डोमिनोज़ टाइलिंग

ज्यामिति में, यूक्लिडियन विमान में क्षेत्र का डोमिनोज़ टाइलिंग डोमिनोज़ (गणित) द्वारा क्षेत्र का चौकोर है, दो इकाई वर्गों के मिलन से किनारे से मिलने वाली आकृतियाँ। समतुल्य रूप से, यह क्षेत्र के प्रत्येक वर्ग के केंद्र में शीर्ष रखकर और आसन्न वर्गों के अनुरूप होने पर दो शीर्षों को जोड़कर ग्रिड ग्राफ में मिलान (ग्राफ सिद्धांत) है।

ऊंचाई कार्य
दो आयामों में नियमित ग्रिड पर टाइलिंग के कुछ वर्गों के लिए, पूर्णांक को ग्रिड के शीर्ष (ग्राफ सिद्धांत) से जोड़कर ऊंचाई समारोह को परिभाषित करना संभव है। उदाहरण के लिए, शतरंज की बिसात बनाएं, नोड को ठीक करें $$A_0$$ ऊंचाई 0 के साथ, फिर किसी भी नोड के लिए रास्ता है $$A_0$$ इसे। इस पथ पर प्रत्येक नोड की ऊंचाई निर्धारित करें $$A_{n+1}$$ (अर्थात वर्गों के कोने) पिछले नोड की ऊंचाई होने के लिए $$A_n$$ प्लस यदि पथ के दाईं ओर वर्ग से $$A_n$$ को $$A_{n+1}$$ काला है, और माइनस अन्यथा।

अधिक विवरण में पाया जा सकता है.

थर्स्टन की ऊंचाई की स्थिति
यह निर्धारित करने के लिए परीक्षण का वर्णन करता है कि विमान में यूनिट वर्गों के संघ के रूप में गठित सरल रूप से जुड़े क्षेत्र में डोमिनोज़ टाइलिंग है या नहीं। वह अप्रत्यक्ष ग्राफ बनाता है जिसके शीर्ष बिंदु (x,y,z) त्रि-आयामी पूर्णांक जाली में होते हैं, जहां प्रत्येक ऐसा बिंदु चार पड़ोसियों से जुड़ा होता है: यदि x + y सम है, तो (x,y, z) (x + 1,y,z + 1), (x − 1,y,z + 1), (x,y + 1,z − 1), और (x,y − 1,z) से जुड़ा है − 1), जबकि अगर x + y विषम है, तो (x,y,z) (x + 1,y,z − 1), (x − 1,y,z − 1), (x, y+ 1,z+1), और (x,y − 1,z + 1)। क्षेत्र की सीमा, जिसे (x, y) समतल में पूर्णांक बिंदुओं के अनुक्रम के रूप में देखा जाता है, इस ग्राफ़ (असतत गणित) में पथ के लिए विशिष्ट रूप से (एक बार प्रारंभिक ऊँचाई चुनी जाती है) उठाती है। त्रि-आयामी ग्राफ़। इस क्षेत्र के टाइलेबल होने के लिए आवश्यक शर्त यह है कि यह रास्ता तीन आयामों में साधारण बंद वक्र बनाने के लिए बंद होना चाहिए, हालांकि, यह स्थिति पर्याप्त नहीं है। सीमा पथ के अधिक सावधानीपूर्वक विश्लेषण का उपयोग करते हुए, थर्स्टन ने क्षेत्र की टाइलबिलिटी के लिए मानदंड दिया जो पर्याप्त होने के साथ-साथ आवश्यक भी था।

क्षेत्रों की टाइलिंग गिनती
कवर करने के तरीकों की संख्या $$ m \times n $$ साथ आयत $$ \frac{mn}{2} $$ डोमिनोज़, द्वारा स्वतंत्र रूप से गणना की गई और, द्वारा दिया गया है $$ \prod_{j=1}^{\lceil\frac{m}{2}\rceil} \prod_{k=1}^{\lceil\frac{n}{2}\rceil} \left ( 4\cos^2 \frac{\pi j}{m + 1} + 4\cos^2 \frac{\pi k}{n + 1} \right ).$$

जब m और n दोनों विषम हों, तो सूत्र सही ढंग से शून्य संभावित डोमिनोज़ टाइलिंग को कम कर देता है।

टाइल लगाते समय विशेष मामला होता है $$2\times n$$ एन डोमिनोइज के साथ आयत: अनुक्रम फिबोनैकी अनुक्रम में कम हो जाता है।

m = n = 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, ... वाले वर्गों के लिए और विशेष मामला होता है

इन नंबरों को के Pfaffian के रूप में लिखकर पाया जा सकता है $$mn \times mn$$ तिरछा-सममित मैट्रिक्स जिसका eigenvalues ​​​​स्पष्ट रूप से पाया जा सकता है। इस तकनीक को कई गणित से संबंधित विषयों में लागू किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, शास्त्रीय यांत्रिकी में डिमर-डिमर सहसंबंधी समारोह की द्वि-आयामी गणना में।

किसी क्षेत्र की टाइलों की संख्या सीमा की स्थितियों के प्रति बहुत संवेदनशील होती है, और क्षेत्र के आकार में स्पष्ट रूप से नगण्य परिवर्तनों के साथ नाटकीय रूप से बदल सकती है। यह क्रम n के एज़्टेक हीरे की टाइलिंग की संख्या से स्पष्ट होता है, जहाँ टाइलिंग की संख्या 2 है(n+1)n/2। यदि इसे 2 के बजाय मध्य में 3 लंबी पंक्तियों के साथ क्रम n के संवर्धित एज़्टेक हीरे द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, तो टाइलिंग की संख्या बहुत छोटी संख्या D(n,n) तक गिर जाती है, डेलानॉय संख्या, जिसमें केवल घातांक के बजाय है एन में सुपर-घातीय वृद्धि। ऑर्डर एन के कम एज़्टेक हीरे के लिए केवल लंबी मध्य पंक्ति के साथ, केवल टाइलिंग है।

तातमी
तातामी डोमिनोज़ (1x2 आयत) के आकार में जापानी फर्श मैट हैं। उनका उपयोग कमरों में टाइल लगाने के लिए किया जाता है, लेकिन अतिरिक्त नियमों के साथ कि उन्हें कैसे रखा जा सकता है। विशेष रूप से, आम तौर पर, जंक्शन जहां तीन तटामी मिलते हैं उन्हें शुभ माना जाता है, जबकि जंक्शन जहां चार मिलते हैं वे अशुभ होते हैं, इसलिए उचित तटामी टाइलिंग वह है जहां किसी भी कोने में केवल तीन तटामी मिलते हैं। तातमी द्वारा अनियमित कमरे को टाइल करने की समस्या जो कोने में तीन से मिलती है, एनपी-पूर्ण है।

सांख्यिकीय भौतिकी में अनुप्रयोग
एक दो आयामी आवधिक जाली पर आवधिक डोमिनोज़ टाइलिंग और पूरी तरह से निराश आइसिंग मॉडल के जमीनी राज्य विन्यास के बीच एक-से-एक पत्राचार है। यह देखने के लिए, हम ध्यान दें कि जमीनी अवस्था में, स्पिन मॉडल के प्रत्येक पट्टिका में ठीक ज्यामितीय हताशा होनी चाहिए। इसलिए, दोहरी जाली से देखने पर, प्रत्येक कुंठित किनारे को 1x2 आयत द्वारा कवर किया जाना चाहिए, जैसे कि आयत पूरे जाली को फैलाते हैं और ओवरलैप नहीं करते हैं, या दोहरी जाली का डोमिनोज़ टाइलिंग करते हैं।

यह भी देखें

 * गाऊसी मुक्त क्षेत्र, सामान्य स्थिति में ऊंचाई समारोह की स्केलिंग सीमा (उदाहरण के लिए, बड़े एज़्टेक हीरे की खुदी हुई डिस्क के अंदर)
 * कटे-फटे शतरंज की समस्या, मानक 8 × 8 शतरंज की [[बिसात]] (या बिसात) के 62-वर्ग क्षेत्र के डोमिनोज़ टाइलिंग से संबंधित पहेली
 * सांख्यिकीय यांत्रिकी