मोनोड्रोमी

गणित में, मोनोड्रोमी इस बात का अध्ययन करता है कि कैसे गणितीय विश्लेषण, बीजगणितीय टोपोलॉजी, बीजगणितीय ज्यामिति और विभेदक ज्यामिति से वस्तुएं कैसे व्यवहार करती हैं, क्योंकि वे एक गणितीय विलक्षणता "राउंड रन" करते हैं। जैसा कि नाम से ही स्पष्ट है, मोनोड्रोमी का मूल अर्थ "रनिंग राउंड सिंगलली" से आता है।   यह नक्शों को ढंकने और रामीकरण (गणित) में उनके अध: पतन से निकटता से जुड़ा हुआ है; मोनोड्रोमी घटना को जन्म देने वाला पहलू यह है कि कुछ कार्य (गणित) जिन्हें हम परिभाषित करना चाहते हैं, वे 'एकल-मूल्यवान' होने में विफल हो सकते हैं क्योंकि हम एक विलक्षणता को घेरने वाले मार्ग पर चलते हैं। मोनोड्रोमी की विफलता को एक मोनोड्रोमी समूह को परिभाषित करके मापा जा सकता है: डेटा पर कार्य करने वाले परिवर्तनों का एक समूह (गणित) जो एन्कोड करता है कि क्या होता है जब हम एक आयाम में घूमते हैं। मोनोड्रोमी की कमी को कभी-कभी 'पॉलीड्रोमी' कहा जाता है।

परिभाषा
होने देना $X$ बेस पॉइंट के साथ कनेक्टेड और स्थानीय रूप से कनेक्टेड आधारित टोपोलॉजिकल स्पेस हो $x$, और जाने $$p: \tilde{X} \to X$$ फाइबर के साथ एक कवरिंग मैप बनें (गणित) $$F = p^{-1}(x)$$. एक पाश के लिए $γ: [0, 1] → X$ पर आधारित $x$, एक बिंदु पर शुरू होने वाले कवरिंग मैप के तहत एक होमोटॉपी उठाने की संपत्ति  को निरूपित करें $$\tilde{x} \in F$$, द्वारा $$\tilde{\gamma}$$. अंत में, हम द्वारा निरूपित करते हैं $$\tilde{x} \cdot \tilde{\gamma}$$ समापन बिंदु $$\tilde{\gamma}(1)$$, जो सामान्यतः से अलग होता है $$\tilde{x}$$. ऐसे प्रमेय हैं जो बताते हैं कि यह निर्माण मौलिक समूह की एक अच्छी तरह से परिभाषित समूह क्रिया (गणित) देता है $π_{1}(X, x)$ पर $F$, और वह स्टेबलाइज़र (समूह सिद्धांत)। $$\tilde{x}$$ बिल्कुल सही है $$p_*\left(\pi_1\left(\tilde{X}, \tilde{x}\right)\right)$$, अर्थात् एक तत्व $[γ]$ में एक बिंदु तय करता है $F$ अगर और केवल अगर यह एक लूप की छवि द्वारा दर्शाया गया है $$\tilde{X}$$ पर आधारित $$\tilde{x}$$. इस क्रिया को मोनोड्रोमी क्रिया और संबंधित समूह समरूपता कहा जाता है $\pi_{1}(X, x) → Aut(H_{*}(F_{x}))$ ऑटोमोर्फिज़्म समूह में $F$ बीजगणितीय मोनोड्रोमी है। इस समरूपता की छवि मोनोड्रोमी समूह है। एक और नक्शा है $\pi_{1}(X, x) → Diff(F_{x})/Is(F_{x})$ जिसकी छवि को टोपोलॉजिकल मोनोड्रोमी ग्रुप कहा जाता है।

उदाहरण
इन विचारों को सबसे पहले सम्मिश्र विश्लेषण में स्पष्ट किया गया था। विश्लेषणात्मक निरंतरता की प्रक्रिया में, फलन जो पंपरिवर्ती सम्मिश्र समतल ℂ \ {0} के कुछ खुले उपसमुच्चय E में  विश्लेषणात्मक फलन F(z) में, वापस जारी रखा जा सकता है, किन्तु विभिन्न मूल्यों के साथ। उदाहरण के लिए,


 * $$\begin{align}

F(z) &= \log(z) \\ E &= \{z\in \mathbb{C} \mid \operatorname{Re}(z)>0\} \end{align}$$ फिर विश्लेषणात्मक निरंतरता वृत्त के चारों ओर वामा व्रत


 * $$|z| = 1$$

वापसी में परिणाम होगा, किन्तु $F(z)$ के लिए नहीं


 * $$F(z) + 2\pi i$$

इस स्थिति में मोनोड्रोमी समूह अनंत चक्रीय है और आवरण स्थान पंपरिवर्ती सम्मिश्र समतल का सार्वभौमिक आवरण है। इस आवरण को हेलिकॉइड के रूप में देखा जा सकता है (जैसा कि हेलिकॉइड लेख में परिभाषित किया गया है) ρ> 0 तक प्रतिबंधित है। कवरिंग मैप एक वर्टिकल प्रोजेक्शन है, एक तरह से पंपरिवर्ती समतल पाने के लिए स्पष्ट विधि से सर्पिल को ढहाना है।

सम्मिश्र डोमेन में विभेदक समीकरण
एक महत्वपूर्ण अनुप्रयोग अंतर समीकरणों के लिए है, जहां एक एकल समाधान विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा आगे रैखिक रूप से स्वतंत्र समाधान दे सकता है। सम्मिश्र समतल में एक खुले, कनेक्टेड सेट S में परिभाषित रेखीय अंतर समीकरणों में एक मोनोड्रोमी समूह होता है, जो (अधिक त्रुटिहीन रूप से) S के मौलिक समूह का रैखिक प्रतिनिधित्व है, जो S के भीतर सभी विश्लेषणात्मक निरंतरताओं को गोल गोल लूपों को सारांशित करना है। व्युत्क्रम समस्या, समीकरण (नियमित विलक्षणता के साथ) का निर्माण करने के लिए, एक प्रतिनिधित्व दिया जाता है, जिसे रीमैन-हिल्बर्ट समस्या कहा जाता है।

एक नियमित (और विशेष रूप से फ्यूचियन) रैखिक प्रणाली के लिए सामान्यतः मोनोड्रोमी समूह के जनरेटर के रूप में ऑपरेटर Mj को लूप के अनुरूप चुनता है, जिनमें से प्रत्येक सिस्टम के ध्रुवों में से केवल एक को वामावर्त घुमाता है। यदि सूचकांक j को इस तरह से चुना जाता है कि वे 1 से बढ़कर p + 1 हो जाते हैं जब कोई आधार बिंदु को दक्षिणावर्त घुमाता है, तो जनरेटर के बीच एकमात्र संबंध समानता है $$M_1\cdots M_{p+1}=\operatorname{id}$$. Deligne- सिम्सन समस्या निम्नलिखित प्राप्ति समस्या है: GL(n, 'C') में संयुग्मन वर्गों के किन टुपल्स के लिए उपरोक्त संबंध को संतुष्ट करने वाले इन वर्गों से मेट्रिसेस Mj के इरेड्यूसिबल टुपल्स सम्मलित हैं? इस समस्या को पियरे डेलिग्ने द्वारा तैयार किया गया है और कार्लोस सिम्पसन इसके समाधान की दिशा में परिणाम प्राप्त करने वाले पहले व्यक्ति थे। व्लादिमीर कोस्तोव द्वारा फ्यूचियन सिस्टम के अवशेषों के बारे में समस्या का एक योगात्मक संस्करण तैयार और खोजा गया है। समस्या को GL(n, 'C') के अतिरिक्त मैट्रिक्स समूहों के लिए भी अन्य लेखकों द्वारा समस्या पर विचार किया गया है।

सामयिक और ज्यामितीय दृष्टिकोण
कवरिंग मानचित्र की स्थिति में, हम इसे कंपन के एक विशेष स्थितियों के रूप में देखते हैं, और होमोटॉपी उत्थापित की गयी विशेशता का उपयोग आधार समष्‍टि X पर पथों का "अनुसरण" करने के लिए करते हैं (हम इसे सरलता के लिए पथ से जुड़े मानते हैं) जैसा कि वे कवर c में उत्थापित किये जाते हैं। यदि हम एक्स में एक्स पर आधारित एक लूप का पालन करते हैं, जिसे हम एक्स के ऊपर c पर प्रारंभ करने के लिए उत्थापित रहता हैं, तो एक्स के ऊपर कुछ c* पर समाप्त हो जाते है ; यह संभव है कि c ≠ c*, और इसे कोड करने के लिए मौलिक समूह π1(X, x) की कार्रवाई को c के सेट पर क्रमपरिवर्तन समूह के रूप में माना जाता है, इस संदर्भ में एक 'मोनोड्रोमी समूह' के रूप में जाना जाता है।

विभेदक ज्यामिति में, समानांतर परिवहन द्वारा एक समान भूमिका निभाई जाती है। एक समतल मैनिफोल्ड एम पर एक प्रमुख बंडल बी में, एक कनेक्शन एम में एम से ऊपर के तंतुओं से क्षैतिज गति की अनुमति देता है। एम पर आधारित लूपों पर लागू होने पर प्रभाव एम पर फाइबर के अनुवाद के एक ' होलोनॉमी ' समूह को परिभाषित करना है; यदि B का संरचना समूह G है, तो यह G का एक उपसमूह है जो गुणनफल पूल M × G से B के विचलन को मापता है।

मोनोड्रोमी ग्रुपॉयड और फोलिएशन
मौलिक समूह के अनुरूप एक आधार बिंदु की विकल्प से मुक्त करना और एक मोनोड्रोमी ग्रुपॉयड को परिभाषित करना संभव होता है। यहां हम कंपन के आधारसमष्‍टि X में मार्ग के लिफ्टों (होमोटॉपी क्लास) पर विचार करते हैं $$p:\tilde X\to X$$ परिणाम में  आधारसमष्‍टि X के ऊपर एक समूह की संरचना होती है। लाभ यह है कि हम X की संबद्धता की स्थिति को कम कर सकते हैं।

इसके अतिरिक्त निर्माण को पर्णसमूह के लिए सामान्यीकृत भी किया जा सकता है: विचार करें $$(M,\mathcal{F})$$ A (संभवतः एकमात्र) M का वर्क होता है। फिर प्रत्येक पथ के लिए एक वर्क में $$\mathcal{F}$$ समापन बिंदुओं के माध्यम से स्थानीय अनुप्रस्थ वर्गों पर इसके भिन्नता पर विचार कर सकते हैं। एक साधारण रूप से जुड़े हुए मानचित्र के भीतर यह अंतररूपवाद अद्वितीय और विशेष रूप से अलग-अलग अनुप्रस्थ वर्गों के बीच विहित हो जाता है यदि हम अंत बिंदुओं के चारों ओर भिन्नता के रोगाणु पर जाते हैं। इस तरह यह एक साधारण रूप से जुड़े मानचित्र के भीतर पथ (निश्चित समापन बिंदुओं के बीच) से भी स्वतंत्र हो जाता है और इसलिए समरूपता के तहत अपरिवर्तनीय होता है।

गाल्वा सिद्धांत के माध्यम से परिभाषा
F(x) क्षेत्र F पर परिवर्ती x में परिमेय फलन के क्षेत्र को निरूपित करें, जो कि बहुपद वलय F[x] के अंशों का क्षेत्र है। F(x) का एक अवयव y = f(x) परिमित क्षेत्र विस्तार [F(x) : F(y)] निर्धारित करता है।

यह विस्तार सामान्यतः गैलोइस नहीं है, किन्तु गैलोइस क्लोजर L(f) होता है। विस्तार [L(f) : F(y)] के संबंधित गैल्वा समूह को f का मोनोड्रोमी समूह कहा जाता है।

F = C रीमैन सतह सिद्धांत के स्थिति में अंतःस्राव करता है और ऊपर दी गई ज्यामितीय व्याख्या के लिए अनुमति देता है। इस स्थिति में विस्तार [C(x) : C(y)] पहले से ही गैलोज़, संबंधित मोनोड्रोमी समूह को कभी-कभी डेक परिवर्तनों का समूह कहा जाता है।

इसका संबंध अंतरालक स्थान में समुपयोग, करने के गैल्वा सिद्धांत से है जो रीमैन अस्तित्व प्रमेय की ओर ले जाता है।

यह भी देखें

 * चोटी समूह
 * प्रमेय मोनोड्रोम
 * मानचित्रण वर्ग समूह (पंपरिवर्ती डिस्क का)

संदर्भ

 * "Group-groupoids and monodromy groupoids", O. Mucuk, B. Kılıçarslan, T. ¸Sahan, N. Alemdar, Topology and its Applications 158 (2011) 2034–2042 doi:10.1016/j.topol.2011.06.048
 * R. Brown Topology and Groupoids (2006).
 * P.J. Higgins, "Categories and groupoids", van Nostrand (1971) TAC Reprint
 * H. Żołądek, "The Monodromy Group", Birkhäuser Basel 2006; doi: 10.1007/3-7643-7536-1
 * H. Żołądek, "The Monodromy Group", Birkhäuser Basel 2006; doi: 10.1007/3-7643-7536-1