कॉची-प्रत्यास्थ भौतिक

भौतिकी में, एक कॉची-प्रत्यास्थ भौतिकी वह है जिसमें प्रत्येक बिंदु पर तनाव (यांत्रिकी) केवल एक अपेक्षाकृत संदर्भ विन्यास के संबंध में विरूपण (इंजीनियरिंग) की वर्तमान स्थिति से निर्धारित होता है। कॉची-प्रत्यास्थ भौतिकी को एक साधारण प्रत्यास्थ भौतिकी भी कहा जाता है।

इस परिभाषा से यह पता चलता है कि कॉशी-प्रत्यास्थ भौतिकी में तनाव विरूपण के मार्ग या विरूपण के इतिहास पर निर्भर नहीं करता है, या उस विरूपण को प्राप्त करने में लगने वाले समय या उस दर पर निर्भर करता है जिस पर विरूपण की स्थिति होती है। परिभाषा का तात्पर्य यह भी है कि संवैधानिक समीकरण स्थानिक रूप से स्थानीय हैं अर्थात्, शेष भौतिकी के विरूपण या गति की परवाह किए बिना, तनाव केवल बिंदु के एक अतिसूक्ष्म पड़ोस में विरूपण की स्थिति से प्रभावित होता है। इसका तात्पर्य यह भी है कि शरीर बल (जैसे गुरुत्वाकर्षण) और जड़त्वीय बल भौतिकी के गुणों को प्रभावित नहीं कर सकते हैं। अंत में, कॉची-प्रत्यास्थ भौतिकी को भौतिक वस्तुनिष्ठता की आवश्यकताओं को पूरा करना चाहिए।

कॉची-प्रत्यास्थ भौतिकी गणितीय सार हैं, और कोई भी वास्तविक भौतिकी इस परिभाषा को पूरी तरह से फिट नहीं करती है। हालांकि, व्यावहारिक हित की कई प्रत्यास्थ भौतिकी, जैसे कि स्टील, प्लास्टिक, लकड़ी और कंक्रीट, को प्रायः तनाव विश्लेषण के प्रयोजनों के लिए कॉची-प्रत्यास्थ माना जा सकता है।

गणितीय परिभाषा
औपचारिक रूप से, एक भौतिकी को कॉची-प्रत्यास्थ कहा जाता है यदि कॉची तनाव टेन्सर $$ \boldsymbol{\sigma} $$ तनाव टेन्सर (विरूपण ढाल) का एक कार्य है $$\boldsymbol{F}$$ अकेला:
 * $$\ \boldsymbol{\sigma} = \mathcal{G}(\boldsymbol{F}) $$

यह परिभाषा मानती है कि तापमान के प्रभाव को नजरअंदाज किया जा सकता है और शरीर सजातीय है। यह कॉशी-प्रत्यास्थ भौतिकी के लिए संवैधानिक समीकरण है। ध्यान दें कि समारोह $$\mathcal{G}$$ संदर्भ विन्यास की पसंद पर निर्भर करता है। समान्यतः संदर्भ कॉन्फ़िगरेशन को आराम (शून्य-तनाव) कॉन्फ़िगरेशन के रूप में लिया जाता है, लेकिन इसकी आवश्यकता नहीं होती है।

भौतिकी फ्रेम-उदासीनता की आवश्यकता है कि संवैधानिक संबंध $$\mathcal{G}$$ प्रेक्षक का स्थान बदलने पर परिवर्तन नहीं होना चाहिए। इसलिए एक और मनमाना पर्यवेक्षक के लिए संवैधानिक समीकरण लिखा जा सकता है $$ \boldsymbol{\sigma}^* = \mathcal{G}(\boldsymbol{F}^*) $$. यह जानते हुए कि तनाव (भौतिकी) $$ \sigma $$ और विरूपण ढाल $$ F $$ वस्तुनिष्ठ मात्राएँ हैं, कोई लिख सकता है:



\begin{align} & \boldsymbol{\sigma}^* &=& \mathcal{G}(\boldsymbol{F}^*) \\ \Rightarrow & \boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{\sigma}\cdot\boldsymbol{R}^T &=& \mathcal{G}(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{F}) \\ \Rightarrow & \boldsymbol{R}\cdot\mathcal{G}(\boldsymbol{F})\cdot\boldsymbol{R}^T &=& \mathcal{G}(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{F}) \end{align} $$ कहाँ $$\boldsymbol{R}$$ एक उचित ओर्थोगोनल टेन्सर है।

उपरोक्त एक शर्त है कि संवैधानिक समीकरण $$ \mathcal{G} $$ यह सुनिश्चित करने के लिए सम्मान करना होगा कि भौतिकी की प्रतिक्रिया पर्यवेक्षक से स्वतंत्र होगी। पहले या दूसरे पिओला-किरचॉफ तनाव टेंसर के विरूपण प्रवणता से संबंधित संवैधानिक समीकरण के लिए समान स्थितियाँ प्राप्त की जा सकती हैं।

आइसोट्रोपिक कॉची-प्रत्यास्थ भौतिकी
एक आइसोटोपिक भौतिकी के लिए तनाव (भौतिकी) $$ \boldsymbol{\sigma} $$ परिमित तनाव सिद्धांत के एक कार्य के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$ \boldsymbol{B}=\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}^T $$. संवैधानिक समीकरण तब लिखा जा सकता है:


 * $$\ \boldsymbol{\sigma} = \mathcal{H}(\boldsymbol{B}). $$

पर प्रतिबंध लगाने के लिए $$ h $$ जो भौतिकी फ्रेम-उदासीनता के सिद्धांत को सुनिश्चित करेगा, कोई लिख सकता है:


 * $$\ \begin{array}{rrcl} & \boldsymbol{\sigma}^* &=& \mathcal{H}(\boldsymbol{B}^*) \\

\Rightarrow & \boldsymbol{R}\cdot \boldsymbol{\sigma}\cdot \boldsymbol{R}^T &=& \mathcal{H}(\boldsymbol{F}^*\cdot(\boldsymbol{F}^*)^T) \\ \Rightarrow & \boldsymbol{R}\cdot \mathcal{H}(\boldsymbol{B}) \cdot\boldsymbol{R}^T &=& \mathcal{H}(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{F}\cdot\boldsymbol{F}^T\cdot\boldsymbol{R}^T) \\ \Rightarrow & \boldsymbol{R}\cdot \mathcal{H}(\boldsymbol{B})\cdot \boldsymbol{R}^T &=& \mathcal{H}(\boldsymbol{R}\cdot\boldsymbol{B}\cdot\boldsymbol{R}^T). \end{array}$$ उपरोक्त स्थिति का सम्मान करने वाले एक संवैधानिक समीकरण को समदैशिक कहा जाता है।

गैर-रूढ़िवादी भौतिकी
भले ही कॉची-प्रत्यास्थ भौतिकी में तनाव केवल विरूपण की स्थिति पर निर्भर करता है, तनावों द्वारा किया गया कार्य विरूपण के मार्ग पर निर्भर हो सकता है। इसलिए एक कॉची प्रत्यास्थ भौतिकी में सामान्य रूप से एक गैर-रूढ़िवादी संरचना होती है, और तनाव को आवश्यक रूप से स्केलर "प्रत्यास्थ क्षमता" फ़ंक्शन से प्राप्त नहीं किया जा सकता है। इस अर्थ में रूढ़िवादी भौतिकी को हाइपरलास्टिक या "ग्रीन-इलास्टिक" कहा जाता है।