होमोटोपी श्रेणी

गणित में, होमोटोपी श्रेणी एक श्रेणी (गणित) है जो टोपोलॉजिकल स्पेस स्थान की श्रेणी से निर्मित होती है जो एक अर्थ में दो स्थानों की पहचान करती है जिनका आकार समान होता है। यह वाक्यांश वास्तव में दो अलग-अलग (लेकिन संबंधित) श्रेणियों के लिए उपयोग किया जाता है, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है।

अधिक आम तौर पर, टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी से शुरू करने के बजाय, कोई किसी भी मॉडल श्रेणी से शुरू कर सकता है और 1967 में डेनियल क्विलेन द्वारा पेश किए गए निर्माण के साथ उससे संबंधित समरूपता सिद्धांत को परिभाषित कर सकता है। इस तरह, होमोटॉपी सिद्धांत को कई अन्य श्रेणियों में लागू किया जा सकता है। ज्यामिति और बीजगणित में।

भोली समरूपता श्रेणी
टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी टॉप में ऑब्जेक्ट टोपोलॉजिकल स्पेस और आकारिता  उनके बीच निरंतर मानचित्र हैं। होमोटॉपी श्रेणी hTop की पुरानी परिभाषा, जिसे नैवेफ़ होमोटॉपी श्रेणी कहा जाता है इस लेख में स्पष्टता के लिए, समान वस्तुएँ हैं, और एक रूपवाद निरंतर मानचित्रों का एक समरूप वर्ग है। अर्थात्, दो सतत मानचित्र f: 'टॉप' से 'एचटॉप' तक एक फ़नकार है जो स्वयं को रिक्त स्थान और उनके होमोटॉपी वर्गों को रूपात्मकता भेजता है। एक मानचित्र f: उदाहरण: वृत्त S1, द्वि-आयामी अंतरिक्ष आर2 मूल को छोड़कर, और मोबियस पट्टी सभी समरूप समकक्ष हैं, हालांकि ये टोपोलॉजिकल स्थान होम्योमॉर्फिक नहीं हैं।

अंकन [एक्स, वाई] का प्रयोग अक्सर नैवेफ होमोटॉपी श्रेणी में स्पेस एक्स से स्पेस वाई तक आकारिकी के सेट के लिए किया जाता है (लेकिन इसका उपयोग नीचे चर्चा की गई संबंधित श्रेणियों के लिए भी किया जाता है)।

होमोटॉपी श्रेणी, क्विलेन के बाद
डैनियल क्विलेन (1967) ने एक और श्रेणी पर जोर दिया जो टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी को और सरल बनाता है। होमोटोपी सिद्धांतकारों को समय-समय पर दोनों श्रेणियों के साथ काम करना पड़ता है, लेकिन आम सहमति यह है कि क्विलेन का संस्करण अधिक महत्वपूर्ण है, और इसलिए इसे अक्सर होमोटॉपी श्रेणी कहा जाता है। सबसे पहले एक कमजोर होमोटॉपी तुल्यता को परिभाषित करता है: एक सतत मानचित्र को कमजोर होमोटॉपी तुल्यता कहा जाता है यदि यह पथ घटकों के सेट पर एक आक्षेप और मनमाने आधार बिंदुओं के साथ होमोटॉपी समूहों पर एक आक्षेप उत्पन्न करता है। फिर (सच्ची) समरूप समूह को एक श्रेणी के स्थानीयकरण द्वारा कमजोर होमोटॉपी समकक्षों के संबंध में टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी द्वारा परिभाषित किया जाता है। अर्थात्, वस्तुएँ अभी भी टोपोलॉजिकल स्थान हैं, लेकिन प्रत्येक कमजोर होमोटॉपी तुल्यता के लिए एक व्युत्क्रम रूपवाद जोड़ा जाता है। इसका प्रभाव यह होता है कि एक सतत मानचित्र समरूपता श्रेणी में एक समरूपता बन जाता है यदि और केवल यदि यह एक कमजोर समरूप समतुल्य है। टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी से लेकर अनुभवहीन होमोटॉपी श्रेणी (जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है) और वहां से होमोटॉपी श्रेणी तक स्पष्ट फ़नकार हैं।

जे.एच.सी. के परिणाम व्हाइटहेड, विशेष रूप से व्हाइटहेड प्रमेय और सीडब्ल्यू सन्निकटन का अस्तित्व, होमोटॉपी श्रेणी का अधिक स्पष्ट विवरण दें। अर्थात्, होमोटॉपी श्रेणी भोली होमोटॉपी श्रेणी की पूर्ण उपश्रेणी की श्रेणियों के समतुल्य है जिसमें सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स शामिल हैं। इस संबंध में, होमोटॉपी श्रेणी टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी की अधिकांश जटिलता को दूर कर देती है।

उदाहरण: मान लीजिए कि वास्तविक रेखा से उप-स्थान टोपोलॉजी। सकारात्मक पूर्णांक n के लिए 0 से 0 और n से 1/n मैप करके f: X → Y को परिभाषित करें। तब f सतत है, और वास्तव में एक कमजोर समरूप समतुल्य है, लेकिन यह एक समरूप समतुल्य नहीं है। इस प्रकार अनुभवहीन होमोटॉपी श्रेणी एक्स और वाई जैसे स्थानों को अलग करती है, जबकि वे होमोटॉपी श्रेणी में आइसोमोर्फिक बन जाते हैं।

टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान

ईलेनबर्ग-मैकलेन रिक्त स्थान
इन श्रेणियों के लिए एक प्रेरणा यह है कि टोपोलॉजिकल स्पेस के कई अपरिवर्तनीयों को अनुभवहीन होमोटॉपी श्रेणी या यहां तक ​​कि वास्तविक होमोटॉपी श्रेणी पर परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस f: X → Y की कमजोर समरूप समतुल्यता के लिए, संबद्ध समरूपता f*: एचi(एक्स,'जेड') → एचiएकवचन समरूपता समूहों का (Y,'Z') सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए एक समरूपता है। यह इस प्रकार है कि, प्रत्येक प्राकृतिक संख्या i के लिए, एकवचन समरूपता Hi होमोटोपी श्रेणी से एबेलियन समूहों की श्रेणी तक एक फ़नकार के रूप में देखा जा सकता है। विशेष रूप से, एक्स से वाई तक के दो होमोटोपिक मानचित्र एकवचन होमोलॉजी समूहों पर समान समरूपता उत्पन्न करते हैं।

एकवचन सहसंरचना में और भी बेहतर संपत्ति है: यह होमोटॉपी श्रेणी पर एक प्रतिनिधित्व योग्य फ़नकार है। अर्थात्, प्रत्येक एबेलियन समूह ए और प्राकृतिक संख्या i के लिए, एक CW कॉम्प्लेक्स K(A,i) होता है जिसे ईलेनबर्ग-मैकलेन स्पेस कहा जाता है और H में एक कोहोमोलॉजी क्लास u होता है।i(K(A,i),A) ऐसा है कि परिणामी फ़ंक्शन
 * $$[X,K(A,i)]\to H^i(X,A)$$

(आपको एक्स पर वापस खींचकर देना) सभी टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए विशेषण है। यहां [एक्स, वाई] को वास्तविक होमोटॉपी श्रेणी में मानचित्रों के सेट के रूप में समझा जाना चाहिए, यदि कोई चाहता है कि यह कथन सभी टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स के लिए हो। यदि एक्स एक सीडब्ल्यू कॉम्प्लेक्स है तो यह अनुभवहीन होमोटॉपी श्रेणी में आता है।

नुकीला संस्करण
एक उपयोगी प्रकार नुकीले स्थानों की होमोटॉपी श्रेणी है। एक नुकीले स्थान का अर्थ है एक जोड़ी (X,x) जिसमें X एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और x एक बिंदु है, जिसे आधार बिंदु कहा जाता है। श्रेणी 'शीर्ष'* नुकीले स्थानों की वस्तुओं में नुकीले स्थान होते हैं, और एक रूपवाद f: X → Y एक सतत मानचित्र है जो नुकीले मानचित्रों के समरूप वर्ग (जिसका अर्थ है कि आधार बिंदु संपूर्ण समरूपी में स्थिर रहता है)। अंत में, नुकीले स्थानों की वास्तविक समरूपता श्रेणी 'शीर्ष' श्रेणी से प्राप्त की जाती है* नुकीले मानचित्रों को उल्टा करके जो कमजोर समरूप समतुल्य हैं।

नुकीले स्थानों X और Y के लिए, [X,Y] संदर्भ के आधार पर, नुकीले स्थानों की समरूप श्रेणी के किसी भी संस्करण में

होमोटॉपी सिद्धांत में कई बुनियादी निर्माण स्वाभाविक रूप से इंगित स्थानों की श्रेणी (या संबंधित होमोटॉपी श्रेणी पर) पर परिभाषित होते हैं, न कि रिक्त स्थान की श्रेणी पर। उदाहरण के लिए, निलंबन (टोपोलॉजी)  ΣX और लूप स्पेस ΩX को एक नुकीले स्थान X के लिए परिभाषित किया गया है और एक अन्य नुकीले स्थान का निर्माण किया गया है। इसके अलावा, स्मैश उत्पाद X ∧ Y नुकीले स्थानों
 * $$\Sigma X=S^1\wedge X.$$

सस्पेंशन और लूप स्पेस फ़ैक्टर एक सहायक कारक बनाते हैं, इस अर्थ में कि एक प्राकृतिक समरूपता है


 * $$[\Sigma X, Y]\cong [X,\Omega Y]$$

सभी स्थानों X और Y के लिए।

ठोस श्रेणियाँ
जबकि एक होमोटॉपी श्रेणी की वस्तुएं सेट (अतिरिक्त संरचना के साथ) हैं, आकारिकी उनके बीच वास्तविक कार्य नहीं हैं, बल्कि कार्यों के वर्ग (निष्क्रिय होमोटॉपी श्रेणी में) या कार्यों के ज़िगज़ैग (होमोटॉपी श्रेणी में) हैं। दरअसल, पीटर फ्रायड ने दिखाया कि न तो नुकीले स्थानों की भोली होमोटॉपी श्रेणी और न ही नुकीले स्थानों की होमोटोपी श्रेणी एक ठोस श्रेणी है। अर्थात्, इन श्रेणियों से लेकर सेटों की श्रेणी तक कोई भी वफादार फ़नकार नहीं है।

मॉडल श्रेणियाँ
एक अधिक सामान्य अवधारणा है: एक मॉडल श्रेणी की होमोटॉपी श्रेणी। एक मॉडल श्रेणी एक श्रेणी सी है जिसमें तीन विशिष्ट प्रकार के आकार होते हैं जिन्हें कंपन, सह-फाइब्रेशन और कमजोर समतुल्यता (होमोटॉपी सिद्धांत) कहा जाता है, जो कई सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। संबंधित होमोटॉपी श्रेणी को कमजोर समकक्षों के संबंध में सी को स्थानीयकृत करके परिभाषित किया गया है।

यह निर्माण, अपने मानक मॉडल संरचना (कभी-कभी क्विलेन मॉडल संरचना कहा जाता है) के साथ टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की मॉडल श्रेणी पर लागू होता है, ऊपर परिभाषित होमोटॉपी श्रेणी देता है। टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में कई अन्य मॉडल संरचनाओं पर विचार किया गया है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि कोई श्रेणी को कितना सरल बनाना चाहता है। उदाहरण के लिए, टोपोलॉजिकल स्पेस पर ह्यूरविक्ज़ मॉडल संरचना में, संबंधित होमोटॉपी श्रेणी ऊपर परिभाषित अनुभवहीन होमोटॉपी श्रेणी है। एक ही होमोटॉपी श्रेणी कई अलग-अलग मॉडल श्रेणियों से उत्पन्न हो सकती है। एक महत्वपूर्ण उदाहरण सरल सेटों पर मानक मॉडल संरचना है: संबंधित होमोटॉपी श्रेणी, टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की होमोटॉपी श्रेणी की श्रेणियों के समतुल्य है, भले ही सरल सेट संयुक्त रूप से परिभाषित ऑब्जेक्ट हैं जिनमें किसी भी टोपोलॉजी का अभाव है। कुछ टोपोलॉजिस्ट इसके बजाय कॉम्पैक्ट रूप से उत्पन्न अंतरिक्ष कमजोर हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान के साथ काम करना पसंद करते हैं; फिर से, मानक मॉडल संरचना के साथ, संबंधित होमोटॉपी श्रेणी सभी टोपोलॉजिकल स्पेस की होमोटॉपी श्रेणी के बराबर है। मॉडल श्रेणी के अधिक बीजगणितीय उदाहरण के लिए, ए को ग्रोथेंडिक श्रेणी होने दें, उदाहरण के लिए एक रिंग (गणित) पर मॉड्यूल (गणित) की श्रेणी या टोपोलॉजिकल स्पेस पर एबेलियन समूहों के शीफ (गणित) की श्रेणी। फिर ए में वस्तुओं के श्रृंखला परिसरों की श्रेणी पर एक मॉडल संरचना है, जिसमें कमजोर समकक्ष अर्ध-समरूपताएं हैं। परिणामी समरूप श्रेणी को व्युत्पन्न श्रेणी डी(ए) कहा जाता है।

अंत में, स्थिर होमोटॉपी श्रेणी को स्पेक्ट्रम (टोपोलॉजी) की श्रेणी पर एक मॉडल संरचना से जुड़ी होमोटॉपी श्रेणी के रूप में परिभाषित किया गया है। स्पेक्ट्रा की विभिन्न श्रेणियों पर विचार किया गया है, लेकिन सभी स्वीकृत परिभाषाओं से एक ही समरूपता श्रेणी प्राप्त होती है।