आव्यूह विश्लेषणिक विधि

प्रायिकता सिद्धांत में, आव्यूह विश्लेषणिक विधि एक तकनीक है जिसका उपयोग मार्कॉव श्रृंखला के स्थायी प्रासंगिकता वितरण की गणना के लिए किया जाता है जो किसी निश्चित बिंदु के बाद एक बार पुनरावर्ती संरचना और एकांत्रित स्थिति अंतराल में अंतिम नहीं होता है और न किसी आयाम में असीमित रूप से विकसित होता है। ऐसे प्रारूपों को प्रायःएम/जी/1 प्रकार की मार्कोव श्रृंखलाओं के रूप में वर्णित किया जाता है क्योंकि वेएम/जी/1 कतार में परिवर्तन का वर्णन कर सकते हैं। विधि आव्यूह ज्यामितीय विधि का एक अधिक जटिल संस्करण है और एम/जी/1 श्रृंखलाओं के लिए पारंपरिक समाधान विधि है।

विधि विवरण
एक एम/जी/1-प्रकार स्टोकेस्टिक आव्यूह एक रूप है


 * $$P = \begin{pmatrix}

B_0   & B_1    & B_2    & B_3    & \cdots \\ A_0   & A_1    & A_2    & A_3    & \cdots \\ & A_0   & A_1    & A_2    & \cdots \\ &       & A_0    & A_1    & \cdots \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & \ddots \end{pmatrix}$$ जहां बीi और एi k × k मैट्रिसेस हैं। (ध्यान दें कि अचिह्नित आव्यूह प्रविष्टियाँ शून्य का प्रतिनिधित्व करती हैं।) ऐसा आव्यूहएम/जी/1 कतार में एम्बेडेड मार्कोव श्रृंखला का वर्णन करता है। यदि P मार्कोव श्रृंखला#Reducibility और सकारात्मक आवर्ती है तो स्थिर वितरण समीकरणों के समाधान द्वारा दिया जाता है


 * $$P \pi = \pi \quad \text{ and } \quad \mathbf e^\text{T}\pi = 1$$

जहां ई 1 के बराबर सभी मानों के साथ उपयुक्त आयाम के वेक्टर का प्रतिनिधित्व करता है। पी की संरचना से मेल खाते हुए, π को π में विभाजित किया गया है1, पाई2, पाई3, …. इन संभावनाओं की गणना करने के लिए कॉलम स्टोचैस्टिक आव्यूह जी की गणना की जाती है


 * $$ G = \sum_{i=0}^\infty G^i A_i.$$

G को सहायक आव्यूह कहा जाता है। मैट्रिसेस परिभाषित हैं


 * $$\begin{align}

\overline{A}_{i+1} &= \sum_{j=i+1}^\infty G^{j-i-1}A_j \\ \overline{B}_i &= \sum_{j=i}^\infty G^{j-i}B_j \end{align}$$ फिर π0 हल करके पाया जाता है


 * $$\begin{align}

\overline{B}_0 \pi_0 &= \pi_0\\ \quad \left(\mathbf e^{\text{T}} + \mathbf e^{\text{T}}\left(I - \sum_{i=1}^\infty \overline{A}_i\right)^{-1}\sum_{i=1}^\infty \overline{B}_i\right) \pi_0 &= 1 \end{align}$$ और πi रामास्वामी के सूत्र द्वारा दिए गए हैं, 1988 में वैद्यनाथन रामास्वामी द्वारा पहली बार प्रकाशित एक संख्यात्मक रूप से स्थिर संबंध।
 * $$\pi_i = (I-\overline{A}_1)^{-1} \left[ \overline{B}_{i+1} \pi_0 + \sum_{j=1}^{i-1} \overline{A}_{i+1-j}\pi_j \right], i \geq 1.$$

जी
की गणना

G की गणना के लिए दो लोकप्रिय पुनरावृत्त विधियाँ हैं,
 * कार्यात्मक पुनरावृत्तियाँ
 * चक्रीय कमी।

उपकरण

 * MAMSolver