गुरुत्वाकर्षण क्षमता

मौलिक यांत्रिकी में, एक बिंदु पर गुरुत्वाकर्षण क्षमता प्रति इकाई द्रव्यमान के कार्य (ऊर्जा हस्तांतरित) के बराबर होती है, जो किसी वस्तु को एक निश्चित संदर्भ बिंदु से उस बिंदु पर ले जाने के लिए आवश्यक होती है। यह आवेश की भूमिका निभाने वाले द्रव्यमान के साथ विद्युत क्षमता के अनुरूप होती है। संदर्भ बिंदु, जहां क्षमता शून्य होती है, परिपाटी के अनुसार किसी भी द्रव्यमान से असीम रूप से दूर होती है, जिसके परिणामस्वरूप किसी भी परिमित दूरी पर नकारात्मक क्षमता होती है।

गणित में, गुरुत्वाकर्षण क्षमता को न्यूटोनियन क्षमता के रूप में भी जाना जाता है और संभावित सिद्धांत के अध्ययन में मौलिक होता है। इसका उपयोग समान रूप से आवेशित या ध्रुवीकृत दीर्घवृत्त निकायों द्वारा उत्पन्न इलेक्ट्रोस्टैटिक और मैग्नेटोस्टैटिक क्षेत्रों को हल करने के लिए भी किया जाता है।

संभावित ऊर्जा
किसी स्थान पर गुरुत्वीय विभव (वी) प्रति इकाई द्रव्यमान में उस स्थान पर गुरुत्वीय स्थितिज ऊर्जा (यू) है:

$$V = \frac{U}{m},$$ जहाँ m वस्तु का द्रव्यमान है। स्थितिज ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य के बराबर (परिमाण में, लेकिन ऋणात्मक) होती है जो किसी पिंड को अनंत से अंतरिक्ष में उसकी दी गई स्थिति तक ले जाती है। यदि पिंड का द्रव्यमान 1 किलोग्राम है, तो उस पिंड को सौंपी जाने वाली संभावित ऊर्जा गुरुत्वाकर्षण क्षमता के बराबर होती है। तो क्षमता की व्याख्या अनंत से एक इकाई द्रव्यमान को स्थानांतरित करने वाले गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र द्वारा किए गए कार्य के ऋणात्मक के रूप में की जा सकती है।

कुछ स्थितियों में, एक ऐसा क्षेत्र मानकर समीकरणों को सरल बनाया जा सकता है जो स्थिति से लगभग स्वतंत्र होता है। उदाहरण के लिए, पृथ्वी की सतह के करीब के क्षेत्र में, गुरुत्वाकर्षण त्वरण, g, को स्थिर माना जा सकता है। उस स्थिति में, संभावित ऊर्जा में एक ऊंचाई से दूसरे तक का अंतर, एक अच्छा सन्निकटन है, रैखिक रूप से ऊंचाई में अंतर से संबंधित है: $$\Delta U \approx mg \Delta h.$$

गणितीय रूप
द्रव्यमान M के एक बिंदु कण द्रव्यमान से दूरी x पर गुरुत्वाकर्षण क्षमता V को उस कार्य W के रूप में परिभाषित किया जा सकता है जिसे बाहरी एजेंट द्वारा एक इकाई द्रव्यमान को अनंत से उस बिंदु तक लाने के लिए करने की आवश्यकता होती है:

$$V(\mathbf{x}) = \frac{W}{m} = \frac{1}{m} \int_{\infty}^{x} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{x} = \frac{1}{m} \int_{\infty}^{x} \frac{G m M}{x^2} dx = -\frac{G M}{x},$$ जहाँ G गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक है, और 'F' गुरुत्वाकर्षण बल है। उत्पाद जीएम मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर है और अक्सर जी या एम की तुलना में अलग से उच्च परिशुद्धता के लिए जाना जाता है। क्षमता में प्रति द्रव्यमान ऊर्जा की इकाइयाँ होती हैं, उदाहरण के लिए, MKS प्रणाली ऑफ़ यूनिट्स प्रणाली में J/kg। परिपाटी के अनुसार, जहाँ इसे परिभाषित किया गया है, यह हमेशा ऋणात्मक होता है, और जैसे ही x अनंत की ओर जाता है, यह शून्य की ओर बढ़ता है।

गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र, और इस प्रकार विशाल वस्तु के चारों ओर अंतरिक्ष में एक छोटे से पिंड का त्वरण, गुरुत्वाकर्षण क्षमता का नकारात्मक ढाल है। इस प्रकार एक नकारात्मक ढाल का नकारात्मक एक विशाल वस्तु की ओर सकारात्मक त्वरण उत्पन्न करता है। क्योंकि विभव का कोई कोणीय घटक नहीं है, इसकी प्रवणता है $$\mathbf{a} = -\frac{GM}{x^3} \mathbf{x} = -\frac{GM}{x^2} \hat{\mathbf{x}},$$ जहां x लंबाई 'x' का वेक्टर है जो बिंदु द्रव्यमान से छोटे शरीर की ओर इशारा करता है और $$\hat{\mathbf{x}}$$ एक इकाई वेक्टर है जो बिंदु द्रव्यमान से छोटे शरीर की ओर इशारा करता है। इसलिए त्वरण का परिमाण एक व्युत्क्रम वर्ग नियम का पालन करता है: $$|\mathbf{a}| = \frac{GM}{x^2}.$$ बड़े पैमाने पर वितरण से जुड़ी क्षमता बिंदु द्रव्यमान की क्षमता का सुपरपोजिशन है। यदि द्रव्यमान वितरण बिंदु द्रव्यमान का एक परिमित संग्रह है, और यदि बिंदु द्रव्यमान बिंदुओं एक्स1, ..., एक्सn पर स्थित है और द्रव्यमान एम1, ..., एमn है, तो बिंदु एक्स पर वितरण की क्षमता है $$V(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^n -\frac{Gm_i}{|\mathbf{x} - \mathbf{x}_i|}.$$

यदि द्रव्यमान वितरण को त्रि-आयामी यूक्लिडियन आर3 पर द्रव्यमान माप डीएम के रूप में दिया जाता है, तो क्षमता $−G/|r|$ डीएम के साथ विभव का कनवल्शन होता है। अच्छे स्थितयों में यह अभिन्न के बराबर है $$V(\mathbf{x}) = -\int_{\R^3} \frac{G}{|\mathbf{x} - \mathbf{r}|}\,dm(\mathbf{r}),$$ जहाँ $|x − r|$ बिंदु x और r के बीच की यूक्लिडियन दूरी है। यदि r पर वितरण के घनत्व का प्रतिनिधित्व करने वाला कोई फ़ंक्शन ρ(r) है, जिससे कि $dm(r) = ρ(r) dv(r)$, जहाँ dv('r') यूक्लिडियन आयतन तत्व है, तो गुरुत्वाकर्षण क्षमता आयतन अभिन्न है $$V(\mathbf{x}) = -\int_{\R^3} \frac{G}{|\mathbf{x}-\mathbf{r}|}\,\rho(\mathbf{r})dv(\mathbf{r}).$$ यदि V एक सतत द्रव्यमान वितरण ρ('r') से आने वाला एक संभावित कार्य है, तो लाप्लास ऑपरेटर का उपयोग करके ρ को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है, $Δ$: $$\rho(\mathbf{x}) = \frac{1}{4\pi G}\Delta V(\mathbf{x}).$$ जब भी ρ निरंतर होता है और एक बंधे हुए सेट के बाहर शून्य होता है, तो यह बिंदुवार होता है। सामान्यतः, बड़े पैमाने पर माप डीएम को उसी तरह से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है यदि लाप्लास ऑपरेटर को वितरण (गणित) के अर्थ में लिया जाता है। परिणामस्वरूप, गुरुत्वाकर्षण क्षमता पोइसन के समीकरण को संतुष्ट करती है। तीन चर लाप्लास समीकरण और न्यूटोनियन क्षमता के लिए ग्रीन का कार्य भी देखें।

सममित और पतित सहित सभी दीर्घवृत्ताकार आकृतियों के लिए ज्ञात पारलौकिक कार्यों के संदर्भ में अभिन्न को व्यक्त किया जा सकता है। इनमें गोला सम्मलित है, जहां तीन अर्ध अक्ष बराबर हैं; चपटा और लम्बी गोलभ, जहां दो अर्द्ध अक्ष बराबर हैं, पतित वाले जहां एक अर्ध अक्ष अनंत और असीमित शीट जहां दो अर्ध अक्ष अनंत हैं। इन सभी आकृतियों का व्यापक रूप से विद्युत चुंबकत्व के लिए गुरुत्वाकर्षण क्षमता अभिन्न (स्थिर G के अलावा, 𝜌 एक स्थिर आवेश घनत्व होने के कारण) के अनुप्रयोगों में उपयोग किया जाता है।

गोलाकार समरूपता
एक गोलाकार रूप से सममित द्रव्यमान वितरण वितरण के बाहर पूरी तरह से एक पर्यवेक्षक के साथ व्यवहार करता है जैसे कि सभी द्रव्यमान केंद्र में केंद्रित थे, और इस प्रकार प्रभावी रूप से एक बिंदु द्रव्यमान के रूप में होता है। पृथ्वी की सतह पर, त्वरण तथाकथित मानक गुरुत्व g द्वारा दिया जाता है, लगभग 9.8 m/s2, चूंकि यह मान अक्षांश और ऊंचाई के साथ थोड़ा भिन्न होता है। त्वरण का परिमाण भूमध्य रेखा की तुलना में ध्रुवों पर थोड़ा बड़ा होता है क्योंकि पृथ्वी एक चपटी गोलाकार है।

एक गोलाकार रूप से सममित द्रव्यमान वितरण के भीतर, गुरुत्वाकर्षण के लिए गॉस के नियम को हल करना संभव होता है। त्रिज्या R, घनत्व ρ, और द्रव्यमान m के एक समान गोलाकार शरीर के भीतर, गोले के अंदर गुरुत्वाकर्षण बल g केंद्र से दूरी r के साथ रैखिक रूप से भिन्न होता है, जो गोले के अंदर गुरुत्वाकर्षण क्षमता देता है, जो है $$V(r) = \frac {2}{3} \pi G \rho \left[r^2 - 3 R^2\right] = \frac{Gm}{2R^3} \left[r^2 -3 R^2\right], \qquad r \leq R,$$ जो भिन्न रूप से गोले के बाहर के लिए संभावित कार्य से जुड़ता है।

सामान्य सापेक्षता
सामान्य सापेक्षता में, गुरुत्वाकर्षण क्षमता को मीट्रिक टेंसर द्वारा प्रतिस्थापित किया जाता है। जब गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र कमजोर होता है और प्रकाश-गति की तुलना में स्रोत बहुत धीमी गति से आगे बढ़ रहा होता हैं, तो सामान्य सापेक्षता न्यूटोनियन गुरुत्वाकर्षण में कम हो जाती है, और गुरुत्वाकर्षण क्षमता के संदर्भ में मीट्रिक टेंसर का विस्तार किया जा सकता है।

मल्टीपोल विस्तार
एक बिंदु पर क्षमता $x$ द्वारा दिया गया है $$V(\mathbf{x}) = - \int_{\R^3} \frac{G}{|\mathbf{x}-\mathbf{r}|}\ dm(\mathbf{r}).$$

लीजेंड्रे बहुपदों की एक श्रृंखला में क्षमता का विस्तार किया जा सकता है। द्रव्यमान के केंद्र के सापेक्ष स्थिति वैक्टर के रूप में बिंदु x और r का प्रतिनिधित्व करता है। अभिन्न में भाजक को देने के लिए वर्ग के वर्गमूल के रूप में व्यक्त किया जाता है $$\begin{align} V(\mathbf{x}) &= - \int_{\R^3} \frac{G}{ \sqrt{|\mathbf{x}|^2 -2 \mathbf{x} \cdot \mathbf{r} + |\mathbf{r}|^2}}\,dm(\mathbf{r})\\ &=- \frac{1}{|\mathbf{x}|}\int_{\R^3} \frac{G} \sqrt{1 -2 \frac{r}{|\mathbf{x}|} \cos \theta + \left( \frac{r}{|\mathbf{x}|} \right)^2}\,dm(\mathbf{r}) \end{align}$$ जहां, अंतिम अभिन्न में, $r = |r|$ और $θ$ x और r के बीच का कोण है।

इंटीग्रैंड को श्रृंखला के रूप में विस्तारित किया जा सकता है $Z = r/|x|$, गुणांकों की स्पष्ट गणना द्वारा किया जा सकता है। सामान्यीकृत द्विपद प्रमेय का उपयोग करके समान परिणाम प्राप्त करने का एक कम श्रमसाध्य विधि है। परिणामी श्रृंखला लीजेंड्रे बहुपदों के लिए उत्पादक फ़ंक्शन है: $$\left(1- 2 X Z + Z^2 \right) ^{- \frac{1}{2}} \ = \sum_{n=0}^\infty Z^n P_n(X)$$ $$ \begin{align} V(\mathbf{x}) &= - \frac{G}{|\mathbf{x}|} \int \sum_{n=0}^\infty \left(\frac{r}{|\mathbf{x}|} \right)^n P_n(\cos \theta) \, dm(\mathbf{r})\\ &= - \frac{G}{|\mathbf{x}|} \int \left(1 + \left(\frac{r}{|\mathbf{x}|}\right) \cos \theta + \left(\frac{r}{|\mathbf{x}|}\right)^2\frac {3 \cos^2 \theta - 1}{2} + \cdots\right)\,dm(\mathbf{r}) \end{align}$$ अभिन्न $\int r \cos(\theta) \, dm$ में द्रव्यमान के केंद्र का घटक है $|X| ≤ 1$ दिशा है, यह गायब हो जाता है क्योंकि सदिश x द्रव्यमान के केंद्र से निकलता है। अत: समाकल को योग के चिन्ह के नीचे लाने पर प्राप्त होता है $$ V(\mathbf{x}) = - \frac{GM}{|\mathbf{x}|} - \frac{G}{|\mathbf{x}|} \int \left(\frac{r}{|\mathbf{x}|}\right)^2 \frac {3 \cos^2 \theta - 1}{2} dm(\mathbf{r}) + \cdots$$ इससे पता चलता है कि अगर हम द्रव्यमान के केंद्र से समान दूरी वाले स्थितयों की तुलना करते हैं, तो एक गोलाकार द्रव्यमान के कारण क्षमता की तुलना में शरीर के बढ़ाव की दिशा में कम क्षमता और लंबवत दिशाओं में उच्च क्षमता का कारण बनता है।
 * X| के लिए मान्य $|Z| < 1$ और $X = cos θ$ गुणांक पीn घात n वाले लीजेंड्रे बहुपद हैं। इसलिए, समाकलन के गुणांकों को लेजेंड्रे बहुपदों द्वारा दिया जाता है $r < |x|$ तो क्षमता को एक श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है जो स्थिति x के लिए अभिसरण होता है जैसे कि $x$ प्रणाली के सभी द्रव्यमान तत्वों के लिए (अर्थात, एक गोले के बाहर, द्रव्यमान के केंद्र पर केंद्रित, जो प्रणाली को घेरता है):

संख्यात्मक मूल्य
पृथ्वी, सूर्य और आकाशगंगा वे से गुरुत्वाकर्षण के संबंध में कई स्थानों पर गुरुत्वाकर्षण क्षमता का पूर्ण मूल्य निम्नलिखित तालिका में दिया गया है, यानी पृथ्वी की सतह पर एक वस्तु को पृथ्वी के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को छोड़ने के लिए 60 MJ/kg की आवश्यकता होती है, अन्य 900 MJ/kg को सूर्य के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को छोड़ने के लिए और मिल्की वे के गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र को छोड़ने के लिए 130 GJ/kg से अधिक की आवश्यकता होती है। संभावित पलायन वेग का आधा वर्ग होता है। इन स्थानों पर गुरुत्वाकर्षण की तुलना होती है।

यह भी देखें

 * लीजेंड्रे बहुपद # लीजेंड्रे बहुपद के अनुप्रयोग
 * मानक गुरुत्वाकर्षण पैरामीटर (जीएम)
 * जिओएड
 * भू-क्षमता
 * भू-संभावित मॉडल