केंद्रित वर्ग संख्या

प्रारंभिक संख्या के सिद्धांत में केन्द्रित वर्ग संख्या ऐसी केन्द्रित बहुभुज संख्या से जुड़ी आकृति संख्या है जो केंद्र में उपस्थित होने वाले बिंदुओं के साथ वर्ग (ज्यामिति) में दिखने वाले बिन्दुओं की संख्याओं और क्रमिक वर्ग की परतों में केंद्र बिंदु के समीपस्थ सभी बिंदुओं को प्रदान करती है। यह कुछ इस प्रकार हैं कि प्रत्येक केन्द्रित वर्ग संख्या मुख्यतः नियमित वर्ग पर केंद्रित होने वाले बिंदुओं द्वारा दिए गए टेक्सीकैब से जुड़े ज्यामिति संरचना के भीतर उपस्थित होने वाले बिन्दुओं की संख्या के समान होती है। इसके अतिरिक्त केन्द्रित वर्ग संख्याएँ सामान्य रूप से ऐसी आलंकारिक संख्याओं हैं, जिसके लिए यदि कोई प्रत्यक्ष व्यावहारिक अनुप्रयोग किया जाता हैं, तो इस प्रकार कुछ ही ऐसी संख्या प्राप्त होती हैं, जो कभी-कभी इनसे संयोजित होने वाले सुरुचिपूर्ण ज्यामितीय संरचनाओं और अंकगणितीय गुणक के लिए गणित में इनका अध्ययन किया जाता है।

इस प्रकार पहले चार केन्द्रित वर्गों वाली संख्याओं के आंकड़े नीचे दिखाए गए हैं:



प्रत्येक केन्द्रित वर्ग वाली संख्याओं के क्रमिक वर्गों का योग प्राप्त किया जाता है। उदाहरण के लिए जैसे फ़्लॉइड के त्रिकोण संरचना के लिए निम्नलिखित चित्र में उपयुत्त आंकड़े दिखाये गये है, इस प्रकार प्राप्त होने वाली 25 केंद्रित वर्ग संख्याएं प्रदर्शित हो रही है, और वर्ग 16 का योग इस प्रकार हैं कि एक वर्ग को हटाकर इसे बनाया गया हैं जो पीले समचतुर्भुज के रूप में प्रदर्शित हो रहा हैं और इस प्रकार अगले छोटे वर्ग का योग, 9 दो नीले त्रिकोणों के योग के रूप में प्रदर्शित हो रहा हैं।
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 * [[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]]
 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = 1$$
 * $$C_{4,2} = 5$$
 * $$C_{4,3} = 13$$
 * $$C_{4,4} = 25$$
 * }
 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = 1$$
 * $$C_{4,2} = 5$$
 * $$C_{4,3} = 13$$
 * $$C_{4,4} = 25$$
 * }
 * $$C_{4,3} = 13$$
 * $$C_{4,4} = 25$$
 * }
 * $$C_{4,4} = 25$$
 * }
 * }



अन्य आकृतियों से जुड़ी संख्याओं के साथ संबंध
इस प्रकार Ck,n सामान्यतः nवें केन्द्रित बहुभुज संख्या या केंद्रित k-गोनल संख्या का प्रतिनिधित्व करते हैं। इस कारण Nth केन्द्रित वर्ग संख्या सूत्र द्वारा इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता हैं:


 * $$C_{4,n} = n^2 + (n - 1)^2.$$

अर्थात्, nवें केन्द्रित वर्ग संख्या वाले nवें और (n – 1)वें वर्ग संख्याओं का योग नीचे प्रदर्शित किया गया है। जिसके लिए निम्नलिखित अनुक्रम उल्लेखित सूत्र द्वारा प्रदर्शित किया जा सकता है:



इस सूत्र को इस प्रकार भी व्यक्त किया जा सकता है:
 * - align="center" valign="middle" style="line-height: 0;"
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 * [[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]]
 * [[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]]
 * [[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]]
 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = 0 + 1$$
 * $$C_{4,2} = 1 + 4$$
 * $$C_{4,3} = 4 + 9$$
 * $$C_{4,4} = 9 + 16$$
 * }
 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = 0 + 1$$
 * $$C_{4,2} = 1 + 4$$
 * $$C_{4,3} = 4 + 9$$
 * $$C_{4,4} = 9 + 16$$
 * }
 * $$C_{4,3} = 4 + 9$$
 * $$C_{4,4} = 9 + 16$$
 * }
 * $$C_{4,4} = 9 + 16$$
 * }
 * }


 * $$C_{4,n} = \frac{(2n-1)^2 + 1}{2}.$$

अर्थात्, nवें केन्द्रित वर्ग संख्या वाले nवें विषम वर्ग संख्या का मान धनात्मक 1 है, जैसा कि नीचे दिखाया गया है:-



सभी केन्द्रित बहुभुज संख्याओं के समान केन्द्रित वर्ग संख्याएँ भी त्रिकोणीय संख्याओं के रूप में व्यक्त किया जा सकता हैं:
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 * [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]] [[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]][[Image:MissingDot.svg|16px]]
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 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = \frac{1 + 1}{2}$$
 * $$C_{4,2} = \frac{9 + 1}{2}$$
 * $$C_{4,3} = \frac{25 + 1}{2}$$
 * $$C_{4,4} = \frac{49 + 1}{2}$$
 * }
 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = \frac{1 + 1}{2}$$
 * $$C_{4,2} = \frac{9 + 1}{2}$$
 * $$C_{4,3} = \frac{25 + 1}{2}$$
 * $$C_{4,4} = \frac{49 + 1}{2}$$
 * }
 * $$C_{4,3} = \frac{25 + 1}{2}$$
 * $$C_{4,4} = \frac{49 + 1}{2}$$
 * }
 * $$C_{4,4} = \frac{49 + 1}{2}$$
 * }
 * }


 * $$C_{4,n} = 1 + 4\ T_{n-1} = 1 + 2{n(n-1)},$$

जहाँ


 * $$T_n = \frac{n(n+1)}{2} = \binom{n+1}{2}$$

nth त्रिकोणीय संख्या है। केंद्र बिंदु को हटाकर और शेष आकृति को चार त्रिभुजों में विभाजित करके इसे सरलता से देखा जा सकता है, जैसा कि नीचे दिया गया है:



निरंतर दो ऑक्टाहेड्रल संख्याओं के बीच का अंतर केंद्रित वर्ग संख्या के समान होता है।
 * - align="center" valign="middle" style="line-height: 0;"
 * [[Image:BlackDot.svg|16px]]
 * [[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:BlackDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]]
 * [[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:BlackDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]]
 * [[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:BlackDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:GrayDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]][[Image:RedDot.svg|16px]] [[Image:RedDot.svg|16px]]
 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = 1$$
 * $$C_{4,2} = 1 + 4 \times 1$$
 * $$C_{4,3} = 1 + 4 \times 3$$
 * $$C_{4,4} = 1 + 4 \times 6$$
 * }
 * - align="center" valign="top"
 * $$C_{4,1} = 1$$
 * $$C_{4,2} = 1 + 4 \times 1$$
 * $$C_{4,3} = 1 + 4 \times 3$$
 * $$C_{4,4} = 1 + 4 \times 6$$
 * }
 * $$C_{4,3} = 1 + 4 \times 3$$
 * $$C_{4,4} = 1 + 4 \times 6$$
 * }
 * $$C_{4,4} = 1 + 4 \times 6$$
 * }
 * }

केन्द्रित वर्ग संख्याओं को व्यक्त करने का दूसरा तरीका इस प्रकार प्रदर्शित किया जा सकता है:


 * $$C_{4,n} = 1 + 4 \dim (SO(n)),$$

जहाँ


 * $$\dim (SO(n)) = \frac{n(n-1)}{2}.$$

केन्द्रित वर्ग संख्याओं को व्यक्त करने का अन्य तरीका केन्द्रित त्रिकोणीय संख्याओं के संदर्भ में है:


 * $$C_{4,n} = \frac{4C_{3,n}-1}{3},$$

जहाँ


 * $$C_{3,n} = 1 + 3\frac{n(n-1)}{2}.$$

केन्द्रित वर्ग संख्याओं की सूची
पहले केन्द्रित वर्ग संख्या (सी4,n <4500) हैं:


 * 1 (संख्या), 5 (संख्या), 13 (संख्या), 25 (संख्या), 41 (संख्या), 61 (संख्या), 85 (संख्या), 113 (संख्या), 145 (संख्या), 181 (संख्या), 221 (संख्या), 265, 313 (संख्या), 365 (संख्या), 421, 481, 545, 613, 685, 761, 841, 925, 1013, 1105, 1201, 1301, 1405, 1513, 1625, 1741, 1861, 1985, 2113, 2245, 2381, 2521, 2665, 2813, 2965, 3121, 3281, 3445, 3613, 3785, 3961, 4141, 4325, ….

गुण
सभी केन्द्रित वर्ग संख्याएँ विषम हैं, और आधार 10 में कोई भी देख सकता है कि उसका अंक 1-5-3-5-1 के पैटर्न का अनुसरण करता है।

सभी केंद्रित वर्ग संख्याओं और उनके विभाजकों में 4 से विभाजित होने पर शेष 1 होता है। इसलिए सभी केंद्रित वर्ग संख्याएं और इस प्रकार उनके विभाजक से जुड़े आधार, अष्टभुजाकार और डुओडेसिमल में अंक 1 या 5 के साथ समाप्त होते हैं।

1 को छोड़कर प्रत्येक केंद्रित वर्ग संख्या पायथागॉरियन ट्रिपल (3-4-5, 5-12-13, 7-24-25, ...) का कर्ण है। इस प्रकार यह बिल्कुल पाइथागोरस के त्रिक नियम का क्रम है जहां दो सबसे लंबी भुजाओं में 1 का अंतर होता है। (उदाहरण: 52 + 122 = 132.)

इसे संबंध के साथ ज्यादा सोचना नहीं होना है इसलिए (n - 1)2 + n2 = C4,n. (उदाहरण: 22 + 32 = 13.) इसका एक उदाहरण हैं।

फलन की व्युत्पत्ति
जनरेटिंग फलन जो केंद्रित वर्ग संख्या प्रदान करता है:
 * $$\frac{(x+1)^2}{(1-x)^3}= 1+5x+13x^2+25x^3+41x^4+~...~. $$