एकदिष्ट फलन

गणित में, एकदिष्ट प्रकार्य गणित में क्रमित संरचनाओं की सूची के बीच एक प्रकार्य (गणित) है जो दिए गए क्रमवार को संरक्षित या उलट देता है। यह अवधारणा पहले गणना में उत्पन्न हुई, और बाद में अनुक्रम सिद्धांत की अधिक अमूर्त अस्त के लिए सामान्यीकृत की गई।

कलन और विश्लेषण में
कलन में, एक प्रकार्य $$f$$ वास्तविक मानों के साथ वास्तविक संख्याओं के उपसमुच्चय पर परिभाषित को एकदिष्ट कहा जाता है यदि और केवल यदि यह पूरी तरह से गैर-बढ़ती हैं, या पूरी तरह से गैर-घटती हैं। चित्र 1 के अनुसार, एक कार्य जो एकदिष्‍टत: बढ़ता है उसे विशेष रूप से बढ़ाना नहीं है, इसे बस कम नहीं होना चाहिए।

एक प्रकार्य को एकदिष्ट रूप से बढ़ाना (बढ़ते या गैर-घटते भी) कहा जाता है यदि सभी $$x$$ तथा $$y$$ के लिए $$x \leq y$$ ऐसा है कि एक के पास $$f\!\left(x\right) \leq f\!\left(y\right)$$ है, तो $$f$$ क्रम को बनाए रखता है (चित्र 1 देखें)। इसी तरह, एक प्रकार्य को एकदिष्‍टत: रूप से घटते हुए (घटते या गैर-बढ़ते भी) कहा जाता है यदि, जब भी $$x \leq y$$, तत्पश्चात $$f\!\left(x\right) \geq f\!\left(y\right)$$, तो यह क्रम को उलट देता है (चित्र 2 देखें)।

यदि अनुक्रम $$\leq$$ एकदिष्टता की परिभाषा में कड़े अनुक्रम $$<$$ द्वारा प्रतिस्थापित किया गया है, और वह दृढ़ आवश्यकता प्राप्त करता है। इस विशेषता के साथ एक प्रकार्य को अनुशासनपूर्वक बढ़ाना कहा जाता है। फिर से, अनुक्रम प्रतीक को उल्टा करके, एक संबंधित अवधारणा को अनुशासनपूर्वक घटता हुआ (भी घटता हुआ) कहा जाता है। किसी भी विशेषता वाले प्रकार्य को अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट कहा जाता है। कार्य जो अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट हैं वे एक-से-एक कार्य हैं (क्योंकि $$x$$ के लिए असमान $$y$$, या $$x < y$$ या $$x > y$$ और इसलिए, एकदिष्टता से, या तो $$f\!\left(x\right) < f\!\left(y\right)$$ या $$f\!\left(x\right) > f\!\left(y\right)$$, इस प्रकार $$f\!\left(x\right) \neq f\!\left(y\right)$$.)

अस्पष्टता से बचने के लिए, अशक्त एकदिष्ट, अशक्त रूप से बढ़ने और अशक्त रूप से घटने वाले शब्द प्रायः गैर-सख्त एकदिष्टिटी को संदर्भित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

गैर-ह्वासमानऔर गैर-वर्धमान शब्दावली को (बहुत शक्तिहीन) नकारात्मक योग्यताओं के घटने और न बढ़ने के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए। उदाहरण के लिए, चित्र 3 में दिखाया गया गैर-एकदिष्ट प्रकार्य पहले गिरता है, फिर ऊपर उठता है, फिर से गिरता है। इसलिए यह न तो घट रहा है और न ही बढ़ रहा है, लेकिन यह न तो गैर-ह्वासमान है और न ही गैर-वर्धमान है।

एक प्रकार्य $$f\!\left(x\right)$$ को एक अंतराल $$\left(a, b\right)$$ पर बिल्कुल एकदिष्ट कहा जाता है यदि $$f$$ के सभी अनुक्रमों के व्युत्पादित अंतराल पर सभी बिंदुओं पर गैर-नकारात्मक या सभी गैर-सकारात्मक हैं।

प्रकार्य का व्युत्क्रमणीय
सभी अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट कार्य व्युत्क्रमणीय प्रकार्य हैं क्योंकि उन्हें अपनी सीमा से अपने कार्यक्षेत्र में एक-से-एक मानचित्र की अधिपत्रित है।

हालांकि, ऐसे कार्य जो केवल अशक्त एकदिष्ट वाले होते हैं, व्युत्क्रमणीय नहीं होते हैं क्योंकि वे कुछ अंतराल पर स्थिर होते हैं (और इसलिए एक-से-एक नहीं होते हैं)।

एक प्रकार्य सीमित मूल्यों की एक सीमा पर अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट हो सकता है और इस प्रकार उस सीमा पर व्युत्क्रमणीय हो सकता है, भले ही वह हर जगह अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट न हो। उदाहरण के लिए, यदि $$y = g(x)$$ सीमा पर $$[a, b]$$ अनुशासनपूर्वक बढ़ रहा है, तो इसका व्युत्क्रम $$[g(a), g(b)]$$ की सीमा पर $$x = h(y)$$ होता है।

ध्यान दें कि एकदिष्ट शब्द का प्रयोग कभी-कभी अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट के स्थान पर किया जाता है, इसलिए एक स्रोत यह बता सकता है कि सभी एकदिष्ट प्रकार्य व्युत्क्रमणीय हो सकते हैं जब उनका वास्तव में अर्थ होता है कि सभी अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट प्रकार्य व्युत्क्रमणीय हैं।

एकदिष्ट परिवर्तन
एकदिष्ट परिवर्तन शब्द भी भ्रम पैदा कर सकता है क्योंकि यह एक अनुशासनपूर्वक बढ़ते प्रकार्य द्वारा परिवर्तन को संदर्भित करता है। यह अर्थशास्त्र में एक उपयोगिता प्रकार्य के क्रमिक गुणों के संबंध में एकदिष्ट परिवर्तन (एकदिष्ट वरीयताएँ भी देखें) में संरक्षित होने का मामला है। इस संदर्भ में, एकदिष्ट परिवर्तन शब्द एक सकारात्मक एकदिष्ट परिवर्तन को संदर्भित करता है और इसका उद्देश्य इसे "नकारात्मक एकदिष्ट परिवर्तन" से अलग करना है, जो संख्याओं के क्रम को उलट देता है।

कुछ बुनियादी अनुप्रयोग और परिणाम
एकदिष्ट प्रकार्य के लिए निम्नलिखित गुण सत्य हैं $$f\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$$:
 * $$f$$ प्रकार्य के अपने कार्यक्षेत्र के प्रत्येक बिंदु पर दाएं और बाएं से प्रकार्य की सीमा होती है;
 * $$f$$ की वास्तविक संख्या $$\infty$$ या $$-\infty$$ की सकारात्मक या नकारात्मक अनंत पर एक सीमा ($$\pm\infty$$) है।
 * $$f$$ केवल विषयांतर असततता हो सकती है;
 * $$f$$ के कार्यक्षेत्र में एकदिष्ट प्रकार्य की केवल गणनीय कई विसंगतियां हो सकती हैं। हालाँकि, विच्छिन्नताएँ, आवश्यक रूप से अलग-अलग बिंदुओं से मिलकर नहीं बनती हैं और एक अंतराल (a, b) में सघन भी हो सकती हैं। उदाहरण के लिए, किसी योग्‍य अनुक्रम (a_i) के लिए सकारात्मक संख्या और किसी भी गणना की परिमेय संख्याओं $$(q_i)$$ का, एकदिष्‍टत: रूप से बढ़ता हुआ फलन $$f(x)=\sum_{q_i\leq x} a_i$$ हर अपरिमेय संख्या (cf. चित्र) पर निरंतर है। यह परिमेय संख्याओं पर असतत माप का संचयी वितरण फलन है, जहाँ $$a_i$$ का वजन $$q_i$$ है।

ये गुण ही कारण हैं कि गणितीय विश्लेषण में तकनीकी कार्य में एकदिष्ट प्रकार्य उपयोगी होते हैं। इन कार्यों के अन्य महत्वपूर्ण गुणों में निम्न सम्मिलित हैं:
 * यदि $$f$$ अंतराल (गणित) पर परिभाषित एक एकदिष्ट प्रकार्य $$I$$ है, तब $$f$$ $$I$$ पर लगभग हर जगह अवकलनीय है; यानी संख्याओं के समूह $$x$$ में $$I$$ ऐसा है कि $$x$$ में $$f$$ अवकलनीय नहीं है, इसमें लेबेस्ग माप शून्य है। इसके अलावा, इस परिणाम को गणनीय में सुधार नहीं किया जा सकता है: कैंटर प्रकार्य देखें।
 * यदि यह समुच्चय गणनीय है, तो $$f$$ नितांत सतत है।
 * यदि $$f$$ अंतराल पर परिभाषित एक एकदिष्ट प्रकार्य $$\left[a, b\right]$$ है, फिर $$f$$ रीमान समाकल है।

प्रायिकता सिद्धांत में एकदिष्ट कार्यों का एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग है। यदि $$X$$ एक यादृच्छिक चर है, इसका संचयी वितरण कार्य $$F_X\!\left(x\right) = \text{Prob}\!\left(X \leq x\right)$$ एकदिष्‍टत: रूप से बढ़ता हुआ कार्य है।

फलन एकबहुलकी है यदि यह एकदिष्‍टत: रूप से किसी बिंदु तक बढ़ रहा है (बहुलक (सांख्यिकी)) और फिर एकदिष्‍टत: रूप से घट रहा है।

जब $$f$$ एक अनुशासनपूर्वक एकदिष्ट प्रकार्य है, फिर $$f$$ अपने कार्यक्षेत्र पर अंतःक्षेपक प्रकार्य है, और यदि $$T$$ के एक प्रकार्य की सीमा $$f$$ है, तो वहाँ $$f$$ के लिये $$T$$ पर एक व्युत्क्रमणीय कार्य होता है। इसके विपरीत, प्रत्येक निरंतर कार्य एकदिष्ट है, लेकिन अंतःक्षेपक नहीं है, और इसलिए इसका व्युत्क्रम नहीं हो सकता।

सांस्थिति में
मानचित्र $$f: X \to Y$$ एकदिष्ट कहा जाता है यदि इसके प्रत्येक सूत्र आनुषंगिक (सांस्थिति) है; अर्थात्, प्रत्येक तत्व के लिए $$y \in Y,$$ (संभवतः खाली) समुच्चय $$f^{-1}(y)$$ का आनुषंगिक उपसमष्‍टि सांस्थिति $$X$$ है।

कार्यात्मक विश्लेषण में
सांस्थितिक सदिश समष्टि पर कार्यात्मक विश्लेषण में $$X$$, एक (संभवतः गैर-रैखिक) संचालक $$T: X \rightarrow X^*$$ एकदिष्ट संचालक कहा जाता है यदि


 * $$(Tu - Tv, u - v) \geq 0 \quad \forall u,v \in X$$

कचुरोवस्की के प्रमेय से पता चलता है कि बानाख अंतरालक पर उत्तल कार्य में उनके व्युत्पादित के रूप में एकदिष्ट संचालक हैं।

$$X \times X^*$$ उपसमुच्चय $$G$$ का एकदिष्ट समुच्चय कहा जाता है यदि हर जोड़ी के लिए $$G$$ में $$[u_1, w_1]$$ तथा $$[u_2, w_2]$$,


 * $$(w_1 - w_2, u_1 - u_2) \geq 0$$ है।

$$G$$ अधिकतम एकदिष्ट कहा जाता है यदि यहसमुच्चय समावेशन के अर्थ में सभी एकदिष्ट समुच्चयों में अधिकतम है। एकदिष्ट संचालक का लेखाचित्र $$G(T)$$ एकदिष्टसमुच्चय है। एकदिष्ट संचालक को अधिकतम एकदिष्ट कहा जाता है यदि इसका लेखाचित्र अधिकतम एकदिष्ट समुच्चय है।

क्रम सिद्धांत में
अनुक्रम सिद्धांत मनमाना आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समुच्चय और वास्तविक संख्याओं के सामान्यीकरण के रूप में पूर्व अनुक्रम से संबंधित है। एकदिष्टता की उपरोक्त परिभाषा इन मामलों में भी प्रासंगिक है। हालांकि, बढ़ते और घटते नियमों से बचा जाता है, क्योंकि उनका पारंपरिक सचित्र प्रतिनिधित्व उन अनुक्रम पर लागू नहीं होता है जो कुल अनुक्रम नहीं हैं। इसके अलावा, यथार्थ अनुक्रम संबंध < और > कई गैर-कुल अनुक्रमों में बहुत कम उपयोग होते हैं और इसलिए उनके लिए कोई अतिरिक्त शब्दावली पेश नहीं की जाती है।

मान लीजिये ≤ किसी भी आंशिक रूप से अनुक्रम किए गए समुच्चय के आंशिक क्रम संबंध को दर्शाता है, वह एकदिष्ट प्रकार्य है, जिसे आइसोटोन या भी कहा जाता है, और वह विशेषता को संतुष्ट करता है।


 * x ≤ y का अर्थ f(x) ≤ f(y) है।

इसके कार्यक्षेत्र में सभी x और y के लिए। दो एकदिष्ट प्रतिचित्रण का सम्मिश्रण भी एकदिष्ट है।

द्वैत (अनुक्रम सिद्धांत) धारणा को प्रायः प्रतिटोन, प्रति-एकदिष्ट या अनुक्रम-उत्क्रमी कहा जाता है। इसलिए, एक प्रतिटोन प्रकार्य f विशेषता को संतुष्ट करता है।

इसके कार्यक्षेत्र में सभी x और y के लिए


 * x ≤ y का अर्थ है f(y) ≤ f(x)

एक स्थिर कार्य एकदिष्ट और प्रतिटोन दोनों है; इसके विपरीत, यदि f एकदिष्ट और प्रतिटोन दोनों है, और यदि f का कार्यक्षेत्र एक जाली (क्रम) है, तो f स्थिर होना चाहिए।

क्रम सिद्धांत में एकदिष्ट प्रकार्य केंद्रीय हैं। वे इस विषय पर अधिकांश लेखों में दिखाई देते हैं और विशेष अनुप्रयोगों के उदाहरण इन स्थानों पर पाए जाते हैं। कुछ उल्लेखनीय विशेष एकदिष्ट प्रकार्य अनुक्रम अंतःस्थापन हैं (प्रकार्य जिसके लिए x ≤ y यदि और केवल यदि f(x) ≤ f(y)) और अनुक्रम समरूपता (विशेषण अनुक्रम एम्बेडिंग) हैं।

खोज कलन विधि के संदर्भ में
खोज कलन विधि के संदर्भ में एकदिष्टता (जिसे संगति भी कहा जाता है) स्वानुभविक कार्यों पर लागू एक परिस्थिति है। एक स्वानुभविक h(n) एकदिष्ट है, यदि प्रत्येक पर्णग्रंथि n और n के प्रत्येक उत्तराधिकारी n' किसी भी कार्रवाई a से उत्पन्न होता है, n से लक्ष्य तक पहुँचने की अनुमानित लागत, n' तक पहुँचने की चरण लागत और n से लक्ष्य तक पहुँचने की अनुमानित लागत से अधिक नहीं है।


 * $$h(n) \leq c\left(n, a, n'\right) + h\left(n'\right).$$

यह n, n' और n के सबसे करीब लक्ष्य Gn के साथ त्रिभुज असमानता का एक रूप है। क्योंकि प्रत्येक एकदिष्ट स्वानुभविक भी स्वीकार्य है, स्वीकार्यता की तुलना में एकदिष्टिटी एक कड़ी आवश्यकता है। कुछ स्वानुभविक कलन विधि जैसे A* को असम्बद्ध रूप से इष्टतम कलन विधि सिद्ध किया जा सकता है, परंतु वे जिस अनुमानी का उपयोग करते हैं वह एकदिष्ट होना चाहिए।

बूलीय फलन में
बूलियन बीजगणित (तर्क) में, एकदिष्ट प्रकार्य ऐसा है जो सभी के लिए ai और bi {0,1} में है, यदि a1 ≤ b1, a2 ≤ b2, ..., an ≤ bn (यानी कार्तीय उत्पाद {0, 1}n को निर्देशांकानुसार क्रमित किया गया है), तब f(a1, ..., an) ≤ f(b1, ..., bn)। दूसरे शब्दों में, बूलीय फलन एकदिष्ट होता है, यदि आगत के प्रत्येक संयोजन के लिए, आगत में से किसी एक को गलत से सही पर बदल देने से केवल निर्गत को गलत से सही पर बदला जा सकता है, न कि सही से गलत पर। रेखांकन से, इसका मतलब यह है कि एक n-आरी बूलीय फलन एकदिष्ट है जब एक अतिविम के रूप में इसका प्रतिनिधित्व किया जाता है| सत्य मूल्यों के साथ चिह्नित किए गए n-घन में सत्य से असत्य तक कोई ऊपर की ओर नहीं है। (यह चिह्नित किया गया हस्से आरेख द्वैत (गणित) है प्रकार्य के चिह्नित किए गए वेन आरेख का आयाम-व्युत्क्रमणीय द्वैत है, जो इसके लिए अधिक सामान्य प्रतिनिधित्व n ≤ 3 है)।

एकदिष्ट बूलीय फलन यथावत् वे हैं जिन्हें केवल संचालक तार्किक संयोजन और तार्किक विच्छेदन (विशेष रूप से निषेध वर्जित है) का उपयोग करके आगत्स (जो एक से अधिक बार प्रकट हो सकते हैं) के संयोजन द्वारा परिभाषित किया जा सकता है। उदाहरण के लिए कम से कम दो a, b, c होल्ड a, b, c का एक एकदिष्ट प्रकार्य है, क्योंकि इसे उदाहरण के लिए ((a और b) या (a और c) या (b और c)) के रूप में लिखा जा सकता है।.

n चरों पर ऐसे कार्यों की संख्या को n की डेडेकिंड संख्या के रूप में जाना जाता है।

यह भी देखें

 * एकदिष्ट घनाकार अंतःक्षेप
 * छद्म-एकदिष्ट संचालक
 * स्पीयरमैन का श्रेणी सहसंबंध गुणांक - आकड़ों के एकसमुच्चय में एकदिष्टता का माप
 * कुल एकदिष्टता
 * चक्रीय एकदिष्टता
 * संचालक एकदिष्ट प्रकार्य

ग्रन्थसूची

 * (Definition 9.31)
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 * गणित में क्रम संरचनाओं की सूची
 * अंक शास्त्र
 * प्रकार्य (गणित)
 * अनुक्रम संबंध
 * एक-से-एक प्रकार्य
 * गैर नकारात्मक
 * व्युत्क्रमणीय काम करना
 * एक प्रकार्य की सीमा
 * किसी प्रकार्य का कार्यक्षेत्र
 * कूदना बंद करो
 * योग्‍य क्रम
 * एकदिष्ट कार्यों की निरंतरता
 * असतत उपाय
 * यौगिक
 * लेबेस्ग उपाय
 * शून्य को मापें
 * सिद्धांत संभावना
 * अनियमित चर
 * मोड (सांख्यिकी)
 * एकरूप प्रकार्य
 * उत्तल प्रकार्य
 * बनच स्थान
 * आंशिक रूप से अनुक्रमितसमुच्चय
 * जाली (अनुक्रम)
 * निरंतर कार्य
 * असमानित त्रिकोण
 * अनुमानी एल्गोरिथ्म
 * ए * खोज कलन विधि
 * स्वीकार्य अनुमानी
 * असम्बद्ध रूप से इष्टतम कलन विधि
 * समन्वय क्रम
 * हस्स आरेख
 * नकार
 * डेडेकाइंड संख्या

बाहरी संबंध

 * Convergence of a Monotonic Sequence by Anik Debnath and Thomas Roxlo (The Harker School), Wolfram Demonstrations Project.
 * Convergence of a Monotonic Sequence by Anik Debnath and Thomas Roxlo (The Harker School), Wolfram Demonstrations Project.