आपेक्षिकीय यांत्रिकी

भौतिकी में, आपेक्षिकीय यांत्रिकी विशेष आपेक्षिकता (एसआर) और सामान्य सापेक्षता (जीआर) के साथ संयोज्य यांत्रिकी को संदर्भित करता है। यह उन स्थितियों में कणों या द्रव की एक प्रणाली का गैर-क्वांटम यांत्रिकी विवरण प्रदान करता है, जहां गतिशील वस्तुओं की गति प्रकाश की गति c प्रकाश चाल के समान होती है। फलस्वरूप, चिरसम्मत यांत्रिकी उच्च वेग और ऊर्जा पर यात्रा करने वाले कणों के सटीकता से विस्तारण करता है और कणों के यांत्रिकी के साथ विद्युत चुंबकत्व का निरंतर समाविष्ट प्रदान करती है। गैलिलियन सापेक्षता में यह संभव नहीं था, जहां कणों और प्रकाश को प्रकाश से तेज सहित, किसी भी गति से यात्रा करने की अनुमति होगी। आपेक्षिकीय यांत्रिकी का आधार विशिष्ट आपेक्षिकता और सामान्य सापेक्षता के सिद्धांत हैं। क्वांटम यांत्रिकी के साथ एसआर का एकीकरण आपेक्षिकीय क्वांटम यांत्रिकी है, यद्यपि जीआर के लिए यह प्रयास क्वांटम गुरुत्व है, जो भौतिकी में एक न सुलझने वाली समस्या है।

चिरसम्मत यांत्रिकी के समान, विषय को "शुद्धगतिकी (कीनेमेटीक्स)" में विभाजित किया जा सकता है; स्थिति वेक्टर, वेग और त्वरण, और गतिशीलता (यांत्रिकी) निर्दिष्ट करके गति का विवरण; ऊर्जा, संवेग और कोणीय संवेग और उनके संरक्षण नियम (भौतिकी) और कणों पर कार्य करने वाले या कणों द्वारा लगाए गए बलों पर विचार करके एक पूर्ण विवरण। यद्यपि एक जटिलता है; क्या प्रगामी प्रतीत होता है और क्या स्थिर है - जिसे चिरसम्मत यांत्रिकी में "स्थैतिकी" कहा जाता है - पर्यवेक्षक (भौतिकी) आपेक्षिक गति पर निर्भर करता है जो संदर्भ विन्यास में परिगणना करता है।

यद्यपि चिरसम्मत यांत्रिकी से कुछ परिभाषाएं और अवधारणाएं एसआर तक ले जाती हैं, जैसे संवेग के काल व्युत्पन्न के रूप में बल (न्यूटन का द्वितीय नियम), एक पथ में कण द्वारा किया गया कार्य कण पर प्रयुक्त बल के रेखा समाकलन के रूप में होता है और किए गए कार्य के काल व्युत्पन्न के रूप में ऊर्जा, शेष परिभाषाओं और सूत्रों में कई महत्वपूर्ण संशोधन हैं। एसआर व्यक्त करते है कि गति सापेक्ष है और जड़त्वीय संदर्भ विन्यास के अलावा, भौतिकी के नियम सभी प्रयोगकर्ताओं के लिए समान हैं। समष्टि और काल के धारणाओं को संशोधित करने के अतिरिक्त, एसआर द्रव्यमान, संवेग और ऊर्जा के अवधारणाओं पर पुनर्विचार करने के लिए विवश करता है जो सभी न्यूटनी यांत्रिकी में महत्वपूर्ण निर्माण हैं। एसआर दर्शाता है कि ये अवधारणाएं एक ही भौतिक मात्रा के सभी विभिन्न दृष्टिकोण हैं, ठीक उसी तरह जैसे कि यह समष्टि और काल को परस्पर संबंधित दिखाता है। फलस्वरूप, अन्य संशोधन एक प्रणाली के द्रव्यमान केन्द्र की अवधारणा है, जो चिरसम्मत यांत्रिकी में स्पष्टतः परिभाषित है किन्तु सापेक्षता में अस्पष्ट है - विवरण के लिए आपेक्षिकीय द्रव्यमान केंद्र देखें।

लोरेंत्ज़ कारक में गैर-रैखिकता के कारण समीकरण अधिक परिचित त्रिविम सदिश कलन नियमानुरूप में अधिक जटिल हो जाते हैं, जो आपेक्षिकीय वेग निर्भरता और सभी कणों और क्षेत्रों की गति सीमा के लिए सटीक रूप से उत्तरदयी होते है। यद्यपि, चतुर्विम समष्टिकाल समष्टिकाल में एक सरलतम और सुरुचिपूर्ण रूप है, जिसमें समतल मिन्कोवस्की समष्टि (एसआर) और वक्रदिक्काल (जीआर) सम्मिलित हैं, क्योंकि समष्टि से व्युत्पन्न त्रिविम सदिश और काल से व्युत्पन्न अदिश को चार सदिश या चतुर्विम प्रदिश में एकत्र किया जा सकता है। यद्यपि, छह घटक कोणीय संवेग प्रदिश को कभी-कभी बायवेक्टर कहा जाता है क्योंकि 3डी दृष्टिकोण में यह दो सदिश हैं (इनमें से एक, अक्षीय सदिश होने के कारण  पारंपरिक कोणीय संवेग है)।

आपेक्षिकीय शुद्धगतिकी
आपेक्षिकीय चार-वेग, जो सापेक्षता में वेग का प्रतिनिधित्व करने वाला चार-सदिश है, को निम्नानुसार परिभाषित किया गया है:


 * $$\boldsymbol{\mathbf{U}} = \frac{d \boldsymbol{\mathbf{X}}}{d \tau} = \left(\frac{c dt}{d\tau}, \frac{d\mathbf{x}}{d\tau} \right)$$

ऊपरोक्त में, $${\tau}$$ समष्टिकाल के माध्यम से पथ का उचित समय है, जिसे विश्व-रेखा कहा जाता है, साथ में उपरोक्त वस्तु वेग का प्रतिनिधित्व करता है, और


 * $$\boldsymbol{\mathbf{X}} = (ct, \mathbf{x} )$$

चार-स्थिति है; एक परिघटना (सापेक्षता) के निर्देशांक। काल वृद्धि उचित काल संदर्भ विन्यास में दो परिघटनाओं के मध्य का समय होता है जहां वे एक ही स्थान पर होते हैं। उचित काल समन्वय समय t से निम्न द्वारा संबंधित है::


 * $$\frac{d \tau}{d t} = \frac{1}{\gamma(\mathbf{v})}$$

जहाँ $${\gamma}(\mathbf{v})$$ लोरेंत्ज़ कारक है:


 * $$\gamma(\mathbf{v}) = \frac{1}{\sqrt{1 - \mathbf{v}\cdot\mathbf{v}/c^2}}\,\rightleftharpoons\,\gamma(v) = \frac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}}.$$

(कोई एक संस्करण उद्धृत किया जा सकता है) तो यह इस प्रकार है:


 * $$\boldsymbol{\mathbf{U}} = \gamma(\mathbf{v}) (c, \mathbf{v})$$

$${\gamma(\mathbf{v})}$$ के कारक के अतिरिक्त प्रथम तीन पद, वेग है जैसा कि पर्यवेक्षक ने अपने संदर्भ विन्यास में देखा है। $${\gamma(\mathbf{v})}$$ पर्यवेक्षक के संदर्भ विन्यास और वस्तु के विन्यास के मध्य वेग $$\mathbf{v}$$ से निर्धारित किया जाता है, जो कि वह फ्रेम है जिसमें इसका उचित काल मापा जाता है। यह मात्रा लोरेंत्ज़ रूपांतरण के अंतर्गत निश्चर है, इसलिए यह देखने के लिए कि विभिन्न संदर्भ विन्यास में पर्यवेक्षक क्या देखता है, दो संदर्भ विन्यास के मध्य लोरेंत्ज़ रूपांतरण आव्यूह द्वारा वेग चार-सदिश को गुणा किया जाता है।

विराम द्रव्यमान और आपेक्षिकीय द्रव्यमान
किसी वस्तु के द्रव्यमान को उसके संदर्भ विन्यास में मापा जाता है, उसे उसका विराम द्रव्यमान या निश्चर द्रव्यमान कहा जाता है और प्रायः $$m_0$$ लिखा जाता है। यदि कोई वस्तु वेग से चलती है $$\mathbf{v}$$ किसी अन्य संदर्भ फ्रेम में, मात्रा $$m=\gamma(\mathbf{v}) m_0$$ को अक्सर उस फ्रेम में वस्तु का आपेक्षिक द्रव्यमान कहा जाता है। कुछ लेखक उपयोग करते हैं $$m$$ शेष द्रव्यमान को निरूपित करने के लिए, लेकिन स्पष्टता के लिए यह लेख उपयोग करने की परिपाटी का पालन करेगा $$m$$ सापेक्षतावादी द्रव्यमान के लिए और $$m_0$$ रेस्ट मास के लिए। लेव ओकुन ने सुझाव दिया है कि सापेक्षतावादी द्रव्यमान की अवधारणा का आज कोई तर्कसंगत औचित्य नहीं है और अब इसे पढ़ाया नहीं जाना चाहिए। वोल्फगैंग रिंडलर और टीआर सैंडिन सहित अन्य भौतिकविदों का तर्क है कि यह अवधारणा उपयोगी है। इस बहस पर अधिक जानकारी के लिए विशेष सापेक्षता में द्रव्यमान  देखें।

जिस कण का विराम द्रव्यमान शून्य होता है उसे द्रव्यमान रहित कहते हैं। फोटॉन और गुरुत्वाकर्षण को द्रव्यमान रहित माना जाता है, और न्युट्रीनो  को लगभग ऐसा ही माना जाता है।

सापेक्ष ऊर्जा और संवेग
SR में संवेग और ऊर्जा को परिभाषित करने के कुछ (समतुल्य) तरीके हैं। एक विधि संरक्षण कानून (भौतिकी) का उपयोग करती है। यदि इन कानूनों को एसआर में वैध रहना है तो उन्हें हर संभव संदर्भ फ्रेम में सत्य होना चाहिए। हालांकि, अगर कोई संवेग और ऊर्जा की न्यूटोनियन परिभाषाओं का उपयोग करते हुए कुछ सरल विचार प्रयोग करता है, तो वह देखता है कि ये मात्राएँ SR में संरक्षित नहीं हैं। वेग वृद्धि के लिए परिभाषाओं में कुछ छोटे संशोधन करके संरक्षण के विचार को बचाया जा सकता है। यह नई परिभाषाएँ हैं जिन्हें SR में गति और ऊर्जा के लिए सही माना जाता है।

किसी वस्तु का चार-संवेग सीधा है, शास्त्रीय गति के रूप में समान है, लेकिन 3-वैक्टर को 4-वैक्टर से बदल देता है:


 * $$\boldsymbol{\mathbf{P}} = m_0 \boldsymbol{\mathbf{U}} = (E/c, \mathbf{p})$$

अपरिवर्तनीय द्रव्यमान वाली किसी वस्तु की ऊर्जा और संवेग $$m_0$$, वेग से चल रहा है $$\mathbf{v}$$ संदर्भ के दिए गए फ्रेम के संबंध में क्रमशः द्वारा दिए गए हैं
 * $$\begin{align}

E &= \gamma(\mathbf{v}) m_0 c^2 \\ \mathbf{p} &= \gamma(\mathbf{v}) m_0 \mathbf{v} \end{align} $$ कारण $$\gamma$$ ऊपर वर्णित चार-वेग की परिभाषा से आता है। निम्न का प्रकटन $$\gamma$$ वैकल्पिक रूप से कहा जा सकता है, जिसे अगले भाग में समझाया जाएगा।

गतिज ऊर्जा, $$K$$, परिभाषित किया जाता है
 * $$ K = (\gamma - 1) m_0 c^2 = E - m_0 c^2 \,,$$

और गतिज ऊर्जा के कार्य के रूप में गति द्वारा दिया जाता है
 * $$ v = c \sqrt{1- \left(\frac{m_0 c^2}{K+m_0 c^2}\right)^2} = \frac {c \sqrt {K (K + 2 m_0 c ^ 2)}} {K + m_0 c^2} = \frac {c \sqrt {(E - m_0 c^2)(E + m_0 c ^ 2)}}{E} = \frac{p c^2}{E} \,.$$

स्थानिक गति के रूप में लिखा जा सकता है $$\mathbf{p} = m \mathbf{v}$$, न्यूटोनियन यांत्रिकी से फॉर्म को न्यूटनियन द्रव्यमान के लिए प्रतिस्थापित सापेक्षतावादी द्रव्यमान के साथ संरक्षित करना। हालांकि, यह प्रतिस्थापन बल और गतिज ऊर्जा सहित कुछ मात्राओं के लिए विफल रहता है। इसके अलावा, लोरेंत्ज़ परिवर्तनों के तहत सापेक्ष द्रव्यमान अपरिवर्तनीय नहीं है, जबकि शेष द्रव्यमान है। इस कारण से, बहुत से लोग शेष द्रव्यमान और खाते का उपयोग करना पसंद करते हैं $$\gamma$$ स्पष्ट रूप से 4-वेग या समन्वय समय के माध्यम से।

ऊर्जा, संवेग और वेग के बीच एक सरल संबंध ऊर्जा और संवेग की परिभाषाओं से ऊर्जा को गुणा करके प्राप्त किया जा सकता है $$\mathbf{v}$$गति को गुणा करके $$c^2$$, और यह देखते हुए कि दो भाव समान हैं। यह प्रदान करता है
 * $$\mathbf{p} c^2 = E \mathbf{v}$$

$$\mathbf{v}$$ तब इस समीकरण को द्वारा विभाजित करके समाप्त किया जा सकता है $$c$$ और वर्ग करना,
 * $$(pc)^2 = E^2 (v/c)^2$$

द्वारा ऊर्जा की परिभाषा को विभाजित करना $$\gamma$$ और वर्ग करना,
 * $$E^2 \left(1 - (v/c)^2\right) = \left(m_0 c^2\right)^2$$

और प्रतिस्थापन:
 * $$E^2 - (p c)^2 = \left(m_0 c^2\right)^2$$ यह सापेक्षतावादी ऊर्जा-संवेग संबंध है।

जबकि ऊर्जा $$E$$ और गति $$\mathbf{p}$$ संदर्भ के उस फ्रेम पर निर्भर करता है जिसमें उन्हें मापा जाता है, मात्रा $$E^2 - (p c)^2$$ अपरिवर्तनीय है। इसका मूल्य है $$-c^2$$ 4-गति वेक्टर के वर्ग परिमाण का गुना।

एक प्रणाली के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान को इस रूप में लिखा जा सकता है
 * $${m_0}_\text{tot} = \frac {\sqrt{E_\text{tot}^2 - (p_\text{tot}c)^2}} {c^2}$$

गतिज ऊर्जा और बाध्यकारी ऊर्जा के कारण, यह मात्रा उन कणों के बाकी द्रव्यमानों के योग से भिन्न होती है जिनसे सिस्टम बना है। न्यूटोनियन भौतिकी की स्थिति के विपरीत, विशेष सापेक्षता में शेष द्रव्यमान एक संरक्षित मात्रा नहीं है। हालाँकि, भले ही कोई वस्तु आंतरिक रूप से बदल रही हो, जब तक कि वह अपने परिवेश के साथ ऊर्जा या संवेग का आदान-प्रदान नहीं करती है, तब तक इसका शेष द्रव्यमान नहीं बदलेगा और किसी भी संदर्भ फ्रेम में उसी परिणाम के साथ गणना की जा सकती है।

द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता
सापेक्षतावादी ऊर्जा-संवेग समीकरण सभी कणों के लिए मान्य है, यहाँ तक कि द्रव्यमानहीन कणों के लिए भी जिनके लिए m है0 = 0. इस मामले में:


 * $$E = pc$$

जब Ev = c में प्रतिस्थापित किया जाता है2p, इससे v = c मिलता है: द्रव्यमान रहित कण (जैसे फोटॉन) हमेशा प्रकाश की गति से चलते हैं।

ध्यान दें कि एक समग्र प्रणाली का शेष द्रव्यमान आम तौर पर इसके भागों के बाकी द्रव्यमानों के योग से थोड़ा अलग होगा, क्योंकि इसके बाकी फ्रेम में, उनकी गतिज ऊर्जा इसके द्रव्यमान को बढ़ाएगी और उनकी (नकारात्मक) बाध्यकारी ऊर्जा इसके द्रव्यमान को कम कर देगी। विशेष रूप से, प्रकाश के एक काल्पनिक बॉक्स में विराम द्रव्यमान होगा, भले ही वह कणों से बना हो, क्योंकि उनका संवेग रद्द नहीं होगा।

एक प्रणाली के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान के लिए उपरोक्त सूत्र को देखते हुए, यह देखता है कि, जब एक विशाल वस्तु आराम पर होती है ('v' = '0', 'p' = '0'), एक गैर-शून्य द्रव्यमान शेष होता है : एम0 = ई / सी 2। संबंधित ऊर्जा, जो कुल ऊर्जा भी है जब एक कण आराम पर होता है, उसे आराम ऊर्जा कहा जाता है। गतिमान जड़त्वीय फ्रेम से देखे जाने वाले कणों की प्रणालियों में, कुल ऊर्जा बढ़ती है और संवेग भी बढ़ता है। हालाँकि, एकल कणों के लिए शेष द्रव्यमान स्थिर रहता है, और कणों की प्रणालियों के लिए अपरिवर्तनीय द्रव्यमान स्थिर रहता है, क्योंकि दोनों ही मामलों में, ऊर्जा और संवेग एक दूसरे से घटते हैं, और रद्द हो जाते हैं। इस प्रकार, कणों की प्रणालियों का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान सभी पर्यवेक्षकों के लिए एक परिकलित स्थिरांक है, जैसा कि एकल कणों का शेष द्रव्यमान है।

सिस्टम का द्रव्यमान और अपरिवर्तनीय द्रव्यमान का संरक्षण
कणों की प्रणालियों के लिए, ऊर्जा-संवेग समीकरण को कणों के संवेग सदिशों के योग की आवश्यकता होती है:


 * $$E^2 - \mathbf{p}\cdot\mathbf{p} c^2 = m_0^2 c^4$$

वह जड़त्वीय फ्रेम जिसमें सभी कणों का संवेग शून्य होता है, संवेग फ्रेम का केंद्र कहलाता है। इस विशेष फ्रेम में, आपेक्षिक ऊर्जा-संवेग समीकरण में p = 0 है, और इस प्रकार सिस्टम के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान को सिस्टम के सभी भागों की कुल ऊर्जा के रूप में देता है, जिसे c से विभाजित किया जाता है। 2


 * $$m_{0,\,{\rm system}} = \sum_n E_n/c^2$$

यह किसी भी प्रणाली का अपरिवर्तनीय द्रव्यमान है जिसे एक फ्रेम में मापा जाता है जहां इसका कुल संवेग शून्य होता है, जैसे कि एक पैमाने पर गर्म गैस की बोतल। ऐसी प्रणाली में, जिस द्रव्यमान का वजन होता है वह अपरिवर्तनीय द्रव्यमान होता है, और यह प्रणाली की कुल ऊर्जा पर निर्भर करता है। इस प्रकार यह अणुओं के बाकी द्रव्यमानों के योग से अधिक है, लेकिन इसमें सिस्टम की सभी कुल ऊर्जा भी शामिल है। ऊर्जा और संवेग की तरह, पृथक प्रणालियों के अपरिवर्तनीय द्रव्यमान को तब तक नहीं बदला जा सकता जब तक कि सिस्टम पूरी तरह से बंद रहता है (किसी द्रव्यमान या ऊर्जा को अंदर या बाहर जाने की अनुमति नहीं है), क्योंकि सिस्टम की कुल सापेक्ष ऊर्जा तब तक स्थिर रहती है जब तक कि कुछ भी प्रवेश नहीं कर सकता या इसे छोड़ो।

ऐसी प्रणाली की ऊर्जा में वृद्धि जो प्रणाली को एक जड़त्वीय फ्रेम में अनुवाद करने के कारण होती है जो गति फ्रेम का केंद्र नहीं है, अपरिवर्तनीय द्रव्यमान में वृद्धि के बिना ऊर्जा और गति में वृद्धि का कारण बनती है। ई = म0c2, हालांकि, उनके संवेग केंद्र के ढांचे में केवल पृथक प्रणालियों पर लागू होता है जहां संवेग का योग शून्य होता है।

इस सूत्र को अंकित मूल्य पर लेने पर, हम देखते हैं कि सापेक्षता में, द्रव्यमान केवल एक अन्य नाम से ऊर्जा है (और विभिन्न इकाइयों में मापा जाता है)। 1927 में आइंस्टीन ने विशेष सापेक्षता के बारे में टिप्पणी की, इस सिद्धांत के तहत द्रव्यमान एक अपरिवर्तनीय परिमाण नहीं है, बल्कि ऊर्जा की मात्रा पर (और, वास्तव में, समान) निर्भर एक परिमाण है।

बंद (पृथक) सिस्टम
एक पूरी तरह से बंद प्रणाली (यानी, पृथक प्रणाली) में कुल ऊर्जा, कुल संवेग, और इसलिए कुल अपरिवर्तनीय द्रव्यमान का संरक्षण किया जाता है। द्रव्यमान में परिवर्तन के लिए आइंस्टीन का सूत्र अपने सरलतम ΔE = Δmc में अनुवाद करता है2 रूप, हालांकि, केवल गैर-बंद प्रणालियों में जिसमें ऊर्जा को बाहर निकलने की अनुमति है (उदाहरण के लिए, गर्मी और प्रकाश के रूप में), और इस प्रकार अपरिवर्तनीय द्रव्यमान कम हो जाता है। आइंस्टीन के समीकरण से पता चलता है कि इस तरह के सिस्टम को द्रव्यमान खोना चाहिए, उपरोक्त सूत्र के अनुसार, ऊर्जा के अनुपात में वे आसपास खो देते हैं। इसके विपरीत, यदि कोई प्रतिक्रिया से पहले एक प्रणाली के बीच द्रव्यमान में अंतर को माप सकता है जो गर्मी और प्रकाश को छोड़ता है, और प्रतिक्रिया के बाद प्रणाली जब गर्मी और प्रकाश बच गए हैं, तो कोई ऊर्जा की मात्रा का अनुमान लगा सकता है जो सिस्टम से निकलती है।

रासायनिक और परमाणु प्रतिक्रियाएँ
परमाणु और रासायनिक दोनों प्रतिक्रियाओं में, ऐसी ऊर्जा परमाणुओं (रसायन विज्ञान के लिए) या नाभिक में न्यूक्लियंस (परमाणु प्रतिक्रियाओं में) के बीच इलेक्ट्रॉनों की बाध्यकारी ऊर्जा में अंतर का प्रतिनिधित्व करती है। दोनों ही मामलों में, अभिकारकों और (ठंडा) उत्पादों के बीच द्रव्यमान अंतर ऊष्मा और प्रकाश के द्रव्यमान को मापता है जो प्रतिक्रिया से बच जाएगा, और इस प्रकार (समीकरण का उपयोग करके) ऊष्मा और प्रकाश की समतुल्य ऊर्जा देता है जो प्रतिक्रिया के आगे बढ़ने पर उत्सर्जित हो सकती है।.

रसायन विज्ञान में, उत्सर्जित ऊर्जा से जुड़े द्रव्यमान अंतर लगभग 10 होते हैं−9 आण्विक द्रव्यमान का। हालांकि, परमाणु प्रतिक्रियाओं में ऊर्जा इतनी बड़ी होती है कि वे बड़े पैमाने पर अंतर से जुड़ी होती हैं, जिसका अनुमान पहले से लगाया जा सकता है, अगर उत्पादों और अभिकारकों को तौला गया हो (परमाणु द्रव्यमान का उपयोग करके परमाणुओं को अप्रत्यक्ष रूप से तौला जा सकता है, जो हमेशा समान होते हैं) प्रत्येक न्यूक्लाइड)। इस प्रकार, आइंस्टीन का सूत्र महत्वपूर्ण हो जाता है जब कोई विभिन्न परमाणु नाभिकों के द्रव्यमान को मापता है। द्रव्यमान में अंतर को देखकर, यह अनुमान लगाया जा सकता है कि किस नाभिक ने ऊर्जा संग्रहीत की है जिसे कुछ परमाणु प्रतिक्रियाओं द्वारा जारी किया जा सकता है, जो महत्वपूर्ण जानकारी प्रदान करता है जो परमाणु ऊर्जा के विकास में उपयोगी था और परिणामस्वरूप, परमाणु बम। ऐतिहासिक रूप से, उदाहरण के लिए, लिसा मीटनर  नाभिक में बड़े पैमाने पर अंतर का अनुमान लगाने में सक्षम था कि परमाणु विखंडन को एक अनुकूल प्रक्रिया बनाने के लिए पर्याप्त ऊर्जा उपलब्ध थी। इस प्रकार आइंस्टीन के फार्मूले के इस विशेष रूप के निहितार्थों ने इसे पूरे विज्ञान में सबसे प्रसिद्ध समीकरणों में से एक बना दिया है।

मोमेंटम फ्रेम का केंद्र
समीकरण ई = एम0c2 उनके संवेग फ्रेम के केंद्र में केवल पृथक प्रणालियों पर लागू होता है। यह लोकप्रिय रूप से गलत समझा गया है कि द्रव्यमान को ऊर्जा में परिवर्तित किया जा सकता है, जिसके बाद द्रव्यमान गायब हो जाता है। हालांकि, सिस्टम पर लागू समीकरण के लोकप्रिय स्पष्टीकरण में खुली (गैर-पृथक) प्रणालियां शामिल हैं, जिसके लिए गर्मी और प्रकाश को बचने की अनुमति है, जब वे अन्यथा सिस्टम के द्रव्यमान (अपरिवर्तनीय द्रव्यमान) में योगदान करते।

ऐतिहासिक रूप से, द्रव्यमान के ऊर्जा में परिवर्तित होने के बारे में भ्रम को द्रव्यमान और पदार्थ के बीच भ्रम से सहायता मिली है, जहां पदार्थ को फर्मियन कणों के रूप में परिभाषित किया गया है। ऐसी परिभाषा में, विद्युत चुम्बकीय विकिरण और गतिज ऊर्जा (या ऊष्मा) को पदार्थ नहीं माना जाता है। कुछ स्थितियों में, वास्तव में पदार्थ को ऊर्जा के गैर-पदार्थ रूपों में परिवर्तित किया जा सकता है (ऊपर देखें), लेकिन इन सभी स्थितियों में, ऊर्जा के पदार्थ और गैर-पदार्थ रूप अभी भी अपने मूल द्रव्यमान को बनाए रखते हैं।

पृथक प्रणालियों के लिए (सभी द्रव्यमान और ऊर्जा विनिमय के लिए बंद), गति के केंद्र में द्रव्यमान कभी गायब नहीं होता, क्योंकि ऊर्जा गायब नहीं हो सकती। इसके बजाय, संदर्भ में, इस समीकरण का अर्थ केवल यह है कि जब किसी भी ऊर्जा को जोड़ा जाता है, या से निकल जाता है, केंद्र-संवेग फ्रेम में एक प्रणाली, ऊर्जा के अनुपात में प्रणाली को प्राप्त या खो द्रव्यमान के रूप में मापा जाएगा या हटा दिया। इस प्रकार, सिद्धांत रूप में, यदि एक परमाणु बम को उसके विस्फोट को रोकने के लिए पर्याप्त मजबूत बॉक्स में रखा जाता है, और एक पैमाने पर विस्फोट किया जाता है, तो इस बंद प्रणाली का द्रव्यमान नहीं बदलेगा, और पैमाना नहीं चलेगा। केवल जब सुपर-मजबूत प्लाज्मा से भरे बॉक्स में एक पारदर्शी खिड़की खोली गई थी, और प्रकाश और गर्मी को बीम में भागने की अनुमति दी गई थी, और बम घटकों को ठंडा करने के लिए, सिस्टम विस्फोट की ऊर्जा से जुड़े द्रव्यमान को खो देगा। उदाहरण के लिए, 21 किलोटन के बम में लगभग एक ग्राम प्रकाश और ऊष्मा उत्पन्न होती है। यदि इस गर्मी और प्रकाश को बाहर निकलने दिया गया, तो बम के अवशेष ठंडा होने पर द्रव्यमान का एक ग्राम खो देंगे। इस विचार-प्रयोग में, प्रकाश और ऊष्मा द्रव्यमान के ग्राम को ले जाते हैं, और इसलिए इस ग्राम द्रव्यमान को उन वस्तुओं में जमा कर देंगे जो उन्हें अवशोषित करती हैं।

कोणीय संवेग
सापेक्षवादी यांत्रिकी में, समय-भिन्न द्रव्यमान क्षण


 * $$\mathbf{N} = m \left( \mathbf{x} - t \mathbf{v} \right) $$

और कक्षीय 3-कोणीय गति


 * $$\mathbf{L} = \mathbf{x}\times \mathbf{p}$$

कण के 4-स्थिति X और 4-संवेग P के संदर्भ में एक बिंदु-जैसे कण को ​​​​चार-आयामी बाइवेक्टर में संयोजित किया जाता है:
 * $$\mathbf{M} = \mathbf{X}\wedge\mathbf{P}$$

जहां ∧ बाहरी उत्पाद को दर्शाता है। यह टेन्सर योज्य है: किसी सिस्टम का कुल कोणीय संवेग, सिस्टम के प्रत्येक घटक के लिए कोणीय संवेग टेन्सर का योग होता है। इसलिए, असतत कणों की एक असेंबली के लिए कणों पर कोणीय गति का योग होता है, या निरंतर द्रव्यमान वितरण की सीमा पर कोणीय गति की घनत्व को एकीकृत करता है।

अन्य वस्तुओं और क्षेत्रों के लिए संबंधित घटकों के साथ एकत्रित होने पर छह घटकों में से प्रत्येक एक संरक्षित मात्रा बनाता है।

बल
विशेष सापेक्षता में, न्यूटन का दूसरा नियम F = ma के रूप में मान्य नहीं है, लेकिन यह तब होता है जब इसे व्यक्त किया जाता है
 * $$ \mathbf{F} = \frac{d\mathbf{p}}{dt} $$

जहाँ p = γ(v)m0v संवेग है जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है और m0 अपरिवर्तनीय द्रव्यमान है। इस प्रकार, बल द्वारा दिया जाता है


 * $$\mathbf{F} = \gamma(\mathbf{v})^3 m_0 \, \mathbf{a}_\parallel + \gamma(\mathbf{v}) m_0 \, \mathbf{a}_\perp $$
 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"

!Derivation Starting from
 * $$ \mathbf{F} = m_0 \frac{d(\gamma(\mathbf{v}) \, \mathbf{v})}{dt} = m_0 \left( \frac{d \gamma(\mathbf{v})}{dt} \, \mathbf{v} + \gamma(\mathbf{v}) \frac{d\mathbf{v}}{dt} \right).$$

Carrying out the derivatives gives


 * $$ \mathbf{F} = \frac{\gamma(\mathbf{v})^3 m_0}{c^2} \left( \mathbf{v} \cdot \mathbf{a} \right) \, \mathbf{v} + \gamma(\mathbf{v}) m_0\, \mathbf{a}.$$

If the acceleration is separated into the part parallel to the velocity (a∥) and the part perpendicular to it (a⊥), so that:


 * $$ \mathbf{a} = \mathbf{a}_\parallel + \mathbf{a}_\perp\,,\quad \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}_\perp = 0 \,,\quad \mathbf{v}\cdot\mathbf{a} = \mathbf{v}\cdot\mathbf{a}_\parallel \,, $$

one gets


 * $$ \mathbf{F} = \frac{\gamma(\mathbf{v})^3 m_0}{c^2} \left( \mathbf{v} \cdot \mathbf{a}_\parallel \right) \, \mathbf{v} + \gamma(\mathbf{v}) m_0\, (\mathbf{a}_\perp + \mathbf{a}_\parallel ) \, . $$

By construction a∥ and v are parallel, so (v·a∥)v is a vector with magnitude v2a∥ in the direction of v (and hence a∥) which allows the replacement:


 * $$ (\mathbf{v}\cdot\mathbf{a}_\parallel) \mathbf{v} = v^2 \mathbf{a}_\parallel $$

then


 * $$\begin{align}

\mathbf{F} & = \frac{\gamma(\mathbf{v})^3 m_0 v^{2}}{c^2} \, \mathbf{a}_{\parallel} + \gamma(\mathbf{v}) m_0 \, (\mathbf{a}_{\parallel} + \mathbf{a}_{\perp})\\ & = \gamma(\mathbf{v})^3 m_0 \left( \frac{v^2}{c^2} + \frac{1}{\gamma(\mathbf{v})^2} \right) \mathbf{a}_{\parallel} + \gamma(\mathbf{v}) m_0 \, \mathbf{a}_{\perp} \\ & = \gamma(\mathbf{v})^3 m_0 \left( \frac{v^{2}}{c^2} + 1 - \frac{v^{2}}{c^2} \right) \mathbf{a}_{\parallel} + \gamma(\mathbf{v}) m_0 \, \mathbf{a}_{\perp} \\ & = \gamma(\mathbf{v})^3 m_0 \, \mathbf{a}_{\parallel} + \gamma(\mathbf{v}) m_0 \, \mathbf{a}_{\perp} \end{align}\,$$

नतीजतन, कुछ पुराने ग्रंथों में, γ(v) 3मि0 अनुदैर्ध्य द्रव्यमान और γ('v')m के रूप में जाना जाता है0 अनुप्रस्थ द्रव्यमान के रूप में संदर्भित किया जाता है, जो संख्यात्मक रूप से सापेक्ष द्रव्यमान के समान होता है। द्रव्यमान को विशेष सापेक्षता में देखें।
 * }

यदि कोई बल से त्वरण की गणना करने के लिए इसे उलट देता है, तो उसे प्राप्त होता है


 * $$ \mathbf{a} = \frac{1}{m_0 \gamma(\mathbf{v})} \left( \mathbf{F} - \frac{ ( \mathbf{v} \cdot \mathbf{F} ) \mathbf{v} }{c^2} \right) \,.$$

इस खंड में वर्णित बल शास्त्रीय 3-डी बल है जो चार-वेक्टर नहीं है। यह 3-डी बल बल की उपयुक्त अवधारणा है क्योंकि यह वह बल है जो न्यूटन के गति के नियमों#न्यूटन के तीसरे नियम|न्यूटन के गति के तीसरे नियम का पालन करता है। इसे तथाकथित चार-बल के साथ भ्रमित नहीं होना चाहिए जो वस्तु के कोमोविंग फ्रेम में केवल 3-डी बल है, जैसे कि यह चार-वेक्टर थे। हालांकि, 3-डी बल का घनत्व (रैखिक संवेग प्रति इकाई चार-आयामी अंतरिक्ष | चार-मात्रा स्थानांतरित) एक चार-वेक्टर (वजन +1 का टेंसर घनत्व) है जब स्थानांतरित शक्ति के घनत्व के नकारात्मक के साथ जोड़ा जाता है।

टॉर्क
एक बिंदु-जैसे कण पर कार्य करने वाले टोक़ को उचित समय के संबंध में ऊपर दिए गए कोणीय गति टेंसर के व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है:
 * $$\boldsymbol{\Gamma} = \frac{d \mathbf{M}}{d\tau} = \mathbf{X}\wedge \mathbf{F}$$

या टेंसर घटकों में:


 * $$\Gamma_{\alpha\beta} = X_\alpha F_\beta - X_\beta F_\alpha $$

जहाँ F घटना X पर कण पर अभिनय करने वाला 4d बल है। कोणीय गति के साथ, टोक़ योगात्मक है, इसलिए एक विस्तारित वस्तु के लिए द्रव्यमान के वितरण पर योग या एकीकृत होता है।

गतिज ऊर्जा
कार्य-ऊर्जा प्रमेय कहता है गतिज ऊर्जा में परिवर्तन शरीर पर किए गए कार्य के बराबर होता है। विशेष सापेक्षता में:


 * $$\begin{align}

\Delta K = W = [\gamma_1 - \gamma_0] m_0c^2.\end{align}$$
 * {| class="toccolours collapsible collapsed" width="80%" style="text-align:left"

!Derivation
 * $$\begin{align}
 * $$\begin{align}
 * $$\begin{align}

\Delta K = W &= \int_{\mathbf{x}_0}^{\mathbf{x}_1} \mathbf{F} \cdot d\mathbf{x} \\ &= \int_{t_0}^{t_1} \frac{d}{dt}(\gamma m_0 \mathbf{v})\cdot\mathbf{v}dt \\ &= \left. \gamma m_0 \mathbf{v} \cdot \mathbf{v} \right|^{t_1}_{t_0} - \int_{t_0}^{t_1} \gamma m_0\mathbf{v} \cdot \frac{d\mathbf{v}}{dt} dt \\ &= \left. \gamma m_0 v^2 \right|^{t_1}_{t_0} - m_0\int_{v_0}^{v_1} \gamma v\,dv \\ &= m_0 \left( \left. \gamma v^2 \right|^{t_1}_{t_0} - c^2\int_{v_0}^{v_1} \frac{2v/c^2}{2\sqrt{1-v^2/c^2}}\,dv \right) \\ &= \left. m_0\left(\frac {v^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} + c^2 \sqrt{1-v^2/c^2} \right) \right|^{t_1}_{t_0} \\ &= \left. \frac {m_0c^2}{\sqrt{1-v^2/c^2}} \right|^{t_1}_{t_0} \\ &= \left. {\gamma m_0c^2}\right|^{t_1}_{t_0} \\ &= \gamma_1 m_0c^2 - \gamma_0 m_0c^2.\end{align}$$ यदि प्रारंभिक अवस्था में शरीर विरामावस्था में था, तो v0= 0 और γ0(में0) = 1, और अंतिम अवस्था में इसकी गति v है1= वी, सेटिंग γ1(में1) = γ(v), तब गतिज ऊर्जा है;
 * }
 * $$K = [\gamma(v) - 1]m_0 c^2\,,$$

एक परिणाम जिसे शेष ऊर्जा m घटाकर सीधे प्राप्त किया जा सकता है0c2 कुल आपेक्षिक ऊर्जा γ(v)m से0c 2।

न्यूटोनियन सीमा
लोरेंत्ज़ कारक γ(v) को (v/c) के लिए टेलर श्रृंखला या द्विपद श्रृंखला में विस्तारित किया जा सकता है2 <1, प्राप्त करना:


 * $$\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - (v/c)^2}} = \sum_{n=0}^{\infty} \left(\dfrac{v}{c}\right)^{2n}\prod_{k=1}^n \left(\dfrac{2k - 1}{2k}\right) = 1 + \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{v}{c}\right)^2 + \dfrac{3}{8} \left(\dfrac{v}{c}\right)^4 + \dfrac{5}{16} \left(\dfrac{v}{c}\right)^6 + \cdots$$

और इसके परिणामस्वरूप
 * $$E - m_0 c^2 = \frac{1}{2} m_0 v^2 + \frac{3}{8} \frac{m_0 v^4}{c^2} + \frac{5}{16} \frac{m_0 v^6}{c^4} + \cdots ;$$
 * $$\mathbf{p} = m_0 \mathbf{v} + \frac{1}{2} \frac{m_0 v^2 \mathbf{v}}{c^2} + \frac{3}{8} \frac{m_0 v^4 \mathbf{v}}{c^4} + \frac{5}{16} \frac{m_0 v^6 \mathbf{v}}{c^6} + \cdots .$$

प्रकाश की तुलना में बहुत छोटे वेगों के लिए, c के साथ शब्दों की उपेक्षा की जा सकती है2 और हर में उच्चतर। ये सूत्र न्यूटोनियन गतिज ऊर्जा और संवेग की मानक परिभाषाओं को कम करते हैं। यह वैसा ही है जैसा होना चाहिए, विशेष सापेक्षता के लिए न्यूटोनियन यांत्रिकी के साथ कम वेग पर सहमत होना चाहिए।

यह भी देखें

 * विशेष सापेक्षता का परिचय
 * जुड़वां विरोधाभास
 * सापेक्ष समीकरण
 * आपेक्षिक ऊष्मा चालन
 * शास्त्रीय विद्युत चुंबकत्व और विशेष सापेक्षता
 * सापेक्षतावादी प्रणाली (गणित)
 * सापेक्ष लैग्रेंजियन यांत्रिकी

अग्रिम पठन

 * General scope and special/general relativity


 * Concepts of Modern Physics (4th Edition), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN 0-07-100144-1
 * Concepts of Modern Physics (4th Edition), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN 0-07-100144-1
 * Concepts of Modern Physics (4th Edition), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN 0-07-100144-1
 * Concepts of Modern Physics (4th Edition), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN 0-07-100144-1
 * Concepts of Modern Physics (4th Edition), A. Beiser, Physics, McGraw-Hill (International), 1987, ISBN 0-07-100144-1


 * Electromagnetism and special relativity




 * Classical mechanics and special relativity




 * General relativity