उपविषय

श्रेणी सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक उप-वस्तु, समान्य रूप से बोलना, एक वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) है जो उसी श्रेणी (गणित) में किसी अन्य वस्तु के अंदर स्थित होती है। यह धारणा अवधारणाओं का सामान्यीकरण है जैसे उपसमुच्चय सिद्धांत से उपसमुच्चय, समूह सिद्धांत से उपसमूह, और टोपोलॉजी से उपस्थान (टोपोलॉजी) चूँकि वस्तुओं की विस्तृत संरचना श्रेणी सिद्धांत में सारहीन है, उप-वस्तु की परिभाषा एक रूपवाद पर निर्भर करती है जो बताती है कि तत्वों के उपयोग पर निर्भर होने के अतिरिक्त एक वस्तु दूसरे के अंदर कैसे स्थित होती है

भागफल वस्तु. यह भागफल सेट, भागफल समूह, भागफल रिक्त स्थान, भागफल ग्राफ़ आदि जैसी अवधारणाओं का सामान्यीकरण करता है।

परिभाषाएँ
लक्ष्य के आधार पर उप-वस्तु की एक उपयुक्त श्रेणीबद्ध परिभाषा संदर्भ के साथ भिन्न हो सकती है। एक सामान्य परिभाषा इस प्रकार है.

आइए विस्तार से जानते हैं$$A$$किसी श्रेणी की वस्तु होना। जिन्हें दो एकरूपताएँ दी गईं है


 * $$u: S \to A \ \text{and} \ v: T\to A$$

कोडोमेन $$A$$ के साथ, हम $$u \equiv v$$ द्वारा एक तुल्यता संबंध को परिभाषित करते हैं यदि $$\phi: S \to T$$ के साथ एक समरूपता $$u = v \circ \phi$$ उपस्थित है।

समान रूप से, हम $$u \leq v$$ लिखते हैं यदि $$u$$ गुणनखंड $$v$$ के माध्यम से करता है—अर्थात, यदि उपस्थित है $$\phi: S \to T$$ जैसे कि $$u = v \circ \phi$$। द्विआधारी संबंध $$\equiv$$ द्वारा परिभाषित है


 * $$u \equiv v \iff u \leq v \ \text{and} \ v\leq u $$

कोडोमेन $$A$$ के साथ मोनोमोर्फिज्म पर एक समतुल्य संबंध है, और इन मोनोमोर्फिज्म के संबंधित समतुल्य वर्ग $$A$$ के उप-विषय हैं।

संबंध ≤ $$A$$ उप-वस्तुओं के संग्रह पर आंशिक क्रम उत्पन्न करता है

किसी वस्तु की उप-वस्तुओं का संग्रह वास्तव में एक उचित वर्ग हो सकता है; इसका अर्थ यह है कि दी गई चर्चा कुछ सीमा तक शिथिल है। यदि प्रत्येक वस्तु का उप-वस्तु-संग्रह एक समुच्चय (गणित) है, तो श्रेणी को अच्छी तरह से संचालित या, संभवतः ही कभी स्थानीय रूप से छोटा कहा जाता है (यह स्थानीय रूप से छोटे शब्द के एक अलग उपयोग के साथ संघर्ष करता है, अर्थात् कि किन्हीं दो वस्तुओं के बीच रूपवाद का एक समुच्चय होता है)।

'भागफल वस्तु' की दोहरी अवधारणा प्राप्त करने के लिए, मोनोमोर्फिज्म को ऊपर एपिमोर्फिज्म से बदलें और तीरों को विपरीत करें। A की एक भागफल वस्तु तब डोमेन A के साथ एपिमोर्फिज्म का एक समतुल्य वर्ग है।

चूँकि कुछ संदर्भों में ये परिभाषाएँ अपर्याप्त हैं क्योंकि वे उप-वस्तु या भागफल वस्तु की अच्छी तरह से स्थापित धारणाओं से मेल नहीं खाती हैं। टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में, मोनोमोर्फिज्म स्पष्ट रूप से इंजेक्टिव निरंतर कार्य हैं; किन्तु सभी इंजेक्टिव निरंतर कार्य उप-स्थान एम्बेडिंग नहीं हैं। वलय की श्रेणी में, समावेशन $$\mathbb{Z} \hookrightarrow \mathbb{Q}$$ एक प्रतीकवाद है किन्तु दो-तरफा आदर्श द्वारा $$\mathbb{Z}$$ का भागफल नहीं है। ऐसे मानचित्र प्राप्त करने के लिए जो वास्तव में उप-वस्तु एम्बेडिंग या भागफल की तरह व्यवहार करते हैं,जो न कि इच्छानुसार इंजेक्शन फ़ंक्शन या सघन छवि वाले मानचित्रों के अतिरिक्त, किसी को अतिरिक्त परिकल्पनाओं को संतुष्ट करने वाले मोनोमोर्फिज्म और एपिमोर्फिज्म तक ही सीमित रहना चाहिए। इसलिए कोई एक उप-वस्तु को तथाकथित नियमित मोनोमोर्फिज्म (मोनोमोर्फिज्म जिसे दो रूपवादों के तुल्यकारक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है) के समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित कर सकता है और "भागफल वस्तु" को "नियमित एपिमोर्फिज्म" के किसी भी समतुल्य वर्ग के रूप में परिभाषित कर सकता है। (ऐसे आकार जिन्हें दो आकारवादों के सहतुल्यकारक के रूप में व्यक्त किया जा सकता है)

व्याख्या
यह परिभाषा श्रेणी सिद्धांत के बाहर एक उप-वस्तु की सामान्य समझ से मेल खाती है। जब श्रेणी की वस्तुएं समुच्चय होती हैं (संभवतः समूह संरचना जैसी अतिरिक्त संरचना के साथ) और रूपवाद समुच्चय फ़ंक्शन होते हैं (अतिरिक्त संरचना को संरक्षित करते हुए), तो कोई अपनी छवि के संदर्भ में एक मोनोमोर्फिज्म के बारे में सोचता है। मोनोमोर्फिज्म का एक तुल्यता वर्ग वर्ग में प्रत्येक मोनोमोर्फिज्म की छवि से निर्धारित होता है; अर्थात्, किसी वस्तु T में दो मोनोमोर्फिज्म f और g समतुल्य हैं यदि और केवल यदि उनकी छवियां T के समान उपसमुच्चय (इस प्रकार, उप-वस्तु) हैं। उस स्थिति में समरूपता $$g^{-1} \circ f$$ है उनके डोमेन के अंतर्गत डोमेन के संबंधित तत्व क्रमशः f और g, द्वारा T के समान तत्व पर मैप होते हैं; यह समतुल्यता की परिभाषा को स्पष्ट करता है।

उदाहरण
समुच्चय में, समुच्चय की श्रेणी, A का एक उप-वस्तु A के उपसमुच्चय B से मेल खाता है, या छवि के साथ B से सुसज्जित समुच्चय से सभी मानचित्रों का संग्रह (गणित) बिल्कुल B समुच्चय में किसी समुच्चय का उपविषय आंशिक क्रम केवल उसका उपसमुच्चय जाली (आदेश) है।

समूह में, समूहों की श्रेणी, A के उप-वस्तु A के उपसमूह के अनुरूप हैं।

आंशिक रूप से क्रमित वर्ग P = (P, ≤) को देखते हुए, हम वस्तुओं के रूप में P के तत्वों और p से q तक एक एकल तीर के साथ एक श्रेणी बना सकते हैं। iff p ≤ q. यदि P में सबसे बड़ा तत्व है, तो इस सबसे बड़े तत्व का उप-विषय आंशिक क्रम P ही होगा। ऐसा आंशिक रूप से इसलिए है क्योंकि ऐसी श्रेणी के सभी तीर मोनोमोर्फिज्म होते होंगे।

किसी टर्मिनल वस्तु के उपविषय को उपटर्मिनल वस्तु कहा जाता है।

यह भी देखें

 * विषयवस्तु वर्गीकारक
 * उपभागी