भागफल वलय

रिंग सिद्धांत में, अमूर्त बीजगणित की एक शाखा एक भागफल वलय, जिसे कारक वलय, अंतर वलय के रूप में भी जाना जाता है या अवशिष्ट वर्ग वलय, समूह सिद्धांत में भागफल समूह और रेखीय बीजगणित में भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) के समान एक निर्माण है। यह भागफल (सार्वभौमिक बीजगणित) का एक विशिष्ट उदाहरण है, जैसा कि सार्वभौमिक बीजगणित की सामान्य सेटिंग से देखा जाता है। $R$ में एक वलय $R$ और एक दो तरफा आदर्श $I$ से प्रारंभ होकर, एक नई वलय, भागफल वलय $R / I$ का निर्माण किया जाता है, जिसके तत्व $R$ में $I$ के सहसमुच्चय हैं जो विशेष + और ⋅ संचालन के अधीन हैं। (केवल अंश स्लैश "/" का उपयोग कोयंटेंट रिंग नोटेशन में किया जाता है, क्षैतिज अंश बार नहीं।)

भागफल के वलय एक अभिन्न डोमेन के साथ-साथ एक रिंग के स्थानीयकरण द्वारा प्राप्त उद्धरण के अधिक सामान्य रिंग से तथाकथित भागफल क्षेत्र, या अंशों के क्षेत्र से अलग हैं।

औपचारिक भागफल वलय निर्माण
$$R$$ में एक वलय $$R$$ और दो तरफा आदर्श $$I$$ दिए जाने पर, हम $$R$$ पर एक तुल्यता संबंध $$\sim$$ को इस प्रकार परिभाषित कर सकते हैं:
 * $$a\sim b$$ यदि और केवल यदि $$a-b$$, $$I$$ में है

आदर्श गुणों का उपयोग करके, यह जाँचना कठिन नहीं है $$\sim$$ एक संगति संबंध है। $$a\sim b$$ के स्थिति में, हम कहते हैं कि $$a$$ और $$b$$ सर्वांगसम मॉड्यूल $$I$$ हैं। $$R$$ में तत्व $$a$$ का तुल्यता वर्ग द्वारा दिया गया है


 * $$[a]=a+I := \{a+r: r\in I\}$$.

इस तुल्यता वर्ग को कभी-कभी $$a \bmod I$$ के रूप में भी लिखा जाता है और इसे $$a$$ "मॉड्यूल $$I$$ का अवशेष वर्ग" कहा जाता है।

ऐसे सभी तुल्यता वर्गों के समुच्चय को $R/I$ द्वारा निरूपित किया जाता है ;यदि कोई परिभाषित करता है तो यह एक वलय, कारक वलय या $$R$$ मोडुलो $$I$$ का भागफल वलय बन जाता है (यहाँ किसी को यह जाँचना है कि ये परिभाषाएँ अच्छी तरह से परिभाषित हैं। सहसमुच्चय और भागफल समूह की तुलना करें।) $R/I$ का शून्य-तत्व $\bar{0}=(0+I)=I$ है, और गुणक तत्समक $\bar{1} = (1+I)$ है.
 * $$(a+I)+(b+I)=(a+b)+I$$;
 * $$(a+I)(b+I)=(ab)+I$$.

$p(a)=a+I$ द्वारा परिभाषित $$R$$ से $R/I$ तक मानचित्र $$p$$ एक विशेषण वलय समरूपता है, जिसे कभी-कभी प्राकृतिक भागफल मानचित्र या विहित समरूपता कहा जाता है।

उदाहरण

 * भागफल की रिंग R / {0}}{{null} प्राकृतिक रूप से R के लिए आइसोमॉर्फिक है, और R / R शून्य वलय {0} है, क्योंकि, हमारी परिभाषा के अनुसार, R में किसी भी r के लिए, हमारे पास वह है {{nowrap|1=[r] = r + "R" := {r + b : b ∈ "R"}} }}, जो स्वयं R के समान है। यह रिंग के नियम के साथ फिट बैठता है कि आदर्श I जितना बड़ा होगा, भागफल की रिंग उतनी ही छोटी होगी R / I. यदि I, R की एक उचित गुणजावली है, अर्थात, I ≠ R, तब R / I शून्य वलय नहीं है।
 * पूर्णांक Z के वलय और सम संख्याओं के आदर्श पर विचार करें, जिसे 2Z द्वारा निरूपित किया जाता है। फिर भागफलवलय Z / 2Z में केवल दो तत्व होते हैं, कोसेट 0+2Z जिसमें सम संख्याएँ होती हैं और कोसेट 1+2Z जिसमें विषम संख्याएँ होती हैं; परिभाषा को प्रयुक्त करते हुए [z] = z + 2Z := {z + 2y: 2y ∈ 2Z}, जहाँ 2Z सम संख्याओं की गुणजावली है। यह दो तत्वों, F2 के साथ परिमित क्षेत्र के लिए स्वाभाविक रूप से समरूप है। सहज रूप से: यदि आप सभी सम संख्याओं को 0 मानते हैं, तो प्रत्येक पूर्णांक या तो 0 है (यदि यह सम है) या 1 (यदि यह विषम है और इसलिए एक सम संख्या से 1 से भिन्न है)। भागफल वलय Z / nZ (जिसमें n तत्व हैं) में मॉड्यूलर अंकगणित अनिवार्य रूप से अंकगणित है।
 * अब चर X में वास्तविक गुणांक, R[X], और आदर्श I = (X + 1) के साथ बहुपदों के वलय पर विचार करें, जिसमें बहुपद X + 1 के सभी गुणक सम्मिलित हैं। भागफल वलय R[X] / (X + 1) जटिल संख्या C के क्षेत्र के लिए स्वाभाविक रूप से समरूप है, जिसमें वर्ग [X] काल्पनिक इकाई i की भूमिका निभा रहा है। कारण यह है कि हमने X + 1 = 0, जिससे X = −1 को "विवश " किया, जो कि i की परिभाषित संपत्ति है।
 * पिछले उदाहरण का सामान्यीकरण करते हुए, भागफल के वलय अधिकांशतः क्षेत्र विस्तार के निर्माण के लिए उपयोग किए जाते हैं। मान लीजिए K कुछ क्षेत्र है और f K [X] में एक अलघुकरणीय बहुपद है। फिर L = K[X] / (f) एक ऐसा क्षेत्र है जिसका K पर न्यूनतम बहुपद f है, जिसमें K के साथ-साथ एक तत्व x = X + (f) भी सम्मिलित है।
 * पिछले उदाहरण का एक महत्वपूर्ण उदाहरण परिमित क्षेत्रों का निर्माण है। उदाहरण के लिए क्षेत्र पर विचार करें F3 = Z / 3Z तीन तत्वों के साथ। बहुपद f(X) = X + 1 F3 के ऊपर अलघुकरणीय है (क्योंकि इसकी कोई जड़ नहीं है), और हम भागफल वलय F3[X] / (f) का निर्माण कर सकते हैं यह 32 = 9 तत्वों वाला एक क्षेत्र है, जिसे F9 द्वारा दर्शाया गया है। अन्य परिमित क्षेत्रों का निर्माण इसी तरह से किया जा सकता है
 * बीजगणितीय किस्मों के निर्देशांक वलय बीजगणितीय ज्यामिति में भागफल वलय के महत्वपूर्ण उदाहरण हैं। एक साधारण स्थिति के रूप में, वास्तविक विविधता {{nowrap|1=V = {(x, y) | x2 = y3&hairsp;}{{null}}}} पर विचार करें वास्तविक विमान R2 के उपसमुच्चय के रूप में। V पर परिभाषित वास्तविक-मूल्यवान बहुपद कार्यों के वलय को भागफल वलय R[X,Y] / (X − Y3) से पहचाना जा सकता है और यह V का निर्देशांक वलय है। विविधता V की अब इसकी निर्देशांक वलय का अध्ययन करके जांच की जाती है.
 * मान लीजिए M एक C∞-मैनिफोल्ड है, और p M का एक बिंदु है। M पर परिभाषित सभी C∞-कार्य के रिंग R = C∞(M) पर विचार करें और मुझे उन कार्यों से युक्त R में आदर्श होने दें जो f p के कुछ निकट U में समान रूप से शून्य हैं (जहां U f पर निर्भर हो सकता है)। तब भागफल वलय R / I, p पर M परC∞-कार्यों के कीटाणुओं का वलय है।
 * अति वास्तविक संख्या *'R' के परिमित तत्वों के वलय F पर विचार करें। इसमें सभी अतिवास्तविक संख्याएँ होती हैं जो एक मानक वास्तविक से एक अपरिमेय राशि से भिन्न होती हैं, या समतुल्य: सभी अतिवास्तविक संख्याएँ x जिसके लिए −n < x < n के साथ एक मानक पूर्णांक n उपस्थित होता है। *'R' में सभी अपरिमेय संख्याओं का सेट I, 0 के साथ, F में एक आदर्श है, और भागफल वलय F / I वास्तविक संख्या R के लिए समरूप है। समाकृतिकता F के प्रत्येक तत्व x को x के मानक भाग कार्य से जोड़कर प्रेरित किया जाता है, अर्थात अद्वितीय वास्तविक संख्या जो से भिन्न होती है x एक अपरिमेय द्वारा वास्तव में, एक ही परिणाम प्राप्त होता है, अर्थात् R, यदि कोई परिमित हाइपररेशनल्स (जिससे अति पूर्णांक की एक जोड़ी का अनुपात) के रिंग F से प्रारंभ होता है, तो वास्तविक संख्याओं का निर्माण देखें।

जटिल विमान का परिवर्तन
भागफल R[X] / (X), R[X] / (X + 1), और R[X] / (X − 1) सभी R के लिए समरूप हैं और प्रारंभ में बहुत कम रुचि प्राप्त करते हैं। किंतु ध्यान दें R[X] / (X) को ज्यामितीय बीजगणित में दोहरी संख्या वाला तल कहा जाता है। इसमें R[X] के एक तत्व को X2 द्वारा घटाने के बाद अवशेष के रूप में केवल रैखिक द्विपद होते हैं।. जब भी बीजगणित में एक वास्तविक रेखा और एक निलपोटेंट होता है, तो एक जटिल विमान की यह भिन्नता उप-लजेब्रा के रूप में उत्पन्न होती है।

इसके अतिरिक्त, वलय भागफल R[X] / (X − 1) R[X] / (X + 1) और R[X] / (X − 1) में विभाजित होता है, इसलिए इस वलय को अधिकांशतः प्रत्यक्ष योग के रूप में देखा जाता है R ⊕ R फिर भी, जटिल संख्या z = x + y j पर भिन्नता का सुझाव j द्वारा X − 1 की जड़ के रूप में दिया जाता है, i की तुलना में X + 1 = 0 की जड़ के रूप में विभाजित-जटिल संख्याओं का यह विमान प्रत्यक्ष को सामान्य करता है योग R ⊕ R 2-स्पेस के लिए आधार{1, j}प्रदान करके जहां बीजगणित की पहचान शून्य से इकाई दूरी पर है। इस आधार पर एक इकाई अतिपरवलय की तुलना साधारण जटिल तल के इकाई वृत्त से की जा सकती है।

चतुष्कोण और विविधता
मान लीजिए एक्स और वाई दो हैं, गैर-कम्यूटिंग, अनिश्चित (चर) एस और मुक्त बीजगणित R$⟨X, Y⟩$ बनाते हैं फिर 1843 के हैमिल्टन के चतुष्कोणों को इस रूप में ढाला जा सकता है
 * $$\mathbf{R} \langle X, Y \rangle / ( X^2 + 1, Y^2 + 1, XY + YX ) .$$

यदि Y − 1 को Y + 1 स्थानापन्न किया जाता है, तो एक विभाजित-चतुर्भुजों की रिंग प्राप्त करता है। विरोधी विनिमेय संपत्ति YX = −XY का अर्थ है कि XY का वर्ग है


 * (XY)(XY) = X(YX)Y = −X(XY)Y = −(XX)(YY) = −(−1)(+1) = +1।

दोनों द्विघात द्विपदों में प्लस के लिए माइनस को प्रतिस्थापित करने से भी विभाजन-चतुर्भुज बनते हैं।

तीन प्रकार के द्विचतुर्भुजों को तीन अनिश्चित R$⟨X, Y, Z⟩$ के साथ मुक्त बीजगणित का उपयोग करके और उपयुक्त आदर्शों का निर्माण करके भी भागफल के रूप में लिखा जा सकता है।

गुण
स्पष्ट रूप से, यदि R क्रमविनिमेय वलय है, तो R / I भी क्रमविनिमेय है; चूँकि, इसका विलोम सामान्य रूप से सत्य नहीं है।

प्राकृतिक भागफल मानचित्र p में इसकी गिरी (बीजगणित) के रूप में I है; चूंकि प्रत्येक रिंग होमोमोर्फिज्म का कर्नेल एक दो-तरफा आदर्श है, इसलिए हम कह सकते हैं कि दो-तरफा आदर्श वास्तव में रिंग होमोमोर्फिज्म के कर्नेल हैं।

रिंग होमोमोर्फिम्स, कर्नेल और कोशेंट रिंग्स के बीच घनिष्ठ संबंध को संक्षेप में प्रस्तुत किया जा सकता है: R / I रिंग होमोमोर्फिज्म को परिभाषित किया गया है अनिवार्य रूप से R पर परिभाषित वलय समरूपता के समान हैं जो I पर लुप्त हो जाते हैं (अर्थात शून्य हैं)। अधिक स्पष्ट रूप से, R में दो तरफा आदर्श I और एक वलय समरूपता दी गई है। f : R → S जिसकी गिरी में I होता है, ठीक एक वलय समरूपता उपस्थित होती है g : R / I → S साथ gp = f (जहाँ p प्राकृतिक भागफल मानचित्र है)। यहाँ मानचित्र g सुपरिभाषित नियम g([a]) = f(a) द्वारा दिया गया है सभी के लिए R में। वास्तव में, इस सार्वभौमिक संपत्ति का उपयोग भागफल के वलय और उनके प्राकृतिक भागफल मानचित्रों को परिभाषित करने के लिए किया जा सकता है

उपरोक्त के परिणामस्वरूप, मौलिक कथन प्राप्त होता है: प्रत्येक रिंग होमोमोर्फिज्म f : R → S भागफल रिंग R / ker(f) और छवि im (f) के बीच एक रिंग आइसोमोर्फिज्म को प्रेरित करता है।(यह भी देखें: समरूपता पर मौलिक प्रमेय।)

R और के आदर्श R / I निकटता से संबंधित हैं: प्राकृतिक भागफल नक्शा R के दो तरफा आदर्शों के बीच एक आक्षेप प्रदान करता है जिसमें I और R / I दो तरफा आदर्श सम्मिलित हैं I (बाएं और दाएं आदर्शों के लिए भी यही सच है)। दो तरफा आदर्श के बीच यह संबंध संगत भागफल के वलय के बीच एक संबंध तक फैला हुआ है: यदि M R में दो तरफा आदर्श है जिसमें मैं सम्मिलित है, और हम लिखते हैं M / I इसी आदर्श के लिए R / I (अर्थात M / I = p(M)), भागफल वलय R / M और (R / I) / (M / I) a + M ↦ (a + I) + M / I मानचित्रण (अच्छी तरह से परिभाषित!) के माध्यम से स्वाभाविक रूप से आइसोमोर्फिक हैं

क्रमविनिमेय बीजगणित और बीजगणितीय ज्यामिति में निम्नलिखित तथ्य उपयोगी सिद्ध होते हैं: R ≠ {0} क्रमविनिमेय, R / I एक क्षेत्र (गणित) है यदि और केवल यदि I अधिकतम आदर्श है, जबकि R / I एक अभिन्न डोमेन है यदि और केवल यदि I एक प्रमुख आदर्श है। इसी तरह के कई कथन आदर्श I के गुणों को भागफल वलय R / I के गुणों से संबंधित करते हैं.

चीनी शेष प्रमेय में कहा गया है कि, यदि आदर्श I जोड़ीदार कोप्राइम या सामान्यीकरण आदर्श I1, ..., Ik का प्रतिच्छेदन (या समतुल्य, उत्पाद) है तो भागफल वलय R / I भागफल के वलय के गुणनफल के लिए R / In, n = 1, ..., k समरूप है

एक रिंग पर बीजगणित के लिए
क्रमविनिमेय वलय R के ऊपर एक साहचर्य बीजगणित A स्वयं एक वलय है। यदि I A में एक आदर्श है (R-गुणन के तहत बंद), तो A/I को R के ऊपर एक बीजगणित की संरचना विरासत में मिली है और यह 'भागफल बीजगणित' है

यह भी देखें

 * एसोसिएटेड ग्रेडेड रिंग
 * अवशेष क्षेत्र
 * गोल्डी की प्रमेय
 * भागफल मॉड्यूल

आगे के संदर्भ

 * एफ. काश (1978) मोडुलन अंड रिंग, डीएआर वालेस द्वारा अनुवादित (1982) मॉड्यूल्स एंड रिंग्स, अकादमिक प्रेस, पृष्ठ 33।
 * नील एच. मैककॉय (1948) रिंग्स एंड आइडियल्स, §13 रेसिड्यू क्लास रिंग्स, पेज 61, कैरस मैथमेटिकल मोनोग्राफ्स #8, अमेरिका का गणितीय संघ
 * }
 * बी.एल. वैन डेर वेर्डन (1970) बीजगणित, फ्रेड ब्लम और जॉन आर शुलेनबर्गर द्वारा अनुवादित, फ्रेडरिक उंगर प्रकाशन, न्यूयॉर्क। अध्याय 3.5 देखें, आदर्श। अवशेष वर्ग के छल्ले, पृष्ठ 47-51।

बाहरी संबंध

 * Ideals and factor rings from John Beachy's Abstract Algebra Online
 * Ideals and factor rings from John Beachy's Abstract Algebra Online