द्वितल कोण

डायहेड्रल कोण दो प्लेन-प्लेन इंटरसेक्शन या आधा विमान के बीच का कोण है। रसायन विज्ञान में, यह तीन परमाणुओं के दो सेटों के माध्यम से अर्ध-विमानों के बीच दक्षिणावर्त कोण होता है, जिसमें दो परमाणु समान होते हैं। ठोस ज्यामिति में, इसे एक रेखा (ज्यामिति) के संघ (सेट सिद्धांत) और दो अर्ध-विमानों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिसमें यह रेखा एक सामान्य किनारे (ज्यामिति) के रूप में होती है। उच्च आयामों में, डायहेड्रल कोण दो hyperplane  के बीच के कोण का प्रतिनिधित्व करता है। एक उड़ने वाली मशीन के विमानों को सकारात्मक डायहेड्रल कोण पर कहा जाता है जब दोनों स्टारबोर्ड और बंदरगाह मुख्य विमान (आमतौर पर पंख कहलाते हैं) पार्श्व अक्ष पर ऊपर की ओर झुके होते हैं। जब नीचे की ओर झुके होते हैं तो उन्हें ऋणात्मक डायहेड्रल कोण पर कहा जाता है।

गणितीय पृष्ठभूमि
जब दो अन्तर्विभाजक तलों को दो समीकरणों द्वारा कार्तीय निर्देशांक के रूप में वर्णित किया जाता है
 * $$ a_1 x + b_1 y + c_1 z + d_1 = 0 $$ :$$a_2 x + b_2 y + c_2 z + d_2 = 0 $$

द्वितल कोण, $$\varphi$$ उनके बीच दिया गया है:
 * $$\cos \varphi = \frac{\left\vert a_1 a_2 + b_1 b_2 + c_1 c_2 \right\vert}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}$$

और संतुष्ट करता है $$0\le \varphi \le \pi/2.$$ वैकल्पिक रूप से, अगर $n_{A}$ और $n_{B}$ विमानों के सामान्य वेक्टर हैं, एक के पास है
 * $$\cos \varphi = \frac{ \left\vert\mathbf{n}_\mathrm{A} \cdot \mathbf{n}_\mathrm{B}\right\vert}{|\mathbf{n}_\mathrm{A} | |\mathbf{n}_\mathrm{B}|}$$

कहाँ $n_{A} · n_{B}$ वैक्टर का डॉट उत्पाद है और $|n_{A}| |n_{B}|$ उनकी लंबाई का गुणनफल है।

उपरोक्त सूत्रों में निरपेक्ष मान आवश्यक है, क्योंकि एक समीकरण में सभी गुणांक चिह्नों को बदलते समय, या एक सामान्य वेक्टर को उसके विपरीत से प्रतिस्थापित करते समय तल नहीं बदले जाते हैं।

हालांकि दो आधे विमानों के डायहेड्रल कोण पर विचार करते समय पूर्ण मूल्य हो सकता है और इससे बचा जाना चाहिए, जिनकी सीमाएं एक ही रेखा हैं। इस मामले में, आधे विमानों को एक बिंदु से वर्णित किया जा सकता है $P$ उनके चौराहे और तीन वैक्टर $b_{0}$, $b_{1}$ और $b_{2}$ ऐसा है कि $P + b_{0}$, $P + b_{1}$ और $P + b_{2}$ क्रमशः इंटरसेक्शन लाइन, फर्स्ट हाफ प्लेन और सेकेंड हाफ प्लेन से संबंधित हैं। इन दो आधे विमानों के डायहेड्रल कोण द्वारा परिभाषित किया गया है

\cos\varphi = \frac{ (\mathbf{b}_0 \times \mathbf{b}_1) \cdot (\mathbf{b}_0 \times \mathbf{b}_2)}{|\mathbf{b}_0 \times \mathbf{b}_1| |\mathbf{b}_0 \times \mathbf{b}_2|}$$, और संतुष्ट करता है $$0\le\varphi <\pi.$$ इस मामले में, दो आधे विमानों को बदलने से एक ही परिणाम मिलता है, और ऐसा ही होता है $$\mathbf b_0$$ साथ $$-\mathbf b_0.$$ रसायन विज्ञान में (नीचे देखें), हम एक डायहेड्रल कोण को परिभाषित करते हैं जैसे कि प्रतिस्थापित करना $$\mathbf b_0$$ साथ $$-\mathbf b_0$$ कोण का चिन्ह बदलता है, जो बीच में हो सकता है $−\pi$ और $\pi$.

बहुलक भौतिकी में
कुछ वैज्ञानिक क्षेत्रों जैसे बहुलक भौतिकी में, बिंदुओं की एक श्रृंखला और लगातार बिंदुओं के बीच लिंक पर विचार किया जा सकता है। यदि अंक क्रमिक रूप से क्रमांकित हैं और पदों पर स्थित हैं $r_{1}$, $r_{2}$, $r_{3}$, आदि तो बांड वैक्टर द्वारा परिभाषित किया गया है $u_{1}$=$r_{2}$−$r_{1}$, $u_{2}$=$r_{3}$−$r_{2}$, और $u_{i}$=$r_{i+1}$−$r_{i}$, आम तौर पर अधिक। यह प्रोटीन संरचना में गतिज श्रृंखला या एमिनो एसिड  का मामला है। इन मामलों में, अक्सर तीन लगातार बिंदुओं द्वारा परिभाषित अर्ध-विमानों में रुचि होती है, और ऐसे दो लगातार अर्ध-विमानों के बीच डायहेड्रल कोण होता है। अगर $u_{1}$, $u_{2}$ और $u_{3}$ लगातार तीन बॉन्ड वैक्टर हैं, अर्ध-विमानों का प्रतिच्छेदन उन्मुख है, जो अंतराल से संबंधित डायहेड्रल कोण को परिभाषित करने की अनुमति देता है $(−\pi, π]$. इस डायहेड्रल कोण द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$\begin{align}

\cos \varphi&=\frac{ (\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \cdot (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)}{|\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2|\, |\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3|}\\ \sin \varphi&=\frac{ \mathbf{u}_2 \cdot((\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \times (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3))}{|\mathbf{u}_2|\, |\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2|\, |\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3|}, \end{align}$$ या, फ़ंक्शन atan2 का उपयोग करके,
 * $$\varphi=\operatorname{atan2}(\mathbf{u}_2 \cdot((\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \times (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)), |\mathbf{u}_2|\,(\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \cdot (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)).$$

यह डायहेड्रल कोण श्रृंखला के अभिविन्यास पर निर्भर नहीं करता है (जिस क्रम में बिंदु पर विचार किया जाता है) - इस क्रम को उलटने में प्रत्येक वेक्टर को उसके विपरीत वेक्टर से बदलना और सूचकांक 1 और 3 का आदान-प्रदान करना शामिल है। दोनों ऑपरेशन कोसाइन को नहीं बदलते हैं, लेकिन ज्या का चिन्ह बदल दें। इस प्रकार, एक साथ, वे कोण नहीं बदलते हैं।

समान द्वितल कोण के लिए एक सरल सूत्र निम्नलिखित है (उपपत्ति नीचे दी गई है)
 * $$\begin{align}

\cos \varphi&=\frac{ (\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \cdot (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)}{|\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2|\, |\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3|}\\ \sin \varphi&=\frac{ |\mathbf{u}_2|\,\mathbf{u}_1 \cdot(\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)}{|\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2|\, |\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3|}, \end{align}$$ या समकक्ष,
 * $$\varphi=\operatorname{atan2}(

(\mathbf{u}_1 \times \mathbf{u}_2) \cdot (\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3)).$$ इसे सदिश चौगुनी उत्पाद सूत्र का उपयोग करके पिछले सूत्रों से घटाया जा सकता है, और तथ्य यह है कि एक स्केलर ट्रिपल उत्पाद शून्य है यदि इसमें दो बार एक ही सदिश होता है:
 * \mathbf{u}_2|\,\mathbf{u}_1 \cdot(\mathbf{u}_2 \times \mathbf{u}_3) ,

(\mathbf{u}_1\times\mathbf{u}_2)\times(\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_3) = [(\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_3)\cdot\mathbf{u}_1]\mathbf{u}_2 - [(\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_3)\cdot\mathbf{u}_2]\mathbf{u}_1 = [(\mathbf{u}_2\times\mathbf{u}_3)\cdot\mathbf{u}_1]\mathbf{u}_2 $$ क्रॉस उत्पाद की परिभाषा को देखते हुए, इसका मतलब यह है कि $$\varphi$$ पहले परमाणु की तुलना में चौथे परमाणु की दक्षिणावर्त दिशा में कोण है, जबकि दूसरे परमाणु से तीसरे तक धुरी को नीचे देखते हुए। विशेष मामले (सामान्य मामले कह सकते हैं) हैं $$\varphi = \pi$$, $$\varphi = +\pi/3$$ और $$\varphi = -\pi/3$$, जिन्हें ट्रांस, गौचे कहा जाता है+, और गौचे− अनुरूपताएं।

रूढ़िवादिता में
त्रिविम में, एक मरोड़ कोण को एक डायहेड्रल कोण के एक विशेष उदाहरण के रूप में परिभाषित किया जाता है, जो एक रासायनिक बंधन से जुड़े अणु के दो भागों के ज्यामितीय संबंध का वर्णन करता है। एक अणु के तीन असंरेखीय परमाणुओं का प्रत्येक समुच्चय एक अर्ध-तल को परिभाषित करता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, जब ऐसे दो अर्ध-तल प्रतिच्छेद करते हैं (अर्थात्, चार लगातार बंधित परमाणुओं का एक सेट), तो उनके बीच का कोण एक डायहेड्रल कोण होता है। डायहेड्रल कोणों का उपयोग गठनात्मक समावयवता को निर्दिष्ट करने के लिए किया जाता है। 0° और ±90° के बीच के कोणों के अनुरूप स्टीरियोकेमिकल व्यवस्था को syn (s) कहा जाता है, जो ±90° और 180° के बीच के कोणों के अनुरूप होते हैं (ए)। इसी तरह, 30° और 150° या -30° और -150° के बीच के कोणों के अनुरूप व्यवस्था को क्लिनल (c) कहा जाता है और 0° और ±30° या ±150° और 180° के बीच की व्यवस्था को पेरिप्लानर (p) कहा जाता है।

कोण की चार श्रेणियों को परिभाषित करने के लिए दो प्रकार की शर्तों को जोड़ा जा सकता है; 0° से ± 30° सिनपरिप्लानर (सपा); 30° से 90° और −30° से −90° सिंक्लिनल (sc); 90° से 150° और -90° से -150° एंटीक्लिनल (एसी); ±150° से 180° एंटीपरिप्लानर (एपी)। सिनपरिप्लानर संरूपण को सिन- या सिस-संरूपण के रूप में भी जाना जाता है; एंटीपरिप्लानर एंटी या ट्रांस के रूप में; और गौचे या तिरछा के रूप में सिंक्लिनल।

उदाहरण के लिए, एन-ब्यूटेन के साथ दो विमानों को दो केंद्रीय कार्बन परमाणुओं और मिथाइल कार्बन परमाणुओं में से किसी एक के संदर्भ में निर्दिष्ट किया जा सकता है। ऊपर दिखाया गया सिंक-संरूपण, 60 डिग्री के डायहेड्रल कोण के साथ 180 डिग्री के डायहेड्रल कोण के साथ एंटी-कॉन्फॉर्मेशन से कम स्थिर है।

मैक्रोमोलेक्युलर उपयोग के लिए प्रतीक टी, सी, जी+, जी-, ए+ और ए− की अनुशंसा की जाती है (ap, sp, +sc, -sc, +ac और -ac क्रमशः)।

प्रोटीन
एक रामचंद्रन प्लॉट (जिसे रामचंद्रन आरेख या [φ,ψ] प्लॉट के रूप में भी जाना जाता है), मूल रूप से 1963 में जी. एन. रामचंद्रन, सी. रामकृष्णन और वी. शशिशेखरन द्वारा विकसित किया गया था। प्रोटीन संरचना में अमीनो एसिड अवशेषों के φ के खिलाफ रीढ़ की हड्डी के डायहेड्रल कोणों के लिए ऊर्जावान रूप से अनुमत क्षेत्रों की कल्पना करने का एक तरीका है। प्रोटीन श्रृंखला में तीन डायहेड्रल कोण परिभाषित होते हैं:
 * ω (ओमेगा) श्रृंखला C में कोण हैα − C' − N − Cα,
 * φ (phi) श्रृंखला C' − N − C का कोण हैα − सी'
 * ψ (psi) शृंखला N - C का कोण हैα − C' − N (रामचंद्रन द्वारा φ' कहा जाता है)

दाईं ओर का आंकड़ा इन कोणों में से प्रत्येक के स्थान को दिखाता है (लेकिन यह जिस तरह से परिभाषित किया गया है वह सही ढंग से नहीं दिखाता है)। पेप्टाइड बंधन की समतलीयता आमतौर पर ω को 180° (ठेठ सिस-ट्रांस समावयवता मामला) या 0° (दुर्लभ सिस-ट्रांस समावयवता मामला) तक सीमित करती है। सी के बीच की दूरीट्रांस और सिस ज्यामितीय समावयवता में α परमाणु क्रमशः लगभग 3.8 और 2.9 Å हैं। प्रोटीन में पेप्टाइड बॉन्ड का अधिकांश भाग ट्रांस होता है, हालांकि PROLINE  के नाइट्रोजन के पेप्टाइड बॉन्ड में अन्य अमीनो-एसिड जोड़े की तुलना में सीआईएस का प्रचलन बढ़ जाता है। साइड चेन डायहेड्रल एंगल्स को χ के साथ नामित किया गया हैn(ठोड़ी)। वे 180°, 60°, और -60° के आस-पास समूह बनाते हैं, जिन्हें ट्रांस, गौचे कहा जाता है−, और गौचे+ अनुरूपता। कुछ साइडचैन डायहेड्रल कोणों की स्थिरता φ और ψ मानों से प्रभावित होती है। उदाहरण के लिए, गौचे में साइड चेन के सीγ के बीच सीधा स्टेरिक इंटरैक्शन होता है+ रोटामर और अगले अवशेष का बैकबोन नाइट्रोजन जब ψ -60° के करीब होता है। यह बैकबोन-डिपेंडेंट रोटामर लाइब्रेरी|बैकबोन-डिपेंडेंट रोटामर लाइब्रेरी में सांख्यिकीय वितरण से स्पष्ट है।

डायहेड्रल कोणों से कार्तीय निर्देशांकों में जंजीरों में बदलना
आंतरिक निर्देशांक में पॉलिमर रीढ़ की हड्डी, विशेष रूप से प्रोटीन का प्रतिनिधित्व करना आम है; अर्थात्, क्रमागत द्वितल कोणों और बंध लंबाई की एक सूची। हालांकि, कुछ प्रकार के कम्प्यूटेशनल रसायन शास्त्र इसके बजाय कार्टेशियन समन्वय प्रणाली का उपयोग करते हैं। कम्प्यूटेशनल संरचना अनुकूलन में, कुछ कार्यक्रमों को उनके पुनरावृत्तियों के दौरान इन प्रतिनिधित्वों के बीच आगे और पीछे फ़्लिप करने की आवश्यकता होती है। यह कार्य गणना समय पर हावी हो सकता है। कई पुनरावृत्तियों या लंबी श्रृंखलाओं वाली प्रक्रियाओं के लिए, यह संचयी संख्यात्मक अशुद्धि भी पेश कर सकता है। जबकि सभी रूपांतरण एल्गोरिदम गणितीय रूप से समान परिणाम उत्पन्न करते हैं, वे गति और संख्यात्मक सटीकता में भिन्न होते हैं।

ज्यामिति
प्रत्येक पॉलीहेड्रॉन के प्रत्येक किनारे पर एक डायहेड्रल कोण होता है जो उस किनारे को साझा करने वाले दो चेहरों के संबंध का वर्णन करता है। यह डायहेड्रल कोण, जिसे फेस एंगल भी कहा जाता है, को पॉलीहेड्रॉन के संबंध में आंतरिक कोण के रूप में मापा जाता है। 0° के कोण का अर्थ है कि फलक सामान्य सदिश प्रतिसमानांतर (गणित) हैं और फलक एक-दूसरे को ओवरलैप करते हैं, जिसका अर्थ है कि यह एक अध: पतन (गणित) बहुफलक का भाग है। 180° के कोण का अर्थ है कि फलक समानांतर हैं, जैसा कि एकसमान तलीय टाइलिंग की सूची में है। एक बहुफलक के अवतल भागों पर 180° से बड़ा कोण मौजूद होता है।

किनारे-संक्रमणीय पॉलीहेड्रॉन में प्रत्येक डायहेड्रल कोण का मान समान होता है। इसमें 5 प्लेटोनिक ठोस, 13 कैटलन ठोस, 4 केपलर-प्वाइन्सॉट पॉलीहेड्रा, दो अर्ध-नियमित ठोस और दो अर्ध-नियमित दोहरे ठोस शामिल हैं।

डायहेड्रल कोण के लिए कोसाइन का नियम
एक पॉलीहेड्रॉन के 3 चेहरे दिए गए हैं जो एक आम शीर्ष पी पर मिलते हैं और किनारे एपी, बीपी और सीपी हैं, एपीसी और बीपीसी वाले चेहरों के बीच डायहेड्रल कोण का कोसाइन है:
 * $$\cos\varphi = \frac{ \cos (\angle \mathrm{APB}) - \cos (\angle \mathrm{APC}) \cos (\angle \mathrm{BPC})}{ \sin(\angle \mathrm{APC}) \sin(\angle \mathrm{BPC})}  $$

इसे कोज्या के गोलाकार नियम से निकाला जा सकता है

यह भी देखें

 * एट्रोपिसोमर

बाहरी संबंध

 * The Dihedral Angle in Woodworking at Tips.FM
 * Analysis of the 5 Regular Polyhedra gives a step-by-step derivation of these exact values.