नियमित श्रेणी

श्रेणी सिद्धांत में, नियमित श्रेणी सीमा (श्रेणी सिद्धांत) के साथ श्रेणी है जिसमें परिमित सीमाएँ होती हैं और मोनोमोर्फिज्म की एक युग्म के समतुल्य होते हैं जिन्हें कर्नेल जोड़े कहा जाता है, जो कुछ शुद्धता की स्थिति को संतुष्ट करते हैं। इस तरह से नियमित श्रेणियां एबेलियन श्रेणियों के कई गुणों को पुनः प्राप्त करती हैं, जैसे कि बिना एडिटिविटी की आवश्यकता के छवियों का अस्तित्व। उसी समय, नियमित श्रेणियां प्रथम-क्रम तर्क के एक टुकड़े के अध्ययन के लिए आधार प्रदान करती हैं, जिसे नियमित तर्क के रूप में जाना जाता है।

परिभाषा
श्रेणी C को 'नियमित' कहा जाता है यदि यह निम्नलिखित तीन गुणों को पूरा करती है:
 * C पूरी तरह से पूर्ण श्रेणी है।
 * यदि f : X → Y, C में रूपवाद है, और




 * एक पुलबैक (श्रेणी सिद्धांत) है, तो p0, p1 का समतुल्य उपस्थित है। युग्म (p0, p1) को f की कर्नेल युग्म कहा जाता है पुलबैक होने पर, कर्नेल युग्म अद्वितीय समरूपता तक अद्वितीय है।


 * यदि f : X → Y C में रूपवाद है, और




 * पुलबैक है, और यदि f नियमित अधिरूपता है, तो g नियमित एपिमोर्फिज्म भी है। 'नियमित एपिमोर्फिज्म ' एपिमोर्फिज्म है जो मोनोमोर्फिज्म के कुछ जोड़े के समतुल्य के रूप में प्रकट होता है।

उदाहरण
नियमित श्रेणियों के उदाहरणों में सम्मिलित हैं:
 * समुच्चय की श्रेणी, समुच्चय के बीच समुच्चय (गणित) और फलन (गणित) की श्रेणी
 * अधिक सामान्यतः, प्रत्येक प्राथमिक टोपोज़
 * समूहों की श्रेणी, समूह की श्रेणी (गणित) और समूह समरूपता
 * वलय (गणित) और वलय समरूपता की श्रेणी
 * अधिक सामान्यतः, किसी भी प्रकार के मॉडल की श्रेणी (सार्वभौमिक बीजगणित)
 * प्रत्येक बाउंड मीट-सेमिलैटिस, क्रम संबंध द्वारा दिए गए मोनोमोर्फिज्म के साथ
 * प्रत्येक एबेलियन श्रेणियां

निम्नलिखित श्रेणियां नहीं नियमित हैं:
 * टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी, टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी और निरंतर कार्य (टोपोलॉजी) ।
 * कैट, छोटी श्रेणियों की श्रेणी, छोटी श्रेणियों और फ़ैक्टर्स की श्रेणी

एपी-मोनो कारककरण
नियमित श्रेणी में, नियमित-एपिमॉर्फिज्म और एकरूपता गुणनखंड प्रणाली बनाते हैं। प्रत्येक मोनोमोर्फिज्म f:X→Y को नियमित अधिरूपता e:X→E के बाद मोनोमोर्फिज्म m:E→Y में विभाजित किया जा सकता है, जिससे f=me हो। गुणनखंड इस अर्थ में अद्वितीय है कि यदि e':X→E' और नियमित एपिमोर्फिज्म है और m':E'→Y अन्य मोनोमोर्फिज्म है जैसे कि f=m'e', तो एक आइसोमोर्फिज्म h:E→E उपस्थित है' जैसे कि he=e' और m'h=m। मोनोमोर्फिज्म m को एफ की छवि कहा जाता है।

त्रुटिहीन अनुक्रम और नियमित फ़ैक्टर
नियमित श्रेणी में, प्रपत्र का आरेख $$R\rightrightarrows X\to Y$$ त्रुटिहीन अनुक्रम कहा जाता है यदि यह समतुल्य और कर्नेल युग्म दोनों है। शब्दावली होमोलॉजिकल बीजगणित में त्रुटिहीन अनुक्रमों का सामान्यीकरण है: एबेलियन श्रेणी में, आरेख
 * $$R\;\overset r{\underset s\rightrightarrows}\; X\xrightarrow{f} Y$$

इस अर्थ में त्रुटिहीन है यदि और केवल यदि $$0\to R\xrightarrow{(r,s)}X\oplus X\xrightarrow{(f,-f)} Y\to 0$$ सामान्य अर्थों में संक्षिप्त त्रुटिहीन अनुक्रम है।

नियमित श्रेणियों के बीच फ़ंक्टर को नियमित कहा जाता है, यदि यह परिमित सीमा और कर्नेल जोड़े के समतुल्य को संरक्षित करता है। फ़ैक्टर नियमित होता है यदि और केवल यदि यह सीमित सीमाओं और त्रुटिहीन अनुक्रमों को संरक्षित करता है। इस कारण से, नियमित फ़ैक्टरों को कभी-कभी त्रुटिहीन फ़ैक्टर्स कहा जाता है। फ़ैक्टर जो परिमित सीमा को संरक्षित करते हैं उन्हें अधिकांश त्रुटिहीन छोड़ दिया जाता है।

नियमित तर्क और नियमित श्रेणियां
नियमित तर्क पहले क्रम के तर्क का खंड है जो प्रपत्र के कथनों को व्यक्त कर सकता है

$\forall x (\phi (x) \to \psi (x))$,

जहाँ $$\phi$$ और $$\psi$$ नियमित सूत्र (गणितीय तर्क) हैं अर्थात् परमाणु सूत्रों सत्य स्थिरांक, बाइनरी मीट्स (संयोजन) और अस्तित्वगत परिमाणीकरण से निर्मित सूत्र है। ऐसे सूत्रों की नियमित श्रेणी में व्याख्या की जा सकती है, और व्याख्या अनुक्रम $$\forall x (\phi (x) \to \psi (x))$$ का मॉडल है, यदि $$ \psi$$ की व्याख्या के माध्यम से $$\phi $$ कारकों की व्याख्या की जाती है। यह प्रत्येक सिद्धांत (अनुक्रमों का समुच्चय) T और प्रत्येक नियमित श्रेणी C के लिए C में T के मॉडल के Mod(T,C) श्रेणी के लिए देता है। यह निर्माण फ़ैक्टर Mod(T,-):RegCat→Cat को छोटी नियमित श्रेणियों के RegCat श्रेणी से और नियमित फ़ैक्टर को छोटी श्रेणियों के लिए देता है। यह महत्वपूर्ण परिणाम है कि प्रत्येक सिद्धांत T के लिए नियमित श्रेणी R(T) है, जैसे कि प्रत्येक नियमित श्रेणी C के लिए श्रेणियों की समतुल्यता है

$\mathbf{Mod}(T,C)\cong \mathbf{RegCat}(R(T),C)$,

जो C में स्वाभाविक है। यहां, R(T) को नियमित सिद्धांत टी की वर्गीकरण श्रेणी कहा जाता है। समानता तक कोई भी छोटी नियमित श्रेणी इस तरह से कुछ नियमित सिद्धांत की वर्गीकरण श्रेणी के रूप में उत्पन्न होती है।

त्रुटिहीन (प्रभावी) श्रेणियां
तुल्यता संबंधों का सिद्धांत नियमित सिद्धांत है। एक नियमित श्रेणी की वस्तु $$X$$ पर एक तुल्यता संबंध $$X \times X$$ में एक मोनोमोर्फिज़्म है जो रिफ्लेक्सिविटी, समरूपता और ट्रांज़िटिविटी के लिए शर्तों की व्याख्या को संतुष्ट करता है।

प्रत्येक कर्नेल युग्म $$p_0, p_1: R \rightarrow X$$ तुल्यता संबंध $$R \rightarrow X \times X$$ को परिभाषित करता है। इसके विपरीत, एक तुल्यता संबंध को प्रभावी कहा जाता है यदि यह कर्नेल जोड़ी के रूप में उत्पन्न होता है। एक तुल्यता संबंध प्रभावी होता है यदि और केवल तभी जब इसमें एक तुल्यकारक होता है और यह इसका कर्नेल युग्म होता है।

माइकल बर्र (गणितज्ञ) के अर्थ में नियमित श्रेणी को त्रुटिहीन, या त्रुटिहीन कहा जाता है, या प्रभावी नियमित, यदि प्रत्येक तुल्यता संबंध प्रभावी है। (ध्यान दें कि त्रुटिहीन श्रेणी के लिए शब्द त्रुटिहीन श्रेणी का भी भिन्न-भिन्न उपयोग किया जाता है।)

त्रुटिहीन श्रेणियों के उदाहरण

 * समुच्चय की श्रेणी इस अर्थ में त्रुटिहीन है, और इसलिए कोई भी (प्राथमिक) टोपोस है। प्रत्येक तुल्यता संबंध में तुल्यकारक होता है, जो तुल्यता वर्ग लेकर पाया जाता है।
 * प्रत्येक एबेलियन श्रेणी त्रुटिहीन है।
 * समुच्चय की श्रेणी के ऊपर प्रत्येक श्रेणी जो मोनाड (श्रेणी सिद्धांत) है, त्रुटिहीन है।
 * स्टोन स्पेस की श्रेणी नियमित है, किन्तु त्रुटिहीन नहीं है।

यह भी देखें

 * रूपक (श्रेणी सिद्धांत)
 * टोपोस
 * त्रुटिहीन पूर्णता