एचपी-एफईएम

एचपी-एफईएम परिमित तत्व विधि (एफईएम) का एक सामान्य संस्करण है, जो टुकड़े-टुकड़े-बहुपद सन्निकटन के आधार पर आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एक संख्यात्मक विश्लेषण विधि है जो चर आकार के तत्वों को नियोजित करता है। (एच) और एक बहुपद की डिग्री (पी)। एचपी-एफईएम की उत्पत्ति बार्ना ए. सज़ाबो और इवो बाबुस्का के अग्रणी कार्य से हुई है।     किसने पता लगाया कि परिमित तत्व विधि तेजी से तेजी से परिवर्तित होती है जाल को एच-शोधन के उपयुक्त संयोजन का उपयोग करके परिष्कृत किया जाता है (तत्वों को छोटे-छोटे भागों में विभाजित करना) और पी-एफईएम|पी-शोधन (उन्हें बढ़ाना)। बहुपद डिग्री)। घातीय अभिसरण अधिकांश अन्य परिमित तत्व विधियों की तुलना में विधि को बहुत आकर्षक बनाता है, जो केवल बीजगणितीय दर के साथ अभिसरण करता है। घातीय अभिसरण एचपी-एफईएम की न केवल सैद्धांतिक रूप से भविष्यवाणी की गई, बल्कि इसका अवलोकन भी किया गया कई स्वतंत्र शोधकर्ताओं द्वारा।

मानक FEM से अंतर
एचपी-एफईएम कई पहलुओं में मानक (निम्नतम-क्रम) एफईएम से भिन्न है।
 * उच्च-क्रम आकार के कार्यों का विकल्प: तत्वों में उच्च-डिग्री बहुपद को आकार कार्यों के विभिन्न सेटों का उपयोग करके उत्पन्न किया जा सकता है। ऐसे सेट का चुनाव कठोरता मैट्रिक्स की कंडीशनिंग और बदले में संपूर्ण समाधान प्रक्रिया को नाटकीय रूप से प्रभावित कर सकता है। इस समस्या को सबसे पहले बाबुस्का एट अल द्वारा प्रलेखित किया गया था।
 * स्वचालित एचपी-अनुकूलन: एचपी-एफईएम में, एक तत्व को कई अलग-अलग तरीकों से एचपी-परिष्कृत किया जा सकता है, जैसे: इसे अंतरिक्ष में उप-विभाजित किए बिना इसकी बहुपद डिग्री बढ़ाना, या तत्व को ज्यामितीय रूप से उप-विभाजित करना, जहां विभिन्न बहुपद डिग्री को उप-तत्वों पर लागू किया जा सकता है। तत्व शोधन उम्मीदवारों की संख्या आसानी से दो आयामों में 100 और तीन आयामों में 1000 तक पहुंच जाती है। किसी तत्व में त्रुटि के आकार को इंगित करने वाली एक संख्या स्वचालित एचपी-अनुकूलता को निर्देशित करने के लिए पर्याप्त नहीं है (मानक एफईएम में अनुकूलता के विपरीत)। प्रत्येक तत्व में त्रुटि के आकार के बारे में अधिक जानकारी प्राप्त करने के लिए संदर्भ समाधान या विश्लेषणात्मकता विचार जैसी अन्य तकनीकों को नियोजित किया जाना चाहिए।
 * असेंबलिंग और समाधान सीपीयू समय का अनुपात: मानक एफईएम में, कठोरता मैट्रिक्स आमतौर पर जल्दी से असेंबल किया जाता है लेकिन यह काफी बड़ा होता है। आमतौर पर, असतत समस्या के समाधान में कुल कंप्यूटिंग समय का सबसे बड़ा हिस्सा खर्च होता है। इसके विपरीत, एचपी-एफईएम में कठोरता मैट्रिक्स आमतौर पर बहुत छोटे होते हैं, लेकिन (समान मैट्रिक्स आकार के लिए) उनकी असेंबली में मानक एफईएम की तुलना में अधिक समय लगता है। यह मुख्य रूप से संख्यात्मक चतुर्भुज की कम्प्यूटेशनल लागत के कारण है, जिसमें तेज अभिसरण दरों का लाभ उठाने के लिए मानक एफईएम की तुलना में उच्च परिशुद्धता होनी चाहिए, और इसलिए उच्च क्रम का होना चाहिए।
 * विश्लेषणात्मक चुनौतियाँ: एचपी-एफईएम को आम तौर पर मानक एफईएम की तुलना में विश्लेषणात्मक दृष्टिकोण से समझना अधिक कठिन माना जाता है। यह कई तकनीकों से संबंधित है, जैसे अण्डाकार समस्याओं के लिए असतत अधिकतम सिद्धांत (डीएमपी)। ये परिणाम बताते हैं कि, आमतौर पर जाल पर कुछ सीमित धारणाओं के साथ, टुकड़े-टुकड़े-बहुपद एफईएम सन्निकटन अंतर्निहित अण्डाकार पीडीई के समान अधिकतम सिद्धांतों का पालन करता है। ऐसे परिणाम बहुत महत्वपूर्ण हैं क्योंकि वे गारंटी देते हैं कि सन्निकटन भौतिक रूप से स्वीकार्य रहता है, जिससे नकारात्मक घनत्व, नकारात्मक एकाग्रता, या नकारात्मक निरपेक्ष तापमान की गणना करने की कोई संभावना नहीं बचती है। डीएमपी निम्नतम-क्रम एफईएम के लिए काफी अच्छी तरह से समझा जाता है लेकिन दो या दो से अधिक आयामों में एचपी-एफईएम के लिए पूरी तरह से अज्ञात है। एक स्थानिक आयाम में पहला डीएमपी हाल ही में तैयार किया गया था।
 * प्रोग्रामिंग चुनौतियाँ: मानक FEM कोड की तुलना में hp-FEM सॉल्वर को लागू करना बहुत कठिन है। जिन कई मुद्दों को दूर करने की आवश्यकता है उनमें शामिल हैं (लेकिन केवल यहीं तक सीमित नहीं हैं): उच्च-क्रम चतुर्भुज सूत्र, उच्च-क्रम आकार फ़ंक्शन, भौतिक डोमेन में आधार कार्यों के साथ संदर्भ डोमेन पर आकार कार्यों से संबंधित कनेक्टिविटी और अभिविन्यास जानकारी, आदि।

फ़िचेरा समस्या
फिचेरा समस्या (जिसे फिचेरा कॉर्नर समस्या भी कहा जाता है) अनुकूली FEM कोड के लिए एक मानक बेंचमार्क समस्या है। कोई इसका उपयोग मानक FEM और hp-FEM के प्रदर्शन में नाटकीय अंतर दिखाने के लिए कर सकता है। समस्या ज्यामिति एक घन है जिसका कोना लुप्त है। सटीक समाधान के केंद्र में एक विलक्षण ढाल (अनंत तनाव का एक सादृश्य) है। सटीक समाधान का ज्ञान सन्निकटन त्रुटि की सटीक गणना करना और इस प्रकार विभिन्न संख्यात्मक तरीकों की तुलना करना संभव बनाता है। उदाहरण के लिए, समस्या को अनुकूली FEM के तीन अलग-अलग संस्करणों का उपयोग करके हल किया गया था: रैखिक तत्वों, द्विघात तत्वों और hp-FEM के साथ।

अभिसरण ग्राफ स्वतंत्रता की डिग्री (डीओएफ) की संख्या के एक फ़ंक्शन के रूप में सन्निकटन त्रुटि दिखाते हैं। डीओएफ अज्ञात मापदंडों को संदर्भित करता है जो सन्निकटन को परिभाषित करने के लिए आवश्यक हैं, और डीओएफ की संख्या कठोरता मैट्रिक्स के आकार के बराबर है। पाठक ग्राफ़ में देख सकते हैं कि एचपी-एफईएम का अभिसरण अन्य दोनों तरीकों के अभिसरण की तुलना में बहुत तेज़ है। प्रदर्शन अंतर इतना बड़ा है कि रैखिक एफईएम बिल्कुल भी (उचित समय में) अभिसरण नहीं कर सकता है और द्विघात एफईएम को उस सटीकता तक पहुंचने के लिए सैकड़ों हजारों या शायद लाखों डीओएफ की आवश्यकता होगी जो एचपी-एफईएम ने लगभग 17,000 डीओएफ के साथ प्राप्त की थी। स्वतंत्रता की अपेक्षाकृत कुछ डिग्री का उपयोग करके बहुत सटीक परिणाम प्राप्त करना एचपी-एफईएम की मुख्य ताकत है।

एचपी-एफईएम की दक्षता
छोटे टुकड़े-रेखीय तत्वों की तुलना में बड़े उच्च-क्रम वाले तत्वों का उपयोग करके सुचारू कार्यों का अधिक कुशलता से अनुमान लगाया जा सकता है। इसे नीचे दिए गए चित्र में दर्शाया गया है, जहां दो अलग-अलग जालों पर शून्य डिरिचलेट सीमा शर्तों के साथ एक आयामी पॉइसन समीकरण हल किया गया है। सटीक समाधान साइन फ़ंक्शन है।


 * बाएँ: दो रैखिक तत्वों से युक्त जाल।
 * दाएँ: एक द्विघात तत्व से युक्त जाल।

जबकि दोनों मामलों में अज्ञात की संख्या समान है (1 डीओएफ), संबंधित मानदंड में त्रुटियां क्रमशः 0.68 और 0.20 हैं। इसका मतलब यह है कि द्विघात सन्निकटन टुकड़ा-रेखीय सन्निकटन की तुलना में लगभग 3.5 गुना अधिक कुशल था। जब हम एक कदम आगे बढ़ते हैं और (ए) चार रैखिक तत्वों की तुलना (बी) एक चतुर्थक तत्व (पी=4) से करते हैं, तो दोनों अलग-अलग समस्याओं में तीन डीओएफ होंगे, लेकिन चतुर्थक सन्निकटन लगभग 40 गुना अधिक कुशल होगा।

इसके विपरीत, छोटे निम्न-क्रम वाले तत्व बड़े उच्च-क्रम वाले तत्वों की तुलना में छोटे पैमाने की विशेषताओं जैसे विलक्षणताओं को बेहतर तरीके से पकड़ सकते हैं। एचपी-एफईएम इन दो दृष्टिकोणों के इष्टतम संयोजन पर आधारित है जो घातांकीय अभिसरण की ओर ले जाता है। ध्यान दें कि यह घातीय अभिसरण त्रुटि की धुरी बनाम स्वतंत्रता की डिग्री में व्यक्त किया गया है। वास्तविक जीवन के अनुप्रयोगों के लिए, हम आम तौर पर सटीकता के समान स्तर तक पहुंचने के लिए आवश्यक कम्प्यूटेशनल समय पर विचार करते हैं। इस प्रदर्शन संकेतक के लिए एच- और एचपी-शोधन समान परिणाम प्रदान कर सकते हैं, उदाहरण के लिए। अंतिम आंकड़ा यहां देखें (वेब आर्काइव लिंक ). जैसे ही एच-एफईएम की तुलना में एचपी-एफईएम को प्रोग्राम करना और समानांतर कंप्यूटिंग करना कठिन हो जाता है, एचपी-शोधन की अभिसरण उत्कृष्टता अव्यावहारिक हो सकती है।

एचपी-अनुकूलन
कुछ एफईएम साइटें एचपी-अनुकूलता को एच-अनुकूलता (उनकी बहुपद डिग्री को स्थिर रखते हुए अंतरिक्ष में तत्वों को विभाजित करना) और पी-अनुकूलता (केवल उनकी बहुपद डिग्री को बढ़ाना) के संयोजन के रूप में वर्णित करती हैं।. यह पूरी तरह से सटीक नहीं है, क्योंकि एचपी-अनुकूलता एच- और पी-अनुकूलता दोनों से काफी भिन्न है क्योंकि किसी तत्व का एचपी-शोधन कई अलग-अलग तरीकों से किया जा सकता है। पी-शोधन के अलावा, तत्व को अंतरिक्ष में उप-विभाजित किया जा सकता है (जैसा कि एच-अनुकूलता में), लेकिन उप-तत्वों पर बहुपद डिग्री के लिए कई संयोजन हैं। यह दाहिनी ओर के चित्र में दर्शाया गया है। उदाहरण के लिए, यदि एक त्रिकोणीय या चतुर्भुज तत्व को चार उप-तत्वों में विभाजित किया जाता है, जहां बहुपद डिग्री को अधिकतम दो तक भिन्न होने की अनुमति होती है, तो इससे 3^4 = 81 शोधन उम्मीदवार मिलते हैं (बहुपद अनिसोट्रोपिक उम्मीदवारों पर विचार नहीं किया जाता है)। अनुरूप रूप से, एक हेक्साहेड्रोन को आठ उप-तत्वों में विभाजित करना और अधिकतम दो द्वारा उनकी बहुपद डिग्री को बदलना 3^8 = 6,561 शोधन उम्मीदवार प्राप्त करता है। प्रति तत्व एक स्थिर संख्या प्रदान करने वाला मानक FEM त्रुटि अनुमान स्वचालित एचपी-अनुकूलन का मार्गदर्शन करने के लिए पर्याप्त नहीं है।

उच्च-क्रम आकार के कार्य
मानक FEM में केवल ग्रिड से जुड़े आकार कार्यों के साथ काम करता है शीर्ष (तथाकथित शीर्ष फलन)। इसके विपरीत, एचपी-एफईएम का उपयोग करते समय, एक व्यक्ति एज फ़ंक्शंस (संबंधित) पर भी ध्यान देता है तत्व किनारों), चेहरे के कार्य (तत्व चेहरों के अनुरूप - केवल 3डी), और बबल फ़ंक्शंस (उच्च-क्रम बहुपद जो गायब हो जाते हैं तत्व सीमाएँ)। निम्नलिखित छवियां इन कार्यों को दिखाती हैं (एकल तत्व तक सीमित):

ध्यान दें: ये सभी फ़ंक्शन संपूर्ण तत्व इंटीरियर में परिभाषित हैं।

ओपन सोर्स एचपी-एफईएम कोड

 * डील.II: डील.II परिमित तत्व विधि का उपयोग करके आंशिक अंतर समीकरणों को हल करने के लिए एक निःशुल्क, ओपन-सोर्स लाइब्रेरी है।
 * अवधारणाएं: अण्डाकार समीकरणों के लिए C/C++ hp-FEM/DGFEM/BEM लाइब्रेरी SAM, ETH ज्यूरिख (स्विट्जरलैंड) और बर्लिन के तकनीकी विश्वविद्यालय (जर्मनी) में K. श्मिट के समूह में विकसित की गई।
 * 2dhp90, 3dhp90: अण्डाकार समस्याओं और मैक्सवेल के समीकरणों के लिए फोरट्रान कोड, ICES, UT ऑस्टिन में एल. डेमकोविज़ द्वारा विकसित।
 * पीएचएएमएल: समानांतर पदानुक्रमित अनुकूली बहु-स्तरीय परियोजना। अनुकूली जाल शोधन और मल्टी-ग्रिड समाधान तकनीकों का उपयोग करके वितरित मेमोरी समानांतर कंप्यूटर और मल्टी-कोर कंप्यूटर पर 2 डी अण्डाकार आंशिक अंतर समीकरणों के संख्यात्मक समाधान के लिए, संयुक्त राज्य अमेरिका के राष्ट्रीय मानक और प्रौद्योगिकी संस्थान में परिमित तत्व सॉफ्टवेयर विकसित किया गया।
 * हर्मीस परियोजना: पीडीई और मल्टीफिजिक्स पीडीई सिस्टम की एक विशाल विविधता के लिए अंतरिक्ष और अंतरिक्ष-समय अनुकूली एचपी-एफईएम सॉल्वरों के तेजी से प्रोटोटाइप के लिए सी/सी++/पायथन लाइब्रेरी, नेवादा विश्वविद्यालय, रेनो (यूएसए), थर्मो-मैकेनिक्स संस्थान, प्राग (चेक गणराज्य) और पिल्सेन (चेक गणराज्य) में वेस्ट बोहेमिया विश्वविद्यालय में एचपी-एफईएम समूह द्वारा विकसित - शीर्ष पर निर्मित एग्रोस2डी इंजीनियरिंग सॉफ्टवेयर के साथ हर्मीस पुस्तकालय का.
 * PHG: PHG समानांतर अनुकूली परिमित तत्व प्रोग्राम विकसित करने के लिए एक टूलबॉक्स है। यह h-, p- और hp-fem के लिए उपयुक्त है। पीएचजी वर्तमान में वैज्ञानिक और इंजीनियरिंग कंप्यूटिंग की राज्य प्रमुख प्रयोगशाला, कम्प्यूटेशनल गणित संस्थान और चीनी विज्ञान अकादमी (एलएसईसी, सीएएस, चीन) के वैज्ञानिक/इंजीनियरिंग कंप्यूटिंग संस्थान में सक्रिय विकास के अधीन है। पीएचजी अनुरूप टेट्राहेड्रल जाल से संबंधित है और संदेश भेजने के लिए अनुकूली स्थानीय जाल शोधन और एमपीआई के लिए द्विभाजन का उपयोग करता है। पीएचजी में एक ऑब्जेक्ट-ओरिएंटेड डिज़ाइन है जो समानांतर विवरण छुपाता है और एक अमूर्त तरीके से मेष और परिमित तत्व कार्यों पर सामान्य संचालन प्रदान करता है, जिससे उपयोगकर्ताओं को अपने संख्यात्मक एल्गोरिदम पर ध्यान केंद्रित करने की अनुमति मिलती है।
 * MoFEM एक परिमित तत्व विश्लेषण कोड है जो बहु-भौतिकी समस्याओं के समाधान के लिए मनमाने ढंग से अनुमान के स्तर, जाल शोधन के विभिन्न स्तरों और उच्च-प्रदर्शन कंप्यूटिंग के लिए अनुकूलित है। इसे L2,H1, H-div और H-कर्ल स्थानों के लिए सन्निकटन के विषम क्रम से संबंधित जटिलताओं का प्रबंधन करने में सक्षम होने के लिए डिज़ाइन किया गया है।
 * स्पार्सेलिज़ार्ड एक बहु-भौतिकी, एचपी-अनुकूली, उपयोगकर्ता के अनुकूल, ओपन-सोर्स सी++ परिमित तत्व पुस्तकालय है जिसे वर्तमान में टाम्परे विश्वविद्यालय, फिनलैंड में विकसित किया गया है। यह सामान्य स्थैतिक और क्षणिक एचपी-एफईएम के लिए मनमाना क्रम पदानुक्रमित एच 1 और एच-कर्ल फ़ंक्शन रिक्त स्थान के साथ 3 डी टेट्राहेड्रल और 2 डी त्रिकोण / चतुर्भुज अनुरूप अनुकूली जाल शोधन को जोड़ता है।

वाणिज्यिक एचपी-एफईएम सॉफ्टवेयर

 * StressCheck विस्तृत संरचनात्मक विश्लेषण की ओर उन्मुख एचपी-क्षमताओं वाला एक सीमित तत्व विश्लेषण उपकरण है।