उपश्रेणी

गणित में, विशेष रूप से श्रेणी सिद्धांत, एक श्रेणी (गणित) की एक उपश्रेणी सी एक श्रेणी एस है जिसका ऑब्जेक्ट (श्रेणी सिद्धांत) सी में वस्तुएं हैं और जिसका रूपवाद  में रूपवाद है सी समान पहचान और आकारिकी की संरचना के साथ। सहज रूप से, सी की एक उपश्रेणी सी'' से उसकी कुछ वस्तुओं और तीरों को हटाकर प्राप्त की गई एक श्रेणी है।

औपचारिक परिभाषा
मान लीजिए C एक श्रेणी है। C की एक 'उपश्रेणी' S द्वारा दी गई है ऐसा है कि
 * सी की वस्तुओं का एक उपसंग्रह, जिसे ओबी(एस) कहा जाता है,
 * सी के आकारिकी का एक उपसंग्रह, होम(एस) दर्शाया गया है।
 * ओबी(एस) में प्रत्येक एक्स के लिए, पहचान रूपवाद आईडीX घर में है(एस),
 * होम(एस) में प्रत्येक रूपवाद एफ: एक्स → वाई के लिए, स्रोत एक्स और लक्ष्य वाई दोनों ओब(एस) में हैं,
 * होम(एस) में रूपवाद एफ और जी की प्रत्येक जोड़ी के लिए समग्र एफओजी होम(एस) में होता है जब भी इसे परिभाषित किया जाता है।

ये स्थितियाँ सुनिश्चित करती हैं कि S अपने आप में एक श्रेणी है: इसकी वस्तुओं का संग्रह ob(S) है, इसके आकारिकी का संग्रह hom(S) है, और इसकी पहचान और संरचना C के समान है। एक स्पष्ट पूर्ण और वफादार है ऑपरेटर फ़ैक्टर I: S → C, जिसे 'इनक्लूजन फ़ैक्टर' कहा जाता है जो वस्तुओं और आकारिकी को अपने पास ले जाता है।

मान लीजिए कि S, श्रेणी C की एक उपश्रेणी है। हम कहते हैं कि S, C की 'पूर्ण उपश्रेणी' है, यदि S की वस्तुओं X और Y के प्रत्येक जोड़े के लिए,
 * $$\mathrm{Hom}_\mathcal{S}(X,Y)=\mathrm{Hom}_\mathcal{C}(X,Y).$$

एक पूर्ण उपश्रेणी वह है जिसमें एस की वस्तुओं के बीच सी में सभी रूपवाद शामिल हैं। सी में वस्तुओं ए के किसी भी संग्रह के लिए, सी की एक अद्वितीय पूर्ण उपश्रेणी है जिसकी वस्तुएं ए में हैं।

उदाहरण

 * परिमित समुच्चय की श्रेणी समुच्चयों की श्रेणी की एक पूर्ण उपश्रेणी बनाती है।
 * वह श्रेणी जिसकी वस्तुएँ समुच्चय हैं और जिसकी आकृतियाँ द्विभाजन हैं, समुच्चयों की श्रेणी की एक गैर-पूर्ण उपश्रेणी बनाती हैं।
 * एबेलियन [[समूहों की श्रेणी]] समूहों की श्रेणी की एक पूर्ण उपश्रेणी बनाती है।
 * रिंग (गणित) की श्रेणी (जिसकी आकृतियाँ यूनिट (रिंग सिद्धांत) वलय समरूपता को संरक्षित करती हैं) Rng_(बीजगणित) की श्रेणी की एक गैर-पूर्ण उपश्रेणी बनाती हैं।
 * फ़ील्ड (गणित) K के लिए, K-वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी (बाएँ या दाएँ) K-मॉड्यूल (गणित) की श्रेणी की एक पूर्ण उपश्रेणी बनाती है।

एंबेडिंग
सी की एक उपश्रेणी एस को देखते हुए, समावेशन फ़ैक्टर I: S → C वस्तुओं पर एक वफादार फ़ैक्टर और इंजेक्शन दोनों है। यह पूर्ण फ़ंक्टर है यदि और केवल यदि S एक पूर्ण उपश्रेणी है।

कुछ लेखक 'एम्बेडिंग' को एक पूर्ण और वफादार फ़नकार के रूप में परिभाषित करते हैं। ऐसा फ़नकार आवश्यक रूप से समरूपता तक की वस्तुओं पर इंजेक्टिव होता है। उदाहरण के लिए, योनेडा एम्बेडिंग इस अर्थ में एक एम्बेडिंग है।

कुछ लेखक 'एम्बेडिंग' को एक पूर्ण और वफादार फ़नकार के रूप में परिभाषित करते हैं जो वस्तुओं पर इंजेक्ट होता है। अन्य लेखक फ़नकार को एम्बेडिंग के रूप में परिभाषित करते हैं यदि वह है वफादार और वस्तुओं पर इंजेक्शन. समान रूप से, एफ एक एम्बेडिंग है यदि यह आकारिकी पर इंजेक्शन है। एक फ़नकार एफ को तब पूर्ण एम्बेडिंग कहा जाता है यदि यह एक पूर्ण फ़नकार और एक एम्बेडिंग है।

पिछले पैराग्राफ की परिभाषाओं के साथ, किसी भी (पूर्ण) एम्बेडिंग एफ के लिए: बी → सी एफ की छवि (गणित) एक (पूर्ण) उपश्रेणी  है सी का एस, और एफ बी और एस के बीच श्रेणियों की एक समरूपता उत्पन्न करता है। यदि एफ वस्तुओं पर इंजेक्शन नहीं है तो एफ की छवि बी'' की श्रेणियों के समतुल्य है।

कुछ श्रेणियों में, श्रेणी के आकारिकी के बारे में भी बात की जा सकती है, जो #श्रेणी सिद्धांत को एम्बेड कर रहा है।

उपश्रेणियों के प्रकार
सी की एक उपश्रेणी एस को 'आइसोमोर्फिज्म-बंद उपश्रेणी | आइसोमोर्फिज्म-बंद' या 'पूर्ण' कहा जाता है यदि सी में प्रत्येक आइसोमोर्फिज्म के: एक्स → वाई इस तरह है कि एस में वाई भी एस से संबंधित है। एक आइसोमोर्फिज्म-बंद पूर्ण उपश्रेणी 'सख्ती से पूर्ण' कहा जाता है।

C की एक उपश्रेणी 'वाइड' या 'lluf' है (यह शब्द सबसे पहले पीटर फ्रायड द्वारा प्रस्तुत किया गया था)। ) यदि इसमें C की सभी वस्तुएँ शामिल हैं। एक विस्तृत उपश्रेणी आम तौर पर पूर्ण नहीं होती है: किसी श्रेणी की एकमात्र विस्तृत पूर्ण उपश्रेणी वह श्रेणी ही होती है।

सेरे उपश्रेणी एबेलियन श्रेणी सी की एक गैर-रिक्त पूर्ण उपश्रेणी एस है, जैसे कि सभी छोटे सटीक अनुक्रमों के लिए


 * $$0\to M'\to M\to M''\to 0$$

C में, M, S से संबंधित है यदि और केवल यदि दोनों $$M'$$ और $$M''$$ करना। यह धारणा एक श्रेणी के स्थानीयकरण से उत्पन्न होती है#सेरे का सी-सिद्धांत|सेरे का सी-सिद्धांत।

यह भी देखें

 * चिंतनशील उपश्रेणी
 * सटीक श्रेणी, एक्सटेंशन के अंतर्गत बंद एक पूर्ण उपश्रेणी।