फर्मी की अन्तःक्रिया

कण भौतिकी में, फर्मी की अंतःक्रिया (बीटा क्षय का फर्मी सिद्धांत या फर्मी चार-फर्मियन अंतःक्रिया) बीटा क्षय की व्याख्या है, जिसे 1933 में एनरिको फर्मी द्वारा प्रस्तावित किया गया था। सिद्धांत चार फरमिओन्स को सीधे दूसरे के साथ अंतःक्रिया करते हुए प्रस्तुत करता है (संबंधित फेनमैन आरेख के शीर्ष पर)। यह अंतःक्रिया इलेक्ट्रॉन, न्युट्रीनो (जो कि बाद में एंटीन्यूट्रिनो के रूप में निर्धारित) और प्रोटोन के साथ न्यूट्रॉन के सीधे युग्मन द्वारा न्यूट्रॉन के बीटा क्षय की व्याख्या करता है। फर्मी ने पहली बार 1933 में बीटा क्षय के अपने विवरण में इस युग्मन को प्रस्तुत किया था। फर्मी अंतःक्रिया अशक्त अंतःक्रिया के सिद्धांत का अग्रदूत था जहां प्रोटॉन-न्यूट्रॉन और इलेक्ट्रॉन-एंटीन्यूट्रिनो के मध्य अंतःक्रिया आभासी डब्ल्यू और जेड बोसॉन द्वारा मध्यस्थ होती है।−बोसॉन, जिसमें से फर्मी सिद्धांत निम्न-ऊर्जा प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत है।

प्रारंभिक अस्वीकृति और बाद के प्रकाशन का इतिहास
फर्मी ने सबसे पहले बीटा क्षय के अपने अस्थायी सिद्धांत को प्रतिष्ठित विज्ञान पत्रिका प्रकृति (पत्रिका) में प्रस्तुत किया, जिसने इसे अस्वीकार कर दिया क्योंकि इसमें पाठक के लिए रुचिकर होने के लिए वास्तविकता से बहुत दूर की अटकलें थीं। नेचर ने बाद में स्वीकार किया कि अस्वीकृति उसके इतिहास की महान संपादकीय भूलों में से थी। इसके बाद फर्मी ने इतालवी भाषा और जर्मन भाषा प्रकाशनों को पेपर के संशोधित संस्करण प्रस्तुत किए, जिन्होंने उन्हें 1933 और 1934 में उन भाषाओं में स्वीकार और प्रकाशित किया।  यह पेपर उस समय अंग्रेजी में किसी प्राथमिक प्रकाशन में प्रकाशित नहीं हुआ था। मौलिक पेपर का अंग्रेजी अनुवाद 1968 में अमेरिकन जर्नल ऑफ फिजिक्स में प्रकाशित हुआ था।

फर्मी को पेपर की प्रारंभिक अस्वीकृति इतनी परेशान करने वाली लगी कि उसने सैद्धांतिक भौतिकी से कुछ समय निकालने और केवल प्रयोगात्मक भौतिकी करने का फैसला किया। इससे शीघ्र ही धीमे न्यूट्रॉन के साथ न्यूट्रॉन तापमान पर उनका प्रसिद्ध कार्य प्रारंभ हो जाएगा।

परिभाषाएँ
सिद्धांत तीन प्रकार के कणों से संबंधित है जो प्रत्यक्ष संपर्क में माने जाते हैं: प्रारंभ में "न्यूट्रॉन अवस्था" ($$\rho=+1$$) में एक "भारी कण", जो फिर एक इलेक्ट्रॉन के उत्सर्जन के साथ अपने "प्रोटॉन अवस्था" ($$\rho = -1$$) और एक न्यूट्रिनो में परिवर्तित हो जाता है।

इलेक्ट्रॉन अवस्था

 * $$\psi = \sum_s \psi_s a_s,$$

जहाँ $$\psi$$ कूलम्ब तरंग फलन है| एकल-इलेक्ट्रॉन तरंग फलन, $$\psi_s$$ इसकी स्थिर अवस्थाएँ हैं।

$$a_s$$ वह ऑपरेटर है जो स्थिती $$s$$ में एक इलेक्ट्रॉन को नष्ट कर देता है जो फॉक स्पेस पर कार्य करता है


 * $$a_s \Psi(N_1, N_2, \ldots, N_s, \ldots) = (-1)^{N_1 + N_2 + \cdots + N_s - 1} (1 - N_s) \Psi(N_1, N_2, \ldots, 1 - N_s, \ldots).$$

$$a_s^*$$ इलेक्ट्रॉन अवस्था $$s$$ के लिए निर्माण ऑपरेटर है।


 * $$a_s^* \Psi(N_1, N_2, \ldots, N_s, \ldots) = (-1)^{N_1 + N_2 + \cdots + N_s - 1} N_s \Psi(N_1, N_2, \ldots, 1 - N_s, \ldots).$$

न्यूट्रिनो अवस्था
इसी प्रकार,


 * $$\phi = \sum_\sigma \phi_\sigma b_\sigma,$$

जहाँ $$\phi$$ एकल-न्यूट्रिनो तरंग फ़ंक्शन है, और $$\phi_\sigma $$ इसकी स्थिर अवस्थाएँ हैं।

$$b_\sigma$$ वह ऑपरेटर है जो स्थिती $$\sigma$$ में न्यूट्रिनो को नष्ट कर देता है जो फॉक स्पेस पर कार्य करता है


 * $$b_\sigma \Phi(M_1, M_2, \ldots, M_\sigma, \ldots) = (-1)^{M_1 + M_2 + \cdots + M_\sigma - 1} (1 - M_\sigma) \Phi(M_1, M_2, \ldots, 1 - M_\sigma, \ldots).$$

$$b_\sigma^*$$ न्यूट्रिनो अवस्था $$\sigma$$ के लिए निर्माण ऑपरेटर है।

.

भारी कण अवस्था
$$\rho$$ हेइज़ेनबर्ग द्वारा प्रस्तुत किया गया ऑपरेटर है (जिसे बाद में समभारिक प्रचक्रण में सामान्यीकृत किया गया) जो न्यूक्लियॉन अवस्था पर कार्य करता है, जिसका आइगेनवैल्यू +1 होता है जब कण न्यूट्रॉन होता है, और -1 यदि कण प्रोटॉन होता है। इसलिए, भारी कण अवस्थाओं को दो-पंक्ति स्तंभ वैक्टर द्वारा दर्शाया जाएगा, जहां


 * $$\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$$

एक न्यूट्रॉन का प्रतिनिधित्व करता है, और


 * $$\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}$$

एक प्रोटॉन का प्रतिनिधित्व करता है (प्रतिनिधित्व में जहां $$\rho$$ सामान्य $$\sigma_z$$ स्पिन आव्यूह है)।

वे ऑपरेटर जो भारी कण को ​​प्रोटॉन से न्यूट्रॉन में बदलते हैं और इसके विपरीत, क्रमशः द्वारा दर्शाए जाते हैं


 * $$Q = \sigma_x - i \sigma_y = \begin{pmatrix}0 & 1\\ 0 & 0\end{pmatrix}$$

और


 * $$Q^* = \sigma_x + i \sigma_y = \begin{pmatrix}0 & 0\\ 1 & 0\end{pmatrix}.$$

$$u_n$$ सम्मान $$v_n$$ न्यूट्रॉन सम्मान के लिए eigenfunction है। स्थिती में प्रोटोन $$n$$.

$$u_n$$ सम्मान $$v_n$$ न्यूट्रॉन सम्मान के लिए एक eigenfunction है। स्थिती में प्रोटोन $$n$$ है

हैमिल्टनियन
हैमिल्टनियन तीन भागों से बना है: $$H_\text{h.p.}$$, मुक्त भारी कणों की ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, $$H_\text{l.p.}$$, मुक्त प्रकाश कणों की ऊर्जा का प्रतिनिधित्व करता है, और एक भाग जो अंतःक्रिया $$H_\text{int.}$$ देता है।


 * $$H_\text{h.p.} = \frac{1}{2}(1 + \rho)N + \frac{1}{2}(1 - \rho)P,$$

जहाँ $$N$$ और $$P$$ क्रमशः न्यूट्रॉन और प्रोटॉन के ऊर्जा संचालक हैं, इसलिए यदि $$\rho = 1$$, $$H_\text{h.p.} = N$$, और यदि $$\rho = -1$$, $$H_\text{h.p.} = P$$.


 * $$H_\text{l.p.} = \sum_s H_s N_s + \sum_\sigma K_\sigma M_\sigma,$$

अंतःक्रिया भाग में एक इलेक्ट्रॉन और एक न्यूट्रिनो (अब एक एंटीन्यूट्रिनो के रूप में जाना जाता है) के उत्सर्जन के साथ-साथ एक प्रोटॉन के न्यूट्रॉन में परिवर्तन का प्रतिनिधित्व करने वाला एक शब्द होना चाहिए, साथ ही व्युत्क्रम प्रक्रिया के लिए एक शब्द भी होना चाहिए; इलेक्ट्रॉन और प्रोटॉन के बीच कूलम्ब बल को $$\beta$$-क्षय प्रक्रिया के लिए अप्रासंगिक मानकर अनदेखा कर दिया जाता है।

फर्मी ने $$H_\text{int.}$$ के लिए दो संभावित मान प्रस्तावित किए हैं: पहला, एक गैर-सापेक्षवादी संस्करण जो स्पिन को अनदेखा करता है:


 * $$H_\text{int.} = g \left[ Q \psi(x) \phi(x) + Q^* \psi^*(x) \phi^*(x) \right],$$

और बाद में एक संस्करण यह मानता है कि प्रकाश कण चार-घटक डायराक स्पिनर हैं, किन्तु भारी कणों की गति $$c$$ के सापेक्ष छोटी है और विद्युत चुम्बकीय वेक्टर क्षमता के अनुरूप अंतःक्रिया की नियमों को अनदेखा किया जा सकता है:


 * $$H_\text{int.} = g \left[ Q \tilde{\psi}^* \delta \phi + Q^* \tilde{\psi} \delta \phi^* \right],$$

जहां $$\psi$$ और $$\phi$$ अब चार-घटक डायराक स्पिनर हैं, $$\tilde{\psi}$$ $$\psi$$ के हर्मिटियन संयुग्म का प्रतिनिधित्व करता है, और $$\delta$$ एक आव्यूह है


 * $$\begin{pmatrix}

0 & -1 & 0 & 0\\ 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{pmatrix}.$$

आव्यूह तत्व
प्रणाली की स्थिति को टुपल $$\rho, n, N_1, N_2, \ldots, M_1, M_2, \ldots,$$ द्वारा दिया गया माना जाता है जहां $$\rho = \pm 1$$ निर्दिष्ट करता है कि भारी कण न्यूट्रॉन है या प्रोटॉन, $$n$$ भारी कण की क्वांटम स्थिति है, $$N_s$$ अवस्था $$s$$ में इलेक्ट्रॉनों की संख्या है और $$M_\sigma$$ अवस्था $$\sigma$$ में न्यूट्रिनो की संख्या है।

$$H_\text{int.}$$ के सापेक्ष संस्करण का उपयोग करते हुए, फर्मी अवस्था $$n$$ में न्यूट्रॉन और कोई इलेक्ट्रॉन सम्मान नहीं के साथ अवस्था के बीच आव्यूह अवयव देता है। अवस्था के संबंध में न्यूट्रिनो उपस्थित हैं। $$\sigma $$, और अवस्था $$m$$ में एक प्रोटॉन और अवस्था $$s$$ और $$\sigma$$ में एक इलेक्ट्रॉन और एक न्यूट्रिनो उपस्थित होता है


 * $$H^{\rho=1, n, N_s=0, M_\sigma=0}_{\rho=-1,m,N_s=1,M_\sigma=1} = \pm g \int v_m^* u_n \tilde{\psi}_s \delta \phi^*_\sigma d\tau,$$

जहां इंटीग्रल को भारी कणों के संपूर्ण कॉन्फ़िगरेशन स्थान पर लिया जाता है ($$\rho$$ को छोड़कर)। $$\pm$$ h> का निर्धारण इस बात से होता है कि प्रकाश कणों की कुल संख्या विषम (-) या सम (+) है ।

संक्रमण संभावना
$$n$$ सामान्य क्वांटम अस्पष्ट सिद्धांत के अनुसार, उपरोक्त आव्यूह अवयवो को सभी खाली इलेक्ट्रॉन और न्यूट्रिनो स्थितियों पर सारांशित किया जाना चाहिए। इसे यह मानकर सरल बनाया गया है कि इलेक्ट्रॉन और न्यूट्रिनो आइजनफंक्शन $$\psi_s$$ और $$\phi_\sigma$$ नाभिक के अंदर स्थिर हैं (अथार्त, उनकी कॉम्पटन तरंग दैर्ध्य नाभिक के आकार से बहुत छोटी है)। इससे ये होता है


 * $$H^{\rho=1, n, N_s=0, M_\sigma=0}_{\rho=-1,m,N_s=1,M_\sigma=1} = \pm g \tilde{\psi}_s \delta \phi_\sigma^* \int v_m^* u_n d\tau,$$

जहाँ $$\psi_s$$ और $$\phi_\sigma$$ अब नाभिक की स्थिति पर मूल्यांकन किया जाता है।

फर्मी के सुनहरे नियम के अनुसार, इस संक्रमण की संभावना है


 * $$\begin{align}

\left|a^{\rho=1, n, N_s=0, M_\sigma=0}_{\rho=-1,m,N_s=1,M_\sigma=1}\right|^2 &= \left|H^{\rho=1, n, N_s=0, M_\sigma=0}_{\rho=-1,m,N_s=1,M_\sigma=1} \times \frac{\exp{\frac{2\pi i}{h} (-W + H_s + K_\sigma) t} - 1}{-W + H_s + K_\sigma}\right|^2 \\ &= 4 \left|H^{\rho=1, n, N_s=0, M_\sigma=0}_{\rho=-1,m,N_s=1,M_\sigma=1}\right|^2 \times \frac{\sin^2\left(\frac{\pi t}{h}(-W + H_s + K_\sigma)\right)}{(-W + H_s + K_\sigma)^2}, \end{align}$$ जहाँ $$W$$ प्रोटॉन और न्यूट्रॉन अवस्थाओं की ऊर्जा में अंतर है।

सभी सकारात्मक-ऊर्जा न्यूट्रिनो स्पिन/संवेग दिशाओं का औसत (जहाँ $$\Omega^{-1}$$ न्यूट्रिनो अवस्थाओं का घनत्व है, जिसे अंततः अनंत तक ले जाया जाता है), हम प्राप्त करते हैं


 * $$ \left\langle \left|H^{\rho=1, n, N_s=0, M_\sigma=0}_{\rho=-1,m,N_s=1,M_\sigma=1}\right|^2 \right \rangle_\text{avg} = \frac{g^2}{4\Omega} \left|\int v_m^* u_n d\tau\right|^2 \left( \tilde{\psi}_s \psi_s - \frac{\mu c^2}{K_\sigma} \tilde{\psi}_s \beta \psi_s\right),$$

जहाँ $$\mu$$ न्यूट्रिनो का शेष द्रव्यमान है और $$\beta$$ डिराक आव्यूह है.

यह ध्यान में रखते हुए कि संक्रमण की संभावना $$p_\sigma$$के मूल्यों के लिए एक तीव्र अधिकतम है जिसके लिए $$-W + H_s + K_\sigma = 0$$, यह सरल हो जाता है


 * $$ t\frac{8\pi^3 g^2}{h^4} \times \left| \int v_m^* u_n d\tau \right|^2 \frac{p_\sigma^2}{v_\sigma}\left(\tilde{\psi}_s \psi_s - \frac{\mu c^2}{K_\sigma} \tilde{\psi}_s \beta \psi_s\right),$$

जहाँ $$p_\sigma$$ और $$K_\sigma$$ वह मान है जिसके लिए $$-W + H_s + K_\sigma = 0$$. है

फर्मी इस फ़ंक्शन के बारे में तीन टिप्पणियाँ करता है:
 * चूँकि न्यूट्रिनो अवस्थाओं को मुक्त माना जाता है, $$K_\sigma > \mu c^2$$ और इस प्रकार निरंतर $$\beta$$ -स्पेक्ट्रम पर ऊपरी सीमा $$H_s \leq W - \mu c^2$$ है।
 * चूंकि इलेक्ट्रॉनों के लिए $$H_s > mc^2$$, के क्रम में $$\beta$$-क्षय होने पर, प्रोटॉन-न्यूट्रॉन ऊर्जा $$W \geq (m + \mu)c^2$$ में अंतर होना चाहिए
 * कारण
 * $$Q_{mn}^* = \int v_m^* u_n d\tau$$ : संक्रमण में संभावना सामान्यतः 1 परिमाण की होती है, किन्तु विशेष परिस्थितियों में यह लुप्त हो जाती है; इससे $$\beta$$-क्षय के लिए (अनुमानित) चयन नियम बनते हैं।

निषिद्ध संक्रमण
जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है, जब भारी कण अवस्थाओं $$u_n$$ और $$v_m$$ के बीच का आंतरिक उत्पाद $$Q_{mn}^*$$विलुप्त हो जाता है, तो संबंधित संक्रमण "निषिद्ध" होता है (या, बल्कि, उन स्थितियों की तुलना में बहुत कम संभावना होती है जहां यह 1 के निकट है)।

यदि प्रोटॉन और न्यूट्रॉन की व्यक्तिगत क्वांटम अवस्थाओं के संदर्भ में नाभिक का वर्णन अच्छा है, तो $$Q_{mn}^*$$ विलुप्त हो जाता है जब तक कि न्यूट्रॉन अवस्था $$u_n $$ और प्रोटॉन अवस्था $$v_m$$ का कोणीय संवेग समान न हो; अन्यथा, क्षय से पहले और बाद में पूरे नाभिक के कोणीय संवेग का उपयोग किया जाना चाहिए।

प्रभाव
फर्मी का पेपर छपने के कुछ ही समय बाद, वर्नर हाइजेनबर्ग ने वोल्फगैंग पाउली को लिखे पत्र में इसका उल्लेख किया गया था कि नाभिक में न्यूट्रिनो और इलेक्ट्रॉनों के उत्सर्जन और अवशोषण से, अस्पष्ट सिद्धांत के दूसरे क्रम में, प्रोटॉन और न्यूट्रॉन के मध्य आकर्षण पैदा होना चाहिए, उसी प्रकार फोटॉन के उत्सर्जन और अवशोषण से विद्युत चुम्बकीय बल उत्पन्न होता है। उन्होंने पाया कि बल $$\frac{\text{Const.}}{r^5}$$ का स्वरूप होगा, किन्तु उस समसामयिक प्रयोगात्मक डेटा के कारण ऐसा मूल्य प्राप्त हुआ जो दस लाख के कारक से बहुत छोटा था।

अगले वर्ष, हिदेकी युकावा ने इस विचार को अपनाया, किन्तु युकावा इंटर सी मिट्टी का तापमान में न्यूट्रिनो और इलेक्ट्रॉनों को नए काल्पनिक पियोन द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था।

बाद के घटनाक्रम
फर्मी का चार-फर्मियन सिद्धांत अशक्त अंतःक्रिया का उल्लेखनीय रूप से अच्छी तरह से वर्णन करता है। दुर्भाग्य से, परिकलित क्रॉस-सेक्शन, या अंतःक्रिया की संभावना, ऊर्जा $$ \sigma \approx G_{\rm F}^2 E^2 $$ के वर्ग के रूप में बढ़ती है। चूँकि यह क्रॉस सेक्शन बिना किसी सीमा के बढ़ता है, सिद्धांत लगभग 100 GeV से अधिक ऊर्जा पर मान्य नहीं है। यहां $G_{F}$ फर्मी स्थिरांक है, जो अंतःक्रिया की शक्ति को दर्शाता है। इसने अंततः चार-फर्मियन संपर्क अंतःक्रिया को एक अधिक पूर्ण सिद्धांत (यूवी पूर्णता) द्वारा प्रतिस्थापित किया - एक डब्ल्यू या जेड बोसोन का आदान-प्रदान, जैसा कि इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत में बताया गया है।

अंतःक्रिया म्यूऑन, इलेक्ट्रॉन-एंटीन्यूट्रिनो, म्यूऑन-न्यूट्रिनो और इलेक्ट्रॉन के युग्मन के माध्यम से म्यूऑन क्षय को भी समझा सकता है, अंतःक्रिया की समान मौलिक शक्ति के साथ। इस परिकल्पना को गेर्स्टीन और ज़ेल्डोविच द्वारा सामने रखा गया था और इसे वेक्टर वर्तमान संरक्षण परिकल्पना के रूप में जाना जाता है।

मूल सिद्धांत में, फर्मी ने माना कि अंतःक्रिया का रूप दो वेक्टर धाराओं का संपर्क युग्मन है। इसके बाद, त्सुंग-दाओ ली और सी हेनिंग यांग द्वारा बताया गया कि किसी भी चीज ने अक्षीय, समता का उल्लंघन करने वाली धारा की उपस्थिति को नहीं रोका, और इसकी पुष्टि χ एन-शि यूएन जीडब्ल्यू यू द्वारा किए गए वू प्रयोग से हुई।

फर्मी की अंतःक्रिया में समता उल्लंघन का समावेश जॉर्ज गामो और एडवर्ड टेलर द्वारा तथाकथित गैमो-टेलर ट्रांज़िशन में किया गया था, जिसमें फर्मी की अंतःक्रिया को समता-उल्लंघन अनुमत क्षय और समता-संरक्षण सुपर-अनुमत क्षय के संदर्भ में विरोधी-समानांतर और के संदर्भ में वर्णित किया गया था। क्रमशः समानांतर इलेक्ट्रॉन और न्यूट्रिनो स्पिन अवस्थाएँ। इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत और मानक मॉडल के आगमन से पहले, जॉर्ज सुदर्शन और रॉबर्ट मार्शल, और स्वतंत्र रूप से रिचर्ड फेनमैन और मरे गेल-मैन, चार-फर्मियन अंतःक्रिया का सही टेन्सर संरचना (वेक्टर (ज्यामितीय) माइनस अक्षीय सदिश $G_{F}$) निर्धारित करने में सक्षम थे।

फर्मी स्थिरांक
फर्मी स्थिरांक का सबसे स्पष्ट प्रयोगात्मक निर्धारण म्यूऑन घातीय क्षय के माप से आता है, जो $V − A$ के वर्ग के व्युत्क्रमानुपाती होता है (जब डब्ल्यू बोसोन के द्रव्यमान के विरुद्ध म्यूऑन द्रव्यमान की उपेक्षा की जाती है)। आधुनिक शब्दों में, घटा हुआ फर्मी स्थिरांक, अथार्त प्राकृतिक_इकाइयाँ या प्राकृतिक_इकाइयाँ_(कण_और_परमाणु_भौतिकी) में स्थिरांक है
 * $$G_{\rm F}^0=\frac{G_{\rm F}}{(\hbar c)^3}=\frac{\sqrt{2}}{8}\frac{g^{2}}{M_{\rm W}^{2} c^4}=1.1663787(6)\times10^{-5} \; \textrm{GeV}^{-2} \approx 4.5437957\times10^{14} \; \textrm{J}^{-2}\ .$$

यहाँ, $g$ अशक्त अंतःक्रिया का युग्मन स्थिरांक है, और $G_{F}$ डब्ल्यू बोसॉन का द्रव्यमान है, जो प्रश्न में क्षय में मध्यस्थता करता है।

मानक मॉडल में, फर्मी स्थिरांक हिग्स तंत्र से संबंधित है अधिक समान्य रूप से, लगभग (मानक मॉडल के लिए वृक्ष स्तर),
 * $$v = \left(\sqrt{2} \, G_{\rm F}^0\right)^{-1/2} \simeq 246.22 \; \textrm{GeV}$$.

G_{\rm F}^0\simeq \frac {\pi \alpha}{\sqrt{2}~ M_{\rm W}^2 (1- M^2_{\rm W}/M^2_{\rm Z} )}. $$

इसे $$M_\text{Z}=\frac{M_\text{W}}{\cos\theta_\text{W}}$$ के साथ W और Z बोसॉन के बीच संबंध का उपयोग करके वेनबर्ग कोण के संदर्भ में और सरल बनाया जा सकता है, जिससे

$$ G_{\rm F}^0\simeq \frac {\pi \alpha}{\sqrt{2}~ M_{\rm Z}^{2}\cos^{2}\theta_{\rm W}\sin^{2}\theta_{\rm W}}. $$