कॉन्फिडेंस इंटरवल

फ़्रीक्वेंटिस्ट आँकड़ों में, एक आत्मविश्वास अंतराल (सीआई) एक अज्ञात पैरामीटर के लिए अनुमानों की एक श्रृंखला है। एक विश्वास अंतराल की गणना निर्दिष्ट आत्मविश्वास स्तर पर की जाती है; 95% आत्मविश्वास का स्तर सबसे आम है, लेकिन कभी-कभी 90% या 99% जैसे अन्य स्तरों का भी उपयोग किया जाता है। आत्मविश्वास स्तर, आत्मविश्वास की डिग्री या आत्मविश्वास गुणांक सीआई के लंबे समय तक चलने वाले अनुपात (दिए गए आत्मविश्वास स्तर पर) का प्रतिनिधित्व करता है जिसमें सैद्धांतिक रूप से पैरामीटर का सही मूल्य होता है; यह नाममात्र कवरेज संभाव्यता के बराबर है। उदाहरण के लिए, 95% स्तर पर गणना किए गए सभी अंतरालों में से, 95% में पैरामीटर का सही मान होना चाहिए।

सीआई की चौड़ाई को प्रभावित करने वाले कारकों में नमूना आकार, नमूने में परिवर्तनशीलता और आत्मविश्वास का स्तर शामिल है। बाकी सब समान होने के कारण, एक बड़ा नमूना एक संकीर्ण आत्मविश्वास अंतराल पैदा करता है, नमूने में अधिक परिवर्तनशीलता एक व्यापक आत्मविश्वास अंतराल पैदा करती है, और एक उच्च आत्मविश्वास स्तर एक व्यापक आत्मविश्वास अंतराल पैदा करता है।

परिभाषा
मान लीजिए कि $X$ सांख्यिकीय पैरामीटर $θ$ के साथ संभाव्यता वितरण से एक यादृच्छिक नमूना है, जो अनुमान लगाने योग्य मात्रा है, और $φ$, उन मात्राओं का प्रतिनिधित्व करता है जो तत्काल रुचि की नहीं हैं। आत्मविश्वास स्तर या गुणांक $γ$ के साथ पैरामीटर $θ$ के लिए एक विश्वास अंतराल, एक अंतराल $$\ (\ u(X), v(X)\ )\ $$है, जो संपत्ति के साथ यादृच्छिक चर $$\ u(X)\ $$और$$\ v(X)\ $$द्वारा निर्धारित होता है:
 * $$ \Pr \{\ u(X) < \theta < v(X)\ \}\ =\ \gamma \quad \text{ for every } (\theta,\varphi) ~.$$

संख्या $γ$, जिसका सामान्य मान 1 के करीब है लेकिन 1 से अधिक नहीं है, कभी-कभी $$\ 1 - \alpha\ $$ के रूप में दी जाती है (या प्रतिशत $$\ 100%\cdot( 1 - \alpha )\ $$के रूप में, जहां$$\ \alpha\ $$एक छोटी सकारात्मक संख्या है, अक्सर 0.05।

इसके लिए महत्वपूर्ण है कि सीमाएं $$\ u(X)\ $$और$$\ v(X)\ $$इस प्रकार निर्दिष्ट की जाएं कि जब तक $X$ को यादृच्छिक रूप से नहीं लिया जाता है, हर बार हम एक आत्मविश्वास अंतराल की गणना करते हैं, तब $γ$ की संभावना होती है कि इसमें $θ$, मापित पैरामीटर का सच्चा मान, शामिल होगा। यह किसी भी वास्तविक $θ$ और $φ$ के लिए सत्य होना चाहिए।

अनुमानित विश्वास अंतराल
कई अनुप्रयोगों में, बिल्कुल आवश्यक आत्मविश्वास स्तर वाले विश्वास अंतरालों का निर्माण करना कठिन होता है, लेकिन अनुमानित अंतरालों की गणना की जा सकती है। अंतराल के निर्माण के नियम को स्तर $$\gamma$$ पर विश्वास अंतराल प्रदान करने के रूप में स्वीकार किया जा सकता है यदि


 * $$ \Pr \{\ u(X) < \theta<v(X)\ \}\ \approx\ \gamma \quad \text{ for every }(\theta,\varphi)$$

सन्निकटन के स्वीकार्य स्तर तक। वैकल्पिक रूप से, कुछ लेखकों को इसकी बस आवश्यकता होती है


 * $$ \Pr \{\ u(X) < \theta < v(X)\ \}\ \ge\ \gamma \quad \text{ for every }(\theta,\varphi) ~,$$

जो तब उपयोगी होता है जब संभावनाएँ केवल आंशिक रूप से पहचानी जाती हैं या सटीक नहीं होती हैं, और अलग-अलग वितरण से निपटने के दौरान भी। फॉर्म की विश्वास सीमाएँ


 * $$ \Pr \{\ u(X) < \theta\ \}\ \ge\ \gamma ~$$ और $$ \Pr \{\ \theta < v(X)\ \} \ge \gamma ~$$

रूढ़िवादी कहा जाता है; तदनुसार, कोई रूढ़िवादी विश्वास अंतराल और, सामान्य तौर पर, क्षेत्रों की बात करता है।

वांछित गुण
मानक सांख्यिकीय प्रक्रियाओं को लागू करते समय, विश्वास अंतराल के निर्माण के अक्सर मानक तरीके होंगे। इन्हें कुछ वांछनीय गुणों को पूरा करने के लिए तैयार किया गया होगा, जो यह माना जाएगा कि जिन मान्यताओं पर प्रक्रिया निर्भर करती है वे सत्य हैं। इन वांछनीय गुणों को इस प्रकार वर्णित किया जा सकता है: वैधता, इष्टतमता और अपरिवर्तनीयता।

इन तीनों में से, "वैधता" सबसे महत्वपूर्ण है, इसके बाद "इष्टतमता" आती है। अंतराल के निर्माण के नियम के बजाय, "अपरिवर्तनीयता" को विश्वास अंतराल की व्युत्पत्ति की विधि की एक संपत्ति के रूप में माना जा सकता है। गैर-मानक अनुप्रयोगों में, इन्हीं वांछनीय गुणों की तलाश की जाएगी:

वैधता
इसका मतलब यह है कि विश्वास अंतराल की नाममात्र कवरेज संभाव्यता (विश्वास स्तर) या तो बिल्कुल या अच्छे सन्निकटन पर होनी चाहिए।

इष्टतमता
इसका मतलब यह है कि कॉन्फिडेंस इंटरवल के निर्माण के नियम में डेटा-सेट में मौजूद जानकारी का यथासंभव अधिक उपयोग किया जाना चाहिए।

याद रखें कि कोई डेटासेट का आधा हिस्सा फेंक सकता है और फिर भी एक वैध कॉन्फिडेंस अंतराल प्राप्त करने में सक्षम हो सकता है। इष्टतमता का आकलन करने का एक तरीका अंतराल की लंबाई है ताकि आत्मविश्वास अंतराल के निर्माण के लिए एक नियम को दूसरे की तुलना में बेहतर आंका जा सके यदि यह उन अंतरालों की ओर ले जाता है जिनकी लंबाई आम तौर पर कम होती है।

उलटा
कई अनुप्रयोगों में, अनुमानित की जा रही मात्रा को इस प्रकार कसकर परिभाषित नहीं किया जा सकता।

उदाहरण के लिए, एक सर्वेक्षण के परिणामस्वरूप किसी जनसंख्या में औसत आय का अनुमान लगाया जा सकता है, लेकिन इसे समान रूप से औसत आय के लघुगणक का अनुमान प्रदान करने वाला माना जा सकता है, यह देखते हुए कि यह ग्राफिकल परिणाम प्रस्तुत करने के लिए एक सामान्य पैमाना है। यह वांछनीय होगा कि औसत आय के लिए विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए उपयोग की जाने वाली विधि, औसत आय के लघुगणक के लिए विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए लागू होने पर समान परिणाम देगी: विशेष रूप से बाद के अंतराल के अंत में मान लघुगणक होंगे पूर्व अंतराल के अंत में मूल्यों का।

व्युत्पत्ति के तरीके
गैर-मानक अनुप्रयोगों के लिए, ऐसे कई मार्ग हैं जिनका उपयोग विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए एक नियम प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है। मानक प्रक्रियाओं के लिए स्थापित नियमों को इनमें से कई मार्गों के माध्यम से उचित ठहराया जा सकता है या समझाया जा सकता है। आम तौर पर विश्वास अंतराल के निर्माण के लिए एक नियम विचाराधीन मात्रा के बिंदु अनुमान को खोजने के एक विशेष तरीके से निकटता से जुड़ा हुआ है।

सारांश आँकड़े
यह अनुमान के लिए क्षणों की विधि से निकटता से संबंधित है। एक सरल उदाहरण सामने आता है जहां अनुमानित की जाने वाली मात्रा जनसंख्या माध्य है, उस स्थिति में प्राकृतिक अनुमान नमूना माध्य है। इसी तरह, नमूना विचरण का उपयोग जनसंख्या विचरण का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है। सही माध्य के लिए एक विश्वास अंतराल का निर्माण नमूना माध्य पर केंद्रित किया जा सकता है, जिसकी चौड़ाई नमूना विचरण के वर्गमूल का गुणक है।

संभावना सिद्धांत
अनुमानों का निर्माण अधिकतम संभावना सिद्धांत का उपयोग करके किया जा सकता है, इसके लिए संभावना सिद्धांत अनुमानों के लिए विश्वास अंतराल या विश्वास क्षेत्रों के निर्माण के दो तरीके प्रदान करता है।

समीकरणों का अनुमान लगाना
यहां अनुमान दृष्टिकोण को क्षणों की विधि का सामान्यीकरण और अधिकतम संभावना दृष्टिकोण का सामान्यीकरण दोनों माना जा सकता है। अधिकतम संभावना सिद्धांत के परिणामों के अनुरूप सामान्यीकरण हैं जो समीकरणों के आकलन से प्राप्त अनुमानों के आधार पर विश्वास अंतराल का निर्माण करने की अनुमति देते हैं।

परिकल्पना परीक्षण
यदि किसी पैरामीटर के सामान्य मानों के लिए परिकल्पना परीक्षण उपलब्ध हैं, तो100 $p$ %विश्वास क्षेत्र में उन सभी बिंदुओं को शामिल करके आत्मविश्वास अंतराल/क्षेत्रों का निर्माण किया जा सकता है, जिनके लिए शून्य परिकल्पना की परिकल्पना परीक्षण है कि सही मूल्य दिया गया मूल्य है (1 − $p$). के महत्व स्तर पर खारिज नहीं किया गया।

बूटस्ट्रैपिंग
ऐसी स्थितियों में जहां उपरोक्त विधियों के लिए वितरण संबंधी धारणाएं अनिश्चित या उल्लंघनित हैं, पुन: नमूनाकरण विधियां विश्वास अंतराल या भविष्यवाणी अंतराल के निर्माण की अनुमति देती हैं। देखे गए डेटा वितरण और आंतरिक सहसंबंधों को व्यापक जनसंख्या में सहसंबंधों के लिए सरोगेट के रूप में उपयोग किया जाता है।

केंद्रीय सीमा प्रमेय
केंद्रीय सीमा प्रमेय बड़ी संख्या के कानून का परिशोधन है। बड़ी संख्या में स्वतंत्र रूप से समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर $$\ X_1, ..., X_n\ ,$$ के लिए परिमित विचरण के साथ, औसत$$\ \overline{X}_n\ $$का लगभग एक सामान्य वितरण होता है, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि$$\ X_i\ $$का वितरण क्या है, सन्निकटन में लगभग$$\ \sqrt{n\ }.$$ के अनुपात में सुधार होता है।

उदाहरण
मान लीजिए कि {X1, ..., Xn} सामान्य वितरण आबादी से एक स्वतंत्र नमूना है जिसमें अज्ञात पैरामीटर का मतलब μ और विचरण σ2 है। होने देना


 * $$\bar{X}=(X_1+\cdots+X_n)/n\,,$$
 * $$S^2=\frac 1 {n-1}\sum_{i=1}^n (X_i-\bar{X}\,)^2.$$

जहां नमूना माध्य है, और S2 नमूना भिन्नता है। तब


 * $$T=\frac{\bar{X}-\mu}{S/\sqrt{n}}$$

इसमें विद्यार्थी का t वितरण n - 1 डिग्री स्वतंत्रता के साथ है। ध्यान दें कि T का वितरण अप्राप्य पैरामीटर μ और σ2 के मानों पर निर्भर नहीं करता है; अर्थात्, यह एक निर्णायक मात्रा है। मान लीजिए हम μ के लिए 95% विश्वास अंतराल की गणना करना चाहते हैं। फिर, c को इस वितरण के 97.5वें प्रतिशतक के रूप में दर्शाते हुए,


 * $$\Pr(-c\le T \le c)=0.95$$

ध्यान दें कि "97.5वाँ" और "0.95" पूर्ववर्ती अभिव्यक्तियों में सही हैं। 2.5% संभावना है कि $$T$$, $$-c$$ से कम होगा और 2.5% संभावना है कि यह $$+c$$ से बड़ा होगा। इस प्रकार, $$T$$, $$-c$$ और $$+c$$ के बीच होगा इसकी संभावना 95% है।

फलस्वरूप,


 * $$\Pr\left(\bar{X} - \frac{cS}{\sqrt{n}} \le \mu \le \bar{X} + \frac{cS}{\sqrt{n}} \right)=0.95\,$$

और हमारे पास μ के लिए सैद्धांतिक (स्टोकेस्टिक) 95% आत्मविश्वास अंतराल है।

नमूने का अवलोकन करने के बाद हमें के लिए  और S के लिए s मान मिलते हैं, जिससे हम कॉन्फिडेंस अंतराल की गणना करते हैं
 * $$ \left[ \bar{x} - \frac{cs}{\sqrt{n}}, \bar{x} + \frac{cs}{\sqrt{n}} \right]. $$



व्याख्या
विश्वास अंतराल की विभिन्न व्याख्याएँ दी जा सकती हैं (निम्नलिखित में उदाहरण के रूप में 95% विश्वास अंतराल लेते हुए)।


 * आत्मविश्वास अंतराल को दोहराए गए नमूनों (या पुनर्नमूनाकरण) में दीर्घकालिक आवृत्ति के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है: "यदि इस प्रक्रिया को कई नमूनों पर दोहराया जाता है, तो जनसंख्या पैरामीटर के वास्तविक मूल्य को शामिल करने वाले गणना किए गए 95% विश्वास अंतराल का अनुपात 95% हो जाएगा।"
 * आत्मविश्वास अंतराल को एकल सैद्धांतिक (अभी तक साकार नहीं हुआ) नमूने के संबंध में संभाव्यता के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है: "95% संभावना है कि किसी दिए गए भविष्य के नमूने से गणना की गई 95% विश्वास अंतराल जनसंख्या पैरामीटर के सही मूल्य को कवर करेगी।" यह अनिवार्य रूप से "दोहराए गए नमूनों" की व्याख्या को आवृत्ति के बजाय संभावना के रूप में पुनः परिभाषित करता है।
 * विश्वास अंतराल को सांख्यिकीय महत्व के संदर्भ में व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए: "95% विश्वास अंतराल उन मूल्यों का प्रतिनिधित्व करता है जो .05 स्तर पर बिंदु अनुमान से सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न नहीं हैं।"



आम गलतफहमी


आत्मविश्वास के अंतराल और स्तरों को अक्सर गलत समझा जाता है, और प्रकाशित अध्ययनों से पता चला है कि पेशेवर वैज्ञानिक भी अक्सर उनकी गलत व्याख्या करते हैं।


 * 95% आत्मविश्वास स्तर का मतलब यह नहीं है कि किसी दिए गए एहसास अंतराल के लिए 95% संभावना है कि जनसंख्या पैरामीटर अंतराल के भीतर है (यानी, 95% संभावना है कि अंतराल जनसंख्या पैरामीटर को कवर करता है)। सख्त बारंबारतावादी व्याख्या के अनुसार, एक बार अंतराल की गणना करने के बाद, यह अंतराल या तो पैरामीटर मान को कवर करता है या नहीं; यह अब संभाव्यता का मामला नहीं है। 95% संभावना अनुमान प्रक्रिया की विश्वसनीयता से संबंधित है, किसी विशिष्ट गणना अंतराल से नहीं। नेमन ने स्वयं (आत्मविश्वास अंतराल के मूल प्रस्तावक) ने अपने मूल पेपर में यह बात कही थी: "यह देखा जाएगा कि उपरोक्त विवरण में, संभाव्यता कथन अनुमान की उन समस्याओं का उल्लेख करते हैं जिनसे सांख्यिकीविद् भविष्य में चिंतित होंगे। दरअसल, मैंने बार-बार कहा है कि सही परिणामों की आवृत्ति α की ओर प्रवृत्त होगी। अब उस मामले पर विचार करें जब एक नमूना पहले ही तैयार किया जा चुका है, और गणना में [विशेष सीमाएं] दी गई हैं। क्या हम कह सकते हैं कि इस विशेष मामले में वास्तविक मान की संभावना [इन सीमाओं के बीच गिरने] α के बराबर है? उत्तर स्पष्ट रूप से नकारात्मक है. पैरामीटर एक अज्ञात स्थिरांक है, और इसके मान से संबंधित कोई संभाव्यता कथन नहीं दिया जा सकता है..."डेबोरा मेयो इस पर आगे इस प्रकार विस्तार करती है:


 * "हालाँकि, इस बात पर जोर दिया जाना चाहिए कि [डेटा के] मूल्य को देखने के बाद, नेमैन-पियर्सन सिद्धांत कभी भी किसी को यह निष्कर्ष निकालने की अनुमति नहीं देता है कि गठित विशिष्ट आत्मविश्वास अंतराल 0 के वास्तविक मूल्य को (1 − α) 100% संभावना के साथ कवर करता है या (1 − α) 100% आत्मविश्वास की डिग्री। सेडेनफेल्ड की टिप्पणी नेमैन-पियर्सन आत्मविश्वास अंतराल के लिए कुछ ऐसा प्रदान करने की इच्छा (असामान्य नहीं) में निहित प्रतीत होती है जिसे वे वैध रूप से प्रदान नहीं कर सकते हैं; अर्थात्, संभाव्यता, विश्वास या समर्थन की डिग्री का एक माप कि एक अज्ञात पैरामीटर मान एक विशिष्ट अंतराल में स्थित है। सैवेज (1962) के बाद, एक पैरामीटर के एक विशिष्ट अंतराल में होने की संभावना को अंतिम सटीकता के माप के रूप में संदर्भित किया जा सकता है। हालांकि अंतिम परिशुद्धता का एक माप वांछनीय लग सकता है, और जबकि आत्मविश्वास के स्तर को अक्सर (गलत तरीके से) ऐसे उपाय प्रदान करने के रूप में व्याख्या की जाती है, ऐसी कोई व्याख्या उचित नहीं है। माना कि इस तरह की गलत व्याख्या को 'आत्मविश्वास' शब्द से बढ़ावा मिलता है।"


 * 95% विश्वास स्तर का मतलब यह नहीं है कि नमूना डेटा का 95% विश्वास अंतराल के भीतर है।
 * एक कॉन्फिडेंस अंतराल नमूना पैरामीटर के लिए प्रशंसनीय मूल्यों की एक निश्चित सीमा नहीं है, हालांकि इसे अक्सर प्रशंसनीय मूल्यों की एक श्रृंखला के रूप में लिया जाता है।
 * एक प्रयोग से गणना किए गए 95% के विशेष आत्मविश्वास स्तर का मतलब यह नहीं है कि इस अंतराल के भीतर आने वाले प्रयोग के दोहराव से नमूना पैरामीटर की 95% संभावना है।

प्रति उदाहरण
चूंकि आत्मविश्वास अंतराल सिद्धांत प्रस्तावित किया गया था, इसलिए सिद्धांत के कई प्रति-उदाहरण यह दिखाने के लिए विकसित किए गए हैं कि आत्मविश्वास अंतराल की व्याख्या कैसे समस्याग्रस्त हो सकती है, कम से कम अगर कोई उन्हें भोलेपन से व्याख्या करता है।

एक समान स्थान के लिए विश्वास प्रक्रिया
वेल्च ने एक उदाहरण प्रस्तुत किया जो स्पष्ट रूप से आत्मविश्वास अंतराल के सिद्धांत और अंतराल अनुमान के अन्य सिद्धांतों (फिशर के फिडुशियल अंतराल और उद्देश्य बायेसियन अंतराल सहित) के बीच अंतर दिखाता है। रॉबिन्सन ने इस उदाहरण को "[पी]संभवतः नेमैन के आत्मविश्वास अंतराल सिद्धांत के संस्करण के लिए सबसे प्रसिद्ध प्रतिउदाहरण कहा है।" वेल्च के लिए, इसने आत्मविश्वास अंतराल सिद्धांत की श्रेष्ठता को दर्शाया; सिद्धांत के आलोचकों के लिए, यह कमी दर्शाता है। यहां हम एक सरलीकृत संस्करण प्रस्तुत करते हैं।

मान लीजिए कि $$X_1,X_2$$ एक समान (θ − 1/2, θ + 1/2) वितरण से स्वतंत्र अवलोकन हैं। फिर $$\theta$$ के लिए इष्टतम 50% विश्वास प्रक्रिया है
 * $$\bar{X} \pm \begin{cases}

\dfrac{|X_1-X_2|}{2} & \text{if } |X_1-X_2| < 1/2 \\[8pt] \dfrac{1-|X_1-X_2|}{2} &\text{if } |X_1-X_2| \geq 1/2. \end{cases} $$ अंतराल अनुमान प्राप्त करने के लिए एक प्रत्ययी या उद्देश्य बायेसियन तर्क का उपयोग किया जा सकता है
 * $$\bar{X} \pm \frac{1-|X_1-X_2|}{4},$$

जो कि 50% विश्वास प्रक्रिया भी है। वेल्च ने दिखाया कि आत्मविश्वास अंतराल सिद्धांत से डेसिडरेटा के अनुसार, पहली आत्मविश्वास प्रक्रिया दूसरे पर हावी है; प्रत्येक $$\theta_1\neq\theta$$ के लिए, पहली प्रक्रिया में $$\theta_1$$होने की प्रायिकता दूसरी प्रक्रिया में $$\theta_1$$ होने की प्रायिकता से कम या उसके बराबर है। पहली प्रक्रिया से अंतराल की औसत चौड़ाई दूसरी से कम है। इसलिए, शास्त्रीय विश्वास अंतराल सिद्धांत के अंतर्गत पहली प्रक्रिया को प्राथमिकता दी जाती है।

हालाँकि, जब $$ |X_1-X_2| \geq 1/2$$, पहली प्रक्रिया के अंतरालों में सही मान $$\theta$$ शामिल होने की गारंटी होती है: इसलिए, नाममात्र 50% आत्मविश्वास गुणांक उस अनिश्चितता से असंबंधित है जो हमारे पास होनी चाहिए कि एक विशिष्ट अंतराल में सही मान शामिल है। दूसरी प्रक्रिया में यह संपत्ति नहीं है।

इसके अलावा, जब पहली प्रक्रिया बहुत कम अंतराल उत्पन्न करती है, तो यह इंगित करता है कि $$X_1,X_2$$ एक साथ बहुत करीब हैं और इसलिए केवल एक डेटा बिंदु में जानकारी प्रदान करते हैं। फिर भी पहला अंतराल अपनी छोटी चौड़ाई के कारण पैरामीटर के लगभग सभी उचित मूल्यों को बाहर कर देगा। दूसरी प्रक्रिया में यह संपत्ति नहीं है।

पहली प्रक्रिया के दो प्रति-सहज ज्ञान युक्त गुण - 100% कवरेज जब $$X_1,X_2$$ दूर हों और लगभग 0% कवरेज जब $$X_1,X_2$$ एक साथ करीब हों - औसतन 50% कवरेज प्राप्त करने के लिए संतुलित होते हैं। हालाँकि, पहली प्रक्रिया इष्टतम होने के बावजूद, इसके अंतराल न तो अनुमान की सटीकता का आकलन प्रदान करते हैं और न ही अनिश्चितता का आकलन करते हैं कि अंतराल में सही मूल्य शामिल होना चाहिए।

इस प्रति-उदाहरण का उपयोग आत्मविश्वास अंतराल की भोली व्याख्याओं के खिलाफ तर्क देने के लिए किया जाता है। यदि विश्वास प्रक्रिया में नाममात्र कवरेज से परे गुण होने का दावा किया जाता है (जैसे कि परिशुद्धता के संबंध में, या बायेसियन अनुमान के साथ संबंध), तो उन गुणों को साबित किया जाना चाहिए; वे इस तथ्य का पालन नहीं करते कि एक प्रक्रिया एक विश्वास प्रक्रिया है।

ω के लिए विश्वास प्रक्रिया2
स्टीगर ने ANOVA में सामान्य प्रभाव मापों के लिए कई आत्मविश्वास प्रक्रियाओं की सुझाव दी। Morey et al. ने इस पर इशारा करते हुए कहा है कि इनमें से कई आत्मविश्वास प्रक्रियाएं, जिनमें ω2 के लिए एक है, की गुणवत्ता होती है कि जब F सांख्यिकीय परीक्षण का मूल्य बहुत ही छोटा हो जाता है — जो ω2 के सभी संभावित मानों के साथ मिलान नहीं करता है — तो आत्मविश्वास सीमा संकुचित हो जाती है और केवल एकल मान ω2 = 0 को ही समावेश कर सकती है; अर्थात्, सीमा असंख्यता संकुचित हो जाती है (जब $$p\geq1-\alpha/2$$ के लिए $$100(1-\alpha)\%$$ होता है)।

यह व्यवहार आत्मविश्वास प्रक्रिया और महत्व परीक्षण के बीच के संबंध के अनुरूप है: चूंकि एफ इतना छोटा हो जाता है कि समूह के साधन एक साथ बहुत करीब हो जाते हैं जितना हम संयोग से उम्मीद करेंगे, एक महत्व परीक्षण ω2 के अधिकांश या सभी मूल्यों के लिए अस्वीकृति का संकेत दे सकता है। इसलिए अंतराल बहुत संकीर्ण या यहां तक कि खाली होगा (या, स्टीगर द्वारा सुझाई गई परंपरा के अनुसार, जिसमें केवल 0 होगा)। हालाँकि, इससे यह संकेत नहीं मिलता कि ω2 का अनुमान बहुत सटीक है। एक तरह से, यह विपरीत संकेत देता है: कि परिणामों की विश्वसनीयता स्वयं संदेह में हो सकती है। यह आत्मविश्वास अंतराल की आम व्याख्या के विपरीत है कि वे अनुमान की सटीकता को प्रकट करते हैं।

इतिहास
द्विपद अनुपात के लिए विश्वास अंतराल की गणना के तरीके 1920 के दशक से सामने आए। सामान्य रूप से आत्मविश्वास अंतराल के मुख्य विचार 1930 के दशक की शुरुआत में विकसित किए गए थे,  और पहला संपूर्ण और सामान्य विवरण जेरज़ी नेमन द्वारा 1937 में दिया गया था।

नेमैन ने विचारों के विकास का वर्णन इस प्रकार किया (संदर्भ संख्याएँ बदल दी गई हैं):

[आत्मविश्वास अंतराल पर मेरा काम] 1930 के आसपास वाक्लाव पाइटकोव्स्की के एक साधारण प्रश्न से उत्पन्न हुआ, जो उस समय वारसॉ में मेरा छात्र था, जो कृषि अर्थशास्त्र में एक अनुभवजन्य अध्ययन में लगा हुआ था। सवाल यह था: अनुमानित प्रतिगमन गुणांक की सटीकता को गैर-हठधर्मी रूप से कैसे चित्रित किया जाए? . ..

पाइटकोव्स्की का मोनोग्राफ... 1932 में छपा ऐसा हुआ कि, कुछ समय पहले, फिशर ने अपना पहला पेपर प्रकाशित किया था जो प्रत्ययी वितरण और प्रत्ययी तर्क से संबंधित था। काफी अप्रत्याशित रूप से, जबकि प्रत्ययी तर्क का वैचारिक ढांचा विश्वास अंतराल से पूरी तरह से अलग है, कई विशेष समस्याओं के विशिष्ट समाधान मेल खाते हैं। इस प्रकार, 1934 में प्रकाशित पहले पेपर में, जिसमें मैंने विश्वास अंतराल के सिद्धांत को प्रस्तुत किया था, मैंने इस विचार के लिए फिशर की प्राथमिकता को मान्यता दी थी कि बेयस प्रमेय के किसी भी संदर्भ के बिना और संभावनाओं से स्वतंत्र समाधान के साथ अंतराल अनुमान संभव है। एक प्राथमिकता. साथ ही मैंने हल्के ढंग से सुझाव दिया कि समस्या के प्रति फिशर के दृष्टिकोण में एक छोटी सी गलतफहमी शामिल है।

चिकित्सा पत्रिकाओं में, आत्मविश्वास अंतराल को 1970 के दशक में बढ़ावा दिया गया था लेकिन 1980 के दशक में इसका व्यापक रूप से उपयोग किया गया। 1988 तक, चिकित्सा पत्रिकाओं को आत्मविश्वास अंतराल की रिपोर्टिंग की आवश्यकता होने लगी थी।

यह भी देखें

 * 68–95–99.7 नियम
 * कॉन्फिडेंस बैंड, एक वक्र के लिए अंतराल का अनुमान
 * , एक उच्च आयामी सामान्यीकरण
 * - आंकड़ों में प्रयुक्त विश्वास की ताकत का माप
 * विश्वसनीय अंतराल, अंतराल आकलन के लिए बायेसियन विकल्प
 * - डेटा की परिवर्तनशीलता का ग्राफिकल प्रतिनिधित्व
 * - बारंबारतावादी सांख्यिकी में डेटा विश्लेषण दृष्टिकोण
 * त्रुटि की गुंजाइश, सीआई आधी चौड़ाई
 * त्रुटि का मार्जिन, CI आधी चौड़ाई
 * - देखे गए नमूना परिणामों का कार्य
 * भविष्यवाणी अंतराल, एक यादृच्छिक चर के लिए अंतराल अनुमान
 * संभावित त्रुटि
 * - किसी नमूने के विचलन के सांख्यिकीय संकेतक
 * भविष्यवाणी अंतराल, एक यादृच्छिक चर के लिए अंतराल अनुमान
 * संभावित त्रुटि
 * - किसी नमूने के विचलन के सांख्यिकीय संकेतक

विशिष्ट वितरण के लिए विश्वास अंतराल

 * द्विपद बंटन के लिए विश्वास अंतराल
 * विद्युत कानून वितरण के प्रतिपादक के लिए विश्वास अंतराल
 * घातांकीय वितरण के माध्य के लिए विश्वास अंतराल
 * पॉसों वितरण के माध्य के लिए विश्वास अंतराल
 * सामान्य वितरण के माध्य और भिन्नता के लिए विश्वास अंतरालल

ग्रन्थसूची

 * Fisher, R.A. (1956) Statistical Methods and Scientific Inference. Oliver and Boyd, Edinburgh. (See p. 32.)
 * Freund, J.E. (1962) Mathematical Statistics Prentice Hall, Englewood Cliffs, NJ. (See pp. 227–228.)
 * Hacking, I. (1965) Logic of Statistical Inference. Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-05165-7
 * Keeping, E.S. (1962) Introduction to Statistical Inference. D. Van Nostrand, Princeton, NJ.
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 * Savage, L. J. (1962), The Foundations of Statistical Inference. Methuen, London.
 * Smithson, M. (2003) Confidence intervals. Quantitative Applications in the Social Sciences Series, No. 140. Belmont, CA: SAGE Publications. ISBN 978-0-7619-2499-9.
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 * Mehta, S. (2014) Statistics Topics ISBN 978-1-4992-7353-3

बाहरी संबंध

 * The Exploratory Software for Confidence Intervals tutorial programs that run under Excel
 * Confidence interval calculators for R-Squares, Regression Coefficients, and Regression Intercepts
 * CAUSEweb.org Many resources for teaching statistics including Confidence Intervals.
 * An interactive introduction to Confidence Intervals
 * Confidence Intervals: Confidence Level, Sample Size, and Margin of Error by Eric Schulz, the Wolfram Demonstrations Project.
 * Confidence Intervals in Public Health. Straightforward description with examples and what to do about small sample sizes or rates near 0.
 * Confidence Intervals in Public Health. Straightforward description with examples and what to do about small sample sizes or rates near 0.