होलोनोमिक आधार

गणित और गणितीय भौतिकी में, अलग-अलग गुणनफल के लिए एक समन्वय आधार या होलोनोमिक आधार $M$ आधार (रैखिक बीजगणित) सदिश क्षेत्र ${e1, ..., en}$ का एक सम्मुच्चय बहुविध के एक क्षेत्र के प्रत्येक बिंदु P पर परिभाषित किया गया है
 * $$\mathbf{e}_{\alpha} = \lim_{\delta x^{\alpha} \to 0} \frac{\delta \mathbf{s}}{\delta x^{\alpha}} ,$$

जहां δs बिंदु P और निकटवर्ती बिंदु Q के बीच विस्थापन सदिश है जिसका P से समन्वय पृथक्करण समन्वय वक्र $xα$ के अनुदिश $δxα$ है (अर्थात बहुविध पर वक्र $P$ जिसके लिए स्थानीय समन्वय प्रणाली $xα$ बदलता रहता है और अन्य सभी निर्देशांक स्थिर रहते हैं)।

ऐसे आधार और दिशात्मक व्युत्पन्न संचालक के बीच संबंध बनाना संभव है। स्पर्शरेखा सदिश $u = uαeα$ के साथ $xα(λ)$ द्वारा परिभाषित मैनिफोल्ड पर एक पैरामीटरयुक्त वक्र C को देखते हुए, जहां $uα = dxα⁄dλ$, और C के प्रतिवैस में परिभाषित एक फलन $f(xα)$ है, C के साथ f की भिन्नता लिखी जा सकती है जैसे
 * $$\frac{df}{d\lambda} = \frac{dx^{\alpha}}{d\lambda}\frac{\partial f}{\partial x^{\alpha}} = u^{\alpha} \frac{\partial }{\partial x^{\alpha}} f .$$

चूंकि हमारे पास $u = uαeα$ है, पहचान अक्सर $eα$ और आंशिक व्युत्पन्न संचालक $∂⁄∂xα$ समन्वय आधार सदिश के बीच सदिश की व्याख्या के अंतर्गत कार्यों पर कार्य करने वाले संचालक के रूप में की जाती है।

${e1, ..., en}$ आधार के लिए एक स्थानीय परिस्थिति होलोनोमिक होने का अर्थ यह है कि सभी पारस्परिक लाइ व्युत्पन्न विलुप्त हो जाते हैं:
 * $$ \left[ \mathbf{e}_{\alpha}, \mathbf{e}_{\beta} \right] = {\mathcal{L}}_{\mathbf{e}_{\alpha}} \mathbf{e}_{\beta} = 0 .$$

एक आधार जो होलोनोमिक नहीं है उसे एनहोलोनोमिक गैर-होलोनोमिक या गैर-समन्वय आधार कहा जाता है।

मैनिफोल्ड m पर एक मापीय प्रदिश g को देखते हुए, सामान्यतः एक समन्वय आधार ढूंढना संभव नहीं है जो m के किसी भी खुले क्षेत्र u में लम्बवत होता है। एक स्पष्ट अपवाद तब होता है जब m वास्तविक समन्वय स्थान $Rn$ को मैनिफोल्ड के रूप में माना जाता है जिसमें g हर बिंदु पर यूक्लिडियन मापीय $δij&thinsp;ei ⊗ e$ होता है।

यह भी देखें

 * जेट बंडल
 * टेट्राड औपचारिकता
 * कुंची कलन