ऊष्मा समीकरण

गणित और भौतिकी में, ऊष्मा समीकरण एक निश्चित आंशिक अंतर समीकरण है। ऊष्मा समीकरण के समाधान को कभी-कभी कैलोरी फलन के रूप में जाना जाता है। ऊष्मा समीकरण का सिद्धांत पहली बार 1822 में जोसेफ फूरियर द्वारा मॉडलिंग के उद्देश्य से विकसित किया गया था कि किसी दिए गए क्षेत्र में ऊष्मा जैसी मात्रा कैसे फैलती है।

प्रोटोटाइपिकल परवलयिक आंशिक अंतर समीकरण के रूप में, ऊष्मा समीकरण शुद्ध गणित में सबसे व्यापक रूप से अध्ययन किए जाने वाले विषयों में से एक है, और इसके विश्लेषण को आंशिक अंतर समीकरणों के व्यापक क्षेत्र के लिए मूल सिद्धान्त माना जाता है। रीमैनियन कई गुना पर ऊष्मा समीकरण पर भी विचार किया जा सकता है, जिससे कई ज्यामितीय अनुप्रयोग हो सकते हैं। सुब्बरमा मीनाक्षीसुंदरम और एके प्लीजेल के काम के बाद, ऊष्मा समीकरण वर्णक्रमीय ज्यामिति से घनिष्ठ रूप से संबंधित है। 1964 में जेम्स एल्स और जोसेफ एच. सैम्पसन द्वारा अंतर ज्यामिति के लिए एक सेमिनल हार्मोनिक नक्शा प्रस्तुत किया गया था, जो 1982 में रिचर्ड एस हैमिल्टन द्वारा रिक्की प्रवाह की शुरुआत को प्रेरित करता है और 2003 में त्वरित पेरेलमैन द्वारा पॉइनकेयर अनुमान के प्रमाण में परिणत हुआ। ऊष्मा समीकरण के रूप में जाने जाने वाले ऊष्मा समीकरण के समाधान उस क्षेत्र के बारे में सूक्ष्म जानकारी प्रदान करते हैं, जिस पर उन्हें परिभाषित किया गया है, जैसा कि अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय में उनके आवेदन के माध्यम से उदाहरण दिया गया है।

ऊष्मा समीकरण, इसके प्रकारों के साथ, विज्ञान और व्यावहारिक गणित के कई क्षेत्रों में भी महत्वपूर्ण है। संभाव्यता सिद्धांत में, फोकर-प्लैंक समीकरण के माध्यम से ऊष्मा समीकरण अनियमित चलने और ब्राउनियन गति के अध्ययन से जुड़ा हुआ है। वित्तीय गणित का काला-स्कोल्स समीकरण ऊष्मा समीकरण का एक छोटा रूप है, और क्वांटम यांत्रिकी के श्रोडिंगर समीकरण को काल्पनिक संख्या में ऊष्मा समीकरण के रूप में माना जा सकता है। छवि विश्लेषण में, ऊष्मा समीकरण का उपयोग कभी-कभी पिक्सेलेशन और किनारे का पता लगाना को हल करने के लिए किया जाता है। रॉबर्ट डी. रिचटमायर और जॉन वॉन न्यूमैन द्वारा कृत्रिम श्यानता विधियों की शुरूआत के बाद, ऊष्मा समीकरणों के समाधान शॉक (द्रव गतिकी) के गणितीय सूत्रीकरण में उपयोगी रहे हैं। 1950 के दशक की शुरुआत में जिम डगलस, डी.डब्ल्यू. शांतिदूत, और हेनरी रैचफोर्ड जूनियर साथ में काम किये थे।

समीकरण का कथन
'गणित में, यदि Rn का एक खुला उपसमुच्चय U दिया जाए और R का एक उपअंतराल $I$, एक कहता है कि एक फलन$u : U × I → R$ ऊष्मासमीकरण का समाधान है अगर'
 * $$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{\partial^2 u}{\partial x_1^2} + \cdots + \frac{\partial^2 u}{\partial x_n^2},$$

जहाँ पर $(x_{1}, …, x_{n}, t)$ डोमेन के एक सामान्य बिंदु को दर्शाता है। यहां पर $t$ को समय के रूप में उल्लेख करना सामान्य है और $x_{1}, …, x_{n}$ स्थानिक चर के रूप में, संक्षेप संदर्भों में भी जहां ये वाक्यांश अपने सहज अर्थ के लिए विफल होते हैं। स्थानिक चरों के संग्रह को प्रायः x बस के रूप में संदर्भित किया जाता है | t के किसी दिए गए मूल्य के लिए, समीकरण का दाहिना पक्ष फलन $u(⋅, t) : U → R$ का लाप्लास संकारक है| जैसे, ऊष्मा समीकरण को प्रायः अधिक सघन रूप से इस प्रकार लिखा जाता है

भौतिकी और इंजीनियरिंग संदर्भों में, विशेष रूप से एक माध्यम से प्रसार के संदर्भ में, कार्टेशियन समन्वय प्रणाली को ठीक करना और फिर किसी फलन (गणित) $u(x, y, z, t)$ के विशिष्ट मामले पर विचार करना अधिक सामान्य है| तीन स्थानिक चर के $(x, y, z)$ और समय परिवर्तनशील $t$. एक तो कहता है $u$ ऊष्मासमीकरण का समाधान है अगर
 * $$\frac{\partial u}{\partial t} = \alpha\left(\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\frac{\partial^2u}{\partial y^2}+\frac{\partial^2u}{\partial z^2}\right)$$

जिसमें $α$ एक धनात्मक गुणांक है जिसे माध्यम का ऊष्मीय विसारकता कहा जाता है। अन्य भौतिक परिघटनाओं के अतिरिक्त, यह समीकरण एक सजातीय और समदैशिक माध्यम में ऊष्मा के प्रवाह का वर्णन करता है, साथ में $u(x, y, z, t)$ बिंदु पर तापमान होना $(x, y, z)$ और समय $t$. यदि माध्यम सजातीय और समदैशिक नहीं है, तो $α$ एक निश्चित गुणांक नहीं होगा, और इसके अतिरिक्त ( x, y, z ) पर निर्भर करेगा ; जो समीकरण का थोड़ा अलग रूप भी होगा। भौतिकी और इंजीनियरिंग साहित्य में का $∇^{2}$ का प्रयोग सामान्य है अतिरिक्त लाप्लासियन निरूपित करने के लिए $∆$.

गणित के साथ-साथ भौतिकी और इंजीनियरिंग में समय व्युत्पन्न के लिए न्यूटन के अंकन का उपयोग करना सामान्य बात है, ताकि $$\dot u$$ निरूपित करने के लिए प्रयोग किया जाता है $∂u⁄∂t$, इसलिए समीकरण लिखा जा सकता है

यह भी ध्यान दें कि या तो उपयोग करने की क्षमता $∆$ या $∇^{2}$ लाप्लासियन को निरूपित करने के लिए, स्थानिक चर के स्पष्ट संदर्भ के बिना, इस तथ्य का प्रतिबिंब है कि लाप्लासियन समन्वय प्रणाली की पसंद से स्वतंत्र है। गणितीय शब्दों में, कोई कहेगा कि लाप्लासियन ट्रांसलेशनली और रोटेशनली इनवेरिएंट है। वास्तव में, यह (शिथिलता से बोलना) सबसे सरल अंतर संचालक है जिसमें ये समरूपताएं हैं। यह लाप्लासियन के उपयोग के एक महत्वपूर्ण (और विशुद्ध रूप से गणितीय) औचित्य के रूप में लिया जा सकता है और किसी भी भौतिक घटना के मॉडलिंग में ऊष्मासमीकरण के समरूप और समदैशिक हैं, जिनमें से ऊष्माका प्रसार एक प्रमुख उदाहरण है।

प्रसार स्थिरांक $α$ ऊष्मासमीकरण के गणितीय अध्ययन में प्रायः मौजूद नहीं होता है, जबकि इंजीनियरिंग में इसका मूल्य बहुत महत्वपूर्ण हो सकता है। निम्नलिखित कारणों से यह एक बड़ा अंतर नहीं है। होने देना $u$ के साथ एक फलनहो
 * $$\frac{\partial u}{\partial t}=\alpha\Delta u.$$

एक नया कार्य परिभाषित करें $$v(t,x)=u(t/\alpha,x) $$. फिर, शृंखला नियम के अनुसार, किसी के पास है

इस प्रकार, सामान्य मान के साथ ताप समीकरण के समाधानों के बीच अनुवाद करने का एक सीधा तरीका है $α$ और ऊष्मा समीकरण के समाधान के साथ $α = 1$. जैसे, गणितीय विश्लेषण के लिए, प्रायः केवल मामले पर विचार करना ही पर्याप्त होता है $α = 1$.

तब से $$\alpha>0$$ परिभाषित करने के लिए एक और विकल्प है $$v$$ संतुष्टि देने वाला $\frac{\partial}{\partial t} v = \Delta v $ जैसे की ($$) ऊपर सेटिंग करके $$v(t,x) = u(t, \alpha^{1/2} x) $$. ध्यान दें कि नए फलनको परिभाषित करने के दो संभावित साधन $$v$$ समय की माप की इकाई या लंबाई के माप की इकाई को बदलने के लिए, यहाँ राशि पर चर्चा की गई है।

समीकरण की भौतिक व्याख्या
अनौपचारिक रूप से, लाप्लासियन संचालक $∆$ किसी बिंदु के समीप में किसी फलन के औसत मान और उस बिंदु पर उसके मान के बीच का अंतर देता है। इस प्रकार, यदि $$ तापमान है, $∆$ बताता है कि क्या (और कितना) प्रत्येक बिंदु के आस पास की पदार्थ उस बिंदु पर पदार्थ की तुलना में औसतन अधिक गर्म या ठंडी है।

ऊष्मप्रवैगिकी के दूसरे नियम के अनुसार, तापमान के अंतर और उनके बीच की पदार्थ की तापीय चालकता के अनुपात में ऊष्मा गर्म पिंडों से निकटवर्ती ठंडे पिंडों तक प्रवाहित होगी। जब ऊष्मा किसी पदार्थ में (क्रमशः, बाहर) प्रवाहित होती है, तो इसका तापमान बढ़ जाता है (क्रमशः, घट जाता है), पदार्थ की मात्रा (द्रव्यमान) द्वारा विभाजित ऊष्मा की मात्रा के अनुपात में, आनुपातिकता (गणित) के साथ पदार्थ का विशिष्ट ऊष्मा क्षमता कहलाती है।

इन अवलोकनों के संयोजन से, ताप समीकरण दर $$\dot u$$ कहते हैं जिस बिंदु पर पदार्थ गर्म हो जाएगी (या ठंडा हो जाएगी) आस पास की पदार्थ कितनी गर्म (या कूलर) के समानुपाती होगी। गुणांक $α$ समीकरण में पदार्थ की तापीय चालकता, विशिष्ट ऊष्मा और घनत्व को ध्यान में रखा जाता है।

समीकरण की गणितीय व्याख्या
उपरोक्त भौतिकीय सोच के पहले भाग को गणितीय रूप में रखा जा सकता है। कुंजी यह है कि, किसी भी निश्चित के लिए $u$ के लिए, किसी एक के पास
 * $$\begin{align}

u_{(x)}(0)&=u(x)\\ u_{(x)}'(0)&=0\\ u_{(x)}''(0)&=\frac{1}{n}\Delta u(x) \end{align}$$ जहाँ पर $u_{(x)}(r)$ के औसत मान u को दर्शाने वाला एकल-चर फलन है त्रिज्या r के गोले की सतह x पर केंद्रित है ; यह इसके द्वारा परिभाषित किया जा सकता है
 * $$u_{(x)}(r)=\frac{1}{\omega_{n-1}r^{n-1}}\int_{\{y:|x-y|=r\}}u\,d\mathcal{H}^{n-1},$$

जिसमें $ω_{n − 1}$ यूनिट बॉल के सतह क्षेत्र को $x$-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष को दर्शाता है| यह उपरोक्त कथन को औपचारिक रूप देता है कि $∆u$ का मूल्य एक बिंदु $n$ पर $u(x)$ के मान के अंतर को  मापता है और u का मूल्य x के पास के बिंदुओं पर, इस अर्थ में कि उत्तरार्द्ध के मूल्यों द्वारा कूटबद्‍ध किया गया है $u_{(x)}(r)$ छोटे सकारात्मक मूल्यों के लिए $x$.

इस प्रेक्षण के बाद, ऊष्मा समीकरण की व्याख्या किसी फलन के अतिसूक्ष्म औसत के रूप में की जा सकती है। ऊष्मा समीकरण के एक हल को देखते हुए, का मान $u(x, t + τ)$ के एक छोटे से सकारात्मक मूल्य के लिए $τ$ रूप में अनुमानित किया जा सकता है $1⁄2n$ फलनके औसत मूल्य का गुना $u(⋅, t)$ पर केंद्रित बहुत छोटे त्रिज्या के एक गोले पर $r$.

समाधान की प्रकृति


ऊष्मा समीकरण का तात्पर्य है कि चोटियों (स्थानीय अधिकतम) $$u$$ धीरे-धीरे कम हो जाएगा, जबकि अवसाद (स्थानीय न्यूनतम) भर जाएगा। किसी बिंदु पर मूल्य केवल तब तक स्थिर रहेगा जब तक कि यह अपने तत्काल परिवेश में औसत मूल्य के बराबर हो। विशेष रूप से, यदि निकटवर्ती में मान एक रेखीय फलन के बहुत करीब हैं $$A x + B y + C z + D$$, तो उस पड़ोस के केंद्र में मान उस समय नहीं बदलेगा (अर्थात, व्युत्पन्न $$\dot u$$ शून्य होगा)।

एक अधिक सूक्ष्म परिणाम अधिकतम सिद्धांत है, जो कहता है कि का अधिकतम मूल्य $$u$$ किसी भी क्षेत्र में $$R$$ माध्यम का अधिकतम मान उस अधिकतम मान से अधिक नहीं होगा जो पहले हुआ था $$R$$, जब तक कि यह की सीमा पर न हो $$R$$. यानी किसी क्षेत्र में अधिकतम तापमान $$R$$ तभी बढ़ सकता है जब बाहर से ऊष्माआए $$R$$. यह परवलयिक आंशिक अवकल समीकरणों का एक गुण है और इसे गणितीय रूप से सिद्ध करना कठिन नहीं है (नीचे देखें)।

एक और दिलचस्प संपत्ति यह है कि भले ही $$u$$ शुरुआत में माध्यम के अंदर किसी सतह पर मूल्य की एक तेज छलांग (असंतोष) होती है, छलांग तुरंत उस सतह के माध्यम से ऊष्माके प्रवाह की एक क्षणिक, असीम रूप से छोटी लेकिन असीम रूप से बड़ी दर से सुचारू हो जाती है। उदाहरण के लिए, यदि दो अलग-अलग पिंड, शुरू में एक समान लेकिन अलग-अलग तापमान पर $$u_0$$ तथा $$u_1$$, एक दूसरे को छूने के लिए बने हैं, संपर्क के बिंदु पर तापमान तुरंत कुछ मध्यवर्ती मान ग्रहण करेगा, और उस बिंदु के आसपास एक क्षेत्र विकसित होगा जहां $$u$$ के बीच धीरे-धीरे भिन्न होगा $$u_0$$ तथा $$u_1$$.

यदि माध्यम में एक बिंदु पर अचानक एक निश्चित मात्रा में ऊष्मालागू की जाती है, तो यह प्रसार तरंग के रूप में सभी दिशाओं में फैल जाएगी। यांत्रिक तरंग और विद्युत चुम्बकीय तरंगों के विपरीत, प्रसार तरंग की गति समय के साथ कम हो जाती है: जैसे ही यह एक बड़े क्षेत्र में फैलती है, तापमान प्रवणता कम हो जाती है, और इसलिए ऊष्माका प्रवाह भी कम हो जाता है।

एक समान छड़ में ऊष्मा का प्रवाह
ऊष्मा प्रवाह के लिए, ऊष्मा समीकरण चालन (ऊष्मा) के भौतिक नियमों और ऊर्जा के संरक्षण से अनुसरण करता है.

थर्मल_कंडक्शन#फूरियर_लॉ|एक समदैशिक माध्यम के लिए फूरियर का नियम, एक सतह के माध्यम से प्रति इकाई क्षेत्र में ऊष्मा ऊर्जा के प्रवाह की दर इसके पार नकारात्मक तापमान प्रवणता के समानुपाती होती है:


 * $$\mathbf{q} = - k \, \nabla u $$

कहाँ पे $$k$$ पदार्थ की तापीय चालकता है, $$u=u(\mathbf{x},t)$$ तापमान है, और $$\mathbf{q} = \mathbf{q}(\mathbf{x},t)$$ एक वेक्टर (भौतिकी) क्षेत्र है जो बिंदु पर ताप प्रवाह की परिमाण और दिशा का प्रतिनिधित्व करता है $$\mathbf{x}$$ अंतरिक्ष और समय का $$t$$.

यदि माध्यम समान खंड और पदार्थ की एक पतली छड़ है, तो स्थिति एकल समन्वय है $$x$$, ऊष्माका प्रवाह बढ़ने की ओर $$x$$ अदिश क्षेत्र है $$q = q(t,x)$$, और ग्रेडिएंट के संबंध में एक सामान्य व्युत्पन्न है $$x$$. समीकरण बन जाता है


 * $$q = -k \,\frac{\partial u}{\partial x}$$

होने देना $$Q=Q(x,t)$$ प्रत्येक बिंदु और समय पर बार की प्रति इकाई आयतन आंतरिक ऊष्मा ऊर्जा हो। बाहरी या आंतरिक स्रोतों से ऊष्मा ऊर्जा उत्पादन की अनुपस्थिति में, पदार्थ में प्रति इकाई आयतन में आंतरिक ऊष्मा ऊर्जा में परिवर्तन की दर, $$\partial Q/\partial t$$, इसके तापमान के परिवर्तन की दर के समानुपाती होता है, $$\partial u/\partial t$$. वह है,


 * $$\frac{\partial Q}{\partial t} = c \, \rho \, \frac{\partial u}{\partial t}$$

कहाँ पे $$c$$ विशिष्ट ताप क्षमता है (स्थिर दबाव में, गैस के मामले में) और $$\rho$$ पदार्थ का घनत्व (द्रव्यमान प्रति इकाई आयतन) है। यह व्युत्पत्ति मानती है कि पदार्थ में अंतरिक्ष के साथ-साथ समय के माध्यम से निरंतर द्रव्यमान घनत्व और ताप क्षमता होती है।

पर केंद्रित माध्यम के एक छोटे से तत्व के लिए ऊर्जा के संरक्षण के नियम को लागू करना $$x$$, कोई यह निष्कर्ष निकालता है कि किसी दिए गए बिंदु पर जिस दर से ऊष्माजमा होती है $$x$$ उस बिंदु पर ऊष्मा प्रवाह के व्युत्पन्न के बराबर है, नकारा। वह है,


 * $$\frac{\partial Q}{\partial t} = - \frac{\partial q}{\partial x}$$

उपरोक्त समीकरणों से यह इस प्रकार है


 * $$\frac{\partial u}{\partial t} \;=\; - \frac{1}{c \rho} \frac{\partial q}{\partial x}

\;=\; - \frac{1}{c \rho} \frac{\partial}{\partial x} \left(-k \,\frac{\partial u}{\partial x} \right) \;=\; \frac{k}{c \rho} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}$$ जो विसरण गुणांक के साथ एक आयाम में ऊष्मा समीकरण है


 * $$\alpha = \frac{k}{c\rho}$$

इस मात्रा को माध्यम का तापीय विसरण कहते हैं।

विकिरण हानि के लिए लेखांकन
ऊष्माके विकिरण संबंधी नुकसान के लिए समीकरण में एक अतिरिक्त शब्द पेश किया जा सकता है। स्टीफन-बोल्ट्जमैन कानून के अनुसार, यह शब्द है $$\mu \left(u^4 - v^4\right)$$, कहाँ पे $$v=v(x,t)$$ आसपास का तापमान है, और $$\mu$$ एक गुणांक है जो पदार्थ के भौतिक गुणों पर निर्भर करता है। आंतरिक ऊर्जा में परिवर्तन की दर बन जाती है


 * $$\frac{\partial Q}{\partial t} = - \frac{\partial q}{\partial x} - \mu \left(u^4 - v^4\right)$$

और के विकास के लिए समीकरण $$u$$ हो जाता है


 * $$\frac{\partial u}{\partial t} = \frac{k}{c \rho} \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} - \frac{\mu}{c \rho}\left(u^4 - v^4\right).$$

गैर-समान समदैशिक माध्यम
ध्यान दें कि ऊष्मप्रवैगिकी के पहले नियम (यानी ऊर्जा के संरक्षण) द्वारा दिए गए राज्य समीकरण को निम्नलिखित रूप में लिखा गया है (बिना द्रव्यमान स्थानांतरण या विकिरण के)। यह फॉर्म अधिक सामान्य है और यह पहचानने के लिए विशेष रूप से उपयोगी है कि कौन सी संपत्ति (जैसे सीpया$$\rho$$) किस शब्द को प्रभावित करता है।


 * $$\rho c_p \frac{\partial T}{\partial t} - \nabla \cdot \left( k \nabla T \right) = \dot q_V $$

कहाँ पे $$\dot q_V $$ वॉल्यूमेट्रिक हीट सोर्स है।

त्रि-आयामी समस्या
समदैशिक और विक्षनरी में ऊष्माके प्रसार के विशेष मामलों में: 3-आयामी अंतरिक्ष में सजातीय माध्यम, यह समीकरण है


 * $$ \frac{\partial u}{\partial t} = \alpha \nabla^2 u =

\alpha \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2 }\right) $$   $$ = \alpha \left( u_{xx} + u_{yy} + u_{zz} \right) $$ कहाँ पे:


 * $$ u = u(x, y, z, t) $$ अंतरिक्ष और समय के कार्य के रूप में तापमान है;
 * $$ \tfrac{\partial u}{\partial t} $$ समय के साथ एक बिंदु पर तापमान के परिवर्तन की दर है;
 * $$ u_{xx} $$, $$ u_{yy} $$, तथा $$ u_{zz} $$ में तापमान के दूसरे स्थानिक यौगिक (तापीय चालन) हैं $$ x $$, $$ y $$, तथा $$ z $$ निर्देश, क्रमशः;
 * $$\alpha \equiv \tfrac{k}{c_p\rho}$$ तापीय प्रसार है, तापीय चालकता के आधार पर एक सामग्री-विशिष्ट मात्रा $$ k $$, विशिष्ट ताप क्षमता $$ c_p $$, और द्रव्यमान घनत्व $$ \rho $$.

ऊष्मा समीकरण फूरियर के चालन के नियम का परिणाम है (ऊष्माचालन देखें)।

यदि माध्यम संपूर्ण स्थान नहीं है, तो विशिष्ट रूप से ऊष्मा समीकरण को हल करने के लिए हमें u के लिए सीमा शर्तों को भी निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है। पूरे अंतरिक्ष में समाधानों की विशिष्टता निर्धारित करने के लिए अतिरिक्त शर्तों को ग्रहण करना आवश्यक है, उदाहरण के लिए समाधान के विकास पर एक घातीय बाध्यता या एक सांकेतिक स्थिति (डेविड मेष के परिणामस्वरूप गैर-नकारात्मक समाधान अद्वितीय हैं)। उष्मा समीकरण के समाधान को किसी वस्तु के गर्म से ठंडे क्षेत्रों में ऊष्मा के प्रवाह द्वारा प्रारंभिक तापमान वितरण के क्रमिक चौरसाई द्वारा चित्रित किया जाता है। सामान्य तौर पर, कई अलग-अलग राज्य और शुरुआती स्थितियां एक ही स्थिर थर्मोडायनामिक संतुलन की ओर बढ़ती हैं। नतीजतन, समाधान को उलटने के लिए और वर्तमान ताप वितरण से पहले के समय या प्रारंभिक स्थितियों के बारे में कुछ निष्कर्ष निकालने के लिए सबसे कम समय अवधि को छोड़कर बहुत गलत है।

उष्मा समीकरण एक परवलयिक आंशिक अवकल समीकरण का प्रोटोटाइपिकल उदाहरण है।

लाप्लास संचालक का उपयोग करके, ऊष्मासमीकरण को सरलीकृत किया जा सकता है, और मनमाने ढंग से आयामों की संख्या के समान समीकरणों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जैसा कि


 * $$u_t = \alpha \nabla^2 u = \alpha \Delta u, $$

जहां लाप्लास ऑपरेटर, Δ या ∇2, ग्रेडिएंट का विचलन, स्थानिक चरों में लिया जाता है।

ऊष्मासमीकरण ऊष्माप्रसार, साथ ही साथ अन्य विसारक प्रक्रियाओं को नियंत्रित करता है, जैसे कि कण प्रसार या तंत्रिका कोशिकाओं में क्रिया क्षमता का प्रसार। हालांकि वे प्रकृति में विसारक नहीं हैं, कुछ क्वांटम यांत्रिकी समस्याएं भी ऊष्मासमीकरण के गणितीय अनुरूप (नीचे देखें) द्वारा नियंत्रित होती हैं। इसका उपयोग वित्त में उत्पन्न होने वाली कुछ घटनाओं को मॉडल करने के लिए भी किया जा सकता है, जैसे काला-स्कोल्स या ऑर्स्टीन-उहलेनबेक प्रक्रियाएं। छवि विश्लेषण में समीकरण और विभिन्न गैर-रेखीय एनालॉग्स का भी उपयोग किया गया है।

ऊष्मासमीकरण, तकनीकी रूप से, विशेष सापेक्षता के उल्लंघन में है, क्योंकि इसके समाधान में गड़बड़ी का तात्कालिक प्रसार शामिल है। आगे के प्रकाश शंकु के बाहर अशांति का हिस्सा आमतौर पर सुरक्षित रूप से उपेक्षित किया जा सकता है, लेकिन अगर ऊष्माके संचरण के लिए एक उचित गति विकसित करना आवश्यक है, तो इसके अतिरिक्तएक अतिशयोक्तिपूर्ण आंशिक अंतर समीकरण पर विचार किया जाना चाहिए - जैसे आंशिक अंतर समीकरण जिसमें एक दूसरा शामिल है -आदेश समय व्युत्पन्न। अरेखीय ऊष्मा चालन के कुछ मॉडल (जो परवलयिक समीकरण भी हैं) में परिमित ताप संचरण गति के साथ समाधान होते हैं।

आंतरिक ताप उत्पादन
उपरोक्त कार्य यू शरीर के तापमान का प्रतिनिधित्व करता है। वैकल्पिक रूप से, कभी-कभी इकाइयों को बदलना और एक माध्यम के ताप घनत्व के रूप में यू का प्रतिनिधित्व करना सुविधाजनक होता है। चूंकि ऊष्माघनत्व एक सजातीय माध्यम में तापमान के समानुपाती होता है, इसलिए नई इकाइयों में अभी भी ऊष्मासमीकरण का पालन किया जाता है।

मान लीजिए कि एक पिंड ऊष्मा समीकरण का पालन करता है और, इसके अलावा, प्रति इकाई आयतन (जैसे, वाट/लीटर - W/L में) अपनी स्वयं की ऊष्मा उत्पन्न करता है, जो एक ज्ञात फलनq द्वारा दी गई दर से होती है, जो अंतरिक्ष और समय में भिन्न होती है। तब उष्मा प्रति इकाई आयतन u एक समीकरण को संतुष्ट करता है


 * $$\frac{1}{\alpha} \frac{\partial u}{\partial t} = \left(\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2} \right) + \frac{1}{k}q.$$

उदाहरण के लिए, एक टंगस्टन लाइट बल्ब फिलामेंट ऊष्माउत्पन्न करता है, इसलिए इसे चालू करने पर q के लिए धनात्मक अशून्य मान होगा। जबकि प्रकाश बंद है, टंगस्टन फिलामेंट के लिए q का मान शून्य होगा।

फूरियर श्रृंखला
का उपयोग करके ऊष्मासमीकरण को हल करना ऊष्मासमीकरण के लिए निम्नलिखित समाधान तकनीक जोसेफ फूरियर द्वारा 1822 में प्रकाशित अपने ग्रंथ थ्योरी एनालिटिक डे ला चालेर द्वारा प्रस्तावित की गई थी। एक अंतरिक्ष चर के लिए ऊष्मासमीकरण पर विचार करें। इसका उपयोग रॉड में ऊष्माचालन के मॉडल के लिए किया जा सकता है। समीकरण है

जहाँ u = u(x, t) दो चर x और t का फलन है। यहां
 * x स्पेस वेरिएबल है, इसलिए x ∈ [0, L], जहाँ L रॉड की लंबाई है।
 * टी समय चर है, इसलिए टी ≥ 0।

हम प्रारंभिक स्थिति मानते हैं

जहां फलनएफ दिया गया है, और सीमा की स्थिति

आइए इसका समाधान खोजने का प्रयास करते हैं $x$ यह समान रूप से शून्य नहीं है जो सीमा शर्तों को संतुष्ट करता है $$ लेकिन निम्नलिखित संपत्ति के साथ: यू एक उत्पाद है जिसमें एक्स, टी पर यू की निर्भरता अलग हो जाती है, यानी:

इस समाधान तकनीक को चरों का पृथक्करण कहा जाता है। u को वापस समीकरण में प्रतिस्थापित करना $$,


 * $$\frac{T'(t)}{\alpha T(t)} = \frac{X''(x)}{X(x)}.$$

चूंकि दाहिना पक्ष केवल x पर निर्भर करता है और बायां पक्ष केवल t पर निर्भर करता है, दोनों पक्ष किसी स्थिर मान -λ के बराबर होते हैं। इस प्रकार:

तथा

अब हम इसके लिए गैर-तुच्छ समाधान दिखाएंगे $$ λ ≤ 0 के मानों के लिए नहीं हो सकता:

यह उष्मा समीकरण को विशेष मामले में हल करता है कि यू की निर्भरता का विशेष रूप है $$.
 * 1) मान लीजिए कि λ < 0. तो वास्तविक संख्याएं बी, सी मौजूद हैं जैसे कि $$X(x) = B e^{\sqrt{-\lambda} \, x} + C e^{-\sqrt{-\lambda} \, x}.$$ से $$ हमें X(0) = 0 = X(L) मिलता है और इसलिए B = 0 = C जिसका अर्थ है कि आप समान रूप से 0 हैं।
 * 2) मान लीजिए कि λ = 0. तब वास्तविक संख्याएँ B, C मौजूद हैं जैसे कि X(x) = Bx + C. समीकरण से $$ हम उसी तरह से निष्कर्ष निकालते हैं जैसे 1 में कि यू समान रूप से 0 है।
 * 3) इसलिए, यह मामला होना चाहिए कि λ > 0. फिर वास्तविक संख्याएं ए, बी, सी मौजूद हैं जैसे कि $$T(t) = A e^{-\lambda \alpha t}$$ तथा $$X(x) = B \sin\left(\sqrt{\lambda} \, x\right) + C \cos\left(\sqrt{\lambda} \, x\right).$$ से $$ हमें C = 0 मिलता है और वह भी किसी धनात्मक पूर्णांक n के लिए, $$\sqrt{\lambda} = n \frac{\pi}{L}.$$

सामान्य तौर पर, समाधान का योग $$ जो सीमा शर्तों को पूरा करते हैं $$ संतुष्ट भी करता है $$ तथा $$. हम दिखा सकते हैं कि इसका समाधान $$, $$ तथा $$ द्वारा दिया गया है


 * $$u(x,t) = \sum_{n = 1}^{\infty} D_n \sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right) e^{-\frac{n^2 \pi^2 \alpha t}{L^2}}$$

कहाँ पे


 * $$D_n = \frac{2}{L} \int_0^L f(x) \sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right ) \, dx.$$

समाधान तकनीक का सामान्यीकरण
ऊपर उपयोग की गई समाधान तकनीक को कई अन्य प्रकार के समीकरणों तक विस्तृत किया जा सकता है। विचार यह है कि संचालक यूxxशून्य सीमा शर्तों के साथ इसके eigenfunctions के संदर्भ में प्रतिनिधित्व किया जा सकता है। यह स्वाभाविक रूप से रैखिक स्व-आसन्न ऑपरेटरों के वर्णक्रमीय सिद्धांत के मूल विचारों में से एक की ओर जाता है।

रैखिक संकारक Δu = u पर विचार करेंxx. कार्यों का अनंत क्रम


 * $$ e_n(x) = \sqrt{\frac{2}{L}}\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)$$

n ≥ 1 के लिए Δ के eigenfunctions हैं। वास्तव में,


 * : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :$$ \Delta e_n = -\frac{n^2 \pi^2}{L^2} e_n. $$

इसके अलावा, सीमा शर्तों f(0) = f(L) = 0 के साथ Δ का कोई भी eigenfunction f फॉर्म का हैn कुछ n ≥ 1 के लिए। कार्य ईn n ≥ 1 के लिए [0, L] पर वास्तविक-मूल्यवान कार्यों के स्थान पर एक निश्चित आंतरिक उत्पाद के संबंध में एक ऑर्थोनॉर्मल अनुक्रम बनाते हैं। इसका मतलब है की


 * $$ \langle e_n, e_m \rangle = \int_0^L e_n(x) e^*_m(x) dx = \delta_{mn}$$

अंत में, अनुक्रम {ईn}n ∈ N एल के एक घने रैखिक उप-स्थान को फैलाता है2((0, एल))। इससे पता चलता है कि असल में हमारे पास विकर्ण मैट्रिक्स संचालक Δ है।

गैर-सजातीय अनिसोट्रोपिक मीडिया में ऊष्मा चालन
सामान्य तौर पर, ऊष्मा चालन का अध्ययन कई सिद्धांतों पर आधारित होता है। ऊष्मा प्रवाह ऊर्जा प्रवाह का एक रूप है, और इस तरह अंतरिक्ष के एक क्षेत्र में ऊष्माके प्रवाह की समय दर की बात करना सार्थक है।

q_t(V) &= - \int_{\partial V} \mathbf{H}(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS \\ &= \int_{\partial V} \mathbf{A}(x) \cdot \nabla u (x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS \\ &= \int_V \sum_{i, j} \partial_{x_i} \bigl( a_{i j}(x) \partial_{x_j} u (x,t) \bigr)\,dx \end{align}$$ इन समीकरणों को एक साथ रखने से ऊष्मा प्रवाह का सामान्य समीकरण मिलता है:
 * एक क्षेत्र वी में ऊष्माप्रवाह की समय दर समय-निर्भर मात्रा क्यू द्वारा दी जाती हैt(वी)। हम मानते हैं कि क्यू में रैडॉन-निकोडिम डेरिवेटिव क्यू है, ताकि $$ q_t(V) = \int_V Q(x,t)\,d x \quad $$
 * हीट फ्लो एक टाइम-डिपेंडेंट वेक्टर फंक्शन H(x) है जिसकी विशेषता निम्नानुसार है: एरिया dS और यूनिट नॉर्मल वेक्टर n के साथ एक इनफिनिटिमल सरफेस एलिमेंट के माध्यम से बहने वाली हीट की समय दर है $$ \mathbf{H}(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS .$$ इस प्रकार वी में ऊष्माके प्रवाह की दर भी सतह अभिन्न द्वारा दी गई है $$ q_t(V)= - \int_{\partial V} \mathbf{H}(x) \cdot \mathbf{n}(x) \, dS $$ जहाँ n(x) x पर बाहर की ओर इंगित करने वाला सामान्य वेक्टर है।
 * ऊष्मा चालन का नियम कहता है कि ऊष्मा ऊर्जा प्रवाह का तापमान प्रवणता पर निम्नलिखित रैखिक निर्भरता है $$ \mathbf{H}(x) = -\mathbf{A}(x) \cdot \nabla u (x) $$ जहां A(x) एक 3 × 3 वास्तविक मैट्रिक्स (गणित) है जो सममित और सकारात्मक-निश्चित मैट्रिक्स है।
 * विचलन प्रमेय द्वारा, 'वी' में ऊष्माप्रवाह के लिए पिछली सतह अभिन्न मात्रा अभिन्न में परिवर्तित हो सकती है $$\begin{align}
 * x पर तापमान परिवर्तन की समय दर एक अतिसूक्ष्म आयतन तत्व में प्रवाहित होने वाली ऊष्मा के समानुपाती होती है, जहाँ आनुपातिकता का स्थिरांक एक स्थिर κ पर निर्भर होता है $$ \partial_t u(x,t) = \kappa(x) Q(x,t)$$


 * $$ \partial_t u(x,t) = \kappa(x) \sum_{i, j} \partial_{x_i} \bigl( a_{i j}(x) \partial_{x_j} u (x,t)\bigr) $$

टिप्पणियां।


 * गुणांक κ(x) x पर पदार्थ की विशिष्ट ऊष्मा का व्युत्क्रम x पर पदार्थ का घनत्व है: $$\kappa = 1/(\rho c_p)$$.
 * एक समदैशिक माध्यम के मामले में, मैट्रिक्स ए तापीय चालकता 'के' के बराबर एक स्केलर मैट्रिक्स है।
 * अनिसोट्रोपिक मामले में जहां गुणांक मैट्रिक्स ए स्केलर नहीं है और/या यदि यह 'x पर निर्भर करता है, तो ऊष्मासमीकरण के समाधान के लिए एक स्पष्ट सूत्र शायद ही कभी लिखा जा सकता है, हालांकि आमतौर पर विचार करना संभव है संबंधित अमूर्त कॉची समस्या और यह दिखाएं कि यह एक अच्छी तरह से प्रस्तुत समस्या है और/या कुछ गुणात्मक गुणों को दिखाने के लिए (जैसे सकारात्मक प्रारंभिक डेटा का संरक्षण, प्रसार की अनंत गति, एक संतुलन की ओर अभिसरण, गुणों को चिकना करना)। यह आमतौर पर एक-पैरामीटर सेमीग्रुप सिद्धांत द्वारा किया जाता है: उदाहरण के लिए, यदि 'ए' एक सममित मैट्रिक्स है, तो अंडाकार संचालक द्वारा परिभाषित $$Au(x):=\sum_{i, j} \partial_{x_i} a_{i j}(x) \partial_{x_j} u (x)$$ स्व-संलग्न और अपव्यय है, इस प्रकार वर्णक्रमीय प्रमेय द्वारा यह एक-पैरामीटर सेमीग्रुप उत्पन्न करता है।

मौलिक समाधान
एक मौलिक समाधान, जिसे ऊष्मा कर्नेल भी कहा जाता है, एक ज्ञात स्थिति में ऊष्मा के प्रारंभिक बिंदु स्रोत की प्रारंभिक स्थिति के अनुरूप ऊष्मा समीकरण का एक समाधान है। इनका उपयोग कुछ डोमेन पर ताप समीकरण का सामान्य समाधान खोजने के लिए किया जा सकता है; देखें, उदाहरण के लिए, एक प्रारंभिक उपचार के लिए।

एक चर में, ग्रीन का कार्य प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है (ड्यूहमेल के सिद्धांत द्वारा, पहले समीकरण के समाधान के रूप में डेल्टा फलनके साथ एक के रूप में ग्रीन के कार्य की परिभाषा के बराबर)


 * $$\begin{cases}

u_t(x,t) - k u_{xx}(x,t) = 0& (x, t) \in \R \times (0, \infty)\\ u(x,0)=\delta(x)& \end{cases}$$ कहाँ पे$$\delta$$डिराक डेल्टा फलनहै। इस समस्या का समाधान मौलिक समाधान (हीट कर्नेल) है


 * $$\Phi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}\exp\left(-\frac{x^2}{4kt}\right).$$

कोई घुमाव लगाकर −∞ < x < ∞ और 0 < t < ∞ के लिए प्रारंभिक स्थिति u(x, 0) = g(x) के साथ एक चर ऊष्मा समीकरण का सामान्य समाधान प्राप्त कर सकता है:


 * $$u(x,t) = \int \Phi(x-y,t) g(y) dy.$$

कई स्थानिक चरों में, मौलिक समाधान समान समस्या को हल करता है


 * $$\begin{cases}

u_t(\mathbf{x},t) - k \sum_{i=1}^nu_{x_ix_i}(\mathbf{x},t) = 0 & (\mathbf{x}, t) \in \R^n \times (0, \infty)\\ u(\mathbf{x},0)=\delta(\mathbf{x}) \end{cases}$$ एन-वैरिएबल मौलिक समाधान प्रत्येक चर में मौलिक समाधान का उत्पाद है; अर्थात।,


 * $$\Phi(\mathbf{x},t) = \Phi(x_1,t) \Phi(x_2,t) \cdots \Phi(x_n,t) = \frac{1}{\sqrt{(4\pi k t)^n}} \exp \left (-\frac{\mathbf{x}\cdot\mathbf{x}}{4kt} \right).$$

R पर ऊष्मा समीकरण का सामान्य हलn तब कनवल्शन द्वारा प्राप्त किया जाता है, ताकि u('x', 0) = g('x') के साथ प्रारंभिक मूल्य समस्या को हल करने के लिए, एक के पास


 * $$u(\mathbf{x},t) = \int_{\R^n}\Phi(\mathbf{x}-\mathbf{y},t)g(\mathbf{y})d\mathbf{y}.$$

R में एक डोमेन Ω पर सामान्य समस्याएन है


 * $$ \begin{cases}

u_t(\mathbf{x},t) - k \sum_{i=1}^nu_{x_ix_i}(\mathbf{x},t) = 0& (\mathbf{x}, t) \in \Omega\times (0, \infty)\\ u(\mathbf{x},0)=g(\mathbf{x})&\mathbf{x}\in\Omega \end{cases}$$ डिरिचलेट समस्या या न्यूमैन समस्या सीमा डेटा के साथ। एक ग्रीन का कार्य हमेशा मौजूद होता है, लेकिन जब तक डोमेन Ω को एक-चर समस्याओं (नीचे देखें) में आसानी से विघटित नहीं किया जा सकता है, तब तक इसे स्पष्ट रूप से लिखना संभव नहीं हो सकता है। ग्रीन के कार्यों को प्राप्त करने के अन्य तरीकों में छवियों की विधि, चरों का पृथक्करण और लाप्लास रूपांतरण (कोल, 2011) शामिल हैं।

1D
में कुछ ग्रीन के कार्य समाधान एक-आयाम में विभिन्न प्रकार के प्राथमिक ग्रीन के कार्य समाधान यहां दर्ज किए गए हैं; कई अन्य कहीं और उपलब्ध हैं। इनमें से कुछ में स्थानिक डोमेन (−∞,∞) है। दूसरों में, यह अर्ध-अनंत अंतराल (0,∞) है जिसमें या तो न्यूमैन समस्या या डिरिचलेट समस्या सीमा स्थितियां हैं। एक और भिन्नता यह है कि इनमें से कुछ विषम समीकरण को हल करते हैं


 * $$u_{t}=ku_{xx}+f.$$

जहाँ f, x और t का दिया हुआ फलन है।

सजातीय ताप समीकरण

 * प्रारंभिक मूल्य समस्या (−∞,∞) पर


 * $$\begin{cases}

u_{t}=ku_{xx} & (x, t) \in \R \times (0, \infty) \\ u(x,0)=g(x) & \text{Initial condition} \end{cases} $$
 * $$u(x,t) = \frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4kt}\right)g(y)\,dy $$

टिप्पणी। यह हल मौलिक हल के चर x के संबंध में कनवल्शन है


 * $$\Phi(x,t) := \frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \exp\left(-\frac{x^2}{4kt}\right),$$

और फलनजी (एक्स)। (मौलिक हल की ग्रीन की फलन संख्या X00 है।)

इसलिए, भेदभाव के संबंध में संकल्प के सामान्य गुणों के अनुसार, यू = जी ∗ Φ समान ऊष्मासमीकरण का समाधान है, के लिए


 * $$\left (\partial_t-k\partial_x^2 \right )(\Phi*g)=\left [\left (\partial_t-k\partial_x^2 \right )\Phi \right ]*g=0.$$

इसके अतिरिक्त,


 * $$\Phi(x,t)=\frac{1}{\sqrt{t}}\,\Phi\left(\frac{x}{\sqrt{t}},1\right)$$
 * $$\int_{-\infty}^{\infty}\Phi(x,t)\,dx=1,$$

ताकि, शमन करनेवाला के बारे में सामान्य तथ्यों से, Φ(⋅, t) ∗ g → g as t → 0 विभिन्न अर्थों में, विशिष्ट g के अनुसार। उदाहरण के लिए, यदि g को 'R' पर परिबद्ध और सतत मान लिया जाए तो Φ(⋅, t) ∗ g t → 0 के रूप में समान रूप से g में परिवर्तित हो जाता है, जिसका अर्थ है कि u(x, t) निरंतर चालू है R × [0, ∞) साथ u(x, 0) = g(x).
 * प्रारंभिक मूल्य समस्या (0,∞) सजातीय डिरिचलेट सीमा शर्तों के साथ


 * $$\begin{cases}

u_{t}=ku_{xx} & (x, t) \in [0, \infty) \times (0, \infty) \\ u(x,0)=g(x) & \text{IC} \\ u(0,t)=0 & \text{BC} \end{cases} $$
 * $$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \int_{0}^{\infty} \left[\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4kt}\right)-\exp\left(-\frac{(x+y)^2}{4kt}\right)\right] g(y)\,dy $$

टिप्पणी। यह समाधान पूर्ववर्ती सूत्र से प्राप्त किया गया है जैसा कि डेटा g(x) पर लागू किया गया है, जिसे उपयुक्त रूप से 'R' तक बढ़ाया गया है, ताकि यह एक विषम फलन बन सके, यानी g(−x) := −g(x) सभी के लिए एक्स। इसके अनुरूप, (−∞,∞) पर आरंभिक मूल्य समस्या का समाधान, टी के सभी मानों के लिए चर x के संबंध में एक विषम कार्य है, और विशेष रूप से यह सजातीय डिरिचलेट सीमा शर्तों u(0, t) = 0 को संतुष्ट करता है. इस समाधान की ग्रीन की कार्य संख्या X10 है।

सजातीय न्यूमैन सीमा स्थितियों के साथ (0,∞) पर प्रारंभिक मूल्य समस्या


 * $$\begin{cases}

u_{t}=ku_{xx} & (x, t) \in [0, \infty) \times (0, \infty) \\ u(x,0)=g(x) & \text{IC} \\ u_{x}(0,t)=0 & \text{BC} \end{cases} $$
 * $$u(x,t)=\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \int_{0}^{\infty} \left[\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4kt}\right)+\exp\left(-\frac{(x+y)^2}{4kt}\right)\right]g(y)\,dy $$

टिप्पणी। यह समाधान पहले समाधान सूत्र से प्राप्त किया गया है जैसा कि डेटा g(x) पर लागू किया गया है, जिसे उपयुक्त रूप से 'R' तक विस्तारित किया गया है, ताकि यह एक सम फलन बन सके, अर्थात, सभी x के लिए g(−x) := g(x). इसके अनुरूप, 'R' पर प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान t > 0 के सभी मानों के लिए चर x के संबंध में एक सम फलन है, और विशेष रूप से, सहज होने के कारण, यह सजातीय न्यूमैन सीमा स्थितियों u को संतुष्ट करता हैx(0, t) = 0. इस समाधान की ग्रीन की फलन संख्या X20 है।


 * समस्या (0,∞) सजातीय प्रारंभिक स्थितियों और गैर-सजातीय डिरिचलेट सीमा स्थितियों के साथ


 * $$\begin{cases}

u_{t}=ku_{xx} & (x, t) \in [0, \infty) \times (0, \infty) \\ u(x,0)=0 & \text{IC} \\ u(0,t)=h(t) & \text{BC} \end{cases} $$
 * $$u(x,t)=\int_{0}^{t} \frac{x}{\sqrt{4\pi k(t-s)^3}} \exp\left(-\frac{x^2}{4k(t-s)}\right)h(s)\,ds, \qquad\forall x>0$$

टिप्पणी। यह हल चर t के संबंध में कनवल्शन है


 * $$\psi(x,t):=-2k \partial_x \Phi(x,t) = \frac{x}{\sqrt{4\pi kt^3}} \exp\left(-\frac{x^2}{4kt}\right)$$

और फलनएच (टी)। चूँकि Φ(x, t) का मूल हल है


 * $$\partial_t-k\partial^2_x,$$

फलन ψ(x, t) भी उसी ऊष्मा समीकरण का एक हल है, और ऐसा ही u भी है := ψ ∗ h, अवकलन के संबंध में कनवल्शन के सामान्य गुणों के कारण। इसके अतिरिक्त,


 * $$\psi(x,t)=\frac{1}{x^2}\,\psi\left(1,\frac{t}{x^2}\right)$$
 * $$\int_0^{\infty}\psi(x,t)\,dt=1,$$

ताकि, मोलिफायर के बारे में सामान्य तथ्यों से, ψ(x, ⋅) ∗ h → h as x → 0 विभिन्न अर्थों में, विशिष्ट h के अनुसार। उदाहरण के लिए, यदि h को [0, ∞) में समर्थन के साथ 'R' पर निरंतर माना जाता है, तो ψ(x, ⋅) ∗ h कॉम्पेक्टा पर समान रूप से x → 0 के रूप में परिवर्तित होता है, जिसका अर्थ है कि u(x, t) निरंतर है पर [0, ∞) × [0, ∞) साथ u(0, t) = h(t). 2D Nonhomogeneous heat equation .gif

अमानवीय ऊष्मा समीकरण

 * समस्या पर (-∞,∞) सजातीय प्रारंभिक स्थितियां



टिप्पणी। यह हल 'R' में कनवल्शन है2, जो मूल समाधान के चर x और t दोनों के संबंध में है


 * $$\Phi(x,t) := \frac{1}{\sqrt{4\pi kt}} \exp\left(-\frac{x^2}{4 kt}\right)$$

और फलन f(x, t), दोनों का मतलब संपूर्ण 'R' पर परिभाषित है2 और समान रूप से 0 सभी t → 0 के लिए। एक इसे सत्यापित करता है


 * $$\left (\partial_t-k \partial_x^2 \right )(\Phi*f)=f,$$

जो वितरण की भाषा में व्यक्त हो जाता है


 * $$\left (\partial_t-k \partial_x^2 \right )\Phi=\delta,$$

जहां वितरण δ डिराक का डेल्टा फलनहै, वह 0 पर मूल्यांकन है।

समसामयिक डिरिचलेट सीमा स्थितियों और प्रारंभिक स्थितियों के साथ (0,∞) पर समस्या


 * $$\begin{cases}

u_{t}=ku_{xx}+f(x,t) & (x, t) \in [0, \infty) \times (0, \infty) \\ u(x,0)=0 & \text{IC} \\ u(0,t)=0 & \text{BC} \end{cases} $$
 * $$u(x,t)=\int_{0}^{t}\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi k(t-s)}} \left(\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4k(t-s)}\right)-\exp\left(-\frac{(x+y)^2}{4k(t-s)}\right)\right)

f(y,s)\,dy\,ds $$ टिप्पणी। यह समाधान पूर्ववर्ती सूत्र से प्राप्त किया गया है जैसा कि डेटा f(x, t) पर लागू किया गया है, जिसे उपयुक्त रूप से 'R' × [0,∞) तक बढ़ाया गया है, ताकि वेरिएबल x का एक विषम कार्य हो सके, यानी f( −x, t) := −f(x, t) सभी x और t के लिए। इसके अनुरूप, (−∞,∞) पर विषम समस्या का समाधान टी के सभी मूल्यों के लिए चर x के संबंध में एक विषम कार्य है, और विशेष रूप से यह सजातीय डिरिचलेट सीमा शर्तों u(0, t) = 0 को संतुष्ट करता है।

समसामयिक न्यूमैन सीमा स्थितियों और प्रारंभिक स्थितियों के साथ (0,∞) पर समस्या


 * $$\begin{cases}

u_{t} = ku_{xx}+f(x,t) & (x, t) \in [0, \infty) \times (0, \infty) \\ u(x,0)=0 & \text{IC} \\ u_x(0,t)=0 & \text{BC} \end{cases} $$
 * $$u(x,t)=\int_{0}^{t}\int_{0}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{4\pi k(t-s)}} \left(\exp\left(-\frac{(x-y)^2}{4k(t-s)}\right)+\exp\left(-\frac{(x+y)^2}{4k(t-s)}\right)\right)

f(y,s)\,dy\,ds $$ टिप्पणी। यह समाधान पहले सूत्र से प्राप्त किया जाता है जैसा कि डेटा f(x, t) पर लागू होता है जिसे उपयुक्त रूप से 'R' × [0,∞) तक बढ़ाया जाता है, ताकि वेरिएबल x का एक समान कार्य हो सके, यानी f( −x, t) := f(x, t) सभी x और t के लिए। इसके अनुरूप, (−∞,∞) पर विषम समस्या का समाधान, टी के सभी मूल्यों के लिए चर x के संबंध में एक समान कार्य है, और विशेष रूप से, एक सहज कार्य होने के नाते, यह सजातीय न्यूमैन सीमा शर्तों यू को संतुष्ट करता हैx(0, टी) = 0।

उदाहरण
चूंकि ऊष्मासमीकरण रैखिक है, उपरोक्त ग्रीन के फलनसमाधानों के उचित रैखिक संयोजन को ले कर सीमा शर्तों के अन्य संयोजनों, अमानवीय अवधि और प्रारंभिक स्थितियों के समाधान प्राप्त किए जा सकते हैं।

उदाहरण के लिए, हल करना


 * $$\begin{cases}

u_{t}=ku_{xx}+f & (x, t) \in \R \times (0, \infty) \\ u(x,0)=g(x) & \text{IC} \end{cases} $$ मान लीजिए u = w + v जहाँ w और v समस्याएँ हल करते हैं


 * $$\begin{cases}

v_{t}=kv_{xx}+f, \, w_{t}=kw_{xx} \, & (x, t) \in \R \times (0, \infty) \\ v(x,0)=0,\, w(x,0)=g(x) \, & \text{IC} \end{cases} $$ इसी प्रकार हल करना


 * $$\begin{cases}

u_{t}=ku_{xx}+f & (x, t) \in [0, \infty) \times (0, \infty) \\ u(x,0)=g(x) & \text{IC} \\ u(0,t)=h(t) & \text{BC} \end{cases} $$ चलो यू = डब्ल्यू + वी + आर जहां डब्ल्यू, वी, और आर समस्याओं को हल करते हैं


 * $$\begin{cases}

v_{t}=kv_{xx}+f, \, w_{t}=kw_{xx}, \, r_{t}=kr_{xx} & (x, t) \in [0, \infty) \times (0, \infty) \\ v(x,0)=0, \; w(x,0)=g(x), \; r(x,0)=0 & \text{IC} \\ v(0,t)=0, \; w(0,t)=0, \; r(0,t)=h(t) & \text{BC} \end{cases}$$

ऊष्मा समीकरण के लिए माध्य-मूल्य गुण
ऊष्मा समीकरणों के हल
 * $$(\partial_t -\Delta)u=0$$

हार्मोनिक फलनके माध्य-मूल्य गुणों के अनुरूप माध्य-मूल्य संपत्ति को संतुष्ट करें, के समाधान
 * $$\Delta u = 0,$$

हालांकि थोड़ा और जटिल। ठीक है, अगर आप हल करते हैं
 * $$(\partial_t -\Delta)u=0$$

तथा
 * $$(x,t)+E_\lambda\subset\mathrm{dom}(u)$$

फिर
 * $$u(x,t)=\frac{\lambda}{4}\int_{E_\lambda}u(x-y,t-s)\frac{|y|^2}{s^2}ds\,dy,$$

जहां ईλएक ऊष्मा-गेंद है, जो ऊष्मा समीकरण के मूलभूत समाधान का एक उच्च-स्तरीय समुच्चय है:
 * $$E_\lambda := \{(y,s) : \Phi(y,s) > \lambda\},$$
 * $$\Phi(x,t) := (4t\pi)^{-\frac{n}{2}}\exp\left(-\frac{|x|^2}{4t}\right).$$

नोटिस जो
 * $$\mathrm{diam}(E_\lambda)=o(1)$$

λ → ∞ के रूप में इसलिए उपरोक्त सूत्र किसी भी (x, t) के लिए (खुले) सेट डोम (यू) में λ के लिए काफी बड़ा है। यह हार्मोनिक कार्यों के लिए समान तर्क के समान एक तर्क द्वारा दिखाया जा सकता है # औसत मूल्य संपत्ति।

स्थिर-अवस्था ऊष्मा समीकरण
स्थिर-अवस्था ऊष्मा समीकरण परिभाषा के अनुसार समय पर निर्भर नहीं है। दूसरे शब्दों में, यह माना जाता है कि ऐसी स्थितियाँ मौजूद हैं:


 * $$\frac{\partial u}{\partial t} = 0$$

यह स्थिति समय स्थिरांक और सीमा शर्तों को लागू किए जाने के बाद से बीत चुके समय पर निर्भर करती है। इस प्रकार, स्थिति उन स्थितियों में पूरी होती है जिनमें समय संतुलन स्थिरांक काफी तेज होता है कि अधिक जटिल समय-निर्भर ऊष्मासमीकरण को स्थिर-अवस्था के मामले में अनुमानित किया जा सकता है। समतुल्य रूप से, सभी मामलों के लिए स्थिर-स्थिति की स्थिति मौजूद है जिसमें पर्याप्त समय बीत चुका है कि थर्मल क्षेत्र 'यू' अब समय पर विकसित नहीं होता है।

स्थिर-स्थिति के मामले में, एक स्थानिक तापीय प्रवणता मौजूद हो सकती है (या नहीं भी हो सकती है), लेकिन यदि ऐसा होता है, तो यह समय के साथ नहीं बदलता है। इसलिए यह समीकरण उन सभी तापीय समस्याओं के अंतिम परिणाम का वर्णन करता है जिसमें एक स्रोत को चालू किया जाता है (उदाहरण के लिए, एक ऑटोमोबाइल में एक इंजन चालू होता है), और सभी स्थायी तापमान प्रवणता के लिए अंतरिक्ष में खुद को स्थापित करने के लिए पर्याप्त समय बीत चुका होता है, जिसके बाद ये स्थानिक ढाल अब समय में नहीं बदलते (फिर से, एक ऑटोमोबाइल के साथ जिसमें इंजन काफी लंबे समय से चल रहा है)। अन्य (तुच्छ) समाधान सभी स्थानिक तापमान प्रवणताओं के साथ-साथ गायब होने के लिए है, जिस स्थिति में तापमान अंतरिक्ष में भी समान हो जाता है।

समीकरण बहुत सरल है और ऊष्मापरिवहन प्रक्रिया की गतिशीलता पर ध्यान केंद्रित किए बिना सामग्रियों के भौतिकी को बेहतर ढंग से समझने में मदद कर सकता है। यह व्यापक रूप से सरल इंजीनियरिंग समस्याओं के लिए उपयोग किया जाता है, यह मानते हुए कि समय के साथ तापमान क्षेत्र और ताप परिवहन का संतुलन है।

स्थिर स्थिति:


 * $$\frac{\partial u}{\partial t} = 0$$

एक आयतन के लिए स्थिर-अवस्था ऊष्मा समीकरण जिसमें ऊष्मा स्रोत (असमान स्थिति) होता है, पॉसों का समीकरण है:


 * $$-k \nabla^2 u = q$$

जहाँ u थर्मोडायनामिक तापमान है, k तापीय चालकता है और q प्रति इकाई आयतन में ऊष्मा उत्पादन की दर है।

इलेक्ट्रोस्टाटिक्स में, यह उस मामले के बराबर है जहां विचाराधीन स्थान में विद्युत आवेश होता है।

वॉल्यूम के भीतर ऊष्मास्रोत के बिना स्थिर-अवस्था ऊष्मासमीकरण (सजातीय मामला) इलेक्ट्रोस्टैटिक्स में मुक्त स्थान की मात्रा के लिए समीकरण है जिसमें चार्ज नहीं होता है। यह लाप्लास के समीकरण द्वारा वर्णित है:


 * $$\nabla^2 u = 0$$

कण प्रसार
कोई भी एक समीकरण द्वारा कण प्रसार को मॉडल कर सकता है:
 * बड़ी संख्या में कणों के सामूहिक प्रसार के मामले में कणों की वॉल्यूमेट्रिक सांद्रता, निरूपित सी, या
 * एक कण की स्थिति से जुड़ा प्रायिकता घनत्व फलन, जिसे P निरूपित किया गया है।

किसी भी मामले में, कोई ऊष्मा समीकरण का उपयोग करता है
 * $$c_t = D \Delta c, $$

या
 * $$P_t = D \Delta P. $$

सी और पी दोनों स्थिति और समय के कार्य हैं। डी प्रसार गुणांक है जो प्रसार प्रक्रिया की गति को नियंत्रित करता है, और आमतौर पर सेकंड से अधिक वर्ग मीटर में व्यक्त किया जाता है। यदि प्रसार गुणांक डी स्थिर नहीं है, लेकिन एकाग्रता सी (या दूसरे मामले में पी) पर निर्भर करता है, तो प्रसार समीकरण प्राप्त होता है।

ब्राउनियन गति
स्टोकेस्टिक प्रक्रिया होने दें $$X$$ स्टोकास्टिक अंतर समीकरण का समाधान बनें


 * $$\begin{cases}

\mathrm{d}X_t = \sqrt{2k}\; \mathrm{d}B_t \\ X_0=0 \end{cases}$$ कहाँ पे $$B$$ वीनर प्रक्रिया (मानक ब्राउनियन गति) है। फिर की संभावना घनत्व फलन$$X$$ किसी भी समय दिया जाता है $$t$$ द्वारा


 * $$\frac{1}{\sqrt{4\pi kt}}\exp\left(-\frac{x^2}{4kt}\right)$$

जो प्रारंभिक मूल्य समस्या का समाधान है


 * $$\begin{cases}

u_t(x,t)-ku_{xx}(x,t)=0, & (x,t)\in\R\times(0,+\infty)\\ u(x,0)=\delta(x) \end{cases}$$ कहाँ पे $$\delta$$ डिराक डेल्टा फलनहै।

एक मुक्त कण के लिए श्रोडिंगर समीकरण
एक साधारण विभाजन के साथ, किसी लागू बल क्षेत्र की अनुपस्थिति में द्रव्यमान m के एक कण के लिए श्रोडिंगर समीकरण को निम्नलिखित तरीके से फिर से लिखा जा सकता है:


 * $$\psi_t = \frac{i \hbar}{2m} \Delta \psi$$,

जहां i काल्पनिक इकाई है, ħ घटी हुई प्लांक नियतांक है, और ψ कण की तरंग क्रिया है।

यह समीकरण औपचारिक रूप से कण प्रसार समीकरण के समान है, जो निम्नलिखित परिवर्तन के माध्यम से प्राप्त होता है:
 * $$\begin{align}

c(\mathbf R,t) &\to \psi(\mathbf R,t) \\ D &\to \frac{i \hbar}{2m} \end{align}$$ कण प्रसार के मामले में निर्धारित ग्रीन फ़ंक्शंस की अभिव्यक्तियों में इस परिवर्तन को लागू करने से श्रोडिंगर समीकरण के ग्रीन फलनप्राप्त होते हैं, जो बदले में किसी भी समय लहर फलनको टी = पर तरंग फलनपर एक अभिन्न के माध्यम से प्राप्त करने के लिए उपयोग किया जा सकता है। 0:
 * $$\psi(\mathbf R, t) = \int \psi\left(\mathbf R^0,t=0\right) G\left(\mathbf R - \mathbf R^0,t\right) dR_x^0 \, dR_y^0 \, dR_z^0,$$

साथ
 * $$G(\mathbf R,t) = \left( \frac{m}{2 \pi i \hbar t} \right)^{3/2} e^{-\frac {\mathbf R^2 m}{2 i \hbar t}}.$$

टिप्पणी: क्वांटम यांत्रिकी और प्रसार के बीच यह सादृश्य विशुद्ध रूप से औपचारिक है। भौतिक रूप से, श्रोडिंगर के समीकरण को संतुष्ट करने वाले तरंग प्रकार्य के विकास का प्रसार के अलावा अन्य कोई मूल हो सकता है।

पॉलिमर में थर्मल विसरणशीलता
गोलाकार निर्देशांक में फूरियर सिद्धांत के संयोजन के साथ ऊष्मासमीकरण का प्रत्यक्ष व्यावहारिक अनुप्रयोग, थर्मल ट्रांसफर प्रोफाइल की भविष्यवाणी और पॉलिमर (अन्सवर्थ और एफजे डुआर्टे) में थर्मल डिफ्यूसिविटी का माप है। यह दोहरी सैद्धांतिक-प्रायोगिक विधि रबर, व्यावहारिक रुचि के विभिन्न अन्य बहुलक पदार्थ और माइक्रोफ्लुइड्स पर लागू होती है। इन लेखकों ने एक गोले के केंद्र में तापमान के लिए एक व्यंजक निकाला $$
 * $$\frac{T_C - T_S}{T_0 - T_S} =2 \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n+1} \exp\left({-\frac{n^2 \pi^2 \alpha t}{L^2}}\right)$$

कहाँ पे $T_{0}$ गोले का प्रारंभिक तापमान है और $T_{C}$ त्रिज्या के गोले की सतह पर तापमान $T_{S}$. इस समीकरण को बायोफिजिक्स में प्रोटीन ऊर्जा हस्तांतरण और थर्मल मॉडलिंग में भी आवेदन मिला है।

आगे के आवेदन
ऊष्मा समीकरण कई परिघटनाओं के गणितीय मॉडल में उत्पन्न होता है और प्रायः विकल्प (वित्त) के मॉडलिंग में वित्तीय गणित में उपयोग किया जाता है। काला-स्कोल्स ऑप्शन प्राइसिंग मॉडल के अंतर समीकरण को हीट इक्वेशन में तब्दील किया जा सकता है, जिससे गणित के परिचित निकाय से अपेक्षाकृत आसान समाधान मिलते हैं। सरल विकल्प मॉडल के कई एक्सटेंशन में बंद फॉर्म समाधान नहीं होते हैं और इस प्रकार एक मॉडल विकल्प मूल्य प्राप्त करने के लिए संख्यात्मक रूप से हल किया जाना चाहिए। झरझरा माध्यम में दबाव प्रसार का वर्णन करने वाला समीकरण ऊष्मासमीकरण के रूप में समान है। डिरिचलेट सीमा स्थितियों, न्यूमैन सीमा स्थितियों और रॉबिन सीमा स्थितियों से निपटने वाली प्रसार समस्याओं ने विश्लेषणात्मक समाधानों को बंद कर दिया है. छवि विश्लेषण में ऊष्मा समीकरण का भी व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है और मशीन-लर्निंग में स्केल स्पेस|स्केल-स्पेस या ग्राफ लाप्लासियन विधियों के पीछे ड्राइविंग सिद्धांत के रूप में। निहित क्रैंक-निकोलसन विधि का उपयोग करके ऊष्मासमीकरण को संख्यात्मक रूप से कुशलतापूर्वक हल किया जा सकता है. इस विधि को बिना किसी बंद फॉर्म समाधान वाले कई मॉडलों तक बढ़ाया जा सकता है, उदाहरण के लिए देखें.

विविध पर ऊष्मासमीकरण का एक अमूर्त रूप अतियाह-सिंगर इंडेक्स प्रमेय के लिए एक प्रमुख दृष्टिकोण प्रदान करता है, और रीमैनियन ज्यामिति में ऊष्मासमीकरणों पर और अधिक काम करने के लिए प्रेरित किया है।

यह भी देखें

 * कैलोरी बहुपद
 * वक्र-छोटा प्रवाह
 * प्रसार समीकरण
 * सापेक्षतावादी ऊष्मा चालन
 * श्रोडिंगर समीकरण
 * वीयरस्ट्रास रूपांतरण

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 * ऊष्मप्रवैगिकी का दूसरा नियम
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 * न्यूमैन सीमा की स्थिति
 * रिमानियन ज्यामिति
 * वेइरस्ट्रास रूपांतरण

बाहरी संबंध

 * Derivation of the heat equation
 * Linear heat equations: Particular solutions and boundary value problems - from EqWorld