सैंडविच सिद्धांत



सैंडविच सिद्धांत एक बीम सिद्धांत, प्लेट सिद्धांत, या प्लेट और गोले के सिद्धांत के व्यवहार का वर्णन करता है जिसमें तीन परतें होती हैं- दो फेसशीट और एक कोर। सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला सैंडविच सिद्धांत रैखिक है और यह प्रथम क्रम बीम सिद्धांत का विस्तार है। सैंडविच पैनल के डिजाइन और विश्लेषण के लिए रैखिक सैंडविच सिद्धांत का महत्व है, जो भवन निर्माण, वाहन निर्माण, हवाई जहाज निर्माण और प्रशीतन इंजीनियरिंग में उपयोग किए जाते हैं।

सैंडविच निर्माण के कुछ लाभ हैं:
 * सैंडविच क्रॉस सेक्शन समग्र सामग्री हैं। वे आमतौर पर निम्न से मध्यम कठोरता वाले कोर से बने होते हैं जो दो कठोर बाहरी फेसशीट से जुड़ा होता है। केवल कोर सामग्री या फेसशीट सामग्री से बने समतुल्य बीम की तुलना में समग्र में वजन अनुपात में काफी अधिक कतरनी कठोरता होती है। समग्र में वजन अनुपात में उच्च तन्यता ताकत भी होती है।
 * फेसशीट की उच्च कठोरता सम्मिश्र के लिए वजन अनुपात में उच्च झुकने की ओर ले जाती है।

लोड के तहत सैंडविच क्रॉस-सेक्शन के साथ बीम (संरचना) का व्यवहार निरंतर रैखिक लोच क्रॉस सेक्शन वाले बीम से अलग होता है। यदि झुकने के दौरान वक्रता (गणित) का त्रिज्या सैंडविच बीम की मोटाई की तुलना में बड़ा है और घटक सामग्री में उपभेद छोटे हैं, सैंडविच समग्र बीम के विरूपण (यांत्रिकी) को दो भागों में अलग किया जा सकता है
 * झुकने के क्षण या झुकने की विकृति के कारण विकृति, और
 * अनुप्रस्थ बलों के कारण होने वाली विकृति, जिसे अपरूपण विकृति भी कहते हैं।

सैंडविच बीम, प्लेट थ्योरी, और प्लेट्स और शैल थ्योरी के थ्योरी आमतौर पर मानते हैं कि संदर्भ तनाव स्थिति शून्य तनाव में से एक है। हालांकि, इलाज के दौरान, मुख्य सामग्री द्वारा थर्मल पृथक्करण के कारण फेसशीट के बीच तापमान का अंतर बना रहता है। ये तापमान अंतर, फेसशीट के विभिन्न रैखिक विस्तार के साथ मिलकर, गर्म फेसशीट की दिशा में सैंडविच बीम के झुकने का कारण बन सकते हैं। यदि निर्माण प्रक्रिया के दौरान झुकना बाधित होता है, तो सैंडविच कम्पोजिट के घटकों में अवशिष्ट तनाव विकसित हो सकता है। सैंडविच सिद्धांत द्वारा प्रदान किए गए समाधान पर एक संदर्भ तनाव स्थिति का सुपरपोजिशन सिद्धांत समस्या के रैखिक होने पर संभव है। हालांकि, जब बड़े लोचदार विकृतियों और घुमावों की अपेक्षा की जाती है, प्रारंभिक तनाव स्थिति को सीधे सैंडविच सिद्धांत में शामिल किया जाना चाहिए।

इंजीनियरिंग सैंडविच बीम थ्योरी
सैंडविच बीम के इंजीनियरिंग सिद्धांत में, अक्षीय तनाव को बीम के क्रॉस-सेक्शन पर बीम सिद्धांत के रूप में रैखिक रूप से भिन्न माना जाता है। यूलर-बर्नौली सिद्धांत, यानी,

\varepsilon_{xx}(x,z) = -z~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} $$ इसलिए, सैंडविच बीम में अक्षीय तनाव द्वारा दिया जाता है

\sigma_{xx}(x,z) = -z~E(z)~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} $$ कहाँ $$E(z)$$ यंग का मापांक है जो बीम की मोटाई के साथ स्थान का एक कार्य है। बीम में झुकने का क्षण तब दिया जाता है

M_x(x) = \int\int z~\sigma_{xx}~\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y = -\left(\int\int z^2 E(z)~\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y\right)~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} =: -D~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} $$ मात्रा $$D$$ सैंडविच बीम की वंक कठोरता कहलाती है। कतरनी बल $$Q_x$$ परिभाषित किया जाता है

Q_x = \frac{\mathrm{d} M_x}{\mathrm{d} x}~. $$ इन संबंधों का उपयोग करके, हम दिखा सकते हैं कि सैंडविच बीम में मोटाई के कोर के साथ तनाव $$2h$$ और मापांक $$E^c$$ और प्रत्येक मोटाई की दो फेसशीट $$f$$ और मापांक $$E^f$$, द्वारा दिया गया है 

\begin{align} \sigma_{xx}^{\mathrm{f}} & = \cfrac{z E^{\mathrm{f}} M_x}{D} ~; & \sigma_{xx}^{\mathrm{c}} & = \cfrac{z E^{\mathrm{c}} M_x}{D} \\ \tau_{xz}^{\mathrm{f}} & = \cfrac{Q_x E^{\mathrm{f}}}{2D}\left[(h+f)^2-z^2\right] ~; & \tau_{xz}^{\mathrm{c}} & = \cfrac{Q_x}{2D}\left[ E^{\mathrm{c}}\left(h^2-z^2\right) + E^{\mathrm{f}} f(f+2h)\right] \end{align} $$ 


 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"

!Derivation of engineering sandwich beam stresses
 * Since
 * Since

\cfrac{d^2 w}{d x^2}= -\cfrac{M_x(x)}{D} $$ we can write the axial stress as

\sigma_{xx}(x,z) = \cfrac{z~E(z)~M_x(x)}{D} $$ The equation of equilibrium for a two-dimensional solid is given by

\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial \tau_{xz}}{\partial z} = 0 $$ where $$\tau_{xz}$$ is the shear stress. Therefore,

\tau_{xz}(x,z) = \int \frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}~\mathrm{d}z + C(x) = \int \cfrac{z~E(z)}{D}~\frac{\mathrm{d} M_{x}}{\mathrm{d} x}~\mathrm{d}z + C(x) $$ where $$C(x)$$ is a constant of integration. Therefore,

\tau_{xz}(x,z) = \cfrac{Q_x}{D}\int z~E(z)~\mathrm{d}z + C(x) $$ Let us assume that there are no shear tractions applied to the top face of the sandwich beam. The shear stress in the top facesheet is given by

\tau^{\mathrm{face}}_{xz}(x,z) = \cfrac{Q_xE^f}{D}\int_z^{h+f} z~\mathrm{d}z + C(x) = \cfrac{Q_x E^f}{2D}\left[(h+f)^2-z^2\right] + C(x) $$ At $$z = h+f$$, $$\tau_{xz}(x,h+f) = 0$$ implies that $$C(x) = 0$$. Then the shear stress at the top of the core, $$z = h$$, is given by

\tau_{xz}(x,h) = \cfrac{Q_x E^f f(f+2h)}{2D} $$ Similarly, the shear stress in the core can be calculated as

\tau^{\mathrm{core}}_{xz}(x,z) = \cfrac{Q_xE^c}{D}\int_z^{h} z~\mathrm{d}z + C(x) = \cfrac{Q_x E^c}{2D}\left(h^2-z^2\right) + C(x) $$ The integration constant $$C(x)$$ is determined from the continuity of shear stress at the interface of the core and the facesheet. Therefore,

C(x) = \cfrac{Q_x E^f f(f+2h)}{2D} $$ and

\tau^{\mathrm{core}}_{xz}(x,z) = \cfrac{Q_x}{2D}\left[ E^c\left(h^2-z^2\right) + E^f f(f+2h)\right] $$ समान फ़ेसशीट और इकाई चौड़ाई वाले सैंडविच बीम के लिए, का मान $$D$$ है
 * }

\begin{align} D & = E^f\int_w\int_{-h-f}^{-h} z^2~\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y + E^c\int_w\int_{-h}^{h} z^2~\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y + E^f\int_w\int_{h}^{h+f} z^2~\mathrm{d}z\,\mathrm{d}y \\ & = \frac{2}{3}E^ff^3 + \frac{2}{3}E^ch^3 + 2E^ffh(f+h)~. \end{align} $$ अगर $$E^f \gg E^c$$, तब $$D$$ के रूप में अनुमानित किया जा सकता है

D \approx \frac{2}{3}E^ff^3 + 2E^ffh(f+h) = 2fE^f\left(\frac{1}{3}f^2+h(f+h)\right) $$ और सैंडविच बीम में तनाव का अनुमान लगाया जा सकता है

\begin{align} \sigma_{xx}^{\mathrm{f}} & \approx \cfrac{z M_x}{\frac{2}{3}f^3 +2fh(f+h)} ~; & \sigma_{xx}^{\mathrm{c}} & \approx 0 \\ \tau_{xz}^{\mathrm{f}} & \approx \cfrac{Q_x}{\frac{4}{3}f^3+4fh(f+h)}\left[(h+f)^2-z^2\right] ~; & \tau_{xz}^{\mathrm{c}} & \approx \cfrac{Q_x(f+2h)}{\frac{2}{3}f^2+h(f+h)} \end{align} $$ अगर, इसके अलावा, $$f \ll 2h$$, तब

D \approx 2E^ffh(f+h) $$ और बीम में अनुमानित तनाव हैं

\begin{align} \sigma_{xx}^{\mathrm{f}} & \approx \cfrac{zM_x}{2fh(f+h)} ~;& \sigma_{xx}^{\mathrm{c}} & \approx 0 \\ \tau_{xz}^{\mathrm{f}} & \approx \cfrac{Q_x}{4fh(f+h)}\left[(h+f)^2-z^2\right] ~;& \tau_{xz}^{\mathrm{c}} & \approx \cfrac{Q_x(f+2h)}{4h(f+h)} \approx \cfrac{Q_x}{2h} \end{align} $$ अगर हम मानते हैं कि फेसशीट काफी पतली हैं कि तनाव को मोटाई के माध्यम से स्थिर माना जा सकता है, तो हमारे पास सन्निकटन है 

\begin{align} \sigma_{xx}^{\mathrm{f}} & \approx \pm \cfrac{M_x}{2fh} ~;& \sigma_{xx}^{\mathrm{c}} & \approx 0 \\ \tau_{xz}^{\mathrm{f}} & \approx 0 ~; & \tau_{xz}^{\mathrm{c}} & \approx \cfrac{Q_x}{2h} \end{align} $$  इसलिए समस्या को दो भागों में विभाजित किया जा सकता है, एक में केवल कोर शीयर शामिल है और दूसरे में केवल फेसशीट में झुकने वाले तनाव शामिल हैं।

पतली फेसशीट के साथ एक सैंडविच बीम का झुकना
पतली फेसशीट वाले बीम के रैखिक सैंडविच सिद्धांतों की मुख्य धारणाएँ हैं: हालाँकि, कोर में xz कतरनी-तनावों की उपेक्षा नहीं की जाती है।
 * कोर की अनुप्रस्थ सामान्य कठोरता अनंत है, अर्थात, जेड-दिशा में कोर की मोटाई झुकने के दौरान नहीं बदलती है
 * इन-प्लेन कोर की सामान्य कठोरता फेसशीट की तुलना में छोटी होती है, यानी कोर एक्स-दिशा में लंबा या संकुचित नहीं होता है
 * फ़ेसशीट्स बीम सिद्धांत के अनुसार व्यवहार करती हैं। यूलर-बर्नौली धारणा, यानी, फ़ेसशीट्स में कोई xz-शियर नहीं है और फ़ेसशीट्स की z-दिशा मोटाई नहीं बदलती है

संवैधानिक धारणाएँ
द्वि-आयामी ऑर्थोट्रोपिक रैखिक लोच सामग्री के लिए संवैधानिक संबंध हैं

\begin{bmatrix} \sigma_{xx} \\ \sigma_{zz} \\ \sigma_{zx} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} C_{11} & C_{13} & 0 \\ C_{13} & C_{33} & 0 \\ 0 & 0 & C_{55} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} \\ \varepsilon_{zz} \\ \varepsilon_{zx} \end{bmatrix} $$ सैंडविच सिद्धांत की मान्यताएँ सरलीकृत संबंधों की ओर ले जाती हैं

\sigma_{xx}^{\mathrm{face}} = C_{11}^{\mathrm{face}}~\varepsilon_{xx}^{\mathrm{face}} ~; \sigma_{zx}^{\mathrm{core}} = C_{55}^{\mathrm{core}}~\varepsilon_{zx}^{\mathrm{core}} ~; \sigma_{zz}^{\mathrm{face}} = \sigma_{xz}^{\mathrm{face}} = 0 ~; \sigma_{zz}^{\mathrm{core}} = \sigma_{xx}^{\mathrm{core}} = 0 $$ और

\varepsilon_{zz}^{\mathrm{face}} = \varepsilon_{xz}^{\mathrm{face}} = 0 ~; \varepsilon_{zz}^{\mathrm{core}} = \varepsilon_{xx}^{\mathrm{core}} = 0 $$ दो आयामों में संतुलन समीकरण हैं

\cfrac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x} + \cfrac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z} = 0 ~; \cfrac{\partial \sigma_{zx}}{\partial x} + \cfrac{\partial \sigma_{zz}}{\partial z} = 0 $$ एक सैंडविच बीम और संतुलन समीकरण के लिए मान्यताओं का अर्थ है

\sigma_{xx}^{\mathrm{face}} \equiv \sigma_{xx}^{\mathrm{face}}(z) ~; \sigma_{zx}^{\mathrm{core}} = \mathrm{constant} $$ इसलिए, सजातीय फेसशीट और कोर के लिए, उपभेदों का भी रूप होता है

\varepsilon_{xx}^{\mathrm{face}} \equiv \varepsilon_{xx}^{\mathrm{face}}(z) ~; \varepsilon_{zx}^{\mathrm{core}} = \mathrm{constant} $$

कीनेमेटीक्स
सैंडविच बीम को बेंडिंग मोमेंट के अधीन होने दें $$M$$ और एक कतरनी बल $$Q$$. इन भारों के कारण बीम का कुल विक्षेपण होने दें $$w$$. आसन्न आंकड़ा दिखाता है कि, छोटे विस्थापन के लिए, बीम की मध्य-सतह के कुल विक्षेपण को दो विक्षेपों के योग के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, एक शुद्ध झुकने वाला विक्षेपण $$w_b$$ और एक शुद्ध कतरनी विक्षेपण $$w_s$$, अर्थात।,

w(x) = w_b(x) + w_s(x) $$ विरूपण की ज्यामिति से हम देखते हैं कि इंजीनियरिंग कतरनी तनाव ($$\gamma$$) कोर में संबंध द्वारा समग्र में प्रभावी कतरनी तनाव से संबंधित है

\gamma_{zx}^{\mathrm{core}} = \tfrac{2h + f}{2h}~\gamma_{zx}^{\mathrm{beam}} $$ ध्यान दें कि कोर में कतरनी का तनाव समग्र में प्रभावी कतरनी के तनाव से बड़ा है और छोटे विकृतियां ($$\tan \gamma = \gamma$$) उपरोक्त संबंध को प्राप्त करने में माना जाता है। बीम में प्रभावी कतरनी तनाव संबंध द्वारा कतरनी विस्थापन से संबंधित है

\gamma_{zx}^{\mathrm{beam}} = \cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} $$ यूलर-बर्नौली बीम सिद्धांत की मान्यताओं के अनुसार फेसशीट को ख़राब माना जाता है। फेसशीट्स के कुल विक्षेपण को झुकने के कारण और कोर कतरनी के कारण होने वाले विक्षेपों का सुपरपोजिशन माना जाता है। $$x$$>-झुकने के कारण फेस शीट्स का दिशा विस्थापन किसके द्वारा दिया जाता है

u_b^{\mathrm{face}}(x,z) = -z~\cfrac{\mathrm{d} w_b}{\mathrm{d} x} $$ कोर में अपरूपण के कारण शीर्ष फलक का विस्थापन होता है

u_s^{\mathrm{topface}}(x,z) = -\left(z - h - \tfrac{f}{2}\right)~\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} $$ और वह नीचे की फेसशीट है

u_s^{\mathrm{botface}}(x,z) = -\left(z + h + \tfrac{f}{2}\right)~\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} $$ दो फेसशीट में सामान्य तनाव द्वारा दिया जाता है

\varepsilon_{xx} = \cfrac{\partial u_b}{\partial x} + \cfrac{\partial u_s}{\partial x} $$ इसलिए,

\varepsilon_{xx}^{\mathrm{topface}} = -z~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} -\left(z - h - \tfrac{f}{2}\right)~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2} ~; \varepsilon_{xx}^{\mathrm{botface}} = -z~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} -\left(z + h + \tfrac{f}{2}\right)~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2} $$

तनाव-विस्थापन संबंध
कोर में अपरूपण तनाव द्वारा दिया जाता है

\sigma_{zx}^{\mathrm{core}} = C^{\mathrm{core}}_{55}~\varepsilon_{zx}^{\mathrm{core}} = \cfrac{C_{55}^{\mathrm{core}}}{2}~\gamma_{zx}^{\mathrm{core}} = \tfrac{2h + f}{4h}~C_{55}^{\mathrm{core}}~\gamma_{zx}^{\mathrm{beam}} $$ या, 

\sigma_{zx}^{\mathrm{core}} = \tfrac{2h + f}{4h}~C_{55}^{\mathrm{core}}~\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} $$  फेसशीट में सामान्य तनाव द्वारा दिया जाता है

\sigma_{xx}^{\mathrm{face}} = C_{11}^{\mathrm{face}}~\varepsilon_{xx}^{\mathrm{face}} $$ इस तरह, 

\begin{align} \sigma_{xx}^{\mathrm{topface}} & = -z~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} -\left(z - h - \tfrac{f}{2}\right)~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2} & = & -z~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} + \left(\tfrac{2h+f}{2}\right)~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2}\\ \sigma_{xx}^{\mathrm{botface}} & = -z~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} -\left(z + h + \tfrac{f}{2}\right)~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2} & = & -z~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} - \left(\tfrac{2h+f}{2}\right)~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2} \end{align} $$ 

परिणामी बल और क्षण
फेस शीट में परिणामी सामान्य बल को इस रूप में परिभाषित किया गया है

N^{\mathrm{face}}_{xx} := \int_{-f/2}^{f/2} \sigma^{\mathrm{face}}_{xx}~\mathrm{d}z_f $$ और परिणामी क्षणों को इस रूप में परिभाषित किया गया है

M^{\mathrm{face}}_{xx} := \int_{-f/2}^{f/2} z_f~\sigma^{\mathrm{face}}_{xx}~\mathrm{d}z_f $$ कहाँ

z_f^{\mathrm{topface}} := z - h - \tfrac{f}{2} ~; z_f^{\mathrm{botface}} := z + h + \tfrac{f}{2} $$ दो फेसशीट में सामान्य तनाव के लिए एक्सप्रेशन का प्रयोग करके देता है 

\begin{align} N^{\mathrm{topface}}_{xx} & = -f\left(h + \tfrac{f}{2}\right)~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} = - N^{\mathrm{botface}}_{xx} \\ M^{\mathrm{topface}}_{xx} & = -\cfrac{f^3~C_{11}^{\mathrm{face}}}{12}\left(\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} + \cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2}\right) = -\cfrac{f^3~C_{11}^{\mathrm{face}}}{12}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} = M^{\mathrm{botface}}_{xx} \end{align} $$  कोर में, परिणामी क्षण है

M^{\mathrm{core}}_{xx} := \int_{-h}^{h} z~\sigma^{\mathrm{core}}_{xx}~\mathrm{d}z = 0 $$ बीम में कुल बंकन आघूर्ण है

M = N_{xx}^{\mathrm{topface}}~(2h+f) + 2~M^{\mathrm{topface}}_{xx} $$ या, 

M = -\cfrac{f(2h+f)^2}{2}~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} - \cfrac{f^3}{6}~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} $$  कतरनी बल $$Q_x$$ कोर में परिभाषित किया गया है 

Q_x^{\mathrm{core}} = \kappa\int_{-h}^h \sigma_{xz}~dz = \tfrac{\kappa(2h+f)}{2}~C_{55}^{\mathrm{core}}~\cfrac{\mathrm{d}w_s}{\mathrm{d}x} $$  कहाँ $$\kappa$$ कतरनी सुधार गुणांक है। संबंध का उपयोग करके झुकने वाले क्षणों से फेसशीट में कतरनी बल की गणना की जा सकती है

Q_x^{\mathrm{face}} = \cfrac{\mathrm{d}M_{xx}^{\mathrm{face}}}{\mathrm{d}x} $$ या, 

Q_x^{\mathrm{face}} = -\cfrac{f^3~C_{11}^{\mathrm{face}}}{12}~\cfrac{\mathrm{d}^3 w}{\mathrm{d} x^3} $$  पतली फेसशीट के लिए, फेसशीट में कतरनी बल को आमतौर पर नजरअंदाज कर दिया जाता है।

झुकने और कतरनी कठोरता
सैंडविच बीम की बेंडिंग स्टिफनेस किसके द्वारा दी जाती है

D^{\mathrm{beam}} = -M/\tfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d}x^2} $$ बीम में कुल बंकन आघूर्ण के व्यंजक से, हमारे पास है

M = -\cfrac{f(2h+f)^2}{2}~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} - \cfrac{f^3}{6}~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} $$ छोटे कतरनी विकृतियों के लिए, उपरोक्त अभिव्यक्ति को इस प्रकार लिखा जा सकता है

M \approx -\cfrac{f[3(2h+f)^2+f^2]}{6}~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} $$ इसलिए, सैंडविच बीम की झुकने वाली कठोरता (के साथ $$f \ll 2h$$) द्वारा दिया गया है 

D^{\mathrm{beam}} \approx \cfrac{f[3(2h+f)^2+f^2]}{6}~C_{11}^{\mathrm{face}} \approx \cfrac{f(2h+f)^2}{2}~C_{11}^{\mathrm{face}} $$  और वह फेसशीट का है 

D^{\mathrm{face}} = \cfrac{f^3}{12}~C_{11}^{\mathrm{face}} $$ 

बीम की कतरनी कठोरता किसके द्वारा दी जाती है

S^{\mathrm{beam}} = Q_x/\tfrac{\mathrm{d}w_s}{\mathrm{d}x} $$ इसलिए, बीम की कतरनी कठोरता कोर की कतरनी कठोरता के बराबर है 

S^{\mathrm{beam}} = S^{\mathrm{core}} = \cfrac{\kappa(2h+f)}{2}~C_{55}^{\mathrm{core}} $$ 

झुकने और कतरनी विक्षेपण के बीच संबंध
कोर और फेसशीट के बीच तनाव (यांत्रिकी) की निरंतरता का उपयोग करके झुकने और कतरनी विक्षेपण के बीच एक संबंध प्राप्त किया जा सकता है। यदि हम सीधे कर्षणों की बराबरी करते हैं तो हमें मिलता है

n_x~\sigma_{xx}^{\mathrm{face}} = n_z~\sigma_{zx}^{\mathrm{core}} $$ दोनों फेसशीट-कोर इंटरफेस पर $$n_x = 1$$ लेकिन कोर के शीर्ष पर $$ n_z = 1$$ और कोर के तल पर $$n_z = -1$$. इसलिए, कर्षण निरंतरता पर $$ z = \pm h$$ ओर जाता है

2fh~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2} - (2h+f)~C_{55}^{\mathrm{core}}~\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} = 4h^2~C_{11}^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_b}{\mathrm{d} x^2} $$ कतरनी विक्षेपण के दूसरे डेरिवेटिव की उपस्थिति के कारण उपरोक्त संबंध का शायद ही कभी उपयोग किया जाता है। बल्कि ऐसा माना जाता है

n_z~\sigma_{zx}^{\mathrm{core}} = \cfrac{\mathrm{d} N_{xx}^{\mathrm{face}}}{\mathrm{d}x} $$ जिसका तात्पर्य है 

\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} = -2fh~\left(\cfrac{C_{11}^{\mathrm{face}}}{C_{55}^{\mathrm{core}}}\right)~\cfrac{\mathrm{d}^3 w_b}{\mathrm{d} x^3} $$ 

शासी समीकरण
उपरोक्त परिभाषाओं का उपयोग करते हुए, झुकने के क्षण और कतरनी बल के लिए गवर्निंग बैलेंस समीकरण हैं

\begin{align} M & = D^{\mathrm{beam}}~\cfrac{\mathrm{d}^2 w_s}{\mathrm{d} x^2} - \left(D^{\mathrm{beam}}+2D^{\mathrm{face}}\right)~\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2}\\ Q & = S^{\mathrm{core}}~\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} - 2D^{\mathrm{face}}~\cfrac{\mathrm{d}^3 w}{\mathrm{d} x^3} \end{align} $$ हम उपरोक्त को वैकल्पिक रूप से दो समीकरणों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं जिन्हें हल किया जा सकता है $$w$$ और $$w_s$$ जैसा

\begin{align} & \left(\frac{2D^{\mathrm{face}}}{S^{\mathrm{core}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} - \left(1+\frac{2D^{\mathrm{face}}}{D^{\mathrm{beam}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} + \left(\cfrac{1}{S^{\mathrm{core}}}\right)~\cfrac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x} = \frac{M}{D^{\mathrm{beam}}} \\ & \left(\frac{D^{\mathrm{beam}}}{S^{\mathrm{core}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^3 w_s}{\mathrm{d} x^3} - \left(1+\frac{D^{\mathrm{beam}}}{2D^{\mathrm{face}}}\right)\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} - \cfrac{1}{S^{\mathrm{core}}}~\cfrac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d} x} = -\left(1+\cfrac{D^{\mathrm{beam}}}{2D^{\mathrm{face}}}\right)\frac{Q}{S^{\mathrm{core}}}\, \end{align} $$ अनुमानों का उपयोग करना

Q \approx \cfrac{\mathrm{d} M}{\mathrm{d} x} ~; q \approx \cfrac{\mathrm{d} Q}{\mathrm{d} x} $$ कहाँ $$q$$ हमारे पास बीम पर लागू भार की तीव्रता है 

\begin{align} & \left(\frac{2D^{\mathrm{face}}}{S^{\mathrm{core}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} - \left(1+\frac{2D^{\mathrm{face}}}{D^{\mathrm{beam}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} = \frac{M}{D^{\mathrm{beam}}}- \cfrac{q}{S^{\mathrm{core}}} \\ & \left(\frac{D^{\mathrm{beam}}}{S^{\mathrm{core}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^3 w_s}{\mathrm{d} x^3} - \left(1+\frac{D^{\mathrm{beam}}}{2D^{\mathrm{face}}}\right)\cfrac{\mathrm{d} w_s}{\mathrm{d} x} = -\left(\cfrac{D^{\mathrm{beam}}}{2D^{\mathrm{face}}}\right)\frac{Q}{S^{\mathrm{core}}}\, \end{align} $$  लागू भार और अनुप्रयुक्त झुकने के क्षण और विस्थापन सीमा स्थितियों को देखते हुए दो युग्मित साधारण अंतर समीकरणों की इस प्रणाली को हल करने के लिए कई तकनीकों का उपयोग किया जा सकता है।

तापमान पर निर्भर समीकरणों का वैकल्पिक रूप
यह मानते हुए कि प्रत्येक आंशिक क्रॉस सेक्शन बीम सिद्धांत को पूरा करता है। बर्नौली की परिकल्पना, विकृत सैंडविच बीम तत्व पर बलों और क्षणों का संतुलन सैंडविच बीम के लिए झुकने वाले समीकरण को निकालने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

बीम और क्रॉस सेक्शन के तनाव परिणाम और संबंधित विकृतियों को चित्र 1 में देखा जा सकता है। रैखिक लोच के सिद्धांत का उपयोग करके निम्नलिखित संबंध प्राप्त किए जा सकते हैं:
 * $$\begin{align}

M^{\mathrm{core}} &= D^{\mathrm{beam}}\left(\cfrac{\mathrm{d} \gamma_2}{\mathrm{d} x} + \vartheta\right) = D^{\mathrm{beam}}\left(\cfrac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} x} - \cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} + \vartheta\right) \\ M^{\mathrm{face}} &= -D^{\mathrm{face}} \cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} \\ Q^{\mathrm{core}} &= S^{\mathrm{core}} \gamma \\ Q^{\mathrm{face}} &= -D^{\mathrm{face}} \cfrac{\mathrm{d}^3 w}{\mathrm{d} x^3} \end{align}\,$$ कहाँ फेसशीट और कोर के लिए समीकरणों का सुपरपोजिशन कुल कतरनी बल के लिए निम्नलिखित समीकरणों की ओर ले जाता है $$Q$$ और कुल झुकने का क्षण $$M$$:

\begin{alignat}{3} & S^{\mathrm{core}}\gamma - D^{\mathrm{face}} \cfrac{\mathrm{d}^3 w}{\mathrm{d} x^3} = Q           &\quad\quad& (1)\\ & D^{\mathrm{beam}}\left(\cfrac{\mathrm{d} \gamma}{\mathrm{d} x}+\vartheta\right) - \left(D^{\mathrm{beam}}+D^{\mathrm{face}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} = M &\quad\quad& (2)\, \end{alignat} $$ हम उपरोक्त को वैकल्पिक रूप से दो समीकरणों के रूप में व्यक्त कर सकते हैं जिन्हें हल किया जा सकता है $$w$$ और $$\gamma$$, अर्थात।,

\begin{align} & \left(\frac{D^{\mathrm{face}}}{S^{\mathrm{core}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} - \left(1+\frac{D^{\mathrm{face}}}{D^{\mathrm{beam}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} = \frac{M}{D^{\mathrm{beam}}}-\cfrac{q}{S^{\mathrm{core}}}-\vartheta \\ & \left(\frac{D^{\mathrm{beam}}}{S^{\mathrm{core}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^2 \gamma}{\mathrm{d} x^2} - \left(1+\frac{D^{\mathrm{beam}}}{D^{\mathrm{face}}}\right)\gamma = -\left(\cfrac{D^{\mathrm{beam}}}{D^{\mathrm{face}}}\right)\frac{Q}{S^{\mathrm{core}}}\, \end{align} $$

समाधान दृष्टिकोण
एक निरंतर सैंडविच बीम में झुकने वाले व्यवहार और तनाव की गणना दो शासी अंतर समीकरणों को हल करके की जा सकती है।

विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण
समान रूप से वितरित भार के तहत डबल स्पैन बीम जैसे सरल ज्यामिति के लिए, उचित सीमा स्थितियों का उपयोग करके और सुपरपोज़िशन सिद्धांत का उपयोग करके शासकीय समीकरणों को हल किया जा सकता है। ऐसे परिणाम मानक DIN EN 14509:2006 में सूचीबद्ध हैं (तालिका ई 10.1)। समाधान की सीधे गणना करने के लिए ऊर्जा विधियों का भी उपयोग किया जा सकता है।

संख्यात्मक दृष्टिकोण
सैंडविच निरंतर बीम के अंतर समीकरण को परिमित अंतर विधि और परिमित तत्व विधि जैसे संख्यात्मक तरीकों के उपयोग से हल किया जा सकता है। परिमित अंतर के लिए बर्नर दो-चरणीय दृष्टिकोण की अनुशंसा करता है। किसी दिए गए भार के तहत सिंगल स्पैन बीम के लिए कवर शीट्स में सामान्य बलों के लिए अंतर समीकरण को हल करने के बाद, मल्टी-स्पैन बीम की गणना के लिए दृष्टिकोण का विस्तार करने के लिए ऊर्जा पद्धति का उपयोग किया जा सकता है। इस तकनीक का उपयोग करते समय लचीली कवर शीट्स के साथ सैंडविच निरंतर बीम को एक दूसरे के ऊपर भी रखा जा सकता है। हालाँकि, बीम का क्रॉस-सेक्शन पूरे स्पैन में स्थिर होना चाहिए।

श्वार्ज़ द्वारा अनुशंसित एक अधिक विशिष्ट दृष्टिकोण शासी समीकरण के सजातीय भाग के लिए बिल्कुल और विशेष भाग के लिए लगभग हल करना शामिल है। याद रखें कि एक सैंडविच बीम के लिए गवर्निंग समीकरण है

\left(\frac{2D^{\mathrm{face}}}{S^{\mathrm{core}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^4 w}{\mathrm{d} x^4} - \left(1+\frac{2D^{\mathrm{face}}}{D^{\mathrm{beam}}}\right)\cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} = \frac{M}{D^{\mathrm{beam}}}-\cfrac{q}{S^{\mathrm{core}}} $$ अगर हम परिभाषित करते हैं

\alpha := \cfrac{2D^{\mathrm{face}}}{D^{\mathrm{beam}}} ~; \beta := \cfrac{2D^{\mathrm{face}}}{S^{\mathrm{core}}} ~; W(x) := \cfrac{\mathrm{d}^2 w}{\mathrm{d} x^2} $$ हम पाते हैं

\cfrac{\mathrm{d}^2 W}{\mathrm{d} x^2} - \left(\cfrac{1+\alpha}{\beta}\right)~W =  \frac{M}{\beta D^{\mathrm{beam}}} - \cfrac{q}{D^{\mathrm{face}}} $$ श्वार्ज़ उपरोक्त समीकरण के सजातीय भाग के लिए सामान्य समाधान का उपयोग करता है और एक सैंडविच बीम के वर्गों के लिए विशेष समाधान के लिए एक बहुपद सन्निकटन। अनुभागों के बीच के अंतरापृष्ठों को सीमा शर्तों के मिलान द्वारा एक साथ बांधा जाता है। इस दृष्टिकोण का उपयोग खुला स्त्रोत  कोड swe2 में किया गया है।

व्यावहारिक महत्व
रैखिक सैंडविच सिद्धांत द्वारा अनुमानित परिणाम प्रयोगात्मक रूप से निर्धारित परिणामों के साथ अच्छी तरह से संबंधित हैं। सिद्धांत का उपयोग संरचनात्मक विश्लेषण के आधार के रूप में किया जाता है जो कि बड़े औद्योगिक और वाणिज्यिक भवनों के निर्माण के लिए आवश्यक होता है जो सैंडविच पैनल से जुड़े होते हैं। अनुमोदन के लिए और प्रासंगिक इंजीनियरिंग मानकों में इसके उपयोग की स्पष्ट रूप से मांग की जाती है।

मुहम्मद रहीफ हकामी और अन्य ने सामग्रियों के संख्यात्मक, प्रयोगात्मक व्यवहार और समग्र सामग्री के आग और विस्फोट व्यवहार में शोध किया। उन्होंने कई शोध लेख प्रकाशित किए:

हक्मी ने एक डिज़ाइन विधि विकसित की, जिसकी सिफारिश CIB कार्य आयोग W056 सैंडविच पैनल, ECCS/CIB संयुक्त समिति द्वारा की गई थी और इसका उपयोग सैंडविच पैनल (CIB, 2000) के डिज़ाइन के लिए यूरोपीय सिफारिशों में किया गया है।
 * सैंडविच पैनल का स्थानीय बकलिंग।
 * सैंडविच पैनल में बकलिंग तनाव का सामना करें।
 * फोम से भरे पतले दीवार वाले स्टील बीम का बकलिंग के बाद का व्यवहार।
 * एक मॉडल अग्नि परीक्षण सुविधा का उपयोग करके समग्र फर्श स्लैब का अग्नि प्रतिरोध
 * अपतटीय निर्माण सैंडविच पैनल के लिए आग प्रतिरोधी सैंडविच पैनल।
 * आग के संपर्क में आने वाले हीड्रोस्कोपिक  पैनलों का संख्यात्मक तापमान विश्लेषण।
 * अपतटीय फाइबर प्रबलित कंपोजिट का लागत प्रभावी उपयोग।

यह भी देखें

 * झुकना
 * किरण सिद्धांत
 * समग्र सामग्री
 * पहाड़ी उपज मानदंड
 * सैंडविच संरचित समग्र
 * सैंडविच प्लेट प्रणाली
 * समग्र मधुकोश
 * टिमोचेंको बीम सिद्धांत
 * प्लेट सिद्धांत
 * सैंडविच पैनल

ग्रन्थसूची

 * Mohammed Rahif Hakmi
 * Klaus Berner, Oliver Raabe: Bemessung von Sandwichbauteilen. IFBS-Schrift 5.08, IFBS e.V., Düsseldorf 2006.
 * Ralf Möller, Hans Pöter, Knut Schwarze: Planen und Bauen mit Trapezprofilen und Sandwichelementen. Band 1, Ernst & Sohn, Berlin 2004, ISBN 3-433-01595-3.

बाहरी संबंध

 * Mohammed Rahif Hakmi Research for Sandwich Panels
 * Institute for Sandwich Technology
 * https://web.archive.org/web/20081120190919/http://www.diabgroup.com/europe/literature/e_pdf_files/man_pdf/sandwich_hb.pdf DIAB Sandwich Handbook
 * http://www.swe1.com Programm zur Ermittlung der Schnittgrössen und Spannungen von Sandwich-Wandplatten mit biegeweichen Deckschichten (Open Source)
 * http://www.swe2.com Computation of sandwich beams with corrugated faces (Open Source)