द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन

गणित में, दो तरफा लाप्लास परिवर्तन या द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन संभाव्यता के क्षण उत्पन्न करने वाले कार्य के समतुल्य एक अभिन्न परिवर्तन है। दो तरफा लाप्लास रूपांतरण फूरियर रूपांतरण, मेलिन रूपांतरण, जेड-रूपांतरण और साधारण या एक तरफा लाप्लास रूपांतर से निकटता से संबंधित हैं। यदि f(t) सभी वास्तविक संख्याओं के लिए परिभाषित वास्तविक चर t का एक वास्तविक-या जटिल-मूल्यवान कार्य है, तो दो तरफा लाप्लास परिवर्तन अभिन्न द्वारा परिभाषित किया गया है


 * $$\mathcal{B}\{f\}(s) = F(s) = \int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t)\, dt.$$

इंटीग्रल को आमतौर पर एक अनुचित इंटीग्रल के रूप में समझा जाता है, जो दोनों इंटीग्रल होने पर और केवल अगर अभिसरण करता है
 * $$\int_0^\infty e^{-st} f(t) \, dt,\quad \int_{-\infty}^0 e^{-st} f(t)\, dt$$

अस्तित्व। ऐसा लगता है कि दो तरफा परिवर्तन के लिए आम तौर पर स्वीकृत कोई संकेत नहीं है; $$\mathcal{B}$$ यहाँ प्रयुक्त द्विपक्षीय याद करते हैं। दो तरफा परिवर्तन कुछ लेखकों द्वारा प्रयोग किया जाता है
 * $$\mathcal{T}\{f\}(s) = s\mathcal{B}\{f\}(s) = sF(s) = s \int_{-\infty}^\infty e^{-st} f(t)\, dt.$$

शुद्ध गणित में तर्क t कोई भी चर हो सकता है, और लाप्लास रूपांतरण का उपयोग यह अध्ययन करने के लिए किया जाता है कि अंतर ऑपरेटर फ़ंक्शन को कैसे बदलते हैं।

विज्ञान और अभियांत्रिकी  अनुप्रयोगों में, तर्क t अक्सर समय (सेकंड में) का प्रतिनिधित्व करता है, और फ़ंक्शन f(t) अक्सर एक संकेत (सूचना सिद्धांत) या तरंग का प्रतिनिधित्व करता है जो समय के साथ बदलता रहता है। इन मामलों में, सिग्नल फ़िल्टर (सिग्नल प्रोसेसिंग) द्वारा रूपांतरित होते हैं, जो गणितीय ऑपरेटर की तरह काम करते हैं, लेकिन एक प्रतिबंध के साथ। उन्हें कारण होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि किसी दिए गए समय टी में आउटपुट उस आउटपुट पर निर्भर नहीं हो सकता है जो टी का उच्च मूल्य है। जनसंख्या पारिस्थितिकी में, तर्क टी अक्सर फैलाव कर्नेल में स्थानिक विस्थापन का प्रतिनिधित्व करता है।

समय के कार्यों के साथ काम करते समय, f(t) को सिग्नल का 'टाइम डोमेन' प्रतिनिधित्व कहा जाता है, जबकि F(s) को 'एस-डोमेन' (या लाप्लास डोमेन) प्रतिनिधित्व कहा जाता है। व्युत्क्रम परिवर्तन तब संकेत के संश्लेषण का प्रतिनिधित्व करता है क्योंकि इसके आवृत्ति घटकों का योग सभी आवृत्तियों पर लिया जाता है, जबकि आगे का परिवर्तन संकेत के आवृत्ति घटकों में विश्लेषण का प्रतिनिधित्व करता है।

फूरियर ट्रांसफॉर्म से संबंध
फूरियर रूपांतरण को दो तरफा लाप्लास परिवर्तन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है:


 * $$\mathcal{F}\{f(t)\} = F(s = i\omega) = F(\omega).$$

ध्यान दें कि फूरियर रूपांतरण की परिभाषाएँ भिन्न हैं, और विशेष रूप से
 * $$\mathcal{F}\{f(t)\} = F(s = i\omega) = \frac{1}{\sqrt{2\pi}} \mathcal{B}\{f(t)\}(s)$$

इसके बजाय अक्सर प्रयोग किया जाता है। फूरियर रूपांतरण के संदर्भ में, हम दो तरफा लाप्लास रूपांतरण भी प्राप्त कर सकते हैं, जैसा कि
 * $$\mathcal{B}\{f(t)\}(s) = \mathcal{F}\{f(t)\}(-is).$$

फूरियर रूपांतरण को सामान्य रूप से परिभाषित किया जाता है ताकि यह वास्तविक मूल्यों के लिए मौजूद रहे; उपरोक्त परिभाषा छवि को एक पट्टी में परिभाषित करती है $$a < \Im(s) < b$$ जिसमें वास्तविक धुरी शामिल नहीं हो सकती है जहां फूरियर ट्रांसफॉर्म को अभिसरण माना जाता है।

यही कारण है कि लाप्लास रूपांतरण नियंत्रण सिद्धांत और सिग्नल प्रोसेसिंग में अपने मूल्य को बनाए रखता है: एक फूरियर ट्रांसफॉर्म इंटीग्रल के अपने डोमेन के भीतर अभिसरण का मतलब केवल यह है कि इसके द्वारा वर्णित एक रैखिक, शिफ्ट-इनवेरिएंट सिस्टम स्थिर या महत्वपूर्ण है। दूसरी ओर लाप्लास हर आवेग प्रतिक्रिया के लिए अभिसरण करेगा जो सबसे अधिक तेजी से बढ़ रहा है, क्योंकि इसमें एक अतिरिक्त शब्द शामिल है जिसे एक घातीय नियामक के रूप में लिया जा सकता है। चूंकि सुपरएक्सपोनेंशियल रूप से बढ़ते रैखिक प्रतिक्रिया नेटवर्क नहीं हैं, लाप्लास ट्रांसफॉर्म आधारित विश्लेषण और रैखिक, शिफ्ट-इनवेरिएंट सिस्टम का समाधान, लाप्लास के संदर्भ में अपना सबसे सामान्य रूप लेता है, फूरियर नहीं, ट्रांसफॉर्म करता है।

ठीक उसी समय, आजकल लाप्लास रूपांतरण सिद्धांत अधिक सामान्य अभिन्न रूपांतरण, या यहां तक ​​कि सामान्य हार्मोनिकल विश्लेषण के दायरे में आता है। उस ढांचे और नामकरण में, लाप्लास रूपांतरण फूरियर विश्लेषण का एक और रूप है, भले ही दृष्टि में अधिक सामान्य हो।

अन्य अभिन्न रूपांतरणों से संबंध
यदि यू हीविसाइड चरण फ़ंक्शन है, शून्य के बराबर जब इसका तर्क शून्य से कम होता है, एक-आधा जब इसका तर्क शून्य के बराबर होता है, और एक जब इसका तर्क शून्य से अधिक होता है, तो लाप्लास रूपांतरण $$\mathcal{L}$$ द्वारा दो तरफा लाप्लास परिवर्तन के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है
 * $$\mathcal{L}\{f\} = \mathcal{B}\{f u\}.$$

दूसरी ओर, हमारे पास भी है
 * $$\mathcal{B}\{f\} = \mathcal{L}\{f\} + \mathcal{L}\{f\circ m\}\circ m,$$

कहाँ $$m:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$ वह कार्य है जो ऋण एक से गुणा करता है ($$m(x) = -x$$), इसलिए लाप्लास रूपांतरण के किसी भी संस्करण को दूसरे के संदर्भ में परिभाषित किया जा सकता है।

मेलिन परिवर्तन को दो तरफा लाप्लास परिवर्तन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है
 * $$\mathcal{M}\{f\} = \mathcal{B}\{f \circ {\exp} \circ m\},$$

साथ $$m$$ ऊपर के रूप में, और इसके विपरीत हम मेलिन परिवर्तन से दो तरफा परिवर्तन प्राप्त कर सकते हैं
 * $$\mathcal{B}\{f\} = \mathcal{M}\{f\circ m \circ \log \}.$$

एक सतत संभाव्यता घनत्व फ़ंक्शन ƒ(x) के क्षण-उत्पन्न करने वाले फ़ंक्शन को व्यक्त किया जा सकता है $$\mathcal{B}\{f\}(-s)$$.

गुण
में निम्न गुण पाये जाते हैं और

द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन के अधिकांश गुण एकतरफा लाप्लास परिवर्तन के गुणों के समान हैं, लेकिन कुछ महत्वपूर्ण अंतर हैं:

|+ एकतरफा परिवर्तन के गुण बनाम द्विपक्षीय परिवर्तन के गुण ! ! एकतरफा समय डोमेन ! द्विपक्षीय समय डोमेन ! एकतरफा-'एस' डोमेन ! द्विपक्षीय-'एस' डोमेन
 * वर्ग = विकिटेबल

|- ! यौगिक ! द्वितीय क्रम व्युत्पन्न ! कनवल्शन ! पार सहसंबंध
 * $$ f'(t) \ $$
 * $$ f'(t) \ $$
 * $$ s F(s) - f(0) \ $$
 * $$ s F(s) \ $$
 * $$ f''(t) \ $$
 * $$ f''(t) \ $$
 * $$ s^2 F(s) - s f(0) - f'(0) \ $$
 * $$ s^2 F(s) \ $$
 * $$ \int_0^{t} f(\tau) \, g(t-\tau) \, d\tau \ $$
 * $$ \int_{-\infty}^{\infty} f(\tau) \, g(t-\tau) \,d\tau \ $$
 * $$ F(s) \cdot G(s) \ $$
 * $$ F(s) \cdot G(s) \ $$
 * $$ \int_{0}^{\infty} \overline{f(\tau)}\,g(t + \tau)\,d\tau \ $$
 * $$ \int_{-\infty}^{\infty} \overline{f(\tau)}\,g(t + \tau)\,d\tau \ $$
 * $$ \overline{F(-\overline{s})} \cdot G(s) \ $$
 * $$ \overline{F(-\overline{s})} \cdot G(s) \ $$
 * }
 * }

पारसेवल का प्रमेय और प्लांकरेल का प्रमेय
होने देना $$f_1(t)$$ और $$f_2(t)$$ द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन के साथ कार्य करें $$F_1(s)$$ और $$F_2(s)$$ अभिसरण की पट्टियों में $$\alpha_{1,2}<\real s<\beta_{1,2}$$. होने देना $$c\in\mathbb{R}$$ साथ $$\max(-\beta_1,\alpha_2)<c<\min(-\alpha_1,\beta_2)$$. तब पारसेवल का प्रमेय धारण करता है:

\int_{-\infty}^{\infty} \overline{f_1(t)}\,f_2(t)\,dt = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} \overline{F_1(-\overline{s})}\,F_2(s)\,ds $$ क्रॉस-सहसंबंध के रूप में कनवल्शन प्रमेय पर व्युत्क्रम लाप्लास परिवर्तन को लागू करने से यह प्रमेय सिद्ध होता है।

होने देना $$f(t)$$ द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन के साथ एक कार्य हो $$F(s)$$ अभिसरण की पट्टी में $$\alpha<\Re s<\beta$$. होने देना $$c\in\mathbb{R}$$ साथ $$ \alpha<c<\beta $$. फिर प्लैंकेरल प्रमेय धारण करता है:

\int_{-\infty}^{\infty} e^{-2c\,t} \, |f(t)|^2 \,dt = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} |F(c+ir)|^2 \, dr $$

विशिष्टता
किन्हीं दो कार्यों के लिए $ f,g $ जिसके लिए दो तरफा लाप्लास रूपांतरित होता है $ \mathcal{T} \{f\}, \mathcal{T} \{g\} $  मौजूद हैं, अगर $ \mathcal{T}\{f\} = \mathcal{T} \{g\}, $  अर्थात। $ \mathcal{T}\{f\}(s) = \mathcal{T}\{g\}(s) $  के प्रत्येक मूल्य के लिए $ s\in\mathbb R, $  तब $ f=g $  लगभग हर जगह।

अभिसरण का क्षेत्र
अभिसरण के लिए द्विपक्षीय परिवर्तन की आवश्यकताएं एकतरफा परिवर्तनों की तुलना में अधिक कठिन हैं। अभिसरण का क्षेत्र सामान्य रूप से छोटा होगा।

यदि f एक स्थानीय रूप से समाकलित फलन है (या अधिक आम तौर पर स्थानीय रूप से परिबद्ध भिन्नता का एक बोरेल उपाय है), तो f का लाप्लास रूपांतरण F(s) अभिसरण करता है बशर्ते कि सीमा
 * $$\lim_{R\to\infty}\int_0^R f(t)e^{-st}\, dt$$

मौजूद। लाप्लास रूपांतरण पूरी तरह से अभिन्न अंग को अभिसरण करता है
 * $$\int_0^\infty \left|f(t)e^{-st}\right|\, dt$$

मौजूद है (एक उचित Lebesgue अभिन्न के रूप में)। लाप्लास परिवर्तन को आमतौर पर सशर्त रूप से अभिसरण के रूप में समझा जाता है, जिसका अर्थ है कि यह बाद के भाव के बजाय पूर्व में अभिसरण करता है।

मानों का वह सेट जिसके लिए F(s) पूरी तरह से अभिसरित होता है या तो Re(s) > a या फिर Re(s) ≥ a के रूप में होता है, जहां a एक विस्तारित वास्तविक संख्या है, −∞ ≤ a ≤ ∞। (यह प्रभुत्व अभिसरण प्रमेय से अनुसरण करता है।) निरंतर a को पूर्ण अभिसरण के भुज के रूप में जाना जाता है, और यह f(t) के विकास व्यवहार पर निर्भर करता है। अनुरूप रूप से, दो तरफा परिवर्तन a <Re(s) <b के रूप की एक पट्टी में पूरी तरह से अभिसरण करता है, और संभवतः Re(s) = a या Re(s) = b लाइनों सहित। एस के मूल्यों का सबसेट जिसके लिए लाप्लास पूरी तरह से परिवर्तित हो जाता है उसे पूर्ण अभिसरण का क्षेत्र या पूर्ण अभिसरण का डोमेन कहा जाता है। दो तरफा मामले में, इसे कभी-कभी निरपेक्ष अभिसरण की पट्टी कहा जाता है। लाप्लास परिवर्तन पूर्ण अभिसरण के क्षेत्र में विश्लेषणात्मक कार्य है।

इसी तरह, मूल्यों का वह सेट जिसके लिए F(s) अभिसरण (सशर्त या पूर्ण रूप से) को सशर्त अभिसरण के क्षेत्र के रूप में जाना जाता है, या केवल 'अभिसरण का क्षेत्र' (ROC) कहा जाता है। यदि लाप्लास रूपांतरण (सशर्त रूप से) s = s पर अभिसरित होता है0, तो यह स्वचालित रूप से Re(s) > Re(s) के साथ सभी s के लिए अभिसरित हो जाता है0). इसलिए, अभिसरण का क्षेत्र Re(s) > a के रूप का आधा-तल है, संभवतः सीमा रेखा Re(s) = a के कुछ बिंदुओं सहित। अभिसरण के क्षेत्र में Re(s) > Re(s0), एफ के लाप्लास परिवर्तन को अभिन्न के रूप में भागों द्वारा एकीकरण द्वारा व्यक्त किया जा सकता है
 * $$F(s) = (s-s_0)\int_0^\infty e^{-(s-s_0)t}\beta(t)\, dt,\quad \beta(u) = \int_0^u e^{-s_0t}f(t)\, dt.$$

अर्थात्, अभिसरण के क्षेत्र में F(s) को प्रभावी रूप से किसी अन्य कार्य के बिल्कुल अभिसारी लाप्लास रूपांतरण के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। विशेष रूप से, यह विश्लेषणात्मक है।

अभिसरण के क्षेत्र के भीतर एफ के क्षय गुणों और लाप्लास के गुणों के बीच संबंध के संबंध में कई पाले-वीनर प्रमेय हैं।

इंजीनियरिंग अनुप्रयोगों में, एक एलटीआई प्रणाली के अनुरूप एक फ़ंक्शन | रैखिक समय-अपरिवर्तनीय (एलटीआई) प्रणाली स्थिर है यदि प्रत्येक बाध्य इनपुट एक बाध्य आउटपुट उत्पन्न करता है।

करणीयता
द्विपक्षीय परिवर्तन कार्य-कारण का सम्मान नहीं करते हैं। सामान्य कार्यों पर लागू होने पर वे समझ में आते हैं लेकिन समय के कार्यों (संकेतों) के साथ काम करते समय एकतरफा परिवर्तन को प्राथमिकता दी जाती है।

चयनित द्विपक्षीय लाप्लास रूपांतरणों की तालिका
द्विपक्षीय लाप्लास परिवर्तन के लिए दिलचस्प उदाहरणों की निम्नलिखित सूची को इसी फूरियर या से घटाया जा सकता है एकतरफा लाप्लास परिवर्तन (यह सभी देखें ):

यह भी देखें

 * कारण फ़िल्टर
 * [[कारण प्रणाली]]
 * कारण प्रणाली
 * सिंक फिल्टर - आदर्श सिन फ़िल्टर (उर्फ आयताकार फ़िल्टर) आकस्मिक होता है और इसमें अनंत विलंब होता है।

संदर्भ

 * Van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd ed., 1987.
 * Van der Pol, Balthasar, and Bremmer, H., Operational Calculus Based on the Two-Sided Laplace Integral, Chelsea Pub. Co., 3rd ed., 1987.