वोल्टेरा श्रृंखला

वोल्टेरा श्रृंखला टेलर श्रृंखला के समान गैर-रेखीय व्यवहार का एक मॉडल है। यह "मेमोरी" प्रभावों को पकड़ने की क्षमता में टेलर श्रृंखला से भिन्न है। टेलर श्रृंखला का उपयोग किसी दिए गए इनपुट पर एक गैर-रेखीय प्रणाली की प्रतिक्रिया का अनुमान लगाने के लिए किया जा सकता है यदि सिस्टम का आउटपुट उस विशेष समय पर इनपुट पर सख्ती से निर्भर करता है। वोल्टेरा श्रृंखला में, अरेखीय सिस्टम का आउटपुट अन्य सभी समय में सिस्टम के इनपुट पर निर्भर करता है। यह कैपेसिटर और इंडक्टर्स जैसे उपकरणों के "मेमोरी" प्रभाव को पकड़ने की क्षमता प्रदान करता है।

इसे चिकित्सा ( जैवचिकित्सा अभियांत्रिकी ) और जीव विज्ञान, विशेषकर तंत्रिका विज्ञान के क्षेत्र में लागू किया गया है। इसका उपयोग इलेक्ट्रिकल इंजीनियरिंग में पावर एम्पलीफायरों और आवृत्ति मिक्सर सहित कई उपकरणों में इंटरमॉड्यूलेशन विरूपण को मॉडल करने के लिए भी किया जाता है। इसका मुख्य लाभ इसकी सामान्यीकरण में निहित है: यह प्रणालियों की विस्तृत श्रृंखला का प्रतिनिधित्व कर सकता है। इस प्रकार, इसे कभी-कभी गैर पैरामीट्रिक मॉडल माना जाता है। गणित में, वोल्टेरा श्रृंखला गतिशील, गैर-रेखीय, समय-अपरिवर्तनीय कार्यात्मक (गणित) के कार्यात्मक विस्तार को दर्शाती है। वोल्टेरा श्रृंखला का उपयोग अधिकांश सिस्टम पहचान में किया जाता है। वोल्टेरा श्रृंखला, जिसका उपयोग वोल्टेरा प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जाता है, बहुआयामी दृढ़ अभिन्नों का अनंत योग है।

इतिहास
वोल्टेरा श्रृंखला इतालवी गणितज्ञ वीटो वोल्टेरा के 1887 के काम के विश्लेषणात्मक कार्यात्मकता के सिद्धांत का एक आधुनिक संस्करण है। 1920 के दशक में वोल्टेरा के छात्र पॉल लेवी के संपर्क के कारण नॉर्बर्ट वीनर की इस सिद्धांत में रुचि हो गई। वीनर ने वोल्टेरा विश्लेषणात्मक कार्यात्मकताओं के एकीकरण के लिए ब्राउनियन गति के अपने सिद्धांत को लागू किया। सिस्टम विश्लेषण के लिए वोल्टेरा श्रृंखला का उपयोग वीनर की प्रतिबंधित 1942 युद्धकालीन रिपोर्ट से प्रारंभ हुआ, जो उस समय मैसाचुसेट्स की विधिी संस्था में गणित के प्रोफेसर थे। उन्होंने नॉनलाइनियर रिसीवर सर्किट में रडार ध्वनि के प्रभाव का अनुमानित विश्लेषण करने के लिए श्रृंखला का उपयोग किया। युद्ध के बाद रिपोर्ट सार्वजनिक हो गई।[4] नॉनलाइनियर सिस्टम के विश्लेषण की एक सामान्य विधि के रूप में, वोल्टेरा श्रृंखला लगभग 1957 के बाद एमआईटी और अन्य स्थानों से निजी तौर पर प्रसारित रिपोर्टों की एक श्रृंखला के परिणामस्वरूप उपयोग में आई। नाम ही, "वोल्टेरा सीरीज़," कुछ वर्षों बाद प्रयोग में आया।

गणितीय सिद्धांत
वोल्टेरा श्रृंखला के सिद्धांत को दो अलग-अलग दृष्टिकोणों से देखा जा सकता है:
 * दो कार्य स्थान (वास्तविक या जटिल) के बीच ऑपरेटर सिद्धांत मैपिंग
 * फ़ंक्शन स्पेस से वास्तविक या जटिल संख्याओं में वास्तविक या जटिल कार्यात्मक मैपिंग

सिस्टम के अनुमानित समय-अपरिवर्तनीयता के कारण बाद वाले कार्यात्मक मानचित्रण परिप्रेक्ष्य का अधिक बार उपयोग किया जाता है।

निरंतर समय
इनपुट के रूप में x(t) और आउटपुट के रूप में y(t) के साथ सतत समय-अपरिवर्तनीय प्रणाली को वोल्टेरा श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है



y(t) = h_0 + \sum_{n=1}^N \int_a^b \cdots \int_a^b h_n(\tau_1, \dots, \tau_n) \prod^n_{j=1} x(t - \tau_j) \,d\tau_j. $$ यहां दाईं ओर स्थिर पद $$h_0$$ को सामान्यतः आउटपुट स्तर $$y$$ के उपयुक्त विकल्प द्वारा शून्य माना जाता है। फ़ंक्शन $$h_n(\tau_1, \dots, \tau_n)$$ को n-वें-क्रम वोल्टेरा इंटीग्रल कर्नेल कहा जाता है। इसे सिस्टम की उच्च-क्रम आवेग प्रतिक्रिया के रूप में माना जा सकता है। प्रतिनिधित्व अद्वितीय होने के लिए, कर्नेल को n वेरिएबल $$\tau$$ में सममित होना चाहिए। यदि यह सममित नहीं है, तो इसे एक सममित कर्नेल द्वारा प्रतिस्थापित किया जा सकता है जो n! पर औसत है इन n वेरिएबल $$\tau$$ का क्रमपरिवर्तन हैं।

यदि N परिमित है, तो श्रृंखला को छोटा कहा जाता है। यदि a, b, और N परिमित हैं, तो श्रृंखला को दोगुना परिमित कहा जाता है।

कभी-कभी एन-वें-ऑर्डर शब्द को n! द्वारा विभाजित किया जाता है, फलन जो वोल्टेरा सिस्टम के आउटपुट को दूसरे (कैस्केडिंग) के इनपुट के रूप में लेते समय सुविधाजनक होता है।

कार्य-कारण की स्थिति: चूँकि किसी भी भौतिक रूप से साकार प्रणाली में आउटपुट केवल इनपुट के पिछले मानों पर निर्भर हो सकता है, कर्नेल $$h_n(t_1, t_2, \ldots, t_n)$$ यदि कोई भी वेरिएबल हो तो शून्य होगा $$t_1, t_2, \ldots, t_n$$ नकारात्मक हैं. फिर इंटीग्रल्स को शून्य से अनंत तक की आधी सीमा पर लिखा जा सकता है।

तो यदि ऑपरेटर कारणात्मक, $$a \geq 0$$ है।

फ़्रेचेट का सन्निकटन प्रमेय: समय-अपरिवर्तनीय कार्यात्मक संबंध का प्रतिनिधित्व करने के लिए वोल्टेरा श्रृंखला का उपयोग अधिकांश मौरिस रेने फ़्रेचेट|फ़्रेचेट के कारण प्रमेय की अपील करके उचित ठहराया जाता है। इस प्रमेय में कहा गया है कि समय-अपरिवर्तनीय कार्यात्मक संबंध (कुछ बहुत ही सामान्य शर्तों को पूरा करना) को पर्याप्त रूप से उच्च परिमित-क्रम वोल्टेरा श्रृंखला द्वारा समान रूप से और त्रुटिहीनता की मनमानी डिग्री तक अनुमानित किया जा सकता है। अन्य शर्तों के अतिरिक्त, स्वीकार्य इनपुट फ़ंक्शंस का सेट $$x(t)$$ जिसके लिए सन्निकटन धारण करेगा, उसके लिए सघन स्थान होना आवश्यक है। इसे सामान्यतः समान निरंतरता, समान रूप से बंधे हुए कार्यों का सेट माना जाता है, जो अर्ज़ेला-एस्कोली प्रमेय द्वारा कॉम्पैक्ट है। कई भौतिक स्थितियों में, इनपुट सेट के बारे में यह धारणा उचित है। चूँकि, प्रमेय इस बात का कोई संकेत नहीं देता है कि अच्छे सन्निकटन के लिए कितने शब्दों की आवश्यकता है, जो अनुप्रयोगों में आवश्यक प्रश्न है।

अलग समय
यह निरंतर-समय के स्थिति के समान है:



y(n) = h_0 + \sum_{p=1}^P \sum_{\tau_1=a}^b \cdots \sum_{\tau_p=a}^b h_p(\tau_1, \dots, \tau_p) \prod^p_{j=1} x(n - \tau_j), $$
 * $$h_p(\tau_1, \dots, \tau_p)$$ असतत-समय वोल्टेरा कर्नेल कहलाते हैं।

यदि P परिमित है, तो श्रृंखला संचालिका को काट दिया गया कहा जाता है। यदि a, b और P परिमित हैं, तो श्रृंखला संचालक को दोगुनी परिमित वोल्टेरा श्रृंखला कहा जाता है। यदि $$a \geq 0$$, संचालिका को कारण कहा गया है।

व्यापकता की हानि के बिना, हम हमेशा कर्नेल $$h_p(\tau_1, \dots, \tau_p)$$ को सममित मान सकते हैं। वास्तव में, गुणन की क्रमपरिवर्तनशीलता के लिए चर $$\tau_1, \dots, \tau_p$$ के सभी क्रमपरिवर्तन के लिए कर्नेल के औसत के रूप में लिया गया एक नया कर्नेल बनाकर इसे सममित करना हमेशा संभव होता है।

सममित गुठली के साथ कारण प्रणाली के लिए हम n-वें पद को लगभग त्रिकोणीय रूप में फिर से लिख सकते हैं

\sum_{\tau_1=0}^M \sum_{\tau_2=\tau_1}^M \cdots \sum_{\tau_p=\tau_{p-1}}^M h_p(\tau_1, \dots, \tau_p) \prod^p_{j=1} x(n - \tau_j). $$

कर्नेल गुणांक का अनुमान लगाने की विधियाँ
वोल्टेरा गुणांकों का व्यक्तिगत रूप से अनुमान लगाना जटिल है, क्योंकि वोल्टेरा श्रृंखला के आधार कार्य सहसंबद्ध हैं। इससे गुणांकों के लिए अभिन्न समीकरणों के सेट को साथ हल करने की समस्या उत्पन्न होती है। इसलिए, वोल्टेरा गुणांक का अनुमान सामान्यतः ऑर्थोगोनलाइज्ड श्रृंखला के गुणांक का अनुमान लगाकर किया जाता है, उदाहरण के लिए। वीनर श्रृंखला, और फिर मूल वोल्टेरा श्रृंखला के गुणांकों की पुनः गणना करना। ऑर्थोगोनलाइज्ड श्रृंखला की तुलना में वोल्टेरा श्रृंखला की मुख्य अपील इसकी सहज, विहित संरचना में निहित है, अर्थात् इनपुट के सभी इंटरैक्शन में निश्चित डिग्री होती है। ऑर्थोगोनलाइज्ड आधार कार्यप्रणाली सामान्यतः काफी जटिल होगी।

महत्वपूर्ण स्वरूप, जिसके संबंध में निम्नलिखित विधियाँ भिन्न हैं, वह यह है कि क्या आधार कार्यात्मकताओं का ऑर्थोगोनलाइज़ेशन इनपुट सिग्नल (जैसे गाऊसी, सफेद ध्वनि) के आदर्श विनिर्देश पर किया जाना है या इनपुट की वास्तविक प्राप्ति पर (अर्थात् छद्म-यादृच्छिक, घिरा हुआ, गाऊसी सफेद ध्वनि का लगभग-सफेद संस्करण, या कोई अन्य उत्तेजना) किया जाना है। गणितीय लालित्य की कमी के अतिरिक्त, बाद के विधियों को अधिक लचीला (क्योंकि स्वैच्छिक इनपुट आसानी से समायोजित किया जा सकता है) दिखाया गया है और त्रुटिहीन (इस प्रभाव के कारण कि इनपुट सिग्नल का आदर्श संस्करण सदैव साकार नहीं होता है) हैं।

अंतरसंबंध विधि
ली और शेटज़ेन द्वारा विकसित यह विधि, सिग्नल के वास्तविक गणितीय विवरण के संबंध में ऑर्थोगोनलाइज़ करती है, अर्थात् नए आधार कार्यात्मकताओं पर प्रक्षेपण यादृच्छिक सिग्नल के क्षणों के ज्ञान पर आधारित है।

हम वोल्टेरा श्रृंखला को सजातीय फ़ंक्शन ऑपरेटरों के संदर्भ में लिख सकते हैं



y(n) = h_0 + \sum_{p=1}^P H_p x(n), $$ जहाँ



H_p x(n) = \sum_{\tau_1=a}^b \cdots \sum_{\tau_p=a}^b h_p(\tau_1, \dots, \tau_p) \prod^p_{j=1} x(n - \tau_j). $$ पहचान ऑर्थोगोनलाइज़ेशन की अनुमति देने के लिए, वोल्टेरा श्रृंखला को ऑर्थोगोनल गैर-सजातीय जी ऑपरेटरों (वीनर श्रृंखला) के संदर्भ में पुनर्व्यवस्थित किया जाना चाहिए:



y(n) = \sum_p H_p x(n) \equiv \sum_p G_p x(n). $$ G ऑपरेटरों को निम्नलिखित द्वारा परिभाषित किया जा सकता है:



E\{H_i x(n) G_j x(n)\} = 0; \quad i < j, $$

E\{G_i x(n) G_j x(n)\} = 0; \quad i \neq j, $$ जब कभी भी $$H_i x(n)$$ मनमाना सजातीय वोल्टेरा है, x(n) शून्य माध्य और विवेरिएबलण A के साथ कुछ स्थिर सफेद ध्वनि (एसडब्लूएन) है।

यह याद करते हुए कि प्रत्येक वोल्टेरा फ़ंक्शनल अधिक क्रम के सभी वीनर फ़ंक्शनल के लिए ऑर्थोगोनल है, और निम्नलिखित वोल्टेरा फ़ंक्शनल पर विचार करें:



H^*_{\overline{p}} x(n) = \prod^{\overline{p}}_{j=1} x(n - \tau_j), $$ हम लिख सकते हैं



E\left\{y(n) H^*_{\overline{p}} x(n)\right\} = E\left\{\sum_{p=0}^\infty G_p x(n) H^*_{\overline{p}} x(n)\right\}. $$ यदि x SWN है, $$\tau_1 \neq \tau_2 \neq \ldots \neq \tau_P$$ और देने से $$A = \sigma^2_x$$, अपने पास



E\left\{y(n) \prod^{\overline{p}}_{j=1} x(n - \tau_j)\right\} = E\left\{G_{\overline{p}} x(n) \prod^{\overline{p}}_{j=1} x(n - \tau_j)\right\} = \overline{p}! A^{\overline{p}} k_{\overline{p}}(\tau_1, \dots, \tau_{\overline{p}}). $$ इसलिए यदि हम विकर्ण तत्वों को हटा दें, $${\tau_i \neq \tau_j,\ \forall i, j}$$, यह है



k_p(\tau_1, \dots, \tau_p) = \frac{E\left\{y(n) x(n - \tau_1) \cdots x(n - \tau_p)\right\}}{p! A^p}. $$ यदि हम विकर्ण तत्वों पर विचार करना चाहते हैं, तो ली और शेटज़ेन द्वारा प्रस्तावित समाधान है



k_p(\tau_1, \dots, \tau_p) = \frac{E\left\{\left(y(n) - \sum\limits_{m=0}^{p-1} G_m x(n)\right) x(n - \tau_1) \cdots x(n - \tau_p)\right\}}{p! A^p}. $$ इस विधि का मुख्य दोष यह है कि निचले क्रम के कर्नेल के सभी तत्वों पर की गई अनुमान त्रुटियां, क्रम पी के प्रत्येक विकर्ण तत्व को योग के माध्यम से प्रभावित करेंगी $$\sum\limits_{m=0}^{p-1} G_m x(n)$$, स्वयं विकर्ण तत्वों के अनुमान के समाधान के रूप में कल्पना की गई है।

इस खामी से बचने के लिए कुशल सूत्र और विकर्ण कर्नेल तत्व अनुमान के संदर्भ उपस्थित हैं

बार वीनर गुठली की पहचान हो जाने के बाद, वोल्टेरा गुठली को वीनर-टू-वोल्टेरा फ़ार्मुलों का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है, पांचवें क्रम की वोल्टर्रा श्रृंखला के लिए निम्नलिखित रिपोर्ट में:



h_5 = k_5, $$

h_4 = k_4, $$

h_3 = k_3 - 10 A \sum_{\tau_4} k_5(\tau_1, \tau_2, \tau_3, \tau_4, \tau_4), $$

h_2 = k_2 - 6 A \sum_{\tau_3} k_4(\tau_1, \tau_2, \tau_3, \tau_3), $$

h_1 = k_1 - 3 A \sum_{\tau_2} k_3(\tau_1, \tau_2, \tau_2) + 15 A^2 \sum_{\tau2} \sum_{\tau_3} k_5(\tau_1, \tau_2, \tau_2, \tau_3, \tau_3), $$

h_0 = k_0 - A \sum_{\tau_1} k_2(\tau_1, \tau_1) + 3 A^2 \sum_{\tau_1} \sum_{\tau_2} k_4(\tau_1, \tau_1, \tau_2, \tau_2). $$

बहु-विवेरिएबलण विधि
पारंपरिक ऑर्थोगोनल एल्गोरिदम में, उच्च के साथ इनपुट का उपयोग करना $$\sigma_x$$ उच्च-क्रम गैर-रैखिकता को उत्तेजित करने का लाभ है, ताकि अधिक त्रुटिहीन उच्च-क्रम कर्नेल पहचान प्राप्त की जा सके। कमी के रूप में, उच्च का उपयोग $$\sigma_x$$ मान निचले क्रम की गुठली में उच्च पहचान त्रुटि का कारण बनते हैं, मुख्य रूप से इनपुट की गैर-आदर्शता और ट्रंकेशन त्रुटियों के कारण।

इसके विपरीत, निम्न का उपयोग $$\sigma_x$$ पहचान प्रक्रिया में निचले-क्रम कर्नेल का बेहतर अनुमान लगाया जा सकता है, किन्तु उच्च-क्रम गैर-रैखिकता को प्रोत्साहित करने के लिए अपर्याप्त हो सकता है।

इस घटना को, जिसे काटे गए वोल्टेरा श्रृंखला का स्थानीयता कहा जा सकता है, इनपुट के विभिन्न भिन्नताओं के फ़ंक्शन के रूप में श्रृंखला की आउटपुट त्रुटि की गणना करके प्रकट किया जा सकता है।

इस परीक्षण को अलग-अलग इनपुट भिन्नताओं के साथ पहचानी गई श्रृंखला के साथ दोहराया जा सकता है, जिससे पहचान में उपयोग किए गए भिन्नता के न्यूनतम पत्राचार के साथ अलग-अलग वक्र प्राप्त किए जा सकते हैं।

इस सीमा को पार करने के लिए, निम्न $$\sigma_x$$ निम्न-क्रम कर्नेल के लिए मूल्य का उपयोग किया जाना चाहिए और उच्च-क्रम कर्नेल के लिए धीरे-धीरे बढ़ाया जाना चाहिए।

वीनर कर्नेल पहचान में यह कोई सैद्धांतिक समस्या नहीं है, क्योंकि वीनर फ़ंक्शनल एक-दूसरे के लिए ऑर्थोगोनल हैं, किन्तु विभिन्न भिन्नताओं के उपयोग को ध्यान में रखने के लिए वीनर-टू-वोल्टेरा रूपांतरण फ़ार्मुलों में उचित सामान्यीकरण की आवश्यकता है।

इसके अतिरिक्त, नए वीनर से वोल्टेरा रूपांतरण फ़ार्मुलों की आवश्यकता है।

पारंपरिक वीनर कर्नेल पहचान को निम्नानुसार बदला जाना चाहिए:



k_0^{(0)} = E\{y^{(0)}(n)\}, $$

k_1^{(1)}(\tau_1) = \frac{1}{A_1} E\left\{y^{(1)}(n) x^{(1)}(n - \tau_1)\right\}, $$

k_2^{(2)}(\tau_1, \tau_2) = \frac{1}{2! A_2^2} \left\{E\left\{y^{(2)}(n) \prod_{i=1}^2 x^{(2)}(n - \tau_i)\right\} - A_2 k_0^{(2)} \delta_{\tau_1 \tau_2}\right\}, $$

k_3^{(3)}(\tau_1, \tau_2, \tau_3) = \frac{1}{3! A_3^3} \left\{E\left\{y^{(3)}(n) \prod_{i=1}^3 x^{(3)}(n - \tau_i)\right\} - A_3^2 \left[k_1^{(3)}(\tau_1) \delta_{\tau_2 \tau_3} + k_1^{(3)}(\tau_2) \delta_{\tau_1 \tau_3} + k_1^{(3)}(\tau_3) \delta_{\tau_1 \tau_2}\right]\right\}. $$ उपरोक्त सूत्रों में विकर्ण कर्नेल बिंदुओं की पहचान के लिए आवेग फ़ंक्शन प्रस्तुत किए गए हैं।

यदि वीनर कर्नेल को नए फ़ार्मुलों के साथ निकाला जाता है, तो निम्नलिखित वीनर-टू-वोल्टेरा फ़ार्मुलों (पांचवें क्रम तक स्पष्ट) की आवश्यकता होती है:



h_5 = k_5^{(5)}, $$

h_4 = k_4^{(4)}, $$

h_3 = k_3^{(3)} - 10 A_3 \sum_{\tau_4} k_5^{(5)}(\tau_1, \tau_2, \tau_3, \tau_4, \tau_4), $$

h_2 = k_2^{(2)} - 6 A_2 \sum_{\tau_3} k_4^{(4)}(\tau_1, \tau_2, \tau_3, \tau_3), $$

h_1 = k_1^{(1)} - 3 A_1 \sum_{\tau_2} k_3^{(3)}(\tau_1, \tau_2, \tau_2) + 15 A_1^2 \sum_{\tau2} \sum_{\tau_3} k_5^{(5)}(\tau_1, \tau_2, \tau_2, \tau_3, \tau_3), $$

h_0 = k_0^{(0)} - A_0 \sum_{\tau_1} k_2^{(2)}(\tau_1, \tau_1) + 3 A_0^2 \sum_{\tau_1} \sum_{\tau_2} k_4^{(4)}(\tau_1, \tau_1, \tau_2, \tau_2). $$ जैसा कि देखा जा सकता है, पिछले फॉर्मूले के संबंध में खामी है यह है कि एन-वें-ऑर्डर कर्नेल की पहचान के लिए, सभी निचले कर्नेल को उच्च विवेरिएबलण के साथ फिर से पहचाना जाना चाहिए।

चूँकि, यदि वीनर और वोल्टेरा कर्नेल नए फ़ार्मुलों के साथ प्राप्त किए जाते हैं, तो आउटपुट एमएसई में उत्कृष्ट सुधार प्राप्त किया जाएगा।

फीडफॉरवर्ड नेटवर्क
यह विधि रे और ग्रीन (1994) द्वारा विकसित की गई थी और इस तथ्य का उपयोग करती है कि सरल 2-पूरी तरह से जुड़ा परत तंत्रिका नेटवर्क (अर्थात्, बहुपरत परसेप्ट्रॉन) कम्प्यूटेशनल रूप से वोल्टेरा श्रृंखला के बराबर है और इसलिए इसकी वास्तुकला में छिपे हुए कर्नेल शामिल हैं। ऐसे नेटवर्क को सिस्टम की वर्तमान स्थिति और मेमोरी के आधार पर आउटपुट की सफलतापूर्वक भविष्यवाणी करने के लिए प्रशिक्षित किए जाने के बाद, कर्नेल की गणना उस नेटवर्क के वजन और पूर्वाग्रह से की जा सकती है।

एन-वें-क्रम वोल्टेरा कर्नेल के लिए सामान्य संकेतन इसके द्वारा दिया गया है



h_n(\tau_1, \dots, \tau_n) = \sum_{i=1}^M (c_i a_{ni} \omega_{\tau_1 i} \dots \omega_{\tau_n i}), $$ जहाँ $$n$$ आदेश है, $$c_i$$ रैखिक आउटपुट नोड का भार, $$a_{ji}$$ छिपे हुए नोड्स के आउटपुट फ़ंक्शन के बहुपद विस्तार के गुणांक, और $$\omega_{ji}$$ इनपुट परत से गैर-रेखीय छिपी हुई परत तक का भार है। यह ध्यान रखना महत्वपूर्ण है कि यह विधि नेटवर्क के आर्किटेक्वेरिएबल में इनपुट विलंब की संख्या तक कर्नेल निष्कर्षण की अनुमति देती है। इसके अतिरिक्त, नेटवर्क इनपुट परत के आकार का सावधानीपूर्वक निर्माण करना महत्वपूर्ण है ताकि यह सिस्टम की प्रभावी मेमोरी का प्रतिनिधित्व कर सके।

त्रुटिहीन ऑर्थोगोनल एल्गोरिदम
इस विधि और इसके अधिक कुशल संस्करण (फास्ट ऑर्थोगोनल एल्गोरिदम) का आविष्कार कोरेनबर्ग द्वारा किया गया था। इस विधि में ऑर्थोगोनलाइज़ेशन वास्तविक इनपुट पर अनुभवजन्य रूप से किया जाता है। इसे क्रॉससहसंबंध विधि की तुलना में अधिक त्रुटिहीन रूप से कार्यान्वित करते हुए दिखाया गया है। अन्य लाभ यह है कि ऑर्थोगोनलाइज़ेशन के लिए स्वैच्छिक इनपुट का उपयोग किया जा सकता है और शुद्धता के वांछित स्तर तक पहुंचने के लिए कम डेटा बिंदु पर्याप्त हैं। साथ ही, कुछ मानदंड पूरा होने तक अनुमान क्रमिक रूप से लगाया जा सकता है।

रैखिक प्रतिगमन
रैखिक प्रतिगमन रैखिक विश्लेषण का मानक उपकरण है। इसलिए, इसका मुख्य लाभ रैखिक प्रतिगमन को कुशलतापूर्वक हल करने के लिए मानक उपकरणों का व्यापक अस्तित्व है। इसका कुछ शैक्षिक मूल्य है, क्योंकि यह वोल्टेरा श्रृंखला की मूल संपत्ति पर प्रकाश डालता है: गैर-रेखीय आधार-कार्यात्मक का रैखिक संयोजन। अनुमान के लिए, मूल का क्रम ज्ञात होना चाहिए, क्योंकि वोल्टेरा आधार कार्यात्मकता ऑर्थोगोनल नहीं है, और इस प्रकार अनुमान वृद्धिशील रूप से नहीं किया जा सकता है।

कर्नेल विधि
इस विधि का आविष्कार फ्रांज और स्कोल्कोफ ने किया था और सांख्यिकीय शिक्षण सिद्धांत पर आधारित है। परिणामस्वरूप, यह दृष्टिकोण भी अनुभवजन्य त्रुटि (जिसे अधिकांश अनुभवजन्य जोखिम न्यूनतमकरण कहा जाता है) को कम करने पर आधारित है। फ्रांज और स्कोल्कोफ ने प्रस्तावित किया कि कर्नेल विधि अनिवार्य रूप से वोल्टेरा श्रृंखला प्रतिनिधित्व को प्रतिस्थापित कर सकती है, चूंकि यह ध्यान में रखते हुए कि बाद वाला अधिक सहज है।

विभेदक नमूनाकरण
यह विधि वैन हेमेन और सहकर्मियों द्वारा विकसित की गई थी और वोल्टेरा गुणांक का नमूना लेने के लिए डिराक डेल्टा फ़ंक्शन का उपयोग करता है।

यह भी देखें

 * वीनर श्रृंखला
 * बहुपद सिग्नल प्रोसेसिंग

अग्रिम पठन

 * Barrett J.F: Bibliography of Volterra series, Hermite functional expansions, and related subjects. Dept. Electr. Engrg, Univ.Tech. Eindhoven, NL 1977, T-H report 77-E-71. (Chronological listing of early papers to 1977) URL: http://alexandria.tue.nl/extra1/erap/publichtml/7704263.pdf
 * Bussgang, J.J.; Ehrman, L.; Graham, J.W: Analysis of nonlinear systems with multiple inputs, Proc. IEEE, vol.62, no.8, pp. 1088–1119, Aug. 1974
 * Giannakis G.B & Serpendin E: A bibliography on nonlinear system identification. Signal Processing, 81 2001 533–580. (Alphabetic listing to 2001) www.elsevier.nl/locate/sigpro
 * Korenberg M.J. Hunter I.W: The Identification of Nonlinear Biological Systems: Volterra Kernel Approaches, Annals Biomedical Engineering (1996), Volume 24, Number 2.
 * Kuo Y L: Frequency-domain analysis of weakly nonlinear networks, IEEE Trans. Circuits & Systems, vol.CS-11(4) Aug 1977; vol.CS-11(5) Oct 1977 2–6.
 * Rugh W J: Nonlinear System Theory: The Volterra–Wiener Approach. Baltimore 1981 (Johns Hopkins Univ Press) http://rfic.eecs.berkeley.edu/~niknejad/ee242/pdf/volterra_book.pdf
 * Schetzen M: The Volterra and Wiener Theories of Nonlinear Systems, New York: Wiley, 1980.