संघनन (गणित)

गणित की सामान्य टोपोलॉजी में, संघनन टोपोलॉजिकल समष्टि को सघन समष्टि में बनाने की प्रक्रिया या परिणाम है। सघन समष्टि वह समष्टि है जिसमें समष्‍टि के प्रत्येक विवृत आवरण में परिमित उपआवरण होता है। संघनन की विभिन्न विधियाँ होती हैं, किन्तु प्रत्येक विधि अनंत पर बिंदुओं को जोड़कर या ऐसे पलायन को अवरोधित कर बिंदुओं को अनंत तक जाने से नियंत्रित करती है।

उदाहरण
इसकी सामान्य टोपोलॉजी के साथ वास्तविक रेखा पर विचार करें। यह समष्टि सघन नहीं है; अर्थात बिंदु बायीं या दायीं ओर अनंत तक जा सकते हैं। अनंत पर बिंदु जोड़कर वास्तविक रेखा को सघन समष्टि में परिवर्तित करना संभव है जिसे हम ∞ द्वारा निरूपित करेंगे। परिणामी संघनन का वृत्त के रूप में विचार किया जा सकता है (जो यूक्लिडियन तल के संवृत और परिबद्ध उपसमुच्चय के रूप में सघन है)। प्रत्येक क्रम जो वास्तविक रेखा में अनंत तक चला गया, वह इस संघनन में ∞ में परिवर्तित हो जाएगा।

सहज रूप से, प्रक्रिया को इस प्रकार चित्रित किया जा सकता है: सर्वप्रथम वास्तविक रेखा को x-अक्ष पर विवृत अंतराल में श्रिंक करें (−$\pi$, π); तत्पश्चात इस अंतराल के सिरों को ऊपर की ओर विकृत करें (धनात्मक y-दिशा में) और उन्हें एक-दूसरे की ओर ले जाएं, जब तक कि आपको इस प्रकार का वृत्त न प्राप्त हो जाए जिसमें बिंदु (सबसे ऊपर वाला) लुप्त हो। यह बिंदु अनंत पर हमारा नया बिंदु ∞ है; इसे जोड़ने से सघन वृत्त पूर्ण हो जाता है।

औपचारिक रूप से: सरलता के लिए हम इकाई वृत्त पर बिंदु को उसके कोण से, रेडियन में, -π से π तक दर्शाते हैं। वृत्त पर इस प्रकार के प्रत्येक बिंदु θ को वास्तविक स्पर्शरेखा (θ/2) पर संगत बिंदु द्वारा प्रमाणित करें। यह फलन बिंदु π पर अपरिभाषित है, क्योंकि tan(π/2) अपरिभाषित है; हम इस बिंदु को ∞ बिंदु द्वारा प्रमाणित करेंगे।

चूंकि स्पर्शरेखा और व्युत्क्रम स्पर्शरेखा दोनों सतत हैं, तत्समक फलन वास्तविक रेखा और ∞ के अतिरिक्त इकाई वृत्त के मध्य समरूपता है। जिस प्रकार का निर्माण किया गया है उसे वास्तविक रेखा का अलेक्जेंड्रॉफ़ बिंदु संघनन कहा जाता है, जिसका नीचे अधिक व्यापकता से विचार किया गया है। दो बिंदुओं, +∞ और −∞ को जोड़कर वास्तविक रेखा को संकुचित करना भी संभव है; इसके परिणामस्वरूप विस्तारित वास्तविक रेखा प्राप्त होती है।

परिभाषा
कॉम्पैक्ट समष्टि के सघन उपसमूह के रूप में टोपोलॉजिकल समष्टि X के एम्बेडिंग को X का संघनन कहा जाता है। सघन समष्टि में टोपोलॉजिकल समष्टि को एम्बेड करना अधिकांशतः उपयोगी होता है, क्योंकि सघन समष्टि में विशेष गुण होते हैं।

सघन हॉसडॉर्फ़ समष्टि में एम्बेडिंग विशेष रुचि की हो सकती है। चूँकि प्रत्येक सघन हॉसडॉर्फ़ समष्‍टि टाइकोनोफ़ समष्‍टि है, और टाइकोनॉफ़ समष्‍टि का प्रत्येक उप-समष्‍टि टाइकोनॉफ़ है, जिससे यह निष्कर्ष प्राप्त होता है कि हॉसडॉर्फ़ संघनन वाला कोई भी समष्टि टाइकोनॉफ़ समष्‍टि होना चाहिए। वास्तव में, इसका विपरीत भी सत्य है; हॉसडॉर्फ संघनन के लिए टाइकोनॉफ़ समष्टि होना आवश्यक और पर्याप्त दोनों है।

तथ्य यह है कि गैर-कॉम्पैक्ट रिक्त समष्टि के बड़े और रोचक वर्गों में वास्तव में विशेष प्रकार के संघनन होते हैं, जो टोपोलॉजी में संघनन को सामान्य तकनीक बनाते है।

अलेक्जेंड्रोफ़ बिंदु संघनन
किसी भी नॉनकॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल समष्टि X के लिए (अलेक्जेंडरॉफ़) X का बिंदु संघनन αX, अतिरिक्त बिंदु ∞ (अधिकांशतः अनंत पर बिंदु कहा जाता है) को जोड़कर और नए समष्टि के विवृत समुच्चय को X के विवृत समुच्चय के साथ फॉर्म G ∪ $\{∞\}$ के समुच्चय रूप में परिभाषित करके प्राप्त किया जाता है। जहां G, X का विवृत उपसमुच्चय है जिस प्रकार X ∖ G संवृत और सघन है। X का बिंदु संघनन हॉसडॉर्फ़ है यदि X हॉसडॉर्फ़ है और स्थानीय रूप से सघन है।

स्टोन-बोहेमिया संघनन
विशेष रूप से हॉसडॉर्फ़ संघनन है, अर्थात, संघनन जिसमें कॉम्पैक्ट समष्टि हॉसडॉर्फ है। टोपोलॉजिकल समष्टि में हॉसडॉर्फ़ संघनन होता है यदि यह टाइकोनोफ़ समष्टि हो। इस स्थिति में, अद्वितीय (होमियोमोर्फिज्म तक) तथा सबसे सामान्य हॉसडॉर्फ संघनन होता है, X का स्टोन-सेच संघनन, जिसे βX द्वारा दर्शाया गया है; औपचारिक रूप से, यह कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ़ रिक्त समष्टि और निरंतर मानचित्रों की श्रेणी (गणित) को टाइकोनॉफ़ रिक्त समष्टि और निरंतर मानचित्रों की श्रेणी के प्रतिबिंबित उपश्रेणी के रूप में प्रदर्शित करता है।

सामान्य या औपचारिक रूप से प्रतिबिंबित करने का अर्थ है कि समष्टि βX सार्वभौमिक गुण की विशेषता है जिसे X से कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ समष्टि K तक किसी भी सतत फलन (टोपोलॉजी) को βX से K तक अद्वितीय रूप से सतत फलन तक विस्तारित किया जा सकता है। अधिक स्पष्ट रूप से, βX कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ समष्टि है जिसमें X इस प्रकार है कि βX द्वारा X पर प्रेरित टोपोलॉजी X पर दी गई टोपोलॉजी के समान है, किसी भी सतत मानचित्र f : X → K के लिए, जहां K कॉम्पैक्ट हॉसडॉर्फ समष्टि है तथा अद्वितीय सतत मानचित्र g : βX → K है जिसके लिए X तक सीमित g समान रूप से f है।

स्टोन-सेच संघनन का निर्माण स्पष्ट रूप से निम्नानुसार किया जा सकता है: मान लें कि C, X से संवृत अंतराल [0, 1] तक सतत फलनों का समुच्चय है। तब X में प्रत्येक बिंदु को C पर मूल्यांकन फलन के साथ पहचाना जा सकता है। इस प्रकार X को [0, 1]C के उपसमुच्चय से पहचाना जा सकता है, जो C से [0, 1] तक के सभी फलनों का समष्टि है। चूंकि उत्तरार्द्ध टाइकोनोफ़ के प्रमेय द्वारा कॉम्पैक्ट है, उस समष्टि के उपसमुच्चय के रूप में X का संवृत होना भी कॉम्पैक्ट होगा। यह स्टोन-सेच संघनन है।

स्पेसटाइम संघनन
वाल्टर बेंज और इसहाक याग्लोम ने दर्शाया है कि किस प्रकार एकल-शीट हाइपरबोलाइड पर स्टीरियोग्राफिक प्रक्षेपण का उपयोग विभाजित सम्मिश्र संख्याओं के लिए संघनन प्रदान करने के लिए किया जा सकता है। वास्तव में, हाइपरबोलाइड वास्तविक प्रक्षेप्य चार-समष्टि में चतुर्भुज का भाग है। यह विधि स्पेसटाइम के अनुरूप समूह क्रिया (गणित) के लिए बेस मैनिफोल्ड प्रदान करने के लिए उपयोग की जाने वाली विधि के समान है।

प्रक्षेप्य समष्टि
वास्तविक प्रक्षेप्य समष्टि RPn यूक्लिडियन समष्टि Rn का संघनन है। प्रत्येक संभावित दिशा के लिए Rn में बिंदु पलायन कर सकता है, अनंत पर नया बिंदु जोड़ा जाता है (किन्तु प्रत्येक दिशा को उसके विपरीत से पहचाना जाता है)। ऊपर दिए गए उदाहरण में हमने R का जो अलेक्जेंड्रॉफ़ बिंदु संघनन बनाया है, वह वास्तव में RP1 के लिए होमियोमोर्फिक है। यद्यपि ध्यान दें कि प्रक्षेप्य तल RP2 समतल R2 का बिंदु संघनन नहीं है चूंकि एक से अधिक अंक जोड़े गए हैं।

जटिल प्रक्षेप्य समष्टि CPn भी Cn का संघनन है; तल C का अलेक्जेंड्रॉफ़ बिंदु संघनन जटिल प्रक्षेप्य रेखा CP1 (होमियोमोर्फिक) है, जिसे रीमैन क्षेत्र के वृत के साथ पहचाना जा सकता है।

प्रक्षेप्य समष्टि बीजगणितीय ज्यामिति में सामान्य उपकरण है क्योंकि अनंत पर जोड़े गए बिंदु कई प्रमेयों के सरल सूत्रीकरण की ओर ले जाते हैं। उदाहरण के लिए, RP2 में कोई भी दो भिन्न-भिन्न रेखाएँ उचित रूप से बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, इस प्रकार का कथन R2 में सत्य नहीं होता है। अधिक सामान्यतः बेज़ाउट का प्रमेय, जो प्रतिच्छेदन सिद्धांत में वास्तविक है तथा प्रक्षेप्य समष्टि में है, किन्तु एफ़िन समष्टि में नहीं है। एफ़िन समष्टि और प्रक्षेप्य समष्टि में प्रतिच्छेदन का यह विशिष्ट व्यवहार कोहोमोलोजी वलयों में बीजगणितीय टोपोलॉजी में परिलक्षित होता है - एफ़िन समष्टि की कोहॉमोलॉजी तुच्छ होती है, जबकि प्रक्षेप्य समष्टि की कोहॉमोलॉजी गैर-तुच्छ होती है और प्रतिच्छेदन सिद्धांत की प्रमुख विशेषताओं को दर्शाती है (उपविविधता का आयाम और डिग्री, प्रतिच्छेदन कप गुणनफल के लिए पोंकारे द्वैत है)।

मॉड्यूलि रिक्त समष्टि के संघनन के लिए सामान्यतः अध:पतन की अनुमति की आवश्यकता होती है - जिसके उदाहरण में कुछ विलक्षणताओं या कम करने योग्य विविधताओं की अनुमति देना सम्मिलित है। इसका उपयोग विशेष रूप से बीजगणितीय वक्रों के मॉड्यूली के डेलिग्ने-ममफोर्ड संघनन में किया जाता है।

लाई समूहों का संघनन और असतत उपसमूह
लाई समूहों के असतत उपसमूहों के अध्ययन में, कोसेट का भागफल समष्टि (टोपोलॉजी) अधिकांशतः केवल टोपोलॉजिकल की तुलना में समृद्ध स्तर पर संरचना को संरक्षित करने के लिए अधिक सूक्ष्म संघनन के लिए प्रत्याशी होता है।

उदाहरण के लिए, मॉड्यूलर वक्रों को प्रत्येक क्यूप्स (विलक्षणता) के लिए एकल बिंदुओं को जोड़कर संकुचित किया जाता है, जिससे वे रीमैन सतह बन जाते हैं (और इसलिए, क्योंकि वे कॉम्पैक्ट, बीजगणितीय वक्र होते हैं)। जहाँ क्यूप्स उत्तम कारण के लिए होते हैं: वक्र जाली (समूह) के समष्टि को पैरामीट्रिज करते हैं, और वे जाली अधिकांशतः विभिन्न विधियों से (स्तर की कुछ सहायक संरचना को ध्यान में रखते हुए) पतित हो सकती हैं (अनंत तक चली जाती हैं)। क्यूस्प्स अनंत तक उन विभिन्न दिशाओं के लिए स्थिर हैं।

यह अर्ध तल में जाली के लिए होते है। n-आयामी यूक्लिडियन समष्टि में समान प्रश्न पूछे जा सकते हैं, उदाहरण के लिए SO(n) ∖ SLn(R) / SLn(Z), इसे संकुचित करना कठिन होता है। विभिन्न प्रकार के संघनन होते हैं, जैसे कि बोरेल-सेरे संघनन, रिडक्टिव बोरेल-सेरे संघनन और सातेक संघनन, जिन्हें बनाया भी जा सकता है।

अन्य संघनन सिद्धांत

 * अंत (टोपोलॉजी) और अभाज्य अंत के सिद्धांत।
 * कुछ 'सीमा' सिद्धांत जैसे विवृत मैनिफोल्ड की कॉलरिंग, मार्टिन सीमा, शिलोव सीमा और फुरस्टनबर्ग सीमा।
 * टोपोलॉजिकल समूह का बोहर संघनन लगभग आवधिक फलनों के विचार से उत्पन्न होता है।
 * टोपोलॉजिकल रिंग के लिए रिंग के ऊपर प्रक्षेप्य रेखा इसे संकुचित कर सकती है।
 * हर्मिटियन सममित समष्टि के भागफल का बेली-बोरेल संघनन।
 * बीजगणितीय समूहों के भागफल का अद्भुत संघनन।
 * स्थानीय रूप से उत्तल समष्टि में उत्तल उपसमुच्चय वाले संघनन को उत्तल संघनन कहा जाता है, उनकी अतिरिक्त रैखिक संरचना अनुमति देती है जैसे अवकलन और अधिक उन्नत विचार विकसित करने के लिए उदाहरणस्वरूप वैरिएबल कैलकुलस या अनुकूलन सिद्धांत में छूट होती है।