रूट लोकस विश्लेषण

नियंत्रण सिद्धांत और स्थिरता सिद्धांत में, रूट लोकस विश्लेषण यह जांचने के लिए आलेखी विधि है कि प्रणाली का मूल निश्चित प्रणाली मापदण्ड की भिन्नता के साथ कैसे बदलती हैं, सामान्यतः प्रतिक्रिया प्रणाली के भीतर पाश लब्धि होता है। यह वाल्टर आर इवांस द्वारा विकसित चिरसम्मत नियंत्रण सिद्धांत के क्षेत्र में स्थिरता मानदंड के रूप में उपयोग की जाने वाली तकनीक है जो प्रणाली के स्थिर बहुपद को निर्धारित कर सकती है। रूट लोकस कॉम्प्लेक्स s-प्लेन में संवृत पाश अंतरण फलन के पोल्स को गेन मापदण्ड के फलन के रूप में आलेख करता है (पोल-शून्य आलेख देखें)। इवांस ने 1948 में रूट लोकी की गणना करने के लिए अनुरूप अभिकलित्र का भी आविष्कार किया, जिसे स्पिरुल ("सर्पिल" और विसर्पी गणक के बाद) कहा जाता है; अंकीय संगणक के आगमन से पहले इसका व्यापक उपयोग हुआ था।

उपयोग
प्रणाली की स्थिरता का निर्धारण करने के अतिरिक्त, रूट लोकस का उपयोग प्रतिक्रिया प्रणाली के अवमन्दन अनुपात (ζ) और प्राकृतिक आवृत्ति (ωn) को डिजाइन करने के लिए किया जा सकता है। स्थिर अवमंदन अनुपात की रेखाएँ मूल से अरीय रूप से खींची जा सकती हैं और स्थिर प्राकृतिक आवृत्ति की रेखाएँ आर्ककोसाइन के रूप में खींची जा सकती हैं जिनके केंद्र बिंदु मूल बिंदु के साथ मेल खाते हैं। वांछित अवमन्दन अनुपात और प्राकृतिक आवृत्ति के साथ मेल खाने वाले रूट लोकस के साथ बिंदु का चयन करके, लाभ K की गणना की जा सकती है और नियंत्रक में लागू किया जा सकता है। अधिकांश नियंत्रण पाठ्यपुस्तकों में रूट लोकस का उपयोग कर नियंत्रक डिजाइन की अधिक विस्तृत तकनीकें उपलब्ध हैं: उदाहरण के लिए लैग, लीड, पीआई, पीडी और पीआईडी ​​​​नियंत्रक को लगभग इस तकनीक के साथ डिजाइन किया जा सकता है।

अवमन्दन अनुपात और प्राकृतिक आवृत्ति की परिभाषा यह मानती है कि समग्र प्रतिक्रिया प्रणाली दूसरे क्रम प्रणाली द्वारा अच्छी तरह से अनुमानित है; अर्थात प्रणाली में पोल्स की प्रमुख जोड़ी है। यह अधिकांशतः मामला नहीं होता है, इसलिए यह जांचने के लिए अंतिम डिजाइन का अनुकरण करना अच्छा अभ्यास है कि परियोजना के लक्ष्य पूर्ति हैं या नहीं है।

परिभाषा
पुनर्भरण तंत्र का रूट लोकस निश्चित प्रणाली मापदण्ड के अलग-अलग मानों के लिए अपने संवृत पाश पोल्स के संभावित स्थानों के जटिल s-प्लेन में आलेखी निरूपण है। वे बिंदु जो रूट लोकस का हिस्सा हैं, कोण की स्थिति को पूर्ति करते हैं। रूट लोकस के निश्चित बिंदु के लिए मापदण्ड का मान परिमाण की स्थिति का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

मान लीजिए कि इनपुट सिग्नल के साथ पुनर्भरण तंत्र $$X(s)$$ है और आउटपुट सिग्नल $$Y(s)$$. फॉरवर्ड पाथ अंतरण प्रकार्य $$G(s)$$ है ; प्रतिक्रिया लोकस अंतरण फलन $$H(s)$$ है.

इस प्रणाली के लिए संवृत पाश अंतरण फलन दिया जाता है


 * $$T(s) = \frac{Y(s)}{X(s)} = \frac{G(s)}{1+G(s)H(s)}$$

इस प्रकार, संवृत पाश अंतरण फलन के संवृत पाश पोल विशेषता समीकरण का मूल हैं $$1 + G(s)H(s) = 0$$, इस समीकरण का मूल कहीं भी मिल सकती हैं $$G(s)H(s) = -1$$.

स्पष्ट विलंब के बिना प्रणाली में, उत्पाद $$G(s)H(s)$$ तर्कसंगत बहुपद फलन है और इसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है


 * $$G(s)H(s) = K \frac{ (s + z_1) (s + z_2) \cdots (s + z_m)}{(s + p_1) (s + p_2) \cdots (s + p_n) }$$

जहाँ $$-z_i$$ हैं $$m$$ शून्य और पोल, $$-p_i$$ $$n$$ पोल्स हैं, और $$K$$ अदिश लाभ है। सामान्यतः, रूट लोकस आरेख मापदण्ड $$K$$ के अलग-अलग मानों के लिए अंतरण फलन पोल स्थानों को इंगित करता है रूट लोकस आलेख s-प्लेन में वे सभी बिंदु होंगे जहां $$G(s)H(s) = -1$$ के किसी भी मान $$K$$ के लिए,

$$K$$ की घटक और सरल एकपद के उपयोग का अर्थ है तर्कसंगत बहुपद का मूल्यांकन सदिश तकनीकों के साथ किया जा सकता है जो कोणों को जोड़ते या घटाते हैं और परिमाण को गुणा या विभाजित करते हैं। सदिश सूत्रीकरण इस तथ्य से उत्पन्न होता है कि प्रत्येक एकपदी शब्द $$(s-a)$$ कारक में $$G(s)H(s)$$ से सदिश का $$a$$ को $$s$$ s-प्लेन में प्रतिनिधित्व करता है। इनमें से प्रत्येक सदिश के परिमाण और कोणों पर विचार करके बहुपद का मूल्यांकन किया जा सकता है।

सदिश गणित के अनुसार, परिमेय बहुपद के परिणाम का कोण, अंश के सभी कोणों का योग होता है, जिसमें हर के सभी कोणों का योग घटाया जाता है। तो यह जांचने के लिए कि s-प्लेन में बिंदु रूट लोकस पर है, केवल सभी खुले लूप पोल्स और शून्यों के कोणों पर विचार किया जाना चाहिए। इसे कोण की स्थिति के रूप में जाना जाता है।

इसी प्रकार, परिमेय बहुपद के परिणाम का परिमाण अंश में सभी परिमाणों का गुणनफल होता है जो भाजक में सभी परिमाणों के गुणनफल से विभाजित होता है। यह पता चला है कि s-प्लेन में कोई बिंदु रूट लोकस का हिस्सा है या नहीं, यह निर्धारित करने के लिए परिमाण की गणना की आवश्यकता नहीं है क्योंकि $$K$$ बदलता रहता है और यादृच्छिक वास्तविक मान ले सकता है। रूट लोकस के प्रत्येक बिंदु के लिए मान $$K$$ गणना की जा सकती है। इसे परिमाण की स्थिति के रूप में जाना जाता है।

रूट लोकस केवल संवृत पाश पोल का स्थान लाभ के रूप में देता है $$K$$ विविध है। $$K$$ का मान शून्य के स्थान को प्रभावित नहीं करता है। ओपन-लूप ज़ीरो, क्लोज़्ड-लूप ज़ीरो के समान हैं।

कोण की स्थिति
बिंदु $$s$$ जटिल s-प्लेन कोण की स्थिति को पूर्ति करता है यदि


 * $$\angle (G(s)H(s)) = \pi$$

जो ऐसा कहने जैसा ही है


 * $$\sum_{i=1}^{m}\angle(s+z_i) - \sum_{i=1}^{n}\angle(s+p_i) = \pi$$

अर्थात, ओपन-लूप शून्य से बिंदु तक के कोणों का योग $$s$$ (प्रति शून्य के सन्दर्भ में. मापा जाता है उस शून्य के माध्यम से क्षैतिज चल रहा है) ओपन-लूप पोल्स से बिंदु $$s$$ तक कोण घटाएं (उस पोल से गुजरने वाले क्षैतिज के संबंध में प्रति पोल मापा गया) $$\pi$$, या 180 डिग्री (कोण) के बराबर होना चाहिए। ध्यान दें कि इन व्याख्याओं को बिंदु $$s$$ और शून्य/पोल के बीच कोण के अंतर के लिए गलत नहीं होना चाहिए।

परिमाण स्थिति
$$K$$ का एक मान किसी दिए गए परिमाण की स्थिति को पूर्ति करता है $$s$$ रूट लोकस का बिंदु यदि


 * $$|G(s)H(s)| = 1$$

जो ऐसा कहने जैसा ही है


 * $$ K\frac{ |s + z_1| |s + z_2| \cdots |s + z_m|}{|s + p_1| |s + p_2| \cdots |s + p_n| } = 1$$.

रेखाचित्रण रूट लोकस
कुछ बुनियादी नियमों का उपयोग करते हुए, रूट लोकस विधि जड़ों द्वारा तय किए गए लोकस के समग्र आकार को मान के रूप में आलेख कर सकती है $$K$$ भिन्न होता है। रूट लोकस का आलेख तब $$K$$ विभिन्न मानों के लिए इस पुनर्भरण तंत्र की स्थिरता और गतिशीलता का विचार देता है, नियम निम्नलिखित हैं:
 * ओपन-लूप पोल्स और शून्य चिह्नित करें
 * पोल्स और शून्यों की विषम संख्या के बाईं ओर वास्तविक अक्ष भाग को चिह्नित करें
 * स्पर्शोन्मुख खोजें

P को पोल्स की संख्या और Z को शून्य की संख्या होने दें:


 * $$P - Z = \text{number of asymptotes} \, $$

अनंतस्पर्शी रेखाएँ वास्तविक अक्ष $$\alpha$$ को काटती हैं (जिसे केन्द्रक कहते हैं) और कोण $$\phi$$ पर निर्गत करते हैं द्वारा दिए गए:


 * $$\phi_l = \frac{180^\circ + (l - 1)360^\circ}{P-Z}, l = 1, 2, \ldots, P - Z$$
 * $$\alpha = \frac{\operatorname{Re}\left(\sum_P - \sum_Z\right)}{P - Z}$$

जहाँ $$\sum_P$$ पोल्स के सभी स्थानों का योग है, $$\sum_Z$$ स्पष्ट शून्य के सभी स्थानों का योग है और $$\operatorname{Re}$$ दर्शाता है कि हम केवल वास्तविक भाग में रुचि रखते हैं।
 * निर्गत के कोण को खोजने के लिए परीक्षण बिंदु पर चरण की स्थिति
 * ब्रेकअवे/ब्रेक-इन पॉइंट की गणना करें

ब्रेकअवे बिंदु निम्नलिखित समीकरण की जड़ों पर स्थित हैं:


 * $$\frac{dG(s)H(s)}{ds} = 0\text{ or }\frac{d\overline{GH}(z)}{dz} = 0$$

एक बार जब आप z के लिए हल कर लेते हैं, तो असली मूल आपको ब्रेकअवे/रीएंट्री पॉइंट देती हैं। जटिल मूल ब्रेकअवे/रीएंट्री की कमी के अनुरूप हैं।

आलेखन रूट लोकस
सामान्य संवृत पाश भाजक परिमेय बहुपद दिया गया है


 * $$ 1 + G(s)H(s) = 1 + K \frac{b_m s^m + \ldots + b_1 s + b_0}{s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \ldots + a_1 s + a_0}, $$

विशेषता समीकरण को सरल बनाया जा सकता है


 * $$ s^n + a_{n-1}s^{n-1} + \ldots + (a_m + K b_m)s^m + \ldots + (a_1 + K b_1)s + (a_0 + K b_0) = 0.$$

के उपाय $$s$$ इस समीकरण के लिए संवृत पाश अंतरण फलन का रूट लोकी है।

उदाहरण
दिया गया


 * $$ 1 + G(s)H(s) = 1 + K \frac{s + 3}{s^3 + 3s^2 + 5s + 1}, $$

हमारे पास विशेषता समीकरण होगा


 * $$ s^3 + 3s^2 + (5 + K)s + (1 + 3 K) = 0. $$

निम्नलिखित मैटलैब कोड संवृत पाश अंतरण फलन के रूट लोकस को आलेख करेगा $$K$$ वर्णित नियमावली विधि के साथ-साथ भिन्न होता है  अंतर्निहित फलन:

z-प्लेन बनाम s-प्लेन
रूट लोकस विधि का उपयोग z-प्लेन में रूट लोकस, s-प्लेन के असतत समकक्ष की गणना करके नमूनाकृत डेटा प्रणाली के विश्लेषण के लिए भी किया जा सकता है। समीकरण $z = e^{sT}$ लगातार s-प्लेन पोल (शून्य नहीं) को z-प्रांत में मैप करता है, जहां T सैंपलिंग अवधि है। z-प्लेन के यूनिट सर्कल के अंतस्थ में स्थिर, बाएं आधे s-प्लेन मैप्स, s-प्लेन मूल के साथ |z| = 1 (क्योंकि e0 = 1)। z प्लेन में (1,0) से सर्पिल के चारों ओर s-प्लेन मैप्स में निरंतर अवमंदन की विकर्ण रेखा के रूप में यह मूल की ओर घटता है। निक्विस्ट अलियासिंग मानदंड को x- अक्ष द्वारा z- समतल में रेखांकन के रूप में व्यक्त किया जाता है, जहाँ $ωnT = π$ है। निरंतर अवमंदन की रेखा ने केवल अनिश्चित काल में सर्पिल का वर्णन किया है, लेकिन नमूना डेटा प्रणाली में, निक्विस्ट आवृत्ति के अभिन्न गुणकों द्वारा आवृत्ति सामग्री को निम्न आवृत्तियों पर अलिया किया जाता है। यही है, नमूना प्रतिक्रिया कम आवृत्ति के रूप में दिखाई देती है और साथ ही बेहतर अवमन्दित के साथ-साथ z-प्लेन मैप्स में मूल अलग, बेहतर अवमन्दित वाले सर्पिल वक्र के निरंतर अवमंदन के पहले लूप के लिए समान रूप से अच्छी तरह से दिखाई देती है। कई अन्य दिलचस्प और प्रासंगिक मानचित्रण गुणों का वर्णन किया जा सकता है, कम से कम यह नहीं कि z-प्लेन नियंत्रकों की संपत्ति होने पर उन्हें सीधे z-प्लेन अंतरण प्रकार्य (बहुपदों के शून्य/ध्रुव अनुपात) से लागू किया जा सकता है, एक पर सुचित्रित रूप से कल्पना की जा सकती है। ओपन लूप अंतरण प्रकार्य का z-प्लेन आलेख, और तुरंत रूट लोकस का उपयोग करके विश्लेषण किया गया था।

चूँकि रूट लोकस चित्रमय कोण तकनीक है, रूट लोकस नियम $z$ और $s$ प्लेन उसी में काम करते हैं।

रूट लोकस का विचार कई प्रणालियों पर लागू किया जा सकता है जहां मापदण्ड $K$ विविध है। उदाहरण के लिए, यह किसी भी प्रणाली मापदण्ड को स्वीप करने के लिए उपयोगी है जिसके व्यवहार को निर्धारित करने के लिए सटीक मान अनिश्चित है।

यह भी देखें

 * कला परिसर
 * राउत-हर्विट्ज स्थिरता मानदंड
 * निक्विस्ट स्थिरता मानदंड
 * गेन मार्जिन और फेज मार्जिन
 * बोडे आलेख

बाहरी संबंध

 * Wikibooks: Control Systems/Root Locus
 * Carnegie Mellon / University of Michigan Tutorial
 * Excellent examples. Start with example 5 and proceed backwards through 4 to 1. Also visit the main page
 * The root-locus method: Drawing by hand techniques
 * "RootLocs": A free multi-featured root-locus plotter for Mac and Windows platforms
 * "Root Locus": A free root-locus plotter/analyzer for Windows
 * Root Locus at ControlTheoryPro.com
 * Root Locus Analysis of Control Systems
 * मैटलैब function for computing root locus of a SISO open-loop model
 * Mathematica function for plotting the root locus
 * Mathematica function for plotting the root locus