प्रक्षेप्य समष्टि

गणित में, प्रक्षेप्य स्थान की अवधारणा परिप्रेक्ष्य (ग्राफिकल) के दृश्य प्रभाव से उत्पन्न हुई है, जहां समानांतर रेखाएं अनंत पर मिलती हुई प्रतीत होती हैं। इस प्रकार एक प्रक्षेप्य स्थान को यूक्लिडियन स्थान के विस्तार के रूप में देखा जा सकता है, या, अधिक सामान्यतः, अनंत पर बिंदुओं के साथ एक एफ़िन स्पेस, इस तरह से कि प्रत्येक एफ़िन स्पेस #समानांतर रेखाओं की दिशा के अनंत पर एक बिंदु होता है।

प्रक्षेप्य स्थान की इस परिभाषा में समदैशिक  न होने का नुकसान है, इसमें दो अलग-अलग प्रकार के बिंदु होते हैं, जिन्हें प्रमाणों में अलग से माना जाना चाहिए। इसलिए, आम तौर पर अन्य परिभाषाओं को प्राथमिकता दी जाती है। परिभाषाओं के दो वर्ग हैं। सिंथेटिक ज्यामिति में, बिंदु और रेखा आदिम इकाइयां हैं जो घटना संबंध से संबंधित हैं, एक बिंदु एक रेखा पर है या एक रेखा एक बिंदु से गुजरती है, जो प्रक्षेप्य ज्यामिति के सिद्धांतों के अधीन है। ऐसे कुछ स्वयंसिद्ध सेटों के लिए, परिभाषित किए गए प्रक्षेप्य स्थान निम्नलिखित परिभाषा के परिणामस्वरूप उत्पन्न होने वाले स्थानों के बराबर दिखाए गए हैं, जो आधुनिक पाठ्यपुस्तकों में अधिक बार सामने आते हैं।

रैखिक बीजगणित का उपयोग करना, आयाम का एक प्रक्षेप्य स्थान $n$ को सदिश समष्टि में सदिश रेखाओं (अर्थात आयाम एक के सदिश उपस्थान) के समुच्चय के रूप में परिभाषित किया गया है $V$ आयाम का $n + 1$. समान रूप से, यह का भागफल समुच्चय है $V \ \{0\}$ तुल्यता संबंध एक ही सदिश रेखा पर होने से। जैसे एक सदिश रेखा इकाई गोले को प्रतिच्छेद करती है $V$ दो एंटीपोडल बिंदुओं में, प्रक्षेप्य स्थानों को समान रूप से उन क्षेत्रों के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनमें एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान की जाती है। आयाम 1 का प्रक्षेप्य स्थान एक प्रक्षेप्य रेखा है, और आयाम 2 का प्रक्षेप्य स्थान एक प्रक्षेप्य तल है।

सरल कथनों और सरल प्रमाणों की अनुमति के रूप में, ज्यामिति में प्रक्षेप्य रिक्त स्थान का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, एफ़िन ज्यामिति में, एक समतल में दो अलग-अलग रेखाएँ अधिकतम एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, जबकि, प्रक्षेप्य ज्यामिति में, वे बिल्कुल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। इसके अलावा, शंकुधारी वर्गों का केवल एक ही वर्ग है, जिसे केवल अनंत पर रेखा के साथ उनके प्रतिच्छेदन द्वारा पहचाना जा सकता है: अतिशयोक्ति के लिए दो प्रतिच्छेदन बिंदु; एक परवलय के लिए, जो अनंत पर रेखा की स्पर्शरेखा है; और दीर्घवृत्त का कोई वास्तविक प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं है।

टोपोलॉजी में, और अधिक विशेष रूप से मैनिफोल्ड सिद्धांत में, प्रक्षेप्य स्थान एक मौलिक भूमिका निभाते हैं, जो गैर-उन्मुख मैनिफोल्ड के विशिष्ट उदाहरण हैं।

प्रेरणा
जैसा कि ऊपर बताया गया है, बयानों को औपचारिक बनाने के लिए प्रक्षेप्य स्थान पेश किए गए थे जैसे दो समतलीय रेखाएं बिल्कुल एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, और यदि रेखाएं समानांतर रेखाएं हैं तो यह बिंदु अनंत पर है। इस तरह के बयान परिप्रेक्ष्य (ग्राफिकल) के अध्ययन द्वारा सुझाए जाते हैं, जिसे एक विमान (ज्यामिति) पर तीन आयामी अंतरिक्ष के केंद्रीय प्रक्षेपण के रूप में माना जा सकता है (पिनहोल कैमरा मॉडल देखें)। अधिक सटीक रूप से, कैमरे या पर्यवेक्षक की आंख की प्रवेश पुतली प्रक्षेपण का केंद्र है, और छवि प्रक्षेपण तल पर बनती है।

गणितीय रूप से, प्रक्षेपण का केंद्र एक बिंदु है $O$ अंतरिक्ष का (आकृति में अक्षों का प्रतिच्छेदन); प्रक्षेपण विमान ($P2$, चित्र में नीले रंग में) एक विमान है जो वहां से नहीं गुजर रहा है $O$, जिसे अक्सर समीकरण का तल चुना जाता है $z = 1$, जब कार्तीय निर्देशांक पर विचार किया जाता है। फिर, केंद्रीय प्रक्षेपण एक बिंदु को मैप करता है $P$ लाइन के प्रतिच्छेदन तक $OP$ प्रक्षेपण तल के साथ। ऐसा प्रतिच्छेदन अस्तित्व में है यदि और केवल यदि बिंदु $P$ विमान से संबंधित नहीं है ($P1$, चित्र में हरे रंग में) जो गुजरता है $O$ और के समानांतर है $P2$.

यह इस प्रकार है कि रेखाएँ गुजरती हैं $O$ दो असंयुक्त उपसमुच्चयों में विभाजित: वे पंक्तियाँ जो समाहित नहीं हैं $P1$, जो के बिंदुओं के साथ एक से एक पत्राचार में हैं $P2$, और जो इसमें शामिल हैं $P1$, जो समानांतर रेखाओं की दिशाओं के साथ एक से एक पत्राचार में हैं $P2$. यह प्रक्षेप्य तल के बिंदुओं (स्पष्टता के लिए यहां प्रक्षेप्य बिंदु कहा जाता है) को गुजरने वाली रेखाओं के रूप में परिभाषित करने का सुझाव देता है $O$. इस तल में एक प्रक्षेप्य रेखा में गुजरने वाले तल में निहित सभी प्रक्षेप्य बिंदु (जो रेखाएँ हैं) शामिल होते हैं $O$. जैसे कि गुजरने वाले दो विमानों का प्रतिच्छेदन $O$ एक रेखा है जो गुजरती है $O$, दो अलग-अलग प्रक्षेप्य रेखाओं के प्रतिच्छेदन में एक एकल प्रक्षेप्य बिंदु होता है। विमान $P1$ एक प्रक्षेप्य रेखा को परिभाषित करता है जिसे अनंत पर रेखा कहा जाता है $P2$. के प्रत्येक बिंदु को पहचान कर $P2$ संगत प्रक्षेप्य बिंदु के साथ, कोई इस प्रकार कह सकता है कि प्रक्षेप्य तल का असंयुक्त संघ है $P2$ और अनंत पर (प्रक्षेप्य) रेखा।

एक विशिष्ट बिंदु के साथ एक संबद्ध स्थान के रूप में $O$ को इसके संबद्ध सदिश समष्टि से पहचाना जा सकता है (देखें)। ), पूर्ववर्ती निर्माण आम तौर पर एक वेक्टर स्थान से शुरू करके किया जाता है और इसे प्रक्षेपीकरण कहा जाता है। इसके अलावा, निर्माण किसी भी सकारात्मक आयाम के वेक्टर स्थान से शुरू करके किया जा सकता है।

तो, आयाम का एक प्रक्षेप्य स्थान $n$ को आयाम के वेक्टर स्थान में वेक्टर रेखाओं (आयाम एक के वेक्टर उपस्थान) के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $n + 1$. एक प्रक्षेप्य स्थान को किसी भी सेट के तत्वों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है जो वेक्टर रेखाओं के इस सेट के साथ प्राकृतिक पत्राचार में है।

यह सेट एक वेक्टर द्वारा परिभाषित वैक्टर के बीच तुल्यता संबंध के तहत तुल्यता वर्गों का सेट हो सकता है जो एक गैर-शून्य स्केलर द्वारा दूसरे का उत्पाद है। दूसरे शब्दों में, यह एक प्रक्षेप्य स्थान को वेक्टर रेखाओं के सेट के रूप में परिभाषित करने के बराबर है जिसमें शून्य वेक्टर हटा दिया गया है।

तीसरी समतुल्य परिभाषा आयाम के प्रक्षेप्य स्थान को परिभाषित करना है $n$ आयाम के एक क्षेत्र में एंटीपोडल बिंदुओं के जोड़े के सेट के रूप में $n$ (आयाम के स्थान में $n + 1$).

परिभाषा
एक सदिश स्थान दिया गया है $V$ एक क्षेत्र पर (गणित) $K$, प्रक्षेप्य स्थान $P(V)$ तुल्यता वर्गों का समुच्चय है $V \ \{0\}$ तुल्यता संबंध के तहत $~$ द्वारा परिभाषित $x ~ y$ यदि कोई शून्येतर तत्व है $λ$ का $K$ ऐसा है कि $x = λy$. अगर $V$ एक टोपोलॉजिकल वेक्टर स्पेस, भागफल स्पेस है $P(V)$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, जो सबस्पेस टोपोलॉजी के भागफल टोपोलॉजी से संपन्न है $V \ \{0\}$. ये तो तब की बात है जब $K$ फ़ील्ड है $$\mathbb R$$ वास्तविक संख्याओं या फ़ील्ड का $$\mathbb C$$ सम्मिश्र संख्याओं का. अगर $V$ परिमित आयामी है, का आयाम $P(V)$ का आयाम है $V$ शून्य से एक कम।

सामान्य मामले में जहां $V = Kn+1$, प्रक्षेप्य स्थान $P(V)$ दर्शाया गया है $Pn(K)$ (साथ ही $KPn$ या $Pn(K)$, हालांकि यह संकेतन घातांक के साथ भ्रमित हो सकता है)। अंतरिक्ष $Pn(K)$ को अक्सर आयाम का प्रक्षेप्य स्थान कहा जाता है $n$ ऊपर $K$, या प्रक्षेप्य $n$-स्पेस, चूंकि आयाम के सभी प्रक्षेप्य स्थान $n$ इसमें समरूपता है (क्योंकि प्रत्येक $K$ आयाम का सदिश स्थान $n + 1$ समरूपी है $Kn+1$).

प्रक्षेप्य स्थान के तत्व $P(V)$ को सामान्यतः बिंदु (ज्यामिति) कहा जाता है। यदि एक आधार (वेक्टर स्थान)। $V$ को चुना गया है, और, विशेष रूप से यदि $V = Kn+1$, किसी बिंदु P के प्रक्षेप्य निर्देशांक संगत तुल्यता वर्ग के किसी भी तत्व के आधार पर निर्देशांक होते हैं। ये निर्देशांक आमतौर पर दर्शाए जाते हैं $[x_{0} : ... : x_{n}]$, कोलन और ब्रैकेट का उपयोग सामान्य निर्देशांक से अलग करने के लिए किया जा रहा है, और इस बात पर जोर दिया जा रहा है कि यह एक समतुल्य वर्ग है, जिसे एक गैर शून्य स्थिरांक द्वारा गुणा तक परिभाषित किया गया है। अर्थात यदि $[x_{0} : ... : x_{n}]$ तो, एक बिंदु के प्रक्षेप्य निर्देशांक हैं $[λx_{0} : ... : λx_{n}]$ किसी भी अशून्य के लिए, उसी बिंदु के प्रक्षेप्य निर्देशांक भी हैं $λ$ में $K$. साथ ही, उपरोक्त परिभाषा का तात्पर्य यह है $[x_{0} : ... : x_{n}]$ किसी बिंदु के प्रक्षेप्य निर्देशांक हैं यदि और केवल यदि कम से कम एक निर्देशांक शून्येतर है।

अगर $K$ वास्तविक या जटिल संख्याओं का क्षेत्र है, एक प्रक्षेप्य स्थान को क्रमशः वास्तविक प्रक्षेप्य स्थान या एक जटिल प्रक्षेप्य स्थान कहा जाता है। अगर $n$ एक या दो है, आयाम का एक प्रक्षेप्य स्थान $n$ को क्रमशः प्रक्षेप्य रेखा या प्रक्षेप्य तल कहा जाता है। जटिल प्रक्षेप्य रेखा को रीमैन क्षेत्र भी कहा जाता है।

ये सभी परिभाषाएँ स्वाभाविक रूप से उस मामले तक विस्तारित हैं जहाँ $K$ एक विभाजन वलय है; उदाहरण के लिए, क्वाटरनियोनिक प्रक्षेप्य स्थान देखें। संकेतन $PG(n, K)$ का प्रयोग कभी-कभी किया जाता है $Pn(K)$. अगर $K$ एक परिमित क्षेत्र है $q$तत्व, $Pn(K)$ को अक्सर दर्शाया जाता है $PG(n, q)$ (पीजी(3,2) देखें)।

उपस्थान
होने देना $P(V)$ एक प्रक्षेप्य स्थान बनें, जहां $V$ एक क्षेत्र के ऊपर एक सदिश समष्टि है $K$, और $$p:V\to \mathbf P(V)$$ वह विहित मानचित्र हो जो एक गैर-शून्य वेक्टर को उसके समतुल्य वर्ग में मैप करता है, जो कि वेक्टर रेखा है $p$शून्य वेक्टर हटा दिया गया है।

प्रत्येक रैखिक उपस्थान $W$ का $V$ रेखाओं का एक संघ है. यह इस प्रकार है कि $p(W)$ एक प्रक्षेप्य स्थान है, जिससे पहचाना जा सकता है $P(W)$.

एक प्रक्षेप्य उपस्थान इस प्रकार एक प्रक्षेप्य स्थान है जो एक रैखिक उपस्थान तक सीमित करके प्राप्त किया जाता है जो तुल्यता संबंध को परिभाषित करता है $P(V)$.

अगर $p(v)$ और $p(w)$ के दो अलग-अलग बिंदु हैं $P(V)$, वैक्टर $v$ और $w$ रैखिक रूप से स्वतंत्र हैं। यह इस प्रकार है कि:
 * बिल्कुल एक प्रक्षेप्य रेखा है जो दो अलग-अलग बिंदुओं से होकर गुजरती है $P(V)$, और
 * का एक उपसमुच्चय $P(V)$ एक प्रक्षेप्य उपस्थान है यदि और केवल यदि, किन्हीं दो अलग-अलग बिंदुओं को देखते हुए, इसमें इन बिंदुओं से गुजरने वाली पूरी प्रक्षेप्य रेखा शामिल हो।

सिंथेटिक ज्यामिति में, जहां प्रक्षेप्य रेखाएं आदिम वस्तुएं हैं, पहली संपत्ति एक स्वयंसिद्ध है, और दूसरी एक प्रक्षेप्य उप-स्थान की परिभाषा है।

विस्तार
प्रक्षेप्य उपस्थानों का प्रत्येक सेट प्रतिच्छेदन एक प्रक्षेप्य उपस्थान है। यह प्रत्येक उपसमुच्चय के लिए इसका अनुसरण करता है $S$ एक प्रक्षेप्य स्थान में, एक सबसे छोटा प्रक्षेप्य उपस्थान होता है $S$, युक्त सभी प्रक्षेप्य उप-स्थानों का प्रतिच्छेदन $S$. इस प्रक्षेप्य उपस्थान को प्रक्षेप्य विस्तार कहा जाता है $S$, और $S$ इसके लिए एक स्पैनिंग सेट है।

एक सेट $S$ बिंदुओं का विस्तार प्रक्षेप्य रूप से स्वतंत्र है यदि इसका विस्तार किसी उचित उपसमुच्चय का विस्तार नहीं है $S$. अगर $S$ एक प्रक्षेप्य स्थान का फैला हुआ सेट है $P$, तो इसका एक उपसमुच्चय है $S$ वह फैला हुआ है $P$ और प्रक्षेप्य रूप से स्वतंत्र है (यह वेक्टर रिक्त स्थान के लिए समान प्रमेय का परिणाम है)। यदि का आयाम $P$ है $n$, ऐसा एक स्वतंत्र स्पैनिंग सेट है $n + 1$तत्व.

वेक्टर स्पेस और एफ़िन स्पेस के मामलों के विपरीत, एक स्वतंत्र स्पैनिंग सेट निर्देशांक को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त नहीं है। एक और बिंदु की आवश्यकता है, अगला भाग देखें।

फ़्रेम
एक प्रक्षेप्य फ़्रेम एक प्रक्षेप्य स्थान में बिंदुओं का एक क्रमबद्ध सेट है जो निर्देशांक को परिभाषित करने की अनुमति देता है। अधिक सटीक रूप से, ए में $n$-आयामी प्रक्षेप्य स्थान, एक प्रक्षेप्य फ़्रेम का एक टपल है $n + 2$ अंक ऐसे कि कोई भी $n + 1$ उनमें से स्वतंत्र हैं—अर्थात् हाइपरप्लेन में समाहित नहीं हैं।

अगर $V$ एक है $(n + 1)$-आयामी सदिश समष्टि, और $p$ से विहित प्रक्षेपण है $V$ को $P(V)$, तब $$(p(e_0),\dots, p(e_{n+1}))$$ एक प्रक्षेप्य फ्रेम है यदि और केवल यदि $$(e_0, \dots, e_n)$$ का आधार है $V$, और के गुणांक $$e_{n+1}$$ इस आधार पर सभी अशून्य हैं। पहले को पुनः स्केल करके $n$ वैक्टर, किसी भी फ्रेम को फिर से लिखा जा सकता है $$(p(e'_0),\dots, p(e'_{n+1}))$$ ऐसा है कि $$e'_{n+1} = e'_0 + \dots + e'_n;$$ यह निरूपण सभी के गुणन तक अद्वितीय है $$e'_i$$ एक सामान्य अशून्य कारक के साथ।

किसी बिंदु के प्रक्षेप्य निर्देशांक या सजातीय निर्देशांक $p(v)$ एक फ्रेम पर $$(p(e_0),\dots, p(e_{n+1}))$$ साथ $$e_{n+1}=e_0+\dots+ e_n$$ के निर्देशांक हैं $v$ आधार पर $$(e_0, \dots, e_n).$$ उन्हें फिर से केवल एक सामान्य गैर-शून्य कारक के साथ स्केलिंग तक परिभाषित किया गया है।

प्रक्षेप्य स्थान का विहित ढाँचा $Pn(K)$ द्वारा छवियां शामिल हैं $p$ विहित आधार के तत्वों का $Kn + 1$ (केवल एक गैर-शून्य प्रविष्टि वाले टुपल्स, 1 के बराबर), और छवि द्वारा $p$ उनके योग का.

टोपोलॉजी
एक प्रोजेक्टिव स्पेस एक टोपोलॉजिकल स्पेस है, जो एक परिमित आयामी वास्तविक वेक्टर स्पेस की टोपोलॉजी के भागफल टोपोलॉजी से संपन्न है।

होने देना $S$ एक मानक सदिश समष्टि में इकाई क्षेत्र बनें $V$, और फ़ंक्शन पर विचार करें $$\pi: S \to \mathbf P(V)$$ जो एक बिंदु को मैप करता है $S$ इससे होकर गुजरने वाली सदिश रेखा तक। यह फ़ंक्शन सतत और विशेषणात्मक है. के प्रत्येक बिन्दु का व्युत्क्रम प्रतिबिम्ब $P(V)$ दो एंटीपोडल बिंदुओं से मिलकर बनता है। चूंकि गोले सघन स्थान हैं, इसलिए यह इस प्रकार है:

हर बिंदु के लिए $P$ का $S$, का प्रतिबंध $\pi$के एक पड़ोस में $P$ इसकी छवि पर एक होमियोमोर्फिज्म है, बशर्ते कि पड़ोस इतना छोटा हो कि इसमें एंटीपोडल बिंदुओं की कोई जोड़ी न हो। इससे पता चलता है कि एक प्रक्षेप्य स्थान अनेक गुना है। एक सरल एटलस (टोपोलॉजी) निम्नानुसार प्रदान किया जा सकता है।

जैसे ही इसके लिए आधार चुना गया $V$, किसी भी वेक्टर को उसके निर्देशांक के आधार पर, और किसी भी बिंदु से पहचाना जा सकता है $P(V)$ को इसके सजातीय निर्देशांक से पहचाना जा सकता है। के लिए $i = 0, ..., n$, सेट $$U_i = \{[x_0:\cdots: x_n], x_i \neq 0\}$$ का एक खुला उपसमुच्चय है $P(V)$, और $$\mathbf P(V) = \bigcup_{i=0}^n U_i$$ के हर बिंदु से $P(V)$ में कम से कम एक अशून्य निर्देशांक है।

प्रत्येक के लिए $Ui$ एक चार्ट (टोपोलॉजी) से जुड़ा है, जो होमोमोर्फिज्म है $$\begin{align} \mathbb \varphi_i: R^n &\to U_i\\ (y_0,\dots,\widehat{y_i},\dots y_n)&\mapsto [y_0:\cdots:y_{i-1}:1:y_{i+1}:\cdots:y_n], \end{align}$$ ऐसा है कि $$\varphi_i^{-1}\left([x_0:\cdots x_n]\right) =\left (\frac{x_0}{x_i}, \dots, \widehat{\frac{x_i}{x_i}}, \dots, \frac{x_n}{x_i} \right ),$$ जहां टोपी का मतलब है कि संबंधित शब्द गायब है। ये चार्ट एक एटलस (टोपोलॉजी) बनाते हैं, और, चूंकि संक्रमण मानचित्र विश्लेषणात्मक कार्य हैं, इसका परिणाम यह होता है कि प्रक्षेप्य स्थान विश्लेषणात्मक मैनिफोल्ड हैं।

उदाहरण के लिए, के मामले में $n = 1$, वह एक प्रक्षेप्य रेखा है, केवल दो हैं $Ui$, जिनमें से प्रत्येक को वास्तविक लाइन की एक प्रति के रूप में पहचाना जा सकता है। दोनों पंक्तियों में, दो चार्टों का प्रतिच्छेदन गैर-शून्य वास्तविक संख्याओं का सेट है, और संक्रमण मानचित्र है $$x\mapsto \frac 1 x$$ दोनों दिशाओं में. छवि प्रक्षेप्य रेखा को एक वृत्त के रूप में दर्शाती है जहां एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान की जाती है, और प्रक्षेप्य रेखा के लिए एक वास्तविक रेखा की दो होमोमोर्फिज्म दिखाती है; जैसे ही एंटीपोडल बिंदुओं की पहचान की जाती है, प्रत्येक पंक्ति की छवि को एक खुले आधे वृत्त के रूप में दर्शाया जाता है, जिसे एक बिंदु को हटाकर प्रक्षेप्य रेखा से पहचाना जा सकता है।

सीडब्ल्यू जटिल संरचना
वास्तविक प्रक्षेप्य स्थानों में एक सरल सीडब्ल्यू जटिल संरचना होती है $P^{n}(R)$ से प्राप्त किया जा सकता है $P^{n − 1}(R)$ एक संलग्न करके $n$-भागफल प्रक्षेपण के साथ सेल $S^{n−1} → P^{n−1}(R)$ संलग्न मानचित्र के रूप में।

बीजगणितीय ज्यामिति
मूल रूप से, बीजगणितीय ज्यामिति बहुभिन्नरूपी बहुपदों के सेट के सामान्य शून्य का अध्ययन था। ये सामान्य शून्य, जिन्हें बीजगणितीय किस्में कहा जाता है, एक एफ़िन स्पेस से संबंधित हैं। जल्द ही यह सामने आया कि वास्तविक गुणांकों के मामले में, सटीक परिणाम प्राप्त करने के लिए सभी जटिल शून्यों पर विचार करना चाहिए। उदाहरण के लिए, बीजगणित का मौलिक प्रमेय दावा करता है कि डिग्री का एक अविभाज्य वर्ग-मुक्त बहुपद $n$ बिलकुल है $n$ जटिल जड़ें. बहुभिन्नरूपी मामले में, जटिल शून्य पर विचार करना भी आवश्यक है, लेकिन पर्याप्त नहीं: किसी को अनंत पर शून्य पर भी विचार करना चाहिए। उदाहरण के लिए, बेज़ाउट का प्रमेय दावा करता है कि संबंधित डिग्री के दो समतल बीजगणितीय वक्रों का प्रतिच्छेदन $d$ और $e$ बिल्कुल शामिल है $de$ अंक यदि कोई प्रक्षेप्य तल में जटिल बिंदुओं पर विचार करता है, और यदि कोई बिंदुओं को उनकी बहुलता के साथ गिनता है। एक अन्य उदाहरण जीनस-डिग्री फॉर्मूला है जो जटिल प्रक्षेप्य विमान में एक वक्र के एकवचन बिंदु से एक समतल बीजगणितीय वक्र के जीनस की गणना करने की अनुमति देता है।

तो एक प्रक्षेप्य विविधता एक प्रक्षेप्य स्थान में बिंदुओं का समूह है, जिसके सजातीय निर्देशांक सजातीय बहुपदों के एक सेट के सामान्य शून्य होते हैं।

किसी भी एफ़िन किस्म को अनंत पर अपने बिंदुओं को जोड़कर, एक अनूठे तरीके से, एक प्रक्षेप्य किस्म में पूरा किया जा सकता है, जिसमें एक बहुपद को परिभाषित करने वाले बहुपद का समरूपीकरण होता है, और अनंत पर हाइपरप्लेन में निहित घटकों को संतृप्ति द्वारा हटा दिया जाता है ( क्रमविनिमेय बीजगणित) समरूपीकरण चर के संबंध में।

प्रक्षेप्य रिक्त स्थान और प्रक्षेप्य किस्मों की एक महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि बीजगणितीय किस्मों के रूपवाद के तहत एक प्रक्षेप्य विविधता की छवि ज़ारिस्की टोपोलॉजी के लिए बंद है (अर्थात, यह एक बीजगणितीय सेट है)। यह वास्तविक और जटिल प्रक्षेप्य स्थान की सघनता के प्रत्येक जमीनी क्षेत्र का सामान्यीकरण है।

एक प्रक्षेप्य स्थान स्वयं एक प्रक्षेप्य विविधता है, जो शून्य बहुपद के शून्यों का समुच्चय है।

योजना सिद्धांत
20वीं शताब्दी के उत्तरार्ध के दौरान अलेक्जेंडर ग्रोथेंडिक द्वारा प्रस्तुत योजना सिद्धांत, बीजीय किस्मों के सामान्यीकरण को परिभाषित करने की अनुमति देता है, जिसे स्कीम (गणित) कहा जाता है, छोटे टुकड़ों को एक साथ जोड़कर, जिन्हें एफ़िन योजनाएं  कहा जाता है, उसी तरह जैसे खुले सेटों को एक साथ जोड़कर कई गुना बनाया जा सकता है। $$\R^n.$$ प्रोज निर्माण एक प्रक्षेप्य स्थान की योजना का निर्माण है, और, आमतौर पर किसी भी प्रक्षेप्य किस्म का, एफ़िन योजनाओं को एक साथ जोड़कर। प्रोजेक्टिव स्पेस के मामले में, कोई इन एफाइन योजनाओं के लिए प्रोजेक्टिव स्पेस के उपरोक्त विवरण के चार्ट (एफाइन स्पेस) से जुड़ी एफाइन योजनाओं को कई गुना के रूप में ले सकता है।

सिंथेटिक ज्यामिति
सिंथेटिक ज्यामिति में, एक प्रक्षेप्य स्थान एस को स्वयंसिद्ध रूप से एक सेट पी (बिंदुओं का सेट) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, साथ में पी (द) के उपसमुच्चय के एक सेट एल के साथ पंक्तियों का सेट), इन सिद्धांतों को संतुष्ट करता है:
 * प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदु p और q बिल्कुल एक पंक्ति में हैं।
 * ओसवाल्ड वेब्लेन का स्वयंसिद्ध कथन: यदि ए, बी, सी, डी अलग-अलग बिंदु हैं और एबी और सीडी से होकर जाने वाली रेखाएं मिलती हैं, तो एसी और बीडी से गुजरने वाली रेखाएं भी मिलती हैं।
 * किसी भी रेखा पर कम से कम 3 बिंदु होते हैं।

अंतिम अभिगृहीत कम करने योग्य मामलों को समाप्त कर देता है जिन्हें अलग-अलग प्रक्षेप्य स्थानों में किन्हीं दो बिंदुओं को जोड़ने वाली 2-बिंदु रेखाओं के साथ प्रक्षेप्य स्थानों के असंयुक्त संघ के रूप में लिखा जा सकता है। अधिक संक्षेप में, इसे एक घटना संरचना के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $(P, L, I)$ जिसमें बिंदुओं का एक सेट P, रेखाओं का एक सेट L और एक घटना संबंध I शामिल है जो बताता है कि कौन से बिंदु किन रेखाओं पर स्थित हैं।

इन सिद्धांतों द्वारा परिभाषित संरचनाएं ऊपर दिए गए वेक्टर अंतरिक्ष निर्माण से प्राप्त संरचनाओं की तुलना में अधिक सामान्य हैं। यदि (प्रोजेक्टिव) आयाम कम से कम तीन है, तो वेब्लेन-यंग प्रमेय के अनुसार, कोई अंतर नहीं है। हालाँकि, आयाम दो के लिए, ऐसे उदाहरण हैं जो इन सिद्धांतों को संतुष्ट करते हैं जिनका निर्माण वेक्टर रिक्त स्थान (या यहां तक ​​कि विभाजन के छल्ले पर मॉड्यूल) से नहीं किया जा सकता है। ये उदाहरण डेसार्गेस के प्रमेय को संतुष्ट नहीं करते हैं और इन्हें गैर-डेसार्गेसियन विमानों के रूप में जाना जाता है। आयाम एक में, कम से कम तीन तत्वों वाला कोई भी सेट स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है, इसलिए स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित प्रक्षेप्य रेखाओं के लिए अतिरिक्त संरचना ग्रहण करना सामान्य है। प्रक्षेप्य स्थान को परिभाषित करने वाले सिद्धांतों को जोड़कर या संशोधित करके कम आयामों में परेशानी वाले मामलों से बचना संभव है। बैचमैन के कारण ऐसा विस्तार देता है। यह सुनिश्चित करने के लिए कि आयाम कम से कम दो है, उपरोक्त तीन बिंदु प्रति पंक्ति अभिगृहीत को प्रतिस्थापित करें; गैर-डेसार्गेसियन विमानों से बचने के लिए, एक स्वयंसिद्ध के रूप में पप्पस के षट्भुज प्रमेय|पप्पस के प्रमेय को शामिल करें; और, यह सुनिश्चित करने के लिए कि वेक्टर स्पेस को एक ऐसे क्षेत्र पर परिभाषित किया गया है जिसमें विशेषता (फ़ील्ड) भी नहीं है जिसमें फ़ानो का स्वयंसिद्ध शामिल है;
 * चार बिंदु मौजूद हैं, जिनमें से कोई भी तीन संरेख नहीं हैं।
 * यदि किसी षट्भुज के छह शीर्ष बारी-बारी से दो रेखाओं पर स्थित हों, तो विपरीत भुजाओं के युग्मों के तीन प्रतिच्छेदन बिंदु संरेख होते हैं।
 * पूर्ण चतुर्भुज के तीन विकर्ण बिंदु कभी भी संरेख नहीं होते।

प्रक्षेप्य स्थान का एक उप-स्थान एक उपसमुच्चय X है, जैसे कि X के दो बिंदुओं वाली कोई भी रेखा X का उपसमुच्चय है (अर्थात, X में पूरी तरह से समाहित है) ). पूर्ण स्थान और रिक्त स्थान सदैव उपस्थान होते हैं।

अंतरिक्ष के ज्यामितीय आयाम को एन कहा जाता है यदि वह सबसे बड़ी संख्या है जिसके लिए इस रूप के उप-स्थानों की सख्ती से आरोही श्रृंखला है: $$\varnothing = X_{-1}\subset X_{0}\subset \cdots X_{n}=P.$$ एक उपस्थान $$X_i$$ ऐसी श्रृंखला में (ज्यामितीय) आयाम कहा जाता है $$i$$. आयाम 0 के उप-स्थानों को बिंदु कहा जाता है, आयाम 1 के उप-स्थानों को रेखाएँ कहा जाता है, इत्यादि। यदि पूर्ण स्थान का आयाम है $$n$$ फिर आयाम का कोई उपस्थान $$n-1$$ हाइपरप्लेन कहा जाता है.

प्रक्षेप्य स्थान जाली (आदेश) सिद्धांत के संदर्भ में एक समतुल्य सूत्रीकरण स्वीकार करते हैं। प्रोजेक्टिव स्पेस और जियो मॉड्यूलर जाली के बीच एक विशेषण पत्राचार है, अर्थात्, उप-प्रत्यक्ष रूप से इरेड्यूसिबल, कॉम्पैक्ट तत्व, पूरक जाली, मॉड्यूलर लैटिस।

वर्गीकरण

 * आयाम 0 (कोई रेखा नहीं): स्थान एक एकल बिंदु है।
 * आयाम 1 (बिल्कुल एक रेखा): सभी बिंदु अद्वितीय रेखा पर स्थित हैं।
 * आयाम 2: कम से कम 2 रेखाएँ हैं, और कोई भी दो रेखाएँ मिलती हैं। के लिए एक प्रक्षेप्य स्थान $n = 2$ एक प्रक्षेप्य तल के समतुल्य है। इन्हें वर्गीकृत करना बहुत कठिन है, क्योंकि इनमें से सभी एक के साथ समरूपी नहीं हैं $PG(d, K)$. देसार्गुएसियन विमान (वे जो एक के साथ समरूपी हैं $PG(2, K))$ डेसार्गेस के प्रमेय को संतुष्ट करते हैं और विभाजन के छल्ले पर प्रक्षेप्य विमान हैं, लेकिन कई गैर-डेसार्गेसियन विमान भी हैं।
 * आयाम कम से कम 3: दो गैर-प्रतिच्छेदी रेखाएँ मौजूद हैं। वेब्लेन-यंग प्रमेय को इस प्रभाव से सिद्ध किया कि आयाम का प्रत्येक प्रक्षेप्य स्थान $n ≥ 3$ a के साथ समरूपी है $PG(n, K)$, कुछ डिवीजन रिंग K पर एन-आयामी प्रक्षेप्य स्थान।

परिमित प्रक्षेप्य स्थान और तल
एक परिमित प्रक्षेप्य स्थान एक प्रक्षेप्य स्थान है जहाँ P बिंदुओं का एक सीमित समूह है। किसी भी परिमित प्रक्षेप्य स्थान में, प्रत्येक पंक्ति में समान संख्या में बिंदु होते हैं और स्थान के क्रम को इस सामान्य संख्या से एक कम के रूप में परिभाषित किया जाता है। कम से कम तीन आयामों के परिमित प्रक्षेप्य स्थानों के लिए, वेडरबर्न के छोटे प्रमेय | वेडरबर्न के प्रमेय का तात्पर्य है कि विभाजन रिंग जिस पर प्रक्षेप्य स्थान को परिभाषित किया गया है, एक परिमित क्षेत्र, जीएफ (क्यू) होना चाहिए, जिसका क्रम (अर्थात, तत्वों की संख्या) है q (एक प्रमुख शक्ति)। ऐसे परिमित क्षेत्र पर परिभाषित एक परिमित प्रक्षेप्य स्थान है $q + 1$ एक रेखा पर बिंदु, इसलिए क्रम की दो अवधारणाएँ मेल खाती हैं। सांकेतिक रूप से, $PG(n, GF(q))$ आमतौर पर इस प्रकार लिखा जाता है $PG(n, q)$.

एक ही क्रम के सभी परिमित क्षेत्र समरूपी होते हैं, इसलिए, समरूपता तक, किसी दिए गए परिमित क्षेत्र पर तीन से अधिक या उसके बराबर प्रत्येक आयाम के लिए केवल एक परिमित प्रक्षेप्य स्थान होता है। हालाँकि, आयाम दो में गैर-डेसार्गेसियन विमान हैं। समरूपता तक हैं

क्रमशः 2, 3, 4, ..., 10 क्रम के परिमित प्रक्षेप्य तल। इससे आगे की संख्याओं की गणना करना बहुत कठिन है और ब्रुक-राइसर-चौला प्रमेय|ब्रुक-राइसर प्रमेय के कारण कुछ शून्य मानों को छोड़कर निर्धारित नहीं किया जाता है।

सबसे छोटा प्रक्षेप्य विमान फ़ानो विमान है, $PG(2, 2)$ 7 बिंदुओं और 7 रेखाओं के साथ। सबसे छोटा 3-आयामी प्रक्षेप्य स्थान PG(3,2) है, जिसमें 15 बिंदु, 35 रेखाएँ और 15 तल हैं।

रूपवाद
विशेषण रेखीय मानचित्र $T ∈ L(V, W)$ एक ही फ़ील्ड k पर दो वेक्टर स्पेस V और W के बीच संबंधित प्रोजेक्टिव स्पेस की मैपिंग प्रेरित करें $P(V) → P(W)$ के जरिए:

जहां v, V का एक गैर-शून्य तत्व है और [...] संबंधित प्रक्षेप्य स्थानों की परिभाषित पहचान के तहत एक वेक्टर के समतुल्य वर्गों को दर्शाता है। चूँकि तुल्यता वर्ग के सदस्य एक अदिश कारक से भिन्न होते हैं, और रैखिक मानचित्र अदिश कारकों को संरक्षित करते हैं, इसलिए यह प्रेरित मानचित्र अच्छी तरह से परिभाषित है। (यदि T इंजेक्शन नहीं है, तो इसका शून्य स्थान {0} से बड़ा है; इस मामले में T(v) के वर्ग का अर्थ समस्याग्रस्त है यदि v गैर-शून्य है और शून्य स्थान में है। इस मामले में कोई प्राप्त करता है एक तथाकथित तर्कसंगत मानचित्र, द्विवार्षिक ज्यामिति भी देखें।)

दो रेखीय मानचित्र S और T $[v] → [T(v)]$ P(V) और P(W) के बीच समान मानचित्र उत्पन्न करें यदि और केवल यदि वे एक अदिश गुणक से भिन्न हों, अर्थात यदि $L(V, W)$ कुछ के लिए $T = λS$. इस प्रकार यदि कोई अंतर्निहित फ़ील्ड K के साथ पहचान फ़ंक्शन के अदिश गुणकों की पहचान करता है, तो 'P'(V) से 'P'(W) तक K-रैखिक आकारिकी का सेट बस है $λ ≠ 0$.

स्वचालितता $P(L(V, W))$ को अधिक ठोस रूप से वर्णित किया जा सकता है। (हम केवल आधार क्षेत्र K को संरक्षित करने वाले ऑटोमोर्फिज्म से निपटते हैं)। पर्याप्त लाइन बंडल की धारणा का उपयोग करके, यह दिखाया जा सकता है कि कोई भी बीजगणितीय (जरूरी नहीं कि रैखिक) ऑटोमोर्फिज्म रैखिक होना चाहिए, यानी, वेक्टर स्पेस वी के (रैखिक) ऑटोमोर्फिज्म से आ रहा है। बाद वाला समूह (गणित) सामान्य रैखिक बनाता है समूह|जीएल(वी). एक अदिश राशि से भिन्न मानचित्रों की पहचान करके, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है

जीएल (वी) मॉड्यूलो का भागफल समूह वे आव्यूह हैं जो पहचान के अदिश गुणज हैं। (ये मैट्रिक्स ऑट (वी) के समूह का केंद्र बनाते हैं।) समूह पीजीएल को प्रक्षेप्य रैखिक समूह कहा जाता है। जटिल प्रक्षेप्य रेखा 'पी' की ऑटोमोर्फिज्म1(C) को मोबियस परिवर्तन कहा जाता है।

दोहरी प्रक्षेप्य स्थान
जब उपरोक्त निर्माण को दोहरे स्थान V पर लागू किया जाता है∗ V के बजाय, व्यक्ति को दोहरा प्रक्षेप्य स्थान प्राप्त होता है, जिसे V की उत्पत्ति के माध्यम से हाइपरप्लेन के स्थान के साथ विहित रूप से पहचाना जा सकता है। अर्थात, यदि V n आयामी है, तो 'P'(V)∗) का ग्रासमैनियन है $P(V) → P(V)$ वी में विमान।

बीजगणितीय ज्यामिति में, यह निर्माण प्रक्षेप्य बंडलों के निर्माण में अधिक लचीलेपन की अनुमति देता है। कोई भी स्थानीय रूप से मुक्त ही नहीं, बल्कि एक योजना Y पर प्रत्येक अर्ध-सुसंगत शीफ E के लिए एक प्रक्षेप्य स्थान को जोड़ने में सक्षम होना चाहेगा। बीजगणितीय ज्यामिति के तत्व देखेंII, बच्चू। द्वितीय, बराबर. अधिक जानकारी के लिए 4.

सामान्यीकरण

 * आयाम: प्रक्षेप्य स्थान, किसी दिए गए सदिश स्थान V के सभी एक-आयामी रैखिक उप-स्थानों का स्थान होने के नाते, ग्रासमैनियन मैनिफोल्ड के लिए सामान्यीकृत है, जो V के उच्च-आयामी उप-स्थानों (कुछ निश्चित आयामों) को पैरामीट्रिज़ कर रहा है।
 * उप-स्थानों का क्रम: अधिक सामान्यतः ध्वज अनेक गुना झंडों का स्थान है, अर्थात, V के रैखिक उप-स्थानों की श्रृंखलाएँ।
 * अन्य उप-किस्में: और भी सामान्यतः, मॉड्यूलि स्पेस किसी दिए गए प्रकार के अण्डाकार वक्र जैसी वस्तुओं को पैरामीरिज करता है।
 * अन्य वलय: साहचर्य वलय (गणित) का सामान्यीकरण (केवल फ़ील्ड के बजाय) उत्पन्न होता है, उदाहरण के लिए, एक वलय के ऊपर प्रक्षेप्य रेखा।
 * पैचिंग: प्रोजेक्टिव स्पेस को एक साथ पैच करने से प्रक्षेप्य अंतरिक्ष बंडल मिलते हैं।

सेवेरी-ब्राउर किस्म|सेवेरी-ब्राउर किस्में एक क्षेत्र k पर बीजगणितीय किस्में हैं, जो आधार क्षेत्र k के विस्तार के बाद प्रक्षेप्य स्थानों के लिए समरूपी हो जाती हैं।

प्रक्षेप्य स्थानों का एक और सामान्यीकरण भारित प्रक्षेप्य स्थान है; ये स्वयं टॉरिक किस्म के विशेष मामले हैं।

यह भी देखें

 * ज्यामितीय बीजगणित


 * सामान्यीकरण
 * ग्रासमैनियन मैनिफोल्ड
 * रिंग के ऊपर प्रक्षेप्य रेखा
 * अंतरिक्ष (गणित)


 * प्रोजेक्टिव ज्यामिति
 * प्रक्षेपी परिवर्तन
 * प्रक्षेपी प्रतिनिधित्व

संदर्भ

 * Greenberg, M.J.; Euclidean and non-Euclidean geometries, 2nd ed. Freeman (1980).
 * , esp. chapters I.2, I.7, II.5, and II.7
 * Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S.; Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea (1999).
 * (Reprint of 1910 edition)
 * Greenberg, M.J.; Euclidean and non-Euclidean geometries, 2nd ed. Freeman (1980).
 * , esp. chapters I.2, I.7, II.5, and II.7
 * Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S.; Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea (1999).
 * (Reprint of 1910 edition)
 * Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S.; Geometry and the imagination, 2nd ed. Chelsea (1999).
 * (Reprint of 1910 edition)
 * (Reprint of 1910 edition)

बाहरी संबंध

 * Projective Planes of Small Order
 * Projective Planes of Small Order
 * Projective Planes of Small Order