समुच्चय सिद्धान्त



सेट सिद्धांत गणितीय तर्क की शाखा है जो अध्ययन सेट करता है, जिसे अनौपचारिक रूप से वस्तुओं के संग्रह के रूप में वर्णित किया जा सकता है। यद्यपि किसी भी प्रकार की वस्तुओं को एक सेट में एकत्र किया जा सकता है, सेट सिद्धांत, गणित की एक शाखा के रूप में, ज्यादातर उन लोगों से संबंधित है जो संपूर्ण रूप से गणित के लिए प्रासंगिक हैं।

SET सिद्धांत के आधुनिक अध्ययन को 1870 के दशक में जर्मन गणितज्ञ रिचर्ड डेडेकिंड और जॉर्ज कैंटर द्वारा शुरू किया गया था। विशेष रूप से, जॉर्ज कैंटर को आमतौर पर सेट सिद्धांत का संस्थापक माना जाता है। इस प्रारंभिक चरण के दौरान जांच की गई गैर-स्वरूपित प्रणालियों को  भोले सेट सिद्धांत  के नाम से जाना जाता है। भोले सेट सिद्धांत (जैसे कि रसेल के विरोधाभास, कैंटर के विरोधाभास और बुल्ली-फ़ॉर्टी विरोधाभास) के भीतर विरोधाभासों की खोज के बाद, बीसवीं शताब्दी की शुरुआत में विभिन्न स्वयंसिद्ध प्रणालियों का प्रस्ताव किया गया था, जिनमें से ज़रमेलो-फ्रेनकेल सेट थ्योरी (पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ या बिना) के साथ। अभी भी सबसे प्रसिद्ध और सबसे अधिक अध्ययन किया गया है।

सेट सिद्धांत को आमतौर पर पूरे गणित के लिए एक मूलभूत प्रणाली के रूप में नियोजित किया जाता है, विशेष रूप से ज़रमेलो -फ्रेनकेल सेट सिद्धांत के रूप में पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ। इसकी मूलभूत भूमिका के अलावा, SET सिद्धांत भी इन्फिनिटी के एक गणितीय सिद्धांत को विकसित करने के लिए रूपरेखा प्रदान करता है, और कंप्यूटर विज्ञान में विभिन्न अनुप्रयोग हैं (जैसे कि रिलेशनल बीजगणित के सिद्धांत में), दर्शन और औपचारिक शब्दार्थ।इसकी मूलभूत अपील, इसके विरोधाभासों के साथ, अनंत की अवधारणा और इसके कई अनुप्रयोगों के लिए इसके निहितार्थ, ने सिद्धांत को गणित के लॉजिशियन और दार्शनिकों के लिए प्रमुख रुचि का एक क्षेत्र बना दिया है।सेट थ्योरी में समकालीन शोध में विषयों की एक विशाल सरणी शामिल है, जिसमें वास्तविक संख्या रेखा की संरचना से लेकर बड़े कार्डिनल्स की स्थिरता के अध्ययन तक शामिल हैं।

इतिहास
गणितीय विषय आमतौर पर कई शोधकर्ताओं के बीच बातचीत के माध्यम से उभरते हैं और विकसित होते हैं।सेट थ्योरी, हालांकि, 1874 में जॉर्ज कैंटर द्वारा एक एकल पेपर द्वारा स्थापित किया गया था: सभी वास्तविक बीजगणितीय संख्याओं के संग्रह की एक संपत्ति पर। 5 वीं शताब्दी ईसा पूर्व के बाद से, पश्चिम में एलेया के ग्रीक गणितज्ञ ज़ेनो के साथ और पूर्व में प्रारंभिक भारतीय गणितज्ञों के साथ शुरुआत करते हुए, गणितज्ञों ने अनंत की अवधारणा से जूझ लिया था।विशेष रूप से उल्लेखनीय 19 वीं शताब्दी की पहली छमाही में बर्नार्ड बोलजानो का काम है। इन्फिनिटी की आधुनिक समझ 1870-1874 में शुरू हुई, और वास्तविक विश्लेषण में कैंटर के काम से प्रेरित थी। कैंटर और रिचर्ड डेडेकिंड के बीच 1872 की बैठक ने कैंटर की सोच को प्रभावित किया, और कैंटर के 1874 पेपर में इसे समाप्त कर दिया।

कैंटर के काम ने शुरू में अपने दिन के गणितज्ञों को ध्रुवीकरण किया। जबकि कार्ल वेयरस्ट्रास और डेडेकिंड ने कैंटर का समर्थन किया, लियोपोल्ड क्रोनकर, जिसे अब गणितीय रचनावाद के संस्थापक के रूप में देखा गया था, ने नहीं किया। कैंटोरियन सेट सिद्धांत अंततः व्यापक हो गया, कैंटोरियन अवधारणाओं की उपयोगिता के कारण, जैसे कि सेटों के बीच एक-से-एक पत्राचार, उनका प्रमाण है कि पूर्णांक की तुलना में अधिक वास्तविक संख्याएं हैं, और सत्ता से उत्पन्न होने वाली अनंतता (कैंटर का स्वर्ग) ऑपरेशन सेट करें। सेट थ्योरी की इस उपयोगिता ने लेख मेंगेनलेहेरे के लिए नेतृत्व किया, 1898 में आर्थर शॉनफ्लिस द्वारा क्लेन के एनसाइक्लोपीडिया में योगदान दिया।

सेट थ्योरी में उत्साह की अगली लहर 1900 के आसपास आई, जब यह पता चला कि कैंटोरियन सेट सिद्धांत की कुछ व्याख्याओं ने कई विरोधाभासों को जन्म दिया, जिसे एंटिनोमी या विरोधाभास कहा जाता है। बर्ट्रेंड रसेल और अर्नस्ट ज़रमेलो ने स्वतंत्र रूप से सबसे सरल और सबसे प्रसिद्ध विरोधाभास पाया, जिसे अब रसेल का विरोधाभास कहा जाता है: उन सभी सेटों के सेट पर विचार करें जो स्वयं के सदस्य नहीं हैं, जो एक विरोधाभास की ओर जाता है क्योंकि यह स्वयं का सदस्य होना चाहिए और कोई सदस्य नहीं होना चाहिए। अपने आप। 1899 में, कैंटर ने खुद सवाल उठाया था कि सभी सेटों के सेट का कार्डिनल नंबर क्या है? , और एक संबंधित विरोधाभास प्राप्त किया। रसेल ने अपने 1903 में महाद्वीपीय गणित की समीक्षा में अपने द सिद्धांतों के गणित में एक विषय के रूप में अपने विरोधाभास का उपयोग किया। टर्म सेट के बजाय, रसेल ने टर्म क्लास का उपयोग किया, जिसे बाद में अधिक तकनीकी रूप से उपयोग किया गया।

1906 में, टर्म सेट सेट्स ऑफ पॉइंट्स के बुक थ्योरी में दिखाई दिया कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस द्वारा प्रकाशित पति और पत्नी विलियम हेनरी यंग और ग्रेस चिशोलम यंग द्वारा।

सेट सिद्धांत की गति ऐसी थी कि विरोधाभासों पर बहस ने इसके परित्याग को नहीं जन्म दिया।1908 में Zermelo का काम और 1922 में अब्राहम फ्रेंकेल और थोरलफ स्कोलेम के काम के परिणामस्वरूप Axioms ZFC का सेट हुआ, जो सेट सिद्धांत के लिए Axioms का सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला सेट बन गया।विश्लेषकों के काम, जैसे कि हेनरी लेबेसग ने, सेट सिद्धांत की महान गणितीय उपयोगिता का प्रदर्शन किया, जो तब से आधुनिक गणित के कपड़े में बुना गया है।सेट सिद्धांत का उपयोग आमतौर पर एक मूलभूत प्रणाली के रूप में किया जाता है, हालांकि कुछ क्षेत्रों में - जैसे कि बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय टोपोलॉजी -श्रेणी सिद्धांत को एक पसंदीदा नींव माना जाता है।

बुनियादी अवधारणाएं और संकेतन
सेट सिद्धांत एक वस्तु के बीच एक मौलिक द्विआधारी संबंध के साथ शुरू होता है $o$ और एक सेट $A$।यदि $o$ का एक सदस्य (या तत्व) है $A$, संकेतन $o ∈ A$ प्रयोग किया जाता है।एक सेट को अल्पविराम द्वारा अलग किए गए तत्वों को सूचीबद्ध करके, या इसके तत्वों की एक विशेषता संपत्ति द्वारा, ब्रेसिज़ {} के भीतर वर्णित किया गया है। चूंकि सेट ऑब्जेक्ट हैं, इसलिए सदस्यता संबंध सेटों से भी संबंधित हो सकता है।

दो सेटों के बीच एक व्युत्पन्न द्विआधारी संबंध सबसेट संबंध है, जिसे सेट समावेशन भी कहा जाता है।यदि सेट के सभी सदस्य $A$ सेट के सदस्य भी हैं $B$, फिर $A$ का एक सबसेट है $B$, निरूपित $A ⊆ B$।उदाहरण के लिए, ${1, 2 }$ का एक सबसेट है ${1, 2, 3 }$, और ऐसे ही ${2 }$ लेकिन ${1, 4 }$ नहीं है।जैसा कि इस परिभाषा से निहित है, एक सेट स्वयं का एक सबसेट है।ऐसे मामलों के लिए जहां यह संभावना अनुपयुक्त है या उन्हें अस्वीकार करने के लिए समझ में आता है, उचित सबसेट शब्द को परिभाषित किया गया है। $A$ का एक उचित उपसमूह कहा जाता है $B$ अगर और केवल अगर $A$ का एक सबसेट है $B$, लेकिन $A$ के बराबर नहीं है $B$।इसके अलावा, 1, 2, और 3 सेट के सदस्य (तत्व) हैं ${1, 2, 3 }$, लेकिन इसके सबसेट नहीं हैं;और बदले में, सबसेट, जैसे ${1 }$, सेट के सदस्य नहीं हैं ${1, 2, 3 }$।

जिस तरह अंकगणित संख्याओं पर बाइनरी ऑपरेशन की सुविधा देता है, उसी तरह सेट थ्योरी में सेट पर बाइनरी ऑपरेशन होते हैं। निम्नलिखित में से एक आंशिक सूची है:
 * सेट का संघ $A$ तथा $B$, निरूपित $A ∪ B$, उन सभी वस्तुओं का सेट है जो एक सदस्य हैं $A$, या $B$, अथवा दोनों। उदाहरण के लिए, संघ ${1, 2, 3 }$ तथा ${2, 3, 4 }$ सेट है ${1, 2, 3, 4 }$।
 * सेट का चौराहा $A$ तथा $B$, निरूपित $A ∩ B$, उन सभी वस्तुओं का सेट है जो दोनों के सदस्य हैं $A$ तथा $B$।उदाहरण के लिए, चौराहे का ${1, 2, 3 }$ तथा ${2, 3, 4 }$ सेट है ${2, 3 }$।
 * का अंतर निर्धारित करें $U$ तथा $A$, निरूपित $U \ A$, के सभी सदस्यों का सेट है $U$ इसके सदस्य नहीं हैं $A$।निर्धारित अंतर ${1, 2, 3} \ {2, 3, 4}$ है ${1 }$, जबकि इसके विपरीत, निर्धारित अंतर ${2, 3, 4} \ {1, 2, 3 }$ है ${4 }$।कब $A$ का एक सबसेट है $U$, निर्धारित अंतर $U \ A$ का पूरक भी कहा जाता है $A$ में $U$।इस मामले में, अगर का विकल्प $U$ संदर्भ से स्पष्ट है, संकेतन $A^{c}$ के बजाय कभी -कभी उपयोग किया जाता है $U \ A$, खासकर अगर $U$ वेन आरेखों के अध्ययन में एक सार्वभौमिक सेट है।
 * सेट का सममित अंतर $A$ तथा $B$, निरूपित $A △ B$ या $A ⊖ B$, उन सभी वस्तुओं का सेट है जो बिल्कुल एक के सदस्य हैं $A$ तथा $B$ (तत्व जो सेट में से एक में हैं, लेकिन दोनों में नहीं)।उदाहरण के लिए, सेट के लिए ${1, 2, 3 }$ तथा ${2, 3, 4 }$, सममित अंतर सेट है ${1, 4 }$।यह संघ और चौराहे का निर्धारित अंतर है, $(A ∪ B) \ (A ∩ B)$ या $(A \ B) ∪ (B \ A)$।
 * कार्टेशियन उत्पाद $A$ तथा $B$, निरूपित $A × B$, वह सेट है जिसके सदस्य सभी संभव ऑर्डर किए गए जोड़े हैं $(a, b)$, कहाँ पे $a$ का सदस्य है $A$ तथा $b$ का सदस्य है $B$।उदाहरण के लिए, कार्टेशियन उत्पाद {1, 2} and {red, white} is {(1, red), (1, white), (2, red), (2, white)}.
 * एक सेट का पावर सेट $A$, निरूपित $$\mathcal{P}(A)$$, वह सेट है जिसके सदस्य सभी संभावित सबसेट हैं $A$।उदाहरण के लिए, का पावर सेट ${1, 2 }$ है ${ {}, {1}, {2}, {1, 2} }$।

केंद्रीय महत्व के कुछ बुनियादी सेट प्राकृतिक संख्याओं का सेट हैं, वास्तविक संख्याओं का सेट और खाली सेट - अद्वितीय सेट जिसमें कोई तत्व नहीं है।खाली सेट को कभी -कभी नल सेट भी कहा जाता है, हालांकि यह नाम अस्पष्ट है और कई व्याख्याओं को जन्म दे सकता है।

ontology
एक सेट शुद्ध है यदि उसके सभी सदस्य सेट हैं, तो उसके सभी सदस्यों के सदस्य सेट हैं, और इसी तरह।उदाहरण के लिए, सेट $–$ केवल खाली सेट युक्त एक गैर -शुद्ध शुद्ध सेट है।आधुनिक सेट सिद्धांत में, शुद्ध सेटों के वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड पर ध्यान देने के लिए यह आम है, और स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के कई प्रणालियों को केवल शुद्ध सेटों को स्वयंसिद्ध करने के लिए डिज़ाइन किया गया है।इस प्रतिबंध के कई तकनीकी लाभ हैं, और बहुत कम सामान्यता खो जाती है, क्योंकि अनिवार्य रूप से सभी गणितीय अवधारणाओं को शुद्ध सेट द्वारा मॉडलिंग की जा सकती है।वॉन न्यूमैन ब्रह्मांड में सेट एक संचयी पदानुक्रम में आयोजित किए जाते हैं, इस आधार पर कि उनके सदस्य, सदस्यों के सदस्य आदि को नेस्टेड करते हैं।इस पदानुक्रम में प्रत्येक सेट को (ट्रांसफ़िनाइट रिकर्सेशन द्वारा) एक ऑर्डिनल नंबर सौंपा गया है $$\alpha$$, इसके रैंक के रूप में जाना जाता है।एक शुद्ध सेट का रैंक $$X$$ सबसे कम क्रमिक रूप से परिभाषित किया गया है जो इसके किसी भी तत्व के रैंक से अधिक है।उदाहरण के लिए, खाली सेट को रैंक 0 सौंपा गया है, जबकि सेट $–$ केवल खाली सेट युक्त रैंक 1 को सौंपा गया है। प्रत्येक अध्यादेश के लिए $$\alpha$$, सेट $$V_{\alpha}$$ से कम रैंक के साथ सभी शुद्ध सेटों से मिलकर परिभाषित किया गया है $$\alpha$$।पूरे वॉन न्यूमैन यूनिवर्स को निरूपित किया गया है & nbsp;$$V$$।

औपचारिक रूप से सेट सिद्धांत
प्राथमिक सेट सिद्धांत को अनौपचारिक और सहज रूप से अध्ययन किया जा सकता है, और इसलिए वेन आरेखों का उपयोग करके प्राथमिक स्कूलों में पढ़ाया जा सकता है।सहज ज्ञान युक्त दृष्टिकोण स्पष्ट रूप से मानता है कि किसी विशेष परिभाषित स्थिति को संतुष्ट करने वाली सभी वस्तुओं के वर्ग से एक सेट बन सकता है।यह धारणा विरोधाभासों को जन्म देती है, सबसे सरल और सबसे अच्छी तरह से जाना जाता है, जो रसेल के विरोधाभास और बुल्ली-फ़ॉर्टी विरोधाभास हैं।स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांतमूल रूप से इस तरह के विरोधाभासों के सेट सिद्धांत से छुटकारा पाने के लिए तैयार किया गया था। स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए गए सिस्टम का अर्थ है कि सभी सेट एक संचयी पदानुक्रम बनाते हैं। इस तरह की प्रणालियाँ दो स्वादों में आती हैं, जिनके ऑन्कोलॉजी में शामिल हैं: उपरोक्त प्रणालियों को urelements, वस्तुओं की अनुमति देने के लिए संशोधित किया जा सकता है जो सेट के सदस्य हो सकते हैं लेकिन यह स्वयं सेट नहीं हैं और उनके पास कोई सदस्य नहीं है।
 * अकेले सेट। इसमें सबसे आम स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत, Zermelo -fraenkel सेट सिद्धांत शामिल है। 'ZFC' के टुकड़ों में शामिल हैं:
 * Zermelo सेट सिद्धांत, जो अलगाव के साथ प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध स्कीमा को बदल देता है;
 * जनरल सेट थ्योरी, पीनो एंसिओम्स और परिमित सेटों के लिए ज़रमेलो सेट सिद्धांत का एक छोटा सा टुकड़ा;
 * Kripke -Platek सेट सिद्धांत, जो अनंत, पॉवरसेट और पसंद के स्वयंसिद्धों को छोड़ देता है, और पृथक्करण और प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध स्कीमाटा को कमजोर करता है।
 * सेट और उचित कक्षाएं। इनमें वॉन न्यूमैन -बेरनेज़ -गोडेल सेट थ्योरी शामिल हैं, जिसमें अकेले सेट के बारे में प्रमेय के लिए ZFC के रूप में एक ही ताकत है, और मोर्स -केली सेट थ्योरी और टार्स्की -ग्रोथेन्डिएक सेट थ्योरी, दोनों ZFC से अधिक मजबूत हैं।

'एनएफयू' की नई नींव प्रणाली (यूरेलमेंट्स की अनुमति) और 'एनएफ' (उनकी कमी) एक संचयी पदानुक्रम पर आधारित नहीं हैं। एनएफ और एनएफयू में हर चीज का एक सेट शामिल है, जिसके सापेक्ष प्रत्येक सेट का पूरक है। इन प्रणालियों में urelements मायने रखता है, क्योंकि NF, लेकिन NFU नहीं, ऐसे सेट का उत्पादन करता है जिसके लिए पसंद का स्वयंसिद्ध नहीं होता है। एनएफ की ऑन्कोलॉजी पारंपरिक संचयी पदानुक्रम को प्रतिबिंबित नहीं करने और अच्छी तरह से स्थापितता का उल्लंघन करने के बावजूद, थॉमस फोर्स्टर ने तर्क दिया है कि यह सेट के एक पुनरावृत्ति अवधारणा को दर्शाता है। CST, CZF, और IZF जैसे रचनात्मक सेट सिद्धांत के सिस्टम, शास्त्रीय तर्क के बजाय अंतर्ज्ञानवादी में अपने सेट स्वयंसिद्ध को एम्बेड करते हैं।फिर भी अन्य प्रणालियां शास्त्रीय तर्क को स्वीकार करती हैं, लेकिन एक गैर -मानक सदस्यता संबंध की सुविधा देती हैं।इनमें रफ सेट थ्योरी और फजी सेट थ्योरी शामिल हैं, जिसमें सदस्यता संबंध को मूर्त रूप देने वाले परमाणु सूत्र का मूल्य केवल सही या गलत नहीं है।ZFC के बूलियन-मूल्यवान मॉडल एक संबंधित विषय हैं।

1977 में एडवर्ड नेल्सन द्वारा आंतरिक सेट थ्योरी नामक ZFC का एक संवर्धन प्रस्तावित किया गया था।

अनुप्रयोग
कई गणितीय अवधारणाओं को केवल सेट थियोरेटिक अवधारणाओं का उपयोग करके सटीक रूप से परिभाषित किया जा सकता है।उदाहरण के लिए, ग्राफ़, मैनिफोल्ड्स, रिंग, वेक्टर रिक्त स्थान और संबंधपरक बीजगणित के रूप में विविध गणितीय संरचनाएं सभी को विभिन्न (स्वयंसिद्ध) गुणों को संतुष्ट करने वाले सेट के रूप में परिभाषित की जा सकती हैं।समतुल्यता और आदेश संबंध गणित में सर्वव्यापी हैं, और गणितीय संबंधों के सिद्धांत को सेट सिद्धांत में वर्णित किया जा सकता है। सेट सिद्धांत गणित के अधिकांश के लिए एक आशाजनक मूलभूत प्रणाली भी है।प्रिंसिपिया मैथेमेटिका के पहले खंड के प्रकाशन के बाद से, यह दावा किया गया है कि अधिकांश (या सभी) गणितीय प्रमेयों को सेट सिद्धांत के लिए स्वयंसिद्धों के एक उपयुक्त रूप से डिज़ाइन किए गए सेट का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, कई परिभाषाओं के साथ संवर्धित, प्रथम-क्रम लॉजिक का उपयोग करते हुए।या दूसरा-आदेश तर्क।उदाहरण के लिए, प्राकृतिक और वास्तविक संख्याओं के गुणों को सेट सिद्धांत के भीतर प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि प्रत्येक संख्या प्रणाली को एक उपयुक्त तुल्यता संबंध के तहत तुल्यता वर्गों के एक सेट के साथ पहचाना जा सकता है जिसका क्षेत्र कुछ अनंत सेट है। गणितीय विश्लेषण, टोपोलॉजी, अमूर्त बीजगणित और असतत गणित के लिए एक नींव के रूप में सिद्धांत निर्धारित करें, इसी तरह अनियंत्रित है;गणितज्ञ स्वीकार करते हैं (सिद्धांत रूप में) कि इन क्षेत्रों में प्रमेय प्रासंगिक परिभाषाओं और सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से प्राप्त किए जा सकते हैं।हालांकि, यह बना हुआ है कि सेट सिद्धांत से जटिल गणितीय प्रमेयों के कुछ पूर्ण व्युत्पन्न को औपचारिक रूप से सत्यापित किया गया है, क्योंकि इस तरह के औपचारिक व्युत्पन्न अक्सर प्राकृतिक भाषा प्रमाण गणितज्ञों की तुलना में अधिक लंबे होते हैं जो आमतौर पर मौजूद होते हैं।एक सत्यापन परियोजना, मेटामैथ में ZFC सेट सिद्धांत, प्रथम-क्रम तर्क और प्रस्ताव तर्क से शुरू होने वाले 12,000 से अधिक प्रमेयों के मानव-लिखित, कंप्यूटर-सत्यापित व्युत्पन्न शामिल हैं।

अध्ययन के क्षेत्र
सेट सिद्धांत गणित में अनुसंधान का एक प्रमुख क्षेत्र है, जिसमें कई परस्पर संबंधित उप -क्षेत्र हैं।

कॉम्बिनेटरियल सेट थ्योरी
कॉम्बिनेटरियल सेट थ्योरी अनंत सेटों के लिए परिमित कॉम्बीनेटरिक्स के एक्सटेंशन की चिंता करता है।इसमें कार्डिनल अंकगणित का अध्ययन और रामसे के प्रमेय के विस्तार का अध्ययन जैसे एर्ड -रादो प्रमेय शामिल है।

वर्णनात्मक सेट सिद्धांत
वर्णनात्मक सेट सिद्धांत वास्तविक रेखा के सबसेट का अध्ययन है और, अधिक आम तौर पर, पोलिश रिक्त स्थान के सबसेट। यह बोरेल पदानुक्रम में पॉइंटक्लास के अध्ययन के साथ शुरू होता है और प्रक्षेप्य पदानुक्रम और वाडगे पदानुक्रम जैसे अधिक जटिल पदानुक्रमों के अध्ययन तक फैलता है। बोरेल सेट के कई गुणों को ZFC में स्थापित किया जा सकता है, लेकिन अधिक जटिल सेटों के लिए इन गुणों को साबित करने के लिए नियुक्ति और बड़े कार्डिनल्स से संबंधित अतिरिक्त स्वयंसिद्धों की आवश्यकता होती है।

प्रभावी वर्णनात्मक सेट सिद्धांत का क्षेत्र सेट सिद्धांत और पुनरावृत्ति सिद्धांत के बीच है। इसमें लाइटफेस पॉइंटक्लास का अध्ययन शामिल है, और हाइपरएरिथिक सिद्धांत से निकटता से संबंधित है। कई मामलों में, शास्त्रीय वर्णनात्मक सेट सिद्धांत के परिणामों में प्रभावी संस्करण हैं; कुछ मामलों में, नए परिणाम पहले प्रभावी संस्करण को साबित करके प्राप्त किए जाते हैं और फिर इसे और अधिक व्यापक रूप से लागू करने के लिए (रिलेटिवाइज़िंग) का विस्तार करते हैं।

अनुसंधान का एक हालिया क्षेत्र बोरेल तुल्यता संबंधों और अधिक जटिल निश्चित समतुल्यता संबंधों की चिंता करता है। यह गणित के कई क्षेत्रों में आक्रमणकारियों के अध्ययन के लिए महत्वपूर्ण अनुप्रयोग हैं।

फजी सेट थ्योरी
कैंटर परिभाषित और ज़रमेलो और फ्रेंकेल स्वयंसिद्ध के रूप में सेट सिद्धांत में, एक वस्तु या तो एक सेट का सदस्य है या नहीं।फ़ज़ी सेट थ्योरी में इस स्थिति को LoTfi A. Zadeh द्वारा आराम दिया गया था, इसलिए एक ऑब्जेक्ट में एक सेट में सदस्यता की डिग्री है, 0 और 1 के बीच की संख्या। उदाहरण के लिए, लम्बे लोगों के सेट में एक व्यक्ति की सदस्यता की डिग्री अधिक हैएक साधारण हां या नहीं उत्तर की तुलना में लचीला और 0.75 जैसी वास्तविक संख्या हो सकती है।

इनर मॉडल थ्योरी
Zermelo -Fraenkel Set थ्योरी (ZF) का एक आंतरिक मॉडल एक सकर्मक वर्ग है जिसमें सभी ऑर्डिनल शामिल हैं और ZF के सभी स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। कैनोनिकल उदाहरण गोडेल द्वारा विकसित रचनात्मक ब्रह्मांड एल है। एक कारण यह है कि आंतरिक मॉडल का अध्ययन रुचि का है कि इसका उपयोग निरंतरता परिणामों को साबित करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, यह दिखाया जा सकता है कि ZF का एक मॉडल V, निरंतरता परिकल्पना या पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है, मूल मॉडल के अंदर निर्मित आंतरिक मॉडल L सामान्यीकृत निरंतरता परिकल्पना और पसंद के स्वयंसिद्ध दोनों को संतुष्ट करेगा। इस प्रकार यह धारणा कि ZF सुसंगत है (कम से कम एक मॉडल है) का अर्थ है कि ZF इन दो सिद्धांतों के साथ मिलकर सुसंगत है।

आंतरिक मॉडलों का अध्ययन नियतता और बड़े कार्डिनल्स के अध्ययन में आम है, खासकर जब स्वयंसिद्धता के स्वयंसिद्धता जैसे स्वयंसिद्धता पर विचार करते हैं जो पसंद के स्वयंसिद्ध को विरोधाभास करते हैं। यहां तक ​​कि अगर सेट सिद्धांत का एक निश्चित मॉडल पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है, तो एक आंतरिक मॉडल के लिए पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करने में विफल होना संभव है। उदाहरण के लिए, पर्याप्त रूप से बड़े कार्डिनल्स के अस्तित्व का तात्पर्य है कि एक आंतरिक मॉडल है जो नियतता के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट करता है (और इस तरह पसंद के स्वयंसिद्ध को संतुष्ट नहीं करता है)।

बड़े कार्डिनल्स
एक बड़ा कार्डिनल एक अतिरिक्त संपत्ति के साथ एक कार्डिनल नंबर है।इस तरह के कई गुणों का अध्ययन किया जाता है, जिसमें दुर्गम कार्डिनल, औसत दर्जे का कार्डिनल और कई और शामिल हैं।ये गुण आम तौर पर कार्डिनल नंबर बहुत बड़े होने चाहिए, जिसमें कार्डिनल के अस्तित्व के साथ ज़रमेलो -फ्रेनकेल सेट सिद्धांत में निर्दिष्ट संपत्ति के साथ अप्राप्य है।

निर्धारण
नियतता इस तथ्य को संदर्भित करती है कि, उचित मान्यताओं के तहत, सही जानकारी के कुछ दो-खिलाड़ी गेम इस अर्थ में शुरू से निर्धारित किए जाते हैं कि एक खिलाड़ी के पास एक जीत की रणनीति होनी चाहिए।इन रणनीतियों के अस्तित्व के वर्णनात्मक सेट सिद्धांत में महत्वपूर्ण परिणाम हैं, क्योंकि यह धारणा कि खेलों का एक व्यापक वर्ग निर्धारित किया जाता है, अक्सर यह अर्थ है कि सेट के एक व्यापक वर्ग में एक टोपोलॉजिकल संपत्ति होगी।नियतता (AD) का स्वयंसिद्ध अध्ययन का एक महत्वपूर्ण वस्तु है;यद्यपि पसंद के स्वयंसिद्ध के साथ असंगत, AD का तात्पर्य है कि वास्तविक लाइन के सभी सबसेट अच्छी तरह से व्यवहार किए जाते हैं (विशेष रूप से, औसत दर्जे का और सही सेट संपत्ति के साथ)।AD का उपयोग यह साबित करने के लिए किया जा सकता है कि Wadge डिग्री में एक सुरुचिपूर्ण संरचना है।

मजबूर
पॉल कोहेन ने ZFC के एक मॉडल की खोज करते हुए मजबूर करने की विधि का आविष्कार किया, जिसमें निरंतरता परिकल्पना विफल हो जाती है, या ZF का एक मॉडल जिसमें पसंद का स्वयंसिद्ध विफल हो जाता है।निर्माण और मूल मॉडल द्वारा निर्धारित गुणों (यानी मजबूर) के साथ एक बड़ा मॉडल बनाने के लिए सेट थ्योरी अतिरिक्त सेट के कुछ दिए गए मॉडल के लिए निकटता को मजबूर करना।उदाहरण के लिए, कोहेन का निर्माण मूल मॉडल के किसी भी कार्डिनल संख्या को बदलने के बिना प्राकृतिक संख्याओं के अतिरिक्त सबसेट से जुड़ा हुआ है।फोर्सिंग भी परिमित तरीकों से सापेक्ष स्थिरता साबित करने के लिए दो तरीकों में से एक है, दूसरी विधि बूलियन-मूल्यवान मॉडल है।

कार्डिनल इनवेरिएंट्स
एक कार्डिनल अपरिवर्तनीय एक कार्डिनल नंबर द्वारा मापी गई वास्तविक लाइन की एक संपत्ति है।उदाहरण के लिए, एक अच्छी तरह से अध्ययन किया गया अपरिवर्तनीय रियल के अल्प सेट के संग्रह का सबसे छोटा कार्डिनलिटी है, जिसका संघ पूरी वास्तविक रेखा है।ये इस अर्थ में आक्रमणकारी हैं कि सेट सिद्धांत के किसी भी दो आइसोमॉर्फिक मॉडल को प्रत्येक अपरिवर्तनीय के लिए एक ही कार्डिनल देना होगा।कई कार्डिनल इनवेरिएंट्स का अध्ययन किया गया है, और उनके बीच संबंध अक्सर जटिल होते हैं और सेट सिद्धांत के स्वयंसिद्धों से संबंधित होते हैं।

सेट-सिद्धांतिक टोपोलॉजी
सेट-थ्योरिटिक टोपोलॉजी सामान्य टोपोलॉजी के प्रश्नों का अध्ययन करती है जो प्रकृति में सेट-सिद्धांतीय हैं या जिन्हें उनके समाधान के लिए सेट सिद्धांत के उन्नत तरीकों की आवश्यकता होती है।इनमें से कई प्रमेय ZFC से स्वतंत्र हैं, उनके प्रमाण के लिए मजबूत स्वयंसिद्धों की आवश्यकता होती है।एक प्रसिद्ध समस्या सामान्य मूर अंतरिक्ष प्रश्न है, सामान्य टोपोलॉजी में एक प्रश्न जो गहन अनुसंधान का विषय था।सामान्य मूर अंतरिक्ष प्रश्न का उत्तर अंततः ZFC से स्वतंत्र साबित हुआ।

थ्योरी सेट करने के लिए आपत्तियां
सेट थ्योरी की स्थापना से, कैंटर के सिद्धांत पर कुछ गणितज्ञों का विवाद | गणित के लिए एक नींव के रूप में इस पर आपत्ति है।सेट थ्योरी के लिए सबसे आम आपत्ति, एक क्रोनकर ने सेट थ्योरी के शुरुआती वर्षों में आवाज दी, रचनात्मक दृष्टिकोण से शुरू होता है कि गणित की गणना की गणना से संबंधित है।यदि यह दृश्य प्रदान किया जाता है, तो अनंत सेट का उपचार, दोनों में भोले और स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत में, गणित के तरीकों और वस्तुओं में परिचय देता है जो सिद्धांत रूप में भी कम्प्यूटेशनल नहीं हैं।गणित के लिए एक स्थानापन्न नींव के रूप में कंस्ट्रक्टिविज्म की व्यवहार्यता को रचनात्मक विश्लेषण के एरट बिशप की प्रभावशाली पुस्तक नींव द्वारा बहुत बढ़ा दिया गया था। हेनरी पोइंकेरे द्वारा एक अलग आपत्ति की गई एक अलग आपत्ति यह है कि विनिर्देश और प्रतिस्थापन के स्वयंसिद्ध स्कीमाओं का उपयोग करके सेट को परिभाषित करना, साथ ही साथ पावर सेट के स्वयंसिद्धता, गणितीय वस्तुओं की परिभाषाओं में प्रभाव, एक प्रकार की वृत्ताकारता का परिचय देता है।पूर्ववर्ती रूप से स्थापित गणित की गुंजाइश, जबकि आमतौर पर स्वीकृत ज़रमेलो -फ्रेनकेल सिद्धांत की तुलना में कम, रचनात्मक गणित की तुलना में बहुत अधिक है, इस बिंदु पर कि सोलोमन फफरमैन ने कहा है कि सभी वैज्ञानिक रूप से लागू विश्लेषण विकसित किए जा सकते हैं]। लुडविग विट्गेन्स्टाइन ने गणितीय प्लैटोनिज्म के अपने अर्थों के लिए दार्शनिक रूप से सेट सिद्धांत की निंदा की। उन्होंने लिखा है कि सेट सिद्धांत गलत है, क्योंकि यह काल्पनिक प्रतीकवाद की बकवास पर बनाता है, इसमें खतरनाक मुहावरे हैं, और यह सभी संख्याओं के बारे में बात करना निरर्थक है। विट्गेन्स्टाइन ने एल्गोरिथम मानव कटौती के साथ गणित की पहचान की; गणित के लिए एक सुरक्षित नींव की आवश्यकता, उसे, निरर्थक लग रहा था। इसके अलावा, चूंकि मानव प्रयास आवश्यक रूप से परिमित है, विट्गेन्स्टाइन के दर्शन को कट्टरपंथी रचनावाद और परिमितता के लिए एक ऑन्कोलॉजिकल प्रतिबद्धता की आवश्यकता थी।मेटा-मैथेमेटिकल स्टेटमेंट्स-जो, विट्गेन्स्टाइन के लिए, अनंत डोमेन पर किसी भी कथन को शामिल करते हैं, और इस प्रकार लगभग सभी आधुनिक सेट सिद्धांत-गणित नहीं हैं। कुछ आधुनिक दार्शनिकों ने गणित की नींव पर टिप्पणी में शानदार गड़बड़ी के बाद विट्गेन्स्टाइन के विचारों को अपनाया है: विट्गेन्स्टाइन ने केवल सार पढ़ने के बाद गोडेल के अपूर्णता प्रमेयों का खंडन करने का प्रयास किया।समीक्षकों के रूप में क्रेसेल, बर्नेज़, डुमेट, और आर। एल। गुडस्टीन | गुडस्टीन ने सभी को इंगित किया, उनके कई आलोचकों ने कागज पर पूर्ण रूप से लागू नहीं किया।केवल हाल ही में दार्शनिकों जैसे क्रिस्पिन राइट ने विट्गेन्स्टाइन के तर्कों का पुनर्वास करना शुरू कर दिया। श्रेणी सिद्धांतकारों ने टॉपोस सिद्धांत को पारंपरिक स्वयंसिद्ध सेट सिद्धांत के विकल्प के रूप में प्रस्तावित किया है।TOPOS सिद्धांत उस सिद्धांत के लिए विभिन्न विकल्पों की व्याख्या कर सकता है, जैसे कि निर्माणवाद, परिमित सेट सिद्धांत और कम्प्यूटेबल सेट सिद्धांत। टोपोई भी ZF से पसंद की स्वतंत्रता के लिए मजबूर करने और चर्चा के लिए एक प्राकृतिक सेटिंग देता है, साथ ही साथ व्यर्थ टोपोलॉजी और पत्थर के स्थानों के लिए रूपरेखा प्रदान करता है। अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र एकतरफा नींव है और यह होमोटोपी प्रकार के सिद्धांत से संबंधित है।होमोटॉपी प्रकार के सिद्धांत के भीतर, एक सेट को होमोटॉपी 0-प्रकार के रूप में माना जा सकता है, जिसमें उच्च आगमनात्मक प्रकारों के आगमनात्मक और पुनरावर्ती गुणों से उत्पन्न होने वाले सेट के सार्वभौमिक गुण होते हैं।पसंद के स्वयंसिद्ध और बहिष्कृत मध्य के कानून जैसे सिद्धांतों को सेट सिद्धांत में शास्त्रीय सूत्रीकरण के अनुरूप या शायद अलग -अलग तरीकों के एक स्पेक्ट्रम में टाइप थ्योरी के लिए अद्वितीय तरीके से तैयार किया जा सकता है।इनमें से कुछ सिद्धांत अन्य सिद्धांतों का परिणाम साबित हो सकते हैं।इन स्वयंसिद्ध सिद्धांतों के योगों की विविधता विभिन्न गणितीय परिणामों को प्राप्त करने के लिए आवश्यक योगों के विस्तृत विश्लेषण के लिए अनुमति देती है।

गणितीय शिक्षा में सिद्धांत निर्धारित करें
जैसा कि सेट थ्योरी ने आधुनिक गणित के लिए एक नींव के रूप में लोकप्रियता हासिल की है, गणित की शिक्षा में शुरुआती भोले सेट सिद्धांत की मूल बातें शुरू करने के विचार के लिए समर्थन किया गया है।

1960 के दशक में अमेरिका में, नए गणित प्रयोग का उद्देश्य प्राथमिक स्कूल के छात्रों के लिए अन्य अमूर्त अवधारणाओं के बीच बुनियादी सेट सिद्धांत को पढ़ाना था, लेकिन बहुत आलोचना के साथ मिला था।यूरोपीय स्कूलों में गणित के पाठ्यक्रम ने इस प्रवृत्ति का पालन किया, और वर्तमान में सभी ग्रेडों में विभिन्न स्तरों पर विषय शामिल है।वेन आरेखों को प्राथमिक स्कूल के छात्रों को बुनियादी सेट-सिद्धांत संबंधों को समझाने के लिए व्यापक रूप से नियोजित किया जाता है (भले ही जॉन वेन ने मूल रूप से उन्हें टर्म लॉजिक में अनुमानों की वैधता का आकलन करने के लिए एक प्रक्रिया के हिस्से के रूप में तैयार किया)।

सेट थ्योरी का उपयोग छात्रों को तार्किक ऑपरेटरों (नहीं, और, या), और सिमेंटिक या नियम विवरण (तकनीकी रूप से अंतरंग परिभाषा (नहीं) के लिए किया जाता है सेट्स के) (जैसे कि अक्षर ए से शुरू होने वाले महीने), जो कंप्यूटर प्रोग्रामिंग सीखते समय उपयोगी हो सकता है, क्योंकि बूलियन लॉजिक का उपयोग विभिन्न प्रोग्रामिंग भाषाओं में किया जाता है।इसी तरह, सेट और अन्य संग्रह जैसी वस्तुएं, जैसे कि मल्टीसेट और सूचियाँ, कंप्यूटर विज्ञान और प्रोग्रामिंग में सामान्य डेटाटाइप हैं।

इसके अलावा, सेट को आमतौर पर गणितीय शिक्षण में संदर्भित किया जाता है जब विभिन्न प्रकार के नंबरों के बारे में बात करते हैं ($N$, $Z$, $R$, ...), और जब एक सेट (डोमेन) से दूसरे सेट (रेंज) से संबंध के रूप में गणितीय फ़ंक्शन को परिभाषित करते हैं।

यह भी देखें

 * सेट थ्योरी की शब्दावली
 * वर्ग (सेट सिद्धांत)
 * सेट सिद्धांत विषयों की सूची
 * संबंधपरक मॉडल & nbsp; - सेट थ्योरी से उधार
 * वेन आरेख

बाहरी संबंध

 * Daniel Cunningham, Set Theory article in the Internet Encyclopedia of Philosophy.
 * Jose Ferreiros, The Early Development of Set Theory article in the [Stanford Encyclopedia of Philosophy].
 * Foreman, Matthew, Akihiro Kanamori, eds. Handbook of Set Theory. 3 vols., 2010. Each chapter surveys some aspect of contemporary research in set theory. Does not cover established elementary set theory, on which see Devlin (1993).
 * Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre in Klein's encyclopedia.
 * Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre in Klein's encyclopedia.
 * Schoenflies, Arthur (1898). Mengenlehre in Klein's encyclopedia.

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