विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण

विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी (अर्धसंभाव्यता वितरण (ूजीन विग्नर और जीन-आंद्रे विले के बाद विग्नर फलन या विग्नर-विले वितरण भी कहा जाता है)। क क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण है। इसे 1932 में यूजीन विग्नर द्वारा शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी में क्वांटम सुधार का अध्ययन करने के लिए पेश किया गया था। लक्ष्य श्रोडिंगर के समीकरण में दिखाई देने वाले जनरेटिंग फलन को फेज़ समष्टि में संभाव्यता वितरण से जोड़ना था।

यह किसी दिए गए क्वांटम-मैकेनिकल वेवफंक्शन $ψ(x)$ के सभी स्थानिक ऑटोसहसंबंध कार्यों के लिए एक जेनरेटिंग फलन है। इस प्रकार, यह गणित में प्रतिनिधित्व सिद्धांत से संबंधित एक संदर्भ में 1927 में हरमन वेइल द्वारा पेश किए गए वास्तविक फेज़ समष्टि कार्यों और हर्मिटियन ऑपरेटरों के बीच मानचित्र में क्वांटम घनत्व मैट्रिक्स पर मानचित्रण करता है (वेइल परिमाणीकरण देखें)। वास्तव में, यह घनत्व मैट्रिक्स का विग्नर-वेइल रूपांतरण है, इसलिए फेज़ समष्टि में उस ऑपरेटर की प्राप्ति होती है। इसे बाद में जीन विले द्वारा 1948 में एक सिग्नल की स्थानीय समय-आवृत्ति ऊर्जा के द्विघात (सिग्नल में) प्रतिनिधित्व के रूप में प्रभावी ढंग से एक स्पेक्ट्रोग्राम के रूप में पुनः प्राप्त किया गया था।

1949 में, जोस एनरिक मोयल, जिन्होंने इसे स्वतंत्र रूप से प्राप्त किया था, ने इसे क्वांटम क्षण-उत्पादक कार्यात्मक के रूप में मान्यता दी और इस प्रकार फेज़ समष्टि में सभी क्वांटम अपेक्षा मूल्यों और इसलिए क्वांटम यांत्रिकी के एक सुरुचिपूर्ण एन्कोडिंग के आधार के रूप में ( फेज़ समष्टि सूत्रीकरण देखें)। इसमें सांख्यिकीय यांत्रिकी, क्वांटम रसायन विज्ञान, क्वांटम प्रकाशिकी, शास्त्रीय प्रकाशिकी और विभिन्न क्षेत्रों में सिग्नल विश्लेषण, जैसे इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, भूकंप विज्ञान, संगीत संकेतों के लिए समय-आवृत्ति विश्लेषण, जीव विज्ञान और भाषण प्रसंस्करण में स्पेक्ट्रोग्राम और इंजन डिजाइन में अनुप्रयोग हैं।

शास्त्रीय यांत्रिकी से संबंध
एक शास्त्रीय कण की एक निश्चित स्थिति और गति होती है, और इसलिए इसे फेज़ समष्टि में एक बिंदु द्वारा दर्शाया जाता है। कणों के एक संग्रह (समूह) को देखते हुए, फेज़ समष्टि में एक निश्चित स्थिति में एक कण खोजने की संभावना एक संभाव्यता वितरण, लिउविले घनत्व द्वारा निर्दिष्ट की जाती है। अनिश्चितता सिद्धांत के कारण क्वांटम कण के लिए यह सख्त व्याख्या विफल हो जाती है। इसके बजाय, उपरोक्त अर्धसंभाव्यता विग्नर वितरण एक समान भूमिका निभाता है, लेकिन पारंपरिक संभाव्यता वितरण के सभी गुणों को संतुष्ट नहीं करता है; और, इसके विपरीत, शास्त्रीय वितरण के लिए अनुपलब्ध सीमा गुणों को संतुष्ट करता है।

उदाहरण के लिए, विग्नर वितरण उन राज्यों के लिए ऋणात्मक मान ले सकता है और सामान्यतः लेता है जिनके पास कोई शास्त्रीय मॉडल नहीं है - और यह क्वांटम-मैकेनिकल हस्तक्षेप का एक सुविधाजनक संकेतक है। (शुद्ध अवस्थाओं के लक्षण वर्णन के लिए नीचे देखें जिनके विग्नर कार्य गैर-ऋणात्मक हैं।) ħ से बड़े आकार के फिल्टर के माध्यम से विग्नर वितरण को सुचारू करना (उदाहरण के लिए, हुसिमी प्रतिनिधित्व प्राप्त करने के लिए एक फेज़ समष्टि गॉसियन, एक वीयरस्ट्रैस परिवर्तन के साथ जुड़ना), नीचे), एक धनात्मक-अर्ध-निश्चित फलन में परिणत होता है, अर्थात, यह माना जा सकता है कि इसे अर्ध-शास्त्रीय फलन में बदल दिया गया है।

ऐसे ऋणात्मक मूल्य वाले क्षेत्रों को "छोटा" साबित किया जा सकता है (उन्हें एक छोटे गाऊसी के साथ जोड़कर) वे कुछ $ħ$ से बड़े कॉम्पैक्ट क्षेत्रों तक विस्तारित नहीं हो सकते हैं, और इसलिए शास्त्रीय सीमा में गायब हो जाते हैं। वे अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा परिरक्षित हैं, जो $ħ$ से छोटे फेज़ समष्टि क्षेत्रों के भीतर सटीक स्थान की अनुमति नहीं देता है, और इस प्रकार ऐसी "ऋणात्मक संभावनाओं" को कम विरोधाभासी बनाता है।

परिभाषा एवं अर्थ
विग्नेर वितरण $W(x,p)$शुद्ध अवस्था को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

जहां $ψ$ तरंगक्रिया है, और $x$ और $p$ स्थिति और गति हैं, लेकिन कोई भी संयुग्मी चर जोड़ी हो सकती है (उदाहरण के लिए विद्युत क्षेत्र के वास्तविक और काल्पनिक भाग या सिग्नल की आवृत्ति और समय)। ध्यान दें कि इसे उन क्षेत्रों में भी $x$ में समर्थन मिल सकता है जहां $ψ$ को $x$ ("बीट्स") में कोई समर्थन नहीं है।

यह $x$ और $p$ में सममित है:
 * $$W(x, p) = \frac{1}{\pi\hbar} \int_{-\infty}^\infty \varphi^*(p + q) \varphi(p - q) e^{-2ixq/\hbar} \,dq,$$

जहां $φ$ सामान्यीकृत गति-अंतरिक्ष तरंग फलन है, जो $ψ$ के फूरियर रूपांतरण के समानुपाती है।

3डी में,
 * $$W(\vec{r}, \vec{p}) = \frac{1}{(2\pi)^3} \int \psi^*(\vec{r} + \hbar\vec{s}/2) \psi(\vec{r} - \hbar\vec{s}/2) e^{i\vec{p} \cdot \vec{s}} \,d^3 s.$$

सामान्य स्थिति में, जिसमें मिश्रित अवस्थाएँ शामिल हैं, यह घनत्व मैट्रिक्स का विग्नर रूपांतरण है:$$W(x, p) = \frac{1}{\pi\hbar} \int_{-\infty}^\infty \langle x - y| \hat{\rho} |x + y \rangle e^{2ipy/\hbar} \,dy,$$ जहां ⟨x|ψ⟩ = ψ(x) विग्नर ट्रांसफॉर्मेशन (या मैप) वेइल ट्रांसफॉर्म का उलटा है, जो वेइल परिमाणीकरण में चरण-स्थान कार्यों को हिल्बर्ट स्थान ऑपरेटरों के लिए मैप करता है।

इस प्रकार, विग्नर फलन फेज़ समष्टि में क्वांटम यांत्रिकी की आधारशिला है।

1949 में, जोस एनरिक मोयल ने स्पष्ट किया कि कैसे विग्नर फलन चरण-स्थान सी-नंबर फ़ंक्शंस से अपेक्षित मूल्य प्राप्त करने के लिए फेज़ समष्टि में एकीकरण माप (संभावना घनत्व फलन के अनुरूप) प्रदान करता है। $g(x, p)$ उपयुक्त रूप से ऑर्डर किए गए ऑपरेटरों से विशिष्ट रूप से संबद्ध $Ĝ$ वेइल के परिवर्तन के माध्यम से (नीचे विग्नेर-वेइल परिवर्तन और संपत्ति 7 देखें), शास्त्रीय संभाव्यता सिद्धांत के विचारोत्तेजक तरीके से।

विशेष रूप से, एक ऑपरेटर का $Ĝ$ अपेक्षा मान उस ऑपरेटर के विग्नर ट्रांसफॉर्म का "चरण-स्थान औसत" है:$$\langle \hat{G} \rangle = \int dx\,dp\, W(x, p) g(x, p).$$

गणितीय गुण
1. W(x, p) एक वास्तविक-मूल्यवान फलन है।

2.x और p संभाव्यता वितरण सीमांत द्वारा दिए गए हैं:
 * $$\int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) = \langle x|\hat{\rho}|x \rangle.$$ यदि सिस्टम को शुद्ध अवस्था द्वारा वर्णित किया जा सकता है, तो कोई प्राप्त करता है $$\int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) = |\psi(x)|^2.$$
 * $$\int_{-\infty}^\infty dx\, W(x, p) = \langle p|\hat{\rho}|p \rangle.$$ यदि सिस्टम को शुद्ध अवस्था द्वारा वर्णित किया जा सकता है, तो किसी के पास है$$\int_{-\infty}^{\infty} dx\, W(x, p) = |\varphi(p)|^2.$$
 * $$\int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) = \operatorname{Tr}(\hat{\rho}).$$
 * सामान्यतः घनत्व मैट्रिक्स का निशान $$\hat{\rho}$$ 1 के बराबर होता है।

3. W(x, p) में निम्नलिखित प्रतिबिंब समरूपताएं हैं:
 * समय समरूपता: $$\psi(x) \to \psi(x)^* \Rightarrow W(x, p) \to W(x, -p).$$
 * अंतरिक्ष समरूपता: $$\psi(x) \to \psi(-x) \Rightarrow W(x, p) \to W(-x, -p).$$

4. W(x, p) गैलीली-सहसंयोजक है:
 * $$\psi(x) \to \psi(x + y) \Rightarrow W(x, p) \to W(x + y, p).$$
 * यह लोरेंत्ज़-सहसंयोजक नहीं है।

5. बलों की अनुपस्थिति में फेज़ समष्टि में प्रत्येक बिंदु के लिए गति का समीकरण शास्त्रीय है:
 * $$\frac{\partial W(x, p)}{\partial t} = \frac{-p}{m} \frac{\partial W(x, p)}{\partial x}.$$
 * वास्तव में, हार्मोनिक बलों की उपस्थिति में भी यह शास्त्रीय है।

6. राज्य ओवरलैप की गणना इस प्रकार की जाती है
 * $$|\langle \psi|\theta \rangle|^2 = 2\pi\hbar \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dp\, W_\psi(x, p) W_\theta(x, p).$$

7. ऑपरेटर अपेक्षा मान (औसत) की गणना संबंधित विग्नर परिवर्तनों के चरण-स्थान औसत के रूप में की जाती है:
 * $$g(x, p) \equiv \int_{-\infty}^\infty dy\, \left\langle x - \frac{y}{2} \right| \hat{G} \left| x + \frac{y}{2} \right\rangle e^{ipy/\hbar},$$
 * $$\langle \psi|\hat{G}|\psi\rangle = \operatorname{Tr}(\hat{\rho} \hat{G}) = \int_{-\infty}^\infty dx \int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) g(x, p).$$

8.W(x, p) के लिए भौतिक (धनात्मक) घनत्व मैट्रिक्स का प्रतिनिधित्व करने के लिए इसे संतुष्ट करना होगा
 * $$\int_{-\infty}^\infty dx\, \int_{-\infty}^\infty dp\, W(x, p) W_\theta(x, p) \ge 0$$
 * सभी शुद्ध अवस्थाओं के लिए |θ⟩.

9. कॉची-श्वार्ज़ असमानता के आधार पर, एक शुद्ध राज्य के लिए, यह सीमित होने के लिए बाध्य है:
 * $$-\frac 2 h \leq W(x, p) \leq \frac 2 h.$$
 * यह सीमा शास्त्रीय सीमा, ħ → 0 में गायब हो जाती है। इस सीमा में, W(x, p) समन्वय स्थान x में संभाव्यता घनत्व को कम कर देता है, सामान्यतः अत्यधिक स्थानीयकृत, गति में δ-फलन द्वारा गुणा किया जाता है: शास्त्रीय सीमा "स्पाइकी" है ". इस प्रकार, यह क्वांटम-मैकेनिकल बाउंड एक विग्नर फलन को रोकता है जो अनिश्चितता सिद्धांत के प्रतिबिंब के रूप में फेज़ समष्टि में एक पूरी तरह से स्थानीयकृत δ-फलन है।

10. विग्नर परिवर्तन केवल घनत्व मैट्रिक्स के एंटीडायगोनल्स का फूरियर रूपांतरण है, जब उस मैट्रिक्स को स्थिति के आधार पर व्यक्त किया जाता है।

उदाहरण
मान लीजिए कि$$|m\rangle \equiv \frac{a^{\dagger m}}{\sqrt{m!}} |0\rangle$$ क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर की $$m$$ फॉक अवस्था है। ग्रोएनवॉल्ड (1946) ने आयामहीन चर में इसके संबद्ध विग्नर फलन की खोज की:
 * $$W_{|m\rangle}(x, p) = \frac{(-1)^m}{\pi} e^{-(x^2 + p^2)} L_m\big(2(p^2 + x^2)\big),$$

जहां $$L_m(x)$$ $$m$$-वें लैगुएरे बहुपद को दर्शाता है। यह स्थैतिक ईजेनस्टेट वेवफंक्शन के लिए अभिव्यक्ति से अनुसरण कर सकता है,
 * $$u_m(x) = \pi^{-1/4} H_m(x) e^{-x^2/2},$$

जहां $$H_m$$ है $$m$$-वें हर्मिट बहुपद। एकीकरण चर के परिवर्तन पर विग्नर फलनज़ की उपरोक्त परिभाषा से,
 * $$W_{|m\rangle}(x, p) = \frac{(-1)^m}{\pi^{3/2} 2^m m!} e^{-x^2 - p^2} \int_{-\infty}^\infty d\zeta\, e^{-\zeta^2} H_m(\zeta - ip + x) H_m(\zeta - ip - x).$$

फिर अभिव्यक्ति हर्मिट और लैगुएरे बहुपदों के बीच अभिन्न संबंध से होती है।

विग्नर फलन के लिए विकास समीकरण
विग्नर ट्रांसफॉर्मेशन हिल्बर्ट स्पेस पर एक ऑपरेटर $Ĝ$ का चरण स्पेस पर एक फलन g(x, p) में एक सामान्य उलटा परिवर्तन है और इसके द्वारा दिया जाता है
 * $$g(x, p) = \int_{-\infty}^\infty ds\, e^{ips/\hbar} \left\langle x - \frac s2\right| \hat G \left|x + \frac s2\right\rangle.$$

हर्मिटियन ऑपरेटर वास्तविक कार्यों को मैप करते हैं। फेज़ समष्टि से हिल्बर्ट स्थान तक इस परिवर्तन के व्युत्क्रम को वेइल परिवर्तन कहा जाता है:
 * $$\langle x | \hat G | y \rangle = \int_{-\infty}^\infty \frac{dp}{h} e^{ip(x - y)/\hbar} g\left(\frac{x + y}{2}, p\right)$$

(विशिष्ट वेइल परिवर्तन के साथ भ्रमित न हों)।

इस प्रकार यहां चर्चा किए गए विग्नर फलन $W(x, p)$ को घनत्व मैट्रिक्स ऑपरेटर ρ̂ का विग्नर रूपांतरण माना जाता है। इस प्रकार घनत्व मैट्रिक्स विग्नर के साथ एक ऑपरेटर का ट्रेस विग्नर फलन के साथ जी $g(x, p)$ के समतुल्य फेज़ समष्टि अभिन्न ओवरलैप में बदल जाता है।

श्रोडिंगर चित्र में घनत्व मैट्रिक्स के वॉन न्यूमैन विकास समीकरण का विग्नर परिवर्तन विग्नर फलन के लिए मोयल का विकास समीकरण है:

जहां $H(x, p)$ हैमिल्टनियन है, और मोयल ब्रैकेट है। शास्त्रीय सीमा में, ħ → 0, मोयल ब्रैकेट पॉइसन ब्रैकेट तक कम हो जाता है, जबकि यह विकास समीकरण शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी के लिउविले समीकरण तक कम हो जाता है।

औपचारिक रूप से, शास्त्रीय लिउविले समीकरण को फेज़ समष्टि कण प्रक्षेपवक्र के संदर्भ में हल किया जा सकता है जो शास्त्रीय हैमिल्टन समीकरणों के समाधान हैं। आंशिक अवकल समीकरणों को हल करने की इस तकनीक को विशेषताओं की विधि के रूप में जाना जाता है। यह विधि क्वांटम सिस्टम में स्थानांतरित हो जाती है, जहां विशेषताओं के "प्रक्षेप पथ" अब विग्नर कार्यों के विकास को निर्धारित करते हैं। विग्नर फलन के लिए मोयल इवोल्यूशन समीकरण का समाधान औपचारिक रूप से दर्शाया गया है
 * $$W(x, p, t) = W\big(\star\big(x_{-t}(x, p), p_{-t}(x, p)\big), 0\big),$$

कहाँ $$x_t(x, p)$$ और $$p_t(x, p)$$ प्रारंभिक स्थितियों के साथ क्वांटम विशेषताओं की विधि के अधीन विशेषता प्रक्षेपवक्र हैं $$x_{t=0}(x, p) = x$$ और $$p_{t=0}(x, p) = p$$, और जहां मोयल उत्पाद|$$\star$$-उत्पाद संरचना सभी तर्क कार्यों के लिए समझी जाती है।

चूँकि ⋆\स्टार-फ़ंक्शंस की संरचना पूरी तरह से गैर-स्थानीय है ("क्वांटम संभाव्यता द्रव" फैलता है, जैसा कि मोयल द्वारा देखा गया है), विग्नर वितरण फलन के विकास में क्वांटम सिस्टम में स्थानीय प्रक्षेपवक्र के अवशेष मुश्किल से देखे जा सकते हैं। में का अभिन्न प्रतिनिधित्व उनके द्वारा स्टार-उत्पादों के क्रमिक संचालन को विग्नर फलन के विकास समीकरण को हल करने के लिए एक फेज़ समष्टि पथ अभिन्न अंग में अनुकूलित किया गया है (यह भी देखें  । मोयल समय विकास की यह गैर-स्थानीय विशेषता नीचे दी गई गैलरी में चित्रित की गई है, जो हैमिल्टनवासियों के लिए हार्मोनिक ऑसिलेटर से अधिक जटिल है। शास्त्रीय सीमा में, विग्नर फ़ंक्शंस के समय विकास की प्रक्षेपवक्र प्रकृति अधिक से अधिक विशिष्ट हो जाती है। ħ = 0 पर विशेषताओं के प्रक्षेप पथ फेज़ समष्टि में कणों के शास्त्रीय प्रक्षेप पथ तक कम हो जाते हैं।

हार्मोनिक-ऑसिलेटर समय विकास
हालाँकि, क्वांटम हार्मोनिक ऑसिलेटर के विशेष मामले में, विकास सरल है और शास्त्रीय गति के समान प्रतीत होता है: ऑसिलेटर आवृत्ति द्वारा दी गई आवृत्ति के साथ फेज़ समष्टि में एक कठोर घुमाव। इसे नीचे गैलरी में दर्शाया गया है। इसी समय विकास प्रकाश मोड की क्वांटम अवस्थाओं के साथ होता है, जो हार्मोनिक ऑसिलेटर हैं।

शास्त्रीय सीमा
विग्नर फलन किसी को शास्त्रीय सीमा का अध्ययन करने की अनुमति देता है, जो फेज़ समष्टि में शास्त्रीय और क्वांटम गतिशीलता की तुलना की पेशकश करता है।

यह सुझाव दिया गया है कि विग्नर फलन दृष्टिकोण को 1932 में बर्नार्ड कूपमैन और जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा शुरू किए गए शास्त्रीय यांत्रिकी के संचालन सूत्रीकरण के क्वांटम सादृश्य के रूप में देखा जा सकता है, विग्नर फलन का समय विकास सीमा ħ → 0 समय विकास में पहुंचता है एक शास्त्रीय कण के कूपमैन-वॉन न्यूमैन तरंग फलन का।

विग्नर फलन की धनात्मकता
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है कि क्वांटम अवस्था का विग्नर फलन सामान्यतः कुछ ऋणात्मक मान लेता है। वास्तव में, एक चर में शुद्ध अवस्था के लिए, यदि सभी $$x$$ और $$p$$ के लिए $$W(x, p) \ge 0$$ है तो तरंग फलन का रूप होना चाहिए
 * $$\psi(x) = e^{-ax^2+bx+c}$$

कुछ सम्मिश्र संख्याओं $$a, b, c$$ के लिए $$\operatorname{Re}(a) > 0$$ (हडसन का प्रमेय[ । ध्यान दें कि $$a$$ को जटिल होने की अनुमति है ताकि $$\psi$$ आवश्यक रूप से सामान्य अर्थ में गॉसियन तरंग पैकेट न हो। इस प्रकार, गैर-ऋणात्मक विग्नर फलन वाले शुद्ध राज्य आवश्यक रूप से हाइजेनबर्ग अनिश्चितता सूत्र के अर्थ में न्यूनतम-अनिश्चितता वाले राज्य नहीं हैं, बल्कि, वे श्रोडिंगर अनिश्चितता सूत्र में समानता देते हैं, जिसमें कम्यूटेटर शब्द के अलावा एक एंटीकम्यूटेटर शब्द भी शामिल है। (संबंधित भिन्नताओं की सावधानीपूर्वक परिभाषा के साथ, सभी शुद्ध-अवस्था विग्नर फलन हाइजेनबर्ग की असमानता को समान रूप से जन्म देते हैं।)

उच्च आयामों में, गैर-ऋणात्मक विग्नर फ़ंक्शंस के साथ शुद्ध अवस्थाओं का लक्षण वर्णन समान है, तरंग फलन का रूप होना चाहिए
 * $$\psi(x) = e^{-(x,Ax)+b\cdot x+c},$$

जहां $$A$$ एक सममित जटिल मैट्रिक्स है जिसका वास्तविक भाग धनात्मक-निश्चित है $$b$$ एक जटिल वेक्टर है, और $c$ एक जटिल संख्या है। ऐसे किसी भी राज्य का विग्नर फलन फेज़ समष्टि पर एक गाऊसी वितरण है।

सोटो और क्लेवेरी, सेगल-बार्गमैन परिवर्तन का उपयोग करते हुए, इस लक्षण वर्णन का एक सुंदर प्रमाण देते हैं। तर्क इस प्रकार है. पीएसआई के हुसिमी क्यू फलन की गणना गाऊसी द्वारा गुणा किए गए पीएसआई के सेगल-बार्गमैन परिवर्तन के वर्ग परिमाण के रूप में की जा सकती है। इस बीच हुसिमी $$\psi$$ फलन गॉसियन के साथ विग्नर फलन का कनवल्शन है। यदि पीएसआई का विग्नर फलन फेज़ समष्टि पर हर जगह गैर-ऋणात्मक है, तो हुसिमी क्यू फलन फेज़ समष्टि पर हर जगह सख्ती से धनात्मक होगा। इस प्रकार, सेगल-बार्गमैन $$F(x + ip)$$ का रूपांतरण करता है $$\psi$$ कहीं भी शून्य नहीं होगा. इस प्रकार जटिल विश्लेषण से हमारे पास एक मानक परिणाम है
 * $$F(x + ip) = e^{g(x+ip)}$$

कुछ होलोमोर्फिक फलन के लिए जी। लेकिन $$F$$ के लिए सेगल-बार्गमैन स्पेस से संबंधित होने के लिए - यानी $$F$$ के लिए गॉसियन माप के संबंध में वर्ग-अभिन्न होने के लिए $$g$$ में अनंत पर अधिकतम द्विघात वृद्धि होनी चाहिए। इससे प्रारंभिक जटिल विश्लेषण का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि $$g$$ वास्तव में एक द्विघात बहुपद होना चाहिए। इस प्रकार हम किसी भी शुद्ध अवस्था के सेगल-बार्गमैन परिवर्तन का एक स्पष्ट रूप प्राप्त करते हैं जिसका विग्नर फलन गैर-ऋणात्मक है। फिर हम स्थिति तरंग फलन का दावा किया गया रूप प्राप्त करने के लिए सेगल-बार्गमैन परिवर्तन को उलट सकते हैं।

गैर-ऋणात्मक विग्नर फ़ंक्शंस के साथ मिश्रित राज्यों का कोई सरल लक्षण वर्णन प्रतीत नहीं होता है।

क्वांटम यांत्रिकी की अन्य व्याख्याओं के संबंध में विग्नर फलन
यह दिखाया गया है कि विग्नर क्वासिप्रोबेबिलिटी वितरण फलन को एक अन्य फेज़ समष्टि वितरण फलन के ħ-विरूपण के रूप में माना जा सकता है जो डी ब्रोगली-बोहम कारण प्रक्षेपवक्र के संयोजन का वर्णन करता है। बेसिल हिली ने दिखाया है कि अर्ध-संभाव्यता वितरण को फेज़ समष्टि में "सेल" की औसत स्थिति और गति के संदर्भ में फिर से व्यक्त घनत्व मैट्रिक्स के रूप में समझा जा सकता है और डी ब्रोगली-बोहम व्याख्या किसी को गतिशीलता का वर्णन करने की अनुमति देती है ऐसी "कोशिकाओं" के केंद्र।

विग्नर फलन के संदर्भ में क्वांटम राज्यों के विवरण और पारस्परिक रूप से निष्पक्ष आधारों के संदर्भ में क्वांटम राज्यों के पुनर्निर्माण की एक विधि के बीच घनिष्ठ संबंध है।

क्वांटम यांत्रिकी के बाहर विग्नर फलन का उपयोग
टेलीस्कोप या फाइबर दूरसंचार उपकरणों जैसे ऑप्टिकल सिस्टम के मॉडलिंग में विग्नर फलन का उपयोग सरल किरण अनुरेखण और सिस्टम के पूर्ण तरंग विश्लेषण के बीच अंतर को पाटने के लिए किया जाता है। यहां $k = |k| sin θ ≈ |k|θ$ से बदल दिया गया है छोटे-कोण (पैराएक्सियल) सन्निकटन में पाप θ ≈ |k|θ। इस संदर्भ में विग्नर फलन हस्तक्षेप के प्रभावों को शामिल करते हुए स्थिति x और कोण θ पर किरणों के संदर्भ में सिस्टम का वर्णन करने के सबसे करीब है। यदि यह किसी भी बिंदु पर ऋणात्मक हो जाता है, तो सिस्टम को मॉडल करने के लिए साधारण किरण अनुरेखण पर्याप्त नहीं होगा। कहने का तात्पर्य यह है कि इस फलन के ऋणात्मक मान शास्त्रीय प्रकाश संकेत की गैबोर सीमा का एक लक्षण हैं, न कि $ħ$ से जुड़े प्रकाश की क्वांटम विशेषताओं का।
 * सिग्नल विश्लेषण में, समय-परिवर्तनशील विद्युत सिग्नल, यांत्रिक कंपन, या ध्वनि तरंग को विग्नर फलन द्वारा दर्शाया जाता है। यहां, x को समय से बदल दिया गया है और $p/ħ$ को कोणीय आवृत्ति $ω = 2πf$ से बदल दिया गया है, जहां f नियमित आवृत्ति है।
 * अल्ट्राफास्ट ऑप्टिक्स में, ऊपर दिए गए समान $f$ और $t$ प्रतिस्थापन का उपयोग करके लघु लेजर पल्स को विग्नर फलन के साथ चित्रित किया जाता है। पल्स दोष जैसे चहचहाहट (समय के साथ आवृत्ति में परिवर्तन) को विग्नर फलन के साथ देखा जा सकता है। निकटवर्ती चित्र देखें।
 * क्वांटम ऑप्टिक्स में $x$ और $p/ħ$ को $X$ और $P$ चतुर्भुज, विद्युत क्षेत्र के वास्तविक और काल्पनिक घटकों (सुसंगत स्थिति देखें) से प्रतिस्थापित किया जाता है।

विग्नर फलन का माप

 * क्वांटम टोमोग्राफी
 * फ़्रीक्वेंसी-रिज़ॉल्यूशन वाली ऑप्टिकल गेटिंग गेटिंग

अन्य संबंधित अर्धसंभाव्यता वितरण
विग्नर वितरण तैयार किया जाने वाला पहला अर्धसंभाव्यता वितरण था, लेकिन इसके बाद और भी कई वितरण हुए, जो औपचारिक रूप से इसके बराबर और परिवर्तनीय थे (समय-आवृत्ति विश्लेषण में वितरण के बीच परिवर्तन देखें)। जैसा कि समन्वय प्रणालियों के मामले में, अलग-अलग गुणों के कारण, विशिष्ट अनुप्रयोगों के लिए इनमें से कई के विभिन्न फायदे हैं: फिर भी, कुछ अर्थों में, विग्नर वितरण इन सभी वितरणों के बीच एक विशेषाधिकार प्राप्त स्थान रखता है, क्योंकि यह एकमात्र ऐसा वितरण है जिसका अपेक्षित स्टार-उत्पाद अपेक्षा मूल्यों के मूल्यांकन में बाहर हो जाता है (प्रभावी एकता के लिए भागों द्वारा एकीकृत होता है), जैसा कि ऊपर दिखाया गया है इसलिए इसे शास्त्रीय माप के अनुरूप एक अर्धसंभाव्यता माप के रूप में देखा जा सकता है।
 * ग्लौबर पी प्रतिनिधित्व
 * हुसिमी क्यू प्रतिनिधित्व

ऐतिहासिक टिप्पणी
जैसा कि संकेत दिया गया है, विग्नर फलन का सूत्र स्वतंत्र रूप से विभिन्न संदर्भों में कई बार प्राप्त किया गया था। वास्तव में, जाहिरा तौर पर, विग्नर इस बात से अनभिज्ञ थे कि क्वांटम सिद्धांत के संदर्भ में भी, इसे पहले वर्नर हाइजेनबर्ग और पॉल डिराक द्वारा पेश किया गया था, हालांकि विशुद्ध रूप से औपचारिक रूप से इन दोनों ने इसके महत्व और इसके ऋणात्मक मूल्यों को नजरअंदाज कर दिया था, जैसा कि उन्होंने इसे केवल परमाणु जैसी प्रणाली के पूर्ण क्वांटम विवरण का एक अनुमान माना। (संयोग से, डिराक बाद में अपनी बहन मैनसी से शादी करके विग्नर का बहनोई बन गया।) 1940 के दशक के मध्य में मोयल के साथ अपने अधिकांश प्रसिद्ध 18 महीने के पत्राचार में, डिराक इस बात से अनभिज्ञ था कि मोयल का क्वांटम-क्षण उत्पन्न करने वाला कार्य प्रभावी ढंग से था विग्नर समारोह और यह मोयल ही थे जिन्होंने अंततः इसे उनके ध्यान में लाया।

यह भी देखें

 * हाइजेनबर्ग समूह
 * विग्नर-वेइल रूपांतरण
 * फेज समष्टि सूत्रीकरण
 * मोयल ब्रैकेट
 * ऋणात्मक प्रायिकता
 * ऑप्टिकल तुल्यता प्रमेय
 * संशोधित विग्नर वितरण फलन
 * कोहेन का वर्ग वितरण फलन
 * विग्नर वितरण फलन
 * समय-आवृत्ति विश्लेषण में वितरण के बीच रूपांतरण
 * स्क़ुईज़ीड कोहेरेंट फलन
 * द्विरेखीय समय-आवृत्ति वितरण
 * सतत-परिवर्तनीय क्वांटम सिद्धांत

अग्रिम पठन

 * M. Levanda and V. Fleurov, "Wigner quasi-distribution function for charged particles in classical electromagnetic fields", Annals of Physics, 292, 199–231 (2001)..

बाहरी संबंध

 * wigner Wigner function implementation in QuTiP.
 * Quantum Optics Gallery.
 * Sonogram Visible Speech GPL-licensed freeware for the Wigner quasiprobability distribution of signal files.