अनसेंटेड ट्रांसफॉर्म

असंतुलित परिवर्तन (यूटी) गणितीय फलन है जिसका उपयोग प्रायिकता वितरण में दिए गए अरेखीय परिवर्तन को क्रियान्वित करने के परिणाम का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है जो केवल आंकड़ों के सीमित समूह के संदर्भ में होता है। असंतुलित परिवर्तन का सबसे साधारण उपयोग कलमन फ़िल्टर के अरेखीय विस्तार के संदर्भ में माध्य और सहप्रसरण अनुमान के अरेखीय प्रक्षेपण में होता है। इसके निर्माता जेफरी उहलमैन ने बताया कि "असंतुलित" एक यादृच्छिक नाम था जिसे उन्होंने "उहलमैन फ़िल्टर" के रूप में संदर्भित होने से बचने के लिए अपनाया था। यद्यपि की दूसरों ने संकेत दिया है कि "असंतुलित", "सुगंधित" के विपरीत है जिसका उद्देश्य "बेकार" के लिए व्यंजना है

पृष्ठभूमि
कई निस्यंदन और नियंत्रण विधियाँ माध्य सदिश और संबंधित त्रुटि सहप्रसरण आव्यूह के रूप में प्रणाली की स्थिति के अनुमान का प्रतिनिधित्व करती हैं। उदाहरण के लिए, रुचि की वस्तु की अनुमानित 2-विमीय स्थिति को माध्य स्थिति सदिश,$$[x, y]$$, द्वारा दर्शाया जा सकता है, एक 2x2 सहप्रसरण आव्यूह के रूप में दी गई अनिश्चितता के साथ, जिसमें विचरण दिया गया है $$x$$, में भिन्नता $$y$$, और दोनों के बीच क्रॉस सहप्रसरण। एक सहप्रसरण जो शून्य है, इसका तात्पर्य है कि कोई अनिश्चितता या त्रुटि नहीं है और वस्तु की स्थिति बिल्कुल वही है जो माध्य वेक्टर द्वारा निर्दिष्ट है।

माध्य और सहप्रसरण प्रतिनिधित्व केवल अंतर्निहित, लेकिन अन्यथा अज्ञात, संभाव्यता वितरण के पहले दो क्षण देता है। किसी गतिशील वस्तु के मामले में, अज्ञात संभाव्यता वितरण किसी निश्चित समय पर वस्तु की स्थिति की अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व कर सकता है। अनिश्चितता का माध्य और सहप्रसरण प्रतिनिधित्व गणितीय रूप से सुविधाजनक है क्योंकि कोई भी रैखिक परिवर्तन $$T$$ माध्य वेक्टर पर लागू किया जा सकता है $$m$$ और सहप्रसरण मैट्रिक्स $$M$$ जैसा $$Tm$$ और $$TMT^\mathrm{T}$$. यह रैखिकता गुण पहले कच्चे क्षण (माध्य) और दूसरे केंद्रीय क्षण (सहप्रसरण) से परे क्षणों के लिए धारण नहीं करता है, इसलिए गैर-रेखीय परिवर्तन से उत्पन्न माध्य और सहप्रसरण को निर्धारित करना आम तौर पर संभव नहीं है क्योंकि परिणाम सभी पर निर्भर करता है क्षण, और केवल पहले दो दिए गए हैं।

यद्यपि सहप्रसरण मैट्रिक्स को अक्सर माध्य से जुड़ी अपेक्षित वर्ग त्रुटि के रूप में माना जाता है, व्यवहार में मैट्रिक्स को वास्तविक वर्ग त्रुटि पर ऊपरी सीमा के रूप में बनाए रखा जाता है। विशेष रूप से, एक माध्य और सहप्रसरण अनुमान $$(m,M)$$ रूढ़िवादी रूप से बनाए रखा जाता है ताकि सहप्रसरण मैट्रिक्स $$M$$ से जुड़ी वास्तविक वर्ग त्रुटि से अधिक या उसके बराबर है $$m$$. गणितीय रूप से इसका मतलब है कि अपेक्षित वर्ग त्रुटि (जो आमतौर पर ज्ञात नहीं है) को घटाने से प्राप्त परिणाम $$M$$ एक अर्ध-निश्चित या सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है। एक रूढ़िवादी सहप्रसरण अनुमान को बनाए रखने का कारण यह है कि यदि सहप्रसरण को कम करके आंका गया है तो अधिकांश फ़िल्टरिंग और नियंत्रण एल्गोरिदम विचलन (विफल) हो जाएंगे। ऐसा इसलिए है क्योंकि एक नकली छोटा सहप्रसरण कम अनिश्चितता का संकेत देता है और फ़िल्टर को माध्य की सटीकता में उचित से अधिक वजन (विश्वास) रखने की ओर ले जाता है।

ऊपर दिए गए उदाहरण पर लौटते हुए, जब सहप्रसरण शून्य होता है तो एक मनमाना गैर-रेखीय फ़ंक्शन के अनुसार चलने के बाद वस्तु का स्थान निर्धारित करना तुच्छ होता है $$f(x,y)$$: बस फ़ंक्शन को माध्य वेक्टर पर लागू करें। जब सहप्रसरण शून्य नहीं है तो रूपांतरित माध्य आम तौर पर बराबर नहीं होगा $$f(x,y)$$ और परिवर्तित संभाव्यता वितरण का माध्य केवल उसके पूर्व माध्य और सहप्रसरण से निर्धारित करना भी संभव नहीं है। इस अनिश्चितता को देखते हुए, अरैखिक रूप से रूपांतरित माध्य और सहप्रसरण का केवल अनुमान लगाया जा सकता है। सबसे पहला सन्निकटन गैर-रेखीय फ़ंक्शन को रैखिक बनाना और परिणामी जैकोबियन मैट्रिक्स को दिए गए माध्य और सहप्रसरण पर लागू करना था। यह विस्तारित कलमैन फ़िल्टर (ईकेएफ) का आधार है, और हालांकि यह कई परिस्थितियों में खराब परिणाम देने के लिए जाना जाता था, कई दशकों तक इसका कोई व्यावहारिक विकल्प नहीं था।

असुगंधित परिवर्तन के लिए प्रेरणा
1994 में जेफरी उहलमैन ने नोट किया कि ईकेएफ एक प्रणाली की स्थिति के एक गैर-रेखीय फ़ंक्शन और आंशिक वितरण जानकारी (माध्य और सहप्रसरण अनुमान के रूप में) लेता है, लेकिन अस्पष्ट रूप से ज्ञात संभाव्यता वितरण के बजाय ज्ञात फ़ंक्शन पर एक अनुमान लागू करता है।. उन्होंने सुझाव दिया कि एक बेहतर तरीका अनुमानित संभाव्यता वितरण पर लागू सटीक गैर-रेखीय फ़ंक्शन का उपयोग करना होगा। इस दृष्टिकोण की प्रेरणा उनके डॉक्टरेट शोध प्रबंध में दी गई है, जहां अनसेंटेड ट्रांसफॉर्म शब्द को पहली बार परिभाषित किया गया था: <ब्लॉककोट>निम्नलिखित अंतर्ज्ञान पर विचार करें: मापदंडों की एक निश्चित संख्या के साथ किसी दिए गए वितरण का अनुमान लगाना किसी मनमाने गैर-रेखीय फ़ंक्शन/परिवर्तन का अनुमान लगाने की तुलना में आसान होना चाहिए। इस अंतर्ज्ञान का अनुसरण करते हुए, लक्ष्य एक ऐसा पैरामीटर ढूंढना है जो माध्य और सहप्रसरण जानकारी को कैप्चर करता है और साथ ही गैर-रेखीय समीकरणों के एक मनमाने सेट के माध्यम से जानकारी के सीधे प्रसार की अनुमति देता है। इसे समान पहले और दूसरे (और संभवतः उच्चतर) क्षणों वाले एक अलग वितरण को उत्पन्न करके पूरा किया जा सकता है, जहां अलग-अलग सन्निकटन में प्रत्येक बिंदु को सीधे रूपांतरित किया जा सकता है। तब रूपांतरित समूह के माध्य और सहप्रसरण की गणना मूल वितरण के अरेखीय परिवर्तन के अनुमान के रूप में की जा सकती है। अधिक आम तौर पर, किसी अज्ञात वितरण के ज्ञात आँकड़ों के एक सेट को पकड़ने के लिए अंकों के असतत वितरण के लिए किसी दिए गए गैर-रेखीय परिवर्तन के अनुप्रयोग को एक असुगंधित परिवर्तन के रूप में जाना जाता है।

दूसरे शब्दों में, दी गई माध्य और सहप्रसरण जानकारी को बिंदुओं के एक सेट में सटीक रूप से एन्कोड किया जा सकता है, जिसे सिग्मा बिंदु कहा जाता है, जिसे यदि असतत संभाव्यता वितरण के तत्वों के रूप में माना जाता है तो माध्य और सहप्रसरण दिए गए माध्य और सहप्रसरण के बराबर होता है। इस वितरण को प्रत्येक बिंदु पर अरेखीय फ़ंक्शन लागू करके सटीक रूप से प्रचारित किया जा सकता है। बिंदुओं के रूपांतरित सेट का माध्य और सहप्रसरण तब वांछित रूपांतरित अनुमान का प्रतिनिधित्व करता है। दृष्टिकोण का मुख्य लाभ यह है कि गैर-रेखीय फ़ंक्शन का पूरी तरह से शोषण किया जाता है, ईकेएफ के विपरीत जो इसे एक रैखिक के साथ बदल देता है। रैखिककरण की आवश्यकता को समाप्त करने से अनुमान गुणवत्ता में किसी भी सुधार से स्वतंत्र लाभ भी मिलते हैं। एक तात्कालिक लाभ यह है कि यूटी को किसी भी दिए गए फ़ंक्शन के साथ लागू किया जा सकता है जबकि उन कार्यों के लिए रैखिककरण संभव नहीं हो सकता है जो भिन्न नहीं हैं। एक व्यावहारिक लाभ यह है कि यूटी को लागू करना आसान हो सकता है क्योंकि यह एक रैखिक जैकोबियन मैट्रिक्स को प्राप्त करने और लागू करने की आवश्यकता से बचाता है।

सिग्मा अंक
असुगंधित परिवर्तन की गणना करने के लिए, सबसे पहले सिग्मा बिंदुओं का एक सेट चुनना होगा। उहल्मन के मौलिक कार्य के बाद से, साहित्य में सिग्मा बिंदुओं के कई अलग-अलग सेट प्रस्तावित किए गए हैं। इन वेरिएंट्स की गहन समीक्षा मेनेगाज़ एट अल के काम में पाई जा सकती है। सामान्य रूप में,  $$n+1$$ किसी दिए गए माध्य और सहप्रसरण वाले असतत वितरण को परिभाषित करने के लिए सिग्मा बिंदु आवश्यक और पर्याप्त हैं $$n$$ आयाम.

सिग्मा बिंदुओं का एक विहित सेट मूल रूप से उहल्मन द्वारा प्रस्तावित सममित सेट है। दो आयामों में मूल बिंदु पर केन्द्रित एक समबाहु त्रिभुज के शीर्षों पर विचार करें:



s_1 = \frac{1}{\sqrt{2}}\left[0, 2\right]^\mathrm{T}, \quad s_2 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\left[\sqrt{3}, 1\right]^\mathrm{T}, \quad s_3 = -\frac{1}{\sqrt{2}}\left[-\sqrt{3}, 1\right]^\mathrm{T} $$ यह सत्यापित किया जा सकता है कि उपरोक्त बिंदुओं का सेट माध्य है $$s=\left[0, 0\right]^\mathrm{T},\quad $$ और सहप्रसरण $$S=I$$ (पहचान मैट्रिक्स)। किसी भी 2-आयामी माध्य और सहप्रसरण को देखते हुए, $$(x, X)$$, वांछित सिग्मा अंक प्रत्येक बिंदु को मैट्रिक्स के वर्गमूल से गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है $$X$$ और जोड़ रहा हूँ $$x$$. सिग्मा बिंदुओं का एक समान विहित सेट किसी भी संख्या में आयाम में उत्पन्न किया जा सकता है $$n$$ शून्य वेक्टर और पहचान मैट्रिक्स की पंक्तियों वाले बिंदुओं को लेकर, बिंदुओं के सेट के माध्य की गणना करके, प्रत्येक बिंदु से माध्य घटाकर ताकि परिणामी सेट का माध्य शून्य हो, फिर शून्य के सहप्रसरण की गणना करें- बिंदुओं का माध्य समुच्चय और प्रत्येक बिंदु पर इसका व्युत्क्रम लगाना ताकि समुच्चय का सहप्रसरण पहचान के बराबर हो जाए।

उहलमैन ने दिखाया कि आसानी से एक सममित सेट उत्पन्न करना संभव है $$2n+1$$ के कॉलम से सिग्मा अंक $$\pm\sqrt{nX}$$ और शून्य सदिश, कहाँ $$X$$ मैट्रिक्स व्युत्क्रम की गणना किए बिना, दिया गया सहप्रसरण मैट्रिक्स है। यह कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल है और, क्योंकि बिंदु एक सममित वितरण बनाते हैं, जब भी राज्य अनुमान का अंतर्निहित वितरण ज्ञात होता है या सममित माना जा सकता है, तो तीसरे केंद्रीय क्षण (तिरछा) को पकड़ लेता है। उन्होंने यह भी दिखाया कि नकारात्मक भार सहित वजन का उपयोग सेट के आंकड़ों को प्रभावित करने के लिए किया जा सकता है। जूलियर ने एक मनमाना वितरण के तीसरे क्षण (तिरछा) और एक सममित वितरण के चौथे क्षण (कर्टोसिस) को पकड़ने के लिए सिग्मा अंक उत्पन्न करने के लिए तकनीकों का भी विकास और परीक्षण किया।

उदाहरण
किसी अन्यथा अज्ञात वितरण के किसी आंशिक लक्षण वर्णन के लिए दिए गए फ़ंक्शन के अनुप्रयोग के लिए असंतुलित परिवर्तन को परिभाषित किया गया है, लेकिन इसका सबसे आम उपयोग उस मामले के लिए है जिसमें केवल माध्य और सहप्रसरण दिया गया है। एक सामान्य उदाहरण एक समन्वय प्रणाली से दूसरे में रूपांतरण है, जैसे कार्टेशियन समन्वय फ्रेम से ध्रुवीय निर्देशांक में।

मान लीजिए कि एक 2-आयामी माध्य और सहप्रसरण अनुमान, $$(m, M)$$, कार्तीय निर्देशांक में दिया गया है:


 * $$m = [12.3, 7.6]^\mathrm{T}, \quad M = \begin{bmatrix}1.44 & 0 \\0 & 2.89\end{bmatrix}$$

और ध्रुवीय निर्देशांक में परिवर्तन कार्य, $$f(x, y) \rightarrow [r, \theta]$$, है:


 * $$r = \sqrt{x^2 + y^2}, \quad \theta = \arctan\left(\frac{y}{x}\right)$$

प्रत्येक विहित सिम्प्लेक्स सिग्मा बिंदु (ऊपर दिए गए) को गुणा करना $$M^\frac{1}{2} = \begin{bmatrix}1.2 & 0 \\0 & 1.7\end{bmatrix}$$ और माध्य जोड़ने पर, $$m$$, देता है:


 * $$\begin{align}

m_1 &= [0, 2.40] + [12.3, 7.6] = [12.3, 10.0] \\ m_2 &= [-1.47, -1.20] + [12.3, 7.6] = [10.8, 6.40] \\ m_3 &= [1.47, -1.20] + [12.3, 7.6] = [13.8, 6.40] \end{align}$$ परिवर्तन फ़ंक्शन लागू करना $$f$$ उपरोक्त प्रत्येक बिंदु देता है:


 * $$\begin{align}

{m^+}_1 &= f(12.3, 10.0) = [15.85, 0.68] \\ {m^+}_2 &= f(10.8, 6.40) = [12.58, 0.53] \\ {m^+}_3 &= f(13.8, 6.40) = [15.18, 0.44] \end{align}$$ इन तीन परिवर्तित बिंदुओं का माध्य, $$m_{UT} = \frac{1}{3}\Sigma^3_{i=1}{m^+}_i$$, ध्रुवीय निर्देशांक में माध्य का UT अनुमान है:
 * $$m_{UT} = [14.539, 0.551]$$

सहप्रसरण का यूटी अनुमान है:
 * $$M_{UT} = \frac{1}{3}\Sigma^3_{i=1}\left({m^+}_i - m_{UT}\right)^2$$

जहां योग में प्रत्येक वर्ग पद एक वेक्टर बाहरी उत्पाद है। यह देता है:
 * $$M_{UT} = \begin{bmatrix}2.00 & 0.0443 \\0.0443 & 0.0104\end{bmatrix} $$

इसकी तुलना रैखिकीकृत माध्य और सहप्रसरण से की जा सकती है:
 * $$\begin{align}

m_\text{linear} &= f(12.3, 7.6) = [14.46,0.554]^\mathrm{T} \\ M_\text{linear} &= \nabla_f M \nabla_f^\mathrm{T} = \begin{bmatrix}1.927 & 0.047 \\0.047 & 0.011\end{bmatrix} \end{align}$$ इस मामले में यूटी और रैखिक अनुमानों के बीच पूर्ण अंतर अपेक्षाकृत छोटा है, लेकिन फ़िल्टरिंग अनुप्रयोगों में छोटी त्रुटियों के संचयी प्रभाव से अनुमान में अप्राप्य विचलन हो सकता है। त्रुटियों का प्रभाव तब और बढ़ जाता है जब सहप्रसरण को कम करके आंका जाता है क्योंकि इससे फ़िल्टर को माध्य की सटीकता पर अति आत्मविश्वास हो जाता है। उपरोक्त उदाहरण में यह देखा जा सकता है कि रेखीयकृत सहप्रसरण अनुमान यूटी अनुमान से छोटा है, यह सुझाव देता है कि रेखीयकरण ने संभवतः इसके माध्य में वास्तविक त्रुटि का कम अनुमान उत्पन्न किया है।

इस उदाहरण में मूल अनुमान से जुड़े वास्तविक संभाव्यता वितरण और गैर-रेखीय परिवर्तन (उदाहरण के लिए) के आवेदन के बाद उस वितरण के माध्य और सहप्रसरण के रूप में जमीनी सच्चाई के बिना यूटी और रैखिक अनुमानों की पूर्ण सटीकता निर्धारित करने का कोई तरीका नहीं है।, जैसा कि विश्लेषणात्मक रूप से या संख्यात्मक एकीकरण के माध्यम से निर्धारित किया गया है)। ऐसे विश्लेषण अंतर्निहित वितरणों के लिए गौसियनिटी की धारणा के तहत समन्वय परिवर्तनों के लिए किए गए हैं, और यूटी अनुमान रैखिककरण से प्राप्त अनुमानों की तुलना में काफी अधिक सटीक होते हैं। अनुभवजन्य विश्लेषण से पता चला है कि न्यूनतम सिम्प्लेक्स सेट का उपयोग $$n+1$$ सिग्मा अंक सममित सेट के उपयोग की तुलना में काफी कम सटीक है $$2n$$ बिंदु जब अंतर्निहित वितरण गाऊसी है। इससे पता चलता है कि उपरोक्त उदाहरण में सिंप्लेक्स सेट का उपयोग सबसे अच्छा विकल्प नहीं होगा यदि अंतर्निहित वितरण जुड़ा हुआ है $$(m,M)$$ सममित है. भले ही अंतर्निहित वितरण सममित नहीं है, सिंप्लेक्स सेट अभी भी सममित सेट की तुलना में कम सटीक होने की संभावना है क्योंकि सिंप्लेक्स सेट की विषमता वास्तविक वितरण की विषमता से मेल नहीं खाती है।

उदाहरण पर लौटते हुए, सहप्रसरण मैट्रिक्स से सिग्मा बिंदुओं का न्यूनतम सममित सेट प्राप्त किया जा सकता है $$M=\begin{bmatrix}1.44 & 0 \\0 & 2.89\end{bmatrix}$$ बस माध्य वेक्टर के रूप में, $$m=[12.3, 7.6]$$ प्लस और माइनस के कॉलम $$(2M)^{1/2}=\sqrt{2}*\begin{bmatrix}1.2 & 0 \\0 & 1.7\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1.697 & 0 \\0 &2.404\end{bmatrix}$$:


 * $$\begin{align}

m_1 &= [12.3, 7.6] + [1.697, 0] = [13.997, 7.6] \\ m_2 &= [12.3, 7.6] - [1.697, 0] = [10.603, 7.6] \\ m_3 &= [12.3, 7.6] + [0, 2.404] = [12.3, 10.004] \\ m_4 &= [12.3, 7.6] - [0, 2.404] = [12.3, 5.196] \end{align}$$ यह निर्माण गारंटी देता है कि उपरोक्त चार सिग्मा बिंदुओं का माध्य और सहप्रसरण है $$(m,M)$$, जो सीधे सत्यापन योग्य है। अरेखीय फ़ंक्शन लागू करना $$f$$ प्रत्येक सिग्मा बिंदु देता है:


 * $$\begin{align}

{m^+}_1 &= [15.927, 0.497] \\ {m^+}_2 &= [13.045, 0.622] \\ {m^+}_3 &= [15.854, 0.683] \\ {m^+}_4 &= [13.352, 0.400] \end{align}$$ इन चार परिवर्तित सिग्मा बिंदुओं का माध्य, $$m_{UT} = \frac{1}{4}\Sigma^4_{i=1}{m'}_i$$, ध्रुवीय निर्देशांक में माध्य का UT अनुमान है:
 * $$m_{UT} = [14.545, 0.550]$$

सहप्रसरण का यूटी अनुमान है:
 * $$M_{UT} = \frac{1}{4}\Sigma^4_{i=1}({m^+}_i - m_{UT})^2$$

जहां योग में प्रत्येक वर्ग पद एक वेक्टर बाहरी उत्पाद है। यह देता है:
 * $$M_{UT} = \begin{bmatrix}1.823 & 0.043 \\0.043 & 0.012\end{bmatrix}$$

यूटी और रैखिकीकृत माध्य अनुमानों के बीच का अंतर परिवर्तन की गैर-रैखिकता के प्रभाव का एक माप देता है। उदाहरण के लिए, जब परिवर्तन रैखिक होता है, तो यूटी और रैखिक अनुमान समान होंगे। यह माध्य में वास्तविक त्रुटि को कम आंकने से बचाने के लिए इस अंतर के वर्ग को यूटी सहप्रसरण में जोड़ने के लिए प्रेरित करता है। यह दृष्टिकोण माध्य की सटीकता में सुधार नहीं करता है, लेकिन सहप्रसरण को कम करके आंका जाने की संभावना को कम करके समय के साथ फ़िल्टर की सटीकता में उल्लेखनीय सुधार कर सकता है।

असुगंधित परिवर्तन की इष्टतमता
उहलमैन ने कहा कि अन्यथा अज्ञात संभाव्यता वितरण के केवल माध्य और सहप्रसरण को देखते हुए, परिवर्तन समस्या को गलत तरीके से परिभाषित किया गया है क्योंकि समान पहले दो क्षणों के साथ संभावित अंतर्निहित वितरण की अनंत संख्या है। अंतर्निहित वितरण की विशेषताओं के बारे में किसी पूर्व सूचना या धारणा के बिना, रूपांतरित माध्य और सहप्रसरण की गणना करने के लिए उपयोग किया जाने वाला वितरण का कोई भी विकल्प उतना ही उचित है जितना कि कोई अन्य विकल्प। दूसरे शब्दों में, किसी दिए गए माध्य और सहप्रसरण के साथ वितरण का कोई विकल्प नहीं है जो सिग्मा बिंदुओं के सेट द्वारा प्रदान किए गए से बेहतर है, इसलिए असंतुलित परिवर्तन तुच्छ रूप से इष्टतम है।

यूटी के प्रदर्शन के बारे में कोई भी मात्रात्मक बयान देने के लिए इष्टतमता का यह सामान्य बयान निश्चित रूप से बेकार है, उदाहरण के लिए, रैखिककरण की तुलना में; परिणामस्वरूप, उन्होंने, जूलियर और अन्य लोगों ने वितरण की विशेषताओं और/या गैर-रेखीय परिवर्तन फ़ंक्शन के रूप के बारे में विभिन्न मान्यताओं के तहत विश्लेषण किया है। उदाहरण के लिए, यदि फ़ंक्शन विभेदित है, जो रैखिककरण के लिए आवश्यक है, तो ये विश्लेषण असंतुलित परिवर्तन की अपेक्षित और अनुभवजन्य रूप से पुष्टि की गई श्रेष्ठता को मान्य करते हैं।

अनुप्रयोग
अनसेंटेड ट्रांसफॉर्म का उपयोग कलमन फिल्टर के गैर-रेखीय सामान्यीकरण को विकसित करने के लिए किया जा सकता है, जिसे कलमन फिल्टर#अनसेंटेड कलमन फिल्टर|अनसेंटेड कलमन फिल्टर (यूकेएफ) के रूप में जाना जाता है। इस फ़िल्टर ने पानी के नीचे सहित कई गैर-रेखीय फ़िल्टरिंग और नियंत्रण अनुप्रयोगों में विस्तारित कलमैन फ़िल्टर को बड़े पैमाने पर प्रतिस्थापित कर दिया है। ज़मीन और हवाई नेविगेशन, और अंतरिक्ष यान. रीमैन-स्टिल्टजेस इष्टतम नियंत्रण के लिए एक कम्प्यूटेशनल ढांचे के रूप में असंतुलित परिवर्तन का भी उपयोग किया गया है। इस कम्प्यूटेशनल दृष्टिकोण को असुगंधित इष्टतम नियंत्रण के रूप में जाना जाता है।

असुगंधित कलमैन फ़िल्टर
उहलमैन और साइमन जूलियर ने कई पेपर प्रकाशित किए, जिसमें दिखाया गया कि कलमैन फिल्टर में अनसेंटेड ट्रांसफॉर्मेशन का उपयोग, जिसे कलमैन फिल्टर#अनसेंटेड कलमैन फिल्टर (यूकेएफ) कहा जाता है, विभिन्न अनुप्रयोगों में ईकेएफ पर महत्वपूर्ण प्रदर्शन सुधार प्रदान करता है। जूलियर और उहलमैन ने यूकेएफ के संदर्भ में असुगंधित परिवर्तन के एक विशेष पैरामीटरयुक्त रूप का उपयोग करते हुए पत्र प्रकाशित किए, जिसमें अनुमानित वितरण जानकारी को पकड़ने के लिए नकारात्मक भार का उपयोग किया गया था।  यूटी का वह रूप विभिन्न प्रकार की संख्यात्मक त्रुटियों के लिए अतिसंवेदनशील है जो कि मूल फॉर्मूलेशन (मूल रूप से उहल्मन द्वारा प्रस्तावित सममित सेट) से ग्रस्त नहीं है। जूलियर ने बाद में पैरामीटरयुक्त रूपों का वर्णन किया है जो नकारात्मक भार का उपयोग नहीं करते हैं और उन मुद्दों के अधीन भी नहीं हैं।

यह भी देखें

 * कलमन फ़िल्टर
 * सहप्रसरण प्रतिच्छेदन
 * कलमन फ़िल्टर को इकट्ठा करें
 * विस्तारित कलमैन फ़िल्टर
 * गैर-रैखिक फ़िल्टर
 * असुगंधित इष्टतम नियंत्रण