अतिनिर्धारित प्रणाली

गणित में, समीकरणों की प्रणाली को अतिनिर्धारित माना जाता है यदि अज्ञात से अधिक समीकरण हैं। यादृच्छिक गुणांक के साथ निर्मित होने पर एक अतिनिर्धारित प्रणाली लगभग हमेशा असंगत समीकरण होती है (इसका कोई समाधान नहीं होता है)। चूंकि, कुछ स्थितियों में अतिनिर्धारित प्रणाली के समाधान होंगे, उदाहरण के लिए यदि प्रणाली में कुछ समीकरण कई बार होते हैं, या यदि कुछ समीकरण दूसरों के रैखिक संयोजन होते हैं।

पारिभाषिक को व्यवरोध गिनती की अवधारणा के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। प्रत्येक अज्ञात (गणित) को स्वातंत्र्य रैंक (कोटि) के रूप में देखा जा सकता है। प्रणाली में पेश किए गए प्रत्येक समीकरण को व्यवरोध (गणित) के रूप में देखा जा सकता है जो स्वातंत्र्य रैंक एक को प्रतिबंधित करता है। इसलिए, महत्वपूर्ण मामला तब होता है जब समीकरणों की संख्या और मुक्त चर की संख्या बराबर होती है। स्वातंत्र्य रैंक देने वाले प्रत्येक चर के लिए, संगत व्यवरोध सम्मलित होती है। अतिनिर्धारित मामला तब होता है जब प्रणाली को अत्यधिक बाधित किया गया है - अर्थात, जब समीकरण अज्ञात से अधिक हो जाते हैं। इसके विपरीत, अधोरेखित प्रणाली मामला तब होता है जब प्रणाली को कम कर दिया गया है - अर्थात, जब समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से कम होती है। ऐसी प्रणालियों में सामान्यतः अनंत संख्या में समाधान होते हैं।

दो आयामों में उदाहरण
3 समीकरण और 2 अज्ञातों की प्रणाली पर विचार करें ($X$ और $Y$), जो अतिनिर्धारित है क्योंकि 3 > 2, और जो चित्र #1 से संबंधित है: $$\begin{align} Y&=-2X-1\\ Y&=3X-2\\ Y&=X+1. \end{align}$$

रैखिक समीकरणों की प्रत्येक जोड़ी के लिए समाधान है: पहले और दूसरे समीकरणों के लिए (0.2, -1.4), पहले और तीसरे के लिए (-2/3, 1/3), और दूसरे और तीसरे के लिए (1.5, 2.5 )। चूंकि, ऐसा कोई समाधान नहीं है जो तीनों को एक साथ संतुष्ट करे। आरेख # 2 और 3 अन्य विन्यास दिखाते हैं जो असंगत हैं क्योंकि कोई भी बिंदु सभी रेखाओं पर नहीं है। इस किस्म की प्रणालियों कोअसंगत समीकरण माना जाता है।

मामले जहां अतिनिर्धारित प्रणाली में वास्तव में समाधान होता है, आरेख # 4, 5, और 6 में प्रदर्शित होते हैं। ये अपवाद केवल तभी हो सकते हैं जब अतिनिर्धारित प्रणाली में पर्याप्त रैखिक निर्भर समीकरण होते हैं कि स्वतंत्र समीकरणों की संख्या अज्ञात की संख्या से अधिक नहीं है। रैखिक निर्भरता का अर्थ है कि अन्य समीकरणों को रैखिक रूप से जोड़कर कुछ समीकरण प्राप्त किए जा सकते हैं। उदाहरण के लिए, Y = X + 1 और 2Y = 2X + 2 रैखिक निर्भर समीकरण हैं क्योंकि पहले वाले का दो गुना लेकर दूसरा प्राप्त किया जा सकता है।

आव्यूह रूप
रैखिक समीकरणों की किसी भी प्रणाली को आव्यूह(गणित) समीकरण के रूप में लिखा जा सकता है। समीकरणों की पिछली प्रणाली (आरेख #1 में) को निम्नानुसार लिखा जा सकता है: $$ \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ -3 & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ -2 \\ 1 \end{bmatrix} $$ ध्यान दें कि गुणांक आव्यूह (समीकरणों के अनुरूप) की पंक्तियों(अज्ञात के अनुरूप) से अधिक है, जिसका अर्थ है कि प्रणाली अतिनिर्धारित है। इस आव्यूह का रैंक (रैखिक बीजगणित) 2 है, जो प्रणाली में निर्भर चर की संख्या से मेल खाता है। रेखीय प्रणाली सुसंगत है यदि और केवल यदि गुणांक आव्यूह में इसके संवर्धित आव्यूह के समान रैंक है (एक अतिरिक्त कॉलम के साथ गुणांक आव्यूह जोड़ा गया है, वह स्तंभ स्थिरांक का स्तंभ सदिश है)। संवर्धित आव्यूह का रैंक 3 है, इसलिए प्रणाली असंगत है। शून्यता 0 है, जिसका अर्थ है कि शून्य स्थान में केवल शून्य सदिश होता है और इस प्रकार इसका कोई आधार नहीं होता है।

रेखीय बीजगणित में आव्यूह के गुणों को निर्धारित करने के लिए पंक्ति स्थान, स्तंभ स्थान और शून्य स्थान की अवधारणाएँ महत्वपूर्ण हैं। उपरोक्त व्यवरोध और स्वातंत्र्य रैंक (सांख्यिकी) की अनौपचारिक चर्चा इन अधिक औपचारिक अवधारणाओं से सीधे संबंधित है।

सजातीय प्रकरण
सजातीय मामला (जिसमें सभी निरंतर शब्द शून्य हैं) हमेशा संगत होता है (क्योंकि एक तुच्छ, सर्व-शून्य समाधान है)। रैखिक निर्भर समीकरणों की संख्या के आधार पर दो मामले हैं: या तो केवल तुच्छ समाधान है, या तुच्छ (गणित) समाधान है और अन्य समाधानों का अनंत समुच्चय है।

रैखिक समीकरणों की प्रणाली पर विचार करें: 1 ≤ i ≤ M के लिए Li = 0, और चर X1, X2, ..., XN, जहां प्रत्येक Li, Xis का भारित योग है। तब X1 = X2 = ⋯ = XN = 0 हमेशा हल होता है। जब M < N प्रणाली कम निर्धारित होता है और हमेशा आगे के समाधानों की अनंतता होती है। वास्तव में समाधान के स्थान का आयाम हमेशा कम से कम N-M होता है।

M ≥ N के लिए, सभी मानों के 0 होने के अतिरिक्त कोई समाधान नहीं हो सकता है। अन्य समाधानों की अनंतता केवल तभी होगी जब समीकरणों की प्रणाली में पर्याप्त निर्भरताएं (रैखिक निर्भर समीकरण) हों कि स्वतंत्र समीकरणों की संख्या अधिक से अधिक N − 1 हो। लेकिन M ≥ N के साथ स्वतंत्र समीकरणों की संख्या N जितनी अधिक हो सकती है, इस मामले में साधारण समाधान केवल एक ही है।

असमांगी मामला
रैखिक समीकरणों की प्रणालियों में, Li=ci, 1 ≤ i ≤ M के लिए, चर X1, X2, ..., XN समीकरण कभी-कभी रैखिक निर्भर होते हैं, वास्तव में रेखीयस्वतंत्र समीकरणों की संख्या N+1 से अधिक नहीं हो सकती। हमारे पास N अज्ञात और M समीकरणों (M>N) के साथ एक अतिनिर्धारित प्रणाली के लिए निम्नलिखित संभावित मामले हैं।
 * M = N+1 और सभी M समीकरण रेखीयस्वतंत्र हैं। इस मामले का कोई हल नहीं निकल रहा है। उदाहरण: x = 1, x = 2।
 * M > N लेकिन केवल K समीकरण (K < M और K ≤ N+1) रेखीयस्वतंत्र हैं। इसके तीन संभावित उप-मामले सम्मलित हैं:
 * K = N+1। इस मामले से कोई समाधान नहीं निकलता है। उदाहरण: 2x = 2, x = 1, x = 2।
 * K = N। यह मामला या तो एक समाधान या कोई समाधान नहीं देता है, बाद वाला तब होता है जब एक समीकरण के गुणांक सदिश को अन्य समीकरणों के गुणांक सदिश के भारित योग द्वारा दोहराया जा सकता है लेकिन वह भारित योग निरंतर पर लागू होता है अन्य समीकरणों के पद एक समीकरण के अचर पद की प्रतिकृति नहीं बनाते। एक हल वाला उदाहरण: 2x = 2, x = 1, बिना हल वाला उदाहरण: 2x + 2y = 2, x + y = 1, x + y = 3।
 * K < N। यह मामला या तो असीम रूप से कई समाधान या कोई समाधान नहीं देता है, जैसा कि पिछले उप-मामले में होता है। अपरिमित रूप से अनेक हलों वाला उदाहरण: 3x + 3y = 3, 2x + 2y = 2, x + y = 1. उदाहरण जिसका कोई हल नहीं है: 3x + 3y + 3z = 3, 2x + 2y + 2z = 2, x + y + z = 1, x + y + z = 4।

गॉसियन विलोपन का उपयोग करके प्रणाली के गुणांकों के संवर्धित आव्यूह को पंक्ति सोपानक रूप में डालकर इन परिणामों को समझना आसान हो सकता है। यह पंक्ति सोपानक रूप समीकरणों की प्रणाली का संवर्धित आव्यूह है जो दिए गए प्रणाली के बराबर है (इसका बिल्कुल समान समाधान है)। मूल प्रणाली में स्वतंत्र समीकरणों की संख्या सोपानक रूप में गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या है। प्रणाली असंगत है (कोई समाधान नहीं) यदि और केवल यदि सोपानक रूप में अंतिम गैर-शून्य पंक्ति में केवल गैर-शून्य प्रविष्टि है जो अंतिम कॉलम में है (समीकरण 0 = c दे रहा है जहां c एक गैर-शून्य स्थिरांक है)। अन्यथा, वास्तव में एक समाधान होता है जब सोपानक रूप में शून्येतर (नॉन-ज़ीरो) पंक्तियों की संख्या अज्ञात की संख्या के बराबर होती है, और असीम रूप से कई समाधान होते हैं जब गैर-शून्य पंक्तियों की संख्या चर की संख्या से कम होती है।

इसे दूसरे तरीके से रखते हुए, रोचे-कैपेली प्रमेय के अनुसार, समीकरणों की कोई भी प्रणाली (अतिनिर्धारित या अन्यथा) असंगत है यदि संवर्धित आव्यूह का रैंक गुणांक आव्यूह के रैंक से अधिक है। यदि, दूसरी ओर, इन दो आव्यूहों की रैंक समान हैं, तो तंत्र में कम से कम एक हल होना चाहिए। समाधान अद्वितीय है यदि और केवल यदि रैंक चर की संख्या के बराबर है। अन्यथा सामान्य समाधान में k मुक्त मापदंड हैं जहाँ k चर और रैंक की संख्या के बीच का अंतर है, इसलिए ऐसे मामले में अनंत समाधान होते हैं।

सटीक समाधान
आव्यूह(गणित) का उपयोग करके सभी सटीक समाधान प्राप्त किए जा सकते हैं, या यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी सम्मलित नहीं है। रैखिक समीकरणों की प्रणाली#आव्यूह समाधान देखें।

अनुमानित समाधान
अतिनिर्धारित प्रणालियों के अनुमानित समाधान खोजने के लिए साधारण कम से कम वर्गों की विधि का उपयोग किया जा सकता है। प्रणाली के लिए $$A \mathbf x = \mathbf b,$$ कम से कम वर्ग सूत्र समस्या से प्राप्त किया जाता है $$\min_{\mathbf x}\lVert A \mathbf x - \mathbf b \rVert,$$जिसका समाधान सामान्य समीकरण के साथ लिखा जा सकता है, $$\mathbf x = \left(A^{\mathsf{T}}A\right)^{-1}A^{\mathsf{T}}\mathbf b,$$जहाँ $$\mathsf{T}$$ आव्यूह स्थानान्तरण इंगित करता है, बशर्ते $$\left(A^{\mathsf{T}}A\right)^{-1}$$ सम्मलित है (अर्थात, बशर्ते A के पास पूर्ण आव्यूह रैंक हो)। इस सूत्र के साथ अनुमानित समाधान पाया जाता है जब कोई सटीक समाधान सम्मलित नहीं होता है, और जब कोई सम्मलित होता है तो यह सटीक समाधान देता है। चूंकि, कम से कम वर्गों की समस्या को हल करने के लिए ए के QR कारककरण का उपयोग करके अच्छी संख्यात्मक सटीकता प्राप्त करने के लिए प्राथमिकता दी जाती है।

सामान्य उपयोग में
अवधारणा को समीकरणों की अधिक सामान्य प्रणालियों पर भी लागू किया जा सकता है, जैसे कि बहुपद समीकरणों की प्रणाली या आंशिक अंतर समीकरण। बहुपद समीकरणों की प्रणालियों के मामले में, ऐसा हो सकता है कि एक अतिनिर्धारित प्रणाली का समाधान हो, लेकिन यह कि कोई समीकरण दूसरों का परिणाम नहीं है और किसी भी समीकरण को हटाते समय, नई प्रणाली में अधिक समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, $$(x-1)(x-2)=0, (x-1)(x-3)=0$$ का एक ही समाधान है $$x=1,$$ लेकिन प्रत्येक समीकरण के अपने आप में दो समाधान होते हैं।

यह भी देखें

 * अनिर्धारित प्रणाली
 * रूचे-कैपेली प्रमेय|रूचे-कैपेली (या, रॉचे-फ्रोबेनियस) प्रमेय
 * अखंडता की स्थिति
 * कम से कम दो गुना
 * संगति प्रमाण
 * संकुचित संवेदन
 * मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स