पेडल वक्र

गणित में, दिए गए वक्र का पेडल वक्र इस वक्र की स्पर्श रेखाओं पर निश्चित बिंदु के लंबकोणीय प्रक्षेपण से उत्पन्न होता है। अधिक स्पष्ट रूप से, समतल वक्र C और दिए गए निश्चित पेडल बिंदु P के लिए, C का पेडल वक्र बिंदु X का बिंदुपथ है जिससे रेखा PX बिंदु X से निकलने वाले वक्र के स्पर्शरेखा T के लंबवत हो। इसके विपरीत, वक्र C पर किसी भी बिंदु R पर, T को उस बिंदु R पर स्पर्श रेखा होने दें; तब स्पर्शरेखा T पर अद्वितीय बिंदु X होता है जो पेडल बिंदु P के साथ स्पर्शरेखा T के लंबवत रेखा बनाता है (विशेष स्थितियों के लिए जब निश्चित बिंदु P स्पर्शरेखा T पर स्थित है, तो बिंदु X और P संयोग करते हैं) - पेडल वक्र ऐसे बिंदु X का समुच्चय है, जिसे निश्चित बिंदु P से स्पर्शरेखा T के लंब के पाद कहा जाता है, क्योंकि चर बिंदु R वक्र C पर होता है।

पेडल कर्व को पूरक करते हुए, R पर C के सामान्य रेखा पर अद्वितीय बिंदु Y है, जिससे PY सामान्य के लंबवत हो, इसलिए PXRY (संभवतः पतित) आयत है। बिंदु Y के स्थान को कॉन्ट्रापेडल वक्र कहा जाता है।

एक वक्र का ऑर्थोटोमिक 2 के कारक द्वारा बढ़ाया गया पेडल है जिससे समानता का केंद्र P हो। यह स्पर्श रेखा T के माध्यम से P के प्रतिबिंब का बिंदुपथ है।

पेडल कर्व C1, C2, C3, आदि की श्रृंखला में पहला है, जहाँ C1, C का पेडल है, C2, C1 का पेडल है, इत्यादि। इस योजना में, C1 को C के पहले सकारात्मक पेडल के रूप में और C2 को C के दूसरे सकारात्मक पेडल के रूप में जाना जाता है। दूसरी दिशा में जाने पर, C, C1 का पहला और C2 का दूसरा नकारात्मक पेडल है।

कार्तीय समीकरण से
P को मूल मान लीजिए। तो समीकरण F(x, y)=0 द्वारा दिए गए वक्र के लिए,

यदि R=(x0, y0) पर स्पर्श रेखा का समीकरण इस रूप में लिखा गया है:
 * $$\cos \alpha x + \sin \alpha y = p$$

तो सदिश (cos α, sin α) खंड PX के समानांतर है, और PX की लंबाई, जो स्पर्शरेखा रेखा से मूल तक की दूरी है, जो की P है। तो X को ध्रुवीय निर्देशांक (p, α) द्वारा दर्शाया गया है और (p, α) को (r, θ) द्वारा प्रतिस्थापित करने से पेडल वक्र के लिए एक ध्रुवीय समीकरण उत्पन्न होता है।

उदाहरण के लिए, दीर्घवृत्त के लिए;
 * $$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$$

पर स्पर्शरेखा रेखा R=(x0, और0) है:
 * $$\frac{x_0x}{a^2}+\frac{y_0y}{b^2}=1$$

और इसे ऊपर दिए गए स्वरुप में लिखने की आवश्यकता है;
 * $$\frac{x_0}{a^2}=\frac{\cos \alpha}{p},\,\frac{y_0}{b^2}=\frac{\sin \alpha}{p}$$

दीर्घवृत्त के लिए समीकरण का उपयोग x0 और y0 देने को समाप्त करने के लिए किया जा सकता है;
 * $$a^2 \cos^2 \alpha + b^2 \sin^2 \alpha = p^2$$

और (r, θ) में बदलने से प्राप्त होता है;
 * $$a^2 \cos^2 \theta + b^2 \sin^2 \theta = r^2$$

पेडल के लिए ध्रुवीय समीकरण के रूप में।

यह आसानी से कार्टेशियन समीकरण में परिवर्तित हो जाता है;
 * $$a^2 x^2 + b^2 y^2 = (x^2+y^2)^2$$

ध्रुवीय समीकरण से
P के लिए मूल और C ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में r = f(θ) द्वारा दिया गया है। माना, R=(r, θ) वक्र पर बिंदु और X=(p, α) पेडल वक्र पर संबंधित बिंदु बनता है। माना ψ स्पर्शरेखा रेखा और त्रिज्या सदिश के बीच के कोण को दर्शाता है, जिसे कभी-कभी ध्रुवीय स्पर्शरेखा कोण के रूप में जाना जाता है। अतः इसे प्रदर्शित किया जाता है;
 * $$r=\frac{dr}{d\theta}\tan \psi$$

तब
 * $$p=r\sin \psi$$

और
 * $$\alpha = \theta + \psi - \frac{\pi}{2}$$

इन समीकरणों का उपयोग p और α में समीकरण उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है, जो r और θ में अनुवादित होने पर पेडल वक्र के लिए ध्रुवीय समीकरण देता है।

उदाहरण के लिए,

माना वक्र r = a cos θ द्वारा दिया गया वृत्त हो। तब;
 * $$a \cos \theta = -a \sin \theta \tan \psi$$

इसलिए
 * $$\tan \psi = -\cot \theta,\, \psi = \frac{\pi}{2} + \theta, \alpha = 2 \theta$$

साथ ही ,
 * $$p=r\sin \psi\ = r \cos \theta = a \cos^2 \theta = a \cos^2 {\alpha \over 2}$$

तो पेडल का ध्रुवीय समीकरण है
 * $$r = a \cos^2 {\theta \over 2}$$

पेडल समीकरण से
वक्र और उसके पेडल के पेडल समीकरण निकट से संबंधित हैं। यदि P को पेडल बिंदु और मूल बिंदु के रूप में लिया जाता है, तो यह दिखाया जा सकता है कि बिंदु R पर वक्र और त्रिज्या सदिश के बीच का कोण बिंदु X पर पेडल वक्र के संगत कोण के बराबर है। यदि p वक्र की स्पर्शरेखा (अर्थात् PX) पर P से खींचे गए लंब की लंबाई है और q, P से पेडल की स्पर्शरेखा पर खींचे गए संगत लंब की लंबाई है, तो समरूप त्रिभुजों द्वारा
 * $$\frac{p}{r}=\frac{q}{p}$$

यह तुरंत अनुसरण करता है कि यदि वक्र का पेडल समीकरण f(p,r)=0 है तो पेडल वक्र के लिए पेडल समीकरण है;
 * $$f(r,\frac{r^2}{p})=0$$

यदि वक्र का पेडल समीकरण ज्ञात हो तो इससे सभी सकारात्मक और नकारात्मक पेडल की गणना आसानी से की जा सकती है ।

पैरामीट्रिक समीकरणों से
माना; $$\vec{v} = P - R$$

R से P के लिए सदिश रूप में;
 * $$\vec{v} = \vec{v}_{\parallel}+\vec{v}_\perp$$

के स्पर्शरेखा और सामान्य घटक $$\vec{v}$$ वक्र के संबंध में है।

तब $$\vec{v}_{\parallel}$$ R से X तक का सदिश है जिससे X की स्थिति की गणना की जा सकती है।

विशेष रूप से, यदि c वक्र का पैरामीट्रिक वक्र है तो
 * $$t\mapsto c(t)+{ c'(t) \cdot (P-c(t))\over|c'(t)|^2} c'(t)$$

पेडल वक्र को पैरामीट्रिसेस करता है (उन बिंदुओं की अवहेलना करता है जहां c' शून्य या अपरिभाषित है)।

पैरामीट्रिक रूप से परिभाषित वक्र के लिए, पेडल बिंदु (0; 0) के साथ इसका पेडल वक्र परिभाषित किया गया है;
 * $$X[x,y]=\frac{(xy'-yx')y'}{x'^2 + y'^2}$$
 * $$Y[x,y]=\frac{(yx'-xy')x'}{x'^2 + y'^2}.$$

कॉन्ट्रापेडल वक्र द्वारा दिया गया है:
 * $$t\mapsto P-{ c'(t) \cdot (P-c(t))\over|c'(t)|^2} c'(t)$$

समान पेडल बिंदु के साथ, कॉन्ट्रापेडल वक्र दिए गए वक्र के विकास का पेडल वक्र है।

ज्यामितीय गुण
एक समकोण पर द्दढ़ता से चलते हुए विचार करें जिससे एक पाद बिंदु P पर बना रहे और दूसरा पाद वक्र के स्पर्शरेखा पर रहे। फिर इस कोण का शीर्ष X है और पेडल वक्र का पता लगाता है। जैसे-जैसे कोण घूर्णन करता है, P पर इसकी गति की दिशा PX के समानांतर होती है और R पर इसकी गति की दिशा स्पर्शरेखा T = RX के समानांतर होती है। इसलिए, घूर्णन का तत्काल केंद्र PX पर P के लंबवत और RX पर R लंबवत रेखा का प्रतिच्छेदन है, और यह बिंदु Y है। यदि अनुसरण करें कि X पर पेडल के स्पर्शरेखा XY के लंबवत है।

व्यास PR के साथ वृत्त खींचिए, फिर यह आयत PXRY को परिगत करता है और XY अन्य व्यास है। वृत्त और पेडल दोनों XY के लंबवत हैं इसलिए वे X पर स्पर्शरेखा हैं। इसलिए पेडल PR व्यास वाले वृत्तों का आवरण है जहाँ R वक्र पर स्थित है।

रेखा YR वक्र के लिए सामान्य है और ऐसे मानदंडों का आवरण इसका विकास है। इसलिए, YR विकसित होने लिए स्पर्शरेखा है और बिंदु Y, P से इस स्पर्शरेखा के लंबवत का पाद है, दूसरे शब्दों में Y विकसित होने वाले पेडल पर है। यह इस प्रकार है कि वक्र का कॉन्ट्रापेडल इसके उत्थान का पेडल है।

मान लीजिए कि C' को P की ओर 2 के कारक द्वारा C को सिकोड़ने से प्राप्त वक्र है। तब R के संगत बिंदु R' आयत PXRY का केंद्र है, और R' पर C' की स्पर्श रेखा इस आयत को PY और XR के समानांतर समद्विभाजित करती है। प्रकाश की किरण P से आरम्भ होती है और C' द्वारा R' पर परावर्तित होकर फिर Y से होकर निकलेगी। परावर्तित किरण, जब विस्तारित होती है, तब वह रेखा XY होती है जो C के पेडल के लंबवत होती है। पेडल के लंबवत रेखाओं का आवरण तो परावर्तित किरणों का आवरण या C' का प्रलय कहते है। जो यह सिद्ध करता है कि वक्र का प्रलय उसके ऑर्थोटोमिक का विकास है।

जैसा कि पहले उल्लेख किया गया है, व्यास PR वाला वृत्त पेडल को स्पर्श करता है। इस वृत्त का केंद्र R' है जो वक्र C' का अनुसरण करता है।

मान लीजिए D', C' के सर्वांगसम वक्र है और D' बिना फिसले लुढ़कता है, जैसा कि रूले की परिभाषा के अनुसार, C' पर जिससे D' सदैव C' का प्रतिबिंब हो, उस रेखा के संबंध में जिस पर वे पारस्परिक रूप से स्पर्शरेखा हैं।फिर जब वक्र R' पर स्पर्श करते हैं तो गतिमान तल पर P के अनुरूप बिंदु X होता है, और इसलिए यह एक रूलेट पेडल वक्र है। समतुल्य रूप से, वक्र का ऑर्थोटोमिक उसकी दर्पण छवि पर वक्र का रूलेट है।

उदाहरण
जब C वृत्त है तो उपरोक्त चर्चा से पता चलता है कि लिमाकॉन की निम्नलिखित परिभाषाएँ समतुल्य हैं:
 * यह वृत्त का पेडल है।
 * यह उन वृत्तों का आवरण है जिनके व्यास का अंत बिंदु निश्चित बिंदु पर होता है और दूसरा अंत बिंदु जो वृत्त का अनुसरण करता है।
 * यह निश्चित बिंदु के माध्यम से मंडलियों का आवरण है जिसका केंद्र चक्र का अनुसरण करता है।
 * यह एक समान त्रिज्या वाले एक वृत्त के चारों ओर घूमने वाले वृत्त द्वारा गठित रूलेट है।

हमने यह भी दिखाया है हमने भी दिखाया है कि एक वृत्त का प्रलय एक लिमाकॉन का विकास है।

विशिष्ट वक्रों के पेडल
कुछ विशिष्ट वक्रों के पेडल इस प्रकार हैं:

यह भी देखें

 * वक्रों की सूची

संदर्भ
Notes

Sources





अग्रिम पठन

 * Differential and integral calculus: with applications by George Greenhill (1891) p326 ff. (Internet Archive)
 * "Note on the Problem of Pedal Curves" by Arthur Cayley
 * "Note on the Problem of Pedal Curves" by Arthur Cayley