रेखा अवयव

ज्यामिति में, रेखा अवयव या लंबाई अवयव को अनौपचारिक रूप से एक मीट्रिक समष्टि में एक अत्यंत सूक्ष्म विस्थापन सदिश से सम्बद्ध रेखा खंड के रूप में माना जा सकता है। रेखा तत्व की लंबाई, जिसे अवकल चाप लंबाई के रूप में माना जा सकता है, मीट्रिक प्रदिश का एक कार्य है और इसे $$ds$$ द्वारा प्रदर्शित किया जाता है।

रेखा तत्वों का उपयोग भौतिकी, विशेष रूप से गुरुत्वाकर्षण के सिद्धांतों में(सबसे विशेष रूप से सामान्य सापेक्षता में) किया जाता है, जहाँ दिक्-काल(स्पेसटाइम) को एक उपयुक्त मीट्रिक टेन्सर के साथ एक वक्राकार छद्म-रीमैनियन मैनिफोल्ड के रूप में तैयार किया जाता है।

रेखा तत्व और चाप की लंबाई की परिभाषा
एक n-विमीय रीमैनियन मैनिफोल्ड या छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड(भौतिकी में सामान्यतः एक लोरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड) में रेखा तत्व ds के वर्ग की निर्देशांक-मुक्त परिभाषा एक अतिसूक्ष्म विस्थापन $$d\mathbf{q}$$ की "लंबाई का वर्ग" (छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड में संभावित रूप से ऋणात्मक) है जिसके वर्गमूल का उपयोग वक्र की लंबाई की गणना करने के लिए किया जाना चाहिए:$$ ds^2 = d\mathbf{q}\cdot d\mathbf{q} = g(d\mathbf{q},d\mathbf{q})$$जहाँ g मीट्रिक टेन्सर है, ' · 'आंतरिक गुणन को दर्शाता है, और $$d\mathbf{q}$$ (छद्म) रीमैनियन मैनिफोल्ड पर एक अत्यंत सूक्ष्म विस्थापन सदिश है। एक वक्र $$q(\lambda)$$ को मानकीकृत करके, हम $$q(\lambda_1)$$ और $$q(\lambda_2)$$) के बीच वक्र की वक्र लंबाई की चाप लंबाई को निम्न समाकल के रूप में परिभाषित कर सकते हैं:
 * $$ s = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} d\lambda \sqrt{ \left|ds^2\right|} = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} d\lambda \sqrt{ \left|g\left(\frac{dq}{d\lambda},\frac{dq}{d\lambda}\right)\right|} = \int_{\lambda_1}^{\lambda_2} d\lambda \sqrt{ \left|g_{ij}\frac{dq^i}{d\lambda}\frac{dq^j}{d\lambda}\right|} $$

छद्म रीमैनियन मैनिफोल्ड में वक्रों की एक सार्थक लंबाई की गणना करने के लिए, यह मान लेना सर्वोत्तम होता है कि अत्यंत सूक्ष्म विस्थापनों का चिह्न सभी स्थानों पर एक ही है। उदाहरण के लिए भौतिकी में एक समयरेखा वक्र के साथ एक रेखा तत्व का वर्ग ($$-+++$$ चिह्न परिपाटी) ऋणात्मक होगा और वक्र के साथ रेखा तत्व के वर्ग का ऋणात्मक वर्गमूल वक्र के साथ गतिमान पर्यवेक्षक के लिए उचित समय को मापेगा। इस दृष्टि से मीट्रिक, रेखा तत्व के अतिरिक्त सतह तथा आयतन तत्वों आदि को भी परिभाषित करता है।

मीट्रिक प्रदिश के साथ रेखा तत्व के वर्ग की पहचान
चूँकि $$d\mathbf{q}$$ चाप की लंबाई का स्वैच्छिक वर्ग है, अतः $$ds^2$$ पूर्णतः मीट्रिक को परिभाषित करता है, इसलिए सामान्यतः मीट्रिक प्रदिश की परिभाषा के रूप में $$ds^2$$ के लिए निरूपण पर विचार करना सबसे अच्छा होता है, जिसे एक विचारोत्तेजक लेकिन गैर टेंसोरियल संकेतन में लिखा गया है:
 * $$ds^2 = g$$
 * मीट्रिक के साथ चाप की लंबाई $$ds^2$$ के वर्ग की यह पहचान n-विमीय सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक q = (q1, q2, q3, ..., qn) में मीट्रिक टेन्सर के साथ संगत है, जहाँ इसे एक सममित कोटि 2 प्रदिश के रूप में लिखा गया है:
 * $$ ds^2= g_{ij}dq^i dq^j = g $$.

यहाँ घातांक i और j, 1, 2, 3, ..., n मान ग्रहण करते हैं और आइंस्टीन की योग परिपाटी का उपयोग करते हैं। (छद्म) रीमैनियन अंतरिक्षों के सामान्य उदाहरणों में त्रि-विमीय अंतरिक्ष (समय निर्देशांकों का कोई समावेश नहीं) और यथार्थ चार-विमीय दिक्-काल सम्मिलित हैं।

यूक्लिडीय अंतरिक्ष में रेखा तत्व
मीट्रिक से रेखा तत्वों की प्राप्ति की विधि के उदाहरण निम्न हैं:

कार्तीय निर्देशांक
कार्तीय निर्देशांकों में सरलतम रेखा तत्व होता है, इस स्थिति में मीट्रिक केवल क्रोनेकर डेल्टा होता है:


 * $$g_{ij} = \delta_{ij}$$

(यहाँ i, j = 1, 2, 3 अंतरिक्ष के लिए) या आव्यूह रूप में (i पंक्ति और j स्तंभ को दर्शाता है):


 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$ सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक कार्तीय निर्देशांकों में परिवर्तित हो जाते हैं:


 * $$(q^1,q^2,q^3) = (x, y, z)\,\Rightarrow\,d\mathbf{r}=(dx,dy,dz)$$

इसलिए


 * $$ ds^2 = g_{ij}dq^idq^j = dx^2 +dy^2 +dz^2 $$

लम्बकोणीय वक्ररेखीय निर्देशांक
सभी लम्बकोणीय निर्देशांकों के लिए मीट्रिक निम्न है:
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}

h_1^2 & 0 & 0\\ 0 & h_2^2 & 0\\ 0 & 0 & h_3^2 \end{pmatrix}$$
 * जहाँ,
 * $$h_i = \left|\frac{\partial\mathbf{r}}{\partial q^i}\right|$$

i = 1, 2, 3 वक्रीय निर्देशांक हैं, इसलिए रेखा तत्व का वर्ग है:


 * $$ds^2 = h_1^2(dq^1)^2 + h_2^2(dq^2)^2 + h_3^2(dq^3)^2 $$

इन निर्देशांकों में रेखा तत्वों के कुछ उदाहरण निम्न हैं।
 * {| class="wikitable"

! निर्देशांक निकाय ! (q1, q2, q3) ! मीट्रिक ! रेखा तत्त्व 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$ 1 & 0 \\ 0 & r^2 \\ \end{pmatrix}$$ 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & r^2\sin^2\theta \\ \end{pmatrix}$$ 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{pmatrix}$$
 * कार्तीय
 * (x, y, z)
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$ ds^2 = dx^2 + dy^2 + dz^2 $$
 * समतल ध्रुवीय
 * (r, θ)
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$ ds^2= dr^2 +r^2 d \theta\ ^2$$
 * गोलाकार ध्रुवीय
 * (r, θ, φ)
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$ ds^2=dr^2+r^2 d \theta\ ^2+ r^2 \sin^2 \theta\ d \phi\ ^2 $$
 * बेलनाकार ध्रुवीय
 * (r, θ, z)
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}
 * $$ ds^2=dr^2+ r^2 d \theta\ ^2 +dz^2 $$
 * }
 * }

सामान्य वक्ररेखीय निर्देशांक
विमा $$ n, \{\hat{b}_{i}\}$$ वाले एक अंतरिक्ष के स्वेच्छ आधार के लिए, मीट्रिक को आधार सदिश के आंतरिक गुणन के रूप में परिभाषित किया गया है।

$$g_{ij}=\langle\hat{b}_{i},\hat{b}_{j}\rangle$$

जहाँ, $$1\leq i,j\leq n$$ और परिवेशी अंतरिक्ष के सापेक्ष आंतरिक गुणन (सामान्यतः इसका $$\delta_{ij}$$) है।

एक निर्देशांक आधार में $$\hat{b}_{i}=\frac{\partial}{\partial x^{i}}$$

निर्देशांक आधार एक विशेष प्रकार का आधार है जो अवकल ज्यामिति में नियमित रूप से उपयोग किया जाता है।

मिंकोव्स्की दिक्-काल
मिन्कोव्स्की मीट्रिक है:
 * $$[g_{ij}] = \pm \begin{pmatrix}

1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \\ \end{pmatrix}$$ जहाँ एक या दूसरे चिह्न का चयन किया जाता है, वहाँ दोनों परिपाटियों का उपयोग किया जाता है। यह केवल समतलीय दिक्-काल के लिए प्रयुक्त होता है। निर्देशांक 4-स्थिति द्वारा दिए गए हैं:


 * $$\mathbf{x} = (x^0,x^1,x^2,x^3) = (ct,\mathbf{r}) \,\Rightarrow\, d\mathbf{x} = (cdt,d\mathbf{r})$$

तो रेखा तत्व हैं:


 * $$ds^2 = \pm (c^2dt^2 - d\mathbf{r}\cdot d\mathbf{r}) .$$

श्वार्ज़चाइल्ड निर्देशांक
श्वार्ज़चाइल्ड निर्देशांकों में निर्देशांक $$ \left(t, r, \theta, \phi \right)$$ हैं, जो सामान्य मीट्रिक का रूप है:


 * $$[g_{ij}] = \begin{pmatrix}

-a(r)^2 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & b(r)^2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & r^2 \sin^2\theta \\ \end{pmatrix}$$ (त्रि-विमीय गोलाकार ध्रुवीय निर्देशांकों में मीट्रिक के साथ समानता पर ध्यान देने पर)।

तो रेखा तत्व हैं:


 * $$ds^2 = -a(r)^2 \, dt^2 + b(r)^2 \, dr^2 + r^2 \, d\theta^2 + r^2 \sin^2\theta \, d\phi^2 .$$

सामान्य दिक्-काल
दिक्-काल में रेखा तत्व ds के वर्ग की निर्देशांक-मुक्त परिभाषा है:
 * $$ ds^2 = d\mathbf{x}\cdot d\mathbf{x} = g(d\mathbf{x},d\mathbf{x}) $$
 * निर्देशांकों के पदों में:
 * $$ ds^2= g_{\alpha\beta}dx^\alpha dx^\beta $$

जहाँ इस स्थिति के लिए घातांक α और β दिक्-काल के लिए 0, 1, 2, 3 मान ग्रहण करते हैं।

यह दिक्-काल अंतराल, अर्थात् दिक्-काल में स्वैच्छिक रूप से करीबी घटनाओं के बीच पृथकता की माप है। विशेष सापेक्षता में यह लोरेंत्ज़ रूपान्तरणों के तहत अपरिवर्तनीय होती है। सामान्य सापेक्षता में यह स्वैच्छिक रूप से व्युत्क्रमणीय अवकलनीय निर्देशांक रूपान्तरणों के तहत अपरिवर्तनीय होती है।

यह भी देखें

 * सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण
 * पहला मौलिक रूप
 * समकलनों की सूची और माप-सिद्धांत विषय
 * मीट्रिक प्रदिश
 * रिक्की कलन
 * बढ़ते और घटते घातांक

संदर्भ
दा: लिनजीलेमेंट डी: लिनिएलेमेंट