चरण-स्थान सूत्रीकरण

क्वांटम यांत्रिकी का चरण-स्थान सूत्रीकरण चरण स्थान में स्थितिऔर  गति चर को समान स्तर पर रखता है। इसके विपरीत, श्रोडिंगर चित्र स्थिति या संवेग निरूपण का उपयोग करता है (स्थिति और संवेग स्थान भी देखें)। चरण-अंतरिक्ष सूत्रीकरण की दो प्रमुख विशेषताएं यह हैं कि जितना क्वांटम स्थिति को अर्धसंभाव्यता वितरण (तरंग फ़ंक्शन, क्वांटम स्थिति या घनत्व मैट्रिक्स के बजाय) द्वारा वर्णित किया जाता है और ऑपरेटर गुणन को स्टार उत्पाद द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है।

यह सिद्धांत पूरी तरह से हिलब्रांड जे. ग्रोएनवॉल्ड द्वारा 1946 में अपनी पीएचडी थीसिस में विकसित किया गया था, और स्वतंत्र रूप से जोय मोयल द्वारा, प्रत्येक इमारत हरमन वेइल और यूजीन विग्नर के पहले के विचारों पर किया गया था।

चरण-अंतरिक्ष सूत्रीकरण का मुख्य लाभ यह है कि यह ऑपरेटर औपचारिकता से बचकर क्वांटम यांत्रिकी को यथासंभव हैमिल्टनियन यांत्रिकी के समान बनाता है, जिससे हिल्बर्ट अंतरिक्ष के 'भार' के परिमाणीकरण को 'मुक्त' किया जाता है। यह सूत्रीकरण प्रकृति में सांख्यिकीय है और क्वांटम यांत्रिकी और शास्त्रीय सांख्यिकीय यांत्रिकी के बीच तार्किक संबंध प्रदान करता है, जिससे दोनों के बीच प्राकृतिक तुलना संभव हो जाती है (शास्त्रीय सीमा देखें)। चरण स्थान में क्वांटम यांत्रिकी को अक्सर कुछ क्वांटम प्रकाशिकी अनुप्रयोगों (ऑप्टिकल चरण स्थान देखें), या असम्बद्धता और विशेष तकनीकी समस्याओं की श्रृंखला के अध्ययन में पसंद किया जाता है, हालांकि अन्यथा व्यावहारिक स्थितियों में औपचारिकता कम सामान्यतः नियोजित होती है।

चरण स्थान में क्वांटम यांत्रिकी के विकास में अंतर्निहित वैचारिक विचार कोंटसेविच के विरूपण-परिमाणीकरण (कोंटसेविच परिमाणीकरण सूत्र देखें) और गैर-अनुवांशिक ज्यामिति जैसे गणितीय शाखाओं में विभाजित हो गए हैं।

चरण-अंतरिक्ष वितरण
चरण-अंतरिक्ष वितरण $f(x, p)$ क्वांटम अवस्था का अर्धसंभाव्यता वितरण है। चरण-अंतरिक्ष सूत्रीकरण में, चरण-अंतरिक्ष वितरण को तरंग कार्यों या घनत्व मैट्रिक्स के किसी भी संदर्भ के बिना, परिमाण प्रणाली के मौलिक, आदिम विवरण के रूप में माना जा सकता है।

वितरण को दर्शाने के कई अलग-अलग तरीके हैं, सभी एक दूसरे से संबंधित हैं। सबसे उल्लेखनीय विग्नर प्रतिनिधित्व वितरण $W(x, p)$ है, जिसे सबसे पहले खोजा गया था। अन्य अभ्यावेदन (साहित्य में प्रचलन के लगभग घटते क्रम में) में ग्लौबर-सुदर्शन पी-ग्लौबर-सुदर्शन पी, शामिल हैं। हुसिमी क्यू प्रतिनिधित्व, किर्कवुड-रिहाज़ेक, मेहता, रिवियर और बोर्न-जॉर्डन प्रतिनिधित्व।  ये विकल्प तब सबसे उपयोगी होते हैं जब हैमिल्टनियन एक विशेष रूप लेता है, जैसे कि ग्लौबर-सुदर्शन पी-प्रतिनिधित्व के लिए सामान्य क्रम। चूंकि विग्नर प्रतिनिधित्व सबसे सामान्य है, इसलिए यह लेख  सामान्यतः इस पर कायम रहेगा, जब तक कि अन्यथा निर्दिष्ट न किया गया हो।

चरण-स्थान वितरण में 2n-आयामी चरण स्थान में संभाव्यता घनत्व के समान गुण होते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्यतः जटिल-मूल्यवान तरंग फ़ंक्शन के विपरीत, यह वास्तविक-मूल्यवान है। हम किसी स्थिति अंतराल के भीतर झूठ बोलने की संभावना को समझ सकते हैं, उदाहरण के लिए, सभी संवेगों और स्थिति अंतराल पर विग्नर फ़ंक्शन को एकीकृत करके:


 * $$\operatorname P [a \leq X \leq b] = \int_a^b \int_{-\infty}^{\infty} W(x, p)\, dp\,dx.$$

यदि $Â(x, p)$ एक अवलोकनीय योग्य का प्रतिनिधित्व करने वाला ऑपरेटर है, तो इसे विग्नर ट्रांसफॉर्म के माध्यम से चरण स्थान पर $A(x, p)$ के रूप में मैप किया जा सकता है विग्नर-वेइल परिवर्तन । इसके विपरीत, इस ऑपरेटर को विग्नर-वेइल ट्रांसफॉर्म द्वारा पुनर्प्राप्त किया जा सकता है।

चरण-अंतरिक्ष वितरण के संबंध में अवलोकन योग्य का अपेक्षित मूल्य है
 * $$\langle \hat{A} \rangle = \int A(x, p) W(x, p) \, dp \, dx.$$

तथापि, सावधानी की बात: दिखने में समानता के बावजूद, $W(x, p)$ वास्तविक संयुक्त संभाव्यता वितरण नहीं है, क्योंकि इसके अंतर्गत आने वाले क्षेत्र परस्पर अनन्य राज्यों का प्रतिनिधित्व नहीं करते हैं, जैसा कि संभाव्यता सिद्धांतों के तीसरे सिद्धांत में आवश्यक है। इसके अलावा, यह, सामान्य तौर पर, पहले सिद्धांत के उल्लंघन में, (वैकल्पिक रूप से निचोड़ा हुआ) सुसंगत राज्यों के अनूठे अपवाद के साथ, शुद्ध राज्यों के लिए भी नकारात्मक मान ले सकता है।

ऐसे नकारात्मक मूल्य वाले क्षेत्र "छोटे" साबित हो सकते हैं वे कुछ $ħ$ से बड़े कॉम्पैक्ट क्षेत्रों तक विस्तारित नहीं हो सकते हैं और इसलिए शास्त्रीय सीमा में गायब हो जाते हैं। वे अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा परिरक्षित हैं, जो $ħ$ से छोटे चरण-अंतरिक्ष क्षेत्रों के भीतर सटीक स्थानीयकरण की अनुमति नहीं देता है, और इस प्रकार ऐसी "नकारात्मक संभावनाओं" को कम विरोधाभासी बना देता है। यदि समीकरण के बाईं ओर को एक ऑपरेटर के संबंध में हिल्बर्ट स्पेस में एक अपेक्षा मूल्य के रूप में व्याख्या किया जाना है, तो क्वांटम ऑप्टिक्स के संदर्भ में इस समीकरण को ऑप्टिकल तुल्यता प्रमेय के रूप में जाना जाता है। (विग्नर फ़ंक्शन के गुणों और व्याख्या के विवरण के लिए, इसका मुख्य लेख देखें।)

क्वांटम यांत्रिकी के लिए वैकल्पिक चरण-अंतरिक्ष दृष्टिकोण सामान्यतः सेगल-बार्गमैन परिवर्तन के माध्यम से चरण स्थान पर तरंग फ़ंक्शन (केवल एक अर्धसंभाव्यता घनत्व नहीं) को परिभाषित करना चाहता है, अनिश्चितता सिद्धांत के अनुकूल होने के लिए, चरण-अंतरिक्ष तरंग फ़ंक्शन एक मनमाना कार्य नहीं हो सकता है, अन्यथा इसे चरण स्थान के एक मनमाने ढंग से छोटे क्षेत्र में स्थानीयकृत किया जा सकता है। बल्कि, सेगल-बार्गमैन परिवर्तन होलोमोर्फिक फ़ंक्शन है $$x + ip$$. चरण-अंतरिक्ष तरंग फ़ंक्शन से जुड़ी एक अर्धसंभाव्यता घनत्व है, यह स्थिति तरंग फ़ंक्शन का हुसिमी क्यू प्रतिनिधित्व है।

स्टार उत्पाद
चरण-अंतरिक्ष सूत्रीकरण में मौलिक गैर-अनुवांशिक बाइनरी ऑपरेटर जो मानक ऑपरेटर गुणन को प्रतिस्थापित करता है वह स्टार उत्पाद है, जिसे प्रतीक ★ द्वारा दर्शाया गया है। चरण-अंतरिक्ष वितरण के प्रत्येक प्रतिनिधित्व में एक अलग विशेषता सितारा उत्पाद होता है। संक्षिप्तता के लिए, हम इस चर्चा को विग्नर-वेइल प्रतिनिधित्व से संबंधित स्टार उत्पाद तक सीमित रखते हैं।

सांकेतिक सुविधा के लिए, हम बाएँ और दाएँ व्युत्पन्न की धारणा का परिचय देते हैं। फ़ंक्शन f और g की एक जोड़ी के लिए,बाएँ और दाएँ व्युत्पन्न को इस प्रकार परिभाषित किया गया है

\begin{align} f \overset{_\gets}\partial_x g & = \frac{\partial f}{\partial x} \cdot g, \\ f \vec\partial_x g & = f \cdot \frac{\partial g}{\partial x}. \end{align} $$ स्टार उत्पाद की विभेदक परिभाषा है
 * $$f \star g = f \, \exp{\left(\frac{i \hbar}{2} \left(\overset{_\gets}\partial_x

\vec\partial_p - \overset{_\gets}\partial_p \vec\partial_x \right) \right)} g,$$ जहां घातीय फलन के तर्क की व्याख्या घात श्रृंखला के रूप में की जा सकती है। अतिरिक्त अंतर संबंध इसे f और g के तर्कों में बदलाव के संदर्भ में लिखने की अनुमति देते हैं:


 * $$\begin{align}

(f \star g)(x, p) &= f\left(x + \tfrac{i \hbar}{2} \vec\partial_p, p - \tfrac{i \hbar}{2} \vec\partial_x\right) \cdot g(x, p) \\ &= f(x, p) \cdot g\left(x - \tfrac{i \hbar}{2} \overset{_\gets}\partial_p, p + \tfrac{i \hbar}{2} \overset{_\gets}\partial_x\right) \\ &= f\left(x + \tfrac{i \hbar}{2} \vec\partial_p, p\right) \cdot g\left(x - \tfrac{i \hbar}{2} \overset{_\gets}\partial_p, p\right) \\ &= f\left(x, p - \tfrac{i \hbar}{2} \vec\partial_x\right) \cdot g\left(x, p + \tfrac{i \hbar}{2} \overset{_\gets}\partial_x\right). \end{align}$$ ★- उत्पाद को कनवल्शन इंटीग्रल फॉर्म में परिभाषित करना भी संभव है, अभिन्न रूप में उत्पाद, अनिवार्य रूप से फूरियर रूपांतरण के माध्यम से:
 * $$(f \star g)(x, p) = \frac{1}{\pi^2 \hbar^2} \, \int f(x + x', p + p') \, g(x + x, p + p) \, \exp{\left(\tfrac{2i}{\hbar}(x'p - xp')\right)} \, dx' dp' dx dp.$$

(इस प्रकार, उदाहरण के लिए, गाउसी फ़ंक्शन की रचना करते हैं वृत्ताकार फ़ंक्शंस के साथ तुलना:

\exp\big({-a}(x^2 + p^2)\big) \star \exp\big({-b}(x^2 + p^2)\big) = \frac{1}{1 + \hbar^2 ab} \exp\left(-\frac{a + b}{1 + \hbar^2 ab} (x^2 + p^2)\right), $$ या

\delta (x) \star \delta(p) = \frac{2}{h} \exp\left(2i\frac{xp}{\hbar}\right), $$ आदि।)

ऊर्जा ईजेनस्टेट वितरण को स्टारजेनस्टेट्स, ★ -जेनस्टेट्स, स्टारजेनफ़ंक्शंस, या ★ -जेन फ़ंक्शन के रूप में जाना जाता है, और संबंधित ऊर्जाओं को स्टारजेनवैल्यू या ★ -जेनवैल्यू के रूप में जाना जाता है। इन्हें समय-स्वतंत्र श्रोडिंगर समीकरण के अनुरूप ★ -जेनवैल्यू समीकरण द्वारा हल किया जाता है,
 * $$H \star W = E \cdot W,$$

जहां $H$ हैमिल्टनियन है, सादा चरण-अंतरिक्ष फ़ंक्शन, जो अक्सर शास्त्रीय हैमिल्टनियन के समान होता है।

समय विकास
चरण अंतरिक्ष वितरण का समय विकास लिउविले प्रवाह के (हैमिल्टनियन) के क्वांटम संशोधन द्वारा दिया गया है। यह सूत्र क्वांटम लिउविले समीकरण, वॉन न्यूमैन समीकरण के घनत्व मैट्रिक्स संस्करण में विग्नर परिवर्तन को लागू करने का परिणाम है,

इसके संबद्ध सितारा उत्पाद के साथ चरण अंतरिक्ष वितरण के किसी भी प्रतिनिधित्व में, यह है


 * $$\frac{\partial f}{\partial t} = - \frac{1}{i \hbar} \left(f \star H - H \star f \right),$$

या, विशेष रूप से विग्नर फ़ंक्शन के लिए,

\frac{\partial W}{\partial t} = -\{\{W, H\}\} = -\frac{2}{\hbar} W \sin \left(\frac{\hbar}{2} (\overset{_\gets}\partial_x \vec\partial_p - \overset{_\gets}\partial_p \vec\partial_x)\right) H = -\{W, H\} + O(\hbar^2), $$ जहां, मोयल ब्रैकेट है, क्वांटम कम्यूटेटर का विग्नर ट्रांसफॉर्म है, जबकि { , } क्लासिकल पॉइसन ब्रैकेट है।

इससे पत्राचार सिद्धांत का संक्षिप्त चित्रण प्राप्त होता है: यह समीकरण स्पष्ट रूप से सीमा ħ → 0 में शास्त्रीय लिउविले समीकरण को कम कर देता है। प्रवाह के क्वांटम विस्तार में, यद्यपि, चरण स्थान में बिंदुओं का घनत्व संरक्षित नहीं है, प्रायिकता द्रव "विस्तारित" और संकुचित प्रतीत होता है। इसलिए क्वांटम प्रक्षेपवक्र की अवधारणा यहां नाजुक मुद्दा है। क्वांटम चरण प्रवाह की गैर-स्थानीयता की सराहना करने के लिए, नीचे मोर्स क्षमता के लिए फिल्म देखें।

एन.बी. स्थानीयकरण पर अनिश्चितता सिद्धांत द्वारा लगाए गए प्रतिबंधों को देखते हुए, नील्स बोह्र ने सूक्ष्म पैमाने पर ऐसे प्रक्षेप पथों के भौतिक अस्तित्व को सख्ती से नकार दिया। औपचारिक चरण-अंतरिक्ष प्रक्षेप पथ के माध्यम से, विग्नर फ़ंक्शन की समय विकास समस्या को पथ-अभिन्न विधि और क्वांटम विशेषताओं की विधि का उपयोग करके कठोरता से हल किया जा सकता है, यद्यपि दोनों ही मामलों में गंभीर व्यावहारिक बाधाएँ हैं।

सरल हार्मोनिक दोलक
विग्नर-वेइल प्रतिनिधित्व में स्थानिक आयाम में सरल हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए हैमिल्टनियन है
 * $$H = \frac{1}{2} m \omega^2 x^2 + \frac{p^2}{2m}.$$

फिर स्थैतिक विग्नर फ़ंक्शन के लिए ★ -जेनवैल्यू समीकरण पढ़ता है
 * $$\begin{align}

H \star W &= \left(\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 + \frac{p^2}{2m}\right) \star W \\ &= \left(\frac{1}{2} m \omega^2 \left(x + \frac{i \hbar}{2} \vec\partial_p\right)^2 + \frac{1}{2m}\left(p - \frac{i \hbar}{2} \vec\partial_x \right)^2\right) W \\ &= \left(\frac{1}{2} m \omega^2 \left(x^2 - \frac{\hbar^2}{4} \vec\partial_p^2\right) + \frac{1}{2m}\left(p^2 - \frac{\hbar^2}{4} \vec\partial_x^2 \right) \right) W \\ &\quad{} + \frac{i \hbar}{2} \left(m \omega^2 x \vec\partial_p - \frac{p}{m} \vec\partial_x\right) W \\ &= E \cdot W. \end{align}$$

सबसे पहले, ★ -जेनवैल्यू समीकरण, के काल्पनिक भाग पर विचार करें,
 * $$\frac{\hbar}{2} \left(m \omega^2 x \vec\partial_p - \frac{p}{m} \vec\partial_x\right) \cdot W = 0$$

इसका तात्पर्य यह है कि कोई ★ -जेनस्टेट्स को एकल तर्क के कार्यों के रूप में भी लिख सकता है
 * $$W(x, p) = F\left(\frac{1}{2} m \omega^2 x^2 + \frac{p^2}{2m}\right) \equiv F(u).$$

चरों के इस परिवर्तन के साथ, ★ -जेनवेल्यू समीकरण के वास्तविक भाग को संशोधित लैगुएरे समीकरण (हर्मिट के समीकरण नहीं!) के रूप में लिखना संभव है, जिसके समाधान में लैगुएरे बहुपद शामिल हैं

$$F_n(u) = \frac{(-1)^n}{\pi \hbar} L_n\left(4\frac{u}{\hbar \omega}\right) e^{-2u/\hbar \omega},$$

ग्रोनवॉल्ड द्वारा प्रस्तुत किया गया, संबद्ध ★ -जेनवैल्यू के साथ
 * $$E_n = \hbar \omega \left(n + \frac{1}{2}\right).$$

हार्मोनिक ऑसिलेटर के लिए, मनमाना विग्नर वितरण का समय विकास सरल है। प्रारंभिक $F_{n}(u)$ उपरोक्त विकास समीकरण द्वारा विकसित होता है, जो दिए गए ऑसिलेटर हैमिल्टनियन द्वारा संचालित होता है, बस चरण स्थान में कठोरता से घूमते हुए,                                             $$ W(x, p; t) = W(m\omega x \cos \omega t - p \sin \omega t, p \cos \omega t + \omega m x \sin \omega t; 0).$$

सामान्यतः, ऊर्जा $W(x, p; t = 0) = F(u)$ का "उभार" (या सुसंगत स्थिति)। स्थूल मात्रा का प्रतिनिधित्व कर सकता है और चरण स्थान में समान रूप से घूमते हुए एक शास्त्रीय वस्तु की तरह दिखाई दे सकता है, सादा यांत्रिक थरथरानवाला (एनिमेटेड आंकड़े देखें)। ऐसी वस्तुओं के सभी चरणों (टी = 0 पर प्रारंभिक स्थिति) को एकीकृत करने से, सतत "पैलिसेड", उपरोक्त स्थिर ★ - जेनस्टेट्स  $E ≫ ħω$ के समान समय-स्वतंत्र कॉन्फ़िगरेशन उत्पन्न करता है, जो बड़े-एक्शन सिस्टम के लिए शास्त्रीय सीमा का एक सहज दृश्य।

मुक्त कण कोणीय संवेग
मान लीजिए कि कण प्रारंभ में न्यूनतम अनिश्चित गॉसियन अवस्था में है, स्थिति और गति दोनों के अपेक्षित मूल्य चरण स्थान में मूल पर केंद्रित हैं। ऐसे राज्य के लिए विग्नर फ़ंक्शन स्वतंत्र रूप से प्रचारित होता है
 * $$W(\mathbf{x},\mathbf{p};t)=\frac{1}{(\pi \hbar)^3} \exp{\left( -\alpha^2 r^2 - \frac{p^2}{\alpha^2 \hbar^2}\left(1+\left(\frac{t}{\tau}\right)^2\right) + \frac{2t}{\hbar \tau} \mathbf{x} \cdot \mathbf{p}\right)} ~,$$

जहां α गॉसियन की प्रारंभिक चौड़ाई का वर्णन करने वाला एक पैरामीटर है, और $F(u)$।

प्रारंभ में, स्थिति और संवेग असंबद्ध हैं। इस प्रकार, 3 आयामों में, हम उम्मीद करते हैं कि स्थिति और संवेग सदिश एक-दूसरे के समानांतर होने की संभावना से दोगुना होंगे।

यद्यपि, जैसे-जैसे स्थिति विकसित होता है, स्थिति और गति तेजी से सहसंबद्ध हो जाती है, क्योंकि स्थिति में मूल से दूर वितरण के कुछ हिस्सों तक पहुँचने के लिए एक बड़ी गति की आवश्यकता होती है: स्पर्शोन्मुख रूप से,
 * $$W \longrightarrow \frac{1}{(\pi\hbar)^3}\exp\left[-\alpha^2\left(\mathbf{x}-\frac{\mathbf{p}t}{m}\right)^2\right]\,.$$

(यह सापेक्ष निचोड़ित समन्वय स्थान में मुक्त तरंग पैकेट के प्रसार को दर्शाता है।)

वास्तव में, यह दिखाना संभव है कि मानक के अनुरूप कण की गतिज ऊर्जा केवल स्पर्शोन्मुख रेडियल हो जाती है, अभिविन्यास स्वतंत्रता को निर्दिष्ट करते हुए ग्राउंड-स्टेट गैर-शून्य कोणीय गति की मानक क्वांटम-मैकेनिकल धारणा के अनुरूप है
 * $$K_\text{rad}=\frac{\alpha^2 \hbar^2}{2m}\left(\frac{3}{2} - \frac{1}{1+(t/\tau)^2}\right)$$
 * $$K_\text{ang}=\frac{\alpha^2 \hbar^2}{2m}\frac{1}{1+(t/\tau)^2}~.$$

मोर्स क्षमता
मोर्स क्षमता का उपयोग डायटोमिक अणु की कंपन संरचना का अनुमान लगाने के लिए किया जाता है।



क्वांटम टनलिंग
टनलिंग विशिष्ट क्वांटम प्रभाव है जहां क्वांटम कण, ऊपर उड़ने के लिए पर्याप्त ऊर्जा नहीं होने के बावजूद भी बाधा से गुजरता है। यह प्रभाव शास्त्रीय यांत्रिकी में मौजूद नहीं है।