सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तन

विश्लेषणात्मक ज्यामिति में,  3-आयामी यूक्लिडियन अंतरिक्ष  में स्थानिक परिवर्तन $$\R^3$$ सक्रिय या अन्यत्र रूपांतरों और निष्क्रिय या अन्य रूपांतरों में प्रतिष्ठित हैं। एक सक्रिय परिवर्तन एक  परिवर्तन (गणित)  है जो वास्तव में एक बिंदु, या कठोर शरीर की भौतिक स्थिति (एलबी, अन्यत्र) को बदलता है, जिसे  समन्वय प्रणाली  की अनुपस्थिति में परिभाषित किया जा सकता है; जबकि एक निष्क्रिय परिवर्तन केवल उस समन्वय प्रणाली में परिवर्तन है जिसमें वस्तु का वर्णन किया गया है (उपनाम, अन्य नाम) (समन्वय मानचित्र में परिवर्तन, या आधार में परिवर्तन)। रूपांतरण से,  गणितज्ञ  आमतौर पर सक्रिय परिवर्तनों को संदर्भित करते हैं, जबकि भौतिकविदों और  इंजीनियर ों का मतलब या तो हो सकता है। दोनों प्रकार के परिवर्तन को एक  अनुवाद (ज्यामिति)  और एक  रैखिक परिवर्तन  के संयोजन द्वारा दर्शाया जा सकता है।

अलग तरीके से कहें तो, एक निष्क्रिय परिवर्तन दो अलग-अलग समन्वय प्रणालियों में एक ही वस्तु के विवरण को संदर्भित करता है। दूसरी ओर, एक सक्रिय परिवर्तन एक ही समन्वय प्रणाली के संबंध में एक या एक से अधिक वस्तुओं का परिवर्तन है। उदाहरण के लिए, सक्रिय परिवर्तन कठोर शरीर के क्रमिक पदों का वर्णन करने के लिए उपयोगी होते हैं। दूसरी ओर, निष्क्रिय परिवर्तन मानव गति विश्लेषण में फीमर के सापेक्ष टिबिअ  की गति का निरीक्षण करने के लिए उपयोगी हो सकता है, अर्थात, एक (स्थानीय) समन्वय प्रणाली के सापेक्ष इसकी गति जो फीमर के साथ चलती है, बजाय एक ( global) समन्वय प्रणाली जो फर्श पर तय की गई है।

उदाहरण
एक उदाहरण के रूप में, चलो वेक्टर $$\mathbf{v}=(v_1,v_2) \in \R^2$$, विमान में एक सदिश बनें। वामावर्त दिशा में एक कोण θ के माध्यम से सदिश का घूर्णन रोटेशन मैट्रिक्स  द्वारा दिया जाता है: $$R= \begin{pmatrix} \cos \theta & -\sin \theta\\ \sin \theta & \cos \theta \end{pmatrix}, $$ जिसे या तो एक सक्रिय परिवर्तन या एक निष्क्रिय परिवर्तन के रूप में देखा जा सकता है (जहाँ उपरोक्त मैट्रिक्स (गणित)  व्युत्क्रम मैट्रिक्स होगा), जैसा कि नीचे वर्णित है।

यूक्लिडियन अंतरिक्ष आर में स्थानिक परिवर्तन 3
सामान्य तौर पर एक स्थानिक परिवर्तन $$T\colon\R^3\to \R^3$$ एक अनुवाद और एक रेखीय परिवर्तन शामिल हो सकते हैं। निम्नलिखित में, अनुवाद को छोड़ दिया जाएगा, और रैखिक परिवर्तन को 3×3 मैट्रिक्स द्वारा दर्शाया जाएगा $$T$$.

सक्रिय परिवर्तन
एक सक्रिय परिवर्तन के रूप में, $$T$$ प्रारंभिक वेक्टर को बदल देता है $$\mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z)$$ एक नए वेक्टर में $$\mathbf{v}'=(v'_x,v'_y,v'_z)=T\mathbf{v}=T(v_x,v_y,v_z)$$.

यदि कोई देखे $$\{\mathbf{e}'_x=T(1,0,0),\ \mathbf{e}'_y=T(0,1,0),\ \mathbf{e}'_z=T(0,0,1)\}$$ एक नए आधार (रैखिक बीजगणित)  के रूप में, फिर नए वेक्टर के निर्देशांक $$\mathbf{v}'=v_x\mathbf{e}'_x+v_y\mathbf{e}'_y+v_z\mathbf{e}'_z$$ नए आधार में के समान हैं $$\mathbf{v}=v_x\mathbf{e}_x+v_y\mathbf{e}_y+v_z\mathbf{e}_z$$ मूल आधार में। ध्यान दें कि सक्रिय परिवर्तन एक अलग सदिश स्थान में रैखिक परिवर्तन के रूप में भी समझ में आता है। नए सदिश को अप्रमाणित आधार (जैसा कि ऊपर बताया गया है) में तभी लिखना उचित है जब रूपांतरण अंतरिक्ष से स्वयं में हो।

निष्क्रिय परिवर्तन
दूसरी ओर, जब कोई देखता है $$T$$ एक निष्क्रिय परिवर्तन के रूप में, प्रारंभिक वेक्टर $$\mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z)$$ अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है, जबकि समन्वय प्रणाली और इसके आधार वैक्टर विपरीत दिशा में परिवर्तित हो जाते हैं, अर्थात, व्युत्क्रम परिवर्तन के साथ $$T^{-1}$$. यह आधार वैक्टर के साथ एक नया समन्वय प्रणाली XYZ देता है: $$\mathbf{e}_X = T^{-1}(1,0,0),\ \mathbf{e}_Y = T^{-1}(0,1,0),\ \mathbf{e}_Z = T^{-1}(0,0,1)$$ नए निर्देशांक $$(v_X,v_Y,v_Z)$$ का $$\mathbf{v}$$ नए समन्वय प्रणाली XYZ के संबंध में निम्न द्वारा दिया गया है: $$\mathbf{v} = (v_x,v_y,v_z) = v_Xe_X+v_Ye_Y+v_Ze_Z = T^{-1}(v_X,v_Y,v_Z).$$ इस समीकरण से कोई यह देखता है कि नए निर्देशांक किसके द्वारा दिए गए हैं $$(v_X,v_Y,v_Z) = T(v_x,v_y,v_z).$$ एक निष्क्रिय परिवर्तन के रूप में $$T$$ पुराने निर्देशांक को नए में बदल देता है।

दो प्रकार के परिवर्तनों के बीच समानता पर ध्यान दें: सक्रिय परिवर्तन में नए बिंदु के निर्देशांक और निष्क्रिय परिवर्तन में बिंदु के नए निर्देशांक समान हैं, अर्थात् $$(v_X,v_Y,v_Z)=(v'_x,v'_y,v'_z).$$

सार वेक्टर रिक्त स्थान में
अमूर्त वेक्टर रिक्त स्थान पर विचार करके सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तनों के बीच का अंतर गणितीय रूप से देखा जा सकता है।

एक परिमित-आयामी वेक्टर स्थान को ठीक करें $$V$$ एक मैदान के ऊपर $$K$$ (के रूप के बारे में सोचा $$\mathbb{R}$$ या $$\mathbb{C}$$), और एक आधार $$\mathcal{B} = \{e_i\}_{1 \leq i \leq n}$$ का $$V$$. यह आधार एक समरूपता प्रदान करता है $$C: K^n \rightarrow V$$ घटक मानचित्र के माध्यम से $(v_i)_{1 \leq i \leq n} = (v_1, \cdots, v_n) \mapsto \sum_i v_i e_i$.

एक सक्रिय परिवर्तन तब एक एंडोमोर्फिज्म  होता है $$V$$, यानी एक रेखीय नक्शा $$V$$ खुद को। ऐसा परिवर्तन ले रहा है $$\tau \in \text{End}(V)$$, एक वेक्टर $$v \in V$$ के रूप में परिवर्तित हो जाता है $$v \mapsto \tau v$$. के घटक $$\tau$$ आधार के संबंध में $$\mathcal{B}$$ समीकरण के माध्यम से परिभाषित किया गया है $\tau e_i = \sum_j\tau_{ji}e_j$. फिर, के घटक $$v$$ के रूप में रूपांतरित करें $$v_i \mapsto \tau_{ij}v_j$$.

इसके बजाय एक निष्क्रिय परिवर्तन एक एंडोमोर्फिज्म है $$K^n$$. यह घटकों पर लागू होता है: $$v_i \mapsto T_{ij}v_j =: v'_i$$. नया आधार $$\mathcal{B}' = \{e'_i\}$$ पूछकर निर्धारित किया जाता है $$v_ie_i = v'_i e'_i$$, जिससे अभिव्यक्ति $$e'_i = (T^{-1})_{ji}e_j$$ प्राप्त किया जा सकता है।

हालांकि रिक्त स्थान $$\text{End}(V)$$ और $$\text{End}({K^n})$$ आइसोमोर्फिक हैं, वे कैनोनिक रूप से आइसोमोर्फिक नहीं हैं। फिर भी आधार का एक विकल्प $$\mathcal{B}$$ एक समरूपता के निर्माण की अनुमति देता है।

बाएँ और दाएँ-क्रियाओं के रूप में
अक्सर कोई उस मामले तक सीमित रहता है जहां नक्शे उलटे होते हैं, इसलिए सक्रिय परिवर्तन सामान्य रैखिक समूह  होते हैं $$\text{GL}(V)$$ परिवर्तनों का जबकि निष्क्रिय परिवर्तन समूह हैं $$\text{GL}(n, K)$$.

परिवर्तनों को तब आधारों के स्थान पर कार्य करने के रूप में समझा जा सकता है $$V$$. एक सक्रिय परिवर्तन $$\tau \in \text{GL}(V)$$ आधार भेजता है $$\{e_i\} \mapsto \{\tau e_i\}$$. इस बीच एक निष्क्रिय परिवर्तन $$T \in \text{GL}(n, K)$$ आधार भेजता है $\{e_i\} \mapsto \left\{\sum_{j}(T^{-1})_{ji}e_j\right\}$.

निष्क्रिय परिवर्तन में व्युत्क्रम यह सुनिश्चित करता है कि घटक समान रूप से रूपांतरित हों $$\tau$$ और $$T$$. यह तब सक्रिय और निष्क्रिय परिवर्तनों के बीच एक तेज अंतर देता है: सक्रिय परिवर्तनों ने आधारों पर कार्रवाई छोड़ दी, जबकि निष्क्रिय परिवर्तन उलटा होने के कारण दाईं ओर से कार्य करते हैं।

आधारों को देखने से यह अवलोकन अधिक स्वाभाविक हो जाता है $$\mathcal{B}$$ समरूपता के विकल्प के रूप में $$\Phi_{\mathcal{B}}: V \rightarrow K^n$$. आधारों का स्थान समान रूप से इस तरह के आइसोमोर्फिज़्म का स्थान है, जिसे निरूपित किया गया है $$\text{Iso}(V, K^n)$$. सक्रिय परिवर्तन, के साथ पहचाना गया $$\text{GL}(V)$$, पर कार्यवाही $$\text{Iso}(V, K^n)$$ रचना द्वारा बाईं ओर से, जबकि निष्क्रिय परिवर्तनों के साथ पहचाना गया $$\text{GL}(n, K)$$ पर कार्य करता है $$\text{Iso}(V, K^n)$$ पूर्व-रचना द्वारा दाईं ओर से।

यह आधारों के स्थान को बाईं ओर मोड़ देता है $$\text{GL}(V)$$ धड़ और राइट $$\text{GL}(n, K)$$-मस्तिष्क।

भौतिक परिप्रेक्ष्य से, सक्रिय परिवर्तनों को भौतिक स्थान के परिवर्तनों के रूप में चित्रित किया जा सकता है, जबकि निष्क्रिय परिवर्तनों को भौतिक स्थान के विवरण में अतिरेक के रूप में चित्रित किया जाता है। यह गणितीय गेज सिद्धांत  में एक महत्वपूर्ण भूमिका निभाता है, जहां  गेज परिवर्तन ों को गणितीय रूप से संक्रमण मानचित्रों द्वारा वर्णित किया जाता है जो तंतुओं पर दाईं ओर से कार्य करते हैं।

यह भी देखें

 * आधार परिवर्तन
 * सहप्रसरण और सदिशों का प्रतिप्रसरण
 * कुल्हाड़ियों का घूमना
 * कुल्हाड़ियों का अनुवाद

संदर्भ

 * Dirk Struik (1953) Lectures on Analytic and Projective Geometry, page 84, Addison-Wesley.



बाहरी कड़ियाँ

 * UI ambiguity