65537-गॉन

ज्यामिति में, एक 65537-गॉन एक बहुभुज है जिसमें 65,537 (216 + 1) भुजाएँ। स्वयं-प्रतिच्छेदी बहुभुजों की किसी भी गैर-सूची के आंतरिक कोणों का योग|स्व-प्रतिच्छेदी 11796300° है।

नियमित 65537-गॉन
एक नियमित का क्षेत्र के साथ है )
 * $$A = \frac{65537}{4} t^2 \cot \frac{\pi}{65537}$$

एक संपूर्ण नियमित बहुभुज एक वृत्त से दृष्टिगोचर नहीं है, और इसकी परिधि परिबद्ध वृत्त से लगभग 15 भागों प्रति बिलियन से भिन्न है।

निर्माण
एक रचनात्मक बहुभुज होने के लिए नियमित 65537-गॉन (सभी पक्षों के समान और सभी कोण समान) रुचि का है: अर्थात, इसे एक कम्पास और एक अचिह्नित सीधा किनारा का उपयोग करके बनाया जा सकता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि 65,537 एक फर्मेट प्राइम है, जो फॉर्म 2 का है2 n  + 1 (इस मामले में n = 4)। इस प्रकार, मान $$\cos \frac{\pi}{65537}$$ और $$\cos \frac{2\pi}{65537}$$ हैं 32768-एक बहुपद बीजगणितीय संख्या की डिग्री, और किसी भी रचनात्मक संख्या की तरह, उन्हें वर्गमूल के रूप में लिखा जा सकता है और उच्च-क्रम की जड़ों के रूप में नहीं।

यद्यपि यह 1801 तक कार्ल फ्रेडरिक गॉस को ज्ञात था कि नियमित 65537-गॉन रचनात्मक था, नियमित 65537-गॉन का पहला स्पष्ट निर्माण जोहान गुस्ताव हेमीज़ (1894) द्वारा दिया गया था। निर्माण बहुत जटिल है; हेमीज़ ने 200 पन्नों की पांडुलिपि को पूरा करने में 10 साल लगाए। एक अन्य विधि में अधिकतम 1332 कार्लाइल हलकों का उपयोग शामिल है, और इस विधि के पहले चरण नीचे चित्रित किए गए हैं। यह विधि व्यावहारिक समस्याओं का सामना करती है, क्योंकि इनमें से एक कार्लाइल वृत्त द्विघात समीकरण x को हल करता है2 + x − 16384 = 0 (16384 2 होने के नाते14).



समरूपता
नियमित 65537-गॉन में डायहेड्रल समरूपता है। डीह65537 सममिति, क्रम 131074। चूँकि 65,537 एक अभाज्य संख्या है, द्वितल सममिति वाला एक उपसमूह है: Dih1, और 2 चक्रीय समूह समरूपता: Z65537, और जेड1.

65537-ग्राम
एक 65537-ग्राम एक 65,537-भुजाओं वाला तारा बहुभुज है। जैसा कि 65,537 प्राइम है, सभी पूर्णांक 2 ≤ n ≤ 32768 के लिए Schläfli प्रतीकों {65537/n} द्वारा उत्पन्न 32,767 नियमित रूप हैं $$\left\lfloor \frac{65537}{2} \right\rfloor = 32768$$.

यह भी देखें

 * घेरा
 * समान भुजाओं वाला त्रिकोण
 * पंचकोण
 * हेप्टाडेकागन (17-पक्ष)
 * 257-गॉन

ग्रन्थसूची

 * Robert Dixon Mathographics. New York: Dover, p. 53, 1991.
 * Benjamin Bold, Famous Problems of Geometry and How to Solve Them New York: Dover, p. 70, 1982. ISBN 978-0486242972
 * H. S. M. Coxeter Introduction to Geometry, 2nd ed. New York: Wiley, 1969. Chapter 2, Regular polygons
 * Leonard Eugene Dickson Constructions with Ruler and Compasses; Regular Polygons Ch. 8 in Monographs on Topics of Modern Mathematics
 * Relevant to the Elementary Field (Ed. J. W. A. Young). New York: Dover, pp. 352–386, 1955.
 * Relevant to the Elementary Field (Ed. J. W. A. Young). New York: Dover, pp. 352–386, 1955.

बाहरी संबंध

 * 65537-gon mathematik-olympiaden.de (German), with images of the documentation HERMES; retrieved on July 9, 2018
 * Wikibooks 65573-Eck (German) Approximate construction of the first side in two main steps
 * 65537-gon, exact construction for the 1st side, using the Quadratrix of Hippias and GeoGebra as additional aids, with brief description (German)