कैस्केड एल्गोरिदम

छोटा लहर सिद्धांत के गणित विषय में, कैस्केड एल्गोरिथम मूल वेवलेट # स्केलिंग फ़ंक्शन के फ़ंक्शन मानों की गणना करने के लिए संख्यात्मक विधि है और असतत वेवलेट ट्रांसफ़ॉर्म के वेवलेट फ़ंक्शंस पुनरावृत्त एल्गोरिथम का उपयोग करते हैं। यह सैंपलिंग पॉइंट्स के मोटे अनुक्रम पर मानों से प्रारंभ होता है और सैंपलिंग पॉइंट्स के क्रमिक रूप से अधिक सघन रूप से फैले हुए अनुक्रमों के लिए वैल्यूज़ पैदा करता है। क्योंकि यह पिछले एप्लिकेशन के आउटपुट पर ही ऑपरेशन को बार-बार लागू करता है, इसे 'कैस्केड एल्गोरिथम' के रूप में जाना जाता है।

लगातार सन्निकटन
पुनरावृत्त एल्गोरिथम {h} और {g} फ़िल्टर गुणांकों से ψ(t) या φ(t) के क्रमिक सन्निकटन उत्पन्न करता है। यदि एल्गोरिथ्म निश्चित बिंदु पर अभिसरण करता है, तो वह निश्चित बिंदु मूल स्केलिंग फ़ंक्शन या तरंगिका है।

पुनरावृत्तियों द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\varphi^{(k+1)}(t)=\sum_{n=0}^{N-1} h[n] \sqrt 2 \varphi^{(k)} (2t-n)$$

k वें पुनरावृत्ति के लिए, जहाँ प्रारंभिक φ(0)(t) दिया जाना चाहिए।

बुनियादी स्केलिंग फ़ंक्शन का फ़्रीक्वेंसी डोमेन अनुमान इसके द्वारा दिया जाता है


 * $$\Phi^{(k+1)}(\omega)= \frac {1} {\sqrt 2} H\left( \frac {\omega} {2}\right) \Phi^{(k)}\left(\frac {\omega} {2}\right)$$

और सीमा को अनंत उत्पाद के रूप में देखा जा सकता है


 * $$\Phi^{(\infty)}(\omega)= \prod_{k=1}^{\infty} \frac {1} {\sqrt 2} H\left( \frac {\omega} {2^k}\right) \Phi^{(\infty)}(0).$$

यदि ऐसी सीमा उपस्थित है, स्केलिंग फ़ंक्शन का स्पेक्ट्रम है


 * $$\Phi(\omega)= \prod_{k=1}^\infty \frac {1} {\sqrt 2} H\left( \frac {\omega} {2^k}\right) \Phi^{(\infty)}(0)$$

सीमा φ के प्रारंभिक आकार पर निर्भर नहीं करती है(0)(टी)। यह एल्गोरिद्म विश्वसनीय रूप से φ(t) में परिवर्तित होता है, भले ही यह असंतत हो।

इस स्केलिंग फ़ंक्शन से तरंगिका उत्पन्न की जा सकती है


 * $$\psi(t)= \sum_{n=- \infty}^{\infty} g[n]{\sqrt 2} \varphi^{(k)} (2t-n).$$

फ़्रीक्वेंसी डोमेन में क्रमिक सन्निकटन भी प्राप्त किया जा सकता है।

संदर्भ

 * C.S. Burrus, R.A. Gopinath, H. Guo, Introduction to Wavelets and Wavelet Transforms: A Primer, Prentice-Hall, 1988, ISBN 0-13-489600-9.
 * http://cnx.org/content/m10486/latest/
 * https://web.archive.org/web/20070615055323/http://cm.bell-labs.com/cm/ms/who/wim/cascade/index.html