डिक्सन बहुपद

गणित में, डिक्सन बहुपद, जिसे $D_{n}(x,α)$ द्वारा निरूपित किया जाता है, द्वारा प्रस्तुत एक बहुपद अनुक्रम बनाता है।  द्वारा ब्रेवर योगों के अपने अध्ययन में उन्हें फिर से खोजा गया कई बार, यद्यपि कदाचित, ब्रेवर बहुपद के रूप में संदर्भित किया गया हो।

सम्मिश्र संख्याओं में, डिक्सन बहुपद चर के परिवर्तन के साथ अनिवार्य रूप से चेबीशेव बहुपदों के समतुल्य हैं, और, वस्तुतः, डिक्सन बहुपदों को कभी-कभी चेबीशेव बहुपद कहा जाता है।

डिक्सन बहुपदों का अध्ययन सामान्यतः परिमित क्षेत्रों पर किया जाता है, जहाँ वे कभी-कभी चेबीशेव बहुपदों के समतुल्य नहीं हो सकते हैं। उनमें रुचि का एक मुख्य कारण निश्चित $α$ के लिए, वे क्रमपरिवर्तन बहुपदों के कई उदाहरण देते हैं; परिमित क्षेत्रों के क्रमपरिवर्तन के रूप में कार्य करने वाले बहुपद।

प्रथम प्रकार
पहचान के साथ क्रमविनिमेय वलय $R$ में पूर्णांक $n > 0$ और $α$ के लिए(प्रायः परिमित क्षेत्र $F_{q} = GF(q)$ चुना जाता है) $R$ पर डिक्सन बहुपद(प्रथम प्रकार का)
 * $$D_n(x,\alpha)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\frac{n}{n-i} \binom{n-i}{i} (-\alpha)^i x^{n-2i} \,$$
 * द्वारा दिया जाता है।

पूर्व कुछ डिक्सन बहुपद


 * $$\begin{align}

D_1(x,\alpha) &= x \\ D_2(x,\alpha) &= x^2 - 2\alpha \\ D_3(x,\alpha) &= x^3 - 3x\alpha \\ D_4(x,\alpha) &= x^4 - 4x^2\alpha + 2\alpha^2 \\ D_5(x,\alpha) &= x^5 - 5x^3\alpha + 5x\alpha^2 \, \end{align}$$
 * हैं।

वे प्रारंभिक प्रतिबंधों $D_{0}(x,α) = 2$ और $D_{1}(x,α) = x$ के साथ $n ≥ 2$,


 * $$D_n(x,\alpha) = xD_{n-1}(x,\alpha)-\alpha D_{n-2}(x,\alpha) \,,$$

के लिए पुनरावृत्ति संबंध द्वारा भी उत्पन्न हो सकते हैं।

गुणांक पूर्व दो पदों के लिए न्यूनतम अंतर के साथ ओईआईएस   में कई स्थानों पर दिए गए हैं।

द्वितीय प्रकार
द्वितीय प्रकार के डिक्सन बहुपद, $E_{n}(x,α)$
 * $$E_n(x,\alpha)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\binom{n-i}{i} (-\alpha)^i x^{n-2i} $$
 * द्वारा परिभाषित किए गए हैं।

उनका अधिक अध्ययन नहीं किया गया है, और प्रथम प्रकार के डिक्सन बहुपदों के समान गुण हैं। द्वितीय प्रकार के पूर्व कुछ डिक्सन बहुपद


 * $$\begin{align}

E_0(x,\alpha) &= 1 \\ E_1(x,\alpha) &= x \\ E_2(x,\alpha) &= x^2 - \alpha \\ E_3(x,\alpha) &= x^3 - 2x\alpha \\ E_4(x,\alpha) &= x^4 - 3x^2\alpha + \alpha^2 \, \end{align}$$ हैं।

वे प्रारंभिक स्थितियों $E_{0}(x,α) = 1$ और $E_{1}(x,α) = x$ के साथ $n ≥ 2$,


 * $$E_n(x,\alpha) = xE_{n-1}(x,\alpha)-\alpha E_{n-2}(x,\alpha) \,$$

के लिए पुनरावृत्ति संबंध द्वारा भी उत्पन्न हो सकते हैं।

गुणांक भी ओईआईएस में दिए गए हैं।

गुण
$D_{n}$ अद्वितीय मोनिक बहुपद हैं जो कार्यात्मक समीकरण


 * $$D_n\left(u + \frac{\alpha}{u},\alpha\right) = u^n + \left(\frac{\alpha}{u}\right)^n, $$

को संतुष्ट करते हैं, जहां $α ∈ F_{q}$ और $u ≠ 0 ∈ F_{q^{2}}|undefined$।

वे एक संयोजन नियम,

$$D_{mn}(x,\alpha) = D_m\bigl(D_n(x,\alpha),\alpha^n\bigr) \,= D_n\bigl(D_m(x,\alpha),\alpha^m\bigr) \, $$

को भी पूरा करते हैं।

$E_{n}$ $α ∈ F_{q}$ और $y ∈ F_{q^{2}}|undefined$ के साथ $y ≠ 0$, $y^{2} ≠ α$ के लिए एक कार्यात्मक समीकरण

$$E_n\left(y + \frac{\alpha}{y}, \alpha\right) = \frac{y^{n+1} - \left(\frac{\alpha}{y}\right)^{n+1}}{y - \frac{\alpha}{y}} \,$$को भी संतुष्ट करता है।

डिक्सन बहुपद $y = D_{n}$ साधारण अवकल समीकरण
 * $$\left(x^2-4\alpha\right)y'' + xy' - n^2y=0 \, $$

का एक हल है, और डिक्सन बहुपद $y = E_{n}$,
 * $$\left(x^2-4\alpha\right)y'' + 3xy' - n(n+2)y=0 \, $$
 * का एक हल है।

इनका साधारण उत्पादक फलन
 * $$\begin{align}

\sum_n D_n(x,\alpha)z^n &= \frac{2-xz}{1-xz+\alpha z^2} \\ \sum_n E_n(x,\alpha)z^n &= \frac{1}{1-xz+\alpha z^2} \, \end{align}$$
 * हैं।

अन्य बहुपदों की शृंखला
उपरोक्त पुनरावृत्ति संबंध से, डिक्सन बहुपद लुकास अनुक्रम हैं। विशेषतः $α = −1$, पूर्व प्रकार के डिक्सन बहुपद फाइबोनैचि बहुपद बहुपद हैं, और दूसरे प्रकार के डिक्सन बहुपद लुकास बहुपद हैं।

उपरोक्त संयोजन नियम के अनुसार, जब α उदासीन(वलय सिद्धांत) है, तो प्रथम प्रकार के डिक्सन बहुपदों की संयोजन क्रमविनिमेय है।
 * पैरामीटर $α = 0$ के साथ डिक्सन बहुपद एकपदी देते हैं।

$$D_n(x,0) = x^n \,. $$
 * पैरामीटर $α = 1$के साथ डिक्सन बहुपद

$$D_n(2x, 1) = 2T_n(x) \,$$

द्वारा प्रथम प्रकार के चेबिशेव बहुपद $T_{n}(x) = cos (n arccos x)$ से संबंधित हैं।
 * चूँकि डिक्सन बहुपद $D_{n}(x,α)$ को अतिरिक्त उदासीन वाले वलयों पर परिभाषित किया जा सकता है, $D_{n}(x,α)$ प्रायः चेबीशेव बहुपद से संबंधित नहीं होता है।

क्रमपरिवर्तन बहुपद और डिक्सन बहुपद
एक क्रमचय बहुपद(किसी दिए गए परिमित क्षेत्र के लिए) वह है जो परिमित क्षेत्र के अवयवों के क्रमचय के रूप में कार्य करता है।

डिक्सन बहुपद $D_{n}(x, α)$($x$ के एक फलन के रूप में स्थिर α स्थिर साथ माना जाता है) $q$ अवयवों के साथ क्षेत्र के लिए एक क्रमचय बहुपद है यदि और मात्र यदि $n$ $q^{2} − 1$ के लिए सहअभाज्य है।

ने सिद्ध किया कि कोई भी अभिन्न बहुपद जो अनंत रूप से कई प्रमुख क्षेत्रों के लिए एक क्रमचय बहुपद है, डिक्सन बहुपद और रैखिक बहुपद(तर्कसंगत गुणांक के साथ) का संयोजन है। यह अभिकथन शूर के अनुमान के रूप में जाना जाता है, यद्यपि वस्तुतः शूर ने यह अनुमान नहीं लगाया था। चूंकि फ्राइड के लेख में कई त्रुटियां थीं, द्वारा एक संशोधित खाता दिया गया था, और बाद में  ने शूर के कारण तर्क की पंक्तियों पर एक सरल प्रमाण दिया।

इसके अतिरिक्त, ने सिद्ध किया कि परिमित क्षेत्र $F_{q}$ पर कोई भी क्रमचय बहुपद जिसकी घात एक साथ $q$ सहअभाज्य है और $q^$ से कम है, वह डिक्सन बहुपद और रैखिक बहुपद का संयोजन होना चाहिए।

सामान्यीकरण
परिमित क्षेत्रों पर दोनों प्रकार के डिक्सन बहुपदों को सामान्यीकृत डिक्सन बहुपदों के अनुक्रम के प्रारंभिक वर्गों के रूप में माना जा सकता है, जिन्हें(k + 1)}वें प्रकार के डिक्सन बहुपद कहा जाता है। विशेषतः $α ≠ 0 ∈ F_{q}$ के लिए $q = p^{e}$ के कुछ अभाज्य $p$ और किसी भी पूर्णांक $n ≥ 0$ और $0 ≤ k < p$ के लिए, $F_{q}$ पर(k + 1) वें प्रकार का nवां डिक्सन बहुपद, $D_{n,k}(x,α)$ द्वारा निरूपित,
 * $$D_{0,k}(x,\alpha) = 2 - k$$

और
 * $$D_{n,k}(x,\alpha)=\sum_{i=0}^{\left\lfloor \frac{n}{2} \right\rfloor}\frac{n - ki}{n-i}\binom{n-i}{i} (-\alpha)^i x^{n-2i} \, $$
 * द्वारा परिभाषित है।

$D_{n,0}(x,α) = D_{n}(x,α)$ और $D_{n,1}(x,α) = E_{n}(x,α)$, यह दर्शाता है कि यह परिभाषा डिक्सन के मूल बहुपदों को एकीकृत और सामान्यीकृत करती है।

डिक्सन बहुपदों के महत्वपूर्ण गुण भी सामान्यीकरण करते हैं:
 * पुनरावृत्ति संबंध: $n ≥ 2$ के लिए,
 * $$D_{n,k}(x,\alpha) = xD_{n-1,k}(x,\alpha)-\alpha D_{n-2,k}(x,\alpha)\,,$$
 * प्रारंभिक प्रतिबंधों के साथ $D_{0,k}(x,α) = 2 − k$ और $D_{1,k}(x,α) = x$।


 * कार्यात्मक समीकरण:

D_{n,k}\left(y + \alpha y^{-1}, \alpha\right) = \frac{y^{2n} +k\alpha y^{2n-2} + \cdots +k\alpha^{n-1}y^2 + \alpha^n}{y^n} = \frac{y^{2n} + {\alpha}^n}{y^n} + \left(\frac{k\alpha}{y^n} \right) \frac{y^{2n} - {\alpha}^{n-1}y^2}{y^2 - \alpha} \,,$$
 * जहाँ $y ≠ 0$, $y^{2} ≠ α$।


 * उत्पन्न फलन:
 * $$\sum_{n=0}^{\infty} D_{n,k}(x,\alpha)z^n = \frac{2 - k + (k-1)xz}{1 - xz + \alpha z^2} \,.$$