सुपरस्पेस

अतिदिक् अतिसममिति प्रदर्शित करने वाले सिद्धांत का समन्वय स्थान है। इस तरह के सूत्रीकरण में, सामान्य दिक् आयाम x, y, z, ... के साथ-साथ प्रतिन्यूनीकरण आयाम भी होते हैं जिनके निर्देशांक वास्तविक संख्याओं के स्थान पर ग्रासमैन संख्या में वर्गीकृत किए जाते हैं। सामान्य दिक् आयाम स्वतंत्रता की बोसोनिक घात के अनुरूप होते हैं, प्रतिन्यूनीकरण आयाम स्वतंत्रता की तापायनिक कोटि के अनुरूप होते हैं।

अतिदिक् शब्द का प्रयोग पहली बार जॉन आर्चीबाल्ड व्हीलर द्वारा सामान्य सापेक्षता के विन्यास स्थान (भौतिकी) का वर्णन करने के लिए एक असंबंधित अर्थ में किया गया था; उदाहरण के लिए, यह प्रयोग उनकी 1973 की पाठ्यपुस्तक गुरुत्वाकर्षण (पुस्तक) में देखा जा सकता है।

अनौपचारिक चर्चा
कई अतिदिक् की परिभाषाएं जिनका उपयोग किया गया है, समान हैं, लेकिन समकक्ष नहीं हैं, और उनका गणितीय और भौतिकी साहित्य में उपयोग किया जाना जारी है। ऐसा ही एक प्रयोग अति मिन्कोव्स्की दिक् के पर्याय के रूप में है। इस स्तिथि में, कोई सामान्य मिन्कोव्स्की स्थान लेता है, और इसे लोरेंत्ज़ समूह से जुड़े क्लिफर्ड बीजगणित से प्रति-न्यूनीकरण वेइल स्पाइनर के रूप में लिया जाता है, जो स्वतंत्रता के प्रति-न्यूनीकरण तापायनिक घात के साथ विस्तारित होता है। समतुल्य रूप से, अति मिन्कोव्स्की दिक् को लोरेंत्ज़ समूह के बीजगणित अति पोंकारे बीजगणित सापेक्ष के भागफल के रूप में समझा जा सकता है। ऐसी जगह पर निर्देशांक के लिए एक विशिष्ट संकेतन $$(x,\theta,\bar{\theta})$$ है चित्र शीर्षक से यह पता चलता है कि अति मिंकॉस्की दिक् इच्छित स्थान है।

अतिदिक् को आमतौर पर अति सदिश स्थल के पर्याय के रूप में भी प्रयोग किया जाता है। इसे ग्रासमैन बीजगणित से लिए गए अतिरिक्त निर्देशांकों के साथ एक सामान्य सदिश स्थान के रूप में लिया जाता है, अर्थात ग्रासमान संख्या वाले निर्देशांक दिशाएँ। उपयोग में आने वाले अति सदिश दिक् के निर्माण के लिए कई परंपराएँ हैं; इनमें से दो का वर्णन रोजर्स ने किया है।

अतिदिक् शब्द का तीसरा उपयोग अतिबहुविध के पर्याय के रूप में है: बहुविध का सुपरसिमेट्रिक सामान्यीकरण है। ध्यान दें कि अति मिंकोव्स्की दिक् और अति सदिश दिक् दोनों को अतिबहुविध की विशेष स्तिथियों के रूप में लिया जा सकता है।

चौथा और पूरी तरह से असंबंधित अर्थ ने सामान्य सापेक्षता में एक संक्षिप्त उपयोग देखा; इस पर नीचे और अधिक विस्तार से चर्चा की गई है।

उदाहरण
नीचे कई उदाहरण दिए गए हैं। पहले कुछ अतिसदिश दिक् के रूप में अतिदिक् की परिभाषा मानते हैं। इसे Rm के रूप में निरूपित किया जाता है, Z2-श्रेणीबद्ध सदिश समष्टि जिसमें Rm सम उपसमष्टि है और Rn विषम उपसमष्टि है। यही परिभाषा Cm पर लागू होती है।

चार-आयामी उदाहरण अतिदिक् को अति मिंकोवस्की दिक् के रूप में लेते हैं। हालांकि सदिश स्थान के समान, इसमें कई महत्वपूर्ण अंतर हैं: सबसे पहले, यह एक सजातीय स्थान है, जिसमें मूल को दर्शाने वाला कोई विशेष बिंदु नहीं है। इसके बाद, ग्रासमैन संख्या होने के स्थान पर, क्लिफर्ड बीजगणित से तापायनिक निर्देशांक को क्रमविनिमेय वेइल स्पाइनर के रूप में लिया जाता है। यहाँ अंतर यह है कि क्लिफर्ड बीजगणित में ग्रासमैन संख्या की तुलना में काफी समृद्ध और अधिक सूक्ष्म संरचना है। तो, ग्रास्मान संख्या बाहरी बीजगणित के तत्व हैं, और क्लिफोर्ड बीजगणित में बाहरी बीजगणित के लिए एक समरूपता है, लेकिन आयतीय समूह और स्पाइन समूह से इसका संबंध, स्पाइन प्रस्तुतियों का निर्माण करने के लिए उपयोग किया जाता है, इसे एक गहरा ज्यामितीय महत्व देता है। (उदाहरण के लिए, स्पाइन समूह रिमेंनियन ज्यामिति के भौतिकी की सामान्य सीमाओं और सरोकारों से बिल्कुल बाहर अध्ययन का एक सामान्य हिस्सा है ।)

तुच्छ उदाहरण
सबसे छोटा अतिदिक् एक ऐसा बिंदु है जिसमें न तो बोसोनिक और न ही तापायनिक दिशाएँ होती हैं। अन्य तुच्छ उदाहरणों में n-आयामी वास्तविक तल 'R'n सम्मिलित हैं, जो एक सदिश स्थान है जो n वास्तविक, बोसोनिक दिशाओं में फैला हुआ है और कोई तापायनिक दिशा नहीं है। सदिश स्थान R0, जो कि n-विमीय यथार्थ ग्रासमैन बीजगणित है। दिक् R1 एक सम और एक विषम दिशा को दोहरी संख्याओं के स्थान के रूप में जाना जाता है, जिसे 1873 में विलियम किंग्डन क्लिफोर्ड द्वारा प्रस्तुत किया गया था।

सुपरसिमेट्रिक क्वांटम यांत्रिकी का अतिदिक्
एन अत्यधिक प्रभावकारी  के साथ सुपरसिमेट्रिक क्वांटम यांत्रिकी अक्सर अतिदिक् 'आर' में तैयार की जाती है।1, जिसमें एक वास्तविक दिशा t सम्मिलित है जिसे समय के साथ पहचाना जाता है और N कॉम्प्लेक्स ग्रासमैन संख्या जो Θ द्वारा फैली हुई हैi और Θ *i, जहाँ i 1 से N तक चलता है।

विशेष स्थिति N = 1 पर विचार करें। अतिदिक् 'R'1 एक 3-आयामी सदिश स्थान है। इसलिए दिए गए निर्देशांक को ट्रिपल (t, Θ, Θ) के रूप में लिखा जा सकता है*). निर्देशांक एक लव सुपरएलजेब्रा बनाते हैं, जिसमें टी की ग्रेडेशन घात भी है और Θ और Θ की है * विषम है। इसका मतलब यह है कि इस सदिश दिक् के किसी भी दो तत्वों के बीच एक ब्रैकेट को परिभाषित किया जा सकता है, और यह ब्रैकेट कम्यूटेटर को दो सम निर्देशांकों पर और एक सम और एक विषम समन्वय पर कम करता है, जबकि यह दो विषम निर्देशांकों पर एक एंटीकम्यूटेटर है। यह अतिदिक् एक एबेलियन लाइ सुपरलेजेब्रा है, जिसका अर्थ है कि उपरोक्त सभी कोष्ठक गायब हो जाते हैं


 * $$\left[ t,t\right]=\left[ t, \theta\right]=\left[ t, \theta^*\right]=\left\{\theta, \theta\right\}=\left\{ \theta, \theta^*\right\} =\left\{ \theta^*, \theta^*\right\}=0$$

कहाँ $$[a,b]$$ a और b का कम्यूटेटर है और $$\{a,b\}$$ ए और बी के एंटीकोम्यूटेटर है।

कोई इस सदिश स्थान से कार्यों को परिभाषित कर सकता है, जिन्हें सुपरफ़ील्ड कहा जाता है। उपरोक्त बीजगणितीय संबंधों का अर्थ है कि, यदि हम Θ और Θ में शक्ति श्रृंखला के रूप में अपने सुपरफ़ील्ड का विस्तार करते हैं*, तब हम केवल शून्य और प्रथम कोटि पर पद प्राप्त करेंगे, क्योंकि Θ2 = थ *2 = 0। इसलिए, सुपरफ़ील्ड को t के मनमाना फ़ंक्शन के रूप में लिखा जा सकता है जिसे दो ग्रासमैन निर्देशांकों में शून्य और पहले क्रम के शब्दों से गुणा किया जाता है


 * $$\Phi \left(t,\Theta,\Theta^* \right)=\phi(t)+\Theta\Psi(t)-\Theta^*\Phi^*(t)+\Theta\Theta^* F(t)$$

सुपरफ़ील्ड, जो अतिदिक् के अतिसममिति का प्रतिनिधित्व करते हैं, टेन्सर की धारणा को सामान्य करते हैं, जो एक बोसोनिक दिक् के रोटेशन समूह का प्रतिनिधित्व करते हैं।

इसके बाद ग्रासमैन दिशाओं में डेरिवेटिव को परिभाषित किया जा सकता है, जो सुपरफ़ील्ड के विस्तार में पहले ऑर्डर शब्द को ज़ीरोथ ऑर्डर टर्म तक ले जाता है और ज़ीरोथ ऑर्डर टर्म को मिटा देता है। कोई साइन कन्वेंशन चुन सकता है जैसे कि डेरिवेटिव एंटीकोमुटेशन संबंधों को संतुष्ट करते हैं


 * $$\left\{\frac{\partial}{\partial \theta}\,,\Theta\right\}=\left\{\frac{\partial}{\partial \theta^*}\,,\Theta^*\right\}=1$$

इन डेरिवेटिव्स को सुपरचार्ज में इकट्ठा किया जा सकता है


 * $$Q=\frac{\partial}{\partial \theta}-i\Theta^*\frac{\partial}{\partial t}\quad \text{and} \quad Q^\dagger=\frac{\partial}{\partial \theta^*}+i\Theta\frac{\partial}{\partial t}$$

जिनके एंटीकोम्यूटेटर्स उन्हें एक अतिसममिति बीजगणित के तापायनिक जनरेटर के रूप में पहचानते हैं


 * $$\left\{ Q,Q^\dagger\,\right\}=2i\frac{\partial}{\partial t}$$

जहां i बार समय व्युत्पन्न क्वांटम यांत्रिकी में हैमिल्टनियन (क्वांटम यांत्रिकी) ऑपरेटर है। क्यू और इसके आसन्न दोनों स्वयं के साथ एंटीकॉम्यूट करते हैं। सुपरफ़ील्ड Φ के अतिसममिति पैरामीटर ε के साथ अतिसममिति वेरिएशन को परिभाषित किया गया है


 * $$\delta_\epsilon\Phi=(\epsilon^* Q+\epsilon Q^\dagger)\Phi.$$

सुपरफील्ड्स पर क्यू की कार्रवाई का उपयोग करके हम इस भिन्नता का मूल्यांकन कर सकते हैं


 * $$\left[Q,\Phi \right]=\left(\frac{\partial}{\partial \theta}\,-i\theta^*\frac{\partial}{\partial t}\right)\Phi=\psi+\theta^*\left(F-i\dot{\phi}\right)+i\theta\theta^*\dot{\psi}.$$

इसी प्रकार कोई अतिदिक् पर सहसंयोजक डेरिवेटिव को परिभाषित कर सकता है


 * $$D=\frac{\partial}{\partial \theta}-i\theta^*\frac{\partial}{\partial t}\quad \text{and} \quad D^\dagger=\frac{\partial}{\partial \theta^*}-i\theta\frac{\partial}{\partial t}$$

जो सुपरचार्ज के साथ एंटीकम्यूट करते हैं और एक गलत चिह्न अतिसममिति बीजगणित को संतुष्ट करते हैं


 * $$\left\{D,D^\dagger\right\}=-2i\frac{\partial}{\partial t}$$.

तथ्य यह है कि सहसंयोजक डेरिवेटिव सुपरचार्ज के साथ एंटीकॉम्यूट का मतलब है कि एक सुपरफ़ील्ड के सहसंयोजक व्युत्पन्न का अतिसममिति परिवर्तन उसी सुपरफ़ील्ड के समान अतिसममिति परिवर्तन के सहसंयोजक व्युत्पन्न के बराबर है। इस प्रकार, बोसोनिक ज्यामिति में सहसंयोजक व्युत्पन्न का सामान्यीकरण, जो टेंसरों से टेंसरों का निर्माण करता है, अतिदिक् सहसंयोजक व्युत्पन्न सुपरफ़ील्ड्स से सुपरफ़ील्ड का निर्माण करता है।

एन = 1 अति मिंकोवस्की दिक्
शायद भौतिकी में सबसे अधिक अध्ययन किया जाने वाला ठोस अतिदिक् है $$d = 4, \mathcal{N} = 1$$ अति मिन्कोव्स्की दिक् $$\mathbb{R}^{4|4}$$ या कभी-कभी लिखा जाता है $$\mathbb{R}^{1,3|4}$$, जो चार वास्तविक बोसोनिक आयामों के मॉड्यूल का प्रत्यक्ष योग है और चार वास्तविक ग्रासमैन आयाम (तापायनिक आयाम के रूप में भी जाना जाता है या स्पाइन आयाम)। अति सममित   क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत  में किसी को अतिदिक् में दिलचस्पी है, जो अतिसममिति बीजगणित कहे जाने वाले सुपरलेजेब्रा के समूह प्रतिनिधित्व को प्रस्तुत करता है। अतिसममिति बीजगणित का बोसोनिक हिस्सा पोनकारे बीजगणित है, जबकि ग्रासमैन नंबर मूल्यवान घटकों के साथ स्पिनरों का उपयोग करके तापायनिक भाग का निर्माण किया जाता है।

इस कारण से, भौतिक अनुप्रयोगों में एक अतिसममिति बीजगणित की चार तापायनिक दिशाओं पर एक क्रिया पर विचार करता है $$\mathbb{R}^{4|4}$$ जैसे कि वे पॉइनकेयर सबलजेब्रा के तहत एक स्पिनर के रूप में परिवर्तित हो जाते हैं। चार आयामों में तीन अलग-अलग अलघुकरणीय 4-घटक स्पिनर हैं। मेजराना स्पिनर, बाएं हाथ के वेइल स्पिनर और दाएं हाथ के वीइल स्पिनर हैं। CPT प्रमेय का तात्पर्य है कि यूनिटेरिटी (भौतिकी) में, पॉइंकेयर अपरिवर्तनीय सिद्धांत, जो एक सिद्धांत है जिसमें एस मैट्रिक्स  एक एकात्मक मैट्रिक्स है और समान पॉइंकेयर जनरेटर एसिम्प्टोटिक इन-स्टेट्स पर एसिम्प्टोटिक आउट-स्टेट्स के रूप में कार्य करते हैं, अतिसममिति बीजगणित में बाएं हाथ और दाएं हाथ के वेइल स्पिनरों की समान संख्या होनी चाहिए। हालाँकि, चूंकि प्रत्येक वीइल स्पिनर के चार घटक होते हैं, इसका मतलब यह है कि यदि किसी में कोई वीइल स्पिनर सम्मिलित है, तो उसके पास 8 फर्मोनिक दिशाएँ होनी चाहिए। कहा जाता है कि इस तरह के सिद्धांत ने सुपरसममिति को बढ़ाया है, और ऐसे मॉडलों ने बहुत अधिक ध्यान आकर्षित किया है। उदाहरण के लिए, नाथन सीबर्ग और एडवर्ड विटन द्वारा आठ सुपरचार्ज और मौलिक पदार्थ के साथ सुपरसिमेट्रिक गेज सिद्धांतों को हल किया गया है, सीबर्ग-विटन गेज सिद्धांत देखें। हालाँकि, इस उपखंड में हम अतिदिक् पर चार फ़र्मोनिक घटकों के साथ विचार कर रहे हैं और इसलिए कोई भी वीइल स्पिनर सीपीटी प्रमेय के अनुरूप नहीं हैं।

नोट: उपयोग में कई संधिपत्र पर हस्ताक्षर करें  हैं और यह उनमें से केवल एक है।

इसलिए चार तापायनिक दिशाएँ मेजराना स्पिनोर के रूप में परिवर्तित हो जाती हैं $$\theta_\alpha$$. हम एक संयुग्मित स्पिनर भी बना सकते हैं


 * $$\bar{\theta}\ \stackrel{\mathrm{def}}{=}\  i\theta^\dagger\gamma^0=-\theta^\perp C$$

कहाँ $$C$$ चार्ज संयुग्मन मैट्रिक्स है, जिसे संपत्ति द्वारा परिभाषित किया गया है कि जब यह गामा मैट्रिक्स को संयुग्मित करता है, तो गामा मैट्रिक्स को नकारा और स्थानांतरित किया जाता है। पहली समानता की परिभाषा है $$\bar\theta$$ जबकि दूसरा मेजराना स्पिनोर स्थिति का परिणाम है $$\theta^* = i\gamma_0 C\theta$$. संयुग्मी स्पिनर के समान भूमिका निभाता है $$\theta^*$$ अतिदिक् में $$\mathbb{R}^{1|2}$$, सिवाय इसके कि मेजराना स्थिति, जैसा कि उपरोक्त समीकरण में प्रकट हुआ है, वह लागू करती है $$\theta$$ और $$\theta^*$$ स्वतंत्र नहीं हैं।

विशेष रूप से हम सुपरचार्ज का निर्माण कर सकते हैं


 * $$Q=-\frac{\partial}{\partial\bar{\theta}}+\gamma^\mu\theta\partial_\mu$$

जो सुपरसममिति बीजगणित को संतुष्ट करते हैं


 * $$\left\{Q,Q\right\}=\left\{\overline{Q},Q\right\}C=2\gamma^\mu\partial_\mu C=-2i\gamma^\mu P_\mu C$$

कहाँ $$P=i\partial_\mu$$ 4- गति ऑपरेटर है। फिर से सहसंयोजक व्युत्पन्न को सुपरचार्ज की तरह परिभाषित किया गया है, लेकिन दूसरे शब्द को नकार दिया गया है और यह सुपरचार्ज के साथ प्रतिगामी है। इस प्रकार एक सुपरमल्टीप्लेट का सहसंयोजक व्युत्पन्न एक और सुपरमल्टीप्लेट है।

विस्तारित सुपरसममेट्री
होना संभव है $$\mathcal{N}$$ सुपरचार्ज के सेट $$Q^I$$ साथ $$I = 1, \cdots, \mathcal{N}$$, हालांकि यह के सभी मूल्यों के लिए संभव नहीं है $$\mathcal{N}$$.

ये सुपरचार्ज कुल मिलाकर अनुवाद उत्पन्न करते हैं $$4\mathcal{N}$$ स्पाइन आयाम, इसलिए अतिदिक् बनाते हैं $$\mathbb{R}^{4|4\mathcal N}$$.

सामान्य सापेक्षता में
मिस्नर, थॉर्न और व्हीलर द्वारा गुरुत्वाकर्षण (पुस्तक) पुस्तक में अतिदिक् शब्द का प्रयोग पूरी तरह से अलग और असंबंधित अर्थ में भी किया जाता है। वहां, यह सामान्य सापेक्षता के विन्यास स्थान (भौतिकी) को संदर्भित करता है, और विशेष रूप से, ज्यामिति के रूप में गुरुत्वाकर्षण का दृष्टिकोण, गतिशील ज्यामिति के रूप में सामान्य सापेक्षता की व्याख्या। आधुनिक शब्दों में, अतिदिक् के इस विशेष विचार को कई अलग-अलग औपचारिकताओं में से एक में आइंस्टीन समीकरणों को विभिन्न प्रकार की सेटिंग्स में सैद्धांतिक और व्यावहारिक दोनों, जैसे संख्यात्मक सिमुलेशन में हल करने में उपयोग किया जाता है। इसमें मुख्य रूप से एडीएम औपचारिकता, साथ ही हैमिल्टन-जैकोबी-आइंस्टीन समीकरण और व्हीलर-डेविट समीकरण के आसपास के विचार सम्मिलित हैं।

यह भी देखें

 * चिरल अतिदिक्
 * हार्मोनिक अतिदिक्
 * प्रोजेक्टिव अतिदिक्
 * अति मिन्कोवस्की दिक्
 * सुपरग्रुप (भौतिकी)
 * लेट सुपरएलजेब्रा

संदर्भ

 * (Second printing)

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