प्रतिचित्रण (मैपिंग गणित)

गणित में, प्रतिचित्रण या मानचित्रण अपने सामान्य अर्थों में एक गणित फलन है। ये शर्तें प्रतिचित्रण बनाने की प्रक्रिया से उत्पन्न होता हैं। पृथ्वी की सतह को कागज की शीट पर प्रतिचित्रण बनाया जाता है। निबंधन प्रतिचित्रण का उपयोग कुछ विशेष प्रकार के फलन, जैसे समरूपता को अलग करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक रेखीय प्रतिचित्रण सदिश समष्टियों का समरूप है, जबकि रेखीय फलन शब्द का यह अर्थ रेखीय बहुपद हो सकता है। श्रेणी सिद्धांत में, एक प्रतिचित्रण एक रूपवाद का उल्लेख करता है, जिसमें परिवर्तन शब्द का परस्पर उपयोग किया जाता है,लेकिन  फलन परिवर्तन प्रायः फलन को संदर्भित करता है। तर्क और ग्राफ़ सिद्धांत में कुछ  सामान्य से कम भी उपयोग  हैं।

फलन के रूप में प्रतिचित्रण
गणित की कई शाखाओं में, प्रतिचित्रण शब्द का प्रयोग गणित फलन के अर्थ में किया जाता है, कभी-कभी उस शाखा के लिए विशेष महत्व की विशिष्ट क्षेत्र के साथ किया जाता है उदाहरण के लिए, स्थलाकृति  प्रतिचित्रण में एक सतत फलन  है, रैखिक बीजगणित में एक रैखिक परिवर्तन है आदि।

कुछ लेखक, जैसे सर्ज लैंग, फलन का उपयोग केवल उन प्रतिचित्रणों को संदर्भित करने के लिए करें जिनमें कोडोमेन संख्याओं का एक समूह है अर्थात वास्तविक संख्याओं या जटिल संख्याओं का एक उपसमूह, और अधिक सामान्य फलन के लिए प्रतिचित्रणण शब्द प्रयोग करें।

कुछ प्रकार के प्रतिचित्रण कई महत्वपूर्ण सिद्धांतों के विषय हैं। इनमें सार बीजगणित में समरूपता, ज्यामिति में आइसोमेट्री, गणितीय विश्लेषण में कार्यवाही गणित और समूह सिद्धांत में समूह प्रतिनिधित्व सम्मिलित हैं।

गतिशील प्रणालियों के सिद्धांत में, प्रतिचित्रण एक असतत-समय गतिशील प्रणाली को दर्शाता है, जिसका उपयोग गतिशील प्रणाली प्रतिचित्रण बनाने के लिए किया जाता है।

एक आंशिक प्रतिचित्रण एक आंशिक फलन है। जैसे संबंधित शब्द किसी फलन का डोमेन, कोडोमेन, इंजेक्शन समारोह और सतत फलन समान अर्थ के साथ प्रतिचित्रण और फलन पर समान रूप से लागू किए जा सकते हैं। इन सभी उपयोगों को प्रतिचित्रणों पर सामान्य फलन के रूप में या विशेष गुणों वाले फलन के रूप में लागू किया जा सकता है।

आकारिकी के रूप में
श्रेणी सिद्धांत में, प्रतिचित्रण को प्रायः रूपवाद या तीर के समानार्थी के रूप में प्रयोग किया जाता है, जो एक समान-संरचना कार्य है और इस प्रकार फलन की तुलना में अधिक संरचना का अर्थ हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक रूपवाद $$f:\, X \to Y$$ एक ठोस श्रेणी में अर्थात एक आकृतिवाद जिसे एक कार्य के रूप में देखा जा सकता है इसके साथ अपने डोमेन स्रोत की जानकारी रखता है $$X$$ आकृतिवाद का) और इसका कोडोमेन (लक्ष्य $$Y$$). किसी फलन की व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली परिभाषा में $$f:X\to Y$$, $$f$$ का उपसमुच्चय है $$X\times Y$$ सभी जोड़ों से मिलकर $$(x,f(x))$$ के लिए $$x\in X$$. इस अर्थ में, फलन सेट पर अधिकार

नहीं करता है $$Y$$ जो कोडोमेन के रूप में प्रयोग किया जाता है; केवल सीमा $$f(X)$$ फलन द्वारा निर्धारित किया जाता है।

यह भी देखें

 * :-फलन जो किसी फलन और उसके तर्कों को फलन मान पर प्रतिचित्रणण करता है
 * तीर अंकन - जैसे, $$x\mapsto x+1$$, जिसे प्रतिचित्रण भी कहा जाता है
 * :- गणितीय फलन के गुण
 * अव्यवस्थि प्रतिचित्रण की सूची
 * मैपलेट एरो (↦) - आमतौर पर उच्चारित प्रतिचित्रण
 * :-एक टोपोलॉजिकल ऑटोमोर्फिज्म समूह के समस्थानिक वर्गों का समूह
 * :- समूह जिसका संचालन क्रमचय की संरचना है
 * -बीजगणितीय किस्मों का रूपवाद
 * -बीजगणितीय किस्मों का रूपवाद