सर्जरी सिद्धांत

गणित में, विशेष रूप से ज्यामितीय टोपोलॉजी में, सर्जरी सिद्धांत तकनीकों का एक संग्रह है जिसका उपयोग 'नियंत्रित' तरीके से एक परिमित-आयामी कई गुना  को दूसरे से उत्पन्न करने के लिए किया जाता है।. मिल्नोर ने इस तकनीक को सर्जरी कहा, जबकि एंड्रयू एच. वालेस ने इसे 'गोलाकार संशोधन' कहा। आयाम के विभेदक मैनिफोल्ड एम पर सर्जरी $$n=p+q+1$$, को एम से आयाम पी के एक अंतर्निहित क्षेत्र को हटाने के रूप में वर्णित किया जा सकता है। मूल रूप से डिफरेंशियल (या, भिन्न-भिन्न अनेक गुना) मैनिफोल्ड्स के लिए विकसित, सर्जरी तकनीकें टुकड़े-टुकड़े रैखिक कई गुना  (पीएल-) और  टोपोलॉजिकल मैनिफ़ोल्ड ्स मैनिफोल्ड्स पर भी लागू होती हैं।

सर्जरी से तात्पर्य मैनिफोल्ड के हिस्सों को काटने और कट या सीमा के साथ मेल खाते हुए दूसरे मैनिफोल्ड के हिस्से से बदलने से है। यह हैंडलबॉडी डीकंपोजिशन से निकटता से संबंधित है, लेकिन समान नहीं है।

अधिक तकनीकी रूप से, विचार एक अच्छी तरह से समझे जाने वाले मैनिफोल्ड एम से शुरू करना है और कुछ वांछित संपत्ति वाले मैनिफोल्ड एम' का उत्पादन करने के लिए उस पर सर्जरी करना है, इस तरह से कि होमोलॉजी (गणित), होमोटॉपी समूहों या अन्य पर प्रभाव पड़ सके। अनेक गुना के अपरिवर्तनीय ज्ञात हैं। मोर्स सिद्धांत का उपयोग करते हुए एक अपेक्षाकृत आसान तर्क से पता चलता है कि गोलाकार संशोधनों के अनुक्रम द्वारा एक दूसरे से कई गुना प्राप्त किया जा सकता है यदि और केवल तभी जब वे दोनों एक ही सह-बॉर्डिज्म वर्ग से संबंधित हों।

द्वारा विदेशी क्षेत्रों का वर्गीकरण उच्च-आयामी टोपोलॉजी में एक प्रमुख उपकरण के रूप में सर्जरी सिद्धांत के उद्भव का कारण बना।

एक बुनियादी अवलोकन
यदि X, Y सीमा के साथ कई गुना हैं, तो उत्पाद की सीमा कई गुना है
 * $$\partial(X \times Y) = (\partial X \times Y) \cup (X \times \partial Y).$$

मूल अवलोकन जो सर्जरी को उचित ठहराता है वह है स्थान $$S^p \times S^{q-1}$$ की सीमा के रूप में समझा जा सकता है $$D^{p+1} \times S^{q-1}$$ या की सीमा के रूप में $$S^p \times D^q$$. प्रतीकों में,
 * $$\partial\left(S^p \times D^q\right) = S^p \times S^{q-1} = \partial\left(D^{p+1} \times S^{q-1}\right)$$,

कहाँ $$D^q$$ क्यू-आयामी डिस्क है, यानी, बिंदुओं का सेट $$\R^q$$ जो किसी दिए गए निश्चित बिंदु (डिस्क के केंद्र) से एक या उससे कम दूरी पर हैं; उदाहरण के लिए, तो, $$D^1$$ इकाई अंतराल के लिए समरूपता है, जबकि $$D^2$$ इसके आंतरिक बिंदुओं सहित एक वृत्त है।

सर्जरी
अब, आयाम का कई गुना M दिया गया है $$n = p+q$$ और एक एम्बेडिंग $$\phi\colon S^p \times D^q \to M$$, एक और एन-डायमेंशनल मैनिफोल्ड को परिभाषित करें $$M'$$ होना
 * $$M' := \left(M \setminus \operatorname{int}(\operatorname{im}(\phi))\right) \; \cup_{\phi|_{S^p \times S^{q-1}}} \left(D^{p+1} \times S^{q-1}\right).$$

तब से $$\operatorname{im}(\phi)=\phi(S^p \times D^q)$$ और पहले हमारे मूल अवलोकन के समीकरण से, ग्लूइंग उचित है
 * $$\phi\left(\partial\left(S^p \times D^q\right)\right) = \phi\left(S^p \times S^{q-1}\right).$$

एक का कहना है कि मैनिफोल्ड एम' का निर्माण सर्जरी द्वारा काटकर किया जाता है $$S^p \times D^q$$ और चिपकाना $$D^{p+1} \times S^{q-1}$$, या पी-सर्जरी द्वारा यदि कोई संख्या पी निर्दिष्ट करना चाहता है। कड़ाई से बोलते हुए, एम' कोनों वाला एक मैनिफोल्ड है, लेकिन उन्हें चिकना करने का एक विहित तरीका है। ध्यान दें कि एम में प्रतिस्थापित किया गया सबमैनिफोल्ड एम के समान आयाम का था (यह कोड आयाम 0 का था)।

हैंडल और कोबॉर्डिज्म जोड़ना
सर्जरी का हैंडलबॉडी से गहरा संबंध है (लेकिन उसके समान नहीं)। सीमा (L, ∂L) और एक एम्बेडिंग के साथ एक (n + 1)-मैनिफोल्ड दिया गया है $$\phi$$: एसपी × 'डी'q → ∂L, जहां n = p+q, सीमा L′ के साथ एक और (n+1)-मैनिफोल्ड को परिभाषित करें
 * $$L' := L\; \cup_\phi \left(D^{p+1} \times D^q\right).$$

मैनिफोल्ड L' एक (p+1)-हैंडल जोड़कर प्राप्त किया जाता है, जिसमें ∂L' एक p-सर्जरी द्वारा ∂L से प्राप्त किया जाता है
 * $$\partial L' = (\partial L - \operatorname{int~im}\phi) \; \cup_{\phi|_{S^p \times D^{q}}} \left(D^{p+1} \times S^{q-1}\right).$$

एम पर एक सर्जरी न केवल एक नया मैनिफोल्ड एम' उत्पन्न करती है, बल्कि एम और एम' के बीच एक बोर्डिज्म डब्ल्यू भी उत्पन्न करती है। सर्जरी का निशान बोर्डिज्म (डब्ल्यू; एम, एम′) है, साथ में
 * $$W := (M \times I)\; \cup_{\phi \times \{1\}} \left(D^{p+1} \times D^q\right)$$

सीमा ∂W = M ∪ M′ के साथ (n + 1)-आयामी मैनिफोल्ड (p + 1)-हैंडल 'D' संलग्न करके उत्पाद M × I से प्राप्त किया गयापी+1 × 'डी'क्यू.

सर्जरी इस अर्थ में सममित है कि मैनिफोल्ड एम को (क्यू − 1) सर्जरी द्वारा एम′ से पुनः प्राप्त किया जा सकता है, जिसका निशान मूल सर्जरी के निशान के साथ मेल खाता है, अभिविन्यास तक।

अधिकांश अनुप्रयोगों में, मैनिफोल्ड एम अतिरिक्त ज्यामितीय संरचना के साथ आता है, जैसे कि कुछ संदर्भ स्थान का नक्शा, या अतिरिक्त बंडल डेटा। फिर कोई चाहता है कि सर्जरी प्रक्रिया एम' को उसी प्रकार की अतिरिक्त संरचना प्रदान करे। उदाहरण के लिए, सर्जरी सिद्धांत में एक मानक उपकरण सामान्य अपरिवर्तनीयों पर सर्जरी है: ऐसी प्रक्रिया एक सामान्य मानचित्र को उसी बोर्डिज्म वर्ग के भीतर दूसरे सामान्य मानचित्र में बदल देती है।

उदाहरण
1. Surgery on the circle

As per the above definition, a surgery on the circle consists of cutting out a copy of S0 × D1 and gluing in D1 × S0. The pictures in Fig. 1 show that the result of doing this is either (i) S1 again, or (ii) two copies of S1.



2. Surgery on the 2-sphere

In this case there are more possibilities, since we can start by cutting out either S1 × D1 or S0 × D2.

1. S1 × D1: If we remove a cylinder from the 2-sphere, we are left with two disks. We have to glue back in S0 × D2 – that is, two disks – and it is clear that the result of doing so is to give us two disjoint spheres. (Fig. 2a)

Sphere-surgery4.png

2. S0 × D2: Having cut out two disks S0 × D2, we glue back in the cylinder S1 × D1. There are two possible outcomes, depending on whether our gluing maps have the same or opposite orientation on the two boundary circles. If the orientations are the same (Fig. 2b), the resulting manifold is the torus S1 × S1, but if they are different, we obtain the Klein Bottle (Fig. 2c).

3. Surgery on the n-sphere

If n = p + q, then
 * $S^n=\partial D^{n+1}\approx \partial (D^{p+1}\times D^q) = S^p\times D^q\;\cup\;D^{p+1}\times S^{q-1}$.

The p-surgery on Sn is therefore
 * $D^{p+1}\times S^{q-1}\;\cup\;D^{p+1}\times S^{q-1} = S^{p+1}\times S^{q-1}$.

Examples 1 and 2 above were a special case of this.

4. Morse functions

Suppose that f is a Morse function on an (n + 1)-dimensional manifold, and suppose that c is a critical value with exactly one critical point in its preimage. If the index of this critical point is p + 1, then the level-set $M' := f^{-1}(c + \varepsilon)$ is obtained from $M: = f^{-1}(c - \varepsilon)$ by a p-surgery. The bordism $W: = f^{-1}([c - \varepsilon, c + \varepsilon])$ can be identified with the trace of this surgery.

Indeed, in some coordinate chart around the critical point, the function f is of the form $-\Vert x\Vert^2 + \Vert y\Vert^2$, with $x\in R^{p+1}, y\in R^q$, and p + q + 1 = n + 1. Fig. 3 shows, in this local chart, the manifold M in blue and the manifold M′ in red. The colored region between M and M′ corresponds to the bordism W. The picture shows that W is diffeomorphic to the union
 * $W \cong M \times I \cup_{S^p\times D^q} D^{p+1}\times D^q$

(neglecting the issue of straightening corners), where M × I is colored in yellow, and $D^{p+1}\times D^q$ is colored in green. The manifold M′, being a boundary component of W, is therefore obtained from M by a p-surgery. Since every bordism between closed manifolds has a Morse function where different critical points have different critical values, this shows that any bordism can be decomposed into traces of surgeries (handlebody decomposition). In particular, every manifold M may be regarded as a bordism from the boundary ∂M (which may be empty) to the empty manifold, and so may be obtained from ∂M × I by attaching handles.

समरूप समूहों पर प्रभाव, और सेल-अटैचमेंट से तुलना
सहज रूप से, सर्जरी की प्रक्रिया एक सेल को टोपोलॉजिकल स्पेस से जोड़ने का कई गुना एनालॉग है, जहां एम्बेडिंग φ संलग्न मानचित्र की जगह लेता है। एक (पी+1)-सेल का एन-मैनिफोल्ड से एक साधारण जुड़ाव आयाम कारणों से मैनिफोल्ड संरचना को नष्ट कर देगा, इसलिए इसे किसी अन्य सेल के साथ पार करके मोटा होना होगा।

होमोटॉपी तक, एक एम्बेडिंग φ पर सर्जरी की प्रक्रिया: 'एस'पी × 'डी'q → M को एक (p + 1)-सेल को जोड़ने के रूप में वर्णित किया जा सकता है, जो ट्रेस का समरूप प्रकार देता है, और N प्राप्त करने के लिए q-सेल को अलग करता है। अलग करने की प्रक्रिया की आवश्यकता हो सकती है पोंकारे द्वंद्व के प्रभाव के रूप में समझा जाना चाहिए।

उसी तरह जैसे अंतरिक्ष के किसी समरूप समूह में किसी तत्व को मारने के लिए एक कोशिका को किसी स्थान से जोड़ा जा सकता है, मैनिफोल्ड एम पर एक पी-सर्जरी का उपयोग अक्सर एक तत्व को मारने के लिए किया जा सकता है $$\alpha\in\pi_p(M)$$. हालाँकि दो बिंदु महत्वपूर्ण हैं: पहला, तत्व $$\alpha\in\pi_p(M)$$ एक एम्बेडिंग φ: एस द्वारा प्रतिनिधित्व योग्य होना चाहिएपी × 'डी'q → M (जिसका अर्थ है एक तुच्छ सामान्य बंडल के साथ संबंधित गोले को एम्बेड करना)। उदाहरण के लिए, ओरिएंटेशन-रिवर्सिंग लूप पर सर्जरी करना संभव नहीं है। दूसरे, पृथक्करण प्रक्रिया के प्रभाव पर विचार करना होगा, क्योंकि इसका विचाराधीन होमोटॉपी समूह पर भी प्रभाव पड़ सकता है। मोटे तौर पर, यह दूसरा बिंदु केवल तभी महत्वपूर्ण है जब पी कम से कम एम के आधे आयाम के क्रम का हो।

कई गुना के वर्गीकरण के लिए आवेदन
सर्जरी सिद्धांत की उत्पत्ति और मुख्य अनुप्रयोग चार से अधिक आयामों के कई गुना के वर्गीकरण में निहित है। शिथिल रूप से, सर्जरी सिद्धांत के संगठनात्मक प्रश्न हैं:
 * क्या X अनेक गुना है?
 * क्या f एक भिन्नरूपता है?

अधिक औपचारिक रूप से, कोई ये प्रश्न समरूपता तक पूछता है:
 * क्या स्पेस एक्स में किसी दिए गए आयाम के स्मूथ मैनिफोल्ड का होमोटॉपी प्रकार है?
 * क्या दो चिकने मैनिफोल्ड्स के बीच एक समरूप समतुल्यता f: M → N एक भिन्नरूपता के लिए समस्थानिक है?

यह पता चला है कि दूसरा (अद्वितीयता) प्रश्न पहले (अस्तित्व) प्रकार के प्रश्न का एक सापेक्ष संस्करण है; इस प्रकार दोनों प्रश्नों का समाधान एक ही तरीके से किया जा सकता है।

ध्यान दें कि सर्जरी सिद्धांत इन प्रश्नों के लिए अपरिवर्तनीयताओं का पूरा सेट नहीं देता है। इसके बजाय, यह बाधा सिद्धांत है | बाधा-सैद्धांतिक: एक प्राथमिक बाधा है, और एक माध्यमिक बाधा है जिसे सर्जरी बाधा कहा जाता है जिसे केवल तभी परिभाषित किया जाता है जब प्राथमिक बाधा गायब हो जाती है, और जो प्राथमिक बाधा गायब होने की पुष्टि करने में की गई पसंद पर निर्भर करती है।

सर्जरी दृष्टिकोण
शास्त्रीय दृष्टिकोण में, जैसा कि विलियम ब्राउनर (गणितज्ञ), सर्गेई नोविकोव (गणितज्ञ), डेनिस सुलिवान  और सी. टी. सी. वॉल द्वारा विकसित किया गया है, सर्जरी डिग्री एक के सामान्य अपरिवर्तनीयों पर की जाती है। सर्जरी का उपयोग करते हुए, प्रश्न क्या सामान्य मानचित्र f: M → X डिग्री एक कोबॉर्डेंट से समरूप समतुल्य है? समूह रिंग के एल-सिद्धांत|एल-समूह में कुछ तत्व के बारे में बीजगणितीय कथन में अनुवाद किया जा सकता है (चार से अधिक आयामों में) $$\mathbf{Z}[\pi_1(X)]$$. अधिक सटीक रूप से, प्रश्न का उत्तर सकारात्मक है यदि और केवल यदि सर्जरी में बाधा आती है $$\sigma(f)\in L_n(\mathbf{Z}[\pi_1(X)])$$ शून्य है, जहाँ n, M का आयाम है।

उदाहरण के लिए, उस मामले पर विचार करें जहां आयाम n = 4k चार का गुणज है, और $$\pi_1(X) = 0$$. ह ज्ञात है कि $$L_{4k}(\mathbf{Z})$$ पूर्णांकों के लिए समरूपी है $$\mathbf{Z}$$; इस समरूपता के तहत एफ की सर्जरी बाधा हस्ताक्षरों के अंतर के समानुपाती होती है $$\sigma(X) - \sigma(M)$$ एक्स और एम का। इसलिए डिग्री एक का एक सामान्य नक्शा एक होमोटॉपी तुल्यता के लिए सह-समन्वय है यदि और केवल तभी जब डोमेन और कोडोमेन के हस्ताक्षर सहमत हों।

ऊपर से अस्तित्व के प्रश्न पर वापस आते हुए, हम देखते हैं कि एक स्पेस एक्स में स्मूथ मैनिफोल्ड का होमोटॉपी प्रकार होता है यदि और केवल तभी जब इसे डिग्री एक का सामान्य मानचित्र प्राप्त होता है जिसकी सर्जरी बाधा गायब हो जाती है। यह एक बहु-चरणीय बाधा प्रक्रिया की ओर ले जाता है: सामान्य मानचित्रों की बात करने के लिए, एक्स को पोंकारे द्वंद्व के एक उपयुक्त संस्करण को संतुष्ट करना होगा जो इसे पोंकारे कॉम्प्लेक्स में बदल देता है। यह मानते हुए कि यदि डिग्री एक से एक्स तक के सामान्य मानचित्र मौजूद हैं, तो उनके बोर्डिज़्म वर्ग (जिन्हें 'सामान्य अपरिवर्तनीय' कहा जाता है) को होमोटॉपी वर्गों के सेट द्वारा वर्गीकृत किया जाता है $$[X, G/O]$$. इनमें से प्रत्येक सामान्य अपरिवर्तनीय में सर्जरी में बाधा होती है; एक्स में स्मूथ मैनिफोल्ड का होमोटॉपी प्रकार है यदि और केवल यदि इनमें से एक अवरोध शून्य है। अलग ढंग से कहा गया है, इसका मतलब है कि 'सर्जरी बाधा मानचित्र' के तहत शून्य छवि के साथ सामान्य अपरिवर्तनीय का विकल्प है
 * $$[X, G/O] \to L_n\left(\mathbf{Z}\left[\pi_1(X)\right]\right).$$

संरचना सेट और सर्जरी सटीक क्रम
सर्जरी संरचना सेट की अवधारणा अस्तित्व और विशिष्टता दोनों प्रश्नों के लिए एकीकृत रूपरेखा है। मोटे तौर पर कहें तो, अंतरिक्ष किसी स्थान X के संरचना सेट के गैर-रिक्त होने के लिए एक आवश्यक (लेकिन सामान्य तौर पर पर्याप्त नहीं) शर्त यह है कि $$H^*(X) \cong H_{n-*}(X)$$ कुछ पूर्णांक n के लिए, एक n-आयामी मैनिफोल्ड का। सटीक परिभाषा और मैनिफोल्ड्स की श्रेणी (डिफरेंशियल मैनिफोल्ड, पीसवाइज लीनियर मैनिफोल्ड, या टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड) के आधार पर, संरचना सेट के विभिन्न संस्करण हैं। चूंकि, एस-कोबॉर्डिज्म प्रमेय के अनुसार, मैनिफोल्ड्स के बीच कुछ बोर्डिज्म सिलेंडरों के लिए आइसोमोर्फिक (संबंधित श्रेणी में) होते हैं, संरचना सेट की अवधारणा भिन्नता तक भी वर्गीकरण की अनुमति देती है।

संरचना सेट और सर्जरी बाधा मानचित्र को सर्जरी के सटीक क्रम में एक साथ लाया जाता है। एक बार सर्जरी बाधा मानचित्र (और इसका एक सापेक्ष संस्करण) समझ में आने के बाद यह अनुक्रम पोंकारे कॉम्प्लेक्स के संरचना सेट को निर्धारित करने की अनुमति देता है। महत्वपूर्ण मामलों में, सर्जरी के सटीक अनुक्रम के माध्यम से चिकनी या टोपोलॉजिकल संरचना सेट की गणना की जा सकती है। उदाहरण हैं विदेशी क्षेत्रों का वर्गीकरण, और स्केलर वक्रता मैनिफोल्ड्स और हाइपरबोलिक समूह मौलिक समूह के साथ मैनिफोल्ड्स के लिए बोरेल अनुमान के प्रमाण।

टोपोलॉजिकल श्रेणी में, सर्जरी का सटीक अनुक्रम स्पेक्ट्रम के फ़िब्रेशन अनुक्रम (होमोटोपी सिद्धांत) से प्रेरित लंबा सटीक अनुक्रम है। इसका तात्पर्य यह है कि अनुक्रम में शामिल सभी सेट वास्तव में एबेलियन समूह हैं। स्पेक्ट्रम स्तर पर, सर्जरी बाधा मानचित्र एक असेंबली मानचित्र है जिसका फाइबर संबंधित मैनिफोल्ड का ब्लॉक संरचना स्थान है।

यह भी देखें

 * एस-कोबॉर्डिज्म प्रमेय
 * एच-कोबॉर्डिज्म प्रमेय
 * व्हाइटहेड मरोड़
 * देहान सर्जरी
 * कई गुना अपघटन
 * अभिविन्यास चरित्र
 * नलसाज़ी (गणित)

बाहरी संबंध

 * Surgery Theory for Amateurs
 * Edinburgh Surgery Theory Study Group
 * 2012 Oberwolfach Seminar on Surgery theory on the Manifold Atlas Project
 * 2012 Regensburg Blockseminar on Surgery theory on the Manifold Atlas Project
 * Jacob Lurie's 2011 Harvard surgery course Lecture notes
 * Andrew Ranicki's homepage
 * Shmuel Weinberger's homepage