ऑन शेल और ऑफ शेल

भौतिक विज्ञान में, विशेष रूप से क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, भौतिक प्रणाली के विन्यास जो गति के चिरसम्मत समीकरणों को आपूर्ति करते हैं, उन्हें "ऑन द मास शेल" या "सिम्पली मोर ओफ्तें ऑन शेल" कहा जाता है; जबकि जो नहीं होते हैं उन्हें "ऑफ द मास शेल", या ऑफ शेल कहा जाता है।

क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत में, आभासी कण को ऑफ शेल कहा जाता है क्योंकि वे ऊर्जा-संवेग संबंध को आपूर्ति नहीं करते हैं; वास्तविक विनिमय कण इस संबंध को आपूर्ति करते हैं और उन्हें शेल (मास शेल) कहा जाता है।  उदाहरण के लिए चिरसम्मत यांत्रिकी में, गति (भौतिकी) के सूत्रीकरण में, विचरणी नियम के चरम विलयन शेल पर होते हैं और यूलर-लग्रेंज समीकरण ऑन-शेल समीकरण देते हैं। भौतिक गति और संरक्षण नियम की अलग-अलग समरूपता के बारे में नोएदर का प्रमेय अन्य ऑन-शेल प्रमेय है।

मास शेल
मास शेल द्रव्यमान अतिपरवलयज(हाइपरबोलॉइड) का पर्याय है, जिसका अर्थ है ऊर्जा-संवेग समष्टि में हाइपरबोलॉइड समीकरण के विलयन का वर्णन करता है:


 * $$E^2 - |\vec{p} \,|^2 c^2 = m_0^2 c^4$$,
 * र्द्रव्यमान-ऊर्जा तुल्यता सूत्र जो ऊर्जा $$E$$ देता है गति के संदर्भ में $$\vec{p}$$ और बाकी द्रव्यमान $$m_0$$ एक कण का। द्रव्यमान शेल के लिए समीकरण भी अक्सर चार-संवेग के संदर्भ में लिखा जाता है; आइंस्टीन संकेतन में मीट्रिक हस्ताक्षर (+,−,−,−) और इकाइयों के साथ जहां प्रकाश की गति $$c = 1$$, जैसा $$p^\mu p_\mu \equiv p^2 = m^2$$. साहित्य में भी सामना हो सकता है $$p^\mu p_\mu = - m^2$$ यदि प्रयुक्त मीट्रिक हस्ताक्षर (−,+,+,+) है।

एक बदले हुए आभासी कण का चार-संवेग $$X$$ है $$q_\mu$$, द्रव्यमान के साथ $$q^2 = m_X^2$$. चार गति $$q_\mu$$ आभासी कण आने वाले और बाहर जाने वाले कणों के चार-संवेगों के बीच का अंतर है।

फेनमैन आरेख में आंतरिक प्रचारकों के अनुरूप आभासी कणों को आम तौर पर शेल से बाहर होने की अनुमति दी जाती है, लेकिन इस प्रक्रिया के लिए आयाम कम हो जाएगा कि वे कितनी दूर शेल हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि $$q^2$$-प्रचारक की निर्भरता आने वाले और बाहर जाने वाले कणों के चार-क्षण द्वारा निर्धारित की जाती है। प्रचारक के पास आम तौर पर बड़े शेल पर गणितीय विलक्षणता होती है। प्रचारक की बात करते समय, के लिए नकारात्मक मान $$E$$ जो समीकरण को आपूर्ति करते हैं उन्हें शेल पर माना जाता है, हालांकि चिरसम्मत सिद्धांत एक कण की ऊर्जा के लिए नकारात्मक मूल्यों की अनुमति नहीं देता है। ऐसा इसलिए है क्योंकि प्रचारक एक अभिव्यक्ति में उन मामलों को शामिल करता है जिनमें कण एक दिशा में ऊर्जा वहन करता है, और जिसमें उसका प्रतिकण दूसरी दिशा में ऊर्जा वहन करता है; नकारात्मक और सकारात्मक ऑन-शेल $$E$$ तो बस सकारात्मक ऊर्जा के विपरीत प्रवाह का प्रतिनिधित्व करते हैं।

अदिश क्षेत्र
एक उदाहरण डी-डायमेंशनल मिंकोव्स्की अंतरिक्ष में एक स्केलर क्षेत्र सिद्धांत पर विचार करने से आता है। द्वारा दिए गए एक Lagrangian घनत्व पर विचार करें $$\mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)$$. गति (भौतिकी) # गति (कार्यात्मक)


 * $$S = \int d^D x \mathcal{L}(\phi,\partial_\mu \phi)$$

इस गति के लिए यूलर-लैग्रेंज समीकरण विविधताओं के कलन#यूलर द्वारा पाया जा सकता है। E2.80.93 लैग्रेंज समीकरण, और है:


 * $$\partial_\mu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi}$$

अब, एक अतिसूक्ष्म स्पेसटाइम अनुवाद (गणित) पर विचार करें $$x^\mu \rightarrow x^\mu +\alpha^\mu$$. Lagrangian घनत्व $$\mathcal{L}$$ एक अदिश राशि है, और इसलिए यह असीम रूप से रूपांतरित होगा $$\delta \mathcal{L} = \alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L}$$ असीम परिवर्तन के तहत। दूसरी ओर, टेलर के विस्तार से, हमारे पास सामान्य रूप से है


 * $$\delta \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \delta \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\mu \phi)} \delta( \partial_\mu \phi) $$

के लिए प्रतिस्थापन $$\delta \mathcal{L}$$ और यह ध्यान में रखते हुए $$\delta( \partial_\mu \phi) = \partial_\mu ( \delta \phi)$$ (चूंकि स्पेसटाइम में प्रत्येक बिंदु पर विविधताएं स्वतंत्र हैं):


 * $$\alpha^\mu \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \alpha^\mu \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \alpha^\mu \partial_\mu \partial_\nu \phi $$

चूंकि इसे स्वतंत्र अनुवादों के लिए धारण करना है $$\alpha^\mu = (\epsilon, 0,...,0), (0,\epsilon, ...,0), ...$$, हम द्वारा विभाजित कर सकते हैं $$\alpha^\mu$$ और लिखा:


 * $$ \partial_\mu \mathcal{L} = \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial \phi} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi $$

यह समीकरण का एक उदाहरण है जो शेल को बंद रखता है, क्योंकि यह किसी भी फ़ील्ड कॉन्फ़िगरेशन के लिए सही है, भले ही यह गति के समीकरणों का सम्मान करता हो (इस मामले में, ऊपर दिए गए यूलर-लैग्रेंज समीकरण)। हालाँकि, हम केवल यूलर-लैग्रेंज समीकरण को प्रतिस्थापित करके शेल समीकरण पर प्राप्त कर सकते हैं:


 * $$ \partial_\mu \mathcal{L} = \partial_\nu \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \phi + \frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \partial_\nu \phi $$

हम इसे इस प्रकार लिख सकते हैं:


 * $$ \partial_\nu \left (\frac{\partial \mathcal{L}}{\partial (\partial_\nu \phi)} \partial_\mu \phi -\delta^\nu_\mu \mathcal{L} \right) = 0 $$

और अगर हम मात्रा को कोष्ठक में परिभाषित करते हैं $$T^\nu{}_\mu$$, अपने पास:


 * $$\partial_\nu T^\nu{}_\mu = 0$$

यह नोथेर के प्रमेय का एक उदाहरण है। यहां, संरक्षित मात्रा तनाव-ऊर्जा टेंसर है, जो केवल शेल पर संरक्षित होती है, यानी गति के समीकरण आपूर्ति होते हैं।