डुओडेसिमल

डुओडेसिमल प्रणाली (जिसे आधार 12, दर्जन, या, शायद ही कभी, असियल के रूप में भी जाना जाता है) 12 (संख्या) का उपयोग कर मूलांक के रूप में एक स्थितीय अंकन अंक प्रणाली है। संख्या बारह (अर्थात्, दशमलव संख्या प्रणाली में 12 के रूप में लिखी गई संख्या) को ग्रहणी में 10 के रूप में लिखा जाता है (अर्थात् 1 दस और 0 इकाइयों के बजाय 1 दर्जन और 0 इकाइयाँ), जबकि अंक स्ट्रिंग 12 का अर्थ है 1 दर्जन और 2 इकाइयां (दशमलव 14)। इसी तरह, डुओडेसिमल में, 100 का मतलब 1 सकल (इकाई), 1000 का मतलब 1 बड़ा सकल और 0.1 का मतलब 1 बारहवां होता है (उनके दशमलव अर्थ क्रमशः 1 सौ, 1 हज़ार, और 1 दसवां होता है)।

डुओडेसिमल नोटेशन में दस और ग्यारह के लिए खड़े होने के लिए विभिन्न प्रतीकों का उपयोग किया गया है; यह पृष्ठ उपयोग करता है और, हेक्साडेसिमल के रूप में, जो शून्य से बारह तक डुओडेसिमल गिनती करते हैं, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 पढ़ें, , , 10. अमेरिका और ग्रेट ब्रिटेन के डोजेनल सोसाइटीज (ड्यूओडेसिमल के उपयोग को बढ़ावा देने वाले संगठन) अपनी प्रकाशित सामग्री में टर्न डिजिट का उपयोग करते हैं: ↊ (एक टर्न 2) दस के लिए और ↋ (3 टर्न) ग्यारह के लिए।

संख्या बारह, एक श्रेष्ठ अत्यधिक संमिश्र संख्या, चार गैर-तुच्छ पूर्णांक गुणनखंडों (2, 3, 4, 6) के साथ सबसे छोटी संख्या है, और उपकरना रेंज के भीतर सभी चार संख्याओं (1 से 4) को कारकों के रूप में शामिल करने के लिए सबसे छोटी संख्या है।, और सबसे छोटी प्रचुर संख्या। चिकनी संख्या के गुणक व्युत्क्रम के सभी गुणक | 3-चिकनी संख्या ($a⁄2^{b}·3^{c}$ कहाँ पे $a,b,c$ पूर्णांक हैं) ग्रहणी में एक समाप्ति दशमलव प्रतिनिधित्व है। विशेष रूप से, $undefined 1/4$ (0.3), $undefined 1/3$ (0.4), $undefined 1/2$ (0.6), $undefined 2/3$(0.8), और $undefined 3/4$(0.9) सभी का डुओडेसिमल में शॉर्ट टर्मिनेटिंग रिप्रेजेंटेशन है। डुओडेसिमल गुणन तालिका में भी उच्च नियमितता देखी जा सकती है। नतीजतन, डुओडेसिमल को इष्टतम संख्या प्रणाली के रूप में वर्णित किया गया है। इन मामलों में, डुओडेसिमल को दशमलव से बेहतर माना जाता है (जिसके कारक के रूप में केवल 2 और 5 हैं) और अन्य प्रस्तावित आधार जैसे अष्टभुजाकार या हेक्साडेसिमल। साठवाँ इस संबंध में और भी बेहतर करता है (सभी नियमित संख्याओं के व्युत्क्रम | 5-चिकनी संख्याएं समाप्त होती हैं), लेकिन बोझल गुणन सारणी और याद रखने के लिए बड़ी संख्या में प्रतीकों की कीमत पर।

उत्पत्ति

 * इस भाग में अंक दशमलव अंकीय अंक पर आधारित होते हैं। उदाहरण के लिए, 10 का अर्थ 10 (संख्या) और 12 का अर्थ 12 (संख्या) है।

ग्रहणी संख्या प्रणाली का उपयोग करने वाली भाषाएँ असामान्य हैं। नाइजीरियाई मध्य बेल्ट में भाषाएँ जैसे जंजी भाषा, गबिरी-निरागु भाषा | गबिरी-निरागु (गुरे-कहुगु), पिटी भाषा, और ग्वांडारा भाषा की निंबिया बोली; और नेपाल की चेपांग भाषा डुओडेसिमल अंकों का उपयोग करने के लिए जाने जाते हैं।

जर्मनिक भाषाओं में 11 और 12 के लिए विशेष शब्द होते हैं, जैसे अंग्रेजी भाषा में ग्यारह और बारह। वे आद्य-युरोपीय *ऐनलिफ़ और *ट्वालिफ़ (अर्थात् क्रमशः एक बाएँ और दो बाएँ) से आते हैं, जो ग्रहणी मूल के बजाय एक दशमलव का सुझाव देते हैं। हालाँकि, पुराने नॉर्स ने एक संकर दशमलव / ग्रहणी गणना प्रणाली का उपयोग किया था, जिसके शब्द एक सौ अस्सी का अर्थ 200 और दो सौ का अर्थ 240 था। ब्रिटिश द्वीपों पर, गिनती की यह शैली लंबे सौ के रूप में मध्य युग में अच्छी तरह से जीवित रही।

ऐतिहासिक रूप से, कई सभ्यताओं में समय की माप की इकाई ग्रहणी है। राशि चक्र के बारह संकेत हैं, एक वर्ष में बारह महीने, और बेबीलोनियों के पास एक दिन में बारह घंटे होते थे (हालांकि किसी समय इसे बदलकर 24 कर दिया गया था)। पारंपरिक चीनी कैलेंडर, घड़ियां और कम्पास बारह सांसारिक शाखाओं या 24 (12×2) सौर शर्तों पर आधारित हैं। एक शाही पैर में 12 इंच, एक ट्रॉय पाउंड में 12 ट्रॉय वजन औंस, एक शिलिंग में 12 ब्रिटिश एक पैसा सिक्का (पूर्व-दशमलव), एक दिन में 24 (12×2) घंटे, और कई अन्य आइटम गिने जाते हैं दर्जन, सकल (इकाई) (144 (संख्या), 12 की वर्ग संख्या), या महान सकल (1728 (संख्या), 12 का घन (अंकगणित)। रोमनों ने 12 पर आधारित एक अंश प्रणाली का उपयोग किया, जिसमें उनसिया (लंबाई) भी शामिल है, जो अंग्रेजी शब्द औंस और इंच दोनों बन गए। पूर्व-दशमलव दिवस, आयरलैंड गणराज्य और यूनाइटेड किंगडम ने एक मिश्रित डुओडेसिमल-विगेसिमल मुद्रा प्रणाली (12 पेंस = 1 शिलिंग, 20 शिलिंग या 240 पेंस पौंड स्टर्लिंग या आयरिश पाउंड) का उपयोग किया, और शारलेमेन ने एक मौद्रिक प्रणाली की स्थापना की जिसमें बारह और बीस का मिश्रित आधार, जिसके अवशेष कई स्थानों पर मौजूद हैं।

12 के महत्व को एक वर्ष में चंद्र चक्रों की संख्या के साथ-साथ इस तथ्य के लिए जिम्मेदार ठहराया गया है कि मनुष्य के एक हाथ में 12 अंगुल की हड्डियाँ (फलांक्स की हड्डी) होती हैं (चार अंगुलियों में से प्रत्येक में तीन)। 12 तक गिनना संभव है, अंगूठा एक संकेतक के रूप में कार्य करता है, बारी-बारी से प्रत्येक उंगली की हड्डी को छूता है। एशिया के कई क्षेत्रों में अभी भी उपयोग की जाने वाली एक पारंपरिक उंगली गिनती प्रणाली इस तरह से काम करती है और 10, 20 और 5 के आधार पर 12 और 60 के आधार पर अंक प्रणालियों की घटना को समझाने में मदद कर सकती है। इस प्रणाली में, एक ( आम तौर पर दाएं) हाथ बार-बार 12 तक गिनता है, दूसरे (आमतौर पर बाएं) पर पुनरावृत्तियों की संख्या प्रदर्शित करता है, जब तक कि पांच दर्जन, यानी 60, पूर्ण नहीं हो जाते।

अंकन और उच्चारण
एक नंबरिंग प्रणाली में, आधार (डुओडेसिमल के लिए बारह) को 10 के रूप में लिखा जाना चाहिए, लेकिन मात्राओं (मानों की गणना) को दस और ग्यारह कैसे लिखना है, इसके लिए कई प्रस्ताव हैं।

ट्रांसडेसिमल प्रतीक
टाइपराइटर पर प्रवेश की अनुमति देने के लिए, पत्र जैसे $⟨ten, eleven⟩$ (हेक्साडेसिमल के रूप में), $⟨A, B⟩$ (दस और ग्यारह के आद्याक्षर), $⟨T, E⟩$ (दस के लिए रोमन अंक से X), या $⟨X, E⟩$ उपयोग किया जाता है। कुछ यूनानी अक्षरों का प्रयोग करते हैं जैसे कि $⟨X, Z⟩$ (ग्रीक से δέκα 'दस' और ένδεκα 'ग्यारह'), या $⟨δ, ε⟩$. डुओडेसिमल के लिए एक शुरुआती अमेरिकी अधिवक्ता फ्रैंक एमर्सन एंड्रयूज ने अपनी पुस्तक न्यू नंबर्स में सुझाव दिया और इसका इस्तेमाल किया $⟨τ, ε⟩$ (स्क्रिप्ट कैपिटल ई, U+2130).

एडना क्रेमर ने अपनी 1951 की पुस्तक द मेन स्ट्रीम ऑफ मैथमैटिक्स में इस्तेमाल किया था $⟨W, ∂⟩$ (सेक्सटाइल या सिक्स-पॉइंटेड एस्टरिस्क, नंबर साइन या ऑक्टोथोरपे)। प्रतीकों को इसलिए चुना गया क्योंकि वे कुछ टाइपराइटरों पर उपलब्ध थे; वे पुश-बटन टेलीफोन पर भी हैं। 1974 से 2008 तक डोजेनल सोसाइटी ऑफ अमेरिका (डीएसए) के प्रकाशनों में इस संकेतन का उपयोग किया गया था। 2008 से 2015 तक, डीएसए ने इस्तेमाल किया $⟨X, ℰ⟩$, विलियम एडिसन डविगिन्स द्वारा तैयार किए गए प्रतीक। डोजेनल सोसायटी ऑफ ग्रेट ब्रिटेन (डीएसजीबी) ने प्रतीकों का प्रस्ताव रखा $⟨⚹, #⟩$. 180 डिग्री रोटेशन द्वारा अरबी अंकों से प्राप्त यह अंकन, आइजैक पिटमैन द्वारा पेश किया गया था। मार्च 2013 में, यूनिकोड में डोजेनल सोसाइटीज द्वारा प्रचारित दस और ग्यारह के लिए अंकों के रूपों को शामिल करने के लिए एक प्रस्ताव प्रस्तुत किया गया था। इनमें से, ब्रिटिश/पिटमैन रूपों को कोड बिंदुओं पर वर्णों के रूप में एन्कोडिंग के लिए स्वीकार किया गया था और. उन्हें यूनिकोड 8.0 (2015) में शामिल किया गया था। पिटमैन अंकों को यूनिकोड में जोड़े जाने के बाद, डीएसए ने एक वोट लिया और इसके बजाय पिटमैन अंकों का उपयोग करके सामग्री प्रकाशित करना शुरू किया। वे अभी भी ASCII पाठ में अक्षर X और E का उपयोग करते हैं। जैसा कि यूनिकोड वर्ण खराब समर्थित हैं, यह पृष्ठ उपयोग करता है "" और "".

अन्य प्रस्ताव अधिक रचनात्मक या सौंदर्यवादी हैं; उदाहरण के लिए, कई लोग अलग पहचान के सिद्धांत के तहत अरबी अंकों का उपयोग नहीं करते हैं।

आधार अंकन
दशमलव संख्या से डुओडेसिमल संख्या को अलग करने के तरीके के अलग-अलग प्रस्ताव भी हैं। उनमें डुओडेसिमल संख्या 54 = 64 को इटैलिकाइज़ करना शामिल है, डुओडेसिमल संख्या 54;6 = 64.5, या दोनों के कुछ संयोजन में हम्फ्री बिंदु (दशमलव बिंदु के बजाय एक अर्धविराम) जोड़ना शामिल है। अन्य लोग आधार को इंगित करने के लिए सबस्क्रिप्ट या चिपकाए गए लेबल का उपयोग करते हैं, जो दशमलव और ग्रहणी से अधिक का प्रतिनिधित्व करने की अनुमति देता है (एकल अक्षर 'z' के लिए do'z'enal का उपयोग 'd' के रूप में किया जाता है जिसका अर्थ दशमलव होगा) जैसे 54z = 64d,  5412 = 6410या दर्जन 54 = दिसम्बर 64।

उच्चारण
डोजेनल सोसाइटी ऑफ अमेरिका ने दस और ग्यारह के उच्चारण को डेक और एल के रूप में सुझाया। बारह की शक्तियों के नाम के लिए दो प्रमुख प्रणालियाँ हैं।

डुओडेसिमल नंबर
इस प्रणाली में, अंशों के लिए उपसर्ग ई- जोड़ा जाता है।

इस श्रंखला में एकाधिक अंकों का उच्चारण अलग-अलग तरीके से किया जाता है: 12 दो दो है; 30 तीन करना है; 100 ग्रो है; 9 एल ग्रो देक डू नाइन है; 86 है एल ग्रो आठ डू सिक्स; 8,15 आठ ग्रो एल डू एल है, वन ग्रो फाइव डू डेक एबीए डेक ग्रो एल डू डेक बीबीबी एल ग्रो एल डू एल है और 0.06 सिक्स एग्रो वगैरह है।

सिस्टमैटिक डोजेनल नोमेनक्लेचर (SDN)
यह प्रणाली 12 की सकारात्मक शक्तियों के लिए -qua समाप्ति और 12 की नकारात्मक शक्तियों के लिए समाप्त होने वाले -cia का उपयोग करती है, और IUPAC व्यवस्थित तत्व नामों का एक विस्तार (ग्रहणी के लिए आवश्यक दो अतिरिक्त अंकों के लिए सिलेबल्स dec और lev के साथ) व्यक्त करने के लिए शक्ति का अर्थ है।

वकालत और दर्जनवाद
विलियम जेम्स सैट ने 1906 में अपनी निर्मित भाषा विलियम जेम्स सिडिस # वेंडरगुड भाषा के लिए आधार के रूप में 12 का उपयोग किया, यह देखते हुए कि यह चार कारकों और वाणिज्य में इसकी व्यापकता के साथ सबसे छोटी संख्या है। डुओडेसिमल सिस्टम के मामले को फ्रैंक एमर्सन एंड्रयूज की 1935 की पुस्तक न्यू नंबर्स: हाउ एक्सेप्टेंस ऑफ ए डुओडेसिमल बेस विल सिंप्लिफाई मैथमैटिक्स में विस्तार से प्रस्तुत किया गया था। इमर्सन ने नोट किया कि, वजन और माप की कई पारंपरिक इकाइयों में बारह के कारकों की व्यापकता के कारण, मीट्रिक प्रणाली के लिए दावा किए गए कई कम्प्यूटेशनल लाभों को या तो दस-आधारित वजन और माप को अपनाने या अपनाने से महसूस किया जा सकता है। ग्रहणी संख्या प्रणाली।

डोजेनल सोसाइटी ऑफ अमेरिका और डोजेनल सोसाइटी ऑफ ग्रेट ब्रिटेन दोनों आधार-बारह प्रणाली को व्यापक रूप से अपनाने को बढ़ावा देते हैं। अधिक स्पष्ट आधार-दस शब्दावली से बचने के लिए वे डुओडेसिमल के बजाय दर्जन शब्द का उपयोग करते हैं। हालाँकि, डोजेनल की व्युत्पत्ति भी आधार-दस शब्दावली पर आधारित एक अभिव्यक्ति है क्योंकि डज़न फ्रांसीसी शब्द डौज़ाइन की प्रत्यक्ष व्युत्पत्ति है जो बारह के लिए फ्रांसीसी शब्द का व्युत्पन्न है: विक्ट: डौज़, लैटिन डुओडेसिम से निकला है।

चूंकि कम से कम 1945 तक डोजेनल सोसाइटी ऑफ अमेरिका और डोजेनल सोसाइटी ऑफ ग्रेट ब्रिटेन के कुछ सदस्यों ने सुझाव दिया है कि एक अधिक उपयुक्त शब्द अनैतिक होगा। Uncial लैटिन शब्द uncia की व्युत्पत्ति है, जिसका अर्थ है एक-बारहवां, और लैटिन शब्द डेसीमा का आधार-बारह एनालॉग भी है, जिसका अर्थ है एक-दसवां। गणितज्ञ और मानसिक कैलकुलेटर अलेक्जेंडर ऐटकेन डुओडेसिमल के मुखर समर्थक थे: "The duodecimal tables are easy to master, easier than the decimal ones; and in elementary teaching they would be so much more interesting, since young children would find more fascinating things to do with twelve rods or blocks than with ten. Anyone having these tables at command will do these calculations more than one-and-a-half times as fast in the duodecimal scale as in the decimal. This is my experience; I am certain that even more so it would be the experience of others."

- A. C. Aitken

"But the final quantitative advantage, in my own experience, is this: in varied and extensive calculations of an ordinary and not unduly complicated kind, carried out over many years, I come to the conclusion that the efficiency of the decimal system might be rated at about 65 or less, if we assign 100 to the duodecimal."

- A. C. Aitken

मीडिया में
लिटिल ट्वेल्वेटो में, अमेरिकी टेलीविजन श्रृंखला स्कूलहाउस रॉक! आधार-बारह अंकगणित का उपयोग करते हुए एक एलियन को चित्रित किया, दस और ग्यारह के लिए डेक और एल का उपयोग करते हुए, और अंकों के प्रतीकों के लिए एंड्रयूज की स्क्रिप्ट-एक्स और स्क्रिप्ट-ई का उपयोग किया।

माप की डुओडेसिमल प्रणाली
दर्जनवादियों द्वारा प्रस्तावित मापन प्रणालियों में शामिल हैं:
 * टॉम पेंडलेबरी का टीजीएम सिस्टम
 * ताकाशी सुगा की यूनिवर्सल यूनिट सिस्टम * जॉन वोलन की प्रिमल प्रणाली

अन्य संख्या प्रणालियों से तुलना
डोजेनल सोसाइटी ऑफ अमेरिका का तर्क है कि यदि कोई आधार बहुत छोटा है, तो संख्याओं के लिए काफी लंबे विस्तार की आवश्यकता है; और यदि आधार बहुत बड़ा है, तो अंकगणित करने के लिए एक बड़ी गुणन सारणी को याद करना चाहिए। इस प्रकार यह माना जाता है कि एक संख्या आधार को लगभग 7 या 8 से लगभग 16 के बीच होना चाहिए, संभवतः 18 और 20 सहित।

संख्या 12 के छह कारक हैं, जो 1 (संख्या), 2 (संख्या), 3 (संख्या), 4 (संख्या), 6 (संख्या), और 12 (संख्या) हैं, जिनमें से 2 और 3 अभाज्य संख्याएँ हैं। यह छह गुणनखंड वाली सबसे छोटी संख्या है, सबसे बड़ी संख्या जिसके नीचे भाजक के रूप में कम से कम आधी संख्या है, और 10 से बहुत बड़ी नहीं है। (संख्या 18 और 20 में भी छह गुणनखंड हैं, लेकिन बहुत बड़े हैं। ) दशमलव के केवल चार कारक हैं, जो 1 (संख्या), 2 (संख्या), 5 (संख्या) और 10 (संख्या) हैं, जिनमें से 2 और 5 अभाज्य हैं। सेनानी (आधार 6) प्रमुख कारक 2 और 3 को डुओडेसिमल के साथ साझा करता है, लेकिन दशमलव की तरह इसमें छह के बजाय केवल चार कारक (1, 2, 3 और 6) हैं, और यह डीएसए की घोषित सीमा से नीचे है।

ऑक्टल (आधार 8) के चार कारक हैं, 1, 2, 4 और 8 (संख्या), लेकिन केवल एक प्रमुख कारक (2) है। हेक्साडेसिमल (आधार 16) पांचवें कारक के रूप में 16 (संख्या) जोड़ता है, लेकिन फिर भी कोई अतिरिक्त अभाज्य नहीं है। ऐसा इसलिए है क्योंकि 16=8×2, और 8 में पहले से ही एक कारक के रूप में 2 है।

ट्राइजेसिमल (आधार 30) सबसे छोटी प्रणाली है जिसमें तीन अलग-अलग प्रमुख कारक हैं (सभी तीन सबसे छोटे अभाज्य: 2, 3 और 5) और इसके कुल आठ कारक हैं (1, 2, 3, 5, 6, 10, 15), और 30)। सेक्सेजिमल - जो प्राचीन सुमेरियन और बेबिलोनिया दूसरों के बीच वास्तव में इस्तेमाल करते थे - इसमें चार सुविधाजनक कारक 4, 12, 20 और 60 जोड़ते हैं लेकिन कोई नया प्रमुख कारक नहीं है। सबसे छोटी प्रणाली जिसमें चार अलग-अलग प्रमुख कारक हैं आधार 210 है और पैटर्न आदिमों का अनुसरण करता है। हालाँकि, ये बहुत बड़े आधार हैं।

सभी आधार प्रणालियों में, संख्याओं के गुणकों के प्रतिनिधित्व में समानताएं होती हैं जो आधार से एक कम या एक अधिक होती हैं।

दशमलव से और उससे रूपांतरण तालिकाएँ
आधारों के बीच संख्याओं को परिवर्तित करने के लिए, कोई सामान्य रूपांतरण एल्गोरिथ्म का उपयोग कर सकता है (आधार रूपांतरण के तहत संबंधित अनुभाग देखें)। वैकल्पिक रूप से, कोई अंक-रूपांतरण तालिकाओं का उपयोग कर सकता है। नीचे दिए गए का उपयोग 0; 01 और के बीच किसी भी डुओडेसिमल संख्या को बदलने के लिए किया जा सकता है ,; दशमलव के लिए, या 0.01 और 999,999.99 के बीच किसी भी दशमलव संख्या के लिए ग्रहणी। उनका उपयोग करने के लिए, दी गई संख्या को पहले केवल एक महत्वपूर्ण अंक के साथ संख्याओं के योग में विभाजित किया जाना चाहिए। उदाहरण के लिए:


 * 123,456.78 = 100,000 + 20,000 + 3,000 + 400 + 50 + 6 + 0.7 + 0.08

यह अपघटन उसी तरह से काम करता है, चाहे संख्या किसी भी आधार पर व्यक्त की गई हो। बस प्रत्येक गैर-शून्य अंक को अलग करें, उनके संबंधित स्थान मानों को संरक्षित करने के लिए आवश्यक शून्य के साथ पैडिंग करें। यदि दी गई संख्या में अंकों में शून्य (उदाहरण के लिए, 102,304.05) शामिल हैं, तो ये निश्चित रूप से अंकों के अपघटन (102,304.05 = 100,000 + 2,000 + 300 + 4 + 0.05) में छोड़े गए हैं। फिर प्रत्येक अंक के लिए लक्ष्य आधार में समतुल्य मान प्राप्त करने के लिए अंक रूपांतरण तालिका का उपयोग किया जा सकता है। यदि दी गई संख्या ग्रहणी में है और लक्ष्य आधार दशमलव है, तो हम प्राप्त करते हैं:


 * (duodecimal) 100,000 + 20,000 + 3,000 + 400 + 50 + 6 + 0;7 + 0;08 = (decimal) 248,832 + 41,472 + 5,184 + 576 + 60 + 6 + 0.58$⟨↊, ↋⟩$333333333... + 0.0$⟨Dozenal us 10.svg, Dozenal us 11.svg⟩$5555555555...

अब, क्योंकि योग पहले से ही आधार दस में परिवर्तित हो चुके हैं, सामान्य दशमलव अंकगणित का उपयोग रूपांतरण परिणाम पर पहुंचने के लिए जोड़ और संख्या को फिर से करने के लिए किया जाता है:

डुओडेसिमल -> दशमलव

100,000 = 248,832   20,000 = 41,472     3,000 = 5,184       400 = 576        50 = 60  + 6 = + 6         0;7 = 0.58$⟨ten, eleven⟩$333333333...         0;08  =          0.0$⟨\textturntwo, \textturnthree⟩$5555555555...   123,456;78  =    296,130.63$⟨A, B⟩$888888888...

वह है, (duodecimal) 123,456.78 बराबर है (decimal) 296,130.63$⟨T, E⟩$ ≈ 296,130.64

यदि दी गई संख्या दशमलव में है और लक्ष्य आधार ग्रहणी है, तो विधि मूल रूप से समान है। अंक रूपांतरण तालिकाओं का उपयोग करना:

(decimal) 100,000 + 20,000 + 3,000 + 400 + 50 + 6 + 0.7 + 0.08 = (duodecimal) 49,54 + ,68 + 1,80 + 294 + 42 + 6 + 0;8$⟨X, E⟩$4972497249724972497... + 0;$⟨X, Z⟩$062...

हालाँकि, इस योग को करने और संख्या को फिर से बनाने के लिए, अब डुओडेसिमल सिस्टम के लिए अतिरिक्त तालिकाओं का उपयोग करना होगा, दशमलव के लिए अतिरिक्त तालिकाओं के बजाय अधिकांश लोग पहले से ही परिचित हैं, क्योंकि सारांश अब आधार बारह में हैं और इसलिए उनके साथ अंकगणित भी डुओडेसिमल में होना चाहिए। दशमलव में, 6 + 6 बराबर 12 होता है, लेकिन ग्रहणी में यह 10 के बराबर होता है; इसलिए, यदि दशमलव अंकगणित का उपयोग ग्रहणी संख्याओं के साथ किया जाता है, तो एक गलत परिणाम आएगा। डुओडेसिमल में अंकगणित को ठीक से करने पर परिणाम मिलता है:

दशमलव -> डुओडेसिमल

100,000 = 49,54   20,000     =      ,68     3,000     =      1,80       400     =        294        50     =         42  +      6     =   +      6         0.7   =          0;8$⟨δ, ε⟩$4972497249724972497...         0.08  =          0;$⟨τ, ε⟩$062...   123,456.78  =     5,540;9$⟨X, ℰ⟩$43...

वह है, (decimal) 123,456.78 बराबर है (duodecimal) 5,540;9$⟨⚹, #⟩$... ≈ 5,540;94

विभाज्यता नियम
(इस खंड में, सभी संख्याएं ग्रहणी के साथ लिखी गई हैं)

यह खंड डुओडेसिमल में विभाज्यता नियमों के बारे में है।

कोई भी पूर्णांक 1 से विभाज्य है।
 * 1

2 यदि कोई संख्या 2 से विभाज्य है तो उस संख्या का इकाई अंक 0, 2, 4, 6, 8 या होगा.

3 यदि कोई संख्या 3 से विभाज्य है तो उस संख्या का इकाई अंक 0, 3, 6 या 9 होगा।

यदि कोई संख्या 4 से विभाज्य है तो उस संख्या का इकाई अंक 0, 4 या 8 होगा।
 * 4

5 5 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, इकाई के अंक को दोगुना करें और परिणाम को बाकी अंकों से बनी संख्या से घटाएं। यदि परिणाम 5 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 5 से विभाज्य है।

यह नियम 21 से आता है ($$5^2$$).

उदाहरण: 13     नियम => $$|1-2\times3|=5$$, जो 5 से विभाज्य है। 25 नियम => $$|2\texttt B\texttt A-2\times5| = 2\texttt B0(5\times70)$$, जो 5 से विभाज्य है (या 2 पर नियम लागू करें0).

या

5 से विभाज्यता की जाँच करने के लिए, इकाई के अंक को घटाएँ और परिणाम के तिगुने को शेष अंकों से बनी संख्या से घटाएँ। यदि परिणाम 5 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 5 से विभाज्य है।

यह नियम 13 से आता है ($$5\times3$$).

उदाहरण: 13     नियम => $$|3-3\times1|=0$$, जो 5 से विभाज्य है। 25 नियम => $$|5-3\times2\texttt B\texttt A|=8\texttt B1(5\times195)$$, जो 5 से विभाज्य है (या 8 पर नियम लागू करें1).

या

दाएँ से बाएँ दो ब्लॉकों के वैकल्पिक योग का निर्माण करें। यदि परिणाम 5 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 5 से विभाज्य है।

यह नियम 101 से आता है, चूंकि $$101=5\times25$$; इस प्रकार, इस नियम को 25 से विभाज्यता के लिए भी परखा जा सकता है।

उदाहरण:

97,374,627 => $$27-46+37-97=-7\texttt B$$, जो 5 से विभाज्य है।

यदि कोई संख्या 6 से विभाज्य है तो उस संख्या का इकाई अंक 0 या 6 होगा।
 * 6

7 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, इकाई के अंक को तिगुना करें और परिणाम को शेष अंकों से बनी संख्या में जोड़ें। यदि परिणाम 7 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 7 से विभाज्य है।
 * 7

यह नियम 2 से आता है ($$7\times5$$)

उदाहरण: 12     नियम => $$|3\times2+1|=7$$, जो 7 से विभाज्य है। 271नियम => $$|3\times\texttt B+271|=29\texttt A(7\times4\texttt A)$$, जो 7 से विभाज्य है (या 29 पर नियम लागू करें).

या

7 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, इकाई के अंक को घटाएं और बाकी अंकों से बनी संख्या से परिणाम को दोगुना करें। यदि परिणाम 7 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 7 से विभाज्य है।

यह नियम 12 से आता है ($$7\times2$$).

उदाहरण: 12     नियम => $$|2-2\times1|=0$$, जो 7 से विभाज्य है। 271नियम => $$|\texttt B-2\times271|=513 (7\times89)$$, जो 7 से विभाज्य है (या 513 पर नियम लागू करें)।

या

7 से विभाज्यता का परीक्षण करने के लिए, इकाई के अंक को चौगुना करें और परिणाम को बाकी अंकों से बनी संख्या से घटाएं। यदि परिणाम 7 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 7 से विभाज्य है।

यह नियम 41 से आता है ($$7^2$$).

उदाहरण: 12     नियम => $$|4\times2-1|=7$$, जो 7 से विभाज्य है। 271नियम => $$|4\times\texttt B-271|=235(7\times3\texttt B)$$, जो 7 से विभाज्य है (या 235 पर नियम लागू करें)।

या

दाएँ से बाएँ तीन ब्लॉकों के वैकल्पिक योग का निर्माण करें। यदि परिणाम 7 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 7 से विभाज्य है।

यह नियम 1001 से आता है, चूंकि $$1001=7\times11\times17$$, इस प्रकार इस नियम को 11 और 17 की विभाज्यता के लिए भी परखा जा सकता है।

उदाहरण:

386,967,443 => $$443-967+386=-168$$, जो 7 से विभाज्य है।

8 यदि दी गई संख्या के अंतिम 2 अंकों से बनी 2 अंकों की संख्या 8 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 8 से विभाज्य है।

उदाहरण 148, 4120 नियम => चूँकि 48(8*7) 8 से विभाज्य है, तो 148 8 से विभाज्य है। नियम => चूँकि 20(8*3) 8 से विभाज्य है, तो 4120, 8 से विभाज्य है।

9 यदि दी गई संख्या के अंतिम 2 अंकों से बनी 2 अंकों की संख्या 9 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 9 से विभाज्य है।

उदाहरण: 7423, 8330 नियम => चूँकि 23(9*3) 9 से विभाज्य है, तो 7423, 9 से विभाज्य है। नियम => चूँकि 30(9*4) 9 से विभाज्य है, तो 8330, 9 से विभाज्य है।

यदि संख्या 2 और 5 से विभाज्य है तो संख्या किससे विभाज्य है.

यदि किसी संख्या के अंकों का योग से विभाज्य हैतो संख्या से विभाज्य है (दशमलव में नाइन निकालने के बराबर)।

उदाहरण: 29, 6113 नियम => 2+9 = जो विभाज्य है, तो 29 से विभाज्य है. नियम => 6+1++1+3 = 1 जो विभाज्य है, फिर 6113 से विभाज्य है.

यदि कोई संख्या 10 से विभाज्य है तो उस संख्या का इकाई अंक 0 होगा।
 * 10

वैकल्पिक अंकों का योग करें और योग घटाएं। यदि परिणाम 11 से विभाज्य है तो संख्या 11 से विभाज्य है (दशमलव में ग्यारह से विभाज्यता के बराबर)।
 * 1 1

उदाहरण: 66, 9427 नियम => |6-6| = 0 जो 11 से विभाज्य है, तो 66 11 से विभाज्य है। नियम => |(9+2)-(4+7)| = |-| = 0 जो 11 से विभाज्य है, तो 9427, 11 से विभाज्य है।

यदि संख्या 2 और 7 से विभाज्य है तो संख्या 12 से विभाज्य है।
 * 12

13 यदि संख्या 3 और 5 से विभाज्य है तो संख्या 13 से विभाज्य है।

14 यदि दी गई संख्या के अंतिम 2 अंकों से बनी 2 अंकों की संख्या 14 से विभाज्य है तो दी गई संख्या 14 से विभाज्य है।

उदाहरण: 1468, 7394 नियम => चूँकि 68(14*5) 14 से विभाज्य है, तो 1468, 14 से विभाज्य है। नियम => चूँकि 94(14*7) 14 से विभाज्य है, तो 7394, 14 से विभाज्य है।

अंश
डुओडेसिमल फ्रैक्शन (गणित) सरल हो सकता है:
 * $⟨Dozenal us 10.svg, Dozenal us 11.svg⟩$ = 0;6
 * $⟨Dozenal gb 10.svg, Dozenal gb 11.svg⟩$ = 0;4
 * $\overline{3}$ = 0;3
 * $\overline{5}$ = 0;2
 * $\overline{3}$ = 0;16
 * $\overline{5}$ = 0;14
 * $\overline{8}$ = 0;1 (यह बारहवां है, $\overline{8}$ दसवां है)
 * $\overline{4972}$ = 0;09 (यह सोलहवां है, $\overline{0626878105915343}$ चौदहवाँ है)

या जटिल:
 * $\overline{4972}$ = 0;$\overline{0626878105915343}$... आवर्ती (0;24 तक पूर्णांकित)
 * $\overline{4306268781059153}$ = 0;$\overline{4306268781059153}$... आवर्ती (0 पर पूर्णांकित; 187)
 * $\overline{3}$ = 0;1$\overline{4}$... आवर्ती (0;125 तक पूर्णांकित)
 * $\overline{6}$ = 0;$\overline{8}$... आवर्ती (0;111 तक पूर्णांकित)
 * $\overline{3}$ = 0;$\overline{3}$... आवर्ती (0; 0 के लिए गोल1)
 * $\overline{7}$ = 0;0$\overline{6}$... आवर्ती (0; 0 के लिए गोल3)
 * $\overline{2}$ = 0;0$\overline{6}$... आवर्ती (0;097 तक पूर्णांकित)

जैसा कि आवर्ती दशमलव में समझाया गया है, जब भी किसी भी आधार में मूलांक बिंदु नोटेशन में एक अलघुकरणीय अंश लिखा जाता है, तो अंश को सटीक रूप से व्यक्त किया जा सकता है (समाप्त) अगर और केवल अगर इसके भाजक के सभी प्रमुख कारक भी आधार के प्रमुख कारक हैं।

क्योंकि $2 × 5 = 10$, दशमलव प्रणाली में, अंश जिनके हर केवल 2 और 5 के गुणकों से बने होते हैं: $\overline{3}$ = $\overline{1}$, $\overline{6}$ = $\overline{5}$ और $\overline{3}$ = $\overline{4}$ क्रमशः 0.125, 0.05 और 0.002 के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। $\overline{6}$ और $\overline{8}$, हालांकि, (0.333... और 0.142857142857...) की पुनरावृत्ति होती है।

क्योंकि $2 × 2 × 3 = 12$ग्रहणी प्रणाली में, $\overline{2497}$ सटीक है; $\overline{1534306268781059}$ और $\overline{2497}$ पुनरावृत्ति होती है क्योंकि उनमें एक गुणक के रूप में 5 शामिल होता है; $\overline{2687810591534306}$ सटीक है; और $\overline{7249}$ पुनरावर्ती होता है, ठीक वैसे ही जैसे यह दशमलव में होता है।

एक आधार b में अंको की दी गई संख्या, मान लीजिए n के भीतर सांत भिन्न देने वाले हरों की संख्या, b के गुणनखंडों (भाजक) की संख्या होती हैn, आधार b की nवीं शक्ति (हालांकि इसमें भाजक 1 शामिल है, जो भाजक के रूप में उपयोग किए जाने पर भिन्न उत्पन्न नहीं करता है)। बी के कारकों की संख्याn इसके अभाज्य गुणनखंडन का उपयोग करके दिया गया है।

दशमलव के लिए, $10^{n} = 2^{n} × 5^{n}$. भाजक की संख्या प्रत्येक अभाज्य के प्रत्येक घातांक में एक जोड़कर और परिणामी मात्राओं को एक साथ गुणा करके पाई जाती है, इसलिए के कारकों की संख्या $10^{n}$ है $(n + 1)(n + 1) = (n + 1)^{2}$.

उदाहरण के लिए, संख्या 8 10 का गुणनखंड है3 (1000), इसलिए 1/8 और 8 के हर वाले अन्य भिन्नों को समाप्त करने के लिए 3 भिन्नात्मक दशमलव अंकों से अधिक की आवश्यकता नहीं हो सकती है। 5/8 = 0.62510 डुओडेसिमल के लिए, $10^{n} = 2^{2n} × 3^{n}$. यह है $(2n + 1)(n + 1)$ भाजक। 8 का नमूना भाजक एक सकल का कारक है $(12^{2} = 144$ दशमलव में), इसलिए आठवीं को समाप्त करने के लिए दो से अधिक ग्रहणी दशमलव स्थानों की आवश्यकता नहीं हो सकती है। $5⁄8 = 0.76_{12}$ क्योंकि दस और बारह दोनों के दो अद्वितीय अभाज्य गुणनखंड हैं, के विभाजकों की संख्या $b^{n}$ के लिए $b = 10 or 12$ प्रतिपादक n के साथ द्विघात रूप से बढ़ता है (दूसरे शब्दों में, n के क्रम में2).

आवर्ती अंक
डोजेनल सोसाइटी ऑफ अमेरिका का तर्क है कि 3 के कारक 5 के कारकों की तुलना में वास्तविक जीवन विभाजन (गणित) की समस्याओं में अधिक आम हैं। इस प्रकार, व्यावहारिक अनुप्रयोगों में, डुओडेसिमल नोटेशन का उपयोग करते समय दोहराए जाने वाले दशमलव के उपद्रव का सामना अक्सर कम होता है। डुओडेसिमल सिस्टम के समर्थकों का तर्क है कि यह वित्तीय गणनाओं के लिए विशेष रूप से सच है, जिसमें वर्ष के बारह महीने अक्सर गणना में प्रवेश करते हैं।

हालांकि, जब पुनरावर्ती अंश डुओडेसिमल नोटेशन में होते हैं, तो दशमलव नोटेशन की तुलना में उनकी बहुत कम अवधि होने की संभावना कम होती है, क्योंकि 12 (संख्या) (बारह) दो अभाज्य संख्याओं, 11 (संख्या) (ग्यारह) और 13 ( संख्या) (तेरह), जबकि दस संयुक्त संख्या 9 (संख्या) के निकट है। बहरहाल, एक छोटी या लंबी अवधि होने से मुख्य असुविधा में मदद नहीं मिलती है कि किसी को दिए गए आधार में ऐसे अंशों के लिए एक परिमित प्रतिनिधित्व नहीं मिलता है (इसलिए गोलाई, जो कि अशुद्धता का परिचय देती है, उन्हें गणना में संभालने के लिए आवश्यक है), और कुल मिलाकर एक अनंत आवर्ती अंकों से निपटने की संभावना अधिक होती है, जब भिन्नों को डुओडेसिमल की तुलना में दशमलव में व्यक्त किया जाता है, क्योंकि प्रत्येक तीन लगातार संख्याओं में से एक में इसके गुणनखंड में प्रमुख कारक 3 (संख्या) होता है, जबकि प्रत्येक पाँच में से केवल एक में ही होता है प्रधान कारक 5 (संख्या)। 2 को छोड़कर अन्य सभी अभाज्य गुणनखंड दस या बारह में से किसी में भी नहीं हैं, इसलिए वे ऐसा नहीं करते आवर्ती अंकों का सामना करने की सापेक्ष संभावना को प्रभावित करते हैं (कोई भी अप्रासंगिक अंश जिसमें इसके भाजक में इनमें से कोई भी कारक शामिल है, किसी भी आधार में पुनरावृत्ति करेगा)।

साथ ही, अभाज्य गुणनखंड 2 (संख्या) बारह के गुणनखंड में दो बार प्रकट होता है, जबकि दस के गुणनखंड में केवल एक बार; जिसका अर्थ है कि अधिकांश अंश जिनके हर दो की शक्ति हैं, दशमलव की तुलना में डुओडेसिमल में एक छोटा, अधिक सुविधाजनक समाप्ति प्रतिनिधित्व होगा:


 * 1/(22) = 0.2510 = 0.312
 * 1/(23) = 0.12510 = 0.1612
 * 1/(24) = 0.062510 = 0.0912
 * 1/(25) = 0.0312510 = 0.04612

1/n की डुओडेसिमल अवधि की लंबाई (दशमलव में) हैं
 * 0, 0, 0, 0, 4, 0, 6, 0, 0, 4, 1, 0, 2, 6, 4, 0, 16, 0, 6, 4, 6, 1, 11, 0, 20, 2, 0, 6, 4, 4, 30, 0, 1, 16, 12, 0, 9, 6, 2, 4, 40, 6, 42, 1, 4, 11, 23, 0, 42, 20 , 16, 2, 52, 0, 4, 6, 6, 4, 29, 4, 15, 30, 6, 0, 4, 1, 66, 16, 11, 12, 35, 0, ...

1/(nth प्राइम) की डुओडेसिमल अवधि की लंबाई (दशमलव में) हैं
 * 0, 0, 4, 6, 1, 2, 16, 6, 11, 4, 30, 9, 40, 42, 23, 52, 29, 15, 66, 35, 36, 26, 41, 8, 16, 100, 102, 53, 54, 112, 126, 65, 136, 138, 148, 150, 3, 162, 83, 172, 89, 90, 95, 24, 196, 66, 14, 222, 113, 114 , 8, 119, 120, 125, 256, 131, 268, 54, 138, 280, ...

डुओडेसिमल अवधि n के साथ सबसे छोटा अभाज्य हैं (दशमलव में) ।, 79, 306829, 673, 59, 31, 373, 153953, 886381, 2551, 71, 73, ...

अपरिमेय संख्या
किसी भी स्थितीय संख्या प्रणाली (दशमलव और ग्रहणी सहित) में अपरिमेय संख्याओं का निरूपण न तो समाप्त होता है और न ही दशमलव को दोहराता है। निम्नलिखित तालिका कुछ महत्वपूर्ण बीजगणितीय संख्या और दशमलव और डुओडेसिमल दोनों में अनुवांशिक संख्या संख्याओं के लिए पहला अंक देती है।

यह भी देखें

 * Vigesimal (बेस 20)
 * सेक्सजेसिमल (बेस 60)

आगे की पढाई

 * (NB. Also has information on duodecimal representations.)
 * (NB. Also has information on duodecimal representations.)

बाहरी कड़ियाँ

 * Dozenal Society of America
 * Dozenal Society of Great Britain
 * Duodecimal calculator
 * Comprehensive Synopsis of Dozenal and Transdecimal Symbologies