कालमान फिल्टर

सांख्यिकी और नियंत्रण सिद्धांत  के लिए, कलमन फ़िल्टरिंग, जिसे रैखिक द्विघात अनुमान (LQE) के रूप में भी जाना जाता है, एक  कलन विधि  है जो समय के साथ देखे गए मापों की एक श्रृंखला का उपयोग करता है, जिसमें  सांख्यिकीय शोर  और अन्य अशुद्धियाँ शामिल हैं, और अज्ञात चर के अनुमान उत्पन्न करते हैं जो अधिक होते हैं प्रत्येक समय-सीमा के लिए चरों पर एक  संयुक्त संभाव्यता वितरण  का अनुमान लगाकर, अकेले एक माप के आधार पर सटीक। फ़िल्टर का नाम रुडोल्फ ई. कलमैन के नाम पर रखा गया है, जो इसके सिद्धांत के प्राथमिक विकासकर्ताओं में से एक थे।

इस डिजिटल फिल्टर को कभी-कभी स्ट्रैटोनोविच-कलमैन-बुकी फिल्टर कहा जाता है क्योंकि यह सोवियत गणितज्ञ   रुस्लान स्ट्रैटोनोविच  द्वारा कुछ पहले विकसित किए गए अधिक सामान्य, नॉनलाइनियर फिल्टर का एक विशेष मामला है।    वास्तव में, कुछ विशेष केस लीनियर फिल्टर के समीकरण स्ट्रैटोनोविच के पत्रों में दिखाई दिए जो 1960 की गर्मियों से पहले प्रकाशित हुए थे, जब कलमैन मॉस्को में एक सम्मेलन के दौरान स्ट्रैटोनोविच से मिले थे।

कलमन फ़िल्टरिंग में कई तकनीकी अनुप्रयोग हैं। वाहनों, विशेष रूप से विमान, अंतरिक्ष यान और जहाजों के गतिशील स्थिति  के मार्गदर्शन, नेविगेशन और नियंत्रण के लिए एक सामान्य अनुप्रयोग है। रेफरी नाम = ZarchanMusoff2000 > इसके अलावा, कलमन फ़िल्टरिंग एक अवधारणा है जो संकेत का प्रक्रमण  और  अर्थमिति  जैसे विषयों के लिए उपयोग की जाने वाली  समय श्रृंखला  विश्लेषण में बहुत अधिक लागू होती है। कलमन फ़िल्टरिंग भी रोबोट  गति योजना  और नियंत्रण के मुख्य विषयों में से एक है और इसका उपयोग  प्रक्षेपवक्र अनुकूलन  के लिए किया जा सकता है। रेफरी> कलमन फ़िल्टरिंग  केंद्रीय तंत्रिका तंत्र  के आंदोलन के नियंत्रण के मॉडलिंग के लिए भी काम करता है। मोटर कमांड जारी करने और  संवेदी प्रतिक्रिया  प्राप्त करने के बीच समय की देरी के कारण, कलमन फिल्टर का उपयोग मोटर सिस्टम की वर्तमान स्थिति का अनुमान लगाने और अद्यतन आदेश जारी करने के लिए एक यथार्थवादी मॉडल प्रदान करता है। रेफरी>

एल्गोरिथ्म दो-चरण प्रक्रिया द्वारा काम करता है। भविष्यवाणी चरण के लिए, कलमन फ़िल्टर उनकी अनिश्चितताओं के साथ-साथ वर्तमान स्थिति चरों का अनुमान तैयार करता है। एक बार जब अगले माप का परिणाम (यादृच्छिक शोर सहित कुछ त्रुटि के साथ आवश्यक रूप से दूषित) देखा जाता है, तो इन अनुमानों को भारित माध्य  का उपयोग करके अद्यतन किया जाता है, अधिक निश्चितता के साथ अनुमानों को अधिक वजन दिया जाता है। एल्गोरिथ्म  रिकर्सन (कंप्यूटर विज्ञान)  है। यह  वास्तविक समय नियंत्रण प्रणाली  में काम कर सकता है, केवल वर्तमान इनपुट माप और पहले की गणना की गई स्थिति और इसकी अनिश्चितता मैट्रिक्स का उपयोग करके; कोई अतिरिक्त पिछली जानकारी की आवश्यकता नहीं है।

कलमन फ़िल्टरिंग की इष्टतमता मानती है कि त्रुटियों का सामान्य वितरण  | सामान्य (गाऊसी) वितरण होता है। रुडोल्फ ई. कलमैन के शब्दों में: संक्षेप में, यादृच्छिक प्रक्रियाओं के बारे में निम्नलिखित धारणाएँ बनाई गई हैं: भौतिक यादृच्छिक घटना को प्राथमिक यादृच्छिक स्रोतों के रोमांचक गतिशील प्रणालियों के कारण माना जा सकता है। प्राथमिक स्रोतों को शून्य माध्य के साथ स्वतंत्र गाऊसी यादृच्छिक प्रक्रिया माना जाता है; डायनेमिक सिस्टम रैखिक होंगे। रेफरी> हालांकि गॉसियनिटी की परवाह किए बिना, यदि प्रक्रिया और माप सहप्रसरण ज्ञात हैं, तो कलमन फ़िल्टर न्यूनतम माध्य वर्ग त्रुटि |न्यूनतम माध्य-वर्ग-त्रुटि अर्थ में सर्वोत्तम संभव  रैखिकता  अनुमानक है। रेफरी>

विधि के विस्तार और सामान्यीकरण भी विकसित किए गए हैं, जैसे कि विस्तारित कलमन फ़िल्टर  और #अनसेंटेड कलमन फ़िल्टर जो  अरेखीय प्रणाली  पर काम करते हैं। आधार एक  छिपा हुआ मार्कोव मॉडल  है जैसे कि  अव्यक्त चर  का राज्य स्थान  राज्य-अंतरिक्ष प्रतिनिधित्व  है और सभी अव्यक्त और देखे गए चर में गाऊसी वितरण हैं। इसके अलावा,  सेंसर फ्यूजन  | मल्टी-सेंसर फ़्यूज़न में कलमन फ़िल्टरिंग का सफलतापूर्वक उपयोग किया गया है, रेफरी> और वितरित या सर्वसम्मति (कंप्यूटर विज्ञान) कलमन फ़िल्टरिंग विकसित करने के लिए सेंसर नेटवर्क  वितरित किए। रेफरी>

इतिहास
फ़िल्टरिंग विधि का नाम हंगरी के प्रवासी रूडोल्फ ई. कलमैन के नाम पर रखा गया है, हालांकि थोरवाल्ड निकोलाई थिले   और  पीटर स्वेर्लिंग  ने पहले भी इसी तरह का एल्गोरिथम विकसित किया था।  जॉन्स हॉपकिन्स एप्लाइड फिजिक्स लेबोरेटरी  के रिचर्ड एस। बुकी ने सिद्धांत में योगदान दिया, जिससे इसे कभी-कभी कलमन-बुकी फ़िल्टरिंग के रूप में जाना जाता है। स्टेनली एफ. श्मिट को आमतौर पर कलमन फिल्टर के पहले कार्यान्वयन को विकसित करने का श्रेय दिया जाता है। उन्होंने महसूस किया कि फिल्टर को दो अलग-अलग हिस्सों में विभाजित किया जा सकता है, एक हिस्सा सेंसर आउटपुट के बीच की अवधि के लिए और दूसरा हिस्सा माप को शामिल करने के लिए। यह कलमैन द्वारा नासा एम्स रिसर्च सेंटर  की यात्रा के दौरान था कि श्मिट ने  प्रोजेक्ट अपोलो  के लिए प्रक्षेपवक्र अनुमान की गैर-रेखीय समस्या के लिए कलमैन के विचारों की प्रयोज्यता को देखा, जिसके परिणामस्वरूप  अपोलो गाइडेंस कंप्यूटर  में इसका समावेश हुआ। इस कलमन फ़िल्टरिंग को पहले स्वेर्लिंग (1958), कलमन (1960) और कलमन और बुकी (1961) द्वारा तकनीकी पत्रों में आंशिक रूप से वर्णित और विकसित किया गया था।

"The Apollo computer used 2k of magnetic core RAM and 36k wire rope [...]. The CPU was built from ICs [...]. Clock speed was under 100 kHz [...]. The fact that the MIT engineers were able to pack such good software (one of the very first applications of the Kalman filter) into such a tiny computer is truly remarkable." अमेरिकी नौसेना के परमाणु बैलिस्टिक मिसाइल पनडुब्बियों के नेविगेशन सिस्टम के कार्यान्वयन में और अमेरिकी नौसेना की टॉमहॉक मिसाइल  और अमेरिकी वायु सेना के एजीएम  एजीएम-86 एएलसीएम  जैसे क्रूज मिसाइलों के मार्गदर्शन और नेविगेशन सिस्टम में कलमन फिल्टर महत्वपूर्ण हैं। उनका उपयोग पुन: प्रयोज्य लॉन्च वाहनों के मार्गदर्शन और नेविगेशन सिस्टम और अंतरिक्ष यान के एटिट्यूड डायनेमिक्स और नियंत्रण और नेविगेशन सिस्टम में भी किया जाता है जो अंतर्राष्ट्रीय अंतरिक्ष स्टेशन पर डॉक करते हैं।

गणना का अवलोकन
Kalman फ़िल्टरिंग सिस्टम के गतिशील मॉडल (जैसे, गति के भौतिक नियम), उस सिस्टम के लिए ज्ञात नियंत्रण इनपुट और सिस्टम की अलग-अलग मात्राओं का अनुमान लगाने के लिए कई अनुक्रमिक माप (जैसे सेंसर से) का उपयोग करता है (इसके राज्य स्थान (नियंत्रण) ) जो केवल एक माप का उपयोग करके प्राप्त अनुमान से बेहतर है। जैसे, यह एक सामान्य सेंसर फ़्यूज़न और डेटा फ़्यूज़न एल्गोरिथम है।

शोर सेंसर डेटा, समीकरणों में सन्निकटन जो सिस्टम के विकास का वर्णन करते हैं, और बाहरी कारक जो सभी सीमाओं के लिए जिम्मेदार नहीं हैं, सिस्टम की स्थिति को निर्धारित करना कितना अच्छा है। कलमन फ़िल्टर शोर सेंसर डेटा और कुछ हद तक यादृच्छिक बाहरी कारकों के कारण अनिश्चितता से प्रभावी ढंग से निपटता है। Kalman फ़िल्टर सिस्टम की स्थिति का अनुमान सिस्टम की अनुमानित स्थिति के औसत और भारित माध्य का उपयोग करके नए माप के रूप में उत्पन्न करता है। भार का उद्देश्य यह है कि बेहतर (यानी, छोटे) अनुमानित अनिश्चितता वाले मूल्यों पर अधिक भरोसा किया जाता है। वज़न की गणना सहप्रसरण  से की जाती है, जो सिस्टम की स्थिति की भविष्यवाणी की अनुमानित अनिश्चितता का एक उपाय है। भारित औसत का परिणाम एक नया राज्य अनुमान है जो अनुमानित और मापी गई स्थिति के बीच स्थित है, और अकेले की तुलना में बेहतर अनुमानित अनिश्चितता है। इस प्रक्रिया को हर समय कदम पर दोहराया जाता है, नए अनुमान और इसके सहसंयोजक के साथ निम्नलिखित पुनरावृत्ति में प्रयुक्त भविष्यवाणी को सूचित करते हैं। इसका मतलब यह है कि कलमन फ़िल्टर  पुनरावर्ती फ़िल्टर  का काम करता है और एक नए राज्य की गणना करने के लिए सिस्टम की स्थिति के पूरे इतिहास के बजाय केवल अंतिम सर्वोत्तम अनुमान की आवश्यकता होती है।

माप 'निश्चितता-ग्रेडिंग और वर्तमान-राज्य अनुमान महत्वपूर्ण विचार हैं। कलमन फ़िल्टर के लाभ (इलेक्ट्रॉनिक्स)  के संदर्भ में फ़िल्टर की प्रतिक्रिया पर चर्चा करना आम बात है। कलमन-लाभ माप और वर्तमान-राज्य अनुमान को दिया गया भार है, और इसे किसी विशेष प्रदर्शन को प्राप्त करने के लिए ट्यून किया जा सकता है। एक उच्च लाभ के साथ, फ़िल्टर सबसे हाल के मापों पर अधिक भार डालता है, और इस प्रकार उनके लिए अधिक प्रतिक्रियात्मक रूप से अनुरूप होता है। कम लाभ के साथ, फ़िल्टर मॉडल की भविष्यवाणियों के अधिक बारीकी से अनुरूप होता है। चरम पर, एक के करीब एक उच्च लाभ एक अधिक उछल अनुमानित प्रक्षेपवक्र में परिणाम देगा, जबकि शून्य के करीब एक कम लाभ शोर को सुचारू करेगा लेकिन प्रतिक्रिया को कम करेगा।

फ़िल्टर के लिए वास्तविक गणना करते समय (जैसा कि नीचे चर्चा की गई है), राज्य अनुमान और सहप्रसरणों को गणना के एक सेट में शामिल कई आयामों के कारण मैट्रिक्स (गणित)  में कोडित किया जाता है। यह किसी भी संक्रमण मॉडल या सहप्रसरण में विभिन्न राज्य चर (जैसे स्थिति, वेग और त्वरण) के बीच रैखिक संबंधों के प्रतिनिधित्व के लिए अनुमति देता है।

उदाहरण आवेदन
एक उदाहरण के रूप में, एक ट्रक के सटीक स्थान को निर्धारित करने की समस्या पर विचार करें। ट्रक एक GPS  यूनिट से लैस हो सकता है जो कुछ मीटर के भीतर स्थिति का अनुमान प्रदान करता है। जीपीएस अनुमान शोर होने की संभावना है; रीडिंग तेजी से 'कूदते' हैं, हालांकि वास्तविक स्थिति के कुछ मीटर के भीतर शेष हैं। इसके अलावा, चूंकि ट्रक से भौतिकी के नियमों का पालन करने की अपेक्षा की जाती है, इसलिए समय के साथ इसके वेग को एकीकृत करके, पहिया क्रांतियों और स्टीयरिंग व्हील के कोण को ध्यान में रखते हुए इसकी स्थिति का अनुमान लगाया जा सकता है। यह एक ऐसी तकनीक है जिसे  मृत गणना  के रूप में जाना जाता है। आम तौर पर, मृत गणना ट्रक की स्थिति का एक बहुत ही सहज अनुमान प्रदान करेगी, लेकिन समय के साथ यह छोटी त्रुटियों के जमा होने के साथ  बहाव (दूरसंचार)  होगा।

इस उदाहरण के लिए, कलमन फ़िल्टर को दो अलग-अलग चरणों में काम करने वाला माना जा सकता है: भविष्यवाणी और अद्यतन। भविष्यवाणी के चरण में, ट्रक की पुरानी स्थिति को भौतिक न्यूटन के गति के नियमों (गतिशील या राज्य संक्रमण मॉडल) के अनुसार संशोधित किया जाएगा। न केवल एक नई स्थिति अनुमान की गणना की जाएगी, बल्कि एक नए सहप्रसरण की भी गणना की जाएगी। शायद सहप्रसरण ट्रक की गति के समानुपाती होता है क्योंकि हम उच्च गति पर मृत गणना स्थिति अनुमान की सटीकता के बारे में अधिक अनिश्चित होते हैं लेकिन कम गति पर स्थिति अनुमान के बारे में बहुत निश्चित होते हैं। अगला, अद्यतन चरण में, ट्रक की स्थिति का माप जीपीएस यूनिट से लिया जाता है। इस माप के साथ कुछ मात्रा में अनिश्चितता आती है, और पिछले चरण की भविष्यवाणी के सापेक्ष इसका सहप्रसरण यह निर्धारित करता है कि नया माप अद्यतन भविष्यवाणी को कितना प्रभावित करेगा। आदर्श रूप से, चूंकि मृत गणना अनुमान वास्तविक स्थिति से दूर हो जाते हैं, जीपीएस मापन को स्थिति अनुमान को वास्तविक स्थिति की ओर वापस खींचना चाहिए, लेकिन इसे शोर और तेजी से कूदने के बिंदु पर परेशान नहीं करना चाहिए।

तकनीकी विवरण और संदर्भ
कलमन फ़िल्टर एक कुशल पुनरावर्ती फ़िल्टर अनुमानक है जो सांख्यिकीय शोर माप की एक श्रृंखला से एक रैखिक गतिशील प्रणाली  की आंतरिक स्थिति है। इसका उपयोग  राडार  और  कंप्यूटर दृष्टी  से लेकर संरचनात्मक मैक्रोइकॉनॉमिक मॉडल के आकलन के लिए  अभियांत्रिकी  और  अर्थमितीय  अनुप्रयोगों की एक विस्तृत श्रृंखला में किया जाता है,  और  नियंत्रण सिद्धांत  और  नियंत्रण प्रणाली  इंजीनियरिंग में एक महत्वपूर्ण विषय है।  रैखिक-द्विघात नियामक  (LQR) के साथ, कलमन फ़िल्टर रैखिक-द्विघात-गाऊसी नियंत्रण समस्या (LQG) को हल करता है। कलमन फ़िल्टर, रैखिक-द्विघात नियामक, और रैखिक-द्विघात-गॉसियन नियंत्रक ऐसे समाधान हैं जो यकीनन नियंत्रण सिद्धांत की सबसे मूलभूत समस्याएं हैं।

अधिकांश अनुप्रयोगों में, आंतरिक स्थिति कुछ अवलोकन योग्य मापदंडों की तुलना में बहुत बड़ी होती है (इसमें स्वतंत्रता की अधिक डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) होती है) जिन्हें मापा जाता है। हालांकि, माप की एक श्रृंखला के संयोजन से, कलमन फ़िल्टर संपूर्ण आंतरिक स्थिति का अनुमान लगा सकता है।

डेम्पस्टर-शेफ़र सिद्धांत के लिए, प्रत्येक राज्य समीकरण या अवलोकन को एक रैखिक विश्वास फ़ंक्शन का एक विशेष मामला माना जाता है और कलमन फ़िल्टरिंग एक जॉइन-ट्री या मार्कोव श्रृंखला पर रैखिक विश्वास कार्यों के संयोजन का एक विशेष मामला है। अतिरिक्त विधियों में विश्वास फ़िल्टरिंग शामिल है जो राज्य समीकरणों के लिए बेयस या साक्ष्य अद्यतन का उपयोग करती है।

कलमन के मूल सूत्रीकरण से अब तक कलमन फिल्टर की एक विस्तृत विविधता मौजूद है - जिसे अब साधारण कलमन फिल्टर कहा जाता है, कलमैन-बुकी फिल्टर, श्मिट का विस्तारित फिल्टर, # सूचना फिल्टर, और विभिन्न प्रकार के वर्ग-रूट फिल्टर जिन्हें बायरमैन द्वारा विकसित किया गया था।, थॉर्नटन, और कई अन्य। शायद सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला प्रकार का बहुत ही सरल कलमन फिल्टर चरण-लॉक लूप है, जो अब रेडियो में सर्वव्यापी है, विशेष रूप से आवृत्ति मॉड्यूलेशन (एफएम) रेडियो, टेलीविजन सेट, उपग्रह संचार  रिसीवर, बाहरी अंतरिक्ष संचार प्रणाली, और लगभग किसी भी अन्य  इलेक्ट्रानिक्स । संचार उपकरण।

अंतर्निहित गतिशील प्रणाली मॉडल
कलमन फ़िल्टरिंग समय क्षेत्र में विवेकाधीन रैखिक गतिशील प्रणालियों पर आधारित है। वे सामान्य वितरण शोर (भौतिकी)  को शामिल करने वाली त्रुटियों से परेशान  रैखिक ऑपरेटर ों पर निर्मित एक मार्कोव श्रृंखला पर तैयार किए गए हैं। लक्ष्य प्रणाली का राज्य स्थान (नियंत्रण) ब्याज की जमीनी सच्चाई (अभी तक छिपी हुई) प्रणाली विन्यास को संदर्भित करता है, जिसे  वास्तविक संख्या ओं के  सदिश स्थल  के रूप में दर्शाया जाता है। प्रत्येक असतत समय वृद्धि पर, नए राज्य को उत्पन्न करने के लिए एक रैखिक ऑपरेटर को राज्य में लागू किया जाता है, जिसमें कुछ शोर मिश्रित होता है, और वैकल्पिक रूप से सिस्टम पर नियंत्रण से कुछ जानकारी यदि वे ज्ञात हैं। फिर, अधिक शोर के साथ मिश्रित एक और रैखिक ऑपरेटर वास्तविक (छिपी हुई) स्थिति से मापने योग्य आउटपुट (यानी, अवलोकन) उत्पन्न करता है। कलमैन फ़िल्टर को छिपे हुए मार्कोव मॉडल के समान माना जा सकता है, इस अंतर के साथ कि छिपे हुए मार्कोव मॉडल के लिए असतत राज्य स्थान के विपरीत छिपे हुए राज्य चर के निरंतर स्थान में मान होते हैं। कलमन फ़िल्टर के समीकरणों और छिपे हुए मार्कोव मॉडल के समीकरणों के बीच एक मजबूत सादृश्य है। रोविस और  ज़ब्न जहरमान  (1999) में इस और अन्य मॉडलों की समीक्षा दी गई है। और हैमिल्टन (1994), अध्याय 13. एक प्रक्रिया की आंतरिक स्थिति का अनुमान लगाने के लिए कलमन फिल्टर का उपयोग करने के लिए केवल शोर टिप्पणियों का एक क्रम दिया जाता है, किसी को निम्नलिखित ढांचे के अनुसार प्रक्रिया को मॉडल करना चाहिए। इसका मतलब है कि प्रत्येक समय-चरण k के लिए मैट्रिक्स निर्दिष्ट करना, निम्नलिखित:
 * 'एफ'k, राज्य-संक्रमण मॉडल;
 * एचk, अवलोकन मॉडल;
 * क्यूk, प्रक्रिया शोर का सहप्रसरण;
 * आरk, प्रेक्षण शोर का सहप्रसरण;
 * और कभी कभी बीk, नियंत्रण-इनपुट मॉडल जैसा कि नीचे वर्णित है; अगर बीk शामिल है, तो वहाँ भी है
 * आपk, नियंत्रण वेक्टर, नियंत्रण-इनपुट मॉडल में नियंत्रित इनपुट का प्रतिनिधित्व करता है।

Kalman फ़िल्टर मॉडल वास्तविक स्थिति को मानता है जब k राज्य से (k − 1) के अनुसार विकसित होता है


 * $$ \mathbf{x}_k = \mathbf{F}_k \mathbf{x}_{k-1} +\mathbf{B}_k \mathbf{u}_{k} + \mathbf{w}_k $$

कहाँ पे
 * एफk राज्य संक्रमण मॉडल है जो पिछले राज्य x . पर लागू होता हैk−1;
 * बीk नियंत्रण-इनपुट मॉडल है जो नियंत्रण वेक्टर u पर लागू होता हैk;
 * मेंk प्रक्रिया शोर है, जिसे शून्य माध्य बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण से लिया गया माना जाता है, $$\mathcal{N}$$, सहप्रसरण मैट्रिक्स के साथ, Qk: $$\mathbf{w}_k \sim \mathcal{N}\left(0, \mathbf{Q}_k\right) $$.

समय k पर एक प्रेक्षण (या माप) 'z'k वास्तविक अवस्था का xk के अनुसार बनाया गया है


 * $$\mathbf{z}_k = \mathbf{H}_k \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k$$

कहाँ पे
 * एचk अवलोकन मॉडल है, जो वास्तविक स्थिति स्थान को प्रेक्षित स्थान में मैप करता है और
 * वीk अवलोकन शोर है, जिसे सहप्रसरण R . के साथ शून्य माध्य गॉसियन सफेद शोर माना जाता हैk: $$\mathbf{v}_k \sim \mathcal{N}\left(0, \mathbf{R}_k\right) $$.

प्रारंभिक अवस्था, और प्रत्येक चरण पर शोर वैक्टर {x0, में1, ..., मेंk, में1, ... ,मेंk} सभी को पारस्परिक रूप से सांख्यिकीय स्वतंत्रता  माना जाता है।

कई रीयल-टाइम डायनेमिक सिस्टम इस मॉडल के बिल्कुल अनुरूप नहीं हैं। वास्तव में, बिना मॉडल की गतिशीलता फिल्टर के प्रदर्शन को गंभीर रूप से खराब कर सकती है, तब भी जब इसे इनपुट के रूप में अज्ञात स्टोकेस्टिक संकेतों के साथ काम करना चाहिए था। इसका कारण यह है कि अनमॉडल्ड डायनामिक्स का प्रभाव इनपुट पर निर्भर करता है, और इसलिए, अनुमान एल्गोरिथम को अस्थिरता में ला सकता है (यह विचलन करता है)। दूसरी ओर, स्वतंत्र श्वेत शोर संकेत एल्गोरिथम को विचलन नहीं करेंगे। मापन शोर और अनमॉडल गतिकी के बीच अंतर करने की समस्या एक कठिन है और इसे मजबूत नियंत्रण  का उपयोग करते हुए नियंत्रण सिद्धांत की समस्या के रूप में माना जाता है।

विवरण
कलमन फ़िल्टर एक अनंत आवेग प्रतिक्रिया  अनुमानक है। इसका मतलब यह है कि वर्तमान स्थिति के अनुमान की गणना करने के लिए पिछले समय के चरण और वर्तमान माप से केवल अनुमानित स्थिति की आवश्यकता है। बैच अनुमान तकनीकों के विपरीत, अवलोकनों और/या अनुमानों के इतिहास की आवश्यकता नहीं है। निम्नलिखित में, संकेतन $$\hat{\mathbf{x}}_{n\mid m}$$ के अनुमान का प्रतिनिधित्व करता है $$\mathbf{x}$$ समय पर n दिए गए अवलोकन और समय तक शामिल हैं m ≤ n.

फ़िल्टर की स्थिति को दो चर द्वारा दर्शाया जाता है:
 * $$\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}$$, एक पश्चवर्ती अवस्था का अनुमान समय k पर दिया गया है और इसमें समय k भी शामिल है;
 * $$\mathbf{P}_{k\mid k}$$, एक पोस्टीरियरी अनुमान सहप्रसरण मैट्रिक्स (अनुमानित सटीकता और राज्य अनुमान की सटीकता का एक उपाय)।

कलमन फ़िल्टर की एल्गोरिथम संरचना अल्फा बीटा फ़िल्टर  के समान होती है। कलमन फ़िल्टर को एकल समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है; हालांकि, इसे अक्सर दो अलग-अलग चरणों के रूप में परिकल्पित किया जाता है: भविष्यवाणी और अद्यतन। भविष्यवाणी चरण वर्तमान समय पर राज्य का अनुमान लगाने के लिए पिछले टाइमस्टेप से राज्य अनुमान का उपयोग करता है। इस अनुमानित राज्य अनुमान को प्राथमिक राज्य अनुमान के रूप में भी जाना जाता है क्योंकि, हालांकि यह वर्तमान समय पर राज्य का अनुमान है, इसमें वर्तमान समय-चरण से अवलोकन जानकारी शामिल नहीं है। अद्यतन चरण में,  नवाचार (सिग्नल प्रोसेसिंग)  (प्री-फिट अवशिष्ट), यानी वर्तमान एक प्राथमिक भविष्यवाणी और वर्तमान अवलोकन जानकारी के बीच का अंतर, इष्टतम कलमन लाभ से गुणा किया जाता है और परिष्कृत करने के लिए पिछले राज्य अनुमान के साथ जोड़ा जाता है। राज्य का अनुमान। वर्तमान अवलोकन के आधार पर इस बेहतर अनुमान को पश्चवर्ती राज्य अनुमान कहा जाता है।

आम तौर पर, दो चरण वैकल्पिक होते हैं, भविष्यवाणी अगले अनुसूचित अवलोकन तक राज्य को आगे बढ़ाती है, और अद्यतन अवलोकन को शामिल करता है। हालाँकि, यह आवश्यक नहीं है; यदि किसी कारण से कोई अवलोकन अनुपलब्ध है, तो अद्यतन को छोड़ दिया जा सकता है और कई पूर्वानुमान प्रक्रियाएं की जा सकती हैं। इसी तरह, यदि एक ही समय में कई स्वतंत्र अवलोकन उपलब्ध हैं, तो कई अद्यतन प्रक्रियाएं की जा सकती हैं (आमतौर पर विभिन्न अवलोकन मैट्रिक्स 'एच' के साथ)k).

अपडेट
अद्यतन (एक पोस्टीरियरी) अनुमान सहप्रसरण के लिए सूत्र इष्टतम 'K' के लिए मान्य हैk लाभ जो अवशिष्ट त्रुटि को कम करता है, जिस रूप में यह अनुप्रयोगों में सबसे व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। सूत्रों का प्रमाण # व्युत्पत्ति अनुभाग में मिलता है, जहाँ सूत्र किसी भी 'K' के लिए मान्य होता है।k भी दिखाया गया है।

अद्यतन राज्य अनुमान को व्यक्त करने का एक अधिक सहज तरीका ($$\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}$$) है:


 * $$\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1} + \mathbf{K}_k (\mathbf{H}_k \mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k)$$

यह अभिव्यक्ति हमें एक रैखिक प्रक्षेप की याद दिलाती है, $$x = (1-t)(a) + t(b)$$ के लिये $$t$$ [0,1] के बीच। हमारे मामले में: यह एक्सप्रेशन भी अल्फ़ा बीटा फ़िल्टर अद्यतन चरण जैसा दिखता है।
 * $$t$$ कलमन लाभ है ($$\mathbf{K}_k$$), एक मैट्रिक्स जो से मान लेता है $$0$$ (सेंसर में उच्च त्रुटि) to $$I$$ (कम त्रुटि)।
 * $$a$$ मॉडल से अनुमानित मूल्य है।
 * $$b$$ माप से मूल्य है।

अपरिवर्तनीय
यदि मॉडल सटीक है, और के लिए मान $$\hat{\mathbf{x}}_{0\mid 0}$$ तथा $$\mathbf{P}_{0\mid 0}$$ प्रारंभिक राज्य मूल्यों के वितरण को सटीक रूप से प्रतिबिंबित करें, फिर निम्नलिखित अपरिवर्तनीय संरक्षित हैं:
 * $$\begin{align}

\operatorname{E}[\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}] &= \operatorname{E}[\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}] = 0 \\ \operatorname{E}[\tilde{\mathbf{y}}_k] &= 0 \end{align}$$ कहाँ पे $$\operatorname{E}[\xi]$$ का अपेक्षित मूल्य  है $$\xi$$. यानी सभी अनुमानों में शून्य की औसत त्रुटि होती है।

भी:
 * $$\begin{align}

\mathbf{P}_{k\mid k} &= \operatorname{cov}\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}\right) \\ \mathbf{P}_{k\mid k-1} &= \operatorname{cov}\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k-1}\right) \\ \mathbf{S}_k &= \operatorname{cov}\left(\tilde{\mathbf{y}}_k\right) \end{align}$$ इसलिए सहप्रसरण मैट्रिक्स अनुमानों के सहप्रसरण को सटीक रूप से दर्शाते हैं।

ध्वनि सहप्रसरणों का अनुमान Qk और आरk
एक कलमन फ़िल्टर का व्यावहारिक कार्यान्वयन अक्सर मुश्किल होता है क्योंकि शोर सहसंयोजक मैट्रिक्स का एक अच्छा अनुमान प्राप्त करने में कठिनाई होती है Qk और आरk. डेटा से इन सहप्रसरणों का अनुमान लगाने के लिए व्यापक शोध किया गया है। ऐसा करने का एक व्यावहारिक तरीका स्वतः सहप्रसरण  कम से कम वर्ग (एएलएस) तकनीक है जो सहसंयोजकों का अनुमान लगाने के लिए नियमित ऑपरेटिंग डेटा के समय-अंतराल ऑटोकोवेरिएंस का उपयोग करता है।   जीएनयू ऑक्टेव  और मैटलैब कोड एएलएस तकनीक का उपयोग करके शोर सहसंयोजक मैट्रिक्स की गणना करने के लिए उपयोग किया जाता है,  जीएनयू जनरल पब्लिक लाइसेंस  का उपयोग करके ऑनलाइन उपलब्ध है। फील्ड कलमैन फ़िल्टर (FKF), एक बायेसियन एल्गोरिथम, जो राज्य, मापदंडों और शोर सहप्रसरण के एक साथ आकलन की अनुमति देता है, प्रस्तावित किया गया है। FKF एल्गोरिथ्म में एक पुनरावर्ती सूत्रीकरण, अच्छा मनाया अभिसरण और अपेक्षाकृत कम जटिलता है। यह एक संभावना देता है कि FKF एल्गोरिथ्म Autocovariance Least-Square विधियों का एक विकल्प हो सकता है।

इष्टतमता और प्रदर्शन
यह सिद्धांत से निम्नानुसार है कि कलमैन फ़िल्टर उन मामलों में इष्टतम रैखिक फ़िल्टर है जहां ए) मॉडल वास्तविक प्रणाली से पूरी तरह मेल खाता है, बी) प्रवेश शोर सफेद (असंबद्ध) है और सी) शोर के सहसंयोजक बिल्कुल ज्ञात हैं। कलमन फिल्टर का उपयोग करके सहसंबद्ध शोर का भी इलाज किया जा सकता है। पिछले दशकों के दौरान शोर सहसंयोजक अनुमान के लिए कई तरीके प्रस्तावित किए गए हैं, जिनमें एएलएस भी शामिल है, जिसका उल्लेख ऊपर के खंड में किया गया है। सहप्रसरणों का अनुमान लगाने के बाद, फ़िल्टर के प्रदर्शन का मूल्यांकन करना उपयोगी होता है; यानी क्या राज्य के आकलन की गुणवत्ता में सुधार संभव है। यदि कलमन फ़िल्टर बेहतर तरीके से काम करता है, तो इनोवेशन सीक्वेंस (आउटपुट प्रेडिक्शन एरर) एक सफेद शोर है, इसलिए इनोवेशन (सिग्नल प्रोसेसिंग) की व्हाइटनेस प्रॉपर्टी फिल्टर के प्रदर्शन को मापती है। इस उद्देश्य के लिए कई अलग-अलग तरीकों का इस्तेमाल किया जा सकता है। यदि शोर की शर्तों को गैर-गॉसियन तरीके से वितरित किया जाता है, तो फ़िल्टर अनुमान के प्रदर्शन का आकलन करने के तरीके, जो संभाव्यता असमानताओं या बड़े-नमूना सिद्धांत का उपयोग करते हैं, साहित्य में जाने जाते हैं।

उदाहरण आवेदन, तकनीकी
घर्षण रहित, सीधी रेल पर एक ट्रक पर विचार करें। प्रारंभ में, ट्रक 0 की स्थिति में स्थिर होता है, लेकिन इसे इस तरह से और बेतरतीब अनियंत्रित बलों द्वारा बुफे किया जाता है। हम हर Δt सेकंड में ट्रक की स्थिति को मापते हैं, लेकिन ये माप सटीक नहीं हैं; हम ट्रक की स्थिति और वेग  का एक मॉडल बनाए रखना चाहते हैं। हम यहां दिखाते हैं कि हम उस मॉडल को कैसे प्राप्त करते हैं जिससे हम अपना कलमन फ़िल्टर बनाते हैं।

तब से $$\mathbf{F}, \mathbf{H}, \mathbf{R}, \mathbf{Q}$$ स्थिर हैं, उनका समय सूचकांक गिरा दिया गया है।

ट्रक की स्थिति और वेग को रेखीय अवस्था स्थान द्वारा वर्णित किया जाता है
 * $$\mathbf{x}_k = \begin{bmatrix}

x \\ \dot{x} \end{bmatrix} $$ कहाँ पे $$\dot{x}$$ वेग है, जो समय के संबंध में स्थिति का व्युत्पन्न है।

हम मानते हैं कि (k − 1) और k टाइमस्टेप के बीच अनियंत्रित बल a. के निरंतर त्वरण का कारण बनते हैंk यह सामान्य वितरण है, जिसका मतलब 0 और मानक विचलन हैa. न्यूटन के गति के नियमों से हम यह निष्कर्ष निकालते हैं कि
 * $$\mathbf{x}_k = \mathbf{F} \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{G} a_k$$

(कोई नहीं है $$\mathbf{B}u$$ शब्द क्योंकि कोई ज्ञात नियंत्रण इनपुट नहीं हैं। इसके बजाय, एk एक अज्ञात इनपुट का प्रभाव है और $$\mathbf{G}$$ उस प्रभाव को राज्य वेक्टर पर लागू करता है) जहां
 * $$\begin{align}

\mathbf{F} &= \begin{bmatrix} 1 & \Delta t \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \\[4pt] \mathbf{G} &= \begin{bmatrix} \frac{1}{2}{\Delta t}^2 \\[6pt] \Delta t \end{bmatrix} \end{align}$$ ताकि
 * $$\mathbf{x}_k = \mathbf{F} \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{w}_k$$

कहाँ पे
 * $$\begin{align}

\mathbf{w}_k &\sim N(0, \mathbf{Q}) \\ \mathbf{Q} &= \mathbf{G}\mathbf{G}^\textsf{T}\sigma_a^2 = \begin{bmatrix} \frac{1}{4}{\Delta t}^4 & \frac{1}{2}{\Delta t}^3 \\[6pt] \frac{1}{2}{\Delta t}^3 & {\Delta t}^2 \end{bmatrix}\sigma_a^2. \end{align}$$ साँचा $$\mathbf{Q}$$ पूर्ण रैंक नहीं है (यह रैंक एक का है यदि $$\Delta t \neq 0$$) इसलिए, वितरण $$N(0, \mathbf{Q})$$ पूरी तरह से निरंतर नहीं है और इसमें बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण#डीजनरेट केस है। इसे व्यक्त करने का एक अन्य तरीका, स्पष्ट पतित वितरणों से बचना किसके द्वारा दिया गया है
 * $$\mathbf{w}_k \sim \mathbf{G} \cdot N\left(0, \sigma_a^2\right). $$

प्रत्येक समय चरण में, ट्रक की सही स्थिति का एक शोर माप किया जाता है। आइए मान लें कि माप शोर vk माध्य 0 और मानक विचलन के साथ सामान्य रूप से भी वितरित किया जाता हैz.
 * $$\mathbf{z}_k = \mathbf{H x}_k + \mathbf{v}_k$$

कहाँ पे
 * $$\mathbf{H} = \begin{bmatrix} 1 & 0 \end{bmatrix} $$

तथा

\mathbf{R} = \mathrm{E}\left[\mathbf{v}_k \mathbf{v}_k^\textsf{T}\right] = \begin{bmatrix} \sigma_z^2 \end{bmatrix} $$ हम ट्रक की प्रारंभिक प्रारंभिक स्थिति को पूर्ण सटीकता के साथ जानते हैं, इसलिए हम प्रारंभ करते हैं
 * $$\hat{\mathbf{x}}_{0 \mid 0} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} $$

और फ़िल्टर को यह बताने के लिए कि हम सटीक स्थिति और वेग जानते हैं, हम इसे एक शून्य सहप्रसरण मैट्रिक्स देते हैं:
 * $$\mathbf{P}_{0 \mid 0} = \begin{bmatrix}

0 & 0 \\   0 & 0  \end{bmatrix} $$ यदि प्रारंभिक स्थिति और वेग पूरी तरह से ज्ञात नहीं हैं, तो कॉन्वर्सिस मैट्रिक्स को इसके विकर्ण पर उपयुक्त भिन्नताओं के साथ प्रारंभ किया जाना चाहिए:
 * $$\mathbf{P}_{0 \mid 0} = \begin{bmatrix}

\sigma_x^2 & 0 \\ 0         & \sigma_\dot{x}^2 \end{bmatrix} $$ फ़िल्टर तब पहले माप की जानकारी को मॉडल में पहले से मौजूद जानकारी से अधिक पसंद करेगा।

स्पर्शोन्मुख रूप
सादगी के लिए, मान लें कि नियंत्रण इनपुट $$\mathbf{u}_k=\mathbf{0}$$. तब कलमन फ़िल्टर लिखा जा सकता है:


 * $$\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k} = \mathbf{F}_k \hat{\mathbf{x}}_{k-1\mid k-1} + \mathbf{K}_k[\mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k \mathbf{F}_k\hat{\mathbf{x}}_{k-1\mid k-1}].$$

यदि हम एक गैर-शून्य नियंत्रण इनपुट शामिल करते हैं तो एक समान समीकरण होता है। गेन मैट्रिसेस $$\mathbf{K}_k$$ माप के स्वतंत्र रूप से विकसित $$\mathbf{z}_k$$. ऊपर से, कलमन लाभ को अद्यतन करने के लिए आवश्यक चार समीकरण इस प्रकार हैं:


 * $$\begin{align}

\mathbf{P}_{k\mid k-1} &= \mathbf{F}_k \mathbf{P}_{k-1\mid k-1} \mathbf{F}_k^\textsf{T} + \mathbf{Q}_k, \\ \mathbf{S}_k &= \mathbf{R}_k + \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T}, \\ \mathbf{K}_k &= \mathbf{P}_{k\mid k-1}\mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{S}_k^{-1}, \\ \mathbf{P}_{k|k} &= \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right) \mathbf{P}_{k|k-1}. \end{align}$$ चूंकि लाभ मैट्रिक्स केवल मॉडल पर निर्भर करते हैं, न कि माप पर, उनकी गणना ऑफ़लाइन की जा सकती है। गेन मैट्रिसेस का अभिसरण $$\mathbf{K}_k$$ एक स्पर्शोन्मुख मैट्रिक्स के लिए $$\mathbf{K}_\infty$$ वालरैंड और डिमाकिस में स्थापित शर्तों के लिए लागू होता है। सिमुलेशन अभिसरण के चरणों की संख्या स्थापित करते हैं। ऊपर वर्णित चलती ट्रक के उदाहरण के लिए $$\Delta t = 1$$. तथा $$\sigma_a^2=\sigma_z^2 =\sigma_x^2= \sigma_\dot{x}^2=1$$, सिमुलेशन में अभिसरण दिखाता है $$10$$ पुनरावृत्तियों

स्पर्शोन्मुख लाभ का उपयोग करना, और मान लेना $$\mathbf{H}_k$$ तथा $$\mathbf{F}_k$$ से स्वतंत्र हैं $$k$$, कलमन फ़िल्टर एक रेखीय समय-अपरिवर्तनीय फ़िल्टर बन जाता है:


 * $$\hat{\mathbf{x}}_{k} = \mathbf{F} \hat{\mathbf{x}}_{k-1} + \mathbf{K}_\infty[\mathbf{z}_k - \mathbf{H}\mathbf{F} \hat{\mathbf{x}}_{k-1}].$$

स्पर्शोन्मुख लाभ $$\mathbf{K}_\infty$$, यदि यह मौजूद है, तो पहले एसिम्प्टोटिक राज्य सहप्रसरण के लिए निम्नलिखित असतत रिकाटी समीकरण को हल करके गणना की जा सकती है $$\mathbf{P}_\infty$$:


 * $$\mathbf{P}_\infty = \mathbf{F}\left(\mathbf{P}_\infty - \mathbf{P}_\infty \mathbf{H}^\textsf{T} \left(\mathbf{H}\mathbf{P}_\infty\mathbf{H}^\textsf{T} + \mathbf{R}\right) ^{-1} \mathbf{H}\mathbf{P}_\infty\right) \mathbf{F}^\textsf{T} + \mathbf{Q}.$$

स्पर्शोन्मुख लाभ की गणना पहले की तरह की जाती है।


 * $$\mathbf{K}_\infty = \mathbf{P}_\infty \mathbf{H}^\textsf{T} \left( \mathbf{R} + \mathbf{H} \mathbf{P}_\infty \mathbf{H}^\textsf{T} \right) ^{-1}.$$

व्युत्पत्ति
कलमन फ़िल्टर को पिछले डेटा पर संचालित सामान्यीकृत कम से कम वर्ग  विधि के रूप में प्राप्त किया जा सकता है।

पश्चवर्ती अनुमान सहप्रसरण मैट्रिक्स प्राप्त करना
त्रुटि सहप्रसरण 'P' पर हमारे अपरिवर्तनीय से प्रारंभ करनाk ऊपरोक्त अनुसार
 * $$\mathbf{P}_{k \mid k} = \operatorname{cov}\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k}\right)$$

की परिभाषा में स्थानापन्न $$\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k}$$
 * $$\mathbf{P}_{k \mid k} = \operatorname{cov}\left[\mathbf{x}_k - \left(\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1} + \mathbf{K}_k\tilde{\mathbf{y}}_k\right)\right]$$

और स्थानापन्न $$\tilde{\mathbf{y}}_k$$
 * $$\mathbf{P}_{k \mid k} = \operatorname{cov}\left(\mathbf{x}_k - \left[\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1} + \mathbf{K}_k\left(\mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1}\right)\right]\right)$$

तथा $$\mathbf{z}_k$$
 * $$\mathbf{P}_{k \mid k} = \operatorname{cov}\left(\mathbf{x}_k - \left[\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1} + \mathbf{K}_k\left(\mathbf{H}_k\mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k - \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1}\right)\right]\right)$$

और त्रुटि वैक्टर को इकट्ठा करके हम प्राप्त करते हैं
 * $$\mathbf{P}_{k \mid k} = \operatorname{cov}\left[\left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right)\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1}\right) - \mathbf{K}_k \mathbf{v}_k\right]$$

चूंकि माप त्रुटि vk अन्य शर्तों के साथ असंबंधित है, यह बन जाता है
 * $$\mathbf{P}_{k \mid k} = \operatorname{cov}\left[\left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right)\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1}\right)\right] + \operatorname{cov}\left[\mathbf{K}_k \mathbf{v}_k\right]$$

सहप्रसरण मैट्रिक्स के गुणों से यह बन जाता है
 * $$\mathbf{P}_{k \mid k} = \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right)\operatorname{cov}\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k - 1}\right)\left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right)^\textsf{T} + \mathbf{K}_k\operatorname{cov}\left(\mathbf{v}_k\right)\mathbf{K}_k^\textsf{T}$$

जो, P. पर हमारे इनवेरिएंट का उपयोग करते हुएk और R. की परिभाषाk हो जाता है
 * $$\mathbf{P}_{k \mid k} = \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right) \mathbf{P}_{k \mid k - 1} \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right)^\textsf{T} + \mathbf{K}_k \mathbf{R}_k \mathbf{K}_k^\textsf{T}$$

यह सूत्र (कभी-कभी सहप्रसरण अद्यतन समीकरण के जोसफ रूप के रूप में जाना जाता है) K. के किसी भी मान के लिए मान्य हैk. यह पता चला है कि अगर Kk इष्टतम कलमन लाभ है, इसे और सरल बनाया जा सकता है जैसा कि नीचे दिखाया गया है।

कलमन गेन व्युत्पत्ति
कलमन फ़िल्टर एक न्यूनतम माध्य-वर्ग त्रुटि  अनुमानक है। पश्चवर्ती अवस्था अनुमान में त्रुटि है
 * $$\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k}$$

हम इस वेक्टर के परिमाण के वर्ग के अपेक्षित मूल्य को कम करना चाहते हैं, $$\operatorname{E}\left[\left\|\mathbf{x}_{k} - \hat{\mathbf{x}}_{k|k}\right\|^2\right]$$. यह पोस्टीरियरी अनुमान सहप्रसरण मैट्रिक्स के ट्रेस (मैट्रिक्स)  को कम करने के बराबर है $$ \mathbf{P}_{k|k} $$. उपरोक्त समीकरण में शर्तों का विस्तार करने और एकत्रित करने से, हम प्राप्त करते हैं:
 * $$\begin{align}

\mathbf{P}_{k\mid k} & = \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{K}_k^\textsf{T} + \mathbf{K}_k \left(\mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T} + \mathbf{R}_k\right) \mathbf{K}_k^\textsf{T} \\[6pt] &= \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{K}_k^\textsf{T} + \mathbf{K}_k \mathbf{S}_k\mathbf{K}_k^\textsf{T} \end{align}$$ ट्रेस को कम किया जाता है जब लाभ मैट्रिक्स के संबंध में इसका मैट्रिक्स कैलकुलस  शून्य होता है। मैट्रिक्स कैलकुलस का उपयोग करना#पहचान और शामिल मैट्रिक्स की समरूपता हम पाते हैं कि
 * $$\frac{\partial \; \operatorname{tr}(\mathbf{P}_{k\mid k})}{\partial \;\mathbf{K}_k} = -2 \left(\mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1}\right)^\textsf{T} + 2 \mathbf{K}_k \mathbf{S}_k = 0.$$

K. के लिए इसे हल करनाk कलमन लाभ प्राप्त करता है:
 * $$\begin{align}

\mathbf{K}_k \mathbf{S}_k &= \left(\mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1}\right)^\textsf{T} = \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T} \\ \Rightarrow \mathbf{K}_k &= \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{S}_k^{-1} \end{align}$$ यह लाभ, जिसे इष्टतम कलमन लाभ के रूप में जाना जाता है, वह है जो उपयोग किए जाने पर न्यूनतम माध्य वर्ग त्रुटि अनुमान उत्पन्न करता है।

पश्च त्रुटि सहप्रसरण सूत्र का सरलीकरण
पोस्टीरियरी एरर कॉन्वर्सिस की गणना के लिए उपयोग किए जाने वाले सूत्र को सरल बनाया जा सकता है जब कलमैन गेन ऊपर व्युत्पन्न इष्टतम मूल्य के बराबर हो। हमारे कलमन गेन फॉर्मूले के दोनों पक्षों को दाईं ओर 'S' से गुणा करने परkKkटी, यह इस प्रकार है
 * $$\mathbf{K}_k \mathbf{S}_k \mathbf{K}_k^\textsf{T} = \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{K}_k^\textsf{T}$$

पोस्टीरियर एरर कॉन्वर्सिस के लिए हमारे विस्तारित फॉर्मूले का जिक्र करते हुए,
 * $$ \mathbf{P}_{k\mid k} = \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{P}_{k\mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{K}_k^\textsf{T} + \mathbf{K}_k \mathbf{S}_k \mathbf{K}_k^\textsf{T}$$

हम पाते हैं कि अंतिम दो शर्तें रद्द कर दी गई हैं
 * $$ \mathbf{P}_{k\mid k} = \mathbf{P}_{k\mid k-1} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k\mid k-1} = (\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k) \mathbf{P}_{k\mid k-1}.$$

यह सूत्र कम्प्यूटेशनल रूप से सस्ता है और इस प्रकार लगभग हमेशा व्यवहार में उपयोग किया जाता है, लेकिन यह केवल इष्टतम लाभ के लिए सही है। यदि अंकगणितीय परिशुद्धता असामान्य रूप से कम है जिससे संख्यात्मक स्थिरता  के साथ समस्याएं उत्पन्न होती हैं, या यदि एक गैर-इष्टतम कलमैन लाभ जानबूझकर उपयोग किया जाता है, तो यह सरलीकरण लागू नहीं किया जा सकता है; उपरोक्त व्युत्पन्न (जोसेफ फॉर्म) के रूप में एक पश्चवर्ती त्रुटि सहप्रसरण सूत्र का उपयोग किया जाना चाहिए।

संवेदनशीलता विश्लेषण
कलमन फ़िल्टरिंग समीकरण राज्य का अनुमान प्रदान करते हैं $$\hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}$$ और इसकी त्रुटि सहप्रसरण $$\mathbf{P}_{k\mid k}$$ पुनरावर्ती रूप से। अनुमान और इसकी गुणवत्ता सिस्टम पैरामीटर और अनुमानक को इनपुट के रूप में खिलाए गए शोर आंकड़ों पर निर्भर करती है। यह खंड फ़िल्टर के लिए सांख्यिकीय इनपुट में अनिश्चितताओं के प्रभाव का विश्लेषण करता है। विश्वसनीय आँकड़ों या शोर सहप्रसरण मैट्रिक्स के सही मूल्यों के अभाव में $$\mathbf{Q}_{k}$$ तथा $$\mathbf{R}_k$$, भावाभिव्यक्ति
 * $$\mathbf{P}_{k\mid k} = \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k\mathbf{H}_k\right)\mathbf{P}_{k\mid k-1}\left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k\mathbf{H}_k\right)^\textsf{T} + \mathbf{K}_k\mathbf{R}_k\mathbf{K}_k^\textsf{T}$$

अब वास्तविक त्रुटि सहप्रसरण प्रदान नहीं करता है। दूसरे शब्दों में, $$\mathbf{P}_{k \mid k} \neq E\left[\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k\mid k}\right)\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k}\right)^\textsf{T}\right]$$. अधिकांश वास्तविक समय के अनुप्रयोगों में, कलमैन फ़िल्टर को डिज़ाइन करने में उपयोग किए जाने वाले कॉन्वर्सिस मैट्रिसेस वास्तविक (सच्चे) नॉइज़ कॉन्वर्सिस मैट्रिसेस से भिन्न होते हैं। यह संवेदनशीलता विश्लेषण आकलन त्रुटि सहप्रसरण के व्यवहार का वर्णन करता है जब शोर सहप्रसरणों के साथ-साथ सिस्टम मैट्रिक्स $$\mathbf{F}_k$$ तथा $$\mathbf{H}_k$$ फ़िल्टर में इनपुट के रूप में फीड किए गए गलत हैं। इस प्रकार, संवेदनशीलता विश्लेषण अनुमानक को गलत निर्दिष्ट सांख्यिकीय और पैरामीट्रिक इनपुट के लिए अनुमानक की मजबूती (या संवेदनशीलता) का वर्णन करता है।

यह चर्चा सांख्यिकीय अनिश्चितताओं के मामले में त्रुटि संवेदनशीलता विश्लेषण तक सीमित है। यहाँ वास्तविक शोर सहप्रसरणों को द्वारा दर्शाया गया है $$\mathbf{Q}^a_k$$ तथा $$\mathbf{R}^a_k$$ क्रमशः, जबकि अनुमानक में प्रयुक्त डिज़ाइन मान हैं $$\mathbf{Q}_k$$ तथा $$\mathbf{R}_k$$ क्रमश। वास्तविक त्रुटि सहप्रसरण द्वारा निरूपित किया जाता है $$\mathbf{P}_{k \mid k}^a$$ तथा $$\mathbf{P}_{k \mid k}$$ Kalman फ़िल्टर द्वारा गणना के रूप में Riccati चर के रूप में जाना जाता है। कब $$\mathbf{Q}_k \equiv \mathbf{Q}^a_k$$ तथा $$\mathbf{R}_k \equiv \mathbf{R}^a_k$$, इस का मतलब है कि $$\mathbf{P}_{k \mid k} = \mathbf{P}_{k \mid k}^a$$. वास्तविक त्रुटि सहप्रसरण की गणना करते समय $$\mathbf{P}_{k \mid k}^a = E\left[\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k}\right)\left(\mathbf{x}_k - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k}\right)^\textsf{T}\right] $$, के लिए प्रतिस्थापन $$\widehat{\mathbf{x}}_{k \mid k}$$ और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि $$E\left[\mathbf{w}_k\mathbf{w}_k^\textsf{T}\right] = \mathbf{Q}_k^a$$ तथा $$E\left[\mathbf{v}_k \mathbf{v}_k^\textsf{T}\right] = \mathbf{R}_k^a$$, के लिए निम्नलिखित पुनरावर्ती समीकरणों का परिणाम है $$\mathbf{P}_{k \mid k}^a$$ :
 * $$\mathbf{P}_{k \mid k-1}^a = \mathbf{F}_k\mathbf{P}_{k-1 \mid k-1}^a \mathbf{F}_k^\textsf{T} + \mathbf{Q}_k^a $$

तथा
 * $$\mathbf{P}_{k \mid k}^a = \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right)\mathbf{P}_{k \mid k-1}^a \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k\right)^\textsf{T} + \mathbf{K}_k \mathbf{R}_k^a \mathbf{K}_k^\textsf{T}$$

गणना करते समय $$\mathbf{P}_{k \mid k}$$, डिज़ाइन द्वारा फ़िल्टर परोक्ष रूप से मानता है कि $$E\left[\mathbf{w}_k \mathbf{w}_k^\textsf{T}\right] = \mathbf{Q}_k$$ तथा $$E\left[\mathbf{v}_k \mathbf{v}_k^\textsf{T}\right] = \mathbf{R}_k$$. के लिए पुनरावर्ती व्यंजक $$\mathbf{P}_{k \mid k}^a$$ तथा $$\mathbf{P}_{k \mid k}$$ की उपस्थिति को छोड़कर समान हैं $$\mathbf{Q}_k^a$$ तथा $$\mathbf{R}_k^a$$ डिजाइन मूल्यों के स्थान पर $$\mathbf{Q}_k$$ तथा $$\mathbf{R}_k$$ क्रमश। कलमन फिल्टर सिस्टम की मजबूती का विश्लेषण करने के लिए शोध किए गए हैं।

वर्गमूल रूप
कलमन फ़िल्टर के साथ एक समस्या इसकी संख्यात्मक स्थिरता है। यदि प्रक्रिया शोर सहप्रसरण Qk छोटा है, राउंड-ऑफ त्रुटि अक्सर एक छोटे सकारात्मक eigenvalue को ऋणात्मक संख्या के रूप में गणना करने का कारण बनती है। यह राज्य सहसंयोजक मैट्रिक्स पी सकारात्मक-अर्ध-परिमित मैट्रिक्स  के संख्यात्मक प्रतिनिधित्व को प्रस्तुत करता है, जबकि इसका वास्तविक रूप  सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स  | सकारात्मक-निश्चित है।

धनात्मक निश्चित आव्यूहों में गुण होता है कि उनके पास एक त्रिभुजाकार मैट्रिक्स होता है जो एक मैट्रिक्स P = S·S. का वर्गमूल होता हैटी. इसे चोल्स्की गुणनखंड एल्गोरिथ्म का उपयोग करके कुशलता से गणना की जा सकती है, लेकिन इससे भी महत्वपूर्ण बात यह है कि यदि सहप्रसरण को इस रूप में रखा जाता है, तो इसका कभी भी ऋणात्मक विकर्ण या असममित नहीं हो सकता है। एक समान रूप, जो मैट्रिक्स  वर्गमूल  द्वारा आवश्यक कई वर्गमूल संचालन से बचा जाता है, फिर भी वांछनीय संख्यात्मक गुणों को संरक्षित करता है, यू-डी अपघटन रूप है, पी = यू · डी · यू T, जहां U एक  इकाई त्रिकोणीय मैट्रिक्स  (इकाई विकर्ण के साथ) है, और D एक विकर्ण मैट्रिक्स है।

दोनों के बीच, U-D फ़ैक्टराइज़ेशन समान मात्रा में भंडारण का उपयोग करता है, और कुछ हद तक कम गणना, और सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला वर्गमूल रूप है। (सापेक्ष दक्षता पर प्रारंभिक साहित्य कुछ हद तक भ्रामक है, क्योंकि यह माना जाता है कि वर्गमूल विभाजनों की तुलना में अधिक समय लेने वाले थे, जबकि 21वीं सदी के कंप्यूटरों पर वे थोड़े अधिक महंगे हैं।)

कलमन भविष्यवाणी के लिए कुशल एल्गोरिदम और वर्गमूल रूप में अद्यतन चरणों को जी जे बीरमैन और सी एल थॉर्नटन द्वारा विकसित किया गया था।

एलडीएल अपघटन|एल·डी·एलT इनोवेशन कॉन्वर्सिस मैट्रिक्स S. का अपघटनk एक अन्य प्रकार के संख्यात्मक रूप से कुशल और मजबूत वर्गमूल फ़िल्टर का आधार है। एल्गोरिथ्म LU अपघटन के साथ शुरू होता है जैसा कि रैखिक बीजगणित पैकेज ( LAPACK ) में लागू किया गया है। इन परिणामों को आगे L·D·L. में विभाजित किया गया है एक सममित गैर-एकवचन मैट्रिक्स के लिए गोलब और वैन लोन (एल्गोरिदम 4.1.2) द्वारा दी गई विधियों के साथ संरचना। कोई भी एकवचन सहप्रसरण मैट्रिक्स पिवट तत्व है ताकि पहला विकर्ण विभाजन उलटा मैट्रिक्स  और  शर्त संख्या  | अच्छी तरह से वातानुकूलित हो। पिवोटिंग एल्गोरिथम को इनोवेशन कॉन्वर्सिस मैट्रिक्स के किसी भी हिस्से को सीधे देखे गए राज्य-चर H. के अनुरूप बनाए रखना चाहिएk·एक्सk जो सहायक टिप्पणियों के साथ जुड़े हुए हैं आपk. एल · डी · एलt वर्गमूल फ़िल्टर को अवलोकन वेक्टर के ओर्थोगोनलाइज़ेशन  की आवश्यकता होती है।  यह हिघम (2002, पृष्ठ 263) में विधि 2 का उपयोग करके सहायक चरों के लिए सहप्रसरण मैट्रिक्स के व्युत्क्रम वर्गमूल के साथ किया जा सकता है।

समानांतर रूप
कलमन फ़िल्टर केंद्रीय प्रसंस्करण इकाइयों (सीपीयू) पर अनुक्रमिक डेटा प्रोसेसिंग के लिए कुशल है, लेकिन अपने मूल रूप में यह ग्राफिक्स प्रसंस्करण इकाइयाँ  (जीपीयू) जैसे समानांतर आर्किटेक्चर पर अक्षम है। हालांकि, सरक्का (2021) में सूत्रीकरण का उपयोग करके एक सहयोगी ऑपरेटर के संदर्भ में फ़िल्टर-अपडेट रूटीन को व्यक्त करना संभव है। फ़िल्टर समाधान तब एक  उपसर्ग योग  एल्गोरिथ्म के उपयोग से प्राप्त किया जा सकता है जिसे GPU पर कुशलता से लागू किया जा सकता है। यह कम्प्यूटेशनल जटिलता को कम करता है $$O(N)$$ समय चरणों की संख्या में $$O(\log(N))$$.

पुनरावर्ती बायेसियन अनुमान से संबंध
कलमन फ़िल्टर को सबसे सरल गतिशील बायेसियन नेटवर्क  में से एक के रूप में प्रस्तुत किया जा सकता है। Kalman फ़िल्टर आने वाले माप और गणितीय प्रक्रिया मॉडल का उपयोग करके समय के साथ राज्यों के वास्तविक मूल्यों के अनुमानों की गणना करता है। इसी तरह, पुनरावर्ती बायेसियन अनुमान आने वाले माप और एक गणितीय प्रक्रिया मॉडल का उपयोग करके समय के साथ एक अज्ञात संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) के घनत्व अनुमान की गणना करता है। पुनरावर्ती बायेसियन अनुमान में, वास्तविक स्थिति को एक अप्रमाणित मार्कोव प्रक्रिया  माना जाता है, और माप एक छिपे हुए मार्कोव मॉडल (HMM) के देखे गए राज्य हैं। मार्कोव की धारणा के कारण, वास्तविक राज्य पहले के सभी राज्यों से सशर्त रूप से स्वतंत्र है, जो तत्काल पिछले राज्य को दिया गया है।
 * $$p(\mathbf{x}_k\mid \mathbf{x}_0,\dots,\mathbf{x}_{k-1}) = p(\mathbf{x}_k\mid \mathbf{x}_{k-1})$$

इसी तरह, k-वें टाइमस्टेप पर माप केवल वर्तमान स्थिति पर निर्भर है और वर्तमान स्थिति को देखते हुए अन्य सभी राज्यों से सशर्त रूप से स्वतंत्र है।
 * $$p(\mathbf{z}_k\mid\mathbf{x}_0,\dots,\mathbf{x}_k) = p(\mathbf{z}_k\mid \mathbf{x}_k )$$

इन मान्यताओं का उपयोग करते हुए, छिपे हुए मार्कोव मॉडल के सभी राज्यों में संभाव्यता वितरण को इस प्रकार लिखा जा सकता है:
 * $$p\left(\mathbf{x}_0, \dots, \mathbf{x}_k, \mathbf{z}_1, \dots, \mathbf{z}_k\right) = p\left(\mathbf{x}_0\right)\prod_{i=1}^k p\left(\mathbf{z}_i \mid \mathbf{x}_i\right)p\left(\mathbf{x}_i \mid \mathbf{x}_{i-1}\right)$$

हालांकि, जब राज्य x का अनुमान लगाने के लिए एक कलमन फ़िल्टर का उपयोग किया जाता है, तो ब्याज की संभाव्यता वितरण वर्तमान समय-चरण तक माप पर वातानुकूलित वर्तमान राज्यों से जुड़ा होता है। यह पिछले राज्यों को हाशिए पर रखकर और माप सेट की संभावना से विभाजित करके प्राप्त किया जाता है।

इसका परिणाम "भविष्यवाणी" और "अपडेट" चरणों में होता है, जो संभावित रूप से लिखे गए कलमन फ़िल्टर के चरण होते हैं। पूर्वानुमानित स्थिति से संबद्ध प्रायिकता वितरण, (k − 1)-वें टाइमस्टेप से k-वें और संक्रमण से जुड़े संभाव्यता वितरण के उत्पादों का योग (अभिन्न) है पिछली स्थिति से जुड़े संभाव्यता वितरण, हर संभव से अधिक $$x_{k-1}$$.


 * $$p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{Z}_{k-1}\right) = \int p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{x}_{k-1}\right) p\left(\mathbf{x}_{k-1} \mid \mathbf{Z}_{k-1}\right)\, d\mathbf{x}_{k-1}$$

समय t के लिए निर्धारित माप है
 * $$\mathbf{Z}_t = \left\{\mathbf{z}_1, \dots, \mathbf{z}_t\right\}$$

अद्यतन का संभाव्यता वितरण माप की संभावना और अनुमानित स्थिति के उत्पाद के समानुपाती होता है।
 * $$p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{Z}_k\right) = \frac{p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{x}_k\right) p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{Z}_{k-1}\right)}{p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{Z}_{k-1}\right)}$$

भाजक
 * $$p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{Z}_{k-1}\right) = \int p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{x}_k\right) p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{Z}_{k-1}\right)\, d\mathbf{x}_k$$

एक सामान्यीकरण शब्द है।

शेष संभाव्यता घनत्व कार्य हैं
 * $$\begin{align}

p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{x}_{k-1}\right) &= \mathcal{N}\left(\mathbf{F}_k\mathbf{x}_{k-1}, \mathbf{Q}_k\right) \\ p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{x}_k\right) &= \mathcal{N}\left(\mathbf{H}_k\mathbf{x}_k, \mathbf{R}_k\right) \\ p\left(\mathbf{x}_{k-1} \mid \mathbf{Z}_{k-1}\right) &= \mathcal{N}\left(\hat{\mathbf{x}}_{k-1}, \mathbf{P}_{k-1}\right) \end{align}$$ पिछले टाइमस्टेप पर पीडीएफ को अनुमानित स्थिति और सहप्रसरण माना जाता है। यह उचित है क्योंकि, इष्टतम अनुमानक के रूप में, कलमन फ़िल्टर माप का सर्वोत्तम उपयोग करता है, इसलिए पीडीएफ $$\mathbf{x}_k$$ माप दिया गया $$\mathbf{Z}_k$$ कलमन फ़िल्टर अनुमान है।

सीमांत संभावना
ऊपर वर्णित पुनरावर्ती बायेसियन व्याख्या से संबंधित, कलमन फ़िल्टर को एक जनरेटिव मॉडल  के रूप में देखा जा सकता है, अर्थात, यादृच्छिक अवलोकनों की एक धारा उत्पन्न करने की प्रक्रिया 'z' = ('z')0, साथ1, साथ2, ...). विशेष रूप से, प्रक्रिया है

इस प्रक्रिया में छिपे हुए मार्कोव मॉडल के समान संरचना है, सिवाय इसके कि असतत स्थिति और अवलोकनों को गाऊसी वितरण से नमूना निरंतर चर के साथ बदल दिया जाता है।
 * 1) एक छिपी हुई स्थिति का नमूना लें $$\mathbf{x}_0$$ गाऊसी पूर्व वितरण से $$p\left(\mathbf{x}_0\right) = \mathcal{N}\left(\hat{\mathbf{x}}_{0 \mid 0}, \mathbf{P}_{0 \mid 0}\right)$$.
 * 2) एक अवलोकन का नमूना लें $$\mathbf{z}_0$$ अवलोकन मॉडल से $$p\left(\mathbf{z}_0 \mid \mathbf{x}_0\right) = \mathcal{N}\left(\mathbf{H}_0\mathbf{x}_0, \mathbf{R}_0\right)$$.
 * 3) के लिये $$k = 1, 2, 3, \ldots$$, करना
 * 4) अगले छिपे हुए राज्य का नमूना लें $$\mathbf{x}_k$$ संक्रमण मॉडल से $$p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{x}_{k-1}\right) = \mathcal{N}\left(\mathbf{F}_k \mathbf{x}_{k-1} + \mathbf{B}_k\mathbf{u}_k, \mathbf{Q}_k\right).$$
 * 5) एक अवलोकन का नमूना लें $$\mathbf{z}_k$$ अवलोकन मॉडल से $$p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{x}_k\right) = \mathcal{N}\left(\mathbf{H}_k\mathbf{x}_k, \mathbf{R}_k\right).$$

कुछ अनुप्रयोगों में, यह संभावना की गणना करने के लिए उपयोगी है कि दिए गए मापदंडों (पूर्व वितरण, संक्रमण और अवलोकन मॉडल, और नियंत्रण इनपुट) के साथ एक कलमन फ़िल्टर एक विशेष मनाया संकेत उत्पन्न करेगा। इस संभाव्यता को सीमांत संभावना  के रूप में जाना जाता है क्योंकि यह छिपे हुए राज्य चर के मूल्यों को एकीकृत (हाशिए पर) करता है, इसलिए इसे केवल देखे गए सिग्नल का उपयोग करके गणना की जा सकती है। सीमांत संभावना विभिन्न पैरामीटर विकल्पों का मूल्यांकन करने के लिए उपयोगी हो सकती है, या  बायेसियन मॉडल तुलना  का उपयोग करके अन्य मॉडलों के खिलाफ कलमन फ़िल्टर की तुलना करने के लिए उपयोगी हो सकती है।

पुनरावर्ती फ़िल्टरिंग गणना के साइड इफेक्ट के रूप में सीमांत संभावना की गणना करना सीधा है। श्रृंखला नियम (प्रायिकता) द्वारा, संभावना को पिछले अवलोकनों में दिए गए प्रत्येक अवलोकन की संभावना के उत्पाद के रूप में माना जा सकता है,
 * $$p(\mathbf{z}) = \prod_{k=0}^T p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{z}_{k-1}, \ldots, \mathbf{z}_0\right)$$,

और क्योंकि कलमन फ़िल्टर एक मार्कोव प्रक्रिया का वर्णन करता है, पिछली टिप्पणियों से सभी प्रासंगिक जानकारी वर्तमान स्थिति अनुमान में निहित है $$\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}, \mathbf{P}_{k \mid k-1}.$$ इस प्रकार सीमांत संभावना द्वारा दी गई है
 * $$\begin{align}

p(\mathbf{z}) &= \prod_{k=0}^T \int p\left(\mathbf{z}_k \mid \mathbf{x}_k\right) p\left(\mathbf{x}_k \mid \mathbf{z}_{k-1}, \ldots,\mathbf{z}_0\right) d\mathbf{x}_k\\ &= \prod_{k=0}^T \int \mathcal{N}\left(\mathbf{z}_k; \mathbf{H}_k\mathbf{x}_k, \mathbf{R}_k\right) \mathcal{N}\left(\mathbf{x}_k; \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}, \mathbf{P}_{k \mid k-1}\right) d\mathbf{x}_k\\ &= \prod_{k=0}^T \mathcal{N}\left(\mathbf{z}_k; \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}, \mathbf{R}_k + \mathbf{H}_k \mathbf{P}_{k \mid k-1} \mathbf{H}_k^\textsf{T}\right)\\ &= \prod_{k=0}^T \mathcal{N}\left(\mathbf{z}_k; \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}, \mathbf{S}_k\right), \end{align}$$ यानी, गाऊसी घनत्व का एक उत्पाद, प्रत्येक एक अवलोकन z. के घनत्व के अनुरूप हैk वर्तमान फ़िल्टरिंग वितरण के तहत $$\mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}, \mathbf{S}_k$$. इसे आसानी से एक साधारण पुनरावर्ती अद्यतन के रूप में परिकलित किया जा सकता है; हालांकि, अंकगणितीय अंतर्प्रवाह  से बचने के लिए, व्यावहारिक कार्यान्वयन में आमतौर पर लॉग सीमांत संभावना की गणना करना वांछनीय होता है $$\ell = \log p(\mathbf{z})$$ बजाय। कन्वेंशन को अपनाना $$\ell^{(-1)} = 0$$, यह पुनरावर्ती अद्यतन नियम के माध्यम से किया जा सकता है
 * $$\ell^{(k)} = \ell^{(k-1)} - \frac{1}{2} \left(\tilde{\mathbf{y}}_k^\textsf{T} \mathbf{S}^{-1}_k \tilde{\mathbf{y}}_k + \log \left|\mathbf{S}_k\right| + d_y\log 2\pi \right),$$

कहाँ पे $$d_y$$ माप वेक्टर का आयाम है। एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग जहां अवलोकनों की ऐसी (लॉग) संभावना (फ़िल्टर पैरामीटर दिए गए) का उपयोग किया जाता है, बहु-लक्ष्य ट्रैकिंग है। उदाहरण के लिए, एक वस्तु ट्रैकिंग परिदृश्य पर विचार करें जहां अवलोकन की एक धारा इनपुट है, हालांकि, यह अज्ञात है कि दृश्य में कितनी वस्तुएं हैं (या, वस्तुओं की संख्या ज्ञात है लेकिन एक से अधिक है)। ऐसे परिदृश्य के लिए, यह अज्ञात हो सकता है कि किस वस्तु द्वारा कौन से अवलोकन/माप उत्पन्न किए गए थे। एक बहु परिकल्पना ट्रैकर (एमएचटी) आम तौर पर अलग-अलग ट्रैक एसोसिएशन परिकल्पनाएं बनाएगा, जहां प्रत्येक परिकल्पना को एक कलमैन फिल्टर (रैखिक गाऊसी मामले के लिए) के रूप में माना जा सकता है, जिसमें परिकल्पित वस्तु से जुड़े मापदंडों का एक विशिष्ट सेट होता है। इस प्रकार, विचाराधीन विभिन्न परिकल्पनाओं के लिए टिप्पणियों की संभावना की गणना करना महत्वपूर्ण है, जैसे कि सबसे अधिक संभावना पाई जा सकती है।

सूचना फ़िल्टर
सूचना फ़िल्टर, या प्रतिलोम सहप्रसरण फ़िल्टर में, अनुमानित सहप्रसरण और अनुमानित स्थिति को क्रमशः फ़िशर सूचना मैट्रिक्स और फ़िशर सूचना वेक्टर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। इन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$\begin{align}

\mathbf{Y}_{k \mid k} &= \mathbf{P}_{k \mid k}^{-1} \\ \hat{\mathbf{y}}_{k \mid k} &= \mathbf{P}_{k \mid k}^{-1}\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k} \end{align}$$ इसी तरह अनुमानित सहप्रसरण और राज्य के समान सूचना प्रपत्र हैं, जिन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$\begin{align}

\mathbf{Y}_{k \mid k-1} &= \mathbf{P}_{k \mid k-1}^{-1} \\ \hat{\mathbf{y}}_{k \mid k-1} &= \mathbf{P}_{k \mid k-1}^{-1}\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1} \end{align}$$ जैसा कि माप सहप्रसरण और माप सदिश है, जिसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है:
 * $$\begin{align}

\mathbf{I}_k &= \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{R}_k^{-1} \mathbf{H}_k \\ \mathbf{i}_k &= \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{R}_k^{-1} \mathbf{z}_k \end{align}$$ सूचना अद्यतन अब एक तुच्छ राशि बन गया है।
 * $$\begin{align}

\mathbf{Y}_{k \mid k} &= \mathbf{Y}_{k \mid k-1} + \mathbf{I}_k \\ \hat{\mathbf{y}}_{k \mid k} &= \hat{\mathbf{y}}_{k \mid k-1} + \mathbf{i}_k \end{align}$$ सूचना फ़िल्टर का मुख्य लाभ यह है कि एन माप को हर समय कदम पर केवल उनकी सूचना मैट्रिक्स और वैक्टर को जोड़कर फ़िल्टर किया जा सकता है।
 * $$\begin{align}

\mathbf{Y}_{k \mid k} &= \mathbf{Y}_{k \mid k-1} + \sum_{j=1}^N \mathbf{I}_{k,j} \\ \hat{\mathbf{y}}_{k \mid k} &= \hat{\mathbf{y}}_{k \mid k-1} + \sum_{j=1}^N \mathbf{i}_{k,j} \end{align}$$ सूचना फ़िल्टर की भविष्यवाणी करने के लिए सूचना मैट्रिक्स और वेक्टर को उनके राज्य अंतरिक्ष समकक्षों में वापस परिवर्तित किया जा सकता है, या वैकल्पिक रूप से सूचना स्थान भविष्यवाणी का उपयोग किया जा सकता है। :$$\begin{align} \mathbf{M}_k &= \left[\mathbf{F}_k^{-1}\right]^\textsf{T} \mathbf{Y}_{k-1 \mid k-1} \mathbf{F}_k^{-1} \\ \mathbf{C}_k &= \mathbf{M}_k \left[\mathbf{M}_k + \mathbf{Q}_k^{-1}\right]^{-1} \\ \mathbf{L}_k &= \mathbf{I} - \mathbf{C}_k \\ \mathbf{Y}_{k \mid k-1} &= \mathbf{L}_k \mathbf{M}_k \mathbf{L}_k^\textsf{T} + \mathbf{C}_k \mathbf{Q}_k^{-1} \mathbf{C}_k^\textsf{T} \\ \hat{\mathbf{y}}_{k \mid k-1} &= \mathbf{L}_k \left[\mathbf{F}_k^{-1}\right]^\textsf{T} \hat{\mathbf{y}}_{k-1 \mid k-1} \end{align}$$

फिक्स्ड-लैग स्मूथ
इष्टतम फिक्स्ड-लैग स्मूथ का इष्टतम अनुमान प्रदान करता है $$\hat{\mathbf{x}}_{k-N \mid k}$$ किसी निश्चित अंतराल के लिए $$N$$ से माप का उपयोग करना $$\mathbf{z}_1$$ प्रति $$\mathbf{z}_k$$. इसे एक संवर्धित अवस्था के माध्यम से पिछले सिद्धांत का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, और फ़िल्टर का मुख्य समीकरण निम्नलिखित है:

\begin{bmatrix} \hat{\mathbf{x}}_{t \mid t} \\ \hat{\mathbf{x}}_{t-1 \mid t} \\ \vdots \\ \hat{\mathbf{x}}_{t-N+1 \mid t} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \mathbf{I} \\ 0 \\ \vdots \\ 0 \\ \end{bmatrix} \hat{\mathbf{x}}_{t \mid t-1} + \begin{bmatrix} 0         & \ldots & 0 \\ \mathbf{I} & 0     & \vdots \\ \vdots    & \ddots & \vdots \\ 0         & \ldots & \mathbf{I} \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \hat{\mathbf{x}}_{t-1 \mid t-1} \\ \hat{\mathbf{x}}_{t-2 \mid t-1} \\ \vdots \\ \hat{\mathbf{x}}_{t-N+1 \mid t-1} \\ \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} \mathbf{K}^{(0)} \\ \mathbf{K}^{(1)} \\ \vdots \\ \mathbf{K}^{(N-1)} \\ \end{bmatrix} \mathbf{y}_{t \mid t-1} $$ कहाँ पे: \mathbf{K}^{(i+1)} = \mathbf{P}^{(i)} \mathbf{H}^\textsf{T} \left[ \mathbf{H} \mathbf{P} \mathbf{H}^\textsf{T} + \mathbf{R} \right]^{-1} $$
 * $$ \hat{\mathbf{x}}_{t \mid t-1} $$ एक मानक Kalman फ़िल्टर के माध्यम से अनुमानित है;
 * $$ \mathbf{y}_{t \mid t-1} = \mathbf{z}_t - \mathbf{H}\hat{\mathbf{x}}_{t \mid t-1} $$ मानक कलमन फ़िल्टर के अनुमान को ध्यान में रखते हुए उत्पादित नवाचार है;
 * बहुत से $$ \hat{\mathbf{x}}_{t-i \mid t} $$ साथ $$ i = 1, \ldots, N-1 $$ नए चर हैं; यानी, वे मानक कलमन फ़िल्टर में प्रकट नहीं होते हैं;
 * लाभ की गणना निम्नलिखित योजना के माध्यम से की जाती है:
 * तथा

\mathbf{P}^{(i)} = \mathbf{P} \left[ \left(       \mathbf{F} - \mathbf{K} \mathbf{H}      \right)^\textsf{T} \right]^i $$
 * कहाँ पे $$ \mathbf{P} $$ तथा $$ \mathbf{K} $$ भविष्यवाणी त्रुटि सहप्रसरण और मानक कलमन फ़िल्टर के लाभ हैं (अर्थात, $$ \mathbf{P}_{t \mid t-1} $$)

यदि अनुमान त्रुटि सहप्रसरण को परिभाषित किया जाता है ताकि

\mathbf{P}_i := E \left[ \left(       \mathbf{x}_{t-i} - \hat{\mathbf{x}}_{t-i \mid t}      \right)^{*} \left(       \mathbf{x}_{t-i} - \hat{\mathbf{x}}_{t-i \mid t}       \right) \mid z_1 \ldots z_t \right], $$ तो हमारे पास अनुमान पर सुधार है $$ \mathbf{x}_{t-i} $$ द्वारा दिया गया है:

\mathbf{P} - \mathbf{P}_i = \sum_{j = 0}^i \left[ \mathbf{P}^{(j)} \mathbf{H}^\textsf{T} \left(     \mathbf{H} \mathbf{P} \mathbf{H}^\textsf{T} + \mathbf{R}    \right)^{-1} \mathbf{H} \left( \mathbf{P}^{(i)} \right)^\textsf{T} \right] $$

फिक्स्ड-इंटरवल स्मूथर्स
इष्टतम निश्चित-अंतराल स्मूथ का इष्टतम अनुमान प्रदान करता है $$\hat{\mathbf{x}}_{k \mid n}$$ ($$k < n$$) एक निश्चित अंतराल से माप का उपयोग करना $$\mathbf{z}_1$$ प्रति $$\mathbf{z}_n$$. इसे कलमन स्मूथिंग भी कहा जाता है। सामान्य उपयोग में कई चौरसाई एल्गोरिदम हैं।

राउच-तुंग-स्ट्रीबेल
रॉच-तुंग-स्ट्रीबेल (आरटीएस) स्मूथ निश्चित अंतराल चौरसाई के लिए एक कुशल दो-पास एल्गोरिथ्म है। फॉरवर्ड पास नियमित कलमन फ़िल्टर एल्गोरिथम के समान है। ये फ़िल्टर किए गए ए-प्राथमिक और ए-पोस्टीरियर स्टेट अनुमान $$\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}$$, $$\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k}$$ और सहप्रसरण $$\mathbf{P}_{k \mid k-1}$$, $$\mathbf{P}_{k \mid k}$$ बैकवर्ड पास ( रेट्रोडिक्शन के लिए) में उपयोग के लिए सहेजे जाते हैं।

बैकवर्ड पास में, हम सुचारू राज्य अनुमानों की गणना करते हैं $$\hat{\mathbf{x}}_{k \mid n}$$ और सहप्रसरण $$\mathbf{P}_{k \mid n}$$. हम अंतिम समय चरण से शुरू करते हैं और निम्नलिखित पुनरावर्ती समीकरणों का उपयोग करके समय में पीछे की ओर बढ़ते हैं:
 * $$\begin{align}

\hat{\mathbf{x}}_{k \mid n} &= \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k} + \mathbf{C}_k \left(\hat{\mathbf{x}}_{k+1 \mid n} - \hat{\mathbf{x}}_{k+1 \mid k}\right) \\ \mathbf{P}_{k \mid n} &= \mathbf{P}_{k \mid k} + \mathbf{C}_k \left(\mathbf{P}_{k+1 \mid n} - \mathbf{P}_{k+1 \mid k}\right) \mathbf{C}_k^\textsf{T} \end{align}$$ कहाँ पे
 * $$\mathbf{C}_k = \mathbf{P}_{k \mid k} \mathbf{F}_{k+1}^\textsf{T} \mathbf{P}_{k+1 \mid k}^{-1}.$$

$$ \mathbf{x}_{k \mid k}$$ टाइमस्टेप का ए-पोस्टीरियरी स्टेट अनुमान है $$k$$ तथा $$\mathbf{x}_{k+1 \mid k}$$ टाइमस्टेप का एक प्राथमिकता वाला राज्य अनुमान है $$k + 1$$. यही संकेतन सहप्रसरण पर लागू होता है।

संशोधित ब्रायसन-फ्रेज़ियर स्मूथ
आरटीएस एल्गोरिथम का एक विकल्प संशोधित ब्रायसन-फ्रेज़ियर (एमबीएफ) निश्चित अंतराल है जो बीरमैन द्वारा विकसित किया गया है। यह एक बैकवर्ड पास का भी उपयोग करता है जो कलमन फ़िल्टर फ़ॉरवर्ड पास से सहेजे गए डेटा को संसाधित करता है। पिछड़े पास के समीकरणों में पुनरावर्ती शामिल है डेटा की गणना जो प्रत्येक अवलोकन समय पर सुचारू अवस्था और सहप्रसरण की गणना के लिए उपयोग की जाती है।

पुनरावर्ती समीकरण हैं
 * $$\begin{align}

\tilde{\Lambda}_k &= \mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{S}_k^{-1} \mathbf{H}_k + \hat{\mathbf{C}}_k^\textsf{T} \hat{\Lambda}_k \hat{\mathbf{C}}_k \\ \hat{\Lambda}_{k-1} &= \mathbf{F}_k^\textsf{T}\tilde{\Lambda}_k\mathbf{F}_k \\ \hat{\Lambda}_n &= 0 \\ \tilde{\lambda}_k &= -\mathbf{H}_k^\textsf{T} \mathbf{S}_k^{-1} \mathbf{y}_k + \hat{\mathbf{C}}_k^\textsf{T} \hat{\lambda}_k \\ \hat{\lambda}_{k-1} &= \mathbf{F}_k^\textsf{T}\tilde{\lambda}_k \\ \hat{\lambda}_n &= 0 \end{align}$$ कहाँ पे $$\mathbf{S}_k$$ अवशिष्ट सहप्रसरण है और $$\hat{\mathbf{C}}_k = \mathbf{I} - \mathbf{K}_k \mathbf{H}_k$$. चिकनी अवस्था और सहप्रसरण तब समीकरणों में प्रतिस्थापन द्वारा पाया जा सकता है
 * $$\begin{align}

\mathbf{P}_{k \mid n} &= \mathbf{P}_{k \mid k} - \mathbf{P}_{k \mid k}\hat{\Lambda}_k\mathbf{P}_{k \mid k} \\ \mathbf{x}_{k \mid n} &= \mathbf{x}_{k \mid k} - \mathbf{P}_{k \mid k}\hat{\lambda}_k \end{align}$$ या
 * $$\begin{align}

\mathbf{P}_{k \mid n} &= \mathbf{P}_{k \mid k-1} - \mathbf{P}_{k \mid k-1}\tilde{\Lambda}_k\mathbf{P}_{k \mid k-1} \\ \mathbf{x}_{k \mid n} &= \mathbf{x}_{k \mid k-1} - \mathbf{P}_{k \mid k-1}\tilde{\lambda}_k. \end{align}$$ MBF का एक महत्वपूर्ण लाभ यह है कि इसमें सहप्रसरण मैट्रिक्स का व्युत्क्रम खोजने की आवश्यकता नहीं होती है।

न्यूनतम-विचरण चिकना
न्यूनतम-विचरण चिकना सर्वोत्तम संभव त्रुटि प्रदर्शन प्राप्त कर सकता है, बशर्ते कि मॉडल रैखिक हों, उनके पैरामीटर और शोर आंकड़े ठीक से ज्ञात हों। यह स्मूथ इष्टतम गैर-कारण विनीज़ फ़िल्टर  का एक समय-भिन्न राज्य-स्थान सामान्यीकरण है।

आसान गणना दो पासों में की जाती है। आगे की गणना में एक कदम आगे का भविष्यवक्ता शामिल होता है और इसके द्वारा दिया जाता है
 * $$\begin{align}

\hat{\mathbf{x}}_{k+1 \mid k} &= (\mathbf{F}_k - \mathbf{K}_k\mathbf{H}_k)\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1} + \mathbf{K}_k\mathbf{z}_k \\ \alpha_k &= -\mathbf{S}_k^{-\frac{1}{2}}\mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1} + \mathbf{S}_k^{-\frac{1}{2}}\mathbf{z}_k \end{align}$$ उपरोक्त प्रणाली को व्युत्क्रम वीनर-हॉप कारक के रूप में जाना जाता है। बैकवर्ड रिकर्सन उपरोक्त फॉरवर्ड सिस्टम का जोड़ है। पिछड़ा पास का परिणाम $$\beta_k$$ समय-उलट पर आगे के समीकरणों को संचालित करके गणना की जा सकती है $$\alpha_k$$ और परिणाम को उलटने का समय। आउटपुट अनुमान के मामले में, सुचारू अनुमान द्वारा दिया जाता है
 * $$\hat{\mathbf{y}}_{k \mid N} = \mathbf{z}_k - \mathbf{R}_k\beta_k$$

इस न्यूनतम-विचरण चिकनी पैदावार का कारण भाग लेना
 * $$\hat{\mathbf{y}}_{k \mid k} = \mathbf{z}_k - \mathbf{R}_k \mathbf{S}_k^{-\frac{1}{2}} \alpha_k$$

जो न्यूनतम-विचरण कलमन फ़िल्टर के समान है। उपरोक्त समाधान आउटपुट अनुमान त्रुटि के विचरण को कम करते हैं। ध्यान दें कि रॉच-तुंग-स्ट्रीबेल चिकनी व्युत्पत्ति मानती है कि अंतर्निहित वितरण गाऊसी हैं, जबकि न्यूनतम-विचरण समाधान नहीं हैं। राज्य के अनुमान और इनपुट अनुमान के लिए इष्टतम स्मूथर्स का निर्माण इसी तरह किया जा सकता है।

उपरोक्त स्मूथ का निरंतर-समय संस्करण में वर्णित है। उम्मीद-अधिकतमकरण एल्गोरिदम को न्यूनतम-विचरण फिल्टर और स्मूथर्स के भीतर अज्ञात राज्य-अंतरिक्ष मापदंडों के अनुमानित अधिकतम संभावना अनुमानों की गणना करने के लिए नियोजित किया जा सकता है। अक्सर अनिश्चितता समस्या धारणाओं के भीतर रहती है। रिकाटी समीकरण में एक सकारात्मक निश्चित शब्द जोड़कर अनिश्चितताओं को समायोजित करने वाला एक चिकना डिजाइन किया जा सकता है। ऐसे मामलों में जहां मॉडल नॉनलाइनियर हैं, स्टेपवाइज रेखीयकरण न्यूनतम-विचरण फ़िल्टर और स्मूथ रिकर्सन (विस्तारित कलमन फ़िल्टरिंग) के भीतर हो सकता है।

आवृत्ति-भारित कलमन फ़िल्टर
1930 के दशक में फ्लेचर और मुनसन द्वारा विभिन्न आवृत्तियों पर ध्वनियों की धारणा पर अग्रणी शोध किया गया था। उनके काम ने औद्योगिक शोर और श्रवण हानि की जांच के भीतर मापे गए ध्वनि स्तरों को भारित करने का एक मानक तरीका बनाया। फ़्रीक्वेंसी वेटिंग का उपयोग तब से फ़िल्टर और कंट्रोलर डिज़ाइन के भीतर किया गया है ताकि रुचि के बैंड के भीतर प्रदर्शन का प्रबंधन किया जा सके।

आमतौर पर, एक फ़्रीक्वेंसी शेपिंग फ़ंक्शन का उपयोग एक निर्दिष्ट फ़्रीक्वेंसी बैंड में त्रुटि वर्णक्रमीय घनत्व की औसत शक्ति को भारित करने के लिए किया जाता है। होने देना $$\mathbf{y} - \hat{\mathbf{y}}$$ एक पारंपरिक कलमन फ़िल्टर द्वारा प्रदर्शित आउटपुट अनुमान त्रुटि को निरूपित करें। इसके अलावा, चलो $$\mathbf{W}$$ एक कारण आवृत्ति भार हस्तांतरण समारोह को निरूपित करें। इष्टतम समाधान जो के विचरण को कम करता है $$\mathbf{W}\left(\mathbf{y} - \hat{\mathbf{y}}\right)$$ केवल निर्माण करने से उत्पन्न होता है $$\mathbf{W}^{-1} \hat{\mathbf{y}}$$.

का डिजाइन $$\mathbf{W}$$ खुला प्रश्न बना हुआ है। आगे बढ़ने का एक तरीका एक ऐसी प्रणाली की पहचान करना है जो अनुमान त्रुटि और सेटिंग उत्पन्न करती है $$\mathbf{W}$$ उस प्रणाली के व्युत्क्रम के बराबर। बढ़े हुए फ़िल्टर क्रम की कीमत पर माध्य-वर्ग त्रुटि सुधार प्राप्त करने के लिए इस प्रक्रिया को पुनरावृत्त किया जा सकता है। स्मूथर्स पर भी यही तकनीक लागू की जा सकती है।

अरेखीय फिल्टर
मूल कलमन फ़िल्टर एक रेखीय धारणा तक सीमित है। हालाँकि, अधिक जटिल प्रणालियाँ नॉनलाइनियर फ़िल्टर हो सकती हैं। गैर-रैखिकता को या तो प्रक्रिया मॉडल या अवलोकन मॉडल के साथ या दोनों के साथ जोड़ा जा सकता है।

गैर-रैखिक प्रणालियों के लिए कलमन फ़िल्टर के सबसे सामान्य प्रकार विस्तारित कलमन फ़िल्टर और अनसेंटेड कलमन फ़िल्टर हैं। किस फिल्टर का उपयोग करने की उपयुक्तता प्रक्रिया और अवलोकन मॉडल के गैर-रैखिकता सूचकांकों पर निर्भर करती है।

विस्तारित कलमन फ़िल्टर
विस्तारित कलमन फिल्टर (ईकेएफ) में, राज्य संक्रमण और अवलोकन मॉडल को राज्य के रैखिक कार्य नहीं होने चाहिए, बल्कि इसके बजाय गैर-रेखीय कार्य हो सकते हैं। ये फंक्शन विभेदक कार्य  टाइप के होते हैं।
 * $$\begin{align}

\mathbf{x}_k &= f(\mathbf{x}_{k-1}, \mathbf{u}_k) + \mathbf{w}_k \\ \mathbf{z}_k &= h(\mathbf{x}_k) + \mathbf{v}_k \end{align}$$ फ़ंक्शन f का उपयोग पिछले अनुमान से अनुमानित स्थिति की गणना करने के लिए किया जा सकता है और इसी तरह फ़ंक्शन h का उपयोग अनुमानित स्थिति से अनुमानित माप की गणना करने के लिए किया जा सकता है। हालाँकि, f और h सीधे सहप्रसरण पर लागू नहीं किए जा सकते। इसके बजाय आंशिक डेरिवेटिव ( जैकोबियन मैट्रिक्स ) के एक मैट्रिक्स की गणना की जाती है।

प्रत्येक समय पर जैकोबियन का मूल्यांकन वर्तमान पूर्वानुमानित अवस्थाओं के साथ किया जाता है। इन मैट्रिक्स का उपयोग कलमन फ़िल्टर समीकरणों में किया जा सकता है। यह प्रक्रिया अनिवार्य रूप से वर्तमान अनुमान के आसपास नॉनलाइनियर फ़ंक्शन को रैखिक करती है।

अनसेंटेड कलमन फ़िल्टर
जब राज्य संक्रमण और अवलोकन मॉडल-अर्थात, भविष्यवाणी और अद्यतन कार्य करता है $$f$$ तथा $$h$$-अत्यधिक अरेखीय, विस्तारित कलमन फ़िल्टर विशेष रूप से खराब प्रदर्शन दे सकता है। इसका कारण यह है कि सहप्रसरण अंतर्निहित अरेखीय मॉडल के रेखीयकरण के माध्यम से प्रचारित किया जाता है। अनसेंटेड कलमन फिल्टर (यूकेएफ) माध्य के आसपास नमूना बिंदुओं (जिन्हें सिग्मा पॉइंट कहा जाता है) का एक न्यूनतम सेट चुनने के लिए एक नियतात्मक नमूनाकरण तकनीक का उपयोग करता है जिसे सुगंधित परिवर्तन |अनसेंटेड ट्रांसफ़ॉर्मेशन (UT) के रूप में जाना जाता है। सिग्मा बिंदुओं को फिर गैर-रेखीय कार्यों के माध्यम से प्रचारित किया जाता है, जिससे एक नया माध्य और सहप्रसरण अनुमान बनता है। परिणामी फ़िल्टर इस बात पर निर्भर करता है कि UT के रूपांतरित आँकड़ों की गणना कैसे की जाती है और सिग्मा बिंदुओं के किस सेट का उपयोग किया जाता है। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि नए यूकेएफ का निर्माण एक सुसंगत तरीके से करना हमेशा संभव है। कुछ प्रणालियों के लिए, परिणामी यूकेएफ सही माध्य और सहप्रसरण का अधिक सटीक अनुमान लगाता है। इसे  मोंटे कार्लो नमूनाकरण  या पश्च आँकड़ों के  टेलर श्रृंखला  विस्तार के साथ सत्यापित किया जा सकता है। इसके अलावा, यह तकनीक स्पष्ट रूप से जैकोबियन की गणना करने की आवश्यकता को हटा देती है, जो जटिल कार्यों के लिए अपने आप में एक कठिन कार्य हो सकता है (यानी, जटिल डेरिवेटिव की आवश्यकता होती है यदि विश्लेषणात्मक रूप से किया जाता है या संख्यात्मक रूप से किया जाता है तो कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा होता है), यदि असंभव नहीं है (यदि वे कार्य हैं भिन्न नहीं)।

सिग्मा अंक
एक यादृच्छिक वेक्टर के लिए $$\mathbf{x}=(x_1, \dots, x_L)$$, सिग्मा बिंदु वैक्टर का कोई भी सेट है
 * $$ \{\mathbf{s}_0,\dots, \mathbf{s}_N \}=\bigl\{\begin{pmatrix} s_{0,1}& s_{0,2}&\ldots& s_{0,L} \end{pmatrix}, \dots, \begin{pmatrix} s_{N,1}& s_{N,2}&\ldots& s_{N,L} \end{pmatrix}\bigr\}$$

के साथ जिम्मेदार


 * पहले क्रम के वजन $$W_0^a, \dots, W_N^a$$ वह पूरा
 * 1) $$ \sum_{j=0}^N W_j^a=1 $$ # सभी के लिए $$i=1, \dots, L$$: $$ E[x_i]=\sum_{j=0}^N W_j^a s_{j,i} $$
 * दूसरे क्रम के वजन $$W_0^c, \dots, W_N^c$$ वह पूरा
 * 1) $$ \sum_{j=0}^N W_j^c=1 $$ #सभी जोड़ियों के लिए $$ (i,l) \in \{1,\dots, L\}^2: E[x_ix_l]=\sum_{j=0}^N W_j^c s_{j,i}s_{j,l} $$.

के लिए सिग्मा अंक और भार का एक सरल विकल्प $$\mathbf{x}_{k-1\mid k-1}$$ यूकेएफ एल्गोरिथम में है
 * $$\begin{align}

\mathbf{s}_0&=\hat \mathbf{x}_{k-1\mid k-1}\\ -1&<W_0^a=W_0^c<1\\ \mathbf{s}_j&=\hat \mathbf{x}_{k-1\mid k-1} + \sqrt{\frac{L}{1-W_0}} \mathbf{A}_j, \quad j=1, \dots, L\\ \mathbf{s}_{L+j}&=\hat \mathbf{x}_{k-1\mid k-1} - \sqrt{\frac{L}{1-W_0}} \mathbf{A}_j, \quad j=1, \dots, L\\ W_j^a&=W_j^c=\frac{1-W_0}{2L}, \quad j=1, \dots, 2L \end{align} $$ कहाँ पे $$\hat \mathbf{x}_{k-1\mid k-1}$$ का औसत अनुमान है $$\mathbf{x}_{k-1\mid k-1}$$. वेक्टर $$\mathbf{A}_j$$ का jth कॉलम है $$\mathbf{A}$$ कहाँ पे $$\mathbf{P}_{k-1\mid k-1}=\mathbf{AA}^\textsf{T}$$. आमतौर पर, $$\mathbf{A}$$ के चोल्स्की अपघटन  के माध्यम से प्राप्त किया जाता है $$\mathbf{P}_{k-1\mid k-1}$$. कुछ सावधानी से फ़िल्टर समीकरण समीकरणों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है कि $$\mathbf{A}$$ की मध्यवर्ती गणना के बिना सीधे मूल्यांकन किया जाता है $$\mathbf{P}_{k-1\mid k-1}$$. इसे स्क्वायर-रूट अनसेंटेड कलमन फिल्टर के रूप में जाना जाता है। माध्य मान का भार, $$W_0$$, मनमाने ढंग से चुना जा सकता है।

एक अन्य लोकप्रिय मानकीकरण (जो उपरोक्त को सामान्य करता है) है
 * $$\begin{align}

\mathbf{s}_0&=\hat \mathbf{x}_{k-1\mid k-1}\\ W_0^a&= \frac{\alpha^2\kappa-L}{\alpha^2\kappa}\\ W_0^c&= W_0^a + 1-\alpha^2+\beta \\ \mathbf{s}_j&=\hat \mathbf{x}_{k-1\mid k-1} + \alpha\sqrt{\kappa} \mathbf{A}_j, \quad j=1, \dots, L\\ \mathbf{s}_{L+j}&=\hat \mathbf{x}_{k-1\mid k-1} - \alpha\sqrt{\kappa} \mathbf{A}_j, \quad j=1, \dots, L\\ W_j^a&=W_j^c=\frac{1}{2\alpha^2\kappa}, \quad j=1, \dots, 2L. \end{align} $$

$$\alpha$$ तथा $$\kappa$$ सिग्मा बिंदुओं के प्रसार को नियंत्रित करें। $$\beta$$ के वितरण से संबंधित है $$x$$.

उपयुक्त मूल्य हाथ में समस्या पर निर्भर करते हैं, लेकिन एक विशिष्ट सिफारिश है $$\alpha = 10^{-3}$$, $$\kappa = 1$$, तथा $$\beta = 2$$. हालांकि, का एक बड़ा मूल्य $$\alpha$$ (जैसे, $$\alpha = 1$$) वितरण के प्रसार और संभावित गैर-रैखिकताओं को बेहतर ढंग से पकड़ने के लिए फायदेमंद हो सकता है। यदि. का सही वितरण $$x$$ गाऊसी है, $$\beta = 2$$ इष्टतम है।

भविष्यवाणी
ईकेएफ के साथ, यूकेएफ भविष्यवाणी का उपयोग यूकेएफ अपडेट से स्वतंत्र रूप से किया जा सकता है, एक रैखिक (या वास्तव में ईकेएफ) अपडेट के संयोजन में, या इसके विपरीत।

माध्य और सहप्रसरण के अनुमानों को देखते हुए, $$ \hat\mathbf{x}_{k-1\mid k-1}$$ तथा $$\mathbf{P}_{k-1\mid k-1}$$, एक प्राप्त करता है $$ N = 2L+1 $$ सिग्मा अंक जैसा कि ऊपर अनुभाग में वर्णित है। सिग्मा बिंदुओं को संक्रमण फलन f के माध्यम से प्रचारित किया जाता है।
 * $$\mathbf{x}_{j} = f\left(\mathbf{s}_{j}\right) \quad j = 0, \dots, 2L $$.

प्रचारित सिग्मा बिंदुओं को अनुमानित माध्य और सहप्रसरण उत्पन्न करने के लिए तौला जाता है।
 * $$\begin{align}

\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1} &= \sum_{j=0}^{2L} W_j^a \mathbf{x}_j \\ \mathbf{P}_{k \mid k-1} &= \sum_{j=0}^{2L} W_j^c \left(\mathbf{x}_j - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}\right)\left(\mathbf{x}_j - \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}\right)^\textsf{T}+\mathbf{Q}_k \end{align}$$ कहाँ पे $$W_j^a$$ मूल सिग्मा बिंदुओं के प्रथम-क्रम भार हैं, और $$W_j^c$$ दूसरे क्रम के भार हैं। साँचा $$ \mathbf{Q}_k $$ संक्रमण शोर का सहप्रसरण है, $$\mathbf{w}_k$$.

अपडेट
भविष्यवाणी अनुमानों को देखते हुए $$\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}$$ तथा $$\mathbf{P}_{k \mid k-1}$$, का एक नया सेट $$N = 2L+1$$ सिग्मा अंक $$\mathbf{s}_0, \dots, \mathbf{s}_{2L}$$ इसी प्रथम-क्रम भार के साथ $$ W_0^a,\dots W_{2L}^a$$ और दूसरे क्रम के वजन $$W_0^c,\dots, W_{2L}^c$$ परिकलित। ये सिग्मा बिंदु मापन फ़ंक्शन के माध्यम से रूपांतरित होते हैं $$h$$.
 * $$ \mathbf{z}_j=h(\mathbf{s}_j), \,\, j=0,1, \dots, 2L $$.

फिर रूपांतरित बिंदुओं के अनुभवजन्य माध्य और सहप्रसरण की गणना की जाती है।
 * $$\begin{align}

\hat{\mathbf{z}} &= \sum_{j=0}^{2L} W_j^a \mathbf{z}_j \\[6pt] \hat{\mathbf{S}}_k &= \sum_{j=0}^{2L} W_j^c (\mathbf{z}_j-\hat{\mathbf{z}})(\mathbf{z}_j-\hat{\mathbf{z}})^\textsf{T} + \mathbf{R}_k \end{align}$$ कहाँ पे $$\mathbf{R}_k$$ अवलोकन शोर का सहप्रसरण मैट्रिक्स है, $$\mathbf{v}_k$$. इसके अतिरिक्त, क्रॉस कॉन्वर्सिस मैट्रिक्स की भी आवश्यकता है
 * $$\begin{align}

\mathbf{C_{xz}} &= \sum_{j=0}^{2L} W_j^c (\mathbf{x}_j-\hat\mathbf{x}_{k|k-1})(\mathbf{z}_j-\hat\mathbf{z})^\textsf{T}. \end{align}$$ कलमन लाभ है
 * $$\begin{align}

\mathbf{K}_k=\mathbf{C_{xz}}\hat{\mathbf{S}}_k^{-1}. \end{align}$$ अद्यतन माध्य और सहप्रसरण अनुमान हैं

\begin{align} \hat\mathbf{x}_{k\mid k}&=\hat\mathbf{x}_{k|k-1}+\mathbf{K}_k(\mathbf{z}_k-\hat\mathbf{z})\\ \mathbf{P}_{k\mid k}&=\mathbf{P}_{k\mid k-1}-\mathbf{K}_k\hat{\mathbf{S}}_k\mathbf{K}_k^\textsf{T}. \end{align} $$

भेदभावपूर्ण कलमन फ़िल्टर
जब अवलोकन मॉडल $$p(\mathbf{z}_k\mid\mathbf{x}_k)$$ अत्यधिक गैर-रेखीय और/या गैर-गॉसियन है, यह बेयस के नियम और अनुमान को लागू करने के लिए फायदेमंद साबित हो सकता है

p(\mathbf{z}_k\mid\mathbf{x}_k) \approx \frac{p(\mathbf{x}_k\mid\mathbf{z}_k)}{p(\mathbf{x}_k)} $$ कहाँ पे $$p(\mathbf{x}_k\mid\mathbf{z}_k) \approx \mathcal{N}(g(\mathbf{z}_k),Q(\mathbf{z}_k))$$ अरेखीय कार्यों के लिए $$g,Q$$. यह दिए गए अवलोकनों के लिए गुप्त राज्यों के लिए एक भेदभावपूर्ण मॉडल  के साथ मानक कलमन फ़िल्टर के जनरेटिव विनिर्देश को प्रतिस्थापित करता है।

एक स्थिर प्रक्रिया  के तहत राज्य मॉडल

\begin{align} p(\mathbf{x}_1) &= \mathcal{N}(0, \mathbf{T}), \\ p(\mathbf{x}_k\mid\mathbf{x}_{k-1}) &= \mathcal{N}(\mathbf{F}\mathbf{x}_{k-1}, \mathbf{C}), \end{align} $$ कहाँ पे $$\mathbf{T}= \mathbf{F}\mathbf{T}\mathbf{F}^\intercal + \mathbf{C}$$, यदि

p(\mathbf{x}_k\mid\mathbf{z}_{1:k}) \approx \mathcal{N}(\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1}, \mathbf{P}_{k|k-1}), $$ फिर एक नया अवलोकन दिया $$\mathbf{z}_k$$, यह इस प्रकार है कि

p(\mathbf{x}_{k+1}\mid\mathbf{z}_{1:k+1}) \approx \mathcal{N}(\hat{ \mathbf{x}}_{k+1|k}, \mathbf{P}_{k+1|k}) $$ कहाँ पे

\begin{align} \mathbf{M}_{k+1} &= \mathbf{F}\mathbf{P}_{k|k-1}\mathbf{F}^\intercal + \mathbf{C}, \\ \mathbf{P}_{k+1|k} &= (\mathbf{M}_{k+1}^{-1} + Q(\mathbf{z}_k)^{-1} - \mathbf{T}^{-1})^{-1}, \\ \hat{\mathbf{x}}_{k+1|k} &= \mathbf{P}_{k+1|k} (\mathbf{M}_{k+1}^{-1}\mathbf{F}\hat{\mathbf{x}}_{k|k-1} + \mathbf{P}_{k+1|k}^{-1}g(\mathbf{z}_k) ). \end{align} $$ ध्यान दें कि इस सन्निकटन की आवश्यकता है $$ Q(\mathbf{z}_k)^{-1} - \mathbf{T}^{-1} $$ सकारात्मक-निश्चित होना; इस मामले में कि ऐसा नहीं है,

\mathbf{P}_{k+1|k} = (\mathbf{M}_{k+1}^{-1} + Q(\mathbf{z}_k)^{-1})^{-1} $$ के स्थान पर प्रयोग किया जाता है। ऐसा उपागम विशेष रूप से तब उपयोगी सिद्ध होता है जब प्रेक्षणों की विमाएँ गुप्त अवस्थाओं की तुलना में बहुत अधिक होती हैं और उन बिल्ड फिल्टर का उपयोग किया जा सकता है जो अवलोकन मॉडल में गैर-स्थिरता के लिए विशेष रूप से मजबूत हैं।

अनुकूली कलमन फ़िल्टर
अनुकूली कलमन फिल्टर प्रक्रिया की गतिशीलता के अनुकूल होने की अनुमति देते हैं जो प्रक्रिया मॉडल में मॉडलिंग नहीं करते हैं $$\mathbf{F}(t)$$, जो उदाहरण के लिए एक पैंतरेबाज़ी लक्ष्य के संदर्भ में होता है जब ट्रैकिंग के लिए एक स्थिर वेग (कम क्रम) कलमन फ़िल्टर नियोजित होता है।

Kalman-Bucy फ़िल्टर
Kalman-Bucy फ़िल्टरिंग (रिचर्ड स्नोडेन बुकी के नाम पर) Kalman फ़िल्टरिंग का एक निरंतर समय संस्करण है। यह राज्य अंतरिक्ष मॉडल पर आधारित है
 * $$\begin{align}

\frac{d}{dt}\mathbf{x}(t) &= \mathbf{F}(t)\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t) + \mathbf{w}(t) \\ \mathbf{z}(t) &= \mathbf{H}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{v}(t) \end{align}$$ कहाँ पे $$\mathbf{Q}(t)$$ तथा $$\mathbf{R}(t)$$ दो सफेद शोर शर्तों की तीव्रता (या, अधिक सटीक: पावर स्पेक्ट्रल घनत्व - पीएसडी - मैट्रिसेस) का प्रतिनिधित्व करते हैं $$\mathbf{w}(t)$$ तथा $$\mathbf{v}(t)$$, क्रमश।

फ़िल्टर में दो अंतर समीकरण होते हैं, एक राज्य अनुमान के लिए और एक सहप्रसरण के लिए:
 * $$\begin{align}

\frac{d}{dt}\hat{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{F}(t)\hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t) + \mathbf{K}(t) \left(\mathbf{z}(t) - \mathbf{H}(t)\hat{\mathbf{x}}(t)\right) \\ \frac{d}{dt}\mathbf{P}(t) &= \mathbf{F}(t)\mathbf{P}(t) + \mathbf{P}(t)\mathbf{F}^\textsf{T}(t) + \mathbf{Q}(t) - \mathbf{K}(t)\mathbf{R}(t)\mathbf{K}^\textsf{T}(t) \end{align}$$ जहां कलमन लाभ दिया जाता है
 * $$\mathbf{K}(t) = \mathbf{P}(t)\mathbf{H}^\textsf{T}(t)\mathbf{R}^{-1}(t)$$

ध्यान दें कि इस अभिव्यक्ति में $$\mathbf{K}(t)$$ अवलोकन शोर का सहप्रसरण $$\mathbf{R}(t)$$ एक ही समय में भविष्यवाणी त्रुटि (या नवाचार) के सहप्रसरण का प्रतिनिधित्व करता है $$\tilde{\mathbf{y}}(t) = \mathbf{z}(t) - \mathbf{H}(t)\hat{\mathbf{x}}(t)$$; ये सहप्रसरण केवल निरंतर समय की स्थिति में समान होते हैं। असतत-समय कलमन फ़िल्टरिंग की भविष्यवाणी और अद्यतन चरणों के बीच अंतर निरंतर समय में मौजूद नहीं है।

सहप्रसरण के लिए दूसरा अवकल समीकरण, रिकाटी समीकरण  का एक उदाहरण है। Kalman-Bucy फ़िल्टर के गैर-रेखीय सामान्यीकरण में निरंतर समय विस्तारित Kalman फ़िल्टर शामिल है।

हाइब्रिड कलमन फ़िल्टर
अधिकांश भौतिक प्रणालियों को निरंतर-समय के मॉडल के रूप में दर्शाया जाता है जबकि डिजिटल प्रोसेसर के माध्यम से राज्य के आकलन के लिए असतत-समय माप अक्सर किए जाते हैं। इसलिए, सिस्टम मॉडल और माप मॉडल द्वारा दिया जाता है
 * $$\begin{align}

\dot{\mathbf{x}}(t) &= \mathbf{F}(t)\mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t)\mathbf{u}(t) + \mathbf{w}(t), &\mathbf{w}(t) &\sim N\left(\mathbf{0}, \mathbf{Q}(t)\right) \\ \mathbf{z}_k &= \mathbf{H}_k\mathbf{x}_k + \mathbf{v}_k, &\mathbf{v}_k &\sim N(\mathbf{0},\mathbf{R}_k) \end{align}$$ कहाँ पे
 * $$\mathbf{x}_k = \mathbf{x}(t_k)$$.

प्रारंभ

 * $$\hat{\mathbf{x}}_{0 \mid 0} = E\left[\mathbf{x}(t_0)\right], \mathbf{P}_{0 \mid 0} = \operatorname{Var}\left[\mathbf{x}\left(t_0\right)\right]$$

भविष्यवाणी

 * $$\begin{align}

\dot{\hat{\mathbf{x}}}(t) &= \mathbf{F}(t) \hat{\mathbf{x}}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t) \text{, with } \hat{\mathbf{x}}\left(t_{k-1}\right) = \hat{\mathbf{x}}_{k-1 \mid k-1} \\ \Rightarrow \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1} &= \hat{\mathbf{x}}\left(t_k\right) \\ \dot{\mathbf{P}}(t) &= \mathbf{F}(t)\mathbf{P}(t) + \mathbf{P}(t)\mathbf{F}(t)^\textsf{T} + \mathbf{Q}(t) \text{, with } \mathbf{P}\left(t_{k-1}\right) = \mathbf{P}_{k-1 \mid k-1} \\ \Rightarrow \mathbf{P}_{k \mid k-1} &= \mathbf{P}\left(t_k\right) \end{align}$$ भविष्यवाणी समीकरण माप से अद्यतन किए बिना निरंतर-समय कलमन फ़िल्टर से प्राप्त होते हैं, यानी, $$ \mathbf{K}(t) = 0 $$. पिछले चरण में अनुमान के बराबर प्रारंभिक मूल्य के साथ अंतर समीकरणों के एक सेट को हल करके अनुमानित राज्य और सहप्रसरण की गणना की जाती है।

रैखिक समय अपरिवर्तनीय प्रणालियों के मामले में, निरंतर समय की गतिशीलता को  मैट्रिक्स घातांक  का उपयोग करके एक असतत समय प्रणाली में बिल्कुल विसर्जित किया जा सकता है।

अपडेट

 * $$\begin{align}

\mathbf{K}_k &= \mathbf{P}_{k \mid k-1}\mathbf{H}_k^\textsf{T} \left(\mathbf{H}_k\mathbf{P}_{k \mid k-1}\mathbf{H}_k^\textsf{T} + \mathbf{R}_k\right)^{-1} \\ \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k} &= \hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1} + \mathbf{K}_k\left(\mathbf{z}_k - \mathbf{H}_k\hat{\mathbf{x}}_{k \mid k-1}\right) \\ \mathbf{P}_{k \mid k} &= \left(\mathbf{I} - \mathbf{K}_k\mathbf{H}_k\right)\mathbf{P}_{k \mid k-1} \end{align}$$ अद्यतन समीकरण असतत-समय कलमन फ़िल्टर के समान हैं।

विरल संकेत ों की वसूली के लिए प्रकार
पारंपरिक कलमन फ़िल्टर को शोर प्रेक्षणों से विरल संकेत, संभवतः गतिशील, संकेतों की पुनर्प्राप्ति के लिए भी नियोजित किया गया है। हाल ही में काम करता है  संकुचित संवेदन/नमूनाकरण के सिद्धांत से धारणाओं का उपयोग करें, जैसे कि प्रतिबंधित आइसोमेट्री गुण और संबंधित संभाव्य पुनर्प्राप्ति तर्क, आंतरिक रूप से निम्न-आयामी प्रणालियों में विरल स्थिति का क्रमिक रूप से अनुमान लगाने के लिए।

गाऊसी प्रक्रियाओं से संबंध
चूंकि रैखिक गाऊसी राज्य-अंतरिक्ष मॉडल गाऊसी प्रक्रियाओं की ओर ले जाते हैं, इसलिए कलमन फ़िल्टर को गाऊसी प्रक्रियाओं के लिए अनुक्रमिक सॉल्वर के रूप में देखा जा सकता है।

अनुप्रयोग

 * रवैया और शीर्षक संदर्भ प्रणाली
 * ऑटो-पायलट
 * इलेक्ट्रिक बैटरी  प्रभार का राज्य  (SoC) अनुमान
 * ब्रेन-कंप्यूटर इंटरफेस  *अराजक संकेत
 * कण डिटेक्टर ों में आवेशित कण ों की ट्रैकिंग और शीर्ष फिटिंग
 * कंप्यूटर विज़न में वस्तुओं की ट्रैकिंग
 * शिपिंग में गतिशील स्थिति
 * अर्थशास्त्र, विशेष रूप से मैक्रोइकॉनॉमिक्स ,  समय श्रृंखला विश्लेषण , और अर्थमिति
 * जड़त्वीय मार्गदर्शन प्रणाली
 * नाभिकीय औषधि - सिंगल फोटॉन एमिशन कंप्यूटेड टोमोग्राफी इमेज रिस्टोरेशन
 * कक्षा निर्धारण
 * पावर सिस्टम राज्य का अनुमान
 * रडार ट्रैकर
 * उपग्रह नेविगेशन प्रणाली
 * भूकंप विज्ञान
 * एसी मोटर चर-आवृत्ति ड्राइव का सेंसर रहित नियंत्रण
 * एक साथ स्थानीयकरण और मानचित्रण
 * भाषण में वृद्धि
 * दृश्य ओडोमेट्री
 * मौसम की भविष्यवाणी
 * दिशानिर्देशन प्रणाली
 * 3 डी मॉडलिंग
 * संरचनात्मक स्वास्थ्य निगरानी
 * मानव सेंसरिमोटर प्रसंस्करण

यह भी देखें

 * अल्फा बीटा फिल्टर
 * व्युत्क्रम-विचरण भार
 * सहप्रसरण चौराहा
 * डेटा एसिमिलेशन
 * कलमान फ़िल्टर को इकट्ठा करें
 * विस्तारित कलमन फ़िल्टर
 * फास्ट कलमन फ़िल्टर
 * फ़िल्टरिंग समस्या (स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं)
 * सामान्यीकृत फ़िल्टरिंग
 * अपरिवर्तनीय विस्तारित कलमन फ़िल्टर
 * कर्नेल अनुकूली फ़िल्टर
 * मासरेलीज़ की प्रमेय
 * क्षितिज का अनुमान लगाना
 * कण फिल्टर अनुमानक
 * पीआईडी ​​नियंत्रक
 * प्रेडिक्टर-करेक्टर मेथड
 * रिकर्सिव कम से कम वर्ग फ़िल्टर
 * श्मिट-कलमैन फ़िल्टर
 * पृथक्करण सिद्धांत
 * स्लाइडिंग मोड नियंत्रण
 * राज्य-संक्रमण मैट्रिक्स
 * स्टोकेस्टिक अंतर समीकरण
 * कलमन फ़िल्टर स्विच करना
 * एक साथ अनुमान और मॉडलिंग

बाहरी संबंध

 * A New Approach to Linear Filtering and Prediction Problems, by R. E. Kalman, 1960
 * Kalman and Bayesian Filters in Python. Open source Kalman filtering textbook.
 * How a Kalman filter works, in pictures. Illuminates the Kalman filter with pictures and colors
 * Kalman–Bucy Filter, a derivation of the Kalman–Bucy Filter
 * Kalman filter in Javascript. Open source Kalman filter library for node.js and the web browser.
 * An Introduction to the Kalman Filter, SIGGRAPH 2001 Course, Greg Welch and Gary Bishop
 * Kalman Filter webpage, with many links
 * Kalman Filter Explained Simply, Step-by-Step Tutorial of the Kalman Filter with Equations
 * Gerald J. Bierman's Estimation Subroutine Library: Corresponds to the code in the research monograph "Factorization Methods for Discrete Sequential Estimation" originally published by Academic Press in 1977. Republished by Dover.
 * Matlab Toolbox implementing parts of Gerald J. Bierman's Estimation Subroutine Library: UD / UDU' and LD / LDL' factorization with associated time and measurement updates making up the Kalman filter.
 * Matlab Toolbox of Kalman Filtering applied to Simultaneous Localization and Mapping: Vehicle moving in 1D, 2D and 3D
 * The Kalman Filter in Reproducing Kernel Hilbert Spaces A comprehensive introduction.
 * Matlab code to estimate Cox–Ingersoll–Ross interest rate model with Kalman Filter: Corresponds to the paper "estimating and testing exponential-affine term structure models by kalman filter" published by Review of Quantitative Finance and Accounting in 1999.
 * Online demo of the Kalman Filter. Demonstration of Kalman Filter (and other data assimilation methods) using twin experiments.
 * Examples and how-to on using Kalman Filters with MATLAB A Tutorial on Filtering and Estimation
 * Explaining Filtering (Estimation) in One Hour, Ten Minutes, One Minute, and One Sentence by Yu-Chi Ho
 * Simo Särkkä (2013). "Bayesian Filtering and Smoothing". Cambridge University Press. Full text available on author's webpage https://users.aalto.fi/~ssarkka/.
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 * Explaining Filtering (Estimation) in One Hour, Ten Minutes, One Minute, and One Sentence by Yu-Chi Ho
 * Simo Särkkä (2013). "Bayesian Filtering and Smoothing". Cambridge University Press. Full text available on author's webpage https://users.aalto.fi/~ssarkka/.
 * Simo Särkkä (2013). "Bayesian Filtering and Smoothing". Cambridge University Press. Full text available on author's webpage https://users.aalto.fi/~ssarkka/.