समरूपता समूह

समूह सिद्धांत में, एक ज्यामितीय वस्तु का समरूपता समूह सभी परिवर्तन (ज्यामिति) का समूह (गणित) होता है, जिसके तहत वस्तु अपरिवर्तनीय (गणित) होती है, जो फंक्शन रचना के समूह संचालन से संपन्न होती है। ऐसा परिवर्तन परिवेश स्थान का एक उलटा मानचित्रण है जो वस्तु को अपने पास ले जाता है, और जो वस्तु की सभी प्रासंगिक संरचना को संरक्षित करता है। किसी वस्तु X के समरूपता समूह के लिए बारंबार अंकन G = Sym(X) है।

मीट्रिक (गणित) स्थान में किसी वस्तु के लिए, इसकी समरूपता परिवेशी स्थान के आइसोमेट्री समूह का एक उपसमूह बनाती है। यह लेख मुख्य रूप से यूक्लिडियन ज्यामिति में समरूपता समूहों पर विचार करता है, लेकिन इस अवधारणा का अध्ययन अधिक सामान्य प्रकार की ज्यामितीय संरचना के लिए भी किया जा सकता है।

परिचय
हम समरूपता रखने वाली वस्तुओं को ज्यामितीय आकृतियाँ, चित्र और पैटर्न मानते हैं, जैसे वॉलपेपर समूह। भौतिक वस्तुओं की समरूपता के लिए, पैटर्न के हिस्से के रूप में उनकी भौतिक संरचना भी ली जा सकती है। (एक पैटर्न को औपचारिक रूप से एक स्केलर क्षेत्र के रूप में निर्दिष्ट किया जा सकता है, रंग या पदार्थों के एक सेट में मूल्यों के साथ स्थिति का एक कार्य; एक सदिश क्षेत्र के रूप में, या वस्तु पर अधिक सामान्य कार्य के रूप में।) अंतरिक्ष के आइसोमेट्री का समूह प्रेरित करता है इसमें वस्तुओं पर समूह क्रिया (गणित), और समरूपता समूह Sym(X) में वे आइसोमेट्रीज़ होते हैं जो X को स्वयं से मैप करते हैं (साथ ही साथ किसी और पैटर्न को मैप करते हैं)। हम कहते हैं कि एक्स ऐसी मैपिंग के तहत अपरिवर्तनीय है, और मैपिंग एक्स की समरूपता है।

उपरोक्त को कभी-कभी X का 'पूर्ण समरूपता समूह' कहा जाता है, इस बात पर जोर देने के लिए कि इसमें ओरिएंटेशन-रिवर्सिंग आइसोमेट्रीज़ (प्रतिबिंब, ग्लाइड प्रतिबिंब और अनुचित घुमाव) शामिल हैं, जब तक कि ये आइसोमेट्रीज़ इस विशेष एक्स को स्वयं मैप करते हैं। अभिविन्यास-संरक्षण समरूपता के उपसमूह (अनुवाद, घुमाव और इनकी रचना) को इसका 'उचित समरूपता समूह' कहा जाता है। एक वस्तु चिरालिटी (गणित) है जब इसमें कोई अभिविन्यास (वेक्टर स्थान) नहीं है - रिवर्सिंग समरूपता, ताकि इसका उचित समरूपता समूह इसके पूर्ण समरूपता समूह के बराबर हो।

कोई भी समरूपता समूह जिसके तत्वों में एक सामान्य निश्चित बिंदु (गणित) होता है, जो सत्य है यदि समूह परिमित है या आकृति परिबद्ध है, को ओर्थोगोनल समूह O(n) के एक उपसमूह के रूप में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है, मूल को एक निश्चित होने के लिए चुनकर बिंदु। उचित सममिति समूह तब विशेष लांबिक समूह SO(n) का एक उपसमूह होता है, और इसे आकृति का 'घूर्णन समूह' कहा जाता है।

एक 'असतत समूह' में, किसी दिए गए बिंदु के सममित बिंदु एक सीमा बिंदु की ओर जमा नहीं होते हैं। अर्थात्, समूह की प्रत्येक कक्षा (समूह सिद्धांत) (समूह के सभी तत्वों के तहत दिए गए बिंदु की छवियां) एक असतत सेट बनाती हैं। सभी परिमित समरूपता समूह असतत हैं।

असतत समरूपता समूह तीन प्रकारों में आते हैं: (1) परिमित 'बिंदु समूह', जिसमें केवल घुमाव, प्रतिबिंब, व्युत्क्रम और अनुचित घुमाव शामिल हैं - अर्थात, O(n) के परिमित उपसमूह; (2) अनंत 'जाली (समूह) समूह', जिसमें केवल अनुवाद शामिल हैं; और (3) अनंत 'अंतरिक्ष समूह' जिसमें पिछले दोनों प्रकार के तत्व शामिल हैं, और शायद स्क्रू विस्थापन और ग्लाइड प्रतिबिंब जैसे अतिरिक्त परिवर्तन भी हैं। निरंतर समरूपता समूह (झूठ समूह) भी हैं, जिनमें मनमाने ढंग से छोटे कोणों के घूर्णन या मनमाने ढंग से छोटी दूरी के अनुवाद होते हैं। एक उदाहरण है ओर्थोगोनल समूह|ओ(3), गोले का सममिति समूह। यूक्लिडियन वस्तुओं के सममिति समूहों को पूरी तरह से यूक्लिडियन समूह#उपसमूहों E(n) ('R' के समस्थानिक समूह) के रूप में वर्गीकृत किया जा सकता हैएन).

दो ज्यामितीय आकृतियों में एक ही समरूपता प्रकार होता है जब उनके समरूपता समूह यूक्लिडियन समूह के उपसमूहों और सामान्य उपसमुच्चय उपसमूहों के संयुग्मी वर्ग#Conjugacy होते हैं: अर्थात, जब उपसमूह H1, एच2 से संबंधित हैं H1 = g−1H2g ई (एन) में कुछ जी के लिए। उदाहरण के लिए:


 * दो 3D आकृतियों में दर्पण सममिति है, लेकिन विभिन्न दर्पण तलों के संबंध में।
 * दो 3डी आकृतियों में 3 गुना घूर्णी समरूपता है, लेकिन विभिन्न अक्षों के संबंध में।
 * दो 2डी पैटर्न में ट्रांसलेशनल समरूपता है, प्रत्येक एक दिशा में; दो अनुवाद वैक्टर की लंबाई समान है लेकिन एक अलग दिशा है।

निम्नलिखित अनुभागों में, हम केवल आइसोमेट्री समूहों पर विचार करते हैं जिनकी कक्षा (समूह सिद्धांत) बंद (टोपोलॉजी) है, जिसमें सभी असतत और निरंतर आइसोमेट्री समूह शामिल हैं। हालाँकि, यह उदाहरण के लिए एक परिमेय संख्या द्वारा अनुवादों के 1D समूह को बाहर करता है; इस तरह के एक गैर-बंद आंकड़े को इसके मनमाने ढंग से ठीक विवरण के कारण उचित सटीकता के साथ नहीं खींचा जा सकता है।

एक आयाम
एक आयाम में आइसोमेट्री समूह हैं:


 * तुच्छ चक्रीय समूह सी1
 * एक प्रतिबिंब द्वारा उत्पन्न दो तत्वों के समूह; वे सी के साथ आइसोमोर्फिक हैं2
 * एक अनुवाद द्वारा उत्पन्न अनंत असतत समूह; वे पूर्णांकों के योज्य समूह Z के साथ तुल्याकार हैं
 * एक अनुवाद और एक प्रतिबिंब द्वारा उत्पन्न अनंत असतत समूह; वे डायहेड्रल समूह के साथ आइसोमोर्फिक हैं # जेड, डीएच (जेड) के सामान्यीकरण, डी द्वारा भी निरूपित∞ (जो Z और C का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है2).
 * सभी अनुवादों द्वारा उत्पन्न समूह (वास्तविक संख्या आर के योगात्मक समूह के साथ आइसोमॉर्फिक); यह समूह एक यूक्लिडियन आकृति का समरूपता समूह नहीं हो सकता है, यहां तक ​​कि एक पैटर्न के साथ संपन्न: ऐसा पैटर्न सजातीय होगा, इसलिए प्रतिबिंबित भी हो सकता है। हालाँकि, एक निरंतर एक-आयामी वेक्टर क्षेत्र में यह समरूपता समूह होता है।
 * बिंदुओं में सभी अनुवादों और प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न समूह; वे सामान्यीकृत डायहेड्रल समूह डीएच (आर) के साथ आइसोमॉर्फिक हैं।

दो आयाम
संयुग्मन तक द्वि-आयामी स्थान में असतत बिंदु समूह निम्न वर्ग हैं:


 * चक्रीय समूह C1, सी2, सी3, सी4, ... जहां सीn 360°/n कोण के गुणकों द्वारा एक निश्चित बिंदु के बारे में सभी घुमाव शामिल हैं
 * द्वितल समूह D1, डी2, ऑर्डर 6 का डायहेड्रल समूह | डी3, समूहों के उदाहरण # वर्ग का समरूपता समूह: क्रम 8 का डायहेड्रल समूह|D4, ..., जहां घn (क्रम 2n के) में C में घुमाव होते हैंn एक साथ n अक्षों में प्रतिबिंबों के साथ जो निश्चित बिंदु से गुजरते हैं।

सी1 तुच्छ समूह है जिसमें केवल पहचान संक्रिया होती है, जो तब होती है जब आकृति असममित होती है, उदाहरण के लिए अक्षर F। सी2 अक्षर Z, C का सममिति समूह है3 एक त्रिशूल का, सी4 स्वस्तिक का, और सी5, सी6, आदि चार के बजाय पाँच, छह, आदि भुजाओं वाले समान स्वस्तिक-जैसी आकृतियों के सममिति समूह हैं।

डी1 2-तत्व समूह है जिसमें पहचान संक्रिया और एक एकल प्रतिबिंब है, जो तब होता है जब आकृति में प्रतिबिंब समरूपता का केवल एक अक्ष होता है, उदाहरण के लिए अक्षर A।

डी2, जो कि क्लेन चार-समूह के लिए समरूपी है, एक गैर-समबाहु आयत का समरूपता समूह है। इस आकृति में चार समरूपता संक्रियाएँ हैं: पहचान संक्रिया, घूर्णन का एक दुगुना अक्ष, और दो असमान दर्पण तल।

डी3, डी4 आदि नियमित बहुभुजों के सममिति समूह हैं।

इनमें से प्रत्येक समरूपता प्रकार के भीतर, रोटेशन के केंद्र के लिए स्वतंत्रता की दो डिग्री (भौतिकी और रसायन विज्ञान) हैं, और डायहेड्रल समूहों के मामले में, दर्पण की स्थिति के लिए एक और।

शेष आइसोमेट्री समूह दो आयामों में एक निश्चित बिंदु के साथ हैं:
 * विशेष ऑर्थोगोनल समूह SO(2) जिसमें एक निश्चित बिंदु के बारे में सभी घुमाव शामिल हैं; इसे वृत्त समूह S भी कहा जाता है1, निरपेक्ष मान 1 की सम्मिश्र संख्याओं का गुणक समूह। यह एक वृत्त का उचित समरूपता समूह है और C का निरंतर समतुल्य हैn. कोई ज्यामितीय आकृति नहीं है जिसमें पूर्ण समरूपता समूह के रूप में वृत्त समूह हो, लेकिन एक सदिश क्षेत्र के लिए यह लागू हो सकता है (नीचे त्रि-आयामी मामला देखें)।
 * ऑर्थोगोनल समूह O(2) जिसमें एक निश्चित बिंदु के बारे में सभी घुमाव और उस निश्चित बिंदु के माध्यम से किसी अक्ष में प्रतिबिंब शामिल हैं। यह एक वृत्त का सममिति समूह है। इसे डीह (एस1) क्योंकि यह S का सामान्यीकृत डायहेड्रल समूह है 1।

गैर-बाध्य आंकड़ों में अनुवाद सहित आइसोमेट्री समूह हो सकते हैं; य़े हैं:
 * 7 फ्रीज़ समूह
 * 17 वॉलपेपर समूह
 * प्रत्येक समरूपता समूह के लिए एक आयाम में, उस समूह में सभी समरूपता का संयोजन एक दिशा में, और लंबवत दिशा में सभी अनुवादों का समूह
 * पहली दिशा में एक पंक्ति में भी प्रतिबिंब के साथ।

तीन आयाम
संयुग्मन तक त्रि-आयामी बिंदु समूहों के सेट में 7 अनंत श्रृंखलाएं और 7 अन्य अलग-अलग समूह होते हैं। क्रिस्टलोग्राफी में, केवल उन बिंदु समूहों पर विचार किया जाता है जो कुछ क्रिस्टल जाली को संरक्षित करते हैं (इसलिए उनके घुमावों में केवल 1, 2, 3, 4, या 6 क्रम हो सकते हैं)। सामान्य बिंदु समूहों के अनंत परिवारों के इस क्रिस्टलोग्राफिक प्रतिबंध प्रमेय के परिणामस्वरूप 32 क्रिस्टलोग्राफिक बिंदु समूह (7 श्रृंखलाओं में से 27 व्यक्तिगत समूह, और 7 अन्य व्यक्तियों में से 5) होते हैं।

एक निश्चित बिंदु वाले निरंतर समरूपता समूहों में ये शामिल हैं:
 * अक्ष के लम्बवत् सममिति तल के बिना बेलनाकार सममिति, यह उदाहरण के लिए बीयर की बोतल पर लागू होता है
 * अक्ष के लम्बवत् समरूपता तल के साथ बेलनाकार सममिति
 * गोलाकार समरूपता

अदिश क्षेत्र पैटर्न वाली वस्तुओं के लिए, बेलनाकार समरूपता का तात्पर्य ऊर्ध्वाधर प्रतिबिंब समरूपता से भी है। हालांकि, यह वेक्टर फ़ील्ड पैटर्न के लिए सही नहीं है: उदाहरण के लिए, बेलनाकार निर्देशांक में कुछ अक्ष के संबंध में, वेक्टर फ़ील्ड $$\mathbf{A} = A_\rho\boldsymbol{\hat \rho} + A_\phi\boldsymbol{\hat \phi} + A_z\boldsymbol{\hat z}$$ जब भी अक्ष के संबंध में बेलनाकार समरूपता होती है $$A_\rho, A_\phi,$$ तथा $$ A_z$$ यह समरूपता है (इस पर कोई निर्भरता नहीं है $$\phi$$); और इसमें परावर्तक समरूपता तभी होती है जब $$A_\phi = 0$$.

गोलाकार समरूपता के लिए, ऐसा कोई भेद नहीं है: किसी भी पैटर्न वाली वस्तु में प्रतिबिंब समरूपता के तल होते हैं।

एक निश्चित बिंदु के बिना निरंतर समरूपता समूहों में पेंच अक्ष वाले लोग शामिल होते हैं, जैसे कि एक अनंत कुंडलित वक्रता। यूक्लिडियन समूह#उपसमूह भी देखें।

सामान्य रूप से समरूपता समूह
व्यापक संदर्भों में, एक समरूपता समूह किसी भी प्रकार का परिवर्तन समूह या automorphism समूह हो सकता है। प्रत्येक प्रकार की गणितीय संरचना में Bijection होता है जो संरचना को संरक्षित करता है। इसके विपरीत, समरूपता समूह को निर्दिष्ट करना संरचना को परिभाषित कर सकता है, या कम से कम ज्यामितीय सर्वांगसमता या निश्चरता के अर्थ को स्पष्ट कर सकता है; यह Erlangen प्रोग्राम को देखने का एक तरीका है।

उदाहरण के लिए, अतिशयोक्तिपूर्ण गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति में वस्तुओं में फ्यूचियन समूह होता है, जो अतिशयोक्तिपूर्ण तल के आइसोमेट्री समूह के असतत उपसमूह होते हैं, जो यूक्लिडियन दूरी के बजाय अतिशयोक्तिपूर्ण को संरक्षित करते हैं। (कुछ एम.सी. एस्चेर के रेखाचित्रों में दर्शाए गए हैं।) इसी तरह, परिमित ज्यामिति के ऑटोमोर्फिज़्म समूह यूक्लिडियन उप-स्थानों, दूरियों या आंतरिक उत्पादों के बजाय बिंदु-सेटों (असतत उप-स्थानों) के परिवारों को संरक्षित करते हैं। यूक्लिडियन आंकड़ों की तरह, किसी भी ज्यामितीय स्थान में वस्तुओं में समरूपता समूह होते हैं जो परिवेश स्थान की समरूपता के उपसमूह होते हैं।

समरूपता समूह का एक अन्य उदाहरण एक ग्राफ़ (असतत गणित) का है: एक ग्राफ़ समरूपता शीर्षों का क्रमचय है जो किनारों को किनारों तक ले जाता है। किसी समूह की कोई भी प्रस्तुति उसके केली ग्राफ का समरूपता समूह है; मुक्त समूह एक अनंत वृक्ष (ग्राफ सिद्धांत) का समरूपता समूह है।

समरूपता के संदर्भ में समूह संरचना
केली के प्रमेय में कहा गया है कि कोई भी सार समूह कुछ सेट एक्स के क्रमपरिवर्तन का एक उपसमूह है, और इसलिए कुछ अतिरिक्त संरचना के साथ एक्स के समरूपता समूह के रूप में माना जा सकता है। इसके अलावा, समूह की कई सार विशेषताएं (समूह संचालन के संदर्भ में पूरी तरह से परिभाषित) समरूपता के संदर्भ में व्याख्या की जा सकती हैं।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए G = Sym(X) एक यूक्लिडियन अंतरिक्ष में आकृति X का परिमित समरूपता समूह है, और H ⊂ G को एक उपसमूह होने दें। तब H की व्याख्या X के समरूपता समूह के रूप में की जा सकती है+, X का एक सजाया हुआ संस्करण। इस तरह की सजावट का निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता है। कुछ पैटर्न जैसे कि तीर या रंग को X में जोड़ें ताकि सभी समरूपता को तोड़ सकें, एक आकृति X प्राप्त करें# साथ में Sym(X#) = {1}, तुच्छ उपसमूह; यानी जीएक्स# ≠ एक्स# सभी गैर-तुच्छ g ∈ G के लिए। अब हमें मिलता है:

X^+ \ = \ \bigcup_{h\in H} hX^{\#} \quad\text{satisfies}\quad H = \mathrm{Sym}(X^+). $$ इस ढांचे में सामान्य उपसमूहों को भी चित्रित किया जा सकता है। अनुवाद जीएक्स का समरूपता समूह + संयुग्मी उपसमूह gHg है-1. इस प्रकार एच सामान्य है जब भी:

\mathrm{Sym}(gX^+) = \mathrm{Sym}(X^+) \ \ \text{for all} \ g\in G; $$ यानी जब भी एक्स की सजावट+ X के किसी भी पक्ष या विशेषता के संबंध में किसी भी ओरिएंटेशन में खींचा जा सकता है, और अभी भी समान समरूपता समूह gHg उत्पन्न कर सकता है-1 = एच.

एक उदाहरण के रूप में, द्वितल समूह G = D पर विचार करें3 = सिम (एक्स), जहां एक्स एक समबाहु त्रिभुज है। हम इसे एक किनारे पर एक तीर से सजा सकते हैं, एक असममित आकृति X प्राप्त कर सकते हैं#. τ ∈ G को तीर वाले किनारे का प्रतिबिंब होने दें, समग्र आकृति X+ = एक्स# ∪ τX# के किनारे पर एक द्विदिश तीर है, और इसका समरूपता समूह H = {1, τ} है। यह उपसमूह सामान्य नहीं है, क्योंकि gX+ में एक अलग किनारे पर द्वि-तीर हो सकता है, जो एक अलग प्रतिबिंब समरूपता समूह देता है।

हालाँकि, H = {1, ρ, ρ2} ⊂ डी3 एक घूर्णन द्वारा उत्पन्न चक्रीय उपसमूह हो, सजी हुई आकृति X+ में लगातार अभिविन्यास वाले तीरों का 3-चक्र होता है। तब एच सामान्य है, क्योंकि इस तरह के चक्र को या तो अभिविन्यास के साथ समान समरूपता समूह एच उत्पन्न करता है।

यह भी देखें
• Crystal system

• Euclidean plane isometry

• Fixed points of isometry groups in Euclidean space

• Molecular symmetry

• Permutation group

• Symmetric group

• Symmetry in quantum mechanics

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * साइकिल ग्राफ (बीजगणित)
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बाहरी संबंध

 * Overview of the 32 crystallographic point groups - form the first parts (apart from skipping n=5) of the 7 infinite series and 5 of the 7 separate 3D point groups
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