संख्या

एक संख्या एक गणितीय वस्तु है जिसका उपयोग गिनती, माप और नाममात्र संख्या के लिए किया जाता है। मूल उदाहरण प्राकृतिक संख्याएँ 1, 2, 3, 4, इत्यादि हैं। संख्याओं को भाषा में संख्या शब्दों के साथ प्रदर्शित किया जा सकता है। अधिक सार्वभौमिक रूप से, अलग-अलग संख्याओं को प्रतीकों द्वारा दर्शाया जा सकता है, जिन्हें अंक कहा जाता है; उदाहरण के लिए, 5 एक अंक है जो 5 का प्रतिनिधित्व करता है। जैसा कि अपेक्षाकृत कम संख्या में प्रतीकों को याद किया जा सकता है, मूल अंक आमतौर पर अंक प्रणाली में व्यवस्थित होते हैं, जो किसी भी संख्या का प्रतिनिधित्व करने का एक संगठित तरीका है। सबसे आम अंक प्रणाली हिंदू-अरबी अंक प्रणाली है, जो दस मौलिक संख्यात्मक प्रतीकों के संयोजन का उपयोग करके किसी भी संख्या के प्रतिनिधित्व की अनुमति देती है, जिसे संख्यात्मक अंक कहा जाता है। गिनती और मापने में उनके उपयोग के अलावा, अंकों का उपयोग अक्सर लेबल के लिए (टेलीफोन नंबरों के साथ), ऑर्डर करने के लिए (क्रमिक संख्याों के साथ) और कोड के लिए (आईएसबीएन के साथ) किया जाता है। सामान्य उपयोग में, एक अंक उस संख्या से स्पष्ट रूप से अलग नहीं होता है जिसका वह प्रतिनिधित्व करता है।

गणित में, संख्या की धारणा को सदियों से विस्तारित किया गया है ताकि इसमें 0 (0), नकारात्मक संख्या, परिमेय संख्याएँ जैसे आधा $$\left(\tfrac{1}{2}\right)$$, वास्तविक संख्याएँ जैसे कि 2 का वर्गमूल $$\left(\sqrt{2}\right)$$ और पाई|$\pi$, और जटिल संख्याएँ जो एक काल्पनिक इकाई के साथ वास्तविक संख्या का विस्तार करते हैं | का वर्गमूल $−1$(और इसके गुणकों को जोड़कर या घटाकर वास्तविक संख्याओं के साथ इसका संयोजन)। संख्याओं के साथ गणना अंकगणितीय संक्रियाओं के साथ की जाती है, जिनमें सबसे अधिक परिचित जोड़, घटाव, गुणा, भाग (गणित) और घातांक हैं। उनके अध्ययन या उपयोग को अंकगणित कहा जाता है, एक शब्द जो संख्या सिद्धांत को भी संदर्भित कर सकता है, संख्याओं के गुणों का अध्ययन।

उनके व्यावहारिक उपयोग के अलावा, दुनिया भर में संख्याओं का सांस्कृतिक महत्व है। उदाहरण के लिए, पश्चिमी समाज में, 13 (संख्या) को अक्सर अशुभ माना जाता है, और दस लाख एक सटीक मात्रा के बजाय बहुत अधिक संकेत कर सकते हैं। हालांकि इसे अब छद्म विज्ञान के रूप में माना जाता है, संख्याओं के एक रहस्यमय महत्व में विश्वास, जिसे अंकशास्त्र के रूप में जाना जाता है, प्राचीन और मध्यकालीन विचारों में व्याप्त है। संख्या विज्ञान ने ग्रीक गणित के विकास पर भारी प्रभाव डाला, संख्या सिद्धांत में कई समस्याओं की जांच को प्रेरित किया जो आज भी रुचिकर हैं।

19वीं शताब्दी के दौरान, गणितज्ञों ने कई अलग-अलग सार विकसित करना शुरू किया जो संख्याओं के कुछ गुणों को साझा करते हैं, और इसे अवधारणा के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है। पहले में हाइपरकॉम्प्लेक्स संख्याएं थीं, जिनमें जटिल संख्या प्रणाली के विभिन्न एक्सटेंशन या संशोधन शामिल हैं। आधुनिक गणित में, संख्या प्रणालियों को रिंग (गणित) और क्षेत्र (गणित) जैसे अधिक सामान्य बीजगणितीय संरचनाओं के महत्वपूर्ण विशेष उदाहरण माना जाता है, और शब्द संख्या का प्रयोग मौलिक महत्व के बिना परंपरा का मामला है।

अंक
संख्याओं को अंकों से अलग किया जाना चाहिए, जो कि संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीक हैं। मिस्रियों ने पहली सिफर अंक प्रणाली का आविष्कार किया, और यूनानियों ने आयोनियन और डोरिक वर्णमाला पर अपनी गिनती संख्याओं का मानचित्रण किया। रोमन अंक, एक प्रणाली जो रोमन वर्णमाला के अक्षरों के संयोजन का उपयोग करती थी, 14 वीं शताब्दी के अंत तक श्रेष्ठ हिंदू-अरबी अंक प्रणाली के प्रसार तक यूरोप में प्रभावी रही, और प्रतिनिधित्व करने के लिए हिंदू-अरबी अंक प्रणाली सबसे आम प्रणाली बनी हुई है। आज दुनिया में नंबर। प्रणाली की प्रभावशीलता की कुंजी शून्य का प्रतीक था, जिसे प्राचीन भारतीय गणित द्वारा 500 ईस्वी के आसपास विकसित किया गया था।

संख्याओं का प्रथम प्रयोग
हड्डियों और अन्य कलाकृतियों को उन पर काटे गए निशानों के साथ खोजा गया है जो कई लोगों का मानना ​​है कि मिलान के निशान हैं। इन मिलान चिह्नों का उपयोग बीता हुआ समय, जैसे दिनों की संख्या, चंद्र चक्र या जानवरों की मात्रा का रिकॉर्ड रखने के लिए किया जा सकता है।

एक मिलान प्रणाली में स्थानीय मान की कोई अवधारणा नहीं है (जैसा कि आधुनिक दशमलव संकेतन में है), जो बड़ी संख्याओं के प्रतिनिधित्व को सीमित करता है। बहरहाल, मिलान प्रणाली को पहली तरह की अमूर्त अंक प्रणाली माना जाता है।

स्थानीय मान के साथ पहली ज्ञात प्रणाली माप की प्राचीन मेसोपोटामिया इकाई थी | मेसोपोटामिया आधार 60 प्रणाली (c. 3400ईसा पूर्व) और सबसे पुराना ज्ञात आधार 10 प्रणाली मिस्र में 3100 ईसा पूर्व की है।

शून्य
शून्य तारीखों का पहला ज्ञात प्रलेखित उपयोग 628 ईस्वी तक का है, और भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त के मुख्य कार्य ब्रह्मस्फुतासिद्धान्त में प्रकट हुआ। उन्होंने 0 को एक संख्या के रूप में माना और शून्य से विभाजन सहित इसमें शामिल संचालन पर चर्चा की। इस समय (7वीं शताब्दी) तक यह अवधारणा स्पष्ट रूप से खमेर अंकों के रूप में कंबोडिया तक पहुंच गई थी, और प्रलेखन से पता चलता है कि यह विचार बाद में चीन और इस्लामी दुनिया में फैल गया।

ब्रह्मगुप्त का ब्रह्मस्फुटसिद्धान्त पहला ग्रंथ है जिसमें शून्य का एक संख्या के रूप में उल्लेख किया गया है, इसलिए ब्रह्मगुप्त को आमतौर पर शून्य की अवधारणा तैयार करने वाला पहला माना जाता है। उन्होंने ऋणात्मक और धनात्मक संख्याओं के साथ शून्य का उपयोग करने के नियम दिए, जैसे कि शून्य जोड़ धनात्मक संख्या धनात्मक संख्या है, और ऋणात्मक संख्या जोड़ शून्य ऋणात्मक संख्या है। ब्रह्मस्फुटसिद्धांत शून्य को अपने आप में एक संख्या के रूप में मानने वाला सबसे पहला ज्ञात पाठ है, न कि किसी अन्य संख्या का प्रतिनिधित्व करने के लिए बस एक प्लेसहोल्डर अंक के रूप में जैसा कि बेबीलोनियों द्वारा किया गया था या मात्रा की कमी के प्रतीक के रूप में टॉलेमी द्वारा किया गया था और रोमन।

संख्या के रूप में 0 के उपयोग को स्थान-मान प्रणालियों में प्लेसहोल्डर अंक के रूप में इसके उपयोग से अलग किया जाना चाहिए। कई प्राचीन ग्रंथों में 0 का प्रयोग किया गया है। बेबीलोनियन और मिस्र के ग्रंथों में इसका प्रयोग किया गया है। मिस्र के लोग डबल-एंट्री बहीखाता प्रणाली में शून्य शेष को दर्शाने के लिए nfr शब्द का उपयोग करते थे। भारतीय ग्रंथों में संस्कृत शब्द का प्रयोग हुआ है Shunye या shunya शून्य की अवधारणा को संदर्भित करने के लिए। गणित के ग्रंथों में यह शब्द अक्सर शून्य संख्या को संदर्भित करता है। इसी तरह, पाणिनि (5वीं शताब्दी ईसा पूर्व) ने अष्टाध्यायी में शून्य (शून्य) ऑपरेटर का इस्तेमाल किया, जो संस्कृत भाषा के औपचारिक व्याकरण का एक प्रारंभिक उदाहरण है (पिंगला भी देखें)।

ब्रह्मगुप्त से पहले शून्य के अन्य उपयोग हैं, हालांकि प्रलेखन उतना पूर्ण नहीं है जितना कि ब्रह्मस्फुटसिद्धांत में है।

रिकॉर्ड बताते हैं कि प्राचीन ग्रीस एक संख्या के रूप में 0 की स्थिति के बारे में अनिश्चित लग रहा था: उन्होंने खुद से पूछा कि 'कुछ नहीं' कुछ कैसे हो सकता है? दिलचस्प दार्शनिक और, मध्ययुगीन काल तक, 0 और निर्वात की प्रकृति और अस्तित्व के बारे में धार्मिक तर्क। एलिया के ज़ेनो के ज़ेनो विरोधाभास भाग में 0 की अनिश्चित व्याख्या पर निर्भर करते हैं। (प्राचीन यूनानियों ने यह भी सवाल किया था कि क्या एक नंबर था।)

दक्षिण-मध्य मेक्सिको के स्वर्गीय ऑल्मेक लोगों ने संभवतः नई दुनिया में शून्य के लिए एक प्रतीक, एक शेल ग्लिफ़ का उपयोग करना शुरू किया, संभवतः 4th century BC लेकिन निश्चित रूप से 40 ईसा पूर्व तक, जो माया अंकों और माया कैलेंडर का एक अभिन्न अंग बन गया। माया अंकगणित ने आधार 4 और आधार 5 को आधार 20 लिखा। 130 ईस्वी तक, टॉलेमी, हिप्पार्कस और बेबीलोनियों से प्रभावित होकर, 0 के लिए एक प्रतीक का उपयोग कर रहा था (एक लंबा ओवरबार वाला एक छोटा वृत्त) एक साठवाँ अंक प्रणाली के भीतर अन्यथा अल्फ़ाबेटिक ग्रीक अंकों का उपयोग कर रहा था। क्योंकि यह केवल एक प्लेसहोल्डर के रूप में नहीं, बल्कि अकेले इस्तेमाल किया गया था, यह ग्रीक अंक # हेलेनिस्टिक शून्य पुरानी दुनिया में एक वास्तविक शून्य का पहला प्रलेखित उपयोग था। बाद के बीजान्टिन साम्राज्य की उनकी सिंटैक्सिस मैथेमेटिका (अल्मागेस्ट) की पांडुलिपियों में, हेलेनिस्टिक शून्य ग्रीक वर्णमाला ऑमिक्रॉन (अन्यथा अर्थ 70) में रूपांतरित हो गया था।

रोमन अंकों #Zero by 525 के साथ तालिकाओं में एक और वास्तविक शून्य का उपयोग किया गया था (डायोनिसियस द लेसर द्वारा पहला ज्ञात उपयोग), लेकिन एक शब्द के रूप में, nulla अर्थ कुछ भी नहीं, प्रतीक के रूप में नहीं। जब विभाजन ने शेष के रूप में 0 दिया, nihil, जिसका अर्थ कुछ भी नहीं है, का उपयोग किया गया था। ये मध्यकालीन शून्य भविष्य के सभी मध्यकालीन गणना (ईस्टर के कैलकुलेटर) द्वारा उपयोग किए गए थे। उनके प्रारंभिक, एन का एक पृथक उपयोग, रोमन अंकों की तालिका में बीड या एक सहयोगी के बारे में 725, एक वास्तविक शून्य प्रतीक द्वारा उपयोग किया गया था।

ऋणात्मक संख्याएँ
ऋणात्मक संख्याओं की अमूर्त अवधारणा को चीन में 100-50 ई.पू. के रूप में मान्यता दी गई थी। गणितीय कला पर नौ अध्यायों में आंकड़ों के क्षेत्रों को खोजने के तरीके शामिल हैं; लाल छड़ों का उपयोग सकारात्मक गुणांकों को निरूपित करने के लिए किया गया था, नकारात्मक के लिए काला। एक पश्चिमी कार्य में पहला संदर्भ ग्रीस में तीसरी शताब्दी ईस्वी में था। डायोफैंटस के समतुल्य समीकरण को संदर्भित किया जाता है 4x + 20 = 0 (समाधान नकारात्मक है) अंकगणित में, यह कहते हुए कि समीकरण ने एक बेतुका परिणाम दिया।

600 के दशक के दौरान, भारत में ऋणों का प्रतिनिधित्व करने के लिए ऋणात्मक संख्याओं का उपयोग किया जाता था। डायोफैंटस के पिछले संदर्भ पर भारतीय गणितज्ञ ब्रह्मगुप्त ने 628 में ब्रह्मस्फुटसिद्धांत में अधिक स्पष्ट रूप से चर्चा की थी, जिन्होंने सामान्य रूप से द्विघात सूत्र का उत्पादन करने के लिए नकारात्मक संख्याओं का उपयोग किया था जो आज भी उपयोग में है। हालाँकि, भारत में 12वीं शताब्दी में, भास्कर II द्विघात समीकरणों के लिए नकारात्मक जड़ें देता है, लेकिन कहता है कि इस मामले में नकारात्मक मान नहीं लिया जाना चाहिए, क्योंकि यह अपर्याप्त है; लोग नकारात्मक जड़ों को स्वीकार नहीं करते हैं।

यूरोपीय गणितज्ञों ने, अधिकांश भाग के लिए, 17वीं शताब्दी तक ऋणात्मक संख्याओं की अवधारणा का विरोध किया, हालांकि फिबोनैकी ने वित्तीय समस्याओं में नकारात्मक समाधानों की अनुमति दी, जहां उन्हें ऋण के रूप में व्याख्या की जा सकती थी (अबेकस की किताब, 1202 का अध्याय 13) और बाद में नुकसान के रूप में (में Flos). रेने डेसकार्टेस ने उन्हें झूठी जड़ें कहा क्योंकि वे बीजगणितीय बहुपदों में उग आए थे, फिर भी उन्हें सच्ची जड़ों और झूठी जड़ों को स्वैप करने का एक तरीका मिला। उसी समय, चीनी संबंधित धनात्मक संख्या के अंक के सबसे दाहिने गैर-शून्य अंक के माध्यम से एक विकर्ण स्ट्रोक खींचकर ऋणात्मक संख्याओं का संकेत दे रहे थे। एक यूरोपीय कृति में ऋणात्मक संख्याओं का पहला प्रयोग 15वीं शताब्दी के दौरान निकोलस चुक्वेट द्वारा किया गया था। उन्होंने उन्हें प्रतिपादक के रूप में इस्तेमाल किया, लेकिन उन्हें बेतुकी संख्या के रूप में संदर्भित किया।

हाल ही में 18वीं शताब्दी तक, समीकरणों द्वारा लौटाए गए किसी भी नकारात्मक परिणाम को इस धारणा पर अनदेखा करना आम बात थी कि वे अर्थहीन थे।

परिमेय संख्याएँ
यह संभावना है कि भिन्नात्मक संख्याओं की अवधारणा प्रागैतिहासिक काल की है। प्राचीन मिस्रवासियों ने गणितीय ग्रंथों जैसे रिहंद गणितीय पेपिरस और कहुँ पेपिरस में परिमेय संख्याओं के लिए अपने मिस्री अंश संकेतन का उपयोग किया। शास्त्रीय ग्रीक और भारतीय गणितज्ञों ने संख्या सिद्धांत के सामान्य अध्ययन के हिस्से के रूप में तर्कसंगत संख्याओं के सिद्धांत का अध्ययन किया। इनमें से सबसे प्रसिद्ध यूक्लिड के तत्व हैं|यूक्लिड के तत्व, लगभग 300 ईसा पूर्व के हैं। भारतीय ग्रंथों में सबसे अधिक प्रासंगिक स्थिति [[सूत्र]] है, जिसमें गणित के सामान्य अध्ययन के भाग के रूप में संख्या सिद्धांत भी शामिल है।

दशमलव भिन्न की अवधारणा दशमलव स्थान-मान अंकन के साथ निकटता से जुड़ी हुई है; ऐसा लगता है कि दोनों मिलकर विकसित हुए हैं। उदाहरण के लिए, जैन गणित सूत्र में पाई या 2 के वर्गमूल के दशमलव-अंश सन्निकटन की गणना शामिल करना आम बात है। इसी तरह, बेबीलोनियन गणित के ग्रंथों में बड़ी आवृत्ति के साथ सेक्सेजिमल (आधार 60) अंशों का उपयोग किया गया था।

अपरिमेय संख्याएँ
अपरिमेय संख्याओं का सबसे पहला ज्ञात उपयोग भारतीय गणित सुल्ब सूत्र में 800 और 500 ईसा पूर्व के बीच रचित था। अपरिमेय संख्याओं का पहला अस्तित्व प्रमाण आमतौर पर पाइथागोरस को दिया जाता है, विशेष रूप से पाइथागोरसवाद हिप्पसस को, जिन्होंने 2 के वर्गमूल की तर्कहीनता का एक (सबसे अधिक संभावना ज्यामितीय) प्रमाण प्रस्तुत किया। कहानी यह है कि हिप्पसस ने अपरिमेय संख्याओं की खोज की जब कोशिश की 2 के वर्गमूल को भिन्न के रूप में निरूपित करें। हालाँकि, पाइथागोरस संख्याओं की निरपेक्षता में विश्वास करते थे, और अपरिमेय संख्याओं के अस्तित्व को स्वीकार नहीं कर सकते थे। वह तर्क के माध्यम से उनके अस्तित्व का खंडन नहीं कर सकता था, लेकिन वह तर्कहीन संख्या को स्वीकार नहीं कर सकता था, और इसलिए, कथित तौर पर और अक्सर रिपोर्ट किया गया, उसने हिपपासस को डूबने से मौत की सजा सुनाई, ताकि इस निराशाजनक समाचार को फैलाया जा सके। 16वीं शताब्दी ने नकारात्मक संख्या अभिन्न और भिन्न (गणित) संख्याओं की अंतिम यूरोपीय स्वीकृति लाई। 17वीं शताब्दी तक, गणितज्ञ आमतौर पर आधुनिक अंकन के साथ दशमलव अंशों का उपयोग करते थे। हालांकि, 19वीं शताब्दी तक गणितज्ञों ने अपरिमेय को बीजगणितीय और पारलौकिक भागों में अलग नहीं किया, और एक बार फिर अपरिमेय का वैज्ञानिक अध्ययन किया। यूक्लिड के बाद से यह लगभग सुप्त अवस्था में था। 1872 में, कार्ल वीयरस्ट्रास (उनके शिष्य ई. कोसाक द्वारा) के सिद्धांतों का प्रकाशन, एडवर्ड हेन, जॉर्ज कैंटर, और रिचर्ड डेडेकिंड लाया गया था। 1869 में, चार्ल्स मेरे ने हेइन के समान प्रस्थान बिंदु लिया था, लेकिन सिद्धांत को आम तौर पर वर्ष 1872 के रूप में संदर्भित किया जाता है। वेइरस्ट्रास की विधि पूरी तरह से सल्वाटोर पिंचरले (1880) द्वारा निर्धारित की गई थी, और डेडेकाइंड कट लेखक के बाद के काम के माध्यम से अतिरिक्त प्रमुखता मिली है। (1888) और पॉल टेनरी (1894) द्वारा समर्थन। वेइरस्ट्रास, कैंटर, और हाइन अपने सिद्धांतों को अनंत श्रृंखला पर आधारित करते हैं, जबकि डेडेकिंड ने अपने सिद्धांतों को वास्तविक संख्याओं की प्रणाली में डेडेकिंड कट|कट (श्निट) के विचार पर पाया, जिसमें सभी परिमेय संख्याओं को दो विशिष्ट गुणों वाले दो समूहों में अलग किया जाता है। इस विषय को बाद में वीयरस्ट्रास, लियोपोल्ड क्रोनकर के हाथों योगदान मिला है, और मेराय।

क्विंटिक समीकरण और उच्च डिग्री समीकरणों की जड़ों की खोज एक महत्वपूर्ण विकास था, एबेल-रफ़िनी प्रमेय (पाओलो रुफ़िनी (गणितज्ञ) 1799, नील्स हेनरिक एबेल 1824) ने दिखाया कि उन्हें एनवें रूट (केवल अंकगणितीय संचालन वाले सूत्र) द्वारा हल नहीं किया जा सकता है। और जड़ें)। इसलिए बीजगणितीय संख्याओं के व्यापक सेट (बहुपद समीकरणों के सभी समाधान) पर विचार करना आवश्यक था। इवरिस्ट गैलोइस (1832) ने गैल्वा सिद्धांत के क्षेत्र को जन्म देने वाले समूह सिद्धांत के लिए बहुपद समीकरणों को जोड़ा।

निरंतर भिन्न, अपरिमेय संख्याओं से निकटता से संबंधित (और कैटाल्डी, 1613 के कारण), ने यूलर के हाथों ध्यान आकर्षित किया, और 19वीं सदी की शुरुआत में जोसेफ लुइस लाग्रेंज के लेखन के माध्यम से प्रमुखता में लाए गए थे। अन्य उल्लेखनीय योगदान Druckenmüller (1837), Kunze (1857), Lemke (1870), और Günther (1872) द्वारा किए गए हैं। रेमस पहले विषय को निर्धारकों से जोड़ा, जिसके परिणामस्वरूप, हेइन के बाद के योगदानों के साथ, अगस्त फर्डिनेंड मोबियस | मोबियस, और गुंठर, के सिद्धांत में Kettenbruchdeterminanten.

ट्रान्सेंडैंटल संख्या और वास्तविक
पारलौकिक संख्याओं का अस्तित्व पहली बार जोसेफ लिउविल (1844, 1851) द्वारा स्थापित किया गया था। चार्ल्स हर्मिट ने 1873 में साबित किया कि ई ट्रान्सेंडैंटल है और फर्डिनेंड वॉन लिंडमैन ने 1882 में साबित किया कि π ट्रांसेंडेंटल है। अंत में, कैंटर के पहले बेशुमार प्रमाण ने दिखाया कि सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय बेशुमार है लेकिन सभी बीजीय संख्याओं का समुच्चय गणनीय है, इसलिए पारलौकिक संख्याओं की एक बेशुमार अनंत संख्या है।

अनंत और अनंत
गणितीय अनंत की सबसे पुरानी ज्ञात अवधारणा यजुर्वेद में दिखाई देती है, जो एक प्राचीन भारतीय लिपि है, जिसमें एक बिंदु पर कहा गया है, यदि आप अनंत से एक अंश हटा दें या अनंत में एक भाग जोड़ दें, तो भी जो शेष रह जाता है वह अनंत है। अनंतता जैन गणितज्ञों के बीच दार्शनिक अध्ययन का एक लोकप्रिय विषय था। 400 ईसा पूर्व। उन्होंने पाँच प्रकार की अनंतता के बीच भेद किया: एक और दो दिशाओं में अनंत, क्षेत्र में अनंत, हर जगह अनंत, और अनंत काल तक। प्रतीक $$\text{∞}$$ अक्सर एक अनंत मात्रा का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है।

अरस्तू ने गणितीय अनंतता की पारंपरिक पश्चिमी धारणा को परिभाषित किया। उन्होंने वास्तविक अनंत और संभावित अनंत के बीच अंतर किया - आम सहमति यह थी कि केवल बाद वाले का ही सही मूल्य था। गैलिलियो गैलिली के दो नए विज्ञानों ने आक्षेप के विचार पर चर्चा की | अनंत सेटों के बीच एक-से-एक पत्राचार। लेकिन सिद्धांत में अगली प्रमुख प्रगति जॉर्ज कैंटर द्वारा की गई; 1895 में उन्होंने अपने नए समुच्चय सिद्धांत के बारे में एक पुस्तक प्रकाशित की, जिसमें अन्य बातों के साथ-साथ अनंत संख्या का परिचय दिया गया और सातत्य परिकल्पना तैयार की गई।

1960 के दशक में, अब्राहम रॉबिन्सन ने दिखाया कि कैसे असीम रूप से बड़ी अतिसूक्ष्म कलन संख्याओं को कठोर रूप से परिभाषित किया जा सकता है और गैर-मानक विश्लेषण के क्षेत्र को विकसित करने के लिए उपयोग किया जाता है। हाइपररियल नंबरों की प्रणाली अनंत और अतिसूक्ष्म संख्याओं के बारे में विचारों का इलाज करने की एक कठोर विधि का प्रतिनिधित्व करती है जिसका उपयोग गणितज्ञों, वैज्ञानिकों और इंजीनियरों द्वारा आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज द्वारा बहुत छोता कैलकुलस के आविष्कार के बाद से किया गया था।

अनंत का एक आधुनिक ज्यामितीय संस्करण प्रक्षेपी ज्यामिति द्वारा दिया गया है, जो अनंत पर आदर्श बिंदुओं का परिचय देता है, प्रत्येक स्थानिक दिशा के लिए एक। किसी दिए गए दिशा में समांतर रेखाओं के प्रत्येक परिवार को संबंधित आदर्श बिंदु पर अभिसरण करने के लिए पोस्ट किया गया है। यह परिप्रेक्ष्य (ग्राफ़िकल) आरेखण में लुप्त बिंदुओं के विचार से निकटता से संबंधित है।

जटिल संख्या
ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूल का सबसे पहला क्षणभंगुर संदर्भ गणितज्ञ और आविष्कारक अलेक्जेंड्रिया का बगुला के कार्य में पाया गया। 1st century AD, जब उन्होंने एक पिरामिड के एक असंभव छिन्नक के आयतन पर विचार किया। वे तब और अधिक प्रमुख हो गए जब 16वीं शताब्दी में निकोलो फोंटाना टारटाग्लिया और जेरोम कार्डानो जैसे इतालवी गणितज्ञों द्वारा तीसरी और चौथी डिग्री के बहुपदों की जड़ों के लिए बंद सूत्रों की खोज की गई। यह जल्द ही महसूस किया गया कि ये सूत्र, भले ही कोई केवल वास्तविक समाधानों में रुचि रखता हो, कभी-कभी ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूलों में हेरफेर की आवश्यकता होती है।

यह दोगुना परेशान करने वाला था क्योंकि वे उस समय ऋणात्मक संख्याओं को ठोस आधार पर भी नहीं मानते थे। जब रेने डेसकार्टेस ने 1637 में इन राशियों के लिए काल्पनिक शब्द गढ़ा, तो उन्होंने इसे अपमानजनक बताया। (जटिल संख्याओं की वास्तविकता की चर्चा के लिए काल्पनिक संख्या देखें।) भ्रम का एक और स्रोत समीकरण था
 * $$\left ( \sqrt{-1}\right )^2 =\sqrt{-1}\sqrt{-1}=-1$$

बीजगणितीय पहचान के साथ विचित्र रूप से असंगत लग रहा था
 * $$\sqrt{a}\sqrt{b}=\sqrt{ab},$$

जो धनात्मक वास्तविक संख्याओं a और b के लिए मान्य है, और इसका उपयोग a, b धनात्मक और अन्य ऋणात्मक के साथ जटिल संख्या गणनाओं में भी किया गया था। इस पहचान और संबंधित पहचान का गलत उपयोग
 * $$\frac{1}{\sqrt{a}}=\sqrt{\frac{1}{a}}$$

उस मामले में जब ए और बी दोनों नकारात्मक हैं, यहां तक ​​कि यूलर को भी बदनाम कर दिया गया है। इस कठिनाई ने अंततः उन्हें विशेष प्रतीक i के स्थान पर उपयोग करने के सम्मेलन के लिए प्रेरित किया $$\sqrt{-1}$$ इस गलती से बचाव के लिए।

18वीं सदी में अब्राहम डी मोइवरे और लियोनहार्ड यूलर का काम देखा गया। डी मोइवर का सूत्र (1730) कहता है:
 * $$(\cos \theta + i\sin \theta)^{n} = \cos n \theta + i\sin n \theta $$

जबकि यूलर के जटिल विश्लेषण के सूत्र (1748) ने हमें दिया:
 * $$\cos \theta + i\sin \theta = e ^{i\theta }. $$

1799 में कैस्पर वेसल द्वारा ज्यामितीय व्याख्या का वर्णन किए जाने तक जटिल संख्याओं का अस्तित्व पूरी तरह से स्वीकार नहीं किया गया था। कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने इसे कई वर्षों बाद फिर से खोजा और लोकप्रिय बनाया, और इसके परिणामस्वरूप जटिल संख्याओं के सिद्धांत को उल्लेखनीय विस्तार मिला। जॉन वालिस के डी बीजगणित ट्रैक्टेटस में जटिल संख्याओं के ग्राफिक प्रतिनिधित्व का विचार, हालांकि, 1685 की शुरुआत में प्रकट हुआ था।

इसके अलावा 1799 में, गॉस ने बीजगणित के मौलिक प्रमेय का पहला आम तौर पर स्वीकृत प्रमाण प्रदान किया, जिसमें दिखाया गया कि जटिल संख्याओं पर प्रत्येक बहुपद के पास उस क्षेत्र में समाधानों का एक पूरा सेट होता है। जटिल संख्याओं के सिद्धांत की सामान्य स्वीकृति ऑगस्टिन लुइस कॉची और नील्स हेनरिक एबेल के मजदूरों और विशेष रूप से नील्स हेनरिक एबेल के प्रयासों के कारण है, जो सर्वप्रथम सफलता के साथ साहसपूर्वक जटिल संख्याओं का उपयोग करने वाले पहले व्यक्ति थे। कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने गॉसियन पूर्णांक का अध्ययन किया a + bi, जहाँ a और b अभिन्न हैं, या परिमेय हैं (और i, के दो मूलों में से एक है x2 + 1 = 0). उनके छात्र, गॉथोल्ड ईसेनस्टीन ने इस प्रकार का अध्ययन किया a + bω, जहां ω का एक सम्मिश्र मूल है x3 − 1 = 0. जटिल संख्याओं के ऐसे अन्य वर्ग (जिन्हें साइक्लोटोमिक क्षेत्र कहा जाता है) एकता की जड़ों से प्राप्त होते हैं xk − 1 = 0 कश्मीर के उच्च मूल्यों के लिए। यह सामान्यीकरण काफी हद तक गंभीर दु:ख के कारण है, जिन्होंने आदर्श संख्याओं का भी आविष्कार किया था, जिन्हें 1893 में फेलिक्स क्लेन द्वारा ज्यामितीय संस्थाओं के रूप में व्यक्त किया गया था।

1850 में विक्टर एलेक्जेंडर प्यूसेक्स ने ध्रुवों और शाखा बिंदुओं के बीच अंतर करने का महत्वपूर्ण कदम उठाया और गणितीय विलक्षणता की अवधारणा पेश की। इसने अंततः विस्तारित जटिल विमान की अवधारणा को जन्म दिया।

अभाज्य संख्याएँ
रिकॉर्ड किए गए इतिहास में अभाज्य संख्याओं का अध्ययन किया गया है। यूक्लिड ने एलिमेंट्स की एक पुस्तक प्राइम्स के सिद्धांत को समर्पित की; इसमें उन्होंने प्राइम्स की अनंतता और अंकगणित के मौलिक प्रमेय को सिद्ध किया, और दो संख्याओं का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक खोजने के लिए यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म प्रस्तुत किया।

240 ईसा पूर्व में, एराटोस्थनीज ने अभाज्य संख्याओं को जल्दी से अलग करने के लिए एराटोस्थनीज की छलनी का उपयोग किया। लेकिन यूरोप में प्राइम्स के सिद्धांत का सबसे आगे विकास पुनर्जागरण और बाद के युगों में हुआ। 1796 में, एड्रियन मैरी लीजेंड्रे ने अभाज्य संख्या प्रमेय की परिकल्पना की, जिसमें अभाज्य संख्याओं के विषम वितरण का वर्णन किया गया था। अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित अन्य परिणामों में यूलर का प्रमाण शामिल है कि अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग अलग हो जाता है, और गोल्डबैक अनुमान, जो दावा करता है कि कोई भी पर्याप्त बड़ी सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग है। अभाज्य संख्याओं के वितरण से संबंधित एक और अनुमान रीमैन परिकल्पना है, जिसे 1859 में बर्नहार्ड रीमैन द्वारा तैयार किया गया था। प्रधान संख्या प्रमेय अंततः 1896 में जैक्स हैडमार्ड और चार्ल्स डे ला वल्ली-पौसिन द्वारा सिद्ध किया गया था। गोल्डबैक और रीमैन के अनुमान अप्रमाणित और अखंडित रहते हैं।.

मुख्य वर्गीकरण
संख्याओं को सेट (गणित) में वर्गीकृत किया जा सकता है, जिन्हें संख्या सेट या संख्या प्रणाली कहा जाता है, जैसे कि प्राकृतिक संख्याएँ और वास्तविक संख्याएँ। मुख्य संख्या प्रणाली इस प्रकार हैं: इनमें से प्रत्येक संख्या प्रणाली अगले एक का उपसमुच्चय है। इसलिए, उदाहरण के लिए, एक परिमेय संख्या भी एक वास्तविक संख्या होती है, और प्रत्येक वास्तविक संख्या भी एक सम्मिश्र संख्या होती है। इसे प्रतीकात्मक रूप में व्यक्त किया जा सकता है
 * $$\mathbb{N} \subset \mathbb{Z} \subset \mathbb{Q} \subset \mathbb{R} \subset \mathbb{C}$$.

निम्नलिखित आरेख में संख्या सेट की एक और पूरी सूची दिखाई देती है।

प्राकृतिक संख्या
सबसे परिचित संख्याएँ प्राकृतिक संख्याएँ हैं (कभी-कभी पूर्ण संख्याएँ या गिनती संख्याएँ कहलाती हैं): 1, 2, 3, और इसी तरह। परंपरागत रूप से, प्राकृतिक संख्याओं का क्रम 1 से शुरू होता था (0 को प्राचीन यूनानियों के लिए एक संख्या भी नहीं माना जाता था।) हालांकि, 19वीं शताब्दी में, सेट सिद्धांत और अन्य गणितज्ञों ने 0 (खाली सेट की प्रमुखता, यानी 0 तत्वों) को शामिल करना शुरू किया। जहां 0 इस प्रकार सबसे छोटी कार्डिनल संख्या है) प्राकृतिक संख्याओं के सेट में। आज, विभिन्न गणितज्ञ दोनों सेटों का वर्णन करने के लिए इस शब्द का उपयोग करते हैं, जिसमें 0 या नहीं शामिल है। सभी प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय का गणितीय प्रतीक N है, जिसे लिखा भी गया है $$\mathbb{N}$$, और कभी - कभी $$\mathbb{N}_0$$ या $$\mathbb{N}_1$$ जब यह इंगित करना आवश्यक हो कि क्या सेट क्रमशः 0 या 1 से शुरू होना चाहिए।

आधार 10 अंक प्रणाली में, गणितीय संक्रियाओं के लिए आज लगभग सार्वभौमिक उपयोग में, प्राकृतिक संख्याओं के प्रतीकों को दस संख्यात्मक अंकों का उपयोग करके लिखा जाता है: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, और 9। सूत्र शून्य सहित अद्वितीय संख्यात्मक अंकों की संख्या है, जो संख्या प्रणाली संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग करती है (दशमलव प्रणाली के लिए, रेडिक्स 10 है)। इस आधार 10 प्रणाली में, प्राकृतिक संख्या के सबसे दाहिने अंक का स्थानीय मान 1 होता है, और प्रत्येक दूसरे अंक का स्थानीय मान उसके दाईं ओर के अंक के स्थानीय मान का दस गुना होता है।

समुच्चय सिद्धांत में, जो आधुनिक गणित के लिए एक स्वयंसिद्ध आधार के रूप में कार्य करने में सक्षम है, समतुल्य सेटों के वर्गों द्वारा प्राकृतिक संख्याओं का प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, संख्या 3 को उन सभी सेटों के वर्ग के रूप में दर्शाया जा सकता है जिनमें बिल्कुल तीन तत्व होते हैं। वैकल्पिक रूप से, पियानो अंकगणित में, संख्या 3 को sss0 के रूप में दर्शाया जाता है, जहां s उत्तराधिकारी कार्य है (यानी, 3 0 का तीसरा उत्तराधिकारी है)। कई अलग-अलग अभ्यावेदन संभव हैं; औपचारिक रूप से 3 का प्रतिनिधित्व करने के लिए केवल एक निश्चित प्रतीक या प्रतीकों के पैटर्न को तीन बार लिखने की आवश्यकता है।

पूर्णांक
किसी धनात्मक पूर्णांक की ऋणात्मक संख्या को उस संख्या के रूप में परिभाषित किया जाता है जो संगत धनात्मक पूर्णांक में जोड़े जाने पर 0 उत्पन्न करती है। ऋणात्मक संख्याएं आमतौर पर एक ऋणात्मक चिह्न (एक ऋण चिह्न) के साथ लिखी जाती हैं। उदाहरण के तौर पर, 7 का ऋणात्मक −7 लिखा जाता है, और 7 + (−7) = 0. जब नकारात्मक संख्याओं के सेट (गणित) को प्राकृतिक संख्याओं के सेट (0 सहित) के साथ जोड़ा जाता है, तो परिणाम को पूर्णांकों के सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है, Z को ब्लैकबोर्ड बोल्ड भी लिखा जाता है|$$\mathbb{Z}$$. यहाँ Z अक्षर आता है. पूर्णांकों का समुच्चय जोड़ और गुणा संक्रियाओं के साथ एक वलय (गणित) बनाता है। प्राकृतिक संख्याएँ पूर्णांकों का एक उपसमुच्चय बनाती हैं। चूंकि प्राकृतिक संख्याओं में शून्य को शामिल करने या न करने के लिए कोई सामान्य मानक नहीं है, शून्य के बिना प्राकृतिक संख्याओं को आमतौर पर सकारात्मक पूर्णांक कहा जाता है, और शून्य वाली प्राकृतिक संख्याओं को गैर-ऋणात्मक पूर्णांक कहा जाता है।

परिमेय संख्या
एक परिमेय संख्या एक संख्या है जिसे एक पूर्णांक अंश और एक सकारात्मक पूर्णांक भाजक के साथ एक अंश (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। नकारात्मक भाजक की अनुमति है, लेकिन आमतौर पर इससे बचा जाता है, क्योंकि हर परिमेय संख्या सकारात्मक भाजक के साथ एक भिन्न के बराबर होती है। भिन्नों को दो पूर्णांक, अंश और हर के रूप में लिखा जाता है, उनके बीच एक विभाजन पट्टी होती है। अंश $a⁄b$ n बराबर भागों में विभाजित एक पूरे के m भागों का प्रतिनिधित्व करता है। दो भिन्न भिन्न एक ही परिमेय संख्या के अनुरूप हो सकते हैं; उदाहरण के लिए $m⁄n$ तथा $1⁄2$ बराबर हैं, अर्थात्:
 * $${1 \over 2} = {2 \over 4}.$$

सामान्य रूप में,
 * $${a \over b} = {c \over d}$$ अगर और केवल अगर $${ a \times d} = {c \times b}.$$

यदि m का निरपेक्ष मान n (सकारात्मक माना जाता है) से अधिक है, तो अंश का निरपेक्ष मान 1 से अधिक है। भिन्न 1 से अधिक, उससे कम या उसके बराबर हो सकता है और धनात्मक, ऋणात्मक, या 0. सभी परिमेय संख्याओं के सेट में पूर्णांक शामिल होते हैं क्योंकि प्रत्येक पूर्णांक को भाजक 1 के साथ भिन्न के रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए −7 को लिखा जा सकता है$2⁄4$. परिमेय संख्याओं का प्रतीक Q ('भागफल'' के लिए) है, जिसे ब्लैकबोर्ड बोल्ड भी लिखा गया है$$\mathbb{Q}$$.

वास्तविक संख्या
वास्तविक संख्याओं का प्रतीक R है, जिसे इस रूप में भी लिखा जाता है $$\mathbb{R}.$$ इनमें सभी मापन संख्याएँ शामिल हैं। प्रत्येक वास्तविक संख्या संख्या रेखा पर एक बिंदु से मेल खाती है। निम्नलिखित पैराग्राफ मुख्य रूप से सकारात्मक वास्तविक संख्याओं पर केंद्रित होगा। ऋणात्मक वास्तविक संख्याओं का उपचार अंकगणित के सामान्य नियमों के अनुसार होता है और उनका निरूपण ऋण चिह्न द्वारा संबंधित धनात्मक अंक के पूर्व में होता है, उदा। -123.456।

अधिकांश वास्तविक संख्याओं को केवल दशमलव अंकों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, जिसमें एक दशमलव बिंदु स्थान मान 1 के साथ अंक के दाईं ओर रखा जाता है। दशमलव बिंदु के दाईं ओर प्रत्येक अंक का स्थानीय मान का दसवां स्थान होता है इसके बाईं ओर का अंक। उदाहरण के लिए, 123.456 दर्शाता है $−7⁄1$, या, शब्दों में, एक सौ, दो दसवें, तीन एक, चार दसवें, पांच सौवें और छह हजारवें। एक वास्तविक संख्या को दशमलव अंकों की परिमित संख्या द्वारा केवल तभी व्यक्त किया जा सकता है जब वह परिमेय हो और उसके भिन्नात्मक भाग में एक भाजक हो जिसके अभाज्य गुणनखंड 2 या 5 या दोनों हों, क्योंकि ये 10 के अभाज्य गुणनखंड हैं, जो दशमलव प्रणाली का आधार है. इस प्रकार, उदाहरण के लिए, एक आधा 0.5 है, एक पांचवां 0.2 है, एक-दसवां 0.1 है, और एक पचासवां 0.02 है। दशमलव के रूप में अन्य वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए दशमलव बिंदु के दाईं ओर अंकों के अनंत क्रम की आवश्यकता होगी। यदि अंकों का यह अनंत क्रम एक पैटर्न का अनुसरण करता है, तो इसे दीर्घवृत्त या किसी अन्य संकेतन के साथ लिखा जा सकता है जो दोहराए जाने वाले पैटर्न को इंगित करता है। ऐसे दशमलव को आवर्ती दशमलव कहते हैं। इस प्रकार $123456⁄1000$ 0.333... के रूप में लिखा जा सकता है, एक दीर्घवृत्त के साथ यह इंगित करने के लिए कि पैटर्न जारी है। हमेशा के लिए दोहराए जाने वाले 3 को भी 0 के रूप में लिखा जाता है।$1⁄3$. यह पता चला है कि ये दोहराए जाने वाले दशमलव (अनुगामी शून्य सहित) वास्तव में परिमेय संख्याओं को दर्शाते हैं, अर्थात, सभी परिमेय संख्याएँ भी वास्तविक संख्याएँ हैं, लेकिन ऐसा नहीं है कि प्रत्येक वास्तविक संख्या परिमेय है। एक वास्तविक संख्या जो परिमेय नहीं है, अपरिमेय संख्या कहलाती है। एक प्रसिद्ध अपरिमेय वास्तविक संख्या पाई हैπ, किसी भी वृत्त की परिधि का उसके व्यास से अनुपात। जब पाई को लिखा जाता है
 * $$\pi = 3.14159265358979\dots,$$

जैसा कि कभी-कभी होता है, दीर्घवृत्त का अर्थ यह नहीं है कि दशमलव दोहराते हैं (वे नहीं करते हैं), बल्कि यह कि उनका कोई अंत नहीं है। यह साबित हो गया है कि पाई अपरिमेय है|π तर्कहीन है। एक अन्य प्रसिद्ध संख्या, जो एक अपरिमेय वास्तविक संख्या साबित हुई है, है
 * $$\sqrt{2} = 1.41421356237\dots,$$

2 का वर्गमूल, यानी अद्वितीय सकारात्मक वास्तविक संख्या जिसका वर्ग 2 है। इन दोनों संख्याओं को (कंप्यूटर द्वारा) खरबों में अनुमानित किया गया है अंकों का।

न केवल ये प्रमुख उदाहरण बल्कि लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ अपरिमेय हैं और इसलिए कोई दोहराव पैटर्न नहीं है और इसलिए कोई संगत दशमलव अंक नहीं है। उन्हें केवल दशमलव अंकों द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, वास्तविक संख्याओं को गोल करने या काट-छाँट करने के लिए। कोई भी गोल या छोटा संख्या आवश्यक रूप से एक परिमेय संख्या है, जिनमें से केवल बहुत से हैं। सभी माप, उनकी प्रकृति, सन्निकटन हैं, और हमेशा त्रुटि का एक मार्जिन होता है। इस प्रकार 123.456 को किसी भी वास्तविक संख्या से अधिक या उसके बराबर का अनुमान माना जाता है $\overline{3}$ और सख्ती से कम $1234555⁄10000$ (3 दशमलव तक राउंडिंग), या किसी भी वास्तविक संख्या से अधिक या उसके बराबर $1234565⁄10000$ और सख्ती से कम $123456⁄1000$ (3. दशमलव के बाद ट्रंकेशन)। अंक जो माप की तुलना में अधिक सटीकता का सुझाव देते हैं, उन्हें हटा दिया जाना चाहिए। शेष अंक सार्थक अंक कहलाते हैं। उदाहरण के लिए, रूलर के साथ माप कम से कम 0.001 मीटर की त्रुटि के मार्जिन के बिना शायद ही कभी बनाया जा सकता है। यदि किसी आयत की भुजाओं को 1.23 मी और 4.56 मी के रूप में मापा जाता है, तो गुणन आयत के बीच का क्षेत्रफल देता है 5.614591 m2 तथा 5.603011 m2. चूँकि दशमलव स्थान के बाद दूसरा अंक भी संरक्षित नहीं है, निम्नलिखित अंक महत्वपूर्ण नहीं हैं। इसलिए, परिणाम आमतौर पर 5.61 के लिए गोल होता है।

जिस प्रकार एक ही भिन्न को एक से अधिक तरीकों से लिखा जा सकता है, उसी प्रकार एक ही वास्तविक संख्या में एक से अधिक दशमलव निरूपण हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, 0.999..., 1.0, 1.00, 1.000, ..., सभी प्राकृतिक संख्या 1 का प्रतिनिधित्व करते हैं। एक दी गई वास्तविक संख्या में केवल निम्नलिखित दशमलव प्रतिनिधित्व होते हैं: दशमलव स्थानों की कुछ परिमित संख्या के लिए एक सन्निकटन, एक सन्निकटन जिसमें एक पैटर्न स्थापित किया जाता है जो असीमित संख्या में दशमलव स्थानों या सटीक मान के लिए केवल बहुत से दशमलव स्थानों के साथ जारी रहता है। इस अंतिम मामले में, अंतिम गैर-शून्य अंक को एक छोटे अंक से बदला जा सकता है, जिसके बाद 9 की असीमित संख्या हो सकती है, या अंतिम गैर-शून्य अंक के बाद असीमित संख्या में शून्य हो सकते हैं। इस प्रकार सटीक वास्तविक संख्या 3.74 को 3.7399999999... और 3.74000000000 भी लिखा जा सकता है। 9 की असीमित संख्या वाली संख्या को 9 से कम के सबसे दाहिने अंक में से एक से बढ़ाकर और उस अंक के दाईं ओर के सभी 9 को 0 में बदलकर फिर से लिखा जा सकता है। अंत में, दशमलव स्थान के दाईं ओर 0 के असीमित अनुक्रम को छोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 6.849999999999... = 6.85 और 6.850000000000... = 6.85। अंत में, यदि अंक में सभी अंक 0 हैं, तो संख्या 0 है, और यदि संख्या में सभी अंक 9 की एक अंतहीन स्ट्रिंग हैं, तो आप नाइन को दशमलव स्थान के दाईं ओर छोड़ सकते हैं, और एक जोड़ सकते हैं दशमलव स्थान के बाईं ओर 9s की स्ट्रिंग के लिए। उदाहरण के लिए, 99.999... = 100।

वास्तविक संख्याओं में भी एक महत्वपूर्ण लेकिन अत्यधिक तकनीकी संपत्ति होती है जिसे कम से कम ऊपरी बाध्य संपत्ति कहा जाता है।

यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी आदेशित फ़ील्ड, जो वास्तविक संख्याओं की पूर्णता भी है, वास्तविक संख्याओं के लिए आइसोमोर्फिक है। हालांकि, वास्तविक संख्याएं बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र नहीं हैं, क्योंकि वे बीजगणितीय समीकरण के समाधान (अक्सर ऋण एक का वर्गमूल कहा जाता है) को शामिल नहीं करते हैं। $$ x^2+1=0$$.

जटिल संख्या
अमूर्तता के एक बड़े स्तर पर जाने पर, वास्तविक संख्याओं को सम्मिश्र संख्याओं तक बढ़ाया जा सकता है। घन फलन और द्विघात फलन बहुपदों के मूलों के लिए बंद सूत्रों को खोजने की कोशिश से संख्याओं का यह सेट ऐतिहासिक रूप से उत्पन्न हुआ। इसने ऋणात्मक संख्याओं के वर्गमूलों को शामिल करने वाली अभिव्यक्तियों को जन्म दिया, और अंततः एक नई संख्या की परिभाषा के लिए: -1 का एक वर्गमूल, काल्पनिक इकाई द्वारा निरूपित, लियोनहार्ड यूलर द्वारा निर्दिष्ट एक प्रतीक, और काल्पनिक इकाई कहा जाता है। सम्मिश्र संख्याओं में प्रपत्र की सभी संख्याएँ होती हैं
 * $$\,a + b i$$

जहाँ a और b वास्तविक संख्याएँ हैं। इस वजह से, जटिल संख्याएं जटिल विमान पर बिंदुओं के अनुरूप होती हैं, दो वास्तविक आयामों का एक सदिश स्थान। अभिव्यक्ति में a + bi, वास्तविक संख्या a को वास्तविक भाग और b को काल्पनिक भाग कहा जाता है। यदि किसी सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग 0 है, तो संख्या को एक काल्पनिक संख्या कहा जाता है या उसे विशुद्ध रूप से काल्पनिक कहा जाता है; यदि काल्पनिक भाग 0 है, तो संख्या एक वास्तविक संख्या है। इस प्रकार वास्तविक संख्याएँ सम्मिश्र संख्याओं का एक उपसमुच्चय होती हैं। यदि किसी सम्मिश्र संख्या के वास्तविक और काल्पनिक दोनों भाग पूर्णांक हों, तो वह संख्या गॉसियन पूर्णांक कहलाती है। सम्मिश्र संख्याओं का प्रतीक 'C' या है $$\mathbb{C}$$.

बीजगणित के मौलिक प्रमेय का दावा है कि जटिल संख्याएं बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र बनाती हैं, जिसका अर्थ है कि जटिल गुणांक वाले प्रत्येक बहुपद में जटिल संख्याओं में एक फ़ंक्शन का शून्य होता है। वास्तविक की तरह, जटिल संख्याएं एक क्षेत्र (गणित) बनाती हैं, जो पूर्ण स्थान है, लेकिन वास्तविक संख्याओं के विपरीत, यह कुल क्रम नहीं है। यानी, यह कहने का कोई सुसंगत अर्थ नहीं है कि i 1 से अधिक है, और न ही यह कहने का कोई अर्थ है कि i 1 से कम है। तकनीकी शब्दों में, जटिल संख्याओं में ऑर्डर किए गए फ़ील्ड के कुल ऑर्डर की कमी होती है।

सम और विषम संख्या
एक सम संख्या एक पूर्णांक है जो समान रूप से दो से विभाज्य है, जो कि यूक्लिडियन विभाजन है; एक विषम संख्या एक पूर्णांक है जो सम नहीं है। (पुराने जमाने का शब्द समान रूप से विभाज्य है अब लगभग हमेशा विभाज्यता के लिए छोटा कर दिया जाता है।) किसी भी विषम संख्या  n  को सूत्र द्वारा निर्मित किया जा सकता है उपयुक्त पूर्णांक k के लिए। के साथ शुरू  पहली गैर-ऋणात्मक विषम संख्याएँ {1, 3, 5, 7, ...} हैं। किसी भी सम संख्या m का रूप है  जहाँ k फिर से एक पूर्णांक है। इसी तरह, पहली गैर-ऋणात्मक सम संख्याएँ {0, 2, 4, 6, ...} हैं।

अभाज्य संख्याएँ
एक अभाज्य संख्या, जिसे अक्सर केवल अभाज्य के रूप में छोटा किया जाता है, 1 से अधिक एक पूर्णांक है जो दो छोटे धनात्मक पूर्णांकों का गुणनफल नहीं है। पहली कुछ अभाज्य संख्याएँ 2, 3, 5, 7 और 11 हैं। अभाज्य संख्याओं को उत्पन्न करने के लिए विषम और सम संख्याओं के लिए ऐसा कोई सरल सूत्र नहीं है। अभाज्य संख्याओं का व्यापक रूप से 2000 से अधिक वर्षों से अध्ययन किया गया है और इसने कई प्रश्नों को जन्म दिया है, जिनमें से केवल कुछ का ही उत्तर दिया गया है। इन प्रश्नों का अध्ययन संख्या सिद्धांत के अंतर्गत आता है। गोल्डबैक का अनुमान अभी भी अनुत्तरित प्रश्न का एक उदाहरण है: क्या प्रत्येक सम संख्या दो अभाज्य संख्याओं का योग है?

एक ने प्रश्न का उत्तर दिया, कि क्या एक से बड़ा प्रत्येक पूर्णांक केवल एक तरह से अभाज्य संख्याओं का गुणनफल है, अभाज्य संख्याओं की पुनर्व्यवस्था को छोड़कर, पुष्टि की गई थी; इस सिद्ध दावे को अंकगणित का मूलभूत प्रमेय कहा जाता है। यूक्लिड के तत्वों में एक प्रमाण प्रकट होता है।

पूर्णांकों के अन्य वर्ग
प्राकृतिक संख्याओं के कई उपसमुच्चय विशिष्ट अध्ययन का विषय रहे हैं और उनका नाम अक्सर पहले गणितज्ञ के नाम पर रखा गया है जिन्होंने उनका अध्ययन किया है। पूर्णांकों के ऐसे समुच्चयों के उदाहरण हैं फाइबोनैचि संख्याएँ और पूर्ण संख्याएँ। अधिक उदाहरणों के लिए, पूर्णांक अनुक्रम देखें।

बीजगणितीय, अपरिमेय और पारलौकिक संख्याएं
बीजगणितीय संख्याएँ वे संख्याएँ होती हैं जो पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद समीकरण का हल होती हैं। वास्तविक संख्याएँ जो परिमेय संख्याएँ नहीं हैं, अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं। सम्मिश्र संख्याएँ जो बीजगणितीय नहीं होती हैं, ट्रान्सेंडैंटल संख्याएँ कहलाती हैं। वे बीजगणितीय संख्याएँ जो पूर्णांक गुणांकों वाले एक एकात्मक बहुपद समीकरण का हल होती हैं, बीजगणितीय पूर्णांक कहलाती हैं।

रचनात्मक संख्या
स्ट्रेटेज और कम्पास निर्माण की शास्त्रीय समस्याओं से प्रेरित, रचनात्मक संख्याएँ वे जटिल संख्याएँ होती हैं जिनके वास्तविक और काल्पनिक भागों को स्ट्रेटेज और कम्पास का उपयोग करके, इकाई लंबाई के दिए गए खंड से शुरू करके, चरणों की एक सीमित संख्या में बनाया जा सकता है।

संगणनीय संख्याएं
एक संगणनीय संख्या, जिसे पुनरावर्ती संख्या के रूप में भी जाना जाता है, एक वास्तविक संख्या है जैसे कि एक कलन विधि मौजूद है, जो एक सकारात्मक संख्या  n  को इनपुट के रूप में दिया जाता है, जो संगणनीय के पहले  n  अंकों का उत्पादन करता है। संख्या का दशमलव प्रतिनिधित्व। μ-रिकर्सिव फ़ंक्शंस, ट्यूरिंग मशीन या λ-कैलकुलस का उपयोग करके समतुल्य परिभाषाएँ दी जा सकती हैं। बहुपद की जड़ों की गणना सहित सभी सामान्य अंकगणितीय परिचालनों के लिए गणना योग्य संख्या स्थिर होती है, और इस प्रकार वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं वाले वास्तविक बंद क्षेत्र का निर्माण होता है।

संगणनीय संख्याओं को वास्तविक संख्याओं के रूप में देखा जा सकता है जिन्हें कंप्यूटर में सटीक रूप से दर्शाया जा सकता है: एक संगणनीय संख्या को इसके पहले अंकों और आगे के अंकों की गणना के लिए एक कार्यक्रम द्वारा दर्शाया जाता है। हालांकि, गणना योग्य संख्याओं का अभ्यास में शायद ही कभी उपयोग किया जाता है। एक कारण यह है कि दो संगणनीय संख्याओं की समानता के परीक्षण के लिए कोई एल्गोरिद्म नहीं है। अधिक सटीक रूप से, कोई भी एल्गोरिथ्म मौजूद नहीं हो सकता है जो किसी भी गणना योग्य संख्या को इनपुट के रूप में लेता है, और हर मामले में यह तय करता है कि यह संख्या शून्य के बराबर है या नहीं।

गणनीय संख्याओं के सेट में प्राकृतिक संख्याओं के समान कार्डिनैलिटी होती है। इसलिए, लगभग सभी वास्तविक संख्याएँ गैर-गणना योग्य हैं। हालांकि, स्पष्ट रूप से एक वास्तविक संख्या का उत्पादन करना बहुत मुश्किल है जो गणना योग्य नहीं है।

पी-एडिक नंबर
पी-एडिक संख्याओं में दशमलव बिंदु के बाईं ओर असीम रूप से लंबा विस्तार हो सकता है, उसी तरह वास्तविक संख्याओं में दाईं ओर असीम रूप से लंबा विस्तार हो सकता है। परिणाम देने वाली संख्या प्रणाली इस बात पर निर्भर करती है कि अंकों के लिए किस मूलांक का उपयोग किया जाता है: कोई भी आधार संभव है, लेकिन एक अभाज्य संख्या आधार सर्वोत्तम गणितीय गुण प्रदान करता है। p-adic संख्याओं के समुच्चय में परिमेय संख्याएँ होती हैं, लेकिन यह सम्मिश्र संख्याओं में समाहित नहीं होता है।

एक परिमित क्षेत्र और बीजगणितीय संख्याओं पर बीजगणितीय फ़ंक्शन फ़ील्ड के तत्वों में कई समान गुण होते हैं (फ़ंक्शन फ़ील्ड सादृश्य देखें)। इसलिए, उन्हें अक्सर संख्या सिद्धांतकारों द्वारा संख्या के रूप में माना जाता है। इस समानता में पी-एडिक नंबर महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबर
कुछ संख्या प्रणालियाँ जो सम्मिश्र संख्याओं में शामिल नहीं हैं, वास्तविक संख्याओं से इस प्रकार निर्मित की जा सकती हैं जो सम्मिश्र संख्याओं के निर्माण का सामान्यीकरण करती हैं। उन्हें कभी-कभी हाइपरकॉम्प्लेक्स नंबर कहा जाता है। इनमें सर विलियम रोवन हैमिल्टन द्वारा पेश किए गए चतुष्कोण एच शामिल हैं, जिसमें गुणन क्रमविनिमेय नहीं है, अष्टक, जिसमें गुणन क्रमविनिमेय नहीं होने के अलावा साहचर्य नहीं है, और sedenion, जिसमें गुणन वैकल्पिक बीजगणित नहीं है, न ही साहचर्य है न ही क्रमविनिमेय।

ट्रांसफिनिट नंबर
अनंत समुच्चय (गणित) से निपटने के लिए, प्राकृतिक संख्याओं को क्रमिक संख्याओं और कार्डिनल संख्याओं के लिए सामान्यीकृत किया गया है। पूर्व सेट का क्रम देता है, जबकि बाद वाला इसका आकार देता है। परिमित समुच्चय के लिए, क्रमवाचक और कार्डिनल संख्या दोनों की पहचान प्राकृतिक संख्याओं से की जाती है। अनंत मामले में, कई क्रमिक संख्याएँ एक ही कार्डिनल संख्या के अनुरूप होती हैं।

अलौकिक संख्या
गैर-मानक विश्लेषण में हाइपररियल नंबरों का उपयोग किया जाता है। हाइपररियल्स, या गैर-मानक वास्तविक (आमतौर पर * आर के रूप में चिह्नित), एक आदेशित क्षेत्र को दर्शाता है जो वास्तविक संख्या आर के आदेशित क्षेत्र का एक उचित क्षेत्र विस्तार है और हस्तांतरण सिद्धांत को संतुष्ट करता है। यह सिद्धांत सत्य प्रथम-क्रम तर्क की अनुमति देता है।

असली संख्या और असली नंबर असीम रूप से छोटी संख्या और असीम रूप से बड़ी संख्या को जोड़कर वास्तविक संख्या का विस्तार करते हैं, लेकिन फिर भी क्षेत्र (गणित) बनाते हैं।

यह भी देखें

 * ठोस संख्या
 * संख्याओं की सूची
 * विभिन्न भाषाओं में संख्याओं की सूची
 * संख्याओं के प्रकारों की सूची
 * जटिल आंकड़े
 * संख्यात्मक अनुभूति
 * परिमाण का क्रम
 * Subitizing और गिनती
 * Subitizing और गिनती
 * Subitizing और गिनती
 * Subitizing और गिनती
 * Subitizing और गिनती
 * Subitizing और गिनती
 * Subitizing और गिनती

संदर्भ

 * Tobias Dantzig, Number, the language of science; a critical survey written for the cultured non-mathematician, New York, The Macmillan Company, 1930.
 * Erich Friedman, What's special about this number? 
 * Steven Galovich, Introduction to Mathematical Structures, Harcourt Brace Javanovich, 1989, ISBN 0-15-543468-3.
 * Paul Halmos, Naive Set Theory, Springer, 1974, ISBN 0-387-90092-6.
 * Morris Kline, Mathematical Thought from Ancient to Modern Times, Oxford University Press, 1990. ISBN 978-0195061352
 * Alfred North Whitehead and Bertrand Russell, Principia Mathematica to *56, Cambridge University Press, 1910.
 * Leo Cory, A Brief History of Numbers, Oxford University Press, 2015, ISBN 978-0-19-870259-7.

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बाहरी संबंध

 * Online Encyclopedia of Integer Sequences
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