भागफल नियम

कलन में, भागफल नियम एक फलन (गणित) का अवकलज ज्ञात करने की एक विधि है जो दो अलग-अलग फलनों का अनुपात है।  होने देना $$h(x)=f(x)/g(x),$$ जहां दोनों $f$ और $g$ अवकलनीय हैं और $$g(x)\neq 0.$$ भागफल नियम बताता है कि व्युत्पन्न $h(x)$ है
 * $$h'(x) = \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}.$$

अन्य अवकलन नियमों का प्रयोग करके इसे कई प्रकार से सिद्ध किया जा सकता है।

उदाहरण 1: मूल उदाहरण
दिया गया $$h(x)=\frac{e^x}{x^2}$$, होने देना $$f(x)=e^x, g(x)=x^2$$, फिर भागफल नियम का उपयोग करके:$$\begin{align} \frac{d}{dx} \left(\frac{e^x}{x^2}\right) &= \frac{\left(\frac{d}{dx}e^x\right)(x^2) - (e^x)\left(\frac{d}{dx} x^2\right)}{(x^2)^2} \\ &= \frac{(e^x)(x^2) - (e^x)(2x)}{x^4} \\ &= \frac{x^2 e^x - 2x e^x}{x^4} \\ &= \frac{x e^x - 2 e^x}{x^3} \\ &= \frac{e^x(x - 2)}{x^3}. \end{align}$$

उदाहरण 2: स्पर्शरेखा फलन का अवकलज
के व्युत्पन्न को खोजने के लिए भागफल नियम का उपयोग किया जा सकता है $$\tan x = \frac{\sin x}{\cos x}$$ निम्नलिखित नुसार: $$\begin{align} \frac{d}{dx} \tan x &= \frac{d}{dx} \left(\frac{\sin x}{\cos x}\right) \\ &= \frac{\left(\frac{d}{dx}\sin x\right)(\cos x) - (\sin x)\left(\frac{d}{dx}\cos x\right)}{\cos^2 x} \\ &= \frac{(\cos x)(\cos x) - (\sin x)(-\sin x)}{\cos^2 x} \\ &= \frac{\cos^2 x + \sin^2 x}{\cos^2 x} \\ &= \frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x. \end{align}$$

पारस्परिक नियम
पारस्परिक नियम भागफल नियम का एक विशेष मामला है जिसमें अंश $$f(x)=1$$. भागफल नियम लागू करने से देता है$$h'(x)=\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right]=\frac{0 \cdot g(x) - 1 \cdot g'(x)}{g(x)^2}=\frac{-g'(x)}{g(x)^2}.$$

व्युत्पन्न परिभाषा और सीमा गुण
से सबूत होने देना $$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)}.$$ डेरिवेटिव की परिभाषा और सीमाओं के गुणों को लागू करने से शब्द के साथ निम्नलिखित प्रमाण मिलता है $$f(x) g(x)$$ मूल्य को प्रभावित किए बिना बाद के चरणों में विभाजन और फैक्टरिंग की अनुमति देने के लिए जोड़ा और घटाया गया:$$\begin{align} h'(x) &= \lim_{k\to 0} \frac{h(x+k) - h(x)}{k} \\ &= \lim_{k\to 0} \frac{\frac{f(x+k)}{g(x+k)} - \frac{f(x)}{g(x)}}{k} \\ &= \lim_{k\to 0} \frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x+k)}{k \cdot g(x)g(x+k)} \\ &= \lim_{k\to 0} \frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x+k)}{k} \cdot \lim_{k\to 0}\frac{1}{g(x)g(x+k)} \\ &= \lim_{k\to 0} \left[\frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x) + f(x)g(x) - f(x)g(x+k)}{k} \right] \cdot \frac{1}{g(x)^2} \\ &= \left[\lim_{k\to 0} \frac{f(x+k)g(x) - f(x)g(x)}{k} - \lim_{k\to 0}\frac{f(x)g(x+k) - f(x)g(x)}{k} \right] \cdot \frac{1}{g(x)^2} \\ &= \left[\lim_{k\to 0} \frac{f(x+k) - f(x)}{k} \cdot g(x) - f(x) \cdot \lim_{k\to 0}\frac{g(x+k) - g(x)}{k} \right] \cdot \frac{1}{g(x)^2} \\ &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}. \end{align}$$सीमा मूल्यांकन $$\lim_{k \to 0}\frac{1}{g(x+k)g(x)}=\frac{1}{g(x)^2}$$ की भिन्नता द्वारा न्यायोचित है $$g(x)$$, निरंतरता का अर्थ है, जिसे इस रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\lim_{k \to 0}g(x+k) = g(x)$$.

अंतर्निहित विभेदन का उपयोग करके सबूत
होने देना $$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)},$$ इसलिए $$f(x) = g(x)h(x).$$ उत्पाद नियम तब देता है $$f'(x)=g'(x)h(x) + g(x)h'(x).$$ के लिए हल करना $$h'(x)$$ और के लिए वापस प्रतिस्थापित करना $$h(x)$$ देता है: $$\begin{align} h'(x) &= \frac{f'(x) -g'(x)h(x)}{g(x)} \\ &= \frac{f'(x) - g'(x)\cdot\frac{f(x)}{g(x)}}{g(x)} \\ &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}. \end{align}$$

व्युत्क्रम नियम या श्रृंखला नियम
का उपयोग करके सबूत होने देना $$h(x) = \frac{f(x)}{g(x)} = f(x) \cdot \frac{1}{g(x)}.$$ फिर उत्पाद नियम देता है$$h'(x) = f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x) \cdot \frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right].$$दूसरे कार्यकाल में व्युत्पन्न का मूल्यांकन करने के लिए, पारस्परिक नियम या श्रृंखला नियम के साथ शक्ति नियम लागू करें: $$\frac{d}{dx}\left[\frac{1}{g(x)}\right] = -\frac{1}{g(x)^2} \cdot g'(x) = \frac{-g'(x)}{g(x)^2}.$$ परिणाम को व्यंजक में प्रतिस्थापित करने पर प्राप्त होता है$$\begin{align} h'(x) &= f'(x)\cdot\frac{1}{g(x)} + f(x)\cdot\left[\frac{-g'(x)}{g(x)^2}\right] \\ &= \frac{f'(x)}{g(x)} - \frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2} \\ &= \frac{f'(x)g(x) - f(x)g'(x)}{g(x)^2}. \end{align}$$

लघुगणकीय विभेदीकरण द्वारा प्रमाण
होने देना $$h(x)=\frac{f(x)}{g(x)}.$$ समीकरण के दोनों पक्षों का निरपेक्ष मान और प्राकृतिक लघुगणक लेने पर प्राप्त होता है$$\ln|h(x)|=\ln\left|\frac{f(x)}{g(x)}\right|$$निरपेक्ष मान और लघुगणक के गुणों को लागू करना,$$\ln|h(x)|=\ln|f(x)|-\ln|g(x)|$$दोनों पक्षों का लघुगणक व्युत्पन्न लेने पर, $$\frac{h'(x)}{h(x)}=\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}$$के लिए हल करना $$h'(x)$$ और वापस प्रतिस्थापित करना $$f(x)/g(x)$$ के लिए $$h(x)$$ देता है:$$\begin{align} h'(x)&=h(x)\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\ &=\frac{f(x)}{g(x)}\left[\frac{f'(x)}{f(x)}-\frac{g'(x)}{g(x)}\right]\\ &=\frac{f'(x)}{g(x)}-\frac{f(x)g'(x)}{g(x)^2}\\ &=\frac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{g(x)^2}. \end{align}$$नोट: कार्यों के पूर्ण मूल्य को लेना आवश्यक है ताकि कार्यों के लॉगरिदमिक भेदभाव को नकारात्मक मान हो सकें, क्योंकि लॉगरिदम केवल सकारात्मक तर्कों के लिए परिभाषित किए जाते हैं। यह काम करता है क्योंकि $$\tfrac{d}{dx}(\ln|u|)=\tfrac{u'}{u}$$, जो लॉगरिदमिक भेदभाव के लिए कार्यों का पूर्ण मूल्य लेने का औचित्य साबित करता है।

उच्च क्रम डेरिवेटिव्स
गणना करने के लिए अंतर्निहित भेदभाव का उपयोग किया जा सकता है n}भागफल का वें व्युत्पन्न (आंशिक रूप से इसके पहले के संदर्भ में $n &minus; 1$ डेरिवेटिव)। उदाहरण के लिए, भेद करना $$f=gh$$ दो बार (परिणामस्वरूप $$f = gh + 2g'h' + gh$$) और उसके बाद के लिए हल करना $$h$$ पैदावार$$h = \left(\frac{f}{g}\right) = \frac{f-gh-2g'h'}{g}.$$