स्टेनर शांकव

स्विस गणितज्ञ जैकब स्टेनर के नाम पर स्टेनर शांकव या अधिक त्रुटिहीन रूप से स्टेनर की शांकव की पीढ़ी, क्षेत्र (गणित) पर प्रक्षेपी विमान में गैर-पतित प्रक्षेपी शांकव खंड (प्रक्षेपी ज्यामिति) को परिभाषित करने का वैकल्पिक विधि है।

शांकव की सामान्य परिभाषा द्विघात रूप का उपयोग करती है। [ प्रक्षेपी शांकव खंड (प्रक्षेपी ज्यामिति) देखें]। अतः शांकव की अन्य वैकल्पिक परिभाषा अतिशयोक्तिपूर्ण ध्रुवीयता का उपयोग करती है। यह "कार्ल जॉर्ज क्रिश्चियन स्टॉडट शांकव द्वारा" के कारण होता है और कभी-कभी इसे वॉन स्टॉड्ट शांकव कहा जाता है। वॉन स्टॉड की परिभाषा से हानि यह है कि यह पूर्ण रूप से तभी कार्य करता है जब अंतर्निहित क्षेत्र में विचित्र विशेषता (क्षेत्र) है। (अर्थात, $$Char\ne2$$).

स्टेनर शांकव की परिभाषा
परिप्रेक्ष्य मानचित्रण $$\pi$$ पेंसिल का $$B(U)$$ पेंसिल पर $$B(V)$$ आक्षेप (1-1 पत्राचार) है। जैसे कि संबंधित रेखाएं निश्चित रेखा पर प्रतिच्छेद करती हैं। $$a$$, जिसे परिप्रेक्ष्य की धुरी कहा जाता है। $$\pi$$ (चित्र 2)।
 * दो पेंसिल दी गई है। (गणित) दो बिंदुओं पर रेखाये $$B(U),B(V)$$ है। $$U,V$$ (सभी रेखाएं युक्त $$U$$ और $$V$$ सम्मान है।) और प्रक्षेपी किन्तु परिप्रेक्ष्य मानचित्रण नहीं $$\pi$$ का $$B(U)$$ पर $$B(V)$$। अतः इसके पश्चात् संबंधित रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु गैर-पतित प्रक्षेपी शांकव खंड बनाते हैं। (चित्र 1)

प्रक्षेपी मानचित्रण परिप्रेक्ष्य मानचित्रण का परिमित उत्पाद है।

सरल उदाहरण, यदि कोई पहले आरेख बिंदु में परिवर्तन करता है। तब $$U$$ और इसकी पेंसिल पर रेखाएं $$V$$ और स्थानांतरित पेंसिल को चारों ओर घुमाता है। $$V$$ निश्चित कोण से $$\varphi$$ तब शिफ्ट (अनुवाद) और पूर्णतः चक्रानुक्रम प्रक्षेपीय मानचित्रण उत्पन्न करता हैं। $$\pi$$ पेंसिल की बिंदु पर $$U$$ पेंसिल पर $$V$$ उत्कीर्ण कोण प्रमेय से प्राप्त होता है। अतः संगत रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदु वृत्त बनाते हैं।

सामान्यतः उपयोग किए जाने वाले क्षेत्र के उदाहरण वास्तविक संख्याएँ हैं। $$\R$$, परिमेय संख्याएँ $$\Q$$ या जटिल संख्याएँ $$\C$$ निर्माण परिमित प्रक्षेपी विमानों में उदाहरण प्रदान करते हुए परिमित क्षेत्रों पर भी कार्य करता है।

टिप्पणी,

प्रक्षेपीय विमानों के लिए मौलिक प्रमेय का तात्पर्य यह है। कि क्षेत्र (पुजारी का विमान) पर प्रक्षेपीय विमान में प्रक्षेपीय मानचित्रण विशिष्ट रूप से तीन पंक्तियों की छवियों पर निर्धारित की जाती है। इसका तात्पर्य यह है कि शांकव खंड के स्टेनर पीढ़ी के लिए दो बिंदुओं के अतिरिक्त $$U,V$$ पूर्ण रूप से 3 रेखाओ के चित्र देने होते हैं। ये 5 आइटम (2 बिंदु, 3 पंक्तियां) विशिष्ट रूप से शांकव अनुभाग निर्धारित करते हैं।

टिप्पणी,

बिंदुन "परिप्रेक्ष्य" दोहरे कथन के कारण है। यह रेखा पर बिंदुओं का प्रक्षेपण केंद्र से $$Z$$ रेखा पर $$b$$ परिप्रेक्ष्य कहा जाता है। (दोहरे शांकव की स्टेनर पीढ़ी देखें)।

उदाहरण
निम्नलिखित उदाहरण के लिए रेखाओंं की छवियां $$ a,u,w$$ (चित्र देखें) दिए गए हैं। चूँकि $$\pi(a)=b, \pi(u)=w, \pi(w)=v$$. प्रक्षेपी मानचित्रण $$\pi$$ निम्नलिखित परिप्रेक्ष्य मानचित्रण का उत्पाद है। ($$\pi_b,\pi_a$$: 1) $$\pi_b$$ बिंदु पर पेंसिल का परिप्रेक्ष्य मानचित्रण है। बिंदु पर पेंसिल पर $$U$$, $$O$$ अक्ष के साथ $$b$$. 2) $$\pi_a$$ बिंदु पर पेंसिल का परिप्रेक्ष्य मानचित्रण है। $$O$$ बिंदु पर पेंसिल पर $$V$$ अक्ष के साथ $$a$$ का परिप्रेक्ष्य मानचित्रण है।

पहले इसकी जांच करनी चाहिए। अतः $$\pi=\pi_a\pi_b$$ गुण हैं। $$\pi(a)=b, \pi(u)=w, \pi(w)=v$$. अतः किसी भी रेखा के लिए $$g$$ छवि $$\pi(g)=\pi_a\pi_b(g)$$ का निर्माण किया जा सकता है और अतः बिंदुओं के अनैतिक समूह की छवियां रेखाएं $$u$$ और $$v$$ पूर्ण रूप से शांकव बिंदु होते हैं। $$U$$ और $$V$$ सम्मान .. अतः $$u$$ और $$v$$ उत्पन्न शांकव खंड की स्पर्शरेखा रेखाएँ हैं।

यह प्रमाण है कि यह विधि शांकव खंड उत्पन्न करती है। जो रेखा के साथ एफ़िन प्रतिबंध पर स्विच करने से होती है। अतः $$w$$ अनंत पर रेखा के रूप में, बिंदु $$O$$ बिंदु के साथ समन्वय प्रणाली की उत्पत्ति के रूप में $$U,V$$ x- और y-अक्ष सम्मान की अनंत पर बिंदु के रूप में और बिंदु $$E=(1,1)$$ उत्पन्न वक्र का संबधित भाग अतिपरवलय प्रतीत होता है। $$y=1/x$$.

टिप्पणी,
 * 1) शंक्वाकार खंड की स्टेनर पीढ़ी दीर्घवृत्त, परवलय और अतिपरवलय के निर्माण के लिए सरल विधियाँ प्रदान करती है। जिन्हें सामान्यतः समांतर चतुर्भुज विधि कहा जाता है।
 * 2) बिंदु (आकृति 3) का निर्माण करते समय जो आकड़े दिखाई देते है। वह पास्कल के प्रमेय का 4-बिंदु-अपघटन है।

परिभाषाएँ और दोहरी पीढ़ी
द्वैतकरण [द्वैत देखें (प्रक्षेपीय ज्यामिति)] प्रक्षेपी विमान का तात्पर्य है कि रेखाओं और संचालन प्रतिच्छेदन और संयोजित करने के साथ बिंदुओं का आदान-प्रदान करना होता है। प्रक्षेपीय विमान की दोहरी संरचना भी प्रक्षेपीय विमान है। चूँकि पैपियन विमान का दोहरा विमान पपियन है और इसे सजातीय निर्देशांक द्वारा भी समन्वित किया जा सकता है। अतः अविकृत दोहरे शांकव खंड के द्विघात रूप को समान रूप से परिभाषित किया गया है।

स्टेनर की द्वैत विधि द्वारा द्वैत शांकव उत्पन्न किया जा सकता है।


 * दो पंक्तियों के बिंदु समूह दिए गए हैं। $$u,v$$ और प्रक्षेपी किन्तु परिप्रेक्ष्य मानचित्रण नहीं $$\pi$$ का $$u$$ पर $$v$$ होता है। फिर संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाएं दोहरी गैर-पतित प्रक्षेपी शांकव खंड बनाती हैं।

परिप्रेक्ष्य मानचित्रण $$\pi$$ रेखा के बिंदु समूह का $$u$$ रेखा के बिंदु समूह पर $$v$$ आक्षेप (1-1 संगति) है जैसे कि संबंधित बिंदुओं को जोड़ने वाली रेखाएं निश्चित बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं। $$Z$$, जिसे परिप्रेक्ष्य का केंद्र $$\pi$$ कहा जाता है (रेखा - चित्र देखें)।

प्रक्षेपीय मानचित्रण परिप्रेक्ष्य मानचित्रण का सीमित क्रम है।

द्वैत और उभयनिष्ठ शांकव परिच्छेदों के साथ कार्य करते समय सामान्य शांकव परिच्छेद को बिन्दु शांकव और द्वैत शांकव को रेखा शांकव कहना सामान्य है।

इस स्थिति में अंतर्निहित क्षेत्र है $$Char =2$$ बिंदु शांकव के सभी स्पर्शरेखा बिंदु पर प्रतिच्छेद करते हैं। जिसे शांकव की गाँठ (या नाभिक) कहा जाता है। इस प्रकार, गैर-पतित बिंदु शांकव का द्वैत रेखा के बिंदुओं का उपसमुच्चय होता है, न कि अंडाकार वक्र (दोहरे तल में) होता है। तब पूर्ण रूप से उस स्थिति में $$Char\ne2$$ गैर-पतित बिंदु शांकव का द्वैत गैर-पतित रेखा शांकव का दोहरा है।

उदाहरण
(1) दो दृष्टिकोणों द्वारा दी गई प्रक्षेपण, दो पंक्तियाँ $$u,v$$ प्रतिच्छेदन बिंदु के साथ $$W$$ दिए गए हैं और प्रक्षेपण $$\pi$$ से $$u$$ पर $$v$$ दो दृष्टिकोणों से $$\pi_A,\pi_B$$ केंद्रों के साथ $$A,B$$. $$\pi_A$$ मानचित्र रेखा $$u$$ तीसरी पंक्ति पर $$o$$, $$\pi_B$$ मानचित्र रेखा $$o$$ रेखा पर $$v$$ (आरेख देखें)। अतः बिंदु $$W$$ रेखाओंं पर झूठ नहीं बोलना चाहिए। $$\overline{AB},o$$. प्रक्षेपण $$\pi$$ दो दृष्टिकोणों की संरचना है।$$ \ \pi=\pi_B\pi_A$$ यहाँ एक बिंदु है। अतः बिंदु $$X$$ पर मानचित्र किया जाता है। $$\pi(X)=\pi_B\pi_A(X)$$ और रेखा $$x=\overline{X\pi(X)}$$ द्वारा परिभाषित दोहरे शांकव का $$\pi$$ तत्व है। (यदि $$W$$ निश्चित बिंदु होगा, $$\pi$$ परिप्रेक्ष्य होता है। )

(2) तीन बिंदु और उनके चित्र दिए गए हैं।

निम्नलिखित उदाहरण स्टेनर शांकव के लिए ऊपर दिया गया दोहरा उदाहरण है।

बिंदुओं के चित्र $$ A,U,W$$ दिया जाता है। $$\pi(A)=B, \, \pi(U)=W,\, \pi(W)=V$$ प्रक्षेपी मानचित्रण $$\pi$$ को निम्नलिखित दृष्टिकोणों के उत्पाद द्वारा प्रतिनिधित्व किया जा सकता है $$\pi_B,\pi_A$$। यह सरलता से जांचता है कि प्रक्षेपण मानचित्रण $$\pi=\pi_A\pi_B$$ पूर्ण करता है। अतः $$\pi(A)=B,\, \pi(U)=W, \, \pi(W)=V $$. अतः किसी भी अनैतिक बिंदु के लिए $$G$$ छवि $$\pi(G)=\pi_A\pi_B(G)$$ का निर्माण किया जा सकता है और रेखा बनाई जा सकती है। $$\overline{G\pi(G)}$$ गैर पतित दोहरे शांकव खंड का तत्व है। चूँकि बिंदु $$U$$ और $$V$$ पंक्तियों में निहित हैं। $$u$$, $$v$$ सम्मान, बिंदु $$U$$ और $$V$$ शांकव और रेखाओं के बिंदु हैं। और $$u,v$$ पर स्पर्शरेखा $$U,V$$ हैं।
 * 1) $$\pi_B$$ रेखा के बिंदु समुच्चय का परिप्रेक्ष्य है। $$u$$ रेखा के बिंदु समूह पर $$o$$ केंद्र के साथ $$B$$ होता है।
 * 2) $$\pi_A$$ रेखा के बिंदु समुच्चय का परिप्रेक्ष्य है। $$o$$ रेखा के बिंदु समूह पर $$v$$ केंद्र के साथ $$A$$ होता है।

रेखीय आपतन ज्यामिति में आंतरिक शांकव
स्टाइनर निर्माण प्लानर रेखीय घटना ज्यामिति में शांकवों को परिभाषित करता है। (दो बिंदु अधिकतम रेखा पर निर्धारित करते हैं और दो रेखाएँ बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं) पूर्ण रूप से संरेखन समूह का उपयोग किया जाता है। विशेष रूप से, $$E(T,P)$$ बिंदु पर शांकव है। $$P$$ संपार्श्विक द्वारा प्रदान किया गया है। $$T$$ के परिच्छेदों से मिलकर $$L$$ और $$T(L)$$ सभी पंक्तियों के लिए $$L$$ के माध्यम से $$P$$ होता है। यदि $$T(P)=P$$ या $$T(L)=L$$ कुछ के लिए $$L$$ तो शांकव पतित है। उदाहरण के लिए, वास्तविक समन्वय तल में, affine प्रकार (दीर्घवृत्त, परवलय, अतिपरवलय) $$E(T,P)$$ के मैट्रिक्स घटक के अनुरेखण और निर्धारक द्वारा निर्धारित किया जाता है। अतः $$T$$, स्वतंत्र $$P$$ होता है।

इसके विपरीत, वास्तविक अतिपरवलयिक तल का संरेखन समूह $$\mathbb{H}^2$$ सममितीय के होते हैं। परिणाम स्वरुप, आंतरिक शांकवों में सामान्य शांकवों का छोटा किन्तु विविध उपसमुच्चय सम्मिलित होता है। अतिशयोक्तिपूर्ण डोमेन के साथ प्रक्षेपी शांकवों के परिच्छेदों से प्राप्त वक्र और इसके अतिरिक्त, यूक्लिड के नियमों के अनुरूप विमान के विपरीत, प्रत्यक्ष के मध्य कोई ओवरलैप (अधिव्यापन) नहीं है। $$E(T,P)$$ - $$T$$ अभिविन्यास निरंतर रखता है और इसके विपरीत $$E(T,P)$$ - $$T$$ अभिविन्यास को विपरीत कर देता है। प्रत्यक्ष स्थिति में केंद्रीय (समरूपता की दो लंबवत रेखाएँ) और गैर-केंद्रीय शांकव सम्मिलित हैं। चूँकि प्रत्येक विपरीत शांकव केंद्रीय है। यदि प्रत्यक्ष और विपरीत केंद्रीय शांकव सर्वांगसम नहीं हो सकते हैं। वे समानता के पूरक कोणों के संदर्भ में परिभाषित अर्ध-समरूपता से संबंधित हैं। इस प्रकार के किसी भी विपरीत प्रतिमा में $$\mathbb{H}^2$$, प्रत्येक सीधा केंद्रीय शांकव द्विभाजित रूप से विपरीत केंद्रीय शांकव के समतुल्य है। वास्तव में, केंद्रीय शांकव वास्तविक आकार अपरिवर्तनीय के साथ सभी जीनस 1 वक्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं। $$j\geq1$$. समरूपता के सामान्य केंद्र और अक्ष के साथ केंद्रीय प्रत्यक्ष शांकवों से प्रतिनिधियों का न्यूनतम समूह प्राप्त किया जाता है। जिससे आकृति अपरिवर्तनीय विलक्षणता का कार्य है। जो मध्य की दूरी के संदर्भ में परिभाषित है। $$P$$ और $$T(P)$$ इन वक्रों के ऑर्थोगोनल प्रक्षेपवक्र सभी जीनस 1 वक्रों का प्रतिनिधित्व करते हैं। $$j\leq1$$, जो या तो अलघुकरणीय घन या द्वि-वृत्ताकार क्वार्टिक्स के रूप में प्रकट होते हैं। प्रत्येक प्रक्षेपवक्र पर अण्डाकार वक्र योग नियम का उपयोग करते हुए प्रत्येक सामान्य केंद्रीय शांकव में $$\mathbb{H}^2$$ विशिष्ट रूप से दो आंतरिक शांकवों के योग के रूप में उन बिंदुओं के जोड़े जोड़कर विघटित होता है। जहां शांकव प्रत्येक प्रक्षेपवक्र को काटते हैं।

संदर्भ

 * (PDF; 891 kB).
 * (PDF; 891 kB).