संश्लेषित ज्यामिति

संश्लेषित ज्यामिति (कभी-कभी स्वयंसिद्ध ज्यामिति या शुद्ध ज्यामिति के रूप में संदर्भित) निर्देशांक या सूत्र के उपयोग के बिना ज्यामिति का अध्ययन है। यह निष्कर्ष निकालने और समस्याओं को हल करने के लिए स्वयंसिद्ध पद्धति और उनसे सीधे तौर पर जुड़े उपकरणों, यानी कम्पास और स्ट्रेटेज पर निर्भर करता है।

विश्लेषणात्मक ज्यामिति की शुरुआत के बाद ही ज्यामिति के इस दृष्टिकोण को अन्य दृष्टिकोणों से अलग करने के लिए संश्लेषित  ज्यामिति शब्द को पेश करने का एक कारण था। ज्यामिति के अन्य दृष्टिकोण विश्लेषणात्मक ज्यामिति और बीजगणितीय ज्यामिति में  सन्निहित हैं, जहाँ कोई ज्यामितीय परिणाम प्राप्त करने के लिए गणितीय विश्लेषण और बीजगणित का उपयोग करेगा।

फेलिक्स क्लेन के अनुसार संश्लेषित ज्यामिति वह है जो सूत्रों का सहारा लिए बिना आकार का अध्ययन करती है, जबकि विश्लेषणात्मक ज्यामिति लगातार ऐसे सूत्रों का उपयोग करती है जिन्हें निर्देशांक की उपयुक्त प्रणाली को अपनाने के बाद लिखा जा सकता है।

यूक्लिड के तत्वों में यूक्लिड द्वारा प्रस्तुत ज्यामिति संश्लेषित विधि के उपयोग का सर्वोत्कृष्ट उदाहरण है। ज्यामितीय समस्याओं के समाधान के लिए यह आइजैक न्यूटन का पसंदीदा तरीका था। 19वीं शताब्दी के दौरान संश्लेषित तरीके सबसे प्रमुख थे, जब ज्यामितिशास्त्रीय ने प्रक्षेपी ज्यामिति और गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की नींव स्थापित करने में समन्वय विधियों को खारिज कर दिया। उदाहरण के लिए जैकब स्टेनर (1796 - 1863) ने विश्लेषणात्मक ज्यामिति से घृणा की और हमेशा संश्लेषित तरीकों को प्राथमिकता दी।

तार्किक संश्लेषण
तार्किक संश्लेषण की प्रक्रिया कुछ मनमाना लेकिन निश्चित प्रारंभिक बिंदु से शुरू होती है। यह प्रारंभिक बिंदु इन प्राचीन के बारे में प्राचीनधारणाओं या स्वयंसिद्धों का परिचय है:
 * प्राचीन धारणा सबसे बुनियादी विचार हैं। आमतौर पर उनमें वस्तुएंऔर संबंध दोनों अंतर्निहित होते हैं। ज्यामिति में, वस्तुएं बिंदु, रेखाएं और विमान जैसी चीजें हैं, जबकि एक मूलभूत संबंध घटना का होता है - एक वस्तु के मिलने या दूसरे के साथ जुड़ने का। शर्तें स्वयं अपरिभाषित हैं। डेविड हिल्बर्ट ने एक बार टिप्पणी की थी कि बिंदुओं, रेखाओं और विमानों के बजाय टेबल, कुर्सियों और बियर मग के बारे में भी बात की जा सकती है, बिंदु यह है कि प्राचीन शब्द केवल खाली मुक्त चर और बाध्य चर हैं और कोई आंतरिक गुण नहीं हैं।
 * अभिगृहीत इन पुरातन के बारे में कथन हैं; उदाहरण के लिए, कोई भी दो बिंदु केवल एक रेखा के साथ आपस में मिलते हैं (अर्थात् किन्हीं दो बिंदुओं के लिए, केवल एक रेखा होती है जो उन दोनों से होकर गुजरती है)। अभिगृहीतों को सत्य मान लिया जाता है, सिद्ध नहीं किया जाता। वे ज्यामितीय अवधारणाओं के "बिल्डिंग ब्लॉक्स" हैं, क्योंकि वे उन गुणों को निर्दिष्ट करते हैं जो प्राचीन हैं।

स्वयंसिद्धों के दिए गए सेट से, संश्लेषण सावधानी से निर्मित तार्किक तर्क के रूप में आगे बढ़ता है। जब एक महत्वपूर्ण परिणाम को कठोरता से सिद्ध किया जाता है, तो यह एक प्रमेय बन जाता है।

अभिगृहीत समुच्चयों के गुण
ज्यामिति के लिए कोई निश्चित स्वयंसिद्ध सेट नहीं है, क्योंकि एक से अधिक संगति को चुना जा सकता है। इस तरह के प्रत्येक सेट से एक अलग ज्यामिति हो सकती है, जबकि एक ही ज्यामिति देने वाले विभिन्न सेटों के उदाहरण भी हैं। संभावनाओं की इस अधिकता के साथ, ज्यामिति के बारे में एकवचन में बात करना अब उचित नहीं है।

ऐतिहासिक रूप से, यूक्लिड की समानांतर अभिधारणा अन्य अभिगृहीतों की स्वतंत्रता (गणितीय तर्क) बन गई है। इसे त्यागने से पूर्ण ज्यामिति मिलती है, जबकि इसे नकारने से अतिशयोक्तिपूर्ण ज्यामिति प्राप्त होती है।अन्य संगति अन्य ज्यामिति उत्पन्न कर सकती है, जैसे कि प्रक्षेपी ज्यामिति, अण्डाकार ज्यामिति, गोलाकार ज्यामिति या एफ़िन ज्यामिति।

निरंतरता और समानता के सिद्धांत भी वैकल्पिक हैं, उदाहरण के लिए, असतत ज्यामिति को हटाकर या संशोधित करके बनाया जा सकता है।

फेलिक्स क्लेन के एर्लांगेन कार्यक्रम के बाद, किसी भी ज्यामिति की प्रकृति को विकास की शैली के बजाय समरूपता और प्रस्तावों की सामग्री के बीच संबंध के रूप में देखा जा सकता है।

इतिहास
यूक्लिड का मूल उपचार दो हज़ार वर्षों से अधिक समय तक बिना चुनौती के बना रहा, जब तक कि 19वीं शताब्दी में कार्ल फ्रेडरिक गॉस, जानोस बोल्याई, निकोलाई लोबचेव्स्की और बर्नहार्ड रीमैन द्वारा गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति की एक साथ खोजों ने गणितज्ञों को यूक्लिड की अंतर्निहित मान्यताओं पर सवाल उठाने के लिए प्रेरित नहीं किया। प्रारंभिक फ्रांसीसी विश्लेषकों में से एक ने संश्लेषित ज्यामिति को इस तरह संक्षेपित किया यूक्लिड के तत्वों का उपचार संश्लेषित विधि द्वारा किया जाता है। लेखक ने स्वयंसिद्धों को प्रस्तुत करने के बाद, आवश्यक वस्तुओं का गठन किया, उन प्रस्तावों को स्थापित किया, जिन्हें वह क्रमिक रूप से समर्थन करता है, जो पहले से सरल से यौगिक तक आगे बढ़ता है, जो संश्लेषण का आवश्यक चरित्र है।

संश्लेषित ज्यामिति के सुनहरे दिनों को 19वीं शताब्दी माना जा सकता है, जब निर्देशांक तरीका और गणना पर आधारित विश्लेषणात्मक विधियों को जेकब स्टेनर जैसे कुछ जियोमीटरों द्वारा प्रक्षेपी ज्योमेट्री के विशुद्ध रूप से संश्लेषित विकास के पक्ष में नजरअंदाज कर दिया गया था। उदाहरण के लिए, घटना के स्वयंसिद्धों से शुरू होने वाले प्रक्षेपी विमान का उपचार वास्तव में एक व्यापक सिद्धांत (अधिक मॉडल सिद्धांत के साथ) है, जो कि आयाम तीन के सदिश स्थल से शुरू होता है। प्रक्षेप्य ज्यामिति वास्तव में किसी भी ज्यामिति की सबसे सरल और सबसे सुंदर संश्लेषित अभिव्यक्ति है।                                                                                                   अपने एरलांगेन कार्यक्रम में, फेलिक्स क्लेन ने संश्लेषित और विश्लेषणात्मक तरीकों के बीच तनाव को कम किया:आधुनिक ज्यामिति में संश्लेषित और विश्लेषणात्मक विधि के बीच विरोधाभास पर:
 * आधुनिक संश्लेषण और आधुनिक विश्लेषणात्मक ज्यामिति के बीच के अंतर को अब आवश्यक नहीं माना जाना चाहिए, क्योंकि विषय-वस्तु और तर्क के तरीके दोनों ने धीरे-धीरे दोनों में एक समान रूप ले लिया है। इसलिए हम पाठ में प्रक्षेपी ज्यामिति शब्द दोनों के सामान्य पदनाम के रूप में चुनते हैं। यद्यपि संश्लेषित पद्धति का अंतरिक्ष-धारणा के साथ अधिक करना है और इस तरह इसके पहले सरल विकास के लिए एक दुर्लभ आकर्षण प्रदान करता है, फिर भी अंतरिक्ष-धारणा का क्षेत्र विश्लेषणात्मक पद्धति के लिए बंद नहीं है, और विश्लेषणात्मक ज्यामिति के सूत्रों को इस रूप में देखा जा सकता है। दूसरी ओर, अच्छी तरह से तैयार किए गए विश्लेषण के मूल शोध के लाभ को कम करके नहीं आंका जाना चाहिए। लेकिन इस बात पर हमेशा जोर दिया जाना चाहिए कि गणितीय विषय को तब तक समाप्त नहीं माना जाना चाहिए जब तक कि यह सहज रूप से स्पष्ट न हो जाए, और विश्लेषण की सहायता से की गई प्रगति केवल एक पहला, हालांकि बहुत महत्वपूर्ण कदम है।

यूक्लिडियन ज्यामिति के करीबी स्वयंसिद्ध अध्ययन ने लैम्बर्ट चतुर्भुज और सैकेरी चतुर्भुज का निर्माण किया। इन संरचनाओं ने गैर-यूक्लिडियन ज्यामिति के क्षेत्र की शुरुआत की जहां यूक्लिड के समानांतर स्वयंसिद्ध का खंडन किया गया। गॉस, बोल्याई और लोबचेवस्की ने स्वतंत्र रूप से हाइपरबोलिक ज्यामिति का निर्माण किया, जहां समानांतर रेखाओं में समानांतरता का कोण होता है जो उनके अलगाव पर निर्भर करता है। यह अध्ययन पोंकारे डिस्क मॉडल के माध्यम से व्यापक रूप से सुलभ हो गया जहां मोबियस परिवर्तनों द्वारा गति (ज्यामिति) दी जाती है। इसी तरह, गॉस के एक छात्र बर्नहार्ड रीमैन ने रीमैनियन ज्यामिति का निर्माण किया, जिसमें से अण्डाकार ज्यामिति एक विशेष मामला है।

एक अन्य उदाहरण लुडविग इमैनुएल मैग्नस द्वारा उन्नत व्युत्क्रम ज्यामिति से संबंधित है, जिसे भावना में संश्लेषित माना जा सकता है। गुणक व्युत्क्रम का निकट से संबंधित संचालन विमान के विश्लेषण को व्यक्त करता है।

कार्ल वॉन स्टौड्टो ने दिखाया कि बीजगणितीय अभिगृहीत, जैसे क्रमविनिमेयता और जोड़ और गुणा की संबद्धता, वास्तव में ज्यामितीय विन्यास में रेखाओं की घटना (ज्यामिति) के परिणाम थे। डेविड हिल्बर्ट ने दिखाया Desargues विन्यास ने एक विशेष भूमिका निभाई। आगे का काम रूथ मौफांग और उनके छात्रों ने किया। अवधारणाएं घटना ज्यामिति के प्रेरकों में से एक रही हैं।

जब समांतर रेखाओं को प्राथमिक के रूप में लिया जाता है, तो संश्लेषण एफ़ाइन ज्यामिति उत्पन्न करता है। हालांकि यूक्लिडियन ज्यामिति एक एफाइन और मीट्रिक ज्यामिति दोनों है, सामान्य रूप से एफाइन अंतरिक्ष में एक मीट्रिक गायब हो सकती है। इस प्रकार दिया गया अतिरिक्त लचीलापन अंतरिक्ष समय के अध्ययन के लिए एफाइन ज्योमेट्री को उपयुक्त बनाता है, जैसा कि एफाइन ज्योमेट्री कि इतिहास में चर्चा की गई है।

1955 में हर्बर्ट बुसेमैन और पॉल जे. केली ने संश्लेषित ज्यामिति के लिए एक उदासीन टिप्पणी की:
 * हालांकि अनिच्छा से, जियोमीटर को यह स्वीकार करना चाहिए कि संश्लेषित ज्यामिति की सुंदरता ने नई पीढ़ी के लिए अपनी अपील खो दी है। कारण स्पष्ट हैं: बहुत पहले संश्लेषित ज्यामिति एकमात्र ऐसा क्षेत्र नहीं था जिसमें तर्क सख्ती से स्वयंसिद्धों से आगे बढ़ता था, जबकि यह अपील - गणितीय रूप से रुचि रखने वाले कई लोगों के लिए मौलिक - अब कई अन्य क्षेत्रों द्वारा बनाई गई है।

संश्लेषित ज्यामिति में तर्क दिया गया है कि विश्लेषणात्मक ज्यामिति को बड़े नुकसान के बिना प्रतिस्थापित नहीं किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, कॉलेज की पढ़ाई में अब रेखीय बीजगणित, टोपोलॉजी और ग्राफ सिद्धांत अंतर्निहितहैं जहां विषय को पहले सिद्धांतों से विकसित किया गया है, और प्रस्ताव प्राथमिक प्रमाणों द्वारा प्रस्तावों का अनुमान लगाया जाता है।

ज्यामिति के आज के छात्र के पास यूक्लिड के अलावा अन्य अभिगृहीत भी उपलब्ध हैं: देखें हिल्बर्ट की अभिगृहीत और टार्स्की की अभिगृहीत।

अर्न्स्ट कोटर ने 1901 में एक रिपोर्ट (जर्मन) प्रकाशित की थी, जो मोंज से स्टॉड्ट (1847) तक संश्लेषित ज्यामिति के विकास पर थी;

संश्लेषित ज्यामिति का उपयोग कर सबूत
ज्यामितीय प्रमेयों के संश्लेषित सबूत सहायक निर्माण (जैसे सहायक रेखा) और अवधारणाओं जैसे कि पक्षों या कोणों की समानता और समानता (ज्यामिति) और त्रिभुजों की सर्वांगसमता (ज्यामिति) का उपयोग करते हैं। इस तरह के प्रमाणों के उदाहरण लेख में पाए जा सकते हैं तितली प्रमेय, कोण द्विभाजक प्रमेय, अपोलोनियस प्रमेय, ब्रिटिश ध्वज प्रमेय, सेवा की प्रमेय, समान अंतःवृत्त प्रमेय, ज्यामितीय माध्य प्रमेय, बगुला का सूत्र, समद्विबाहु त्रिभुज प्रमे, कोसाइन का नियम, और अन्य जो यहां से जुड़े हुए हैं।

कम्प्यूटेशनल संश्लेषित ज्यामिति
कम्प्यूटेशनल ज्यामिति के संयोजन में, एक कम्प्यूटेशनल संश्लेषित ज्यामिति की स्थापना की गई है, जिसका घनिष्ठ संबंध है, उदाहरण के लिए, मैट्रॉइड सिद्धांत के साथ। संश्लेषित अंतर ज्यामिति अलग करने योग्य कई गुना थ्योरी की नींव के लिए टोपोस थ्योरी का एक अनुप्रयोग है।

यह भी देखें
संश्लेषित अंतर ज्यामिति

संदर्भ

 * Halsted, G. B. (1896) Elementary Synthetic Geometry via Internet Archive
 * Halsted, George Bruce (1906) Synthetic Projective Geometry, via Internet Archive.
 * Hilbert & Cohn-Vossen, Geometry and the imagination.
 * Halsted, George Bruce (1906) Synthetic Projective Geometry, via Internet Archive.
 * Hilbert & Cohn-Vossen, Geometry and the imagination.