फजी लॉजिक

फ़ज़ी लॉजिक(अस्पष्ट तर्क) अनेक-मूल्यवान तर्क का रूप है। जिसमें चर का सत्य मान 0 और 1 के मध्य कोई भी वास्तविक संख्या हो सकती है। चूँकि इसे आंशिक सत्य की अवधारणा को संभालने के लिए नियोजित किया जाता है, जहाँ सत्य मान पूर्ण प्रकार से सत्य और पूर्ण प्रकार से गलत के मध्य हो सकता है। इसके विपरीत, बूलियन बीजगणित में, चर के सत्य मान सिर्फ पूर्णांक मान 0 या 1 हो सकते हैं।

फ़ज़ी लॉजिक शब्द की शुरुआत सन् 1965 में ईरानी अज़रबैजानी गणितज्ञ लोत्फ़ी ए. ज़ादेह द्वारा फ़ज़ी सेट सिद्धांत के प्रस्ताव के साथ की गई थी। चूंकि फ़ज़ी लॉजिक का अध्ययन सन् 1920 के दशक से किया गया था, जैसा कि लुकासिविक्ज़ लॉजिक अनंत-मूल्यवान लॉजिक—मुख्य रूप से जान लुकासिविज़, लुकासिविक्ज़ और अल्फ्रेड टार्स्की द्वारा।

फ़ज़ी लॉजिक इस अवलोकन पर आधारित है कि लोग त्रुटिहीन और गैर-संख्यात्मक जानकारी के आधार पर निर्णय लेते हैं। फ़ज़ी मॉडल या सेट अस्पष्टता और त्रुटिहीन जानकारी का प्रतिनिधित्व करने के गणितीय साधन हैं (इसलिए फ़ज़ी शब्द)। इन मॉडलों में डेटा और सूचना को पहचानने, प्रतिनिधित्व करने, हेरफेर करने, व्याख्या करने और उपयोग करने की क्षमता है जो अस्पष्ट हैं और निश्चितता की कमी है। 

नियंत्रण सिद्धांत से लेकर कृत्रिम बुद्धिमत्ता तक, कई क्षेत्रों में फ़ज़ी लॉजिक लागू किया गया है।

सिंहावलोकन
शास्त्रीय तर्क केवल उन निष्कर्षों की अनुमति देता है जो सत्य या असत्य हैं। हालाँकि, चर उत्तरों के साथ प्रस्ताव भी हैं, जैसे कि लोगों के एक समूह को एक रंग की पहचान करने के लिए कहने पर मिल सकता है। ऐसे उदाहरणों में, सत्य अयथार्थ या आंशिक ज्ञान से तर्क के परिणाम के रूप में प्रकट होता है जिसमें नमूना उत्तरों को स्पेक्ट्रम पर मैप किया जाता है।

सत्य की डिग्री और प्रायिकता दोनों की सीमा 0 और 1 के बीच होती है और इसलिए पहली बार में समान लग सकती है, किन्तु फ़ज़ी लॉजिक सत्य की डिग्री का उपयोग अस्पष्टता के गणितीय मॉडल के रूप में करता है, जबकि संभाव्यता अज्ञानता का गणितीय मॉडल है।

सत्य मान लागू करना
एक बुनियादी अनुप्रयोग चर (गणित) की विभिन्न उप-श्रेणियों की विशेषता हो सकती है। उदाहरण के लिए, लॉक - रोधी ब्रेकिंग प्रणाली के लिए तापमान माप | एंटी-लॉक ब्रेक में ब्रेक को ठीक से नियंत्रित करने के लिए आवश्यक विशेष तापमान रेंज को परिभाषित करने वाले कई अलग-अलग सदस्यता कार्य हो सकते हैं। प्रत्येक फ़ंक्शन समान तापमान मान को 0 से 1 श्रेणी में सत्य मान पर मैप करता है। इन सत्य मानों का उपयोग यह निर्धारित करने के लिए किया जा सकता है कि ब्रेक को कैसे नियंत्रित किया जाना चाहिए। फ़ज़ी सेट सिद्धांत अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व करने के लिए साधन प्रदान करता है।

भाषाई चर
फ़ज़ी लॉजिक अनुप्रयोगों में, गैर-संख्यात्मक मानों का उपयोग अधिकांशतःनियमों और तथ्यों की अभिव्यक्ति को सुविधाजनक बनाने के लिए किया जाता है। एक भाषाई चर जैसे उम्र युवा और उसके विलोम पुराने जैसे मूल्यों को स्वीकार कर सकता है। क्योंकि प्राकृतिक भाषाओं में फज़ी वैल्यू स्केल को व्यक्त करने के लिए हमेशा पर्याप्त मूल्य शब्द नहीं होते हैं, विशेषण या क्रियाविशेषणों के साथ भाषाई मूल्यों को संशोधित करना आम बात है। उदाहरण के लिए, हम हेज (भाषाविज्ञान) का उपयोग कर सकते हैं और कुछ हद तक पुराने या कुछ नए अतिरिक्त मूल्यों का निर्माण कर सकते हैं।

ममदानी
सबसे प्रसिद्ध प्रणाली इब्राहिम ममदानी नियम-आधारित है। यह निम्नलिखित नियमों का उपयोग करता है:
 * 1) फ़ज़ी सदस्यता कार्यों में सभी इनपुट मानों को फ़ज़ी करें।
 * 2) फ़ज़ी आउटपुट फ़ंक्शंस की गणना करने के लिए रूलबेस में सभी लागू नियमों को निष्पादित करें।
 * 3) कुरकुरा आउटपुट मान प्राप्त करने के लिए फ़ज़ी आउटपुट फ़ंक्शंस को डी-फ़ज़ी करें।

फजिफिकेशन
फ़ज़िफिकेशन कुछ हद तक सदस्यता के साथ फ़ज़ी सेट के लिए सिस्टम के संख्यात्मक इनपुट को असाइन करने की प्रक्रिया है। सदस्यता की यह डिग्री अंतराल [0,1] के भीतर कहीं भी हो सकती है। यदि यह 0 है तो मान दिए गए फ़ज़ी सेट से संबंधित नहीं है, और यदि यह 1 है तो मान पूरी तरह फ़ज़ी सेट के अंतर्गत आता है। 0 और 1 के बीच का कोई भी मान अनिश्चितता की डिग्री का प्रतिनिधित्व करता है जो मान सेट में होता है। इन अस्पष्ट सेटों को आम तौर पर शब्दों द्वारा वर्णित किया जाता है, और इसलिए फ़ज़ी सेटों को सिस्टम इनपुट निर्दिष्ट करके, हम इसके साथ भाषाई रूप से प्राकृतिक तरीके से तर्क कर सकते हैं।

उदाहरण के लिए, नीचे दी गई छवि में भावों के अर्थ ठंडे, गर्म और गर्म तापमान पैमाने के मानचित्रण कार्यों द्वारा दर्शाए गए हैं। उस पैमाने पर बिंदु के तीन सत्य मान हैं - तीन कार्यों में से प्रत्येक के लिए एक। छवि में लंबवत रेखा विशेष तापमान का प्रतिनिधित्व करती है जिसे तीन तीर (सत्य मान) गेज करते हैं। चूँकि लाल तीर शून्य की ओर इशारा करता है, इस तापमान की व्याख्या गर्म नहीं के रूप में की जा सकती है; अर्थात फ़ज़ी सेट हॉट में इस तापमान की शून्य सदस्यता है। नारंगी तीर (0.2 की ओर इशारा करते हुए) इसे थोड़ा गर्म और नीला तीर (0.8 की ओर इशारा करते हुए) अधिक ठंडा बता सकता है। इसलिए, इस तापमान में फ़ज़ी सेट वार्म में 0.2 सदस्यता और फ़ज़ी सेट कोल्ड में 0.8 सदस्यता होती है। प्रत्येक फ़ज़ी सेट के लिए असाइन की गई सदस्यता की डिग्री फ़ज़ीफ़िकेशन का परिणाम है।

फजी सेट को अधिकांशतःत्रिभुज या समलम्बाकार के आकार के वक्र के रूप में परिभाषित किया जाता है, क्योंकि प्रत्येक मान में ढलान होगी जहाँ मूल्य बढ़ रहा है, चोटी जहाँ मान 1 के बराबर है (जिसकी लंबाई 0 या अधिक हो सकती है) और ढलान जहाँ मूल्य घट रहा है। उन्हें सिग्मॉइड फ़ंक्शन का उपयोग करके भी परिभाषित किया जा सकता है। लॉजिस्टिक फंक्शन के रूप में परिभाषित सामान्य मामला है


 * $$ S(x) = \frac{1}{1 + e^{-x}} $$

जिसमें निम्नलिखित समरूपता गुण है


 * $$ S(x) + S(-x) = 1 $$

इससे यह अनुसरण करता है

$$ (S(x) + S(-x)) \cdot (S(y) + S(-y)) \cdot (S(z) + S(-z)) = 1 $$

फजी लॉजिक ऑपरेटर्स
फ़ज़ी लॉजिक सदस्यता मूल्यों के साथ इस तरह काम करता है जो बूलियन तर्क की नकल करता है। इसके लिए, बेसिक ऑपरेटर (कंप्यूटर प्रोग्रामिंग) के AND, OR, NOT के लिए प्रतिस्थापन उपलब्ध होना चाहिए। इसके कई तरीके हैं। सामान्य प्रतिस्थापन कहा जाता हैZadeh operatorएस:

TRUE/1 और FALSE/0 के लिए, फ़ज़ी एक्सप्रेशन बूलियन एक्सप्रेशन के समान परिणाम उत्पन्न करते हैं।

अन्य ऑपरेटर भी हैं, प्रकृति में अधिक भाषाई, जिन्हें हेजेज कहा जाता है जिन्हें लागू किया जा सकता है। ये आम तौर पर क्रियाविशेषण होते हैं जैसे बहुत, या कुछ हद तक, जो गणितीय सूत्र का उपयोग करके सेट के अर्थ को संशोधित करते हैं। चूंकि, मनमाना विकल्प तालिका हमेशा फ़ज़ी लॉजिक फ़ंक्शन को परिभाषित नहीं करती है। कागज में (जैतसेव, एट अल), यह पहचानने के लिए मानदंड तैयार किया गया है कि क्या दी गई पसंद तालिका फ़ज़ी लॉजिक फ़ंक्शन को परिभाषित करती है और फ़ज़ी लॉजिक फ़ंक्शन सिंथेसिस का सरल एल्गोरिदम न्यूनतम और अधिकतम घटकों की प्रस्तुत अवधारणाओं के आधार पर प्रस्तावित किया गया है। फ़ज़ी लॉजिक फ़ंक्शन न्यूनतम के घटकों के संयोजन का प्रतिनिधित्व करता है, जहां न्यूनतम का घटक इस क्षेत्र में फ़ंक्शन मान से अधिक या उसके बराबर वर्तमान क्षेत्र के चर का संयोजन है (असमानता में फ़ंक्शन मान के दाईं ओर, सहित) फ़ंक्शन मान)।

AND/OR ऑपरेटरों का और सेट गुणन पर आधारित है, जहां

<वाक्यविन्यास लैंग = पाठ> एक्स और वाई = एक्स * वाई एक्स = 1 - एक्स नहीं

इस तरह, एक्स या वाई = नहीं (और (नहीं (एक्स), नहीं (वाई))) एक्स या वाई = नहीं (और (1-एक्स, 1-वाई)) एक्स या वाई = नहीं ((1-एक्स) * (1-वाई)) x या y = 1-(1-x)*(1-y) x या y = x+y-xy 

AND/OR/NOT में से किन्हीं दो को देखते हुए, तीसरा प्राप्त करना संभव है। AND के सामान्यीकरण को t-मानक के रूप में जाना जाता है।

यदि-तो नियम
IF-THEN नियम वांछित आउटपुट सत्य मानों के लिए इनपुट या गणना किए गए सत्य मानों को मैप करते हैं। उदाहरण: <वाक्यविन्यास लैंग = पाठ> यदि तापमान बहुत ठंडा है तो पंखे की गति बंद कर दी जाती है यदि तापमान ठंडा है तो पंखे की गति धीमी है यदि तापमान गर्म है तो पंखे की गति मध्यम है यदि तापमान गर्म है तो पंखे की गति अधिक है 

एक निश्चित तापमान को देखते हुए, फ़ज़ी वेरिएबल हॉट का निश्चित सत्य मान होता है, जिसे उच्च चर में कॉपी किया जाता है।

यदि कोई आउटपुट चर कई THEN भागों में होता है, तो संबंधित IF भागों के मानों को OR ऑपरेटर का उपयोग करके संयोजित किया जाता है।

डीफजिफिकेशन
लक्ष्य फ़ज़ी ट्रुथ वैल्यूज़ से सतत चर प्राप्त करना है। यह आसान होगा यदि आउटपुट सत्य मान वास्तव में किसी दिए गए नंबर के फ़ज़िफिकेशन से प्राप्त किए गए हों। चूंकि, चूंकि, सभी आउटपुट सत्य मूल्यों की स्वतंत्र रूप से गणना की जाती है, ज्यादातर मामलों में वे संख्याओं के ऐसे सेट का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं। एक को तब संख्या तय करनी होती है जो सत्य मान में एन्कोड किए गए इरादे से सबसे अच्छी तरह मेल खाती है। उदाहरण के लिए, fan_speed के कई सत्य मानों के लिए, वास्तविक गति का पता लगाना चाहिए जो 'धीमी', 'मध्यम' और इसी तरह के चरों के संगणित सत्य मानों के लिए सबसे उपयुक्त हो। इस उद्देश्य के लिए कोई एकल एल्गोरिथम नहीं है।

एक सामान्य एल्गोरिदम है
 * 1) प्रत्येक सत्य मान के लिए, सदस्यता फ़ंक्शन को इस मान पर काटें
 * 2) OR ऑपरेटर का उपयोग करके परिणामी वक्रों को संयोजित करें
 * 3) वक्र के अंतर्गत क्षेत्र का केंद्र-भार ज्ञात करें
 * 4) इस केंद्र की x स्थिति अंतिम आउटपुट है।

ताकगी-सुगेनो-कांग (टीएसके)
टीएसके प्रणाली ममदानी के समान है, किन्तु अस्पष्टीकरण प्रक्रिया फजी नियमों के निष्पादन में सम्मलित है। इन्हें भी अनुकूलित किया जाता है, जिससे कि इसके अतिरिक्त नियम के परिणाम को बहुपद समारोह (सामान्यतः स्थिर या रैखिक) के माध्यम से प्रदर्शित किया जा सके। स्थिर आउटपुट वाले नियम का उदाहरण होगा: इस स्थिति में, आउटपुट परिणामी के स्थिरांक के बराबर होगा (उदाहरण 2)। अधिकांश परिदृश्यों में हमारे पास 2 या अधिक नियमों के साथ संपूर्ण नियम आधार होगा। यदि यह स्थिति है, तो पूरे नियम आधार का उत्पादन प्रत्येक नियम i (Yi), इसके पूर्ववर्ती के सदस्यता मूल्य के अनुसार भारित (एचi):

$$\frac{\sum_i (h_i \cdot Y_i)}{\sum_i h_i}$$ रैखिक आउटपुट वाले नियम का उदाहरण इसके अतिरिक्त होगा: इस स्थिति में, नियम का आउटपुट परिणाम में फ़ंक्शन का परिणाम होगा। फ़ंक्शन के भीतर चर फ़ज़िफिकेशन के बाद सदस्यता मूल्यों का प्रतिनिधित्व करते हैं, क्रिस्प मूल्यों का नहीं। पहले की तरह, यदि हमारे पास 2 या अधिक नियमों के साथ संपूर्ण नियम आधार है, तो कुल आउटपुट प्रत्येक नियम के आउटपुट के बीच भारित औसत होगा।

ममदानी पर टीएसके का उपयोग करने का मुख्य लाभ यह है कि यह कम्प्यूटेशनल रूप से कुशल है और अन्य एल्गोरिदम जैसे कि पीआईडी ​​​​नियंत्रण और अनुकूलन एल्गोरिदम के साथ अच्छी तरह से काम करता है। यह आउटपुट सतह की निरंतरता की गारंटी भी दे सकता है। चूंकि, ममदानी लोगों के साथ काम करने में अधिक सहज और आसान है। इसलिए, टीएसके सामान्यतः अन्य जटिल तरीकों के भीतर प्रयोग किया जाता है, जैसे कि अनुकूली न्यूरो फ़ज़ी इनफेरेंस सिस्टम में।

इनपुट और फजी नियमों की आम सहमति बनाना
चूंकि फ़ज़ी सिस्टम आउटपुट सभी इनपुट और सभी नियमों की सहमति है, फ़ज़ी लॉजिक सिस्टम को अच्छी तरह से व्यवहार किया जा सकता है जब इनपुट मान उपलब्ध नहीं होते हैं या भरोसेमंद नहीं होते हैं। नियम आधार में प्रत्येक नियम में भार को वैकल्पिक रूप से जोड़ा जा सकता है और भार का उपयोग उस डिग्री को विनियमित करने के लिए किया जा सकता है जिस पर नियम आउटपुट मानों को प्रभावित करता है। ये नियम भार प्रत्येक नियम की प्राथमिकता, विश्वसनीयता या स्थिरता पर आधारित हो सकते हैं। ये नियम भार स्थिर हो सकते हैं या अन्य नियमों के आउटपुट के आधार पर भी गतिशील रूप से बदले जा सकते हैं।

अनुप्रयोग
फ़ज़ी लॉजिक का उपयोग नियंत्रण प्रणालियों में किया जाता है जिससे कि विशेषज्ञों को अस्पष्ट नियमों का योगदान करने की अनुमति मिल सके जैसे कि यदि आप गंतव्य स्टेशन के करीब हैं और तेज़ी से आगे बढ़ रहे हैं, तो ट्रेन के ब्रेक दबाव में वृद्धि करें; इन अस्पष्ट नियमों नियंत्रण प्रणाली के भीतर संख्यात्मक रूप से परिष्कृत किया जा सकता है।

फ़ज़ी लॉजिक के कई प्रारंभिक सफल अनुप्रयोग जापान में लागू किए गए थे। पहला उल्लेखनीय अनुप्रयोग सेंदाई सबवे 1000 श्रृंखला पर था, जिसमें फ़ज़ी लॉजिक अर्थव्यवस्था, आराम और सवारी की त्रुटिहीनता में सुधार करने में सक्षम था। इसका उपयोग सोनी पॉकेट कंप्यूटर, हेलीकॉप्टर उड़ान सहायता, सबवे सिस्टम नियंत्रण, ऑटोमोबाइल ईंधन दक्षता में सुधार, सिंगल-बटन वाशिंग मशीन नियंत्रण, वैक्यूम क्लीनर में स्वत: बिजली नियंत्रण, और भूकंप विज्ञान संस्थान के माध्यम से भूकंप की शीघ्र पहचान के लिए लिखावट की पहचान के लिए भी किया गया है। मौसम विज्ञान ब्यूरो, जापान।

कृत्रिम बुद्धि
एआई और फ़ज़ी लॉजिक, जब विश्लेषण किया जाता है, ही चीज़ हैं - तंत्रिका नेटवर्क का अंतर्निहित तर्क फ़ज़ी है। तंत्रिका नेटवर्क विभिन्न प्रकार के मूल्यवान इनपुट लेगा, उन्हें दूसरे के संबंध में अलग-अलग भार देगा, और निर्णय पर पहुंचेगा जिसका सामान्य रूप से भी मूल्य होता है। उस प्रक्रिया में कहीं भी या तो-या निर्णयों के अनुक्रम जैसा कुछ नहीं है जो गैर-फजी गणित, लगभग सभी कंप्यूटर प्रोग्रामिंग और डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स की विशेषता है। 1980 के दशक में, शोधकर्ताओं को मशीन सीखने के लिए सबसे प्रभावी दृष्टिकोण के बारे में विभाजित किया गया था: सामान्य ज्ञान मॉडल या तंत्रिका नेटवर्क। पूर्व दृष्टिकोण के लिए बड़े निर्णय वृक्षों की आवश्यकता होती है और यह बाइनरी लॉजिक का उपयोग करता है, जिस हार्डवेयर पर यह चलता है उससे मेल खाता है। भौतिक उपकरण बाइनरी लॉजिक तक सीमित हो सकते हैं, किन्तु एआई इसकी गणना के लिए सॉफ्टवेयर का उपयोग कर सकता है। तंत्रिका नेटवर्क इस दृष्टिकोण को अपनाते हैं, जिसके परिणामस्वरूप जटिल स्थितियों के अधिक त्रुटिहीन मॉडल मिलते हैं। तंत्रिका नेटवर्क ने जल्द ही कई इलेक्ट्रॉनिक उपकरणों पर अपना रास्ता खोज लिया।

चिकित्सा निर्णय लेना
नैदानिक ​​निर्णय समर्थन प्रणाली में फ़ज़ी लॉजिक महत्वपूर्ण अवधारणा है। चूंकि चिकित्सा और स्वास्थ्य संबंधी डेटा व्यक्तिपरक या फजी हो सकता है, इसलिए इस डोमेन के अनुप्रयोगों में फ़ज़ी लॉजिक आधारित दृष्टिकोणों का उपयोग करके बहुत अधिक लाभ उठाने की क्षमता है।

चिकित्सा निर्णय लेने के ढांचे के भीतर कई अलग-अलग पहलुओं में फ़ज़ी लॉजिक का उपयोग किया जा सकता है। ऐसे पहलू सम्मलित हैं   मेडिकल इमेज एनालिसिस, बायोमेडिकल सिग्नल एनालिसिस, छवि विभाजन में या संकेत, और सुविधा निष्कर्षण / छवियों का चयन या संकेत। इस एप्लिकेशन क्षेत्र में सबसे बड़ा सवाल यह है कि फ़ज़ी लॉजिक का उपयोग करते समय कितनी उपयोगी जानकारी प्राप्त की जा सकती है। एक बड़ी चुनौती यह है कि आवश्यक फ़ज़ी डेटा कैसे प्राप्त किया जाए। यह तब और भी चुनौतीपूर्ण हो जाता है जब किसी को ऐसे डेटा को मनुष्यों (आमतौर पर, रोगियों) से प्राप्त करना होता है। जैसा कहा गया है "'The envelope of what can be achieved and what cannot be achieved in medical diagnosis, ironically, is itself a fuzzy one'" फ़ज़ी डेटा कैसे प्राप्त करें, और डेटा की त्रुटिहीनता को कैसे मान्य करें, अभी भी फ़ज़ी लॉजिक के अनुप्रयोग से संबंधित सतत प्रयास है। फ़ज़ी डेटा की गुणवत्ता का आकलन करने की समस्या कठिन है। यही कारण है कि फ़ज़ी लॉजिक चिकित्सा निर्णय लेने के आवेदन क्षेत्र के भीतर अत्यधिक आशाजनक संभावना है, किन्तु अभी भी इसकी पूरी क्षमता हासिल करने के लिए और अधिक शोध की आवश्यकता है। यद्यपि चिकित्सा निर्णय लेने में फ़ज़ी लॉजिक का उपयोग करने की अवधारणा रोमांचक है, फिर भी कई चुनौतियाँ हैं जो चिकित्सा निर्णय लेने के ढांचे के भीतर फ़ज़ी दृष्टिकोण का सामना करती हैं।

छवि आधारित कंप्यूटर एडेड निदान
फ़ज़ी लॉजिक का उपयोग करने वाले सामान्य अनुप्रयोग क्षेत्रों में से चिकित्सा में छवि-आधारित कंप्यूटर-एडेड डायग्नोसिस (CAD) है। सीएडी अंतर-संबंधित उपकरणों का कम्प्यूटरीकृत सेट है जिसका उपयोग चिकित्सकों को उनके नैदानिक ​​निर्णय लेने में सहायता करने के लिए किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, जब चिकित्सक को ऐसा घाव मिलता है जो असामान्य है किन्तु अभी भी विकास के बहुत प्रारंभिक चरण में है तो वह घाव को चिह्नित करने और इसकी प्रकृति का निदान करने के लिए सीएडी दृष्टिकोण का उपयोग कर सकता है। इस घाव की प्रमुख विशेषताओं का वर्णन करने के लिए फ़ज़ी लॉजिक अत्यधिक उपयुक्त हो सकता है।

फ़ज़ी डेटाबेस
एक बार फ़ज़ी संबंध परिभाषित हो जाने के बाद, फ़ज़ी संबंध का डेटाबेस विकसित करना संभव है। पहला फ़ज़ी रिलेशनल डेटाबेस, FRDB, मारिया ज़मानकोवा के शोध प्रबंध (1983) में दिखाई दिया। बाद में, कुछ अन्य मॉडल उत्पन्न हुए जैसे बकल्स-पेट्री मॉडल, प्रेड-टेस्टेमेल मॉडल, उमानो-फुकामी मॉडल या जेएम मदीना, एमए विला एट अल द्वारा जीईएफआरईडी मॉडल।

अस्पष्ट पूछताछ भाषाओं को परिभाषित किया गया है, जैसे कि SQLf by P. Bosc et al। और J. Galindo et al द्वारा FSQL। SQL कथनों में फ़ज़ी पहलुओं को सम्मलित करने के लिए ये भाषाएँ कुछ संरचनाओं को परिभाषित करती हैं, जैसे फ़ज़ी स्थितियाँ, फ़ज़ी तुलनित्र, फ़ज़ी स्थिरांक, फ़ज़ी कंस्ट्रेंट, फ़ज़ी थ्रेसहोल्ड, भाषाई लेबल आदि।

तार्किक विश्लेषण
गणितीय तर्क में, फ़ज़ी लॉजिक की कई औपचारिक प्रणालियाँ हैं, जिनमें से अधिकांश टी-मानदंड फ़ज़ी लॉजिक के परिवार में हैं।

प्रस्तावित फ़ज़ी लॉजिक्स
सबसे महत्वपूर्ण प्रस्तावक फ़ज़ी लॉजिक्स हैं:
 * एमटीएल (तर्क) |मोनॉयडल टी-नॉर्म-आधारित प्रोपोज़िशनल फ़ज़ी लॉजिक एमटीएल स्वयंसिद्ध प्रणाली है#तर्क का स्वयंसिद्धीकरण जहां तार्किक संयोजन को बाएं निरंतर टी-मानदंड द्वारा परिभाषित किया गया है और निहितार्थ को टी-मानदंड के अवशेष के रूप में परिभाषित किया गया है। इसकी संरचना (गणितीय तर्क) एमटीएल-बीजगणित के अनुरूप है जो पूर्व-रैखिक कम्यूटेटिव बाउंड इंटीग्रल अवशिष्ट जाली हैं।
 * बीएल (तर्क) बीएल एमटीएल तर्क का विस्तार है जहां संयोजन को निरंतर टी-मानदंड द्वारा परिभाषित किया जाता है, और निहितार्थ को टी-मानदंड के अवशेष के रूप में भी परिभाषित किया जाता है। इसके मॉडल बीएल-अलजेब्रस के अनुरूप हैं।
 * लुकासिविक्ज़ फ़ज़ी लॉजिक|लुकासिविज़ फ़ज़ी लॉजिक बुनियादी फ़ज़ी लॉजिक बीएल का विस्तार है जहाँ मानक संयोजन लुकासिविज़ टी-नॉर्म है। इसमें बुनियादी फ़ज़ी लॉजिक के स्वयंसिद्ध और दोहरे निषेध का स्वयंसिद्ध है, और इसके मॉडल एमवी-बीजगणित के अनुरूप हैं।
 * गोडेल फ़ज़ी लॉजिक बेसिक फ़ज़ी लॉजिक बीएल का विस्तार है जहाँ संयुग्मन गोडेल टी-नॉर्म (अर्थात न्यूनतम) है। इसमें BL के स्वयंसिद्ध और संयुग्मन की निष्क्रियता का स्वयंसिद्ध है, और इसके मॉडल को G-अल्जेब्रस कहा जाता है।
 * उत्पाद फ़ज़ी लॉजिक बेसिक फ़ज़ी लॉजिक BL का विस्तार है जहाँ संयोजन उत्पाद टी-नॉर्म है। इसमें BL के अभिगृहीत और संयोजन की रद्दीकरण के लिए अन्य अभिगृहीत है, और इसके मॉडल को उत्पाद बीजगणित कहा जाता है।
 * मूल्यांकित सिंटैक्स के साथ फ़ज़ी लॉजिक (कभी-कभी पावेल्का लॉजिक भी कहा जाता है), EVŁ द्वारा निरूपित, गणितीय फ़ज़ी लॉजिक का और सामान्यीकरण है। जबकि उपरोक्त प्रकार के फ़ज़ी लॉजिक में पारंपरिक सिंटैक्स और कई-मूल्यवान शब्दार्थ हैं, EVŁ सिंटैक्स में भी मूल्यांकन किया जाता है। इसका मतलब है कि प्रत्येक सूत्र का मूल्यांकन होता है। EVŁ का स्वयंसिद्धीकरण लुकास्ज़ीविक्ज़ फ़ज़ी लॉजिक से उपजा है। मौलिक गोडेल पूर्णता प्रमेय का सामान्यीकरण EVŁ में सिद्ध किया जा सकता है.

विधेय फजी लॉजिक्स
प्रस्तावक कलन से पहले क्रम का तर्क बनाने के तरीके के समान, प्रेडिकेट फ़ज़ी लॉजिक फ़ज़ी सिस्टम को यूनिवर्सल क्वांटिफायर और अस्तित्वगत परिमाणक द्वारा एक्सटेंड करते हैं। टी-नॉर्म फज़ी लॉजिक्स में यूनिवर्सल क्वांटिफायर का सिमेंटिक्स क्वांटिफाइड सबफॉर्मुला के उदाहरणों की ट्रुथ डिग्रियों का सबसे कम है, जबकि अस्तित्व क्वांटिफायर का शब्दार्थ उसी का सर्वोच्च है।

निर्णायकता मुद्दे
मौलिक गणित और मौलिक  तर्क के लिए निर्णायक उपसमुच्चय और पुनरावर्ती गणना योग्य उपसमुच्चय की धारणाएं बुनियादी हैं। इस प्रकार फ़ज़ी सेट थ्योरी के लिए उनके उपयुक्त विस्तार का प्रश्न महत्वपूर्ण है। इस तरह की दिशा में पहला प्रस्ताव ई.एस. सैंटोस द्वारा फ़ज़ी ट्यूरिंग मशीन, मार्कोव सामान्य फ़ज़ी एल्गोरिथम और फ़ज़ी प्रोग्राम (सैंटोस 1970 देखें) की धारणाओं द्वारा किया गया था। क्रमिक रूप से, एल. बियासिनो और जी. गेरला ने तर्क दिया कि प्रस्तावित परिभाषाएँ संदिग्ध हैं। उदाहरण के लिए, में one दिखाता है कि फ़ज़ी ट्यूरिंग मशीन फ़ज़ी लैंग्वेज थ्योरी के लिए पर्याप्त नहीं हैं क्योंकि प्राकृतिक फ़ज़ी लैंग्वेज सहज रूप से गणना योग्य हैं जिन्हें फ़ज़ी ट्यूरिंग मशीन द्वारा पहचाना नहीं जा सकता है। तब उन्होंने निम्नलिखित परिभाषाएँ प्रस्तावित कीं। [0,1] में परिमेय संख्याओं के समुच्चय को Ü से निरूपित करें। फिर फ़ज़ी उपसमुच्चय s : S $$\rightarrow$$[0,1] सेट S का पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य है यदि पुनरावर्ती मानचित्र h : S×'N' $$\rightarrow$$Ü इस प्रकार उपस्तिथ है कि, S में प्रत्येक x के लिए, फ़ंक्शन h(x,n) n और s(x) = lim h(x,n) के संबंध में बढ़ रहा है। हम कहते हैं कि s निर्णायक है यदि दोनों s और इसके पूरक - पुनरावर्ती रूप से गणनीय हैं। एल-उपसमुच्चय के सामान्य मामले में इस तरह के सिद्धांत का विस्तार संभव है (गेरला 2006 देखें)। प्रस्तावित परिभाषाएँ फ़ज़ी लॉजिक से अच्छी तरह से संबंधित हैं। वास्तव में, निम्नलिखित प्रमेय सत्य है (बशर्ते कि फ़ज़ी लॉजिक का कटौती उपकरण कुछ स्पष्ट प्रभावशीलता संपत्ति को संतुष्ट करता है)।

कोई भी स्वयंसिद्ध फ़ज़ी सिद्धांत पुनरावर्ती गणना योग्य है। विशेष रूप से, तार्किक रूप से सही सूत्रों का फ़ज़ी सेट पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य है, इस तथ्य के बावजूद कि मान्य सूत्रों का कुरकुरा सेट सामान्य रूप से पुनरावर्ती रूप से गणना योग्य नहीं है। इसके अतिरिक्त, कोई भी स्वयंसिद्ध और पूर्ण सिद्धांत निर्णायक है।

फ़ज़ी गणित के लिए चर्च थीसिस के लिए समर्थन देने के लिए यह खुला प्रश्न है, फ़ज़ी सबसेट के लिए पुनरावर्ती गणना की प्रस्तावित धारणा पर्याप्त है। इसे हल करने के लिए फ़ज़ी ग्रामर और फ़ज़ी ट्यूरिंग मशीन की धारणाओं का विस्तार आवश्यक है। अन्य खुला प्रश्न इस धारणा से प्रारंभ करना है कि गोडेल के प्रमेयों का फ़ज़ी लॉजिक तक विस्तार खोजा जाए।

संभावना
फ़ज़ी लॉजिक और प्रायिकता अनिश्चितता के विभिन्न रूपों को संबोधित करते हैं। जबकि फ़ज़ी लॉजिक और संभाव्यता सिद्धांत दोनों कुछ प्रकार के व्यक्तिपरक विश्वास की डिग्री का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं, फ़ज़ी सेट सिद्धांत फ़ज़ी सेट सदस्यता की अवधारणा का उपयोग करता है, अर्थात, अस्पष्ट रूप से परिभाषित सेट के भीतर कितना अवलोकन है, और संभाव्यता सिद्धांत व्यक्तिपरक संभाव्यता की अवधारणा का उपयोग करता है।, अर्थात, घटना की आवृत्ति या किसी घटना या स्थिति की संभावना. फ़ज़ी सेट की अवधारणा को बीसवीं सदी के मध्य में बर्कले में विकसित किया गया था संयुक्त रूप से अनिश्चितता और अस्पष्टता के मॉडलिंग के लिए संभाव्यता सिद्धांत की कमी की प्रतिक्रिया के रूप में। बार्ट कोस्को फज़ीनेस बनाम प्रायिकता में प्रामाणित करता है वह संभाव्यता सिद्धांत फ़ज़ी लॉजिक का उपसिद्धांत है, क्योंकि संभाव्यता सिद्धांत में पारस्परिक रूप से अनन्य सेट सदस्यता में विश्वास की डिग्री के प्रश्नों को फ़ज़ी सिद्धांत में गैर-पारस्परिक रूप से अनन्य श्रेणीबद्ध सदस्यता के कुछ मामलों के रूप में दर्शाया जा सकता है। उस संदर्भ में, वह फ़ज़ी सबसेटहुड की अवधारणा से बेयस प्रमेय को भी प्राप्त करता है। लोट्फी ए. ज़ादेह का तर्क है कि फ़ज़ी लॉजिक चरित्र में संभाव्यता से भिन्न है, और यह इसका प्रतिस्थापन नहीं है। उन्होंने संभाव्यता को फजी प्रायिकता के रूप में अस्पष्ट कर दिया और इसे संभावना सिद्धांत के लिए सामान्यीकृत भी किया। अधिक आम तौर पर, फ़ज़ी लॉजिक मौलिक तर्क के कई अलग-अलग एक्सटेंशनों में से है, जिसका उद्देश्य मौलिक  तर्क के दायरे से बाहर अनिश्चितता के मुद्दों से निपटना है, कई डोमेन में संभाव्यता सिद्धांत की अनुपयुक्तता, और डेम्पस्टर-शेफ़र सिद्धांत के विरोधाभास।

इकोरिथम्स
कम्प्यूटेशनल थिओरिस्ट लेस्ली बहादुर इकोरिथम्स शब्द का उपयोग यह बताने के लिए करता है कि कितने कम त्रुटिहीन सिस्टम और फ़ज़ी लॉजिक (और कम मजबूत लॉजिक) जैसी तकनीकों को सीखने के एल्गोरिदम पर लागू किया जा सकता है। वैलेंट अनिवार्य रूप से मशीन लर्निंग को विकासवादी के रूप में पुनर्परिभाषित करता है। सामान्य उपयोग में, ईकोरिथम एल्गोरिदम हैं जो उनके अधिक जटिल वातावरण (इसलिए इको-) से सामान्यीकरण, अनुमान और समाधान तर्क को सरल बनाने के लिए सीखते हैं। फ़ज़ी लॉजिक की तरह, वे निरंतर चर या प्रणालियों को दूर करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधियाँ हैं जो पूरी तरह से या पूरी तरह से समझने या समझने के लिए बहुत जटिल हैं। इकोरिथम्स और फ़ज़ी लॉजिक में भी संभावनाओं से अधिक संभावनाओं से निपटने की सामान्य संपत्ति होती है, चूंकि फीडबैक और फीडफॉरवर्ड नियंत्रण)नियंत्रण), मूल रूप से स्टोचैस्टिक वेट, उदाहरण के लिए, गतिशील प्रणाली से निपटने के समय दोनों की विशेषता है।

गोडेल जी∞ तर्क
एक अन्य तार्किक प्रणाली जहां सत्य मान 0 और 1 के बीच वास्तविक संख्याएं हैं और जहां AND और OR ऑपरेटरों को MIN और MAX से बदल दिया जाता है, वह गोडेल का जी है∞ तर्क। इस तर्क में फ़ज़ी लॉजिक के साथ कई समानताएँ हैं किन्तु नकारात्मकता को अलग तरह से परिभाषित करता है और इसका आंतरिक निहितार्थ है। नकार $$\neg_G$$ और निहितार्थ $$\xrightarrow[G]{}$$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:


 * $$\begin{align}

\neg_G u &= \begin{cases} 1, & \text{if }u = 0 \\ 0, & \text{if }u > 0 \end{cases} \\[3pt] u \mathrel{\xrightarrow[G]{}} v &= \begin{cases} 1, & \text{if }u \leq v \\ v, & \text{if }u > v                          \end{cases} \end{align}$$ जो परिणामी तार्किक प्रणाली को अंतर्ज्ञानवादी तर्क के लिए मॉडल में बदल देता है, जिससे तार्किक प्रणालियों के सभी संभावित विकल्पों में विशेष रूप से अच्छी तरह से व्यवहार किया जाता है, जिसमें 0 और 1 के बीच वास्तविक संख्याएं सत्य मान के रूप में होती हैं। इस मामले में, निहितार्थ की व्याख्या की जा सकती है क्योंकि x, y से कम सत्य है और निषेध के रूप में x 0 से कम सत्य है या x सख्ती से गलत है, और किसी के लिए $$x$$ और $$y$$, हमारे पास वह है $$ AND(x, x \mathrel{\xrightarrow[G]{}} y) = AND(x,y) $$. विशेष रूप से, गोडेल तर्क में निषेध अब अंतर्वलन नहीं है और दोहरा निषेध किसी भी गैर-शून्य मान को 1 में मैप करता है।

क्षतिपूरक फ़ज़ी लॉजिक
प्रतिपूरक फ़ज़ी लॉजिक (CFL) फ़ज़ी लॉजिक की शाखा है जिसमें संयोजन और संयोजन के लिए संशोधित नियम हैं। जब संयोजन या वियोग के घटक का सत्य मान बढ़ता या घटता है, तो दूसरे घटक को क्षतिपूर्ति के लिए घटाया या बढ़ाया जाता है। सत्य मूल्य में यह वृद्धि या कमी किसी अन्य घटक में वृद्धि या कमी से ऑफसेट हो सकती है। कुछ निश्चित सीमाएँ पूरी होने पर ऑफ़सेट ब्लॉक किया जा सकता है। समर्थकों का प्रामाणित है कि सीएफएल उत्तम कम्प्यूटेशनल सिमेंटिक व्यवहार और प्राकृतिक भाषा की नकल करने की अनुमति देता है। जेसुस सेजस मोंटेरो (2011) के अनुसार प्रतिपूरक फ़ज़ी लॉजिक में चार निरंतर ऑपरेटर होते हैं: संयुग्मन (c); संयोजन (डी); फजी सख्त आदेश (या); और निषेध (एन)। संयुग्मन ज्यामितीय माध्य है और इसके दोहरे संयोजक और वियोगी संकारक हैं।

मार्कअप भाषा मानकीकरण
IEEE 1855, IEEE मानक 1855–2016, अस्पष्ट मार्कअप भाषा (FML) नामक विशिष्ट भाषा के बारे में है। IEEE Standards Association द्वारा विकसित। FML फ़ज़ी लॉजिक सिस्टम को मानव-पठनीय और हार्डवेयर स्वतंत्र तरीके से मॉडलिंग करने की अनुमति देता है। FML एक्स्टेंसिबल मार्कअप लैंग्वेज (XML) पर आधारित है। FML के साथ फ़ज़ी सिस्टम के डिजाइनरों के पास इंटरऑपरेबल फ़ज़ी सिस्टम का वर्णन करने के लिए एकीकृत और उच्च-स्तरीय कार्यप्रणाली है। IEEE STANDARD 1855–2016 FML प्रोग्राम के सिंटैक्स और शब्दार्थ को परिभाषित करने के लिए W3C XML स्कीमा (W3C) परिभाषा भाषा का उपयोग करता है।

FML की शुरुआत से पहले, फ़ज़ी लॉजिक प्रैक्टिशनर अपने फ़ज़ी एल्गोरिदम के बारे में जानकारी का आदान-प्रदान कर सकते थे, अपने सॉफ़्टवेयर फ़ंक्शंस में फ़ज़ी कंट्रोल लैंग्वेज (FCL) के साथ संगत फॉर्म में पढ़ने, सही ढंग से पार्स करने और अपने काम के परिणाम को स्टोर करने की क्षमता जोड़कर। IEC 61131 के भाग 7 द्वारा वर्णित और निर्दिष्ट।

यह भी देखें

 * अनुकूली न्यूरो फ़ज़ी इंफ़ेक्शन सिस्टम (ANFIS)
 * कृत्रिम तंत्रिका नेटवर्क
 * अस्पष्टीकरण
 * विशेषज्ञ प्रणाली
 * मिथ्या दुविधा
 * फजी वास्तुशिल्प स्थानिक विश्लेषण
 * फजी वर्गीकरण
 * फजी अवधारणा
 * फ़ज़ी कंट्रोल लैंग्वेज
 * फजी नियंत्रण प्रणाली
 * फजी इलेक्ट्रॉनिक्स
 * फजी सबलजेब्रा
 * फ़ज़ीक्लिप्स
 * उच्च प्रदर्शन फ़ज़ी कंप्यूटिंग
 * IEEE कम्प्यूटेशनल इंटेलिजेंस सोसायटी#प्रकाशन
 * अंतराल परिमित तत्व
 * यंत्र अधिगम
 * न्यूरो फजी
 * शोर आधारित तर्क
 * मोटा सेट
 * सोराइट्स विरोधाभास
 * टाइप -2 फ़ज़ी सेट और सिस्टम
 * वेक्टर तर्क

बाहरी संबंध

 * Formal fuzzy logic – article at Citizendium
 * IEC 1131-7 CD1 IEC 1131-7 CD1 PDF
 * Fuzzy Logic – article at Scholarpedia
 * Modeling With Words – article at Scholarpedia
 * Fuzzy logic – article at Stanford Encyclopedia of Philosophy
 * Fuzzy Math – Beginner level introduction to Fuzzy Logic
 * Fuzziness and exactness – Fuzziness in everyday life, science, religion, ethics, politics, etc.
 * Fuzzylite – A cross-platform, free open-source Fuzzy Logic Control Library written in C++. Also has a very useful graphic user interface in QT4.
 * More Flexible Machine Learning – MIT describes one application.
 * Semantic Similarity MIT provides details about fuzzy semantic similarity.