आवेग अपरिवर्तनशीलता

इंपल्स इनवेरिएंस निरंतर-समय फिल्टर से असतत-समय अनंत-आवेग-प्रतिक्रिया (आईआईआर) फिल्टर को डिजाइन करने की  तकनीक है जिसमें निरंतर-समय प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया को असतत-समय प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया उत्पन्न करने के लिए नमूना किया जाता है। असतत-समय प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया निरंतर-समय प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया की स्थानांतरित प्रतियों का योग होगी; यदि निरंतर-समय प्रणाली नमूने की नाइक्विस्ट आवृत्ति से कम आवृत्ति तक लगभग बैंड-सीमित है, तो असतत-समय प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया नाइक्विस्ट आवृत्ति से नीचे की आवृत्तियों के लिए लगभग इसके बराबर होगी।

चर्चा
सतत-समय प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया, $$h_c(t)$$, नमूनाकरण अवधि के साथ नमूना लिया जाता है $$T$$ असतत-समय प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया उत्पन्न करने के लिए, $$h[n]$$.


 * $$h[n]=Th_c(nT)\,$$

इस प्रकार, दोनों प्रणालियों की आवृत्ति प्रतिक्रियाएँ संबंधित हैं


 * $$H(e^{j\omega}) = \frac{1}{T}   \sum_{k=-\infty}^\infty{H_c\left(j\frac{\omega}{T} + j\frac{2{\pi}}{T}k\right)}\,$$

यदि निरंतर समय फ़िल्टर लगभग बैंड-सीमित है (यानी) $$H_c(j\Omega) < \delta$$ कब $$|\Omega| \ge \pi/T$$), तो असतत-समय प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया लगभग प्रति नमूना π रेडियन से नीचे आवृत्तियों के लिए निरंतर-समय प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया होगी (नाइक्विस्ट आवृत्ति 1/(2T) हर्ट्ज के नीचे):


 * $$H(e^{j\omega}) = H_c(j\omega/T)\,$$ के लिए $$|\omega| \le \pi\,$$

द्विरेखीय परिवर्तन की तुलना
ध्यान दें कि अलियासिंग होगी, जिसमें नाइक्विस्ट आवृत्ति के नीचे अलियासिंग भी शामिल है, इस हद तक कि निरंतर-समय फ़िल्टर की प्रतिक्रिया उस आवृत्ति के ऊपर गैर-शून्य है। बिलिनियर ट्रांसफॉर्म आवेग अपरिवर्तनीयता का  विकल्प है जो   अलग मैपिंग का उपयोग करता है जो निरंतर समय प्रणाली की आवृत्ति प्रतिक्रिया को अनंत आवृत्ति से मैप करता है, मैपिंग के विपरीत, अलग-अलग समय के मामले में नाइक्विस्ट आवृत्ति तक आवृत्तियों की सीमा में मैप करता है आवृत्तियाँ वृत्ताकार ओवरलैप के साथ रैखिक रूप से होती हैं जैसा कि आवेग आक्रमण करता है।

सिस्टम फ़ंक्शन में ध्रुवों पर प्रभाव
यदि निरंतर ध्रुव पर $$s = s_k$$, सिस्टम फ़ंक्शन को आंशिक अंश विस्तार में लिखा जा सकता है


 * $$H_c(s) = \sum_{k=1}^N{\frac{A_k}{s-s_k}}\,$$

इस प्रकार, व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन का उपयोग करते हुए, आवेग प्रतिक्रिया है


 * $$h_c(t) = \begin{cases}

\sum_{k=1}^N{A_ke^{s_kt}}, & t \ge 0 \\ 0, & \mbox{otherwise} \end{cases}$$ संबंधित असतत-समय प्रणाली की आवेग प्रतिक्रिया को फिर निम्नलिखित के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$h[n] = Th_c(nT)\,$$
 * $$h[n] = T \sum_{k=1}^N{A_ke^{s_knT}u[n]}\,$$

असतत-समय आवेग प्रतिक्रिया पर z-परिवर्तन करने से निम्नलिखित असतत-समय प्रणाली फ़ंक्शन उत्पन्न होता है


 * $$H(z) = T \sum_{k=1}^N{\frac{A_k}{1-e^{s_kT}z^{-1}}}\,$$

इस प्रकार निरंतर-समय प्रणाली फ़ंक्शन से ध्रुवों को z = e पर ध्रुवों में अनुवादित किया जाता हैskटी. शून्य, यदि कोई हो, इतनी आसानी से मैप नहीं किए जाते हैं।

ध्रुव और शून्य
यदि सिस्टम फ़ंक्शन में शून्य के साथ-साथ ध्रुव भी हैं, तो उन्हें उसी तरह से मैप किया जा सकता है, लेकिन परिणाम अब  आवेग अपरिवर्तनीय परिणाम नहीं है: असतत-समय आवेग प्रतिक्रिया केवल निरंतर-समय आवेग प्रतिक्रिया के नमूनों के बराबर नहीं है। इस विधि को मिलान Z-रूपांतरण विधि, या पोल-ज़ीरो मैपिंग के रूप में जाना जाता है।

स्थिरता और कारणता
चूँकि सतत-समय प्रणाली में ध्रुव s = s पर होते हैंkz = exp(s) पर असतत-समय प्रणाली में ध्रुवों में बदलनाkटी), एस-प्लेन मानचित्र के बाएं आधे हिस्से में पोल, जेड-प्लेन में यूनिट सर्कल के अंदर; इसलिए यदि निरंतर-समय फ़िल्टर कारणात्मक और स्थिर है, तो असतत-समय फ़िल्टर भी कारणात्मक और स्थिर होगा।

संशोधित सूत्र
जब  कारण निरंतर-समय आवेग प्रतिक्रिया में असंततता होती है $$t=0$$, उपरोक्त अभिव्यक्तियाँ सुसंगत नहीं हैं। यह है क्योंकि $$h_c (0)$$ इसकी दाएँ और बाएँ सीमाएँ अलग-अलग हैं, और वास्तव में केवल उनके औसत का ही योगदान होना चाहिए, उसके दाएँ मान का आधा $$h_c (0_+)$$, को $$h[0]$$.

यह सुधार करने से मिलता है


 * $$h[n] = T \left( h_c(nT) - \frac{1}{2} h_c(0_+)\delta [n] \right) \,$$
 * $$h[n] = T \sum_{k=1}^N{A_ke^{s_knT}} \left( u[n] - \frac{1}{2} \delta[n] \right) \,$$

असतत-समय आवेग प्रतिक्रिया पर z-परिवर्तन करने से निम्नलिखित असतत-समय प्रणाली फ़ंक्शन उत्पन्न होता है


 * $$H(z) = T \sum_{k=1}^N{\frac{A_k}{1-e^{s_kT}z^{-1}} - \frac{T}{2} \sum_{k=1}^N A_k}.$$

बिना किसी असंततता वाले फिल्टर के लिए दूसरा योग शून्य है, यही कारण है कि इसे अनदेखा करना अक्सर सुरक्षित होता है।

यह भी देखें

 * द्विरेखीय परिवर्तन
 * मिलान Z-रूपांतरण विधि

अन्य स्रोत

 * ओपेनहेम, एलन वी. और शेफ़र, रोनाल्ड डब्ल्यू. बक के साथ, जॉन आर. डिस्क्रीट-टाइम सिग्नल प्रोसेसिंग। दूसरा संस्करण। अपर सैडल रिवर, न्यू जर्सी: प्रेंटिस-हॉल, 1999।
 * सहाय, अनंत। पाठ्यक्रम व्याख्यान. इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग 123: डिजिटल सिग्नल प्रोसेसिंग। यूनिवर्सिटी ऑफ कैलिफोर्निया, बर्केले। 5 अप्रैल 2007.
 * एइटेलबर्ग, एड. कन्वोल्यूशन इनवेरिएंस और सही आवेग इनवेरिएंस। सिग्नल प्रोसेसिंग, वॉल्यूम। 86, अंक 5, पृ. 1116-1120. 2006

बाहरी संबंध

 * Impulse Invariant Transform at CircuitDesign.info Brief explanation, an example, and application to Continuous Time Sigma Delta ADC's.