मानक मॉडल का गणितीय सूत्रीकरण



यह लेख कण भौतिकी के मानक मॉडल के गणित का वर्णन करता है, एक गेज सिद्धांत क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत जिसमें क्षेत्र एकात्मक समूह $SU(3) × SU(2) × U(1)$ की आंतरिक समरूपता सम्मिलित होती है। सिद्धांत को सामान्यतः कणों के मूल समूह - लेप्टान, क्वार्क, गेज बोसॉन और हिग्स बोसोन का वर्णन करने के रूप में देखा जाता है।

मानक मॉडल पुनर्सामान्यीकरण योग्य और गणितीय रूप से आत्मनिर्भर होता है, यद्यपि प्रायोगिक भविष्यवाणियाँ प्रदान करने में बड़ी और निरंतर सफलताएँ मिलने के पश्चात् भी यह कुछ भौतिकी को मानक मॉडल से पृथक छोड़ देता है। विशेष रूप से, यद्यपि विशेष सापेक्षता के भौतिकी को सम्मिलित किया गया है, सामान्य सापेक्षता को सम्मिलित नहीं किया गया है, और मानक मॉडल उन ऊर्जाओं या दूरी पर विफल हो जाएगा जहां गुरुत्वाकर्षण उभरने की आशा होती है। इसलिए, आधुनिक क्षेत्र सिद्धांत संदर्भ में, इसे एक प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत के रूप में देखा जाता है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
मानक मॉडल एक मात्रा क्षेत्र सिद्धांत होता है, जिसका अर्थ है कि इसकी मूलभूत वस्तुएं क्वांटम क्षेत्र में होती हैं जिन्हें स्पेसटाइम में सभी बिंदुओं पर परिभाषित किया गया है। क्यूएफटी कणों को उनके अंतर्निहित क्वांटम क्षेत्र (भौतिकी) की उत्तेजित अवस्था (जिसे क्वांटम भी कहा जाता है) के रूप में मानता है, जो कणों की तुलना में अधिक मौलिक होते हैं। ये क्षेत्र इस प्रकार हैं ये मौलिक क्षेत्रों के अतिरिक्त क्वांटम होता हैं, इसका गणितीय परिणाम यह है कि वे प्रचालक-मूल्यवान होता हैं। विशेष रूप से, क्षेत्र के मान सामान्यतः परिवर्तित नहीं होते हैं। प्रचालकों के रूप में, वे क्वांटम अवस्था (केट सदिश) पर कार्य करते हैं।
 * फरमिओन्स क्षेत्र, $Y_{W}$, जो पदार्थ के कणों का कारण बनता है;
 * इलेक्ट्रोवीक बोसोन क्षेत्र $$W_1, W_2, W_3$$, और $Q$ होते है;
 * ग्लूऑन क्षेत्र, $ψ$; और
 * हिग्स बोसोन, $B$.

क्षेत्रों की वैकल्पिक प्रस्तुतियाँ
जैसा कि क्वांटम सिद्धांत में साधारण है, चीजों को देखने की एक से अधिक विधियाँ होती है। पहले तो ऊपर दिए गए मूलभूत क्षेत्र ऊपर दिए गए चार्ट में मौलिक कणों के साथ पूर्ण रूप से समरूप नही होते है, परन्तु कई वैकल्पिक प्रस्तुतियाँ होतीहैं, जो विशेष संदर्भों में, ऊपर दिए गए चार्ट की तुलना में अधिक उपयुक्त हो सकती हैं।

फर्मिअन्स
एक फर्मियन क्षेत्र $G_{a}$ होने के अतिरिक्त, इसे प्रत्येक प्रकार के कण के लिए अलग-अलग घटकों में विभाजित किया जा सकता है। यह क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के ऐतिहासिक विकास को प्रतिबिंबित करता है क्योंकि इलेक्ट्रॉन घटक $T_{3}$ (इलेक्ट्रॉन और उसके प्रतिकण पोजीट्रान का वर्णन करना) क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स का मूल $φ$ क्षेत्र होता है, जिसे पश्चात् में क्रमशः म्यूऑन और टाऊन के लिए $ψ$ और $ψ$ क्षेत्र (और उनके प्रतिकण) को सम्मिलित किया गया था। इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत   $$\psi_{\nu_{\mathrm e}}, \psi_{\nu_\mu}$$, और $$\psi_{\nu_\tau}$$ संगत न्युट्रीनो के लिए जोड़ा जाता है। क्वार्क और भी घटक जोड़ते हैं। इलेक्ट्रॉन और अन्य लेप्टान घटकों की तरह चार-स्पिनर होने के लिए, फ्लेवर और रंग के प्रत्येक संयोजन के लिए एक क्वार्क घटक होना चाहिए, जिससे कुल 24 हो जाए (आवेशित लेप्टान के लिए 3, न्यूट्रिनो के लिए 3, और 2·3·3 = 18 क्वार्क के लिए)। इनमें से प्रत्येक फर्मियन क्षेत्र के लिए कुल 96 समष्टि-मूल्यवान घटकों के लिए चार घटक वाला बिस्पिनोर होता है।

एक महत्वपूर्ण परिभाषा डिराक सहायक फर्मियन क्षेत्र $$\bar{\psi}$$ होता है, जिसे $$ \psi^\dagger \gamma^0 $$ द्वारा परिभाषित किया जाता है, जहाँ $$\dagger$$, $ψ_{μ}$ के हर्मिटियन जोड़ को प्रदर्शित करता है, और $ψ_{e}$ शून्यवाँ गामा आव्यूह होता है। यदि $ψ_{τ}$ को $γ^{0}$आव्यूह के रूप में माना जाता है तो  $$\bar{\psi}$$  को $n × 1$ आव्यूह के रूप में सोचा जाना चाहिए।

एक चिरल सिद्धांत
$ψ$ का एक स्वक्रियाविधि अपघटन चिरैलिटी घटकों में होता है: "Left" chirality: $\psi^{\rm L} = \frac{1}{2}(1-\gamma_5)\psi$

"Right" chirality: $\psi^{\rm R} = \frac{1}{2}(1+\gamma_5)\psi$ जहाँ $$\gamma_5$$ पांचवां गामा आव्यूह होता है। मानक मॉडल में यह बहुत महत्वपूर्ण है क्योंकि बाएं और दाएं चिरैलिटी घटकों को गेज पारस्परिक क्रिया द्वारा अलग-अलग व्यवहार किया जाता है।

विशेष रूप से, अशक्त आइसोस्पिन एसयू(2) परिवर्तनों के अनुसार बाएं हाथ के कण अशक्त आइसोस्पिन दोहरे होते हैं, जबकि दाएं हाथ के कण एकल होते हैं - अर्थात् $1 × n$ का अशक्त आइसोस्पिन शून्य होता है। अधिक सरल शब्दों में कहें तो अशक्त अंतःक्रिया घूम सकती है, उदाहरण के लिए एक बाएं हाथ के इलेक्ट्रॉन को बाएं हाथ के न्यूट्रिनो में ($ψ_{R}$ के उत्सर्जन के साथ), परन्तु समान दाएँ हाथ के कणों के साथ ऐसा नहीं किया जा सकता है। एक ओर, दाएं हाथ के न्यूट्रिनो मूल रूप से मानक मॉडल में उपस्थित नहीं थे - परन्तु न्यूट्रिनो दोलन की अन्वेषण से पता चलता है कि न्यूट्रिनो में द्रव्यमान होना चाहिए, और चूंकि एक विशाल कण के प्रसार के समय चिरलिटी बदल सकती है, इसलिए वास्तविकता में दाएं हाथ के न्यूट्रिनो का अस्तित्व होना चाहिए। यद्यपि, यह अशक्त अंतःक्रिया की (प्रयोगात्मक रूप से सिद्ध) चिरल प्रकृति को नहीं परिवर्तित करताहै।

आगे $W^{−}$, $$\psi^{\rm L}_{\mathrm e}$$ और $$\psi^{\rm R}_{\mathrm e}$$ पर अलग प्रकार से कार्य करता है (क्योंकि उनके पास अलग-अलग अशक्त अति आवेश होता हैं)।

द्रव्यमान और अंतःक्रिया ईजेनस्टेट्स
इस प्रकार, उदाहरण के लिए, न्यूट्रिनो के द्रव्यमान और अंतःक्रिया ईजेनस्टेट्स के मध्य अंतर किया जा सकता है। पूर्व वह अवस्था है जो मुक्त स्थान में फैलती है, जबकि पश्चात् वाली वह भिन्न अवस्था है जो अंतःक्रिया में भाग लेती है। मूल कण कौन सा है? न्यूट्रिनो के लिए, अंतःक्रिया ईजेनस्टेट द्वारा "फ्लेवर" (,, या ) को परिभाषित करना पारंपरिक होता है, जबकि क्वार्क के लिए हम द्रव्यमान अवस्था द्वारा फ्लेवर (ऊपर, नीचे, आदि) को परिभाषित करते हैं। हम क्वार्क के लिए सीकेएम आव्यूह, या न्यूट्रिनो के लिए पीएमएनएस आव्यूह का उपयोग करके इन अवस्थाों के मध्य परिवर्तन कर सकते हैं (दूसरी ओर आवेश किए गए लेप्टान द्रव्यमान और फ्लेवर दोनों ईजेनस्टेट्स होते हैं)।

एक ओर, यदि इनमें से किसी भी आव्यूह के भीतर एक समष्टि चरण शब्द उपस्थित होताहै, तो यह प्रत्यक्ष सीपी उल्लंघन को उत्पन्न करेगा, जो हमारे वर्तमान ब्रह्मांड में प्रतिपदार्थ पर पदार्थ के प्रभुत्व को समझा सकता है। यह सीकेएम आव्यूह के लिए सिद्ध हो चुका है, और पीएमएनएस आव्यूह के लिए अपेक्षित होता है।

धनात्मक और ऋणात्मक ऊर्जा
अंत में, क्वांटम क्षेत्र कभी-कभी धनात्मक और ऋणात्मक ऊर्जा भागों $U(1)$ में विघटित हो जाते हैं। जब क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत स्थापित किया जाता है तो यह इतना सामान्य नहीं होता है, परन्तु प्रायः क्षेत्र सिद्धांत को परिमाणित करने की प्रक्रिया में प्रमुखता से प्रदर्शित होता है।

बोसोन
हिग्स क्रियाविधि के कारण, इलेक्ट्रोवीक बोसोन क्षेत्र $$W_1, W_2, W_3$$, और $$B$$ ऐसी अवस्थाएँ बनाने के लिए मिश्रण करें जो भौतिक रूप से देखने योग्य हों। गेज अपरिवर्तनीयता को बनाए रखने के लिए, अंतर्निहित क्षेत्र द्रव्यमान रहित होना चाहिए, परन्तु अवलोकन योग्य अवस्था से इस प्रक्रिया में द्रव्यमान प्राप्त कर सकते हैं। ये अवस्था इस प्रकार हैं:

विशाल उदासीन (Z) बोसोन: $$ Z= \cos \theta_{\rm W} W_3 - \sin \theta_{\rm W} B$$ द्रव्यमान रहित उदासीन बोसॉन: $$ A = \sin \theta_{\rm W} W_3 + \cos \theta_{\rm W} B$$ बड़े पैमाने पर आवेशित W और Z बोसॉन: $$W^{\pm} = \frac1{\sqrt2}\left(W_1 \mp i W_2\right)$$ जहाँ $ψ = ψ^{+} + ψ^{−}$ वेनबर्ग कोण होता है। वह $ψ$ क्षेत्र फोटॉन होता है, जो मौलिक रूप से प्रसिद्ध विद्युत चुम्बकीय चार-क्षमता के समरूप होता है - अर्थात् विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र। वह $ψ$ क्षेत्र वास्तव में फोटॉन द्वारा की जाने वाली प्रत्येक प्रक्रिया में योगदान देता है, परन्तु इसके बड़े द्रव्यमान के कारण, योगदान सामान्यतः नगण्य होता है।

विघ्नकारी क्यूएफटी और अंतःक्रिया चित्र
"कणों" और "बलों" के संदर्भ में मानक मॉडल का अधिकांश गुणात्मक विवरण मॉडल के विक्षुब्ध क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत दृष्टिकोण से आता है। इसमें लैग्रेंजियन को इस प्रकार विघटित किया जाता है भिन्न-भिन्न मुक्त क्षेत्र और पारस्परिक क्रिया लैग्रेन्जियन में $$\mathcal{L} = \mathcal{L}_0 + \mathcal{L}_\mathrm{I}$$ के रूप में विघटित किया जाता है। मुक्त क्षेत्र अलगाव में कणों की देखभाल करते हैं, जबकि कई कणों से जुड़ी प्रक्रियाएं परस्पर क्रिया के माध्यम से उत्पन्न होती हैं। विचार यह है कि अवस्था सदिश मात्र तभी बदलना चाहिए जब कण परस्पर क्रिया करते हैं, जिसका अर्थ है कि एक मुक्त कण वह होता है जिसकी क्वांटम स्थिति स्थिर होती है। यह क्वांटम यांत्रिकी में अंतःक्रिया चित्र के समरूप होता है

अधिक सामान्य श्रोडिंगर चित्र में, समय के साथ मुक्त कणों की अवस्थाएँ भी परिवर्तित होती हैं: सामान्यतः चरण उस दर से परिवर्तित होती है जो उनकी ऊर्जा पर निर्भर करता है। वैकल्पिक हाइजेनबर्ग चित्र में, प्रचालकों (विशेष रूप से अवलोकन योग्य) को समय-निर्भर होने के मूल्य पर, स्थिति सदिश को स्थिर रखा जाता है। अंतःक्रिया चित्र दोनों के मध्य एक मध्यवर्ती का गठन करता है, जहां कुछ समय निर्भरता प्रचालकों (क्वांटम क्षेत्र) में और कुछ अवस्था सदिश में रखी जाती है। क्यूएफटी में, पहले को मॉडल का मुक्त क्षेत्र भाग कहा जाता है, और पश्चात् वाले को अंतःक्रिया भाग कहा जाता है। मुक्त क्षेत्र मॉडल को स्पष्ट रूप से हल किया जा सकता है, और फिर पूर्ण मॉडल के समाधानों को मुक्त क्षेत्र समाधानों की अस्तव्यस्तता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए डायसन श्रृंखला का उपयोग करना।

यह देखा जाना चाहिए कि मुक्त क्षेत्रों और अंतःक्रियाओं में अपघटन सैद्धांतिक रूप से इच्छानुसार होता है। उदाहरण के लिए, क्वांटम इलेक्ट्रोडायनामिक्स में क्यूईडी में पुनर्सामान्यीकरण मुक्त क्षेत्र इलेक्ट्रॉन के द्रव्यमान को एक भौतिक इलेक्ट्रॉन (विद्युत चुम्बकीय क्षेत्र के साथ) से समरूप करने के लिए संशोधित करता है, और ऐसा करने पर मुक्त क्षेत्र लैग्रेंजियन में एक शब्द जुड़ जाएगा जिसे प्रतिवाद द्वारा रद्द किया जाना चाहिए। अंतःक्रिया लैग्रेंजियन, जो फिर फेनमैन आरेखों में दो-पंक्ति शीर्षके रूप में दिखाई देता है। यह भी माना जाता है कि हिग्स क्षेत्र कणों को अपरिवर्तनीय द्रव्यमान देता है: अंतःक्रिया शब्द का वह भाग जो हिग्स क्षेत्र के गैर-शून्य निर्वात अपेक्षा मूल्य के समरूप होता है, अंतःक्रिया से मुक्त क्षेत्र लैग्रेंजियन में ले जाया जाता है, जहां यह बिल्कुल एक जैसा दिखता है सामूहिक शब्द का हिग्स क्षेत्र से कोई सम्बन्ध नहीं होता है।

मुक्त क्षेत्र
सामान्य मुक्त/पारस्परिक क्रिया अपघटन के अनुसार, जो कम ऊर्जा के लिए उपयुक्त होता है, मुक्त क्षेत्र निम्नलिखित समीकरणों का पालन करते हैं: इन समीकरणों को सम्पूर्ण रूप से हल किया जा सकता है। ऐसा सामान्यतः पहले समाधानों पर विचार करके किया जाता है जो प्रत्येक स्थानिक अक्ष के साथ कुछ अवधि $A$ के साथ आवधिक होते हैं; पश्चात् में सीमा लेते हुए: $θ_{W}$ इस आवधिकता प्रतिबंध को हटा देगा।
 * फर्मियन क्षेत्र $Z$ डिराक समीकरण को संतुष्ट करता है; $$ (i \hbar \gamma^\mu \partial_\mu - m_{\rm f} c) \psi_{\rm f} = 0 $$ प्रत्येक $$f$$ प्रकार ]के फर्मियन के लिए करता है।
 * फोटॉन क्षेत्र $ψ$ तरंग समीकरण $$ \partial_\mu \partial^\mu A^\nu = 0 $$ को संतुष्ट करता है।
 * हिग्स क्षेत्र $A$ क्लेन-गॉर्डन समीकरण को संतुष्ट करता है।
 * अशक्त अंतःक्रिया क्षेत्र $θ_{W}$ प्रोका समीकरण को संतुष्ट करता है।

आवधिक स्थिति में, एक क्षेत्र के लिए समाधान $φ$ (उपरोक्त में से कोई भी) फॉर्म की फूरियर श्रृंखला के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$ F(x) = \beta \sum_{\mathbf{p}} \sum_r E_{\mathbf{p}}^{-\frac{1}{2}} \left( a_r(\mathbf{p}) u_r(\mathbf{p}) e^{-\frac{ipx}{\hbar}} + b^\dagger_r(\mathbf{p}) v_r(\mathbf{p}) e^{\frac{ipx}{\hbar}} \right)$$जहाँ: सीमा में $Z, W^{±}$, की सहायता से योग एक अभिन्न अंग में बदल जाएगा $L$ अंदर छिपा हुआ $F$. का संख्यात्मक मान $β$ इसके लिए चुने गए सामान्यीकरण पर भी निर्भर करता है $$u_r(\mathbf{p})$$ और $$v_r(\mathbf{p})$$.
 * $A^{μ}$ एक सामान्यीकरण कारक होता है; फर्मियन क्षेत्र $$\psi_{\rm f}$$ के लिए $\sqrt{ m_{\rm f} c^2 / V}$  होता है, जहाँ $$V = L^3 $$ मौलिक कोशिका का आयतन माना जाता है; फोटॉन क्षेत्र $L$ के लिए  $$\hbar c / \sqrt{2V} $$ होता है।
 * $L → ∞$ से अवधि का योग सभी संवेगों पर है जो अवधि $r$, अर्थात्, सभी सदिशों पर $$\frac{2\pi\hbar}{L}(n_1,n_2,n_3)$$ होता है जहाँ $$n_1,n_2,n_3$$ पूर्णांक होता हैं।
 * योग ख़त्म $m$ क्षेत्र के लिए विशिष्ट स्वक्रियाविधिता की अन्य डिग्री को कवर करता है, जैसे ध्रुवीकरण या स्पिन; यह सामान्यतः एक योग के रूप में निकलता है $p$ को $1$ या से $2$ को $1$.
 * $3$ एक संवेग के लिए सापेक्ष ऊर्जा है $E_{p}$ क्षेत्र की मात्रा, $=\sqrt{m^2 c^4 + c^2 \mathbf{p}^2}$ जब शेष द्रव्यमान हो $a$.
 * $p$ और $$b^\dagger_r(\mathbf{p})$$ गति के क्रमशः ए-कणों और बी-कणों के लिए क्रमशः सृजन और विनाश संचालक संचालक हैं $a_{r}(p)$; बी-कण ए-कणों के प्रतिकण हैं। विभिन्न क्षेत्रों में अलग-अलग ए- और बी-कण होते हैं। कुछ क्षेत्रों के लिए, $b$ और $V$ समान हैं।
 * $p$ और $u_{r}(p)$ गैर-ऑपरेटर हैं जो क्षेत्र के सदिश या स्पिनर पहलुओं (जहां प्रासंगिक हो) को ले जाते हैं।
 * $$p = (E_{\mathbf{p}}/c, \mathbf{p})$$ संवेग के साथ एक क्वांटम के लिए चार-संवेग है $v_{r}(p)$. $$px = p_\mu x^\mu$$ चार-सदिशों के आंतरिक उत्पाद को प्रदर्शित है।

तकनीकी रूप से, $$a^\dagger_r(\mathbf{p})$$ ऑपरेटर का हर्मिटियन सहायक है $p$ केट सदिश के आंतरिक उत्पाद स्थान में। की पहचान $$a^\dagger_r(\mathbf{p})$$ और $L → ∞$ क्योंकि सृजन और विनाश ऑपरेटर किसी अवस्था के लिए संरक्षित मात्राओं की तुलना करने से पहले और पश्चात् में इनमें से किसी एक पर कार्रवाई करने से आते हैं। $$a^\dagger_r(\mathbf{p})$$ उदाहरण के लिए एक कण को ​​जोड़ते हुए देखा जा सकता है, क्योंकि यह जुड़ जाएगा $a_{r}(p)$ए-कण संख्या ऑपरेटर के eigenvalue के लिए, और उस कण की गति होनी चाहिए $a_{r}(p)$ चूंकि सदिश-वैल्यू पल ऑपरेटर का आइगेनवैल्यू उतना बढ़ जाता है। इन व्युत्पत्तियों के लिए, क्वांटम क्षेत्र के संदर्भ में प्रचालकों के लिए अभिव्यक्तियों से शुरुआत की जाती है। वह प्रचालकों के साथ $$\dagger$$ सृजन संचालक हैं और विनाश संचालक के बिना एक सम्मेलन है, जो उनके लिए निर्धारित रूपान्तरण संबंधों के संकेत द्वारा लगाया गया है।

गड़बड़ी क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में गणना की तैयारी में एक महत्वपूर्ण कदम ऑपरेटर कारकों को अलग करना है $β$ और $β$ उनके संबंधित सदिश या स्पिनर कारकों से ऊपर $a$ और $b$. फेनमैन ग्राफ़ के शीर्ष उसी रास्ते से आते हैं $u$ और $v$ पारस्परिक क्रिया में विभिन्न कारकों से लैग्रेंजियन एक साथ फिट होते हैं, जबकि किनारे उस तरह से आते हैं $u$रेत b}डायसन श्रृंखला में शब्दों को सामान्य रूप में रखने के लिए } को इधर-उधर ले जाना होगा।

पारस्परिक क्रिया शर्तें और पथ अभिन्न दृष्टिकोण
लैग्रेन्जियन को पथ अभिन्न सूत्रीकरण#क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का उपयोग करके सृजन और विनाश प्रचालकों (कैनोनिकल औपचारिकता) का उपयोग किए बिना भी प्राप्त किया जा सकता है, जो डिराक के पहले के काम पर फेनमैन बिल्डिंग द्वारा अग्रणी है। फेनमैन आरेख अंतःक्रियात्मक शब्दों का सचित्र प्रतिनिधित्व हैं। फेनमैन आरेख पर लेख में वास्तव में एक त्वरित व्युत्पत्ति प्रस्तुत की गई है।

लैग्रेंजियन औपचारिकता
फ़ाइल:मानक मॉडल - All Feynman diagram vertices.svg|upright=1.5|thumb|right|मानक मॉडल में सहभागिता. मॉडल में सभी फेनमैन आरेख इन शीर्षों के संयोजन से बनाए गए हैं। q कोई क्वार्क है, g एक ग्लूऑन है,B द्रव्यमान वाला कोई भी बोसोन है। एकाधिक कण लेबल वाले आरेखों में / एक कण लेबल को चुना जाता है। | द्वारा अलग किए गए कण लेबल वाले आरेखों में लेबलों को उसी क्रम में चुना जाना चाहिए। उदाहरण के लिए, चार बोसॉन इलेक्ट्रोवीक मामले में वैध आरेख WWWW, WWZZ, WWγγ, WWZγ हैं। प्रत्येक सूचीबद्ध शीर्ष के संयुग्मन (तीरों की दिशा को उलटने) की भी अनुमति है। अब हम मानक मॉडल लैग्रेंजियन घनत्व में दिखाई देने वाले उपरोक्त मुक्त और पारस्परिक क्रिया शब्दों के बारे में कुछ और विवरण दे सकते हैं। ऐसा कोई भी शब्द गेज और संदर्भ-फ़्रेम दोनों अपरिवर्तनीय होना चाहिए, अन्यथा भौतिकी के नियम किसी पर्यवेक्षक की मनमानी पसंद या फ़्रेम पर निर्भर होंगे। इसलिए, वैश्विक समरूपता पोंकारे समूह|पोंकारे समरूपता, जिसमें अनुवादात्मक समरूपता, घूर्णी समरूपता और विशेष सापेक्षता के सिद्धांत के केंद्र में जड़त्वीय संदर्भ फ्रेम अपरिवर्तनीयता सम्मिलित है, को लागू किया जाना चाहिए। स्थानीय समरूपता $1$ गेज समरूपता आंतरिक समरूपता है। जैसा कि हम देखेंगे, कुछ उपयुक्त संबंधों को परिभाषित करने के पश्चात्, गेज समरूपता के तीन कारक मिलकर तीन मूलभूत अंतःक्रियाओं को जन्म देते हैं।

गतिज पद
एक मुक्त कण को ​​एक द्रव्यमान शब्द और एक गतिज शब्द द्वारा दर्शाया जा सकता है जो क्षेत्रों की गति से संबंधित है।

फर्मिअन क्षेत्र
डिराक फर्मियन के लिए गतिज शब्द है

$$i\bar{\psi}\gamma^{\mu}\partial_{\mu}\psi$$ जहां लेख में पहले से नोटेशन दिए गए हैं। $v$ मानक मॉडल में किसी भी, या सभी, डिराक फ़र्मियन का प्रतिनिधित्व कर सकता है। सामान्यतः, जैसा कि नीचे दिया गया है, इस शब्द को कपलिंग (एक समग्र गतिशील शब्द बनाते हुए) के भीतर सम्मिलित किया गया है।

गेज क्षेत्र
स्पिन-1 क्षेत्र के लिए, पहले क्षेत्र स्ट्रेंथ टेंसर को परिभाषित करें

$$F^a_{\mu\nu}=\partial_{\mu}A^{a}_{ \nu} - \partial_{\nu}A^{a}_{ \mu} + g f^{abc} A^{b}_{\mu} A^{c}_{\nu}$$ किसी दिए गए गेज क्षेत्र के लिए (यहां हम उपयोग करते हैं $a$), गेज युग्मन स्थिरांक के साथ $ψ$. मात्रा $p$ क्षेत्र पर बीजगणित है#कम्यूटेटर द्वारा परिभाषित विशेष गेज समूह की संरचना गुणांक

$$[t_a, t_b] = if^{abc} t_c,$$ कहाँ $A$ हैं झूठ बीजगणित#जनरेटर और समूह का आयाम। एबेलियन समूह में|एबेलियन (कम्यूटेटिव) समूह (जैसे कि $SU(3) × SU(2) × U(1)$ हम यहां उपयोग करते हैं) जनरेटर के पश्चात् से संरचना स्थिरांक गायब हो जाते हैं $g$ सभी एक दूसरे के साथ आवागमन करते हैं। बेशक, यह सामान्य रूप से मामला नहीं है - मानक मॉडल में गैर-एबेलियन सम्मिलित है $f ^{abc}$ और $U(1)$ समूह (ऐसे समूह यांग-मिल्स सिद्धांत कहलाते हैं|यांग-मिल्स गेज सिद्धांत)।

हमें प्रत्येक उपसमूह के अनुरूप तीन गेज क्षेत्र पेश करने की आवश्यकता है $SU(2)$.
 * ग्लूऑन क्षेत्र टेंसर को निरूपित किया जाएगा $$G^{a}_{\mu\nu}$$, जहां सूचकांक $t_{i}$ के तत्वों को लेबल करता है $SU(3)$रंग विशेष एकात्मक समूह का प्रतिनिधित्व|SU(3). मजबूत युग्मन स्थिरांक को पारंपरिक रूप से लेबल किया जाता है $t_{a}$ (या मात्र $a$ जहां कोई अस्पष्टता नहीं है)। मानक मॉडल के इस भाग की अन्वेषण के लिए किए गए अवलोकनों पर क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स के लेख में चर्चा की गई है।
 * संकेतन $$W^a_{\mu\nu}$$ के गेज क्षेत्र टेंसर के लिए उपयोग किया जाएगा $SU(3) × SU(2) × U(1)$ कहाँ $g_{s}$ के ऊपर चलता है $8$ इस समूह के जनरेटर। युग्मन को निरूपित किया जा सकता है $g$ या फिर बस $a$. गेज क्षेत्र को इसके द्वारा दर्शाया जाएगा $$W^a_{\mu}$$.
 * के लिए गेज क्षेत्र टेंसर $SU(2)$ अशक्त हाइपरआवेश द्वारा दर्शाया जाएगा $g_{w}$, द्वारा युग्मन $g$, और गेज क्षेत्र द्वारा $B_{μν}$.

गतिज शब्द को अब इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$\mathcal{L}_{\rm{kin}} = - {1\over 4} B_{\mu\nu} B^{\mu\nu} - {1\over 2} \mathrm{tr} W_{\mu\nu} W^{\mu\nu} - {1\over 2} \mathrm{tr} G_{\mu\nu} G^{\mu\nu}$$ जहां पर निशान हैं $3$ और $U(1)$ सूचकांक छिपे हुए हैं $g′$ और $B_{μ}$ क्रमश। दो-सूचकांक ऑब्जेक्ट क्षेत्र ताकत से प्राप्त होते हैं $W$ और $G$ सदिश क्षेत्र. दो अतिरिक्त छिपे हुए पैरामीटर भी हैं: थीटा कोण $SU(2)$ और $SU(3)$.

युग्मन शर्तें
अगला कदम गेज क्षेत्र को फ़र्मियन से जोड़ना है, जिससे परस्पर क्रिया की अनुमति मिलती है।

इलेक्ट्रोवीक सेक्टर
इलेक्ट्रोवीक सेक्टर समरूपता समूह के साथ इंटरैक्ट करता है $SU(2)$, जहां सबस्क्रिप्ट एल मात्र बाएं हाथ के फर्मियन के लिए युग्मन को इंगित करता है।

$$ \mathcal{L}_\mathrm{EW} = \sum_\psi\bar\psi\gamma^\mu \left(i\partial_\mu-g^\prime{1\over2}Y_\mathrm{W}B_\mu-g{1\over2}\boldsymbol{\tau}\mathbf{W}_\mu\right)\psi$$ कहाँ $W$ है $SU(3)$ गेज क्षेत्र; $U(1) × SU(2)_{L}$ अशक्त हाइपरआवेश (का जनरेटर) है $U(1)$ समूह); $Y_{W}$ तीन घटक है $U(1)$ गेज क्षेत्र; और के घटक $W_{μ}$ पॉल के आव्यूह (के अनंतिम जनरेटर) हैं $SU(2)$ समूह) जिनके eigenvalues ​​​​अशक्त आइसोस्पिन देते हैं। ध्यान दें कि हमें एक नए को फिर से परिभाषित करना होगा $τ$ अशक्त हाइपरआवेश की समरूपता, QED से भिन्न, अशक्त बल के साथ एकीकरण प्राप्त करने के लिए। विद्युत आवेश $G$, अशक्त आइसोस्पिन का तीसरा घटक $SU(2)$ (यह भी कहा जाता है $U(1)$ या $B_{μ}$) और अशक्त हाइपरआवेश $T_{3}$ से संबंधित हैं $$ Q = T_3 + \tfrac{1}{2} Y_{\rm W},$$ (या वैकल्पिक सम्मलेन द्वारा $T_{z}, I_{3}$). इस आलेख में प्रयुक्त पहला सम्मेलन, पहले के गेल-मान-निशिजिमा सूत्र के बराबर है। यह हाइपरआवेश को किसी दिए गए आइसोमल्टीप्लेट के औसत आवेश से दोगुना बनाता है।

फिर कोई अशक्त आइसोस्पिन के लिए संरक्षित धारा को इस प्रकार परिभाषित कर सकता है $$\mathbf{j}_\mu = {1\over 2}\bar{\psi}_{\rm L} \gamma_\mu\boldsymbol{\tau}\psi_{\rm L}$$ और अशक्त हाइपरआवेश के लिए $$j_{\mu}^{Y}=2(j_{\mu}^{\rm em} - j_{\mu}^3)~,$$ कहाँ $$j_{\mu}^{\rm em}$$ विद्युत धारा है और $$j_{\mu}^3$$ तीसरा अशक्त आइसोस्पिन करंट। जैसा कि #बोसॉन में समझाया गया है, ये धाराएँ भौतिक रूप से देखे गए बोसॉन बनाने के लिए मिश्रित होती हैं, जिससे युग्मन स्थिरांक के मध्य परीक्षण योग्य संबंध भी बनते हैं।

इसे सरल तरीके से समझाने के लिए, हम लैग्रेंजियन से शब्दों को चुनकर इलेक्ट्रोवीक पारस्परिक क्रिया के प्रभाव को देख सकते हैं। हम देखते हैं कि एसयू (2) समरूपता इसमें निहित प्रत्येक (बाएं हाथ के) फर्मियन डबलेट पर कार्य करती है $Q$, उदाहरण के लिए $$-{g\over 2}(\bar{\nu}_e \;\bar{e})\tau^+ \gamma_{\mu}(W^+)^{\mu} \begin{pmatrix} {\nu_e} \\ e \end{pmatrix} = -{g\over 2}\bar{\nu}_e\gamma_{\mu}(W^+)^{\mu}e $$ जहां कणों को बाएं हाथ का समझा जाता है, और कहां $$\tau^{+}\equiv {1 \over 2}(\tau^1{+}i\tau^2)= \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix}$$ यह अशक्त आइसोस्पिन स्थान में घूर्णन या दूसरे शब्दों में, के मध्य एक परिवर्तन के अनुरूप एक पारस्परिक क्रिया है $Y_{W}$ और $Q = T_{3} + Y_{W}$ए के उत्सर्जन के माध्यम से $e_{L}$ बोसोन. वह $ν_{eL}$ दूसरी ओर, समरूपता, विद्युत चुंबकत्व के समान है, परन्तु उदासीन के माध्यम से सभी अशक्त हाइपरआवेश फर्मियन (बाएं और दाएं दोनों) पर कार्य करती है $W^{−}$, साथ ही फोटॉन के माध्यम से आवेशित फर्मियन।

क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स क्षेत्र
क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स (क्यूसीडी) क्षेत्र क्वार्क और ग्लूऑन के मध्य बातचीत को परिभाषित करता है $U(1)$ समरूपता, द्वारा उत्पन्न $I_{z}$. चूँकि लेप्टान ग्लूऑन के साथ परस्पर क्रिया नहीं करते हैं, इसलिए वे इस क्षेत्र से प्रभावित नहीं होते हैं। ग्लूऑन क्षेत्रों से जुड़े क्वार्कों का डिराक लैग्रेन्जियन द्वारा दिया गया है

$$\mathcal{L}_{\mathrm{QCD}} = i\overline U \left(\partial_\mu-ig_sG_\mu^a T^a \right )\gamma^\mu U + i\overline D \left(\partial_\mu-i g_s G_\mu^a T^a \right )\gamma^\mu D.$$ कहाँ $ψ$ और $T_{a}$ अप और डाउन-प्रकार के क्वार्क से जुड़े डायराक स्पिनर हैं, और अन्य नोटेशन पिछले अनुभाग से जारी हैं।

मास पद
डिराक लैग्रेंजियन (किसी भी फर्मियन के लिए) से उत्पन्न होने वाला द्रव्यमान शब्द $U$) है $$-m\bar{\psi}\psi$$ जो इलेक्ट्रोवीक समरूपता के तहत अपरिवर्तनीय नहीं है। इसे लिखकर देखा जा सकता है $D$ बाएँ और दाएँ हाथ के घटकों के संदर्भ में (वास्तविक गणना को छोड़कर):

$$-m\bar{\psi}\psi=-m(\bar{\psi}_{\rm L}\psi_{\rm R}+\bar{\psi}_{\rm R}\psi_{\rm L})$$ अर्थात् योगदान से $$\bar{\psi}_{\rm L}\psi_{\rm L}$$ और $$\bar{\psi}_{\rm R}\psi_{\rm R}$$ शर्तें प्रकट नहीं होतीं. हम देखते हैं कि द्रव्यमान-उत्पादक अंतःक्रिया कण चिरलिटी के निरंतर फ़्लिपिंग द्वारा प्राप्त की जाती है। स्पिन-आधे कणों के साथ कोई दायां/बायां चिरैलिटी युग्म नहीं है $Z^{0}$ निरूपण और समान और विपरीत अशक्त हाइपरआवेश, इसलिए यह मानते हुए कि ये गेज आवेश निर्वात में संरक्षित हैं, स्पिन-आधा कणों में से कोई भी कभी भी चिरलिटी को स्वैप नहीं कर सकता है, और द्रव्यमान रहित रहना चाहिए। इसके अतिरिक्त, हम प्रयोगात्मक रूप से जानते हैं कि डब्ल्यू और जेड बोसॉन बड़े पैमाने पर हैं, परन्तु बोसॉन द्रव्यमान शब्द में संयोजन सम्मिलित है जैसे। $ψ$, जो स्पष्ट रूप से गेज की पसंद पर निर्भर करता है। इसलिए, कोई भी मानक मॉडल फर्मियन या बोसॉन द्रव्यमान से शुरू नहीं हो सकता है, परन्तु इसे किसी अन्य क्रियाविधि द्वारा प्राप्त करना होगा।

हिग्स क्रियाविधि
इन दोनों समस्याओं का समाधान हिग्स क्रियाविधि से आता है, जिसमें अदिश क्षेत्र सम्मिलित हैं (जिनकी संख्या हिग्स क्रियाविधि के सटीक रूप पर निर्भर करती है) जो (संक्षिप्त रूप से संभव विवरण देने के लिए) बड़े पैमाने पर बोसॉन द्वारा स्वक्रियाविधिता की डिग्री के रूप में अवशोषित होते हैं, और युकावा युग्मन के माध्यम से फर्मिऑन में कौन सा जोड़ा बड़े पैमाने पर शब्दों की तरह दिखता है।

मानक मॉडल में, हिग्स क्षेत्र समूह का एक समष्टि अदिश क्षेत्र है $SU(3)$:

$$ \phi= \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{pmatrix} \phi^+ \\ \phi^0 \end{pmatrix},$$ जहां सुपरस्क्रिप्ट $SU(2)$ और $SU(2)_{L}$ विद्युत आवेश को इंगित करें ($ψ$) घटकों का. अशक्त हाइपरआवेश ($+$) दोनों घटकों का है $0$.

लैग्रेन्जियन का हिग्स भाग है

$$\mathcal{L}_{\rm H} = \left [\left (\partial_\mu -ig W_\mu^a t^a -ig'Y_{\phi} B_\mu \right )\phi \right ]^2 + \mu^2 \phi^\dagger\phi-\lambda (\phi^\dagger\phi)^2,$$ कहाँ $Y_{W}$ और $1$, ताकि स्वतःस्फूर्त समरूपता टूटने की क्रियाविधि का उपयोग किया जा सके। यहां एक पैरामीटर है, सबसे पहले क्षमता के आकार के भीतर छिपा हुआ है, जो बहुत महत्वपूर्ण है। यूनिटेरिटी गेज में कोई भी समूह कर सकता है $$\phi^+=0$$ और बनाओ $$\phi^0$$ असली। तब $$\langle\phi^0\rangle=v$$ हिग्स क्षेत्र का गैर-लुप्त होने वाला निर्वात प्रत्याशा मूल्य है। $$v$$ द्रव्यमान की इकाइयाँ हैं, और यह मानक मॉडल में एकमात्र पैरामीटर है जो आयामहीन नहीं है। यह प्लैंक स्केल से भी बहुत छोटा है और हिग्स द्रव्यमान का लगभग दोगुना है, जो मानक मॉडल में अन्य सभी कणों के द्रव्यमान के लिए पैमाना निर्धारित करता है। मानक मॉडल में छोटे गैर-शून्य मान के लिए यह एकमात्र वास्तविक फाइन-ट्यूनिंग है। द्विघात पदों में $A^{μ}A_{μ}$ और $Q$ उत्पन्न होते हैं, जो W और Z बोसॉन को द्रव्यमान देते हैं:

$$\begin{align} M_{\rm W} &= \tfrac{1}{2}vg \\ M_{\rm Z} &= \tfrac{1}{2} v\sqrt{g^2+{g'}^2} \end{align}$$ हिग्स बोसोन का द्रव्यमान स्वयं द्वारा दिया गया है $M_{\rm H}= \sqrt{2 \mu^2 } \equiv \sqrt{ 2 \lambda v^2 }.$

युकावा अंतःक्रिया
युकावा अंतःक्रिया शर्तें हैं

$$\mathcal{L}_\text{Yukawa} = (Y_u)_{mn}(\bar{q}_L)_m \tilde{\varphi}(u_R)_n + (Y_d)_{mn}(\bar{q}_L)_m \varphi(d_R)_n + (Y_e)_{mn}(\bar{L}_L)_m \tilde{\varphi}(e_R)_n + \mathrm{h.c.} $$ कहाँ $$Y_u$$, $$Y_d$$, और $$Y_e$$ हैं $λ > 0$ युकावा कपलिंग के मैट्रिसेस, के साथ $W_{μ}$ पीढ़ियों का युग्मन देने वाला शब्द $B_{μ}$ और $mn$, और एच.सी. इसका अर्थ पूर्ववर्ती पदों का हर्मिटियन संयुग्म है। मैदान $$q_L$$ और $$L_L$$ बाएं हाथ के क्वार्क और लेप्टान युगल हैं। वैसे ही, $$u_R, d_R$$ और $$e_R$$ दाएं हाथ के अप-प्रकार क्वार्क, डाउन-प्रकार क्वार्क और लेप्टान सिंगलेट हैं। अंत में $$\varphi$$ हिग्स डबलट है और $$\tilde{\varphi} = i\tau_2\varphi^{*}$$

न्यूट्रिनो द्रव्यमान
जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, साक्ष्य से पता चलता है कि न्यूट्रिनो का द्रव्यमान होना चाहिए। परन्तु मानक मॉडल के भीतर, दाएं हाथ के न्यूट्रिनो उपस्थित नहीं हैं, इसलिए युकावा युग्मन के साथ भी न्यूट्रिनो द्रव्यमान रहित रहते हैं। एक स्पष्ट समाधान बस दाएं हाथ के न्यूट्रिनो को जोड़ना है $μ^{2} > 0$, जिसके लिए युकावा क्षेत्र में एक नया डिराक मास शब्द जोड़ने की आवश्यकता है:

$$ \mathcal{L}^\text{Dir}_{\nu} = (Y_\nu)_{mn}(\bar{L}_L)_m \varphi (\nu_R)_n + \mathrm{h.c.} $$ यद्यपि यह क्षेत्र एक बाँझ न्यूट्रिनो होना चाहिए, क्योंकि दाएँ हाथ से होने के कारण यह प्रयोगात्मक रूप से एक आइसोस्पिन सिंगलेट से संबंधित है ($3 × 3$) और आवेश भी है $ν_{R}$, तात्पर्य $T_{3} = 0$ (देखें #इलेक्ट्रोवीक_सेक्टर) अर्थात् यह अशक्त पारस्परिक क्रिया में भी भाग नहीं लेता है। बाँझ न्यूट्रिनो के लिए प्रायोगिक साक्ष्य वर्तमान में अनिर्णायक हैं। विचार करने की एक और संभावना यह है कि न्यूट्रिनो मेजराना समीकरण को संतुष्ट करता है, जो पहली बार में इसके शून्य विद्युत आवेश के कारण संभव लगता है। इस मामले में युकावा सेक्टर में एक नया मेजराना मास शब्द जोड़ा गया है:

$$ \mathcal{L}^\text{Maj}_{\nu} = -\frac{1}{2} m \left ( \overline{\nu}^C\nu + \overline{\nu}\nu^C \right ) $$ कहाँ $m$ एक आवेश संयुग्मित (अर्थात विरोधी) कण को ​​प्रदर्शित है, और $$\nu$$ शब्द लगातार सभी बाएं (या सभी दाएं) चिरैलिटी हैं (ध्यान दें कि एक एंटीपार्टिकल का बाएं-चिरालिटी प्रक्षेपण एक दाएं हाथ का क्षेत्र है; कभी-कभी उपयोग किए जाने वाले विभिन्न नोटेशन के कारण यहां सावधानी बरतनी चाहिए)। यहां हम अनिवार्य रूप से बाएं हाथ के न्यूट्रिनो और दाएं हाथ के एंटी-न्यूट्रिनो के मध्य फ़्लिप कर रहे हैं (यह भी संभव है परन्तु आवश्यक नहीं है कि न्यूट्रिनो अपने स्वयं के एंटीपार्टिकल हैं, इसलिए ये कण समान हैं)। यद्यपि, बाएं-चिरैलिटी न्यूट्रिनो के लिए, यह शब्द अशक्त हाइपरआवेश को 2 इकाइयों से बदल देता है - मानक हिग्स पारस्परिक क्रिया के साथ संभव नहीं है, अशक्त हाइपरआवेश के साथ एक अतिरिक्त ट्रिपलेट को सम्मिलित करने के लिए हिग्स क्षेत्र को विस्तारित करने की आवश्यकता होती है = 2 - जबकि राइट-चिरैलिटी न्यूट्रिनो के लिए, कोई हिग्स एक्सटेंशन आवश्यक नहीं है। बाएँ और दाएँ चिरैलिटी दोनों मामलों के लिए, मेजराना शब्द लेप्टन संख्या का उल्लंघन करते हैं, परन्तु संभवतः ऐसे उल्लंघनों का पता लगाने के लिए प्रयोगों की वर्तमान संवेदनशीलता से परे एक स्तर पर।

डिराक और मेजराना दोनों द्रव्यमान शब्दों को एक ही सिद्धांत में सम्मिलित करना संभव है, जो (डिराक-द्रव्यमान-मात्र दृष्टिकोण के विपरीत) सही को जोड़कर, देखे गए न्यूट्रिनो द्रव्यमान की लघुता के लिए "प्राकृतिक" स्पष्टीकरण प्रदान कर सकता है। GUT पैमाने के आसपास न्यूट्रिनो को अभी तक अज्ञात भौतिकी को सौंप दिया (सीसॉ क्रियाविधि देखें)।

चूँकि किसी भी स्थिति में प्रयोगात्मक परिणामों को समझाने के लिए नए क्षेत्रों को निर्धारित किया जाना चाहिए, न्यूट्रिनो मानक मॉडल से परे भौतिकी की अन्वेषण के लिए एक स्पष्ट प्रवेश द्वार है।

विस्तृत जानकारी
यह अनुभाग कुछ पहलुओं और कुछ संदर्भ सामग्री पर अधिक विवरण प्रदान करता है। स्पष्ट लैग्रेन्जियन शब्द भी इलेक्ट्रोवीक अंतःक्रिया # इलेक्ट्रोवीक समरूपता तोड़ने के पश्चात् प्रदान किए जाते हैं।

क्षेत्र सामग्री विस्तार से
मानक मॉडल में निम्नलिखित क्षेत्र हैं। ये लेप्टान और क्वार्क की एक पीढ़ी का वर्णन करते हैं, और तीन पीढ़ियाँ हैं, इसलिए प्रत्येक फर्मिओनिक क्षेत्र की तीन प्रतियां हैं। सीपीटी समरूपता द्वारा, विपरीत समता और आवेशों के साथ फ़र्मियन और एंटीफ़र्मियन का एक समूह होता है। यदि बाएं हाथ का फर्मियन कुछ प्रतिनिधित्व को फैलाता है तो इसका एंटीपार्टिकल (दाएं हाथ का एंटीफर्मियन) दोहरे प्रतिनिधित्व को फैलाता है (ध्यान दें कि $$\bar{\mathbf{2}}={\mathbf{2}}$$ एसयू(2) के लिए, क्योंकि यह छद्म-वास्तविक है)। स्तंभ प्रतिनिधित्व इंगित करता है कि गेज समूहों के किस प्रतिनिधित्व सिद्धांत के तहत प्रत्येक क्षेत्र क्रम में परिवर्तित है (एसयू (3), एसयू (2), यू (1)) और यू (1) समूह के लिए, अशक्त का मूल्य हाइपरआवेश सूचीबद्ध है। प्रत्येक पीढ़ी में दाएं हाथ के लेप्टान क्षेत्र घटकों की तुलना में बाएं हाथ के लेप्टान क्षेत्र घटकों की संख्या दोगुनी है, परन्तु बाएं हाथ के क्वार्क और दाएं हाथ के क्वार्क क्षेत्र घटकों की संख्या बराबर है।

फर्मिअन सामग्री
यह तालिका आंशिक रूप से कण डेटा समूह द्वारा एकत्र किए गए डेटा पर आधारित है।

निःशुल्क पैरामीटर
द्रव्यमान रहित न्यूट्रिनो के साथ सबसे सामान्य लैग्रेंजियन लिखने पर, कोई पाता है कि गतिशीलता 19 मापदंडों पर निर्भर करती है, जिनके संख्यात्मक मान प्रयोग द्वारा स्थापित किए जाते हैं। विशाल न्यूट्रिनो के साथ मानक मॉडल के सीधे विस्तार के लिए कुल 26 मापदंडों के लिए 7 और मापदंडों (3 द्रव्यमान और 4 पीएमएनएस आव्यूह पैरामीटर) की आवश्यकता होती है। न्यूट्रिनो पैरामीटर मान अभी भी अनिश्चित हैं। 19 निश्चित मापदंडों को यहां संक्षेप में प्रस्तुत किया गया है।

मुक्त मापदंडों का चुनाव कुछ हद तक मनमाना है। उपरोक्त तालिका में, गेज कपलिंग को मुफ़्त पैरामीटर के रूप में सूचीबद्ध किया गया है, इसलिए इस विकल्प के साथ वेनबर्ग कोण एक मुफ़्त पैरामीटर नहीं है - इसे इस प्रकार परिभाषित किया गया है $$\tan\theta_{\rm W} = \frac{g_1}{g_2}$$. इसी प्रकार, QED की सूक्ष्म संरचना स्थिरांक है $$\alpha = \frac{1}{4 \pi}\frac{(g_1 g_2)^2}{g_1^2 + g_2^2}$$. फर्मियन द्रव्यमान के अतिरिक्त, आयाम रहित युकावा कपलिंग को मुक्त पैरामीटर के रूप में चुना जा सकता है। उदाहरण के लिए, इलेक्ट्रॉन द्रव्यमान हिग्स क्षेत्र में इलेक्ट्रॉन के युकावा युग्मन पर निर्भर करता है, और इसका मूल्य है $$m_{\rm e} = \frac{y_{\rm e}}{\sqrt{2}}v$$. हिग्स द्रव्यमान के अतिरिक्त, हिग्स स्व-युग्मन शक्ति $$\lambda = \frac{m_{\rm H}^2}{2v^2}$$, जो लगभग 0.129 है, को एक निःशुल्क पैरामीटर के रूप में चुना जा सकता है। हिग्स निर्वात अपेक्षा मूल्य के अतिरिक्त, $$\mu^2$$ हिग्स सेल्फ-पारस्परिक क्रिया टर्म से सीधे पैरामीटर $$\mu^2 \phi^\dagger\phi-\lambda (\phi^\dagger\phi)^2$$ चुना जा सकता है. इसका मूल्य है $$\mu^2 = \lambda v^2 = \frac{m_{\rm H}^2}2$$, या लगभग $$\mu = 88.45$$ GeV.

निर्वात ऊर्जा का मान (या अधिक सटीक रूप से, इस ऊर्जा की गणना करने के लिए उपयोग किया जाने वाला पुनर्सामान्यीकरण पैमाना) को एक अतिरिक्त मुक्त पैरामीटर के रूप में भी माना जा सकता है। पुनर्सामान्यीकरण पैमाने को प्लैंक स्केल से पहचाना जा सकता है या प्रेक्षित ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक से मेल खाने के लिए इसे ठीक किया जा सकता है। यद्यपि, दोनों विकल्प ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक समस्या हैं।

मानक मॉडल की अतिरिक्त समरूपता
सैद्धांतिक दृष्टिकोण से, मानक मॉडल चार अतिरिक्त वैश्विक समरूपता प्रदर्शित करता है, जो इसके निर्माण की शुरुआत में नहीं बताई गई है, सामूहिक रूप से आकस्मिक समरूपता को दर्शाया गया है, जो निरंतर यू (1) वैश्विक समरूपता है। लैग्रेन्जियन अपरिवर्तनीय को छोड़ने वाले परिवर्तन हैं:

$$\psi_\text{q}(x) \to e^{i\alpha/3}\psi_\text{q}$$ $$E_{\rm L} \to e^{i\beta} E_{\rm L}\text{ and }(e_{\rm R})^c   \to e^{i\beta}(e_{\rm R})^c$$ $$M_{\rm L} \to e^{i\beta} M_{\rm L}\text{ and }(\mu_{\rm R})^c \to e^{i\beta}(\mu_{\rm R})^c$$ $$T_{\rm L} \to e^{i\beta} T_{\rm L}\text{ and }(\tau_{\rm R})^c \to e^{i\beta}(\tau_{\rm R})^c$$ पहला परिवर्तन नियम आशुलिपि है जिसका अर्थ है कि सभी पीढ़ियों के लिए सभी क्वार्क क्षेत्रों को एक समान चरण द्वारा एक साथ घुमाया जाना चाहिए। मैदान $Q = 0$ और $$(\mu_{\rm R})^c, (\tau_{\rm R})^c$$ की दूसरी (मुऑन) और तीसरी (ताऊ) पीढ़ी के एनालॉग हैं $Y_{W} = 0$ और $$(e_{\rm R})^c$$ खेत।

नोएथर के प्रमेय के अनुसार, उपरोक्त प्रत्येक समरूपता से संबंधित संरक्षण कानून (भौतिकी) है: बेरिऑन संख्या का संरक्षण, लेप्टान संख्या, लेप्टान संख्या, और लेप्टान संख्या। प्रत्येक क्वार्क को एक बेरिऑन संख्या दी गई है $\frac{1}{3}$, जबकि प्रत्येक एंटीक्वार्क को एक बेरिऑन संख्या दी गई है $-\frac{1}{3}$. बेरिऑन संख्या के संरक्षण का अर्थ है कि क्वार्कों की संख्या घटाकर एंटीक्वार्कों की संख्या एक स्थिरांक है। प्रायोगिक सीमा के भीतर, इस संरक्षण कानून का कोई उल्लंघन नहीं पाया गया है।

इसी तरह, प्रत्येक इलेक्ट्रॉन और उससे जुड़े न्यूट्रिनो को +1 का इलेक्ट्रॉन नंबर दिया जाता है, जबकि पॉज़िट्रॉन|एंटी-इलेक्ट्रॉन और संबंधित एंटी-न्यूट्रिनो को -1 इलेक्ट्रॉन नंबर दिया जाता है। इसी प्रकार, म्यूऑन और उनके न्यूट्रिनो को +1 की म्यूऑन संख्या दी गई है और टाउ लेप्टान को +1 की ताउ लेप्टान संख्या दी गई है। मानक मॉडल भविष्यवाणी करता है कि इन तीन संख्याओं में से प्रत्येक को उसी तरह से अलग-अलग संरक्षित किया जाना चाहिए जिस तरह से बैरियन संख्या को संरक्षित किया जाता है। इन संख्याओं को सामूहिक रूप से लेप्टान परिवार संख्या (एलएफ) के रूप में जाना जाता है। (यह परिणाम मानक मॉडल में की गई धारणा पर निर्भर करता है कि न्यूट्रिनो द्रव्यमान रहित हैं। प्रयोगात्मक रूप से, न्यूट्रिनो दोलन दर्शाते हैं कि व्यक्तिगत इलेक्ट्रॉन, म्यूऑन और ताऊ संख्याएं संरक्षित नहीं हैं।) ऊपर वर्णित आकस्मिक (परन्तु सटीक) समरूपता के अलावा, मानक मॉडल कई कण भौतिकी और प्रतिनिधित्व सिद्धांत#अनुमानित समरूपता प्रदर्शित करता है। ये हैं SU(2) संरक्षक समरूपता और SU(2) या SU(3) क्वार्क फ्लेवर समरूपता।

यू(1) समरूपता
लेप्टान के लिए गेज समूह लिखा जा सकता है $U(1)_{Y}$. दो U(1) कारकों को जोड़ा जा सकता है $SU(2)_{L}$ जहां एल लेप्टान संख्या है। लेप्टान संख्या की गेजिंग को प्रयोग द्वारा खारिज कर दिया जाता है, मात्र संभावित गेज समूह को छोड़ दिया जाता है $SU(3)_{C}$. क्वार्क क्षेत्र में एक समान तर्क इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत के लिए भी समान परिणाम देता है।

आवेशित और उदासीन धारा कपलिंग और फर्मी सिद्धांत
आवेशित धाराएँ $$j^{\mp} = j^{1} \pm i j^{2}$$ हैं $$j^-_\mu = \overline U_{i\mathrm{L}}\gamma_\mu D_{i\mathrm{L}} +\overline \nu_{i\mathrm{L}}\gamma_\mu l_{i\mathrm{L}}.$$ ये आवेशित धाराएँ बिल्कुल वही हैं जो बीटा क्षय के फर्मी सिद्धांत में दर्ज हुई थीं। क्रिया में आवेश करंट टुकड़ा सम्मिलित है $$\mathcal{L}_{\rm CC} = \frac g{\sqrt2}(j_\mu^+W^{-\mu}+j_\mu^-W^{+\mu}).$$ डब्ल्यू-बोसोन के द्रव्यमान से बहुत कम ऊर्जा के लिए, प्रभावी सिद्धांत फर्मी की अन्योन्यक्रिया की वर्तमान-वर्तमान संपर्क अंतःक्रिया बन जाता है, $$2\sqrt{2} G_{\rm F} J_\mu ^+ J^{\mu-} $$.

यद्यपि, गेज इनवेरिएंस के लिए अब उस घटक की आवश्यकता है $$W^{3}$$ गेज क्षेत्र को भी एक धारा से जोड़ा जाना चाहिए जो SU(2) के त्रिक में निहित है। यद्यपि, यह यू(1) के साथ मिश्रित होता है, और उस क्षेत्र में एक और धारा की आवश्यकता होती है। आवेश को संरक्षित करने के लिए इन धाराओं को अनावेशित किया जाना चाहिए। अत: उदासीन धाराओं की भी आवश्यकता है, $$j_\mu^3 = \frac 1 2 \left(\overline U_{i\mathrm{L}}\gamma_\mu U_{i\mathrm{L}} - \overline D_{i\mathrm{L}}\gamma_\mu D_{i\mathrm{L}} + \overline \nu_{i\mathrm{L}}\gamma_\mu \nu_{i\mathrm{L}} - \overline l_{i\mathrm{L}}\gamma_\mu l_{i\mathrm{L}}\right)$$ $$j_\mu^{\rm em} = \frac23\overline U_i\gamma_\mu U_i -\frac13\overline D_i\gamma_\mu D_i - \overline l_i\gamma_\mu l_i.$$ लैग्रेन्जियन में उदासीन वर्तमान टुकड़ा तब है

यह भी देखें

 * कण भौतिकी के मानक मॉडल का अवलोकन
 * मौलिक अंतःक्रिया
 * गैर-अनुवांशिक मानक मॉडल
 * खुले प्रश्न: सीपी उल्लंघन, न्यूट्रिनो, क्यूसीडी मामला
 * मानक मॉडल से परे भौतिकी
 * मजबूत बातचीत
 * फ्लेवर (कण भौतिकी)
 * क्वांटम क्रोमोडायनामिक्स
 * क्वार्क मॉडल
 * अशक्त बातचीत
 * इलेक्ट्रोवीक अंतःक्रिया
 * फर्मी की बातचीत
 * वेनबर्ग कोण
 * क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता
 * ए. ज़ी द्वारा संक्षेप में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत

संदर्भ और बाहरी लिंक

 * क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत का परिचय, एम.ई. पेस्किन और डी.वी. द्वारा। श्रोएडर (हार्पर कॉलिन्स, 1995) ISBN 0-201-50397-2.
 * प्रारंभिक कण भौतिकी का गेज सिद्धांत, टी.पी. द्वारा। चेंग और एल.एफ. ली (ऑक्सफोर्ड यूनिवर्सिटी प्रेस, 1982) ISBN 0-19-851961-3.
 * स्पष्ट हिग्स शर्तों के साथ मानक मॉडल लैग्रेंजियन (टी.डी. गुटिरेज़, सीए 1999) (पीडीएफ, पोस्टस्क्रिप्ट, और लाटेक्स संस्करण)
 * फील्ड्स का क्वांटम सिद्धांत (खंड 2), एस. वेनबर्ग द्वारा (कैम्ब्रिज यूनिवर्सिटी प्रेस, 1996) ISBN 0-521-55002-5.
 * क्वांटम फील्ड थ्योरी संक्षेप में (दूसरा संस्करण), ए. ज़ी द्वारा (प्रिंसटन यूनिवर्सिटी प्रेस, 2010) ISBN 978-1-4008-3532-4.
 * आर. मान द्वारा कण भौतिकी और मानक मॉडल का एक परिचय (सीआरसी प्रेस, 2010) ISBN 978-1420082982
 * फिजिक्स फ्रॉम सिमिट्री जे. श्विटेनबर्ग द्वारा (स्प्रिंगर, 2015) ISBN 3319192000. विशेषकर पृष्ठ 86

श्रेणी:मानक मॉडल श्रेणी:इलेक्ट्रोवीक सिद्धांत