टोरसन (बीजगणित)

गणित में, विशेष रूप से वलय सिद्धांत में, एक टोर्सन वाला तत्व एक मॉड्यूल (गणित) का एक तत्व होता है जो वलय (गणित) के कुछ गैर-शून्य-भाजक द्वारा गुणा किए जाने पर शून्य उत्पन्न करता है। एक मॉड्यूल का टोर्सन सबमॉड्यूल, टोर्सन तत्वों द्वारा गठित सबमॉड्यूल है। एक टोरसन मॉड्यूल एक मॉड्यूल है जो इसके टोरसन सबमिशन के समान होता है। एक मॉड्यूल टोर्सन-मुक्त मॉड्यूल है। टोर्सन-मुक्त यदि इसके टोर्सन वाले सबमॉड्यूल में केवल शून्य तत्व सम्मिलित है।

यह शब्दावली सामान्यतः एक डोमेन (वलय सिद्धांत) पर मॉड्यूल के लिए उपयोग की जाती है अर्थात जब वलय के नियमित तत्व इसके सभी गैर-शून्य तत्व होते हैं।

यह शब्दावली एबेलियन समूह पर प्रयुक्त होती है (मॉड्यूल और सबमॉड्यूल के साथ समूह (गणित) और उपसमूह द्वारा प्रतिस्थापित) यह इस तथ्य से अनुमत है कि एबेलियन समूह पूर्णांक या बीजगणितीय_गुणों की वलय पर मॉड्यूल हैं (वास्तव में यह शब्दावली का मूल है जिसे एबेलियन समूहों के लिए मॉड्यूल के सामान्यीकृत होने से पहले प्रस्तुत किया गया है)।

समूह (गणित) के स्थिति में जो गैर-अनुक्रमिक हैं एक टोर्सन तत्व परिमित आदेश (समूह सिद्धांत) का एक तत्व है। एबेलियन समूह के स्थिति के विपरीत टोर्सन वाले तत्व सामान्य रूप से उपसमूह नहीं बनाते हैं।

परिभाषा
एक मॉड्यूल (बीजगणित) एम का एक तत्व एम एक वलय (गणित) आर पर मॉड्यूल का एक टोर्सन तत्व कहा जाता है यदि वलय के नियमित तत्व (वलय सिद्धांत) r  स्थिति है (एक तत्व जो न तो बाएं और न ही दाएं है शून्य भाजक) जो m को नष्ट कर देता है अर्थात, r&thinsp;m = 0. एक अभिन्न डोमेन (शून्य विभाजक के बिना एक क्रमविनिमेय वलय ) मे प्रत्येक गैर-शून्य तत्व नियमित होता है इसलिए एक अभिन्न डोमेन पर एक मॉड्यूल का एक टोर्सन तत्व अभिन्न डोमेन के एक गैर-शून्य तत्व द्वारा विलोपित होता है। कुछ लेखक इसे टोर्सन तत्व की परिभाषा के रूप में उपयोग करते हैं किंतु यह परिभाषा अधिक सामान्य वलयो पर अच्छी तरह से काम नहीं करती है।

एक वलय R के ऊपर एक मॉड्यूल M को एक टोर्सन मॉड्यूल कहा जाता है यदि इसके सभी तत्व टोर्सन वाले तत्व हैं और टोर्सन-मुक्त मॉड्यूल टोर्सन-मुक्त यदि शून्य केवल टोर्सन वाला तत्व है। यदि वलय R एक अभिन्न डोमेन है तो सभी टोर्सन तत्वों का सेट M का एक सबमॉड्यूल बनाता है जिसे M का टॉर्सियन सबमॉड्यूल कहा जाता है, जिसे कभी-कभी T (M) कहा जाता है। यदि R क्रमविनिमेय नहीं है तो T(M) एक सबमॉड्यूल हो भी सकता है और नहीं भी में दिखाया गया है कि आर सही अयस्क की स्थिति है यदि और केवल यदि  T(M) सभी सही आर-मॉड्यूल के लिए एम का सबमॉड्यूल है। चूँकि राइट नोथेरियन डोमेन ओरे हैं, यह उस स्थिति को कवर करता है जब R एक राइट नोथेरियन वलय डोमेन (वलय सिद्धांत) है (जो कम्यूटिव नहीं हो सकता है)।

अधिक सामान्यतः M को वलय R पर एक मॉड्यूल होने दें और S, R का गुणनात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय हो M के एक तत्व M को S-टोरसन तत्व कहा जाता है यदि S में एक तत्व उपस्थित है जैसे S  m को नष्ट कर देता है, जिससे s m = 0. विशेष रूप से, कोई S के लिए वलय R के नियमित तत्वों का सेट ले सकता है और उपरोक्त परिभाषा को पुनर्प्राप्त कर सकता है।

समूह (गणित) के एक तत्व g को समूह का टोर्सन वाला तत्व कहा जाता है यदि इसका परिमित क्रम है, अर्थात यदि कोई सकारात्मक पूर्णांक m है जैसे कि gm = e, जहां e समूह के पहचान तत्व को दर्शाता है और gm g की m प्रतियों के गुणनफल को दर्शाता है। एक समूह को एक टोर्सन समूह कहा जाता है | टोर्सन (या आवधिक) समूह यदि इसके सभी तत्व टोर्सन वाले तत्व हैं, और एक 'टोर्सन मुक्त समूह यदि इसका एकमात्र टोर्सन तत्व पहचान तत्व है। किसी भी एबेलियन समूह को पूर्णांक के वलय Z पर एक मॉड्यूल के रूप में देखा जा सकता है, और इस स्थिति में टोर्सन की दो धारणाएँ मेल खाती हैं।

उदाहरण

 * 1) M को किसी भी वलय R पर एक मुक्त मॉड्यूल होने दें। फिर यह परिभाषाओं से तुरंत अनुसरण करता है कि M टोरसन-फ्री है (यदि वलय R एक डोमेन नहीं है तो टोरसन को गैर-शून्य-विभाजक के सेट एस के संबंध में माना जाता है आर)। विशेष रूप से, कोई भी मुक्त एबेलियन समूह टोर्सन-मुक्त होता है और क्षेत्र (गणित) K पर कोई भी सदिश स्थान K के मुफ्त मॉड्यूल के रूप में देखे जाने पर टोर्सन-मुक्त होता है।
 * 2) उदाहरण 1 के विपरीत कोई परिमित समूह (एबेलियन या नहीं) आवधिक और अंतिम रूप से उत्पन्न समूह है। बर्नसाइड की समस्या इसके विपरीत पूछती है कि क्या कोई भी निश्चित रूप से उत्पन्न आवधिक समूह परिमित होना चाहिए? उत्तर सामान्यतः नहीं है तथापि अवधि निश्चित हो।
 * 3) एक क्षेत्र के गुणक समूह के टोर्सन वाले तत्व इसकी एकता की जड़ हैं।
 * 4) मॉड्यूलर समूह में, 2 × 2 पूर्णांक मैट्रिक्स (गणित) के समूह SL (2, 'Z') से प्राप्त 'Γ' इकाई निर्धारक के साथ इसके केंद्र (समूह सिद्धांत) को फैक्टर करके, किसी भी गैर-तुच्छ टोर्सन वाले तत्व में या तो क्रम होता है दो और तत्व S के लिए संयुग्मन (समूह सिद्धांत) है या इसका क्रम तीन है और तत्व ST के लिए संयुग्मित है। इस स्थिति में, टोर्सन वाले तत्व उपसमूह नहीं बनाते हैं, उदाहरण के लिए, एस · ST = T, जिसका क्रम अनंत है।
 * 5) एबेलियन समूह 'Q'/'Z', जिसमें परिमेय संख्या मॉड्यूल 1 सम्मिलित है, आवधिक है, अर्थात प्रत्येक तत्व का परिमित क्रम है। अनुरूप रूप से, मॉड्यूल 'के'(टी)/'के'[टी] वलय आर = 'के'[टी] पर बहुपद एक चर में शुद्ध टोर्सन है। इन दोनों उदाहरणों को निम्नानुसार सामान्यीकृत किया जा सकता है: यदि R एक अभिन्न डोमेन है और Q इसके अंशों का क्षेत्र है, तो Q/R एक टोर्सन वाला R-मॉड्यूल है।
 * 6) ('आर'/'जेड', +) का टोर्सन उपसमूह ('क्यू'/'जेड', +) है जबकि समूह ('आर', +) और ('जेड', +) टोर्सन मुक्त हैं . एक उपसमूह द्वारा टोर्सन-मुक्त एबेलियन समूह का भाग टोर्सन-मुक्त होता है, जब उपसमूह एक शुद्ध उपसमूह होता है।
 * 7) एक आयाम (वेक्टर स्थान) पर अभिनय करने वाले एक रैखिक ऑपरेटर 'L' पर विचार करें। परिमित-आयामी वेक्टर स्थान 'V'। यदि हम 'वी' को 'एफ' ['एल'] -मॉड्यूल के रूप में प्राकृतिक तरीके से देखते हैं, तो (कई चीजों के परिणामस्वरूप, या तो परिमित-आयामीता से या केली-हैमिल्टन प्रमेय के परिणामस्वरूप), 'वी' एक टोर्सन 'एफ' ['एल'] -मॉड्यूल है।
 * 1) एक आयाम (वेक्टर स्थान) पर अभिनय करने वाले एक रैखिक ऑपरेटर 'L' पर विचार करें। परिमित-आयामी वेक्टर स्थान 'V'। यदि हम 'वी' को 'एफ' ['एल'] -मॉड्यूल के रूप में प्राकृतिक तरीके से देखते हैं, तो (कई चीजों के परिणामस्वरूप, या तो परिमित-आयामीता से या केली-हैमिल्टन प्रमेय के परिणामस्वरूप), 'वी' एक टोर्सन 'एफ' ['एल'] -मॉड्यूल है।

एक प्रमुख आदर्श डोमेन का मामला
मान लीजिए कि R एक (कम्यूटेटिव) प्रमुख आदर्श डोमेन है और M एक अंतिम रूप से उत्पन्न मॉड्यूल | अंतिम रूप से उत्पन्न R-मॉड्यूल है। फिर एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए संरचना प्रमेय मॉड्यूल एम का समरूपता तक विस्तृत विवरण देता है। विशेष रूप से, यह दावा करता है


 * $$M \simeq F\oplus T(M),$$

जहां एफ परिमित मुक्त मॉड्यूल (केवल एम पर निर्भर करता है) का एक मुक्त आर-मॉड्यूल है और टी (एम) एम का टोर्सन सबमॉड्यूल है। एक परिणाम के रूप में, आर पर कोई भी परिमित रूप से उत्पन्न टोर्सन-मुक्त मॉड्यूल मुफ्त है। यह उपप्रमेय अधिक सामान्य क्रमविनिमेय डोमेन के लिए मान्य नहीं है, यहां तक ​​कि R = 'K'[x,y], दो चरों में बहुपदों की वलय के लिए भी। गैर-सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मॉड्यूल के लिए, उपरोक्त प्रत्यक्ष अपघटन सत्य नहीं है। एबेलियन समूह का टोर्सन उपसमूह इसका प्रत्यक्ष योग नहीं हो सकता है।

टोर्सन और स्थानीयकरण
मान लें कि R एक क्रमविनिमेय डोमेन है और M एक R-मॉड्यूल है। Q को वलय R का भागफल क्षेत्र होने दें। तब कोई Q-मॉड्यूल पर विचार कर सकता है


 * $$M_Q = M \otimes_R Q,$$

स्केलर्स के विस्तार से एम से प्राप्त किया गया। चूंकि क्यू एक क्षेत्र है, क्यू पर एक मॉड्यूल एक सदिश स्थान है, संभवतः अनंत-आयामी। एम से एम तक एबेलियन समूहों का एक विहित समूह समरूपता हैQ, और इस समरूपता का कर्नेल (बीजगणित) बिल्कुल टोर्सन वाला सबमॉड्यूल T(M) है। अधिक सामान्यतः, यदि S वलय R का गुणात्मक रूप से बंद उपसमुच्चय है, तो हम R-मॉड्यूल M के एक मॉड्यूल के स्थानीयकरण पर विचार कर सकते हैं,


 * $$M_S = M \otimes_R R_S,$$

जो एक वलय आर के स्थानीयकरण पर एक मॉड्यूल हैS. M से M तक एक विहित मानचित्र हैS, जिसका कर्नेल ठीक M का S- टोर्सन वाला सबमॉड्यूल है। इस प्रकार M के टोर्सन वाले सबमॉड्यूल की व्याख्या उन तत्वों के समूह के रूप में की जा सकती है जो स्थानीयकरण में गायब हो जाते हैं। अयस्क की स्थिति को संतुष्ट करने वाले छल्ले के लिए गैर-कम्यूटेटिव सेटिंग में एक ही व्याख्या जारी है, या अधिक सामान्यतः किसी भी अयस्क की स्थिति के लिए # गुणक सेट एस और सही आर-मॉड्यूल एम।

सजातीय बीजगणित में टोर्सन
समरूप बीजगणित में टोर्सन की अवधारणा एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाती है। यदि एम और एन एक कम्यूटिव डोमेन आर पर दो मॉड्यूल हैं (उदाहरण के लिए, दो एबेलियन समूह, जब आर = 'जेड'), टोर काम करता है आर-मॉड्यूल टोर का एक परिवार उत्पन्न करते हैंi&thinsp;(एम, एन)। आर-मॉड्यूल एम का एस-टोर्सन विहित रूप से टोर के लिए आइसोमोर्फिक है आर1(श्रीS/ आर) टोर के लंबे सटीक अनुक्रम द्वारा आर*: लघु सटीक अनुक्रम $$0\to R\to R_S \to R_S/R \to 0$$ आर-मॉड्यूल का एक सटीक अनुक्रम उत्पन्न करता है $$0\to\operatorname{Tor}^R_1(M, R_S/R)\to M\to M_S$$, इस तरह $$\operatorname{Tor}^R_1(M, R_S/R)$$ एम के स्थानीयकरण मानचित्र का कर्नेल है। प्रतीक $Tor$ फंक्शनलर्स को निरूपित करना बीजगणितीय टोर्सन के साथ इस संबंध को दर्शाता है। यही परिणाम गैर-विनिमेय छल्लों के साथ-साथ तब तक रहता है जब तक सेट S एक अयस्क स्थिति#गुणात्मक सेट है।

एबेलियन किस्में
एक एबेलियन किस्म के टोर्सन वाले तत्व टोर्सन बिंदु हैं या, एक पुरानी शब्दावली में, विभाजन बिंदु। अण्डाकार वक्रों पर उनकी गणना विभाजन बहुपदों के रूप में की जा सकती है।

यह भी देखें

 * विश्लेषणात्मक टोर्सन
 * अंकगणितीय गतिशीलता
 * फ्लैट मॉड्यूल
 * विनाशक (वलय सिद्धांत)
 * एक मॉड्यूल का स्थानीयकरण
 * एक एबेलियन समूह की रैंक
 * रे–गायक टोर्सन
 * टोर्सन मुक्त एबेलियन समूह
 * सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय

स्रोत

 * अर्न्स्ट कुंज, इंट्रोडक्शन टू कम्यूटेटिव अलजेब्रा एंड एलजेब्रिक ज्योमेट्री, बिरखौसर 1985, ISBN 0-8176-3065-1
 * इरविंग कपलान्स्की, Infinite एबेलियन समूह, मिशिगन विश्वविद्यालय, 1954।

श्रेणी:एबेलियन समूह सिद्धांत श्रेणी:मॉड्यूल सिद्धांत श्रेणी:समरूप बीजगणित