यूक्लिडियन संबंध

गणित में, यूक्लिडियन संबंध बाइनरी संबंधों का एक वर्ग है जो औपचारिक रूप से :wikisource:Page:First_six_books_of_the_elements_of_Euclid_1847_Byrne.djvu/26 in Euclid's Elements|Euclid's Elements: समान के बराबर परिमाण एक दूसरे के बराबर होते हैं।

परिभाषा
एक सेट (गणित) X पर एक द्विआधारी संबंध R 'यूक्लिडियन' (कभी-कभी 'राइट यूक्लिडियन' कहा जाता है) है यदि यह निम्नलिखित को संतुष्ट करता है: प्रत्येक a, b, c के लिए X में, यदि a, b और c से संबंधित है, तो b ग से संबंधित है। इसे विधेय तर्क में लिखने के लिए:


 * $$\forall a, b, c\in X\,(a\,R\, b \land a \,R\, c \to b \,R\, c).$$

दोहरे रूप से, X पर एक संबंध R 'लेफ्ट यूक्लिडियन' है, यदि X में प्रत्येक a, b, c के लिए, यदि b, a से संबंधित है और c, a से संबंधित है, तो b, c से संबंधित है:


 * $$\forall a, b, c\in X\,(b\,R\, a \land c \,R\, a \to b \,R\, c).$$

गुण
# परिभाषा के पूर्ववर्ती में ∧ की क्रमविनिमेयता के कारण, aRb ∧ aRc का तात्पर्य bRc ∧ cRb से भी है, जब R सही यूक्लिडियन है। इसी प्रकार, bRa ∧ cRa का तात्पर्य bRc ∧ cRb से है, जब R को यूक्लिडियन छोड़ दिया जाता है।
 * 1) यूक्लिडियन होने का गुण सकर्मक संबंध से भिन्न है। उदाहरण के लिए, ≤ सकर्मक है, लेकिन सही यूक्लिडियन नहीं है, जबकि xRy 0 ≤ x ≤ y + 1 ≤ 2 द्वारा परिभाषित संक्रामक नहीं है, लेकिन प्राकृतिक संख्या पर सही यूक्लिडियन।
 * 2) सममित संबंधों के लिए, ट्रांज़िटिविटी, राइट यूक्लिडियननेस, और लेफ्ट यूक्लिडियननेस सभी मेल खाते हैं। हालाँकि, एक गैर-सममित संबंध भी सकर्मक और सही यूक्लिडियन दोनों हो सकता है, उदाहरण के लिए, xRy को y=0 द्वारा परिभाषित किया गया है।
 * 3) एक संबंध जो सही यूक्लिडियन और रिफ्लेक्सिव संबंध दोनों है, वह भी सममित है और इसलिए एक तुल्यता संबंध है। इसी प्रकार, प्रत्येक बायाँ यूक्लिडियन और स्वतुल्य संबंध एक तुल्यता है।
 * 4) छवि (गणित) # सही यूक्लिडियन संबंध के द्विआधारी संबंधों का सामान्यीकरण हमेशा एक उपसमुच्चय होता है इसकी छवि (गणित) # द्विआधारी संबंधों के लिए सामान्यीकरण। द बाइनरी रिलेशन # रेस्ट्रिक्शन ऑफ़ द राइट यूक्लिडियन रिलेशन टू इट्स रेंज हमेशा रिफ्लेक्सिव होता है, और इसलिए एक समानता। इसी तरह, एक बाएं यूक्लिडियन संबंध का डोमेन इसकी सीमा का एक उपसमुच्चय है, और एक बाएं यूक्लिडियन संबंध का इसके डोमेन के लिए प्रतिबंध एक समानता है।
 * 5) एक संबंध R बाएँ और दाएँ यूक्लिडियन दोनों है, अगर, और केवल अगर, R का डोमेन और रेंज सेट सहमत हैं, और R उस सेट पर एक तुल्यता संबंध है।
 * 6) एक सही यूक्लिडियन संबंध हमेशा सकर्मक संबंध होता है, के रूप में एक वाम यूक्लिडियन संबंध है।
 * 7) एक जुड़ा हुआ संबंध सही यूक्लिडियन संबंध हमेशा सकर्मक होता है; और इसलिए एक जुड़ा हुआ वाम यूक्लिडियन संबंध है।
 * 8) यदि X में कम से कम 3 तत्व हैं, तो X पर एक जुड़ा हुआ सही यूक्लिडियन संबंध R प्रतिसममित संबंध नहीं हो सकता है, और न ही X पर बायें यूक्लिडियन संबंध को जोड़ा जा सकता है। 2-तत्व समुच्चय पर X = {0, 1}, उदा. संबंध xRy y=1 द्वारा परिभाषित जुड़ा हुआ है, सही यूक्लिडियन और एंटीसिमेट्रिक है, और x=1 द्वारा परिभाषित xRy जुड़ा हुआ है, बाएं यूक्लिडियन और एंटीसिमेट्रिक है।
 * 9) एक समुच्चय X पर एक संबंध R सही यूक्लिडियन है, और केवल यदि, प्रतिबंध R := आर|ran(R) एक समानता है और X\ran(R) में प्रत्येक x के लिए, वे सभी तत्व जिनसे x R के अंतर्गत संबंधित है, R के अंतर्गत समतुल्य हैं. इसी प्रकार, X पर R को यूक्लिडियन छोड़ दिया जाता है यदि, और केवल यदि, R := आर|dom(R) एक समानता है और एक्स\डोम (आर) में प्रत्येक एक्स के लिए, आर के तहत एक्स से संबंधित सभी तत्व आर के तहत समकक्ष हैं.
 * 10) एक बायाँ यूक्लिडियन संबंध बायाँ-अद्वितीय संबंध है| बायाँ-अद्वितीय यदि, और केवल यदि, यह प्रतिसममित संबंध है। इसी तरह, एक सही यूक्लिडियन संबंध सही अद्वितीय है, और केवल अगर, यह विरोधी सममित है।
 * 11) बायाँ यूक्लिडियन और बायाँ अद्वितीय संबंध रिक्त रूप से सकर्मक है, और ऐसा ही एक दायाँ यूक्लिडियन और दायाँ अद्वितीय संबंध है।
 * 12) एक वाम यूक्लिडियन संबंध वाम अर्ध-प्रतिवर्ती संबंध है|अर्ध-प्रतिवर्ती। वाम-अद्वितीय संबंधों के लिए, विलोम भी धारण करता है। द्वैत रूप से, प्रत्येक सही यूक्लिडियन संबंध सही अर्ध-रिफ्लेक्सिव है, और प्रत्येक सही अद्वितीय और सही अर्ध-रिफ्लेक्टिव संबंध सही यूक्लिडियन है।