व्यावहारिक गणित

अनुप्रयुक्त या व्यावहारिक गणित (Applied Mathematics) विभिन्न क्षेत्रों, जैसे भौतिकी, अभियांत्रिकी, चिकित्सा, जीव विज्ञान, वित्त, व्यवसाय, कंप्यूटर विज्ञान और उद्योग में गणितीय विधियों का अनुप्रयोग है। इस प्रकार, अनुप्रयुक्त गणित, गणितीय विज्ञान और विशेष ज्ञान का एक संयोजन है। शब्द "अनुप्रयुक्त गणित" ऐसी व्यावसायिक विशेषता का भी वर्णन करता है जिसमें गणितज्ञ गणितीय मॉडल तैयार करके और उनका अध्ययन करके व्यावहारिक समस्याओं पर काम करते हैं।

व्यावहारिक अनुप्रयोगों द्वारा अतीत में गणितीय सिद्धांतों के विकास को प्रेरित किया गया था, जो तब शुद्ध गणित में अध्ययन का विषय बन गया, जहाँ अमूर्त (Abstract) अवधारणाओं का अध्ययन उनके स्वयं के लिए किया जाता है। इस प्रकार से अनुप्रयुक्त गणित की सक्रियता शुद्ध गणित में अनुसंधान के साथ घनिष्ठता से जुड़ी हुई है।

इतिहास
ऐतिहासिक दृष्टि से, अनुप्रयुक्त गणित मुख्य रूप से अनुप्रयुक्त विश्लेषण, विशेषतया अवकल समीकरण; सन्निकटन सिद्धांत (जो कि मोटे तौर पर, निरूपण, स्पर्शोन्मुख विधियों, परिवर्तनशील विधियों और संख्यात्मक विश्लेषण को सम्मिलित करने के लिए उपयोग किया जाता है); और अनुप्रयुक्त प्रायिकता से मिलकर बनी थी। गणित के इन क्षेत्रों का सीधा संबंध न्यूटन की भौतिकी के विकास से है, एवं गणितज्ञों और भौतिकविदों के बीच के अंतर को वास्तव में 19वीं शताब्दी के मध्य से पहले तक स्पष्ट रूप से निर्धारित नहीं किया गया था। इस इतिहास ने संयुक्त राज्य अमेरिका में एक शैक्षणिक विरासत को छोड़ दिया, जिससे अमेरिकी विश्वविद्यालयों में 20वीं शताब्दी के प्रारंभ तक प्रारम्भिक यांत्रिकी जैसे विषयों को अक्सर भौतिकी विभागों के बजाय अनुप्रयुक्त गणित के विभागों में पढ़ाया जाता था, और संभवतः तरल यांत्रिकी विषय अभी भी अनुप्रयुक्त गणित के विभागों में पढ़ाया जा रहा हो। अभियांत्रिकी और कंप्यूटर विज्ञान विभागों ने तो पारंपरिक रूप से अनुप्रयुक्त गणित का उपयोग किया है।

वर्गीकरण
वर्तमान में "अनुप्रयुक्त गणित" शब्द का उपयोग व्यापक अर्थों में किया जाता है। इसमें उपरोक्त प्रारम्भिक क्षेत्रों के साथ ही कुछ अन्य क्षेत्र भी सम्मिलित हैं, जो अनुप्रयोगों में तेजी से महत्वपूर्ण हो गए हैं। यहाँ तक ​​कि संख्या सिद्धांत जैसे क्षेत्र जो शुद्ध गणित का हिस्सा हैं, अब क्रिप्टोग्राफ़ी (Cryptography) जैसे अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण हो गए हैं; हालांकि उन्हें सामान्यतः अनुप्रयुक्त गणित के क्षेत्र का हिस्सा नहीं माना जाता है।

व्यावहारिक गणित की विभिन्न शाखाएँ क्या हैं, इस पर कोई सहमति नहीं है। जिस तरह गणित और विज्ञान समय के साथ परिवर्तित होते रहते हैं, और विश्वविद्यालय भी विभागों, पाठ्यक्रमों और डिग्री को व्यवस्थित करते हैं, उससे इस प्रकार इसका वर्गीकरण कर पाना मुश्किल हो जाता है।

कई गणितज्ञ अनुप्रयुक्त गणित में ऐसे अंतर व्यक्त करते हैं, जिनका सम्बन्ध गणितीय विधियों और विज्ञान एवं अभियांत्रिकी में "गणित के अनुप्रयोगों" से है। जनसंख्या मॉडल का उपयोग करने वाला और ज्ञात गणित को लागू करने वाला एक जीवविज्ञानी गणित का अनुप्रयोग नहीं कर रहा होगा, अपितु इसका उपयोग कर रहा होगा; हालांकि, गणितीय जीवविज्ञानियों ने शुद्ध गणित के विकास को प्रेरित वाली समस्याएँ प्रस्तुत की हैं। पोइंकेरे (Poincaré) और अर्नोल्ड (Arnold) जैसे गणितज्ञों ने अनुप्रयुक्त गणित के अस्तित्व से इनकार किया और केवल गणित के अनुप्रयोगों के होने का दावा किया है। इसी प्रकार, गैर-गणितज्ञ इसे अनुप्रयुक्त गणित और गणित के अनुप्रयोगों का मिश्रण मानते हैं। औद्योगिक समस्याओं को हल करने के कारण ही गणित के उपयोग और विकास को "औद्योगिक गणित" भी कहा जाता है।

आधुनिक संख्यात्मक गणितीय विधियों और सॉफ्टवेयर की सफलता के फलस्वरूप ही गणनात्मक गणित, गणनात्मक विज्ञान और गणनात्मक अभियांत्रिकी का उदय हुआ है, जो विज्ञान और अभियांत्रिकी में घटनाओं के अनुकरण और समस्याओं के समाधान के लिए उच्च-प्रदर्शक गणना का उपयोग करते हैं। इन्हें अक्सर अंतः विषयक माना जाता है।

प्रयोज्य गणित (Applicable Mathematics)
अनुप्रयुक्त गणित शब्द का उपयोग कभी-कभी प्रारम्भिक अनुप्रयुक्त गणित के बीच ऐसे अंतर व्यक्त करने के लिए किया जाता है, जो भौतिकी और गणित के कई ऐसे क्षेत्रों के साथ विकसित होते हैं, जो आज व्यावहारिक दुनिया की समस्याओं पर लागू होते हैं; हालांकि इस पर कोई सर्वसम्मति नहीं है, कि इसकी यथार्थ परिभाषा क्या है।

एक ओर गणितज्ञ अक्सर "अनुप्रयुक्त गणित" के बीच अंतर व्यक्त करते हैं, और दूसरी ओर विज्ञान और इंजीनियरिंग में या इसके बाहर "गणित के अनुप्रयोग" या "प्रयोज्य गणित" के बीच अंतर व्यक्त करते हैं। कुछ गणितज्ञ पारंपरिक अनुप्रयोगों वाले क्षेत्रों को उन क्षेत्रों से उत्पन्न होने वाले नए अनुप्रयोगों से अलग करने के लिए अनुप्रयुक्त गणित शब्द पर जोर देते हैं, जिन्हें पहले शुद्ध गणित के रूप में देखा जाता था। इस दृष्टिकोण से, उदाहरण के लिए, जनसंख्या मॉडल का उपयोग करने वाला और ज्ञात गणित को लागू करने वाला एक पारिस्थितिकीविद् या भूगोलवेत्ता गणित का अनुप्रयोग नहीं करेगा, बल्कि गणित प्रयोज्य होगी। यहाँ तक ​​कि संख्या सिद्धांत जैसे क्षेत्र जो शुद्ध गणित का हिस्सा हैं, अब क्रिप्टोग्राफ़ी (Cryptography) जैसे अनुप्रयोगों में महत्वपूर्ण हो गए हैं; हालांकि उन्हें सामान्यतः अनुप्रयुक्त गणित के क्षेत्र का हिस्सा नहीं माना जाता है। इस तरह के विवरण से अनुप्रयुक्त गणित वास्तविक विश्लेषण, रैखिक बीजगणित, गणितीय मॉडलिंग, अनुकूलन, संयोजन, संभाव्यता और सांख्यिकी जैसे गणितीय तरीकों के संग्रह के रूप में देखी जा सकती है, जो पारंपरिक गणित के बाहर के क्षेत्रों में उपयोगी है और गणितीय भौतिकी के लिए विशिष्ट नहीं हैं।

अनुप्रयुक्त गणित को अन्य लेखक इसके पारंपरिक क्षेत्रों के साथ "नए" गणितीय अनुप्रयोगों के एक संघ के रूप में वर्णित करना पसंद करते हैं। इस दृष्टि से, अनुप्रयुक्त गणित और प्रयोज्य गणित इस प्रकार विनिमेय हैं।

उपयोगिता
प्राकृतिक विज्ञान और अभियांत्रिकी में गणित ऐतिहासिक रूप से ही अतिमहत्वपूर्ण विषय था। हालांकि, भौतिक विज्ञान से बाहर के क्षेत्रों ने द्वितीय विश्व युद्ध के बाद से गणित के खेल सिद्धांत और सामाजिक चयन सिद्धांत जैसे नए क्षेत्रों के निर्माण को जन्म दिया, जो कि आर्थिक विचारों से असफल हो गए। इसके साथ ही अन्य क्षेत्रों में भी गणितीय विधियों के उपयोग और विकास का विस्तार हुआ, जो गणितीय वित्त (Mathematical Finance) और डेटा विज्ञान (Data Science) जैसे नए क्षेत्रों के निर्माण के लिए अग्रणी थ।

कंप्यूटर के अविष्कार ने नए अनुप्रयोगों को सक्षम किया है, जैसे विज्ञान (गणनात्मक विज्ञान) के अन्य क्षेत्रों में उत्पन्न होने वाली समस्याओं के साथ -साथ गणना की गणित (उदाहरण के लिए, सैद्धांतिक कंप्यूटर विज्ञान, कंप्यूटर बीजगणित,   संख्यात्मक विश्लेषण   ) का अध्ययन करने के लिए नई कंप्यूटर तकनीकी (कंप्यूटर विज्ञान) का अध्ययन और उपयोग करना। संभवतः सांख्यिकी सामाजिक विज्ञान में उपयोग की जाने वाली सबसे व्यापक गणितीय विज्ञान है।

शैक्षणिक विभागों में स्थिति
जिस तरह से शैक्षणिक संस्थायें अनुप्रयुक्त गणित में पाठ्यक्रम, कार्यक्रम और डिग्री के समूह का निर्धारण और चिन्हांकन करती हैं, उसमें वे सुसंगत नहीं हैं। कुछ स्कूलों में, गणित का केवल एक ही विभाग है, जबकि अन्य स्कूलों में अनुप्रयुक्त गणित और शुद्ध गणित के लिए अलग-अलग विभाग हैं। स्कूलों में स्नातक कार्यक्रमों (Graduation Programs) के लिए सांख्यिकी का अलग विभाग होना आम बात है, लेकिन केवल स्नातक कार्यक्रम संचालित करने वाले संस्थानों में सांख्यिकी, गणित विभाग में ही सम्मिलित है।

अनुप्रयुक्त गणित के कई कार्यक्रम (विभागों के विपरीत) मुख्य रूप से क्रॉस-सूचीबद्ध पाठ्यक्रमों और अनुप्रयोगों का प्रतिनिधित्व करने वाले संयुक्त रूप से नियुक्त शिक्षकों से गठित हैं। अनुप्रयुक्त गणित में कुछ पी.एच.डी. (Ph.D) कार्यक्रमों में गणित के बाहर बहुत कम या कोई शोध की आवश्यकता नहीं होती है, जबकि अन्य पाठ्यक्रमों में एक विशिष्ट क्षेत्र के अनुप्रयोगों में पर्याप्त शोध की आवश्यकता होती है। यह अंतर कुछ मामलों में "गणित के अनुप्रयोगों" और "अनुप्रयुक्त गणित" के बीच के अंतर को दर्शाता है।

यूनाइटेड किंगडम (UK) में कुछ विश्वविद्यालय अनुप्रयुक्त गणित और सैद्धांतिक भौतिकी के विभागों,  का संचालन करते हैं, लेकिन शुद्ध गणित और अनुप्रयुक्त गणित के  विभागों का अलग-अलग होना अब दुर्लभ है। कैम्ब्रिज विश्वविद्यालय में अनुप्रयुक्त गणित और सैद्धांतिक भौतिकी विभाग इसका एक उल्लेखनीय अपवाद है, जिसमें गणित के लुकासियन प्रोफेसर का आवास है। इससे पहले आइजैक न्यूटन, चार्ल्स बैबेज, जेम्स लाइटहिल, पॉल डिराक और स्टीफन हॉकिंग का आवास भी यहीं पर था। ब्राउन यूनिवर्सिटी के परिसर में अनुप्रयुक्त गणित के अलग विभाग वाले कुछ ऐसे स्कूल हैं, जिसमें अनुप्रयुक्त गणित का एक बड़ा संकाय है जो अनुप्रयुक्त गणित में डॉक्टरेट के माध्यम से केवल एम.एस. में सांता क्लारा यूनिवर्सिटी से डिग्री प्रदान करता है। एम.आई.टी. जैसे अनुसंधान विश्वविद्यालयों (Research Universities) ने अपने गणित विभाग को शुद्ध और अनुप्रयुक्त प्रभागों में विभाजित किया है। इस कार्यक्रम में छात्र अपने अनुप्रयुक्त गणित कौशल के पूरक के तौर पर एक और कौशल (कंप्यूटर विज्ञान, अभियांत्रिकी, भौतिकी, शुद्ध गणित आदि) भी सीखते हैं।

संबद्ध गणितीय विज्ञान
अनुप्रयुक्त गणित निम्नलिखित गणितीय विज्ञानों से जुड़ा हुआ है:

वैज्ञानिक गणना
वैज्ञानिक गणना में अनुप्रयुक्त गणित (विशेष रूप से संख्यात्मक विश्लेषण   ), गणना विज्ञान (विशेष रूप से उच्च-प्रदर्शन गणना ), और वैज्ञानिक अध्ययन के विषय में गणितीय मॉडलिंग सम्मिलित हैं।

कंप्यूटर विज्ञान
कंप्यूटर विज्ञान तर्क, बीजगणित, असतत गणित जैसे ग्राफ सिद्धांत और कॉम्बीनेटरिक्स पर निर्भर करती है।

संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान
संचालन अनुसंधान और प्रबंधन विज्ञान को प्रायः अभियांत्रिकी, व्यवसाय और सार्वजनिक नीति के संकायों में पढ़ाया जाता है।

सांख्यिकी
अनुप्रयुक्त गणित में सांख्यिकीय अध्ययन के विषय के साथ पर्याप्त ओवरलैप (Overlap) हैं। सांख्यिकीय सिद्धांतकार गणित के साथ सांख्यिकीय प्रक्रियाओं का अध्ययन और सुधार करते हैं, और सांख्यिकीय अनुसंधान प्रायः गणितीय प्रश्न उठाते हैं। सांख्यिकीय सिद्धांत संभाव्यता और निर्णय सिद्धांत पर निर्भर करता है, और वैज्ञानिक गणना, विश्लेषण और अनुकूलन का व्यापक उपयोग करता है; सांख्यिकीविद् प्रयोगों के चित्रण के लिए बीजगणित और कॉम्बिनेटरियल चित्रण का उपयोग करते हैं। विशेष रूप से कॉलेजों और छोटे विश्वविद्यालयों में अनुप्रयुक्त गणितज्ञ और सांख्यिकीविद् प्रायः गणितीय विज्ञान विभाग में ही कार्य करते हैं ।

बीमा विज्ञान (Actuarial Science)
बीमा विज्ञान बीमा, वित्त और अन्य उद्योगों और व्यवसायों में जोखिमों का आकलन करने के लिये प्रायिकता, सांख्यिकी और आर्थिक सिद्धांत को लागू करती है।

गणितीय अर्थशास्त्र
गणितीय अर्थशास्त्र गणितीय तरीकों का एक ऐसा अनुप्रयोग है, जिसमे सिद्धांतों का प्रतिनिधित्व और अर्थशास्त्र में समस्याओं का विश्लेषण किया जाता है।  सामान्यतः अनुप्रयुक्त तरीके गैर तुच्छ गणितीय तकनीकों या दृष्टिकोणों को संदर्भित करते हैं। गणितीय अर्थशास्त्र सांख्यिकी, प्रायिकता, गणितीय प्रोग्रामन (साथ ही अन्य गणना विधियों), संचालन अनुसंधान, खेल सिद्धांत और गणितीय विश्लेषण से कुछ विधियों पर आधारित है। इस सन्दर्भ में, यह वित्तीय गणित से मिलता-जुलता तो है परन्तु भिन्न है, जो कि अनुप्रयुक्त गणित का एक अन्य भाग है।

गणित विषय वर्गीकरण (MSC) के अनुसार, गणितीय अर्थशास्त्र अनुप्रयुक्त गणित के अंतर्गत आता है जो कि श्रेणी 91 का अन्य वर्गीकरण है:
 * खेल सिद्धांत, अर्थशास्त्र, सामाजिक और व्यवहार विज्ञान

91Axx कोड पर 'गेम थ्योरी' और 91Bxx कोड पर 'गणितीय अर्थशास्त्र' के लिए MSC2010 के वर्गीकरण के साथ ।

अध्ययन के अन्य विषय
अनुप्रयुक्त गणित और अनुप्रयोगों के विशिष्ट क्षेत्रों के बीच की रेखा अक्सर धुंधली होती है। कई विश्वविद्यालय व्यवसाय, अभियांत्रिकी, भौतिकी, रसायन विज्ञान, मनोविज्ञान, जीव विज्ञान, कंप्यूटर विज्ञान, वैज्ञानिक गणना और गणितीय भौतिकी सहित विभागों और क्षेत्रों में संबंधित विभागों से बाहर गणितीय और सांख्यिकीय पाठ्यक्रम पढ़ाते हैं।

यह भी देखें

 * अभियांत्रिकी गणित
 * औद्योगिक और अनुप्रयुक्त गणित के लिए संस्था

लागू गणित

 * मोरहेड जर्नल ऑफ़ एपलैक्ट मैथेमेटिक्स मोरहेड स्टेट यूनिवर्सिटी द्वारा होस्ट किया गया
 * श्रृंखला कंक्रीट और लागू गणित पर विश्व वैज्ञानिक द्वारा]
 * हैंडबुक ऑफ़ एपलैम मैथमेटिक्स सीरीज़]

बाहरी संबंध

 * The Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM) is a professional society dedicated to promoting the interaction between mathematics and other scientific and technical communities. Aside from organizing and sponsoring numerous conferences, SIAM is a major publisher of research journals and books in applied mathematics.
 * The Applicable Mathematics Research Group at Notre Dame University
 * Centre for Applicable Mathematics at Liverpool Hope University
 * Applicable Mathematics research group at Glasgow Caledonian University
 * Applicable Mathematics research group at Glasgow Caledonian University