प्रतिबिम्ब (गणित)

किसी अक्ष के माध्यम से प्रतिबिंब पर लाल वस्तु से हरे रंग की ओर और उसके पश्चात पहले अक्ष के समानांतर दूसरे अक्ष पर प्रतिबिंब की ओर हरे से नीले रंग की ओर परिणामस्वरूप कुल गति (ज्यामिति) प्राप्त होती है जो अनुवाद (गणित) है - द्वारा दोनों अक्षों के बीच की दूरी के दोगुने के बराबर राशि को प्रकट करती हैं।

गणित में इसे प्रतिबिंब भी लिखा जाता है) यूक्लिडियन स्थान से अपने आप में फलन (गणित) है, जो कि निश्चित बिंदु (गणित) के समुच्चय के रूप में हाइपरप्लेन के साथ आइसोमेट्री का निर्माण करता है, इस समुच्चय को समरूपता की धुरी (आयाम 2 में) या प्रतिबिंब का समतल (गणित) (आयाम 3 में) कहा जाता है। इस प्रकार किसी प्रतिबिंब द्वारा किसी आकृति की छवि प्रतिबिंब के अक्ष या तल में उसकी दर्पण प्रतिबिंब होती है। उदाहरण के लिए, ऊर्ध्वाधर अक्ष के संबंध में प्रतिबिंब के लिए छोटे लैटिन अक्षर p की दर्पण छवि q जैसी दिखाई देगी। इस प्रकार क्षैतिज अक्ष में परावर्तन द्वारा इसकी छवि b जैसी दिखाई देगी। जिसके आधार पर प्रतिबिंब इनवोल्यूशन (गणित) है: इस प्रकार जब निरंतर दो बार इसे लागू किया जाता है, तो प्रत्येक बिंदु अपने मूल स्थान पर लौट आता है, और इस प्रकार प्रत्येक ज्यामितीय वस्तु अपनी मूल स्थिति में खत्म हो जाती है।

प्रतिबिंब शब्द का उपयोग कभी-कभी यूक्लिडियन अंतरिक्ष से मैपिंग के बड़े वर्ग के लिए किया जाता है, अर्थात् गैर-पहचान आइसोमेट्रीज़ जो कि इन्वोल्यूशन हैं। इस प्रकार की आइसोमेट्री में निश्चित बिंदुओं (दर्पण) का समुच्चय होता है जो एफ़िन उप-स्थान होता है, लेकिन संभवतः हाइपरप्लेन से छोटा होता है। उदाहरण के लिए, बिंदु प्रतिबिंब केवल निश्चित बिंदु के साथ अनैच्छिक आइसोमेट्री है, इस प्रकार इसके नीचे अक्षर p के प्रतिबिंब को डी के समान दिखाया जाता हैं। इस प्रक्रिया को बिंदु प्रतिबिंब के रूप में भी जाना जाता है, और यूक्लिडियन स्थान को सममित स्थान के रूप में प्रदर्शित करता है। इस प्रकार यूक्लिडियन सदिश समष्टि में, मूल बिंदु पर स्थित बिंदु में प्रतिबिंब सदिश निषेध के समान है। इसके अन्य उदाहरणों में त्रि-आयामी अंतरिक्ष में पंक्ति में प्रतिबिंब सम्मिलित हैं। सामान्यतः किसी प्रतिबिंब के लिए शब्द के अयोग्य उपयोग का अर्थ हाइपरप्लेन में प्रतिबिंब है।

कुछ गणितज्ञ फ्लिप का उपयोग प्रतिबिंब के पर्याय के रूप में करते हैं।

निर्माण
किसी समतल या, क्रमशः, 3-आयामी ज्यामिति में, बिंदु का प्रतिबिंब खोजने के लिए उस बिंदु से प्रतिबिंब के लिए उपयोग की जाने वाली रेखा (तल) पर लंब गिराया जाता हैं, और इसे दूसरी तरफ समान दूरी तक बढ़ाएं जाते हैं। इस प्रकार किसी आकृति का प्रतिबिंब खोजने के लिए, आकृति में प्रत्येक बिंदु को प्रतिबिंबित करें।

बिंदु को प्रतिबिंबित करने के लिए $P$ लाइन के माध्यम से $AB$ कम्पास और स्ट्रेटएज का उपयोग करके, निम्नानुसार आगे बढ़ें (आंकड़ा देखें):


 * चरण 1 (लाल): केंद्र पर वृत्त बनाएं $P$ और कुछ निश्चित त्रिज्या $r$ अंक बनाने के लिए $A′$ और $B′$ रेखा पर $AB$, जो से समान दूरी पर $P$ होगा।
 * चरण 2 (हरा): केंद्र में वृत्त बनाएं $A′$ और $B′$ त्रिज्या $r$ के लिए $P$ और $Q$ इन दोनों वृत्तों का प्रतिच्छेदन बिंदु होगा।

बिंदु $Q$ तब बिंदु का प्रतिबिंब है $P$लाइन के माध्यम से $AB$ के समान होगा।

गुण
एक अक्ष पर परावर्तन के बाद दूसरे अक्ष में परावर्तन जो पहले अक्ष के समानांतर नहीं है, जिसके परिणामस्वरूप कुल गति के लिए ज्यामिति होती है जो कि अक्षों के प्रतिच्छेदन बिंदु के चारों ओर घूर्णन (गणित) है, जो कि दोनों के बीच के कोण के दोगुने कोण से होता है।

प्रतिबिंब के लिए आव्यूह (गणित) निर्धारक -1 और आइजन मान ​​-1, 1, 1, ..., 1 के साथ ऑर्थोगोनल आव्यूह है। इस प्रकार ऐसे दो आव्यूह का उत्पाद विशेष ऑर्थोगोनल आव्यूह है जो घूर्णन का प्रतिनिधित्व करता है। प्रत्येक घूर्णन (गणित) मूल के माध्यम से हाइपरप्लेन में प्रतिबिंबों की सम संख्या में प्रतिबिंबित होने का परिणाम है, और प्रत्येक अनुचित घूर्णन विषम संख्या में प्रतिबिंबित होने का परिणाम है। इस प्रकार प्रतिबिंब ऑर्थोगोनल समूह उत्पन्न करते हैं, और इस परिणाम को कार्टन-ड्युडोने प्रमेय के रूप में जाना जाता है।

इसी प्रकार यूक्लिडियन समूह, जिसमें यूक्लिडियन अंतरिक्ष के सभी आइसोमेट्री सम्मिलित हैं, इस प्रकार एफ़िन हाइपरप्लेन में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न होता है। सामान्यतः एफ़िन हाइपरप्लेन में प्रतिबिंबों द्वारा उत्पन्न समूह (गणित) को प्रतिबिंब समूह के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार उत्पन्न परिमित समूह कॉक्समुच्चयर समूहों के उदाहरण हैं।

तल में रेखा पर परावर्तन
दो आयामों में मूल बिंदु के माध्यम से रेखा पर प्रतिबिंब को निम्नलिखित सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है
 * $$\operatorname{Ref}_l(v) = 2\frac{v \cdot l}{l \cdot l}l - v,$$

जहाँ $$v$$ प्रतिबिंबित होने वाले सदिश को दर्शाता है, इसके आधार पर $$l$$ उस रेखा में किसी भी सदिश को दर्शाता है, जिस पर प्रतिबिंब होता है, और $$v\cdot l$$ के डॉट उत्पाद को दर्शाता है, इस प्रकार $$v$$ के साथ $$l$$ को ध्यान में रखते हुए उपरोक्त सूत्र को इस प्रकार भी लिखा जा सकता है-
 * $$\operatorname{Ref}_l(v) = 2\operatorname{Proj}_l(v) - v,$$

इस प्रकार उपयुक्त प्रतिबिंब $$v$$ आर-पार $$l$$ के सदिश प्रक्षेपण के 2 गुना के बराबर है $$v$$ पर $$l$$, सदिश को घटाएं $$v$$. पंक्ति में प्रतिबिंबों का आइजन मान ​​​​1, और −1 होता है।

एन आयामों में हाइपरप्लेन के माध्यम से प्रतिबिंब
एक सदिश दिया गया $$v$$ यूक्लिडियन अंतरिक्ष में $$\mathbb R^n$$, मूल के माध्यम से हाइपरप्लेन में प्रतिबिंब के लिए सूत्र, ओर्थोगोनल $$a$$, द्वारा दिया गया है


 * $$\operatorname{Ref}_a(v) = v - 2\frac{v\cdot a}{a\cdot a}a,$$

जहाँ $$v\cdot a$$ के डॉट उत्पाद को दर्शाता है, जिसमें $$v$$ के साथ $$a$$ के लिए यह ध्यान दें कि उपरोक्त समीकरण में दूसरा पद सदिश प्रक्षेपण का केवल दोगुना है, जहाँ $$v$$ पर $$a$$. इसे कोई भी आसानी से जांच सकता है
 * $Ref_{a}(v) = −v$, अगर $$v$$ इसके समानांतर $$a$$, और
 * $Ref_{a}(v) = v$, अगर $$v$$ के लंबवत है $Q$.

ज्यामितीय उत्पाद का उपयोग करते हुए, जिसका सूत्र है-


 * $$\operatorname{Ref}_a(v) = -\frac{a v a}{a^2} .$$

चूंकि ये प्रतिबिंब मूल को तय करने वाले यूक्लिडियन अंतरिक्ष की आइसोमेट्री हैं, इसलिए इन्हें ऑर्थोगोनल आव्यूह द्वारा दर्शाया जा सकता है। उपरोक्त प्रतिबिंब के अनुरूप ऑर्थोगोनल आव्यूह आव्यूह (गणित) है


 * $$R = I-2\frac{aa^T}{a^Ta},$$

जहाँ $$I$$ को दर्शाता है $$n \times n$$ पहचान आव्यूह और $$a^T$$ a का स्थानान्तरण है. इसकी प्रविष्टियाँ इस प्रकार हैं-


 * $$R_{ij} = \delta_{ij} - 2\frac{a_i a_j}{ \left\| a \right\| ^2 },$$

जहाँ $δ_{ij}$ क्रोनकर डेल्टा है।

एफ़िन हाइपरप्लेन में प्रतिबिंब का सूत्र $$v\cdot a=c$$ मूल के माध्यम से नहीं है
 * $$\operatorname{Ref}_{a,c}(v) = v - 2\frac{v \cdot a - c}{a\cdot a}a.$$

यह भी देखें

 * घूर्णन और परावर्तन का समन्वय करें
 * गृहस्थ परिवर्तन
 * व्युत्क्रम ज्यामिति
 * घूर्णन का तल
 * प्रतिबिंब मानचित्रण
 * प्रतिबिंब समूह

बाहरी संबंध

 * Reflection in Line at cut-the-knot
 * Understanding 2D Reflection and Understanding 3D Reflection by Roger Germundsson, The Wolfram Demonstrations Project.