क्रमपरिवर्तन पैटर्न

साहचर्य गणित और सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान में, क्रमचय पैटर्न एक लंबे क्रमचय का उप-क्रमचय है। किसी भी क्रमचय को एक-पंक्ति संकेतन में अंकों के अनुक्रम के रूप में लिखा जा सकता है, जो अंक क्रम 123... पर क्रमचय प्रयुक्त करने के परिणाम का प्रतिनिधित्व करता है; उदाहरण के लिए अंक अनुक्रम 213 तीन तत्वों पर क्रमचय का प्रतिनिधित्व करता है जो तत्वों 1 और 2 को विनिमय करता है। यदि π और σ इस तरह से प्रदर्शित दो क्रमचय हैं (ये परिवर्तनीय नाम क्रमचय के लिए मानक हैं और संख्या $$\pi$$ से संबंधित नहीं हैं), तो π एक पैटर्न के रूप में σ समाहित करने के लिए कहा जाता है यदि π के अंकों के कुछ क्रम में σ के सभी अंकों के समान सापेक्षिक क्रम हो।

उदाहरण के लिए, क्रमचय π में पैटर्न 213 होता है जब भी π में तीन अंक x, y, और z होते हैं जो क्रम xy...y...z में π के अंदर दिखाई देते हैं लेकिन जिनके मान y < x < z के रूप में क्रमबद्ध होते हैं, वही क्रमचय 213 में मानो के क्रम के रूप में है। पांच तत्वों पर क्रमचय 32415 में 213 को कई अलग-अलग तरीकों से 3··15, ··415, 32··5, 324··, और ·2·15 सभी पैटर्न के रूप में सम्मिलित किया गया है। और 213 के समान क्रम वाले अंकों के त्रिगुण बनाते हैं। 315, 415, 325, 324, और 215 में से प्रत्येक को पैटर्न की एक प्रति, उदाहरण या घटना कहा जाता है। तथ्य यह है कि π में σ होता है, इसे σ ≤ π के रूप में अधिक संक्षिप्त रूप से लिखा जाता है। यदि एक क्रमचय π में पैटर्न σ नहीं है, तो π को σ से परिहरण करने के लिए कहा जाता है। क्रमचय 51342 213 से परिहार है; इसमें तीन अंकों के 10 अनुगामी हैं, लेकिन इन 10 अनुगामी में से किसी का भी क्रम 213 के समान नहीं है।

प्रारंभिक परिणाम
ऐसी स्थिति बनाई जा सकती है कि पर्सी मैकमोहन (1915) लैटिस क्रमचय के अपने अध्ययन के साथ क्षेत्र में परिणाम प्रमाणित करने वाले पहले व्यक्ति थे। विशेष रूप से मैकमोहन दिखाता है कि जिन क्रमपरिवर्तनों को दो घटते क्रमपरिवर्तनों में विभाजित किया जा सकता है (अर्थात्, 123 से परिहरण करने वाले क्रमचय) को कैटलन संख्याओं द्वारा गणना किए जाते है।

इस क्षेत्र में एक और प्रारंभिक ऐतिहासिक परिणाम एर्डोस-ज़ेकेरेस प्रमेय है; क्रमचय पैटर्न भाषा में, प्रमेय कहता है कि किसी भी धनात्मक पूर्णांक a और b के लिए लंबाई का प्रत्येक क्रमचय कम से कम $$(a-1)(b-1) + 1 $$ या तो पैटर्न $$1, 2, 3,\dots, a $$ या पैटर्न $$b,b-1,\dots , 2, 1$$ होना चाहिए।

कंप्यूटर विज्ञान की उत्पत्ति
क्रमचय पैटर्न का अध्ययन 1968 में डोनाल्ड नुथ के स्टैक- वर्गीकरण पर विचार के साथ महत्वपूर्ण रूप से प्रारंभ हुआ। नुथ ने दिखाया कि क्रमचय π को स्टैक (डेटा संरचना) द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है यदि और केवल यदि π 231 से परिहरण करता है, और यह कि स्टैक-क्रमांकन योग्य क्रमचय कैटलन संख्याओं द्वारा गणना किए जाते हैं। नुथ ने डेक के साथ संकलन के बारे में भी सवाल प्रस्तुत किए। विशेष रूप से, नूथ का यह प्रश्न कि डेक के उपयोग से n तत्वों के कितने क्रमचय प्राप्त किए जा सकते हैं, और संवृत रहता है। उसके बाद शीघ्र ही, रॉबर्ट टारजन (1972) स्टैक के नेटवर्क द्वारा संकलन की जांच की गई, जबकि वॉन प्रैट (1973) ने दिखाया कि क्रमचय π को डेक द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है यदि और केवल यदि सभी k के लिए, π 5,2,7,4,...,4k+1,4k−2,3,4k,1, और 5 ,2,7,4,...,4k+3,4k,1,4k+2,3, से परिहरण करता है और प्रत्येक क्रमचय जो इनमें से किसी से भी पिछले दो तत्वों या 1 और 2 को परिवर्तित करके प्राप्त किया जा सकता है। क्योंकि क्रमचय का यह संग्रह अनंत है (वास्तव में, यह क्रमचय के अनंत प्रतिश्रृंखला का पहला प्रकाशित उदाहरण है), यह तुरंत स्पष्ट नहीं है कि यह निर्धारित करने में कितना समय लगता है कि एक क्रमचय को डेक द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है या नहीं किया जा सकता है। रोसेनस्टीहल और टार्जन (1984) ने बाद में एक रेखीय (π की लंबाई में) समय एल्गोरिथ्म प्रस्तुत किया जो यह निर्धारित करता है कि क्या π को एक डेक द्वारा क्रमबद्ध किया जा सकता है

अपने पत्र में, प्रैट ने टिप्पणी की कि यह क्रमचय पैटर्न क्रम "क्रमचय पर एकमात्र आंशिक क्रम प्रतीत होता है जो एक सरल और प्राकृतिक तरीके से उत्पन्न होता है" और यह देखते हुए निष्कर्ष निकाला कि "एक अमूर्त दृष्टिकोण से", क्रमचय पैटर्न क्रम "हम जिन नेटवर्कों की विशेषता बता रहे थे, उनसे कहीं अधिक रोचक है”।

परिगणनात्‍मक उत्पत्ति
क्रमचय पैटर्न के अध्ययन में एक प्रमुख लक्ष्य एक निश्चित (और सामान्य रूप से कम) क्रमचय या क्रमचय के समूह से अलग करने के क्रमचय की गणना में है। मान लीजिए कि Avn(B) लंबाई n के क्रमचय के समूह को निरूपित करते हैं जो समूह B में सभी क्रमचय से अलग होते हैं (स्थिति में B एक एकल है, इसके अतिरिक्त संक्षिप्त नाम Avn(B) का उपयोग किया जाता है)। जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, मैकमोहन और नुथ ने दिखाया कि |Avn(123)| = |Avn(231)| = Cn, nवी कैटलन संख्या है। इस प्रकार ये समरूपी संचयविन्यास वर्ग हैं।

सिमोन एंड श्मिट (1985) पहला पत्र था जिसमें केवल गणना पर ध्यान केंद्रित किया गया था। अन्य परिणामों में, सिमिओन और श्मिट ने लंबाई तीन के एक पैटर्न से परिहार करते हुए सम और विषम क्रमपरिवर्तनों की गणना की, लंबाई तीन के दो प्रतिरूपों से परिहरण क्रमपरिवर्तनों की गणना की, और पहला विशेषण प्रमाण दिया कि 123- और 231-परिहार क्रमचय समतुल्य हैं। उनके पत्र के बाद से, कई अन्य आक्षेप दिए गए हैं, सर्वेक्षण के लिए क्लेसन एंड किताएव (2008) देखें।

सामान्य रूप से, यदि |Avn(β)| = |Avn(σ)| सभी n के लिए, तब β और σ को विलफ-तुल्य कहा जाता है। कई विल्फ-तुल्यताएँ सामान्य तथ्य से उत्पन्न होती हैं कि |Avn(β)| = |Avn(β−1)| = |Avn(βrev)| सभी n के लिए, जहां β−1 β के व्युत्क्रम को दर्शाता है और βrev β के व्युत्क्रम को दर्शाता है। (ये दो संक्रिया क्रमचय आव्यूहों पर एक प्राकृतिक क्रिया के साथ द्वितल समूह D8 उत्पन्न करते हैं।) हालांकि, गैर-सामान्य विल्फ-समतुल्यता के कई उदाहरण भी हैं (जैसे कि 123 और 231 के बीच):

इन दो विलफ-तुल्यताओं और व्युत्क्रम और विपरीत समरूपताओं से, यह इस प्रकार है कि तीन अलग-अलग क्रम |Avn(β)| हैं, जहां β की लंबाई चार है:
 * स्टैंकोवा (1994) ने प्रमाणित किया कि क्रमचय 1342 और 2413 विलफ-समतुल्य हैं।
 * स्टैंकोवा और वेस्ट (2002) ने प्रमाणित किया कि किसी भी क्रमचय β के लिए, क्रमचय 231 ⊕ β और 312 ⊕ β विल्फ-समतुल्य हैं, जहां ⊕ क्रमचय संचालन के प्रत्यक्ष योग को दर्शाता है।
 * बैकेलिन, वेस्ट एंड शिन (2007) ने सिद्ध किया कि किसी भी क्रमचय β और किसी धनात्मक पूर्णांक m के लिए, क्रमचय 12..m ⊕ β और m...21 ⊕ β विलफ़-समतुल्य हैं।

1980 के दशक के अंत में, रिचर्ड पी स्टेनली और हर्बर्ट विल्फ ने अनुमान लगाया कि प्रत्येक क्रमचय β के लिए, कुछ स्थिर K है जैसे कि |Avn(β)| < Kn एडम मार्कस (गणितज्ञ) और गैबोर टार्डोस द्वारा सिद्ध किए जाने तक इसे स्टेनली-विल्फ अनुमान के रूप में जाना जाता था।

संवृत्त वर्ग
संवृत्त वर्ग, जिसे एक पैटर्न वर्ग, क्रमचय वर्ग, या केवल क्रमचय की श्रेणी के रूप में भी जाना जाता है, क्रमचय पैटर्न क्रम में एक मानक (मानक सिद्धांत) है। प्रत्येक वर्ग को न्यूनतम क्रमचय द्वारा परिभाषित किया जा सकता है जो इसके आधार के अंदर नहीं है। इस प्रकार स्टैक-क्रमबद्ध करने योग्य क्रमचय का आधार {231} है, जबकि डेक-क्रमबद्ध करने योग्य क्रमचय का आधार अनंत है। अतः वर्ग के लिए जनक फलन Σ x undefined है, जहां वर्ग में सभी क्रमचय π पर योग अधिक लिया जाता है।

मोबियस फलन
चूंकि नियंत्रण क्रम के अंतर्गत क्रमचय का समूह आंशिकतः क्रमित समूह बनाता है, इसके मोबियस फलन के बारे में पूछना स्वाभाविक है, एक लक्ष्य जिसे पहली बार विल्फ़ (2002) द्वारा स्पष्ट रूप से प्रस्तुत किया गया था। इस तरह की जांच में लक्ष्य एक अंतराल [σ, π] के मोबियस फलन के लिए क्रमचय पैटर्न आंशिकतः क्रमित समूह में एक सूत्र खोजना है जो सरल पुनरावर्ती परिभाषा से अधिक उपयुक्त है। ऐसा पहला परिणाम सागन एंड वैटर (2006) द्वारा स्थापित किया गया था, जिन्होंने स्तरित क्रमपरिवर्तन के अंतराल के मोबियस फलन के लिए एक सूत्र दिया था। बाद में, बर्स्टीन एट अल (2011) ने इस परिणाम को वियोज्य क्रमचय के अंतराल के लिए सामान्यीकृत किया।

यह ज्ञात है कि, असम्बद्ध रूप से, n लंबाई के सभी क्रमचय π का ​​कम से कम 39.95% μ(1, π)=0 को संतुष्ट करता है (अर्थात, प्रमुख मोबियस फलन शून्य के समतुल्य है), लेकिन प्रत्येक n के लिए क्रमचय π सम्मिलित है जैसे कि μ(1, π), n का एक चरघातांकी फलन है।

कम्प्यूटेशनल (अभिकलनात्मक) जटिलता
लंबाई n के एक क्रमचय $$\tau$$ ( मूल कहा जाता है) और लंबाई k के एक अन्य क्रमपरिवर्तन $$\pi$$ (पैटर्न कहा जाता है) को देखते हुए, क्रमपरिवर्तन पैटर्न सुमेलन (पीपीएम) समस्या प्रश्न है कि क्या $$\pi$$, $$\tau$$ में समाहित है। जब n और k दोनों को चर के रूप में माना जाता है, तो समस्या को NP-पूर्ण के रूप में जाना जाता है, और ऐसे समरूपों की संख्या की गणना करने की समस्या #P-पूर्ण है। हालाँकि, क्रमपरिवर्तन पैटर्न सुमेलन को रैखिक समय में संसोधित किया जा सकता है जब k स्थिर हो। वास्तव में, गुइलमोट और मार्क्स ने दिखाया कि क्रमपरिवर्तन पैटर्न सुमेलन को $$2^{O(k^2\log k)} \cdot n$$ समय पर हल किया जा सकता है। जिसका अर्थ है कि यह  $$k$$ के संबंध में निश्चित-पैरामीटर सुविधाजनक है

क्रमपरिवर्तन पैटर्न सुमेलन समस्या पर कई प्रकार हैं, जैसा कि ब्रूनर और लैकनर द्वारा सर्वेक्षण किया गया है। उदाहरण के लिए, यदि सुमेलन में सन्निहित प्रविष्टियों को सम्मिलित करना आवश्यक है तो समस्या को बहुपद समय में हल किया जा सकता है।

अन्य संस्करण तब होता है जब पैटर्न और टेक्स्ट दोनों एक उपयुक्त क्रमचय वर्ग $$\mathcal{C}$$ तक सीमित होते हैं, जिस स्थिति में समस्या को $$\mathcal{C}$$-क्रमपरिवर्तन पैटर्न सुमेलन कहा जाता है। उदाहरण के लिए, गुइलमोट और वायलेट ने दिखाया कि $$\mbox{Av}(321)$$-क्रमपरिवर्तन पैटर्न सुमेलन को $$O(k^2n^6)$$ समय में हल किया जा सकता है। अल्बर्ट, लैकनर, लैकनर, और वैटर ने बाद में इसे $$O(kn)$$ तक कम किया और दिखाया कि तिर्यक-मिला दिए गए क्रमचय के वर्ग के लिए समान सीमा प्रयुक्त होती है। उन्होंने आगे पूछा कि क्या $$\mathcal{C}$$-क्रमपरिवर्तन पैटर्न सुमेलन समस्या को प्रत्येक निश्चित उपयुक्त क्रमचय वर्ग $$\mathcal{C}$$ के लिए बहुपद समय में हल किया जा सकता है

संकुलन घनत्व
क्रमचय π को β-इष्टतम कहा जाता है यदि π के समान लंबाई का कोई क्रमचय नहीं है जिसमें β की अधिक प्रतियां हैं। 1992 में असतत गणित पर औद्योगिक और व्यावहारिक गणित संस्था की बैठक में अपने संबोधन में, विल्फ ने लंबाई k के क्रमचय β के संकुलन घनत्व को परिभाषित किया



\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\text{number of copies of }\beta\text{ in a }\beta\text{-optimal permutation of length }n}{\displaystyle{n\choose k}}. $$ फ्रेड गैल्विन के एक अप्रकाशित तर्क से पता चलता है कि अनुक्रम की इस सीमा के अंदर की मात्रा n ≥ k के लिए गैर-वर्धमान है, और इसलिए सीमा सम्मिलित है। जब β एकदिष्ट होता है, तो इसका संकुलन घनत्व स्पष्ट रूप से 1 होता है, और संकुलन घनत्व व्युत्क्रम और प्रतिलोम द्वारा उत्पन्न समरूपता के समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीय होते हैं, इसलिए लंबाई तीन के क्रमचय के लिए, केवल एक गैर-सामान्य संकुलन घनत्व होता है। वाल्टर स्ट्रोमक्विस्ट (अप्रकाशित) ने यह दिखाकर इस स्थिति को सुलझाया कि 132 की संकुलन घनत्व 2$\sqrt{3}$ − 3, लगभग 0.46410 है।

लंबाई चार के क्रमचय β के लिए, (समरूपता के कारण) विचार करने के लिए सात मामले हैं:

तीन अज्ञात क्रमचय के लिए सीमाएँ और अनुमान हैं। प्राइस (1997) ने एक सन्निकटन एल्गोरिथम का उपयोग किया जो बताता है कि 1324 का संकुलन घनत्व लगभग 0.244 है। बिर्जन बटकेयेव (अप्रकाशित) ने क्रमचय के एक वर्ग का निर्माण किया, जिसमें दिखाया गया है कि 1342 का संकुलन घनत्व कम से कम 132 और 1432 के संकुलन घनत्व का उत्पाद, लगभग 0.19658 है। यह 1342 की परिशुद्ध संकुलन घनत्व होने का अनुमान है। प्रेसुट्टी और स्ट्रोमक्विस्ट (2010) ने 2413 के संकुलन घनत्व पर एक निचली सीमा प्रदान की। यह निचली सीमा, जिसे एक अभिन्न के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, लगभग 0.10474 है, और वास्तविक संकुलन घनत्व होने का अनुमान लगाया गया है।

सुपरपैटर्न
k-'सुपरपैटर्न' एक क्रमचय है जिसमें लंबाई k के सभी क्रमचय सम्मिलित हैं। उदाहरण के लिए, 25314 एक 3-सुपरपैटर्न है क्योंकि इसमें लंबाई 3 के सभी 6 क्रमचय सम्मिलित हैं। यह ज्ञात है कि k-सुपरपैटर्न की लंबाई कम से कम k2/e2, जहां e ≈ 2.71828 e (गणितीय स्थिरांक) यूलर की संख्या है, और लंबाई के k-सुपरपैटर्न ⌈(k2 + 1)/2⌉ सम्मिलित है। यह ऊपरी सीमा निम्न-क्रम की शर्तों तक सर्वोत्तम संभव होने का अनुमान लगाया गया है।

सामान्यीकरण
ऐसे कई तरीके हैं जिनमें पैटर्न की धारणा को सामान्यीकृत किया गया है। उदाहरण के लिए, एक विनकुलर पैटर्न एक क्रमचय है जिसमें डैश होते हैं जो प्रविष्टियों को इंगित करते हैं जो सतत होने की आवश्यकता नहीं होती है (सामान्य पैटर्न परिभाषा में, कोई प्रविष्टि सतत होने की आवश्यकता नहीं होती है)। उदाहरण के लिए, क्रमचय 314265 में सतत पैटर्न 2-31-4 की दो प्रतियां हैं, जो 3426 और 3425 प्रविष्टियों द्वारा दी गई हैं। सतत पैटर्न β और किसी भी क्रमचय π के लिए, हम π में β की प्रतियों की संख्या के लिए β(π) लिखते हैं। इस प्रकार π में व्युत्क्रमों की संख्या 2-1(π) है, जबकि अवरोहण की संख्या 21(π) है। आगे बढ़ते हुए, π में घाटियों की संख्या 213(π) + 312(π) है, जबकि शिखरों की संख्या 231(π) + 132(π) है। ये पैटर्न बाबसन एंड स्टिंग्रिम्सन (2000) द्वारा प्रस्तुत किए गए थे, जिन्होंने दिखाया था कि लगभग सभी ज्ञात महोनियन आँकड़ो को विनकुलर क्रमपरिवर्तन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, π का प्रमुख सूचकांक 1-32(π) + 2-31(π) + 3-21(π) + 21(π) के समान है।

अन्य सामान्यीकरण रेखित पैटर्न का है, जिसमें कुछ प्रविष्टियाँ रेखित हैं। और π के लिए रेखित पैटर्न से संरक्षित करने के लिए β का अर्थ है कि π की प्रविष्टियों का प्रत्येक समूह जो β की गैर-रेखित प्रविष्टियों की प्रतिलिपि बनाता है, जिसको β की सभी प्रविष्टियों की प्रतिलिपि बनाने के लिए बढ़ाया जा सकता है। वेस्ट (1993) ने क्रमचय के अपने अध्ययन में इस प्रकार के पैटर्न प्रस्तुत किए जिन्हें एक स्टैक के माध्यम से दो बार पास करके क्रमबद्ध किया जा सकता है। (ध्यान दें कि स्टैक के माध्यम से दो बार श्रेणीबद्ध करने की वेस्ट की परिभाषा श्रृंखला में दो स्टैक्स के साथ श्रेणीबद्ध करने के समान नहीं है।) रेखित पैटर्न का एक अन्य उदाहरण बाउस्केट-मेलौ और बटलर (2007) के कार्य में होता है, जिन्होंने दिखाया कि π के अनुरूप शूबर्ट विविधता स्थानीय रूप से फैक्टोरियल ( क्रमगुणित) है, यदि और केवल यदि π 1324 और 21354 से संरक्षित रहता है।

बाहरी संबंध
A conference on permutation patterns has been held annually since 2003:
 * 1) Permutation Patterns 2003, February 10–14, 2003, University of Otago, Dunedin, New Zealand.
 * 2) Permutation Patterns 2004, July 5–9, 2004, Malaspina University-College, Nanaimo, British Columbia, Canada.
 * 3) Permutation Patterns 2005, March 7–11, 2005, University of Florida, Gainesville, Florida, USA.
 * 4) Permutation Patterns 2006, June 12–16, 2006, Reykjavík University, Reykjavík, Iceland.
 * 5) Permutation Patterns 2007, June 11–15, 2007, University of St. Andrews, St. Andrews, Scotland.
 * 6) Permutation Patterns 2008, June 16–20, 2008, University of Otago, Dunedin, New Zealand.
 * 7) Permutation Patterns 2009, July 13–17, 2009, Università di Firenze, Florence, Italy.
 * 8) Permutation Patterns 2010, August 9–13, 2010, Dartmouth College, Hanover, New Hampshire, USA.
 * 9) Permutation Patterns 2011, June 20–24, 2011, California Polytechnic State University, San Luis Obispo, California, USA.
 * 10) Permutation Patterns 2012, June 11–15, 2012, University of Strathclyde, Glasgow, Scotland.
 * 11) Permutation Patterns 2013, July 1–5, 2013, Université Paris Diderot, Paris, France.
 * 12) Permutation Patterns 2014, July 7–11, 2014, East Tennessee State University, Johnson City, Tennessee, USA.
 * 13) Permutation Patterns 2015, June 15–19, 2015, De Morgan House, London, England.
 * 14) Permutation Patterns 2016, June 27–July 1, 2016, Howard University, Washington, DC, USA.
 * 15) Permutation Patterns 2017, June 26–30, 2017, Reykjavík University, Reykjavík, Iceland.
 * 16) Permutation Patterns 2018, July 9–13, 2018, Dartmouth College, Hanover, New Hampshire, USA.
 * 17) Permutation Patterns 2019, June 17–21, 2019, Universität Zürich, Zürich, Switzerland.
 * 18) Permutation Patterns 2020 Virtual Workshop, June 30–July 1, 2020, hosted by Valparaiso University, Valparaiso, Indiana, USA.
 * 19) Permutation Patterns 2021 Virtual Workshop, June 15–16, 2021, hosted by University of Strathclyde, Glasgow, Scotland.
 * 20) Permutation Patterns 2022, June 20-24, 2022, Valparaiso University, Valparaiso, Indiana, USA.
 * 21) Permutation Patterns 2023, July 3-7, 2023, University of Burgundy, Dijon, France.

American Mathematical Society Special Sessions on Patterns in Permutations have been held at the following meetings:
 * Fall Eastern Sectional Meeting, September 22–23, 2012, Rochester Institute of Technology, Rochester, NY.
 * Joint Mathematics Meetings, January 12, 2013, San Diego, CA.
 * Central Fall Sectional Meeting, September 20–21, 2014, University of Wisconsin-Eau Claire, Eau Claire, WI.
 * Spring Eastern Sectional Meeting, March 7–8, 2015, Georgetown University, Washington, DC.

Other permutation patterns meetings:
 * Workshop on Permutation Patterns, May 29–June 3, 2005, University of Haifa, Haifa, Israel.
 * Pattern Avoidance and Genome Sorting, February 14-19, 2016, Schloss Dagstuhl, Wadern, Germany.
 * Genomics, Pattern Avoidance, and Statistical Mechanics, November 4-9, 2018, Schloss Dagstuhl, Wadern, Germany.
 * Pattern Avoidance, Statistical Mechanics and Computational Complexity, March 19-24, 2023, Schloss Dagstuhl, Wadern, Germany.

Other links:
 * PermLab: software for permutation patterns, maintained by Michael Albert.
 * Database of Permutation Pattern Avoidance, maintained by Bridget Tenner.
 * PermPAL: The Permutation Pattern Avoidance Library, a database of algorithmically-derived theorems about permutation classes, maintained by Christian Bean, Émile Nadeau, Jay Pantone and Henning Ulfarsson.