मौलिक वर्ग

गणित में, मौलिक वर्ग एक समरूपता (गणित) वर्ग है [एम] जो आयाम एन के एक जुड़ा हुआ स्थान   एडजस्टेबल   कई गुना बंद  से जुड़ा है, जो समरूपता समूह के जनरेटर से मेल खाता है। $$H_n(M,\partial M;\mathbf{Z})\cong\mathbf{Z}$$. मौलिक वर्ग को मैनिफोल्ड के उपयुक्त त्रिभुज के शीर्ष-आयामी संकेतन के अभिविन्यास के रूप में सोचा जा सकता है।

बंद, उन्मुख
जब एम आयाम एन का एक जुड़ा हुआ स्थान उन्मुख बंद मैनिफोल्ड है, तो शीर्ष होमोलॉजी समूह अनंत चक्रीय है: $$H_n(M;\mathbf{Z}) \cong \mathbf{Z}$$, और एक अभिविन्यास जनरेटर का एक विकल्प है, समरूपता का एक विकल्प है $$\mathbf{Z} \to H_n(M;\mathbf{Z})$$. जनरेटर को मौलिक वर्ग कहा जाता है।

यदि एम डिस्कनेक्ट हो गया है (लेकिन अभी भी उन्मुख है), तो एक मौलिक वर्ग प्रत्येक जुड़े हुए घटक के लिए मौलिक वर्गों का प्रत्यक्ष योग है (प्रत्येक घटक के लिए एक अभिविन्यास के अनुरूप)।

डॉ कहलमज गर्भाशय के संबंध में यह एम पर एकीकरण का प्रतिनिधित्व करता है; अर्थात् एम के लिए एक सहज मैनिफोल्ड, एक विभेदक रूप|एन-फॉर्म ω को मौलिक वर्ग के साथ जोड़ा जा सकता है


 * $$\langle\omega, [M]\rangle = \int_M \omega\ ,$$

जो एम पर ω का अभिन्न अंग है, और केवल ω के सह-समरूपता वर्ग पर निर्भर करता है।

स्टिफ़ेल-व्हिटनी वर्ग
यदि एम उन्मुख नहीं है, $$H_n(M;\mathbf{Z}) \ncong \mathbf{Z}$$, और इसलिए कोई पूर्णांक के अंदर रहने वाले मौलिक वर्ग एम को परिभाषित नहीं कर सकता है। हालाँकि, प्रत्येक बंद मैनिफोल्ड है $$\mathbf{Z}_2$$-ओरिएंटेबल, और $$H_n(M;\mathbf{Z}_2)=\mathbf{Z}_2$$ (एम कनेक्टेड के लिए)। इस प्रकार प्रत्येक बंद मैनिफोल्ड है $$\mathbf{Z}_2$$-ओरिएंटेड (सिर्फ ओरिएंटेबल नहीं: ओरिएंटेशन के चुनाव में कोई अस्पष्टता नहीं है), और एक है $$\mathbf{Z}_2$$-मौलिक वर्ग.

यह $$\mathbf{Z}_2$$-फंडामेंटल क्लास का उपयोग स्टिफ़ेल-व्हिटनी क्लास को परिभाषित करने में किया जाता है।

सीमा के साथ
यदि एम सीमा के साथ एक कॉम्पैक्ट ओरिएंटेबल मैनिफोल्ड है, तो शीर्ष सापेक्ष होमोलॉजी समूह फिर से अनंत चक्रीय है $$H_n(M,\partial M)\cong \mathbf{Z}$$, और इसलिए मौलिक वर्ग की धारणा को सीमा मामले के साथ कई गुना तक बढ़ाया जा सकता है।

पोंकारे द्वंद्व
किसी भी एबेलियन समूह के लिए $$G$$ और गैर नकारात्मक पूर्णांक $$q \ge 0$$ कोई समरूपता प्राप्त कर सकता है
 * $$[M]\frown~:H^q(M;G) \rightarrow H_{n-q}(M;G)$$.

मौलिक वर्ग और के कैप उत्पाद का उपयोग करना $$q$$ -कोहोमोलोजी समूह। यह समरूपता पोंकारे को द्वंद्व देती है:
 * $$H^* (M; G) \cong H_{n-*}(M; G)$$.

सीमा के साथ मैनिफोल्ड्स के लिए मौलिक वर्ग की धारणा का उपयोग करके, हम उस मामले में भी पोंकारे द्वैत का विस्तार कर सकते हैं (लेफ़्सचेत्ज़ द्वैत देखें)। वास्तव में, मौलिक वर्ग वाला कैप उत्पाद एक मजबूत द्वैत परिणाम देता है, यह कहते हुए कि हमारे पास समरूपताएं हैं $$H^q(M, A;R) \cong H_{n-q}(M, B;R)$$, यह मानते हुए कि हमारे पास वह है $$A, B$$ हैं $$(n-1)$$-आयामी कई गुना के साथ $$\partial A=\partial B= A\cap B$$ और $$\partial M=A\cup B$$. ट्विस्टेड पोंकारे द्वंद्व भी देखें

अनुप्रयोग
लाई समूह के ध्वज प्रकार के ब्रुहट अपघटन में, मूल वर्ग शीर्ष-आयाम शूबर्ट कोशिका से मेल खाता है, या समकक्ष कॉक्सेटर समूह का सबसे लंबा तत्व है।

यह भी देखें

 * कॉक्सेटर समूह का सबसे लंबा तत्व
 * पोंकारे द्वैत

बाहरी संबंध

 * Fundamental class at the Manifold Atlas.
 * The Encyclopedia of Mathematics article on the fundamental class.