बेसेल फिल्टर

इलेक्ट्रानिक्स और  संकेत का प्रक्रमण  में, एक बेसेल फ़िल्टर एक प्रकार का एनालॉग रैखिक फ़िल्टर है जिसमें अधिकतम फ्लैट समूह विलंब और चरण विलंब समूह/चरण विलंब (अधिकतम रैखिक  चरण प्रतिक्रिया ) होता है, जो पासबैंड में फ़िल्टर किए गए सिग्नल के तरंग आकार को संरक्षित करता है। बेसेल फिल्टर अक्सर  ऑडियो क्रॉसओवर  सिस्टम में उपयोग किए जाते हैं।

फ़िल्टर का नाम जर्मन गणितज्ञ फ्रेडरिक बेसेल  (1784-1846) का संदर्भ है, जिन्होंने गणितीय सिद्धांत विकसित किया जिस पर फ़िल्टर आधारित है। डब्ल्यूई थॉमसन की मान्यता में फिल्टर को बेसेल-थॉमसन फिल्टर भी कहा जाता है, जिन्होंने 1949 में डिजाइन को फिल्टर करने के लिए बेसेल कार्यों को कैसे लागू किया जाए, इस पर काम किया।

बेसेल फ़िल्टर गाऊसी फिल्टर  के समान ही है, और फ़िल्टर क्रम बढ़ने पर उसी आकार की ओर जाता है।  जबकि गाऊसी फ़िल्टर के टाइम-डोमेन चरण प्रतिक्रिया में शून्य  ओवरशूट (संकेत)  होता है, बेसेल फिल्टर में थोड़ी मात्रा में ओवरशूट होता है,  लेकिन फिर भी अन्य सामान्य फ़्रीक्वेंसी-डोमेन फ़िल्टर, जैसे बटरवर्थ फ़िल्टर से बहुत कम। यह ध्यान दिया गया है कि बेसेल-थॉमसन फिल्टर की आवेग प्रतिक्रिया एक गाऊसी की ओर जाती है क्योंकि फिल्टर का क्रम बढ़ जाता है।

गाऊसी फ़िल्टर के परिमित-आदेश अनुमानों की तुलना में, बेसेल फ़िल्टर में बेहतर आकार देने वाला कारक, चापलूसी चरण विलंब, और समान क्रम के गाऊसी की तुलना में चापलूसी समूह विलंब होता है, हालांकि गॉसियन में कम समय विलंब और शून्य ओवरशूट होता है।

स्थानांतरण समारोह
बेसेल लो पास फिल्टर  को इसके  स्थानांतरण प्रकार्य  की विशेषता है:


 * $$H(s) = \frac{\theta_n(0)}{\theta_n(s/\omega_0)}\,$$

कहाँ पे $$\theta_n(s)$$ एक उल्टा बेसेल बहुपद  है जिससे फ़िल्टर का नाम मिलता है और $$\omega_0$$ वांछित कट-ऑफ आवृत्ति देने के लिए चुनी गई आवृत्ति है। फ़िल्टर में कम आवृत्ति समूह विलंब है $$1 / \omega_0$$. तब से $$\theta_n (0) $$ रिवर्स बेसेल बहुपद की परिभाषा से अनिश्चित है, लेकिन एक हटाने योग्य विलक्षणता है, यह परिभाषित किया गया है कि $$\theta_n (0) = \lim_{x \rightarrow 0} \theta_n (x) $$.

बेसेल बहुपद
बेसेल फ़िल्टर का स्थानांतरण फ़ंक्शन एक तर्कसंगत कार्य  है जिसका हर एक रिवर्स बेसेल बहुपद है, जैसे कि निम्न:


 * $$n=1: \quad s+1$$
 * $$n=2: \quad s^2+3s+3$$
 * $$n=3: \quad s^3+6s^2+15s+15$$
 * $$n=4: \quad s^4+10s^3+45s^2+105s+105$$
 * $$n=5: \quad s^5+15s^4+105s^3+420s^2+945s+945$$

विलोम बेसेल बहुपद निम्न द्वारा दिए गए हैं:


 * $$\theta_n(s)=\sum_{k=0}^n a_ks^k,$$

कहाँ पे


 * $$a_k=\frac{(2n-k)!}{2^{n-k}k!(n-k)!} \quad k=0,1,\ldots,n.$$

उदाहरण


तीसरे क्रम (तीन-पोल) बेसेल कम-पास फ़िल्टर के लिए स्थानांतरण फ़ंक्शन $$\omega_0 = 1$$ है


 * $$H(s)=\frac{15}{s^3+6s^2+15s+15},$$

जहां अंश को शून्य आवृत्ति पर एकता लाभ देने के लिए चुना गया है ($$s = 0$$)। हर बहुपद की जड़ों, फिल्टर के ध्रुव, में एक वास्तविक ध्रुव शामिल होता है $$s=-2.3222$$, और एक जटिल संयुग्म | ध्रुवों की जटिल-संयुग्म जोड़ी $$s = -1.8389 \pm j1.7544$$, ऊपर प्लॉट किया गया।

लाभ तो है


 * $$G(\omega) = |H(j\omega)| = \frac{15}{\sqrt{\omega^6+6\omega^4+45\omega^2+225}}. \, $$

−3-dB बिंदु, जहाँ $$|H(j\omega)| = \frac{1}\sqrt{2}, \, $$ पर होता है $$\omega = 1.756 $$. इसे पारंपरिक रूप से कट-ऑफ आवृत्ति कहा जाता है।

चरण है


 * $$\phi(\omega)=-\arg(H(j\omega))=

\arctan\left(\frac{15\omega-\omega^3}{15-6\omega^2}\right). \, $$ समूह विलंब है


 * $$D(\omega)=-\frac{d\phi}{d\omega} =

\frac{6 \omega^4+ 45 \omega^2+225}{\omega^6+6\omega^4+45\omega^2+225}. \, $$ समूह विलंब का टेलर श्रृंखला  विस्तार है


 * $$D(\omega) = 1-\frac{\omega^6}{225}+\frac{\omega^8}{1125}+\cdots.$$

ध्यान दें कि दो शब्दों में $$\omega^2$$ तथा $$\omega^4$$ शून्य हैं, जिसके परिणामस्वरूप एक बहुत ही सपाट समूह विलंब होता है $$\omega=0$$. यह सबसे बड़ी संख्या है जिसे शून्य पर सेट किया जा सकता है, क्योंकि तीसरे क्रम के बेसेल बहुपद में कुल चार गुणांक हैं, जिन्हें परिभाषित करने के लिए चार समीकरणों की आवश्यकता होती है। एक समीकरण निर्दिष्ट करता है कि लाभ एकता है $$\omega=0$$ और एक दूसरा निर्दिष्ट करता है कि लाभ शून्य हो $$\omega=\infty$$, श्रृंखला विस्तार में दो पदों को शून्य होने के लिए निर्दिष्ट करने के लिए दो समीकरणों को छोड़कर। यह ऑर्डर के बेसेल फ़िल्टर के लिए समूह विलंब की एक सामान्य संपत्ति है $$n$$: सबसे पहला $n-1$ समूह विलंब की श्रृंखला विस्तार में शर्तें शून्य होंगी, इस प्रकार समूह विलंब की समतलता को अधिकतम किया जा सकता है $\omega=0$.

डिजिटल
चूंकि बेसेल फ़िल्टर की महत्वपूर्ण विशेषता इसकी अधिकतम-फ्लैट समूह देरी है, और आयाम प्रतिक्रिया नहीं है, एनालॉग बेसेल फ़िल्टर को डिजिटल रूप में परिवर्तित करने के लिए द्विरेखीय परिवर्तन  का उपयोग करना अनुचित है (क्योंकि यह आयाम प्रतिक्रिया को संरक्षित करता है लेकिन नहीं समूह देरी)।

डिजिटल समकक्ष थिरन फिल्टर है, जो अधिकतम-फ्लैट समूह विलंब के साथ एक ऑल-पोल लो-पास फिल्टर भी है, जिसे भिन्नात्मक विलंब को लागू करने के लिए एक ऑलपास फिल्टर में भी बदला जा सकता है।

यह भी देखें

 * बटरवर्थ फ़िल्टर
 * कंघी फिल्टर
 * चेबीशेव फ़िल्टर
 * अण्डाकार फिल्टर
 * बेसेल फंक्शन
 * समूह विलंब और चरण विलंब

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 * आवेग invariance
 * बेसेल फ़ंक्शन
 * जटिल सन्युग्म

बाहरी संबंध

 * Bessel and Linear Phase Filters — Nuhertz
 * Bessel Filter Constants — C.R. Bond
 * Bessel Filters Polynomials, Poles and Circuit Elements — C.R. Bond
 * Java source code to compute Bessel filter poles