डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु

ज्यामिति में, त्रिभुज का डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु एक त्रिभुज केंद्र है जिसका नाम फ्रांसीसी गणितज्ञ गैस्टन अल्बर्ट गोहिएरे डी लॉन्गचैम्प्स के नाम पर रखा गया है। यह परिकेंद्र के बारे में त्रिभुज के लंबकेंद्र का बिंदु प्रतिबिंब है।

परिभाषा
माना कि दिए गए त्रिभुज में शीर्ष हैं $$A$$, $$B$$, और $$C$$, संबंधित पक्षों के विपरीत $$a$$, $$b$$, और $$c$$, जैसा कि त्रिभुज ज्यामिति में मानक संकेतन है। 1886 के पेपर में जिसमें उन्होंने इस बिंदु को प्रस्तुत किया था, डी लॉन्गचैम्प्स ने शुरू में इसे एक वृत्त के केंद्र के रूप में परिभाषित किया था $$\Delta$$ तीन वृत्तों के लिए ओर्थोगोनल $$\Delta_a$$, $$\Delta_b$$, और $$\Delta_c$$, कहाँ $$\Delta_a$$ पर केन्द्रित है $$A$$ त्रिज्या के साथ $$a$$ और अन्य दो वृत्त सममित रूप से परिभाषित हैं। डी लॉन्गचैम्प्स ने तब यह भी दिखाया कि वही बिंदु, जिसे अब डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु के रूप में जाना जाता है, को समान रूप से एंटीकॉम्प्लिमेंटरी त्रिकोण के ऑर्थोसेंटर के रूप में परिभाषित किया जा सकता है। $$ABC$$, और यह कि यह ऑर्थोसेंटर का प्रतिबिंब है $$ABC$$ परिधि के चारों ओर. एक त्रिभुज का स्टीनर वृत्त नौ-बिंदु वृत्त के साथ संकेंद्रित होता है और इसकी त्रिज्या त्रिभुज की परित्रिज्या 3/2 होती है; डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु स्टेनर सर्कल और परिवृत्त का समरूप केंद्र है।

अतिरिक्त गुण
परिधि के चारों ओर ऑर्थोसेंटर के प्रतिबिंब के रूप में, डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु इन दोनों बिंदुओं के माध्यम से रेखा से संबंधित है, जो दिए गए त्रिकोण की यूलर रेखा है। इस प्रकार, यह यूलर रेखा पर अन्य सभी त्रिभुज केंद्रों के साथ संरेख है, जिसमें ऑर्थोसेंटर और परिधि के साथ-साथ केंद्रक और नौ-बिंदु वृत्त का केंद्र भी शामिल है। डी लॉन्गचैम्प बिंदु भी एक अलग रेखा के साथ, इसके त्रिभुज के अंतःकेंद्र और गेर्गोन बिंदु के साथ संरेख है। तीन वृत्त केन्द्रित हैं $$A$$, $$B$$, और $$C$$, त्रिज्या के साथ $$s-a$$, $$s-b$$, और $$s-c$$ क्रमशः (कहां $$s$$ अर्धपरिधि है) परस्पर स्पर्शरेखा हैं, और उन तीनों के स्पर्शरेखा वाले दो और वृत्त हैं, आंतरिक और बाहरी सॉडी वृत्त; इन दोनों वृत्तों के केंद्र भी डी लॉन्गचैम्प बिंदु और अंतःकेन्द्र के साथ एक ही रेखा पर स्थित हैं। डी लॉन्गचैम्प बिंदु यूलर रेखा के साथ इस रेखा की सहमति का बिंदु है, और तीन अन्य रेखाओं को केंद्र के माध्यम से रेखा के समान तरीके से परिभाषित किया गया है, लेकिन इसके बजाय त्रिकोण के तीन एक्सेंटर्स का उपयोग किया जाता है।

डार्बौक्स क्यूबिक को डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु से बिंदुओं के स्थान के रूप में परिभाषित किया जा सकता है $$X$$ ऐसा है कि $$X$$, का आइसोगोनल संयुग्म $$X$$, और डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु संरेख हैं। यह त्रिभुज का एकमात्र घन वक्र है जो समकोणीय रूप से स्व-संयुग्मित और केंद्रीय रूप से सममित दोनों है; इसकी समरूपता का केंद्र त्रिभुज का परिकेंद्र है। डी लॉन्गचैम्प्स बिंदु स्वयं इस वक्र पर स्थित है, जैसा कि इसका प्रतिबिंब ऑर्थोसेंटर पर है।