समाधान अवधारणा

खेल सिद्धांत में, समाधान अवधारणा यह अनुमान लगाने के लिए एक औपचारिक नियम है कि गेम कैसे खेला जाएगा। इन भविष्यवाणियों को समाधान कहा जाता है, और यह वर्णन करते हैं कि खिलाड़ियों द्वारा कौन सी रणनीतियाँ अपनाई जाएंगी और इसलिए, खेल का परिणाम क्या होगा। सबसे अधिक उपयोग की जाने वाली समाधान अवधारणाएँ आर्थिक संतुलन हैं, सबसे प्रसिद्ध नैश संतुलन हैं।

कई खेलों के लिए कई समाधान अवधारणाओं का परिणाम एक से अधिक समाधान होगा। यह समाधानों में से किसी एक को संदेह में डाल देता है, इसलिए एक गेम सिद्धांतकार समाधानों को सीमित करने के लिए परिशोधन लागू कर सकता है। निम्नलिखित में प्रस्तुत प्रत्येक क्रमिक समाधान अवधारणा समृद्ध खेलों में अकल्पनीय संतुलन को समाप्त करके अपने पूर्ववर्ती में सुधार करती है।

औपचारिक परिभाषा
होने देना $$\Gamma$$ सभी खेलों का वर्ग बनें और, प्रत्येक खेल के लिए $$G \in \Gamma$$, होने देना $$S_G$$ की रणनीति प्रोफाइल का सेट बनें $$G$$. समाधान अवधारणा प्रत्यक्ष उत्पाद का एक तत्व है $$\Pi_{G \in \Gamma}2^{S_G};$$ यानी, एक फ़ंक्शन $$F: \Gamma \rightarrow \bigcup\nolimits_{G \in \Gamma} 2^{S_G}$$ ऐसा है कि $$F(G) \subseteq S_G$$ सभी के लिए $$G \in \Gamma.$$

तर्कसंगतता और पुनरावृत्त प्रभुत्व
इस समाधान अवधारणा में, खिलाड़ियों को तर्कसंगत माना जाता है और इसलिए प्रभुत्व (गेम थ्योरी) #वर्चस्व वाली रणनीतियों को उन रणनीतियों के सेट से हटा दिया जाता है जिन्हें संभवतः खेला जा सकता है। एक रणनीति तब प्रभुत्व वाली रणनीति होती है जब खिलाड़ी के लिए कोई अन्य रणनीति उपलब्ध होती है जिसका लाभ हमेशा अधिक होता है, भले ही अन्य खिलाड़ी कोई भी रणनीति चुनें। (अल्पमहिष्ठ गेम-ट्री खोज  में सख्ती से हावी रणनीतियां भी महत्वपूर्ण हैं।) उदाहरण के लिए, (एकल अवधि) कैदी की दुविधा में कैदियों की दुविधा (नीचे दिखाया गया है), सहयोग के लिए दोष का सख्ती से प्रभुत्व है। दोनों खिलाड़ी क्योंकि कोई भी खिलाड़ी दोष खेलने में हमेशा बेहतर होता है, चाहे उसका प्रतिद्वंद्वी कुछ भी करे।

नैश संतुलन
नैश संतुलन एक रणनीति प्रोफ़ाइल है (एक रणनीति प्रोफ़ाइल प्रत्येक खिलाड़ी के लिए एक रणनीति निर्दिष्ट करती है, उदाहरण के लिए उपरोक्त कैदियों के दुविधा खेल में (सहयोग करें, दोष) निर्दिष्ट करता है कि कैदी 1 सहयोग खेलता है और कैदी 2 दोष खेलता है) जिसमें प्रत्येक रणनीति सर्वोत्तम होती है खेली गई हर दूसरी रणनीति का जवाब। एक खिलाड़ी द्वारा बनाई गई रणनीति किसी अन्य खिलाड़ी की रणनीति के लिए सबसे अच्छी प्रतिक्रिया होती है यदि ऐसी कोई अन्य रणनीति नहीं है जिसे खेला जा सके जो कि किसी भी स्थिति में जिसमें दूसरे खिलाड़ी की रणनीति खेली जाती है, उच्च भुगतान प्राप्त करेगी।

बैकवर्ड इंडक्शन
कुछ खेलों में, कई नैश संतुलन होते हैं, लेकिन उनमें से सभी यथार्थवादी नहीं होते हैं। गतिशील खेलों में, अवास्तविक नैश संतुलन को खत्म करने के लिए बैकवर्ड इंडक्शन का उपयोग किया जा सकता है। बैकवर्ड इंडक्शन मानता है कि खिलाड़ी तर्कसंगत हैं और अपनी भविष्य की अपेक्षाओं के आधार पर सर्वोत्तम निर्णय लेंगे। यह गैर-विश्वसनीय खतरों को समाप्त कर देता है, जो ऐसी धमकियाँ हैं जिन्हें एक खिलाड़ी तब पूरा नहीं करेगा जब उन्हें ऐसा करने के लिए कभी भी बुलाया जाएगा।

उदाहरण के लिए, एक मौजूदा फर्म और उद्योग में संभावित प्रवेशकर्ता के साथ एक गतिशील खेल पर विचार करें। पदधारी का एकाधिकार है और वह अपनी बाजार हिस्सेदारी बनाए रखना चाहता है। यदि प्रवेशकर्ता प्रवेश करता है, तो पदधारी या तो प्रवेशकर्ता से लड़ सकता है या उसे समायोजित कर सकता है। यदि पदधारी समायोजित करता है, तो प्रवेशकर्ता प्रवेश करेगा और लाभ प्राप्त करेगा। यदि सत्ताधारी लड़ता है, तो वह अपनी कीमतें कम कर देगा, प्रवेशकर्ता को व्यवसाय से बाहर कर देगा (बाहर निकलने की लागत वहन करेगा), और अपने स्वयं के मुनाफे को नुकसान पहुंचाएगा।

यदि प्रवेशकर्ता प्रवेश करता है तो पदधारी के लिए सबसे अच्छी प्रतिक्रिया प्रवेश करना है, और यदि प्रवेशकर्ता समायोजित करता है तो प्रवेशकर्ता के लिए सर्वोत्तम प्रतिक्रिया प्रवेश करना है। इसका परिणाम नैश संतुलन में होता है। हालाँकि, यदि पदधारी लड़ने का विकल्प चुनता है, तो प्रवेशकर्ता के लिए सबसे अच्छी प्रतिक्रिया प्रवेश न करना है। यदि प्रवेशकर्ता प्रवेश नहीं करता है, तो इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि पदधारी क्या करना चाहता है। इसलिए, यदि प्रवेशकर्ता प्रवेश नहीं करता है तो लड़ाई को पदधारी के लिए सर्वोत्तम प्रतिक्रिया माना जा सकता है, जिसके परिणामस्वरूप एक और नैश संतुलन उत्पन्न होता है।

हालाँकि, इस दूसरे नैश संतुलन को बैकवर्ड इंडक्शन द्वारा समाप्त किया जा सकता है क्योंकि यह मौजूदा व्यक्ति के गैर-विश्वसनीय खतरे पर निर्भर करता है। जब तक पदधारी निर्णय बिंदु तक पहुंचता है जहां वह लड़ना चुन सकता है, ऐसा करना अतार्किक होगा क्योंकि प्रवेशकर्ता पहले ही प्रवेश कर चुका है। इसलिए, बैकवर्ड इंडक्शन इस अवास्तविक नैश संतुलन को समाप्त कर देता है।

यह सभी देखें:
 * मौद्रिक नीति#मौद्रिक नीति सिद्धांत
 * स्टैकेलबर्ग प्रतियोगिता

सबगेम परफेक्ट नैश संतुलन
बैकवर्ड इंडक्शन का सामान्यीकरण उपखेल  पूर्णता है। बैकवर्ड इंडक्शन मानता है कि भविष्य के सभी खेल तर्कसंगत होंगे। सबगेम परफेक्ट इक्विलिब्रिया में, प्रत्येक सबगेम में खेलना तर्कसंगत है (विशेष रूप से नैश इक्विलिब्रियम)। बैकवर्ड इंडक्शन का उपयोग केवल निश्चित लंबाई के गेम को समाप्त करने में किया जा सकता है और इसे अपूर्ण जानकारी वाले गेम पर लागू नहीं किया जा सकता है। इन मामलों में, सबगेम पूर्णता का उपयोग किया जा सकता है। ऊपर वर्णित समाप्त नैश संतुलन सबगेम अपूर्ण है क्योंकि यह सबगेम का नैश संतुलन नहीं है जो प्रवेशकर्ता के प्रवेश करने के बाद नोड पर शुरू होता है।

परफेक्ट बायेसियन संतुलन
कभी-कभी सबगेम पूर्णता अनुचित परिणामों पर पर्याप्त बड़ा प्रतिबंध नहीं लगाती है। उदाहरण के लिए, चूंकि सबगेम सूचना सेट (गेम थ्योरी) को नहीं तोड़ सकते, अपूर्ण जानकारी वाले गेम में केवल एक ही सबगेम हो सकता है - स्वयं - और इसलिए किसी भी नैश संतुलन को खत्म करने के लिए सबगेम पूर्णता का उपयोग नहीं किया जा सकता है। एक पूर्ण बायेसियन संतुलन (पीबीई) खिलाड़ियों की रणनीतियों और विश्वासों का एक विनिर्देश है जिसके बारे में जानकारी सेट में कौन सा नोड गेम खेलने से पहुंचा है। निर्णय नोड के बारे में एक धारणा यह संभावना है कि एक विशेष खिलाड़ी सोचता है कि नोड खेल में है या होगा (संतुलन पथ पर)। विशेष रूप से, पीबीई का अंतर्ज्ञान यह है कि यह खिलाड़ी की रणनीतियों को निर्दिष्ट करता है जो कि खिलाड़ी की मान्यताओं को देखते हुए तर्कसंगत हैं और जो मान्यताएं इसे निर्दिष्ट करती हैं वे इसके द्वारा निर्दिष्ट रणनीतियों के अनुरूप हैं।

बायेसियन गेम में एक रणनीति यह निर्धारित करती है कि एक खिलाड़ी उस खिलाड़ी द्वारा नियंत्रित प्रत्येक सूचना सेट पर क्या खेलता है। आवश्यकता यह है कि विश्वास रणनीतियों के अनुरूप हों, यह सबगेम पूर्णता द्वारा निर्दिष्ट नहीं है। इसलिए, पीबीई खिलाड़ियों के विश्वास पर एक स्थिरता की स्थिति है। जिस प्रकार नैश संतुलन में किसी भी खिलाड़ी की रणनीति पर सख्ती से हावी नहीं होती, उसी तरह पीबीई में, किसी भी सूचना सेट के लिए उस सूचना सेट से शुरू करके किसी भी खिलाड़ी की रणनीति पर सख्ती से हावी नहीं होती है। अर्थात्, प्रत्येक विश्वास के लिए कि खिलाड़ी उस सूचना सेट पर कायम रह सकता है, ऐसी कोई रणनीति नहीं है जो उस खिलाड़ी के लिए अधिक अपेक्षित भुगतान प्रदान करती हो। उपरोक्त समाधान अवधारणाओं के विपरीत, किसी भी खिलाड़ी की रणनीति किसी भी सूचना सेट पर सख्ती से हावी नहीं होती है, भले ही वह संतुलन पथ से दूर हो। इस प्रकार पीबीई में, खिलाड़ी उन रणनीतियों को खेलने की धमकी नहीं दे सकते हैं जो संतुलन पथ से निर्धारित किसी भी जानकारी पर सख्ती से हावी हैं।

इस समाधान अवधारणा के नाम में बायेसियन इस तथ्य की ओर संकेत करता है कि खिलाड़ी बेयस प्रमेय के अनुसार अपनी मान्यताओं को अद्यतन करते हैं। खेल में जो पहले ही हो चुका है, उसे देखते हुए वे संभावनाओं की गणना करते हैं।

फॉरवर्ड इंडक्शन
फॉरवर्ड इंडक्शन को ऐसा इसलिए कहा जाता है क्योंकि जैसे बैकवर्ड इंडक्शन मानता है कि भविष्य का खेल तर्कसंगत होगा, फॉरवर्ड इंडक्शन मानता है कि पिछला गेम तर्कसंगत था। जहां एक खिलाड़ी को यह नहीं पता होता है कि दूसरा खिलाड़ी किस प्रकार का है (यानी अपूर्ण और असममित जानकारी है), तो वह खिलाड़ी उस खिलाड़ी के पिछले कार्यों को देखकर यह धारणा बना सकता है कि वह खिलाड़ी किस प्रकार का है। इसलिए उस खिलाड़ी द्वारा प्रतिद्वंद्वी के एक निश्चित प्रकार के होने की संभावना के बारे में बनाई गई धारणा उस प्रतिद्वंद्वी के पिछले खेल के तर्कसंगत होने पर आधारित है। एक खिलाड़ी अपने कार्यों के माध्यम से अपने प्रकार का संकेत देने का चुनाव कर सकता है।

कोहलबर्ग और मर्टेंस (1986) ने स्थिर संतुलन की समाधान अवधारणा पेश की, एक शोधन जो आगे के प्रेरण को संतुष्ट करता है। एक प्रति-उदाहरण पाया गया जहां ऐसा स्थिर संतुलन पिछड़े प्रेरण को संतुष्ट नहीं करता था। समस्या को हल करने के लिए जीन-फ्रांकोइस मर्टेंस ने पेश किया जिसे खेल सिद्धांतकार अब मर्टेंस-स्थिर संतुलन अवधारणा कहते हैं, संभवतः पहली समाधान अवधारणा जो आगे और पीछे दोनों प्रेरण को संतुष्ट करती है।

फॉरवर्ड इंडक्शन बैटल_ऑफ_द_सेक्सेस_(गेम_थ्योरी)#बर्निंग_मनी के लिए एक अनूठा समाधान देता है।

यह भी देखें

 * व्यापक रूप का खेल
 * कांपते हाथ का संतुलन
 * सहज मानदंड

संदर्भ

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