तर्क



तर्क सही तर्क का अध्ययन है। इसमें गणितीय तर्क  और  अनौपचारिक तर्क  दोनों शामिल हैं। औपचारिक तर्क वैधता (तर्क) अनुमानों या  तार्किक सत्य ों का विज्ञान है। यह एक  औपचारिक विज्ञान  है जो इस बात की पड़ताल करता है कि विषय-तटस्थ तरीके से परिसर से निष्कर्ष कैसे निकलते हैं। जब एक गणनीय संज्ञा के रूप में उपयोग किया जाता है, तो तर्क शब्द एक तार्किक  औपचारिक प्रणाली  को संदर्भित करता है जो एक प्रमाण प्रणाली को व्यक्त करता है। औपचारिक तर्क अनौपचारिक तर्क के विपरीत है, जो अनौपचारिक भ्रम, आलोचनात्मक सोच और  तर्क सिद्धांत  से जुड़ा है। जबकि औपचारिक और अनौपचारिक तर्क को कैसे अलग किया जाए, इस पर कोई सामान्य सहमति नहीं है, एक प्रमुख दृष्टिकोण उनके अंतर को  औपचारिक भाषा  या  प्राकृतिक भाषा  में अध्ययन किए गए तर्कों के साथ जोड़ता है या नहीं। तर्क कई क्षेत्रों में एक केंद्रीय भूमिका निभाता है, जैसे कि  दर्शन, गणित,  कंप्यूटर विज्ञान  और  भाषा विज्ञान ।

तर्क तर्कों का अध्ययन करता है, जिसमें एक निष्कर्ष के साथ परिसर का एक सेट होता है। परिसरों और निष्कर्षों को आमतौर पर या तो वाक्य (गणितीय तर्क) या प्रस्तावों के रूप में समझा जाता है और उनकी आंतरिक संरचना की विशेषता होती है; जटिल तर्कवाक्य ऐसे सरल तर्कवाक्यों से बने होते हैं जो एक दूसरे से तार्किक संयोजक  द्वारा जुड़े होते हैं $$\land$$ (और) या $$\to$$ (तो अगर)। एक प्रस्ताव की सच्चाई आमतौर पर इसके घटकों के संकेतों पर निर्भर करती है। तार्किक रूप से सच्चे प्रस्ताव एक विशेष मामले का निर्माण करते हैं क्योंकि उनकी सच्चाई केवल उनमें प्रयुक्त तार्किक शब्दावली पर निर्भर करती है न कि अन्य शब्दों के अर्थ पर।

तर्क या तो सही या गलत हो सकते हैं। एक तर्क सही है यदि उसके आधार उसके निष्कर्ष का समर्थन करते हैं। समर्थन का सबसे मजबूत रूप अपहरण का तर्क  में पाया जाता है: उनके परिसर का सत्य होना और उनके निष्कर्ष का गलत होना असंभव है।  निगमनात्मक तर्क  परिवर्धित तर्कों के विपरीत होते हैं, जो परिसर में मौजूद नई जानकारी पर अपने निष्कर्ष पर पहुंच सकते हैं। हालाँकि, यह संभव है कि उनके सभी परिसर सत्य हों जबकि उनका निष्कर्ष अभी भी गलत हो। रोज़मर्रा के प्रवचन और विज्ञान में पाए जाने वाले कई तर्क व्यापक तर्क हैं, जिन्हें कभी-कभी  आगमनात्मक तर्क  और अपवर्तक तर्क तर्क में विभाजित किया जाता है। आगमनात्मक तर्क आमतौर पर सांख्यिकी सामान्यीकरण का रूप लेते हैं, जबकि अपवर्तक तर्क सर्वोत्तम व्याख्या के संदर्भ होते हैं। वे तर्क जो सही तर्क के मानकों से कम पड़ते हैं,  भ्रम  कहलाते हैं।

तर्क की प्रणालियाँ तर्क और तर्कों की शुद्धता का आकलन करने के लिए सैद्धांतिक ढाँचे हैं। प्राचीन इतिहास  से तर्कशास्त्र का अध्ययन किया गया है; शुरुआती दृष्टिकोणों में अरिस्टोटेलियन लॉजिक, स्टोइक लॉजिक,  आन्वीक्षिकी, और  mohists  शामिल हैं। आधुनिक औपचारिक तर्क की जड़ें 19वीं सदी के उत्तरार्ध के गणितज्ञों जैसे  भगवान फ्रीज का शुक्र है  के काम में हैं। जबकि  अरिस्टोटेलियन तर्क , न्यायवाक्य के रूप में तर्क पर ध्यान केंद्रित करता है, आधुनिक युग में इसके पारंपरिक प्रभुत्व को  शास्त्रीय तर्क  द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था, अधिकांश तर्कशास्त्रियों द्वारा साझा किए गए मौलिक तार्किक अंतर्ज्ञान का एक सेट। इसमें प्रस्तावपरक तर्क शामिल हैं, जो केवल प्रस्तावों के स्तर पर तार्किक संबंधों पर विचार करता है, और प्रथम-क्रम तर्क, जो विभिन्न भाषाई उपकरणों, जैसे कि विधेय और क्वांटिफायर (तर्क) का उपयोग करके प्रस्तावों की आंतरिक संरचना को स्पष्ट करता है। विस्तारित लॉजिक्स क्लासिकल लॉजिक के पीछे के बुनियादी अंतर्ज्ञान को स्वीकार करते हैं और इसे अन्य क्षेत्रों में विस्तारित करते हैं, जैसे तत्वमीमांसा, नैतिकता और ज्ञानमीमांसा। दूसरी ओर, विचलित तर्कशास्त्र, कुछ शास्त्रीय अंतर्ज्ञानों को अस्वीकार करते हैं और तर्क के मौलिक कानूनों के वैकल्पिक खाते प्रदान करते हैं।

परिभाषा
लॉजिक शब्द की उत्पत्ति ग्रीक शब्द लोगो से हुई है, जिसके कई प्रकार के अनुवाद हैं, जैसे कारण, प्रवचन  या भाषा।  तर्क को परंपरागत रूप से विचार या सही तर्क के नियमों के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया जाता है, और आमतौर पर अनुमानों या तर्कों के संदर्भ में समझा जाता है। तर्क को निष्कर्ष निकालने की गतिविधि के रूप में देखा जा सकता है जिसकी बाहरी अभिव्यक्ति तर्कों में दी गई है। एक निष्कर्ष या एक तर्क एक निष्कर्ष के साथ परिसर का एक समूह है। तर्क इस बात में रुचि रखता है कि क्या तर्क अच्छे हैं या निष्कर्ष मान्य हैं, यानी परिसर उनके निष्कर्षों का समर्थन करता है या नहीं।  ये सामान्य लक्षण वर्णन व्यापक अर्थों में तर्क पर लागू होते हैं क्योंकि वे औपचारिक और अनौपचारिक तर्क दोनों के लिए सत्य हैं, लेकिन तर्क की कई परिभाषाएँ अधिक प्रतिमानात्मक औपचारिक तर्क पर ध्यान केंद्रित करती हैं। इस संकीर्ण अर्थ में, तर्क एक औपचारिक विज्ञान है जो विषय-तटस्थ तरीके से परिसर से निष्कर्ष का पालन कैसे करता है इसका अध्ययन करता है।  इस संबंध में, तर्क को कभी-कभी तर्कसंगतता के सिद्धांत से अलग किया जाता है, जो व्यापक है क्योंकि इसमें सभी प्रकार के अच्छे तर्क शामिल हैं।

एक औपचारिक विज्ञान के रूप में, तर्क प्राकृतिक विज्ञान  और सामाजिक विज्ञान दोनों के विपरीत है क्योंकि यह केवल उनकी संरचना के आधार पर परिसरों और निष्कर्षों के बीच के संबंध को चिह्नित करने की कोशिश करता है। इसका मतलब यह है कि इन प्रस्तावों की वास्तविक सामग्री, यानी उनका विशिष्ट विषय, इस बात के लिए महत्वपूर्ण नहीं है कि अनुमान मान्य है या नहीं।  मान्य अनुमानों की विशेषता इस तथ्य से होती है कि उनके परिसर की सच्चाई उनके निष्कर्ष की सच्चाई सुनिश्चित करती है: परिसर का सत्य होना और निष्कर्ष का गलत होना असंभव है। मान्य अनुमानों की विशेषता बताने वाली सामान्य तार्किक संरचनाएँ अनुमान के नियम कहलाती हैं। इस अर्थ में, तर्क को अक्सर मान्य अनुमान के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया जाता है। यह तार्किक सत्य के विज्ञान के रूप में तर्क के एक अन्य प्रमुख लक्षण वर्णन के विपरीत है। एक प्रस्ताव तार्किक रूप से सत्य है यदि इसकी सत्यता इसमें प्रयुक्त तार्किक शब्दावली पर ही निर्भर करती है। इसका मतलब यह है कि यह सभी संभावित संसारों में और इसकी गैर-तार्किक शर्तों के सभी व्याख्याओं (तर्क) के तहत सत्य है। 20वीं सदी की शुरुआत में, कई नई औपचारिक प्रणालियाँ प्रस्तावित की गई हैं। एक औपचारिक प्रणाली को तर्कशास्त्र बनाने वाली बातों के संबंध में विभिन्न असहमतियाँ हैं।  उदाहरण के लिए, यह सुझाव दिया गया है कि केवल  पूर्णता (तर्क)  प्रणालियाँ तर्कशास्त्र के रूप में अर्हता प्राप्त करती हैं। ऐसे कारणों से, कुछ सिद्धांतकार इस बात से इंकार करते हैं कि उच्च-क्रम तर्कशास्त्र और फ़ज़ी तर्क सख्त अर्थों में तर्कशास्त्र हैं।

औपचारिक और अनौपचारिक तर्क
तर्क में औपचारिक और अनौपचारिक तर्क दोनों शामिल हैं। औपचारिक तर्क पारंपरिक रूप से प्रभावी क्षेत्र है, लेकिन इसकी अंतर्दृष्टि को वास्तविक रोजमर्रा के तर्कों पर लागू करने से अनौपचारिक तर्क के आधुनिक विकास को बढ़ावा मिला है, जो उन समस्याओं पर विचार करता है जिन्हें औपचारिक तर्क स्वयं संबोधित करने में असमर्थ है।  दोनों तर्कों की शुद्धता का आकलन करने और उन्हें भ्रम से अलग करने के लिए मानदंड प्रदान करते हैं।  दोनों के बीच अंतर कैसे किया जाए, इस संबंध में कई सुझाव दिए गए हैं, लेकिन कोई सार्वभौमिक रूप से स्वीकृत उत्तर नहीं है।

सबसे शाब्दिक दृष्टिकोण तर्कों को व्यक्त करने के लिए इस्तेमाल की जाने वाली भाषा पर लागू होने वाले औपचारिक और अनौपचारिक शब्दों को देखता है। इस दृष्टिकोण पर, औपचारिक तर्क औपचारिक भाषाओं में व्यक्त किए गए तर्कों का अध्ययन करता है जबकि अनौपचारिक तर्क अनौपचारिक या प्राकृतिक भाषाओं में व्यक्त किए गए तर्कों का अध्ययन करता है। इसका अर्थ है कि सूत्रों से निष्कर्ष "$P$" और "$Q$" निष्कर्ष के लिए "$P \land Q$" औपचारिक तर्क द्वारा अध्ययन किया जाता है।  अंग्रेजी भाषा  के वाक्यों अल लिट ए सिगरेट एंड बिल स्टॉर्म आउट आउट ऑफ द रूम से वाक्य अल लिट ए सिगरेट और बिल स्टॉर्म आउट ऑफ द रूम, दूसरी ओर, अनौपचारिक तर्क से संबंधित है। औपचारिक भाषाओं की विशेषता उनकी सटीकता और सरलता है। वे आम तौर पर एक बहुत ही सीमित शब्दावली और सटीक नियम होते हैं कि वाक्य बनाने के लिए उनके प्रतीकों का उपयोग कैसे किया जा सकता है, आमतौर पर अच्छी तरह से गठित सूत्रों के रूप में संदर्भित किया जाता है। औपचारिक तर्क की यह सादगी और सटीकता इसे अनुमान के सटीक नियमों को तैयार करने में सक्षम बनाती है जो यह निर्धारित करती है कि दिया गया तर्क मान्य है या नहीं। यह दृष्टिकोण अपने साथ प्राकृतिक भाषा के तर्कों को औपचारिक भाषा में अनुवाद करने की आवश्यकता लाता है, इससे पहले कि उनकी वैधता का आकलन किया जा सके, एक ऐसी प्रक्रिया जो स्वयं की विभिन्न समस्याओं के साथ आती है।  अनौपचारिक तर्क अनुवाद की आवश्यकता के बिना प्राकृतिक भाषा के तर्कों को उनके मूल रूप में विश्लेषण करके इनमें से कुछ समस्याओं से बचा जाता है।  लेकिन यह प्राकृतिक भाषा अभिव्यक्तियों की अस्पष्टता, अस्पष्टता और संदर्भ-निर्भरता से जुड़ी समस्याओं का सामना करता है।  निकटता से संबंधित दृष्टिकोण औपचारिक और अनौपचारिक शब्दों को न केवल इस्तेमाल की जाने वाली भाषा पर लागू करता है, बल्कि आम तौर पर तर्क के मानकों, मानदंडों और प्रक्रियाओं के लिए भी लागू होता है।

एक अन्य दृष्टिकोण विश्लेषण किए गए विभिन्न प्रकार के अनुमानों के अनुसार भेद करता है। यह परिप्रेक्ष्य औपचारिक तर्क को अनौपचारिक तर्क के विपरीत निगमनात्मक अनुमानों के अध्ययन के रूप में समझता है, जैसे कि आगमनात्मक तर्क या अपहरणात्मक तर्क जैसे गैर-निगमनात्मक अनुमानों का अध्ययन। कटौतीत्मक अनुमानों की विशेषता यह है कि उनके परिसर की सच्चाई उनके निष्कर्ष की सच्चाई सुनिश्चित करती है। इसका अर्थ यह है कि यदि सभी आधारवाक्य सत्य हैं, तो निष्कर्ष का असत्य होना असंभव है। इस कारण से, कटौतीत्मक निष्कर्ष एक अर्थ में तुच्छ या अरुचिकर हैं क्योंकि वे विचारक को परिसर में पहले से नहीं मिली कोई नई जानकारी प्रदान नहीं करते हैं। दूसरी ओर, गैर-निगमनात्मक निष्कर्ष, प्रवर्तक हैं: वे विचारक को परिसर में पहले से कही गई बातों से ऊपर और परे कुछ सीखने में मदद करते हैं। वे इसे निश्चितता की कीमत पर प्राप्त करते हैं: भले ही सभी आधारवाक्य सत्य हों, फिर भी एक व्यापक तर्क का निष्कर्ष गलत हो सकता है। एक और दृष्टिकोण औपचारिक और अनौपचारिक तर्क के बीच के अंतर को औपचारिक भ्रम और अनौपचारिक भ्रम के बीच के अंतर से जोड़ने की कोशिश करता है। यह अंतर अक्सर तर्कों के  तार्किक रूप, सामग्री और संदर्भ (भाषा उपयोग) के संबंध में खींचा जाता है। औपचारिक भ्रांतियों के मामले में, तर्क के रूप के स्तर पर त्रुटि पाई जाती है, जबकि अनौपचारिक भ्रांतियों के लिए, तर्क की सामग्री और संदर्भ जिम्मेदार होते हैं।   औपचारिक तर्क तर्क की सामग्री से अलग हो जाता है और केवल इसके रूप में रुचि रखता है, विशेष रूप से यह अनुमान के वैध नियम का पालन करता है या नहीं।  इस संबंध में, औपचारिक तर्क की वैधता के लिए यह महत्वपूर्ण नहीं है कि इसके परिसर सही हैं या गलत। दूसरी ओर अनौपचारिक तर्क, तर्क की सामग्री और संदर्भ को भी ध्यान में रखता है।   एक  झूठी दुविधा , उदाहरण के लिए, व्यवहार्य विकल्पों को छोड़कर सामग्री की त्रुटि शामिल है, क्योंकि आप या तो हमारे साथ हैं या हमारे खिलाफ हैं; तुम हमारे साथ नहीं हो; इसलिए, आप हमारे खिलाफ हैं। दूसरी ओर, स्ट्रॉमैन भ्रम के लिए, संदर्भ के स्तर पर त्रुटि पाई जाती है: एक कमजोर स्थिति का पहले वर्णन किया जाता है और फिर पराजित किया जाता है, भले ही प्रतिद्वंद्वी इस स्थिति को धारण न करे। लेकिन दूसरे संदर्भ में, एक विरोधी के खिलाफ जो वास्तव में स्ट्रॉमैन की स्थिति का बचाव करता है, तर्क सही है।

अन्य खाते विशेष उदाहरणों के विपरीत तर्कों के सामान्य रूपों की जांच के आधार पर या मूल अवधारणाओं के बजाय तार्किक स्थिरांक  के अध्ययन के आधार पर भेद करते हैं। एक और दृष्टिकोण औपचारिक उपकरणों के साथ या बिना तार्किक विषयों की चर्चा पर या तर्कों के मूल्यांकन के लिए ज्ञानमीमांसा की भूमिका पर केंद्रित है।

परिसर और निष्कर्ष
परिसर और निष्कर्ष निष्कर्ष या तर्क के मूल भाग हैं और इसलिए तर्क में एक केंद्रीय भूमिका निभाते हैं। वैध अनुमान या सही तर्क के मामले में, निष्कर्ष परिसर से आता है, या दूसरे शब्दों में, परिसर निष्कर्ष का समर्थन करता है। उदाहरण के लिए, परिसर मंगल लाल है और मंगल एक ग्रह है जो इस निष्कर्ष का समर्थन करता है कि मंगल एक लाल ग्रह है। यह आम तौर पर स्वीकार किया जाता है कि परिसर और निष्कर्ष सत्य-धारक होने चाहिए। इसका अर्थ है कि उनका एक सत्य मूल्य है: वे या तो सत्य हैं या असत्य। इस प्रकार समकालीन दर्शन आम तौर पर उन्हें प्रस्ताव या वाक्य (भाषाविज्ञान) के रूप में देखता है। प्रस्ताव वाक्यों के संकेत हैं और आमतौर पर अमूर्त वस्तुओं के रूप में समझे जाते हैं। अमूर्त वस्तुओं की पहचान मानदंड या प्रकृतिवाद (दर्शन)  के विचारों को निर्दिष्ट करने में शामिल कठिनाइयों के कारण परिसर और निष्कर्ष के प्रस्तावक सिद्धांतों की अक्सर आलोचना की जाती है। इन आपत्तियों को परिसरों और निष्कर्षों को प्रस्तावों के रूप में नहीं बल्कि वाक्यों के रूप में देखने से बचा जाता है, यानी किसी पुस्तक के पृष्ठ पर प्रदर्शित प्रतीकों की तरह ठोस भाषाई वस्तुओं के रूप में। लेकिन यह दृष्टिकोण अपनी नई समस्याओं के साथ आता है: वाक्य अक्सर संदर्भ-निर्भर और  अस्पष्ट  होते हैं, जिसका अर्थ है कि एक तर्क की वैधता न केवल उसके भागों पर बल्कि उसके संदर्भ पर भी निर्भर करती है और इसकी व्याख्या कैसे की जाती है। पहले के काम में, परिसर और निष्कर्ष को मनोवैज्ञानिक शब्दों में विचारों या निर्णयों के रूप में समझा जाता था, जिसे मनोविज्ञान के रूप में जाना जाता है। 20वीं शताब्दी के अंत में इस स्थिति की भारी आलोचना हुई थी।

आंतरिक संरचना
परिसर और निष्कर्ष में आंतरिक संरचना होती है। प्रस्तावों या वाक्यों के रूप में, वे या तो सरल या जटिल हो सकते हैं। एक जटिल तर्कवाक्य में इसके घटक के रूप में अन्य तर्कवाक्य होते हैं, जो एक दूसरे से तार्किक संयोजक के माध्यम से जुड़े होते हैं जैसे and or if...then । दूसरी ओर सरल तर्कवाक्यों में प्रस्तावात्मक भाग नहीं होते। लेकिन उन्हें एक आंतरिक संरचना के रूप में भी माना जा सकता है: वे उपप्रक्रियात्मक भागों से बने होते हैं, जैसे एकवचन शब्द और विधेय (व्याकरण)।   उदाहरण के लिए, साधारण तर्कवाक्य Mars is red, को एकवचन शब्द Mars पर विधेय लाल को लागू करके बनाया जा सकता है। इसके विपरीत, जटिल तर्कवाक्य मंगल लाल है और शुक्र श्वेत है, दो सरल तर्कवाक्यों से बना है जो प्रस्तावक संयोजी से जुड़े हैं और ।

चाहे कोई प्रस्ताव सत्य है, कम से कम भाग में, उसके घटकों पर निर्भर करता है। ट्रुथ फंक्शन | ट्रुथ-फंक्शनल प्रोपोज़िशनल कनेक्टिव्स का उपयोग करके गठित जटिल प्रस्तावों के लिए, उनकी सच्चाई केवल उनके भागों के सत्य मूल्यों पर निर्भर करती है। लेकिन सरल तर्कवाक्यों और उनके उपप्रक्रियात्मक भागों के मामले में यह संबंध अधिक जटिल है। इन उपप्रक्रियात्मक भागों के अपने स्वयं के अर्थ हैं, जैसे वस्तुओं या वस्तुओं के वर्गों का जिक्र करना। उनके द्वारा बनाई गई साधारण प्रस्तावना सत्य है या नहीं, यह वास्तविकता से उनके संबंध पर निर्भर करता है, अर्थात वे जिन वस्तुओं का उल्लेख करते हैं, वे किस तरह की हैं। इस विषय का अध्ययन संदर्भ के सिद्धांतों द्वारा किया जाता है।

तार्किक सत्य
कुछ मामलों में, एक सरल या एक जटिल तर्कवाक्य इसके भागों के मूल अर्थों से स्वतंत्र रूप से सत्य होता है। उदाहरण के लिए, जटिल तर्कवाक्य यदि मंगल लाल है, तो मंगल लाल है, इस बात से स्वतंत्र है कि इसके हिस्से, यानी साधारण तर्कवाक्य मंगल लाल है, सत्य है या असत्य। ऐसे मामलों में, सत्य को एक तार्किक सत्य कहा जाता है: एक तर्कवाक्य तार्किक रूप से सत्य है यदि इसकी सत्यता केवल उसमें प्रयुक्त तार्किक शब्दावली पर निर्भर करती है। इसका मतलब यह है कि यह अपने गैर-तार्किक शब्दों की सभी व्याख्याओं के तहत सही है। कुछ मॉडल तर्क ्स में, इस धारणा को सभी संभावित संसारों में सत्य के रूप में समान रूप से समझा जा सकता है। तार्किक सत्य तर्क में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है और कुछ सिद्धांतकार तर्क को तार्किक सत्य के अध्ययन के रूप में भी परिभाषित करते हैं।

सत्य सारणी
सत्य तालिकाओं का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि तार्किक संयोजक कैसे काम करते हैं या जटिल तर्कवाक्यों की सच्चाई उनके भागों पर कैसे निर्भर करती है। उनके पास प्रत्येक इनपुट चर के लिए एक कॉलम है। प्रत्येक पंक्ति उन सत्य मूल्यों के एक संभावित संयोजन से मेल खाती है जो ये चर ले सकते हैं। अंतिम कॉलम इनपुट मानों द्वारा निर्धारित संबंधित भावों के सत्य मान प्रस्तुत करते हैं। उदाहरण के लिए, अभिव्यक्ति "$p \land q$" तार्किक संयोजक का उपयोग करता है $$\land$$ (और)। यह एक वाक्य को व्यक्त करने के लिए इस्तेमाल किया जा सकता है जैसे कल रविवार था और मौसम अच्छा था। यह केवल सच है अगर इसके दोनों इनपुट चर, $$p$$ (कल रविवार था) और $$q$$ (मौसम अच्छा था), सच हैं। अन्य सभी मामलों में, समग्र रूप से अभिव्यक्ति झूठी है। अन्य महत्वपूर्ण तार्किक संयोजक हैं $$\lor$$ (या), $$\to$$ (अगर...तो), और $$\lnot$$ (नहीं)। सत्य सारणी को अधिक जटिल व्यंजकों के लिए भी परिभाषित किया जा सकता है जो कई प्रस्तावात्मक संयोजकों का उपयोग करते हैं। उदाहरण के लिए, सशर्त प्रस्ताव दिया गया $$p \to q$$, कोई इसके व्युत्क्रम (तर्क) की सत्य सारणी बना सकता है ($\lnot p \to \lnot q$), और इसका संकुचन ($\lnot q \to \lnot p$).

तर्क और निष्कर्ष
तर्क को आमतौर पर तर्कों या अनुमानों के रूप में उनकी शुद्धता के अध्ययन के रूप में परिभाषित किया जाता है। एक तर्क एक निष्कर्ष के साथ परिसर का एक समूह है। एक अनुमान इन परिसरों से निष्कर्ष तक तर्क करने की प्रक्रिया है। लेकिन इन शब्दों का प्रयोग अक्सर तर्कशास्त्र में परस्पर विनिमय के लिए किया जाता है। तर्क सही हैं या गलत इस पर निर्भर करता है कि उनका परिसर उनके निष्कर्ष का समर्थन करता है या नहीं। दूसरी ओर, आधार और निष्कर्ष सत्य या असत्य हैं जो इस बात पर निर्भर करता है कि वे वास्तविकता के अनुरूप हैं या नहीं। औपचारिक तर्क में, एक ध्वनि (तर्क) तर्क एक तर्क है जो दोनों सही है और केवल सही परिसर है। कभी-कभी सरल और जटिल तर्कों के बीच अंतर किया जाता है। एक जटिल तर्क सरल तर्कों की एक श्रृंखला से बना होता है। ये सरल तर्क एक श्रृंखला का निर्माण करते हैं क्योंकि पहले के तर्कों के निष्कर्ष बाद के तर्कों में परिसर के रूप में उपयोग किए जाते हैं। एक जटिल तर्क के सफल होने के लिए, श्रृंखला की प्रत्येक कड़ी का सफल होना आवश्यक है।

तर्क और अनुमान या तो सही हैं या गलत। यदि वे सही हैं तो उनके परिसर उनके निष्कर्ष का समर्थन करते हैं। गलत स्थिति में, यह समर्थन अनुपलब्ध है। यह तर्क के विभिन्न तरीकों के अनुरूप विभिन्न रूप ले सकता है। समर्थन का सबसे मजबूत रूप डिडक्टिव रीजनिंग से मेल खाता है। लेकिन ऐसे तर्क भी जो निगमनात्मक रूप से मान्य नहीं हैं, फिर भी अच्छे तर्क बन सकते हैं क्योंकि उनके परिसर उनके निष्कर्षों के लिए गैर-कटौतीत्मक समर्थन प्रदान करते हैं। ऐसे मामलों के लिए, एम्प्लिएटिव या इंडक्टिव रीजनिंग शब्द का उपयोग किया जाता है।  परिवर्धित तर्क और अनौपचारिक तर्क के बीच के संबंध के विपरीत निगमनात्मक तर्क औपचारिक तर्क से जुड़े होते हैं।

निगमनात्मक
कटौतीत्मक रूप से वैधता (तर्क) तर्क वह है जिसका परिसर इसके निष्कर्ष की सच्चाई की गारंटी देता है। उदाहरण के लिए, तर्क विक्टोरिया लंबा है; विक्टोरिया के भूरे बाल हैं; इसलिए विक्टोरिया लंबी है और उसके भूरे बाल कटौतीत्मक रूप से मान्य हैं। कटौतीत्मक वैधता के लिए, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि परिसर या निष्कर्ष वास्तव में सत्य हैं या नहीं। तो तर्क के पेड़ अंग्रेजी भाषा बोल सकते हैं; इसलिए पेड़ एक भाषा बोल सकते हैं जो मान्य है क्योंकि, यदि आधारवाक्य सत्य होता, तो निष्कर्ष भी सत्य होता।

अल्फ्रेड टार्स्की का मानना ​​है कि कटौतीत्मक तर्कों की तीन आवश्यक विशेषताएं हैं: (1) वे औपचारिक हैं, यानी वे केवल परिसर के रूप और निष्कर्ष पर निर्भर करते हैं; (2) वे एक प्राथमिकता हैं, अर्थात यह निर्धारित करने के लिए कि क्या वे प्राप्त करते हैं, किसी अनुभव की आवश्यकता नहीं है; (3) वे मोडल हैं, अर्थात वे दिए गए प्रस्तावों के लिए तार्किक आवश्यकता  के अनुसार, किसी भी अन्य परिस्थितियों से स्वतंत्र हैं।

पहली विशेषता के कारण, औपचारिकता, निगमनात्मक अनुमान पर ध्यान आमतौर पर अनुमान के नियम से पहचाना जाता है। अनुमान के नियम निर्दिष्ट करते हैं कि अनुमान के वैध होने के लिए परिसर और निष्कर्ष को कैसे संरचित किया जाना चाहिए। तर्क जो अनुमान के किसी भी नियम का पालन नहीं करते हैं, कटौतीत्मक रूप से अमान्य हैं। मोडस पोनेन्स अनुमान का एक प्रमुख नियम है। इसका रूप p है; यदि पी, तो क्यू; इसलिए क्यू। यह जानते हुए कि अभी बारिश हुई है ($$p$$) और बारिश के बाद सड़कें गीली हैं ($$p \to q$$), कोई यह अनुमान लगाने के लिए कि सड़कें गीली हैं, मोडस पोनेन्स का उपयोग कर सकता है ($$q$$).

तीसरी विशेषता को यह कहते हुए व्यक्त किया जा सकता है कि निगमनात्मक रूप से मान्य अनुमान सत्य-संरक्षित हैं: आधारवाक्य का सत्य होना और निष्कर्ष का असत्य होना असंभव है। इस विशेषता के कारण, अक्सर यह दावा किया जाता है कि निगमनात्मक निष्कर्ष सूचनात्मक नहीं हैं क्योंकि निष्कर्ष परिसर में पहले से मौजूद नई  जानकारी  पर नहीं पहुंच सकता है। लेकिन इस बिंदु को हमेशा स्वीकार नहीं किया जाता है क्योंकि इसका अर्थ होगा, उदाहरण के लिए, कि अधिकांश गणित सूचनात्मक नहीं है। एक अलग लक्षण वर्णन सतह और गहराई की जानकारी के बीच अंतर करता है। इस दृष्टि से, निगमनात्मक निष्कर्ष गहराई के स्तर पर सूचनात्मक नहीं हैं, लेकिन सतह के स्तर पर अत्यधिक जानकारीपूर्ण हो सकते हैं, जैसा कि विभिन्न गणितीय प्रमाणों के मामले में हो सकता है।

प्रवर्तक
दूसरी ओर, परिमाणात्मक निष्कर्ष, गहराई के स्तर पर भी सूचनात्मक होते हैं। वे इस अर्थ में अधिक दिलचस्प हैं क्योंकि विचारक उनसे ठोस जानकारी प्राप्त कर सकता है और इस तरह कुछ नया सीख सकता है। लेकिन यह सुविधा एक निश्चित लागत के साथ आती है: परिसर इस अर्थ में निष्कर्ष का समर्थन करते हैं कि वे इसकी सत्यता को अधिक संभावना बनाते हैं लेकिन वे इसकी सत्यता को सुनिश्चित नहीं करते हैं।  इसका मतलब यह है कि एक परिमाणात्मक तर्क का निष्कर्ष झूठा हो सकता है, भले ही इसके सभी आधार सत्य हों। यह विशेषता  गैर-मोनोटोनिक तर्क  से निकटता से संबंधित है। गैर-मोनोटोनिकिटी और  असफल तर्क : नई जानकारी प्राप्त करने या निकाले गए नए अनुमानों के प्रकाश में पहले के निष्कर्ष को वापस लेना आवश्यक हो सकता है।  प्रवर्तक तर्क केंद्रीय महत्व का है क्योंकि रोजमर्रा के प्रवचन और विज्ञान में पाए जाने वाले कई तर्क परिमाणात्मक हैं। परिमाणात्मक तर्क स्वचालित रूप से गलत नहीं होते हैं। इसके बजाय, वे शुद्धता के विभिन्न मानकों का पालन करते हैं। अधिकांश व्यापक तर्कों का एक महत्वपूर्ण पहलू यह है कि वे अपने निष्कर्ष के लिए जो समर्थन प्रदान करते हैं वह डिग्री में आता है।   इस अर्थ में, सही और गलत तर्कों के बीच की रेखा कुछ मामलों में धुंधली होती है, जैसे कि परिसर कमजोर लेकिन गैर-नगण्य समर्थन प्रदान करते हैं। यह कटौतीत्मक तर्कों के विपरीत है, जो या तो मान्य हैं या बीच में कुछ भी नहीं के साथ अमान्य हैं।

परिमाणात्मक तर्कों को वर्गीकृत करने के लिए प्रयुक्त शब्दावली असंगत है। कुछ लेखक गैर-निगमनात्मक तर्कों के सभी रूपों को शामिल करने के लिए आगमन शब्द का उपयोग करते हैं। लेकिन अधिक संकीर्ण अर्थों में, आगमनात्मक तर्कों के अलावा आगमनात्मक तर्क केवल एक प्रकार का है। कुछ लेखक प्रवाहकीय तर्कों को एक और प्रकार के रूप में भी अनुमति देते हैं। इस संकीर्ण अर्थ में, आगमन को अक्सर सांख्यिकी सामान्यीकरण के एक रूप के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस मामले में, आगमनात्मक तर्क के परिसर कई व्यक्तिगत अवलोकन हैं जो सभी एक निश्चित पैटर्न दिखाते हैं। निष्कर्ष तब एक सामान्य कानून है जो यह पैटर्न हमेशा प्राप्त करता है। इस अर्थ में, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि हाथियों के रंग के बारे में अपने पिछले प्रेक्षणों के आधार पर सभी हाथी धूसर रंग के होते हैं। आगमनात्मक अनुमान के एक निकट संबंधी रूप का निष्कर्ष एक सामान्य कानून नहीं है, बल्कि एक और विशिष्ट उदाहरण है, जब यह अनुमान लगाया जाता है कि एक हाथी जिसे अभी तक नहीं देखा गया है वह भी ग्रे है। कुछ सिद्धांतकारों का मानना ​​है कि आगमनात्मक अनुमान केवल सांख्यिकीय विचारों पर आधारित होते हैं ताकि उन्हें अपहरणात्मक अनुमान से अलग किया जा सके।

अपहरण संबंधी अनुमान सांख्यिकीय टिप्पणियों को ध्यान में रख सकते हैं या नहीं भी ले सकते हैं। किसी भी मामले में, परिसर निष्कर्ष के लिए समर्थन प्रदान करते हैं क्योंकि निष्कर्ष इस बात का सबसे अच्छा स्पष्टीकरण है कि परिसर सत्य क्यों हैं। इस अर्थ में अपहरण को सर्वोत्तम व्याख्या का अनुमान भी कहा जाता है। उदाहरण के लिए, इस आधार को देखते हुए कि सुबह-सुबह रसोई में ब्रेडक्रंब के साथ एक प्लेट है, कोई यह निष्कर्ष निकाल सकता है कि किसी के घर-साथी ने आधी रात का नाश्ता किया था और मेज को साफ करने के लिए बहुत थक गया था। यह निष्कर्ष उचित है क्योंकि यह रसोई घर की वर्तमान स्थिति की सबसे अच्छी व्याख्या है। अपहरण के लिए, यह पर्याप्त नहीं है कि निष्कर्ष परिसर की व्याख्या करता है। उदाहरण के लिए, यह निष्कर्ष कि कल रात एक चोर घर में घुस आया, काम पर भूख लगी, और आधी रात को नाश्ता किया, रसोई की स्थिति की भी व्याख्या करेगा। लेकिन यह निष्कर्ष उचित नहीं है क्योंकि यह सबसे अच्छा या सबसे संभावित स्पष्टीकरण नहीं है।

भ्रम
सभी तर्क सही तर्क के मानकों पर खरे नहीं उतरते। जब वे नहीं करते हैं, तो उन्हें आमतौर पर भ्रम कहा जाता है। उनका केंद्रीय पहलू यह नहीं है कि उनका निष्कर्ष झूठा है बल्कि यह है कि इस निष्कर्ष पर पहुंचने वाले तर्क में कुछ दोष है। तो यह तर्क आज धूप है; इसलिए मकड़ियों के आठ पैर होते हैं, यह गलत है, भले ही निष्कर्ष सत्य हो। कुछ सिद्धांतकार अतिरिक्त आवश्यकता के द्वारा भ्रांतियों की अधिक प्रतिबंधात्मक परिभाषा देते हैं कि वे सही प्रतीत होते हैं। इस तरह, वास्तविक भ्रांतियों को लापरवाही के कारण तर्क की मात्र गलतियों से अलग किया जा सकता है। यह बताता है कि लोग भ्रांतियां क्यों करते हैं: क्योंकि उनमें एक आकर्षक तत्व होता है जो लोगों को उन्हें करने और उन्हें स्वीकार करने के लिए प्रेरित करता है। हालाँकि, दिखावे का यह संदर्भ विवादास्पद है क्योंकि यह मनोविज्ञान के क्षेत्र से संबंधित है, तर्क से नहीं, और क्योंकि अलग-अलग लोगों के लिए दिखावे अलग हो सकते हैं।

भ्रम आमतौर पर औपचारिक और अनौपचारिक भ्रम में विभाजित होते हैं।  औपचारिक भ्रांतियों के लिए, त्रुटि का स्रोत तर्क के रूप में पाया जाता है। उदाहरण के लिए, पूर्ववर्ती को नकारना एक प्रकार की औपचारिक भ्रांति है, जैसे कि यदि ओथेलो अविवाहित है, तो वह पुरुष है; ओथेलो कुंवारा नहीं है; इसलिए ओथेलो पुरुष नहीं है। लेकिन अधिकांश भ्रांतियां अनौपचारिक भ्रांतियों की श्रेणी में आती हैं, जिनमें से एक महान विविधता की चर्चा अकादमिक साहित्य में की जाती है। उनकी त्रुटि का स्रोत आमतौर पर सामग्री या तर्क के संदर्भ में पाया जाता है।   अनौपचारिक भ्रम को कभी-कभी अस्पष्टता के भ्रम, अनुमान के भ्रम या प्रासंगिकता के भ्रम के रूप में वर्गीकृत किया जाता है। अस्पष्टता के भ्रम के लिए, प्राकृतिक भाषा की अस्पष्टता और अस्पष्टता उनके दोषों के लिए जिम्मेदार हैं, जैसे कि पंख हल्के होते हैं; जो प्रकाश है वह अंधकार नहीं हो सकता; इसलिए पंख काले नहीं हो सकते।   धारणा के भ्रम का गलत या अनुचित आधार है लेकिन अन्यथा मान्य हो सकता है। प्रासंगिकता के भ्रम के मामले में, परिसर निष्कर्ष का समर्थन नहीं करते हैं क्योंकि वे इसके लिए प्रासंगिक नहीं हैं।

निश्चित और रणनीतिक नियम
अधिकांश तर्कशास्त्रियों का मुख्य फोकस उन मानदंडों की जांच करना है जिनके अनुसार कोई तर्क सही या गलत है। यदि इन मानदंडों का उल्लंघन किया जाता है तो एक भ्रम होता है। औपचारिक तर्क के मामले में, उन्हें अनुमान के नियम के रूप में जाना जाता है। वे निश्चित नियम बनाते हैं, जो यह निर्धारित करते हैं कि क्या एक निश्चित अनुमान सही है या कौन से अनुमानों की अनुमति है। निश्चित नियम रणनीतिक नियमों के विपरीत हैं। रणनीतिक नियम निर्दिष्ट करते हैं कि परिसर के एक निश्चित सेट के आधार पर दिए गए निष्कर्ष पर पहुंचने के लिए कौन सी अनुमानात्मक चालें आवश्यक हैं।  यह भेद केवल तर्क पर ही नहीं बल्कि विभिन्न खेलों पर भी लागू होता है।  शतरंज  में, उदाहरण के लिए, निश्चित नियम निर्धारित करते हैं कि  बिशप (शतरंज)  केवल तिरछे चल सकता है, जबकि सामरिक नियम वर्णन करते हैं कि गेम जीतने के लिए अनुमत चालों का उपयोग कैसे किया जा सकता है, उदाहरण के लिए, केंद्र को नियंत्रित करके और अपने  राजा (शतरंज)  का बचाव करके ).  तीसरे प्रकार के नियम अनुभवजन्य वर्णनात्मक नियमों से संबंधित हैं। वे मनोविज्ञान के क्षेत्र से संबंधित हैं और सामान्यीकरण करते हैं कि लोग वास्तव में कैसे निष्कर्ष निकालते हैं। यह तर्क दिया गया है कि तर्कशास्त्रियों को रणनीतिक नियमों पर अधिक जोर देना चाहिए क्योंकि वे प्रभावी तर्क के लिए अत्यधिक प्रासंगिक हैं।

औपचारिक प्रणाली
तर्क की एक औपचारिक प्रणाली में एक औपचारिक भाषा, एक प्रमाण प्रणाली और तर्क का शब्दार्थ शामिल होता है। एक तर्क शब्द का उपयोग अक्सर तर्क की एक विशेष औपचारिक प्रणाली को संदर्भित करने के लिए एक गणनीय संज्ञा  के रूप में किया जाता है।  20वीं सदी की शुरुआत में, #तर्क की प्रणालियाँ प्रस्तावित की गई हैं।

औपचारिक भाषा
एक औपचारिक भाषा में वर्णमाला और वाक्य-विन्यास के नियम होते हैं। वर्णमाला अभिव्यक्ति (गणित)  में प्रयुक्त बुनियादी प्रतीकों का समूह है। वाक्य-विन्यास के नियम यह निर्धारित करते हैं कि कैसे इन प्रतीकों को अच्छी तरह से गठित सूत्रों में परिणामित करने के लिए व्यवस्थित किया जा सकता है।   उदाहरण के लिए, प्रस्तावपरक तर्क के वाक्यात्मक नियम यह निर्धारित करते हैं "$P \land Q$" एक अच्छी तरह से गठित सूत्र है लेकिन "$P Q \land \land \land $" नहीं है।

सबूत प्रणाली
एक प्रूफ सिस्टम औपचारिक नियमों का एक संग्रह है जो परिभाषित करता है कि दिए गए परिसर से निष्कर्ष कब निकलता है। उदाहरण के लिए, संयोजन परिचय  का शास्त्रीय नियम कहता है कि $$P \land Q$$ परिसर से अनुसरण करता है $$P$$ और $$Q$$. एक प्रूफ सिस्टम में नियम हमेशा सूत्रों के वाक्यगत रूप के संदर्भ में परिभाषित होते हैं, उनके अर्थ के संदर्भ में कभी नहीं। इस तरह के नियमों को क्रमिक रूप से लागू किया जा सकता है, परिसर से निष्कर्ष निकालने के लिए एक यांत्रिक प्रक्रिया दी जा सकती है। प्राकृतिक कटौती  और अनुक्रमिक कलन सहित कई प्रकार की प्रमाण प्रणालियाँ हैं।  सबूत प्रणालियां दार्शनिक कार्य से निकटता से जुड़ी हुई हैं जो तर्क को वैध अनुमान के अध्ययन के रूप में दर्शाती हैं।

शब्दार्थ
एक शब्दार्थ एक औपचारिक भाषा के मानचित्र (गणित) भावों के लिए उनके अर्थों के लिए एक प्रणाली है। तर्क की कई प्रणालियों में, निरूपण सत्य मान हैं। उदाहरण के लिए, क्लासिकल लॉजिक प्रोपोज़िशनल लॉजिक के शब्दार्थ सूत्र प्रदान करते हैं $$P \land Q $$ denotation सच जब भी $$P$$ और $$Q $$ सच हैं। अनुलाग  एक शब्दार्थ संबंध है जो सूत्रों के बीच होता है जब पहला बिना दूसरे के भी सत्य होने के बिना सत्य नहीं हो सकता। तार्किक सत्य के अध्ययन के रूप में शब्दार्थ तर्क के दार्शनिक लक्षण वर्णन से निकटता से जुड़ा हुआ है।

सुदृढ़ता और पूर्णता
तर्क की एक प्रणाली तब ध्वनि होती है जब इसकी प्रमाण प्रणाली परिसरों के एक सेट से निष्कर्ष नहीं निकाल सकती है जब तक कि यह उनके द्वारा अर्थपूर्ण रूप से न हो। दूसरे शब्दों में, इसकी प्रमाण प्रणाली शब्दार्थ द्वारा परिभाषित गलत निष्कर्ष नहीं निकाल सकती है। एक प्रणाली तब पूर्ण होती है जब इसकी प्रूफ प्रणाली हर उस निष्कर्ष को प्राप्त कर सकती है जो इसके परिसर से शब्दार्थ में निहित है। दूसरे शब्दों में, इसकी प्रमाण प्रणाली किसी भी सच्चे निष्कर्ष पर ले जा सकती है, जैसा कि शब्दार्थ द्वारा परिभाषित किया गया है। इस प्रकार, सुदृढ़ता और पूर्णता एक साथ एक ऐसी प्रणाली का वर्णन करते हैं जिसकी वैधता और अनिवार्यता की धारणा पूरी तरह से मेल खाती है। औपचारिक प्रणालियों के गुणों के अध्ययन को मेटालॉजिक कहा जाता है। अन्य महत्वपूर्ण धातु संबंधी गुणों में स्थिरता, निर्णायकता (तर्क)  और  अभिव्यंजक शक्ति (कंप्यूटर विज्ञान)  शामिल हैं।

तर्क प्रणाली
तर्क की प्रणालियाँ तर्क और तर्कों की शुद्धता का आकलन करने के लिए सैद्धांतिक ढाँचे हैं। दो हजार से अधिक वर्षों के लिए, अरिस्टोटेलियन तर्क को पश्चिमी दुनिया में तर्क के कैनन के रूप में माना जाता था,  लेकिन इस क्षेत्र में आधुनिक विकास के कारण तार्किक प्रणालियों का व्यापक प्रसार हुआ है। एक प्रमुख वर्गीकरण आधुनिक औपचारिक तार्किक प्रणालियों को शास्त्रीय तर्कशास्त्र, विस्तारित तर्कशास्त्र और  विचलित तर्क शास्त्र में विभाजित करता है।  शास्त्रीय तर्क को पारंपरिक या अरिस्टोटेलियन तर्क से अलग करना है। इसमें प्रस्तावपरक तर्क और प्रथम-क्रम तर्क शामिल हैं। यह शास्त्रीय है इस अर्थ में कि यह अधिकांश तर्कशास्त्रियों द्वारा साझा किए गए विभिन्न मौलिक तार्किक अंतर्ज्ञानों पर आधारित है।  इन अंतर्ज्ञानों में बहिष्कृत मध्य का नियम, दोहरे निषेध का उन्मूलन, विस्फोट का सिद्धांत और सत्य की द्विसंयोजकता शामिल है। यह मूल रूप से गणितीय तर्कों का विश्लेषण करने के लिए विकसित किया गया था और बाद में इसे अन्य क्षेत्रों में भी लागू किया गया था। गणित पर इस ध्यान के कारण, इसमें दार्शनिक महत्व के कई अन्य विषयों से संबंधित तार्किक शब्दावली शामिल नहीं है, जैसे आवश्यकता और संभावना के बीच का अंतर, नैतिक दायित्व और अनुमति की समस्या, या अतीत, वर्तमान और भविष्य के बीच संबंध। इस तरह के मुद्दों को विस्तारित लॉजिक्स द्वारा संबोधित किया जाता है। वे क्लासिकल लॉजिक के मौलिक अंतर्ज्ञान पर निर्माण करते हैं और नई तार्किक शब्दावली को पेश करके इसका विस्तार करते हैं। इस तरह, सटीक तार्किक दृष्टिकोण नैतिकता या ज्ञानमीमांसा जैसे क्षेत्रों पर लागू होता है जो गणित के दायरे से बाहर हैं। दूसरी ओर, विचलित तर्कशास्त्र, शास्त्रीय तर्कशास्त्र के कुछ मूलभूत अंतर्ज्ञानों को अस्वीकार करते हैं। इस वजह से उन्हें आमतौर पर इसके पूरक के रूप में नहीं बल्कि इसके प्रतिद्वंद्वियों के रूप में देखा जाता है। विचलित तार्किक प्रणालियाँ एक दूसरे से भिन्न होती हैं या तो क्योंकि वे विभिन्न शास्त्रीय अंतर्ज्ञानों को अस्वीकार करती हैं या क्योंकि वे एक ही मुद्दे पर विभिन्न विकल्पों का प्रस्ताव करती हैं।

अनौपचारिक तर्क आमतौर पर कम व्यवस्थित तरीके से किया जाता है। यह अक्सर अधिक विशिष्ट मुद्दों पर ध्यान केंद्रित करता है, जैसे किसी विशेष प्रकार की भ्रांति की जांच करना या तर्क के एक निश्चित पहलू का अध्ययन करना। बहरहाल, अनौपचारिक तर्क की कुछ प्रणालियाँ भी प्रस्तुत की गई हैं जो तर्कों की शुद्धता का एक व्यवस्थित लक्षण वर्णन प्रदान करने का प्रयास करती हैं।

अरिस्टोटेलियन
अरिस्टोटेलियन लॉजिक में आंटलजी  श्रेणियों और वैज्ञानिक व्याख्या की समस्याओं के बारे में तत्वमीमांसा थीसिस सहित कई प्रकार के विषय शामिल हैं।  लेकिन एक अधिक संकीर्ण अर्थ में, यह शब्द तर्कशास्त्र या सिलोगिस्टिक्स को संदर्भित करता है। न्यायवाक्य तर्क का एक निश्चित रूप है जिसमें तीन प्रस्ताव शामिल होते हैं: दो परिसर और एक निष्कर्ष। प्रत्येक प्रस्ताव के तीन आवश्यक भाग होते हैं: एक विषय (व्याकरण), एक विधेय, और एक कोपुला (भाषाविज्ञान) जो विषय को विधेय से जोड़ता है।   उदाहरण के लिए, प्रस्ताव सुकरात बुद्धिमान है, विषय सुकरात से बना है, विधेय के अनुसार, और कोपुला है। विषय और विधेय प्रस्ताव की शर्तें हैं। इस अर्थ में, अरिस्टोटेलियन तर्क में विभिन्न सरल प्रस्तावों से बने जटिल प्रस्ताव शामिल नहीं हैं। यह प्रस्तावात्मक तर्क से इस पहलू में भिन्न है, जिसमें किन्हीं भी दो प्रस्तावों को एक तार्किक संयोजक का उपयोग करके जोड़ा जा सकता है और एक नया जटिल तर्कवाक्य तैयार किया जा सकता है।

अरिस्टोटेलियन तर्क विधेय तर्क से अलग है जिसमें विषय या तो सार्वभौमिक, विशेष, अनिश्चित, या एकवचन है। उदाहरण के लिए, सभी मनुष्य शब्द इस प्रस्ताव में एक सार्वभौमिक विषय है कि सभी मनुष्य नश्वर हैं। एक समान प्रस्ताव को विशेष शब्द कुछ मनुष्य, अनिश्चित शब्द मानव, या एकवचन शब्द सुकरात के साथ बदलकर बनाया जा सकता है।   विधेय तर्क में, दूसरी ओर, सार्वभौमिक और विशेष प्रस्तावों को क्वांटिफायर (तर्क) और दो विधेय का उपयोग करके व्यक्त किया जाएगा। एक और महत्वपूर्ण अंतर यह है कि अरिस्टोटेलियन तर्क में केवल संस्थाओं की सरल संपत्ति (दर्शन) के लिए विधेय शामिल हैं, लेकिन संस्थाओं के बीच संबंधों (दर्शन) के अनुरूप विधेय का अभाव है। विधेय को विषय से दो तरह से जोड़ा जा सकता है: या तो इसकी पुष्टि करके या इसका खंडन करके।  उदाहरण के लिए, प्रस्ताव सुकरात एक बिल्ली नहीं है, जिसमें विषय सुकरात के लिए विधेय बिल्ली का खंडन शामिल है। विषयों और विधेय के विभिन्न संयोजनों का उपयोग करके, प्रस्ताव और न्यायवाक्य की एक बड़ी विविधता बनाई जा सकती है। Syllogisms की विशेषता इस तथ्य से है कि परिसर एक दूसरे से जुड़े हुए हैं और प्रत्येक मामले में एक विधेय साझा करके निष्कर्ष पर हैं।  इस प्रकार, इन तीन प्रस्तावों में तीन विधेय होते हैं, जिन्हें प्रमुख पद, लघु पद और मध्य पद कहा जाता है।   अरिस्टोटेलियन तर्क के केंद्रीय पहलू में प्रस्तावों के गठन के तरीके के अनुसार वैध और अमान्य तर्कों में सभी संभावित सिद्धांतों को वर्गीकृत करना शामिल है।   उदाहरण के लिए, न्यायवाक्य सभी पुरुष नश्वर हैं; सुकरात एक आदमी है; इसलिए सुकरात नश्वर है मान्य है। न्यायवाक्य सभी बिल्लियाँ नश्वर हैं; सुकरात नश्वर है; इसलिए सुकरात एक बिल्ली है, दूसरी ओर, अमान्य है।

प्रस्तावपरक तर्क
प्रस्तावपरक तर्क में औपचारिक प्रणालियाँ शामिल हैं जिनमें तार्किक संयोजक ों का उपयोग करके  परमाणु प्रस्ताव ों से सूत्र बनाए जाते हैं। उदाहरण के लिए, प्रस्तावपरक तर्क दो परमाणु प्रस्तावों के  संयोजन (तर्क)  का प्रतिनिधित्व करता है $$P$$ और $$Q$$ जटिल सूत्र के रूप में $$P \land Q$$. विधेय तर्क के विपरीत जहां शब्द और विधेय सबसे छोटी इकाइयां हैं, प्रस्तावपरक तर्क इसके सबसे बुनियादी घटक के रूप में सत्य मूल्यों के साथ पूर्ण प्रस्ताव लेता है।  इस प्रकार, प्रस्तावपरक तर्क केवल उन तार्किक संबंधों का प्रतिनिधित्व कर सकते हैं जो सरल प्रस्तावों से जटिल प्रस्तावों के निर्माण के तरीके से उत्पन्न होते हैं; यह उन अनुमानों का प्रतिनिधित्व नहीं कर सकता है जो किसी प्रस्ताव की आंतरिक संरचना से उत्पन्न होते हैं। रेफरी>

प्रथम क्रम तर्क


प्रथम-क्रम तर्क में प्रस्तावात्मक तर्क के समान ही प्रस्तावात्मक संयोजक शामिल होते हैं, लेकिन इससे भिन्न होता है क्योंकि यह प्रस्तावों की आंतरिक संरचना को स्पष्ट करता है। यह एकवचन शब्दों जैसे उपकरणों के माध्यम से होता है, जो विशेष वस्तुओं को संदर्भित करते हैं, विधेय (गणितीय तर्क), जो गुणों और संबंधों को संदर्भित करते हैं, और परिमाणक, जो कुछ और सभी जैसी धारणाओं का इलाज करते हैं।  उदाहरण के लिए, प्रस्ताव को व्यक्त करने के लिए यह रेवेन काला है, कोई विधेय का उपयोग कर सकता है $$B$$ संपत्ति काला और एकवचन शब्द के लिए $$r$$ अभिव्यक्ति बनाने के लिए रेवेन का जिक्र $$B(r)$$. यह व्यक्त करने के लिए कि कुछ वस्तुएँ काली हैं, अस्तित्वगत परिमाणक $$\exists$$ चर के साथ संयुक्त है $$x$$ प्रस्ताव बनाने के लिए $$\exists x B(x)$$. प्रथम-क्रम तर्क में अनुमान के विभिन्न नियम शामिल हैं जो यह निर्धारित करते हैं कि इस तरह व्यक्त किए गए भाव वैध तर्क कैसे बना सकते हैं, उदाहरण के लिए, कोई अनुमान लगा सकता है $$\exists x B(x)$$ से $$B(r)$$.

पहले क्रम के तर्क के विकास का श्रेय आमतौर पर गोटलॉब फ्रेज को दिया जाता है, जिसे विश्लेषणात्मक दर्शन  के संस्थापकों में से एक के रूप में भी श्रेय दिया जाता है। हालाँकि, आज सबसे अधिक उपयोग किए जाने वाले प्रथम-क्रम तर्क का सूत्रीकरण 1928 में  डेविड हिल्बर्ट  और विल्हेम एकरमैन द्वारा गणितीय तर्क के सिद्धांतों में पाया जाता है। प्रथम-क्रम तर्क की विश्लेषणात्मक व्यापकता ने गणित के औपचारिककरण की अनुमति दी, सेट सिद्धांत की जांच को आगे बढ़ाया और  मॉडल सिद्धांत  के लिए अल्फ्रेड टार्स्की के दृष्टिकोण के विकास की अनुमति दी। यह आधुनिक गणितीय तर्क की नींव प्रदान करता है।

मोडल लॉजिक
कई विस्तारित लॉजिक्स मोडल ऑपरेटरों को पेश करके मोडल लॉजिक का रूप ले लेते हैं। मोडल लॉजिक्स मूल रूप से आवश्यकता और संभावना के बारे में बयानों का प्रतिनिधित्व करने के लिए विकसित किए गए थे। उदाहरण के लिए मोडल फॉर्मूला $$\Diamond P$$ के रूप में पढ़ा जा सकता है $$P$$जबकि $$\Box P$$ अनिवार्य रूप से पढ़ा जा सकता है $$P$$. मोडल लॉजिक का उपयोग विभिन्न घटनाओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए किया जा सकता है, जो इस बात पर निर्भर करता है कि आवश्यकता और संभावना किस स्वाद पर विचार कर रही है। कब $$\Box$$ महामारी तर्क  का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है, $$\Box P$$ बताता है $$P$$ ज्ञात है। कब $$\Box$$  डोंटिक तर्क  का प्रतिनिधित्व करने के लिए प्रयोग किया जाता है, $$\Box P$$ बताता है $$P$$ एक नैतिक या कानूनी दायित्व है। दर्शनशास्त्र के भीतर, मोडल लॉजिक्स का व्यापक रूप से औपचारिक महामारी विज्ञान,  औपचारिक नैतिकता  और तत्वमीमांसा में उपयोग किया जाता है।  औपचारिक शब्दार्थ (प्राकृतिक भाषा)  के भीतर, प्राकृतिक भाषाओं में भाषाई तौर-तरीकों का विश्लेषण करने के लिए मोडल लॉजिक पर आधारित प्रणालियों का उपयोग किया जाता है।  कंप्यूटर विज्ञान और सेट थ्योरी जैसे अन्य क्षेत्रों ने अपने मूल वैचारिक प्रेरणा से परे मोडल लॉजिक के लिए रिलेशनल सिमेंटिक्स को लागू किया है, इसका उपयोग मल्टीवर्स_(सेट_थ्योरी) सहित पैटर्न में अंतर्दृष्टि प्रदान करने के लिए किया है। गणना में सेट-सैद्धांतिक मल्टीवर्स और ट्रांज़िशन सिस्टम।

उच्च क्रम तर्क
उच्च-क्रम तर्क शास्त्रीय तर्कशास्त्र का विस्तार मोडल ऑपरेटरों का उपयोग करके नहीं बल्कि परिमाणीकरण के नए रूपों को प्रस्तुत करके करते हैं। क्वांटिफायर सभी या कुछ जैसे शब्दों के अनुरूप हैं। शास्त्रीय प्रथम-क्रम तर्क में, क्वांटिफायर केवल व्यक्तियों पर लागू होते हैं। सूत्र "$\exists x (Apple(x) \land Sweet(x))$" (कुछ सेब मीठे हैं) अस्तित्वगत परिमाणीकरण  का एक उदाहरण है "$\exists$" व्यक्तिगत चर पर लागू होता है "$x$". उच्च-क्रम तर्कशास्त्र में, विधेय पर परिमाणीकरण की भी अनुमति है। इससे इसकी अभिव्यंजक शक्ति में वृद्धि होती है। उदाहरण के लिए, इस विचार को व्यक्त करने के लिए कि मैरी और जॉन कुछ गुण साझा करते हैं, सूत्र का उपयोग किया जा सकता है "$\exists Q (Q(mary) \land Q(john))$". इस मामले में, अस्तित्वगत परिमाणक को विधेय चर पर लागू किया जाता है "$Q$". जोड़ा गया अभिव्यंजक शक्ति विशेष रूप से गणित के लिए उपयोगी है क्योंकि यह गणितीय सिद्धांतों के अधिक संक्षिप्त योगों की अनुमति देता है। लेकिन इसके मेटा-लॉजिकल गुणों और ऑन्कोलॉजिकल निहितार्थों के संबंध में इसकी कई कमियां हैं, यही वजह है कि फर्स्ट-ऑर्डर लॉजिक अभी भी अधिक व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

विचलित
विभिन्न प्रकार के विचलित लॉजिक्स प्रस्तावित किए गए हैं। एक प्रमुख प्रतिमान अंतर्ज्ञानवादी तर्क  है, जो बहिष्कृत मध्य के नियम को अस्वीकार करता है। अंतर्ज्ञानवाद डच गणितज्ञों L.E.J द्वारा विकसित किया गया था। Brouwer और  Arend Heyting  ने अपने रचनावाद (गणित के दर्शन) को रेखांकित किया, जिसमें एक गणितीय वस्तु के अस्तित्व को केवल इसकी रचना करके ही सिद्ध किया जा सकता है।  गेरहार्ड जेंटजन, कर्ट गोडेल,  माइकल डमेट , और अन्य लोगों द्वारा अंतर्ज्ञानवाद को आगे बढ़ाया गया। कंप्यूटर वैज्ञानिकों के लिए अंतर्ज्ञानवादी तर्क बहुत रुचि रखता है, क्योंकि यह एक  रचनात्मक तर्क  है और कई अनुप्रयोगों को देखता है, जैसे प्रमाणों से सत्यापित कार्यक्रमों को निकालना और सूत्र-जैसे-प्रकार के पत्राचार के माध्यम से प्रोग्रामिंग भाषाओं के डिजाइन को प्रभावित करना। यह गोडेल-डमेट तर्क और  जिज्ञासु शब्दार्थ  जैसे गैर-शास्त्रीय प्रणालियों से निकटता से संबंधित है। बहु-मूल्यवान तर्क शास्त्र शास्त्रीयता से द्विसंयोजकता के सिद्धांत को अस्वीकार करके प्रस्थान करते हैं जिसके लिए सभी प्रस्तावों को या तो सही या गलत होने की आवश्यकता होती है। उदाहरण के लिए, जान लुकासिविक्ज़ और स्टीफ़न कोल क्लेन दोनों ने त्रिगुट तर्कशास्त्र प्रस्तावित किया जिसका तीसरा सत्य मान दर्शाता है कि किसी कथन का सत्य मान अनिश्चित है।   इन लॉजिक्स ने भाषाविज्ञान में पूर्वधारणा सहित अनुप्रयोगों को देखा है।  अस्पष्ट तर्क  बहुमूल्यवान लॉजिक होते हैं जिनमें सत्य की अनंत संख्याएँ होती हैं, जिन्हें 0 और 1 के बीच की वास्तविक संख्या द्वारा दर्शाया जाता है।

Paraconsistent Logics तार्किक प्रणालियाँ हैं जो विरोधाभासों से निपट सकती हैं। वे विस्फोट के सिद्धांत से बचने के लिए तैयार किए गए हैं: उनके लिए, ऐसा नहीं है कि कुछ भी विरोधाभास से उत्पन्न होता है। वे अक्सर द्वंद्वात्मकता से प्रेरित होते हैं, यह विचार कि विरोधाभास वास्तविक हैं या वास्तविकता स्वयं विरोधाभासी है।  ग्राहम पुजारी  इस स्थिति के एक महत्वपूर्ण समकालीन प्रस्तावक हैं और इसी तरह के विचारों को  जॉर्ज विल्हेम फ्रेडरिक हेगेल  को बताया गया है।

अनौपचारिक
अनौपचारिक तर्क के लिए व्यावहारिक या संवादात्मक दृष्टिकोण तर्कों को वाक् क्रियाओं के रूप में देखता है न कि केवल निष्कर्ष के साथ परिसरों के एक सेट के रूप में।  भाषण के कार्य के रूप में, वे एक निश्चित संदर्भ में संवाद की तरह होते हैं, जो सही और गलत तर्कों के मानकों को प्रभावित करता है।  डगलस एन वाल्टन का एक प्रमुख संस्करण दो खिलाड़ियों के बीच एक खेल के रूप में एक संवाद को समझता है। प्रत्येक खिलाड़ी की प्रारंभिक स्थिति उन प्रस्तावों की विशेषता है जिनके लिए वे प्रतिबद्ध हैं और जिस निष्कर्ष को वे सिद्ध करने का इरादा रखते हैं। संवाद अनुनय के खेल हैं: प्रत्येक खिलाड़ी का लक्ष्य अपने स्वयं के निष्कर्ष के प्रतिद्वंद्वी को समझाने का होता है। इसे तर्क-वितर्क करके प्राप्त किया जाता है: तर्क-वितर्क खेल की चालें हैं।  वे प्रभावित करते हैं कि खिलाड़ी किन प्रस्तावों के लिए प्रतिबद्ध हैं। एक विजयी चाल एक सफल तर्क है जो प्रतिद्वंद्वी की प्रतिबद्धताओं को परिसर के रूप में लेता है और दिखाता है कि उनका अपना निष्कर्ष उनसे कैसे निकलता है। यह आमतौर पर तुरंत संभव नहीं होता है। इस कारण से, आमतौर पर मध्यस्थ कदमों के रूप में तर्कों का एक क्रम तैयार करना आवश्यक होता है, जिनमें से प्रत्येक प्रतिद्वंद्वी को उसके इच्छित निष्कर्ष के थोड़ा करीब लाता है। जीत के करीब ले जाने वाले इन सकारात्मक तर्कों के अलावा, नकारात्मक तर्क भी हैं जो अपने निष्कर्ष को नकार कर प्रतिद्वंद्वी की जीत को रोकते हैं। कोई तर्क सही है या नहीं यह इस बात पर निर्भर करता है कि क्या वह संवाद की प्रगति को बढ़ावा देता है। दूसरी ओर, भ्रांति उचित तार्किक नियमों के मानकों का उल्लंघन है। ये मानक संवाद के प्रकार पर भी निर्भर करते हैं। उदाहरण के लिए, वैज्ञानिक प्रवचन को नियंत्रित करने वाले मानक व्यावसायिक वार्ताओं के मानकों से भिन्न होते हैं। दूसरी ओर, अनौपचारिक तर्क के लिए ज्ञानशास्त्रीय दृष्टिकोण, तर्कों की ज्ञानशास्त्रीय भूमिका पर ध्यान केंद्रित करता है। यह इस विचार पर आधारित है कि तर्कों का उद्देश्य हमारे ज्ञान को बढ़ाना है। वे इसे उचित मान्यताओं को उन मान्यताओं से जोड़कर प्राप्त करते हैं जो अभी तक उचित नहीं हैं। सही तर्क ज्ञान का विस्तार करने में सफल होते हैं, जबकि मिथ्या ज्ञानवादी विफलताएँ हैं: वे अपने निष्कर्ष में विश्वास को सही नहीं ठहराते।  इस अर्थ में, तार्किक आदर्शवाद में ज्ञानमीमांसीय सफलता या तर्कसंगतता शामिल है। उदाहरण के लिए, सवाल पूछने की भ्रांति एक भ्रांति है क्योंकि यह अपने निष्कर्ष के लिए स्वतंत्र औचित्य प्रदान करने में विफल रहता है, भले ही यह निगमनात्मक रूप से मान्य हो।   बायेसियन ज्ञानमीमांसा  ज्ञानमीमांसा दृष्टिकोण का एक उदाहरण है। बायेसियनवाद का केंद्र केवल यह नहीं है कि क्या एजेंट कुछ विश्वास करता है बल्कि वह डिग्री जिस पर वे विश्वास करते हैं, तथाकथित विश्वसनीयता। विश्वास की डिग्री को विश्वास प्रस्ताव में व्यक्तिपरक संभाव्यता के रूप में समझा जाता है, अर्थात एजेंट कितना निश्चित है कि प्रस्ताव सत्य है।  इस दृष्टिकोण पर, तर्क की व्याख्या किसी की साख बदलने की प्रक्रिया के रूप में की जा सकती है, जो अक्सर नई आने वाली सूचनाओं की प्रतिक्रिया में होती है। सही तर्क, और जिन तर्कों पर यह आधारित है, वे प्रायिकता के नियमों का पालन करते हैं, उदाहरण के लिए, बायेसियन ज्ञानमीमांसा#सशर्तीकरण का सिद्धांत। दूसरी ओर, बुरा या तर्कहीन तर्क इन कानूनों का उल्लंघन करता है।

अनुसंधान के क्षेत्र
विभिन्न क्षेत्रों में तर्क का अध्ययन किया जाता है। कई मामलों में, इसकी औपचारिक पद्धति को इसके दायरे से बाहर विशिष्ट विषयों पर लागू करके किया जाता है, जैसे नैतिकता या कंप्यूटर विज्ञान। अन्य मामलों में, तर्क को ही दूसरे विषय में शोध का विषय बना दिया जाता है। यह विविध तरीकों से हो सकता है, जैसे मौलिक तार्किक अवधारणाओं की दार्शनिक पूर्वधारणाओं की जांच करके, गणितीय संरचनाओं के माध्यम से तर्क की व्याख्या और विश्लेषण करके, या औपचारिक तार्किक प्रणालियों के अमूर्त गुणों का अध्ययन और तुलना करके।

तर्कशास्त्र का दर्शन और दार्शनिक तर्क
तर्कशास्त्र का दर्शन एक दार्शनिक अनुशासन है जो तर्क के दायरे और प्रकृति का अध्ययन करता है। यह तर्क में निहित कई पूर्वधारणाओं की जांच करता है, जैसे कि इसकी मूलभूत अवधारणाओं या उनसे जुड़ी आध्यात्मिक मान्यताओं को कैसे परिभाषित किया जाए। यह इस बात से भी संबंधित है कि विभिन्न तार्किक प्रणालियों को कैसे वर्गीकृत किया जाए और उन सत्तामीमांसा संबंधी प्रतिबद्धताओं पर विचार किया जाए जो वे करते हैं। तर्कशास्त्र के दर्शन के भीतर दार्शनिक तर्क एक महत्वपूर्ण क्षेत्र है। यह तत्वमीमांसा, नैतिकता और ज्ञानमीमांसा जैसे क्षेत्रों में दार्शनिक समस्याओं के लिए तार्किक तरीकों के अनुप्रयोग का अध्ययन करता है।  यह एप्लिकेशन आमतौर पर #Extended या #Deviant के रूप में होता है।

गणितीय तर्क
गणितीय तर्क गणित के भीतर तर्क का अध्ययन है। प्रमुख उपक्षेत्रों में मॉडल सिद्धांत, प्रमाण सिद्धांत, सेट सिद्धांत और संगणनीयता सिद्धांत  शामिल हैं।

गणितीय तर्क में अनुसंधान आमतौर पर तर्क की औपचारिक प्रणालियों के गणितीय गुणों को संबोधित करता है। हालाँकि, इसमें गणितीय तर्क का विश्लेषण करने के लिए तर्क का उपयोग करने या गणित के तर्क-आधारित नींव स्थापित करने के प्रयास भी शामिल हो सकते हैं। उत्तरार्द्ध 20 वीं सदी के शुरुआती गणितीय तर्क में एक प्रमुख चिंता का विषय था, जिसने गॉटलॉब फ्रेज और बर्ट्रेंड रसेल  जैसे दार्शनिक-तर्कशास्त्रियों द्वारा अग्रणी  तर्कवाद  के कार्यक्रम का अनुसरण किया। गणितीय सिद्धांतों को तार्किक पुनरावलोकन (तर्क) माना जाता था, और कार्यक्रम को गणित को तर्क में घटाकर यह दिखाना था। गोडेल के अपूर्णता प्रमेय द्वारा हिल्बर्ट के कार्यक्रम की हार के लिए, रसेल के विरोधाभास द्वारा अपने ग्रंडगेसेट्ज़ में फ्रीज की परियोजना के अपंग होने से, इसे पूरा करने के विभिन्न प्रयासों में असफलता मिली। जॉर्ज कैंटर द्वारा अनंत के अध्ययन में सेट सिद्धांत की उत्पत्ति हुई, और यह गणितीय तर्क में सबसे चुनौतीपूर्ण और महत्वपूर्ण मुद्दों में से कई का स्रोत रहा है। इनमें कैंटर की प्रमेय, पसंद के अभिगृहीत की स्थिति, सातत्य परिकल्पना की स्वतंत्रता का प्रश्न, और बड़े कार्डिनल स्वयंसिद्धों पर आधुनिक बहस शामिल हैं। पुनरावर्तन सिद्धांत तार्किक और अंकगणित ीय शब्दों में संगणना के विचार को ग्रहण करता है; इसकी सबसे शास्त्रीय उपलब्धियां  एलन ट्यूरिंग  द्वारा  निर्णय समस्या  की अनिश्चयता और चर्च-ट्यूरिंग थीसिस की उनकी प्रस्तुति हैं। आज पुनरावर्तन सिद्धांत ज्यादातर  जटिलता वर्ग ों की अधिक परिष्कृत समस्या और ट्यूरिंग डिग्री के वर्गीकरण से संबंधित है।

कम्प्यूटेशनल तर्क
कंप्यूटर विज्ञान में, संगणना के सिद्धांत के भाग के रूप में तर्क का अध्ययन किया जाता है। कम्प्यूटिंग के लिए प्रासंगिक तर्क के प्रमुख क्षेत्रों में कम्प्यूटेबिलिटी थ्योरी, मोडल लॉजिक और श्रेणी सिद्धांत  शामिल हैं। प्रारंभिक कंप्यूटर मशीनरी  लैम्ब्डा कैलकुलस  जैसे तर्क के विचारों पर आधारित थी।   कंप्यूटर वैज्ञानिक कंप्यूटिंग में तर्क से समस्याओं तक और इसके विपरीत अवधारणाओं को भी लागू करते हैं। इस संबंध में  क्लाउड शैनन  के कार्य प्रभावशाली थे। उन्होंने दिखाया कि कंप्यूटर सर्किट को समझने और लागू करने के लिए  बूलियन तर्क  का उपयोग कैसे किया जा सकता है।  दो विषयों के बीच बातचीत को देखा जा सकता है, उदाहरण के लिए, तर्क सिद्धांत में तर्कशास्त्रियों के काम पर आधुनिक कृत्रिम बुद्धि कैसे बनती है, जबकि स्वचालित प्रमेय साबित करने से तर्कशास्त्रियों को प्रमाण खोजने और जांचने में सहायता मिल सकती है।  तर्क प्रोग्रामिंग  लैंग्वेज जैसे प्रोलॉग में, एक प्रोग्राम एक प्रश्न का उत्तर देने के लिए तार्किक स्वयंसिद्धों और नियमों के परिणामों की गणना करता है।

प्राकृतिक भाषा का औपचारिक शब्दार्थ
औपचारिक शब्दार्थ, भाषाविज्ञान और दर्शन दोनों का एक उपक्षेत्र, प्राकृतिक भाषा में अर्थ का विश्लेषण करने के लिए तर्क का उपयोग करता है। यह एक अनुभवजन्य क्षेत्र है जो भाषाई अभिव्यक्तियों के अर्थों को चिह्नित करने की कोशिश करता है और समझाता है कि कैसे ये अर्थ उनके भागों के अर्थों से संरचना गत हैं। यह क्षेत्र 1970 के दशक में रिचर्ड मोंटेग और  बारबरा पार्टि  द्वारा विकसित किया गया था, और अनुसंधान का एक सक्रिय क्षेत्र बना हुआ है। केंद्रीय प्रश्नों में गुंजाइश (औपचारिक शब्दार्थ),  बाध्यकारी (भाषा विज्ञान), और भाषाई तौर-तरीके शामिल हैं।

तर्क की ज्ञान मीमांसा
तर्कशास्त्र की ज्ञानमीमांसा इस बात की पड़ताल करती है कि कोई कैसे जानता है कि कोई तर्क मान्य है या कोई प्रस्ताव तार्किक रूप से सत्य है। इसमें इस तरह के प्रश्न शामिल हैं कि कैसे उचित ठहराया जाए कि मॉडस पोनेंस अनुमान का एक वैध नियम है या विरोधाभास झूठे हैं। परंपरागत रूप से प्रमुख दृष्टिकोण यह है कि तार्किक समझ का यह रूप ज्ञान एक प्राथमिकता और एक पश्चगामी  संबंधित है। इस संबंध में, अक्सर यह तर्क दिया जाता है कि शुद्ध विचारों के बीच संबंधों की जांच करने के लिए  मन  के पास एक विशेष संकाय है और यह संकाय तार्किक सत्य को समझने के लिए भी जिम्मेदार है। इसी तरह का दृष्टिकोण परम्परावाद के संदर्भ में तर्क के नियमों को समझता है। इस दृष्टिकोण पर, तर्क के नियम तुच्छ हैं क्योंकि वे परिभाषा के अनुसार सत्य हैं: वे केवल तार्किक शब्दावली के अर्थों को व्यक्त करते हैं। 20वीं सदी में डब्ल्यू.वी. क्विन और हिलेरी पटनम  द्वारा तर्क को जानने योग्य प्राथमिकता के दृष्टिकोण पर महत्वपूर्ण आपत्तियां प्रस्तुत की गईं। उनके पेपर में क्या तर्क अनुभवजन्य है? , पुटनाम क्विन के एक सुझाव पर आधारित है और तर्क देता है कि, सामान्य तौर पर, प्रस्तावपरक तर्क के तथ्यों की ज्ञानमीमांसीय स्थिति भौतिक ब्रह्मांड के तथ्यों के समान होती है। यह, उदाहरण के लिए, यांत्रिकी  या  सामान्य सापेक्षता  के नियमों से संबंधित है, और विशेष रूप से भौतिकविदों ने क्वांटम यांत्रिकी के बारे में क्या सीखा है। पुत्नाम के अनुसार, ये अंतर्दृष्टि शास्त्रीय तर्क के कुछ परिचित सिद्धांतों को छोड़ने के लिए एक सम्मोहक मामला प्रदान करती है: यदि कोई क्वांटम सिद्धांत द्वारा वर्णित भौतिक घटनाओं के बारे में  दार्शनिक यथार्थवाद  बनना चाहता है, तो उसे वितरण के सिद्धांत को छोड़ देना चाहिए। उनका सुझाव है कि  गैरेट बिरखॉफ  और  जॉन वॉन न्यूमैन  द्वारा प्रस्तावित क्वांटम तर्क के साथ शास्त्रीय तर्क को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए।

इतिहास
पुरातनता के दौरान कई संस्कृतियों में तर्क स्वतंत्र रूप से विकसित हुआ था। एक प्रमुख शुरुआती योगदानकर्ता अरस्तू  थे, जिन्होंने अपने ऑर्गनॉन और प्रायर एनालिटिक्स में टर्म लॉजिक विकसित किया था।  इस दृष्टिकोण में, निर्णयों को प्रस्तावों में विभाजित किया जाता है जिसमें दो पद होते हैं जो संबंधों की एक निश्चित संख्या से संबंधित होते हैं। अनुमानों को न्यायवाक्य के माध्यम से व्यक्त किया जाता है जिसमें दो प्रस्ताव शामिल होते हैं जो एक सामान्य शब्द को आधार के रूप में साझा करते हैं, और एक निष्कर्ष जो परिसर से दो असंबंधित शब्दों को शामिल करने वाला प्रस्ताव है। अरस्तू की स्मारकीय अंतर्दृष्टि यह धारणा थी कि तर्कों को उनके रूप के संदर्भ में चित्रित किया जा सकता है। बाद के तर्कशास्त्री Łukasiewicz ने इस अंतर्दृष्टि को अरस्तू के महानतम आविष्कारों में से एक के रूप में वर्णित किया। अरस्तू की तर्क प्रणाली भी  काल्पनिक न्यायवाक्य  की शुरुआत के लिए जिम्मेदार थी, टेम्पोरल लॉजिक मोडल लॉजिक,  और आगमनात्मक तर्क, साथ ही प्रभावशाली शब्दावली जैसे कि शब्दावली, विधेय, न्यायवाक्य और प्रस्ताव। यूरोप और मध्य पूर्व दोनों में शास्त्रीय और मध्ययुगीन काल में अरस्तू के तर्क को अत्यधिक माना जाता था। 19वीं शताब्दी की शुरुआत तक यह पश्चिम में व्यापक उपयोग में रहा। अब इसे बाद के काम से हटा दिया गया है, हालांकि इसकी कई प्रमुख अंतर्दृष्टि अभी भी तर्क की आधुनिक प्रणालियों में मौजूद हैं। एविसेना (एविसेना) (980-1037 CE) एविसेंनियन लॉजिक के संस्थापक थे, जिन्होंने अरिस्टोटेलियन लॉजिक को  इस्लामी दर्शन में तर्क  की प्रमुख प्रणाली के रूप में बदल दिया।  अल्बर्टस मैग्नस  जैसे पश्चिमी मध्यकालीन लेखकों पर भी इसका महत्वपूर्ण प्रभाव पड़ा और ओखम के विलियम। इब्न सिना ने काल्पनिक न्यायवाक्य पर लिखा और प्रस्तावपरक कलन पर। उन्होंने टेम्पोरल लॉजिक और मोडल लॉजिक को शामिल करते हुए एक मूल टेम्पोरली मोडलाइज़्ड सिलिऑलिस्टिक थ्योरी विकसित की। उन्होंने आगमनात्मक तर्क का भी उपयोग किया, जैसे मिल के समझौते के तरीके, अंतर और सहवर्ती भिन्नता, जो वैज्ञानिक पद्धति के लिए महत्वपूर्ण हैं।  फखर अल-दीन अल-राज़ी  (बी। 1149) ने अरस्तू के पहले आंकड़े की आलोचना की और  जॉन स्टुअर्ट मिल  (1806-1873) द्वारा विकसित आगमनात्मक तर्क की प्रणाली को पूर्वाभास देते हुए आगमनात्मक तर्क की एक प्रारंभिक प्रणाली तैयार की। यूरोप में बाद के मध्ययुगीन काल के दौरान, यह दिखाने के लिए बड़े प्रयास किए गए कि अरस्तू के विचार ईसाई धर्म के अनुकूल थे। उच्च मध्य युग  के दौरान, तर्कशास्त्र दार्शनिकों का एक मुख्य केंद्र बन गया, जो दार्शनिक तर्कों के महत्वपूर्ण तार्किक विश्लेषणों में संलग्न होते थे, अक्सर विद्वतावाद की पद्धति के रूपांतरों का उपयोग करते थे। प्रारंभ में, मध्ययुगीन ईसाई विद्वानों ने क्लासिक्स पर आकर्षित किया जो लैटिन में  बोथियस  जैसे आंकड़ों द्वारा टिप्पणियों के माध्यम से संरक्षित किया गया था। बाद में, इब्न सिना और एवरोइस (एवेरोस 1126-1198 सीई) जैसे इस्लामी दार्शनिकों के काम पर खींचा गया। इसने मध्यकालीन ईसाई विद्वानों के लिए उपलब्ध प्राचीन कार्यों की सीमा का विस्तार किया क्योंकि अधिक ग्रीक कार्य मुस्लिम विद्वानों के लिए उपलब्ध थे जिन्हें लैटिन टिप्पणियों में संरक्षित किया गया था। 1323 में, ओखम के प्रभावशाली सम ऑफ लॉजिक के विलियम को जारी किया गया था। 18 वीं शताब्दी तक, तर्कों के लिए संरचित दृष्टिकोण पतित हो गया था और पक्ष से बाहर हो गया था, जैसा कि  लुडविग होलबर्ग  के व्यंग्य नाटक  इरास्मस मोंटैनस  में दर्शाया गया है। फ्रेडरिक नीत्शे ने इस दावे के आधार पर तर्क की आलोचना की कि विचार की तार्किक संरचना मानव अस्तित्व के लिए एक उपयोगी उपकरण है, जबकि [आई]ओगिक स्वयं उन मान्यताओं पर आधारित है जिनसे वास्तविकता की दुनिया में कुछ भी मेल नहीं खाता है। चीन के दार्शनिक गोंग सूरज लंबा  में तर्क (c. 325–250 BCE) ने विरोधाभास प्रस्तावित किया कि एक और एक दो नहीं हो सकते, क्योंकि कोई भी दो नहीं बनता। चीन में, तर्क में विद्वानों की जांच की परंपरा, हालांकि,  हान फे मैं शब्द  के कानूनी दर्शन के बाद किन राजवंश द्वारा दमित की गई थी। भारत में, आन्वीक्षिकी स्कूल ऑफ लॉजिक की स्थापना मेधातिथि (सी. 6वीं शताब्दी ईसा पूर्व) द्वारा की गई थी। स्कोलास्टिक स्कूल में नवाचार, जिसे कहानी  कहा जाता है, प्राचीन काल से 18 वीं शताब्दी की शुरुआत में नव-न्याय स्कूल के साथ जारी रहा। 16वीं शताब्दी तक, इसने आधुनिक तर्कशास्त्र से मिलते-जुलते सिद्धांत विकसित किए, जैसे कि गोटलॉब फ्रेगे का उचित नामों के अर्थ और संदर्भ के बीच भेद और उनकी संख्या की परिभाषा। सार्वभौमिकों के लिए प्रतिबंधात्मक स्थितियों के सिद्धांत के इसके विकास ने आधुनिक सेट सिद्धांत में कुछ विकासों का अनुमान लगाया। 1824 के बाद से, भारतीय तर्कशास्त्र ने कई पश्चिमी विद्वानों का ध्यान आकर्षित किया, और  चार्ल्स बैबेज,  ऑगस्टस डी मॉर्गन  और  जॉर्ज बूले  जैसे महत्वपूर्ण 19वीं सदी के तर्कशास्त्रियों पर इसका प्रभाव पड़ा। 20वीं शताब्दी में, स्टैनिस्लाव शायर और क्लाउस ग्लाशॉफ जैसे पश्चिमी दार्शनिकों ने भारतीय तर्कशास्त्र का अधिक व्यापक रूप से अन्वेषण किया है। 19वीं शताब्दी के मध्य तक पश्चिम में अरस्तू द्वारा विकसित न्यायवाक्य तर्क का बोलबाला था, जब गणित की नींव में रुचि ने प्रतीकात्मक तर्क (जिसे अब गणितीय तर्क कहा जाता है) के विकास को प्रेरित किया। 1854 में, जॉर्ज बोले ने द लॉज ऑफ थॉट प्रकाशित किया, प्रतीकात्मक तर्क और जो अब बूलियन तर्क के रूप में जाना जाता है, उसके सिद्धांतों को प्रस्तुत करना। 1879 में, गोटलॉब फ्रेज ने शब्द लेखन  प्रकाशित किया, जिसने क्वांटिफिकेशन (तर्क) संकेतन के आविष्कार के साथ आधुनिक तर्कशास्त्र का उद्घाटन किया। इस आविष्कार ने अरिस्टोटेलियन और स्टोइक लॉजिक्स को एक व्यापक प्रणाली में समेट लिया, और उन समस्याओं को हल कर दिया जिनके लिए अरिस्टोटेलियन तर्क नपुंसक था, जैसे कि कई सामान्यता की समस्या। 1910 से 1913 तक,  अल्फ्रेड नॉर्थ व्हाइटहेड  और बर्ट्रेंड रसेल ने प्रिंसिपिया मैथेमेटिका प्रकाशित किया गणित की नींव पर, सांकेतिक तर्क में  स्वयंसिद्ध ों और  अनुमान नियम ों से गणितीय सत्य प्राप्त करने का प्रयास। 1931 में, गोडेल ने मूलभूत कार्यक्रम के साथ गंभीर समस्याएं उठाईं और तर्क ऐसे मुद्दों पर ध्यान देना बंद कर दिया।

फ्रीज, रसेल और विट्गेन्स्टाइन के बाद से तर्क के विकास का दर्शन के अभ्यास और दार्शनिक समस्याओं की कथित प्रकृति (विश्लेषणात्मक दर्शन देखें) और गणित के दर्शन पर गहरा प्रभाव पड़ा। तर्क, विशेष रूप से वाक्यगत तर्क, कंप्यूटर डिजिटल इलेक्ट्रॉनिक्स  में कार्यान्वित किया जाता है और कंप्यूटर विज्ञान के लिए मौलिक है। तर्क आमतौर पर विश्वविद्यालय दर्शन, समाजशास्त्र, विज्ञापन और साहित्य विभागों द्वारा पढ़ाया जाता है, अक्सर एक अनिवार्य अनुशासन के रूप में।

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 * Ontology and History of Logic. An Introduction with an annotated bibliography.
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