डीन ट्विस्ट

ज्यामितीय सांस्थिति में, गणित की एक शाखा, एक स्ट्रेच ट्विस्ट एक सतह के एक निश्चित प्रकार का होमियोमोर्फिज्म होता है।

परिभाषा
मान लीजिए कि c एक बंद उन्मुख सतह S में एक साधारण बंद वक्र है। माना A, c का एक ट्यूबलर प्रतिवैस है।और तब A एक चक्र के कार्तीय उत्पाद और एक इकाई अंतराल के लिए एक वलय होमियोमॉर्फिक होता है:


 * $$c \subset A \cong S^1 \times I.$$

A निर्देशांक (s, t) में s के रूप की एक सम्मिश्र संख्या $$e^{i\theta}$$ के सापेक्ष $$\theta \in [0, 2\pi],$$ तथा t &isin; [0, 1] होती.है

मान लीजिए f, S से स्वयं का मानचित्र है जो A के बाहय और A के अंदर की पहचान होती है


 * $$f(s, t) = \left(se^{i2\pi t}, t\right).$$

वक्र c के बारे में f एक 'स्ट्रेच ट्विस्ट' होता है।

डीहन ट्विस्ट को एक गैर-उन्मुख सतह S पर भी परिभाषित किया जा सकता है, परंतु कोई S पर 2-तरफा सरल बंद वक्र c से प्रारंभ होता हैं।

उदाहरण


किनारों को a और b के सापेक्ष मौलिक बहुभुज द्वारा दर्शाए जाता हैं,और टोरस्र्स पर विचार किया जाता है


 * $$\mathbb{T}^2 \cong \mathbb{R}^2/\mathbb{Z}^2.$$

मान लीजिए एक बंद वक्र किनारे के सापेक्ष वाली रेखा a है जिसे $$\gamma_a$$. कहा जाता है

आकृति में ग्लूइंग होमोमोर्फिज्म की पसंद को देखते हुए, वक्र का एक ट्यूबलर पड़ोस $$\gamma_a$$ डोनट के चारों ओर जुड़े बैंड की तरह दिखता हैं। यह पड़ोस के वलय के लिए होमोमोर्फिक को कहते हैं
 * $$a(0; 0, 1) = \{z \in \mathbb{C}: 0 < |z| < 1\}$$

जटिल विमान में ऐसा होता हैं।

टोरस को घुमाते हुए मानचित्र तक विस्तारित करके $$\left(e^{i\theta}, t\right) \mapsto \left(e^{i\left(\theta + 2\pi t\right)}, t\right)$$ एनलस के होमोमोर्फिज्म के माध्यम से एनलस के पड़ोस में एक खुले सिलेंडर के लिए $$\gamma_a$$, a. होता हैं।


 * $$T_a: \mathbb{T}^2 \to \mathbb{T}^2$$

यह स्वयं होमोमोर्फिज्म b के सापेक्ष बंद वक्र पर कार्य करता है। ट्यूबलर पड़ोस में यह a के वक्र के सापेक्ष एक बार b का वक्र लेता है।

सांस्थितिक समष्टि के मध्य एक होमोमोर्फिज्म उनके मौलिक समूहों के मध्य एक प्राकृतिक आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है। इसलिए कि c के पास एक ऑटोमोर्फिज्म है


 * $${T_a}_\ast: \pi_1\left(\mathbb{T}^2\right) \to \pi_1\left(\mathbb{T}^2\right): [x] \mapsto \left[T_a(x)\right]$$

जहां [x] टोरस में बंद वक्र x के समरूप वर्ग हैं। सूचना $${T_a}_\ast([a]) = [a]$$ और $${T_a}_\ast([b]) = [b*a]$$, जहाँ $$b*a$$ क्या पथ b के चारों ओर यात्रा करता है पुनः a चारों ओर यात्रा करता है।

मानचित्रण वर्ग समूह
यह मैक्स डेहन का एक प्रमेय है कि इस रूप के मानचित्र किसी भी बंद, उन्मुख जीनस के उन्मुखीकरण-संरक्षित -$$g$$ सतह वाले होमोमोर्फिज्म के आइसोटोपी वर्गों के मानचित्रण वर्ग समूह को उत्पन्न करते हैं । डब्ल्यू बी आर. लिकोरिश ने उपरांत में एक सरल प्रमाण के सापेक्ष इस परिणाम को पुनः से खोजा और इसके द्वारा यह दर्शाया कि स्ट्रेच साथ-साथ ट्विस्ट $$3g - 1$$ होता है और स्पष्ट वक्र मानचित्रण वर्ग समूह उत्पन्न करते हैं इसे पनिंग नाम लिकोरिश ट्विस्ट प्रमेय कहा जाता है; इस संख्या को उपरांत में स्टीफन पी. हम्फ्रीज़ ने सुधार करके $$2g + 1$$, के लिए $$g > 1$$, जो उन्होंने दर्शाया वह न्यूनतम संख्या थी।

लिकोरिश ने गैर-उन्मुख सतहों के लिए एक समान परिणाम भी प्राप्त किया जाता हैं, जिसके प्रति न केवल डेहन ट्विस्ट की आवश्यकता होती है, बल्कि Y-होमियोमोर्फिज्म भी होता हैं।

यह भी देखें

 * लालटेन संबंध

संदर्भ

 * Andrew J. Casson, Steven A Bleiler, Automorphisms of Surfaces After Nielsen and Thurston, Cambridge University Press, 1988. ISBN 0-521-34985-0.
 * Stephen P. Humphries, "Generators for the mapping class group," in: Topology of low-dimensional manifolds (Proc. Second Sussex Conf., Chelwood Gate, 1977), pp. 44–47, Lecture Notes in Math., 722, Springer, Berlin, 1979.
 * W. B. R. Lickorish, "A representation of orientable combinatorial 3-manifolds." Ann. of Math. (2) 76 1962 531—540.
 * W. B. R. Lickorish, "A finite set of generators for the homotopy group of a 2-manifold", Proc. Cambridge Philos. Soc. 60 (1964), 769–778.