त्रिकोणमिति

त्रिकोणमिति गणित की एक शाखा है जो त्रिभुजों की भुजाओं की लंबाई और कोणों के बीच संबंधों का अध्ययन करती है।

ज्यामिति के अनुप्रयोगों से लेकर खगोलीय अध्ययनों तक तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व के दौरान हेलेनिस्टिक दुनिया में यह क्षेत्र बहुत उभरा था। यूनानियों ने जीवाओं की गणना पर ध्यान केंद्रित किया, वहीं भारत में गणितज्ञों ने साइन जैसे त्रिकोणमितीय अनुपात (जिसे त्रिकोणमितीय फलन भी कहा जाता है) के लिए मूल्यों की सबसे पुरानी ज्ञात तालिकाएँ बनाईं।

पूरे इतिहास में, त्रिकोणमिति को क्षेत्रों में लागू किया गया है जैसे कि भूगणित, सर्वेक्षण, आकाशीय यांत्रिकी और नेविगेशन।

त्रिकोणमिति अपनी कई पहचानों के लिए जानी जाती है। इन त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं का उपयोग आमतौर पर त्रिकोणमितीय व्यंजकों को फिर से लिखने के लिए किया जाता है, जिसका उद्देश्य व्यंजक को सरल बनाना, व्यंजक का अधिक उपयोगी रूप खोजना या समीकरण को हल करना है।

इतिहास
सुमेरियन खगोलविदों ने 360 डिग्री में मंडलियों के विभाजन का उपयोग करके कोण माप का अध्ययन किया। उन्होंने और बाद में बेबीलोनियों ने समरूप त्रिभुजों की भुजाओं के अनुपातों का अध्ययन किया और इन अनुपातों के कुछ गुणों की खोज की लेकिन इसे त्रिभुजों की भुजाओं और कोणों को खोजने की एक व्यवस्थित विधि में नहीं बदला। प्राचीन न्युबियन एक समान विधि का उपयोग करते थे।

तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व में यूक्लिड और आर्किमिडीज जैसे हेलेनिस्टिक गणितज्ञों ने जीवाओं और वृत्तों में उत्कीर्ण कोणों के गुणों का अध्ययन किया, और उन्होंने उन प्रमेयों को सिद्ध किया जो आधुनिक त्रिकोणमितीय सूत्रों के समतुल्य हैं, हालांकि उन्होंने उन्हें बीजगणित के बजाय ज्यामितीय रूप से प्रस्तुत किया। 140 ईसा पूर्व में, हिप्पार्कस (नाइसिया, एशिया माइनर से) ने जीवाओं की पहली सारणी दी, जो साइन मूल्यों की आधुनिक तालिकाओं के अनुरूप थी, और उन्होंने त्रिकोणमिति और गोलाकार त्रिकोणमिति में समस्याओं को हल करने के लिए उनका इस्तेमाल किया। दूसरी शताब्दी ईस्वी में, ग्रीको-मिस्र के खगोलशास्त्री टॉलेमी (अलेक्जेंड्रिया, मिस्र से) ने अपने अल्मागेस्ट की पुस्तक 1, अध्याय 11 में विस्तृत त्रिकोणमितीय तालिकाओं (टॉलेमी की जीवाओं की तालिका) का निर्माण किया। टॉलेमी ने अपने त्रिकोणमितीय कार्यों को परिभाषित करने के लिए तार की लंबाई का इस्तेमाल किया, आज हम जिस साइन सम्मेलन का उपयोग करते हैं, उससे मामूली सा अंतर करते हैं। (जिस मान को हम sin(θ) कहते हैं, उसे टॉलेमी की तालिका में जीवा की लंबाई के दोगुने ब्याज कोण (2θ) के लिए प्रयोग किया गया है, और फिर उस मान को दो से विभाजित किया गया है।) अधिक विस्तृत तालिकाएँ तैयार होने में पहले ही सदियाँ बीत गईं, और टॉलेमी का ग्रंथ मध्ययुगीन बीजान्टिन, इस्लामी और बाद में, पश्चिमी यूरोपीय दुनिया में अगले 1200 वर्षों में खगोल विज्ञान में त्रिकोणमितीय गणना करने के लिए उपयोग में लिया गया।

आधुनिक साइन सम्मेलन सबसे पहले सूर्य सिद्धांत में प्रमाणित है, और इसके गुणों को आगे 5वीं शताब्दी (AD) के भारतीय गणितज्ञ और खगोलशास्त्री आर्यभट्ट द्वारा प्रलेखित किया गया था। इन ग्रीक और भारतीय कार्यों का अनुवाद किया गया था और मध्ययुगीन इस्लामी गणितज्ञों द्वारा इसे विस्तारित किया गया। 10वीं शताब्दी तक इस्लामी गणितज्ञ सभी छह त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग कर रहे थे और उन्होंने अपने मूल्यों को सारणीबद्ध किया,और वे उन्हें गोलाकार ज्यामिति की समस्याओं पर लागू कर रहे थे। फारसी पोलीमैथ नासिर अल-दीन-अल-तुसी को अपने आप में गणितीय अनुशासन के रूप में त्रिकोणमिति के निर्माता के रूप में वर्णित किया गया है।  नासिर अल-दीन अल-त्सो ने सबसे पहले त्रिकोणमिति को खगोल विज्ञान से स्वतंत्र गणितीय अनुशासन के रूप में माना था, और उन्होंने गोलाकार त्रिकोणमिति को अपने वर्तमान स्वरूप में विकसित किया। उन्होंने गोलाकार त्रिकोणमिति में एक समकोण त्रिभुज के छह अलग-अलग मामलों को सूचीबद्ध किया, और अपने ऑन द सेक्टर फिगर में, उन्होंने समतल और गोलाकार त्रिभुजों के लिए ज्या का नियम बताया, उन्होंने गोलाकार त्रिभुजों के लिए स्पर्शरेखा के नियम की खोज की, और इन दोनों कानूनों के प्रमाण प्रदान किए। टॉलेमी के ग्रीक अल्मागेस्ट के लैटिन अनुवादों के साथ-साथ अल बट्टानी और नासिर अल-दीन अल-तुसी जैसे फारसी और अरब खगोलविदों के कार्यों के माध्यम से त्रिकोणमितीय कार्यों और विधियों का ज्ञान पश्चिमी यूरोप तक पहुंच गया। उत्तरी यूरोपीय गणितज्ञ द्वारा त्रिकोणमिति पर सबसे शुरुआती कार्यों में से एक 15 वीं शताब्दी के जर्मन गणितज्ञ रेजीओमोंटानस द्वारा डी ट्रायंगुलिस है, जिसे बीजान्टिन यूनानी विद्वान कार्डिनल बेसिलियोस बेसारियन द्वारा लिखने के लिए प्रोत्साहित किया गया था, और अल्मागेस्ट की एक प्रति प्रदान की गई थी, जिसके साथ वह कई वर्षों तक रहा। उसी समय, अल्मागेस्ट का ग्रीक से लैटिन में एक और अनुवाद ट्रेबिजोंड के क्रेटन जॉर्ज द्वारा पूरा किया गया था। 16 वीं शताब्दी के उत्तरी यूरोप में त्रिकोणमिति अभी भी इतनी कम ज्ञात थी कि निकोलस कोपरनिकस ने अपनी मूल अवधारणाओं को समझाने के लिए डी रिवोल्यूशन ऑर्बियम कोलेस्टियम के दो अध्याय समर्पित किए।

नेविगेशन की मांगों और बड़े भौगोलिक क्षेत्रों के सटीक मानचित्रों की बढ़ती आवश्यकता से प्रेरित होकर, त्रिकोणमिति गणित की एक प्रमुख शाखा के रूप में विकसित हुई। बार्थोलोमियस पिटिस्कस ने सबसे पहले इस शब्द का प्रयोग किया था, जिसने 1595 में अपने त्रिकोणमिति को प्रकाशित किया था। जेम्मा फ्रिसियस ने पहली बार सर्वेक्षण में उपयोग की जाने वाली त्रिभुज की विधि का वर्णन किया। यह लियोनहार्ड यूलर थे जिन्होंने त्रिकोणमिति में जटिल संख्याओं को पूरी तरह से शामिल किया था। 17वीं सदी में स्कॉटिश गणितज्ञ जेम्स ग्रेगरी और 18वीं सदी में कॉलिन मैक्लॉरिन की कृतियाँ त्रिकोणमितीय श्रृंखला के विकास में प्रभावशाली थीं। साथ ही 18वीं शताब्दी में, ब्रुक टेलर ने सामान्य टेलर श्रृंखला को परिभाषित किया।

त्रिकोणमितीय अनुपात
त्रिकोणमितीय अनुपात एक समकोण त्रिभुज के किनारों के बीच का अनुपात है। ये अनुपात ज्ञात कोण ए के निम्नलिखित त्रिकोणमितीय कार्यों द्वारा दिए गए हैं, जहां ए, बी और एच संलग्न आकृति में पक्षों की लंबाई को संदर्भित करते हैं:
 * 'साइन' फ़ंक्शन (फलन), कोण के विपरीत पक्ष के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
 * $$\sin A=\frac{\textrm{opposite}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{a}{h}.$$


 * कोज्या फलन (cos), कर्ण से सटे आधार (कोण को समकोण से मिलाने वाले त्रिभुज की भुजा) के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।
 * $$\cos A=\frac{\textrm{adjacent}}{\textrm{hypotenuse}}=\frac{b}{h}.$$


 * स्पर्शरेखा फलन (फंक्शन), आसन्न भुजाओं के विपरीत भुजा के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है।


 * $$\tan A=\frac{\textrm{opposite}}{\textrm{adjacent}}=\frac{a}{b}=\frac{a/h}{b/h}=\frac{\sin A}{\cos A}.$$

हाइपोटेनस एक सही त्रिभुज में 90 डिग्री कोण के विपरीत पक्ष है; यह त्रिभुज का सबसे लंबा पक्ष है और कोण ए से सटे दोनों पक्षों में से एक 'आसन्न भुजा' वाला दूसरा पक्ष है जो कोण ए से सटा रहता हैं। 'विपरीत पक्ष' वह पक्ष है जो एंगल ए के विपरीत है। शब्द 'लंबवत' और 'आधार' का उपयोग कभी -कभी क्रमशः विपरीत और आसन्न पक्षों के लिए किया जाता है। नीमानिक्स (Mnemonics) के नीचे नीचे देखें।

चूँकि समान न्यून कोण ए (A) वाले दो समकोण त्रिभुज समरूप होते हैं, इसलिए त्रिकोणमितीय अनुपात का मान केवल कोण ए (A) पर निर्भर करता है।

इन कार्यों के पारस्परिकता को क्रमशः 'कोसेकेंट' (सीएससी), 'सेकेंट' (सेकंड), और 'कॉटेंट' (सीओटी) नाम दिया गया है:
 * $$\csc A=\frac{1}{\sin A}=\frac{\textrm{hypotenuse}}{\textrm{opposite}}=\frac{h}{a} ,$$
 * $$\sec A=\frac{1}{\cos A}=\frac{\textrm{hypotenuse}}{\textrm{adjacent}}=\frac{h}{b} ,$$
 * $$\cot A=\frac{1}{\tan A}=\frac{\textrm{adjacent}}{\textrm{opposite}}=\frac{\cos A}{\sin A}=\frac{b}{a} .$$

कोसाइन, कॉटेंजेंट, और कोसेकेंट का नाम इसलिए रखा गया है क्योंकि वे क्रमशः साइन, स्पर्शरेखा और सह-कोण को सह-कोण के लिए संक्षिप्त रूप से प्राप्त होते हैं। इन कार्यों के साथ, कोई व्यक्ति सिन के कानून और कोसाइन के कानून का उपयोग करके मनमाने त्रिकोणों के बारे में लगभग सभी सवालों के जवाब दे सकता है। इन कानूनों का उपयोग किसी भी त्रिभुज के शेष कोणों और पक्षों की गणना करने के लिए किया जा सकता है जैसे ही दो पक्षों और उनके शामिल कोण या दो कोणों और एक पक्ष या तीन पक्षों को जाना जाता है।

नीमानिक्स (Mnemonics)
निमोनिक्स (Mnemonics) का एक सामान्य उपयोग त्रिकोणमिति में तथ्यों और संबंधों को याद रखना है। उदाहरण के लिए, एक समकोण त्रिभुज में साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा अनुपातों को उनका प्रतिनिधित्व करके याद किया जा सकता है और उनके संगत पक्ष अक्षरों के तार के रूप में।  उदाहरण के लिए, एसओएच-सीएएच-टीओए (SOH-CAH-TOA) एक स्मरक है:
 * साइन = विपरीत / कर्ण
 * कोसाइन = आसन्न भुजा / कर्ण
 * स्पर्शरेखा = विपरीत भुजा / आसन्न भुजा

अक्षरों को याद रखने का एक तरीका यह है कि उन्हें ध्वन्यात्मक रूप से सुनाया जाए

(यानी /ˌsoʊkəˈtoʊə/ एसओएच-सीएएच-टीओए (SOH-CAH-TOA), क्राकाटोआ के समान)। एक और तरीका है अक्षरों को एक वाक्य में विस्तारित करना, जैसे "कुछ पुराने हिप्पी ने एसिड पर एक और हिप्पी ट्रिपिन पकड़ा"।

यूनिट सर्कल और सामान्य त्रिकोणमितीय मान
त्रिकोणमितीय अनुपात को इकाई वृत्त का उपयोग करके भी दर्शाया जा सकता है, जो तल में मूल बिंदु पर केन्द्रित त्रिज्या 1 का वृत्त है। इस सेटिंग में, मानक स्थिति में रखे गए कोण A का टर्मिनल पक्ष यूनिट सर्कल को एक बिंदु पर काटेगा (x, y) में यूनिट सर्कल को प्रतिच्छेद करेगा, जहां $$x = \cos A $$ तथा $$y = \sin A $$. यह प्रतिनिधित्व आमतौर पर पाए जाने वाले त्रिकोणमितीय मानों की गणना के लिए अनुमति देता है, जैसे कि निम्न तालिका में हैं:

वास्तविक या जटिल चर के त्रिकोणमितीय कार्य
यूनिट सर्कल का उपयोग करके त्रिकोणमितीय अनुपात की परिभाषा को सभी सकारात्मक और नकारात्मक तर्कों तक बढ़ाया जा सकता है। (त्रिकोणमितीय फ़ंक्शन देखें)।

त्रिकोणमितीय कार्यों के ग्राफ
निम्नलिखित तालिका छह मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन के गुणों को सारांशित करती है:

उलटा (इनवर्स) त्रिकोणमितीय कार्य
क्योंकि छह मुख्य त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती हैं, वे इंजेक्शन नहीं हैं (या, 1 से 1), और इस प्रकार उलटा नहीं है। त्रिकोणमितीय फलन के क्षेत्र को सीमित करके उन्हें उलटा बनाया जा सकता है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के नाम, उनके डोमेन और श्रेणी के साथ, और निम्न तालिका में पाया जा सकता है:

पावर सीरीज़ प्रतिनिधित्व
जब एक वास्तविक चर के कार्यों के रूप में माना जाता है, त्रिकोणमितीय अनुपातों को एक अनंत श्रृंखला द्वारा दर्शाया जा सकता है। उदाहरण के लिए, साइन और कोसाइन के निम्नलिखित प्रतिनिधित्व हैं:

\begin{align} \sin x & = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\ \end{align} $$

\begin{align} \cos x & = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots \\ & = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!}. \end{align} $$ इन परिभाषाओं के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों को जटिल संख्याओं के लिए परिभाषित किया जा सकता है। जब वास्तविक या जटिल चर के कार्यों के रूप में विस्तारित किया जाता है, निम्नलिखित सूत्र जटिल घातांक के लिए है:


 * $$e^{x+iy} = e^x(\cos y + i \sin y).$$

त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में लिखा गया यह जटिल घातीय कार्य विशेष रूप से उपयोगी है।

ट्राइगोनोमेट्रिक फ़ंक्शंस की गणना
त्रिकोणमितीय फलन गणितीय तालिकाओं के शुरुआती उपयोगों में से थे। ऐसी तालिकाओं को गणित की पाठ्यपुस्तकों में शामिल किया गया था और छात्रों को मूल्यों को देखना सिखाया गया और उच्च सटीकता प्राप्त करने के लिए सूचीबद्ध मानों के बीच अंतरण कैसे करें। त्रिकोणमितीय कार्यों के लिए स्लाइड नियमों में विशेष पैमाने थे।

वैज्ञानिक कैलकुलेटर में मुख्य त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना के लिए बटन होते हैं जैसे (पाप, कॉस, टैन, और कभी-कभी सीआईएस और उनके व्युत्क्रम)। अधिकांश कोण माप विधियों के विकल्प की अनुमति देते हैं: डिग्री, रेडियन और कभी-कभी ग्रेडियन। अधिकांश कंप्यूटर प्रोग्रामिंग भाषाएं फ़ंक्शन लाइब्रेरी प्रदान करती हैं जिसमें त्रिकोणमितीय कार्य शामिल हैं। अधिकांश व्यक्तिगत कंप्यूटरों में उपयोग किए जाने वाले माइक्रोप्रोसेसर चिप्स में शामिल फ्लोटिंग पॉइंट यूनिट हार्डवेयर और इसमें त्रिकोणमितीय कार्यों की गणना के लिए अंतर्निहित निर्देश हैं।

अन्य त्रिकोणमितीय कार्य
पहले सूचीबद्ध छह अनुपातों के अतिरिक्त, अतिरिक्त त्रिकोणमितीय फलन भी हैं जो ऐतिहासिक रूप से महत्वपूर्ण थे, हालांकि आज शायद ही कभी इस्तेमाल किया जाता है। इनमें ($sin A = a/h;$), वर्सिन ($cos A = b/h;$) (जो शुरुआती तालिकाओं में दिखाया गया है ), कवरिन ($tan A = a/b.$), हैवरसिन ($arcsin(x)$), एक्ससेंट ($sin(y)$), और एक्सक्योंसेकेंट ($arccos(x)$ कॉर्ड शामिल हैं। इन फलनों के बीच अधिक संबंधों के लिए त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाओं की सूची देखें।

खगोल विज्ञान
सदियों से, गोलाकार त्रिकोणमिति का उपयोग सौर, चंद्र और तारकीय स्थितियों का पता लगाने, ग्रहणों की भविष्यवाणी करने और ग्रहों की कक्षाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता रहा है।

आधुनिक समय में, त्रिभुज की तकनीक का उपयोग खगोल विज्ञान में आस-पास के सितारों के साथ-साथ उपग्रह नेविगेशन सिस्टम में दूरी को मापने के लिए किया जाता है।

नेविगेशन
ऐतिहासिक रूप से, त्रिकोणमिति का उपयोग नौकायन जहाजों के अक्षांश और देशांतर का पता लगाने, पाठ्यक्रमों की साजिश रचने के लिए किया गया है, और नेविगेशन के दौरान दूरियों की गणना करने में भी मदद करता है।

आधुनिक समय में, त्रिभुज की तकनीक का उपयोग खगोल विज्ञान में आस-पास के सितारों के साथ-साथ उपग्रह नेविगेशन सिस्टम में दूरी को मापने के लिए किया जाता है।

सर्वेक्षण
भूमि सर्वेक्षण में, त्रिकोणमिति और इसका उपयोग वस्तुओं के बीच लंबाई, क्षेत्रफल और सापेक्ष कोणों की गणना में किया जाता है।

बड़े पैमाने पर, त्रिकोणमिति का उपयोग भूगोल में स्थलों के बीच की दूरी को मापने के लिए किया जाता है।

आवधिक कार्य
ज्या और कोज्या फलन आवधिक कार्यों के सिद्धांत के लिए मौलिक हैं, जैसे कि वे जो ध्वनि और प्रकाश तरंगों का वर्णन करते हैं। फूरियर ने पाया कि प्रत्येक निरंतर, आवधिक कार्य को त्रिकोणमितीय कार्यों के अनंत योग के रूप में वर्णित किया जा सकता है।

यहां तक ​​​​कि गैर-आवधिक कार्यों को फूरियर रूपांतरण के माध्यम से साइन और कोसाइन के अभिन्न अंग के रूप में दर्शाया जा सकता है। इसमें अन्य क्षेत्रों के अलावा क्वांटम यांत्रिकी और संचार के अनुप्रयोग हैं।

प्रकाशिकी और ध्वनिकी
त्रिकोणमिति कई भौतिक विज्ञानों में उपयोगी है, ध्वनिकी सहित, और प्रकाशिकी। इन क्षेत्रों में, उनका उपयोग ध्वनि और हल्की तरंगों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, और सीमा और संचरण-संबंधित समस्याओं को हल करने के लिए।

अन्य अनुप्रयोग
अन्य क्षेत्र जो त्रिकोणमिति या त्रिकोणमितीय कार्यों का उपयोग करते हैं, उनमें संगीत सिद्धांत शामिल हैं, जियोडेसी, ऑडियो संश्लेषण, वास्तुकला, इलेक्ट्रॉनिक्स, जीव विज्ञान, मेडिकल इमेजिंग (सीटी स्कैन और अल्ट्रासाउंड), रसायन विज्ञान, संख्या सिद्धांत (और इसलिए क्रिप्टोविज्ञान), भूकंप विज्ञान, मौसम विज्ञान, ओशनोग्राफी, छवि संपीड़न, ध्वन्यात्मक, अर्थशास्त्र, इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग, मैकेनिकल इंजीनियरिंग, सिविल इंजीनियरिंग, कंप्यूटर ग्राफिक्स, कार्टोग्राफी, क्रिस्टलोग्राफी और खेल विकास।

पहचान
त्रिकोणमिति को इसकी कई पहचानों के लिए नोट किया गया है, अर्थात्, समीकरण जो सभी संभावित इनपुट के लिए सही हैं। केवल कोणों से जुड़ी पहचान को त्रिकोणमितीय पहचान के रूप में जाना जाता है।अन्य समीकरण, जिन्हें त्रिभुज पहचान के रूप में जाना जाता है, किसी दिए गए त्रिभुज के दोनों पक्षों और कोणों से संबंधित है।

त्रिभुज पहचान
निम्नलिखित पहचानों में, ए, बी और सी एक त्रिभुज के कोण हैं और ए, बी और सी संबंधित कोणों के विपरीत त्रिभुज के किनारों की लंबाई हैं (जैसा कि आरेख में दिखाया गया है)।

सिन का नियम
एक मनमाना त्रिभुज राज्यों के लिए सिन का नियम (जिसे साइन नियम के रूप में भी जाना जाता है):


 * $$\frac{a}{\sin A} = \frac{b}{\sin B} = \frac{c}{\sin C} = 2R = \frac{abc}{2\Delta},$$

कहाँ पे $$\Delta$$ त्रिभुज का क्षेत्र है और आर त्रिभुज के परिचालित सर्कल का त्रिज्या है:


 * $$R = \frac{abc}{\sqrt{(a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)(b+c-a)}}.$$

कोसाइन का नियम
कोसाइन का नियम (कोसाइन फॉर्मूला, या COS नियम के रूप में जाना जाता है) पाइथागोरियन प्रमेय का एक विस्तार है जो मनमाने ढंग से त्रिभुज है:


 * $$c^2=a^2+b^2-2ab\cos C ,$$

या समकक्ष:


 * $$\cos C=\frac{a^2+b^2-c^2}{2ab}.$$

स्पर्शरेखा का नियम
फ्रांस्वा विएटे द्वारा विकसित स्पर्शरेखा का नियम, एक त्रिभुज के अज्ञात किनारों के लिए हल करते समय कोसाइन के कानून का एक विकल्प है, जो त्रिकोणमितीय तालिकाओं का उपयोग करते समय सरल संगणना प्रदान करता है। यह द्वारा दिया गया है:


 * $$\frac{a-b}{a+b}=\frac{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A-B)\right]}{\tan\left[\tfrac{1}{2}(A+B)\right]}$$

क्षेत्र
दो पक्षों ए और बी और पक्षों के बीच के कोण को देखते हुए, त्रिभुज का क्षेत्र दो पक्षों की लंबाई के आधे उत्पाद और दोनों पक्षों के बीच कोण के साइन द्वारा दिया जाता है: हेरॉन का सूत्र एक और तरीका है जिसका उपयोग एक त्रिभुज के क्षेत्र की गणना करने के लिए किया जा सकता है।इस सूत्र में कहा गया है कि यदि एक त्रिभुज की लंबाई ए, बी, और सी के किनारे हैं, और यदि सेमीपेरिमेटर है


 * $$s=\frac{1}{2}(a+b+c),$$

तब त्रिभुज का क्षेत्र है:
 * $$\mbox{Area} = \Delta = \sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)} = \frac{abc}{4R}$$,

जहां आर त्रिभुज के खतना का त्रिज्या है।


 * $$\mbox{Area} = \Delta = \frac{1}{2}a b\sin C.$$

पाइथागोरियन पहचान
निम्नलिखित त्रिकोणमितीय पहचान पाइथागोरियन प्रमेय से संबंधित हैं और किसी भी मूल्य के लिए पकड़:
 * $$\sin^2 A + \cos^2 A = 1 \ $$
 * $$\tan^2 A + 1 = \sec^2 A \ $$
 * $$\cot^2 A + 1 = \csc^2 A \ $$

दूसरे और तीसरे समीकरण पहले समीकरण को विभाजित करने से प्राप्त होते हैं $$\cos^2{A}$$ तथा $$\sin^2{A}$$, क्रमश।

यूलर का सूत्र
यूलर का सूत्र, जो बताता है कि $$e^{ix} = \cos x + i \sin x$$, ई और काल्पनिक इकाई I के संदर्भ में साइन, कोसाइन और स्पर्शरेखा के लिए निम्नलिखित विश्लेषणात्मक पहचान का उत्पादन करता है:
 * $$\sin x = \frac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i}, \qquad \cos x = \frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}, \qquad \tan x = \frac{i(e^{-ix} - e^{ix})}{e^{ix} + e^{-ix}}.$$

अन्य त्रिकोणमितीय पहचान
अन्य आमतौर पर उपयोग की जाने वाली त्रिकोणमितीय पहचान में आधे-कोण की पहचान, कोण राशि और अंतर पहचान और उत्पाद-से-योग पहचान शामिल हैं।

यह भी देखें

 * आर्यभता की साइन टेबल
 * सामान्यीकृत त्रिकोणमिति
 * Lénárt Sphere
 * त्रिकोण विषयों की सूची
 * त्रिकोणमितीय पहचान की सूची
 * तर्कसंगत त्रिकोणमिति
 * स्कीनी त्रिकोण
 * छोटे-कोण सन्निकटन
 * त्रिकोणमितीय फलन
 * एकक वृत्त
 * त्रिकोणमिति का उपयोग

अग्रिम पठन

 * Linton, Christopher M. (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy. Cambridge University Press.
 * Linton, Christopher M. (2004). From Eudoxus to Einstein: A History of Mathematical Astronomy. Cambridge University Press.

बाहरी संबंध

 * Khan Academy: Trigonometry, free online micro lectures
 * Trigonometry by Alfred Monroe Kenyon and Louis Ingold, The Macmillan Company, 1914. In images, full text presented.
 * Benjamin Banneker's Trigonometry Puzzle at Convergence
 * Dave's Short Course in Trigonometry by David Joyce of Clark University
 * Trigonometry, by Michael Corral, Covers elementary trigonometry, Distributed under GNU Free Documentation License