सदिश गोलीय प्रसंवादी

गणित में, वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स (वीएसएच) वेक्टर क्षेत्रों के उपयोग के लिए स्केलर गोलाकार हार्मोनिक्स का विस्तार है। वीएसएच के घटक गोलाकार समन्वय प्रणाली में व्यक्त जटिल-मूल्यवान कार्य हैं।

परिभाषा
वीएसएच को परिभाषित करने के लिए कई सम्मेलनों का उपयोग किया गया है।    हम बैरेरा एट अल का अनुसरण करते हैं। एक स्केलर गोलाकार हार्मोनिक दिया गया $Y_{ℓm}(θ, φ)$, हम तीन VSH परिभाषित करते हैं:

साथ $$\hat{\mathbf{r}}$$ गोलाकार समन्वय प्रणाली में रेडियल दिशा के साथ इकाई वेक्टर होने के नाते और $$\mathbf{r}$$ रेडियल दिशा के साथ वेक्टर त्रिज्या के समान मानदंड के साथ, यानी, $$\mathbf{r} = r\hat{\mathbf{r}}$$. रेडियल कारकों को यह गारंटी देने के लिए शामिल किया गया है कि वीएसएच के आयाम सामान्य गोलाकार हार्मोनिक्स के समान हैं और वीएसएच रेडियल गोलाकार समन्वय पर निर्भर नहीं है।
 * $$\mathbf{Y}_{\ell m} = Y_{\ell m}\hat{\mathbf{r}},$$
 * $$\mathbf{\Psi}_{\ell m} = r\nabla Y_{\ell m},$$
 * $$\mathbf{\Phi}_{\ell m} = \mathbf{r}\times\nabla Y_{\ell m},$$

गोलाकार निर्देशांक का उपयोग करते समय इन नए वेक्टर क्षेत्रों का हित रेडियल निर्भरता को कोणीय से अलग करना है, ताकि एक वेक्टर क्षेत्र एक बहुध्रुव विस्तार को स्वीकार करे

$$\mathbf{E} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left(E^r_{\ell m}(r) \mathbf{Y}_{\ell m} + E^{(1)}_{\ell m}(r) \mathbf{\Psi}_{\ell m} + E^{(2)}_{\ell m}(r) \mathbf{\Phi}_{\ell m}\right).$$ घटकों पर लेबल यह दर्शाते हैं $$E^r_{\ell m}$$ वेक्टर क्षेत्र का रेडियल घटक है, जबकि $$E^{(1)}_{\ell m}$$ और $$E^{(2)}_{\ell m}$$ अनुप्रस्थ घटक हैं (त्रिज्या वेक्टर के संबंध में $$\mathbf{r}$$).

समरूपता
अदिश गोलाकार हार्मोनिक्स की तरह, वीएसएच संतुष्ट करता है

$$\begin{align} \mathbf{Y}_{\ell,-m} &= (-1)^m \mathbf{Y}^*_{\ell m}, \\ \mathbf{\Psi}_{\ell,-m} &= (-1)^m \mathbf{\Psi}^*_{\ell m}, \\ \mathbf{\Phi}_{\ell,-m} &= (-1)^m \mathbf{\Phi}^*_{\ell m}, \end{align}$$ जो स्वतंत्र कार्यों की संख्या को लगभग आधा कर देता है। तारा जटिल संयुग्म को इंगित करता है।

ऑर्थोगोनलिटी
वीएसएच प्रत्येक बिंदु पर सामान्य त्रि-आयामी तरीके से ऑर्थोगोनल फ़ंक्शन हैं $$\mathbf{r}$$:

$$\begin{align} \mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Psi}_{\ell m}(\mathbf{r}) &= 0, \\ \mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Phi}_{\ell m}(\mathbf{r}) &= 0, \\ \mathbf{\Psi}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Phi}_{\ell m}(\mathbf{r}) &= 0. \end{align}$$ वे हिल्बर्ट स्पेस में भी ऑर्थोगोनल हैं:

$$\begin{align} \int\mathbf{Y}_{\ell m}\cdot \mathbf{Y}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= \delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}, \\ \int\mathbf{\Psi}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Psi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= \ell(\ell+1)\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}, \\ \int\mathbf{\Phi}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= \ell(\ell+1)\delta_{\ell\ell'}\delta_{mm'}, \\ \int\mathbf{Y}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Psi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= 0, \\ \int\mathbf{Y}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= 0, \\ \int\mathbf{\Psi}_{\ell m}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell'm'}\,d\Omega &= 0. \end{align}$$ एक बिंदु पर एक अतिरिक्त परिणाम $$\mathbf{r}$$ (बैरेरा एट अल, 1985 में रिपोर्ट नहीं किया गया) सभी के लिए है $$\ell,m,\ell',m'$$,

$$\begin{align} \mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Psi}_{\ell'm'}(\mathbf{r}) &= 0, \\ \mathbf{Y}_{\ell m}(\mathbf{r}) \cdot \mathbf{\Phi}_{\ell'm'}(\mathbf{r}) &= 0. \end{align}$$

वेक्टर बहुध्रुव क्षण
ओर्थोगोनैलिटी संबंध किसी को सदिश क्षेत्र के गोलाकार बहुध्रुव क्षणों की गणना करने की अनुमति देते हैं

$$\begin{align} E^r_{\ell m} &= \int \mathbf{E}\cdot \mathbf{Y}^*_{\ell m}\,d\Omega, \\ E^{(1)}_{\ell m} &= \frac{1}{\ell(\ell+1)}\int \mathbf{E}\cdot \mathbf{\Psi}^*_{\ell m}\,d\Omega, \\ E^{(2)}_{\ell m} &= \frac{1}{\ell(\ell+1)}\int \mathbf{E}\cdot \mathbf{\Phi}^*_{\ell m}\,d\Omega. \end{align}$$

एक अदिश क्षेत्र का ढाल
एक अदिश क्षेत्र के बहुध्रुव विस्तार को देखते हुए

$$\phi = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \phi_{\ell m}(r) Y_{\ell m}(\theta,\phi),$$ हम इसकी प्रवणता को VSH के रूप में व्यक्त कर सकते हैं

$$\nabla\phi = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell\left(\frac{d\phi_{\ell m}}{dr} \mathbf{Y}_{\ell m}+ \frac{\phi_{\ell m}}{r}\mathbf{\Psi}_{\ell m}\right).$$

विचलन
हमारे पास किसी भी मल्टीपोल फील्ड के लिए

$$\begin{align} \nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{Y}_{\ell m}\right) &= \left(\frac{df}{dr} + \frac{2}{r}f\right) Y_{\ell m}, \\ \nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{\Psi}_{\ell m}\right) &= -\frac{\ell(\ell+1)}{r} f Y_{\ell m}, \\ \nabla\cdot\left(f(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}\right) &= 0. \end{align}$$ सुपरपोज़िशन द्वारा हम किसी भी सदिश क्षेत्र का विचलन प्राप्त करते हैं:

$$\nabla\cdot\mathbf{E} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left(\frac{dE^r_{\ell m}}{dr}+\frac{2}{r}E^r_{\ell m}-\frac{\ell(\ell+1)}{r}E^{(1)}_{\ell m}\right)Y_{\ell m}.$$ हम देखते हैं कि घटक चालू है $Φ_{ℓm}$ हमेशा solenoidal होता है।

कर्ल
हमारे पास किसी भी मल्टीपोल फील्ड के लिए

$$\begin{align} \nabla\times\left(f(r)\mathbf{Y}_{\ell m}\right) &= -\frac{1}{r}f\mathbf{\Phi}_{\ell m}, \\ \nabla\times\left(f(r)\mathbf{\Psi}_{\ell m}\right) &= \left(\frac{df}{dr}+\frac{1}{r}f\right)\mathbf{\Phi}_{\ell m}, \\ \nabla\times\left(f(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}\right) &= -\frac{\ell(\ell+1)}{r}f\mathbf{Y}_{\ell m}-\left(\frac{df}{dr} + \frac{1}{r} f\right)\mathbf{\Psi}_{\ell m}. \end{align}$$ अध्यारोपण द्वारा हम किसी सदिश क्षेत्र का कर्ल (गणित) प्राप्त करते हैं:

$$\nabla\times\mathbf{E} = \sum_{\ell=0}^\infty \sum_{m=-\ell}^\ell \left(-\frac{\ell(\ell+1)}{r}E^{(2)}_{\ell m}\mathbf{Y}_{\ell m}-\left(\frac{dE^{(2)}_{\ell m}}{dr}+ \frac{1}{r}E^{(2)}_{\ell m}\right)\mathbf{\Psi}_{\ell m}+ \left(-\frac{1}{r}E^r_{\ell m}+\frac{dE^{(1)}_{\ell m}}{dr}+\frac{1}{r}E^{(1)}_{\ell m}\right)\mathbf{\Phi}_{\ell m}\right).$$

लाप्लासियन
लाप्लास ऑपरेटर की कार्रवाई $$\Delta = \nabla\cdot\nabla$$ निम्नानुसार अलग करता है:

$$\Delta\left(f(r)\mathbf{Z}_{\ell m}\right) = \left(\frac{1}{r^2} \frac{\partial}{\partial r} r^2 \frac{\partial f}{\partial r} \right)\mathbf{Z}_{\ell m} + f(r)\Delta \mathbf{Z}_{\ell m},$$ कहाँ $$\mathbf{Z}_{\ell m} = \mathbf{Y}_{\ell m}, \mathbf{\Psi}_{\ell m}, \mathbf{\Phi}_{\ell m}$$ और

$$\begin{align} \Delta\mathbf{Y}_{\ell m} &= -\frac{1}{r^2}(2+\ell(\ell+1))\mathbf{Y}_{\ell m} +\frac{2}{r^2}\mathbf{\Psi}_{\ell m}, \\ \Delta\mathbf{\Psi}_{\ell m} &= \frac{2}{r^2}\ell(\ell+1)\mathbf{Y}_{\ell m} -\frac{1}{r^2}\ell(\ell+1)\mathbf{\Psi}_{\ell m}, \\ \Delta\mathbf{\Phi}_{\ell m} &= -\frac{1}{r^2}\ell(\ell+1)\mathbf{\Phi}_{\ell m}. \end{align}$$ यह भी ध्यान दें कि यह क्रिया सममित मैट्रिक्स बन जाती है, अर्थात ऑफ-डायगोनल गुणांक बराबर होते हैं $\frac{2}{r^2}\sqrt{\ell(\ell+1)}$, उचित रूप से यूनिट वेक्टर VSH के लिए।

पहला वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स
के नकारात्मक मूल्यों के लिए भाव $m$ सममिति संबंधों को लागू करके प्राप्त किया जाता है।

विद्युतगतिकी
VSH विशेष रूप से विद्युत चुम्बकीय तरंग समीकरण#बहुध्रुव विस्तार के अध्ययन में उपयोगी है। उदाहरण के लिए, एक चुंबकीय बहुध्रुव कोणीय आवृत्ति के साथ दोलनशील धारा के कारण होता है $$\omega$$ और जटिल आयाम

$$\hat{\mathbf{J}}= J(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m},$$ और इसी विद्युत और चुंबकीय क्षेत्र को इस रूप में लिखा जा सकता है

$$\begin{align} \hat{\mathbf{E}} &= E(r)\mathbf{\Phi}_{\ell m}, \\ \hat{\mathbf{B}} &= B^r(r)\mathbf{Y}_{\ell m}+B^{(1)}(r)\mathbf{\Psi}_{\ell m}. \end{align}$$ मैक्सवेल समीकरणों में प्रतिस्थापित करने पर, गॉस का नियम स्वतः संतुष्ट हो जाता है

$$\nabla\cdot\hat{\mathbf{E}}=0,$$ जबकि फैराडे के कानून के रूप में decouples

$$\nabla\times\hat{\mathbf{E}}=-i\omega\hat{\mathbf{B}}\quad\Rightarrow\quad \begin{cases} \dfrac{\ell(\ell+1)}{r}E = i\omega B^r, \\ \dfrac{dE}{dr} +\dfrac{E}{r}= i\omega B^{(1)}.\end{cases}$$ चुंबकीय क्षेत्र के लिए गॉस के नियम का तात्पर्य है

$$\nabla\cdot\hat{\mathbf{B}} = 0\quad\Rightarrow \quad\frac{dB^r}{dr}+\frac{2}{r}B^r - \frac{\ell(\ell+1)}{r}B^{(1)}=0,$$ और एम्पीयर-मैक्सवेल का समीकरण देता है

$$\nabla\times\hat{\mathbf{B}} = \mu_0 \hat{\mathbf{J}} + i\mu_0\varepsilon_0\omega \hat{\mathbf{E}} \quad\Rightarrow\quad -\frac{B^r}{r}+\frac{dB^{(1)}}{dr}+\frac{B^{(1)}}{r} = \mu_0J+i\omega\mu_0\varepsilon_0E.$$ इस प्रकार, आंशिक अवकल समीकरण साधारण अवकल समीकरणों के समुच्चय में रूपांतरित हो गए हैं।

वैकल्पिक परिभाषा
कई अनुप्रयोगों में, वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स को गोलाकार निर्देशांक में वेक्टर हेल्महोल्त्ज़ समीकरण के समाधान के मौलिक सेट के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस मामले में, वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स स्केलर फ़ंक्शंस द्वारा उत्पन्न होते हैं, जो वेववेक्टर के साथ स्केलर हेल्महोल्त्ज़ समीकरण के समाधान हैं I $$ \mathbf k$$. $$\begin{array}{l} {\psi_{e m n} = \cos m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r)} \\ {\psi_{o m n} = \sin m \varphi P_{n}^{m}(\cos \vartheta) z_{n}({k} r)} \end{array} $$ यहाँ $$P_{n}^{m}(\cos \theta)$$ संबंधित लीजेंड्रे बहुपद हैं, और $$ z_{n}({k} r) $$ कोई भी बेसेल फलन#गोलाकार बेसेल फलन हैं।

वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स को इस प्रकार परिभाषित किया गया है: यहां हम हार्मोनिक्स वास्तविक-मूल्यवान कोणीय भाग का उपयोग करते हैं, जहां $$ m \geq 0 $$, लेकिन जटिल कार्यों को उसी तरह पेश किया जा सकता है।
 * अनुदैर्ध्य हार्मोनिक्स : $$\mathbf{L}_{^e_o m n}=\mathbf{\nabla} \psi_{^e_o m n} $$
 * चुंबकीय हार्मोनिक्स : $$\mathbf{M}_{^e_o m n}=\nabla \times\left(\mathbf{r} \psi_{^e_o m n}\right) $$
 * इलेक्ट्रिक हार्मोनिक्स: $$\mathbf{N}_{^e_o m n}=\frac{\nabla \times \mathbf{M}_{^e_o m n}} $$

आइए हम संकेतन का परिचय दें $$\rho = kr$$. घटक रूप में वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स को इस प्रकार लिखा जाता है: $$\begin{aligned} {\mathbf{M}_{e m n}(k, \mathbf{r}) =\qquad {\frac{-m}{\sin (\theta)} \sin (m \varphi) P_{n}^{m}(\cos (\theta))} z_{n}(\rho)\mathbf{e}_{\theta}} \\ {{{}-\cos (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta}} }z_{n}(\rho) \mathbf{e}_{\varphi} \end{aligned}$$ $$\begin{aligned} {\mathbf{M}_{o m n}(k, \mathbf{r}) =\qquad {\frac{m}{\sin (\theta)} \cos (m \varphi) P_{n}^{m}(\cos (\theta)) }}z_{n}(\rho) \mathbf{e}_{\theta} \\ {{}-\sin (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta} z_{n}(\rho) \mathbf{e}_{\varphi}} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} {\mathbf{N}_{e m n}(k, \mathbf{r}) =\qquad \frac{z_{n}(\rho)}{\rho} \cos (m \varphi) n(n+1) P_{n}^{m}(\cos (\theta)) \mathbf{e}_{\mathbf{r}}} \\ \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\theta} \\ \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\varphi} \end{aligned}$$

$$\begin{aligned} \mathbf{N}_{o m n} (k, \mathbf{r}) =\qquad \frac{z_{n}(\rho)}{\rho} \sin (m \varphi) n(n+1) P_{n}^{m}(\cos (\theta)) \mathbf{e}_{\mathbf{r}} \\ {}+\sin (m \varphi) \frac{d P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{d \theta} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\theta} \\ {}+{m \cos (m \varphi) \frac{P_{n}^{m}(\cos (\theta))}{\sin (\theta)}} \frac{1}{\rho} \frac{d}{d \rho}\left[\rho z_{n}(\rho)\right] \mathbf{e}_{\varphi} \end{aligned} $$ चुंबकीय हार्मोनिक्स के लिए कोई रेडियल भाग नहीं है। इलेक्ट्रिक हार्मोनिक्स के लिए, रेडियल भाग कोणीय और बड़े के लिए तेज़ी से घटता है $$\rho$$ उपेक्षित किया जा सकता है। हम यह भी देख सकते हैं कि विद्युत और चुंबकीय हार्मोनिक्स के लिए ध्रुवीय और अज़ीमुथल इकाई वैक्टर के क्रमपरिवर्तन तक कोणीय भाग समान होते हैं, इसलिए बड़े के लिए $$\rho$$ इलेक्ट्रिक और मैग्नेटिक हार्मोनिक्स वैक्टर एक दूसरे के मूल्य और लंबवत के बराबर हैं।

अनुदैर्ध्य हार्मोनिक्स: $$ \begin{aligned} \mathbf{L}_{^e_o{m n}}(k, \mathbf{r}) {}=\qquad &\frac{\partial}{\partial r} z_{n}(k r) P_{n}^{m}(\cos \theta){^{\cos }_{\sin }} {m \varphi} \mathbf{e}_r \\ {}+{} &\frac{1}{r} z_{n}(k r) \frac{\partial}{\partial \theta} P_{n}^{m}(\cos \theta) {^{\cos }_{\sin}} m \varphi \mathbf{e}_{\theta} \\ {}\mp{} &\frac{m}{r \sin \theta} z_{n}(k r) P_{n}^{m}(\cos \theta) {^{\sin }_{\cos}} m \varphi \mathbf{e}_{\varphi} \end{aligned}$$

ओर्थोगोनलिटी
हेल्महोल्ट्ज़ वेक्टर समीकरण के समाधान निम्नलिखित ऑर्थोगोनलिटी संबंधों का पालन करते हैं: $$\begin{align} \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \mathbf{L}_{^e_omn} \cdot \mathbf{L}_{^e_omn} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi &= (1 + \delta_{m,0}) \frac{2 \pi}{(2 n+1)^{2}} \frac{(n+m) !}{(n-m) !} k^{2}\left\{n\left[z_{n-1}(k r)\right]^{2}+(n+1)\left[z_{n+1}(k r)\right]^{2}\right\} \\[3pt] \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \mathbf{M}_{^e_omn} \cdot \mathbf{M}_{^e_omn} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi &= (1 + \delta_{m,0}) \frac{2 \pi}{2 n+1} \frac{(n+m) !}{(n-m) !} n(n+1)\left[z_{n}(k r)\right]^2 \\[3pt] \int_{0}^{2 \pi} \int_{0}^{\pi} \mathbf{N}_{^e_omn} \cdot \mathbf{N}_{^e_omn} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi &= (1 + \delta_{m,0}) \frac{2 \pi}{(2 n + 1)^{2}} \frac{(n + m) !}{(n - m) !} n(n + 1)\left\{(n + 1)\left[z_{n-1}(k r)\right]^{2} + n\left[z_{n+1}(k r)\right]^{2}\right\} \\[3pt] \int_{0}^{\pi} \int_{0}^{2 \pi} \mathbf{L}_{^e_omn} \cdot \mathbf{N}_{^e_omn} \sin \vartheta d \vartheta d \varphi &= (1 + \delta_{m,0}) \frac{2 \pi}{(2 n+1)^{2}} \frac{(n+m) !}{(n-m) !} n(n+1) k\left\{\left[z_{n-1}(k r)\right]^{2}-\left[z_{n+1}(k r)\right]^{2}\right\} \end{align}$$ विभिन्न कार्यों या विभिन्न सूचकांकों के साथ कार्यों के बीच के कोणों पर अन्य सभी अभिन्न शून्य के बराबर हैं।

रोटेशन और उलटा
रोटेशन के तहत, वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स एक दूसरे के माध्यम से उसी तरह से रूपांतरित होते हैं जैसे संबंधित गोलाकार हार्मोनिक्स#रोटेशन, जो एक विशिष्ट प्रकार के वेक्टर हार्मोनिक्स के लिए उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि जनरेटिंग फ़ंक्शन सामान्य गोलाकार हार्मोनिक्स हैं, तो वेक्टर हार्मोनिक्स भी विग्नर डी-मैट्रिक्स | विग्नर डी-मैट्रिसेस के माध्यम से रूपांतरित हो जाएंगे। $$ \hat{D}(\alpha, \beta, \gamma) \mathbf{Y}_{JM}^{(s)}(\theta, \varphi)= \sum_{m' = -\ell}^\ell [D^{(\ell)}_{MM'}(\alpha, \beta, \gamma)]^* \mathbf{Y}_{JM'}^{(s)}(\theta, \varphi), $$ घूर्णन के तहत व्यवहार विद्युत, चुंबकीय और अनुदैर्ध्य हार्मोनिक्स के लिए समान है।

व्युत्क्रमण के तहत, विद्युत और अनुदैर्ध्य गोलाकार हार्मोनिक्स उसी तरह व्यवहार करते हैं जैसे स्केलर गोलाकार कार्य, यानी। $$ \hat{I}\mathbf{N}_{JM}(\theta, \varphi)= (-1)^J \mathbf{N}_{JM}(\theta, \varphi), $$ और चुंबकीय वाले विपरीत समानता रखते हैं: $$ \hat{I}\mathbf{M}_{JM}(\theta, \varphi)= (-1)^{J+1} \mathbf{M}_{JM}(\theta, \varphi), $$

द्रव गतिकी
ड्रैग के लिए स्टोक्स के नियम की गणना में कि एक चिपचिपा द्रव एक छोटे गोलाकार कण पर निकलता है, वेग वितरण जड़ता की उपेक्षा करते हुए नेवियर-स्टोक्स समीकरणों का पालन करता है, अर्थात।

$$\begin{align} 0 &= \nabla\cdot \mathbf{v}, \\ \mathbf{0} &= -\nabla p + \eta \nabla^2\mathbf{v}, \end{align}$$ सीमा शर्तों के साथ

$$\mathbf{v} = \begin{cases} \mathbf{0}  & r = a, \\ -\mathbf{U}_0 & r \to \infty. \end{cases}$$ जहाँ U, कण से दूर द्रव में कण का आपेक्षिक वेग है। गोलीय निर्देशांकों में अनंत पर इस वेग को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$\mathbf{U}_0 = U_0\left(\cos\theta\, \hat{\mathbf{r}} - \sin\theta \,\hat{\mathbf{\theta}}\right) = U_0 \left(\mathbf{Y}_{10} + \mathbf{\Psi}_{10}\right).$$ अंतिम अभिव्यक्ति तरल वेग और दबाव के लिए गोलाकार हार्मोनिक्स में विस्तार का सुझाव देती है

$$\begin{align} p &= p(r)Y_{10}, \\ \mathbf{v} &= v^r(r) \mathbf{Y}_{10} + v^{(1)}(r) \mathbf{\Psi}_{10}. \end{align}$$ नेवियर-स्टोक्स समीकरणों में प्रतिस्थापन गुणांकों के लिए सामान्य अंतर समीकरणों का एक सेट उत्पन्न करता है।

अभिन्न संबंध
यहाँ निम्नलिखित परिभाषाओं का उपयोग किया जाता है:

$$\begin{align} Y_{e m n} &= \cos m \varphi P_{n}^{m}(\cos \theta) \\ Y_{o m n} &= \sin m \varphi P_{n}^{m}(\cos \theta) \end{align}$$

$$ \mathbf{X}_{^e_o m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) = \nabla \times\left(\mathbf{k} Y_{^o_e m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right)\right) $$

$$ \mathbf{Z}_{^o_e m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) = i \frac{\mathbf{k}}{k} \times \mathbf{X}_{^e_o m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) $$ मामले में, जब के बजाय $$z_n$$ गोलाकार बेसेल फलन हैं, समतल तरंग विस्तार की सहायता से निम्नलिखित अभिन्न संबंध प्राप्त किए जा सकते हैं:

$$ \mathbf {N}_{pmn}(k, \mathbf r) = \frac{i^{-n}}{4\pi} \int \mathbf Z_{pmn}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) e^{i \mathbf k \mathbf r} d\Omega_k $$

$$ \mathbf {M}_{pmn}(k, \mathbf r) =\frac{i^{-n}}{4\pi} \int \mathbf X_{pmn}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) e^{i \mathbf k \mathbf r} d\Omega_k $$ मामले में, कब $$z_n$$ गोलाकार हैंकेल कार्य हैं, विभिन्न सूत्रों का उपयोग करना चाहिए। वेक्टर गोलाकार हार्मोनिक्स के लिए निम्नलिखित संबंध प्राप्त होते हैं:

$$ \mathbf{M}_{p m n}^{(3)}(k, \mathbf{r}) = \frac{i^{-n}}{2 \pi k} \iint_{-\infty}^{\infty} d k_{ \|} \frac{e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y \pm k_{z} z\right)}}{k_{z}} \mathbf{X}_{p m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) $$

$$ \mathbf{N}_{p m n}^{(3)}(k, \mathbf{r}) = \frac{i^{-n}}{2 \pi k} \iint_{-\infty}^{\infty} d k_{ \|} \frac{e^{i\left(k_{x} x+k_{y} y \pm k_{z} z\right)}}{k_{z}} \mathbf{Z}_{p m n}\left(\frac{\mathbf{k}}{k}\right) $$ कहाँ $ k_{z} = \sqrt{k^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}} $, अनुक्रमणिका $$ (3) $$ इसका मतलब है कि गोलाकार हैंकेल कार्यों का उपयोग किया जाता है।

यह भी देखें

 * गोलाकार हार्मोनिक्स
 * स्पिनर गोलाकार हार्मोनिक्स
 * स्पिन-भारित गोलाकार हार्मोनिक्स
 * विद्युत चुम्बकीय विकिरण
 * गोलाकार आधार

बाहरी संबंध

 * Vector Spherical Harmonics at Eric Weisstein's Mathworld