फ्रोबेनियस सहसंयोजक

आव्यूह (गणित) में, एक वर्ग आव्यूह के फ्रोबेनियस सहसंयोजक $A$ इसके विशेष बहुपद हैं, अर्थात् प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित) आव्यूह $A$i के आइगेन वैल्यू, आइगेन सदिश और आइगेनसमष्टि से संबद्ध  $A$. इनका नाम गणितज्ञ फर्डिनेंड जॉर्ज फ्रोबेनियस के नाम पर रखा गया है।

प्रत्येक सहसंयोजक आइगेन वैल्यू $λ_{i}$, से संबद्ध आइगेनसमष्टि पर एक प्रक्षेपण है। फ्रोबेनियस सहसंयोजक सिल्वेस्टर के सूत्र के गुणांक हैं, जो आव्यूह $f(A)$ के एक फलन को आव्यूह बहुपद के रूप में व्यक्त करता है, अर्थात् $A$ के आइगेनवैल्यू पर उस फलन के मानों का एक रैखिक संयोजन है।

औपचारिक परिभाषा
मान लीजिए A एक विकर्णीय आव्यूह है जिसका आइगेन वैल्यू λ1, …, λk है।

फ्रोबेनियस सहसंयोजक $A_{i}$, i = 1 के लिए,…, k, आव्यूह है
 * $$ A_i \equiv \prod_{j=1 \atop j \ne i}^k \frac{1}{\lambda_i-\lambda_j} (A - \lambda_j I)~. $$

यह अनिवार्य रूप से आव्यूह तर्क के साथ लैग्रेंज बहुपद है। यदि आइगेन वैल्यू λi सरल है, फिर एक-आयामी उप-समष्टि के लिए एक निष्क्रिय प्रक्षेपण आव्यूह के रूप में, $A_{i}$ की एक इकाई ट्रेस (रैखिक बीजगणित) है।

यह मूलतः आव्यूह तर्क वाला लैग्रेंज बहुपद है। यदि आइगेन वैल्यू λi सरल है, तो एक-आयामी उप-समष्टि के लिए एक निष्क्रिय प्रक्षेपण आव्यूह के रूप में, $A_{i}$ में एक इकाई ट्रेस (रैखिक बीजगणित) होता है।

सहसंयोजकों की गणना
आव्यूह $A$ के फ्रोबेनियस सहसंयोजकों को किसी भी आइगेन अपघटन A = SDS−1 से प्राप्त किया जा सकता है, जहां S गैर-एकवचन है और D, Di,i = λi के साथ विकर्ण है। यदि A में कोई एकाधिक आइगेन वैल्यू ​​नहीं है, तो मान लीजिए कि ci, A का iवां दायां आइगेन सदिश है, अर्थात, S; का i वां स्तंभ है; और मान लीजिए कि ri , $A$ का i वां बायां आइगेन सदिश है, अर्थात् S−1 की iवीं पंक्ति है। तब Ai = ci ri.।

यदि $A$ का आइगेन वैल्यू λi कई बार प्रदर्शित होता है, तो $A_{i} = Σ_{j} c_{j} r_{j}$, जहां आइगेन वैल्यू λi से जुड़ी सभी पंक्तियों और स्तंभों का योग होता है।

उदाहरण
दो-दो आव्यूह पर विचार करें:
 * $$ A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 4 & 2 \end{bmatrix}.$$

इस आव्यूह के दो आइगेन वैल्यू, 5 और −2 हैं; इस तरह $(A − 5)(A + 2) = 0$.

संगत आइगेन अपघटन है
 * $$ A = \begin{bmatrix} 3 & 1/7 \\ 4 & -1/7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 1/7 \\ 4 & -1/7 \end{bmatrix}^{-1} = \begin{bmatrix} 3 & 1/7 \\ 4 & -1/7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & 0 \\ 0 & -2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/7 & 1/7 \\ 4 & -3 \end{bmatrix}. $$

इसलिए फ्रोबेनियस सहसंयोजक, स्पष्ट रूप से अनुमान हैं
 * $$ \begin{array}{rl}

A_1 &= c_1 r_1 = \begin{bmatrix} 3 \\ 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1/7 & 1/7 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3/7 & 3/7 \\ 4/7 & 4/7 \end{bmatrix} = A_1^2\\ A_2 &= c_2 r_2 = \begin{bmatrix} 1/7 \\ -1/7 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 & -3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4/7 & -3/7 \\ -4/7 & 3/7 \end{bmatrix}=A_2^2 ~, \end{array} $$ साथ
 * $$A_1 A_2 = 0, \qquad A_1 + A_2 = I ~.$$

टिप्पणी $trA_{1} = trA_{2} = 1$, आवश्यकता अनुसार है।