अनुकूलता (यांत्रिकी)

सातत्य यांत्रिकी में, एक शरीर में एक संगत परिमित विरूपण टेंसर (या तनाव टेंसर ) टेंसर क्षेत्र वह अद्वितीय टेंसर क्षेत्र होता है जो तब प्राप्त होता है जब शरीर एक निरंतर कार्य, एकल-मूल्यवान, विस्थापन क्षेत्र (यांत्रिकी) के अधीन होता है।. अनुकूलता उन परिस्थितियों का अध्ययन है जिनके तहत ऐसे विस्थापन क्षेत्र की गारंटी दी जा सकती है। संगतता स्थितियाँ अभिन्नता स्थितियों के विशेष मामले हैं और पहली बार 1864 में अधेमर जीन क्लाउड बर्रे डी सेंट-वेनेंट द्वारा रैखिक लोच के लिए प्राप्त की गई थीं और 1886 में यूजेनियो बेल्ट्रामी द्वारा कठोरता से साबित की गईं। एक ठोस पिंड के सातत्य विवरण में हम कल्पना करते हैं कि यह पिंड अनंत छोटे आयतनों या भौतिक बिंदुओं के समूह से बना है। प्रत्येक वॉल्यूम को बिना किसी अंतराल या ओवरलैप के अपने पड़ोसियों से जुड़ा हुआ माना जाता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कुछ गणितीय शर्तों को पूरा करना होगा कि सातत्य शरीर के विकृत होने पर अंतराल/ओवरलैप विकसित न हो। एक ऐसा शरीर जो बिना किसी अंतराल/ओवरलैप के विकृत हो जाता है, उसे संगत शरीर कहा जाता है। संगतता स्थितियाँ गणितीय स्थितियाँ हैं जो यह निर्धारित करती हैं कि कोई विशेष विकृति किसी शरीर को संगत स्थिति में छोड़ देगी या नहीं। इनफिनिटिमल स्ट्रेन सिद्धांत के संदर्भ में, ये स्थितियाँ यह बताने के बराबर हैं कि किसी पिंड में विस्थापन इनफिनिटिमल स्ट्रेन सिद्धांतों को एकीकृत करके प्राप्त किया जा सकता है। ऐसा एकीकरण संभव है यदि सेंट-वेनैंट का टेंसर (या असंगति टेंसर) $$\boldsymbol{R}(\boldsymbol{\varepsilon})$$ एक सरलता से जुड़े हुए शरीर में लुप्त हो जाता है कहाँ $$\boldsymbol{\varepsilon}$$ इनफिनिटसिमल स्ट्रेन सिद्धांत है और

\boldsymbol{R} := \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\varepsilon})^T = \boldsymbol{0} ~. $$ परिमित तनाव सिद्धांत के लिए अनुकूलता स्थितियाँ रूप लेती हैं

\boldsymbol{R} :=\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{F} = \boldsymbol{0} $$ कहाँ $$\boldsymbol{F}$$ विरूपण प्रवणता है.

अतिसूक्ष्म उपभेदों के लिए अनुकूलता की स्थितियाँ
रैखिक लोच में अनुकूलता स्थितियाँ यह देखकर प्राप्त की जाती हैं कि छह तनाव-विस्थापन संबंध हैं जो केवल तीन अज्ञात विस्थापनों के कार्य हैं। इससे पता चलता है कि तीन विस्थापनों को सूचना की हानि के बिना समीकरणों की प्रणाली से हटाया जा सकता है। केवल उपभेदों के संदर्भ में परिणामी अभिव्यक्तियाँ एक तनाव क्षेत्र के संभावित रूपों पर बाधाएं प्रदान करती हैं।

2-आयाम
द्वि-आयामी, समतल तनाव समस्याओं के लिए तनाव-विस्थापन संबंध हैं

\varepsilon_{11} = \cfrac{\partial u_1}{\partial x_1} ~; \varepsilon_{12} = \cfrac{1}{2}\left[\cfrac{\partial u_{1}}{\partial x_2} + \cfrac{\partial u_{2}}{\partial x_1}\right]~; \varepsilon_{22} = \cfrac{\partial u_{2}}{\partial x_2} $$ विस्थापन को दूर करने के लिए इन संबंधों का बार-बार विभेदन करना $$u_1$$ और $$u_2$$, हमें उपभेदों के लिए द्वि-आयामी अनुकूलता स्थिति प्रदान करता है

\cfrac{\partial^2 \varepsilon_{11}}{\partial x_2^2} - 2\cfrac{\partial^2 \varepsilon_{12}}{\partial x_1 \partial x_2} + \cfrac{\partial^2 \varepsilon_{22}}{\partial x_1^2} = 0 $$ एकमात्र विस्थापन क्षेत्र जिसे संगत समतल तनाव क्षेत्र द्वारा अनुमति दी जाती है, वह समतल विस्थापन क्षेत्र है, अर्थात, $$ \mathbf{u} = \mathbf{u}(x_1, x_2) $$.

3-आयाम
तीन आयामों में दो आयामों के लिए देखे गए स्वरूप के दो और समीकरण भी हैं प्रपत्र के तीन और समीकरण

\cfrac{\partial^2 \varepsilon_{33}}{\partial x_1 \partial x_2} = \cfrac{\partial}{\partial x_3}\left[ \cfrac{\partial \varepsilon_{23}}{\partial x_1} + \cfrac{\partial \varepsilon_{31}}{\partial x_2} - \cfrac{\partial \varepsilon_{12}}{\partial x_3}\right] $$ इसलिए, 3 हैं4=81 आंशिक अंतर समीकरण, हालांकि समरूपता स्थितियों के कारण, यह संख्या छह अलग-अलग संगतता स्थितियों तक कम हो जाती है। हम इन शर्तों को इंडेक्स नोटेशन में इस प्रकार लिख सकते हैं

e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon_{ij,kl} = 0 $$ कहाँ $$e_{ijk}$$ क्रमपरिवर्तन प्रतीक है. प्रत्यक्ष टेंसर नोटेशन में

\boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\varepsilon})^T = \boldsymbol{0} $$ जहां कर्ल ऑपरेटर को ऑर्थोनॉर्मल समन्वय प्रणाली में व्यक्त किया जा सकता है $$\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\varepsilon} = e_{ijk}\varepsilon_{rj,i}\mathbf{e}_k\otimes\mathbf{e}_r $$.

दूसरे क्रम का टेंसर

\boldsymbol{R} := \boldsymbol{\nabla}\times(\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\varepsilon})^T ~; R_{rs} := e_{ikr}~e_{jls}~\varepsilon_{ij,kl} $$ असंगति टेंसर के रूप में जाना जाता है, और यह सेंट-वेनैंट की अनुकूलता स्थिति#रैंक 2 टेंसर फ़ील्ड्स|सेंट-वेनैंट संगतता टेंसर के बराबर है

परिमित उपभेदों के लिए अनुकूलता की स्थिति
उन ठोस पदार्थों के लिए जिनमें विकृतियों का छोटा होना आवश्यक नहीं है, अनुकूलता की स्थितियाँ रूप ले लेती हैं

\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{F} = \boldsymbol{0} $$ कहाँ $$\boldsymbol{F}$$ विरूपण प्रवणता है. कार्टेशियन समन्वय प्रणाली के संबंध में घटकों के संदर्भ में हम इन संगतता संबंधों को इस प्रकार लिख सकते हैं

e_{ABC}~\cfrac{\partial F_{iB}}{\partial X_A} = 0 $$ यदि विरूपण निरंतर होना है और मानचित्रण से प्राप्त होना है तो यह शर्त आवश्यक है $$\mathbf{x} = \boldsymbol{\chi}(\mathbf{X},t)$$ (परिमित तनाव सिद्धांत देखें)। यही स्थिति सरल रूप से जुड़े निकाय में अनुकूलता सुनिश्चित करने के लिए भी पर्याप्त है।

सही कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर के लिए संगतता स्थिति
परिमित तनाव सिद्धांत के लिए अनुकूलता की स्थिति | सही कॉची-ग्रीन विरूपण टेंसर को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है

R^\gamma_{\alpha\beta\rho} := \frac{\partial }{\partial X^\rho}[\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}] - \frac{\partial }{\partial X^\beta}[\Gamma^\gamma_{\alpha\rho}] + \Gamma^\gamma_{\mu\rho}~\Gamma^\mu_{\alpha\beta} - \Gamma^\gamma_{\mu\beta}~\Gamma^\mu_{\alpha\rho} = 0 $$ कहाँ $$\Gamma^k_{ij}$$ वक्ररेखीय निर्देशांक है. मात्रा $$R^m_{ijk}$$ रीमैन-क्रिस्टोफ़ेल वक्रता टेंसर के मिश्रित घटकों का प्रतिनिधित्व करता है।

सामान्य अनुकूलता समस्या
सातत्य यांत्रिकी में अनुकूलता की समस्या में सरल रूप से जुड़े निकायों पर स्वीकार्य एकल-मूल्य वाले निरंतर क्षेत्रों का निर्धारण शामिल है। अधिक सटीक रूप से, समस्या को निम्नलिखित तरीके से बताया जा सकता है।

चित्र 1 में दिखाए गए किसी पिंड के विरूपण पर विचार करें। यदि हम सभी वैक्टर को संदर्भ समन्वय प्रणाली के संदर्भ में व्यक्त करते हैं $$\{(\mathbf{E}_1, \mathbf{E}_2, \mathbf{E}_3), O\}$$, शरीर में एक बिंदु का विस्थापन द्वारा दिया जाता है

\mathbf{u} = \mathbf{x} - \mathbf{X} ~; u_i = x_i - X_i $$ भी

\boldsymbol{\nabla} \mathbf{u} = \frac{\partial \mathbf{u}}{\partial \mathbf{X}} ~; \boldsymbol{\nabla} \mathbf{x} = \frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}} $$ किसी दिए गए दूसरे क्रम के टेंसर फ़ील्ड पर क्या स्थितियाँ हैं $$\boldsymbol{A}(\mathbf{X})$$ किसी पिंड पर एक अद्वितीय वेक्टर क्षेत्र मौजूद होने के लिए आवश्यक और पर्याप्त हैं $$\mathbf{v}(\mathbf{X})$$ जो संतुष्ट करता है

\boldsymbol{\nabla} \mathbf{v} = \boldsymbol{A} \quad \equiv \quad v_{i,j} = A_{ij} $$

आवश्यक शर्तें
आवश्यक शर्तों के लिए हम यह मान लेते हैं कि फ़ील्ड $$\mathbf{v}$$ मौजूद है और संतुष्ट करता है $$v_{i,j} = A_{ij}$$. तब

v_{i,jk} = A_{ij,k} ~; v_{i,kj} = A_{ik,j} $$ चूँकि विभेदन का क्रम बदलने से हमारे प्राप्त परिणाम पर कोई प्रभाव नहीं पड़ता है

v_{i,jk} = v_{i,kj} $$ इस तरह

A_{ij,k} = A_{ik,j} $$ टेंसर व्युत्पन्न (सातत्य यांत्रिकी) के लिए प्रसिद्ध पहचान से हमें आवश्यक शर्त मिलती है

\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A} = \boldsymbol{0} $$

पर्याप्त स्थितियाँ
यह साबित करने के लिए कि यह स्थिति संगत दूसरे क्रम के टेंसर फ़ील्ड के अस्तित्व की गारंटी देने के लिए पर्याप्त है, हम इस धारणा से शुरू करते हैं कि एक फ़ील्ड $$\boldsymbol{A}$$ ऐसा मौजूद है $$ \boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A} = \boldsymbol{0} $$. हम वेक्टर फ़ील्ड खोजने के लिए इस फ़ील्ड को एकीकृत करेंगे $$\mathbf{v}$$ बिंदुओं के बीच एक रेखा के साथ $$A$$ और $$B$$ (चित्र 2 देखें), यानी,

\mathbf{v}(\mathbf{X}_B) - \mathbf{v}(\mathbf{X}_A) = \int_{\mathbf{X}_A}^{\mathbf{X}_B} \boldsymbol{\nabla} \mathbf{v}\cdot~d\mathbf{X} = \int_{\mathbf{X}_A}^{\mathbf{X}_B} \boldsymbol{A}(\mathbf{X})\cdot d\mathbf{X} $$ यदि वेक्टर फ़ील्ड $$\mathbf{v}$$ एकल-मूल्यवान होना है तो अभिन्न का मूल्य आगे बढ़ने के लिए अपनाए गए पथ से स्वतंत्र होना चाहिए $$A$$ को $$B$$.

स्टोक्स के प्रमेय से, एक बंद पथ के साथ दूसरे क्रम के टेंसर का अभिन्न अंग दिया जाता है

\oint_{\partial\Omega} \boldsymbol{A}\cdot d\mathbf{s} = \int_{\Omega} \mathbf{n}\cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{A})~da $$ इस धारणा का उपयोग करते हुए कि कर्ल $$\boldsymbol{A}$$ शून्य है, हमें मिलता है

\oint_{\partial\Omega} \boldsymbol{A}\cdot d\mathbf{s} = 0 \quad \implies \quad \int_{AB} \boldsymbol{A}\cdot d\mathbf{X} + \int_{BA} \boldsymbol{A}\cdot d\mathbf{X} = 0 $$ इसलिए इंटीग्रल पथ स्वतंत्र है और अद्वितीयता सुनिश्चित करने के लिए संगतता स्थिति पर्याप्त है $$\mathbf{v}$$ फ़ील्ड, बशर्ते कि शरीर बस जुड़ा हुआ हो।

विरूपण प्रवणता की अनुकूलता
विरूपण प्रवणता के लिए अनुकूलता की स्थिति उपरोक्त प्रमाण से सीधे अवलोकन करके प्राप्त की जाती है

\boldsymbol{F} = \cfrac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}} = \boldsymbol{\nabla}\mathbf{x} $$ फिर एक संगत के अस्तित्व के लिए आवश्यक और पर्याप्त शर्तें $$\boldsymbol{F}$$ एक साधारण रूप से जुड़े हुए निकाय पर फ़ील्ड हैं

\boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{F} = \boldsymbol{0} $$

अतिसूक्ष्म उपभेदों की अनुकूलता
छोटे उपभेदों के लिए अनुकूलता समस्या को निम्नानुसार बताया जा सकता है।

एक सममित द्वितीय क्रम टेंसर फ़ील्ड दिया गया है $$\boldsymbol{\epsilon}$$ वेक्टर फ़ील्ड का निर्माण कब संभव है $$\mathbf{u}$$ ऐसा है कि

\boldsymbol{\epsilon} = \frac{1}{2} [\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} + (\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T] $$

आवश्यक शर्तें
मान लीजिए कि वहाँ मौजूद है $$\mathbf{u}$$ इस तरह कि अभिव्यक्ति के लिए $$\boldsymbol{\epsilon}$$ धारण करता है. अब

\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} = \boldsymbol{\epsilon} + \boldsymbol{\omega} $$ कहाँ

\boldsymbol{\omega} := \frac{1}{2} [\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u} - (\boldsymbol{\nabla}\mathbf{u})^T] $$ इसलिए, सूचकांक संकेतन में,

\boldsymbol{\nabla} \boldsymbol{\omega} \equiv \omega_{ij,k} = \frac{1}{2} (u_{i,jk} - u_{j,ik}) = \frac{1}{2} (u_{i,jk} + u_{k,ji} - u_{j,ik} - u_{k,ji}) = \varepsilon_{ik,j} - \varepsilon_{jk,i} $$ अगर $$\boldsymbol{\omega}$$ हमारे पास निरंतर भिन्नता है $$\omega_{ij,kl} = \omega_{ij,lk}$$. इस तरह,

\varepsilon_{ik,jl} - \varepsilon_{jk,il} - \varepsilon_{il,jk} + \varepsilon_{jl,ik} = 0 $$ प्रत्यक्ष टेंसर नोटेशन में

\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times\boldsymbol{\epsilon})^T = \boldsymbol{0} $$ उपरोक्त आवश्यक शर्तें हैं. अगर $$\mathbf{w}$$ तो यह अनन्तसूक्ष्म तनाव सिद्धांत है $$\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\epsilon} = \boldsymbol{\nabla} \mathbf{w}+\boldsymbol{\nabla} \mathbf{w}^T$$. अतः आवश्यक शर्त को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है $$\boldsymbol{\nabla} \times ( \boldsymbol{\nabla} \mathbf{w}+\boldsymbol{\nabla} \mathbf{w}^T)^T

= \boldsymbol{0}$$.

पर्याप्त स्थितियाँ
आइए अब मान लें कि स्थिति $$\boldsymbol{\nabla} \times (\boldsymbol{\nabla} \times\boldsymbol{\epsilon})^T = \boldsymbol{0}$$ शरीर के एक हिस्से में संतुष्ट है. क्या यह स्थिति निरंतर, एकल-मूल्य वाले विस्थापन क्षेत्र के अस्तित्व की गारंटी देने के लिए पर्याप्त है $$\mathbf{u}$$?

इस प्रक्रिया में पहला कदम यह दिखाना है कि यह स्थिति इनफिनिटसिमल स्ट्रेन सिद्धांत का तात्पर्य है $$\boldsymbol{\omega}$$ विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है। ऐसा करने के लिए हम एकीकृत करते हैं $$\boldsymbol{\nabla} \mathbf{w}$$ रास्ते के साथ साथ $$\mathbf{X}_A$$ को $$\mathbf{X}_B$$, अर्थात।,

\mathbf{w}(\mathbf{X}_B) - \mathbf{w}(\mathbf{X}_A) = \int_{\mathbf{X}_A}^{\mathbf{X}_B} \boldsymbol{\nabla} \mathbf{w}\cdot d\mathbf{X} = \int_{\mathbf{X}_A}^{\mathbf{X}_B} (\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\epsilon})\cdot d\mathbf{X} $$ ध्यान दें कि हमें एक संदर्भ जानने की आवश्यकता है $$\mathbf{w}(\mathbf{X}_A)$$ कठोर शरीर के घुमाव को ठीक करने के लिए। फील्ड $$\mathbf{w}(\mathbf{X})$$ विशिष्ट रूप से केवल तभी निर्धारित होता है जब समोच्च एक बंद समोच्च के साथ अभिन्न होता है $$\mathbf{X}_A$$ और $$\mathbf{X}_b$$ शून्य है, अर्थात,

\oint_{\mathbf{X}_A}^{\mathbf{X}_B} (\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\epsilon})\cdot d\mathbf{X} = \boldsymbol{0} $$ लेकिन स्टोक्स के प्रमेय से एक सरल रूप से जुड़े शरीर और अनुकूलता के लिए आवश्यक शर्त के लिए

\oint_{\mathbf{X}_A}^{\mathbf{X}_B} (\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\epsilon})\cdot d\mathbf{X} = \int_{\Omega_{AB}} \mathbf{n}\cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\nabla}\times\boldsymbol{\epsilon})~da = \boldsymbol{0} $$ इसलिए, क्षेत्र $$\mathbf{w}$$ विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है जिसका अर्थ है कि अनंत लघु घूर्णन टेंसर $$\boldsymbol{\omega}$$ इसे भी विशिष्ट रूप से परिभाषित किया गया है, बशर्ते शरीर बस जुड़ा हुआ हो।

प्रक्रिया के अगले चरण में हम विस्थापन क्षेत्र की विशिष्टता पर विचार करेंगे $$\mathbf{u}$$. पहले की तरह हम विस्थापन प्रवणता को एकीकृत करते हैं

\mathbf{u}(\mathbf{X}_B) - \mathbf{u}(\mathbf{X}_A) = \int_{\mathbf{X}_A}^{\mathbf{X}_B} \boldsymbol{\nabla} \mathbf{u}\cdot d\mathbf{X} = \int_{\mathbf{X}_A}^{\mathbf{X}_B} (\boldsymbol{\epsilon} + \boldsymbol{\omega})\cdot d\mathbf{X} $$ स्टोक्स के प्रमेय से और संबंधों का उपयोग करते हुए $$\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\epsilon} = \boldsymbol{\nabla} \mathbf{w} = -\boldsymbol{\nabla} \times \omega$$ हमारे पास है

\oint_{\mathbf{X}_A}^{\mathbf{X}_B} (\boldsymbol{\epsilon} + \boldsymbol{\omega})\cdot d\mathbf{X} = \int_{\Omega_{AB}} \mathbf{n}\cdot(\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\epsilon}+\boldsymbol{\nabla} \times \boldsymbol{\omega})~da = \boldsymbol{0} $$ इसलिए विस्थापन क्षेत्र $$\mathbf{u}$$ भी विशिष्ट रूप से निर्धारित किया जाता है। इसलिए अनुकूलता स्थितियाँ एक अद्वितीय विस्थापन क्षेत्र के अस्तित्व की गारंटी के लिए पर्याप्त हैं $$\mathbf{u}$$ एक सरलता से जुड़े शरीर में.

राइट कॉची-ग्रीन विरूपण क्षेत्र के लिए अनुकूलता
राइट कॉची-ग्रीन विरूपण क्षेत्र के लिए संगतता समस्या को निम्नानुसार प्रस्तुत किया जा सकता है।

समस्या: चलो $$\boldsymbol{C}(\mathbf{X})$$ संदर्भ विन्यास पर परिभाषित एक सकारात्मक निश्चित सममित टेंसर फ़ील्ड बनें। किन शर्तों पर $$\boldsymbol{C}$$ क्या स्थिति फ़ील्ड द्वारा चिह्नित कोई विकृत कॉन्फ़िगरेशन मौजूद है $$\mathbf{x}(\mathbf{X})$$ ऐसा है कि

(1)\quad\left(\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}}\right)^T \left(\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}}\right) = \boldsymbol{C} $$

आवश्यक शर्तें
मान लीजिए कि एक फ़ील्ड $$\mathbf{x}(\mathbf{X})$$ मौजूद है जो शर्त (1) को संतुष्ट करता है। आयताकार कार्टेशियन आधार के संबंध में घटकों के संदर्भ में

\frac{\partial x^i}{\partial X^\alpha}\frac{\partial x^i}{\partial X^\beta} = C_{\alpha\beta} $$ परिमित तनाव सिद्धांत से हम यह जानते हैं $$C_{\alpha\beta} = g_{\alpha\beta}$$. इसलिए हम लिख सकते हैं

\delta_{ij}~\frac{\partial x^i}{\partial X^\alpha}~\frac{\partial x^j}{\partial X^\beta} = g_{\alpha\beta} $$ दो सममित द्वितीय-क्रम टेंसर फ़ील्ड के लिए जिन्हें एक-से-एक मैप किया जाता है, हमारे पास परिमित तनाव सिद्धांत भी है #विरूपण उपायों और क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों के बीच कुछ संबंध

G_{ij} = \frac{\partial X^\alpha}{\partial x^i}~\frac{\partial X^\beta}{\partial x^j}~g_{\alpha\beta} $$ के बीच के संबंध से $$G_{ij}$$ और $$g_{\alpha\beta}$$ वह $$\delta_{ij} = G_{ij}$$, हमारे पास है

_{(x)}\Gamma_{ij}^k = 0 $$ फिर, रिश्ते से

\frac{\partial^2 x^m}{\partial X^\alpha \partial X^\beta} = \frac{\partial x^m}{\partial X^\mu}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\beta} - \frac{\partial x^i}{\partial X^\alpha}~\frac{\partial x^j}{\partial X^\beta} \,_{(x)}\Gamma^m_{ij} $$ हमारे पास है

\frac{\partial F^m_{~\alpha}}{\partial X^\beta} = F^m_{~\mu}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\beta} \qquad; F^i_{~\alpha} := \frac{\partial x^i}{\partial X^\alpha} $$ परिमित तनाव सिद्धांत से#विरूपण उपायों और क्रिस्टोफ़ेल प्रतीकों के बीच कुछ संबंध भी हमारे पास हैं

_{(X)}\Gamma_{\alpha\beta\gamma} = \frac{1}{2}\left(\frac{\partial g_{\alpha\gamma}}{\partial X^\beta} + \frac{\partial g_{\beta\gamma}}{\partial X^\alpha} - \frac{\partial g_{\alpha\beta}}{\partial X^\gamma}\right) ~; _{(X)}\Gamma^\nu_{\alpha\beta} = g^{\nu\gamma} \,_{(X)}\Gamma_{\alpha\beta\gamma} ~; g_{\alpha\beta} = C_{\alpha\beta} ~; g^{\alpha\beta} = C^{\alpha\beta} $$ इसलिए,

\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\beta} = \cfrac{C^{\mu\gamma}}{2}\left(\frac{\partial C_{\alpha\gamma}}{\partial X^\beta} + \frac{\partial C_{\beta\gamma}}{\partial X^\alpha} - \frac{\partial C_{\alpha\beta}}{\partial X^\gamma}\right) $$ और हमारे पास है

\frac{\partial F^m_{~\alpha}}{\partial X^\beta} = F^m_{~\mu}~\cfrac{C^{\mu\gamma}}{2}\left(\frac{\partial C_{\alpha\gamma}}{\partial X^\beta} + \frac{\partial C_{\beta\gamma}}{\partial X^\alpha} - \frac{\partial C_{\alpha\beta}}{\partial X^\gamma}\right) $$ फिर से, विभेदन के क्रम की क्रमविनिमेय प्रकृति का उपयोग करते हुए, हमारे पास है

\frac{\partial^2 F^m_{~\alpha}}{\partial X^\beta \partial X^\rho} = \frac{\partial^2 F^m_{~\alpha}}{\partial X^\rho \partial X^\beta} \implies \frac{\partial F^m_{~\mu}}{\partial X^\rho}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\beta} + F^m_{~\mu}~\frac{\partial }{\partial X^\rho}[\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\beta}] = \frac{\partial F^m_{~\mu}}{\partial X^\beta}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\rho} + F^m_{~\mu}~\frac{\partial }{\partial X^\beta}[\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\rho}] $$ या

F^m_{~\gamma}\,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\mu\rho}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\beta} + F^m_{~\mu}~\frac{\partial }{\partial X^\rho}[\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\beta}] = F^m_{~\gamma}\,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\mu\beta}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\rho} + F^m_{~\mu}~\frac{\partial }{\partial X^\beta}[\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\rho}] $$ शर्तों को एकत्रित करने के बाद हमें मिलता है

F^m_{~\gamma}\left(\,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\mu\rho}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\beta} +   \frac{\partial }{\partial X^\rho}[\,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}] -  \,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\mu\beta}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\rho} -    \frac{\partial }{\partial X^\beta}[\,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\alpha\rho}]\right) = 0 $$ की परिभाषा से $$F^m_{\gamma}$$ हम देखते हैं कि यह उलटा है और इसलिए शून्य नहीं हो सकता। इसलिए,

R^\gamma_{\alpha\beta\rho} := \frac{\partial }{\partial X^\rho}[\,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta}] - \frac{\partial }{\partial X^\beta}[\,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\alpha\rho}] + \,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\mu\rho}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\beta} - \,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\mu\beta}\,_{(X)}\Gamma^\mu_{\alpha\rho} = 0 $$ हम दिखा सकते हैं कि ये रीमैन-क्रिस्टोफ़ेल वक्रता टेंसर के मिश्रित घटक हैं। इसलिए, के लिए आवश्यक शर्तें $$\boldsymbol{C}$$-संगतता यह है कि विरूपण की रीमैन-क्रिस्टोफ़ेल वक्रता शून्य है।

पर्याप्त स्थितियाँ
पर्याप्तता का प्रमाण थोड़ा अधिक शामिल है। हम इस धारणा से शुरू करते हैं कि

R^\gamma_{\alpha\beta\rho} = 0 ~; g_{\alpha\beta} = C_{\alpha\beta} $$ हमें यह दिखाना होगा कि अस्तित्व है $$\mathbf{x}$$ और $$\mathbf{X}$$ ऐसा है कि

\frac{\partial x^i}{\partial X^\alpha}\frac{\partial x^i}{\partial X^\beta} = C_{\alpha\beta} $$ टी.वाई.थॉमस के एक प्रमेय से हम जानते हैं कि समीकरणों की प्रणाली

\frac{\partial F^i_{~\alpha}}{\partial X^\beta} = F^i_{~\gamma}~\,_{(X)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta} $$ अद्वितीय समाधान हैं $$F^i_{~\alpha}$$ यदि सरलता से जुड़े डोमेन पर

_{(X)}\Gamma^\gamma_{\alpha\beta} = _{(X)}\Gamma^\gamma_{\beta\alpha} ~; R^\gamma_{\alpha\beta\rho} = 0 $$ इनमें से पहला की परिभाषा से सत्य है $$\Gamma^i_{jk}$$ और दूसरा मान लिया गया है. इसलिए कल्पित स्थिति हमें एक अद्वितीयता प्रदान करती है $$F^i_{~\alpha}$$ वह है $$C^2$$ निरंतर।

आगे समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें

\frac{\partial x^i}{\partial X^\alpha} = F^i_{~\alpha} $$ तब से $$F^i_{~\alpha}$$ है $$C^2$$ और शरीर बस जुड़ा हुआ है, वहां कुछ समाधान मौजूद है $$x^i(X^\alpha)$$ उपरोक्त समीकरणों के लिए. हम दिखा सकते हैं कि $$x^i$$ उस संपत्ति को भी संतुष्ट करें

\det\left|\frac{\partial x^i}{\partial X^\alpha}\right| \ne 0 $$ हम वह रिश्ता भी दिखा सकते हैं

\frac{\partial x^i}{\partial X^\alpha}~g^{\alpha\beta}~\frac{\partial x^j}{\partial X^\beta} = \delta^{ij} $$ इसका आशय है

g_{\alpha\beta} = C_{\alpha\beta} = \frac{\partial x^k}{\partial X^\alpha}~\frac{\partial x^k}{\partial X^\beta} $$ यदि हम इन मात्राओं को टेंसर फ़ील्ड के साथ जोड़ते हैं तो हम इसे दिखा सकते हैं $$\frac{\partial \mathbf{x}}{\partial \mathbf{X}}$$ उलटा है और निर्मित टेंसर फ़ील्ड अभिव्यक्ति को संतुष्ट करता है $$\boldsymbol{C}$$.

यह भी देखें

 * सेंट-वेनैंट की अनुकूलता स्थिति
 * रेखीय लोच
 * विरूपण (यांत्रिकी)
 * अनंतिम तनाव सिद्धांत
 * परिमित तनाव सिद्धांत
 * टेंसर व्युत्पन्न (सातत्य यांत्रिकी)
 * वक्ररेखीय निर्देशांक

बाहरी संबंध

 * Amit Acharya's notes on compatibility on iMechanica
 * Plasticity by J. Lubliner, sec. 1.2.4 p. 35