण नहीं है। बैसाखी (स्मृति में सहायता के लिए चिह्न) भी हैं, जो देश के अनुसार अलग-अलग होते हैं।

दो मुख्य विधियों की तुलना
ये दोनों विधियाँ स्थानीय मान द्वारा एक अंक घटाने की प्रक्रिया के रूप में घटाना को तोड़ देती हैं। सबट्रेंड के घटाना में, कम से कम महत्वपूर्ण अंक से प्रारंभ करें:
 * sj sj−1 ... s1

मिनट से
 * mk mk−1 ... m1,

जहां प्रत्येक si और mi एक अंक है, m1 − s1, m2 − s2, इत्यादि लिखकर आगे बढ़ता है, जब तक कि si mi से अधिक न हो जाए। अन्यथा, mi में 10 की वृद्धि की जाती है और इस वृद्धि को सही करने के लिए कुछ अन्य अंकों को संशोधित किया जाता है। अमेरिकी विधि न्यूनतम अंक mi+1 को एक से कम करने का प्रयास करके (या ऋृण लेने के लिए एक गैर-शून्य अंक होने तक ऋृण को बाईं ओर जारी रखने का प्रयास करके सही करती है)। यूरोपीय विधि सबट्रेंड अंक si+1 को एक से बढ़ाकर सही करती है।

उदाहरण: 704 − 512।

$$ लघुअंड 704 है, घटाना 512 है। लघुअंक अंक हैं m3 = 7, m2 = 0 तथा m1 = 4. सबट्रेंड अंक हैं s3 = 5, s2 = 1 तथा s1 = 2. के स्थान से प्रारंभ करते हुए, 4, 2 से कम नहीं है, इसलिए अंतर 2 को परिणाम के के स्थान पर लिख दिया जाता है। दहाई के स्थान पर 0, 1 से कम है, इसलिए 0 को 10 से बढ़ा दिया जाता है, और 1 का अंतर, जो कि 9 है, दहाई के स्थान पर लिख दिया जाता है। अमेरिकी पद्धति में दस की वृद्धि के लिए न्यूनतम के सौ स्थान के अंक को से घटाकर सही किया जाता है। अर्थात्, 7 को काट दिया जाता है और 6 से बदल दिया जाता है। घटाना फिर सैकड़े के स्थान पर आगे बढ़ता है, जहाँ 6 5 से कम नहीं है, इसलिए अंतर को परिणाम के सैकड़े के स्थान पर अंकित जाता है। हम अब कर चुके हैं, परिणाम 192 है।

ऑस्ट्रियाई पद्धति 7 से 6 तक कम नहीं करती है। किन्तु यह सबट्रेंड सैकड़े के अंक को से बढ़ा देती है। इस अंक के पास या नीचे (विद्यालय के आधार पर) छोटा संकेत बना दिया जाता है। फिर घटाना यह पूछते हुए आगे बढ़ता है कि किस संख्या में 1 से वृद्धि करने पर उसमें 5 जोड़ने पर 7 बनता है। जिसका उत्तर 1 है, और परिणाम के सैकड़े के स्थान पर लिख दिया जाता है।

इसमें अतिरिक्त सूक्ष्मता है कि अमेरिकी पद्धति में छात्र सदैव मानसिक घटाना तालिका का उपयोग करता है। ऑस्ट्रियाई पद्धति अधिकांशतः छात्र को विपरीत तालिका में मानसिक रूप से उपयोग करने के लिए प्रोत्साहित करती है। ऊपर दिए गए उदाहरण में, 1 में 5 जोड़ने, 6 प्राप्त करने और 7 से घटाने के अतिरिक्त, छात्र से यह विचार करने के लिए कहा जाता है कि किस संख्या को 1 से बढ़ाने और उसमें 5 जोड़ने पर 7 बनता है।

ऑस्ट्रियाई विधि
उदाहरण:

बाएँ से दाएँ घटाना
उदाहरण:

अमेरिकी विधि
इस पद्धति में, सबट्रेंड के प्रत्येक अंक को उसके ऊपर के अंक से दाएं से बाएं से घटाया जाता है। यदि ऊपर की संख्या इतनी छोटी है कि उसमें से नीचे की संख्या को घटाया जा सकता है, तो हम उसमें 10 जोड़ देते हैं; यह 10 ऊपर के अंक से बाईं ओर ऋृण लिया जाता है, जिसमें से हम 1 घटाते हैं। फिर हम अगले अंक को घटाते हैं और आवश्यकतानुसार ऋृण लेते हैं, जब तक कि प्रत्येक अंक घटाया न जाए।

उदाहरण:

प्रथम ट्रेड
अमेरिकी पद्धति का प्रकार जहां सभी घटाना से प्रथम सभी ऋृण लिया जाता है।

उदाहरण:

आंशिक अंतर
आंशिक अंतर विधि अन्य लंबवत घटाना विधियों से अलग है क्योंकि कोई ऋृण या ले जाने नहीं होता है। उनके स्थान पर, स्थान धनात्मक या माइनस संकेत देता है जो इस संवाद पर निर्भर करता है कि माइन्यूएंड सबट्रेंड से बड़ा या छोटा है या नहीं। आंशिक अंतर का योग कुल अंतर है।

उदाहरण:

गणना करना
अंक दर अंक का अंतर ज्ञात करने के अतिरिक्त, कोई भी उपवर्ग और लघु अंत के मध्य की संख्याओं की गणना कर सकता है।

उदाहरण:

1234 − 567 = निम्नलिखित चरणों से ज्ञात किया जा सकता है: कुल अंतर प्राप्त करने के लिए प्रत्येक चरण से मान जोड़ें: 3 + 30 + 400 + 234 = 667.
 * 567 + 3 = 570
 * 570 + 30 = 600
 * 600 + 400 = 1000
 * 1000 + 234 = 1234

घटाना को तोड़ना
एक अन्य विधि जो मानसिक गणना के लिए उपयोगी है, घटाना को छोटे-छोटे चरणों में विभाजित करना है।

उदाहरण:

1234 − 567 = को निम्नलिखित विधियाँ से हल किया जा सकता है:
 * 1234 − 500 = 734
 * 734 − 60 = 674
 * 674 − 7 = 667

समान परिवर्तन
समान परिवर्तन विधि इस तथ्य का उपयोग करती है कि मिन्यूएंड और सबट्रेंड से समान संख्या को जोड़ने या घटाने से उत्तर नहीं परिवर्तित है। सबट्रेंड में शून्य प्राप्त करने के लिए आवश्यक मान जोड़ता है।

उदाहरण:

1234 - 567 = इस प्रकार हल किया जा सकता है:
 * 1234 − 567 = 1237 − 570 = 1267 − 600 = 667

यह भी देखें

 * निरपेक्ष अंतर
 * न्यूनता
 * प्राथमिक अंकगणित
 * पूरक की विधि
 * ऋणात्मक संख्या
 * धनात्मक और ऋणात्मक संकेत

ग्रन्थसूची

 * Brownell, W.A. (1939). Learning as reorganization: An experimental study in third-grade arithmetic, Duke University Press.
 * Subtraction in the United States: An Historical Perspective, Susan Ross, Mary Pratt-Cotter, The Mathematics Educator, Vol. 8, No. 1 (original publication) and Vol. 10, No. 1 (reprint.) PDF

बाहरी संबंध

 * Printable Worksheets: Subtraction Worksheets, One Digit Subtraction, Two Digit Subtraction, Four Digit Subtraction, and More Subtraction Worksheets
 * Subtraction Game at cut-the-knot
 * Subtraction on a Japanese abacus selected from Abacus: Mystery of the Bead
 * Subtraction on a Japanese abacus selected from Abacus: Mystery of the Bead