विचरण-कलन

भिन्नरूपों की कलन(या रूपांतर कलन) गणितीय विश्लेषण का क्षेत्र है जो विविधताओं का उपयोग करता है, जो कि फलन(गणित) में छोटे परिवर्तन हैं और कार्यात्मक(गणित), कार्यों के मैक्सिमा और मिनिमा को खोजने के लिए: फलन(गणित) के सेट से वास्तविक संख्या तक का मानचित्र(गणित) हैं। कार्यात्मक प्रायः कार्यों और उनके यौगिक से जुड़े निश्चित अभिन्न के रूप में व्यक्त किए जाते हैं। प्रकार्यों के कलन के यूलर-लैग्रेंज समीकरण का उपयोग करके कार्यात्मकताओं को अधिकतम या कम करने वाले फलन पाए जा सकते हैं।

ऐसी समस्या का सरल उदाहरण दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सबसे छोटी लंबाई का वक्र ज्ञात करना है। यदि कोई बाधाएँ नहीं हैं, तो समाधान बिंदुओं के बीच सीधी रेखा है। हालांकि, अगर वक्र अंतरिक्ष में सतह पर झूठ बोलने के लिए विवश है, तो समाधान कम स्पष्ट है, और संभवतः कई समाधान मौजूद हो सकते हैं। ऐसे समाधानों को अल्पान्तरी के रूप में जाना जाता है। एक संबंधित समस्या फ़र्मेट के सिद्धांत द्वारा उत्पन्न होती है: प्रकाश दो बिंदुओं को जोड़ने वाली सबसे छोटी ऑप्टिकल लंबाई के पथ का अनुसरण करता है, जो माध्यम की सामग्री पर निर्भर करता है। यांत्रिकी में संगत अवधारणा कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत है।

कई महत्वपूर्ण समस्याओं में कई चरों के कार्य सम्मिलित होते हैं। लाप्लास समीकरण के लिए सीमा मूल्य समस्याओं के समाधान डिरिक्लेट के सिद्धांत को संतुष्ट करते हैं। पठार की समस्या के लिए न्यूनतम क्षेत्र की सतह खोजने की आवश्यकता होती है जो अंतरिक्ष में दिए गए समोच्च को फैलाती है: एक समाधान प्रायः साबुन के पानी में ढांचा को डुबो कर पाया जा सकता है। हालांकि इस तरह के प्रयोग करना अपेक्षाकृत आसान है, उनका गणितीय सूत्रीकरण सरल से बहुत दूर है: एक से अधिक स्थानीय रूप से न्यूनतम करने वाली सतह हो सकती है, और उनके पास नगण्य टोपोलॉजी हो सकती है।

इतिहास
कहा जा सकता है कि विविधताओं की गणना 1687 में न्यूटन की न्यूनतम प्रतिरोध समस्या से प्रारंभ हुई, इसके बाद जोहान बर्नौली(1696) द्वारा उठाई गई ब्राचिस्टोक्रोन वक्र समस्या आई। इसने तुरंत जैकब बर्नौली और गिलाउम डे ल'हॉपिटल का ध्यान आकर्षित किया। लेकिन लियोनहार्ड यूलर ने पहली बार इस विषय को विस्तृत किया, जो 1733 में प्रारंभ हुआ। जोसेफ-लुई लाग्रेंज सिद्धांत के लिए महत्वपूर्ण योगदान देने के लिए यूलर के काम से प्रभावित थे। यूलर द्वारा 19 वर्षीय लैग्रेंज के 1755 के काम को देखने के बाद, यूलर ने लैग्रेंज के विशुद्ध रूप से विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण के पक्ष में अपना आंशिक रूप से ज्यामितीय दृष्टिकोण छोड़ दिया और अपने 1756 के व्याख्यान एलिमेंटा कैलकुली वेरिएशनम में इस विषय का नाम बदल दिया।

एड्रियन मैरी लीजेंड्रे(1786) मैक्सिमा और मिनिमा के भेदभाव के लिए, पूरी तरह से संतोषजनक विधि निर्धारित की। आइजैक न्यूटन और गॉटफ्रीड लीबनिज ने भी इस विषय पर कुछ शुरुआती ध्यान दिया। इस भेदभाव के लिए विन्सेन्ज़ो ब्रुनाची(1810), कार्ल फ्रेडरिक गॉस(1829), सिमोन पॉइसन(1831), मिखाइल ओस्ट्रोग्रैडस्की(1834), और कार्ल गुस्ताव जैकब जैकोबी(1837) योगदानकर्ताओं में से हैं। एक महत्वपूर्ण सामान्य कार्य पियरे फ्रेडरिक सर्रस(1842) का है जिसे कॉची(1844) द्वारा संघनित और सुधारा गया था। अन्य मूल्यवान ग्रंथ और संस्मरण झाड़ी(1849), जॉन हेविट जेललेट(1850), ओटो हेस्से(1857), अल्फ्रेड क्लेब्सच(1858), और लुईस बफेट कार्ल(1885) द्वारा लिखे गए हैं, लेकिन शायद सदी का सबसे महत्वपूर्ण काम विअरस्ट्रास का है। सिद्धांत पर उनका प्रसिद्ध पाठ्यक्रम युगांतरकारी है, और यह दावा किया जा सकता है कि वह इसे एक दृढ़ और निर्विवाद नींव पर रखने वाले पहले व्यक्ति थे। 1900 में प्रकाशित हिल्बर्ट की बीसवीं समस्या और हिल्बर्ट की तेईसवीं समस्या हिल्बर्ट समस्याओं ने आगे के विकास को प्रोत्साहित किया।

20वीं सदी में डेविड हिल्बर्ट, ऑस्कर बोल्ज़ा, गिल्बर्ट एम्स ब्लिस, एमी नोथेर, लियोनिडा टोनेली, हेनरी लेबेस्ग्यू और जैक्स हैडमार्ड सहित अन्य ने महत्वपूर्ण योगदान दिया। मारस्टन मोर्स ने विविधताओं की कलन को लागू किया जिसे अब मोर्स सिद्धांत कहा जाता है। लेव पोंट्रीगिन, आर. टाइरेल रॉकफेलर और एफ.एच. क्लार्क ने इष्टतम नियंत्रण सिद्धांत में विविधताओं की कलन के लिए नए गणितीय उपकरण विकसित किए। रिचर्ड बेलमैन की गतिशील प्रोग्रामिंग विविधताओं की कलन का एक विकल्प है।

एक्स्ट्रेमा
भिन्नरूपों की गणना कार्यात्मकताओं के मैक्सिमा या मिनिमा(सामूहिक रूप से एक्स्ट्रेमा कहलाती है) से संबंधित है। एक कार्यात्मक मानचित्र कार्य से स्केलर तक कार्यात्मक कार्यों के रूप में वर्णित किया गया है। कार्यात्मक तत्वों के संबंध में एक्स्ट्रेमा $$y$$ है जो किसी फलन के किसी दिए गए डोमेन पर परिभाषित फलन स्थान है। कार्यात्मक $$J[y]$$ कहा जाता है कि समारोह में चरम है $$f$$ यदि $$\Delta J = J[y] - J[f]$$ सभी के लिए एक ही चिन्ह(गणित) है $$y$$ के एक मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस में $$f.$$ कार्यक्रम $$f$$ एक्स्ट्रीमल फलनया एक्स्ट्रीमल कहा जाता है। समाप्त $$J[f]$$ स्थानीय अधिकतम कहा जाता है यदि $$\Delta J \leq 0$$ मनमाने ढंग से छोटे पड़ोस में हर जगह $$f,$$ और एक स्थानीय न्यूनतम अगर $$\Delta J \geq 0$$ वहां। निरंतर कार्यों के एक कार्य स्थान के लिए, संबंधित कार्यों के एक्स्ट्रेमा को मजबूत एक्स्ट्रेमा या कमजोर एक्स्ट्रेमा कहा जाता है, यह इस बात पर निर्भर करता है कि निरंतर कार्यों के पहले डेरिवेटिव क्रमशः सभी निरंतर हैं या नहीं। कार्यात्मकता के मजबूत और कमजोर एक्स्ट्रेमा दोनों निरंतर कार्यों के स्थान के लिए हैं, लेकिन मजबूत एक्स्ट्रेमा की अतिरिक्त आवश्यकता है कि अंतरिक्ष में कार्यों का पहला डेरिवेटिव निरंतर हो। इस प्रकार एक मजबूत चरम भी एक कमजोर चरम है, लेकिन बातचीत(तर्क) धारण नहीं कर सकती है। कमजोर एक्स्ट्रेमा को खोजने की तुलना में मजबूत एक्स्ट्रेमा को खोजना अधिक कठिन है। आवश्यकता और पर्याप्तता का एक उदाहरण जिसका उपयोग कमजोर एक्स्ट्रेमा को खोजने के लिए किया जाता है, वह है यूलर-लैग्रेंज समीकरण।

यूलर-लैग्रेंज समीकरण
कार्यात्मकताओं का एक्स्ट्रेमा ढूँढना फलन के मैक्सिमा और मिनिमा को खोजने के समान है। किसी फलन के उच्चिष्ठ और निम्निष्ठ का पता उन बिंदुओं को ज्ञात करके किया जा सकता है जहां इसका व्युत्पन्न लुप्त हो जाता है(अर्थात, शून्य के बराबर है)। कार्यात्मकताओं का एक्स्ट्रेमा उन कार्यों को ढूंढकर प्राप्त किया जा सकता है जिनके लिए कार्यात्मक व्युत्पन्न शून्य के बराबर है। यह संबद्ध यूलर-लैग्रेंज समीकरण को हल करने की ओर ले जाता है। कार्यात्मक पर विचार करें$$J[y] = \int_{x_1}^{x_2} L\left(x,y(x),y'(x)\right)\, dx \, .$$जहां पे यदि कार्यात्मक $$J[y]$$ पर एक स्थानीय न्यूनतम प्राप्त करता है $$f,$$ तथा $$\eta(x)$$ एक मनमाना कार्य है जिसमें कम से कम एक व्युत्पन्न होता है और समापन बिंदुओं पर गायब हो जाता है $$x_1$$ तथा $$x_2,$$ फिर किसी भी संख्या के लिए $$\varepsilon$$ 0 के करीब,$$J[f] \le J[f + \varepsilon \eta] \, .$$शब्द $$\varepsilon \eta$$ फलन का परिवर्तन कहा जाता है $$f$$ और द्वारा दर्शाया गया है $$\delta f.$$
 * $$x_1, x_2$$ स्थिर हैं(गणित),
 * $$y(x)$$ दो बार लगातार अवकलनीय है,
 * $$y'(x) = \frac{dy}{dx},$$
 * $$L\left(x, y(x), y'(x)\right)$$ अपने तर्कों के संबंध में लगातार दो बार अवकलनीय है $$x, y,$$ तथा $$y'.$$

स्थानापन्न $$f + \varepsilon \eta$$ के लिये $$y$$ कार्यात्मक में $$J[y],$$ परिणाम का एक कार्य है $$\varepsilon,$$$$\Phi(\varepsilon) = J[f+\varepsilon\eta] \, .$$कार्यात्मक के बाद से $$J[y]$$ के लिए न्यूनतम है $$y = f$$ कार्यक्रम $$\Phi(\varepsilon)$$ कम से कम है $$\varepsilon = 0$$ और इस तरह,$$\Phi'(0) \equiv \left.\frac{d\Phi}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} = \int_{x_1}^{x_2} \left.\frac{dL}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} dx = 0 \, .$$का कुल व्युत्पन्न लेना $$L\left[x, y, y'\right],$$ कहाँ पे $$y = f + \varepsilon \eta$$ तथा $$y' = f' + \varepsilon \eta'$$ के कार्य माने जाते हैं $$\varepsilon$$ इसके बजाय $$x,$$ पैदावार$$\frac{dL}{d\varepsilon}=\frac{\partial L}{\partial y}\frac{dy}{d\varepsilon} + \frac{\partial L}{\partial y'}\frac{dy'}{d\varepsilon}$$और क्योंकि $$\frac{dy}{d \varepsilon} = \eta$$ तथा $$\frac{d y'}{d \varepsilon} = \eta',$$$$\frac{dL}{d\varepsilon}=\frac{\partial L}{\partial y}\eta + \frac{\partial L}{\partial y'}\eta'.$$इसलिए,$$\begin{align} \int_{x_1}^{x_2} \left.\frac{dL}{d\varepsilon}\right|_{\varepsilon = 0} dx & = \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial L}{\partial f} \eta + \frac{\partial L}{\partial f'} \eta'\right)\, dx \\ & = \int_{x_1}^{x_2} \frac{\partial L}{\partial f} \eta \, dx + \left.\frac{\partial L}{\partial f'} \eta \right|_{x_1}^{x_2} - \int_{x_1}^{x_2} \eta \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \, dx \\ & = \int_{x_1}^{x_2} \left(\frac{\partial L}{\partial f} \eta - \eta \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \right)\, dx\\ \end{align}$$जहां पे $$L\left[x, y, y'\right] \to L\left[x, f, f'\right]$$ जब $$\varepsilon = 0$$ और हमने दूसरे कार्यकाल में भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग किया है। दूसरी पंक्ति पर दूसरा शब्द गायब हो जाता है क्योंकि $$\eta = 0$$ पर $$x_1$$ तथा $$x_2$$ परिभाषा से। इसके अलावा, जैसा कि पहले बताया गया है कि समीकरण के बाईं ओर शून्य है ताकि$$\int_{x_1}^{x_2} \eta (x) \left(\frac{\partial L}{\partial f} - \frac{d}{dx}\frac{\partial L}{\partial f'} \right) \, dx = 0 \, .$$विविधताओं की कलन की मौलिक लेम्मा के अनुसार, कोष्ठक में समाकलन का हिस्सा शून्य है, अर्थात$$\frac{\partial L}{\partial f} -\frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial f'}=0$$जिसे यूलर-लैग्रेंज समीकरण कहा जाता है। इस समीकरण के बाईं ओर के कार्यात्मक व्युत्पन्न कहा जाता है $$J[f]$$ और निरूपित किया जाता है $$\delta J/\delta f(x).$$

सामान्य तौर पर यह एक दूसरे क्रम का साधारण अंतर समीकरण देता है जिसे चरम फलन प्राप्त करने के लिए हल किया जा सकता है $$f(x).$$ यूलर-लैग्रेंज समीकरण एक आवश्यक स्थिति है, लेकिन एक चरम सीमा के लिए पर्याप्त स्थिति नहीं है $$J[f]$$।

उदाहरण
इस प्रक्रिया को स्पष्ट करने के लिए, चरम फलन को खोजने की समस्या पर विचार करें $$y = f(x),$$ जो दो बिंदुओं को जोड़ने वाला सबसे छोटा वक्र है $$\left(x_1, y_1\right)$$ तथा $$\left(x_2, y_2\right).$$ वक्र की चाप लंबाई किसके द्वारा दी गई है$$A[y] = \int_{x_1}^{x_2} \sqrt{1 + [ y'(x) ]^2} \, dx \, ,$$साथ$$y'(x) = \frac{dy}{dx} \,, \ \ y_1=f(x_1) \, , \ \ y_2=f(x_2) \, .$$मान लीजिए $y$ का एक कार्य है $x$ सामान्यता खो देता है; आदर्श रूप से दोनों को किसी अन्य पैरामीटर का कार्य होना चाहिए। यह दृष्टिकोण केवल शिक्षाप्रद उद्देश्यों के लिए अच्छा है।

यूलर-लैग्रेंज समीकरण का उपयोग अब एक्सट्रीमल फंक्शन को खोजने के लिए किया जाएगा $$f(x)$$ जो क्रियाशीलता को कम करता है $$A[y].$$$$\frac{\partial L}{\partial f} -\frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial f'}=0$$साथ$$L = \sqrt{1 + [ f'(x) ]^2} \, .$$तब से $$f$$ में स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं होता है $$L,$$ यूलर-लैग्रेंज समीकरण में पहला शब्द सभी के लिए गायब हो जाता है $$f(x)$$ और इस तरह,$$\frac{d}{dx} \frac{\partial L}{\partial f'} = 0 \, .$$के लिए प्रतिस्थापन $$L$$ और व्युत्पन्न लेना,$$\frac{d}{dx} \ \frac{f'(x)} {\sqrt{1 + [f'(x)]^2}} \ = 0 \, .$$इस प्रकार$$\frac{f'(x)}{\sqrt{1+[f'(x)]^2}} = c \, ,$$कुछ स्थिर के लिए $$c.$$ फिर$$\frac{[f'(x)]^2}{1+[f'(x)]^2} = c^2 \, ,$$जहां पे$$0 \le c^2<1.$$हल करने पर, हमें प्राप्त होता है$$[f'(x)]^2=\frac{c^2}{1-c^2}$$जिसका तात्पर्य है$$f'(x)=m$$एक स्थिर है और इसलिए सबसे छोटा वक्र है जो दो बिंदुओं को जोड़ता है $$\left(x_1, y_1\right)$$ तथा $$\left(x_2, y_2\right)$$ है$$f(x) = m x + b \qquad \text{with} \ \ m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} \quad \text{and} \quad b = \frac{x_2 y_1 - x_1 y_2}{x_2 - x_1}$$और हमने इस प्रकार चरम कार्य पाया है $$f(x)$$ जो क्रियाशीलता को कम करता है $$A[y]$$ ताकि $$A[f]$$ न्यूनतम है। सीधी रेखा के लिए समीकरण है $$y = f(x).$$ दूसरे शब्दों में, दो बिंदुओं के बीच की सबसे छोटी दूरी एक सीधी रेखा होती है।

बेल्ट्रामी की पहचान
भौतिकी के प्रश्नों में ऐसा हो सकता है $$\frac{\partial L}{\partial x} = 0,$$ जिसका अर्थ है कि एकीकृत का कार्य है $$f(x)$$ तथा $$f'(x)$$ लेकिन $$x$$ अलग से दिखाई नहीं देता। उस मामले में, बेलट्रामी पहचान के लिए यूलर-लग्रेंज समीकरण को सरल बनाया जा सकता है $$L - f' \frac{\partial L}{\partial f'} = C \, ,$$जहां हाँ पे $$C$$ एक स्थिरांक है।बाएं हाथ की ओर का लेजेंड्रे परिवर्तन है $$L$$ इसके संबंध में $$f'(x).$$

इस परिणाम के पीछे अंतर्ज्ञान यह है कि, यदि चर $$x$$ वास्तव में समय है, तो बयान $$\frac{\partial L}{\partial x} = 0$$ तात्पर्य यह है कि लाग्रंगियन समय-स्वतंत्र है। नोएदर के प्रमेय के अनुसार, एक संबद्ध संरक्षित मात्रा है। इस मामले में, यह मात्रा हैमिल्टनियन है, लैग्रैंगियन का लीजेंड्रे परिवर्तन, जो(प्रायः) प्रणाली की ऊर्जा के साथ मेल खाता है। यह बेल्ट्रामी की पहचान में स्थिर(ऋण) है।

यूलर-पॉइसन समीकरण
यदि $$S$$ के उच्च-डेरिवेटिव पर निर्भर करता है $$y(x),$$ वह है, अगर$$S = \int_{a}^{b} f(x, y(x), y'(x), \dots, y^{(n)}(x)) dx,$$फिर $$y$$ यूलर-सिमोन डेनिस पोइसन समीकरण को संतुष्ट करना चाहिए, $$\frac{\partial f}{\partial y} - \frac{d}{dx} \left( \frac{\partial f}{\partial y'} \right) + \dots + (-1)^{n} \frac{d^n}{dx^n} \left[ \frac{\partial f}{\partial y^{(n)}} \right]= 0.$$

डु बोइस-रेमंड का प्रमेय
इस प्रकार अब तक की चर्चा ने माना है कि चरम कार्यों में दो निरंतर व्युत्पन्न होते हैं, हालांकि अभिन्न का अस्तित्व $$J$$ परीक्षण कार्यों के केवल पहले व्युत्पन्न की आवश्यकता होती है। शर्त यह है कि पहली भिन्नता एक चरम सीमा पर गायब हो जाती है, उसे यूलर-लैग्रेंज समीकरण का कमजोर रूप माना जा सकता है। डु बोइस-रेमंड के प्रमेय का दावा है कि यह कमजोर रूप मजबूत रूप का तात्पर्य है। यदि $$L$$ इसके सभी तर्कों के संबंध में निरंतर पहला और दूसरा व्युत्पन्न है, और यदि$$\frac{\partial^2 L}{\partial f'^2} \ne 0,$$फिर $$f$$ इसके दो निरंतर व्युत्पन्न हैं, और यह यूलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करता है।

लवरेंटिव घटना
हिल्बर्ट पहले व्यक्ति थे जिन्होंने स्थिर समाधान देने के लिए यूलर-लग्रेंज समीकरणों के लिए अच्छी स्थितियाँ प्रदान कीं। उत्तल क्षेत्र के भीतर और एक सकारात्मक तीन बार अलग-अलग लाग्रंगियन समाधान वर्गों के गणनीय संग्रह से बने होते हैं जो या तो सीमा के साथ जाते हैं या आंतरिक भाग में यूलर-लग्रेंज समीकरणों को संतुष्ट करते हैं।

हालांकि 1926 में मिखाइल लावेरेंटिव ने दिखाया कि ऐसी परिस्थितियां हैं जहां कोई इष्टतम समाधान नहीं है, लेकिन वर्गों की संख्या बढ़ाकर मनमाने ढंग से निकटता से संपर्क किया जा सकता है। लैवेंटिएव फेनोमेनन स्वीकार्य कार्यों के विभिन्न वर्गों में एक न्यूनीकरण समस्या के न्यूनतम में अंतर की पहचान करता है। उदाहरण के लिए 1934 में मनिआ द्वारा प्रस्तुत निम्नलिखित समस्या: $$L[x] = \int_0^1 (x^3-t)^2 x'^6,$$$${A} = \{x \in W^{1,1}(0,1) : x(0)=0,\ x(1)=1\}.$$स्पष्ट रूप से, $$x(t) = t^{\frac{1}{3}}$$कार्यात्मक को कम करता है, लेकिन हम कोई भी कार्य पाते हैं $$x \in W^{1, \infty}$$ एक मूल्य देता है जो कि अनंतिम से बंधा हुआ है।

उदाहरण(एक-आयाम में) परंपरागत रूप से प्रकट होते हैं $$W^{1,1}$$ तथा $$W^{1,\infty},$$ लेकिन बॉल और मिज़ेल लावेंटिएव के फेनोमेनन को प्रदर्शित करने वाले पहले कार्यात्मक की खरीद की $$W^{1,p}$$ तथा $$W^{1,q}$$ के लिये $$1 \leq p < q < \infty.$$ ऐसे कई परिणाम हैं जो मापदंड देते हैं जिसके तहत घटना घटित नहीं होती है - उदाहरण के लिए 'मानक वृद्धि', दूसरे चर पर कोई निर्भरता नहीं रखने वाला लैग्रैन्जियन, या केसरी की स्थिति(डी) को संतुष्ट करने वाला एक अनुमानित अनुक्रम - लेकिन परिणाम प्रायः विशेष होते हैं, और कार्यों के एक छोटे वर्ग के लिए लागू होते हैं।

लावेंटिएव घटना के साथ जुड़ा हुआ प्रतिकर्षण गुण है: लावेंटिएव की घटना को प्रदर्शित करने वाला कोई भी कार्यात्मक कमजोर प्रतिकर्षण गुण प्रदर्शित करेगा।

चर के फलन
उदाहरण के लिए, यदि $$\varphi(x, y)$$ डोमेन के ऊपर एक झिल्ली के विस्थापन को दर्शाता है $$D$$ में $$x,y$$ फलन, तो इसकी संभावित ऊर्जा इसकी सतह क्षेत्र के समानुपाती होती है:$$U[\varphi] = \iint_D \sqrt{1 +\nabla \varphi \cdot \nabla \varphi} \,dx\,dy.$$पठार की समस्या में एक ऐसा कार्य खोजना सम्मिलित है जो की सीमा पर निर्धारित मान मानते हुए सतह क्षेत्र को कम करता है $$D$$; समाधानों को न्यूनतम सतह कहा जाता है। इस समस्या के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण अरैखिक है:$$\varphi_{xx}(1 + \varphi_y^2) + \varphi_{yy}(1 + \varphi_x^2) - 2\varphi_x \varphi_y \varphi_{xy} = 0.$$विवरण के लिए कुरेंट(1950) देखें।

डिरिक्लेट का सिद्धांत
यह प्रायः झिल्ली के केवल छोटे विस्थापनों पर विचार करने के लिए पर्याप्त होता है, जिनके विस्थापन से ऊर्जा अंतर अनुमानित होता है$$V[\varphi] = \frac{1}{2}\iint_D \nabla \varphi \cdot \nabla \varphi \, dx\, dy.$$कार्यात्मक $$V$$ सभी परीक्षण कार्यों के बीच न्यूनतम किया जाना है $$\varphi$$ जो की सीमा पर निर्धारित मान मानते हैं $$D.$$ यदि $$u$$ न्यूनतम कार्य है और $$v$$ एक मनमाना सुचारू कार्य है जो की सीमा पर गायब हो जाता है $$D,$$ फिर की पहली भिन्नता $$V[u + \varepsilon v]$$ गायब होना चाहिए:$$\left.\frac{d}{d\varepsilon} V[u + \varepsilon v]\right|_{\varepsilon=0} = \iint_D \nabla u \cdot \nabla v \, dx\,dy = 0.$$बशर्ते कि यू के दो डेरिवेटिव हों, हम विचलन प्रमेय को प्राप्त करने के लिए लागू कर सकते हैं$$\iint_D \nabla \cdot (v \nabla u) \,dx\,dy = \iint_D \nabla u \cdot \nabla v + v \nabla \cdot \nabla u \,dx\,dy = \int_C v \frac{\partial u}{\partial n} \, ds,$$कहाँ पे $$C$$ की सीमा है $$D,$$ $$s$$ चापलम्बाई के साथ है $$C$$ तथा $$\partial u / \partial n$$ का सामान्य व्युत्पन्न है $$u$$ पर $$C.$$ तब से $$v$$ पर गायब हो जाता है $$C$$ और पहली भिन्नता गायब हो जाती है, परिणाम है$$\iint_D v\nabla \cdot \nabla u \,dx\,dy =0 $$सभी चिकने कार्यों के लिए v जो की सीमा पर लुप्त हो जाते हैं $$D.$$ एक विमीय समाकल के मामले के प्रमाण को इस मामले में यह दर्शाने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है$$\nabla \cdot \nabla u= 0 $$इस तर्क के साथ कठिनाई यह धारणा है कि न्यूनीकरण समारोह यू में दो व्युत्पन्न होने चाहिए। रीमैन ने तर्क दिया कि भौतिक समस्या के संबंध से एक चिकनी न्यूनतम कार्य के अस्तित्व का आश्वासन दिया गया था: झिल्ली वास्तव में न्यूनतम संभावित ऊर्जा के साथ विन्यास ग्रहण करते हैं। रीमैन ने इस विचार को अपने शिक्षक पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के सम्मान में डिरिचलेट सिद्धांत का नाम दिया। हालाँकि वीयरस्ट्रैस ने बिना किसी समाधान के परिवर्तनशील समस्या का उदाहरण दिया: न्यूनतम करें$$W[\varphi] = \int_{-1}^{1} (x\varphi')^2 \, dx$$सभी कार्यों के बीच $$\varphi$$ जो संतुष्ट करता है $$\varphi(-1)=-1$$ तथा $$\varphi(1)=1.$$

$$W$$ मूल के एक छोटे से पड़ोस में -1 और 1 के बीच संक्रमण करने वाले टुकड़ों के रैखिक कार्यों को चुनकर मनमाने ढंग से छोटा किया जा सकता है। हालाँकि, ऐसा कोई कार्य नहीं है जो बनाता है $$W=0.$$ आखिरकार यह दिखाया गया कि डिरिचलेट का सिद्धांत मान्य है, लेकिन इसके लिए अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों के लिए नियमितता सिद्धांत के एक परिष्कृत अनुप्रयोग की आवश्यकता है; जोस्ट और ली-जोस्ट(1998) देखें।

अन्य सीमा मान समस्याओं का सामान्यीकरण
झिल्ली की संभावित ऊर्जा के लिए एक अधिक सामान्य अभिव्यक्ति है$$V[\varphi] = \iint_D \left[ \frac{1}{2} \nabla \varphi \cdot \nabla \varphi + f(x,y) \varphi \right] \, dx\,dy \, + \int_C \left[ \frac{1}{2} \sigma(s) \varphi^2 + g(s) \varphi \right] \, ds.$$यह बाहरी बल घनत्व के अनुरूप है $$f(x,y)$$ में $$D,$$ एक बाहरी बल $$g(s)$$ सीमा पर $$C,$$ और मापांक के साथ लोचदार बल $$\sigma(s)$$अभिनय कर रहे $$C.$$ वह फलन जो संभावित ऊर्जा को उसके सीमा मानों पर बिना किसी प्रतिबंध के न्यूनतम करता है, द्वारा निरूपित किया जाएगा $$u.$$ उसे उपलब्ध कराया $$f$$ तथा $$g$$ निरंतर हैं, नियमितता सिद्धांत का अर्थ है कि न्यूनतम कार्य $$u$$ दो व्युत्पन्न होंगे। पहला बदलाव लेने में, वेतन वृद्धि पर कोई सीमा शर्त लगाने की जरूरत नहीं है $$v.$$ की पहली भिन्नता $$V[u + \varepsilon v]$$ द्वारा दिया गया है$$\iint_D \left[ \nabla u \cdot \nabla v + f v \right] \, dx\, dy + \int_C \left[ \sigma u v + g v \right] \, ds = 0. $$यदि हम विचलन प्रमेय लागू करते हैं, तो परिणाम है$$\iint_D \left[ -v \nabla \cdot \nabla u + v f \right] \, dx \, dy + \int_C v \left[ \frac{\partial u}{\partial n} + \sigma u + g \right] \, ds =0. $$अगर हम पहले सेट करते हैं $$v = 0$$ पर $$C,$$ सीमा अभिन्न गायब हो जाता है, और हम पहले की तरह निष्कर्ष निकालते हैं$$- \nabla \cdot \nabla u + f =0 $$में $$D.$$ फिर अगर हम अनुमति दें $$v$$ मनमाना सीमा मान ग्रहण करने के लिए, इसका तात्पर्य है कि $$u$$ सीमा शर्त को पूरा करना चाहिए$$\frac{\partial u}{\partial n} + \sigma u + g =0, $$यह सीमा की स्थिति की संपत्ति को कम करने का एक परिणाम है $$u$$: यह पहले से थोपा नहीं जाता है। ऐसी स्थितियों को प्राकृतिक सीमा स्थिति कहा जाता है।

पूर्ववर्ती तर्क मान्य नहीं है यदि $$\sigma$$ पर समान रूप से गायब हो जाता है $$C.$$ ऐसे में हम ट्रायल फंक्शन की अनुमति दे सकते हैं $$\varphi \equiv c,$$ कहाँ पे $$c$$ एक स्थिरांक है। ऐसे परीक्षण समारोह के लिए,$$V[c] = c\left[ \iint_D f \, dx\,dy + \int_C g \, ds \right].$$के उपयुक्त चयन द्वारा $$c,$$ $$V$$ जब तक कोष्ठक के अंदर की मात्रा गायब नहीं हो जाती, तब तक कोई भी मान ग्रहण कर सकता है। इसलिए, परिवर्तनशील समस्या तब तक अर्थहीन है जब तक$$\iint_D f \, dx\,dy + \int_C g \, ds =0.$$इस स्थिति का तात्पर्य है कि सिस्टम पर शुद्ध बाहरी बल संतुलन में हैं। यदि ये बल संतुलन में हैं, तो परिवर्तनशील समस्या का समाधान है, लेकिन यह अद्वितीय नहीं है, क्योंकि एक मनमाना स्थिरांक जोड़ा जा सकता है। अधिक विवरण और उदाहरण कुरेंट और हिल्बर्ट(1953) में हैं।

आइगेनवैल्यू समस्याएं
एक-आयामी और बहु-आयामी दोनों आइगेनवैल्यू समस्याओं को परिवर्तनशील समस्याओं के रूप में तैयार किया जा सकता है।

स्टर्म-लिउविल समस्याएं
स्टर्म-लिउविल आइगेनवैल्यू समस्या में सामान्य द्विघात रूप सम्मिलित है$$Q[\varphi] = \int_{x_1}^{x_2} \left[ p(x) \varphi'(x)^2 + q(x) \varphi(x)^2 \right] \, dx, $$जहां पे $$\varphi$$सीमा शर्तों को पूरा करने वाले कार्यों तक ही सीमित है$$\varphi(x_1)=0, \quad \varphi(x_2)=0. $$ $$R$$ सामान्यीकरण $$R[\varphi] =\int_{x_1}^{x_2} r(x)\varphi(x)^2 \, dx.$$कार्य $$p(x)$$ तथा $$r(x)$$ हर जगह सकारात्मक होना और शून्य से दूर होना आवश्यक है। प्राथमिक परिवर्तनशील समस्या अनुपात को कम करना है $$Q/R$$ इन सब में $$\varphi$$ समापन बिंदु की शर्तों को पूरा करना। यह नीचे दिखाया गया है कि न्यूनीकरण के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण $$u$$ है$$-(p u')' +q u -\lambda r u = 0, $$जहां पे $$\lambda$$ भागफल है$$\lambda = \frac{Q[u]}{R[u]}. $$यह दिखाया जा सकता है(गेलफैंड और फोमिन1963 देखें) कि न्यूनतम $$u$$ दो डेरिवेटिव हैं और यूलर-लैग्रेंज समीकरण को संतुष्ट करते हैं। जुड़े $$\lambda$$ द्वारा दर्शाया जाएगा $$\lambda_1$$; यह इस समीकरण और सीमा स्थितियों के लिए सबसे कम आइगेनवैल्यू है। संबंधित न्यूनीकरण समारोह द्वारा निरूपित किया जाएगा $$u_1(x).$$ ईजेनवेल्यूज के इस परिवर्तनशील लक्षण वर्णन रेले-रिट्ज विधि की ओर जाता है: एक सन्निकटन चुनें $$u$$ आधार कार्यों के एक रैखिक संयोजन के रूप में(उदाहरण के लिए त्रिकोणमितीय कार्यों) और ऐसे रैखिक संयोजनों के बीच एक परिमित-आयामी न्यूनीकरण करते हैं। यह विधि प्रायः आश्चर्यजनक रूप से सटीक होती है।

अगला सबसे छोटा ईगेनवैल्यू और ईजेनफंक्शन न्यूनतम करके प्राप्त किया जा सकता है $$Q$$ अतिरिक्त प्रतिबंध के तहत$$\int_{x_1}^{x_2} r(x) u_1(x) \varphi(x) \, dx = 0. $$समस्या के लिए ईगेनवैल्यू ​​​​और ईजेनफंक्शन का पूरा अनुक्रम प्राप्त करने के लिए इस प्रक्रिया को बढ़ाया जा सकता है।

परिवर्तनशील समस्या अधिक सामान्य सीमा स्थितियों पर भी लागू होती है। इसकी आवश्यकता के बजाय $$\varphi$$ समापन बिंदुओं पर गायब हो जाते हैं, हम समापन बिंदुओं पर कोई शर्त नहीं लगा सकते हैं और सेट कर सकते हैं$$Q[\varphi] = \int_{x_1}^{x_2} \left[ p(x) \varphi'(x)^2 + q(x)\varphi(x)^2 \right] \, dx + a_1 \varphi(x_1)^2 + a_2 \varphi(x_2)^2, $$जहां पे $$a_1$$ तथा $$a_2$$ मनमाना हैं। अगर हम सेट करते हैं $$\varphi = u + \varepsilon v$$अनुपात के लिए पहला बदलाव $$Q/R$$ है$$V_1 = \frac{2}{R[u]} \left( \int_{x_1}^{x_2} \left[ p(x) u'(x)v'(x) + q(x)u(x)v(x) -\lambda r(x) u(x) v(x) \right] \, dx + a_1 u(x_1)v(x_1) + a_2 u(x_2)v(x_2) \right), $$जहां λ अनुपात द्वारा दिया जाता है $$Q[u]/R[u]$$ पहले के रूप में। भागों द्वारा एकीकरण के बाद,$$\frac{R[u]}{2} V_1 = \int_{x_1}^{x_2} v(x) \left[ -(p u')' + q u -\lambda r u \right] \, dx + v(x_1)[ -p(x_1)u'(x_1) + a_1 u(x_1)] + v(x_2) [p(x_2) u'(x_2) + a_2 u(x_2)]. $$अगर हमें पहले इसकी आवश्यकता है $$v$$ समापन बिंदुओं पर गायब हो जाते हैं, ऐसे सभी के लिए पहला बदलाव गायब हो जाएगा $$v$$ केवल$$-(p u')' + q u -\lambda r u =0 \quad \hbox{for} \quad x_1 < x < x_2.$$यदि $$u$$ इस स्थिति को संतुष्ट करता है, तो मनमानी के लिए पहला बदलाव गायब हो जाएगा $$v$$ केवल$$-p(x_1)u'(x_1) + a_1 u(x_1)=0, \quad \hbox{and} \quad p(x_2) u'(x_2) + a_2 u(x_2)=0.$$ये बाद की स्थितियाँ इस समस्या के लिए प्राकृतिक सीमा की स्थितियाँ हैं, क्योंकि वे न्यूनीकरण के लिए परीक्षण कार्यों पर नहीं लगाई जाती हैं, बल्कि इसके बजाय न्यूनीकरण का परिणाम हैं।

कई आयामों में आइगेनवैल्यू समस्याएं
उच्च आयामों में ईगेनवैल्यू समस्याओं को एक आयामी मामले के अनुरूप परिभाषित किया गया है। उदाहरण के लिए, एक डोमेन $$D$$ सीमा के साथ $$B$$ तीन आयामों में हम परिभाषित कर सकते हैं$$Q[\varphi] = \iiint_D p(X) \nabla \varphi \cdot \nabla \varphi + q(X) \varphi^2 \, dx \, dy \, dz + \iint_B \sigma(S) \varphi^2 \, dS, $$तथा$$R[\varphi] = \iiint_D r(X) \varphi(X)^2 \, dx \, dy \, dz.$$होने देना $$u$$ वह कार्य हो जो भागफल को कम करता है $$Q[\varphi] / R[\varphi],$$

सीमा पर निर्धारित कोई शर्त नहीं है $$B.$$ यूलर-लैग्रेंज समीकरण द्वारा संतुष्ट $$u$$ है$$-\nabla \cdot (p(X) \nabla u) + q(x) u - \lambda r(x) u=0,$$जहां पे$$\lambda = \frac{Q[u]}{R[u]}.$$न्यूनतम करने वाला $$u$$ प्राकृतिक सीमा की स्थिति को भी पूरा करना चाहिए$$p(S) \frac{\partial u}{\partial n} + \sigma(S) u = 0,$$सीमा पर $$B.$$, यह परिणाम अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों के लिए नियमितता सिद्धांत पर निर्भर करता है; विवरण के लिए जोस्ट और ली-जोस्ट(1998) देखें। पूर्णता के परिणाम सहित कई विस्तार, ईगेनवैल्यू ​​​​के स्पर्शोन्मुख गुण और ईजेनफंक्शन के नोड्स से संबंधित परिणाम कुरेंट और हिल्बर्ट(1953) में हैं।

प्रकाशिकी
फर्मेट के सिद्धांत में कहा गया है कि प्रकाश एक पथ लेता है जो(स्थानीय रूप से) अपने समापन बिंदुओं के बीच ऑप्टिकल लंबाई को कम करता है। अगर $$x$$-निर्देशांक को पथ के साथ पैरामीटर के रूप में चुना जाता है, और $$y=f(x)$$ पथ के साथ, तो ऑप्टिकल लंबाई द्वारा दिया जाता है$$A[f] = \int_{x_0}^{x_1} n(x,f(x)) \sqrt{1 + f'(x)^2} dx, $$जहां अपवर्तक सूचकांक $$n(x,y)$$ सामग्री पर निर्भर करता है। अगर हम कोशिश करें $$f(x) = f_0 (x) + \varepsilon f_1 (x)$$ फिर की पहली भिन्नता $$A$$(की व्युत्पत्ति $$A$$ ε के संबंध में) है$$\delta A[f_0,f_1] = \int_{x_0}^{x_1} \left[ \frac{ n(x,f_0) f_0'(x) f_1'(x)}{\sqrt{1 + f_0'(x)^2}} + n_y (x,f_0) f_1 \sqrt{1 + f_0'(x)^2} \right] dx.$$कोष्ठक के भीतर पहले पद के कुछ हिस्सों के एकीकरण के बाद, हम यूलर-लैग्रेंज समीकरण प्राप्त करते हैं$$-\frac{d}{dx} \left[\frac{ n(x,f_0) f_0'}{\sqrt{1 + f_0'^2}} \right] + n_y (x,f_0) \sqrt{1 + f_0'(x)^2} = 0. $$इस समीकरण को एकीकृत करके प्रकाश किरणों का निर्धारण किया जा सकता है। यह औपचारिकता Lagrangian प्रकाशिकी और हैमिल्टनियन प्रकाशिकी के संदर्भ में प्रयोग किया जाता है।

स्नेल का नियम
जब प्रकाश किसी लेंस में प्रवेश करता है या छोड़ता है तो अपवर्तक सूचकांक की एक असततता होती है। $$n(x,y) = \begin{cases} n_{(-)} & \text{if} \quad x<0, \\ n_{(+)} & \text{if} \quad x>0, \end{cases}$$जहां पे $$n_{(-)}$$ तथा $$n_{(+)}$$ स्थिरांक हैं। तब यूलर-लैग्रेंज समीकरण उस क्षेत्र में पहले की तरह रहता है जहां $$x < 0$$ या $$x > 0,$$ और वास्तव में पथ वहाँ एक सीधी रेखा है, क्योंकि अपवर्तक सूचकांक स्थिर है। पर $$x = 0,$$ $$f$$ निरंतर होना चाहिए, लेकिन $$f'$$ अनिरंतर हो सकता है। अलग-अलग क्षेत्रों में भागों द्वारा एकीकरण और यूलर-लग्रेंज समीकरणों का उपयोग करने के बाद, पहली भिन्नता रूप लेती है$$\delta A[f_0,f_1] = f_1(0)\left[ n_{(-)}\frac{f_0'(0^-)}{\sqrt{1 + f_0'(0^-)^2}} - n_{(+)}\frac{f_0'(0^+)}{\sqrt{1 + f_0'(0^+)^2}} \right].$$गुणा करने वाला कारक $$n_{(-)}$$ के साथ आपतित किरण के कोण की ज्या है $$x$$ अक्ष, और गुणन कारक $$n_{(+)}$$ के साथ अपवर्तित किरण के कोण की ज्या है $$x$$ एक्सिस। अपवर्तन के लिए स्नेल के नियम के लिए आवश्यक है कि ये शर्तें समान हों। जैसा कि यह गणना प्रदर्शित करती है, स्नेल का नियम ऑप्टिकल पथ की लंबाई की पहली भिन्नता के गायब होने के बराबर है।

तीन आयामों में फर्मेट का सिद्धांत
वेक्टर संकेतन का उपयोग करना समीचीन है: चलो $$X = (x_1,x_2,x_3),$$ होने देना $$t$$ एक पैरामीटर बनें, चलो $$X(t)$$ एक वक्र का पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व हो $$C,$$ और जाने $$\dot X(t)$$ इसका स्पर्शरेखा वेक्टर बनें। वक्र की ऑप्टिकल लंबाई किसके द्वारा दी गई है$$A[C] = \int_{t_0}^{t_1} n(X) \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} \, dt. $$ध्यान दें कि यह अभिन्नके पैरामीट्रिक प्रतिनिधित्व में परिवर्तन के संबंध में अपरिवर्तनीय है $$C.$$ न्यूनीकरण वक्र के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का सममित रूप है$$\frac{d}{dt} P = \sqrt{ \dot X \cdot \dot X} \, \nabla n, $$जहां पे$$P = \frac{n(X) \dot X}{\sqrt{\dot X \cdot \dot X} }.$$यह उस परिभाषा $$P$$ से अनुसरण करता है$$P \cdot P = n(X)^2. $$इसलिए, समाकलन को इस रूप में भी लिखा जा सकता है$$A[C] = \int_{t_0}^{t_1} P \cdot \dot X \, dt.$$यह प्रपत्र सुझाव देता है कि यदि हम कोई फलन खोज सकते हैं जिसका $$\psi$$ ग्रेडिएंट द्वारा दिया गया है $$P,$$ फिर अभिन्न $$A$$ के अंतर से दिया जाता है $$\psi$$ एकीकरण के अंतराल के अंत बिंदुओं पर। इस प्रकार समाकल स्थिर बनाने वाले वक्रों के अध्ययन की समस्या की समतल सतहों के अध्ययन से संबंधित हो सकती है $$\psi.$$ऐसा फलन ज्ञात करने के लिए, हम तरंग समीकरण की ओर मुड़ते हैं, जो प्रकाश के संचरण को नियंत्रित करता है। यह औपचारिकता लाग्रंगियन प्रकाशिकी और हैमिल्टनियन प्रकाशिकी के संदर्भ में प्रयोग किया जाता है।

तरंग समीकरण से संबंध
एक विषम माध्यम के लिए तरंग समीकरण है$$u_{tt} = c^2 \nabla \cdot \nabla u, $$जहां पे $$c$$ वेग है, जो आम तौर पर निर्भर करता है $$X.$$ प्रकाश के लिए वेव फ्रंट इस आंशिक अंतर समीकरण के लिए विशिष्ट सतह हैं: वे संतुष्ट करते ह$$\varphi_t^2 = c(X)^2 \, \nabla \varphi \cdot \nabla \varphi. $$हम फॉर्म में समाधान खोज सकते हैं$$\varphi(t,X) = t - \psi(X). $$उस मामले में, $$\psi$$ संतुष्ट$$\nabla \psi \cdot \nabla \psi = n^2, $$जहां पे $$n=1/c.$$ प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरणों के सिद्धांत के अनुसार, यदि $$P = \nabla \psi,$$ फिर $$P$$ संतुष्ट$$\frac{dP}{ds} = n \, \nabla n,$$कर्व्स(प्रकाश किरणों) की एक प्रणाली के साथ जो इसके द्वारा दी गई है$$\frac{dX}{ds} = P. $$प्रथम-क्रम आंशिक अंतर समीकरण के समाधान के लिए ये समीकरण यूलर-लैग्रेंज समीकरणों के समान हैं यदि हम पहचान करते हैं$$\frac{ds}{dt} = \frac{\sqrt{ \dot X \cdot \dot X} }{n}. $$हम निष्कर्ष निकालते हैं कि फलन $$\psi$$ मिनिमाइजिंग अभिन्नका मान है $$A$$ ऊपरी अंत बिंदु के एक समारोह के रूप में। यही है, जब कम से कम घटता का एक परिवार बनाया जाता है, तो ऑप्टिकल लंबाई के मान तरंग समीकरण के अनुरूप विशेषता समीकरण को संतुष्ट करते हैं। इसलिए, पहले क्रम के संबद्ध आंशिक अवकल समीकरण को हल करना परिवर्तनशील समस्या के समाधान के परिवारों को खोजने के बराबर है। यह हैमिल्टन-जैकोबी सिद्धांत की आवश्यक सामग्री है, जो अधिक सामान्य परिवर्तनशील समस्याओं पर लागू होती है।

यांत्रिकी
शास्त्रीय यांत्रिकी में, क्रिया, $$S,$$ लाग्रंगियन के समय अभिन्न के रूप में परिभाषित किया गया है, $$L.$$लाग्रंगियन ऊर्जाओं का अंतर है,$$L = T - U, $$कहाँ पे $$T$$ एक यांत्रिक प्रणाली की गतिज ऊर्जा है और $$U$$ इसकी संभावित ऊर्जा। हैमिल्टन के सिद्धांत(या क्रिया सिद्धांत) में कहा गया है कि एक रूढ़िवादी होलोनोमिक(पूर्ण बाधा) यांत्रिक प्रणाली की गति ऐसी है कि क्रिया अभिन्न$$S = \int_{t_0}^{t_1} L(x, \dot x, t) \, dt$$पथ में भिन्नता के संबंध में स्थिर है $$x(t).$$

इस प्रणाली के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को लैग्रेंज के समीकरणों के रूप में जाना जाता है:$$\frac{d}{dt} \frac{\partial L}{\partial \dot x} = \frac{\partial L}{\partial x}, $$और वे न्यूटन के गति के समीकरणों(ऐसी प्रणालियों के लिए) के समतुल्य हैं।

संयुग्मी क्षण $$P$$ द्वारा परिभाषित किया गया है$$p = \frac{\partial L}{\partial \dot x}. $$उदाहरण के लिए, यदि$$T = \frac{1}{2} m \dot x^2, $$फिर$$p = m \dot x. $$हैमिल्टनियन यांत्रिकी के परिणाम अगर संयुग्म संवेग के स्थान पर पेश किए जाते हैं $$\dot x$$ लाग्रंगियन के लीजेंड्रे परिवर्तन द्वारा $$L$$ हैमिल्टनियन में $$H$$ द्वारा परिभाषित$$H(x, p, t) = p \,\dot x - L(x,\dot x, t).$$हैमिल्टनियन प्रणाली की कुल ऊर्जा है: $$H = T + U.$$

फ़र्मेट के सिद्धांत के साथ समानता से पता चलता है कि लैग्रेंज के समीकरणों(कण प्रक्षेपवक्र) के समाधान को कुछ कार्यों के स्तर की सतहों के संदर्भ में वर्णित किया जा सकता है। $$X.$$ यह फलनहैमिल्टन-जैकोबी समीकरण का समाधान है:$$\frac{\partial \psi}{\partial t} + H\left(x,\frac{\partial \psi}{\partial x},t\right) = 0.$$

अनुप्रयोग
विविधताओं की कलन के आगे के अनुप्रयोगों में निम्नलिखित सम्मिलित हैं:


 * ज़ंजीर का आकार की व्युत्पत्ति
 * न्यूटन की न्यूनतम प्रतिरोध समस्या का समाधान
 * ब्रचिस्टोक्रोन वक्र समस्या का समाधान
 * टौटोक्रोन वक्र का समाधान
 * आइसपेरमेट्रिक समस्याओं का समाधान
 * जियोडेसिक्स की गणना
 * न्यूनतम सतह ढूँढना और पठार की समस्या को हल करना
 * इष्टतम नियंत्रण
 * विश्लेषणात्मक यांत्रिकी, या न्यूटन के गति के नियमों के सुधार, सबसे विशेष रूप से लग्रांगियन यांत्रिकी और हैमिल्टनियन यांत्रिकी;
 * ज्यामितीय प्रकाशिकी, विशेष रूप से लाग्रंगियन और हैमिल्टनियन प्रकाशिकी;
 * परिवर्तनशील विधि(क्वांटम यांत्रिकी), निम्नतम ऊर्जा ईजेनस्टेट या ग्राउंड स्टेट और कुछ उत्तेजित अवस्थाओं के सन्निकटन खोजने का तरीका;
 * परिवर्तनशील बायेसियन विधियाँ, बायेसियन अनुमान और मशीन लर्निंग में उत्पन्न होने वाले अट्रैक्टिव अभिन्नको अनुमानित करने के लिए तकनीकों का एक परिवार;
 * सामान्य सापेक्षता में परिवर्तनशील विधियाँ, आइंस्टीन के सापेक्षता के सामान्य सिद्धांत में समस्याओं को हल करने के लिए विविधताओं की कलन का उपयोग करने वाली तकनीकों का एक परिवार;
 * परिमित तत्व विधि अंतर समीकरणों में सीमा-मूल्य समस्याओं के संख्यात्मक समाधान खोजने के लिए एक परिवर्तनशील विधि है;
 * कुल भिन्नता डीनोइज़िंग, हाई वेरियंस या नॉइज़ सिग्नल्स को फिल्टर करने के लिए एक मूर्ति प्रोद्योगिकी मेथड।

विविधताएं और न्यूनतम के लिए पर्याप्त स्थितित
विविधताओं की गणना कार्यात्मकताओं की विविधताओं से संबंधित है, जो कि फलनमें छोटे बदलावों के कारण कार्यात्मक के मूल्य में छोटे परिवर्तन हैं जो इसका तर्क है। पहली भिन्नता कार्यात्मक में परिवर्तन के रैखिक भाग और दूसरी भिन्नता के रूप में परिभाषित किया गया है द्विघात भाग के रूप में परिभाषित किया गया है। }} $$\Delta J[h] = J[y+h] - J[y].$$कार्यात्मक $$J[y]$$ अलग-अलग कहा जाता है अगर$$\Delta J[h] = \varphi [h] + \varepsilon \|h\|,$$कहाँ पे $$\varphi[h]$$ एक रैखिक कार्यात्मक है, $$\|h\|$$ का आदर्श है $$h,$$ तथा $$\varepsilon \to 0$$ जैसा $$\|h\| \to 0.$$ रैखिक कार्यात्मक $$\varphi[h]$$ का प्रथम रूपांतर है $$J[y]$$ और इसे }} तथा $$\varepsilon \to 0$$ जैसा $$\|h\| \to 0.$$ द्विघात कार्यात्मक $$\varphi_2[h]$$ का दूसरा रूपांतर है $$J[y]$$ और द्वारा दर्शाया गया है, $$\delta^2 J[h] = \varphi_2[h].$$दूसरा रूपांतर $$\delta^2 J[h]$$ दृढ़ता से सकारात्मक कहा जाता है अगर$$\delta^2J[h] \ge k \|h\|^2,$$सभी के लिए $$h$$ और कुछ स्थिर के लिए $$k > 0$$.

उपरोक्त परिभाषाओं का उपयोग करना, विशेष रूप से पहली भिन्नता, दूसरी भिन्नता, और दृढ़ता से सकारात्मक की परिभाषाएं, न्यूनतम कार्यात्मक के लिए निम्न पर्याप्त स्थिति बताई जा सकती है।

यह भी देखें

 * पहला बदलाव
 * आइसोपेरिमेट्रिक असमानता
 * परिवर्तनशील सिद्धांत
 * परिवर्तनशील द्विजटिल
 * फर्मेट का सिद्धांत
 * कम से कम कार्रवाई का सिद्धांत
 * अनंत-आयामी अनुकूलन
 * सीमित तत्व विधि
 * कार्यात्मक विश्लेषण
 * एकलैंड का परिवर्तनशील सिद्धांत
 * लाग्रंगियन यांत्रिकी के लिए व्युत्क्रम समस्या
 * बाधा समस्या
 * व्यवधान के तरीके
 * युवा उपाय
 * इष्टतम नियंत्रण
 * विविधताओं की गणना में प्रत्यक्ष विधि
 * नोथेर की प्रमेय
 * डी डोनर-वेइल सिद्धांत
 * परिवर्तनशील बायेसियन तरीके
 * चैपलिन समस्या
 * नेहारी बहुगुणा
 * हू-वाशिज़ू सिद्धांत
 * ल्यूक का परिवर्तनशील सिद्धांत
 * माउंटेन पास प्रमेय
 * केंद्रीय प्रवृत्ति#परिवर्तनीय समस्याओं का समाधान
 * प्रिंटकिया मेडल
 * फर्मेट पुरस्कार
 * सुविधाजनक वेक्टर स्थान
 * सुविधाजनक वेक्टर स्थान

अग्रिम पठन

 * Benesova, B. and Kruzik, M.: "Weak Lower Semicontinuity of Integral Functionals and Applications". SIAM Review 59(4)(2017), 703–766.
 * Bolza, O.: Lectures on the Calculus of Variations. Chelsea Publishing Company, 1904, available on Digital Mathematics library. 2nd edition republished in 1961, paperback in 2005, ISBN 978-1-4181-8201-4.
 * Cassel, Kevin W.: Variational Methods with Applications in Science and Engineering, Cambridge University Press, 2013.
 * Clegg, J.C.: Calculus of Variations, Interscience Publishers Inc., 1968.
 * Courant, R.: Dirichlet's principle, conformal mapping and minimal surfaces. Interscience, 1950.
 * Dacorogna, Bernard: "Introduction" Introduction to the Calculus of Variations, 3rd edition. 2014, World Scientific Publishing, ISBN 978-1-78326-551-0.
 * Elsgolc, L.E.: Calculus of Variations, Pergamon Press Ltd., 1962.
 * Forsyth, A.R.: Calculus of Variations, Dover, 1960.
 * Fox, Charles: An Introduction to the Calculus of Variations, Dover Publ., 1987.
 * Giaquinta, Mariano; Hildebrandt, Stefan: Calculus of Variations I and II, Springer-Verlag, ISBN 978-3-662-03278-7 and ISBN 978-3-662-06201-2
 * Jost, J. and X. Li-Jost: Calculus of Variations. Cambridge University Press, 1998.
 * Lebedev, L.P. and Cloud, M.J.: The Calculus of Variations and Functional Analysis with Optimal Control and Applications in Mechanics, World Scientific, 2003, pages 1–98.
 * Logan, J. David: Applied Mathematics, 3rd edition. Wiley-Interscience, 2006
 * Roubicek, T.: "Calculus of variations". Chap.17 in: Mathematical Tools for Physicists.(Ed. M. Grinfeld) J. Wiley, Weinheim, 2014, ISBN 978-3-527-41188-7, pp. 551–588.
 * Sagan, Hans: Introduction to the Calculus of Variations, Dover, 1992.
 * Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974(reprint of 1952 ed.).
 * Weinstock, Robert: Calculus of Variations with Applications to Physics and Engineering, Dover, 1974(reprint of 1952 ed.).

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 * गड़बड़ी के तरीके

बाहरी संबंध

 * Variational calculus. Encyclopedia of Mathematics.
 * calculus of variations. PlanetMath.
 * Calculus of Variations. MathWorld.
 * Calculus of variations. Example problems.
 * Mathematics - Calculus of Variations and Integral Equations. Lectures on YouTube.
 * Selected papers on Geodesic Fields. Part I, Part II.