विल्सन लूप

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, विल्सन लूप बंद लूप (टोपोलॉजी) के आसपास गेज चर के समानांतर परिवहन से उत्पन्न होने वाले गेज सिद्धांत ऑपरेटरों का परिचय हैं। वे सिद्धांत की सभी गेज जानकारी को एन्कोड करते हैं, जिससे गेज सिद्धांतों और क्वांटम गुरुत्व में लूप प्रतिनिधित्व के निर्माण की अनुमति मिलती है जो इन लूपों के संदर्भ में गेज सिद्धांत का पूरी तरह से वर्णन करता है। शुद्ध गेज सिद्धांत में वे रंग कारावास के लिए ऑर्डर ऑपरेटरों की भूमिका निभाते हैं, जहां वे उस चीज़ को पूरा करते हैं जिसे क्षेत्र कानून के रूप में जाना जाता है। मूल रूप से 1974 में केनेथ जी. विल्सन द्वारा तैयार किए गए, इनका उपयोग लिंक और प्लैकेट के निर्माण के लिए किया गया था जो जाली गेज सिद्धांत में मूलभूत पैरामीटर हैं। विल्सन लूप्स लूप ऑपरेटर (भौतिकी) के व्यापक वर्ग में आते हैं, कुछ अन्य उल्लेखनीय उदाहरण हैं 'टी हूफ्ट लूप्स, जो विल्सन लूप्स के लिए चुंबकीय दोहरे हैं, और पॉलाकोव लूप्स, जो विल्सन लूप्स का थर्मल संस्करण हैं।

परिभाषा
गेज सिद्धांत में विल्सन लूप्स को ठीक से परिभाषित करने के लिए गेज सिद्धांतों के गेज सिद्धांत (गणित) पर विचार करने की आवश्यकता है। यहां प्रत्येक बिंदु के लिए $$d$$-आयामी अंतरिक्ष समय  $$M$$ गेज समूह की एक प्रति है $$G$$ जिसे फ़ाइबर बंडल के फ़ाइबर के रूप में जाना जाता है। इन फाइबर बंडलों को प्रमुख बंडल कहा जाता है। स्थानीय रूप से परिणामी स्थान जैसा दिखता है $$\mathbb R^d \times G$$ हालाँकि विश्व स्तर पर इसमें कुछ मुड़ी हुई संरचना हो सकती है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि विभिन्न रेशे एक साथ कैसे चिपके हुए हैं।

विल्सन रेखाएँ जिस समस्या का समाधान करती हैं वह यह है कि दो अलग-अलग स्पेसटाइम बिंदुओं पर तंतुओं पर बिंदुओं की तुलना कैसे की जाए। यह सामान्य सापेक्षता में समानांतर परिवहन के अनुरूप है जो विभिन्न बिंदुओं पर स्पर्शरेखा स्थानों में रहने वाले स्पर्शरेखा वैक्टर की तुलना करता है। प्रमुख बंडलों के लिए एक कनेक्शन (गणित) की शुरूआत के माध्यम से विभिन्न फाइबर बिंदुओं की तुलना करने का एक प्राकृतिक तरीका है, जो एक गेज फ़ील्ड शुरू करने के बराबर है। ऐसा इसलिए है क्योंकि कनेक्शन मुख्य बंडल के स्पर्शरेखा स्थान को दो उप-स्थानों में अलग करने का एक तरीका है, जिन्हें ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज बंडल और क्षैतिज उप-स्थान के रूप में जाना जाता है। पूर्व में फाइबर की ओर इशारा करने वाले सभी वैक्टर शामिल हैं $$G$$ जबकि उत्तरार्द्ध में वेक्टर होते हैं जो फाइबर के लंबवत होते हैं। यह विभिन्न स्पेसटाइम बिंदुओं पर फाइबर मानों की तुलना उन्हें मुख्य बंडल में वक्रों से जोड़कर करने की अनुमति देता है, जिनके स्पर्शरेखा वैक्टर हमेशा क्षैतिज उपस्थान में रहते हैं, इसलिए वक्र हमेशा किसी भी दिए गए फाइबर के लंबवत होता है।

यदि शुरुआती फाइबर समन्वय पर है $$x_i$$ पहचान के शुरुआती बिंदु के साथ $$g_i=e$$, फिर यह देखने के लिए कि किसी अन्य स्पेसटाइम समन्वय में जाने पर यह कैसे बदलता है $$x_f$$, किसी को कुछ स्पेसटाइम वक्र पर विचार करने की आवश्यकता है $$\gamma:[0,1]\rightarrow M$$ बीच में $$x_i$$ और $$x_f$$. मुख्य बंडल में संगत वक्र, जिसे एह्रेसमैन कनेक्शन के रूप में जाना जाता है $$\gamma(t)$$, वक्र है $$\tilde \gamma(t)$$ ऐसा है कि $$\tilde \gamma(0) = g_i$$ और यह कि इसके स्पर्शरेखा सदिश सदैव क्षैतिज उपस्थान में स्थित होते हैं। गेज सिद्धांत के फाइबर बंडल सूत्रीकरण से पता चलता है कि लाई बीजगणित|लाई-बीजगणित गेज क्षेत्र को महत्व देता है $$A_\mu(x) = A^a_\mu(x)T^a$$ उस कनेक्शन के समतुल्य है जो क्षैतिज उपस्थान को परिभाषित करता है, इसलिए यह क्षैतिज लिफ्ट के लिए एक अंतर समीकरण की ओर ले जाता है



i\frac{dg(t)}{dt} = A_\mu(x)\frac{dx^\mu}{dt} g(t). $$ इसका एक अनोखा औपचारिक समाधान है जिसे दो बिंदुओं के बीच विल्सन रेखा कहा जाता है



g_f(t_f) = W[x_i, x_f] = \mathcal P\exp\bigg( i \int_{x_i}^{x_f}A_\mu dx^\mu \bigg), $$ कहाँ $$\mathcal P$$ पथ क्रम|पाथ-ऑर्डरिंग ऑपरेटर है, जो एबेलियन समूह सिद्धांतों के लिए अनावश्यक है। पहचान के अलावा कुछ प्रारंभिक फाइबर बिंदु पर शुरू होने वाली क्षैतिज लिफ्ट को केवल मूल क्षैतिज लिफ्ट के प्रारंभिक तत्व द्वारा गुणा की आवश्यकता होती है। अधिक सामान्यतः, यह माना जाता है कि यदि $$\tilde \gamma'(0) = \tilde \gamma(0)g$$ तब $$\tilde \gamma'(t) = \tilde \gamma(t)g$$ सभी के लिए $$t\geq0$$.

एक समरूपता के तहत (भौतिकी)#स्थानीय और वैश्विक $$g(x)$$ विल्सन रेखा के रूप में रूपांतरित होती है



W[x_i, x_f] \rightarrow g(x_f) W[x_i, x_f] g^{-1}(x_i). $$ इस गेज परिवर्तन गुण का उपयोग अक्सर पदार्थ क्षेत्रों की उपस्थिति में विल्सन लाइन को सीधे पेश करने के लिए किया जाता है $$\phi(x)$$ गेज समूह के मौलिक प्रतिनिधित्व में परिवर्तन, जहां विल्सन लाइन एक ऑपरेटर है जो संयोजन बनाती है $$\phi(x_i)^\dagger W[x_i,x_f]\phi(x_f)$$ गेज अपरिवर्तनीय. यह गेज अपरिवर्तनीय तरीके से विभिन्न बिंदुओं पर पदार्थ क्षेत्र की तुलना करने की अनुमति देता है। वैकल्पिक रूप से, विल्सन लाइनों को गेज समूह के तहत चार्ज किए गए एक असीम रूप से भारी परीक्षण कण को ​​जोड़कर भी पेश किया जा सकता है। इसका चार्ज एक परिमाणित आंतरिक हिल्बर्ट स्थान  बनाता है, जिसे एकीकृत किया जा सकता है, जिससे परीक्षण कण की विश्व-रेखा के रूप में विल्सन रेखा प्राप्त होती है। क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में यह काम करता है कि सिद्धांत में वास्तव में कोई पदार्थ सामग्री है या नहीं। हालाँकि, स्वैम्प्लैंड (भौतिकी) जिसे पूर्णता अनुमान के रूप में जाना जाता है, का दावा है कि क्वांटम गुरुत्व के एक सुसंगत सिद्धांत में, प्रत्येक विल्सन रेखा और डायराक परिमाणीकरण स्थिति के अनुरूप एक विशेष चार्ज की 'टी हूफ्ट लाइन में उस चार्ज का एक संबंधित कण मौजूद होना चाहिए। सिद्धांत में. अनंत द्रव्यमान सीमा लेकर इन कणों को अलग करना अब काम नहीं करेगा क्योंकि इससे ब्लैक होल बनेंगे।

बंद विल्सन रेखाओं का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) एक गेज अपरिवर्तनीय मात्रा है जिसे विल्सन लूप के रूप में जाना जाता है

गणितीय रूप से ट्रेस के भीतर शब्द को होलोनोमी  के रूप में जाना जाता है, जो एक बंद लूप के साथ क्षैतिज लिफ्ट पर फाइबर के  स्वचालितता  का वर्णन करता है। सभी होलोनॉमीज़ का सेट स्वयं एक समूह (गणित) बनाता है, जो प्रमुख बंडलों के लिए गेज समूह का एक उपसमूह होना चाहिए। विल्सन लूप्स पुनर्निर्माण संपत्ति को संतुष्ट करते हैं जहां सभी संभावित लूपों के लिए विल्सन लूप्स के सेट को जानने से गेज कनेक्शन के बारे में सभी गेज अपरिवर्तनीय जानकारी के पुनर्निर्माण की अनुमति मिलती है। औपचारिक रूप से सभी विल्सन लूपों का सेट गॉस कानून बाधा के समाधान का एक अतिपूर्णता आधार (रैखिक बीजगणित) बनाता है।

सभी विल्सन लाइनों का सेट गेज समूह के समूह प्रतिनिधित्व के साथ एक-से-एक पत्राचार में है। इसे गेज समूह के वजन (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) का उपयोग करके लाई बीजगणित भाषा के संदर्भ में पुन: तैयार किया जा सकता है $$\Lambda_w$$. इस मामले में विल्सन लूप के प्रकार एक-से-एक पत्राचार में हैं $$\Lambda_w/W$$ कहाँ $$W$$ वेइल समूह है.

हिल्बर्ट अंतरिक्ष ऑपरेटर
विल्सन लूप्स का एक वैकल्पिक दृष्टिकोण उन्हें मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में राज्यों के हिल्बर्ट स्थान पर कार्य करने वाले ऑपरेटरों के रूप में मानना ​​है। चूंकि हिल्बर्ट स्पेस एक ही टाइम स्लाइस पर रहता है, एकमात्र विल्सन लूप जो इस स्पेस पर ऑपरेटर के रूप में कार्य कर सकते हैं, वे कारण संरचना लूप का उपयोग करके बनाए गए हैं। ऐसे ऑपरेटर $$W[\gamma]$$ विद्युत प्रवाह का एक बंद लूप बनाएं, जिसे विद्युत क्षेत्र ऑपरेटर को नोट करके देखा जा सकता है $$E^i$$ लूप पर शून्येतर है $$E^iW[\gamma]|0\rangle \neq 0$$ लेकिन यह हर जगह गायब हो जाता है। स्टोक्स प्रमेय का उपयोग करते हुए यह निम्नानुसार है कि स्थानिक लूप लूप के माध्यम से चुंबकीय प्रवाह को मापता है।

ऑर्डर ऑपरेटर
चूँकि टेम्पोरल विल्सन रेखाएँ असीम रूप से भारी स्थिर क्वार्क द्वारा बनाए गए विन्यास से मेल खाती हैं, विल्सन लूप एक आयताकार लूप से जुड़ा होता है $$\gamma$$ लंबाई के दो अस्थायी घटकों के साथ $$T$$ और लंबाई के दो स्थानिक घटक $$r$$, निश्चित पृथक्करण पर क्वार्क-एंटीक्वार्क जोड़ी के रूप में व्याख्या की जा सकती है। बड़े समय में विल्सन लूप का निर्वात प्रत्याशा मूल्य जमीनी अवस्था के साथ राज्य से बाहर प्रोजेक्ट करता है, जो संभावित ऊर्जा है $$V(r)$$ क्वार्कों के बीच. ऊर्जा से उत्साहित हैं $$V(r)+\Delta E$$ समय के साथ तेजी से दबा दिया जाता है और इसलिए अपेक्षा का मूल्य बढ़ जाता है



\langle W[\gamma]\rangle \sim e^{-TV(r)}(1+\mathcal O(e^{-T\Delta E})), $$ क्वार्क जोड़े के बीच क्षमता की गणना के लिए विल्सन लूप को उपयोगी बनाना। यह क्षमता आवश्यक रूप से क्वार्क पृथक्करण का एक मोनोटोनिक फ़ंक्शन और अवतल फ़ंक्शन होनी चाहिए। चूँकि स्पेसलाइक विल्सन लूप मौलिक रूप से टेम्पोरल लूप से भिन्न नहीं हैं, क्वार्क क्षमता वास्तव में शुद्ध यांग-मिल्स सिद्धांत संरचना से सीधे संबंधित है और यह पदार्थ की सामग्री से स्वतंत्र एक घटना है। एलिट्ज़ुर का प्रमेय यह सुनिश्चित करता है कि स्थानीय गैर-गेज अपरिवर्तनीय ऑपरेटरों के पास गैर-शून्य अपेक्षा मान नहीं हो सकते हैं। इसके बजाय किसी को कारावास के लिए ऑर्डर पैरामीटर के रूप में गैर-स्थानीय गेज इनवेरिएंट ऑपरेटरों का उपयोग करना चाहिए। विल्सन लूप शुद्ध यांग-मिल्स सिद्धांत में बिल्कुल ऐसा ऑर्डर पैरामीटर है, जहां सीमित चरण (पदार्थ) में इसकी अपेक्षा मूल्य क्षेत्र कानून का पालन करता है

\langle W[\gamma]\rangle \sim e^{-aA[\gamma]} $$ एक लूप के लिए जो एक क्षेत्र को घेरता है $$A[\gamma]$$. यह असीम रूप से भारी परीक्षण क्वार्कों के बीच की क्षमता से प्रेरित है जिसके कारावास चरण में रैखिक रूप से बढ़ने की उम्मीद है $$V(r) \sim \sigma r$$ कहाँ $$\sigma$$ स्ट्रिंग तनाव के रूप में जाना जाता है। इस बीच, हिग्स चरण में अपेक्षा मूल्य परिधि कानून का पालन करता है



\langle W[\gamma]\rangle \sim e^{-bL[\gamma]}, $$ कहाँ $$L[\gamma]$$ लूप की परिधि लंबाई है और $$b$$ कुछ स्थिरांक है. विल्सन लूप के क्षेत्र कानून का उपयोग कुछ निम्न आयामी सिद्धांतों में सीधे कारावास को प्रदर्शित करने के लिए किया जा सकता है, जैसे कि श्विंगर मॉडल के लिए जिसका कारावास एक पल  द्वारा संचालित होता है।

जाली सूत्रीकरण
जाली क्षेत्र सिद्धांत में, विल्सन रेखाएं और लूप जाली (समूह) पर गेज फ़ील्ड तैयार करने में एक मौलिक भूमिका निभाते हैं। जाली पर सबसे छोटी विल्सन रेखाएं, जो दो आसन्न जाली बिंदुओं के बीच होती हैं, उन्हें लिंक के रूप में जाना जाता है, जिसमें एक ही लिंक जाली बिंदु से शुरू होता है $$n$$ में जा रहा हूँ $$\mu$$ दिशा द्वारा सूचित $$U_\mu(n)$$. एक ही वर्ग के चारों ओर चार कड़ियों को प्लैकेट के रूप में जाना जाता है, जिनके निशान सबसे छोटे विल्सन लूप का निर्माण करते हैं। यह ये पट्टिकाएं हैं जिनका उपयोग जाली गेज क्रिया के निर्माण के लिए किया जाता है जिसे विल्सन क्रिया के रूप में जाना जाता है। बड़े विल्सन लूप को कुछ लूप के साथ लिंक वेरिएबल के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया जाता है $$\gamma$$, द्वारा चिह्नित

L[U] = \text{tr} \bigg[\prod_{n \in \gamma} U_\mu(n)\bigg]. $$ इन विल्सन लूप्स का उपयोग कारावास और क्वार्क क्षमता कम्प्यूटेशनल भौतिकी का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। विल्सन लूप्स के रैखिक संयोजनों का उपयोग इंटरपोलिंग ऑपरेटरों के रूप में भी किया जाता है जो गोंद का गोला  को जन्म देते हैं। फिर इन प्रक्षेपकों के बीच सहसंबंध फ़ंक्शन (क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत) से ग्लूबॉल द्रव्यमान को निकाला जा सकता है। विल्सन लूप्स का जाली सूत्रीकरण युग्मन स्थिरांक#कमजोर और मजबूत युग्मन चरण में कारावास के एक विश्लेषणात्मक प्रदर्शन की भी अनुमति देता है, जहां क्वार्क लूप की उपेक्षा की जाती है, वहां बुझती सन्निकटन को माना जाता है। यह विल्सन क्रिया को प्लैकेट के निशानों की एक शक्ति श्रृंखला के रूप में विस्तारित करके किया जाता है, जहां विल्सन लूप की अपेक्षा मूल्य में पहला गैर-लुप्त होने वाला शब्द है $$\text{SU}(3)$$ गेज सिद्धांत प्रपत्र के स्ट्रिंग तनाव के साथ एक क्षेत्र कानून को जन्म देता है

\sigma = - \frac{1}{a^2}\ln \bigg(\frac{\beta}{18}\bigg)(1+\mathcal O(\beta)), $$ कहाँ $$\beta =6/g^2$$ व्युत्क्रम युग्मन स्थिरांक है और $$a$$ जाली का अंतर है. हालांकि यह तर्क एबेलियन और गैर-एबेलियन दोनों मामलों के लिए मान्य है, कॉम्पैक्ट बिजली का गतिविज्ञान  केवल मजबूत युग्मन पर कारावास प्रदर्शित करता है, जिसमें कूलम्ब चरण में एक चरण संक्रमण होता है। $$\beta \sim 1.01$$, कमजोर युग्मन पर सिद्धांत को असंबद्ध छोड़ दिया गया।  ऐसा चरण परिवर्तन अस्तित्व में नहीं माना जाता है $$\text{SU}(N)$$ सिद्धांतों को पूर्ण शून्य पर मापें, इसके बजाय वे युग्मन स्थिरांक के सभी मूल्यों पर कारावास प्रदर्शित करते हैं।

मेकेनको-मिगडाल लूप समीकरण
कार्यात्मक व्युत्पन्न के समान जो कार्यात्मक (गणित) पर कार्य करता है, लूप के कार्य दो प्रकार के व्युत्पन्न स्वीकार करते हैं जिन्हें क्षेत्र व्युत्पन्न और परिधि व्युत्पन्न कहा जाता है। पूर्व को परिभाषित करने के लिए, एक रूपरेखा पर विचार करें $$\gamma$$ और दूसरा समोच्च $$\gamma_{\delta \sigma_{\mu\nu}}$$ जो समान रूपरेखा है लेकिन एक अतिरिक्त छोटे लूप के साथ $$x$$ में $$\mu$$-$$\nu$$ क्षेत्र के साथ विमान $$\delta \sigma_{\mu\nu}=dx_\mu \wedge dx_\nu$$. फिर लूप कार्यात्मक का क्षेत्र व्युत्पन्न $$F[\gamma]$$ सामान्य व्युत्पन्न के समान विचार के माध्यम से परिभाषित किया गया है, दो लूपों के कार्यात्मक के बीच सामान्यीकृत अंतर के रूप में

\frac{\delta F[\gamma]}{\delta \sigma_{\mu\nu}(x)} = \frac{1}{\delta \sigma_{\mu\nu}(x)}[F[\gamma_{\delta \sigma_{\mu\nu}}]-F[\gamma]]. $$ परिधि व्युत्पन्न को अब इसी प्रकार परिभाषित किया गया है $$\gamma_{\delta x_\mu}$$ समोच्च का एक मामूली विरूपण है $$\gamma$$ जो स्थिति में है $$x$$ लंबाई का एक छोटा सा एक्सट्रूडिंग लूप है $$\delta x_\mu$$ में $$\mu$$ दिशा और शून्य क्षेत्र का. परिधि व्युत्पन्न $$\partial_\mu^x$$ लूप फ़ंक्शनल को तब परिभाषित किया जाता है



\partial_\mu^x F[\gamma] = \frac{1}{\delta x_\mu}[F[\gamma_{\delta x_\mu}]-F[\gamma]]. $$ 1/एन विस्तार|बड़ी एन-सीमा में, विल्सन लूप वैक्यूम अपेक्षा मूल्य एक बंद कार्यात्मक रूप समीकरण को संतुष्ट करता है जिसे माकेएन्को-मिगडाल समीकरण कहा जाता है।

\partial^x_\mu \frac{\delta}{\delta \sigma_{\mu\nu}(x)}\langle W[\gamma]\rangle = g^2 N \oint_\gamma dy_\nu \delta^{(D)}(x-y) \langle W[\gamma_{yx}]\rangle \langle W[\gamma_{xy}]\rangle. $$ यहाँ $$\gamma = \gamma_{xy}\cup \gamma_{yx}$$ साथ $$\gamma_{xy}$$ एक ऐसी रेखा होना जो बंद नहीं होती $$x$$ को $$y$$हालाँकि, दोनों बिंदु एक-दूसरे के करीब हैं। समीकरण को परिमित के लिए भी लिखा जा सकता है $$N$$, लेकिन इस मामले में यह गुणनखंडन नहीं करता है और इसके बजाय विल्सन लूप के उत्पादों के अपेक्षा मूल्यों की ओर ले जाता है, न कि उनकी अपेक्षा मूल्यों के उत्पाद के। यह श्विंगर-डायसन समीकरणों के अनुरूप, विभिन्न विल्सन लूप अपेक्षा मूल्यों के लिए युग्मित समीकरणों की एक अनंत श्रृंखला को जन्म देता है। मेकेनको-मिगडाल समीकरण को बिल्कुल द्वि-आयामी में हल किया गया है $$\text{U}(\infty)$$ लिखित।

मंडेलस्टैम पहचान
गेज समूह जो के संदर्भ में मौलिक प्रतिनिधित्व स्वीकार करते हैं $$N\times N$$ मैट्रिक्स में विल्सन लूप होते हैं जो मंडेलस्टैम पहचान नामक पहचानों के एक सेट को संतुष्ट करते हैं, ये पहचान अंतर्निहित गेज समूह के विशेष गुणों को दर्शाती हैं। पहचान दो या दो से अधिक सबलूप से बने लूप पर लागू होती है $$\gamma = \gamma_2 \circ \gamma_1$$ पहले चारों ओर घूमने से एक लूप बनता है $$\gamma_1$$ और फिर चारों ओर घूमना $$\gamma_2$$.

पहली तरह की मंडेलस्टैम पहचान यह बताती है $$W[\gamma_1\circ \gamma_2] = W[\gamma_2 \circ \gamma_1]$$, किसी भी आयाम में किसी भी गेज समूह के लिए इस होल्डिंग के साथ। दूसरे प्रकार की मंडेलस्टैम पहचानें इसे नोट करके प्राप्त की जाती हैं $$N$$ आयाम, किसी भी वस्तु के साथ $$N+1$$ एंटीसिमेट्रिक टेंसर इंडेक्स गायब हो जाता है, जिसका अर्थ है $$\delta^{a_1}_{[b_1}\delta^{a_2}_{b_2}\cdots \delta^{a_{N+1}}_{b_{N+1}]} = 0$$. मौलिक प्रतिनिधित्व में, विल्सन लूप बनाने के लिए उपयोग की जाने वाली होलोनोमी हैं $$N\times N$$ गेज समूहों का मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व। करार $$N+1$$ क्रोनकर डेल्टा के साथ होलोनोमी विल्सन लूप के बीच पहचान का एक सेट उत्पन्न करती है। इन्हें वस्तुओं के संदर्भ में लिखा जा सकता है $$M_K$$ इसे पुनरावृत्त रूप से परिभाषित किया गया है $$M_1[\gamma] = W[\gamma]$$ और



(K+1)M_{K+1}[\gamma_1, \dots, \gamma_{K+1}] = W[\gamma_{K+1}]M_K[\gamma_1,\dots, \gamma_K] - M_K[\gamma_1 \circ \gamma_{K+1},\gamma_2, \dots, \gamma_K] -\cdots - M_K[\gamma_1, \gamma_2, \dots, \gamma_K\circ \gamma_{K+1}]. $$ इस अंकन में दूसरे प्रकार की मंडेलस्टम पहचान हैं

M_{N+1}[\gamma_1, \dots, \gamma_{N+1}] = 0. $$ उदाहरण के लिए, ए के लिए $$\text{U}(1)$$ गेज समूह यह देता है $$W[\gamma_1]W[\gamma_2] = W[\gamma_1\circ \gamma_2]$$.

यदि मौलिक निरूपण इकाई निर्धारक के आव्यूह हैं, तो यह उसे भी मानता है $$M_N(\gamma, \dots, \gamma)=1$$. उदाहरण के लिए, इस पहचान को लागू करना $$\text{SU}(2)$$ देता है



W[\gamma_1]W[\gamma_2] = W[\gamma_1\circ \gamma_2^{-1}]+W[\gamma_1\circ \gamma_2]. $$ एकात्मक मैट्रिक्स से युक्त मौलिक निरूपण संतुष्ट करते हैं $$W[\gamma] = W^*[\gamma^{-1}]$$. इसके अलावा, जबकि समानता $$W[I] = N$$ मौलिक अभ्यावेदन में यह सभी गेज समूहों के लिए है, एकात्मक समूहों के लिए भी यह यही है $$|W[\gamma]|\leq N$$.

पुनर्सामान्यीकरण
चूंकि विल्सन लूप गेज फ़ील्ड के संचालक हैं, इसलिए अंतर्निहित यांग-मिल्स सिद्धांत फ़ील्ड और कपलिंग का नियमितीकरण (भौतिकी) और पुनर्सामान्यीकरण विल्सन लूप को अतिरिक्त पुनर्सामान्यीकरण सुधार की आवश्यकता से नहीं रोकता है। पुनर्सामान्यीकृत यांग-मिल्स सिद्धांत में, विल्सन लूप को पुनर्सामान्यीकृत करने का विशेष तरीका विचाराधीन लूप की ज्यामिति पर निर्भर करता है। मुख्य विशेषताएं हैं
 * चिकना गैर-प्रतिच्छेदी वक्र: इसमें केवल समोच्च के आनुपातिक रैखिक विचलन हो सकते हैं जिन्हें गुणात्मक पुनर्सामान्यीकरण के माध्यम से हटाया जा सकता है।
 * पुच्छल (विलक्षणता) के साथ गैर-प्रतिच्छेदी वक्र: प्रत्येक पुच्छल के परिणामस्वरूप एक अतिरिक्त स्थानीय गुणक पुनर्सामान्यीकरण कारक होता है $$Z[\phi]$$ यह पुच्छल कोण पर निर्भर करता है $$\phi$$.
 * स्व-प्रतिच्छेदन: इससे पूर्ण लूप और सबलूप से जुड़े विल्सन लूप के बीच ऑपरेटर मिश्रण होता है।
 * हल्के समान खंड: ये अतिरिक्त लघुगणकीय विचलन को जन्म देते हैं।

प्रकीर्णन आयाम
विल्सन लूप प्रकीर्णन आयाम के सिद्धांत में एक भूमिका निभाते हैं जहां उनके और विशेष प्रकार के प्रकीर्णन आयामों के बीच द्वैत का एक सेट पाया गया है। इन्हें सबसे पहले AdS/CFT पत्राचार का उपयोग करके मजबूत युग्मन पर सुझाया गया है। उदाहरण के लिए, में $$\mathcal N=4$$ एन = 4 सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत|सुपरसिमेट्रिक यांग-मिल्स सिद्धांत एमएचवी आयाम एक वृक्ष-स्तरीय घटक और एक लूप स्तर सुधार में कारक होते हैं। यह लूप स्तर सुधार कणों की हेलीसिटी (कण भौतिकी) पर निर्भर नहीं करता है, लेकिन यह बड़े पैमाने पर कुछ बहुभुज विल्सन लूपों के लिए दोहरा पाया गया था $$N$$ सीमा, परिमित शर्तों तक। हालाँकि यह द्वंद्व शुरू में केवल अधिकतम हेलीसिटी उल्लंघन मामले में सुझाया गया था, ऐसे तर्क हैं कि इसे विल्सन लूप के उपयुक्त अतिसममिति सामान्यीकरण को परिभाषित करके सभी हेलीसिटी कॉन्फ़िगरेशन तक बढ़ाया जा सकता है।

स्ट्रिंग सिद्धांत कॉम्पेक्टिफिकेशन
संघनन (भौतिकी)भौतिकी) सिद्धांतों में, शून्य मोड गेज फ़ील्ड बताता है कि स्थानीय रूप से शुद्ध गेज कॉन्फ़िगरेशन हैं लेकिन वैक्यूम के लिए विश्व स्तर पर असमान हैं, कॉम्पैक्ट दिशा में बंद विल्सन लाइनों द्वारा पैरामीटर किए गए हैं। कॉम्पैक्टिफाइड स्ट्रिंग (भौतिकी) स्ट्रिंग सिद्धांत पर इनकी उपस्थिति टी-द्वैत के तहत गैर-संयोग डी-brane  | डी-ब्रेन वाले सिद्धांत के बराबर है, जिसका पृथक्करण विल्सन लाइनों द्वारा निर्धारित किया जाता है। विल्सन लाइनें  कक्षीय  कॉम्पेक्टिफिकेशन में भी भूमिका निभाती हैं, जहां उनकी उपस्थिति से गेज समरूपता टूटने पर अधिक नियंत्रण होता है, जो अंतिम अखंड गेज समूह पर बेहतर नियंत्रण प्रदान करता है और कॉम्पेक्टिफिकेशन के बाद छोड़े गए पदार्थ मल्टीप्लेट्स की संख्या को नियंत्रित करने के लिए एक तंत्र भी प्रदान करता है। ये गुण विल्सन रेखाओं को सुपरस्ट्रिंग सिद्धांतों के संघनन में महत्वपूर्ण बनाते हैं।

सामयिक क्षेत्र सिद्धांत
टोपोलॉजिकल क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, विल्सन लूप का अपेक्षित मूल्य लूप के सुचारू विरूपण के तहत नहीं बदलता है क्योंकि फ़ील्ड सिद्धांत मीट्रिक (गणित) पर निर्भर नहीं करता है। इस कारण से, विल्सन लूप इन सिद्धांतों में प्रमुख अवलोकन योग्य हैं और इसका उपयोग कई गुना  के वैश्विक गुणों की गणना करने के लिए किया जाता है। में $$2+1$$ आयाम वे गाँठ सिद्धांत से निकटता से संबंधित हैं, जिसमें लूप के उत्पाद का अपेक्षित मूल्य केवल कई गुना संरचना पर निर्भर करता है और लूप एक साथ कैसे बंधे हैं। इससे एडवर्ड विटेन द्वारा बनाए गए प्रसिद्ध संबंध का पता चला, जहां उन्होंने अपने विभाजन फ़ंक्शन (क्वांटम फ़ील्ड सिद्धांत) को गाँठ सिद्धांत के जोन्स बहुपदों से जोड़ने के लिए चेर्न-साइमन्स सिद्धांत में विल्सन लूप का उपयोग किया था।

यह भी देखें

 * स्टोकेस्टिक वैक्यूम मॉडल
 * घुमावदार संख्या