मात्सुबारा आवृत्ति

थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, मात्सुबारा आवृत्ति योग (ताकेओ मात्सुबारा के नाम पर) असतत काल्पनिक आवृत्तियों का योग है। यह निम्नलिखित रूप लेता है
 * $$S_\eta = \frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_n} g(i\omega_n),$$

कहाँ $$\beta = \hbar / k_{\rm B} T$$ विपरीत तापमान और आवृत्तियाँ है $$\omega_n$$ आमतौर पर निम्नलिखित दो सेटों में से किसी एक से लिया जाता है (साथ)। $$n\in\mathbb{Z}$$):
 * बोसोनिक आवृत्तियाँ: $$\omega_n=\frac{2n\pi}{\beta},$$
 * फ़र्मीओनिक आवृत्तियाँ: $$\omega_n=\frac{(2n+1)\pi}{\beta},$$

यदि योग अभिसारित होगा $$g(z=i\omega)$$ 0 इंच की ओर जाता है $$z\to\infty$$ की तुलना में तेज़ तरीके से सीमित करें $$z^{-1}$$. बोसोनिक आवृत्तियों पर योग को इस प्रकार दर्शाया गया है $$S_{\rm B}$$ (साथ $$\eta=+1$$), जबकि उस ओवर फर्मिओनिक आवृत्तियों को इस रूप में दर्शाया गया है $$S_{\rm F}$$ (साथ $$\eta=-1$$). $$\eta$$ सांख्यिकीय संकेत है.

थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के अलावा, मात्सुबारा आवृत्ति योग विधि भी ठोस-अवस्था भौतिकी के आरेखीय दृष्टिकोण में एक आवश्यक भूमिका निभाती है, अर्थात्, यदि कोई परिमित तापमान पर आरेखों पर विचार करता है। सामान्यतया, यदि पर $$T=0\,\text{K}$$, एक निश्चित फेनमैन आरेख को एक अभिन्न द्वारा दर्शाया गया है $$\int_{T=0} \mathrm{ d}\omega \ g(\omega )$$, परिमित तापमान पर यह योग द्वारा दिया जाता है $$S_\eta$$.

सामान्य औपचारिकता
मात्सुबारा आवृत्ति योग का मूल्यांकन करने की तरकीब मात्सुबारा वेटिंग फ़ंक्शन एच का उपयोग करना हैη(z) जिसका सरल ध्रुव (जटिल विश्लेषण) ठीक पर स्थित है $$ z=i\omega_n$$. बोसॉन केस η = +1 और फर्मियन केस η = −1 में भार कार्य भिन्न होते हैं। वेटिंग फ़ंक्शन के चुनाव पर बाद में चर्चा की जाएगी। वेटिंग फ़ंक्शन के साथ, योग को काल्पनिक अक्ष के चारों ओर एक समोच्च अभिन्न अंग द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है।
 * $$S_\eta=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega} g(i\omega)=\frac{1}{2\pi i\beta}\oint g(z) h_\eta(z) \,dz,$$

जैसा कि चित्र 1 में है, वेटिंग फ़ंक्शन काल्पनिक अक्ष पर ध्रुव (लाल क्रॉस) उत्पन्न करता है। समोच्च अभिन्न अंग इन ध्रुवों के अवशेषों (जटिल विश्लेषण) को उठाता है, जो योग के बराबर है। इस प्रक्रिया को कभी-कभी सोमरफेल्ड-वाटसन परिवर्तन भी कहा जाता है। जी(जेड) (चित्र 2 में हरा क्रॉस) के ध्रुवों को घेरने के लिए समोच्च रेखाओं के विरूपण द्वारा, जी(जेड)एच के अवशेषों को जोड़कर औपचारिक रूप से योग पूरा किया जा सकता है।η(z) g(z) के सभी ध्रुवों पर,


 * $$S_\eta=-\frac 1 \beta \sum_{z_0\in g(z)\text{ poles}} \operatorname{Res} g(z_0) h_\eta(z_0).$$

ध्यान दें कि ऋण चिह्न उत्पन्न होता है, क्योंकि ध्रुवों को दक्षिणावर्त दिशा में घेरने के लिए रूपरेखा विकृत हो जाती है, जिसके परिणामस्वरूप नकारात्मक अवशेष प्राप्त होता है।

मात्सुबारा वेटिंग फ़ंक्शन का विकल्प
बोसोन आवृत्तियों पर सरल ध्रुवों का निर्माण करना $$z=i\omega_n$$, मात्सुबारा वेटिंग फ़ंक्शन के निम्नलिखित दो प्रकारों में से किसी एक को चुना जा सकता है
 * $$h_{\rm B}^{(1)}(z)=\frac{\beta}{1-e^{-\beta z}}=-\beta n_{\rm B}(-z)=\beta(1+n_{\rm B}(z)),$$
 * $$h_{\rm B}^{(2)}(z)=\frac{-\beta}{1-e^{\beta z}}=\beta n_{\rm B}(z),$$

यह इस पर निर्भर करता है कि अभिसरण को किस आधे तल में नियंत्रित किया जाना है। $$h_{\rm B}^{(1)}(z)$$ बाएं आधे तल में अभिसरण को नियंत्रित करता है (Re z < 0), जबकि $$h_{\rm B}^{(2)}(z)$$ दाहिने आधे तल में अभिसरण को नियंत्रित करता है (Re z > 0)। यहाँ $$n_{\rm B}(z)=(e^{\beta z}-1)^{-1}$$ बोस-आइंस्टीन सांख्यिकी|बोस-आइंस्टीन वितरण फ़ंक्शन है।

फ़र्मिअन आवृत्तियों के लिए मामला समान है। मात्सुबारा वेटिंग फ़ंक्शन भी दो प्रकार के होते हैं जो सरल ध्रुव उत्पन्न करते हैं $$z=i\omega_m$$
 * $$h_{\rm F}^{(1)}(z)=\frac{\beta}{1+e^{-\beta z}}=\beta n_{\rm F}(-z)=\beta(1-n_{\rm F}(z)),$$
 * $$h_{\rm F}^{(2)}(z)=\frac{-\beta}{1+e^{\beta z}}=-\beta n_{\rm F}(z).$$

$$h_{\rm F}^{(1)}(z)$$ बाएं आधे तल में अभिसरण को नियंत्रित करता है (Re z < 0), जबकि $$h_{\rm F}^{(2)}(z)$$ दाहिने आधे तल में अभिसरण को नियंत्रित करता है (Re z > 0)। यहाँ $$n_{\rm F} (z)=(e^{\beta z}+1)^{-1}$$ फर्मी-डिराक सांख्यिकी|फर्मी-डिराक वितरण फलन है।

ग्रीन के फ़ंक्शन गणना के अनुप्रयोग में, g(z) में हमेशा संरचना होती है
 * $$g(z)=G(z)e^{-z\tau},$$

जो 0 < τ < β दिए गए बाएँ आधे तल में विचलन करता है। अभिसरण को नियंत्रित करने के लिए, पहले प्रकार का वेटिंग फ़ंक्शन हमेशा चुना जाता है $$h_\eta(z)=h_\eta^{(1)}(z)$$. हालाँकि, यदि मात्सुबारा योग अलग नहीं होता है तो अभिसरण को नियंत्रित करने की कोई आवश्यकता नहीं है। उस स्थिति में, मात्सुबारा वेटिंग फ़ंक्शन के किसी भी विकल्प से समान परिणाम प्राप्त होंगे।

मात्सुबारा आवृत्ति योग की तालिका
निम्न तालिका में शामिल है $$S_\eta=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega}g(i\omega)$$ कुछ सरल तर्कसंगत फलनों g(z) के लिए। प्रतीक η = ±1 सांख्यिकीय चिह्न है, बोसोन के लिए +1 और फ़र्मियन के लिए -1।

[1] चूंकि योग अभिसरण नहीं करता है, इसलिए मात्सुबारा वेटिंग फ़ंक्शन की अलग-अलग पसंद पर परिणाम भिन्न हो सकते हैं।

[2] (1 ↔ 2) पहले की तरह ही अभिव्यक्ति को दर्शाता है लेकिन सूचकांक 1 और 2 आपस में बदल गए हैं।

शून्य तापमान सीमा
इस सीमा में $$\beta\rightarrow\infty$$, मात्सुबारा आवृत्ति योग काल्पनिक अक्ष पर काल्पनिक आवृत्ति के एकीकरण के बराबर है।
 * $$\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega}=\int_{-i\infty}^{i\infty}\frac{\mathrm{d}(i\omega)}{2\pi i}.$$

कुछ अभिन्न अंग अभिसरण नहीं करते हैं। फ्रीक्वेंसी कटऑफ लागू करके उन्हें नियमित किया जाना चाहिए $$\Omega$$, और फिर अपसारी भाग को घटाना ($$\Omega$$-निर्भर) की सीमा लेने से पहले अभिन्न से $$\Omega\rightarrow\infty$$. उदाहरण के लिए, मुक्त ऊर्जा लघुगणक के अभिन्न अंग द्वारा प्राप्त की जाती है,
 * $$\eta \lim_{\Omega\rightarrow\infty}\left[

\int_{-i\Omega}^{i\Omega}\frac{\mathrm{d}(i\omega)}{2\pi i} \left(\ln(-i\omega+\xi)-\frac{\pi\xi}{2\Omega}\right)-\frac{\Omega}{\pi}(\ln\Omega-1)\right] =\left\{ \begin{array}{cc} 0 & \xi\geq0, \\ -\eta\xi & \xi<0, \end{array} \right. $$ इसका मतलब है कि शून्य तापमान पर, मुक्त ऊर्जा केवल रासायनिक क्षमता से नीचे की आंतरिक ऊर्जा से संबंधित होती है। साथ ही वितरण फलन निम्नलिखित समाकलन द्वारा प्राप्त किया जाता है
 * $$\eta \lim_{\Omega\rightarrow\infty}

\int_{-i\Omega}^{i\Omega}\frac{\mathrm{d}(i\omega)}{2\pi i} \left(\frac{1}{-i\omega+\xi}-\frac{\pi}{2\Omega}\right) =\left\{ \begin{array}{cc} 0 & \xi\geq0, \\ -\eta & \xi<0, \end{array} \right. $$ जो शून्य तापमान पर स्टेप फ़ंक्शन व्यवहार को दर्शाता है।

समय डोमेन
काल्पनिक समय अंतराल (0,β) पर परिभाषित एक फ़ंक्शन G(τ) पर विचार करें। इसे फूरियर श्रृंखला के संदर्भ में दिया जा सकता है,


 * $$G(\tau)=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega} G(i\omega) e^{-i\omega\tau},$$

जहां आवृत्ति केवल 2 के अंतर वाले अलग-अलग मान लेती है$\pi$/β.

आवृत्ति की विशेष पसंद फ़ंक्शन G(τ) की सीमा स्थिति पर निर्भर करती है। भौतिकी में, G(τ) का अर्थ ग्रीन के फ़ंक्शन का काल्पनिक समय प्रतिनिधित्व है


 * $$G(\tau)=-\langle \mathcal{T}_\tau \psi(\tau)\psi^*(0) \rangle. $$

यह बोसोन क्षेत्र के लिए आवधिक सीमा शर्त G(τ+β)=G(τ) को संतुष्ट करता है। जबकि एक फर्मियन क्षेत्र के लिए सीमा की स्थिति एंटी-आवधिक G(τ+β)=−G(τ) है।

आवृत्ति डोमेन में ग्रीन के फ़ंक्शन G(iω) को देखते हुए, इसके काल्पनिक समय प्रतिनिधित्व G(τ) का मूल्यांकन मात्सुबारा आवृत्ति योग द्वारा किया जा सकता है। बोसोन या फ़र्मियन आवृत्तियों के आधार पर, जिनका योग किया जाना है, परिणामी G(τ) भिन्न हो सकता है। भेद करना, परिभाषित करना
 * $$G_\eta(\tau)= \begin{cases}

G_{\rm B}(\tau), & \text{if } \eta = +1, \\ G_{\rm F}(\tau), & \text{if } \eta = -1, \end{cases} $$ साथ
 * $$G_{\rm B}(\tau)=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_n}G(i\omega_n)e^{-i\omega_n\tau},$$
 * $$G_{\rm F}(\tau)=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_m}G(i\omega_m)e^{-i\omega_m\tau}.$$

ध्यान दें कि τ मुख्य अंतराल (0,β) में प्रतिबंधित है। सीमा स्थिति का उपयोग G(τ) को मुख्य अंतराल से बाहर बढ़ाने के लिए किया जा सकता है। कुछ अक्सर उपयोग किए जाने वाले परिणाम निम्नलिखित तालिका में दिए गए हैं।

ऑपरेटर स्विचिंग प्रभाव
छोटा सा काल्पनिक समय यहां एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है। छोटे काल्पनिक समय के संकेत बदलने पर संचालकों का क्रम बदल जाएगा।
 * $$\langle \psi\psi^*\rangle=\langle \mathcal{T}_\tau \psi(\tau=0^+) \psi^*(0)\rangle

=-G_\eta(\tau=0^+)=-\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega}G(i\omega)e^{-i\omega 0^+}$$
 * $$\langle \psi^*\psi\rangle=\eta\langle \mathcal{T}_\tau \psi(\tau=0^-) \psi^*(0)\rangle

=-\eta G_\eta(\tau=0^-)=-\frac{\eta}{\beta}\sum_{i\omega}G(i\omega)e^{i\omega 0^+}$$

वितरण फलन
ग्रीन के फ़ंक्शन G(τ) के τ = 0 पर असंतत होने के कारण वितरण फ़ंक्शन का मूल्यांकन मुश्किल हो जाता है। योग का मूल्यांकन करने के लिए
 * $$ G(0) = \sum_{i\omega}(i\omega-\xi)^{-1},$$

वेटिंग फ़ंक्शन के दोनों विकल्प स्वीकार्य हैं, लेकिन परिणाम भिन्न हैं। इसे समझा जा सकता है यदि हम G(τ) को τ = 0 से थोड़ा दूर धकेलते हैं, तो अभिसरण को नियंत्रित करने के लिए, हमें लेना होगा $$h_\eta^{(1)}(z)$$ के लिए भारोत्तोलन फ़ंक्शन के रूप में $$G(\tau=0^+)$$, और $$h_\eta^{(2)}(z)$$ के लिए $$G(\tau=0^-)$$.

बोसॉनों
 * $$G_{\rm B}(\tau=0^-)=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_n}\frac{e^{i\omega_n 0^+}}{i\omega_n-\xi}=-n_{\rm B}(\xi),$$
 * $$G_{\rm B}(\tau=0^+)=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_n}\frac{e^{-i\omega_n 0^+}}{i\omega_n-\xi}=-(n_{\rm B}(\xi)+1).$$

फरमिओन्स
 * $$G_{\rm F}(\tau=0^-)=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_m}\frac{e^{i\omega_m 0^+}}{i\omega_m-\xi}=n_{\rm F}(\xi),$$
 * $$G_{\rm F}(\tau=0^+)=\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_m}\frac{e^{-i\omega_m 0^+}}{i\omega_m-\xi}=-(1-n_{\rm F}(\xi)).$$

निःशुल्क ऊर्जा
बोसॉनों
 * $$\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_n} \ln(\beta(-i\omega_n+\xi))=\frac{1}{\beta}\ln(1-e^{-\beta\xi}),$$

फरमिओन्स
 * $$-\frac{1}{\beta}\sum_{i\omega_m} \ln(\beta(-i\omega_m+\xi))=-\frac{1}{\beta}\ln(1+e^{-\beta\xi}).$$

आरेख मूल्यांकन
अक्सर सामने आने वाले आरेखों का मूल्यांकन यहां एकल मोड सेटिंग के साथ किया जाता है। एकाधिक मोड समस्याओं का समाधान वर्णक्रमीय फ़ंक्शन इंटीग्रल द्वारा किया जा सकता है।

फर्मियन आत्म ऊर्जा

 * $$\Sigma(i\omega_m)=-\frac{1}{\beta }\sum _{i \omega_n } \frac{1}{i \omega_m +i \omega_n -\varepsilon }\frac{1}{i \omega_n -\Omega }=- \frac{n_{\rm B}(\varepsilon )+n_{\rm F}(\Omega )}{i \omega_m -\varepsilon +\Omega }.$$

कण-छिद्र बुलबुला

 * $$\Pi (i \omega_n )=\frac{1}{\beta }\sum _{i \omega_m } \frac{1}{i \omega_m +i \omega_n -\varepsilon }\frac{1}{i \omega_m -\varepsilon '}=\frac{n_{\rm B}(\varepsilon )+n_{\rm F} \left(\varepsilon '\right)}{i \omega_n -\varepsilon +\varepsilon'}.$$

कण-कण बुलबुला

 * $$\Pi (i \omega_n )=-\frac{1}{\beta }\sum _{i \omega_m } \frac{1}{i \omega_m +i \omega_n -\varepsilon }\frac{1}{-i \omega_m -\varepsilon '}=\frac{1-n_{\rm F}\left(\varepsilon '\right) + n_{\rm B}(\varepsilon )}{i \omega_n -\varepsilon -\varepsilon '}.$$

वितरण कार्य
सामान्य संकेतन $$n_\eta$$ या तो बोस (η=+1) या फर्मी (η=−1) वितरण फ़ंक्शन के लिए है
 * $$n_\eta(\xi)=\frac{1}{e^{\beta\xi}-\eta}.$$

यदि आवश्यक हो, विशिष्ट संकेतन nB और nF क्रमशः बोस और फर्मी वितरण कार्यों को इंगित करने के लिए उपयोग किया जाता है
 * $$n_\eta(\xi)= \begin{cases}

n_{\rm B}(\xi), & \text{if } \eta = +1, \\ n_{\rm F}(\xi), & \text{if } \eta = -1. \end{cases} $$

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों से संबंध
बोस वितरण फ़ंक्शन हाइपरबोलिक कोटैंजेंट फ़ंक्शन से संबंधित है
 * $$n_{\rm B}(\xi)=\frac{1}{2}\left(\operatorname{coth}\frac{\beta\xi}{2}-1\right).$$

फर्मी वितरण फ़ंक्शन हाइपरबोलिक स्पर्शरेखा फ़ंक्शन से संबंधित है
 * $$n_{\rm F}(\xi)=\frac{1}{2}\left(1-\operatorname{tanh}\frac{\beta\xi}{2}\right).$$

समता
दोनों वितरण कार्यों में निश्चित समानता नहीं है,
 * $$n_\eta(-\xi)=-\eta-n_\eta(\xi).$$

एक अन्य सूत्र के संदर्भ में है $$c_\eta$$ समारोह
 * $$n_\eta(-\xi)=n_\eta(\xi)+2\xi c_\eta(0,\xi).$$

हालाँकि उनके डेरिवेटिव में निश्चित समानता है।

बोस-फर्मी रूपांतरण
बोस और फर्मी वितरण फ़ंक्शन फर्मिओनिक आवृत्ति द्वारा चर के एक बदलाव के तहत प्रसारित होते हैं,
 * $$n_\eta(i\omega_m+\xi)=-n_{-\eta}(\xi).$$

हालाँकि बोसोनिक आवृत्तियों द्वारा स्थानांतरण से कोई फर्क नहीं पड़ता।

पहला आदेश

 * $$n_{\rm B}^\prime(\xi)=-\frac{\beta}{4}\mathrm{csch}^2\frac{\beta \xi}{2},$$
 * $$n_{\rm F}^\prime(\xi)=-\frac{\beta}{4}\mathrm{sech}^2\frac{\beta \xi}{2}.$$

उत्पाद के संदर्भ में:
 * $$n_\eta^\prime(\xi)= -\beta n_\eta(\xi)(1+\eta n_\eta(\xi)).$$

शून्य तापमान सीमा में:
 * $$n_\eta^\prime(\xi)=\eta\delta(\xi) \text{ as } \beta\rightarrow\infty.$$

दूसरा क्रम

 * $$n_{\rm B}^{\prime\prime}(\xi)=\frac{\beta^2}{4}\operatorname{csch}^2\frac{\beta \xi}{2}\operatorname{coth}\frac{\beta \xi}{2},$$
 * $$n_{\rm F}^{\prime\prime}(\xi)=\frac{\beta^2}{4}\operatorname{sech}^2\frac{\beta \xi}{2}\operatorname{tanh}\frac{\beta \xi}{2}.$$

अंतर का सूत्र

 * $$n_\eta(a+b)-n_\eta(a-b)=-\frac{\mathrm{sinh}\beta b}{\mathrm{cosh}\beta a-\eta\,\mathrm{cosh}\beta b}.$$

केस ए = 0

 * $$n_{\rm B}(b)-n_{\rm B}(-b)=\mathrm{coth}\frac{\beta b}{2},$$
 * $$n_{\rm F}(b)-n_{\rm F}(-b)=-\mathrm{tanh}\frac{\beta b}{2}.$$

केस ए → 0

 * $$n_{\rm B}(a+b)-n_{\rm B}(a-b)=\operatorname{coth}\frac{\beta b}{2}+n_{\rm B}^{\prime\prime}(b)a^2+\cdots,$$
 * $$n_{\rm F}(a+b)-n_{\rm F}(a-b)=-\operatorname{tanh}\frac{\beta b}{2}+n_{\rm F}^{\prime\prime}(b)a^2+\cdots.$$

केस बी → 0

 * $$n_{\rm B}(a+b)-n_{\rm B}(a-b)=2n_{\rm B}^\prime(a)b+\cdots,$$
 * $$n_{\rm F}(a+b)-n_{\rm F}(a-b)=2n_{\rm F}^\prime(a)b+\cdots.$$

फ़ंक्शन सीη
परिभाषा:
 * $$c_\eta(a,b)\equiv-\frac{n_\eta(a+b)-n_\eta(a-b)}{2b}.$$

बोस और फर्मी प्रकार के लिए:
 * $$c_{\rm B}(a,b)\equiv c_+(a,b),$$
 * $$c_{\rm F}(a,b)\equiv c_-(a,b).$$

अतिशयोक्तिपूर्ण कार्यों से संबंध

 * $$c_\eta(a,b)=\frac{\sinh\beta b}{2b(\cosh\beta a-\eta\cosh\beta b)}.$$

यह स्पष्ट है कि $$c_{\rm F}(a,b)$$ सकारात्मक निश्चित है.

संख्यात्मक गणना में अतिप्रवाह से बचने के लिए tanh और coth फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है
 * $$c_{\rm B}(a,b)=\frac{1}{4b}\left(\operatorname{coth}\frac{\beta(a-b)}{2} - \operatorname{coth}\frac{\beta(a+b)}{2}\right),$$
 * $$c_{\rm F}(a,b)=\frac{1}{4b}\left(\operatorname{tanh}\frac{\beta(a+b)}{2} - \operatorname{tanh}\frac{\beta(a-b)}{2}\right).$$

केस ए = 0

 * $$c_{\rm B}(0,b)=-\frac{1}{2b}\operatorname{coth}\frac{\beta b}{2},$$
 * $$c_{\rm F}(0,b)=\frac{1}{2b}\operatorname{tanh}\frac{\beta b}{2}.$$

केस बी = 0

 * $$c_{\rm B}(a,0)=\frac{\beta}{4}\operatorname{csch}^2\frac{\beta a}{2},$$
 * $$c_{\rm F}(a,0)=\frac{\beta}{4}\operatorname{sech}^2\frac{\beta a}{2}.$$

निम्न तापमान सीमा
ए = 0 के लिए: $$c_{\rm F}(0,b)=\frac{1}{2|b|}.$$ बी = 0 के लिए: $$c_{\rm F}(a,0)=\delta(a).$$ सामान्य रूप में,
 * $$c_{\rm F}(a,b)=\begin{cases}

\frac{1}{2|b|}, & \text{if } |a|<|b| \\ 0, & \text{if } |a|>|b| \end{cases}$$

यह भी देखें

 * काल्पनिक समय
 * थर्मल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

बाहरी संबंध

 * Agustin Nieto: Evaluating Sums over the Matsubara Frequencies. arXiv:hep-ph/9311210
 * Github repository: MatsubaraSum A Mathematica package for Matsubara frequency summation.
 * A. Taheridehkordi, S. Curnoe, J.P.F. LeBlanc: Algorithmic Matsubara Integration for Hubbard-like models.. arXiv:cond-mat/1808.05188