अवस्था संक्रमण आव्यूह

नियंत्रण सिद्धांत में, अवस्था संक्रमण आव्यूह एक आव्यूह है जिसका गुणन फल अवस्था वेक्टर $$x$$ प्रारंभिक समय में $$t_0$$ देता है $$x$$ बाद के समय में $$t$$ के साथ होता है। अवस्था-संक्रमण आव्यूह का उपयोग रैखिक गतिशील प्रणालियों का सामान्य समाधान प्राप्त करने के लिए किया जा सकता है।

रैखिक प्रणाली समाधान
अवस्था-संक्रमण आव्यूह का उपयोग निम्नलिखित रूप में एक रैखिक प्रणाली के सामान्य अवस्था-संक्रमण प्रतिनिधित्व का समाधान खोजने के लिए किया जाता है
 * $$\dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{A}(t) \mathbf{x}(t) + \mathbf{B}(t) \mathbf{u}(t),    \;\mathbf{x}(t_0) = \mathbf{x}_0 $$,

जहाँ $$\mathbf{x}(t)$$ प्रणाली की स्थितियाँ हैं, $$\mathbf{u}(t)$$ निविष्ट संकेत है, $$\mathbf{A}(t)$$ और $$\mathbf{B}(t)$$ आव्यूह फलन हैं, और $$\mathbf{x}_0$$ पर $$t_0$$ प्रारंभिक स्थिति है। $$\mathbf{\Phi}(t, \tau)$$ अवस्था-संक्रमण आव्यूह का उपयोग करना, समाधान इस प्रकार दिया गया है:
 * $$\mathbf{x}(t)= \mathbf{\Phi} (t, t_0)\mathbf{x}(t_0)+\int_{t_0}^t \mathbf{\Phi}(t, \tau)\mathbf{B}(\tau)\mathbf{u}(\tau)d\tau$$

पहले शब्द को शून्य-निविष्ट प्रतिक्रिया के रूप में जाना जाता है और यह दर्शाता है कि किसी भी निविष्ट के अभाव में प्रणाली की स्थिति कैसे विकसित होगी। दूसरे शब्द को शून्य-स्थिति प्रतिक्रिया के रूप में जाना जाता है और यह परिभाषित करता है कि निविष्ट प्रणाली को कैसे प्रभावित करते हैं।

पीनो-बेकर श्रृंखला
सबसे सामान्य संक्रमण आव्यूह पीनो-बेकर श्रृंखला द्वारा दिया गया है
 * $$ \mathbf{\Phi}(t,\tau) = \mathbf{I} + \int_\tau^t\mathbf{A}(\sigma_1)\,d\sigma_1 + \int_\tau^t\mathbf{A}(\sigma_1)\int_\tau^{\sigma_1}\mathbf{A}(\sigma_2)\,d\sigma_2\,d\sigma_1 + \int_\tau^t\mathbf{A}(\sigma_1)\int_\tau^{\sigma_1}\mathbf{A}(\sigma_2)\int_\tau^{\sigma_2}\mathbf{A}(\sigma_3)\,d\sigma_3\,d\sigma_2\,d\sigma_1 + ...$$

जहाँ $$\mathbf{I}$$ पहचान आव्यूह है. यह आव्यूह समान रूप से और पूरी तरह से एक ऐसे समाधान में परिवर्तित होता है जो उपस्थित है और अद्वितीय है।

अन्य गुण
अवस्था संक्रमण आव्यूह $$ \mathbf{\Phi}$$ निम्नलिखित संबंध को संतुष्ट करता है:

1. यह सतत है और इसके निरंतर व्युत्पन्न हैं।

2, यह कभी विलक्षण नहीं होता; वास्तव में $$\mathbf{\Phi}^{-1}(t, \tau) = \mathbf{ \Phi}(\tau, t)$$ और $$\mathbf{\Phi}^{-1}(t, \tau)\mathbf{\Phi}(t, \tau) = I$$, जहाँ $$I$$ पहचान आव्यूह है।

3. सभी $$t$$ के लिए $$\mathbf{\Phi}(t, t) = I$$।

4. सभी $$t_0 \leq t_1 \leq t_2$$ के लिए $$\mathbf{\Phi}(t_2, t_1)\mathbf{\Phi}(t_1, t_0) = \mathbf{\Phi}(t_2, t_0)$$।

5. यह अवकल समीकरण को संतुष्ट करता है $$\frac{\partial \mathbf{\Phi}(t, t_0)}{\partial t} = \mathbf{A}(t)\mathbf{\Phi}(t, t_0)$$ प्रारंभिक उपबंध $$\mathbf{\Phi}(t_0, t_0) = I$$ के साथ।

6. अवस्था-संक्रमण आव्यूह $$\mathbf{\Phi}(t, \tau)$$, द्वारा दिए गए
 * $$\mathbf{\Phi}(t, \tau)\equiv\mathbf{U}(t)\mathbf{U}^{-1}(\tau)$$

जहां $$n \times n$$ आव्यूह $$\mathbf{U}(t)$$ मौलिक आव्यूह (रैखिक अंतर समीकरण) है जो संतुष्ट करता है
 * $$\dot{\mathbf{U}}(t)=\mathbf{A}(t)\mathbf{U}(t)$$ प्रारंभिक उपबंध के साथ $$\mathbf{U}(t_0) = I$$।

7. अवस्था को देखते हुए $$\mathbf{x}(\tau)$$ किसी भी समय $$\tau$$, किसी अन्य समय में अवस्था $$t$$ प्रतिचित्रण द्वारा दिया गया है
 * $$\mathbf{x}(t)=\mathbf{\Phi}(t, \tau)\mathbf{x}(\tau)$$

अवस्था-संक्रमण आव्यूह का अनुमान
समय-अपरिवर्तनीय सन्दर्भ में, हम आव्यूह घातांक का उपयोग करते हुए $$ \mathbf{\Phi}$$ परिभाषित कर सकते हैं, जैसे $$\mathbf{\Phi}(t, t_0) = e^{\mathbf{A}(t - t_0)}$$।

समय-संस्करण सन्दर्भ में, अवस्था-संक्रमण आव्यूह $$\mathbf{\Phi}(t, t_0)$$ अंतर समीकरण $$\dot{\mathbf{u}}(t)=\mathbf{A}(t)\mathbf{u}(t)$$ के समाधान से अनुमान लगाया जा सकता है प्रारंभिक उपबंध के साथ $$\mathbf{u}(t_0)$$ द्वारा दिए गए $$[1,\ 0,\ \ldots,\ 0]^T$$, $$[0,\ 1,\ \ldots,\ 0]^T$$, ..., $$[0,\ 0,\ \ldots,\ 1]^T$$. संबंधित समाधान $$n$$ आव्यूह के कॉलम $$\mathbf{\Phi}(t, t_0)$$ प्रदान करते हैं। अब, गुण 4 से, $$\mathbf{\Phi}(t, \tau) = \mathbf{\Phi}(t, t_0)\mathbf{\Phi}(\tau, t_0)^{-1}$$ सभी के लिए $$t_0 \leq \tau \leq t$$. समय-भिन्न समाधान पर विश्लेषण जारी रखने से पहले अवस्था-संक्रमण आव्यूह निर्धारित किया जाना चाहिए।

यह भी देखें

 * मैग्नस विस्तार
 * लिउविले का सूत्र