घातीय स्थिरता

नियंत्रण सिद्धांत में, एक सतत एलटीआई प्रणाली सिद्धांत | रैखिक समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली (एलटीआई) तेजी से स्थिर होती है यदि सिस्टम में सख्ती से नकारात्मक के साथ स्वदेशी मान (यानी, इनपुट-टू-आउटपुट सिस्टम के ध्रुव (जटिल विश्लेषण) हैं) वास्तविक भाग. (अर्थात, जटिल तल के बाएँ आधे भाग में)। एक असतत-समय इनपुट-टू-आउटपुट एलटीआई प्रणाली तेजी से स्थिर होती है यदि और केवल तभी जब इसके स्थानांतरण फ़ंक्शन के ध्रुव जटिल विमान की उत्पत्ति पर केंद्रित इकाई सर्कल के भीतर सख्ती से स्थित हों। जो प्रणालियाँ एलटीआई नहीं हैं वे घातीय रूप से स्थिर हैं यदि उनका अभिसरण घातीय क्षय द्वारा सीमित कार्य है। घातीय स्थिरता स्पर्शोन्मुख स्थिरता का एक रूप है, जो अधिक सामान्य गतिशील प्रणालियों के लिए मान्य है।

व्यावहारिक परिणाम
एक घातीय रूप से स्थिर एलटीआई प्रणाली वह है जो सीमित इनपुट या गैर-शून्य प्रारंभिक स्थिति दिए जाने पर नष्ट नहीं होगी (यानी, एक असीमित आउटपुट देगी)। इसके अलावा, यदि सिस्टम को एक निश्चित, परिमित इनपुट (यानी, एक हेविसाइड स्टेप फ़ंक्शन) दिया जाता है, तो आउटपुट में कोई भी परिणामी दोलन एक घातीय वृद्धि पर क्षय हो जाएगा, और आउटपुट एक नए अंतिम, स्थिर-अवस्था मूल्य की ओर स्पर्शोन्मुख हो जाएगा।. यदि सिस्टम को इनपुट के रूप में डिराक डेल्टा फ़ंक्शन दिया जाता है, तो प्रेरित दोलन समाप्त हो जाएंगे और सिस्टम अपने पिछले मूल्य पर वापस आ जाएगा। यदि दोलन समाप्त नहीं होते हैं, या आवेग लागू होने पर सिस्टम अपने मूल आउटपुट पर वापस नहीं लौटता है, तो सिस्टम में सीमांत स्थिरता होती है।

घातांकीय रूप से स्थिर एलटीआई सिस्टम का उदाहरण
दाईं ओर का ग्राफ़ दो समान प्रणालियों की आवेग प्रतिक्रिया को दर्शाता है। हरा वक्र आवेग प्रतिक्रिया के साथ सिस्टम की प्रतिक्रिया है $$y(t) = e^{-\frac{t}{5}}$$, जबकि नीला रंग सिस्टम का प्रतिनिधित्व करता है $$y(t) = e^{-\frac{t}{5}}\sin(t)$$. हालाँकि एक प्रतिक्रिया दोलनशील है, दोनों समय के साथ 0 के मूल मान पर लौट आते हैं।

वास्तविक दुनिया का उदाहरण
एक करछुल में संगमरमर डालने की कल्पना करें। यह अपने आप करछुल के सबसे निचले बिंदु पर स्थापित हो जाएगा और, जब तक परेशान न हो, वहीं रहेगा। अब गेंद को धक्का देने की कल्पना करें, जो कि डिराक डिराक डेल्टा फ़ंक्शन का एक अनुमान है। संगमरमर आगे-पीछे लुढ़केगा लेकिन अंततः करछुल के तल में पुनः स्थापित हो जाएगा। समय के साथ संगमरमर की क्षैतिज स्थिति को चित्रित करने से ऊपर की छवि में नीले वक्र की तरह धीरे-धीरे कम होने वाला साइनसॉइड मिलेगा।

इस मामले में स्टेप इनपुट के लिए मार्बल को करछुल के नीचे से दूर सहारा देने की आवश्यकता होती है, ताकि वह वापस न लुढ़क सके। यह उसी स्थिति में रहेगा और अपने वजन के बराबर इस निरंतर बल के तहत करछुल के नीचे से दूर नहीं जाएगा, जैसा कि तब होता जब सिस्टम केवल मामूली रूप से स्थिर या पूरी तरह से अस्थिर होता।

यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि इस उदाहरण में सिस्टम सभी इनपुट के लिए स्थिर नहीं है। मार्बल को एक बड़ा धक्का दीजिए और वह करछुल से छूटकर गिर जाएगा और फर्श पर पहुंचकर ही रुकेगा। इसलिए, कुछ प्रणालियों के लिए, यह कहना उचित है कि एक प्रणाली इनपुट की एक निश्चित सीमा पर तेजी से स्थिर होती है।

यह भी देखें

 * सीमांत स्थिरता
 * नियंत्रण सिद्धांत
 * राज्य स्थान (नियंत्रण)

बाहरी संबंध

 * Parameter estimation and asymptotic stability instochastic filtering, Anastasia Papavasiliou∗September 28, 2004

Stabilité de Lyapunov