सिलो प्रमेय

गणित में, विशेष रूप से परिमित समूह सिद्धांत के क्षेत्र में, सिलो प्रमेय प्रमेयों का एक संग्रह है जिसका नाम नॉर्वेजियन गणितज्ञ पीटर लुडविग मेजडेल साइलो के नाम पर रखा गया है। जो किसी दिए गए परिमित समूह में शामिल समूह के निश्चित क्रम के उपसमूहों की संख्या के बारे में विस्तृत जानकारी देता है। सिलो प्रमेय परिमित समूह सिद्धांत का एक मूलभूत हिस्सा है और परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण में इसका बहुत महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है।

एक अभाज्य संख्या के लिए $$p$$, एक समूह का एक सिलो पी-उपसमूह (कभी-कभी पी-सिलो उपसमूह) $$G$$ एक अधिकतम है $$p$$-उपसमूह $$G$$, यानी, का एक उपसमूह $$G$$ वह एक पी-समूह है|पी-समूह (जिसका अर्थ है कि इसकी प्रमुखता एक शक्ति (गणित) है) $$p,$$ या समकक्ष, प्रत्येक समूह तत्व के समूह तत्व का क्रम एक शक्ति है $$p$$) यह किसी अन्य का उचित उपसमूह नहीं है $$p$$-उपसमूह $$G$$. सभी सिलो का सेट $$p$$-किसी दिए गए प्राइम के लिए उपसमूह $$p$$ कभी-कभी लिखा जाता है $$\text{Syl}_p(G)$$.

सिलो प्रमेय लैग्रेंज के प्रमेय (समूह सिद्धांत)|लैग्रेंज के प्रमेय के आंशिक विपरीत पर जोर देते हैं। लैग्रेंज के प्रमेय में कहा गया है कि किसी भी परिमित समूह के लिए $$G$$ के प्रत्येक उपसमूह का क्रम (तत्वों की संख्या)। $$G$$ के क्रम को विभाजित करता है $$G$$. सिलो प्रमेय बताता है कि प्रत्येक अभाज्य कारक के लिए$$p$$एक परिमित समूह के क्रम का $$G$$, वहाँ एक सिलो मौजूद है $$p$$-उपसमूह $$G$$ आदेश की $$p^n$$, की सर्वोच्च शक्ति $$p$$ जो के क्रम को विभाजित करता है $$G$$. इसके अलावा, आदेश का प्रत्येक उपसमूह$$p^n$$एक सिलो है$$p$$-उपसमूह $$G$$, और सिलो $$p$$-किसी समूह के उपसमूह (किसी दिए गए अभाज्य के लिए $$p$$) एक दूसरे से संयुग्मी वर्ग हैं। इसके अलावा, सिलो की संख्या $$p$$-किसी दिए गए अभाज्य के लिए एक समूह के उपसमूह $$p$$ 1 के सर्वांगसम है (mod $$p$$).

प्रेरणा
साइलो प्रमेय सामान्य रूप से समूहों की संरचना के बारे में एक शक्तिशाली कथन हैं, लेकिन परिमित समूह सिद्धांत के अनुप्रयोगों में भी शक्तिशाली हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि वे एक परिमित समूह की कार्डिनैलिटी के प्राइम अपघटन का उपयोग करने के लिए एक विधि देते हैं $$G$$ अपने उपसमूहों की संरचना के बारे में बयान देने के लिए: अनिवार्य रूप से, यह किसी समूह के बारे में बुनियादी संख्या-सैद्धांतिक जानकारी को उसके समूह संरचना तक पहुंचाने की एक तकनीक देता है। इस अवलोकन से, परिमित समूहों को वर्गीकृत करना यह पता लगाने का खेल बन जाता है कि समूह के निर्माण के लिए छोटे क्रम के समूहों के कौन से संयोजन/निर्माण को लागू किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, इन प्रमेयों का एक विशिष्ट अनुप्रयोग कुछ निश्चित कार्डिनैलिटी के परिमित समूहों के वर्गीकरण में है, जैसे $$|G| = 60$$.

कथन
उपसमूहों का संग्रह, जिनमें से प्रत्येक किसी न किसी अर्थ में अधिकतम है, समूह सिद्धांत में सामान्य है। यहां आश्चर्यजनक परिणाम यह है कि के मामले में $$\operatorname{Syl}_p(G)$$, सभी सदस्य वास्तव में एक दूसरे के लिए समूह समरूपता हैं और उनका सबसे बड़ा संभावित क्रम है: यदि $$|G|=p^nm$$ साथ $$n > 0$$ कहाँ $p$ विभाजित नहीं होता $m$, फिर हर सिलो $p$-उपसमूह $P$ का ऑर्डर है $$|P| = p^n$$. वह है, $P$ एक है $p$-समूह और $$\text{gcd}(|G:P|, p) = 1$$. की संरचना का और अधिक विश्लेषण करने के लिए इन गुणों का उपयोग किया जा सकता है $G$.

निम्नलिखित प्रमेय पहली बार 1872 में लुडविग साइलो द्वारा प्रस्तावित और सिद्ध किए गए थे, और मैथेमेटिश एनालेन में प्रकाशित हुए थे।

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प्रमेय 1 का निम्नलिखित कमजोर संस्करण पहली बार ऑगस्टिन-लुई कॉची द्वारा सिद्ध किया गया था, और इसे कॉची के प्रमेय (समूह सिद्धांत) | कॉची के प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

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परिणाम
साइलो प्रमेय का अर्थ है कि एक अभाज्य संख्या के लिए $$p$$ हर सिलो $$p$$-उपसमूह एक ही क्रम का है, $$p^n$$. इसके विपरीत, यदि किसी उपसमूह के पास आदेश है $$p^n$$, तो यह एक सिलो है $$p$$-उपसमूह, और इसलिए हर दूसरे सिलो के लिए समरूपी है $$p$$-उपसमूह. अधिकतम स्थिति के कारण, यदि $$H$$ क्या किसी $$p$$-उपसमूह $$G$$, तब $$H$$ का एक उपसमूह है $$p$$-आदेश का उपसमूह $$p^n$$.

प्रमेय 2 का एक बहुत ही महत्वपूर्ण परिणाम यह है कि स्थिति $$n_p = 1$$ यह कहने के बराबर है कि सिलो $$p$$-उपसमूह $$G$$ एक सामान्य उपसमूह है. हालाँकि, ऐसे समूह हैं जिनमें सामान्य उपसमूह तो हैं लेकिन कोई सामान्य सिलो उपसमूह नहीं हैं, जैसे $$S_4$$.

अनंत समूहों के लिए सिलो प्रमेय
अनंत समूहों के लिए सिलो प्रमेय का एक एनालॉग है। एक सिलो को परिभाषित करता है $p$-एक अनंत समूह में उपसमूह एक पी-उपसमूह होता है (अर्थात्, इसमें प्रत्येक तत्व होता है $p$-शक्ति क्रम) जो सभी के बीच समावेशन के लिए अधिकतम है $p$-समूह में उपसमूह। होने देना $$\operatorname{Cl}(K)$$ किसी उपसमूह के संयुग्मों के समुच्चय को निरूपित करें $$K \subset G$$.

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उदाहरण
सिलो उपसमूहों और सिलो प्रमेय का एक सरल उदाहरण एन-गॉन, डी का डायहेड्रल समूह है2n. n विषम के लिए, 2 = 21क्रम को विभाजित करने वाले 2 की उच्चतम शक्ति है, और इस प्रकार क्रम 2 के उपसमूह सिलो उपसमूह हैं। ये एक प्रतिबिंब द्वारा उत्पन्न समूह हैं, जिनमें से n हैं, और वे सभी घूर्णन के तहत संयुग्मित हैं; ज्यामितीय रूप से सममिति के अक्ष एक शीर्ष और एक भुजा से होकर गुजरते हैं।

इसके विपरीत, यदि n सम है, तो समूह के क्रम को 4 विभाजित करता है, और क्रम 2 के उपसमूह अब सिलो उपसमूह नहीं हैं, और वास्तव में वे दो संयुग्मन वर्गों में आते हैं, ज्यामितीय रूप से इस पर निर्भर करता है कि वे दो शीर्षों से गुजरते हैं या दो चेहरे के। ये एक बाहरी स्वचालितता से संबंधित हैं, जिसे π/n के माध्यम से घूर्णन द्वारा दर्शाया जा सकता है, जो कि डायहेड्रल समूह में न्यूनतम घूर्णन का आधा है।

एक अन्य उदाहरण जीएल के सिलो पी-उपसमूह हैं2(एफq), जहां p और q अभाज्य हैं ≥ 3 और $p ≡ 1 (mod q)$, जो सभी एबेलियन समूह हैं। जीएल का आदेश2(एफq) है $(q^{2} − 1)(q^{2} − q) = (q)(q + 1)(q − 1)^{2}$. तब से $q = p^{n}m + 1$, के लिए $GL_{2}(F_{q}) = p^{2n} m&prime;$. इस प्रकार प्रमेय 1 के अनुसार, सिलो पी-उपसमूहों का क्रम पी है2n.

ऐसा ही एक उपसमूह P, विकर्ण आव्यूहों का समुच्चय है $$\begin{bmatrix}x^{im} & 0 \\0 & x^{jm} \end{bmatrix}$$, x, F का कोई आदिम मूल मॉड्यूल n हैq. एफ के आदेश के बाद सेq है $q − 1$, इसकी आदिम जड़ों का क्रम q - 1 है, जिसका तात्पर्य यह है $x^{(q − 1)/p^{n}}|undefined$ या एक्सम और इसकी सभी शक्तियों का एक क्रम है जो कि p की शक्ति है। तो, पी एक उपसमूह है जहां इसके सभी तत्वों के आदेश हैं जो पी की शक्तियां हैं। पी हैंna और b दोनों के लिए विकल्प बनाना $|P| = p^{2n}$. इसका मतलब यह है कि पी एक साइलो पी-उपसमूह है, जो एबेलियन है, क्योंकि सभी विकर्ण मैट्रिस कम्यूट करते हैं, और क्योंकि प्रमेय 2 में कहा गया है कि सभी सिलो पी-उपसमूह एक-दूसरे से संयुग्मित हैं, जीएल के साइलो पी-उपसमूह2(एफq) सभी एबेलियन हैं।

उदाहरण अनुप्रयोग
चूंकि सिलो का प्रमेय एक परिमित समूह के पी-उपसमूहों के अस्तित्व को सुनिश्चित करता है, इसलिए प्रधान शक्ति क्रम के समूहों का अधिक बारीकी से अध्ययन करना सार्थक है। अधिकांश उदाहरण यह साबित करने के लिए सिलो के प्रमेय का उपयोग करते हैं कि किसी विशेष क्रम का समूह सरल समूह नहीं है। छोटे क्रम के समूहों के लिए, सिलो के प्रमेय की सर्वांगसमता स्थिति अक्सर एक सामान्य उपसमूह के अस्तित्व को मजबूर करने के लिए पर्याप्त होती है।
 * उदाहरण-1: p<q के साथ क्रम pq, p और q अभाज्यों के समूह।
 * उदाहरण-2: क्रम 30 का समूह, क्रम 20 के समूह, क्रम पी के समूह2q, p और q विशिष्ट अभाज्य संख्याएँ कुछ अनुप्रयोग हैं।
 * उदाहरण-3: (क्रम 60 के समूह): यदि क्रम |जी| = 60 और G में एक से अधिक सिलो 5-उपसमूह हैं, तो G सरल है।

चक्रीय समूह आदेश
कुछ अभाज्य संख्याएँ n ऐसी हैं कि क्रम n का प्रत्येक समूह चक्रीय है। सिलो प्रमेय का उपयोग करके कोई यह दिखा सकता है कि n = 15 एक ऐसी संख्या है: मान लीजिए G क्रम 15 = 3 · 5 और n का एक समूह है3 सिलो 3-उपसमूहों की संख्या हो। फिर एन3 $$\mid$$ 5 और एन3 ≡ 1 (मॉड 3)। इन बाधाओं को संतुष्ट करने वाला एकमात्र मान 1 है; इसलिए, क्रम 3 का केवल एक उपसमूह है, और यह सामान्य उपसमूह होना चाहिए (क्योंकि इसमें कोई अलग संयुग्म नहीं है)। इसी प्रकार, एन5 3, और n को विभाजित करना होगा5 1 (मॉड 5) के बराबर होना चाहिए; इस प्रकार इसमें क्रम 5 का एक सामान्य उपसमूह भी होना चाहिए। चूँकि 3 और 5 सहअभाज्य हैं, इन दो उपसमूहों का प्रतिच्छेदन तुच्छ है, और इसलिए G को क्रम 3 और 5 के समूहों का आंतरिक प्रत्यक्ष उत्पाद होना चाहिए, जो कि चक्रीय है क्रम 15 का समूह। इस प्रकार, क्रम 15 (समरूपता तक) का केवल एक समूह है।

छोटे समूह सरल नहीं हैं
एक अधिक जटिल उदाहरण में सबसे छोटे सरल समूह का क्रम शामिल है जो चक्रीय समूह नहीं है। बर्नसाइड का प्रमेय|बर्नसाइड का पीएqबी प्रमेय में कहा गया है कि यदि किसी समूह का क्रम एक या दो अभाज्य शक्तियों का उत्पाद है, तो यह हल करने योग्य समूह है, और इसलिए समूह सरल नहीं है, या अभाज्य क्रम का है और चक्रीय है। यह प्रत्येक समूह को 30 ऑर्डर तक बाहर कर देता है.

यदि G सरल है, और |G| = 30, फिर एन3 10 (= 2 · 5), और एन को विभाजित करना होगा3 1 (मॉड 3) के बराबर होना चाहिए। इसलिए, एन3 = 10, चूँकि 10 को न तो 4 और न ही 7 विभाजित करता है, और यदि n3 = 1 तो, जैसा कि ऊपर बताया गया है, जी के पास क्रम 3 का एक सामान्य उपसमूह होगा, और यह सरल नहीं हो सकता है। G के पास क्रम 3 के 10 अलग-अलग चक्रीय उपसमूह हैं, जिनमें से प्रत्येक में क्रम 3 के 2 तत्व (पहचान सहित) हैं। इसका मतलब है कि G में क्रम 3 के कम से कम 20 अलग-अलग तत्व हैं।

साथ ही, एन5 = 6, चूँकि n5 6 ( = 2 · 3) और n को विभाजित करना होगा5 1 (मॉड 5) के बराबर होना चाहिए। तो G में भी क्रम 5 के 24 अलग-अलग तत्व हैं। लेकिन G का क्रम केवल 30 है, इसलिए क्रम 30 का एक सरल समूह मौजूद नहीं हो सकता है।

अगला, मान लीजिए |जी| = 42 = 2 · 3 · 7. यहाँ एन7 6 (=2 · 3) और एन को विभाजित करना होगा7 1 (मॉड 7) के बराबर होना चाहिए, इसलिए एन7 = 1. अतः, पहले की तरह, G सरल नहीं हो सकता।

दूसरी ओर, |जी| के लिए = 60 = 22 · 3 · 5, फिर एन3 = 10 और एन5 = 6 बिल्कुल संभव है। और वास्तव में, सबसे छोटा सरल गैर-चक्रीय समूह ए है5, 5 तत्वों पर वैकल्पिक समूह। इसमें क्रम 60 है, और क्रम 5 के 24 चक्रीय क्रमपरिवर्तन हैं, और क्रम 3 के 20 हैं।

विल्सन का प्रमेय
विल्सन के प्रमेय का एक भाग यह बताता है


 * $$(p-1)! \equiv -1 \pmod p$$

प्रत्येक प्राइम पी के लिए। सिलो के तीसरे प्रमेय द्वारा कोई भी इस प्रमेय को आसानी से सिद्ध कर सकता है। वास्तव में, ध्यान दें कि संख्या npसिलो के पी-उपसमूहों में से सममित समूह एस मेंpहै $(p &minus; 2)!$. वहीं दूसरी ओर, $n_{p} ≡ 1 (mod p)$. इस तरह, $(p &minus; 2)! ≡ 1 (mod p)$. इसलिए, $(p &minus; 1)! ≡ &minus;1 (mod p)$.

संलयन परिणाम
फ्रैटिनी के तर्क से पता चलता है कि एक सामान्य उपसमूह का एक साइलो उपसमूह एक परिमित समूह का गुणनखंडन प्रदान करता है। बर्नसाइड के संलयन प्रमेय के रूप में ज्ञात एक मामूली सामान्यीकरण में कहा गया है कि यदि जी सिलो पी-उपसमूह पी और दो उपसमुच्चय ए और बी के साथ एक परिमित समूह है, तो इसे सामान्यीकृत किया जाता है। पी, तो ए और बी जी-संयुग्मित हैं यदि और केवल यदि वे एन हैंG(पी)-संयुग्मित। इसका प्रमाण सिलो के प्रमेय का एक सरल अनुप्रयोग है: यदि B=Ag, तो B के नॉर्मलाइज़र में न केवल P बल्कि P भी शामिल हैजी (चूंकि पीजीए के नॉर्मलाइज़र में निहित हैजी). सिलो के प्रमेय पी और पी द्वाराg न केवल G में, बल्कि B के सामान्यीकरणकर्ता में भी संयुग्मित हैं। इसलिए gh−1 कुछ h के लिए P को सामान्य करता है जो B को सामान्य करता है, और फिर A कोघ −1 = बीh −1 = B, ताकि A और B N होंG(पी)-संयुग्मित। बर्नसाइड के संलयन प्रमेय का उपयोग अधिक शक्तिशाली कारकीकरण देने के लिए किया जा सकता है जिसे अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद कहा जाता है: यदि G एक परिमित समूह है जिसका सिलो पी-उपसमूह P इसके सामान्यीकरण के केंद्र में समाहित है, तो G के पास P के सहअभाज्य क्रम का एक सामान्य उपसमूह K है।, G = PK और P∩K = {1}, अर्थात, G, p-nilpotent समूह है|p-nilpotent।

सिलो प्रमेय के कम तुच्छ अनुप्रयोगों में फोकल उपसमूह प्रमेय शामिल है, जो व्युत्पन्न उपसमूह के सिलो पी-उपसमूह के पूरे समूह की संरचना पर नियंत्रण का अध्ययन करता है। इस नियंत्रण का उपयोग परिमित सरल समूहों के वर्गीकरण के कई चरणों में किया जाता है, और उदाहरण के लिए, परिमित सरल समूहों को वर्गीकृत करने वाले अल्पेरिन-ब्रुएर-गोरेनस्टीन प्रमेय में उपयोग किए जाने वाले केस डिवीजनों को परिभाषित करता है, जिनका सिलो 2-उपसमूह एक अर्ध-डायहेड्रल समूह है। ये संयुग्मन में किस प्रकार के तत्वों का उपयोग किया जाता है, इसे नियंत्रित करने के लिए सिलो के प्रमेय के संयुग्मी भाग को मजबूत करने के लिए जे. एल. एल्परिन पर निर्भर करते हैं।

सिलो प्रमेय का प्रमाण
सिलो प्रमेय को कई तरीकों से सिद्ध किया गया है, और प्रमाणों का इतिहास स्वयं वॉटरहाउस सहित कई पत्रों का विषय है, शार्लाउ, कैसाडियो और ज़प्पा, गौ, और कुछ हद तक मेओ।

साइलो प्रमेय का एक प्रमाण विभिन्न रचनात्मक तरीकों से समूह कार्रवाई (गणित) की धारणा का शोषण करता है। समूह $G$ स्वयं पर या अपने पी-उपसमूहों के सेट पर विभिन्न तरीकों से कार्य करता है, और ऐसी प्रत्येक क्रिया का उपयोग साइलो प्रमेयों में से एक को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है। निम्नलिखित प्रमाण विलैंड्ट के संयुक्त तर्कों पर आधारित हैं। निम्नलिखित में, हम उपयोग करते हैं $$a \mid b$$ a के लिए संकेतन के रूप में b और को विभाजित करता है $$a \nmid b$$ इस कथन के खंडन के लिए.

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एल्गोरिदम
किसी दिए गए समूह के सिलो उपसमूह को खोजने की समस्या कम्प्यूटेशनल समूह सिद्धांत में एक महत्वपूर्ण समस्या है।

सिलो पी-उपसमूहों के अस्तित्व का एक प्रमाण रचनात्मक है: यदि एच, जी का एक पी-उपसमूह है और सूचकांक [जी:एच] पी से विभाज्य है, तो सामान्यीकरणकर्ता एन = एनGजी में एच का (एच) भी ऐसा है कि [एन: एच] पी से विभाज्य है। दूसरे शब्दों में, सिलो पी-उपसमूह की एक पॉलीसाइक्लिक जनरेटिंग प्रणाली किसी भी पी-उपसमूह एच (पहचान सहित) से शुरू करके और एच के नॉर्मलाइज़र में निहित पी-पावर ऑर्डर के तत्वों को लेकर पाई जा सकती है, लेकिन एच में ही नहीं। इसका एल्गोरिथम संस्करण (और कई सुधार) बटलर में पाठ्यपुस्तक के रूप में वर्णित है, कैनन में वर्णित एल्गोरिदम सहित। ये संस्करण अभी भी GAP कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली में उपयोग किए जाते हैं।

क्रमपरिवर्तन समूहों में, कांटोर में यह सिद्ध हो चुका है और कांटोर और टेलर, कि एक सिलो पी-उपसमूह और इसका नॉर्मलाइज़र इनपुट के बहुपद समय (समूह की डिग्री जनरेटर की संख्या से गुणा) में पाया जा सकता है। इन एल्गोरिदम को सेरेस में पाठ्यपुस्तक के रूप में वर्णित किया गया है, और अब व्यावहारिक होते जा रहे हैं क्योंकि परिमित सरल समूहों की रचनात्मक पहचान एक वास्तविकता बन गई है। विशेष रूप से, इस एल्गोरिदम के संस्करणों का उपयोग मैग्मा कंप्यूटर बीजगणित प्रणाली में किया जाता है।

यह भी देखें

 * फ्रैटिनी का तर्क
 * हॉल उपसमूह
 * अधिकतम उपसमूह
 * पी-समूह