वेइबुल वितरण

संभाव्यता सिद्धांत और सांख्यिकी में, वेइबुल वितरण सतत संभाव्यता वितरण है। यह यादृच्छिक वेरिएबल की विस्तृत श्रृंखला को मॉडल करता है, मुख्य रूप से विफलता के समय या घटनाओं के बीच के समय की प्रकृति में। उदाहरण हैं अधिकतम दिवसीय वर्षा और उपयोगकर्ता द्वारा वेब पेज पर बिताया गया समय।

इस प्रकार वितरण का नाम स्वीडिश गणितज्ञ वालोडी वेइबुल के नाम पर रखा गया है, जिन्होंने 1951 में इसका विस्तार से वर्णन किया था, चूंकि इसकी पहचान सबसे पहले मौरिस रेने फ्रेचेट ने की थी और सबसे पहले इसे प्रयुक्त किया था। कण-आकार वितरण का वर्णन करने के लिए है।

मानक पैरामीटरीकरण
वेइबुल यादृच्छिक वेरिएबल का संभाव्यता घनत्व फलन है :$$ f(x;\lambda,k) = \begin{cases} \frac{k}{\lambda}\left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^{k}}, & x\geq0 ,\\ 0, & x<0, \end{cases}$$

जहां k > 0 आकार पैरामीटर है और λ > 0 वितरण का स्केल पैरामीटर है। इसका संचयी वितरण फलन या पूरक संचयी वितरण फलन (पूंछ वितरण) विस्तारित घातीय फलन है। वेइबुल वितरण कई अन्य संभाव्यता वितरणों से संबंधित है; विशेष रूप से, यह घातीय वितरण (k = 1) और रेले वितरण (k = 2 और $$\lambda = \sqrt{2}\sigma $$ ) के बीच अंतर्वेशन है.

यदि मात्रा X एक "समय-से-विफलता" है, तो वेइबुल वितरण एक वितरण देता है जिसके लिए विफलता दर समय की शक्ति के समानुपाती होती है। आकार पैरामीटर, k, वह शक्ति प्लस एक है, और इसलिए इस पैरामीटर की सीधे इस प्रकार व्याख्या की जा सकती है:
 * $$ k < 1\,$$ का मान इस प्रकार निरुपित करता है कि विफलता दर समय के साथ कम हो जाती है (जैसे कि लिंडी प्रभाव के स्थितियों में, जो पेरेटो वितरण से मेल खाती है वेइबुल वितरण के अतिरिक्त)। ऐसा तब होता है जब महत्वपूर्ण शिशु मृत्यु दर होती है, या दोषपूर्ण वस्तुएं जल्दी विफल हो जाती हैं और समय के साथ विफलता दर कम हो जाती है क्योंकि दोषपूर्ण वस्तुएं जनसंख्या से बाहर हो जाती हैं। बास प्रसार मॉडल के संदर्भ में, इसका कारण मुंह से निकली नकारात्मक बात है: विफलता दर या हैजर्ड फलन अपनाने वालों के अनुपात का नीरस रूप से घटता हुआ फलन है;
 * $$ k = 1\,$$का मान इस प्रकार निरुपित करता है कि विफलता दर समय के साथ स्थिर है। इससे यह संकेत मिल सकता है कि यादृच्छिक बाहरी घटनाएं मृत्यु दर या विफलता का कारण बन रही हैं। तथा वेइबुल वितरण घातांकीय वितरण तक कम हो जाता है;
 * $$ k > 1\,$$का मान इस प्रकार निरुपित करता है कि विफलता दर समय के साथ बढ़ती है। ऐसा तब होता है जब उम्र बढ़ने की कोई प्रक्रिया होती है, या ऐसे हिस्से जिनके समय के साथ विफल होने की अधिक संभावना होती है। बास डिफ्यूजन मॉडल के संदर्भ में, इसका कारणमुंह से सकारात्मक शब्द है: हैजर्ड फलन गोद लेने वालों के अनुपात का नीरस रूप से बढ़ता हुआ फलन है। फलन पहले उत्तल होता है, फिर $$(e^{1/k} - 1)/e^{1/k},\, k > 1\,$$ विभक्ति बिंदु के साथ अवतल होता है

सामग्री विज्ञान के क्षेत्र में, शक्तियों के वितरण के आकार पैरामीटर k को वेइबुल मापांक के रूप में जाना जाता है। नवाचारों के प्रसार के संदर्भ में, वेइबुल वितरण शुद्ध नकल/अस्वीकृति मॉडल है।

पहला विकल्प
चिकित्सा सांख्यिकी और अर्थमिति में अनुप्रयोग अधिकांशतः अलग मानकीकरण अपनाते हैं। आकार पैरामीटर k ऊपर जैसा ही है, जबकि स्केल पैरामीटर $$b = \lambda^{-k}$$ है इस स्थितियों में, x ≥ 0 के लिए, संभाव्यता घनत्व फलन है
 * $$f(x;k,b) = bkx^{k-1}e^{-bx^k},$$

संचयी वितरण फलन है
 * $$F(x;k,b) = 1 - e^{-bx^k},$$

कठिन परिस्थिति फलन है
 * $$h(x;k,b) = bkx^{k-1},$$

और माध्य है
 * $$b^{-1/k}\Gamma(1+1/k).$$

दूसरा विकल्प
एक दूसरा वैकल्पिक मानकीकरण भी पाया जा सकता है। आकार पैरामीटर k मानक स्थितियों के समान है, जबकि स्केल पैरामीटर λ को दर पैरामीटर β = 1/λ से बदल दिया जाता है। फिर, x ≥ 0 के लिए, संभाव्यता घनत्व फलन है
 * $$f(x;k,\beta) = \beta k({\beta x})^{k-1} e^{-(\beta x)^k}$$

संचयी वितरण फलन है
 * $$F(x;k,\beta) = 1 - e^{-(\beta x)^k},$$

और हैजर्ड फलन है
 * $$h(x;k,\beta) = \beta k({\beta x})^{k-1}.$$

सभी तीन मापदंडों में, k <1 के लिए खतरा कम हो रहा है,तथा k > 1 के लिए बढ़ रहा है और k = 1 के लिए स्थिर है, जिस स्थिति में वेइबुल वितरण घातीय वितरण तक कम हो जाता है।

घनत्व फलन
वेइबुल वितरण के घनत्व फलन का रूप k के मान के साथ अधिक बदल जाता है। 0 < k < 1 के लिए, घनत्व फलन ∞ की ओर प्रवृत्त होता है क्योंकि x ऊपर से शून्य की ओर बढ़ता है और सख्ती से घट रहा है। k = 1 के लिए, जैसे-जैसे x ऊपर से शून्य की ओर बढ़ता है और सख्ती से घटता जाता है, घनत्व फलन 1/λ हो जाता है। तथा k > 1 के लिए, घनत्व फलन शून्य हो जाता है क्योंकि x ऊपर से शून्य के करीब पहुंचता है जब इसके मोड तक बढ़ता है और इसके पश्चात् घटता है। घनत्व फलन में x = 0 पर अनंत नकारात्मक ढलान है यदि 0 < k < 1, x = 0 पर अनंत सकारात्मक ढलान है यदि 1 < k < 2 और x = 0 पर शून्य ढलान है यदि k > 2. k = 1 के लिए घनत्व है तथा x = 0 पर परिमित नकारात्मक ढलान है। जहाँ k = 2 के लिए घनत्व में x = 0 पर सीमित सकारात्मक ढलान है। जैसे ही k अनंत तक जाता है, उसी प्रकार वेइबुल वितरण x = λ पर केंद्रित डायराक डेल्टा वितरण में परिवर्तित हो जाता है। इसके अतिरिक्त, विषमता और भिन्नता का गुणांक केवल आकार पैरामीटर पर निर्भर करता है। वेइबुल वितरण का सामान्यीकरण अतिपरवलयात्मक फलन है।

संचयी वितरण फलन
वेइबुल वितरण के लिए संचयी वितरण फलन है


 * $$F(x;k,\lambda) = 1 - e^{-(x/\lambda)^k}\,$$

x ≥ 0 के लिए, और F(x; k; λ) = 0 x < 0 के लिए।

यदि x = λ है तब F(x; k; λ) = 1 − e−1 ≈ 0.632 k के सभी मानों के लिए होता है । इसके विपरीत: F(x; k; λ) = 0.632 पर x ≈ λ का मान होता है ।

वेइबुल वितरण के लिए मात्रात्मक (व्युत्क्रम संचयी वितरण) फलन है


 * $$Q(p;k,\lambda) = \lambda(-\ln(1-p))^{1/k}$$

0 ≤ p <1 के लिए.

विफलता दर h (या खतरा फलन) द्वारा दिया गया है


 * $$ h(x;k,\lambda) = {k \over \lambda} \left({x \over \lambda}\right)^{k-1}.$$

विफलताओं के बीच का औसत समय एमटीबीएफ है|


 * $$ \text{MTBF}(k,\lambda) = \lambda\Gamma(1+1/k).$$

क्षण
वेइबुल वितरित यादृच्छिक वेरिएबल के लघुगणक का क्षण उत्पन्न करने वाला फलन किसके द्वारा दिया गया है
 * $$\operatorname E\left[e^{t\log X}\right] = \lambda^t\Gamma\left(\frac{t}{k}+1\right)$$

जहाँ $Γ$ गामा फलन है. इसी प्रकार, log X का विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) द्वारा दिया गया है


 * $$\operatorname E\left[e^{it\log X}\right] = \lambda^{it}\Gamma\left(\frac{it}{k}+1\right).$$

विशेष रूप से, X का n वाँ कच्चा क्षण किसके द्वारा दिया जाता है


 * $$m_n = \lambda^n \Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right).$$

वेइबुल यादृच्छिक वेरिएबल का माध्य और विचरण इस प्रकार उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है


 * $$\operatorname{E}(X) = \lambda \Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\,$$

और


 * $$\operatorname{var}(X) = \lambda^2\left[\Gamma\left(1+\frac{2}{k}\right) - \left(\Gamma\left(1+\frac{1}{k}\right)\right)^2\right]\,.$$

तिरछापन किसके द्वारा दिया गया है?


 * $$\gamma_1=\frac{2\Gamma_1^3-3\Gamma_1\Gamma_2+ \Gamma_3 }{[\Gamma_2-\Gamma_1^2]^{3/2}}$$

जहाँ $$\Gamma_i=\Gamma(1+i/k)$$, जिसे इस प्रकार भी लिखा जा सकता है


 * $$\gamma_1=\frac{\Gamma\left(1+\frac{3}{k}\right)\lambda^3-3\mu\sigma^2-\mu^3}{\sigma^3}$$

जहाँ माध्य $μ$ को दर्शाया जाता है और मानक विचलन $σ$ को निरूपित किया जाता है.

अतिरिक्त कुकुदता द्वारा दिया जाता है


 * $$\gamma_2=\frac{-6\Gamma_1^4+12\Gamma_1^2\Gamma_2-3\Gamma_2^2-4\Gamma_1 \Gamma_3 +\Gamma_4}{[\Gamma_2-\Gamma_1^2]^2}$$

जहाँ $$\Gamma_i=\Gamma(1+i/k)$$. कर्टोसिस आधिक्य को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है:


 * $$\gamma_2=\frac{\lambda^4\Gamma(1+\frac{4}{k})-4\gamma_1\sigma^3\mu-6\mu^2\sigma^2-\mu^4}{\sigma^4}-3.$$

क्षण उत्पन्न करने वाला फलन
x के क्षण उत्पन्न करने वाले फलन के लिए विभिन्न प्रकार की अभिव्यक्तियाँ उपलब्ध हैं। शक्ति श्रृंखला के रूप में, चूँकि कच्चे क्षण पहले से ही ज्ञात हैं, किसी को पता है


 * $$\operatorname E\left[e^{tX}\right] = \sum_{n=0}^\infty \frac{t^n\lambda^n}{n!} \Gamma\left(1+\frac{n}{k}\right).

$$ इस प्रकार के वैकल्पिक रूप से, कोई सीधे अभिन्न से निपटने का प्रयास कर सकता है


 * $$\operatorname E\left[e^{tX}\right] = \int_0^\infty e^{tx} \frac k \lambda \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{k-1}e^{-(x/\lambda)^k}\,dx.$$

यदि पैरामीटर k को परिमेय संख्या माना जाता है, तो जिसे k = p/q के रूप में व्यक्त किया जाता है जहां p और q पूर्णांक हैं, तब इस अभिन्न का मूल्यांकन विश्लेषणात्मक रूप से किया जा सकता है। t को −t से प्रतिस्थापित करने पर, उपयोग किया जाता है


 * $$ \operatorname E\left[e^{-tX}\right] = \frac1{ \lambda^k\, t^k} \, \frac{ p^k \, \sqrt{q/p}} {(\sqrt{2 \pi})^{q+p-2}} \, G_{p,q}^{\,q,p} \!\left( \left. \begin{matrix} \frac{1-k}{p}, \frac{2-k}{p}, \dots, \frac{p-k}{p} \\ \frac{0}{q}, \frac{1}{q}, \dots, \frac{q-1}{q} \end{matrix} \; \right| \, \frac {p^p} {\left( q \, \lambda^k \, t^k \right)^q} \right) $$

जहां G मीजर जी-फलन है।

विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) भी प्राप्त किया गया है. 3-पैरामीटर वेइबुल वितरण का विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) और क्षण उत्पन्न करने वाला फलन भी सीधे दृष्टिकोण से प्राप्त किया गया है ।

रिपैरामेट्रिज़ेशन ट्रिक्स
कुछ $$\alpha > 0$$ ठीक करो. जिसे होने देना $$(\pi_1, ..., \pi_n)$$ गैर-नकारात्मक हो, और सभी शून्य नहीं है, और चलो तब $$g_1,... , g_n$$ $$\text{Weibull}(1, \alpha^{-1})$$ के स्वतंत्र नमूने बनें ,
 * $$\arg\min_i (g_i \pi_i^{-\alpha}) \sim \text{Categorical}\left(\frac{\pi_j}{\sum_i \pi_i}\right)_j$$
 * $$\min_i (g_i \pi_i^{-\alpha}) \sim\text{Weibull}\left( \left(\sum_i \pi_i \right)^{-\alpha}, \alpha^{-1}\right)$$.

शैनन एन्ट्रॉपी
एन्ट्रापी (सूचना सिद्धांत) द्वारा दिया गया है



H(\lambda,k) = \gamma\left(1 - \frac{1}{k}\right) + \ln\left(\frac{\lambda}{k}\right) + 1 $$ जहाँ $$\gamma$$ यूलर-माशेरोनी स्थिरांक है। वेइबुल वितरण गैर-नकारात्मक वास्तविक यादृच्छिक वेरिएबल के लिए अधिकतम एन्ट्रापी वितरण है λk के बराबर xk के निश्चित अपेक्षित मान और ln(λk) $$\gamma$$ के बराबर ln(xk) का निश्चित अपेक्षित मान के सामान्तर है|

अधिकतम संभावना
जहाँ $$\lambda$$ के लिए $$k$$ अधिकतम संभावना अनुमान पैरामीटर दिया गया है


 * $$\widehat \lambda = (\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n x_i^k)^\frac{1}{k} $$

जहाँ $$k$$ के लिए अधिकतम संभावना अनुमानक निम्नलिखित समीकरण में से k का हल है

0 = \frac{\sum_{i=1}^n x_i^k \ln x_i }{\sum_{i=1}^n x_i^k } - \frac{1}{k} - \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \ln x_i $$ यह समीकरण केवल $$\widehat k$$ परिभाषित करता है तब अंतर्निहित रूप से, किसी को सामान्यतः $$k$$ संख्यात्मक तरीकों से समाधान करना चाहिए.

जब $$x_1 > x_2 > \cdots > x_N$$ $$N$$ से अधिक नमूने के डेटासेट $$N$$ से सबसे बड़े देखे गए हैं फिर $$\lambda$$ पैरामीटर के लिए अधिकतम संभावना अनुमानक $$k$$ दिया गया है


 * $$\widehat \lambda^k = \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N (x_i^k - x_N^k)$$

उस शर्त को भी देखते हुए, जहाँ $$k$$ अधिकतम संभावना अनुमानक है

0 = \frac{\sum_{i=1}^N (x_i^k \ln x_i - x_N^k \ln x_N)} {\sum_{i=1}^N (x_i^k - x_N^k)} - \frac{1}{N} \sum_{i=1}^N \ln x_i $$ फिर, यह अंतर्निहित फलन होता है, इसे सामान्यतः $$k$$ को संख्यात्मक तरीकों से हल करना चाहिए.

कुल्बैक-लीब्लर विचलन
दो वेइबुल वितरणों के बीच कुल्बैक-लीबलर विचलन द्वारा दिया गया है
 * $$D_\text{KL}( \mathrm{Weib}_1 \parallel \mathrm{Weib}_2) = \log \frac{k_1}{\lambda_1^{k_1}} - \log \frac{k_2}{\lambda_2^{k_2}} + (k_1 - k_2) \left[ \log \lambda_1 - \frac{\gamma}{k_1} \right] + \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_2}\right)^{k_2} \Gamma \left(\frac{k_2}{k_1} + 1 \right) - 1

$$

वेइबुल प्लॉट
वेइबुल प्लॉट का उपयोग करके डेटा के लिए वेइबुल वितरण की उपयुक्तता का दृश्य रूप से मूल्यांकन किया जा सकता है। वेइबुल प्लॉट इस प्रकार के Q-Q प्लॉट में विशेष अक्षों पर डेटा का अनुभवजन्य संचयी वितरण फलन $$\widehat F(x)$$ का प्लॉट है तथा अक्ष $$\ln(-\ln(1-\widehat F(x)))$$ बनाम $$\ln(x)$$. चरों के इस परिवर्तन का कारण यह है कि संचयी वितरण फलन को रैखिककृत किया जा सकता है:
 * $$\begin{align}

F(x) &= 1-e^{-(x/\lambda)^k}\\[4pt] -\ln(1-F(x)) &= (x/\lambda)^k\\[4pt] \underbrace{\ln(-\ln(1-F(x)))}_{\textrm{'y'}} &= \underbrace{k\ln x}_{\textrm{'mx'}} - \underbrace{k\ln \lambda}_{\textrm{'c'}} \end{align}

$$ जिसे सीधी रेखा के मानक रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, यदि डेटा वेइबुल वितरण से आया है तब वेइबुल प्लॉट पर सीधी रेखा अपेक्षित है।

डेटा से अनुभवजन्य वितरण फलन प्राप्त करने के लिए विभिन्न दृष्टिकोण हैं: जहाँ इस विधि $$\widehat F = \frac{i-0.3}{n+0.4}$$ का उपयोग करके प्रत्येक बिंदु के लिए ऊर्ध्वाधर समन्वय प्राप्त करना है जहाँ $$i$$ का उपयोग करके डेटा बिंदु की रैंक है और $$n$$ को डेटा बिंदुओं की संख्या बताया गया है.

रैखिक प्रतिगमन का उपयोग संख्यात्मक रूप से फिट की अच्छाई का आकलन करने और वेइबुल वितरण के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए भी किया जा सकता है। ग्रेडिएंट किसी को सीधे आकार पैरामीटर $$k$$ के बारे में सूचित करता है| और स्केल पैरामीटर $$\lambda$$ का अनुमान भी लगाया जा सकता है.

अनुप्रयोग
वेइबुल वितरण को :


 * उत्तरजीविता विश्लेषण में उपयोग किया जाता है |


 * विश्वसनीयता इंजीनियरिंग और विफलता विश्लेषण में उपयोग किया जाता है |
 * विद्युत अभियन्त्रण में विद्युत प्रणाली में होने वाले ओवरवोल्टेज को दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है
 * औद्योगिक इंजीनियरिंग में विनिर्माण और वितरण (वाणिज्य) समय का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है
 * चरम मूल्य सिद्धांत में उपयोग किया जाता है
 * मौसम पूर्वानुमान और पवन ऊर्जा में या पवन ऊर्जा का वर्णन करने के लिए उपयोग किया जाता है तथा पवन ऊर्जा या हवा की गति का वितरण दर्शाने के लिए उपयोग किया जाता है, क्योंकि प्राकृतिक वितरण अधिकांशतः वेइबुल आकार से मेल खाता है
 * संचार प्रणाली इंजीनियरिंग में उपयोग किया जाता है
 * राडार प्रणालियों में कुछ प्रकार की अव्यवस्थाओं द्वारा उत्पन्न प्राप्त सिग्नल स्तर के फैलाव को मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है
 * तार रहित संचार में लुप्तप्राय चैनल को मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है, क्योंकि वेइबुल का लुप्त होना मॉडल प्रयोगात्मक फ़ेडिंग चैनल (संचार) माप के लिए उपयुक्त प्रतीत होता है।
 * वेब पेजों पर रुकने के समय को मॉडल करने के लिए सूचना पुनर्प्राप्ति में उपयोग किया जाता है ।
 * सामान्य बीमा में पुनर्बीमा दावों के आकार और अभ्रक हानियों के संचयी विकास को मॉडल करने के लिए उपयोग किया जाता है
 * तकनीकी परिवर्तन की भविष्यवाणी में जहाँ (शरीफ-इस्लाम मॉडल के रूप में भी जाना जाता है)
 * जल विज्ञान में वेइबुल वितरण को चरम घटनाओं जैसे वार्षिक अधिकतम दिवसीय वर्षा और नदी निर्वहन पर प्रयुक्त किया जाता है।
 * शेल तेल कुओं के मॉडल तेल उत्पादन दर वक्र के गिरावट वक्र विश्लेषण को दर्शाने में उपयोग किया जाता है । पीसने, मिल (पीसने) और कुचल डालने वाला संचालन से उत्पन्न दानेदार सामग्री के आकार का वर्णन करने में, 2-पैरामीटर वेइबुल वितरण का उपयोग किया जाता है, और इन अनुप्रयोगों में इसे कभी-कभी रोसिन-रैम्लर वितरण के रूप में जाना जाता है। इस संदर्भ में यह लॉग-सामान्य वितरण की तुलना में कम सूक्ष्म कणों की भविष्यवाणी करता है और यह सामान्यतः संकीर्ण कण आकार वितरण के लिए सबसे स्पष्ट है। संचयी वितरण फलन की व्याख्या वह है $$F(x; k, \lambda)$$ $$x$$ से छोटे व्यास वाले कणों का द्रव्यमान अंश (रसायन) है, जहाँ $$\lambda$$ माध्य कण आकार है और $$k$$ कण आकार के प्रसार का माप है।
 * यादृच्छिक बिंदु बादलों (जैसे कि आदर्श गैस में कणों की स्थिति) का वर्णन करने में उपयोग किया जाता है: तथा किसी दिए गए कण से दूरी $$x$$ पर निकटतम-निकटतम कण को ​​​​खोजने की संभावना वेइबुल वितरण द्वारा $$k=3$$ और $$\rho=1/\lambda^3$$ दिया जाता है तथा कणों के घनत्व के सामान्तर होते है|.
 * विकिरण-प्रेरित विकिरण सख्त होने की दर की गणना में या डिजिटल_क्षति:_सी ऑनबोर्ड अंतरिक्ष यान, कण रैखिक ऊर्जा हस्तांतरण स्पेक्ट्रम में प्रयोगात्मक रूप से मापा डिवाइस क्रॉस सेक्शन (भौतिकी) डेटा को फिट करने के लिए चार-पैरामीटर वेइबुल वितरण का उपयोग किया जाता है। वेइबुल फिट का उपयोग मूल रूप से इस धारणा के कारण किया गया था कि कण ऊर्जा का स्तर सांख्यिकीय वितरण के साथ संरेखित होता है, किन्तु यह धारणा पश्चात् में गलत सिद्ध हुई और वेइबुल फिट का उपयोग प्रदर्शित भौतिक आधार के अतिरिक्त इसके कई समायोज्य मापदंडों के कारण जारी है।

संबंधित वितरण
1-e^{\ln\left(0.2\right)\left(\frac{x}{P_{\rm{80}}}\right)^m} & x\geq0 ,\\ 0 & x<0 ,\end{cases}$$ जहाँ
 * वेइबुल वितरण सामान्यीकृत गामा वितरण है जिसमें दोनों आकार पैरामीटर k के सामान्तर होते हैं।
 * अनुवादित वेइबुल वितरण (या 3-पैरामीटर वेइबुल) में अतिरिक्त पैरामीटर सम्मिलित है। इसमें प्रायिकता घनत्व फलन है$$f(x;k,\lambda, \theta)={k \over \lambda} \left({x - \theta \over \lambda}\right)^{k-1} e^{-\left({x-\theta \over \lambda}\right)^k}\,$$ के लिए $$x \geq \theta$$ और $$f(x; k, \lambda, \theta) = 0$$ के लिए $$x < \theta$$, जहाँ  $$k > 0$$ आकार पैरामीटर है, $$\lambda > 0$$ स्केल पैरामीटर है और $$\theta$$ वितरण का स्थान पैरामीटर है. $$\theta$$ मान नियमित वेइबुल प्रक्रिया प्रारंभिक होने से पहले प्रारंभिक विफलता-मुक्त समय निर्धारित करता है। कब $$\theta = 0$$, यह 2-पैरामीटर वितरण को कम कर देता है।
 * वेइबुल वितरण को यादृच्छिक वेरिएबल के वितरण के रूप में वर्णित किया जा सकता है $$W$$ ऐसा कि यादृच्छिक वेरिएबल $$X = \left(\frac{W}{\lambda}\right)^k$$ तीव्रता 1 के साथ मानक घातीय वितरण है।
 * इसका तात्पर्य यह है कि वेइबुल वितरण को समान वितरण (निरंतर) के संदर्भ में भी चित्रित किया जा सकता है: यदि $$U$$ पर $$(0,1)$$ समान रूप से वितरित किया जाता है फिर यादृच्छिक वेरिएबल $$W = \lambda(-\ln(U))^{1/k}\,$$ वेइबुल को मापदंडों के साथ वितरित किया गया है $$k$$ और $$\lambda$$. ध्यान दें कि $$-\ln(U)$$ जहाँ के सामान्तर है $$X$$ बिलकुल ऊपर। इससे वेइबुल वितरण के अनुकरण के लिए आसानी से कार्यान्वित संख्यात्मक योजना तैयार हो जाती है।
 * वेइबुल वितरण तीव्रता $$1/\lambda$$ के साथ घातांकीय वितरण के बीच प्रक्षेप करता है जब $$k = 1$$ और $$\sigma = \lambda/\sqrt{2}$$ मोड का रेले वितरण जब $$k = 2$$. होता है|
 * वेइबुल वितरण (सामान्यतः विश्वसनीयता इंजीनियरिंग में पर्याप्त) तीन पैरामीटर घातांकित वेइबुल वितरण का विशेष स्तिथि है जहां अतिरिक्त घातांक 1 के सामान्तर होता है। घातांकित वेइबुल वितरण यूनिमॉडल फलन, बाथटब वक्र को समायोजित करता है और मोनोटोनिक फलन विफलता दर होती है ।
 * वेइबुल वितरण सामान्यीकृत चरम मूल्य वितरण का विशेष स्तिथि है। इसी संबंध में वितरण की पहचान सबसे पहले 1927 में मौरिस फ़्रेचेट द्वारा की गई थी। इस फलन के लिए नामित निकटतम संबंधित फ़्रेचेट वितरण में संभाव्यता घनत्व फलन है$$f_{\rm{Frechet}}(x;k,\lambda)=\frac{k}{\lambda} \left(\frac{x}{\lambda}\right)^{-1-k} e^{-(x/\lambda)^{-k}} = f_{\rm{Weibull}}(x;-k,\lambda).$$
 * एक यादृच्छिक वेरिएबल का वितरण जिसे कई यादृच्छिक वेरिएबल के न्यूनतम के रूप में परिभाषित किया गया है, प्रत्येक का अलग वेइबुल वितरण है, पॉली-वेइबुल वितरण है।
 * वेइबुल वितरण सबसे पहले किसके द्वारा प्रयुक्त किया गया था? कण आकार वितरण का वर्णन करने के लिए। कम्युनिकेशन प्रक्रियाओं में कण आकार वितरण का वर्णन करने के लिए इसका व्यापक रूप से खनिज प्रसंस्करण में उपयोग किया जाता है। इस संदर्भ में संचयी वितरण द्वारा दिया गया है $$f(x;P_{\rm{80}},m) =  \begin{cases}
 * $$x$$ कण आकार है
 * $$P_{\rm{80}}$$ कण आकार वितरण का 80वाँ प्रतिशतक है
 * $$m$$ वितरण के प्रसार का वर्णन करने वाला पैरामीटर हैस्प्रेडशीट में इसकी उपलब्धता के कारण, इसका उपयोग वहां भी किया जाता है जहां अंतर्निहित व्यवहार वास्तव में एर्लैंग वितरण द्वारा उत्तम ढंग से तैयार किया जाता है।
 * यदि $$X \sim \mathrm{Weibull}(\lambda,\frac{1}{2})$$ तब $$ \sqrt{X} \sim \mathrm{Exponential}(\frac{1}{\sqrt{\lambda}})$$ (घातांकी रूप से वितरण)
 * k के समान मानों के लिए, गामा वितरण समान आकार लेता है, किन्तु वेइबुल वितरण अधिक कर्टोसिस अतिरिक्त कर्टोसिस है।

F(x;k,\lambda) = \begin{cases} \displaystyle\int_0^\infty \frac{1}{\nu} \, F(x;1,\lambda\nu) \left( \Gamma \left( \frac{1}{k}+1 \right) \mathfrak{N}_k(\nu) \right) \, d\nu , & 1 \geq k > 0; \text{or } \\ \displaystyle\int_0^\infty \frac{1}{s} \, F(x;2,\sqrt{2} \lambda s)         \left( \sqrt{\frac{2}{\pi}} \, \Gamma \left( \frac{1}{k}+1 \right) V_k(s) \right) \, ds , & 2 \geq k > 0; \end{cases} $$
 * स्थिर गणना वितरण के दृष्टिकोण से, $$ k $$ इसे लेवी के स्थिरता पैरामीटर के रूप में माना जा सकता है। वेइबुल वितरण को कर्नेल घनत्व के अभिन्न अंग में विघटित किया जा सकता है जहां कर्नेल या तब लाप्लास वितरण $$F(x;1,\lambda)$$ या रेले वितरण $$F(x;2,\lambda)$$ है $$
 * जहाँ $$\mathfrak{N}_k(\nu)$$ स्थिर गिनती वितरण है और $$V_k(s)$$ स्थिर_वॉल्यूम_वितरण है।

यह भी देखें

 * फिशर-टिपेट-गेडेन्को प्रमेय
 * रसद वितरण
 * कण-आकार वितरण या रोसिन-रैम्लर वितरण|कण आकार विश्लेषण के लिए रोसिन-रैम्लर वितरण
 * रेले वितरण
 * स्थिर गिनती वितरण

बाहरी संबंध

 * Mathpages – Weibull analysis
 * The Weibull Distribution
 * Reliability Analysis with Weibull
 * Interactive graphic: Univariate Distribution Relationships
 * Online Weibull Probability Plotting
 * Online Weibull Probability Plotting