सामान्यीकृत चतुर्भुज

ज्यामिति में, सामान्यीकृत चतुष्कोण एक घटना संरचना है जिसकी मुख्य विशेषता किसी भी त्रिभुज की कमी है (फिर भी कई चतुर्भुज होते हैं)। परिभाषा के अनुसार सामान्यीकृत चतुष्कोण कोटि दो का ध्रुवीय स्थान है। वे n = 4 के साथ सामान्यीकृत n-gons और n = 2 के साथ लगभग 2n-gons हैं। वे आंशिक ज्यामिति pg(s,t,α) α = 1 के साथ भी सटीक रूप से हैं।

परिभाषा
सामान्यीकृत चतुर्भुज एक आपतन संरचना (P,B,I) है, जिसमें I ⊆ P × B आपतन संबंध के रूप में है, जो कुछ स्वयंसिद्धों को संतुष्ट करता है। परिभाषा के अनुसार P के अवयव सामान्यीकृत चतुष्कोण के बिंदु हैं, और B के अवयव रेखाएँ हैं। स्वयंसिद्ध निम्नलिखित हैं:


 * s (s ≥ 1) इस प्रकार है कि प्रत्येक रेखा पर ठीक s + 1 बिंदु हैं। दो अलग-अलग रेखाओं पर अधिकतम बिंदु होता है।
 * t (t ≥ 1) ऐसा है कि हर बिंदु के माध्यम से बिल्कुल t + 1 रेखाएं होती हैं। दो भिन्न बिन्दुओं से होकर जाने वाली अधिकतम एक रेखा है।
 * प्रत्येक बिंदु p के लिए जो रेखा L पर नहीं है, अद्वितीय रेखा M और अद्वितीय बिंदु q है, जैसे कि p, M पर है और q, M और L पर है।

(s,t) सामान्यीकृत चतुष्कोण के मापदंड हैं। मापदंडों को अनंत होने की अनुमति है। यदि या तो s या t एक है, तो सामान्यीकृत चतुष्कोण नगण्य कहलाता है। उदाहरण के लिए, P = {1,2,3,4,5,6,7,8,9} और B = {123, 456, 789, 147, 258, 369} के साथ 3x3 ग्रिड साधारण GQ है s = 2 और t = 1। प्राचलों (s,t) के साथ सामान्यीकृत चतुष्कोण को प्रायः GQ(s,t) द्वारा निरूपित किया जाता है।

सबसे छोटा गैर-तुच्छ सामान्यीकृत चतुष्कोण GQ(2,2) है, जिसका प्रतिनिधित्व 1973 में स्टेन पायने द्वारा "द डोइली" अनुबंध दिया गया है।

गुण

 * $$|P|=(s t+1)(s+1)$$
 * $$|B|=(s t+1)(t+1)$$
 * $$(s+t)|st(s+1)(t+1)$$
 * $$s\neq 1 \Longrightarrow t\leq s^2$$
 * $$t\neq 1 \Longrightarrow s\leq t^2$$

रेखांकन
सामान्यीकृत चतुर्भुज से दो दिलचस्प रेखांकन प्राप्त किए जा सकते हैं।
 * कोलीनियरिटी ग्राफ़ में सामान्यीकृत चतुर्भुज के बिंदु होते हैं, जिसमें कोलीनियर पॉइंट जुड़े होते हैं। यह ग्राफ़ मापदंडों ((s+1)(st+1), s(t+1), s-1, t+1) के साथ दृढ़ता से नियमित ग्राफ़ है जहां (s,t) GQ का क्रम है।
 * घटना ग्राफ जिसके शीर्ष सामान्यीकृत चतुर्भुज के बिंदु और रेखाएँ हैं और दो कोने आसन्न हैं यदि एक बिंदु है, तो दूसरा एक रेखा है और बिंदु रेखा पर स्थित है। सामान्यीकृत चतुष्कोण का घटना ग्राफ चार के व्यास और आठ के घेरे के साथ जुड़ा हुआ, द्विदलीय ग्राफ होने की विशेषता है। इसलिए यह केज का उदाहरण है। विन्यास के घटना ग्राफ को आज आम तौर पर लेवी ग्राफ कहा जाता है, लेकिन मूल लेवी ग्राफ GQ(2,2) का घटना ग्राफ था।

द्वैत
अगर (P,B,I) पैरामीटर (s,t) के साथ सामान्यीकृत चतुर्भुज है, तो (B,P,I−1), I−1 के साथ व्युत्क्रम घटना संबंध भी सामान्यीकृत चतुर्भुज है। यह दोहरा सामान्यीकृत चतुष्कोण है। इसके पैरामीटर हैं (t,s) यहां तक कि अगर s = t, दोहरी संरचना को मूल संरचना के साथ आइसोमॉर्फिक होने की आवश्यकता नहीं है।

सामान्यीकृत चतुष्कोण आकार 3 की रेखाओं के साथ
वास्तव में पाँच (संभवतः पतित) सामान्यीकृत चतुष्कोण हैं जहाँ प्रत्येक रेखा के साथ तीन बिंदु आपस में जुड़े हुए हैं, खाली रेखा सेट के साथ चतुर्भुज, पवनचक्की ग्राफ Wd(3,n) के अनुरूप एक निश्चित बिंदु के माध्यम से सभी रेखाओं वाला चतुर्भुज, आकार 3x3 का ग्रिड, GQ(2,2) चतुर्भुज और अद्वितीय GQ(2,4)। ये पांच चतुष्कोण एडीई कक्षाओं An, Dn, E6, E7 and E8 में पांच वर्ग प्रणाली के अनुरूप हैं, यानी सरल रूप से वर्ग प्रणाली। और देखें।

चिरसम्मत सामान्यीकृत चतुष्कोण
कम से कम तीन रैंक के ध्रुवीय स्थानों के लिए अलग-अलग मामलों को देखते हुए, और उन्हें रैंक 2 पर बाह्य गणन करते हुए, इन (परिमित) सामान्यीकृत चतुर्भुज मिलते हैं:


 * अतिपरवलयिक चतुर्भुज $$Q^+(3,q)$$ परवलयिक चतुर्भुज $$Q(4,q)$$ और दीर्घवृत्तीय चतुर्भुज $$Q^-(5,q)$$प्रक्षेपी सूचकांक 1 के साथ परिमित क्षेत्रों पर प्रक्षेपी स्थानों में एकमात्र संभव द्विघात हैं। हम इन मापदंडों को क्रमशः पाते हैं:
 * $$Q(3,q) :\ s=q,t=1$$ (यह सिर्फ एक ग्रिड है)
 * $$Q(4,q) :\ s=q,t=q$$
 * $$Q(5,q) :\ s=q,t=q^2$$


 * हर्मिटियन विविधता $$H(n,q^2)$$ का प्रक्षेपी सूचकांक 1 है अगर और केवल अगर n 3 या 4 है। हम देखतें है :
 * $$ H(3,q^2) :\ s=q^2,t=q$$
 * $$H(4,q^2) :\ s=q^2,t=q^3$$


 * $$PG(2d+1,q)$$ में सहानुभूतिपूर्ण ध्रुवीयता में आयाम 1 का अधिकतम समस्थानिक उपस्थान होता है यदि और केवल यदि $$d=1$$। यहाँ, हम $$s=q,t=q$$ के साथ सामान्यीकृत चतुष्कोण $$W(3,q)$$ पाते हैं।

$$Q(4,q)$$ से प्राप्त सामान्यीकृत चतुष्कोण हमेशा $$W(3,q)$$ के दोहरे के साथ समरूप होता है, और वे दोनों स्व-द्वैत होते हैं और इस प्रकार एक दूसरे के लिए समरूप होते हैं यदि और केवल यदि $$q$$ भी सम हो।

गैर चिरसम्मत उदाहरण

 * मान लेते हैं $$PG(2,q)$$ में q प्राइम पावर के साथ अति दीर्घवृत्त हो, और उस प्रक्षेपी (डिसार्गेशियन) प्लेन $$\pi$$ को $$PG(3,q)$$ में अंतःस्थापित करें। अब आपतन संरचना $$T_2^{*}(O)$$ पर विचार करें जहाँ बिंदु सभी बिंदु $$\pi$$ में नहीं हैं, रेखाएँ वे हैं जो $$\pi$$ पर नहीं हैं, $$\pi$$ को O के एक बिंदु पर प्रतिच्छेद करती हैं, और घटना प्राकृतिक है। यह (q-1,q+1)-सामान्यीकृत चतुर्भुज है।
 * मान लेते हैं q प्राइम पावर (विषम या सम) हो और $$PG(3,q)$$ में सहानुभूतिपूर्ण ध्रुवता $$\theta$$ पर विचार करें। अनियमित बिंदु p चुनें और $$\pi=p^{\theta}$$ को परिभाषित करें। हमारी आपतन संरचना की रेखाओं को $$\pi$$ पर नहीं सभी निरपेक्ष रेखाएं होने दें, साथ ही p से होकर जाने वाली सभी रेखाएं जो $$\pi$$ पर नहीं हैं, और बिंदुओं को $$\pi$$ में छोड़कर $$PG(3,q)$$ के सभी बिंदु होने दें। घटना फिर से प्राकृतिक है। हमें एक बार फिर से (q-1,q+1)-सामान्यीकृत चतुर्भुज प्राप्त होता है।

मापदंडों पर प्रतिबंध
ग्रिड और दोहरी ग्रिड का उपयोग करके, कोई भी पूर्णांक z, z ≥ 1 पैरामीटर (1, z) और (z, 1) के साथ सामान्यीकृत चतुर्भुजों की अनुमति देता है। इसके अलावा, अभी तक केवल निम्न पैरामीटर संभव पाए गए हैं, q के साथ याच्छिक प्राइम पावर:


 * $$ (q,q)$$
 * $$ (q,q^2)$$ और $$ (q^2,q)$$
 * $$ (q^2,q^3)$$ और $$ (q^3,q^2)$$
 * $$ (q-1,q+1)$$ और $$ (q+1,q-1)$$

संदर्भ

 * S. E. Payne and J. A. Thas. Finite generalized quadrangles. Research Notes in Mathematics, 110. Pitman (Advanced Publishing Program), Boston, MA, 1984. vi+312 pp. ISBN 0-273-08655-3, link http://cage.ugent.be/~bamberg/FGQ.pdf