अर्धउत्तल फलन

गणित में, एक अर्धउत्तल फलन एक वास्तविक सदिश स्थल के अंतराल (गणित) पर या उत्तल सेट पर परिभाषित एक वास्तविक संख्या-मूल्य वाला फलन (गणित) है जो  के होता है, जैसे कि फॉर्म के किसी भी सेट की व्युत्क्रम छवि $$(-\infty,a)$$ एक उत्तल समुच्चय है। एकल चर के एक फलन के लिए, वक्र के किसी भी विस्तार के साथ उच्चतम बिंदु समापन बिंदुओं में से एक है। अर्धउत्तल फलन के नकारात्मक को क्वासिकोनकेव कहा जाता है।

सभी उत्तल फलन भी अर्ध-उत्तल होते हैं, लेकिन सभी अर्ध-उत्तल फलन उत्तल नहीं होते हैं, इसलिए अर्ध-उत्तलता उत्तलता का एक सामान्यीकरण है।  यूनिवेरेट यूनिमोडल फलन अर्धउत्तल या क्वासिकोनकेव हैं, हालांकि किसी फलन के एकाधिक तर्क वाले फलन के लिए यह जरूरी नहीं है। उदाहरण के लिए, 2-आयामी रोसेनब्रॉक फलन यूनिमॉडल है, लेकिन अर्धउत्तल नहीं है और स्टार-उत्तल उप-स्तर सेट सेट वाले फलन अर्धउत्तल के बिना यूनिमॉडल हो सकते हैं।

परिभाषा और गुण
एक समारोह $$f:S \to \mathbb{R}$$ उत्तल उपसमुच्चय पर परिभाषित वास्तविक सदिश समष्टि $$S$$ अर्धउत्तल है यदि सभी के लिए, $$x, y \in S$$ और $$\lambda \in [0,1]$$ अपने पास


 * $$f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\leq\max\big\{f(x),f(y)\big\}.$$ है।

शब्दों में, यदि $$f$$ ऐसा है जो यह हमेशा सत्य है कि दो अन्य बिंदुओं के बीच सीधे एक बिंदु अन्य दोनों बिंदुओं की तुलना में फलन का उच्च मूल्य नहीं देता है, तो $$f$$ अर्धउत्तल है। ध्यान दें कि बिंदु $$x$$ और $$y$$, और उनके बीच का बिंदु, एक रेखा पर बिंदु हो सकता है या अधिक सामान्यतः एन-आयामी अंतरिक्ष में बिंदु हो सकता है।



अर्ध-उत्तल फलन$$f(x)$$ को परिभाषित करने का एक वैकल्पिक तरीका (परिचय देखें) यह आवश्यक है कि प्रत्येक उपस्तरीय सेट $$S_\alpha(f) = \{x\mid f(x) \leq \alpha\}$$ एक उत्तल समुच्चय है।

यदि इसके अतिरिक्त


 * $$f(\lambda x + (1 - \lambda)y)<\max\big\{f(x),f(y)\big\}$$

$$x \neq y$$ और $$\lambda \in (0,1)$$ सभी के लिए, तो $$f$$ पूरी तरह से अर्धउत्तल है। अर्थात्, सख्त क्वासिकोनवेक्सिटी के लिए आवश्यक है कि दो अन्य बिंदुओं के बीच सीधे एक बिंदु को अन्य बिंदुओं में से एक की तुलना में फलन का कम मूल्य देना चाहिए।

एक क्वासिकोनकेव फलन एक ऐसा फलन है जिसका नकारात्मक अर्धउत्तल है, और एक सख्ती से क्वासिकोनकेव फलन एक ऐसा फलन है जिसका नकारात्मक सख्ती से अर्धउत्तल है। समान रूप से एक $$f$$ क्वासिकोनकेव फलन है यदि


 * $$f(\lambda x + (1 - \lambda)y)\geq\min\big\{f(x),f(y)\big\}.$$

और और पूर्णतया क्वासिकोनकेव यदि


 * $$f(\lambda x + (1 - \lambda)y)>\min\big\{f(x),f(y)\big\}$$

ए (सख्ती से) अर्धउत्तल फलन में (सख्ती से) उत्तल निचले समोच्च सेट होते हैं, जबकि (सख्ती से) अर्धउत्तल फलन में (सख्ती से) उत्तल ऊपरी समोच्च सेट होते हैं।

एक फलन जो अर्धउत्तल और क्वासिकोनकेव दोनों है, अर्धरेखीय है।

अर्ध-अवतलता का एक विशेष स्थिति, यदि $$S \subset \mathbb{R}$$, यूनिमोडिटी फलन है, जिसमें स्थानीय रूप से अधिकतम मूल्य होता है।

अनुप्रयोग
अर्धउत्तल फ़ंक्शंस में गणितीय विश्लेषण में, गणितीय अनुकूलन और गेम सिद्धांत और अर्थशास्त्र में अनुप्रयोग होता है।

गणितीय अनुकूलन
अरेखीय अनुकूलन में, अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग पुनरावृत्त विधियों का अध्ययन करती है जो अर्धउत्तल कार्यों के लिए न्यूनतम (यदि कोई उपस्थित है) में परिवर्तित होती है। अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग उत्तल प्रोग्रामिंग का एक सामान्यीकरण है। अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग का उपयोग सरोगेट दोहरी समस्याओं के समाधान में किया जाता है, जिनके बिडुअल प्रारंभिक समस्या के अर्धउत्तल समापन प्रदान करते हैं, जो इसलिए लैग्रेंजियन लैग्रेंज द्वैत द्वारा प्रदान किए गए उत्तल बंद की तुलना में सख्त सीमा प्रदान करते हैं। कम्प्यूटेशनल जटिलता सिद्धांत में, अर्धउत्तल प्रोग्रामिंग और उत्तल प्रोग्रामिंग समस्याओं को उचित समय में हल किया जा सकता है, जहां समस्या के आयाम में बहुपद की तरह बढ़ती है (और सन्निकटन त्रुटि के पारस्परिक रूप से सहन की जाती है); हालाँकि, ऐसी सैद्धांतिक रूप से कुशल विधियाँ डायवर्जेंट-सीरीज़ ग्रेडिएंट नियमों का उपयोग करती हैं, जिन्हें पहली बार शास्त्रीय सबग्रेडिएंट विधियों के लिए विकसित किया गया था। डाइवर्जेंट-सीरीज़ नियमों का उपयोग करने वाली शास्त्रीय सबग्रेडिएंट विधियां उत्तल न्यूनतमकरण के आधुनिक तरीकों की तुलना में बहुत धीमी हैं, जैसे कि सबग्रेडिएंट प्रक्षेपण विधियां, वंश के बंडल तरीके, और नॉनस्मूथ फ़िल्टर विधियां।

अर्थशास्त्र और आंशिक अंतर समीकरण: मिनिमैक्स प्रमेय
 सूक्ष्मअर्थशास्त्र में, क्वासिकोनकेव उपयोगिता कार्यों का अर्थ है कि उपभोक्ताओं की उत्तल प्राथमिकताएँ हैं। क्वासिकोन्वेक्स फलन गेम थ्योरी, औद्योगिक संगठन और सामान्य संतुलन सिद्धांत में भी महत्वपूर्ण हैं, विशेष रूप से सायन के मिनिमैक्स प्रमेय के अनुप्रयोगों के लिए। जॉन वॉन न्यूमैन के मिनिमैक्स प्रमेय को सामान्यीकृत करते हुए, सायन के प्रमेय का उपयोग आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत में भी किया जाता है।

क्वासिकोनवेक्सिटी को संरक्षित करने वाले ऑपरेशन

 * अर्धउत्तल फ़ंक्शंस की अधिकतम संख्या (अर्थात्) $$f = \max \left\lbrace f_1, \ldots , f_n \right\rbrace$$ ) अर्धउत्तल है। इसी प्रकार, सख्त अर्धउत्तल फलन अधिकतम सख्तक्वासिकोनवेक्स है। इसी तरह, क्वासिकोनकेव फलन का न्यूनतम क्वासिकोनकेव है, और सख्ती से क्वासिकोनकेव फलन का न्यूनतम सख्ती से क्वासिकोनकेव है।
 * एक गैर-घटते फलन के साथ ओमपोजिशन: $$g : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$$ अर्धउत्तल, $$h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ गैर-घटता है, तो $$f = h \circ g$$ अर्धउत्तल है। इसी प्रकार, यदि $$g : \mathbb{R}^{n} \rightarrow \mathbb{R}$$ क्वासिकोनकेव, $$h : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$$ गैर-घटता है, तो $$f = h \circ g$$ क्वासिकोनकेव है.
 * न्यूनीकरण (अर्थात्) $$f(x,y)$$ अर्धउत्तल, $$C$$ उत्तल सेट, फिर $$h(x) = \inf_{y \in C} f(x,y)$$ अर्धउत्तल है)।

संचालन quasiconvexity को संरक्षित नहीं कर रहे

 * एक ही डोमेन पर परिभाषित अर्धउत्तल फ़ंक्शंस का योग अर्धउत्तल होने की आवश्यकता नहीं है: दूसरे शब्दों में, यदि $$f(x), g(x)$$ अर्धउत्तल हैं, तो $$(f+g)(x) = f(x) + g(x)$$ अर्धउत्तल होने की आवश्यकता नहीं है।
 * विभिन्न डोमेन पर परिभाषित अर्धउत्तल फ़ंक्शंस का योग (अर्थात यदि $$f(x), g(y)$$ अर्धउत्तल हैं, $$h(x,y) = f(x) + g(y)$$) अर्धउत्तल होने की आवश्यकता नहीं है। ऐसे कार्यों को अर्थशास्त्र में योगात्मक रूप से विघटित और गणितीय अनुकूलन में वियोज्य कहा जाता है।

उदाहरण

 * प्रत्येक उत्तल फलन अर्धउत्तल होता है।
 * एक अवतल फलन अर्धउत्तल हो सकता है। उदाहरण के लिए, $$x \mapsto \log(x)$$ अवतल और अर्धउत्तल दोनों है।
 * कोई भी मोनोटोनिक फलन अर्धउत्तल और क्वासिकोनकेव दोनों है। अधिक आम तौर पर, एक फलन जो एक बिंदु तक घटता है और उस बिंदु से बढ़ता है वह अर्धउत्तल है (यूनिमोडिटी की तुलना करें)है।
 * $$x\mapsto \lfloor x\rfloor$$ फर्श समारोह एक अर्धउत्तल फलन का एक उदाहरण है जो न तो उत्तल है और न ही निरंतर है।

यह भी देखें

 * उत्तल कार्य
 * अवतल कार्य
 * लघुगणकीय रूप से अवतल कार्य
 * कई जटिल चर के अर्थ में छद्म उत्तलता (सामान्यीकृत उत्तलता नहीं)
 * छद्मउत्तलता फलन
 * इनवेक्स फलन
 * अवतरण

संदर्भ

 * Avriel, M., Diewert, W.E., Schaible, S. and Zang, I., Generalized Concavity, Plenum Press, 1988.
 * Singer, Ivan Abstract convex analysis. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997. xxii+491 pp. ISBN 0-471-16015-6
 * Singer, Ivan Abstract convex analysis. Canadian Mathematical Society Series of Monographs and Advanced Texts. A Wiley-Interscience Publication. John Wiley & Sons, Inc., New York, 1997. xxii+491 pp. ISBN 0-471-16015-6

बाहरी संबंध

 * SION, M., "On general minimax theorems", Pacific J. Math. 8 (1958), 171-176.
 * Mathematical programming glossary
 * Concave and Quasi-Concave Functions - by Charles Wilson, NYU Department of Economics
 * Quasiconcavity and quasiconvexity - by Martin J. Osborne, University of Toronto Department of Economics