यूलर ईंट

गणित में, एक यूलर ईंट, जिसका नाम लियोनहार्ड यूलर के नाम पर रखा गया है, एक आयताकार घनाभ है जिसके किनारे (ज्यामिति) और फलक विकर्ण सभी पूर्णांक लंबाई के होते हैं। एक आदिम यूलर ईंट एक यूलर ईंट होती है जिसके किनारे की लंबाई अपेक्षाकृत प्रमुख होती है। एक आदर्श यूलर ईंट वह है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी एक पूर्णांक है लेकिन ऐसी ईंट अभी तक नहीं मिली है।

परिभाषा
जियोमेट्रिक शर्तों में यूलर ईंट की परिभाषा डायोफैंटिन समीकरणों की निम्नलिखित प्रणाली के समाधान के बराबर है:
 * $$\begin{cases} a^2 + b^2 = d^2\\ a^2 + c^2 = e^2\\ b^2 + c^2 = f^2\end{cases}$$

कहाँ $a, b, c$ किनारे हैं और $d, e, f$ विकर्ण हैं।

गुण

 * अगर $a, b, c$ तब एक समाधान है $d, e, f$ भी किसी के लिए एक समाधान है $(a, b, c)$. नतीजतन, परिमेय संख्याओं में समाधान पूर्णांक समाधानों के सभी पुनर्विक्रय हैं। किनारे-लंबाई वाली एक यूलर ईंट दी गई है $(ka, kb, kc)$, ट्रिपल $k$ एक यूलर ईंट भी बनाता है।


 * एक आदिम यूलर ईंट का ठीक एक किनारा और दो फलक विकर्ण विषम होते हैं।


 * एक यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 3 से विभाज्य होते हैं।


 * एक यूलर ईंट के कम से कम दो किनारे 4 से विभाज्य होते हैं।


 * यूलर ईंट का कम से कम एक किनारा 11 से विभाज्य है।

उदाहरण
1719 में पॉल हल्के द्वारा खोजी गई सबसे छोटी यूलर ईंट में किनारे हैं $(a, b, c)$ और विकर्णों का सामना करें $(bc, ac, ab)$. किनारों के रूप में दिए गए कुछ अन्य छोटे आदिम समाधान $(a, b, c) = (44, 117, 240)$ - विकर्णों का सामना करें $(d, e, f ) = (125, 244, 267)$, नीचे हैं: :{| style="border-collapse:collapse;text-align:right;white-space:nowrap;"
 * (|| 85,|| 132,|| 720||) — (|| 157,|| 725,|| 732||)
 * (||140,|| 480,|| 693||) — (|| 500,|| 707,|| 843||)
 * (||160,|| 231,|| 792||) — (|| 281,|| 808,|| 825||)
 * (||187,||1020,||1584||) — (||1037,||1595,||1884||)
 * (||195,|| 748,||6336||) — (|| 773,||6339,||6380||)
 * (||240,|| 252,|| 275||) — (|| 348,|| 365,|| 373||)
 * (||429,|| 880,||2340||) — (|| 979,||2379,||2500||)
 * (||495,||4888,||8160||) — (||4913,||8175,||9512||)
 * (||528,||5796,||6325||) — (||5820,||6347,||8579||)
 * }
 * (||240,|| 252,|| 275||) — (|| 348,|| 365,|| 373||)
 * (||429,|| 880,||2340||) — (|| 979,||2379,||2500||)
 * (||495,||4888,||8160||) — (||4913,||8175,||9512||)
 * (||528,||5796,||6325||) — (||5820,||6347,||8579||)
 * }
 * (||528,||5796,||6325||) — (||5820,||6347,||8579||)
 * }
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सूत्र बनाना
यूलर ने समस्या के कम से कम दो पैरामीट्रिक समाधान खोजे, लेकिन दोनों में से कोई भी सभी समाधान नहीं देता। निकोलस सौंडरसन के साथ अनंत यूलर ईंटें उत्पन्न की जा सकती हैं पैरामीट्रिक सूत्र। होने देना $(a, b, c)$ एक पायथागॉरियन ट्रिपल बनें (यानी, $(d, e, f)$।) तब किनारे


 * $$ a=u|4v^2-w^2| ,\quad b=v|4u^2-w^2|, \quad c=4uvw $$

चेहरा विकर्ण दें


 * $$d=w^3, \quad e=u(4v^2+w^2), \quad f=v(4u^2+w^2).$$

कई यूलर ईंटें हैं जो ऊपर की तरह पैरामीट्रिज्ड नहीं हैं, उदाहरण के लिए किनारों वाली यूलर ईंट $(u, v, w)$ और विकर्णों का सामना करें $u2 + v2 = w2$.

पूर्ण घनाभ
एक पूर्ण घनाभ (जिसे एक पूर्ण यूलर ईंट या संपूर्ण बॉक्स भी कहा जाता है) एक यूलर ईंट है जिसका अंतरिक्ष विकर्ण भी पूर्णांक लंबाई का होता है। दूसरे शब्दों में, यूलर ईंट को परिभाषित करने वाले डायोफैंटाइन समीकरणों की प्रणाली में निम्नलिखित समीकरण जोड़ा गया है:


 * $$a^2 + b^2 + c^2 = g^2,$$

कहाँ $(a, b, c) = (240, 252, 275)$ अंतरिक्ष विकर्ण है।, एक पूर्ण घनाभ का कोई उदाहरण नहीं मिला था और किसी ने भी यह सिद्ध नहीं किया है कि कोई भी अस्तित्व में नहीं है। संपूर्ण कंप्यूटर खोजों से पता चलता है कि, यदि एक पूर्ण घनाभ मौजूद है, मॉड्यूलर अंकगणित के आधार पर, गुणों के बारे में कुछ तथ्यों को जाना जाता है, जो एक आदिम पूर्ण घनाभ से संतुष्ट होना चाहिए, यदि कोई मौजूद है:
 * विषम किनारा 2.5 × 10 से अधिक होना चाहिए13,
 * सबसे छोटा किनारा इससे बड़ा होना चाहिए $500,000,000,000$. * अंतरिक्ष का विकर्ण 9 × 10 से अधिक होना चाहिए15.
 * एक किनारा, दो फलक विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण विषम होना चाहिए, एक किनारा और शेष फलक विकर्ण 4 से विभाज्य होना चाहिए, और शेष किनारा 16 से विभाज्य होना चाहिए।
 * दो किनारों की लंबाई 3 से विभाज्य होनी चाहिए और उनमें से कम से कम एक किनारे की लंबाई 9 से विभाज्य होनी चाहिए।
 * एक किनारे की लंबाई 5 से विभाज्य होनी चाहिए।
 * एक किनारे की लंबाई 7 से विभाज्य होनी चाहिए।
 * एक किनारे की लंबाई 11 से विभाज्य होनी चाहिए।
 * एक किनारे की लंबाई 19 से विभाज्य होनी चाहिए।
 * एक किनारे या अंतरिक्ष का विकर्ण 13 से विभाज्य होना चाहिए।
 * एक किनारा, चेहरा विकर्ण या अंतरिक्ष विकर्ण 17 से विभाज्य होना चाहिए।
 * एक किनारा, चेहरा विकर्ण या अंतरिक्ष विकर्ण 29 से विभाज्य होना चाहिए।
 * एक किनारा, चेहरा विकर्ण या अंतरिक्ष विकर्ण 37 से विभाज्य होना चाहिए।

इसके साथ ही:

यदि एक पूर्ण घनाभ मौजूद है और $$a, b, c$$ उसके किनारे हैं, $$d, e, f$$ - संबंधित चेहरा विकर्ण और अंतरिक्ष विकर्ण $$g$$, तब
 * अंतरिक्ष का विकर्ण न तो प्रधान शक्ति है और न ही अर्धप्राइम।
 * अंतरिक्ष विकर्ण में केवल अभाज्य विभाजक ≡ 1(mod 4) हो सकते हैं।
 * भुजाओं की लंबाई वाला त्रिभुज $$(d^2, e^2, f^2)$$ एक हेरोनियन त्रिभुज एक क्षेत्र है $$abcg$$ तर्कसंगत कोण द्विभाजक के साथ।
 * पक्ष की लंबाई के साथ तीव्र त्रिभुज $$(af, be, cd)$$, भुजाओं की लंबाई के साथ अधिक त्रिभुज $$(bf, ae, gd), (ad, cf, ge), (ce, bd, gf)$$ हेरोनियन त्रिभुज हैं, जिनका क्षेत्रफल बराबर है $$\frac{abcg}{2}$$.

घनाभ अनुमान
तीन घनाभ अनुमान तीन गणित प्रस्ताव हैं जो कई पूर्णांक मापदंडों के आधार पर पूर्णांक गुणांक वाले तीन अविभाज्य बहुपदों के अलघुकरणीय बहुपद का दावा करते हैं। अनुमान #परफेक्ट क्यूबॉइड समस्या से संबंधित हैं। हालांकि वे पूर्ण घनाभ समस्या के समतुल्य नहीं हैं, यदि ये तीनों अनुमान मान्य हैं, तो कोई भी पूर्ण घनाभ मौजूद नहीं है। वे न तो सिद्ध होते हैं और न ही असिद्ध।

घनाभ अनुमान 1. ''किसी भी दो धनात्मक सहअभाज्य पूर्णांक संख्याओं के लिए $$a \neq u$$ आठवीं डिग्री बहुपद

पूर्णांकों के वलय (गणित) पर अप्रासंगिक है $$\mathbb Z$$.

'घनाभ अनुमान 2.' किन्हीं दो धनात्मक सह अभाज्य पूर्णांक संख्याओं के लिए $$p \neq q$$ दसवीं डिग्री बहुपद

पूर्णांकों के वलय पर अलघुकरणीय है $$\mathbb Z$$.

'घनाभ अनुमान 3.' किन्हीं तीन धनात्मक सह अभाज्य पूर्णांक संख्याओं के लिए $$a$$, $$b$$, $$u$$ जैसे कि कोई शर्त नहीं

बारहवीं डिग्री बहुपद पूरा हो गया है

पूर्णांकों के वलय पर अलघुकरणीय है $$\mathbb Z$$.

लगभग-परिपूर्ण घनाभ
लगभग पूर्ण घनाभ की 7 में से 6 लम्बाई परिमेय है। इस तरह के घनाभों को तीन प्रकारों में बांटा जा सकता है, जिन्हें शरीर, किनारा और चेहरा घनाभ कहा जाता है। शरीर घनाभ के मामले में, शरीर (अंतरिक्ष) विकर्ण $(d, e, f ) = (348, 365, 373)$ तर्कहीन है। किनारे के घनाभ के लिए, किनारों में से एक $g$ तर्कहीन है। फलक घनाभ में एक फलक विकर्ण होता है $a, b, c$ तर्कहीन।

बॉडी क्यूबॉइड को आमतौर पर लियोनहार्ड यूलर के सम्मान में यूलर क्यूबॉइड के रूप में जाना जाता है, जिन्होंने इस प्रकार के क्यूबॉइड पर चर्चा की। वह चेहरे के घनाभों के बारे में भी जानते थे, और उन्होंने (104, 153, 672) उदाहरण प्रदान किया। तीन पूर्णांक घनाभ किनारे की लंबाई और एक चेहरे के घनाभ की तीन पूर्णांक विकर्ण लंबाई की व्याख्या एक हेरोनियन टेट्राहेड्रॉन के किनारे की लंबाई के रूप में भी की जा सकती है जो कि श्लाफली ऑर्थोस्कीम भी है। असीम रूप से कई चेहरे वाले घनाभ हैं, और असीम रूप से कई हेरोनियन ऑर्थोस्केम हैं। किनारों, चेहरे के विकर्णों और अंतरिक्ष विकर्ण के रूप में दिए गए प्रत्येक प्रकार के लगभग पूर्ण घनाभों के लिए सबसे छोटा समाधान $d, e, f$, निम्नानुसार हैं:
 * बॉडी क्यूबॉइड: $g$
 * किनारा घनाभ: $a, b, c$
 * चेहरा घनाभ: $d, e, f$

, 200,000,000,027 से कम सबसे छोटे पूर्णांक किनारे वाले 167,043 पाए गए घनाभ हैं: 61,042 यूलर (निकाय) घनाभ हैं, 16,612 एक जटिल संख्या किनारे की लंबाई वाले किनारे के घनाभ हैं, 32,286 किनारे के घनाभ थे, और 57,103 चेहरे के घनाभ थे।

, एक विस्तृत खोज ने 1,125,899,906,842,624: 194,652 से कम पूर्णांक अंतरिक्ष विकर्ण के साथ सभी किनारे और चेहरे के घनाभों को गिना, 350,778 चेहरे के घनाभ थे।

पूर्ण समानांतर चतुर्भुज
एक पूर्ण समानांतर चतुर्भुज पूर्णांक-लंबाई वाले किनारों, चेहरे के विकर्णों और शरीर के विकर्णों के साथ एक समानांतर चतुर्भुज है, लेकिन जरूरी नहीं कि सभी समकोण हों; एक आदर्श घनाभ एक पूर्ण समांतर चतुर्भुज का एक विशेष मामला है। 2009 में, दर्जनों संपूर्ण समानांतर चतुर्भुजों का अस्तित्व दिखाया गया था, रिचर्ड के. गाइ के एक खुले प्रश्न का उत्तर देना। इनमें से कुछ पूर्ण समांतर चतुर्भुजों में दो आयताकार फलक होते हैं। सबसे छोटे पूर्ण समांतर चतुर्भुज के किनारे 271, 106 और 103 हैं; लघु फलक विकर्ण 101, 266 और 255; लंबे फलक विकर्ण 183, 312 और 323; और शरीर के विकर्ण 374, 300, 278 और 272 हैं।

यह भी देखें

 * पायथागॉरियन चौगुनी