प्रक्षेपी रैखिक समूह



गणित में, विशेष रूप से बीजगणित क्षेत्र में, प्रक्षेपी रेखीय समूह (जिसे प्रक्षेपी सामान्य रेखीय समूह या पीजीएल के रूप में भी जाना जाता है) संबंधित प्रक्षेपी स्थान P(V) पर सदिश स्थान V के सामान्य रेखीय समूह की प्रेरित समूह क्रिया (गणित) है। स्पष्ट रूप से, प्रक्षेपी रेखीय समूह भागफल समूह है
 * पीजीएल(वी) = जीएल(वी)/जेड(वी)

जहाँ GL(V) V का सामान्य रेखीय समूह है और Z(V), V के सभी अशून्य अदिश रूपांतरणों का उपसमूह है| इन्हें उद्धृत किया जाता है क्योंकि वे प्रक्षेपण स्थान  पर साधारण क्रिया करते हैं और वे क्रिया के कर्नेल (बीजगणित) बनाते हैं, और Z दर्शाता है कि अदिश परिवर्तन सामान्य रैखिक समूह  केंद्र का निर्माण करते हैं।

प्रक्षेपी विशेष रेखीय समूह, पीएसएल, को संबंधित प्रक्षेपी स्थान पर विशेष रेखीय समूह की प्रेरित क्रिया को समान रूप से परिभाषित किया गया है। स्पष्ट रूप से:
 * पीएसएल(वी) = एसएल(वी)/एसजेड(वी)

जहां SL(V) V पर विशेष रैखिक समूह है और SZ(V) इकाई निर्धारक के साथ स्केलर परिवर्तनों का उपसमूह है। यहाँ SZ SL का केंद्र है, और स्वाभाविक रूप से F में एकता के nth रूट्स के समूह के साथ पहचाना जाता है (जहाँ n''V' का डायमेंशन ( सदिश स्थल ) है ' और 'एफ' आधार क्षेत्र (गणित) है)।

पीजीएल और पीएसएल अध्ययन के कुछ मौलिक समूह हैं, तथाकथित शास्त्रीय समूहों का हिस्सा हैं, और पीजीएल के एक तत्व को प्रोजेक्टिव अदिश परिवर्तन, प्रोजेक्टिव ट्रांसफॉर्मेशन या होमोग्राफी कहा जाता है। यदि V  क्षेत्र पर nआयाम (वेक्टर स्थान) है, अर्थात् V = Fn, वैकल्पिक नोटेशन PGL(n, F) और PSL(n, F) का भी प्रयोग किया जाता है।

ध्यान दें कि PGL(n, F) और PSL(n, F) समूह समाकृतिकता हैं यदि और केवल यदि F के प्रत्येक तत्व का F में nवां मूल है। एक उदाहरण के रूप में, ध्यान दें कि PGL(2, C) = PSL(2, C), लेकिन उस PGL(2, R) > PSL(2, R); यह वास्तविक प्रक्षेपी रेखा के उन्मुख होने के अनुरूप है, और प्रक्षेपी विशेष रेखीय समूह केवल अभिविन्यास-संरक्षण परिवर्तन है।

पीजीएल और पीएसएल को एक रिंग (गणित) पर भी परिभाषित किया जा सकता है, जिसमें एक महत्वपूर्ण उदाहरण मॉड्यूलर समूह है, PSL(2, Z).

नाम
यह नाम प्रक्षेपी ज्यामिति से आया है, जहाँ सजातीय निर्देशांक पर कार्य करने वाला प्रक्षेपी समूह (x0:एक्स1: ... :एक्सn) ज्यामिति का अंतर्निहित समूह है। अलग तरीके से कहा गया है, वी पर जीएल (वी) की प्राकृतिक समूह क्रिया (गणित) प्रोजेक्टिव स्पेस पी (वी) पर पीजीएल (वी) की कार्रवाई के लिए उतरती है।

प्रक्षेपी रेखीय समूह इसलिए मोबियस परिवर्तनों (कभी-कभी मोबियस समूह कहा जाता है) के मामले पीजीएल (2, 'सी') को सामान्यीकृत करते हैं, जो प्रक्षेपी रेखा पर कार्य करता है।

ध्यान दें कि सामान्य रैखिक समूह के विपरीत, जिसे आमतौर पर रैखिक (वेक्टर स्पेस) संरचना को संरक्षित करने वाले व्युत्क्रमणीय कार्यों के रूप में स्वैच्छिक रूप से परिभाषित किया जाता है, प्रोजेक्टिव रैखिक समूह को रचनात्मक रूप से परिभाषित किया जाता है, संबंधित वेक्टर अंतरिक्ष के सामान्य रैखिक समूह के भागफल के रूप में, स्वयंसिद्ध रूप से प्रक्षेपी रैखिक संरचना को संरक्षित करने वाले व्युत्क्रमणीय कार्यों के रूप में। यह संकेतन में परिलक्षित होता है: पीजीएल (एन, एफ) जीएल (एन, एफ) से जुड़ा समूह है, और (एन-1) -डायमेंशनल प्रोजेक्टिव स्पेस का प्रक्षेपण रेखा ग्रुप है, न कि एन-डायमेंशनल प्रोजेक्टिव स्पेस।

मिलीभगत
एक संबंधित समूह समरेखण समूह है, जिसे स्वैच्छिक रूप से परिभाषित किया गया है। एक संरेखण एक व्युत्क्रमणीय (या अधिक आम तौर पर एक-से-एक) नक्शा है जो संरेख बिंदुओं को संरेख बिंदु भेजता है। एक आपतन संरचना के संदर्भ में प्रक्षेपी स्थान के लिए प्रक्षेपी स्थान#Axioms कर सकते हैं (बिंदु P का एक सेट, रेखाएँ L, और एक घटना संबंध I निर्दिष्ट करता है कि कौन से बिंदु किस रेखा पर स्थित हैं) कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करते हैं - इस प्रकार परिभाषित एक प्रक्षेप्य स्थान का एक ऑटोमोर्फिज़्म फिर बिंदुओं के सेट का एक ऑटोमोर्फिज्म एफ और लाइनों के सेट का एक ऑटोमोर्फिज्म जी होना, घटना संबंध को संरक्षित करना, जो वास्तव में अपने आप में एक स्थान का एक संयोजन है। प्रोजेक्टिव लीनियर ट्रांसफ़ॉर्म कोलाइनेशन हैं (वेक्टर स्पेस में प्लेन संबंधित प्रोजेक्टिव स्पेस में लाइनों के अनुरूप हैं, और लीनियर मैप प्लेन को प्लेन में ट्रांसफ़ॉर्म करता है, इसलिए प्रोजेक्टिव लीनियर मैप लाइन को लाइन में ट्रांसफ़ॉर्म करता है), लेकिन सामान्य तौर पर सभी कॉलिनेशन प्रोजेक्टिव लीनियर ट्रांसफ़ॉर्म नहीं होते हैं - PGL आम तौर पर समरेखण समूह का एक उचित उपसमूह है।

विशेष रूप से, n = 2 (एक प्रक्षेपी रेखा) के लिए, सभी बिंदु समरेख हैं, इसलिए समरेखण समूह वास्तव में प्रक्षेपी रेखा के बिंदुओं का सममित समूह है, और 'F' को छोड़कर2 और एफ3 (जहाँ PGL पूर्ण सममित समूह है), PGL इन बिंदुओं पर पूर्ण सममित समूह का उचित उपसमूह है।

n ≥ 3 के लिए, संरेखन समूह प्रक्षेपी अर्धरैखिक समूह है, PΓL - यह PGL है, जो फील्ड ऑटोमोर्फिज्म द्वारा मुड़ जाता है; औपचारिक रूप से, PΓL ≅ PGL ⋊ Gal(K/k), जहाँ k, K के लिए प्रमुख क्षेत्र है; यह प्रक्षेपी ज्यामिति का मूलभूत प्रमेय है। इस प्रकार K के लिए एक प्रमुख क्षेत्र ('F'p या Q), हमारे पास PGL = PΓL है, लेकिन K के लिए गैर-तुच्छ गैल्वा ऑटोमोर्फिज्म (जैसे कि $$\mathbf{F}_{p^n}$$ n ≥ 2 या 'C' के लिए), प्रोजेक्टिव लीनियर ग्रुप, कॉलिनेशन ग्रुप का एक उचित उपसमूह है, जिसे प्रोजेक्टिव सेमी-लीनियर स्ट्रक्चर को संरक्षित करने वाले ट्रांसफॉर्म के रूप में माना जा सकता है। इसके अनुरूप, भागफल समूह PΓL/PGL = Gal(K/k) रैखिक संरचना के विकल्पों से मेल खाता है, जिसमें पहचान (आधार बिंदु) मौजूदा रैखिक संरचना है।

एक स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित प्रक्षेप्य रिक्त स्थान के लिए समरेखण समूहों को भी परिभाषित कर सकता है, जहां प्रक्षेपी रैखिक परिवर्तन की कोई प्राकृतिक धारणा नहीं है। हालांकि, गैर-डिसर्ग्यूसियन विमानों के अपवाद के साथ, सभी प्रोजेक्टिव रिक्त स्थान एक विभाजन की अंगूठी  पर एक रैखिक स्थान का प्रोजेक्टिवाइजेशन हैं, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, रैखिक संरचना के कई विकल्प हैं, अर्थात् गैल (के / के) पर एक  धड़  (एन ≥ 3 के लिए)।

तत्व
प्रक्षेपी रैखिक समूह के तत्वों को अक्षों में से एक के साथ विमान को झुकाव के रूप में समझा जा सकता है, और उसके बाद मूल विमान को प्रक्षेपित किया जा सकता है, और इसका आयाम n भी है।

प्रोजेक्टिव ट्रांसफ़ॉर्म को समझने का एक अधिक परिचित ज्यामितीय तरीका प्रोजेक्टिव रोटेशन (PSO(n+1) के तत्व) के माध्यम से है, जो यूनिट हाइपरस्फीयर के रोटेशन के त्रिविम प्रक्षेपण  से मेल खाता है, और इसका आयाम है $$\textstyle{1+2+\cdots+n=\binom{n+1}{2}}.$$ दृष्टिगत रूप से, यह मूल स्थान पर खड़े होने (या मूल स्थान पर एक कैमरा रखने) और किसी के देखने के कोण को मोड़ने, फिर एक समतल तल पर प्रक्षेपित करने से मेल खाता है। हाइपरप्लेन के लंबवत कुल्हाड़ियों में घुमाव हाइपरप्लेन को संरक्षित करता है और हाइपरप्लेन (SO(n) का एक तत्व) का रोटेशन उत्पन्न करता है, जिसका आयाम है $$\textstyle{1+2+\cdots+(n-1) =\binom{n}{2}}.$$), जबकि हाइपरप्लेन के समानांतर कुल्हाड़ियों में घुमाव उचित प्रक्षेपी मानचित्र हैं, और शेष n आयामों के लिए खाते हैं।

गुण

 * PGL समरेख बिंदुओं को संरेख बिंदु भेजता है (यह प्रक्षेपी रेखाओं को संरक्षित करता है), लेकिन यह पूर्ण संरेखन समूह नहीं है, जो या तो PΓL (n > 2 के लिए) या n = 2 (प्रक्षेपी रेखा) के लिए पूर्ण सममित समूह है।
 * प्रक्षेपी स्थान का प्रत्येक (द्विनियमित) बीजगणितीय ऑटोमोर्फिज्म प्रक्षेपी रैखिक है। बायरेशनल ऑटोमोर्फिज्म एक बड़ा समूह बनाते हैं, क्रेमोना समूह।
 * पीजीएल प्रोजेक्टिव स्पेस पर ईमानदारी से कार्य करता है: गैर-पहचान तत्व गैर-तुच्छ रूप से कार्य करते हैं।
 * ठोस रूप से, प्रोजेक्टिव स्पेस पर जीएल की कार्रवाई का कर्नेल बिल्कुल स्केलर मैप्स है, जो पीजीएल में उद्धृत किए गए हैं।
 * PGL 2-सकर्मक समूह | 2-सकर्मक रूप से प्रक्षेपी स्थान पर कार्य करता है।
 * ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रोजेक्टिव स्पेस में 2 अलग-अलग बिंदु 2 वैक्टर के अनुरूप होते हैं जो एक रैखिक स्थान पर स्थित नहीं होते हैं, और इसलिए रैखिक रूप से स्वतंत्र होते हैं, और GL रैखिक रूप से स्वतंत्र वैक्टर के k-तत्व सेट पर संक्रमणीय रूप से कार्य करता है।
 * पीजीएल (2, के) प्रोजेक्टिव लाइन पर तेजी से 3-संक्रमणीय रूप से कार्य करता है।
 * 3 मनमाना बिंदु पारंपरिक रूप से [0, 1], [1, 1], [1, 0] पर मैप किए जाते हैं; वैकल्पिक संकेतन में, 0, 1, ∞। भिन्नात्मक रैखिक परिवर्तन संकेतन में, फ़ंक्शन $$\frac{x-a}{x-c}\cdot \frac{b-c}{b-a}$$ मैप्स ए ↦ 0, बी ↦ 1, सी ↦ ∞, और ऐसा करने वाला यह अनूठा मैप है। यह क्रॉस-अनुपात है $(x, b; a, c)$ - देखना जानकारी के लिए।
 * n ≥ 3 के लिए, PGL(n, K) 3-सकर्मक रूप से कार्य नहीं करता है, क्योंकि इसे 3 समरेख बिंदुओं को 3 अन्य संरेख बिंदुओं को भेजना चाहिए, न कि एक मनमाना सेट। n = 2 के लिए स्थान प्रक्षेपी रेखा है, इसलिए सभी बिंदु संरेख हैं और यह कोई प्रतिबंध नहीं है।
 * PGL(2, K) प्रोजेक्टिव लाइन पर 4-सकर्मक रूप से कार्य नहीं करता है (PGL(2, 3 को छोड़कर), 'P' के रूप में)1(3) में 3+1=4 अंक हैं, इसलिए 3-सकर्मक का अर्थ है 4-सकर्मक); अपरिवर्तित जो संरक्षित है वह क्रॉस अनुपात है, और यह निर्धारित करता है कि हर दूसरे बिंदु को कहाँ भेजा जाता है: यह निर्दिष्ट करना कि 3 बिंदु कहाँ मैप किए गए हैं, मानचित्र को निर्धारित करता है। इस प्रकार विशेष रूप से यह प्रक्षेपी रेखा का पूर्ण समरेखण समूह नहीं है (सिवाय इसके कि F2 और एफ3).
 * PSL(2, q) और PGL(2, q) (q > 2 के लिए, और q विषम PSL के लिए) Zassenhaus समूहों के चार परिवारों में से दो हैं।
 * PGL(n, K) आयाम n का एक बीजगणितीय समूह है2−1 और प्रोजेक्टिव स्पेस P का एक खुला उपसमूहn 2−1 . परिभाषित के रूप में, फ़ैक्टर पीएसएल (एन, के) एक बीजगणितीय समूह, या यहां तक ​​​​कि एक एफपीपीएफ शीफ को परिभाषित नहीं करता है, और एफपीपीएफ टोपोलॉजी में इसकी शेफिफिकेशन वास्तव में पीजीएल (एन, के) है।
 * PSL और PGL केंद्रविहीन हैं - इसका कारण यह है कि विकर्ण मेट्रिसेस न केवल केंद्र हैं, बल्कि hypercenter  भी हैं (इसके केंद्र द्वारा एक समूह का अंश आवश्यक रूप से केंद्रविहीन नहीं है)।

आंशिक रैखिक परिवर्तन
मोबियस परिवर्तनों के लिए, समूह पीजीएल (2, के) को के में गुणांक के साथ आंशिक रैखिक परिवर्तनों के रूप में व्याख्या किया जा सकता है। के पर प्रोजेक्टिव लाइन में अंक के से जोड़े के अनुरूप हैं2, जब दो जोड़े समानुपाती होते हैं। जब दूसरा निर्देशांक गैर-शून्य होता है, तो एक बिंदु को [z, 1] द्वारा दर्शाया जा सकता है। तब जब ad-bc ≠ 0, PGL(2, K) की क्रिया रैखिक परिवर्तन द्वारा होती है:
 * $$[z,\ 1]\begin{pmatrix} a & c \\ b & d \end{pmatrix} \ = \ [az + b,\ cz + d] \ = \ \left [\frac{a z + b}{c z + d},\ 1\right ].$$

इस तरह क्रमिक परिवर्तनों को इस तरह के मैट्रिक्स द्वारा सही गुणन के रूप में लिखा जा सकता है, और पीजीएल (2, के) में समूह उत्पाद के लिए मैट्रिक्स गुणन का उपयोग किया जा सकता है।

परिमित क्षेत्र
प्रक्षेपी विशेष रेखीय समूह PSL(n, 'F'q) एक परिमित क्षेत्र F के लिएq अक्सर PSL(n, q) या L के रूप में लिखे जाते हैंn(क्यू)। जब भी n कम से कम 2 होता है, दो अपवादों के साथ वे परिमित सरल समूह होते हैं: L2(2), जो एस के लिए आइसोमोर्फिक है3, 3 अक्षरों पर सममित समूह, और हल करने योग्य समूह है; और मैं2(3), जो ए के लिए आइसोमोर्फिक है4, 4 अक्षरों पर वैकल्पिक समूह, और भी हल करने योग्य है। इन असाधारण समरूपताओं को प्रोजेक्टिव लाइन पर #एक्शन से उत्पन्न होने के रूप में समझा जा सकता है।

विशेष रैखिक समूह SL(n, q) इस प्रकार अर्धसरल हैं: एक साधारण समूह के पूर्ण केंद्रीय विस्तार (जब तक कि n = 2 और q = 2 या 3 न हो)।

इतिहास
समूह पीएसएल (2, पी) का निर्माण 1830 के दशक में एवरिस्ट गैलोइस द्वारा किया गया था, और वैकल्पिक समूहों के बाद परिमित सरल समूहों का दूसरा परिवार था। गाल्वा ने उन्हें भिन्नात्मक रेखीय रूपांतरण के रूप में निर्मित किया, और देखा कि पी 2 या 3 होने के अलावा वे सरल थे; यह शेवेलियर को लिखे उनके अंतिम पत्र में निहित है। उसी पत्र और संलग्न पांडुलिपियों में, गैलोज़ ने डिग्री पी के सामान्य समीकरण के गैलोज़ समूह का अध्ययन करने के लिए जनरल लीनियर ग्रुप #ओवर परिमित क्षेत्रों, जीएल (ν, पी) का भी निर्माण किया। म.

समूह PSL(n, q) (सामान्य n, सामान्य परिमित क्षेत्र) तब केमिली जॉर्डन द्वारा क्लासिक 1870 के पाठ में बनाए गए थे, गणित में महत्वपूर्ण प्रकाशनों की सूची#Trait.C3.A9 des प्रतिस्थापन एट डेस .C3.A9quations alg। C3.A9briques|प्रतिस्थापन और बीजगणितीय समीकरणों की संधि।

आदेश
PGL(n, q) का क्रम है


 * (क्यूn − 1)(qn − q)(qएन - क्यू 2) ⋅⋅⋅ (क्यूएन - क्यू n−1)/(q − 1) = qn 2−1 − O(qn 2−3 ),

जो सामान्य रेखीय समूह#Over परिमित क्षेत्रों|के क्रम से संबंधित है GL(n, q), द्वारा विभाजित q − 1 प्रोजेक्टिवाइजेशन के लिए; ऐसे सूत्रों की चर्चा के लिए q-analog|q-analog देखें। ध्यान दें कि डिग्री है n2 − 1, जो बीजगणितीय समूह के रूप में आयाम से सहमत है। O बड़े O संकेतन के लिए है, जिसका अर्थ है निम्न क्रम वाले शब्द। यह भी के क्रम के बराबर है SL(n, q); वहाँ से विभाजित q − 1 निर्धारक के कारण है।

के लिए PSL(n, q) ऊपर है, द्वारा विभाजित $|SZ(n, q)|$, निर्धारक 1 के साथ अदिश आव्यूहों की संख्या - या समतुल्य द्वारा विभाजित $|F^{×}/(F^{×})^{n}|$, तत्वों के वर्गों की संख्या जिनकी कोई n वीं जड़ नहीं है, या समकक्ष, 'F' में एकता की n वीं जड़ों की संख्या से विभाजितq.

असाधारण समरूपता
आइसोमोर्फिज्म के अलावा
 * एल2(2) ≅ एस3, एल2(3) ≅ ए4, और पीजीएल (2, 3) ≅ एस4,

प्रोजेक्टिव विशेष रैखिक समूहों और वैकल्पिक समूहों के बीच अन्य वैकल्पिक समूह # असाधारण आइसोमोर्फिज्म हैं (ये समूह सभी सरल हैं, क्योंकि वैकल्पिक समूह 5 या अधिक अक्षरों से अधिक सरल है):
 * $$L_2(4) \cong A_5$$
 * $$L_2(5) \cong A_5$$ (प्रोजेक्टिव लीनियर ग्रुप#एक्शन ऑन पी पॉइंट्स पर प्रूफ के लिए देखें)
 * $$L_2(9) \cong A_6$$
 * $$L_4(2) \cong A_8.$$

समरूपता एल2(9) ≅ ए6 किसी को सममित और वैकल्पिक समूहों के ऑटोमोर्फिज्म को देखने की अनुमति देता है # ए के असाधारण बाहरी ऑटोमोर्फिज्म6 फील्ड ऑटोमोर्फिज्म और मैट्रिक्स ऑपरेशंस के संदर्भ में। समरूपता एल4(2) ≅ ए8 मैथ्यू समूह # गुण एम में रुचि है24.

संबद्ध एक्सटेंशन SL(n, q) → PSL(n, q) A के लिए वैकल्पिक और सममित समूहों (सार्वभौमिक पूर्ण केंद्रीय एक्सटेंशन) के समूहों को कवर कर रहे हैं4, ए5, सार्वभौमिक पूर्ण केंद्रीय विस्तार की विशिष्टता से; एल के लिए2(9) ≅ ए6, संबद्ध विस्तार एक संपूर्ण केंद्रीय विस्तार है, लेकिन सार्वभौमिक नहीं है: एक 3-गुना शूर गुणक है।

F से अधिक समूह5 कई असाधारण समरूपताएँ हैं:
 * पीएसएल (2, 5) ≅ ए5 ≅ I, पांच तत्वों पर वैकल्पिक समूह, या समकक्ष आईकोसाहेड्रल समूह;
 * पीजीएल (2, 5) ≅ एस5, पांच तत्वों पर सममित समूह;
 * एसएल (2, 5) ≅ 2 ⋅ ए5 ≅ 2I प्रत्यावर्ती और सममित समूहों के आवरण समूह | प्रत्यावर्ती समूह A का दोहरा आवरण5, या समकक्ष रूप बाइनरी इकोसाहेड्रल समूह समूह।

उनका उपयोग सममित और वैकल्पिक समूहों के ऑटोमोर्फिज्म के निर्माण के लिए भी किया जा सकता है #Exotic map|exotic map S5 → एस6, नीचे में वर्णित किया गया है। तथापि ध्यान दें कि GL(2, 5) S का दोहरा आवरण नहीं है5, बल्कि एक 4-गुना आवरण है।

एक और समरूपता है:
 * एल2(7) ≅ एल3(2) क्रम 168 का सरल समूह है, दूसरा सबसे छोटा गैर-अबेलियन सरल समूह है, और एक वैकल्पिक समूह नहीं है; पीएसएल (2,7) देखें।

प्रक्षेपी विशेष रेखीय समूहों को शामिल करने वाले उपरोक्त असाधारण समरूपता परिमित सरल समूहों के परिवारों के बीच लगभग सभी असाधारण समरूपताएं हैं; केवल अन्य असाधारण समरूपता पीएसयू (4, 2) ≃ पीएसपी (4, 3) है, एक प्रक्षेपी विशेष एकात्मक समूह और एक प्रक्षेपी सहानुभूतिपूर्ण समूह के बीच।

प्रोजेक्टिव लाइन पर कार्रवाई
ऊपर दिए गए कुछ नक्शों को सीधे संबंधित प्रोजेक्टिव लाइन पर PSL और PGL की कार्रवाई के संदर्भ में देखा जा सकता है: PGL(n, q) प्रोजेक्टिव स्पेस 'P' पर काम करता हैn−1(q), जिसमें (qn−1)/(q−1) अंक, और यह प्रक्षेपी रैखिक समूह से (q) पर सममित समूह के लिए एक मानचित्र उत्पन्न करता हैn−1)/(q−1) अंक। n = 2 के लिए, यह प्रक्षेपी रेखा 'P' है1(q) जिसमें (q2−1)/(q−1) = q+1 अंक, इसलिए एक नक्शा PGL(2, q) → S हैq+1.

इन नक्शों को समझने के लिए इन तथ्यों को याद करना उपयोगी होगा:
 * PGL(2, q) का क्रम है
 * $$(q^2-1)(q^2-q)/(q-1)=q^3-q=(q-1)q(q+1);$$
 * PSL(2, q) का क्रम या तो इसके बराबर है (यदि विशेषता 2 है), या यह आधा है (यदि विशेषता 2 नहीं है)।

इस प्रकार छवि ज्ञात क्रम का एक 3-सकर्मक उपसमूह है, जो इसे पहचानने की अनुमति देता है। इससे निम्नलिखित मानचित्र प्राप्त होते हैं:
 * प्रक्षेपी रेखा पर प्रक्षेपी रेखीय समूह की क्रिया तेजी से 3-सकर्मक (वफादार समूह क्रिया और 3-संक्रमणीय समूह क्रिया) है, इसलिए मानचित्र एक-से-एक है और छवि में 3-संक्रमणीय उपसमूह है।
 * पीएसएल(2, 2) = पीजीएल(2, 2) → एस3क्रम 6 का, जो एक तुल्याकारिता है।
 * उलटा नक्शा (आदेश 6 का एक प्रक्षेपी डायहेड्रल समूह#प्रतिनिधित्व सिद्धांत|एस का प्रतिनिधित्व3) एनार्मोनिक समूह द्वारा महसूस किया जा सकता है, और अधिक आम तौर पर एक एम्बेडिंग एस उत्पन्न करता है3 → PGL(2, q) सभी क्षेत्रों के लिए।
 * पीएसएल(2, 3) <पीजीएल(2, 3) → एस4आदेश 12 और 24 का, बाद वाला एक समरूपतावाद है, जिसमें PSL(2, 3) वैकल्पिक समूह है।
 * एनार्मोनिक समूह विपरीत दिशा में एक आंशिक नक्शा देता है, मैपिंग एस3 → PGL(2, 3) बिंदु -1 के स्थिरक के रूप में।
 * पीएसएल(2, 4) = पीजीएल(2, 4) → एस5क्रम 60 का, वैकल्पिक समूह ए की उपज5.
 * पीएसएल(2, 5) <पीजीएल(2, 5) → एस6, ऑर्डर 60 और 120 का, जो एस के एक एम्बेडिंग का उत्पादन करता है5 (क्रमशः, ए5) एस के एक सकर्मक उपसमूह के रूप में6 (क्रमशः, ए6). यह सममित और वैकल्पिक समूहों के एक ऑटोमोर्फिज़्म का एक उदाहरण है#Exotic map|exotic map S5 → एस6, और सममित और वैकल्पिक समूहों के ऑटोमोर्फिज्म के निर्माण के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है # असाधारण बाहरी ऑटोमोर्फिज्म | एस के असाधारण बाहरी ऑटोमोर्फिज्म6. ध्यान दें कि तुल्याकारिता PGL(2, 5) ≅ S5 इस प्रस्तुति से पारदर्शी नहीं है: 5 तत्वों का विशेष रूप से प्राकृतिक सेट नहीं है जिस पर PGL(2, 5) कार्य करता है।

पी पॉइंट्स पर कार्रवाई
जबकि PSL(n, q) स्वाभाविक रूप से (qn−1)/(q−1) = 1+q+...+qn−1 अंक, कम बिंदुओं पर गैर-तुच्छ क्रियाएं दुर्लभ हैं। वास्तव में, PSL(2, p) के लिए p बिंदुओं पर गैर-तुच्छ रूप से कार्य करता है यदि और केवल यदि p = 2, 3, 5, 7, या 11; 2 और 3 के लिए समूह सरल नहीं है, जबकि 5, 7 और 11 के लिए, समूह सरल है - आगे, यह p बिंदुओं से कम पर गैर-तुच्छ कार्य नहीं करता है। यह पहली बार Évariste Galois द्वारा 1832 में शेवेलियर को लिखे अपने अंतिम पत्र में देखा गया था। इसका विश्लेषण इस प्रकार किया जा सकता है; ध्यान दें कि 2 और 3 के लिए कार्रवाई विश्वसनीय नहीं है (यह एक गैर-तुच्छ भागफल है, और पीएसएल समूह सरल नहीं है), जबकि 5, 7 और 11 के लिए कार्रवाई विश्वसनीय है (क्योंकि समूह सरल है और कार्रवाई गैर-तुच्छ है), और एस में एक एम्बेडिंग उत्पन्न करता हैp. अंतिम मामले को छोड़कर सभी मामलों में, PSL(2, 11), यह एक असाधारण समरूपता से मेल खाता है, जहां सबसे सही समूह का p बिंदुओं पर एक स्पष्ट कार्रवाई होती है: आगे, एल2(7) और एल2(11) पी बिंदुओं पर दो असमान क्रियाएं हैं; ज्यामितीय रूप से यह एक बाइप्लेन पर कार्रवाई द्वारा महसूस किया जाता है, जिसमें पी बिंदु और पी ब्लॉक होते हैं - बिंदुओं पर कार्रवाई और ब्लॉक पर कार्रवाई दोनों पी बिंदुओं पर कार्रवाई होती है, लेकिन संयुग्मित नहीं होती है (उनके पास अलग-अलग बिंदु स्टेबलाइजर्स होते हैं); इसके बजाय वे समूह के बाहरी ऑटोमोर्फिज्म से संबंधित हैं। हाल ही में, इन अंतिम तीन असाधारण क्रियाओं की व्याख्या ADE वर्गीकरण के एक उदाहरण के रूप में की गई है: ये क्रियाएं ए के रूप में समूहों के उत्पादों (सेट के रूप में, समूहों के रूप में नहीं) के अनुरूप हैं4 × Z/5Z, एस4 × Z/7Z, और ए5 × Z/11Z, जहां समूह ए4, एस4 और ए5 प्लेटोनिक ठोस के आइसोमेट्री समूह हैं, और ई के अनुरूप हैं6, और7, और ई8 मैकके पत्राचार के तहत। इन तीन असाधारण मामलों को क्रमशः पॉलीहेड्रा (समतुल्य रूप से, रीमैन सतहों की टाइलिंग) की ज्यामिति के रूप में भी महसूस किया जाता है: आईकोसाहेड्रॉन (क्षेत्र, जीनस 0) के अंदर पांच टेट्राहेड्रा का यौगिक, क्लेन के अंदर ऑर्डर 2 बाइप्लेन (पूरक फ़ानो प्लेन) बकीबॉल सतह (जीनस 70) के अंदर क्वार्टिक (जीनस 3), और ऑर्डर 3 बाइप्लेन (पाले बाइप्लेन)। एल. की कार्रवाई2(11) एक असाधारण समावेशन के कारण बीजगणितीय रूप से देखा जा सकता है $$L_2(5) \hookrightarrow L_2(11)$$ - L के उपसमूहों के दो संयुग्मन वर्ग हैं2(11) जो एल के लिए आइसोमोर्फिक हैं2(5), प्रत्येक में 11 तत्व हैं: एल की क्रिया2(11) इन पर संयुग्मन द्वारा 11 बिंदुओं पर एक क्रिया होती है, और, आगे, दो संयुग्मन वर्ग एल के एक बाहरी स्वाकारण से संबंधित होते हैं2(11)। (एल के उपसमूहों के लिए भी यही सच है2(7) एस के लिए आइसोमोर्फिक4, और इसमें बाइप्लेन ज्योमेट्री भी है।)
 * $$L_2(2) \cong S_3 \twoheadrightarrow S_2$$ साइन मैप के माध्यम से;
 * $$L_2(3) \cong A_4 \twoheadrightarrow A_3 \cong C_3$$ क्लेन 4-समूह द्वारा भागफल के माध्यम से;
 * $$L_2(5) \cong A_5.$$ इस तरह के समरूपता का निर्माण करने के लिए, समूह एल पर विचार करने की आवश्यकता है2(5) गैलोज़ कवर के गैलोज़ समूह के रूप में5: एक्स (5) → एक्स (1) = 'पी'1, जहां X(N) स्तर N का एक मॉड्यूलर वक्र है। यह आवरण 12 बिंदुओं पर फैला हुआ है। मॉड्यूलर वक्र एक्स (5) में जीनस 0 है और जटिल संख्याओं के क्षेत्र में एक गोले के लिए आइसोमोर्फिक है, और फिर एल की क्रिया2(5) इन 12 बिंदुओं पर इकोसाहेड्रल समरूपता बन जाती है। इसके बाद पांच टेट्राहेड्रा के यौगिक पर आईकोसाहेड्रॉन के समरूपता समूह की कार्रवाई पर विचार करने की आवश्यकता है।
 * ल2(7) ≅ एल3(2) जो फानो विमान के 1+2+4 = 7 बिंदुओं पर कार्य करता है (एफ पर प्रक्षेपी विमान2); इसे ऑर्डर 2 बाइप्लेन ज्यामिति  पर कार्रवाई के रूप में भी देखा जा सकता है, जो कि पूरक फ़ानो प्लेन है।
 * ल2(11) सूक्ष्म है, और नीचे विस्तृत है; यह ऑर्डर 3 बाइप्लेन पर कार्य करता है।

ज्यामितीय रूप से, इस क्रिया को द्विपंखी ज्यामिति के माध्यम से समझा जा सकता है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। एक बाइप्लेन ज्यामिति एक सममित डिजाइन है (बिंदुओं का एक सेट और समान संख्या में रेखाएं, या बल्कि ब्लॉक) जैसे कि दो बिंदुओं का कोई भी सेट दो पंक्तियों में समाहित होता है, जबकि कोई भी दो रेखाएं दो बिंदुओं में प्रतिच्छेद करती हैं; यह एक परिमित प्रक्षेपी तल के समान है, सिवाय इसके कि एक रेखा को निर्धारित करने वाले दो बिंदुओं (और एक बिंदु को निर्धारित करने वाली दो रेखाएँ) के बजाय, वे दो रेखाएँ निर्धारित करते हैं (क्रमशः, बिंदु)। इस मामले में (आदेश 11 के पाले डिग्राफ से प्राप्त पाले बाइप्लेन), अंक सजातीय रेखा (परिमित क्षेत्र) 'एफ' हैं11, जहाँ पहली पंक्ति को पाँच गैर-शून्य द्विघात अवशेषों (बिंदु जो वर्ग हैं: 1, 3, 4, 5, 9) के रूप में परिभाषित किया गया है, और अन्य पंक्तियाँ इसके एफ़ाइन अनुवाद हैं (सभी में एक स्थिरांक जोड़ें) अंक)। एल2(11) तब एस के उपसमूह के लिए आइसोमोर्फिक है11 जो इस ज्यामिति को संरक्षित करता है (रेखाओं को रेखाएँ भेजता है), 11 बिंदुओं का एक सेट देता है जिस पर यह कार्य करता है - वास्तव में दो: बिंदु या रेखाएँ, जो बाहरी ऑटोमोर्फिज्म से मेल खाती हैं - जबकि एल2(5) किसी दी गई रेखा का स्थिरक है, या किसी दिए गए बिंदु का दोहरा है।

अधिक आश्चर्यजनक रूप से, कोसेट स्पेस एल2(11)/जेड/11जेड, जिसका क्रम 660/11 = 60 है (और जिस पर आइकोसाहेड्रल समूह कार्य करता है) में स्वाभाविक रूप से एक बकीबॉल की संरचना होती है, जिसका उपयोग बकीबॉल सतह के निर्माण में किया जाता है।

मैथ्यू समूह
समूह पीएसएल (3, 4) का उपयोग मैथ्यू समूह एम के निर्माण के लिए किया जा सकता है24छिटपुट सरल समूहों में से एक; इस संदर्भ में, कोई पीएसएल (3, 4) को एम के रूप में संदर्भित करता है21, हालांकि यह ठीक से एक मैथ्यू समूह ही नहीं है। एक चार तत्वों के साथ क्षेत्र के ऊपर प्रक्षेपी तल से शुरू होता है, जो कि प्रकार S(2, 5, 21) की एक स्टेनर प्रणाली है - जिसका अर्थ है कि इसमें 21 बिंदु हैं, प्रत्येक पंक्ति (स्टाइनर शब्दावली में ब्लॉक) में 5 बिंदु हैं, और कोई भी 2 बिंदु एक रेखा निर्धारित करते हैं - और जिस पर PSL(3, 4) कार्य करता है। कोई इस स्टेनर प्रणाली को डब्ल्यू कहता है21 (W अर्नेस्ट विट के लिए), और फिर इसे एक बड़े स्टेनर सिस्टम W में विस्तारित करता है24, समरूपता समूह को रास्ते में विस्तारित करना: प्रक्षेपी सामान्य रैखिक समूह PGL(3, 4) के लिए, फिर प्रक्षेपी सेमीलीनियर समूह PΓL(3, 4) के लिए, और अंत में मैथ्यू समूह M के लिए24.

एम24 पीएसएल (2, 11) की प्रतियां भी शामिल हैं, जो एम में अधिकतम है22, और पीएसएल (2, 23), जो एम में अधिकतम है24, और एम बनाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है24.

हर्विट्ज़ सतहों


पीएसएल समूह हर्विट्ज समूह (हर्विट्ज सतहों के ऑटोमोर्फिज्म समूह - अधिकतम संभवतः समरूपता समूह के बीजगणितीय वक्र) के रूप में उत्पन्न होते हैं। सबसे कम जीनस की हर्विट्ज़ सतह, क्लेन क्वार्टिक (जीनस 3), ऑटोमोर्फिज़्म समूह आइसोमोर्फिक से पीएसएल (2, 7) (समतुल्य जीएल (3, 2)) है, जबकि दूसरी सबसे कम जीनस की हर्विट्ज़ सतह, मैकबीथ सतह ( जीनस 7), ऑटोमोर्फिज्म ग्रुप आइसोमॉर्फिक टू पीएसएल (2, 8) है।

वास्तव में, बहुत से नहीं बल्कि सभी सरल समूह हर्विट्ज़ समूह (राक्षस समूह सहित, हालांकि सभी वैकल्पिक समूह या छिटपुट समूह नहीं) के रूप में उत्पन्न होते हैं, हालांकि पीएसएल ऐसे सबसे छोटे समूहों को शामिल करने के लिए उल्लेखनीय है।

मॉड्यूलर समूह
समूह PSL(2, Z/nZ) मॉड्यूलर समूह, PSL(2, Z) का अध्ययन करने में उत्पन्न होता है, सभी तत्वों mod n को कम करके भागफल के रूप में; गुठली को प्रमुख सर्वांगसम उपसमूह कहा जाता है।

प्रक्षेपी सामान्य रैखिक समूह PGL(2, Z) (और प्रक्षेपी विशेष रैखिक समूह PSL(2, Z[i])) का एक उल्लेखनीय उपसमूह सेट {0, की सममिति है 1, ∞} ⊂ पी1(सी) जिसे अनहार्मोनिक समूह के रूप में जाना जाता है, और छह क्रॉस-अनुपातों की समरूपता के रूप में उत्पन्न होता है। उपसमूह को आंशिक रैखिक परिवर्तनों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, या मैट्रिक्स द्वारा प्रतिनिधित्व (गैर-विशिष्ट) के रूप में:
 * {| class="wikitable"

1 & 0\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 0 & 1\\ -1 & 1 \end{pmatrix}$$ 1 & -1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ 0 & 1\\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$ -1 & 1\\ 0 & 1 \end{pmatrix}$$ 1 & 0\\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$ 0 & i\\ i & 0 \end{pmatrix}$$ -i & i\\ 0 & i \end{pmatrix}$$ i & 0\\ i & -i \end{pmatrix}$$ ध्यान दें कि शीर्ष पंक्ति पहचान और दो 3-चक्र हैं, और अभिविन्यास-संरक्षण कर रहे हैं, पीएसएल (2, जेड) में एक उपसमूह बना रहे हैं, जबकि नीचे की पंक्ति तीन 2-चक्र है, और पीजीएल (2, Z) और PSL(2, Z[i]), लेकिन PSL(2, Z) में नहीं, इसलिए निर्धारक -1 और पूर्णांक गुणांक वाले मैट्रिक्स के रूप में या निर्धारक 1 और गॉसियन पूर्णांक गुणांक वाले मैट्रिक्स के रूप में महसूस किया गया.
 * align="center" | $$x$$
 * align="center" | $$1/(1-x)$$
 * align="center" | $$(x-1)/x$$
 * align="center" | $$\begin{pmatrix}
 * align="center" | $$\begin{pmatrix}
 * align="center" | $$\begin{pmatrix}
 * align="center" | $$\begin{pmatrix}
 * align="center" | $$\begin{pmatrix}
 * colspan="3" |
 * align="center" | $$1/x$$
 * align="center" | $$1-x$$
 * align="center" | $$x/(x-1)$$
 * align="center" |$$\begin{pmatrix}
 * align="center" | $$x/(x-1)$$
 * align="center" |$$\begin{pmatrix}
 * align="center" |$$\begin{pmatrix}
 * align="center" |$$\begin{pmatrix}
 * align="center" |$$\begin{pmatrix}
 * align="center" |$$\begin{pmatrix}
 * align="center" |$$\begin{pmatrix}
 * align="center" |$$\begin{pmatrix}
 * align="center" |$$\begin{pmatrix}
 * }

यह {0, 1, ∞} ⊂ P की सममितियों को मैप करता है1(n) रिडक्शन मॉड n के तहत। विशेष रूप से, n = 2 के लिए, यह उपसमूह आइसोमॉर्फिक रूप से PGL(2, 'Z'/2'Z') = PSL(2, 'Z'/2'Z') ≅ S के लिए मैप करता है3, और इस प्रकार एक विभाजन प्रदान करता है $$\operatorname{PGL}(2,\mathbf{Z}/2) \hookrightarrow \operatorname{PGL}(2,\mathbf{Z})$$ भागफल मानचित्र के लिए $$\operatorname{PGL}(2,\mathbf{Z}) \twoheadrightarrow \operatorname{PGL}(2,\mathbf{Z}/2).$$

दोनों 3-चक्रों के निश्चित बिंदु सबसे सममित क्रॉस-अनुपात हैं, $$e^{\pm i\pi/3} = \tfrac{1}{2} \pm \tfrac{\sqrt{3}}{2}i$$, के समाधान $$x^2 - x + 1$$ (एकता की आदिम जड़ एकता की छठी जड़ें)। 2-चक्र इनका आदान-प्रदान करते हैं, क्योंकि वे अपने निश्चित बिंदुओं के अलावा कोई भी बिंदु करते हैं, जो भागफल मानचित्र S को महसूस करता है3 → एस2 इन दो बिंदुओं पर समूह कार्रवाई द्वारा। यानी उपसमूह सी3 <एस3 पहचान और 3-चक्रों से मिलकर, {, (0 1 ∞), (0 ∞ 1)}, इन दो बिंदुओं को ठीक करता है, जबकि अन्य तत्व उन्हें अदला-बदली करते हैं।

अलग-अलग 2-चक्रों के निश्चित बिंदु क्रमशः -1, 1/2, 2 हैं, और यह सेट भी 3-चक्रों द्वारा संरक्षित और अनुमत है। यह S की कार्रवाई से मेल खाता है3 संयुग्मन द्वारा 2-चक्रों पर (इसका सिलो उपसमूह | सिलो 2-उपसमूह) और आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म के समूह के साथ समरूपता का एहसास करता है, $$S_3 \overset{\sim}{\to} \operatorname{Inn}(S_3) \cong S_3.$$ ज्यामितीय रूप से, इसे त्रिकोणीय द्विपिरामिड के घूर्णन समूह के रूप में देखा जा सकता है, जो त्रिभुज के डायहेड्रल समूह के लिए आइसोमोर्फिक है $|μ_{n}|$; एनार्मोनिक समूह देखें।

टोपोलॉजी
वास्तविक और जटिल संख्याओं पर, पीजीएल और पीएसएल की टोपोलॉजी को उन फाइबर बंडलों से निर्धारित किया जा सकता है जो उन्हें परिभाषित करते हैं:
 * $$\begin{matrix}

\mathrm{ Z} &\cong& K^*   &\to& \mathrm{GL} &\to& \mathrm{PGL} \\ \mathrm{SZ} &\cong& \mu_n &\to& \mathrm{SL} &\to& \mathrm{PSL} \end{matrix}$$ एक कंपन के लंबे सटीक अनुक्रम के माध्यम से।

रियल और कॉम्प्लेक्स दोनों के लिए, SL, PSL का अंतरिक्ष को कवर करना  है, जिसमें शीट्स की संख्या K में nवें रूट्स की संख्या के बराबर होती है; इस प्रकार विशेष रूप से उनके सभी उच्च होमोटॉपी समूह सहमत हैं। वास्तविक के लिए, SL, n सम के लिए PSL का 2-गुना आवरण है, और n विषम के लिए 1-गुना आवरण है, अर्थात एक समरूपता:
 * {±1} → एसएल(2एन, 'आर') → पीएसएल(2एन, 'आर')
 * $$\operatorname{SL}(2n+1, \mathbf{R}) \overset{\sim}{\to} \operatorname{PSL}(2n+1,\mathbf{R})$$

परिसरों के लिए, SL, PSL का एक n-गुना आवरण है।

PGL के लिए, रियल के लिए, फाइबर 'R'* ≅ {±1} है, इसलिए होमोटॉपी तक, GL → PGL एक 2-गुना कवरिंग स्पेस है, और सभी उच्च होमोटॉपी समूह सहमत हैं।

कॉम्प्लेक्स के ऊपर PGL के लिए, फाइबर 'C'* ≅ 'S' है1, इसलिए समरूपता तक, GL → PGL एक वृत्त बंडल है। सर्कल के उच्च होमोटॉपी समूह गायब हो जाते हैं, इसलिए जीएल (एन, 'सी') और पीजीएल (एन, 'सी') के होमोटॉपी समूह एन ≥ 3 के लिए सहमत होते हैं। वास्तव में, π2 झूठ समूहों के लिए हमेशा गायब हो जाता है, इसलिए होमोटॉपी समूह n ≥ 2 के लिए सहमत होते हैं। n = 1 के लिए, हमारे पास π है1(जीएल (एन, 'सी')) = पी1(एस1) = Z. PGL(2, C) का मूलभूत समूह क्रम 2 का परिमित चक्रीय समूह है।

कवरिंग समूह
वास्तविक और जटिल संख्याओं पर, प्रक्षेपी विशेष रेखीय समूह विशेष रेखीय झूठ बीजगणित के लिए न्यूनतम (केंद्रहीन) झूठ समूह अहसास हैं $$\mathfrak{sl}(n)\colon$$ हर जुड़ा झूठ समूह जिसका झूठ बीजगणित है $$\mathfrak{sl}(n)$$ पीएसएल (एन, एफ) का एक आवरण है। इसके विपरीत, इसका सार्वभौमिक आवरण समूह अधिकतम (बस जुड़ा हुआ) तत्व है, और मध्यवर्ती अहसास एक आवरण समूह बनाते हैं#कवरिंग समूहों की जाली।

उदाहरण के लिए, SL2(R)|SL(2, 'R') का केंद्र {±1} और मौलिक समूह 'Z' है, और इस प्रकार इसका सार्वभौमिक आवरण है $|(F^{×})^{n}|$ और केंद्र रहित PSL(2, R) को कवर करता है।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
एक समूह समरूपता जी → पीजीएल (वी) एक समूह जी से एक प्रक्षेपी रैखिक समूह के लिए एक रैखिक प्रतिनिधित्व (एक समरूपता जी → जीएल (वी)) के साथ सादृश्य द्वारा समूह जी का एक अनुमानित प्रतिनिधित्व कहा जाता है। कुछ नहीं द्वारा इनका अध्ययन किया गया, जिन्होंने दिखाया कि G के प्रक्षेपी निरूपण को G के केंद्रीय विस्तार (गणित) के रैखिक निरूपण के संदर्भ में वर्गीकृत किया जा सकता है। इसने शूर गुणक का नेतृत्व किया, जिसका उपयोग इस प्रश्न को हल करने के लिए किया जाता है।

कम आयाम
प्रक्षेपी रेखीय समूह का अध्ययन ज्यादातर n ≥ 2 के लिए किया जाता है, हालांकि इसे कम आयामों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

N = 0 (या वास्तव में n <0) के लिए K का प्रक्षेप्य स्थान0 रिक्त है, क्योंकि 0-आयामी स्थान का कोई 1-आयामी उपस्थान नहीं है। इस प्रकार, पीजीएल (0, के) तुच्छ समूह है, जिसमें खाली सेट से ही अद्वितीय खाली नक्शा शामिल है। इसके अलावा, 0-आयामी स्थान पर स्केलर्स की क्रिया तुच्छ है, इसलिए नक्शा K* → GL(0, K) समावेशन के बजाय तुच्छ है, क्योंकि यह उच्च आयामों में है।

N = 1 के लिए, K का प्रक्षेपी स्थान1 एक बिंदु है, क्योंकि एक एकल 1-आयामी उपसमष्टि है। इस प्रकार, PGL(1, K) तुच्छ समूह है, जिसमें एक सिंगलटन सेट से स्वयं के लिए अद्वितीय मानचित्र शामिल है। इसके अलावा, 1-आयामी अंतरिक्ष का सामान्य रैखिक समूह बिल्कुल स्केलर है, इसलिए मानचित्र $$K^* \overset{\sim}{\to} \operatorname{GL}(1,K)$$ PGL(1, K) := GL(1, K)/K* ≅ {1} तुच्छ होने के अनुरूप एक समरूपता है।

एन = 2 के लिए, पीजीएल (2, के) गैर-तुच्छ है, लेकिन यह असामान्य है कि यह 3-सकर्मक है, उच्च आयामों के विपरीत जब यह केवल 2-संक्रमणीय होता है।

उदाहरण

 * पीएसएल(2,7)
 * मॉड्यूलर समूह, पीएसएल (2, जेड)
 * पीएसएल (2, आर)
 * मोबियस ग्रुप, पीजीएल(2, सी) = पीएसएल(2, सी)

उपसमूह

 * प्रोजेक्टिव ऑर्थोगोनल समूह, पीओ - ​​पीजीएल का अधिकतम कॉम्पैक्ट उपसमूह
 * प्रक्षेपी एकात्मक समूह, पीयू
 * प्रोजेक्टिव स्पेशल ऑर्थोगोनल ग्रुप, पीएसओ - पीएसएल का मैक्सिमल कॉम्पैक्ट सबग्रुप
 * प्रक्षेपी विशेष एकात्मक समूह, पीएसयू

बड़े समूह
प्रक्षेपी रेखीय समूह बड़े समूहों में समाहित है, विशेष रूप से:
 * प्रोजेक्टिव सेमीलीनियर ग्रुप, PΓL, जो फील्ड ऑटोमोर्फिज्म की अनुमति देता है।
 * क्रेमोना ग्रुप, Cr('P'n(k)) बायरेशनल ऑटोमोर्फिज्म; कोई भी बायरेगुलर ऑटोमोर्फिज्म रैखिक है, इसलिए पीजीएल बायरेगुलर ऑटोमोर्फिज्म के समूह के साथ मेल खाता है।

यह भी देखें

 * प्रोजेक्टिव परिवर्तन
 * इकाई (अंगूठी सिद्धांत)

संदर्भ


Allgemeine lineare Gruppe