बहुभुजीकरण

कम्प्यूटेशनल ज्यामिति में, यूक्लिडियन प्लेन में बिंदुओं के एक सीमित समुच्चय का बहुभुजीकरण एक सरल बहुभुज होता है जिसके शीर्ष दिए गए बिंदुओं के साथ होते हैं। बहुभुजीकरण को बहुभुजकरण, सरल बहुभुजीकरण, हैमिल्टनियन बहुभुज, गैर-क्रॉसिंग हैमिल्टनियन चक्र, या क्रॉसिंग-फ्री स्ट्रेट-एज स्पैनिंग चक्र भी कहा जा सकता है।

प्रत्येक बिंदु सेट जो एक रेखा पर स्थित नहीं है, उसमें कम से कम एक बहुभुजीकरण होता है, जिसे बहुपद समय में पाया जा सकता है। उत्तल स्थिति में बिंदुओं के लिए, केवल एक ही होता है, लेकिन कुछ अन्य बिंदु सेटों के लिए, चरघातांकीय रूप से कई हो सकते हैं। कई प्राकृतिक अनुकूलन मानदंडों के तहत एक इष्टतम बहुभुजीकरण ढूंढना एक कठिन समस्या है, जिसमें एक विशेष मामले में ट्रैवलिंग सेल्समैन की समस्या भी शामिल है। सभी बहुभुजीकरणों की गणना की जटिलता अज्ञात बनी हुई है।

परिभाषा
बहुभुजीकरण एक साधारण बहुभुज है जिसमें यूक्लिडियन प्लेन में दिए गए बिंदुओं का समुच्चय होता है। एक बहुभुज को इसके शीर्ष पर एक चक्रीय क्रम द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो बहुभुज के किनारों, पंक्ति खंडों द्वारा लगातार जोड़ों में जुड़ा होता है। एक बहुभुज, जो इस तरह से परिभाषित है, सरल है यदि इन रेखा खंडों के केवल प्रतिच्छेदन बिंदु साझा अंतिम बिंदु पर हैं।

कुछ लेखक केवल उन बिंदुओं के लिए बहुभुजीकरण पर विचार करते हैं जो सामान्य स्थिति में हैं, जिसका अर्थ है कि कोई भी तीन एक पंक्ति में नहीं हैं। इस धारणा के साथ, बहुभुज के दो क्रमिक खंडों के बीच का कोण 180° नहीं हो सकता। हालाँकि, जब संरेखताओं वाले बिंदु सेटों पर विचार किया जाता है, तो आम तौर पर उनके बहुभुजीकरण के लिए कुछ बिंदुओं पर 180° कोण रखने की अनुमति दी जाती है। जब ऐसा होता है, तब भी इन बिंदुओं को किनारों के आंतरिक होने के स्थान पर शीर्ष ही माना जाता है।

अस्तित्व
स्टीनहॉस (1964) ने देखा कि एक पंक्ति में तीन के बिना सेट किया गया प्रत्येक परिमित बिंदु एक साधारण बहुभुज के शीर्ष बनाता है। हालाँकि, किसी भी तीन को एक पंक्ति में होने की आवश्यकता अनावश्यक रूप से पर्याप्त है। इसके स्थान पर, बहुभुजीकरण (180° कोणों की अनुमति) के अस्तित्व के लिए केवल इतना आवश्यक है कि सभी बिंदु एक ही रेखा पर न हों। यदि वे ऐसा नहीं करते हैं, तो उनके पास एक बहुभुजीकरण है जिसे बहुपद समय में बनाया जा सकता है। बहुभुज बनाने का एक तरीका यह है कि $$P$$ के उत्तल संचालन में कोई बिंदु $$q$$ चुनें (जरूरी नहीं कि दिए गए बिंदुओं में से एक हो)। फिर q के चारों ओर के बिंदुओं को रेडियल रूप से क्रमबद्ध करना ($$q$$ से दूरी के आधार पर संबंधों को तोड़ना) सभी दिए गए बिंदुओं के माध्यम से एक तारे के आकार के बहुभुज के चक्रीय क्रम को उत्पन्न करता है, जिसके कर्नेल में $$q$$ होता है। एक केंद्रीय बिंदु के चारों ओर रेडियल रूप से बिंदुओं को क्रमबद्ध करने का एक ही विचार ग्राहम स्कैन उत्तल संचालन एल्गोरिदम के कुछ संस्करणों में उपयोग किया जाता है,$$O(n\log n)$$ समय में निष्पादित किया जा सकता है।180° कोणों से बचने वाले बहुभुजीकरण हमेशा मौजूद नहीं होते हैं। उदाहरण के लिए, 3 × 3 और 5 × 5 वर्ग ग्रिड के लिए, सभी बहुभुजीकरण 180° कोणों का उपयोग करते हैं।

तारे के आकार के बहुभुजीकरण के साथ-साथ, बिंदुओं के प्रत्येक गैर-संरेखीय सेट में एक बहुभुजीकरण होता है जो एक मोनोटोन बहुभुज है। इसका मतलब यह है कि, कुछ सीधी रेखाओं के संबंध में (जिन्हें $$x$$-अक्ष इस रूप में लिया जा सकता है) संदर्भ रेखा की प्रत्येक लंबवत रेखा बहुभुज को एक ही अंतराल में प्रतिच्छेद करती है, या बिल्कुल नहीं। ग्रुनबाम (1994) का निर्माण बिंदुओं को उनके $$x$$-निर्देशांक के अनुसार क्रमबद्ध करने और दो चरम बिंदुओं के माध्यम से एक रेखा खींचने से शुरू होता है। क्योंकि सभी बिंदु एक पंक्ति में नहीं हैं, इस रेखा से घिरे दो खुले आधे तलों में से कम से कम एक गैर-रिक्त होना चाहिए। ग्रुनबाम दो मोनोटोन बहुभुज श्रृंखलाएं बनाता है जो चरम बिंदुओं को बिंदुओं के क्रमबद्ध अनुवर्ती के माध्यम से जोड़ता है: एक इस गैर-खाली खुले आधे प्लेन में बिंदुओं के लिए, और दूसरा शेष बिंदुओं के लिए। उनका संघ वांछित मोनोटोन बहुभुज है। श्रेणीकरण चरण के बाद, शेष निर्माण रैखिक समय में किया जा सकता है।

केवल अक्ष-समानांतर किनारों का उपयोग करके यह निर्धारित करना एनपी-पूर्ण है कि बिंदुओं के एक सेट में बहुभुजीकरण है या नहीं। हालाँकि, अतिरिक्त बाधा के साथ बहुभुजीकरण, यदि वे मौजूद हैं, तो वे प्रत्येक शीर्ष पर दाएँ मोड़ लेते हैं, विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं। एक बिंदु से होकर जाने वाली प्रत्येक अक्ष-समानांतर रेखा को सम संख्या में बिंदुओं से होकर गुजरना चाहिए, और इस बहुभुजीकरण को इस रेखा पर बिंदुओं के वैकल्पिक जोड़े को जोड़ना होगा। बहुभुजीकरण समय $$O(n\log n)$$ में बिंदुओं को समान निर्देशांक के अनुसार समूहित करके और प्रत्येक समूह को अन्य निर्देशांक के अनुसार क्रमबद्ध करके पाया जा सकता है। किसी भी बिंदु सेट के लिए, अधिकतम एक घूर्णन में इस रूप का बहुभुजीकरण हो सकता है, और यह घूर्णन फिर से बहुपद समय में पाया जा सकता है।

अनुकूलन
एक इष्टतम बहुभुजीकरण (इष्टतमता के विभिन्न मानदंडों के लिए) खोजने की समस्याएं अक्सर कम्प्यूटेशनल रूप से संभव नहीं होती हैं। उदाहरण के लिए, दिए गए बिंदुओं के लिए ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या के समाधान में कोई क्रॉसिंग नहीं है। इसलिए, यह हमेशा एक बहुभुजीकरण होता है, न्यूनतम परिधि वाला बहुभुजीकरण। इसे ढूंढना एनपी-कठिन है। इसी तरह, न्यूनतम या अधिकतम क्षेत्र के साथ सरल बहुभुजीकरण को ढूंढना एनपी-हार्ड के रूप में जाना जाता है, [3] और यह कुछ कम्प्यूटेशनल प्रयासों का विषय रहा है। अधिकतम क्षेत्रफल सदैव उत्तल पतवार के क्षेत्रफल के आधे से अधिक होता है, जो अनुमानित अनुपात 2 देता है। अधिकतम परिधि वाले सरल बहुभुजीकरण की सटीक जटिलता, और इस समस्या के लिए एक स्थिर सन्निकटन अनुपात का अस्तित्व अज्ञात है। बहुभुजीकरण जो इसके सबसे लंबे किनारे की लंबाई को कम करता है, उसे ढूंढना भी एनपी-कठिन है, और $$\sqrt3$$ से बेहतर अनुमानित अनुपात का अनुमान लगाना कठिन है; कोई स्थिर-कारक सन्निकटन ज्ञात नहीं है।

ट्रैवलिंग सेल्समैन की समस्या के एक गैर-इष्टतम समाधान में क्रॉसिंग हो सकती है, लेकिन स्थानीय अनुकूलन चरणों द्वारा सभी क्रॉसिंग को खत्म करना संभव है जो कुल लंबाई को कम करते हैं। ऐसे चरणों का उपयोग करना जो प्रत्येक चरण पर क्रॉसिंग को भी समाप्त कर देते हैं, यह बहुपद समय में किया जा सकता है, लेकिन इस प्रतिबंध के बिना स्थानीय अनुकूलन अनुक्रम मौजूद हैं जो इसके बजाय चरणों की एक घातांकीय संख्या का उपयोग करते हैं।

सबसे छोटा बिटोनिक टूर (दिए गए बिंदुओं के माध्यम से न्यूनतम-परिधि मोनोटोन बहुभुज) हमेशा एक बहुभुज होता है, और बहुपद समय में पाया जा सकता है।

गिनती
किसी दिए गए बिंदु सेट के सभी बहुभुजों की गिनती की समस्या #P से संबंधित है, जो एनपी में निर्णय समस्याओं से जुड़ी गिनती की समस्याओं का वर्ग है। हालाँकि, यह अज्ञात है कि यह #पी-पूर्ण है या नहीं, यदि नहीं, तो इसकी कम्प्यूटेशनल जटिलता क्या हो सकती है। बिंदुओं के एक समूह में बिल्कुल एक बहुभुजीकरण होता है यदि और केवल यदि यह उत्तल स्थिति में हो। वहाँ $$n$$ बिंदुओं के सेट मौजूद हैं जिनके लिए बहुभुजीकरण की संख्या $$4.64^n$$ जितनी बड़ी है, और $$n$$ बिंदुओं के प्रत्येक सेट में अधिकतम $$54.6^n$$ बहुभुजीकरण हैं।

बिंदुओं के लेबल वाले त्रिकोणों पर तलीय विभाजक प्रमेय को लागू करने के तरीकों का उपयोग उपघातांकीय समय, $$n^{O(\sqrt n)}$$ में $$n$$ बिंदुओं के एक सेट के सभी बहुभुजीकरणों को गिनने के लिए किया जा सकता है। डायनेमिक प्रोग्रामिंग का उपयोग बहुपद समय में सभी मोनोटोन बहुभुजीकरणों को गिनने के लिए किया जा सकता है, और इस गणना के परिणामों का उपयोग यादृच्छिक मोनोटोन बहुभुजीकरण उत्पन्न करने के लिए किया जा सकता है।

पीढ़ी
यह अज्ञात है कि क्या सभी बहुभुजीकरणों की प्रणाली के लिए स्थानीय चालों के तहत एक कनेक्टेड राज्य अंतरिक्ष  बनाना संभव है जो बहुभुजीकरणों के किनारों की एक सीमित संख्या को बदलता है। यदि यह संभव होता, तो इसे राज्य स्थान पर  ग्राफ़ ट्रैवर्सल  लागू करके, सभी बहुभुजीकरण उत्पन्न करने के लिए एल्गोरिदम के हिस्से के रूप में उपयोग किया जा सकता था। इस समस्या के लिए, उन फ़्लिपों पर विचार करना अपर्याप्त है जो बहुभुज के दो किनारों को हटाते हैं और उन्हें दो अन्य किनारों से प्रतिस्थापित करते हैं, या वीई-फ़्लिप्स जो तीन किनारों को हटाते हैं, जिनमें से दो एक शीर्ष साझा करते हैं, और उन्हें तीन अन्य किनारों से प्रतिस्थापित करते हैं। ऐसे बहुभुजीकरण मौजूद हैं जिनके लिए कोई फ्लिप या वीई-फ्लिप संभव नहीं है, भले ही समान बिंदु सेट में अन्य बहुभुजीकरण हों।

बहुभुज आवरण, कमज़ोर सरल बहुभुज जो प्रत्येक दिए गए बिंदु को एक या अधिक बार शीर्ष के रूप में उपयोग करते हैं, इसमें सभी बहुभुजीकरण शामिल होते हैं और स्थानीय चालों से जुड़े होते हैं। बहुभुजों का एक और अधिक सामान्य वर्ग, आसपास के बहुभुज, सरल बहुभुज होते हैं जिनमें दिए गए कुछ बिंदु शीर्ष के रूप में होते हैं और सभी बिंदुओं को घेरते हैं। वे फिर से स्थानीय रूप से जुड़े हुए हैं, और प्रति बहुभुज बहुपद समय में सूचीबद्ध किए जा सकते हैं। एल्गोरिथ्म बहुभुजों के एक पेड़ का निर्माण करता है, जिसकी जड़ उत्तल संचालन है और एक शीर्ष को हटाकर एक दूसरे के आसपास के बहुभुज के माता-पिता को प्राप्त किया जाता है (बहुभुज के बाहरी हिस्से में दो कान प्रमेय को लागू करने से यह संभव साबित होता है)। इसके बाद यह बहुभुजों को सूचीबद्ध करने के लिए इस पेड़ पर एक रिवर्स-सर्च एल्गोरिदम लागू करता है। इस पद्धति के परिणामस्वरूप, सभी बहुभुजीकरणों को ई (जटिलता) में सूचीबद्ध किया जा सकता है ($$2^{O(n)}$$ के लिए $$n$$ अंक) और बहुपद स्थान।

अनुप्रयोग
क्लासिकल बिंदुओ को जोडो पहेलियों में कुछ अप्रत्याशित आकार बनाने के लिए बिंदुओं को क्रम से जोड़ना शामिल होता है, अक्सर बिना क्रॉसिंग के। ट्रैवलिंग सेल्समैन समस्या और इसके वेरिएंट के कई अनुप्रयोग हैं। बहुभुजीकरण का अनुप्रयोग बिखरे हुए डेटा बिंदुओं से समोच्च रेखाओं के पुनर्निर्माण और छवि विश्लेषण में सीमा अनुरेखण में भी होता है।

यह भी देखें

 * डेनजॉय-रिस्ज़ प्रमेय, अनंत बिंदुओं के सेट पर जिन्हें जॉर्डन आर्क द्वारा जोड़ा जा सकता है