अंकगणित व्युत्पन्न

संख्या सिद्धांत में, लैगरियास अंकगणितीय व्युत्पन्न या संख्या व्युत्पन्न पूर्णांकों के लिए परिभाषित फ़ंक्शन (गणित) है, जो गणितीय विश्लेषण में उपयोग किए जाने वाले व्युत्पन्न के लिए उत्पाद नियम के अनुरूप, अभाज्य गुणनखंड पर आधारित है।

अंकगणितीय व्युत्पन्नों के कई संस्करण हैं, जिनमें इस लेख में चर्चा की गई (लैगरियस अंकगणितीय व्युत्पन्न) भी शामिल है, जैसे कि इहारा का अंकगणितीय व्युत्पन्न और बुइअम का अंकगणितीय व्युत्पन्न।

प्रारंभिक इतिहास
अंकगणितीय व्युत्पन्न की शुरुआत 1911 में स्पेनिश गणितज्ञ जोस मिंगोट शेली द्वारा की गई थी। अंकगणितीय व्युत्पन्न 1950 विलियम लोवेल पटनम प्रतियोगिता में भी दिखाई दिया।

परिभाषा
प्राकृतिक संख्याओं के लिए $n$, अंकगणितीय व्युत्पन्न $D(n)$ को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:


 * $D(n)$ किसी भी अभाज्य संख्या के लिए $n$.
 * $n′$ किसी के लिए $$m, n \in \N$$ (प्रॉडक्ट नियम)।
 * $D^{&hairsp;k}$ किसी के लिए $$m, n \in \N$$ (प्रॉडक्ट नियम)।

प्राकृतिक संख्याओं से परे विस्तार
एडवर्ड बारब्यू|एडवर्ड जे. बारब्यू ने विकल्प दिखाकर फ़ंक्शन के डोमेन को सभी पूर्णांकों तक विस्तारित किया $D(0) = D(1) =  0$, जो विशिष्ट रूप से डोमेन को पूर्णांकों तक विस्तारित करता है, उत्पाद सूत्र के अनुरूप है। बारब्यू ने इसे तर्कसंगत संख्याओं तक भी बढ़ाया, यह दिखाते हुए कि परिचित भागफल नियम अच्छी तरह से परिभाषित व्युत्पन्न देता है $$\Q$$:


 * $$D\!\left(\frac{m}{n}\right) = \frac{D(m)n-m D(n)}{n^2} .$$

विक्टर उफ्नारोव्स्की और बो ओहलैंडर ने इसे अपरिमेय संख्या तक विस्तारित किया जिसे मनमानी तर्कसंगत शक्तियों तक बढ़ाए गए अभाज्य संख्याओं के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है, जिससे अभिव्यक्ति की अनुमति मिलती है $$D(\sqrt{3}\,)$$ गणना की जानी है। अंकगणितीय व्युत्पन्न को किसी भी अद्वितीय गुणनखंडन डोमेन (यूएफडी) तक बढ़ाया जा सकता है, जैसे कि गॉसियन पूर्णांक और आइज़ेंस्टीन पूर्णांक, और इससे संबंधित भिन्नों का क्षेत्र। यदि यूएफडी [[बहुपद वलय]] है, तो अंकगणितीय व्युत्पन्न उक्त बहुपद वलय पर व्युत्पत्ति (विभेदक बीजगणित) के समान है। उदाहरण के लिए, नियमित व्युत्पन्न अविभाज्य वास्तविक संख्या और जटिल संख्या बहुपद और तर्कसंगत कार्यों के छल्ले के लिए अंकगणितीय व्युत्पन्न है, जिसे बीजगणित के मौलिक प्रमेय का उपयोग करके सिद्ध किया जा सकता है।

अंकगणितीय व्युत्पन्न को पूर्णांक मॉड्यूलो एन की रिंग तक भी बढ़ाया गया है।

प्राथमिक गुण
लीबनिज़ नियम का तात्पर्य यह है $D(p) = 1$ (लेना $D(mn) = D(m)n + mD(n)$) और $D(−n) = −D(n)$ (लेना $D(0) = 0$).

घात नियम अंकगणितीय व्युत्पन्न के लिए भी मान्य है। किसी भी पूर्णांक के लिए $p$ और $m = n = 0$:


 * $$D(k^n) = nk^{n-1} D(k).$$

यह किसी पूर्णांक के अभाज्य गुणनखंड से व्युत्पन्न की गणना करने की अनुमति देता है, $x = \prod_{i=1}^{\omega(x)} {p_i}^{\nu_{p_i}(x)}$ :


 * $$D(x) = \sum_{i=1}^{\omega(x)} \left[\nu_{p_i}(x) \left(\prod_{j=1}^{i-1} {p_j}^{\nu_{p_j}(x)}\right) p_i^{\nu_{p_i}-1} \left(\prod_{j=i+1}^{\omega(x)} {p_j}^{\nu_{p_j}(x)}\right)\right] = \sum_{i=1}^{\omega(x)} \frac {\nu_{p_i}(x)} {p_i}x = x \sum_{\stackrel{p \,\mid\, x}{p\text{ prime}}} \frac {\nu_p(x)} {p}$$

कहाँ $D(1) = 0$, अभाज्य ओमेगा फ़ंक्शन, अलग-अलग अभाज्य कारकों की संख्या है $k$, और $m = n = 1$ पी-एडिक वैल्यूएशन|पी-एडिक वैल्यूएशन है $x$.

उदाहरण के लिए:
 * $$D(60) = D(2^2 \cdot 3 \cdot 5) = \left(\frac{2}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{5}\right) \cdot 60 = 92,$$

या
 * $$D(81) = D(3^4) = 4\cdot 3^3\cdot D(3) = 4\cdot 27\cdot 1 = 108.$$

के लिए संख्या व्युत्पन्न का पूर्णांक अनुक्रम $n ≥ 0$ शुरू करना :


 * $$0, 0, 1, 1, 4, 1, 5, 1, 12, 6, 7, 1, 16, 1, 9, \ldots$$

संबंधित कार्य
लघुगणकीय व्युत्पन्न $$\operatorname{ld}(x)=\frac{D(x)}{x} = \sum_{\stackrel{p \,\mid\, x}{p\text{ prime}}} \frac {\nu_p(x)} {p}$$ पूरी तरह से योगात्मक कार्य है: $$\operatorname{ld}(x \cdot y) = \operatorname{ld}(x)+\operatorname{ld}(y).$$ का अंकगणितीय आंशिक व्युत्पन्न $$x$$ इसके संबंध में $$p$$ परिभाषित किया जाता है $$x_p^{\prime}=\frac {\nu_p(x)} {p} x.$$ तो, का अंकगणितीय व्युत्पन्न $$x$$ के रूप में दिया गया है $$D(x) = \sum_{\stackrel{p \,\mid\, x}{p\text{ prime}}} x_p^{\prime}.$$ एक अंकगणितीय कार्य $$f$$ यदि कोई पूर्णतः गुणक फलन है तो लाइबनिज़-योगात्मक है $$h_f$$ ऐसा है कि $$f(mn) = f(m)h_f(n)+f(n)h_f(m)$$ सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $$m$$ और $$n$$. इस अवधारणा के लिए प्रेरणा यह तथ्य है कि लीबनिज़-एडिटिव फ़ंक्शंस अंकगणितीय व्युत्पन्न के सामान्यीकरण हैं $$D$$; अर्थात्, $$D$$ लाइबनिज़-एडिटिव के साथ है $$h_D(n)=n$$.

कार्यक्रम $$\delta$$ सैंडोर और अटानासोव द्वारा पुस्तक की धारा 3.5 में दिया गया, वास्तव में, सामान्य अंकगणितीय व्युत्पन्न के समान ही है $$D$$.

असमानताएं और सीमाएं
ई. जे. बारब्यू ने अंकगणितीय व्युत्पन्न पर सीमाओं की जांच की और उसे पाया
 * $$D(n) \leq \frac{n \log_2 n}{2}$$

और
 * $$D(n) \geq \Omega(n)\, n^{\frac{\Omega(n)-1}{\Omega(n)}}$$

कहाँ $ω(x)$, अभाज्य ओमेगा फलन, अभाज्य कारकों की संख्या है $x$. उपरोक्त दोनों सीमाओं में, समानता हमेशा तब होती है जब $n$ 2 की शक्ति है.

डाहल, ओल्सन और लोइको ने पाया कि प्राकृतिक संख्याओं का अंकगणितीय व्युत्पन्न किसके द्वारा परिबद्ध है
 * $$D(n) \leq \frac{n \log_p n}{p}$$

कहाँ $n$ सबसे कम अभाज्य है $p$ और समानता कब कायम रहती है $n$ की शक्ति है $n$.

अलेक्जेंडर लोइको, जोनास अर्न्स्ट ओल्सन और निकलास डाहल ने पाया कि तर्कसंगत संख्याओं तक विस्तारित अंकगणितीय व्युत्पन्न के लिए समान सीमाएं ढूंढना असंभव है, यह साबित करके कि किन्हीं दो तर्कसंगत संख्याओं के बीच मनमाने ढंग से बड़े या छोटे व्युत्पन्न के साथ अन्य तर्कसंगत हैं (ध्यान दें कि इसका मतलब यह है कि) अंकगणितीय व्युत्पन्न सतत कार्य नहीं है $$\mathbb{Q}$$ को $$\mathbb{Q}$$).

औसत का क्रम
अपने पास
 * $$\sum_{n \le x} \frac{D(n)}{n} = T_0 x + O(\log x \log\log x)$$

और
 * $$\sum_{n \le x} D(n) = \left(\frac{1}{2}\right)T_0 x^2 + O(x^{1+\delta})$$

किसी भी δ > 0 के लिए, जहां


 * $$T_0 = \sum_p \frac{1}{p(p-1)}. $$

संख्या सिद्धांत की प्रासंगिकता
विक्टर उफनरोव्स्की और बो ओहलैंडर ने फ़ंक्शन के कनेक्शन को जुड़वां प्राइम अनुमान, प्राइम ट्रिपल अनुमान और गोल्डबैक के अनुमान जैसे प्रसिद्ध संख्या-सैद्धांतिक अनुमानों के साथ विस्तृत किया है। उदाहरण के लिए, गोल्डबैक का अनुमान प्रत्येक के लिए अर्थपूर्ण होगा $ν_{p}(x)$ का अस्तित्व $p$ ताकि $k = 0, 1, 2, …$. जुड़वां अभाज्य अनुमान का अर्थ यह होगा कि अनंत अनेक हैं $n$ जिसके लिए $Ω(n)$.

यह भी देखें

 * अंकगणितीय फलन
 * व्युत्पत्ति (विभेदक बीजगणित)
 * पी-व्युत्पत्ति|पी-व्युत्पत्ति

संदर्भ

 * Arithmetic Derivative, Planet Math, accessed 04:15, 9 April 2008 (UTC)
 * L. Westrick (2003). Investigations of the Number Derivative.
 * Peterson, I. Math Trek: Deriving the Structure of Numbers.
 * Dahl N., Olsson J., Loiko A., Investigation of the properties of the arithmetic derivative.
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 * Dahl N., Olsson J., Loiko A., Investigation of the properties of the arithmetic derivative.
 * Dahl N., Olsson J., Loiko A., Investigation of the properties of the arithmetic derivative.