स्ट्रेन-रेट टेंसर

सातत्य यांत्रिकी में, स्ट्रेन-रेट टेंसर या रेट-ऑफ-स्ट्रेन टेंसर एक भौतिक मात्रा है, जो एक निश्चित समय पर एक निश्चित बिंदु के निकटतम एक सामग्री के विरूपण (यांत्रिकी) व्युत्पन्न का वर्णन करता है। इसे समय के संबंध में स्ट्रेन टेन्सर के व्युत्पन्न के रूप में या प्रवाह वेग के जैकबियन आव्यूह (स्थिति के संबंध में व्युत्पन्न) के सममित घटक के रूप में द्रव यांत्रिकी में परिभाषित किया जा सकता है, इसे वेग प्रवणता के रूप में भी वर्णित किया जा सकता है, यह एक माप है कि द्रव के भीतर विभिन्न बिंदुओं के बीच द्रव का वेग क्षेत्र कैसे परिवर्तित होता है। चूंकि यह शब्द एक पाइप में प्रवाह की परतों के बीच वेग के अंतर को संरेट्भित कर सकता है। इसका उपयोग अधिकांशतः इसके निर्देशांक के संबंध में प्रवाह के वेग की प्रवणता के लिए किया जाता है। अवधारणा में मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स, खनन और जल उपचार सहित भौतिकी और अभियांत्रिकी के विभिन्न क्षेत्रों में निहितार्थ हैं।

स्ट्रेन रेट टेन्सर एक विशुद्ध रूप से गतिकी अवधारणा है जो सामग्री के स्थूल गति का वर्णन करता है। इसलिए, यह सामग्री की प्रकृति पर, या उस पर कार्य करने वाली ताकतों और स्ट्रेनों पर निर्भर नहीं करता है; चाहे वह ठोस, तरल या गैस हो और यह किसी भी सतत यांत्रिकी पर लागू होता है।

दूसरी ओर, अतितरल को छोड़कर किसी भी तरल पदार्थ के लिए, इसके विरूपण में कोई भी क्रमिक परिवर्तन (यानी एक गैर-शून्य तनाव दर टेंसर) आसन्न वद्र तत्वों के बीच घर्षण के कारण, इसके आंतरिक भाग में श्यान बलों को उत्पन्न करता है, जो उस परिवर्तन का विरोध करते हैं। द्रव में किसी भी बिंदु पर, इन स्ट्रेनों को एक श्यान स्ट्रेन टेंसर द्वारा वर्णित किया जा सकता है, जो लगभग निरंतर, पूरे प्रकार से स्ट्रेन रेट टेंसर और उस बिंदु पर द्रव के कुछ आंतरिक गुणों द्वारा निर्धारित होता है। स्थिर विरूपण में देखे गए लोचदार स्ट्रेन टेंसर के अतिरिक्त ठोस पदार्थों में श्यान स्ट्रेन भी होता है; जब यह अनदेखा करने के लिए बहुत बड़ा होता है, तो सामग्री को विस्कोइलास्टिक कहा जाता है।

आयामी विश्लेषण
आयामी विश्लेषण करके, वेग प्रवणता के आयाम निर्धारित किए जा सकते हैं। वेग के आयाम $$\mathsf {M^0 L^1 T^{-1}} $$ हैं, और दूरी के आयाम $$\mathsf{ M^0 L^1 T^0}$$ हैं, चूंकि वेग प्रवणता के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\frac{\Delta \text{velocity}}{\Delta \text{distance}}$$, अर्थात, $$\mathsf{ M^0 L^0 T^{-1} }$$ इसलिए वेग प्रवणता के आयाम इस अनुपात के समान हैं।

सातत्य यांत्रिकी में
3 आयामों में, प्रवणता $$\nabla\mathbf{v}$$ वेग का $$\mathbf{v}$$ एक दूसरे क्रम का टेन्सर  है जिसे आव्यूह (गणित) के रूप में व्यक्त किया जा सकता है $$\mathbf{L}$$: $$\mathbf{L} = \nabla\mathbf{v} = \begin{bmatrix} {\frac{\partial v_x}{\partial x}} & {\frac{\partial v_x}{\partial y}} & {\frac{\partial v_x}{\partial z}} \\ {\frac{\partial v_y}{\partial x}} & {\frac{\partial v_y}{\partial y}} & {\frac{\partial v_y}{\partial z}\ } \\ {\frac{\partial v_z}{\partial x}} & {\frac{\partial v_z}{\partial y}} & {\frac{\partial v_z}{\partial z}} \end{bmatrix}$$ $$\mathbf{L}$$ एक सममित आव्यूह के योग में विघटित किया जा सकता है $$\textbf{E}$$ और एक तिरछा-सममित आव्यूह $$\textbf{W}$$ निम्नलिखित नुसार $$\begin{align} \mathbf{E} &= \frac{1}{2} \left(\mathbf{L} + \mathbf{L}^\textsf{T}\right) \\ \mathbf{W} &= \frac{1}{2} \left(\mathbf{L} - \mathbf{L}^\textsf{T}\right) \end{align}$$ $$\textbf{E}$$ स्ट्रेन रेट टेंसर कहा जाता है और खींचने और कतरनी की रेट का वर्णन करता है। $$\textbf{W}$$ स्पिन टेंसर कहा जाता है और रोटेशन की रेट का वर्णन करता है।

कतरनी स्ट्रेन और वेग क्षेत्र के बीच संबंध
सर आइजैक न्यूटन ने प्रस्तावित किया कि अपरूपण प्रतिबल सीधे वेग प्रवणता के समानुपाती होता है: $$\tau = \mu\frac{\partial u} {\partial y}.$$ आनुपातिकता का स्थिरांक, $$\mu$$, विस्कोसिटी#परिभाषा कहलाती है।

औपचारिक परिभाषा
एक भौतिक पिंड, ठोस या द्रव पर विचार करें, जो बह रहा है और/या अंतरिक्ष में गतिमान है। मान लीजिये $v$ शरीर के भीतर वेग सदिश क्षेत्र हो; वह है, से एक अवकलनीय फलन फलन $R^{3} × R$ ऐसा है कि $v(p, t)$ बिंदु से गुजरने वाली सामग्री का $p$ समय पर $t$ स्थूल वेग है।

वेग $v(p + r, t)$ से विस्थापित एक बिंदु पर $p$ एक छोटे सदिश द्वारा $r$ टेलर श्रृंखला के रूप में लिखा जा सकता है: $$\mathbf{v}(\mathbf{p} + \mathbf{r}, t) = \mathbf{v}(\mathbf{p}, t) + (\nabla \mathbf{v})(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}) + \text{higher order terms},$$जहां ∇v वेग क्षेत्र की ढाल है, इसे एक रेखीय मानचित्र के रूप में समझा जाता है जो वेग में संबंधित परिवर्तन के लिए एक विस्थापन सदिश r लेता है।

संरेट्भ के एक मनमाना फ्रेम में, $v(p + r)$ फ़ील्ड के जैकोबियन आव्यूह से संबंधित है, अर्थात् 3 आयामों में यह 3 × 3 आव्यूह है। $$\left(\nabla \mathbf{v}\right)^{\mathrm{T}} = \begin{bmatrix} \partial_1 v_1 & \partial_2 v_1 & \partial_3 v_1 \\ \partial_1 v_2 & \partial_2 v_2 & \partial_3 v_2 \\ \partial_1 v_3 & \partial_2 v_3 & \partial_3 v_3 \end{bmatrix} = \mathbf{J}.$$ कहाँ $t$ का घटक है $v(p)$ समन्वय अक्ष के समानांतर $v_{i}$ और $(∇v)(p, t)(r)$ किसी फ़ंक्शन के आंशिक व्युत्पन्न को रेट्शाता है $i$ अंतरिक्ष समन्वय के संबंध में $f$. ध्यान दें कि $v(p + r, t)$ का कार्य $p$ और $x_{j}$ है।

इस समन्वय प्रणाली में, वेग के लिए टेलर सन्निकटन निकट $p$ है। $$v_i(\mathbf{p} + \mathbf{r}, t) = v_i(\mathbf{p}, t) + \sum_j J_{i j}(\mathbf{p}, t) r_j = v_i(\mathbf{p}, t) + \sum_j \partial_j v_i(\mathbf{p}, t) r_j;$$ या केवल $$\mathbf{v}(\mathbf{p} + \mathbf{r}, t) = \mathbf{v}(\mathbf{p}, t) + \mathbf{J}(\mathbf{p}, t) \mathbf{r}$$ यदि $∇v$ और $v$ को 3 × 1 आव्यूह के रूप में देखा जाता है।

सममित और विषम भाग
किसी भी आव्यूह को एक सममित आव्यूह और एक एंटीसिमेट्रिक आव्यूह के योग में विघटित किया जा सकता है। इसे सममित और एंटीसिमेट्रिक घटकों के साथ जैकोबियन आव्यूह पर लागू करना $∂_{j}f$ और $J$ क्रमश: $$\begin{align} \mathbf{E} &= \frac{1}{2}\left(\mathbf{J} + \mathbf{J}^\textsf{T}\right) & \mathbf{R} &= \frac{1}{2}\left(\mathbf{J} - \mathbf{J}^\textsf{T}\right) \\ E_{ij} &= \frac{1}{2}\left(\partial_j v_i + \partial_i v_j\right) & R_{ij} &= \frac{1}{2}\left(\partial_j v_i - \partial_i v_j\right) \end{align}$$ यह अपघटन समन्वय प्रणाली से स्वतंत्र है, और इसलिए इसका भौतिक महत्व है। तब वेग क्षेत्र का अनुमान लगाया जा सकता है $$\mathbf{v}(\mathbf{p} + \mathbf{r}, t) \approx \mathbf{v}(\mathbf{p}, t) + \mathbf{E}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}) + \mathbf{R}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}),$$ वह है, $$\begin{align} v_i(\mathbf{p} + \mathbf{r}, t)   &= v_i(\mathbf{p}, t) + \sum_j E_{i j}(\mathbf{p}, t) r_j + \sum_j R_{i j}(\mathbf{p}, t) r_j \\ &= v_i(\mathbf{p}, t) + \frac{1}{2}\sum_j \left(\partial_j v_i(\mathbf{p}, t) + \partial_i v_j(\mathbf{p}, t)\right)r_j + \frac{1}{2}\sum_j \left(\partial_j v_i(\mathbf{p}, t) - \partial_i v_j(\mathbf{p}, t)\right)r_j \end{align}$$ एंटीसिमेट्रिक शब्द $p$ बिंदु के बारे में तरल पदार्थ के कठोर घुमाव का प्रतिनिधित्व करता है $p$. इसका कोणीय वेग $v$ है $$\vec{\omega} = \frac{1}{2} \nabla \times \mathbf{v} = \frac{1}{2} \begin{bmatrix} \partial_2 v_3 - \partial_3 v_2 \\ \partial_3 v_1 - \partial_1 v_3 \\ \partial_1 v_2 - \partial_2 v_1 \end{bmatrix}.$$ उत्पाद $r$ सदिश क्षेत्र का घूर्णी कर्ल कहलाता है। एक कठोर घुमाव द्रव तत्वों की सापेक्ष स्थिति को परिवर्तित नहीं करता है, इसलिए एंटीसिमेट्रिक शब्द $E(p, t)(r)$ वेग प्रवणता विरूपण के परिवर्तन की रेट में योगदान नहीं करती है। वास्तविक स्ट्रेन रेट इसलिए सममित द्वारा वर्णित है $R(p, t)(r)$ टर्म, जो स्ट्रेन रेट टेन्सर है।

कतरनी रेट और संपीड़न रेट
सममित शब्द $E$ (रेट-ऑफ़-स्ट्रेन टेन्सर) को इकाई टेन्सर के अदिश गुणन के योग के रूप में और भी तोड़ा जा सकता है, जो एक क्रमिक आइसोट्रोपिक विस्तार या संकुचन का प्रतिनिधित्व करता है; और एक ट्रेस (गणित) सममित टेंसर जो क्रमिक कतरनी विरूपण का प्रतिनिधित्व करता है, जिसमें मात्रा में कोई परिवर्तन नहीं होता है: $$\mathbf{E}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}) = \mathbf{S}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}) + \mathbf{D}(\mathbf{p}, t)(\mathbf{r}).$$ वह है, $$E_{ij} = \underbrace{\frac{1}{3}\left(\sum_k\partial_k v_k\right) \delta_{ij}}_{\text{rate-of-expansion tensor } S_{ij}} + \underbrace{\overbrace{\frac{1}{2}\left(\partial_i v_j + \partial_j v_i\right)}^{E_{ij}}-S_{ij}}_{\text{rate-of-shear tensor } D_{ij}},$$ यहाँ $R$ क्रोनकर डेल्टा है, जैसे कि $t$ 1 है यदि $R$ और 0 यदि $p$. यह अपघटन समन्वय प्रणाली की पसंद से स्वतंत्र है, और इसलिए भौतिक रूप से महत्वपूर्ण है।

विस्तार रेट टेंसर का निशान वेग क्षेत्र का विचलन है: $$\nabla \cdot \mathbf{v} = \partial_1 v_1 + \partial_2 v_2 + \partial_3 v_3;$$ वह रेट है जिस पर एक निश्चित मात्रा में द्रव का आयतन उस बिंदु पर बढ़ता है।

कतरनी रेट टेंसर को एक सममित 3 × 3 आव्यूह द्वारा रेट्शाया जाता है, और एक प्रवाह का वर्णन करता है जो संपीड़न और विस्तार प्रवाह को तीन ऑर्थोगोनल अक्षों के साथ जोड़ता है, जैसे कि मात्रा में कोई परिवर्तन नहीं होता है। इस प्रकार का प्रवाह होता है, उदाहरण के लिए, जब एक रबड़ की पट्टी को सिरों पर खींचकर खींचा जाता है, या जब एक चम्मच से शहद एक चिकनी अखंड धारा के रूप में गिरता है।

विस्तार रेट अवधि में कारक 1/3 को प्रतिस्थापित किया जाना चाहिए $δ_{ij}$ उस स्थिति में द्वि-आयामी प्रवाह के लिए, का विचलन $$\vec{\omega}$$ में केवल दो शब्द हैं और मात्रा के बजाय क्षेत्र में परिवर्तन की मात्रा निर्धारित करता है।

उदाहरण
वेग प्रवणताओं का अध्ययन पथ पर निर्भर सामग्रियों के विश्लेषण और स्ट्रेनों और स्ट्रेनों के पश्चात के अध्ययन में उपयोगी है; जैसे, धातुओं का प्लास्टिक विरूपण। एक ट्यूब से बहने वाले असंतुलित अभिकारकों की निकट-दीवार वेग प्रवणता ज्वाला स्थिरता को चिह्नित करने के लिए एक प्रमुख पैरामीटर है। प्लाज्मा (भौतिकी) का वेग प्रवणता मैग्नेटोहाइड्रोडायनामिक्स में मौलिक समीकरणों के समाधान के लिए शर्तों को परिभाषित कर सकता है।

एक पाइप में द्रव
एक पाइप (द्रव संवहन) के माध्यम से बहने वाले द्रव के वेग क्षेत्र पर विचार करें। पाइप के संपर्क में द्रव की परत पाइप के संबंध में स्थिर रहती है। इसे फिसलने की स्थिति नहीं  कहा जाता है। यदि पाइप के केंद्र में और पाइप के किनारों पर द्रव परतों के बीच वेग का अंतर पर्याप्त रूप से छोटा है, तो तरल प्रवाह निरंतर परतों के रूप में देखा जाता है। इस प्रकार के प्रवाह को लामिनार प्रवाह कहा जाता है।

आसन्न परतों के बीच प्रवाह वेग अंतर को वेग प्रवणता के संरेट्भ में मापा जा सकता है, द्वारा दिया गया $$ \Delta u / \Delta y$$. कहाँ $$\Delta u$$ दो परतों के बीच प्रवाह वेग में अंतर है और $$\Delta y$$ परतों के बीच की दूरी है।

यह भी देखें

 * स्ट्रेन टेन्सर (बहुविकल्पी)
 * , सातत्य यांत्रिकी से स्थानिक और भौतिक वेग प्रवणता