अनुक्रम सिद्धांत(ऑर्डर थ्योरी)

घातज सिद्धांत गणित की एक शाखा है जो द्विआधारी संबंधों का उपयोग करके घातज की सहज धारणा की जांच करता है। यह "यह उससे कम है" या "यह उससे पहले है" जैसे बयानों का वर्णन करने के लिए एक औपचारिक ढांचा प्रदान करता है। यह लेख क्षेत्र का परिचय देता है और बुनियादी परिभाषाएँ प्रदान करता है। घातज सिद्धांत शब्दावली में घातज-सैद्धांतिक शब्दों की एक सूची पाई जाती है।

पृष्ठभूमि और प्रेरणा
घातज गणित और संगणक विज्ञान जैसे संबंधित क्षेत्रों में हर जगह हैं। प्राथमिक विद्यालय में अक्सर चर्चा की जाने वाली पहली व्यवस्था प्राकृतिक संख्याओं पर मानक क्रम है उदाहरण "2 कम है 3 से", "10 बड़ा है 5 से", को संख्याओं के अन्य सेटों, जैसे कि पूर्णांक और वास्तविक पर ऑर्डर करने के लिए बढ़ाया जा सकता है। किसी अन्य संख्या से अधिक या कम होने का विचार सामान्य रूप से संख्या प्रणालियों (अंक प्रणालियों के साथ तुलना) के मूल अंतर्ज्ञान में से एक है (हालांकि आमतौर पर दो संख्याओं के वास्तविक अंतर में भी रुचि होती है, जो घातज द्वारा नहीं दी जाती है ) घातज के अन्य परिचित उदाहरण एक शब्दकोश में शब्दों के वर्णानुक्रमिक क्रम और लोगों के समूह के भीतर वंश की वंशावली गुण हैं।

घातज की धारणा बहुत सामान्य है, जो उन संदर्भों से परे फैली हुई है जिनमें अनुक्रम या सापेक्ष मात्रा का तत्काल, सहज ज्ञान होता है। अन्य संदर्भों में घातज नियंत्रण या विशेषज्ञता की धारणाओं को पकड़ सकते हैं। संक्षेप में, इस प्रकार का घातज उपसमुच्चय संबंध के बराबर है, उदाहरण के लिए, "बाल रोग विशेषज्ञ चिकित्सक हैं," और "मंडलियां केवल विशेष-मामले वाले दीर्घवृत्त हैं।"

कुछ घातज, जैसे प्राकृतिक संख्याओं पर "से कम-से" और शब्दों पर वर्णानुक्रमिक क्रम में, एक विशेष गुण होता है: प्रत्येक तत्व की तुलना किसी अन्य तत्व से की जा सकती है, यानी यह उससे छोटा (पहले) है, उससे बड़ा (बाद में), या के समान है। हालांकि, कई अन्य घातज नहीं करते हैं। उदाहरण के लिए समुच्चय के संग्रह पर उपसमुच्चय घातज पर विचार करें: हालांकि पक्षियों का समुच्चय और कुत्तों का समुच्चय दोनों जानवरों के समुच्चय के उपसमुच्चय हैं, न तो पक्षी और न ही कुत्ते दूसरे के उपसमुच्चय का गठन करते हैं। वे घातज जैसे "उपसमुच्चय-ऑफ" संबंध जिसके लिए अतुलनीय तत्व मौजूद हैं, आंशिक घातज कहलाते हैं; जिन घातजों के लिए तत्वों की प्रत्येक जोड़ी तुलनीय है, कुल घातज हैं।

घातज सिद्धांत एक सामान्य सेटिंग में ऐसे उदाहरणों से उत्पन्न होने वाले घातजों के अंतर्ज्ञान को पकड़ लेता है। यह गुणों को निर्दिष्ट करके प्राप्त किया जाता है कि एक संबंध ≤ को गणितीय क्रम होना चाहिए। यह अधिक सारगर्भित दृष्टिकोण बहुत मायने रखता है, क्योंकि किसी विशेष क्रम के विवरण पर ध्यान केंद्रित किए बिना, सामान्य सेटिंग में कई प्रमेय प्राप्त किए जा सकते हैं। इन अंतर्दृष्टि को तब आसानी से कई कम सार अनुप्रयोगों में स्थानांतरित किया जा सकता है।

घातजों के व्यापक व्यावहारिक उपयोग से प्रेरित, कई विशेष प्रकार के घातजित समुच्चय को परिभाषित किया गया है, जिनमें से कुछ अपने स्वयं के गणितीय क्षेत्रों में विकसित हो गए हैं। इसके अलावा, घातज सिद्धांत खुद को घातज देने वाले संबंधों के विभिन्न वर्गों तक सीमित नहीं रखता है, बल्कि उनके बीच उपयुक्त कार्यों पर भी विचार करता है। फलन के लिए घातज सैद्धांतिक गुण का एक सरल उदाहरण विश्लेषण से आता है जहां मोनोटोन फलन अक्सर पाए जाते हैं।

मूल परिभाषाएँ
यह खंड समुच्चय सिद्धांत, अंकगणित और द्विआधारी संबंधों की अवधारणाओं पर निर्माण करके क्रमबद्ध समुच्चय का परिचय देता है।

 आंशिक रूप से घातजित समुच्चय 

घातज विशेष द्विआधारी संबंध हैं। मान लीजिए कि P एक समुच्चय है और ≤ P पर एक संबंध है ('समुच्चय पर संबंध' का अर्थ 'इसके निवासियों के बीच संबंध' से लिया जाता है)। तब ≤ एक आंशिक क्रम है यदि यह प्रतिवर्ती, प्रतिसममितीय और सकर्मक है, अर्थात, यदि P में सभी a, b और c के लिए, हमारे पास वह है:


 * a ≤ a (रेफ्लेक्सिविटी)
 * यदि a b और b ≤ a तो a = b (प्रतिसममिति)
 * यदि a ≤ b और b ≤ c तो a ≤ c (c (सकर्मक)।

आंशिक क्रम के साथ समुच्चय को आंशिक रूप से घातज किया गया समुच्चय, आंशिकतः समुच्चय, या केवल घातज किया गया समुच्चय कहा जाता है यदि इच्छित अर्थ स्पष्ट है। इन गुणों की जाँच करके, कोई तुरंत देखता है कि प्राकृतिक संख्याओं, पूर्णांकों, परिमेय संख्याओं और वास्तविक पर प्रसिद्ध घातज उपरोक्त अर्थों में सभी घातज हैं। हालाँकि, इन उदाहरणों में अतिरिक्त गुण हैं कि कोई भी दो तत्व तुलनीय हैं, अर्थात, P में सभी a और b के लिए, हमारे पास वह है:


 * a ≤ b या b ≤ a

इस संपत्ति के साथ एक आंशिक घातज को कुल घातज कहा जाता है। इन घातजों को रैखिक घातज या श्रृंखला भी कहा जा सकता है। जबकि कई परिचित घातज रैखिक होते हैं, समुच्चय पर उपसमुच्चय घातज एक उदाहरण प्रदान करता है जहां यह मामला नहीं है। एक अन्य उदाहरण विभाज्यता (या "is-a-factor-of") संबंध द्वारा दिया गया है | दो प्राकृत संख्याओं n और m के लिए, हम n|m लिखते हैं यदि n शेषफल के बिना m को विभाजित करता है। कोई आसानी से देख सकता है कि इससे आंशिक घातज मिलता है। पहचान संबंध = किसी भी समुच्चय पर भी एक आंशिक क्रम है जिसमें प्रत्येक दो अलग-अलग तत्व अतुलनीय होते हैं। यह एकमात्र ऐसा संबंध भी है जो आंशिक क्रम और तुल्यता संबंध दोनों है। आंशिकतः समुच्चय के कई उन्नत गुण मुख्य रूप से गैर-रैखिक घातजों के लिए रुचिकर हैं।

स्थिति की कल्पना
हास आरेख आंशिक क्रम के तत्वों और संबंधों का नेत्रहीन प्रतिनिधित्व कर सकते हैं। ये ग्राफ़ ड्रॉइंग हैं जहां शिखर पोसेट के तत्व हैं और घातजिंग संबंध दोनों किनारों और शिखर की सापेक्ष स्थिति द्वारा इंगित किया जाता है। घातज नीचे से ऊपर खींचे जाते हैं: यदि कोई तत्व x (पहले) y से छोटा है तो x से y तक एक पथ मौजूद है जो ऊपर की ओर निर्देशित है। तत्वों को जोड़ने वाले किनारों के लिए एक दूसरे को पार करना अक्सर आवश्यक होता है, लेकिन तत्वों को कभी भी किनारे के भीतर स्थित नहीं होना चाहिए। प्राकृतिक संख्याओं के समुच्चय के लिए हैस आरेख बनाना एक शिक्षाप्रद अभ्यास है जो 13 से छोटा या उसके बराबर है, जिसके द्वारा घातज दिया गया है | (विभाजन संबंध)।

यहां तक ​​​​कि कुछ अनंत समुच्चय को एक परिमित उप-क्रम पर एक दीर्घवृत्त (...) को अध्यारोपण करके आरेखित किया जा सकता है। यह प्राकृतिक संख्याओं के लिए अच्छी तरह से काम करता है, लेकिन यह वास्तविक के लिए विफल रहता है, जहां 0 से ऊपर कोई तत्काल उत्तराधिकारी नहीं है, हालांकि, अक्सर एक समान प्रकार के आरेखों से संबंधित अंतर्ज्ञान प्राप्त कर सकते हैं।

घातज के भीतर विशेष तत्व
आंशिक रूप से व्यवस्थित समुच्चय में कुछ तत्व हो सकते हैं जो एक विशेष भूमिका निभाते हैं। सबसे बुनियादी उदाहरण आंशिकतः समुच्चय के कम से कम तत्व द्वारा दिया गया है। उदाहरण के लिए, 1 धनात्मक पूर्णांकों का सबसे छोटा अवयव है और उपसमुच्चय क्रम के अंतर्गत रिक्त समुच्चय सबसे छोटा समुच्चय है। औपचारिक रूप से, तत्व m सबसे छोटा तत्व है यदि:


 * m ≤ a, क्रम के सभी तत्वों के लिए

अंकन 0 अक्सर कम से कम तत्व के लिए पाया जाता है, भले ही कोई संख्या संबंधित न हो। हालाँकि, संख्याओं के समुच्चय के क्रम में, यह संकेतन अनुपयुक्त या अस्पष्ट हो सकता है, क्योंकि संख्या 0 हमेशा कम से कम नहीं होती है। उपरोक्त विभाज्यता क्रम | द्वारा एक उदाहरण दिया गया है, जहाँ 1 सबसे छोटा तत्व है क्योंकि यह अन्य सभी संख्याओं को विभाजित करता है। इसके विपरीत, 0 वह संख्या है जो अन्य सभी संख्याओं से विभाजित होती है। इसलिए यह घातज का सबसे बड़ा तत्व है। कम से कम और सबसे बड़े तत्वों के लिए अन्य लगातार शब्द नीचे और ऊपर या शून्य और इकाई हैं।

वास्तविक संख्याओं के उदाहरण से पता चलता है कि कम से कम और सबसे बड़े तत्व मौजूद नहीं हो सकते हैं। लेकिन अगर वे मौजूद हैं, तो वे हमेशा अद्वितीय होते हैं। इसके विपरीत, विभाज्यता संबंध पर विचार करें | समुच्चय पर {2,3,4,5,6}। हालांकि इस समुच्चय में न तो ऊपर है और न ही नीचे, तत्वों 2, 3, और 5 के नीचे कोई तत्व नहीं है, जबकि 4, 5 और 6 में कोई भी ऊपर नहीं है। ऐसे तत्वों को क्रमशः न्यूनतम और अधिकतम कहा जाता है। औपचारिक रूप से, एक तत्व m न्यूनतम होता है यदि:

a ≤ m का अर्थ है a = m, कोटि के सभी अवयव a के लिए।

≤ के साथ ≥ बदलने से अधिकतमता की परिभाषा मिलती है। जैसा कि उदाहरण से पता चलता है, कई अधिकतम तत्व हो सकते हैं और कुछ तत्व अधिकतम और न्यूनतम दोनों हो सकते हैं (उदाहरण के लिए ऊपर 5)। हालांकि, अगर कम से कम तत्व है, तो यह घातज का एकमात्र न्यूनतम तत्व है। फिर से, अनंत आंशिकतः समुच्चय में अधिकतम तत्व हमेशा मौजूद नहीं होते हैं - किसी दिए गए अनंत समुच्चय के सभी परिमित उपसमुच्चय का समुच्चय, उपसमुच्चय समावेश द्वारा घातजित, कई प्रतिरूपों में से एक प्रदान करता है। कुछ शर्तों के तहत अधिकतम तत्वों के अस्तित्व को सुनिश्चित करने के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण ज़ोर्न का लेम्मा है।

आंशिक रूप से घातज किए गए समुच्चय के उपसमुच्चय घातज को इनहेरिट करते हैं। प्रेरित विभाज्यता क्रम के साथ प्राकृतिक संख्याओं के उपसमुच्चय {2,3,4,5,6} पर विचार करके हमने इसे पहले ही लागू कर दिया है। अब पोसेट के ऐसे तत्व भी हैं जो क्रम के कुछ उपसमुच्चय के संबंध में विशेष हैं।यह ऊपरी सीमा की परिभाषा की ओर जाता है। कुछ आंशिकतः समुच्चय P के उपसमुच्चय S को देखते हुए, S की ऊपरी सीमा P का एक तत्व b है जो S के सभी तत्वों से ऊपर है। औपचारिक रूप से, इसका मतलब है कि


 * s ≤ b, S में सभी s के लिए।

निचली सीमाओं को फिर से क्रम को उलट कर परिभाषित किया जाता है। उदाहरण के लिए, -5 पूर्णांकों के उपसमुच्चय के रूप में प्राकृत संख्याओं की निचली सीमा है। समुच्चय को देखते हुए, उपसमुच्चय घातजिंग के तहत इन समुच्चय के लिए ऊपरी सीमा उनके संघ द्वारा दी जाती है। वास्तव में, यह ऊपरी सीमा काफी खास है: यह सबसे छोटा समुच्चय है जिसमें सभीसमुच्चय होते हैं। इसलिए, हमें समुच्चयों के समुच्चय की सबसे छोटी ऊपरी सीमा मिली है। इस अवधारणा को सुप्रीमम या जॉइन भी कहा जाता है, और एक समुच्चय S के लिए एक sup(S) या $$\bigvee S$$ अपने कम से कम ऊपरी बाउंड के लिए लिखता है। इसके विपरीत, सबसे बड़ी निचली सीमा को इनफिमम या मीट और निरूपित inf(S) या  $$\bigwedge S$$के रूप में जाना जाता है। ये अवधारणाएं घातज थ्योरी के कई अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण भूमिका निभाती हैं। दो तत्वों x और y के लिए, एक $$x\vee y$$ तथा $$x\wedge y$$ sup ({x, y}) और inf ({x, y}) के लिए क्रमशः है।

उदाहरण के लिए, 1 पूर्णांकों के उपसमुच्चय के रूप में धनात्मक पूर्णांकों का अधिकतम है

अन्य उदाहरण के लिए, फिर से संबंध पर विचार करें | प्राकृतिक संख्याओं पर। दो संख्याओं की सबसे छोटी ऊपरी सीमा वह छोटी से छोटी संख्या होती है जो उन दोनों से विभाजित होती है, यानी संख्याओं का लघुतम समापवर्त्य है। बदले में सबसे बड़ी निचली सीमाएं महत्तम समापवर्तक द्वारा दी जाती हैं।

द्वंद्व
पिछली परिभाषाओं में, हमने अक्सर ध्यान दिया कि एक अवधारणा को केवल पूर्व परिभाषा में क्रम को उलट कर परिभाषित किया जा सकता है। यह "न्यूनतम" और "महानतम" के लिए, "न्यूनतम" और "अधिकतम" के लिए, "ऊपरी बाउंड" और "लोअर बाउंड" के लिए, और इसी तरह का मामला है। यह घातज सिद्धांत में एक सामान्य स्थिति है: किसी दिए गए घातज को केवल उसकी दिशा का आदान-प्रदान करके उलटा किया जा सकता है, चित्रमय रूप से हस्से आरेख को ऊपर-नीचे फ़्लिप किया जा सकता है। यह तथाकथित द्वैत, प्रतिलोम या विपरीत क्रम उत्पन्न करता है।

प्रत्येक घातज सैद्धांतिक परिभाषा की अपनी दोहरी होती है: यह वह धारणा है जिसे कोई व्युत्क्रम क्रम में परिभाषा को लागू करके प्राप्त करता है। चूंकि सभी अवधारणाएं सममित हैं, इसलिए यह संक्रिया आंशिक घातजों के प्रमेयों को बरकरार रखता है। किसी दिए गए गणितीय परिणाम के लिए, कोई केवल क्रम को उल्टा कर सकता है और सभी परिभाषाओं को उनके दोहरे से बदल सकता है और एक अन्य मान्य प्रमेय प्राप्त करता है। यह महत्वपूर्ण और उपयोगी है, क्योंकि एक की कीमत के लिए दो प्रमेय प्राप्त होते हैं। क्रम सिद्धांत में द्वैत पर लेख में कुछ और विवरण और उदाहरण पाए जा सकते हैं।

नए घातजों का निर्माण
दिए गए घातज से घातज बनाने के कई तरीके हैं। दोहरा क्रम एक उदाहरण है। एक अन्य महत्वपूर्ण निर्माण दो आंशिक रूप से घातज किए गए समुच्चय का कार्टेशियन उत्पाद है, जिसे तत्वों के जोड़े पर उत्पाद क्रम के साथ लिया जाता है। घातजिंग को (a, x) ≤ (b, y) द्वारा परिभाषित किया गया है यदि (और केवल अगर) a ≤ b and x ≤ y है। (ध्यान से ध्यान दें कि इस परिभाषा में संबंध प्रतीक के लिए तीन अलग-अलग अर्थ हैं।) दो  आंशिकतः समुच्चय का असंबद्ध संघ घातज निर्माण का एक और विशिष्ट उदाहरण है, जहां घातज मूल घातजों का केवल (असंबद्ध) संघ है।

प्रत्येक आंशिक घातज ≤ एक तथाकथित सख्त घातज < को जन्म देता है, a < b को परिभाषित करके यदि a ≤ b और b ≤ a नहीं है। इस परिवर्तन को a ≤ b यदि a < b या a = b समुच्चय करके उलटा किया जा सकता है। दो अवधारणाएं समान हैं, हालांकि कुछ परिस्थितियों में एक के साथ काम करना दूसरे की तुलना में अधिक सुविधाजनक हो सकता है।

घातजों के बीच कार्य
कुछ अतिरिक्त गुणों वाले आंशिक रूप से घातजित समुच्चय के बीच कार्यों पर विचार करना उचित है जो दो समुच्चय के क्रम संबंधों से संबंधित हैं। इस संदर्भ में होने वाली सबसे बुनियादी स्थिति एकरसता है। आंशिकतः समुच्चय P से आंशिकतः समुच्चय Q में फलन f मोनोटोन, या घातज-प्रिजर्विंग है, यदि P में a ≤ b का तात्पर्य Q में f(a) ≤ f(b) (यह ध्यान में रखते हुए, सख्ती से, यहां दो संबंध अलग हैं क्योंकि वे विभिन्न समुच्चय पर लागू होते हैं।) इस निहितार्थ का संकेत उन कार्यों की ओर जाता है जो 'घातज-रिफ्लेक्टिंग' होते हैं, अर्थात्   फलन f के रूप में ऊपर के रूप में f (a) ≤ f (b) का अर्थ एक ≤ b का अर्थ है। दूसरी ओर, एक फलन भी 'घातज-रिवरिंग' या 'एंटीटोन' भी हो सकता है, यदि ≤ b का अर्थ f (a) (f (b) होता है।

घातज-एम्बेडिंग घातज-संरक्षण और घातज-प्रतिबिंब दोनों के बीच घातज के बीच एक फलन f है। इन परिभाषाओं के उदाहरण आसानी से मिल जाते हैं। उदाहरण के लिए, एक प्राकृतिक संख्या को उसके उत्तराधिकारी के लिए मैप करने वाला फलन प्राकृतिक क्रम के संबंध में स्पष्ट रूप से एकरस है। असतत क्रम से कोई भी कार्य, अर्थात पहचान घातज "=" द्वारा घातजित समुच्चय से, भी मोनोटोन है। प्रत्येक प्राकृतिक संख्या को संबंधित वास्तविक संख्या में मैप करने से घातज एम्बेडिंग के लिए एक उदाहरण मिलता है। पावरसेट पर समुच्चय पूरक एक एंटीटोन फलन का एक उदाहरण है।

महत्वपूर्ण प्रश्न यह है कि जब दो घातज "अनिवार्य रूप से समान" होते हैं, अर्थात जब वे तत्वों के नाम बदलने तक समान होते हैं। घातज समरूपता ऐसे कार्य हैं जो इस तरह के नामकरण को परिभाषित करते हैं। घातज-आइसोमोर्फिज्म एक मोनोटोन बायजेक्टिव फंक्शन है जिसमें एक मोनोटोन व्युत्क्रम होता है। यह एक विशेषण क्रम-एम्बेडिंग होने के बराबर है। इसलिए, एक घातज-एम्बेडिंग की छवि f(P) हमेशा P के लिए समरूपी होती है, जो "एम्बेडिंग" शब्द को सही ठहराती है।

तथाकथित गैलोइस कनेक्शन द्वारा अधिक विस्तृत प्रकार के कार्य दिए गए हैं। मोनोटोन गैलोइस कनेक्शन को घातज-आइसोमोर्फिज्म के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है, क्योंकि वे विपरीत दिशाओं में दो कार्यों की एक जोड़ी का गठन करते हैं, जो एक दूसरे के विपरीत "काफी नहीं" होते हैं।

आंशिकतः समुच्चय पर एक और विशेष प्रकार के स्व-मानचित्र क्लोजर ऑपरेटर हैं, जो न केवल मोनोटोनिक हैं, बल्कि बेवकूफ भी हैं, यानी f(x) = f(f(x)), और व्यापक (या मुद्रास्फीति), यानी x ≤ f (x)।गणित में दिखाई देने वाले सभी प्रकार के "क्लोजर" में इनके कई अनुप्रयोग हैं।

केवल घातज संबंधों के साथ संगत होने के अलावा, विशेष तत्वों और निर्माणों के संबंध में आंशिकतः समुच्चय के बीच कार्य भी अच्छा व्यवहार कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, कम से कम तत्व वाले  आंशिकतः समुच्चय के बारे में बात करते समय, केवल मोनोटोनिक कार्यों पर विचार करना उचित प्रतीत हो सकता है जो इस तत्व को संरक्षित करते हैं, यानी जो कम से कम तत्वों को कम से कम तत्वों को मैप करते हैं। यदि बाइनरी इन्फिमा मौजूद है, तो एक उचित संपत्ति के लिए यह आवश्यक हो सकता है कि

f(x ∧ y) = f(x) ∧ f(y), सभी x और y के लिए। ये सभी गुण, और वास्तव में कई अन्य, सीमा-संरक्षण कार्यों के लेबल के तहत संकलित किए जा सकते हैं।

अंत में, कोई भी दृश्य को उल्टा कर सकता है, घातजों के कार्यों से कार्यों के घातजों पर स्विच कर सकता है। दरअसल, दो आंशिकतः समुच्चय्स पी और क्यू के बीच के कार्यों को बिंदुवार क्रम के माध्यम से घातज दिया जा सकता है। दो कार्यों f और g के लिए, हमारे पास f ≤ g है यदि f(x) ≤ g(x )के सभी तत्वों के लिए X के लिए f (g (x) है। यह उदाहरण के लिए डोमेन सिद्धांत में होता है, जहां फलन रिक्त स्थान एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं।

विशेष प्रकार के घातज
क्रम सिद्धांत में अध्ययन की जाने वाली कई संरचनाएं आगे के गुणों के साथ घातज संबंधों को नियोजित करती हैं। वास्तव में, यहां तक कि कुछ संबंध जो आंशिक घातज नहीं हैं, विशेष रुचि के हैं। मुख्य रूप से प्रीघातज की अवधारणा का उल्लेख किया जाना है। एक प्रीघातज एक ऐसा संबंध है जो रिफ्लेक्सिव और ट्रांजिटिव है, लेकिन जरूरी नहीं कि एंटीसिमेट्रिक हो। प्रत्येक पूर्व-घातज तत्वों के बीच एक तुल्यता संबंध उत्पन्न करता है, जहां a, b के बराबर है, यदिa ≤ b और b ≤ a है। इस संबंध के संबंध में समतुल्य सभी तत्वों की पहचान करके पूर्व-घातजों को घातजों में बदला जा सकता है।

घातज की वस्तुओं पर संख्यात्मक डेटा से कई प्रकार के घातज परिभाषित किए जा सकते हैं: कुल घातज का परिणाम प्रत्येक आइटम में अलग-अलग वास्तविक संख्याओं को जोड़ने और आइटम को घातज करने के लिए संख्यात्मक तुलनाओं का उपयोग करने से होता है; इसके बजाय, यदि अलग-अलग मदों को समान संख्यात्मक अंकों की अनुमति दी जाती है, तो एक सख्त कमजोर क्रम प्राप्त करता है। तुलना करने से पहले दो अंकों को एक निश्चित थ्रेशोल्ड से अलग करने की आवश्यकता होती है, एक अर्ध-घातज की अवधारणा की ओर जाता है, जबकि थ्रेशोल्ड को प्रति-आइटम के आधार पर भिन्न होने की अनुमति देने से एक अंतराल क्रम उत्पन्न होता है।

अतिरिक्त सरल लेकिन उपयोगी संपत्ति तथाकथित अच्छी तरह से स्थापित होती है, जिसके लिए सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्व होता है। रैखिक से आंशिक घातजों के लिए अच्छी तरह से घातजों को सामान्य करना, समुच्चय को आंशिक रूप से घातज दिया जाता है यदि इसके सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चय में न्यूनतम तत्वों की एक सीमित संख्या होती है।

कई अन्य प्रकार के घातज तब उत्पन्न होते हैं जब कुछ समुच्चय के इंफिमा और सुप्रीम के अस्तित्व की गारंटी होती है। इस पहलू पर ध्यान केंद्रित करते हुए, जिसे आमतौर पर घातजों की पूर्णता के रूप में संदर्भित किया जाता है, कोई प्राप्त करता है:

हालांकि, कोई और भी आगे जा सकता है: यदि सभी परिमित गैर-रिक्त इंफिमा मौजूद हैं, तो को सार्वभौमिक बीजगणित के अर्थ में कुल बाइनरी संक्रिया के रूप में देखा जा सकता है। इसलिए, लैटिस में, दो संक्रिया ∧ और उपलब्ध हैं, और कोई भी पहचान देकर नए गुणों को परिभाषित कर सकता है, जैसे कि
 * बाउंडेड पॉज़ेट, अर्थात् कम से कम और सबसे बड़े तत्व के साथ पोज़िट (जो कि खाली उपसमुच्चय के सर्वोच्च और अनंत हैं),
 * लैटिस, जिसमें प्रत्येक गैर-खाली परिमित समुच्चय में एक सुप्रीम और अनैतिक होता है,
 * पूर्ण लैटिस, जहां हर समुच्चय में एक सुप्रीम और अनैतिक होता है, और
 * निर्देशित पूर्ण आंशिक घातज (DCPOS), जो सभी निर्देशित उपसमुच्चय के सुप्रेमा के अस्तित्व की गारंटी देते हैं और जो डोमेन सिद्धांत में अध्ययन किए जाते हैं।
 * पूरक, या पीओसी समुच्चय के साथ आंशिक घातज, एक अद्वितीय निचला तत्व 0 के साथ पोज़ेट हैं, साथ ही एक घातज-पुनर्मूल्यांकन इनवोल्यूशन $$*$$ ऐसा है कि $$a \leq a^{*} \implies a = 0.$$


 * x ∧ (y ∨ z)  =  (x ∧ y) ∨ (x ∧ z), सभी x, y, और z के लिए।

इस स्थिति को 'वितरण' कहा जाता है और वितरण को जन्म देता है। कुछ अन्य महत्वपूर्ण वितरण कानून हैं जिन पर घातज सिद्धांत में वितरण पर लेख में चर्चा की जाती है। कुछ अतिरिक्त घातज संरचनाएं जो अक्सर बीजगणितीय संचालन और परिभाषित पहचान के माध्यम से निर्दिष्ट की जाती हैं


 * हेयिंग अल्जेब्रा और
 * बूलियन बीजगणित,

जो दोनों एक नया संक्रिया पेश करते हैं ~ जिसे नकारात्मक कहा जाता है। दोनों संरचनाएं गणितीय तर्क में एक भूमिका निभाती हैं और विशेष रूप से बूलियन बीजगणित के संगणक विज्ञान में प्रमुख अनुप्रयोग हैं। अंत में, गणित में विभिन्न संरचनाएं घातज को और भी अधिक बीजीय संक्रियाओं के साथ जोड़ती हैं, जैसा कि क्वांटल के मामले में होता है, जो एक अतिरिक्त संक्रिया की परिभाषा के लिए अनुमति देता है।

आंशिकतः समुच्चय के कई अन्य महत्वपूर्ण गुण मौजूद हैं। उदाहरण के लिए, एक आंशिकतः समुच्चय स्थानीय रूप से परिमित होता है यदि इसमें प्रत्येक बंद अंतराल [a, b] परिमित हो। स्थानीय रूप से परिमित  आंशिकतः समुच्चय घटना बीजगणित को जन्म देते हैं जो बदले में परिमित बाध्य  आंशिकतः समुच्चय्स की यूलर विशेषता को परिभाषित करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है।

घातजित सेटों के उपसमुच्चय
घातजित सेट में, दिए गए क्रम के आधार पर कई प्रकार के विशेष उपसमुच्चय को परिभाषित किया जा सकता है। साधारण उदाहरण ऊपरी समुच्चय हैं, यानी समुच्चय जिसमें वे सभी तत्व होते हैं जो क्रम में उनके ऊपर होते हैं। औपचारिक रूप से, आंशिकतः समुच्चय P में समुच्चय S का ऊपरी बंद समुच्चय {x में P | द्वारा दिया जाता है S के साथ y ≤ x में कुछ y}है। वह समुच्चय जो उसके ऊपरी बंद के बराबर होता है, ऊपरी समुच्चय कहलाता है। निचले समुच्चय को दोहरी रूप से परिभाषित किया गया है।

अधिक जटिल निचले उपसमुच्चय आदर्श होते हैं, जिनकी अतिरिक्त संपत्ति होती है कि उनके प्रत्येक दो तत्वों में आदर्श के भीतर ऊपरी सीमा होती है। इनके ड्यूल फिल्टर्स द्वारा दिए गए हैं। एक संबंधित अवधारणा एक निर्देशित उपसमुच्चय की है, जिसमें एक आदर्श की तरह परिमित उपसमुच्चय की ऊपरी सीमाएं होती हैं, लेकिन कम समुच्चय नहीं होना चाहिए। इसके अलावा, इसे अक्सर पूर्व-घातजित समुच्चय के लिए सामान्यीकृत किया जाता है।

एक उपसमुच्चय जो एक उप -पोसेट के रूप में है - रैखिक रूप से घातज दिया गया है, को एक श्रृंखला कहा जाता है। विपरीत धारणा, एंटीचैन, एक उपसमुच्चय है जिसमें कोई दो तुलनीय तत्व नहीं हैं; यानी यह एक असतत घातज है।

संबंधित गणितीय क्षेत्र
हालाँकि अधिकांश गणितीय क्षेत्र किसी न किसी तरह से घातजों का उपयोग करते हैं, लेकिन कुछ सिद्धांत ऐसे भी हैं जिनके संबंध केवल अनुप्रयोग से कहीं अधिक हैं। घातज सिद्धांत के साथ उनके संपर्क के प्रमुख बिंदुओं के साथ, इनमें से कुछ को नीचे प्रस्तुत किया जाना है।

सार्वभौमिक बीजगणित
जैसा कि पहले ही उल्लेख किया गया है, सार्वभौमिक बीजगणित के तरीके और औपचारिकताएं कई घातज सैद्धांतिक विचारों के लिए एक महत्वपूर्ण उपकरण हैं। बीजगणितीय संरचनाओं के संदर्भ में औपचारिक घातज देने के अलावा, जो कुछ निश्चित पहचानों को पूरा करते हैं, कोई भी बीजगणित के साथ अन्य कनेक्शन भी स्थापित कर सकता है। एक उदाहरण बूलियन बीजगणित और बूलियन रिंगों के बीच पत्राचार द्वारा दिया गया है। अन्य मुद्दे मुक्त निर्माण के अस्तित्व से संबंधित हैं, जैसे कि जनरेटर के दिए गए समुच्चय के आधार पर मुफ्त लैटिस। इसके अलावा, सार्वभौमिक बीजगणित के अध्ययन में क्लोजर ऑपरेटर महत्वपूर्ण हैं।

टोपोलॉजी
टोपोलॉजी में, घातज बहुत प्रमुख भूमिका निभाते हैं। वास्तव में, खुले समुच्चय का संग्रह पूर्ण लैटिस का एक शास्त्रीय उदाहरण प्रदान करता है, अधिक सटीक रूप से एक पूर्ण हेटिंग बीजगणित (या "फ्रेम" या "लोकेल")। फिल्टर और नेट, घातज सिद्धांत से निकटता से संबंधित धारणाएं हैं औरसमुच्चय के क्लोजर ऑपरेटर का उपयोग टोपोलॉजी को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है। इन संबंधों से परे, टोपोलॉजी को केवल खुले समुच्चय लैटिस के संदर्भ में देखा जा सकता है, जो व्यर्थ टोपोलॉजी के अध्ययन की ओर जाता है। इसके अलावा, एक टोपोलॉजी के अंतर्निहित समुच्चय के तत्वों का एक प्राकृतिक प्रीघातज तथाकथित विशेषज्ञता घातज द्वारा दिया जाता है, जो वास्तव में एक आंशिक क्रम है यदि टोपोलॉजी T0 है।

इसके विपरीत, क्रम सिद्धांत में, अक्सर टोपोलॉजिकल परिणामों का उपयोग किया जाता है। एक घातज के उपसमुच्चय को परिभाषित करने के कई तरीके हैं जिन्हें एक टोपोलॉजी के खुले समुच्चय के रूप में माना जा सकता है। आंशिकतः समुच्चय (X,≤) पर टोपोलॉजी को ध्यान में रखते हुए, जो बदले में ≤ को उनके विशेषज्ञता क्रम के रूप में प्रेरित करता है, बेहतरीन ऐसी टोपोलॉजी अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी है, जो सभी ऊपरी समुच्चय को ओपन के रूप में लेती है।इसके विपरीत, सबसे मोटे टोपोलॉजी जो विशेषज्ञता क्रम को प्रेरित करती है, ऊपरी टोपोलॉजी है, जिसमें एक सबबेस के रूप में प्रमुख आदर्शों (यानी फॉर्म { X में y | y ≤ x} के लिए कुछ x) के पूरक होते हैं। इसके अतिरिक्त, विशेषज्ञता घातज ≤ के साथ एक टोपोलॉजी क्रम संगत हो सकती है, जिसका अर्थ है कि उनके खुले समुच्चय "निर्देशित सुप्रीम द्वारा पहुंच योग्य नहीं हैं" (≤ के संबंध में)। बेहतरीन क्रम संगत टोपोलॉजी स्कॉट टोपोलॉजी है, जो अलेक्जेंड्रोव टोपोलॉजी की तुलना में मोटे है। इस भावना में तीसरा महत्वपूर्ण टोपोलॉजी लॉसन टोपोलॉजी है। इन टोपोलॉजी और घातज सिद्धांत की अवधारणाओं के बीच घनिष्ठ संबंध हैं। उदाहरण के लिए, एक फलन निर्देशित सर्वोच्चता को संरक्षित करता है यदि और केवल अगर यह स्कॉट टोपोलॉजी के संबंध में निरंतर है (इस कारण से इस घातज सैद्धांतिक संपत्ति को स्कॉट-निरंतरता भी कहा जाता है)।

श्रेणी सिद्धांत
हस्से आरेखों के साथ घातजों के विज़ुअलाइज़ेशन का एक सीधा सामान्यीकरण है: बड़े तत्वों के नीचे कम तत्वों को प्रदर्शित करने के बजाय, ग्राफ़ के किनारों को दिशा देकर घातज की दिशा को भी चित्रित किया जा सकता है। इस तरह, प्रत्येक घातज को एक निर्देशित चक्रीय ग्राफ के बराबर देखा जाता है, जहां नोड्स आंशिकतः समुच्चय के तत्व होते हैं और a से b तक एक निर्देशित पथ होता है और केवल अगर a ≤ b होता है। विश्वकोश होने की आवश्यकता को छोड़कर, कोई भी सभी पूर्व-घातज प्राप्त कर सकता है।

जब सभी संक्रमणीय किनारों से सुसज्जित होते हैं, तो बदले में ये ग्राफ़ केवल विशेष श्रेणियां होते हैं, जहां तत्व वस्तुएं होती हैं और दो तत्वों के बीच आकारिता का प्रत्येक समुच्चय अधिकतम सिंगलटन होता है। घातजों के बीच कार्य श्रेणियों के बीच फ़ैक्टर बन जाते हैं। घातज सिद्धांत के कई विचार छोटे में श्रेणी सिद्धांत की अवधारणाएं हैं। उदाहरण के लिए, एक न्यूनतम केवल एक श्रेणीबद्ध उत्पाद है। अधिक आम तौर पर, कोई व्यक्ति एक स्पष्ट सीमा (या क्रमशः कॉलिमिट) की अमूर्त धारणा के तहत इंफिमा और सुप्रीम को पकड़ सकता है। एक और जगह जहां स्पष्ट विचार होते हैं, एक (मोनोटोन) गैलोइस कनेक्शन की अवधारणा है, जो कि निकटवर्ती फ़ैक्टर की एक जोड़ी के समान है।

लेकिन श्रेणी सिद्धांत का भी बड़े पैमाने पर घातज सिद्धांत पर प्रभाव पड़ता है। जैसा कि ऊपर चर्चा की गई है, उपयुक्त कार्यों के साथ आंशिकतः समुच्चय की कक्षाएं दिलचस्प श्रेणियां बनाती हैं। अक्सर कोई भी श्रेणियों के संदर्भ में, उत्पाद घातज की तरह, घातज के निर्माण को भी बता सकता है। आगे की अंतर्दृष्टि का परिणाम तब होता है जब घातज की श्रेणियां स्पष्ट रूप से अन्य श्रेणियों के बराबर पाई जाती हैं, उदाहरण के लिए टोपोलॉजिकल स्पेस है। अनुसंधान की यह पंक्ति विभिन्न प्रतिनिधित्व प्रमेयों की ओर ले जाती है, जिन्हें अक्सर पाषाण द्वैत के लेबल के तहत एकत्र किया जाता है।

इतिहास
जैसा कि पहले बताया गया है, गणित में घातज सर्वव्यापी हैं। हालांकि, आंशिक घातजों का जल्द से जल्द स्पष्ट उल्लेख 19वीं शताब्दी से पहले नहीं पाया जा सकता है। इस सन्दर्भ में जार्ज बूले की कृतियों का अत्यधिक महत्व है। इसके अलावा, चार्ल्स सैंडर्स पीयर्स, रिचर्ड डेडेकिंड और अर्न्स्ट श्रोडर के काम भी घातज सिद्धांत की अवधारणाओं पर विचार करते हैं।

घातजित ज्यामिति के लिए योगदानकर्ताओं को 1961 की पाठ्यपुस्तक में सूचीबद्ध किया गया था: "यह 1882 में पास था, जिसने पहली बार बताया कि माप के संदर्भ के बिना क्रम की ज्यामिति विकसित की जा सकती है। पीनो (1889), हिल्बर्ट (1899), और वेब्लेन (1904) द्वारा उनकी स्वयंसिद्ध प्रणाली में धीरे-धीरे सुधार किया गया था।" 1901 में बर्ट्रेंड रसेल ने "आर्डर की धारणा पर" श्रृंखला की पीढ़ी के माध्यम से विचार की नींव की खोज की। वह गणित के सिद्धांतों (1903) के भाग IV में विषय पर लौट आए। रसेल ने नोट किया कि द्विआधारी संबंध aRb में एक अर्थ है जो a से b तक जाता है, जिसमें विपरीत संबंध विपरीत अर्थ वाला होता है, और अर्थ "घातज और श्रृंखला का स्रोत है"। (p 95) वह स्वीकार करते हैं कि इम्मानुएल कांट "तार्किक विरोध और सकारात्मक और नकारात्मक के विरोध के बीच के अंतर से अवगत थे"। उन्होंने लिखा कि कांट श्रेय के पात्र हैं क्योंकि उन्होंने "पहले असममित संबंधों के तार्किक महत्व पर ध्यान दिया था।

पोसेट शब्द को आंशिक रूप से घातज किए गए समुच्चय के संक्षिप्त नाम के रूप में गैरेट बिरखोफ ने अपनी प्रभावशाली पुस्तक लैटिस थ्योरी के दूसरे संस्करण में गढ़ा था।

यह भी देखें

 * चक्रीय क्रम
 * पदानुक्रम
 * घटना बीजगणित
 * कारण समुच्चय करता है

बाहरी संबंध

 * Orders at ProvenMath partial order, linear order, well order, initial segment; formal definitions and proofs within the axioms of set theory.
 * Nagel, Felix (2013). Set Theory and Topology. An Introduction to the Foundations of Analysis