केंद्रीय विन्यास

आकाशीय यांत्रिकी और एन-पिंड समस्या के गणित में |$n$-पिंड समस्या, एक सेंट्रल कॉन्फिगरेशन बिंदु कण  की एक प्रणाली है, जिसमें गुण है कि प्रत्येक द्रव्यमान को प्रणाली के संयुक्त गुरुत्वाकर्षण द्वारा सीधे द्रव्यमान के केंद्र की ओर खींचा जाता है, केंद्र से इसकी दूरी के आनुपातिक त्वरण के साथ। किसी भी आयाम के यूक्लिडियन रिक्त स्थान में केंद्रीय विन्यास का अध्ययन किया जा सकता है, हालांकि आकाशीय यांत्रिकी के लिए केवल आयाम एक, दो और तीन सीधे प्रासंगिक हैं।

उदाहरण
के लिए $n$ समान द्रव्यमान, एक संभावित केंद्रीय विन्यास द्रव्यमान को एक नियमित बहुभुज (एक क्लेम्पर रोसेट बनाने), एक प्लेटोनिक ठोस, या उच्च आयामों में एक नियमित पॉलीटॉप के शीर्ष पर रखता है। विन्यास की केंद्रीयता इसकी समरूपता से होती है। प्रणाली के द्रव्यमान के केंद्र में, इसकी केंद्रीयता को बदले बिना, मनमाना द्रव्यमान का एक अतिरिक्त बिंदु रखना भी संभव है।

तीन द्रव्यमानों को एक समबाहु त्रिभुज में, चार को एक नियमित चतुर्पाश्वीय के शीर्ष पर, या अधिक सामान्य रूप से रखना $n$ एक नियमित संकेतन के शीर्ष पर द्रव्यमान एक केंद्रीय विन्यास का निर्माण करता है, तब भी जब द्रव्यमान समान नहीं होते हैं। इन द्रव्यमानों के लिए यह एकमात्र केंद्रीय विन्यास है जो निम्न-आयामी उप-स्थान में स्थित नहीं है।

डायनेमिक्स
न्यूटन के सार्वभौमिक गुरुत्वाकर्षण के नियम के तहत, एक केंद्रीय विन्यास में आराम से रखे गए पिंड विन्यास को बनाए रखेंगे क्योंकि वे अपने द्रव्यमान के केंद्र में संघट्टित होते हैं। द्वि-आयामी केंद्रीय विन्यास में निकाय अपने द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर परिक्रमा कर सकते हैं, अपनी सापेक्ष स्थिति बनाए रख सकते हैं, द्रव्यमान के केंद्र के चारों ओर वृत्ताकार कक्षाओं के साथ या दीर्घवृत्त के केंद्र में द्रव्यमान के केंद्र के साथ दीर्घवृत्ताकार कक्षाओं में। त्रि-आयामी अंतरिक्ष में ये एकमात्र संभावित स्थिर कक्षाएँ हैं जिनमें कणों की प्रणाली सदैव अपने प्रारंभिक विन्यास के समान रहती है।

अधिक सामान्य रूप से, न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण के तहत चलने वाले कणों की कोई भी प्रणाली जो समय और स्थान में एक ही बिंदु पर टकराती है, एक केंद्रीय विन्यास का अनुमान लगाती है, समय की सीमा में संघट्टन के समय की प्रवृत्ति होती है। इसी तरह, कणों की एक प्रणाली जो अंतत: एक-दूसरे से पूरी तरह से संरक्षित करने के वेग से बचती है, समय के अनंत होने की सीमा में एक केंद्रीय विन्यास का अनुमान लगाएगा। और कणों की कोई भी प्रणाली जो न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण के तहत चलती है जैसे कि वे एक कठोर पिंड हैं, उन्हें केंद्रीय विन्यास में ऐसा करना चाहिए। द्वि-आयामी द्रव गतिकी में भंवर, जैसे कि पृथ्वी के महासागरों पर बड़े तूफान तंत्र, केंद्रीय विन्यास में खुद को व्यवस्थित करने की प्रवृत्ति रखते हैं।

गणना
दो केंद्रीय विन्यासों को समतुल्य माना जाता है यदि वे समानता (ज्यामिति) हैं, अर्थात, वे रोटेशन, अनुवाद और स्केलिंग के कुछ संयोजन द्वारा एक दूसरे में परिवर्तित हो सकते हैं। तुल्यता की इस परिभाषा के साथ, एक या दो बिंदुओं का केवल एक विन्यास होता है, और यह सदैव केंद्रीय होता है।

तीन पिंडों के मामले में, लियोनहार्ड यूलर द्वारा खोजे गए तीन एक-आयामी केंद्रीय विन्यास हैं। तीन-बिंदु केंद्रीय विन्यास के सेट की सूक्ष्मता को जोसेफ-लुई लाग्रेंज ने तीन-पिंड की समस्या के समाधान में दिखाया था; लैग्रेंज ने दिखाया कि केवल एक गैर-संरेखीय केंद्रीय विन्यास है, जिसमें तीन बिंदु एक समबाहु त्रिभुज के शीर्ष बनाते हैं।

किसी भी आयाम में चार बिंदुओं में केवल बहुत अधिक केंद्रीय विन्यास होते हैं। इस मामले में विन्यास की संख्या कम से कम 32 और अधिकतम 8472 है, जो अंकों के द्रव्यमान पर निर्भर करता है। चार समान द्रव्यमान का एकमात्र उत्तल केंद्रीय विन्यास एक वर्ग है। चार पिंडों का एकमात्र केंद्रीय विन्यास जो तीन आयामों को फैलाता है, एक नियमित टेट्राहेड्रॉन के शीर्षों द्वारा निर्मित विन्यास है।

एक आयाम में यादृच्छिक से कई बिंदुओं के लिए, फिर से केवल सूक्ष्म रूप से कई समाधान होते हैं, प्रत्येक के लिए एक $n!/2$ एक रेखा पर बिंदुओं का रेखीय क्रम (क्रम के उत्क्रमण तक)।

के हर सेट के लिए $n$ बिंदु द्रव्यमान, और प्रत्येक आयाम से कम $n$, उस आयाम का कम से कम एक केंद्रीय विन्यास सम्मिलित है। लगभग सभी के लिए $n$-द्रव्यमान के टुपल्स में निश्चित रूप से कई Dziobek कॉन्फ़िगरेशन हैं जो परिशुद्ध रूप से फैले हुए हैं $n &minus; 2$ आयाम। द्वारा प्रस्तुत एक अनसुलझी समस्या है और, क्या दो या दो से अधिक आयामों में पाँच या अधिक द्रव्यमानों के लिए सदैव केंद्रीय विन्यास की एक सीमित संख्या होती है। 1998 में, स्टीफन स्मेल ने इस समस्या को अगली सदी के लिए अपनी गणितीय समस्याओं की सूची में छठे स्थान पर सम्मिलित किया। आंशिक प्रगति के रूप में, लगभग सभी 5-ट्यूपल द्रव्यमानों के लिए, पाँच बिंदुओं के द्वि-आयामी केंद्रीय विन्यासों की केवल एक सीमित संख्या होती है।

ढेर
एक केंद्रीय विन्यास को ढेर कहा जाता है यदि इसके तीन या अधिक द्रव्यमान का एक उपसमुच्चय भी एक केंद्रीय विन्यास बनाता है। उदाहरण के लिए, यह एक वर्गाकार पिरामिड बनाने वाले समान द्रव्यमान के लिए सही हो सकता है, पिरामिड के आधार पर चार द्रव्यमान भी एक केंद्रीय विन्यास बनाते हैं, या त्रिकोणीय द्विपिरामिड बनाने वाले द्रव्यमान के लिए, द्विपिरामिड के केंद्रीय त्रिकोण में तीन द्रव्यमान के साथ एक केंद्रीय विन्यास भी बना रहा है।

स्पाइडरवेब
एक मकड़ी का जाला केंद्रीय विन्यास एक विन्यास है जिसमें जनता समान कोणों के साथ वृत्तों के केंद्र में मिलने वाली रेखाओं के एक और संग्रह के साथ संकेंद्रित वृत्तों के संग्रह के चौराहे बिंदुओं पर स्थित होती है। एक वृत्त वाली रेखाओं के प्रतिच्छेदन बिंदुओं पर समान द्रव्यमान के बिंदुओं का प्रग्रहण होना चाहिए, लेकिन द्रव्यमान एक वृत्त से दूसरे वृत्त में भिन्न हो सकते हैं। प्रणाली के केंद्र में एक अतिरिक्त द्रव्यमान (जो शून्य हो सकता है) रखा गया है। स्पाइडरवेब केंद्रीय कॉन्फ़िगरेशन के प्रत्येक संकेंद्रित वृत्त पर लाइनों की किसी भी वांछित संख्या, वृत्तों की संख्या और लोगों की प्रोफ़ाइल के लिए, उन पैरामीटर से अनुरूप वाले स्पाइडरवेब केंद्रीय कॉन्फ़िगरेशन को ढूंढना संभव है। एक समान रूप से नेस्टेड प्लेटोनिक ठोस के परिवारों के लिए केंद्रीय विन्यास प्राप्त कर सकते हैं, या अधिक सामान्य रूप से समूह क्रिया (गणित)|ऑर्थोगोनल समूह के किसी भी परिमित उपसमूह की समूह-सैद्धांतिक कक्षाएँ।

जेम्स क्लर्क मैक्सवेल ने सुझाव दिया कि एक चक्र के साथ इन विन्यासों का एक विशेष मामला, एक विशाल केंद्रीय निकाय, और चक्र पर समान दूरी वाले बिंदुओं पर बहुत हल्का पिंडों का उपयोग शनि के वलयों की गति को समझने के लिए किया जा सकता है। ने आकाशगंगाओं के बड़े पैमाने पर वितरण के लिए शास्त्रीय अनुमान विधियों की सटीकता का परीक्षण करने के लिए ज्ञात द्रव्यमान वितरण के साथ स्पाइडरवेब केंद्रीय विन्यास से उत्पन्न स्थिर कक्षाओं का उपयोग किया। उनके परिणामों से पता चला कि ये तरीके अपेक्षाकृत अधिक गलत हो सकते हैं, संभावित रूप से दिखा रहे हैं कि मानक सिद्धांतों की भविष्यवाणी की तुलना में गांगेय गति की भविष्यवाणी करने के लिए कम  गहरे द्रव्य  की आवश्यकता है।