टेलीफोन नंबर (गणित)

गणित में, टेलीफोन नंबर या इनवॉल्यूशन नंबर एक पूर्णांक अनुक्रम बनाते हैं जो तरीकों की गणना करते हैं $n$ लोगों को व्यक्ति-दर-व्यक्ति टेलीफोन कॉल द्वारा जोड़ा जा सकता है। ये संख्याएँ एक पूर्ण ग्राफ़ पर मिलान (ग्राफ़ सिद्धांत) ( कज़ुओ होसोया एक्स ) की संख्या का भी वर्णन करती हैं $n$ शीर्ष, पर क्रमचय की संख्या $n$ तत्व जो शामिल हैं (गणित) एस, हर्मिट बहुपदों के गुणांक के पूर्ण मूल्यों का योग, मानक युवा झांकी की संख्या के साथ $n$ कोशिकाएं, और सममित समूह के अलघुकरणीय अभ्यावेदन की डिग्री का योग। हेनरिक अगस्त रोथ द्वारा पहली बार 1800 में इन्वोल्यूशन नंबरों का अध्ययन किया गया, जिन्होंने एक पुनरावृत्ति समीकरण दिया जिसके द्वारा उनकी गणना की जा सकती है, मान देना (से शुरू करना $K_{4}$)

अनुप्रयोग
जॉन रिओर्डन (गणितज्ञ) इन संख्याओं के लिए निम्नलिखित स्पष्टीकरण प्रदान करते हैं: मान लीजिए कि $n$ लोग एक टेलीफोन सेवा की सदस्यता लेते हैं जो उनमें से किन्हीं दो को एक कॉल से जोड़ सकती है, लेकिन दो से अधिक लोगों को जोड़ने वाली एक कॉल नहीं कर सकती। कनेक्शन के कितने अलग-अलग पैटर्न संभव हैं? उदाहरण के लिए, तीन ग्राहकों के साथ, एक टेलीफोन कॉल करने के तीन तरीके हैं, और कुल चार पैटर्न के लिए एक अतिरिक्त पैटर्न जिसमें कोई कॉल नहीं की जा रही है। इस कारण से, कितने पैटर्न संभव हैं, यह गिनने वाले नंबरों को कभी-कभी टेलीफोन नंबर कहा जाता है। जोड़ीदार कनेक्शन के बीच हर पैटर्न $n$ लोग एक समावेशन (गणित) को परिभाषित करते हैं, लोगों का एक क्रमचय है जो इसका अपना व्युत्क्रम है। इस क्रमपरिवर्तन में, एक-दूसरे को कॉल करने वाले प्रत्येक दो लोगों की अदला-बदली की जाती है, और कॉल में शामिल नहीं होने वाले लोग अपनी जगह पर स्थिर रहते हैं। इसके विपरीत, हर संभव आक्रमण में इस प्रकार के जोड़ीदार स्वैप के सेट का रूप होता है। इसलिए, टेलीफोन नंबर भी निवेशों की गणना करते हैं। 1800 में रोथ द्वारा अध्ययन की गई गणना की समस्या मूल संयोजी गणना समस्या थी और इन नंबरों को इनवोल्यूशन नंबर भी कहा गया है। ग्राफ़ सिद्धांत में, ग्राफ़ के किनारों का एक उपसमुच्चय जो प्रत्येक शीर्ष को एक से अधिक बार स्पर्श करता है, उसे मिलान (ग्राफ़ सिद्धांत) कहा जाता है। किसी दिए गए ग्राफ़ के मिलान की गणना करना रासायनिक ग्राफ़ सिद्धांत में महत्वपूर्ण है, जहाँ ग्राफ़ मॉडल अणु और मिलान की संख्या होसोया इंडेक्स है। एक का सबसे बड़ा संभव होसोया सूचकांक $n$-वरटेक्स ग्राफ पूर्ण ग्राफ द्वारा दिया जाता है, जिसके लिए जोड़ीदार कनेक्शन का कोई भी पैटर्न संभव है; इस प्रकार, एक पूर्ण ग्राफ का होसोया सूचकांक $n$ शीर्ष के समान है $n$वां टेलीफोन नंबर।

एक फेरर्स आरेख एक ज्यामितीय आकृति है जो एक संग्रह द्वारा बनाई गई है $n$ समतल में वर्ग, एक क्षैतिज शीर्ष किनारे, एक ऊर्ध्वाधर बाएँ किनारे, और किनारों की एक एकल मोनोटोनिक श्रृंखला के साथ एक पॉलीओमिनो में समूहीकृत, ऊपर से नीचे बाईं ओर। 1 से $n$ इन वर्गों में इस तरह से कि झांकी में बाएं से दाएं और ऊपर से नीचे तक संख्या बढ़ती है। रॉबिन्सन-शेंस्टेड पत्राचार के अनुसार, क्रमपरिवर्तन मानक युवा झांकी के आदेशित जोड़े के साथ एक-से-एक के अनुरूप हैं। एक क्रमचय को उलटना दो झांकी की अदला-बदली से मेल खाता है, और इसलिए स्व-उलटा क्रमपरिवर्तन एकल झांकी के अनुरूप होता है, जिसे स्वयं के साथ जोड़ा जाता है। इस प्रकार, टेलीफोन नंबरों के साथ युवा झांकी की संख्या भी गिना जाता है $n$ वर्ग। प्रतिनिधित्व सिद्धांत में, फेरर्स आरेख क्रमपरिवर्तन के सममित समूह के अलघुकरणीय अभ्यावेदन के अनुरूप होते हैं, और किसी दिए गए आकार के साथ युवा झांकी उस आकृति के साथ अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व का आधार होती है। इसलिए, टेलीफोन नंबर अलघुकरणीय अभ्यावेदन की डिग्री का योग देते हैं।

गणितीय शतरंज की समस्या में, टेलीफोन नंबरों को रखने के तरीकों की संख्या की गणना करता है $n$ एक पर हाथी $n = 0$ शतरंज की बिसात इस तरह से कि कोई भी दो बदमाश एक-दूसरे पर हमला न करें (तथाकथित आठ रानियों की पहेली), और इस तरह से कि बोर्ड के विकर्ण प्रतिबिंब के तहत बदमाशों का विन्यास सममित हो। पोल्या गणना प्रमेय के माध्यम से, ये संख्याएं अनिवार्य रूप से विभिन्न विन्यासों की समग्र संख्या के लिए एक सूत्र के प्रमुख घटकों में से एक हैं। $n$ पारस्परिक रूप से गैर-हमलावर बदमाश, जहां दो विन्यासों को अनिवार्य रूप से अलग-अलग गिना जाता है यदि बोर्ड की कोई समरूपता नहीं है जो एक को दूसरे में ले जाती है।

पुनरावृत्ति
टेलीफोन नंबर पुनरावृत्ति संबंध को संतुष्ट करते हैं $$T(n) = T(n-1) + (n-1)T(n-2),$$ पहली बार 1800 में हेनरिक अगस्त रोथ द्वारा प्रकाशित किया गया था, जिसके द्वारा उनकी आसानी से गणना की जा सकती है। इस पुनरावृत्ति की व्याख्या करने का एक तरीका विभाजन करना है $n × n$ के कनेक्शन पैटर्न $n$ टेलीफ़ोन सिस्टम के सब्सक्राइबर उन पैटर्न में होते हैं जिनमें पहला व्यक्ति किसी और को कॉल नहीं कर रहा है, और पैटर्न जिसमें पहला व्यक्ति कॉल कर रहा है। वहाँ हैं $T(n)$ कनेक्शन पैटर्न जिसमें पहले व्यक्ति को डिस्कनेक्ट किया गया है, पुनरावृत्ति की पहली अवधि समझाते हुए। यदि पहला व्यक्ति किसी से जुड़ा है, तो हैं $T(n − 1)$ उस व्यक्ति के लिए विकल्प, और $n − 1$ शेष के लिए कनेक्शन के पैटर्न $T(n − 2)$ लोग, पुनरावृत्ति के दूसरे पद की व्याख्या करते हुए।

योग सूत्र और सन्निकटन
टेलीफोन नंबरों को बिल्कुल योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$T(n) = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\binom{n}{2k}(2k-1)!! = \sum_{k=0}^{\lfloor n/2\rfloor}\frac{n!}{2^k (n-2k)! k!}.$$ प्रथम योग के प्रत्येक पद में, $$k$$ मिलान किए गए जोड़े की संख्या, द्विपद गुणांक देता है $$\tbinom{n}{2k}$$ चुनने के तरीकों की संख्या गिनता है $$2k$$ तत्वों का मिलान किया जाना है, और डबल फैक्टोरियल $$(2k-1)!!=\frac{(2k)!}{2^k\,k!}$$ अपने तर्क तक विषम पूर्णांकों का गुणनफल है और पूरी तरह से मिलान करने के तरीकों की संख्या की गणना करता है $n − 2$ चयनित तत्व। यह संकलन सूत्र और स्टर्लिंग के सन्निकटन से अनुसरण करता है कि, स्पर्शोन्मुख विश्लेषण, $$T(n) \sim \left(\frac{n}{e}\right)^{n/2} \frac{e^{\sqrt{n}}}{(4e)^{1/4}}\,.$$

जनरेटिंग फंक्शन
टेलीफोन नंबरों का घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन है $$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{T(n)x^n}{n!}=\exp\left(\frac{x^2}{2}+x\right).$$ दूसरे शब्दों में, टेलीफोन नंबरों को टेलर श्रृंखला के गुणांक के रूप में पढ़ा जा सकता है $2k$, और यह $n$वां टेलीफोन नंबर शून्य का मान है $n$ इस फ़ंक्शन का डेरिवेटिव। यह फ़ंक्शन हर्मिट बहुपदों के घातीय जनरेटिंग फ़ंक्शन से निकटता से संबंधित है, जो पूर्ण ग्राफ़ के मिलान वाले बहुपद हैं। के गुणांकों के निरपेक्ष मूल्यों का योग $n$(संभाव्यवादी) हर्मिट बहुपद है $n$वें टेलीफोन नंबर, और टेलीफोन नंबरों को हर्मिट बहुपदों के कुछ विशेष मूल्यों के रूप में भी महसूस किया जा सकता है: $$T(n)=\frac{\mathit{He}_n(i)}{i^n}.$$

प्रमुख कारक
के बड़े मूल्यों के लिए $n$, द $n$वां टेलीफोन नंबर दो की बड़ी शक्ति से विभाज्य है, $x^{d} = 1$. अधिक सटीक रूप से, पी-एडिक ऑर्डर | 2-एडिक ऑर्डर ( मुख्य गुणनखंड प्रक्रिया में दो के कारकों की संख्या) $exp(x^{2}/2 + x)$ और का $2^{n/4 + O(1)}$ है $k$; के लिए $T(4k)$ यह है $T(4k + 1)$, और के लिए $T(4k + 2)$ यह है $k + 1$. किसी भी अभाज्य संख्या के लिए $p$, कोई परीक्षण कर सकता है कि क्या कोई टेलीफोन नंबर मौजूद है जिससे विभाज्य है $p$ टेलीफोन नंबरों के अनुक्रम के लिए पुनरावृत्ति की गणना करके, मॉड्यूलो $p$, या तो शून्य या चक्र पहचान तक पहुंचने तक। वे अभाज्य संख्याएँ जो कम से कम एक टेलीफोन नंबर को विभाजित करती हैं

इस क्रम में विषम अभाज्य संख्याओं को अक्षम कहा गया है। उनमें से प्रत्येक असीम रूप से कई टेलीफोन नंबरों को विभाजित करता है।