वैकल्पिक तनाव के उपाय

सातत्य यांत्रिकी में, तनाव (यांत्रिकी) का सबसे अधिक उपयोग किया जाने वाला उपाय कॉची तनाव टेंसर है, जिसे अधिकांशतः केवल तनाव टेंसर या ट्रू स्ट्रेस कहा जाता है। चूँकि, तनाव के कई वैकल्पिक उपायों को परिभाषित किया जा सकता है:
 * 1) किरचॉफ तनाव ($$\boldsymbol{\tau}$$).
 * 2) नाममात्र का तनाव ($$\boldsymbol{N}$$).
 * 3) पहला पिओला-किरचॉफ तनाव ($$\boldsymbol{P}$$). यह तनाव टेंसर नाममात्र तनाव का स्थानान्तरण है ($$\boldsymbol{P} = \boldsymbol{N}^T$$).
 * 4) दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव या पीके2 तनाव ($$\boldsymbol{S}$$).
 * 5) द बायोट स्ट्रेस ($$\boldsymbol{T}$$)

परिभाषाएँ
निम्नलिखित आकृति में दिखाई गई स्थिति पर विचार करें। निम्नलिखित परिभाषाएं चित्र में दिखाए गए नोटेशन का उपयोग करती हैं। संदर्भ विन्यास में $$\Omega_0$$, सतह तत्व के लिए बाहरी सामान्य $$d\Gamma_0$$ है $$\mathbf{N} \equiv \mathbf{n}_0$$ और उस सतह पर कार्य करने वाला कर्षण (यह मानते हुए कि विरूपण से संबंधित सामान्य सदिश की तरह विकृत है) है $$\mathbf{t}_0$$ बल सदिश के लिए अग्रणी $$d\mathbf{f}_0$$. विकृत विन्यास में $$\Omega$$, सतह तत्व बदल जाता है $$d\Gamma$$ बाहरी सामान्य के साथ $$\mathbf{n}$$ और कर्षण सदिश $$\mathbf{t}$$ बल के लिए अग्रणी $$d\mathbf{f}$$. ध्यान दें कि यह सतह या तो शरीर के अंदर काल्पनिक कट या वास्तविक सतह हो सकती है। मात्रा $$\boldsymbol{F}$$ परिमित विकृति सिद्धांत है#विरूपण प्रवणता टेन्सर, $$J$$ इसका निर्धारक है।

कॉची तनाव
कॉची तनाव (या सच्चा तनाव) विकृत विन्यास में क्षेत्र के तत्व पर कार्य करने वाले बल का उपाय है। यह टेंसर सममित है और इसके माध्यम से परिभाषित किया गया है

d\mathbf{f} = \mathbf{t}~d\Gamma = \boldsymbol{\sigma}^T\cdot\mathbf{n}~d\Gamma $$ या

\mathbf{t} = \boldsymbol{\sigma}^T\cdot\mathbf{n} $$ कहाँ $$\mathbf{t}$$ कर्षण है और $$\mathbf{n}$$ सतह के लिए सामान्य है जिस पर कर्षण कार्य करता है।

किरचॉफ तनाव
मात्रा,

\boldsymbol{\tau} = J~\boldsymbol{\sigma} $$ किरचॉफ तनाव टेन्सर कहा जाता है $$J$$ का निर्धारक $$\boldsymbol{F}$$. यह धातु की प्लास्टिसिटी में संख्यात्मक एल्गोरिदम में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है (जहां वहां प्लास्टिक विरूपण के समय मात्रा में कोई परिवर्तन नहीं है)। इसे वेटेड कॉची स्ट्रेस टेन्सर भी कह सकते हैं।

नॉमिनल स्ट्रेस/फर्स्ट पिओला-किरचॉफ स्ट्रेस
नाममात्र का तनाव $$\boldsymbol{N}=\boldsymbol{P}^T$$ पहले पिओला-किरचॉफ तनाव (पीके1 तनाव, जिसे इंजीनियरिंग तनाव भी कहा जाता है) का स्थानांतरण है $$\boldsymbol{P}$$ और द्वारा परिभाषित किया गया है

d\mathbf{f} = \mathbf{t}~d\Gamma = \boldsymbol{N}^T\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 = \boldsymbol{P}\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 $$ या

\mathbf{t}_0 =\mathbf{t}\dfrac{d{\Gamma}}{d\Gamma_0}= \boldsymbol{N}^T\cdot\mathbf{n}_0 = \boldsymbol{P}\cdot\mathbf{n}_0 $$ यह तनाव असममित है और विरूपण प्रवणता की तरह दो-बिंदु टेंसर है।

विषमता इस तथ्य से उत्पन्न होती है कि, टेन्सर के रूप में, इसका सूचकांक संदर्भ विन्यास से जुड़ा होता है और विकृत विन्यास से जुड़ा होता है।

दूसरा पियोला-किरचॉफ तनाव
यदि हम पुलबैक (अंतर ज्यामिति) $$d\mathbf{f}$$ संदर्भ विन्यास के लिए हम विरूपण से पहले उस सतह पर कार्य करने वाले कर्षण को प्राप्त करते हैं $$d\mathbf{f}_0$$ यह मानते हुए कि यह विरूपण से संबंधित सामान्य सदिश की भांति व्यवहार करता है। विशेष रूप से हमारे समीप है

d\mathbf{f}_0 = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot d\mathbf{f} $$ या,

d\mathbf{f}_0 = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot \boldsymbol{N}^T\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot \mathbf{t}_0~d\Gamma_0 $$ पीके2 तनाव ($$\boldsymbol{S}$$) सममित है और संबंध के माध्यम से परिभाषित किया गया है

d\mathbf{f}_0 = \boldsymbol{S}^T\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot \mathbf{t}_0~d\Gamma_0 $$ इसलिए,

\boldsymbol{S}^T\cdot\mathbf{n}_0 = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot\mathbf{t}_0 $$

जैविक तनाव
बायोट प्रतिबल उपयोगी है जिससे कि यह परिमित विकृति सिद्धांत के लिए ऊर्जा संयुग्मन है $$\boldsymbol{U}$$. बायोट तनाव को टेंसर के सममित भाग के रूप में परिभाषित किया गया है $$\boldsymbol{P}^T\cdot\boldsymbol{R}$$ जहाँ $$\boldsymbol{R}$$ विरूपण ढाल के ध्रुवीय अपघटन से प्राप्त रोटेशन टेन्सर है। इसलिए, बायोट तनाव टेंसर को इस रूप में परिभाषित किया गया है

\boldsymbol{T} = \tfrac{1}{2}(\boldsymbol{R}^T\cdot\boldsymbol{P} + \boldsymbol{P}^T\cdot\boldsymbol{R}) ~. $$ बायोट तनाव को जौमन तनाव भी कहा जाता है।

मात्रा $$\boldsymbol{T}$$ कोई भौतिक व्याख्या नहीं है। चूँकि, असममित बायोट तनाव की व्याख्या है

\boldsymbol{R}^T~d\mathbf{f} = (\boldsymbol{P}^T\cdot\boldsymbol{R})^T\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 $$

कॉची तनाव और नाममात्र तनाव के मध्य संबंध
नानसन सूत्र से | नानसन का सूत्र संदर्भ और विकृत विन्यास में क्षेत्रों से संबंधित है:

\mathbf{n}~d\Gamma = J~\boldsymbol{F}^{-T}\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 $$ अब,

\boldsymbol{\sigma}^T\cdot\mathbf{n}~d\Gamma = d\mathbf{f} = \boldsymbol{N}^T\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 $$ इस तरह,

\boldsymbol{\sigma}^T\cdot (J~\boldsymbol{F}^{-T}\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0) = \boldsymbol{N}^T\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 $$ या,

\boldsymbol{N}^T = J~(\boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma})^T = J~\boldsymbol{\sigma}^T\cdot\boldsymbol{F}^{-T} $$ या,

\boldsymbol{N} = J~\boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma} \qquad \text{and} \qquad \boldsymbol{N}^T = \boldsymbol{P} = J~\boldsymbol{\sigma}^T\cdot\boldsymbol{F}^{-T} $$ इंडेक्स नोटेशन में,

N_{Ij} = J~F_{Ik}^{-1}~\sigma_{kj} \qquad \text{and} \qquad P_{iJ} = J~\sigma_{ki}~F^{-1}_{Jk} $$ इसलिए,

J~\boldsymbol{\sigma} = \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{N} = \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{P}^T~. $$ ध्यान दें कि $$\boldsymbol{N}$$ और $$\boldsymbol{P}$$ हैं (सामान्यतः) सममित नहीं हैं जिससे कि $$\boldsymbol{F}$$ (सामान्यतः) सममित नहीं है।

नाममात्र तनाव और दूसरे पी-के तनाव के मध्य संबंध
याद करें कि

\boldsymbol{N}^T\cdot\mathbf{n}_0~d\Gamma_0 = d\mathbf{f} $$ और

d\mathbf{f} = \boldsymbol{F}\cdot d\mathbf{f}_0 = \boldsymbol{F} \cdot (\boldsymbol{S}^T \cdot \mathbf{n}_0~d\Gamma_0) $$ इसलिए,

\boldsymbol{N}^T\cdot\mathbf{n}_0 = \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{S}^T\cdot\mathbf{n}_0 $$ या (की समरूपता का उपयोग करके $$\boldsymbol{S}$$),

\boldsymbol{N} = \boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{F}^T \qquad \text{and} \qquad \boldsymbol{P} = \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{S} $$ इंडेक्स नोटेशन में,

N_{Ij} = S_{IK}~F^T_{jK} \qquad \text{and} \qquad P_{iJ} = F_{iK}~S_{KJ} $$ वैकल्पिक रूप से, हम लिख सकते हैं

\boldsymbol{S} = \boldsymbol{N}\cdot\boldsymbol{F}^{-T} \qquad \text{and} \qquad \boldsymbol{S} = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{P} $$

कॉची तनाव और दूसरे पी-के तनाव के मध्य संबंध
याद करें कि

\boldsymbol{N} = J~\boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma} $$ दूसरे पीके तनाव के संदर्भ में, हमारे पास है

\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{F}^T = J~\boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma} $$ इसलिए,

\boldsymbol{S} = J~\boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{F}^{-T} = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\tau}\cdot\boldsymbol{F}^{-T} $$ इंडेक्स नोटेशन में,

S_{IJ} = F_{Ik}^{-1}~\tau_{kl}~F_{Jl}^{-1} $$ चूंकि कॉची तनाव (और इसलिए किरचॉफ तनाव) सममित है, दूसरा पीके तनाव भी सममित है।

वैकल्पिक रूप से, हम लिख सकते हैं

\boldsymbol{\sigma} = J^{-1}~\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{F}^T $$ या,

\boldsymbol{\tau} = \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{F}^T ~. $$ स्पष्ट रूप से, पुशफॉरवर्ड (डिफरेंशियल) | पुश-फॉरवर्ड और ठहराना ऑपरेशंस की परिभाषा से, हमारे पास है

\boldsymbol{S} = \varphi^{*}[\boldsymbol{\tau}] = \boldsymbol{F}^{-1}\cdot\boldsymbol{\tau}\cdot\boldsymbol{F}^{-T} $$ और

\boldsymbol{\tau} = \varphi_{*}[\boldsymbol{S}] = \boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{S}\cdot\boldsymbol{F}^T~. $$ इसलिए, $$\boldsymbol{S}$$ का पुल बैक है $$\boldsymbol{\tau}$$ द्वारा $$\boldsymbol{F}$$ और $$\boldsymbol{\tau}$$ का धक्का है $$\boldsymbol{S}$$.

रूपांतरण सूत्र का सारांश
चाबी: $$ J=\det\left(\boldsymbol{F}\right),\quad\boldsymbol{C}=\boldsymbol{F}^{T}\boldsymbol{F}=\boldsymbol{U}^{2},\quad\boldsymbol{F}=\boldsymbol{R}\boldsymbol{U},\quad \boldsymbol{R}^T=\boldsymbol{R}^{-1},$$ $$\boldsymbol{P}=J\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{F}^{-T},\quad\boldsymbol{\tau}=J\boldsymbol{\sigma},\quad \boldsymbol{S}=J\boldsymbol{F}^{-1}\boldsymbol{\sigma}\boldsymbol{F}^{-T},\quad\boldsymbol{T}=\boldsymbol{R}^{T}\boldsymbol{P},\quad \boldsymbol{M}=\boldsymbol{C}\boldsymbol{S}$$

यह भी देखें

 * तनाव (भौतिकी)
 * परिमित तनाव सिद्धांत
 * सातत्यक यांत्रिकी
 * हाइपरलास्टिक सामग्री
 * कॉची लोचदार सामग्री
 * गंभीर विमान विश्लेषण