टोपोलॉजिकल प्रॉपर्टी

टोपोलॉजी और गणित के संबंधित क्षेत्रों में, एक टोपोलॉजिकल संपत्ति या टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट एक टोपोलॉजिकल स्पेस की संपत्ति है जो होमियोमोर्फिज्म के तहत इनवेरिएंट (गणित) है। वैकल्पिक रूप से, एक टोपोलॉजिकल प्रॉपर्टी टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान का एक वर्ग (सेट सिद्धांत) है जो होमोमोर्फिज्म के तहत बंद है। अर्थात्, रिक्त स्थान की एक संपत्ति एक सांस्थितिक संपत्ति है यदि जब भी कोई स्थान X उस संपत्ति के पास होमोमॉर्फिक से X के पास वह गुण रखता है। अनौपचारिक रूप से, एक सामयिक संपत्ति अंतरिक्ष की एक संपत्ति है जिसे खुले सेटों का उपयोग करके व्यक्त किया जा सकता है।

टोपोलॉजी में एक आम समस्या यह तय करना है कि दो टोपोलॉजिकल स्पेस होमियोमॉर्फिक हैं या नहीं। यह साबित करने के लिए कि दो स्थान होमियोमॉर्फिक नहीं हैं, यह एक सांस्थितिक गुण खोजने के लिए पर्याप्त है जो उनके द्वारा साझा नहीं किया गया है।

सामयिक गुणों के गुण
एक संपत्ति $$P$$ है:
 * वंशानुगत, अगर हर टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $$(X, \mathcal{T})$$ और सबसेट $$S \subseteq X,$$ सबस्पेस (टोपोलॉजी) $$\left(S, \mathcal{T}|_S\right)$$ संपत्ति है $$P.$$
 * दुर्बल वंशानुगत, यदि प्रत्येक टोपोलॉजिकल स्पेस के लिए $$(X, \mathcal{T})$$ और बंद उपसमुच्चय $$S \subseteq X,$$ उप-स्थान $$\left(S, \mathcal{T}|_S\right)$$ संपत्ति है $$P.$$

कार्डिनल फ़ंक्शंस

 * प्रमुखता | एक्स | अंतरिक्ष का एक्स।
 * कार्डिनलिटी $$\vert$$टी (एक्स)$$\vert$$ अंतरिक्ष X की टोपोलॉजी (खुले उपसमुच्चय का सेट)।
 * वजन डब्ल्यू (एक्स), अंतरिक्ष एक्स के आधार (टोपोलॉजी) की कम से कम कार्डिनैलिटी।
 * घनत्व डी (एक्स), एक्स के सबसेट की सबसे कम कार्डिनैलिटी जिसका समापन एक्स है।

जुदाई
ध्यान दें कि इनमें से कुछ शब्द पुराने गणितीय साहित्य में अलग तरीके से परिभाषित किए गए हैं; पृथक्करण स्वयंसिद्धों का इतिहास देखें।


 * टी0या कोलमोगोरोव। एक स्थान कोलमोगोरोव अंतरिक्ष है यदि अंतरिक्ष में अलग-अलग बिंदुओं x और y के प्रत्येक जोड़े के लिए, कम से कम या तो एक खुला सेट है जिसमें x है लेकिन y नहीं है, या एक खुला सेट जिसमें y है लेकिन x नहीं है।
 * टी1या फ्रेचेट। एक स्पेस T1 स्पेस है। अगर स्पेस में अलग-अलग बिंदुओं x और y के प्रत्येक जोड़े के लिए एक खुला सेट है जिसमें x है, लेकिन y नहीं है। (टी से तुलना करें0; यहां, हमें यह निर्दिष्ट करने की अनुमति है कि खुले सेट में कौन सा बिंदु समाहित होगा।) समान रूप से, एक स्थान T है1 अगर इसके सभी सिंगलटन बंद हैं। टी1 रिक्त स्थान हमेशा टी होते हैं0.
 * गंभीर। एक स्थान शांत स्थान  है यदि प्रत्येक इर्रिड्यूसिबल क्लोज्ड सेट C का एक अद्वितीय सामान्य बिंदु p है। दूसरे शब्दों में, यदि C दो छोटे बंद उपसमुच्चयों का (संभवत: अविच्छिन्न) मिलन नहीं है, तो एक p ऐसा है कि {p} का बंद होना ''C' के बराबर है। ', और 'p' इस संपत्ति के साथ एकमात्र बिंदु है।
 * टी2या हॉसडॉर्फ। एक स्थान हौसडॉर्फ अंतरिक्ष है यदि प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं में असंबद्ध पड़ोस हैं। टी2 रिक्त स्थान हमेशा टी होते हैं1.
 * टी2½या उरीसोहन। एक स्थान उरीसोहन है और पूरी तरह से हौसडॉर्फ रिक्त स्थान है यदि प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं में बंद पड़ोस हैं। टी2½ रिक्त स्थान हमेशा टी होते हैं2.
 * पूरी तरह से टी2या पूरी तरह से हॉसडॉर्फ। एक स्पेस पूरी तरह से हौसडॉर्फ स्पेस है | पूरी तरह से टी2यदि प्रत्येक दो अलग-अलग बिंदुओं को एक फ़ंक्शन द्वारा अलग किया जाता है। हर पूरी तरह से हॉउसडॉर्फ स्पेस उरीसोहन है।
 * नियमित। एक स्थान नियमित स्थान है यदि जब भी सी एक बंद सेट है और पी सी में नहीं है, तो सी और पी के आस-पास पड़ोस हैं।
 * टी3या नियमित हॉसडॉर्फ। एक स्थान नियमित हॉसडॉर्फ स्थान है यदि यह एक नियमित टी है0 अंतरिक्ष। (एक नियमित स्थान हॉसडॉर्फ है अगर और केवल अगर यह टी है0, इसलिए शब्दावली सुसंगत है।)
 * पूरी तरह से नियमित। एक स्पेस टायचोनॉफ स्पेस है अगर जब भी सी एक बंद सेट है और पी एक बिंदु है जो सी में नहीं है, तो सी और {पी} द्वारा अलग किया जाता है एक समारोह।
 * टी3½, टाइकोनॉफ़, पूरी तरह से नियमित हॉसडॉर्फ या पूरी तरह से टी3. एक टाइकोनॉफ स्पेस पूरी तरह से नियमित टी है0 अंतरिक्ष। (एक पूरी तरह से नियमित स्थान हौसडॉर्फ है अगर और केवल अगर यह टी है0, इसलिए शब्दावली सुसंगत है।) टायकोनॉफ़ स्थान हमेशा नियमित हौसडॉर्फ होते हैं।
 * सामान्य। एक स्थान सामान्य स्थान है यदि किन्हीं भी दो अलग-अलग बंद सेटों में अलग-अलग पड़ोस हैं। सामान्य स्थान एकता के विभाजन को स्वीकार करते हैं।
 * टी4या सामान्य हॉसडॉर्फ। एक सामान्य स्थान हौसडॉर्फ है अगर और केवल अगर यह टी है1. सामान्य हॉसडॉर्फ रिक्त स्थान हमेशा टाइकोनॉफ होते हैं।
 * पूर्णतः सामान्य। एक स्थान पूरी तरह से सामान्य है यदि दो अलग-अलग सेटों में असंबद्ध पड़ोस हैं।
 * टी5या पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ। हॉउसडॉर्फ एक पूरी तरह से सामान्य स्थान है अगर और केवल अगर यह टी है1. पूरी तरह से सामान्य हॉउसडॉर्फ स्थान हमेशा सामान्य हॉसडॉर्फ होते हैं।
 * पूरी तरह से सामान्य। एक स्थान पूरी तरह से सामान्य स्थान है यदि कोई भी दो अलग-अलग बंद सेट किसी फ़ंक्शन द्वारा सटीक रूप से अलग हो जाते हैं। एक बिल्कुल सामान्य स्थान भी पूरी तरह से सामान्य होना चाहिए।
 * टी6या बिल्कुल सामान्य हॉसडॉर्फ, या पूरी तरह से टी4. एक स्थान पूरी तरह से सामान्य हौसडॉर्फ स्थान है, यदि यह पूरी तरह से सामान्य और टी दोनों है1. एक पूरी तरह से सामान्य हॉउसडॉर्फ स्थान भी पूरी तरह से सामान्य हॉउसडॉर्फ होना चाहिए।
 * असतत स्थान। एक स्थान असतत स्थान है यदि इसके सभी बिंदु पूरी तरह से अलग-थलग हैं, अर्थात यदि कोई उपसमुच्चय खुला है।
 * पृथक बिंदुओं की संख्या। एक टोपोलॉजिकल स्पेस के पृथक बिंदुओं की संख्या।

गणना की स्थिति

 * वियोज्य। एक स्थान वियोज्य (टोपोलॉजी) है यदि इसमें एक गणनीय सघन उपसमुच्चय है।
 * प्रथम-गणनीय। एक स्थान प्रथम-गणनीय स्थान है | प्रथम-गणनीय है यदि प्रत्येक बिंदु का एक गणनीय स्थानीय आधार है।
 * दूसरा-गणनीय। एक स्थान दूसरी-गणना योग्य जगह है | दूसरी-गणना योग्य है यदि इसकी टोपोलॉजी के लिए एक गणनीय आधार है। द्वितीय-गणनीय स्थान हमेशा वियोज्य होते हैं, प्रथम-गणनीय और लिंडेलोफ़।

जुड़ाव

 * जुड़े हुए। एक स्थान जुड़ा हुआ स्थान है यदि यह असंयुक्त गैर-खाली खुले सेटों की एक जोड़ी का मिलन नहीं है। समतुल्य रूप से, एक स्थान जुड़ा हुआ है यदि केवल क्लोपेन सेट खाली सेट और स्वयं हैं।
 * स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ। एक स्थान स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है यदि प्रत्येक बिंदु का एक स्थानीय आधार है जिसमें जुड़े हुए सेट शामिल हैं।
 * पूरी तरह से डिस्कनेक्ट। एक स्थान पूरी तरह से डिस्कनेक्ट हो जाता है यदि इसमें एक से अधिक बिंदुओं के साथ कोई जुड़ा हुआ उपसमुच्चय नहीं है।
 * पथ-जुड़ा हुआ। एक स्पेस Xस्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है अगर X में हर दो पॉइंट्स x, y के लिए, x से p के लिए एक पाथ है y, यानी, एक सतत मानचित्र p: [0,1] → X with p(0) = x और p( 1) = वाई''। पथ से जुड़े स्थान हमेशा जुड़े रहते हैं।
 * स्थानीय रूप से पथ से जुड़े। एक स्थान स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा हुआ है यदि प्रत्येक बिंदु में स्थानीय आधार है जिसमें पथ से जुड़े सेट शामिल हैं। एक स्थानीय रूप से पथ से जुड़ा स्थान जुड़ा हुआ है अगर और केवल अगर यह पथ से जुड़ा हुआ है।
 * चाप से जुड़ा हुआ। एक स्पेस X चाप से जुड़ा हुआ है यदि X में प्रत्येक दो बिंदुओं x, y के लिए, x से एक चाप f है y, यानी, एक इंजेक्शन  कंटीन्यूअस मैप f: [0,1] → X with p(0) = x and p (1) = य। चाप जुड़ा हुआ स्पेस पाथ-कनेक्टेड होते हैं।
 * बस जुड़ा हुआ है। एक स्थान X केवल जुड़ा हुआ है यदि यह पथ से जुड़ा हुआ है और प्रत्येक निरंतर मानचित्र f: S1 → X एक स्थिर मानचित्र के लिए समरूप है।
 * 'स्थानीय रूप से सरलता से जुड़ा'। एक स्थान X स्थानीय रूप से बस जुड़ा हुआ स्थान है यदि X में प्रत्येक बिंदु x का पड़ोस U का एक स्थानीय आधार है जो बस जुड़ा हुआ है।
 * 'अर्ध-स्थानीय रूप से जुड़ा हुआ है एक स्थान X अर्ध-स्थानीय रूप से सरल रूप से जुड़ा हुआ है यदि प्रत्येक बिंदु का पड़ोस U का स्थानीय आधार है जैसे कि U में प्रत्येक लूप X में अनुबंधित है। अर्ध-स्थानीय सरल कनेक्टिविटी, स्थानीय सरल कनेक्टिविटी की तुलना में एक सख्त कमजोर स्थिति, के लिए एक आवश्यक शर्त है एक सार्वभौमिक आवरण का अस्तित्व।
 * 'संविदात्मक'। एक स्थान X अनुबंधित स्थान है यदि X पर पहचान कार्य एक स्थिर मानचित्र के लिए होमोटोपिक है। अनुबंधित स्थान हमेशा बस जुड़े होते हैं।
 * ' hyperconnected '। यदि कोई दो गैर-खाली खुले सेट असंयुक्त नहीं हैं, तो एक स्थान हाइपरकनेक्टेड है। हर हाइपरकनेक्टेड स्पेस जुड़ा हुआ है।
 * 'अल्ट्राकनेक्टेड'। यदि कोई दो गैर-खाली बंद सेट अलग नहीं होते हैं तो एक स्थान अल्ट्राकनेक्टेड होता है। हर अल्ट्राकनेक्टेड स्पेस पाथ-कनेक्टेड है।
 * 'अविवेकी' या 'तुच्छ'। एक स्थान अंधाधुंध स्थान है यदि केवल खुले सेट खाली सेट और स्वयं हैं। कहा जाता है कि इस तरह के स्थान में तुच्छ टोपोलॉजी होती है।

कॉम्पैक्टनेस

 * कॉम्पैक्ट। एक स्पेस कॉम्पैक्ट जगह  होता है अगर हर खुले कवर में एक परिमित सबकवर हो। कुछ लेखक इन जगहों को हॉसडॉर्फ स्पेस स्पेस के लिए क्वैसीकॉम्पैक्ट और रिजर्व कॉम्पैक्ट कहते हैं, जहां हर खुले कवर में परिमित उपकवर होता है। कॉम्पैक्ट स्पेस हमेशा लिंडेलोफ़ और  परा-सुसंहत  होते हैं। कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान इसलिए सामान्य हैं।
 * क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट। एक स्थान क्रमिक रूप से कॉम्पैक्ट होता है यदि प्रत्येक अनुक्रम में एक अभिसारी क्रम होता है।
 * गणनात्मक रूप से कॉम्पैक्ट। यदि प्रत्येक गणनीय खुले आवरण में एक परिमित उपकवर होता है, तो एक स्थान गणनात्मक रूप से कॉम्पैक्ट होता है।
 * pseudocompact । एक स्थान स्यूडोकॉम्पैक्ट है यदि अंतरिक्ष पर हर निरंतर वास्तविक-मूल्यवान कार्य सीमित है।
 * σ-कॉम्पैक्ट। एक स्पेस σ-कॉम्पैक्ट स्पेस है | σ-कॉम्पैक्ट अगर यह गिनती के कई कॉम्पैक्ट सबसेट का मिलन है।
 * लिंडेलोफ। एक स्पेस लिंडेलोफ स्पेस है | लिंडेलोफ अगर हर खुले कवर में एक गणनीय उपकवर होता है।
 * पैराकॉम्पैक्ट। एक स्थान पैराकॉम्पैक्ट होता है यदि प्रत्येक खुले आवरण में स्थानीय रूप से परिमित परिशोधन होता है। Paracompact हौसडॉर्फ रिक्त स्थान सामान्य हैं।
 * स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट। एक स्थान स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट होता है यदि प्रत्येक बिंदु में कॉम्पैक्ट पड़ोस से युक्त स्थानीय आधार होता है। थोड़ी अलग परिभाषाओं का भी उपयोग किया जाता है। स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट हौसडॉर्फ रिक्त स्थान हमेशा टाइकोनॉफ होते हैं।
 * अल्ट्राकनेक्टेड कॉम्पैक्ट। अल्ट्रा-कनेक्टेड कॉम्पैक्ट स्पेस X में हर खुले कवर में X ही होना चाहिए। गैर-खाली अल्ट्रा-कनेक्टेड कॉम्पैक्ट स्पेस में एक सबसे बड़ा उचित खुला उपसमुच्चय होता है जिसे मोनोलिथ कहा जाता है।

मेट्रिज़ेबिलिटी

 * मेट्रिजेबल। एक स्थान मेट्रिक योग्य स्थान है यदि यह एक मीट्रिक स्थान के लिए होमोमोर्फिक है। मेट्रिजेबल स्पेस हमेशा हौसडॉर्फ और पैराकॉम्पैक्ट (और इसलिए सामान्य और टाइकोनॉफ़) होते हैं, और पहले-गिनने योग्य होते हैं। इसके अलावा, एक टोपोलॉजिकल स्पेस (एक्स, टी) को मेट्रिजेबल कहा जाता है अगर एक्स के लिए एक मीट्रिक मौजूद है जैसे कि मीट्रिक टोपोलॉजी टी (डी) टोपोलॉजी टी के समान है।
 * पोलिश। एक स्थान को पोलिश स्थान कहा जाता है यदि यह एक वियोज्य और पूर्ण मीट्रिक के साथ मेट्रिजेबल है।
 * स्थानीय रूप से मेट्रिजेबल। एक स्थान स्थानीय रूप से मेट्रिज़ेबल है यदि प्रत्येक बिंदु में मेट्रिज़ेबल पड़ोस है।

विविध
\min\{|G| : G\neq \varnothing, G\mbox{ is open}\}.$$ संख्या $$\Delta(X)$$ का फैलाव लक्षण कहलाता है $$X.$$
 * बायर स्थान। एक स्पेस X एक बाहर की जगह है अगर यह अपने आप में कम सेट नहीं है। समान रूप से, X एक बायर स्थान है यदि गिने-चुने घने खुले सेटों का प्रतिच्छेदन सघन है।
 * दरवाजे की जगह। एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक डोर स्पेस है यदि हर सबसेट खुला या बंद (या दोनों) है।
 * टोपोलॉजिकल एकरूपता। एक स्पेस X (स्थलीय रूप से) सजातीय स्थान है यदि X में प्रत्येक x और y के लिए एक होमोमोर्फिज्म है $$f : X \to X$$ ऐसा है कि $$f(x) = y.$$ सहज रूप से बोलते हुए, इसका मतलब है कि अंतरिक्ष हर बिंदु पर समान दिखता है। सभी टोपोलॉजिकल समूह सजातीय हैं।
 * अंतिम रूप से उत्पन्न या अलेक्जेंड्रोव। एक स्पेस X अलेक्जेंडर टोपोलॉजी है यदि X में खुले सेटों के मनमाना चौराहे खुले हैं, या समतुल्य हैं यदि बंद सेटों के मनमाना संघ बंद हैं। ये टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान और निरंतर मानचित्रों की श्रेणी के सटीक रूप से जेनरेट किए गए ऑब्जेक्ट सदस्य हैं।
 * शून्य आयामी। एक स्थान शून्य-आयामी है यदि उसके पास क्लोपेन सेट का आधार है। ये '0' के एक छोटे आगमनात्मक आयाम वाले स्थान हैं।
 * लगभग असतत। यदि प्रत्येक खुला सेट बंद है (इसलिए क्लोपेन) तो एक स्थान लगभग असतत है। लगभग असतत रिक्त स्थान सटीक रूप से उत्पन्न शून्य-आयामी स्थान हैं।
 * बूलियन। एक स्थान बूलियन स्थान है यदि यह शून्य-आयामी, कॉम्पैक्ट और हॉसडॉर्फ (समकक्ष रूप से, पूरी तरह से डिस्कनेक्ट, कॉम्पैक्ट और हॉसडॉर्फ) है। ये ठीक वे स्थान हैं जो बूलियन बीजगणित (संरचना) के स्टोन रिक्त स्थान के लिए होमोमोर्फिक हैं।
 * रिडेमिस्टर मरोड़
 * $$\kappa$$- हल करने योग्य। स्पेस को κ-रिज़ॉल्वेबल कहा जाता है (क्रमशः: लगभग κ-रिज़ॉल्वेबल) अगर इसमें κ सघन सेट होते हैं जो जोड़ीदार रूप से अलग होते हैं (क्रमशः: कहीं नहीं घने उपसमुच्चय के आदर्श पर लगभग अलग)। अगर जगह नहीं है $$\kappa$$- हल करने योग्य तो इसे कहा जाता है $$\kappa$$-अनिवार्य।
 * अधिकतम हल करने योग्य। अंतरिक्ष $$X$$ यदि यह है तो अधिकतम हल करने योग्य है $$\Delta(X)$$- हल करने योग्य, कहाँ $$\Delta(X) =
 * अत्यधिक असतत। तय करना $$D$$ अंतरिक्ष का दृढ़ता से असतत उपसमुच्चय है $$X$$ यदि अंक में $$D$$ जोड़ीदार असंबद्ध पड़ोस द्वारा अलग किया जा सकता है। अंतरिक्ष $$X$$ कहा जाता है कि यदि प्रत्येक गैर-पृथक बिंदु दृढ़ता से असतत है $$X$$ कुछ अत्यधिक असतत सेट का सीमा बिंदु है।

गैर-स्थलीय गुण
मेट्रिक स्पेस आदि के गुणों के कई उदाहरण हैं, जो टोपोलॉजिकल गुण नहीं हैं। संपत्ति दिखाने के लिए $$P$$ टोपोलॉजिकल नहीं है, यह दो होमियोमॉर्फिक टोपोलॉजिकल स्पेस खोजने के लिए पर्याप्त है $$X \cong Y$$ ऐसा है कि $$X$$ है $$P$$, लेकिन $$Y$$ नहीं है $$P$$.

उदाहरण के लिए, मेट्रिक स्पेस के मीट्रिक स्पेस गुण # बाउंडेड और पूरी तरह से बाउंड स्पेस और मेट्रिक स्पेस # कम्प्लीट स्पेस टोपोलॉजिकल गुण नहीं हैं। होने देना $$X = \R$$ और $$Y = (-\tfrac{\pi}{2},\tfrac{\pi}{2})$$ मानक मीट्रिक के साथ मीट्रिक रिक्त स्थान हो। तब, $$X \cong Y$$ होमोमोर्फिज्म के माध्यम से $$\operatorname{arctan}\colon X \to Y$$. हालाँकि, $$X$$ पूर्ण है लेकिन बाध्य नहीं है, जबकि $$Y$$ बंधा हुआ है लेकिन पूरा नहीं है।

यह भी देखें

 * सह-समरूपता (गणित) और कोहोलॉजी
 * होमोटॉपी समूह और कोहोमोटॉपी समूह
 * सह-समरूपता (गणित) और कोहोलॉजी
 * होमोटॉपी समूह और कोहोमोटॉपी समूह
 * सह-समरूपता (गणित) और कोहोलॉजी
 * होमोटॉपी समूह और कोहोमोटॉपी समूह
 * होमोटॉपी समूह और कोहोमोटॉपी समूह

संदर्भ


[2] Simon Moulieras, Maciej Lewenstein and Graciana Puentes, Entanglement engineering and topological protection by discrete-time quantum walks, Journal of Physics B: Atomic, Molecular and Optical Physics 46 (10), 104005 (2013). https://iopscience.iop.org/article/10.1088/0953-4075/46/10/104005/pdf

Топологический инвариант