फ्री एबेलियन ग्रुप

गणित में, मुक्त आबेली समूह एक आधार के साथ आबेली समूह है। एबेलियन समूह होने का मतलब है कि यह एक अतिरिक्त ऑपरेशन के साथ एक सेट है जो कि साहचर्य, क्रमविनिमेय और व्युत्क्रमणीय है। आधार, जिसे अभिन्न आधार भी कहा जाता है, एक उपसमुच्चय है, जैसे कि समूह के प्रत्येक तत्व को विशिष्ट रूप से कई आधार तत्वों के पूर्णांक रैखिक संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, द्वि-आयामी पूर्णांक जाली एक मुक्त एबेलियन समूह बनाती है, इसके संचालन के रूप में समन्वय के साथ, और इसके आधार के रूप में दो बिंदु (1,0) और (0,1) के साथ। मुक्त एबेलियन समूहों में ऐसे गुण होते हैं जो उन्हें सदिश स्थानों के समान बनाते हैं, और समतुल्य रूप से मुक्त कहे जा सकते हैं $\Z$-modules, पूर्णांकों पर मुक्त मॉड्यूल। जाली (समूह) वास्तविक संख्या वेक्टर रिक्त स्थान के मुक्त एबेलियन उपसमूहों का अध्ययन करता है। बीजगणितीय टोपोलॉजी में, मुक्त एबेलियन समूहों का उपयोग श्रृंखला समूहों को परिभाषित करने के लिए किया जाता है, और बीजगणितीय ज्यामिति में विभाजक (बीजीय ज्यामिति) को परिभाषित करने के लिए उपयोग किए जाते हैं।

आधार के साथ मुक्त एबेलियन समूह के तत्व $$B$$ को कई समकक्ष तरीकों से वर्णित किया जा सकता है। इनमें औपचारिक योग शामिल हैं, over $B$, जो रूप के भाव हैं $\sum a_i b_i $ जहां प्रत्येक $$a_i$$ एक अशून्य पूर्णांक है, प्रत्येक $$b_i$$ एक विशिष्ट आधार तत्व है, और योग में बहुत से शब्द हैं। वैकल्पिक रूप से, एक मुक्त एबेलियन समूह के तत्वों को हस्ताक्षरित मल्टीसेट के रूप में माना जा सकता है जिसमें बहुत से तत्व शामिल हैं of $B$, औपचारिक योग में इसके गुणांक के बराबर मल्टीसेट में एक तत्व की बहुलता के साथ। मुक्त एबेलियन समूह के एक तत्व का प्रतिनिधित्व करने का एक अन्य तरीका एक फ़ंक्शन के रूप में है $$B$$ पूर्णांकों के लिए बहुत से अशून्य मानों के साथ; इस कार्यात्मक प्रतिनिधित्व के लिए, समूह संचालन कार्यों का बिंदुवार जोड़ है।

हर सेट $$B$$ के साथ एक निःशुल्क एबेलियन समूह है $$B$$ के आधार के रूप में। यह समूह इस अर्थ में अद्वितीय है कि समान आधार वाले प्रत्येक दो मुक्त एबेलियन समूह समूह समरूपतावाद हैं। इसके व्यक्तिगत तत्वों का वर्णन करके इसका निर्माण करने के बजाय, आधार के साथ एक मुक्त एबेलियन समूह $$B$$ को पूर्णांकों के योज्य समूह की प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के रूप में बनाया जा सकता है, जिसमें प्रति सदस्य एक प्रति है of $B$. वैकल्पिक रूप से, मुक्त एबेलियन समूह आधार के साथ मुक्त एबेलियन समूह $$B$$ के तत्वों के साथ एक समूह की प्रस्तुति द्वारा वर्णित किया जा सकता है $$B$$ इसके जनरेटर के रूप में और इसके संबंधकों के रूप में सदस्यों के जोड़े के कम्यूटेटर के साथ। एक मुक्त एबेलियन समूह के एक एबेलियन समूह की रैंक एक आधार की प्रमुखता है; एक ही समूह के लिए हर दो आधार एक ही रैंक देते हैं, और एक ही रैंक के साथ हर दो मुक्त एबेलियन समूह आइसोमोर्फिक होते हैं। मुक्त आबेली समूह का प्रत्येक उपसमूह स्वयं मुक्त आबेली है; यह तथ्य एक सामान्य एबेलियन समूह को "संबंधों" द्वारा एक मुक्त एबेलियन समूह भागफल समूह के रूप में, या मुक्त एबेलियन समूहों के बीच एक इंजेक्शन समूह होमोमोर्फिज्म के कोकर्नेल के रूप में समझने की अनुमति देता है। केवल मुक्त एबेलियन समूह जो मुक्त समूह हैं, तुच्छ समूह और अनंत चक्रीय समूह हैं।

परिभाषा और उदाहरण
एक मुक्त एबेलियन समूह एक एबेलियन समूह है जिसका एक आधार है। यहाँ, एक एबेलियन समूह होने का अर्थ है कि यह एक सेट द्वारा वर्णित है $$S$$ इसके तत्वों और एक बाइनरी ऑपरेशन $S$, पारंपरिक रूप से एक योगात्मक समूह के रूप में निरूपित किया जाता है$$+$$ प्रतीक (चूँकि यह आवश्यक नहीं है कि संख्याओं का सामान्य जोड़ हो) जो निम्नलिखित गुणों का पालन करते हैं: एक आधार एक उपसमुच्चय है $$B$$ के तत्वों की $$S$$ उस संपत्ति के साथ जिसका प्रत्येक तत्व $$S$$ बहुत से आधार तत्वों को चुनकर एक अनोखे तरीके से बनाया जा सकता है $$b_i$$ of $B$, एक अशून्य पूर्णांक चुनना $$k_i$$ प्रत्येक चुने हुए आधार तत्वों के लिए, और एक साथ जोड़ना $$k_i$$ आधार तत्वों की प्रतियां $$b_i$$ जिसके लिए $$k_i$$ सकारात्मक है, और $$-k_i$$ की प्रतियां $$-b_i$$ प्रत्येक आधार तत्व के लिए जिसके लिए $$k_i$$ नकारात्मक है। एक विशेष मामले के रूप में, पहचान तत्व हमेशा इस तरह से शून्य आधार तत्वों के संयोजन के रूप में बनाया जा सकता है, खाली योग के लिए सामान्य सम्मेलन के अनुसार, और पहचान का प्रतिनिधित्व करने वाले किसी अन्य संयोजन को खोजना संभव नहीं होना चाहिए।
 * संचालन $$+$$ क्रमविनिमेय और साहचर्य है, जिसका अर्थ सभी तत्वों के लिए है $x$, $y$, and $z$ of $S$, $$x+y=y+x$$ और $(x+y)+z=x+(y+z)$. इसलिए, जब दो या दो से अधिक तत्वों का संयोजन होता है $$S$$ इस ऑपरेशन का उपयोग करते हुए, तत्वों का क्रम और समूहन परिणाम को प्रभावित नहीं करता है।
 * $$S$$ एक पहचान तत्व शामिल है पारंपरिक रूप से चिह्नित $0$) उस गुण के साथ जो प्रत्येक तत्व के लिए, तत्व$x$, $x+0=0+x=x$.
 * हर तत्व $$x$$ में $$S$$ का एक प्रतिलोम अवयव है $-x$, ऐसा है कि $x+(-x)=0$.

integers $\mathbb{Z}$, }} सामान्य योग संचालन के तहत, एक मुक्त एबेलियन समूह बनाएं basis $\{1\}$. पूर्णांक क्रमविनिमेय और साहचर्य हैं, 0 के साथ योज्य पहचान के रूप में और प्रत्येक पूर्णांक के साथ एक योज्य व्युत्क्रम, इसकी अस्वीकृति है। प्रत्येक गैर-नकारात्मक $$x$$ का योग है $$x$$ प्रतियां of $1$, और प्रत्येक नकारात्मक पूर्णांक $$x$$ का योग है $$-x$$ प्रतियां of $-1$, तो आधार संपत्ति भी संतुष्ट है। एक उदाहरण जहां समूह संचालन संख्याओं के सामान्य योग से भिन्न होता है, सकारात्मक परिमेय संख्याओं द्वारा दिया जाता है $\mathbb{Q}^+$, जो संख्याओं पर सामान्य गुणन संक्रिया और उनके आधार पर अभाज्य संख्याओं के साथ एक मुक्त एबेलियन समूह बनाते हैं। गुणन संख्या के साथ क्रमविनिमेय और साहचर्य है $$1$$ इसकी पहचान के रूप में और साथ $$1/x$$ प्रत्येक सकारात्मक परिमेय के प्रतिलोम तत्व के रूप में number $x$. तथ्य यह है कि अभाज्य संख्याएँ इन संख्याओं के गुणा के लिए एक आधार बनाती हैं, जो अंकगणित के मूलभूत प्रमेय से अनुसरण करती हैं, जिसके अनुसार प्रत्येक धनात्मक पूर्णांक विशिष्ट रूप से कई अभाज्यों या उनके व्युत्क्रमों के गुणनफल में पूर्णांक गुणनखंड हो सकता है। अगर $$q=a/b$$ एक धनात्मक परिमेय संख्या है, जिसे सरल शब्दों में व्यक्त किया जाता है $$q$$ के गुणनखंडों में दिखाई देने वाली अभाज्य संख्याओं के परिमित संयोजन के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$a$$ and $b$. इस संयोजन में उपयोग किए जाने वाले प्रत्येक अभाज्य की प्रतियों की संख्या के गुणनखंड में इसका घातांक है $$a$$, या गुणनखंडन में इसके प्रतिपादक का निषेधन of $b$.

एकल के बहुपद variable $x$, पूर्णांक गुणांकों के साथ, की शक्तियों के साथ बहुपद जोड़ के तहत एक मुक्त एबेलियन समूह बनाते हैं $$x$$ आधार रूप से। एक अमूर्त समूह के रूप में, यह धनात्मक परिमेय संख्याओं के गुणात्मक समूह (एक समूह समरूपता समूह) के समान है। इन दो समूहों को एक दूसरे से मैप करने का एक तरीका, यह दिखाते हुए कि वे आइसोमॉर्फिक हैं, के प्रतिपादक की पुनर्व्याख्या करना है $i$th इसके बजाय परिमेय के गुणक समूह में अभाज्य संख्या का गुणांक दे रहा है $$x^{i-1}$$ इसी बहुपद में, या इसके विपरीत। उदाहरण के लिए परिमेय संख्या $$5/27$$ के घातांक हैं $$0, -3, 1$$ पहले तीन अभाज्य संख्याओं के लिए $$2, 3, 5$$ और इस तरह बहुपद के अनुरूप होगा $$-3x+x^2$$ समान गुणांक वाले $$0, -3, 1$$ इसके निरंतर, रैखिक और द्विघात शब्दों के लिए। क्योंकि ये मानचित्रण केवल समान संख्याओं की पुनर्व्याख्या करते हैं, वे दो समूहों के तत्वों के बीच एक आक्षेप को परिभाषित करते हैं। और क्योंकि सकारात्मक परिमेय को गुणा करने का समूह संचालन अभाज्य संख्याओं के घातांक पर योगात्मक रूप से कार्य करता है, उसी तरह बहुपदों को जोड़ने का समूह संचालन बहुपदों के गुणांकों पर कार्य करता है, ये मानचित्र समूह संरचना को संरक्षित करते हैं; वे समरूपता हैं। एक विशेषण समरूपता को एक समरूपता कहा जाता है, और इसका अस्तित्व दर्शाता है कि इन दो समूहों में समान गुण हैं। यद्यपि किसी दिए गए आधार के संदर्भ में प्रत्येक समूह तत्व का प्रतिनिधित्व अद्वितीय है, एक मुक्त एबेलियन समूह में आम तौर पर एक से अधिक आधार होते हैं, और विभिन्न आधारों के परिणामस्वरूप इसके तत्वों के विभिन्न प्रतिनिधित्व होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि कोई आधार के किसी तत्व को उसके प्रतिलोम से प्रतिस्थापित करता है, तो उसे दूसरा आधार प्राप्त होता है। अधिक विस्तृत उदाहरण के रूप में, द्वि-आयामी पूर्णांक जाली $\Z^2$, पूर्णांक कार्टेशियन निर्देशांक वाले विमान में बिंदुओं से मिलकर, आधार के साथ वेक्टर जोड़ के तहत एक मुक्त एबेलियन समूह बनाता है $\{(1,0),(0,1)\}$. इस आधार के लिए, तत्व $$(4,3)$$ लिखा जा सकता है $(4,3) = 4 \cdot (1,0) + 3 \cdot (0,1)$, जहां 'गुणा' परिभाषित किया गया है, उदाहरण के लिए, $\ 4 \cdot (1,0) := (1,0) + (1,0) + (1,0) + (1,0)$. लिखने का कोई और तरीका नहीं है $$(4,3)$$ उसी आधार पर। हालाँकि, एक अलग आधार के साथ जैसे $\{(1,0),(1,1)\}$, इसे इस रूप में लिखा जा सकता है $(4,3) = (1,0) + 3\cdot (1,1)$. इस उदाहरण को सामान्य करते हुए, प्रत्येक लैटिस (समूह) एक परिमित रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह बनाता है|अंततः उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह। $d$-dimensional }} पूर्णांक जाली $$\Z^d$$ सकारात्मक पूर्णांक इकाई वैक्टर से मिलकर एक प्राकृतिक आधार होता है, लेकिन इसके कई अन्य आधार भी होते हैं: यदि $$M$$ एक है $$d\times d$$ पूर्णांक मैट्रिक्स (गणित) के साथ determinant $\pm 1$, फिर की पंक्तियाँ $$M$$ एक आधार बनाते हैं, और विलोम (तर्क) पूर्णांक जाली के हर आधार का यह रूप होता है। द्वि-आयामी मामले पर अधिक जानकारी के लिए, अवधियों की मौलिक जोड़ी देखें।

निर्माण
हर सेट एक मुक्त एबेलियन समूह का आधार हो सकता है, जो समूह समरूपता के लिए अद्वितीय है। किसी दिए गए आधार सेट के लिए मुक्त एबेलियन समूह को कई अलग-अलग लेकिन समतुल्य तरीकों से बनाया जा सकता है: पूर्णांकों की प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के रूप में, पूर्णांक-मूल्यवान कार्यों के परिवार के रूप में, हस्ताक्षरित मल्टीसेट के रूप में, या समूह की प्रस्तुति द्वारा.

उत्पाद और रकम
समूहों के प्रत्यक्ष उत्पाद में घटकवार जोड़ के साथ उत्पाद में प्रत्येक समूह के एक तत्व के टुपल्स होते हैं। दो मुक्त एबेलियन समूहों का प्रत्यक्ष उत्पाद स्वयं मुक्त एबेलियन है, जिसके आधार पर दो समूहों के आधारों का असंबद्ध मिलन होता है। आम तौर पर मुक्त एबेलियन समूहों की किसी भी परिमित संख्या का प्रत्यक्ष उत्पाद मुक्त एबेलियन है। $d$-dimensional }} पूर्णांक जाली, उदाहरण के लिए, प्रत्यक्ष उत्पाद के लिए आइसोमोर्फिक है $$d$$ पूर्णांक की प्रतियां group $\Z$. तुच्छ समूह $$\{0\}$$ खाली सेट के आधार पर मुक्त एबेलियन भी माना जाता है। इसकी व्याख्या एक खाली उत्पाद के रूप में की जा सकती है, शून्य प्रतियों का प्रत्यक्ष उत्पाद of $\Z$.

मुक्त एबेलियन समूहों के अनंत परिवारों के लिए, प्रत्यक्ष उत्पाद आवश्यक रूप से मुक्त एबेलियन नहीं है। उदाहरण के लिए बेयर-स्पीकर समूह $\mathbb{Z}^\mathbb{N}$, अनगिनत अनंत प्रतियों के प्रत्यक्ष उत्पाद के रूप में गठित एक बेशुमार अनंत समूह of $\mathbb{Z}$, 1937 में रेनहोल्ड बेयर द्वारा दिखाया गया था कि वह स्वतंत्र एबेलियन नहीं है, हालांकि 1950 में अर्नस्ट स्पेकर गणितीय प्रमाण है कि इसके सभी गणनीय उपसमूह मुक्त एबेलियन हैं। इसके बजाय, समूहों के एक अनंत परिवार से एक मुक्त एबेलियन समूह प्राप्त करने के लिए, प्रत्यक्ष उत्पाद के बजाय समूहों के प्रत्यक्ष योग का उपयोग किया जाना चाहिए। प्रत्यक्ष योग और प्रत्यक्ष उत्पाद समान होते हैं जब वे बहुत से समूहों पर लागू होते हैं, लेकिन समूहों के अनंत परिवारों पर भिन्न होते हैं। प्रत्यक्ष योग में, तत्व फिर से प्रत्येक समूह के तत्वों के गुच्छे होते हैं, लेकिन इस प्रतिबंध के साथ कि इनमें से कई तत्वों को छोड़कर सभी तत्व उनके समूह के लिए पहचान हैं। असीम रूप से कई मुक्त एबेलियन समूहों का प्रत्यक्ष योग मुक्त एबेलियन रहता है। इसमें एक आधार होता है जिसमें टुपल्स होते हैं जिसमें एक तत्व के अलावा सभी तत्व पहचान होते हैं, इसके समूह के आधार के शेष तत्व भाग के साथ। प्रत्येक मुक्त एबेलियन समूह को प्रतियों के प्रत्यक्ष योग के रूप में वर्णित किया जा सकता है of $\mathbb{Z}$, इसके आधार के प्रत्येक सदस्य के लिए एक प्रति के साथ। यह निर्माण किसी भी सेट की अनुमति देता है $$B$$ एक मुक्त एबेलियन समूह का आधार बनने के लिए।

पूर्णांक कार्य और औपचारिक योग
ए दिया set $B$, कोई एक समूह को परिभाषित कर सकता है $$\mathbb{Z}^{(B)}$$ जिनके तत्व से कार्य हैं $$B$$ पूर्णांकों के लिए, जहां सुपरस्क्रिप्ट में कोष्ठक इंगित करता है कि केवल बहुत से अशून्य मानों वाले फ़ंक्शन शामिल हैं। अगर $$f(x)$$ और $$g(x)$$ दो ऐसे कार्य हैं, फिर $$f+g$$ वह फलन है जिसके मान मानों के योग हैं $$f$$ and $g$: वह है, $(f+g)(x)=f(x)+g(x)$. यह बिंदुवार जोड़ ऑपरेशन देता है $$\mathbb{Z}^{(B)}$$ एबेलियन समूह की संरचना। प्रत्येक तत्व $$x$$ दिए गए सेट से $$B$$ सदस्य से मेल खाता है of $\mathbb{Z}^{(B)}$, कार्यक्रम $$e_x$$ जिसके लिए $$e_x(x)=1$$ और जिसके लिए $$e_x(y)=0$$ के लिए all $y\ne x$. हर समारोह $$f$$ में $$\mathbb{Z}^{(B)}$$ विशिष्ट रूप से आधार तत्वों की सीमित संख्या का एक रैखिक संयोजन है: $$f=\sum_{\{x\mid f(x)\ne 0\}} f(x) e_x.$$ इस प्रकार, ये तत्व $$e_x$$ एक आधार बनाओ for $\mathbb{Z}^{(B)}$, और $$\mathbb{Z}^{(B)}$$ एक मुक्त एबेलियन समूह है। इस प्रकार प्रत्येक सेट $$B$$ एक मुक्त एबेलियन समूह के आधार में बनाया जा सकता है। के तत्व $$\mathbb{Z}^{(B)}$$ औपचारिक राशियों के रूप में भी लिखा जा सकता है, बहुत से शब्दों के योग के रूप में अभिव्यक्तियाँ, जहाँ प्रत्येक शब्द को एक विशिष्ट सदस्य के साथ एक गैर-पूर्णांक पूर्णांक के उत्पाद के रूप में लिखा जाता है of $B$. इन अभिव्यक्तियों को समतुल्य माना जाता है जब उनके पास समान शब्द होते हैं, शर्तों के क्रम की परवाह किए बिना, और उन्हें शर्तों के संघ बनाकर जोड़ा जा सकता है, पूर्णांक गुणांक को समान आधार तत्व के साथ शब्दों को जोड़ने के लिए जोड़ा जा सकता है, और जिनके लिए शब्द हटा दिए जाते हैं यह संयोजन एक शून्य गुणांक पैदा करता है। उन्हें बहुत से तत्वों के हस्ताक्षरित मल्टीसेट के रूप में भी व्याख्या किया जा सकता है of $B$.

प्रस्तुति
एक समूह की एक प्रस्तुति तत्वों का एक समूह है जो एक समूह के समूह का निर्माण करता है (जिसका अर्थ है कि सभी समूह तत्वों को बहुत से जनरेटर के उत्पादों के रूप में व्यक्त किया जा सकता है), साथ में रिलेटर, जनरेटर के उत्पाद जो पहचान तत्व देते हैं। इस तरह से परिभाषित एक समूह के तत्व जनरेटर और उनके व्युत्क्रमों के अनुक्रमों के समतुल्य वर्ग हैं, एक समानता संबंध के तहत जो किसी भी रिलेटर या जनरेटर-उलटा जोड़ी को एक सन्निहित परिणाम के रूप में सम्मिलित करने या निकालने की अनुमति देता है। आधार के साथ मुक्त एबेलियन समूह $$B$$ एक प्रस्तुति है जिसमें जेनरेटर तत्व हैं of $B$, और संबंधक तत्वों के जोड़े के कम्यूटेटर हैं of $B$. यहाँ, दो तत्वों का कम्यूटेटर $$x$$ और $$y$$ उत्पाद है $x^{-1}y^{-1}xy$; इस उत्पाद को पहचान कारणों पर सेट करना $$xy$$ को equal $yx$, ताकि $$x$$ और $$y$$ आना-जाना। अधिक सामान्यतः, यदि जनरेटर के सभी जोड़े चलते हैं, तो जनरेटर के उत्पादों के सभी जोड़े भी चलते हैं। इसलिए, इस प्रस्तुति द्वारा उत्पन्न समूह एबेलियन है, और प्रस्तुति के रिलेटर यह सुनिश्चित करने के लिए आवश्यक रिलेटर्स का एक न्यूनतम सेट बनाते हैं कि यह एबेलियन है। जब जनरेटर का सेट परिमित होता है, तो एक मुक्त एबेलियन समूह की प्रस्तुति भी परिमित होती है, क्योंकि प्रस्तुति में शामिल करने के लिए केवल बहुत से अलग-अलग कम्यूटेटर होते हैं। यह तथ्य, इस तथ्य के साथ कि एक मुक्त एबेलियन समूह का प्रत्येक उपसमूह मुक्त एबेलियन है (#सबग्रुप्स) का उपयोग यह दिखाने के लिए किया जा सकता है कि प्रत्येक सूक्ष्म रूप से उत्पन्न एबेलियन समूह को अंतिम रूप से प्रस्तुत किया गया है। यदि $$G$$ द्वारा निश्चित रूप से उत्पन्न होता है set $B$, यह मुक्त एबेलियन समूह का भागफल समूह है $$B$$ एक मुक्त एबेलियन उपसमूह द्वारा, प्रस्तुति के रिलेटर्स द्वारा उत्पन्न उपसमूह of $G$. लेकिन चूँकि यह उपसमूह स्वयं मुक्त एबेलियन है, यह भी सूक्ष्म रूप से उत्पन्न होता है, और इसका आधार (कम्यूटेटर के साथ) over $B$) एक प्रस्तुति के लिए रिलेटर्स का एक परिमित सेट बनाता है of $G$.

एक मॉड्यूल
के रूप में पूर्णांकों पर मॉड्यूल (गणित) को वास्तविक संख्याओं या परिमेय संख्याओं पर सदिश स्थानों के समान परिभाषित किया जाता है: इनमें तत्वों की प्रणालियाँ होती हैं जिन्हें एक दूसरे से जोड़ा जा सकता है, पूर्णांकों द्वारा अदिश गुणन के लिए एक ऑपरेशन के साथ जो इसके अनुकूल है अतिरिक्त ऑपरेशन। प्रत्येक एबेलियन समूह को पूर्णांकों पर एक मॉड्यूल के रूप में माना जा सकता है, जिसमें स्केलर गुणन ऑपरेशन निम्नानुसार परिभाषित किया गया है: हालांकि, वेक्टर रिक्त स्थान के विपरीत, सभी एबेलियन समूहों का आधार नहीं होता है, इसलिए जो ऐसा करते हैं उनके लिए विशेष नाम मुक्त होता है। एक मुफ्त मॉड्यूल एक मॉड्यूल है जिसे इसके आधार रिंग (गणित) पर प्रत्यक्ष योग के रूप में दर्शाया जा सकता है, इसलिए मुक्त एबेलियन समूह और मुफ्त $\mathbb Z$-modules समतुल्य अवधारणाएं हैं: प्रत्येक मुक्त एबेलियन समूह (ऊपर गुणन संक्रिया के साथ) एक मुक्त है $\mathbb Z$-module, और प्रत्येक मुक्त $\mathbb Z$-module इस तरह एक मुक्त एबेलियन समूह से आता है। साथ ही प्रत्यक्ष योग, मुक्त एबेलियन समूहों को संयोजित करने का एक और तरीका मॉड्यूल के टेंसर उत्पाद का उपयोग करना है $\Z$-modules. दो मुक्त एबेलियन समूहों का टेंसर उत्पाद हमेशा मुक्त एबेलियन होता है, जिसका आधार उत्पाद में दो समूहों के आधारों का कार्टेशियन उत्पाद होता है। मुक्त एबेलियन समूहों के कई महत्वपूर्ण गुणों को एक प्रमुख आदर्श डोमेन पर मुफ्त मॉड्यूल के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। उदाहरण के लिए, प्रमुख आदर्श डोमेन पर मुफ्त मॉड्यूल के submodule मुफ्त हैं, एक तथ्य यह है कि राइट्स इन मॉड्यूलों के लिए होमोलॉजी (गणित) मशीनरी के स्वचालित सामान्यीकरण की अनुमति देता है। इसके अतिरिक्त, प्रमेय है कि हर प्रक्षेपी मॉड्यूल $\Z$-module मुक्त है उसी तरह सामान्यीकरण करता है।

सार्वभौमिक संपत्ति
एक मुक्त एबेलियन समूह $$F$$ आधार के साथ $$B$$ निम्नलिखित सार्वभौमिक संपत्ति है: प्रत्येक कार्य के लिए $$f$$ से $$B$$ एक एबेलियन समूह के लिए $$A$$, वहाँ से एक अद्वितीय समूह समरूपता मौजूद है $$F$$ को $$A$$ जो फैलता है $$f$$. यहां, एक समूह होमोमोर्फिज्म एक समूह से दूसरे समूह में मैपिंग है जो समूह उत्पाद कानून के अनुरूप है: मैपिंग से पहले या बाद में एक उत्पाद का प्रदर्शन एक ही परिणाम उत्पन्न करता है। सार्वभौमिक गुणों की एक सामान्य संपत्ति से, यह दर्शाता है कि आधार का एबेलियन समूह $$B$$ एक समरूपता तक अद्वितीय है। इसलिए, सार्वभौमिक संपत्ति का उपयोग आधार के मुक्त एबेलियन समूह की परिभाषा के रूप में किया जा सकता है $$B$$. इस संपत्ति द्वारा परिभाषित समूह की विशिष्टता से पता चलता है कि अन्य सभी परिभाषाएँ समकक्ष हैं। यह इस सार्वभौमिक संपत्ति के कारण है कि मुक्त एबेलियन समूहों को मुक्त कहा जाता है: वे एबेलियन समूहों की श्रेणी में मुक्त वस्तुएं हैं, श्रेणी (गणित) जिसमें एबेलियन समूह अपनी वस्तुओं के रूप में और होमोमोर्फिज्म इसके तीर के रूप में हैं। एक आधार से इसके मुक्त एबेलियन समूह का नक्शा एक ऑपरेटर है, श्रेणियों का एक संरचना-संरक्षण मानचित्रण, सेट से एबेलियन समूहों तक, और एबेलियन समूहों से सेट तक भुलक्कड़ फ़ैक्टर के लिए सहायक फ़ंक्टर है। हालांकि, एक मुक्त एबेलियन समूह दो मामलों को छोड़कर एक स्वतंत्र समूह नहीं है: एक मुक्त एबेलियन समूह जिसका खाली आधार है (रैंक शून्य, तुच्छ समूह दे रहा है) या आधार में सिर्फ एक तत्व है (रैंक एक, अनंत चक्रीय समूह दे रहा है) ). अन्य एबेलियन समूह मुक्त समूह नहीं हैं क्योंकि मुक्त समूहों में हैं $$ab$$ से भिन्न होना चाहिए $$ba$$ अगर $$a$$ और $$b$$ आधार के विभिन्न तत्व हैं, जबकि मुक्त एबेलियन समूहों में तत्वों के सभी युग्मों के लिए दो उत्पाद समान होने चाहिए। समूहों की सामान्य श्रेणी में, यह मांग करने के लिए एक अतिरिक्त बाधा है $$ab=ba$$, जबकि एबेलियन समूहों की श्रेणी में यह एक आवश्यक गुण है।

रैंक
एक ही मुक्त एबेलियन समूह के प्रत्येक दो आधारों में समान कार्डिनैलिटी होती है, इसलिए एक आधार की कार्डिनैलिटी समूह के एक अपरिवर्तनीय (गणित) का निर्माण करती है जिसे इसकी रैंक के रूप में जाना जाता है। दो मुक्त एबेलियन समूह आइसोमोर्फिक हैं यदि और केवल यदि उनके पास समान रैंक है। एक मुक्त एबेलियन समूह परिमित रूप से उत्पन्न मॉड्यूल है यदि और केवल यदि इसकी रैंक एक परिमित संख्या है $$n$$, जिस स्थिति में समूह आइसोमॉर्फिक है $$\mathbb{Z}^n$$. रैंक की इस धारणा को सामान्यीकृत किया जा सकता है, मुक्त एबेलियन समूहों से एबेलियन समूहों तक, जो आवश्यक रूप से मुक्त नहीं हैं। एक एबेलियन समूह का पद $$G$$ एक मुक्त एबेलियन उपसमूह के रैंक के रूप में परिभाषित किया गया है $$F$$ का $$G$$ जिसके लिए भागफल समूह $$G/F$$ एक मरोड़ समूह है। समतुल्य रूप से, यह अधिकतम तत्व उपसमुच्चय की प्रमुखता है $$G$$ जो एक मुक्त उपसमूह उत्पन्न करता है। रैंक एक समूह अपरिवर्तनीय है: यह उपसमूह की पसंद पर निर्भर नहीं करता है।

उपसमूह
एक मुक्त आबेली समूह का प्रत्येक उपसमूह अपने आप में एक मुक्त आबेली समूह है। रिचर्ड डेडेकिंड का यह परिणाम अनुरूप नीलसन-श्रेयर प्रमेय का अग्रदूत था कि एक मुक्त समूह का प्रत्येक उपसमूह स्वतंत्र है, और इस तथ्य का एक सामान्यीकरण है कि चक्रीय समूहों के उपसमूह। सबूत को पसंद के स्वयंसिद्ध की जरूरत है। सर्ज लैंग के बीजगणित में ज़ोर्न की लेम्मा (पसंद के स्वयंसिद्ध के कई समकक्ष मान्यताओं में से एक) का उपयोग करने वाला प्रमाण पाया जा सकता है। सोलोमन लेफशेट्ज़ और इरविंग कपलान्स्की का तर्क है कि ज़ोर्न के लेम्मा के स्थान पर सुव्यवस्थित सिद्धांत का उपयोग करने से अधिक सहज प्रमाण प्राप्त होता है। सूक्ष्म रूप से उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूहों के मामले में, प्रमाण आसान है, पसंद के स्वयंसिद्ध की आवश्यकता नहीं है, और अधिक सटीक परिणाम की ओर ले जाता है। अगर $$G$$ एक अंतिम रूप से उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह का एक उपसमूह है $$F$$, तब $$G$$ मुक्त है और एक आधार मौजूद है $$(e_1, \ldots, e_n)$$ का $$F$$ और सकारात्मक पूर्णांक $$d_1|d_2|\ldots|d_k$$ (अर्थात् प्रत्येक एक दूसरे को विभाजित करता है) ऐसा कि $$(d_1e_1,\ldots, d_ke_k)$$ का एक आधार है $$G.$$ इसके अलावा, क्रम $$d_1,d_2,\ldots,d_k$$ पर ही निर्भर करता है $$F$$ और $$G$$ और आधार पर नहीं। प्रमेय के अस्तित्व भाग का एक रचनात्मक प्रमाण किसी भी एल्गोरिथम द्वारा प्रदान किया जाता है जो पूर्णांकों के मैट्रिक्स के स्मिथ सामान्य रूप की गणना करता है। विशिष्टता इस तथ्य से अनुसरण करती है कि, किसी के लिए भी $$r\le k$$, रैंक के नाबालिग (रैखिक बीजगणित) का सबसे बड़ा सामान्य विभाजक $$r$$ स्मिथ सामान्य फॉर्म गणना के दौरान मैट्रिक्स का नहीं बदला गया है और यह उत्पाद है $$d_1\cdots d_r$$ गणना के अंत में।

मरोड़ और विभाज्यता
सभी मुक्त एबेलियन समूह मरोड़ (बीजगणित) | मरोड़-मुक्त हैं, जिसका अर्थ है कि कोई गैर-पहचान समूह तत्व नहीं है $$x$$ और अशून्य पूर्णांक $$n$$ ऐसा है कि $$nx=0$$. इसके विपरीत, सभी परिमित रूप से उत्पन्न मरोड़-मुक्त एबेलियन समूह मुक्त एबेलियन हैं। परिमेय संख्याओं का योज्य समूह $$\mathbb{Q}$$ एक मरोड़-मुक्त (लेकिन सूक्ष्म रूप से उत्पन्न नहीं) एबेलियन समूह का एक उदाहरण प्रदान करता है जो मुक्त एबेलियन नहीं है। एक कारण है $$\mathbb{Q}$$ मुक्त नहीं है एबेलियन यह है कि यह विभाज्य समूह है, जिसका अर्थ है कि प्रत्येक तत्व के लिए $$x\in\mathbb{Q}$$ और प्रत्येक अशून्य पूर्णांक $$n$$, अभिव्यक्त किया जा सकता है $$x$$ एक अदिश गुणक के रूप में $$ny$$ दूसरे तत्व का$$y=x/n$$. इसके विपरीत, गैर-तुच्छ मुक्त एबेलियन समूह कभी भी विभाज्य नहीं होते हैं, क्योंकि एक मुक्त एबेलियन समूह में आधार तत्वों को अन्य तत्वों के गुणकों के रूप में व्यक्त नहीं किया जा सकता है।

समरूपता
किसी भी समूह की समरूपता को समूह ऑटोमोर्फिज्म के रूप में वर्णित किया जा सकता है, समूह से स्वयं के लिए उलटा कार्य होमोमोर्फिज्म। गैर-अबेलियन समूहों में इन्हें आगे आंतरिक ऑटोमोर्फिज्म और बाहरी ऑटोमोर्फिज्म ऑटोमोर्फिज्म में विभाजित किया जाता है, लेकिन एबेलियन समूहों में सभी गैर-पहचान वाले ऑटोमोर्फिज्म बाहरी होते हैं। वे समारोह रचना के संचालन के तहत दिए गए समूह के एक अन्य समूह, ऑटोमोर्फिज्म समूह का निर्माण करते हैं। परिमित रैंक के एक मुक्त एबेलियन समूह का ऑटोमोर्फिज़्म समूह $$n$$ सामान्य रैखिक समूह है $$\operatorname{GL}(n,\mathbb{Z})$$, जिसे निश्चित रूप से वर्णित किया जा सकता है (मुक्त ऑटोमोर्फिज्म समूह के एक विशिष्ट आधार के लिए) के सेट के रूप में $$n\times n$$ मैट्रिक्स गुणन के संचालन के तहत व्युत्क्रमणीय पूर्णांक मैट्रिक्स। मुक्त एबेलियन समूह पर समरूपता के रूप में उनकी समूह क्रिया $$\Z^n$$ सिर्फ मैट्रिक्स-वेक्टर गुणन है। दो अनंत-रैंक मुक्त एबेलियन समूहों के ऑटोमोर्फिज़्म समूहों में एक ही प्रथम-क्रम सिद्धांत है | प्रथम-क्रम सिद्धांत एक-दूसरे के समान हैं, यदि और केवल यदि उनके रैंक दूसरे-क्रम तर्क के दृष्टिकोण से समतुल्य कार्डिनल संख्या हैं। यह परिणाम मुक्त एबेलियन समूहों के इन्वोल्यूशन (गणित) की संरचना पर निर्भर करता है, ऑटोमोर्फिज्म जो स्वयं के व्युत्क्रम हैं। एक नि: शुल्क एबेलियन समूह के लिए एक आधार दिया गया है, कोई भी ऐसे अंतर्विरोधों को पा सकता है जो आधार तत्वों के असंबद्ध जोड़े के किसी भी सेट को एक-दूसरे से जोड़ते हैं, या जो आधार तत्वों के किसी भी चुने हुए सबसेट को नकारते हैं, अन्य आधार तत्वों को छोड़ देते हैं। इसके विपरीत, एक मुक्त एबेलियन समूह के प्रत्येक समावेशन के लिए, समूह का एक आधार मिल सकता है जिसके लिए सभी आधार तत्वों को जोड़े में बदल दिया जाता है, अस्वीकार कर दिया जाता है, या शामिल होने से अपरिवर्तित छोड़ दिया जाता है।

अन्य समूहों से संबंध
यदि एक मुक्त एबेलियन समूह दो समूहों का भागफल है $$A/B$$, तब $$A$$ प्रत्यक्ष योग है $$B\oplus A/B$$. एक मनमाना एबेलियन समूह दिया गया $$A$$, वहाँ हमेशा एक मुक्त एबेलियन समूह मौजूद होता है $$F$$ और एक विशेषण समूह समरूपता से $$F$$ को $$A$$. किसी दिए गए समूह पर अनुमान लगाने का एक तरीका $$A$$ जाने देना है $$F=\mathbb{Z}^{(A)}$$ मुक्त एबेलियन समूह बनें $$A$$, औपचारिक रकम के रूप में प्रतिनिधित्व किया। तब एक अनुमान को परिभाषित किया जा सकता है में औपचारिक योगों की मैपिंग करके $$F$$ के सदस्यों की इसी राशि के लिए $$A$$. यही है, प्रक्षेपण मानचित्र $$\sum_{\{x\mid a_x\ne 0\}} a_x e_x \mapsto \sum_{\{x\mid a_x\ne 0\}} a_x x,$$ कहाँ $$a_x$$ आधार तत्व का पूर्णांक गुणांक है $$e_x$$ दी गई औपचारिक राशि में, पहली राशि में है $$F$$, और दूसरा योग अंदर है $$A$$. यह आक्षेप अद्वितीय समूह समरूपता है जो कार्य का विस्तार करता है $$e_x\mapsto x$$, और इसलिए इसके निर्माण को सार्वभौमिक संपत्ति के उदाहरण के रूप में देखा जा सकता है।

कब $$F$$ और $$A$$ ऊपर के रूप में हैं, कर्नेल (बीजगणित) $$G$$ से अनुमान $$F$$ को $$A$$ मुक्त आबेली भी है, क्योंकि यह एक उपसमूह है $$F$$ (पहचान के लिए मैप किए गए तत्वों का उपसमूह)। इसलिए, ये समूह एक संक्षिप्त सटीक अनुक्रम बनाते हैं $$0\to G\to F\to A\to 0$$ जिसमें $$F$$ और $$G$$ मुक्त एबेलियन और दोनों हैं $$A$$ कारक समूह के लिए आइसोमोर्फिक है $$F/G$$. यह का एक मुक्त संकल्प है $$A$$. इसके अलावा, पसंद के स्वयंसिद्ध मानते हुए, मुक्त एबेलियन समूह एबेलियन समूहों की श्रेणी में सटीक रूप से प्रक्षेपी मॉड्यूल हैं।

बीजगणितीय टोपोलॉजी
बीजगणितीय टोपोलॉजी में, का एक औपचारिक योग $$k$$- डायमेंशनल संकेतन को कहा जाता है $$k$$-चेन, और मुक्त एबेलियन समूह का संग्रह है $$k$$-सरलता को इसके आधार के रूप में एक श्रृंखला समूह कहा जाता है। उदाहरण के लिए, सरलता को आमतौर पर कुछ टोपोलॉजिकल स्पेस से लिया जाता है $$k$$सरल जटिल, या एकवचन होमोलॉजी के सेट में सरलताएं $$k$$कई गुना में सरलता। कोई $$k$$-डायमेंशनल सिम्प्लेक्स की एक सीमा होती है जिसे औपचारिक योग के रूप में दर्शाया जा सकता है $$(k-1)$$-आयामी सरलताएं, और मुक्त एबेलियन समूहों की सार्वभौमिक संपत्ति इस सीमा संचालिका को एक समूह समरूपता से विस्तारित करने की अनुमति देती है $$k$$-जंजीरों को $$(k-1)$$-जंजीरें। इस तरह से सीमा संचालकों द्वारा जुड़े श्रृंखला समूहों की प्रणाली एक श्रृंखला परिसर बनाती है, और श्रृंखला परिसरों का अध्ययन होमोलॉजी सिद्धांत का आधार बनता है।

बीजगणितीय ज्यामिति और जटिल विश्लेषण
सम्मिश्र संख्याओं पर प्रत्येक परिमेय फलन सम्मिश्र संख्याओं के हस्ताक्षरित बहुसमूह से संबद्ध किया जा सकता है $$c_i$$, फ़ंक्शन के शून्य और ध्रुव (वे बिंदु जहां इसका मान शून्य या अनंत है)। बहुलता $$m_i$$ इस मल्टीसेट में एक बिंदु का फ़ंक्शन के शून्य के रूप में इसका क्रम है, या ध्रुव के रूप में इसके आदेश की उपेक्षा। फिर फ़ंक्शन को इस डेटा से स्केलर (गणित) कारक तक पुनर्प्राप्त किया जा सकता है $$f(q)=\prod (q-c_i)^{m_i}.$$ यदि इन मल्टीसेट्स को जटिल संख्याओं पर मुक्त एबेलियन समूह के सदस्यों के रूप में व्याख्या किया जाता है, तो दो तर्कसंगत कार्यों का उत्पाद या भागफल दो समूह सदस्यों के योग या अंतर से मेल खाता है। इस प्रकार, तर्कसंगत कार्यों के गुणक समूह को जटिल संख्याओं के गुणक समूह (प्रत्येक फ़ंक्शन के लिए संबद्ध स्केलर कारक) और जटिल संख्याओं पर मुक्त एबेलियन समूह में शामिल किया जा सकता है। परिमेय फलन जिनका अनंत पर एक शून्येतर सीमित मान होता है (रीमैन क्षेत्र पर मेरोमॉर्फिक फ़ंक्शन) इस समूह का एक उपसमूह बनाते हैं जिसमें बहुगुणों का योग शून्य होता है। इस निर्माण को बीजगणितीय ज्यामिति में, भाजक (बीजीय ज्यामिति) की धारणा के लिए सामान्यीकृत किया गया है। विभाजकों की अलग-अलग परिभाषाएँ हैं, लेकिन सामान्य तौर पर वे कोडिमेंशन का एक सार बनाते हैं - एक बीजगणितीय किस्म की एक उप-विविधता, बहुपद समीकरणों की एक प्रणाली के समाधान बिंदुओं का समूह। ऐसे मामले में जहां समीकरणों की प्रणाली में स्वतंत्रता की एक डिग्री होती है (इसके समाधान एक बीजगणितीय वक्र या रीमैन सतह बनाते हैं), एक उप-किस्म में कोडिमेंशन एक होता है जब इसमें पृथक बिंदु होते हैं, और इस मामले में एक विभाजक फिर से बिंदुओं का एक हस्ताक्षरित मल्टीसेट होता है। किस्म से। एक कॉम्पैक्ट रीमैन सतह पर मेरोमोर्फिक कार्यों में सूक्ष्म रूप से कई शून्य और ध्रुव होते हैं, और उनके विभाजक समूह तत्वों के जोड़ या घटाव के अनुरूप कार्यों के गुणन या विभाजन के साथ सतह के बिंदुओं पर एक मुक्त एबेलियन समूह का एक उपसमूह बनाते हैं। एक विभाजक होने के लिए, मुक्त एबेलियन समूह के एक तत्व में गुणन शून्य होना चाहिए, और सतह के आधार पर कुछ अतिरिक्त बाधाओं को पूरा करना चाहिए।

समूह के छल्ले
पूर्णांक समूह की अंगूठी $$\Z[G]$$, किसी भी समूह के लिए $$G$$, एक वलय है जिसका योगात्मक समूह मुक्त आबेली समूह है $$G$$. कब $$G$$ परिमित समूह और एबेलियन है, में यूनिट (रिंग थ्योरी) का गुणात्मक समूह है $$\Z[G]$$ एक परिमित समूह के प्रत्यक्ष उत्पाद और एक अंतिम रूप से उत्पन्न मुक्त एबेलियन समूह की संरचना है।