टोपोलॉजी स्पेस

गणित में, सांस्थितिक समष्टि मोटे तौर पर एक ज्यामितीय समष्टि होता है जिसमें निकटता को परिभाषित किया जाता है लेकिन जरूरी नहीं कि इसे संख्यात्मक दूरी से मापा जा सके। अधिक विशेष रूप से, एक सांस्थितिक समष्टि एक  सेट (गणित)  होता है, जिसके तत्वों को पॉइंट ज्यामिति कहा जाता है, साथ ही एक अतिरिक्त संरचना जिसे सांस्थितिक कहा जाता है, जिसे प्रत्येक बिंदु के लिए पड़ोस के सेट के रूप में परिभाषित किया जा सकता है और जो निकटता की अवधारणा को औपचारिक रूप देने वाले कुछ सिद्धांतों को संतुष्ट करता है। सांस्थितिक की कई समान परिभाषाएँ हैं, जिनमें से सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली परिभाषा खुले सेटों के माध्यम से होती है, जो कि हेरफेर करने के लिए दूसरों की तुलना में आसान होती है।

सांस्थितिक समष्टि गणितीय समष्टि का सबसे सामान्य प्रकार है जो सीमाओं की निरंतरता और जुड़ाव की परिभाषा की अनुमति देता है सामान्य प्रकार के सांस्थितिक समष्टि में  यूक्लिडियन समष्टि,  मीट्रिक समष्टि और मैनिफोल्ड शामिल हैं।

चूँकि सामान्तया सांस्थितिक समष्टि की अवधारणा मौलिक है और आधुनिक गणित की लगभग हर शाखा में इसका उपयोग किया जाता है। सांस्थितिक समष्टि का अध्ययन अपने आप में बिंदु-सेट सांस्थितिक या  सामान्य सांस्थितिक कहलाता है।

इतिहास
1735 के आसपास, लियोनहार्ड यूलर ने एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन  के शीर्षों, किनारों और फलकों की संख्या से संबंधित सूत्र $$V - E + F = 2$$  की खोज की, और इसलिए एक सम तलीय ग्राफ  से संबंधित है।

इस सूत्र के अध्ययन और सामान्यीकरण, विशेष रूप से ऑगस्टिन-लुई कॉची 1789-1857 और ल'हुइलियर 1750-1840 में सांस्थितिक के अध्ययन को बढ़ावा दिया। 1827 मे,  कार्ल फ्रेडरिक गॉस ने घुमावदार सतहों की सामान्य जांच प्रकाशित की, जो धारा 3 में घुमावदार सतह को आधुनिक सांस्थितिक समझ के समान तरीके से परिभाषित करती है, एक घुमावदार सतह को उसके एक बिंदु A पर निरंतर वक्रता रखने के लिए कहा जाता है, यदि A से असीम रूप से छोटी दूरी पर सतह के बिंदुओं के लिए A से खींची गई सभी सीधी रेखाओं की दिशा एक और एक ही तल से गुजरने वाली असीम रूप से कम विक्षेपित होती है।

फिर भी जब तक 1850 के दशक की शुरुआत में बर्नहार्ड रिमेंन के काम को सदैव स्थानीय दृष्टिकोण से निपटाया जाता था क्योंकि पैरामीट्रिक सतहों और सांस्थितिक निर्गम पर कभी विचार नहीं किया जाता था। मोबियस और केमिली जॉर्डन यह महसूस करने वाले पहले व्यक्ति थे जो कि सघन सतहों की टोपोलॉजी के बारे में मुख्य समस्या यह है कि सतहों की समानता तय करने के लिए अपरिवर्तनीयों को अधिमानतः संख्यात्मक रूप से खोजना है, और यह तय करना है कि दो सतह होमियोमॉर्फिक हैं या नहीं।

विषय स्पष्ट रूप से फेलिक्स क्लेन द्वारा अपने  एर्लांगेन कार्यक्रम 1872 में स्पष्ट रूप से परिभाषित किया गया है विवेकाधीन ढंग से निरंतर परिवर्तन के ज्यामिति अपरिवर्तनीय, एक प्रकार की ज्यामिति है।सांस्थितिक शब्द 1847 में  जोहान बेनेडिक्ट लिस्टिंग द्वारा पेश किया गया था, चूँकि उन्होंने पहले इस्तेमाल किए गए एनालिसिस साइटस के बजाय कुछ साल पहले पत्राचार में इस शब्द का इस्तेमाल किया था। इस विज्ञान की नींव, किसी भी आयाम के स्थान के लिए, हेनरी पोंकारे द्वारा बनाई गई थी। इस विषय पर उनका पहला लेख  1894 में छपा। 1930 के दशक में,  जेम्स वाडेल अलेक्जेंडर II और  हस्लर व्हिटनी ने पहली बार यह विचार व्यक्त किया कि एक सतह एक सांस्थितिक समष्टि है जो सांस्थितिक मैनिफोल्ड है।

सांस्थितिक समष्टि को पहली बार 1914 में फ़ेलिक्स हॉसडॉर्फ़ ने सेट थ्योरी के अपने मौलिक सिद्धांतों में परिभाषित किया था। मेट्रिक समष्टि स्थान को पहले 1906 में मौरिस फ़्रेचेट द्वारा परिभाषित किया गया था, चूँकि यह हॉसडॉर्फ था जिसने  मीट्रिक रिक्त स्थान शब्द को लोकप्रिय बनाया ( जर्मन मेट्रिशर राउम )

परिभाषाएं
टोपोलॉजी की अवधारणा की उपयोगिता इस तथ्य से प्रदर्शित होती है कि इस संरचना की कई समान परिभाषाएँ हैं। इस प्रकार कोई व्यक्ति अनुप्रयोग के लिए अनुकूल स्वयंसिद्धता को चुनता है। सबसे अधिक इस्तेमाल किया जाने वाला ओपन सेट के संदर्भ में है, लेकिन शायद अधिक सहज ज्ञान युक्त यह है कि के संदर्भ में नेबरहुड और इसलिए यह पहले दिया जाता है।

पड़ोस के माध्यम से परिभाषा
यह स्वयंसिद्धता फेलिक्स हॉसडॉर्फ के कारण है। होने देना $$X$$ एक सेट हो; के तत्व $$X$$ समान्तया पर कहा जाता है, हालांकि वे कोई भी गणितीय वस्तु हो सकती हैं। हमने इजाजत दी $$X$$ खाली होना। होने देना $$\mathcal{N}$$ प्रत्येक को असाइन करने वाला एक फलन(गणित) बनें $$x$$ (उसी समय $$X$$ एक गैर-रिक्त संग्रह $$\mathcal{N}(x)$$ के उपसमुच्चय के $$X.$$ के तत्व $$\mathcal{N}(x)$$ बुलाया जाएगा का $$x$$ इसके संबंध में $$\mathcal{N}$$ (या केवल, ) कार्यक्रम $$\mathcal{N}$$ एक नेबरहुड (टोपोलॉजी) कहा जाता है यदि नीचे के  स्वयंसिद्ध  हैं संतुष्ट हैं; और फिर $$X$$ साथ $$\mathcal{N}$$ सांस्थितिकस्पेस कहलाता है।


 * 1) यदि $$N$$ का पड़ोस है $$x$$ (अर्थात, $$N \in \mathcal{N}(x)$$), फिर $$x \in N.$$ दूसरे शब्दों में, प्रत्येक बिंदु उसके प्रत्येक पड़ोस का है।
 * 2) यदि $$N$$ $$X$$ का एक उपसमुच्चय है और इसमें  $$x,$$ एक पड़ोस शामिल है फिर $$N$$ का पड़ोस है $$x.$$ अर्थात एक बिंदु के पड़ोस का प्रत्येक सुपरसेट  $$x \in X$$ फिर से  $$x.$$ का पड़ोस है
 * 3) $$x$$ के दो पड़ोसों का प्रतिच्छेदन $$x.$$ का पड़ोस है
 * 4) $$x$$ के किसी भी पड़ोस $$N$$ में $$x$$ का पड़ोस $$M$$ शामिल होता है जैसे कि $$N$$ $$M.$$. के प्रत्येक बिंदु का पड़ोस होता है

पड़ोस के लिए पहले तीन स्वयंसिद्धों का स्पष्ट अर्थ है। कि सिद्धांत संरचना में चौथे स्वयंसिद्ध का बहुत महत्वपूर्ण उपयोग है,यह $$X.$$ के विभिन्न बिंदुओं के पड़ोस को एक साथ जोड़ने का काम करता है

पड़ोस की मानक प्रणाली का उदाहरण वास्तविक रेखा $$\R,$$ के लिए है जहां $$\R$$ के उपसमुच्चय $$N$$ को वास्तविक संख्या $$x$$  के पड़ोस के रूप में परिभाषित किया जाता है, यदि इसमें $$x$$ एक खुले अंतराल में शामिल किया जाता है

ऐसी संरचना को देखते हुए, एक उपसमुच्चय $$U$$ का $$X$$ खुले होने के लिए परिभाषित किया गया है अगर $$U$$ में सभी बिंदुओं का एक पड़ोस है $$U.$$ खुले समुच्चय तब नीचे दिए गए अभिगृहीतों को संतुष्ट करते हैं। इसके विपरीत, जब एक सांस्थितिक समष्टि के खुले सेट दिए जाते हैं, तो उपरोक्त स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाले पड़ोस को परिभाषित करके पुनर्प्राप्त किया जा सकता है $$N$$ $$x$$ का पड़ोस होना यदि, $$N$$ में एक खुला समुच्चय  $$U$$ शामिल है जैसे कि  $$x \in U.$$

खुले सेट के माध्यम से परिभाषा
एक सेट $X$ पर एक सांस्थितिकी को $X$  के सबसेट के संग्रह $$\tau$$ रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसे ओपन सेट कहा जाता है और निम्नलिखित सिद्धांतों को संतुष्ट करता है चूंकि सांस्थितिक की यह परिभाषा सबसे अधिक इस्तेमाल की जाती है, सेट $$\tau$$ खुले सेटों को समान्तया सांस्थितिक कहा जाता है $$X.$$ उपसमुच्चय $$C \subseteq X$$ संकुचित में बताया गया $$(X, \tau)$$ यदि इसका पूरक सेट थ्योरी $$X \setminus C$$ एक ओपन सेट है।
 * 1) खाली सेट  और $$X$$ खुद से संबंधित $$\tau.$$ हैं
 * 2) $$\tau$$ के सदस्यों का कोई भी विवेकाधीन परिमित या अनंत संघ $$\tau.$$ से संबंधित है
 * 3) $$\tau$$ के सदस्यों की किसी भी परिमित संख्या का प्रतिच्छेदन $$\tau.$$ से संबंधित है

टोपोलॉजी के उदाहरण
, लापता है।]]दिया गया $$X = \{ 1, 2, 3, 4\},$$ तुच्छ सांस्थितिक ऑन $$X$$  सेट का परिवार  है $$\tau = \{ \{ \}, \{ 1, 2, 3, 4 \} \} = \{ \varnothing, X \}$$ के केवल दो सबसेट से मिलकर बनता है $$X$$ स्वयंसिद्धों द्वारा आवश्यक एक सांस्थितिक बनाता है $$X.$$
 * 1) दिया गया $$X = \{ 1, 2, 3, 4\},$$ परिवार $$\tau = \{ \{ \}, \{ 2 \}, \{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}, \{ 1, 2, 3, 4 \} \} = \{ \varnothing, \{ 2 \}, \{1, 2\}, \{2, 3\}, \{1, 2, 3\}, X \}$$ के छह उपसमुच्चय $$X$$ की एक और सांस्थितिक बनाता है $$X.$$
 * 2) दिया गया $$X = \{ 1, 2, 3, 4\},$$  असतत सांस्थितिक  पर $$X$$ का  सत्ता स्थापित  है $$X,$$ जो परिवार है $$\tau = \wp(X)$$ के सभी संभावित सब सेट से मिलकर बनता है $$X.$$ इस मामले में  सांस्थितिक समष्टि $$(X, \tau)$$ एक असतत क्षेत्र कहा जाता है
 * 3) दिया गया $$X = \Z,$$ पूर्णांकों का समूह, परिवार $$\tau$$ पूर्णांकों के सभी परिमित उपसमुच्चयों का योग $$\Z$$ खुद है एक सांस्थितिक नहीं, क्योंकि उदाहरण के लिए सभी परिमित सेटों का संघ जिसमें शून्य नहीं है, परिमित नहीं है, बल्कि सभी का भी नहीं है $$\Z,$$ और इसलिए यह $$\tau.$$ अंदर नहीं हो सकता है

बंद सेटों के माध्यम से परिभाषा
मॉर्गन के नियमों का उपयोग करते हुए, ओपन सेट को परिभाषित करने वाले उपरोक्त स्वयंसिद्ध बंद सेट को परिभाषित करने वाले स्वयंसिद्ध बन जाते हैं


 * 1) खाली सेट और $$X$$ बंद हैं।
 * 2) बंद सेटों के किसी भी संग्रह का प्रतिच्छेदन भी बंद है
 * 3) बंद सेटों की किसी भी सीमित संख्या का संघ भी बंद है।

इन स्वयंसिद्धों का उपयोग एक टोपोलॉजिकल समष्टि को परिभाषित करने का एक और तरीका है, $$X$$ के बंद उपसमुच्चय के संग्रह $$\tau$$ के साथ एक सेट एक्स के रूप में हैं इस प्रकार टोपोलॉजी $$\tau$$ में सेट बंद सेट हैं, और एक्स $$X$$ में उनके पूरक ओपन सेट हैं।

अन्य परिभाषाएं
सांस्थितिक स्पेस को परिभाषित करने के कई अन्य समान तरीके हैं, दूसरे शब्दों में, नेबरहुड की अवधारणा खुले या बंद सेटों को अन्य शुरुआती बिंदुओं से पुनर्निर्मित किया जा सकता है और सही सिद्धांतों को संतुष्ट किया जा सकता है।

सांस्थितिक स्पेस को परिभाषित करने का एक अन्य तरीका कुराटोवस्की क्लोजर एक्सिओम्स  का उपयोग करना है, जो $$X.$$ के पावर सेट पर एक ऑपरेटर (गणित)  के निश्चित बिंदुओं के रूप में बंद सेट को परिभाषित करता है।

एक नेट (गणित) अनुक्रम की अवधारणा का एक सामान्यीकरण है। सांस्थितिक पूरी तरह से निर्धारित होती है यदि एक्स में प्रत्येक नेट के लिए इसके संचय बिंदुओं का सेट निर्दिष्ट किया जाता है।

टोपोलॉजी की तुलना
सांस्थितिक स्पेस बनाने के लिए विभिन्न प्रकार की सांस्थितिक को एक सेट पर रखा जा सकता है। जब हर एक सांस्थितिक में सेट होता है $$\tau_1$$ सांस्थितिक में $$\tau_2$$ भी होता है तथा $$\tau_1$$ का एक उपसमुच्चय है $$\tau_2,$$ हम कहते हैं कि $$\tau_2$$ $$\tau_1,$$ से अच्छा  है तथा $$\tau_1$$ $$\tau_2.$$ के नजदीक है ये एक प्रमाण जो केवल कुछ खुले सेटों के अस्तित्व पर निर्भर करता है, किसी भी बेहतर टोपोलॉजी के लिए भी मान्य होगा, और इसी तरह एक प्रमाण जो केवल कुछ सेटों पर निर्भर करता है जो खुला नहीं है, किसी भी मोटे टोपोलॉजी पर लागू होता है। बड़े और छोटे शब्दों का प्रयोग कभी-कभी महीन और मोटे के स्थान पर किया जाता है। साहित्य में मजबूत और कमजोर शब्दों का भी उपयोग किया जाता है, लेकिन अर्थ पर बहुत कम सहमति के साथ है, इसलिए पढ़ते समय लेखक के सम्मेलन के बारे में हमेशा सुनिश्चित होना चाहिए।

किसी दिए गए निश्चित सेट पर सभी सांस्थितिक का संग्रह $$X$$ एक पूर्ण जालक बनाता है, यदि $$F = \left\{ \tau_{\alpha} : \alpha \in A \right\}$$ पर सांस्थितिक का एक संग्रह है $$X,$$ तो $$F$$ का मिलन प्रतिच्छेदन $$F,$$ है और $$F$$ से जुड़ता है $$X$$ पर सभी टोपोलॉजी के संग्रह का मिलन होता है जिसमें  $$F.$$ का प्रत्येक सदस्य होता है।

निरंतर कार्य
एक समारोह (गणित) $$f : X \to Y$$ सांस्थितिक रिक्त स्थान के बीच निरंतरता (टोपोलॉजी)  कहा जाता है यदि प्रत्येक के लिए $$ x \in X$$ और हर पड़ोस $$N$$ का $$f(x)$$ एक पड़ोस है $$M$$ का $$x$$ ऐसा है कि $$f(M) \subseteq N.$$ यह विश्लेषण में सामान्य परिभाषा से आसानी से संबंधित है। समान रूप से, $$f$$ निरंतर है यदि प्रत्येक खुले समुच्चय का प्रतिलोम प्रतिबिम्ब खुला है। यह अंतर्ज्ञान को पकड़ने का एक प्रयास है कि फलन में कोई छलांग या अलगाव नहीं है। एक  समरूपता एक ऐसा आक्षेप है जो निरंतर होता है और जिसका उलटा कार्य भी निरंतर होता है। दो रिक्त स्थान होमोमोर्फिज्म कहलाते हैं यदि उनके बीच एक होमोमोर्फिज्म मौजूद है। सांस्थितिक के दृष्टिकोण से, होमोमोर्फिक में रिक्त स्थान अनिवार्य रूप से समान हैं।

श्रेणी सिद्धांत में, मौलिक श्रेणी (गणित) में से एक शीर्ष है, जो सांस्थितिक रिक्त स्थान की श्रेणी को दर्शाता है जिसका ऑब्जेक्ट श्रेणी सिद्धांत सांस्थितिक रिक्त स्थान हैं और जिनके आकारिकी में निरंतर कार्य होते हैं। इस श्रेणी की वस्तुओं को अपरिवर्तकों द्वारा होमोमोर्फिज्म तक वर्गीकृत करने के प्रयास ने होमोटोपी सिद्धांत, समरूपता सिद्धांत और के-सिद्धांत जैसे अनुसंधान के क्षेत्रों को प्रेरित किया है।

सांस्थितिक समष्टि के उदाहरण
किसी दिए गए सेट में कई अलग-अलग सांस्थितिक हो सकते हैं। यदि एक सेट को एक अलग सांस्थितिक दी जाती है, तो इसे एक अलग सांस्थितिक स्पेस के रूप में देखा जाता है। किसी भी समुच्चय को असतत स्थान दिया जा सकता है जिसमें प्रत्येक उपसमुच्चय ओपन हो। इस सांस्थितिक में एकमात्र अभिसरण अनुक्रम या जाल वे हैं जो अंततः स्थिर होते हैं। साथ ही, किसी भी सेट को ट्रिविअल सांस्थितिक को दिया जा सकता है जिसे अविवेकी सांस्थितिक भी कहा जाता है, जिसमें केवल खाली सेट और पूरा स्पेस ओपन होता है। इस सांस्थितिक में हर क्रम और जाल अंतरिक्ष के हर बिंदु पर अभिसरण करता है। यह उदाहरण दिखाता है कि सामान्य सांस्थितिक रिक्त स्थान में, अनुक्रमों की सीमाएं अद्वितीय नहीं होनी चाहिए। चूँकि, सामान्तया सांस्थितिक हॉसडॉर्फ में रिक्त स्थान होना चाहिए जहां सीमा बिंदु अद्वितीय हैं।

मीट्रिक स्थान
मीट्रिक रिक्त स्थान में एक मीट्रिक (गणित)  शामिल होता है, जो बिंदुओं के बीच की दूरी की एक सटीक धारणा है।

प्रत्येक मीट्रिक स्थान को एक मीट्रिक सांस्थितिक दी जा सकती है, जिसमें मूल खुले सेट मीट्रिक द्वारा परिभाषित खुली गेंदें हैं। यह किसी भी मानक सदिश स्थान पर मानक सांस्थितिक है। एक परिमित-आयामी सदिश स्थल  पर यह सांस्थितिक सभी मानदंडों के लिए समान है।

टोपोलॉजी को परिभाषित करने के कई तरीके हैं $$\R,$$ वास्तविक संख्या ओं का समुच्चय। मानक सांस्थितिक पर $$\R$$ अंतराल (गणित) शब्दावली द्वारा उत्पन्न होता है। सभी खुले अंतरालों का सेट सांस्थितिक के लिए एक  आधार (टोपोलॉजी)  बनाता है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक खुला सेट आधार से सेट के कुछ संग्रह का एक संघ है। विशेष रूप से, इसका मतलब है कि एक सेट खुला है यदि सेट में प्रत्येक बिंदु के बारे में शून्य शून्य त्रिज्या का एक खुला अंतराल मौजूद है। अधिक सामान्यतः, यूक्लिडियन रिक्त स्थान $$\R^n$$सांस्थितिक दी जा सकती है। सामान्य सांस्थितिक में $$\R^n$$ मूल ओपन सेट ओपन बॉल (गणित) हैं। इसी तरह, $$\C,$$ सम्मिश्र संख्याओं का समुच्चय, और $$\C^n$$ एक मानक सांस्थितिक है जिसमें मूल खुले सेट खुली गेंदें हैं।

निकटता स्थान
निकटता स्थान दो सेटों की निकटता की धारणा प्रदान करते हैं।

समान समष्टि स्थान
यूनिफ़ॉर्म रिक्त स्थान अलग-अलग बिंदुओं के बीच की दूरी के क्रम को स्वयंसिद्ध करते हैं।

फलनस समष्‍टिविधि
एक सांस्थितिकस्पेस जिसमें फलनको  समारोह स्थान  कहा जाता है।

कॉची समष्टि स्थान
कॉची रिक्त स्थान परीक्षण करने की क्षमता को स्वयंसिद्ध करते हैं कि क्या नेट कॉची नेट  है। कॉची रिक्त स्थान पूर्ण रिक्त स्थान का अध्ययन करने के लिए एक सामान्य सेटिंग प्रदान करते हैं।

अभिसरण समष्टि स्थान
अभिसरण स्थान फिल्टर (सेट थ्योरी) के अभिसरण की कुछ विशेषताओं को अधिकृत करते हैं।

ग्रोथेंडिक साइटें
ग्रोथेंडिक साइटें अतिरिक्त डेटा वाली श्रेणियां हैं जो स्वयंसिद्ध करती हैं कि क्या तीरों का एक परिवार किसी वस्तु को कवर करता है। ढेरों को परिभाषित करने के लिए साइटें एक सामान्य सेटिंग हैं।

अन्य रिक्त स्थान
यदि $$\Gamma$$ एक सेट पर एक फ़िल्टर (सेट सिद्धांत) है $$X$$ फिर $$\{ \varnothing \} \cup \Gamma$$ सांस्थितिक है $$X.$$

कार्यात्मक विश्लेषण में रैखिक ऑपरेटरों के कई सेट सांस्थितिक से संपन्न होते हैं जिन्हें निर्दिष्ट करके परिभाषित किया जाता है जब कार्यों का एक विशेष अनुक्रम शून्य फलन में परिवर्तित हो जाता है।

किसी भी स्थानीय क्षेत्र में एक सांस्थितिक मूल निवासी होती है, और इसे उस क्षेत्र में  सदिश रिक्त स्थान तक बढ़ाया जा सकता है।

प्रत्येक मैनिफोल्ड में एक प्राकृतिक सांस्थितिक होती है क्योंकि यह स्थानीय रूप से यूक्लिडियन है। इसी तरह, हर  सिंप्लेक्स और हर  सरल परिसर को एक प्राकृतिक सांस्थितिक विरासत में मिलती है।

ज़ारिस्की सांस्थितिक को बीजगणितीय रूप से एक अंगूठी या बीजगणितीय विविधता के स्पेक्ट्रम पर परिभाषित किया जाता है। पर $$\R^n$$ या $$\C^n,$$ ज़ारिस्की सांस्थितिक के बंद सेट बहुपद समीकरणों के सिस्टम के  समाधान सेट हैं।

एक रैखिक ग्राफ में एक प्राकृतिक सांस्थितिक होती है जो  ग्राफ सिद्धांतों के कई ज्यामितीय पहलुओं को  वर्टेक्स (ग्राफ सिद्धांत) और ग्राफ असतत गणित ग्राफ के साथ सामान्यीकृत करती है।

सिएरपिंस्की समष्टि सबसे सरल गैर-असतत स्थलीय स्थान है। इसका संगणना और शब्दार्थ के सिद्धांत से महत्वपूर्ण संबंध हैं।

किसी भी परिमित सेट पर कई सांस्थितिक मौजूद हैं। ऐसे रिक्त स्थान को परिमित सांस्थितिक रिक्त स्थान कहा जाता है। सामान्य रूप से स्थलीय रिक्त स्थान के बारे में अनुमानों के लिए उदाहरण या प्रति उदाहरण प्रदान करने के लिए परिमित रिक्त स्थान का उपयोग कभी-कभी किया जाता है।

किसी भी समुच्चय को सह परिमित सांस्थितिक दी जा सकती है जिसमें खुले समुच्चय रिक्त समुच्चय होते हैं और समुच्चय जिसका पूरक परिमित होता है। यह किसी अनंत सेट पर सबसे छोटी T1 टोपोलॉजी है।

किसी भी सेट को सहगणनीय सांस्थितिक दी जा सकती है, जिसमें एक सेट को खुले के रूप में परिभाषित किया जाता है यदि वह या तो खाली है या उसका पूरक गणनीय है। जब सेट असंख्य होता है, तो यह सांस्थितिक कई स्थितियों में एक प्रतिरूप के रूप में कार्य करती है।

वास्तविक रेखा को निचली सीमा की सांस्थितिक भी दी जा सकती है। यहाँ, मूल खुले सेट आधे खुले अंतराल के हैं $$[a, b).$$ यह सांस्थितिक $$\R$$ ऊपर परिभाषित यूक्लिडियन सांस्थितिक की तुलना में सख्ती से बेहतर है; इस अनुक्रम सांस्थितिक में एक बिंदु में परिवर्तित होता है यदि और केवल अगर यह यूक्लिडियन सांस्थितिक में ऊपर से अभिसरण करता है। इस उदाहरण से पता चलता है कि एक सेट में कई अलग-अलग सांस्थितिक परिभाषित हो सकती हैं।

यदि $$\Gamma$$ एक क्रमसूचक संख्या है, तो समुच्चय $$\Gamma = [0, \Gamma)$$ अंतराल द्वारा उत्पन्न  आदेश सांस्थितिक के साथ संपन्न हो सकता है $$(a, b),$$ $$[0, b),$$ तथा $$(a, \Gamma)$$ जहां पे $$a$$ तथा $$b$$ के तत्व हैं $$\Gamma.$$ एक मुक्त समूह का  बाहरी स्थान (गणित) $$F_n$$ वॉल्यूम 1 के तथाकथित चिह्नित मीट्रिक ग्राफ संरचनाओं से मिलकर बनता है $$F_n.$$

सांस्थितिक निर्माण
सांस्थितिक स्पेस के हर सबसेट को सब स्पेससांस्थितिक दी जा सकती है जिसमें ओपन सेट सबसेट के साथ बड़े स्पेस के ओपन सेट के प्रतिच्छेदन होते हैं। सांस्थितिक स्पेस के किसी भी  अनुक्रमित परिवार  के लिए, उत्पाद को  उत्पाद सांस्थितिक दी जा सकती है, जो प्रोजेक्शन (गणित) मैपिंग के तहत कारकों के खुले सेटों की व्युत्क्रम छवियों द्वारा उत्पन्न होती है। उदाहरण के लिए, परिमित उत्पादों में, उत्पाद सांस्थितिक के आधार में खुले सेट के सभी उत्पाद होते हैं। अनंत उत्पादों के लिए, अतिरिक्त आवश्यकता है कि एक बुनियादी खुले सेट में, इसके कई अनुमानों को छोड़कर संपूर्ण स्थान है।

एक भागफल स्थान (टोपोलॉजी)  को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: if $$X$$ एक सांस्थितिक स्पेस है और $$Y$$ एक सेट है, और अगर $$f : X \to Y$$ एक  प्रक्षेपण  समारोह (गणित) है, फिर भागफल सांस्थितिक पर $$Y$$ के सबसेट का संग्रह है $$Y$$ जिसके नीचे खुली व्युत्क्रम छवियां हैं $$f.$$ दूसरे शब्दों में,  भागफल सांस्थितिक सबसे बेहतरीन सांस्थितिक है $$Y$$ जिसके लिए $$f$$ निरंतर है। भागफल सांस्थितिक का एक सामान्य उदाहरण है जब सांस्थितिक स्पेस पर एक  तुल्यता संबंध  परिभाषित किया जाता है $$X.$$ नक्शा $$f$$ तो  तुल्यता वर्गों के सेट पर प्राकृतिक प्रक्षेपण है।

एक सांस्थितिक स्पेस के सभी गैर-रिक्त उपसमुच्चय के सेट पर विएटोरि ससांस्थितिक $$X,$$ लियोपोल्ड विएटोरिस  के लिए नामित, निम्नलिखित आधार से उत्पन्न होता है: प्रत्येक के लिए $$n$$-टुपल $$U_1, \ldots, U_n$$ खुले सेटों में $$X,$$ हम एक आधार सेट का निर्माण करते हैं जिसमें संघ के सभी उपसमुच्चय होते हैं $$U_i$$ जिनमें प्रत्येक के साथ गैर-रिक्त चौराहे हैं $$U_i.$$  स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट   पोलिश स्थान  के सभी गैर-खाली बंद सबसेट के सेट पर फेल सांस्थितिक $$X$$ विएटोरि ससांस्थितिक का एक प्रकार है, और इसका नाम गणितज्ञ जेम्स फेल के नाम पर रखा गया है। यह निम्नलिखित आधार से उत्पन्न होता है, प्रत्येक के लिए $$n$$-टुपल $$U_1, \ldots, U_n$$ खुले सेटों में $$X$$ और हर कॉम्पैक्ट सेट के लिए $$K,$$ के सभी उपसमुच्चय का समुच्चय $$X$$ जो से जुदा हैं $$K$$ और प्रत्येक के साथ गैर-रिक्त चौराहे हैं $$U_i$$ आधार का सदस्य है।

सांस्थितिक स्पेस का वर्गीकरण
सांस्थितिक स्पेस को मोटे तौर पर होमियोमॉर्फिज्म तक, उनके सांस्थितिक गुणो  द्वारा वर्गीकृत किया जा सकता है। एक सांस्थितिक प्रॉपर्टी रिक्त स्थान की एक संपत्ति है जो होमोमोर्फिज्म के तहत अपरिवर्तनीय है। यह साबित करने के लिए कि दो स्थान होमियोमॉर्फिक नहीं हैं, यह उनके द्वारा साझा नहीं किए गए एक सांस्थितिक गुण को खोजने के लिए पर्याप्त है। ऐसे गुणों के उदाहरणों में  जुड़ाव (टोपोलॉजी),  कॉम्पैक्टनेस (टोपोलॉजी) , और विभिन्न पृथक्करण स्वयंसिद्ध शामिल हैं। बीजीय अपरिवर्तनीयों के लिए  बीजीय सांस्थितिक देखें।

बीजीय संरचना के साथ सांस्थितिक रिक्त स्थान
किसी भी बीजीय संरचना के लिए हम असतत सांस्थितिक का परिचय दे सकते हैं, जिसके तहत बीजीय संचालन निरंतर कार्य होते हैं। ऐसी किसी भी संरचना के लिए जो परिमित नहीं है, हमारे पास अक्सर बीजीय संक्रियाओं के साथ संगत एक प्राकृतिक सांस्थितिक होती है, इस अर्थ में कि बीजीय संचालन अभी भी निरंतर हैं। इससे सांस्थितिक ग्रुप,  सांस्थितिक सदिश  समष्टि  ,  सांस्थितिक रिंग और लोकल फील्ड जैसी अवधारणाएं सामने आती हैं।

आदेश संरचना के साथ सांस्थितिकरिक्त स्थान

 * वर्णक्रमीय, एक स्पेस वर्णक्रमीय स्थान  है अगर और केवल अगर यह रिंग का प्राइम स्पेक्ट्रम है (मेल्विन होचस्टर) प्रमेय से।
 * विशेषज्ञता पूर्वक्रमी। स्पेस में स्पेशलाइजेशन प्रीऑर्डर, स्पेशलाइजेशन या कैनोनिकल पूर्वक्रमी द्वारा परिभाषित किया गया है $$x \leq y$$ अगर और केवल अगर $$\operatorname{cl}\{ x \} \subseteq \operatorname{cl}\{ y \},$$ कहाँ पे $$\operatorname{cl}$$ कुराटोस्की क्लोजर स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करने वाले एक ऑपरेटर को दर्शाता है।

यह भी देखें

 * पूर्ण हेटिंग बीजगणित - किसी दिए गए सांस्थितिक समष्टि के सभी ओपन सेटों को शामिल करने के क्रम में लगाने का सिस्टम एक कम्पलीट हेटिंग अलजेब्रा है।
 * पूर्ण हेटिंग बीजगणित - किसी दिए गए सांस्थितिक समष्टि के सभी ओपन सेटों को शामिल करने के क्रम में लगाने का सिस्टम एक कम्पलीट हेटिंग अलजेब्रा है।

ग्रन्थसूची

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