अर्ध-सेट सिद्धांत

क्वासी-सेट सिद्धांत वस्तुओं के संग्रह से निपटने के लिए एक औपचारिक गणितीय सिद्धांत है, जिनमें से कुछ एक दूसरे से अप्रभेद्य हो सकते हैं। क्वासी-सेट सिद्धांत मुख्य रूप से इस धारणा से प्रेरित है कि क्वांटम भौतिकी में व्यवहार की जाने वाली कुछ वस्तुएँ अप्रभेद्य हैं और उनमें वैयक्तिकता नहीं है।

प्रेरणा
अमेरिकी गणितीय सोसायटी ने 1900 में प्रस्तावित हिल्बर्ट की समस्याओं के समाधान और परिणामों के मूल्यांकन के लिए 1974 की एक बैठक प्रायोजित की उस बैठक का एक परिणाम गणितीय समस्याओं की एक नई सूची थी जिनमें से पहली यूरी मैनिन (1976, पी) के कारण. 36), ने प्रश्न किया कि क्या मौलिक सेट सिद्धांत क्वांटम यांत्रिकी में अप्रभेद्य प्राथमिक कण के संग्रह के उपचार के लिए पर्याप्त प्रतिमान था। उन्होंने सुझाव दिया कि ऐसे संग्रह सामान्य अर्थों में सेट नहीं किए जा सकते हैं और ऐसे संग्रहों के अध्ययन के लिए एक नई भाषा की आवश्यकता होती है।

क्वैसी-सेट शब्द का उपयोग न्यूटन दा कोस्टा के 1980 के मोनोग्राफ एनसाइओ सोब्रे ओएस फंडामेंटोस दा लॉजिका (दा कोस्टा और क्राउज 1994 देखें) में एक सुझाव का अनुसरण करता है जिसमें उन्होंने श्रोडिंगर लॉजिक्स के लिए संभावित शब्दार्थों की खोज की इन लॉजिक्स में पहचान की अवधारणा डोमेन की कुछ वस्तुओं तक ही सीमित है और श्रोडिंगर के प्रमाण में प्रेरणा है कि पहचान की अवधारणा प्राथमिक कणों (श्रोडिंगर 1952) के लिए समझ में नहीं आती है। इस प्रकार एक शब्दार्थ प्रदान करने के लिए जो तर्क को फिट करता है दा कोस्टा ने प्रस्तुत किया कि अर्ध-सेटों का एक सिद्धांत विकसित किया जाना चाहिए विशेष स्थति के रूप में मानक सेटों को सम्मिलित करते हुए फिर भी दा कोस्टा ने इस सिद्धांत को किसी भी ठोस विधि से विकसित नहीं किया उसी अंत तक और दा कोस्टा से स्वतंत्र रूप से डल्ला चियारा और डि फ्रांसिया (1993) ने क्वांटम भौतिकी की भाषा के शब्दार्थ उपचार को सक्षम करने के लिए क्वासेट्स के सिद्धांत का प्रस्ताव रखा था पहला अर्ध-सेट सिद्धांत 1990 में अपनी पीएचडी थीसिस में डी. क्राउज द्वारा प्रस्तावित किया गया था (देखें क्राउज 1992)। एक संबंधित भौतिकी सिद्धांत समानता और असमानता के लिए मौलिक अभेद्यता को जोड़ने के तर्क के आधार पर, ए.एफ. पार्कर-रोड्स द्वारा पुस्तक द थ्योरी ऑफ इंडिस्टिंग्यूइशेबल्स में स्वतंत्र रूप से विकसित और विस्तृत किया गया था।।

सिद्धांत की रूपरेखा
अब हम क्रूस (1992) स्वयंसिद्ध सिद्धांत $$\mathfrak{Q}$$, पहला अर्ध-सेट सिद्धांत तब से अन्य सूत्रीकरण और सुधार सामने आए हैं। विषय पर एक अद्यतन पेपर के लिए, फ्रेंच और क्रॉस (2010) देखें। क्रॉस सेट सिद्धांत जेडएफयूपर बनाता है जिसमें ज़र्मेलो-फ्रेंकेल सेट सिद्धांत सम्मिलित है जिसमें दो प्रकार के मूत्रालयों को सम्मिलित करने के लिए एक ऑन्कोलॉजी का विस्तार किया गया है: अर्ध-समुच्चय (क्यू-सेट) एम-परमाणुओं एम-परमाणुओं और इनके समुच्चय से बने एक मूल ब्रह्मांड (सेट सिद्धांत) के लिए जेडएफयू के समान ही सिद्धांतों को प्रयुक्त करने से उत्पन्न संग्रह हैं। के सिद्धांत $$\mathfrak{Q}$$ विस्तार के स्वयंसिद्ध के समतुल्य सम्मिलित हैं किंतु एक अशक्त रूप में जिसे अशक्त विस्तारात्मक स्वयंसिद्ध कहा जाता है; रिक्त समुच्चय के अस्तित्व पर बल देने वाले अभिगृहीत युग्मन की अभिगृहीत संघ की अभिगृहीत और शक्ति समुच्चय की अभिगृहीत जुदाई का स्वयंसिद्ध एक क्यू-कार्य के तहत एक क्यू-सेट की छवि बताते हुए एक स्वयंसिद्ध भी एक क्यू-सेट है; अनन्तता की अभिगृहीत, नियमितता की अभिगृहीत, और पसंद की अभिगृहीत के q-सेट समतुल्य अन्य सेट-सैद्धांतिक ढांचे के आधार पर क्यू-सेट सिद्धांत निश्चित रूप से संभव हैं।
 * एम-परमाणु, जिनकी इच्छित व्याख्या प्राथमिक प्राथमिक कण हैं;
 * एम-परमाणु, स्थूल वस्तुएँ जिन पर मौलिक तर्क को प्रयुक्त माना जाता है।

$$\mathfrak{Q}$$ अर्ध-कार्डिनल की एक आदिम अवधारणा है जो आठ अतिरिक्त स्वयंसिद्धों द्वारा शासित है एक संग्रह में वस्तुओं की मात्रा के लिए सहज रूप से खड़ा है। अर्ध-सेट के अर्ध-कार्डिनल को सामान्य अर्थों में परिभाषित नहीं किया जाता है (क्रमिक संख्या के माध्यम से) क्योंकि एम-परमाणुओं को (पूर्ण रूप से) अप्रभेद्य माना जाता है। इसके अतिरिक्त जेडएफयू की भाषा से की भाषा में अनुवाद को परिभाषित करना संभव है $$\mathfrak{Q}$$ जिससे इसमें ZFU की एक 'कॉपी' हो $$\mathfrak{Q}$$. इस प्रति में, सभी सामान्य गणितीय अवधारणाओं को परिभाषित किया जा सकता है, और 'समुच्चय' (वास्तव में, '$$\mathfrak{Q}$$-sets') उन q-सेटों के रूप में सामने आते हैं जिनके सकर्मक सेट में कोई m-परमाणु नहीं होते हैं।

$$\mathfrak{Q}$$ में q-सेट उपस्थित हो सकते हैं, जिन्हें "शुद्ध" q-सेट कहा जाता है, जिनके तत्व सभी m-परमाणु हैं, और $$\mathfrak{Q}$$ के स्वयंसिद्ध यह कहने का आधार प्रदान करते हैं कि इसमें कुछ भी नहीं है $$\mathfrak{Q}$$ कुछ शुद्ध q-सेट के लिए शुद्ध q-सेट के तत्वों को एक दूसरे से अलग करता है। सिद्धांत के अंदर यह विचार कि x में एक से अधिक इकाई है, एक स्वयंसिद्ध द्वारा व्यक्त किया गया है जिसमें कहा गया है कि x की शक्ति अर्ध-सेट के अर्ध-कार्डिनल में अर्ध-कार्डिनल 2qc(x) है, जहां qc(x) है x का अर्ध-कार्डिनल (जो अभी उल्लेखित जेडएफयू की 'प्रतिलिपि' में प्राप्त कार्डिनल है)।

इसका वास्तव में क्या अर्थ है? सोडियम परमाणु के स्तर 2p पर विचार करें जिसमें छह अविवेकी इलेक्ट्रॉन हैं। फिर भी भौतिकविदों का तर्क है कि वास्तव में उस स्तर में छह संस्थाएं हैं और केवल एक ही नहीं इस प्रकार, यह कहकर कि x की शक्ति अर्ध-समुच्चय का अर्ध-कार्डिनल 2qc(x) है (मान लें कि उदाहरण के लिए qc(x) = 6), हम इस परिकल्पना को बाहर नहीं कर रहे हैं कि x के छह उप-सेट उपस्थित हो सकते हैं जो 'सिंगलटन' हैं, चूँकि हम इनमें अंतर नहीं कर सकते उन्हें। x में छह तत्व हैं या नहीं यह कुछ ऐसा है जिसे सिद्धांत द्वारा निर्धारित नहीं किया जा सकता है (चूँकि धारणा सिद्धांत के अनुकूल है) यदि सिद्धांत इस प्रश्न का उत्तर दे सकता है, तो x के तत्वों को वैयक्तिकृत किया जाएगा और इसलिए गिना जाएगा मूलभूत धारणा के विपरीत कि उन्हें अलग नहीं किया जा सकता है।

दूसरे शब्दों में हम निरंतर (स्वयंसिद्ध के अंदर $$\mathfrak{Q}$$) कारण जैसे कि x में छह संस्थाएँ हैं किंतु x को एक संग्रह के रूप में माना जाना चाहिए जिसके तत्वों को व्यक्तियों के रूप में नहीं देखा जा सकता है। क्वैसी-सेट सिद्धांत का उपयोग करते हुए हम क्वांटम भौतिकी के कुछ तथ्यों को समरूपता स्थितियों को प्रस्तुत किए बिना व्यक्त कर सकते हैं (क्राउज़ एट अल। 1999, 2005)। जैसा कि सर्वविदित है अभेद्यता को व्यक्त करने के लिए कणों को व्यक्तियों के रूप में माना जाता है, उन्हें निर्देशांक या पर्याप्त कार्यों/वैक्टर जैसे |ψ> से जोड़कर कहा जाता है। इस प्रकार, प्रारंभ में |ψ1⟩ और |ψ2⟩ लेबल वाले दो क्वांटम प्रणाली दिए गए हैं हमें |ψ12⟩ = |ψ1⟩|ψ2⟩ ± |ψ2⟩|ψ1⟩ जैसे कार्य पर विचार करने की आवश्यकता है (कुछ स्थिरांक को छोड़कर) जो क्रमपरिवर्तन द्वारा क्वांटा को अप्रभेद्य रखें; संयुक्त प्रणाली की संभाव्यता घनत्व इस बात पर निर्भर करती है कि कौन सा क्वांटा या 1 है और कौन सा क्वांटा या 2 है। (ध्यान दें कि स्पष्टता के लिए आवश्यक है कि हम "दो" क्वांटा की बात करें, उन्हें अलग किए बिना, जो पारंपरिक सेट सिद्धांतों में असंभव है।) $$\mathfrak{Q}$$ में हम क्वांटा की इस "पहचान" से दूर हो सकते हैं विवरण के लिए क्रॉस एट अल देखें। (1999, 2005) और फ्रेंच और क्रॉस (2006)।

क्वासी-सेट सिद्धांत हेंज पोस्ट (1963) के प्रमाण को क्रियान्वित करने का एक विधि है कि क्वांटा को प्रारंभ से ही अप्रभेद्य समझा जाना चाहिए।

यह भी देखें

 * मल्टीसेट
 * क्वांटम भौतिकी
 * क्वांटम तर्क

संदर्भ

 * French, S, and Krause, D. "Remarks on the theory of quasi-sets", Studia Logica 95 (1–2), 2010, pp. 101–124.
 * Newton da Costa (1980) Ensaio sobre os Fundamentos da Lógica. São Paulo: Hucitec.
 * da Costa, N. C. A. and Krause, D. (1994) "Schrödinger logics," Studia Logica 53: 533–550.
 * -- (1997) "An Intensional Schrödinger Logic," Notre Dame Journal of Formal Logic 38: 179–94.
 * Dalla Chiara, M. L. and Toraldo di Francia, G. (1993) "Individuals, kinds and names in physics" in Corsi, G. et al., eds., Bridging the gap: philosophy, mathematics, physics. Kluwer: 261-83.
 * Domenech, G. and Holik, F. (2007), 'A Discussion on Particle Number and Quantum Indistinguishability', "Foundations of Physics" vol. 37, no. 6, pp 855–878.
 * Domenech, G., Holik, F. and Krause, D., "Q-spaces and the foundations of quantum mechanics", Foundations of Physics 38 (11) Nov. 2008, 969–994.
 * Falkenburg, B.: 2007, "Particle Metaphysics: A Critical Account of Subatomic Reality", Springer.
 * French, Steven (2006) "Identity and Individuality in Quantum Theory," The Stanford Encyclopedia of Philosophy (Spring 2006 Edition), Edward N. Zalta (ed.).
 * French, S. and Krause, D. (2006) Identity in Physics: A Historical, Philosophical, and Formal Analysis. Oxford Univ. Press.
 * French, S. and Rickles, D. P. (2003), 'Understanding Permutation Symmetry', in K. Brading and E. Castellani, "Symmetries in Physics: New Reflectio, Cambridge University Press, pp. 212–238.
 * Krause, Decio (1992) "On a quasi-set theory," Notre Dame Journal of Formal Logic 33: 402–11.
 * Krause, D., Sant'Anna, A. S. and Volkov, A. G. (1999) "Quasi-set theory for bosons and fermions: quantum distributions," Foundations of Physics Letters 12: 51–66.
 * Krause, D., Sant'Anna, A. S., and Sartorelli, A. (2005) "On the concept of identity in Zermelo-Fraenkel-like axioms and its relationship with quantum statistics," Logique et Analyse: 189–192, 231–260.
 * Manin, Yuri (1976) "Problems in Present Day Mathematics: Foundations," in Felix Browder, ed., Proceedings of Symposia in Pure Mathematics, Vol. XXVIII. Providence RI: American Mathematical Society.
 * Post, Heinz (1963) "Individuality in physics," The Listener, 10 October 1963: 534–537. Reprinted in (1973) Vedanta for East and West: 14–22.
 * Erwin Schrödinger (1952) Science and Humanism. Cambridge Un. Press.