कुल न्यूनतम वर्ग

लागू आँकड़ों में, कुल न्यूनतम वर्ग एक प्रकार का चर-में-त्रुटि प्रतिगमन होता है, एक न्यूनतम वर्ग डेटा नमूने तकनीक जिसमें आश्रित और स्वतंत्र दोनों चर पर अवलोकन संबंधी त्रुटियों को ध्यान में रखा जाता है। यह मांग प्रतिगमन और ओर्थोगोनल प्रतिगमन का सामान्यीकरण है, और इसे रैखिक और गैर-रेखीय दोनों नमूनों पर लागू किया जा सकता है।

डेटा का कुल न्यूनतम वर्ग सन्निकटन सामान्यतः फ्रोबेनियस मानदंड में, डेटा आव्यूह के निम्न-रैंक सन्निकटन के सर्वोत्तम के बराबर होता है।

पृष्ठभूमि
डेटा नमूने की न्यूनतम वर्ग विधि में, उद्देश्य फलन, एस,
 * $$S=\mathbf{r^TWr},$$

न्यूनतम किया गया है, जहां r आंकड़ों में त्रुटियों और अवशेषों का वेक्टर है और W एक वेटिंग आव्यूह है। रैखिक न्यूनतम वर्ग (गणित) में नमूना में ऐसे समीकरण होते है जो पैरामीटर वेक्टर में दिखाई देने वाले मापदंडों में रैखिक होते है $$\boldsymbol\beta$$, इसलिए अवशेष दिए गए है
 * $$\mathbf{r=y-X\boldsymbol\beta}.$$

'y' में m अवलोकन और 'β' में m>n के साथ n पैरामीटर है। 'X' एक m×n आव्यूह है जिसके तत्व या तो स्थिरांक है या स्वतंत्र चर, 'x' के फलन है। भार आव्यूह 'डब्ल्यू', आदर्श रूप से, विचरण-सहप्रसरण आव्यूह का व्युत्क्रम है $$\mathbf M_y$$ अवलोकनों में से y. स्वतंत्र चर को त्रुटि रहित माना जाता है। ग्रेडिएंट समीकरणों को शून्य पर सेट करके पैरामीटर अनुमान प्राप्त कीये जाते है, जिसके परिणामस्वरूप सामान्य समीकरण बनते है :

$$\mathbf{X^TWX\boldsymbol\beta=X^T Wy}.$$

सभी चरों में अवलोकन त्रुटियों की अनुमति देना
अब, मान लीजिए कि x और y दोनों को भिन्नता-सहप्रसरण आव्यूह के साथ त्रुटि के अधीन देखा जाता है $$\mathbf M_x$$ और $$\mathbf M_y$$ क्रमश। इस स्थिति में वस्तुनिष्ठ फलन को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$S=\mathbf{r_x^TM_x^{-1}r_x+r_y^TM_y^{-1}r_y},$$

जहाँ $$\mathbf r_x$$ और $$\mathbf r_y$$ क्रमशः x और y में अवशेष है। स्पष्ट रूप से ये अवशेष एक-दूसरे से स्वतंत्र नहीं हो सकते, लेकिन इन्हें किसी प्रकार के रिश्ते से बाधित होना चाहिए। नमूना फलन को इस रूप में लिखना $$\mathbf{f(r_x,r_y,\boldsymbol\beta)}$$, बाधाओं को एम स्थिति समीकरणों द्वारा व्यक्त किया जाता है।
 * $$\mathbf{F=\Delta y -\frac{\partial f}{\partial r_x} r_x-\frac{\partial f}{\partial r_y} r_y -X\Delta\boldsymbol\beta=0}.$$

इस प्रकार, समस्या एम बाधाओं के अधीन उद्देश्य फलन को कम करने की है। इसे लैग्रेंज गुणक के उपयोग से हल किया जाता है। कुछ बीजीय जोड़-तोड़ के बाद, परिणाम प्राप्त होता है.


 * $$\mathbf{X^TM^{-1}X\Delta \boldsymbol\beta=X^T M^{-1} \Delta y}, $$

या वैकल्पिक रूप से $$\mathbf{X^TM^{-1}X \boldsymbol\beta=X^T M^{-1} y},$$ जहां एम स्वतंत्र और आश्रित दोनों चर के सापेक्ष विचरण-सहप्रसरण आव्यूह है।
 * $$\mathbf{M=K_xM_xK_x^T+K_yM_yK_y^T;\ K_x=-\frac{\partial f}{\partial r_x},\ K_y=-\frac{\partial f}{\partial r_y}}.$$

उदाहरण
जब डेटा त्रुटियां असंबद्ध होती है, तो सभी आव्यूह M और W विकर्ण होते है। फिर, सीधी रेखा फिटिंग का उदाहरण लें।
 * $$f(x_i,\beta)=\alpha + \beta x_i$$

इस स्थिति में
 * $$M_{ii}=\sigma^2_{y,i}+\beta^2 \sigma^2_{x,i}$$

यह दर्शाता है कि किस प्रकार iवें बिंदु पर विचरण स्वतंत्र और आश्रित दोनों चरों के विचरण और डेटा को फिट करने के लिए उपयोग किए जा रहे नमूना द्वारा निर्धारित किया जाता है। पैरामीटर को नोट करके अभिव्यक्ति को सामान्यीकृत किया जा सकता है $$\beta$$ रेखा का ढलान है.
 * $$M_{ii}=\sigma^2_{y,i}+\left(\frac{dy}{dx}\right)^2_i \sigma^2_{x,i}$$

इस प्रकार की अभिव्यक्ति का उपयोग संतुलन स्थिरांक पैरामीटर त्रुटियों और सहसंबंध के निर्धारण में किया जाता है, जहां ढलान बड़ा होने पर x पर एक छोटी त्रुटि y पर एक बड़ी त्रुटि में बदल जाती है।

बीजगणितीय दृष्टिकोण
जैसा कि 1980 में गोलूब और वैन लोन द्वारा दिखाया गया था, टीएलएस समस्या का सामान्य रूप से कोई समाधान नहीं है। निम्नलिखित उस साधारण स्थिति पर विचार करता है जहां कोई विशेष धारणा बनाए बिना एक अनूठा समाधान उपस्थित है।

एकल मूल्य अपघटन (एसवीडी) का उपयोग करके टीएलएस की गणना मानक ग्रंथों में वर्णित है। हम समीकरण हल कर सकते है
 * $$XB \approx Y$$

बी के लिए जहां एक्स एम-बाय-एन है और वाई एम-बाय-के है। अर्थात, हम बी को ढूंढना चाहते है जो क्रमशः एक्स और वाई के लिए त्रुटि आव्यूह ई और एफ को कम करता है। वह है,
 * $$\mathrm{argmin}_{B,E,F} \| [E\; F] \|_F, \qquad (X+E) B = Y+F$$

जहाँ $$[E\; F]$$ ई और एफ के साथ-साथ संवर्धित आव्यूह है $$\|\cdot\|_F$$ फ्रोबेनियस मानदंड है, एक आव्यूह में सभी प्रविष्टियों के वर्गों के योग का वर्गमूल और इसी तरह आव्यूह की पंक्तियों या स्तंभों की लंबाई के वर्गों के योग का वर्गमूल।

इसे इस प्रकार पुनः लिखा जा सकता है
 * $$[(X+E) \; (Y+F)] \begin{bmatrix} B\\ -I_k\end{bmatrix} = 0.$$

जहाँ $$I_k$$ है $$k\times k$$ शिनाख्त सांचा। फिर लक्ष्य खोजना है $$[E\; F]$$ जिससे रैंक कम हो जाती है $$[X\; Y]$$ के द्वारा. परिभाषित करना $$[U] [\Sigma] [V]^*$$ संवर्धित आव्यूह का एकवचन मूल्य अपघटन होना $$[X\; Y]$$.
 * $$[X\; Y] = [U_X\; U_Y] \begin{bmatrix}\Sigma_X &0 \\ 0 & \Sigma_Y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}V_{XX} & V_{XY} \\ V_{YX} & V_{YY}\end{bmatrix}^* = [U_X\; U_Y] \begin{bmatrix}\Sigma_X &0 \\ 0 & \Sigma_Y\end{bmatrix} \begin{bmatrix} V_{XX}^* & V_{YX}^* \\ V_{XY}^* & V_{YY}^*\end{bmatrix}$$

जहां V को X और Y के आकार के अनुरूप ब्लॉकों में विभाजित किया गया है।

एकार्ट-यंग प्रमेय का उपयोग करते हुए, त्रुटि के मानदंड को न्यूनतम करने वाला सन्निकटन ऐसा है कि आव्यूह $$U$$ और $$V$$ अपरिवर्तित है, जबकि सबसे छोटे है $$k$$ एकवचन मानों को शून्य से बदल दिया जाता है। अर्थात हम चाहते है
 * $$[(X+E)\; (Y+F)] = [U_X\; U_Y] \begin{bmatrix}\Sigma_X &0 \\ 0 & 0_{k\times k}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}V_{XX} & V_{XY} \\ V_{YX} & V_{YY}\end{bmatrix}^*$$

तो रैखिकता से,
 * $$[E\; F] = -[U_X\; U_Y] \begin{bmatrix}0_{n\times n} &0 \\ 0 & \Sigma_Y\end{bmatrix}\begin{bmatrix}V_{XX} & V_{XY} \\ V_{YX} & V_{YY}\end{bmatrix}^*. $$

फिर हम इसे सरल बनाते हुए यू और Σ मैट्रिसेस से ब्लॉक हटा सकते है
 * $$[E\; F] = -U_Y\Sigma_Y \begin{bmatrix}V_{XY}\\V_{YY}\end{bmatrix}^*= -[X\; Y] \begin{bmatrix}V_{XY}\\V_{YY}\end{bmatrix}\begin{bmatrix}V_{XY}\\ V_{YY}\end{bmatrix}^*.$$

यह E और F प्रदान करता है जिससे कि
 * $$[(X+E) \; (Y+F)] \begin{bmatrix}V_{XY}\\ V_{YY}\end{bmatrix} = 0.$$

अब यदि $$V_{YY}$$ निरर्थक है, जो हमेशा स्थिति नहीं होती है (ध्यान दें कि

टीएलएस का व्यवहार कब होता है $$V_{YY}$$ क्या एकवचन अभी तक अच्छी तरह से समझ में नहीं आया है), फिर हम दोनों पक्षों को सही से गुणा कर सकते है $$-V_{YY}^{-1}$$ सही आव्यूह के निचले ब्लॉक को नकारात्मक पहचान में लाने के लिए, देना
 * $$[(X+E) \; (Y+F)] \begin{bmatrix} -V_{XY} V_{YY}^{-1} \\ -V_{YY} V_{YY}^{-1}\end{bmatrix} = [(X+E) \; (Y+F)] \begin{bmatrix} B\\ -I_k\end{bmatrix} = 0 ,$$

इसलिए
 * $$B=-V_{XY} V_{YY}^{-1}.$$

इसका एक सरल जीएनयू ऑक्टेव कार्यान्वयन है:

समस्या को हल करने की विधि ऊपर वर्णित है, जिसके लिए आव्यूह की आवश्यकता होती है $$V_{YY}$$ यह एकवचन नहीं है, इसे तथाकथित मौलिक टीएलएस कलन विधि द्वारा थोड़ा बढ़ाया जा सकता है।

गणना
मौलिक टीएलएस कलन विधि का मानक कार्यान्वयन नेटलिब के माध्यम से उपलब्ध है, यह भी देखें। सभी आधुनिक कार्यान्वयन, उदाहरण के लिए, सामान्य न्यूनतम वर्ग समस्याओं के अनुक्रम को हल करने पर आधारित, आव्यूह का अनुमान लगाते है $$B$$ (संकेतित $$X$$ साहित्य में), जैसा कि सबाइन वान हफेल और वांडेवेले द्वारा प्रस्तुत किया गया है। गौरतलब है कि यह $$B$$ चूँकि, कई स्थितियों में टीएलएस समाधान नहीं है।

अरैखिक नमूना
गैर-रेखीय न्यूनतम वर्गों के लिए | गैर-रेखीय प्रणालियों के समान तर्क से पता चलता है कि पुनरावृत्ति चक्र के लिए सामान्य समीकरणों को इस प्रकार लिखा जा सकता है
 * $$\mathbf{J^TM^{-1}J\Delta \boldsymbol\beta=J^T M^{-1} \Delta y}, $$

जहाँ $$\mathbf{J}$$ जैकोबियन आव्यूह और निर्धारक है।

ज्यामितीय व्याख्या
जब स्वतंत्र चर त्रुटि-मुक्त होता है तो एक अवशिष्ट प्रेक्षित डेटा बिंदु और फिट किए गए वक्र (या सतह) के बीच ऊर्ध्वाधर दूरी का प्रतिनिधित्व करता है। कुल न्यूनतम वर्गों में एक अवशिष्ट डेटा बिंदु और किसी दिशा में मापे गए फिट किए गए वक्र के बीच की दूरी को दर्शाता है। वास्तव में, यदि दोनों चर एक ही इकाइयों में मापे जाते है और दोनों चर पर त्रुटियां समान है, तो अवशिष्ट एक बिंदु से एक रेखा तक की दूरी को दर्शाता है, अर्थात, अवशिष्ट वेक्टर वक्र के स्पर्शरेखा के लंबवत है। इस कारण से, इस प्रकार के प्रतिगमन को कभी-कभी दो आयामी यूक्लिडियन प्रतिगमन कहा जाता है (स्टीन, 1983) या ओर्थोगोनल प्रतिगमन।

स्केल अपरिवर्तनीय विधियाँ
यदि चरों को समान इकाइयों में नहीं मापा जाता है तो एक गंभीर कठिनाई उत्पन्न होती है। पहले डेटा बिंदु और रेखा के बीच की दूरी मापने पर विचार करें: इस दूरी के लिए माप इकाइयाँ क्या है? यदि हम पाइथागोरस प्रमेय के आधार पर दूरी मापने पर विचार करते है तो यह स्पष्ट है कि हम विभिन्न इकाइयों में मापी गई मात्राओं को जोड़ देंगे, जो अर्थहीन है। दूसरे, यदि हम किसी एक चर को दोबारा मापते है, उदाहरण के लिए, किलोग्राम के अतिरिक्त ग्राम में मापते है, तो हम अलग-अलग परिणाम (एक अलग रेखा) के साथ समाप्त होंगे। इन समस्याओं से बचने के लिए कभी-कभी यह सुझाव दिया जाता है कि हम आयामहीन चर में परिवर्तित हो जाएं - इसे सामान्यीकरण या मानकीकरण कहा जा सकता है। चूँकि, ऐसा करने के कई विधियां होती है, और इनसे ऐसे फिट नमूना बनते है जो एक-दूसरे के समकक्ष नहीं होते है। एक दृष्टिकोण ज्ञात (या अनुमानित) माप परिशुद्धता द्वारा सामान्यीकरण करना है, जिससे बिंदुओं से रेखा तक महालनोबिस की दूरी कम हो जाती है, अधिकतम संभावना समाधान प्रदान होता है; विचरण के विश्लेषण के माध्यम से अज्ञात त्रुटिहीनता प्राप्त की जा सकती है।

संक्षेप में, कुल न्यूनतम वर्गों में इकाइयों-अपरिवर्तनीय की संपत्ति नहीं होती है - अर्थात। यह स्केल अपरिवर्तनीयता नहीं है। एक सार्थक नमूना के लिए हमें इस संपत्ति को धारण करने की आवश्यकता है। आगे बढ़ने की एक विधि यह समझना होता है कि यदि जोड़ के अतिरिक्त गुणा का उपयोग किया जाए तो विभिन्न इकाइयों में मापे गए अवशेषों (दूरियों) को जोड़ा जा सकता है। एक रेखा फ़िट करने पर विचार करें: प्रत्येक डेटा बिंदु के लिए ऊर्ध्वाधर और क्षैतिज अवशेषों का उत्पाद अवशिष्ट रेखाओं और फिट की गई रेखा द्वारा निर्मित त्रिभुज के क्षेत्रफल के दोगुने के बराबर होता है। हम वह रेखा चुनते है जो इन क्षेत्रों के योग को न्यूनतम करती है। नोबेल पुरस्कार विजेता पॉल सैमुएलसन ने 1942 में सिद्ध किया कि, दो आयामों में, यह एकमात्र रेखा है जिसे केवल मानक विचलन के अनुपात और सहसंबंध गुणांक के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, जो (1) सही समीकरण में फिट बैठता है जब अवलोकन एक सीधी रेखा पर आते है, ( 2) स्केल इनवेरिएंस प्रदर्शित करता है, और (3) चरों के आदान-प्रदान के अनुसार इनवेरिएंस प्रदर्शित करता है। इस समाधान को विभिन्न विषयों में फिर से खोजा गया है और इसे मानकीकृत प्रमुख अक्ष (रिकर 1975, वार्टन एट अल., 2006) के रूप में जाना जाता है। कम प्रमुख अक्ष, ज्यामितीय माध्य कार्यात्मक संबंध (ड्रेपर और स्मिथ, 1998), न्यूनतम उत्पाद प्रतिगमन, विकर्ण प्रतिगमन, कार्बनिक सहसंबंध की रेखा, और न्यूनतम क्षेत्र रेखा (टोफालिस, 2002)। टोफलिस (2015) अनेक चरों से निपटने के लिए इस दृष्टिकोण का विस्तार किया है।

यह भी देखें

 * डेमिंग रिग्रेशन, दो भविष्यवक्ताओं और स्वतंत्र त्रुटियों वाला एक विशेष स्थिति।
 * चर नमूना में त्रुटियाँ
 * गॉस-हेल्मर्ट नमूना
 * रेखीय प्रतिगमन
 * कम से कम वर्गों
 * प्रमुख कंपोनेंट विश्लेषण
 * प्रमुख घटक प्रतिगमन

अन्य

 * आई. ह्नतिनकोवा, एम. प्लेज़िंगर, डी. एम. सिमा, ज़ेड स्ट्रैकोस, और सबाइन वान हफ़ेल|एस। वैन हफ़ेल, AX ≈ B में कुल न्यूनतम वर्ग समस्या। मौलिक कार्यों के संबंध में एक नया वर्गीकरण। सिमैक्स वॉल्यूम. 32 अंक 3 (2011), पृष्ठ 748-770। प्रीप्रिंट के रूप में उपलब्ध है।
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