तिरछा प्रक्षेपण

तिर्यक प्रक्षेपण त्रि-आयामी (3D) वस्तुओं की द्वि-आयामी (2D) छवियों के उत्पादन के लिए उपयोग किए जाने वाले चित्रमय प्रक्षेपण का एक सरल प्रकार का तकनीकी आरेखण है।

वस्तुएं परिप्रेक्ष्य (ग्राफिकल) में नहीं हैं और इसलिए किसी वस्तु के किसी भी दृश्य के अनुरूप नहीं हैं जिसे व्यवहार में प्राप्त किया जा सकता है, लेकिन तकनीक कुछ सीमा तक आश्वस्त और उपयोगी होती है।

तिर्यक प्रक्षेप समान्यतः तकनीकी चित्रकारी में प्रयोग किया जाता है। 18वीं शताब्दी में किलेबन्दी को चित्रित करने के लिए प्रक्षेपण का उपयोग फ्रांसीसी सैन्य कलाकारों द्वारा किया गया था।

पहली या दूसरी शताब्दी से लेकर 18वीं शताब्दी तक चीनी कलाकारों द्वारा तिर्यक प्रक्षेपण का उपयोग लगभग सार्वभौमिक रूप से किया गया था, विशेष रूप से घरों जैसे सीधीरेखीय वस्तुओं को चित्रित करने के लिए।

कंप्यूटर सहाय अभिकल्प (CAD), कंप्यूटर गेम, कंप्यूटर जनित एनिमेशन और फिल्मों में उपयोग किए जाने वाले विशेष प्रभावों सहित कंप्यूटर आलेखिकी में विभिन्न आलेखी प्रक्षेपण तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है।

संक्षिप्त विवरण
तिर्यक प्रक्षेप एक प्रकार का समानांतर प्रक्षेपण है: तिर्यक प्रक्षेप और लंबकोणीय प्रक्षेप दोनों में, स्रोत वस्तु की समानांतर रेखाएँ प्रक्षेप छवि में समानांतर रेखाएँ उत्पन्न करती हैं। तिर्यक प्रक्षेपण में प्रक्षेपक अनुमानित छवि बनाने के लिए प्रक्षेपण प्लेन को एक तिरछे कोण पर काटते हैं, जैसा कि लंबकोणीय प्रक्षेप में उपयोग होने वाले लंबवत कोण के विपरीत होता है।
 * यह समानांतर किरणों (प्रक्षेपक) को काटकर एक छवि प्रस्तुत करता है
 * चित्रकारी सतह (प्रक्षेपण प्लेन) के साथ त्रि-आयामी स्रोत वस्तु से।

गणितीय रूप से, $$xy$$ स्तर पर बिंदु $$(x, y, z)$$ का समानांतर प्रक्षेपण$$(x+az, y+bz, 0)$$ देता है। स्थिरांक $$a$$ और $$b$$ विशिष्ट रूप से एक समानांतर प्रक्षेपण निर्दिष्ट करते है। जब $$a = b = 0$$, प्रक्षेपण को लंबकोणिक या आयतीय कहा जाता है। अन्यथा, यह "तिर्यक" है। स्थिरांक $$a$$ और $$b$$ आवश्यक रूप से 1 से कम नहीं हैं, और इसके परिणामस्वरूप एक तिर्यक प्रक्षेपण पर मापी गई लंबाई या तो बड़ी या छोटी हो सकती है, जितनी वे अंतरिक्ष में थीं। एक सामान्य तिर्यक प्रक्षेपण में, अंतरिक्ष के क्षेत्रों को आरेखण स्तर पर दीर्घवृत्त के रूप में प्रक्षेपित किया जाता है, न कि वृत्त के रूप में जैसा कि वे एक आयतीय प्रक्षेपण से प्रकट होते हैं।

तिर्यक चित्रकारी भी सबसे अपरिष्कृत 3D चित्रण विधि है लेकिन इसमें महारत हासिल करना सबसे आसान है। तिर्यक दृश्य का उपयोग करने का एक तरीका यह है कि आप जिस वस्तु को दो आयामों में देख रहे हैं, उसके किनारे को खींचे, यानी सपाट, और फिर दूसरी भुजाओं को 45 ° के कोण पर खींचे, लेकिन भुजाओं को पूर्ण आकार में खींचने के विपरीत केवल आधी गहराई के साथ खींचा गया 'मजबूर गहराई' - वस्तु में यथार्थवाद का एक तत्व जोड़ना। यहां तक ​​​​कि इस 'मजबूर गहराई' के साथ, तिर्यक चित्र आंखों के लिए बहुत असंबद्ध लगते हैं। इस कारण से पेशेवर अभिकल्पों या इंजीनियरों द्वारा कदाचित ही कभी तिर्यक उपयोग किया जाता है।

तिर्यक सचित्र
एक तिर्यक सचित्र चित्र में, अक्ष के बीच प्रदर्शित कोण, साथ ही साथ अग्रसंक्षेपण कारक (पैमाना) मनमाना होते हैं। अधिक सटीक रूप से, एक ही बिंदु से उत्पन्न होने वाले तीन समतलीय खंडों के किसी भी सेट को घन के तीन पक्षों के कुछ तिरछे परिप्रेक्ष्य के रूप में माना जा सकता है। इस परिणाम को जर्मन गणितज्ञ पोहलके द्वारा पोहलके प्रमेय के रूप में जाना जाता है, जिन्होंने इसे 19वीं शताब्दी की शुरुआत में प्रकाशित किया था।

परिणामी विकृतियाँ तकनीक औपचारिक, कामकाजी रेखाचित्रों के लिए अनुपयुक्त बनाती हैं है। फिर भी, प्रक्षेपण के स्तर के समानांतर छवि के एक स्तर को संरेखित करके विकृतियों को आंशिक रूप से दूर किया जाता है। ऐसा करने से चुने हुए स्तर की सही आकार की छवि बनती है। तिरछे प्रक्षेपण की यह विशिष्ट श्रेणी, जिससे दिशाओं के साथ लंबाई $$x$$ और $$y$$ बनी रहती हैं, लेकिन दिशा के साथ लंबाई $$z$$ एक परिवर्तन गुणांक का उपयोग करके कोण पर खींचा जाता है, औद्योगिक आरेखण के लिए बहुत अधिक उपयोग किया जाता है।
 * कैवलियर प्रक्षेपण ऐसे प्रक्षेपण का नाम है, जहां $$z$$ अक्ष के साथ लंबाई साथ बगैर माप ही रहता है।
 * कैबिनेट प्रक्षेपण, फर्नीचर चित्रों में लोकप्रिय, ऐसी तकनीक का एक उदाहरण है, जहां पीछे हटने वाली धुरी को आधे आकार में बढ़ाया जाता है (कभी-कभी दो-तिहाई मूल के विपरीत)।

अश्वारोही प्रक्षेपण
अश्वारोही प्रक्षेपण (कभी-कभी कैवेलियर परिप्रेक्ष्य या उच्च दृश्य बिंदु) में वस्तु का एक बिंदु तीन निर्देशांक, x, y और z द्वारा दर्शाया जाता है। आरेखण पर, यह केवल दो निर्देशांकों, x″ और y″ द्वारा दर्शाया गया है। समतल आरेखण पर, आकृति पर दो अक्ष, x और z लंबवत हैं और इन अक्षों पर लंबाई 1:1 पैमाने के साथ खींची गई है; यह इस प्रकार द्विसमाक्ष प्रक्षेपण के समान है, हालांकि यह द्विसमाक्ष प्रक्षेपण नहीं है, तीसरी धुरी के रूप में, यहां y, विकर्ण में खींचा गया है, जो x″ अक्ष के साथ एक मनमाना कोण बनाता है, समान्यतः 30 या 45 डिग्री। तीसरे अक्ष की लंबाई को मापा नहीं किया गया है।

इसे बनाना बहुत आसान है, विशेषतः पेन और पेपर के साथ। यह इस प्रकार प्रायः प्रयोग किया जाता है जब एक आकृति को हाथ से खींचा जाना चाहिए, उदाहरण ब्लैक बोर्ड पर (पाठ, मौखिक परीक्षा)।

प्रतिनिधित्व शुरू में सैन्य किलेबंदी के लिए उपयोग किया गया था। फ्रेंच में, अश्वारोही सेना (शाब्दिक रूप से सवार, घुड़सवार, अश्वारोही सेना देखें) दीवारों के पीछे एक कृत्रिम पहाड़ी है जो दीवारों के ऊपर दुश्मन को देखने की अनुमति देता है। अश्वारोही परिप्रेक्ष्य इस उच्च बिंदु से चीजों को देखने का तरीका था। कुछ लोग नाम को इस तथ्य से भी समझाते हैं कि यह एक ऐसा तरीका था जिससे एक सवार अपने घोड़े की पीठ से जमीन पर एक छोटी सी वस्तु को देख सकता था।

कैबिनेट प्रक्षेपण
कैबिनेट प्रक्षेपण शब्द फर्नीचर उद्योग द्वारा चित्रण में इसके उपयोग से उपजा है। अश्वारोही परिप्रेक्ष्य की तरह, प्रक्षेपित वस्तु का एक चेहरा देखने वाले स्तर के समानांतर होता है, और तीसरी धुरी को कोण पर जाने के रूप में प्रक्षेपित किया जाता है (समान्यतः atan(2) या लगभग ~63.4°). अश्वारोही प्रक्षेपण के विपरीत, जहां तीसरी धुरी अपनी लंबाई रखती है, कैबिनेट प्रक्षेपण के साथ पीछे हटने वाली रेखाओं की लंबाई आधे में कट जाती है।

गणितीय सूत्र
एक सूत्र के रूप में, यदि दर्शक का सामना करने वाला तल xy है, और पीछे हटने वाला अक्ष z है, तो एक बिंदु P को इस प्रकार प्रक्षेपित किया जाता है:
 * $$ P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}

x + \frac12 z \cos \alpha \\ y + \frac12 z \sin \alpha \\ 0 \end{pmatrix}$$ जहाँ $$\alpha$$ उल्लिखित कोण है।

परिवर्तन मैट्रिक्स है:
 * $$ P = \begin{bmatrix}

1 & 0 & \frac12 \cos \alpha \\ 0 & 1 & \frac12 \sin \alpha \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$$ वैकल्पिक रूप से कोई भी शुरुआती चेहरे से प्रक्षेपित अग्रणी भुजा से एक तिहाई हटा सकता है, इस प्रकार एक ही परिणाम दे सकता है।

सैन्य प्रक्षेपण
सैन्य प्रक्षेपण में, x और z-अक्ष और y और z-अक्ष के कोण 45° पर हैं, जिसका अर्थ है कि x-अक्ष और y-अक्ष के बीच का कोण 90° है। अर्थात् xy-तल तिरछा नहीं है। हालांकि, यह 45 डिग्री से अधिक घुमाया जाता है।

उदाहरण
तकनीकी आरेखण और चित्रों के अतिरिक्त, वीडियो गेम (विशेष रूप से 3D गेम के आगमन से पहले वाले) भी प्रायः तिरछे प्रक्षेपण के एक रूप का उपयोग करते हैं। उदाहरणों में सिमसिटी (1989 वीडियो गेम), अल्टिमा VII, अल्टिमा ऑनलाइन,  अर्थबाउंड , पेपरबॉय (वीडियो गेम) और हाल ही में टिबिया (वीडियो गेम) समिलित हैं।

बाईं ओर के आंकड़े लंबकोणीय प्रक्षेप हैं। दाईं ओर की आकृति 30° के कोण और $1/undefined$ के अनुपात के साथ एक तिर्यक प्रक्षेप है।

डिग्री के कोण और 2/3 के अनुपात के साथ कैबिनेट प्रक्षेपण में खींची गई पोटिंग बेंच।

अश्वारोही परिप्रेक्ष्य में किलेबंदी के टुकड़े (साइक्लोपीडिया, या कला और विज्ञान का एक सार्वभौमिक शब्दकोश खंड 1, 1728)।

एक बिंदु को अश्वारोही परिप्रेक्ष्य पर रखने के लिए निर्देशांक का उपयोग कैसे किया जाता है।

सैन्य परिप्रेक्ष्य में खींचा गया पत्थर का मेहराब।

कैबिनेट परिप्रेक्ष्य में खींचा गया पत्थर का मेहराब।

मुख्य महल, Gyeongbokgung के पूर्व में स्थित दो शाही महलों, चांगदेओकगंग और चांगग्योंगंग को दर्शाती प्रतिनिधि कोरियाई चित्रकला।

एक यमन का प्रवेश और गज। जू यांग द्वारा सूज़ौ के बारे में स्क्रॉल का विवरण, कियानलॉन्ग सम्राट द्वारा आदेश दिया गया। 18 वीं सदी

पोर्ट-रॉयल-डेस-चैंप्स की 18वीं शताब्दी की योजना सैन्य प्रक्षेपण में तैयार की गई

वीडियो गेम सिमसिटी में सैन्य प्रक्षेपण की भिन्नता का उपयोग किया जाता है

अधोजत्रुक धमनी को अलग करने के लिए एक तिरछे प्रक्षेपण में दिखाया गया एक 3 डी प्रतिपादन चुंबकीय अनुनाद वाहिका चित्रण

यह भी देखें

 * स्पेस-[[ओब्लिक मर्केटर प्रक्षेपण]]
 * ओब्लिक मर्केटर प्रक्षेपण
 * हत्सुसबुरो योशिदा
 * कला तकनीकों की सूची

अग्रिम पठन

 * Ingrid Carlbom, Joseph Paciorek, Planar Geometric Projections and Viewing Transformations, ACM Computing Surveys, v.10 n.4, p. 465–502, Dec. 1978
 * Alpha et al. 1988, Atlas of Oblique Maps, A Collection of Landform Portrayals of Selected Areas of the World (US Geological Survey)
 * Alpha et al. 1988, Atlas of Oblique Maps, A Collection of Landform Portrayals of Selected Areas of the World (US Geological Survey)

बाहरी संबंध

 * Illustrator Draftsman 3 & 2 – Volume 2 Standard Practices and Theory, page 68 from https://web.archive.org/web/20100822152816/http://www.tpub.com:80/