युग्‍मानूसार तुलना

जोड़ीवार तुलना आम तौर पर जोड़ियों में इकाइयों की तुलना करने की कोई प्रक्रिया है ताकि यह तय किया जा सके कि प्रत्येक इकाई में से कौन सी इकाई प्राथमिकता है, या इसमें कुछ मात्रात्मक संपत्ति की मात्रा अधिक है, या दोनों इकाइयां समान हैं या नहीं। जोड़ीवार तुलना की विधि का उपयोग प्राथमिकताओं, दृष्टिकोण, मतदान प्रणाली, सामाजिक पसंद, सार्वजनिक पसंद, आवश्यकताओं इंजीनियरिंग और मल्टीएजेंट एआई सिस्टम के वैज्ञानिक अध्ययन में किया जाता है। मनोविज्ञान साहित्य में, इसे अक्सर युग्मित तुलना के रूप में जाना जाता है। प्रमुख मनोचिकित्सक एल. एल. थर्स्टन ने पहली बार 1927 में माप के लिए जोड़ीवार तुलना का उपयोग करने के लिए एक वैज्ञानिक दृष्टिकोण पेश किया, जिसे उन्होंने तुलनात्मक निर्णय के नियम के रूप में संदर्भित किया। थर्स्टन ने इस दृष्टिकोण को अर्न्स्ट हेनरिक वेबर और गुस्ताव फेचनर द्वारा विकसित मनोभौतिक सिद्धांत से जोड़ा। थर्स्टन ने प्रदर्शित किया कि अंतराल-प्रकार के पैमाने का उपयोग करके वरीयता या महत्व जैसे आयाम के साथ वस्तुओं को ऑर्डर करने के लिए विधि का उपयोग किया जा सकता है।

गणितज्ञ अर्नेस्ट ज़र्मेलो (1929) ने सबसे पहले अधूरे टूर्नामेंटों में शतरंज रैंकिंग के लिए जोड़ीवार तुलना के लिए एक मॉडल का वर्णन किया, जो एलो रेटिंग प्रणाली जैसे तरीकों के लिए आधार के रूप में कार्य करता है (भले ही कुछ समय के लिए श्रेय नहीं दिया गया) और 1952 में प्रस्तावित ब्रैडली-टेरी मॉडल के बराबर है।

अवलोकन
यदि कोई व्यक्ति या संगठन दो परस्पर भिन्न विकल्पों के बीच प्राथमिकता व्यक्त करता है, तो इस प्राथमिकता को जोड़ीवार तुलना के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। यदि दो विकल्प x और y हैं, तो जोड़ीवार तुलनाएँ निम्नलिखित हैं:

एजेंट y से अधिक x को प्राथमिकता देता है: x > y या xPy

एजेंट x से अधिक y को प्राथमिकता देता है: y > x या yPx

एजेंट दोनों विकल्पों के बीच उदासीन है: x = y या xIy

संभाव्य मॉडल
आधुनिक साइकोमेट्रिक सिद्धांत संभाव्य मॉडल के संदर्भ में, जिसमें थर्स्टन स्केल|थर्स्टन का दृष्टिकोण (तुलनात्मक निर्णय का नियम भी कहा जाता है), ब्रैडली-टेरी मॉडल|ब्रैडली-टेरी-लूस (बीटीएल) मॉडल, और सामान्य स्टोकेस्टिक परिवर्तनशीलता मॉडल शामिल हैं, इन्हें मापन मॉडल के रूप में अधिक उपयुक्त माना जाता है। ब्रैडली-टेरी मॉडल|ब्रैडली-टेरी-लूस (बीटीएल) मॉडल को अक्सर पैमाने की प्राथमिकताओं के लिए जोड़ीवार तुलना डेटा के लिए लागू किया जाता है। यदि सरल लॉजिस्टिक फ़ंक्शन का उपयोग किया जाता है तो बीटीएल मॉडल थर्स्टन के मॉडल के समान है। थर्स्टन ने मॉडल के अनुप्रयोगों में सामान्य वितरण का उपयोग किया। एक मनमाना स्केल फैक्टर दिए जाने पर, सरल लॉजिस्टिक फ़ंक्शन पूरे रेंज में संचयी सामान्य तोरण (सांख्यिकी) से 0.01 से कम भिन्न होता है।

बीटीएल मॉडल में, ऑब्जेक्ट जे में ऑब्जेक्ट आई की तुलना में अधिक विशेषता होने की संभावना है:



\Pr \{X_{ji}=1\} =\frac{e^{{\delta_j} - {\delta_i}}}{1 + e^{{\delta_j} - {\delta_i}}} = \sigma (\delta_j - \delta_i), $$ कहाँ $$\delta_i$$ वस्तु का पैमाना स्थान है$$i$$; $$\sigma$$ लॉजिस्टिक फ़ंक्शन (लॉगिट का उलटा) है। उदाहरण के लिए, स्केल स्थान किसी उत्पाद की कथित गुणवत्ता, या किसी वस्तु के कथित वजन का प्रतिनिधित्व कर सकता है।

माप के लिए बीटीएल मॉडल, थर्स्टोनियन मॉडल और साथ ही तीव्र मॉडल सभी बारीकी से संबंधित हैं और स्टोकेस्टिक ट्रांज़िटिविटी के एक ही वर्ग से संबंधित हैं।

थर्स्टन ने शारीरिक उत्तेजनाओं, दृष्टिकोण, प्राथमिकताओं, विकल्पों और मूल्यों की कथित तीव्रता को मापने के दृष्टिकोण के रूप में जोड़ीदार तुलना की विधि का उपयोग किया। उन्होंने जनमत सर्वेक्षणों और राजनीतिक मतदान के लिए विकसित सिद्धांत के निहितार्थों का भी अध्ययन किया (थर्स्टन, 1959)।

आयरिश अनुसंधान स्टार्टअप ओपिनियनएक्स ने 2020 में एक संभाव्य जोड़ीदार तुलना उपकरण लॉन्च किया, जो प्रत्येक प्रतिभागी को वोट देने के लिए समग्र सूची से बयानों के सबसेट का चयन करने के लिए एक भारित चयन एल्गोरिदम के साथ ग्लिको-शैली बायेसियन रेटिंग प्रणाली का उपयोग करता है।

परिवर्तनशीलता
किसी दिए गए निर्णय एजेंट के लिए, यदि एजेंट द्वारा उपयोग की गई जानकारी, उद्देश्य और विकल्प स्थिर रहते हैं, तो आम तौर पर यह माना जाता है कि निर्णय एजेंट द्वारा उन विकल्पों पर जोड़ीदार तुलना सकर्मक होती है। अधिकांश लोग इस बात पर सहमत हैं कि परिवर्तनशीलता क्या है, हालाँकि उदासीनता की परिवर्तनशीलता के बारे में बहस चल रही है। किसी दिए गए निर्णय एजेंट के लिए परिवर्तनशीलता के नियम इस प्रकार हैं।


 * यदि xPy और yPz, तो xPz
 * यदि xPy और yIz, तो xPz
 * यदि xIy और yPz, तो xPz
 * यदि xIy और yIz, तो xIz

यह (xPy या xIy) से मेल खाता है जो कुल प्रीऑर्डर है, P संबंधित सख्त कमजोर क्रम है, और I संबंधित तुल्यता संबंध है।

संभाव्य मॉडल स्टोचैस्टिक ट्रांज़िटिविटी को भी जन्म देते हैं, जिनमें से सभी को संस्थाओं के पैमाने के स्थानों के अनुमानों की त्रुटियों की सीमा के भीतर (गैर-स्टोकेस्टिक) ट्रांज़िटिविटी को संतुष्ट करने के लिए सत्यापित किया जा सकता है। इस प्रकार, संभाव्य मॉडल लागू करने के लिए निर्णयों को नियतात्मक रूप से परिवर्तनीय होने की आवश्यकता नहीं है। हालाँकि, यदि बीटीएल जैसे मॉडल को प्रभावी ढंग से लागू किया जा सकता है, तो परिवर्तनशीलता आम तौर पर बड़ी संख्या में तुलनाओं के लिए मान्य होगी।

परिवर्तनशीलता परीक्षण का उपयोग करना कोई यह जांच कर सकता है कि जोड़ीवार तुलनाओं के डेटा सेट में संयोग से अपेक्षा से अधिक उच्च स्तर की परिवर्तनशीलता है या नहीं।

उदासीनता की अकर्मण्यता के लिए तर्क
कुछ लोगों का तर्क है कि उदासीनता सकर्मक नहीं है। निम्नलिखित उदाहरण पर विचार करें. मान लीजिए कि आपको सेब पसंद हैं और आप बड़े सेब पसंद करते हैं। अब मान लीजिए कि एक सेब ए, एक सेब बी, और एक सेब सी मौजूद है जिनमें निम्नलिखित को छोड़कर समान आंतरिक विशेषताएं हैं। मान लीजिए कि B, A से बड़ा है, लेकिन इसे अत्यंत संवेदनशील पैमाने के बिना पहचाना नहीं जा सकता। इसके अलावा मान लीजिए कि C, B से बड़ा है, लेकिन यह भी अत्यंत संवेदनशील पैमाने के बिना समझ में नहीं आता है। हालाँकि, सेब A और C के बीच आकार में अंतर इतना बड़ा है कि आप बिना किसी संवेदनशील पैमाने के यह समझ सकते हैं कि C, A से बड़ा है। मनोभौतिकीय दृष्टि से, ए और सी के बीच के आकार का अंतर ध्यान देने योग्य अंतर ('जेएनडी') से ऊपर है, जबकि ए और बी और बी और सी के बीच के आकार का अंतर जेएनडी से नीचे है।

संवेदनशील पैमाने के लाभ के बिना आपका सामना जोड़े में तीन सेबों से होता है। इसलिए, जब ए और बी को अकेले प्रस्तुत किया जाता है, तो आप ऐप्पल ए और ऐप्पल बी के बीच उदासीन होते हैं; और जब बी और सी को अकेले प्रस्तुत किया जाता है तो आप एप्पल बी और एप्पल सी के बीच उदासीन होते हैं। हालाँकि, जब जोड़ी A और C दिखाई जाती है, तो आप A की तुलना में C को प्राथमिकता देते हैं।

वरीयता क्रम
यदि जोड़ीवार तुलना वास्तव में चार उल्लिखित नियमों के संबंध में सकर्मक है, तो विकल्पों की सूची के लिए जोड़ीवार तुलना करें (ए)1, ए2, ए3, ..., एn&minus;1, और एn) फॉर्म ले सकते हैं:


 * ए1(>XOR=)ए2(>XOR=)ए3(>XOR=)...(>XOR=)An&minus;1(>XOR=)एn

उदाहरण के लिए, यदि तीन विकल्प ए, बी और सी हैं, तो संभावित वरीयता क्रम हैं:

यदि विकल्पों की संख्या n है, और उदासीनता की अनुमति नहीं है, तो किसी दिए गए n-मूल्य के लिए संभावित वरीयता क्रम की संख्या n ! है। यदि उदासीनता की अनुमति है, तो संभावित वरीयता आदेशों की संख्या सख्त कमजोर ऑर्डर # कुल प्री-ऑर्डर की संख्या है। इसे n के एक फलन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है:
 * $$a>b>c$$
 * $$a>c>b$$
 * $$b>a>c$$
 * $$b>c>a$$
 * $$c>a>b$$
 * $$c>b>a$$
 * $$a>b=c$$
 * $$b=c>a$$
 * $$b>a=c$$
 * $$a=c>b$$
 * $$c>a=b$$
 * $$a=b>c$$
 * $$a=b=c$$


 * $$\sum_{k=1}^n k! S_2(n,k),$$

जहां एस2(n,k) दूसरे प्रकार का स्टर्लिंग नंबर है।

अनुप्रयोग
जोड़ीवार तुलनाओं का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग व्यापक रूप से उपयोग की जाने वाली विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया है, जो लोगों को जटिल निर्णयों से निपटने में मदद करने के लिए एक संरचित तकनीक है। यह अनुपात के पैमाने बनाने के लिए मूर्त और अमूर्त कारकों की जोड़ीवार तुलना का उपयोग करता है जो महत्वपूर्ण निर्णय लेने में उपयोगी होते हैं। एक अन्य महत्वपूर्ण अनुप्रयोग सभी संभावित विकल्पों की संभावित रूप से सभी जोड़ीवार रैंकिंग (PAPRIKA) विधि है। इस विधि में निर्णय-निर्माता द्वारा एक समय में दो मानदंडों या विशेषताओं पर परिभाषित विकल्पों की बार-बार जोड़ीवार तुलना और रैंकिंग करना और एक व्यापार-बंद शामिल करना शामिल है, और फिर, यदि निर्णय-निर्माता जारी रखना चाहता है, तो क्रमिक रूप से अधिक मानदंडों पर परिभाषित विकल्पों की जोड़ीवार तुलना करता है। जोड़ीवार रैंकिंग से, निर्णय-निर्माता के लिए मानदंड का सापेक्ष महत्व, जिसे वजन के रूप में दर्शाया जाता है, निर्धारित किया जाता है।

यह भी देखें

 * विश्लेषणात्मक पदानुक्रम प्रक्रिया (एएचपी)
 * तुलनात्मक निर्णय का नियम
 * संभावित रूप से सभी संभावित विकल्पों की जोड़ीवार रैंकिंग (PAPRIKA) पद्धति
 * PROMETHEE जोड़ीवार तुलना विधि
 * वरीयता (अर्थशास्त्र)
 * स्टोकेस्टिक परिवर्तनशीलता
 * कॉन्डोर्सेट विधि

संदर्भ

 * Y. Chevaleyre, P.E. Dunne, U. Endriss, J. Lang, M. Lemaître, N. Maudet, J. Padget, S. Phelps, J.A. Rodríguez-Aguilar, and P. Sousa. Issues in Multiagent Resource Allocation. Informatica, 30:3–31, 2006.
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अग्रिम पठन

 * Bradley, R.A. and Terry, M.E. (1952). Rank analysis of incomplete block designs, I. the method of paired comparisons. Biometrika, 39, 324–345.
 * David, H.A. (1988). The Method of Paired Comparisons. New York: Oxford University Press.
 * Luce, R.D. (1959). Individual Choice Behaviours: A Theoretical Analysis. New York: J. Wiley.
 * Thurstone, L.L. (1927). A law of comparative judgement. Psychological Review, 34, 278–286.
 * Thurstone, L.L. (1929). The Measurement of Psychological Value.  In T.V. Smith and W.K. Wright (Eds.), Essays in Philosophy by Seventeen Doctors of Philosophy of the 	University of Chicago.  Chicago: Open Court.
 * Thurstone, L.L. (1959). The Measurement of Values.  Chicago: The University of Chicago Press.
 * Zermelo, E. (1928). Die Berechnung der Turnier-Ergebnisse als ein Maximumproblem der Wahrscheinlichkeitsrechnung, Mathematische Zeitschrift 29, 1929, S. 436–460