वुडबरी आव्यूह समरूपता

गणित में (विशेष रूप से रैखिक बीजगणित), वुडबरी आव्यूह समरूपता, जिसका नाम मैक्स ए। वुडबरी के नाम पर रखा गया है, जो यह कहते है कि कुछ आव्यूह (गणित) के पद-k सुधार के व्युत्क्रम की गणना मूल आव्यूह के व्युत्क्रम में पद-k सुधार करके की जा सकती है। इस सूत्र के वैकल्पिक नाम 'आव्यूह व्युत्क्रमता लेम्मा', 'शर्मन-मॉरिसन-वुडबरी सूत्र' या मात्र 'वुडबरी सूत्र' हैं। यद्यपि, वुडबरी रिपोर्ट से पहले यह समरूपता कई लेखों में छपी थी।

वुडबरी आव्यूह समरूपता
 * $$ \left(A + UCV \right)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U \left(C^{-1} + VA^{-1}U \right)^{-1} VA^{-1} $$

है, जहां A, U, C और V अनुरूप आव्यूह हैं: A n×n है, C k×k है, U n×k है, और V k×n है। इसे व्युत्क्रमणीय आव्यूह ब्लॉक वार व्युत्क्रम का उपयोग करके प्राप्त किया जा सकता है।

जबकि समरूपता मुख्य रूप से आव्यूह पर उपयोग की जाती है, यह सामान्य वलय (गणित) या Ab-श्रेणी में होती है।

वुडबरी आव्यूह समरूपता व्युत्क्रमों की तुच्छ गणना और रैखिक समीकरणों के हल की अनुमति देती है। यद्यपि, सूत्र की संख्यात्मक स्थिरता के विषय में बहुत कम सूचना है। इसकी त्रुटि सीमा के संबंध में कोई प्रकाशित परिणाम नहीं हैं। उपाख्यानात्मक प्रमाण से पता चलता है कि यह प्रतीत होने वाले सौम्य उदाहरणों के लिए भी भिन्न हो सकता है (जब मूल और संशोधित आव्यूह दोनों ठीक रूप से प्रतिबंधित हैं)।

चर्चा
इस परिणाम को सिद्ध करने के लिए, हम सरल परिणाम को सिद्ध करके प्रारम्भ करेंगे। A और C को समरूपता आव्यूह I के साथ प्रतिस्थापित करने पर, हमें और समरूपता प्राप्त होती है जो थोड़ी सरल है:
 * $$ \left(I + UV \right)^{-1} = I - U \left(I + VU \right)^{-1} V. $$

इस घटी हुई समरूपता से मूल समीकरण को पुनः प्राप्त करने के लिए, समुच्चय $$U = A^{-1}X$$ और $$V = CY$$ है।

इस समरूपता को ही दो सरल समरूपताों के संयोजन के रूप में देखा जा सकता है। हम पहली समरूपता
 * $$ I = (I + P)^{-1}(I + P) = (I + P)^{-1} + (I + P)^{-1}P$$

से प्राप्त करते हैं, इस प्रकार,
 * $$ (I + P)^{-1}=I-(I + P)^{-1}P$$,

और इसी प्रकार
 * $$ (I + P)^{-1} = I - P (I + P)^{-1}.$$

दूसरी समरूपता तथाकथित पुश-थ्रू समरूपता

$$ (I + UV)^{-1} U = U (I + VU)^{-1} $$

है जिसे हम दाईं ओर $$(I + VU)^{-1}$$ और बाईं ओर $$(I + UV)^{-1}$$

से गुणा करने के बाद
 * $$ U(I + VU)=(I + UV)U$$

से प्राप्त करते हैं।

सभी को एक साथ रखने पर,
 * $$ \left(I + UV \right)^{-1} = I - UV \left(I + UV \right)^{-1} = I - U \left(I + VU \right)^{-1} V. $$

जहां पहली और दूसरी समानता क्रमशः पहली और दूसरी समरूपता से आती है।

विशेष स्थिति
जब $$V, U$$ सदिश होते हैं, तो समरूपता शर्मन-मॉरिसन सूत्र तक कम हो जाती है।

अदिश स्थिति में, घटा हुआ संस्करण मात्र
 * $$\frac{1}{1 + uv} = 1 - \frac{uv}{1 + uv}$$ है।

योग का व्युत्क्रम
यदि n = k और U = V = In तो, समरूपता आव्यूह है



\begin{align} \left({A} + {B}\right)^{-1} &= A^{-1} - A^{-1} (B^{-1} + A^{-1})^{-1} A^{-1}\\ &= {A}^{-1} - {A}^{-1}\left({A}{B}^{-1} + {I}\right)^{-1}. \end{align} $$ उपरोक्त समीकरण के सबसे दाईं ओर के पदों के विलय को जारी रखने से हुआ की समरूपता होती है
 * $$\left({A} + {B}\right)^{-1} = {A}^{-1} - \left({A} + {A}{B}^{-1}{A}\right)^{-1}.$$

इसी समरूपता का और उपयोगी रूप है
 * $$\left({A} - {B}\right)^{-1} = {A}^{-1} + {A}^{-1}{B}\left({A} - {B}\right)^{-1},$$

जो, उपरोक्त के विपरीत, भले ही मान्य हो $$B$$ एकवचन है, और इसमें पुनरावर्ती संरचना है जो उत्पन्न करती है
 * $$\left({A} - {B}\right)^{-1} = \sum_{k=0}^{\infty} \left({A}^{-1}{B}\right)^k{A}^{-1}$$

यदि की वर्णक्रमीय त्रिज्या $$A^{-1}B$$ से कम है। अर्थात यदि उपरोक्त योग एकत्रित हो जाए तो बराबर हो जाता है $$(A-B)^{-1}$$।

इस फॉर्म का उपयोग गड़बड़ी वाले विस्तारों में किया जा सकता है जहां बी ए का गड़बड़ी है।

द्विपद व्युत्क्रम प्रमेय
यदि A, B, U, V क्रमशः n×n, k×k, n×k, k×n आकार के आव्यूह हैं, तो

\left(A + UBV\right)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}UB\left(B+BVA^{-1}UB\right)^{-1}BVA^{-1} $$ ए और बी + बीवीए प्रदान किया गया−1B एकवचन नहीं हैं। अक्षर की गैर विलक्षणता के लिए आवश्यक है कि बी−1 अस्तित्व में है क्योंकि यह बराबर है B(I + VA−1UB) और बाद वाले का पद बी के पद से अधिक नहीं हो सकता। चूँकि B व्युत्क्रमणीय है, दाहिनी ओर कोष्ठक में व्युत्क्रमित मात्रा को दर्शाने वाले दो B पदों को प्रतिस्थापित किया जा सकता है (B−1)−1, जिसके परिणामस्वरूप मूल वुडबरी समरूपता प्राप्त होती है।

जब B एकवचन हो और संभवतः गैर-वर्ग भी हो, तो इसके लिए भिन्नता:


 * $$(A + UBV)^{-1} = A^{-1} - A^{-1}U(I + BVA^{-1}U)^{-1}BVA^{-1}.$$

कुछ मामलों के लिए सूत्र भी मौजूद हैं जिनमें A एकवचन है।

सकारात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह के साथ छद्म व्युत्क्रम
सामान्य तौर पर वुडबरी की समरूपता मान्य नहीं है यदि या अधिक व्युत्क्रमों को मूर-पेनरोज़ व्युत्क्रम|(मूर-पेनरोज़) स्यूडो व्युत्क्रम द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। यद्यपि, यदि $$A$$ और $$C$$ सकारात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह हैं, और $$V = U^\mathrm H$$ (इसका तात्पर्य यह है कि $$A + UCV$$ स्वयं सकारात्मक अर्धनिश्चित है), तो निम्न सूत्र सामान्यीकरण प्रदान करता है:

\begin{align} (XX^\mathrm H + YY^\mathrm H)^+ &= (ZZ^\mathrm H)^+ + (I - YZ^+)^\mathrm H X^{+\mathrm H} E X^+ (I - YZ^+), \\ Z &= (I - XX^+) Y, \\ E &= I - X^+Y (I - Z^+Z) F^{-1} (X^+Y)^\mathrm H, \\ F &= I + (I - Z^+Z) Y^\mathrm H (XX^\mathrm H)^+ Y (I - Z^+Z), \end{align} $$ कहाँ $$A + UCU^\mathrm H$$ के रूप में लिखा जा सकता है $$XX^\mathrm H + YY^\mathrm H$$ क्योंकि कोई भी सकारात्मक अर्धनिश्चित आव्यूह बराबर है $$MM^\mathrm H$$ कुछ के लिए $$M$$।

प्रत्यक्ष प्रमाण
उसकी जांच करके सूत्र को सिद्ध किया जा सकता है $$(A + UCV)$$ कई बार वुडबरी समरूपता के दाईं ओर इसका कथित उलटा समरूपता आव्यूह देता है:


 * $$\begin{align}

& \left(A + UCV \right) \left[ A^{-1} - A^{-1}U \left(C^{-1} + VA^{-1}U \right)^{-1} VA^{-1} \right] \\ ={} & \left\{ I - U\left(C^{-1} + VA^{-1}U \right)^{-1}VA^{-1} \right\} + \left\{ UCVA^{-1} - UCVA^{-1}U \left(C^{-1} + VA^{-1}U \right)^{-1} VA^{-1} \right\} \\ ={} & \left\{ I + UCVA^{-1} \right\} - \left\{ U\left(C^{-1} + VA^{-1}U \right)^{-1}VA^{-1} + UCVA^{-1}U \left(C^{-1} + VA^{-1}U \right)^{-1} VA^{-1} \right\} \\ ={} & I + UCVA^{-1} - \left(U + UCVA^{-1}U\right) \left(C^{-1} + VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} \\ ={} & I + UCVA^{-1} - UC \left(C^{-1} + VA^{-1}U\right) \left(C^{-1} + VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} \\ ={} & I + UCVA^{-1} - UCVA^{-1} \\ ={} & I. \end{align}$$

वैकल्पिक प्रमाण
पहले इन उपयोगी पहचानों पर विचार करें,
 * $$\begin{align}

U + UCV A^{-1} U &= UC \left(C^{-1} + V A^{-1} U\right) = \left(A + UCV\right) A^{-1} U \\ \left(A + UCV\right)^{-1} U C &= A^{-1}U \left(C^{-1} + VA^{-1} U\right) ^{-1} \end{align} $$ अब,
 * $$\begin{align}

A^{-1} &= \left(A + UCV\right)^{-1}\left(A + UCV\right) A^{-1}\\ &= \left(A + UCV\right)^{-1}\left(I + UCVA^{-1}\right) \\ &= \left(A + UCV\right)^{-1} + \left(A + UCV\right)^{-1} UCVA^{-1} \\ &= \left(A + UCV\right)^{-1} + A^{-1} U \left(C^{-1} + VA^{-1}U \right)^{-1} VA^{-1}. \end{align}$$

वुडबरी मैट्रिक्स पहचान प्राप्त करना निम्नलिखित ब्लॉक मैट्रिक्स व्युत्क्रम समस्या को हल करके आसानी से किया जाता है

\begin{bmatrix} A & U \\ V & -C^{-1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} X \\ Y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I \\ 0 \end{bmatrix}. $$ विस्तार करते हुए, हम देख सकते हैं कि उपरोक्त कम हो जाता है


 * $$\begin{cases} AX + UY = I \\ VX - C^{-1}Y = 0\end{cases}$$

जो के बराबर है $$(A + UCV)X = I$$. पहले समीकरण को हटाकर, हम उसे पाते हैं $$X = A^{-1}(I - UY)$$, जिसे खोजने के लिए दूसरे में प्रतिस्थापित किया जा सकता है $$VA^{-1}(I - UY) = C^{-1}Y$$. विस्तार और पुनर्व्यवस्थित करना, हमारे पास है $$VA^{-1} = \left(C^{-1} + VA^{-1}U\right)Y$$, या $$\left(C^{-1} + VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} = Y$$. अंत में, हम अपने में स्थानापन्न करते हैं $$AX + UY = I$$, और हमारे पास है $$AX + U\left(C^{-1} + VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} = I$$. इस प्रकार,
 * $$(A + UCV)^{-1} = X = A^{-1} - A^{-1}U\left(C^{-1} + VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}.$$

हमने वुडबरी मैट्रिक्स पहचान प्राप्त की है।

हम मैट्रिक्स से शुरू करते हैं
 * $$\begin{bmatrix} A & U \\ V & C \end{bmatrix}$$

ए के अंतर्गत प्रविष्टि को हटाने पर (यह देखते हुए कि ए उलटा है) हमें मिलता है


 * $$\begin{bmatrix} I & 0 \\ -VA^{-1} & I \end{bmatrix}

\begin{bmatrix} A & U \\ V & C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & U \\ 0 & C - VA^{-1}U \end{bmatrix} $$ इसी तरह, C से ऊपर की प्रविष्टि को हटा देना


 * $$\begin{bmatrix} A & U \\ V & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & -A^{-1}U \\ 0 & I \end{bmatrix}

= \begin{bmatrix} A & 0 \\ V & C-VA^{-1}U \end{bmatrix} $$ अब उपरोक्त दोनों को मिलाने पर हमें प्राप्त होता है



\begin{bmatrix} I & 0 \\ -VA^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & U \\ V & C \end{bmatrix}\begin{bmatrix} I & -A^{-1}U \\ 0 & I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & C - VA^{-1}U \end{bmatrix} $$ दायीं ओर जाने से लाभ मिलता है


 * $$\begin{bmatrix} A & U \\ V & C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & 0 \\ VA^{-1} & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & C - VA^{-1}U \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & A^{-1}U \\ 0 & I \end{bmatrix}$$

जो ब्लॉक मैट्रिक्स का ऊपरी त्रिकोणीय, विकर्ण और निचले त्रिकोणीय मैट्रिक्स में एलडीयू अपघटन है।

अब दोनों पक्षों को उलटने पर प्राप्त होता है


 * $$\begin{align}

\begin{bmatrix} A & U \\ V & C \end{bmatrix}^{-1} &= \begin{bmatrix} I & A^{-1}U \\ 0 & I \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} A & 0 \\ 0 & C - VA^{-1}U \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} I & 0 \\ VA^{-1} & I \end{bmatrix}^{-1} \\[8pt] &= \begin{bmatrix} I & -A^{-1}U \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A^{-1} & 0 \\ 0 & \left(C - VA^{-1}U\right)^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & 0 \\ -VA^{-1} & I \end{bmatrix} \\[8pt] &= \begin{bmatrix} A^{-1} + A^{-1}U\left(C - VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} & -A^{-1}U\left(C - VA^{-1}U\right)^{-1} \\ -\left(C - VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1} & \left(C - VA^{-1}U\right)^{-1} \end{bmatrix} \qquad\mathrm{(1)} \end{align}$$ हम इसे दूसरे तरीके से भी समान रूप से अच्छी तरह से कर सकते थे (बशर्ते कि C उलटा हो) यानी।


 * $$\begin{bmatrix} A & U \\ V & C \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} I & UC^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} \begin{bmatrix} A - UC^{-1}V & 0 \\ 0 & C \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & 0 \\ C^{-1}V & I\end{bmatrix}$$

अब फिर से दोनों पक्षों को उलटा करके,
 * $$\begin{align}

\begin{bmatrix} A & U \\ V & C \end{bmatrix}^{-1} &= \begin{bmatrix} I & 0 \\ C^{-1}V & I\end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} A - UC^{-1}V & 0 \\ 0 & C \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} I & UC^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix}^{-1} \\[8pt] &= \begin{bmatrix} I & 0 \\ -C^{-1}V & I\end{bmatrix} \begin{bmatrix} \left(A - UC^{-1}V\right)^{-1} & 0 \\ 0 & C^{-1} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} I & -UC^{-1} \\ 0 & I \end{bmatrix} \\[8pt] &= \begin{bmatrix} \left(A - UC^{-1}V\right)^{-1} & -\left(A - UC^{-1}V\right)^{-1}UC^{-1} \\ -C^{-1}V\left(A - UC^{-1}V\right)^{-1} & C^{-1} + C^{-1}V\left(A - UC^{-1}V\right)^{-1}UC^{-1} \end{bmatrix} \qquad\mathrm{(2)} \end{align}$$ अब उपरोक्त (1) और (2) के आरएचएस के तत्वों (1, 1) की तुलना करने से वुडबरी फॉर्मूला मिलता है
 * $$\left(A - UC^{-1}V\right)^{-1} = A^{-1} + A^{-1}U\left(C - VA^{-1}U\right)^{-1}VA^{-1}.$$

अनुप्रयोग
यह समरूपता कुछ संख्यात्मक गणनाओं में उपयोगी है जहां ए−1 की गणना पहले ही की जा चुकी है और (ए+यूसीवी) की गणना करना वांछित है−1। A का व्युत्क्रम उपलब्ध होने पर, केवल C का व्युत्क्रम ज्ञात करना आवश्यक है−1 + वीए −1यू समरूपता के दाईं ओर का उपयोग करके परिणाम प्राप्त करने के लिए। यदि C का आयाम A से बहुत छोटा है, तो यह A + UCV को सीधे उलटने की तुलना में अधिक कुशल है। सामान्य मामला ए के निम्न-पद अपडेट ए + यूसीवी (जहां यू में केवल कुछ कॉलम हैं और वी में केवल कुछ पंक्तियां हैं) का व्युत्क्रम ढूंढना है, या आव्यूह ए + बी के व्युत्क्रम का अनुमान लगाना है जहां आव्यूह बी को निम्न-पद आव्यूह यूसीवी द्वारा अनुमानित किया जा सकता है, उदाहरण के लिए एकवचन मूल्य अपघटन का उपयोग करना।

इसे लागू किया जाता है, उदाहरण के लिए, कलमन फ़िल्टर और पुनरावर्ती न्यूनतम वर्ग विधियों में, पैरामीट्रिक हल को बदलने के लिए, स्थिति समीकरण आधारित हल के साथ, राज्य सदिश आकार आव्यूह के व्युत्क्रम की आवश्यकता होती है। कलमन फ़िल्टर के स्थिति में इस आव्यूह में अवलोकनों के सदिश के आयाम होते हैं, यानी, समय में केवल नया अवलोकन संसाधित होने की स्थिति में 1 जितना छोटा होता है। यह फ़िल्टर की अक्सर वास्तविक समय गणनाओं को महत्वपूर्ण रूप से गति देता है।

उस स्थिति में जब C समरूपता आव्यूह I है, आव्यूह $$I+VA^{-1}U$$ संख्यात्मक रैखिक बीजगणित और संख्यात्मक आंशिक अंतर समीकरणों में कैपेसिटेंस आव्यूह के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

 * शर्मन-मॉरिसन सूत्र
 * शूर पूरक
 * आव्यूह निर्धारक लेम्मा, निर्धारक के लिए पद-k अद्यतन के लिए सूत्र
 * उलटा आव्यूह
 * मूर-पेनरोज़ स्यूडोइनवर्स#स्यूडोइनवर्स को अद्यतन कर रहा है

बाहरी संबंध

 * Some matrix identities