पोंकारे समूह



पोंकारे समूह जिसका नाम हेनरी पोंकारे (1906) के नाम पर रखा गया था, पहली बार हरमन मिन्कोव्स्की (1908) द्वारा इसे परिभाषित किया गया था, जो मिंकोव्स्की स्पेस के समूह (गणित) लोरेंत्ज़ परिवर्तन और समरूपता के रूप में सारांशित किया गया था। यह दस-आयामी गैर-अबेलियन समूह या गैर-अबेलियन असत्य समूह है जो भौतिकी के सबसे मौलिक सिद्धांतों की हमारी समझ में मॉडल के रूप में महत्वपूर्ण माना जाता है।

अवलोकन
ए मिन्कोवस्की स्पेस लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन एंड सिमेट्री में यह गुण है कि घटना (सापेक्षता) के बीच के अंतराल को अपरिवर्तनीयता को पृथक कर देता है। उदाहरण के लिए, यदि सब कुछ दो घंटे के लिए स्थगित कर दिया गया था, जिसमें दो घटनाएं और एक-दूसरे में जाने के लिए आपके द्वारा उपयोग किये गए मार्ग को सम्मिलित किया है, तो आपके द्वारा अपने साथ ले जाने वाली स्टॉप-वॉच द्वारा रिकॉर्ड की गई घटनाओं के बीच का समय अंतराल समान होता हैं। इस प्रकार यदि हर चीज को पांच किलोमीटर पश्चिम की ओर खिसका दिया जाए या 60 डिग्री तक दाईं ओर मोड़ दिया जाता हैं। इसके अतिरिक्त भी आपको इस अंतराल में कोई परवर्तन नहीं दिखाई देगा। इस प्रकार यह पता चला है कि इस प्रकार के परिवर्तन से किसी वस्तु की उचित लंबाई भी अप्रभावित रहती है। इसके कारण समय या स्थान उत्क्रमण भी इस समूह का आइसोमेट्री में रखते हैं।

मिन्कोव्स्की स्पेस में (अर्ताथ गुरुत्वाकर्षण के प्रभावों की अनदेखी) मिन्कोवस्की स्पेस की स्वतंत्रता की दस डिग्री हैं, इसके अनुसार लोरेंत्ज़ परिवर्तन और समरूपता, जिसे समय या स्थान के माध्यम से अनुवाद के रूप में माना जाता है (चार डिग्री, प्रति आयाम) स्पेस के माध्यम से प्रतिबिंब (तीन डिग्री, इस स्पेस के उन्मुखीकरण में स्वतंत्रता) या तीन स्थानिक दिशाओं (तीन डिग्री) में से किसी में लोरेंत्ज़ परिवर्तन के लिए माना जाता हैं। इन परिवर्तनों की संरचना पोंकारे समूह का संचालन करती है, अनुचित घूर्णन के साथ अप्रत्यक्ष आइसोमेट्री के रूप में प्रतिबिंबों की समान संख्या की संरचना के रूप में उत्पादित किया जा रहा है।

मौलिक भौतिकी में, गैलिलियन समूह तुलनीय दस-पैरामीटर समूह है जो निरपेक्ष समय और स्थान पर कार्य करता है। बूस्ट के अतिरिक्त इस संदर्भ के सह फ्रेम को संयोजित करने के लिए कतरनी मैपिंग की सुविधा प्रदान करता है।

पॉइनकेयर समरूपता
पोंकारे समरूपता विशेष सापेक्षता की पूर्ण समरूपता है। इसमें सम्मिलित है: स्पेस में * घूर्णन, त्रि-आयामी वलयों (J) के गैर-अबेलियन असत्य समूह का गठन,
 * अनुवाद (भौतिकी) (विस्थापन) समय और स्थान (P) में, स्पेस-समय पर अनुवादों के एबेलियन लाइ समूह का गठन,
 * लोरेंत्ज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन, दो समान रूप से गतिमान निकायों (B) को जोड़ने वाले ट्रांसफ़ॉर्मेशन।

अंतिम दो समरूपताएँ, J और K, मिलकर लोरेंत्ज़ समूह बनाते हैं (लोरेंट्ज़ इनवेरिएंस भी देखें), अनुवाद समूह और लोरेंत्ज़ समूह के अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद तब पोंकारे समूह का उत्पादन करते हैं। ऑब्जेक्ट जो इस समूह के अंतर्गत अपरिवर्तनीय हैं, इस कारण कहा जाता है कि पोंकारे आपेक्षिकीय व्युत्क्रमण का व्युत्क्रम के उत्तरदायी हैं।

नोथेर के प्रमेय द्वारा पोइनकेयर समरूपता से जुड़े 10 जनरेटर (चार दिक्-समय आयामों में), 10 संरक्षण नियमों का अर्थ है: 1 ऊर्जा के लिए, 3 संवेग के लिए, 3 कोणीय संवेग के लिए और 3 द्रव्यमान के केंद्र के वेग के लिए इत्यादि।

पॉइनकेयर समूह
पोंकारे समूह मिन्कोव्स्की स्पेस टाइम आइसोमेट्री का समूह है। यह दस-आयामी कॉम्पैक्ट जगह लाइ समूह है। अनुवाद (ज्यामिति) का एबेलियन समूह सामान्य उपसमूह है, जबकि लोरेंत्ज़ समूह भी समूह क्रिया (गणित) कक्षक और मूल के स्टेबलाइजर्स के उपसमूह है। प्वाइनकेयर समूह स्वयं से परिभाषित समूहों का न्यूनतम उपसमूह है जिसमें सभी अनुवाद और लोरेंत्ज़ रूपांतरण सम्मिलित हैं। इस प्रकार अधिक सही रूप से, यह अनुवादों और लोरेंत्ज़ समूह का अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है,
 * $$\mathbf{R}^{1,3} \rtimes \operatorname{O}(1, 3) \,,$$

समूह गुणन के साथ
 * $$(\alpha, f) \cdot (\beta, g) = (\alpha + f \cdot \beta,\; f \cdot g)$$.

इसे उपयोग करने का अन्य तरीका यह है कि पॉइनकेयर समूह लोरेंत्ज़ समूह का सदिश समूह प्रतिनिधित्व द्वारा इसका समूह विस्तार है, इसे कभी-कभी, अनौपचारिक रूप से, अमानवीय लोरेंत्ज़ समूह के रूप में डब किया जाता है। इसके अतिरिक्त इसे डी सिटर ग्रुप SO(4,1) ~ Sp(2,2) के समूह संकुचन के रूप में भी प्राप्त किया जा सकता है, क्योंकि सिटर स्पेस द्वारा अनंत तक जाता है।

इसकी धनात्मक ऊर्जा एकात्मक अलघुकरणीय लाइ समूह का प्रतिनिधित्व द्रव्यमान (धनात्मक संख्या) और घू्र्णन (भौतिकी) (पूर्णांक या आधा पूर्णांक) द्वारा अनुक्रमित किया जाता है और क्वांटम यांत्रिकी में कणों से संयोजित होता है।

एर्लांगेन कार्यक्रम के अनुसार, मिन्कोव्स्की स्पेस की ज्यामिति को पोंकारे समूह द्वारा परिभाषित किया गया है: मिन्कोव्स्की स्पेस को समूह के लिए सजातीय स्थान माना जाता है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, पोंकारे समूह का सार्वभौमिक आवरण
 * $$\mathbf{R}^{1,3} \rtimes \operatorname{SL}(2, \mathbf{C}), $$

जिसे दोहरे आवरण से पहचाना जा सकता है
 * $$\mathbf{R}^{1,3} \rtimes \operatorname{Spin}(1, 3), $$

अधिक महत्वपूर्ण है, क्योंकि का प्रतिनिधित्व $$\operatorname{SO}(1, 3)$$ घू्र्णन 1/2 वाले क्षेत्रों का वर्णन करने में सक्षम नहीं हैं, अर्ताथ फरमिओन्स । यहाँ $$\operatorname{SL}(2,\mathbf{C})$$ कॉम्प्लेक्स $$2 \times 2$$ का समूह है, इस प्रकार इस इकाई निर्धारक के साथ मेट्रिसेस, घू्र्णन समूह के लिए आइसोमोर्फिक अनिश्चित हस्ताक्षर या लोरेंट्ज़-सिग्नेचर घू्र्णन समूह $$\operatorname{Spin}(1, 3)$$ के रूप में किया जाता हैं।

पोइनकेयर बीजगणित
पोंकारे बीजगणित पोंकारे समूह का लाइ बीजगणित है। यह लोरेंत्ज़ समूह के असत्य बीजगणित के अर्ध-प्रत्यक्ष योग द्वारा असत्य बीजगणित का विस्तार है। इस प्रकार अधिक विशेष रूप से, उचित ($\det\Lambda = 1$ ), लोरेंत्ज़ समूह से जुड़े हुए घटक (${\Lambda^0}_0 \geq 1$ ) लोरेंत्ज़ उपसमूह (इसकी पहचान घटक) का भाग है, इस प्रकार यह मुख्य रूप से $SO(1, 3)_+^\uparrow$, की पहचान से जुड़ा है और इस प्रकार घातीय मानचित्र (असत्य सिद्धांत) $\exp\left(ia_\mu P^\mu\right)\exp\left(\frac{i}{2}\omega_{\mu\nu} M^{\mu\nu}\right)$ द्वारा प्रदान किया गया है,  इस असत्य बीजगणित को इसके घटक के रूप में, पोनकारे बीजगणित रूपान्तरण संबंधों द्वारा दिया जाता है:

जहाँ $$P$$ असत्य समूह है, यह असत्य बीजगणित अनुवादों के असत्य समूह से जुड़ा हुआ है, यहाँ पर $$M$$ और $$\eta$$ लोरेंत्ज़ परिवर्तनों का जनक है,

$$(+,-,-,-)$$ मिन्कोव्स्की मीट्रिक ( संधिपत्र पर हस्ताक्षर करें देखें)।

निचला रूपांतरण संबंध (सजातीय) लोरेंत्ज़ समूह है, जिसमें वलय $J_i = \frac{1}{2}\epsilon_{imn} M^{mn}$, और $ K_i = M_{i0}$ के मान को बढ़ा देता है, इस संकेतन में संपूर्ण पॉइंकेयर बीजगणित गैर सहपरिवर्ती (किन्तु अधिक व्यावहारिक) भाषा में का उपयोग अभिव्यक्त होता है
 * $$\begin{align}[]

[J_m, P_n] &= i \epsilon_{mnk} P_k ~, \\[] [J_i, P_0] &= 0 ~, \\[] [K_i, P_k] &= i \eta_{ik} P_0 ~, \\[] [K_i, P_0] &= -i P_i ~, \\[] [J_m, J_n] &= i \epsilon_{mnk} J_k ~, \\[] [J_m, K_n] &= i \epsilon_{mnk} K_k ~, \\[] [K_m, K_n] &= -i \epsilon_{mnk} J_k ~, \end{align}$$ जहां दो बूस्ट के बॉटम लाइन कम्यूटेटर को अधिकांशतः विग्नर घूर्णन के रूप में संदर्भित किया जाता है। इस सरलीकरण $[J_m + iK_m,\, J_n -iK_n] = 0$ के लिए लोरेंत्ज़ सबलजेब्रा $\mathfrak{su}(2) \oplus \mathfrak{su}(2)$  को कम करने की अनुमति देता है और इस प्रकार लोरेंत्ज़ समूह के संबंधित प्रतिनिधित्व सिद्धांत का हल हैं। इन भौतिक मापदंडों के संदर्भ में, हमारे पास उक्त समीकरण है


 * $$\begin{align}

\left[\mathcal H, p_i\right] &= 0 \\ \left[\mathcal H, L_i\right] &= 0 \\ \left[\mathcal H, K_i\right] &= i\hbar cp_i \\ \left[p_i, p_j\right] &= 0 \\ \left[p_i, L_j\right] &= i\hbar\epsilon_{ijk}p_k \\ \left[p_i, K_j\right] &= \frac{i\hbar}c\mathcal H\delta_{ij} \\ \left[L_i, L_j\right] &= i\hbar\epsilon_{ijk}L_k \\ \left[L_i, K_j\right] &= i\hbar\epsilon_{ijk}K_k \\ \left[K_i, K_j\right] &= -i\hbar\epsilon_{ijk}L_k \end{align}$$ इस बीजगणित के कासिमिर आक्रमणकारी $P_\mu P^\mu$ और $W_\mu W^\mu$  हैं, जहाँ $W_\mu$  पाउली-लुबांस्की स्यूडोवेक्टर है, इन समूहों के प्रतिनिधित्व के लिए लेबल के रूप में कार्य करते हैं।

पोंकारे समूह किसी भी सापेक्षतावादी क्षेत्र सिद्धांत का पूर्ण समरूपता समूह है। इसके परिणामस्वरूप, सभी प्राथमिक कण विग्नर के वर्गीकरण में आते हैं। ये सामान्यतः प्रत्येक कण के चार-संवेग वर्ग (अर्थात इसका द्रव्यमान वर्ग) और आंतरिक क्वांटम संख्या $J^{PC}$ द्वारा निर्दिष्ट होते हैं, जहाँ $$J$$ घू्र्णन (भौतिकी) क्वांटम संख्या है, इस प्रकार $$P$$ समानता (भौतिकी) है और $$C$$ आवेश संयुग्मन या आवेश-संयुग्मन क्वांटम संख्या है। व्यवहार में, चार्ज संयुग्मन और समता का कई क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत द्वारा उल्लंघन किया जाता है, ऐसा जहाँ होता है, $$P$$ और $$C$$ एकत्रित कर लिए जाते हैं। चूंकि सीपीटी समरूपता क्वांटम क्षेत्र के सिद्धांत में अपरिवर्तनीय (भौतिकी) है, इस प्रकार टी-समता या समय व्युत्क्रम क्वांटम संख्या का निर्माण उन लोगों से किया जा सकता है।

टोपोलॉजिकल स्पेस के रूप में, समूह के चार जुड़े हुए घटक हैं: इस प्रकार इन घटकों में आडेंटिकल घटक, व्युत्क्रम समय घटक, स्थानिक व्युत्क्रम घटक, और घटक जो समय-व्युत्क्रम और स्थानिक रूप से व्युत्क्रम दोनों है।

अन्य आयाम
इस प्रकार ऊपर दी गई परिभाषाओं को सीधे तरीके से उचित आयामों के लिए सामान्यीकृत किया जा सकता है। इस प्रकार डी-डायमेंशनल पॉइनकेयर समूह को अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद द्वारा समान रूप से परिभाषित किया गया है


 * $$\operatorname{IO}(1, d - 1) := \mathbf{R}^{1, d-1} \rtimes \operatorname{O}(1, d - 1) $$

समान गुणन के साथ


 * $$(\alpha, f) \cdot (\beta, g) = (\alpha + f \cdot \beta,\; f \cdot g)$$.

असत्य बीजगणित सूचकांकों के साथ अपना रूप निरंतर रखता है तथा $µ$ और $ν$ के बीच मान ले रहा है, इस प्रकार $0$ और $d − 1$. के संदर्भ में वैकल्पिक प्रतिनिधित्व $J_{i}$ और $K_{i}$ का उच्च आयामों में कोई एनालॉग नहीं है।

सुपर-पॉइनकेयर बीजगणित
इस प्रकार संबंधित अवलोकन यह है कि लोरेंत्ज़ समूह के अभ्यावेदन में असमान रूप से द्वि-आयामी जटिल घूर्णन अभ्यावेदन की जोड़ी $$2$$ और $$\overline{2}$$ के रूप में सम्मिलित है, जिसका टेंसर उत्पाद $$2\otimes\overline{2} = 3\oplus1$$ रूप से संलग्न प्रतिनिधित्व है। कोई भी इस अंतिम बिट को चार-आयामी मिन्कोव्स्की स्पेस के साथ ही पहचान सकता है (जैसा कि घू्र्णन -1 कण के साथ इसकी पहचान करने के विपरीत, जैसा कि सामान्यतः जोड़े के लिए किया जाता है, उदाहरण के लिए क्वार्क-एंटी-क्वार्क जोड़ी से बना होता हैं) यह दृढ़ता से सुझाव देता है कि घूर्णन को सम्मिलित करने के लिए पोंकारे बीजगणित का विस्तार करना संभव हो सकता है। यह सीधे सुपर-पॉइनकेयर बीजगणित की धारणा की ओर जाता है। इस विचार की गणितीय आवश्यकता यह है कि कोई आसन्न प्रतिनिधित्वों के अतिरिक्त मौलिक प्रतिनिधित्व के साथ कार्य कर रहा है। इस विचार की भौतिक आवश्यकता यह है कि मौलिक निरूपण फर्मियन के अनुरूप हैं, जो प्रकृति में देखे जाते हैं। चूंकि, अब तक स्थानिक और फर्मीओनिक दिशाओं के बीच समरूपता के निहित सुपरसिमेट्री को प्रकृति में प्रयोगात्मक रूप से नहीं देखा गया है। इन प्रायोगिक विवादों को मोटे तौर पर प्रश्न के रूप में कहा जा सकता है: यदि हम आसन्न प्रतिनिधित्व (मिन्कोव्स्की स्पेसटाइम) में रहते हैं, तो मौलिक प्रतिनिधित्व जहाँ छिपा है?

यह भी देखें

 * यूक्लिडियन समूह
 * पोंकारे समूह का प्रतिनिधित्व सिद्धांत
 * विग्नेर का वर्गीकरण
 * क्वांटम यांत्रिकी में समरूपता
 * पाउली-लुबांस्की स्यूडोवेक्टर
 * कण भौतिकी और प्रतिनिधित्व सिद्धांत
 * निरंतर घू्र्णन कण