आवर्ती फलन

एक आवर्ती फलन एक ऐसा फलन है जो नियमित अंतराल पर अपने मूल्यों को दोहराता है। उदाहरण के लिए, $$2\pi$$ कांति, के अंतरालों पर दोहराए जाने वाले त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती फलन होते है। आवर्ती फलन का उपयोग पूरे विज्ञान में दोलनों, तरंगों और अन्य घटनाओं का वर्णन करने के लिए किया जाता है। कोई भी फलन जो आवर्त नहीं है, अनावर्ती कहलाता है।



परिभाषा
एएक फलन $f$  को आवर्त कहा जाता है यदि, कुछ अशून्य स्थिरांक $P$, के लिए, यह स्थिति है कि


 * $$f(x+P) = f(x) $$

सभी मानों के लिए  x के प्रभाव क्षेत्र में, एक शून्येतर स्थिरांक $P$ जिसके लिए यह स्थिति है, उसे फलन का आवर्त कहते हैं। अगर कम से कम सकारात्मक मौजूद है इस गुण के साथ स्थिर $P$, इसे मौलिक अवधि कहा जाता है, आधारी आवर्तक, मूल अवधि, या प्रमुख अवधि भी कहा जाता है। अक्सर, किसी फ़ंक्शन की अवधि का उपयोग इसकी मौलिक अवधि के लिए किया जाता है। $P$ अवधि के साथ एक फलन लंबाई $P$ के अंतराल पर दोहराया जाता है, और इन अंतरालों को कभी-कभी फलन की अवधियों के रूप में भी संदर्भित किया जाता है।

ज्यामितीय रूप से, एक आवर्त फलन को एक ऐसे फलन के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसका ग्राफ स्थानांतरीय समरूपता प्रदर्शित करता है, यदि $P$  का ग्राफ $f$ की दूरी के द्वारा $P$-दिशा अपरिवर्तनीय के अधीन अचर रहता है तो फलन  $x$ आवर्ती होता है। आवर्तिता की इस परिभाषा को अन्य ज्यामितीय आकृतियों और पतिरूपो तक बढ़ाया जाता है, साथ ही उच्च  विमा के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है, जैसे कि तल के आवर्ती चौकोर। एक अनुक्रम को प्राकृतिक संख्याओं पर परिभाषित फ़ंक्शन के रूप में भी देखा जा सकता है, और आवर्ती अनुक्रम के लिए इन धारणाओं को तदनुसार परिभाषित किया जाता है।

वास्तविक संख्या उदाहरण
साइन समारोह अवधि के साथ आवर्ती है $$2\pi$$, जबसे


 * $$\sin(x + 2\pi) = \sin x$$

के सभी मूल्यों के लिए $$x$$. यह फ़ंक्शन लंबाई के अंतराल पर दोहराता है $$2\pi$$ (दाईं ओर ग्राफ देखें)।

हर दिन के उदाहरण देखे जाते हैं जब चर समय होता है; उदाहरण के लिए घड़ी की सूइयाँ या चन्द्रमा की कलाएँ आवर्ती व्यवहार दर्शाती हैं। 'आवर्ती  गति' वह गति है जिसमें तंत्र की स्थिति (ओं) को आवर्ती  कार्यों के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है, सभी समान अवधि के साथ।

वास्तविक संख्याओं या पूर्णांकों पर एक फ़ंक्शन के लिए, इसका मतलब है कि किसी फ़ंक्शन का पूरा ग्राफ़ एक विशेष भाग की प्रतियों से बनाया जा सकता है, नियमित अंतराल पर दोहराया जाता है।

आवर्ती कार्य का एक सरल उदाहरण कार्य है $$f$$ जो इसके तर्क का आंशिक हिस्सा देता है। इसकी अवधि 1 है। विशेष रूप से,


 * $$f(0.5) = f(1.5) = f(2.5) = \cdots = 0.5$$

समारोह का ग्राफ $$f$$ आरी की लहर है।

त्रिकोणमितीय कार्य साइन और कोसाइन अवधि के साथ सामान्य आवर्ती कार्य हैं $$2\pi$$ (दाईं ओर की आकृति देखें)। फूरियर श्रृंखला का विषय इस विचार की जांच करता है कि एक 'मनमाना' आवर्ती  कार्य मिलान अवधियों के साथ त्रिकोणमितीय कार्यों का योग है।

ऊपर दी गई परिभाषा के अनुसार, कुछ विदेशी फलन, उदाहरण के लिए डिरिचलेट समारोह भी आवर्ती होते हैं; डिरिचलेट फलन के मामले में, कोई भी शून्येतर परिमेय संख्या एक आवर्त है।

जटिल संख्या उदाहरण
जटिल विश्लेषण का उपयोग करके हमारे पास सामान्य अवधि का कार्य है:


 * $$e^{ikx} = \cos kx + i\,\sin kx.$$

चूँकि कोज्या और ज्या दोनों फलन आवर्त के साथ आवर्ती होते हैं $$2\pi$$, जटिल घातांक कोसाइन और साइन तरंगों से बना है। इसका अर्थ है कि यूलर के सूत्र (ऊपर) में यह गुण है कि यदि $$L$$ समारोह की अवधि है, तो


 * $$L = \frac{2\pi}{k}.$$

डबल-आवर्ती कार्य
एक फ़ंक्शन जिसका डोमेन सम्मिश्र संख्या है, स्थिर न होकर दो समानुपातिक अवधि हो सकती है। अण्डाकार कार्य ऐसे कार्य हैं। (इस संदर्भ में असंगत का मतलब एक दूसरे के वास्तविक गुणक नहीं हैं।)

गुण
आवर्ती कार्य कई बार मान ले सकते हैं। अधिक विशेष रूप से, यदि कोई फ़ंक्शन $$f$$ अवधि के साथ आवर्ती  है $$P$$, तो सभी के लिए $$x$$ के अधिकार क्षेत्र में $$f$$ और सभी सकारात्मक पूर्णांक $$n$$,


 * $$f(x + nP) = f(x)$$

यदि $$f(x)$$ अवधि के साथ एक कार्य है $$P$$, फिर $$f(ax)$$, कहाँ पे $$a$$ एक गैर-शून्य वास्तविक संख्या है जैसे कि $$ax$$ के अधिकार क्षेत्र में है $$f$$, अवधि के साथ आवर्ती है $\frac{P}{a}$. उदाहरण के लिए, $$f(x) = \sin(x)$$ अवधि है $$2 \pi$$ इसलिए $$\sin(5x)$$ अवधि होगी $\frac{2\pi}{5}$.

कुछ आवर्ती कार्यों को फूरियर श्रृंखला द्वारा वर्णित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, एलपी स्पेस | एल के लिए2 कार्य करता है, कार्लसन के प्रमेय में कहा गया है कि उनके पास लगभग हर जगह अभिसरण फूरियर श्रृंखला एक बिंदुवार (लेबेस्गु माप) है। फूरियर श्रृंखला का उपयोग केवल आवर्ती  कार्यों के लिए या सीमित (कॉम्पैक्ट) अंतराल पर कार्यों के लिए किया जा सकता है। यदि $$f$$ अवधि के साथ एक आवर्ती  कार्य है $$P$$ जिसे फूरियर श्रृंखला द्वारा वर्णित किया जा सकता है, श्रृंखला के गुणांकों को लंबाई के अंतराल पर एक अभिन्न द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$P$$.

कोई भी कार्य जिसमें समान अवधि के साथ केवल आवर्ती कार्य होते हैं, वह भी आवर्ती  होता है (अवधि बराबर या छोटी के साथ), जिसमें शामिल हैं:
 * जोड़, घटाव, गुणा और आवर्ती कार्यों का विभाजन, और
 * किसी आवर्ती फलन की शक्ति या जड़ लेना (बशर्ते यह सभी के लिए परिभाषित हो $$x$$).

एंटीपीरियोडिक फ़ंक्शन
आवर्ती कार्यों का एक सबसेट एंटीपेरियोडिक कार्यों का है। यह एक समारोह है $$f$$ ऐसा है कि $$f(x+P) = -f(x)$$ सभी के लिए $$ x$$. उदाहरण के लिए, साइन और कोसाइन फ़ंक्शन हैं $$\pi$$-एंटीपीरियोडिक और $$2\pi$$-आवर्ती । जबकि एक $$ P$$-एंटीपीरियोडिक फ़ंक्शन एक है $$ 2P$$-आवर्ती कार्य, बातचीत (तर्क) जरूरी सच नहीं है।

बलोच-आवर्ती कार्य
बलोच के प्रमेय और फ्लॉकेट सिद्धांत के संदर्भ में एक और सामान्यीकरण प्रकट होता है, जो विभिन्न आवर्ती अंतर समीकरणों के समाधान को नियंत्रित करता है। इस संदर्भ में, समाधान (एक आयाम में) विशिष्ट रूप से प्रपत्र का एक कार्य है
 * $$f(x+P) = e^{ikP} f(x) ~,$$

कहाँ पे $$k$$ एक वास्तविक या जटिल संख्या है (बलोच वेववेक्टर या फ्लॉकेट एक्सपोनेंट)। इस रूप के कार्यों को इस संदर्भ में कभी-कभी 'ब्लोच-आवर्ती ' कहा जाता है। एक आवर्ती कार्य विशेष मामला है $$k=0$$, और एक एंटीपीरियोडिक फ़ंक्शन विशेष मामला है $$k=\pi/P$$. जब भी $$k P/ \pi$$ तर्कसंगत है, कार्य भी आवर्ती है।

डोमेन के रूप में भाग स्थान
संकेत का प्रक्रमण में आप समस्या का सामना करते हैं, कि फूरियर श्रृंखला आवर्ती कार्यों का प्रतिनिधित्व करती है और फूरियर श्रृंखला घुमाव प्रमेयों को संतुष्ट करती है (अर्थात फूरियर श्रृंखला का कनवल्शन, प्रस्तुत आवर्ती  कार्य के गुणन से मेल खाती है और इसके विपरीत), लेकिन आवर्ती  कार्यों को सामान्य परिभाषा के साथ नहीं जोड़ा जा सकता है, चूंकि शामिल इंटीग्रल अलग हो जाते हैं। एक संभावित तरीका एक सीमित लेकिन आवर्ती  डोमेन पर आवर्ती  कार्य को परिभाषित करना है। इसके लिए आप भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) की धारणा का उपयोग कर सकते हैं:


 * $${\mathbb{R}/\mathbb{Z}}

= \{x+\mathbb{Z} : x\in\mathbb{R}\} = \{\{y : y\in\mathbb{R}\land y-x\in\mathbb{Z}\} : x\in\mathbb{R}\}$$.

यानी प्रत्येक तत्व में $${\mathbb{R}/\mathbb{Z}}$$ समान भिन्नात्मक भाग साझा करने वाली वास्तविक संख्याओं का एक तुल्यता वर्ग है। इस प्रकार एक समारोह पसंद है $$f : {\mathbb{R}/\mathbb{Z}}\to\mathbb{R}$$ 1-आवर्ती फलन का निरूपण है।

अवधि की गणना
आरोपित आवृत्तियों से मिलकर एक वास्तविक तरंग पर विचार करें, एक सेट में मौलिक आवृत्ति के अनुपात के रूप में व्यक्त किया गया है, f: F = $1/f$[एफ$1$ f$2$ f$3$ ... एफ$N$] जहां सभी गैर-शून्य तत्व ≥1 और सेट के कम से कम एक तत्व 1 है। अवधि, टी खोजने के लिए, पहले सेट में सभी तत्वों का कम से कम सामान्य भाजक खोजें। अवधि को टी = के रूप में पाया जा सकता है $LCD/f$. विचार करें कि एक साधारण साइनसॉइड के लिए, T = $1/f$. इसलिए, एलसीडी को आवर्ती ता गुणक के रूप में देखा जा सकता है।


 * पश्चिमी प्रमुख पैमाने के सभी नोटों का प्रतिनिधित्व करने वाले सेट के लिए: [1 $9/8$ $5/4$ $4/3$ $3/2$ $5/3$ $15/8$] एलसीडी 24 है इसलिए टी = $24/f$.
 * एक प्रमुख त्रय के सभी नोटों का प्रतिनिधित्व करने वाले सेट के लिए: [1 $5/4$ $3/2$] एलसीडी 4 है इसलिए टी = $4/f$.
 * लघु त्रय के सभी नोटों का प्रतिनिधित्व करने वाले सेट के लिए: [1 $6/5$ $3/2$] एलसीडी 10 है इसलिए टी = $10/f$.

यदि कोई भी सामान्य भाजक मौजूद नहीं है, उदाहरण के लिए यदि उपरोक्त तत्वों में से एक अपरिमेय है, तो तरंग आवर्ती नहीं होगी।

यह भी देखें
• Almost periodic function

• Amplitude

• Continuous wave

• Definite pitch

• Double Fourier sphere method

• Doubly periodic function

• Fourier transform for computing periodicity in evenly spaced data

• Frequency

• Frequency spectrum

• Least-squares spectral analysis for computing periodicity in unevenly spaced data

• Periodic sequence

• Periodic summation

• Periodic travelling wave

• Quasiperiodic function

• Seasonality

• Secular variation

• Wavelength

• List of periodic functions

बाहरी संबंध

 * Periodic functions at MathWorld
 * Periodic functions at MathWorld