संयुग्म चर (थर्मोडायनामिक्स)

ऊष्मप्रवैगिकी में, ऊष्मागतिक प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा तापमान और एन्ट्रापी, दबाव और आयतन, या रासायनिक क्षमता और कण संख्या जैसे संयुग्म चर के युग्म के रूप में व्यक्त किया जाता है। वास्तव में, सभी  ऊष्मागतिक क्षमताएं संयुग्म युग्म के संदर्भ में व्यक्त की जाती हैं। संयुग्मित दो मात्राओं के उत्पाद में ऊर्जा या कभी-कभी शक्ति (भौतिकी) की इकाइयाँ होती हैं।

एक यांत्रिक प्रणाली के लिए, ऊर्जा की एक छोटी सी वृद्धि एक छोटे से विस्थापन के बल के गुणनफल है। इसी तरह की स्थिति ऊष्मप्रवैगिकी में सम्मलित होते है। ऊष्मागतिक प्रणाली की ऊर्जा में वृद्धि को कुछ सामान्यीकृत "बलों" के उत्पादों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जो असंतुलित होने पर, कुछ सामान्यीकृत "विस्थापन" का कारण बनता है, और दोनों का उत्पाद परिणाम के रूप में स्थानांतरित ऊर्जा होते है। इन बलों और उनके संबद्ध विस्थापनों को संयुग्मी चर कहा जाता है। ऊष्मागतिक बल सदैव एक गहन चर होता है और विस्थापन सदैव एक व्यापक चर होता है, जिससे एक व्यापक ऊर्जा हस्तांतरण होता है। गहन (बल) चर व्यापक (विस्थापन) चर के संबंध में आंतरिक ऊर्जा व्युत्पन्न होते है, जबकि अन्य सभी व्यापक चर स्थिर होते हैं।

ऊष्मागतिक वर्ग का उपयोग संयुग्म चर के आधार पर कुछ ऊष्मागतिक क्षमता को पुन:स्मरण करने और प्राप्त करने के लिए एक उपकरण के रूप में किया जा सकता है।

उपरोक्त विवरण में, दो संयुग्मी चरों का गुणनफल एक ऊर्जा उत्पन्न करता है। दूसरे शब्दों में, संयुग्म युग्म ऊर्जा के संबंध में संयुग्मी होते हैं। सामान्यतः, संयुग्म युग्म को किसी भी ऊष्मागतिक स्थिति फलन के संबंध में परिभाषित किया जा सकता है। एन्ट्रापी के संबंध में संयुग्म युग्म अधिकांशतः उपयोग किए जाते हैं, जिसमें संयुग्म युग्म का उत्पाद एंट्रॉपी उत्पन्न करता है। इस तरह के संयुग्म युग्म अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं के विश्लेषण में विशेष रूप से उपयोगी होते हैं, जैसा कि ऑनसेजर पारस्परिक संबंधों की व्युत्पत्ति में उदाहरण है।

अवलोकन
जिस तरह एक यांत्रिक प्रणाली में ऊर्जा की एक छोटी वृद्धि एक छोटे से विस्थापन के बल के गुणनफल के रूप में होती है, उसी तरह ऊष्मागतिक प्रणाली की ऊर्जा में वृद्धि को कुछ सामान्यीकृत "बलों" के उत्पादों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, जब असंतुलित, कुछ सामान्यीकृत "विस्थापन" होने का कारण बनता है, जिसके परिणामस्वरूप उनके उत्पाद को स्थानांतरित ऊर्जा होती है। इन बलों और उनके संबद्ध विस्थापनों को संयुग्मी चर कहा जाता है। उदाहरण के लिए, पर विचार करें  $$pV$$  संयुग्मी युगल। दबाव $$ p$$ एक सामान्यीकृत बल के रूप में कार्य करता है: दबाव अंतर मात्रा में परिवर्तन को बल देता है $$\mathrm dV$$, और उनका उत्पाद कार्य के कारण प्रणाली द्वारा खोई गई ऊर्जा होती है। यहाँ, दबाव प्रेरक शक्ति है, आयतन संबद्ध विस्थापन है, और दोनों संयुग्मी चरों की एक युगल बनाते हैं। इसी तरह, तापमान अंतर एंट्रोपी में परिवर्तन को प्रेरित करता है, और उनका उत्पाद गर्मी हस्तांतरण द्वारा स्थानांतरित ऊर्जा है। ऊष्मागतिक बल सदैव एक गहन चर होता है और विस्थापन सदैव एक व्यापक चर होता है, जो एक व्यापक ऊर्जा प्रदान करता है। गहन (बल) चर व्यापक (विस्थापन) चर के संबंध में (व्यापक) आंतरिक ऊर्जा का व्युत्पन्न है, जिसमें अन्य सभी व्यापक चर स्थिर होते हैं।

ऊष्मप्रवैगिक क्षमता का सिद्धांत तब तक पूरा नहीं होता है जब तक कि कोई प्रणाली में कणों की संख्या को अन्य व्यापक मात्रा जैसे मात्रा और एन्ट्रॉपी के बराबर चर के रूप में नहीं मानता है। कणों की संख्या, आयतन और एन्ट्रॉपी की तरह, एक संयुग्मी युग्म में विस्थापन चर है। इस जोड़ी का सामान्यीकृत बल घटक रासायनिक क्षमता है। रासायनिक क्षमता को एक बल के रूप में माना जा सकता है, जो असंतुलित होने पर, कणों के आदान-प्रदान को या तो परिवेश के साथ, या सिस्टम के अंदर चरणों के बीच धकेलता है। ऐसे स्थितियों में जहां रसायनों और चरणों का मिश्रण होता है, यह एक उपयोगी अवधारणा है। उदाहरण के लिए, यदि एक कंटेनर में तरल पानी और जल वाष्प होता है, तो तरल के लिए एक रासायनिक क्षमता (जो नकारात्मक है) होगी जो पानी के अणुओं को वाष्प (वाष्पीकरण) में धकेलती है और वाष्प के लिए एक रासायनिक क्षमता, वाष्प के अणुओं को अंदर धकेलती है। द्रव (संक्षेपण)। केवल जब ये "बल" संतुलित होते हैं, और प्रत्येक चरण की रासायनिक क्षमता बराबर होती है, संतुलन प्राप्त होता है।

सबसे अधिक माना जाने वाला संयुग्म ऊष्मागतिक चर हैं (इसी एसआई इकाइयों के साथ):


 * थर्मल पैरामीटर:
 * तापमान: $$T$$(केल्विन)
 * * एंट्रॉपी: $$S$$(J K−1)


 * यांत्रिक पैरामीटर:
 * दबाव: $$p$$ (Pa= J m−3)
 * * आयतन ( ऊष्मागतिक्स): $$V$$ (m3 = J Pa−1)
 * या, अधिक सामान्यतः,
 * या, अधिक सामान्यतः,


 * दबाव: $$\sigma_{ij}\,$$(Pa= J m−3)
 * आयतन × दबाव:: $$V\times\varepsilon_{ij}$$ (m3 = J Pa−1)


 * सामग्री पैरामीटर:
 * * रासायनिक क्षमता: $$ \mu $$ (J)
 * * कण संख्या: $$ N $$ (कण या तिल)

विभिन्न प्रकारों वाली प्रणाली के लिए $$i$$ कणों की, आंतरिक ऊर्जा में एक छोटा परिवर्तन निम्न द्वारा दिया जाता है:


 * $$\mathrm{d}U = T\,\mathrm{d}S - p\,\mathrm{d}V + \sum_i \mu_i \,\mathrm{d}N_i\,,$$

जहाँ $$ U $$ आंतरिक ऊर्जा है, $$T$$ तापमान है, $$S$$ एंट्रॉपी है, $$p$$ दबाव है, $$V$$ मात्रा है, $$\mu_i$$ की रासायनिक क्षमता है $$i$$-वें कण प्रकार, और $$N_i$$ की संख्या है $$i$$ प्रणाली में प्रकार के कण होते है। यहाँ, तापमान, दबाव और रासायनिक क्षमता सामान्यीकृत बल हैं, जो क्रमशः एन्ट्रापी, आयतन और कण संख्या में सामान्यीकृत परिवर्तन को संचालित करते हैं। ये पैरामीटर ऊष्मागतिक प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा को प्रभावित करते हैं। एक छोटा सा परिवर्तन $$\mathrm{d}U$$ सिस्टम की आंतरिक ऊर्जा में संगत संयुग्म युगल के कारण सिस्टम की सीमाओं के पार ऊर्जा के प्रवाह के योग द्वारा दिया जाता है। निम्नलिखित खंडों में इन अवधारणाओं का विस्तार किया जाएगा।

यहाँ, तापमान, दबाव और रासायनिक क्षमता सामान्यीकृत बल हैं, जो क्रमशः एन्ट्रापी, आयतन और कण संख्या में सामान्यीकृत परिवर्तन को संचालित करते हैं। ये पैरामीटर ऊष्मागतिक प्रणाली की आंतरिक ऊर्जा को प्रभावित करते हैं। एक छोटा सा परिवर्तन $$\mathrm{d}U$$ सिस्टम की आंतरिक ऊर्जा में संगत संयुग्म युगल के कारण सिस्टम की सीमाओं के पार ऊर्जा के प्रवाह के योग द्वारा दिया जाता है। निम्नलिखित खंडों में इन अवधारणाओं का विस्तार किया जाएगा।

प्रक्रियाओं से निपटने के दौरान जिसमें सिस्टम पदार्थ या ऊर्जा का आदान-प्रदान करते हैं, मौलिक ऊष्मप्रवैगिकी उन व्युत्पन्नों से संबंधित नहीं है जिन पर ऐसी प्रक्रियाएं होती हैं, जिन्हें कैनेटीक्स (भौतिकी) कहा जाता है। इस कारण से, ऊष्मप्रवैगिकी शब्द का प्रयोग सामान्यतः संतुलन ऊष्मप्रवैगिकी के पर्याय के रूप में किया जाता है। इस संबंध के लिए एक केंद्रीय धारणा अर्ध-स्थैतिक प्रक्रियाओं की है, अर्थात् आदर्शीकृत, असीम रूप से धीमी प्रक्रियाएं। संतुलन से दूर समय-निर्भर ऊष्मागतिक प्रक्रियाओं का अध्ययन गैर-संतुलन  ऊष्मागतिक्स द्वारा किया जाता है। यह अपरिवर्तनीय प्रक्रियाओं के रैखिक या गैर-रैखिक विश्लेषण के माध्यम से किया जा सकता है, क्रमशः संतुलन से निकट और दूर की प्रणालियों का अध्ययन करने की अनुमति देता है।

दबाव/मात्रा और प्रतिबल/बल युग्म
एक उदाहरण के रूप में, पर विचार करें $$pV$$ संयुग्मी युगल है। दबाव एक सामान्यीकृत बल के रूप में कार्य करता है - दबाव अंतर मात्रा (ऊष्मप्रवैगिकी) में परिवर्तन को बल देता है, और उनका उत्पाद यांत्रिक कार्य के कारण सिस्टम द्वारा खोई गई ऊर्जा है। दबाव प्रेरक शक्ति है, आयतन संबद्ध विस्थापन है, और दोनों संयुग्मी चरों की एक युगल बनाते हैं।

ऊपर केवल गैर-चिपचिपा तरल पदार्थों के लिए सही है। चिपचिपा तरल पदार्थ, प्लास्टिसिटी और लोच ठोस स्थिति में, दबाव बल को कॉची प्रतिबल टेन्सर के लिए सामान्यीकृत किया जाता है, और आयतन में परिवर्तन को प्रतिबल टेंसर द्वारा गुणा किए गए आयतन के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।ये फिर एक संयुग्मित युग्म बनाते हैं। यदि

$$\sigma_{ij}$$ प्रतिबल टेन्सर का आईजे घटक है, और $$\varepsilon_{ij}$$ प्रतिबल टेन्सर का ij घटक है, फिर प्रतिबल-प्रेरित अत्यल्प विकृति के परिणाम के रूप में किया गया यांत्रिक कार्य $$\mathrm \varepsilon_{ij}$$ है:


 * $$\delta w = V\sum_{ij}\sigma_{ij}\,\mathrm d\varepsilon_{ij}$$

या, टेंसरों के लिए आइंस्टीन संकेतन का उपयोग करते हुए, जिसमें दोहराए गए सूचकांकों का योग माना जाता है:


 * $$\delta w = V\sigma_{ij}\,\mathrm d\varepsilon_{ij}$$

शुद्ध संपीड़न (अर्थात कोई शियरिंग बल नहीं) के मामले में, प्रतिबल टेंसर केवल क्रोनकर डेल्टा के दबाव समय का ऋणात्मक होता है जिससे की


 * $$\delta w = V\,(-p\delta_{ij})\,\mathrm d \varepsilon_{ij}= - \sum_k pV \,\mathrm d \varepsilon_{kk}$$

प्रतिबल टेंसर का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) ($$\varepsilon_{kk}$$) आयतन में भिन्नात्मक परिवर्तन है जिससे उपरोक्त घटकर कम हो जाता है $$\delta w = -p \mathrm dV$$ जैसा होना चाहिए।

तापमान/एन्ट्रॉपी युगल
इसी तरह, तापमान अंतर एंट्रॉपी में परिवर्तन को प्रेरित करता है, और उनका उत्पाद हीटिंग द्वारा स्थानांतरित ऊर्जा है। तापमान प्रेरक शक्ति है, एन्ट्रापी संबद्ध विस्थापन है, और दोनों संयुग्मी चरों की एक जोड़ी बनाते हैं। संयुग्मी चरों का तापमान/एन्ट्रॉपी युग्म ही एकमात्र ऊष्मा शब्द है; अन्य शर्तें अनिवार्य रूप से काम के सभी विभिन्न रूप हैं।

रासायनिक क्षमता/कण संख्या युगल
रासायनिक क्षमता एक बल की तरह है जो कण संख्या में वृद्धि में दबाव देती है। ऐसे स्थितियों में जहां रसायनों और चरणों का मिश्रण होता है, यह एक उपयोगी अवधारणा है। उदाहरण के लिए, यदि एक कंटेनर में पानी और जल वाष्प होता है, तो तरल के लिए एक रासायनिक क्षमता (जो नकारात्मक है) होगी, पानी के अणुओं को वाष्प (वाष्पीकरण) में धकेलना और वाष्प के लिए एक रासायनिक क्षमता, वाष्प के अणुओं को तरल में धकेलना (वाष्पीकरण)। केवल जब ये "बल" संतुलन प्राप्त करते हैं तो संतुलन प्राप्त होता है।

यह भी देखें

 * सामान्यीकृत समन्वय और सामान्यीकृत बल: मौलिक यांत्रिकी में पाए जाने वाले अनुरूप संयुग्म चर युग्म।
 * गहन और व्यापक गुण
 * बॉन्ड ग्राफ