बेन्डिंग ऑफ़ प्लेट्स

Insert non-formatted text here प्लेटों का झुकना, या प्लेट का झुकाव, बाहरी बलों और क्षण (भौतिकी) की कार्रवाई के तहत प्लेट के विमान के लंबवत प्लेट (धातु) के विक्षेपण (इंजीनियरिंग) को संदर्भित करता है। उपयुक्त प्लेट सिद्धांत के अवकल समीकरणों को हल करके विक्षेपण की मात्रा निर्धारित की जा सकती है। इन विक्षेपों से प्लेट में तनाव (भौतिकी) की गणना की जा सकती है। एक बार तनाव ज्ञात हो जाने के बाद, भौतिक विफलता सिद्धांत का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि प्लेट किसी दिए गए भार के तहत विफल हो जाएगी या नहीं।

परिभाषाएँ
मोटाई की पतली आयताकार प्लेट के लिए $$H$$, यंग मापांक $$E$$, और प्वासों का अनुपात $$\nu$$, हम प्लेट विक्षेपण $$w$$ के संदर्भ में मापदंडों को परिभाषित कर सकते हैं,.

वंक दृढ़ता द्वारा दिया जाता है

D = \frac{EH^3}{12\left(1-\nu^2\right)} $$

क्षण
प्रति इकाई लंबाई के झुकाव के क्षण किसके द्वारा दिए जाते हैं

M_{x} = -D \left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \nu \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right) $$

M_{y} = -D \left( \nu \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right) $$ प्रति इकाई लंबाई का बल आघूर्ण द्वारा दिया जाता है

M_{xy} = -D \left( 1 - \nu \right) \frac{\partial^2 w}{\partial x\partial y} $$

बल
प्रति इकाई लंबाई कतरनी बल द्वारा दिया जाता है

Q_{x} = -D \frac{\partial}{\partial x} \left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right) $$

Q_{y} = -D \frac{\partial}{\partial y} \left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right) $$

तनाव
झुकाव का तनाव (यांत्रिकी) द्वारा दिया जाता है

\sigma_{x} = -\frac{12Dz}{H^3} \left( \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \nu \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right) $$

\sigma_{y} = -\frac{12Dz}{H^3} \left( \nu \frac{\partial^2 w}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial y^2} \right) $$ कतरनी तनाव द्वारा दिया जाता है

\tau_{xy} = -\frac{12Dz}{H^3} \left(1-\nu\right) \frac{\partial^2 w}{\partial x\partial y} $$

तनाव
विरूपण (यांत्रिकी) या लघु-विक्षेपण सिद्धांत के लिए सामान्य तनाव किसके द्वारा दिया जाता है

\epsilon_{x} = \frac{\partial u}{\partial x} = -z\frac{\partial^2 w}{\partial x^2} $$

\epsilon_{y} = \frac{\partial v}{\partial y} = -z\frac{\partial^2 w}{\partial y^2} $$ लघु-विक्षेपण सिद्धांत के लिए विरूपण (यांत्रिकी) या शियर स्ट्रेन किसके द्वारा दिया गया है

\gamma_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} = -2z\frac{\partial^2 w}{\partial x\partial y} $$ बड़े-विक्षेपण प्लेट सिद्धांत के लिए, हम झिल्ली उपभेदों को सम्मिलित करने पर विचार करते हैं

\epsilon_{x} = \frac{\partial u}{\partial x} + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial x}\right)^2 $$

\epsilon_{y} = \frac{\partial v}{\partial y} + \frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial y}\right)^2 $$

\gamma_{xy} = \frac{\partial u}{\partial y} + \frac{\partial v}{\partial x} + \frac{\partial w}{\partial x} \frac{\partial w}{\partial y} $$

विचलन
विक्षेपण (इंजीनियरिंग) द्वारा दिया जाता है

u = -z\frac{\partial w}{\partial x} $$

v = -z\frac{\partial w}{\partial y} $$

व्युत्पत्ति
प्लेटों के लिए किरचॉफ-लव प्लेट सिद्धांत में नियामक समीकरण हैं

N_{\alpha\beta,\alpha} = 0 $$ और

M_{\alpha\beta,\alpha\beta} - q = 0 $$ विस्तारित रूप में,

\cfrac{\partial N_{11}}{\partial x_1} + \cfrac{\partial N_{21}}{\partial x_2} = 0 ~; \cfrac{\partial N_{12}}{\partial x_1} + \cfrac{\partial N_{22}}{\partial x_2} = 0 $$ और

\cfrac{\partial^2 M_{11}}{\partial x_1^2} + 2\cfrac{\partial^2 M_{12}}{\partial x_1 \partial x_2} + \cfrac{\partial^2 M_{22}}{\partial x_2^2} = q $$ जहाँ $$q(x)$$ प्रयुक्त अनुप्रस्थ संरचनात्मक भार प्रति इकाई क्षेत्र है, प्लेट की मोटाई $$H=2h$$ है ,$$\sigma_{ij}$$ तनाव हैं, और

N_{\alpha\beta} := \int_{-h}^h \sigma_{\alpha\beta}~dx_3 ~; M_{\alpha\beta} := \int_{-h}^h x_3~\sigma_{\alpha\beta}~dx_3~. $$ मात्रा $$N$$ प्रति एकांक लम्बाई में बल का मात्रक होता है। मात्रा $$M$$ प्रति इकाई लंबाई में क्षण (भौतिकी) की इकाइयाँ हैं।

यंग के मापांक के साथ समदैशिक, सजातीय, प्लेटों के लिए $$E$$ और प्वासों का अनुपात $$\nu$$ ये समीकरण कम हो जाते हैं

\nabla^2\nabla^2 w = -\cfrac{q}{D} ~; D := \cfrac{2h^3E}{3(1-\nu^2)} = \cfrac{H^3E}{12(1-\nu^2)} $$ जहाँ $$w(x_1,x_2)$$ प्लेट की मध्य सतह का विक्षेपण है।

पतली आयताकार प्लेटों का छोटा विक्षेपण
यह सोफी जर्मेन-जोसेफ-लुई लाग्रेंज प्लेट समीकरण द्वारा शासित है

\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} + 2\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2\partial y^2} + \cfrac{\partial^4 w}{\partial y^4} = \cfrac{q}{D} $$ यह समीकरण पहली बार लाग्रेंज द्वारा दिसंबर 1811 में जर्मेन के काम को सही करने के लिए प्राप्त किया गया था जिसने सिद्धांत का आधार प्रदान किया था।

पतली आयताकार प्लेटों का बड़ा विक्षेपण
यह अगस्त Föppl|Föppl–Theodore von Kármán|von Kármán Föppl–von Kármán समीकरणों द्वारा शासित है



\cfrac{\partial^4 F}{\partial x^4} + 2\cfrac{\partial^4 F}{\partial x^2\partial y^2} + \cfrac{\partial^4 F}{\partial y^4} = E\left[\left(\cfrac{\partial^2 w}{\partial x \partial y}\right)^2 - \cfrac{\partial^2 w}{\partial x^2} \cfrac{\partial^2 w}{\partial y^2}\right] $$

\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} + 2\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2\partial y^2} + \cfrac{\partial^4 w}{\partial y^4} = \cfrac{q}{D} + \cfrac{H}{D}\left(  \cfrac{\partial^2 F}{\partial y^2}\cfrac{\partial^2 w}{\partial x^2} +   \cfrac{\partial^2 F}{\partial x^2}\cfrac{\partial^2 w}{\partial y^2} -   2\cfrac{\partial^2 F}{\partial x \partial y}\cfrac{\partial^2 w}{\partial x \partial y}   \right) $$ जहाँ $$F$$ तनाव कार्य है।

सर्कुलर किरचॉफ-लव प्लेट्स
के साथ गवर्निंग समीकरण को हल करके परिपत्र प्लेटों के झुकाव की जांच की जा सकती है

उपयुक्त सीमा नियमो। ये समाधान पहली बार 1829 में पोइसन द्वारा खोजे गए थे। ऐसी समस्याओं के लिए बेलनाकार निर्देशांक सुविधाजनक होते हैं। यहाँ $$z$$ प्लेट के मध्य तल से बिंदु की दूरी है।

समन्वय मुक्त रूप में शासी समीकरण है

\nabla^2 \nabla^2 w = -\frac{q}{D} \,. $$ बेलनाकार निर्देशांक में $$(r, \theta, z)$$,

\nabla^2 w \equiv \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}\left(r \frac{\partial w}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 w}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 w}{\partial z^2} \,. $$ सममित रूप से भरी हुई गोलाकार प्लेटों के लिए, $$ w = w(r)$$, और हमारे पास है

\nabla^2 w \equiv \frac{1}{r}\cfrac{d }{d r}\left(r \cfrac{d w}{d r}\right) \,. $$ इसलिए, शासी समीकरण है

\frac{1}{r}\cfrac{d }{d r}\left[r \cfrac{d }{d r}\left\{\frac{1}{r}\cfrac{d }{d r}\left(r \cfrac{d w}{d r}\right)\right\}\right] = -\frac{q}{D}\,. $$ अगर $$q$$ और $$D$$ स्थिर हैं, शासन समीकरण का प्रत्यक्ष एकीकरण हमें देता है

w(r) = -\frac{qr^4}{64 D} + C_1\ln r + \cfrac{C_2 r^2}{2} + \cfrac{C_3r^2}{4}(2\ln r - 1) + C_4 $$ जहाँ $$C_i$$ स्थिरांक हैं। विक्षेपण सतह का ढलान है

\phi(r) = \cfrac{d w}{d r} = -\frac{qr^3}{16D} + \frac{C_1}{r} + C_2 r + C_3 r \ln r \,. $$ एक गोलाकार प्लेट के लिए, आवश्यकता है कि विक्षेपण और विक्षेपण का ढलान परिमित हो पर $$r = 0$$ इसका आशय है $$C_1 = 0$$. चूँकि, $$C_3$$ सीमा के रूप में 0 के सामान्य नहीं होना चाहिए क्योंकि जब आप दाईं ओर से $$r = 0$$ की ओर बढ़ते हैं तो $$r \ln r\,$$ की सीमा उपस्थित होती है।

दबे हुए किनारे
क्लैम्प्ड किनारों वाली गोलाकार प्लेट के लिए, हमारे पास है $$w(a) = 0$$ और $$\phi(a) = 0$$ के किनारे पर प्लेट (त्रिज्या $$a$$). इन सीमा स्थितियों का उपयोग करके हम प्राप्त करते हैं

w(r) = -\frac{q}{64 D} (a^2 -r^2)^2 \quad \text{and} \quad \phi(r) = \frac{qr}{16 D}(a^2-r^2) \,. $$ प्लेट में इन-प्लेन विस्थापन हैं

u_r(r) = -z\phi(r) \quad \text{and} \quad u_\theta(r) = 0 \,. $$ प्लेट में इन-प्लेन स्ट्रेन हैं

\varepsilon_{rr} = \cfrac{d u_r}{d r} = -\frac{qz}{16D}(a^2-3r^2) ~, \varepsilon_{\theta\theta} = \frac{u_r}{r} = -\frac{qz}{16D}(a^2-r^2) ~, \varepsilon_{r\theta} = 0 \,. $$ प्लेट में इन-प्लेन तनाव हैं

\sigma_{rr} = \frac{E}{1-\nu^2}\left[\varepsilon_{rr} + \nu\varepsilon_{\theta\theta}\right] ~; \sigma_{\theta\theta} = \frac{E}{1-\nu^2}\left[\varepsilon_{\theta\theta} + \nu\varepsilon_{rr}\right] ~; \sigma_{r\theta} = 0 \,. $$ मोटाई की प्लेट के लिए $$2h$$, झुकाव की दृढ़ता है $$D = 2Eh^3/[3(1-\nu^2)]$$ और हमारे पास

\begin{align} \sigma_{rr} &= -\frac{3qz}{32h^3}\left[(1+\nu)a^2-(3+\nu)r^2\right] \\ \sigma_{\theta\theta} &= -\frac{3qz}{32h^3}\left[(1+\nu)a^2-(1+3\nu)r^2\right]\\ \sigma_{r\theta} &= 0 \,. \end{align} $$ क्षण परिणामी (झुकाव के क्षण) हैं

M_{rr} = -\frac{q}{16}\left[(1+\nu)a^2-(3+\nu)r^2\right] ~; M_{\theta\theta} = -\frac{q}{16}\left[(1+\nu)a^2-(1+3\nu)r^2\right] ~; M_{r\theta} = 0 \,. $$ $$z = h$$ और $$r = a$$: अधिकतम रेडियल तनाव पर है

\left.\sigma_{rr}\right|_{z=h,r=a} = \frac{3qa^2}{16h^2} = \frac{3qa^2}{4H^2} $$ जहाँ $$H := 2h$$. सीमा और प्लेट के केंद्र पर झुकाव वाले क्षण हैं

\left.M_{rr}\right|_{r=a} = \frac{qa^2}{8} ~, \left.M_{\theta\theta}\right|_{r=a} = \frac{\nu qa^2}{8} ~, \left.M_{rr}\right|_{r=0} = \left.M_{\theta\theta}\right|_{r=0} = -\frac{(1+\nu) qa^2}{16} \,. $$

आयताकार किरचॉफ-लव प्लेट्स
आयताकार प्लेटों के लिए, नेवियर ने 1820 में विस्थापन और तनाव को खोजने के लिए सरल विधि को प्रारंभ किया जब प्लेट को बस समर्थित किया जाता है। फूरियर घटकों के संदर्भ में प्रयुक्त भार को व्यक्त करने का विचार था, साइनसोइडल भार (एक एकल फूरियर घटक) के लिए समाधान खोजें, और फिर फूरियर घटकों को इच्छानुसार भार के लिए समाधान प्राप्त करने के लिए आरोपित करें।

साइनसोइडल भार
आइए मान लें कि भार रूप का है

q(x,y) = q_0 \sin\frac{\pi x}{a}\sin\frac{\pi y}{b} \,. $$ यहाँ $$q_0$$ आयाम है, $$a$$ में प्लेट की चौड़ाई $$x$$-दिशा है, और $$b$$ में प्लेट की चौड़ाई $$y$$-दिशा है।

चूंकि प्लेट केवल समर्थित है, विस्थापन $$w(x,y)$$ के किनारों के साथ प्लेट शून्य है, झुकाव $$M_{xx}$$ का क्षण $$x=0$$ और $$x=a$$, पर शून्य है $$M_{yy}$$ पर शून्य $$y=0$$ और $$y=b$$ है.

यदि हम इन सीमा नियमो को प्रयुक्त करते हैं और प्लेट समीकरण को हल करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं समाधान

w(x,y) = \frac{q_0}{\pi^4 D}\,\left(\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}\right)^{-2}\,\sin\frac{\pi x}{a}\sin\frac{\pi y}{b} \,. $$ जहाँ D वंक दृढ़ता है

D=\frac{Et^3}{12(1-\nu^2)} $$ वंक दृढ़ता ईआई के अनुरूप। विस्थापन जानने के बाद हम प्लेट में तनाव और तनाव की गणना कर सकते हैं।

प्रपत्र के अधिक सामान्य भार के लिए

q(x,y) = q_0 \sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} $$ जहाँ $$m$$ और $$n$$ पूर्णांक हैं, हमें हल प्राप्त होता है
 * $$ \text{(1)} \qquad

w(x,y) = \frac{q_0}{\pi^4 D}\,\left(\frac{m^2}{a^2}+\frac{n^2}{b^2}\right)^{-2}\,\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} \,. $$

डबल त्रिकोणमितीय श्रृंखला समीकरण
हम सामान्य भार को $$q(x,y)$$ परिभाषित करते हैं निम्नलिखित रूप का

q(x,y) = \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty a_{mn}\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} $$ जहाँ $$a_{mn}$$ द्वारा दिया गया एक फूरियर गुणांक है

a_{mn} = \frac{4}{ab}\int_0^b \int_0^a q(x,y)\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}\,\text{d}x\text{d}y $$. छोटे विक्षेपण के लिए शास्त्रीय आयताकार प्लेट समीकरण इस प्रकार बन जाता है:

\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} + 2\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2\partial y^2} + \cfrac{\partial^4 w}{\partial y^4} = \cfrac{1}{D} \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty a_{mn}\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} $$

सामान्य भार के साथ सरल रूप से समर्थित प्लेट
हम एक समाधान मानते हैं $$w(x,y)$$ निम्नलिखित रूप का

w(x,y) = \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty w_{mn}\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} $$ इस समारोह के आंशिक अंतर द्वारा दिया जाता है

\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^4} = \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{m \pi}{a}\right)^4 w_{mn}\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} $$

\cfrac{\partial^4 w}{\partial x^2 \partial y^2} = \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{m \pi}{a}\right)^2 \left(\frac{n \pi}{b}\right)^2 w_{mn}\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} $$

\cfrac{\partial^4 w}{\partial y^4} = \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty \left(\frac{n \pi}{b}\right)^4 w_{mn}\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} $$ इन व्यंजकों को प्लेट समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर, हमें प्राप्त होता है

\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty \left( \left(\frac{m \pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{n \pi}{b}\right)^2 \right)^2 w_{mn}\sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} = \sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^\infty \cfrac{a_{mn}}{D} \sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} $$ हमारे पास दो भावों की समानता है

\left( \left(\frac{m \pi}{a}\right)^2 + \left(\frac{n \pi}{b}\right)^2 \right)^2 w_{mn} = \cfrac{a_{mn}}{D} $$ जिसे देने के लिए पुनर्व्यवस्थित किया जा सकता है

w_{mn} = \frac{1}{\pi^4 D}\frac{a_{mn}}{\left(\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2}\right)^2} $$ सामान्य भार के साथ एक सरल-समर्थित प्लेट (कोने-मूल की) का विक्षेपण किसके द्वारा दिया जाता है

w(x,y) = \frac{1}{\pi^4 D} \sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{a_{mn}}{\left(\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2}\right)^2} \sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} $$

समान रूप से वितरित भार के साथ सरल रूप से समर्थित प्लेट


समान रूप से वितरित भार के लिए, हमारे पास है

q(x,y) = q_0 $$ इसी फूरियर गुणांक द्वारा दिया जाता है

a_{mn} = \frac{4}{ab} \int_0^a \int_0^b q_0\sin\frac{m\pi x}{a}\sin\frac{n\pi y}{b}\,\text{d}x\text{d}y $$. डबल इंटीग्रल का मूल्यांकन, हमारे पास है

a_{mn} = \frac{4q_0}{\pi^2 mn}(1 - \cos m\pi)(1 - \cos n\pi) $$, या वैकल्पिक रूप से टुकड़े के प्रारूप में, हमारे पास है

a_{mn} = \begin{cases} \cfrac{16q_0}{\pi^2 mn} & m~\text{and}~n~\text{odd} \\ 0 & m~\text{or}~n~\text{even} \end{cases} $$ समान रूप से वितरित भार के साथ सरल-समर्थित प्लेट (कोने-मूल के) का विक्षेपण किसके द्वारा दिया जाता है

w(x,y) = \frac{16 q_0}{\pi^6 D} \sum_{m=1,3,5,...}^\infty \sum_{n=1,3,5,...}^\infty \frac{1}{mn\left(\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2}\right)^2} \sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} $$

प्लेट में प्रति इकाई लंबाई के झुकाव के क्षण किसके द्वारा दिए गए हैं

M_{x} = \frac{16 q_0}{\pi^4} \sum_{m=1,3,5,...}^\infty \sum_{n=1,3,5,...}^\infty \frac{\frac{m^2}{a^2} + \nu\frac{n^2}{b^2}} {mn\left(\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2}\right)^2} \sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} $$

M_{y} = \frac{16 q_0}{\pi^4} \sum_{m=1,3,5,...}^\infty \sum_{n=1,3,5,...}^\infty \frac{\frac{n^2}{b^2} + \nu\frac{m^2}{a^2}} {mn\left(\frac{m^2}{a^2} + \frac{n^2}{b^2}\right)^2} \sin\frac{m \pi x}{a}\sin\frac{n \pi y}{b} $$

लेवी समाधान
मौरिस लेवी द्वारा 1899 में एक और दृष्टिकोण प्रस्तावित किया गया था । इस स्थिति में हम विस्थापन के कल्पित रूप से प्रारंभ करते हैं और मापदंडों को फिट करने की प्रयास करते हैं जिससे शासक समीकरण और सीमा की नियम संतुष्ट हों। लक्ष्य $$Y_m(y)$$ को इस तरह प्राप्त करना है कि यह $$y = 0$$ और $$y = b$$ की सीमा की नियमो को पूरा करता है और, निस्चित रूप से शासी समीकरण $$\nabla^2 \nabla^2 w = q/D$$.

चलिए मान लेते हैं

w(x,y) = \sum_{m=1}^\infty Y_m(y) \sin \frac{m\pi x}{a} \,. $$ एक प्लेट के लिए जो केवल $$w=0$$ और $$M_{xx}=0$$ को साथ में समर्थित है, सीमा नियमो हैं. ध्यान दें कि इन किनारों के साथ विस्थापन में कोई भिन्नता नहीं है जिसका अर्थ है कि $$\partial w/\partial y = 0$$ और $$\partial^2 w/\partial y^2 = 0$$, इस प्रकार पल सीमा की स्थिति को समकक्ष अभिव्यक्ति $$\partial^2 w/\partial x^2 = 0$$ में कम कर देता है.

किनारों के साथ क्षण
प्योर मोमेंट भारिंग के स्थिति पर विचार करें। उस स्थिति में $$q = 0$$ और $$w(x,y)$$ को $$\nabla^2 \nabla^2 w = 0$$ संतुष्ट करना होता है. चूंकि हम आयताकार में काम कर रहे हैं कार्टेशियन निर्देशांक, गवर्निंग समीकरण का विस्तार किया जा सकता है

\frac{\partial^4 w}{\partial x^4} + 2 \frac{\partial^4 w}{\partial x^2\partial y^2} + \frac{\partial^4 w}{\partial y^4} = 0 \,. $$ के लिए व्यंजक लगाना $$w(x,y)$$ गवर्निंग समीकरण में हमें देता है

\sum_{m=1}^\infty \left[\left(\frac{m\pi}{a}\right)^4 Y_m \sin\frac{m\pi x}{a} - 2\left(\frac{m\pi}{a}\right)^2 \cfrac{d^2 Y_m}{d y^2} \sin\frac{m\pi x}{a} + \frac{d^4Y_m}{dy^4} \sin\frac{m\pi x}{a}\right] = 0 $$ या

\frac{d^4Y_m}{dy^4} - 2 \frac{m^2\pi^2}{a^2} \cfrac{d^2Y_m}{dy^2} + \frac{m^4\pi^4}{a^4} Y_m = 0 \,. $$ यह सामान्य अवकल समीकरण है जिसका सामान्य हल है

Y_m = A_m \cosh\frac{m\pi y}{a} + B_m\frac{m\pi y}{a} \cosh\frac{m\pi y}{a} + C_m \sinh\frac{m\pi y}{a} + D_m\frac{m\pi y}{a} \sinh\frac{m\pi y}{a} $$ जहाँ $$A_m, B_m, C_m, D_m$$ स्थिरांक हैं जिन्हें सीमा से निर्धारित किया जा सकता है स्थितियाँ। इसलिए, विस्थापन समाधान का रूप है

w(x,y) = \sum_{m=1}^\infty \left[ \left(A_m + B_m\frac{m\pi y}{a}\right) \cosh\frac{m\pi y}{a} + \left(C_m + D_m\frac{m\pi y}{a}\right) \sinh\frac{m\pi y}{a} \right] \sin \frac{m\pi x}{a} \,. $$
 * आइए हम समन्वय प्रणाली का चयन करें जैसे कि प्लेट की सीमाएँ हैं

पर $$x = 0$$ और $$x = a$$ (पहले की तरह) और पर $$y = \pm b/2$$ (और नहीं $$y=0$$ और $$y=b$$). फिर पल में सीमा की स्थिति $$y = \pm b/2$$ सीमाएँ हैं

w = 0 \,, -D\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}\Bigr|_{y=b/2} = f_1(x) \,, -D\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}\Bigr|_{y=-b/2} = f_2(x) $$ जहाँ $$f_1(x), f_2(x)$$ ज्ञात कार्य हैं। द्वारा समाधान खोजा जा सकता है इन सीमा नियमो को प्रयुक्त करना। हम दिखा सकते हैं कि सममित स्थिति के लिए

जहाँ

M_{yy}\Bigr|_{y=-b/2} = M_{yy}\Bigr|_{y=b/2} $$ और

f_1(x) = f_2(x) = \sum_{m=1}^\infty E_m\sin\frac{m\pi x}{a} $$ अपने पास

w(x,y) = \frac{a^2}{2\pi^2 D}\sum_{m=1}^\infty \frac{E_m}{m^2\cosh\alpha_m}\, \sin\frac{m\pi x}{a}\, \left(\alpha_m \tanh\alpha_m \cosh\frac{m\pi y}{a}   - \frac{m\pi y}{a}\sinh\frac{m\pi y}{a}\right) $$ जहाँ

\alpha_m = \frac{m\pi b}{2a} \,. $$ इसी प्रकार, असंतुलित स्थिति के लिए जहां

M_{yy}\Bigr|_{y=-b/2} = -M_{yy}\Bigr|_{y=b/2} $$ अपने पास$$ w(x,y) = \frac{a^2}{2\pi^2 D}\sum_{m=1}^\infty \frac{E_m}{m^2\sinh\alpha_m}\, \sin\frac{m\pi x}{a}\, \left(\alpha_m \coth\alpha_m \sinh\frac{m\pi y}{a}   - \frac{m\pi y}{a}\cosh\frac{m\pi y}{a}\right) \,. $$

हम अधिक सामान्य प्राप्त करने के लिए सममित और विषम समाधानों को अध्यारोपित कर सकते हैं

समान रूप से वितरित भार के साथ सरल रूप से समर्थित प्लेट
समान रूप से वितरित भार के लिए, हमारे पास है

q(x,y) = q_0 $$ केंद्र के साथ सरल रूप से समर्थित प्लेट का विक्षेपण $$\left(\frac{a}{2}, 0\right)$$ समान रूप से वितरित भार के साथ दिया जाता है

\begin{align} &w(x,y) = \frac{q_0 a^4}{D} \sum_{m=1,3,5,...}^\infty \left( A_m\cosh\frac{m\pi y}{a} + B_m\frac{m\pi y}{a}\sinh\frac{m\pi y}{a} + G_m\right) \sin\frac{m\pi x}{a}\\\\ &\begin{align} \text{where}\quad &A_m = -\frac{2\left(\alpha _m\tanh\alpha _m + 2\right)}{\pi^5 m^5 \cosh\alpha _m}\\ &B_m = \frac{2}{\pi^5 m^5 \cosh\alpha _m}\\ &G_m = \frac{4}{\pi^5 m^5}\\\\ \text{and}\quad &\alpha _m = \frac{m\pi b}{2a} \end{align} \end{align} $$

प्लेट में प्रति इकाई लंबाई के झुकाव के क्षण किसके द्वारा दिए गए हैं

M_x = -q_0\pi^2 a^2\sum_{m=1,3,5,...}^\infty m^2\left(       \left(\left(\nu -1\right)A_m + 2\nu B_m\right)\cosh\frac{m\pi y}{a} +        \left(\nu -1\right)B_m\frac{m\pi y}{a}\sinh\frac{m\pi y}{a} - G_m\right) \sin\frac{m\pi x}{a} $$

M_y = -q_0\pi^2 a^2\sum_{m=1,3,5,...}^\infty m^2\left(       \left(\left(1-\nu\right)A_m + 2B_m\right)\cosh\frac{m\pi y}{a} +        \left(1-\nu\right)B_m\frac{m\pi y}{a}\sinh\frac{m\pi y}{a} - \nu G_m\right) \sin\frac{m\pi x}{a} $$

समान और सममित आघूर्ण भार
विशेष स्थिति के लिए जहां भारिंग सममित है और पल एक समान है, हमारे पास है $$y=\pm b/2$$,

M_{yy} = f_1(x) = \frac{4M_0}{\pi}\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{2m-1}\,\sin\frac{(2m-1)\pi x}{a} \,. $$ परिणामी विस्थापन है

\begin{align} & w(x,y) = \frac{2M_0 a^2}{\pi^3 D}\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{(2m-1)^3\cosh\alpha_m}\sin\frac{(2m-1)\pi x}{a} \times\\ & \left[ \alpha_m\,\tanh\alpha_m\cosh\frac{(2m-1)\pi y}{a} -\frac{(2m-1)\pi y}{a} \sinh\frac{(2m-1)\pi y}{a}\right] \end{align} $$ जहाँ

\alpha_m = \frac{\pi (2m-1)b}{2a} \,. $$ विस्थापन के अनुरूप झुकाव वाले क्षण और कतरनी बल $$w$$ हैं

\begin{align} M_{xx} & = -D\left(\frac{\partial^2 w}{\partial x^2}+\nu\,\frac{\partial^2 w}{\partial y^2}\right) \\ & = \frac{2M_0(1-\nu)}{\pi}\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{(2m-1)\cosh\alpha_m}\,\times \\ & ~   \sin\frac{(2m-1)\pi x}{a} \,\times \\ & ~  \left[ -\frac{(2m-1)\pi y}{a}\sinh\frac{(2m-1)\pi y}{a} + \right. \\           & \qquad \qquad \qquad \qquad \left. \left\{\frac{2\nu}{1-\nu} + \alpha_m\tanh\alpha_m\right\}\cosh\frac{(2m-1)\pi y}{a} \right] \\ M_{xy} & = (1-\nu)D\frac{\partial^2 w}{\partial x \partial y} \\ & = -\frac{2M_0(1-\nu)}{\pi}\sum_{m=1}^\infty\frac{1}{(2m-1) \cosh\alpha_m}\,\times \\ & ~ \cos\frac{(2m-1)\pi x}{a} \, \times \\ & ~ \left[\frac{(2m-1)\pi y}{a}\cosh\frac{(2m-1)\pi y}{a} + \right. \\           & \qquad \qquad \qquad \qquad \left. (1-\alpha_m\tanh\alpha_m)\sinh\frac{(2m-1)\pi y}{a}\right] \\ Q_{zx} & = \frac{\partial M_{xx}}{\partial x}-\frac{\partial M_{xy}}{\partial y} \\ & = \frac{4M_0}{a}\sum_{m=1}^\infty \frac{1}{\cosh\alpha_m}\,\times \\ & ~   \cos\frac{(2m-1)\pi x}{a}\cosh\frac{(2m-1)\pi y}{a}\,. \end{align} $$ तनाव हैं

\sigma_{xx} = \frac{12z}{h^3}\,M_{xx} \quad \text{and} \quad \sigma_{zx} = \frac{1}{\kappa h}\,Q_{zx}\left(1 - \frac{4z^2}{h^2}\right)\,. $$

बेलनाकार प्लेट का झुकना
बेलनाकार मोड़ तब होता है जब आयताकार प्लेट जिसमें $$a \times b \times h$$ आयाम होते हैं, जहाँ $$a \ll b$$ और मोटाई $$h$$ छोटा है, प्लेट के विमान के लंबवत समान रूप से वितरित भार के अधीन है। ऐसी प्लेट बेलन की सतह का आकार ले लेती है।

अक्षीय रूप से स्थिर सिरों के साथ बस समर्थित प्लेट
किनारों के साथ बेलनाकार झुकाव के तहत सरल समर्थित प्लेट के लिए जो घूमने के लिए स्वतंत्र हैं लेकिन $$x_1$$ एक निश्चित है. नेवियर और लेवी विधियों का उपयोग करके बेलनाकार मोड़ समाधान पाया जा सकता है।

मोटी माइंडलिन प्लेटों का मुड़ना
मोटी प्लेटों के लिए, हमें विरूपण के बाद सामान्य से मध्य-सतह के उन्मुखीकरण पर मोटाई कैंची के प्रभाव पर विचार करना होगा। रेमंड डी. माइंडलिन|रेमंड डी. माइंडलिन का सिद्धांत ऐसी प्लेटों में विरूपण और तनाव को खोजने के लिए दृष्टिकोण प्रदान करता है। माइंडलिन के सिद्धांत के समाधान विहित संबंधों का उपयोग करते हुए समकक्ष किरचॉफ-लव समाधान से प्राप्त किए जा सकते हैं।

शासी समीकरण
आइसोटोपिक मोटी प्लेटों के लिए कैनोनिकल गवर्निंग समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है :

$$ \begin{align} & \nabla^2 \left(\mathcal{M} - \frac{\mathcal{B}}{1+\nu}\,q\right) = -q \\ & \kappa G h\left(\nabla^2 w + \frac{\mathcal{M}}{D}\right) = -\left(1 - \cfrac{\mathcal{B} c^2}{1+\nu}\right)q \\ & \nabla^2 \left(\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_2} - \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_1}\right) = c^2\left(\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_2} - \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_1}\right) \end{align} $$

जहाँ $$q$$ प्रयुक्त अनुप्रस्थ भार है, $$G$$ कतरनी मापांक है,

$$D = Eh^3/[12(1-\nu^2)]$$

झुकाव की दृढ़ता है, $$h$$ प्लेट की मोटाई है,

$$c^2 = 2\kappa G h/[D(1-\nu)]$$, $$\kappa$$ कतरनी सुधार कारक है, $$E$$ यंग का मापांक है, $$\nu$$ पोइसन है अनुपात, और

\mathcal{M} = D\left[\mathcal{A}\left(\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1} + \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_2}\right) - (1-\mathcal{A})\nabla^2 w\right] + \frac{2q}{1-\nu^2}\mathcal{B} \,. $$ माइंडलिन के सिद्धांत में, $$w$$ प्लेट की मध्य सतह का अनुप्रस्थ विस्थापन है और मात्राएँ $$\varphi_1$$ और $$\varphi_2$$ मध्य-सतह के घूर्णन सामान्य हैं कीमत $$5/6$$ के बारे में $$x_2$$ और $$x_1$$-कुल्हाड़ियों, क्रमशः। इस सिद्धांत के लिए विहित पैरामीटर $$\mathcal{A} = 1$$ और $$\mathcal{B} = 0$$. हैं कतरनी सुधार कारक $$\kappa$$ सामान्यतः पर होता है.

गवर्निंग समीकरणों के समाधान अगर कोई संबंधित जानता है तो पाया जा सकता है

संबंधों का उपयोग करके किरचॉफ-प्रेम समाधान

\begin{align} w & = w^K + \frac{\mathcal{M}^K}{\kappa G h}\left(1 - \frac{\mathcal{B} c^2}{2}\right) - \Phi + \Psi \\ \varphi_1 & = - \frac{\partial w^K}{\partial x_1} - \frac{1}{\kappa G h}\left(1 - \frac{1}{\mathcal{A}} - \frac{\mathcal{B} c^2}{2}\right)Q_1^K + \frac{\partial }{\partial x_1}\left(\frac{D}{\kappa G h \mathcal{A}}\nabla^2 \Phi + \Phi - \Psi\right) + \frac{1}{c^2}\frac{\partial \Omega}{\partial x_2} \\ \varphi_2 & = - \frac{\partial w^K}{\partial x_2} - \frac{1}{\kappa G h}\left(1 - \frac{1}{\mathcal{A}} - \frac{\mathcal{B} c^2}{2}\right)Q_2^K + \frac{\partial }{\partial x_2}\left(\frac{D}{\kappa G h \mathcal{A}}\nabla^2 \Phi + \Phi - \Psi\right) + \frac{1}{c^2}\frac{\partial \Omega}{\partial x_1} \end{align} $$ जहाँ $$w^K$$ किरचॉफ-लव प्लेट के लिए अनुमानित विस्थापन है, एक $$\Phi$$ है बिहारमोनिक फलन $$\nabla^2 \nabla^2 \Phi = 0$$ ऐसा है, $$\Psi$$ एक ऐसा कार्य है जो संतुष्ट करता है

लाप्लास समीकरण, $$\nabla^2 \Psi = 0$$, और

\begin{align} \mathcal{M} & = \mathcal{M}^K + \frac{\mathcal{B}}{1+\nu}\,q + D \nabla^2 \Phi ~; \mathcal{M}^K := -D\nabla^2 w^K \\ Q_1^K & = -D\frac{\partial }{\partial x_1}\left(\nabla^2 w^K\right) ~, Q_2^K = -D\frac{\partial }{\partial x_2}\left(\nabla^2 w^K\right) \\ \Omega & = \frac{\partial \varphi_1}{\partial x_2} - \frac{\partial \varphi_2}{\partial x_1} ~, \nabla^2 \Omega = c^2\Omega \,. \end{align} $$

केवल समर्थित आयताकार प्लेटें
केवल समर्थित प्लेटों के लिए, मार्कस पल योग गायब हो जाता है, अर्थात।

\mathcal{M} = \frac{1}{1+\nu}(M_{11}+M_{22}) = D\left(\frac{\partial \varphi_1}{\partial x_1}+\frac{\partial \varphi_2}{\partial x_2}\right) = 0 \,. $$ जो w [रेफरी 6] के लिए लगभग लाप्लास का समीकरण है। उस स्थिति में कार्य करता है $$\Phi$$, $$\Psi$$, $$\Omega$$ गायब हो जाते हैं, और माइंडलिन समाधान द्वारा इसी किरचॉफ समाधान से संबंधित है

w = w^K + \frac{\mathcal{M}^K}{\kappa G h} \,. $$

रीस्नर-स्टीन कैंटिलीवर प्लेट्स का झुकना
कैंटिलीवर प्लेट्स के लिए रीस्नर-स्टीन सिद्धांत केंद्रित अंत भार के साथ एक ब्रैकट प्लेट के लिए निम्नलिखित युग्मित साधारण अंतर समीकरणों की ओर जाता है

$$q_x(y)$$ पर $$x=a$$.

\begin{align} & bD \frac{\mathrm{d}^4w_x}{\mathrm{d}x^4} = 0 \\ & \frac{b^3D}{12}\,\frac{\mathrm{d}^4\theta_x}{\mathrm{d}x^4} - 2bD(1-\nu)\cfrac{d^2 \theta_x}{d x^2} = 0 \end{align} $$ और सीमा की स्थिति पर $$x=a$$ हैं

\begin{align} & bD\cfrac{d^3 w_x}{d x^3} + q_{x1} = 0 \quad,\quad \frac{b^3D}{12}\cfrac{d^3 \theta_x}{d x^3} -2bD(1-\nu)\cfrac{d \theta_x}{d x} + q_{x2} = 0 \\ & bD\cfrac{d^2 w_x}{d x^2} = 0 \quad,\quad \frac{b^3D}{12}\cfrac{d^2 \theta_x}{d x^2} = 0 \,. \end{align} $$ दो ODE की इस प्रणाली का समाधान देता है

\begin{align} w_x(x) & = \frac{q_{x1}}{6bD}\,(3ax^2 -x^3) \\ \theta_x(x) & = \frac{q_{x2}}{2bD(1-\nu)}\left[x - \frac{1}{\nu_b}\, \left(\frac{\sinh(\nu_b a)}{\cosh[\nu_b (x-a)]} + \tanh[\nu_b(x-a)]\right)\right] \end{align} $$ जहाँ $$\nu_b = \sqrt{24(1-\nu)}/b$$. विस्थापन के अनुरूप झुकाव वाले क्षण और कतरनी बल $$w = w_x + y\theta_x$$ हैं तनाव हैं

\sigma_{xx} = \frac{12z}{h^3}\,M_{xx} \quad \text{and} \quad \sigma_{zx} = \frac{1}{\kappa h}\,Q_{zx}\left(1 - \frac{4z^2}{h^2}\right)\,. $$ यदि किनारे पर लगाया गया भार स्थिर है, तो हम बीम के लिए a के तहत समाधान पुनर्प्राप्त करते हैं \

केंद्रित अंत भार। यदि प्रयुक्त भार का एक रैखिक कार्य $$y$$ है, तब

q_{x1} = \int_{-b/2}^{b/2}q_0\left(\frac{1}{2} - \frac{y}{b}\right)\,\text{d}y = \frac{bq_0}{2} ~; q_{x2} = \int_{-b/2}^{b/2}yq_0\left(\frac{1}{2} - \frac{y}{b}\right)\,\text{d}y = -\frac{b^2q_0}{12} \,. $$

यह भी देखें

 * झुकना
 * इनफिनिटिमल स्ट्रेन थ्योरी
 * किरचॉफ-लव प्लेट थ्योरी
 * रैखिक लोच
 * माइंडलिन-रीस्नर प्लेट सिद्धांत
 * प्लेट सिद्धांत
 * तनाव (यांत्रिकी)
 * तनाव के परिणाम
 * संरचनात्मक ध्वनिकी
 * प्लेटों का कंपन