द्रव्यमान संतुलन

भौतिकी में, द्रव्यमान संतुलन, जिसे भौतिक संतुलन भी कहा जाता है, भौतिक प्रणालियों के विश्लेषण के लिए द्रव्यमान के संरक्षण का अनुप्रयोग है। प्रणाली में प्रवेश करने और बाहर निकलने वाली पदार्थ को ज्ञात करके, वह द्रव्यमान प्रवाह जो की अज्ञात था, पहचाना जा सकता है। प्रणाली के विश्लेषण में उपयोग किया जाने वाला संरक्षण नियम (भौतिकी) समस्या के संदर्भ पर निर्भर करता है, परन्तु सभी द्रव्यमान संरक्षण के आस-पास घूमते हैं, अर्थात वह पदार्थ समाप्त नहीं हो सकता है या बिना किसी कारण के निर्मित नहीं किया जा सकता है।

इसलिए, द्रव्यमान संतुलन अभियांत्रिकी और पर्यावरण विश्लेषण में व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है। उदाहरण के लिए, द्रव्यमान संतुलन सिद्धांत का उपयोग रासायनिक रिएक्टर की अभिकल्पना करने में, रसायनों के उत्पादन के लिए वैकल्पिक प्रक्रियाओं का विश्लेषण करने के साथ-साथ प्रदूषण फैलाव और भौतिक प्रणालियों की अन्य प्रक्रियाओं के रूपों के लिए किया जाता है। बहुत ही निकट और पूरक विश्लेषण तकनीकों में संख्या संतुलन समीकरण, ऊर्जा संतुलन और कुछ अत्यधिक जटिल एन्ट्रापी (उस ऊर्जा का परिणाम जो यांत्रिक ऊर्जा में परिवर्तिति नहीं हो सकती है) संतुलन सम्मिलित हैं। प्रशीतन चक्र जैसी प्रणालियों की जटिल अभिकल्पना और विश्लेषण के लिए इन तकनीकों की आवश्यकता होती है।

पर्यावरण की जांच में, व्यय (बजट) गणना का उपयोग द्रव्यमान संतुलन समीकरणों का वर्णन करने के लिए किया जाता है, जहां उनका उपयोग जांच सामग्री (इनपुट और आउटपुट इत्यादि की तुलना) के मूल्यांकन के लिए किया जाता है। जीव विज्ञान में, उपापचयी संगठन के लिए गतिशील ऊर्जा व्यय सिद्धांत द्रव्यमान और ऊर्जा संतुलन का स्पष्ट उपयोग करता है।

परिचय
द्रव्यमान संतुलन के लिए उद्धृत सामान्य रूप वह द्रव्यमान है जो द्रव्यमान संरक्षण के द्वारा प्रणाली में प्रवेश करता है, जो या तो प्रणाली को छोड़ देता है या प्रणाली के भीतर संग्रहित हो जाता है।

गणितीय रूप से रासायनिक प्रतिक्रिया के बिना प्रणाली के लिए द्रव्यमान संतुलन इस प्रकार है:

$$ \mathrm{Input} = \mathrm{Output} + \mathrm{Accumulation} \, $$

वास्तव में उपरोक्त समीकरण रासायनिक प्रतिक्रियाओं वाले प्रणाली के लिए क्रियान्वित होता है यदि संतुलन समीकरण में प्रारूपों का कुल द्रव्यमान, अर्थात प्रणाली की सभी रासायनिक पदार्थों का योग कहा जाता है। रासायनिक अभिक्रिया के अभाव में आने-जाने वाली किसी भी रासायनिक प्रजाति की मात्रा समान होगी; यह प्रणाली में उपस्थित प्रत्येक प्रकार के लिए समीकरण उत्पन्न करता है। चूँकि, यदि ऐसा नहीं है, तो प्रत्येक रासायनिक प्रकार के निर्मित या कमी (विलेय) की अनुमति देने के लिए द्रव्यमान संतुलन समीकरण में संशोधन किया जाना चाहिए। इस समीकरण में कुछ रासायनिक प्रतिक्रियाओं के लिए शब्द का उपयोग करते हैं, जो कमी के लिए ऋणात्मक और उत्पादन के लिए धनात्मक होगा। चूँकि, इस समीकरण के पारंपरिक रूप को धनात्मक निर्मित शब्द (अर्थात प्रतिक्रिया का उत्पाद) और ऋणात्मक विलेय शब्द (उत्पादों का उत्पादन करने के लिए उपयोग किए जाने वाले अभिकारक) दोनों के लिए लिखा गया है। यद्यपि सभी प्रकार से शब्द प्रणाली पर कुल संतुलन के लिए उत्तरदायी होगा, यदि यह संतुलन समीकरण व्यक्तिगत प्रकार पर क्रियान्वित किया जाना है या फिर सम्पूर्ण प्रक्रिया पर, दोनों ही तथ्य आवश्यक हैं। इस संशोधित समीकरण का उपयोग न केवल प्रतिक्रियाशील प्रणालियों के लिए किया जा सकता है, अपितु संख्या संतुलन के लिए भी किया जा सकता है जैसे कि कण यांत्रिकी समस्याओं में उत्पन्न होता है। समीकरण नीचे दिया गया है; ध्यान दें कि यह उस स्थिति में पहले के समीकरण को सरल बनाता है जब उत्पादन शून्य हो।

$$ \text{Input} + \text{Generation} = \text{Output} + \text{Accumulation} \ + \text{Consumption} $$


 * परमाणु प्रतिक्रिया की अनुपस्थिति में, रासायनिक प्रतिक्रिया की उपस्थिति में भी अंदर और बाहर बहने वाले परमाणुओं की संख्या समान रहनी चाहिए।
 * संतुलन बनाने के लिए, प्रणाली की सीमाओं को स्पष्ट रूप से परिभाषित किया जाना चाहिए।
 * द्रव्यमान संतुलन भौतिक प्रणालियों पर कई स्तर पर लिया जा सकता है।
 * द्रव्यमान संतुलन को स्थिर स्थिति की धारणा के साथ सरल बनाया जा सकता है, जिसमें संचय अवधि शून्य है।

निदर्शी उदाहरण
साधारण उदाहरण अवधारणा को चित्रित कर सकता है। उस स्थिति पर विचार करें जिसमें टैंक में ठोस पदार्थों को निकालने के लिए घोल स्थायीकरण टंकी में प्रवाहित हो रहा है। टैंक में आंशिक रूप से जलमग्न वाहक पट्ट के माध्यम से तल पर ठोस एकत्र किए जाते हैं, और पानी अतिप्रवाह विसर्जन केंद्र के माध्यम से बाहर निकलता है।

इस उदाहरण में दो पदार्थ हैं: ठोस और पानी है। पानी के अतिप्रवाह विसर्जन केंद्र में घोल प्रवेश द्वार की तुलना में ठोस पदार्थों के सापेक्ष पानी की बढ़ी हुई सांद्रता होती है, और वाहक पट्ट के बाहर निकलने से पानी के सापेक्ष ठोस पदार्थों की बढ़ी हुई सांद्रता होती है।

मान्यताओं
 * स्थिर अवस्था
 * अप्रतिक्रियाशील प्रणाली

विश्लेषण

मान लीजिए कि गारा प्रवेशिका संरचना (द्रव्यमान द्वारा) 50% ठोस और 50% पानी है, जिसमें $100 किग्रा$ बड़े स्तर पर प्रवाह होता है | माना जाता है कि टैंक स्थिर अवस्था में काम कर रहा है, और चूंकि संचयन शून्य है, इसलिए ठोस और पानी दोनों के लिए इनपुट और आउटपुट बराबर होना चाहिए। यदि हम जानते हैं कि घोल टैंक के लिए हटाने की दक्षता 60% है, तो पानी के विसर्जन केंद्र में सम्मिलित में होगा $20 किग्रा$ ठोस (40% गुना $100 किग्रा$ गुना 50% ठोस)। यदि हम संयुक्त ठोस और पानी की प्रवाह दर को मापते हैं, और पानी के $65 किग्रा$ विसर्जन केंद्र को दिखाया गया है, तो वाहिका पट्ट के माध्यम से निकलने वाले पानी की मात्रा $5 किग्रा$ होनी चाहिए | यह हमें पूरी तरह से यह निर्धारित करने की अनुमति देता है कि प्रणाली में द्रव्यमान को केवल सीमित जानकारी के साथ कैसे वितरित किया गया है और प्रणाली सीमाओं में द्रव्यमान संतुलन संबंधों का उपयोग कर रहा है। इस प्रणाली के द्रव्यमान संतुलन को सारणीबद्ध रूप में वर्णित किया जा सकता है:

मास फीडबैक (पुनर्चक्रण)
बड़े स्तर पर संतुलन उन प्रणालियों में किया जा सकता है जिनमें चक्रीय प्रवाह होता है। इन प्रणालियों में आउटपुट प्रवाह को इकाई के इनपुट में वापस भरा जाता है, अधिकांशतः आगे के पुनःप्रक्रिया करने के लिए होता है।

ऐसी प्रणालियाँ पिसाई (अपघर्षक कटिंग) परिपथ में सरल हैं, जहाँ अनाज को पिसा जाता है और फिर छलनी से केवल छोटे कणों को परिपथ से बाहर निकाला जाता है और बड़े कणों को रोलर मिल (ग्राइंडर) में वापस कर दिया जाता है। चूँकि, पुनःचक्रण प्रवाह किसी भी तरह से ठोस यांत्रिकी संचालन तक सीमित नहीं हैं; उनका उपयोग तरल और गैस प्रवाह में भी किया जाता है। ऐसा ही एक उदाहरण शीतलन टॉवर में है, जहां टावर के माध्यम से पानी को कई बार पंप किया जाता है, प्रत्येक पास में केवल थोड़ी मात्रा में पानी खींचा जाता है (ठोस निर्माण को रोकने के लिए) जब तक कि यह या तो वाष्पित न हो जाए या खींचे गए पानी से बाहर न निकल जाए। जल का द्रव्यमान संतुलन M = D + W + E है।

इनपुट उत्पादों के समग्र रूपांतरण को बढ़ाने में पुनःचक्रण एड्स का उपयोग, जो कम प्रति-पास रूपांतरण प्रक्रियाओं (जैसे हैबर प्रक्रिया) के लिए उपयोगी है।

विभेदक द्रव्यमान संतुलन
द्रव्यमान संतुलन का भी गणना लिया जा सकता है। अवधारणा बड़े द्रव्यमान संतुलन के समान है, परन्तु यह सीमित प्रणाली के संदर्भ में किया जाता है (उदाहरण के लिए, कोई समय में सीमित कथन या अत्यधिक सामान्य रूप से मात्रा पर विचार कर सकता है)। अवकलित द्रव्यमान संतुलन का उपयोग अवकल समीकरण उत्पन्न करने के लिए किया जाता है जो लक्ष्य तंत्र को मॉडलिंग और समझने के लिए प्रभावी उपकरण प्रदान कर सकता है।

विभेदक जन संतुलन सामान्य तौर पर दो चरणों में सिद्ध किया जाता है: सबसे पहले, अवकल समीकरणों को नियंत्रित करके समूह प्राप्त किया जाना चाहिए, और फिर इन समीकरणों को विश्लेषणात्मक रूप से या कम सुविधाजनक समस्याओं के लिए संख्यात्मक रूप से सिद्ध किया जाना चाहिए।

निम्नलिखित प्रणालियाँ अवकलित द्रव्यमान संतुलन के अनुप्रयोगों के अच्छे उदाहरण हैं:


 * 1) आदर्श (उत्तेजित) बैच रिएक्टर
 * 2) आदर्श टैंक रिएक्टर, जिसे निरंतर उत्तेजित-टैंक रिएक्टर (सीएसटीआर) भी कहा जाता है
 * 3) आदर्श प्लग प्रवाह रिएक्टर मॉडल (पीएफआर)

आदर्श बैच रिएक्टर
आदर्श पूरी तरह मिश्रित बैच रिएक्टर बंद प्रणाली है। समतापी प्रक्रिया ग्रहण की जाती है, और मिश्रण एकाग्रता प्रवणता को रोकता है क्योंकि प्रतिक्रियाशील सांद्रता घट जाती है और समय के साथ उत्पाद सांद्रता बढ़ जाती है। कई रसायन शास्त्र की पाठ्यपुस्तकें स्पष्ट रूप से मानती हैं कि अध्ययन की गई प्रणाली को बैच रिएक्टर के रूप में वर्णित किया जा सकता है जब वे प्रतिक्रिया गतिकि और रासायनिक संतुलन के बारे में लिखते हैं। किसी पदार्थ A का द्रव्यमान संतुलन बन जाता है

$$ \mathrm{IN} + \mathrm{PROD} = \mathrm{OUT} + \mathrm{ACC} $$

$$ 0 +  r_{\mathrm{A}}  V = 0 + \frac{dn_{\mathrm{A}}}{dt} $$

जहां RA उस स्थिति को दर्शाता है जिस पर पदार्थ A का उत्पादन होता है, V आयतन है (जो स्थिर हो सकता है या नहीं), nA पदार्थ A के मोल्स (n) की संख्या है।

फेड-बैच रिएक्टर में कुछ अभिकारकों/अवयवों को निरंतर या दालों में जोड़ा जाता है (पहले सभी अवयवों को मिलाकर दालें बनाने की तुलना करें और फिर इसे उबलने दें, जिसे बैच रिएक्टर के रूप में वर्णित किया जा सकता है, या पहले केवल पानी और नमक मिलाकर और अन्य अवयवों को जोड़ने से पहले उस उबाल को बनाना, जिसे फेड-बैच रिएक्टर के रूप में वर्णित किया जा सकता है)। फेड-बैच रिएक्टरों के लिए द्रव्यमान संतुलन थोड़ा और जटिल हो गया है।

प्रतिक्रियाशील उदाहरण
पहले उदाहरण में, हम दिखाएंगे कि हाइड्रोकार्बन-आधार ईंधन तेल के दहन के लिए वायु-ईंधन अनुपात और दहन उत्पाद गैस में प्रतिशत ऑक्सीजन के बीच संबंध बनाने के लिए द्रव्यमान संतुलन का उपयोग कैसे करें। सबसे पहले, सामान्य शुष्क हवा में होता है $0.21 मोल$ हवा के प्रति मोल ऑक्सीजन का, इसलिए मोल में $4.773 मोल$ शुष्क हवा है। उचित तत्वानुपातिक दहन के लिए, हवा के द्रव्यमान और ईंधन तेल में प्रत्येक ज्वलनशील तत्व के द्रव्यमान के बीच संबंध हैं:

$$\text{Carbon: } \frac {\text{mass of air}}{\text{mass of C}} = \frac {4.773 \times 28.96} {12.01} = 11.51$$

$$\text{Hydrogen: } \frac {\text{mass of air}}{\text{mass of H}} = \frac {\frac {1}{4} (4.773) \times 28.96} {1.008} = 34.28$$

$$\text{Sulfur: } \frac {\text{mass of air}}{\text{mass of S}} = \frac {4.773 \times 28.96} {32.06} = 4.31$$

विशिष्ट विश्लेषणात्मक प्रक्रियाओं की सटीकता को ध्यान में रखते हुए, उचित तत्वानुपातिक दहन पर ईंधन के प्रति द्रव्यमान वायु के द्रव्यमान के लिए समीकरण है: $$\frac {\mathrm{mass \ of \ air}}{\mathrm{mass \ of \ fuel}} = AFR_{mass} = 11.5(wC) + 34.3(wH) + (wS - wO)$$ जहाँ wC, wH, wS, और wO ईंधन तेल में प्रत्येक तत्व के द्रव्यमान अंश को संदर्भित करता है, सल्फर SO2 और एएफआर को जलाता है। द्रव्यमान इकाइयों में वायु-ईंधन अनुपात को संदर्भित करता है।

{{मान|1|ul=किग्रा}86.1% C, 13.6% H, 0.2% O के लिए, और 0.1% S युक्त ईंधन तेल का हवा का स्टोइकोमेट्रिक (रससमीकरण) द्रव्यमान है $14.56 किग्रा$, इसलिए AFR = 14.56 है। दहन उत्पाद द्रव्यमान तब 15.56 किग्रा है | पूर्णतया स्टोइकोमेट्री पर, अनुपस्थित होना चाहिए। 15 प्रतिशत अत्यधिक हवा में, AFR = 16.75, और दहन उत्पाद गैस का द्रव्यमान है $17.75 kg$, जिसमें है $0.505 kg$ अतिरिक्त ऑक्सीजन है। दहन गैस में इस प्रकार 2.84 प्रतिशत होता है  द्रव्यमान द्वारा होता है। % अतिरिक्त हवा और के बीच संबंध दहन गैस में द्विघात समीकरणों द्वारा सही रूप से व्यक्त किया जाता है, जो 0-30 प्रतिशत अतिरिक्त हवा की सीमा से अत्यधिक मान्य है:

$$\mathrm{\% \ excess \ air} = 1.2804 \times (\mathrm{\%O_2 \ in \ combustion \ gas})^2 + 4.49 \times (\mathrm{\%O_2 \ in \ combustion \ gas})$$

$$\mathrm{\%O_2 \ in \ combustion \ gas} = -0.00138 \times (\mathrm{\% \ excess \ air})^2 + 0.210 \times (\mathrm{\% \ excess \ air})$$

दूसरे उदाहरण में, हम सामूहिक क्रिया के नियम का उपयोग रासायनिक संतुलन स्थिरांक के लिए व्यंजक प्राप्त करने के लिए करेंगे।

मान लें कि हमारे पास बंद रिएक्टर है जिसमें निम्न तरल चरण प्रतिवर्ती प्रतिक्रिया होती है:

$$ a\mathrm{A} + b\mathrm{B} \leftrightarrow c\mathrm{C} + d\mathrm{D} $$

पदार्थ A के लिए द्रव्यमान संतुलन बन जाता है

$$ \mathrm{IN} + \mathrm{PROD} = \mathrm{OUT} + \mathrm{ACC} $$

$$ 0 +  r_{\mathrm{A}}  V = 0 + \frac{dn_{\mathrm{A}}}{dt} $$

जैसा कि हमारे पास तरल चरण प्रतिक्रिया है, हम (सामान्यतौर पर) स्थिर मात्रा मान सकते हैं और तब से $$ n_{\mathrm{A}}= V * C_{\mathrm{A}} $$ हम पाते हैं

$$ r_{\mathrm{A}} V = V \frac{dC_{\mathrm{A}}}{dt} $$

या

$$ r_{\mathrm{A}} = \frac{dC_{\mathrm{A}}}{dt} $$

कई पाठ्य पुस्तकों में इसे प्रतिक्रिया दर की परिभाषा के रूप में निहित धारणा को निर्दिष्ट किए बिना दिया गया है कि हम सिर्फ प्रतिक्रिया के साथ बंद प्रणाली में प्रतिक्रिया दर के बारे में बात कर रहे हैं। यह दुर्भाग्यपूर्ण गलती है जिसने कई छात्रों को वर्षों से भ्रमित किया है।

द्रव्यमान क्रिया के नियम के अनुसार अग्र अभिक्रिया दर को इस प्रकार लिखा जा सकता है

$$ r_1=k_1 [\mathrm{A}]^a[\mathrm{B}]^b $$

और पश्च प्रतिक्रिया दर के रूप में

<div संरेखित करें = केंद्र>$$ r_{-1}=k_{-1} [\mathrm{C}]^c[\mathrm{D}]^d $$

जिस दर पर पदार्थ A का उत्पादन होता है वह इस प्रकार है

<div संरेखित करें = केंद्र>$$ r_{\mathrm{A}} = a ( r_{-1} - r_1 ) $$

और चूंकि, संतुलन पर, A की सांद्रता एक नियतांक है, हम प्राप्त करते हैं

<div संरेखित करें = केंद्र>$$ r_{\mathrm{A}} = a ( r_{-1} - r_1 ) = \frac{dC_{\mathrm{A}}}{dt} =0$$

या, पुनर्व्यवस्थित

<div संरेखित करें = केंद्र>$$ \frac{k_1}{k_{-1}}=\frac{[\mathrm{C}]^c[\mathrm{D}]^d}{[\mathrm{A}]^a[\mathrm{B}]^b}=K_{eq}$$

आदर्श टैंक रिएक्टर/निरंतर उभारा टैंक रिएक्टर
निरंतर मिश्रित टैंक रिएक्टर खुली प्रणाली है जिसमें अभिकारकों की प्रभावशाली धारा और उत्पादों की प्रवाह धारा होती है। झील को टैंक रिएक्टर के रूप में माना जा सकता है, और लंबे निश्चित अवधि समय वाली झीलें (उदाहरण के लिए निम्न फ्लक्स-से-आयतन अनुपात के साथ) कई उद्देश्यों के लिए निरंतर उत्तेजित (जैसे सभी कथनों में सजातीय) मानी जा सकती हैं। द्रव्यमान संतुलन तब बन जाता है

<div संरेखित करें = केंद्र>$$ \mathrm{IN} + \mathrm{PROD} = \mathrm{OUT} + \mathrm{ACC} $$

<div संरेखित करें = केंद्र>$$ Q_0\cdot C_{\mathrm{A},0} + r_{\rm A}\cdot V = Q\cdot C_{\mathrm{A}} + \frac{dn_{\mathrm{A}}}{dt} $$

जहां Q0 और Q क्रमशः प्रणाली के भीतर और बाहर आयतनिक प्रवाह को दर्शाता है और CA,0 और सीA प्रवाह और बहिर्वाह में क्रमशः A की सांद्रता है। खुली व्यवस्था में हम कभी भी रासायनिक संतुलन तक नहीं पहुँच सकते हैं। चूँकि, हम गतिशील संतुलन तक पहुँच सकते हैं जहाँ सभी ($$ \mathrm{ACC} = 0 $$) अवस्था चर (तापमान, सांद्रता, आदि) स्थिर रहते हैं.

उदाहरण
बाथटब पर विचार करें जिसमें कुछ नहाने का नमक घुला हो। अब हम निचला प्लग को भीतर रखते हुए और पानी भरते हैं। क्या होता है?

चूंकि कोई प्रतिक्रिया नहीं है, $$ \mathrm{PROD} =0$$ और चूंकि कोई बहिर्वाह नहीं है $$ Q=0 $$. जन संतुलन बन जाता है

<div संरेखित करें = केंद्र>$$ \mathrm{IN} + \mathrm{PROD} = \mathrm{OUT} + \mathrm{ACC} $$

<div संरेखित करें = केंद्र>$$ Q_0 \cdot C_{\mathrm{A},0} +0 = 0\cdot C_{\mathrm{A}} + \frac{dn_{\mathrm{A}}}{dt} $$

या

<div संरेखित करें = केंद्र>$$ Q_0\cdot C_{\mathrm{A},0}= \frac{dC_{\mathrm{A}}V}{dt}=V \frac{dC_{\mathrm{A}}}{dt} + C_{\mathrm{A}}\frac{dV}{dt}$$

चूँकि, कुल आयतन के लिए द्रव्यमान संतुलन का उपयोग करना, यह स्पष्ट है कि $$\frac{dV}{dt}=Q_0$$ओर वो $$V=V_{t=0}+Q_0t$$. इस प्रकार हम प्राप्त करते हैं

<div संरेखित करें = केंद्र>$$\frac{dC_{\mathrm{A}}}{dt}=\frac{Q_0}{(V_{t=0}+Q_0t)}\left( C_{\mathrm{A},0}-C_{\mathrm{A}} \right) $$

ध्यान दें कि कोई प्रतिक्रिया नहीं है और इसलिए कोई प्रतिक्रिया दर या दर नियम सम्मिलित नहीं है, और फिर भी $$\frac{dC_{\mathrm{A}}}{dt}\neq 0$$ है| इस प्रकार हम यह निष्कर्ष निकाल सकते हैं कि $$ \frac{dC}{dt} $$ प्रतिक्रिया दर को सामान्य प्रकार से परिभाषित नहीं किया जा सकता है | किसी के बीच कड़ी से पहले पहले द्रव्यमान संतुलन लिखना चाहिए $$ \frac{dC}{dt} $$ और प्रतिक्रिया दर पाई जा सकती है। चूँकि, कई पाठ्यपुस्तकें प्रतिक्रिया दर को परिभाषित करती हैं

<div संरेखित करें = केंद्र>$$r= \frac{dC_{\mathrm{A}}}{dt} $$

इस बात का उल्लेख किए बिना कि यह परिभाषा स्पष्ट रूप से मानती है कि प्रणाली बंद है, इसकी एक नियतांक मात्रा है और सिर्फ एक प्रतिक्रिया है।

आदर्श प्लग प्रवाह रिएक्टर (पीएफआर)
आदर्शीकृत प्लग प्रवाह रिएक्टर खुली प्रणाली है जो नलिका जैसी होती है जिसमें प्रवाह की दिशा में कोई मिश्रण नहीं होता है परन्तु प्रवाह की दिशा में लंबवत सही मिश्रण होता है, जो अधिकांशतः प्रवाह अशांत होने पर नदियों और पानी के पाइप जैसी प्रणालियों के लिए उपयोग किया जाता है। जब नलिका के लिए द्रव्यमान संतुलन बनाया जाता है, तो सबसे पहले नलिका के अतिसूक्ष्म भाग पर विचार किया जाता है और आदर्श टैंक रिएक्टर मॉडल का उपयोग करके उस पर द्रव्यमान संतुलन बनाया जाता है। वह द्रव्यमान संतुलन प्राप्त करने के लिए संपूर्ण रिएक्टर आयतन पर अभिन्न है:

<div संरेखित करें = केंद्र>$$ \frac{d(Q\cdot C_{\rm A})}{dV} = r_{\rm A} $$

संख्यात्मक समाधान में, उदा. कंप्यूटर का उपयोग करते समय, आदर्श नलिका को अधिकांशतः टैंक रिएक्टरों की श्रृंखला में अनुवादित किया जाता है, क्योंकि यह दिखाया जा सकता है कि पीएफआर श्रृंखला में हिलाए गए टैंकों की अनंत संख्या के बराबर है, परन्तु बाद वाले का विश्लेषण करना अधिकांशतः सरल होता है, विशेष रूप से स्थिर अवस्था में होता है।

अत्यधिक जटिल समस्याएं
वास्तव में, रिएक्टर अधिकांशतः अनादर्श होते हैं, जिसमें प्रणाली का वर्णन करने के लिए उपरोक्त रिएक्टर मॉडल के संयोजन का उपयोग किया जाता है। न सिर्फ रासायनिक प्रतिक्रिया दर, बल्कि द्रव्यमान अंतरण दर भी प्रणाली के गणितीय विवरण में महत्वपूर्ण हो सकती है, विशेष रूप से विषम प्रणालियों में होता है। जैसा कि रासायनिक प्रतिक्रिया दर तापमान पर निर्भर करती है, यह अधिकांशतः प्रणाली का पूरी तरह से वर्णन करने के लिए ऊर्जा लेखा (अधिकांशतः पूर्ण ऊर्जा संतुलन के  स्थान पर उष्मीय संतुलन) के साथ-साथ बड़े स्तर पर संतुलन बनाने के लिए आवश्यक होता है। ऊर्जा संतुलन के लिए अलग रिएक्टर मॉडल की आवश्यकता हो सकती है: प्रणाली जो द्रव्यमान के संबंध में बंद है, ऊर्जा के संबंध में खुली हो सकती है उदा. चूँकि ऊष्मा चालन के माध्यम से प्रणाली में प्रवेश कर सकती है।

व्यावसायिक उपयोग
औद्योगिक प्रक्रिया संयंत्रों में, इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि प्रक्रिया संयंत्र के किसी भी भाग में प्रवेश करने और छोड़ने वाले द्रव्यमान को संतुलित होना चाहिए, मापित प्रवाह को सही करने के लिए डेटा सत्यापन और सरल बीजगणितीय को नियोजित किया जा सकता है, किसी स्थान कि सांख्यिकीय सामंजस्य और अपवर्जन की अनुमति देने के लिए प्रवाह माप की पर्याप्त अतिरेक उपस्थित होता है। चूंकि सभी वास्तविक विश्व मापित मानों में अंतर्निहित त्रुटि होती है, वित्तीय विवरण, अनुकूलन और विनियामक विवरण के लिए मापे गए मानों की तुलना में मिलान किए गए माप सही प्रकार के आधार प्रदान करते हैं। इसे दैनिक आधार पर व्यावसायिक रूप से संभव बनाने के लिए सॉफ्टवेयर पैकेज उपस्थित हैं।

यह भी देखें

 * बायोरिएक्टर
 * रसायनिक अभियांत्रिकी
 * सातत्य समीकरण
 * विलयन (समीकरण)
 * ऊर्जा लेखा
 * ग्लेशियर द्रव्यमान संतुलन
 * द्रव्यमान प्रवाह
 * पदार्थ प्रवाह विश्लेषण
 * पदार्थ संतुलन योजना
 * द्रव यांत्रिकी

बाहरी संबंध

 * Material Balance Calculations
 * Material Balance Fundamentals
 * The Material Balance for Chemical Reactors
 * Material and energy balance
 * Heat and material balance method of process control for petrochemical plants and oil refineries, United States Patent 6751527