वर्णक्रमीय सिद्धांत

गणित में, वर्णक्रमीय सिद्धांत एक एकल स्क्वायर मैट्रिक्स के आइजन्वेक्टर और eigenvalue सिद्धांत को विस्तारित करने वाले सिद्धांतों के लिए एक समावेशी शब्द है, जो विभिन्न प्रकार के गणितीय स्थानों में ऑपरेटर (गणित) की संरचना के बहुत व्यापक सिद्धांत के लिए है। यह रैखिक बीजगणित के अध्ययन और रैखिक समीकरणों की प्रणाली और उनके सामान्यीकरण के समाधान का परिणाम है। रेफरी नाम = अर्वेसन>{{cite book |title=वर्णक्रमीय सिद्धांत पर एक लघु पाठ्यक्रम|author=William Arveson |chapter=Chapter 1: spectral theory and Banach algebras |url =https://books.google.com/books?id=ARdehHGWV1QC |isbn=0-387-95300-0 |year=2002 |publisher=Springer} सिद्धांत विश्लेषणात्मक कार्यों से जुड़ा है क्योंकि एक ऑपरेटर के वर्णक्रमीय गुण वर्णक्रमीय पैरामीटर के विश्लेषणात्मक कार्यों से संबंधित हैं। 

गणितीय पृष्ठभूमि
हिल्बर्ट अंतरिक्ष सिद्धांत के अपने मूल सूत्रीकरण में डेविड हिल्बर्ट द्वारा नाम वर्णक्रमीय सिद्धांत पेश किया गया था, जो असीम रूप से कई चर में द्विघात रूपों के संदर्भ में डाला गया था। इसलिए मूल वर्णक्रमीय प्रमेय को एक अनंत-आयामी सेटिंग में, दीर्घवृत्ताभ के प्रधान अक्ष प्रमेय पर प्रमेय के एक संस्करण के रूप में माना गया था। क्वांटम यांत्रिकी में बाद की खोज कि वर्णक्रमीय सिद्धांत उत्सर्जन स्पेक्ट्रम की विशेषताओं की व्याख्या कर सकता है इसलिए आकस्मिक था। हिल्बर्ट स्वयं इस सिद्धांत के अप्रत्याशित अनुप्रयोग से आश्चर्यचकित थे, यह देखते हुए कि मैंने विशुद्ध रूप से गणितीय रुचियों से असीम रूप से कई चर के अपने सिद्धांत को विकसित किया, और बिना किसी प्रस्तुति के इसे 'वर्णक्रमीय विश्लेषण' भी कहा कि यह बाद में भौतिकी के वास्तविक स्पेक्ट्रम के लिए आवेदन करेगा।. वर्णक्रमीय सिद्धांत तैयार करने के तीन मुख्य तरीके हैं, जिनमें से प्रत्येक को विभिन्न डोमेन में उपयोग मिलता है। हिल्बर्ट के प्रारंभिक सूत्रीकरण के बाद, अमूर्त हिल्बर्ट रिक्त स्थान के बाद के विकास और उन पर एकल सामान्य ऑपरेटरों के वर्णक्रमीय सिद्धांत भौतिकी की आवश्यकताओं के अनुकूल थे, जो जॉन वॉन न्यूमैन के काम के उदाहरण थे। सामान्य रूप से बनच बीजगणित को संबोधित करने के लिए इस पर निर्मित आगे का सिद्धांत। यह विकास गेलफैंड प्रतिनिधित्व की ओर जाता है, जो कम्यूटेटिव बनच बीजगणित को कवर करता है, और आगे गैर-कम्यूटेटिव हार्मोनिक विश्लेषण में।

फूरियर विश्लेषण के साथ संबंध बनाने में अंतर देखा जा सकता है। वास्तविक रेखा पर फूरियर रूपांतरण एक अर्थ में एक विभेदक ऑपरेटर के रूप में व्युत्पन्न का वर्णक्रमीय सिद्धांत है। लेकिन इसके लिए घटना को कवर करने के लिए पहले से ही सामान्यीकृत ईजेनफंक्शन (उदाहरण के लिए, एक हेराफेरी हिल्बर्ट अंतरिक्ष के माध्यम से) से निपटना होगा। दूसरी ओर स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट समूह के समूह बीजगणित का निर्माण करना सरल है, जिसके स्पेक्ट्रम में फूरियर रूपांतरण के मूल गुणों को शामिल किया गया है, और यह पोंट्रीगिन द्वैत के माध्यम से किया जाता है।

कोई भी बनच रिक्त स्थान पर ऑपरेटरों के वर्णक्रमीय गुणों का अध्ययन कर सकता है। उदाहरण के लिए, बनच रिक्त स्थान पर कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों में मैट्रिक्स (गणित) के समान कई वर्णक्रमीय गुण होते हैं।

भौतिक पृष्ठभूमि
कंपन की भौतिकी की पृष्ठभूमि को इस प्रकार समझाया गया है:

"Spectral theory is connected with the investigation of localized vibrations of a variety of different objects, from atoms and molecules in chemistry to obstacles in acoustic waveguides. These vibrations have frequencies, and the issue is to decide when such localized vibrations occur, and how to go about computing the frequencies. This is a very complicated problem since every object has not only a fundamental tone but also a complicated series of overtones, which vary radically from one body to another."

इस तरह के भौतिक विचारों का तकनीकी स्तर पर गणितीय सिद्धांत से कोई लेना-देना नहीं है, लेकिन अप्रत्यक्ष भागीदारी के उदाहरण हैं (उदाहरण के लिए मार्क काक का प्रश्न क्या आप ड्रम के आकार को सुन सकते हैं?)। हिल्बर्ट द्वारा स्पेक्ट्रम शब्द को अपनाने का श्रेय विलियम विर्टिंगर  के 1897 के  हिल अंतर समीकरण  (जीन डाइयूडोने द्वारा) के एक पेपर को दिया गया है, और इसे बीसवीं शताब्दी के पहले दशक के दौरान उनके छात्रों द्वारा लिया गया था, उनमें से एरहार्ड श्मिट और हरमन वेइल भी शामिल थे।. हिल्बर्ट अंतरिक्ष के लिए वैचारिक आधार हिल्बर्ट के विचारों से एरहार्ड श्मिट और फ्रिगियस रिज्ज़ द्वारा विकसित किया गया था। यह लगभग बीस साल बाद था, जब श्रोडिंगर समीकरण के संदर्भ में क्वांटम यांत्रिकी तैयार की गई थी, कि परमाणु स्पेक्ट्रा के साथ संबंध बनाया गया था; कंपन के गणितीय भौतिकी के साथ एक संबंध पर पहले संदेह किया गया था, जैसा कि हेनरी पोंकारे ने टिप्पणी की थी, लेकिन सरल मात्रात्मक कारणों से खारिज कर दिया, बाल्मर श्रृंखला की व्याख्या अनुपस्थित थी। क्वांटम यांत्रिकी में बाद की खोज कि वर्णक्रमीय सिद्धांत परमाणु स्पेक्ट्रम की विशेषताओं की व्याख्या कर सकता है, इसलिए हिल्बर्ट के वर्णक्रमीय सिद्धांत का एक उद्देश्य होने के बजाय आकस्मिक था।

स्पेक्ट्रम की एक परिभाषा
एक सामान्य बानाच स्थान पर हर जगह परिभाषित एक सीमित रैखिक ऑपरेटर टी पर विचार करें। हम परिवर्तन बनाते हैं: $$ R_{\zeta} = \left( \zeta I - T \right)^{-1}.$$ यहाँ I पहचान संकारक है और ζ एक सम्मिश्र संख्या है। संकारक T का व्युत्क्रम, जो कि T है-1, द्वारा परिभाषित किया गया है: $$T T^{-1} = T^{-1} T = I. $$ यदि व्युत्क्रम मौजूद है, तो T को नियमित कहा जाता है। यदि यह अस्तित्व में नहीं है, तो T को एकवचन कहा जाता है।

इन परिभाषाओं के साथ, टी का विलायक सेट सभी जटिल संख्याओं का सेट है, जैसे कि आरζमौजूद है और परिबद्ध संचालिका है। इस सेट को अक्सर ρ(T) के रूप में दर्शाया जाता है। T का स्पेक्ट्रम सभी सम्मिश्र संख्याओं ζ का समुच्चय है, जैसे कि Rζ विफल मौजूद नहीं है या असीमित है। अक्सर T के स्पेक्ट्रम को σ(T) द्वारा निरूपित किया जाता है। समारोह आरζρ(T) में सभी ζ के लिए (अर्थात, जहाँ भी Rζएक बंधे हुए ऑपरेटर के रूप में मौजूद है) को T का रिज़ॉल्वेंट औपचारिकता कहा जाता है। इसलिए T का स्पेक्ट्रम जटिल तल में T के रिज़ॉल्वेंट सेट का पूरक है। T का प्रत्येक eigenvalue σ(T) से संबंधित है, लेकिन σ(T) में गैर-eigenvalues ​​​​हो सकते हैं। यह परिभाषा बानाच स्थान पर लागू होती है, लेकिन निश्चित रूप से अन्य प्रकार के स्थान भी मौजूद हैं; उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल वेक्टर रिक्त स्थान  में बैनच स्पेस शामिल है, लेकिन यह अधिक सामान्य हो सकता है।  दूसरी तरफ, बनच रिक्त स्थान में हिल्बर्ट रिक्त स्थान शामिल हैं, और यह ये स्थान हैं जो सबसे बड़ा अनुप्रयोग और सबसे समृद्ध सैद्धांतिक परिणाम प्राप्त करते हैं। उपयुक्त प्रतिबंधों के साथ, हिल्बर्ट अंतरिक्ष की संरचना के बारे में बहुत कुछ कहा जा सकता है # हिल्बर्ट अंतरिक्ष में स्पेक्ट्रल सिद्धांत। विशेष रूप से, स्व-आसन्न ऑपरेटरों के लिए, स्पेक्ट्रम वास्तविक रेखा पर स्थित होता है और (सामान्य रूप से) असतत ईजेनवैल्यूज के एक बिंदु स्पेक्ट्रम के स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण) का अपघटन होता है # ईगेनवैल्यूज की गणना। 2C और विशेषता समीकरण और एक निरंतर स्पेक्ट्रम।

स्पेक्ट्रल सिद्धांत संक्षेप में
कार्यात्मक विश्लेषण और रैखिक बीजगणित में वर्णक्रमीय प्रमेय ऐसी स्थितियाँ स्थापित करता है जिसके तहत एक ऑपरेटर को सरल रूप में सरल ऑपरेटरों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। चूंकि इस आलेख के लिए एक पूर्ण कठोर प्रस्तुति उपयुक्त नहीं है, हम एक ऐसा दृष्टिकोण अपनाते हैं जो गैर-विशेषज्ञ के लिए अधिक समझदार होने के उद्देश्य से एक औपचारिक उपचार की कठोरता और संतुष्टि से बचाता है।

ऑपरेटरों के लिए पॉल डिराक के ब्रा-केट नोटेशन की शुरुआत करके इस विषय का वर्णन करना सबसे आसान है। एक उदाहरण के रूप में, एक बहुत ही विशेष रैखिक ऑपरेटर L को एक डाईडिक उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है:
 * $$ L = | k_1 \rangle \langle b_1 |, $$

ब्रा ⟨ के संदर्भ में$b$1| और केट |$k$1⟩। एक समारोह $f$ को केट द्वारा | के रूप में वर्णित किया गया हैf}⟩. कार्यक्रम $f(x)$ निर्देशांक पर परिभाषित $$(x_1, x_2, x_3, \dots)$$ के रूप में दर्शाया गया है
 * $$ f(x)=\langle x, f\rangle $$

और f का परिमाण
 * $$ \|f \|^2 = \langle f, f\rangle =\int \langle f, x\rangle \langle x, f \rangle \, dx = \int f^*(x) f(x) \, dx $$

जहाँ अंकन (*) एक जटिल संयुग्म को दर्शाता है। यह आंतरिक उत्पाद विकल्प एक बहुत ही विशिष्ट आंतरिक उत्पाद स्थान को परिभाषित करता है, जो तर्कों की व्यापकता को प्रतिबंधित करता है।

फ़ंक्शन f पर L का प्रभाव तब इस प्रकार वर्णित है:


 * $$ L | f\rangle = | k_1 \rangle \langle b_1 | f \rangle $$

यह परिणाम व्यक्त करते हुए कि f पर L का प्रभाव एक नया कार्य उत्पन्न करना है $$ | k_1 \rangle $$ द्वारा दर्शाए गए आंतरिक उत्पाद से गुणा किया जाता है $$\langle b_1 | f \rangle $$. एक अधिक सामान्य रैखिक संकारक L को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$ L = \lambda_1 | e_1\rangle\langle f_1| + \lambda_2 | e_2\rangle \langle f_2| +   \lambda_3 | e_3\rangle\langle f_3| + \dots, $$

जहां $$ \{ \, \lambda_i \, \}$$ अदिश हैं और $$ \{ \, | e_i \rangle \, \} $$ एक आधार (रैखिक बीजगणित) और हैं $$ \{ \, \langle f_i | \, \} $$ अंतरिक्ष के लिए एक दोहरा आधार। आधार और पारस्परिक आधार के बीच के संबंध को आंशिक रूप से वर्णित किया गया है:


 * $$ \langle f_i | e_j \rangle = \delta_{ij} $$

यदि ऐसी औपचारिकता लागू होती है, तो $$ \{ \, \lambda_i \, \}$$ एल और कार्यों के eigenvalues ​​​​हैं $$ \{ \, | e_i \rangle \, \} $$ L के eigenfunctions हैं। eigenvalues ​​​​L के स्पेक्ट्रम में हैं। कुछ स्वाभाविक प्रश्न हैं: यह औपचारिकता किन परिस्थितियों में काम करती है, और किन ऑपरेटरों के लिए एल इस तरह के अन्य ऑपरेटरों की श्रृंखला में विस्तार संभव है? क्या किसी भी कार्य को ईजेनफंक्शन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है (क्या वे एक शाउडर आधार हैं) और किन परिस्थितियों में एक बिंदु स्पेक्ट्रम या एक निरंतर स्पेक्ट्रम उत्पन्न होता है? अनंत-आयामी रिक्त स्थान और परिमित-आयामी रिक्त स्थान के लिए औपचारिकताएं कैसे भिन्न होती हैं, या वे भिन्न होती हैं? क्या इन विचारों को रिक्त स्थान के व्यापक वर्ग तक बढ़ाया जा सकता है? ऐसे सवालों का जवाब देना वर्णक्रमीय सिद्धांत का क्षेत्र है और इसके लिए कार्यात्मक विश्लेषण और मैट्रिक्स (गणित) में काफी पृष्ठभूमि की आवश्यकता होती है।

पहचान का संकल्प
यह खंड ब्रा-केट संकेतन का उपयोग करते हुए उपरोक्त खंड के कच्चे और तैयार तरीके से जारी है, और एक कठोर उपचार के कई महत्वपूर्ण विवरणों पर प्रकाश डालता है। एक कठोर गणितीय उपचार विभिन्न संदर्भों में पाया जा सकता है। रेफ नाम = कठोरता> उदाहरण के लिए, मूल पाठ देखें और, ,  विशेष रूप से, अंतरिक्ष का आयाम n परिमित होगा।

उपरोक्त अनुभाग के ब्रा-केट नोटेशन का उपयोग करते हुए, आइडेंटिटी ऑपरेटर को इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$I = \sum _{i=1} ^{n} | e_i \rangle \langle f_i | $$

जहां यह उससे ऊपर माना जाता है $$\{ |e_i\rangle\}$$ एक आधार (रैखिक बीजगणित) और हैं $$ \{ \langle f_i | \}$$ संबंध को संतुष्ट करने वाले स्थान के लिए एक पारस्परिक आधार:


 * $$\langle f_i | e_j\rangle = \delta_{ij} . $$

आइडेंटिटी ऑपरेशन की इस अभिव्यक्ति को रिप्रेजेंटेशन या आइडेंटिटी का रिजोल्यूशन कहा जाता है। यह औपचारिक प्रतिनिधित्व पहचान की मूल संपत्ति को संतुष्ट करता है:
 * $$ I^k = I $$

प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक k के लिए मान्य है।

अंतरिक्ष में किसी भी कार्य के लिए पहचान के संकल्प को लागू करना $$| \psi \rangle$$, एक प्राप्त करता है:


 * $$I |\psi \rangle = |\psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} | e_i \rangle \langle f_i | \psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} c_i | e_i \rangle $$

जो आधार कार्यों के संदर्भ में ψ की सामान्यीकृत फूरियर श्रृंखला है { ei }. यहाँ $$c_i = \langle f_i | \psi \rangle$$.

फॉर्म के कुछ ऑपरेटर समीकरण को देखते हुए:
 * $$O | \psi \rangle = | h \rangle $$

अंतरिक्ष में एच के साथ, इस समीकरण को उपरोक्त आधार पर औपचारिक जोड़तोड़ के माध्यम से हल किया जा सकता है:
 * $$ O | \psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} c_i \left( O | e_i \rangle \right) =  \sum_{i=1}^{n} | e_i \rangle \langle f_i |  h \rangle, $$
 * $$\langle f_j|O| \psi \rangle = \sum_{i=1}^{n} c_i \langle f_j| O | e_i \rangle  =  \sum_{i=1}^{n} \langle f_j| e_i \rangle \langle f_i | h \rangle  = \langle f_j |  h \rangle, \quad \forall j $$

जो ऑपरेटर समीकरण को मैट्रिक्स समीकरण में परिवर्तित करता है जो अज्ञात गुणांक सी निर्धारित करता हैjसामान्यीकृत फूरियर गुणांक के संदर्भ में $$\langle f_j | h \rangle$$ एच और मैट्रिक्स तत्वों की $$O_{ji}= \langle f_j| O | e_i \rangle $$ ऑपरेटर ओ.

आधार और पारस्परिक आधार की प्रकृति और अस्तित्व को स्थापित करने में वर्णक्रमीय सिद्धांत की भूमिका उत्पन्न होती है। विशेष रूप से, आधार में कुछ रैखिक ऑपरेटर एल के ईजिनफंक्शन शामिल हो सकते हैं:


 * $$L | e_i \rangle = \lambda_i | e_i \rangle \, ; $$

{ λ के साथi} L के स्पेक्ट्रम से L के eigenvalues। फिर ऊपर की पहचान का संकल्प L का युग्मक विस्तार प्रदान करता है:


 * $$LI = L = \sum_{i=1}^{n} L | e_i \rangle \langle f_i| = \sum_{i=1}^{n} \lambda _i | e_i \rangle \langle f_i | . $$

रिज़ॉल्वेंट ऑपरेटर
स्पेक्ट्रल सिद्धांत का प्रयोग, विलायक ऑपरेटर आर:


 * $$R = (\lambda I - L)^{-1},\, $$

L के eigenfunctions और eigenvalues ​​​​के संदर्भ में मूल्यांकन किया जा सकता है, और L के अनुरूप ग्रीन का कार्य पाया जा सकता है।

अंतरिक्ष में कुछ मनमाना कार्य करने के लिए R को लागू करना, कहते हैं $$\varphi$$,


 * $$R |\varphi \rangle = (\lambda I - L)^{-1} |\varphi \rangle = \sum_{i=1}^n \frac{1}{\lambda- \lambda_i} |e_i \rangle \langle f_i | \varphi \rangle. $$

इस फ़ंक्शन में L के प्रत्येक eigenvalue पर जटिल λ-प्लेन में ध्रुव (जटिल विश्लेषण) है। इस प्रकार, अवशेषों की कलन का उपयोग करते हुए:


 * $$\frac{1}{2\pi i } \oint_C R |\varphi \rangle d \lambda = -\sum_{i=1}^n |e_i \rangle   \langle f_i | \varphi \rangle  = -|\varphi \rangle,$$

जहाँ रेखा अभिन्न  एक समोच्च C के ऊपर है जिसमें L के सभी eigenvalues ​​​​शामिल हैं।

मान लीजिए कि हमारे कार्यों को कुछ निर्देशांक {xj}, वह है:


 * $$\langle x, \varphi \rangle = \varphi (x_1, x_2, ...). $$

अंकन का परिचय


 * $$ \langle x, y \rangle = \delta (x-y), $$

जहां δ(x - y) = δ(x1 - और1, एक्स2 - और2, एक्स3 - और3, ...) Dirac डेल्टा फलन है, हम लिख सकते हैं


 * $$\langle x, \varphi \rangle = \int \langle x, y \rangle \langle y, \varphi \rangle dy. $$

तब:


 * $$\begin{align}

\left\langle x, \frac{1}{2\pi i } \oint_C \frac{\varphi}{\lambda I - L} d \lambda\right\rangle &= \frac{1}{2\pi i }\oint_C d \lambda \left \langle x, \frac{\varphi}{\lambda I - L} \right \rangle\\ &= \frac{1}{2\pi i } \oint_C d \lambda \int dy \left \langle x, \frac{y}{\lambda I - L} \right \rangle  \langle y, \varphi \rangle \end{align}$$ फ़ंक्शन G(x, y; λ) द्वारा परिभाषित:


 * $$\begin{align}

G(x, y; \lambda) &= \left \langle x, \frac{y}{\lambda I - L} \right \rangle \\ &= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \langle x, e_i \rangle \left \langle f_i, \frac{e_j}{\lambda I - L} \right \rangle \langle f_j, y\rangle \\ &= \sum_{i=1}^n \frac{\langle x, e_i \rangle \langle f_i, y\rangle }{\lambda  - \lambda_i} \\ &= \sum_{i=1}^n \frac{e_i (x) f_i^*(y) }{\lambda - \lambda_i}, \end{align}$$ ऑपरेटर एल के लिए ग्रीन का कार्य कहा जाता है, और संतुष्ट करता है:
 * $$\frac{1}{2\pi i }\oint_C G(x,y;\lambda) \, d \lambda = -\sum_{i=1}^n \langle x, e_i \rangle \langle f_i, y\rangle = -\langle x, y\rangle = -\delta (x-y). $$

ऑपरेटर समीकरण
ऑपरेटर समीकरण पर विचार करें:


 * $$(O-\lambda I ) |\psi \rangle = |h \rangle; $$

निर्देशांक के संदर्भ में:


 * $$\int \langle x, (O-\lambda I)y \rangle \langle y, \psi \rangle \, dy = h(x). $$

एक विशेष मामला λ = 0 है।

पिछले खंड का ग्रीन का कार्य है:


 * $$\langle y, G(\lambda) z\rangle = \left \langle y, (O-\lambda I)^{-1} z \right \rangle = G(y, z; \lambda),$$

और संतुष्ट करता है:


 * $$\int \langle x, (O - \lambda I) y \rangle \langle y, G(\lambda) z \rangle \, dy = \int \langle x, (O-\lambda I) y \rangle \left \langle y, (O-\lambda I)^{-1} z \right \rangle \, dy = \langle x, z \rangle = \delta (x-z).$$

इस ग्रीन की फ़ंक्शन प्रॉपर्टी का उपयोग करना:


 * $$\int \langle x, (O-\lambda I) y \rangle G(y, z; \lambda ) \, dy = \delta (x-z). $$

फिर, इस समीकरण के दोनों पक्षों को h(z) से गुणा करना और समाकलित करना:


 * $$\int dz \, h(z) \int dy \, \langle x, (O-\lambda I)y \rangle G(y, z; \lambda)=\int dy \, \langle x, (O-\lambda I) y \rangle \int dz \, h(z)G(y, z; \lambda) = h(x), $$

जो सुझाव देता है समाधान है:


 * $$\psi(x) = \int h(z) G(x, z; \lambda) \, dz.$$

यही है, फ़ंक्शन ψ(x) ऑपरेटर समीकरण को संतुष्ट करता है, अगर हम ओ के स्पेक्ट्रम को ढूंढ सकते हैं, और जी का निर्माण कर सकते हैं, उदाहरण के लिए:


 * $$G(x, z; \lambda) = \sum_{i=1}^n \frac{e_i (x) f_i^*(z)}{\lambda - \lambda_i}.$$

जी को खोजने के और भी कई तरीके हैं। ग्रीन के फलन#Green.27s पर लेखों को असमांगी सीमा मान समस्याओं को हल करने के लिए देखें|ग्रीन के फलन और फ्रेडहोम सिद्धांत#असमान समीकरण पर लेख देखें। यह ध्यान में रखा जाना चाहिए कि उपरोक्त गणित विशुद्ध रूप से औपचारिक है, और एक कठोर उपचार में कार्यात्मक विश्लेषण, हिल्बर्ट रिक्त स्थान, वितरण (गणित) और आगे के अच्छे पृष्ठभूमि ज्ञान सहित कुछ सुंदर परिष्कृत गणित शामिल हैं। अधिक विवरण के लिए इन लेखों और संदर्भों से परामर्श लें।

स्पेक्ट्रल प्रमेय और रेले भागफल
ऑप्टिमाइज़ेशन समस्याएँ सममित मैट्रिसेस में ईजेनवैल्यूज़ और ईजेनवेक्टरों के दहनशील महत्व के बारे में सबसे उपयोगी उदाहरण हो सकती हैं, विशेष रूप से मैट्रिक्स एम के संबंध में रेले भागफल के लिए।

प्रमेय 'चलो एम एक सममित मैट्रिक्स हो और एक्स को गैर-शून्य वेक्टर होने दें जो एम के संबंध में रेले भागफल को अधिकतम करता है। फिर, एक्स एम का एक ईजेनवेक्टर है जो रेले भागफल के बराबर ईजेनवेल्यू के साथ है। इसके अलावा, यह eigenvalue M का सबसे बड़ा eigenvalue है।''

प्रमाण वर्णक्रमीय प्रमेय मान लें। माना M का आइगेन मान है $$\lambda_1 \leq \lambda_2 \leq \cdots \leq \lambda_n$$. के बाद से $$\{v_i\}$$ एक ऑर्थोनॉर्मल आधार बनाते हैं, किसी भी सदिश x को इस आधार (रैखिक बीजगणित) में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$x = \sum_i v_i^T x v_i$$

इस सूत्र को सिद्ध करने का तरीका बहुत आसान है। अर्थात्,


 * $$\begin{align}

v_j^T \sum_i v_i^T x v_i = {} & \sum_{i} v_i^{T} x v_j^{T} v_i \\[4pt] = {} & (v_j^T x ) v_j^T v_j \\[4pt] = {} & v_j^T x \end{align}$$ x के संबंध में रैले भागफल का मूल्यांकन करें:


 * $$\begin{align}

x^T M x = {} & \left(\sum_i (v_i^T x) v_i\right)^T M \left(\sum_j (v_j^T x) v_j\right) \\[4pt] = {} & \left(\sum_i (v_i^T x) v_i^T\right) \left(\sum_j (v_j^T x) v_j\lambda_j \right) \\[4pt] = {} & \sum_{i,j} (v_i^T x) v_i^T(v_j^T x) v_j\lambda_j \\[4pt] = {} & \sum_j (v_j^T x)(v_j^T x)\lambda_j \\[4pt] = {} & \sum_{j} (v_j^T x)^2\lambda_j\le\lambda_n \sum_j (v_j^T x)^2 \\[4pt] = {} & \lambda_n x^T x, \end{align}$$ जहां हमने अंतिम पंक्ति में पारसेवल की पहचान का उपयोग किया। अंत में हम वह प्राप्त करते हैं
 * $$\frac{x^T M x}{x^T x}\le \lambda_n$$

इसलिए रैले भागफल हमेशा से कम होता है $$\lambda_n$$.

यह भी देखें

 * कार्यात्मक गणना, ऑपरेटर सिद्धांत * लक्स जोड़ी
 * कम से कम वर्ग वर्णक्रमीय विश्लेषण
 * रिज प्रोजेक्टर
 * स्व-आसन्न ऑपरेटर * स्पेक्ट्रम (कार्यात्मक विश्लेषण), संकल्प औपचारिकता, स्पेक्ट्रम का अपघटन (कार्यात्मक विश्लेषण)
 * स्पेक्ट्रल त्रिज्या, एक ऑपरेटर का स्पेक्ट्रम, वर्णक्रमीय त्रिज्या
 * कॉम्पैक्ट ऑपरेटरों का वर्णक्रमीय सिद्धांत
 * सामान्य सी * - बीजगणित का वर्णक्रमीय सिद्धांत
 * स्टर्म-लिउविल सिद्धांत, इंटीग्रल समीकरण, फ्रेडहोम सिद्धांत
 * कॉम्पैक्ट ऑपरेटर, आइसोस्पेक्ट्रल ऑपरेटर, पूर्ण मीट्रिक स्थान
 * स्पेक्ट्रल ज्यामिति
 * वर्णक्रमीय ग्राफ सिद्धांत
 * कार्यात्मक विश्लेषण विषयों की सूची

बाहरी संबंध

 * Evans M. Harrell II: A Short History of Operator Theory

Spektrum (Operatortheorie)