व्रेथ गुणनफल

समूह सिद्धांत में, पुष्पांजलि उत्पाद अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद पर आधारित दो समूह (गणित) का एक विशेष संयोजन है। यह एक समूह की क्रिया (समूह सिद्धांत) द्वारा दूसरे समूह की कई प्रतियों पर बनता है, जो कुछ हद तक घातांक के अनुरूप होता है। पुष्पांजलि उत्पादों का उपयोग क्रमचय समूहों के वर्गीकरण में किया जाता है और समूहों के दिलचस्प उदाहरणों के निर्माण का एक तरीका भी प्रदान करता है।

दो समूह दिए $$A$$ और $$H$$ (कभी-कभी नीचे और ऊपर के रूप में जाना जाता है ), पुष्पांजलि उत्पाद के दो रूप मौजूद हैं: अप्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद $$A \text{ Wr } H$$ और प्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद $$A \text{ wr } H$$. सामान्य रूप, द्वारा निरूपित $$A \text{ Wr}_{\Omega} H$$ या $$A \text{ wr}_{\Omega} H$$ क्रमशः इसकी आवश्यकता है $$H$$ कुछ सेट पर समूह क्रिया (गणित)। $$\Omega$$; जब अनिर्दिष्ट, आमतौर पर $$\Omega = H$$ (एक नियमित पुष्पांजलि उत्पाद), हालांकि एक अलग $$\Omega$$ कभी-कभी निहित होता है। दो भिन्नताएं कब मेल खाती हैं $$A$$, $$H$$, और $$\Omega$$ सभी परिमित हैं। या तो भिन्नता को भी निरूपित किया जाता है $$A \wr H$$ (LaTeX प्रतीक के लिए \wr के साथ) या A ≀ H (यूनिकोड U+2240)।

यह धारणा अर्धसमूहों के लिए सामान्यीकृत है और क्रोह्न-रोड्स सिद्धांत में एक केंद्रीय निर्माण है | परिमित अर्धसमूहों का क्रोहन-रोड्स संरचना सिद्धांत।

परिभाषा
होने देना $$A$$ एक समूह बनो और चलो $$H$$ एक सेट पर समूह समूह क्रिया (गणित) हो $$\Omega$$ (बाईं तरफ)। समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद $$A^{\Omega}$$ का $$A$$ साथ ही द्वारा अनुक्रमित $$\Omega$$ क्रमों का समुच्चय है $$\overline{a} = (a_{\omega})_{\omega \in \Omega}$$ में $$A$$ द्वारा अनुक्रमित $$\Omega$$बिंदुवार गुणन द्वारा दिए गए समूह संचालन के साथ। की क्रिया $$H$$ पर $$\Omega$$ पर कार्रवाई के लिए बढ़ाया जा सकता है $$A^{\Omega}$$ रीइंडेक्सिंग द्वारा, अर्थात् परिभाषित करके


 * $$ h \cdot (a_{\omega})_{\omega \in \Omega} := (a_{h^{-1} \cdot \omega})_{\omega \in \Omega}$$

सभी के लिए $$h \in H$$ और सभी $$(a_{\omega})_{\omega \in \Omega} \in A^{\Omega}$$.

फिर अप्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद $$A \text{ Wr}_{\Omega} H$$ का $$A$$ द्वारा $$H$$ अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है $$A^{\Omega} \rtimes H$$ की क्रिया के साथ $$H$$ पर $$A^{\Omega}$$ ऊपर दिया गया है। उपसमूह $$A^{\Omega}$$ का $$A^{\Omega} \rtimes H$$ पुष्पांजलि उत्पाद का आधार कहा जाता है।

प्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद $$A \text{ wr}_{\Omega} H$$ अप्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद के रूप में उसी तरह बनाया गया है, सिवाय इसके कि पुष्पांजलि उत्पाद के आधार के रूप में समूहों के प्रत्यक्ष योग का उपयोग किया जाता है। इस मामले में, आधार में सभी अनुक्रम होते हैं $$A$$ बारीक-कई गैर-पहचान तत्व प्रविष्टियों के साथ।

सबसे आम मामले में, $$\Omega = H$$, और $$H$$ बाएं गुणन द्वारा स्वयं पर कार्य करता है। इस मामले में, अप्रतिबंधित और प्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद द्वारा निरूपित किया जा सकता है $$A \text{ Wr } H$$ और $$A \text{ wr } H$$ क्रमश। इसे नियमित पुष्पांजलि उत्पाद कहा जाता है।

अंकन और परंपराएँ
एच द्वारा ए के माल्यार्पण उत्पाद की संरचना एच-सेट Ω पर निर्भर करती है और मामले में Ω अनंत है, यह इस बात पर भी निर्भर करता है कि कोई प्रतिबंधित या अप्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद का उपयोग करता है या नहीं। हालाँकि, साहित्य में प्रयुक्त संकेतन में कमी हो सकती है और परिस्थितियों पर ध्यान देने की आवश्यकता है।


 * साहित्य में ए≀ΩH अप्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद A Wr के लिए खड़ा हो सकता हैΩएच या प्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद A wrΩएच।
 * इसी तरह, A≀H अप्रतिबंधित नियमित पुष्पांजलि उत्पाद A Wr H या प्रतिबंधित नियमित पुष्पांजलि उत्पाद A wr H के लिए खड़ा हो सकता है।
 * साहित्य में एच-सेट Ω को अंकन से छोड़ा जा सकता है भले ही Ω ≠ H।
 * विशेष मामले में कि एच = एसn डिग्री n का सममित समूह है साहित्य में यह मान लेना आम है कि Ω = {1,...,n} (एस की प्राकृतिक क्रिया के साथn) और फिर Ω को अंकन से हटा दें। यानी ए≀एसn आमतौर पर A≀ को दर्शाता है{1,...,n}Sn नियमित माल्यार्पण उत्पाद A≀ के बजायS nएसn. पहले मामले में आधार समूह ए की एन प्रतियों का उत्पाद है, बाद में यह फैक्टोरियल का उत्पाद है। एन! ए की प्रतियां।

परिमित Ω
पर अप्रतिबंधित और प्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद का समझौता चूँकि परिमित प्रत्यक्ष उत्पाद समूहों के परिमित प्रत्यक्ष योग के समान है, यह इस प्रकार है कि अप्रतिबंधित A WrΩH और प्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद A wrΩएच सहमत है अगर एच-सेट Ω परिमित है। विशेष रूप से यह तब सत्य होता है जब Ω = H परिमित होता है।

उपसमूह
ए WRΩH हमेशा A Wr का उपसमूह होता हैΩएच।

कार्डिनैलिटी
यदि A, H और Ω परिमित हैं, तो
 * |ए≀Ωएच| = |ए|undefined|एच|.

यूनिवर्सल एम्बेडिंग प्रमेय
यूनिवर्सल एम्बेडिंग प्रमेय: यदि G, H द्वारा A का एक समूह विस्तार है, तो अप्रतिबंधित पुष्पांजलि उत्पाद A≀H का एक उपसमूह मौजूद है जो G के लिए आइसोमोर्फिक है। इसे क्रास्नर-कलौजिनिन एम्बेडिंग प्रमेय के रूप में भी जाना जाता है। क्रोहन-रोड्स प्रमेय में वह शामिल है जो मूल रूप से इसके समतुल्य अर्धसमूह है।

पुष्पांजलि उत्पादों की विहित क्रियाएं
यदि समूह A एक सेट Λ पर कार्य करता है तो Ω और Λ से सेट बनाने के दो विहित तरीके हैं जिन पर A WrΩएच (और इसलिए ए WRΩएच) कार्य कर सकता है।


 * Λ × Ω पर पुष्पांजलि उत्पाद कार्रवाई।
 * अगर ((aω),h) ∈ A WrΩ H और (λ,ω&prime;) ∈ Λ × Ω, तब
 * $$((a_\omega), h) \cdot (\lambda,\omega') := (a_{h(\omega')}\lambda, h\omega'). $$
 * Λ पर आदिम पुष्पांजलि उत्पाद क्रियाओह।
 * एल में एक तत्वΩ एक क्रम है (lω) एच-सेट Ω द्वारा अनुक्रमित। एक तत्व दिया ((aω), h) ∈ A WrΩ H इसका संचालन (λω) ∈ एलΩ द्वारा दिया गया है
 * $$((a_\omega), h) \cdot (\lambda_\omega) := (a_{h^{-1}\omega}\lambda_{h^{-1}\omega}).$$

उदाहरण

 * लैम्पलाइटर समूह प्रतिबंधित माल्यार्पण उत्पाद ℤ है2≀ℤ.
 * $ℤ_{m}≀S_{n}$ (सामान्यीकृत सममित समूह)।


 * इस पुष्पांजलि उत्पाद का आधार n-गुना प्रत्यक्ष उत्पाद है


 * ℤm एन = ℤm × ... × ℤm
 * ℤ की प्रतियों काm जहां क्रिया φ : Sn → ऑट (ℤmn) सममित समूह S काn डिग्री n द्वारा दिया गया है


 * एफ (एस) (ए1,..., एn) := (अσ(1),..., एσ(n)).


 * एस2≀Sn (हाइपरऑक्टाहेड्रल समूह)।


 * एस की कार्रवाईn {1,...,n} पर ऊपर जैसा है। चूँकि सममित समूह S2 डिग्री 2 का समूह समरूपता ℤ है2 हाइपरऑक्टाहेड्रल समूह सामान्यीकृत सममित समूह का एक विशेष मामला है।


 * सबसे छोटा गैर-तुच्छ माल्यार्पण उत्पाद ℤ है2≀ℤ2, जो उपरोक्त हाइपरऑक्टाहेड्रल समूह का द्वि-आयामी मामला है। यह वर्ग का सममिति समूह है, जिसे डीह भी कहते हैं4, ऑर्डर 8 का डायहेड्रल समूह।
 * मान लीजिए p एक अभाज्य संख्या है और मान लीजिए n≥1। पी को एक साइलो प्रमेय होने दें | सममित समूह एस के साइलो पी-उपसमूहpn. फिर पी पुनरावृत्त नियमित पुष्पांजलि उत्पाद डब्ल्यू के लिए समूह समरूपता हैn = ℤp ≀ ℤp≀...≀ℤp ℤ की एन प्रतियों कीp. यहां डब्ल्यू1 := ℤp और डब्ल्यूk :=वk−1≀ℤp सबके लिए क ≥ 2. उदाहरण के लिए, एस का साइलो 2-उपसमूह4 उपरोक्त ℤ है2≀ℤ2 समूह।


 * रुबिक का घन समूह पुष्पांजलि उत्पादों के उत्पाद में सूचकांक 12 का एक उपसमूह है, (ℤ3≀S8) × (ℤ2≀S12), 8 कोनों और 12 किनारों की समरूपता के अनुरूप कारक।


 * सुडोकू का गणित # सुडोकू समरूपता समूह | सुडोकू वैधता संरक्षण परिवर्तन (वीपीटी) समूह में डबल पुष्पांजलि उत्पाद (एस) शामिल है3 ≀ एस3) ≀ एस2, जहां कारक 3-पंक्ति या 3-स्तंभ बैंड या ढेर (एस) के भीतर पंक्तियों/स्तंभों का क्रमचय है3), बैंड/स्टैक का क्रमपरिवर्तन स्वयं (एस3) और ट्रांसपोजिशन, जो बैंड और स्टैक को इंटरचेंज करता है (एस2). यहां, सूचकांक सेट Ω बैंड (प्रतिक्रिया ढेर) (| Ω | = 3) और सेट {बैंड, ढेर} (| Ω | = 2) का सेट है। तदनुसार, |एस3 ≀ एस3| = |एस3|3|एस3| = (3!)4 और |(एस3 ≀ एस3) ≀ एस2| = |एस3 ≀ एस3|2|एस2| = (3!)8 × 2।
 * पुष्पांजलि उत्पाद स्वाभाविक रूप से पूर्ण जड़ वाले वृक्ष (डेटा संरचना) और उनके ग्राफ (असतत गणित) के समरूपता समूह में उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, बार-बार (पुनरावृत्त) पुष्पांजलि उत्पाद एस2 ≀ एस2 ≀... ≀ एस2 एक पूर्ण बाइनरी ट्री का ऑटोमोर्फिज्म समूह है।

बाहरी संबंध

 * Wreath product in Encyclopedia of Mathematics.
 * Some Applications of the Wreath Product Construction.