फोकस (ज्यामिति)

ज्यामिति में, फ़ोकस या फ़ॉसी, एकवचन फोकस, विशेष बिंदु हैं जिनके संदर्भ में विभिन्न प्रकार के वक्रों का निर्माण किया जाता है। उदाहरण के लिए, शंकु वर्गों को परिभाषित करने में एक या दो foci का उपयोग किया जा सकता है, जिनमें से चार प्रकार वृत्त, दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय हैं। इसके अलावा, दो foci का उपयोग कैसिनी अंडाकार कार्तीय अंडाकार अंडाकार को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, और दो से अधिक foci का उपयोग n-ellipse|n-दीर्घवृत्त को परिभाषित करने के लिए किया जाता है।

दो नाभियों के संदर्भ में शांकवों की परिभाषा
एक दीर्घवृत्त को बिंदुओं के स्थान (गणित) के रूप में परिभाषित किया जा सकता है, जिसके लिए दो दिए गए नाभियों की दूरियों का योग स्थिर है।

एक वृत्त एक दीर्घवृत्त का विशेष मामला है जिसमें दो केंद्र एक दूसरे के साथ मेल खाते हैं। इस प्रकार, एक वृत्त को अधिक आसानी से उन बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनमें से प्रत्येक एक दिए गए फोकस से एक निश्चित दूरी है। एक वृत्त को अपोलोनियस के मंडलियों के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है, दो अलग-अलग फ़ॉसी के संदर्भ में, बिंदुओं के स्थान के रूप में दो फ़ॉसी के लिए दूरी का एक निश्चित अनुपात होता है।

एक परवलय एक दीर्घवृत्त का एक सीमित मामला है जिसमें foci में से एक अनंत पर एक बिंदु है।

एक अतिपरवलय को उन बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिनके लिए दो दिए गए नाभियों की दूरियों के बीच अंतर का निरपेक्ष मान स्थिर है।

फोकस और डायरेक्ट्रिक्स के संदर्भ में शांकवों को परिभाषित करना
एकल फ़ोकस और एकल शांकव अनुभाग # सनकीपन, फ़ोकस और डायरेक्ट्रिक्स के संदर्भ में सभी शंकु वर्गों का वर्णन करना भी संभव है, जो एक दी गई रेखा (ज्यामिति) है जिसमें फ़ोकस नहीं है। एक शंकु को उन बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जाता है जिनमें से प्रत्येक के लिए फोकस की दूरी को डायरेक्ट्रिक्स की दूरी से विभाजित एक निश्चित सकारात्मक स्थिरांक होता है, जिसे विलक्षणता (गणित) कहा जाता है। यदि 0  1 है तो शंकु एक अतिपरवलय है। यदि फोकस की दूरी निश्चित है और नियता अनंत पर एक रेखा है, इसलिए उत्केन्द्रता शून्य है, तो शंकु एक वृत्त है।

फोकस और डायरेक्ट्रिक्स सर्कल के संदर्भ में शांकवों को परिभाषित करना
यह भी संभव है कि सभी शंकु वर्गों को उन बिंदुओं के लोकी के रूप में वर्णित किया जाए जो एक ही फ़ोकस और एक एकल, वृत्ताकार नियता से समान दूरी पर हों। दीर्घवृत्त के लिए, नियता वृत्त के केंद्र और केंद्र दोनों के परिमित निर्देशांक होते हैं और नियता वृत्त की त्रिज्या इस वृत्त के केंद्र और फ़ोकस के बीच की दूरी से अधिक होती है; इस प्रकार, फोकस डायरेक्ट्रिक्स सर्कल के अंदर है। इस प्रकार उत्पन्न दीर्घवृत्त का अपना दूसरा फोकस डायरेक्ट्रिक्स सर्कल के केंद्र में होता है, और दीर्घवृत्त पूरी तरह से सर्कल के भीतर स्थित होता है।

पैराबोला के लिए, डायरेक्ट्रिक्स का केंद्र अनंत पर बिंदु पर जाता है (प्रोजेक्टिव ज्यामिति देखें)। डायरेक्ट्रिक्स सर्कल शून्य वक्रता वाला एक वक्र बन जाता है, जो एक सीधी रेखा से अप्रभेद्य होता है। परबोला की दो भुजाएँ विस्तार के साथ-साथ समानांतर होती जाती हैं, और अनंत पर समानांतर हो जाती हैं; प्रक्षेपी ज्यामिति के सिद्धांतों का उपयोग करते हुए, दो समानांतर बिंदु अनंत पर एक दूसरे को काटते हैं और परवलय एक बंद वक्र (अण्डाकार प्रक्षेपण) बन जाता है।

अतिपरवलय उत्पन्न करने के लिए, नियता वृत्त की त्रिज्या को इस वृत्त के केंद्र और फ़ोकस के बीच की दूरी से कम चुना जाता है; इस प्रकार, फोकस डायरेक्ट्रिक्स सर्कल के बाहर है। हाइपरबोला की भुजाएँ स्पर्शोन्मुख रेखाओं तक पहुँचती हैं और हाइपरबोला की एक शाखा की दाहिनी भुजा अनंत पर बिंदु पर हाइपरबोला की दूसरी शाखा के बाएँ हाथ से मिलती है; यह इस सिद्धांत पर आधारित है कि प्रक्षेपी ज्यामिति में, एक रेखा स्वयं को अनंत पर एक बिंदु पर मिलती है। हाइपरबोला की दो शाखाएँ इस प्रकार अनंत पर बंद वक्र के दो (मुड़) भाग हैं।

प्रक्षेपी ज्यामिति में, सभी शंकु इस अर्थ में समतुल्य हैं कि प्रत्येक प्रमेय जो एक के लिए कहा जा सकता है, दूसरे के लिए कहा जा सकता है।

खगोलीय महत्व
गुरुत्वीय दो-पिंड समस्या में, एक-दूसरे के बारे में दो पिंडों की कक्षाओं को दो अतिव्यापी शंक्वाकार वर्गों द्वारा वर्णित किया जाता है, जिनमें से एक का संपाती द्रव्यमान के केंद्र में दूसरे के नाभियों में से एक के साथ होता है (बैरीसेंट्रिक निर्देशांक (बैरीसेंट्रिक निर्देशांक) खगोल विज्ञान)) दो निकायों की।

इस प्रकार, उदाहरण के लिए, छोटे ग्रह प्लूटो के सबसे बड़े प्राकृतिक उपग्रह चारोन (चंद्रमा) की एक अण्डाकार कक्षा है जिसका एक फोकस प्लूटो-चारोन प्रणाली के बेरिकेंटर पर है, जो एक बिंदु है जो दो पिंडों के बीच अंतरिक्ष में है; और प्लूटो भी पिंडों के बीच उसी बेरिकेंटर पर अपने फोकस में से एक के साथ दीर्घवृत्त में चलता है। प्लूटो का दीर्घवृत्त पूरी तरह से चारोन के दीर्घवृत्त के अंदर है, जैसा कि चारोन (चंद्रमा) # सिस्टम की कक्षा में दिखाया गया है।

तुलनात्मक रूप से, पृथ्वी का चंद्रमा एक दीर्घवृत्त में चलता है, जिसका एक फोकस चंद्रमा और पृथ्वी के बायर्सेंटर पर होता है, यह बायर्सेंटर पृथ्वी के भीतर ही होता है, जबकि पृथ्वी (अधिक सटीक रूप से, इसका केंद्र) एक फोकस के साथ दीर्घवृत्त में चलता है। पृथ्वी के भीतर उसी बेरिकेंटर पर। बैरीसेंटर पृथ्वी के केंद्र से इसकी सतह तक की दूरी का लगभग तीन-चौथाई है।

इसके अलावा, प्लूटो-चारोन प्रणाली सूर्य के साथ अपने बेरिकेंटर के चारों ओर एक दीर्घवृत्त में चलती है, जैसा कि पृथ्वी-चंद्रमा प्रणाली (और हर दूसरे ग्रह-चंद्रमा प्रणाली या सौर मंडल में चंद्रमा रहित ग्रह) करती है। दोनों ही मामलों में सूर्य के शरीर के भीतर बेरिकेंटर अच्छी तरह से है।

दो बाइनरी सितारे भी दीर्घवृत्त में गति करते हैं जो उनके बेरिकेंटर पर फोकस साझा करते हैं; एनिमेशन के लिए, बाइनरी स्टार#एस्ट्रोफिजिक्स देखें।

कार्तीय और कैसिनी अंडाकार
एक कार्तीय अंडाकार उन बिंदुओं का समूह होता है जिनमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरियों का भारित योग स्थिर होता है। यदि भार समान हैं, तो दीर्घवृत्त परिणाम का विशेष मामला।

एक कैसिनी अंडाकार उन बिंदुओं का समूह है जिनमें से प्रत्येक के लिए दो दिए गए नाभियों की दूरियों का गुणनफल स्थिर होता है।

सामान्यीकरण
एक n-दीर्घवृत्त | n-दीर्घवृत्त उन सभी बिंदुओं का समूह है जिनकी दूरी n foci के समान है (n = 2 मामला पारंपरिक दीर्घवृत्त है)।

फोकस की अवधारणा को मनमाना बीजगणितीय वक्रों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। C को वर्ग m का एक वक्र होने दें और I और J को अनंत पर वृत्ताकार बिंदुओं को निरूपित करने दें। I और J में से प्रत्येक के माध्यम से C पर m स्पर्श रेखाएँ खींचें। m रेखाओं के दो सेट हैं जिनमें m होगा2 प्रतिच्छेदन बिंदु, विलक्षणताओं आदि के कारण कुछ मामलों में अपवादों के साथ। प्रतिच्छेदन के इन बिंदुओं को C के फोकस के रूप में परिभाषित किया गया है। दूसरे शब्दों में, एक बिंदु P एक फोकस है यदि PI और PJ दोनों हैं सी के लिए स्पर्शरेखा। जब सी एक वास्तविक वक्र है, तो केवल संयुग्म जोड़े के चौराहे वास्तविक हैं, इसलिए वास्तविक नाभियों में एम हैं और एम2 − m काल्पनिक फोकस। जब C एक शांकव होता है, तो इस तरह से परिभाषित वास्तविक foci ठीक वही foci होते हैं जिनका उपयोग C के ज्यामितीय निर्माण में किया जा सकता है।

कन्फोकल कर्व्स
चलो पी1, पी2, ..., पीm वर्ग m के बीजगणितीय वक्र C के foci के रूप में दिया जाना चाहिए। बता दें कि P इन बिंदुओं के स्पर्शरेखा समीकरणों का गुणनफल है और Q अनंत पर वृत्ताकार बिंदुओं के स्पर्शरेखा समीकरणों का गुणनफल है। फिर सभी रेखाएँ जो P = 0 और Q = 0 दोनों के लिए सामान्य स्पर्शरेखाएँ हैं, C की स्पर्शरेखा हैं। इसलिए, AF+BG प्रमेय के अनुसार, C के स्पर्शरेखा समीकरण का रूप HP + KQ = 0 है। चूँकि C का वर्ग m है, H एक स्थिरांक होना चाहिए और K लेकिन उसकी डिग्री m−2 से कम या उसके बराबर होनी चाहिए। स्थिति H = 0 को पतित के रूप में समाप्त किया जा सकता है, इसलिए C के स्पर्शरेखा समीकरण को P + fQ = 0 के रूप में लिखा जा सकता है, जहाँ f एक बहुपद m2 की डिग्री का एक मनमाना बहुपद है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए m = 2, P1 = (1,0), और पी2 = (−1,0). स्पर्शरेखा समीकरण X + 1 = 0 और X − 1 = 0 हैं इसलिए P = X2 − 1 = 0. अनंत पर गोलाकार बिंदुओं के लिए स्पर्शरेखा समीकरण हैं X + iY = 0 और X − iY = 0 इसलिए Q = X2 +वाई 2। इसलिए, दी गई नाभियों वाले शंकु के लिए स्पर्शरेखा समीकरण X है 2 − 1 + c(X2 +वाई 2) = 0, या (1+ c)X2 + सीवाई2 = 1 जहाँ c एक स्वेच्छ स्थिरांक है। बिंदु निर्देशांक में यह बन जाता है
 * $$\frac{x^2}{1+c} + \frac{y^2}{c} = 1.$$