धनात्मक निश्चित फलन

गणित में, एक धनात्मक-निश्चित फलन, संदर्भ के आधार पर, दो प्रकार के फलन (गणित) में से एक होता है।

परिभाषा 1
मान लीजिये $$\mathbb{R}$$ वास्तविक संख्याओं का समुच्चय हो और $$\mathbb{C}$$ सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय है।

किसी फलन $$ f: \mathbb{R} \to \mathbb{C} $$ को सकारात्मक अर्ध-निश्चित कहा जाता है यदि किसी भी वास्तविक संख्या x1, …, xn n × n आव्यूह के लिए

$$ A = \left(a_{ij}\right)_{i,j=1}^n~, \quad a_{ij} = f(x_i - x_j) $$

एक धनात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह है।

परिभाषा के अनुसार, एक धनात्मक अर्ध-निश्चित आव्यूह, जैसे $$A$$, हर्मिटियन आव्यूह है; इसलिए f(−x) f(x)) का सम्मिश्र संयुग्म है।

विशेषकर, यह आवश्यक (परन्तु पर्याप्त नहीं) है कि


 * $$ f(0) \geq 0~, \quad |f(x)| \leq f(0) $$

(ये असमानताएँ n = 1, 2 की स्थिति का अनुसरण करती हैं।)

यदि असमानता को उलट दिया जाए तो एक फलन नकारात्मक अर्ध-निश्चित होता है। यदि शक्तिहीन असमानता को शक्तिशाली (<, > 0) से बदल दिया जाए तो एक फलन निश्चित होता है।

उदाहरण
अगर $$(X, \langle \cdot, \cdot \rangle)$$ है तो फिर, यह एक वास्तविक आंतरिक उत्पाद स्थान $$g_y \colon X \to \mathbb{C}$$ है, प्रत्येक $$y \in X$$ के लिए $$x \mapsto \exp(i \langle y, x \rangle)$$ निश्चित रूप से निश्चित है: सभी $$u \in \mathbb{C}^n$$ के लिए और सभी $$x_1, \ldots, x_n$$ हमारे पास निम्न है

u^* A^{(g_y)} u = \sum_{j, k = 1}^{n} \overline{u_k} u_j e^{i \langle y, x_k - x_j \rangle} = \sum_{k = 1}^{n} \overline{u_k} e^{i \langle y, x_k \rangle} \sum_{j = 1}^{n} u_j e^{- i \langle y, x_j \rangle} = \left| \sum_{j = 1}^{n} \overline{u_j} e^{i \langle y, x_j \rangle} \right|^2 \ge 0. $$ चूंकि धनात्मक निश्चित कार्यों के गैर-नकारात्मक रैखिक संयोजन फिर से धनात्मक निश्चित होते हैं, कोटिज्या फलन उपरोक्त कार्यों के गैर-नकारात्मक रैखिक संयोजन के रूप में धनात्मक निश्चित होता है:

\cos(x) = \frac{1}{2} ( e^{i x} + e^{- i x}) = \frac{1}{2}(g_{1} + g_{-1}). $$ कोई एक धनात्मक निश्चित कार्य $$f \colon X \to \mathbb{C}$$ बना सकता है धनात्मक निश्चित कार्य $$f \colon \R \to \mathbb C$$ से आसानी से किसी भी सदिश समष्टि $$X$$ के लिए : एक रैखिक फलन $$\phi \colon X \to \R$$ चुनें और परिभाषित करें $$f^* := f \circ \phi$$।

तब

u^* A^{(f^*)} u = \sum_{j, k = 1}^{n} \overline{u_k} u_j f^*(x_k - x_j) = \sum_{j, k = 1}^{n} \overline{u_k} u_j f(\phi(x_k) - \phi(x_j)) = u^* \tilde{A}^{(f)} u \ge 0, $$ जहाँ $$\tilde{A}^{(f)} = \big( f(\phi(x_i) - \phi(x_j)) = f(\tilde{x}_i - \tilde{x}_j) \big)_{i, j}$$ जहाँ $$\tilde{x}_k := \phi(x_k)$$ के रूप में विशिष्ट हैं $$\phi$$ रैखिक है।

बोचनर का प्रमेय
फूरियर रूपांतरण के सिद्धांत में धनात्मक-निश्चितता स्वाभाविक रूप से उत्पन्न होती है; इसे प्रत्यक्ष रूप से देखा जा सकता है कि धनात्मक-निश्चित होने के लिए f के लिए g(y) ≥ 0 के साथ वास्तविक रेखा पर फलन g का फूरियर रूपांतरण होना पर्याप्त है।

विपरीत परिणाम बोचनर का प्रमेय है, जिसमें कहा गया है कि वास्तविक रेखा पर कोई भी निरंतर कार्य धनात्मक-निश्चित फलन एक (धनात्मक) माप (गणित) का फूरियर रूपांतरण है।

अनुप्रयोग
सांख्यिकी में, और विशेष रूप से बायेसियन सांख्यिकी में, प्रमेय सामान्यतः वास्तविक कार्यों पर लागू होता है। सामान्यतः, बिंदुओं पर कुछ अदिश मान का n अदिश माप $$R^d$$ लिया जाता है और जो बिंदु परस्पर निकट होते हैं, उनके लिए ऐसे माप की आवश्यकता होती है जो अत्यधिक सहसंबद्ध हों। व्यवहार में, किसी को यह सुनिश्चित करने के लिए सावधान रहना चाहिए कि परिणामी सहप्रसरण आव्यूह (ए n&thinsp;×&thinsp;n आव्यूह) हमेशा धनात्मक-निश्चित होता है। एक रणनीति एक सहसंबंध आव्यूह ए को परिभाषित करना है जिसे सहप्रसरण आव्यूह देने के लिए एक अदिश राशि से गुणा किया जाता है: यह धनात्मक-निश्चित होना चाहिए। बोचनर के प्रमेय में कहा गया है कि यदि दो बिंदुओं के बीच सहसंबंध केवल उनके बीच की दूरी (फलन एफ के माध्यम से) पर निर्भर है, तो सहप्रसरण आव्यूह ए धनात्मक-निश्चित है यह सुनिश्चित करने के लिए फलन एफ को धनात्मक-निश्चित होना चाहिए। क्रीजिंग देखें।

इस संदर्भ में, फूरियर शब्दावली का सामान्य रूप से उपयोग नहीं किया जाता है और इसके स्थान पर यह कहा जाता है कि f(x) एक सममित संभाव्यता घनत्व फलन (पीडीएफ) का विशेषता फलन (संभावना सिद्धांत) है।

सामान्यीकरण
कोई भी स्थानीय रूप से सघन एबेलियन सांस्थितिक समूह पर धनात्मक-निश्चित कार्यों को परिभाषित कर सकता है; बोचनर का प्रमेय इस संदर्भ तक विस्तारित है। समूहों पर धनात्मक-निश्चित कार्य हिल्बर्ट स्थानों पर समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत (यानी एकात्मक प्रतिनिधित्व के सिद्धांत) में स्वाभाविक रूप से होते हैं।

परिभाषा 2
वैकल्पिक रूप से, एक फलन $$f : \reals^n \to \reals$$ को मूल के प्रतिवैस D पर सकारात्मक-निश्चित कहा जाता है यदि प्रत्येक गैर-शून्य $$x \in D$$ के लिए $$f(0) = 0$$ और $$f(x) > 0$$ है।

ध्यान दें कि यह परिभाषा ऊपर दी गई परिभाषा 1 से विरोधाभासी है।

भौतिकी में, $$f(0) = 0$$ की आवश्यकता को कभी-कभी हटा दिया जाता है (देखें, उदाहरण के लिए, कॉर्नी और ऑलसेन )।

यह भी देखें

 * धनात्मक-निश्चित कर्नेल

संदर्भ

 * Christian Berg, Christensen, Paul Ressel. Harmonic Analysis on Semigroups, GTM, Springer Verlag.
 * Z. Sasvári, Positive Definite and Definitizable Functions, Akademie Verlag, 1994
 * Wells, J. H.; Williams, L. R. Embeddings and extensions in analysis. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete, Band 84. Springer-Verlag, New York-Heidelberg, 1975. vii+108 pp.