डिरिचलेट श्रृंखला

गणित में, एक डिरिचलेट श्रृंखला किसी भी प्रकार की श्रृंखला (गणित) है $$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s},$$ जहां एस जटिल संख्या है, और $$a_n$$ जटिल क्रम है। यह सामान्य डिरिचलेट श्रृंखला का एक विशेष मामला है।

डिरिचलेट श्रृंखला विश्लेषणात्मक संख्या सिद्धांत में विभिन्न प्रकार की महत्वपूर्ण भूमिकाएँ निभाती है। रीमैन जीटा फ़ंक्शन की सबसे आम तौर पर देखी जाने वाली परिभाषा एक डिरिचलेट श्रृंखला है, जैसा कि डिरिचलेट एल-फंक्शन हैं। यह अनुमान लगाया गया है कि श्रृंखला का सेलबर्ग वर्ग सामान्यीकृत रीमैन परिकल्पना का पालन करता है। श्रृंखला का नाम पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट के सम्मान में रखा गया है।

मिश्रित महत्व
डिरिचलेट श्रृंखला का उपयोग भार के संबंध में वस्तुओं के भारित सेटों की गणना के लिए उत्पन्न श्रृंखला के रूप में किया जा सकता है जो कार्टेशियन उत्पादों को लेते समय गुणक रूप से संयुक्त होता है।

मान लीजिए कि A एक फ़ंक्शन w: A → 'N' के साथ एक सेट है, जो A के प्रत्येक तत्व को भार प्रदान करता है, और इसके अतिरिक्त मान लीजिए कि उस वजन के तहत किसी भी प्राकृतिक संख्या पर फाइबर (गणित) एक परिमित सेट है। (हम इस तरह की व्यवस्था (ए, डब्ल्यू) को एक भारित सेट कहते हैं।) अतिरिक्त रूप से मान लीजिए कि एnभार n के साथ A के तत्वों की संख्या है। फिर हम डब्ल्यू के संबंध में ए के लिए औपचारिक डिरिचलेट जनरेटिंग श्रृंखला को निम्नानुसार परिभाषित करते हैं:


 * $$\mathfrak{D}^A_w(s) = \sum_{a \in A} \frac 1 {w(a)^s} = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}$$

ध्यान दें कि यदि A और B कुछ भारित सेट (U, w) के असंयुक्त उपसमुच्चय हैं, तो उनके (असंयुक्त) संघ के लिए डिरिचलेट श्रृंखला उनकी डिरिचलेट श्रृंखला के योग के बराबर है:


 * $$\mathfrak{D}^{A\uplus B}_w(s) = \mathfrak{D}^A_w(s) + \mathfrak{D}^B_w(s).$$

इसके अलावा, अगर (ए, यू) और (बी, वी) दो भारित सेट हैं, और हम एक वजन समारोह को परिभाषित करते हैं w: A × B → N द्वारा


 * $$w(a,b) = u(a) v(b),$$

ए में सभी ए और बी में बी के लिए, फिर हमारे पास कार्टेशियन उत्पाद की डिरिचलेट श्रृंखला के लिए निम्नलिखित अपघटन है:


 * $$\mathfrak{D}^{A\times B}_w(s) = \mathfrak{D}^{A}_u(s) \cdot \mathfrak{D}^{B}_v(s).$$

यह अंततः साधारण तथ्य से अनुसरण करता है कि $$n^{-s} \cdot m^{-s} = (nm)^{-s}.$$

उदाहरण
डिरिक्लेट श्रृंखला का सबसे प्रसिद्ध उदाहरण है


 * $$\zeta(s)=\sum_{n=1}^\infty \frac 1 {n^s},$$

जिसकी विश्लेषणात्मक निरंतरता $$\Complex$$ (एक साधारण पोल के अलावा $$s = 1$$) रीमैन जीटा फ़ंक्शन है।

उसे उपलब्ध कराया $f$ सभी प्राकृतिक संख्याओं पर वास्तविक-मूल्यवान है $n$, डिरिचलेट श्रृंखला के संबंधित वास्तविक और काल्पनिक भाग $F$ ज्ञात सूत्र हैं जहाँ हम लिखते हैं $$s \equiv \sigma + i t$$:


 * $$\begin{align}

\Re[F(s)] & = \sum_{n \geq 1} \frac{~f(n)\,\cos(t \log n)~}{n^{\sigma}} \\ \Im[F(s)] & = \sum_{n \geq 1} \frac{~f(n)\,\sin(t \log n)~}{n^{\sigma}}\,. \end{align}$$ अभिसरण के मामलों को अनदेखा करने में सक्षम होने के लिए कुछ समय के लिए इन्हें औपचारिक डिरिचलेट श्रृंखला के रूप में मानते हुए, ध्यान दें कि हमारे पास:


 * $$\begin{align}

\zeta(s) &= \mathfrak{D}^{\N}_{\operatorname{id}}(s) = \prod_{p\text{ prime}} \mathfrak{D}^{\{p^n : n \in \N\}}_{\operatorname{id}}(s) = \prod_{p\text{ prime}} \sum_{n \in \N} \mathfrak{D}^{\{p^n\}}_{\operatorname{id}}(s) \\ &= \prod_{p\text{ prime}} \sum_{n \in \N} \frac{1}{(p^n)^s} = \prod_{p\text{ prime}} \sum_{n \in \N} \left(\frac{1}{p^s}\right)^n = \prod_{p\text{ prime}} \frac{1}{1-p^{-s}} \end{align}$$ जैसा कि प्रत्येक प्राकृतिक संख्या में प्राइम्स की शक्तियों में एक अद्वितीय गुणक अपघटन होता है। यह कॉम्बिनेटरिक्स का वह अंश है जो रीमैन जेटा फंक्शन#यूलर के उत्पाद सूत्र को प्रेरित करता है।

एक और है:


 * $$\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)}{n^s}$$

कहाँ $μ(n)$ मोबियस फ़ंक्शन है। यह और निम्न में से कई श्रृंखलाएं ज्ञात श्रृंखलाओं में मोबियस उलटा और डिरिचलेट कनवल्शन लागू करके प्राप्त की जा सकती हैं। उदाहरण के लिए, एक डिरिचलेट चरित्र दिया गया $χ(n)$ किसी के पास


 * $$\frac 1 {L(\chi,s)}=\sum_{n=1}^\infty \frac{\mu(n)\chi(n)}{n^s}$$

कहाँ $L(χ, s)$ एक डिरिचलेट एल-फ़ंक्शन है।

यदि अंकगणितीय कार्य $f$ में एक डिरिचलेट कनवल्शन फंक्शन है $$f^{-1}(n)$$, अर्थात, यदि कोई व्युत्क्रम फलन मौजूद है जैसे कि इसके व्युत्क्रम के साथ f का डिरिचलेट कनवल्शन गुणात्मक पहचान देता है $\sum_{d|n} f(d) f^{-1}(n/d) = \delta_{n,1}$, तो व्युत्क्रम फलन का Generating_function#Dirichlet_series_generating_functions_(DGFs) F के व्युत्क्रम द्वारा दिया जाता है:


 * $$\sum_{n \geq 1} \frac{f^{-1}(n)}{n^s} = \left(\sum_{n \geq 1} \frac{f(n)}{n^s}\right)^{-1}.$$

अन्य पहचान शामिल हैं


 * $$\frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\varphi(n)}{n^s}$$

कहाँ $$\varphi(n)$$ कुल कार्य है,


 * $$\frac{\zeta(s-k)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{J_k(n)}{n^s}$$

जहां जेkजॉर्डन का संपूर्ण कार्य है, और


 * : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :$$\begin{align}

& \zeta(s) \zeta(s-a)=\sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_{a}(n)}{n^s} \\[6pt] & \frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-2a)}{\zeta(2s-2a)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n^2)}{n^s} \\[6pt] & \frac{\zeta(s)\zeta(s-a)\zeta(s-b)\zeta(s-a-b)}{\zeta(2s-a-b)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\sigma_a(n)\sigma_b(n)}{n^s} \end{align}$$ जहां पa(एन) विभाजक कार्य है। विभाजक फलन d = σ के लिए विशेषज्ञता द्वारा0 अपने पास


 * $$\begin{align}

\zeta^2(s) & =\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)}{n^s} \\[6pt] \frac{\zeta^3(s)}{\zeta(2s)} & =\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n^2)}{n^s} \\[6pt] \frac{\zeta^4(s)}{\zeta(2s)} & =\sum_{n=1}^\infty \frac{d(n)^2}{n^s}. \end{align}$$ जीटा फलन का लघुगणक किसके द्वारा दिया जाता है


 * $$\log \zeta(s)=\sum_{n=2}^\infty \frac{\Lambda(n)}{\log(n)}\frac{1}{n^s}, \qquad \Re(s) > 1.$$

इसी तरह, हमारे पास है


 * $$-\zeta'(s) = \sum_{n=2}^{\infty} \frac{\log(n)}{n^s}, \qquad \Re(s) > 1.$$

यहाँ, Λ(n) मैंगोल्ड्ट फ़ंक्शन द्वारा है। लॉगरिदमिक व्युत्पन्न तब है


 * $$\frac{\zeta'(s)}{\zeta(s)} = -\sum_{n=1}^\infty \frac{\Lambda(n)}{n^s}.$$

ये अंतिम तीन डिरिचलेट श्रृंखला के डेरिवेटिव के लिए अधिक सामान्य संबंध के विशेष मामले हैं, जो नीचे दिए गए हैं।

लिउविल समारोह λ(n) दिया गया है, किसी के पास है


 * $$\frac{\zeta(2s)}{\zeta(s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{\lambda(n)}{n^s}.$$

फिर भी एक अन्य उदाहरण में रामानुजन का योग शामिल है:


 * $$\frac{\sigma_{1-s}(m)}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^\infty\frac{c_n(m)}{n^s}.$$

उदाहरणों की एक और जोड़ी में मोबियस फ़ंक्शन और प्राइम ओमेगा फ़ंक्शन शामिल हैं:
 * $$\frac{\zeta(s)}{\zeta(2s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{|\mu(n)|}{n^s} \equiv \sum_{n=1}^\infty \frac{\mu^2(n)}{n^s}.$$
 * $$\frac{\zeta^2(s)}{\zeta(2s)} = \sum_{n=1}^\infty \frac{2^{\omega(n)}}{n^s}.$$

हमारे पास यह है कि प्रधान जीटा समारोह के लिए डिरिचलेट सीरीज़, जो कि रीमैन ज़ेटा फ़ंक्शन का एनालॉग है, जो केवल सूचकांक n पर आधारित है, जो कि प्राइम हैं, मोएबियस समारोह और ज़ेटा फ़ंक्शन के लघुगणक के योग द्वारा दिया जाता है:


 * $$P(s) := \sum_{p\text{ prime}} p^{-s} = \sum_{n \geq 1} \frac{\mu(n)}{n} \log \zeta(ns).$$

ज्ञात डिरिचलेट श्रृंखला अभ्यावेदन के अनुरूप राशियों के अन्य उदाहरणों की एक बड़ी सारणीबद्ध सूची यहां पाई जाती है।

योजक समारोह (गुणक के बजाय) f के अनुरूप डिरिचलेट श्रृंखला DGFs के उदाहरण प्राइम_ओमेगा_फंक्शन # डिरिचलेट_सीरीज़ प्राइम ओमेगा फ़ंक्शंस के लिए दिए गए हैं $$\omega(n)$$ और $$\Omega(n)$$, जो क्रमशः n (बहुलता के साथ या नहीं) के अलग-अलग अभाज्य कारकों की संख्या की गणना करते हैं। उदाहरण के लिए, इन कार्यों में से पहले के डीजीएफ को रीमैन जेटा फ़ंक्शन के उत्पाद के रूप में व्यक्त किया गया है और किसी भी जटिल एस के लिए प्राइम जेटा फ़ंक्शन के रूप में व्यक्त किया गया है $$\Re(s) > 1$$:


 * $$\sum_{n \geq 1} \frac{\omega(n)}{n^s} = \zeta(s) \cdot P(s), \Re(s) > 1.$$

यदि f एक गुणक फलन है जैसे कि इसका DGF F सभी के लिए बिल्कुल अभिसरण करता है $$\Re(s) > \sigma_{a,f}$$, और यदि p कोई अभाज्य संख्या है, तो हमारे पास वह है


 * $$\left(1+f(p) p^{-s}\right) \times \sum_{n \geq 1} \frac{f(n) \mu(n)}{n^s} = \left(1-f(p) p^{-s}\right) \times \sum_{n \geq 1} \frac{f(n) \mu(n) \mu(\gcd(p, n))}{n^s}, \forall \Re(s) > \sigma_{a,f},$$

कहाँ $$\mu(n)$$ मोबियस फ़ंक्शन है। एक अन्य अद्वितीय डिरिचलेट श्रृंखला पहचान द्वारा दिए गए सबसे बड़े सामान्य विभाजक इनपुट पर मूल्यांकन किए गए कुछ अंकगणितीय f के सारांश कार्य को उत्पन्न करता है


 * $$\sum_{n \geq 1} \left(\sum_{k=1}^n f(\gcd(k, n))\right) \frac{1}{n^s} = \frac{\zeta(s-1)}{\zeta(s)} \times \sum_{n \geq 1} \frac{f(n)}{n^s}, \forall \Re(s) > \sigma_{a,f} + 1.$$

हमारे पास Moebius उलटा द्वारा संबंधित दो अंकगणितीय कार्यों f और g के DGF के बीच एक सूत्र भी है। विशेष रूप से, अगर $$g(n) = (f \ast 1)(n)$$, फिर मोएबियस उलटा द्वारा हमारे पास वह है $$f(n) = (g \ast \mu)(n)$$. इसलिए, यदि F और G, f और g के दो संबंधित DGF हैं, तो हम इन दोनों DGF को सूत्र द्वारा संबंधित कर सकते हैं:


 * $$F(s) = \frac{G(s)}{\zeta(s)}, \Re(s) > \max(\sigma_{a,f}, \sigma_{a,g}).$$

डिरिचलेट श्रृंखला के घातांक के लिए एक ज्ञात सूत्र है। अगर $$F(s) = \exp(G(s))$$ कुछ अंकगणितीय f का DGF है $$f(1) \neq 0$$, तो DGF G को योग द्वारा व्यक्त किया जाता है


 * $$G(s) = \log(f(1)) + \sum_{n \geq 2} \frac{(f^{\prime} \ast f^{-1})(n)}{\log(n) \cdot n^s}, $$ कहाँ $$f^{-1}(n)$$ f का डिरिक्लेट व्युत्क्रम है और जहाँ f का अंकगणितीय फलन सूत्र द्वारा दिया गया है $$f^{\prime}(n) = \log(n) \cdot f(n)$$ सभी प्राकृतिक संख्याओं के लिए $$n \geq 2$$.

विश्लेषणात्मक गुण
एक क्रम दिया $$\{a_n\}_{n\in \N}$$ हम सम्मिश्र संख्याओं के मान पर विचार करने का प्रयास करते हैं


 * $$ f(s) = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s} $$

सम्मिश्र संख्या चर s के फलन के रूप में। इसे समझने के लिए, हमें उपरोक्त अनंत श्रृंखला के अभिसरण गुणों पर विचार करने की आवश्यकता है:

अगर $$\{a_n\}_{n\in \N}$$ सम्मिश्र संख्याओं का एक परिबद्ध अनुक्रम है, तो संगत डिरिचलेट श्रेणी f खुले अर्ध-तल Re(s) > 1 पर निरपेक्ष अभिसरण को अभिसरित करती है। सामान्य तौर पर, यदि an= ओ (एनk), शृंखला पूरी तरह से अर्ध समतल Re(s) > k + 1 में अभिसरित होती है।

यदि रकम का सेट


 * $$a_n + a_{n+1} +\cdots + a_{n+k}$$

n और k ≥ 0 के लिए परिबद्ध है, तो उपरोक्त अनंत श्रृंखला s के खुले अर्ध-तल पर इस प्रकार अभिसरित होती है कि Re(s) > 0।

दोनों ही मामलों में f इसी खुले आधे विमान पर एक विश्लेषणात्मक कार्य है।

सामान्य रूप में $$\sigma$$ डिरिचलेट श्रृंखला के अभिसरण का भुज है यदि यह के लिए अभिसरण करता है $$\Re(s) > \sigma$$ और के लिए विचलन करता है $$\Re(s) < \sigma.$$ यह घात श्रेणी के अभिसरण की त्रिज्या की डिरिचलेट श्रेणी का अनुरूप है। डिरिचलेट श्रृंखला का मामला अधिक जटिल है, हालांकि: पूर्ण अभिसरण और समान अभिसरण अलग-अलग अर्ध-विमानों में हो सकते हैं।

कई मामलों में, डिरिचलेट श्रृंखला से जुड़े विश्लेषणात्मक कार्य का एक बड़े डोमेन के लिए एक विश्लेषणात्मक विस्तार होता है।

अभिसरण का भुज
कल्पना करना


 * $$\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^{s_0}}$$ कुछ के लिए अभिसरण करता है $$s_0 \in \Complex, \Re(s_0) > 0.$$ : प्रस्ताव 1। $$A(N) := \sum_{n=1}^N a_n = o(N^{s_0}).$$

सबूत। ध्यान दें कि:


 * $$(n+1)^s-n^s =\int_n^{n+1} s x^{s-1} \, dx = \mathcal{O}(n^{s-1}).$$

और परिभाषित करें


 * $$B(N) = \sum_{n=1}^N \frac{a_n}{n^{s_0}} = \ell+o(1)$$ कहाँ


 * $$\ell=\sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^{s_0}}.$$

हमारे पास भागों के योग से


 * $$\begin{align}

A(N) &= \sum_{n=1}^N \frac{a_n}{n^{s_0}} n^{s_0} \\ &= B(N)N^{s_0} + \sum_{n=1}^{N-1} B(n) \left (n^{s_0}-(n+1)^{s_0} \right ) \\ &= (B(N)-\ell)N^{s_0} + \sum_{n=1}^{N-1} (B(n)-\ell) \left (n^{s_0}-(n+1)^{s_0} \right ) \\ &= o(N^{s_0}) + \sum_{n=1}^{N-1} \mathcal{o}(n^{s_0-1}) \\ &= o(N^{s_0}) \end{align}$$
 * प्रस्ताव 2. परिभाषित करें
 * $$L = \begin{cases} \sum_{n=1}^\infty a_n & \text{If convergent} \\ 0 & \text{otherwise} \end{cases}$$ :तब:
 * $$\sigma = \lim \sup_{N \to \infty} \frac{\ln |A(N)-L|}{\ln N}= \inf_\sigma \left\{A(N)-L = \mathcal{O}(N^\sigma)\right\}$$ : डिरिचलेट श्रृंखला के अभिसरण का भुज है।

सबूत। परिभाषा से


 * $$\forall \varepsilon > 0 \qquad A(N)-L = \mathcal{O}(N^{\sigma+\varepsilon})$$ ताकि


 * $$\begin{align}

\sum_{n=1}^N \frac{a_n}{n^s} &= A(N) N^{-s} + \sum_{n=1}^{N-1} A(n) (n^{-s} -(n+1)^{-s}) \\ &= (A(N)-L) N^{-s} + \sum_{n=1}^{N-1} (A(n)-L) (n^{-s} -(n+1)^{-s}) \\ &= \mathcal{O}(N^{\sigma+\varepsilon-s}) + \sum_{n=1}^{N-1} \mathcal{O}(n^{\sigma+\varepsilon-s-1}) \end{align}$$ जो के रूप में अभिसरण करता है $$N \to \infty$$ जब कभी भी $$\Re(s) > \sigma.$$ इसलिए, प्रत्येक के लिए $$s$$ ऐसा है कि $\sum_{n=1}^\infty a_n n^{-s}$ विचलन, हमारे पास है $$\sigma \ge \Re(s),$$ और यह प्रमाण को समाप्त करता है।


 * प्रस्ताव 3. यदि $$\sum_{n=1}^\infty a_n$$ तब जम जाता है $$f(\sigma+it)= o\left(\tfrac{1}{\sigma}\right)$$ जैसा $$\sigma \to 0^+$$ और जहां यह मेरोमोर्फिक है ($$f(s)$$ कोई पोल नहीं लगा है $$\Re(s) = 0$$).

सबूत। ध्यान दें कि


 * $$n^{-s} - (n+1)^{-s} = sn^{-s-1}+O(n^{-s-2})$$ और $$A(N) - f(0) \to 0$$ हमारे पास भागों द्वारा संक्षेप में है, के लिए $$\Re(s) > 0$$
 * $$\begin{align}

f(s) &= \lim_{N \to \infty} \sum_{n=1}^N \frac{a_n}{n^s} \\ &= \lim_{N \to \infty} A(N) N^{-s} + \sum_{n=1}^{N-1} A(n) (n^{-s}-(n+1)^{-s}) \\ &= s \sum_{n=1}^\infty A(n) n^{-s-1}+\underbrace{\mathcal{O} \left( \sum_{n=1}^\infty A(n) n^{-s-2} \right) }_{= \mathcal{O}(1)} \end{align}$$ अब N को ऐसे खोजें कि n > N के लिए, $$|A(n)-f(0)| < \varepsilon$$
 * $$s\sum_{n=1}^\infty A(n) n^{-s-1} = \underbrace{sf(0) \zeta(s+1)+s\sum_{n=1}^N (A(n)-f(0)) n^{-s-1}}_{=\mathcal{O}(1)} + \underbrace{s \sum_{n=N+1}^\infty (A(n)-f(0)) n^{-s-1}}_{< \varepsilon |s| \int_N^\infty x^{-\Re(s)-1} \, dx}$$

और इसलिए, प्रत्येक के लिए $$\varepsilon >0$$ वहां एक है $$C$$ ऐसा कि के लिए $$\sigma > 0$$: :$$|f(\sigma+it)| < C+\varepsilon |\sigma+it|\frac{1}{\sigma}.$$

औपचारिक डिरिचलेट श्रृंखला
एक वलय R पर एक औपचारिक डिरिचलेट श्रृंखला धनात्मक पूर्णांकों से R तक एक फलन a से संबद्ध है


 * $$ D(a,s) = \sum_{n=1}^\infty a(n) n^{-s} \ $$

द्वारा परिभाषित जोड़ और गुणा के साथ


 * $$ D(a,s) + D(b,s) = \sum_{n=1}^\infty (a+b)(n) n^{-s} \ $$
 * $$ D(a,s) \cdot D(b,s) = \sum_{n=1}^\infty (a*b)(n) n^{-s} \ $$

कहाँ


 * $$ (a+b)(n) = a(n)+b(n) \ $$

बिंदुवार योग है और


 * $$ (a*b)(n) = \sum_{k\mid n} a(k)b(n/k) \ $$

a और b का डिरिचलेट कनवल्शन है।

औपचारिक डिरिचलेट श्रृंखला एक वलय Ω, वास्तव में एक आर-बीजगणित बनाती है, जिसमें शून्य फ़ंक्शन योगात्मक शून्य तत्व के रूप में होता है और फ़ंक्शन δ को δ(1) = 1, δ(n) = 0 के लिए n > 1 गुणक पहचान के रूप में परिभाषित किया जाता है। इस वलय का एक अवयव व्युत्क्रमणीय है यदि a(1) R में व्युत्क्रमणीय है। यदि R क्रमविनिमेय है, तो Ω है; यदि R एक पूर्णांकीय प्रांत है, तो Ω भी है। गैर-शून्य गुणात्मक कार्य Ω की इकाइयों के समूह के एक उपसमूह का निर्माण करते हैं।

'C' के ऊपर औपचारिक डिरिचलेट श्रृंखला का वलय गणनीय रूप से कई चरों में औपचारिक शक्ति श्रृंखला के एक वलय के लिए समरूप है।

डेरिवेटिव्स
दिया गया


 * $$F(s) =\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)}{n^s}$$

यह दिखाना संभव है


 * $$F'(s) =-\sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\log(n)}{n^s}$$

दाहिने हाथ की ओर अभिसरण मानकर। पूरी तरह से गुणात्मक फ़ंक्शन ƒ(n) के लिए, और यह मानते हुए कि श्रृंखला Re(s) > σ के लिए अभिसरित होती है0, तो किसी के पास वह है


 * $$\frac {F^\prime(s)}{F(s)} = - \sum_{n=1}^\infty \frac{f(n)\Lambda(n)}{n^s}$$

Re(s) > σ के लिए अभिसरित होता है0... ... यहाँ, Λ(n) वॉन मैंगोल्ड फलन है।

उत्पाद
कल्पना करना


 * $$ F(s)= \sum_{n=1}^\infty f(n)n^{-s} $$

और


 * $$ G(s)= \sum_{n=1}^\infty g(n)n^{-s}. $$

अगर दोनों F(s) और G(s) s > a और s > b के लिए पूरी तरह अभिसरण हैं तो हमारे पास है


 * $$ \frac 1 {2T}\int_{-T}^T \,F(a+it)G(b-it)\,dt= \sum_{n=1}^\infty f(n)g(n)n^{-a-b} \text{ as }T \sim \infty. $$

अगर a = b और ƒ(n) = g(n) हमारे पास है


 * $$ \frac 1 {2T}\int_{-T}^T |F(a+it)|^2 \, dt= \sum_{n=1}^\infty [f(n)]^2 n^{-2a} \text{ as } T \sim \infty. $$

गुणांक उलटा (अभिन्न सूत्र)
सभी सकारात्मक पूर्णांकों के लिए $$x \geq 1$$, फलन f x पर, $$f(x)$$, जब भी निम्नलिखित अभिन्न सूत्र का उपयोग करके डिरिचलेट जनरेटिंग फंक्शन (डीजीएफ) एफ ऑफ एफ (या डीरिचलेट श्रृंखला एफ) से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है $$\sigma > \sigma_{a,f}$$, डीजीएफ एफ के अभिसरण का फरसा
 * $$f(x) = \lim_{T \rightarrow \infty} \frac{1}{2T} \int_{-T}^{T} x^{\sigma + i t} F(\sigma + i t) dt.$$

डीरिचलेट श्रृंखला के गुणांक प्राप्त करने के लिए एफ के डीजीएफ एफ को परिभाषित करने वाले एफ के सारांश समारोह के मध्य परिवर्तन  को उलटना भी संभव है (नीचे अनुभाग देखें)। इस मामले में, हम पेरोन के प्रमेय से संबंधित एक जटिल समोच्च समाकल सूत्र पर पहुंचते हैं। व्यावहारिक रूप से, T के एक समारोह के रूप में उपरोक्त सूत्र के अभिसरण की दरें परिवर्तनशील हैं, और यदि डिरिचलेट श्रृंखला F धीरे-धीरे अभिसरण श्रृंखला के रूप में परिवर्तनों को चिन्हित करने के लिए संवेदनशील है, तो इसके उपयोग से F के गुणांकों को अनुमानित करने के लिए बहुत बड़े T की आवश्यकता हो सकती है। सूत्र औपचारिक सीमा लिए बिना।

एपोस्टोल की पुस्तक में बताए गए पिछले सूत्र का एक अन्य संस्करण निम्नलिखित रूप में एक वैकल्पिक योग के लिए एक अभिन्न सूत्र प्रदान करता है $$c,x > 0$$ और कोई वास्तविक $$\Re(s) \equiv \sigma > \sigma_{a,f}-c$$ जहां हम निरूपित करते हैं $$\Re(s) := \sigma$$:


 * $${\sum_{n \leq x}}^{\prime} \frac{f(n)}{n^s} = \frac{1}{2\pi i} \int_{c-i\infty}^{c+i\infty} D_f(s+z) \frac{x^z}{z} dz.$$

इंटीग्रल और सीरीज़ ट्रांसफ़ॉर्मेशन
डिरिचलेट श्रृंखला का मेलिन व्युत्क्रम प्रमेय, s से विभाजित, पेरोन के सूत्र द्वारा दिया गया है। इसके अतिरिक्त, अगर $F(z) := \sum_{n \geq 0} f_n z^n$ के अनुक्रम का (औपचारिक) सामान्य जनक फलन है $$\{f_n\}_{n \geq 0}$$, फिर जनरेटिंग फ़ंक्शन अनुक्रम की डिरिचलेट श्रृंखला के लिए एक अभिन्न प्रतिनिधित्व, $$\{f_n z^n\}_{n \geq 0}$$, द्वारा दिया गया है
 * $$\sum_{n \geq 0} \frac{f_n z^n}{(n+1)^s} = \frac{(-1)^{s-1}}{(s-1)!} \int_0^1 \log^{s-1}(t) F(tz) \, dt,\ s \geq 1. $$

संबंधित व्युत्पन्न और श्रृंखला-आधारित जनरेटिंग फ़ंक्शन ट्रांसफ़ॉर्मेशन का एक अन्य वर्ग अनुक्रम के साधारण जनरेटिंग फ़ंक्शन पर डेरिवेटिव ट्रांसफ़ॉर्मेशन जो पिछले समीकरण में बाएं हाथ के विस्तार को प्रभावी ढंग से उत्पन्न करता है, क्रमशः में परिभाषित किया गया है।

शक्ति श्रृंखला से संबंध
अनुक्रम एnएक डिरिचलेट श्रृंखला जनरेटिंग फ़ंक्शन द्वारा उत्पन्न होता है जो इसके अनुरूप होता है:


 * $$\zeta(s)^m = \sum_{n=1}^\infty \frac{a_n}{n^s}$$

जहां ζ(s) रिमेंन जीटा फलन है, में सामान्य जनक फलन है:


 * $$\sum_{n=1}^\infty a_n x^n = x + {m \choose 1} \sum_{a=2}^\infty x^a + {m \choose 2} \sum_{a=2}^\infty \sum_{b=2}^\infty x^{ab} + {m \choose 3} \sum_{a=2}^\infty \sum_{b=2}^\infty \sum_{c=2}^\infty x^{abc} + {m \choose 4} \sum_{a=2}^\infty \sum_{b=2}^\infty \sum_{c=2}^\infty \sum_{d=2}^\infty x^{abcd} +\cdots$$

मेलिन ट्रांसफॉर्म्स के माध्यम से एक अंकगणितीय फ़ंक्शन के सारांश समारोह से संबंध
यदि f संबंधित DGF F के साथ एक अंकगणितीय फलन है, और f का योगात्मक फलन इसके द्वारा परिभाषित किया जाता है


 * : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : : :$$S_f(x) := \begin{cases} \sum_{n \leq x} f(n), & x \geq 1; \\ 0, & 0 < x < 1, \end{cases}$$ तब हम एफ को सारांश समारोह के मेलिन परिवर्तन द्वारा व्यक्त कर सकते हैं $$-s$$. अर्थात्, हमारे पास वह है


 * $$F(s) = s \cdot \int_1^{\infty} \frac{S_f(x)}{x^{s+1}} dx, \Re(s) > \sigma_{a,f}.$$ के लिए $$\sigma := \Re(s) > 0$$ और कोई प्राकृतिक संख्या $$N \geq 1$$, हमारे द्वारा दिए गए f के DGF F का सन्निकटन भी है


 * $$F(s) = \sum_{n \leq N} f(n) n^{-s} - \frac{S_f(N)}{N^{s}} + s \cdot \int_N^{\infty} \frac{S_f(y)}{y^{s+1}} dy.$$

यह भी देखें

 * जनरल डिरिचलेट श्रृंखला
 * जीटा समारोह नियमितीकरण
 * यूलर उत्पाद
 * डिरिक्लेट कनवल्शन

संदर्भ

 * The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs.  {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections
 * The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs.  {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections
 * The general theory of Dirichlet's series by G. H. Hardy. Cornell University Library Historical Math Monographs.  {Reprinted by} Cornell University Library Digital Collections