हेंसल की लेम्मा

गणित में, हेंसल की लेम्मा, जिसे हेंसल की लिफ्टिंग लेम्मा के रूप में भी जाना जाता है, कर्ट हेन्सेल के नाम पर, मॉड्यूलर अंकगणित में परिणाम है, जिसमें कहा गया है कि यदि  अविभाजित बहुपद में  साधारण रूट मॉड्यूलो  अभाज्य संख्या है $p$, तो इस रूट को किसी भी उच्च शक्ति के अद्वितीय रूट मोडुलो तक उठाया जा सकता है $p$. अधिक आम तौर पर, यदि बहुपद कारकों मॉड्यूलो $p$ दो सह-अभाज्य बहुपदों में, इस गुणनखंडन को किसी भी उच्च घात के गुणनखंडन मोडुलो तक उठाया जा सकता है $p$ (जड़ों का मामला डिग्री के मामले से मेल खाता है $1$ कारकों में से के लिए)।

सीमा तक जाने से (वास्तव में यह उलटा सीमा है) जब की शक्ति $p$ अनंत की ओर जाता है, यह इस प्रकार है कि  जड़ या  गुणनखंड है $p$ को मूल तक उठाया जा सकता है या p-adic पूर्णांक पर गुणनखंड किया जा सकता है$p$-ऐडिक पूर्णांक।

इन परिणामों को ही नाम के तहत व्यापक रूप से सामान्यीकृत किया गया है, बहुपदों के मामले में  मनमाने ढंग से  क्रमविनिमेय अंगूठी  पर, जहां $p$ को  आदर्श (रिंग थ्योरी) द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और कोप्राइम बहुपद का मतलब बहुपद होता है जो  आदर्श युक्त उत्पन्न करता है $1$.

पी-एडिक विश्लेषण में हेंसल की लेम्मा मौलिक है$p$-ऐडिक विश्लेषण, विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत की शाखा।

हेन्सेल के लेम्मा का सबूत रचनात्मक प्रमाण है, और हेन्सेल उठाने के लिए कुशल एल्गोरिदम की ओर जाता है, जो बहुपद कारककरण के लिए मौलिक है, और तर्कसंगत संख्याओं पर सटीक रैखिक बीजगणित के लिए सबसे कुशल ज्ञात एल्गोरिदम देता है।

मॉड्यूलर कमी और उठाना
हेन्सेल की मूल लेम्मा पूर्णांकों पर बहुपद गुणनखंडन और पूर्णांकों पर मॉड्यूलर अंकगणितीय अभाज्य संख्या के बीच संबंध से संबंधित है। $p$ और इसकी शक्तियाँ। इसे सीधे उस मामले तक बढ़ाया जा सकता है जहां पूर्णांकों को किसी क्रमविनिमेय वलय द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है, और $p$ को किसी भी अधिकतम आदर्श द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है (वास्तव में, के अधिकतम आदर्श $$\Z$$ रूप है $$p\Z,$$ कहाँ $p$ अभाज्य संख्या है)।

इसे सटीक बनाने के लिए सामान्य मॉड्यूलर अंकगणित के सामान्यीकरण की आवश्यकता होती है, और इसलिए इस संदर्भ में आमतौर पर उपयोग की जाने वाली शब्दावली को सटीक रूप से परिभाषित करना उपयोगी होता है।

होने देना $R$ क्रमविनिमेय वलय हो, और $I$ का आदर्श (रिंग थ्योरी)। $R$. न्यूनीकरण मॉड्यूल $I$ के प्रत्येक तत्व के प्रतिस्थापन को संदर्भित करता है $R$ विहित मानचित्र के अंतर्गत इसकी छवि द्वारा $$R\to R/I.$$ उदाहरण के लिए, अगर $$f\in R[X]$$ में गुणांकों वाला बहुपद है $R$, इसका कमी मोडुलो $I$, निरूपित $$f \bmod I,$$ में बहुपद है $$(R/I)[X]=R[X]/IR[X]$$ के गुणांकों को प्रतिस्थापित करके प्राप्त किया गया $f$ उनकी छवि द्वारा $$R/I.$$ दो बहुपद $f$ और $g$ में $$R[X]$$ मॉड्यूल के अनुसार हैं $I$, निरूपित $f\equiv g \pmod I$  यदि उनके गुणांक मॉड्यूल समान हैं $I$, वह है अगर $$f-g\in IR[X].$$ अगर $$h\in R[X],$$ का गुणनखंडन $h$ मापांक $I$ में दो (या अधिक) बहुपद होते हैं $f, g$ में $$R[X]$$ ऐसा है कि $h\equiv fg \pmod I.$ उठाने की प्रक्रिया कमी के विपरीत है। अर्थात्, दी गई गणितीय वस्तु के तत्वों पर निर्भर करती है $$R/I,$$ उठाने की प्रक्रिया इन तत्वों को तत्वों से बदल देती है $$R$$ (या का $$R/I^k$$ कुछ के लिए $k > 1$) जो उन्हें इस तरह से मैप करता है जो वस्तुओं के गुणों को बनाए रखता है।

उदाहरण के लिए, बहुपद दिया $$h\in R[X]$$ और  गुणनखंड मॉड्यूल $I$ इसके रूप में बताया गया $h\equiv fg \pmod I,$  इस गुणनखंड मॉड्यूल को उठाना $$I^k$$ बहुपद खोजने के होते हैं $$f',g'\in R[X]$$ ऐसा है कि $f'\equiv f \pmod I,$  $g'\equiv g \pmod I,$  और $h\equiv f'g' \pmod {I^k}.$  हेंसल की लेम्मा का दावा है कि हल्की परिस्थितियों में इस तरह की लिफ्टिंग हमेशा संभव है; अगला भाग देखें।

कथन
मूल रूप से, हेंसल की लेम्मा को बहुपद गुणनखंडन मॉड्यूल को  अभाज्य संख्या उठाने के लिए कहा गया था (और सिद्ध किया गया था) p}पूर्णांकों पर किसी बहुपद का गुणनखंडन मॉड्यूलो की किसी भी शक्ति का $p$ और p-adic पूर्णांक पर गुणनखंड करने के लिए |$p$-ऐडिक पूर्णांक। इसे आसानी से सामान्यीकृत किया जा सकता है, उसी प्रमाण के साथ जहां पूर्णांक को किसी भी कम्यूटेटिव रिंग से बदल दिया जाता है, अभाज्य संख्या को  अधिकतम आदर्श द्वारा बदल दिया जाता है, और $p$-ऐडिक पूर्णांकों को अधिकतम आदर्श के संबंध में  रिंग के पूरा होने से बदल दिया जाता है। यह सामान्यीकरण है, जिसका व्यापक रूप से उपयोग भी किया जाता है, जिसे यहां प्रस्तुत किया गया है।

होने देना $$\mathfrak m$$ क्रमविनिमेय वलय का उच्चिष्ठ आदर्श हो $R$, और
 * $$h=\alpha_0X^n+\cdots +\alpha_{n-1}X+\alpha_n$$

में बहुपद हो $$R[X]$$ अग्रणी गुणांक के साथ $$\alpha_0$$ अंदर नही $$\mathfrak m.$$ तब से $$\mathfrak m$$ अधिकतम आदर्श, भागफल वलय है $$R/\mathfrak m$$  क्षेत्र (गणित) है, और $$(R/\mathfrak m)[X]$$  प्रमुख आदर्श डोमेन है, और, विशेष रूप से,  अद्वितीय गुणनखंड डोमेन, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक शून्येतर बहुपद $$(R/\mathfrak m)[X]$$ के  अशून्य तत्व के उत्पाद के रूप में  अनोखे तरीके से गुणनखंडित किया जा सकता है $$(R/\mathfrak m)$$ और अलघुकरणीय बहुपद जो एकात्मक बहुपद हैं (अर्थात, उनके प्रमुख गुणांक 1 हैं)।

हेंसल की लेम्मा का दावा है कि का हर गुणनखंड $h$ मापांक $$\mathfrak m$$ कोप्राइम बहुपदों में अनोखे तरीके से गुणनखंड मोडुलो में उठाया जा सकता है $$\mathfrak m^k$$ हर के लिए $k$.

अधिक सटीक रूप से, उपरोक्त परिकल्पनाओं के साथ, यदि $h\equiv \alpha_0 fg\pmod \mathfrak m,$ कहाँ $f$ और $g$ मोनिक और कोप्राइम बहुपद सापेक्ष हैं $$\mathfrak m,$$ फिर, प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$ मोनिक बहुपद हैं $$f_k$$ और $$g_k$$ ऐसा है कि
 * $$\begin{align}

h&\equiv \alpha_0 f_kg_k \pmod{\mathfrak m^k},\\ f_k&\equiv f\pmod{\mathfrak m},\\ g_k&\equiv g\pmod{\mathfrak m}, \end{align}$$ और $$f_k$$ और $$g_k$$ अद्वितीय हैं (इन गुणों के साथ) सापेक्ष $$\mathfrak m^k.$$

सरल जड़ों को उठाना
महत्वपूर्ण विशेष मामला है जब $$f=X-r.$$ इस मामले में कोप्रिमेलिटी परिकल्पना का अर्थ है $r$ का सरल मूल है $$h \bmod \mathfrak m.$$ यह हेन्सेल की लेम्मा का निम्नलिखित विशेष मामला देता है, जिसे अक्सर हेन्सेल की लेम्मा भी कहा जाता है।

उपरोक्त परिकल्पनाओं और नोटेशन के साथ, यदि $r$ का सरल मूल है $$h \bmod \mathfrak m,$$ तब $r$ की साधारण जड़ के लिए  अनोखे तरीके से उठाया जा सकता है $$h \bmod {\mathfrak m^n}$$ प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$. स्पष्ट रूप से, प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$, अनूठा है $$r_n\in R/{\mathfrak m}^n$$ ऐसा है कि $r_n\equiv r \pmod \mathfrak m $  और $$r_n$$ की सरल जड़ है $$h \bmod \mathfrak m^n.$$

आदि पूर्णता के लिए उठाना
तथ्य यह है कि कोई उठा सकता है $$R/\mathfrak m^n$$ प्रत्येक सकारात्मक पूर्णांक के लिए $n$ जब सीमा तक जाने का सुझाव देता है $n$ अनंत की ओर जाता है। यह p-adic पूर्णांक को प्रस्तुत करने के लिए मुख्य प्रेरणाओं में से था$p$-ऐडिक पूर्णांक।

अधिकतम आदर्श दिया $$\mathfrak m$$ क्रमविनिमेय अंगूठी की $R$, की शक्तियाँ $$\mathfrak m$$  टोपोलॉजी (संरचना) के लिए खुले पड़ोस का आधार तैयार करें $R$ कहा जाता है $$\mathfrak m$$-एडिक टोपोलॉजी। इस टोपोलॉजी की पूर्णता (मीट्रिक स्थान) को  रिंग के पूरा होने से पहचाना जा सकता है $$R_\mathfrak m,$$ और उलटा सीमा के साथ $$\lim_\leftarrow R/\mathfrak m^n.$$ यह पूर्णता  पूर्ण स्थानीय वलय है, जिसे आमतौर पर निरूपित किया जाता है $$\widehat R_\mathfrak m.$$ कब $R$ पूर्णांकों का वलय है, और $$\mathfrak m=p\Z,$$ कहाँ $p$  अभाज्य संख्या है, यह पूर्णता का वलय है $p$-ऐडिक पूर्णांक $$\Z_p.$$ व्युत्क्रम सीमा के रूप में पूर्णता की परिभाषा, और हेन्सेल लेम्मा के उपरोक्त कथन का अर्थ है कि जोड़ीदार कोप्राइम बहुपद मॉड्यूलो में प्रत्येक गुणनखंड $$\mathfrak m$$ बहुपद का $$h\in R[X]$$ की छवि के गुणनखंड के लिए विशिष्ट रूप से उठाया जा सकता है $h$ में $$\widehat R_\mathfrak m[X].$$ इसी तरह, की हर साधारण जड़ $h$ मापांक $$\mathfrak m$$ की छवि की  साधारण जड़ तक उठाया जा सकता है $h$ में $$\widehat R_\mathfrak m[X].$$

प्रमाण
हेन्सेल की लेम्मा आम तौर पर कारककरण को ऊपर उठाकर वृद्धिशील रूप से सिद्ध होती है $$R/\mathfrak m^n$$ या तो  गुणनखंड खत्म करने के लिए $$R/\mathfrak m^{n+1}$$ (# रेखीय भारोत्तोलन), या  गुणनखंड खत्म $$R/\mathfrak m^{2n}$$ (#द्विघात भारोत्तोलन)।

सबूत का मुख्य घटक यह है कि क्षेत्र पर सहप्रमुख बहुपद बेज़ाउट की पहचान को संतुष्ट करते हैं। यानी अगर $f$ और $g$  क्षेत्र (गणित) पर सहप्रमुख अविभाज्य बहुपद हैं (यहाँ $$R/\mathfrak m$$), बहुपद हैं $a$ और $b$ ऐसा है कि $$\deg a <\deg g,$$ $$\deg b <\deg f,$$ और
 * $$af+bg=1.$$

बेज़ाउट की पहचान कोप्राइम बहुपदों को परिभाषित करने और हेंसल के लेम्मा को साबित करने की अनुमति देती है, भले ही आदर्श $$\mathfrak m$$ अधिकतम नहीं है। इसलिए, निम्नलिखित उपपत्तियों में, क्रमविनिमेय वलय से प्रारंभ होता है $R$,  आदर्श (रिंग थ्योरी) $I$,  बहुपद $$h\in R[X]$$ जिसका  प्रमुख गुणांक है जो उलटा सापेक्ष है $I$ (यही इसकी छवि है $$R/I$$ में  इकाई (रिंग थ्योरी) है $$R/I$$), और के बहुपदों का गुणनखंडन $h$ मापांक $I$ या मॉड्यूलो की शक्ति $I$, जैसे कि कारक बेज़ाउट के पहचान मॉड्यूल को संतुष्ट करते हैं $I$. इन प्रमाणों में, $ A\equiv B \pmod I$ साधन $$A-B\in IR[X].$$

रैखिक भारोत्तोलन
होने देना $I$ क्रमविनिमेय वलय का आदर्श (अंगूठी सिद्धांत) हो $R$, और $$h\in R[X]$$ में गुणांक के साथ  अविभाज्य बहुपद हो $R$ जिसका  प्रमुख गुणांक है $$\alpha$$ वह उलटा मॉड्यूलो है $I$ (यानी, की छवि $$\alpha$$ में $$R/I$$ में  इकाई (रिंग थ्योरी) है $$R/I$$).

मान लीजिए कि किसी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$ गुणनखंड है
 * $$h\equiv \alpha fg \pmod {I^k},$$ ऐसा है कि $f$ और $g$ मोनिक बहुपद हैं जो कोप्राइम मोडुलो हैं $I$, इस अर्थ में कि वहाँ मौजूद है $$a,b \in R[X],$$ ऐसा है कि $ af+bg\equiv 1\pmod I.$ फिर, बहुपद हैं $$\delta_f, \delta_g\in I^k R[X],$$ ऐसा है कि $$\deg \delta_f <\deg f,$$ $$\deg \delta_g <\deg g,$$ और
 * $$h\equiv \alpha(f+\delta_f)(g+\delta_g) \pmod {I^{k+1}}.$$

इन शर्तों के अंर्तगत, $$\delta_f$$ और $$\delta_g$$ अद्वितीय मॉड्यूलो हैं $$I^{k+1}R[X].$$ इसके अतिरिक्त, $$f+\delta_f$$ और $$g+\delta_g$$ बेज़ाउट की पहचान को संतुष्ट करें $f$ और $g$, वह है, $$ a(f+\delta_f)+b(g+\delta_g)\equiv 1\pmod I.$$ यह पूर्ववर्ती अभिकथनों से तुरंत अनुसरण करता है, लेकिन के बढ़ते मूल्यों के साथ परिणाम को पुनरावृत्त रूप से लागू करने के लिए आवश्यक है $k$.

निम्नलिखित प्रमाण कंप्यूटिंग के लिए लिखा गया है $$\delta_f$$ और $$\delta_g$$ में गुणांक वाले केवल बहुपदों का उपयोग करके $$R/I$$ या $$I^k/I^{k+1}.$$ कब $$R=\Z$$ और $$I=p\Z,$$ यह केवल पूर्णांक मॉड्यूलो में हेरफेर करने की अनुमति देता है $p$.

प्रमाण: परिकल्पना द्वारा, $$\alpha$$ उलटा मॉड्यूलो है $I$. इसका मतलब है कि मौजूद है $$\beta\in R$$ और $$\gamma\in IR[X]$$ ऐसा है कि $$\alpha\beta=1-\gamma.$$ होने देना $$\delta_h\in I^kR[X],$$ डिग्री से कम $$\deg h,$$ ऐसा है कि
 * $$\delta_h\equiv h-\alpha fg \pmod{I^{k+1}}.$$ (कोई चुन सकता है $$\delta_h=h-\alpha fg,$$ लेकिन अन्य विकल्पों से सरल संगणनाएँ हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, यदि $$R=\Z$$ और $$I=p\Z,$$ यह संभव है और चुनना बेहतर है $$\delta_h=p^k\delta'_h$$ जहां के गुणांक $$\delta'_h$$ अंतराल में पूर्णांक हैं $[0,p-1].$)

जैसा $g$ मोनिक है, के बहुपदों का यूक्लिडियन विभाजन $$a\delta_h$$ द्वारा $g$ परिभाषित है, और प्रदान करता है $q$ और $c$ ऐसा है कि $$a\delta_h = qg+c,$$ और $$\deg c <\deg g.$$ इसके अलावा दोनों $q$ और $c$ में हैं $$I^{k} R[X].$$ इसी तरह, चलो $$b\delta_h = q'f+d,$$ साथ $$\deg d <\deg f,$$ और $$q', d\in I^{k} R[X].$$ किसी के पास $$q+q'\in I^{k+1}R[X].$$ वास्तव में, है
 * $$fc+gd=af\delta_h +bg\delta_h -fg(q+q')\equiv \delta_h-fg(q+q') \pmod{I^{k+1}}.$$

जैसा $$fg$$ मोनिक है, डिग्री मोडुलो $$I^{k+1}$$ का $$fg(q+q')$$ से कम हो सकता है $$\deg fg$$ केवल $$q+q'\in I^{k+1}R[X].$$ इस प्रकार, सर्वांगसमता मॉड्यूल पर विचार करते हुए $$I^{k+1},$$ किसी के पास
 * $$\begin{align}

\alpha(f+\beta d)&(g+\beta c)-h\\ &\equiv \alpha fg-h+ \alpha \beta (f(a\delta_h-qg)+g(b\delta_h-q'f))\\ &\equiv \delta_h(-1 +\alpha\beta(af+bg)) - \alpha\beta fg(q+q')\\ &\equiv 0 \pmod{I^{k+1}}. \end{align}$$ तो, अस्तित्व के दावे के साथ सत्यापित किया गया है
 * $$\delta_f=\beta d, \qquad \delta_g=\beta c.$$

विशिष्टता
होने देना $R$, $I$, $h$ और $$\alpha$$ पिछले खंड में के रूप में। होने देना
 * $$h\equiv \alpha fg {\pmod I}$$

कोप्राइम बहुपदों (उपरोक्त अर्थों में) में गुणनखंड हो, जैसे $$\deg f_0+\deg g_0=\deg h.$$ के लिए रैखिक उठाने का आवेदन $$k=1, 2, \ldots, n-1 \ldots,$$ का अस्तित्व दर्शाता है $$\delta_f$$ और $$\delta_g$$ ऐसा है कि $$\deg \delta_f <\deg f,$$ $$\deg \delta_g <\deg g,$$ और
 * $$h\equiv \alpha (f+\delta_f)(g+\delta_g) \pmod{I^n}.$$

बहुपद $$\delta_f$$ और $$\delta_g$$ विशिष्ट रूप से परिभाषित मॉड्यूलो हैं $$I^n.$$ इसका मतलब यह है कि, अगर और जोड़ी $$(\delta'_f, \delta'_g)$$ उन्हीं शर्तों को पूरा करता है, तो उसके पास है
 * $$\delta'_f\equiv \delta_f \pmod{I^n}\qquad\text{and}\qquad \delta'_g\equiv \delta_g \pmod{I^n}.$$

उपपत्ति: चूंकि सर्वांगसमता मॉड्यूल है $$I^n$$ समान समरूपता मॉड्यूलो का तात्पर्य है $$I^{n-1},$$ कोई भी गणितीय प्रेरण द्वारा आगे बढ़ सकता है और मान सकता है कि अद्वितीयता सिद्ध हो चुकी है $n − 1$, मामला $n = 0$ तुच्छ होना। यानी ऐसा माना जा सकता है
 * $$\delta_f- \delta'_f \in I^{n-1} R[X]\qquad\text{and}\qquad \delta_g - \delta'_g \in I^{n-1} R[X].$$

परिकल्पना द्वारा, है
 * $$h\equiv \alpha(f+\delta_f)(g+\delta_g) \equiv \alpha(f+\delta'_f)(g+\delta'_g)\pmod {I^n},$$

और इस तरह
 * $$\begin{align}

\alpha(f+\delta_f)(g+\delta_g) &- \alpha(f+\delta'_f)(g+\delta'_g)\\ &= \alpha(f(\delta_g-\delta'_g) +g(\delta_f-\delta'_f)) +\alpha (\delta_f(\delta_g-\delta'_g)-\delta_g(\delta_f-\delta'_f)) \in I^n R[X]. \end{align}$$ प्रेरण परिकल्पना द्वारा, बाद के योग का दूसरा पद संबंधित है $$I^n,$$ और इस प्रकार पहले कार्यकाल के लिए भी यही सच है। जैसा $$\alpha$$ उलटा मॉड्यूलो है $I$, वहां है $$\beta\in R$$ और $$\gamma \in I$$ ऐसा है कि $$\alpha\beta=1+\gamma.$$ इस प्रकार
 * $$\begin{align}

f(\delta_g-\delta'_g) &+g(\delta_f-\delta'_f)\\ &= \alpha\beta (f(\delta_g-\delta'_g) +g(\delta_f-\delta'_f))-\gamma(f(\delta_g-\delta'_g) +g(\delta_f-\delta'_f)) \in I^n R[X], \end{align}$$ प्रेरण परिकल्पना का फिर से उपयोग करना।

कोप्रिमेलिटी मॉड्यूलो $I$ के अस्तित्व का तात्पर्य है $$a,b\in R[X]$$ ऐसा है कि $1\equiv af+bg\pmod I.$ आगमन परिकल्पना का  बार फिर प्रयोग करने पर,  प्राप्त होता है
 * $$\begin{align}

\delta_g-\delta'_g &\equiv (af+bg)(\delta_g-\delta'_g)\\ &\equiv g(b(\delta_g-\delta'_g) - a(\delta_f-\delta'_f))\pmod {I^n}. \end{align}$$ इस प्रकार किसी के पास डिग्री से कम का बहुपद है $$\deg g$$ वह सर्वांगसम मॉड्यूल है $$I^n$$ मोनिक बहुपद के उत्पाद के लिए $g$ और दूसरा बहुपद $w$. यह तभी संभव है जब $$w\in I^n R[X],$$ और तात्पर्य है $$\delta_g-\delta'_g \in I^n R[X].$$ इसी प्रकार, $$\delta_f-\delta'_f $$ में भी है $$I^n R[X],$$ और यह विशिष्टता साबित करता है।

द्विघात भारोत्तोलन
रैखिक भारोत्तोलन गुणनखंड मॉड्यूल को उठाने की अनुमति देता है $$I^n$$  गुणनखंड के लिए $$I^{n+1}.$$ द्विघात भारोत्तोलन सीधे  गुणनखंड मोडुलो को उठाने की अनुमति देता है $$I^{2n},$$ बेज़ाउट की पहचान और कंप्यूटिंग मोडुलो को उठाने की कीमत पर भी $$I^n$$ मॉड्यूलो के बजाय $I$ (यदि कोई रैखिक उठाने के उपरोक्त विवरण का उपयोग करता है)।

मॉड्यूलो तक उठाने के लिए $$I^N$$ बड़े के लिए $N$ कोई भी विधि का उपयोग कर सकता है। अगर, कहो, $$N=2^k,$$ गुणनखंड मॉड्यूल $$I^N$$ आवश्यक है $N − 1$ रैखिक उठाने के चरण या केवल $k − 1$ द्विघात भारोत्तोलन के चरण। हालांकि, बाद के मामले में गणना के दौरान हेरफेर किए जाने वाले गुणांक के आकार में वृद्धि हुई है। इसका तात्पर्य है कि सबसे अच्छा उठाने का तरीका संदर्भ पर निर्भर करता है (के मूल्य $N$, इसकी प्रकृति $R$, गुणन एल्गोरिथम जिसका उपयोग किया जाता है, कंप्यूटर हार्डवेयर विशिष्टताएं, आदि)।

द्विघात भारोत्तोलन निम्नलिखित संपत्ति पर आधारित है।

मान लीजिए कि किसी सकारात्मक पूर्णांक के लिए $k$ गुणनखंड है
 * $$h\equiv \alpha fg \pmod {I^k},$$ ऐसा है कि $f$ और $g$ मोनिक बहुपद हैं जो कोप्राइम मोडुलो हैं $I$, इस अर्थ में कि वहाँ मौजूद है $$a,b \in R[X],$$ ऐसा है कि $ af+bg\equiv 1\pmod {I^k}.$ फिर, बहुपद हैं $$\delta_f, \delta_g\in I^k R[X],$$ ऐसा है कि $$\deg \delta_f <\deg f,$$ $$\deg \delta_g <\deg g,$$ और
 * $$h\equiv \alpha(f+\delta_f)(g+\delta_g) \pmod {I^{2k}}.$$

इसके अतिरिक्त, $$f+\delta_f$$ और $$g+\delta_g$$ बेज़ाउट के रूप की पहचान को संतुष्ट करें
 * $$ (a+\delta_a)(f+\delta_f)+(b+\delta_b)(g+\delta_g)\equiv 1\pmod {I^{2k}}.$$ (यह द्विघात भारोत्तोलन की पुनरावृत्तियों की अनुमति देने के लिए आवश्यक है।)

प्रमाण: पहला अभिकथन वास्तव में रैखिक उत्तोलन के साथ लागू होता है $k = 1$ आदर्श के लिए $$I^k$$ के बजाय $I$.

होने देना $$\alpha=af+bg-1\in I^k R[X].$$ किसी के पास
 * $$a(f+\delta_f)+b(g+\delta_g)=1-\Delta,$$

कहाँ
 * $$\Delta=\alpha+a\delta_f+b\delta_g\in I^k R[X].$$

सेटिंग $$\delta_a=-a\Delta$$ और $$\delta_b=-b\Delta,$$ मिलता है
 * $$(a+\delta_a)(f+\delta_f)+(b+\delta_b)(g+\delta_g)=1-\Delta^2\in I^{2k} R[X],$$

जो दूसरे कथन को सिद्ध करता है।

स्पष्ट उदाहरण
होने देना $$f(X)= X^6 - 2 \in \mathbb{Q}[X].$$ मॉडुलो 2, हेंसल की लेम्मा को कम करने के बाद से लागू नहीं किया जा सकता है $$f(X)$$ मॉड्यूलो 2 बस है पृष्ठ 15-16
 * $$\bar{f}(X) = X^6 - \overline{2} = X^6$$

6 कारकों के साथ $$X$$ दूसरे के लिए अपेक्षाकृत प्रमुख नहीं होना। आइज़ेंस्टीन की कसौटी से, हालांकि, यह निष्कर्ष निकाला जा सकता है कि बहुपद $$f(X)$$ में अपूरणीय है $$\Q_2[X] .$$ ऊपर $$k = \mathbb{F}_7$$, दूसरी ओर, है
 * $$\bar{f}(X) = X^6 - \overline{2} = X^6 - \overline{16} = (X^3 - \overline{4})\;(X^3 + \overline{4})$$

कहाँ $$4$$ 2 इंच का वर्गमूल है $$\mathbb{F}_7$$. क्योंकि 4 घन नहीं है $$\mathbb F_7,$$ ये दो कारक खत्म हो गए हैं $$\mathbb F_7$$. इसलिए का पूर्ण गुणनखंड $$X^6-2$$ में $$\Z_7[X]$$ और $$\Q_7[X]$$ है
 * $$f(X) = X^6 - 2 = (X^3-\alpha)\;(X^3 + \alpha),$$

कहाँ $$\alpha = \ldots 450\,454_7$$ 2 इंच का वर्गमूल है $$\Z_7$$ जिसे ऊपर दिए गए फ़ैक्टराइज़ेशन को हटाकर प्राप्त किया जा सकता है। अंत में, में $$\mathbb F_{727}[X]$$ बहुपद विभाजित हो जाता है
 * $$\bar{f}(X) = X^6 - \overline{2} = (X-\overline{3})\;(X-\overline{116})\;(X-\overline{119})\;(X-\overline{608})\;(X-\overline{611})\;(X-\overline{724})$$

सभी कारकों के साथ दूसरे के लिए अपेक्षाकृत प्रमुख हैं, ताकि अंदर $$\Z_{727}[X] $$ और $$\Q_{727}[X] $$ 6 कारक हैं $$X - \beta $$ (गैर-तर्कसंगत) 727-adic पूर्णांकों के साथ
 * $$\beta = \left\{ \begin{array}{rrr} 3 \; +& \!\!\! 545\cdot 727 \; +& \!\!\! 537 \cdot 727^2 \,+& \!\!\! 161 \cdot 727^3 +\ldots \\116\; +& \!\!\! 48\cdot 727\; +& \!\!\! 130\cdot 727^2 \,+& \!\!\! 498 \cdot 727^3 +\ldots \\119\; +& \!\!\! 593\cdot 727\; +& \!\!\! 667\cdot 727^2 \,+& \!\!\! 659 \cdot 727^3 +\ldots \\608\; +& \!\!\! 133\cdot 727\; +& \!\!\! 59 \cdot 727^2 \,+& \!\!\! 67 \cdot 727^3 +\ldots \\611\; +& \!\!\! 678\cdot 727\; +& \!\!\! 596\cdot 727^2 \,+& \!\!\! 228 \cdot 727^3 +\ldots \\724\; +& \!\!\!181 \cdot 727\; +& \!\!\! 189\cdot 727^2 \,+& \!\!\! 565 \cdot 727^3 +\ldots \end{array} \right. $$

जड़ें उठाने के लिए डेरिवेटिव का उपयोग करना
होने देना $$f(x)$$ पूर्णांक के साथ बहुपद हो (या $p$-adic पूर्णांक) गुणांक, और मान लीजिए कि m, k सकारात्मक पूर्णांक हैं जैसे कि m ≤ k। यदि r  पूर्णांक है जैसे कि


 * $$f(r) \equiv 0 \bmod p^k \quad \text{and} \quad f'(r) \not\equiv 0 \bmod p$$

फिर, प्रत्येक के लिए $$m>0$$ वहाँ पूर्णांक एस मौजूद है जैसे कि


 * $$f(s) \equiv 0 \bmod p^{k+m} \quad \text{and} \quad r \equiv s \bmod p^k.$$

इसके अलावा, यह एस अद्वितीय मॉड्यूलो पी हैk+m, और स्पष्ट रूप से पूर्णांक के रूप में गणना की जा सकती है


 * $$s = r - f(r)\cdot a,$$

कहाँ $$a$$ पूर्णांक संतोषजनक है


 * $$a \equiv [f'(r)]^{-1} \bmod p^m.$$

ध्यान दें कि $$f(r) \equiv 0 \bmod p^k $$ ताकि हालत $$s \equiv r \bmod p^k $$ मिला है। तरफ, अगर $$f'(r) \equiv 0 \bmod p$$, तब 0, 1, या कई s मौजूद हो सकते हैं (नीचे हेन्सल लिफ्टिंग देखें)।

व्युत्पत्ति
हम लिखने के लिए r के चारों ओर f के टेलर विस्तार का उपयोग करते हैं:


 * $$f(s) = \sum_{n=0}^N c_n (s-r)^n, \qquad c_n = f^{(n)}(r)/n!.$$

से $$r \equiv s \bmod p^k,$$ हम देखते हैं कि s - r = tpk किसी पूर्णांक t के लिए। होने देना


 * $$\begin{align}

f(s) &= \sum_{n=0}^N c_n \left(tp^k\right)^n \\ &= f(r) + t p^k f'(r) + \sum_{n=2}^N c_n t^n p^{kn} \\ &= f(r) + t p^k f'(r) + p^{2k}t^2g(t) && g(t) \in \Z[t] \\ &= zp^k + t p^k f'(r) + p^{2k}t^2g(t) && f(r) \equiv 0 \bmod p^k \\ &= (z+tf'(r)) p^k + p^{2k}t^2g(t) \end{align}$$ के लिए $$m \leqslant k,$$ अपने पास:


 * $$\begin{align}

f(s) \equiv 0 \bmod p^{k+m} &\Longleftrightarrow (z + tf'(r))p^k \equiv 0 \bmod p^{k+m} \\ &\Longleftrightarrow z + tf'(r) \equiv 0 \bmod p^m \\ &\Longleftrightarrow tf'(r) \equiv -z \bmod p^m \\ &\Longleftrightarrow t \equiv -z [f'(r)]^{-1} \bmod p^m && p \nmid f'(r) \end{align}$$ धारणा है कि $$f'(r)$$ p से विभाज्य नहीं है यह सुनिश्चित करता है $$f'(r)$$ उलटा मोड है $$p^m$$ जो अनिवार्य रूप से अद्वितीय है। इसलिए टी के लिए  समाधान अद्वितीय रूप से मौजूद है $$p^m,$$ और एस विशिष्ट मॉड्यूलो मौजूद है $$p^{k+m}.$$

अलघुकरणीय बहुपदों के लिए मानदंड
उपरोक्त परिकल्पनाओं का उपयोग करते हुए, यदि हम अलघुकरणीय बहुपद पर विचार करते हैं
 * $$f(x) = a_0+a_1x + \cdots + a_nx^n \in K[X]$$

ऐसा है कि $$a_0,a_n \neq 0$$, तब
 * $$|f| = \max\{|a_0|, |a_n|\}$$

विशेष रूप से, के लिए $$f(X) = X^6 + 10X - 1$$, हम में पाते हैं $$\mathbb{Q}_2[X]$$
 * $$\begin{align}

&= \max\{0,1,0 \} = 1 \end{align}$$ लेकिन $$\max\{|a_0|, |a_n|\} = 0$$, इसलिए बहुपद अलघुकरणीय नहीं हो सकता। जबकि में $$\mathbb{Q}_7[X]$$ हमारे पास दोनों मूल्य सहमत हैं, जिसका अर्थ है कि बहुपद अप्रासंगिक हो सकता है। इरेड्यूसबिलिटी निर्धारित करने के लिए, न्यूटन बहुभुज को नियोजित किया जाना चाहिए। पृष्ठ 144
 * f(X)| &= \max\{|a_0|,\ldots,|a_n|\} \\

फ्रोबेनियस
ध्यान दें कि दिया गया है $$a \in \mathbb{F}_p$$ फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म $$(-) \mapsto (-)^p$$  बहुपद देता है $$x^p - a$$ जिसका हमेशा शून्य व्युत्पन्न होता है
 * $$\begin{align}

\frac{d}{dx}x^p - a &= p\cdot x^{p-1} \\ &\equiv 0\cdot x^{p-1} \bmod p \\ & \equiv 0 \bmod p \end{align}$$ इसलिए p-th की जड़ें $$a$$ में मौजूद नहीं है $$\mathbb{Z}_p$$. के लिए $$a = 1$$, यह संकेत करता है $$\mathbb{Z}_p$$ एकता की जड़ नहीं हो सकती $$\mu_p$$.

एकता की जड़ें
हालांकि $$p$$-एकता की जड़ें निहित नहीं हैं $$\mathbb{F}_p$$, के समाधान हैं $$x^p - x = x(x^{p-1} - 1)$$. टिप्पणी
 * $$\begin{align}

\frac{d}{dx} x^p - x &= px^{p-1} - 1 \\ &\equiv -1 \bmod p \end{align}$$ कभी भी शून्य नहीं होता है, इसलिए यदि कोई समाधान मौजूद है, तो यह आवश्यक रूप से उठा लेता है $$\mathbb{Z}_p$$. क्योंकि फ्रोबेनियस देता है $$a^p = a ,$$ सभी गैर-शून्य तत्व $$\mathbb{F}_p^\times$$ समाधान हैं। वास्तव में एकता के यही मूल हैं $\mathbb{Q}_p$.

हेन्सेल लिफ्टिंग
लेम्मा का उपयोग करके, कोई व्यक्ति बहुपद f modulo p का मूल r उठा सकता हैk से नए रूट s modulo pk+1 जैसे कि r ≡ s mod pk (m = 1 लेकर; बड़ा m लेकर प्रेरण द्वारा अनुसरण करता है)। वास्तव में, रूट मॉड्यूल पीk+1 भी  रूट मोडुलो p हैk, इसलिए रूट मॉड्यूल pk+1 वास्तव में रूट्स मॉड्यूलो p की लिफ्टिंग हैंक. नया रूट s r मॉड्यूलो p के सर्वांगसम है, इसलिए नया रूट भी संतुष्ट करता है $f'(s) \equiv f'(r) \not\equiv 0 \bmod p.$ तो उठाने को दोहराया जा सकता है, और समाधान आर से शुरू हो सकता हैkका $f(x) \equiv 0 \bmod p^k$ हम समाधान आर का क्रम प्राप्त कर सकते हैंk+1, आरk+2, ... p की उत्तरोत्तर उच्च घातों के लिए समान सर्वांगसमता प्रदान करता है $f'(r_k) \not\equiv 0 \bmod p$ प्रारंभिक रूट आर के लिएk. इससे यह भी पता चलता है कि f के मूल mod p की संख्या समान है k p के विरुद्धk+1, p के विरुद्ध k+2, या p की कोई अन्य उच्च शक्ति, f mod p के मूल प्रदान करती हैk सभी सरल हैं।

इस प्रक्रिया का क्या होता है यदि आर साधारण रूट मोड पी नहीं है? कल्पना करना


 * $$f(r) \equiv 0 \bmod p^k \quad \text{and} \quad f'(r) \equiv 0 \bmod p.$$

तब $$s \equiv r \bmod p^k $$ तात्पर्य $$f(s) \equiv f(r) \bmod p^{k+1}.$$ वह है, $$f(r + tp^k) \equiv f(r)\bmod p^{k+1} $$ सभी पूर्णांकों के लिए टी। इसलिए, हमारे पास दो मामले हैं:


 * अगर $$ f(r) \not\equiv 0 \bmod p^{k+1} $$ फिर f(x) modulo p की जड़ में r का कोई उठाव नहीं हैके+1.
 * अगर $$f(r) \equiv 0 \bmod p^{k+1} $$ फिर r से मापांक p तक की प्रत्येक लिफ्टिंगk+1 f(x) modulo p का मूल हैके+1.

'उदाहरण।' दोनों मामलों को देखने के लिए हम पी = 2 के साथ दो अलग-अलग बहुपदों की जांच करते हैं:

$$f(x) = x^2 +1$$ और आर = 1. फिर $$f(1)\equiv 0 \bmod 2$$ और $$f'(1) \equiv 0 \bmod 2.$$ अपने पास $$f(1) \not\equiv 0 \bmod 4$$ जिसका मतलब है कि मॉड्यूल 4 में 1 की कोई लिफ्टिंग एफ (एक्स) मॉड्यूलो 4 की जड़ नहीं है।

$$g(x) = x^2 -17$$ और आर = 1. फिर $$g(1)\equiv 0 \bmod 2$$ और $$g'(1) \equiv 0 \bmod 2.$$ हालाँकि, तब से $$g(1) \equiv 0 \bmod 4,$$ हम अपने समाधान को मॉड्यूलस 4 तक उठा सकते हैं और दोनों लिफ्ट (यानी 1, 3) समाधान हैं। व्युत्पन्न अभी भी 0 मॉड्यूल 2 है, इसलिए प्राथमिकता हम नहीं जानते कि क्या हम उन्हें मॉड्यूल 8 तक उठा सकते हैं, लेकिन वास्तव में हम कर सकते हैं, क्योंकि जी (1) 0 मॉड 8 है और जी (3) 0 मॉड 8 है, 1, 3, 5, और 7 mod 8 पर समाधान दे रहे हैं। इनमें से केवल g(1) और g(7) 0 mod 16 हैं, हम केवल 1 और 7 को modulo 16 तक उठा सकते हैं, 1, 7, 9 और दे रहे हैं। 15 mod 16. इनमें से केवल 7 और 9 g(x) = 0 mod 32 देते हैं, इसलिए इन्हें 7, 9, 23, और 25 mod 32 देते हुए उठाया जा सकता है। यह पता चला है कि प्रत्येक पूर्णांक k ≥ 3 के लिए, वहाँ जी (एक्स) मॉड 2 की जड़ में 1 मॉड 2 की चार लिफ्टिंग हैं क.

पी-एडिक नंबरों के लिए हेन्सेल लेम्मा
में $p$-ऐडिक संख्याएँ, जहाँ हम p की परिमेय संख्या मॉड्यूलो शक्तियों का बोध करा सकते हैं जब तक कि भाजक p का गुणज न हो, r से पुनरावर्तनk(रूट्स मॉड पीk) से rk+1 (रूट्स मॉड पीk+1) बहुत अधिक सहज तरीके से व्यक्त किया जा सकता है। t को एक(y) पूर्णांक चुनने के बजाय जो सर्वांगसमता को हल करता है


 * $$tf'(r_k) \equiv -(f(r_k)/p^{k})\bmod p^m,$$

मान लीजिए कि t परिमेय संख्या है (pk यहाँ वास्तव में हर नहीं है क्योंकि f(rk) p से विभाज्य है के ):


 * $$-(f(r_k)/p^{k})/f'(r_k).$$

फिर सेट करें


 * $$r_{k+1} = r_k + tp^k = r_k - \frac{f(r_k)}{f'(r_k)}.$$

यह भिन्न पूर्णांक नहीं हो सकता है, लेकिन यह है $p$-adic पूर्णांक, और संख्याओं का क्रम rkमें विलीन हो जाता है $p$-ऐडिक पूर्णांक f(x) = 0 की जड़ के लिए। इसके अलावा, (नई) संख्या r के लिए प्रदर्शित पुनरावर्ती सूत्रk+1 आर के संदर्भ मेंkवास्तविक संख्याओं में समीकरणों के मूल ज्ञात करने के लिए सटीक रूप से न्यूटन की विधि है।

में सीधे काम करके $p$-एडिक्स और पी-एडिक वैल्यूएशन#पी-एडिक एब्सोल्यूट वैल्यू का उपयोग|$p$-आदिक निरपेक्ष मान, हेन्सेल के लेम्मा का संस्करण है जिसे तब भी लागू किया जा सकता है जब हम f(a) ≡ 0 mod p के समाधान से शुरू करते हैं जैसे कि $$f'(a)\equiv 0 \bmod p.$$ हमें केवल संख्या सुनिश्चित करने की आवश्यकता है $$f'(a)$$ बिल्कुल 0 नहीं है। यह अधिक सामान्य संस्करण इस प्रकार है: यदि कोई पूर्णांक a है जो संतुष्ट करता है:


 * $$|f(a)|_p < |f'(a)|_p^2,$$

फिर अनूठा है $p$-adic पूर्णांक b ऐसे f(b) = 0 और $$|b-a|_p <|f'(a)|_p.$$ बी का निर्माण यह दिखाने के बराबर है कि न्यूटन की विधि से प्रारंभिक मान के साथ पुनरावर्तन a में अभिसरित होता है $p$-adics और हम b को सीमा मानते हैं। शर्त के अनुकूल जड़ के रूप में b की विशिष्टता $$|b-a|_p <|f'(a)|_p$$ अतिरिक्त काम की जरूरत है।

ऊपर दिया गया हेंसल लेम्मा का कथन (लेकर $$m=1$$) इस अधिक सामान्य संस्करण का विशेष मामला है, क्योंकि शर्तें हैं कि f(a) ≡ 0 mod p और $$f'(a)\not\equiv 0 \bmod p$$ कहते हैं कि $$|f(a)|_p < 1$$ और $$|f'(a)|_p = 1.$$

उदाहरण
मान लीजिए कि p विषम अभाज्य संख्या है और a  गैर-शून्य द्विघात अवशेष सापेक्ष p है। तब हेंसल की प्रमेयिका का अर्थ है कि a के वलय में  वर्गमूल है $p$-ऐडिक पूर्णांक $$\Z_p.$$ वास्तव में, चलो $$f(x)=x^2-a.$$ यदि आर मॉड्यूल पी का वर्ग रूट है तो:


 * $$f(r) = r^2 - a \equiv 0 \bmod p \quad \text{and} \quad f'(r) = 2r \not\equiv 0 \bmod p,$$

जहां दूसरी स्थिति इस तथ्य पर निर्भर करती है कि p विषम है। हेंसल की लेम्मा का मूल संस्करण हमें बताता है कि r से शुरू होता है1 = आर हम पुनरावर्ती रूप से पूर्णांकों के अनुक्रम का निर्माण कर सकते हैं $$\{r_k\}$$ ऐसा है कि:


 * $$r_{k+1} \equiv r_k \bmod p^k, \quad r_k^2 \equiv a \bmod p^k. $$

यह क्रम कुछ में परिवर्तित होता है $p$-adic पूर्णांक b जो b को संतुष्ट करता है2 = ए। वास्तव में, b, a का अद्वितीय वर्गमूल है $$\Z_p$$ आर के अनुरूप1 मोडुलो पी। इसके विपरीत, यदि a पूर्ण वर्ग है $$\Z_p$$ और यह p से विभाज्य नहीं है तो यह  अशून्य द्विघात अवशेष mod p है। ध्यान दें कि द्विघात पारस्परिकता कानून किसी को आसानी से परीक्षण करने की अनुमति देता है कि क्या  गैर-शून्य द्विघात अवशेष मॉड पी है, इस प्रकार हमें यह निर्धारित करने का  व्यावहारिक तरीका मिलता है कि कौन सा $p$-adic नंबर (पी विषम के लिए)  है $p$-एडिक वर्गमूल, और हेन्सल के लेम्मा के अधिक सामान्य संस्करण का उपयोग करके केस p = 2 को कवर करने के लिए इसे बढ़ाया जा सकता है (17 के 2-एडिक वर्गमूल के साथ  उदाहरण बाद में दिया गया है)।

उपरोक्त चर्चा को और अधिक स्पष्ट करने के लिए, आइए हम 2 का वर्गमूल (इसका हल) ज्ञात करें $$x^2-2=0$$) 7-एडिक पूर्णांकों में। मोडुलो 7  समाधान 3 है (हम 4 भी ले सकते हैं), इसलिए हम सेट करते हैं $$r_1 = 3$$. हेन्सेल की लेम्मा तब हमें खोजने की अनुमति देती है $$r_2$$ निम्नलिखित नुसार:


 * $$\begin{align}

f(r_1) &= 3^2-2=7 \\ f(r_1)/p^1 &=7/7=1 \\ f'(r_1) &=2r_1=6 \end{align}$$ जिसके आधार पर अभिव्यक्ति


 * $$tf'(r_1) \equiv -(f(r_1)/p^k)\bmod p,$$

में बदल जाता हुँ:


 * $$t\cdot 6 \equiv -1\bmod 7$$

जो ये दर्शाता हे $$t = 1.$$ अब:


 * $$r_2 = r_1 + tp^1 = 3+1 \cdot 7 = 10 = 13_7.$$

और यकीन मानिए, $$10^2\equiv 2\bmod 7^2.$$ (यदि हमने 7-एडिक्स में सीधे न्यूटन विधि पुनरावर्तन का उपयोग किया था, तब $$r_2 = r_1 - f(r_1)/f'(r_1) = 3 - 7/6 = 11/6,$$ और $$11/6 \equiv 10 \bmod 7^2.$$)

हम जारी रख सकते हैं और खोज सकते हैं $$r_3 = 108 = 3 + 7 + 2\cdot 7^2 = 213_7$$. हर बार जब हम गणना करते हैं (अर्थात, k के प्रत्येक क्रमिक मान के लिए), 7 की अगली उच्च शक्ति के लिए और आधार 7 अंक जोड़ा जाता है। 7-एडिक पूर्णांकों में यह क्रम अभिसरित होता है, और सीमा  वर्ग है। 2 इंच की जड़ $$\Z_7$$ जिसका प्रारंभिक 7-एडिक विस्तार है


 * $$3 + 7 + 2\cdot7^2 + 6\cdot 7^3 + 7^4 + 2\cdot 7^5 + 7^6 + 2\cdot 7^7 + 4\cdot 7^8 + \cdots.$$

अगर हमने शुरुआती पसंद से शुरुआत की $$r_1 = 4$$ तो हेन्सेल की लेम्मा 2 इंच का वर्गमूल उत्पन्न करेगी $$\Z_7$$ जो 3 (mod 7) के बजाय 4 (mod 7) के अनुरूप है और वास्तव में यह दूसरा वर्गमूल पहले वर्गमूल का ऋणात्मक होगा (जो 4 = −3 mod 7 के अनुरूप है)।

उदाहरण के रूप में जहां हेंसल के लेम्मा का मूल संस्करण मान्य नहीं है, लेकिन अधिक सामान्य है, चलो $$f(x) = x^2-17$$ और $$a=1.$$ तब $$f(a) =-16$$ और $$f'(a) = 2,$$ इसलिए


 * $$|f(a)|_2 < |f'(a)|_2^2,$$

जिसका अर्थ है कि अद्वितीय 2-एडिक पूर्णांक बी संतोषजनक है


 * $$b^2 = 17 \quad \text{and} \quad |b-a|_2 < |f'(a)|_2 = \frac{1}{2},$$

यानी, b ≡ 1 mod 4. 2-adic पूर्णांकों में 17 के दो वर्गमूल हैं, जो चिह्न से भिन्न हैं, और हालांकि वे सर्वांगसम mod 2 हैं, वे सर्वांगसम mod 4 नहीं हैं। यह हेन्सेल के सामान्य संस्करण के अनुरूप है लेम्मा हमें केवल 17 का  अद्वितीय 2-एडिक वर्गमूल दे रही है जो मॉड 2 के बजाय 1 मॉड 4 के अनुरूप है। यदि हमने शुरुआती अनुमानित रूट a = 3 के साथ शुरू किया था तो हम खोजने के लिए अधिक सामान्य हेन्सेल लेम्मा को फिर से लागू कर सकते हैं। 17 का अनोखा 2-एडिक वर्गमूल जो 3 मॉड 4 के अनुरूप है। यह 17 का अन्य 2-एडिक वर्गमूल है।

की जड़ों को उठाने के मामले में $$x^2-17$$ मापांक 2 सेक से 2 k+1, रूट 1 मॉड 2 से शुरू होने वाली लिफ्ट इस प्रकार हैं:


 * 1 मॉड 2 → 1, 3 मॉड 4
 * 1 मॉड 4 → 1, 5 मॉड 8 और 3 मॉड 4 → 3, 7 मॉड 8
 * 1 मॉड 8 → 1, 9 मॉड 16 और 7 मॉड 8 → 7, 15 मॉड 16, जबकि 3 मॉड 8 और 5 मॉड 8 रूट मॉड 16 तक नहीं उठाते हैं
 * 9 mod 16 → 9, 25 mod 32 और 7 mod 16 → 7, 23 mod 16, जबकि 1 mod 16 और 15 mod 16 रूट्स mod 32 तक नहीं उठाते हैं।

प्रत्येक k के लिए कम से कम 3, x के चार मूल होते हैं2 − 17 बनाम 2k, लेकिन अगर हम उनके 2-एडिक विस्तारों को देखें तो हम देख सकते हैं कि जोड़ियों में वे केवल दो 2-एडिक सीमाओं में अभिसरण कर रहे हैं। उदाहरण के लिए, चार जड़ें मॉड 32 दो जोड़ी जड़ों में टूट जाती हैं, जिनमें से प्रत्येक ही मॉड 16 दिखती है:


 * 9 = 1 + 23 और 25 = 1 + 23 + 2 4।
 * 7 = 1 + 2 + 22 और 23 = 1 + 2 + 22 + 2 4।

17 के 2-ऐडिक वर्गमूलों का विस्तार है


 * $$1 + 2^3 +2^5 +2^6 +2^7 +2^9 + 2^{10} + \cdots $$
 * $$1 + 2 + 2^2 + 2^4 + 2^8 + 2^{11} + \cdots $$

और उदाहरण जहां हम हेंसल लेम्मा के अधिक सामान्य संस्करण का उपयोग कर सकते हैं, लेकिन मूल संस्करण का नहीं, यह प्रमाण है कि कोई भी 3-एडिक पूर्णांक c ≡ 1 mod 9  घन है $$\Z_3.$$ होने देना $$f(x) =x^3-c$$ और प्रारंभिक सन्निकटन a = 1 लें। मूलभूत हेन्सेल लेम्मा का उपयोग f(x) की जड़ों को खोजने के लिए नहीं किया जा सकता है क्योंकि $$f'(r)\equiv 0 \bmod 3$$ हर आर के लिए। हेंसल के लेम्मा के सामान्य संस्करण को लागू करने के लिए हम चाहते हैं $$|f(1)|_3 <|f'(1)|_3^2,$$ मतलब $$c\equiv 1 \bmod 27.$$ अर्थात, यदि c ≡ 1 mod 27 है तो सामान्य हेन्सेल की लेम्मा हमें बताती है कि f(x) में 3-एडिक रूट है, इसलिए c 3-एडिक क्यूब है। हालाँकि, हम इस परिणाम को कमजोर स्थिति के तहत चाहते थे कि c ≡ 1 mod 9. यदि c ≡ 1 mod 9 तो c ≡ 1, 10, या 19 mod 27। हम मूल्य के आधार पर सामान्य हेन्सेल के लेम्मा को तीन बार लागू कर सकते हैं। सी मॉड 27 का: यदि सी ≡ 1 मॉड 27 तो ए = 1 का उपयोग करें, यदि सी ≡ 10 मॉड 27 तो ए = 4 का उपयोग करें (चूंकि 4 एफ (एक्स) मॉड 27 की जड़ है), और यदि सी ≡ 19 मॉड 27 फिर a = 7 का उपयोग करें। (यह सच नहीं है कि प्रत्येक c ≡ 1 mod 3 3-एडिक क्यूब है, उदाहरण के लिए, 4 3-एडिक क्यूब नहीं है क्योंकि यह क्यूब मॉड 9 नहीं है।)

इसी तरह, कुछ प्रारंभिक कार्य के बाद, हेंसल की प्रमेयिका का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि किसी भी विषम अभाज्य संख्या p के लिए, कोई भी $p$-अर्थात् पूर्णांक c 1 सापेक्ष p के सर्वांगसम है2 p-वें घात है $$\Z_p.$$ (यह p = 2 के लिए असत्य है।)

सामान्यीकरण
मान लीजिए A क्रमविनिमेय वलय है,  आदर्श के संबंध में  वलय का पूरा होना (अंगूठी सिद्धांत) $$\mathfrak{m},$$ और जाने $$f(x) \in A[x].$$ a ∈ A को f का सन्निकट मूल कहा जाता है, यदि


 * $$ f(a) \equiv 0 \bmod f'(a)^2 \mathfrak{m}.$$

यदि f का अनुमानित मूल है तो इसका सटीक मूल b ∈ A है जो a के निकट है; वह है,


 * $$f(b) = 0 \quad \text{and} \quad b \equiv a \bmod{\mathfrak m}.$$

इसके अलावा, अगर $$f'(a)$$ शून्य-भाजक नहीं है तो b अद्वितीय है।

इस परिणाम को निम्नानुसार कई चरों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है:


 * 'प्रमेय।' मान लीजिए A क्रमविनिमेय वलय है जो आदर्श के संबंध में पूर्ण है $$\mathfrak{m} \subset A.$$ होने देना $$f_1, \ldots, f_n \in A[x_1, \ldots, x_n]$$ ए पर एन चर में एन बहुपदों की  प्रणाली बनें। देखें $$\mathbf{f} = (f_1, \ldots, f_n),$$ ए से मानचित्रण के रूप मेंn खुद के लिए, और जाने दो $$J_{\mathbf{f}}(\mathbf{x})$$ इसके जैकबियन मैट्रिक्स को निरूपित करें। मान लीजिए  = (ए1, ..., एn) ∈ एn इस अर्थ में 'f' = '0' का  अनुमानित समाधान है


 * $$f_i(\mathbf{a}) \equiv 0 \bmod (\det J_{\mathbf{f}}(a))^2 \mathfrak{m}, \qquad 1 \leqslant i \leqslant n.$$
 * तो कुछ है b = (b1, ..., बीn) ∈ एn संतोषजनक 'f'('b') = '0', यानी,


 * $$f_i(\mathbf{b}) =0, \qquad 1 \leqslant i \leqslant n.$$
 * इसके अलावा यह समाधान इस अर्थ में करीब है कि


 * $$b_i \equiv a_i \bmod \det J_{\mathbf{f}}(a) \mathfrak{m}, \qquad 1 \leqslant i \leqslant n.$$

विशेष मामले के रूप में, यदि $$f_i(\mathbf{a}) \equiv 0 \bmod \mathfrak{m}$$ मैं और सभी के लिए $$\det J_{\mathbf{f}}(\mathbf{a})$$ ए में इकाई है तो 'एफ'('बी') = '0' के साथ  समाधान है $$b_i \equiv a_i \bmod \mathfrak{m}$$ सभी के लिए मैं

जब n = 1, 'a' = a, A का अवयव है और $$J_{\mathbf{f}}(\mathbf{a}) = J_f(a)=f'(a).$$ इस बहुभिन्नरूपी हेन्सेल के लेम्मा की परिकल्पना उन लोगों को कम करती है जो एक-चर हेन्सेल के लेम्मा में बताए गए थे।

संबंधित अवधारणाएं
हेन्सेलियन संपत्ति होने के लिए रिंग का पूरा होना आवश्यक शर्त नहीं है: 1950 में गोरो आर्बर ने हेंसेलियन रिंग होने के लिए अधिकतम आदर्श एम के लिए हेन्सेलियन संपत्ति को संतुष्ट करने वाले  कम्यूटेटिव  स्थानीय अंगूठी  को परिभाषित किया।

न्यायमूर्ति नगाटा ने 1950 के दशक में साबित किया कि किसी भी क्रमविनिमेय स्थानीय रिंग ए के लिए अधिकतम आदर्श एम के साथ हमेशा छोटी रिंग ए मौजूद होती है।h जिसमें A ऐसा हो कि AmA के सन्दर्भ में h हेन्सेलियन हैज. इस एक h को A का हेन्सेलाइज़ेशन कहा जाता है। अगर ए नोथेरियन रिंग है, एh भी नोथेरियन होगा, और Ah स्पष्ट रूप से बीजगणितीय है क्योंकि इसे étale topology|étale पड़ोस की सीमा के रूप में बनाया गया है। इसका मतलब है कि एh आमतौर पर पूरा होने की तुलना में बहुत छोटा होता है Â अभी भी हेन्सेलियन संपत्ति को बनाए रखते हुए और उसी श्रेणी के सिद्धांत में शेष है.

यह भी देखें

 * हस्से-मिन्कोव्स्की प्रमेय
 * न्यूटन बहुभुज
 * स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट क्षेत्र
 * लिफ्टिंग-द-एक्सपोनेंट लेम्मा