एकवचन समरूपता

बीजगणितीय टोपोलॉजी में, एकवचन होमोलॉजी एक टोपोलॉजिकल स्पेस 'एक्स' के बीजगणितीय इनवेरिएंट के एक निश्चित सेट के अध्ययन को संदर्भित करता है, तथाकथित होमोलॉजी समूह $$H_n(X).$$ सहज रूप से, एकवचन गृहविज्ञान मायने रखता है, प्रत्येक आयाम n के लिए, अंतरिक्ष के n-आयामी छिद्र। एकवचन समरूपता एक समरूपता सिद्धांत का एक विशेष उदाहरण है, जो अब सिद्धांतों का एक व्यापक संग्रह बन गया है। विभिन्न सिद्धांतों में से, यह समझने के लिए शायद सबसे सरल सिद्धांतों में से एक है, काफी ठोस निर्माणों पर बनाया जा रहा है (संबंधित सिद्धांत सरल होमोलॉजी भी देखें)।

संक्षेप में, सिंगुलर होमोलॉजी का निर्माण सिम्प्लेक्स | स्टैंडर्ड एन-सिम्प्लेक्स के मानचित्रों टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी में ले जाकर किया जाता है, और उन्हें फ्री एबेलियन ग्रुप # इंटेगर फ़ंक्शंस और फॉर्मल सम्स में कंपोज़ किया जाता है, जिसे 'सिंगुलर चेन' कहा जाता है। बाउंड्री ऑपरेशन - प्रत्येक n-डायमेंशनल सिम्प्लेक्स को उसके (n-1) -डायमेंशनल सीमा संचालक  से मैप करना - सिंगुलर चेन कॉम्प्लेक्स को प्रेरित करता है। एकवचन समरूपता तब श्रृंखला परिसर की समरूपता (गणित) है। परिणामी होमोलॉजी समूह सभी होमोटॉपी # होमोटोपी समतुल्यता और अशक्त-होमोटॉपी रिक्त स्थान के लिए समान हैं, जो उनके अध्ययन का कारण है। इन निर्माणों को सभी टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान पर लागू किया जा सकता है, और इसलिए एकवचन होमोलॉजी को टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी से ग्रेडेड एबेलियन समूहों की श्रेणी के रूप में अभिव्यक्त किया जा सकता है।

एकल सरल
एक टोपोलॉजिकल स्पेस में एक सिंगुलर एन-सिम्प्लेक्स | सिंगुलर एन-सिम्प्लेक्स एक निरंतर कार्य है (जिसे मानचित्र भी कहा जाता है) $$\sigma$$ मानक संकेतन से $$\Delta^n$$ एक्स के लिए, लिखा $$\sigma:\Delta^n\to X.$$ इस मानचित्र को इंजेक्शन की आवश्यकता नहीं है, और एक्स में समान छवि के साथ गैर-समकक्ष एकवचन सरल हो सकते हैं।

की सीमा $$\sigma,$$ इस रूप में घोषित किया गया $$\partial_n\sigma,$$ एकवचन (n − 1) के औपचारिक योग के रूप में परिभाषित किया गया है - के प्रतिबंध द्वारा दर्शाए गए सरलीकरण $$\sigma$$ मानक एन-सिम्प्लेक्स के चेहरों पर, उन्मुखीकरण को ध्यान में रखने के लिए एक वैकल्पिक संकेत के साथ। (औपचारिक राशि सरलता पर मुक्त एबेलियन समूह का एक तत्व है। समूह के लिए आधार सभी संभावित एकवचन सरलताओं का अनंत सेट है। समूह ऑपरेशन अतिरिक्त है और सिम्प्लेक्स बी के साथ सिम्प्लेक्स ए का योग आमतौर पर बस नामित किया जाता है। + बी, लेकिन ए + ए = 2 ए और इसी तरह। प्रत्येक सिंप्लेक्स ए में नकारात्मक -ए है।) इस प्रकार, यदि हम नामित $$\sigma$$ इसके शिखर द्वारा


 * $$[p_0,p_1,\ldots,p_n]=[\sigma(e_0),\sigma(e_1),\ldots,\sigma(e_n)]$$

शिखरों के अनुरूप $$e_k$$ मानक एन-सिम्प्लेक्स का $$\Delta^n$$ (जो निश्चित रूप से निर्मित एकवचन सिंप्लेक्स को पूरी तरह से निर्दिष्ट नहीं करता है $$\sigma$$), तब


 * $$\partial_n\sigma=\partial_n[p_0,p_1,\ldots,p_n]=\sum_{k=0}^n(-1)^k [p_0,\ldots,p_{k-1},p_{k+1},\ldots ,p_n] = \sum_{k=0}^n (-1)^k \sigma\mid _{e_0,\ldots,e_{k-1},e_{k+1},\ldots ,e_n}$$

एक विशिष्ट तरीके से निर्दिष्ट सिम्पलेक्स छवि के चेहरों का एक औपचारिक योग है। (अर्थात, किसी विशेष चेहरे का प्रतिबंध होना चाहिए $$\sigma$$ के एक चेहरे के लिए $$\Delta^n$$ जो उस क्रम पर निर्भर करता है जिसके शीर्ष सूचीबद्ध हैं।) इस प्रकार, उदाहरण के लिए, की सीमा $$\sigma=[p_0,p_1]$$ (एक वक्र से जा रहा है $$p_0$$ को $$p_1$$) औपचारिक योग (या औपचारिक अंतर) है $$[p_1] - [p_0]$$.

एकवचन श्रृंखला परिसर
सरलता के औपचारिक योगों को परिभाषित करके एकवचन होमोलॉजी का सामान्य निर्माण आगे बढ़ता है, जिसे एक मुक्त एबेलियन समूह के तत्वों के रूप में समझा जा सकता है, और फिर दिखा रहा है कि हम एक निश्चित समूह को परिभाषित कर सकते हैं, टोपोलॉजिकल स्पेस का होमोलॉजी समूह, जिसमें सीमा संचालक शामिल है।.

पहले सभी संभव एकवचन n-सरलताओं के समुच्चय पर विचार करें $$\sigma_n(X)$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस एक्स पर। इस सेट का उपयोग एक मुक्त एबेलियन समूह के आधार के रूप में किया जा सकता है, ताकि प्रत्येक एकवचन एन-सिम्प्लेक्स समूह का जनरेटर हो। जनरेटर का यह सेट निश्चित रूप से अनंत है, अक्सर बेशुमार होता है, क्योंकि एक विशिष्ट टोपोलॉजिकल स्पेस में एक सिम्प्लेक्स को मैप करने के कई तरीके हैं। इस आधार से उत्पन्न मुक्त आबेली समूह को सामान्य रूप से निरूपित किया जाता है $$C_n(X)$$. घटक $$C_n(X)$$ एकवचन एन-चेन कहलाते हैं; वे पूर्णांक गुणांक वाले एकवचन सरलीकरण के औपचारिक योग हैं।

सीमा संचालक $$\partial$$ एकवचन एन-चेन पर कार्य करने के लिए आसानी से बढ़ाया जाता है। विस्तार, जिसे सीमा संचालक कहा जाता है, के रूप में लिखा गया है


 * $$\partial_n:C_n\to C_{n-1},$$

समूहों का एक समरूपता है। सीमा संचालक, साथ में $$C_n$$, एबेलियन समूहों का एक श्रृंखला परिसर बनाते हैं, जिसे एकवचन परिसर कहा जाता है। इसे अक्सर के रूप में दर्शाया जाता है $$(C_\bullet(X),\partial_\bullet)$$ या अधिक सरलता से $$C_\bullet(X)$$.

सीमा संचालक का कर्नेल है $$Z_n(X)=\ker (\partial_{n})$$, और एकवचन n-चक्रों का समूह कहलाता है। सीमा संचालक की छवि है $$B_n(X)=\operatorname{im} (\partial_{n+1})$$, और एकवचन n-सीमाओं का समूह कहलाता है।

यह भी दिखाया जा सकता है $$\partial_n\circ \partial_{n+1}=0$$, मतलब $$B_n(X) \subseteq Z_n(X)$$. $$n$$वें>-वें समरूपता समूह $$X$$ फिर कारक समूह के रूप में परिभाषित किया गया है


 * $$H_{n}(X) = Z_n(X) / B_n(X).$$

के तत्व $$H_n(X)$$ समरूपता वर्ग कहलाते हैं।

होमोटॉपी इनवेरियन
यदि X और Y एक ही होमोटॉपी प्रकार के साथ दो टोपोलॉजिकल स्पेस हैं (अर्थात होमोटॉपी समतुल्य हैं), तो


 * $$H_n(X) \cong H_n(Y)\,$$

सभी n ≥ 0 के लिए। इसका मतलब है कि होमोलॉजी समूह होमोटॉपी इनवेरिएंट हैं, और इसलिए टोपोलॉजिकल इनवेरिएंट हैं।

विशेष रूप से, यदि X एक जुड़ा हुआ अनुबंधित स्थान है, तो इसके सभी होमोलॉजी समूह 0 हैं, सिवाय $$H_0(X) \cong \mathbb{Z}$$.

एकवचन होमोलॉजी समूहों के होमोटॉपी इनवेरियन के लिए एक प्रमाण को निम्नानुसार स्केच किया जा सकता है। एक सतत नक्शा f: X → Y एक समरूपता को प्रेरित करता है


 * $$f_{\sharp} : C_n(X) \rightarrow C_n(Y).$$

इसे तुरंत सत्यापित किया जा सकता है


 * $$\partial f_{\sharp} = f_{\sharp} \partial,$$

यानी एफ# एक चेन कॉम्प्लेक्स # चेन मैप्स है, जो होमोलॉजी पर होमोमोर्फिज्म तक उतरता है


 * $$f_* : H_n(X) \rightarrow H_n(Y).$$

अब हम दिखाते हैं कि यदि f और g समस्थानिक रूप से समतुल्य हैं, तो f* = जी*. इससे यह पता चलता है कि यदि f एक होमोटॉपी तुल्यता है, तो f* एक समरूपता है।

मान लीजिए F : X × [0, 1] → Y एक समरूपता है जो f को g में ले जाती है। जंजीरों के स्तर पर, समाकारिता को परिभाषित कीजिए


 * $$P : C_n(X) \rightarrow C_{n+1}(Y)$$

वह, ज्यामितीय रूप से बोलते हुए, आधार तत्व σ: Δ लेता हैn → C का Xn(एक्स) प्रिज्म पी (σ) के लिए: Δn × I → Y. P(σ) की सीमा को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है


 * $$\partial P(\sigma) = f_{\sharp}(\sigma) - g_{\sharp}(\sigma) - P(\partial \sigma).$$

तो अगर α सी मेंn(एक्स) एक एन-चक्र है, फिर एफ#(α) और जी#(α) एक सीमा से भिन्न होता है:


 * $$ f_{\sharp} (\alpha) - g_{\sharp}(\alpha) = \partial P(\alpha),$$

यानी वे समरूप हैं। यह दावा साबित करता है।

कॉमन स्पेस के होमोलॉजी समूह
नीचे दी गई तालिका k-वें समरूपता समूहों को दर्शाती है $$H_k(X)$$ एन-डायमेंशनल रियल प्रोजेक्टिव स्पेस आरपीn, जटिल प्रक्षेप्य स्थान, 'CP'n, एक बिंदु, गोले Sएन($$n\ge 1$$), और एक 3-टोरस टी3 पूर्णांक गुणांकों के साथ।

कार्यात्मकता
उपरोक्त निर्माण को किसी भी सामयिक स्थान के लिए परिभाषित किया जा सकता है, और निरंतर मानचित्रों की क्रिया द्वारा संरक्षित किया जाता है। इस व्यापकता का तात्पर्य है कि एकवचन समरूपता सिद्धांत को श्रेणी सिद्धांत की भाषा में पुनर्गठित किया जा सकता है। विशेष रूप से, समरूपता समूह को टोपोलॉजिकल रिक्त स्थान की श्रेणी से एबेलियन समूह एब की श्रेणी के लिए एक मज़ेदार समझा जा सकता है।

पहले उस पर विचार करें $$X\mapsto C_n(X)$$ टोपोलॉजिकल स्पेस से मुक्त एबेलियन समूहों का एक नक्शा है। इससे पता चलता है $$C_n(X)$$ एक functor के रूप में लिया जा सकता है, बशर्ते कोई शीर्ष के morphisms पर अपनी कार्रवाई को समझ सके। अब, शीर्ष के morphisms निरंतर कार्य हैं, इसलिए यदि $$f:X\to Y$$ टोपोलॉजिकल स्पेस का एक सतत नक्शा है, इसे समूहों के समरूपता तक बढ़ाया जा सकता है


 * $$f_*:C_n(X)\to C_n(Y)\,$$

परिभाषित करके


 * $$f_*\left(\sum_i a_i\sigma_i\right)=\sum_i a_i (f\circ \sigma_i)$$

कहाँ $$\sigma_i:\Delta^n\to X$$ एक विलक्षण सिंप्लेक्स है, और $$\sum_i a_i\sigma_i\,$$ एक विलक्षण एन-श्रृंखला है, जो कि एक तत्व है $$C_n(X)$$. इससे पता चलता है कि $$C_n$$ यह एक कार्यकर्ता है


 * $$C_n:\mathbf{Top} \to \mathbf{Ab}$$

टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी से एबेलियन समूहों की श्रेणी तक।

सीमा संचालक निरंतर मानचित्रों के साथ आवागमन करता है, ताकि $$\partial_n f_*=f_*\partial_n$$. यह संपूर्ण श्रृंखला परिसर को एक मज़ेदार के रूप में माना जाने की अनुमति देता है। विशेष रूप से, यह दर्शाता है कि map $$X\mapsto H_n (X)$$ यह एक कार्यकर्ता है


 * $$H_n:\mathbf{Top}\to\mathbf{Ab}$$

टोपोलॉजिकल स्पेस की श्रेणी से एबेलियन समूहों की श्रेणी तक। होमोटॉपी स्वयंसिद्ध द्वारा, किसी के पास वह है $$H_n$$ एक फ़ंक्टर भी है, जिसे होमोलॉजी फ़ंक्टर कहा जाता है, hTop पर अभिनय करता है, भागफल होमोटोपी श्रेणी:


 * $$H_n:\mathbf{hTop}\to\mathbf{Ab}.$$

यह एकवचन समरूपता को अन्य समरूपता सिद्धांतों से अलग करता है, जिसमें $$H_n$$ अभी भी एक मज़ेदार है, लेकिन यह आवश्यक नहीं है कि सभी शीर्ष पर परिभाषित किया गया हो। कुछ अर्थों में, एकवचन होमोलॉजी सबसे बड़ा होमोलॉजी सिद्धांत है, जिसमें शीर्ष के एक उपश्रेणी पर हर होमोलॉजी सिद्धांत उस उपश्रेणी पर एकवचन होमोलॉजी से सहमत है। दूसरी ओर, एकवचन समरूपता में सबसे साफ श्रेणीबद्ध गुण नहीं होते हैं; इस तरह की सफाई अन्य होमोलॉजी सिद्धांतों जैसे सेलुलर समरूपता के विकास को प्रेरित करती है।

अधिक आम तौर पर, होमोलॉजी फ़ंक्टर को स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित किया जाता है, एक एबेलियन श्रेणी पर फ़ंक्टर के रूप में, या, वैकल्पिक रूप से, श्रृंखला परिसरों पर एक फ़ंक्टर के रूप में, संतोषजनक स्वयंसिद्धों के लिए एक सीमा आकारिकी की आवश्यकता होती है जो छोटे सटीक अनुक्रमों को लंबे सटीक अनुक्रमों में बदल देती है। एकवचन समरूपता के मामले में, समरूपता फ़ैक्टर को दो टुकड़ों में विभाजित किया जा सकता है, एक सांस्थितिक टुकड़ा और एक बीजगणितीय टुकड़ा। टोपोलॉजिकल टुकड़ा द्वारा दिया गया है


 * $$C_\bullet:\mathbf{Top}\to\mathbf{Comp}$$

जो टोपोलॉजिकल स्पेस को मैप करता है $$X\mapsto (C_\bullet(X),\partial_\bullet)$$ और निरंतर कार्य करता है $$f\mapsto f_*$$. यहाँ तो, $$C_\bullet$$ सिंगुलर चेन फ़ंक्टर समझा जाता है, जो टोपोलॉजिकल स्पेस को चेन कॉम्प्लेक्स कॉम्प (या कॉम) की श्रेणी में मैप करता है। श्रृंखला परिसरों की श्रेणी में इसकी वस्तु (श्रेणी सिद्धांत) के रूप में श्रृंखला परिसर हैं, और श्रृंखला मानचित्र इसके आकारिकी के रूप में हैं।

दूसरा, बीजगणितीय भाग होमोलॉजी फ़ंक्टर है


 * $$H_n:\mathbf{Comp}\to\mathbf{Ab}$$

कौन सा मानचित्र


 * $$C_\bullet\mapsto H_n(C_\bullet)=Z_n(C_\bullet)/B_n(C_\bullet)$$

और श्रृंखला मानचित्रों को एबेलियन समूहों के मानचित्रों तक ले जाता है। यह होमोलॉजी फ़ंक्टर है जिसे स्वयंसिद्ध रूप से परिभाषित किया जा सकता है, ताकि यह श्रृंखला परिसरों की श्रेणी पर एक फ़ैक्टर के रूप में स्वयं खड़ा हो।

होमोटॉपी मैप्स समरूप रूप से समतुल्य चेन मैप्स को परिभाषित करके चित्र में फिर से प्रवेश करते हैं। इस प्रकार, कोई भागफल श्रेणी hComp या K को परिभाषित कर सकता है, श्रृंखला परिसरों की होमोटोपी श्रेणी।

आर
में गुणांक किसी भी यूनिटल रिंग (गणित) आर को देखते हुए, एक टोपोलॉजिकल स्पेस पर एकवचन एन-सिम्पलिस के सेट को फ्री मॉड्यूल के जनरेटर के रूप में लिया जा सकता है। फ्री आर-मॉड्यूल। अर्थात्, उपरोक्त निर्माणों को मुक्त एबेलियन समूहों के शुरुआती बिंदु से करने के बजाय, उनके स्थान पर मुफ्त आर-मॉड्यूल का उपयोग करता है। सभी निर्माण बहुत कम या बिना किसी बदलाव के होते हैं। इसका परिणाम है


 * $$H_n(X; R)\ $$

जो अब एक मॉड्यूल (गणित) है | आर-मॉड्यूल। बेशक, यह आमतौर पर एक मुफ्त मॉड्यूल नहीं है। सामान्य होमोलॉजी समूह को ध्यान में रखते हुए पुनः प्राप्त किया जाता है


 * $$H_n(X;\mathbb{Z})=H_n(X)$$

जब कोई अंगूठी को पूर्णांकों का वलय मानता है। संकेतन एचn(एक्स; आर) को लगभग समान अंकन एच के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिएn(एक्स, ए), जो रिश्तेदार होमोलॉजी (नीचे) को दर्शाता है।

सार्वभौमिक गुणांक प्रमेय लघु सटीक अनुक्रम का उपयोग करते हुए सामान्य पूर्णांक गुणांक वाले समरूपता के संदर्भ में R गुणांकों के साथ समरूपता की गणना करने के लिए एक तंत्र प्रदान करता है।


 * $$0\to H_n(X; \mathbb{Z}) \otimes R \to H_n(X; R) \to Tor(H_{n-1}(X; \mathbb{Z}), R) \to 0.$$

जहाँ Tor, Tor functor है। ध्यान दें, यदि R मरोड़-मुक्त है, तो किसी भी G के लिए Tor(G, R) = 0 है, इसलिए उपरोक्त लघु सटीक अनुक्रम एक समरूपता के बीच कम हो जाता है $$H_n(X; \mathbb{Z}) \otimes R$$ और $$H_n(X; R).$$

रिलेटिव होमोलॉजी
उपक्षेत्र के लिए $$A\subset X$$, रिश्तेदार होमोलॉजी एचn(एक्स, ए) को श्रृंखला परिसरों के भागफल के समरूपता के रूप में समझा जाता है, अर्थात


 * $$H_n(X,A)=H_n(C_\bullet(X)/C_\bullet(A))$$

जहां शृंखला संकुलों का भागफल लघु सटीक अनुक्रम द्वारा दिया जाता है


 * $$0\to C_\bullet(A) \to C_\bullet(X) \to C_\bullet(X)/C_\bullet(A) \to 0.$$

कम समरूपता
स्पेस एक्स की घटी हुई होमोलॉजी, के रूप में एनोटेट की गई $$ \tilde{H}_n(X)$$ सामान्य समरूपता के लिए एक मामूली संशोधन है जो कुछ रिश्तों की अभिव्यक्ति को सरल करता है और इस बात को पूरा करता है कि एक बिंदु के सभी समरूपता समूह शून्य होने चाहिए।

चेन कॉम्प्लेक्स पर परिभाषित सामान्य समरूपता के लिए:
 * $$\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n

\overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1} \overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,} \dotsb \overset{\partial_2}{\longrightarrow\,} C_1 \overset{\partial_1}{\longrightarrow\,} C_0\overset{\partial_0}{\longrightarrow\,} 0$$ घटी हुई समरूपता को परिभाषित करने के लिए, हम श्रृंखला परिसर को एक अतिरिक्त के साथ बढ़ाते हैं $$\mathbb{Z}$$ बीच में $$C_0$$ और शून्य:

$$\dotsb\overset{\partial_{n+1}}{\longrightarrow\,}C_n \overset{\partial_n}{\longrightarrow\,}C_{n-1} \overset{\partial_{n-1}}{\longrightarrow\,} \dotsb \overset{\partial_2}{\longrightarrow\,} C_1 \overset{\partial_1}{\longrightarrow\,} C_0\overset{\epsilon}{\longrightarrow\,} \mathbb{Z} \to 0 $$ कहाँ $$\epsilon \left( \sum_i n_i \sigma_i \right) = \sum_i n_i $$. खाली सेट को (-1)-simplex के रूप में व्याख्या करके इसे उचित ठहराया जा सकता है, जिसका अर्थ है $$C_{-1} \simeq \Z$$.

घटे हुए समरूपता समूहों को अब परिभाषित किया गया है $$ \tilde{H}_n(X) = \ker(\partial_n) / \mathrm{im}(\partial_{n+1})$$ सकारात्मक n और के लिए $$\tilde{H}_0(X) = \ker(\epsilon) / \mathrm{im}(\partial_1)$$. एन > 0 के लिए, $$ H_n(X) = \tilde{H}_n(X) $$, जबकि n = 0 के लिए, $$ H_0(X) = \tilde{H}_0(X) \oplus \mathbb{Z}. $$

कोहोलॉजी
होमोलॉजी चेन कॉम्प्लेक्स को दोहराकर (अर्थात फ़ंक्टर होम (-, आर), आर को कोई भी रिंग लागू करते हुए) हम कोबाउंड्री मैप के साथ एक कोचेन कॉम्प्लेक्स प्राप्त करते हैं $$\delta$$. X के कोहोलॉजी समूहों को इस कॉम्प्लेक्स के होमोलॉजी समूहों के रूप में परिभाषित किया गया है; एक चुटकी में, कोहोलॉजी सह [द्वैत परिसर] की समरूपता है।

कोहोमोलॉजी समूहों में होमोलॉजी समूहों की तुलना में अधिक समृद्ध, या कम से कम अधिक परिचित, बीजगणितीय संरचना होती है। सबसे पहले, वे निम्नानुसार एक अवकलन ग्रेडेड बीजगणित बनाते हैं: अतिरिक्त कोहोलॉजी ऑपरेशन हैं, और कोहोलॉजी बीजगणित में अतिरिक्त संरचना मॉड पी है (पहले की तरह, मॉड पी कोहोलॉजी मॉड पी कोचेन कॉम्प्लेक्स का कोहोलॉजी है, न कि मॉड  पी कोहोलॉजी की कमी), विशेष रूप से स्टीनरोड बीजगणित संरचना।
 * समूहों का श्रेणीबद्ध समूह एक श्रेणीबद्ध आर-मॉड्यूल (गणित) बनाता है;
 * इसे कप उत्पाद का उपयोग करके एक श्रेणीबद्ध आर-बीजगणित (अंगूठी सिद्धांत) की संरचना दी जा सकती है;
 * बॉकस्टीन समरूपता β एक अंतर देता है।

बेट्टी होमोलॉजी और कोहोलॉजी
चूंकि समरूपता सिद्धांतों की संख्या बड़ी हो गई है (देखें: श्रेणी: समरूपता सिद्धांत), 'बेट्टी समरूपता' और 'बेटी कोहोलॉजी' शब्द कभी-कभी एकवचन सिद्धांत पर लागू होते हैं (विशेष रूप से बीजगणितीय ज्यामिति पर लिखने वाले लेखकों द्वारा), सरल परिसरों और बंद मैनिफोल्ड्स जैसे सबसे परिचित स्थानों की बेट्टी संख्या को जन्म देने के रूप में।

असाधारण होमोलॉजी
यदि कोई होमोलॉजी सिद्धांत को स्वैच्छिक रूप से परिभाषित करता है (एलेनबर्ग-स्टीनरोड एक्सिओम्स के माध्यम से), और फिर एक्सिओम्स (आयाम स्वयंसिद्ध) में से एक को आराम देता है, तो एक सामान्यीकृत सिद्धांत प्राप्त होता है, जिसे असाधारण होमोलॉजी सिद्धांत कहा जाता है। ये मूल रूप से असाधारण कोहोलॉजी सिद्धांतों के रूप में उत्पन्न हुए, अर्थात् के-सिद्धांत और कोबर्डिज्म सिद्धांत। इस संदर्भ में, एकवचन समरूपता को 'साधारण समरूपता' कहा जाता है।

यह भी देखें

 * व्युत्पन्न श्रेणी
 * छांटना प्रमेय
 * ह्यूरेविक्ज़ प्रमेय
 * सरल होमोलॉजी
 * सेलुलर समरूपता

संदर्भ

 * Allen Hatcher, Algebraic topology. Cambridge University Press, ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0
 * J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, Chicago University Press ISBN 0-226-51183-9
 * Joseph J. Rotman, An Introduction to Algebraic Topology, Springer-Verlag, ISBN 0-387-96678-1