प्रारंभिक टोपोलॉजी

सामान्य टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, प्रारंभिक टोपोलॉजी (या प्रेरित टोपोलॉजी)। या कमजोर टोपोलॉजी या सीमा टोपोलॉजी या प्रोजेक्टिव टोपोलॉजी) एक सेट पर (गणित) $$X,$$ कार्यों के एक परिवार के संबंध में $$X,$$ सबसे मोटे टोपोलॉजी पर है $$X$$ जो उन कार्यों को सतत कार्य (टोपोलॉजी) बनाता है।

सबस्पेस टोपोलॉजी और उत्पाद टोपोलॉजी निर्माण दोनों प्रारंभिक टोपोलॉजी के विशेष मामले हैं। दरअसल, प्रारंभिक टोपोलॉजी निर्माण को इनके सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

द्वैत (गणित) धारणा अंतिम टोपोलॉजी है, जो किसी दिए गए फ़ंक्शन परिवार के लिए एक सेट पर मैप करती है $$X$$ पर बेहतरीन टोपोलॉजी है $$X$$ जो उन कार्यों को निरंतर बनाता है।

परिभाषा
एक सेट दिया गया $$X$$ और एक अनुक्रमित परिवार $$\left(Y_i\right)_{i \in I}$$ कार्यों के साथ टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान की $$f_i : X \to Y_i,$$ प्रारंभिक टोपोलॉजी $$\tau$$ पर $$X$$ सबसे मोटे टोपोलॉजी पर है $$X$$ ऐसा कि प्रत्येक $$f_i : (X, \tau) \to Y_i$$ सतत कार्य (टोपोलॉजी) है।

खुले सेट के संदर्भ में परिभाषा

अगर $$\left(\tau_i\right)_{i \in I}$$ टोपोलॉजी का एक परिवार है $$X$$ द्वारा अनुक्रमित $$I \neq \varnothing,$$ फिर इन टोपोलॉजी में से सबसे मोटी टोपोलॉजी है $$X$$ वह प्रत्येक से बेहतर है $$\tau_i.$$ यह टोपोलॉजी हमेशा मौजूद रहती है और यह सब बेस के बराबर होती है $${\textstyle \bigcup\limits_{i \in I} \tau_i}.$$

यदि प्रत्येक के लिए $$i \in I,$$ $$\sigma_i$$ पर टोपोलॉजी को दर्शाता है $$Y_i,$$ तब $$f_i^{-1}\left(\sigma_i\right) = \left\{f_i^{-1}(V) : V \in \sigma_i\right\}$$ पर एक टोपोलॉजी है $$X$$, और यह सबसे कम ऊपरी सीमा वाली टोपोलॉजी है $$I$$-टोपोलॉजी का अनुक्रमित परिवार $$f_i^{-1}\left(\sigma_i\right)$$ (के लिए $$i \in I$$). स्पष्ट रूप से, प्रारंभिक टोपोलॉजी फॉर्म के सभी सेटों द्वारा खुले सेट सबबेस का संग्रह है $$f_i^{-1}(U),$$ कहाँ $$U$$ एक खुला सेट है $$Y_i$$ कुछ के लिए $$i \in I,$$ परिमित अंतर्विरोधों और मनमाने संघों के अंतर्गत।

प्रपत्र के सेट $$f_i^{-1}(V)$$ अक्सर कहा जाता है. अगर $$I$$ इसमें सिंगलटन सेट, फिर प्रारंभिक टोपोलॉजी के सभी खुले सेट शामिल हैं $$(X, \tau)$$ सिलेंडर सेट हैं.

उदाहरण
कई टोपोलॉजिकल निर्माणों को प्रारंभिक टोपोलॉजी के विशेष मामलों के रूप में माना जा सकता है।
 * सबस्पेस टोपोलॉजी समावेशन मानचित्र के संबंध में सबस्पेस पर प्रारंभिक टोपोलॉजी है।
 * उत्पाद टोपोलॉजी प्रक्षेपण मानचित्रों के परिवार के संबंध में प्रारंभिक टोपोलॉजी है।
 * रिक्त स्थान और निरंतर मानचित्रों की किसी भी व्युत्क्रम प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा विहित आकारिकी द्वारा निर्धारित प्रारंभिक टोपोलॉजी के साथ सेट-सैद्धांतिक व्युत्क्रम सीमा है।
 * स्थानीय रूप से उत्तल स्थान पर कमजोर टोपोलॉजी इसके दोहरे स्थान के निरंतर रैखिक रूपों के संबंध में प्रारंभिक टोपोलॉजी है।
 * टोपोलॉजी का एक अनुक्रमित परिवार दिया गया है $$\left\{\tau_i\right\}$$ एक निश्चित सेट पर $$X$$ प्रारंभिक टोपोलॉजी पर $$X$$ कार्यों के संबंध में $$\operatorname{id}_i : X \to \left(X, \tau_i\right)$$ टोपोलॉजी का सर्वोच्च (या जुड़ाव) है $$\left\{\tau_i\right\}$$ टोपोलॉजी की जाली में $$X.$$ यानी प्रारंभिक टोपोलॉजी $$\tau$$ टोपोलॉजी के संघ (सेट सिद्धांत) द्वारा उत्पन्न टोपोलॉजी है $$\left\{\tau_i\right\}.$$
 * एक टोपोलॉजिकल स्पेस पूरी तरह से नियमित है यदि और केवल तभी जब इसमें वास्तविक-मूल्यवान निरंतर कार्यों के अपने परिवार (परिबद्ध कार्य) के संबंध में प्रारंभिक टोपोलॉजी हो।
 * प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस $$X$$ से निरंतर कार्यों के परिवार के संबंध में प्रारंभिक टोपोलॉजी है $$X$$ सिएरपिंस्की क्षेत्र के लिए।

विशेष गुण
प्रारंभिक टोपोलॉजी पर $$X$$ निम्नलिखित विशिष्ट गुण द्वारा चित्रित किया जा सकता है: एक समारोह $$g$$ किसी जगह से $$Z$$ को $$X$$ निरंतर है यदि और केवल यदि $$f_i \circ g$$ प्रत्येक के लिए निरंतर है $$i \in I.$$

ध्यान दें कि, काफी समान दिखने के बावजूद, यह यूनिवर्सल_प्रॉपर्टी नहीं है। एक स्पष्ट विवरण नीचे दिया गया है.

एक फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) $$\mathcal{B}$$ पर $$X$$ अभिसारी फ़िल्टर एक बिंदु $$x \in X$$ यदि और केवल यदि पूर्व फिल्टर $$f_i(\mathcal{B})$$ अभिसरण प्रीफ़िल्टर $$f_i(x)$$ हरएक के लिए $$i \in I.$$

मूल्यांकन
उत्पाद टोपोलॉजी की सार्वभौमिक संपत्ति से, हम जानते हैं कि निरंतर मानचित्रों का कोई भी परिवार $$f_i : X \to Y_i$$ एक अद्वितीय सतत मानचित्र निर्धारित करता है $$\begin{alignat}{4} f :\;&& X &&\;\to   \;& \prod_i Y_i \\[0.3ex] && x &&\;\mapsto\;& \left(f_i(x)\right)_{i \in I} \\ \end{alignat}$$ इस मानचित्र को के नाम से जाना जाता है.

मानचित्रों का एक परिवार $$\{f_i : X \to Y_i\}$$ पृथक्करण समुच्चय को कहा जाता है| में $$X$$ यदि सभी के लिए $$x \neq y$$ में $$X$$ वहाँ कुछ मौजूद है $$i$$ ऐसा है कि $$f_i(x) \neq f_i(y).$$ परिवार $$\{f_i\}$$ बिंदुओं को अलग करता है यदि और केवल यदि संबद्ध मूल्यांकन मानचित्र $$f$$ इंजेक्शन है.

मूल्यांकन मानचित्र $$f$$ एक टोपोलॉजिकल एम्बेडिंग होगी यदि और केवल यदि $$X$$ मानचित्रों द्वारा निर्धारित प्रारंभिक टोपोलॉजी है $$\{f_i\}$$ और मानचित्रों का यह परिवार बिंदुओं को अलग करता है $$X.$$ हॉसडॉर्फनेस

अगर $$X$$ प्रारंभिक टोपोलॉजी से प्रेरित है $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ और यदि प्रत्येक $$Y_i$$ तो फिर हॉसडॉर्फ़ है $$X$$ एक हॉसडॉर्फ़ स्थान है यदि और केवल यदि ये मानचित्र #अलग बिंदु पर हों $$X.$$

प्रारंभिक टोपोलॉजी की परिवर्तनशीलता
अगर $$X$$ प्रारंभिक टोपोलॉजी से प्रेरित है $$I$$-मैपिंग का अनुक्रमित परिवार $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ और अगर हमेशा के लिए $$i \in I,$$ टोपोलॉजी चालू $$Y_i$$ कुछ लोगों द्वारा प्रेरित प्रारंभिक टोपोलॉजी है $$J_i$$-मैपिंग का अनुक्रमित परिवार $$\left\{g_j : Y_i \to Z_j\right\}$$ (जैसा $$j$$ तक फैली हुई है $$J_i$$), फिर प्रारंभिक टोपोलॉजी पर $$X$$ प्रेरक $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ द्वारा प्रेरित प्रारंभिक टोपोलॉजी के बराबर है $${\textstyle \bigcup\limits_{i \in I} J_i}$$-मैपिंग का अनुक्रमित परिवार $$\left\{g_j \circ f_i : X \to Z_j\right\}$$ जैसा $$i$$ तक फैली हुई है $$I$$ और $$j$$ तक फैली हुई है $$J_i.$$ इस तथ्य के कई महत्वपूर्ण परिणाम अब दिए गए हैं।

विशेषकर, यदि $$S \subseteq X$$ फिर सबस्पेस टोपोलॉजी वह $$S$$ से विरासत में मिला है $$X$$ समावेशन मानचित्र द्वारा प्रेरित प्रारंभिक टोपोलॉजी के बराबर है $$S \to X$$ (द्वारा परिभाषित $$s \mapsto s$$). फलस्वरूप, यदि $$X$$ प्रारंभिक टोपोलॉजी से प्रेरित है $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ फिर सबस्पेस टोपोलॉजी वह $$S$$ से विरासत में मिला है $$X$$ पर प्रेरित प्रारंभिक टोपोलॉजी के बराबर है $$S$$ प्रतिबंधों द्वारा $$\left\{\left.f_i\right|_S : S \to Y_i\right\}$$ की $$f_i$$ को $$S.$$

उत्पाद टोपोलॉजी चालू है $$\prod_i Y_i$$ विहित अनुमानों से प्रेरित प्रारंभिक टोपोलॉजी के बराबर है $$\operatorname{pr}_i : \left(x_k\right)_{k \in I} \mapsto x_i$$ जैसा $$i$$ तक फैली हुई है $$I.$$ नतीजतन, प्रारंभिक टोपोलॉजी चालू है $$X$$ प्रेरक $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ उत्पाद टोपोलॉजी की व्युत्क्रम छवि के बराबर है $$\prod_i Y_i$$ #मूल्यांकन मानचित्र द्वारा $f : X \to \prod_i Y_i\,.$ इसके अलावा, यदि मानचित्र $$\left\{f_i\right\}_{i \in I}$$ #अलग-अलग बिंदु $$X$$ तब मूल्यांकन मानचित्र उपस्थान पर एक समरूपता है $$f(X)$$ उत्पाद स्थान का $$\prod_i Y_i.$$

बंद सेटों से बिंदुओं को अलग करना
यदि कोई स्थान $$X$$ टोपोलॉजी से सुसज्जित होता है, यह जानना अक्सर उपयोगी होता है कि टोपोलॉजी चालू है या नहीं $$X$$ मानचित्रों के कुछ परिवार द्वारा प्रेरित प्रारंभिक टोपोलॉजी है $$X.$$ यह खंड पर्याप्त (लेकिन आवश्यक नहीं) शर्त देता है।

मानचित्रों का एक परिवार $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ बंद सेटों से बिंदुओं को अलग करता है $$X$$ यदि सभी बंद सेटों के लिए $$A$$ में $$X$$ और सभी $$x \not\in A,$$ वहाँ कुछ मौजूद है $$i$$ ऐसा है कि $$f_i(x) \notin \operatorname{cl}(f_i(A))$$ कहाँ $$\operatorname{cl}$$ समापन (टोपोलॉजी)  को दर्शाता है।


 * प्रमेय. सतत मानचित्रों का एक परिवार $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ बंद सेटों से बिंदुओं को अलग करता है यदि और केवल यदि सिलेंडर सेट होता है $$f_i^{-1}(V),$$ के लिए $$V$$ में खुलेगा $$Y_i,$$ पर एक बेस (टोपोलॉजी) बनाएं $$X.$$

यह जब भी चलता है $$\left\{f_i\right\}$$ बंद सेटों से बिंदुओं को अलग करता है, स्थान $$X$$ मानचित्रों से प्रेरित प्रारंभिक टोपोलॉजी है $$\left\{f_i\right\}.$$ उलटा विफल हो जाता है, क्योंकि आम तौर पर सिलेंडर सेट प्रारंभिक टोपोलॉजी के लिए केवल एक सबबेस (और आधार नहीं) बनाएंगे।

यदि स्थान $$X$$ एक T0 स्थान है|T0 स्थान, फिर मानचित्रों का कोई संग्रह $$\left\{f_i\right\}$$ जो बंद सेटों से बिंदुओं को अलग करता है $$X$$ अंक भी अलग-अलग होने चाहिए। इस मामले में, मूल्यांकन मानचित्र एक एम्बेडिंग होगा।

प्रारंभिक एकसमान संरचना
अगर $$\left(\mathcal{U}_i\right)_{i \in I}$$ एकसमान संरचनाओं का एक परिवार है $$X$$ द्वारा अनुक्रमित $$I \neq \varnothing,$$ फिर का $$\left(\mathcal{U}_i\right)_{i \in I}$$ पर सबसे मोटी एकसमान संरचना है $$X$$ वह प्रत्येक से बेहतर है $$\mathcal{U}_i.$$ यह वर्दी हमेशा मौजूद रहती है और यह फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) के बराबर होती है $$X \times X$$ सबबेस फ़िल्टर करें द्वारा उत्पन्न $${\textstyle \bigcup\limits_{i \in I} \mathcal{U}_i}.$$ अगर $$\tau_i$$ टोपोलॉजी चालू है $$X$$ एकसमान संरचना से प्रेरित $$\mathcal{U}_i$$ फिर टोपोलॉजी चालू $$X$$ न्यूनतम ऊपरी सीमा वाली एकसमान संरचना से संबद्ध, न्यूनतम ऊपरी सीमा वाली टोपोलॉजी के बराबर है $$\left(\tau_i\right)_{i \in I}.$$

अब मान लीजिये $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ नक्शों का एक परिवार है और हर किसी के लिए $$i \in I,$$ होने देना $$\mathcal{U}_i$$ पर एक समान संरचना हो $$Y_i.$$ फिर अद्वितीय स्थूलतम एकसमान संरचना है $$\mathcal{U}$$ पर $$X$$ सब बना रहे हैं $$f_i : \left(X, \mathcal{U}\right) \to \left(Y_i, \mathcal{U}_i\right)$$ समान रूप से निरंतर. यह की न्यूनतम ऊपरी सीमा वाली एकसमान संरचना के बराबर है $$I$$-समान संरचनाओं का अनुक्रमित परिवार $$f_i^{-1}\left(\mathcal{U}_i\right)$$ (के लिए $$i \in I$$). टोपोलॉजी चालू है $$X$$ प्रेरक $$\mathcal{U}$$ सबसे मोटे टोपोलॉजी पर है $$X$$ ऐसा कि हर $$f_i : X \to Y_i$$ सतत है. प्रारंभिक एकसमान संरचना $$\mathcal{U}$$ यह भी सबसे मोटे समान संरचना के बराबर है जैसे कि पहचान मानचित्रण $$\operatorname{id} : \left(X, \mathcal{U}\right) \to \left(X, f_i^{-1}\left(\mathcal{U}_i\right)\right)$$ समान रूप से निरंतर हैं.

हॉसडॉर्फनेस: टोपोलॉजी चालू $$X$$ प्रारंभिक समान संरचना से प्रेरित $$\mathcal{U}$$ हॉसडॉर्फ़ स्थान है यदि और केवल यदि जब भी $$x, y \in X$$ विशिष्ट हैं ($$x \neq y$$) तो कुछ मौजूद है $$i \in I$$ और कुछ दल $$V_i \in \mathcal{U}_i$$ का $$Y_i$$ ऐसा है कि $$\left(f_i(x), f_i(y)\right) \not\in V_i.$$ इसके अलावा, यदि प्रत्येक सूचकांक के लिए $$i \in I,$$ टोपोलॉजी चालू $$Y_i$$ प्रेरक $$\mathcal{U}_i$$ हॉसडॉर्फ़ है तो टोपोलॉजी पर $$X$$ प्रारंभिक समान संरचना से प्रेरित $$\mathcal{U}$$ हॉसडॉर्फ़ है यदि और केवल यदि मानचित्र $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\}$$ #अलग-अलग बिंदु $$X$$ (या समतुल्य, यदि और केवल यदि #मूल्यांकन मानचित्र $f : X \to \prod_i Y_i$ इंजेक्शन है)

एकसमान निरंतरता: यदि $$\mathcal{U}$$ मैपिंग द्वारा प्रेरित प्रारंभिक समान संरचना है $$\left\{f_i : X \to Y_i\right\},$$ फिर एक समारोह $$g$$ किसी एकसमान स्थान से $$Z$$ में $$(X, \mathcal{U})$$ समान रूप से सतत है यदि और केवल यदि $$f_i \circ g : Z \to Y_i$$ प्रत्येक के लिए समान रूप से निरंतर है $$i \in I.$$

कॉची फ़िल्टर: एक फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) $$\mathcal{B}$$ पर $$X$$ एक कॉची फ़िल्टर चालू है $$(X, \mathcal{U})$$ अगर और केवल अगर $$f_i\left(\mathcal{B}\right)$$ एक कॉची प्रीफ़िल्टर चालू है $$Y_i$$ हरएक के लिए $$i \in I.$$

प्रारंभिक एकसमान संरचना की परिवर्तनशीलता: यदि ऊपर दिए गए प्रारंभिक टोपोलॉजी की #परिवर्तनशीलता के कथन में टोपोलॉजी शब्द को एकसमान संरचना से प्रतिस्थापित कर दिया जाए तो परिणामी कथन भी सत्य होगा।

श्रेणीबद्ध विवरण
श्रेणी सिद्धांत की भाषा में प्रारंभिक टोपोलॉजी निर्माण को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है। होने देना $$Y$$ एक अलग श्रेणी से फ़नकार बनें $$J$$ टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में $$\mathrm{Top}$$ जो मानचित्र $$j\mapsto Y_j$$. होने देना $$U$$ से सामान्य भुलक्कड़ फनकार बनें $$\mathrm{Top}$$ को $$\mathrm{Set}$$. मानचित्र $$f_j : X \to Y_j$$ फिर इसे एक शंकु (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में सोचा जा सकता है $$X$$ को $$UY.$$ वह है, $$(X,f)$$ की एक वस्तु है $$\mathrm{Cone}(UY) := (\Delta\downarrow{UY})$$- शंकु की श्रेणी $$UY.$$ अधिक सटीक रूप से, यह शंकु $$(X,f)$$ ए को परिभाषित करता है $$U$$-संरचित कोसिंक में $$\mathrm{Set}.$$ भुलक्कड़ मनोरंजनकर्ता $$U : \mathrm{Top} \to \mathrm{Set}$$ आप एक पदाधिकारी का परिचय देंगे $$\bar{U} : \mathrm{Cone}(Y) \to \mathrm{Cone}(UY)$$. प्रारंभिक टोपोलॉजी की विशेषता संपत्ति इस कथन के समतुल्य है कि वहां से एक सार्वभौमिक रूपवाद मौजूद है $$\bar{U}$$ को $$(X,f);$$ यानी, श्रेणी में एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट $$\left(\bar{U}\downarrow(X,f)\right).$$ स्पष्ट रूप से, इसमें एक वस्तु शामिल है $$I(X,f)$$ में $$\mathrm{Cone}(Y)$$ एक रूपवाद के साथ $$\varepsilon : \bar{U} I(X,f) \to (X,f)$$ ऐसे कि किसी भी वस्तु के लिए $$(Z,g)$$ में $$\mathrm{Cone}(Y)$$ और रूपवाद $$\varphi : \bar{U}(Z,g) \to (X,f)$$ वहाँ एक अद्वितीय रूपवाद मौजूद है $$\zeta : (Z,g) \to I(X,f)$$ ऐसा कि निम्नलिखित आरेख आवागमन करता है: सौंपा गया काम $$(X,f) \mapsto I(X,f)$$ प्रारंभिक टोपोलॉजी को चालू करना $$X$$ एक फ़नकार तक विस्तारित है $$I : \mathrm{Cone}(UY) \to \mathrm{Cone}(Y)$$ जो भूलने वाले फ़नकार का सहायक फ़नकार है $$\bar{U}.$$ वास्तव में, $$I$$ का ठीक-विपरीत है $$\bar{U}$$; तब से $$\bar{U}I$$ पहचान फ़ैक्टर चालू है $$\mathrm{Cone}(UY).$$