आरएलसी सर्किट

आरएलसी परिपथ एक विद्युत परिपथ है जिसमें एक विद्युत प्रतिरोध (आर), प्रेरक (एल), और संधारित्र (सी), श्रृंखला में या समानांतर में जुड़ा हुआ है। परिपथ का नाम उन अक्षरों से लिया गया है जो इस परिपथ के घटकों को निरूपित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं, जहां घटकों का अनुक्रम आरएलसी से भिन्न हो सकता है।

परिपथ वर्तमान के लिए लयबद्ध दोलक बनाता है, और एलसी परिपथ के समान तरीके से प्रतिध्वनि होती है।परिचय का इन दोलनों के क्षय को बढ़ाता है, जिसे अवमंदन के रूप में भी जाना जाता है। अवरोध भी अनुनादी शीर्ष आवृत्ति को कम करता है। कुछ प्रतिरोध अनिवार्य है, भले ही एक अवरोधक को विशेष रूप से घटक के रूप में सम्मिलित नहीं किया गया हो।

आरएलसी परिपथ में विद्युतीय ढोलक के रूप में कई अनुप्रयोग हैं। अभिग्राही (रेडियो) और टेलिविजन समूह उन्हें समंजन (इलेक्ट्रॉनिक्स) के लिए उपयोग करते हैं, जिससे कि व्यापक रेडियो तरंगों से संकीर्ण आवृत्ति रेंज का चयन किया जा सकता है। इस भूमिका में, परिपथ को अधिकांशतः संतुलित परिपथ  के रूप में संदर्भित किया जाता है। आरएलसी परिपथ का उपयोग बंद पारक निस्पंदक, बैंड वर्जक निस्यन्दक, उच्च पारक फिल्टर के रूप में किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, समंजन अनुप्रयोग, बंद पारक निस्पंदक का एक उदाहरण है। आरएलसी फ़िल्टर को दूसरे-क्रम  परिपथ के रूप में वर्णित किया गया है, जिसका अर्थ है कि परिपथ में किसी भी वोल्टेज या वर्तमान को परिपथ विश्लेषण में दूसरे क्रम के अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

तीन परिपथ तत्व, आर, एल और सी, को विभिन्न टोपोलॉजी (इलेक्ट्रॉनिक्स) की संख्या में जोड़ा जा सकता है।श्रृंखला में सभी तीन तत्व या समानांतर में सभी तीन तत्व अवधारणा में सबसे सरल हैं और विश्लेषण करने के लिए सबसे सरल हैं। चूँकि, अन्य व्यवस्थाएं हैं, कुछ वास्तविक परिपथ में व्यावहारिक महत्व के साथ हैं। विषय अधिकांशतः सामना किया जाता है, यह प्रारंभकर्ता प्रतिरोध को ध्यान में रखने की आवश्यकता है। प्रेरक सामान्यतौर पर तार के कुंडली से निर्मित होते हैं, जिसका प्रतिरोध सामान्यतौर पर वांछनीय नहीं होता है, परन्तु  इसका अधिकांशतः परिपथ पर महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ता है।

अनुनाद
इस परिपथ की महत्वपूर्ण गुण एक विशिष्ट आवृत्ति, विद्युत अनुनाद, $f_{0}$ पर प्रतिध्वनित करने की क्षमता है।आवृत्तियों को हेटर्स की इकाइयों में मापा जाता है। इस लेख में, कोणीय आवृत्ति $ω_{0}$ का उपयोग किया जाता है क्योंकि यह अधिक गणितीय रूप से सुविधाजनक है। यह प्रति सेकंड रेडियन में मापा जाता है। वे साधारण अनुपात से एक दूसरे से संबंधित हैं,


 * $$\omega_0 = 2 \pi f_0 \,.$$

प्रतिध्वनि इसलिए होती है क्योंकि इस स्थिति के लिए ऊर्जा दो अलग -अलग प्रकारों से संग्रहीत होती है: विद्युत क्षेत्र में जैसा कि संधारित्र आवेश किया जाता है और एक चुंबकीय क्षेत्र में वर्तमान के माध्यम से प्रवाह होता है। ऊर्जा को परिपथ के भीतर एक से दूसरे में स्थानांतरित किया जा सकता है और यह दोलक हो सकता है। यांत्रिक सादृश्य स्प्रिंग पर निलंबित भार है जो प्रारम्भ होने पर ऊपर और नीचे दोलन करेगा। यह कोई अस्थिर रूपक नहीं है; स्प्रिंग पर भार को आरएलसी परिपथ  के रूप में बिल्कुल दूसरे क्रम के अंतर समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है और प्रणाली के सभी गुणों के लिए दूसरे के अनुरूप गुण मिलेगी। परिपथ में अवरोध को उत्तर देने वाला यांत्रिक गुण स्प्रिंग-भार प्रणाली में घर्षण है। घर्षण धीरे -धीरे किसी भी दोलन को रुकने के लिए लाएगा यदि कोई बाहरी बल कार्यरत नहीं है। इसी प्रकार, आरएलसी परिपथ में प्रतिरोध दोलन को आद्र कर देगा, समय के साथ इसे कम कर देगा यदि परिपथ में कोई बाहरी एसी पावर स्रोत नहीं है।

अनुनाद आवृत्ति को उस आवृत्ति के रूप में परिभाषित किया गया है जिस पर परिपथ का विद्युत प्रतिबाधा कम से कम है। समान रूप से, इसे उस आवृत्ति के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिस पर प्रतिबाधा विशुद्ध रूप से वास्तविक है (अर्थात, विशुद्ध रूप से प्रतिरोधक)। यह इसलिए होता है क्योंकि अनुनाद में प्रारंभ करनेवाला और संधारित्र के प्रतिबाधा समान हैं, परन्तु विपरीत संकेत के हैं और रद्द कर देते हैं। परिपथ जहां एल और सी श्रृंखला के बदले समानांतर में हैं, वास्तव में न्यूनतम प्रतिबाधा के बदले अधिकतम प्रतिबाधा है। इस कारण से उन्हें अधिकांशतः प्रतिवाद के रूप में वर्णित किया जाता है; यह अभी भी सामान्य है, चूँकि, उस आवृत्ति को नाम देने के लिए जिस पर यह अनुनाद आवृत्ति के रूप में होता है।

प्राकृतिक आवृत्ति
अनुनाद आवृत्ति को बाहरी स्रोत के लिए प्रस्तुत प्रतिबाधा के संदर्भ में परिभाषित किया गया है। बाहरी स्रोत को हटा दिए जाने के बाद परिपथ को दोलन (एक समय के लिए) ले जाना अभी भी संभव है या इसे वोल्टेज में कार्य (शून्य से नीचे एक कदम सहित) के अधीन किया गया है। यह इस तरह से समान है कि संतुलित स्वरित गठन टकरने के बाद धवनि निकलती है, और प्रभाव को अधिकांशतः धवनि कहा जाता है। यह प्रभाव परिपथ की शिखर प्राकृतिक अनुनाद आवृत्ति है और सामान्य रूप से संचालित अनुनाद आवृत्ति के समान नहीं है, चूँकि दोनों सामान्यतौर पर एक दूसरे के बहुत निकट होंगे। विभिन्न शब्दों का उपयोग विभिन्न लेखकों द्वारा दोनों को अलग करने के लिए किया जाता है, परन्तु अनुनाद आवृत्ति अयोग्य सामान्यतौर पर संचालित अनुनाद आवृत्ति का अर्थ है।संचालित आवृत्ति को अनिर्दिष्ट अनुनाद आवृत्ति या अनिर्दिष्ट प्राकृतिक आवृत्ति कहा जा सकता है और शिखर आवृत्ति को नम अनुनाद आवृत्ति या नम प्राकृतिक आवृत्ति कहा जा सकता है। इस शब्दावली का कारण यह है कि श्रृंखला या समानांतर अनुनादी परिपथ में संचालित अनुनाद आवृत्ति का मूल्य है।
 * $$ \omega_0 = \frac{1}{\sqrt{L\,C~}} \,~.$$

यह बिल्कुल वैसा ही है जैसा कि दोषरहित एलसी परिपथ की अनुनाद आवृत्ति है - अर्थात, कोई भी अवरोधक उपस्थित नहीं है। संचालित आरएलसी परिपथ के लिए अनुनादी आवृत्ति परिपथ के समान है जिसमें कोई अवमंदन नहीं है, इसलिए अनदेप्त अनुनादी आवृत्ति होती है। दूसरी ओर, अनुनादी आवृत्ति शिखर आयाम, प्रतिरोधक के मूल्य पर निर्भर करता है और इसे अवमंदन अनुनादी आवृत्ति के रूप में वर्णित किया जाता है। अत्यधिक अवमंदन परिपथ संचालित नहीं होने पर सभी पर अनुनादी में विफल रहेगा। अवरोधक के मूल्य के साथ परिपथ जो इसे सिर्फ धवनि के किनारे पर होने का कारण बनता है, को गंभीर रूप से अवमंदित कहा जाता है। गंभीर रूप से अवमंदन के दोनों ओर को क्षीण (धवनि होता है) के रूप में वर्णित किया गया है और अति अवमंदन (धवनि को दबा दिया जाता है)।

टोपोलॉजी के साथ परिपथ सीधी श्रृंखला या समानांतर की तुलना में अधिक जटिल (लेख में बाद में वर्णित कुछ उदाहरण) संचालित अनुनाद आवृत्ति है जो $$\ \omega_0 = 1/\sqrt{L\,C~}\ $$से विचलित होता है, और उन लोगों के लिए अनिर्दिष्ट प्रतिध्वनि आवृत्ति, अवमन्दन अनुनाद आवृत्ति और संचालित अनुनाद आवृत्ति सभी अलग हो सकती हैं।

अवमन्दन
परिपथ में प्रतिरोध के कारण अवमन्दन होता है। यह निर्धारित करता है कि परिपथ स्वाभाविक रूप से प्रतिध्वनित होगा या नहीं (अर्थात, क्रियान्वित स्रोत के बिना)। इस तरह से प्रतिध्वनित होने वाले परिपथ को अति अवमंदन के रूप में वर्णित किया गया है और जो अति अवमंदन नहीं किए जाएंगे। अवमंदन क्षीणन (प्रतीक $α$) प्रति सेकंड के माध्यम से में मापा जाता है। चूँकि, मात्राहिन अवमंदन (प्रतीक) $ζ$, ज़ेटा) अधिकांशतः अधिक उपयोगी उपाय है, जो संबंधित है $α$ द्वारा


 * $$\ \zeta = \frac {\alpha}{\ \omega_0\ }\ .$$

का विशेष अर्थ $ζ = 1$ विकट अवमंदन कहा जाता है और परिपथ के कथन का प्रतिनिधित्व करता है जो सिर्फ दोलन की सीमा पर है। यह न्यूनतम अवमंदन है जिसे दोलन के कारण क्रियान्वित्त किया जा सकता है।

बैंडविड्थ
अनुनाद प्रभाव का उपयोग निस्पंदन के लिए किया जा सकता है, अनुनाद के पास प्रतिबाधा में तेजी से परिवर्तन का उपयोग अनुनाद आवृत्ति के निकट संकेतों को पास या ब्लॉक करने के लिए किया जा सकता है। बैंड-पारक और बैंड-रोधक निस्पंदन दोनों का निर्माण किया जा सकता है और कुछ निस्पंदन परिपथ बाद में लेख में दिखाए गए हैं। निस्पंदन डिजाइन में एक प्रमुख पैरामीटर बैंड विस्तार (संकेत संसाधन) है। बैंड विस्ता  को अवरोध आवृत्ति के बीच मापा जाता है, सबसे अधिक बार आवृत्तियों के रूप में परिभाषित किया जाता है, जिस पर परिपथ के माध्यम से पारित शक्ति अनुनाद में पारित मूल्य आधे तक गिर गई है। इनमें से दो अर्ध शक्ति आवृत्तियों में से एक हैं, ऊपर, और अनुनाद आवृत्ति के नीचे एक


 * $$ \Delta \omega = \omega_2 - \omega_1 \,,$$

जहाँ पर पे $Δω$ बैंडविस्तार है, $ω_{1}$ निचली अर्ध-शक्ति आवृत्ति है और $ω_{2}$ ऊपरी अर्ध-शक्ति आवृत्ति है। बैंडविस्तार द्वारा क्षीणन से संबंधित है


 * $$ \Delta \omega = 2 \alpha \,,$$

जहां इकाइयां क्रमशः प्रति सेकंड और नेपर्स प्रति सेकंड हैं। अन्य इकाइयों को रूपांतरण कारक की आवश्यकता हो सकती है। बैंडविस्तार का अधिक सामान्य उपाय आंशिक बैंडविस्तार है, जो बैंडविस्तार को अनुनाद आवृत्ति के अंश के रूप में व्यक्त करता है और द्वारा दिया जाता है


 * $$ B_\mathrm{f} = \frac {\Delta \omega}{\omega_0} \,.$$

आंशिक बैंडविस्तार को अधिकांशतः प्रतिशत के रूप में भी कहा जाता है। निस्पंदन परिपथ के अवमंदन को आवश्यक बैंडविस्तार में परिणाम के लिए समायोजित किया जाता है| संकीर्ण बैंड निस्पंदन, जैसे कि चिन्ह निस्पंदन, को कम अवमंदन की आवश्यकता होती है। विस्तृत बैंड निस्पंदन को उच्च अवमंदन की आवश्यकता होती है।

$Q$ कारक
$Q$ कारक एक व्यापक उपाय है जिसका उपयोग अनुनादी को चिह्नित करने के लिए किया जाता है। इसे प्रतिध्वनि पर रेडियन में विघटित औसत ऊर्जा द्वारा विभाजित परिपथ में संग्रहीत शिखर ऊर्जा के रूप में परिभाषित किया गया है। कम-$Q$ इसलिए परिपथ अवमंदन और क्षति और उच्च-$Q$ है। परिपथ को कम करके आंका जाता है। $Q$ बैंडविस्तार से संबंधित है; कम-$Q$ परिपथ चौड़े-बैंड और उच्च-$Q$ हैं। परिपथ संकीर्ण-बैंड हैं। वास्तव में, ऐसा होता है $Q$ आंशिक बैंडविस्तार का व्युत्क्रम है


 * $$ Q = \frac{1}{\, B_\mathrm{f} \,} = \frac {\omega_\text{o}}{\, \operatorname{\Delta} \omega \,} \;.$$

$Q$ कारक सीधे चयनात्मकता (रेडियो) के लिए आनुपातिक है, के रूप में $Q$ कारक बैंडविस्तार पर विपरीत रूप से निर्भर करता है।

श्रृंखला अनुनादी परिपथ (श्रेणी परिपथ) के लिए, $Q$ कारक की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:
 * $$ Q = \frac {X}{\, R \;} = \frac {1}{\, \omega_\text{o} R\, C \,} = \frac {\, \omega_\text{o} L \,}{R} = \frac{1}{\, R \;} \sqrt{\frac{L}{\, C \,}\,} = \frac{\, Z_\text{o} \,}{R\;} \;,$$
 * जहाँ पे $$\, X \,$$ क्या प्रतिक्रिया $$\, L  \,$$ या $$\, C  \,$$ प्रतिध्वनि पर, और Z0 = L/C है।

स्केल किए गए पैरामीटर
पैरामीटर $Q$, $B_{f}$, और $ζ$ सभी के लिए $ω_{0}$ मापे गए है। इसका अर्थ यह है कि परिपथ जिनके समान पैरामीटर होते हैं, वे समान विशेषताओं को साझा करते हैं, भले ही वे एक ही आवृत्ति बैंड में काम कर रहे हों या नहीं कर रहे हैं।

लेख अगला श्रृंखला आरएलसी परिपथ के लिए विश्लेषण को विस्तार से देता है। अन्य विन्यास इस तरह के विस्तार में वर्णित नहीं हैं, लेकिन श्रृंखला के कथन से प्रमुख अंतर दिए गए हैं। श्रृंखला परिपथ अनुभाग में दिए गए अंतर समीकरणों का सामान्य रूप सभी दूसरे क्रमित परिपथ पर क्रियान्वित होता है और इसका उपयोग प्रत्येक परिपथ के किसी भी विद्युत तत्व में वोल्टेज या वर्तमान का वर्णन करने के लिए किया जा सकता है।

श्रृंखला परिपथ
[[File:RLC series circuit v1.svg|thumb|right|250px|चित्र 1: आरएलसी श्रृंखला परिपथ $Q$, the voltage source powering the circuit

$V$, the current admitted through the circuit

$I$, the effective resistance of the combined load, source, and components

$R$, the inductance of the inductor component

$L$, the capacitance of the capacitor component]]इस परिपथ में, तीन घटक वोल्टेज स्रोत के साथ श्रृंखला में हैं। नियामक अवकलन समीकरण को तीन तत्वों में से प्रत्येक के लिए वैकल्पिक समीकरण किरचहॉफ के वोल्टेज नियम (केवीएल) में प्रतिस्थापित करके पाया जा सकता है।केवीएल से,


 * $$V_\mathrm{R} + V_\mathrm{L} + V_\mathrm{C} = V(t)\,,$$

जहाँ पे $C$, $V_{L}$ और $V_{C}$ वोल्टेज भर में हैं $V_{R}$, $R$, और $L$, क्रमशः, और $V(t)$ स्रोत से समय-भिन्न वोल्टेज है।

स्थानापन्न $$V_R = R\ I(t) \,,$$ $$\, V_\mathrm{L} = L\frac{ \mathrm{d}I(t) }{ \mathrm{d}t } \,$$ और $$\, V_\mathrm{C}=V(0)+ \frac{1}{\,C\,} \int_{0}^t I(\tau) \, \mathrm{d}\tau \,$$ उपज के ऊपर समीकरण में:


 * $$RI(t) + L \frac{\, \mathrm{d} I(t) \,}{ \mathrm{d}t } +V(0)+ \frac{1}{\, C \,} \int_{0}^t I(\tau)\, \mathrm{d} \tau = V(t) \;.$$

उस स्थिति के लिए जहां स्रोत अपरिवर्तनीय वोल्टेज है, समय व्युत्पन्न और विभाजित करने से $C$ निम्नलिखित दूसरे आदेश अंतर समीकरण की ओर जाता है:


 * $$\frac{d^2}{dt^2} I(t) + \frac{R}{\, L \,} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} I(t) + \frac{1}{\,L\,C\,} I(t) = 0\;.$$

यह उपयोगी रूप से अधिक सामान्यतौर पर क्रियान्वित रूप में व्यक्त किया जा सकता है:


 * $$\frac{\mathrm{d}^2}{\mathrm{d}t^2} I(t) + 2 \alpha \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} I(t) + \omega_0^2 I(t) = 0 \;.$$

$L$ और $ω_{0}$ दोनों कोणीय आवृत्ति की इकाइयों में हैं। $α$ नेपर आवृत्ति, या क्षीणन कहा जाता है, और इस बात का उपाय है कि उद्दीपन हटाने के बाद परिपथ की क्षणिक प्रतिक्रिया तीव्रता समाप्त हो जाएगी। नेपर नाम में होता है क्योंकि इकाइयों को प्रति सेकंड नेपर्स भी माना जा सकता है, नेपर क्षीणन की लघुगणक इकाई है। $ω_{0}$ कोणीय अनुनाद आवृत्ति है। श्रृंखला के स्थिति के लिए आरएलसी परिपथ ये दोनों मापदंडों द्वारा दिए गए हैं:
 * $$\begin{align}

\alpha &= \frac{R}{\, 2L \,} \\ \omega_0 &= \frac{1}{\, \sqrt{L\,C\,} \,} \;. \end{align}$$ उपयोगी पैरामीटर अवमंदन कारक है, $α$, जिसे इन दोनों के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है; चूँकि, कभी -कभी $ζ$ उपयोग नहीं किया जाता है, और $ζ$ इसके स्थान पर अवमंदन कारक के रूप में संदर्भित किया जाता है; इसलिए उस शब्द के उपयोग के सावधानीपूर्वक विनिर्देश की आवश्यकता है।
 * $$ \zeta \equiv \frac{\alpha}{\, \omega_0 \,} \;.$$

श्रृंखला आरएलसी परिपथ के स्थिति में, अवमंदन कारक द्वारा दिया जाता है


 * $$\zeta = \frac{\, R \,}{2} \sqrt{ \frac{C}{\, L \,} \,} \;.$$

अवमंदन कारक का मान उस प्रकार के क्षणिक को निर्धारित करता है जो परिपथ प्रदर्शित करेगा।

क्षणिक प्रतिक्रिया
अंतर समीकरण में रैखिक सजातीय अंतर समीकरण है,
 * $$ s^2 + 2 \alpha s + \omega_0^2 = 0 \,.$$

समीकरण की जड़ें $α$-डोमेन हैं,


 * $$\begin{align}

s_1 &= -\alpha +\sqrt{ \alpha^2 - \omega_0^2 \,} = -\omega_0 \left( \zeta -\sqrt{\zeta^2 - 1 \,} \right ) \\ s_2 &= -\alpha -\sqrt{ \alpha^2 - \omega_0^2 \,} = -\omega_0 \left( \zeta +\sqrt{ \zeta^2 - 1 \,} \right ) \;. \end{align}$$ अंतर समीकरण का सामान्य समाधान या तो जड़ में घातीय है या दोनों का रैखिक अधिस्थापन है,


 * $$ I(t) = A_1 e^{s_1 t} + A_2 e^{s_2 t} \;.$$

गुणांक $L = 1$ और $C = 1$ विशिष्ट समस्या का विश्लेषण किया जा रहा है की सीमा स्थितियों द्वारा निर्धारित किया जाता है। अर्थात्, वे क्षणिक की प्रारम्भ में परिपथ में धाराओं और वोल्टेज के मूल्यों द्वारा निर्धारित किए जाते हैं और अनुमानित मूल्य वे अनंत समय के बाद व्यवस्थित करेंगे। परिपथ के लिए अंतर समीकरण के मूल्य के आधार पर तीन अलग-अलग तरीकों से सिद्ध करता है $s$। ये अति अवमंदन किए गए हैं ($ω_{0} = 1$), निम्न अवमंदन ($A_{1}$), और  जटिल रूप से ($A_{2}$) अवमंदन है।

अति अवमंदन प्रतिक्रिया ($ζ > 1$) है

 * $$I(t) = A_1 e^{-\omega_0 \left( \zeta + \sqrt {\zeta^2 - 1} \right) t} + A_2 e^{-\omega_0 \left( \zeta - \sqrt {\zeta^2 - 1} \right) t } \;.$$
 * अति अवमंदन की गई प्रतिक्रिया दोलन के बिना क्षणिक वर्तमान का क्षय है।

निम्न अवमंदन प्रतिक्रिया
निम्न अवमंदन की गई प्रतिक्रिया ($ζ < 1$) है
 * $$ I(t) = B_1 e^{-\alpha t} \cos (\omega_\mathrm{d} t) + B_2 e^{-\alpha t} \sin (\omega_\mathrm{d} t) \,.$$

त्रिकोणमितीय पहचान की मानक सूची को क्रियान्वित करके रैखिक संयोजनों को दो त्रिकोणमितीय कार्यों को चरण शिफ्ट के साथ एकल ज्या वक्र के रूप में व्यक्त किया जा सकता है,
 * $$ I(t) = B_3 e^{-\alpha t} \sin( \omega_\mathrm{d} t + \varphi ) \;.$$

निम्न अवमंदन की गई प्रतिक्रिया आवृत्ति पर $ζ = 1$ क्षय दोलन है। दोलन क्षीणन द्वारा निर्धारित दर $ζ > 1$ पर क्षरण होता है। घातीय $ζ < 1$ दोलन के आवरण (तरंगों) का वर्णन करता है। $ω_{d}$ और $α$ (या $α$ और चरण पारी $ζ$ दूसरे रूप में) सीमा स्थितियों द्वारा निर्धारित कक्षीय स्थिरांक हैं। आवृत्ति $B_{1}$ द्वारा दिया गया है


 * $$ \omega_\mathrm{d} = \sqrt{ \omega_0^2 - \alpha^2 } = \omega_0 \sqrt{ 1 - \zeta^2 \,} \;.$$

इसे अवमंदन अनुनाद आवृत्ति या अवमंदन प्राकृतिक आवृत्ति कहा जाता है। यह आवृत्ति है जो परिपथ स्वाभाविक रूप से किसी बाहरी स्रोत द्वारा संचालित नहीं होने पर दोलन करेगा। अनुनाद आवृत्ति $B_{2}$, जो कि आवृत्ति है जिस पर परिपथ बाहरी दोलन द्वारा संचालित होने पर प्रतिध्वनित होगा, अधिकांशतः इसे अलग करने के लिए अनिर्दिष्ट प्रतिध्वनि आवृत्ति के रूप में संदर्भित किया जा सकता है।

जटिल रूप से अवमंदन प्रतिक्रिया
जटिल रूप से अवमंदन प्रतिक्रिया ($B_{3}$) है
 * $$ I(t) = D_1 t e^{ -\alpha t } + D_2 e^{ -\alpha t } \;.$$

जटिल रूप से अवमंदन प्रतिक्रिया परिपथ प्रतिक्रिया का प्रतिनिधित्व करती है जो दोलन में जाने के बिना सबसे तेजी से संभव समय में फैलता है। यह विचार नियंत्रण प्रणालियों में महत्वपूर्ण है जहां अतिलंघन के बिना वांछित स्थिति तक पहुंचना आवश्यक है। $ω_{d}$ और $ω_{0}$ सीमा स्थितियों द्वारा निर्धारित इच्छानुकूल स्थिरांक हैं।

लाप्लास डोमेन
श्रृंखला आरएलसी का विश्लेषण लाप्लास रूपांतरण का उपयोग करके क्षणिक और स्थिर एसी क्षेत्र व्यवहार दोनों के लिए किया जा सकता है। यदि ऊपर वोल्टेज स्रोत लाप्लास-रूपांतरित के साथ तरंग का उत्पादन करता है $ζ = 1$ (जहाँ पे $φ$ जटिल आवृत्ति है $D_{1}$), केभीएल को लाप्लास डोमेन में क्रियान्वित किया जा सकता है:


 * $$V(s) = I(s) \left( R + L\,s + \frac{1}{\,C\,s\,} \right) \,,$$

जहाँ पे $D_{2}$ सभी घटकों के माध्यम से लाप्लास-रूपांतरित वर्तमान है। $s$ सिद्ध करना है:


 * $$I(s) = \frac{1}{\, R + L\,s + \frac{1}{\,C\,s\,} \,} V(s) \;.$$

और पुनर्व्यवस्थित, हमारे पास है


 * $$I(s) = \frac{s}{\, L\ \left( s^2 + \frac{R}{\,L\,}s + \frac{1}{\,L\,C\,} \right) \,} V(s) \;.$$

लाप्लास प्रवेश
लाप्लास प्रवेश के लिए $V(s)$: सिद्ध करना है।


 * $$ Y(s) = \frac{ I(s) }{\, V(s) \,} = \frac{s}{\, L\ \left( s^2 + \frac{R}{\,L\,}s + \frac{1}{\,L\,C\,} \right) \,} \,. $$

मापदंडों का उपयोग करके सरल $I(s)$ और $s = σ + jω$ पिछले अनुभाग में परिभाषित, हमारे पास है


 * $$ Y(s) = \frac{ I(s) }{\, V(s) \,} = \frac{s}{\, L\ \left( s^2 + 2 \alpha s + \omega_0^2 \right) \,} \;.$$

ध्रुव और शून्य
शून्य (जटिल विश्लेषण) $I(s)$ के मूल्य $α$ जहाँ पे $Y(s)$ हैं:


 * $$ s = 0 \quad \mbox{and} \quad |s| \rightarrow \infty \;.$$

ध्रुव (जटिल विश्लेषण) $ω_{0}$ के मूल्य $Y(s)$ है जहाँ पे $Y(s) = 0$ है। द्विघात समीकरण द्वारा, हम पाते हैं


 * $$ s = - \alpha \pm \sqrt{ \alpha^2 - \omega_0^2 \,} \;.$$

ध्रुव $Y(s)$ जड़ों के समान हैं $s$ और $Y(s) → ∞$ उपरोक्त अनुभाग में अंतर समीकरण की विशेषता बहुपद होता है।

सामान्य समाधान
एक मनमानी के लिए $Y(s)$, उलटा रूपांतरण द्वारा प्राप्त समाधान $s_{1}$ है:

कहाँ पे $s_{2}$, और $V(t)$ और $I(s)$ सामान्य अतिशयोक्ति कार्य हैं।
 * अंडरडैम्प्ड केस में, $ω_{0} > α$:
 * $$I(t) = \frac{1}{\,L\,}\ \int_0^t V(t - \tau) e^{-\alpha\tau} \left[ \cos( \omega_\mathrm{d} \tau ) - \frac{\alpha}{\ \omega_\mathrm{d}\ } \sin( \omega_\mathrm{d}\tau ) \right] \, d\tau\,,$$
 * गंभीर रूप से नम मामले में, $ω_{0} = α$:
 * $$\ I(t) = \frac{1}{\ L\ }\ \int_0^t V(t - \tau) e^{-\alpha\tau}\ \left[\ 1 - \alpha \tau\ \right]\ \mathrm{d}\tau\ ,$$
 * ओवरडैम्प किए गए मामले में, $ω_{0} < α$:
 * $$\ I(t) = \frac{1}{\ L\ }\ \int_0^t V(t - \tau) e^{-\alpha\tau} \left[ \cosh( \omega_\mathrm{r}\tau ) - \frac{\alpha}{\ \omega_\mathrm{r}\ } \sinh( \omega_\mathrm{r}\tau ) \right] \, d\tau\ ,$$

साइनसोइडल स्थिर स्थिति
साइनसोइडल स्थिर स्थिति का प्रतिनिधित्व करके इसका प्रतिनिधित्व किया जाता है $ω_{r} = √α^{2} − ω_{0}^{2}$, कहाँ पे $s$ काल्पनिक इकाई है।इस प्रतिस्थापन के साथ उपरोक्त समीकरण का परिमाण लेना:


 * $$ \big| Y(j \omega) \big| = \frac{1}{\sqrt{ R^2 + \left( \omega L - \frac{1}{\, \omega C \,} \right)^2 } \,} \;.$$

और के एक समारोह के रूप में वर्तमान $j$ से पाया जा सकता है


 * $$\big| I( j \omega ) \big| = \big| Y(j \omega) \big| \cdot \bigl| V(j \omega) \bigr| \;.$$

का एक शिखर मूल्य है $cosh$।का मूल्य $ω$ इस शिखर पर, इस विशेष मामले में, बिना प्राकृतिक अनुनाद आवृत्ति के बराबर है:
 * $$\omega_0 = \frac{1}{\, \sqrt{L\,C\,} \,} \;.$$

वर्तमान की आवृत्ति प्रतिक्रिया से, विभिन्न परिपथ तत्वों में वोल्टेज की आवृत्ति प्रतिक्रिया भी निर्धारित की जा सकती है।

समानांतर परिपथ
[[File:RLC parallel circuit v1.svg|thumb|right|200px|चित्रा 2. आरएलसी समानांतर परिपथ

$ω$ - वोल्टेज स्रोत परिपथ को पावर करता है

$V$ - वर्तमान परिपथ के माध्यम से स्वीकार किया गया

$I$ - संयुक्त स्रोत, लोड और घटकों के समकक्ष प्रतिरोध

$R$ - प्रारंभ करनेवाला घटक का अधिष्ठापन

$L$ - संधारित्र घटक की समाई]]समानांतर आरएलसी परिपथ के गुणों को विद्युत परिपथ  के द्वंद्व (विद्युत परिपथ ) से प्राप्त किया जा सकता है और यह देखते हुए कि समानांतर आरएलसी एक श्रृंखला आरएलसी का दोहरी प्रतिबाधा है।इसे ध्यान में रखते हुए, यह स्पष्ट हो जाता है कि इस परिपथ  का वर्णन करने वाले अंतर समीकरण एक श्रृंखला आरएलसी का वर्णन करने वालों के सामान्य रूप के समान हैं।

समानांतर परिपथ के लिए, क्षीणन $C$ द्वारा दिया गया है
 * $$ \alpha = \frac{1}{\,2\,R\,C\,}$$

और डंपिंग फैक्टर परिणामस्वरूप है


 * $$\zeta = \frac{1}{\,2\,R\,} \sqrt{\frac{L}{C}~}\,~.$$

इसी तरह, अन्य स्केल किए गए पैरामीटर, आंशिक बैंडविड्थ और $α$ एक दूसरे के पारस्परिक भी हैं।इसका मतलब है कि एक विस्तृत-बैंड, निम्न-$Q$ एक टोपोलॉजी में परिपथ एक संकीर्ण-बैंड बन जाएगा, उच्च-$Q$ अन्य टोपोलॉजी में परिपथ  जब समान मूल्यों वाले घटकों से निर्मित होता है।आंशिक बैंडविड्थ और $Q$ समानांतर परिपथ  द्वारा दिया जाता है
 * $$\begin{align} B_\mathrm{f} &= \frac{1}{\,R\,} \sqrt{\frac{L}{C}~} \\ Q &= R \sqrt{\frac{C}{L}~}\,~. \end{align}$$

ध्यान दें कि यहां के सूत्र श्रृंखला परिपथ के लिए सूत्रों के पारस्परिक हैं, जो ऊपर दिए गए हैं।

आवृत्ति डोमेन
इस परिपथ का जटिल प्रवेश घटकों के प्रवेश को जोड़कर दिया गया है:


 * $$\begin{align} \frac{1}{\,Z\,} &= \frac{1}{\,Z_L\,} + \frac{1}{\,Z_C\,}+\frac{1}{\,Z_R\,} \\ &= \frac{1}{\,j\,\omega\,L\,} + j\,\omega\,C + \frac{1}{\,R\,}\,.\end{align}$$

एक श्रृंखला व्यवस्था से एक समानांतर व्यवस्था में परिवर्तन परिपथ में एक न्यूनतम के बजाय प्रतिध्वनि पर प्रतिबाधा में एक शिखर होता है, इसलिए परिपथ  एक एंटी-रेजोनर है।

विपरीत ग्राफ से पता चलता है कि अनुनाद आवृत्ति पर वर्तमान की आवृत्ति प्रतिक्रिया में न्यूनतम है $$~\omega_0 = 1/\sqrt{\,L\,C~}~$$ जब परिपथ एक निरंतर वोल्टेज द्वारा संचालित होता है।दूसरी ओर, यदि एक निरंतर वर्तमान द्वारा संचालित किया जाता है, तो वोल्टेज में अधिकतम होगा जो श्रृंखला परिपथ  में वर्तमान के समान वक्र का पालन करेगा।

अन्य विन्यास
एक समानांतर एलसी परिपथ में प्रारंभ करनेवाला के साथ एक श्रृंखला अवरोधक जैसा कि चित्र & nbsp में दिखाया गया है; 4 एक टोपोलॉजी है जो आमतौर पर सामना किया जाता है जहां कॉइल वाइंडिंग और इसके आत्म-कैपेसिटेंस के प्रतिरोध को ध्यान में रखने की आवश्यकता होती है।समानांतर एलसी परिपथ  अक्सर बंदपास छननी के लिए उपयोग किए जाते हैं और $Q$ इस प्रतिरोध से काफी हद तक शासित है।इस परिपथ  की  अनुनादी  आवृत्ति है
 * $$\ \omega_0 = \sqrt{ \frac{1}{\ LC\ } - \left( \frac{R}{\ L\ } \right)^2 ~}\ .$$

यह परिपथ की  अनुनादी  आवृत्ति है जिसे आवृत्ति के रूप में परिभाषित किया गया है जिस पर प्रवेश शून्य काल्पनिक भाग है।आवृत्ति जो विशेषता समीकरण के सामान्यीकृत रूप में दिखाई देती है (जो पहले की तरह इस परिपथ  के लिए समान है)


 * $$\ s^2 + 2 \alpha s + {\omega'_0}^2 = 0\ $$

एक ही आवृत्ति नहीं है।इस मामले में यह स्वाभाविक, अनिर्दिष्ट अनुनादी  आवृत्ति है:
 * $$\ \omega'_0 \equiv \frac{1}{\ \sqrt{ LC ~}\ }\ .$$

आवृत्ति $sinh$, जिस पर प्रतिबाधा परिमाण अधिकतम है, द्वारा दिया जाता है
 * $$\ \omega_\mathrm{max} = \omega'_0\ \sqrt{ -\frac{1}{\ Q_L^2\ ~} + \sqrt{1 + \frac{2}{\ Q_L^2\ } ~} ~}\ ,$$

कहाँ पे $s = jω$ कॉइल का क्यू कारक है।यह अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है :$$\ \omega_\mathrm{max} \approx \omega'_0\ \sqrt{ 1 - \frac{1}{\ 2Q^4_L\ } ~}\ .$$ इसके अलावा, सटीक अधिकतम प्रतिबाधा परिमाण द्वारा दिया गया है :$$\ |Z|_\mathrm{max} = \frac{ R Q_L^2 }{\ \sqrt{ 2Q_L\sqrt{Q_L^2 + 2\ } - \left( 2Q_L^2 + 1 \right) ~}\ } =  \frac{ R Q_L }{\ \sqrt{ 2 \sqrt{1 + 2/Q_L^2\ } - \left( 2 + 1/Q_L^2 \right) ~}\ }\ .$$ के मूल्यों के लिए $$\ Q_L \gg 1\ ,$$ यह अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है :$$\ |Z|_\mathrm{max} \approx R Q_L^2 \ .$$

एक ही नस में, एक श्रृंखला एलसी परिपथ में संधारित्र के साथ समानांतर में एक अवरोधक का उपयोग एक हानिपूर्ण ढांकता हुआ के साथ एक संधारित्र का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है।यह कॉन्फ़िगरेशन चित्रा 5 में दिखाया गया है।  अनुनादी  आवृत्ति (आवृत्ति जिस पर प्रतिबाधा शून्य काल्पनिक हिस्सा है) इस मामले में दिया गया है
 * $$\ \omega_0 = \sqrt{ \frac{1}{\ LC\ } - \frac{1}{\ (RC)^2\ }\ }\ ,$$

जबकि आवृत्ति $|I(jω)|$ जिस पर प्रतिबाधा परिमाण न्यूनतम है
 * $$\ \omega_\mathrm{m} =\omega'_0\ \sqrt{ -\frac{1}{\ Q_C^2\ } + \sqrt{ 1 + \frac{2}{\ Q_C^2\ }\ }\ }\ ,$$

कहाँ पे $R = 1 Ω$।

इतिहास
पहला प्रमाण है कि संधारित्र विद्युत दोलनों का उत्पादन कर सकता है, 1826 में फ्रांसीसी वैज्ञानिक फेलिक्स सिवरी द्वारा ढूंढा गया था। उन्होंने पाया कि जब लेडेन जार को एक लोहे की सुई के चारों तरफ तार के माध्यम से दे दी गई थी, तो कभी -कभी सुई को एक दिशा में और कभी -कभी विपरीत दिशा में चुम्बकीय रूप से छोड़ दिया जाता था। उन्होंने सही प्रकार से निष्कर्ष निकाला कि कि यह तार में आद्र दोलन विसर्जन धारा के कारण हुआ था, जिसने सुई के चुंबकत्व को आगे और पीछे उलट दिया, जब तक कि यह एक प्रभाव के लिए बहुत छोटा नहीं था, सुई को यादृच्छिक दिशा में चुम्बकित कर दिया है।

अमेरिकी भौतिक विज्ञानी जोसेफ हेनरी ने 1842 में सैवरी के प्रयोग को दोहराया और सामान्यतौर पर स्वतंत्र रूप से एक ही निष्कर्ष पर आए थे। 1853 में ब्रिटिश वैज्ञानिक विलियम थॉमसन, 1 बैरन केल्विन (लॉर्ड केल्विन) ने गणितीय रूप से दिखाया कि प्रेरण के माध्यम से लेडेन जार का निर्वहन दोलक होना चाहिए, और इसकी अनुनादी आवृत्ति प्राप्त की थी।

ब्रिटिश रेडियो शोधकर्ता ओलिवर लॉज ने एक लंबे तार के माध्यम से लेडेन जार की बड़ी बैटरी का निर्वहन करके, ऑडियो रेंज में अपनी अनुनादी आवृत्ति के साथ समस्वरित परिपथ बनाया, जिसने निर्वहन किए जाने पर किरण से एक संगीत टोन का उत्पादन किया है। 1857 में, जर्मन भौतिक विज्ञानी बेरेन्ड विल्हेम फेडरसन ने घूर्णन दर्पण में अनुनादी लेडेन जार परिपथ द्वारा उत्पादित चिंगारी की तस्वीर खींची, जो दोलनों के दृश्य प्रमाण प्रदान करती है।  1868 में, स्कॉटिश भौतिक विज्ञानी जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने प्रेरण और धारिता के साथ परिपथ के लिए वैकल्पिक धारा को क्रियान्वित करने के प्रभाव की गणना की, जिसमें दिखाया गया कि प्रतिक्रिया अधिकतम अनुनादी आवृत्ति पर है।

विद्युत अनुनाद वक्र का पहला उदाहरण 1887 में जर्मन भौतिक विज्ञानी हेनरिक हर्ट्ज द्वारा रेडियो तरंगों की खोज पर अपने अग्रणी पेपर में प्रकाशित किया गया था, जिसमें आवृत्ति के फंक्शन के रूप में अपने चिंगारी-स्थान एलसी अनुनादी संसूचक से चिंगारी की लंबाई को दिखाया गया था।

संतुलित किए गए परिपथ के बीच प्रतिध्वनि के पहले प्रदर्शनों में से लॉज का सिंटोनिक जार प्रयोग 1889 के आसपास था उन्होंने एक दूसरे के बगल में दो  अनुनादी परिपथ रखे, जिनमें से प्रत्येक में लेडेन जार सम्मिलित था जो चिंगारी स्थान के साथ समायोज्य घुमाव कुंडली से जुड़ा था। जब प्रेरण कुंडली से एक उच्च वोल्टेज को एक संतुलित परिपथ पर क्रियान्वित किया गया था, जिससे चिंगारी बनाते हैं और इस प्रकार धाराओं को दोलन किया जाता है, तो चिंगारी दूसरे संतुलित  किए गए परिपथ में केवल तब उत्साहित थे जब प्रेरक को प्रतिध्वनि के लिए समायोजित किया गया था। लॉज और कुछ अंग्रेजी वैज्ञानिकों ने इस आशय के लिए सिनटोन शब्द को प्राथमिकता दी, परन्तु अनुनाद शब्द अंततः अटक गया था।

आरएलसी परिपथ के लिए पहला व्यावहारिक उपयोग 1890 के दशक में चिंगारी-अंतराल ट्रांसमीटर में था। चिंगारी-स्थान रेडियो अभिग्राही को ट्रांसमीटर से संतुलित करने की अनुमति देने के लिए होता है। रेडियो प्रणाली के लिए पहला पेटेंट जिसने संतुलित समंजन को अनुमति दी थी, 1897 में लॉज द्वारा बताई की गई थी, चूँकि पहली व्यावहारिक प्रणालियों का आविष्कार 1900 में एंग्लो इटैलियन रेडियो पायनियर गुगलील्मो मार्कोनी द्वारा किया गया था।

चर संतुलित किए गए परिपथ
इन परिपथों का बहुत निरंतर उपयोग एनालॉग रेडियो के संतुलित समंजन परिपथ में है। समायोज्य संतुलित समंजन सामन्यतौर पर समानांतर प्लेट चर संधारित्र के साथ प्राप्त किया जाता है जो मूल्य की अनुमति देता है $Q$ अलग -अलग आवृत्तियों पर स्टेशनों को बदलना और संतुलित करना है। रेडियो में मध्यवर्ती आवृत्ति के लिए जहां संतुलित समंजन कारखाने निर्माणशाला में पूर्व निर्धारित है, अधिक सामान्य समाधान समायोजक को समायोजित करने के लिए समायोज्य कोर $C$ है। इस डिज़ाइन में, कोर (उच्च पारगम्यता (विद्युतचुंबकीय) सामग्री से बना है जिसमें बढ़ती प्रेरण का प्रभाव होता है) को मंद किया जाता है जिससे कि इसे आगे खराब किया जा सके, या आवश्यकतानुसार प्रेरक बंधन से बाहर खराब किया जा सकता है।

फिल्टर
निस्पंदन अनुप्रयोग में, प्रतिरोध वह लोड बन जाता है जो निस्पंदन में काम कर रहा है। अवमंदन कारक का मान निस्पंदन के वांछित बैंडचौड़ाई के आधार पर चुना जाता है। व्यापक बैंडचौड़ाई के लिए, अवमंदन कारक का बड़ा मूल्य आवश्यक है (और इसके विपरीत)। तीन घटक डिजाइनर को सही प्रकार के तीन डिग्री देते हैं।बैंडचौड़ाई और अनुनादी आवृत्ति को सेट करने के लिए इनमें से दो की आवश्यकता होती है। डिजाइनर को अभी भी एक के साथ छोड़ दिया जाता है जिसका उपयोग स्तर करने के लिए किया जा सकता है $L$, $R$ और $L$ सुविधाजनक व्यावहारिक मूल्यों के लिए होता है। वैकल्पिक रूप से, $C$ बाहरी परिपथ R द्वारा पूर्वनिर्धारित किया जा सकता है जो स्वतंत्रता की अंतिम डिग्री का उपयोग करेगा।

कम-पास फिल्टर
आरएलसी परिपथ का उपयोग निम्न पारक फ़िल्टर के रूप में किया जा सकता है। परिपथ विन्यास को चित्र 6 में दिखाया गया है। कोने की आवृत्ति, अर्थात, 3 & nbsp; db बिंदु की आवृत्ति, द्वारा दी गई है


 * $$\omega_\mathrm{c} = \frac{1}{\sqrt {LC}} \,.$$

यह निस्पंदन की बैंडचौड़ाई भी है। अवमंदन कारक द्वारा दिया जाता है
 * $$\zeta = \frac {1}{2R_L} \sqrt {\frac{L}{C}} \,.$$

हाई-पास फिल्टर
एक उच्च- पारक फ़िल्टर चित्रा 7 में दिखाया गया है। कोने की आवृत्ति निम्न-पास फिल्टर के समान है:


 * $$ \omega_\mathrm{c} = \frac{1}{\sqrt {LC}} \,.$$

फ़िल्टर में इस चौड़ाई का विराम-बैंड है।

बैंड-पास फिल्टर
एक बैंड-पास फ़िल्टर को आरएलसी परिपथ के साथ या तो लोड रोकनेवाला के साथ श्रृंखला में एक श्रृंखला एलसी परिपथ  रखकर या फिर लोड रोकनेवाला के साथ समानांतर में समानांतर एलसी परिपथ  रखकर एक श्रृंखला एलसी परिपथ  रखकर बनाया जा सकता है।इन व्यवस्थाओं को क्रमशः आंकड़े 8 और 9 में दिखाया गया है।केंद्र की आवृत्ति द्वारा दी गई है


 * $$ \omega_\mathrm{c} = \frac{1}{\sqrt {LC}} \,,$$

और श्रृंखला परिपथ के लिए बैंडविड्थ है <रेफ नाम = कैसर, पीपी। 7.21–7.27> कैसर, पीपी। 7.21–7.27।


 * $$ \Delta \omega = \frac {R_L}{L} \,.$$

परिपथ के शंट संस्करण का उद्देश्य एक उच्च प्रतिबाधा स्रोत द्वारा संचालित किया जाना है, अर्थात, एक निरंतर वर्तमान स्रोत।उन शर्तों के तहत बैंडविड्थ <रेफ नाम = कैसर, पीपी। 7.21–7.27 /> है


 * $$ \Delta \omega = \frac {1}{C R_L} \,.$$

बैंड-स्टॉप फ़िल्टर
चित्रा 10 लोड में शंट में एक श्रृंखला एलसी परिपथ द्वारा गठित एक बैंड-स्टॉप फिल्टर दिखाता है।चित्रा 11 एक बैंड-स्टॉप फिल्टर है जो लोड के साथ श्रृंखला में एक समानांतर एलसी परिपथ  द्वारा गठित है।पहले मामले में एक उच्च प्रतिबाधा स्रोत की आवश्यकता होती है ताकि वर्तमान को  अनुनादी क में बदल दिया जाए जब यह अनुनाद में कम प्रतिबाधा बन जाता है।दूसरे मामले में एक कम प्रतिबाधा स्रोत की आवश्यकता होती है ताकि वोल्टेज को एंटीराइंगर में गिरा दिया जाए जब यह अनुनाद में उच्च प्रतिबाधा बन जाता है।

ऑसिलेटर
दोलन परिपथ में अनुप्रयोगों के लिए, सामान्यतौर पर क्षीणन (या समकक्ष, भिगोना कारक) को यथासंभव छोटा बनाना वांछनीय है। व्यवहार में, इस उद्देश्य को परिपथ के प्रतिरोध को बनाने की आवश्यकता होती है $R$ श्रृंखला परिपथ  के लिए शारीरिक रूप से संभव है, या वैकल्पिक रूप से बढ़ रहा है $R$ एक समानांतर परिपथ  के लिए जितना संभव हो उतना।या तो मामले में, आरएलसी परिपथ  एक आदर्श एलसी परिपथ  के लिए एक अच्छा सन्निकटन बन जाता है।हालांकि, बहुत कम-क्षीणन परिपथ  के लिए (उच्च) $R$-फैक्टर), कॉइल और कैपेसिटर के ढांकता हुआ नुकसान जैसे मुद्दे महत्वपूर्ण हो सकते हैं।

एक थरथरानवाला परिपथ में


 * $$ \alpha \ll \omega_0 \,,$$

या समकक्ष रूप से


 * $$ \zeta \ll 1 \,. $$

नतीजतन,


 * $$ \omega_\mathrm{d} \approx \omega_0 \,. $$

वोल्टेज गुणक
अनुनाद में श्रृंखला आरएलसी परिपथ में, वर्तमान केवल परिपथ के प्रतिरोध द्वारा सीमित है


 * $$ I = \frac{V}{R}\,. $$

यदि $Q$ छोटा है, जिसमें केवल प्रारंभ करनेवाला घूमने वाला घूमने वाला प्रतिरोध सम्मिलित है, तो यह वर्तमान बड़ा होगा। यह वोल्टेज को छोड़ देगा


 * $$ V_L = \frac{V}{R} \omega_0 L \,.$$

एक समान परिमाण वोल्टेज भी संधारित्र के पार परन्तु प्रतिफेज में प्रारंभ करनेवाला को देखा जाएगा। यदि $R$ पर्याप्त रूप से छोटा बनाया जा सकता है, ये वोल्टेज इनपुट वोल्टेज से कई बार हो सकते हैं। वोल्टेज अनुपात, वास्तव में, $R$ परिपथ का,


 * $$ \frac{V_L}{V} = Q \,.$$

समानांतर परिपथ में धाराओं के साथ एक समान प्रभाव देखा जाता है। भले ही परिपथ बाहरी स्रोत के लिए उच्च प्रतिबाधा के रूप में प्रकट होता है, समानांतर प्रारंभ करनेवाला और संधारित्र के आंतरिक लूप में बड़ा वर्तमान परिसंचारी है।

स्पंद प्रवाह परिपथ
अतिअवमंदित श्रंखला आरएलसी परिपथ का उपयोग स्पन्द प्रवाह परिपथ के रूप में किया जा सकता है। अधिकांशतः यह उन घटकों के मूल्यों को जानना उपयोगी होता है जिनका उपयोग तरंग का उत्पादन करने के लिए किया जा सकता है। यह फॉर्म द्वारा वर्णित है
 * $$ I(t) = I_0\left(\,e^{-\alpha\,t} - e^{-\beta\,t}\right) \,.$$

इस तरह के परिपथ में ऊर्जा भंडारण संधारित्र, प्रतिरोध के रूप में भार, कुछ परिपथ प्रेरकत्व और स्विच - सभी श्रृंखला में सम्मिलित हो सकते हैं। प्रारंभिक बात हैं कि संधारित्र वोल्टेज $C = 1 F$ पर है, और प्रारंभ करनेवाला में कोई वर्तमान प्रवाह नहीं है। यदि प्रेरक $Q$ ज्ञात है, तो शेष पैरामीटर धारिता निम्नलिखित द्वारा दिए गए हैं:
 * $$ C = \frac{1}{~L\,\alpha\,\beta\,~} \,,$$

प्रतिरोध (परिपथ और भार का कुल):
 * $$ R = L\,(\,\alpha + \beta\,) \,,$$

संधारित्र का प्रारंभिक सीमावर्ती वोल्टेज:
 * $$ V_0 = -I_0 L\,\alpha\,\beta\,\left(\frac{1}{\beta} - \frac{1}{\alpha}\right) \,.$$

इस कथन के लिए पुनर्व्यवस्थित धारिता $L$ ज्ञात करना है:
 * $$ C = \frac{~\alpha + \beta~}{R\,\alpha\,\beta} \,,$$

प्रेरक (परिपथ और भार का कुल):
 * $$ L = \frac{R}{\,\alpha + \beta~} \,,$$

संधारित्र का प्रारंभिक सीमावर्ती वोल्टेज:
 * $$ V_0 = \frac{\,-I_0 R\,\alpha\,\beta~}{\alpha + \beta} \left(\frac{1}{\beta} - \frac{1}{\alpha}\right) \,.$$

यह भी देखें

 * आरसी परिपथ
 * आरएल परिपथ
 * रैखिक परिपथ