होलोमॉर्फिक सदिश बंडल

गणित में, होलोमोर्फिक सदिश बंडल एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड पर एक सम्मिश्र सदिश बंडल होता है $X$ जैसे कि कुल समष्टि $E$ एक सम्मिश्र कई गुना और प्रक्षेपण मानचित्र है $π : E → X$ होलोमॉर्फिक फलन है। मौलिक उदाहरण एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड के होलोमोर्फिक स्पर्शरेखा बंडल हैं, और इसके दोहरे, होलोमोर्फिक कॉटैंजेंट बंडल हैं। एक होलोमॉर्फिक लाइन बंडल एक रैंक वन होलोमोर्फिक सदिश बंडल है।

सेरे के जीएजीए द्वारा, एक चिकनी सम्मिश्र प्रक्षेप्य विविधता X (एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड के रूप में देखा गया) पर होलोमोर्फिक सदिश बंडलों की श्रेणी X पर बीजीय सदिश बंडलों (यानी, परिमित रैंक के समष्टिय रूप से मुक्त शीव्स) की श्रेणी के बराबर है।

तुच्छीकरण के माध्यम से परिभाषा
विशेष रूप से, किसी के लिए आवश्यक है कि तुच्छीकरण मानचित्र है।


 * $$\phi_U : \pi^{-1}(U) \to U \times \mathbf{C}^k$$

बिहोलोमोर्फिक मानचित्र हैं। यह संक्रमण मानचित्रों की आवश्यकता के बराबर है


 * $$t_{UV} : U\cap V \to \mathrm{GL}_k(\mathbf{C})$$

होलोमॉर्फिक मानचित्र हैं। एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड के स्पर्शरेखा बंडल पर होलोमोर्फिक संरचना की गारंटी इस टिप्पणी से होती है कि सदिश-मूल्यवान होलोमोर्फिक फलन का व्युत्पन्न (उचित अर्थ में) स्वयं होलोमोर्फिक है।

होलोमोर्फिक वर्गों का शीफ ​​
होने देना $E$ एक होलोमॉर्फिक सदिश बंडल बनें। एक समष्टिय खंड $s : U → E|_{U}$ को होलोमॉर्फिक कहा जाता है, यदि प्रत्येक बिंदु के पड़ोस में $U$, यह कुछ (समतुल्य किसी भी) तुच्छीकरण में होलोमोर्फिक है।

यह स्थिति समष्टिय है, जिसका अर्थ है कि होलोमोर्फिक खंड एक शीफ (गणित) बनाते हैं $X$. इस शीफ को कभी-कभी निरूपित किया जाता है $$\mathcal O(E)$$, या के माध्यम से संकेतन का दुरुपयोग $E$. ऐसा पूला हमेशा समष्टिय रूप से सदिश बंडल की रैंक के समान रैंक से मुक्त होता है। अगर $E$ तुच्छ रेखा बंडल है $$\underline{\mathbf{C}},$$ तो यह पूला संरचना शीफ ​​के साथ मेल खाता है $$\mathcal O_X$$ सम्मिश्र कई गुना $X$.

मौलिक उदाहरण
लाइन बंडल हैं $$\mathcal{O}(k)$$ ऊपर $$\mathbb{CP}^n$$ जिनके वैश्विक खंड डिग्री के सजातीय बहुपदों के अनुरूप हैं $$k$$ (के लिए $$k$$ धनात्मक पूर्णांक)। विशेष रूप से, $$k = 0$$ तुच्छ रेखा बंडल से मेल खाती है। अगर हम कवर लेते हैं $$U_i = \{ [x_0:\cdots:x_n] : x_i \neq 0 \}$$ तो हम चार्ट ढूंढ सकते हैं $$\phi_i: U_i \to \mathbb{C}^n$$ <ब्लॉककोट> के माध्यम से परिभाषित$$\phi_i([x_0:\cdots:x_i: \cdots : x_n]) = \left( \frac{x_0}{x_i},\ldots,\frac{x_{i-1}}{x_i}, \frac{x_{i+1}}{x_i}, \ldots, \frac{x_n}{x_i} \right) = \mathbb{C}^n_i$$हम ट्रांजिशन फलन बना सकते हैं $$\phi_{ij}|_{U_i\cap U_j}:\mathbb{C}_i^n \cap \phi_i(U_i\cap U_j) \to \mathbb{C}_j^n \cap \phi_j(U_i\cap U_j)$$ <ब्लॉककोट> के माध्यम से परिभाषित$$\phi_{ij} = \phi_i \circ \phi_j^{-1}(z_1, \ldots, z_n) = \left( \frac{z_1}{z_i},\ldots, \frac{z_{i-1}}{z_i}, \frac{z_{i+1}}{z_i}, \ldots, \frac{z_j}{z_i},\frac{1}{z_j},\frac{z_{j+1}}{z_i},\ldots, \frac{z_n}{z_i} \right)$$अब, यदि हम तुच्छ बंडल पर विचार करें $$L_i = \phi_i(U_i)\times \mathbb{C}$$ हम प्रेरित संक्रमण कार्य बना सकते हैं $$\psi_{i,j}$$. अगर हम समन्वय का उपयोग करते हैं $$z$$ फाइबर पर, तो हम ट्रांज़िशन फलन बना सकते हैं"$\psi_{i,j}((z_1,\ldots,z_n), z) = \left(\phi_{i,j}(z_1,\ldots,z_n), \frac{z_i^k}{z_j^k}\cdot z \right)$"किसी भी पूर्णांक के लिए $$k$$. इनमें से प्रत्येक एक लाइन बंडल से जुड़ा हुआ है $$\mathcal{O}(k)$$. चूंकि सदिश बंडल आवश्यक रूप से पीछे खींचते हैं, कोई भी होलोमोर्फिक सबमेनिफोल्ड $$f:X \to \mathbb{CP}^n$$ एक संबंधित लाइन बंडल है $$f^*(\mathcal{O}(k))$$, कभी-कभी निरूपित $$\mathcal{O}(k)|_X$$.

डोलबेल्ट ऑपरेटर्स
ग्रहण $E$ एक होलोमॉर्फिक सदिश बंडल है। फिर एक प्रतिष्ठित संचालिका है $$\bar{\partial}_E$$ निम्नानुसार परिभाषित किया गया है। एक समष्टिय तुच्छता में $$U_{\alpha}$$ का $E$, समष्टिय फ्रेम के साथ $$e_1,\dots,e_n$$, कोई भी खंड लिखा जा सकता है $$s=\sum_i s^i e_i$$ कुछ सहज कार्यों के लिए $$s^i : U_{\alpha} \to \mathbb{C}$$.

समष्टिय रूप से एक ऑपरेटर को परिभाषित करें


 * $$\bar{\partial}_E (s) := \sum_i \bar{\partial}(s^i) \otimes e_i$$

जहाँ $$\bar{\partial}$$ रेगुलर कॉम्प्लेक्स डिफरेंशियल फॉर्म है द डॉल्बेल्ट ऑपरेटर्स बेस मैनिफोल्ड का कॉची-रीमैन ऑपरेटर। यह ऑपरेटर सभी पर अच्छी तरह से परिभाषित है $E$ क्योंकि दो तुच्छताओं के ओवरलैप पर $$U_{\alpha}, U_{\beta}$$ होलोमोर्फिक संक्रमण फलन के साथ $$g_{\alpha\beta}$$, अगर $$s=s^i e_i = \tilde{s}^j f_j$$ जहाँ $$f_j$$ के लिए एक समष्टिय फ्रेम है $E$ पर $$U_{\beta}$$, तब $$s^i = \sum_j (g_{\alpha\beta})_j^i \tilde{s}^j$$, इसलिए


 * $$\bar{\partial} (s^i) = \sum_j (g_{\alpha\beta})_j^i \bar{\partial} (\tilde{s}^j)$$

क्योंकि संक्रमण कार्य होलोमोर्फिक हैं। यह निम्नलिखित परिभाषा की ओर ले जाता है: एक चिकने सम्मिश्र सदिश बंडल पर एक डॉलबेल्ट ऑपरेटर $$E\to M$$ एक $$\mathbb{C}$$-रैखिक ऑपरेटर


 * $$\bar{\partial}_E : \Gamma(E) \to \Omega^{0,1}(M)\otimes \Gamma(E)$$

ऐसा है कि


 * (कॉची-रीमैन स्थिति) $$\bar{\partial}_E^2 = 0$$,
 * (लीबनिज नियम) किसी भी वर्ग के लिए $$s\in \Gamma(E)$$ और फलन $$f$$ पर $$M$$, किसी के पास


 * $$\bar{\partial}_E (fs) = \bar{\partial}(f) \otimes s + f \bar{\partial}_E (s)$$.

न्यूलैंडर-निरेनबर्ग प्रमेय के एक आवेदन से, एक होलोमोर्फिक बंडल के डोलबेल्ट ऑपरेटर के निर्माण के लिए एक बातचीत प्राप्त करता है: "प्रमेय: एक डोलबौल्ट ऑपरेटर दिया गया है $\bar{\partial}_E$ एक चिकने सम्मिश्र सदिश बंडल पर $E$, पर एक अद्वितीय होलोमोर्फिक संरचना है $E$ ऐसा है कि $\bar{\partial}_E$ जैसा कि ऊपर निर्मित किया गया है, संबद्ध डॉलबियॉल्ट ऑपरेटर है।" एक डॉल्बेल्ट ऑपरेटर के माध्यम से प्रेरित होलोमोर्फिक संरचना के संबंध में $$\bar{\partial}_E$$, एक चिकना खंड $$s\in \Gamma(E)$$ होलोमोर्फिक है अगर और केवल अगर $$\bar{\partial}_E(s) = 0$$. यह एक रिंग वाली जगह के रूप में एक चिकनी या सम्मिश्र मैनिफोल्ड की परिभाषा के समान नैतिक रूप से है। अर्थात्, यह निर्दिष्ट करने के लिए पर्याप्त है कि एक टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड पर कौन से कार्य सुचारू या सम्मिश्र हैं, ताकि इसे एक चिकनी या सम्मिश्र संरचना के साथ जोड़ा जा सके।

डोलबौल्ट ऑपरेटर के पास बंद और सटीक अंतर रूपों के संदर्भ में समष्टिय व्युत्क्रम होता है।

एक होलोमोर्फिक सदिश बंडल
में मूल्यों के साथ रूपों का ढेर होता है।

अगर $$\mathcal E_X^{p, q}$$ के पुलिंदे को दर्शाता है $C^{∞}$ प्रकार के विभेदक रूप $(p, q)$, फिर प्रकार का शीफ $(p, q)$ मूल्यों के साथ रूपों $E$ को टेंसर उत्पाद के रूप में परिभाषित किया जा सकता है


 * $$\mathcal{E}^{p, q}(E) \triangleq \mathcal E_X^{p, q}\otimes E.$$

ये पूले ठीक पूले हैं, जिसका अर्थ है कि वे एकता के विभाजन को स्वीकार करते हैं।

चिकने और होलोमोर्फिक सदिश बंडलों के बीच एक मूलभूत अंतर यह है कि बाद वाले में, एक कैनोनिकल डिफरेंशियल ऑपरेटर होता है, जो ऊपर परिभाषित डोलबौल्ट ऑपरेटरों के माध्यम से दिया गया है:


 * $$\overline{\partial}_E : \mathcal{E}^{p, q}(E) \to \mathcal{E}^{p, q+1}(E).$$

होलोमोर्फिक सदिश बंडलों की कोहोलॉजी
अगर $E$ एक होलोमॉर्फिक सदिश बंडल है, जिसका कोहोलॉजी है $E$ को शेफ कोहोलॉजी के रूप में परिभाषित किया गया है $$\mathcal O(E)$$. विशेष रूप से, हमारे पास है
 * $$H^0(X, \mathcal O(E)) = \Gamma (X, \mathcal O(E)),$$ के वैश्विक होलोमोर्फिक वर्गों का समष्टि $E$. हमारे पास वह भी है $$H^1(X, \mathcal O(E))$$ के ट्रिवियल लाइन बंडल के Xटेंशन के समूह को पैरामीट्रिज करता है $X$ के माध्यम से $E$, यानी होलोमॉर्फिक सदिश बंडलों का सटीक क्रम $0 → E → F → X × C → 0$. समूह संरचना के लिए, बेयर सम और साथ ही शीफ Xटेंशन भी देखें।

डोलबेल्ट के प्रमेय के माध्यम से, इस शीफ कॉहोलॉजी को वैकल्पिक रूप से होलोमोर्फिक बंडल में मूल्यों के साथ रूपों के शीशों के माध्यम से परिभाषित श्रृंखला परिसर के कोहोलॉजी के रूप में वर्णित किया जा सकता है। $$E$$. अर्थात् हमारे पास है


 * $$H^i(X, \mathcal O(E)) = H^i((\mathcal{E}^{0,\bullet}(E), \bar{\partial}_E)).$$

पिकार्ड समूह
कॉम्प्लेक्स डिफरेंशियल ज्योमेट्री के संदर्भ में, पिकार्ड ग्रुप $Pic(X)$ सम्मिश्र कई गुना $X$ टेंसर उत्पाद के माध्यम से दिए गए समूह कानून के साथ होलोमोर्फिक लाइन बंडलों के आइसोमोर्फिज्म वर्गों का समूह है और दोहरीकरण के माध्यम से दिया गया व्युत्क्रम है। इसे समकक्ष रूप से पहले कोहोलॉजी समूह के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$H^1(X, \mathcal O_X^*)$$ गैर-लुप्त हो रहे होलोमॉर्फिक कार्यों के पूले का।

होलोमॉर्फिक सदिश बंडल पर हर्मिटियन मेट्रिक्स
ई को एक सम्मिश्र मैनिफोल्ड एम पर एक होलोमोर्फिक सदिश बंडल होने दें और मान लें कि ई पर एक हर्मिटियन मीट्रिक है; यानी फाइबर ईx आंतरिक उत्पादों <·,·> से लैस हैं जो सुचारू रूप से भिन्न होते हैं। फिर ई पर एक अनूठा कनेक्शन (सदिश बंडल) मौजूद है जो सम्मिश्र संरचना और मीट्रिक संरचना दोनों के साथ संगत है, जिसे 'चेर्न कनेक्शन' कहा जाता है; अर्थात्, ∇ एक ऐसा संबंध है कि
 * (1) ई के किसी भी चिकने खंड के लिए, $$\pi_{0,1} \nabla s = \bar \partial_E s$$ जहां प0,1(0, 1)-सदिश मूल्यवान रूप का घटक लेता है|ई-मूल्यवान 1-रूप होता है।
 * (2) किसी भी चिकने खंड s, t के E और M पर एक सदिश क्षेत्र X के लिए होता है।
 * $$X \cdot \langle s, t \rangle = \langle \nabla_X s, t \rangle + \langle s, \nabla_X t \rangle$$
 * जहाँ हमने लिखा था $$\nabla_X s$$ के आंतरिक उत्पाद के लिए $$\nabla s$$ X के माध्यम से । (यह कहने के समान है कि ∇ के माध्यम से समानांतर परिवहन मीट्रिक <·,·> को संरक्षित करता है।)

दरअसल, अगर यू = (ई1, …, यह हैn) एक होलोमोर्फिक फ्रेम है, तो मान लीजिए $$h_{ij} = \langle e_i, e_j \rangle$$ और ω को परिभाषित करेंu समीकरण के माध्यम से $$\sum h_{ik} \, {(\omega_u)}^k_{j} = \partial h_{ij}$$, जिसे हम और सरल रूप में लिखते हैं:
 * $$\omega_u = h^{-1} \partial h.$$

यदि u' = ug आधार g के होलोमोर्फिक परिवर्तन के साथ एक और फ्रेम है, तो
 * $$\omega_{u'} = g^{-1} dg + g \omega_u g^{-1},$$

और इसलिए ω वास्तव में एक कनेक्शन प्रपत्र है, जो ∇ by ∇s = ds + ω · s को जन्म देता है। अब, चूंकि $${\overline{\omega}}^T = \overline{\partial} h \cdot h^{-1}$$,
 * $$d \langle e_i, e_j \rangle = \partial h_{ij} + \overline{\partial} h_{ij} = \langle {\omega}^k_i e_k, e_j \rangle + \langle e_i, {\omega}^k_j e_k \rangle = \langle \nabla e_i, e_j \rangle + \langle e_i, \nabla e_j \rangle.$$

अर्थात, ∇ मीट्रिक संरचना के अनुकूल है। अंत में, चूंकि ω एक (1, 0)-रूप है, (0, 1)-घटक $$\nabla s$$ है $$\bar \partial_E s$$.

होने देना $$\Omega = d \omega + \omega \wedge \omega$$ ∇ का वक्रता रूप हो। तब से $$\pi_{0,1} \nabla = \bar \partial_E$$ डोलबियॉल्ट ऑपरेटर की परिभाषा के अनुसार वर्गों को शून्य तक, Ω में कोई (0, 2)-घटक नहीं है और चूंकि Ω को आसानी से तिरछा-हर्मिटियन दिखाया जाता है, इसका कोई (2, 0)-घटक भी नहीं है। परिणाम स्वरुप, Ω एक (1, 1)-रूप है जो के माध्यम से दिया गया है
 * $$\Omega = \bar \partial_E \omega.$$

होलोमॉर्फिक सदिश बंडलों के उच्च कोहोलॉजी के लिए सुसंगत शीफ कोहोलॉजी में वक्रता Ω प्रमुखता से दिखाई देती है; उदाहरण के लिए, कोडैरा की लुप्तप्राय प्रमेय और नाकानो की लुप्त प्रमेय दिखाई देती है।

यह भी देखें

 * बिरखॉफ-ग्रोथेंडिक प्रमेय
 * क्विलन मीट्रिक
 * गंभीर द्वैत

बाहरी संबंध

 * Splitting principle for holomorphic vector bundles