केप्लर अनुमान

17वीं शताब्दी के गणितज्ञ और खगोलशास्त्री जोहान्स केप्लर के नाम पर रखा गया केप्लर अनुमान त्रि-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष में गोले के भंडारण के बारे में एक गणित प्रमेय है इसमें कहा गया है कि समान आकार के गोले भरने की किसी भी व्यवस्था में चेहरा केंद्रित घन और पैक किए गए गोले की परतों को व्यवस्था की तुलना में अधिक केंद्रित घनत्व नहीं है इन व्यवस्थाओं का घनत्व लगभग 74.05% है।

1998 में थॉमस कॉलिस्टर हेल्स द्वारा सुझाए गए दृष्टिकोण का पालन करते हुए  फेज टूथ ने 1953 में घोषणा की कि उनके पास केपलर अनुमान का प्रमाण है हेल्स का प्रमाण जटिल कंप्यूटर गणनाओं का उपयोग करके कई अलग-अलग जगहों की जाँच से संबंधित थकावट का प्रमाण है रेफरी ने कहा कि वे हेल्स के प्रमाण की शुद्धता के बारे में 99 प्रतिशत निश्चित थे और केपलर अनुमान को एक प्रमेय के रूप में स्वीकार किया गया था 2014 में हेल्स की अध्यक्षता वाली संयोजन परियोजना टीम ने इसाबेल प्रमाण सहायक और एचओएल विद्युत सबूत सहायकों के संयोजन का उपयोग करके केप्लर अनुमान के औपचारिक प्रमाण को पूरा करने की घोषणा की 2017 में गठित गणित पाई द्वारा औपचारिक प्रमाण स्वीकार किया गया था।

पृष्ठभूमि
छोटे समान आकार के गोलों के साथ एक बड़े डंडर को भरने की कल्पना करें जो समान पत्थर के साथ एक चीनी मिट्टी के बरतन को गैलन कहते थे तथा व्यवस्था का घनत्व जग के आयतन से विभाजित सभी कंचों के कुल आयतन के बराबर है जग में पत्थरों की संख्या को अधिकतम करने का मतलब है कि जग के किनारों और तली के बीच में पत्थर की एक ऐसी व्यवस्था बनाना जिसमें सबसे अधिक संभव घनत्व हो जिससे संगमरमर को यथा संभव बारीकी से एक साथ एकत्र किया जा सके।

प्रयोग से पता चलता है कि संगमरमर को ढंग से गिराने से उन्हें कसकर व्यवस्थित करने के प्रयास के बिना लगभग 65 प्रतिशत का घनत्व प्राप्त होगा जबकि संगमरमर को सावधानीपूर्वक व्यवस्थित करके उच्च घनत्व प्राप्त किया जा सकता है।
 * 1) संगमरमर की पहली परत के लिए उन्हें षटकोणीय जाली में व्यवस्थित करें।
 * 2) संकेत की चिन्ता किए बिना पहली परत में संगमरमर की अगली परत को सबसे निचले स्थान में रखें जो आप संगमरमर के बीच पा सकते हैं।
 * 3) तीसरी और शेष परतों के लिए पिछली परत में सबसे कम अंतराल को भरने की उसी प्रक्रिया को तब तक जारी रखें जब तक कि कंचे जग के शीर्ष किनारे तक नहीं पहुंच जाते।

प्रत्येक चरण में कम से कम दो विकल्प होते हैं तथा अगली परत को कैसे रखा जाए इसलिए गोले को ढेर करने की यह अनियोजित विधि समान रूप से घन एकत्र की अनगिनत संख्या बनाती है इनमें से सबसे प्रसिद्ध घन के आयतन और षटकोणीय घन कहलाते हैं इनमें से प्रत्येक व्यवस्था का औसत घनत्व इस प्रकार है-


 * $$\frac{\pi}{3\sqrt{2}} = 0.740480489\ldots$$

केप्लर अनुमान कहता है कि यह सबसे अच्छा है जो किया जा सकता है संगमरमर की किसी भी अन्य व्यवस्था में उच्च औसत घनत्व नहीं है जबकि आश्चर्यजनक रूप से कई अलग-अलग व्यवस्थाएं संभव होने के अलावा जो चरण 1-3 के समान प्रक्रिया का पालन करती हैं तथा संभवतः एक ही जग में अधिक कंचे फिट कर सकते हैं।

उत्पत्ति
जॉनसन केपलर ने 1611 में सबसे पहले अपने पेपर  'ऑन द सिक्स-कोर्नर्ड स्नोफ्लेक' में कहा था कि उन्होंने 1606 में अंग्रेजी गणितज्ञ और खगोलशास्त्री थॉमस हैरियट के साथ अपने पत्राचार के परिणामस्वरूप गोले की व्यवस्था का अध्ययन करना शुरू कर दिया था जो सर वाल्टर रैले के मित्र और सहायक थे जिन्होंने हैरियट तोप के गोले गिनने के लिए तथा सूत्र खोजने के लिए कहा था एक असाइनमेंट जिसके बदले में रेले के गणितज्ञ परिचित को आश्चर्य हुआ कि तोप के गोले को ढेर करने का सबसे अच्छा तरीका क्या था हैरियट ने 1591 में विभिन्न गणितीय तरीके   का एक अध्ययन प्रकाशित किया और परमाणु सिद्धांत का एक प्रारंभिक संस्करण विकसित किया।

उन्नीसवीं सदी
केप्लर के पास अनुमान का कोई प्रमाण नहीं था और अगला कदम कॉर्ल फ्राइडरिच गेस (1838) में उठाया गया था जिन्होंने साबित किया कि केपलर अनुमान सही है अगर गोलों को एक नियमित जालक समूह में व्यवस्थित करना है।

इसका मतलब यह था कि कोई भी व्यवस्था जो केपलर अनुमान को गलत साबित करती है वह अनियमित होगी लेकिन सभी संभावित अनियमित व्यवस्थाओं को समाप्त करना बहुत कठिन है और यही कारण है कि केप्लर अनुमान को साबित करना इतना कठिन हो गया था ये ऐसी अनियमित व्यवस्थाएँ हैं जो एक छोटे पर्याप्त आयतन पर घन एकत्र की तुलना में सघन हैं लेकिन एक बड़ी मात्रा को भरने के लिए इन व्यवस्थाओं को विस्तारित करने का कोई भी प्रयास अब उनके घनत्व को कम करने के लिए जाना जाता है।

गॉस के बाद उन्नीसवीं शताब्दी में केपलर अनुमान को सिद्ध करने की दिशा में कोई और प्रगति नहीं हुई 1900 में डेविड हिल्बर्ट ने इसे हिल्बर्ट की समस्याओं को अपनी सूची में सम्मिलित किया यह हिल्बर्ट की अठारहवीं समस्या का हिस्सा है।

बीसवीं सदी
समाधान की दिशा में अगला कदम लेज़्लो फेजेस टोथ ने उठाया ने दिखाया कि सभी व्यवस्थाओं नियमित और अनियमित के अधिकतम घनत्व को निर्धारित करने की समस्या को परिमित समूह गणनाओं की संख्या में घटाया जा सकता है इसका मतलब यह था कि थकावट से सबूत सिद्धांत रूप में संभव था कि फेज टूथ ने महसूस किया कि एक तेज़ पर्याप्त कंप्यूटर इस सैद्धांतिक परिणाम को समस्या के व्यावहारिक दृष्टिकोण में बदल सकता है।

इस बीच गोले की किसी भी संभावित व्यवस्था के अधिकतम घनत्व के लिए एक ऊपरी सीमा खोजने का प्रयास किया गया अंग्रेजी गणितज्ञ क्लाउड एम्ब्रोस रोजर्स ) ने लगभग 78 प्रतिशत का ऊपरी बाध्य मान स्थापित किया और बाद में अन्य गणितज्ञों के प्रयासों ने इस मान को थोड़ा कम कर दिया लेकिन यह अभी भी लगभग 74 प्रतिशत घन पैक घनत्व से बहुत बड़ा था।

1990 में, डब्ल्यू यू-वाई मैं हसियांग ने केपलर अनुमान को सिद्ध करने का दावा किया जबकि गैबोर फेजेस टूथ ने पेपर की अपनी समीक्षा में कहा था जहाँ तक विवरण का सवाल है मेरी राय है कि कई प्रमुख बयानों में कोई स्वीकार्य प्रमाण नहीं है। हेल्स ने 1994 में सियांग के कार्य की विस्तृत आलोचना की जिसके लिए हसियांग ने जवाब दिया वर्तमान मे हिसियांग का प्रमाण अधूरा है।

हेल्स का प्रमाण
हेल्स द्वारा सुझाए गए तरीके का पालन फेज टूथ 1953 में तथा थॉमस कैलिस्टर हेल्स फिर मिशिगन विश्वविद्यालय में निर्धारित किया कि सभी व्यवस्थाओं का अधिकतम घनत्व 150 चर के साथ एक समारोह को कम करके पाया जा सकता है 1992 में अपने स्नातक छात्र की सहायता से, उन्होंने 5,000 से अधिक अलग-अलग क्षेत्रों के विन्यास के प्रत्येक सेट के लिए इस फ़ंक्शन के मूल्य पर कम सीमा खोजने के लिए रैखिक प्रोग्रामिंग विधियों को व्यवस्थित रूप से लागू करने के लिए एक शोध कार्यक्रम शुरू किया। यदि इनमें से हर एक विन्यास के लिए एक निचली सीमा (फ़ंक्शन मान के लिए) पाई जा सकती है जो क्यूबिक क्लोज पैकिंग व्यवस्था के लिए फ़ंक्शन के मान से अधिक थी, तो केप्लर अनुमान सिद्ध हो जाएगा। लगभग 100,000 रैखिक प्रोग्रामिंग समस्याओं को हल करने वाले सभी मामलों के लिए निचली सीमा खोजने के लिए।

1996 में अपनी परियोजना की प्रगति को प्रस्तुत करते समय, हेल्स ने कहा कि अंत दृष्टि में था, लेकिन इसे पूरा होने में एक या दो साल लग सकते हैं। अगस्त 1998 में हेल्स ने घोषणा की कि सबूत पूरा हो गया था। उस समय, इसमें 250 पृष्ठों के नोट और 3 गीगाबाइट कंप्यूटर प्रोग्राम, डेटा और परिणाम शामिल थे।

सबूत की असामान्य प्रकृति के बावजूद, गणित के इतिहास के संपादक इसे प्रकाशित करने के लिए सहमत हुए, बशर्ते इसे बारह रेफरी के एक पैनल द्वारा स्वीकार किया गया। 2003 में, चार साल के काम के बाद, रेफरी के पैनल के प्रमुख गेबोर फेजेस टोथ ने बताया कि पैनल सबूत की शुद्धता के बारे में 99% निश्चित था, लेकिन वे सभी कंप्यूटर गणनाओं की शुद्धता को प्रमाणित नहीं कर सके।

ने अपने प्रमाण के गैर-कंप्यूटर भाग का विस्तार से वर्णन करते हुए एक 100-पृष्ठ का पेपर प्रकाशित किया। और बाद के कई पत्रों ने कम्प्यूटेशनल भागों का वर्णन किया। हेल्स और फर्ग्यूसन ने 2009 के लिए फुलकर्सन पुरस्कार प्राप्त किया।

एक औपचारिक प्रमाण
जनवरी 2003 में, हेल्स ने केपलर अनुमान का पूर्ण औपचारिक प्रमाण प्रस्तुत करने के लिए एक सहयोगी परियोजना की शुरुआत की घोषणा की। इसका उद्देश्य एक औपचारिक प्रमाण बनाकर प्रमाण की वैधता के बारे में किसी भी शेष अनिश्चितता को दूर करना था जिसे स्वचालित प्रूफ जाँच सॉफ़्टवेयर जैसे HOL लाइट और इसाबेल (प्रूफ सहायक) द्वारा सत्यापित किया जा सकता है। इस परियोजना को फ्लाईस्पेक कहा जाता था - केप्लर के औपचारिक प्रमाण के लिए एफ, पी और के। सर्वप्रथम, हेल्स ने अनुमान लगाया कि एक पूर्ण औपचारिक प्रमाण तैयार करने में लगभग 20 वर्षों का कार्य लगेगा। हेल्स ने 2012 में औपचारिक प्रमाण के लिए एक खाका प्रकाशित किया; परियोजना के पूरा होने की घोषणा 10 अगस्त 2014 को की गई थी। जनवरी 2015 में हेल्स और 21 सहयोगियों ने arXiv पर केपलर अनुमान का एक औपचारिक प्रमाण शीर्षक से एक पेपर पोस्ट किया, जिसमें अनुमान को साबित करने का दावा किया गया था। 2017 में, गणित के फोरम जर्नल द्वारा औपचारिक प्रमाण स्वीकार किया गया था।

संबंधित समस्याएं
एक्सल थ्यू की प्रमेय नियमित षटकोणीय एकत्र विमान है इसमें सबसे घने वृत्त एकत्र घनत्व हैं $\pi/√12$.
 * केप्लर अनुमान का द्वि-आयामी एनालॉग; प्रमाण प्राथमिक है। हेंक और ज़िग्लर ने इस परिणाम का श्रेय 1773 में लाग्रेंज को दिया (संदर्भ देखें, पृष्ठ 770)।
 * 2010 से चाउ और चुंग द्वारा एक सरल सबूत उन बिंदुओं के सेट के लिए डेलाउने त्रिभुज का उपयोग करता है जो एक संतृप्त सर्कल पैकिंग में सर्कल के केंद्र हैं।

हेक्सागोनल मधुकोश अनुमान: समान क्षेत्रों में विमान का सबसे कुशल विभाजन नियमित हेक्सागोनल टाइलिंग है।
 * थू के प्रमेय से संबंधित।

डोडेकाहेड्रल अनुमान: बराबर गोले के पैकिंग में एक गोले के वोरोनोई आरेख का आयतन कम से कम एक नियमित डोडेकाहेड्रॉन का आयतन होता है जिसमें अंतःत्रिज्या 1. मैकलॉघलिन का प्रमाण, जिसके लिए उन्हें एक स्नातक छात्र द्वारा गणित में उत्कृष्ट शोध के लिए 1999 का फ्रैंक और ब्रेनी मॉर्गन पुरस्कार मिला।
 * एक संबंधित समस्या, जिसका प्रमाण केप्लर अनुमान के हेल्स के प्रमाण के समान तकनीकों का उपयोग करता है। 1950 के दशक में एल. फेजेस टोथ द्वारा अनुमान।

वीयर-फेलन संरचना # केल्विन अनुमान: 3 आयामों में सबसे कुशल फोम क्या है? इसे केल्विन संरचना द्वारा हल करने का अनुमान लगाया गया था, और यह व्यापक रूप से 100 से अधिक वर्षों तक माना जाता था, जब तक कि 1993 में वीयर-फेलन संरचना की खोज से अस्वीकृत नहीं हो गया। वीयर-फेलन संरचना की आश्चर्यजनक खोज और केल्विन अनुमान का खंडन हेल्स के केप्लर अनुमान के प्रमाण को स्वीकार करने में सावधानी का एक कारण है।


 * उच्च आयामों में गोलाकार पैकिंग: 2016 में मरीना वियाज़ोव्स्का ने आयाम 8 और 24 में इष्टतम क्षेत्र के प्रमाण की घोषणा की जबकि 1, 2, 3, 8, और 24 के अलावा अन्य आयामों में इष्टतम क्षेत्र के एकत्र प्रश्न अभी भी खुला हैं।

उलाम का पैकिंग अनुमान: यह अज्ञात है कि क्या कोई उत्तल ठोस है जिसका इष्टतम घनत्व गोले के घनत्व से कम है।

प्रकाशन

 * केपलर अनुमान के प्रमाण की एक प्रारंभिक व्याख्या।
 * केपलर अनुमान के प्रमाण की एक प्रारंभिक व्याख्या।
 * केपलर अनुमान के प्रमाण की एक प्रारंभिक व्याख्या।

बाहरी संबंध

 * Front page of 'On the six-cornered snowflake'
 * Thomas Hales' home page
 * Flyspeck project home page
 * Overview of Hales' proof
 * Article in American Scientist by Dana Mackenzie
 * Flyspeck I: Tame Graphs, verified enumeration of tame plane graphs as defined by Thomas C. Hales in his proof of the Kepler Conjecture
 * Flyspeck I: Tame Graphs, verified enumeration of tame plane graphs as defined by Thomas C. Hales in his proof of the Kepler Conjecture