P-ऐडिक संख्या

गणित में, किसी भी अभाज्य संख्या $p$ के लिए $p$-ऐडिक संख्या प्रणाली परिमेय संख्या प्रणाली के वास्तविक संख्या और जटिल संख्या प्रणाली के विस्तार से भिन्न तरीके से परिमेय संख्याओं के सामान्य अंकगणित का विस्तार करती है। विस्तार "निकटता" या पूर्ण मूल्य की अवधारणा के वैकल्पिक व्याख्या द्वारा प्राप्त किया जाता है। विशेष रूप से, दो $p$-एडिक नंबरों को पास माना जाता है जब उनका अंतर $p$ की उच्च घातांक से विभाज्य होता है : घात जितनी अधिक होती है, वे उतने ही निकट होते हैं। यह गुण $p$-ऐडिक संख्याओं को सर्वांगसमता की जानकारी को इस तरह से सांकेतिक करने में सक्षम बनाता है जो संख्या सिद्धांत में शक्तिशाली अनुप्रयोगों के रूप में सामने आता है - उदाहरण के लिए, एंड्रयू विल्स द्वारा फर्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण में समिलित है। इन नंबरों को सबसे पहले 1897 में कर्ट हेन्सेल द्वारा वर्णित किया गया था, यद्यपि, पूर्व दृष्टि से, अर्न्स्ट कुमेर के पहले के कुछ कार्यों की $p$-एडिक नंबरों का उपयोग करते हुए स्पष्ट रूप से व्याख्या की जा सकती है। $p$-ऐडिक संख्याएँ मुख्य रूप से संख्या सिद्धांत में शक्ति श्रृंखला विधियों के विचारों और तकनीकों को लाने के प्रयास से प्रेरित थीं। उनका प्रभाव अब इससे कहीं आगे बढ़ गया है। उदाहरण के लिए, $p$-ऐडिक विश्लेषण का क्षेत्र विश्लेषण अनिवार्य रूप से कलन (कैलकुलस) का वैकल्पिक रूप प्रदान करता है।

अधिक औपचारिक रूप से, किसी दिए गए अभाज्य $p$ के लिए, $p$-ऐडिक संख्याओं का क्षेत्र (गणित) $Q_{p}$ परिमेय संख्याओं का पूरा होना है। फील्ड $Q_{p}$ को मीट्रिक से प्राप्त सांस्थिति भी दिया जाता है, जो स्वयं $p$-ऐडिक क्रम से प्राप्त होता है, जो परिमेय संख्याओं पर एक वैकल्पिक मूल्यांकन (बीजगणित) है। यह मीट्रिक स्थान इस अर्थ में पूर्ण है कि प्रत्येक कॉची अनुक्रम $Q_{p}$ में एक बिंदु पर अभिसरण करता है। यह वह है $Q_{p}$ पर जो कलन के विकास की अनुमति देता है, और यह इस विश्लेषणात्मक और बीजगणितीय ज्यामिति संरचना की परस्पर क्रिया है जो $p$-ऐडिक संख्या प्रणालियाँ को उनकी शक्ति और उपयोगिता देता है।

$p$-एडिक में $p$ एक परिवर्तनशील (गणित) है और इसे अभाज्य (समर्पण, उदाहरण के लिए, 2-एडिक नंबर) या अभाज्य नंबर का प्रतिनिधित्व करने वाली दूसरी अभिव्यक्ति के साथ प्रतिस्थापित किया जा सकता है। "$p$-ऐडिक" का "एडिक" शब्दों जैसे कि डाइएडिक या ट्रायडिक में पाए जाने वाले अंत से आता है।

परिमेय संख्याओं का p-ऐडिक विस्तार
एक धनात्मक परिमेय संख्या $$r$$ का दशमलव प्रसार श्रृंखला (गणित) $$r = \sum_{i=k}^\infty a_i 10^{-i},$$ के रूप में इसका प्रतिनिधित्व है जहाँ $$k$$ एक पूर्णांक है और प्रत्येक $$a_i$$ भी एक पूर्णांक है जैसे कि $$0\le a_i <10$$। इस विस्तार की गणना भाजक द्वारा अंश के दीर्घ विभाजन द्वारा की जा सकती है, जो स्वयं निम्नलिखित प्रमेय पर आधारित है: यदि $$r=\tfrac n d$$ एक परिमेय संख्या है जैसे कि $$10^k\le r <10^{k+1},$$ $$a$$ एक पूर्णांक है ऐसा कि $$0< a <10,$$ और $$r = a\,10^k +r',$$ साथ $$r'<10^k$$। इस परिणाम को शेषफल $$'r'$$ पर बार-बार लागू करने से दशमलव प्रसार प्राप्त होता है जो पुनरावृति में मूल परिमेय संख्या $$r$$ की भूमिका ग्रहण करता है।

एक परिमेय संख्या का $p$-ऐडिक विस्तार समान रूप से परिभाषित किया गया है, लेकिन एक भिन्न विभाजन चरण के साथ। अधिक सटीक रूप से, एक निश्चित अभाज्य संख्या $$p$$ दी गई है, प्रत्येक अशून्य परिमेय संख्या $$r$$ को विशिष्ट रूप से $$r=p^k\tfrac n d,$$ के रूप में लिखा जा सकता है जहाँ $$k$$ एक (संभवतः ऋणात्मक) पूर्णांक है, $$n$$ और $$d$$ सह अभाज्य पूर्णांक हैं हैं, दोनों $$p$$ के साथ सहअभाज्य हैं, और $$d$$ धनात्मक है। पूर्णांक $$k$$, $$r$$ का $p$-ऐडिक मूल्यांकन है, जिसे $$v_p(r)$$ निरूपित किया गया है, और $$p^{-k}$$ इसका $p$-ऐडिक निरपेक्ष मान है, जिसे  $$|r|_p$$ निरूपित किया गया है (मूल्यांकन बड़ा होने पर निरपेक्ष मूल्य छोटा होता है)। विभाजन चरण में लेखन समिलित है
 * $$r = a\,p^k + r'$$

कहाँ $$a$$ एक पूर्णांक ऐसा है $$0\le a k$$). $$p$$वें>-ऐडिक विस्तार की $$r$$ औपचारिक शक्ति श्रृंखला है
 * $$r = \sum_{i=k}^\infty a_i p^i$$

उत्तरोत्तर शेषफलों पर #विभाजन_चरण विभाजन चरण को अनिश्चित काल तक दोहराकर प्राप्त किया जाता है। में एक $p$-ऐडिक विस्तार, सब $$a_i$$ ऐसे पूर्णांक हैं $$0\le a_i  0$$, प्रक्रिया अंततः शून्य शेष के साथ रुक जाती है; इस मामले में, श्रृंखला एक शून्य गुणांक के साथ अनुगामी शब्दों द्वारा पूरी की जाती है, और इसका प्रतिनिधित्व है $$r$$ आधार-एन|आधार में-$p$.

अस्तित्व और गणना $p$-बेज़ाउट की पहचान से एक परिमेय संख्या के परिणामों का विस्तार निम्नलिखित तरीके से होता है। यदि ऊपर की तरह, $$r=p^k \tfrac n d,$$ और $$d$$ और $$p$$ कोअभाज्य हैं, वहाँ पूर्णांक उपस्थित हैं $$t$$ और $$u$$ ऐसा है कि $$t d+u p=1.$$ इसलिए
 * $$r=p^k \tfrac n d(t d+u p)=p^k n t + p^{k+1}\frac{u n}d.$$

फिर, का यूक्लिडियन विभाजन $$n t$$ द्वारा $$p$$ देता है
 * $$n t=q p+a,$$

साथ $$0\le a <p.$$ यह विभाजन चरण को इस प्रकार देता है
 * $$\begin{array}{lcl}

r & = & p^k(q p+a) + p^{k+1}\frac {u n}d \\ & = & a p^k +p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d, \\ \end{array}$$ ताकि पुनरावृत्ति में
 * $$r' = p^{k+1}\,\frac{q d+u n} d$$

नई परिमेय संख्या है।

विभाजन चरण और संपूर्ण की विशिष्टता $p$-ऐडिक विस्तार आसान है: अगर $$p^k a_1 + p^{k+1}s_1=p^k a_2 + p^{k+1}s_2,$$ किसी के पास $$a_1-a_2=p(s_2-s_1).$$ इसका मतलब यह है $$p$$ विभाजित $$a_1-a_2.$$ तब से $$0\le a_1 <p$$ और $$0\le a_2 <p,$$ निम्नलिखित सत्य होना चाहिए: $$0\le a_1$$ और $$a_2<p.$$ इस प्रकार, एक प्राप्त करता है $$-p < a_1-a_2 < p,$$ और तबसे $$p$$ विभाजित $$a_1-a_2$$ यह वह होना चाहिए $$a_1=a_2.$$

$p}|p$-एक परिमेय संख्या का आदिक विस्तार एक श्रृंखला है जो परिमेय संख्या में परिवर्तित होती है, यदि कोई अभिसरण श्रृंखला की परिभाषा को लागू करता है $p$-ऐडिक निरपेक्ष मूल्य। मानक में $p$-ऐडिक संकेतन, अंकों को उसी क्रम में लिखा जाता है जैसा कि स्थितीय संकेतन में होता है#अंक प्रणाली का आधार|मानक आधार-$p$ प्रणाली, अर्थात् आधार की शक्तियों के बाईं ओर बढ़ने के साथ। इसका मतलब यह है कि अंकों का उत्पादन उल्टा हो जाता है और सीमा बाईं ओर होती है। वह $p$-परिमेय संख्या का विशेष विस्तार अंततः आवधिक कार्य है। बातचीत (तर्क), एक श्रृंखला $\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,$ साथ $$0\le a_i <p$$ अभिसरण (के लिए $p$-ऐडिक निरपेक्ष मान) एक परिमेय संख्या के लिए अगर और केवल अगर यह अंततः आवधिक है; इस मामले में, श्रृंखला है $p$-उस परिमेय संख्या का आदिम विस्तार। गणितीय प्रमाण दोहराए जाने वाले दशमलव के समान परिणाम के समान है।

उदाहरण
आइए हम $$\frac 13$$ के 5-एडिक विस्तार की गणना करें। विस्तार की गणना करें 5 के लिए बेज़ाउट की पहचान और भाजक 3  $$2\cdot 3 + (-1)\cdot 5 =1$$ है (बड़े उदाहरणों के लिए, इसकी गणना विस्तारित विस्तारित यूक्लिडियन एल्गोरिथ्म साथ की जा सकती है)। इस प्रकार
 * $$\frac 13= 2-\frac 53.$$

अगले चरण के लिए, किसी को "विभाजित" करना होगा $$-1/3$$ (भिन्न के अंश में गुणनखंड 5 को $p$-ऐडिक मूल्यांकन के "शिफ्ट" के रूप में देखा जाना चाहिए, और इस प्रकार यह "विभाजन" में समिलित नहीं है)। बेज़ाउट की पहचान को $$-1$$ से गुणा करने पर
 * $$-\frac 13=-2+\frac 53$$ प्राप्त होता है।

"पूर्णांक भाग" $$-2$$ सही अंतराल में नहीं है। इसलिए, $$-2= 3-1\cdot 5$$ प्राप्त करने के लिए $$5$$ से यूक्लिडियन डिवीजन का उपयोग करना होगा जो
 * $$-\frac 13=3-5+\frac 53 = 3-\frac {10}3,$$

और
 * $$\frac 13= 2+3\cdot 5 + \frac {-2}3\cdot 5^2$$ देगा।

इसी तरह, एक के पास
 * $$-\frac 23=1-\frac 53,$$

और
 * $$\frac 13=2+3\cdot 5 + 1\cdot 5^2 +\frac {-1}3\cdot 5^3$$ है।

"शेष" के रूप में $$-\tfrac 13$$ पहले ही मिल चुका है, गुणांक देते हुए प्रक्रिया को आसानी से जारी रखा जा सकता है, पाँच की विषम घात के लिए गुणांक $$3$$ और सम घात के लिए $$1$$ दिया जा सकता है। या मानक 5-एडिक संकेतन $$\frac 13= \ldots 1313132_5 $$

में दीर्घवृत्त के साथ $$ \ldots $$ बाएं हाथ की ओर।

p-ऐडिक सीरीज
इस लेख में, एक प्रमुख संख्या दी गई है $p$, ए$p$-ऐडिक श्रृंखला रूप की एक औपचारिक श्रृंखला है
 * $$\sum_{i=k}^\infty a_i p^i,$$

जहां हर अशून्य $$a_i$$ एक परिमेय संख्या है $$a_i=\tfrac {n_i}{d_i},$$ ऐसा कि कोई नहीं $$n_i$$ और $$d_i$$ से विभाज्य है $p$.

प्रत्येक परिमेय संख्या को एक के रूप में देखा जा सकता है $p$-ऐडिक श्रंखला एक शब्द के साथ, जिसमें इसके रूप का गुणनखंड समिलित है $$p^k\tfrac nd,$$ साथ $n$ और $d$ दोनों साथ coprime $p$.

ए $p$-ऐडिक श्रृंखला सामान्यीकृत होती है यदि प्रत्येक $$a_i$$ अंतराल में एक पूर्णांक है (गणित) $$[0,p-1].$$ इतना p}एक परिमेय संख्या का }-ऐडिक विस्तार एक सामान्यीकृत है $p$-ऐडिक श्रृंखला।

पी-एडिक वैल्यूएशन |$p$-ऐडिक मूल्यांकन, या $p$-अशून्य का आदिम क्रम $p$-ऐडिक श्रंखला सबसे छोटा पूर्णांक है $i$ ऐसा है कि $$a_i\ne 0.$$ शून्य श्रृंखला का क्रम अनंत है $$\infty.$$ दो $p$-ऐडिक श्रंखलाएँ तुल्य होती हैं यदि उनका क्रम समान हो $k$, और यदि प्रत्येक पूर्णांक के लिए $n ≥ k$ उनकी आंशिक रकम के बीच का अंतर
 * $$\sum_{i=k}^n a_ip^i-\sum_{i=k}^n b_ip^i=\sum_{i=k}^n (a_i-b_i)p^i$$

से अधिक का आदेश है $n$ (अर्थात, रूप की एक परिमेय संख्या है $$p^k\tfrac ab,$$ साथ $$k>n,$$ और $a$ और $b$ दोनों साथ coprime $p$).

हरएक के लिए $p$-ऐडिक श्रृंखला $$S$$, एक अनूठी सामान्यीकृत श्रृंखला है $$N$$ ऐसा है कि $$S$$ और $$N$$ समकक्ष हैं। $$N$$ का सामान्यीकरण है $$S.$$ प्रमाण के अस्तित्व प्रमाण के समान है $p$-एक परिमेय संख्या का आदिम विस्तार। विशेष रूप से, प्रत्येक परिमेय संख्या को एक के रूप में माना जा सकता है $p$-ऐडिक श्रृंखला एक एकल अशून्यशब्द के साथ, और इस श्रृंखला का सामान्यीकरण वास्तव में परिमेय संख्या का परिमेय प्रतिनिधित्व है।

दूसरे शब्दों में, की समानता $p$-ऐडिक श्रृंखला एक तुल्यता संबंध है, और प्रत्येक तुल्यता वर्ग में ठीक एक सामान्यीकृत होता है $p$-ऐडिक श्रृंखला।

श्रृंखला के सामान्य संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) मानचित्र $p$-ऐडिक श्रृंखला के लिए $p$-ऐडिक श्रृंखला, और की समानता के साथ संगत हैं $p$-ऐडिक श्रृंखला। अर्थात्, के साथ समानता को दर्शाते हुए $~$, अगर $S$, $T$ और $U$ अशून्य हैं $p$-ऐडिक श्रृंखला ऐसी है कि $$S\sim T,$$ किसी के पास
 * $$\begin{align}

S\pm U&\sim T\pm U,\\ SU&\sim TU,\\ 1/S&\sim 1/T. \end{align}$$ इसके अतिरिक्त, $S$ और $T$ का एक ही क्रम है, और वही पहला पद है।

स्थितीय संकेतन
मूलांक $p$ में संख्याओं का प्रतिनिधित्व करने के लिए उपयोग किए जाने वाले समान स्थितीय संकेतन का उपयोग करना संभव है।

मान लीजिए  एक सामान्यीकृत  $p$-एडिक श्रृंखला है, यानी प्रत्येक $$a_i$$ अंतराल $$[0,p-1]$$ में एक पूर्णांक है, ऐसा मान सकता है $$k\le 0$$ को $$0\le i  0), और परिणामी शून्य शब्दों को श्रृंखला में जोड़ दिया जाए।

यदि $$k\ge 0,$$ स्थितीय संकेतन में $$a_i$$ को लगातार लिखना समिलित है, $i$ के घटते मूल्यों द्वारा क्रमबद्ध, बार बार $p$ के साथ एक अनुक्रमणिका :

$$\ldots a_n \ldots a_1{a_0}_p$$ के रूप में दाईं ओर दिखाई देता है।

तो, उपरोक्त उदाहरण की गणना से पता चलता है कि
 * $$\frac 13= \ldots 1313132_5,$$

और
 * $$\frac {25}3= \ldots 131313200_5$$ ।

जब $$k<0,$$ एक पृथक्कारी बिंदु ऋणात्मक सूचकांक वाले अंकों से पहले जोड़ा जाता है, और, यदि सूचकांक $p$ उपस्थित है, तो यह अलग करने वाले बिंदु के ठीक बाद दिखाई देता है। उदाहरण के लिए,
 * $$\frac 1{15}= \ldots 3131313._52,$$

और
 * $$\frac 1{75}= \ldots 1313131._532.$$

यदि एक $p$-ऐडिक प्रतिनिधित्व बाईं ओर परिमित है (अर्थात, $i$ के बड़े मानों के लिए $$a_i=0$$), तो इसमें $$n,v$$ पूर्णांकों के साथ $$n p^v,$$ के रूप की गैर-ऋणात्मक परिमेय संख्या का मान होता है। ये परिमेय संख्याएँ वास्तव में गैर-नकारात्मक परिमेय संख्याएँ हैं जिनका मूलांक $p$ में परिमित प्रतिनिधित्व है। इन परिमेय संख्याओं के लिए, दो निरूपण समान हैं।

परिभाषा
$p$-एडिक संख्याओं की कई समतुल्य परिभाषाएँ हैं। जो यहाँ दिया गया है वह अपेक्षाकृत प्रारंभिक है, क्योंकि इसमें पिछले अनुभागों में निवेदित की गई अवधारणाओं के अतिरिक्त कोई अन्य गणितीय अवधारणाएँ समिलित नहीं हैं। अन्य समतुल्य परिभाषाएँ असतत मूल्यांकन वलय (देखें ), एक मीट्रिक स्थान की समाप्ति (देखें ), या व्युत्क्रम सीमाएँ (देखें ) के पूरा होने का उपयोग करती हैं।

ए $p$-ऐडिक संख्या को सामान्यीकृत के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $p$-ऐडिक श्रृंखला। चूँकि अन्य समान परिभाषाएँ हैं जो आमतौर पर उपयोग की जाती हैं, एक बार बार कहता है कि एक सामान्यीकृत $p$-ऐडिक श्रेणी दर्शाती है a $p$-ऐडिक संख्या, यह कहने के बजाय कि यह एक है $p$-ऐडिक संख्या।

कोई यह भी कह सकता है कि कोई $p$-ऐडिक श्रेणी दर्शाती है a $p$-ऐडिक संख्या, प्रत्येक के बाद से $p$-ऐडिक श्रृंखला एक अद्वितीय सामान्यीकृत के बराबर है $p$-ऐडिक श्रृंखला। यह के संचालन (जोड़, घटाव, गुणा, भाग) को परिभाषित करने के लिए उपयोगी है $p$-एडिक संख्याएँ: इस तरह के ऑपरेशन का परिणाम श्रृंखला पर संबंधित ऑपरेशन के परिणाम को सामान्य करके प्राप्त किया जाता है। यह अच्छी तरह से संचालन को परिभाषित करता है $p$-ऐडिक संख्याएँ, चूँकि श्रृंखला संक्रियाएँ की तुल्यता के अनुकूल हैं $p$-ऐडिक श्रृंखला।

इन ऑपरेशनों के साथ, $p$-ऐडिक संख्याएँ एक क्षेत्र (गणित) बनाती हैं जिसे का क्षेत्र कहा जाता है $p$-एडिक नंबर और निरूपित $$\Q_p$$ या $$\mathbf Q_p.$$ में परिमेय संख्याओं से एक अद्वितीय क्षेत्र समाकारिता है $p$-ऐडिक नंबर, जो इसके लिए एक परिमेय संख्या को मैप करता है $p$-ऐडिक विस्तार। इस समरूपता की छवि (गणित) को आमतौर पर परिमेय संख्याओं के क्षेत्र से पहचाना जाता है। यह विचार करने की अनुमति देता है $p$-ऐडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं के विस्तार क्षेत्र के रूप में, और परिमेय संख्याएँ परिमेय संख्याओं के एक उपक्षेत्र (गणित) के रूप में $p$-एडिक नंबर।

एक अशून्य का मूल्यांकन $p$-यानी संख्या $x$, आमतौर पर निरूपित $$v_p(x),$$ का प्रतिपादक है $p$ प्रत्येक के पहले अशून्य पद में $p$-ऐडिक श्रृंखला जो प्रतिनिधित्व करती है $x$. रिवाज के सन्दर्भ मे, $$v_p(0)=\infty;$$ अर्थात् शून्य का मान है $$\infty.$$ यह मूल्यांकन असतत मूल्यांकन है। परिमेय संख्याओं के लिए इस मूल्यांकन का प्रतिबंध है $p$-ऐडिक मूल्यांकन $$\Q,$$ वह है, प्रतिपादक $v$ किसी परिमेय संख्या के गुणनखंड में दोनों के साथ $n$ और $d$ साथ coprime $p$.

पी-एडिक पूर्णांक
'$p$-ऐडिक पूर्णांक हैं $p$-एडिक नंबर एक गैर-नकारात्मक मूल्यांकन के साथ।

ए $p$-ऐडिक पूर्णांक को अनुक्रम के रूप में दर्शाया जा सकता है


 * $$ x = (x_1 \operatorname{mod} p, ~ x_2 \operatorname{mod} p^2, ~ x_3 \operatorname{mod} p^3, ~ \ldots)$$

अवशेषों की $x_{e}$ ख़िलाफ़ $p^{e}$ प्रत्येक पूर्णांक के लिए $e$, संगतता संबंधों को संतुष्ट करना $$x_i \equiv x_j ~ (\operatorname{mod} p^i)$$ के लिए $i < j$.

प्रत्येक पूर्णांक एक है $p$-ऐडिक पूर्णांक (शून्य सहित, चूंकि $$0<\infty$$). प्रपत्र की परिमेय संख्या $ \tfrac nd p^k$ साथ $d$ साथ coprime $p$ और $$k\ge 0$$ भी हैं $p$-ऐडिक पूर्णांक (इस कारण से कि $d$ में उलटा मोड है $p^{e}$ हरएक के लिए $e$). वह $p$-ऐडिक पूर्णांक एक क्रमविनिमेय वलय बनाते हैं, जिसे निरूपित किया जाता है $$\Z_p$$ या $$\mathbf Z_p$$, जिसके निम्नलिखित गुण हैं। अंतिम संपत्ति की परिभाषा प्रदान करती है $p$-ऐडिक संख्याएँ जो उपरोक्त के समतुल्य हैं: का क्षेत्र $p$-ऐडिक संख्या पूर्णांकों के स्थानीयकरण के समापन होने के अंशों का क्षेत्र है, जिसके द्वारा उत्पन्न प्रधान आदर्श पर $p$.
 * यह एक अभिन्न डोमेन है, क्योंकि यह एक क्षेत्र का सबवलय है, या दो गैर शून्य के उत्पाद की श्रृंखला प्रतिनिधित्व की पहली अवधि के बाद से $p$-एडिक श्रेणी उनके प्रथम पदों का गुणनफल है।
 * की इकाई (वलय थ्योरी) (उलटा तत्व)। $$\Z_p$$ हैं $p$-ऐडिक नंबर वैल्यूएशन जीरो।
 * यह एक प्रमुख आदर्श डोमेन है, जैसे कि प्रत्येक आदर्श (वलय थ्योरी) की शक्ति द्वारा उत्पन्न होता है $p$.
 * यह क्रुल आयाम वन का एक स्थानीय वलय है, क्योंकि इसके एकमात्र प्रमुख आदर्श शून्य आदर्श हैं और इसके द्वारा उत्पन्न आदर्श हैं $p$, अद्वितीय अधिकतम आदर्श।
 * यह एक असतत मूल्यांकन वलय है, क्योंकि यह पिछले गुणों से उत्पन्न होता है।
 * यह स्थानीय वलय के एक वलय का समापन होना है $$\Z_{(p)} = \{\tfrac nd \mid n, d \in \Z,\, d \not\in p\Z \},$$ जो का स्थानीयकरण (कम्यूटेटिव बीजगणित) है $$\Z$$ प्रधान आदर्श पर $$p\Z.$$

सामयिक गुण
$p}|p$-ऐडिक मूल्यांकन एक निरपेक्ष मान (बीजगणित) को परिभाषित करने की अनुमति देता है $p$-एडिक नंबर: द $p$-एक अशून्य का आदिम निरपेक्ष मान $p$-यानी संख्या $x$ है
 * $$|x|_p = p^{-v_p(x)},$$

कहाँ $$v_p(x)$$ है $p$-ऐडिक मूल्यांकन $x$. वह $p$-ऐडिक का निरपेक्ष मान $$0$$ है $$|0|_p = 0.$$ यह एक पूर्ण मूल्य है जो प्रत्येक के लिए मजबूत त्रिभुज असमानता को संतुष्ट करता है $x$ और $y$ किसी के पास इसके अतिरिक्त, अगर $$|x|_p \ne |y|_p,$$ किसी के पास $$|x+y|_p = \max(|x|_p,|y|_p).$$ यह बनाता है $p$-ऐडिक नंबर एक मीट्रिक स्पेस, और यहां तक ​​कि एक अल्ट्रामेट्रिक स्पेस, के साथ $p$-ऐडिक दूरी द्वारा परिभाषित $$d_p(x,y)=|x-y|_p.$$ एक मीट्रिक स्थान के रूप में, $p$-ऐडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं की समापन (मीट्रिक स्थान) बनाती हैं $p$-ऐडिक निरपेक्ष मूल्य। यह परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है $p$-एडिक नंबर। यद्यपि, इस मामले में समापन के सामान्य निर्माण को सरल बनाया जा सकता है, क्योंकि मीट्रिक को असतत मूल्यांकन द्वारा परिभाषित किया गया है (संक्षेप में, कोई भी प्रत्येक कॉची अनुक्रम से एक अनुक्रम निकाल सकता है जैसे कि लगातार दो शब्दों के बीच के अंतरों में पूर्ण मूल्यों में सख्ती से कमी आई है ; इस प्रकार का अनुक्रम a के आंशिक योगों का क्रम है $p$-ऐडिक श्रृंखला, और इस प्रकार एक अद्वितीय सामान्यीकृत $p$-ऐडिक श्रंखला को कौशी अनुक्रमों के प्रत्येक तुल्यता वर्ग से जोड़ा जा सकता है; इसलिए, समापन के निर्माण के लिए, यह सामान्यीकृत विचार करने के लिए पर्याप्त है $p$-कौची अनुक्रमों के तुल्यता वर्गों के बजाय एडिक श्रृंखला)।
 * $$|x|_p = 0$$ अगर और केवल अगर $$x=0;$$
 * $$|x|_p\cdot |y|_p = |xy|_p$$ *$$|x+y|_p\le \max(|x|_p,|y|_p) \le |x|_p + |y|_p.$$

जैसा कि मीट्रिक को असतत मूल्यांकन से परिभाषित किया गया है, प्रत्येक खुली गेंद भी बंद गेंद है। अधिक सटीक, खुली गेंद $$B_r(x) =\{y\mid d_p(x,y)r.$$ इसका तात्पर्य यह है कि $p$-ऐडिक नंबर एक स्थानीय रूप स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट स्थान बनाते हैं, और $p$-ऐडिक पूर्णांक—अर्थात् गेंद $$B_1[0]=B_p(0)$$- एक कॉम्पैक्ट जगह  बनाएं।

मॉड्यूलर गुण
भागफल की अंगूठी $$\Z_p/p^n\Z_p$$ अंगूठी से पहचाना जा सकता है (गणित) $$\Z/p^n\Z$$ पूर्णांकों का मॉड्यूलर अंकगणित $$p^n.$$ यह टिप्पणी करके दिखाया जा सकता है कि हर $p$-ऐडिक पूर्णांक, इसके सामान्यीकृत द्वारा दर्शाया गया है $p$-यानी, श्रृंखला, यह मॉड्यूल से मेल खाती है $$p^n$$ इसके आंशिक योग के साथ जिसका मान अंतराल में एक पूर्णांक है $$[0,p^n-1].$$ एक सीधा सत्यापन दिखाता है कि यह वलय समरूपता को परिभाषित करता है $$\Z_p/p^n\Z_p$$ को $$\Z/p^n\Z.$$ छल्लों की व्युत्क्रम सीमा $$\Z_p/p^n\Z_p$$ अनुक्रमों द्वारा गठित वलय के रूप में परिभाषित किया गया है $$a_0, a_1, \ldots$$ ऐसा है कि $$a_i \in \Z/p^i \Z$$ और हरएक के लिए $i$.

मानचित्रण जो एक सामान्यीकृत $p$-ऐडिक श्रृंखला को उसके आंशिक योगों के अनुक्रम में मानचित्रित करती है, वह $$\Z_p$$ से $$\Z_p/p^n\Z_p$$ की व्युत्क्रम सीमा तक एक वलय समाकृतिकता है। यह $p$-ऐडिक पूर्णांक (एक समाकृतिकता तक) को परिभाषित करने का एक और तरीका प्रदान करता है।

$p$-ऐडिक पूर्णांकों की यह परिभाषा विशेष रूप से व्यावहारिक संगणनाओं के लिए उपयोगी है, क्योंकि $p$-ऐडिक पूर्णांकों को क्रमबद्ध सन्निकटन द्वारा बनाने की अनुमति है।

उदाहरण के लिए, पूर्णांक के $p$-ऐडिक (गुणात्मक) व्युत्क्रम की गणना के लिए, न्यूटन की विधि का उपयोग किया जा सकता है, जो व्युत्क्रम मॉड्यूलो $p$ से आरंभ होता है; फिर, प्रत्येक न्यूटन कदम व्युत्क्रम मॉड्यूलो $p^n$ से व्युत्क्रम मॉड्यूलो $p^{n^2}$ की गणना करता है।

उसी विधि का उपयोग एक पूर्णांक के $p$-ऐडिक वर्गमूल की गणना के लिए किया जा सकता है जो एक द्विघात अवशेष मॉड्यूलो $p$ है। यह परीक्षण के लिए सबसे तेज़ ज्ञात विधि प्रतीत होती है कि क्या एक बड़ा पूर्णांक एक वर्ग है: यह परीक्षण करने के लिए पर्याप्त है कि क्या दिया गया पूर्णांक $$\Z_p/p^n\Z_p$$ में पाए जाने वाले मान का वर्ग है या नहीं। वर्गमूल ज्ञात करने के लिए न्यूटन की विधि को लागू करने के लिए $p^n$  को दिए गए पूर्णांक के दोगुने से बड़ा होना आवश्यक है, जो जल्दी संतुष्ट हो जाता है।

हेंसल उठाना एक ऐसी ही विधि है जो $n$ के बड़े मूल्यों के लिए पूर्णांक गुणांक वाले बहुपद के गुणनखंड मॉड्यूल $p^n$ को "उठाने" की अनुमति देती है। यह आमतौर पर बहुपद गुणनखंड कलन विधि द्वारा उपयोग किया जाता है।

संकेतन
$p$-ऐडिक विस्तार लिखने के लिए कई अलग-अलग सम्मेलन हैं। अभी तक इस लेख में $p$-ऐडिक विस्तार के लिए एक अंकन का उपयोग किया गया है जिसमें $p$ की घातांक दाएँ से बाएँ बढ़ती हैं। इस दाएं-से-बाएं अंकन के साथ $1/5$ का 3-एडिक विस्तार, उदाहरण के लिए,


 * $$\dfrac{1}{5}=\dots 121012102_3$$ के रूप में लिखा गया है।

इस संकेतन में अंकगणित करते समय, अंकों को बाईं ओर ले जाया जाता है। $p$-ऐडिक विस्तार लिखना भी संभव है ताकि $p$ की शक्तियाँ बाएँ से दाएँ बढ़ता है, और अंकों को दाईं ओर ले जाए जाते हैं। इस बाएँ से दाएँ संकेतन के साथ $1/5$ का 3-ऐडिक विस्तार है -


 * $$\dfrac{1}{5}=2.01210121\dots_3\mbox{ or }\dfrac{1}{15}=20.1210121\dots_3.$$

$p$-ऐडिक विस्तार को {0, 1, ..., $p − 1$} के बजाय हस्ताक्षरित अंकों के प्रतिनिधित्व के साथ लिखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, 1/5 का 3-एडिक विस्तार को संतुलित त्रिअंकीय अंकों { 1 ,0,1} का उपयोग करके लिखा जा सकता है


 * $$\dfrac{1}{5}=\dots\underline{1}11\underline{11}11\underline{11}11\underline{1}_{\text{3}} .$$

वास्तव में $p$ पूर्णांक का कोई समुच्चय जो अलग-अलग अवशेष वर्ग मॉड्यूलो  $p$ में हैं, उन्हें  $p$-ऐडिक अंकों के रूप में उपयोग किया जा सकता है। संख्या सिद्धांत में, टीकमुलर प्रतिनिधियों को कभी-कभी अंकों के रूप में उपयोग किया जाता है।

उद्धरण संकेतन परिमेय संख्याओं के $p$-ऐडिक का एक प्रकार है जिसे 1979 में एरिक हेनर और निगेल हॉर्सपूल द्वारा कंप्यूटर पर इन संख्याओं के साथ (सटीक) अंकगणित को लागू करने के लिए प्रस्तावित किया गया था।

गणनांक
दोनों $$\Z_p$$ और $$\Q_p$$ अगणनीय हैं और सातत्य का गणनांक रखते हैं। $$\Z_p$$ के लिए यह  $p$-ऐडिक निरूपण का परिणाम है, जो घात समुच्चय $$\{0,\ldots,p-1\}^\N$$ पर $$\Z_p$$के आक्षेप (बायजेस्टियन) को परिभाषित करता है। $$\Q_p$$ के लिए यह $$\Z_p$$ की प्रतियों के अनगिनत अनंत संघ (समुच्चय सिद्धांत) के रूप में अपनी अभिव्यक्ति से परिणाम देता है :
 * $$\Q_p=\bigcup_{i=0}^\infty \frac 1{p^i}\Z_p.$$

बीजगणितीय समापन
$Q_{p}$ में $Q$ होता है और यह विशेषता $0$ का क्षेत्र है (बीजगणित)।

क्योंकि $0$ को वर्गों के योग के रूप में लिखा जा सकता है, $Q_{2}$ को क्रमवार क्षेत्र में नहीं बदला जा सकता।

$−7$ में केवल एक उचित बीजगणितीय विस्तार है: $p > 2$; दूसरे शब्दों में, यह द्विघात विस्तार पहले से ही बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। इसके विपरीत, का बीजगणितीय समापन $Q_{p}$, निरूपित $$\overline{\mathbf{Q}_p},$$ अनंत डिग्री है, वह है, $1 − p$ के असीम रूप से कई असमान बीजगणितीय विस्तार हैं। वास्तविक संख्याओं के मामले के विपरीत भी, यद्यपि इसका एक अनूठा विस्तार है $p$-ऐडिक मूल्यांकन करने के लिए $$\overline{\mathbf{Q}_p},$$ उत्तरार्द्ध (मीट्रिक रूप से) पूर्ण नहीं है। इसकी (मीट्रिक) समापन कहलाती है $Q_{p}$ या $R$. यहाँ एक अंत तक पहुँच गया है, के रूप में $C$ बीजगणितीय रूप से बंद है। यद्यपि इसके विपरीत $Q_{p}$ यह क्षेत्र स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट नहीं है।

$Q_{p}$ और $C_{p}$ वलय के रूप में समरूपी हैं, इसलिए हम $Ω_{p}$ को एक विदेशी मीट्रिक के साथ संपन्न $C_{p}$ के रूप में मान सकते हैं। इस तरह के क्षेत्र समरूपता के अस्तित्व का प्रमाण पसंद के स्वयंसिद्ध पर निर्भर करता है, और इस तरह के समरूपता का एक स्पष्ट उदाहरण प्रदान नहीं करता है (अर्थात, यह रचनात्मक प्रमाण नहीं है)।

अगर $C$ $C_{p}$ का परिमित गाल्वा विस्तार है, तो गाल्वा समूह $$\operatorname{Gal} \left(\mathbf{K}/ \mathbf{Q}_p \right)$$ हल करने योग्य समूह है। इस प्रकार, गैलोज़ समूह $$\operatorname{Gal} \left(\overline{\mathbf{Q}_p}/ \mathbf{Q}_p \right)$$ साध्य है।

गुणक समूह
$C$ में $n$-वां चक्रवातीय क्षेत्र ($C_{p}$) होता है यदि और केवल यदि $C$। उदाहरण के लिए, $n$-वाँ चक्रवातीय क्षेत्र $K$ का एक उपक्षेत्र है अगर और केवल अगर $Q_{p}$, या $Q_{p}$। विशेष रूप से, $n > 2$ में कोई $p$-मरोड़ (बीजगणित) गुणक नहीं है, अगर $n&thinsp;| p − 1$। साथ ही, $Q_{13}$ में एकमात्र असतहीय मरोड़ तत्व $n = 1, 2, 3, 4, 6$ है।

एक प्राकृतिक संख्या $k$ दी गई है, $12$ में $$\mathbf{Q}_p^{\times}$$ के अशून्य तत्वों के $k$-वें घात के गुणक समूह का सूचकांक (समूह सिद्धांत) परिमित है।

क्रमगुणितअ के व्युत्क्रम के योग के रूप में परिभाषित संख्या $e$, किसी भी $p$-ऐडिक क्षेत्र का सदस्य नहीं है; लेकिन $Q_{p}$।  $p > 2$ के लिए व्यक्ति को कम से कम चौथा घात लेना चाहिए। (इस प्रकार $e$ के समान गुणों वाली एक संख्या  - अर्थात्  $Q_{2}$ की $p$-वीं जड़ — सभी $p$ के लिए $$\overline{\mathbf{Q}_p}$$ का सदस्य है।)

स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत
हेल्मुट हास के स्थानीय-वैश्विक सिद्धांत को एक समीकरण के लिए धारण करने के लिए कहा जाता है यदि इसे परिमेय संख्याओं पर हल किया जा सकता है यदि और केवल वास्तविक संख्याओं पर और प्रत्येक अभाज्य $p$ के लिए $p$-ऐडिक संख्याओं पर इसे हल किया जा सकता है। यह सिद्धांत, उदाहरण के लिए, द्विघात रूपों द्वारा दिए गए समीकरणों के लिए है, लेकिन कई अनिश्चितताओं में उच्च बहुपदों के लिए विफल रहता है।

सामान्यीकरण और संबंधित अवधारणाएं
वास्तविक और $p$-ऐडिक संख्याएँ परिमेय संख्याओं की समापनएँ हैं; यह अन्य क्षेत्रों को समापन करना भी संभव है, उदाहरण के लिए समवृत्तिक से सामान्य बीजगणितीय संख्या क्षेत्र। यह अब वर्णित किया जाएगा।

मान लीजिए कि D एक डेडेकिंड डोमेन है और E इसके अंशों का क्षेत्र है। D के अशून्य अभाज्य अनुकूल P को चुनें। यदि x E का अशून्य तत्व है, तो xD एक आंशिक आदर्श है और इसे D के अशून्य अभाज्य आदर्शों की धनात्मक और ऋणात्मक घात के उत्पाद के रूप में विशिष्ट रूप से तथ्यपूर्ण बनाया जा सकता है। हम इस गुणनखंड में P के घातांक के लिए ordP(x) लिखते हैं, और 1 से बड़ी संख्या c के किसी भी विकल्प के लिए हम
 * $$|x|_P = c^{-\!\operatorname{ord}_P(x)}$$ निर्धारित कर सकते हैं।

इस निरपेक्ष मान |. |P के संबंध में समापन करने से क्षेत्र EP  प्राप्त होता है, इस समायोजना के लिए p-ऐडिक नंबरों के क्षेत्र का उचित सामान्यीकरण। c का चुनाव समापन को नहीं बदलता है (विभिन्न विकल्पों से कॉची अनुक्रम की समान अवधारणा प्राप्त होती है, इसलिए वही समापन है)। यह सुविधाजनक है, जब अवशेष क्षेत्र D/P सीमित है, D/P के आकार को c के लिए लेना।

उदाहरण के लिए, जब E एक संख्या क्षेत्र है, ओस्ट्रोव्स्की के प्रमेय का कहना है कि E पर प्रत्येक असतहीय गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मूल्य कुछ |. |P. के रूप में उत्पन्न होता है। ई पर शेष असतहीय निरपेक्ष मान E के विभिन्न अंतःस्थापन से वास्तविक या जटिल संख्याओं में उत्पन्न होते हैं। (वास्तव में, गैर-आर्किमिडीयन निरपेक्ष मानों को क्षेत्र 'cp' में E के विभिन्न अंतःस्थापन के रूप में माना जा सकता है, इस प्रकार सामान्य आधार पर किसी संख्या क्षेत्र के सभी असतहीय पूर्ण मूल्यों का विवरण डालते हैं।)

जब E एक संख्या क्षेत्र (या अधिक आम तौर पर एक वैश्विक क्षेत्र) होता है, जिन्हें "स्थानीय" सूचना के कूटलेखन के रूप में देखा जाता है, तो प्रायः, एक व्यक्ति को उपरोक्त सभी समापन की समकालिकत ध्यान रखने की आवश्यकता है। यह एडेल वलय्स और आइडल समूहों द्वारा पूरा किया जाता है।

p-ऐडिक पूर्णांकों को p-ऐडिक परिनालिका $$\mathbb{T}_p$$ तक विस्तारित किया जा सकता है। $$\mathbb{T}_p$$ से एक मानचित्र है वृत्त समूह के लिए जिसके तंतु p-ऐडिक पूर्णांक $$\mathbb{Z}_p$$ हैं, सादृश्य में $$\mathbb{R}$$ से उस वृत्त तक का मानचित्र कैसे है जिसके तंतु $$\mathbb{Z}$$ हैं।

यह भी देखें

 * गैर-अभिलेखागार
 * पी-एडिक क्वांटम यांत्रिकी
 * पी-एडिक हॉज सिद्धांत
 * पी-एडिक टेचमुलर थ्योरी
 * पी-एडिक विश्लेषण
 * 1 + 2 + 4 + 8 + ...
 * विशेषण संख्या | k-adic संकेतन
 * सी-न्यूनतम सिद्धांत
 * हेंसल की लेम्मा
 * स्थानीय रूप से कॉम्पैक्ट क्षेत्र
 * महलर की प्रमेय
 * अनंत पूर्णांक
 * Volkenborn अभिन्न

संदर्भ

 * . &mdash; Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).
 * . &mdash; Translation into English by John Stillwell of Theorie der algebraischen Functionen einer Veränderlichen (1882).

बाहरी संबंध

 * p-ऐडिक number at Springer On-line Encyclopaedia of Mathematics
 * Completion of Algebraic Closure – on-line lecture notes by Brian Conrad
 * An Introduction to p-ऐडिक Numbers and p-ऐडिक Analysis - on-line lecture notes by Andrew Baker, 2007
 * Efficient p-ऐडिक arithmetic (slides)
 * Introduction to p-ऐडिक numbers
 * Introduction to p-ऐडिक numbers