केर मीट्रिक

केर मेट्रिक या केर ज्यामिति घूर्णन अपरिवर्तित अक्षीय रूप से सममित ब्लैक होल के चारों ओर रिक्त स्थान-समय की ज्यामिति का वर्णन करती है, जिसमें क्वासिफेरिकल घटना क्षितिज होता है। केर मीट्रिक टेंसर सामान्य सापेक्षता के आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों की सामान्य सापेक्षता में त्रुटिहीन समाधान है; ये समीकरण अत्यधिक गैर-रैखिक प्रणाली हैं | गैर-रैखिक हैं, जिससे त्रुटिहीन समाधान खोजना बहुत कठिनाई हो जाता है।

सिंहावलोकन
केर मेट्रिक 1915 में कार्ल श्वार्जचाइल्ड द्वारा खोजे गए श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक के घूर्णन निकाय के लिए सामान्यीकरण है, जिसने अपरिवर्तित, गोलाकार रूप से सममित और गैर-घूर्णन निकाय के आसपास स्पेसटाइम की ज्यामिति का वर्णन किया। आवेशित, गोलाकार, गैर-घूर्णन पिंड के लिए संबंधित समाधान, रीस्नर-नॉर्डस्ट्रॉम मीट्रिक, इसके तुरंत पश्चात् (1916-1918) खोजा गया था। चूंकि, अपरिवर्तित, घूमते हुए ब्लैक होल, केर मीट्रिक का त्रुटिहीन समाधान 1963 तक अनसुलझा रहा, जब रॉय केर द्वारा इसकी खोज की गई थी।  आवेशित, घूमते हुए ब्लैक होल, केर-न्यूमैन मीट्रिक का प्राकृतिक विस्तार, इसके तुरंत पश्चात् 1965 में खोजा गया था। इन चार संबंधित समाधानों को निम्नलिखित तालिका द्वारा सारांशित किया जा सकता है, जहाँ Q शरीर के विद्युत आवेश का प्रतिनिधित्व करता है और J इसके स्पिन कोणीय का प्रतिनिधित्व करता है। गति:


 * {| class="wikitable"

! ! Non-rotating (J = 0) ! Rotating (J ≠ 0) ! Uncharged (Q = 0) ! Charged (Q ≠ 0) केर मेट्रिक के अनुसार, घूर्णन निकाय को फ्रेम खींच (लेंस-थिरिंग प्रीसेशन के रूप में भी जाना जाता है) प्रदर्शित करना चाहिए, सामान्य सापेक्षता की विशिष्ट भविष्यवाणी। इस फ्रेम ड्रैगिंग इफेक्ट का पहला माप 2011 में ग्रेविटी प्रोब बी प्रयोग द्वारा किया गया था। मोटे तौर पर, यह प्रभाव भविष्यवाणी करता है कि घूर्णन द्रव्यमान के करीब आने वाली वस्तुओं को इसके घूर्णन में भाग लेने के लिए प्रेरित किया जाएगा, न कि किसी भी प्रयुक्त बल या टोक़ के कारण महसूस किया जा सकता है, बल्कि अंतरिक्ष-समय के घुमावदार वक्रता के कारण घूर्णन निकायों से जुड़ा हुआ है।. घूमने वाले ब्लैक होल के स्थिति में, पर्याप्त दूरी पर, सभी वस्तुओं - यहां तक ​​कि प्रकाश - को ब्लैक होल के साथ घूमना चाहिए; जिस क्षेत्र में यह धारण करता है उसे एर्गोस्फीयर कहा जाता है।
 * Schwarzschild
 * Kerr
 * Reissner–Nordström
 * Kerr–Newman
 * }

दूर के स्रोतों से प्रकाश कई बार घटना क्षितिज के चारों ओर यात्रा कर सकता है (यदि पर्याप्त निकट हो); मजबूत गुरुत्वाकर्षण लेंसिंग। दूर के दर्शक के लिए, छवियों के मध्य स्पष्ट लंबवत दूरी ई (गणितीय स्थिरांक) के कारक पर घट जाती है$e$2पीआई (लगभग 500)। चूंकि, तेजी से घूमने वाले ब्लैक होल में बहुलता छवियों के मध्य कम दूरी होती है। घूर्णन करने वाले ब्लैक होल में ऐसी सतहें होती हैं जहां मीट्रिक में स्पष्ट समन्वय विलक्षणता होती है; इन सतहों का आकार और आकार ब्लैक होल के द्रव्यमान और कोणीय गति पर निर्भर करता है। बाहरी सतह एर्गोस्फीयर को घेरती है और इसका आकार चपटे गोले के समान होता है। आंतरिक सतह घटना क्षितिज को चिह्नित करती है; इस क्षितिज के अंदरी भाग में जाने वाली वस्तुएँ उस क्षितिज के बाहर की दुनिया के साथ फिर कभी संवाद नहीं कर सकती हैं। चूंकि, कोई भी सतह सच्ची विलक्षणता नहीं है, जिससे कि भिन्न समन्वय प्रणाली में उनकी स्पष्ट विलक्षणता को समाप्त किया जा सकता है। श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक पर विचार करते समय समान स्थिति प्राप्त होती है जो r = r पर विलक्षणता के रूप में भी प्रकट होती है।s आर के ऊपर और नीचे की जगह को विभाजित करनाs दो डिस्कनेक्ट किए गए पैच में; भिन्न समन्वय परिवर्तन का उपयोग करके कोई भी विस्तारित बाहरी पैच को आंतरिक पैच से जोड़ सकता है (देखें Schwarzschild_metric#Singularities_and_black_holes) - इस तरह के समन्वय परिवर्तन से स्पष्ट विलक्षणता समाप्त हो जाती है जहां आंतरिक और बाहरी सतहें मिलती हैं। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, इन दो सतहों के मध्य की वस्तुओं को घूर्णन ब्लैक होल के साथ सह-घूर्णन करना चाहिए; सिद्धांत रूप में इस सुविधा का उपयोग घूर्णन ब्लैक होल से ऊर्जा निकालने के लिए किया जा सकता है, इसकी अपरिवर्तनीय द्रव्यमान ऊर्जा, मैक तक 2।

2016 में घोषित गुरुत्वाकर्षण तरंगों का पहली बार पता लगाने वाले LIGO प्रयोग ने केर ब्लैक होल की जोड़ी की गुरुत्वाकर्षण तरंगों का पहला अवलोकन भी प्रदान किया।

मीट्रिक
केर मीट्रिक सामान्यतः दो रूपों में से में व्यक्त किया जाता है, बॉयर-लिंडक्विस्ट फॉर्म और केर-शिल्ड फॉर्म। यह न्यूमैन-जेनिस एल्गोरिथम का उपयोग करके श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक से आसानी से प्राप्त किया जा सकता है न्यूमैन-पेनरोस औपचारिकतावाद (जिसे स्पिन-गुणांक औपचारिकता के रूप में भी जाना जाता है) द्वारा अर्न्स्ट समीकरण, या दीर्घवृत्त समन्वय परिवर्तन।

बॉयर-लिंडक्विस्ट निर्देशांक
केर मीट्रिक द्रव्यमान के आसपास के क्षेत्र में अंतरिक्ष-समय की ज्यामिति का वर्णन करता है $$M$$ कोणीय गति के साथ घूमना $$J$$. बॉयर-लिंडक्विस्ट निर्देशांक में मीट्रिक (या समतुल्य रूप से उचित समय के लिए इसका रेखा तत्व) है

जहां निर्देशांक $$r, \theta, \phi$$ मानक चपटे गोलाकार निर्देशांक हैं, जो कार्तीय निर्देशांक के समतुल्य हैं

कहाँ $$r_\text{s}$$ श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक है

और कहाँ संक्षिप्तता के लिए, लंबाई स्केल $$a, \Sigma$$ और $$\Delta$$ रूप में प्रस्तुत किया गया है

उपरोक्त मीट्रिक में ध्यान देने योग्य प्रमुख विशेषता क्रॉस उत्पाद शब्द है $$dt \, d\phi.$$ इसका तात्पर्य यह है कि रोटेशन के विमान में समय और गति के मध्य युग्मन होता है जो ब्लैक होल की कोणीय गति शून्य हो जाने पर गायब हो जाता है।

गैर-सापेक्षतावादी सीमा में जहां $$M$$ (या, समकक्ष, $$r_\text{s}$$) शून्य पर जाता है, केर मीट्रिक तिरछी गोलाकार निर्देशांक के लिए ओर्थोगोनल मीट्रिक बन जाता है

केर-शिल्ड निर्देशांक
केर मीट्रिक को केर-शिल्ड गड़बड़ी में व्यक्त किया जा सकता है केर-शिल्ड फॉर्म, कार्टेसियन समन्वय प्रणाली के विशेष सेट का उपयोग निम्नानुसार है। ये समाधान 1965 में रॉय पैट्रिक केर और अल्फ्रेड शील्ड द्वारा प्रस्तावित किए गए थे।

ध्यान दें कि k अशक्त सदिश]]|इकाई 3-सदिश है, जो g और η दोनों के संबंध में 4-सदिश को शून्य सदिश बनाता है। यहाँ M कताई वस्तु का निरंतर द्रव्यमान है, η Minkowski अंतरिक्ष#मानक आधार है, और a कताई वस्तु का स्थिर घूर्णी पैरामीटर है। यह समझा जाता है कि सदिश $$\vec{a}$$ सकारात्मक z- अक्ष के साथ निर्देशित है। मात्रा आर त्रिज्या नहीं है, बल्कि इसके द्वारा स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है

ध्यान दें कि मात्रा r सामान्य त्रिज्या R बन जाती है


 * $$r \to R = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$$

जब घूर्णी पैरामीटर शून्य तक पहुंचता है। समाधान के इस रूप में, इकाइयों का चयन किया जाता है जिससे कि प्रकाश की गति एकता (सी = 1) हो। स्रोत (आर ≫ ए) से बड़ी दूरी पर, ये समीकरण श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक के एडिंगटन-फिंकेलस्टीन निर्देशांक | एडिंगटन-फिंकेलस्टीन फॉर्म में कम हो जाते हैं।

केर मीट्रिक के केर-शिल्ड रूप में, मीट्रिक टेंसर का निर्धारक हर जगह ऋणात्मक के समान्तर होता है, यहां तक ​​कि स्रोत के पास भी।

सॉलिटॉन निर्देशांक
जैसा कि केर मीट्रिक (केर-नट मीट्रिक के साथ) अक्षीय रूप से सममित है, इसे ऐसे रूप में डाला जा सकता है जिसमें बेलिंस्की-ज़खारोव रूपांतरण प्रयुक्त किया जा सकता है। इसका तात्पर्य है कि केर ब्लैक होल में गुरुत्वाकर्षण सॉलिटॉन का रूप है।

घूर्णी ऊर्जा का द्रव्यमान
यदि पूर्ण घूर्णी ऊर्जा $$E_{\rm rot} = c^2\left(M -M_{\rm irr}\right)$$ ब्लैक होल का अंश निकाला जाता है, उदाहरण के लिए पेनरोज़ प्रक्रिया के साथ, शेष द्रव्यमान अलघुकरणीय द्रव्यमान से नीचे नहीं सिकुड़ सकता। चूँकि, यदि कोई ब्लैक होल स्पिन के साथ घूमता है $$a=M$$, इसका कुल द्रव्यमान-समतुल्य $$M$$ के गुणक से अधिक है $$\sqrt{2}$$ इसी श्वार्ज़स्चिल्ड ब्लैक होल की तुलना में जहां $$M$$ के समान्तर है $$M_{\rm irr}$$. इसका कारण यह है कि घूमने के लिए स्थिर पिंड प्राप्त करने के लिए, सिस्टम में ऊर्जा को प्रयुक्त करने की आवश्यकता होती है। द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता के कारण इस ऊर्जा का द्रव्यमान-समतुल्य भी होता है, जो प्रणाली की कुल द्रव्यमान-ऊर्जा में जोड़ता है, $$M$$.

कुल द्रव्यमान समतुल्य $$M$$ शरीर का (गुरुत्वाकर्षण द्रव्यमान) (इसकी घूर्णी ऊर्जा सहित) और इसका अलघुकरणीय द्रव्यमान $$M_{\rm irr}$$ से संबंधित हैं
 * $$2 M_{\rm irr}^2 = M^2 + \sqrt{M^4 - J^2 c^2 / G^2} \Longrightarrow M^2 = \frac{4 M_{\rm irr}^4}{4 M_{\rm irr}^2 - a^2 c^4/G^2}.$$

वेव ऑपरेटर
चूंकि केर मेट्रिक पर सीधे जांच में भी बोझिल गणनाएं सम्मिलित हैं, सदिश घटकों के सहप्रसरण और प्रतिप्रसरण $$g^{ik}$$ बोयर-लिंडक्विस्ट निर्देशांक में मीट्रिक टेन्सर के चार ढाल विभेदक ऑपरेटर के वर्ग के लिए अभिव्यक्ति में नीचे दिखाए गए हैं:

फ़्रेम खींचना
हम केर मीट्रिक को फिर से लिख सकते हैं ($$) निम्नलिखित रूप में:

यह मीट्रिक सह-घूर्णन संदर्भ फ्रेम के समान्तर है जो कोणीय गति Ω के साथ घूम रहा है जो कि त्रिज्या r और colatitude θ दोनों पर निर्भर करता है, जहां Ω को किलिंग क्षितिज कहा जाता है।

इस प्रकार, जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम पश्चात् के रोटेशन में भाग लेने के लिए घूर्णन केंद्रीय द्रव्यमान द्वारा प्रवेश किया जाता है; इसे फ्रेम-ड्रैगिंग कहा जाता है, और प्रयोगात्मक रूप से इसका परीक्षण किया गया है। गुणात्मक रूप से, फ्रेम-ड्रैगिंग को विद्युत चुम्बकीय प्रेरण के गुरुत्वाकर्षण अनुरूप के रूप में देखा जा सकता है। आइस स्केटर, भूमध्य रेखा पर कक्षा में और तारों के संबंध में घूर्णी रूप से आराम से, अपनी बाहों को फैलाता है। ब्लैक होल की ओर बढ़ाए गए हाथ को घुमाकर घुमा दिया जाएगा। ब्लैक होल से दूर फैली भुजा को घुमाव के विपरीत मोड़ दिया जाएगा। चूँकि वह ब्लैक होल के प्रति-घूर्णन अर्थ में घूर्णी रूप से तेज हो जाएगी। यह रोजमर्रा के अनुभव के विपरीत है। यदि वह पहले से ही निश्चित गति से घूम रही है, जब वह अपनी बाहों को फैलाती है, तो जड़त्वीय प्रभाव और फ्रेम-ड्रैगिंग प्रभाव संतुलित होंगे और उसकी स्पिन नहीं बदलेगी। तुल्यता सिद्धांत के कारण, गुरुत्वाकर्षण प्रभाव जड़त्वीय प्रभावों से स्थानीय रूप से अप्रभेद्य हैं, चूँकि यह रोटेशन दर, जिस पर जब वह अपनी बाहों को फैलाती है, कुछ भी नहीं होता है, गैर-घूर्णन के लिए उसका स्थानीय संदर्भ है। यह फ्रेम स्थिर तारों के संबंध में घूम रहा है और ब्लैक होल के संबंध में प्रति-घूर्णन कर रहा है। उपयोगी रूपक ग्रहीय गियर प्रणाली है जिसमें ब्लैक होल सन गियर है, आइस स्केटर ग्रहीय गियर है और बाहरी ब्रह्मांड रिंग गियर है। इसकी व्याख्या मच के सिद्धांत के माध्यम से भी की जा सकती है।

महत्वपूर्ण सतहें
केर मीट्रिक में कई महत्वपूर्ण सतहें हैं ($$ ). आंतरिक सतह घटना क्षितिज से मेल खाती है जैसा कि श्वार्ज़चाइल्ड मीट्रिक में देखा गया है; यह तब होता है जहां विशुद्ध रूप से रेडियल घटक जीrr}मीट्रिक का } अनंत तक जाता है। द्विघात समीकरण को हल करना $$ = 0 समाधान देता है:


 * $$r_{\rm H}^{\pm} = \frac{r_\text{s} \pm \sqrt{r_\text{s}^{2} - 4a^2}}{2}$$

जो प्राकृतिक इकाइयों में (जो G = M = c = 1 देता है) इसे सरल करता है:


 * $$r_{\rm H}^{\pm} = 1 \pm \sqrt{1-a^2}$$

जबकि श्वार्ज़चाइल्ड मीट्रिक में घटना क्षितिज भी वह स्थान है जहाँ विशुद्ध रूप से अस्थायी घटक gtt}केर मीट्रिक में, जो भिन्न दूरी पर होता है, मेट्रिक का साइन पॉजिटिव से नेगेटिव में बदल जाता है। द्विघात समीकरण जी को फिर से हल करना $$ = 0 समाधान देता है:


 * $$r_{\rm E}^{\pm} = \frac{r_\text{s} \pm \sqrt{r_\text{s}^{2} - 4a^{2} \cos^{2}\theta}}{2}$$

या प्राकृतिक इकाइयों में:


 * $$r_{\rm E}^{\pm} = 1 \pm \sqrt{1-a^2 \cos ^2\theta}$$

कॉस के कारण2}वर्गमूल में θ शब्द, यह बाहरी सतह चपटे गोले के समान होती है जो घूर्णन अक्ष के ध्रुवों पर आंतरिक सतह को छूती है, जहां कोलेटीट्यूड θ 0 या π के समान्तर होता है; इन दो सतहों के मध्य के स्थान को एर्गोस्फीयर कहा जाता है। इस मात्रा के अंदर, विशुद्ध रूप से लौकिक घटक जी $$ ऋणात्मक है, अर्थात, विशुद्ध रूप से स्थानिक मीट्रिक घटक की तरह कार्य करता है। परिणाम स्वरुप, इस एर्गोस्फीयर के अंदर के कणों को आंतरिक द्रव्यमान के साथ सह-घूर्णन करना चाहिए, यदि वे अपने समय-समान चरित्र को बनाए रखना चाहते हैं। गतिमान कण अपनी विश्व रेखा के साथ सकारात्मक उचित समय का अनुभव करता है, स्पेसटाइम के माध्यम से इसका मार्ग। चूंकि, एर्गोस्फीयर के अंदर यह असंभव है, जहां जी$$ ऋणात्मक है, जब तक कण कम से कम Ω की कोणीय गति के साथ आंतरिक द्रव्यमान M के चारों ओर सह-घूर्णन नहीं कर रहा है। इस प्रकार, कोई भी कण एर्गोस्फीयर के अंदर केंद्रीय द्रव्यमान के घूर्णन के विपरीत दिशा में गति नहीं कर सकता है।

श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक में घटना क्षितिज के साथ, r पर स्पष्ट विलक्षणता$$ निर्देशांक की पसंद के कारण है (अर्थात, यह समन्वय विलक्षणता है)। वास्तव में, निर्देशांकों के उपयुक्त विकल्प द्वारा स्पेसटाइम को इसके माध्यम से आसानी से जारी रखा जा सकता है। बदले में, आर पर एर्गोस्फीयर की बाहरी सीमाE}गैर-शून्य होने के कारण केर निर्देशांक में भी } अपने आप में एकवचन नहीं है $$dt d\phi$$ अवधि।

एर्गोस्फीयर और पेनरोज़ प्रक्रिया
सामान्य रूप से ब्लैक होल सतह से घिरा होता है, जिसे घटना क्षितिज कहा जाता है और गैर-घुमावदार ब्लैक होल के लिए श्वार्जस्चिल्ड त्रिज्या में स्थित होता है, जहां पलायन वेग प्रकाश के वेग के समान्तर होता है। इस सतह के अंदर, कोई भी प्रेक्षक/कण स्थिर त्रिज्या पर स्वयं को बनाए नहीं रख सकता है। यह अंदर की ओर गिरने के लिए मजबूर है, और चूँकि इसे कभी-कभी स्थिर सीमा कहा जाता है। घूमते हुए ब्लैक होल की घटना क्षितिज पर ही स्थिर सीमा होती है किन्तु घटना क्षितिज के बाहर अतिरिक्त सतह होती है जिसे एर्गोसर्फेस कहा जाता है


 * $$(r-M)^{2} = M^{2}-J^{2}\cos^{2}\theta$$

बोयर-लिंडक्विस्ट निर्देशांक में, जिसे सहज रूप से उस क्षेत्र के रूप में चित्रित किया जा सकता है जहां आसपास के स्थान के घूर्णी वेग को प्रकाश के वेग के साथ खींचा जाता है। इस क्षेत्र के अंदर खिंचाव प्रकाश की गति से अधिक है, और किसी भी पर्यवेक्षक/कण को ​​सह-घुमाने के लिए मजबूर किया जाता है।

घटना क्षितिज के बाहर का क्षेत्र किन्तु सतह के अंदर जहां घूर्णी वेग प्रकाश की गति है, एर्गोस्फीयर (ग्रीक एर्गन अर्थ कार्य से) कहा जाता है। एर्गोस्फीयर के अंदर गिरने वाले कण तेजी से घूमने के लिए मजबूर होते हैं और इस तरह ऊर्जा प्राप्त करते हैं। जिससे कि वे अभी भी घटना क्षितिज के बाहर हैं, वे ब्लैक होल से बच सकते हैं। शुद्ध प्रक्रिया यह है कि घूमता हुआ ब्लैक होल अपनी कुल ऊर्जा की कीमत पर ऊर्जावान कणों का उत्सर्जन करता है। घूर्णन ब्लैक होल से स्पिन ऊर्जा निकालने की संभावना पहली बार 1969 में गणितज्ञ रोजर पेनरोज़ द्वारा प्रस्तावित की गई थी और इस प्रकार इसे पेनरोज़ प्रक्रिया कहा जाता है। खगोल भौतिकी में घूर्णन ब्लैक होल बड़ी मात्रा में ऊर्जा का संभावित स्रोत हैं और गामा-रे फटने जैसी ऊर्जावान घटनाओं को समझाने के लिए उपयोग किया जाता है।

केर ज्यामिति
की विशेषताएं केर ज्यामिति कई उल्लेखनीय विशेषताओं को प्रदर्शित करती है: अधिकतम विश्लेषणात्मक विस्तार में स्पर्शोन्मुख रूप से सपाट बाहरी क्षेत्रों का क्रम सम्मिलित होता है, प्रत्येक एर्गोस्फीयर, स्थिर सीमा सतहों, घटना क्षितिज, कॉची क्षितिज, बंद समयबद्ध घटता और अंगूठी के आकार का गुरुत्वाकर्षण विलक्षणता से जुड़ा होता है। जियोडेसिक समीकरण को बिल्कुल बंद रूप में हल किया जा सकता है। दो सदिश फ़ील्ड्स को मारना ( समय अनुवाद और एक्सिसिमेट्री के अनुरूप) के अतिरिक्त, केर ज्यामिति उल्लेखनीय हत्या टेंसर को स्वीकार करती है। प्रिंसिपल नल सर्वांगसमताओं की जोड़ी है (इनगोइंग और आउटगोइंग)। वेइल टेंसर बीजगणितीय रूप से विशेष है, वास्तव में इसका पेट्रोव वर्गीकरण 'डी' है। वैश्विक स्पेसटाइम संरचना ज्ञात है। टोपोलॉजिकल रूप से, केर स्पेसटाइम के होमोटॉपी प्रकार को प्रत्येक पूर्णांक बिंदु पर संलग्न मंडलियों के साथ रेखा के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

ध्यान दें कि आंतरिक क्षेत्र में गड़बड़ी के संबंध में आंतरिक केर ज्यामिति अस्थिर है। इस अस्थिरता का मतलब है कि चूंकि केर मीट्रिक अक्ष-सममित है, गुरुत्वाकर्षण पतन के माध्यम से बनाया गया ब्लैक होल ऐसा नहीं हो सकता है। इस अस्थिरता का अर्थ यह भी है कि ऊपर वर्णित केर ज्यामिति की कई विशेषताएं ऐसे ब्लैक होल के अंदर उपस्तिथ नहीं हो सकती हैं।

सतह जिस पर प्रकाश ब्लैक होल की परिक्रमा कर सकता है, उसे फोटॉन स्फीयर कहा जाता है। केर समाधान में असीमित रूप से कई फोटॉन क्षेत्र होते हैं, जो आंतरिक और बाहरी के मध्य स्थित होते हैं। गैर-घूर्णन में, श्वार्ज़स्चिल्ड समाधान, = 0 के साथ, आंतरिक और बाहरी फोटॉन क्षेत्रों को पतित किया जाता है, जिससे कि त्रिज्या में केवल फोटॉन क्षेत्र हो। ब्लैक होल का स्पिन जितना अधिक होता है, आंतरिक और बाहरी फोटॉन गोले दूसरे से उतने ही दूर जाते हैं। ब्लैक होल के स्पिन के विपरीत दिशा में यात्रा करने वाली प्रकाश की किरण बाहरी फोटॉन क्षेत्र में छेद की परिक्रमा करेगी। प्रकाश की किरण उसी दिशा में यात्रा कर रही है जिस दिशा में ब्लैक होल का चक्रण आंतरिक फोटॉन स्फीयर पर चक्कर लगाएगा। ब्लैक होल के घूर्णन के अक्ष के लम्बवत् कुछ कोणीय संवेग के साथ परिक्रमा करने वाले जियोडेसिक्स इन दो चरम सीमाओं के मध्य फोटॉन क्षेत्रों पर परिक्रमा करेंगे। जिससे कि अंतरिक्ष-समय घूर्णन कर रहा है, ऐसी कक्षाएँ पुरस्सरण प्रदर्शित करती हैं, जिससे कि इसमें बदलाव होता है $$\phi \,$$ में अवधि पूर्ण करने के पश्चात् चर $$\theta \,$$ चर।

प्रक्षेपवक्र समीकरण
केर स्पेसटाइम में परीक्षण कणों के लिए गति के समीकरण गति के चार स्थिरांक द्वारा नियंत्रित होते हैं। पहला अपरिवर्तनीय द्रव्यमान है $$\mu$$ संबंध द्वारा परिभाषित परीक्षण कण का $$-\mu^2 = p^\alpha g_{\alpha\beta}p^\beta,$$ कहाँ $$p^\alpha$$ कण का चार-संवेग है। इसके अतिरिक्त, केर स्पेसटाइम, ऊर्जा के समय अनुवाद और घूर्णन समरूपता द्वारा दिए गए गति के दो स्थिरांक हैं $$E$$, और ब्लैक होल के स्पिन के समानांतर कक्षीय कोणीय गति का घटक $$L_z$$.

$$E = -p_t,$$ और $$L_z = p_\phi$$ हैमिल्टन-जैकोबी समीकरण | हैमिल्टन-जैकोबी सिद्धांत का उपयोग करते हुए, ब्रैंडन कार्टर ने दिखाया कि गति का चौथा स्थिरांक उपस्तिथ है, $$Q$$, अब कार्टर स्थिरांक के रूप में जाना जाता है। यह कण के कुल कोणीय संवेग से संबंधित है और इसके द्वारा दिया जाता है $$Q = p_{\theta}^{2} + \cos^{2}\theta \left(a^{2}\left(\mu^{2} - E^{2}\right) + \left(\frac{L_z}{\sin\theta} \right)^{2} \right).$$ चूंकि स्वतंत्रता की डिग्री के लिए गति के चार (स्वतंत्र) स्थिरांक हैं, केर स्पेसटाइम में परीक्षण कण के लिए गति के समीकरण पूर्णांक हैं।

गति के इन स्थिरांकों का उपयोग करके, परीक्षण कण के लिए प्रक्षेपवक्र समीकरण लिखे जा सकते हैं (G = M = c = 1 की प्राकृतिक इकाइयों का उपयोग करके), $$\begin{align} \Sigma\frac{dr}{d\lambda} &= \pm\sqrt{R(r)} \\ \Sigma\frac{d\theta}{d\lambda} &= \pm\sqrt{\Theta(\theta)} \\ \Sigma\frac{d\phi}{d\lambda} &= -\left(aE - \frac{L_z}{\sin^2\theta}\right) + \frac{a}{\Delta}P(r) \\ \Sigma\frac{dt}{d\lambda} &= -a\left(aE\sin^2\theta - L_z\right) + \frac{r^2 + a^2}{\Delta}P(r) \end{align}$$ साथ कहाँ, $$\lambda$$ एफ़िन पैरामीटर है जैसे कि $$\frac{dx^\alpha}{d\lambda} = p^\alpha$$. विशेष रूप से, कब $$\mu>0$$ एफ़िन पैरामीटर $$\lambda$$, उचित समय से संबंधित है $$\tau$$ द्वारा $$\lambda = \tau/\mu$$.
 * $$\Theta(\theta) = Q - \cos^2\theta\left(a^2\left(\mu^2 - E^2\right) + \frac{L_z^2}{\sin^2\theta}\right)$$
 * $$P(r) = E\left(r^2 + a^2\right) - aL_z$$
 * $$R(r) = P(r)^2 - \Delta\left(\mu^2 r^2 + (L_z - aE)^2 + Q\right)$$

फ़्रेम-ड्रैगिंग-प्रभाव के कारण, शून्य-कोणीय-गति प्रेक्षक (ZAMO) कोणीय वेग के साथ कोरोटेट कर रहा है $$\Omega$$ जिसे मुनीम के समन्वय समय के संबंध में परिभाषित किया गया है $$t$$. स्थानीय वेग $$v$$ परीक्षण-कण के साथ कोरोटेटिंग जांच के सापेक्ष मापा जाता है $$\Omega$$. ZAMO के मध्य गुरुत्वीय समय-विस्तारण नियत है $$r$$ और द्रव्यमान से दूर स्थिर प्रेक्षक है $$\frac{t}{\tau} = \sqrt.$$ कार्टेशियन केर-शिल्ड निर्देशांक में, फोटॉन के समीकरण हैं

$$\ddot{x}+i\ddot{y}=4iMa\frac{r}{\Sigma^2}W\left [\dot{x}+i\dot{y}-\frac{x+iy}{r}\dot{r}\right ] - M(x+iy) \left ( \frac{4r^2}{\Sigma}-1\right )\frac{C-a^2 W^2}{r\Sigma^2}$$ $$\ddot{z}=-Mz\left(\frac{4r^2}{\Sigma}-1\right)\frac{C}{r\Sigma^2}$$ कहाँ $$C$$ कार्टर के स्थिरांक के अनुरूप है और $$W$$ उपयोगी मात्रा है $$C=p_{\theta}^2+\left(aE\sin{\theta}-\frac{L_z}{\sin{\theta}}\right)^2$$ $$W=\dot{t}-a \sin^2{\theta}\dot{\phi}$$ यदि हम सेट करते हैं $$a=0$$, श्वार्ज़चाइल्ड जियोडेसिक्स को पुनर्स्थापित किया जाता है।

समरूपता
केर मेट्रिक के आइसोमेट्रिज़ का समूह दस-आयामी पॉइनकेयर समूह का उपसमूह है जो विलक्षणता के द्वि-आयामी स्थान को अपने पास ले जाता है। यह रोटेशन के अपने अक्ष (आयाम) के चारों ओर समय के अनुवाद (आयाम) और घुमाव को निरंतर रखता है। इस प्रकार इसके दो आयाम हैं। पोंकारे समूह की तरह, इसके चार जुड़े हुए घटक हैं: पहचान का घटक; घटक जो समय और देशांतर को उलट देता है; वह घटक जो विषुवतीय तल से परावर्तित होता है; और वह घटक जो दोनों करता है।

भौतिकी में, समरूपता सामान्यतः नोएदर के प्रमेय के अनुसार गति के संरक्षित स्थिरांक से जुड़ी होती है। जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, जियोडेसिक समीकरणों में चार संरक्षित मात्राएँ होती हैं: जिनमें से जियोडेसिक की परिभाषा से आती है, और जिनमें से दो केर ज्यामिति के समय अनुवाद और रोटेशन समरूपता से उत्पन्न होती हैं। चौथी संरक्षित मात्रा मानक अर्थ में समरूपता से उत्पन्न नहीं होती है और इसे सामान्यतः छिपी समरूपता के रूप में संदर्भित किया जाता है।

अत्यधिक केर समाधान
घटना क्षितिज का स्थान बड़े रूट द्वारा निर्धारित किया जाता है $$\Delta=0$$. कब $$r_\text{s} /2 < a$$ (अर्थात। $$G M^2 < J c $$), इस समीकरण का कोई (वास्तविक मूल्यवान) समाधान नहीं है, और कोई घटना क्षितिज नहीं है। ब्रह्मांड के बाकी हिस्सों से इसे छिपाने के लिए कोई घटना क्षितिज नहीं होने के कारण, ब्लैक होल ब्लैक होल बनना बंद कर देता है और इसके अतिरिक्त नग्न विलक्षणता होगी।

वर्महोल के रूप में केर ब्लैक होल
यद्यपि केर समाधान Δ = 0 की जड़ों में एकवचन प्रतीत होता है, ये वास्तव में एकवचन का समन्वय करते हैं, और, नए निर्देशांक की उचित पसंद के साथ, केर समाधान को मूल्यों के माध्यम से आसानी से बढ़ाया जा सकता है $$r$$ इन जड़ों के अनुरूप। इन जड़ों में से बड़ा घटना क्षितिज का स्थान निर्धारित करता है, और छोटा कॉची क्षितिज का स्थान निर्धारित करता है। ए (भविष्य-निर्देशित, समय की तरह) वक्र बाहरी में प्रारंभ हो सकता है और घटना क्षितिज से गुजर सकता है। बार घटना क्षितिज से गुजरने के पश्चात्, $$r$$ निर्देशांक अब समय निर्देशांक की तरह व्यवहार करता है, चूँकि इसे तब तक कम करना चाहिए जब तक कि वक्र कॉशी क्षितिज से न गुजरे।

कॉची क्षितिज से परे के क्षेत्र में कई आश्चर्यजनक विशेषताएं हैं। $$r$$ h> निर्देशांक फिर से स्थानिक समन्वय की तरह व्यवहार करता है और स्वतंत्र रूप से भिन्न हो सकता है। आंतरिक क्षेत्र में प्रतिबिंब समरूपता है, जिससे कि (भविष्य-निर्देशित समय-समान) वक्र सममित पथ के साथ जारी रह सके, जो दूसरे कॉची क्षितिज के माध्यम से, दूसरे घटना क्षितिज के माध्यम से, और नए बाहरी क्षेत्र में जारी रहता है जो है केर समाधान के मूल बाहरी क्षेत्र के लिए आइसोमेट्रिक। वक्र फिर नए क्षेत्र में अनंत तक जा सकता है या नए बाहरी क्षेत्र के भविष्य के घटना क्षितिज में प्रवेश कर सकता है और प्रक्रिया को दोहरा सकता है। इस दूसरे बाहरी को कभी-कभी दूसरे ब्रह्मांड के रूप में माना जाता है। दूसरी ओर, केर समाधान में, विलक्षणता वलय विलक्षणता है, और वक्र इस वलय के केंद्र से होकर गुजर सकता है। परे का क्षेत्र बंद समय-जैसे घटता परमिट देता है। चूँकि सामान्य सापेक्षता में पर्यवेक्षकों और कणों के प्रक्षेपवक्र को समय-समान वक्रों द्वारा वर्णित किया जाता है, चूँकि इस क्षेत्र में पर्यवेक्षकों के लिए अपने अतीत में लौटना संभव है। यह आंतरिक समाधान भौतिक होने की संभावना नहीं है और इसे विशुद्ध रूप से गणितीय शिल्पकृति माना जाता है।

जबकि यह उम्मीद की जाती है कि केर समाधान का बाहरी क्षेत्र स्थिर है, और यह कि सभी घूमते हुए ब्लैक होल अंततः केर मीट्रिक तक पहुंचेंगे, समाधान का आंतरिक क्षेत्र अस्थिर प्रतीत होता है, ठीक उसी तरह जैसे पेंसिल अपने बिंदु पर संतुलित होती है। यह लौकिक सेंसरशिप परिकल्पना के विचार से संबंधित है।

अन्य त्रुटिहीन समाधानों से संबंध
केर ज्यामिति स्थिर अंतरिक्ष समय परिपत्र समरूपता का विशेष उदाहरण है #आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के लिए तीन आयाम वैक्यूम समाधान। आइंस्टीन क्षेत्र समीकरण के सभी स्थिर अक्षीय रूप से सममित निर्वात समाधानों का परिवार अर्न्स्ट वैक्यूम है।

केर समाधान विभिन्न गैर-वैक्यूम समाधानों से भी संबंधित है जो ब्लैक होल का मॉडल बनाते हैं। उदाहरण के लिए, केर-न्यूमैन मेट्रिक | केर-न्यूमैन इलेक्ट्रोवैक्यूम मॉडल (घूर्णन) ब्लैक होल को इलेक्ट्रिक चार्ज के साथ संपन्न करता है, जबकि केर-वैद्य शून्य धूल मॉडल (घूर्णन) छेद को विद्युत चुम्बकीय विकिरण के साथ मॉडल करता है।

विशेष स्थिति $$a = 0$$ केर मेट्रिक का श्वार्ज़स्चिल्ड मेट्रिक प्राप्त होता है, जो श्वार्ज़स्चिल्ड निर्देशांक में गैर-घूर्णन ब्लैक होल का मॉडल करता है जो स्थैतिक अंतरिक्ष समय और गोलाकार रूप से सममित है। (इस स्थिति में, हर गेरोच क्षण किन्तु द्रव्यमान गायब हो जाता है।)

केर ज्यामिति का आंतरिक भाग, या बल्कि इसका हिस्सा, चंद्रशेखर-फेरारी सीपीडब्ल्यू वैक्यूम के लिए स्थानीय रूप से आइसोमेट्री है, जो टकराने वाले विमान तरंग मॉडल का उदाहरण है। यह विशेष रूप से रोचक है, जिससे कि इस सीपीडब्ल्यू समाधान की वैश्विक स्पेसटाइम संरचना केर ज्यामिति से अधिक भिन्न है, और सिद्धांत रूप में, प्रयोगकर्ता टक्कर की व्यवस्था करके केर इंटीरियर के ज्यामिति (बाहरी हिस्से) का अध्ययन करने की उम्मीद कर सकता है। दो उपयुक्त गुरुत्वाकर्षण समतल तरंगों का।

मल्टीपोल क्षण
प्रत्येक असम्बद्ध रूप से फ्लैट अर्न्स्ट वैक्यूम को सापेक्षतावादी मल्टीपोल क्षणों के अनंत अनुक्रम देकर वर्णित किया जा सकता है, जिनमें से पहले दो को क्षेत्र के स्रोत के द्रव्यमान और कोणीय गति के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। हेन्सन, थॉर्न और गेरोच के कारण आपेक्षिक बहुध्रुव क्षणों के वैकल्पिक सूत्र हैं, जो दूसरे के साथ सहमत होते हैं। केर ज्यामिति के सापेक्षवादी बहुध्रुव क्षणों की गणना हैनसेन द्वारा की गई थी; वे निकले


 * $$ M_n = M [i a]^n $$

इस प्रकार, श्वार्ज़स्चिल्ड मीट्रिक (a = 0) का विशेष स्थिति सामान्य सापेक्षता का एकध्रुव बिंदु स्रोत देता है।

वेइल मल्टीपोल क्षण निश्चित मीट्रिक फ़ंक्शन (औपचारिक रूप से न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण क्षमता के अनुरूप) के इलाज से उत्पन्न होते हैं जो मानक यूक्लिडियन स्केलर मल्टीपोल क्षणों का उपयोग करके सभी स्थिर अक्षीय वैक्यूम समाधानों के अर्न्स्ट परिवार के लिए वेइल-पापापेट्रो चार्ट प्रकट होता है। वे ऊपर हैनसेन द्वारा गणना किए गए क्षणों से भिन्न हैं। मायने में, वेइल क्षण केवल (अप्रत्यक्ष रूप से) पृथक स्रोत के बड़े पैमाने पर वितरण को चिह्नित करते हैं, और वे केवल क्रम सापेक्षतावादी क्षणों पर निर्भर करते हैं। विषुवतीय समतल के पार सममित समाधानों के स्थिति में विषम क्रम Weyl क्षण गायब हो जाते हैं। केर वैक्यूम समाधान के लिए, पहले कुछ वेइल पलों द्वारा दिया जाता है


 * $$a_0 = M, \qquad a_1 = 0, \qquad a_2 = M \left( \frac{M^2}{3} - a^2 \right) $$

विशेष रूप से, हम देखते हैं कि श्वार्ज़स्चिल्ड वैक्यूम में गैर-शून्य दूसरा ऑर्डर वेइल पल है, इस तथ्य के अनुरूप है कि वीइल मोनोपोल चाज़ी-कर्ज़न वैक्यूम समाधान है, न कि श्वार्ज़स्चिल्ड वैक्यूम समाधान, जो निश्चित परिमित लंबाई वर्दी की न्यूटोनियन क्षमता से उत्पन्न होता है। घनत्व पतली छड़।

कमजोर क्षेत्र सामान्य सापेक्षता में, अन्य प्रकार के मल्टीपोल का उपयोग करके पृथक स्रोतों का इलाज करना सुविधाजनक होता है, जो द्रव्यमान के वितरण और स्रोत के संवेग को चिह्नित करते हुए द्रव्यमान मल्टीपोल क्षणों और संवेग मल्टीपोल क्षणों को सामान्यीकृत करता है। ये बहु-अनुक्रमित मात्राएँ हैं जिनके उपयुक्त रूप से सममित और विरोधी-सममित भागों को पूर्ण अरैखिक सिद्धांत के लिए सापेक्षतावादी क्षणों के वास्तविक और काल्पनिक भागों से जटिल विधि से जोड़ा जा सकता है।

पेरेज़ और मोरेस्ची ने आर की शक्तियों में अर्न्स्ट वैक्युम के मानक एनपी टेट्राड का विस्तार करके मोनोपोल समाधानों की वैकल्पिक धारणा दी है (वेइल-पापापेट्रो चार्ट में रेडियल समन्वय)। इस सूत्रीकरण के अनुसार: इस अर्थ में, सामान्य सापेक्षता में केर वैक्युम सबसे सरल स्थिर अक्षीय असममित रूप से फ्लैट वैक्यूम समाधान हैं।
 * शून्य कोणीय गति के साथ पृथक द्रव्यमान मोनोपोल स्रोत श्वार्ज़स्चिल्ड वैक्यूम परिवार (पैरामीटर) है,
 * रेडियल कोणीय गति के साथ पृथक द्रव्यमान मोनोपोल स्रोत ताउब-नट वैक्यूम परिवार है (दो पैरामीटर; बिल्कुल असमान रूप से फ्लैट नहीं),
 * पृथक द्रव्यमान मोनोपोल स्रोत अक्षीय कोणीय गति के साथ केर वैक्यूम परिवार (दो पैरामीटर) है।

खुली समस्याएं
केर ज्यामिति को अधिकांशतः घूर्णन ब्लैक होल के मॉडल के रूप में प्रयोग किया जाता है, किन्तु यदि समाधान को केवल कुछ कॉम्पैक्ट क्षेत्र (कुछ प्रतिबंधों के अधीन) के बाहर वैध माना जाता है, सिद्धांत रूप में, इसे बाहरी समाधान के रूप में उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए ब्लैक होल जैसे न्यूट्रॉन स्टार या पृथ्वी के अतिरिक्त घूर्णन विशाल वस्तु के चारों ओर गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र का मॉडल। यह नॉन-रोटेटिंग केस के लिए बहुत अच्छी तरह से कार्य करता है, जहां स्च्वार्जस्चिल्ड वैक्यूम एक्सटीरियर को श्वार्जस्चिल्ड तरल पदार्थ इंटीरियर से मिलान किया जा सकता है, और वास्तव में अधिक सामान्य स्थिर गोलाकार रूप से सममित सही द्रव समाधान के लिए। चूंकि, घूर्णन पूर्ण-तरल पदार्थ इंटीरियर खोजने की समस्या जिसे केर बाहरी से मिलान किया जा सकता है, या वास्तव में किसी भी असम्बद्ध रूप से फ्लैट वैक्यूम बाहरी समाधान के लिए, बहुत कठिनाई सिद्ध हुआ है। विशेष रूप से, Wahlquist द्रव, जिसे कभी केर बाहरी से मेल खाने के लिए उम्मीदवार माना जाता था, अब इस तरह के किसी भी मिलान को स्वीकार नहीं करने के लिए जाना जाता है। वर्तमान में, ऐसा लगता है कि केवल अनुमानित समाधान धीरे-धीरे घूमने वाले द्रव गेंदों को जानते हैं (ये गैर-शून्य द्रव्यमान और कोणीय गति के साथ तिरछी गोलाकार गेंदों के सापेक्षवादी एनालॉग हैं किन्तु उच्च मल्टीपोल क्षणों को गायब कर देते हैं)। चूंकि, न्यूगेबॉयर-मीनल डिस्क का बाहरी भाग, त्रुटिहीन धूल समाधान जो घूर्णन पतली डिस्क को मॉडल करता है, सीमित स्थिति में पहुंचता है $$ GM^2 = cJ $$ केर ज्यामिति। केर स्पेसटाइम के हिस्सों की पहचान करके प्राप्त भौतिक थिन-डिस्क समाधान भी ज्ञात हैं।

यह भी देखें

 * श्वार्जस्चिल्ड मीट्रिक
 * केर-न्यूमैन मीट्रिक
 * रीस्नर-नॉर्डस्ट्रॉम मीट्रिक
 * हार्टल-थोर्न मीट्रिक
 * स्पिन-फ्लिप
 * केर-शिल्ड स्पेसटाइम
 * घूर्णन ब्लैक होल

अग्रिम पठन

 * See chapter 19 for a readable introduction at the advanced undergraduate level.
 * See chapters 6--10 for a very thorough study at the advanced graduate level.
 * See chapter 13 for the Chandrasekhar/Ferrari CPW model.
 * See chapter 7.
 * Characterization of three standard families of vacuum solutions as noted above.
 * Gives the relativistic multipole moments for the Ernst vacuums (plus the electromagnetic and gravitational relativistic multipole moments for the charged generalization).
 * "... This note is meant to be a guide for those readers who wish to verify all the details [of the derivation of the Kerr solution]..."
 * See chapter 7.
 * Characterization of three standard families of vacuum solutions as noted above.
 * Gives the relativistic multipole moments for the Ernst vacuums (plus the electromagnetic and gravitational relativistic multipole moments for the charged generalization).
 * "... This note is meant to be a guide for those readers who wish to verify all the details [of the derivation of the Kerr solution]..."
 * "... This note is meant to be a guide for those readers who wish to verify all the details [of the derivation of the Kerr solution]..."
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Trou noir de Kerr