फलन की सीमा

गणित में, किसी फंक्शन (फलन) की सीमा दो परस्पर संबंधित अवधारणाओं में से किसी एक को संदर्भित कर सकती है:


 * फंक्शन का कोडोमेन
 * फंक्शन के  प्रतिरूप

दो समुच्चय $X$ और $Y$ दिए जाने पर, $X$ और $Y$ के बीच एक द्विआधारी संबंध $f$ है (कुल) फ़ंक्शन ($X$ से $Y$ तक) यदि $X$ में प्रत्येक $x$ के लिए $y$ में ठीक $Y$  है जैसे कि $f$, $x$ से $y$ से संबंधित है। समुच्चय $X$ और $Y$ को क्रमशः $f$  का डोमेन और कोडोमेन कहा जाता है। तब $f$ की छवि $Y$ का उपसमुच्चय होती है जिसमें $Y$ के केवल वे अवयव $y$ मिल होते हैं जैसे कि X में $f(x) = y$ के साथ कम से कम $x$ होता है।

शब्दावली
चूंकि "रेंज" शब्द के अलग-अलग अर्थ हो सकते हैं, इसलिए किसी पाठ्यपुस्तक या लेख में पहली बार इसका उपयोग करते समय इसे परिभाषित करना अच्छा अभ्यास माना जाता है। पुरानी पुस्तकें, जब वे "रेंज" शब्द का उपयोग करती हैं, तो इसका उपयोग उस अर्थ के लिए किया जाता है जिसे अब कोडोमेन कहा जाता है। अधिक आधुनिक पुस्तकें, यदि वे "रेंज" शब्द का उपयोग करती हैं, तो सामान्यतः इसका उपयोग उस अर्थ के लिए करती हैं जिसे अब छवि कहा जाता है। किसी भी भ्रम से बचने के लिए, कई आधुनिक पुस्तकें "रेंज" शब्द का बिल्कुल भी उपयोग नहीं करती हैं।

विस्तार और उदाहरण
दिया गया फंक्शन
 * $$f \colon X \to Y$$

डोमेन $$X$$ के साथ, $$f$$ की सीमा, कभी-कभी $$\operatorname{ran}(f)$$ या दर्शाया जाता है $$\operatorname{Range}(f)$$, कोडोमेन या लक्ष्य समुच्चय $$Y$$ (यानी, वह समुच्चय जिसमें $$f$$ के सभी आउटपुट गिरने के लिए बाध्य हैं), या $$f(X)$$ को संदर्भित कर सकते हैं, डोमेन की छवि $$f$$ के अंतर्गत $$f$$ (यानी, $$Y$$ का सबसेट जिसमें $$f$$ के सभी वास्तविक आउटपुट सम्मिलित हैं)। किसी फ़ंक्शन की छवि हमेशा फ़ंक्शन के कोडोमेन का एक उपसमुच्चय होती है।

दो अलग-अलग उपयोगों के उदाहरण के रूप में, फ़ंक्शन $$f(x) = x^2$$ पर विचार करें क्योंकि इसका उपयोगवास्तविक विश्लेषण में किया जाता है (अर्थात, फ़ंक्शन के रूप में जो वास्तविक संख्या को इनपुट करता है और उसके वर्ग को आउटपुट करता है)। इस स्थिति में, इसका कोडोमेन वास्तविक संख्याओं $$\mathbb{R}$$ का समुच्चय है, लेकिन इसकी छवि गैर-नकारात्मक वास्तविक संख्याओं $$\mathbb{R}^+$$का समुच्चय है, क्योंकि यदि $$x$$ वास्तविक है तो $$x^2$$ कभी भी नकारात्मक नहीं होता है। इस फ़ंक्शन के लिए, यदि हम "सीमा" का उपयोग कोडोमेन के लिए करते हैं, तो यह $$\mathbb$$ को संदर्भित करता है; यदि हम छवि के लिए "सीमा" का उपयोग करते हैं, तो यह $$\mathbb{R}^+$$ को संदर्भित करता है।

कई मामलों में, छवि और कोडोमेन योग कर सकते हैं। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन $$f(x) = 2x$$ पर विचार करें, जो वास्तविक संख्या को इनपुट करता है और उसका दोगुना आउटपुट देता है। इस फ़ंक्शन के लिए, कोडोमेन और छवि समान हैं (दोनों वास्तविक संख्याओं का सेट हैं), इसलिए शब्द सीमा स्पष्ट है।

यह भी देखें

 * आक्षेप, अंतःक्षेपण और प्रक्षेपण
 * आवश्यक सीमा