ध्रुवीय समन्वय प्रणाली

गणित में, ध्रुवीय समन्वय प्रणाली एक द्वि-आयामी समन्वय प्रणाली है जिसमें समतल पर प्रत्येक बिंदु एक संदर्भ बिंदु से दूरी और संदर्भ दिशा से एक कोण द्वारा निर्धारित होता है संदर्भ बिंदु (कार्तीय समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के अनुरूप) को ध्रुव कहा जाता है और संदर्भ दिशा में ध्रुव से किरण ध्रुवीय अक्ष होती है। ध्रुव से दूरी को रेडियल निर्देशांक, रेडियल दूरी या केवल त्रिज्या कहा जाता है, और कोण को कोणीय समन्वय, ध्रुवीय कोण या दिगंश कहा जाता है। ध्रुवीय संकेतन में कोण सामान्यतः या तो डिग्री या रेडियन (2π रेड 360 डिग्री के बराबर) में व्यक्त किए जाते हैं।

ग्रेजायर डी सेंट-विन्सेंट और बोनवेंट्योर कैवलियरी ने स्वतंत्र रूप से 17वीं शताब्दी के मध्य में अवधारणाओं को प्रस्तुत किया था हालांकि वास्तविक शब्द "ध्रुवीय निर्देशांक" को 18वीं शताब्दी में ग्रेगोरियो फोंटाना के लिए उत्तरदायी माना गया है ध्रुवीय प्रणाली के प्रारम्भ के लिए प्रारंभिक प्रेरणा परिपत्र और कक्षीय गति का अध्ययन था।

ध्रुवीय निर्देशांक किसी भी संदर्भ में सबसे उपयुक्त होते हैं जहां विचार की जा रही घटना स्वाभाविक रूप से एक समतल में केंद्र बिंदु से दिशा और लंबाई जैसे कि कुंडली से संबद्ध होती है एक केंद्रीय बिंदु के चारों ओर घूमने वाले पिंडों के साथ प्लानर भौतिक प्रणालियां, या एक केंद्रीय बिंदु से उत्पन्न होने वाली घटनाएं, प्रायः ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करके मॉडल के लिए सरल और अधिक सहज होती हैं।

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली को दो तरह से बेलनाकार समन्वय प्रणाली और गोलाकार समन्वय प्रणाली में तीन आयामों तक बढ़ाया जाता है।

इतिहास
पहली सहस्राब्दी ईसा पूर्व के प्राचीन लोगों द्वारा कोण और त्रिज्या की अवधारणाओं का उपयोग किया गया था। ग्रीक खगोल विज्ञान औरज्योतिषी हिप्पार्कस (190-120 ईसा पूर्व) ने प्रत्येक कोण के लिए तार की लंबाई देते हुए तार कार्यों की एक तालिका बनाई, और तारकीय स्थिति स्थापित करने में ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करने के संदर्भ हैं। ऑन स्पिरल्स में, आर्किमिडीज आर्किमिडीयन कुंडली का वर्णन करते हैं, एक ऐसा कार्य जिसकी त्रिज्या कोण पर निर्भर करती है। हालाँकि, यूनानी कार्य पूर्ण समन्वय प्रणाली तक विस्तृत नहीं था।

8वीं शताब्दी ईस्वी के बाद से, खगोलविदों ने मक्का (क़िबला) की दिशा और पृथ्वी पर किसी भी स्थान से इसकी दूरी का अनुमान लगाने और गणना करने के तरीकों का विकास किया। 9वीं शताब्दी के बाद से वे इन राशियों को सटीक रूप से निर्धारित करने के लिए गोलाकार त्रिकोणमिति और मानचित्र प्रक्षेपण विधियों का उपयोग कर रहे थे। गणना अनिवार्य रूप से मक्का के भूमध्यरेखीय ध्रुवीय निर्देशांक (अर्थात इसके देशांतर और अक्षांश) को इसके ध्रुवीय निर्देशांक (अर्थात इसकी क़िबला और दूरी) में एक प्रणाली के सापेक्ष रूपांतरण है जिसका संदर्भ मध्याह्न दिए गए स्थान और पृथ्वी के ध्रुवों के माध्यम से महान चक्र है। और जिसका ध्रुवीय अक्ष स्थान और उसके प्रतिध्रुवीय बिंदु के माध्यम से रेखा है।

एक औपचारिक समन्वय प्रणाली के भाग के रूप में ध्रुवीय निर्देशांक की प्रारम्भ के विभिन्न खाते हैं। इस विषय का पूरा इतिहास हार्वर्ड के प्रोफेसर जूलियन लोवेल कूलिज की ओरिजिन ऑफ पोलर कोऑर्डिनेट्स में वर्णित है। ग्रेगोइरे डी सेंट-विन्सेंट और बोनावेंटुरा कैवलियरी ने स्वतंत्र रूप से सत्रहवीं शताब्दी के मध्य में अवधारणाओं को प्रस्तुत किया। सेंट-विंसेंट ने उनके बारे में 1625 में निजी तौर पर लिखा और 1647 में अपना काम प्रकाशित किया, जबकि कैवलियरी ने 1635 में 1653 में प्रदर्शित होने वाले एक सही संस्करण के साथ प्रकाशित किया। कैवलियरी ने पहली बार एक आर्किमिडीयन कुंडली के भीतर क्षेत्र से संबंधित समस्या को हल करने के लिए ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग किया। ब्लेस पास्कल ने बाद में परवलय चाप की लंबाई की गणना करने के लिए ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग किया था।

प्रवाह की विधि (1671 में लिखित, 1736 में प्रकाशित) में, सर आइजैक न्यूटन ने ध्रुवीय निर्देशांक के बीच परिवर्तनों की जांच की, जिसे उन्होंने "सेवेंथ मैनर; स्पिरल्स के लिए", और नौ अन्य समन्वय प्रणालियों के रूप में संदर्भित किया। जर्नल ऑफ स्कॉलर्स (1691) में, जैकब बर्नौली ने एक रेखा पर एक बिंदु के साथ एक प्रणाली का उपयोग किया, जिसे क्रमशः ध्रुव और ध्रुवीय अक्ष कहा जाता है। निर्देशांक ध्रुव से दूरी और ध्रुवीय अक्ष से कोण द्वारा निर्दिष्ट किए गए थे। इन निर्देशांकों में अभिव्यक्त वक्रों की ववक्रता की त्रिज्या (गणित) ज्ञात करने तक बर्नौली का कार्य विस्तृत हुआ।

वास्तविक शब्द ध्रुवीय निर्देशांक का श्रेय ग्रेगोरियो फोंटाना को दिया गया है और इसका उपयोग 18वीं शताब्दी के इतालवी लेखकों द्वारा किया गया था। यह शब्द अंग्रेजी भाषा में जॉर्ज पीकॉक (गणितज्ञ) के 1816 में सिल्वेस्ट्रे फ्रांकोइस लैक्रोइक्स के डिफरेंशियल और इंटीग्रल कैलकुलस के अनुवाद में दिखाई दिया। एलेक्सिस क्लेराट तीन आयामों में ध्रुवीय निर्देशांक के बारे में सोचने वाले पहले व्यक्ति थे, और लियोनहार्ड यूलर वास्तव में उन्हें विकसित करने वाले पहले व्यक्ति थे।

कन्वेंशन
रेडियल निर्देशांक को प्रायः r या ρ द्वारा और कोणीय निर्देशांक को φ, θ, या t द्वारा दर्शाया जाता है। कोणीय निर्देशांक को ISO मानक 31-11 द्वारा φ के रूप में निर्दिष्ट किया गया है। हालांकि, गणितीय साहित्य में कोण को प्रायः इसके बजाय θ द्वारा दर्शाया जाता है।

ध्रुवीय संकेतन में कोण सामान्यतः या तो डिग्री या रेडियन (2π रेड 360 डिग्री के बराबर) में व्यक्त किए जाते हैं। डिग्री पारंपरिक रूप से नेविगेशन, सर्वेक्षण और कई प्रयुक्त विषयों में उपयोग की जाती हैं, जबकि गणित और गणितीय भौतिकी में अधिक सामान्य हैं।

कोण φ को एक संदर्भ दिशा से 0° पर शुरू करने के लिए परिभाषित किया गया है, और घड़ी की दिशा में (cw) या वामावर्त (ccw) अभिविन्यास में घुमावों के लिए बढ़ने के लिए। उदाहरण के लिए, गणित में, संदर्भ दिशा सामान्यतः ध्रुव से क्षैतिज रूप से दाईं ओर एक किरण के रूप में खींची जाती है, और ccw घुमावों के लिए ध्रुवीय कोण धनात्मक कोण तक बढ़ जाता है, जबकि नेविगेशन (असर, शीर्षक) में 0°-शीर्षक खींचा जाता है। लंबवत ऊपर की ओर और cw घुमावों के लिए कोण बढ़ता है। ध्रुवीय कोण क्रमशः विपरीत अभिविन्यासों में घुमावों के लिए ऋणात्मक मानों की ओर घटते हैं।

ध्रुवीय निर्देशांक की विशिष्टता
कोणीय निर्देशांक में किसी भी पूर्ण मोड़ (360°) को जोड़ने से संबंधित दिशा नहीं बदलती है। इसी तरह, कोई भी ध्रुवीय निर्देशांक ऋणात्मक रेडियल घटक और विपरीत दिशा के साथ समन्वय के समान है (ध्रुवीय कोण में 180° जोड़कर)। इसलिए, एक ही बिंदु (r, φ) को विभिन्न ध्रुवीय निर्देशांकों (r, φ + n × 360°) और (−r, φ + 180° + n × 360°) = (−r, φ + (2n + 1) × 180°) की अनंत संख्या के साथ व्यक्त किया जा सकता है। जहां n एक स्वेच्छ पूर्णांक है। [10] इसके अतिरिक्त, ध्रुव को किसी भी कोण φ के लिए (0, φ) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है।

जहां ध्रुव के अतिरिक्त किसी भी बिंदु के लिए एक अद्वितीय प्रतिनिधित्व की आवश्यकता होती है, वहां r को धनात्मक संख्याओं r > 0 और φ को या तो अंतराल $[0, 360°)$ या अंतराल $(−180°, 180°]$ तक सीमित करना सामान्य है।, जो रेडियन में $[0, 2π)$ या $(−π, π]$ हैं। एक अन्य सम्मेलन, आर्कटान फ़ंक्शन के सामान्य कोडोमेन के संदर्भ में, रेडियल घटक के मनमाना गैर-शून्य वास्तविक मानों की अनुमति देना और प्रतिबंधित करना है (−90°, 90°] के लिए ध्रुवीय कोण। सभी मामलों में ध्रुव के लिए एक अद्वितीय दिगंश (r = 0) को φ = 0 चुना जाना चाहिए।

ध्रुवीय और कार्टेशियन निर्देशांक के बीच रूपांतरण
त्रिकोणमितीय कार्यों साइन और कोसाइन का उपयोग करके ध्रुवीय निर्देशांक r और φ को कार्तीय निर्देशांक x और y में परिवर्तित किया जा सकता है: $$\begin{align} x &= r \cos \varphi, \\ y &= r \sin \varphi. \end{align}$$ कार्तीय निर्देशांक x और y को अंतराल में r ≥ 0 और φ के साथ ध्रुवीय निर्देशांक r और φ में परिवर्तित किया जा सकता है (-$\pi$, π] द्वारा: $$ \begin{align} r &= \sqrt{x^2 + y^2} = \operatorname{hypot}(x,y)\\ \varphi &= \operatorname{atan2}(y, x), \end{align}$$ जहां hypot पायथागॉरियन योग है और atan2 स्पर्शरेखा फ़ंक्शन पर एक सामान्य भिन्नता है जिसे परिभाषित किया गया है: $$\operatorname{atan2}(y, x) = \begin{cases}  \arctan\left(\frac{y}{x}\right)       & \mbox{if } x > 0\\   \arctan\left(\frac{y}{x}\right) + \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y \ge 0\\   \arctan\left(\frac{y}{x}\right) - \pi & \mbox{if } x < 0 \mbox{ and } y < 0\\   \frac{\pi}{2}                         & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y > 0\\  -\frac{\pi}{2}                         & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y < 0\\   \text{undefined}                      & \mbox{if } x = 0 \mbox{ and } y = 0. \end{cases}$$ यदि r की गणना पहले ऊपर की तरह की जाती है, तो φ के लिए इस सूत्र को कोटिकोज्या फ़ंक्शन का उपयोग करके अधिक सरलता से कहा जा सकता है: $$\varphi = \begin{cases} \arccos\left(\frac{x}{r}\right) & \mbox{if } y \ge 0 \mbox{ and } r \neq 0 \\ -\arccos\left(\frac{x}{r}\right) & \mbox{if } y < 0 \\ \text{undefined}               & \mbox{if } r = 0. \end{cases}$$

जटिल संख्या
प्रत्येक जटिल संख्या को जटिल समतल में एक बिंदु के रूप में दर्शाया जा सकता है, और इसलिए बिंदु के कार्टेशियन निर्देशांक (आयताकार या कार्टेशियन रूप कहा जाता है) या बिंदु के ध्रुवीय निर्देशांक (ध्रुवीय रूप कहा जाता है) को निर्दिष्ट करके व्यक्त किया जा सकता है। जटिल संख्या z को आयताकार रूप में दर्शाया जा सकता है$$z = x + iy$$जहाँ i काल्पनिक इकाई है, या वैकल्पिक रूप से ध्रुवीय रूप में लिखा जा सकता है $$z = r(\cos\varphi + i\sin\varphi)$$ और वहां से, यूलर के सूत्र द्वारा, जैसा $$z = re^{i\varphi} = r \exp i \varphi. $$ जहाँ e e (गणितीय स्थिरांक)|यूलर की संख्या है, और φ, रेडियन में व्यक्त, जटिल संख्या फ़ंक्शन तर्क (जटिल विश्लेषण) का मुख्य मान है जो x + iy पर प्रयुक्त होता है। किसी सम्मिश्र संख्या के आयताकार और ध्रुवीय रूपों के बीच रूपांतरण करने के लिए, ऊपर दिए गए रूपांतरण सूत्रों का उपयोग किया जा सकता है। समतुल्य हैं $cis$ और कोण अंकन: $$ z = r \operatorname\mathrm{cis} \varphi = r \angle \varphi .$$ गुणन, विभाजन (गणित), घातांक और जटिल संख्याओं के मूल निष्कर्षण के संचालन के लिए, आयताकार रूप के बजाय ध्रुवीय रूप में व्यक्त जटिल संख्याओं के साथ काम करना सामान्यतः बहुत आसान होता है। घातांक के नियमों से:


 * गुणन: $$r_0 e^{i\varphi_0}\, r_1 e^{i\varphi_1} = r_0 r_1 e^{i\left(\varphi_0 + \varphi_1\right)} $$
 * विभाजन: $$\frac{r_0 e^{i\varphi_0}}{r_1 e^{i\varphi_1}} = \frac{r_0}{r_1}e^{i(\varphi_0 - \varphi_1)} $$
 * घातांक (डी मोइवर का सूत्र): $$\left(re^{i\varphi}\right)^n = r^n e^{in\varphi} $$
 * रूट एक्सट्रैक्शन (प्रिंसिपल रूट): $$\sqrt[n]{re^{i\varphi}} = \sqrt[n]{r} e^{i\varphi \over n} $$

एक वक्र का ध्रुवीय समीकरण
ध्रुवीय निर्देशांकों में व्यक्त बीजगणितीय वक्र को परिभाषित करने वाले समीकरण को ध्रुवीय समीकरण के रूप में जाना जाता है। कई मामलों में, ऐसे समीकरण को φ के फलन के रूप में r को परिभाषित करके आसानी से निर्दिष्ट किया जा सकता है। परिणामी वक्र में तब (r(φ), φ) के रूप के बिंदु होते हैं और इसे ध्रुवीय फलन r के ग्राफ के रूप में माना जा सकता है। ध्यान दें कि, कार्टेशियन निर्देशांक के विपरीत, स्वतंत्र चर φ क्रमित जोड़ी में दूसरी प्रविष्टि है।

एक ध्रुवीय फलन r के समीकरण से समरूपता के विभिन्न रूपों का अनुमान लगाया जा सकता है:


 * यदि $r(−φ) = r(φ)$ वक्र क्षैतिज (0°/180°) किरण के बारे में सममित होगा;
 * यदि $r(π − φ) = r(φ)$ यह लंबवत (90 डिग्री/270 डिग्री) किरण के बारे में सममित होगा:
 * यदि $r(φ − α) = r(φ)$ यह ध्रुव के बारे में α दक्षिणावर्त और वामावर्त द्वारा घूर्णी समरूपता होगी।

ध्रुवीय समन्वय प्रणाली की परिपत्र प्रकृति के कारण, कई वक्रों को एक सरल ध्रुवीय समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जबकि उनका कार्तीय रूप बहुत अधिक जटिल है। इन वक्रों में सबसे प्रसिद्ध गुलाब (गणित), आर्किमिडीयन कुंडली, बर्नौली के लेम्निस्केट, लिमाकॉन और कारडायोड हैं।

नीचे वृत्त, रेखा और ध्रुवीय गुलाब के लिए, यह समझा जाता है कि वक्र के डोमेन और सीमा पर कोई प्रतिबंध नहीं है।

सर्किल
चित्र:वृत्त r=1.svg|thumb|right| समीकरण के साथ वृत्त $r(φ) = 1$एक केंद्र के साथ एक वृत्त के लिए सामान्य समीकरण $$(r_0, \gamma)$$ और त्रिज्या ए है $$r^2 - 2 r r_0 \cos(\varphi - \gamma) + r_0^2 = a^2.$$ समीकरण जैसे अधिक विशिष्ट मामलों के अनुरूप होने के लिए इसे विभिन्न तरीकों से सरल बनाया जा सकता है $$r(\varphi)=a $$ ध्रुव पर एक केंद्र और त्रिज्या के साथ एक वृत्त के लिए। कब $r_{0} = a$ या मूल वृत्त पर स्थित हो, तो समीकरण बन जाता है $$r = 2 a\cos(\varphi - \gamma).$$ सामान्य स्थिति में, समीकरण को हल किया जा सकता है $r$, दे रहा है $$r = r_0 \cos(\varphi - \gamma) + \sqrt{a^2 - r_0^2 \sin^2(\varphi - \gamma)}$$ वर्गमूल के सामने एक ऋण चिह्न वाला समाधान समान वक्र देता है।

रेखा
रेडियल रेखाएँ (जो ध्रुव से होकर गुजरती हैं) को समीकरण द्वारा दर्शाया जाता है $$\varphi = \gamma,$$ कहाँ पे $$\gamma$$ रेखा का उन्नयन कोण है; वह है, $$\varphi = \arctan m$$, कहाँ पे $$m$$ कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में रेखा का ढलान है। गैर-रेडियल रेखा जो रेडियल रेखा को काटती है $$\varphi = \gamma$$ लंबवत बिंदु पर $$(r_0, \gamma)$$ समीकरण है $$r(\varphi) = r_0 \sec(\varphi - \gamma).$$ अन्यथा कहा $$(r_0, \gamma)$$ वह बिंदु है जिसमें स्पर्शरेखा त्रिज्या के काल्पनिक वृत्त को काटती है $$r_0$$

ध्रुवीय गुलाब
गुलाब (गणित) एक गणितीय वक्र है जो एक पंखुड़ी वाले फूल की तरह दिखता है, और इसे एक साधारण ध्रुवीय समीकरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, $$r(\varphi) = a\cos\left(k\varphi + \gamma_0\right)$$ किसी भी स्थिर γ0 (0 सहित) के लिए। यदि k एक पूर्णांक है, तो ये समीकरण k-पंखुड़ी वाले गुलाब का उत्पादन करेंगे यदि k विषम है, या 2k-पंखुड़ी वाला गुलाब यदि k सम है। यदि k तर्कसंगत है, लेकिन पूर्णांक नहीं है, तो एक गुलाब जैसी आकृति बन सकती है, लेकिन अतिव्यापी पंखुड़ियों के साथ। ध्यान दें कि ये समीकरण कभी भी 2, 6, 10, 14, आदि पंखुड़ियों वाले गुलाब को परिभाषित नहीं करते हैं। चर a सीधे गुलाब की पंखुड़ियों की लंबाई या आयाम का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि k उनकी स्थानिक आवृत्ति से संबंधित है। स्थिर γ0 को चरण कोण के रूप में माना जा सकता है।

आर्किमिडीयन कुंडली
आर्किमिडीज़ कुंडली आर्किमिडीज़ द्वारा खोजा गया एक कुंडली है जिसे एक साधारण ध्रुवीय समीकरण के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है। यह समीकरण द्वारा दर्शाया गया है $$r(\varphi) = a + b\varphi. $$ पैरामीटर बदलने से कुंडली मुड़ जाएगा, जबकि बी भुजाओं के बीच की दूरी को नियंत्रित करता है, जो किसी दिए गए कुंडली के लिए हमेशा स्थिर रहता है। आर्किमिडीज़ कुंडली की दो भुजाएँ होती हैं, एक $1=r(φ) = 2 sin 4φ$ के लिए और दूसरी $r(φ) = φ / 2π$ के लिए। दोनों भुजाएँ ध्रुव पर सुचारू रूप से जुड़ी होती हैं। यदि $0 < φ < 6πpi$, एक भुजा की दर्पण छवि को 90°/270° रेखा के आर-पार ले जाने पर दूसरी भुजा प्राप्त होगी। यह वक्र पहले वक्रों में से एक के रूप में उल्लेखनीय है, शंकु वर्गों के बाद, गणितीय ग्रंथ में वर्णित किया जाना है, और एक ध्रुवीय समीकरण द्वारा परिभाषित वक्र का एक प्रमुख उदाहरण है।



शांकव खंड
एक शंक्वाकार खंड जिसका एक फोकस ध्रुव पर और दूसरा कहीं 0° किरण पर होता है (ताकि शांकव की प्रमुख धुरी ध्रुवीय अक्ष के साथ स्थित हो) द्वारा दिया जाता है: $$r = { \ell\over {1 - e \cos \varphi}}$$ $$\ell$$ सेमी-लैटस रेक्टम है (प्रमुख अक्ष से वक्र तक फोकस पर लम्बवत दूरी)। यदि e > 1 यह समीकरण अतिपरवलय को परिभाषित करता है; यदि $φ > 0$, यह एक पैराबोला को परिभाषित करता है और यदि $φ < 0$, यह एक दीर्घवृत्त को परिभाषित करता है। विशेष मामले $a = 0$ के बाद के परिणाम त्रिज्या $$\ell$$ के एक चक्र में होते हैं।

दो ध्रुवीय वक्रों का प्रतिच्छेदन
दो ध्रुवीय कार्यों के रेखांकन $$r = f(\theta)$$ तथा $$r = g(\theta)$$ तीन प्रकार के संभावित चौराहे हैं:
 * 1) मूल में, यदि समीकरण $$f(\theta) = 0$$ तथा $$g(\theta) = 0$$ प्रत्येक का कम से कम एक समाधान हो।
 * 2) सभी बिंदु $$[g(\theta_i),\theta_i]$$ कहाँ पे $$\theta_i$$ समीकरण के समाधान हैं $$f(\theta+2k\pi)=g(\theta)$$ कहाँ पे $$k$$ एक पूर्णांक है।
 * 3) सभी बिंदु $$[g(\theta_i),\theta_i]$$ कहाँ पे $$\theta_i$$ समीकरण के समाधान हैं $$f(\theta+(2k+1)\pi)=-g(\theta)$$ कहाँ पे $$k$$ एक पूर्णांक है।

कलन
कलन को ध्रुवीय निर्देशांकों में अभिव्यक्त समीकरणों पर प्रयुक्त किया जा सकता है। इस पूरे खंड में कोणीय निर्देशांक φ रेडियन में व्यक्त किया गया है, जो कैलकुलस करते समय पारंपरिक विकल्प है।

डिफरेंशियल कैलकुलस
$e = 1$ तथा $e < 1$, का प्रयोग करके, व्यक्ति कार्तीय और ध्रुवीय निर्देशांकों में अवकलजों के बीच संबंध व्युत्पन्न कर सकता है। किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए, u(x,y) यह इस प्रकार है (इसके कुल व्युत्पन्न की गणना करके) या $$\begin{align} r \frac{du}{dr} &= r \frac{\partial u}{\partial x} \cos\varphi + r \frac{\partial u}{\partial y} \sin\varphi = x \frac{\partial u}{\partial x} + y \frac{\partial u}{\partial y}, \\[2pt] \frac{du}{d\varphi} &= - \frac{\partial u}{\partial x} r \sin\varphi + \frac{\partial u}{\partial y} r \cos\varphi = -y \frac{\partial u}{\partial x} + x \frac{\partial u}{\partial y}. \end{align}$$ इसलिए, हमारे पास निम्नलिखित सूत्र हैं: $$\begin{align} r \frac{d}{dr} &= x \frac{\partial}{\partial x} + y \frac{\partial}{\partial y} \\[2pt] \frac{d}{d\varphi} &= -y \frac{\partial}{\partial x} + x \frac{\partial}{\partial y}. \end{align}$$ व्युत्क्रम निर्देशांक परिवर्तन का उपयोग करके, डेरिवेटिव के बीच एक समान पारस्परिक संबंध प्राप्त किया जा सकता है। एक समारोह u(r,φ) दिया गया है, यह इस प्रकार है $$\begin{align} \frac{du}{dx} &= \frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial x} + \frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial x}, \\[2pt] \frac{du}{dy} &= \frac{\partial u}{\partial r}\frac{\partial r}{\partial y} + \frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{\partial \varphi}{\partial y}, \end{align}$$ या $$\begin{align} \frac{du}{dx} &= \frac{\partial u}{\partial r}\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}} - \frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{y}{x^2+y^2} \\[2pt] &= \cos \varphi \frac{\partial u}{\partial r} - \frac{1}{r} \sin\varphi \frac{\partial u}{\partial \varphi}, \\[2pt] \frac{du}{dy} &= \frac{\partial u}{\partial r}\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}} + \frac{\partial u}{\partial \varphi}\frac{x}{x^2+y^2} \\[2pt] &= \sin\varphi \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r} \cos\varphi \frac{\partial u}{\partial \varphi}. \end{align}$$ इसलिए, हमारे पास निम्नलिखित सूत्र हैं: $$\begin{align} \frac{d}{dx} &= \cos \varphi \frac{\partial}{\partial r} - \frac{1}{r} \sin\varphi \frac{\partial}{\partial \varphi} \\[2pt] \frac{d}{dy} &= \sin \varphi \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r} \cos\varphi \frac{\partial}{\partial \varphi}. \end{align}$$ किसी दिए गए बिंदु पर एक ध्रुवीय वक्र r(φ) की स्पर्शरेखा की कार्टेशियन ढलान खोजने के लिए, वक्र को पहले पैरामीट्रिक समीकरणों की एक प्रणाली के रूप में व्यक्त किया जाता है:$$\begin{align} x &= r(\varphi)\cos\varphi \\ y &= r(\varphi)\sin\varphi \end{align}$$ φ पैदावार के संबंध में दोनों समीकरण व्युत्पन्न $$\begin{align} \frac{dx}{d\varphi} &= r'(\varphi)\cos\varphi - r(\varphi)\sin\varphi \\[2pt] \frac{dy}{d\varphi} &= r'(\varphi)\sin\varphi + r(\varphi)\cos\varphi. \end{align}$$ पहले समीकरण से दूसरे समीकरण को विभाजित करने पर बिंदु (r(φ), φ) पर वक्र की स्पर्श रेखा का कार्तीय ढलान प्राप्त होता है:$$\frac{dy}{dx} = \frac{r'(\varphi)\sin\varphi + r(\varphi)\cos\varphi}{r'(\varphi)\cos\varphi-r(\varphi)\sin\varphi}.$$ ध्रुवीय निर्देशांकों में विचलन, प्रवणता और लाप्लासियन सहित अन्य उपयोगी फ़ार्मुलों के लिए, वक्ररेखीय निर्देशांक देखें।

इंटीग्रल कैलकुलस (चाप लंबाई)
एक ध्रुवीय फलन द्वारा परिभाषित चाप की लंबाई (एक रेखा खंड की लंबाई) वक्र r(φ) पर एकीकरण द्वारा पाई जाती है। L को इस लंबाई को बिंदु A से बिंदु B तक वक्र के साथ निरूपित करें, जहां ये बिंदु φ = a और φ = b के अनुरूप हैं जैसे कि $e = 0$. एल की लंबाई निम्नलिखित अभिन्न द्वारा दी गई है $$L = \int_a^b \sqrt{ \left[r(\varphi)\right]^2 + \left[ {\tfrac{dr(\varphi) }{ d\varphi }} \right] ^2 } d\varphi$$

इंटीग्रल कैलकुलस (क्षेत्रफल)
मान लीजिए कि R एक वक्र r(φ) से घिरे क्षेत्र को निरूपित करता है और किरणें φ = a और φ = b, जहाँ 0 < b − a ≤ 2π. तो, R का क्षेत्रफल है $$\frac12\int_a^b \left[r(\varphi)\right]^2\, d\varphi.$$

यह परिणाम इस प्रकार पाया जा सकता है। सबसे पहले, अंतराल [a, b] को n उपअंतरालों में विभाजित किया जाता है, जहाँ n कोई सकारात्मक पूर्णांक है। इस प्रकार Δφ, प्रत्येक उपअंतराल का कोण माप, $x = r cos φ$ (अंतराल का कुल कोण माप) के बराबर होता है, जिसे n, उपअंतरालों की संख्या से विभाजित किया जाता है। प्रत्येक उपअंतराल के लिए i = 1, 2, ..., n, मान लीजिए φi उपअंतराल का मध्यबिंदु है, और ध्रुव पर केंद्र के साथ त्रिज्या r(φi), केंद्रीय कोण Δφ और चाप लंबाई r(φi) के साथ एक त्रिज्यखंड का निर्माण करें ) Δφ. इसलिए प्रत्येक निर्मित क्षेत्र का क्षेत्रफल बराबर है$$\left[r(\varphi_i)\right]^2 \pi \cdot \frac{\Delta \varphi}{2\pi} = \frac{1}{2}\left[r(\varphi_i)\right]^2 \Delta \varphi.$$ इसलिए, सभी क्षेत्रों का कुल क्षेत्रफल है $$\sum_{i=1}^n \tfrac12r(\varphi_i)^2\,\Delta\varphi.$$ जैसे-जैसे उपअंतराल n की संख्या बढ़ती है, क्षेत्र के सन्निकटन में सुधार होता है। ले रहा n → ∞, उपरोक्त इंटीग्रल के लिए योग रीमैन योग बन जाता है।

एक यांत्रिक उपकरण जो क्षेत्र इंटीग्रल की गणना करता है, वह प्लैनीमीटर है, जो समतल आकृतियों के क्षेत्र को ट्रेस करके मापता है: यह एक जोड़ जोड़कर ध्रुवीय निर्देशांक में एकीकरण को दोहराता है ताकि 2-तत्व लिंकेज (मैकेनिकल) ग्रीन के प्रमेय को प्रभावित करता है, द्विघात को परिवर्तित करता है। एक रैखिक अभिन्न के लिए ध्रुवीय अभिन्न।

सामान्यीकरण
कार्तीय निर्देशांक का उपयोग करके, एक अतिसूक्ष्म क्षेत्र तत्व की गणना dA = dx dy के रूप में की जा सकती है। एकाधिक इंटीग्रल के लिए प्रतिस्थापन नियम बताता है कि, अन्य निर्देशांकों का उपयोग करते समय, समन्वय रूपांतरण सूत्र के जैकबियन निर्धारक पर विचार किया जाना चाहिए: $$J = \det \frac{\partial(x, y)}{\partial(r, \varphi)} = \begin{vmatrix} \frac{\partial x}{\partial r} & \frac{\partial x}{\partial \varphi} \\[2pt] \frac{\partial y}{\partial r} & \frac{\partial y}{\partial \varphi} \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} \cos\varphi & -r\sin\varphi \\ \sin\varphi & r\cos\varphi \end{vmatrix} = r\cos^2\varphi + r\sin^2\varphi = r. $$ इसलिए, ध्रुवीय निर्देशांक में एक क्षेत्र तत्व के रूप में लिखा जा सकता है $$dA = dx\,dy\ = J\,dr\,d\varphi = r\,dr\,d\varphi.$$ अब, एक फलन, जो ध्रुवीय निर्देशांकों में दिया गया है, को निम्नानुसार समाकलित किया जा सकता है: $$\iint_R f(x, y)\, dA = \int_a^b \int_0^{r(\varphi)} f(r, \varphi)\,r\,dr\,d\varphi.$$ यहाँ, R ऊपर जैसा ही क्षेत्र है, अर्थात् वक्र r(φ) और किरणों φ = a और φ = b से घिरा क्षेत्र। R के क्षेत्रफल का सूत्र f को समान रूप से 1 लेकर प्राप्त किया जाता है।

छवि: ई^(-x^2).svg|thumb|right| का ग्राफ $$f(x) = e^{-x^2}$$ और फ़ंक्शन और के बीच का क्षेत्र $$x$$-अक्ष, जो के बराबर है $$\sqrt{\pi}$$.

इस परिणाम का एक और आश्चर्यजनक अनुप्रयोग गॉसियन अभिन्न उत्पन्न करता है: $$\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2} \, dx = \sqrt\pi.$$

सदिश कलन
सदिश कलन को ध्रुवीय निर्देशांकों पर भी प्रयुक्त किया जा सकता है। एक समतलीय गति के लिए, मान लीजिए $$\mathbf{r}$$ स्थिति सदिश बनें $y = r sin φ$, r और φ के साथ समय t पर निर्भर करता है।

हम यूनिट सदिश को परिभाषित करते हैं $$\hat{\mathbf{r}} = (\cos(\varphi), \sin(\varphi))$$ की दिशा में $$\mathbf{r}$$ तथा $$\hat \boldsymbol \varphi = (-\sin(\varphi), \cos(\varphi)) = \hat{\mathbf{k}} \times \hat{\mathbf{r}} \ ,$$ रेडियल दिशा के लंबवत गति के तल में, जहाँ $$\hat{\mathbf{k}}$$ गति के तल के लिए सामान्य एक इकाई सदिश है।

फिर $$\begin{align} \mathbf{r} &= (x,\ y) = r(\cos\varphi,\ \sin\varphi) = r \hat{\mathbf{r}}\, \\ \dot{\mathbf{r}} &= \left(\dot{x},\ \dot{y}\right) = \dot{r}(\cos\varphi,\ \sin\varphi) + r\dot{\varphi}(-\sin\varphi,\ \cos\varphi) = \dot{r}\hat{\mathbf{r}} + r\dot{\varphi}\hat{\boldsymbol{\varphi}}\ ,\\ \ddot{\mathbf{r}} &= \left(\ddot{x},\ \ddot{y}\right) \\ &= \ddot{r}(\cos\varphi,\ \sin\varphi) + 2\dot{r}\dot{\varphi}(-\sin\varphi,\ \cos\varphi) + r\ddot{\varphi}(-\sin\varphi,\ \cos\varphi) - r\dot{\varphi}^2(\cos\varphi,\ \sin\varphi) \\ &= \left(\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2\right) \hat{\mathbf{r}} + \left(r\ddot{\varphi} + 2\dot{r}\dot{\varphi}\right) \hat{\boldsymbol{\varphi}} \\ &= \left(\ddot{r} - r\dot{\varphi}^2\right) \hat{\mathbf{r}} + \frac{1}{r}\; \frac{d}{dt} \left(r^2\dot{\varphi}\right) \hat{\boldsymbol{\varphi}}. \end{align}$$

केन्द्रापसारक और कोरिओलिस शर्तें
शब्द $$r\dot\varphi^2$$ कभी-कभी केन्द्रापसारक त्वरण और शब्द के रूप में जाना जाता है $$2\dot r \dot\varphi$$ कोरिओलिस त्वरण के रूप में। उदाहरण के लिए, शंकर को देखें।

नोट: ये शब्द, जो प्रकट होते हैं जब त्वरण को ध्रुवीय निर्देशांक में व्यक्त किया जाता है, भिन्नता का एक गणितीय परिणाम है; वे तब प्रकट होते हैं जब ध्रुवीय निर्देशांकों का उपयोग किया जाता है। प्लेनर कण गतिकी में ये त्वरण संदर्भ के घूर्णन फ्रेम में न्यूटन के गति के दूसरे नियम को स्थापित करते समय दिखाई देते हैं। यहाँ इन अतिरिक्त शब्दों को प्रायः काल्पनिक शक्तियाँ कहा जाता है; काल्पनिक हैं क्योंकि वे केवल निर्देशांक ढाँचे में परिवर्तन का परिणाम हैं। इसका मतलब यह नहीं है कि उनका अस्तित्व नहीं है, बल्कि वे केवल घूमते हुए फ्रेम में सम्मिलित हैं।



सह-घूर्णन फ्रेम
तलीय गति में एक कण के लिए, इन शर्तों को भौतिक महत्व देने का एक दृष्टिकोण संदर्भ के एक तात्कालिक सह-घूर्णन फ्रेम की अवधारणा पर आधारित है। सह-घूर्णन फ्रेम को परिभाषित करने के लिए, पहले एक मूल का चयन किया जाता है जिससे कण की दूरी r(t) को परिभाषित किया जाता है। रोटेशन की एक धुरी स्थापित की जाती है जो कण की गति के तल के लंबवत होती है, और इस उत्पत्ति से गुजरती है। फिर, चयनित क्षण t पर, सह-घूर्णन फ्रेम Ω के घूर्णन की दर को इस अक्ष, dφ/dt के बारे में कण के घूर्णन की दर से मिलान करने के लिए बनाया जाता है। अगला, जड़त्वीय फ्रेम में त्वरण की शर्तें सह-घूर्णन फ्रेम में उन लोगों से संबंधित हैं। जड़त्वीय फ्रेम में कण का स्थान होने दें (r(t), φ(t)), और सह-घूर्णन फ्रेम में हो (r′(t), φ′(t))। क्योंकि सह-घूर्णन फ्रेम कण के समान दर पर घूमता है, dφ'/dt = 0. सह-घूर्णन फ्रेम में काल्पनिक केन्द्रापसारक बल mrΩ2 है, रेडियल रूप से बाहर की ओर। सह-घूर्णन फ्रेम में कण का वेग भी रेडियल रूप से बाहर की ओर होता है, क्योंकि dφ'/dt = 0. काल्पनिक कोरिओलिस बल का मान -2m(dr/dt)Ω होता है, जो केवल φ बढ़ने की दिशा में इंगित किया जाता है। इस प्रकार, न्यूटन के दूसरे नियम में इन बलों का प्रयोग करने पर हम पाते हैं: $$\boldsymbol{F} + \boldsymbol{F}_\text{cf} + \boldsymbol{F}_\text{Cor} = m\ddot{\boldsymbol{r}} \, $$ जहां ओवर डॉट्स समय भिन्नताओं का प्रतिनिधित्व करते हैं, और एफ शुद्ध वास्तविक बल है (काल्पनिक ताकतों के विपरीत)। घटकों के संदर्भ में, यह सदिश समीकरण बन जाता है: $$\begin{align} F_r + mr\Omega^2 &= m\ddot{r} \\ F_\varphi - 2m\dot{r}\Omega &= mr\ddot{\varphi} \ , \end{align}$$ जिसकी तुलना जड़त्वीय फ्रेम के समीकरणों से की जा सकती है: $$\begin{align} F_r &= m\ddot{r} - mr\dot{\varphi}^2 \\ F_\varphi &= mr\ddot{\varphi} + 2m\dot{r}\dot{\varphi} \. \end{align}$$ यह तुलना, साथ ही मान्यता है कि समय टी पर सह-घूर्णन फ्रेम की परिभाषा के अनुसार इसकी रोटेशन की दर Ω = dφ/dt है, यह दर्शाता है कि हम त्वरण में शब्दों की व्याख्या कर सकते हैं (कण के द्रव्यमान से गुणा) जैसा कि जड़त्वीय फ्रेम में केन्द्रापसारक और कोरिओलिस बलों के नकारात्मक के रूप में पाया जाता है जो तात्कालिक, गैर-जड़त्वीय सह-घूर्णन फ्रेम में देखा जाएगा।

एक कण की सामान्य गति के लिए (सरल परिपत्र गति के विपरीत), एक कण के संदर्भ के फ्रेम में केन्द्रापसारक और कोरिओलिस बलों को सामान्यतः इसकी गति के तात्कालिक ऑस्क्युलेटिंग सर्कल को संदर्भित किया जाता है, न कि ध्रुवीय निर्देशांक के एक निश्चित केंद्र के लिए। अधिक विवरण के लिए, केन्द्रापसारक बल देखें।

विभेदक ज्यामिति
विभेदक ज्यामिति की आधुनिक शब्दावली में, ध्रुवीय निर्देशांक अलग-अलग कई गुना के लिए समन्वय चार्ट प्रदान करते हैं $0 < b − a < 2π$, समतल माइनस द ओरिजिन। इन निर्देशांकों में, यूक्लिडियन मीट्रिक टेंसर द्वारा दिया जाता है$$ds^2 = dr^2 + r^2 d\theta^2.$$इसे मीट्रिक टेन्सर के चर सूत्र के परिवर्तन के माध्यम से देखा जा सकता है, या 0-रूपों $b − a$, $(r cos(φ), r sin(φ))$ के बाहरी व्युत्पन्न के माध्यम से अंतर रूपों dx, dy की गणना करके और प्रतिस्थापित करके देखा जा सकता है। उन्हें यूक्लिडियन मीट्रिक टेन्सर $R^{2} \ {(0,0)}$ में इस मीट्रिक के संबंध में एक ऑर्थोनॉर्मलिटी मूविंग फ्रेम द्वारा दिया गया है:$$e_r = \frac{\partial}{\partial r}, \quad e_\theta = \frac1r \frac{\partial}{\partial \theta},$$मूविंग फ्रेम # कोफ्रेम्स के साथ$$e^r = dr, \quad e^\theta = r d\theta.$$इस फ्रेम और लेवी-Civita कनेक्शन के संबंध में कनेक्शन प्रपत्र 1-रूपों के तिरछा-सममित मैट्रिक्स द्वारा दिया गया है$${\omega^i}_j = \begin{pmatrix} 0 & -d\theta \\ d\theta & 0\end{pmatrix}$$और इसलिए वक्रता रूप $x = r cos(θ)$ गायब हो जाता है। इसलिए, जैसा कि अपेक्षित था, पंचर समतल एक सपाट कई गुना है।

3डी में एक्सटेंशन
ध्रुवीय समन्वय प्रणाली को दो अलग-अलग समन्वय प्रणालियों, बेलनाकार और गोलाकार समन्वय प्रणाली के साथ तीन आयामों में विस्तारित किया गया है।

अनुप्रयोग
ध्रुवीय निर्देशांक द्वि-आयामी होते हैं और इस प्रकार उनका उपयोग केवल वहीं किया जा सकता है जहां बिंदु स्थिति एकल द्वि-आयामी तल पर स्थित होती है। वे किसी भी संदर्भ में सबसे उपयुक्त हैं जहां विचार की जा रही घटना स्वाभाविक रूप से एक केंद्र बिंदु से दिशा और लंबाई से जुड़ी हुई है। उदाहरण के लिए, ऊपर दिए गए उदाहरण दिखाते हैं कि प्रारंभिक ध्रुवीय समीकरण वक्रों को परिभाषित करने के लिए कैसे पर्याप्त हैं - जैसे कि आर्किमिडीयन कुंडली - जिसका कार्तीय समन्वय प्रणाली में समीकरण बहुत अधिक जटिल होगा। इसके अतिरिक्त, कई भौतिक प्रणालियां- जैसे कि एक केंद्रीय बिंदु के चारों ओर घूमने वाले पिंडों से संबंधित या एक केंद्रीय बिंदु से उत्पन्न होने वाली घटनाएं-ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग करके मॉडल के लिए सरल और अधिक सहज हैं। ध्रुवीय प्रणाली की प्रारम्भ के लिए प्रारंभिक प्रेरणा परिपत्र और कक्षीय गति का अध्ययन था।

स्थिति और नेविगेशन
नेविगेशन में प्रायः ध्रुवीय निर्देशांक का उपयोग किया जाता है क्योंकि गंतव्य या यात्रा की दिशा को एक कोण और वस्तु से दूरी के रूप में माना जा सकता है। उदाहरण के लिए, समतल नेविगेशन के लिए ध्रुवीय निर्देशांकों के थोड़े संशोधित संस्करण का उपयोग करते हैं। इस प्रणाली में, सामान्यतः किसी भी प्रकार के नेविगेशन के लिए उपयोग किया जाता है, 0° किरण को सामान्यतः हेडिंग 360 कहा जाता है, और कोण गणितीय प्रणाली की तरह वामावर्त की बजाय दक्षिणावर्त दिशा में जारी रहते हैं। शीर्षक 360 चुंबकीय उत्तर से मेल खाता है, जबकि शीर्षक 90, 180, और 270 क्रमशः चुंबकीय पूर्व, दक्षिण और पश्चिम से मेल खाता है। इस प्रकार, पूर्व की ओर 5 समुद्री मील की यात्रा करने वाला एक समतल शीर्ष 90 पर 5 इकाइयों की यात्रा करेगा (हवाई यातायात नियंत्रण द्वारा शून्य-नाइनर-शून्य पढ़ें)।

मॉडलिंग
रेडियल समरूपता प्रदर्शित करने वाली प्रणालियाँ ध्रुवीय समन्वय प्रणाली के लिए प्राकृतिक सेटिंग्स प्रदान करती हैं, जिसमें केंद्रीय बिंदु ध्रुव के रूप में कार्य करता है। रेडियल सममित कुओं पर प्रयुक्त होने पर इस उपयोग का एक प्रमुख उदाहरण भूजल प्रवाह समीकरण है। रेडियल बल वाले सिस्टम भी ध्रुवीय समन्वय प्रणाली के उपयोग के लिए अच्छे उम्मीदवार हैं। इन प्रणालियों में गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र सम्मिलित हैं, जो व्युत्क्रम-वर्ग कानून का अनुसरण करते हैं, साथ ही रेडियो एंटेना जैसे बिंदु स्रोतों वाले सिस्टम भी सम्मिलित हैं।

त्रिज्यीय असममित प्रणालियों को ध्रुवीय निर्देशांकों के साथ भी प्रतिरूपित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक माइक्रोफ़ोन का माइक्रोफोन पिकअप पैटर्न किसी दिए गए दिशा से आने वाली ध्वनि के लिए आनुपातिक प्रतिक्रिया दिखाता है, और इन पैटर्नों को ध्रुवीय वक्रों के रूप में प्रदर्शित किया जा सकता है। एक मानक कार्डियोइड माइक्रोफोन के लिए वक्र, सबसे आम यूनिडायरेक्शनल माइक्रोफोन, को इसके लक्ष्य डिजाइन आवृत्ति पर के रूप में दर्शाया जा सकता है। पैटर्न कम आवृत्तियों पर सर्वदिशात्मकता की ओर बढ़ता है।

यह भी देखें

 * वक्रीय निर्देशांक
 * विहित समन्वय परिवर्तनों की सूची
 * लॉग-ध्रुवीय निर्देशांक
 * ध्रुवीय अपघटन
 * यूनिट सर्कल

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बाहरी संबंध

 * Coordinate Converter &mdash; converts between polar, Cartesian and spherical coordinates
 * Polar Coordinate System Dynamic Demo
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