फ़िल्टर डिज़ाइन

फ़िल्टर डिज़ाइन एक फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग)  को डिज़ाइन करने की प्रक्रिया है जो आवश्यकताओं के एक सेट को पूरा करता है, जिनमें से कुछ परस्पर विरोधी हो सकते हैं। इसका उद्देश्य फिल्टर की प्राप्ति को खोजना है जो इसे उपयोगी बनाने के लिए पर्याप्त मात्रा में प्रत्येक आवश्यकता को पूरा करता है।

फ़िल्टर डिज़ाइन प्रक्रिया को एक अनुकूलन समस्या के रूप में वर्णित किया जा सकता है जहाँ प्रत्येक आवश्यकता एक त्रुटि फ़ंक्शन में योगदान करती है जिसे कम से कम किया जाना चाहिए। डिजाइन प्रक्रिया के कुछ हिस्सों को स्वचालित किया जा सकता है, लेकिन आमतौर पर एक अच्छा परिणाम प्राप्त करने के लिए एक अनुभवी विद्युत इंजीनियर  की आवश्यकता होती है।

डिजिटल फिल्टर का डिजाइन एक भ्रामक जटिल विषय है। हालांकि फिल्टर आसानी से समझे और परिकलित किए जाते हैं, उनके डिजाइन और कार्यान्वयन की व्यावहारिक चुनौतियां महत्वपूर्ण हैं और उन्नत शोध का विषय हैं।

विशिष्ट डिजाइन आवश्यकताएं
डिजाइन प्रक्रिया में जिन विशिष्ट आवश्यकताओं पर विचार किया जाता है वे हैं:
 * फ़िल्टर में एक विशिष्ट आवृत्ति प्रतिक्रिया  होनी चाहिए
 * फ़िल्टर में एक विशिष्ट चरण बदलाव  या समूह विलंब होना चाहिए
 * फ़िल्टर में एक विशिष्ट आवेग प्रतिक्रिया  होनी चाहिए
 * फिल्टर कारण फ़िल्टर  होना चाहिए
 * फिल्टर BIBO स्थिरता वाला होना चाहिए
 * फ़िल्टर को स्थानीयकृत किया जाना चाहिए (पल्स या स्टेप इनपुट के परिणामस्वरूप परिमित समय आउटपुट होना चाहिए)
 * फ़िल्टर की कम्प्यूटेशनल जटिलता कम होनी चाहिए
 * फिल्टर को विशेष हार्डवेयर या सॉफ्टवेयर में लागू किया जाना चाहिए

आवृत्ति समारोह
एक महत्वपूर्ण पैरामीटर  आवश्यक आवृत्ति प्रतिक्रिया है। विशेष रूप से, प्रतिक्रिया वक्र की स्थिरता और जटिलता फ़िल्टर क्रम और व्यवहार्यता के लिए एक निर्णायक कारक है।

एक प्रथम-क्रम अनंत आवेग प्रतिक्रिया  फ़िल्टर में केवल एक आवृत्ति-निर्भर घटक होगा। इसका मतलब है कि आवृत्ति प्रतिक्रिया की  ढलान  प्रति सप्तक 6  डेसिबल  तक सीमित है। कई उद्देश्यों के लिए, यह पर्याप्त नहीं है। तेज ढलानों को प्राप्त करने के लिए, उच्च-क्रम वाले फिल्टर की आवश्यकता होती है।

वांछित आवृत्ति फ़ंक्शन के संबंध में, एक साथ भार फ़ंक्शन भी हो सकता है, जो वर्णन करता है कि प्रत्येक आवृत्ति के लिए, यह कितना महत्वपूर्ण है कि परिणामी आवृत्ति फ़ंक्शन वांछित का अनुमान लगाता है। जितना बड़ा वजन, उतना ही महत्वपूर्ण एक निकट सन्निकटन है।

आवृत्ति फ़ंक्शन के विशिष्ट उदाहरण हैं:
 * अवांछित उच्च-आवृत्ति संकेतों को काटने के लिए एक उच्च पास फिल्टर  का उपयोग किया जाता है।
 * एक उच्च-पास फ़िल्टर उच्च आवृत्तियों को काफी अच्छी तरह से पास करता है; यह किसी भी अवांछित कम-आवृत्ति वाले घटकों को काटने के लिए एक फिल्टर के रूप में सहायक है।
 * एक बंदपास छननी  सीमित आवृत्तियों की सीमा को पार करता है।
 * एक बैंड-स्टॉप फ़िल्टर  एक निश्चित सीमा के ऊपर और नीचे आवृत्तियों को पास करता है। एक बहुत ही संकीर्ण बैंड-स्टॉप फ़िल्टर को नॉच फ़िल्टर के रूप में जाना जाता है।
 * एक विभेदक की आवृत्ति के समानुपाती आयाम प्रतिक्रिया होती है।
 * एक कम-शेल्फ फ़िल्टर सभी आवृत्तियों को पास करता है, लेकिन निर्दिष्ट मात्रा से शेल्फ आवृत्ति के नीचे आवृत्तियों को बढ़ाता या घटाता है।
 * एक उच्च-शेल्फ फ़िल्टर सभी आवृत्तियों को पास करता है, लेकिन निर्दिष्ट मात्रा से शेल्फ आवृत्ति के ऊपर आवृत्तियों को बढ़ाता या घटाता है।
 * एक पीक ईक्यू फिल्टर आवृत्ति प्रतिक्रिया में एक चोटी या डुबकी बनाता है, आमतौर पर समानता (ऑडियो) ऑडियो) में उपयोग किया जाता है।

चरण और समूह विलंब

 * एक ऑल-पास फिल्टर अपरिवर्तित सभी आवृत्तियों से गुजरता है, लेकिन सिग्नल के चरण को बदल देता है। इस प्रकार के फिल्टर का उपयोग पुनरावर्ती फिल्टर के समूह विलंब को बराबर करने के लिए किया जा सकता है। इस फिल्टर का उपयोग फेजर (प्रभाव)  में भी किया जाता है।
 * एक हिल्बर्ट ट्रांसफॉर्म र एक विशिष्ट ऑल-पास फिल्टर है जो साइनसॉइड को अपरिवर्तित आयाम के साथ पास करता है लेकिन प्रत्येक साइनसॉइड चरण को ± 90 डिग्री से बदल देता है।
 * एक भिन्नात्मक विलंब फ़िल्टर एक ऑल-पास है जिसमें सभी आवृत्तियों के लिए एक निर्दिष्ट और निरंतर समूह या चरण विलंब होता है।

आवेग प्रतिक्रिया
फ़िल्टर की आवृत्ति फ़ंक्शन और इसकी आवेग प्रतिक्रिया के बीच एक सीधा पत्राचार है: पूर्व उत्तरार्द्ध का फूरियर रूपांतरण है। इसका मतलब है कि आवृत्ति फ़ंक्शन पर कोई आवश्यकता आवेग प्रतिक्रिया पर एक आवश्यकता है, और इसके विपरीत।

हालांकि, कुछ अनुप्रयोगों में यह फिल्टर की आवेग प्रतिक्रिया हो सकती है जो स्पष्ट है और डिजाइन प्रक्रिया का लक्ष्य अन्य सभी आवश्यकताओं को देखते हुए अनुरोधित आवेग प्रतिक्रिया के जितना संभव हो उतना करीब अनुमान लगाना है।

कुछ मामलों में एक आवृत्ति फ़ंक्शन और फ़िल्टर की आवेग प्रतिक्रिया पर विचार करना भी प्रासंगिक हो सकता है जो एक दूसरे से स्वतंत्र रूप से चुने जाते हैं। उदाहरण के लिए, हम फ़िल्टर के एक विशिष्ट आवृत्ति फ़ंक्शन दोनों चाहते हैं और परिणामी फ़िल्टर की सिग्नल डोमेन में यथासंभव छोटी प्रभावी चौड़ाई है। फ़िल्टर की वांछित आवेग प्रतिक्रिया के रूप में एक बहुत ही संकीर्ण कार्य पर विचार करके बाद की स्थिति को महसूस किया जा सकता है, भले ही इस फ़ंक्शन का वांछित आवृत्ति फ़ंक्शन से कोई संबंध नहीं है। डिजाइन प्रक्रिया का लक्ष्य तब एक फिल्टर का एहसास करना है जो इन दोनों विरोधाभासी डिजाइन लक्ष्यों को यथासंभव पूरा करने का प्रयास करता है।

कार्य-कारण
लागू करने योग्य होने के लिए, कोई भी समय-निर्भर फ़िल्टर (वास्तविक समय में काम करना) कारण फ़िल्टर होना चाहिए: फ़िल्टर प्रतिक्रिया केवल वर्तमान और पिछले इनपुट पर निर्भर करती है। एक मानक तरीका यह है कि इस आवश्यकता को अंतिम चरण तक छोड़ दिया जाए। यदि परिणामी फ़िल्टर कारणात्मक नहीं है, तो इसे उचित समय-शिफ्ट (या देरी) शुरू करके कारण बनाया जा सकता है। यदि फ़िल्टर एक बड़े सिस्टम का हिस्सा है (जो सामान्य रूप से होता है) तो इस प्रकार की देरी को सावधानी से पेश किया जाना चाहिए क्योंकि वे पूरे सिस्टम के संचालन को प्रभावित करते हैं।

फिल्टर जो वास्तविक समय में काम नहीं करते हैं (उदाहरण के लिए छवि प्रसंस्करण के लिए) गैर-कारण हो सकते हैं। यह उदा. शून्य विलंब पुनरावर्ती फिल्टर के डिजाइन की अनुमति देता है, जहां एक कारण फिल्टर के समूह विलंब को इसके हर्मिटियन गैर-कारण फिल्टर द्वारा रद्द कर दिया जाता है।

स्थिरता
एक BIBO स्थिरता आश्वासन देती है कि प्रत्येक सीमित इनपुट सिग्नल एक सीमित फ़िल्टर प्रतिक्रिया उत्पन्न करता है। एक फिल्टर जो इस आवश्यकता को पूरा नहीं करता है वह कुछ स्थितियों में बेकार या हानिकारक भी साबित हो सकता है। कुछ डिज़ाइन दृष्टिकोण स्थिरता की गारंटी दे सकते हैं, उदाहरण के लिए केवल फीड-फ़ॉरवर्ड सर्किट जैसे एफआईआर फ़िल्टर का उपयोग करके। दूसरी ओर, फीडबैक सर्किट पर आधारित फिल्टर के अन्य फायदे हैं और इसलिए इसे प्राथमिकता दी जा सकती है, भले ही फिल्टर के इस वर्ग में अस्थिर फिल्टर शामिल हों। इस मामले में, अस्थिरता से बचने के लिए फ़िल्टर को सावधानीपूर्वक डिज़ाइन किया जाना चाहिए।

इलाका
कुछ अनुप्रयोगों में हमें उन संकेतों से निपटना होता है जिनमें ऐसे घटक होते हैं जिन्हें स्थानीय घटना के रूप में वर्णित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए दालें या कदम, जिनकी निश्चित समय अवधि होती है। किसी सिग्नल पर फ़िल्टर लगाने का एक परिणाम सहज ज्ञान युक्त शब्दों में है कि स्थानीय घटना की अवधि फ़िल्टर की चौड़ाई से बढ़ा दी जाती है। इसका तात्पर्य यह है कि कभी-कभी फ़िल्टर के आवेग प्रतिक्रिया फ़ंक्शन की चौड़ाई को यथासंभव छोटा रखना महत्वपूर्ण होता है।

फूरियर रूपांतरण के अनिश्चितता संबंध के अनुसार, फ़िल्टर के आवेग प्रतिक्रिया फ़ंक्शन की चौड़ाई का उत्पाद और इसकी आवृत्ति फ़ंक्शन की चौड़ाई एक निश्चित स्थिरांक से अधिक होनी चाहिए। इसका मतलब यह है कि फ़िल्टर के इलाके पर किसी भी आवश्यकता का अर्थ इसकी आवृत्ति फ़ंक्शन की चौड़ाई पर बाध्यता भी है। नतीजतन, फिल्टर के आवेग प्रतिक्रिया समारोह के साथ-साथ इसकी आवृत्ति फ़ंक्शन के इलाके पर आवश्यकताओं को एक साथ पूरा करना संभव नहीं हो सकता है। यह विरोधाभासी आवश्यकताओं का एक विशिष्ट उदाहरण है।

कम्प्यूटेशनल जटिलता
किसी भी डिजाइन में एक सामान्य इच्छा यह है कि फिल्टर प्रतिक्रिया की गणना करने के लिए आवश्यक संचालन (जोड़ और गुणा) की संख्या यथासंभव कम हो। कुछ अनुप्रयोगों में, यह इच्छा एक सख्त आवश्यकता है, उदाहरण के लिए सीमित कम्प्यूटेशनल संसाधनों, सीमित बिजली संसाधनों या सीमित समय के कारण। अंतिम सीमा वास्तविक समय के अनुप्रयोगों में विशिष्ट है।

ऐसे कई तरीके हैं जिनसे एक फ़िल्टर में अलग-अलग कम्प्यूटेशनल जटिलता हो सकती है। उदाहरण के लिए, फ़िल्टर का क्रम कमोबेश संचालन की संख्या के समानुपाती होता है। इसका मतलब है कि कम ऑर्डर वाले फिल्टर को चुनकर, गणना समय को कम किया जा सकता है।

असतत फिल्टर के लिए कम्प्यूटेशनल जटिलता कमोबेश फिल्टर गुणांक की संख्या के समानुपाती होती है। यदि फ़िल्टर में कई गुणांक हैं, उदाहरण के लिए टोमोग्राफी डेटा जैसे बहुआयामी संकेतों के मामले में, तो उन गुणांकों की संख्या को कम करना प्रासंगिक हो सकता है जो पर्याप्त रूप से शून्य के करीब हैं। मल्टीरेट फिल्टर में, इसकी बैंडविड्थ सीमा का लाभ उठाकर गुणांकों की संख्या, जहां इनपुट सिग्नल डाउनसैंपल किया जाता है (उदाहरण के लिए इसकी महत्वपूर्ण आवृत्ति), और फ़िल्टरिंग के बाद अपसैंपल किया जाता है।

कम्प्यूटेशनल जटिलता से संबंधित एक अन्य मुद्दा पृथक्करणीयता है, अर्थात, यदि और कैसे एक फिल्टर को दो या दो से अधिक सरल फिल्टर के कनवल्शन के रूप में लिखा जा सकता है। विशेष रूप से, यह मुद्दा बहुआयामी फिल्टर के लिए महत्वपूर्ण है, उदाहरण के लिए, 2 डी फिल्टर जो छवि प्रसंस्करण में उपयोग किया जाता है। इस मामले में, कम्प्यूटेशनल जटिलता में एक महत्वपूर्ण कमी प्राप्त की जा सकती है यदि फ़िल्टर को क्षैतिज दिशा में एक 1D फ़िल्टर और ऊर्ध्वाधर दिशा में एक 1D फ़िल्टर के कनवल्शन के रूप में अलग किया जा सकता है। फ़िल्टर डिज़ाइन प्रक्रिया का एक परिणाम, उदाहरण के लिए, कुछ वांछित फ़िल्टर को एक वियोज्य फ़िल्टर के रूप में या अलग-अलग फ़िल्टर के योग के रूप में अनुमानित करना हो सकता है।

अन्य विचार
यह भी तय किया जाना चाहिए कि फ़िल्टर कैसे लागू किया जा रहा है:
 * एनालॉग फिल्टर
 * एनालॉग नमूना फ़िल्टर
 * डिजिटल फिल्टर
 * यांत्रिक फिल्टर

एनालॉग फिल्टर
रैखिक एनालॉग फिल्टर का डिजाइन रैखिक फिल्टर  अनुभाग में शामिल अधिकांश भाग के लिए है।

डिजिटल फिल्टर
डिजिटल फ़िल्टर को दो बुनियादी रूपों में से एक में वर्गीकृत किया जाता है, जिसके अनुसार वे क्रोनकर डेल्टा  को कैसे  प्रतिक्रिया  देते हैं:


 * परिमित आवेग प्रतिक्रिया, या एफआईआर, फिल्टर प्रत्येक आउटपुट नमूने को अंतिम एन इनपुट नमूनों के भारित योग के रूप में व्यक्त करते हैं, जहां एन फिल्टर का क्रम है। एफआईआर फिल्टर आम तौर पर गैर-पुनरावर्ती होते हैं, जिसका अर्थ है कि वे फीडबैक का उपयोग नहीं करते हैं और इस तरह स्वाभाविक रूप से स्थिर होते हैं। एक सामान्य गति  फिल्टर या  सीआईसी फिल्टर  एफआईआर फिल्टर के उदाहरण हैं जो सामान्य रूप से पुनरावर्ती होते हैं (जो फीडबैक का उपयोग करते हैं)। यदि एफआईआर गुणांक सममित (अक्सर मामला) होते हैं, तो ऐसा फ़िल्टर  रैखिक चरण  होता है, इसलिए यह सभी आवृत्तियों के समूह विलंब संकेतों को समान रूप से कई अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण है। एफआईआर फिल्टर में ओवरफ्लो से बचना भी आसान है। मुख्य नुकसान यह है कि उन्हें चतुराई से डिज़ाइन किए गए IIR वेरिएंट की तुलना में प्रति सेकंड काफी अधिक निर्देश और  स्मृति  संसाधनों की आवश्यकता हो सकती है। एफआईआर फिल्टर आमतौर पर आईआईआर फिल्टर की तुलना में डिजाइन करना आसान होता है -  पार्क्स-मैकलेलन फ़िल्टर डिज़ाइन एल्गोरिथम  ( रेमेज़ एल्गोरिथम  पर आधारित) अर्ध-स्वचालित रूप से काफी अच्छे फिल्टर डिजाइन करने के लिए एक उपयुक्त तरीका है। (#पद्धति देखें।)
 * अनंत आवेग प्रतिक्रिया, या आईआईआर, फिल्टर एनालॉग फिल्टर के डिजिटल समकक्ष हैं। इस तरह के एक फिल्टर में आंतरिक स्थिति होती है, और आउटपुट और अगली आंतरिक स्थिति पिछले इनपुट और आउटपुट के रैखिक संयोजन  द्वारा निर्धारित की जाती है (दूसरे शब्दों में, वे फीडबैक का उपयोग करते हैं, जो सामान्य रूप से एफआईआर फिल्टर नहीं करते हैं)। सिद्धांत रूप में, इस तरह के एक फिल्टर की आवेग प्रतिक्रिया पूरी तरह से समाप्त नहीं होती है, इसलिए IIR नाम, हालांकि व्यवहार में, यह कंप्यूटर अंकगणित के परिमित संकल्प को देखते हुए सच नहीं है। IIR फ़िल्टर को समान प्रदर्शन वाले FIR फ़िल्टर की तुलना में सामान्य रूप से कम  कम्प्यूटिंग  संसाधनों की आवश्यकता होती है। हालांकि, प्रतिक्रिया के कारण, उच्च क्रम के आईआईआर फिल्टर में  अस्थिरता, अंकगणितीय अतिप्रवाह और  सीमा चक्र  के साथ समस्याएं हो सकती हैं, और ऐसे नुकसान से बचने के लिए सावधानीपूर्वक डिजाइन की आवश्यकता होती है। इसके अतिरिक्त, चूंकि चरण (तरंगें) स्वाभाविक रूप से आवृत्ति का एक गैर-रेखीय कार्य है, ऐसे फ़िल्टर के माध्यम से समय की देरी आवृत्ति-निर्भर है, जो कई स्थितियों में एक समस्या हो सकती है। दूसरे क्रम के IIR फ़िल्टर को अक्सर ' डिजिटल बाइकैड फ़िल्टर ' कहा जाता है और उच्च क्रम के फ़िल्टर का एक सामान्य कार्यान्वयन कैस्केड biquads है। biquad गुणांकों की गणना के लिए एक उपयोगी संदर्भ RBJ Audio EQ कुकबुक है।

नमूना दर
जब तक नमूना दर किसी बाहरी बाधा द्वारा तय नहीं की जाती है, तब तक उपयुक्त नमूना दर का चयन करना एक महत्वपूर्ण डिजाइन निर्णय है। कम्प्यूटेशनल संसाधनों के मामले में एक उच्च दर की आवश्यकता होगी, लेकिन एंटी - एलियासिंग फ़िल्टर  के मामले में कम। सिस्टम में अन्य संकेतों के साथ हस्तक्षेप (तरंग प्रसार) और बीट (ध्वनिकी) भी एक मुद्दा हो सकता है।

एंटी- अलियासिंग
किसी भी डिजिटल फ़िल्टर डिज़ाइन के लिए, अलियासिंग प्रभावों का विश्लेषण करना और उनसे बचना महत्वपूर्ण है। अक्सर, यह इनपुट और आउटपुट पर एनालॉग एंटी-अलियासिंग फिल्टर जोड़कर किया जाता है, इस प्रकार Nyquist आवृत्ति  के ऊपर किसी भी आवृत्ति घटक से बचा जाता है। इस तरह के फिल्टर की जटिलता (यानी, स्थिरता) आवश्यक सिग्नल-टू-शोर अनुपात और नमूना दर और सिग्नल की उच्चतम आवृत्ति के बीच के अनुपात पर निर्भर करती है।

सैद्धांतिक आधार
डिजाइन समस्या के हिस्से इस तथ्य से संबंधित हैं कि कुछ आवश्यकताओं को आवृत्ति डोमेन में वर्णित किया गया है जबकि अन्य समय डोमेन में व्यक्त किए गए हैं और ये संघर्ष कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक ऐसा फ़िल्टर प्राप्त करना संभव नहीं है जिसमें एक मनमाना आवेग प्रतिक्रिया और मनमाना आवृत्ति फ़ंक्शन दोनों हों। अन्य प्रभाव जो समय और आवृत्ति डोमेन के बीच संबंधों को संदर्भित करते हैं वे हैं


 * समय और आवृत्ति डोमेन के बीच अनिश्चितता का सिद्धांत
 * विचरण विस्तार प्रमेय
 * एक डोमेन का स्पर्शोन्मुख व्यवहार बनाम दूसरे में असंतुलन

अनिश्चितता सिद्धांत
जैसा कि गैबर सीमा  द्वारा कहा गया है, एक अनिश्चितता सिद्धांत, आवृत्ति फ़ंक्शन की चौड़ाई का उत्पाद और आवेग प्रतिक्रिया की चौड़ाई एक विशिष्ट स्थिरांक से छोटी नहीं हो सकती है। इसका तात्पर्य यह है कि यदि एक विशिष्ट आवृत्ति चौड़ाई के अनुरूप एक विशिष्ट आवृत्ति फ़ंक्शन का अनुरोध किया जाता है, तो सिग्नल डोमेन में फ़िल्टर की न्यूनतम चौड़ाई निर्धारित की जाती है। इसके विपरीत, यदि प्रतिक्रिया की अधिकतम चौड़ाई दी जाती है, तो यह आवृत्ति में सबसे छोटी संभव चौड़ाई निर्धारित करती है। यह विरोधाभासी आवश्यकताओं का एक विशिष्ट उदाहरण है जहां फ़िल्टर डिज़ाइन प्रक्रिया एक उपयोगी समझौता खोजने का प्रयास कर सकती है।

प्रसरण विस्तार प्रमेय
होने देना $$\sigma^{2}_{s}$$ इनपुट सिग्नल का प्रसरण हो और चलो $$\sigma^{2}_{f}$$ फिल्टर का विचरण हो। फ़िल्टर प्रतिक्रिया का प्रसरण, $$\sigma^{2}_{r}$$, फिर द्वारा दिया जाता है


 * $$\sigma^{2}_{r}$$ = $$\sigma^{2}_{s}$$ + $$\sigma^{2}_{f}$$

इस का मतलब है कि $$\sigma_{r} > \sigma_{f}$$ और इसका तात्पर्य है कि विभिन्न विशेषताओं जैसे कि दालों या फ़िल्टर प्रतिक्रिया में चरणों का स्थानीयकरण सिग्नल डोमेन में फ़िल्टर चौड़ाई द्वारा सीमित है। यदि एक सटीक स्थानीयकरण का अनुरोध किया जाता है, तो हमें सिग्नल डोमेन में छोटी चौड़ाई के फ़िल्टर की आवश्यकता होती है और अनिश्चितता सिद्धांत के माध्यम से, आवृत्ति डोमेन में इसकी चौड़ाई मनमानी छोटी नहीं हो सकती है।

असंबद्धता बनाम स्पर्शोन्मुख व्यवहार
मान लीजिए f(t) एक फलन है और मान लीजिए $$F(\omega)$$ इसका फूरियर रूपांतरण हो। एक प्रमेय है जो बताता है कि यदि F का पहला व्युत्पन्न जो असंतत है, का क्रम है $$n \geq 0$$, तो f में एक स्पर्शोन्मुख क्षय होता है जैसे $$t^{-n-1}$$.

इस प्रमेय का एक परिणाम यह है कि एक फिल्टर का आवृत्ति कार्य जितना संभव हो उतना सुचारू होना चाहिए ताकि इसकी आवेग प्रतिक्रिया में तेजी से क्षय हो, और इस तरह एक छोटी चौड़ाई हो।

कार्यप्रणाली
प्राथमिकी फ़िल्टर डिज़ाइन करने का एक सामान्य तरीका है पार्क-मैक्लेलन फ़िल्टर डिज़ाइन एल्गोरिथम, जो रेमेज़ एक्सचेंज एल्गोरिथम  पर आधारित है। यहां उपयोगकर्ता एक वांछित आवृत्ति प्रतिक्रिया निर्दिष्ट करता है, इस प्रतिक्रिया से त्रुटियों के लिए एक भार समारोह, और एक फ़िल्टर ऑर्डर एन। एल्गोरिदम तब एन गुणांक का सेट ढूंढता है जो आदर्श से अधिकतम विचलन को कम करता है। सहज रूप से, यह उस फ़िल्टर को ढूंढता है जो वांछित प्रतिक्रिया के लिए उतना ही करीब है जितना कि आप केवल एन गुणांक का उपयोग कर सकते हैं। यह विधि अभ्यास में विशेष रूप से आसान है और कम से कम एक पाठ एक प्रोग्राम शामिल है जो वांछित फिल्टर और एन लेता है और इष्टतम गुणांक देता है। इस तरह से डिज़ाइन किए गए फ़िल्टर में एक संभावित कमी यह है कि उनमें पासबैंड (ओं) में कई छोटे तरंग होते हैं, क्योंकि ऐसा फ़िल्टर चरम त्रुटि को कम करता है।

असतत एफआईआर फ़िल्टर खोजने का एक अन्य तरीका नॉटसन एट अल में वर्णित फ़िल्टर अनुकूलन है, जो इसके अधिकतम मूल्य के बजाय त्रुटि के वर्ग के अभिन्न अंग को कम करता है। अपने मूल रूप में इस दृष्टिकोण के लिए फ़िल्टर की एक आदर्श आवृत्ति फ़ंक्शन की आवश्यकता होती है $$F_{I}(\omega)$$ एक आवृत्ति भार समारोह के साथ निर्दिष्ट किया गया है $$W(\omega)$$ और निर्देशांक का सेट $$x_{k}$$ सिग्नल डोमेन में जहां फिल्टर गुणांक स्थित हैं।

एक त्रुटि समारोह $$\varepsilon$$ की तरह परिभाषित किया गया है


 * $$\varepsilon = \| W \cdot (F_{I} - \mathcal{F} \{ f \}) \|^{2}$$

कहाँ पे $$f(x)$$ असतत फिल्टर है और $$\mathcal{F}$$ निर्देशांक के निर्दिष्ट सेट पर परिभाषित असतत-समय फूरियर रूपांतरण  है। यहाँ प्रयुक्त मानदंड, औपचारिक रूप से, सामान्य मानदंड है $$L^{2}$$ रिक्त स्थान। इस का मतलब है कि $$\varepsilon$$ फ़िल्टर के अनुरोधित आवृत्ति फ़ंक्शन के बीच विचलन को मापता है, $$F_{I}$$, और वास्तविक फ़िल्टर का वास्तविक आवृत्ति कार्य, $$\mathcal{F} \{ f \}$$. हालांकि, विचलन भी भार समारोह के अधीन है $$W$$ त्रुटि फ़ंक्शन की गणना करने से पहले।

एक बार त्रुटि फ़ंक्शन स्थापित हो जाने के बाद, गुणांक द्वारा इष्टतम फ़िल्टर दिया जाता है $$f(x)$$ जो कम से कम $$\varepsilon$$. यह संगत कम से कम वर्ग समस्या को हल करके किया जा सकता है। व्यवहार में, $$L^{2}$$ आवृत्ति डोमेन में असतत बिंदुओं पर उपयुक्त योग के माध्यम से मानदंड का अनुमान लगाया जाना चाहिए। सामान्य तौर पर, हालांकि, ये बिंदु उपयोगी सन्निकटन प्राप्त करने के लिए सिग्नल डोमेन में गुणांक की संख्या से काफी अधिक होना चाहिए।

दोनों डोमेन में एक साथ अनुकूलन
सिग्नल डोमेन में वांछित फ़िल्टर आवेग प्रतिक्रिया से संबंधित एक अतिरिक्त त्रुटि शब्द को शामिल करने के लिए पिछली विधि को बढ़ाया जा सकता है, जिसमें संबंधित वेटिंग फ़ंक्शन होता है। आदर्श आवेग प्रतिक्रिया को आदर्श आवृत्ति फ़ंक्शन से स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है और व्यवहार में प्रभावी चौड़ाई को सीमित करने और सिग्नल डोमेन में परिणामी फ़िल्टर के रिंगिंग प्रभाव को हटाने के लिए उपयोग किया जाता है। यह एक संकीर्ण आदर्श फिल्टर आवेग प्रतिक्रिया समारोह, उदाहरण के लिए, एक आवेग, और एक भार समारोह का चयन करके किया जाता है जो मूल से दूरी के साथ तेजी से बढ़ता है, उदाहरण के लिए दूरी चुकता। इष्टतम फ़िल्टर की गणना अभी भी एक साधारण न्यूनतम वर्ग समस्या को हल करके की जा सकती है और परिणामी फ़िल्टर तब एक समझौता होता है जिसमें दोनों डोमेन में आदर्श कार्यों के लिए कुल इष्टतम फिट होता है। एक महत्वपूर्ण पैरामीटर दो भारोत्तोलन कार्यों की सापेक्ष ताकत है जो यह निर्धारित करता है कि आदर्श फ़ंक्शन के सापेक्ष एक अच्छा फिट होना किस डोमेन में अधिक महत्वपूर्ण है।

यह भी देखें

 * डिजिटल फिल्टर
 * प्रोटोटाइप फ़िल्टर
 * परिमित आवेग प्रतिक्रिया#फ़िल्टर डिज़ाइन

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 * कंपंडोर
 * नमूना और पकड़
 * संगणक
 * अनेक संभावनाओं में से चुनी हूई प्रक्रिया
 * प्रायिकता वितरण
 * वर्तमान परिपथ
 * गूंज रद्दीकरण
 * सुविधा निकासी
 * छवि उन्नीतकरण
 * एक प्रकार की प्रोग्रामिंग की पर्त
 * ओ एस आई मॉडल
 * समानता (संचार)
 * आंकड़ा अधिग्रहण
 * रूपांतरण सिद्धांत
 * लीनियर अलजेब्रा
 * स्टचास्तिक प्रोसेसेज़
 * संभावना
 * गैर-स्थानीय साधन
 * घटना (सिंक्रनाइज़ेशन आदिम)
 * एंटीलोक ब्रेक
 * उद्यम प्रणाली
 * सुरक्षा-महत्वपूर्ण प्रणाली
 * डेटा सामान्य
 * आर टी -11
 * डंब टर्मिनल
 * समय बताना
 * सेब II
 * जल्द से जल्द समय सीमा पहले शेड्यूलिंग
 * अनुकूली विभाजन अनुसूचक
 * वीडियो गेम कंसोल की चौथी पीढ़ी
 * वीडियो गेम कंसोल की तीसरी पीढ़ी
 * नमूनाकरण दर
 * अंकगणित औसत
 * उच्च प्रदर्शन कंप्यूटिंग
 * भयावह विफलता
 * हुड विधि
 * प्रणाली विश्लेषण
 * समय अपरिवर्तनीय
 * औद्योगिक नियंत्रण प्रणाली
 * निर्देशयोग्य तर्क नियंत्रक
 * प्रक्रिया अभियंता)
 * नियंत्रण पाश
 * संयंत्र (नियंत्रण सिद्धांत)
 * क्रूज नियंत्रण
 * अनुक्रमिक कार्य चार्ट
 * नकारात्मक प्रतिपुष्टि
 * अन्देंप्त
 * नियंत्रण वॉल्व
 * पीआईडी ​​नियंत्रक
 * यौगिक
 * फिल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग)
 * वितरित कोटा पद्धति
 * महाकाव्यों
 * डूप गति नियंत्रण
 * हवाई जहाज
 * संक्षिप्त और प्रारंभिकवाद
 * मोटर गाड़ी
 * संयुक्त राज्य नौसेना
 * निर्देशित मिसाइलें
 * भूभाग-निम्नलिखित रडार
 * अवरक्त किरणे
 * प्रेसिजन-निर्देशित युद्धपोत
 * विमान भेदी युद्ध
 * शाही रूसी नौसेना
 * हस्तक्षेप हरा
 * सेंट पीटर्सबर्ग
 * योण क्षेत्र
 * आकाशीय बिजली
 * द्वितीय विश्वयुद्ध
 * संयुक्त राज्य सेना
 * डेथ रे
 * पर्ल हार्बर पर हमला
 * ओबाउ (नेविगेशन)
 * जमीन नियंत्रित दृष्टिकोण
 * भूविज्ञानी
 * आंधी तूफान
 * मौसम पूर्वानुमान
 * बहुत बुरा मौसम
 * सर्दियों का तूफान
 * संकेत पहचान
 * बिखरने
 * इलेक्ट्रिकल कंडक्टीविटी
 * पराबैगनी प्रकाश
 * खालीपन
 * भूसा (प्रतिमाप)
 * पारद्युतिक स्थिरांक
 * विद्युत चुम्बकीय विकिरण
 * विद्युतीय प्रतिरोध
 * प्रतिचुम्बकत्व
 * बहुपथ प्रसार
 * तरंग दैर्ध्य
 * अर्ध-सक्रिय रडार होमिंग
 * Nyquist आवृत्ति
 * ध्रुवीकरण (लहरें)
 * अपवर्तक सूचकांक
 * नाड़ी पुनरावृत्ति आवृत्ति
 * शोर मचाने वाला फ़र्श
 * प्रकाश गूंज
 * रेत का तूफान
 * स्वत: नियंत्रण प्राप्त करें
 * जय स्पाइक
 * घबराना
 * आयनमंडलीय परावर्तन
 * वायुमंडलीय वाहिनी
 * व्युत्क्रम वर्ग नियम
 * इलेक्ट्रानिक युद्ध
 * उड़ान का समय
 * प्रकाश कि गति
 * पूर्व चेतावनी रडार
 * रफ़्तार
 * निरंतर-लहर रडार
 * स्पेकट्रूम विशेष्यग्य
 * रेंज अस्पष्टता संकल्प
 * मिलान फ़िल्टर
 * रोटेशन
 * चरणबद्ध व्यूह रचना
 * मैमथ राडार
 * निगरानी करना
 * स्क्रीन
 * पतला सरणी अभिशाप
 * हवाई रडार प्रणाली
 * परिमाणक्रम
 * इंस्टीट्यूट ऑफ़ इलेक्ट्रिकल एंड इलेक्ट्रॉनिक्स इंजीनियर्स
 * क्षितिज राडार के ऊपर
 * पल्स बनाने वाला नेटवर्क
 * अमेरिका में प्रदूषण की रोकथाम
 * आईटी रेडियो विनियम
 * रडार संकेत विशेषताएं
 * हैस (रडार)
 * एवियोनिक्स में एक्रोनिम्स और संक्षिप्ताक्षर
 * समय की इकाई
 * गुणात्मक प्रतिलोम
 * रोशनी
 * दिल की आवाज
 * हिलाना
 * सरल आवर्त गति
 * नहीं (पत्र)
 * एसआई व्युत्पन्न इकाई
 * इंटरनेशनल इलेक्ट्रोटेक्नीकल कमीशन
 * प्रति मिनट धूर्णन
 * हवा की लहर
 * एक समारोह का तर्क
 * चरण (लहरें)
 * आयामहीन मात्रा
 * असतत समय संकेत
 * विशेष मामला
 * मध्यम (प्रकाशिकी)
 * कोई भी त्रुटि
 * ध्वनि की तरंग
 * दृश्यमान प्रतिबिम्ब
 * लय
 * सुनवाई की दहलीज
 * प्रजातियाँ
 * मुख्य विधुत
 * नाबालिग तीसरा
 * माप की इकाइयां
 * आवधिकता (बहुविकल्पी)
 * परिमाण के आदेश (आवृत्ति)
 * वर्णक्रमीय घटक
 * रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली
 * असतत समय फिल्टर
 * ऑटोरेग्रेसिव मॉडल
 * डिजिटल डाटा
 * डिजिटल देरी लाइन
 * बीआईबीओ स्थिरता
 * फोरियर श्रेणी
 * दोषी
 * दशमलव (सिग्नल प्रोसेसिंग)
 * असतत फूरियर रूपांतरण
 * एफआईआर ट्रांसफर फंक्शन
 * 3डी परीक्षण मॉडल
 * ब्लेंडर (सॉफ्टवेयर)
 * वैज्ञानिक दृश्य
 * प्रतिपादन (कंप्यूटर ग्राफिक्स)
 * विज्ञापन देना
 * चलचित्र
 * अनुभूति
 * निहित सतह
 * विमानन
 * भूतपूर्व छात्र
 * छिपी सतह निर्धारण
 * अंतरिक्ष आक्रमणकारी
 * लकीर खींचने की क्रिया
 * एनएमओएस तर्क
 * उच्च संकल्प
 * एमओएस मेमोरी
 * पूरक राज्य मंत्री
 * नक्षत्र-भवन
 * वैश्विक चमक
 * मैकिंटोश कंप्यूटर
 * प्रथम व्यक्ति शूटर
 * साधारण मानचित्रण
 * हिमयुग (2002 फ़िल्म)
 * मेडागास्कर (2005 फ़िल्म)
 * बायोइनफॉरमैटिक्स
 * शारीरिक रूप से आधारित प्रतिपादन
 * हीरे की थाली
 * प्रतिबिंब (कंप्यूटर ग्राफिक्स)
 * 2010 की एनिमेटेड फीचर फिल्मों की सूची
 * परिवेशी बाधा
 * वास्तविक समय (मीडिया)
 * जानकारी
 * कंकाल एनिमेशन
 * भीड़ अनुकरण
 * प्रक्रियात्मक एनिमेशन
 * अणु प्रणाली
 * कैमरा
 * माइक्रोस्कोप
 * इंजीनियरिंग के चित्र
 * रेखापुंज छवि
 * नक्शा
 * हार्डवेयर एक्सिलरेशन
 * अंधेरा
 * गैर-समान तर्कसंगत बी-तख़्ता
 * नक्शा टक्कर
 * चुम्बकीय अनुनाद इमेजिंग
 * नमूनाकरण (सिग्नल प्रोसेसिंग)
 * sculpting
 * आधुनिक कला का संग्रहालय
 * गेम डेवलपर्स कांफ्रेंस
 * शैक्षिक
 * आपूर्ती बंद करने की आवृत्ति
 * प्रतिक्रिया (इलेक्ट्रॉनिक्स)
 * अण्डाकार फिल्टर
 * सीरिज़ सर्किट)
 * मिलान जेड-ट्रांसफॉर्म विधि
 * कंघी फ़िल्टर
 * समूह देरी
 * सप्टक
 * दूसरों से अलग
 * लो पास फिल्टर
 * निर्देश प्रति सेकंड
 * अंकगणित अतिप्रवाह
 * चरण (लहरें)
 * हस्तक्षेप (लहर प्रसार)
 * बीट (ध्वनिक)

बाहरी संबंध

 * An extensive list of filter design articles and software at Circuit Sage
 * A list of digital filter design software at dspGuru
 * Analog Filter Design Demystified
 * Yehar's digital sound processing tutorial for the braindead! This paper explains simply (between others topics) filters design theory and give some examples