विभेदक (गणित)

गणित में, अंतर कई संबंधित धारणाओं को संदर्भित करता है गणना  के शुरुआती दिनों से प्राप्त, एक कठोर आधार पर रखा गया, जैसे कि अतिसूक्ष्म अंतर और कार्यों के  यौगिक । इस शब्द का प्रयोग गणित की विभिन्न शाखाओं जैसे कैलकुलस, अंतर ज्यामिति, बीजगणितीय ज्यामिति और बीजगणितीय टोपोलॉजी में किया जाता है।

परिचय
कुछ चर (गणित) में एक अपरिमेय (असीम रूप से छोटा) परिवर्तन को संदर्भित करने के लिए शब्द अंतर का उपयोग कैलकुलस में गैर-कठोर रूप से किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि x एक चर (गणित) है, तो x के मान में परिवर्तन को अक्सर Δx (उच्चारण डेल्टा (ग्रीक) x) के रूप में दर्शाया जाता है। डिफरेंशियल dx वेरिएबल x में असीम रूप से छोटे परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करता है। असीम रूप से छोटे या असीम रूप से धीमे परिवर्तन का विचार सहज रूप से अत्यंत उपयोगी है, और इस धारणा को गणितीय रूप से सटीक बनाने के कई तरीके हैं।

कलन का उपयोग करके, डेरिवेटिव का उपयोग करके गणितीय रूप से विभिन्न चरों के असीम रूप से छोटे परिवर्तनों को एक दूसरे से संबंधित करना संभव है। यदि y x का एक कार्य है, तो y का अंतर dy सूत्र द्वारा dx से संबंधित है $$dy = \frac{dy}{dx} \,dx,$$ कहाँ $$\frac{dy}{dx} \,$$x के संबंध में y के व्युत्पन्न को दर्शाता है। यह सूत्र सहज विचार को सारांशित करता है कि x के संबंध में y का व्युत्पन्न अंतर Δy/Δx के अनुपात की सीमा है क्योंकि Δx अत्यल्प हो जाता है।

मूलभूत धारणाएं

 * कलन में, किसी फलन का अवकलन किसी फलन (गणित) के रैखिकीकरण में परिवर्तन को दर्शाता है।
 * कुल अंतर कई चर के कार्यों के लिए इसका सामान्यीकरण है।
 * कैलकुलस के पारंपरिक तरीकों में, अंतर (इन्फिनिटिमल) (जैसे डीएक्स, डीई, डीटी, आदि) की व्याख्या इनफिनिटिमल्स के रूप में की जाती है। इनफिनिटिमल्स को सख्ती से परिभाषित करने के कई तरीके हैं, लेकिन यह कहना पर्याप्त है कि एक अपरिमेय संख्या किसी भी सकारात्मक वास्तविक संख्या की तुलना में निरपेक्ष मान में छोटी होती है, ठीक वैसे ही जैसे एक असीम रूप से बड़ी संख्या किसी भी वास्तविक संख्या से बड़ी होती है।
 * कुल व्युत्पन्न 'R' से एक फंक्शन के आंशिक डेरिवेटिव के  जैकबियन मैट्रिक्स  का दूसरा नाम हैn से 'आर'm (विशेष रूप से जब यह मैट्रिक्स (गणित) एक रेखीय मानचित्र के रूप में देखा जाता है)।
 * अधिक आम तौर पर, पुशफॉर्वर्ड (डिफरेंशियल) या पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) चिकना कई गुना और इसे परिभाषित पुशफॉरवर्ड ऑपरेशंस के बीच मैप के डेरिवेटिव को संदर्भित करता है। अंतर का उपयोग पुलबैक (अंतर ज्यामिति) की दोहरी अवधारणा को परिभाषित करने के लिए भी किया जाता है।
 * स्टोचैस्टिक कैलकुलस स्टोचैस्टिक अंतर की धारणा और स्टोचैस्टिक प्रक्रियाओं के लिए संबंधित कैलकुलस प्रदान करता है।
 * स्टिल्ट्स अभिन्न # स्टिल्टजेस इंटीग्रल में परिभाषा को एक फ़ंक्शन के अंतर के रूप में दर्शाया गया है। औपचारिक रूप से, इंटीग्रल के तहत दिखाई देने वाला डिफरेंशियल बिल्कुल एक डिफरेंशियल के रूप में व्यवहार करता है: इस प्रकार, स्टेल्टजेस इंटीग्रल के लिए पार्ट फॉर्मूलों द्वारा प्रतिस्थापन और इंटीग्रेशन द्वारा इंटीग्रेशन, क्रमशः श्रृंखला नियम और डिफरेंशियल के लिए प्रॉडक्ट नियम के अनुरूप होता है।

इतिहास और उपयोग
कलन के विकास में अतिसूक्ष्म राशियों ने महत्वपूर्ण भूमिका निभाई। आर्किमिडीज़ ने उनका उपयोग किया, भले ही वह यह नहीं मानते थे कि इनफिनिटिमल्स से जुड़े तर्क कठोर थे। आइजैक न्यूटन ने उन्हें फ्लक्सियन की विधि के रूप में संदर्भित किया। हालाँकि, यह गॉटफ्रीड लीबनिज़ थे जिन्होंने अत्यल्प मात्राओं के लिए डिफरेंशियल शब्द गढ़ा और उनके लिए संकेतन पेश किया जो आज भी उपयोग किया जाता है।

लीबनिज के अंकन में, यदि x एक चर मात्रा है, तो dx चर x में एक अतिसूक्ष्म परिवर्तन को दर्शाता है। इस प्रकार, यदि y, x का एक फलन है, तो x के संबंध में y के अवकलज को अक्सर dy/dx के रूप में निरूपित किया जाता है, जिसे अन्यथा (न्यूटन या जोसेफ-लुई लाग्रेंज के अंकन में) ẏ या y के रूप में निरूपित किया जाएगा।. इस रूप में अंतर के उपयोग ने बहुत आलोचना को आकर्षित किया, उदाहरण के लिए बिशप बर्कले द्वारा प्रसिद्ध पैम्फलेट विश्लेषक में। फिर भी, संकेतन लोकप्रिय बना हुआ है क्योंकि यह दृढ़ता से इस विचार का सुझाव देता है कि x पर y का व्युत्पन्न इसकी परिवर्तन की तात्कालिक दर है (ग्राफ की स्पर्श रेखा का ढलान (गणित)), जिसे सीमा (गणित) लेकर प्राप्त किया जा सकता है। अनुपात Δy/Δx के रूप में Δx मनमाने ढंग से छोटा हो जाता है। विभेदक भी आयामी विश्लेषण के साथ संगत होते हैं, जहां एक अंतर जैसे dx के चर x के समान आयाम होते हैं।

17वीं शताब्दी CE के दौरान कैलकुलस गणित की एक अलग शाखा के रूप में विकसित हुआ, हालांकि प्राचीन काल में वापस जाने वाले पूर्ववर्ती थे। उदाहरण के लिए, न्यूटन, लीबनिज की प्रस्तुतियों को अंतर, धाराप्रवाह (गणित) और असीम रूप से छोटे जैसे शब्दों की गैर-कठोर परिभाषाओं द्वारा चिह्नित किया गया था। जबकि जॉर्ज बर्कले के 1734 द एनालिस्ट में कई तर्क प्रकृति में धर्मशास्त्रीय हैं, आधुनिक गणितज्ञ द एनालिस्ट#भूतों के दिवंगत राशियों के खिलाफ उनके तर्क की वैधता को स्वीकार करते हैं; हालाँकि, आधुनिक दृष्टिकोणों में समान तकनीकी समस्याएँ नहीं हैं। कठोरता की कमी के बावजूद 17वीं और 18वीं शताब्दी में अपार प्रगति हुई। 19वीं शताब्दी में, कॉची और अन्य ने धीरे-धीरे एप्सिलॉन, निरंतरता, सीमा और डेरिवेटिव के लिए डेल्टा दृष्टिकोण विकसित किया, जिससे कलन के लिए एक ठोस वैचारिक आधार मिला।

20वीं शताब्दी में, कई नई अवधारणाएँ, जैसे, बहुभिन्नरूपी कैलकुलस, डिफरेंशियल ज्योमेट्री, पुराने शब्दों के आशय को समाहित करती प्रतीत हुईं, विशेष रूप से डिफरेंशियल; डिफरेंशियल और इनफिनिटिमल दोनों का उपयोग नए, अधिक कठोर, अर्थों के साथ किया जाता है।

डिफरेंशियल का उपयोग अभिन्न  के लिए नोटेशन में भी किया जाता है क्योंकि एक इंटीग्रल को अनंत राशियों के अनंत योग के रूप में माना जा सकता है: एक ग्राफ के तहत क्षेत्र ग्राफ को असीम रूप से पतली पट्टियों में उप-विभाजित करके और उनके क्षेत्रों को जोड़कर प्राप्त किया जाता है। एक अभिव्यक्ति में जैसे $$\int f(x) \,dx,$$ अभिन्न चिह्न (जो एक संशोधित लंबा s है) अनंत राशि को दर्शाता है, f(x) एक पतली पट्टी की ऊंचाई को दर्शाता है, और अंतर dx इसकी असीम रूप से पतली चौड़ाई को दर्शाता है।

दृष्टिकोण
गणितीय रूप से अवकलन की धारणा को सटीक बनाने के लिए कई दृष्टिकोण हैं। ये दृष्टिकोण एक-दूसरे से बहुत अलग हैं, लेकिन उनके पास मात्रात्मक होने का विचार आम है, यानी यह नहीं कह रहा है कि एक अंतर असीम रूप से छोटा है, लेकिन यह कितना छोटा है।
 * 1) रेखीय नक्शे के रूप में अंतर। यह दृष्टिकोण अंतर ज्यामिति में कुल व्युत्पन्न और बाहरी व्युत्पन्न की परिभाषा को रेखांकित करता है।
 * 2) क्रमविनिमेय वलयों के  nilpotent  तत्वों के रूप में अवकलन। यह दृष्टिकोण बीजगणितीय ज्यामिति में लोकप्रिय है।
 * 3) सेट सिद्धांत के चिकने मॉडल में अंतर। इस दृष्टिकोण को  सिंथेटिक अंतर ज्यामिति  या चिकना अत्यल्प विश्लेषण के रूप में जाना जाता है और यह बीजगणितीय ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, सिवाय इसके कि  टोपोस सिद्धांत  के विचारों का उपयोग उस तंत्र को छिपाने के लिए किया जाता है जिसके द्वारा निलपोटेंट इनफिनिटिमल पेश किए जाते हैं।
 * 4) अति वास्तविक संख्या सिस्टम में इनफिनिटिमल्स के रूप में अंतर, जो वास्तविक संख्याओं के विस्तार हैं जिनमें इनवर्टिबल इनफिनिटिमल्स और असीम रूप से बड़ी संख्याएं होती हैं। यह अब्राहम रॉबिन्सन द्वारा प्रतिपादित अमानक विश्लेषण का दृष्टिकोण है।

रेखीय नक्शे के रूप में अवकलन
भिन्नताओं की सटीक समझ बनाने का एक सरल तरीका है, पहले वास्तविक रेखा पर उन्हें रैखिक मानचित्रों के रूप में उपयोग करके उपयोग किया जाता है। इसका उपयोग किया जा सकता है $$\mathbb{R}$$, $$\mathbb{R}^n$$, एक हिल्बर्ट अंतरिक्ष, एक बनच स्थान, या अधिक सामान्यतः, एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस। वास्तविक रेखा के मामले की व्याख्या करना सबसे आसान है। संदर्भ के आधार पर इस प्रकार के अवकलन को सहपरिवर्ती सदिश या कोटिस्पर्श सदिश के रूप में भी जाना जाता है।

आर
पर रैखिक नक्शे के रूप में अंतर

कल्पना करना $$f(x)$$ पर एक वास्तविक मूल्यवान कार्य है $$\mathbb{R}$$. हम चर की पुनर्व्याख्या कर सकते हैं $$x$$ में $$f(x)$$ एक संख्या के बजाय एक फ़ंक्शन होने के नाते, अर्थात् वास्तविक रेखा पर पहचान मानचित्र, जो वास्तविक संख्या लेता है $$p$$ खुद को: $$x(p)=p$$. तब $$f(x)$$ का सम्मिश्रण है $$f$$ साथ $$x$$, जिसका मूल्य पर $$p$$ है $$f(x(p))=f(p)$$. अंतर $$\operatorname{d}f$$ (जो निश्चित रूप से निर्भर करता है $$f$$) तब एक फ़ंक्शन है जिसका मान at $$p$$ (आमतौर पर निरूपित $$df_p$$) एक संख्या नहीं है, बल्कि एक रेखीय मानचित्र है $$\mathbb{R}$$ को $$\mathbb{R}$$. चूंकि एक रेखीय मानचित्र से $$\mathbb{R}$$ को $$\mathbb{R}$$ ए द्वारा दिया जाता है $$1\times 1$$ मैट्रिक्स (गणित), यह अनिवार्य रूप से एक संख्या के समान है, लेकिन दृष्टिकोण में परिवर्तन हमें सोचने की अनुमति देता है $$df_p$$ एक अतिसूक्ष्म के रूप में और इसकी तुलना मानक अतिसूक्ष्म के साथ करें $$dx_p$$, जो फिर से केवल पहचान मानचित्र है $$\mathbb{R}$$ को $$\mathbb{R}$$ (ए $$1\times 1$$ मैट्रिक्स (गणित) प्रविष्टि के साथ $$1$$). पहचान मानचित्र में संपत्ति है कि यदि $$\varepsilon$$ तो बहुत छोटा है $$dx_p(\varepsilon)$$ बहुत छोटा है, जो हमें इसे अतिसूक्ष्म मानने में सक्षम बनाता है। अंतर $$df_p$$ समान गुण है, क्योंकि यह केवल का गुणज है $$dx_p$$, और यह गुणक व्युत्पन्न है $$f'(p)$$ परिभाषा से। इसलिए हम इसे प्राप्त करते हैं $$df_p=f'(p)\,dx_p$$, और इसलिए $$df=f'\,dx$$. इस प्रकार हम इस विचार को पुनः प्राप्त करते हैं कि $$f'$$ अंतरों का अनुपात है $$df$$ और $$dx$$.

यह सिर्फ एक चाल होगी यदि यह इस तथ्य के लिए नहीं है कि:
 * 1) यह व्युत्पन्न के विचार को पकड़ लेता है $$f$$ पर $$p$$ के लिए सबसे अच्छा रैखिक सन्निकटन के रूप में $$f$$ पर $$p$$;
 * 2) इसके कई सामान्यीकरण हैं।

आर पर रेखीय नक्शे के रूप में अंतरएन
अगर $$f$$ से एक समारोह है $$\mathbb{R}^n$$ को $$\mathbb{R}$$, तो हम कहते हैं $$f$$ अवकलनीय है पर $$p\in\mathbb{R}^n$$ अगर वहाँ एक रेखीय नक्शा है $$df_p$$ से $$\mathbb{R}^n$$ को $$\mathbb{R}$$ ऐसा कि किसी के लिए $$\varepsilon>0$$, एक पड़ोस है (गणित) $$N$$ का $$p$$ ऐसा कि के लिए $$x\in N$$, $$\left|f(x) - f(p) - df_p(x-p)\right| < \varepsilon \left|x-p\right| .$$ अब हम उसी तरकीब का उपयोग कर सकते हैं जैसा कि एक आयामी मामले में और अभिव्यक्ति के बारे में सोचते हैं $$f(x_1, x_2, \ldots, x_n)$$ के सम्मिश्रण के रूप में $$f$$ मानक निर्देशांक के साथ $$x_1, x_2, \ldots, x_n$$ पर $$\mathbb{R}^n$$ (ताकि $$x_j(p)$$ है $$j$$-वाँ घटक $$p\in\mathbb{R}^n$$). फिर भेद $$\left(dx_1\right)_p, \left(dx_2\right)_p, \ldots, \left(dx_n\right)_p$$ एक बिंदु पर $$p$$ रैखिक मानचित्रों के सदिश स्थल के लिए एक आधार (रैखिक बीजगणित) बनाएं $$\mathbb{R}^n$$ को $$\mathbb{R}$$ और इसलिए, यदि $$f$$ पर अवकलनीय है $$p$$, हम लिख सकते हैं$$\operatorname{d}f_p$$इन आधार तत्वों के रैखिक संयोजन के रूप में: $$df_p = \sum_{j=1}^n D_j f(p) \,(dx_j)_p.$$ गुणांक $$D_j f(p)$$ (परिभाषा के अनुसार) के आंशिक डेरिवेटिव हैं $$f$$ पर $$p$$ इसके संबंध में $$x_1, x_2, \ldots, x_n$$. इसलिए, अगर $$f$$ सभी पर अवकलनीय है $$\mathbb{R}^n$$, हम और अधिक संक्षेप में लिख सकते हैं: $$\operatorname{d}f = \frac{\partial f}{\partial x_1} \,dx_1 + \frac{\partial f}{\partial x_2} \,dx_2 + \cdots +\frac{\partial f}{\partial x_n} \,dx_n.$$ एक आयामी मामले में यह बन जाता है $$df = \frac{df}{dx}dx$$ पहले जैसा।

यह विचार सीधे तौर पर कार्यों से सामान्यीकरण करता है $$\mathbb{R}^n$$ को $$\mathbb{R}^m$$. इसके अलावा, व्युत्पन्न की अन्य परिभाषाओं पर इसका निर्णायक लाभ है कि यह निर्देशांक के परिवर्तन के तहत अपरिवर्तनीय (गणित) है। इसका मतलब यह है कि एक ही विचार का उपयोग चिकने मैनिफोल्ड्स के बीच चिकने नक्शों के पुशफॉरवर्ड (अंतर) को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है।

एक तरफ: ध्यान दें कि के सभी आंशिक डेरिवेटिव का अस्तित्व $$f(x)$$ पर $$x$$ एक अंतर के अस्तित्व के लिए एक आवश्यक शर्त है $$x$$. हालांकि यह पर्याप्त शर्त नहीं है। प्रतिउदाहरणों के लिए, व्युत्पन्न केक  देखें।

सदिश स्थान पर रेखीय मानचित्र के रूप में अवकलन
निरंतरता के बारे में उचित रूप से बात करने के लिए एक ही प्रक्रिया एक पर्याप्त अतिरिक्त संरचना के साथ वेक्टर स्पेस पर काम करती है। सबसे ठोस मामला एक हिल्बर्ट स्पेस है, जिसे पूर्ण मीट्रिक स्थान इनर प्रोडक्ट स्पेस के रूप में भी जाना जाता है, जहां इनर प्रोडक्ट और इससे जुड़े नॉर्म (गणित) दूरी की एक उपयुक्त अवधारणा को परिभाषित करते हैं। यही प्रक्रिया एक बनच स्थान के लिए काम करती है, जिसे पूर्ण नॉर्मड वेक्टर स्पेस  के रूप में भी जाना जाता है। हालांकि, अधिक सामान्य टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस के लिए, कुछ विवरण अधिक अमूर्त हैं क्योंकि दूरी की कोई अवधारणा नहीं है।

परिमित आयाम के महत्वपूर्ण मामले के लिए, कोई भी आंतरिक उत्पाद स्थान एक हिल्बर्ट स्थान है, कोई भी मानक सदिश स्थान एक बैनाच स्थान है और कोई भी सामयिक सदिश स्थान पूर्ण है। नतीजतन, आप एक समन्वय प्रणाली को मनमाने ढंग से परिभाषित कर सकते हैं और उसी तकनीक का उपयोग कर सकते हैं $$\mathbb{R}^n$$.

कार्यों के कीटाणुओं के रूप में अंतर
यह दृष्टिकोण किसी भी अलग-अलग कई गुना पर काम करता है। अगर तब f के बराबर है g पर p, निरूपित $$f \sim_p g$$, अगर और केवल अगर एक खुला है $$W \subseteq U \cap V$$ युक्त p ऐसा है कि $$f(x) = g(x)$$ हरएक के लिए x में W. का कीटाणु f पर p, निरूपित $$[f]_p$$, के समतुल्य सभी वास्तविक सतत फलनों का समुच्चय है f पर p; अगर f पर चिकना है p तब $$[f]_p$$ चिकना रोगाणु है। अगर तब इससे पता चलता है कि पी पर रोगाणु एक क्षेत्र के ऊपर एक बीजगणित बनाते हैं।
 * 1) U और V युक्त खुले सेट हैं p
 * 2) $$f\colon U\to \mathbb{R}$$ निरंतर है
 * 3) $$g\colon V\to \mathbb{R}$$ निरंतर है
 * 1) $$U_1$$, $$U_2$$ $$V_1$$ और $$V_2$$ युक्त खुले सेट हैं p
 * 2) $$f_1\colon U_1\to \mathbb{R}$$, $$f_2\colon U_2\to \mathbb{R}$$, $$g_1\colon V_1\to \mathbb{R}$$ और $$g_2\colon V_2\to \mathbb{R}$$ चिकने कार्य हैं
 * 3) $$f_1 \sim_p g_1$$
 * 4) $$f_2 \sim_p g_2$$
 * 5) r एक वास्तविक संख्या है
 * 1) $$r*f_1 \sim_p r*g_1$$
 * 2) $$f_1+f_2\colon U_1 \cap U_2\to \mathbb{R} \sim_p g_1+g_2\colon V_1 \cap V_2\to \mathbb{R}$$
 * 3) $$f_1*f_2\colon U_1 \cap U_2\to \mathbb{R} \sim_p g_1*g_2\colon V_1 \cap V_2\to \mathbb{R}$$

परिभाषित करना $$\mathcal{I}_p$$ गायब होने वाले सभी चिकने कीटाणुओं का सेट होना p और $$\mathcal{I}_p^2$$ आइडियल बनना (रिंग थ्योरी)# आइडियल ऑपरेशंस ऑफ आदर्श (अंगूठी सिद्धांत)  $$\mathcal{I}_p \mathcal{I}_p$$. फिर एक अंतर पर p (पर स्पर्शज्या सदिश p) का एक तत्व है $$\mathcal{I}_p/\mathcal{I}_p^2$$. एक चिकनी समारोह का अंतर f पर p, निरूपित $$\mathrm d f_p$$, है $$[f-f(p)]_p/\mathcal{I}_p^2$$.

एक समान दृष्टिकोण एक मनमाना समन्वय पैच में डेरिवेटिव के संदर्भ में पहले क्रम के अंतर तुल्यता को परिभाषित करना है। फिर का अंतर f पर p अंतर के बराबर सभी कार्यों का सेट है $$f-f(p)$$ पर p.

बीजगणितीय ज्यामिति
बीजगणितीय ज्यामिति में, अंतर और अन्य अतिसूक्ष्म धारणाओं को एक बहुत ही स्पष्ट तरीके से नियंत्रित किया जाता है, यह स्वीकार करते हुए कि एक अंतरिक्ष के समन्वय अंगूठी या संरचना शीफ ​​में शून्य तत्व शामिल हो सकते हैं। सबसे सरल उदाहरण दोहरी संख्या R[ε] का वलय है, जहां ε 2 = 0।

यह एक बिंदु पी पर 'आर' से 'आर' तक फ़ंक्शन एफ के व्युत्पन्न पर बीजगणित-ज्यामितीय दृष्टिकोण से प्रेरित हो सकता है। इसके लिए, पहले ध्यान दें कि f − f(p) आदर्श (रिंग थ्योरी) I से संबंधित हैp आर पर कार्यों की संख्या जो 'पी' पर गायब हो जाती है। यदि व्युत्पन्न f p पर गायब हो जाता है, तो f − f(p) वर्ग I से संबंधित हैp2 इस आदर्श का। अतः p पर f का व्युत्पन्न समतुल्य वर्ग [f − f(p)] द्वारा भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) I में ग्रहण किया जा सकता हैp/मैंp 2, और जेट (गणित) | f का 1-जेट (जो इसके मूल्य और इसके पहले व्युत्पन्न को कूटबद्ध करता है) सभी कार्यों के स्थान में f का समतुल्य वर्ग है।p 2। बीजगणितीय जियोमीटर इस तुल्यता वर्ग को बिंदु p के गाढ़े संस्करण के लिए f के प्रतिबंध के रूप में मानते हैं, जिसका समन्वय वलय 'R' नहीं है (जो 'R' मॉड्यूलो I पर कार्यों का भागफल स्थान है।p) लेकिन R[ε] जो R modulo I पर कार्यों का भागफल स्थान हैp 2। ऐसा मोटा बिंदु एक योजना (गणित) का एक सरल उदाहरण है।

बीजगणितीय ज्यामिति धारणाएं
बीजगणितीय ज्यामिति में अवकलन भी महत्वपूर्ण हैं, और कई महत्वपूर्ण अवधारणाएँ हैं।
 * एबेलियन डिफरेंशियल का मतलब आमतौर पर एक बीजगणितीय वक्र या रीमैन सतह पर डिफरेंशियल वन-फॉर्म होता है।
 * रीमैन सतहों के सिद्धांत में द्विघात अंतर (जो एबेलियन अंतर के वर्गों की तरह व्यवहार करते हैं) भी महत्वपूर्ण हैं।
 * काहलर अवकलन बीजगणितीय ज्यामिति में अवकलन की एक सामान्य धारणा प्रदान करते हैं।

सिंथेटिक अंतर ज्यामिति
इनफिनिटिमल्स के लिए पाँचवाँ दृष्टिकोण सिंथेटिक डिफरेंशियल ज्योमेट्री की विधि है या सहज अतिसूक्ष्म विश्लेषण। यह बीजगणितीय-ज्यामितीय दृष्टिकोण से निकटता से संबंधित है, सिवाय इसके कि इनफिनिटिमल्स अधिक निहित और सहज हैं। इस दृष्टिकोण का मुख्य विचार सेट की श्रेणी को आसानी से अलग-अलग सेटों की दूसरी श्रेणी (गणित) के साथ बदलना है जो एक टॉपोज़ है। इस श्रेणी में, कोई भी वास्तविक संख्या, सहज फलन आदि को परिभाषित कर सकता है, लेकिन वास्तविक संख्या में स्वचालित रूप से नीलपोटेंट इनफिनिटिमल्स होते हैं, इसलिए इन्हें बीजगणितीय ज्यामितीय दृष्टिकोण के रूप में हाथ से पेश करने की आवश्यकता नहीं है। हालांकि इस नई श्रेणी में तर्क सेट की श्रेणी के परिचित तर्क के समान नहीं है: विशेष रूप से, बहिष्कृत मध्य का कानून पकड़ में नहीं आता है। इसका मतलब यह है कि सेट-सैद्धांतिक गणितीय तर्क केवल रचनात्मक गणित होने पर ही असीम विश्लेषण तक विस्तारित होते हैं (उदाहरण के लिए, विरोधाभास द्वारा सबूत का उपयोग न करें)। कुछ इस नुकसान को एक सकारात्मक चीज के रूप में मानते हैं, क्योंकि यह जहां कहीं भी उपलब्ध हो वहां रचनात्मक तर्क खोजने के लिए मजबूर करता है।

अमानक विश्लेषण
इनफिनिटिमल्स के अंतिम दृष्टिकोण में फिर से वास्तविक संख्याओं का विस्तार करना शामिल है, लेकिन कम कठोर तरीके से। गैर-मानक विश्लेषण दृष्टिकोण में कोई निलपोटेंट इनफिनिटिमल्स नहीं होते हैं, केवल इन्वर्टिबल होते हैं, जिन्हें असीम रूप से बड़ी संख्या के गुणात्मक व्युत्क्रम के रूप में देखा जा सकता है। वास्तविक संख्याओं के ऐसे विस्तार स्पष्ट रूप से वास्तविक संख्याओं के अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों का उपयोग करके बनाए जा सकते हैं, ताकि, उदाहरण के लिए, अनुक्रम (1, 1/2, 1/3, ..., 1/n, ...) एक अपरिमेय का प्रतिनिधित्व करता है। हाइपररियल नंबरों के इस नए सेट का प्रथम-क्रम तर्क सामान्य वास्तविक संख्याओं के तर्क के समान है, लेकिन पूर्णता स्वयंसिद्ध (जिसमें द्वितीय-क्रम तर्क शामिल है) पकड़ में नहीं आता है। फिर भी, यह इनफिनिटिमल्स का उपयोग करके कलन के लिए एक प्रारंभिक और काफी सहज दृष्टिकोण विकसित करने के लिए पर्याप्त है, स्थानांतरण सिद्धांत देखें।

विभेदक ज्यामिति
डिफरेंशियल की धारणा डिफरेंशियल ज्योमेट्री (और अंतर टोपोलॉजी ) में कई अवधारणाओं को प्रेरित करती है।
 * द पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल)| मैनिफोल्ड के बीच मैप का डिफरेंशियल (पुशफॉरवर्ड)।
 * विभेदक रूप एक ऐसा ढांचा प्रदान करते हैं जो डिफरेंशियल के गुणन और विभेदन को समायोजित करता है।
 * बाह्य अवकलज अवकल रूपों के विभेदन की धारणा है जो किसी फलन के कुल अवकलज का सामान्यीकरण करता है (जो कि अवकलन 1-रूप है)।
 * पुलबैक (डिफरेंशियल ज्योमेट्री), विशेष रूप से, लक्ष्य मैनिफोल्ड पर अंतर 1-रूप के साथ मैनिफोल्ड्स के बीच मैप बनाने के लिए चेन नियम के लिए एक ज्यामितीय नाम है।
 * सहपरिवर्ती व्युत्पन्न वेक्टर क्षेत्र और टेंसर क्षेत्र को मैनिफोल्ड पर अलग करने के लिए एक सामान्य धारणा प्रदान करते हैं, या अधिक सामान्यतः, वेक्टर बंडल के सेक्शन: कनेक्शन (वेक्टर बंडल) देखें। यह अंततः एक कनेक्शन (गणित) की सामान्य अवधारणा की ओर जाता है।

अन्य अर्थ
होमोलॉजिकल बीजगणित और बीजगणितीय टोपोलॉजी में अंतर शब्द को भी अपनाया गया है, क्योंकि डे रम कोहोलॉजी में बाहरी व्युत्पन्न भूमिका निभाता है: एक कोचेन कॉम्प्लेक्स में $$(C_\bullet, d_\bullet),$$ मैप्स (या कोबाउंड्री ऑपरेटर्स) diअक्सर अंतर कहा जाता है। दोहरे रूप से, एक श्रृंखला परिसर में सीमा संचालकों को कभी-कभी सहविभेदक कहा जाता है।

अंतर के गुण एक व्युत्पत्ति (सार बीजगणित) और एक अंतर बीजगणित के बीजगणितीय विचारों को भी प्रेरित करते हैं।

यह भी देखें

 * अंतर समीकरण
 * विभेदक रूप
 * एक समारोह का अंतर