हिगुची आयाम

भग्न ज्यामिति में हिगुची आयाम या हिगुची भग्न आयाम एचएफडी वास्तविक मूल्यवान कार्यक्रम या समय श्रृंखला बिन्दुरेख के बॉक्स या गिनती आयाम के लिए एक अनुमानित मूल्य है यह मान प्रारूप सन्निकटन के माध्यम से प्राप्त किया जाता है इसलिए हम हिगुची पद्धति के बारे में भी बात करते हैं विज्ञान और रचना में इसके कई अनुप्रयोग हैं और इसे सीस्मोग्राम में प्राथमिक तरंगों की विशेषता जैसे विषयों पर लागू किया गया है नैदानिक तंत्रिका और अल्जाइमर रोग में विद्युतमष्तिकलेख में परिवर्तन का विश्लेषण किया जाता है।

विधि का निरूपण
विधि का मूल निरूपण टी. हिगुची ने किया एक समय श्रृंखला दी गई $$X:\{1, \dots, N \} \to \mathbb{R}$$ को मिलाकर $$N$$ डेटा अंक और एक पैरामीटर $$k_{\mathrm{max}} \geq 2$$ का हिगुची भग्न आयाम एचएफडी $$X$$ में निम्नलिखित तरीके से गणना की जाती है तथा प्रत्येक के लिए $$k \in \{ 1, \dots, k_{\mathrm{max}} }\$$ और $$m \in \{1, \dots, k}\$$ लंबाई परिभाषित करें $$L_m(k)$$ द्वारा यह दर्शाया गया है-


 * $$L_m(k) = \frac{N-1}{\lfloor \frac{N-m}{k} \rfloor k^2} \sum_{i=1}^{\lfloor \frac{N-m}{k} \rfloor} |X_N(m+ik)-X_N(m+(i-1)k)|.$$

लंबाई $$L(k)$$ के औसत मूल्य द्वारा यह परिभाषित किया गया है $$k$$ लंबाई $$L_1(k), \dots, L_k(k)$$,


 * $$L(k) = \frac{1}{k} \sum_{m=1}^k L_m(k).$$

डेटा बिंदुओं के माध्यम से सर्वोत्तम रैखिक कार्यक्रम $$\left \{ \left ( \log \frac{1}{k} ,\log L(k)  \right ) \right \}$$ समय श्रृंखला के हिगुची भग्न आयाम के रूप में परिभाषित किया गया है।

कार्यों के लिए आवेदन
वास्तविक मूल्यवान समारोह के लिए $$f:[0,1] \to \mathbb{R}$$ किसी इकाई अंतराल को विभाजित कर सकता है तथा $$[0,1]$$ में $$N$$ समान रूप से अंतराल $$[t_j,t_{j+1})$$ और समय श्रृंखला में हिगुची प्रारूप भी लागू कर सकता है$$X(j) = f(t_j)$$. यह समारोह के हिगुची भग्न आयाम में परिणत होता है तथा $$f$$ में यह दिखाया गया था कि इस स्थान में हिगुची विधि के बिन्दुरेख तथा बॉक्स गिनती आयाम के लिए एक सन्निकटन प्राप्त करते हैं क्योंकि $$f$$ यह एक ज्यामितीय दृष्टिकोण का अनुसरण करता है।

मजबूती और स्थिरता
भग्न ब्राउनियन समारोह और वीयरस्ट्रैस समारोह के अनुप्रयोगों से पता चलता है कि हिगुची भग्न आयाम बॉक्स आयाम के करीब हो सकता है दूसरी ओर यह विधि उस जगह अस्थिर हो सकती है जहां डेटा $$X(1), \dots, X(N)$$ आवधिक हैं तथा इसके उपसमुच्चय एक क्षैतिज रेखा पर स्थित हैं ।