आर्किमिडीयन सर्पिल

आर्किमिडीयन सर्पिल (अंकगणितीय सर्पिल के रूप में भी जाना जाता है) तीसरी शताब्दी ईसा पूर्व प्राचीन ग्रीस के गणितज्ञ आर्किमिडीज के नाम पर एक सर्पिल है। यह एक स्थिर गति के साथ एक स्थिर गति के साथ एक निश्चित बिंदु से दूर जाने वाले बिंदु के समय के स्थानों के अनुरूप लोकस (गणित) है जो निरंतर कोणीय वेग के साथ घूमता है। समान रूप से, ध्रुवीय समन्वय प्रणाली में $(r, θ)$ इसे समीकरण द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$r = a + b\cdot\theta$$ वास्तविक संख्या के साथ $a$ और $b$. पैरामीटर बदलना $a$ सर्पिल के केंद्र बिंदु को मूल से बाहर की ओर ले जाता है (सकारात्मक $a$ की ओर $θ = 0$ और नकारात्मक $a$ की ओर $θ = π$) अनिवार्य रूप से सर्पिल के घूर्णन के माध्यम से, जबकि $b$ छोरों के बीच की दूरी को नियंत्रित करता है।

उपरोक्त समीकरण से, यह इस प्रकार कहा जा सकता है: प्रारंभ बिंदु से कण की स्थिति कोण के समानुपाती होती है $θ$ जैसे समय बीतता है।

आर्किमिडीज़ ने अपनी पुस्तक सर्पिल पर में ऐसे सर्पिल का वर्णन किया है। समोस का कॉनन उसका दोस्त था और अलेक्जेंड्रिया के पप्पस कहते हैं कि इस सर्पिल की खोज कॉनन ने की थी।

सर्पिल के सामान्य समीकरण की व्युत्पत्ति
आर्किमिडीयन सर्पिलों की धारणा को समझने के लिए नीचे एक भौतिकी का उपयोग किया गया है।

मान लीजिए कि एक बिंदु वस्तु कार्टेशियन विमान में निरंतर वेग के साथ चलती है $v$ के समानांतर निर्देशित $x$-अक्ष, के संबंध में $xy$-विमान। समय पर दें $t = 0$, वस्तु एक मनमाने बिंदु पर थी $(c, 0, 0)$. अगर $xy$ समतल एक स्थिर कोणीय वेग से घूमता है $ω$ के बारे में $z$-अक्ष, फिर बिंदु का वेग के संबंध में $z$-अक्ष को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

$$\begin{align} v_x&=v \cos \omega t - \omega (vt+c) \sin \omega t \\ v_y&=v \sin \omega t + \omega (vt+c) \cos \omega t \end{align}$$ यहाँ $(c, 0)$ किसी भी समय कण की स्थिति (वेक्टर) का मापांक है $xy}xy$, $ωt$ वेग घटक है $t$-अक्ष और $P$ के साथ घटक है $t$-एक्सिस। साथ में दिखाया गया चित्र इसे स्पष्ट करता है।
 * v_0|&=\sqrt{v^2+\omega^2(vt+c)^2} \\

$$\begin{align} \int v_x \,dt &=x \\ \int v_y \,dt &=y \end{align}$$ उपरोक्त समीकरणों को भागों द्वारा एकीकरण लागू करके एकीकृत किया जा सकता है, जिससे निम्नलिखित पैरामीट्रिक समीकरण बन सकते हैं:

$$\begin{align} x&=(vt + c) \cos \omega t \\ y&=(vt+c) \sin \omega t \end{align}$$ दो समीकरणों का वर्ग करना और फिर जोड़ना (और कुछ छोटे परिवर्तन) कार्तीय समीकरण में परिणामित होते हैं $$\sqrt{x^2+y^2}=\frac{v}{\omega}\cdot \arctan \frac{y}{x} +c$$ (इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि $t = 0$ और $R = vt + c$) या $$\tan \left(\left(\sqrt{x^2+y^2}-c\right)\cdot\frac{\omega}{v}\right) = \frac{y}{x}$$ इसका ध्रुवीय रूप है $$r= \frac{v}{\omega}\cdot \theta +c.$$

चाप की लंबाई और वक्रता
कार्तीय निर्देशांकों में पैरामीट्रिजेशन को देखते हुए $$f\colon\theta\mapsto (r\,\cos \theta, r\,\sin \theta) = (b\, \theta\,\cos \theta,b\, \theta\,\sin\theta)$$ चाप की लंबाई से $$\theta_1$$ को $$\theta_2$$ है $$\frac{b}{2}\left[\theta\,\sqrt{1+\theta^2}+\ln\left(\theta+\sqrt{1+\theta^2}\right)\right]_{\theta_1}^{\theta_2}$$ या, समकक्ष: $$\frac{b}{2}\left[\theta\,\sqrt{1+\theta^2}+\operatorname{arsinh}\theta\right]_{\theta_1}^{\theta_2}.$$ से कुल लंबाई $$\theta_1=0$$ को $$\theta_2=\theta$$ इसलिए $$\frac{b}{2}\left[\theta\,\sqrt{1+\theta^2}+\ln \left(\theta+\sqrt{1+\theta^2} \right)\right].$$ वक्रता द्वारा दिया गया है $$\kappa=\frac{\theta^2+2}{b(\theta^2+1)^\frac{3}{2}}$$

विशेषताएं
आर्किमिडीयन सर्पिल की संपत्ति है कि मूल से कोई भी किरण निरंतर अलगाव दूरी (के बराबर) के साथ सर्पिल के क्रमिक घुमावों को काटती है $vt + c$ अगर $t$ कांति में मापा जाता है), इसलिए नाम अंकगणितीय सर्पिल। इसके विपरीत, एक लॉगरिदमिक सर्पिल में ये दूरियां, साथ ही मूल बिंदु से मापी गई प्रतिच्छेदन बिंदुओं की दूरियां, एक ज्यामितीय प्रगति का निर्माण करती हैं।

आर्किमिडीयन सर्पिल की दो भुजाएँ होती हैं, एक के लिए $ωt = θ$ और एक के लिए $θ = arctan y⁄x$. दोनों भुजाएं मूल रूप से सुचारू रूप से जुड़ी हुई हैं। संलग्न ग्राफ़ में केवल एक भुजा दिखाई गई है। इस भुजा की दर्पण छवि को आर-पार ले जाना $v_{x}$-अक्ष से दूसरी भुजा निकलेगी।

बड़े के लिए $x$ आर्किमिडीयन सर्पिल के साथ एक बिंदु अच्छी तरह से अनुमानित समान त्वरण के साथ चलता है, जबकि सर्पिल एक बिंदु के समय के साथ एक बिंदु के स्थान से मेल खाता है जो एक स्थिर गति के साथ एक स्थिर गति के साथ एक निश्चित बिंदु से दूर जाता है जो निरंतर कोणीय वेग के साथ घूमता है (मिखाइल गैचेनकोव का योगदान देखें)।

जैसे-जैसे आर्किमिडीयन सर्पिल बढ़ता है, इसका विकास स्पर्शोन्मुख रूप से त्रिज्या के साथ एक वृत्त तक पहुंचता है $2πb$.

जनरल आर्किमिडीयन सर्पिल
कभी-कभी सर्पिल के अधिक सामान्य समूह के लिए आर्किमिडीयन सर्पिल शब्द का उपयोग किया जाता है $$r = a + b\cdot\theta^\frac{1}{c}.$$ सामान्य आर्किमिडीज़ सर्पिल तब होता है जब $θ > 0$. इस समूह में आने वाले अन्य सर्पिलों में अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल शामिल हैं ($θ < 0$), फर्मेट का सर्पिल ($|v|⁄ω$), और लिटुस (गणित) ($c = 1$).

अनुप्रयोग
आर्किमिडीज़ के कारण वृत्त को वर्गाकार करने की एक विधि आर्किमिडीज़ सर्पिल का उपयोग करती है। आर्किमिडीज ने यह भी दिखाया कि कैसे सर्पिल का उपयोग त्रिभुज को कोण बनाने के लिए किया जा सकता है। दोनों दृष्टिकोण प्राचीन ग्रीक ज्यामितीय प्रमाणों में सीधे किनारे और कम्पास के उपयोग पर पारंपरिक सीमाओं को शिथिल करते हैं।

आर्किमिडीयन सर्पिल में विभिन्न प्रकार के वास्तविक-विश्व अनुप्रयोग हैं। स्क्रॉल कंप्रेसर, गैसों को संपीड़ित करने के लिए उपयोग किया जाता है, इसमें रोटर्स होते हैं जिन्हें दो इंटरलीव्ड आर्किमिडीयन सर्पिलों से बनाया जा सकता है, समान आकार के इनवॉल्वट जो लगभग आर्किमिडीज़ सर्पिलों के समान होते हैं, या संकर वक्र।

आर्किमिडीयन सर्पिल सर्पिल ऐन्टेना में पाए जा सकते हैं, जिन्हें आवृत्तियों की एक विस्तृत श्रृंखला पर संचालित किया जा सकता है।

घड़ी  संतुलन वसंत ्स के कॉइल और बहुत शुरुआती ग्रामोफोन रिकॉर्ड के खांचे आर्किमिडीयन सर्पिल बनाते हैं, खांचे को समान रूप से फैलाते हैं (हालांकि चर ट्रैक रिक्ति को बाद में संगीत की मात्रा को अधिकतम करने के लिए पेश किया गया था जिसे रिकॉर्ड पर काटा जा सकता है)। एक मरीज से एक आर्किमिडीयन सर्पिल बनाने के लिए कहना मानव कंपन को मापने का एक तरीका है; यह जानकारी तंत्रिका संबंधी रोगों के निदान में मदद करती है।

इंद्रधनुष प्रभाव को कम करने के लिए डिजिटल प्रकाश प्रसंस्करण  (डीएलपी) प्रोजेक्शन सिस्टम में आर्किमिडीयन सर्पिल का भी उपयोग किया जाता है, जिससे ऐसा लगता है जैसे एक ही समय में कई रंग प्रदर्शित होते हैं, जबकि वास्तव में लाल, हरे और नीले रंग को बहुत तेज़ी से चक्रित किया जा रहा है। इसके अतिरिक्त, सर्पिल प्लैटर के माध्यम से जीवाणु एकाग्रता को मापने के लिए खाद्य सूक्ष्म जीव विज्ञान में आर्किमिडीयन सर्पिल का उपयोग किया जाता है।

उनका उपयोग उस पैटर्न को मॉडल करने के लिए भी किया जाता है जो एक सिलेंडर के चारों ओर लपेटे गए कागज या निरंतर मोटाई के टेप के रोल में होता है। कई गतिशील सर्पिल (जैसे कि सौर पवन का पार्कर सर्पिल, या कैथरीन व्हील (आतिशबाजी)|कैथरीन का पहिया) द्वारा बनाया गया पैटर्न आर्किमिडीयन हैं। उदाहरण के लिए, स्टार एलएल पेगासी अपने आस-पास के धूल के बादलों में एक अनुमानित आर्किमिडीयन सर्पिल दिखाता है, जिसे एक डबल स्टार सिस्टम के हिस्से के रूप में एक अन्य साथी स्टार द्वारा एक सर्पिल में ले जाने वाले स्टार से निकाले गए पदार्थ के रूप में माना जाता है।

यह भी देखें

 * आर्किमिडीज का पेंच
 * यूलर सर्पिल
 * फर्मेट का सर्पिल
 * सुनहरा सर्पिल
 * अतिशयोक्तिपूर्ण सर्पिल
 * सर्पिलों की सूची
 * लघुगणकीय सर्पिल
 * थियोडोरस का सर्पिल
 * ट्रिपल सर्पिल

बाहरी संबंध

 * Jonathan Matt making the Archimedean spiral interesting - Video : The surprising beauty of Mathematics - TedX Talks, Green Farms
 * Page with Java application to interactively explore the Archimedean spiral and its related curves
 * Online exploration using JSXGraph (JavaScript)
 * Archimedean spiral at "mathcurve"
 * Online exploration using JSXGraph (JavaScript)
 * Archimedean spiral at "mathcurve"