अलेक्जेंड्रोफ़ विस्तारण

टोपोलॉजी के गणितीय क्षेत्र में, अलेक्जेंड्रोफ़ विस्तारक `एक एकल बिंदु से सटे हुए एक गैर-सघन टोपोलॉजिकल समष्टि को इस तरह से विस्तारित करने का एक विधि है कि परिणामी समष्टि सघन हो। इसका नाम रूसी गणितज्ञ पावेल अलेक्जेंड्रोफ़ के नाम पर रखा गया है। अधिक स्पष्ट रूप से, मान लीजिए कि X एक टोपोलॉजिकल समष्टि है। फिर X का अलेक्जेंड्रॉफ विस्तारक `एक निश्चित सघन समष्टि X* है, साथ में एक ओपन एम्बेडिंग c : X → X* है, जैसे कि $$X*                                                                                                                                                                                                               $$ में $$X                                                                                                                                                                                                          $$ के पूरक में एक एकल बिंदु होता है, जिसे सामान्यतः ∞ दर्शाया जाता है। मानचित्र c एक हॉसडॉर्फ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन है यदि और केवल यदि X एक समष्टिीय रूप से कॉम्पैक्ट, गैर-सघन हॉसडॉर्फ़ समष्टि है। ऐसे समष्टिों के लिए अलेक्जेंड्रॉफ विस्तारक `को एक-बिंदु  कॉम्पेक्टिफिकेशन या अलेक्जेंड्रोफ कॉम्पेक्टिफिकेशन कहा जाता है। अलेक्जेंड्रोफ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन के लाभ  इसकी सरल, अधिकांशतः  ज्यामितीय रूप से सार्थक संरचना में निहित हैं और यह तथ्य कि यह सभी कॉम्पेक्टिफिकेशन के बीच एक स्पष्ट अर्थ में न्यूनतम है; हानि इस तथ्य में निहित है कि यह केवल समष्टिीय रूप से कॉम्पैक्ट, गैर-सघन हॉसडॉर्फ़ रिक्त समष्टि के वर्ग पर हॉसडॉर्फ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन देता है, स्टोन-सेच कॉम्पेक्टिफिकेशन के विपरीत जो किसी भी टोपोलॉजिकल समष्टि के लिए उपस्थित है (किंतु टाइकोनॉफ़ रिक्त समष्टि के लिए बिल्कुल एक एम्बेडिंग प्रदान करता है)।

उदाहरण: व्युत्क्रम त्रिविम प्रक्षेपण
एक-बिंदु संघनन का ज्यामितीय रूप से आकर्षक उदाहरण व्युत्क्रम त्रिविम प्रक्षेपण द्वारा दिया गया है। याद रखें कि स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण एस इकाई क्षेत्र से उत्तरी ध्रुव (0,0,1) को घटाकर यूक्लिडियन विमान तक एक स्पष्ट होमोमोर्फिज्म देता है। व्युत्क्रम स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण $$S^{-1}: \mathbb{R}^2 \hookrightarrow S^2$$ एक सघन हॉसडॉर्फ समष्टि में एक विवर्त, सघन एम्बेडिंग है जो अतिरिक्त बिंदु $$\infty = (0,0,1)$$ से सटे हुए प्राप्त होता है। त्रिविम प्रक्षेपण के अनुसार अक्षांशीय वृत्त $$z = c$$ को समतलीय वृत्तों $r = \sqrt{(1+c)/(1-c)}$  पर मैप किया जाता है। यह इस प्रकार है कि छिद्रित गोलाकार कैप्स $$c \leq z < 1$$ द्वारा दिया गया $$(0,0,1)$$ का हटाया गया निकट आधार संवर्त प्लानर डिस्क $r \geq \sqrt{(1+c)/(1-c)}$  के पूरक से मेल खाता है। अधिक गुणात्मक रूप से,$$\infty$$ पर निकट का आधार समुच्चय $$S^{-1}(\mathbb{R}^2 \setminus K) \cup \{ \infty \}$$ द्वारा प्रस्तुत किया जाता है क्योंकि K $$\mathbb{R}^2$$ के सघन उपसमुच्चय के माध्यम से होता है। इस उदाहरण में पहले से ही कुंजी सम्मिलित है सामान्य स्थिति की अवधारणाएँ सम्मिलित हैं।।

प्रेरणा
मान लीजिए कि $$c: X \hookrightarrow Y$$ सघन छवि और एक-बिंदु शेष $$\{ \infty \} = Y \setminus c(X)$$ के साथ एक टोपोलॉजिकल समष्टि फिर c(X) एक सघन हॉसडॉर्फ़ समष्टि में विवर्त है, इसलिए यह समष्टिीय रूप से सघन हॉसडॉर्फ़ है, इसलिए इसका होमियोमोर्फिक प्रीइमेज X भी समष्टिीय रूप से सघन हॉसडॉर्फ़ है। इसके अतिरिक्त, यदि X सघन होता तो c(X) Y में संवर्त होता और इसलिए सघन नहीं होता है। इस प्रकार एक समष्टि केवल हॉसडॉर्फ़ एक-बिंदु कॉम्पैक्टीफिकेशन को स्वीकार कर सकता है यदि यह समष्टिीय रूप से कॉम्पैक्ट, नॉनसघन और हॉसडॉर्फ़ है। इसके अतिरिक्त इस तरह के एक-बिंदु संघनन में यह संवर्त है - $$\infty$$ के विवर्त निकट सघन पूरक के साथ X के सबसमुच्चय के c के अनुसार छवि के साथ $$\infty                                                                                                                                                                                                     $$ द्वारा प्राप्त किए गए सभी समुच्चय होने चाहिए।

अलेक्जेंड्रोफ़ एक्सटेंशन
माना $$X$$ को टपॉलजी का मूल्य रहने दें। $$X^* = X \cup \{\infty \},$$ रखें और फॉर्म $$V = (X \setminus C) \cup \{\infty \}$$ के सभी समुच्चयों के साथ $$X$$  के सभी विवर्त उपसमुच्चय U को ओपन समुच्चय के रूप में लेकर $$X^*$$को टोपोलॉजीज करें, जहां $$ C$$ संवर्त है और $$X.$$में सघन है। यहां, $$X \setminus C$$} पूरक को दर्शाता है ध्यान दें कि $$V$$ $$\{\infty \}$$ का एक विवर्त निकट `है, और इस प्रकार $$X^*,$$ के किसी भी विवर्त आवरण में $$X^*$$के एक सघन उपसमुच्चय $$C$$ को छोड़कर सभी सम्मिलित होंगे, जिसका अर्थ है कि $$X^*$$ सघन है.

समष्टि $$X^*$$ को X का अलेक्जेंड्रोफ़ विस्तारक कहा जाता है (विलार्ड, 19A)। कभी-कभी समावेशन मानचित्र $$c: X\to X^*. $$ के लिए समान नाम का उपयोग किया जाता है।

नीचे दी गई संपत्तियाँ उपरोक्त चर्चा से अनुसरण करती हैं:


 * मानचित्र c सतत और विवर्त है: यह X को $$X^*$$ के विवर्त उपसमुच्चय के रूप में एम्बेड करता है।
 * समष्टि $$X^*$$ सघन है.
 * छवि c(X) $$X^*$$ में सघन है, यदि X गैर-कॉम्पैक्ट है।
 * समष्टि $$X^*$$ हॉसडॉर्फ़ समष्टि है यदि और केवल यदि x हॉसडॉर्फ़ है और समष्टिीय रूप से सघन है।
 * समष्टि $$X^*                                                                                                                                                                                                       $$ T1 समष्टि है यदि और केवल यदि X, T1 है.

एक-बिंदु संघनन
विशेष रूप से अलेक्जेंड्रॉफ़ विस्तारक $$c: X \rightarrow X^*$$ का हॉसडॉर्फ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन है यदि और केवल यदि इस स्थिति`में इसे x का 'एक-बिंदु कॉम्पेक्टिफिकेशन या अलेक्जेंड्रॉफ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन कहा जाता है।

उपरोक्त चर्चा से याद करें कि एक बिंदु शेष के साथ कोई भी हॉसडॉर्फ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन आवश्यक रूप से एलेक्ज़ेंडरॉफ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन के लिए आइसोमोर्फिक है। विशेषकर, यदि $$X$$ एक संहत है हॉसडॉर्फ समष्टि और $$p$$, $$X$$ का एक सीमा बिंदु है (अर्थात् $$X$$ का एक पृथक बिंदु नहीं), $$X$$, $$X\setminus\{p\}$$ का अलेक्जेंड्रॉफ़ कॉम्पेक्टिफिकेशन है।

मान लीजिए कि X कोई गैर-कॉम्पैक्ट टाइकोनॉफ़ समष्टि है। कॉम्पेक्टिफिकेशन के तुल्यता वर्गों के समुच्चय $$\mathcal{C}(X)                                                                                                                                                                                $$ पर प्राकृतिक आंशिक क्रम के अनुसार, कोई भी न्यूनतम तत्व एलेक्जेंडरॉफ़ विस्तारक (एंगेलकिंग, प्रमेय 3.5.12) के समान है। यह इस प्रकार है कि एक गैर-कॉम्पैक्ट टाइकोनॉफ़ समष्टि न्यूनतम कॉम्पैक्टिफिकेशन को स्वीकार करता है यदि और केवल तभी जब यह समष्टिीय रूप से कॉम्पैक्ट हो।

गैर-हॉसडॉर्फ़ एक-बिंदु संघनन
मान लीजिए $$(X,\tau)$$ एक इच्छानुसार नॉनकॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समष्टि है। कोई एक बिंदु जोड़कर प्राप्त किए गए $$X$$ के सभी कॉम्पेक्टिफिकेशन (जरूरी नहीं कि हॉसडॉर्फ) को निर्धारित करना चाहे, जिसे इस संदर्भ में एक-बिंदु कॉम्पेक्टिफिकेशन भी कहा जा सकता है। इसलिए कोई व्यक्ति $$X^*=X\cup\{\infty\}$$को एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजी देने के सभी संभावित विधियों को निर्धारित करना चाहता है, जैसे कि इसमें $$X$$ सघन हो और $$X^*$$ से प्रेरित $$X$$ पर सबसमष्टि टोपोलॉजी मूल टोपोलॉजी के समान हो। टोपोलॉजी पर अंतिम संगतता स्थिति स्वचालित रूप से यह दर्शाती है कि $$X$$, $$X^*$$ में सघन है, क्योंकि $$X$$ कॉम्पैक्ट नहीं है, इसलिए इसे कॉम्पैक्ट समष्टि में संवर्त नहीं किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, यह एक तथ्य है कि समावेशन मानचित्र $$c:X\to X^*$$ आवश्यक रूप से एक विवर्त एम्बेडिंग है, अर्थात, $$X$$ को $$X^*$$ में विवर्त होना चाहिए और $$X^*$$ पर टोपोलॉजी में $$\tau$$ का प्रत्येक सदस्य सम्मिलित होना चाहिए। तो $$X^*$$ पर टोपोलॉजी $$\infty$$ के निकट द्वारा निर्धारित की जाती है। $$\infty$$ का कोई भी निकट आवश्यक रूप से X के एक संवर्त कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के $$X^*$$ में पूरक है, जैसा कि पहले चर्चा की गई थी।

$$X^*$$ पर टोपोलॉजी जो इसे $$X$$ का संघनन बनाती है, इस प्रकार हैं:
 * ऊपर परिभाषित $$X$$ का अलेक्जेंड्रोफ़ विस्तार यहां हम $$X$$ के सभी संवर्त कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के पूरकों को $$\infty$$ के निकट के रूप में लेते हैं। यह सबसे बड़ी टोपोलॉजी है जो $$X^*$$ को $$X$$ का एक-बिंदु संघनन बनाती है।
 * ओपन विस्तारक टोपोलॉजी. यहां हम $$\infty$$ का एक एकल निकट अर्थात् संपूर्ण समष्टि $$X^*$$ जोड़ते हैं। यह सबसे छोटी टोपोलॉजी है जो $$X^*$$ को $$X$$ का एक-बिंदु संघनन बनाती है।
 * उपरोक्त दो टोपोलॉजी के बीच कोई भी टोपोलॉजी मध्यवर्ती $$\infty$$के निकट के लिए किसी को $$X                                                                                                                                                                                                                $$ के सभी संवर्त कॉम्पैक्ट उपसमुच्चय के पूरकों में से एक उपयुक्त उपवर्ग  चुनना होगा; उदाहरण के लिए सभी परिमित संवर्त संहत उपसमुच्चय के पूरक या सभी गणनीय संवर्त संहत उपसमुच्चय के पूरक है।

असतत समष्टिों का संघनन

 * धनात्मक पूर्णांकों के समुच्चय का एक-बिंदु संघनन K = {0} U {1/n | से युक्त समष्टि के लिए समरूपता है। क्रमित टोपोलॉजी के साथ n एक धनात्मक पूर्णांक है।
 * एक क्रम $$\{a_n\}$$ एक टोपोलॉजिकल समष्टि में $$X$$ एक बिंदु पर एकत्रित हो जाता है जो की $$a$$ में $$X$$, यदि और केवल यदि मानचित्र $$f\colon\mathbb N^*\to X$$ द्वारा दिए गए $$f(n) = a_n$$ के लिए $$n$$ में $$\mathbb N$$ और $$f(\infty) = a$$ सतत है. यहाँ $$\mathbb N$$ असतत टोपोलॉजी है।
 * पॉलीडिक समष्टि को टोपोलॉजिकल समष्टि के रूप में परिभाषित किया गया है जो एक अलग, समष्टिीय रूप से सघन हॉसडॉर्फ समष्टि के एक-बिंदु कॉम्पैक्टिफिकेशन की शक्ति की निरंतर छवि है।

सतत समष्टिों का संघनन

 * n-आयामी यूक्लिडियन समष्टि 'Rn ' का एक-बिंदु संघनन n-क्षेत्र Sn के लिए समरूपी है जैसा कि ऊपर बताया गया है, मानचित्र को स्पष्ट रूप से n-आयामी व्युत्क्रम स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण के रूप में दिया जा सकता है।
 * आधे-संवर्त अंतराल [0,1) की $$\kappa$$ प्रतियों के उत्पाद का एक-बिंदु संघनन, अर्थात, $$[0,1)^\kappa$$ (होमियोमोर्फिक से) $$[0,1)^\kappa$$ है।
 * चूंकि एक कनेक्टेड सबसमुच्चय का क्लोजर जुड़ा हुआ है, एक नॉनकॉम्पैक्ट कनेक्टेड समष्टि का अलेक्जेंड्रॉफ़ विस्तारक जुड़ा हुआ है। चूँकि एक-बिंदु संघनन एक असंबद्ध समष्टि को "कनेक्ट" कर सकता है: उदाहरण के लिए, अंतराल (0,1) की प्रतियों की एक परिमित संख्या $$n$$ के असंयुक्त संघ का एक-बिंदु संघनन,$$n$$ वृत्तों का एक पच्चर है।
 * अंतराल (0,1) की प्रतियों की गणनीय संख्या के असंयुक्त संघ का एक-बिंदु संघनन हवाईयन एअरिंग है। यह असंख्य वृत्तों के पच्चर से भिन्न है, जो सघन नहीं है।
 * $$X$$ कॉम्पेक्ट हॉसडॉर्फ और $$C$$ को देखते हुए, $$X$$ का कोई भी संवर्त उपसमुच्चय, $$X\setminus C$$ का एक-बिंदु कॉम्पेक्टिफिकेशन $$X/C$$ है, जहां फॉरवर्ड स्लैश भागफल समष्टि को दर्शाता है।
 * यदि $$X$$ और $$Y$$ समष्टिीय रूप से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ हैं, तो $$(X\times Y)^* = X^* \wedge Y^*$$ जहां \ वेज स्मैश उत्पाद है। याद रखें कि स्मैश उत्पाद की परिभाषा:$$A\wedge B = (A \times B) / (A \vee B)$$ जहां $$A \vee B$$ पच्चर योग है, और फिर, / भागफल समष्टि को दर्शाता है।

फ़ंक्टर के रूप में
अलेक्जेंड्रॉफ़ विस्तारक को टोपोलॉजिकल समष्टि की श्रेणी से एक फ़ैक्टर के रूप में देखा जा सकता है, जिसमें उस श्रेणी के रूपवाद के रूप में उचित निरंतर मानचित्र होते हैं जिनकी वस्तुएं निरंतर मानचित्र $$c\colon X \rightarrow Y$$ होती हैं और जिनके लिए $$c_1\colon X_1 \rightarrow Y_1$$ से $$c_2\colon X_2 \rightarrow Y_2$$ तक के आकारवाद निरंतर मानचित्रों के जोड़े होते हैं $$f_X\colon X_1 \rightarrow X_2, \ f_Y\colon Y_1 \rightarrow Y_2$$ ऐसा कि $$f_Y \circ c_1 = c_2 \circ f_X$$ विशेष रूप से, होमियोमोर्फिक रिक्त समष्टि में आइसोमोर्फिक अलेक्जेंड्रॉफ़ विस्तारक होते हैं।

यह भी देखें

 * बोहर संघनन
 * सघन समष्टि
 * संकलन (गणित)
 * अंत (टोपोलॉजी)
 * विस्तारित वास्तविक संख्या रेखा
 * सामान्य समष्टि
 * पॉइंटेड समुच्चय
 * रीमैन क्षेत्र
 * त्रिविम प्रक्षेपण
 * स्टोन-सेच संघनन
 * वॉलमैन संघनन

संदर्भ