परिपूर्ण क्षेत्र

अमूर्त बीजगणित में, एक फ़ील्ड (गणित) k 'पूर्ण' है यदि निम्नलिखित समकक्ष शर्तों में से कोई भी एक हो: अन्यथा, k को 'अपूर्ण' कहा जाता है।
 * k से अधिक प्रत्येक अप्रासंगिक बहुपद की अलग-अलग जड़ें होती हैं।
 * k से अधिक प्रत्येक अप्रासंगिक बहुपद वियोज्य बहुपद है।
 * k का प्रत्येक परिमित विस्तार वियोज्य विस्तार है।
 * k का प्रत्येक बीजगणितीय विस्तार वियोज्य है।
 * या तो k में विशेषता (बीजगणित) 0 है, या, जब k में विशेषता है p > 0, k का प्रत्येक तत्व एक शक्ति (गणित) है।
 * या तो k में विशेषता (बीजगणित) 0 है, या, जब k में विशेषता है p > 0, फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म x ↦ x k का एक स्वप्रतिरूपण है।
 * k का वियोज्य समापन बीजगणितीय रूप से बंद है।
 * प्रत्येक कम रिंग कम्यूटेटिव बीजगणित (रिंग सिद्धांत) | के-बीजगणित ए एक अलग करने योग्य बीजगणित है; अर्थात।, $$A \otimes_k F$$ प्रत्येक फ़ील्ड विस्तार एफ/के के लिए रिंग कम हो गई है। (नीचे देखें)

विशेष रूप से, विशेषता शून्य के सभी क्षेत्र और सभी परिमित क्षेत्र परिपूर्ण हैं।

परफेक्ट फ़ील्ड महत्वपूर्ण हैं क्योंकि इन क्षेत्रों पर गैलोज़ सिद्धांत सरल हो जाता है, क्योंकि फ़ील्ड एक्सटेंशन के अलग होने की सामान्य गैलोज़ धारणा इन क्षेत्रों पर स्वचालित रूप से संतुष्ट होती है (ऊपर तीसरी शर्त देखें)।

पूर्ण क्षेत्रों की एक और महत्वपूर्ण संपत्ति यह है कि वे विट वेक्टर को स्वीकार करते हैं।

अधिक आम तौर पर, विशेषता पी (पी एक अभाज्य संख्या) की एक अंगूठी (गणित) को 'परिपूर्ण' कहा जाता है यदि फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म एक ऑटोमोर्फिज्म है। (जब अभिन्न डोमेन तक सीमित होता है, तो यह उपरोक्त स्थिति के बराबर होता है कि k का प्रत्येक तत्व एक pth शक्ति है।)

उदाहरण
उत्तम क्षेत्रों के उदाहरण हैं:
 * विशेषता शून्य का प्रत्येक क्षेत्र, इसलिए $$\mathbb{Q}$$ और हर परिमित विस्तार, और $$\mathbb{C}$$;
 * प्रत्येक परिमित क्षेत्र $$\mathbb{F}_q$$;
 * प्रत्येक बीजगणितीय रूप से बंद फ़ील्ड;
 * विस्तार द्वारा पूरी तरह से क्रमबद्ध पूर्ण क्षेत्रों के एक सेट का संघ;
 * एक आदर्श क्षेत्र पर बीजगणितीय क्षेत्र।

व्यवहार में सामने आने वाले अधिकांश क्षेत्र उत्तम हैं। अपूर्ण मामला मुख्य रूप से बीजगणितीय ज्यामिति में विशेषता में उत्पन्न होता है p > 0. प्रत्येक अपूर्ण फ़ील्ड आवश्यक रूप से अपने प्रधान उपक्षेत्र (न्यूनतम सबफ़ील्ड) पर फ़ील्ड_एक्सटेंशन#बीजगणितीय_और_ट्रांसेंडेंटल_एलिमेंट्स है, क्योंकि बाद वाला सही है। अपूर्ण क्षेत्र का एक उदाहरण क्षेत्र है $$\mathbf{F}_q(x)$$, चूंकि फ्रोबेनियस भेजता है $$x \mapsto x^p$$ और इसलिए यह विशेषण नहीं है. यह सही क्षेत्र में एम्बेड होता है
 * $$\mathbf{F}_q(x,x^{1/p},x^{1/p^2},\ldots)$$

इसकी पूर्णता कहा जाता है. अपूर्ण क्षेत्र तकनीकी कठिनाइयों का कारण बनते हैं क्योंकि आधार क्षेत्र के बीजगणितीय समापन में अघुलनशील बहुपद कम करने योग्य बन सकते हैं। उदाहरण के लिए, विचार करना $$f(x,y) = x^p + ay^p \in k[x,y]$$ के लिए $$k$$ विशेषता का एक अपूर्ण क्षेत्र $$p$$ और एफ में पी-वें पावर नहीं है। फिर इसके बीजगणितीय समापन में $$k^{\operatorname{alg}}[x,y]$$, निम्नलिखित समानता रखती है:

f(x,y) = (x + b y)^p , $$ कहां बी = ए और ऐसा बी इस बीजगणितीय समापन में मौजूद है। ज्यामितीय रूप से, इसका मतलब यह है $$f$$ में एक एफ़िन समतल वक्र को परिभाषित नहीं करता है $$k[x,y]$$.

एक आदर्श फ़ील्ड पर फ़ील्ड विस्तार
एक पूर्ण फ़ील्ड k पर कोई भी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न फ़ील्ड एक्सटेंशन K अलग-अलग रूप से उत्पन्न होता है, यानी एक अलग ट्रान्सेंडेंस आधार को स्वीकार करता है, यानी, एक अतिक्रमण का आधार Γ जैसे कि K, k (Γ) पर अलग-अलग बीजगणितीय है।

उत्तम समापन और पूर्णता
समतुल्य शर्तों में से एक कहती है कि, विशेषता पी में, सभी पी से जुड़ा एक क्षेत्र-वीं जड़ें (r ≥ 1) पूर्ण है; इसे k का पूर्ण समापन कहा जाता है और आमतौर पर इसे इसके द्वारा दर्शाया जाता है $$k^{p^{-\infty}}$$.

पूर्ण समापन का उपयोग पृथक्करण के परीक्षण में किया जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, एक क्रमविनिमेय k-बीजगणित A वियोज्य है यदि और केवल यदि $$A \otimes_k k^{p^{-\infty}}$$ कम किया गया है। सार्वभौमिक संपत्ति के संदर्भ में, विशेषता पी की अंगूठी ए का सही बंद होना एक आदर्श अंगूठी ए हैpएक वलय समरूपता के साथ विशेषता पी की u : A → Ap ऐसा कि समरूपता के साथ विशेषता पी की किसी भी अन्य पूर्ण रिंग बी के लिए v : A → B एक अद्वितीय समरूपता है f : Ap → B जैसे कि v, u के माध्यम से गुणनखंड करता है (अर्थात् v = fu). पूर्ण समापन हमेशा मौजूद रहता है; प्रमाण में फ़ील्ड के मामले के समान, ए के तत्वों की आसन्न पी-वें जड़ें शामिल हैं। विशेषता पी की अंगूठी ए की पूर्णता दोहरी धारणा है (हालांकि इस शब्द का उपयोग कभी-कभी पूर्ण समापन के लिए किया जाता है)। दूसरे शब्दों में, ए की पूर्णता आर(ए) एक मानचित्र के साथ विशेषता पी की एक आदर्श अंगूठी है θ : R(A) → A ऐसा कि किसी भी आदर्श रिंग बी के लिए विशेषता पी एक मानचित्र से सुसज्जित है φ : B → A, एक अनोखा नक्शा है f : B → R(A) ऐसा कि φ, θ से होकर गुजरता है (अर्थात φ = θf). ए की पूर्णता का निर्माण निम्नानुसार किया जा सकता है। प्रक्षेप्य प्रणाली पर विचार करें
 * $$\cdots\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow A\rightarrow\cdots$$

जहां संक्रमण मानचित्र फ्रोबेनियस एंडोमोर्फिज्म हैं। इस प्रणाली की व्युत्क्रम सीमा R(A) है और इसमें अनुक्रम (x) शामिल हैं0, एक्स1, ... ) A के तत्वों का ऐसा है कि $$x_{i+1}^p=x_i$$ सबके लिए मैं वो नक्शा θ : R(A) → A भेजता है (xi) से एक्स0.

यह भी देखें

 * पी-रिंग
 * उत्तम अंगूठी
 * अर्ध-सीमित क्षेत्र