लुकास प्राइमैलिटी टेस्ट

कम्प्यूटेशनल संख्या सिद्धांत में, लुकास परीक्षण एक प्राकृतिक संख्या n के लिए एक प्रारंभिक परीक्षण है; इसके लिए आवश्यक है कि n-1 के अभाज्य गुणनखंड पहले से ही ज्ञात हों। यह प्रैट प्रमाणपत्र का आधार है जो संक्षिप्त सत्यापन देता है कि n अभाज्य है।

अवधारणाएँ
माना कि n एक धनात्मक पूर्ण संख्या है। यदि कोई पूर्णांक a, 1<a<n स्थित है, जैसे कि


 * $$a^{n-1}\ \equiv\ 1 \pmod n \, $$

और n- 1


 * $$a^{({n-1})/q}\ \not\equiv\ 1 \pmod n \, $$

के प्रत्येक अभाज्य कारक q के लिए तो n अभाज्य है। यदि ऐसी कोई संख्या स्थित नहीं है, तो n या तो 1, 2 या भाज्य संख्या है।

इस अनुरोध की सत्यता का कारण इस प्रकार है: यदि प्रथम समतुल्यता a के लिए है, तो हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि a और n सहअभाज्य गुण हैं। यदि a भी दूसरे चरण में जीवित रहता है, तो समूह (गणित) ('Z'/n'Z')* में a का क्रम (समूह सिद्धांत) n−1 के बराबर है, जिसका अर्थ है कि उस समूह का क्रम n−1 है (क्योंकि समूह के प्रत्येक अवयव का क्रम समूह के क्रम को विभाजित करता है), जिसका अर्थ है कि n अभाज्य संख्या है। इसके विपरीत, यदि n अभाज्य है, तो एक आदिम रूट मोडुलो n स्थित है, या समूह के समूह ('Z'/n'Z')* का जनक समुच्चय स्थित है। ऐसे जनक का क्रम होता |('Z'/n'Z')*| = n−1 है और दोनों समतुल्यताएं ऐसे किसी भी आदिम मूल के लिए मान्य होंगी।

ध्यान दें कि यदि कोई a < n स्थित है, जिससे कि प्रथम समतुल्यता विफल हो जाती है, तो n की समग्रता के लिए a को फ़र्मेट प्राइमैलिटी परीक्षण अवधारणा कहा जाता है।

उदाहरण
उदाहरण के लिए, n = 71 लें। फिर n-1 = 70 और 70 के अभाज्य गुणनखंड 2, 5 और 7 हैं। हम यादृच्छिक रूप से a=17 <n का चयन करते हैं। अब हम गणना करते हैं:


 * $$17^{70}\ \equiv\ 1 \pmod {71}.$$

सभी पूर्णांकों के लिए यह ज्ञात है कि


 * $$a^{n - 1}\equiv 1 \pmod{n}\ \text{ if and only if } \text{ ord}(a)|(n-1).$$

इसलिए, 17 (मॉड 71) का गुणन क्रम आवश्यक रूप से 70 नहीं है क्योंकि 70 का कुछ कारक ऊपर भी कार्य कर सकता है। तो 70 को उसके अभाज्य गुणनखंडों से विभाजित करके जाँचें:


 * $$17^{35}\ \equiv\ 70\ \not\equiv\ 1 \pmod {71}$$
 * $$17^{14}\ \equiv\ 25\ \not\equiv\ 1 \pmod {71}$$
 * $$17^{10}\ \equiv\ 1\ \equiv\ 1 \pmod {71}.$$

दुर्भाग्य से, हमें वह 1710≡1 (मॉड 71) मिलता है। इसलिए हम अभी भी नहीं जानते कि 71 अभाज्य है या नहीं।

हम एक और यादृच्छिक a जांच करते हैं, इस बार a = 11 चुनते हैं। अब हम गणना करते हैं:


 * $$11^{70}\ \equiv\ 1 \pmod {71}.$$

फिर, इससे यह नहीं पता चलता कि 11 (मॉड 71) का गुणन क्रम 70 है क्योंकि 70 का कुछ गुणनखंड भी कार्य कर सकता है। तो 70 को उसके अभाज्य गुणनखंडों से विभाजित करके जाँचें:


 * $$11^{35}\ \equiv\ 70\ \not\equiv\ 1 \pmod {71}$$
 * $$11^{14}\ \equiv\ 54\ \not\equiv\ 1 \pmod {71}$$
 * $$11^{10}\ \equiv\ 32\ \not\equiv\ 1 \pmod {71}.$$

तो 11 (मॉड 71) का गुणन क्रम 70 है, और इस प्रकार 71 अभाज्य है।

(इन मॉड्यूलर घातांक को पूर्ण करने के लिए, कोई तीव्र घातांक एल्गोरिदम का उपयोग कर सकता है जैसे कि वर्ग द्वारा घातांक या जोड़-श्रृंखला घातांक)।

एल्गोरिदम
एल्गोरिदम को छद्मकोड में इस प्रकार लिखा जा सकता है:

algorithm lucas_primality_test is input: n > 2, an odd integer to be tested for primality. k, a parameter that determines the accuracy of the test. output: prime if n is prime, otherwise composite or possibly composite. determine the prime factors of n−1. LOOP1: repeat k times: pick a randomly in the range [2, n − 1] if  then return composite else # LOOP2: for all prime factors q of n−1: if  then if we checked this equality for all prime factors of n−1 then return prime else continue LOOP2 else #

continue LOOP1 return possibly composite.

यह भी देखें

 * एडौर्ड लुकास, जिनके नाम पर इस परीक्षण का नाम रखा गया है
 * फ़र्मेट की छोटी प्रमेय


 * पॉकलिंगटन प्राइमैलिटी परीक्षण, इस परीक्षण का एक उन्नत संस्करण जिसमें मात्र n − 1 के आंशिक गुणनखंडन की आवश्यकता होती है
 * प्राथमिकता प्रमाण पत्र

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