वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट

गणित में, वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट यह निर्धारित करने के लिए एक परीक्षण है कि फ़ंक्शन (गणित) की एक अनंत श्रृंखला एकसमान अभिसरण और निरपेक्ष अभिसरण को अभिसरण करती है या नहीं। यह उन श्रृंखलाओं पर लागू होता है जिनके पद वास्तविक संख्या या जटिल संख्या मानों के साथ बंधे हुए कार्य हैं, और वास्तविक या जटिल संख्याओं की श्रृंखला के अभिसरण को निर्धारित करने के लिए प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण के अनुरूप है। इसका नाम जर्मन गणितज्ञ कार्ल वीयरस्ट्रैस (1815-1897) के नाम पर रखा गया है।

कथन
वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट। मान लीजिए कि (एफn) एक सेट (गणित) ए पर परिभाषित वास्तविक या जटिल-मूल्यवान कार्यों का एक क्रम है, और गैर-नकारात्मक संख्याओं (एम) का एक क्रम हैn) शर्तों को पूरा करना फिर सिलसिला
 * $$|f_n(x)|\leq M_n$$ सभी के लिए $$n \geq 1$$ और सभी $$x \in A$$, और
 * $$\sum_{n=1}^{\infty} M_n $$ जुटता है.
 * $$\sum_{n=1}^{\infty} f_n (x)$$

ए पर पूर्ण अभिसरण और एकसमान अभिसरण अभिसरण करता है।

परिणाम का उपयोग अक्सर समान सीमा प्रमेय के संयोजन में किया जाता है। साथ में वे कहते हैं कि यदि, उपरोक्त शर्तों के अलावा, सेट ए एक टोपोलॉजिकल स्पेस है और फ़ंक्शन एफ हैnA पर सतत फलन (टोपोलॉजी) हैं, तो श्रृंखला एक सतत फलन में परिवर्तित हो जाती है।

प्रमाण
कार्यों के अनुक्रम पर विचार करें
 * $$S_{n}(x) = \sum_{k=1}^{n}f_{k}(x).$$ श्रृंखला के बाद से $$\sum_{n=1}^{\infty}M_{n}$$ अभिसरण और $M_{n} &ge; 0$ हरएक के लिए $n$, फिर कॉची मानदंड से,
 * $$\forall \varepsilon>0 : \exists N : \forall m>n>N : \sum_{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon.$$ चुने हुए के लिए $N$,
 * $$\forall x \in A : \forall m> n> N$$
 * $$\left|S_{m}(x)-S_{n}(x)\right|=\left|\sum_{k=n+1}^{m}f_{k}(x)\right|\overset{(1)}{\leq} \sum_{k=n+1}^{m}|f_{k}(x)|\leq \sum_{k=n+1}^{m}M_{k}<\varepsilon . $$

(असमानता (1) त्रिभुज असमानता से आती है।)

क्रम $S_{n}(x)$ इस प्रकार आर या सी में एक कॉची अनुक्रम है, और वास्तविक संख्याओं की पूर्णता से, यह कुछ संख्या में परिवर्तित हो जाता है $S(x)$ जो x पर निर्भर करता है। n > N के लिए हम लिख सकते हैं
 * $$\left|S(x) - S_{n}(x)\right|=\left|\lim_{m\to\infty} S_{m}(x) - S_{n}(x)\right|=\lim_{m\to\infty} \left|S_{m}(x) - S_{n}(x)\right|\leq\varepsilon . $$

चूँकि N, x पर निर्भर नहीं करता है, इसका मतलब है कि अनुक्रम Sn}आंशिक योगों का } समान रूप से फ़ंक्शन एस में परिवर्तित होता है। इसलिए, परिभाषा के अनुसार, श्रृंखला $$\sum_{k=1}^{\infty}f_{k}(x)$$ समान रूप से अभिसरित होता है।

अनुरूप रूप से, कोई भी इसे साबित कर सकता है $$\sum_{k=1}^{\infty}|f_{k}(x)|$$ समान रूप से अभिसरित होता है।

सामान्यीकरण
वीयरस्ट्रैस एम-टेस्ट का एक अधिक सामान्य संस्करण यह मानता है कि फ़ंक्शंस का सामान्य कोडोमेन (fn) एक बानाच स्थान है, इस मामले में यह आधार है


 * $$|f_n(x)|\leq M_n$$

द्वारा प्रतिस्थापित किया जाना है


 * $$\|f_n(x)\|\leq M_n$$,

कहाँ $$\|\cdot\|$$ बानाच स्थान पर नॉर्म (गणित) है। बानाच स्थान पर इस परीक्षण के उपयोग के उदाहरण के लिए, फ़्रेचेट व्युत्पन्न लेख देखें।

यह भी देखें

 * समान अभिसरण#घातांकीय फलन|वीयरस्ट्रैस एम-परीक्षण का उदाहरण