प्राकृतिक घातीय परिवार

संभाव्यता और आंकड़ों में, एक प्राकृतिक घातीय परिवार (एनईएफ) संभाव्यता वितरण का एक वर्ग है जो एक घातीय परिवार (ईएफ) का एक विशेष मामला है।

अविभाज्य मामला
प्राकृतिक घातीय परिवार (एनईएफ) घातीय परिवारों का एक उपसमूह हैं। एनईएफ एक घातीय परिवार है जिसमें प्राकृतिक पैरामीटर η और प्राकृतिक सांख्यिकी टी(एक्स) दोनों पहचान हैं। पैरामीटर θ के साथ एक घातीय परिवार में वितरण को संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन (पीडीएफ) के साथ लिखा जा सकता है
 * $$ f_X(x\mid \theta) = h(x)\ \exp\Big(\ \eta(\theta) T(x) - A(\theta)\ \Big) \,\! ,$$

कहाँ $$h(x)$$ और $$A(\theta)$$ ज्ञात कार्य हैं. पैरामीटर θ के साथ एक प्राकृतिक घातीय परिवार में एक वितरण इस प्रकार पीडीएफ के साथ लिखा जा सकता है
 * $$ f_X(x\mid \theta) = h(x)\ \exp\Big(\ \theta x - A(\theta)\ \Big) \,\! .$$

[ध्यान दें कि एनईएफ के प्रवर्तक कार्ल मॉरिस द्वारा थोड़ा अलग नोटेशन का उपयोग किया जाता है। मॉरिस η के बजाय ω और A के बजाय ψ का उपयोग करता है।]

सामान्य बहुभिन्नरूपी मामला
लगता है कि $$\mathbf{x} \in \mathcal{X} \subseteq \mathbb{R}^p$$, तो क्रम पी के एक प्राकृतिक घातीय परिवार में फॉर्म का घनत्व या द्रव्यमान कार्य होता है:
 * $$ f_X(\mathbf{x} \mid \boldsymbol\theta) = h(\mathbf{x})\ \exp\Big(\boldsymbol\theta^{\rm T} \mathbf{x} - A(\boldsymbol\theta)\ \Big) \,\! ,$$

इस मामले में पैरामीटर कहां है $$\boldsymbol\theta \in \mathbb{R}^p .$$

क्षण और संचयी उत्पन्न करने वाले कार्य
प्राकृतिक घातीय परिवार के एक सदस्य के पास प्रपत्र का क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य (एमजीएफ) होता है


 * $$M_X(\mathbf{t}) = \exp\Big(\ A(\boldsymbol\theta + \mathbf{t}) - A(\boldsymbol\theta)\ \Big) \, .$$

संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन परिभाषा के अनुसार एमजीएफ का लघुगणक है, इसलिए यह है


 * $$K_X(\mathbf{t}) = A(\boldsymbol\theta + \mathbf{t}) - A(\boldsymbol\theta) \, .$$

उदाहरण
पांच सबसे महत्वपूर्ण अविभाज्य मामले हैं: ये पाँच उदाहरण - पॉइसन, द्विपद, ऋणात्मक द्विपद, सामान्य और गामा - एनईएफ का एक विशेष उपसमुच्चय हैं, जिसे द्विघात विचरण फलन (एनईएफ-क्यूवीएफ) के साथ एनईएफ कहा जाता है क्योंकि विचरण को माध्य के द्विघात फलन के रूप में लिखा जा सकता है। एनईएफ-क्यूवीएफ पर नीचे चर्चा की गई है।
 * ज्ञात विचरण के साथ सामान्य वितरण
 * पॉसों वितरण
 * ज्ञात आकार पैरामीटर α के साथ गामा वितरण (या उपयोग किए गए नोटेशन सेट के आधार पर k)
 * परीक्षणों की ज्ञात संख्या के साथ द्विपद वितरण, एन
 * ज्ञात के साथ नकारात्मक द्विपद वितरण $$r$$

घातीय वितरण, बर्नौली वितरण और ज्यामितीय वितरण जैसे वितरण उपरोक्त पांच वितरणों के विशेष मामले हैं। उदाहरण के लिए, बर्नौली वितरण n = 1 परीक्षण के साथ एक द्विपद वितरण है, घातीय वितरण आकार पैरामीटर α = 1 (या k = 1) के साथ एक गामा वितरण है, और ज्यामितीय वितरण नकारात्मक द्विपद वितरण का एक विशेष मामला है।

कुछ घातीय पारिवारिक वितरण एनईएफ नहीं हैं। लॉगनॉर्मल और बीटा वितरण घातीय परिवार में हैं, लेकिन प्राकृतिक घातीय परिवार में नहीं। दो मापदंडों के साथ गामा वितरण एक घातीय परिवार है लेकिन एनईएफ नहीं है और ची-वर्ग वितरण निश्चित पैमाने के साथ गामा वितरण का एक विशेष मामला है पैरामीटर, और इस प्रकार यह एक घातीय परिवार भी है लेकिन एनईएफ नहीं है (ध्यान दें कि केवल निश्चित आकार वाला गामा वितरण पैरामीटर एक एनईएफ है)।

व्युत्क्रम गाऊसी वितरण एक घन विचरण फ़ंक्शन वाला एक एनईएफ है।

उपरोक्त अधिकांश वितरणों का पैरामीटरीकरण आमतौर पर पाठ्यपुस्तकों और उपरोक्त लिंक किए गए पृष्ठों में उपयोग किए जाने वाले पैरामीटराइजेशन से अलग तरीके से लिखा गया है। उदाहरण के लिए, उपरोक्त पैरामीटराइज़ेशन पॉइसन मामले में लिंक किए गए आलेख में पैरामीटराइज़ेशन से भिन्न है। दो पैरामीटरीकरण संबंधित हैं $$ \theta = \log(\lambda) $$, जहां λ माध्य पैरामीटर है, और ताकि घनत्व को इस प्रकार लिखा जा सके
 * $$f(k;\theta) = \frac{1}{k!} \exp\Big(\ \theta\ k - \exp(\theta)\ \Big) \ ,$$

के लिए $$ \theta \in \mathbb{R}$$, इसलिए
 * $$h(k) = \frac{1}{k!}, \text{ and } A(\theta) = \exp(\theta)\ .$$

यह वैकल्पिक मानकीकरण गणितीय आंकड़ों में गणना को बहुत सरल बना सकता है। उदाहरण के लिए, बायेसियन अनुमान में, पश्च संभाव्यता वितरण की गणना दो वितरणों के उत्पाद के रूप में की जाती है। आम तौर पर इस गणना के लिए संभाव्यता वितरण कार्यों (पीडीएफ) को लिखने और एकीकृत करने की आवश्यकता होती है; हालाँकि, उपरोक्त मानकीकरण के साथ, उस गणना से बचा जा सकता है। इसके बजाय, नीचे वर्णित एनईएफ के गुणों के कारण वितरण के बीच संबंधों को अमूर्त किया जा सकता है। बहुभिन्नरूपी मामले का एक उदाहरण परीक्षणों की ज्ञात संख्या के साथ बहुपद वितरण है।

गुण
प्राकृतिक घातीय परिवार के गुणों का उपयोग इन वितरणों से जुड़ी गणनाओं को सरल बनाने के लिए किया जा सकता है।

अविभाज्य मामला
1. एनईएफ के संचयी की गणना एनईएफ के संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन के डेरिवेटिव के रूप में की जा सकती है। nवां क्यूम्युलेंट t = 0 पर मूल्यांकन किए गए t के संबंध में क्यूम्युलेंट जनरेटिंग फ़ंक्शन का nवां व्युत्पन्न है।

संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन है
 * $$K_X(t) = A(\theta + t) - A(\theta) \, .$$

पहला संचयक है
 * $$ \kappa_1 = K_X'(t)\Big|_{t = 0} = \left. \frac{d}{d t} A(\theta + t) \right|_{t = 0} \, .$$ माध्य पहला क्षण है और हमेशा पहले संचयक के बराबर होता है, इसलिए


 * $$ \mu_1 = \kappa_1 = \operatorname{E}[X] = K'_X(0) = A'(\theta)\, .$$

विचरण हमेशा दूसरा संचयी होता है, और यह हमेशा पहले और दूसरे क्षण से संबंधित होता है
 * $$ \operatorname{Var}[X] = \kappa_2 = \mu_2 - \mu_1^2 \, ,$$

ताकि
 * $$ \operatorname{Var}[X] = K_X(0) = A(\theta) \, .$$

इसी प्रकार, nवाँ संचयी है
 * $$ \kappa_n = A^{(n)}(\theta) \, .$$

2. प्राकृतिक घातीय परिवार (एनईएफ) कनवल्शन के तहत बंद हैं।

स्वतंत्र समान रूप से वितरित (आईआईडी) दिया गया $$X_1,\ldots,X_n$$ फिर, एनईएफ से वितरण के साथ $$\sum_{i=1}^n X_i\,$$ एक एनईएफ है, हालांकि जरूरी नहीं कि मूल एनईएफ हो। यह संचयी जनरेटिंग फ़ंक्शन के गुणों से निम्नानुसार है।

3. एनईएफ वितरण के साथ यादृच्छिक चर के लिए विचरण फ़ंक्शन को माध्य के संदर्भ में लिखा जा सकता है।


 * $$\operatorname{Var}(X) = V(\mu).$$

4. एनईएफ वितरण के पहले दो क्षण वितरण के उस परिवार के भीतर वितरण को विशिष्ट रूप से निर्दिष्ट करते हैं।


 * $$ X \sim \operatorname{NEF} [\mu, V(\mu)] .$$

बहुभिन्नरूपी मामला
बहुभिन्नरूपी मामले में, माध्य वेक्टर और सहप्रसरण मैट्रिक्स हैं


 * $$ \operatorname{E}[X] = \nabla A(\boldsymbol\theta) \text{ and } \operatorname{Cov}[X] = \nabla \nabla^{\rm T} A(\boldsymbol\theta)\, ,$$

कहाँ$$\nabla$$ ढाल है और $$\nabla \nabla^{\rm T} $$ हेस्सियन मैट्रिक्स है.

द्विघात विचरण फलन वाले प्राकृतिक घातीय परिवार (NEF-QVF)
प्राकृतिक घातीय परिवारों का एक विशेष मामला द्विघात विचरण कार्यों वाले हैं। छह एनईएफ में द्विघात विचरण फलन (क्यूवीएफ) होते हैं जिसमें वितरण के विचरण को माध्य के द्विघात फलन के रूप में लिखा जा सकता है। इन्हें NEF-QVF कहा जाता है. इन वितरणों के गुणों का वर्णन सबसे पहले कार्ल मॉरिस (सांख्यिकीविद्) द्वारा किया गया था।
 * $$ \operatorname{Var}(X) = V(\mu) = \nu_0 + \nu_1 \mu + \nu_2 \mu^2.$$

छह एनईएफ-क्यूवीएफ
छह एनईएफ-क्यूवीएफ यहां विचरण और माध्य के बीच संबंधों की बढ़ती जटिलता में लिखे गए हैं।

1. निश्चित विचरण के साथ सामान्य वितरण $$X \sim N(\mu, \sigma^2) $$ NEF-QVF है क्योंकि विचरण स्थिर है। विचरण लिखा जा सकता है $$ \operatorname{Var}(X) = V(\mu) = \sigma^2$$, इसलिए विचरण माध्य का डिग्री 0 फलन है।

2. पॉइसन वितरण $$X \sim \operatorname{Poisson}(\mu) $$ एनईएफ-क्यूवीएफ है क्योंकि सभी पॉइसन वितरणों में माध्य के बराबर भिन्नता होती है $$\operatorname{Var}(X) = V(\mu) = \mu$$, इसलिए विचरण माध्य का एक रैखिक फलन है।

3. गामा वितरण $$X \sim \operatorname{Gamma}(r, \lambda) $$ NEF-QVF है क्योंकि गामा वितरण का माध्य है $$\mu = r\lambda$$ और गामा वितरण का विचरण है $$\operatorname{Var}(X) = V(\mu) = \mu^2/r$$, इसलिए विचरण माध्य का एक द्विघात फलन है।

4. द्विपद वितरण $$ X \sim \operatorname{Binomial}(n, p) $$ NEF-QVF है क्योंकि माध्य है $$\mu = np$$ और भिन्नता है $$ \operatorname{Var}(X) = np(1-p) $$ जिसे माध्य के रूप में लिखा जा सकता है $$V(X) = - np^2 + np = -\mu^2/n + \mu.$$ 5. ऋणात्मक द्विपद बंटन $$ X \sim \operatorname{NegBin}(n, p) $$ NEF-QVF है क्योंकि माध्य है $$\mu = np/(1-p)$$ और भिन्नता है $$V(\mu) = \mu^2/n + \mu.$$ 6. सामान्यीकृत द्वारा उत्पन्न (बहुत प्रसिद्ध नहीं) वितरण अतिशयोक्तिपूर्ण सेकेंट वितरण  (एनईएफ-जीएचएस) है  $$V(\mu) = \mu^2/n +n$$ और $$\mu > 0.$$

एनईएफ-क्यूवीएफ के गुण
एनईएफ-क्यूवीएफ के गुण इन वितरणों का उपयोग करने वाली गणनाओं को सरल बना सकते हैं।

1. द्विघात विचरण फलन (एनईएफ-क्यूवीएफ) वाले प्राकृतिक घातीय परिवार एक रैखिक परिवर्तन के संकल्प के तहत बंद होते हैं। अर्थात्, एनईएफ-क्यूवीएफ के रैखिक परिवर्तन का एक कनवल्शन भी एक एनईएफ-क्यूवीएफ है, हालांकि जरूरी नहीं कि यह मूल हो।

स्वतंत्र समान रूप से वितरित (आईआईडी) दिया गया $$X_1,\ldots,X_n$$ एनईएफ-क्यूवीएफ से वितरण के साथ। एनईएफ-क्यूवीएफ के रैखिक परिवर्तन का एक कनवल्शन भी एक एनईएफ-क्यूवीएफ है।

होने देना $$Y = \sum_{i=1}^n (X_i - b)/c \,$$ X के रैखिक परिवर्तन का कनवल्शन बनें। Y का माध्य है $$ \mu^* = n(\mu - b)/c \,$$. Y का प्रसरण मूल NEF-QVF के प्रसरण फलन के संदर्भ में लिखा जा सकता है। यदि मूल NEF-QVF में विचरण फ़ंक्शन था


 * $$ \operatorname{Var}(X) = V(\mu) = \nu_0 + \nu_1 \mu + \nu_2 \mu^2,$$

तो नए NEF-QVF में विचरण फ़ंक्शन है
 * $$ \operatorname{Var}(Y) = V^*(\mu^*) = \nu^*_0 + \nu^*_1 \mu + \nu^*_2 \mu^2 ,$$

कहाँ
 * $$ \nu^*_0 = nV(b)/c^2 \, ,$$
 * $$ \nu^*_1 = V'(b)/c \, ,$$
 * $$ \nu^*_2/n = \nu_2/n \, .$$

2. चलो $$ X_1$$ और $$X_2$$ समान पैरामीटर के साथ स्वतंत्र एनईएफ बनें θ और चलो $$ Y = X_1 + X_2 $$. फिर का सशर्त वितरण $$X_1$$ दिया गया $$Y$$ में द्विघात विचरण है $$Y$$ अगर और केवल अगर $$ X_1$$ और $$X_2$$ एनईएफ-क्यूवीएफ हैं। ऐसे सशर्त वितरण के उदाहरण सामान्य वितरण, द्विपद वितरण, बीटा वितरण, हाइपरजियोमेट्रिक वितरण और ज्यामितीय वितरण हैं, जो सभी एनईएफ-क्यूवीएफ नहीं हैं।

3. एनईएफ-क्यूवीएफ ने वितरण की पियर्सन प्रणाली में μ पर पूर्व वितरण को संयुग्मित किया है (जिसे पियर्सन वितरण भी कहा जाता है, हालांकि वितरण की पियर्सन प्रणाली वास्तव में एकल वितरण के बजाय वितरण का एक परिवार है।) एनईएफ के संयुग्मित पूर्व वितरण के उदाहरण- क्यूवीएफ वितरण सामान्य वितरण, गामा वितरण, पारस्परिक गामा, बीटा वितरण, एफ-वितरण|एफ-, और छात्र का टी-वितरण|टी-वितरण हैं। फिर, ये संयुग्मी पूर्वज सभी NEF-QVF नहीं हैं।

4. यदि $$ X \mid \mu $$ एक NEF-QVF वितरण है और μ का एक संयुग्मित पूर्व वितरण है तो सीमांत वितरण प्रसिद्ध वितरण हैं।

उपरोक्त संकेतन के साथ ये गुण गणितीय आंकड़ों में गणनाओं को सरल बना सकते हैं जो आम तौर पर जटिल गणनाओं और कैलकुलस का उपयोग करके किया जाता है।

यह भी देखें

 * सामान्यीकृत रैखिक मॉडल
 * पियर्सन वितरण
 * शेफ़र क्रम
 * ऑर्थोगोनल बहुपद

संदर्भ

 * Morris C. (1982) Natural exponential families with quadratic variance functions:  statistical theory.  Dept of mathematics, Institute of Statistics, University of Texas, Austin.