चरघातांकी आनमन

चरघातांकी आनमन (ET), चरघातांकी व्यावर्तन, या चरघातांकी माप का परिवर्तन (ECM) एक वितरण स्थानांतरण तकनीक है जिसका उपयोग गणित के कई हिस्सों में किया जाता है। एक यादृच्छिक चर $$X$$ के विभिन्न चरघातांकी आनमन को $$X$$ के प्राकृतिक घातीय समूह के रूप में जाना जाता है।

चरघातांकी आनमन का उपयोग मोंटे कार्लो अनुमान में दुर्लभ-घटना अनुकरण और विशेष रूप से अस्वीकृति और महत्व प्रतिदर्श के लिए किया जाता है। गणितीय वित्त में चरघातांकी आनमन को एस्चेर आनमन (या एस्चर परिवर्तन) के रूप में भी जाना जाता है, और इसे प्रायः अप्रत्यक्ष एजवर्थ श्रृंखला के साथ जोड़ा जाता है और इसका उपयोग बीमा वायदा मूल्य निर्धारण जैसे संदर्भों में किया जाता है।

चरघातांकी आनमन की प्रारंभिक औपचारिकता का श्रेय प्रायः एस्चेर को दिया जाता है जबकि महत्व प्रतिदर्श में इसके उपयोग का श्रेय डेविड सिगमंड को दिया जाता है।

अवलोकन
प्रायिकता वितरण $$\mathbb{P}$$, घनत्व $$f$$, और आघुर्णजनक फलन (एमजीएफ) $$M_X(\theta) = \mathbb{E}[e^{\theta X}] < \infty$$ के साथ एक यादृच्छिक चर $$X$$ को देखते हुए, चरघातांकी रूप से आनत माप $$\mathbb{P}_\theta$$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है,


 * $$\mathbb{P}_\theta(X \in dx) = \frac{\mathbb{E}[e^{\theta X}\mathbb{I}[X \in dx]]}{M_X(\theta)}=e^{\theta x - \kappa(\theta)}\mathbb{P}(X\in dx),$$

जहां $$\kappa(\theta)$$ संचयी जनक फलन (सीजीएफ) है जिसे


 * $$\kappa(\theta) = \log\mathbb{E}[e^{\theta X}] = \log M_X(\theta).$$ के रूप में परिभाषित किया गया है।

हम $$\mathbb{P}_\theta(X \in dx)=f_\theta(x)$$ को $$\theta$$-का आनत घनत्व $$X$$ कहते हैं। यह $$f_\theta(x) \propto e^{\theta x}f(x)$$. को संतुष्ट करता है।

एक यादृच्छिक सदिश $$X$$ के घातीय आनमन की एक समान परिभाषा है,


 * $$\mathbb{P}_{\theta}(X\in dx) = e^{\theta^T x - \kappa(\theta)}\mathbb{P}(X\in dx),$$

जहां $$\kappa(\theta) = \log \mathbb{E}[\exp\{\theta^T X\}]$$ दिया गया है।

उदाहरण
कई स्थितियों में चरचरघातांकी रूप से आनत माप का प्राचलिक रूप $$X$$ के समान होता है। एक-आयामी उदाहरणों में सामान्य वितरण, घातीय वितरण, द्विपद वितरण और पॉइसन वितरण सम्मिलित हैं।

उदाहरण के लिए, सामान्य वितरण की स्थिति में, $$N( \mu, \sigma ^2)$$ आनत घनत्व $$f_\theta(x)$$ ,$$N( \mu + \theta \sigma ^2, \sigma ^2)$$ घनत्व है। नीचे दी गई तालिका आनत घनत्व के अधिक उदाहरण प्रदान करती है।

हालाँकि, कुछ वितरणों के लिए, घातीय रूप से आनत वितरण $$f$$ के समान प्राचलिक समूह से संबंधित नहीं है। इसका एक उदाहरण $$f(x) = \alpha /(1 + x) ^\alpha, x > 0$$ पेरेटो वितरण है, जहां $$f_\theta(x)$$ को $$ \theta < 0 $$ के लिए अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है लेकिन यह एक मानक वितरण नहीं है। ऐसे उदाहरणों में, यादृच्छिक परिवर्तनीय पीढ़ी हमेशा स्पष्ट नहीं हो सकती है।

लाभ
कई स्थितियों में, आनत वितरण मूल के समान प्राचलिक समूह से संबंधित होता है। यह विशेष रूप से सच है कि एक मूल घनत्व वितरण घातीय समूह से संबंधित होता है। यह मोंटे-कार्लो अनुकरण के दौरान यादृच्छिक चर पीढ़ी को सरल बनाता है। यदि यह स्थिति नहीं है तो घातीय आनमन अभी भी उपयोगी हो सकता है, हालांकि सामान्यीकरण संभव होना चाहिए क्योकि अतिरिक्त प्रतिदर्श कलन विधि की आवश्यकता हो सकती है।

इसके अलावा, मूल और आनत सीएफजी,


 * $$\kappa_\theta(\eta) = \log(\mathbb{E}_\theta[e^{\eta X}]) = \kappa(\theta + \eta) - \kappa(\theta).$$ के बीच एक सरल संबंध उपस्थित है। इसका अवलोकन हम इस प्रकार कर सकते हैं,$$F_\theta(x) = \int\limits_{\infty}^x\exp\{\theta y - \kappa(\theta)\}f(y)dy.$$।
 * इस प्रकार से,

\begin{align} \kappa_{\theta}(\eta) &= \log \int e^{\eta x}dF_{\theta}(x) \\ &= \log \int e^{\eta x}e^{\theta x - \kappa(\theta)}dF(x) \\ &= \log\mathbb{E}[e^{(\eta+\theta)X-\kappa(\theta)}] \\ &= \log(e^{\kappa(\eta+\theta)-\kappa(\theta)}) \\ &= \kappa(\eta+\theta)-\kappa(\theta) \end{align} $$.

स्पष्ट रूप से, यह संबंध आनत वितरण के सीजीएफ और इस प्रकार वितरण क्षणों की आसान गणना की अनुमति देता है। इसके अलावा, इसका परिणाम संभावना अनुपात का एक सरल रूप है। विशेष रूप से,


 * $$\ell = \frac{d\mathbb{P}}{d\mathbb{P}_\theta} = \frac{f(x)}{f_{\theta}(x)} = e^{- \theta x + \kappa(\theta)}$$. सरल रूप है।

गुण

 * यदि $$\kappa(\eta)=\log \mathrm{E}[\exp(\eta X)]$$, $$X$$ का सीजीएफ है, तो $$X$$ आनत $$\theta$$- का सीजीएफ


 * $$\kappa_\theta(\eta) = \kappa(\theta + \eta) - \kappa(\theta).$$है। इसका मतलब यह है कि आनत $$X$$ का $$i$$ -वाँ संचयी $$\kappa^{(i)}(\theta)$$ है। विशेष रूप से, आनत वितरण की अपेक्षा$$\mathrm{E}_\theta[X]=\tfrac{d}{d\eta}\kappa_\theta(\eta)|_{\eta=0} = \kappa'(\theta)$$ है।
 * आनत वितरण का विचरण
 * $$\mathrm{Var}_\theta[X]=\tfrac{d^2}{d\eta^2}\kappa_\theta(\eta)|_{\eta=0} = \kappa''(\theta)$$. है।


 * पुनरावर्ती आनत योगात्मक है। अर्थात् पहले $$\theta_1$$ और फिर $$\theta_2$$ से आनत एक बार $$\theta_1+\theta_2$$ के आनत के समान है।


 * यदि $$X$$ स्वतंत्र, लेकिन आवश्यक रूप से समान यादृच्छिक चर $$X_1, X_2, \dots$$ का योग नहीं है, तो $$X$$ का $$\theta$$- आनत वितरण प्रत्येक -$$\theta$$ को व्यक्तिगत रूप से आनत $$X_1, X_2, \dots$$ का योग है।


 * यदि $$\mu=\mathrm{E}[X]$$, तो $$\kappa(\theta)-\theta \mu$$ आनत वितरण $$P_\theta$$ और $$X$$ के मूल वितरण $$P$$ के बीच कुल्बैक-लीबलर विचलन $$D_\text{KL}(P \parallel P_\theta)=\mathrm{E} \left[\log\tfrac{P}{P_\theta}\right]$$है।


 * इसी प्रकार, $$\mathrm{E}_{\theta}[X]=\kappa'(\theta)$$ के बाद से, हमारे पास,


 * $$D_\text{KL}(P_\theta \parallel P) = \mathrm{E}_\theta \left[\log\tfrac{P_\theta}{P} \right] = \theta \kappa'(\theta) - \kappa(\theta)$$ के रूप में कुल्बैक-लीबलर विचलन है।

दुर्लभ-घटना अनुकरण
$$X$$ का घातीय आनमन, यह मानते हुए कि यह उपस्थित है, यह वितरण के एक समूह की आपूर्ति करता है जिसका उपयोग स्वीकृति-अस्वीकृति प्रतिदर्श के लिए प्रस्ताव वितरण या महत्व प्रतिदर्श के लिए महत्व वितरण के रूप में किया जा सकता है। एक सामान्य अनुप्रयोग प्रक्षेत्र के उप-क्षेत्र पर सशर्त वितरण से प्रतिदर्श, अर्थात $$X|X\in A$$ लेना है। $$\theta$$के उचित विकल्प के साथ, $$\mathbb{P}_\theta$$ के प्रतिदर्श सार्थक रूप से प्रतिदर्श की आवश्यक मात्रा या अनुमानक के विचरण को कम कर सकता है।

सैडलबिंदु सन्निकटन
सैडलबिंदु सन्निकटन विधि एक घनत्व सन्निकटन पद्धति है जिसका उपयोग प्रायः स्वतंत्र, समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के योग और औसत के वितरण के लिए किया जाता है जो एडगेवर्थ श्रृंखला को नियोजित करता है, साथ ही जो चरम मूल्यों पर बेहतर प्रदर्शन करता है। प्राकृतिक घातीय समूह की परिभाषा से, निम्नवत निष्कर्ष निकलता है जोकि


 * $$f_{\theta}(\bar{x}) = f(\bar{x})\exp\{n(\theta \bar{x} - \kappa(\theta))\}$$ है।

$$f_{\theta}(\bar{x})$$ के लिए एजवर्थ विस्तार लागू करने पर, हमा


 * $$f_{\theta}(\bar{x}) = \psi(z)(\mathrm{Var}[\bar{X}])^{-1/2}\left\{1 + \frac{\rho_3(\theta)h_3(z)}{6} + \frac{\rho_4(\theta)h_4(z)}{24}\dots\right\},$$प्राप्त कर सकते है,

जहां $$\psi(z)$$ ,


 * $$z = \frac{\bar{x} - \kappa_{\bar{x}} ' (\theta)}{\kappa_{\bar{x}} ''(\theta)}$$ का मानक सामान्य घनत्व है,
 * $$\rho_n(\theta) = \kappa^{(n)}(\theta)\{\kappa ''(\theta)^{n/2}\}$$,

और $$h_n$$ हर्मिट बहुपद हैं।

वितरण के केंद्र से उत्तरोत्तर दूर $$\bar{x}$$ के मूल्यों पर विचार करते समय, $$|z|\rightarrow \infty $$ और $$h_n(z)$$ पद अपरिबद्ध हो जाते हैं। हालाँकि, $$\bar{x}$$ के प्रत्येक मान के लिए, हम $$\theta$$ को इस प्रकार चुन सकते हैं जैसे कि


 * $$\kappa '(\theta) = \bar{x}.$$।

$$\theta$$ के इस मान को सैडल-बिंदु के रूप में जाना जाता है, और उपरोक्त विस्तार का मूल्यांकन हमेशा आनत वितरण की अपेक्षा पर किया जाता है। $$\theta$$ का यह विकल्प


 * $$f(\bar{x}) \approx \left(\frac{n}{2\pi\kappa ''(\theta)}\right)^{1/2}\exp\{n(\kappa(\theta) - \theta\bar{x})\}.$$ द्वारा दिए गए सन्निकटन के अंतिम प्रतिनिधित्व की ओर ले जाता है।

अस्वीकृति प्रतिदर्श
प्रस्ताव के रूप में आनत वितरण $$\mathbb{P}_{\theta}$$ का उपयोग करते हुए, अस्वीकृति प्रतिदर्श कलन विधि $$f_\theta(x)$$ से प्रतिदर्श लेने और प्रायिकता


 * $$\frac{1}{c} \exp(-\theta x + \kappa(\theta)),$$ के साथ स्वीकार करने को निर्धारित करता है जहां


 * $$c = \sup\limits_{x\in X}\frac{d\mathbb{P}}{d\mathbb{P}_{\theta}}(x).$$ दिया गया है।

अर्थात् एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर $$p \sim \mbox{Unif}(0,1)$$ उत्पन्न होता है, और $$f_\theta(x)$$ से प्रतिदर्श स्वीकार किया जाता है यदि


 * $$p \leq \frac{1}{c} \exp(-\theta x + \kappa(\theta)).$$दिया गया हो।

महत्व प्रतिदर्श
घातीय रूप से आनत वितरण को महत्व वितरण के रूप में लागू करने से समीकरण


 * $$\mathbb{E}(h(X)) = \mathbb{E}_{\theta}[\ell(X)h(X)]$$ प्राप्त होता है,

जहां


 * $$\ell(X) = \frac{d\mathbb{P}}{d\mathbb{P}_{\theta}}$$

संभाव्यता फलन है। तो, महत्व वितरण $$\mathbb{P}(dX)$$ के तहत प्रायिकता का अनुमान लगाने के लिए $$f_{\theta}$$ से एक प्रतिदर्श लें और फिर इसे संभावना अनुपात से गुणा करें। इसके अलावा, हमारे पास


 * $$\mbox{Var}(X) = \mathbb{E}[(\ell(X)h(X)^2]$$ द्वारा दिया गया विचरण है।

उदाहरण
स्वतंत्र और समान रूप से वितरित $$\{X_i\}$$ मान लें कि $$\kappa(\theta) < \infty$$ होगा। $$\mathbb{P}(X_1 + \cdots + X_n > c)$$ का अनुमान लगाने के लिए, हम


 * $$h(X) = \mathbb{I}(\sum_{i = 1}^n X_i > c)$$ लेकर महत्व प्रतिदर्श का उपयोग कर सकते हैं।

किसी अन्य स्थिरांक $$a$$ के लिए स्थिरांक $$c$$ को $$na$$ के रूप में पुनः लिखा जा सकता है।तब,


 * $$\mathbb{P}(\sum_{i = 1}^n X_i > na) = \mathbb{E}_{\theta_a} \left[\exp\{-\theta_a\sum_{i = 1}^n X_i + n\kappa(\theta_a)\}\mathbb{I}(\sum_{i = 1}^n X_i > na) \right]$$,

जहां $$\theta_a$$ सैडल-बिंदु समीकरण $$\kappa '(\theta_a) = a$$ द्वारा परिभाषित  $$\theta$$ को दर्शाता है।

प्रसंभाव्य प्रक्रम
एक सामान्य आर.वी. के आनमन को देखते हुए, यह सहज है कि $$X_t$$ का घातांकीय आनमन, प्रक्षेप $$\mu$$ विचरण $$\sigma^2$$, प्रक्षेप के साथ एक ब्राउनियन गति है, और प्रक्षेप $$\mu + \theta\sigma^2$$ और विचरण $$\sigma^2$$ के साथ एक ब्राउनियन गति है। इस प्रकार, $$\mathbb{P}$$ के नीचे प्रक्षेप के साथ किसी भी ब्राउनियन गति को $$\mathbb{P}_{\theta^*}$$के नीचे प्रक्षेप के बिना ब्राउनियन गति के रूप में माना जा सकता है। इसे देखने के लिए प्रक्रिया $$X_t = B_t + \mu_t$$ पर विचार करें। $$f(X_t) = f_{\theta^*}(X_t)\frac{d\mathbb{P}}{d\mathbb{P}_{\theta^*}} = f(B_t)\exp\{\mu B_T - \frac{1}{2}\mu^2T\}$$. संभाव्यता अनुपात शब्द, $$\exp\{\mu B_{T} - \frac{1}{2}\mu^2 T\}$$, एक मार्टिंगेल है और आमतौर पर $$M_T$$ द्वारा निरूपित किया जाता है। इस प्रकार, प्रक्षेप प्रक्रिया (साथ ही ब्राउनियन निस्पंदन के लिए अनुकूलित कई अन्य निरंतर प्रक्रियाएं) के साथ एक ब्राउनियन गति एक $$\mathbb{P}_{\theta^*}$$-मार्टिंगेल है ।

प्रसंभाव्य विभेदक समीकरण
उपरोक्त प्रसंभाव्य विभेदक समीकरण $$dX(t) = \mu(t)dt + \sigma(t) dB(t)$$ के वैकल्पिक प्रतिनिधित्व की ओर ले जाता है, जहाँ $$dX_{\theta}(t) = \mu_{\theta}(t) dt + \sigma(t) dB(t)$$ और $$\mu_{\theta}(t)$$ = $$\mu(t) + \theta\sigma(t)$$ दिया गया है।गिरसानोव का सूत्र संभावना अनुपात $$\frac{d\mathbb{P}}{d\mathbb{P}_{\theta}} = \exp\{-\int\limits_0^T\frac{\mu_{\theta}(t) - \mu(t)}{\sigma^2(t)}dB(t) + \int\limits_0^T(\frac{\sigma^2(t)}{2})dt\}$$ बताता है। इसलिए, गिरसानोव के सूत्र का उपयोग कुछ एसडीई के महत्व प्रतिदर्श को लागू करने के लिए किया जा सकता है।

आनमन एसडीई $$dX(t) = \mu(X(t))dt+ dB(t)$$ के अस्वीकृति प्रतिदर्श के माध्यम से एक प्रक्रिया $$X(t)$$ का अनुकरण करने के लिए भी उपयोगी हो सकता है। हम एसडीई पर ध्यान केंद्रित कर सकते हैं क्योंकि हम यह जानते हैं $$X(t)$$ को $$\int\limits_0^t dX(t) + X(0)$$  लिखा जा सकता है। जैसा कि पहले कहा गया है, कि प्रक्षेप के साथ ब्राउनियन गति को प्रक्षेप के बिना ब्राउनियन गति में आनत किया जा सकता है। इसलिए, हम  $$\mathbb{P}_{proposal}=\mathbb{P}_{\theta^*}$$चुनते हैं। संभाव्यता अनुपात $$\frac{d\mathbb{P}_{\theta^*}}{d\mathbb{P}}(dX(s): 0 \leq s \leq t) =$$ $$\prod\limits_{\tau\geq t}\exp\{\mu(X(\tau))dX(\tau) - \frac{\mu(X(\tau))^2}{2}\}dt = \exp\{\int\limits_0^t\mu(X(\tau))dX(\tau) - \int\limits_0^t\frac{\mu(X(s))^2}{2}\}dt$$होगा। इस संभावना अनुपात को $$M(t)$$ से दर्शाया जाएगा। यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह एक वास्तविक संभावना अनुपात है, यह दिखाया जाना चाहिए कि समीकरण$$\mathbb{E}[M(t)] = 1$$ होगा। यह स्थिति मानते हुए, निम्न समीकरण को दिखाया जा सकता है जो $$f_{X(t)}(y) = f_{X(t)}^{\theta^*}(y)\mathbb{E}_{\theta ^*}[M(t)|X(t) = y]$$ है।  इसलिए, अस्वीकृति प्रतिदर्श निर्धारित करता है कि एक मानक ब्राउनियन गति से प्रतिदर्श लें और प्रायिकता  $$\frac{f_{X(t)}(y)}{f_{X(t)}^{\theta ^*}(y)}\frac{1}{c} = \frac{1}{c}\mathbb{E}_{\theta ^*}[M(t)|X(t) = y]$$ के साथ स्वीकार करें।

सिगमंड का कलन विधि
मान लीजिए आई.आई.डी. एक्स हल्के पुच्छल वाले वितरण के साथ $$\mathbb{E}[X] > 0$$ है।  $$\psi(c) = \mathbb{P}(\tau(c) < \infty)$$ का अनुमान लगाने के लिए जहां$$\tau(c) = \inf\{t:\sum\limits_{i=1}^t X_i> c\}$$, जब $$c$$ बड़ा है और इसलिए $$\psi(c)$$ छोटा है, कलन विधि महत्व वितरण प्राप्त करने के लिए घातीय आनमन का उपयोग करता है। कलन विधि का उपयोग कई पहलुओं में किया जाता है, जैसे अनुक्रमिक परीक्षण, जी/जी/1 कतार प्रतीक्षा समय, और $$\psi$$ का उपयोग रुइन सिद्धांत में अंतिम रुइन की प्रायिकता के रूप में उपयोग किया जाता है। इस संदर्भ में, यह सुनिश्चित करना तर्कसंगत है कि $$\mathbb{P}_\theta(\tau(c) < \infty) = 1$$ होगा।  मानदंड $$\theta > \theta_0$$, जहां $$\theta_0$$ एस.टी. है इसीलिए $$\kappa'(\theta_0) = 0$$ इसे प्राप्त करता है। सिगमंड का कलन विधि $$\theta = \theta^*$$ का उपयोग करता है, यदि यह उपस्थित है, तो $$\theta^*$$ को निम्नलिखित तरीके से परिभाषित किया गया है, $$\kappa(\theta^*) = 0$$। यह दिखाया गया है कि $$\theta^*$$ एकमात्र आनमन वाला प्राचल है जो सीमित सापेक्ष त्रुटि ($$\underset{x \rightarrow \infty}{\lim\sup}\frac{Var\mathbb{I}_{A(x)}}{\mathbb{P}A(x)^2} < \infty$$) उत्पन्न करता है।

ब्लैक-बॉक्स कलन विधि
हम ब्लैक बॉक्स की संरचना को जाने बिना केवल उसके निविष्ट और निर्गत को देख सकते हैं। कलन विधि को इसकी संरचना पर केवल न्यूनतम जानकारी का उपयोग करना है। जब हम यादृच्छिक संख्याएँ उत्पन्न करते हैं, तो निर्गत सामान्य या चरघातांकी वितरण जैसे समान सामान्य प्राचलिक वर्ग के भीतर नहीं हो सकता है। ईसीएम करने के लिए स्वचालित तरीके का उपयोग किया जा सकता है। मान लीजिये $$X_1, X_2,...$$आई.आई.डी. वितरण $$G$$ के साथआर.वी हो, इसीलिए सरलता के लिए हम $$X\geq 0$$ मानते हैं। $$ \mathfrak{F}_n = \sigma(X_1,...,X_n,U_1,..., U_n) $$ को परिभाषित करने पर, हमे$$U_1, U_2$$,. . . स्वतंत्र (0, 1) एकसमान प्राप्त होते हैं। $$X_1, X_2$$,. . . के लिए एक यादृच्छिक रुकने का समय फिर निस्पंदन $$ \{\mathfrak{F}_n\}$$,. . . के संबंध में एक रुकने का समय है। मान लीजिए  $$ \mathfrak{G}$$, $$ [0, \infty)$$ के साथ वितरण $$G$$ का एक वर्ग है और$$ k_G = \int_0^\infty e^{\theta x}G(dx) < \infty$$ को  $$G_\theta$$ द्वारा $$\frac{dG_\theta}{dG(x)} = e^{\theta x - k_G}$$से परिभाषित करता है। हम दिए गए $$\theta$$ और वितरण के दिए गए वर्ग $$\mathfrak{G}$$ के लिए ईसीएम के लिए एक ब्लैक-बॉक्स कलन विधि को यादृच्छिक रोक समय $$\tau$$ और $$ \mathfrak{F}_\tau- $$ मापने योग्य आर.वी. की एक जोड़ी के रूप में परिभाषित करते हैं, $$Z $$ इस प्रकार है कि $$Z $$ को किसी भी $$ G \in \mathfrak{G}$$  के लिए $$G_\theta $$ के अनुसार वितरित किया जाता है। औपचारिक रूप से, हम इसे सभी $$x $$ के लिए $$ \mathbb{P}_G (Z<x) = G_\theta (x) $$ के रूप में लिखते हैं।

दूसरे शब्दों में, गेम के नियम यह हैं कि कलन विधि $$G $$ से अनुकारित मानों और $$G_\theta $$ से आर.वी. उत्पन्न करने के लिए अतिरिक्त एकसमान का उपयोग कर सकता है।

यह भी देखें

 * महत्व प्रतिदर्श
 * अस्वीकृति प्रतिदर्श
 * मोंटे कार्लो विधि
 * घातीय समूह
 * एस्चेर परिवर्तन