प्रारंभिक और टर्मिनल ऑब्जेक्ट

श्रेणी सिद्धांत में, गणित की एक शाखा, एक श्रेणी $C$ की प्रारंभिक ऑब्जेक्ट (गणित) $C$ में $I$ ऑब्जेक्ट है जैसे कि $C$ में प्रत्येक ऑब्जेक्ट $X$ के लिए है, ठीक एक $I → X$ आकारिकी उपस्थित है।

दोहरी (श्रेणी सिद्धांत) धारणा एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट (जिसे टर्मिनल तत्व भी कहा जाता है) की है: $T$ टर्मिनल है यदि $C$ में प्रत्येक ऑब्जेक्ट $X$  के लिए सही  आकारिकी $X → T$  उपस्थित है | आरंभिक ऑब्जेक्ट्स को कोटर्मिनल या सार्वभौमिक भी कहा जाता है, और टर्मिनल ऑब्जेक्ट्स को अंतिम भी कहा जाता है।

यदि कोई ऑब्जेक्ट प्रारंभिक और अंतिम दोनों है, तो इसे शून्य ऑब्जेक्ट या प्रभावहीन ऑब्जेक्ट कहा जाता है। आंकित श्रेणी वह है जिसमें शून्य ऑब्जेक्ट होती है।

एक सख्त प्रारंभिक ऑब्जेक्ट $I$ वह है जिसके लिए प्रत्येक आकारिकी में $I$ समरूपता है।

उदाहरण
* बिंदु समुच्चय की श्रेणी में (जिनकी ऑब्जेक्ट एक विशिष्ट तत्व के साथ अरिक्त हैं; $(A, a)$ से एक आकारिकी को $(B, b)$ फंक्शन $f : A → B$ होने के साथ $f(a) = b$), प्रत्येक सिंगलटन शून्य  ऑब्जेक्ट है। इसी प्रकार, बिंदु स्थान की श्रेणी में, प्रत्येक सिंगलटन शून्य ऑब्जेक्ट है।
 * रिक्त समूह, समूह की श्रेणी में अद्वितीय प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है। प्रत्येक एक-तत्व समूह (सिंगलटन (गणित)) इस श्रेणी में एक अंतिम ऑब्जेक्ट है; कोई शून्य ऑब्जेक्ट नहीं है। इसी प्रकार, रिक्त स्थान शीर्ष में अद्वितीय प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है, संस्थितिक रिक्त स्थान की श्रेणी और प्रत्येक एक-बिंदु स्थान इस श्रेणी में एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट है |
 * समूह और संबंधों के संबंधों की श्रेणी में, रिक्त समूह अद्वितीय प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है, अद्वितीय टर्मिनल ऑब्जेक्ट है, और इसलिए अद्वितीय शून्य ऑब्जेक्ट है।
 * जीआरपी में, समूहों की श्रेणी, कोई भी निम्न समूह शून्य ऑब्जेक्ट है। निम्न ऑब्जेक्ट भी AB में एक शून्य ऑब्जेक्ट है, एबेलियन समूहों की श्रेणी, Rng छद्म-वलयों की श्रेणी, R-मॉड, रिंग के ऊपर मॉड्यूल की श्रेणी, और K-वेक्ट, एक क्षेत्र पर वेक्टर रिक्त स्थान की श्रेणी विवरण के लिए शून्य ऑब्जेक्ट (बीजगणित) देखें। यह शून्य ऑब्जेक्ट शब्द की उत्पत्ति है।
 * रिंग में, एकता और एकता-संरक्षण आकारिकी वाले छल्ले की श्रेणी, पूर्णांक Z की अंगूठी एक प्रारंभिक ऑब्जेक्ट  है। केवल एक तत्व 0 = 1 से युक्त शून्य वलय एक टर्मिनल  ऑब्जेक्ट  है।
 * रिग में, रिग की श्रेणी (गणित) समूह और समूह-संरक्षण आकारिकी के साथ, प्राकृतिक संख्या N की रिग एक प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है। शून्य रिग, जो कि शून्य रिंग है, जिसमें केवल एक तत्व 0 = 1 होता है, टर्मिनल ऑब्जेक्ट है।
 * क्षेत्र में, क्षेत्र की श्रेणी में, कोई आरंभिक या अंतिम ऑब्जेक्ट नहीं होती है। चूँकि, निश्चित विशेषता वाले क्षेत्रों की उपश्रेणी में, प्रमुख क्षेत्र एक प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है।
 * कोई भी आंशिक रूप से निर्देशित किया गया समूह $(P, ≤)$ को एक श्रेणी के रूप में व्याख्या किया जा सकता है: ऑब्जेक्ट $P$ इसके तत्व हैं, और वहाँ से $x$ एकल आकारिकी $y$ है यदि  $x ≤ y$ इस श्रेणी में प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है यदि $P$ में सबसे कम अवयव है; इसका एक टर्मिनल ऑब्जेक्ट है यदि  $P$ का सबसे बड़ा तत्व है।
 * कैट, आकारिकी के रूप में कार्य करने वालों के साथ छोटी श्रेणियों की श्रेणी में रिक्त श्रेणी 0 है (बिना किसी ऑब्जेक्ट और कोई आकारिकी के), प्रारंभिक ऑब्जेक्ट और टर्मिनल श्रेणी के रूप में, 1 (एकल समरूप आकारिकी के साथ एकल ऑब्जेक्ट के साथ), टर्मिनल ऑब्जेक्ट के रूप में होता है।
 * योजना (गणित) की श्रेणी में, युक्ति (Z), पूर्णांकों के वलय के एक वलय का वर्णक्रम, अंतिम ऑब्जेक्ट है। रिक्त योजना (शून्य वलय के प्रमुख वर्णक्रम के बराबर) प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है।
 * आरेख (श्रेणी सिद्धांत) F की सीमा (श्रेणी सिद्धांत) F को शंकु की श्रेणी में टर्मिनल ऑब्जेक्ट के रूप में वर्णित किया जा सकता है। इसी प्रकार, F की कोलिमिट को F से सह-शंकु की श्रेणी में एक प्रारंभिक ऑब्जेक्ट के रूप में चित्रित किया जा सकता है।
 * श्रेणी में ChR एक क्रमविनिमेय वलय R पर श्रृंखला परिसरों की संख्या, शून्य परिसर एक शून्य ऑब्जेक्ट है।

अस्तित्व और विशिष्टता
प्रारंभिक और अंतिम ऑब्जेक्ट को किसी श्रेणी में उपस्थित होने की आवश्यकता नहीं है। चूँकि, यदि वे उपस्थित हैं, तो वे अनिवार्य रूप से अद्वितीय हैं। विशेष रूप से, यदि $I_{1}$ और $I_{2}$ दो अलग-अलग प्रारंभिक ऑब्जेक्ट हैं, तो उनके बीच अद्वितीय समरूपता है। इसके अतिरिक्त, यदि $I$ प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है तो कोई भी ऑब्जेक्ट  समावयवी है $I$ भी एक प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है। टर्मिनल ऑब्जेक्ट्स के लिए भी यही सच है।

पूर्ण श्रेणी के लिए प्रारंभिक ऑब्जेक्ट के लिए अस्तित्व प्रमेय है। विशेष प्रकार से, एक (स्थानीय रूप से छोटी श्रेणी) पूर्ण श्रेणी $C$ में प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है यदि कोई समूह $I$ ( एक उचित वर्ग) उपस्थित है और $I$- $C$ कि ऑब्जेक्ट्स का अनुक्रमित समूह $(K_{i})$ जैसे कि $C$ किसी भी ऑब्जेक्ट के लिए $X$  के लिए, कुछ $i ∈ I$ के लिए  कम से कम एक आकारिकी $K_{i} → X$  है।

समतुल्य फॉर्मूलेशन

एक श्रेणी में टर्मिनल ऑब्जेक्ट $C$ को अद्वितीय रिक्त आरेख (श्रेणी सिद्धांत) की सीमा (श्रेणी सिद्धांत) $0 → C$ के रूप में भी परिभाषित किया जा सकता है| चूंकि रिक्त श्रेणी रूप से असतत श्रेणी है, टर्मिनल ऑब्जेक्ट को रिक्त प्रोडक्ट के रूप में माना जा सकता है (प्रोडक्ट वास्तव में असतत आरेख की सीमा $\{X_{i}\}$ है, सामान्य रूप में)। प्रारंभिक ऑब्जेक्ट को रिक्त आरेख $0 → C$ की सीमा (श्रेणी सिद्धांत) है और इसे रिक्त योग प्रतिउत्पाद या श्रेणीबद्ध राशि के रूप में माना जा सकता है।

यह इस प्रकार है कि कोई मुक्त कारक जो सीमा को संरक्षित करता है, टर्मिनल ऑब्जेक्ट को टर्मिनल ऑब्जेक्ट पर ले जाएगा, और कोई भी फ़ैक्टर जो कोलिमिट को संरक्षित करता है, प्रारंभिक ऑब्जेक्ट को प्रारंभिक ऑब्जेक्ट में ले जाएगा। उदाहरण के लिए, मुक्त ऑब्जेक्ट के साथ किसी भी ठोस श्रेणी में प्रारंभिक ऑब्जेक्ट रिक्त समूह द्वारा उत्पन्न मुक्त ऑब्जेक्ट होती है (चूंकि मुक्त फ़ैक्टर, समूह करने के लिए संलग्न फ़ंक्टर (प्रकार्यक) के निकट छोड़ दिया जा रहा है, कोलिमिट्स को संरक्षित करता है)।

प्रारंभिक और टर्मिनल ऑब्जेक्ट को सार्वभौमिक गुण और आसन्न फ़ैक्टरों के संदर्भ में भी वर्णित किया जा सकता है। 1 को एकल ऑब्जेक्ट के साथ असतत श्रेणी (द्वारा चिह्नित) होने दें, और दें $U : C → 1$ 1 के लिए अद्वितीय (निरंतर) फ़ैक्टर बनता है। फिर
 * प्रारंभिक ऑब्जेक्ट $I$ में $C$ • से सार्वभौमिक रूपवाद $U$ है | फ़ंक्टर जो • U को भेजता है, $I$ के सटा हुआ है।
 * टर्मिनल ऑब्जेक्ट $T$ में $C$ से सार्वभौमिक आकारिकी है $U$ को •। फ़ंक्टर जो • $U$ को भेजता है $T$ के ठीक सटा हुआ है|

अन्य स्पष्ट निर्माणों से संबंध
उपयुक्त श्रेणी में प्रारंभिक या अंतिम ऑब्जेक्ट ढूंढने के संदर्भ में श्रेणी सिद्धांत में कई प्राकृतिक निर्माण तैयार किए जा सकते हैं।


 * किसी ऑब्जेक्ट से एक सार्वभौमिक रूपवाद $X$ प्रकार्यक के लिए $U$ को अल्पविराम श्रेणी में प्रारंभिक ऑब्जेक्ट $(X ↓ U)$ के रूप में परिभाषित किया जा सकता है | दोहरी प्रकार से, $U$ से $X$  तक सार्वभौमिक रूपवाद $(U ↓ X)$ में टर्मिनल ऑब्जेक्ट है |
 * आरेख की सीमा $F$ एक $शंकु(F)$ टर्मिनल ऑब्जेक्ट है, शंकु की श्रेणी $F$ है। दुगनी प्रकार से, कोलिमिट $F$ शंकु की श्रेणी में $F$ प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है |
 * प्रतिनिधित्व योग्य संचालन $F$ से समूह के तत्वों की श्रेणी में $F$ प्रारंभिक ऑब्जेक्ट है |
 * अंतिम फ़ैक्टर (क्रमशः, प्रारंभिक प्रकार्यक) की धारणा अंतिम ऑब्जेक्ट क्रमशः, प्रारंभिक ऑब्जेक्ट) की धारणा का सामान्यीकरण है।

अन्य गुण

 * प्रारंभिक या अंतिम ऑब्जेक्ट का एंडोमोर्फिज्म मोनोइड $I$ निम्न है: $End(I) = Hom(I, I) = \{ id_{I} \}$.
 * यदि कोई श्रेणी $C$ में $0$ शून्य ऑब्जेक्ट है, फिर ऑब्जेक्ट $X$ और $Y$ में $C$ कि किसी भी जोड़ी के लिए, अनूठी रचना $X → 0 → Y$ से $X$ को $Y$ शून्य रूपवाद है।
 * संदर्भ
 * संदर्भ


 * This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.
 * This article is based in part on PlanetMath's article on examples of initial and terminal objects.
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