हर्स्ट एक्सपोनेंट

हर्स्ट एक्सपोनेंट का उपयोग लंबी दूरी की निर्भरता के उपाय के रूप में किया जाता है। समय श्रृंखला की लंबी अवधि की स्मृति। यह समय श्रृंखला के स्वत: सहसंबंधों से संबंधित है, और जिस दर पर मूल्यों के जोड़े के बीच अंतराल बढ़ता है, वह घटता है। हर्स्ट एक्सपोनेंट से जुड़े अध्ययन मूल रूप से नील नदी की अस्थिर बारिश और सूखे की स्थिति के लिए इष्टतम बांध के आकार का निर्धारण करने के व्यावहारिक मामले के लिए जल विज्ञान में विकसित किए गए थे, जो लंबे समय से देखे गए थे। नाम हर्स्ट प्रतिपादक, या हर्स्ट गुणांक, हेरोल्ड एडविन हर्स्ट (1880-1978) से निकला है, जो इन अध्ययनों में प्रमुख शोधकर्ता थे; गुणांक के लिए मानक संकेतन एच का उपयोग भी उसके नाम से संबंधित है।

भग्न ज्यामिति में, 'सामान्यीकृत हर्स्ट प्रतिपादक' को एच (बहुविकल्पी) या एच द्वारा निरूपित किया गया है।qबेनोइट मैंडेलब्रॉट (1924-2010) द्वारा हेरोल्ड एडविन हर्स्ट और ओटो लुडविग होल्डर | लुडविग ओटो होल्डर (1859-1937) दोनों के सम्मान में। एच सीधे भग्न आयाम, डी से संबंधित है, और एक डेटा श्रृंखला 'हल्के या जंगली यादृच्छिकता का एक उपाय है। हर्स्ट प्रतिपादक को निर्भरता का सूचकांक या लंबी दूरी की निर्भरता का सूचकांक कहा जाता है। यह एक समय श्रृंखला की सापेक्ष प्रवृत्ति को मापता है या तो एक दिशा में या तो दृढ़ता से प्रतिगमन या क्लस्टर करने के लिए। 0.5-1 की सीमा में एक मान एच लंबी अवधि के सकारात्मक स्वतःसंबंध के साथ एक समय श्रृंखला को इंगित करता है, जिसका अर्थ है कि ऑटो-सहसंबंध में क्षय घातांक की तुलना में धीमा है, एक पावर-लॉ टेल के बाद; श्रृंखला के लिए इसका मतलब है कि एक उच्च मूल्य के बाद एक और उच्च मूल्य होता है और भविष्य में अधिक उच्च मूल्यों की यात्रा होती है। रेंज 0 - 0.5 में एक मान आसन्न जोड़े में उच्च और निम्न मानों के बीच लंबी अवधि के स्विचिंग के साथ एक समय श्रृंखला को इंगित करता है, जिसका अर्थ है कि एक एकल उच्च मूल्य के बाद शायद कम मूल्य होगा और उसके बाद का मूल्य होगा उच्च, भविष्य में लंबे समय तक चलने वाले उच्च और निम्न मूल्यों के बीच स्विच करने की प्रवृत्ति के साथ, एक शक्ति कानून का भी पालन करना। एच = 0.5 का मान लंबी दूरी की निर्भरता को इंगित करता है # लंबी दूरी की निर्भरता बनाम लघु-श्रेणी की निर्भरता | लघु-स्मृति, (पूर्ण) स्वत: सहसंबंधों के साथ शून्य से तेजी से क्षय हो रहा है।

परिभाषा
हर्स्ट एक्सपोनेंट, एच, को समय श्रृंखला के समय अवधि के एक समारोह के रूप में पुन: स्केल किए गए रेंज के एसिम्प्टोटिक व्यवहार के संदर्भ में परिभाषित किया गया है;

$$\mathbb{E} \left [ \frac{R(n)}{S(n)} \right ]=C n^H \text{  as } n \to \infty  \, ,$$ कहाँ
 * $$R(n)$$ पहले की श्रेणी (सांख्यिकी) है $$n$$ माध्य से संचयी विचलन
 * $$S(n)$$ प्रथम n मानक विचलन की श्रृंखला (योग) है
 * $$\mathbb{E} \left [x \right ] \,$$ अपेक्षित मूल्य है
 * $$n$$ अवलोकन का समय अवधि है (एक समय श्रृंखला में डेटा बिंदुओं की संख्या)
 * $$C$$ एक स्थिरांक है।

भग्न आयाम से संबंध
स्व-समान समय श्रृंखला के लिए, एच सीधे भग्न आयाम से संबंधित है, डी, जहां 1 <डी <2, जैसे कि डी = 2 - एच। हर्स्ट एक्सपोनेंट के मान 0 और 1 के बीच भिन्न होते हैं, उच्च मूल्यों के साथ एक चिकनी प्रवृत्ति, कम अस्थिरता और कम संकेत मिलता है खुरदरापन। अधिक सामान्य समय श्रृंखला या बहु-आयामी प्रक्रिया के लिए, हर्स्ट एक्सपोनेंट और फ्रैक्टल आयाम को स्वतंत्र रूप से चुना जा सकता है, क्योंकि हर्स्ट एक्सपोनेंट असीमित रूप से लंबी अवधि में संरचना का प्रतिनिधित्व करता है, जबकि फ्रैक्टल आयाम असीमित रूप से छोटी अवधि में संरचना का प्रतिनिधित्व करता है।

एक्सपोनेंट का आकलन
साहित्य में लंबी दूरी की निर्भरता के कई अनुमानक प्रस्तावित किए गए हैं। मैंडेलब्रॉट और वालिस द्वारा लोकप्रिय तथाकथित पुनर्वर्धित रेंज (आर/एस) विश्लेषण सबसे पुराना और सबसे प्रसिद्ध है और हर्स्ट के पिछले हाइड्रोलॉजिकल निष्कर्षों पर आधारित है। विकल्प में शामिल उतार-चढ़ाव का विश्लेषण, पीरियडोग्राम प्रतिगमन, एकत्रित प्रसरण, स्थानीय Whittle के अनुमानक, तरंगिका विश्लेषण, दोनों समय डोमेन और आवृत्ति डोमेन में।

पुनर्वर्धित श्रेणी (आर/एस) विश्लेषण
हर्स्ट एक्सपोनेंट का अनुमान लगाने के लिए, पहले अवलोकन के समय अवधि n पर पुनर्वर्धित सीमा की निर्भरता का अनुमान लगाना चाहिए। पूर्ण लंबाई N की एक समय श्रृंखला को लंबाई n = N, N/2, N/4, ... की छोटी समय श्रृंखला की संख्या में विभाजित किया जाता है, फिर औसत रीस्केल्ड रेंज की गणना n के प्रत्येक मान के लिए की जाती है।

लंबाई की (आंशिक) समय श्रृंखला के लिए $$n$$, $$X=X_1,X_2,\dots, X_n \, $$, पुनः स्केल की गई श्रेणी की गणना निम्न प्रकार से की जाती है:

\operatorname{min}\left (Z_1, Z_2, \dots, Z_n \right ). $$ हर्स्ट एक्सपोनेंट का अनुमान बिजली कानून को फिट करके लगाया जाता है $$\mathbb{E} [ R(n)/S(n)] = C n^H$$ डेटा के लिए। यह प्लॉटिंग द्वारा किया जा सकता है $$\log[R(n)/S(n)]$$ के एक समारोह के रूप में $$\log n$$, और एक सीधी रेखा बनाना; रेखा का ढाल देता है $$H$$ (एक अधिक राजसी दृष्टिकोण शक्ति कानून को अधिकतम-संभावना वाले फैशन में फिट करता है ). ऐसे ग्राफ को बॉक्स प्लॉट कहा जाता है। हालाँकि, यह दृष्टिकोण पावर-लॉ एक्सपोनेंट के पक्षपाती अनुमानों का उत्पादन करने के लिए जाना जाता है। छोटे के लिए $$n$$ 0.5 ढलान से महत्वपूर्ण विचलन है। अनीस और लॉयड अनुमानित सैद्धांतिक (यानी, सफेद शोर के लिए) आर/एस आंकड़े के मान:
 * 1) माध्य की गणना करें; $$m=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n} X_i \,.$$
 * 2) औसत-समायोजित श्रृंखला बनाएं; $$Y_t=X_{t}-m \quad  \text{  for } t=1,2, \dots ,n \,. $$
 * 3) संचयी विचलन श्रृंखला की गणना करें $$Z$$; $$Z_t = \sum_{i=1}^{t} Y_{i} \quad  \text{   for }  t=1,2, \dots ,n \,. $$
 * 4) सीमा की गणना करें $$R$$; $$ R(n) =\operatorname{max}\left (Z_1, Z_2, \dots, Z_n  \right )-
 * 1) मानक विचलन की गणना करें $$S$$; $$S(n)= \sqrt{\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left ( X_{i} - m \right )^{2}}. $$
 * 2) रीस्केल्ड रेंज की गणना करें $$R(n)/S(n)$$ और लंबाई की सभी आंशिक समय श्रृंखला का औसत $$n.$$

$$\mathbb{E} [ R(n)/S(n) ] = \begin{cases} \frac{\Gamma(\frac{n-1}{2})}{\sqrt{\pi} \Gamma(\frac{n}{2})} \sum\limits_{i=1}^{n-1} \sqrt{\frac{n-i}{i}}, & \text{for }n\le 340 \\ \frac{1}{\sqrt{n\frac{\pi}{2}}} \sum\limits_{i=1}^{n-1} \sqrt{\frac{n-i}{i}}, & \text{for }n>340 \end{cases}$$ कहाँ $$\Gamma$$ यूलर गामा समारोह है। अनीस-लॉयड संशोधित आर/एस हर्स्ट एक्सपोनेंट की गणना 0.5 प्लस के ढलान के रूप में की जाती है $$ R(n)/S(n) - \mathbb{E}[ R(n)/S(n)]$$.

विश्वास अंतराल
अब तक के अधिकांश हर्स्ट एक्सपोनेंट अनुमानकों के लिए कोई विषम वितरण सिद्धांत प्राप्त नहीं किया गया है। हालाँकि, वेरोन बूटस्ट्रैपिंग (सांख्यिकी) का उपयोग दो सबसे लोकप्रिय तरीकों के विश्वास अंतराल के लिए अनुमानित कार्यात्मक रूपों को प्राप्त करने के लिए किया जाता है, अर्थात, अनीस-लॉयड के लिए सही आर/एस विश्लेषण: और Detrended उतार-चढ़ाव विश्लेषण के लिए: यहाँ $$M = \log_2 N$$ और $$N$$ श्रृंखला की लंबाई है। दोनों ही मामलों में केवल लंबाई की उपश्रेणी $$n > 50$$ हर्स्ट एक्सपोनेंट का आकलन करने के लिए विचार किया गया; छोटी लंबाई की उपश्रेणियाँ R/S अनुमानों के उच्च विचरण की ओर ले जाती हैं।

सामान्यीकृत एक्सपोनेंट
बुनियादी हर्स्ट प्रतिपादक परिवर्तनों के अपेक्षित आकार से संबंधित हो सकता है, टिप्पणियों के बीच अंतराल के एक समारोह के रूप में, जैसा कि E(|X) द्वारा मापा जाता हैt+τ-Xt|2). गुणांक के सामान्यीकृत रूप के लिए, यहाँ घातांक को एक अधिक सामान्य शब्द से बदल दिया जाता है, जिसे q द्वारा निरूपित किया जाता है।

एच के आकलन के लिए कई तरह की तकनीकें मौजूद हैं, हालांकि अनुमान की सटीकता का आकलन करना एक जटिल मुद्दा हो सकता है। गणितीय रूप से, एक तकनीक में, हर्स्ट प्रतिपादक का अनुमान इस प्रकार लगाया जा सकता है: $$H_q = H(q),$$ एक समय श्रृंखला के लिए $$g(t), t = 1, 2, \dots$$ इसके बीजगणितीय संरचना कार्यों के स्केलिंग गुणों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है $$S_q$$ ($$\tau$$): $$S_q = \langle |g(t + \tau) - g(t)|^q \rangle_t \sim \tau^{qH(q)}, $$ कहाँ $$q > 0$$, $$\tau$$ टाइम लैग है और एवरेजिंग टाइम विंडो के ऊपर है $$t \gg \tau,$$ आमतौर पर सिस्टम का सबसे बड़ा समय पैमाना।

व्यावहारिक रूप से, प्रकृति में, समय की कोई सीमा नहीं है, और इस प्रकार एच गैर-नियतात्मक है क्योंकि यह केवल देखे गए डेटा के आधार पर अनुमान लगाया जा सकता है; उदाहरण के लिए, स्टॉक मार्केट इंडेक्स में अब तक देखी गई सबसे नाटकीय दैनिक वृद्धि किसी बाद के दिनों में हमेशा पार हो सकती है। उपरोक्त गणितीय आकलन तकनीक में, function $H(q)$ पैमाने पर औसत सामान्यीकृत अस्थिरता के बारे में जानकारी शामिल है $$\tau$$ (केवल $q = 1, 2$ का उपयोग अस्थिरता को परिभाषित करने के लिए किया जाता है)। विशेष रूप से, H1}घातांक संकेतक बने रहते हैं ($H_{1} > 1⁄2$) या एंटीपर्सिस्टेंट ($H_{1} < 1⁄2$) प्रवृत्ति का व्यवहार।

BRW के लिए (भूरा शोर, $$1/f^2$$) मिलता है $$H_q = \frac{1}{2},$$ और गुलाबी शोर के लिए ($$1/f$$) $$H_q = 0.$$ सफेद शोर के लिए हर्स्ट एक्सपोनेंट आयाम निर्भर है, और 1D और 2D के लिए यह है $$H^{1D}_q = \frac{1}{2}, \quad H^{2D}_q = -1.$$ लोकप्रिय लेवी स्थिर प्रक्रियाओं और पैरामीटर α के साथ छोटा लेवी प्रक्रियाओं के लिए यह पाया गया है

$$H_q = q/\alpha,$$ के लिए $$q < \alpha$$, और $$H_q = 1$$ के लिए $$q \geq \alpha$$. मल्टीफ़्रैक्टल डिट्रेंडेड उतार-चढ़ाव विश्लेषण अनुमान लगाने का एक तरीका है $$H(q)$$ गैर-स्थिर समय श्रृंखला से। कब $$H(q)$$ क्यू का एक गैर-रैखिक कार्य है समय श्रृंखला एक मल्टीफ़्रैक्टल प्रणाली है।

नोट
उपरोक्त परिभाषा में दो अलग-अलग आवश्यकताओं को एक साथ मिलाया जाता है जैसे कि वे एक हों। यहां दो स्वतंत्र आवश्यकताएं हैं: (i) स्थिर वेतन वृद्धि, x(t+T)-x(t)=x(T)-x(0) वितरण में। यह वह स्थिति है जो लंबे समय तक स्वसंबंध उत्पन्न करती है। (ii) स्टोचैस्टिक प्रक्रिया की स्व-समानता तब विचरण स्केलिंग उत्पन्न करती है, लेकिन लंबे समय तक स्मृति के लिए इसकी आवश्यकता नहीं होती है। उदाहरण के लिए, दोनों मार्कोव प्रक्रियाएं (यानी, स्मृति-मुक्त प्रक्रियाएं) और 1-बिंदु घनत्व (सरल औसत) के स्तर पर आंशिक ब्राउनियन गति पैमाने, लेकिन न तो जोड़ी सहसंबंध के स्तर पर या, तदनुसार, 2-बिंदु संभाव्यता घनत्व.

एक कुशल बाजार के लिए एक मार्टिंगेल (संभाव्यता सिद्धांत) की स्थिति की आवश्यकता होती है, और जब तक भिन्नता रैखिक नहीं होती है, तब तक यह गैर-स्थिर वेतन वृद्धि, x(t+T)-x(t)≠x(T)-x(0) उत्पन्न करता है। जोड़ी सहसंबंधों के स्तर पर मार्टिंगेल्स मार्कोवियन हैं, जिसका अर्थ है कि जोड़ी सहसंबंधों का उपयोग मार्टिंगेल बाजार को मात देने के लिए नहीं किया जा सकता है। दूसरी ओर, नॉनलाइनियर विचरण के साथ स्थिर वेतन वृद्धि, भिन्नात्मक ब्राउनियन गति की लंबी अवधि की जोड़ी स्मृति को प्रेरित करती है जो जोड़ी सहसंबंधों के स्तर पर बाजार को हरा देगी। ऐसा बाजार आवश्यक रूप से कुशल से बहुत दूर होगा।

हर्स्ट एक्सपोनेंट के माध्यम से आर्थिक समय श्रृंखला का विश्लेषण पुनर्वर्धित रेंज और डिट्रेंडेड उतार-चढ़ाव विश्लेषण का उपयोग इकोनोफिजिसिस्ट ए.एफ. बारिविएरा द्वारा किया जाता है। यह पत्र लंबी दूरी की निर्भरता के समय के बदलते चरित्र और इस प्रकार सूचनात्मक दक्षता का अध्ययन करता है।

डीएनए में लंबी दूरी की निर्भरता की जांच के लिए हर्स्ट एक्सपोनेंट भी लागू किया गया है, और फोटोनिक ऊर्जा अंतराल सामग्री।

यह भी देखें

 * लंबी दूरी की निर्भरता
 * विषम प्रसार
 * पुनर्विक्रय सीमा
 * Detred उतार-चढ़ाव विश्लेषण

कार्यान्वयन

 * हर्स्ट एक्सपोनेंट के आर/एस, डीएफए, पीरियडोग्राम रिग्रेशन और वेवलेट अनुमानों की गणना के लिए मैटलैब कोड और उनके संबंधित कॉन्फिडेंस इंटरवल आरईपीईसी से उपलब्ध है: https://ideas.repec.org/s/wuu/hscode.html
 * पायथन में आर/एस का कार्यान्वयन: https://github.com/Mottl/hurst और पायथन में डीएफए और एमएफडीएफए: https://github.com/LRydin/MFDFA
 * वास्तविक हर्स्ट और जटिल हर्स्ट की गणना के लिए मैटलैब कोड: https://www.mathworks.com/matlabcentral/fileexchange/49803-calculate-complex-hurst
 * ऐसा करने के लिए एक्सेल शीट का भी इस्तेमाल किया जा सकता है: https://www.researchgate.net/publication/272792633_Excel_Hurst_Calculator