वास्तविक तत्व

समूह सिद्धांत में, आधुनिक बीजगणित के भीतर अनुशासन, एक तत्व $$x$$ एक समूह $$G$$ का (गणित) का वास्तविक तत्व $$G$$ कहा जाता है यदि यह उसी संयुग्मन वर्ग से संबंधित है जो इसके व्युत्क्रम तत्व के रूप $$x^{-1}$$ में है, यानी अगर कोई $$g$$ में $$G$$ साथ $$x^g = x^{-1}$$ है जहाँ $$x^g$$ $$g^{-1} \cdot x \cdot g$$ के रूप में परिभाषित किया जाता है।  तत्व $$x$$ एक समूह $$G$$ का यदि कोई समावेशन (समूह सिद्धांत) है तो दृढ़ता से वास्तविक $$t$$ के साथ $$x^t = x^{-1}$$ कहा जाता है।

समूह $$G$$ का एक तत्व $$x$$ वास्तविक है यदि और केवल यदि $$G$$ के सभी अभ्यावेदन $$\rho$$ के लिए, संबंधित आव्यूह का अनुरेख $$\mathrm{Tr}(\rho(g))$$ एक वास्तविक संख्या है। दूसरे शब्दों में, एक तत्व $$x$$ एक समूह का $$G$$ वास्तविक है अगर और केवल अगर $$\chi(x)$$ सभी $$G$$ का चरित्र सिद्धांत $$\chi$$ के लिए एक वास्तविक संख्या है।

प्रत्येक तत्व वाले समूह को एक उभयभावी समूह कहा जाता है। हर उभयभावी समूह की एक वास्तविक चरित्र तालिका होती है। सममित समूह $$S_n$$ किसी भी घात $$n$$ का उभयभावी है।

गुण
पहचान तत्व के अतिरिक्त अन्य वास्तविक तत्वों वाला एक समूह आवश्यक रूप से सम क्रम (समूह सिद्धांत) का है।

समूह $$G$$ के वास्तविक तत्व $$x$$ के लिए, $$x^g = x^{-1}$$ वाले समूह तत्वों की संख्या $$\left|C_G(x)\right|$$ के बराबर है,  जहां $$C_G(x)$$ $$x$$ का केंद्रक है ,


 * $$\mathrm{C}_G(x) = \{ g \in G\mid x^g = x \}$$.

हर जुड़ाव दृढ़ता से वास्तविक है। इसके अतिरिक्त, प्रत्येक तत्व जो दो समावेशन का उत्पाद है, दृढ़ता से वास्तविक है। इसके विपरीत, प्रत्येक दृढ़ता से वास्तविक तत्व दो प्रत्यावर्तन का उत्पाद है।

अगर $ x \ne e$ और $$x$$ में $$G$$ वास्तविक है और $$\left|C_G(x)\right|$$ विषम है, तो $$x$$ में प्रबल रूप से वास्तविक $$G$$ है।

विस्तारित केंद्रक
किसी तत्व का विस्तारित केंद्रक $$x$$ एक समूह का $$G$$ परिभाषित किया जाता है


 * $$\mathrm{C}^*_G(x) = \{ g \in G\mid x^g = x \lor x^g = x^{-1} \},$$

किसी तत्व $$x$$ का विस्तारित केंद्रक बनाना सम्मुच्चय $\left\{x, x^{-1}\right\}$ के प्रसामान्यक के बराबर है।

एक समूह के एक तत्व का विस्तारित केंद्रक $$G$$ का उपसमूह $$G$$ होता है। प्रत्यावर्तन या गैर-वास्तविक तत्वों के लिए, केंद्रक और विस्तारित केंद्रक समान हैं। वास्तविक तत्व $$x$$ के लिए एक समूह $$G$$ का यह एक अंतर्विरोध नहीं है,


 * $$\left|\mathrm{C}^*_G(x):\mathrm{C}_G(x)\right| = 2.$$

यह भी देखें

 * ब्राउर-फाउलर प्रमेय