क्वांटम हॉल प्रभाव

क्वांटम हॉल प्रभाव  (या पूर्णांक क्वांटम हॉल प्रभाव) हॉल प्रभाव का एक  क्वांटम यांत्रिकी  संस्करण है जो  2DEG  में देखा जाता है | दो-आयामी इलेक्ट्रॉन सिस्टम कम  तापमान  और मजबूत  चुंबकीय क्षेत्र ों के अधीन होते हैं, जिसमें हॉल विद्युत प्रतिरोध और चालन $R_{xy}$ मात्रात्मक मूल्यों पर कदम उठाने वाले कदम प्रदर्शित करता है
 * $$ R_{xy} = \frac{V_\text{Hall}}{I_\text{channel}} = \frac{h}{e^2\nu}, $$

कहाँ पे $V_{Hall}$ हॉल प्रभाव है, $I_{channel}$ चैनल विद्युत प्रवाह  है,  $e$ प्राथमिक प्रभार है और $h$ प्लैंक स्थिरांक है। भाजक $ν$ या तो पूर्णांक ले सकते हैं ($ν = 1, 2, 3,...$) या भिन्नात्मक ($ν = 1⁄3, 2⁄5, 3⁄7, 2⁄3, 3⁄5, 1⁄5, 2⁄9, 3⁄13, 5⁄2, 12⁄5,...$) मान। यहां, $ν$ मोटे तौर पर है लेकिन  लैंडौ परिमाणीकरण  के भरने वाले कारक के बराबर नहीं है। क्वांटम हॉल प्रभाव को पूर्णांक या भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव के रूप में संदर्भित किया जाता है जो इस पर निर्भर करता है कि $ν$ क्रमशः एक पूर्णांक या भिन्न है।

पूर्णांक क्वांटम हॉल प्रभाव की हड़ताली विशेषता परिमाणीकरण (यानी हॉल पठार) की दृढ़ता है क्योंकि इलेक्ट्रॉन घनत्व विविध है। चूंकि इलेक्ट्रॉन घनत्व स्थिर रहता है जब फर्मी स्तर  एक स्वच्छ वर्णक्रमीय अंतराल में होता है, यह स्थिति उस स्थिति से मेल खाती है जहां फर्मी स्तर राज्यों के सीमित घनत्व के साथ एक ऊर्जा है, हालांकि ये राज्य स्थानीयकृत हैं ( एंडरसन स्थानीयकरण  देखें)। भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव अधिक जटिल है; इसका अस्तित्व मूल रूप से इलेक्ट्रॉन-इलेक्ट्रॉन परस्पर क्रियाओं पर निर्भर करता है। भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव को एक पूर्णांक क्वांटम हॉल प्रभाव के रूप में भी समझा जाता है, हालांकि इलेक्ट्रॉनों का नहीं बल्कि चार्ज-फ्लक्स कंपोजिट के रूप में जाना जाता है, जिसे  मिश्रित फ़र्मियन  के रूप में जाना जाता है। 1988 में, यह प्रस्तावित किया गया था कि लैंडौ परिमाणीकरण के बिना क्वांटम हॉल प्रभाव था। इस क्वांटम हॉल प्रभाव को क्वांटम असंगत हॉल (क्यूएएच) प्रभाव के रूप में जाना जाता है।  क्वांटम स्पिन हॉल प्रभाव  की एक नई अवधारणा भी है जो क्वांटम हॉल प्रभाव का एक एनालॉग है, जहां चार्ज धाराओं के बजाय स्पिन धाराएं बहती हैं।

आवेदन
हॉल चालन का परिमाणीकरण ($$ G_{xy}= 1/R_{xy} $$) में अत्यधिक सटीक होने का महत्वपूर्ण गुण है। हॉल चालन का वास्तविक माप. के पूर्णांक या भिन्नात्मक गुणकों के रूप में पाया गया है $e^{2}⁄h$ एक अरब में लगभग एक भाग के लिए। सटीक परिमाणीकरण के रूप में संदर्भित इस घटना को वास्तव में समझा नहीं गया है, लेकिन इसे कभी-कभी गेज इनवेरिएंस  के सिद्धांत की एक बहुत ही सूक्ष्म अभिव्यक्ति के रूप में समझाया गया है। इसने वॉन क्लिट्ज़िंग स्थिरांक द्वारा दिए गए प्रतिरोध क्वांटम के आधार पर विद्युत प्रतिरोध के लिए एक नई व्यावहारिक  भौतिक इकाई  की परिभाषा की अनुमति दी है $R_{K}$. इसका नाम सटीक परिमाणीकरण के खोजकर्ता क्लॉस वॉन क्लिट्ज़िंग  के नाम पर रखा गया है। क्वांटम हॉल प्रभाव भी  ठीक-संरचना स्थिरांक  का एक अत्यंत सटीक स्वतंत्र निर्धारण प्रदान करता है,  क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स  में मौलिक महत्व की मात्रा।

1990 में, एक निश्चित पारंपरिक विद्युत इकाई  $R_{K-90} =$ को दुनिया भर में प्रतिरोध अंशांकन में उपयोग के लिए परिभाषित किया गया था। 16 नवंबर 2018 को, तौल और माप पर सामान्य सम्मेलन की 26 वीं बैठक में. के सटीक मूल्यों को तय करने का निर्णय लिया गया $h$ (प्लांक स्थिरांक) और $e$ (प्राथमिक प्रभार), 1990 के मान को एक सटीक स्थायी मान के साथ प्रतिस्थापित करना $R_{K} = h⁄e^{2} =$.

इतिहास
MOSFET (मेटल-ऑक्साइड-सेमीकंडक्टर  फील्ड इफ़ेक्ट ट्रांजिस्टर ), जिसका आविष्कार  मोहम्मद छुट्टी  और डॉन कहंग ने 1959 में  बेल लैब्स  में किया था, लगभग आदर्श द्वि-आयामी गैस में दो-आयामी इलेक्ट्रॉन गैस | इलेक्ट्रॉन व्यवहार का अध्ययन करने के लिए भौतिकविदों को सक्षम किया। MOSFET में, चालन इलेक्ट्रॉन एक पतली सतह परत में यात्रा करते हैं, और एक  धातु गेट  वोल्टेज इस परत में आवेश वाहकों की संख्या को नियंत्रित करता है। यह शोधकर्ताओं को  तरल हीलियम  तापमान पर उच्च शुद्धता वाले MOSFETs को संचालित करके  क्वांटम प्रभाव ों का पता लगाने की अनुमति देता है।

हॉल चालन का पूर्णांक परिमाणीकरण (भौतिकी)  मूल रूप से  टोक्यो विश्वविद्यालय  के शोधकर्ताओं त्सुनेया एंडो, युकिओ मात्सुमोतो और यासुतादा उमूरा द्वारा 1975 में अनुमानित गणना के आधार पर भविष्यवाणी की गई थी, जिसे वे स्वयं सत्य नहीं मानते थे। 1978 में,  गाकुशिन विश्वविद्यालय  के शोधकर्ता जून-इची वाकाबायाशी और शिनजी कावाजी ने बाद में MOSFETs की उलटा परत पर किए गए प्रयोगों में प्रभाव का अवलोकन किया।

1980 में, माइकल पेपर  और गेरहार्ड डोरडा द्वारा विकसित  सिलिकॉन -आधारित MOSFET नमूनों के साथ ग्रेनोबल में उच्च चुंबकीय क्षेत्र प्रयोगशाला में काम कर रहे क्लॉस वॉन क्लिट्ज़िंग ने अप्रत्याशित खोज की कि हॉल प्रतिरोध बिल्कुल परिमाणित था। इस खोज के लिए, वॉन क्लिट्ज़िंग को 1985 में  भौतिकी में नोबेल पुरस्कार  से सम्मानित किया गया था। सटीक परिमाणीकरण और गेज इनवेरियन के बीच एक लिंक बाद में रॉबर्ट बी। लाफलिन द्वारा प्रस्तावित किया गया था, जिन्होंने मात्रात्मक चालकता को एक थौलेस चार्ज पंप में मात्रात्मक चार्ज परिवहन से जोड़ा था।  अधिकांश पूर्णांक क्वांटम हॉल प्रयोग अब  गैलियम आर्सेनाइड   विषम संरचना  पर किए जाते हैं, हालांकि कई अन्य अर्धचालक पदार्थों का उपयोग किया जा सकता है। 2007 में,  ग्राफीन  में कमरे के तापमान जितना अधिक तापमान पर पूर्णांक क्वांटम हॉल प्रभाव की सूचना दी गई थी, और  मैग्नीशियम   जस्ता   ऑक्साइड  ZnO-Mg. मेंxZn1−xओ

लैंडौ स्तर
दो आयामों में, जब शास्त्रीय इलेक्ट्रॉनों को चुंबकीय क्षेत्र के अधीन किया जाता है तो वे गोलाकार साइक्लोट्रॉन कक्षाओं का पालन करते हैं। जब सिस्टम को क्वांटम यांत्रिक रूप से माना जाता है, तो इन कक्षाओं को मात्राबद्ध किया जाता है। ऊर्जा स्तरों के मूल्यों को निर्धारित करने के लिए श्रोडिंगर समीकरण को हल किया जाना चाहिए।

चूंकि सिस्टम एक चुंबकीय क्षेत्र के अधीन है, इसलिए इसे श्रोडिंगर समीकरण में विद्युत चुम्बकीय वेक्टर क्षमता के रूप में पेश किया जाना है। माना जाने वाला सिस्टम एक इलेक्ट्रॉन गैस है जो x और y दिशाओं में जाने के लिए स्वतंत्र है, लेकिन z दिशा में कसकर सीमित है। फिर, z दिशा में एक चुंबकीय क्षेत्र लगाया जाता है और लैंडौ गेज  के अनुसार विद्युत चुम्बकीय वेक्टर क्षमता है $$\mathbf{A} = (0, Bx, 0)$$ और अदिश विभव है $$\phi=0$$. इस प्रकार चार्ज के एक कण के लिए श्रोडिंगर समीकरण $$q$$ और प्रभावी द्रव्यमान $$m^*$$ इस प्रणाली में है:


 * $$\left \{ \frac{1}{2m^*} \left [ \mathbf{p}-q\mathbf{A}\right ]^2 + V(z) \right \}\psi(x,y,z)=\varepsilon\psi(x,y,z)$$

कहाँ पे $$\mathbf{p}$$ विहित गति है, जिसे ऑपरेटर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है $$-i\hbar\nabla$$ तथा $$\varepsilon$$ कुल ऊर्जा है।

इस समीकरण को हल करने के लिए इसे दो समीकरणों में विभाजित करना संभव है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र केवल x और y अक्षों के साथ गति को प्रभावित करता है। तब कुल ऊर्जा बन जाती है, दो योगदानों का योग $$\varepsilon=\varepsilon_z+\varepsilon_{xy}$$. z अक्ष में संगत समीकरण है:
 * $$\left [- \frac{\hbar^2}{2m^*} {\partial^2\over\partial z^2} + V(z) \right ]u(z)=\varepsilon_zu(z)$$

चीजों को सरल बनाने के लिए समाधान $$V(z)$$ अनंत कुएं के रूप में माना जाता है। इस प्रकार z दिशा के समाधान ऊर्जा हैं $\varepsilon_z=\frac{n_z^2\pi^2\hbar^2}{2m^*L^2}$, $$n_z=1,2,3...$$ और वेवफंक्शन साइनसॉइडल हैं। के लिए $$x$$ तथा $$y$$ दिशाओं, श्रोडिंगर समीकरण के समाधान को एक समतल तरंग के गुणनफल के रूप में चुना जा सकता है $$y$$-दिशा के कुछ अज्ञात कार्य के साथ $$x$$, अर्थात।, $$\psi_{xy}=u(x)e^{ik_yy}$$. इसका कारण यह है कि सदिश विभव निर्भर नहीं करता है $$y$$ और गति ऑपरेटर $$\hat p_y$$ इसलिए हैमिल्टनियन के साथ यात्रा करता है। इस Ansatz को श्रोडिंगर समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर एक आयामी हार्मोनिक थरथरानवाला समीकरण केन्द्रित हो जाता है $x_{k_y}=\frac{\hbar k_y}{eB}$.


 * $$\left [- \frac{\hbar^2}{2m^*} {\partial^2\over\partial x^2}+\frac{1}{2}m^*\omega_{\rm c}^2(x-l_B^2k_y)^2\right ]u(x)=\varepsilon_{xy}u(x)$$

कहाँ पे $\omega_{\rm c}=\frac{eB}{m^*}$ साइक्लोट्रॉन आवृत्ति के रूप में परिभाषित किया गया है और $l_B^2=\frac{\hbar}{eB}$  चुंबकीय लंबाई। ऊर्जाएं हैं:
 * $$\varepsilon_{xy}\equiv\varepsilon_{n_x}=\hbar \omega_{\rm c} \left ( n_x+\frac{1}{2} \right )$$,            $$n_x=1,2,3...$$

और तरंग में गति के लिए कार्य करता है $$xy$$ विमान एक समतल तरंग के गुणनफल द्वारा दिया जाता है $$y$$ और हर्मिट बहुपद  में गाऊसी फ़ंक्शन द्वारा क्षीणन $$x$$, जो एक हार्मोनिक थरथरानवाला के तरंग कार्य हैं।

लैंडौ स्तरों के लिए अभिव्यक्ति से एक नोटिस करता है कि ऊर्जा केवल पर निर्भर करती है $$n_x$$, पर नहीं $$k_y$$. उसी के साथ राज्य $$n_x$$ लेकिन अलग $$k_y$$ पतित हैं।

राज्यों का घनत्व
शून्य क्षेत्र पर, स्पिन के कारण अध: पतन को ध्यान में रखते हुए द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन गैस के लिए प्रति इकाई सतह राज्यों का घनत्व ऊर्जा से स्वतंत्र है
 * $$n_{\rm 2D}=\frac{m^*}{\pi \hbar^2}$$.

जैसे ही क्षेत्र चालू होता है, राज्यों का घनत्व स्थिर से एक डिराक कंघी, डिराक की एक श्रृंखला तक गिर जाता है $$\delta$$ लैंडौ स्तरों के अनुरूप कार्य अलग हो गए $$\Delta\varepsilon_{xy}=\hbar \omega_{\rm c}$$. परिमित तापमान पर, हालांकि, लैंडौ का स्तर एक चौड़ाई प्राप्त करता है $\Gamma=\frac{\hbar}{\tau_i}$ प्राणी $$\tau_i$$ बिखरने की घटनाओं के बीच का समय। आमतौर पर यह माना जाता है कि लैंडौ स्तरों का सटीक आकार  गाऊसी  या  कॉची वितरण  प्रोफ़ाइल है।

एक अन्य विशेषता यह है कि तरंग फलन समांतर धारियों का निर्माण करते हैं $$y$$ -दिशा समान रूप से के साथ दूरी पर है $$x$$-अक्ष, की तर्ज पर $$\mathbf{A}$$. चूंकि किसी भी दिशा में कुछ खास नहीं है $$xy$$-प्लेन अगर वेक्टर क्षमता को अलग तरीके से चुना गया था तो किसी को गोलाकार समरूपता मिलनी चाहिए।

आयामों के नमूने को देखते हुए $$L_x \times L_y$$ और समय-समय पर सीमा शर्तों को लागू करना $$y$$-दिशा $k=\frac{2\pi}{L_y}j$ प्राणी $$j$$ एक पूर्णांक, एक प्राप्त करता है कि प्रत्येक परवलयिक क्षमता को एक मान पर रखा जाता है $$x_k=l_B^2k$$. प्रत्येक लैंडौ स्तर के लिए राज्यों की संख्या और $$k$$ नमूने के माध्यम से गुजरने वाले कुल चुंबकीय प्रवाह और एक राज्य के अनुरूप चुंबकीय प्रवाह के बीच के अनुपात से गणना की जा सकती है।
 * $$N_B=\frac{\phi}{\phi_0}=\frac{BA}{BL_y\Delta x_k}=\frac{A}{2\pi l_B^2}\begin{array}{lcr}& l_B&\\&=&\\ &&\end{array}

\frac{AeB}{2\pi \hbar}\begin{array}{lcr}& \omega_{\rm c}&\\&=&\\ &&\end{array} \frac{m^*\omega_{\rm c}A}{2\pi \hbar}$$ इस प्रकार प्रति इकाई सतह पर राज्यों का घनत्व है
 * $$n_B=\frac{m^*\omega_{\rm c}}{2\pi \hbar}$$.

चुंबकीय क्षेत्र वाले राज्यों के घनत्व की निर्भरता पर ध्यान दें। चुंबकीय क्षेत्र जितना बड़ा होता है, प्रत्येक लैंडौ स्तर में उतने ही अधिक राज्य होते हैं। एक परिणाम के रूप में, कम ऊर्जा के स्तर पर कब्जा कर रहे हैं के बाद से प्रणाली में अधिक कारावास है।

अंतिम अभिव्यक्ति को फिर से लिखना $n_B=\frac{\hbar \omega_{\rm c}}{2} \frac{m^*}{\pi \hbar^2}$ यह स्पष्ट है कि प्रत्येक लैंडौ स्तर में उतने ही राज्य होते हैं जितने कि द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन गैस में a $$\Delta\varepsilon=\hbar \omega_{\rm c}$$.

इस तथ्य को देखते हुए कि इलेक्ट्रॉन फरमिओन्स  हैं, लैंडौ स्तरों में उपलब्ध प्रत्येक राज्य के लिए यह दो इलेक्ट्रॉनों से मेल खाता है, एक इलेक्ट्रॉन स्पिन के लिए प्रत्येक मान के साथ (भौतिकी) $s=\pm\frac{1}{2}$. हालांकि, यदि एक बड़ा चुंबकीय क्षेत्र लागू किया जाता है, तो चुंबकीय क्षेत्र के साथ स्पिन के संरेखण से जुड़े चुंबकीय क्षण के कारण ऊर्जा दो स्तरों में विभाजित हो जाती है। ऊर्जाओं में अंतर है $\Delta E = \pm \frac{1}{2}g\mu_{\rm B}B$ प्राणी $$g$$ एक कारक जो सामग्री पर निर्भर करता है ($$g=2$$ मुक्त इलेक्ट्रॉनों के लिए) और $$\mu_{\rm B}$$  बोहर चुंबक । चिन्ह $$+$$ तब लिया जाता है जब स्पिन क्षेत्र के समानांतर होता है और $$-$$ जब यह समानांतर है। स्पिन स्प्लिटिंग नामक इस तथ्य का तात्पर्य है कि प्रत्येक स्तर के लिए  राज्यों का घनत्व  आधे से कम हो जाता है। ध्यान दें कि $$\Delta E$$ चुंबकीय क्षेत्र के समानुपाती होता है, इसलिए चुंबकीय क्षेत्र जितना बड़ा होता है, विभाजन उतना ही अधिक प्रासंगिक होता है। कब्जे वाले लैंडौ स्तरों की संख्या प्राप्त करने के लिए, एक तथाकथित भरने वाले कारक को परिभाषित करता है $$\nu$$ 2DEG में राज्यों के घनत्व और लैंडौ स्तरों में राज्यों के घनत्व के बीच अनुपात के रूप में।


 * $$\nu=\frac{n_{\rm 2D}}{n_B}=\frac{hn_{\rm 2D}}{eB}$$

सामान्य तौर पर भरने का कारक $$\nu$$ एक पूर्णांक नहीं है। यह एक पूर्णांक होता है जब भरे हुए लैंडौ स्तरों की सटीक संख्या होती है। इसके बजाय, यह एक गैर-पूर्णांक बन जाता है जब शीर्ष स्तर पर पूरी तरह से कब्जा नहीं होता है। तब से $$n_B\propto B$$, चुंबकीय क्षेत्र को बढ़ाकर, लैंडौ का स्तर ऊर्जा में ऊपर जाता है और प्रत्येक स्तर में राज्यों की संख्या बढ़ती है, इसलिए कम इलेक्ट्रॉन शीर्ष स्तर पर तब तक कब्जा कर लेते हैं जब तक कि यह खाली न हो जाए। यदि चुंबकीय क्षेत्र बढ़ता रहता है, तो अंत में, सभी इलेक्ट्रॉन सबसे निचले लैंडौ स्तर पर होंगे ($$\nu<1$$) और इसे चुंबकीय क्वांटम सीमा कहा जाता है।



अनुदैर्ध्य प्रतिरोधकता
भरने वाले कारक को प्रतिरोधकता से और इसलिए, सिस्टम की चालकता से संबंधित करना संभव है। कब $$\nu$$ एक पूर्णांक है, फर्मी ऊर्जा  लैंडौ स्तरों के बीच स्थित है जहां वाहक के लिए कोई राज्य उपलब्ध नहीं है, इसलिए चालकता शून्य हो जाती है (यह माना जाता है कि चुंबकीय क्षेत्र काफी बड़ा है ताकि लैंडौ स्तरों के बीच कोई ओवरलैप न हो, अन्यथा वहां होगा कुछ इलेक्ट्रॉन होंगे और चालकता लगभग होगी $$0$$) नतीजतन, प्रतिरोधकता भी शून्य हो जाती है (बहुत उच्च चुंबकीय क्षेत्रों में यह सिद्ध होता है कि अनुदैर्ध्य चालकता और प्रतिरोधकता आनुपातिक हैं)। इसके बजाय, जब $$\nu$$ अर्ध-पूर्णांक है, फर्मी ऊर्जा कुछ लैंडौ स्तर के घनत्व वितरण के चरम पर स्थित है। इसका मतलब है कि चालकता अधिकतम होगी।

न्यूनतम और अधिकतम का यह वितरण "क्वांटम दोलनों" से मेल खाता है जिसे शुबनिकोव-डी हास दोलन कहा जाता है जो चुंबकीय क्षेत्र के बढ़ने के साथ अधिक प्रासंगिक हो जाता है। जाहिर है, चोटियों की ऊंचाई बड़ी होती है क्योंकि चुंबकीय क्षेत्र बढ़ता है क्योंकि राज्यों का घनत्व क्षेत्र के साथ बढ़ता है, इसलिए अधिक वाहक होते हैं जो प्रतिरोधकता में योगदान करते हैं। यह ध्यान रखना दिलचस्प है कि यदि चुंबकीय क्षेत्र बहुत छोटा है, तो अनुदैर्ध्य प्रतिरोधकता एक स्थिरांक है जिसका अर्थ है कि शास्त्रीय परिणाम प्राप्त हो गया है।



अनुप्रस्थ प्रतिरोधकता
अनुप्रस्थ प्रतिरोधकता के शास्त्रीय संबंध से $\rho_{xy}=\frac{B}{en_{\rm 2D}}$ और प्रतिस्थापन $n_{\rm 2D}=\nu \frac{eB}{h}$  अनुप्रस्थ प्रतिरोधकता और चालकता की मात्रा का पता लगाता है:


 * $$\rho_{xy}=\frac{h}{\nu e^2}\Rightarrow \sigma=\nu \frac{e^2}{h}$$

एक तो यह निष्कर्ष निकालता है कि अनुप्रस्थ प्रतिरोधकता तथाकथित चालकता क्वांटम के व्युत्क्रम का एक गुणक है $$e^2/h$$. फिर भी, प्रयोगों में लैंडौ स्तरों के बीच एक पठार देखा गया है, जो इंगित करता है कि वास्तव में चार्ज वाहक मौजूद हैं। इन वाहकों को स्थानीयकृत किया जाता है, उदाहरण के लिए, सामग्री की अशुद्धता जहां वे कक्षाओं में फंस गए हैं, इसलिए वे चालकता में योगदान नहीं दे सकते हैं। यही कारण है कि लैंडौ स्तरों के बीच प्रतिरोधकता स्थिर रहती है। फिर से यदि चुंबकीय क्षेत्र कम हो जाता है, तो व्यक्ति को शास्त्रीय परिणाम मिलता है जिसमें प्रतिरोधकता चुंबकीय क्षेत्र के समानुपाती होती है।

फोटोन िक क्वांटम हॉल प्रभाव
क्वांटम हॉल प्रभाव, 2DEG|दो-आयामी इलेक्ट्रॉन प्रणालियों में देखे जाने के अलावा, फोटॉन में देखा जा सकता है। फोटॉन में अंतर्निहित विद्युत आवेश  नहीं होता है, लेकिन असतत  ऑप्टिकल गुहा  और युग्मन चरणों या साइट पर चरणों के हेरफेर के माध्यम से, एक कृत्रिम चुंबकीय क्षेत्र बनाया जा सकता है।     इस प्रक्रिया को कई दर्पणों के बीच उछलते हुए फोटॉन के रूपक के माध्यम से व्यक्त किया जा सकता है। कई दर्पणों में प्रकाश की शूटिंग करके, फोटॉन को रूट किया जाता है और उनके  कोणीय गति ऑपरेटर  के समानुपाती अतिरिक्त चरण प्राप्त करते हैं। यह एक ऐसा प्रभाव पैदा करता है जैसे वे एक चुंबकीय क्षेत्र में हों।

गणित
हॉल प्रभाव में दिखाई देने वाले पूर्णांक टोपोलॉजिकल क्वांटम संख्या ओं के उदाहरण हैं। वे गणित में प्रथम चेर्न वर्ग # चेर्न संख्या के रूप में जाने जाते हैं और ज्यामितीय चरण | बेरी के चरण से निकटता से संबंधित हैं। इस संदर्भ में बहुत रुचि का एक आकर्षक मॉडल एज़्बेल-हार्पर-हॉफ़स्टैटर मॉडल है जिसका क्वांटम चरण आरेख चित्र में दिखाया गया हॉफ़स्टैटर तितली है। ऊर्ध्वाधर अक्ष चुंबकीय क्षेत्र की ताकत है और क्षैतिज अक्ष  रासायनिक क्षमता  है, जो इलेक्ट्रॉन घनत्व को ठीक करता है। रंग पूर्णांक हॉल चालन का प्रतिनिधित्व करते हैं। गर्म रंग सकारात्मक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करते हैं और ठंडे रंग नकारात्मक पूर्णांक का प्रतिनिधित्व करते हैं। हालांकि, ध्यान दें कि मात्रात्मक हॉल चालन के इन क्षेत्रों में राज्यों का घनत्व शून्य है; इसलिए, वे प्रयोगों में देखे गए पठारों का उत्पादन नहीं कर सकते हैं। चरण आरेख भग्न है और सभी पैमानों पर इसकी संरचना है। आकृति में एक स्पष्ट आत्म-समानता है। अव्यवस्था की उपस्थिति में, जो प्रयोगों में देखे गए पठारों का स्रोत है, यह आरेख बहुत अलग है और भग्न संरचना ज्यादातर धुल जाती है।

भौतिक तंत्रों के संबंध में, अशुद्धियाँ और/या विशेष अवस्थाएँ (जैसे, किनारे की धाराएँ) 'पूर्णांक' और 'आंशिक' दोनों प्रभावों के लिए महत्वपूर्ण हैं। इसके अलावा, भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभाव में कूलम्ब इंटरैक्शन भी आवश्यक है। पूर्णांक और भिन्नात्मक क्वांटम हॉल प्रभावों के बीच देखी गई मजबूत समानता को इलेक्ट्रॉनों की प्रवृत्ति द्वारा एक समान संख्या में चुंबकीय फ्लक्स क्वांटा के साथ बाध्य अवस्थाओं को बनाने के लिए समझाया गया है, जिसे मिश्रित फ़र्मियन कहा जाता है।

वॉन क्लिट्ज़िंग स्थिरांक की बोहर परमाणु व्याख्या
वॉन क्लिट्ज़िंग स्थिरांक का मान बोहर मॉडल  के भीतर एकल-इलेक्ट्रॉन हॉल प्रभाव के रूप में देखते हुए पहले से ही एक परमाणु के स्तर पर प्राप्त किया जा सकता है। जबकि एक वृत्ताकार कक्षा में  साइक्लोट्रॉन  के दौरान अनुप्रस्थ प्रेरित वोल्टेज और हॉल प्रभाव के लिए जिम्मेदार  लोरेंत्ज़ बल  द्वारा केन्द्रापसारक बल संतुलित होता है, कोई बोर परमाणु में कूलम्ब संभावित अंतर को प्रेरित एकल परमाणु हॉल वोल्टेज और आवधिक के रूप में देख सकता है। हॉल करंट के रूप में एक वृत्त पर इलेक्ट्रॉन गति। एकल परमाणु हॉल धारा को एकल इलेक्ट्रॉन आवेश की दर के रूप में परिभाषित करना $$e$$ कोणीय आवृत्ति के साथ केप्लर चक्कर लगा रहा है $$\omega$$
 * $$I = \frac{\omega e}{2\pi},$$

और इलेक्ट्रॉन कक्षीय बिंदु और अनंत पर हाइड्रोजन नाभिक कूलम्ब क्षमता के बीच अंतर के रूप में प्रेरित हॉल वोल्टेज:


 * $$U=V_\text{C}(\infty) - V_\text{C}(r) = 0 - V_\text{C}(r) = \frac{e}{4\pi\epsilon_0 r}$$

वॉन क्लिट्ज़िंग स्थिरांक के चरणों में परिभाषित बोहर कक्षा हॉल प्रतिरोध का परिमाणीकरण प्राप्त करता है:


 * $$R_\text{Bohr}(n) = \frac{U}{I} = n\frac{h}{e^2}$$

जो बोहर परमाणु के लिए रैखिक है लेकिन पूर्णांक n में उलटा नहीं है।

सापेक्षवादी अनुरूप
पूर्णांक क्वांटम हॉल प्रभाव और क्वांटम स्पिन हॉल प्रभाव के सापेक्ष उदाहरण जाली गेज सिद्धांत  के संदर्भ में उत्पन्न होते हैं।

यह भी देखें

 * क्वांटम हॉल संक्रमण
 * आंशिक क्वांटम हॉल प्रभाव
 * क्वांटम विषम हॉल प्रभाव
 * कितने सेल रोबोट?
 * समग्र fermions
 * चालन क्वांटम
 * हॉल प्रभाव
 * हॉल जांच
 * ग्राफीन
 * क्वांटम स्पिन हॉल प्रभाव
 * स्थैतिक बल और आभासी-कण विनिमय#चुंबकीय क्षेत्र में एम्बेडेड दो वर्तमान लूपों के बीच कूलम्ब क्षमता

इस पृष्ठ में अनुपलब्ध आंतरिक कड़ियों की सूची

 * विद्युत प्रतिरोध और चालकता
 * प्रारंभिक प्रभार
 * विद्युतीय प्रतिरोध
 * दावों कहंग
 * द्वि-आयामी इलेक्ट्रॉन गैस
 * लयबद्ध दोलक
 * स्पिन (भौतिकी)
 * हॉफस्टैटर तितली
 * स्व-समानता

अग्रिम पठन

 * 25 years of Quantum Hall Effect, K. von Klitzing, Poincaré Seminar (Paris-2004). Postscript. Pdf.
 * Magnet Lab Press Release Quantum Hall Effect Observed at Room Temperature
 * Zyun F. Ezawa: Quantum Hall Effects - Field Theoretical Approach and Related Topics. World Scientific, Singapore 2008, ISBN 978-981-270-032-2
 * Sankar D. Sarma, Aron Pinczuk: Perspectives in Quantum Hall Effects. Wiley-VCH, Weinheim 2004, ISBN 978-0-471-11216-7
 * E. I. Rashba and V. B. Timofeev, Quantum Hall Effect, Sov. Phys. - Semiconductors v. 20, pp. 617–647 (1986).
 * Zyun F. Ezawa: Quantum Hall Effects - Field Theoretical Approach and Related Topics. World Scientific, Singapore 2008, ISBN 978-981-270-032-2
 * Sankar D. Sarma, Aron Pinczuk: Perspectives in Quantum Hall Effects. Wiley-VCH, Weinheim 2004, ISBN 978-0-471-11216-7
 * E. I. Rashba and V. B. Timofeev, Quantum Hall Effect, Sov. Phys. - Semiconductors v. 20, pp. 617–647 (1986).
 * E. I. Rashba and V. B. Timofeev, Quantum Hall Effect, Sov. Phys. - Semiconductors v. 20, pp. 617–647 (1986).