वक्र अनुकूलन

वक्र अनुकूलन एक वक्र, या गणितीय फलन के निर्माण की प्रक्रिया है, जो आँकड़े बिंदुओं की एक श्रृंखला के लिए सबसे उपयुक्त है, संभवतः बाधाओं के अधीन है।  वक्र अनुकूलन में या तो प्रक्षेप शामिल हो सकता है,  जहां आँकड़े के लिए एक सही अनुरूप की आवश्यकता होती है, या समकरण,  जिसमें एक "सहज" फलन का निर्माण किया जाता है जो आँकड़े को लगभग अनुरूप करता है। संबंधित विषय प्रतिगमन विश्लेषण है,  जो सांख्यिकीय अनुमान के प्रश्नों पर अधिक ध्यान केंद्रित करता है जैसे कि वक्र में कितनी अनिश्चितता मौजूद है जो यादृच्छिक त्रुटियों के साथ देखे गए आँकड़े के लिए उपयुक्त है। अनुरूप वक्र का उपयोग आँकड़े दृश्यकरण के लिए सहायता के रूप में,  फलन के मूल्यों का अनुमान लगाने के लिए जहां कोई आँकड़े उपलब्ध नहीं है, और दो या अधिक चर के बीच संबंधों को संक्षेप में प्रस्तुत करने के लिए किया जा सकता है। बहिर्वेशन प्रेक्षित आँकड़े की सीमा से परे एक अनुरूप वक्र के उपयोग को संदर्भित करता है, [ और अनिश्चितता की एक घात के अधीन है क्योंकि यह वक्र के निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली विधि को उतना ही प्रतिबिंबित कर सकता है जितना कि यह देखे गए आँकड़े को दर्शाता है।

आँकड़े के रैखिक-बीजगणितीय विश्लेषण के लिए "अनुकूलन" का अर्थ आमतौर पर उस वक्र को खोजने का प्रयास करना होता है जो वक्र से एक बिंदु के ऊर्ध्वाधर (y-अक्ष) विस्थापन को कम करता है (उदाहरण के लिए, सामान्य न्यूनतम वर्ग)। हालांकि, आलेखी और छवि अनुप्रयोगों के लिए, ज्यामितीय अनुकूलन सर्वोत्तम दृश्य अनुरूप प्रदान करना चाहता है, जिसका आमतौर पर मतलब होता है वक्र के लिए लंबकोणीय दूरी को कम करने की कोशिश करना (जैसे, कुल कम से कम वर्ग), या अन्यथा वक्र से बिंदु के विस्थापन के दोनों अक्षों को शामिल करना। ज्यामितीय अनुरूप लोकप्रिय नहीं हैं क्योंकि उन्हें आमतौर पर गैर-रैखिक और/या पुनरावृत्त गणना की आवश्यकता होती है, हालांकि उनके पास अधिक सौंदर्य और ज्यामितीय रूप से सही परिणाम का लाभ होता है।

आँकड़े बिंदुओं के लिए कार्यों की बीजगणितीय अनुकूलन
सबसे आम तौर पर, विधि के फलन को अनुरूप करता है $y=f(x)$.

आँकड़े बिंदुओं के लिए अनुकूलन रेखाएँ और बहुपद कार्य
पहली घात बहुपद समीकरण


 * $$y = ax + b\;$$

ढाल a वाली एक रेखा है, रेखा किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ेगी, इसलिए प्रथम घात बहुपद समीकरण अलग-अलग x निर्देशांक वाले किन्हीं दो बिंदुओं के माध्यम से सही रूप से अनुरूप होता है।

यदि समीकरण के क्रम को दूसरी घात बहुपद तक बढ़ा दिया जाता है, तो निम्नलिखित परिणाम प्राप्त होते हैं:


 * $$y = ax^2 + bx + c\;.$$

यह बिल्कुल साधारण वक्र को तीन बिंदुओं पर अनुरूप करेगा।

यदि समीकरण के क्रम को एक तिहाई घात बहुपद तक बढ़ा दिया जाता है, तो निम्नलिखित प्राप्त होता है:


 * $$y = ax^3 + bx^2 + cx + d\;.$$

यह बिल्कुल चार बिंदुओं पर अनुरूप होगा।

अधिक सामान्य कथन यह कहना होगा कि यह बिल्कुल चार बाधाओं के अनुरूप होगा। प्रत्येक बाधा एक बिंदु,कोण या वक्रता हो सकती है (जो एक दोलन वृत्त की त्रिज्या का व्युत्क्रम है)। कोण और वक्रता बाधाओं को अक्सर एक वक्र के सिरों पर जोड़ा जाता है, और ऐसे मामलों में अंत की स्थिति कहलाती है। एक ही तख़्ता में निहित बहुपद वक्रों के बीच एक सहज संक्रमण सुनिश्चित करने के लिए समान अंत स्थितियों का अक्सर उपयोग किया जाता है। उच्च-क्रम की बाधाएं, जैसे "वक्रता की दर में परिवर्तन", को भी जोड़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, एक कार पर लागू बलों के परिवर्तन की दर को समझने के लिए राजमार्ग तिपतिया घास अभिकल्पना में उपयोगी होगा (झटका देखें), क्योंकि यह तिपतिया घास का अनुसरण तदनुसार उचित गति सीमा निर्धारित करने के लिए करता है।

पहली घात बहुपद समीकरण भी एक बिंदु और एक कोण के लिए एक सही अनुरूप हो सकता है जबकि तीसरी घात बहुपद समीकरण भी दो बिंदुओं, एक कोण बाधा और वक्रता बाधा के लिए सही अनुरूप हो सकता है। इनके लिए और उच्च क्रम वाले बहुपद समीकरणों के लिए बाधाओं के कई अन्य संयोजन संभव हैं।

यदि n + 1 से अधिक बाधाएं हैं (n बहुपद की घात होने के नाते), तो बहुपद वक्र अभी भी उन बाधाओं के माध्यम से चलाया जा सकता है। सभी बाधाओं के लिए एक सही अनुरूप निश्चित नहीं है (लेकिन हो सकता है, उदाहरण के लिए, पहली घात बहुपद के मामले में तीन संरेखबिंदु को बिल्कुल अनुरूप करना)। सामान्य तौर पर, हालांकि, प्रत्येक सन्निकटन का मूल्यांकन करने के लिए कुछ विधि की आवश्यकता होती है। कम से कम वर्ग विधि विचलन की तुलना करने का एक तरीका है।

बहुपद समीकरण की घात को बढ़ाना और सही मिलान प्राप्त करना संभव होने पर अनुमानित अनुरूप होने के कई कारण दिए गए हैं।


 * यहां तक ​​​​कि अगर सही मिलान मौजूद है, तो यह जरूरी नहीं है कि इसे आसानी से खोजा जा सके। उपयोग किए गए एल्गोरिदम के आधार पर एक अलग मामला हो सकता है, जहां सही अनुरूप की गणना नहीं की जा सकती है, या समाधान खोजने में बहुत अधिक गणक समय लग सकता है। इस स्थिति के लिए एक अनुमानित समाधान की आवश्यकता हो सकती है।
 * एक नमूने में संदिग्ध आँकड़े बिंदुओं के औसत का प्रभाव, उन्हें ठीक से अनुरूप करने के लिए वक्र को विकृत करने के बजाय, वांछनीय हो सकता है।
 * रंज की घटना: उच्च क्रम बहुपद अत्यधिक दोलनशील हो सकते हैं। यदि एक वक्र दो बिंदुओं A और B से होकर गुजरता है, तो यह अपेक्षा की जाएगी कि वक्र A और B के मध्य बिंदु के पास भी कुछ हद तक चलेगा। यह उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्रों के साथ नहीं हो सकता है, उनके पास ऐसे मान भी हो सकते हैं जो घनात्मक या ऋणात्मक परिमाण (गणित) में बहुत बड़े हों। निम्न-क्रम वाले बहुपदों के साथ, वक्र के मध्य बिंदु के पास गिरने की अधिक संभावना है (यह पहली घात बहुपद पर मध्य बिंदु के माध्यम से चलने की गारंटी भी है)।
 * निम्न-क्रम वाले बहुपद सहज होते हैं और उच्च-क्रम वाले बहुपद वक्र "ढेलेदार" होते हैं। इसे और अधिक सही रूप से परिभाषित करने के लिए, बहुपद वक्र में संभव अधिकतम विभक्ति बिंदु n-2 है, जहां n बहुपद समीकरण का क्रम है। विभक्ति बिंदु वक्र पर एक स्थान है जहां यह एक घनात्मक त्रिज्या से ऋणात्मक पर परिवर्तन करता है। हम यह भी कह सकते हैं कि यह वह जगह है जहां यह "होल्डिंग वॉटर" से "बहाते पानी" में बदल जाता है। ध्यान दें कि यह केवल "संभव" है कि उच्च क्रम वाले बहुपद ढेलेदार होंगे, वे सहज भी हो सकते हैं, लेकिन निम्न क्रम के बहुपद वक्रों के विपरीत इसकी कोई गारंटी नहीं है। एक पंद्रहवीं घात बहुपद में, अधिक से अधिक, तेरह विभक्ति बिंदु हो सकते हैं, लेकिन ग्यारह, या नौ या कोई भी विषम संख्या एक से कम हो सकती है। (सम संख्या वाले बहुपद में n - 2 से नीचे शून्य तक किसी भी सम संख्या में विभक्ति बिंदु हो सकते हैं।)

सही अनुरूप के लिए आवश्यकता से अधिक होने वाले बहुपद वक्र की घात उच्च क्रम बहुपदों के लिए पहले सूचीबद्ध सभी कारणों के लिए अवांछनीय है, लेकिन एक ऐसे मामले की ओर भी ले जाती है जहां अनंत संख्या में समाधान होते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य दो के बजाय केवल एक बिंदु से विवश एक प्रथम घात बहुपद (एक रेखा), अनंत संख्या में समाधान देगा। यह इस समस्या को सामने लाता है कि कैसे तुलना करें और केवल एक समाधान चुनें, जो सॉफ्टवेयर और मनुष्यों के लिए भी एक समस्या हो सकती है। इस कारण से, सभी बाधाओं पर सही मिलान के लिए जितना संभव हो उतना कम घात चुनना सबसे अच्छा है, और शायद इससे भी कम घात, यदि एक अनुमानित अनुरूप स्वीकार्य है।



अन्य कार्यों को आँकड़े बिंदुओं पर अनुरूपकरना
कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे त्रिकोणमितीय फलन (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है।

वर्णक्रमिकी में, आँकड़े को गाऊसी, लोरेंत्ज़ियन, वोइग्ट और संबंधित कार्यों के साथ अनुरूप किया जा सकता है।

जीव विज्ञान, पारिस्थितिकी, जनसांख्यिकी, महामारी विज्ञान, और कई अन्य विषयों में, जनसंख्या की वृद्धि, संक्रामक रोग का प्रसार, आदि को तार्किक फलन का उपयोग करके अनुरूप किया जा सकता है।

कृषि में प्रतिलोमित वर्णक्रमिकी अवग्रह फलन (S-वक्र) का उपयोग फसल की उपज और वृद्धि कारकों के बीच संबंध का वर्णन करने के लिए किया जाता है। नीली आकृति कृषि भूमि में मापे गए आँकड़े के अवग्रह प्रतिगमन द्वारा बनाई गई थी। यह देखा जा सकता है कि शुरू में, यानी कम मिट्टी की लवणता पर, मिट्टी की लवणता बढ़ने पर फसल की उपज धीरे-धीरे कम हो जाती है, जबकि उसके बाद कमी तेजी से बढ़ती है।

आँकड़े बिंदुओं के लिए विमान वक्र की ज्यामितीय अनुकूलन
यदि $$y=f(x)$$ विधि का कोई अभिधारणा नहीं किया जा सकता है, तब भी कोई समतल वक्र अनुरूप करने का प्रयास कर सकता है।

कुछ मामलों में अन्य प्रकार के वक्र, जैसे कि शंकु खंड(गोलाकार, अण्डाकार, परवलयिक, और अतिशयोक्तिपूर्ण चाप) या त्रिकोणमितीय कार्य (जैसे साइन और कोसाइन) का भी उपयोग किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, गुरुत्वाकर्षण के प्रभाव में वस्तुओं के प्रक्षेपवक्र एक परवलयिक पथ का अनुसरण करते हैं, जब वायु प्रतिरोध को नजरअंदाज कर दिया जाता है। इसलिए, एक परवलयिक वक्र के लिए प्रक्षेपवक्र आँकड़े बिंदुओं का मिलान करना समझ में आता है। ज्वार ज्यावक्रीय प्रतिरूप का पालन करते हैं, इसलिए ज्वारीय आँकड़े बिंदुओं को एक साइन लहर से मिलान किया जाना चाहिए, या विभिन्न अवधियों की दो साइन तरंगों का योग, यदि चंद्रमा और सूर्य दोनों के प्रभावों पर विचार किया जाता है।

प्राचलिक वक्र के लिए, इसके प्रत्येक निर्देशांक को चाप लंबाई के एक अलग कार्य के रूप में अनुरूप करना प्रभावी होता है, यह मानते हुए कि आँकड़े बिंदुओं का आदेश दिया जा सकता है, तार दूरी का उपयोग किया जा सकता है।

ज्यामितीय अनुरूप द्वारा एक वृत्त को अनुरूप करना
कूप 2डी आँकड़े बिंदुओं के एक सेट के लिए सर्कल के सर्वोत्तम दृश्य अनुरूप को खोजने की कोशिश करने की समस्या का सामना करता है। विधि सामान्य रूप से गैर-रैखिक समस्या को एक रैखिक समस्या में बदल देती है जिसे पुनरावृत्त संख्यात्मक विधियों का उपयोग किए बिना हल किया जा सकता है, और इसलिए पिछली तकनीकों की तुलना में बहुत तेज़ है।

ज्यामितीय अनुरूप द्वारा एक दीर्घवृत्त को अनुरूप करना
उपरोक्त तकनीक को गैर-रेखीय चरण जोड़कर सामान्य दीर्घवृत्त तक बढ़ा दिया गया है, जिसके परिणामस्वरूप एक ऐसी विधि है जो तेज है, फिर भी मनमाना अभिविन्यास और विस्थापन के नेत्रहीन मनभावन दीर्घवृत्त पाता है।

अनुकूलन सतह
ध्यान दें कि जबकि यह चर्चा 2D वक्रों के संदर्भ में थी, इस तर्क का अधिकांश भाग 3D सतहों तक भी फैला हुआ है, जिनमें से प्रत्येक खंड को दो प्राचलिक दिशाओं में वक्रों के जाल द्वारा परिभाषित किया जाता है, जिसे आमतौर पर u और v कहा जाता है। सतह प्रत्येक दिशा में एक या अधिक सतह खंड से बनी हो सकती है।

सॉफ्टवेयर
कई सांख्यिकीय संपुष्टि जैसे कि R और संख्यात्मक सॉफ्टवेयर जैसे कि ग्नुप्लॉट,  जीएनयू वैज्ञानिक पुस्तकालय,  एमएलएबी, मेपल (सॉफ़्टवेयर),  मैटलैब, टीके सॉल्वर 6.0,  साइलैब , मेथेमेटिका, जीएनयू ऑक्टेव, और साइपी में विभिन्न परिदृश्यों में वक्र अनुकूलन करने के लिए समादेश शामिल हैं। वक्र अनुकूलन करने के लिए विशेष रूप से लिखे गए कार्यक्रम भी हैं, वे सांख्यिकीय और संख्यात्मक-विश्लेषण कार्यक्रमों की सूची के साथ-साथ श्रेणी: प्रतिगमन और वक्र अनुकूलन सॉफ़्टवेयर में पाए जा सकते हैं।

यह भी देखें

 * कम से कम वर्ग समायोजन
 * वक्र-अनुकूलन संघनन
 * अनुमान सिद्धांत
 * फलन सन्निकटन
 * स्वस्थ रहने के फायदे
 * आनुवंशिक क्रमदेशन
 * लेवेनबर्ग-मार्क्वार्ड एल्गोरिथम
 * लाइन अनुकूलन
 * मल्टी व्यंजक क्रमदेशन
 * अरेखीय प्रतिगमन
 * अत्युपपन्न
 * समतल वक्र
 * संभाव्यता वितरण अनुकूलन
 * ज्यावक्रीय मॉडल
 * समकरण
 * तख़्ता (गणित) ( तख़्ता प्रक्षेप, समकरण तख़्ता )
 * समय श्रृंखला
 * कुल न्यूनतम वर्ग
 * रैखिक प्रवृत्ति अनुमान

अग्रिम पठन

 * N. Chernov (2010), Circular and linear regression: Fitting circles and lines by least squares, Chapman & Hall/CRC, Monographs on Statistics and Applied Probability, Volume 117 (256 pp.).