प्रोजेक्शन फ़िल्टर

प्रोजेक्शन (प्रक्षेपण) फिल्टर स्टोकेस्टिक विश्लेषण और सूचना ज्यामिति, या सांख्यिकी के लिए विभेदक ज्यामितीय दृष्टिकोण पर आधारित एल्गोरिदम का एक सेट है, जिसका उपयोग नॉनलाइनियर स्टेट-स्पेस सिस्टम के लिए फ़िल्टरिंग समस्याओं के लिए अनुमानित समाधान खोजने के लिए किया जाता है।  फ़िल्टरिंग समस्या में सिग्नल के आंशिक नॉइज़ अवलोकनों से एक यादृच्छिक गतिशील प्रणाली के न देखे गए सिग्नल का आकलन करना सम्मिलित है। उद्देश्य नॉइज़-विक्षुब्ध अवलोकनों के इतिहास पर सशर्त सिग्नल की संभाव्यता वितरण की गणना करना है। यह वितरण प्रेक्षणों के इतिहास को देखते हुए सिग्नल के सभी आंकड़ों की गणना की अनुमति देता है। यदि इस वितरण में घनत्व है, तो घनत्व विशिष्ट स्टोकेस्टिक आंशिक अंतर समीकरण (एसपीडीई) को संतुष्ट करता है जिसे कुशनर-स्ट्रैटोनोविच समीकरण या ज़काई समीकरण कहा जाता है। यह ज्ञात है कि नॉनलाइनियर फ़िल्टर घनत्व एक अनंत आयामी फ़ंक्शन स्थान में विकसित होता है।

कोई संभाव्यता घनत्व का एक परिमित-आयामी समूह चुन सकता है, उदाहरण के लिए, गाऊसी घनत्व, गाऊसी मिश्रण, या घातांकीय समूह, जिस पर अनंत-आयामी फ़िल्टर घनत्व का अनुमान लगाया जा सकता है। प्रक्षेपण फ़िल्टर का मूल विचार चयनित परिमित-आयामी समूह पर इष्टतम फ़िल्टर के अनंत-आयामी एसपीडीई को प्रोजेक्ट करने के लिए घनत्व के चुने हुए स्थानों में एक ज्यामितीय संरचना का उपयोग करना है, जिससे एक परिमित आयामी स्टोचैस्टिक अंतर समीकरण (एसडीई) परिमित-आयामी समूह में घनत्व के पैरामीटर के लिए जो पूर्ण फ़िल्टर विकास का अनुमान लगाता है। ऐसा करने के लिए, चयनित परिमित-आयामी समूह सूचना ज्यामिति की तरह एक विविध संरचना से सुसज्जित है। क्यूबिक सेंसर समस्या के लिए इष्टतम फिल्टर के विरुद्ध प्रोजेक्शन फिल्टर का परीक्षण किया गया था। प्रोजेक्शन फ़िल्टर इष्टतम फ़िल्टर के द्वि-मोडल घनत्वों को प्रभावी ढंग से ट्रैक कर सकता है जिसे विस्तारित कलमैन फ़िल्टर जैसे मानक एल्गोरिदम के साथ अनुमानित करना मुश्किल होगा। प्रोजेक्शन फिल्टर इन-लाइन अनुमान के लिए आदर्श हैं, क्योंकि वे समय पर कुशलतापूर्वक लागू करने और चलाने में तेज होते हैं, पैरामीटर के लिए एक सीमित-आयामी एसडीई प्रदान करते हैं जिसे कुशलतापूर्वक लागू किया जा सकता है। प्रोजेक्शन फ़िल्टर भी लचीले होते हैं, क्योंकि वे समृद्ध सन्निकटन समूहों को चुनकर सन्निकटन की सटीकता को ठीक करने की अनुमति देते हैं, और कुछ घातीय समूह प्रक्षेपण फ़िल्टरिंग एल्गोरिदम में सुधार चरण को सटीक बनाते हैं। कुछ फॉर्मूलेशन अनुमान-आधारित अनुमानित घनत्व फिल्टर या गैलेर्किन विधियों के साथ मेल खाते हैं। माध्य वर्ग न्यूनीकरण जैसे सटीक मानदंडों के अनुसार, प्रोजेक्शन फ़िल्टर अकेले एसपीडीई गुणांक के इष्टतम सन्निकटन से परे, पूर्ण अनंत-आयामी फ़िल्टर का इष्टतम तरीके से अनुमान लगा सकते हैं। प्रोजेक्शन फ़िल्टर का अध्ययन स्वीडिश रक्षा अनुसंधान एजेंसी द्वारा किया गया है और नेविगेशन, महासागर गतिशीलता, क्वांटम ऑप्टिक्स और क्वांटम सिस्टम सहित विभिन्न फ़ाइबर व्यास का अनुमान, अराजक समय श्रृंखला का अनुमान, परिवर्तन बिंदु का पता लगाना और अन्य क्षेत्र में सफलतापूर्वक लागू किया गया है।

इतिहास और विकास
शब्द "प्रोजेक्शन फिल्टर" पहली बार 1987 में बर्नार्ड हैनज़ोन द्वारा गढ़ा गया था, और बर्नार्ड हैनज़ोन और फ्रेंकोइस लेग्लैंड के सहयोग से, डैमियानो ब्रिगो के पीएचडी कार्य के दौरान संबंधित सिद्धांत और संख्यात्मक उदाहरणों को पूरी तरह से विकसित, विस्तारित और कठोर बनाया गया था। ये कार्य हेलिंगर दूरी और फिशर सूचना मीट्रिक में प्रोजेक्शन फिल्टर से संबंधित थे, जिनका उपयोग चुने हुए घातीय समूह पर इष्टतम फिल्टर अनंत-आयामी एसपीडीई को प्रोजेक्ट करने के लिए किया गया था। घातीय समूह को चुना जा सकता है ताकि फ़िल्टरिंग एल्गोरिदम के पूर्वानुमान चरण को सटीक बनाया जा सके। एक वैकल्पिक प्रक्षेपण मीट्रिक, प्रत्यक्ष $$L^2$$ मीट्रिक पर आधारित एक अलग प्रकार के प्रोजेक्शन फिल्टर, आर्मस्ट्रांग और ब्रिगो (2016) में प्रस्तुत किए गए थे। इस मीट्रिक के साथ, मिश्रण वितरण के समूहों पर प्रक्षेपण फ़िल्टर गैलेर्किन विधियों पर आधारित फ़िल्टर के साथ मेल खाते हैं। बाद में, आर्मस्ट्रांग, ब्रिगो और रॉसी फेरुची (2021) ने इष्टतम प्रोजेक्शन फिल्टर प्राप्त किए जो अनंत आयामी इष्टतम फिल्टर का अनुमान लगाने में विशिष्ट इष्टतमता मानदंडों को पूरा करते हैं। दरअसल, स्ट्रैटोनोविच-आधारित प्रोजेक्शन फिल्टर ने चुने हुए मैनिफोल्ड पर एसपीडीई के अलग-अलग गुणांक के अनुमान को अनुकूलित किया, लेकिन समग्र रूप से एसपीडीई समाधान को नहीं। इष्टतम प्रोजेक्शन फिल्टर प्रस्तुत करके इससे निपटा गया है। यहां नवाचार फिल्टर समीकरण के स्ट्रैटोनोविच कैलकुलस संस्करण का सहारा लेने के के स्थान पर सीधे इटो कैलकुलस के साथ काम करना है। यह जेट बंडल के आधार पर मैनिफोल्ड्स पर इटो स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल समीकरणों की ज्यामिति, मैनिफोल्ड्स पर इटो स्टोकेस्टिक डिफरेंशियल समीकरणों की तथाकथित 2-जेट व्याख्या पर शोध पर आधारित है।

प्रोजेक्शन फिल्टर व्युत्पत्ति
यहां विभिन्न प्रक्षेपण फिल्टरों की व्युत्पत्ति को रेखांकित किया गया है।

स्ट्रैटोनोविच-आधारित प्रक्षेपण फ़िल्टर
यह हैनज़ोन द्वारा स्केच किए गए हेलिंगर/फिशर मीट्रिक में दोनों प्रारंभिक फ़िल्टर की व्युत्पत्ति है और पूरी तरह से ब्रिगो, हैनज़ोन और लेग्लैंड द्वारा विकसित, और आर्मस्ट्रांग और ब्रिगो (2016) द्वारा प्रत्यक्ष एल2 मीट्रिक में बाद का प्रक्षेपण फ़िल्टर।

यह माना जाता है कि अप्राप्य यादृच्छिक संकेत $$X_t \in \R^m$$ इसे इटो स्टोकेस्टिक विभेदक समीकरण द्वारा प्रतिरूपित किया गया है:
 * $$ d X_t = f(X_t,t) \, d t + \sigma(X_t,t) \, d W_t $$

जहां f और $$\sigma\, dW$$ $$\R^m$$ मूल्यवान हैं और $$W_t$$ एक एक प्रकार कि गति है। परिणामों को बनाए रखने के लिए आवश्यक सभी नियमितता शर्तों की वैधता, संदर्भों में दिए गए विवरण के साथ मानी जाएगी। संबंधित नॉइज़ अवलोकन प्रक्रिया $$Y_t \in \R^d$$ द्वारा प्रतिरूपित किया गया है
 * $$ d Y_t = b(X_t,t) \, d t + d V_t $$

जहाँ $$b$$ $$\R^d$$ मूल्यवान है और $$V_t$$ एक ब्राउनियन गति $$W_t$$ से स्वतंत्र है। जैसा कि ऊपर संकेत दिया गया है, पूर्ण फ़िल्टर $$X_t$$ सशर्त है $$X_0$$ का वितरण के लिए पूर्व दिया गया और $$Y$$ का इतिहास समय $$t$$ तक यदि इस वितरण का घनत्व अनौपचारिक रूप से वर्णित है
 * $$p_t(x)dx = Prob\{X_t \in dx | \sigma(Y_s, s\leq t)\}$$

जहाँ $$\sigma(Y_s, s\geq t)$$ नॉइज़ अवलोकनों के इतिहास से उत्पन्न सिग्मा-क्षेत्र $$Y$$ है समय $$t$$ तक, उपयुक्त तकनीकी परिस्थितियों में घनत्व $$p_t$$ कुशनेर-स्ट्रैटोनोविच एसपीडीई को संतुष्ट करता है:
 * $$d p_t = {\cal L}^*_t p_t \  d t

+ p_t[b(\cdot,t) - E_{p_t}(b(\cdot,t))]^T [ d Y_t - E_{p_t}(b(\cdot,t)) dt]$$ जहाँ $$E_p$$ अपेक्षा है $$E_p[h] = \int h(x) p(x) dx, $$ और आगे प्रसार ऑपरेटर $${\cal L}^*_t$$ है
 * $${\cal L}_t^* p = - \sum_{i=1}^m \frac{\partial}{\partial x_i} [ f_i(x,t) p_t(x) ] + \frac{1}{2} \sum_{i,j=1}^m \frac{\partial^2}{\partial x_i \partial x_j} [a_{ij}(x,t) p_t(x)]$$

जहाँ $$a=\sigma \sigma^T$$ और $$T$$ ट्रांसपोज़िशन को दर्शाता है। प्रोजेक्शन फ़िल्टर का पहला संस्करण प्राप्त करने के लिए, किसी को डालने की आवश्यकता है $$p_t$$ स्ट्रैटोनोविच फॉर्म में एसपीडीई। एक प्राप्त होता है
 * $$  d p_t = {\cal L}^\ast_t\, p_t\,dt

- \frac{1}{2}\, p_t\, [\vert b(\cdot,t) \vert^2 - E_{p_t}\{\vert b(\cdot,t) \vert^2\}] \,dt + p_t\, [b(\cdot,t)-E_{p_t}\{b(\cdot,t)\}]^T \circ dY_t\. $$ श्रृंखला नियम के माध्यम से, इसके लिए एसपीडीई प्राप्त करना तत्काल है $$d \sqrt{p_t}$$.नोटेशन को छोटा करने के लिए कोई इस अंतिम एसपीडीई को फिर से लिख सकता है $$  dp = F(p) \,dt + G^T(p) \circ dY\ ,$$ जहां ऑपरेटर $$F(p)$$ और $$G^T(p)$$ के रूप में परिभाषित किया गया है
 * $$F(p) = {\cal L}^\ast_t\, p\,

- \frac{1}{2}\, p\, [\vert b(\cdot,t) \vert^2 - E_{p}\{\vert b(\cdot,t) \vert^2\}],$$
 * $$G^T(p) = p\, [b(\cdot,t)-E_{p}\{b(\cdot,t)\}]^T.$$

वर्गमूल संस्करण है $$  d \sqrt{p} = \frac{1}{2 \sqrt{p}}[  F(p) \,dt + G^T(p) \circ dY]\ .$$ ये स्ट्रैटोनोविच एसपीडीई हैं जिनके समाधान अनंत आयामी फ़ंक्शन स्थानों में विकसित होते हैं। उदाहरण के लिए $$p_t$$ में $$L^2$$ विकसित हो सकता है (प्रत्यक्ष मीट्रिक $$d_2$$)
 * $$  d_2(p_1,p_2)= \Vert p_1- p_2 \Vert\ , \ \ p_{1,2}\in L^2 $$

या $$\sqrt{p_t}$$ में $$L^2$$ विकसित हो सकता है (हेलिंगर मेट्रिक $$d_H$$)
 * $$ d_H(\sqrt{p_1},\sqrt{p_2})= \Vert \sqrt{p_1}-\sqrt{p_2} \Vert, \ \ \ p_{1,2}\in L^1$$

जहाँ $$\Vert\cdot\Vert$$ हिल्बर्ट स्थान का आदर्श $$L^2$$ है

किसी भी स्थिति में, $$p_t$$ (या $$\sqrt{p_t}$$) घनत्व के किसी भी सीमित आयामी समूह के अंदर विकसित नहीं होगा,
 * $$S_\Theta=\{p(\cdot, \theta), \ \theta \in \Theta \subset \R^n\} \ (or \ S_\Theta^{1/2}=\{\sqrt{p(\cdot, \theta)}, \ \theta \in \Theta \subset \R^n\}).$$

प्रक्षेपण फ़िल्टर विचार अनुमानित $$p_t(x)$$है (या  $$\sqrt{p_t(x)}$$) एक परिमित आयामी घनत्व के माध्यम से $$p(x,\theta_t)$$ (या $$\sqrt{p(x,\theta_t)}$$).

तथ्य यह है कि फ़िल्टर एसपीडीई स्ट्रैटोनोविच फॉर्म में है, निम्नलिखित की अनुमति देता है। जैसा कि स्ट्रैटोनोविच एसपीडीई श्रृंखला नियम को संतुष्ट करते हैं, $$F$$ और $$G$$ वेक्टर फ़ील्ड के रूप में व्यवहार करें इस प्रकार, समीकरण की विशेषता $$dt$$ है वेक्टर फ़ील्ड $$F$$ और $$dY_t$$ वेक्टर फ़ील्ड $$G$$. प्रक्षेपण फ़िल्टर के इस संस्करण के लिए व्यक्ति दो वेक्टर फ़ील्ड से अलग-अलग निपटने से संतुष्ट है।

कोई प्रोजेक्ट $$F$$ और $$G$$ घनत्व के स्पर्शरेखा स्थान पर $$S_\Theta$$ (प्रत्यक्ष मीट्रिक) या उनके वर्गमूल (हेलिंगर मीट्रिक)। प्रत्यक्ष मीट्रिक केस गुणनफल देता है
 * $$ dp(\cdot,\theta_t) = \Pi_{p(\cdot,\theta_t)}[F(p(\cdot,\theta_t))] \,dt + \Pi_{p(\cdot,\theta_t)}[G^T(p(\cdot,\theta_t))] \circ dY_t\

$$ जहाँ $$\Pi_{p(\cdot,\theta)}$$ बिंदु पर स्पर्शरेखा स्पेस प्रोजेक्ट $$p(\cdot,\theta)$$ अनेक गुन $$S_\Theta$$, और जहाँ, जब एक वेक्टर पर लागू किया जाता है जैसे कि $$G^T$$, यह प्रत्येक को प्रक्षेपित करके घटक-वार कार्य करने के लिए माना जाता है $$G^T$$के घटक. इस स्पर्शरेखा का आधार स्थान है
 * $$   \left\{ \frac{\partial p(\cdot,\theta)}{\partial \theta_1},\cdots,

\frac{\partial p(\cdot,\theta)}{\partial \theta_n} \right\},$$ के आंतरिक उत्पाद को निरूपित करके $$L^2$$ साथ $$\langle \cdot, \cdot \rangle$$, एक मीट्रिक को परिभाषित करता है
 * $$ \gamma_{ij}(\theta) = \left\langle \frac{\partial {p(\cdot,\theta)}}{

\partial \theta_i}\,, \frac{\partial {p(\cdot,\theta)}}{ \partial \theta_j} \right\rangle = \int \frac{\partial p(x,\theta)}{\partial \theta_i}\, \frac{\partial p(x,\theta)}{\partial \theta_j}\,  d x $$ और प्रक्षेपण इस प्रकार है
 * $$\Pi^\gamma_{p(\cdot,\theta)} [v] = \sum_{i=1}^n \left[ \sum_{j=1}^n

\gamma^{ij}(\theta)\; \left\langle v,\, \frac{\partial {p(\cdot,\theta)}}{\partial \theta_j} \right\rangle \right]\; \frac{\partial {p(\cdot,\theta)}}{\partial \theta_i} $$ जहाँ $$\gamma^{ij}$$ का उलटा है $$\gamma_{ij}$$.अनुमानित समीकरण इस प्रकार है
 * $$ d p(\cdot, \theta_t) = \Pi_{p(\cdot,\theta)}[F(p(\cdot, \theta_t))] dt + \Pi_{p(\cdot,\theta)}[G^T(p(\cdot, \theta_t))] \circ dY_t$$

जिसे इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$ \sum_{i=1}^n \frac{\partial p(\cdot, \theta_t)}{\theta_i}\circ d \theta_i =

\sum_{i=1}^n \left[ \sum_{j=1}^n \gamma^{ij}(\theta)\; \left\langle F(p(\cdot, \theta_t)),\, \frac{\partial {p(\cdot,\theta)}}{\partial \theta_j} \right\rangle \right]\; \frac{\partial {p(\cdot,\theta)}}{\partial \theta_i} dt + \sum_{i=1}^n \left[ \sum_{j=1}^n \gamma^{ij}(\theta)\; \left\langle G^T(p(\cdot, \theta_t)),\, \frac{\partial {p(\cdot,\theta)}}{\partial \theta_j} \right\rangle \right]\; \frac{\partial {p(\cdot,\theta)}}{\partial \theta_i} \circ dY_t ,$$ जहां यह महत्वपूर्ण रहा है कि स्ट्रैटोनोविच कैलकुलस श्रृंखला नियम का पालन करता है। उपरोक्त समीकरण से, अंतिम प्रक्षेपण फ़िल्टर SDE है

$$ d \theta_i = \left[\sum_{j=1}^n \gamma^{ij}(\theta_t)\; \int F(p(x, \theta_t)) \; \frac{\partial p(x,\theta_t)}{\partial \theta_j} dx \right] dt    + \sum_{k=1}^d\; \left[ \sum_{j=1}^n \gamma^{ij}(\theta_t)\; \int G_k(p(x, \theta_t))  \; \frac{\partial p(x,\theta_t)}{\partial \theta_j}\; d x \right] \circ dY_k $$

$$\theta_0$$आरंभिक शर्त के साथ एक चुना गया ऑपरेटरों f और जी की परिभाषा को प्रतिस्थापित करके हम प्रत्यक्ष मीट्रिक में पूरी तरह से स्पष्ट प्रक्षेपण फ़िल्टर समीकरण प्राप्त करते हैं:



d \theta_i(t) =     \left[\sum_{j=1}^m \gamma^{ij}(\theta_t)\; \int {{\cal L}_t^\ast\, p(x,\theta_t)}\; \frac{\partial p(x,\theta_t)}{\partial \theta_j} dx -  \sum_{j=1}^m \gamma^{ij}(\theta_t)\; \int \frac{1}{2} \left[\vert b(x,t) \vert^2 - \int \vert b(z,t) \vert^2 p(z,\theta_t)dz\right] \; p(x,\theta_t) \; \frac{\partial p(x,\theta_t)}{\partial \theta_j}\; d x \right] dt$$

$$  +    \sum_{k=1}^d\; \left[ \sum_{j=1}^m \gamma^{ij}(\theta_t)\; \int \left[ b_k(x,t) - \int b_k(z,t) p(z,\theta_t) dz \right]  \;  p(x,\theta_t) \; \frac{\partial p(x,\theta_t)}{\partial \theta_j}\; d x \right] \circ dY_t^k\ .$$ यदि कोई इसके के स्थान पर हेलिंगर दूरी का उपयोग करता है, तो घनत्व के वर्गमूल की आवश्यकता होती है। स्पर्शरेखा स्थान का आधार तब है
 * $$   \left\{ \frac{\partial\sqrt{ p(\cdot,\theta)}}{\partial \theta_1},\cdots,

\frac{\partial \sqrt{p(\cdot,\theta)}}{\partial \theta_n} \right\},$$ और एक मीट्रिक को परिभाषित करता है
 * $$ \frac{1}{4} g_{ij}(\theta) =

\left \langle \frac{\partial \sqrt{p}}{ \partial \theta_i}\,, \frac{\partial \sqrt{p}}{ \partial \theta_j}\right \rangle = \frac{1}{4} \int \frac{1}{p(x,\theta)}\, \frac{\partial p(x,\theta)}{\partial \theta_i}\, \frac{\partial p(x,\theta)}{\partial \theta_j}\, d x .$$ मीट्रिक $$g$$ फिशर सूचना मीट्रिक है कोई प्रत्यक्ष मीट्रिक स्थिति के अनुरूप चरणों का पालन करता है और हेलिंगर/फिशर मीट्रिक में फ़िल्टर समीकरण है
 * $$ d \theta_i =  \left[ \sum_{j=1}^n g^{ij}(\theta_t)\;

\int \frac{F(p(x,\theta_t))}{p(x,\theta_t)}\; \frac{\partial p(x,\theta_t)}{\partial \theta_j}\; dx \right] dt   + \sum_{k=1}^d\; \left[ \sum_{j=1}^m g^{ij}(\theta_t)\; \int \frac{G_k(p(x,\theta_t))}{p(x,\theta_t)}\; \frac{\partial p(x,\theta_t)}{\partial \theta_j}\; dx \right] \circ dY_t^k\ , $$ प्रारंभिक शर्त के साथ फिर से एक चुना गया $$\theta_0$$.F और G को प्रतिस्थापित करने पर एक प्राप्त होता है

$$ d \theta_i(t) =   \left[ \sum_{j=1}^m g^{ij}(\theta_t)\; \int \frac{{\cal L}_t^\ast\, p(x,\theta_t)}{p(x,\theta_t)}\; \frac{\partial p(x,\theta_t)}{\partial \theta_j}\; dx    - \sum_{j=1}^m g^{ij}(\theta_t) \int \frac{1}{2} \vert b_t(x) \vert^2 \frac{\partial p(x,\theta_t)}{\partial \theta_j} dx \right] dt $$

$$ + \sum_{k=1}^d\; \left[ \sum_{j=1}^m g^{ij}(\theta_t)\; \int b_k(x,t)\; \frac{\partial p(x,\theta_t)}{\partial \theta_j}\; dx \right] \circ dY_t^k\ .$$ प्रत्यक्ष मीट्रिक में प्रक्षेपण फ़िल्टर, जब कई गुना पर लागू किया जाता है $$S_\Theta$$ मिश्रण समूहों का, गैलेर्किन विधि के साथ समतुल्यता की ओर ले जाता है।

मैनिफोल्ड पर लागू होने पर हेलिंगर/फिशर मीट्रिक में प्रक्षेपण फ़िल्टर $$S_\Theta^{1/2}$$ घनत्वों के एक घातीय समूह के वर्गमूलों का मान अनुमानित घनत्व फिल्टर के बराबर है।

किसी को ध्यान देना चाहिए कि घनत्व पी के एक असामान्य संस्करण के लिए सरल ज़काई समीकरण को प्रोजेक्ट करना भी संभव है। इसका परिणाम समान हेलिंगर प्रक्षेपण फ़िल्टर में होगा लेकिन एक अलग प्रत्यक्ष मीट्रिक प्रक्षेपण फ़िल्टर में होगा।

अंत में, यदि घातीय समूह के स्थिति में कोई घातीय समूह के पर्याप्त आँकड़ों में अवलोकन फ़ंक्शन को सम्मिलित करता है $$dY_t$$, अर्थात् $$b(x)$$के घटक और $$|b(x)|^2$$, तो कोई देख सकता है कि फ़िल्टरिंग एल्गोरिदम में सुधार चरण सटीक हो जाता है। दूसरे शब्दों में, वेक्टर क्षेत्र का प्रक्षेपण $$G$$ सटीक है, जिसके परिणामस्वरूप $$G$$ अपने आप। निरंतर स्थिति वाली सेटिंग में फ़िल्टरिंग एल्गोरिदम लिखना $$X$$ और अलग-अलग समय अवलोकन $$Y$$, कोई यह देख सकता है कि प्रत्येक नए अवलोकन पर सुधार कदम सटीक है, क्योंकि संबंधित बेयस सूत्र में कोई सन्निकटन सम्मिलित नहीं है।

इटो वेक्टर और इटो जेट प्रक्षेपण के आधार पर इष्टतम प्रोजेक्शन फिल्टर
अब स्ट्रैटोनोविच कैलकुलस फॉर्म में सटीक फ़िल्टर एसपीडीई पर विचार करने के के स्थान पर, इसे इटो कैलकुलस फॉर्म में रखा जाता है
 * $$d p_t = {\cal L}^*_t p_t \  d t

+ p_t[b(\cdot,t) - E_{p_t}(b(\cdot,t))]^T [ d Y_t - E_{p_t}(b(\cdot,t)) dt].$$ उपरोक्त स्ट्रैटोनोविच प्रक्षेपण फ़िल्टर में, वेक्टर फ़ील्ड $$F$$ और $$G$$ अलग से प्रक्षेपित किये गये। परिभाषा के अनुसार, प्रक्षेपण इसके लिए इष्टतम सन्निकटन है $$F$$ और $$G$$ अलग से, हालांकि इसका मतलब यह नहीं है कि यह समग्र रूप से फ़िल्टर एसपीडीई समाधान के लिए सर्वोत्तम सन्निकटन प्रदान करता है। दरअसल, स्ट्रैटोनोविच प्रक्षेपण, दो शर्तों पर कार्य करता है $$F$$ और $$G$$ अलग से, समाधान की इष्टतमता की गारंटी नहीं देता $$p(\cdot,\theta_{0+\delta t})$$ सटीक के एक अनुमान के रूप में $$p_{0+\delta t}$$ छोटे कहने के लिए $$\delta t$$. कोई एक आदर्श की तलाश कर सकता है $$\| \cdot \|$$ समाधान के लिए लागू किया जाना है, जिसके लिए
 * $$ \theta_{0+\delta t} \approx \mbox{argmin}_\theta\ \| p_{0+\delta t}- p(\cdot,\theta) \|.$$

इटो-वेक्टर प्रक्षेपण निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है। आइए हम घनत्व के स्थान के लिए एक मानदंड $$\|\cdot \|$$ चुनें, जो प्रत्यक्ष मीट्रिक या हेलिंगर मीट्रिक से संबद्ध हो सकता है।

कोई व्यक्ति अनुमानित इतो समीकरण में प्रसार शब्द चुनता है $$\theta_t$$ को न्यूनतम करके (लेकिन शून्य नहीं करके)। $$\delta t$$ माध्य वर्ग त्रुटि के लिए टेलर विस्तार की अवधि
 * $$E_t[\|p_{0+\delta t}-p(\cdot,\theta_{0+\delta t})\|^2]$$,

अनुमानित आईटीओ समीकरण में बहाव शब्द ढूंढना जो न्यूनतम करता है $$(\delta t)^2$$ समान अंतर की अवधि. यहां ही $$\delta t$$ ऑर्डर अवधि न्यूनतम हो जाती है, शून्य नहीं होती, और कोई कभी प्राप्त नहीं कर पाता $$(\delta t)^2$$ अभिसरण, केवल $$\delta t$$ अभिसरण.

आईटीओ वेक्टर प्रक्षेपण का एक और लाभ यह है कि यह ऑर्डर 1 टेलर के विस्तार को कम करता है $$\delta t$$ का $$\|E[p_{0+\delta t}-p(\cdot,\theta_{0+\delta t})]\|.$$

प्राप्त करने के लिए $$(\delta t)^2$$ अभिसरण, के स्थान पर $$\delta t$$ अभिसरण, इटो-जेट प्रक्षेपण प्रस्तुत किया गया है। यह मीट्रिक प्रक्षेपण की धारणा पर आधारित है।

घनत्व का मीट्रिक प्रक्षेपण $$p \in L^2$$ (या $$\sqrt{p} \in L^2$$) मैनिफोल्ड पर $$S_\Theta$$ (या $$S_\Theta^{1/2}$$) निकटतम बिंदु है $$S_\Theta$$ (या $$S_\Theta^{1/2}$$)  को $$p$$ (या $$\sqrt{p}$$). इसे निरूपित करें $$\pi(p)$$. मीट्रिक प्रक्षेपण, परिभाषा के अनुसार, चुने हुए मीट्रिक के अनुसार, $$p$$ में $$S_\Theta$$अनुमान लगाने के लिए अब तक का सबसे अच्छा तरीका हो सकता है इस प्रकार विचार एक प्रक्षेपण फ़िल्टर ढूंढने का है जो मीट्रिक प्रक्षेपण के जितना संभव हो उतना करीब आता है। दूसरे शब्दों में, कोई मानदंड पर विचार करता है।

$$\theta_{0+\delta t} \approx \mbox{argmin}_\theta\ \| \pi(p_{0+\delta t})- p(\cdot,\theta) \|.$$

विस्तृत गणनाएँ लंबी और श्रमसाध्य हैं, लेकिन परिणामी सन्निकटन $$(\delta t)^2$$ प्राप्त होता है। अभिसरण. दरअसल, इटो जेट प्रक्षेपण निम्नलिखित इष्टतमता मानदंड प्राप्त करता है। यह शून्य कर देता है $$\delta t$$ ऑर्डर अवधि और यह न्यूनतम $$(\delta t)^2$$करता है माध्य वर्ग दूरी के टेलर विस्तार का क्रम शब्द $$L^2$$ बीच में $$\pi(p_{0+\delta t})$$ और $$p(\cdot,\theta_{0+\delta t})$$.

इटो वेक्टर और इटो जेट प्रक्षेपण दोनों का परिणाम अवलोकनों द्वारा संचालित अंतिम एसडीई में होता है $$dY$$, पैरामीटर के लिए $$\theta_t$$ यह छोटे समय के लिए सटीक फ़िल्टर विकास का सबसे अच्छा अनुमान लगाता है।

अनुप्रयोग
जोन्स और सोट्टो (2011) ने दृश्य-जड़त्वीय नेविगेशन, मैपिंग और स्थानीयकरण में ऑनलाइन अनुमान के लिए संभावित एल्गोरिदम के रूप में प्रोजेक्शन फिल्टर का उल्लेख किया है, जबकि नेविगेशन पर फिर से अज़ीमी-सदजादी और कृष्णप्रसाद (2005) प्रोजेक्शन फिल्टर एल्गोरिदम का उपयोग करते हैं। लेर्मुसियाक्स 2006 द्वारा समुद्र की गतिशीलता में अनुप्रयोगों के लिए प्रोजेक्शन फिल्टर पर भी विचार किया गया है। कुत्स्चिरेइटर, रैस्ट, और ड्रगोवित्च (2022) निरंतर समय परिपत्र फ़िल्टरिंग के संदर्भ में प्रक्षेपण फ़िल्टर को संदर्भित करते हैं। क्वांटम सिस्टम अनुप्रयोगों के लिए, उदाहरण के लिए वैन हेंडेल और माबुची (2005) देखें, जिन्होंने क्वांटम ऑप्टिक्स में क्वांटम प्रोजेक्शन फ़िल्टर लागू किया, एक ऑप्टिकल गुहा में दृढ़ता से युग्मित दो-स्तरीय परमाणु के ऑप्टिकल चरण अस्थिरता के क्वांटम मॉडल का अध्ययन किया। गाओ, झांग और पीटरसन (2019) में क्वांटम सिस्टम के आगे के अनुप्रयोगों पर विचार किया गया है। मा, झाओ, चेन और चांग (2015) खतरे की स्थिति के आकलन के संदर्भ में प्रोजेक्शन फिल्टर का उल्लेख करते हैं, जबकि वेल्लेकोप और क्लार्क (2006) परिवर्तन बिंदु का पता लगाने से निपटने के लिए प्रोजेक्शन फिल्टर सिद्धांत को सामान्यीकृत करते हैं। हेरेल, मेयर और ओपर (2015) तंत्रिका एन्कोडिंग के अनुप्रयोगों के साथ इष्टतम बिंदु प्रक्रियाओं को फ़िल्टर करने के लिए अनुमानित घनत्व रूप में प्रक्षेपण फ़िल्टर लागू करते हैं। ब्रोकर और पारलिट्ज़ (2000) अराजक समय श्रृंखला में शोर में कमी के लिए प्रक्षेपण फ़िल्टर विधियों का अध्ययन करते हैं। झांग, वांग, वू और जू (2014) पिघले हुए गैर-बुने हुए कपड़ों में फाइबर व्यास के माप से निपटने के लिए अपनी अनुमान तकनीक के हिस्से के रूप में गॉसियन प्रक्षेपण फ़िल्टर लागू करते हैं।

यह भी देखें

 * फ़िल्टरिंग समस्या (स्टोकेस्टिक प्रक्रियाएं)
 * सामान्यीकृत फ़िल्टरिंग
 * अरेखीय फ़िल्टर
 * विस्तारित कलमैन फ़िल्टर
 * पुनरावर्ती बायेसियन अनुमान