विस्तारित घातांकीय फलन

विस्तारित घातांकीय फलन $$f_\beta (t) = e^{ -t^\beta }$$ घातीय फलन में भिन्नात्मक पॉवर नियम सम्मिलित करके प्राप्त किया जाता है। अधिकांश अनुप्रयोगों में, यह केवल 0 और +∞ के मध्य के तर्क $t$ के लिए सार्थक है। इस प्रकार से $β = 1$ के साथ, सामान्य घातांकीय फलन पुनर्प्राप्त हो जाता है। जहाँ 0 और 1 के मध्य एक स्ट्रेचिंग एक्सपोनेंट β के साथ, लॉग एफ बनाम टी का ग्राफ विशेष रूप से फैला हुआ है, इसलिए फलन का नाम। संपीड़ित घातीय फलन ($β > 1$ के साथ) का व्यावहारिक महत्व कम है, $β = 2$ के उल्लेखनीय अपवाद के साथ, जो सामान्य वितरण देता है।

गणित में, विस्तारित घातांक को संचयी वितरण फलन या पूरक संचयी वितरण फलन वेइबुल वितरण के रूप में भी जाना जाता है। विस्तारित घातांक भी स्थिर वितरण लेवी सममित अल्फा-स्थिर वितरण का विशिष्ट कार्य (संभावना सिद्धांत) है, जो मूल रूप से फूरियर रूपांतरण है।

भौतिकी में, विस्तारित घातीय फलन का उपयोग अधिकांशतः अव्यवस्थित प्रणालियों में विश्राम (भौतिकी) के घटनात्मक विवरण के रूप में किया जाता है। इसे पहली बार 1854 में संधारित्र के निर्वहन का वर्णन करने के लिए रूडोल्फ कोहलराउश द्वारा प्रस्तुत किया गया था; इस प्रकार इसे कोहलराउश फलन के रूप में भी जाना जाता है। किन्तु 1970 में, जी. विलियम्स और डी.सी. वाट्स ने पॉलिमर की परावैद्युत स्पेक्ट्रोस्कोपी का वर्णन करने के लिए विस्तारित घातांक के फूरियर रूपांतरण का उपयोग किया; इस संदर्भ में, विस्तारित घातांक या इसके फूरियर रूपांतरण को कोहलराउश-विलियम्स-वाट्स (केडब्ल्यूडब्ल्यू) फलन भी कहा जाता है। कोहलराउश-विलियम्स-वाट्स (केडब्ल्यूडब्ल्यू) फलन छोटे समय के तर्कों के लिए मुख्य परावैद्युत मॉडल, जैसे कोल-कोल_समीकरण, कोल-डेविडसन_समीकरण, और हैवरिलीक-नेगामी_रिलैक्सेशन के समय डोमेन चार्ज प्रतिक्रिया से मेल खाता है।

इस प्रकार से घटनात्मक अनुप्रयोगों में, यह अधिकांशतः स्पष्ट नहीं होता है कि विस्तारित घातीय फलन का उपयोग अंतर या अभिन्न वितरण फलन का वर्णन करने के लिए किया जाना चाहिए या नहीं प्रत्येक स्तिथियों में, किसी को समान स्पर्शोन्मुख क्षय मिलता है, किन्तु अलग पावर लॉ प्रीफैक्टर, जो सरल घातांक की तुलना में फिट को अधिक अस्पष्ट बनाता है। कुछ स्तिथियों में,   यह दिखाया जा सकता है कि स्पर्शोन्मुख क्षय विस्तारित घातीय है, किन्तु प्रीफैक्टर सामान्यतः एक असंबंधित पॉवर है।

क्षण
सामान्य भौतिक व्याख्या के पश्चात, हम फलन तर्क t को समय के रूप में व्याख्या करते हैं और fβ(t) अंतर वितरण है।

इस प्रकार इसकी व्याख्या औसत विश्राम समय के रूप में की जा सकती है। एक पाता है $$\langle\tau\rangle \equiv \int_0^\infty dt\, e^{-(t/\tau_K)^\beta} = {\tau_K \over \beta } \Gamma {\left( \frac 1 \beta \right)}$$ जहाँ $Γ$ गामा फलन है. घातीय क्षय के लिए, $⟨τ⟩ = τ_{K}$ पुनर्प्राप्त किया जाता है.

विस्तारित घातीय फलन के उच्च क्षण (गणित) हैं $$\langle\tau^n\rangle \equiv \int_0^\infty dt\, t^{n-1}\, e^{-(t/\tau_K)^\beta} = {{\tau_K}^n \over \beta }\Gamma {\left(\frac n \beta \right)}.$$

वितरण फलन
इस प्रकार से भौतिकी में, विस्तारित घातीय व्यवहार को सरल घातीय क्षयों के रैखिक अध्यारोपण के रूप में समझाने का प्रयास किया गया है। इसके लिए विश्राम समय, ρ(u) के गैर-तुच्छ वितरण की आवश्यकता होती है, जिसे अंतर्निहित रूप से परिभाषित किया गया है $$e^{-t^\beta} = \int_0^\infty du\,\rho(u)\, e^{-t/u}.$$ वैकल्पिक रूप से, एक वितरण $$G = u \rho (u)$$ प्रयोग किया जाता है।

जहाँ ρ की गणना श्रृंखला विस्तार से की जा सकती है: $$ \rho (u ) = -{ 1 \over \pi u} \sum_{k = 0}^\infty {(-1)^k  \over k!} \sin (\pi \beta k)\Gamma (\beta k + 1) u^{\beta k}$$ β के तर्कसंगत मूल्यों के लिए, ρ(u) की गणना प्राथमिक फलन के संदर्भ में की जा सकती है। किन्तु $β = 1/2$ स्तिथियों को छोड़कर अभिव्यक्ति सामान्यतः उपयोगी होने के लिए बहुत सम्मिश्र है:

जहाँ $$G(u) = u \rho(u) = { 1 \over 2\sqrt{\pi}} \sqrt{u} e^{-u/4} $$ चित्र 2 रैखिक और लघुगणक प्रतिनिधित्व दोनों में समान परिणाम दिखाता है। जैसे-जैसे β 1 की ओर बढ़ता है, सरल घातीय फलन के अनुरूप, वक्र $u = 1$ शिखर पर पहुंच गए डिराक डेल्टा फलन में परिवर्तित हो जाते हैं। मूल कार्य के क्षणों को इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है $$\langle\tau^n\rangle = \Gamma(n) \int_0^\infty d\tau\, t^n \, \rho(\tau).$$ सरल-घातीय विश्राम समय के वितरण का प्रथम लघुगणकीय क्षण है $$\langle\ln\tau\rangle = \left( 1 - {1 \over \beta} \right) {\rm Eu} + \ln \tau_K $$ जहां Eu यूलर स्थिरांक है।

फूरियर रूपांतरण
स्पेक्ट्रोस्कोपी या इनलेस्टिक बिखरने से परिणामों का वर्णन करने के लिए, विस्तारित घातांक के साइन या कोसाइन फूरियर रूपांतरण की आवश्यकता होती है। इसकी गणना या तो संख्यात्मक एकीकरण द्वारा, या श्रृंखला विस्तार से की जानी चाहिए। यहां श्रृंखला के साथ-साथ वितरण फलन फॉक्स-राइट फलन के विशेष स्तिथियों हैं। इस प्रकार से व्यावहारिक उद्देश्यों के लिए, फूरियर परिवर्तन का अनुमान हैवरिलीक-नेगामी फलन द्वारा लगाया जा सकता है, चूंकि आजकल संख्यात्मक गणना इतनी कुशलता से की जा सकती है कि आवृत्ति डोमेन में कोहलराउश-विलियम्स-वाट्स फलन का उपयोग न करने का अब कोई कारण नहीं है।

इतिहास और आगे के अनुप्रयोग
जैसा कि परिचय में कहा गया है, कि 1854 में जर्मनों भौतिक विज्ञानी रुडोल्फ कोहलराउश द्वारा संधारित्र (लेडेन जार) के निर्वहन का वर्णन करने के लिए विस्तारित घातांक की प्रारंभिक की गई थी जो ग्लास को परावैद्युत माध्यम के रूप में उपयोग करता था। किन्तु अगला प्रलेखित उपयोग रुडोल्फ के पुत्र फ्रेडरिक कोहलराउश (भौतिक विज्ञानी) द्वारा टॉर्सनल का वर्णन करने के लिए किया गया है। अतः ए. वर्नर ने सम्मिश्र ल्यूमिनसेंस क्षयों का वर्णन करने के लिए 1907 में इसका उपयोग किया था; थियोडोर फोर्स्टर ने 1949 में इलेक्ट्रॉनिक ऊर्जा दाताओं के प्रतिदीप्ति क्षय नियम के रूप में इसका उपयोग किया था।

संघनित पदार्थ भौतिकी के बाहर, विस्तारित घातांक का उपयोग सौर मंडल में छोटे, भटके हुए पिंडों को हटाने की दर, मस्तिष्क में प्रसार-भारित एमआरआई संकेत, और अपरंपरागत गैस कुओं से उत्पादन का वर्णन करने के लिए किया गया है।

प्रायिकता में,
यदि एकीकृत वितरण एक विस्तारित घातांक है, तो सामान्यीकृत संभाव्यता वितरण द्वारा दिया जाता है $$ p(\tau \mid \lambda, \beta)~d\tau = \frac{\lambda}{\Gamma(1 + \beta^{-1})} ~ e^{-(\tau \lambda)^\beta} ~ d\tau$$ ध्यान दें कि भ्रामक रूप से कुछ लेखक वेइबुल वितरण को संदर्भित करने के लिए स्ट्रेच्ड घातांकीय नाम का उपयोग करने के लिए जाने जाते हैं।

संशोधित फलन
एक संशोधित विस्तारित घातीय फलन $$f_\beta (t) = e^{ -t^{\beta(t)} }$$ धीरे-धीरे t-निर्भर घातांक के साथ β का उपयोग जैविक अस्तित्व वक्रों के लिए किया गया है।

वायरलेस संचार
वायरलेस संचार में, स्ट्रेच्ड घातांकीय फलन का एक स्केल्ड संस्करण हस्तक्षेप पावर $$I$$ के लिए लाप्लास रूपान्तरण में दिखाई देता है जब ट्रांसमीटरों के स्थानों को रिसीवर के चारो-ओर कोई बहिष्करण क्षेत्र के बिना 2 डी पॉइसन बिंदु प्रक्रिया के रूप में मॉडल किया जाता है।

लाप्लास परिवर्तन को इच्छानुसार रूप से लुप्त होती वितरण के लिए निम्नानुसार लिखा जा सकता है: $$ L_I(s) = \exp\left(-\pi \lambda \mathbb{E}{\left[g^\frac{2}{\eta} \right]} \Gamma{\left(1 - \frac{2}{\eta} \right)} s^\frac{2}{\eta}\right) = \exp\left(- t s^\beta \right)$$ जहाँ $$g$$ लुप्त होने की पॉवर $$\eta$$ है, पथ हानि प्रतिपादक है, $$\lambda$$ 2डी पॉइसन प्वाइंट प्रक्रिया का घनत्व है, $$\Gamma(\cdot)$$ गामा फलन है, और $$\mathbb{E}[x]$$ वेरिएबल $$x$$ की अपेक्षा है.

वही संदर्भ यह भी दिखाता है कि निम्न क्रम पूर्णांक $$\beta_a$$ और $$\beta_b$$ से उच्च क्रम पूर्णांक $$\beta = \beta_q \beta_b $$ के लिए विस्तारित घातांक $$\exp\left(-s^\beta \right)$$ के लिए व्युत्क्रम लाप्लास ट्रांसफॉर्म कैसे प्राप्त किया जाए।

इंटरनेट स्ट्रीमिंग
इस प्रकार से विस्तारित घातांक का उपयोग यूट्यूब और अन्य स्थिर स्ट्रीमिंग मीडिया साइटों जैसे इंटरनेट मीडिया एक्सेसिंग पैटर्न को चिह्नित करने के लिए किया गया है। वेब वर्कलोड के सामान्यतः सहमत पावर-लॉ एक्सेसिंग पैटर्न मुख्य रूप से पाठ-आधारित सामग्री वेब वर्कलोड, जैसे दैनिक अद्यतन समाचार साइटें को दर्शाते हैं।

बाहरी संबंध

 * J. Wuttke: libkww C library to compute the Fourier transform of the stretched exponential function