द्वयाधारी फलन

गणित में द्वयाधारी फलन (बाइनरी फ़ंक्शन) जिसे दो चरों वाला फलन भी कहा जाता है, ऐसा गणितीय फलन है जो मुख्यतः दो निवेशों का उपयोग करता है।

इस प्रकार हम कह सकते हैं कि यदि किसी फलन $$f$$ में समुच्चय उपस्थिति है तो बाइनरी $$X, Y, Z$$ के रूप में प्रदर्शित होंगी, इसे हम इस प्रकार लिख सकते हैं-
 * $$\,f \colon X \times Y \rightarrow Z$$

जहाँ $$X \times Y$$ का कार्टेशियन उत्पाद $$X$$ और $$Y.$$ है।

वैकल्पिक परिभाषाएँ
समुच्चय-सैद्धांतिक मुख्यतः किसी द्वयाधारी फलन को कार्टेशियन उत्पाद के उपसमुच्चय के रूप में दर्शाया जा सकता है, इस प्रकार $$X \times Y \times Z$$ को मुख्य रूप से $$(x,y,z)$$ उपसमुच्चय के अंतर्गत उपयोग किया जाता है, इस प्रकार यदि $$f(x,y) = z$$. होता हैं तब इसके विपरीत किसी उपसमुच्चय $$R$$ के द्वयाधारी फलन को परिभाषित करता है, इस प्रकार यदि सार्वभौमिक परिमाणीकरण $$x \in X$$ और $$y \in Y$$ अस्तित्वगत मात्रा में विशिष्टता मात्रा के रूप में प्राप्त होते हैं तो  $$z \in Z$$ को हम इस प्रकार लिख सकते हैं कि $$(x,y,z)$$ से संबंधित $$R$$. को $$f(x,y)$$ के रूप में लिखा जा सकता हैंं, इस स्थिति में इसे $$z$$ द्वारा परिभाषित करते हैं।

वैकल्पिक रूप से, एक द्वयाधारी फलन की व्याख्या इस गणितीय फलन के रूप में की जा सकती है। इस प्रकार $$X \times Y$$ को $$Z$$ के रूप में लिख सकते हैं। चूंकि सामान्य रूप से हम इसे $$f(x,y)$$ के अतिरिक्त $$f((x,y))$$ के रूप में लिख सकते हैं अर्थात्, कोष्ठकों की इस जोड़ी का उपयोग फलन अनुप्रयोग और आदेशित जोड़ी के गठन दोनों को इंगित करने के लिए किया जाता है।

उदाहरण
पूर्णांक के विभाजन को एक कार्य के रूप में माना जा सकता है। यदि $$\Z$$ पूर्णांकों का समुच्चय है, $$\N^+$$ प्राकृतिक संख्याओं जिसमें शून्य को छोड़कर अन्य के लिए यह उचित समुच्चय है, और $$\Q$$ परिमेय संख्याओं का समुच्चय है, तो विभाजन के लिए द्विआधारी फलन $$f:\Z \times \N^+ \to \Q$$ है।

इसका अन्य उदाहरण आंतरिक उत्पादों से संयोजित है, जिसका अधिक सामान्य रूप से प्रपत्र $$(x,y)\mapsto x^\mathrm{T}My$$ के फलन के लिए उपयोगी है, जहाँ $x$, $y$ उचित आकार का वास्तविक सदिश हैं और $M$ आव्यूह को प्रकट करता है। इस प्रकार यदि $M$  धनात्मक आव्यूह है, तो इस स्थिति में यह आंतरिक उत्पाद द्वारा प्राप्त होता है।

दो वास्तविक चरों के कार्य
ऐसे कार्य जिनका डोमेन उपसमुच्चय $$\mathbb{R}^2$$ है, अधिकांशतः दो चरों वाले फलन भी कहलाते हैं, भले ही उनका डोमेन आयत न बनाता हो और इस प्रकार दो समुच्चयों का कार्तीय गुणनफल को प्रकट करते हैं।

साधारण कार्यों के लिए प्रतिबंध
इसके अतिरिक्त यदि किसी द्वयाधारी फलन से उक्त चर के सामान्य कार्यों को भी प्राप्त किया जा सकता है। इस प्रकार $$x \in X$$ तत्व को दिये गया फलन $$f^x$$, या $$f(x,\cdot)$$ है, जिससे $$Y$$ को $$Z$$, द्वारा $$f^x(y) = f(x,y)$$ मान प्राप्त होता हैं। इसी प्रकार, किसी भी तत्व से प्राप्त $$y \in Y$$ ऐसा फलन है, जिसके लिए $$f_y$$, या $$f(\cdot,y)$$, से $$X$$ को $$Z$$, द्वारा दिए गए $$f_y(x) = f(x,y)$$ फलन कंप्यूटर विज्ञान में इस फलन के बीच $$X \times Y$$ को $$Z$$ और इसके साथ फलन $$X$$ को $$Z^Y$$को प्रकट करते हैं, जहाँ $$Z^Y$$ से सभी कार्यों का समुच्चय है $$Y$$ को $$Z$$ प्रदर्शित करता है।

सामान्यीकरण
इस फलन से संबंधित विभिन्न अवधारणाओं को बाइनरी कार्यों के लिए भी सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त विभाजन उदाहरण विशेषण फलन है क्योंकि प्रत्येक परिमेय संख्या को पूर्णांक और प्राकृतिक संख्या के भागफल के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

यह उदाहरण प्रत्येक इनपुट में अलग-अलग इंजेक्शन फलन को प्रकट करता है, क्योंकि फलन fX और Fy सदैव संयोजित रहते हैं। चूंकि, यह दोनों चरों में एक साथ संयोजित नहीं है, उदाहरण के लिए f (2,4) = f (1,2) इसका उदाहरण हैं।

आंशिक द्वयाधारी फलन पर भी विचार किया जा सकता है, जिसे केवल इनपुट के कुछ मानों के लिए परिभाषित किया जा सकता है।

उदाहरण के लिए, उपरोक्त विभाजन उदाहरण को 'Z' और 'N' से 'Q' तक आंशिक द्वयाधारी फलन के रूप में भी समझा जा सकता है, जहां 'N' शून्य सहित सभी प्राकृतिक संख्याओं का समूह है।

अपितु जब दूसरा इनपुट शून्य होता है तो यह फलन अपरिभाषित होता है।

यह बाइनरी ऑपरेशन ऐसा द्वयाधारी फलन है जहां समुच्चय X, Y और Z सभी समान हैं; बीजगणितीय संरचनाओं को परिभाषित करने के लिए अधिकांशतः द्विआधारी संक्रियाओं का उपयोग किया जाता है।

रैखिक बीजगणित में, एक बिलिनियर ऑपरेटर एक द्वयाधारी फलन होता है जहां समुच्चय X, Y और Z सभी सदिश रिक्त स्थान होते हैं और व्युत्पन्न फलन f X और Fy सभी रैखिक परिवर्तन हैं।

इस प्रकार किसी भी द्वयाधारी फलन के समान यह एक बिलिनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन को X × Y से Z तक के फलन के रूप में व्याख्या किया जा सकता है, अपितु सामान्य रूप से यह फलन रैखिक नहीं होगा।

चूंकि, बिलिनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन की व्याख्या टेन्सर उत्पाद से सिंगल लीनियर ट्रांसफ़ॉर्मेशन के रूप में भी की जा सकती है, जिसे $$X \otimes Y$$ के रूप में प्रकट करते हैं।

त्रिगुट और अन्य फलनों का सामान्यीकरण
द्वयाधारी फलन की अवधारणा टर्नरी (या 3-ऐरे) फलन, चतुर्धातुक (या 4-ऐरे) फलन, या सामान्यतः किसी भी प्राकृतिक संख्या एन के लिए n-ऐरे फलन के लिए सामान्यीकृत होती है।

Z को एक 0-ऐरे फलन केवल Z के एक तत्व द्वारा दिया जाता है।

इस प्रकार यह A-ऐरे फलन को भी परिभाषित कर सकता है जहां A समुच्चय को प्रकट करता है, A के प्रत्येक तत्व के लिए इनपुट के रूप में प्रयुक्त होता हैं।

श्रेणी सिद्धांत
श्रेणी सिद्धांत में, n-ऐरे फलन बहुश्रेणी में n-ऐरे संरचना के लिए सामान्यीकरण करते हैं।

किसी n-ऐरे मोर्फिज्म की व्याख्या साधारण मोर्फिज्म के रूप में जिसका डोमेन मूल n-ऐरे मॉर्फिज्म के डोमेन के कुछ प्रकार का उत्पाद है, इस प्रकार यह मोनोइडल श्रेणी में कार्य करता हैं। इस वैरियेबल के व्युत्पन्न मौर्फिज्म का निर्माण क्लोज्ड मोनोडल श्रेणी में कार्य करेगा। समुच्चय की यह श्रेणी मोनोइडल क्लोज्ड रहती है, अपितु सदिश रिक्त स्थान की श्रेणी भी है, जिसके ऊपर बिलिनियर परिवर्तन की धारणा उपयोग की जाती है।

यह भी देखें

 * ऐरेटी