विभाजन (संख्या सिद्धांत)

संख्या सिद्धांत और साहचर्य में, एक सकारात्मक पूर्णांक का विभाजन $n$, जिसे पूर्णांक विभाजन भी कहा जाता है, लिखने का एक तरीका है $k$ सकारात्मक पूर्णांकों के योग के रूप में। दो राशियाँ जो केवल उनके योगों के क्रम में भिन्न होती हैं, एक ही विभाजन मानी जाती हैं। (यदि आदेश मायने रखता है, तो योग एक रचना (संयोजन) बन जाता है।) उदाहरण के लिए, $4$ पांच अलग-अलग तरीकों से विभाजित किया जा सकता है:



आदेश पर निर्भर रचना $4$ के समान विभाजन है $3 + 1$, और दो अलग-अलग रचनाएँ $2 + 2$ और $2 + 1 + 1$ के समान विभाजन का प्रतिनिधित्व करते हैं $1 + 1 + 1 + 1$.

एक विभाजन में योग को एक भाग भी कहा जाता है। के विभाजनों की संख्या $n$ विभाजन समारोह (संख्या सिद्धांत) द्वारा दिया गया है $1 + 3$. इसलिए $3 + 1$. अंकन $1 + 2 + 1$ मतलब कि $n$ का विभाजन है $n$.

युवा आरेख या फेरर्स आरेख के साथ पार्टिशन को ग्राफिक रूप से देखा जा सकता है। वे गणित और भौतिकी की कई शाखाओं में पाए जाते हैं, जिनमें सममित बहुपदों और सममित समूह का अध्ययन और सामान्य रूप से समूह प्रतिनिधित्व शामिल है।

उदाहरण
5 के सात भाग हैं
 * 5
 * 4 + 1
 * 3 + 2
 * 3 + 1 + 1
 * 2 + 2 + 1
 * 2 + 1 + 1 + 1
 * 1 + 1 + 1 + 1 + 1

कुछ लेखक एक विभाजन को जोड़ के घटते क्रम के रूप में मानते हैं, न कि प्लस चिह्नों के साथ एक अभिव्यक्ति के रूप में। उदाहरण के लिए, विभाजन 2 + 2 + 1 को टपल के रूप में लिखा जा सकता है $1 + 1 + 2$ या इससे भी अधिक कॉम्पैक्ट रूप में $2 + 1 + 1$ जहां सुपरस्क्रिप्ट किसी भाग के दोहराव की संख्या को इंगित करता है।

एक विभाजन के लिए यह बहुलता संकेतन वैकल्पिक रूप से लिखा जा सकता है $$1^{m_1}2^{m_2}3^{m_3}\cdots$$, कहाँ $p(n)$ 1 की संख्या है, $p(4) = 5$ 2 की संख्या है, आदि। (घटक के साथ $&lambda; ⊢ n$ छोड़ा जा सकता है।) उदाहरण के लिए, इस अंकन में, 5 के विभाजन लिखे गए हैं $$5^1, 1^1 4^1, 2^1 3^1, 1^2 3^1, 1^1 2^2, 1^3 2^1$$, और $$1^5$$.

विभाजनों का आरेखीय निरूपण
विभाजनों का प्रतिनिधित्व करने के लिए दो सामान्य डायग्रामेटिक तरीके हैं: फेरर्स डायग्राम के रूप में, नॉर्मन मैकलियोड फेरर्स के नाम पर, और यंग डायग्राम के रूप में, अल्फ्रेड यंग (गणितज्ञ) के नाम पर। दोनों के कई संभावित सम्मेलन हैं; यहां, हम ऊपरी-बाएं कोने में रेखाचित्रों के साथ अंग्रेजी संकेतन का उपयोग करते हैं।

फेरर्स आरेख
संख्या 14 का विभाजन 6 + 4 + 3 + 1 निम्नलिखित आरेख द्वारा दर्शाया जा सकता है:

14 वृत्त 4 पंक्तियों में पंक्तिबद्ध हैं, जिनमें से प्रत्येक विभाजन के एक हिस्से के आकार का है। संख्या 4 के 5 विभाजनों के चित्र नीचे दिखाए गए हैं:

युवा आरेख
पूर्णांक विभाजन का एक वैकल्पिक दृश्य प्रतिनिधित्व इसका यंग डायग्राम है (जिसे अक्सर फेरर्स डायग्राम भी कहा जाता है)। डॉट्स के साथ एक विभाजन का प्रतिनिधित्व करने के बजाय, जैसा कि फेरर्स आरेख में है, युवा आरेख बक्से या वर्गों का उपयोग करता है। इस प्रकार, विभाजन 5 + 4 + 1 के लिए यंग आरेख है
 * [[Image:Young diagram for 541 partition.svg|100px]]जबकि उसी विभाजन के लिए फेरर्स आरेख है

हालांकि यह प्रतीत होता है कि मामूली भिन्नता अलग-अलग उल्लेख के योग्य नहीं लगती है, युवा आरेख सममित कार्यों और समूह प्रतिनिधित्व सिद्धांत के अध्ययन में बेहद उपयोगी साबित होते हैं: युवा आरेखों के बक्से को संख्याओं (या कभी-कभी अधिक जटिल वस्तुओं) के साथ भरना विभिन्न नियमों का पालन करना युवा झांकी नामक वस्तुओं के एक परिवार की ओर जाता है, और इन झांकी में संयोजी और प्रतिनिधित्व-सैद्धांतिक महत्व है। एक साथ जुड़े आसन्न वर्गों द्वारा बनाई गई एक प्रकार की आकृति के रूप में, युवा आरेख एक विशेष प्रकार के पॉलीओमिनो हैं।
 * - style="vertical-align:top; text-align:left;"
 * GrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svgGrayDot.svg
 * - style="vertical-align:top; text-align:center;"
 * }

विभाजन समारोह


विभाजन समारोह (संख्या सिद्धांत) $$p(n)$$ एक गैर-ऋणात्मक पूर्णांक के संभावित विभाजनों की संख्या के बराबर है $$n$$. उदाहरण के लिए, $$p(4)=5$$ क्योंकि पूर्णांक $$4$$ पाँच विभाजन हैं $$1+1+1+1$$, $$1+1+2$$, $$1+3$$, $$2+2$$, और $$4$$. इस फ़ंक्शन के मान के लिए $$n=0,1,2,\dots$$ हैं:
 * 1, 1, 2, 3, 5, 7, 11, 15, 22, 30, 42, 56, 77, 101, 135, 176, 231, 297, 385, 490, 627, 792, 1002, 1255, 1575, 1958, 2436, 3010, 3718, 4565, 5604, ....

का जनरेटिंग फ़ंक्शन $$p$$ है
 * $$\sum_{n=0}^{\infty}p(n)q^n=\prod_{j=1}^{\infty}\sum_{i=0}^{\infty}q^{ji}=\prod_{j=1}^{\infty}(1-q^j)^{-1}.$$

विभाजन फ़ंक्शन के लिए कोई बंद-रूप अभिव्यक्ति ज्ञात नहीं है, लेकिन इसमें दोनों स्पर्शोन्मुख विश्लेषण हैं जो इसे सटीक रूप से अनुमानित करते हैं और पुनरावृत्ति संबंध जिसके द्वारा इसकी सटीक गणना की जा सकती है। यह अपने तर्क के वर्गमूल के एक घातीय कार्य के रूप में बढ़ता है।, निम्नलिखित नुसार:


 * $$p(n) \sim \frac {1} {4n\sqrt3} \exp\left({\pi \sqrt {\frac{2n}{3}}}\right)$$ जैसा $$n \to \infty$$

इसके जनक फलन का गुणक प्रतिलोम यूलर फलन है; यूलर के [[पंचकोणीय संख्या प्रमेय]] द्वारा यह फलन इसके तर्क की पंचकोणीय संख्या शक्तियों का एक वैकल्पिक योग है।


 * $$p(n)=p(n-1)+p(n-2)-p(n-5)-p(n-7)+\cdots$$

श्रीनिवास रामानुजन ने पता लगाया कि विभाजन समारोह में मॉड्यूलर अंकगणित में गैर-तुच्छ पैटर्न हैं, जिन्हें अब रामानुजन की सर्वांगसमता के रूप में जाना जाता है। उदाहरण के लिए, जब भी दशमलव का प्रतिनिधित्व $$n$$ अंक 4 या 9 में समाप्त होता है, के विभाजन की संख्या $$n$$ 5 से विभाज्य होगा।

प्रतिबंधित विभाजन
कॉम्बिनेटरिक्स और संख्या सिद्धांत दोनों में, विभिन्न प्रतिबंधों के अधीन विभाजन के परिवारों का अक्सर अध्ययन किया जाता है। यह खंड ऐसे ही कुछ प्रतिबंधों का सर्वेक्षण करता है।

संयुग्मी और स्व-संयुग्मित विभाजन
यदि हम विभाजन 6 + 4 + 3 + 1 के आरेख को उसके मुख्य विकर्ण के साथ पलटते हैं, तो हमें 14 का एक और विभाजन मिलता है:

पंक्तियों को स्तंभों में बदलकर, हम संख्या 14 का विभाजन 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 प्राप्त करते हैं। ऐसे विभाजन एक दूसरे के संयुग्मी कहलाते हैं। संख्या 4 के मामले में, विभाजन 4 और 1 + 1 + 1 + 1 संयुग्मित जोड़े हैं, और विभाजन 3 + 1 और 2 + 1 + 1 एक दूसरे के संयुग्म हैं। विशेष रुचि का विभाजन 2 + 2 है, जो स्वयं को संयुग्मित करता है। ऐसे विभाजन को स्व-संयुग्मी कहा जाता है। दावा: स्व-संयुग्मित विभाजनों की संख्या अलग-अलग विषम भागों वाले विभाजनों की संख्या के समान है।

प्रमाण (रूपरेखा): महत्वपूर्ण अवलोकन यह है कि स्व-संयुग्म आरेख बनाने के लिए प्रत्येक विषम भाग को बीच में  मोड़ा  जा सकता है:

इसके बाद अलग-अलग विषम भागों वाले विभाजनों के सेट और स्व-संयुग्मित विभाजनों के सेट के बीच एक आक्षेप प्राप्त किया जा सकता है, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरण द्वारा दिखाया गया है:

विषम भाग और विशिष्ट भाग
संख्या 8 के 22 विभाजनों में से 6 ऐसे हैं जिनमें केवल विषम भाग हैं:
 * 7 + 1
 * 5 + 3
 * 5 + 1 + 1 + 1
 * 3 + 3 + 1 + 1
 * 3 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1
 * 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1

वैकल्पिक रूप से, हम उन विभाजनों की गणना कर सकते हैं जिनमें कोई संख्या एक से अधिक बार नहीं आती है। इस तरह के विभाजन को अलग-अलग हिस्सों वाला विभाजन कहा जाता है। यदि हम अलग-अलग भागों के साथ 8 के विभाजनों को गिनते हैं, तो हमें 6 भी प्राप्त होता है:
 * 8
 * 7 + 1
 * 6 + 2
 * 5 + 3
 * 5 + 2 + 1
 * 4 + 3 + 1

यह एक सामान्य संपत्ति है। प्रत्येक धनात्मक संख्या के लिए, विषम भागों वाले विभाजनों की संख्या अलग-अलग भागों वाले विभाजनों की संख्या के बराबर होती है, जिसे q(n) द्वारा निरूपित किया जाता है। यह परिणाम 1748 में लियोनहार्ड यूलर द्वारा सिद्ध किया गया था और बाद में ग्लेशर के प्रमेय के रूप में सामान्यीकृत किया गया।

प्रत्येक प्रकार के प्रतिबंधित विभाजन के लिए दिए गए प्रतिबंध को संतुष्ट करने वाले विभाजनों की संख्या के लिए एक समान कार्य होता है। एक महत्वपूर्ण उदाहरण है q(n) (विभिन्न भागों में विभाजन)। q(n) के पहले कुछ मान हैं (q(0)=1 से शुरू):
 * 1, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 10, ....

क्यू (एन) के लिए जनरेटिंग फ़ंक्शन द्वारा दिया गया है :$$\sum_{n=0}^\infty q(n)x^n = \prod_{k=1}^\infty (1+x^k) = \prod_{k=1}^\infty \frac {1}{1-x^{2k-1}} .$$ पंचकोणीय संख्या प्रमेय q के लिए पुनरावृत्ति देता है: : क्यू (के) = एk + q(k − 1) + q(k − 2) − q(k − 5) − q(k − 7) + q(k − 12) + q(k − 15) − q(k − 22) − ... जहाँ एकk है (-1)m यदि k = 3m2 - m किसी पूर्णांक m के लिए और अन्यथा 0 है।

प्रतिबंधित भाग का आकार या भागों की संख्या
संयुग्म लेने से, संख्या $(2, 2, 1)$ के विभाजन का $(2^{2}, 1)$ ठीक k भागों में विभाजन की संख्या के बराबर है $m_{1}$ जिसमें सबसे बड़े हिस्से का आकार होता है $m_{2}$. कार्यक्रम $m_{i} = 0$ पुनरावृत्ति को संतुष्ट करता है

प्रारंभिक मूल्यों के साथ $p_{k}(n)$ और $n$ अगर $n$ और $k$ और $p_{k}(n)$ दोनों शून्य नहीं हैं। एक फलन p(n) को पुनः प्राप्त करता है



p(n) = \sum_{k = 0}^n p_k(n). $$ इस तरह के विभाजन के लिए एक संभावित जनरेटिंग फ़ंक्शन, के फिक्स्ड और एन वेरिएबल, है
 * $$ \sum_{n \geq 0} p_k(n) x^n = x^k \cdot \prod_{i = 1}^k \frac{1}{1 - x^i}.$$

अधिक आम तौर पर, यदि T सकारात्मक पूर्णांकों का एक सेट है, तो n के विभाजनों की संख्या, जिनके सभी भाग T से संबंधित हैं, का फलन उत्पन्न होता है
 * $$\prod_{t \in T}(1-x^t)^{-1}.$$

इसका उपयोग परिवर्तन करने वाली समस्याओं को हल करने के लिए किया जा सकता है (जहां सेट टी उपलब्ध सिक्कों को निर्दिष्ट करता है)। दो विशेष मामलों के रूप में, किसी के पास n के विभाजनों की संख्या है जिसमें सभी भाग 1 या 2 हैं (या, समतुल्य, n के विभाजनों की संख्या 1 या 2 भागों में) है
 * $$\left \lfloor \frac {n}{2}+1 \right \rfloor ,$$

और n के विभाजनों की संख्या जिसमें सभी भाग 1, 2 या 3 हैं (या, समतुल्य रूप से, n के विभाजनों की संख्या अधिकतम तीन भागों में) निकटतम पूर्णांक है (n + 3)2 / 12.

एक आयत में विभाजन और गाऊसी द्विपद गुणांक
कोई भी एक साथ भागों की संख्या और आकार को सीमित कर सकता है। होने देना $p_{k}(n) = p_{k}(n − k) + p_{k−1}(n &minus; 1)$ के विभाजनों की संख्या को निरूपित करें $&lambda;$ अधिक से अधिक के साथ $n$ भागों, प्रत्येक आकार में अधिकतम $n$. समान रूप से, ये वे विभाजन हैं जिनका यंग आरेख a के अंदर फिट बैठता है $p_{0}(0) = 1$ आयत। पुनरावर्ती संबंध होता है $$p(N,M;n) = p(N,M-1;n) + p(N-1,M;n-M)$$ इसका अवलोकन करने पर प्राप्त होता है $$p(N,M;n) - p(N,M-1;n)$$ के विभाजनों की गणना करता है $M$ में बिल्कुल $N$ अधिकतम आकार के हिस्से $n$, और ऐसे विभाजन के प्रत्येक भाग से 1 घटाने पर एक विभाजन प्राप्त होता है $p_{k}(n) = 0$ अधिक से अधिक में $M$ भागों। गाऊसी द्विपद गुणांक को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: $${k+\ell \choose \ell}_q = {k+\ell \choose k}_q = \frac{\prod^{k+\ell}_{j=1}(1-q^j)}{\prod^{k}_{j=1}(1-q^j)\prod^{\ell}_{j=1}(1-q^j)}.$$ गॉसियन द्विपद गुणांक के जनन फलन से संबंधित है $n &le; 0 or k &le; 0$ समानता से $$\sum^{MN}_{n=0}p(N,M;n)q^n = {M+N \choose M}_q.$$

रैंक और डर्फी वर्ग
एक विभाजन की रैंक सबसे बड़ी संख्या k है जैसे कि विभाजन में कम से कम k आकार के कम से कम k भाग होते हैं। उदाहरण के लिए, विभाजन 4 + 3 + 3 + 2 + 1 + 1 की रैंक 3 है क्योंकि इसमें 3 भाग हैं जो ≥ 3 हैं, लेकिन इसमें ≥ 4 वाले 4 भाग नहीं हैं। फेरर्स डायग्राम या किसी पार्टीशन के यंग डायग्राम में रैंक r के, ऊपरी-बाएँ में प्रविष्टियों के r × r वर्ग को डर्फी वर्ग के रूप में जाना जाता है:



डर्फी वर्ग में विभिन्न विभाजन पहचानों के प्रमाणों में संयोजी के भीतर अनुप्रयोग हैं। h- अनुक्रमणिका के रूप में इसका कुछ व्यावहारिक महत्व भी है।
 * - style="vertical-align:top; text-align:left;"
 * RedDot.svgRedDot.svgRedDot.svgGrayDot.svg
 * }

एक अलग आंकड़े को कभी-कभी विभाजन (या डायसन रैंक) का रैंक भी कहा जाता है, अर्थात् अंतर $$\lambda_k - k$$ सबसे बड़े भाग वाले k भागों के विभाजन के लिए $$\lambda_k$$. यह आंकड़ा (जो ऊपर वर्णित आंकड़े से संबंधित नहीं है) रामानुजन सर्वांगसमता के अध्ययन में प्रकट होता है।

यंग की जाली
यंग आरेखों को शामिल करके दिए गए विभाजनों पर एक प्राकृतिक आंशिक क्रम है। यह आंशिक रूप से आदेशित सेट यंग की जाली के रूप में जाना जाता है। जाली को मूल रूप से प्रतिनिधित्व सिद्धांत के संदर्भ में परिभाषित किया गया था, जहां इसका उपयोग सममित समूहों एस के अप्रासंगिक अभ्यावेदन का वर्णन करने के लिए किया जाता है।n सभी n के लिए, उनके शाखाओं में बंटने वाले गुणों के साथ, विशेषता शून्य में। इसके विशुद्ध रूप से संयोजी गुणों के लिए भी इसे महत्वपूर्ण अध्ययन प्राप्त हुआ है; विशेष रूप से, यह एक विभेदक पोसेट का प्रेरक उदाहरण है।

यह भी देखें

 * एक विभाजन की रैंक, रैंक की एक अलग धारणा
 * एक विभाजन का क्रैंक
 * प्रभुत्व क्रम
 * गुणनखंडन
 * पूर्णांक गुणनखंड
 * एक सेट का विभाजन
 * सितारे और बार (कॉम्बिनेटरिक्स)
 * विमान विभाजन
 * विनम्र संख्या, लगातार पूर्णांकों में विभाजन द्वारा परिभाषित
 * गुणक विभाजन
 * बारह मार्ग
 * इवेंस का नमूना सूत्र
 * फा दी ब्रूनो का सूत्र
 * बहुविभाजन
 * न्यूटन की पहचान
 * एसपीटी फंक्शन | सबसे छोटा एसपीटी समारोह
 * एक गोल्डबैक विभाजन अभाज्य संख्या में एक सम संख्या का विभाजन है (देखें गोल्डबैक का अनुमान)
 * कोस्टेंट का विभाजन समारोह

संदर्भ

 * (See chapter 5 for a modern pedagogical intro to Rademacher's formula).
 * (an elementary introduction to the topic of integer partitions, including a discussion of Ferrers graphs)
 * Provides the main formula (no derivatives), remainder, and older form for Ak(n).)
 * (Has text, nearly complete bibliography, but they (and Abramowitz) missed the Selberg formula for Ak(n), which is in Whiteman.)
 * (See section I.1)
 * (Provides the Selberg formula. The older form is the finite Fourier expansion of Selberg.)
 * Provides the main formula (no derivatives), remainder, and older form for Ak(n).)
 * (Has text, nearly complete bibliography, but they (and Abramowitz) missed the Selberg formula for Ak(n), which is in Whiteman.)
 * (See section I.1)
 * (Provides the Selberg formula. The older form is the finite Fourier expansion of Selberg.)
 * (Provides the Selberg formula. The older form is the finite Fourier expansion of Selberg.)
 * (Provides the Selberg formula. The older form is the finite Fourier expansion of Selberg.)
 * (Provides the Selberg formula. The older form is the finite Fourier expansion of Selberg.)
 * (Provides the Selberg formula. The older form is the finite Fourier expansion of Selberg.)

बाहरी संबंध

 * Partition and composition calculator
 * Wilf, Herbert S.
 * Counting with partitions with reference tables to the On-Line Encyclopedia of Integer Sequences
 * Integer partitions entry in the FindStat database
 * Integer::Partition Perl module from CPAN
 * Fast Algorithms For Generating Integer Partitions
 * Generating All Partitions: A Comparison Of Two Encodings
 * Fast Algorithms For Generating Integer Partitions
 * Generating All Partitions: A Comparison Of Two Encodings