डेटिंग नंबर

साहचर्य गणित में, डेटिंग संख्याएं पूर्णांकों के एक त्रिकोणीय क्रम हैं, जो निश्चित बिंदु (गणित) की निर्दिष्ट संख्या के साथ सेट { 1, ..., n } के क्रमपरिवर्तन की गणना करती हैं: दूसरे शब्दों में, इसे आंशिक विचलन कह सकते है। कुछ (लेखों के अनुसार, इस समस्या का नाम एकरत्नी गेम के नाम पर रखा गया है।) n ≥ 0 और 0 ≤ k ≤ n' के लिए ', डेटिंग संख्या Dn, k { 1, ..., n } के क्रमपरिवर्तन की संख्या है, जिनके k निश्चित बिंदु हैं।

उदाहरण के लिए, यदि सात अलग-अलग लोगों को सात उपहार दिए जाते हैं, लेकिन केवल दो को ही सही उपहार मिलना निश्चित है, तो D7, 2= 924 प्रकार से ऐसा हो सकता है। एक और प्रायः उद्धृत उदाहरण एक नृत्य विद्यालय का है, जहां 7 जोड़ों के साथ चाय-ब्रेक के बाद प्रतिभागियों को क्रमविहीन प्रकार से एक साथी को खोजने के लिए कहा जाता है, फिर एक बार D7, 2= 924 संभावनाएं हैं कि 2 पिछले जोड़े संयोग से फिर से मिलें।

संख्यात्मक मान
यहाँ इस क्रम का आरंभ है :

सूत्र
K = 0 पंक्ति में संख्याएँ अव्यवस्थाओं की गणना करते हैं। इस प्रकार
 * $$D_{0,0} = 1, \!$$
 * $$D_{1,0} = 0, \!$$
 * $$D_{n+2,0} = (n + 1)(D_{n+1,0} + D_{n,0}) \!$$

गैर-नकारात्मक n के लिए, यह पता चलता है कि


 * $$D_{n,0} = \left\lceil\frac{n!}{e}\right\rfloor,$$

जहाँ अनुपात को सम n के लिए पूर्णांकित किया जाता है और विषम n के लिए नीचे की ओर पूर्णांकित किया जाता है। n ≥ 1 के लिए, यह निकटतम पूर्णांक देता है।

अधिक समान्यतः, किसी $$k\geq 0$$, के लिए हमारे पास है


 * $$D_{n,k} = {n \choose k} \cdot D_{n-k,0}.$$

प्रमाण आसान है जब कोई जानता है कि विचलन की गणना कैसे करनी है: n में से k निश्चित बिंदुओं को चुनें; फिर अन्य n − k बिंदुओं का विचलन चुनें।

संख्या $D_{n,0}/(n!)$ घात श्रेणी $e^{&minus;z}/(1 &minus; z)$ द्वारा उत्पन्न होते है, इसलिए,

d n, m के लिए एक स्पष्ट सूत्र निम्नानुसार व्युत्पन्न किया जा सकता है:
 * $$ D_{n, m}

= \frac{n!}{m!} [z^{n-m}] \frac{e^{-z}}{1-z} = \frac{n!}{m!} \sum_{k=0}^{n-m} \frac{(-1)^k}{k!}.$$ इसका तुरंत तात्पर्य है


 * $$ D_{n, m} = {n \choose m} D_{n-m, 0} \; \; \mbox{ and } \; \;

\frac{D_{n, m}}{n!} \approx \frac{e^{-1}}{m!}$$ N बड़े के लिए, m निश्चित।

संभाव्यता वितरण
"संख्यात्मक मान" में तालिका के लिए प्रत्येक पंक्ति में प्रविष्टियों का योग { 1, ..., n } के क्रमचय की कुल संख्या है, और इसलिए n ! है। यदि कोई nवीं पंक्ति की सभी प्रविष्टियों को n ! से विभाजित करता है, तो उसे { 1, ..., n } के समान रूप से वितरित यादृच्छिक क्रमपरिवर्तन के निश्चित बिंदुओं की संख्या का संभाव्यता वितरण प्राप्त होता है। संभावना है कि निश्चित बिंदुओं की संख्या 'k' है


 * $${D_{n,k} \over n!}.$$

n ≥ 1 के लिए, निश्चित बिंदुओं की अपेक्षित मान संख्या 1 है (एक तथ्य जो अपेक्षा की रैखिकता से अनुसरण करता है)।

अधिक समान्यतः, i ≤ n के लिए, इस संभाव्यता वितरण का iवां क्षण (गणित) अपेक्षित मान 1 के साथ प्वासों वितरण का iवां क्षण है। i > n के लिए, iवां क्षण उस प्वासों वितरण से छोटा होता है। विशेष रूप से, i ≤ n के लिए, iवां क्षण iवां बेल संख्या है, यानी आकार i के सेट के विभाजन की संख्या।

संभाव्यता वितरण को सीमित करना
जैसे-जैसे अनुमत सेट का आकार बढ़ता है, हमें निम्नलिखित प्राप्त होता है


 * $$\lim_{n\to\infty} {D_{n,k} \over n!} = {e^{-1} \over k!}. $$

यह केवल संभावना है कि अपेक्षित मान 1 वाला पॉइसन-वितरित यादृच्छिक चर k के बराबर है। दूसरे शब्दों में, जैसे-जैसे n बढ़ता है आकार n के एक सेट के यादृच्छिक क्रमचय के निश्चित बिंदुओं की संख्या का प्रायिकता वितरण अपेक्षित मान 1 के साथ पॉइसन वितरण तक पहुंचता है।

यह भी देखें

 * ओबरवॉल्फ समस्या, एक अलग गणितीय समस्या जिसमें टेबल पर भोजन करने वालों की व्यवस्था समिलित है
 * Probleme des ménages, इसी तरह की एक समस्या जिसमें आंशिक अव्यवस्था समिलित है

संदर्भ

 * Riordan, John, An Introduction to Combinatorial Analysis, New York, Wiley, 1958, pages 57, 58, and 65.