गैलोज़ सिद्धांत का मौलिक प्रमेय

गणित में, गैलोज़ सिद्धांत का मौलिक प्रमेय एक परिणाम है जो समूह (गणित) के संबंध में कुछ प्रकार के क्षेत्र विस्तार की संरचना का वर्णन करता है। इसे एवरिस्ट गैलोज़ ने गैलोज़ सिद्धांत के विकास में सिद्ध किया था।

अपने सबसे बुनियादी रूप में, प्रमेय का दावा है कि एक क्षेत्र विस्तार ई/एफ दिया गया है जो कि परिमित विस्तार और गैलोइस विस्तार है, इसके मध्यवर्ती क्षेत्रों और इसके उपसमूहों के बीच एक-से-एक पत्राचार है गैलोइस समूह. (मध्यवर्ती फ़ील्ड फ़ील्ड (गणित) K संतोषजनक F ⊆ K ⊆ E हैं; उन्हें E का उपविस्तार भी कहा जाता है '/एफ।)

पत्राचार का स्पष्ट विवरण
परिमित विस्तारों के लिए, पत्राचार को स्पष्ट रूप से निम्नानुसार वर्णित किया जा सकता है।
 * गैल (ई/एफ) के किसी भी उपसमूह एच के लिए, संबंधित निश्चित-बिंदु उपरिंग, ई को दर्शाया गया हैH, E के उन तत्वों का समुच्चय (गणित) है जो H में प्रत्येक स्वचालितता  द्वारा निश्चित होते हैं।
 * ई/एफ के किसी भी मध्यवर्ती क्षेत्र के के लिए, संबंधित उपसमूह ऑट (ई/के) है, यानी, गैल (ई/एफ) में उन ऑटोमोर्फिज्म का सेट जो के के प्रत्येक तत्व को ठीक करता है।

मौलिक प्रमेय कहता है कि यह पत्राचार एक-से-एक पत्राचार है यदि (और केवल यदि) ई/एफ एक गैलोज़ एक्सटेंशन है। उदाहरण के लिए, सबसे ऊपरी क्षेत्र E, गैल (ई/एफ) के तुच्छ समूह से मेल खाता है, और आधार क्षेत्र एफ पूरे समूह (गणित) गैल (ई/एफ) से मेल खाता है।

नोटेशन गैल(ई/एफ) का उपयोग केवल गैलोइस एक्सटेंशन के लिए किया जाता है। यदि ई/एफ गैलोज़ है, तो गैल(ई/एफ) = ऑट(ई/एफ)। यदि ई/एफ गैलोज़ नहीं है, तो पत्राचार केवल एक इंजेक्शन (लेकिन विशेषण नहीं) मानचित्र देता है $$\{\text{subgroups of Aut}(E/F)\}$$ को $$\{\text{subfields of } E/F\}$$, और विपरीत दिशा में एक विशेषण (लेकिन विशेषण नहीं) मानचित्र। विशेष रूप से, यदि ई/एफ गैलोइस नहीं है, तो एफ ऑट (ई/एफ) के किसी भी उपसमूह का निश्चित क्षेत्र नहीं है।

पत्राचार के गुण
पत्राचार में निम्नलिखित उपयोगी गुण हैं।


 * यह समावेश-विपरीत है। उपसमूहों का समावेश एच1 ⊆ एच2 यदि और केवल फ़ील्ड ई को शामिल करने पर ही मान्य होता हैH1 ⊇ ईH2 धारण करता है.
 * विस्तार की डिग्री, समावेशन-उलटने वाली संपत्ति के अनुरूप तरीके से, समूहों के आदेशों से संबंधित होती है। विशेष रूप से, यदि H, गैल(E/F) का एक उपसमूह है, तो |H| = [ई:ईH] और |Gal(E/F)|/|H| = [ईएच:एफ].
 * फ़ील्ड ईHF का एक सामान्य विस्तार है (या, समकक्ष, गैलोइस एक्सटेंशन, क्योंकि अलग करने योग्य एक्सटेंशन का कोई भी उप-विस्तार अलग किया जा सकता है) यदि और केवल यदि H, गैल (ई/एफ) का एक सामान्य उपसमूह है। इस मामले में, गैल (ई/एफ) के तत्वों का ई तक प्रतिबंधएच गैल(ई) के बीच एक समूह समरूपता उत्पन्न करता हैH/F) और भागफल समूह Gal(E/F)/H.

उदाहरण 1
क्षेत्र पर विचार करें


 * $$K = \Q\left (\sqrt{2}, \sqrt{3} \right) = \left [\Q(\sqrt{2}) \right ]\!(\sqrt{3}).$$

तब से $K$ का निर्माण आधार क्षेत्र से किया गया है $$\mathbb Q$$ संलग्न करके $√2$, तब $√3$, प्रत्येक तत्व $K$ को इस प्रकार लिखा जा सकता है:


 * $$( a + b \sqrt{2}) + ( c + d \sqrt{2}) \sqrt{3},\qquad a,b,c,d \in \Q.$$

यह गैलोइस समूह है $$G = \text{Gal}(K/\Q)$$ के ऑटोमोर्फिज्म शामिल हैं $K$ जो ठीक करें $a$. ऐसी ऑटोमोर्फिज्म अवश्य भेजनी चाहिए $√2$ को $√2$ या $–√2$, और भेज दें $√3$ को $√3$ या $–√3$, क्योंकि वे किसी भी अप्रासंगिक बहुपद की जड़ों को क्रमबद्ध करते हैं। लगता है कि $f$ आदान-प्रदान $√2$ और $–√2$, इसलिए


 * $$f\left((a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})\sqrt{3}\right)=(a-b\sqrt{2})+(c-d\sqrt{2})\sqrt{3}=a-b\sqrt{2}+c\sqrt{3}-d\sqrt{6},$$

और $g$ आदान-प्रदान $√3$ और $–√3$, इसलिए


 * $$g\left((a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})\sqrt{3}\right)=(a+b\sqrt{2})-(c+d\sqrt{2})\sqrt{3}=a+b\sqrt{2}-c\sqrt{3}-d\sqrt{6}.$$

ये स्पष्ट रूप से ऑटोमोर्फिज्म हैं $K$, इसके जोड़ और गुणा का सम्मान करते हुए। पहचान ऑटोमोर्फिज़्म भी है $e$ जो प्रत्येक तत्व और उसकी संरचना को ठीक करता है $f$ और $g$ जो दोनों मूलकों पर संकेत बदलता है:


 * $$(fg)\left((a+b\sqrt{2})+(c+d\sqrt{2})\sqrt{3}\right)=(a-b\sqrt{2})-(c-d\sqrt{2})\sqrt{3}=a-b\sqrt{2}-c\sqrt{3}+d\sqrt{6}.$$

चूँकि गैलोज़ समूह का क्रम क्षेत्र विस्तार की डिग्री के बराबर है, $$|G| = [K:\mathbb{Q}]=4$$, आगे कोई स्वप्रतिरूपण नहीं हो सकता:


 * $$G = \left\{1, f, g, fg\right\},$$

जो क्लेन चार-समूह के समरूपी है। इसके पांच उपसमूह आधार के बीच के मध्यवर्ती क्षेत्रों के अनुरूप हैं $$\mathbb Q$$ और विस्तार $K$.
 * तुच्छ उपसमूह ${1}$ संपूर्ण एक्सटेंशन फ़ील्ड से मेल खाता है $K$.
 * सम्पूर्ण समूह $G$ आधार फ़ील्ड से मेल खाता है $$\Q.$$
 * उपसमूह ${1, f}$उपक्षेत्र से मेल खाता है $$\Q(\sqrt{3}),$$ तब से $f$ ठीक करता है $√3$.
 * उपसमूह ${1, g}$उपक्षेत्र से मेल खाता है $$\Q(\sqrt{2}),$$ तब से $g$ ठीक करता है $√2$.
 * उपसमूह ${1, fg}$उपक्षेत्र से मेल खाता है $$\Q(\sqrt{6}),$$ तब से $fg$ ठीक करता है $√6$.

उदाहरण 2
निम्नलिखित सबसे सरल मामला है जहां गैलोज़ समूह एबेलियन नहीं है।

आइज़ेंस्टीन की कसौटी के विभाजन क्षेत्र K पर विचार करें $$x^3-2$$ ऊपर $$\Q$$; वह है, $$K = \Q(\theta,\omega)$$ जहां θ 2 का घनमूल है, और ω 1 का घनमूल है (लेकिन स्वयं 1 नहीं)। यदि हम जटिल संख्याओं के अंदर K पर विचार करते हैं, तो हम ले सकते हैं $$\theta=\sqrt[3]{2}$$, 2 का वास्तविक घनमूल, और $$\omega = -\tfrac{1}2 + i\tfrac{\sqrt3}2.$$ चूँकि ω में न्यूनतम बहुपद है $$x^2+x+1$$, विस्तृति $$\mathbb{Q}\subset K$$ डिग्री है:$$[\,K:\mathbb{Q}\,]=[\,K:\mathbb{Q}[\,\theta\,]\,]\cdot[\,\mathbb{Q}[\,\theta\,]:\mathbb{Q}\,] = 2\cdot 3 = 6$$, के साथ $$\Q$$-आधार $$\{1,\theta, \theta^2, \omega,\omega\theta,\omega\theta^2\}$$ जैसा कि पिछले उदाहरण में है। इसलिए गैलोज़ समूह $$G=\text{Gal}(K/\Q)$$ इसमें छह तत्व हैं, जो तीन जड़ों के क्रमपरिवर्तन द्वारा निर्धारित होते हैं $$x^3-2$$:$$\alpha_1=\theta, \ \alpha_2=\omega\theta, \ \alpha_3=\omega^2\theta.$$ चूँकि वहाँ केवल 3 हैं! = 6 ऐसे क्रमपरिवर्तन, जी को तीन वस्तुओं के सभी क्रमपरिवर्तन के सममित समूह के लिए समरूपी होना चाहिए। समूह को दो ऑटोमोर्फिज्म f और g द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:


 * $$f(\theta) = \omega \theta, \quad f(\omega) = \omega,$$
 * $$g(\theta) = \theta, \quad g(\omega) = \omega^2,$$

और $$G = \left\{ 1, f, f^2, g, gf, gf^2 \right\}$$,रिश्तों का पालन करना $$f^3=g^2=(gf)^2=1$$. के क्रमपरिवर्तन के रूप में उनका प्रभाव $$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$$ है (क्रमपरिवर्तन#चक्र संकेतन में): $$f=(123), g = (23)$$. इसके अलावा, जी को जटिल सन्युग्म  मैपिंग के रूप में भी माना जा सकता है।

G के उपसमूह और संगत उपक्षेत्र इस प्रकार हैं:


 * हमेशा की तरह, तुच्छ समूह {1} संपूर्ण फ़ील्ड K से मेल खाता है, जबकि संपूर्ण समूह G आधार फ़ील्ड से मेल खाता है $$\Q$$.
 * क्रम 3 का अद्वितीय उपसमूह, $$H = \{1, f, f^2\}$$, उपक्षेत्र से मेल खाता है $$\Q(\omega)$$ डिग्री दो का, चूंकि उपसमूह में जी में उपसमूह दो का सूचकांक है: यानी। $$[\Q(\omega):\Q]=\tfrac{|G|}{|H|}=2$$. साथ ही, यह उपसमूह सामान्य है, इसलिए उपक्षेत्र सामान्य है $$\Q$$, का विभाजन क्षेत्र होने के नाते $$x^2+x+1$$. आधार क्षेत्र पर इसका गैलोज़ समूह भागफल समूह है $$G/H = \{[1],[g]\}$$, जहां [जी] जी मोडुलो एच के सहसमुच्चय को दर्शाता है; अर्थात्, इसका एकमात्र गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म जटिल संयुग्मन जी है।
 * क्रम 2 के तीन उपसमूह हैं, $$\{1, g\}, \{1, gf\}$$ और $$\{1, gf^2\},$$ क्रमशः उपक्षेत्रों के अनुरूप $$\Q(\theta), \Q(\omega \theta), \Q(\omega^2\theta ).$$ इन उपक्षेत्रों की डिग्री 3 से अधिक है $$\Q$$ चूँकि उपसमूहों में G में उपसमूह 3 का सूचकांक है। उपसमूह G में सामान्य उपसमूह नहीं हैं, इसलिए उपक्षेत्र गैलोज़ या सामान्य विस्तार नहीं हैं $$\Q$$. वास्तव में, प्रत्येक उपक्षेत्र में जड़ों में से केवल एक ही होता है $$\alpha_1,\alpha_2,\alpha_3$$, इसलिए किसी के पास कोई गैर-तुच्छ ऑटोमोर्फिज्म नहीं है।

उदाहरण 3
होने देना $$E=\Q(\lambda)$$ अनिश्चित λ में तर्कसंगत कार्यों का क्षेत्र बनें, और ऑटोमोर्फिज्म के समूह पर विचार करें:


 * $$G = \left\{\lambda, \frac{1}{1-\lambda}, \frac{\lambda-1}{\lambda},

\frac{1}{\lambda}, \frac{\lambda}{\lambda-1}, 1-\lambda \right\} \subset \mathrm{Aut}(E); $$ यहां हम एक ऑटोमोर्फिज्म को दर्शाते हैं $$\phi:E\to E $$ इसके मूल्य से $$\phi(\lambda) $$, ताकि $$f(\lambda)\mapsto f(\phi(\lambda)) $$. यह समूह समरूपी है $$S_3$$ (देखें: क्रॉस-अनुपात#अनहार्मोनिक समूह और क्लेन चार-समूह|छह क्रॉस-अनुपात)। होने देना $$F$$ का निश्चित क्षेत्र हो $$G$$, ताकि $${\rm Gal}(E/F) = G$$.

अगर $$H$$ का एक उपसमूह है $$G$$, फिर बहुपद के गुणांक


 * $$P(T) := \prod_{h \in H} (T - h) \in E[T]$$

का निश्चित क्षेत्र उत्पन्न करें $$H$$. गैलोइस पत्राचार का तात्पर्य है कि प्रत्येक उपक्षेत्र $$E/F$$ इस तरह से बनाया जा सकता है. उदाहरण के लिए, के लिए $$H = \{\lambda, 1-\lambda\}$$, निश्चित फ़ील्ड है $$\Q( \lambda(1-\lambda))$$ और अगर $$H = \{\lambda, \tfrac{1}{\lambda}\}$$ तो निश्चित फ़ील्ड है $$\Q(\lambda + \tfrac{1}{\lambda})$$. का निश्चित क्षेत्र $$G$$ आधार क्षेत्र है $$F=\Q(j),$$ कहाँ $j$ J-अपरिवर्तनीय#वैकल्पिक अभिव्यक्ति है|$j$-मॉड्यूलर लैम्ब्डा फ़ंक्शन के संदर्भ में लिखा गया अपरिवर्तनीय:$$ j = \frac{256(1-\lambda(1-\lambda))^3}{(\lambda(1-\lambda))^2} = \frac{256(1-\lambda+\lambda^2)^3}{\lambda^2 (1-\lambda)^2} \. $$प्रत्येक प्लेटोनिक ठोस #समरूपता समूहों के लिए समान उदाहरण बनाए जा सकते हैं क्योंकि इनमें प्रक्षेप्य रेखा पर भी वफादार क्रियाएं होती हैं $$\mathbb{P}^1(\Complex)$$ और इसलिए आगे $$\Complex(x)$$.

अनुप्रयोग
प्रमेय ई/एफ के मध्यवर्ती क्षेत्रों को परिमित समूह के संदर्भ में वर्गीकृत करता है। मध्यवर्ती क्षेत्रों और उपसमूहों के बीच यह अनुवाद महत्वपूर्ण है यह दिखाने के लिए कि सामान्य क्विंटिक समीकरण रेडिकल द्वारा हल करने योग्य नहीं है (एबेल-रफिनी प्रमेय देखें)। सबसे पहले मौलिक विस्तार  के गैलोज़ समूहों को निर्धारित करता है (फॉर्म एफ (α) का एक्सटेंशन जहां α एफ के कुछ तत्व की एन-वें रूट है), और फिर मौलिक प्रमेय का उपयोग यह दिखाने के लिए करता है कि सॉल्व करने योग्य एक्सटेंशन सॉल्व करने योग्य समूहों के अनुरूप हैं।

कुमेर सिद्धांत और वर्ग क्षेत्र सिद्धांत जैसे सिद्धांत मौलिक प्रमेय पर आधारित हैं।

अनंत मामला
एक अनंत बीजगणितीय विस्तार को देखते हुए हम अभी भी इसे गैलोज़ के रूप में परिभाषित कर सकते हैं यदि यह सामान्य और अलग करने योग्य है। अनंत मामले में जिस समस्या का सामना करना पड़ता है वह यह है कि मौलिक प्रमेय में आपत्ति मान्य नहीं है क्योंकि हमें आम तौर पर बहुत सारे उपसमूह मिलते हैं। अधिक सटीक रूप से यदि हम प्रत्येक उपसमूह को लें तो हम आम तौर पर दो अलग-अलग उपसमूह पा सकते हैं जो समान मध्यवर्ती क्षेत्र को ठीक करते हैं। इसलिए हम गैलोज़ समूह पर एक टोपोलॉजिकल स्पेस पेश करके इसमें संशोधन करते हैं।

होने देना $$E/F $$ गैलोइस एक्सटेंशन (संभवतः अनंत) बनें और रहने दें $$G = \text{Gal}(E/F)$$ विस्तार का गैलोज़ समूह बनें। होने देना $$\text{Int}_\text{F}(E/F) = \{G_i = \text{Gal}(L_i/F)~|~L_i/F \text{ is a finite Galois extension and } L_i \subseteq E\}$$सभी परिमित मध्यवर्ती गैलोज़ विस्तार के गैलोज़ समूहों का समुच्चय बनें। ध्यान दें कि सभी के लिए $$i \in I$$ हम मानचित्रों को परिभाषित कर सकते हैं $$\varphi_i : G \rightarrow G_i$$ द्वारा $$\sigma \mapsto \sigma_{|L_i}$$. फिर हम क्रुल टोपोलॉजी को परिभाषित करते हैं $$G$$ यह सभी के लिए सबसे कमजोर टोपोलॉजी है $$i \in I$$ मानचित्र $$\varphi_i : G \rightarrow G_i$$ निरंतर हैं, जहां हम प्रत्येक को समर्थन देते हैं $$G_i$$ असतत टोपोलॉजी के साथ. अलग ढंग से कहा गया है $$G \cong \varprojlim G_i$$ टोपोलॉजिकल समूहों की व्युत्क्रम सीमा के रूप में (जहाँ फिर से प्रत्येक)। $$G_i$$ असतत टोपोलॉजी से संपन्न है)। यह बनाता है $$G$$ एक अनंत समूह (वास्तव में प्रत्येक अनंत समूह को गैलोज़ विस्तार के गैलोज़ समूह के रूप में महसूस किया जा सकता है, उदाहरण के लिए देखें) ). ध्यान दें कि कब $$E/F$$ परिमित है, क्रुल टोपोलॉजी असतत टोपोलॉजी है।

अब जब हमने गैलोज़ समूह पर एक टोपोलॉजी को परिभाषित कर लिया है तो हम अनंत गैलोज़ एक्सटेंशन के लिए मौलिक प्रमेय को दोबारा स्थापित कर सकते हैं।

होने देना $$\mathcal{F}$$ के सभी परिमित मध्यवर्ती क्षेत्र विस्तारों के समुच्चय को निरूपित करें $$E/F$$ और जाने $$\mathcal{C}$$ के सभी बंद उपसमूहों के समुच्चय को निरूपित करें $$G = \text{Gal}(E/F)$$ क्रुल टोपोलॉजी से संपन्न। तब बीच में एक आपत्ति मौजूद रहती है $$\mathcal{F}$$ और $$\mathcal{C}$$ मानचित्र द्वारा दिया गया
 * $$\Phi : \mathcal{F}(E/F) \rightarrow \mathcal{C}(G)$$

द्वारा परिभाषित $$L \mapsto \text{Gal}(E/L)$$ और नक्शा
 * $$\Gamma : \mathcal{C}(G) \rightarrow \mathcal{F}(E/F)$$

द्वारा परिभाषित $$N \mapsto \text{Fix}_E(N) := \{a \in E~|~\sigma(a) = a \text{ for all } \sigma \in N\}$$. एक महत्वपूर्ण बात जो जांचने की जरूरत है वह है $$\Phi$$ एक सुपरिभाषित मानचित्र है, यही वह है $$\Phi(L)$$ का एक बंद उपसमूह है $$G$$ सभी मध्यवर्ती के लिए. प्रमाण के लिए उदाहरण देखें।

यह भी देखें

 * गैलोइस कनेक्शन