अभ्यावेदन का टेंसर उत्पाद

गणित में, प्रतिनिधित्व का टेंसर उत्पाद, पर कारक-वार समूह कार्रवाई के साथ अंतर्निहित प्रतिनिधित्व के वेक्टर स्थानों का टेंसर उत्पाद होता है। यदि कोई पहले से ही कुछ जानता है तो यह इस निर्माण का उपयोग क्लेबश-गॉर्डन प्रक्रिया के साथ मिलकर अतिरिक्त अपरिवर्तनीय अघुलनशील प्रतिनिधित्व उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।

समूह प्रतिनिधित्व
अगर $$V_1, V_2$$ समूह $$G$$, का रैखिक प्रतिनिधित्व हैं तो उनका टेंसर उत्पाद वेक्टर रिक्त स्थान $$V_1 \otimes V_2$$ का टेंसर उत्पाद है जिसमें $$G$$ की रैखिक क्रिया विशिष्ट रूप से इस शर्त से निर्धारित होती है कि
 * $$g \cdot (v_1 \otimes v_2) = (g\cdot v_1) \otimes (g\cdot v_2)$$

सभी के लिए $$v_1\in V_1$$ और $$v_2\in V_2$$. चूँकि $$V_1\otimes V_2$$ इसका हर तत्व नहीं रूप में अभिव्यक्त होता है, प्रतिनिधित्व टेन्सर प्रतिनिधित्व संचालन की सार्वभौमिक संपत्ति गारंटी देती है कि यह $$v_1\otimes v_2$$ क्रिया पूर्ण रूप से परिभाषित किया जाता है।

समरूपता की भाषा में, यदि $$G$$ और $$V_1$$ पर $$V_2$$ की क्रियाएं समरूपता $$\Pi_1:G\rightarrow\operatorname{GL}(V_1)$$ और $$\Pi_2:G\rightarrow\operatorname{GL}(V_2)$$ द्वारा दी जाती हैं तो $$\Pi_2:G\rightarrow\operatorname{GL}(V_2)$$ टेंसर उत्पाद प्रतिनिधित्व समरूपता द्वारा दिया जाता है
 * $$\Pi_1\otimes\Pi_2(g)=\Pi_1(g)\otimes\Pi_2(g)$$,

जहाँ $$\Pi_1(g)\otimes\Pi_2(g)$$ रैखिक मानचित्रों का टेंसर उत्पाद या टेंसर उत्पाद है।

कोई भी टेंसर उत्पाद की धारणा को किसी भी सीमित संख्या में प्रतिनिधित्व तक बढ़ा सकता है। यदि V समूह G का रैखिक प्रतिनिधित्व है, तो उपरोक्त रैखिक क्रिया के साथ, टेन्सर बीजगणित $$T(V)$$ G का बीजगणितीय निरूपण है; अर्थात, G का प्रत्येक तत्व बीजगणित ऑटोमोर्फिज्म के रूप में कार्य करता है।

बीजगणित निरूपण असत्य
अगर $$(V_1,\pi_1)$$ और $$(V_2,\pi_2)$$ लाई बीजगणित का प्रतिनिधित्व हैं तो इन प्रतिनिधित्व का टेंसर उत्पाद $$\mathfrak g$$, मानचित्र है $$\pi_1\otimes\pi_2:\mathfrak g\rightarrow\operatorname{End}(V_1\otimes V_2)$$ द्वारा दिए गए
 * $$\pi_1\otimes\pi_2(X)=\pi_1(X)\otimes I+I\otimes\pi_2(X)$$,

जहाँ $$I$$ पहचान फलन एंडोमोर्फिज्म है। इसे क्रोनकर योग कहा जाता है, जिसे मैट्रिक्स जोड़#क्रोनेकर_सम और क्रोनकर प्रतिनिधित्व # गुण में परिभाषित किया गया है।

इस प्रकार से यह परिभाषा में क्रोनकर योग $$\pi_1$$ के उपयोग की प्रेरणा उस स्तिथि से आती है और $$\pi_2$$ प्रतिनिधित्व से आते हैं $$\Pi_1$$ और $$\Pi_2$$ लाई समूह का $$G$$. उस स्तिथि में, साधारण गणना से पता चलता है कि लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व से जुड़ा हुआ है $$\Pi_1\otimes\Pi_2$$ पूर्ववर्ती सूत्र द्वारा दिया गया है।

रेखीय मानचित्रों पर कार्रवाई
अगर $$(V_1,\Pi_1)$$ और $$(V_2,\Pi_2)$$ समूह $$G$$, का प्रतिनिधित्व हैं मान लीजिए $$\operatorname{Hom}(V_1,V_2)$$ से सभी रैखिक मानचित्रों के स्थान को निरूपित करें $$V_1$$ को $$V_2$$. तब $$\operatorname{Hom}(V_1,V_2)$$ परिभाषित करके प्रतिनिधित्व की संरचना दी जा सकती है
 * $$g\cdot A=\Pi_2(g)A\Pi_1(g)^{-1}$$

सभी के लिए $$A\in\operatorname{Hom}(V,W)$$. अब, टेंसर उत्पाद #टेंसर उत्पाद बनाम होम है
 * $$\operatorname{Hom}(V, W)\cong V^* \otimes W$$

वेक्टर रिक्त स्थान के रूप में; यह सदिश समष्टि समरूपता वास्तव में प्रतिनिधित्व की समरूपता है।

क्रियागत उपप्रतिनिधित्व समतुल्य $$\operatorname{Hom}(V, W)^G$$ मानचित्र से युक्त जी-रेखीय मानचित्र; अर्थात।,
 * $$\operatorname{Hom}_G(V, W) = \operatorname{Hom}(V, W)^G.$$

मान लीजिए $$E = \operatorname{End}(V)$$ V के एंडोमोर्फिज्म बीजगणित को निरूपित करें और A को उपबीजगणित को निरूपित करने दें सममित टेन्सर $$E^{\otimes m}$$ से मिलकर। अपरिवर्तनीय सिद्धांत का मुख्य प्रमेय बताता है कि आधार क्षेत्र की विशेषता शून्य होने पर A अर्धसरल बीजगणित है।

सामान्य समस्या
दो अघुलनशील प्रतिनिधित्व का टेंसर उत्पाद $$V_1,V_2$$ किसी समूह या लाई बीजगणित का सामान्तः अप्रासंगिक नहीं होता है। इसलिए इसे विघटित करने का प्रयास करना रुचिकर है $$V_1\otimes V_2$$ अपरिवर्तनीय टुकड़ों में. इस अपघटन समस्या को क्लेबश-गॉर्डन समस्या के रूप में जाना जाता है।

एसयू(2) स्तिथि
इस समस्या का क्लेबश-गॉर्डन गुणांक रोटेशन समूह SO(3)-या इसके दोहरे आवरण, विशेष एकात्मक समूह या समूह SU(2)|विशेष एकात्मक समूह SU(2) का स्तिथि है। के अघुलनशील प्रतिनिधित्व को पैरामीटर $$\ell$$, द्वारा वर्णित किया गया है जिसके संभावित मान हैं
 * $$\ell=0, 1/2, 1, 3/2, \ldots.$$

(प्रतिनिधित्व का आयाम तब है $$2\ell+1$$.) आइए दो पैरामीटर लें $$\ell$$ और $$m$$ साथ $$\ell\geq m$$. फिर टेंसर उत्पाद प्रतिनिधित्व $$V_\ell\otimes V_m$$ फिर इस प्रकार विघटित होता है:
 * $$V_\ell\otimes V_m\cong V_{\ell+m}\oplus V_{\ell+m-1}\oplus\cdots\oplus V_{\ell-m+1}\oplus V_{\ell-m}.$$

इस प्रकार से उदाहरण के तौर पर, चार-आयामी प्रतिनिधित्व $$V_{3/2}$$ के टेंसर उत्पाद पर विचार करें और त्रि-आयामी प्रतिनिधित्व $$V_1$$. टेंसर उत्पाद प्रतिनिधित्व $$V_{3/2}\otimes V_1$$ इसका आयाम 12 है और यह विघटित हो जाता है
 * $$V_{3/2}\otimes V_1\cong V_{5/2}\oplus V_{3/2}\oplus V_{1/2}$$,

जहां दाहिनी ओर के प्रतिनिधित्व का आयाम क्रमशः 6, 4, और 2 है। हम इस परिणाम को अंकगणितीय रूप से संक्षेप में प्रस्तुत कर सकते हैं $$4\times 3= 6+4+2$$.

एसयू(3) स्तिथि
समूह एसयू(3) के स्तिथि में, सभी लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व का स्तिथि मानक 3-आयामी प्रतिनिधित्व और इसके दोहरे से निम्नानुसार उत्पन्न किया जा सकता है। लेबल $$(m_1,m_2)$$के साथ प्रतिनिधित्व उत्पन्न करने के लिए, कोई टेंसर उत्पाद लेता है मानक प्रतिनिधित्व की प्रतियां $$m_1$$और $$m_2$$ मानक प्रतिनिधित्व के दोहरे की प्रतियां, और फिर उच्चतम वजन वाले वैक्टर के टेंसर उत्पाद द्वारा उत्पन्न अपरिवर्तनीय उप-स्थान लेता है।

एसयू(2) के लिए स्थिति $$U\otimes V$$ के विपरीत, एसयू(3) के लिए क्लेबश-गॉर्डन अपघटन में, दिया गया अघुलनशील प्रतिनिधित्व $$W$$ के विघटन में से अधिक बार हो सकता है.

टेन्सर पावर
इस प्रकार से वेक्टर स्पेस की तरह, कोई भी ऊपर दिए गए एक्शन के साथ प्रतिनिधित्व V की  k th टेंसर पावर को वेक्टर स्पेस $$V^{\otimes k}$$ के रूप में परिभाषित कर सकता है।

सममित और प्रत्यावर्ती वर्ग
इस प्रकार से विशेषता शून्य के क्षेत्र में, सममित और वैकल्पिक वर्ग दूसरी टेन्सर पावर के उप-प्रतिनिधित्व हैं। उनका उपयोग फ्रोबेनियस-शूर संकेतक को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है, जोकी इंगित करता है कि क्या दिया गया अपरिवर्तनीय चरित्र वास्तविक प्रतिनिधित्व, जटिल या चतुर्धातुक है। वे शूर फ़ैक्टर्स के उदाहरण हैं। इन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है।

इन्हें इस प्रकार परिभाषित किया गया है।

मान लीजिए V सदिश समष्टि हो. एंडोमोर्फिज्म को परिभाषित करें (स्वयं-मानचित्र) T का $$V\otimes V$$ निम्नलिखित नुसार:

\begin{align} T:V\otimes V &\longrightarrow V\otimes V \\ v\otimes w &\longmapsto w\otimes v. \end{align} $$ यह इनवोलुशन (गणित) है (यह अपना स्वयं का उलटा है), और इसी प्रकार से $$V\otimes V$$ ऑटोमोर्फिज्म (स्वयं- ऑटोमोर्फिज्म) है.

V, की दूसरी टेन्सर पावर के दो उपसमुच्चय परिभाषित करें

\begin{align} \operatorname{Sym}^2(V) &:= \{v\in V\otimes V\mid T(v)=v \} \\ \operatorname{Alt}^2(V) &:= \{v\in V\otimes V\mid T(v)=-v \} \end{align} $$ ये क्रमशः V,$$V\odot V $$, के सममित वर्ग हैं और V, $$V\wedge V $$, का वैकल्पिक वर्ग क्रमश। सममित और प्रत्यावर्ती वर्गों को टेंसर उत्पाद के सममित भाग और एंटीसिमेट्रिक भाग के रूप में भी जाना जाता है।

गुण
एक रैखिक प्रतिनिधित्व की दूसरी टेन्सर पावर V समूह का G सममित और वैकल्पिक वर्गों के प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित होता है:


 * $$V^{\otimes 2}=V\otimes V \cong \operatorname{Sym}^2(V) \oplus \operatorname{Alt}^2(V)$$

प्रतिनिधित्व के रूप में। विशेष रूप से, दोनों दूसरी टेन्सर पावर का उपप्रस्तुतिकरण हैं। समूह रिंग के ऊपर मॉड्यूल (गणित) की भाषा में, सममित और वैकल्पिक वर्ग $$V\otimes V$$ के $$\mathbb{C}[G]$$-के उपमॉड्यूल हैं.

अगर V का $$\{v_1,v_2,\ldots,v_n\}$$आधार है, तो सममित वर्ग का आधार $$\{v_i\otimes v_j+v_j\otimes v_i\mid 1\leq i\leq j\leq n\}$$ होता है और प्रत्यावर्ती वर्ग का आधार $$\{v_i\otimes v_j-v_j\otimes v_i\mid 1\leq i<j\leq n\}$$ होता है.

इसलिए,



\begin{align} \dim\operatorname{Sym}^2(V) &= \frac{\dim V(\dim V + 1)}{2}, \\ \dim\operatorname{Alt}^2(V) &= \frac{\dim V(\dim V - 1)}{2}. \end{align} $$

मान लीजिए $$\chi:G\to\mathbb{C}$$ का चरित्र (प्रतिनिधित्व सिद्धांत) $$V$$ हो. फिर हम सममित और वैकल्पिक वर्गों के वर्णों की गणना इस प्रकार कर सकते हैं: सभी के लिए g में G,

\begin{align} \chi_{\operatorname{Sym}^2(V)}(g) &= \frac{1}{2}(\chi(g)^2+\chi(g^2)), \\ \chi_{\operatorname{Alt}^2(V)}(g) &= \frac{1}{2}(\chi(g)^2-\chi(g^2)). \end{align} $$

सममित और बाह्य पावर
बहुरेखीय बीजगणित की तरह, विशेषता शून्य के क्षेत्र पर, कोई अधिक सामान्यतः परिभाषित कर सकता है k th सममित पावर $$\operatorname{Sym}^n(V)$$ और k th बाहरी पावर $$\Lambda^n(V)$$, जो के उपस्थान हैं k th टेन्सर पावर (इस निर्माण पर अधिक विवरण के लिए उन पृष्ठों को देखें)। वे भी उप-प्रतिनिधित्व हैं, जिससे उच्च टेन्सर पावर यां अब उनके प्रत्यक्ष योग के रूप में विघटित नहीं होती हैं।

शूर-वेइल द्वंद्व सामान्य रैखिक समूह $$G = \operatorname{GL}(V)$$ के प्रतिनिधित्व की टेन्सर पावर यों में होने वाले अघुलनशील प्रतिनिधित्व की गणना करता है. स्पष्ट रूप से, के रूप में $$S_n \times G$$-मापांक
 * $$V^{\otimes n} \simeq \bigoplus_\lambda M_{\lambda} \otimes S^{\lambda}(V)$$

जहाँ
 * $$M_{\lambda}$$ सममित समूह का अघुलनशील प्रतिनिधित्व है $$S_n$$ विभाजन के अनुरूप $$\lambda$$ n का (घटते क्रम में),
 * $$S^{\lambda}(V)$$ यंग सिमेट्रिज़र $$c_{\lambda}: V^{\otimes n} \to V^{\otimes n}$$. की छवि है

मानचित्रण $$V \mapsto S^{\lambda}(V)$$ फ़नकार है जिसे शूर फ़नक्टर कहा जाता है। यह सममित और बाहरी पावर यों के निर्माण का सामान्यीकरण करता है:
 * $$S^{(n)}(V) = \operatorname{Sym}^n V, \,\, S^{(1, 1, \dots, 1)}(V) = \wedge^n V.$$

विशेष रूप से, जी-मॉड्यूल के रूप में, उपरोक्त इसे सरल बनाता है
 * $$V^{\otimes n} \simeq \bigoplus_{\lambda} S^{\lambda}(V)^{\oplus m_{\lambda}}$$

जहाँ $$m_\lambda = \dim M_\lambda$$. इसके अतिरिक्त, बहुलता $$m_{\lambda}$$ फ्रोबेनियस सूत्र (या हुक लंबाई सूत्र) द्वारा गणना की जा सकती है। उदाहरण के लिए $$n = 3$$, लीजिए. फिर वास्तव में तीन विभाजन हैं: $$3 = 3 = 2 + 1 = 1 + 1 + 1$$ और जैसा कि यह $$m_{(3)} = m_{(1, 1, 1)} = 1, \, m_{(2, 1)} = 2$$. का पता चला,

इसलिए
 * $$V^{\otimes 3} \simeq \operatorname{Sym}^3 V \bigoplus \wedge^3 V \bigoplus S^{(2, 1)}(V)^{\oplus 2}.$$

शूर फ़ैक्टर्स से जुड़े टेंसर उत्पाद
मान लीजिए $$S^{\lambda}$$ विभाजन $$\lambda$$. के अनुसार परिभाषित शूर फ़ैक्टर को निरूपित करें फिर निम्नलिखित अपघटन होता है:
 * $$S^{\lambda} V \otimes S^{\mu} V \simeq \bigoplus_{\nu} (S^{\nu} V)^{\oplus N_{\lambda \mu \nu}}$$

जहां गुणन $$N_{\lambda \mu \nu}$$ बहुलता है लिटिलवुड-रिचर्डसन नियम द्वारा दिए गए हैं।

परिमित-आयामी वेक्टर रिक्त स्थान V, W, शूर फ़ैक्टर्स Sλ दिए गए हैं विघटन दीजिए।
 * $$\operatorname{Sym}(W^* \otimes V) \simeq \bigoplus_{\lambda} S^{\lambda}(W^*) \otimes S^{\lambda}(V)$$

इस प्रकार से बाईं ओर की पहचान Hom(V, W) पर बहुपद फलनों के वलय से की जा सकती है| अंगूठी k[Hom(V, W)] = k[V * ⊗ W] Hom(V, W) पर बहुपद फलनों का और इसलिए उपरोक्त k[Hom(V, W)] का अपघटन भी देता है।

उत्पाद समूहों के प्रतिनिधित्व के रूप में टेंसर उत्पादों का प्रतिनिधित्व
मान लीजिए G, H दो समूह हैं और मान लीजिए $$(\pi,V)$$ और $$(\rho,W)$$ क्रमशः G और H का प्रतिनिधित्व करें। फिर हम प्रत्यक्ष प्रत्यक्ष उत्पाद समूह $$G\times H$$ दे सकते हैं टेंसर उत्पाद स्थान पर सूत्र $$V\otimes W$$ द्वारा कार्य करें
 * $$(g, h) \cdot (v \otimes w) = \pi(g) v \otimes \rho(h) w.$$

यद्यपि $$G=H$$, हम अभी भी इस निर्माण को निष्पादित कर सकते हैं, किन्तु $$G$$ दो प्रतिनिधित्व का टेंसर उत्पाद वैकल्पिक रूप से $$G\times G$$, के प्रतिनिधित्व के रूप में देखा जा सकता है $$G$$ प्रतिनिधित्व के अतिरिक्त. इसलिए यह स्पष्ट करना महत्वपूर्ण है कि क्या दो निरूपणों का टेंसर उत्पाद $$G$$ है के प्रतिनिधित्व के रूप में देखा जा रहा है $$G$$ या $$G\times G$$ के प्रतिनिधित्व के रूप में देखा जाता है.

ऊपर चर्चा की गई क्लेबश-गॉर्डन समस्या के विपरीत, उत्पाद समूह $$G\times G$$ के प्रतिनिधित्व के रूप में देखे जाने पर $$G$$ के दो अपरिवर्तनीय अभ्यावेदन का टेंसर उत्पाद अपरिवर्तनीय है।

यह भी देखें

 * दोहरा प्रतिनिधित्व
 * हर्मिट पारस्परिकता
 * क्लेबश-गॉर्डन गुणांक
 * लाई समूह प्रतिनिधित्व
 * लाई बीजगणित प्रतिनिधित्व
 * क्रोनकर प्रतिनिधित्व
 * हॉपफ बीजगणित

संदर्भ

 * Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.
 * Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.
 * Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.
 * Claudio Procesi (2007) Lie Groups: an approach through invariants and representation, Springer, ISBN 9780387260402.