क्यू-फलन

आंकड़ों में, Q-फ़ंक्शन मानक सामान्य वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन (टेल डिस्ट्रीब्यूशन फ़ंक्शन) है। दूसरे शब्दों में $$Q(x)$$ संभावना है कि एक सामान्य (गाऊसी) यादृच्छिक चर x मानक विचलन से बड़ा मान प्राप्त करेगा। समान रूप से $$Q(x)$$ यह संभावना है कि एक मानक सामान्य यादृच्छिक चर $$x$$ से बड़ा मान लेता है।

अगर $$Y$$ माध्य के साथ एक गाऊसी यादृच्छिक चर $$\mu$$ हैं और विचरण $$\sigma^2$$, तो $$X = \frac{Y-\mu}{\sigma}$$ मानक सामान्य वितरण हैं और


 * $$P(Y > y) = P(X > x) = Q(x)$$

$$x = \frac{y-\mu}{\sigma}$$ जहाँ

क्यू-फ़ंक्शन की अन्य परिभाषाएँ, जो सभी सामान्य संचयी वितरण फ़ंक्शन के सरल परिवर्तन का भी कभी-कभी उपयोग किया जाता है।

सामान्य वितरण के संचयी वितरण फ़ंक्शन से इसके संबंध के कारण, क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन के संदर्भ में भी व्यक्त किया जा सकता है, जो लागू गणित और भौतिकी में एक महत्वपूर्ण फ़ंक्शन है।

परिभाषा और बुनियादी गुण
औपचारिक रूप से, Q-फ़ंक्शन को इस प्रकार परिभाषित किया गया है


 * $$Q(x) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \int_x^\infty \exp\left(-\frac{u^2}{2}\right) \, du.$$

इस प्रकार,


 * $$Q(x) = 1 - Q(-x) = 1 - \Phi(x)\,\!,$$

जहाँ $$\Phi(x)$$ मानक सामान्य गाऊसी वितरण का संचयी वितरण फ़ंक्शन है।

क्यू-फ़ंक्शन को त्रुटि फ़ंक्शन या पूरक त्रुटि फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है



\begin{align} Q(x) &=\frac{1}{2}\left( \frac{2}{\sqrt{\pi}} \int_{x/\sqrt{2}}^\infty \exp\left(-t^2\right) \, dt \right)\\ &= \frac{1}{2} - \frac{1}{2} \operatorname{erf} \left( \frac{x}{\sqrt{2}} \right) \text{ -or-}\\ &= \frac{1}{2}\operatorname{erfc} \left(\frac{x}{\sqrt{2}} \right). \end{align} $$ क्यू-फ़ंक्शन का एक वैकल्पिक रूप जिसे इसके खोजकर्ता के नाम पर क्रेग के सूत्र के रूप में जाना जाता है, इस प्रकार व्यक्त किया गया है:
 * $$Q(x) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} \right) d\theta.$$

यह अभिव्यक्ति केवल x के सकारात्मक मानों के लिए मान्य है, लेकिन इसका उपयोग नकारात्मक मानों के लिए Q(x) प्राप्त करने के लिए Q(x) = 1 − Q(−x) के संयोजन में किया जा सकता है। यह रूप लाभप्रद है क्योंकि एकीकरण की सीमा निश्चित और सीमित है।

क्रेग के फॉर्मूले को बाद में बेहनाद (2020) द्वारा दो गैर-नकारात्मक चर के योग के क्यू-फ़ंक्शन के लिए इस प्रकार बढ़ाया गया: :$$Q(x+y) = \frac{1}{\pi} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \exp \left( - \frac{x^2}{2 \sin^2 \theta} - \frac{y^2}{2 \cos^2 \theta} \right) d\theta, \quad x,y \geqslant 0 .$$

सीमाएँ और सन्निकटन

 * क्यू-फ़ंक्शन कोई प्राथमिक फ़ंक्शन नहीं है। हालाँकि, बोरजेसन-सुंदरबर्ग सीमा जहाँ $$\phi(x)$$ मानक सामान्य वितरण का घनत्व फलन है,
 * $$\left (\frac{x}{1+x^2} \right ) \phi(x) < Q(x) < \frac{\phi(x)}{x}, \qquad x>0,$$
 * बड़े एक्स के लिए तेजी से तंग हो जाते हैं और अक्सर उपयोगी होते हैं।


 * प्रतिस्थापन v =u2/2 का उपयोग करके ऊपरी सीमा इस प्रकार प्राप्त की जाती है:


 * $$Q(x) =\int_x^\infty\phi(u)\,du <\int_x^\infty\frac ux\phi(u)\,du =\int_{\frac{x^2}{2}}^\infty\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\,dv=-\biggl.\frac{e^{-v}}{x\sqrt{2\pi}}\biggr|_{\frac{x^2}{2}}^\infty=\frac{\phi(x)}{x}.$$
 * इसी प्रकार, $$\phi'(u) = - u \phi(u)$$ भागफल नियम का उपयोग करके


 * $$\left(1+\frac1{x^2}\right)Q(x) =\int_x^\infty \left(1+\frac1{x^2}\right)\phi(u)\,du >\int_x^\infty \left(1+\frac1{u^2}\right)\phi(u)\,du =-\biggl.\frac{\phi(u)}u\biggr|_x^\infty

=\frac{\phi(x)}x. $$
 * Q(x) को हल करने से निचली सीमा मिलती है।


 * ऊपरी और निचली सीमा का ज्यामितीय माध्य $$Q(x)$$ के लिए उपयुक्त सन्निकटन देता है:


 * $$Q(x) \approx \frac{\phi(x)}{\sqrt{1 + x^2}}, \qquad x \geq 0. $$


 * निम्नलिखित अभिव्यक्ति को अनुकूलित करके $$Q(x)$$ की सख्त सीमाएँ और सन्निकटन भी प्राप्त किए जा सकते हैं:


 * $$ \tilde{Q}(x) = \frac{\phi(x)}{(1-a)x + a\sqrt{x^2 + b}}. $$
 * के लिए $$x \geq 0$$, सर्वोत्तम ऊपरी सीमा किसके द्वारा दी गई है $$a = 0.344$$ और $$b = 5.334$$ 0.44% की अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि के साथ। इसी प्रकार, सर्वोत्तम सन्निकटन द्वारा दिया गया है $$a = 0.339$$ और $$b = 5.510$$ 0.27% की अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि के साथ। अंत में, सबसे अच्छी निचली सीमा दी गई है $$a = 1/\pi$$ और $$b = 2 \pi$$ 1.17% की अधिकतम पूर्ण सापेक्ष त्रुटि के साथ।


 * क्यू-फ़ंक्शन का चेर्नॉफ़ बाध्य है


 * $$Q(x)\leq e^{-\frac{x^2}{2}}, \qquad x>0$$


 * बेहतर घातीय सीमाएँ और शुद्ध घातीय सन्निकटन हैं
 * $$Q(x)\leq \tfrac{1}{4}e^{-x^2}+\tfrac{1}{4}e^{-\frac{x^2}{2}} \leq \tfrac{1}{2}e^{-\frac{x^2}{2}}, \qquad x>0$$
 * $$Q(x)\approx \frac{1}{12}e^{-\frac{x^2}{2}}+\frac{1}{4}e^{-\frac{2}{3} x^2}, \qquad x>0 $$


 * उपरोक्त को तनाश और रिइहोनेन (2020) द्वारा सामान्यीकृत किया गया था, जिन्होंने दिखाया कि $$Q(x)$$ का सटीक अनुमान लगाया जा सकता है या सीमाबद्ध किया जा सकता है


 * $$\tilde{Q}(x) = \sum_{n=1}^N a_n e^{-b_n x^2}.$$
 * विशेष रूप से, उन्होंने संख्यात्मक गुणांकों को हल करने के लिए एक व्यवस्थित पद्धति प्रस्तुत की $$\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N$$ जो एक न्यूनतम सन्निकटन या बाध्य उत्पन्न करता है: $$Q(x) \approx \tilde{Q}(x)$$, $$Q(x) \leq \tilde{Q}(x)$$ या $$Q(x) \geq \tilde{Q}(x)$$ के लिए $$x\geq0$$. पेपर में सारणीबद्ध उदाहरण गुणांकों के साथ $$N = 20$$ सापेक्ष और निरपेक्ष सन्निकटन त्रुटियाँ कम हैं $$2.831 \cdot 10^{-6}$$ और $$1.416 \cdot 10^{-6}$$ क्रमश से कम हैं। गुणांक $$\{(a_n,b_n)\}_{n=1}^N$$ घातीय सन्निकटन और सीमा तक के कई रूपों के लिए $$N = 25$$ एक व्यापक डेटासेट के रूप में विवृत अभिगम के लिए जारी किया गया है।


 * $$Q(x)$$ के लिए $$x \in [0,\infty)$$ का एक और सन्निकटन कारागियानिडिस और लिओमपास (2007) द्वारा दिया गया है, जिन्होंने पैरामीटर्स के उचित चयन के लिए $$\{A, B\}$$ प्रदर्शन किया


 * $$f(x; A, B) = \frac{\left(1 - e^{-Ax}\right)e^{-x^2}}{B\sqrt{\pi} x} \approx \operatorname{erfc} \left(x\right).$$
 * के बीच पूर्ण त्रुटि $$f(x; A, B)$$ और $$\operatorname{erfc}(x)$$ सीमा के ऊपर $$[0, R]$$ मूल्यांकन करके न्यूनतम किया जाता है


 * $$\{A, B\} = \underset{\{A,B\}}{\arg \min} \frac{1}{R} \int_0^R | f(x; A, B) - \operatorname{erfc}(x) |dx.$$
 * $$R = 20$$ का उपयोग करते हुए और संख्यात्मक रूप से एकीकृत करने पर उन्होंने पाया कि न्यूनतम त्रुटि तब हुई जब $$\{A, B\} = \{1.98, 1.135\},$$ जिसने इसके लिए एक अच्छा अनुमान $$\forall x \ge 0.$$दिया
 * इन मूल्यों को प्रतिस्थापित करने और ऊपर से $$Q(x)$$ और $$\operatorname{erfc}(x)$$ के बीच संबंध का उपयोग करने से प्राप्त होता है


 * $$ Q(x)\approx\frac{\left( 1-e^{\frac{-1.98x} {\sqrt{2}}}\right)  e^{-\frac{x^{2}}{2}}}{1.135\sqrt{2\pi}x}, x \ge 0. $$
 * किसी विशिष्ट अनुप्रयोग के लिए सटीकता को तैयार करने या इसे एक तंग सीमा में बदलने के लिए उपरोक्त 'कारागियानिडिस-लिओमपास सन्निकटन' के लिए वैकल्पिक गुणांक भी उपलब्ध हैं।


 * एक सख्त और अधिक सुव्यवस्थित सन्निकटन $$Q(x)$$ सकारात्मक तर्कों के लिए $$x \in [0,\infty)$$ लोपेज़-बेनिटेज़ और कैसादेवल द्वारा दिया गया है (2011) दूसरे क्रम के घातीय फ़ंक्शन के आधार पर:


 * $$ Q(x) \approx e^{-ax^2-bx-c}, \qquad x \ge 0. $$
 * फिटिंग गुणांक $$ (a,b,c) $$ वर्ग त्रुटियों के योग को कम करने के लिए तर्कों की किसी भी वांछित सीमा पर अनुकूलित किया जा सकता है ($$a = 0.3842$$, $$b = 0.7640$$, $$c = 0.6964$$ के लिए $$x \in [0,20]$$) या अधिकतम निरपेक्ष त्रुटि को कम करें ($$a = 0.4920$$, $$b = 0.2887$$, $$c = 1.1893$$ लिए $$x \in [0,20]$$). यह सन्निकटन कुछ लाभ प्रदान करता है जैसे सटीकता और विश्लेषणात्मक ट्रैक्टेबिलिटी के बीच एक अच्छा व्यापार-बंद (उदाहरण के लिए, किसी भी मनमानी शक्ति का विस्तार) $$Q(x)$$ तुच्छ है और सन्निकटन के बीजगणितीय रूप में परिवर्तन नहीं करता है)।

उलटा Q
व्युत्क्रम Q-फ़ंक्शन व्युत्क्रम त्रुटि फ़ंक्शन से संबंधित हो सकता है:


 * $$Q^{-1}(y) = \sqrt{2}\ \mathrm{erf}^{-1}(1-2y) = \sqrt{2}\ \mathrm{erfc}^{-1}(2y)$$

फ़ंक्शन $$Q^{-1}(y)$$ डिजिटल संचार में अनुप्रयोग पाता है। इसे सामान्यतौर पर डेसीबल फ़ील्ड मात्राओं और रूट-पावर मात्राओं में व्यक्त किया जाता है और सामान्यतौर पर इसे क्यू-फैक्टर कहा जाता है:


 * $$\mathrm{Q\text{-}factor} = 20 \log_{10}\!\left(Q^{-1}(y)\right)\!~\mathrm{dB}$$

जहां y विश्लेषण के तहत डिजिटल रूप से संशोधित सिग्नल की बिट-त्रुटि दर (बीईआर) है। उदाहरण के लिए, एडिटिव व्हाइट गॉसियन शोर में चरण-शिफ्ट कुंजीयन क्वाड्रेचर चरण-शिफ्ट कुंजीयन (क्यूपीएसके) के लिए, ऊपर परिभाषित क्यू-कारक सिग्नल-टू-शोर अनुपात#डेसिबल के डीबी में मान के साथ मेल खाता है जो y के बराबर त्रुटि दर उत्पन्न करता है।

मान
क्यू-फ़ंक्शन अच्छी तरह से सारणीबद्ध है और अधिकांश गणितीय सॉफ़्टवेयर पैकेजों जैसे कि आर (प्रोग्रामिंग भाषा) और पायथन (प्रोग्रामिंग भाषा), मैटलैब और वोल्फ्राम मैथमैटिका में उपलब्ध पैकेजों में सीधे गणना की जा सकती है। क्यू-फ़ंक्शन के कुछ मान संदर्भ के लिए नीचे दिए गए हैं।

उच्च आयामों का सामान्यीकरण
Q-फ़ंक्शन को उच्च आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:
 * $$Q(\mathbf{x})= \mathbb{P}(\mathbf{X}\geq \mathbf{x}),$$

जहाँ $$\mathbf{X}\sim \mathcal{N}(\mathbf{0},\, \Sigma) $$ सहप्रसरण के साथ बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का अनुसरण करता है $$\Sigma $$ और दहलीज रूप की है $$\mathbf{x}=\gamma\Sigma\mathbf{l}^*$$ कुछ सकारात्मक सदिश के लिए $$ \mathbf{l}^*>\mathbf{0}$$ और सकारात्मक स्थिरांक $$\gamma>0$$. जैसा कि एक आयामी स्थिति में क्यू-फ़ंक्शन के लिए कोई सरल विश्लेषणात्मक सूत्र नहीं है। फिर भी Q-फ़ंक्शन को मनमाने ढंग से अनुमानित किया जा सकता है $$\gamma$$ बड़ा और बड़ा होता जाता है।