प्राथमिक बीजगणित

प्राथमिक बीजगणित में बीजगणित की कुछ बुनियादी अवधारणाएँ शामिल हैं, जो गणित की मुख्य शाखाओं में से एक है। यह आमतौर पर माध्यमिक विद्यालय के छात्रों को पढ़ाया जाता है और अंकगणित की उनकी समझ पर आधारित होता है। जबकि अंकगणित निर्दिष्ट संख्याओं से संबंधित है, बीजगणित निश्चित मूल्यों के बिना मात्रा का परिचय देता है, जिसे चर के रूप में जाना जाता है। चरों के इस प्रयोग में बीजगणितीय संकेतन का उपयोग और अंकगणित में पेश किए गए संचालन के सामान्य नियमों की समझ शामिल है। अमूर्त बीजगणित के विपरीत, प्रारंभिक बीजगणित वास्तविक और जटिल संख्याओं के दायरे से बाहर बीजीय संरचनाओं से संबंधित नहीं है।

मात्राओं को निरूपित करने के लिए चरों का उपयोग मात्राओं के बीच सामान्य संबंधों को औपचारिक और संक्षिप्त रूप से व्यक्त करने की अनुमति देता है, और इस प्रकार समस्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला को हल करने में सक्षम बनाता है। विज्ञान और गणित में कई मात्रात्मक संबंधों को बीजीय समीकरणों के रूप में व्यक्त किया जाता है।

बीजीय संकेतन
बीजगणितीय अंकन गणितीय अभिव्यक्तियों को लिखने के लिए नियमों और परंपराओं का वर्णन करता है, साथ ही साथ अभिव्यक्तियों के कुछ हिस्सों के बारे में बात करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली शब्दावली का भी वर्णन करता है। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति निम्नलिखित घटक हैं:

[[File:algebraic equation notation.svg|256px|thumb|center|1. exponent (power)

2. coefficient

3. addend

4. term

5. operation (mathematics)

6. operation

7. constant (mathematics), $a$. variable (mathematics)]]

गुणांक एक संख्यात्मक मान, या एक संख्यात्मक स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करने वाला अक्षर है, जो चर को गुणा करता है (ऑपरेटर को छोड़ दिया जाता है)। शब्द एक जोड़ या एक सारांश है, जो गुणांक, चर, स्थिरांक और घातांक का एक समूह है जिसे प्लस और माइनस ऑपरेटरों द्वारा अन्य शर्तों से अलग किया जा सकता है। अक्षर चर और स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करते हैं। परंपरा के अनुसार, वर्णमाला की शुरुआत में अक्षर (जैसे a,b,c) आमतौर पर स्थिरांक का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है, और वे जो वर्णमाला के अंत में होते हैं (जैसे x,y और z ) चरों का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किया जाता है। वे आमतौर पर इटैलिक में मुद्रित होते हैं।

बीजगणितीय संक्रियाएं ,अंकगणितीय संक्रियाओं की तरह ही काम करती हैं, जैसे जोड़, घटाव, गुणा, भाग और घातांक। और बीजीय चरों और पदों पर लागू होते हैं। गुणन चिह्न आमतौर पर छोड़ा जाता है, और तब निहित होता है जब दो चर या पदों के बीच कोई स्थान नहीं होता है, या जब एक गुणांक का उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, के रूप में लिखा गया है 3x^2, तथा $$2 \times x \times y$$ लिखा जा सकता है $$2xy$$ ।

आमतौर पर उच्चतम शक्ति (घातांक) वाले शब्द बाईं ओर लिखे जाते हैं, उदाहरण के लिए, x^2 x के बाईं ओर लिखा गया है। जब एक गुणांक एक होता है, तो इसे आमतौर पर छोड़ दिया जाता है (जैसे 1x^2 लिखा है x^2 )। इसी तरह जब घातांक (शक्ति) एक हो, (उदा 3x^1 लिखा है 3x )। जब घातांक शून्य होता है, तो परिणाम हमेशा 1 होता है (उदा x^0 हमेशा 1 पर फिर से लिखा जाता है)। हालांकि $$0^0$$, अपरिभाषित होने के कारण, एक व्यंजक में प्रकट नहीं होना चाहिए, और अभिव्यक्ति को सरल बनाने में सावधानी बरतनी चाहिए जिसमें चर घातांक में प्रकट हो सकते हैं।

वैकल्पिक संकेतन
अन्य प्रकार के संकेतन का उपयोग बीजीय व्यंजकों में तब किया जाता है जब आवश्यक स्वरूपण उपलब्ध नहीं होता है, या निहित नहीं किया जा सकता है, जैसे कि जहाँ केवल अक्षर और प्रतीक उपलब्ध हैं। इसके उदाहरण के रूप में, जबकि घातांक आमतौर पर सुपरस्क्रिप्ट का उपयोग करके स्वरूपित किए जाते हैं, उदाहरण के लिए, x^2, सादे पाठ में, और TeX मार्क-अप भाषा में, कैरेट प्रतीक ^ घातांक का प्रतिनिधित्व करता है, इसलिए x^2 इसे "x^2"। साथ ही कुछ प्रोग्रामिंग भाषाएं जैसे कि लुआ (Lua)। प्रोग्रामिंग भाषाओं में जैसे कि एडीए, फोरट्रान, पर्ल, पायथन और रूबी, डबल तारांकन का उपयोग किया जाता है, इसलिए  x^2 "x**2" के रूप में लिखा गया है। कई प्रोग्रामिंग भाषाएं और कैलकुलेटर गुणन प्रतीक का प्रतिनिधित्व करने के लिए एक एकल तारांकन का उपयोग करते हैं, और इसका स्पष्ट रूप से उपयोग किया जाना चाहिए, उदाहरण के लिए,  3x "3*x" लिखा गया है।

चर
टीएस परिधि किसी भी सर्कल के लिए, इसकी परिधि $b$, इसके व्यास से विभाजित $c$, निरंतर पी के बराबर है, $$\pi$$ (लगभग 3.14)।

प्राथमिक बीजगणित अंकगणित का निर्माण और विस्तार करता है सामान्य (गैर-निर्दिष्ट) संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए चर नामक अक्षरों को पेश करके।यह कई कारणों से उपयोगी है।


 * 1) चर (वेरिएबल्स) उन संख्याओं का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं जिनके मान अभी तक ज्ञात नहीं हैं। उदाहरण के लिए, यदि वर्तमान दिन का तापमान, सी (C), पिछले दिन के तापमान से 20 डिग्री अधिक है, तो पी (P), तो समस्या को बीजगणितीय रूप से वर्णित किया जा सकता है $$C = P + 20$$.
 * 2) चर (वेरिएबल्स) किसी को 'सामान्य' 'समस्याओं का वर्णन करने की अनुमति देता है, इसमें शामिल मात्राओं के मूल्यों को निर्दिष्ट किए बिना।उदाहरण के लिए, यह विशेष रूप से कहा जा सकता है कि 5 मिनट के बराबर है $$60 \times 5 = 300$$ सेकंड।एक अधिक सामान्य (बीजगणितीय) विवरण बता सकता है कि सेकंड की संख्या, $$s = 60 \times m$$, जहां एम मिनटों की संख्या है।
 * 3) चर (वेरिएबल्स) किसी को मात्राओं के बीच गणितीय संबंधों का वर्णन करने की अनुमति देता है जो भिन्न हो सकते हैं। उदाहरण के लिए, एक सर्कल के परिधि, सी, और व्यास, डी के बीच संबंध का वर्णन किया गया है $$\pi = c /d$$।
 * 4) चर (वेरिएबल्स) एक को कुछ गणितीय गुणों का वर्णन करने की अनुमति देता है।उदाहरण के लिए, इसके अलावा एक मूल संपत्ति कम्यूटिविटी है जो बताती है कि संख्याओं के क्रम को एक साथ जोड़ा जा रहा है, कोई फर्क नहीं पड़ता।कम्यूटेटिविटी को बीजगणितीय रूप से कहा जाता है $$(a + b) = (b + a)$$.

सरलीकरण अभिव्यक्ति
अंकगणितीय संचालन (इसके अलावा, घटाव, गुणा, विभाजन और घातकता) के मूल गुणों के आधार पर बीजगणितीय अभिव्यक्तियों का मूल्यांकन और सरलीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए,
 * जोड़े गए शब्दों को गुणांक का उपयोग करके सरल बनाया जाता है।उदाहरण के लिए, $$x + x + x$$ के रूप में सरल किया जा सकता है $$3x$$ (जहां 3 एक संख्यात्मक गुणांक है)।
 * गुणकों का उपयोग करके गुणा की गई शर्तों को सरल बनाया जाता है। उदाहरण के लिए, $$x \times x \times x$$ के रूप में प्रतिनिधित्व किया जाता है $$x^3$$
 * जैसे शब्दों को एक साथ जोड़ा जाता है, उदाहरण के लिए, $$2x^2 + 3ab - x^2 + ab$$ के रूप में लिखा है $$x^2 + 4ab$$, क्योंकि शब्द युक्त $$x^2$$ एक साथ जोड़ा जाता है, और, शब्दों से युक्त $$ab$$ एक साथ जोड़े जाते हैं।
 * वितरणात्मक संपत्ति का उपयोग करके, कोष्ठक को गुणा किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $$x (2x + 3)$$ के रूप में लिखा जा सकता है $$(x \times 2x) + (x \times 3)$$ जिसे के रूप में लिखा जा सकता है $$2x^2 + 3x$$
 * अभिव्यक्तियों को फैक्टर किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, $$6x^5 + 3x^2$$, दोनों शब्दों को विभाजित करके $$3x^2$$ के रूप में लिखा जा सकता है $$3x^2 (2x^3 + 1)$$

समीकरण
एक समीकरण में कहा गया है कि दो भाव समानता के लिए प्रतीक का उपयोग करके समान हैं, = (समान संकेत)। सबसे प्रसिद्ध समीकरणों में से एक पाइथागोरस के नियम का वर्णन करता है जो एक समकोण त्रिभुज के किनारों की लंबाई से संबंधित है:
 * $$c^2 = a^2 + b^2$$

इस समीकरण में कहा गया है कि $$c^2$$, उस पक्ष की लंबाई के वर्ग का प्रतिनिधित्व करते हुए जो कि हाइपोटेनस है, सही कोण के विपरीत पक्ष, अन्य दो पक्षों के वर्गों के योग (जोड़) के बराबर है, जिनकी लंबाई का प्रतिनिधित्व किया जाता है $x$ तथा $x, y$।

समीकरण यह दावा है कि दो अभिव्यक्तियों का एक ही मूल्य है और समान हैं। कुछ समीकरण शामिल चर के सभी मूल्यों के लिए सही हैं (जैसे) $$a + b = b + a$$), इस तरह के समीकरणों को पहचान कहा जाता है।सशर्त समीकरण केवल शामिल चर के कुछ मूल्यों के लिए सही हैं,उदहारण, | $$x^2 - 1 = 8$$ केवल सच है $$x = 3$$ तथा $$x = -3$$। चर के मान जो समीकरण को सच बनाते हैं, वे समीकरण के समाधान हैं और समीकरण समाधान  के माध्यम से पाया जा सकता है।

असमानता, अन्य प्रकार का समीकरण है। असमानताओं का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जाता है कि समीकरण का एक पक्ष दूसरे की तुलना में अधिक या कम है। इसके लिए उपयोग किए जाने वाले प्रतीक हैं: $$ a > b $$ कहाँ पे $$ > $$ 'से अधिक' का प्रतिनिधित्व करता है, और $$ a < b $$ कहाँ पे $$ < $$ 'से कम' का प्रतिनिधित्व करता है। मानक समानता समीकरणों की तरह, संख्याओं को जोड़ा जा सकता है, घटाया जा सकता है, गुणा या विभाजित किया जा सकता है। एकमात्र अपवाद यह है कि जब नकारात्मक संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है, तो असमानता प्रतीक को फ़्लिप किया जाना चाहिए।

समानता के गुण
परिभाषा के अनुसार, समानता एक समानता संबंध है, जिसका अर्थ है कि इसमें गुण (ए) रिफ्लेक्टिव (अर्थात् ($$b = b$$), (बी) सममित (यानी यदि $$a = b$$ फिर $$b = a$$) (ग) सकर्मक (यानी यदि $$a = b$$ तथा $$b = c$$ फिर $$a = c$$)। यह महत्वपूर्ण संपत्ति को भी संतुष्ट करता है कि यदि दो प्रतीकों का उपयोग समान चीजों के लिए किया जाता है, तो एक प्रतीक को पहले के बारे में किसी भी सच्चे कथन में दूसरे के लिए प्रतिस्थापित किया जा सकता है और कथन सही रहेगा। इसका मतलब निम्नलिखित गुण हैं:


 * यदि $$a = b$$ तथा $$c = d$$ फिर $$a + c = b + d$$ तथा $$ac = bd$$;
 * यदि $$a = b$$ फिर $$a + c = b + c$$ तथा $$ac = bc$$;
 * अधिक आम तौर पर, किसी भी कार्य के लिए $c$, यदि $$a=b$$ फिर $$f(a) = f(b)$$।

असमानता के गुण
रिश्तों से कम < और इससे बड़ा > सकर्मकता का गुण है:


 * यदि $$a < b$$ और $$b < c$$ तब  $$a < c$$;

असमानता को उलटकर, $$ < $$ तथा $$ > $$ स्वैप किया जा सकता है, उदाहरण के लिए:
 * यदि $$a < b$$ और $$c < d$$ तब  $$a + c < b + d$$; * यदि $$a < b$$ और  $$c > 0$$ तब  $$ac < bc$$;
 * यदि $$a < b$$ और $$c < 0$$ तब  $$bc < ac$$।
 * $$a < b$$ के बराबर है $$b > a$$

प्रतिस्थापन
प्रतिस्थापन एक नई अभिव्यक्ति बनाने के लिए एक अभिव्यक्ति में शर्तों को बदल रहा है। के लिए 3 को प्रतिस्थापित करना $d$ अभिव्यक्ति में $a*5$ एक नई अभिव्यक्ति बनाता है $3*5$ अर्थ के साथ $15$।किसी बयान की शर्तों को प्रतिस्थापित करना एक नया बयान देता है।जब मूल कथन शर्तों के मूल्यों के स्वतंत्र रूप से सच होता है, तो प्रतिस्थापन द्वारा बनाया गया कथन भी सच होता है। इसलिए, परिभाषाएँ प्रतीकात्मक शब्दों में बनाई जा सकती हैं और प्रतिस्थापन के माध्यम से व्याख्या की जा सकती हैं: यदि $$a^2:=a\times a$$ की परिभाषा के रूप में है $$a^2,$$ के उत्पाद के रूप में $a$ अपने आप के साथ, प्रतिस्थापन $3$ के लिये $b$ इस कथन के पाठक को सूचित करता है कि $$3^2$$ साधन $3 × 3 = 9$।अक्सर यह ज्ञात नहीं होता है कि बयान शर्तों के मूल्यों के स्वतंत्र रूप से सच है या नहीं।और, प्रतिस्थापन एक को संभावित मूल्यों पर प्रतिबंध प्राप्त करने की अनुमति देता है, या यह दिखाता है कि कथन किन शर्तों के तहत है।उदाहरण के लिए, बयान लेना $x + 1 = 0$, यदि $f$ के साथ प्रतिस्थापित किया गया है $1$, यह संकेत करता है $1 + 1 = 2 = 0$, जो गलत है, जिसका अर्थ है कि अगर $x + 1 = 0$ फिर $a$ नहीं हो सकता $1$।

यदि $x$ तथा $y$ पूर्णांक, तर्कसंगत, या [[ वास्तविक संख्या  ]]एं हैं, फिर $xy = 0$ तात्पर्य $x = 0$ या $y = 0$।विचार करना $abc = 0$।फिर, प्रतिस्थापन $a$ के लिये $x$ तथा $bc$ के लिये $y$, हम सीखते हैं $a = 0$ या $bc = 0$।फिर हम फिर से स्थानापन्न कर सकते हैं, दे सकते हैं $x = b$ तथा $y = c$, यह दिखाने के लिए कि अगर $bc = 0$ फिर $b = 0$ या $c = 0$।इसलिए, अगर $abc = 0$, फिर $a = 0$ या ($b = 0$ या $c = 0$), इसलिए $abc = 0$ तात्पर्य $a = 0$ या $b = 0$ या $c = 0$।

यदि मूल तथ्य के रूप में कहा गया था$ab = 0$ तात्पर्य $a = 0$ या $b = 0$, फिर जब कहें तो विचार करें $abc = 0$, प्रतिस्थापन करते समय हमारे पास शर्तों का टकराव होगा।फिर भी उपरोक्त तर्क अभी भी यह दिखाने के लिए मान्य है कि अगर $abc = 0$ फिर $a = 0$ या $b = 0$ या $c = 0$ अगर, बजाय जाने के बजाय $a = a$ तथा $b = bc$, एक विकल्प $a$ के लिये $a$ तथा $b$ के लिये $bc$ (और साथ $bc = 0$, प्रतिस्थापन $b$ के लिये $a$ तथा $c$ के लिये $b$)।इससे पता चलता है कि किसी बयान में शर्तों के लिए प्रतिस्थापित करना हमेशा समान नहीं होता है, जो कथन से शर्तों को प्रतिस्थापित शब्दों के बराबर देता है।इस स्थिति में यह स्पष्ट है कि अगर हम एक अभिव्यक्ति को स्थानापन्न करते हैं $a$ में $a$ मूल समीकरण की अवधि, $a$ प्रतिस्थापित का उल्लेख नहीं करता है $a$ बयान में$ab = 0$ तात्पर्य $a = 0$ या $b = 0$।

बीजगणितीय समीकरणों को हल करना
निम्नलिखित अनुभागों में कुछ प्रकार के बीजगणितीय समीकरणों के उदाहरण हैं जिनका सामना किया जा सकता है।

एक चर के साथ रैखिक समीकरण
रैखिक समीकरण तथाकथित होते हैं, क्योंकि जब वे प्लॉट किए जाते हैं, तो वे एक सीधी रेखा का वर्णन करते हैं। हल करने के लिए सबसे सरल समीकरण रैखिक समीकरण हैं जिनमें केवल एक चर है। उनमें केवल एक घातांक के बिना निरंतर संख्या और एक एकल चर शामिल हैं। एक उदाहरण के रूप में, विचार करें,

यदि आप किसी बच्चे की उम्र को दोगुना करते हैं और 4 जोड़ते हैं, तो परिणामी उत्तर 12. लड़के की उम्र कितनी है?

समकक्ष समीकरण: $$2x + 4 = 12$$ कहाँ पे $a$ बच्चे की उम्र का प्रतिनिधित्व करते हैंl

इस तरह के समीकरण को हल करने के लिए, तकनीक समीकरण के एक तरफ चर को अलग करने के लिए समीकरण के दोनों किनारों को एक ही संख्या से जोड़, घटाना, गुणा या विभाजित करना है। एक बार चर को अलग करने के बाद, समीकरण का दूसरा पक्ष चर का मान है। यह समस्या और इसका समाधान इस प्रकार है, एक्स के लिए एनजी बच्चा 4 साल का है।

एक चर के साथ एक रैखिक समीकरण का सामान्य रूप, के रूप में लिखा जा सकता है: $$ax+b=c$$ एक ही प्रक्रिया के बाद (यानी घटाना $a$ दोनों पक्षों से, और फिर विभाजित करें $x$), सामान्य समाधान द्वारा दिया जाता है $$x=\frac{c-b}{a}$$

दो चर के साथ रैखिक समीकरण
दो चर के साथ एक रैखिक समीकरण में कई (यानी अनंत संख्या) समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए:


 * एक पिता अपने बेटे से 22 साल बड़ा है। वे कितने साल के हैं?
 * समकक्ष समीकरण: $$y = x + 22$$ कहाँ पे $x$ पिता की उम्र है, $x$ बेटे की उम्र है।

यह अपने आप से काम नहीं किया जा सकता है।यदि बेटे की उम्र ज्ञात की जाती, तो अब दो अज्ञात (चर) नहीं होंगे।समस्या तब सिर्फ एक चर के साथ एक रैखिक समीकरण बन जाती है, जिसे ऊपर वर्णित के रूप में हल किया जा सकता है।

दो चर (अज्ञात) के साथ एक रैखिक समीकरण को हल करने के लिए, दो संबंधित समीकरणों की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, यदि यह भी पता चला कि:
 * शब्दों में समस्या
 * 10 साल में, पिता अपने बेटे से दोगुना बूढ़ा हो जाएगा।


 * समकक्ष समीकरण
 * $$\begin{align}

y + 10 &= 2 \times (x + 10)\\ y &= 2 \times (x + 10) - 10 && \text{Subtract 10 from both sides}\\ y &= 2x + 20 - 10 && \text{Multiple out brackets}\\ y &= 2x + 10 && \text{Simplify} \end{align}$$ अब दो संबंधित रैखिक समीकरण हैं, जिनमें से प्रत्येक दो अज्ञात हैं, जो केवल एक चर के साथ एक रैखिक समीकरण के उत्पादन को सक्षम करता है, एक को दूसरे से घटाकर (एलिमिनेशन विधि कहा जाता है): :$$\begin{cases} y = x + 22 & \text{First equation}\\ y = 2x + 10 & \text{Second equation} \end{cases}$$
 * $$\begin{align}

&&&\text{Subtract the first equation from}\\ (y - y) &= (2x - x) +10 - 22 && \text{the second in order to remove } y\\ 0 &= x - 12 && \text{Simplify}\\ 12 &= x && \text{Add 12 to both sides}\\ x &= 12 && \text{Rearrange} \end{align}$$ दूसरे शब्दों में, बेटा 12 वर्ष की आयु का है, और पिता के 22 साल की उम्र से, वह 34 वर्ष का होना चाहिए। 10 साल में, पुत्र 22 साल का हो जाएगा, और पिता अपनी उम्र से दोगुना हो जाएगा, 44. इस समस्या पर सचित्र हैसमीकरणों का संबद्ध कथानक।

इस तरह के समीकरणों को हल करने के अन्य तरीकों के लिए, नीचे देखें, रैखिक समीकरणों की प्रणाली ।

द्विघात समीकरण
द्विघात समीकरण वह होता है जिसमें 2 के घातांक वाला पद शामिल होता है, उदाहरण के लिए, $$x^2$$, और उच्च घातांक के साथ कोई शब्द नहीं। नाम लैटिन क्वाड्रस से निकला है, जिसका अर्थ है वर्ग। सामान्य तौर पर, एक द्विघात समीकरण को रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$ax^2 + bx + c = 0$$, कहाँ पे $b$ शून्य नहीं है (यदि यह शून्य था, तो समीकरण द्विघात नहीं होगा, लेकिन रैखिक होगा)। इस वजह से एक द्विघात समीकरण में शब्द होना चाहिए $$ax^2$$, जिसे द्विघात शब्द के रूप में जाना जाता है।अत $$a \neq 0$$, और इसलिए हम विभाजित कर सकते हैं $a$ और समीकरण को मानक रूप में पुनर्व्यवस्थित करें


 * $$x^2 + px + q = 0 $$

कहाँ पे $$p = \frac{b}{a}$$ तथा $$q = \frac{c}{a}$$।इसे हल करना, वर्ग को पूरा करने के रूप में जाना जाने वाला एक प्रक्रिया द्वारा, द्विघात सूत्र की ओर जाता है


 * $$x=\frac{-b \pm \sqrt {b^2-4ac}}{2a},$$

जहां प्लस -मिनस साइन | प्रतीक ± इंगित करता है कि दोनों


 * $$ x=\frac{-b + \sqrt {b^2-4ac}}{2a}\quad\text{and}\quad x=\frac{-b - \sqrt {b^2-4ac}}{2a}$$

द्विघात समीकरण के समाधान हैं।

द्विघात समीकरणों को भी कारककरण का उपयोग करके हल किया जा सकता है (जिसकी रिवर्स प्रक्रिया विस्तार है, लेकिन दो रैखिक शब्दों के लिए कभी -कभी पन्नी को निरूपित किया जाता है)। फैक्टरिंग के एक उदाहरण के रूप में:


 * $$x^{2} + 3x - 10 = 0, $$

जो एक ही बात है


 * $$(x + 5)(x - 2) = 0. $$

यह शून्य-उत्पाद संपत्ति से या तो इस प्रकार है $$x = 2$$ या $$x = -5$$ समाधान हैं, क्योंकि ठीक एक कारक शून्य के बराबर होना चाहिए।सभी द्विघात समीकरणों में जटिल संख्या प्रणाली में दो समाधान होंगे, लेकिन वास्तविक संख्या प्रणाली में किसी भी तरह की आवश्यकता नहीं है। उदाहरण के लिए,


 * $$x^{2} + 1 = 0 $$

कोई वास्तविक संख्या समाधान नहीं है क्योंकि कोई वास्तविक संख्या नहीं है। कभी -कभी एक द्विघात समीकरण में बहुलता 2 की जड़ होती है, जैसे कि:


 * $$(x + 1)^2 = 0. $$

इस समीकरण के लिए, −1 बहुलता की एक जड़ है। इसका मतलब है −1 दो बार दिखाई देता है, क्योंकि समीकरण को फिर से लिखा जा सकता है


 * $$[x-(-1)][x-(-1)]=0.$$

जटिल संख्या
सभी द्विघात समीकरणों में जटिल संख्याओं में बिल्कुल दो समाधान होते हैं (लेकिन वे एक दूसरे के बराबर हो सकते हैं), एक श्रेणी जिसमें वास्तविक संख्या, काल्पनिक संख्या एं और वास्तविक और काल्पनिक संख्याओं के योग शामिल हैं।जटिल संख्या पहले द्विघात समीकरणों और द्विघात सूत्र के शिक्षण में उत्पन्न होती है।उदाहरण के लिए, द्विघात समीकरण


 * $$x^2+x+1=0$$

समाधान है


 * $$x=\frac{-1 + \sqrt{-3}}{2} \quad \quad \text{and} \quad \quad x=\frac{-1-\sqrt{-3}}{2}.$$

तब से $$\sqrt{-3}$$ कोई वास्तविक संख्या नहीं है, X के लिए ये दोनों समाधान जटिल संख्या हैं।

घातीय और लघुगणक समीकरण
एस, जो एक्स-एक्सिस को पार करता है जहां एक्स 1 है और वाई-एक्सिस के साथ माइनस इन्फिनिटी की ओर बढ़ता है। बेस 2 के लिए लॉगरिदम का ग्राफ 1 पर एक्स अक्ष (क्षैतिज अक्ष) को पार करता है और निर्देशांक के साथ बिंदुओं से गुजरता है (2, 1), (4, 2), तथा (8, 3)। उदाहरण के लिए,, क्योंकि ग्राफ मनमाने ढंग से y अक्ष के करीब हो जाता है, लेकिन इसे पूरा नहीं करता है या उसे प्रतिच्छेद नहीं करता है।

एक घातीय समीकरण वह है जिसका रूप है $$a^x = b$$ के लिये $$a > 0$$, जिसका समाधान है


 * $$X = \log_a b = \frac{\ln b}{\ln a}$$

जब $$b > 0$$।प्राथमिक बीजगणितीय तकनीकों का उपयोग समाधान पर पहुंचने से पहले उपरोक्त तरीके से दिए गए समीकरण को फिर से लिखने के लिए किया जाता है। उदाहरण के लिए, यदि


 * $$3 \cdot 2^{x - 1} + 1 = 10$$

फिर, समीकरण के दोनों किनारों से 1 को घटाकर, और फिर दोनों पक्षों को 3 से विभाजित करना हम प्राप्त करते हैं


 * $$2^{x - 1} = 3$$

जहां से


 * $$x - 1 = \log_2 3$$

या


 * $$x = \log_2 3 + 1.$$

एक लघुगणक समीकरण प्रपत्र का एक समीकरण है $$log_a(x) = b$$ के लिये $$a > 0$$, जिसका समाधान है


 * $$X = a^b.$$

उदाहरण के लिए, यदि


 * $$4\log_5(x - 3) - 2 = 6$$

फिर, समीकरण के दोनों किनारों पर 2 जोड़कर, दोनों पक्षों को 4 से विभाजित करने के बाद, हमें मिलता है


 * $$\log_5(x - 3) = 2$$

जहां से


 * $$x - 3 = 5^2 = 25$$

जिससे हम प्राप्त करते हैं


 * $$x = 28.$$

कट्टरपंथी समीकरण
एक कट्टरपंथी समीकरण वह है जिसमें एक कट्टरपंथी संकेत शामिल है, जिसमें वर्ग जड़ें शामिल हैं, $$\sqrt{x},$$ घन जड़ें, $$\sqrt[3]{x}$$, और nth जड़ें, $$\sqrt[n]{x}$$।याद रखें कि एक nth रूट को घातीय प्रारूप में फिर से लिखा जा सकता है, ताकि $$\sqrt[n]{x}$$ के बराबर है $$x^{\frac{1}{n}}$$।नियमित घातांक (शक्तियों) के साथ संयुक्त, फिर $$\sqrt[2]{x^3}$$ (का वर्गमूल $y$ क्यूबेड), के रूप में फिर से लिखा जा सकता है $$x^{\frac{3}{2}}$$. तो एक कट्टरपंथी समीकरण का एक सामान्य रूप है $$ \sqrt[n]{x^m}=a$$ (के बराबर $$ x^\frac{m}{n}=a$$) कहाँ पे $x$ तथा $a$ पूर्णांक हैं। इसके वास्तविक समाधान हैं), उदाहरण के लिए, अगर:


 * $$(x + 5)^{2/3} = 4$$

फिर


 * $$\begin{align}

x + 5 & = \pm (\sqrt{4})^3,\\ x + 5 & = \pm 8,\\ x & = -5 \pm 8, \end{align}$$ और इस तरह
 * $$x = 3 \quad \text{or}\quad x = -13$$

रैखिक समीकरणों की प्रणाली
दो चर के साथ रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने के लिए अलग-अलग तरीके हैं।

एलिमिनेशन विधि
रैखिक समीकरणों की एक प्रणाली को हल करने का एक उदाहरण उन्मूलन विधि का उपयोग करके है:


 * $$\begin{cases}4x + 2y&= 14 \\

2x - y&= 1.\end{cases} $$ दूसरे समीकरण में शब्दों को 2 से गुणा करना:


 * $$4x + 2y = 14 $$
 * $$4x - 2y = 2. $$

प्राप्त करने के लिए दो समीकरणों को एक साथ जोड़ना:


 * $$8x = 16 $$

जो सरल करता है


 * $$x = 2. $$

इस तथ्य के बाद से $$x = 2$$ ज्ञात है, तब यह संभव है कि कटौती करना संभव है $$y = 3$$ मूल दो समीकरणों में से (के बजाय 2 का उपयोग करके $a$ ) इस समस्या का पूरा समाधान तब है


 * $$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}$$

यह इस विशिष्ट प्रणाली को हल करने का एकमात्र तरीका नहीं है; $x$ पहले हल किया जा सकता था $m$।

प्रतिस्थापन विधि
रैखिक समीकरणों की एक ही प्रणाली को हल करने का एक और तरीका प्रतिस्थापन द्वारा है।


 * $$\begin{cases}4x + 2y &= 14

\\ 2x - y &= 1.\end{cases} $$ के बराबर $n$ दो समीकरणों में से एक का उपयोग करके घटाया जा सकता है।दूसरे समीकरण का उपयोग करना,


 * $$2x - y = 1 $$

घटाने $$2x$$ समीकरण के प्रत्येक पक्ष से:


 * $$\begin{align}2x - 2x - y & = 1 - 2x \\

- y & = 1 - 2x \end{align}$$ और −1 से गुणा करना:


 * $$ y = 2x - 1. $$

इसका उपयोग करना $n$ मूल प्रणाली में पहले समीकरण में मूल्य:


 * $$\begin{align}4x + 2(2x - 1) &= 14\\

4x + 4x - 2 &= 14 \\ 8x - 2 &= 14 \end{align}$$ समीकरण के प्रत्येक पक्ष पर 2 जोड़ना:


 * $$\begin{align}8x - 2 + 2 &= 14 + 2 \\

8x &= 16 \end{align}$$ जो सरल करता है


 * $$x = 2 $$

समीकरणों में से एक में इस मान का उपयोग करते हुए, पिछली विधि के समान समाधान प्राप्त किया जाता है।


 * $$\begin{cases} x = 2 \\ y = 3. \end{cases}$$

यह इस विशिष्ट प्रणाली को हल करने का एकमात्र तरीका नहीं है;इस मामले में भी, $n$ पहले हल किया जा सकता था $n$।

असंगत प्रणाली
उपरोक्त उदाहरण में, एक समाधान मौजूद है।हालांकि, ऐसे समीकरणों की प्रणालियाँ भी हैं जिनका कोई समाधान नहीं है।इस तरह की प्रणाली को असंगत कहा जाता है।एक स्पष्ट उदाहरण है,


 * $$\begin{cases}\begin{align} x + y &= 1 \\

0x + 0y &= 2\,. \end{align} \end{cases}$$ 0 ≠ 2 के रूप में, सिस्टम में दूसरे समीकरण का कोई समाधान नहीं है।इसलिए, सिस्टम का कोई समाधान नहीं है। हालांकि, सभी असंगत प्रणालियों को पहली नजर में मान्यता नहीं दी जाती है।एक उदाहरण के रूप में, सिस्टम पर विचार करें
 * $$\begin{cases}\begin{align}4x + 2y &= 12 \\

-2x - y &= -4\,. \end{align}\end{cases}$$ दूसरे समीकरण के 2 दोनों किनारों से गुणा करना, और इसे पहले एक परिणाम में जोड़ना
 * $$0x+0y = 4 \,,$$

जिसका स्पष्ट रूप से कोई समाधान नहीं है।

अनिर्धारित सिस्टम
ऐसी प्रणालियाँ भी हैं, जिनके पास असीम रूप से कई समाधान हैं, एक अद्वितीय समाधान के साथ एक प्रणाली के विपरीत (अर्थ, मानों की एक अनूठी जोड़ी $m$ तथा $n$) उदाहरण के लिए:


 * $$\begin{cases}\begin{align}4x + 2y & = 12 \\

-2x - y & = -6 \end{align}\end{cases}$$ अलग $m$ दूसरे समीकरण में:


 * $$y = -2x + 6 $$

और सिस्टम में पहले समीकरण में इस मान का उपयोग करना:


 * $$\begin{align}4x + 2(-2x + 6) = 12 \\

4x - 4x + 12 = 12 \\ 12 = 12 \end{align}$$ समानता सच है, लेकिन यह एक मूल्य प्रदान नहीं करता है $x$। वास्तव में, कोई भी आसानी से सत्यापित कर सकता है (बस कुछ मूल्यों में भरकर $y$) किसी भी के लिए $x$ जब तक एक समाधान है $$y = -2x + 6$$। इस प्रणाली के लिए अनंत संख्या में समाधान हैं।

ओवर- और अंडरडिटर्मेड सिस्टम
रैखिक समीकरणों की संख्या की तुलना में अधिक चर वाले सिस्टम को अंडरडिटर्मेड कहा जाता है।इस तरह की एक प्रणाली, अगर इसका कोई समाधान है, तो एक अद्वितीय नहीं है, बल्कि उनमें से एक अनंतता है। ऐसी प्रणाली का एक उदाहरण है


 * $$\begin{cases}\begin{align}x + 2y & = 10\\

y - z & = 2 .\end{align}\end{cases}$$ इसे हल करने की कोशिश करते समय, किसी को कुछ चर को अन्य लोगों के कार्यों के रूप में व्यक्त करने के लिए नेतृत्व किया जाता है यदि कोई समाधान मौजूद है, लेकिन सभी समाधानों को संख्यात्मक रूप से व्यक्त नहीं कर सकता है क्योंकि यदि कोई हो तो उनमें से एक अनंत संख्या है।

चर की तुलना में अधिक संख्या में समीकरणों के साथ एक प्रणाली को ओवरडिटमाइंड कहा जाता है।यदि एक ओवरडिटमाइंड सिस्टम में कोई समाधान होता है, तो आवश्यक रूप से कुछ समीकरण दूसरों के रैखिक संयोजन हैं।

यह भी देखें

 * प्राथमिक बीज गणित का इतिहास
 * बाइनरी ऑपरेशन
 * गाउस विलोपन
 * गणित शिक्षा
 * संख्या रेखा
 * बहुपद
 * रद्द करना
 * टार्स्की की हाई स्कूल बीजगणित समस्या

संदर्भ

 * Leonhard Euler,  Elements of Algebra, 1770.  English translation Tarquin Press, 2007, ISBN 978-1-899618-79-8, also online digitized editions 2006, 1822.
 * Charles Smith, A Treatise on Algebra, in Cornell University Library Historical Math Monographs.
 * Redden, John. Elementary Algebra . Flat World Knowledge, 2011