ली बीजगणित सह-समरूपता

गणित में, ली अलजेब्रा सह-समरूपता, लाई अलजेब्रा के लिए एक सह-समरूपता सिद्धांत है। इसे पहली बार 1929 में एली कार्टन द्वारा लाई बीजगणित के गुणों के साथ गेर्जेस डी. रहम की कोहोमोलॉजिकल विधियों से संबंधित करके लाई समूहों और सजातीय स्थानों की टोपोलॉजी का अध्ययन करने के लिए प्रस्तुत किया गया था।  इसे बाद में   द्वारा एक मनमाना झूठ बीजगणित प्रतिनिधित्व में गुणांक तक विस्तारित किया गया।

प्रेरणा
अगर $$G$$ एक संक्षिप्त रूप बस जुड़ा हुआ स्थान  लाई समूह है, तो यह इसके लाई बीजगणित द्वारा निर्धारित होता है, इसलिए लाई बीजगणित से इसकी सहसंबद्धता की गणना करना संभव होना चाहिए। इसे इस प्रकार किया जा सकता है। इसकी सह-समरूपता विभेदक रूपों $$G$$ के परिसर की डी राम सह-समरूपता है । एक औसत प्रक्रिया का उपयोग करते हुए, इस सम्मिश्र को  समतुल्य विभेदक रूप |बाएं-अपरिवर्तनीय अंतर रूपों के सम्मिश्र द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। इस बीच, बाएं-अपरिवर्तनीय रूपों को पहचान पर उनके मूल्यों द्वारा निर्धारित किया जाता है, ताकि बाएं-अपरिवर्तनीय अंतर रूपों के स्थान को एक उपयुक्त अंतर के साथ, ली बीजगणित के बाहरी बीजगणित के साथ पहचाना जा सके।

बाहरी बीजगणित पर इस अंतर का निर्माण किसी भी लाई बीजगणित के लिए समझ में आता है, इसलिए इसका उपयोग सभी लाई बीजगणित के लिए लाई बीजगणित सह-समरूपता को परिभाषित करने के लिए किया जाता है। अधिक प्रायः एक मॉड्यूल में गुणांक के साथ बीजगणित सहसंबद्धता को परिभाषित करने के लिए एक समान निर्माण का उपयोग किया जाता है।

अगर $$G$$ एक सरल रूप से जुड़ा हुआ गैरसंक्षिप्त रूप लाई समूह है, जो संबंधित लाई बीजगणित की लाई बीजगणित सहसंरचना है $$G$$ {मैथफ्रैक {जी}} आवश्यक रूप से डी राम सह-समरूपता को पुन: उत्पन्न नहीं करता है  इसका कारण यह है कि सभी विभेदक रूपों के परिसर से वाम-अपरिवर्तनीय विभेदक रूपों के परिसर तक का मार्ग एक औसत प्रक्रिया का उपयोग करता है जो केवल संक्षिप्त रूप समूहों के लिए समझ में आता है।

परिभाषा
मान लीजिए कि $$\mathfrak g$$ सार्वभौम आवरण बीजगणित के साथ क्रमविनिमेय रिंग R पर एक झूठ बीजगणित है, M एक झूठ बीजगणित का प्रतिनिधित्व है $$\mathfrak g$$ (समकक्ष, ए $$U\mathfrak g$$-मापांक)। आर को एक तुच्छ प्रतिनिधित्व के रूप में मानना $$\mathfrak g$$, #उदाहरण_2 आर बनें $$U\mathfrak g$$, एक सह-समरूपता समूहों को परिभाषित किया गया है


 * $$\mathrm{H}^n(\mathfrak{g}; M) := \mathrm{Ext}^n_{U\mathfrak{g}}(R, M)$$

(एक्सट की परिभाषा के लिए एक्सट ऑपरेटर देखें)। समान रूप से, ये बाएं सटीक अपरिवर्तनीय सबमॉड्यूल फ़ैक्टर के दाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर हैं


 * $$M \mapsto M^{\mathfrak{g}} := \{ m \in M \mid xm = 0\ \text{ for all } x \in \mathfrak{g}\}.$$

अनुरूप रूप से, कोई लाई बीजगणित समरूपता को इस प्रकार परिभाषित कर सकता है


 * $$\mathrm{H}_n(\mathfrak{g}; M) := \mathrm{Tor}_n^{U\mathfrak{g}}(R, M)$$

(टोर की परिभाषा के लिए टोर काम करता है देखें), जो दाएं सटीक सहसंयोजक फ़ैक्टर के बाएं व्युत्पन्न फ़ैक्टर के बराबर है


 * $$ M \mapsto M_{\mathfrak{g}} := M / \mathfrak{g} M.$$

लाई बीजगणित के सह-समरूपता के बारे में कुछ महत्वपूर्ण बुनियादी परिणामों में व्हाइटहेड का लेम्मा (लाई बीजगणित)|व्हाइटहेड का लेम्मा, पूर्ण रिड्यूसिबिलिटी पर वेइल का प्रमेय|वेइल का प्रमेय और लेवी अपघटन प्रमेय सम्मिलित हैं।

चेवेल्ली-ईलेनबर्ग सम्मिश्र
मान लीजिये $$\mathfrak{g}$$ एक क्षेत्र पर एक झूठ बीजगणित बनें $$k$$, बाईं ओर की कार्रवाई के साथ $$\mathfrak{g}$$-मापांक $$M$$ पर, शेवेल्ली-ईलेनबर्ग परिसर के तत्व
 * $$\mathrm{Hom}_k(\Lambda^\bullet\mathfrak{g},M)$$

से कोचेन कहलाते हैं $$\mathfrak{g}$$ को $$M$$. एक सजातीय $$n$$-कोचेन से $$\mathfrak{g}$$ को $$M$$ इस प्रकार यह एक पर्याय है $$k$$-बहुरेखीय कार्य $$f\colon\Lambda^n\mathfrak{g}\to M$$. जब $$\mathfrak{g}$$ वेक्टर स्पेस के रूप में अंतिम रूप से उत्पन्न होता है, शेवेल्ली-ईलेनबर्ग सम्मिश्र टेन्सर उत्पाद के लिए कैनोनिक रूप से आइसोमोर्फिक है $$M \otimes \Lambda^{\bullet}\mathfrak{g}^*$$, जहाँ $$\mathfrak{g}^*$$के दोहरे सदिश समष्टि को दर्शाता है $$\mathfrak{g}$$.

झूठ ब्रैकेट $$[\cdot,\cdot]\colon \Lambda^2 \mathfrak{g} \rightarrow \mathfrak{g}$$ पर, $$\mathfrak{g}$$ एक रेखीय मानचित्र अनुप्रयोग के स्थानांतरण को प्रेरित करता है $$d^{(1)}_{\mathfrak{g}} \colon \mathfrak{g}^* \rightarrow \Lambda^2 \mathfrak{g}^*$$ द्वंद्व से. उत्तरार्द्ध व्युत्पत्ति को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है $$d_{\mathfrak{g}}$$ कोचेन के परिसर से $$\mathfrak{g}$$ को $$k$$ विस्तार करके $$d_{\mathfrak{g}}^{(1)}$$श्रेणीबद्ध लीबनिज़ नियम के अनुसार। यह जैकोबी पहचान से चलता है $$d_{\mathfrak{g}}$$ संतुष्ट $$d_{\mathfrak{g}}^2 = 0$$ और वास्तव में यह एक अंतर है। इस सेटिंग में, $$k$$ एक तुच्छ चीज़ के रूप में देखा जाता है $$\mathfrak{g}$$-मॉड्यूल जबकि $$k \sim \Lambda^0\mathfrak{g}^* \subseteq \mathrm{Ker}(d_{\mathfrak{g}})$$ स्थिरांक के रूप में सोचा जा सकता है।

सामान्य तौर पर, मान लीजिये$$\gamma \in \mathrm{Hom}(\mathfrak{g}, \mathrm{End}(M))$$ की बायीं क्रिया को निरूपित करें, $$\mathfrak{g}$$ पर $$M$$ और इसे एक एप्लिकेशन के रूप में मानें $$d_\gamma^{(0)} \colon M \rightarrow M \otimes \mathfrak{g}^*$$. शेवेल्ली-ईलेनबर्ग अंतर $$d$$ तब अद्वितीय व्युत्पत्ति का विस्तार होता है $$d_\gamma^{(0)}$$ और $$d_{\mathfrak{g}}^{(1)}$$ विभेदक श्रेणीबद्ध बीजगणित के अनुसार, निलपोटेंसी स्थिति $$d^2 = 0$$ ली बीजगणित समरूपता से निम्नलिखित $$\mathfrak{g}$$ को $$\mathrm{End}(M)$$ और जैकोबी पहचान में $$\mathfrak{g}$$.

स्पष्ट रूप से, का अंतर $$n$$-कोचेन $$f$$ है $$(n+1)$$-कोचेन $$df$$ द्वारा दिए गए:

जहां कैरेट उस तर्क को छोड़ने का संकेत देता है।

जब $$G$$ लाई बीजगणित के साथ एक वास्तविक लाई समूह है $$\mathfrak{g}$$, शेवेल्ली-ईलेनबर्ग सम्मिश्र को मूल्यों के साथ बाएं-अपरिवर्तनीय रूपों के स्थान के साथ कैनोनिक रूप से भी पहचाना जा सकता है $$M$$, द्वारा चिह्नित $$\Omega^{\bullet}(G,M)^G$$. शेवेल्ली-ईलेनबर्ग अंतर को तब तुच्छ फाइबर बंडल पर सहसंयोजक व्युत्पन्न के प्रतिबंध के रूप में माना जा सकता है $$G \times M \rightarrow G$$, समतुल्य कनेक्शन (गणित) से सुसज्जित $$\tilde{\gamma} \in \Omega^1(G,\mathrm{End}(M))$$ वाम क्रिया से सम्बंधित $$\gamma \in \mathrm{Hom}(\mathfrak{g}, \mathrm{End}(M))$$ का $$\mathfrak{g}$$ पर $$M$$. विशेष मामले में जहां $$M = k = \mathbb{R}$$ की तुच्छ क्रिया से सुसज्जित है $$\mathfrak{g}$$, शेवेल्ली-एलेनबर्ग अंतर डी राम सह-समरूपता के प्रतिबंध के साथ मेल खाता है $$\Omega^{\bullet}(G)$$ वाम-अपरिवर्तनीय अंतर रूपों के उपस्थान के लिए।

छोटे आयामों में सह-समरूपता
ज़ीरोथ सह-समरूपता समूह (परिभाषा के अनुसार) मॉड्यूल पर कार्य करने वाले लाई बीजगणित के अपरिवर्तनीय हैं:
 * $$H^0(\mathfrak{g}; M) =M^{\mathfrak{g}} = \{ m \in M \mid xm = 0\ \text{ for all } x \in \mathfrak{g}\}.$$

पहला सह-समरूपता समूह अंतरिक्ष है $Der$ व्युत्पत्तियों का मॉड्यूलो स्थान $Ider$आंतरिक व्युत्पत्तियों का
 * $$H^1(\mathfrak{g}; M) = \mathrm{Der}(\mathfrak{g}, M)/\mathrm{Ider} (\mathfrak{g}, M)\, $$,

जहाँ व्युत्पत्ति एक मानचित्र है $$d$$ लाई बीजगणित से लेकर $$M$$ ऐसा है कि
 * $$d[x,y] = xdy-ydx~$$

और यदि यह द्वारा दिया गया है तो इसे आंतरिक कहा जाता है
 * $$dx = xa~$$

कुछ के लिए $$a$$ में $$M$$.

दूसरा सह-समरूपता समूह
 * $$H^2(\mathfrak{g}; M)$$

ली बीजगणित विस्तार के तुल्यता वर्गों का स्थान है
 * $$0\rightarrow M\rightarrow \mathfrak{h}\rightarrow\mathfrak{g}\rightarrow 0$$

मॉड्यूल द्वारा झूठ बीजगणित का $$M$$.

इसी प्रकार, सह-समरूपता समूह का कोई भी तत्व $$H^{n+1}(\mathfrak{g}; M)$$ लाई बीजगणित का विस्तार करने के तरीकों का एक तुल्यता वर्ग देता है $$\mathfrak{g}$$ एक झूठ के लिए $$n$$-बीजगणित के साथ $$\mathfrak{g}$$ ग्रेड शून्य में और $$M$$ ग्रेड में $$n$$. एक झूठ $$n$$-बीजगणित एक समरूप झूठ बीजगणित है जिसमें गैर-शून्य पद केवल 0 से डिग्री तक होते हैं $$n$$.

तुच्छ मॉड्यूल पर सहसंबद्धता
जब $$M = \mathbb{R}$$, जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, शेवेल्ली-ईलेनबर्ग सम्मिश्र संबंधित संक्षिप्त रूप लाई समूह के लिए डी-रैम सम्मिश्र के साथ मेल खाता है। इस मामले में $$M$$ की तुच्छ कार्यवाही करता है $$\mathfrak{g}$$, इसलिए $$xa = 0$$ हरएक के लिए $$x \in \mathfrak{g}, a \in M$$.

$$0 \rightarrow \mathfrak{h} \rightarrow \mathfrak{e} \rightarrow \mathfrak{g} \rightarrow 0.$$ परिमित आयामी, सरल झूठ बीजगणित में केवल तुच्छ केंद्रीय विस्तार होते हैं: एक प्रमाण प्रदान किया जाता है झूठ बीजगणित विस्तार#प्रमेय।
 * जीरोथ सह-समरूपता समूह है $$M$$.
 * प्रथम सहसंरचना: एक व्युत्पत्ति दी गई $$D$$, $$xdy = 0$$ सभी के लिए $$x$$ और $$y$$, इसलिए व्युत्पत्तियाँ संतुष्ट करती हैं $$D([x,y]) = 0$$ सभी कम्यूटेटरों के लिए, इसलिए आदर्श $$[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}]$$ के कर्नेल में समाहित है $$D$$.
 * अगर $$[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] = \mathfrak{g}$$, जैसा कि साधारण लाई बीजगणित के मामले में होता है $$D \equiv 0$$, इसलिए व्युत्पत्तियों का स्थान तुच्छ है, इसलिए पहला सहसंबद्धता तुच्छ है।
 * अगर $$\mathfrak{g}$$ एबेलियन है, अर्थात, $$[\mathfrak{g}, \mathfrak{g}] = 0$$, फिर कोई रैखिक कार्यात्मक $$D: \mathfrak{g} \rightarrow M$$ वास्तव में एक व्युत्पत्ति है, और आंतरिक व्युत्पत्तियों का सेट तुच्छ है क्योंकि वे संतुष्ट करते हैं $$Dx = xa = 0$$ किसी के लिए $$a \in M$$. फिर इस मामले में पहला सह-समरूपता समूह है $$M^{\text{dim}\mathfrak{g}}$$. डी-रैम पत्राचार के प्रकाश में, यह संक्षिप्त रूप धारणा के महत्व को दर्शाता है, क्योंकि यह पहला सह-समरूपता समूह है $$n$$-टोरस को एबेलियन समूह के रूप में देखा जाता है, और $$\mathbb{R}^n$$ इसे आयाम के एबेलियन समूह के रूप में भी देखा जा सकता है $$n$$, लेकिन $$\mathbb{R}^n$$ इसमें तुच्छ सह-समरूपता है।
 * दूसरा सह-समरूपता: दूसरा सह-समरूपता समूह लाई बीजगणित विस्तार#सेंट्रल के समतुल्य वर्गों का स्थान है

सहायक मॉड्यूल पर सह-समरूपता
कब $$M = \mathfrak{g}$$, क्रिया सहायक क्रिया है, $$x\cdot y = [x,y] = \text{ad}(x)y$$.


 * ज़ीरोथ सह-समरूपता समूह केंद्र है $$\mathfrak{z}(\mathfrak{g})$$
 * प्रथम सहसंगति: आंतरिक व्युत्पत्तियाँ द्वारा दी गई हैं $$Dx = xy = [x,y] = -\text{ad}(y)x$$, तो वे बिल्कुल की छवि हैं $$\text{ad}: \mathfrak{g} \rightarrow \text{End}(\mathfrak{g}).$$ पहला सह-समरूपता समूह एक लाई बीजगणित#व्युत्पन्नों के ऑटोमोर्फिज्म का स्थान है। के लिए $$\mathfrak{g}$$ परिमित-आयामी, यह तुच्छ है।

यह भी देखें

 * सैद्धांतिक भौतिकी में बीआरएसटी औपचारिकता।
 * गेलफैंड-फुक्स सह-समरूपता