कैटेनरी

भौतिकी और ज्यामिति में, कैटेनरी वह वक्र है जिसे आदर्शीकृत लटकती श्रृंखला या तार रस्सी अपने स्वयं के भार के अनुसार ग्रहण करती है जब केवल समान गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र में इसके सिरों पर समर्थित होती है।

कैटेनरी आर्क में यू-आकार की आकृति होती है, जो सतही रूप से परवलय के समान होता है, किन्तु यह परवलय नहीं है।

वक्र कुछ प्रकार के कैटेनरी मेहराबों के डिजाइन में और कैटेनॉयड के क्रॉस सेक्शन के रूप में दिखाई देता है - दो समानांतर वृत्ताकार रिंगों से घिरी साबुन फिल्म द्वारा ग्रहण की गई आकृति होती है।

कैटेनरी को ऐलिसॉइड, चेनेट भी कहा जाता है। या, यह विशेष रूप से पदार्थ विज्ञान में, फनिक्युलर रोप स्टैटिक्स उत्कृष्ट स्थैतिक समस्या में कैटेनरी का वर्णन करता है जिसमें हैंगिंग रोप सम्मिलित है।

गणितीय रूप से, कैटेनरी वक्र अतिपरवलयिक कोज्या फलन के फलन का ग्राफ़ है। जो कि कैटेनरी वक्र की क्रांति की सतह, कैटेनॉयड, न्यूनतम सतह है, जो कि विशेष रूप से क्रांति की न्यूनतम सतह है जो कि लटकी हुई श्रृंखला कम से कम संभावित ऊर्जा का आकार ग्रहण करेगी जो कैटेनरी है। 1638 में गैलिलियो गैलिली ने दो नए विज्ञान की पुस्तक में कैटेनरी पर विचार किया गया था, यह मानते हुए कि यह परवलय से अलग था। जिससे कैटेनरी वक्र के गणितीय गुणों का अध्ययन रॉबर्ट हुक ने 1670 के दशक में किया था, और इसका समीकरण 1691 में लाइबनिट्स, क्रिस्टियान ह्यूजेंस और जोहान बर्नौली द्वारा प्राप्त किया गया था।

वास्तुकला और इंजीनियरिंग में कैटेनरी और संबंधित वक्र का उपयोग किया जाता है (उदाहरण के लिए, पुलों और कैटेनरी आर्क के डिजाइन में जिससे बल झुकने वाले क्षणों में न हों)। जो कि अपतटीय तेल और गैस उद्योग में, कैटेनरी स्टील कैटेनरी रिसर को संदर्भित करता है, उत्पादन प्लेटफॉर्म और सीबेड के मध्य निलंबित पाइपलाइन जो अनुमानित कैटेनरी आकार को अपनाती है। रेल उद्योग में यह अतिरिक्त रेखा को संदर्भित करता है जो ट्रेनों को विद्युत स्थानांतरित करता है। (यह अधिकांशत: हल्के संपर्क तार का समर्थन करता है, जिस स्थिति में यह सच्चे कैटेनरी वक्र का पालन नहीं करता है।)

ऑप्टिक्स और इलेक्ट्रोमैग्नेटिक्स में, हाइपरबोलिक कोसाइन और साइन फलन मैक्सवेल के समीकरणों के मूलभूत समाधान हैं। जिसमे यह दो अपवर्तक तरंगों से युक्त सममित मोड कैटेनरी आकार का निर्माण करेंगे।

इतिहास
कैटेनरी शब्द लैटिन शब्द कैटना से लिया गया है, जिसका अर्थ है चेन। अंग्रेजी शब्द कैटेनरी समान्य रूप से  थॉमस जेफरसन को उत्तरदाई ठहराया जाता है, जिन्होंने पुल के लिए आर्क के निर्माण पर थॉमस पेन को पत्र में लिखा था:

"वर्तमान में मुझे इटली से मेहराब के संतुलन पर अब्बे माशेरोनी द्वारा लिखित एक ग्रंथ प्राप्त हुआ है। यह अत्यंत वैज्ञानिक कार्य प्रतीत होता है। मेरे पास अभी तक इसमें सम्मिलित होने का समय नहीं है; किन्तु मुझे लगता है कि उनके प्रदर्शनों का निष्कर्ष यह है कि कैटेनरी का हर भाग पूर्ण संतुलन में है।"

अधिकांशत: यह कहा जाता है कि गैलीलियो गैलीली ने सोचा था कि लटकी हुई श्रृंखला का वक्र परवलयिक था। चूँकि, अपने दो नए विज्ञान (1638) में, गैलीलियो ने लिखा है कि लटकती हुई रस्सी केवल अनुमानित परवलय है, जो कि स्पष्ट रूप से यह देखते हुए कि यह अनुमान स्पष्टता में सुधार करता है क्योंकि वक्रता छोटी हो जाती है और लगभग स्पष्ट होती है जब ऊंचाई 45 डिग्री से कम होती है। तथ्य यह है कि श्रृंखला के बाद वक्र परवलय नहीं है जोआचिम जुंगियस (1587-1657) द्वारा सिद्ध किया गया था; यह परिणाम मरणोपरांत 1669 में प्रकाशित हुआ था।

आर्क के निर्माण के लिए कैटेनरी के आवेदन का श्रेय रॉबर्ट हुक को दिया जाता है, जिसका वास्तविक गणितीय और यांत्रिक रूप सेंट पॉल कैथेड्रल के पुनर्निर्माण के संदर्भ में कैटेनरी की ओर संकेत करता है। जो कि कुछ बहुत पुराने आर्क अनुमानित कैटेनरी हैं, जिनमें से उदाहरण सीटीसिफॉन में तकी सीज़र का आर्क है।

1671 में, हुक ने रॉयल सोसाइटी को घोषणा की कि उन्होंने आर्च के इष्टतम आकार की समस्या को हल कर दिया है, और 1675 में लैटिन विपर्यय के रूप में एन्क्रिप्टेड समाधान प्रकाशित किया गया था। जिसमे हेलियोस्कोप के उनके विवरण के परिशिष्ट में है, जहां उन्होंने लिखा है कि उन्होंने भवन के लिए सभी प्रकार के मेहराबों का वास्तविक गणितीय और यांत्रिक रूप पाया है। उन्होंने इस विपर्यय का समाधान प्रकाशित नहीं किया गया था जिसे अपने जीवनकाल में, किन्तु 1705 में उनके निष्पादक ने इसे यूटी पेंडेट कॉन्टिनम फ्लेक्साइल, एसआईसी स्टैबिट कॉन्टिगुम रिगिडम इनवर्सम के रूप में प्रदान किया गया था, जिसका अर्थ है कि जैसे लचीली केबल लटकती है, वैसे ही व्युत्क्रम , आर्च के स्पर्श करने वाले टुकड़े खड़े हो जाते हैं।

1691 में, गॉटफ्राइड लाइबनिज़ो, क्रिस्टियान ह्यूजेंस और जोहान बर्नौली ने जैकब बर्नौली द्वारा चुनौती के उत्तर में समीकरण निकाला गया था; जिसे उनके समाधान जून 1691 के लिए जर्नल ऑफ स्कॉलर्स में प्रकाशित किए गए थे। डेविड ग्रेगरी (गणितज्ञ) ने 1697 में कैटेनरी पर ग्रंथ लिखा था जिसमें उन्होंने सही अंतर समीकरण की गलत व्युत्पत्ति प्रदान की गई थी।

यूलर ने 1744 में सिद्ध किया गया था कि कैटेनरी वह वक्र है, जिसे घुमाने पर $x$-अक्ष, दिए गए बाउंडिंग सर्कल के लिए न्यूनतम सतह क्षेत्र (कैटेनॉयड) की सतह देता है। निकोलस फुस ने 1796 में किसी भी बल के अनुसार श्रृंखला के संतुलन का वर्णन करने वाले समीकरण दिए है।

विपरीत कैटेनरी आर्क
इस प्रकार के भट्ठों के निर्माण में अधिकांशत: कैटेनरी आर्क का उपयोग किया जाता है। जिसमे वांछित वक्र बनाने के लिए, वांछित आयामों की लटकती श्रृंखला के आकार को ऐसे रूप में स्थानांतरित किया जाता है जिसे तब ईंटों या अन्य निर्माण पदार्थ की नियुक्ति के लिए गाइड के रूप में उपयोग किया जाता है।

सेंट लुइस, मिसौरी, संयुक्त राज्य अमेरिका में गेटवे आर्क को कभी-कभी (व्युत्क्रम ) कैटेनरी कहा जाता है, किन्तु यह गलत है। यह समीकरण के साथ अधिक सामान्य वक्र के समीप है जिसे चपटा कैटेनरी कहा जाता है समीकरण $y = A cosh(Bx)$, के साथ है जो कैटेनरी है यदि $AB = 1$. है जबकि कैटेनरी निरंतर मोटाई के फ्रीस्टैंडिंग आर्च के लिए आदर्श आकार है, जो कि गेटवे आर्क शीर्ष के पास संकरा है। आर्च के लिए यू.एस. राष्ट्रीय ऐतिहासिक स्थलचिह्न नामांकन के अनुसार, यह इसके अतिरिक्त भारित कैटेनरी है। इसका आकार उस आकार से मेल खाता है जो भारित श्रृंखला, जिसमें मध्य में हल्के लिंक होते हैं, बनते हैं। जो कि मैकडॉनल्ड्स के लिए लोगो, सुनहेरे कमान है, जबकि दो जुड़े हुए परवलयों का आशय है, कैटेनरी पर भी आधारित है।

कैटेनरी ब्रिज
फ्री-हैंगिंग चेन में, चेन की लंबाई के संबंध में लगाया गया बल समान होता है, और इसलिए चेन कैटेनरी कर्व का अनुसरण करती है। जिसे साधारण निलंबन पुल या कैटेनरी पुल के बारे में भी यही सच है, जहां सड़क मार्ग केबल का अनुसरण करता है। एक तनावग्रस्त रिबन पुल ही कैटेनरी आकार के साथ अधिक परिष्कृत संरचना है।

चूँकि, एक निलंबित सड़क के साथ एक निलंबन पुल में, चेन या केबल पुल के भार का समर्थन करते हैं, और इसलिए स्वतंत्र रूप से नहीं लटकते हैं। जो की अधिकत्तर स्थितियों में सड़क समतल होती है, इसलिए जब केबल का भार समर्थित भार की तुलना में नगण्य होता है, तो लगाया गया बल क्षैतिज दूरी के संबंध में एक समान होता है, और परिणाम एक परवलय होता है, जैसा कि नीचे चर्चा की गई है (चूँकि शब्द " कैटेनरी" अधिकांशत: अनौपचारिक अर्थ में अभी भी प्रयोग किया जाता है)। यदि केबल भारी है तो परिणामी वक्र एक कैटेनरी और एक परवलय के मध्य होता है।

समुद्री वस्तुओं की एंकरिंग
गुरुत्वाकर्षण द्वारा निर्मित कैटेनरी भारी एंकर की सवारी को लाभ प्रदान करती है। एक एंकर राइड (या एंकर लाइन) में समान्य रूप से चेन या केबल या दोनों होते हैं। एंकर की सवारी का उपयोग जहाजों, तेल रिग, गोदी, तैरती पवन टरबाइन और अन्य समुद्री उपकरणों द्वारा किया जाता है जिन्हें समुद्र तल पर एंकर डालना चाहिए।

जब रस्सी ढीली होती है, तो कैटेनरी वक्र एंकर या मूरिंग उपकरण पर खींचने का कम कोण प्रस्तुत करता है, यदि यह लगभग सीधा होता तो ऐसा होता है । यह एंकर के प्रदर्शन को बढ़ाता है और बल के स्तर को बढ़ाता है जो इसे खींचने से पहले विरोध करेगा। हवा की उपस्थिति में कैटेनरी आकार को बनाए रखने के लिए भारी श्रृंखला की आवश्यकता होती है, जिससे गहरे जल में केवल बड़े जहाज ही इस प्रभाव पर विश्वाश कर सकें। छोटी नावें भी अधिकतम धारण शक्ति बनाए रखने के लिए कैटेनरी पर निर्भर करती हैं।

समीकरण
कार्टेशियन समन्वय प्रणाली में कैटेनरी के समीकरण का रूप है

$$y = a \cosh \left(\frac{x}{a}\right) = \frac{a}{2}\left(e^\frac{x}{a} + e^{-\frac{x}{a}}\right)$$ जहाँ पर $y = cosh(x)$ अतिपरवलयिक फलन है, और जहाँ $a$ निम्नतम बिंदु से मापा जाता है।

$$\kappa=\frac{a}{s^2+a^2}\,.$$ ओस्कुलेटिंग सर्कल तब है

$$\rho = a \sec^2 \varphi$$ जो स्पर्शरेखा की लंबाई है या सामान्य रेखा से इसके और के मध्य वक्र तक $x$-अक्ष है ।

अन्य वक्रों से संबंध
जब एक परवलय को एक सीधी रेखा के साथ घुमाया जाता है, तो उसके फोकस से बना रूलेट वक्र एक कैटेनरी होता है। परवलय की नियति का आवरण भी एक श्रृंगिका है। इससे व्युत्क्रम है, जो कि एक कैटेनरी पर एक रेखा को घुमाने पर शीर्ष पर प्रारंभ होने वाले बिंदु से पता लगाया गया रूलेट है, जो कि ट्रैक्ट्रिक्स है।

एक अन्य रूले, कैटेनरी पर लाइन को रोल करके बनाई गई है, और जो लाइन है। इसका तात्पर्य यह है कि व्युत्क्रम कैटेनरी वक्र के आकार में धक्कों की श्रृंखला से बनी सड़क पर चौकोर पहिये पूरी तरह से सुचारू रूप से लुढ़क सकते हैं। जो पहिए त्रिभुज को छोड़कर कोई भी नियमित बहुभुज हो सकते हैं, किन्तु कैटेनरी में पहियों के आकार और आयामों के अनुरूप पैरामीटर होने चाहिए।

ज्यामितीय गुण
किसी भी क्षैतिज अंतराल पर, कैटेनरी के नीचे के क्षेत्रफल और उसकी लंबाई का अनुपात $a$ समान होता है जो कि चयनित अंतराल से स्वतंत्र होता है। इस संपत्ति के साथ क्षैतिज रेखा के अतिरिक्त कैटेनरी एकमात्र समतल वक्र है। इसके अतिरिक्त, कैटेनरी के विस्तार के अनुसार क्षेत्र का ज्यामितीय केन्द्रक वक्र के केन्द्रक और $φ$-अक्ष को जोड़ने वाले लंबवत खंड का मध्यबिंदु है।

विज्ञान
एक समान विद्युत क्षेत्र में एक गतिमान आवेश एक कैटेनरी के साथ यात्रा करता है (यदि आवेश वेग प्रकाश की गति $x$ से बहुत कम है तो यह एक परवलय की ओर प्रवृत्त होता है)।

दोनों छोर पर निश्चित त्रिज्या के साथ क्रांति की सतह जिसका सतह क्षेत्र न्यूनतम है, $a$-अक्ष के चारों ओर घूमने वाली एक कैटेनरी है।

चेन और आर्क का मॉडल
गणितीय मॉडल में श्रृंखला (या कॉर्ड, केबल, रस्सी, स्ट्रिंग, आदि) को यह मानकर आदर्श बनाया जाता है कि यह इतना पतला है कि इसे वक्र माना जा सकता है और यह इतना लचीला है कि तनाव (भौतिकी) का कोई भी बल लगाया जाता है। जो कि श्रृंखला द्वारा श्रृंखला के समानांतर है। इष्टतम आर्च के लिए वक्र का विश्लेषण समान है अतिरिक्त इसके कि तनाव की शक्ति संपीड़न (भौतिकी) की शक्ति बन जाती हैं और सब कुछ विपरीत हो जाता है।

एक अंतर्निहित सिद्धांत यह है कि बार संतुलन प्राप्त करने के बाद श्रृंखला को कठोर निकाय माना जा सकता है। प्रत्येक बिंदु पर वक्र के आकार और श्रृंखला के तनाव को परिभाषित करने वाले समीकरण इस तथ्य का उपयोग करके खंड पर कार्य करने वाले विभिन्न बलों के सावधानीपूर्वक निरीक्षण द्वारा प्राप्त किए जा सकते हैं कि यदि श्रृंखला स्थिर संतुलन में है तो इन बलों को संतुलन में होना चाहिए।

मान लीजिए कि श्रृंखला द्वारा अनुसरण किए गए पथ को $y =x^{2}$ द्वारा पैरामीट्रिक रूप से दिया गया है, जहां $x$ चाप की लंबाई का प्रतिनिधित्व करता है और $cosh$ स्थिति सदिश है। यह प्राकृतिक मानकीकरण है और इसमें वह गुण है$$\frac{d\mathbf{r}}{ds}=\mathbf{u}$$ जहाँ पर $r = (x, y) = (x(s), y(s))$ इकाई स्पर्शरेखा सदिश है।



वक्र के लिए अंतर समीकरण निम्नानुसार प्राप्त किया जा सकता है। होने देना $r$ श्रृंखला का सबसे निचला बिंदु हो, जिसे कैटेनरी का शीर्ष कहा जाता है। वक्र का ढलान $u$, $c$ पर शून्य है चूंकि यह न्यूनतम बिंदु है। मान लें कि $r$, $c$ के दाईं ओर है क्योंकि अन्य स्थिति समरूपता द्वारा निहित है। $T_{0}$ से $r$ तक श्रृंखला के खंड पर कार्य करने वाले बल $T$ पर श्रृंखला का तनाव, $(0, −λgs)$ पर श्रृंखला का तनाव और श्रृंखला का भार हैं। जो कि $c$ पर तनाव, $dy⁄dx$ पर वक्र के स्पर्शरेखा है और इसलिए बिना किसी ऊर्ध्वाधर घटक के क्षैतिज है और यह अनुभाग को बाईं ओर खींचता है इसलिए इसे $c$लिखा जा सकता है जहां $r$ बल का परिमाण है। $c$ पर तनाव आर पर वक्र के समानांतर है और अनुभाग को दाईं ओर खींचता है। $c$ पर तनाव को दो घटकों में विभाजित किया जा सकता है, इसलिए इसे $r$ लिखा जा सकता है, जहां T बल का परिमाण है और $c$ $c$ पर वक्र और x-अक्ष के मध्य का कोण है। (स्पर्शरेखा कोण देखें)। अंत में, श्रृंखला के भार को $r$ द्वारा दर्शाया जाता है, जहां $x$ प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है, $s$ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की शक्ति है और $φ$, $c$ और $c$ के मध्य श्रृंखला के खंड की लंबाई है।

श्रृंखला संतुलन में है इसलिए तीन बलों का योग है $(−T_{0}, 0)$, इसलिए

$$T \cos \varphi = T_0$$ तथा $$T \sin \varphi = \lambda gs\,,$$ और इन्हें विभाजित करने पर मिलता है

$$\frac{dy}{dx}=\tan \varphi = \frac{\lambda gs}{T_0}\,.$$ लिखना सुविधाजनक है

$$a = \frac{T_0}{\lambda g}$$ जो श्रृंखला की लंबाई है जिसका भार $T_{0}$ पर तनाव के परिमाण के समान है। तब

$$\frac{dy}{dx}=\frac{s}{a}$$ वक्र को परिभाषित करने वाला समीकरण है।

तनाव का क्षैतिज घटक, $r$ स्थिर है और तनाव का ऊर्ध्वाधर घटक है, $r$ $Tu = (T cos φ, T sin φ)$ और शीर्ष के मध्य श्रृंखला की लंबाई के लिए आनुपातिक है।

वक्र के लिए समीकरणों की व्युत्पत्ति
ऊपर दिए गए अवकल समीकरण को वक्र के लिए समीकरण बनाने के लिए हल किया जा सकता है।

से

$$\frac{dy}{dx} = \frac{s}{a}\,,$$ चाप की लंबाई का सूत्र या एकीकरण करके चाप की लंबाई ज्ञात करना देता है $$\frac{ds}{dx} = \sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2} = \frac{\sqrt{a^2+s^2}}{a}\,.$$ फिर

$$\frac{dx}{ds} = \frac{1}{\frac{ds}{dx}} = \frac{a}{\sqrt{a^2+s^2}}$$ तथा

$$\frac{dy}{ds} = \frac{\frac{dy}{dx}}{\frac{ds}{dx}} = \frac{s}{\sqrt{a^2+s^2}}\,.$$ इन समीकरणों में से दूसरे को देने के लिए एकीकृत किया जा सकता है

$$y = \sqrt{a^2+s^2} + \beta$$ और की स्थिति को स्थानांतरित करके $λ$-अक्ष, $g$ 0 लिया जा सकता है। तब

$$y = \sqrt{a^2+s^2}\,,\quad y^2=a^2+s^2\,.$$

इस प्रकार चुनी गई x-अक्ष को कैटेनरी की डायरेक्ट्रिक्स कहा जाता है।

इसका तात्पर्य यह है कि एक बिंदु $r$ पर तनाव का परिमाण $(0, −λgs)$ है, जो बिंदु और नियता के मध्य की दूरी के समानुपाती होता है।

इस तनाव को $c$ के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है।

$s$ के लिए अभिव्यक्ति का अभिन्न अंग मानक तकनीकों का उपयोग करके पाया जा सकता है,

$$x = a\operatorname{arsinh}\left(\frac{s}{a}\right) + \alpha\,.$$ और, फिर से, y-अक्ष की स्थिति को स्थानांतरित करके, α को 0 लिया जा सकता है।

$$x = a\operatorname{arsinh}\left(\frac{s}{a}\right)\,,\quad s=a \sinh\left(\frac{x}{a}\right)\,.$$इस प्रकार चुनी गई y-अक्ष शीर्ष से होकर गुजरती है और इसे कैटेनरी की धुरी कहा जाता है।

इन परिणामों का उपयोग $x$ देने को समाप्त करने के लिए किया जा सकता है

$$y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\,.$$

वैकल्पिक व्युत्पत्ति
अंतर समीकरण को अलग दृष्टिकोण का उपयोग करके हल किया जा सकता है।

से

$$s = a \tan \varphi$$ यह इस प्रकार है कि

$$\frac{dx}{d\varphi} = \frac{dx}{ds}\frac{ds}{d\varphi}=\cos \varphi \cdot a \sec^2 \varphi= a \sec \varphi$$ तथा $$\frac{dy}{d\varphi} = \frac{dy}{ds}\frac{ds}{d\varphi}=\sin \varphi \cdot a \sec^2 \varphi= a \tan \varphi \sec \varphi\,.$$ एकीकरण देता है,

$$x = a \ln(\sec \varphi + \tan \varphi) + \alpha$$ तथा $$y = a \sec \varphi + \beta\,.$$ पहले की तरह, x और y-अक्षों को स्थानांतरित किया जा सकता है जिससे α और β को 0 के रूप में लिया जा सकता है ।

$$\sec \varphi + \tan \varphi = e^\frac{x}{a}\,,$$ और दोनों पक्षों का पारस्परिक लेना $$\sec \varphi - \tan \varphi = e^{-\frac{x}{a}}\,.$$ अंतिम दो समीकरणों को जोड़ने और घटाने पर हल मिलता है $$y = a \sec \varphi = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)\,,$$ तथा $$s = a \tan \varphi = a \sinh\left(\frac{x}{a}\right)\,.$$

पैरामीटर निर्धारित करना
समान्यत: पैरामीटर $β$ अक्ष की स्थिति है। इस स्थिति में समीकरण निम्नानुसार निर्धारित किया जा सकता है:

यदि आवश्यक हो तो पुनः लेबल करें जिससे $r$ $0$ के बाईं ओर हो और $dx⁄ds$ को क्षैतिज और $s$ को $c$ से $T cos φ = T_{0}$ तक ऊर्ध्वाधर दूरी होने दें। अक्षों का अनुवाद करें जिससे कैटेनरी का शीर्ष $T_{H}$-अक्ष पर स्थित हो और इसकी ऊंचाई समायोजित हो जिससे कैटेनरी वक्र के मानक समीकरण को संतुष्ट करे$$y = a \cosh\left(\frac{x}{a}\right)$$ और मान लीजिए कि $T sin φ = λgs$ और $r$ के निर्देशांक क्रमशः $(x, y)$ और $T = λgy$ हैं। वक्र इन बिंदुओं से होकर निकलता है, इसलिए ऊंचाई का अंतर है

$$v = a \cosh\left(\frac{x_2}{a}\right) - a \cosh\left(\frac{x_1}{a}\right)\,.$$ और $T = T_{0} y/a$ से $P_{1}$ तक वक्र की लंबाई है

$$s = a \sinh\left(\frac{x_2}{a}\right) - a \sinh\left(\frac{x_1}{a}\right)\,.$$ जब $P_{2}$ को इन अभिव्यक्तियों का उपयोग करके विस्तारित किया जाता है तो परिणाम होता है

$$s^2-v^2=2a^2\left(\cosh\left(\frac{x_2-x_1}{a}\right)-1\right)=4a^2\sinh^2\left(\frac{H}{2a}\right)\,,$$ इसलिए $$\sqrt{s^2-v^2}=2a\sinh\left(\frac{H}{2a}\right)\,.$$ यह एक पारलौकिक समीकरण है और इसे संख्यात्मक रूप से हल किया जाना चाहिए। चूंकि  $P_{1}$ पर पूरी तरह से मोनोटोनिक है, $P_{2}$ के साथ अधिकतम एक समाधान है और इसलिए संतुलन की अधिकतम एक स्थिति है।

चूँकि, यदि वक्र के दोनों सिरे ($P_{1}$ तथा $P_{2}$) समान स्तर ($(x_{1}, y_{1})$) पर हैं, तो यह दिखाया जा सकता है कि $$a = \frac {\frac14 L^2-h^2} {2h}\,$$ जहां L, $(x_{2}, y_{2})$ और $P_{1}$ के मध्य वक्र की कुल लंबाई है और h sag ( $P_{2}$, $s^{2} − v^{2}$ और वक्र के शीर्ष के मध्य ऊर्ध्वाधर दूरी) है।

यह भी दिखाया जा सकता है कि $$L = 2a \sinh \frac {H} {2a}\,$$ तथा $$H = 2a \operatorname {arcosh} \frac {h+a} {a}\,$$ जहां H, $x > 0$ तथा $a > 0$ के मध्य की क्षैतिज दूरी है जो समान स्तर पर स्थित हैं ($P_{1}$)।

$P_{2}$ तथा $y_{1} = y_{2}$ पर क्षैतिज कर्षण बल $P_{1}$ है, जहां λ श्रृंखला या केबल की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है।

परिवर्तनशील सूत्रीकरण
लंबाई $$L$$ की एक श्रृंखला पर विचार करें जो समान ऊंचाई और दूरी $$D$$ पर दो बिंदुओं से निलंबित है। वक्र को अपनी संभावित ऊर्जा को कम करना होगा $$ U = \int_0^D g\rho y\sqrt{1+y'^2} dx $$ और बाधा के अधीन है $$ \int_0^D \sqrt{1+y'^2} dx = L\,.$$ विविधताओं की संशोधित गणना इसलिए है $$ \mathcal{L} = (g\rho y - \lambda )\sqrt{1+y'^2}$$ जहां $$\lambda $$ निर्धारित किया जाने वाला लैग्रेंज गुणक है। चूंकि स्वतंत्र वेरिएबल $$x$$ लैग्रेंजियन में प्रकट नहीं होता है, हम बेल्ट्रामी पहचान का उपयोग कर सकते हैं $$ \mathcal{L}-y' \frac{\partial \mathcal{L} }{\partial y'} = C $$ जहाँ पर $$C$$ समाकलन स्थिरांक है, प्रथम समाकलन प्राप्त करने के लिए $$\frac{(g\rho y - \lambda )}{\sqrt{1+y'^2}} = -C$$ यह सामान्य प्रथम कोटि का अवकल समीकरण है जिसे चरों के पृथक्करण की विधि द्वारा हल किया जा सकता है। इसका समाधान सामान्य हाइपरबोलिक कोसाइन है जहां पैरामीटर बाधाओं से प्राप्त होते हैं।

गैर-समान श्रृंखला
यदि श्रृंखला का घनत्व परिवर्तनशील है, तो ऊपर दिए गए विश्लेषण को घनत्व दिए गए वक्र के लिए समीकरण बनाने के लिए अनुकूलित किया जा सकता है, या घनत्व को खोजने के लिए वक्र दिया जा सकता है।

होने देना $a$ श्रृंखला की प्रति इकाई लंबाई के भार को निरूपित करें, फिर श्रृंखला के भार में परिमाण होता है

$$\int_\mathbf{c}^\mathbf{r} w\, ds\,,$$ जहां एकीकरण की सीमाएं $P_{2}$ तथा $P_{1}$. हैं। एकसमान श्रृंखला के समान संतुलन बल उत्पन्न होता है

$$T \cos \varphi = T_0$$ तथा $$T \sin \varphi = \int_\mathbf{c}^\mathbf{r} w\, ds\,,$$ और इसीलिए $$\frac{dy}{dx}=\tan \varphi = \frac{1}{T_0} \int_\mathbf{c}^\mathbf{r} w\, ds\,.$$ विभेदीकरण तब देता है

$$w=T_0 \frac{d}{ds}\frac{dy}{dx} = \frac{T_0 \dfrac{d^2y}{dx^2}}{\sqrt{1+\left(\dfrac{dy}{dx}\right)^2}}\,.$$ φ और वक्रता त्रिज्या $H$ के संदर्भ में यह बन जाता है

$$w= \frac{T_0}{\rho \cos^2 \varphi}\,.$$

निलंबन पुल वक्र
एक समान विश्लेषण एक क्षैतिज सड़क के साथ एक निलंबन पुल का समर्थन करने वाले केबल द्वारा पीछा किए गए वक्र को खोजने के लिए किया जा सकता है। यदि प्रति इकाई लंबाई में सड़क का भार $v$ है और केबल और पुल का समर्थन करने वाले तार का भार तुलना में नगण्य है, तो केबल पर भार (श्रृंखला और आर्क के कैटेनरी # मॉडल में चित्र देखें) $P_{2}$ से $P_{1}$, $y$ है जहां $w$, $P_{2}$ और $H = x_{2} − x_{1}$ के मध्य की क्षैतिज दूरी है। पहले की तरह आगे बढ़ने से अंतर समीकरण मिलता है

$$\frac{dy}{dx}=\tan \varphi = \frac{w}{T_0}x\,. $$ इसे प्राप्त करने के लिए सरल एकीकरण द्वारा हल किया जाता है

$$y=\frac{w}{2T_0}x^2 + \beta$$ और इसलिए केबल परवलय का अनुसरण करती है। यदि केबल और सहायक तारों का भार नगण्य नहीं है तो विश्लेषण अधिक सम्मिश्र है।

समान शक्ति का कैटेनरी
समान शक्ति की कैटेनरी में, केबल को प्रत्येक बिंदु पर तनाव के परिमाण के अनुसार प्राबल किया जाता है, इसलिए इसके टूटने का प्रतिरोध इसकी लंबाई के साथ स्थिर रहता है। यह मानते हुए कि केबल की शक्ति प्रति इकाई लंबाई के घनत्व के समानुपाती होती है, श्रृंखला की प्रति इकाई लंबाई का भार, $ρ$, लिखा जा सकता है $w$, जहां $wx$ स्थिर है, और गैर-समान श्रृंखलाओं के लिए विश्लेषण प्रयुक्त किया जा सकता है।

इस स्थिति में तनाव के समीकरण हैं

$$\begin{align} T \cos \varphi &= T_0\,,\\ T \sin \varphi &= \frac{1}{c}\int T\, ds\,. \end{align}$$ संयोजन देता है

$$c \tan \varphi = \int \sec \varphi\, ds$$ और विभेदन द्वारा

$$c = \rho \cos \varphi$$ जहाँ पर $x$ वक्रता त्रिज्या है।

इसका समाधान है

$$y = c \ln\left(\sec\left(\frac{x}{c}\right)\right)\,.$$ इस स्थिति में, वक्र में लंबवत अनंतस्पर्शी रेखाएं होती हैं और यह अवधि को $P_{1}$ तक सीमित कर देता है। अन्य संबंध हैं

$$x = c\varphi\,,\quad s = \ln\left(\tan\left(\frac{\pi+2\varphi}{4}\right)\right)\,.$$ वक्र का अध्ययन 1826 में डेविस गिल्बर्ट द्वारा और वास्तविक रूप पर स्वतंत्र रूप से 1836 में गैसपार्ड-गुस्ताव कोरिओलिस द्वारा किया गया था।

वर्तमान में, यह दिखाया गया था कि इस प्रकार की कैटेनरी विद्युत चुम्बकीय मेटासुरफेस के निर्माण खंड के रूप में कार्य कर सकती है और इसे समान चरण ढाल के कैटेनरी के रूप में जाना जाता है।

लोचदार कैटेनरी
एक लोच (भौतिकी) कैटेनरी में, श्रृंखला को स्प्रिंग (उपकरण ) उपकरण) से परिवर्तित कर दिया जाता है जो तनाव के उत्तर में फैल सकता है। वसंत को हुक के नियम के अनुसार फैला हुआ माना जाता है। विशेष रूप से, यदि $P_{2}$ वसंत के खंड की प्राकृतिक लंबाई है, तो तनाव के साथ वसंत की लंबाई $w$ प्रयुक्त लंबाई है

$$s=\left(1+\frac{T}{E}\right)p\,,$$ जहां $T⁄c$, $c$ के समान एक स्थिरांक है, जहां $ρ$ स्प्रिंग की कठोरता है। जो कि परिवर्तनशील है, किन्तु अनुपात स्थानीय स्तर पर मान्य रहता है, इसलिए $$\frac{ds}{dp}=1+\frac{T}{E}\,.$$ एक लोचदार स्प्रिंग के बाद का वक्र अब बेलोचदार स्प्रिंग के समान विधि का पालन करके प्राप्त किया जा सकता है।

वसंत के तनाव के समीकरण हैं

$$T \cos \varphi = T_0\,,$$ तथा $$T \sin \varphi = \lambda_0 gp\,,$$ जिससे

$$\frac{dy}{dx}=\tan \varphi = \frac{\lambda_0 gp}{T_0}\,,\quad T=\sqrt{T_0^2+\lambda_0^2 g^2p^2}\,,$$जहां $T$, $T_{H} = aw$ से $c$ तक खंड की प्राकृतिक लंबाई है और $r$ बिना किसी तनाव के स्प्रिंग की प्रति इकाई लंबाई का द्रव्यमान है और $E$ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की शक्ति है। लिखना$$a = \frac{T_0}{\lambda_0 g}$$ इसलिए

$$\frac{dy}{dx}=\tan \varphi = \frac{p}{a} \quad\text{and}\quad T=\frac{T_0}{a}\sqrt{a^2+p^2}\,.$$ फिर $$\begin{align} \frac{dx}{ds} &= \cos \varphi = \frac{T_0}{T} \\[6pt] \frac{dy}{ds} &= \sin \varphi = \frac{\lambda_0 gp}{T}\,, \end{align}$$ जिससे $$\begin{alignat}{3} \frac{dx}{dp} &= \frac{T_0}{T}\frac{ds}{dp} &&= T_0\left(\frac{1}{T}+\frac{1}{E}\right) &&= \frac{a}{\sqrt{a^2+p^2}}+\frac{T_0}{E} \\[6pt] \frac{dy}{dp} &= \frac{\lambda_0 gp}{T}\frac{ds}{dp} &&= \frac{T_0p}{a}\left(\frac{1}{T}+\frac{1}{E}\right) &&= \frac{p}{\sqrt{a^2+p^2}}+\frac{T_0p}{Ea}\,. \end{alignat}$$ एकीकृत करने से पैरामीट्रिक समीकरण मिलते हैं

$$\begin{align} x&=a\operatorname{arsinh}\left(\frac{p}{a}\right)+\frac{T_0}{E}p + \alpha\,, \\[6pt] y&=\sqrt{a^2+p^2}+\frac{T_0}{2Ea}p^2+\beta\,. \end{align}$$ पुनः, x और y-अक्षों को स्थानांतरित किया जा सकता है जिससे α और β को 0 माना जा सकता है

$$\begin{align} x&=a\operatorname{arsinh}\left(\frac{p}{a}\right)+\frac{T_0}{E}p\,, \\[6pt] y&=\sqrt{a^2+p^2}+\frac{T_0}{2Ea}p^2 \end{align}$$ वक्र के लिए पैरामीट्रिक समीकरण हैं। जो कि कठोर सीमा (गणित) पर जहाँ $kp$ बड़ा है, वक्र का आकार गैर-लोचदार श्रृंखला के आकार में कम हो जाता है।

एक सामान्य बल के अनुसार श्रृंखला
श्रृंखला पर कार्य करने वाले बल $c$ के संबंध में कोई धारणा नहीं बनाए जाने के कारण, निम्नलिखित विश्लेषण किया जा सकता है।

सबसे पहले, मान लीजिए कि $k$ के फलन के रूप में $r$ तनाव का बल है। श्रृंखला लचीली है इसलिए यह केवल अपने समानांतर बल लगा सकती है। चूँकि तनाव को उस बल के रूप में परिभाषित किया जाता है जो श्रृंखला स्वयं पर लगाती है, जो कि $c$ को श्रृंखला के समानांतर होना चाहिए। दूसरे शब्दों में,

$$\mathbf{T} = T \mathbf{u}\,,$$ जहां T, $r$ का परिमाण है और $πc$ इकाई स्पर्शरेखा सदिश है।

दूसरा, मान लीजिए कि $p$ प्रति इकाई लंबाई पर लगने वाला बाहरी बल है जो $p$ के फलन के रूप में श्रृंखला के एक छोटे खंड पर कार्य करता है। जो $g$ तथा $c$ के मध्य श्रृंखला के खंड पर कार्य करने वाले बल खंड के एक छोर पर तनाव $r$ का बल, दूसरे छोर पर लगभग विपरीत बल $λ_{0}$ और बाहरी हैं। खंड पर कार्य करने वाला बल लगभग $G$ है। इन शक्ति को संतुलन बनाना होगा

$$\mathbf{T}(s+\Delta s)-\mathbf{T}(s)+\mathbf{G}\Delta s \approx \mathbf{0}\,.$$

प्राप्त करने के लिए Δs से विभाजित करें और सीमा $T = T(s)$ लें

$$\frac{d\mathbf{T}}{ds} + \mathbf{G} = \mathbf{0}\,.$$ इन समीकरणों का उपयोग किसी बाहरी बल के अनुसार कार्य करने वाली लचीली श्रृंखला के विश्लेषण में प्रारंभिक बिंदु के रूप में किया जा सकता है। मानक कैटेनरी के स्थिति में, $T$ जहां श्रृंखला का द्रव्यमान $E$ प्रति इकाई लंबाई है और $s$ गुरुत्वाकर्षण क्षेत्र की शक्ति है।

यह भी देखें

 * कैटेनरी आर्क
 * चेन फाउंटेन या सेल्फ-साइफ़ोनिंग बीड्स
 * ओवरहेड कैटेनरी - रेल या ट्राम वाहनों पर निलंबित विद्युत लाइनें
 * रूले (वक्र) - वृत्ताकार/हाइपरबोलिक कैटेनरी
 * संशोधित - काता हुआ रस्सी का आकार
 * भारित कैटेनरी

बाहरी संबंध

 * Catenary curve calculator
 * Catenary at The Geometry Center
 * "Catenary" at Visual Dictionary of Special Plane Curves
 * The Catenary - Chains, Arches, and Soap Films.
 * Cable Sag Error Calculator – Calculates the deviation from a straight line of a catenary curve and provides derivation of the calculator and references.
 * Dynamic as well as static cetenary curve equations derived – The equations governing the shape (static case) as well as dynamics (dynamic case) of a centenary is derived. Solution to the equations discussed.
 * The straight line, the catenary, the brachistochrone, the circle, and Fermat Unified approach to some geodesics.
 * Ira Freeman "A General Form of the Suspension Bridge Catenary" Bulletin of the AMS
 * The straight line, the catenary, the brachistochrone, the circle, and Fermat Unified approach to some geodesics.
 * Ira Freeman "A General Form of the Suspension Bridge Catenary" Bulletin of the AMS