विश्राम (पुनरावृत्ति विधि)

संख्यात्मक गणित में, गैर-रैखिक प्रणालियों सहित एक साथ समीकरणों को हल करने के लिए विश्राम पद्धति पुनरावृत्त तरीके हैं। बड़े विरल मैट्रिक्स रेखीय प्रणालियों को हल करने के लिए विश्राम विधियों का विकास किया गया था, जो परिमित अंतर के रूप में उत्पन्न हुई थी। अंतर समीकरणों के परिमित-अंतर विवेक। उनका उपयोग रैखिक कम से कम वर्गों (गणित) के लिए रैखिक समीकरणों के समाधान के लिए भी किया जाता है। रैखिक कम से कम वर्ग की समस्याएं और रैखिक असमानताओं की प्रणालियों के लिए भी, जैसे कि रैखिक प्रोग्रामिंग में उत्पन्न होने वाली असमानताएँ।  उन्हें समीकरणों की अरैखिक प्रणालियों को हल करने के लिए भी विकसित किया गया है।

विशेष रूप से अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों को मॉडल करने के लिए उपयोग किए जाने वाले रैखिक प्रणालियों के समाधान में आराम के तरीके महत्वपूर्ण हैं, जैसे लाप्लास के समीकरण और इसके सामान्यीकरण, पॉइसन के समीकरण। ये समीकरण सीमा-मूल्य समस्याओं का वर्णन करते हैं, जिसमें समाधान-फ़ंक्शन के मान डोमेन की सीमा पर निर्दिष्ट होते हैं; समस्या इसके इंटीरियर पर भी समाधान की गणना करना है। विभेदक समीकरणों के विखंडन से उत्पन्न रैखिक समीकरणों को हल करने के लिए विश्राम विधियों का उपयोग किया जाता है, उदाहरण के लिए परिमित अंतरों द्वारा। समाधानों की पुनरावृत्त छूट को आमतौर पर चौरसाई  करार दिया जाता है क्योंकि कुछ समीकरणों के साथ, जैसे लाप्लास के समीकरण, यह समाधान वेक्टर के लिए एक स्थानीय स्मूथिंग फिल्टर के बार-बार आवेदन जैसा दिखता है। इन्हें गणितीय अनुकूलन में विश्राम (सन्निकटन) विधियों के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए, जो कि सन्निकटन सिद्धांत एक सरल समस्या द्वारा एक कठिन समस्या है जिसका आराम से समाधान मूल समस्या के समाधान के बारे में जानकारी प्रदान करता है।

संभावित सिद्धांत की मॉडल समस्या
जब φ वास्तविक संख्याओं पर एक सहज वास्तविक-मूल्यवान कार्य है, तो इसका दूसरा व्युत्पन्न इसके द्वारा अनुमानित किया जा सकता है:
 * $$\frac{d^2\varphi(x)}{{dx}^2} = \frac{\varphi(x{-}h)-2\varphi(x)+\varphi(x{+}h)}{h^2}\,+\,\mathcal{O}(h^2)\,.$$

बिंदु (x, y) पर दो तर्कों के फ़ंक्शन φ के लिए दोनों आयामों में इसका उपयोग करना, और φ (x, y) के लिए हल करना, परिणामस्वरूप:
 * $$\varphi(x, y) = \tfrac{1}{4}\left(\varphi(x{+}h,y)+\varphi(x,y{+}h)+\varphi(x{-}h,y)+\varphi(x,y{-}h)

\,-\,h^2{\nabla}^2\varphi(x,y)\right)\,+\,\mathcal{O}(h^4)\,.$$ प्वासों समीकरण के समाधान का अनुमान लगाने के लिए:
 * $${\nabla}^2 \varphi = f\,$$

संख्यात्मक रूप से ग्रिड रिक्ति एच के साथ एक द्वि-आयामी ग्रिड पर, विश्राम विधि फ़ंक्शन φ के दिए गए मानों को सीमा के पास ग्रिड बिंदुओं और मनमाना मानों को आंतरिक ग्रिड बिंदुओं पर असाइन करती है, और फिर बार-बार असाइनमेंट करती है φ := φ* आंतरिक बिंदुओं पर, जहां φ* द्वारा परिभाषित किया गया है:
 * $$\varphi^*(x, y) = \tfrac{1}{4}\left(\varphi(x{+}h,y)+\varphi(x,y{+}h)+\varphi(x{-}h,y)+\varphi(x,y{-}h)

\,-\,h^2f(x,y)\right)\,,$$ अभिसरण तक।

प्रक्रिया आयामों की अन्य संख्याओं के लिए आसानी से सामान्यीकृत किया जाता है।

अभिसरण और त्वरण
जबकि विधि सामान्य परिस्थितियों में अभिसरण करती है, यह आम तौर पर प्रतिस्पर्धी तरीकों की तुलना में धीमी प्रगति करती है। बहरहाल, विश्राम विधियों का अध्ययन रैखिक बीजगणित का एक मुख्य हिस्सा बना हुआ है, क्योंकि विश्राम सिद्धांत के परिवर्तन नए तरीकों के लिए उत्कृष्ट पूर्व शर्त प्रदान करते हैं। दरअसल, पुनरावृत्त विधि की पसंद से पूर्व शर्त का चुनाव अक्सर अधिक महत्वपूर्ण होता है। विधियों में तेजी लाने के लिए मल्टीग्रिड विधियों का उपयोग किया जा सकता है। कोई पहले एक मोटे ग्रिड पर सन्निकटन की गणना कर सकता है - आमतौर पर डबल स्पेसिंग 2h - और प्रारंभिक असाइनमेंट के रूप में अन्य ग्रिड बिंदुओं के लिए प्रक्षेप  मानों के साथ उस समाधान का उपयोग करें। इसके बाद मोटे संगणना के लिए पुनरावर्ती रूप से भी किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * लीनियर सिस्टम में, रिलैक्सेशन विधियों के दो मुख्य वर्ग हैं इटरेटिव मेथड#स्टेशनरी इटरेटिव मेथड्स, और अधिक सामान्य इटरेटिव मेथड#क्रिलोव सबस्पेस मेथड्स।
 * जैकोबी विधि विश्राम की एक सरल विधि है।
 * गॉस-सीडेल विधि जैकोबी पद्धति पर एक सुधार है।
 * अभिसरण को गति देने के लिए जैकोबी और गॉस-सीडेल विधियों में से किसी एक पर उत्तरोत्तर अति-विश्राम लागू किया जा सकता है।
 * मल्टीग्रिड तरीके

संदर्भ

 * Abraham Berman, Robert J. Plemmons, Nonnegative Matrices in the Mathematical Sciences, 1994, SIAM. ISBN 0-89871-321-8.
 * Yousef Saad, Iterative Methods for Sparse Linear Systems, 1st edition, PWS, 1996.
 * Richard S. Varga 2002 Matrix Iterative Analysis, Second ed. (of 1962 Prentice Hall edition), Springer-Verlag.
 * David M. Young, Jr. Iterative Solution of Large Linear Systems, Academic Press, 1971. (reprinted by Dover, 2003)
 * Richard S. Varga 2002 Matrix Iterative Analysis, Second ed. (of 1962 Prentice Hall edition), Springer-Verlag.
 * David M. Young, Jr. Iterative Solution of Large Linear Systems, Academic Press, 1971. (reprinted by Dover, 2003)

अग्रिम पठन

 * Southwell, R.V. (1940) Relaxation Methods in Engineering Science. Oxford University Press, Oxford.
 * Southwell, R.V. (1946) Relaxation Methods in Theoretical Physics. Oxford University Press, Oxford.