आवधिक सीमा की स्थिति

आवधिक सीमा की स्थिति (पीबीसी) सीमा की स्थिति का एक सेट है जिसे प्रायः इकाई कोशाणु या एकक कोष्ठिका नामक एक छोटे से भाग का उपयोग करके एक बड़ी (अनंत) प्रणाली का अनुमान लगाने के लिए चुना जाता है। पीबीसी का उपयोग प्रायः कंप्यूटर अनुरूपण और गणितीय मॉडल में किया जाता है। द्वि-आयामी पीबीसी की टोपोलॉजी कुछ वीडियो गेम के विश्व मानचित्र के बराबर है; इकाई कोशाणु की ज्यामिति पूर्ण द्वि-आयामी टाइलिंग को संतुष्ट करती है, और जब कोई वस्तु इकाई कोशाणु के एक तरफ से गुजरती है, तो यह उसी वेग के साथ विपरीत दिशा में फिर से दिखाई देती है। टोपोलॉजिकल शब्दों में, द्वि-आयामी पीबीसी द्वारा बनाई गई जगह को टोरस (कॉम्पैक्टिफिकेशन) पर मैप किए जाने के बारे में सोचा जा सकता है। पीबीसी द्वारा अनुमानित बड़ी प्रणालियों में असीमित संख्या में इकाई कोशाणु होते हैं। कंप्यूटर अनुरूपण में, इनमें से एक मूल अनुरूपण बॉक्स है, और अन्य प्रतियाँ हैं जिन्हें इमेज कहा जाता है। अनुरूपण के समय, मूल अनुरूपण बॉक्स के केवल गुणों को रिकॉर्ड और प्रचारित करने की आवश्यकता होती है। न्यूनतम-छवि सम्मेलन पीबीसी कण बहीखाता पद्धति का एक सामान्य रूप है जिसमें अनुरूपण में प्रत्येक व्यक्तिगत कण प्रणाली में शेष कणों की निकटतम छवि के साथ परस्पर क्रिया करता है।

आवधिक सीमा स्थितियों का एक उदाहरण सहज वास्तविक कार्यों $$\phi: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$$ के अनुसार परिभाषित किया जा सकता है
 * $$ \frac{\partial^m }{\partial x_1^m} \phi(a_1,x_2,...,x_n) = \frac{\partial^m }{\partial x_1^m} \phi(b_1,x_2,...,x_n), $$
 * $$ \frac{\partial^m }{\partial x_2^m} \phi(x_1,a_2,...,x_n) = \frac{\partial^m }{\partial x_2^m} \phi(x_1,b_2,...,x_n), $$
 * $$ \frac{\partial^m }{\partial x_n^m} \phi(x_1,x_2,...,a_n) = \frac{\partial^m }{\partial x_n^m} \phi(x_1,x_2,...,b_n) $$
 * $$ \frac{\partial^m }{\partial x_n^m} \phi(x_1,x_2,...,a_n) = \frac{\partial^m }{\partial x_n^m} \phi(x_1,x_2,...,b_n) $$

सभी के लिए m = 0, 1, 2, ... और अचरों के लिए $$a_i$$ और $$b_i$$.

आणविक गतिशीलता अनुरूपण और मोंटे कार्लो आणविक मॉडलिंग में, पीबीसी सामान्यतः थोक गैसों, तरल पदार्थ, क्रिस्टल या मिश्रण के गुणों की गणना करने के लिए प्रयुक्त होते हैं। एक सामान्य अनुप्रयोग स्पष्ट विलायक के स्नान में सॉल्वेटेड मैक्रो मोलेक्यूल का अनुकरण करने के लिए पीबीसी का उपयोग करता है। बोर्न-वॉन कर्मन सीमा शर्तें एक विशेष प्रणाली के लिए आवधिक सीमा शर्तें हैं।

विद्युत चुम्बकीय में, आवधिक संरचनाओं के विद्युत चुम्बकीय गुणों का विश्लेषण करने के लिए पीबीसी को विभिन्न जाल प्रकारों के लिए प्रयुक्त किया जा सकता है।

आवश्यकताएँ और कलाकृतियाँ
त्रि-आयामी पीबीसी गैसों, तरल पदार्थ और ठोस पदार्थों के मैक्रो-स्केल प्रणाली के व्यवहार को अनुमानित करने के लिए उपयोगी होते हैं। त्रि-आयामी पीबीसी का उपयोग प्लानर सतहों को अनुकरण करने के लिए भी किया जा सकता है, इस मामले में द्वि-आयामी पीबीसी प्रायः अधिक उपयुक्त होते हैं। तलीय सतहों के लिए द्वि-आयामी पीबीसीएस को स्लैब सीमा स्थितियाँ भी कहा जाता है इस स्थिति में, पीबीसी का उपयोग दो कार्तीय निर्देशांकों (जैसे, x और y) के लिए किया जाता है, और तीसरा निर्देशांक (z) अनंत तक विस्तृत होता है।

प्रणाली में स्थिर वैद्युत विक्षेप बलों की गणना करने के लिए पीबीसीएस का उपयोग इवाल्ड योग विधियों (जैसे, कण जाल इवाल्ड विधि) के संयोजन में किया जा सकता है। हालांकि, पीबीसी भी सहसंबंधी कलाकृतियों को पेश करते हैं जो प्रणाली के अनुवाद संबंधी आविष्कार का सम्मान नहीं करते हैं और अनुरूपण बॉक्स की संरचना और आकार पर बाधाओं की आवश्यकता होती है।

ठोस प्रणालियों के अनुकरण में, प्रणाली में किसी भी असमानता से उत्पन्न होने वाले तनाव (सामग्री विज्ञान) क्षेत्र को कृत्रिम रूप से छोटा कर दिया जाएगा और आवधिक सीमा द्वारा संशोधित किया जाएगा। इसी तरह, प्रणाली में ध्वनि या शॉक वेव्स और फोनोन्स की तरंग दैर्ध्य बॉक्स आकार द्वारा सीमित होती है।

आयनिक (कूलॉम्ब) अंतःक्रियाओं वाले अनुरूपण में, पीबीसी प्रयुक्त होने पर अनंत आवेश के योग से बचने के लिए प्रणाली का शुद्ध स्थिर वैद्युत विक्षेप आवेश शून्य होना चाहिए। कुछ अनुप्रयोगों में उपयुक्त संख्या में सोडियम या क्लोराइड (प्रतिवाद के रूप में) जैसे आयनों को जोड़कर तटस्थता प्राप्त करना उपयुक्त होता है यदि ब्याज के अणुओं को आवेश किया जाता है। कभी-कभी आयनों को एक ऐसी प्रणाली में भी जोड़ा जाता है जिसमें रुचि के अणु तटस्थ होते हैं, समाधान की आयनिक शक्ति का अनुमान लगाने के लिए जिसमें अणु स्वाभाविक रूप से दिखाई देते हैं। न्यूनतम-छवि सम्मेलन के संरक्षण के लिए सामान्यतः यह भी आवश्यक होता है कि गैर-बंधित बलों के लिए एक गोलाकार कटऑफ त्रिज्या घन बॉक्स के एक तरफ की आधी लंबाई से अधिक हो। स्थिर वैद्युत विक्षेपली न्यूट्रल प्रणाली में भी, इकाई कोशाणु का शुद्ध द्विध्रुवीय क्षण एक नकली थोक-सतह ऊर्जा पेश कर सकता है, जो ध्रुवीय क्रिस्टल में पायरोइलेक्ट्रिकिटी के बराबर है।

अनुरूपण बॉक्स का आकार भी काफी बड़ा होना चाहिए ताकि समय-समय पर होने वाली कलाकृतियों को अनुरूपण के अभौतिक टोपोलॉजी के कारण होने से रोका जा सके। एक बॉक्स में जो बहुत छोटा है, एक सूक्ष्म अणु पड़ोसी बॉक्स में अपनी छवि के साथ बातचीत कर सकता है, जो कार्यात्मक रूप से एक अणु के "सिर" के बराबर है जो अपनी "पूंछ" के साथ बातचीत करता है। यह अधिकांश सूक्ष्म अणु में अत्यधिक अभौतिक गतिशीलता पैदा करता है, हालांकि परिणामों की भयावहता और इस प्रकार मैक्रोमोलेक्युलस के आकार के सापेक्ष उपयुक्त बॉक्स आकार अनुरूपण की इच्छित लंबाई, वांछित सटीकता और प्रत्याशित गतिशीलता पर निर्भर करता है। उदाहरण के लिए, देशी अवस्था से प्रारम्भ होने वाले प्रोटीन फोल्डिंग के अनुरूपण में छोटे उतार-चढ़ाव हो सकते हैं, और इसलिए एक बड़े बॉक्स की आवश्यकता नहीं हो सकती है, जैसा कि एक यादृच्छिक कुंडल रचना से प्रारम्भ होता है। हालांकि, देखी गई गतिकी पर सॉल्वेशन के गोले के प्रभाव - अनुरूपण या प्रयोग में - अच्छी तरह से समझ में नहीं आते हैं। डीएनए के अनुरूपण पर आधारित एक आम सिफारिश है कि प्रत्येक आयाम में रुचि के अणुओं के आसपास कम से कम 1 एनएम विलायक की आवश्यकता हो।

व्यावहारिक कार्यान्वयन: निरंतरता और न्यूनतम छवि सम्मेलन
एक वस्तु जो अनुरूपण बॉक्स के एक चेहरे से होकर गुजरी है, उसे विपरीत चेहरे से फिर से प्रवेश करना चाहिए - या उसकी छवि को ऐसा करना चाहिए। जाहिर है, एक रणनीतिक निर्णय लिया जाना चाहिए: क्या हम (ए) कणों को अनुरूपण बॉक्स में "फोल्ड बैक" करते हैं जब वे इसे छोड़ते हैं, या क्या हम (बी) उन्हें जाने देते हैं (लेकिन निकटतम छवियों के साथ बातचीत की गणना करते हैं)? अनुरूपण के समय निर्णय का कोई प्रभाव नहीं पड़ता है, लेकिन यदि उपयोगकर्ता औसत विस्थापन, प्रसार लंबाई आदि में रुचि रखता है, तो दूसरा विकल्प बेहतर है।

(ए) अनुरूपण बॉक्स में कण निर्देशांक प्रतिबंधित करें
पीबीसी एल्गोरिथ्म को प्रयुक्त करने के लिए कम से कम दो चरणों की आवश्यकता होती है।

निर्देशांक को प्रतिबंधित करना एक सरल ऑपरेशन है जिसे निम्नलिखित कोड के साथ वर्णित किया जा सकता है, जहां x_size एक दिशा में बॉक्स की लंबाई है (मूल पर केंद्रित एक ऑर्थोगोनल इकाई कोशाणु मानते हुए) और x उसी दिशा में कण की स्थिति है :

वस्तुओं के बीच की दूरी और सदिश को न्यूनतम छवि मानदंड का पालन करना चाहिए। इसे निम्नलिखित कोड के अनुसार प्रयुक्त किया जा सकता है (एक आयामी प्रणाली के मामले में जहां dx ऑब्जेक्ट i से ऑब्जेक्ट j की दूरी दिशा वेक्टर है):

त्रि-आयामी पीबीसी के लिए, दोनों परिचालनों को सभी 3 आयामों में दोहराया जाना चाहिए।

इन संक्रियाओं को ऑर्थोरोम्बिक कोशिकाओं के लिए अधिक कॉम्पैक्ट रूप में लिखा जा सकता है यदि मूल को बॉक्स के एक कोने में स्थानांतरित कर दिया जाए। फिर हमारे पास क्रमशः स्थिति और दूरी के लिए एक आयाम में है:

(बी) कण निर्देशांक को प्रतिबंधित न करें
निचले बाएँ आगे के कोने में उत्पत्ति के साथ एक ऑर्थोरोम्बिक अनुरूपण बॉक्स मानते हुए, प्रभावी कण दूरी की गणना के लिए न्यूनतम छवि सम्मेलन की गणना "निकटतम पूर्णांक" फ़ंक्शन के साथ की जा सकती है, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है, यहाँ C / C ++ कोड के रूप में: x_rsize = 1.0 / x_size; // compute only when box size is set or changed dx = x[j] - x[i]; dx -= x_size * nearbyint(dx * x_rsize); इस ऑपरेशन को करने का सबसे तेज़ तरीका प्रोसेसर आर्किटेक्चर पर निर्भर करता है। यदि dx का चिन्ह प्रासंगिक नहीं है, तो विधि dx = fabs(dx); dx -= static_cast (dx * x_rsize + 0.5) * x_size;

2013 में x86-64 प्रोसेसर पर सबसे तेज पाया गया था।

गैर-ऑर्थोरोम्बिक कोशिकाओं के लिए स्थिति अधिक जटिल है।

आयनिक प्रणालियों के अनुरूपण में कई बॉक्स छवियों में फैली हुई लंबी दूरी की कूलम्ब इंटरैक्शन को संभालने के लिए अधिक जटिल संचालन की आवश्यकता हो सकती है, उदाहरण के लिए इवाल्ड योग।

इकाई कोशाणु ज्यामिति
पीबीसी के लिए इकाई कोशाणु को एक ऐसी आकृति की आवश्यकता होती है जो पूरी तरह से त्रि-आयामी क्रिस्टल में टाइल हो। इस प्रकार, एक गोलाकार या अण्डाकार छोटी बूंद का उपयोग नहीं किया जा सकता है। एक घन या आयताकार प्रिज्म सबसे सहज और आम पसंद है, लेकिन केंद्रीय मैक्रोमोलेक्युलस से दूर, कोनों में विलायक अणुओं की अनावश्यक मात्रा के कारण कम्प्यूटेशनल रूप से महंगा हो सकता है। एक सामान्य विकल्प जिसके लिए कम मात्रा की आवश्यकता होती है, वह छोटा ऑक्टाहेड्रॉन है।

सामान्य आयाम
2डी और 3डी अंतरिक्ष में अनुरूपण के लिए, क्यूबिक आवधिक सीमा स्थिति का सबसे अधिक उपयोग किया जाता है क्योंकि यह कोडिंग में सबसे सरल है। उच्च आयामी प्रणालियों के कंप्यूटर अनुरूपण में, हालांकि, हाइपरक्यूबिक आवधिक सीमा की स्थिति कम कुशल हो सकती है क्योंकि कोने अंतरिक्ष के अधिकांश भाग पर कब्जा कर लेते हैं। सामान्य आयाम में, इकाई कोशाणु को कुछ जाली पैकिंग के विग्नर-सीट्ज़ सेल के रूप में देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, हाइपरक्यूबिक आवधिक सीमा स्थिति हाइपरक्यूबिक जाली पैकिंग से मेल खाती है। इसके बाद एक इकाई सेल का चयन करना पसंद किया जाता है जो उस आयाम के घने पैकिंग से मेल खाता हो। 4D में यह D4 जाली है; और E8 जाली 8-आयाम में। इन उच्च आयामी आवधिक सीमा स्थितियों का कार्यान्वयन सूचना सिद्धांत में त्रुटि सुधार कोड दृष्टिकोण के बराबर है।

संरक्षित गुण
आवधिक सीमा शर्तों के तहत, प्रणाली की रैखिक गति संरक्षित है, लेकिन कोणीय गति नहीं है। इस तथ्य की पारंपरिक व्याख्या नोएदर के प्रमेय पर आधारित है, जिसमें कहा गया है कि कोणीय संवेग का संरक्षण Lagrangian के घूर्णी आक्रमण से होता है। हालांकि, इस दृष्टिकोण को सुसंगत नहीं दिखाया गया था: यह आवधिक सेल में गतिमान एकल कण के कोणीय संवेग के संरक्षण की अनुपस्थिति की व्याख्या करने में विफल रहता है। कण का Lagrangian स्थिर है और इसलिए घूर्णी रूप से अपरिवर्तनीय है, जबकि कण की कोणीय गति संरक्षित नहीं है। यह विरोधाभास इस तथ्य के कारण होता है कि नोएदर का प्रमेय सामान्यतः बंद प्रणालियों के लिए तैयार किया जाता है। आवधिक कोशिका बड़े पैमाने पर गति, कोणीय गति और पड़ोसी कोशिकाओं के साथ ऊर्जा का आदान-प्रदान करती है।

जब माइक्रोकैनोनिकल पहनावा (निरंतर कण संख्या, आयतन और ऊर्जा, संक्षिप्त एनवीई) पर प्रयुक्त किया जाता है, तो दीवारों को प्रतिबिंबित करने के बजाय पीबीसी का उपयोग करके कुल रैखिक गति के संरक्षण और द्रव्यमान के केंद्र की स्थिति के कारण अनुरूपण के नमूने को थोड़ा बदल देता है; इस पहनावे को "आण्विक गतिकी पहनावा" या एनवीईपीजी पहनावा कहा गया है। ये अतिरिक्त संरक्षित मात्राएं तापमान की सांख्यिकीय यांत्रिकी परिभाषा, बोल्ट्ज़मान वितरण से वेग वितरण के प्रस्थान, और विषम द्रव्यमान वाले कणों वाले प्रणाली के लिए समविभाजन के उल्लंघन से संबंधित छोटी कलाकृतियों को प्रस्तुत करती हैं। इन प्रभावों में सबसे सरल यह है कि N-1 कणों की एक प्रणाली के रूप में, N कणों की एक प्रणाली, आणविक गतिकी पहनावा में व्यवहार करेगी। इन शिल्पकृतियों में छोटे खिलौना प्रणालियों के लिए मात्रात्मक परिणाम होते हैं जिनमें केवल पूरी तरह से कठोर कण होते हैं; मानक बायोमोलेक्युलर अनुरूपण के लिए उनका गहराई से अध्ययन नहीं किया गया है, लेकिन ऐसी प्रणालियों के आकार को देखते हुए, प्रभाव काफी हद तक नगण्य होंगे।

यह भी देखें

 * पेचदार सीमा की स्थिति
 * आणविक मॉडलिंग
 * आणविक यांत्रिकी मॉडलिंग के लिए सॉफ्टवेयर की सूची

संदर्भ

 * See esp. pp15–20.
 * See esp. pp272–6.