निष्क्रिय आव्यूह

रैखिक बीजगणित में, एक इडेम्पोटेंट मैट्रिक्स एक मैट्रिक्स (गणित) होता है, जिसे स्वयं से गुणा करने पर, स्वयं प्राप्त होता है। यानी मैट्रिक्स $$A$$ निष्क्रिय है यदि और केवल यदि $$A^2 = A$$. इस उत्पाद के लिए $$A^2$$ मैट्रिक्स गुणन होना, $$A$$ आवश्यक रूप से एक वर्ग मैट्रिक्स होना चाहिए। इस तरह से देखने पर, निष्क्रिय मैट्रिक्स मैट्रिक्स रिंगों के निष्क्रिय तत्व (रिंग सिद्धांत) हैं।

उदाहरण
इसके उदाहरण $$2 \times 2$$ निष्क्रिय मैट्रिक्स हैं: $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} 3 & -6 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} $$ इसके उदाहरण $$3 \times 3$$ निष्क्रिय मैट्रिक्स हैं: $$ \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \qquad \begin{bmatrix} 2 & -2 & -4 \\ -1 & 3 &  4 \\ 1 & -2 & -3 \end{bmatrix} $$

वास्तविक 2 × 2 मामला
यदि एक मैट्रिक्स $$\begin{pmatrix}a & b \\ c & d \end{pmatrix}$$ तो फिर, वह निष्क्रिय है इस प्रकार, ए के लिए एक आवश्यक शर्त $$2\times2$$ मैट्रिक्स का निष्क्रिय होना यह है कि या तो यह विकर्ण मैट्रिक्स है या इसका ट्रेस (रैखिक बीजगणित) 1 के बराबर है। निष्क्रिय विकर्ण मैट्रिक्स के लिए, $$a$$ और $$d$$ या तो 1 या 0 होना चाहिए.
 * $$a = a^2 + bc,$$
 * $$b = ab + bd,$$ जिसका अर्थ $$b(1 - a - d) = 0$$ इसलिए $$b = 0$$ या $$d = 1 - a,$$
 * $$c = ca + cd,$$ जिसका अर्थ $$c(1 - a - d) = 0$$ इसलिए $$c = 0$$ या $$d = 1 - a,$$
 * $$d = bc + d^2.$$

अगर $$b=c$$, गणित का सवाल $$\begin{pmatrix}a & b \\ b & 1 - a \end{pmatrix}$$ नपुंसक प्रदान किया जाएगा $$a^2 + b^2 = a ,$$ अतः a द्विघात समीकरण को संतुष्ट करता है
 * $$a^2 - a + b^2 = 0 ,$$ या $$\left(a - \frac{1}{2}\right)^2 + b^2 = \frac{1}{4}$$

जो केंद्र (1/2, 0) और त्रिज्या 1/2 वाला एक वृत्त है। कोण θ के संदर्भ में,
 * $$A = \frac{1}{2}\begin{pmatrix}1 - \cos\theta & \sin\theta \\ \sin\theta & 1 + \cos\theta \end{pmatrix}$$ नपुंसक है.

हालाँकि, $$b=c$$ कोई आवश्यक शर्त नहीं है: कोई भी मैट्रिक्स
 * $$\begin{pmatrix}a & b \\ c & 1 - a\end{pmatrix}$$ साथ $$a^2 + bc = a$$ नपुंसक है.

विलक्षणता और नियमितता
एकमात्र गैर-एकवचन मैट्रिक्स शिनाख्त सांचा पहचान मैट्रिक्स है; अर्थात्, यदि एक गैर-पहचान मैट्रिक्स निष्क्रिय है, तो इसकी स्वतंत्र पंक्तियों (और स्तंभों) की संख्या इसकी पंक्तियों (और स्तंभों) की संख्या से कम है।

इसे लेखन से देखा जा सकता है $$A^2 = A$$, ये मानते हुए $A$ की पूर्ण रैंक है (गैर-एकवचन है), और पूर्व-गुणा है $$A^{-1}$$ प्राप्त करने के लिए $$A = IA = A^{-1}A^2 = A^{-1}A = I$$.

जब एक निष्क्रिय मैट्रिक्स को पहचान मैट्रिक्स से घटा दिया जाता है, तो परिणाम भी निष्क्रिय होता है। यह तब से कायम है
 * $$(I-A)(I-A) = I-A-A+A^2 = I-A-A+A = I-A.$$

यदि एक मैट्रिक्स $A$ सभी धनात्मक पूर्णांक n के लिए निष्क्रिय है, $$A^n = A$$. इसे प्रेरण द्वारा प्रमाण का उपयोग करके दिखाया जा सकता है। स्पष्ट रूप से हमारे पास इसका परिणाम है $$n = 1$$, जैसा $$A^1 = A$$. लगता है कि $$A^{k-1} = A$$. तब, $$A^k = A^{k-1}A = AA = A$$, तब से $A$ नपुंसक है. अत: प्रेरण के सिद्धांत से परिणाम अनुसरण करता है।

आइजेनवैल्यू
एक निष्क्रिय मैट्रिक्स हमेशा विकर्णीय होता है। इसके eigenvalues ​​या तो 0 या 1 हैं: यदि $$\mathbf{x}$$ कुछ निष्क्रिय मैट्रिक्स का एक गैर-शून्य आइजनवेक्टर है $$A$$ और $$\lambda$$ तो फिर, इससे जुड़ा eigenvalue $\lambda \mathbf{x} = A \mathbf{x} = A^2\mathbf{x} = A \lambda \mathbf{x} = \lambda A \mathbf{x} = \lambda^2 \mathbf{x} ,$ जो ये दर्शाता हे $$\lambda \in \{ 0, 1 \} .$$ इसका तात्पर्य यह है कि एक निष्क्रिय मैट्रिक्स का निर्धारक हमेशा 0 या 1 होता है। जैसा कि ऊपर बताया गया है, यदि निर्धारक एक के बराबर है, तो मैट्रिक्स Invertible_matrix#The_invertible_matrix_theorem है और इसलिए यह पहचान मैट्रिक्स है।

ट्रेस
एक इडेम्पोटेंट मैट्रिक्स का ट्रेस (रैखिक बीजगणित) - इसके मुख्य विकर्ण पर तत्वों का योग - मैट्रिक्स की रैंक (रैखिक बीजगणित) के बराबर होता है और इस प्रकार हमेशा एक पूर्णांक होता है। यह रैंक की गणना करने का एक आसान तरीका प्रदान करता है, या वैकल्पिक रूप से एक मैट्रिक्स के ट्रेस को निर्धारित करने का एक आसान तरीका प्रदान करता है जिसके तत्व विशेष रूप से ज्ञात नहीं हैं (जो आंकड़ों में सहायक है, उदाहरण के लिए, उपयोग में पूर्वाग्रह (सांख्यिकी) की डिग्री स्थापित करने में) विचरण के अनुमान के रूप में विचरण)।

निष्क्रिय आव्यूहों के बीच संबंध
प्रतिगमन विश्लेषण में, मैट्रिक्स $$M = I - X(X'X)^{-1} X'$$ अवशिष्टों का उत्पादन करने के लिए जाना जाता है $$e$$ आश्रित चरों के वेक्टर के प्रतिगमन से $$y$$ सहसंयोजकों के मैट्रिक्स पर $$X$$. (एप्लिकेशन पर अनुभाग देखें।) अब, चलिए $$X_1$$ के स्तंभों के उपसमुच्चय से बना एक मैट्रिक्स बनें $$X$$, और जाने $$M_1 = I - X_1 (X_1'X_1)^{-1}X_1'$$. ये दोनों दिखाना आसान है $$M$$ और $$M_1$$ नपुंसक हैं, लेकिन कुछ हद तक आश्चर्यजनक तथ्य यह है $$M M_1 = M$$. यह है क्योंकि $$M X_1 = 0$$, या दूसरे शब्दों में, के स्तंभों के प्रतिगमन से अवशेष $$X_1$$ पर $$X$$ तब से 0 हैं $$X_1$$ इसे पूरी तरह से प्रक्षेपित किया जा सकता है क्योंकि यह इसका एक उपसमूह है $$X$$ (प्रत्यक्ष प्रतिस्थापन द्वारा यह दर्शाना भी सरल है $$M X = 0$$). इससे दो अन्य महत्वपूर्ण परिणाम सामने आते हैं: एक तो वह है $$(M_1 - M)$$ सममित और निष्क्रिय है, और दूसरा वह है $$(M_1 - M) M = 0$$, अर्थात।, $$(M_1 - M)$$ यह ऑर्थोगोनल है $$M$$. ये परिणाम महत्वपूर्ण भूमिका निभाते हैं, उदाहरण के लिए, एफ परीक्षण की व्युत्पत्ति में।

एक निष्क्रिय मैट्रिक्स का कोई भी मैट्रिक्स_समानता मैट्रिक्स भी निष्क्रिय होता है। आधार परिवर्तन के तहत निष्क्रियता को संरक्षित किया जाता है। इसे परिवर्तित मैट्रिक्स के गुणन के माध्यम से दिखाया जा सकता है $$एस ए एस^{-1}  के साथ गणित>ए$$ नपुंसक होना:  गणित> (एस ए एस^{-1})^2 =(एस ए एस^{-1})(एस ए एस^{-1}) = एस ए (एस^{-1}एस) ए एस^{-1} = एस ए^2 एस^{-1} = एस ए एस^{-1} .

अनुप्रयोग
प्रतिगमन विश्लेषण और अर्थमिति में निष्क्रिय मैट्रिक्स अक्सर उत्पन्न होते हैं। उदाहरण के लिए, सामान्य न्यूनतम वर्गों में, प्रतिगमन समस्या एक वेक्टर चुनना है $&beta;$गुणांक अनुमानों का ताकि चुकता अवशेषों (गलत पूर्वानुमानों) के योग को कम किया जा सकेi: मैट्रिक्स रूप में,
 * छोटा करना $$(y - X\beta)^\textsf{T}(y - X\beta) $$

कहाँ $$y$$ आश्रित और स्वतंत्र चर#सांख्यिकी अवलोकनों का एक वेक्टर है, और $$X$$ एक मैट्रिक्स है जिसका प्रत्येक कॉलम आश्रित और स्वतंत्र चर#सांख्यिकी में से एक पर टिप्पणियों का एक कॉलम है। परिणामी अनुमानक है


 * $$\hat\beta = \left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}y $$

जहां सुपरस्क्रिप्ट टी एक स्थानान्तरण को इंगित करता है, और अवशेषों का वेक्टर है



\hat{e} = y - X \hat\beta = y - X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}y = \left[I - X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}\right]y = My. $$ यहाँ दोनों $$M$$ और $$X\left(X^\textsf{T}X\right)^{-1}X^\textsf{T}$$(बाद वाले को टोपी मैट्रिक्स के रूप में जाना जाता है) निष्क्रिय और सममित मैट्रिक्स हैं, एक तथ्य जो वर्ग अवशेषों के योग की गणना करते समय सरलीकरण की अनुमति देता है:


 * $$\hat{e}^\textsf{T}\hat{e} = (My)^\textsf{T}(My) = y^\textsf{T}M^\textsf{T}My = y^\textsf{T}MMy = y^\textsf{T}My.$$

की निष्क्रियता $$M$$ अन्य गणनाओं में भी भूमिका निभाता है, जैसे अनुमानक के विचरण को निर्धारित करने में $$\hat{\beta}$$.

एक निष्क्रिय रैखिक ऑपरेटर $$P$$ स्तंभ स्थान पर एक प्रक्षेपण ऑपरेटर है $R(P)$ इसके शून्य स्थान के साथ $N(P)$. $$P$$ एक ऑर्थोगोनल प्रक्षेपण  ऑपरेटर है यदि और केवल यदि यह निष्क्रिय और सममित मैट्रिक्स है।

यह भी देखें

 * नपुंसकता
 * निलपोटेंट
 * प्रक्षेपण (रैखिक बीजगणित)
 * हैट मैट्रिक्स