एम्पीयर का परिपथीय नियम

शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व में, एम्पीयर का परिपथीय नियम (एम्पीयर के बल नियम के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए) एक बंद लूप के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र के परिसंचरण (भौतिकी) को लूप से गुजरने वाली विद्युत धारा से संबंधित करता है। जेम्स क्लर्क मैक्सवेल (एम्पीयर नहीं) ने अपने 1861 में प्रकाशित पेपर में द्रव गतिविज्ञान का उपयोग करके इसे प्राप्त किया: छवि: फोर्स की भौतिक रेखाओं पर। पीडीएफ 1865 में उन्होंने विस्थापन वर्तमान शब्द को जोड़कर समय-भिन्न धाराओं पर लागू करने के लिए समीकरण को सामान्यीकृत किया, जिसके परिणामस्वरूप कानून का आधुनिक रूप सामने आया, जिसे कभी-कभी एम्पीयर-मैक्सवेल कानून भी कहा जाता है,  जो मैक्सवेल के समीकरणों में से एक है जो शास्त्रीय भौतिकी विद्युत चुंबकत्व का आधार बनता है।

मैक्सवेल का मूल सर्किट नियम
1820 में डेनिश भौतिक विज्ञानी हंस क्रिश्चियन ऑर्स्टेड ने पाया कि विद्युत धारा इसके चारों ओर एक चुंबकीय क्षेत्र बनाती है, जब उन्होंने देखा कि विद्युत प्रवाह ले जाने वाले तार के बगल में चुंबकीय कंपास की सुई इस तरह घूम गई कि सुई तार के लंबवत हो गई। उन्होंने जांच की और उन नियमों की खोज की जो सीधे विद्युत प्रवाहित तार के आसपास के क्षेत्र को नियंत्रित करते हैं: इसने बिजली और चुंबकत्व के बीच संबंध पर काफी शोध को बढ़ावा दिया। आंद्रे-मैरी एम्पीयर ने दो विद्युत धारा प्रवाहित तारों के बीच चुंबकीय बल की जांच की और एम्पीयर के बल नियम की खोज की। 1850 के दशक में स्कॉटिश गणितीय भौतिक विज्ञानी जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने इन परिणामों और अन्य को एक एकल गणितीय कानून में सामान्यीकृत किया। मैक्सवेल के सर्किटल कानून का मूल रूप, जिसे उन्होंने 1855 में अपने पेपर ऑन फिजिकल लाइन्स ऑफ फोर्स में प्राप्त किया था| फैराडे की बल की तर्ज पर हाइड्रोडायनामिक्स के सादृश्य के आधार पर, चुंबकीय क्षेत्र को विद्युत धाराओं से संबंधित करता है जो उन्हें उत्पन्न करते हैं। यह किसी दिए गए करंट से जुड़े चुंबकीय क्षेत्र, या किसी दिए गए चुंबकीय क्षेत्र से जुड़े करंट को निर्धारित करता है।
 * चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं धारा प्रवाहित तार को घेर लेती हैं।
 * चुंबकीय क्षेत्र रेखाएं तार के लंबवत तल में स्थित होती हैं।
 * यदि धारा की दिशा उलट दी जाए तो चुंबकीय क्षेत्र की दिशा उलट जाती है।
 * क्षेत्र की ताकत धारा के परिमाण के सीधे आनुपातिक है।
 * किसी भी बिंदु पर क्षेत्र की ताकत तार से बिंदु की दूरी के व्युत्क्रमानुपाती होती है।

मूल सर्किट नियम केवल magnetostatics स्थिति पर, एक बंद सर्किट में बहने वाली निरंतर स्थिर धाराओं पर लागू होता है। समय के साथ बदलने वाले विद्युत क्षेत्र वाले सिस्टम के लिए, मूल कानून (जैसा कि इस खंड में दिया गया है) को मैक्सवेल के सुधार (नीचे देखें) के रूप में जाना जाने वाला शब्द शामिल करने के लिए संशोधित किया जाना चाहिए।

समतुल्य रूप
मूल सर्किट कानून को कई अलग-अलग रूपों में लिखा जा सकता है, जो अंततः समतुल्य हैं:


 * एक अखण्ड रूप और एक विभेदक रूप। फॉर्म बिल्कुल समतुल्य हैं, और केल्विन-स्टोक्स प्रमेय द्वारा संबंधित हैं (नीचे #समतुल्यता का प्रमाण अनुभाग देखें)।
 * एसआई इकाइयों का उपयोग करने वाले फॉर्म, और सीजीएस इकाइयों का उपयोग करने वाले फॉर्म। अन्य इकाइयाँ संभव हैं, लेकिन दुर्लभ हैं। यह अनुभाग एसआई इकाइयों का उपयोग करेगा, सीजीएस इकाइयों पर बाद में चर्चा की जाएगी।
 * या तो चुंबकीय क्षेत्र का उपयोग करके प्रपत्र|$B$ या $H$ चुंबकीय क्षेत्र। ये दोनों रूप क्रमशः कुल वर्तमान घनत्व और मुक्त वर्तमान घनत्व का उपयोग करते हैं। वह $B$ और $H$ फ़ील्ड संवैधानिक समीकरण से संबंधित हैं: $B = μ_{0}H$ गैर-चुंबकीय सामग्रियों में जहां $μ_{0}$ चुंबकीय स्थिरांक है.

स्पष्टीकरण
मूल परिपथ नियम का अभिन्न रूप किसी बंद वक्र के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र का एक रेखा अभिन्न अंग है $C$ (मनमाना लेकिन बंद होना चाहिए)। वक्र $C$ बदले में दोनों को एक सतह (टोपोलॉजी) से बांधता है $S$ जिससे विद्युत धारा गुजरती है (फिर से मनमाना लेकिन बंद नहीं - क्योंकि कोई त्रि-आयामी स्थान नहीं है | त्रि-आयामी आयतन किसके द्वारा घिरा हुआ है $S$), और धारा को घेरता है। कानून का गणितीय कथन उस बंद पथ (सतह इंटीग्रल) से गुजरने वाली धारा के कारण किसी पथ (लाइन इंटीग्रल) के चारों ओर चुंबकीय क्षेत्र के परिसंचरण (भौतिकी) के बीच एक संबंध है। कुल विद्युत धारा के संदर्भ में, (जो मुक्त धारा और बाध्य धारा दोनों का योग है) चुंबकीय क्षेत्र का रेखा अभिन्न अंग#बी-क्षेत्र|चुंबकीय $B$-फील्ड (टेस्ला (इकाई) में, टी) बंद वक्र के आसपास $C$ कुल धारा के समानुपाती होता है $I_{enc}$ किसी सतह से गुजरना $S$ (इसके द्वारा संलग्न $C$). मुक्त धारा के संदर्भ में, चुंबकीय क्षेत्र का लाइन इंटीग्रल#द एच-फील्ड|चुंबकीय $H$-फ़ील्ड ( एम्पेयर प्रति मीटर में, ए·एम−1) बंद वक्र के आसपास $C$ मुक्त धारा के बराबर है $I_{f,enc}$ एक सतह के माध्यम से $S$.


 * $B$ कुल वर्तमान घनत्व है (एम्पीयर प्रति वर्ग मीटर में, ए·एम)।−2),
 * $H$ केवल मुक्त धारा घनत्व है,
 * $J$ बंद वक्र के चारों ओर बंद रेखा अभिन्न है $C$,
 * $J_{f}$ 2-डी सतह अभिन्न ओवर को दर्शाता है $S$ इसके द्वारा संलग्न $C$,
 * $∮_{C}$ वेक्टर डॉट उत्पाद है,
 * $∬_{S}$वक्र का एक अतिसूक्ष्म तत्व (एक अंतर (अतिसूक्ष्म)) है $C$ (अर्थात एक वेक्टर जिसका परिमाण अनंत रेखा तत्व की लंबाई के बराबर है, और वक्र की स्पर्शरेखा द्वारा दी गई दिशा है $C$)
 * $·$ सतह के एक अतिसूक्ष्म तत्व का सदिश क्षेत्र है $S$ (अर्थात्, एक सदिश जिसका परिमाण अतिसूक्ष्म सतह तत्व के क्षेत्रफल के बराबर है, और सतह की दिशा सामान्य है $S$. सामान्य की दिशा के अभिविन्यास के अनुरूप होना चाहिए $C$ दाहिने हाथ के नियम से), वक्र की अधिक व्याख्या के लिए नीचे देखें $C$ और सतह $S$.
 * $dl$ कर्ल (गणित) ऑपरेटर है।

अस्पष्टताएं और संकेत परंपराएं
उपरोक्त परिभाषाओं में कई अस्पष्टताएं हैं जिनके लिए स्पष्टीकरण और परंपरा के विकल्प की आवश्यकता है।
 * 1) सबसे पहले, इनमें से तीन शब्द संकेत अस्पष्टताओं से जुड़े हैं: रेखा अभिन्न $dS$ लूप के चारों ओर किसी भी दिशा में घूम सकता है (दक्षिणावर्त या वामावर्त); सदिश क्षेत्र $∇ ×$ सतह के सामान्य रूप से दोनों दिशाओं में से किसी एक की ओर इंगित कर सकता है; और $∮_{C}$ सतह से गुजरने वाली शुद्ध धारा है $S$, जिसका अर्थ है कि एक दिशा में प्रवाहित होने वाली धारा, दूसरी दिशा में धारा को घटा देती है - लेकिन किसी भी दिशा को सकारात्मक के रूप में चुना जा सकता है। इन अस्पष्टताओं को दाहिने हाथ के नियम द्वारा हल किया जाता है: दाहिने हाथ की हथेली एकीकरण के क्षेत्र की ओर होती है, और तर्जनी रेखा-एकीकरण की दिशा की ओर इशारा करती है, फैला हुआ अंगूठा उस दिशा की ओर इशारा करता है जिसे चुना जाना चाहिए वेक्टर क्षेत्र के लिए $dS$. साथ ही करंट भी उसी दिशा में गुजर रहा है $I_{enc}$ को सकारात्मक के रूप में गिना जाना चाहिए। संकेतों को निर्धारित करने के लिए दाहिने हाथ की पकड़ के नियम का भी उपयोग किया जा सकता है।
 * 2) दूसरा, अनंत रूप से कई संभावित सतहें हैं $S$ जिसमें वक्र है $C$ उनकी सीमा के रूप में। (एक तार के लूप पर साबुन की फिल्म की कल्पना करें, जिसे फिल्म पर फूंक मारकर विकृत किया जा सकता है)। इनमें से कौन सी सतह चुनी जानी है? उदाहरण के लिए, यदि लूप एक ही तल में नहीं है, तो कोई एक स्पष्ट विकल्प नहीं है। उत्तर यह है कि इससे कोई फर्क नहीं पड़ता: मैग्नेटोस्टैटिक मामले में, वर्तमान घनत्व सोलेनोइडल वेक्टर क्षेत्र है (अगला भाग देखें), इसलिए विचलन प्रमेय और निरंतरता समीकरण का अर्थ है कि सीमा के साथ किसी भी सतह के माध्यम से प्रवाह $C$, समान चिह्न परिपाटी के साथ, वही है। व्यवहार में, व्यक्ति आम तौर पर एकीकृत करने के लिए सबसे सुविधाजनक सतह (दी गई सीमा के साथ) चुनता है।

मुक्त धारा बनाम बाध्य धारा
सबसे सरल पाठ्यपुस्तक स्थितियों में उत्पन्न होने वाली विद्युत धारा को मुक्त धारा के रूप में वर्गीकृत किया जाएगा - उदाहरण के लिए, वह धारा जो किसी तार या बैटरी (बिजली) से गुजरती है। इसके विपरीत, बाध्य धारा थोक सामग्रियों के संदर्भ में उत्पन्न होती है जो चुंबकत्व और/या ध्रुवीकरण घनत्व हो सकती है। (सभी सामग्रियां कुछ हद तक हो सकती हैं।)

जब किसी पदार्थ को चुम्बकित किया जाता है (उदाहरण के लिए, इसे बाहरी चुंबकीय क्षेत्र में रखकर), तो इलेक्ट्रॉन अपने-अपने परमाणुओं से बंधे रहते हैं, लेकिन ऐसा व्यवहार करते हैं मानो वे एक विशेष दिशा में नाभिक की परिक्रमा कर रहे हों, जिससे एक सूक्ष्म धारा उत्पन्न होती है। जब इन सभी परमाणुओं की धाराओं को एक साथ रखा जाता है, तो वे एक स्थूल धारा के समान प्रभाव पैदा करते हैं, जो चुंबकीय वस्तु के चारों ओर लगातार घूमती रहती है। यह चुम्बकत्व धारा# चुम्बकत्व धारा $dS$ बाध्य धारा में एक योगदान है।

बाध्य धारा का दूसरा स्रोत बाध्य आवेश है। जब एक विद्युत क्षेत्र लागू किया जाता है, तो सकारात्मक और नकारात्मक बाध्य आवेश ध्रुवीकरण घनत्व में परमाणु दूरी पर अलग हो सकते हैं, और जब बाध्य आवेश चलते हैं, तो ध्रुवीकरण बदल जाता है, जिससे बाध्य धारा में एक और योगदान होता है, ध्रुवीकरण धारा $dS$.

कुल वर्तमान घनत्व $J_{M}$ मुक्त और बाध्य शुल्क के कारण तब है:


 * $$\mathbf{J} =\mathbf{J}_\mathrm{f} + \mathbf{J}_\mathrm{M} + \mathbf{J}_\mathrm{P} \,,$$

साथ $J_{P}$  मुक्त या चालन धारा घनत्व।

सूक्ष्म दृष्टि से सभी धाराएँ मूलतः एक समान हैं। फिर भी, बाध्य धारा को मुक्त धारा से भिन्न तरीके से व्यवहार करने की इच्छा के अक्सर व्यावहारिक कारण होते हैं। उदाहरण के लिए, बाध्य धारा आमतौर पर परमाणु आयामों से उत्पन्न होती है, और कोई बड़े आयामों के लिए सरल सिद्धांत का लाभ उठाना चाह सकता है। इसका परिणाम यह होता है कि अधिक सूक्ष्म एम्पीयर का परिपथीय नियम, के रूप में व्यक्त किया जाता है $J$ और सूक्ष्म धारा (जिसमें मुक्त, चुंबकीयकरण और ध्रुवीकरण धाराएं शामिल हैं) को कभी-कभी नीचे समतुल्य रूप में रखा जाता है $J_{f}$ और केवल मुक्त धारा। मुक्त धारा और बाध्य धारा की विस्तृत परिभाषा के लिए, और इस प्रमाण के लिए कि दोनों सूत्र समतुल्य हैं, नीचे #समतुल्यता का प्रमाण अनुभाग देखें।

परिपथीय नियम के मूल सूत्रीकरण की कमियाँ
सर्किट कानून के संबंध में दो महत्वपूर्ण मुद्दे हैं जिनकी बारीकी से जांच की आवश्यकता है। सबसे पहले, विद्युत आवेश के लिए निरंतरता समीकरण के संबंध में एक मुद्दा है। वेक्टर कैलकुलस में, वेक्टर कैलकुलस पहचान के लिए पहचान#कर्ल का विचलन शून्य है, जिसमें कहा गया है कि एक वेक्टर फ़ील्ड के कर्ल का विचलन हमेशा शून्य होना चाहिए। इस तरह


 * $$\nabla\cdot(\nabla\times\mathbf{B}) = 0 \,,$$

और इसलिए मूल एम्पीयर का सर्किटल कानून इसका तात्पर्य है


 * $$\nabla\cdot \mathbf{J} = 0\,, $$

यानी कि वर्तमान घनत्व सोलेनोइडल वेक्टर क्षेत्र है।

लेकिन सामान्य तौर पर, वास्तविकता निरंतरता समीकरण#विद्युतचुंबकत्व का अनुसरण करती है:


 * $$\nabla\cdot \mathbf{J} = -\frac{\partial \rho}{\partial t} \,,$$

जो समय-भिन्न चार्ज घनत्व के लिए गैर-शून्य है। एक उदाहरण संधारित्र सर्किट में होता है जहां प्लेटों पर समय-भिन्न चार्ज घनत्व मौजूद होते हैं। दूसरा, विद्युत चुम्बकीय तरंगों के प्रसार से संबंधित एक मुद्दा है। उदाहरण के लिए, खाली जगह में, कहाँ


 * $$\mathbf{J} = \mathbf{0}\,, $$

सर्किट कानून का तात्पर्य यह है


 * $$\nabla\times\mathbf{B} = \mathbf{0}\,, $$

यानी कि चुंबकीय क्षेत्र इर्रोटेशनल वेक्टर क्षेत्र है, लेकिन निरंतरता समीकरण #विद्युतचुंबकत्व के साथ स्थिरता बनाए रखने के लिए, हमारे पास होना चाहिए


 * $$\nabla\times\mathbf{B} = \frac{1}{c^2}\frac{\partial\mathbf{E}}{\partial t}\,. $$

इन स्थितियों का इलाज करने के लिए, विस्थापन धारा के योगदान को परिपथीय कानून में वर्तमान पद में जोड़ा जाना चाहिए।

जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने ढांकता हुआ भंवर समुद्र में एक ध्रुवीकरण धारा के रूप में विस्थापन धारा की कल्पना की, जिसका उपयोग उन्होंने चुंबकीय क्षेत्र को हाइड्रोडायनामिक और यांत्रिक रूप से मॉडल करने के लिए किया। उन्होंने इस विस्थापन धारा को अपने 1861 के पेपर :इमेज:ऑन फिजिकल लाइन्स ऑफ फोर्स.पीडीएफ में समीकरण 112 पर एम्पीयर के सर्किट नियम में जोड़ा।

विस्थापन धारा
मुक्त स्थान में, विस्थापन धारा विद्युत क्षेत्र के परिवर्तन की समय दर से संबंधित होती है।

ढांकता हुआ में विस्थापन धारा में उपरोक्त योगदान भी मौजूद है, लेकिन विस्थापन धारा में एक बड़ा योगदान ढांकता हुआ सामग्री के व्यक्तिगत अणुओं के ध्रुवीकरण से संबंधित है। भले ही आवेश ढांकता हुआ में स्वतंत्र रूप से प्रवाहित नहीं हो सकते हैं, अणुओं में आवेश विद्युत क्षेत्र के प्रभाव में थोड़ा आगे बढ़ सकते हैं। अणुओं में सकारात्मक और नकारात्मक चार्ज लागू क्षेत्र के तहत अलग हो जाते हैं, जिससे ध्रुवीकरण की स्थिति में वृद्धि होती है, जिसे ध्रुवीकरण घनत्व के रूप में व्यक्त किया जाता है $B$. ध्रुवीकरण की बदलती स्थिति धारा के बराबर होती है।

विस्थापन धारा में दोनों योगदानों को विस्थापन धारा को इस प्रकार परिभाषित करके संयोजित किया जाता है:


 * $$\mathbf{J}_\mathrm{D} = \frac {\partial}{\partial t} \mathbf{D} (\mathbf{r}, \, t) \,, $$

जहां विद्युत विस्थापन क्षेत्र को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $$ \mathbf{D} = \varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P} = \varepsilon_0 \varepsilon_\mathrm{r} \mathbf{E} \, ,$$

कहाँ $H$ विद्युत स्थिरांक है, $P$ सापेक्ष स्थैतिक पारगम्यता, और $ε_{0}$ ध्रुवीकरण घनत्व है. के लिए इस प्रपत्र को प्रतिस्थापित करना $ε_{r}$विस्थापन धारा की अभिव्यक्ति में, इसके दो घटक हैं:


 * $$ \mathbf{J}_\mathrm{D} = \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t}\,.$$

दायीं ओर का पहला शब्द हर जगह मौजूद है, यहां तक ​​कि शून्य में भी। इसमें आवेश की कोई वास्तविक गति शामिल नहीं है, लेकिन फिर भी इसमें एक संबद्ध चुंबकीय क्षेत्र है, जैसे कि यह एक वास्तविक धारा हो। कुछ लेखक केवल इस योगदान के लिए विस्थापन धारा नाम का प्रयोग करते हैं। दायीं ओर दूसरा शब्द विस्थापन धारा है, जैसा कि मूल रूप से मैक्सवेल ने कल्पना की थी, जो ढांकता हुआ सामग्री के व्यक्तिगत अणुओं के ध्रुवीकरण से जुड़ा है।

विस्थापन धारा के लिए मैक्सवेल की मूल व्याख्या ढांकता हुआ मीडिया में होने वाली स्थिति पर केंद्रित थी। आधुनिक पोस्ट-ईथर युग में, इस अवधारणा को उन स्थितियों पर लागू करने के लिए विस्तारित किया गया है जहां कोई भौतिक मीडिया मौजूद नहीं है, उदाहरण के लिए, चार्जिंग निर्वात संधारित्र  की प्लेटों के बीच वैक्यूम। विस्थापन धारा आज उचित है क्योंकि यह विद्युत चुम्बकीय सिद्धांत की कई आवश्यकताओं को पूरा करती है: उन क्षेत्रों में चुंबकीय क्षेत्र की सही भविष्यवाणी जहां कोई मुक्त धारा प्रवाहित नहीं होती है; विद्युत चुम्बकीय क्षेत्रों के तरंग प्रसार की भविष्यवाणी; और ऐसे मामलों में विद्युत आवेश का संरक्षण जहां आवेश घनत्व समय-परिवर्तनशील है। अधिक चर्चा के लिए विस्थापन धारा देखें।

मूल कानून का विस्तार: एम्पीयर-मैक्सवेल समीकरण
इसके बाद, ध्रुवीकरण धारा को शामिल करके सर्किट समीकरण को बढ़ाया जाता है, जिससे मूल सर्किट कानून की सीमित प्रयोज्यता का समाधान होता है।

मुक्त शुल्कों को बाध्य शुल्कों से अलग मानते हुए, समीकरण के संदर्भ में मैक्सवेल का सुधार शामिल है $P$-फ़ील्ड है (द $D$-फ़ील्ड का उपयोग किया जाता है क्योंकि इसमें चुंबकीयकरण धाराएँ शामिल होती हैं, इसलिए $H$ स्पष्ट रूप से प्रकट नहीं होता है, चुंबकीय क्षेत्र#एच फ़ील्ड की भौतिक व्याख्या देखें|$H$-फ़ील्ड और #मुक्त धारा बनाम बाध्य धारा पर भी ध्यान दें):
 * $$\oint_C \mathbf{H} \cdot \mathrm{d} \boldsymbol{l} = \iint_S \left( \mathbf{J}_\mathrm{f} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \right) \cdot \mathrm{d} \mathbf{S}$$

(अभिन्न रूप), कहाँ $J_{M}$चुंबकीय क्षेत्र|चुंबकीय है $H$ क्षेत्र (जिसे सहायक चुंबकीय क्षेत्र, चुंबकीय क्षेत्र की तीव्रता या सिर्फ चुंबकीय क्षेत्र भी कहा जाता है), $H$ विद्युत विस्थापन क्षेत्र है, और $H$ संलग्न चालन धारा या मुक्त धारा घनत्व है। विभेदक रूप में,


 * $$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{H} = \mathbf{J}_\mathrm{f}+\frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t} \, .$$

दूसरी ओर, सभी आवेशों को एक ही आधार पर मानते हुए (चाहे वे बाध्य या मुक्त आवेश हों), सामान्यीकृत एम्पीयर समीकरण, जिसे मैक्सवेल-एम्पीयर समीकरण भी कहा जाता है, अभिन्न रूप में है (नीचे समतुल्यता का # प्रमाण अनुभाग देखें) :

विभेदक रूप में,

दोनों रूपों में $D$चुम्बकत्व धारा#चुम्बकत्व धारा घनत्व शामिल है साथ ही चालन और ध्रुवीकरण वर्तमान घनत्व। अर्थात्, एम्पीयर-मैक्सवेल समीकरण के दाईं ओर वर्तमान घनत्व है:


 * $$ \mathbf{J}_\mathrm{f}+\mathbf{J}_\mathrm{D} +\mathbf{J}_\mathrm{M} = \mathbf{J}_\mathrm{f}+\mathbf{J}_\mathrm{P} +\mathbf{J}_\mathrm{M} + \varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf{E}}{\partial t} = \mathbf{J}+ \varepsilon_0 \frac {\partial \mathbf{E}}{\partial t} \, ,$$

जहां वर्तमान घनत्व $J_{f}$विस्थापन धारा है, और $J$ वर्तमान घनत्व का योगदान वास्तव में मुक्त और बाध्य दोनों प्रकार के आवेशों की गति के कारण होता है। क्योंकि $J_{D}$, एम्पीयर के मूल फॉर्मूलेशन के साथ चार्ज निरंतरता का मुद्दा अब कोई समस्या नहीं है। में शब्द के कारण $J$, मुक्त स्थान में तरंग प्रसार अब संभव है।

विस्थापन धारा को जोड़ने के साथ, मैक्सवेल यह परिकल्पना (सही ढंग से) करने में सक्षम थे कि प्रकाश विद्युत चुम्बकीय तरंग का एक रूप था। इस महत्वपूर्ण खोज की चर्चा के लिए विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण देखें।

समतुल्यता का प्रमाण
प्रमाण है कि मुक्त धारा के संदर्भ में परिपथीय कानून के सूत्रीकरण कुल धारा से जुड़े सूत्रों के बराबर हैं

इस प्रमाण में हम वह समीकरण दिखाएंगे
 * $$\nabla\times \mathbf{H} = \mathbf{J}_\mathrm{f} + \frac{\partial \mathbf{D}}{\partial t}$$

समीकरण के समतुल्य है
 * $$\frac{1}{\mu_0}(\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}) = \mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\,.$$

ध्यान दें कि हम केवल विभेदक रूपों से निपट रहे हैं, अभिन्न रूपों से नहीं, लेकिन यह पर्याप्त है क्योंकि केल्विन-स्टोक्स प्रमेय के अनुसार, प्रत्येक मामले में अंतर और अभिन्न रूप समतुल्य हैं।

हम ध्रुवीकरण घनत्व का परिचय देते हैं $∇ ⋅ D = ρ$, जिसका निम्न संबंध है $ε_{0}∂E⁄∂t$ और $P$:
 * $$\mathbf{D}=\varepsilon_0 \mathbf{E} + \mathbf{P}\,.$$

इसके बाद, हम चुम्बकत्व का परिचय देते हैं $E$, जिसका निम्न संबंध है $D$ और $M$:
 * $$\frac{1}{\mu_0}\mathbf{B} = \mathbf{H} + \mathbf{M}$$

और बाध्य धारा से निम्नलिखित संबंध:
 * $$\begin{align}

\mathbf{J}_\mathrm{bound} &= \nabla\times\mathbf{M} + \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t} \\ &=\mathbf{J}_\mathrm{M}+\mathbf{J}_\mathrm{P}, \end{align}$$ कहाँ
 * $$ \mathbf{J}_\mathrm{M} = \nabla\times\mathbf{M}, $$

चुम्बकत्व धारा#चुम्बकत्व धारा घनत्व कहा जाता है, और
 * $$ \mathbf{J}_\mathrm{P} = \frac{\partial \mathbf{P}}{\partial t},$$

ध्रुवीकरण धारा घनत्व है. के लिए समीकरण लेना $B$:


 * $$\begin{align}

\frac{1}{\mu_0}(\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}) &= \mathbf{\nabla} \times \left( \mathbf {H}+\mathbf{M} \right) \\ &=\mathbf{\nabla} \times \mathbf H + \mathbf{J}_{\mathrm{M}} \\ &= \mathbf{J}_\mathrm{f} + \mathbf{J}_\mathrm{P} +\varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} + \mathbf{J}_\mathrm{M}. \end{align}$$ नतीजतन, बाध्य धारा की परिभाषा का जिक्र करते हुए:


 * $$\begin{align}

\frac{1}{\mu_0}(\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B}) &=\mathbf{J}_\mathrm{f}+ \mathbf{J}_\mathrm{bound} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t} \\ &=\mathbf{J} + \varepsilon_0 \frac{\partial \mathbf E}{\partial t} , \end{align}$$ जैसा कि दिखाया जाना था.

सीजीएस इकाइयों में एम्पीयर का सर्किट नियम
गॉसियन इकाइयों में, मैक्सवेल के सुधार सहित समीकरण का अभिन्न रूप पढ़ा जाता है
 * $$\oint_C \mathbf{B} \cdot \mathrm{d}\boldsymbol{l} = \frac{1}{c} \iint_S \left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right) \cdot \mathrm{d}\mathbf{S},$$

कहाँ $c$ प्रकाश की गति है.

समीकरण का विभेदक रूप (फिर से, मैक्सवेल के सुधार सहित) है
 * $$\mathbf{\nabla} \times \mathbf{B} = \frac{1}{c}\left(4\pi\mathbf{J}+\frac{\partial \mathbf{E}}{\partial t}\right).$$

यह भी देखें

 * बायोट-सावर्ट नियम
 * विस्थापन धारा
 * धारिता
 * चुंबक#चुंबक के लिए दो मॉडल: चुंबकीय ध्रुव और परमाणु धाराएं|एम्पीयरियन चुंबकीय द्विध्रुव मॉडल
 * विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण
 * मैक्सवेल के समीकरण
 * फैराडे का प्रेरण नियम
 * ध्रुवीकरण घनत्व
 * विद्युत प्रवाह
 * वेक्टर कलन
 * स्टोक्स प्रमेय

बाहरी संबंध

 * MISN-0-138 Ampere's Law (PDF file) by Kirby Morgan for Project PHYSNET.
 * MISN-0-145 The Ampere–Maxwell Equation; Displacement Current (PDF file) by J. S. Kovacs for Project PHYSNET.
 * A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field Maxwell's paper of 1864
 * A Dynamical Theory of the Electromagnetic Field Maxwell's paper of 1864