एकात्मक परिवर्तन (क्वांटम यांत्रिकी)

क्वांटम यांत्रिकी में,श्रोडिंगर समीकरण समय के साथ एक प्रणाली के बदलाव का वर्णन करता है। यह सिस्टम की स्थिति में होने वाले परिवर्तनों को सिस्टम में ऊर्जा से जोड़कर ऐसा करता है (हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) नामक ऑपरेटर द्वारा दिया गया)। इसलिए, एक बार हैमिल्टनियन ज्ञात हो जाने पर, समय की गतिशीलता सैद्धांतिक रूप से ज्ञात हो जाती है। जो कुछ बचा है वह हैमिल्टनियन को श्रोडिंगर समीकरण में प्लग करना और समय के एक फ़ंक्शन के रूप में सिस्टम स्थिति को हल करना है। हालाँकि, अक्सर श्रोडिंगर समीकरण को हल करना मुश्किल होता है (साधारण अंतर समीकरणों के लिए संख्यात्मक तरीके)। इसलिए, भौतिकविदों ने इन समस्याओं को सरल बनाने और भौतिक रूप से क्या हो रहा है यह स्पष्ट करने के लिए गणितीय तकनीक विकसित की है। ऐसी ही एक तकनीक हैमिल्टनियन में एकात्मक परिवर्तन लागू करना है। ऐसा करने से श्रोडिंगर समीकरण का एक सरलीकृत संस्करण प्राप्त हो सकता है जिसका समाधान मूल के समान ही है।

परिवर्तन
एक एकात्मक परिवर्तन (या फ़्रेम परिवर्तन) को समय-निर्भर हैमिल्टन के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है $$H(t)$$ और एकात्मक संचालक $$U(t)$$. इस परिवर्तन के तहत, हैमिल्टनियन इस प्रकार रूपांतरित होता है:


 * $$H \to UH{U^\dagger} + i\hbar\,{\dot{U}U^\dagger}

=: \breve{H} \quad \quad (0)$$.

श्रोडिंगर समीकरण नए हैमिल्टनियन पर लागू होता है। अपरिवर्तित और रूपांतरित समीकरणों के समाधान भी इससे संबंधित हैं $$U$$. विशेष रूप से, यदि तरंग कार्य करती है $$\psi(t)$$ तो, मूल समीकरण को संतुष्ट करता है $$U\psi(t)$$ नये समीकरण को संतुष्ट करेगा.

व्युत्पत्ति
याद रखें कि एकात्मक मैट्रिक्स की परिभाषा से, $$U^\dagger U = 1$$. श्रोडिंगर समीकरण से शुरुआत करते हुए,


 * $$\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar}H\psi$$,

इसलिए हम सम्मिलित कर सकते हैं $$U^\dagger U$$ इच्छानुसार। विशेष रूप से, इसे बाद में सम्मिलित करना $$H/\hbar$$ और दोनों पक्षों को पहले से गुणा करना भी $$U$$, हम पाते हैं


 * $$U\dot{\psi}=-\frac{i}{\hbar} \left(UHU^\dagger \right) U\psi\quad\quad (1)$$.

इसके बाद, ध्यान दें कि उत्पाद नियम के अनुसार,


 * $$\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(U\psi\right)=\dot{U}\psi+U\dot{\psi}$$.

दूसरा डालना $$U^\dagger U$$ और पुनर्व्यवस्थित करने पर, हमें मिलता है


 * $$U\dot{\psi} =

\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\Big(U\psi\Big) - \dot{U}U^\dagger U\psi \quad\quad(2)$$.

अंत में, उपरोक्त (1) और (2) के संयोजन से वांछित परिवर्तन होता है:


 * $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\Big(U \psi\Big) =

-\frac{i}{\hbar}\Big(UH{U^\dagger} + i\hbar\, \dot{U}{U^\dagger}\Big) \Big(U\psi\Big) \quad\quad \left(3\right)$$.

यदि हम संकेतन को अपनाते हैं $$\breve{\psi} := U\psi$$ रूपांतरित तरंग फ़ंक्शन का वर्णन करने के लिए, समीकरणों को स्पष्ट रूप में लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, $$(3)$$ के रूप में पुनः लिखा जा सकता है


 * $$\frac{\mathrm d}{\mathrm d t}\breve{\psi} =

-\frac{i}{\hbar} \breve{H}\breve{\psi} \quad\quad \left(4\right)$$,

जिसे मूल श्रोडिंगर समीकरण के रूप में फिर से लिखा जा सकता है,


 * $$\breve{H}\breve{\psi} =

i\hbar{\operatorname{d}\!\breve{\psi}\over\operatorname{d}\!t}.$$ मूल तरंग फ़ंक्शन को इस प्रकार पुनर्प्राप्त किया जा सकता है $$\psi = U^{\dagger} \breve{\psi}$$.

अंतःक्रिया चित्र से संबंध
एकात्मक परिवर्तनों को इंटरेक्शन चित्र |इंटरैक्शन (डिराक) चित्र के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है। बाद के दृष्टिकोण में, हैमिल्टनियन को समय-स्वतंत्र भाग और समय-निर्भर भाग में विभाजित किया गया है,


 * $$H(t)=H_0 + V(t) \quad \quad (a)$$.

इस स्थिति में, श्रोडिंगर समीकरण बन जाता है


 * $$\dot{\psi_I} =

-\frac{i}{\hbar} \left(e^{iH_0 t/\hbar} V e^{-iH_0 t/\hbar}\right) \psi_I$$, साथ $$\psi_I = e^{i H_0 t/\hbar} \psi$$. एकात्मक परिवर्तन के अनुरूपता को चुनकर दिखाया जा सकता है $U(t)=\exp\left[{+i H_0 t / \hbar}\right]$. नतीजतन, $${U^\dagger}(t) = \exp \left[{-i H_{0} t}/\hbar\right].$$ से संकेतन का उपयोग करना $$(0)$$ ऊपर, हमारा परिवर्तित हैमिल्टनियन बन जाता है


 * $$\breve{H} = U\left[H_0 + V(t)\right]U^{\dagger} + i\hbar \dot{U}U^{\dagger}

\quad \quad (b)$$ पहले ध्यान दें कि तब से $$U$$ का एक कार्य है $$H_0$$, दोनों में क्रमविनिमेय गुण होना चाहिए। तब


 * $$UH_0U^\dagger=H_0$$,

जो परिवर्तन में प्रथम पद का ध्यान रखता है $$(b)$$, अर्थात। $$\breve{H} = H_0 + UV(t)U^{\dagger} + i \hbar \dot{U}U^{\dagger}$$. गणना करने के लिए आगे श्रृंखला नियम का उपयोग करें


 * $$\begin{align} i\hbar \dot{U}U^\dagger & =

i\hbar \left({\operatorname{d}\!U\over\operatorname{d}\!t}\right) e^{-iH_{0} t/\hbar} \\ & = i\hbar \Big(iH_{0}/\hbar\Big) e^{+iH_{0} t/\hbar} e^{-iH_{0} t/\hbar} \\ & = i \hbar \left({i H_0}/\hbar \right) \\ & = -H_{0}, \\ \end{align}$$ जो दूसरे के साथ रद्द हो जाता है $$H_0$$. जाहिर तौर पर हम बचे हैं $$\breve{H} = UVU^\dagger$$, उपज $$\dot{\psi_{I}} = -\frac{i}{\hbar} U V U^{\dagger} \psi_I $$ जैसा कि उपर दिखाया गया है।

हालाँकि, सामान्य एकात्मक परिवर्तन लागू करते समय, यह आवश्यक नहीं है $$H(t)$$ भागों में तोड़ दिया जाए, या वह भी $$U(t)$$ हैमिल्टनियन के किसी भी भाग का एक कार्य हो।

घूमने वाला फ्रेम
एक परमाणु पर विचार करें दो-अवस्था क्वांटम प्रणाली, जमीनी अवस्था $$|g\rangle$$ और उत्साहित अवस्था $$|e\rangle$$. परमाणु में हैमिल्टनियन है $$H = \hbar\omega {|{e}\rangle \langle {e}|}$$, कहाँ $$\omega$$ जी-ई परमाणु इलेक्ट्रॉन संक्रमण से जुड़ी प्रकाश की आवृत्ति है। अब मान लीजिए कि हम आवृत्ति पर संचालित हार्मोनिक गति के साथ परमाणु को रोशन करते हैं $$\omega_d$$ जो युग्मन (भौतिकी) दो राज्यों, और समय-निर्भर संचालित हैमिल्टनियन है


 * $$H/\hbar=\omega |e\rangle\langle e| + \Omega\ e^{i\omega_d t}|g\rangle\langle e| + \Omega^*\ e^{-i\omega_d t}|e\rangle\langle g|$$

कुछ जटिल ड्राइव ताकत के लिए $$\Omega$$. प्रतिस्पर्धी आवृत्ति पैमानों के कारण ($$\omega$$, $$\omega_d$$, और $$\Omega$$), ड्राइव के प्रभाव का अनुमान लगाना मुश्किल है (संचालित हार्मोनिक गति देखें)।

एक ड्राइव के बिना, का चरण $$|e\rangle$$ के सापेक्ष दोलन करेगा $$|g\rangle$$. बलोच क्षेत्र में दो-राज्य प्रणाली का प्रतिनिधित्व, यह z-अक्ष के चारों ओर घूमने से मेल खाता है। वैचारिक रूप से, हम एकात्मक परिवर्तन द्वारा परिभाषित एक घूर्णन संदर्भ फ्रेम में प्रवेश करके गतिशीलता के इस घटक को हटा सकते हैं $$U=e^{i\omega t|e\rangle\langle e|}$$. इस परिवर्तन के तहत, हैमिल्टनियन बन जाता है


 * $$H/\hbar\to \Omega\, e^{i(\omega_d-\omega)t} |g\rangle \langle e|

+ \Omega^*\, e^{i(\omega-\omega_d)t} |e\rangle \langle g|$$.

यदि ड्राइविंग आवृत्ति जी-ई संक्रमण की आवृत्ति के बराबर है, $$\omega_d=\omega$$, प्रतिध्वनि उत्पन्न होगी और फिर उपरोक्त समीकरण कम हो जाएगा


 * $$\breve{H} / \hbar =

\Omega\ |g\rangle\langle e| + \Omega^*\ |e\rangle\langle g|$$.

इससे यह स्पष्ट है, विवरण में आए बिना भी, कि गतिशीलता में जमीन और आवृत्ति पर उत्तेजित अवस्थाओं के बीच दोलन शामिल होगा $$\Omega$$.

एक अन्य सीमित मामले के रूप में, मान लीजिए कि ड्राइव दूर-प्रतिध्वनि है, $$|\omega_d-\omega|\gg 0$$. हम श्रोडिंगर समीकरण को सीधे हल किए बिना उस मामले में गतिशीलता का पता लगा सकते हैं। मान लीजिए कि सिस्टम जमीनी अवस्था में शुरू होता है $$|g\rangle$$. प्रारंभ में, हैमिल्टनियन के कुछ घटक आबाद होंगे $$|e\rangle$$. हालाँकि, थोड़े समय बाद, यह लगभग उतनी ही मात्रा में आबाद हो जाएगा $$|e\rangle$$ लेकिन पूरी तरह से अलग चरण के साथ. इस प्रकार एक ऑफ-रेजोनेंट ड्राइव का प्रभाव स्वयं को रद्द कर देगा। इसे यह कहकर भी व्यक्त किया जा सकता है कि एक ऑफ-रेजोनेंट ड्राइव घूर्णन तरंग सन्निकटन है।

इन अवधारणाओं को नीचे दी गई तालिका में दर्शाया गया है, जहां गोला बलोच क्षेत्र का प्रतिनिधित्व करता है, तीर परमाणु की स्थिति का प्रतिनिधित्व करता है, और हाथ ड्राइव का प्रतिनिधित्व करता है।

विस्थापित फ्रेम
उपरोक्त उदाहरण का विश्लेषण इंटरेक्शन चित्र में भी किया जा सकता था। हालाँकि, निम्नलिखित उदाहरण का एकात्मक परिवर्तनों के सामान्य सूत्रीकरण के बिना विश्लेषण करना अधिक कठिन है। दो क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर पर विचार करें, जिनके बीच हम एक बीम फाड़नेवाला  इंटरैक्शन को इंजीनियर करना चाहेंगे,


 * $$g\, ab^\dagger + g^*\, a^\dagger b$$.

इसे प्रयोगात्मक रूप से दो माइक्रोवेव कैविटी रेज़ोनेटर के साथ प्राप्त किया गया था $$a$$ और $$b$$. नीचे, हम इस प्रयोग के सरलीकृत संस्करण का विश्लेषण प्रस्तुत करते हैं।

माइक्रोवेव गुहाओं के अलावा, प्रयोग में एक ट्रांसमोन qubit भी शामिल था, $$c$$, दोनों मोड से जुड़ा हुआ। क्वबिट दो आवृत्तियों पर एक साथ संचालित होता है, $$\omega_1$$ और $$\omega_2$$, जिसके लिए $$\omega_1-\omega_2=\omega_a-\omega_b$$.


 * $$H_\mathrm{drive}/\hbar=\Re\left[\epsilon_1e^{i\omega_1 t}+\epsilon_2 e^{i\omega_2 t}\right](c+c^\dagger).$$

इसके अलावा, सन्निकटन#उच्च-क्रम|चतुर्थ-क्रम शर्तों मोड युग्मन के कई आदेश हैं, लेकिन उनमें से अधिकतर को उपेक्षित किया जा सकता है। इस प्रयोग में दो ऐसे शब्द हैं जो महत्वपूर्ण हो जायेंगे


 * $$H_4/\hbar=g_4\Big(e^{i(\omega_b-\omega_a)t}ab^\dagger + \text{h.c.}\Big)c^\dagger c$$.

(H.c. हर्मिटियन संयुग्म के लिए संकेतन का दुरुपयोग है।) हम एक विस्थापन ऑपरेटर परिवर्तन लागू कर सकते हैं, $$U=D(-\xi_1 e^{-i\omega_1 t}-\xi_2 e^{-i\omega_2 t})$$, मोड करने के लिए $$c$$. सावधानीपूर्वक चुने गए आयामों के लिए, यह परिवर्तन रद्द हो जाएगा $$H_\textrm{drive}$$ सीढ़ी ऑपरेटर को भी विस्थापित करते हुए, $$c\to c+\xi_1 e^{-i\omega_1 t}+\xi_2 e^{-i\omega_2 t}$$. यह हमारा साथ छोड़ देता है


 * $$H/\hbar = g_4\Big(e^{i(\omega_b-\omega_a)t}ab^\dagger + e^{i(\omega_a-\omega_b)t}a^\dagger b\big)(c^\dagger +\xi_1^* e^{i\omega_1t}+\xi_2^* e^{i\omega_2 t})(c +\xi_1 e^{-i\omega_1t}+\xi_2 e^{-i\omega_2 t})$$.

इस अभिव्यक्ति का विस्तार करने और तेजी से घूमने वाले शब्दों को छोड़ने पर, हमारे पास वांछित हैमिल्टनियन बचता है,


 * $$H/\hbar=g_4 \xi_1^*\xi_2 e^{i(\omega_b-\omega_a+\omega_1-\omega_2)t}\ ab^\dagger+\text{h.c.} = g\, ab^\dagger + g^*\, a^\dagger b$$.

बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र से संबंध
एकात्मक परिवर्तनों में शामिल ऑपरेटरों को ऑपरेटरों के घातांक के रूप में लिखा जाना आम बात है, $$U = e^X$$, जैसा कि ऊपर देखा गया है। इसके अलावा, घातांक में ऑपरेटर आमतौर पर संबंध का पालन करते हैं $$X^\dagger = -X$$, ताकि एक ऑपरेटर का परिवर्तन हो $$Y$$ है,$$UYU^\dagger = e^XYe^{-X}$$. अब इटरेटर कम्यूटेटर का परिचय देकर,


 * $$[(X)^n,Y] \equiv \underbrace{[X,\dotsb[X,[X}_{n \text { times }}, Y]] \dotsb],\quad [(X)^0,Y] \equiv Y,$$

हम इस परिवर्तन को संक्षिप्त रूप से लिखने के लिए बेकर-कैंपबेल-हॉसडॉर्फ सूत्र के एक विशेष परिणाम का उपयोग कर सकते हैं,


 * $$e^X Y e^{-X} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{[(X)^n,Y]}{n!},$$

या, पूर्णता के लिए लंबे रूप में,


 * $$e^{X}Y e^{-X} = Y+\left[X,Y\right]+\frac{1}{2!}[X,[X,Y]]+\frac{1}{3!}[X,[X,[X,Y]]]+\cdots.$$