दोहरी पॉलीहेड्रॉन

ज्यामिति में, प्रत्येक बहुतल एक दूसरी दोहरी संरचना से जुड़ा होता है, जहां एक का वर्टेक्स (ज्यामिति) दूसरे के फलक (ज्यामिति) के अनुरूप होता है, और एक के शीर्षों के जोड़े के बीच के किनारे चेहरे के जोड़े के किनारों के अनुरूप होते हैं। अन्य। इस तरह के दोहरे आंकड़े संयोजी या अमूर्त पॉलीटॉप रहते हैं, लेकिन सभी को ज्यामितीय पॉलीहेड्रा के रूप में भी नहीं बनाया जा सकता है। किसी दिए गए पॉलीहेड्रॉन से शुरू करके, इसके दोहरे का द्वैत मूल पॉलीहेड्रॉन है।

द्वैत एक बहुफलकी की समरूपता को बनाए रखता है। इसलिए, उनकी समरूपता द्वारा परिभाषित पॉलीहेड्रा के कई वर्गों के लिए, दोहरे संबंधित समरूपता वर्ग से संबंधित हैं। उदाहरण के लिए, नियमित पॉलीहेड्रा – (उत्तल) प्लेटोनिक ठोस और (तारा) केप्लर-पॉइन्सॉट पॉलीहेड्रा – दोहरे जोड़े बनाते हैं, जहां नियमित चतुर्पाश्वीय #सेल्फ-डुअल पॉलीहेड्रा|सेल्फ-डुअल है। एक आइसोगोनल आकृति पॉलीहेड्रॉन का दोहरा (जिसमें कोई भी दो कोने पॉलीहेड्रॉन की समरूपता के बराबर हैं) एक आइसोहेड्रल आकृति पॉलीहेड्रॉन है (जिसमें कोई भी दो चेहरे समकक्ष हैं [...]), और इसके विपरीत। एक आइसोटॉक्सल आंकड़ा पॉलीहेड्रॉन का दोहरा (जिसमें कोई भी दो किनारे समतुल्य हैं [...]) भी आइसोटॉक्सल है।

द्वैत ध्रुवीय पारस्परिकता से निकटता से संबंधित है, एक ज्यामितीय परिवर्तन, जब एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन पर लागू होता है, तो दोहरी पॉलीहेड्रॉन को एक और उत्तल पॉलीहेड्रॉन के रूप में महसूस करता है।

द्वैत के प्रकार
द्वैत कई प्रकार के होते हैं। प्रारंभिक पॉलीहेड्रा के लिए सबसे अधिक प्रासंगिक प्रकार ध्रुवीय पारस्परिकता और सामयिक या अमूर्त द्वैत हैं।

ध्रुवीय पारस्परिकता
यूक्लिडियन अंतरिक्ष में, पॉलीहेड्रॉन का दोहरा $$P$$ अक्सर एक क्षेत्र के बारे में ध्रुवीय पारस्परिकता के संदर्भ में परिभाषित किया जाता है। यहां, प्रत्येक वर्टेक्स (पोल) एक फेस प्लेन (पोलर प्लेन या सिर्फ पोलर) से जुड़ा होता है, ताकि केंद्र से वर्टेक्स तक की किरण प्लेन के लंबवत हो, और केंद्र से प्रत्येक की दूरियों का गुणनफल बराबर हो त्रिज्या का वर्ग। जब गोले की त्रिज्या होती है $$r$$ और मूल पर केंद्रित है (ताकि इसे समीकरण द्वारा परिभाषित किया जा सके $$x^2 + y^2 + z^2 = r^2$$), फिर एक उत्तल पॉलीहेड्रॉन का ध्रुवीय द्वैत $$P$$ की तरह परिभाषित किया गया है

कहाँ पे $$q \cdot p$$ के मानक डॉट उत्पाद को दर्शाता है $$q$$ तथा $$p$$.

आमतौर पर जब दोहरे के निर्माण में कोई क्षेत्र निर्दिष्ट नहीं होता है, तो इकाई क्षेत्र का उपयोग किया जाता है, जिसका अर्थ है $$r=1$$ उपरोक्त परिभाषाओं में। के प्रत्येक चेहरे के विमान के लिए $$P$$ रैखिक समीकरण द्वारा वर्णित $$x_0x + y_0y + z_0z = r^2,$$ दोहरे पॉलीहेड्रॉन का संगत शीर्ष $$P^\circ$$ निर्देशांक होंगे $$(x_0,y_0,z_0)$$. इसी प्रकार, का प्रत्येक शीर्ष $$P$$ के फलक तल से मेल खाता है $$P^\circ$$, और प्रत्येक किनारे की रेखा $$P$$ की एक धार रेखा से मेल खाती है $$P^\circ$$. के शीर्षों, किनारों और चेहरों के बीच पत्राचार $$P$$ तथा $$P^\circ$$ समावेशन को उलट देता है। उदाहरण के लिए, यदि का एक किनारा $$P$$ एक शीर्ष, के संगत किनारे शामिल हैं $$P^\circ$$ संबंधित चेहरे में निहित होगा।

समरूपता के केंद्र के साथ एक पॉलीहेड्रॉन के लिए, इस बिंदु पर केंद्रित एक गोले का उपयोग करना आम है, जैसा कि दोहरी वर्दी पॉलीहेड्रॉन # डोरमैन ल्यूक निर्माण (नीचे उल्लिखित) में है। विफल होने पर, एक पॉलीहेड्रॉन के लिए एक सीमाबद्ध क्षेत्र, खुदा हुआ क्षेत्र, या मिडस्फीयर (स्पर्शरेखा के रूप में सभी किनारों के साथ), इसका उपयोग किया जा सकता है। हालांकि, किसी भी क्षेत्र के बारे में एक पॉलीहेड्रॉन का आदान-प्रदान करना संभव है, और दोहरे का परिणामी रूप गोले के आकार और स्थिति पर निर्भर करेगा; जिस प्रकार क्षेत्र विविध है, उसी प्रकार द्वैत रूप भी है। गोले के केंद्र का चुनाव समानता तक दोहरे को परिभाषित करने के लिए पर्याप्त है।

यदि यूक्लिडियन अंतरिक्ष में एक पॉलीहेड्रॉन का चेहरा समतल, किनारे की रेखा, या वर्टेक्स गोले के केंद्र पर स्थित है, तो इसके दोहरे का संबंधित तत्व अनंत तक जाएगा। चूंकि यूक्लिडियन अंतरिक्ष कभी भी अनंत तक नहीं पहुंचता है, प्रक्षेपी समतुल्य, विस्तारित यूक्लिडियन अंतरिक्ष कहा जाता है, आवश्यक 'अनंत पर विमान' जोड़कर बनाया जा सकता है। कुछ सिद्धांतवादी यूक्लिडियन स्थान से चिपके रहना पसंद करते हैं और कहते हैं कि कोई द्वैत नहीं है। इस दौरान, मॉडल (कुछ परिमित भाग के) बनाने के लिए उपयुक्त तरीके से इन अनंत दोहरे का प्रतिनिधित्व करने का एक तरीका मिला।

यहाँ द्वैत की अवधारणा प्रक्षेपी ज्यामिति में द्वैत (प्रक्षेपी ज्यामिति) से निकटता से संबंधित है, जहाँ रेखाएँ और किनारे आपस में जुड़े होते हैं। उत्तल पॉलीहेड्रा के लिए प्रोजेक्टिव पोलरिटी काफी अच्छी तरह से काम करती है। लेकिन स्टार पॉलीहेड्रा जैसे गैर-उत्तल आंकड़ों के लिए, जब हम प्रोजेक्टिव पोलरिटी के संदर्भ में पॉलीहेड्रल द्वैत के इस रूप को सख्ती से परिभाषित करना चाहते हैं, तो विभिन्न समस्याएं सामने आती हैं। गैर-उत्तल पॉलीहेड्रा के ज्यामितीय द्वैत के लिए निश्चित मुद्दों के कारण, तर्क देता है कि एक गैर-उत्तल पॉलीहेड्रॉन की किसी भी उचित परिभाषा में एक दोहरे पॉलीहेड्रॉन की धारणा शामिल होनी चाहिए।

विहित दोहरे
किसी भी उत्तल पॉलीहेड्रॉन को कैनोनिकल पॉलीहेड्रॉन में विकृत किया जा सकता है, जिसमें एक यूनिट मिडस्फीयर (या इंटरस्फीयर) हर किनारे पर स्पर्शरेखा मौजूद होती है, और इस तरह स्पर्शरेखा के बिंदुओं की औसत स्थिति गोले का केंद्र होती है। सर्वांगसमता के लिए यह रूप अद्वितीय है।

यदि हम इस तरह के कैनोनिकल पॉलीहेड्रॉन को इसके मिडस्फीयर के बारे में बताते हैं, तो दोहरी पॉलीहेड्रॉन समान किनारे-स्पर्श बिंदुओं को साझा करेगा, और इस प्रकार कैनोनिकल भी होगा। यह कैनोनिकल डुअल है, और दोनों मिलकर एक कैनोनिकल डुअल कंपाउंड बनाते हैं।

डोरमन ल्यूक निर्माण
एक समान पॉलीहेड्रॉन के लिए, दोहरे पॉलीहेड्रॉन के प्रत्येक चेहरे को मूल पॉलीहेड्रॉन के संबंधित शीर्ष आकृति से यूनिफ़ॉर्म डुअल पॉलीहेड्रॉन#डोर्मन ल्यूक निर्माण का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

सामयिक द्वैत
यहां तक ​​​​कि जब पॉलीहेड्रा की एक जोड़ी एक-दूसरे से पारस्परिक रूप से प्राप्त नहीं की जा सकती है, तब तक उन्हें एक-दूसरे के दोहरे कहा जा सकता है, जब तक कि एक के शिखर दूसरे के चेहरे से मेल खाते हैं, और एक के किनारे दूसरे के किनारों से मेल खाते हैं, एक घटना-संरक्षण तरीके से। पॉलीहेड्रा के ऐसे जोड़े अभी भी स्थलीय या अमूर्त रूप से दोहरे हैं।

उत्तल पॉलीहेड्रॉन के कोने और किनारे एक ग्राफ सिद्धांत (एन-कंकाल | पॉलीहेड्रॉन का 1-कंकाल) बनाते हैं, जो पॉलीहेड्रॉन (एक स्थलीय क्षेत्र) की सतह पर एम्बेडेड होता है। इस ग्राफ को समतल तल पर श्लेगल आरेख बनाने के लिए प्रक्षेपित किया जा सकता है। द्वैत बहुफलक के शीर्षों और किनारों द्वारा निर्मित ग्राफ़ दोहरा ग्राफ़ का द्वैत ग्राफ़ है।

अधिक आम तौर पर, किसी भी पॉलीहेड्रॉन के लिए जिसका चेहरा बंद सतह बनाता है, पॉलीहेड्रॉन के कोने और किनारे इस सतह पर एम्बेडेड ग्राफ बनाते हैं, और (सार) दोहरी पॉलीहेड्रॉन के कोने और किनारे मूल ग्राफ के दोहरे ग्राफ का निर्माण करते हैं।

एक अमूर्त पॉलीटॉप तत्वों का एक निश्चित प्रकार का आंशिक रूप से आदेशित सेट (पॉसेट) है, जैसे सेट के तत्वों के बीच घटनाएँ, या कनेक्शन, एक पॉलीहेड्रॉन के तत्वों (चेहरे, किनारों, कोने) के बीच की घटनाओं के अनुरूप होते हैं। इस तरह के हर पॉसेट में एक डुअल पोसेट होता है, जो सभी ऑर्डर संबंधों को उलट कर बनाया जाता है। यदि पोसेट को हस्स आरेख के रूप में देखा जाता है, तो हस्स आरेख को उल्टा करके दोहरी पोसेट को आसानी से देखा जा सकता है।

प्रत्येक ज्यामितीय पॉलीहेड्रॉन इस तरह से एक सार पॉलीहेड्रॉन से मेल खाता है, और इसमें एक अमूर्त दोहरी पॉलीहेड्रॉन है। हालांकि, कुछ प्रकार के गैर-उत्तल ज्यामितीय पॉलीहेड्रा के लिए, दोहरी पॉलीहेड्रा ज्यामितीय रूप से वसूली योग्य नहीं हो सकता है।

स्व-दोहरी पॉलीहेड्रा
स्थलाकृतिक रूप से, एक स्व-द्वैत बहुफलक वह है जिसके दोहरे में शीर्षों, किनारों और चेहरों के बीच बिल्कुल समान संयोजकता होती है। संक्षेप में, उनके पास एक ही हस्स आरेख है। एक ज्यामितीय रूप से स्व-द्वैत पॉलीहेड्रॉन न केवल स्थैतिक रूप से स्व-द्वैत है, बल्कि एक निश्चित बिंदु के बारे में इसका ध्रुवीय पारस्परिक, आमतौर पर इसका केन्द्रक, एक समान आकृति है। उदाहरण के लिए, एक नियमित चतुष्फलक का द्वैत एक अन्य नियमित चतुष्फलक है, मूल के माध्यम से प्रतिबिंब।

प्रत्येक बहुभुज (अर्थात्, एक द्वि-आयामी पॉलीहेड्रॉन) स्थलीय रूप से स्व-द्वैत है, क्योंकि इसमें किनारों की संख्या समान है, और ये द्वैत द्वारा स्विच किए जाते हैं। लेकिन यह आवश्यक रूप से स्व-दोहरी नहीं है (उदाहरण के लिए कठोर गति तक)। प्रत्येक बहुभुज में एक नियमित बहुभुज होता है जो ज्यामितीय रूप से अपने चौराहों के बारे में आत्म-द्वैत होता है: सभी कोण सर्वांगसम होते हैं, जैसा कि सभी किनारे होते हैं, इसलिए द्वैत के तहत ये सर्वांगसमताएँ अदला-बदली करती हैं।

इसी तरह, प्रत्येक टोपोलॉजिकल रूप से स्व-दोहरी उत्तल पॉलीहेड्रॉन को समतुल्य ज्यामितीय रूप से स्व-दोहरी पॉलीहेड्रॉन द्वारा महसूस किया जा सकता है, इसके कैनोनिकल पॉलीहेड्रॉन, मिडस्फीयर के केंद्र के बारे में पारस्परिक।

असीम रूप से कई ज्यामितीय स्व-द्वैत पॉलीहेड्रा हैं। सबसे सरल अनंत परिवार 'एन' पक्षों के विहित पिरामिड (ज्यामिति) हैं। एक अन्य अनंत परिवार, लम्बी पिरामिड, में पॉलीहेड्रा होते हैं जिन्हें मोटे तौर पर एक प्रिज्म (ज्यामिति) के शीर्ष पर बैठे पिरामिड के रूप में वर्णित किया जा सकता है (समान संख्या में पक्षों के साथ)। प्रिज्म के नीचे एक छिन्नक (पिरामिड जिसका शीर्ष कटा हुआ है) जोड़ने से एक और अनंत परिवार उत्पन्न होता है, और इसी तरह आगे भी।

कई अन्य उत्तल, स्व-द्वैत पॉलीहेड्रा हैं। उदाहरण के लिए, 7 शीर्षों के साथ 6 भिन्न हैं, और 8 शीर्षों के साथ 16 हैं। 1900 में ब्रुकनर द्वारा हेक्सागोनल चेहरों के साथ एक स्व-दोहरी गैर-उत्तल आईकोसाहेड्रॉन की पहचान की गई थी।  गैर-उत्तल पॉलीहेड्रा और उनके दोहरे की कुछ परिभाषाओं के तहत अन्य गैर-उत्तल स्व-दोहरी पॉलीहेड्रा पाए गए हैं।

दोहरी polytope्स और टेसलेशन
द्वैत को एन-डायमेंशनल स्पेस और 'डुअल पॉलीटोप्स' के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है; द्विविम में इन्हें द्विबहुभुज कहते हैं।

एक पॉलीटॉप के शिखर दूसरे के (n - 1)-विमीय तत्वों, या पहलुओं के अनुरूप होते हैं, और j बिंदु जो a (j - 1)-आयामी तत्व को परिभाषित करते हैं, वे j हाइपरप्लेन के अनुरूप होंगे जो एक ( एन - जे) - आयामी तत्व। एक एन-डायमेंशनल टेसलेशन या हनीकॉम्ब (ज्यामिति) के दोहरे को इसी तरह परिभाषित किया जा सकता है।

सामान्य तौर पर, पॉलीटोप के दोहरे के पहलू पॉलीटॉप के वर्टेक्स आंकड़ों के टोपोलॉजिकल दोहरे होंगे। नियमित पॉलीटॉप और वर्दी पॉलीटॉप पॉलीटोप्स के ध्रुवीय व्युत्क्रम के लिए, दोहरे पहलू मूल के शीर्ष आकृति के ध्रुवीय व्युत्क्रम होंगे। उदाहरण के लिए, चार आयामों में, 600-सेल का शीर्ष आंकड़ा नियमित आईकोसाहेड्रॉन है; 600-कोशिका का द्वैत 120-कोशिका है, जिसके पहलू द्वादशफ़लक हैं, जो कि icosahedron के द्वैत हैं।

स्व-दोहरी पॉलीटोप्स और टेसलेशन्स
स्व-दोहरी पॉलीटॉप्स का प्राथमिक वर्ग मुरजबंध संबंधी श्लाफली प्रतीकों के साथ नियमित पॉलीटोप्स हैं। सभी नियमित बहुभुज, {ए} स्व-द्वैत हैं, फॉर्म के पॉलीहेड्रॉन {ए}, फॉर्म के 4-पॉलीटॉप्स {ए, बी, ए}, फॉर्म के 5-पॉलीटॉप्स {ए, बी, बी, ए }, आदि।

स्व-दोहरी नियमित पॉलीटॉप हैं:

स्व-दोहरी (अनंत) नियमित यूक्लिडियन मधुकोश (ज्यामिति) हैं: स्व-दोहरी (अनंत) नियमित कॉक्सेटर आरेख # हाइपरबोलिक कॉक्सेटर समूह मधुकोश हैं:
 * सभी नियमित बहुभुज, {ए}।
 * नियमित चतुष्फलक: {3,3}
 * सामान्य तौर पर, सभी नियमित सिंप्लेक्स, {3,3,...,3}
 * 4 आयामों में नियमित 24-कोशिका, {3,4,3}।
 * महान 120-सेल {5,5/2,5} और भव्य तारकीय 120-सेल {5/2,5,5/2}
 * एपिरोगोन: {∞}
 * स्क्वायर टाइलिंग: {4,4}
 * क्यूबिक मधुकोश: {4,3,4}
 * सामान्य तौर पर, सभी नियमित एन-डायमेंशनल यूक्लिडियन हाइपरक्यूबिक मधुकोश: {4,3,...,3,4}।
 * कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक टाइलिंग: ऑर्डर-5 पंचकोणीय टाइलिंग|{5,5}, ऑर्डर-6 हेक्सागोनल टाइलिंग|{6,6}, ... {पी,पी}।
 * पैराकॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक टाइलिंग: अनंत-क्रम एपिरोगोनल टाइलिंग|{∞,∞}
 * कॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक मधुकोश: इकोसाहेड्रल हनीकॉम्ब|{3,5,3}, ऑर्डर-5 डोडेकाहेड्रल हनीकॉम्ब|{5,3,5}, और ऑर्डर-5 120-सेल हनीकॉम्ब|{5,3,3,5}
 * पैराकॉम्पैक्ट हाइपरबोलिक हनीकॉम्ब: त्रिकोणीय टाइलिंग हनीकॉम्ब|{3,6,3}, ऑर्डर-6 हेक्सागोनल टाइलिंग हनीकॉम्ब|{6,3,6}, ऑर्डर-4 स्क्वायर टाइलिंग हनीकॉम्ब|{4,4,4}, और {3 ,3,4,3,3}

यह भी देखें

 * कॉनवे पॉलीहेड्रॉन नोटेशन
 * दोहरी बहुभुज
 * स्व-दोहरी ग्राफ
 * स्व-दोहरी बहुभुज

इस पेज में लापता आंतरिक लिंक की सूची

 * घनक्षेत्र
 * चेहरा (ज्यामिति)
 * सार पॉलीटॉप
 * समरूपता का केंद्र
 * मध्य क्षेत्र
 * दोहरी यौगिक
 * उत्पत्ति के माध्यम से प्रतिबिंब
 * मधुकोश (ज्यामिति)
 * 120-सेल
 * दोहरी बहुभुज
 * घन मधुकोश
 * अनंतता
 * ग्रैंड स्टेलेटेड 120-सेल