क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता

क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता समय और कणों की विशेषताओं का वर्णन करती है जो क्वांटम यांत्रिकी, सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के संदर्भ में और मानक मॉडल (गणितीय सूत्रीकरण) और संघनित पदार्थ भौतिकी के गणितीय सूत्रीकरण में अनुप्रयोगों के साथ कुछ परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तित हैं। सामान्य रुप से भौतिक सिद्धांतों और मॉडलों को तैयार करने के लिए भौतिकी में समरूपता, अपरिवर्तनीय भौतिकी और संरक्षण नियन भौतिकी, सैद्धांतिक भौतिकी रूप से महत्वपूर्ण बाधाएँ हैं। इन समस्याओं को हल करने और क्या हो सकता है इसका पूर्वानुमान करने के लिए विभिन्न तरीके हैं। जबकि संरक्षण नियम सदैव प्रत्यक्ष समस्या का जवाब नहीं देते हैं वे सही बाधाएं और कई समस्याओं को हल करने के लिए पहला चरण बनाते हैं।

यह लेख निरंतर समरूपता के साथ-साथ उनके क्वांटम संक्रियक भौतिकी मे परस्परिक क्रिया के रूप मे बीच के संबंध की रूपरेखा देता है और उन्हें लाई समूहों से संबंधित करता है तथा लोरेंत्ज़ समूह और पॉइंकेयर समूह में सापेक्ष परिवर्तन करता है।

संकेतन
इस आलेख में प्रयुक्त संकेतन विनियमन इस प्रकार हैं। बोल्डफेस सदिश, यूक्लिडियन सदिश, आव्यूह (गणित) और प्रदिश संक्रियक को इंगित करता है, जबकि क्वांटम स्थिति ब्रा-केट संकेतन का उपयोग करते हैं। चौड़ी टोपियां संक्रियकों के लिए हैं, संकीर्ण टोपियां यूनिट सदिश के लिए हैं (प्रदिश तालिका संकेतन में उनके घटकों सहित)। दोहराए गए प्रदिश सूचकांकों पर योग फलन का उपयोग किया जाता है, जब तक कि अन्यथा न कहा जाए तब तक मिन्कोव्स्की मीट्रिक हस्ताक्षर (+−−−) है।

सतत समरूपता
सामान्यतः निरंतर समरूपता और संरक्षण नियमों के बीच नोथेर की प्रमेय द्वारा दिया जाता है।

मौलिक क्वांटम संक्रियक का रूप उदाहरण के लिए आंशिक समय व्युत्पन्न के रूप में ऊर्जा और एक स्थानिक प्रवणता के रूप में गति स्पष्ट हो जाती है जब कोई प्रारंभिक अवस्था पर विचार करता है फिर इसके एक पैरामीटर को अपेक्षाकृत रूप से परिवर्तित कर देता है। यह विस्थापन (लंबाई), अवधि (समय) और कोण (घूर्णन) के लिए किया जा सकता है। इसके अतिरिक्त, इन राशियों के संरक्षण को दर्शाते हुए लंबाई और कोणों में इस प्रकार के परिवर्तन करके कुछ राशियों के आक्रमण को देखा जा सकता है। निम्नलिखित में, केवल एक-कण तरंग पर परिवर्तन रूप में कार्य करता है:$$ \widehat{\Omega}\psi(\mathbf{r},t) = \psi(\mathbf{r}',t') $$माना जाता है कि जहां $$ \widehat{\Omega} $$ एक एकात्मक संक्रियक को दर्शाता है। समष्टि, समय और घूर्णन के परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करने वाले संक्रियकों के लिए सामान्यतः यूनिटेरिटी की आवश्यकता होती है, क्योंकि इस स्थिति के मानदंड (कुछ घूर्णन के साथ कण को ​​​​खोजने की कुल संभावना का प्रतिनिधित्व करते हैं) इन परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होना चाहिए। व्युत्क्रम हर्मिटियन संयुग्म $$ \widehat{\Omega}^{-1} = \widehat{\Omega}^\dagger $$ है परिणामों को कई-कण तरंगों तक विस्तृत किया जा सकता है। मानक के रूप में डायराक संकेतन में लिखे गए, क्वांटम स्थैतिक सदिश पर परिवर्तन हैं:

$$ \widehat{\Omega}\left|\mathbf{r}(t)\right\rangle = \left|\mathbf{r}'(t')\right\rangle $$इस समीकरण मे $$ \widehat{\Omega} $$ परिवर्तन $ψ(r, t)$ को $ψ(r&prime;, t&prime;)$ और व्युत्क्रम $$ \widehat{\Omega}^{-1} = \widehat{\Omega}^\dagger $$ परिवर्तन $ψ(r&prime;, t&prime;)$ वापस $ψ(r, t)$, है तो संक्रियक $$ \widehat{A} $$ के अंतर्गत अपरिवर्तनीय $$ \widehat{\Omega} $$ संतुष्ट है:$$ \widehat{A}\psi = \widehat{\Omega}^\dagger\widehat{A}\widehat{\Omega}\psi \quad \Rightarrow \quad \widehat{\Omega}\widehat{A}\psi = \widehat{A}\widehat{\Omega}\psi $$और इस प्रकार:$$ [\widehat{\Omega},\widehat{A}]\psi = 0 $$किसी भी स्थिति के लिए ψ वेधशालाओं का प्रतिनिधित्व करने वाले क्वांटम संक्रियकों को हर्मिटियन संक्रियक होने की भी आवश्यकता होती है ताकि उनके आइगेन मान ​​​​वास्तविक संख्याएं हों अर्थात संक्रियक अपने हर्मिटियन संयुग्म $$ \widehat{A} = \widehat{A}^\dagger $$के बराबर हो सकते है।

लाई समूह सिद्धांत का अवलोकन
क्वांटम सिद्धांत से संबंधित समूह सिद्धांत के प्रमुख बिंदु निम्नलिखित हैं, पूरे लेख में उदाहरण दिए गए हैं। आव्यूह समूहों का उपयोग करने वाले वैकल्पिक दृष्टिकोण के लिए, हॉल की पुस्तकें देखें।

माना कि $G$ एक लाई समूह है यह एक ऐसा समूह है जो स्थानीय रूप से परिमित संख्या से पैरामीटर है $N$ वास्तविक संख्या सतत फलन पैरामीटर $ξ_{1}, ξ_{2}, ..., ξ_{N}$. अधिक गणितीय भाषा में, इसका तात्पर्य यह है कि $G$ एक समतल बहुआयामी है जो एक समूह भी है जिसके लिए समूह संक्रियक हैं। एक प्रतिनिधित्व जिसे अन्य अभ्यावेदन के प्रत्यक्ष योग में विघटित नहीं किया जा सकता है, उसे अलघुकरणीय कहा जाता है। एक मूर्धांक संख्या द्वारा अलघुकरणीय अभ्यावेदन को वर्गीकरण करना पारंपरिक है $N$ कोष्ठक में $G$ के रूप में या यदि एक से अधिक संख्याएँ हैं, तो हम $i$ लिखते हैं।
 * समूह का आयाम, $g$, इसके पैरामीटर्स की संख्या है।
 * समूह तत्व (गणित) s, $n$, में $f_{abc}$ पैरामीटर के फलन (गणित) हैं: $$g = G(\xi_1, \xi_2, \dots )$$ और शून्य पर समुच्चय सभी पैरामीटर समूह के पहचान तत्व को वापस करते हैं: $$I = G(0, 0,\dots )$$ समूह तत्व प्रायः आव्यूह होते हैं जो सदिश पर कार्य करते हैं या फलन पर कार्य करने वाले परिवर्तन होते हैं।
 * समूह के मूल समूह पैरामीटर के संबंध में समूह तत्वों के आंशिक व्युत्पन्न हैं जिसके परिणाम का मूल्यांकन तब किया जाता है जब पैरामीटर शून्य पर समुच्चय होता है: $$X_j = \left. \frac{\partial g}{\partial \xi_j} \right|_{\xi_j = 0} $$ बहुआयामी की भाषा में मूल पहचान पर G के स्पर्शरेखा स्थान के तत्व हैं। मूल समूह को अत्यल्प समूह तत्वों या G के लाई बीजगणित के तत्वों के रूप में भी जाना जाता है। (नीचे दिकपरिवर्तक की चर्चा देखें।) सैद्धांतिक भौतिकी में जनरेटर का एक दृष्टिकोण यह है कि वे स्वयं को समरूपता के अनुरूप संक्रियकों के रूप में निर्मित कर सकते हैं, जिन्हें आव्यूह के रूप में या अंतर संक्रियकों के रूप में लिखा जा सकता है। क्वांटम सिद्धांत में, समूह के एकात्मक प्रतिनिधित्व के लिए, जनरेटर को एक कारक $G$ की आवश्यकता होती है: $$X_j = i \left. \frac{\partial g}{\partial \xi_j} \right|_{\xi_j = 0} $$ समूह के जनरेटर एक सदिश समष्टि बनाते हैं जिसका अर्थ है कि जनरेटर के रैखिक संयोजन भी एक जनरेटर बनाते हैं।
 * जनरेटर (चाहे आव्यूह या अवकल संक्रियक) दिकपरिवर्तक को संतुष्ट करते हैं: $$\left[X_a,X_b\right] = i f_{abc} X_c$$ जहाँ $G$ समूह के (आधार पर निर्भर) संरचना स्थिरांक हैं। यह सदिश समष्टि पूंजी के साथ मिलकर एक समूह के सभी जनरेटर का समुच्चय एक लाइ बीजगणित बनाता है। कोष्ठक के प्रतिसममिति के कारण, समूह के संरचना स्थिरांक पहले दो सूचकांकों में प्रतिसममित हैं।
 * समूह प्रतिनिधित्व तब उन तरीकों का वर्णन करता है जो समूह $D$ (या इसका लाई बीजगणित) सदिश समष्टि पर कार्य कर सकता है। (सदिश समष्टि हो सकता है, उदाहरण के लिए, एक हैमिल्टनियन के लिए आइगेन सदिश का समष्टि $D$ इसके समरूपता समूह के रूप में हम पूंजी का उपयोग करके $D$ प्रतिनिधित्व को निरूपित करते हैं कोई $D^{(n)}$ तब अंतर कर सकता है लाई बीजगणित का प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए, जिसे प्रायः $D^{(n, m, ...)}$ द्वारा भी निरूपित किया जाता है दो अभ्यावेदन निम्नानुसार संबंधित हैं: $$D[g(\xi_j)] \equiv D(\xi_j) = e^{ i \xi_j D(X_j)}$$ बार-बार सूचकांक j पर योग के बिना प्रतिनिधित्व रैखिक संक्रियक हैं जो समूह तत्वों को लेते हैं और रचना नियम को संरक्षित करते हैं:$$ D(\xi_a)D(\xi_b) = D(\xi_a \xi_b). $$

क्वांटम सिद्धांत में एक अतिरिक्त सूक्ष्मता उत्पन्न होती है, जहां दो सदिश जो एक अदिश द्वारा गुणन से भिन्न होते हैं एक ही भौतिक अवस्था का प्रतिनिधित्व करते हैं। यहां प्रतिनिधित्व की प्रासंगिक धारणा एक प्रक्षेपी प्रतिनिधित्व है जो केवल अदिश तक संरचना नियम को संतुष्ट करता है। क्वांटम मैकेनिकल घूर्णन के संदर्भ में ऐसे अभ्यावेदन को स्पाइनर क्षेत्र कहा जाता है।

गति और ऊर्जा अनुप्रयोग और समय के विकास के जनरेटर के रूप में और क्रमावर्तन
समष्टि संक्रियक (क्वांटम यांत्रिकी) $$\widehat{T}(\Delta \mathbf{r})$$ एक अत्यल्प विस्थापन द्वारा समष्टि निर्देशांक को स्थानांतरित करने के लिए एक तरंग फलन पर कार्य करता है $Δr$ अभिव्यक्ति $$\widehat{T}$$ के टेलर विस्तार $ψ(r + Δr, t)$ द्वारा शीघ्रता से निर्धारित किया जा सकता है जिसके विषय में $r$, फिर (पहले क्रम की अवधि को ध्यान में रखते हुए और दूसरे और उच्च क्रम की शर्तों की उपेक्षा करते हुए) संवेग संक्रियक द्वारा समष्टि अवकल $$\widehat{\mathbf{p}}$$ को परिवर्तित करे इसी प्रकार समय अनुप्रयोग संक्रियक के लिए समय पैरामीटर पर कार्य करने के लिए टेलर का विस्तार $ψ(r, t + Δt)$ में है $t$ और समय व्युत्पन्न ऊर्जा संक्रियक $$\widehat{E}$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है।

लियोनहार्ड यूलर के कारण, उन सीमाओं के रूप में परिभाषा के अनुसार घातीय फलन उत्पन्न होते हैं इन्हें भौतिक और गणितीय रूप से निम्नानुसार समझा जा सकता है। एक शुद्ध अनुप्रयोग कई छोटे अनुप्रयोगों से बना हो सकता है, इसलिए एक सीमित वेतन वृद्धि के लिए अनुप्रयोग संक्रियक प्राप्त करने के लिए $Δr$ द्वारा $Δr/N$ और $Δt$ द्वारा $Δt/N$ प्रतिस्थापित करें जहाँ $N$ एक धनात्मक अशून्य पूर्णांक है। फिर ऐसे $N$ का परिमाण बढ़ता है $Δr$ और $Δt$ दिशाओं को अपरिवर्तित छोड़ते हुए और भी छोटा हो जाता है। तरंग फलन पर अतिसूक्ष्म संक्रियकों का अभिनय $N$ बार और $N$ सीमा के रूप में मानना अवकलन की ओर जाता है जो परिमित संक्रियक देता है।

समष्टि और समय अनुवाद कम्यूट करते हैं, जिसका अर्थ है कि संक्रियक और जनरेटर कम्यूट करते हैं।

एक समय-स्वतंत्र हैमिल्टनियन के लिए समय में ऊर्जा का संरक्षण किया जाता है और क्वांटम अवस्थाएँ स्थिर अवस्थाएँ होती हैं हैमिल्टनियन के आइगेन स्थैतिक ऊर्जा आइगेन मान $E$ हैं:

$$\widehat{U}(t) = \exp\left( - \frac{i \Delta t E}{\hbar}\right) $$ और सभी स्थिर अवस्थाओ का रूप है:

$$\psi(\mathbf{r}, t + t_0) = \widehat{U}(t - t_0) \psi(\mathbf{r},t_0) $$ जहाँ $t_{0}$ प्रारंभिक समय है, सामान्यतः शून्य पर समुच्चय होता है क्योंकि प्रारंभिक समय समुच्चय होने पर निरंतरता मे कोई हानि नहीं होती है।

जहाँ $$\widehat{U}(t - t_0) \equiv U(t, t_0)$$ वैकल्पिक अंकन है।

कक्षीय कोणीय गति
क्रमावर्तन संक्रियक निरंतर कोण द्वारा एक कण के स्थानिक निर्देशांक को घूर्णन के लिए एक तरंग फलन $Δθ$ पर कार्य करता है:$${R}(\Delta\theta,\hat{\mathbf{a}})\psi(\mathbf{r},t) = \psi(\mathbf{r}',t)$$जहाँ $r&prime;$ एक इकाई सदिश द्वारा परिभाषित अक्ष में घुमाए गए निर्देशांक $$\hat{\mathbf{a}} = (a_1, a_2, a_3)$$ हैं एक कोणीय वृद्धि के माध्यम से $Δθ$, द्वारा दिया गया है:$$\mathbf{r}' = \widehat{R}(\Delta\theta,\hat{\mathbf{a}})\mathbf{r}\,.$$जहाँ $$\widehat{R}(\Delta\theta,\hat{\mathbf{a}})$$ अक्ष और कोण पर निर्भर क्रमावर्तन आव्यूह है। समूह सैद्धांतिक भाषा में, क्रमावर्तन आव्यूह समूह तत्व, कोण और धुरी हैं $$\Delta \theta \hat{\mathbf{a}} = \Delta\theta(a_1, a_2, a_3)$$ त्रि-आयामी विशेष लंबकोणीय समूह, SO(3) के पैरामीटर हैं। मानक आधार कार्तीय समन्वय प्रणाली के विषय में क्रमावर्तन आव्यूह # मानक आधार में एक सदिश का प्रतिनिधित्व करना और $$\hat{\mathbf{e}}_x, \hat{\mathbf{e}}_y, \hat{\mathbf{e}}_z$$ कोण के माध्यम से $Δθ$ और घूर्णन के संगत जनरेटर $J = (J_{x}, J_{y}, J_{z})$, हैं:

सामान्यतः परिभाषित धुरी के बार में घूर्णन के लिए $$\hat{\mathbf{a}}$$ क्रमावर्तन आव्यूह तत्व हैं: $$[\widehat{R}(\theta, \hat{\mathbf{a}})]_{ij} = (\delta_{ij} - a_i a_j) \cos\theta - \varepsilon_{ijk} a_k \sin\theta + a_i a_j $$जहाँ $δ_{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है और $ε_{ijk}$ लेवी-सिविता प्रतीक है। समष्टि और समय के अनुप्रयोग की तुलना में घूर्णी संक्रियक का निर्धारण कैसे किया जाए, यह उतना स्पष्ट नहीं है। हम एक विशेष स्थिति पर विचार कर सकते हैं क्रमावर्तन के बार में $x$, $y$, या $z$-अक्ष सामान्य परिणाम का अनुमान लगाएं या प्रत्यक्ष सामान्य क्रमावर्तन आव्यूह और टेंसर तालिका क्रमावर्तन का उपयोग $δ_{ij}$ और $ε_{ijk}$. छोटे से अनुरूप है जो अत्यल्प क्रमावर्तन संक्रियक, व्युत्पन्न करने के लिए $Δθ$ हम छोटे कोण सन्निकटन $sin(Δθ) ≈ Δθ$ और $cos(Δθ) ≈ 1$ का उपयोग करते हैं फिर टेलर के बार में विस्तार करें और $r$ या $r_{i}$, पहला अनुक्रम और कोणीय संवेग संक्रियक घटकों को प्रतिस्थापित करें। कोणीय संवेग के z-घटक को $$\hat{\mathbf{a}}$$, डॉट उत्पाद और $$\hat{\mathbf{a}}\cdot\widehat{\mathbf{L}}$$ द्वारा परिभाषित अक्ष के साथ घटक द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है। फिर से, कई छोटे घुमावों से एक परिमित घूर्णन बनाया जा सकता है और $Δθ$ को $Δθ/N$ द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है और सीमा को लेते हुए $N$ अनंत की ओर जाता है, परिमित घूर्णन के लिए घूर्णन संक्रियक देता है। एक ही अक्ष के चारों ओर घूर्णन होता है, उदाहरण के लिए अक्ष i के चारों ओर कोणों θ1 और θ2 के माध्यम से घूर्णन लिखा जा सकता है:$$R(\theta_1 + \theta_2, \mathbf{e}_i) = R(\theta_1 \mathbf{e}_i)R(\theta_2 \mathbf{e}_i)\,,\quad [R(\theta_1 \mathbf{e}_i),R(\theta_2 \mathbf{e}_i)]=0\,.$$हालाँकि, विभिन्न अक्षों के बार में घूर्णन कम्यूट नहीं करते हैं। सामान्य रूपान्तरण नियमों को संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है: $$ [ L_i , L_j ] = i \hbar \varepsilon_{ijk} L_k. $$इस अर्थ में, कक्षीय कोणीय संवेग में घूर्णन के सामान्य ज्ञान गुण होते हैं। उपरोक्त दिकपरिवर्तक में से प्रत्येक को दिनचर्या की वस्तु को निर्धारित और दोनों संभावित क्रमों में किसी भी दो अलग-अलग अक्षों के बार में एक ही कोण से घुमाकर आसानी से प्रदर्शित किया जा सकता है जिसका अंतिम विन्यास अलग होता हैं। क्वांटम यांत्रिकी में, क्रमावर्तन का एक और रूप है जो गणितीय रूप से कक्षीय स्थिति के समान दिखाई देता है, लेकिन इसके अलग-अलग गुण हैं, जिनका वर्णन आगे किया गया है।

घूर्णन कोणीय गति
पिछली सभी राशियो की पारम्परिक परिभाषाएँ हैं। घूर्णन क्वांटम यांत्रिकी में कणों के पास एक मात्रा है, अतिरिक्त किसी पारम्परिक एनालॉग जिसमें कोणीय गति की इकाइयाँ होती हैं। घूर्णन सदिश संक्रियक को $$ \widehat{\mathbf{S}} = (\widehat{S_x}, \widehat{S_y}, \widehat{S_z}) $$ द्वारा निरूपित किया जाता है इसके घटकों के आइगेन मान ​​​​संभावित परिणाम हैं (इकाइयों में $$\hbar$$) आधार दिशाओं में से एक पर प्रक्षेपित घूर्णन की माप है एक अक्ष के बार में (साधारण समष्टि का) घूर्णन $$\hat{\mathbf{a}}$$ कोण के माध्यम से $θ$ इकाई सदिश के बार में $$\hat{a}$$ समष्टि में एक बिंदु पर एक बहुघटक तरंग फलन (घूर्णण) पर अभिनय करने वाले समष्टि में प्रतिनिधित्व किया जाता है।

हालांकि, कक्षीय कोणीय गति के विपरीत जिसमें z-प्रक्षेपण क्वांटम संख्या $\ell$ होती है केवल धनात्मक या ऋणात्मक पूर्णांक मान (शून्य सहित) ले सकता है, z- प्रक्षेपण घूर्णन क्वांटम संख्या s सभी धनात्मक और ऋणात्मक अर्ध-पूर्णांक मान ले सकता है। प्रत्येक चक्रण क्वांटम संख्या के लिए घूर्णी आव्यूह होते हैं।

दिए गए z-प्रक्षेपण घूर्णन क्वांटम संख्या s के लिए घातांक का मूल्यांकन एक (2s + 1)-आयामी घूर्णन आव्यूह देता है। यह एक घूर्णन को 2s + 1 घटकों के स्तम्भ सदिश के रूप में परिभाषित करने के लिए उपयोग किया जा सकता है जो समष्टि में एक निश्चित बिंदु पर घूर्णन आव्यूह के अनुसार घुमाए गए समन्वय प्रणाली में परिवर्तित हो जाता है।

s = 1/2 के सबसे सरल गैर-तुच्छ स्थिति के लिए, घूर्णन संक्रियक द्वारा दिया जाता है: $$ \widehat{\mathbf{S}} = \frac{\hbar}{2} \boldsymbol{\sigma} $$जहां मानक प्रतिनिधित्व में पॉल आव्यूह हैं:$$ \sigma_1 = \sigma_x = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \,,\quad \sigma_2 = \sigma_y = \begin{pmatrix} 0 & -i \\ i & 0 \end{pmatrix} \,,\quad \sigma_3 = \sigma_z = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} $$

कुल कोणीय गति
कुल कोणीय गति संक्रियक कक्षीय और घूर्णन का योग है:$$ \widehat{\mathbf{J}} = \widehat{\mathbf{L}} + \widehat{\mathbf{S}} $$ और बहु-कण प्रणालियों के लिए एक महत्वपूर्ण राशि है विशेष रूप से परमाणु भौतिकी और बहु-इलेक्ट्रॉन परमाणुओं और अणुओं की क्वांटम रसायन शास्त्र में हमारे पास एक समान क्रमावर्तन आव्यूह है:$$ \widehat{J}(\theta,\hat{\mathbf{a}}) = \exp\left( - \frac{i}{\hbar}\theta \hat{\mathbf{a}} \cdot \widehat{\mathbf{J}}\right) $$

क्वांटम हार्मोनिक दोलक में संरक्षित मात्रा
N आयामी क्वांटम हार्मोनिक दोलक का गतिशील समरूपता समूह विशेष एकात्मक समूह SU(n) है। एक उदाहरण के रूप में, एसयू(2) और एसयू(3) के संगत लाई बीजगणित के अपरिमेय जनरेटर की संख्या क्रमशः 3 और 8 हैं। यह इन प्रणालियों में ठीक 3 और 8 स्वतंत्र संरक्षित राशियों (हैमिल्टनियन के अतिरिक्त) की ओर जाता है। दो आयामी क्वांटम हार्मोनिक दोलक में हैमिल्टनियन और कोणीय गति की अपेक्षित संरक्षित राशि है, लेकिन ऊर्जा स्तर के अंतर की अतिरिक्त छिपी हुई संरक्षित राशि और कोणीय गति का दूसरा रूप है।

आपेक्षिक क्वांटम यांत्रिकी में लोरेंत्ज़ समूह
निम्नलिखित लोरेंत्ज़ समूह का अवलोकन है स्पेसटाइम में अभिवेदन और क्रमावर्तन का प्रतिपादन इस पूरे खंड में देखें उदाहरण के लिए टी. ओहल्सन (2011) और ई. एबर्स (2004) लोरेंत्ज़ परिवर्तनों को तीव्रता से पैरामीट्रिज किया जा सकता है $φ$ त्रि-आयामी इकाई सदिश की दिशा में बढ़ावा देने के लिए $$\hat{\mathbf{n}} = (n_1, n_2, n_3)$$ और एक घूर्णन कोण $θ$ त्रि-आयामी इकाई सदिश के बार में $$\hat{\mathbf{a}} = (a_1, a_2, a_3)$$ एक धुरी को परिभाषित करना और इसलिए $$\varphi\hat{\mathbf{n}} = \varphi(n_1, n_2, n_3)$$ और $$\theta\hat{\mathbf{a}} = \theta(a_1, a_2, a_3)$$ लोरेंत्ज़ समूह के छह पैरामीटर एक साथ हैं तीन क्रमावर्तन के लिए और तीन अभिवेदन के लिए लोरेंत्ज़ समूह 6-आयामी है।

समष्टि-समय में शुद्ध घूर्णन
उपरोक्त विचार किए गए क्रमावर्तन आव्यूह और क्रमावर्तन जेनरेटर शुद्ध-क्रमावर्तन लोरेंत्ज़ परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करते हुए, चार-आयामी आव्यूह के स्पेसलाइक भाग का निर्माण करते हैं। लोरेंत्ज़ समूह के तीन तत्व $$\widehat{R}_x, \widehat{R}_y, \widehat{R}_z $$ और जनरेटर $J = (J_{1}, J_{2}, J_{3})$ शुद्ध घूर्णन के लिए हैं:

घूर्णन आव्यूह किन्हीं चार सदिशों $A = (A_{0}, A_{1}, A_{2}, A_{3})$ पर कार्य करते हैं और उसके अनुसार समष्टि जैसे घटकों का घूर्णन है:$$\mathbf{A}' = \widehat{R}(\Delta\theta,\hat{\mathbf{n}})\mathbf{A}$$समय-समान समन्वय को अपरिवर्तित छोड़कर आव्यूह अभिव्यक्तियों में, $A$ को स्तम्भ सदिश के रूप में माना जाता है।

स्पेसटाइम में शुद्ध अभिवेदन
वेग के साथ $ctanhφ$ x, y, या z दिशाओं में मानक आधार कार्तीय समन्वय प्रणाली द्वारा दिए गए मानक आधार में एक सदिश का प्रतिनिधित्व करना $$\hat{\mathbf{e}}_x, \hat{\mathbf{e}}_y, \hat{\mathbf{e}}_z$$, अभिवेदन रूपांतरण आव्यूह हैं। ये आव्यूह $$ \widehat{B}_x, \widehat{B}_y, \widehat{B}_z$$ और संबंधित जनरेटर $K = (K_{1}, K_{2}, K_{3})$ लोरेंत्ज़ समूह के शेष तीन समूह तत्व और जनरेटर हैं:

अभिवेदन आव्यूह किसी भी चार सदिश A = (A0, A1, A2, A3) पर कार्य करते हैं और समय-जैसे और समष्टि-जैसे घटकों को मिलाते हैं:$$\mathbf{A}' = \widehat{B}(\varphi,\hat{\mathbf{n}}) \mathbf{A}$$शब्द अभिवेदन दो फ़्रेमों के बीच सापेक्ष वेग को संदर्भित करता है और अनुप्रयोग के जनरेटर के रूप में संवेग के साथ सम्‍मिलित नहीं होना चाहिए, जैसा कि नीचे क्वांटम यांत्रिकी और क्षेत्र सिद्धांत में समझाया गया है।

विस्तार और क्रमावर्तन का संयोजन
क्रमावर्तन के उत्पाद एक और क्रमावर्तन देते हैं (एक उपसमूह का निरंतर उदाहरण), जबकि विस्तार और विस्तार या क्रमावर्तन और विस्तार के उत्पादों को शुद्ध विस्तार या शुद्ध क्रमावर्तन के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है। सामान्यतः किसी भी लोरेन्ट्ज़ परिवर्तन को शुद्ध क्रमावर्तन और शुद्ध बढ़ावा के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। अधिक पृष्ठ के लिए देखें (उदाहरण के लिए) बी.आर. डर्नी (2011) और एचएल बर्क और उसमें संदर्भ अभिवेदन और क्रमावर्तन जेनरेटर में दर्शाए गए प्रतिनिधित्व हैं $D(K)$ और $D(J)$ क्रमशः $D$ इस संदर्भ में एक समूह प्रतिनिधित्व परिभाषाओं को इंगित करता है। लोरेंत्ज़ समूह के लिए, प्रतिनिधित्व $D(K)$ और $D(J)$ जनरेटर के $K$ और $J$ निम्नलिखित रूपांतरण नियमों को पूरा करें।

सभी दिकपरिवर्तकों में, क्रमावर्तन के लिए उन लोगों के साथ मिश्रित बढ़ावा देने वाली संस्थाएं, हालांकि अकेले क्रमावर्तन केवल एक और क्रमावर्तन देते हैं। जेनरेटर को घातांक करने से बूस्ट और क्रमावर्तन संक्रियक मिलते हैं जो सामान्य लोरेंत्ज़ रूपान्तरण में संयोजित होते हैं, जिसके अंतर्गत स्पेसटाइम निर्देशांक एक रेस्ट फ्रेम से दूसरे बूस्टेड या घूर्णन फ्रेम में परिवर्तित होते हैं। इसी प्रकार जनरेटर के अभ्यावेदन को घातांक करने से बढ़ावा और क्रमावर्तन संक्रियकों का प्रतिनिधित्व होता है, जिसके अंतर्गत एक कण का घूर्णन क्षेत्र रूपांतरित होता है।

साहित्य में विस्तार जनरेटर $K$ और क्रमावर्तन जनरेटर $J$ को कभी-कभी लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के लिए एक जनरेटर में $M$ प्रविष्टियों के साथ एक प्रतिसममित चार-आयामी आव्यूह जोड़ा जाता है:$$M^{0a} = -M^{a0} = K_a \,,\quad M^{ab} = \varepsilon_{abc} J_c \,.$$और तदनुसार, अभिवेदन और क्रमावर्तन पैरामीटर प्रविष्टियों के साथ एक अन्य प्रतिसममित चार-आयामी आव्यूह $ω$ में एकत्र किए जाते हैं:$$\omega_{0a} = - \omega_{a0} = \varphi n_a \,,\quad \omega_{ab} = \theta \varepsilon_{abc} a_c \,,$$सामान्य लोरेंत्ज़ परिवर्तन तब है:$$\Lambda(\varphi,\hat{\mathbf{n}}, \theta,\hat{\mathbf{a}}) = \exp\left(-\frac{i}{2}\omega_{\alpha\beta}M^{\alpha\beta}\right) = \exp \left[-\frac{i}{2}\left(\varphi \hat{\mathbf{n}} \cdot \mathbf{K} + \theta \hat{\mathbf{a}} \cdot \mathbf{J}\right)\right]$$आइंस्टीन संकेतन α और β के साथ Λ आव्यूह किन्हीं चार सदिशों 'A' पर कार्य करते हैं = (A0, ए1, ए2, ए3) और समय-जैसी और समष्टि-जैसी घटकों को मिलाएं:

दोहराए गए आइंस्टीन संकेतन α और β के योग के साथ Λ आव्यूह किसी भी चार सदिश A = (A0, A1, A2, A3) पर कार्य करते हैं और समय-समान और समष्टि-जैसे घटकों को मिलाते हैं:$$\mathbf{A}' = \Lambda(\varphi,\hat{\mathbf{n}}, \theta,\hat{\mathbf{a}}) \mathbf{A} $$

आपेक्षिक क्वांटम यांत्रिकी में घूर्णन तरंग फलन का रूपांतरण
सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी में, तरंग फलन अब एकल-घटक अदिश समष्टि नहीं हैं, लेकिन अब 2(2s + 1) घटक घूर्णन समष्टि हैं, जहां s कण का घूर्णन है। स्पेसटाइम में इन फलन के रूपांतरण नीचे दिए गए हैं।

एक उपयुक्त ऑर्थोक्रोनस लोरेंत्ज़ परिवर्तन के अंतर्गत $(r, t) → Λ(r, t)$ मिंकोवस्की समष्टि में, सभी एक-कण क्वांटम स्थितियाँ $ψ_{σ}$ लोरेंत्ज़ समूह के कुछ प्रतिनिधित्व D के अंतर्गत स्थानीय रूप से रूपांतरित होते हैं:

$$\psi_\sigma(\mathbf{r}, t) \rightarrow D(\Lambda) \psi_\sigma(\Lambda^{-1}(\mathbf{r}, t)) $$ जहाँ $D(Λ)$ एक परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व है, दूसरे शब्दों में a $(2s + 1)×(2s + 1)$ आयामी वर्ग आव्यूह और $ψ$ को स्तम्भ सदिश के रूप में माना जाता है जिसमें घटक $(2s + 1)$ के अनुमत मान $σ$:

होता हैं$$\psi(\mathbf{r},t) = \begin{bmatrix} \psi_{\sigma=s}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t) \\ \vdots \\ \psi_{\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t) \\ \psi_{\sigma=-s}(\mathbf{r},t) \end{bmatrix}\quad\rightleftharpoons\quad {\psi(\mathbf{r},t)}^\dagger = \begin{bmatrix} {\psi_{\sigma=s}(\mathbf{r},t)}^\star & {\psi_{\sigma=s - 1}(\mathbf{r},t)}^\star & \cdots & {\psi_{\sigma=-s + 1}(\mathbf{r},t)}^\star & {\psi_{\sigma=-s}(\mathbf{r},t)}^\star \end{bmatrix}$$

वास्‍तविक अलघुकरणीय अभ्‍यावेदन और घूर्णन
के अलघुकरणीय अभ्यावेदन $D(K)$ और $D(J)$, संक्षेप में, लोरेंत्ज़ समूह के प्रतिनिधित्व को घूर्णन करने के लिए बनाने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है। नए संक्रियकों को परिभाषित करना:

$D(K)$ और $D(J)$ के अलघुकरणीय अभ्यावेदन संक्षिप्त "अपूर्णनीय" लोरेंत्ज़ समूह के घूर्णन अभ्यावेदन के निर्माण के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है। नए सक्रियक को परिभाषित करना:$$\mathbf{A} = \frac{\mathbf{J} + i \mathbf{K}}{2}\,,\quad \mathbf{B} = \frac{\mathbf{J} - i \mathbf{K}}{2} \, ,$$ इसलिए $A$ और $B$ केवल एक दूसरे के समिश्र संयुग्म हैं, यह इस प्रकार है कि वे सममित रूप से गठित दिकपरिवर्तक को संतुष्ट करते हैं:$$\left[A_i ,A_j\right] = \varepsilon_{ijk}A_k\,,\quad \left[B_i ,B_j\right] = \varepsilon_{ijk}B_k\,,\quad \left[A_i ,B_j\right] = 0\,,$$और ये अनिवार्य रूप से दिकपरिवर्तक हैं जो कक्षीय और घूर्णन कोणीय गति संक्रियकों को संतुष्ट करते हैं। इसलिए, $A$ और $B$ कोणीय संवेग के अनुरूप प्रचालक बीजगणित बनाते हैं एक ही सीढ़ी संक्रियक कोणीय गति, z-प्रक्षेपण आदि स्वतंत्र रूप से एक दूसरे के रूप में उनके प्रत्येक घटक पारस्परिक रूप से कम्यूट करते हैं। घूर्णन क्वांटम संख्या के अनुरूप, हम सकारात्मक पूर्णांक या आधा पूर्णांक प्रस्तुत कर सकते हैं, $a, b$, मानो के संगत समुच्चय के साथ $m = a, a − 1, ... −a + 1, −a$ और $n = b, b − 1, ... −b + 1, −b$. उपरोक्त कम्यूटेशन संबंधों को संतुष्ट करने वाले आव्यूह घूर्णन A और B के समान हैं, जो क्रोनकर डेल्टा मानों को कोणीय गति आव्यूह तत्वों के साथ गुणा करके दिए गए घटक हैं:

$$\left(A_x\right)_{m'n',mn} = \delta_{n'n} \left(J_x^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_x\right)_{m'n',mn} = \delta_{m'm} \left(J_x^{(n)}\right)_{n'n}$$ $$\left(A_y\right)_{m'n',mn} = \delta_{n'n} \left(J_y^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_y\right)_{m'n',mn} = \delta_{m'm} \left(J_y^{(n)}\right)_{n'n}$$ $$\left(A_z\right)_{m'n',mn} = \delta_{n'n} \left(J_z^{(m)}\right)_{m'm}\,\quad \left(B_z\right)_{m'n',mn} = \delta_{m'm} \left(J_z^{(n)}\right)_{n'n}$$ जहां प्रत्येक स्थिति में पंक्ति संख्या m′n′ और स्तंभ संख्या mn को अल्पविराम से अलग किया जाता है:

$$\left(J_z^{(m)}\right)_{m'm} = m\delta_{m'm} \,\quad \left(J_x^{(m)} \pm i J_y^{(m)}\right)_{m'm} = m\delta_{a',a\pm 1}\sqrt{(a \mp m)(a \pm m + 1)}$$ और इसी प्रकार J(n) के लिए तीन J (m) आव्यूह प्रत्येक (2m + 1)×(2m + 1) वर्ग मैट्रिक्स हैं, और तीन J (n) प्रत्येक (2n + 1)×(2n + 1) वर्ग आव्यूह है पूर्णांक या आधा-पूर्णांक m और n लेखकों द्वारा उपयोग किए जाने वाले समतुल्य क्रमावर्तन द्वारा सभी अलघुकरणीय अभ्यावेदन का अंकन करते हैं: D (m, n) ≡ (m, n) ≡ D (m) ⊗ D (n) और [(2m + 1)(2n + 1)]×[(2m + 1)(2n + 1)] प्रत्येक वर्ग आव्यूह है।

इसे घूर्णन $s$ वाले कणों पर प्रयुक्त करना:
 * बाएं हाथ के $(2s + 1)$ तत्व घूर्णन वास्तविक अपूरणीयता $D^{(s, 0)}$ के अंतर्गत रूपांतरित होते हैं,
 * दांए हाथ से कार्य करने वाला $(2s + 1)$ तत्व घूर्णन वास्तविक अपूरणीयता $D^{(0, s)}$ के अंतर्गत रूपांतरित होते हैं,
 * प्रत्यक्ष योग लेना इसका प्रतीक $&oplus;$ है सरल आव्यूह अवधारणा के लिए आव्यूह का प्रत्यक्ष योग देखें), जिसके अंतर्गत $2(2s + 1)$ प्रतिनिधित्व प्राप्त होता है घटक $D^{(m, n)} &oplus; D^{(n, m)}$ का घूर्णन रूपांतरित होता हैं: जहाँ $m + n = s$. ये भी वास्तविक अप्रासंगिक हैं, लेकिन जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, वे समिश्र संयुग्मों में विभाजित हो जाते हैं।

इन स्थितियों में डी किसी भी $D(J)$, $D(K)$ या पूर्ण लोरेंत्ज़ परिवर्तन $D(Λ)$ को संदर्भित करता है।

सापेक्ष तरंग समीकरण
डिराक समीकरण और वेल समीकरण के संदर्भ में, वेइल घूर्णन वेइल समीकरण को संतुष्ट करने वाले लोरेंत्ज़ समूह के सबसे सरल अलघुकरणीय घूर्णन प्रस्तुतियों के अंतर्गत रूपांतरित होते हैं, क्योंकि इस स्थिति में घूर्णन क्वांटम संख्या सबसे छोटी गैर-शून्य संख्या की स्वीकृति है: 1/2. 2-घटक बाएं हाथ का वेइल घूर्णन डी (1/2, 0) के अंतर्गत और 2-घटक दाएं हाथ का वीइल घूर्णन $D^{(0, 1/2)}$ के अंतर्गत रूपांतरित होता है डिराक समीकरण को संतुष्ट करने वाले डिराक घूर्णन प्रतिनिधित्व $D^{(1/2, 0)} &oplus; D^{(0, 1/2)}$ के अंतर्गत रूपांतरित होते हैं, वेइल घूर्णनों के लिए इरेप्स का प्रत्यक्ष योग होता है।

सापेक्षतावादी क्वांटम यांत्रिकी और क्षेत्र सिद्धांत में पोंकारे समूह
समष्टि अनुप्रयोग समरूपता, समय अनुप्रयोग समरूपता, घूर्णी समरूपता, और लोरेंत्ज़ अभिवेदन, सभी एक साथ मिलकर पोंकारे समूह का गठन करते हैं। समूह तत्व तीन क्रमावर्तन आव्यूह और तीन अभिवेदन आव्यूह हैं जैसा कि लोरेंत्ज़ समूह में है और एक समय अनुवाद के लिए और तीन स्पेसटाइम में समष्टि अनुवाद के लिए एक जनरेटर है। इसलिए, पोंकारे समूह 10-आयामी है। विशेष आपेक्षिकता में, समष्टि और समय को चार-स्थिति सदिश $X = (ct, −r)$ में एकत्र किया जा सकता है और समानांतर में ऊर्जा और संवेग भी हो सकते हैं जो चार-संवेग सदिश $P = (E/c, −p)$ में संयोजित होते हैं सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी को ध्यान में रखते हुए, समय अवधि और स्थानिक विस्थापन पैरामीटर (कुल चार, समय के लिए एक और समष्टि के लिए तीन) एक स्पेसटाइम विस्थापन $ΔX = (cΔt, −Δr)$ में संयोजित होते हैं और चार-गतिक संक्रियक प्राप्त करने के लिए ऊर्जा और गतिक संक्रियक को चार गतिक सिद्धान्त में प्रस्तुत किया जाता है: $$\widehat{\mathbf{P}} = \left(\frac{\widehat{E}}{c},-\widehat{\mathbf{p}}\right) = i\hbar\left(\frac{1}{c}\frac{\partial}{\partial t},\nabla\right) \,, $$

जो स्पेसटाइम अनुप्रयोग (कुल चार, एक बार और तीन स्पेस) के जनरेटर हैं:$$\widehat{X}(\Delta \mathbf{X}) = \exp\left(-\frac{i}{\hbar}\Delta\mathbf{X}\cdot\widehat{\mathbf{P}}\right) = \exp\left[-\frac{i}{\hbar}\left(\Delta t\widehat{E} + \Delta \mathbf{r} \cdot\widehat{\mathbf{p}}\right)\right] \,. $$घटक चार-संवेग P समष्टि-समय अनुप्रयोग के जनरेटर और कोणीय गति M (लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के जनरेटर) के बीच रूपांतरण संबंध हैं, जो पॉइनकेयर बीजगणित को परिभाषित करते हैं: जहां η मिंकोवस्की आव्यूह प्रदिश है। कम्यूटेशन संबंधों में चार-गतिक संक्रियकों के लिए किसी भी टोपी को गिराना सामान्य है। ये समीकरण समष्टि और समय के मौलिक गुणों की अभिव्यक्ति हैं जहां तक ​​​​वे आज भी ज्ञात हैं। उनके पास एक स्थैतिक समकक्ष है जहां दिकपरिवर्तकों को प्वासों ब्रेकेट द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।
 * $$[P_\mu, P_\nu] = 0\,$$
 * $$\frac{ 1 }{ i }[M_{\mu\nu}, P_\rho] = \eta_{\mu\rho} P_\nu - \eta_{\nu\rho} P_\mu\,$$
 * $$\frac{ 1 }{ i }[M_{\mu\nu}, M_{\rho\sigma}] = \eta_{\mu\rho} M_{\nu\sigma} - \eta_{\mu\sigma} M_{\nu\rho} - \eta_{\nu\rho} M_{\mu\sigma} + \eta_{\nu\sigma} M_{\mu\rho}\,$$

सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में घूर्णन का वर्णन करने के लिए, पाउली-लुबांस्की स्यूडोसदिश$$W_{\mu}=\frac{1}{2}\varepsilon_{\mu \nu \rho \sigma} J^{\nu \rho} P^\sigma ,$$एक कासिमिर संक्रियक, कुल कोणीय गति के लिए निरंतर घूर्णन योगदान है और P और W के बीच और M और W के बीच कम्यूटेशन संबंध हैं:$$\left[P^{\mu},W^{\nu}\right]=0 \,, $$$$\left[J^{\mu \nu},W^{\rho}\right]=i \left( \eta^{\rho \nu} W^{\mu} - \eta^{\rho \mu} W^{\nu}\right) \,, $$$$\left[W_{\mu},W_{\nu}\right]=-i \epsilon_{\mu \nu \rho \sigma} W^{\rho} P^{\sigma} \,. $$

W से निर्मित अचर कासिमिर अपरिवर्तनीय के उदाहरणों का उपयोग लोरेंत्ज़ समूह के अलघुकरणीय अभ्यावेदन को वर्गीकृत करने के लिए किया जा सकता है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में एकात्मक समूह
समूह सिद्धांत गणितीय रूप से समरूपता का विश्लेषण करने का एक अमूर्त तरीका है। एकात्मक संक्रियक क्वांटम सिद्धांत के लिए सक्षम हैं इसलिए कण भौतिकी में एकात्मक समूह महत्वपूर्ण हैं। N आयामी एकात्मक वर्ग आव्यूह के समूह को U(N) निरूपित किया जाता है। एकात्मक संक्रियक आंतरिक उत्पादों को संरक्षित करते हैं जिसका अर्थ है कि संभावनाएं भी संरक्षित हैं, इसलिए प्रणाली का क्वांटम यांत्रिकी एकात्मक परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है।

माना कि $$ \widehat{U} $$ एक एकात्मक संकारक है इसलिए व्युत्क्रम हर्मिटियन आसन्न $$ \widehat{U}^{-1} = \widehat{U}^\dagger $$ है जो हैमिल्टनियन के साथ संक्रियक है:$$\left[\widehat{U}, \widehat{H} \right]=0 $$फिर संक्रियक के अनुरूप अवलोकन योग्य $$ \widehat{U}$$ संरक्षित है और हैमिल्टनियन $$ \widehat{U}$$ परिवर्तन के अंतर्गत अपरिवर्तनीय है। चूंकि क्वांटम यांत्रिकी का पूर्वानुमानित एक समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीयता होनी चाहिए भौतिकविद समूह का प्रतिनिधित्व करने के लिए एकात्मक परिवर्तनों की खोज करते हैं प्रत्येक U(N) के महत्वपूर्ण उपसमूह वे एकात्मक आव्यूह होते हैं जिनमें इकाई निर्धारक होते हैं या एक-मॉड्यूलर होते हैं इन्हें विशेष एकात्मक समूह कहा जाता है और इन्हें SU(N) के रूप में चिह्नित किया जाता है।

= यू (1) =

सबसे सरल एकात्मक समूह U(1) है, जो मॉड्यूलस 1 की समिश्र संख्या है। यह एक आयामी आव्यूह प्रविष्टि इस रूप की है:$$U=e^{-i\theta}$$जिसमें θ समूह का पैरामीटर है और विनिमेय समूह है क्योंकि एक-आयामी आव्यूह सदैव आव्यूह गुणन के अंतर्गत आवागमन करते हैं। समिश्र अदिश क्षेत्रों के लिए क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में लग्रांजी प्रायः U(1) परिवर्तनों के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होते हैं। यदि यू (1) समरूपता से सम्बद्ध एक क्वांटम संख्या है, उदाहरण के लिए विद्युत चुम्बकीय निर्देशांक में बेरोन और तीन लेप्टान संख्या, हमारे पास है:$$U=e^{-ia\theta}$$

=यू(2) और एसयू(2)=

यू (2) तत्व के तत्व का सामान्य रूप दो समिश्र संख्याओं a और b द्वारा पैरामीट्रिज किया गया है:

$$U = \begin{pmatrix} a & b \\ -b^\star & a^\star \\ \end{pmatrix}$$ और SU (2) के लिए, निर्धारक 1 तक सीमित है:$$ \det(U) = aa^\star + bb^\star = {|a|}^2 + {|b|}^2 = 1 $$समूह सैद्धांतिक भाषा में, पाउली समीकरण दो आयामों में विशेष एकात्मक समूह के जनरेटर हैं, जिन्हें एसयू (2) कहा जाता है। उनका रूपांतरण संबंध कक्षीय कोणीय गति के समान है: $$ [ \sigma_a, \sigma_b ] = 2i \hbar \varepsilon_{abc} \sigma_c $$SU(2) का एक समूह तत्व लिखा जा सकता है:$$U(\theta,\hat{\mathbf{e}}_j) = e^{i \theta \sigma_j /2}$$जहां σj एक पाउली आव्यूह है, और समूह पैरामीटर एक अक्ष के माध्यम से घूर्णन कोण हैं।

द्वि-आयामी समदैशिक क्वांटम हार्मोनिक दोलक में समरूपता समूह एसयू (2) है, जबकि तर्कसंगत समदैशिक दोलक का समरूपता बीजगणित यू (2) का एक गैर-रैखिक विस्तार है। = यू (3) और एसयू (3) =

क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स के लिए आठ गेल-मैन आव्यूह $λ_{n}$ (उनके लिए लेख और संरचना स्थिरांक देखें) महत्वपूर्ण हैं। वे मूल रूप से एसयू (3) सिद्धांत में उत्पन्न हुए थे जो अभी भी परमाणु भौतिकी में व्यावहारिक महत्व का है। वे SU(3) समूह के लिए जनरेटर हैं, इसलिए SU(3) के एक तत्व को SU(2) के एक तत्व के अनुरूप लिखा जा सकता है:$$U(\theta,\hat{\mathbf{e}}_j) = \exp\left(-\frac{i}{2} \sum_{n=1}^8 \theta_n \lambda_n \right) $$जहाँ $θ_{n}$ आठ स्वतंत्र पैरामीटर हैं। वह $λ_{n}$ आव्यूह दिकपरिवर्तक को संतुष्ट करते हैं:$$\left[\lambda_a, \lambda_b \right] = 2i f_{abc}\lambda_c$$जहां सूचकांक $a$, $b$, $c$ मान 1, 2, 3, ..., 8 संरचना स्थिरांक fabcSU(2) के अनुरूप सभी सूचकांकों में पूरी तरह से विषम हैं। मानक आवेश के आधार पर (लाल के लिए r, हरे के लिए g, नीले के लिए b है:$$|r\rangle = \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix}\,,\quad |g\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix}\,,\quad |b\rangle = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}$$

रंग अवस्थाए λ3 और λ8 मैट्रिसेस के आइगेन अवस्थाए हैं जबकि अन्य रंग अवस्थाओ को एक साथ मिलाते हैं। आठ ग्लून्स अवस्थाए (8-आयामी स्तम्भ सदिश) एक साथ के आसन्न प्रतिनिधित्व हैं $SU(3)$, 8-आयामी प्रतिनिधित्व अपने स्वयं के$su(3)$, के लिए $λ_{3}$ और $λ_{8}$ आव्यूह लाई बीजगणित पर कार्य करता है अभ्यावेदन (मानक निरूपण और इसके दोहरे) के टेन्सर उत्पाद बनाकर और उपयुक्त भागफल, प्रोटॉन और न्यूट्रॉन, और अन्य हैड्रॉन लेकर विभिन्न अभ्यावेदन के आइगेन अवस्थाए हैं $SU(3)$ और SU(3) के निरूपण को उच्चतम भार के एक प्रमेय द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

मैटर और एंटीमैटर
सापेक्षवादी क्वांटम यांत्रिकी में, सापेक्षवादी तरंग समीकरण प्रकृति की एक उल्लेखनीय समरूपता का पूर्वानुमान करते हैं प्रत्येक कण में एक समान प्रतिकण होता है। यह गणितीय रूप से घूर्णन क्षेत्रों में समाहित है जो सापेक्षिक तरंग समीकरणों के समाधान हैं।

आवेश संयुग्मन कणों और प्रतिकण को परिवर्तित करता है। इस संक्रियक द्वारा अपरिवर्तित भौतिक नियम और अंतःक्रियाओं में C समरूपता है।

असतत स्पेसटाइम समरूपता

 * समता (भौतिकी) बाएं हाथ से दाएं हाथ के स्थानिक निर्देशांक के अभिविन्यास (सदिश स्थान) को प्रतिबिंबित करती है। अनौपचारिक रूप से, समष्टि इसकी दर्पण छवि में परिलक्षित होता है। इस संचालन द्वारा अपरिवर्तित भौतिक नियम और परस्परिक P समरूपता है।
 * टी-समरूपता समय समन्वय को परिवर्तित करती है जो भविष्य से अतीत तक चलने वाले समय की मात्रा है। समय की एक विचित्र संपत्ति, जो स्थान के पास नहीं है वह यह है कि यह एकदिशात्मक है: समय में आगे की ओर यात्रा करने वाले कण समय में वापस यात्रा करने वाले प्रतिकण के बराबर होते हैं। इस संचालन द्वारा अपरिवर्तित भौतिक नियम और अंतःक्रियाओं में T समरूपता है।

सी, पी, टी समरूपता

 * सीपीटी प्रमेय
 * सीपी उल्लंघन
 * गैर-हर्मिटियन क्वांटम यांत्रिकी
 * लोरेंत्ज़ उल्लंघन
 * लोरेंत्ज़ उल्लंघन

गेज सिद्धांत
क्वांटम विद्युत गतिविज्ञान में, स्थानीय समरूपता समूह यू (1) है और एबेलियन समूह है। क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स में, स्थानीय समरूपता समूह SU(3) है और गैर-अबेलियन समूह है। विद्युत चुम्बकीय

क्रिया फोटॉन द्वारा मध्यस्थ होती है जिसमें विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता नहीं होती है। विद्युत चुम्बकीय टेंसर में गेज समरूपता रखने वाला एक विद्युत चुम्बकीय चार-संभावित क्षेत्र होते है। जटिल (रंग) प्रक्रिया ग्लून्स द्वारा मध्यस्थ होती है जिसमें आठ रंग के विरुद्ध हो सकते हैं। संबंधित ग्लूऑन चार संभावित क्षेत्रों के साथ आठ ग्लूऑन क्षेत्र सामर्थ्य प्रदिश हैं, जिनमें से प्रत्येक में गेज समरूपता है।

रंग आवेश
घूर्णन संक्रियक के अनुरूप, गेल-मैन आव्यूह के संदर्भ में रंग आवेश संक्रियक $λ_{j}$ हैं:$$\hat{F}_j = \frac{1}{2}\lambda_j $$और चूंकि रंग आवेश एक संरक्षित आवेश है सभी रंग आवेश संक्रियकों को हैमिल्टनियन के साथ यात्रा करनी चाहिए:$$\left[\hat{F}_j,\hat{H}\right] = 0 $$

समभारिक प्रचक्रण
समभारिक प्रचक्रण को तीक्ष्ण पारस्परिक प्रभाव में संरक्षित किया जाता है।

द्वैत परिवर्तन
चुंबकीय मोनोपोल को सैद्धांतिक रूप से प्रतीत किया जा सकता है, हालांकि धारा अवलोकन और सिद्धांत उनके उपस्थित या सम्मिलित नहीं होने के अनुरूप हैं। एक चुंबकीय मोनोपोल द्वैत परिवर्तन द्वारा विद्युत और चुंबकीय आवेशों को प्रभावी रूप से एक दूसरे में घुमाया जा सकता है।

विद्युत दुर्बल समरूपता

 * विद्युत दुर्बल समरूपता
 * विद्युत दुर्बल समरूपता सममिति

अति सममिति
लाई सुपरएलजेब्रा एक बीजगणित है जिसमें (उपयुक्त) आधार तत्वों का या तो रूपांतरण संबंध होता है या एक प्रतिसंयोजन संबंध होता है। समरूपता को इस प्रभाव के लिए प्रस्तावित किया गया है कि सभी फर्मीओनिक कणों में बोसोनिक अनुरूप होते हैं और इसके विपरीत इन समरूपता में सैद्धांतिक अपील है कि समरूपता को छोड़कर कोई अतिरिक्त धारणा (जैसे तारों का अस्तित्व) नहीं बनाई जाती है। इसके अतिरिक्त, अति सममिति मानकर, कई पेचीदा मुद्दों को हल किया जा सकता है। ये समरूपताएं, जो लाइ सुपरएलगेब्रस द्वारा प्रस्तुत की जाती हैं, प्रयोगात्मक रूप से पुष्टि नहीं की गई है। अब यह माना जाता है कि यदि वे सम्मिलित हैं, तो वे विभाजित समरूपताएँ हैं। लेकिन यह अनुमान लगाया गया है कि डार्क मैटर गुरुत्वाकर्षण का गठन करता है, द्रव्यमान के साथ एक घूर्णन 3/2 कण, इसका अति सममिति गुरुत्वाकर्षण है।

विनिमय समरूपता या क्रमपरिवर्तन समरूपता
विनिमय समरूपता या क्रमचय समरूपता की अवधारणा क्वांटम सांख्यिकी के एक मूलभूत अभिधारणा से ली गई है, जिसमें कहा गया है कि दो समान कणों के आदान-प्रदान के बाद कोई भी प्रत्यक्ष भौतिक राशि नहीं परिवर्तन होती है इसमें कहा गया है कि क्योंकि सभी अवलोकनीय समान कणों की एक प्रणाली के लिए $$\left| \psi \right|^2$$ के समानुपाती होते हैं, तरंग फलन $$\psi$$ को या तो वही रहना चाहिए या इस प्रकार के परिवर्तन पर संकेत परिवर्तन होता है अधिक सामान्यतः n समान कणों की एक प्रणाली के लिए $$\psi$$ तरंग के रूप मे कार्य करता है परिमित सममित समूह Sn के एक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के रूप में बदलना चाहिए। यह पता चला है कि, घूर्णन-सांख्यिकी प्रमेय के अनुसार, फ़र्मियन अवस्था Sn और बोसॉन अवस्थाओ के सममित अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के रूप में प्रतिसममित अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व के रूप में रूपांतरित होते हैं। अणुओं के रोविब्रोनिक अवस्थाओ के समरूपता वर्गीकरण के लिए क्रिस्टोफर लॉन्गेट-हिगिंस ने आणविक समरूपता समूह को उपयुक्त समान परमाणु क्रमपरिवर्तन और स्थानिक व्युत्क्रम के साथ क्रमपरिवर्तन के समूह के रूप में प्रस्तुत किया था।

क्योंकि दो समान कणों का आदान-प्रदान गणितीय रूप से प्रत्येक कण के 180 डिग्री के क्रमावर्तन के बराबर है और इसलिए एक कण के फ्रेम के 360 डिग्री के क्रमावर्तन के लिए, क्रमावर्तन संक्रियक (क्वांटम यांत्रिकी) प्रयुक्त होने के बाद तरंग फलन की सममित प्रकृति कण के घूर्णन (भौतिकी) पर निर्भर करती है। पूर्णांक घूर्णन कण 360 डिग्री क्रमावर्तन पर अपने तरंग फलन के संकेत को नहीं बदलते हैं - इसलिए पूरे सिस्टम के तरंग फलन का संकेत नहीं बदलता है। अर्ध-पूर्णांक घूर्णन कण 360 डिग्री क्रमावर्तन पर अपने तरंग फलन का संकेत को परिवर्तित करते हैं घूर्णन-सांख्यिकी प्रमेय में और देखें।

वे कण जिनके लिए तरंग फलन रूपान्तरण पर संकेत नहीं परिवर्तित करते हैं उन्हें बोसॉन या सममितीय तरंग फलन वाले कण कहा जाता है। वे कण जिनके लिए प्रणाली का तरंग फलन परिवर्तित होता है उन्हें फ़र्मियन या एक विषम संबंध तरंग फलन वाले कण कहा जाता है।

इसलिए फ़र्मियन बोसोन (जो बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी का अनुसरण करते हैं) की तुलना में विभिन्न आँकड़ों (जिसे फ़र्मी-डिराक आँकड़े कहा जाता है) का अनुसरण करते हैं। फर्मी-डिराक आँकड़ों के परिणामों में से एक फ़र्मियन के लिए पाउली अपवर्जन सिद्धांत है कोई भी दो समान फ़र्मियन मे एक ही क्वांटम अवस्था को साझा नहीं कर सकते हैं दूसरे शब्दों में, एक ही अवस्था में दो समान फ़र्मियों का तरंग फलन शून्य है यह रूपान्तरण में फ़र्मियन के लिए अध: पतन दाब का परिणाम है अपेक्षाकृत छोटी राशि में संपीड़न के लिए फ़र्मियन का प्रतिरोध साधारण परमाणु पदार्थ की "जटिलता" या "कठोरता" को उत्पन्न करता है क्योंकि परमाणुओं में इलेक्ट्रॉन होते हैं जो फर्मन होते हैं।

यह भी देखें

 * सममित समूह
 * घूर्णन सांख्यिकी प्रमेय
 * अनुमानित प्रतिनिधित्व
 * कासिमिर संक्रियक
 * पाउली-लुबांस्की छद्म सदिश
 * सामान्य सापेक्षता में समरूपता
 * पुनर्सामान्यीकरण समूह
 * लाई समूह का प्रतिनिधित्व
 * पोंकारे समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
 * लोरेंत्ज़ समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत

बाहरी संबंध

 * (2010) Irreducible Tensor Operators and the Wigner-Eckart Theorem
 * Lie groups
 * Continuous Groups, Lie Groups, and Lie Algebras
 * Lie groups
 * Continuous Groups, Lie Groups, and Lie Algebras
 * Continuous Groups, Lie Groups, and Lie Algebras