हार्मोनिक श्रृंखला (गणित)

गणित में, हार्मोनिक श्रृंखला सभी धनात्मक इकाई अंशों के योग द्वारा बनाई गई अनंत श्रृंखला है: $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots.$$ पहला $$n$$ श्रृंखला की शर्तों का योग लगभग $$\ln n + \gamma$$, कहाँ $$\ln$$ प्राकृतिक लघुगणक है और $$\gamma\approx0.577$$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है। चूंकि लॉगरिदम में मनमाने ढंग से बड़े मूल्य हैं, हार्मोनिक श्रृंखला में सीमित सीमा नहीं है: यह एक अलग श्रृंखला है। इसका विचलन 14 वीं शताब्दी में निकोल ओरेसमे द्वारा अनंत श्रृंखला के अभिसरण के लिए कॉची संघनन परीक्षण के अग्रदूत का उपयोग करके सिद्ध किया गया था। अभिसरण के लिए अभिन्न परीक्षण के अनुसार, योग को एक अभिन्न से तुलना करके इसे अलग करना भी सिद्ध किया जा सकता है।

हार्मोनिक श्रृंखला और इसके आंशिक योग के अनुप्रयोगों में प्राइम्स के व्युत्क्रमों के योग का अपसरण शामिल है। यूलर का प्रमाण है कि असीम रूप से कई अभाज्य संख्याएँ हैं, कूपन संग्राहक की समस्या का विश्लेषण कि एक पूर्ण श्रेणी प्रदान करने के लिए कितने यादृच्छिक परीक्षणों की आवश्यकता है प्रतिक्रियाओं का, यादृच्छिक रेखांकन के घटक (ग्राफ सिद्धांत), ब्लॉक-स्टैकिंग समस्या कितनी दूर एक तालिका के किनारे पर ब्लॉकों का ढेर ब्रैकट हो सकता है, और जल्दी से सुलझाएं एल्गोरिथ्म का औसत केस विश्लेषण।

इतिहास
हार्मोनिक श्रृंखला का नाम अधिस्वर या हार्मोनिक्स हार्मोनिक श्रृंखला (संगीत) की अवधारणा से निकला है: एक कंपन स्ट्रिंग के ओवरटोन के तरंग दैर्ध्य हैं $\tfrac12$, $\tfrac13$, $\tfrac14$, आदि, स्ट्रिंग की मौलिक आवृत्ति की। पहले के बाद हार्मोनिक श्रृंखला का प्रत्येक पद पड़ोसी पदों का अनुकूल माध्य है, इसलिए शब्द एक हार्मोनिक प्रगति (गणित) बनाते हैं; हार्मोनिक माध्य और हार्मोनिक प्रगति वाक्यांश इसी तरह संगीत से प्राप्त होते हैं। संगीत से परे, हार्मोनिक दृश्यों को भी आर्किटेक्ट्स के साथ एक निश्चित लोकप्रियता मिली है। यह विशेष रूप से बरोक काल में था, जब वास्तुकारों ने उनका उपयोग आर्किटेक्चरल ड्राइंग #फ्लोर प्लान, आर्किटेक्चरल ड्राइंग # एलिवेशन के अनुपात (आर्किटेक्चर) को स्थापित करने और चर्चों और महलों के आंतरिक और बाहरी वास्तुशिल्प विवरणों के बीच हार्मोनिक संबंध स्थापित करने के लिए किया था। हार्मोनिक श्रृंखला का विचलन पहली बार 1350 में निकोल ओरेसमे द्वारा सिद्ध किया गया था। ओरेस्मे का काम, और एक अलग श्रृंखला पर रिचर्ड स्वाइनहेड का समकालीन काम, गणित में ज्यामितीय श्रृंखला के अलावा अनंत श्रृंखला की पहली उपस्थिति को चिह्नित करता है। हालाँकि, यह उपलब्धि अस्पष्टता में गिर गई। अतिरिक्त प्रमाण 17वीं शताब्दी में पिएत्रो मेंगोली द्वारा प्रकाशित किए गए थे और जैकब बर्नौली द्वारा। बर्नौली ने सबूत खोजने का श्रेय अपने भाई जोहान बर्नौली को दिया, और इसे बाद में जोहान बर्नौली के एकत्रित कार्यों में शामिल किया गया। हार्मोनिक श्रृंखला के आंशिक योगों को हार्मोनिक संख्याएं नाम दिया गया था, और उनके सामान्य अंकन दिए गए थे $$H_n$$, 1968 में डोनाल्ड नुथ द्वारा।

परिभाषा और विचलन
हार्मोनिक श्रृंखला अनंत श्रृंखला है $$\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n} = 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \frac{1}{4} + \frac{1}{5} + \cdots$$ जिसमें पद सभी धनात्मक इकाई भिन्न हैं। यह एक अपसारी श्रृंखला है: श्रृंखला के अधिक पदों को श्रृंखला के आंशिक योगों में शामिल किया जाता है, इन आंशिक योगों के मान मनमाने ढंग से बड़े होते हैं, किसी भी परिमित सीमा से परे। क्योंकि यह एक भिन्न श्रृंखला है, इसे एक औपचारिक योग के रूप में व्याख्या किया जाना चाहिए, एक अमूर्त गणितीय अभिव्यक्ति जो इकाई अंशों को जोड़ती है, बजाय इसके कि एक संख्यात्मक मान का मूल्यांकन किया जा सके। एस.जे. किफोविट और टीए स्टैम्प्स द्वारा 2006 के पेपर में सर्वेक्षण किए गए हार्मोनिक श्रृंखला के विचलन के कई अलग-अलग सबूत हैं। दो सबसे प्रसिद्ध नीचे सूचीबद्ध हैं।

तुलना परीक्षण
विचलन साबित करने का एक तरीका हार्मोनिक श्रृंखला की तुलना किसी अन्य विचलन श्रृंखला के साथ करना है, जहां प्रत्येक भाजक को दो की अगली सबसे बड़ी शक्ति से बदल दिया जाता है: $$\begin{alignat}{8} 1 & + \frac{1}{2} && + \frac{1}{3} && + \frac{1}{4} && + \frac{1}{5} && + \frac{1}{6} && + \frac{1}{7} && + \frac{1}{8} && + \frac{1}{9} && + \cdots \\[5pt]

{} \geq 1 & + \frac{1}{2} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{4}}} && + \frac{1}{4} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{8}}} && + \frac{1}{8} && + \frac{1}{\color{red}{\mathbf{16}}} && + \cdots \\[5pt] \end{alignat}$$ समान शर्तों को समूहीकृत करने से पता चलता है कि दूसरी श्रृंखला विचलन करती है (क्योंकि अभिसारी श्रृंखला का प्रत्येक समूह केवल अभिसरण है): $$\begin{align} & 1 + \left(\frac{1}{2}\right) + \left(\frac{1}{4} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8} + \frac{1}{8}\right) + \left(\frac{1}{16} + \cdots + \frac{1}{16}\right) + \cdots \\[5pt] {} = {} & 1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \cdots. \end{align}$$ चूंकि हार्मोनिक श्रृंखला की प्रत्येक अवधि दूसरी श्रृंखला की संबंधित अवधि से अधिक या बराबर होती है (और शर्तें सभी धनात्मक होती हैं), यह इस प्रकार है (प्रत्यक्ष तुलना परीक्षण द्वारा) कि हार्मोनिक श्रृंखला भी अलग हो जाती है। वही तर्क अधिक मजबूती से साबित करता है कि, प्रत्येक धनात्मक संख्या के लिए integer $k$, $$\sum_{n=1}^{2^k} \frac{1}{n} \geq 1 + \frac{k}{2}$$ यह लगभग 1350 में निकोल ओरेसमे द्वारा दिया गया मूल प्रमाण है। कॉची संक्षेपण परीक्षण इस तर्क का एक सामान्यीकरण है।

इंटीग्रल टेस्ट
यह साबित करना संभव है कि हार्मोनिक श्रृंखला एक अनुचित अभिन्न के साथ अपने योग की तुलना करके अलग हो जाती है। विशेष रूप से, दाईं ओर की आकृति में दिखाए गए आयतों की व्यवस्था पर विचार करें। प्रत्येक आयत 1 इकाई चौड़ा है और $$\tfrac1n$$ इकाइयाँ ऊँची हैं, इसलिए यदि हार्मोनिक श्रृंखला परिवर्तित हो जाती है तो आयतों का कुल क्षेत्रफल हार्मोनिक श्रृंखला का योग होगा। वक्र $$y=\tfrac1x$$ आयतों की ऊपरी सीमा के नीचे पूरी तरह से रहता है, इसलिए वक्र के नीचे का क्षेत्र (की सीमा में $$x$$ एक से अनंत तक जो आयतों से आच्छादित है) आयतों के मिलन के क्षेत्रफल से कम होगा। हालाँकि, वक्र के नीचे का क्षेत्र एक अपसारी अनुचित समाकल द्वारा दिया गया है, $$\int_1^\infty\frac{1}{x}\,dx = \infty.$$ चूँकि यह समाकल अभिसरित नहीं होता है, योग भी अभिसरित नहीं हो सकता है। अनुक्रम में प्रत्येक आयत को अगले एक द्वारा प्रतिस्थापित करने से आयतों का एक क्रम उत्पन्न होगा जिसकी सीमा वक्र के ऊपर होने के बजाय नीचे स्थित है। इससे पता चलता है कि हार्मोनिक श्रृंखला का आंशिक योग उस राशि से अभिन्न से भिन्न होता है जो पहले आयत के इकाई क्षेत्र से ऊपर और नीचे बंधी होती है: $$\int_1^{N+1}\frac1x\,dx<\sum_{i=1}^N\frac1i<\int_1^{N}\frac1x\,dx+1.$$ इस तर्क को सामान्यीकृत करते हुए, एक मोनोटोन घटते धनात्मक कार्य के मूल्यों का कोई भी अनंत योग of $n$ (हार्मोनिक श्रृंखला की तरह) में आंशिक रकम होती है जो संबंधित इंटीग्रल के मूल्यों की सीमित दूरी के भीतर होती है। इसलिए, योग अभिसरित होता है यदि और केवल यदि समान फलन की समान श्रेणी पर समाकल अभिसरित होता है। जब इस तुल्यता का उपयोग योग के अभिसरण की जाँच करने के लिए इसे आसान समाकल से प्रतिस्थापित करके किया जाता है, तो इसे अभिसरण के लिए समाकल परीक्षण के रूप में जाना जाता है।

आंशिक रकम
पहले को जोड़ना $$n$$ हार्मोनिक श्रृंखला की शर्तें आंशिक योग उत्पन्न करती हैं, जिसे हार्मोनिक संख्या कहा जाता है और denoted $H_n$: $$H_n = \sum_{k = 1}^n \frac{1}{k}.$$

विकास दर
ये संख्याएँ बहुत धीरे-धीरे बढ़ती हैं, लघुगणकीय वृद्धि के साथ, जैसा कि अभिन्न परीक्षण से देखा जा सकता है। अधिक सटीक रूप से, यूलर-मैकलॉरिन सूत्र द्वारा, $$H_n = \ln n + \gamma + \frac{1}{2n} - \varepsilon_n$$ कहाँ $$\gamma\approx 0.5772$$ यूलर-मास्चेरोनी स्थिरांक है और $$0\le\varepsilon_n\le 1/8n^2$$ जो 0 के रूप में पहुंचता है $$n$$ अनंत तक जाता है।

विभाज्यता
को छोड़कर कोई भी हार्मोनिक संख्या पूर्णांक नहीं है $H_1=1$. इसे साबित करने का एक तरीका $$H_n$$ एक पूर्णांक नहीं है दो की उच्चतम शक्ति पर विचार करना है $$2^k$$ से रेंज में 1 to $n$. अगर $$M$$ से संख्याओं का लघुत्तम समापवर्त्य है 1 to $n$, तब $$H_k$$ समान भाजक वाले भिन्नों के योग के रूप में फिर से लिखा जा सकता है $$H_n=\sum_{i=1}^n \tfrac{M/i}{M}$$ जिसमें अंशों में से केवल एक, $M/2^k$, विषम है और बाकी सम हैं, और (when $n>1$) $$M$$ स्वयं सम है। इसलिए, परिणाम एक विषम अंश और एक सम भाजक के साथ एक भिन्न है, जो एक पूर्णांक नहीं हो सकता। अधिक मजबूती से, लगातार पूर्णांकों के किसी भी क्रम में एक अद्वितीय सदस्य होता है जो अन्य सभी अनुक्रम सदस्यों की तुलना में दो की अधिक शक्ति से विभाज्य होता है, जिससे यह उसी तर्क का अनुसरण करता है कि कोई भी दो हार्मोनिक संख्या एक पूर्णांक से भिन्न नहीं होती है। एक और सबूत है कि हार्मोनिक संख्याएं पूर्णांक नहीं हैं, यह देखता है कि भाजक $$H_n$$ से विभाज्य होना चाहिए से बड़ी सभी अभाज्य संख्याएँ $$n/2$$, और यह साबित करने के लिए बर्ट्रेंड की अभिधारणा का उपयोग करता है कि अभाज्य संख्याओं का यह सेट खाली नहीं है। इसी तर्क का अधिक दृढ़ता से तात्पर्य है कि, को छोड़कर $$H_1=1$$, $$H_2=1.5$$, और $$H_6=2.45$$, किसी भी हार्मोनिक संख्या में समाप्ति दशमलव प्रतिनिधित्व नहीं हो सकता है। यह अनुमान लगाया गया है कि प्रत्येक अभाज्य संख्या हार्मोनिक संख्याओं के केवल एक परिमित उपसमुच्चय के अंशों को विभाजित करती है, लेकिन यह अप्रमाणित रहता है।

इंटरपोलेशन
डिगामा समारोह को गामा फ़ंक्शन के लॉगरिदमिक व्युत्पन्न के रूप में परिभाषित किया गया है $$\psi(x)=\frac{d}{dx}\ln\big(\Gamma(x)\big)=\frac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}.$$ जिस तरह गामा फ़ंक्शन कारख़ाने का्स का निरंतर प्रक्षेप प्रदान करता है, डिगम्मा फ़ंक्शन हार्मोनिक संख्याओं का निरंतर इंटरपोलेशन प्रदान करता है, इस अर्थ में कि $\psi(n)=H_{n-1}-\gamma$. तर्कसंगत सूचकांकों के साथ हार्मोनिक संख्याओं की परिभाषा को विस्तारित करने के लिए इस समीकरण का उपयोग किया जा सकता है।

अनुप्रयोग
कई प्रसिद्ध गणितीय समस्याओं के समाधान में हार्मोनिक श्रृंखला और इसके आंशिक योग शामिल हैं।

रेगिस्तान पार करना
thumb|जीप की समस्या का समाधान $n=3$, प्रत्येक डिपो में और प्रत्येक चरण में जीप में ईंधन की मात्रा दिखा रहा है|link=|alt={\displaystyle n=3}जीप समस्या या रेगिस्तान पार करने की समस्या एल्क्यूइन द्वारा 9वीं शताब्दी के समस्या संग्रह में शामिल है, प्रस्ताव विज्ञापन एक्यूएन्डोस जुवेन्स (जीप के बजाय ऊंटों के संदर्भ में तैयार), लेकिन एक गलत समाधान के साथ। समस्या यह पूछती है कि बेस से शुरू करते हुए एक जीप रेगिस्तान में कितनी दूर यात्रा कर सकती है और वापस आ सकती है $$n$$ ईंधन का भार, कुछ ईंधन को रेगिस्तान में ले जाकर और डिपो में छोड़ कर। इष्टतम समाधान में कुछ दूरी पर डिपो रखना शामिल है $$\tfrac{r}{2n}, \tfrac{r}{2(n-1)}, \tfrac{r}{2(n-2)}, \dots$$ शुरुआती बिंदु से और एक दूसरे से, जहां $$r$$ दूरी की सीमा है जो जीप ईंधन के एक भार के साथ यात्रा कर सकती है। बेस से बाहर और वापस प्रत्येक यात्रा पर, जीप एक और डिपो रखती है, रास्ते में अन्य डिपो में ईंधन भरती है, और नए रखे गए डिपो में जितना हो सके उतना ईंधन भरती है, जबकि अभी भी पिछले पर लौटने के लिए पर्याप्त ईंधन छोड़ती है। डिपो और बेस। इसलिए, कुल दूरी पर पहुंच गया $$n$$वीं यात्रा है $$\frac{r}{2n}+\frac{r}{2(n-1)}+\frac{r}{2(n-2)}+\cdots=\frac{r}{2} H_n,$$ कहाँ $$H_n$$ है $n$th हार्मोनिक संख्या। हार्मोनिक श्रृंखला के विचलन का अर्थ है कि पर्याप्त ईंधन के साथ किसी भी लम्बाई के क्रॉसिंग संभव हैं। उदाहरण के लिए, Alcuin की समस्या के संस्करण के लिए, $$r=30$$: एक ऊंट 30 माप अनाज ले जा सकता है और एक माप खाते समय एक ल्यूका यात्रा कर सकता है, जहां एक ल्यूका दूरी की एक इकाई है जो मोटे तौर पर बराबर होती है 2.3 km. समस्या हो गई है $$n=3$$: अनाज के 90 उपाय हैं, तीन बार आपूर्ति करने के लिए पर्याप्त हैं। मरुस्थल पार करने की समस्या के मानक सूत्रीकरण के लिए, ऊंट के लिए यात्रा करना संभव होगा $$\tfrac{30}{2}\bigl(\tfrac13+\tfrac12+\tfrac11)=27.5$$ leucas और वापसी, एक अनाज भंडारण डिपो को पहली यात्रा पर आधार से 5 leucas और दूसरी यात्रा पर आधार से 12.5 leucas रखकर। हालांकि, अलकुइन इसके बजाय थोड़ा अलग सवाल पूछता है, अंतिम वापसी यात्रा के बिना 30 ल्यूकास की दूरी पर कितना अनाज ले जाया जा सकता है, और या तो कुछ ऊंटों को रेगिस्तान में फँसा दिया जाता है या ऊंट द्वारा खाए गए अनाज की मात्रा का हिसाब लगाने में विफल रहता है। वापसी यात्राएं।

स्टैकिंग ब्लॉक
ब्लॉक-स्टैकिंग समस्या में, किसी को ढेर लगाना चाहिए $$n$$ समान आयताकार ब्लॉक, प्रति परत एक, ताकि वे बिना गिरे टेबल के किनारे पर यथासंभव लटके रहें। शीर्ष ब्लॉक के साथ रखा जा सकता है $$\tfrac12$$ इसकी लंबाई अगले निचले ब्लॉक से आगे बढ़ रही है। यदि इसे इस तरह से रखा जाता है, तो अगले ब्लॉक डाउन को अधिक से अधिक रखने की आवश्यकता होती है $$\tfrac12\cdot\tfrac12$$ इसकी लंबाई अगले निचले ब्लॉक से आगे बढ़ रही है, ताकि शीर्ष दो ब्लॉक के द्रव्यमान का केंद्र समर्थित हो और वे गिरे नहीं। तीसरे ब्लॉक को ज्यादा से ज्यादा साथ में रखने की जरूरत है $$\tfrac12\cdot\tfrac13$$ इसकी लंबाई अगले निचले ब्लॉक से आगे बढ़ रही है, और इसी तरह। इस तरह, इसे लगाना संभव है $$n$$ ब्लॉक इस तरह से कि वे विस्तार करते हैं $$\tfrac12 H_n$$ तालिका से परे लंबाई, जहाँ $$H_n$$ है $n$th हार्मोनिक संख्या। हार्मोनिक श्रृंखला के विचलन का अर्थ है कि ब्लॉक स्टैक का विस्तार टेबल से कितनी दूर तक हो सकता है, इसकी कोई सीमा नहीं है। प्रति परत एक ब्लॉक के साथ स्टैक के लिए, कोई बेहतर समाधान संभव नहीं है, लेकिन प्रति परत एक से अधिक ब्लॉक वाले स्टैक का उपयोग करके काफी अधिक ओवरहैंग प्राप्त किया जा सकता है।

अभाज्य संख्याओं और भाजकों की गिनती
1737 में, लियोनहार्ड यूलर ने देखा कि औपचारिक योग के रूप में, हार्मोनिक श्रृंखला एक यूलर उत्पाद के बराबर होती है जिसमें प्रत्येक पद एक अभाज्य संख्या से आता है: $$\sum_{i=1}^{\infty}\frac{1}{i}=\prod_{p\in\mathbb{P}}\left(1+\frac1p+\frac1{p^2}+\cdots\right)=\prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-1/p},$$ कहाँ $$\mathbb{P}$$ अभाज्य संख्याओं के समुच्चय को दर्शाता है। बायां समानता वितरण कानून को उत्पाद पर लागू करने और परिणामी शर्तों को हार्मोनिक श्रृंखला में शर्तों के मुख्य कारकों के रूप में पहचानने से आता है, और सही समानता एक ज्यामितीय श्रृंखला के लिए मानक सूत्र का उपयोग करती है। गुणनफल योग की तरह ही अपसारी है, लेकिन यदि यह अभिसरित होता है तो कोई लघुगणक ले सकता है और प्राप्त कर सकता है $$\ln \prod_{p\in\mathbb{P}} \frac{1}{1-1/p}=\sum_{p\in\mathbb{P}}\ln\frac{1}{1-1/p}=\sum_{p\in\mathbb{P}}\left(\frac1p+\frac1{2p^2}+\frac1{3p^3}+\cdots\right)=\sum_{p\in\mathbb{P}}\frac1p+K.$$ यहां, प्रत्येक लघुगणक को उसकी टेलर श्रृंखला और स्थिरांक से बदल दिया जाता है $$K$$ दाईं ओर एक से अधिक घातांक वाले शब्दों की अभिसरण श्रृंखला का मूल्यांकन है। इन जोड़-तोड़ से यह पता चलता है कि इस समानता के दाहिने हाथ पर अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रमों का योग अलग-अलग होना चाहिए, क्योंकि अगर यह अभिसरण होता है तो इन चरणों को उलट दिया जा सकता है ताकि यह दिखाया जा सके कि हार्मोनिक श्रृंखला भी अभिसरण करती है, जो यह नहीं करती है। यूक्लिड का प्रमेय एक तात्कालिक परिणाम है, क्योंकि एक परिमित राशि विचलन नहीं कर सकती है। हालांकि यूलर के काम को आधुनिक गणित के मानकों द्वारा पर्याप्त रूप से कठोर नहीं माना जाता है, इसे सीमा और त्रुटि सीमा के साथ अधिक ध्यान देकर कठोर बनाया जा सकता है। यूलर का यह निष्कर्ष कि अभाज्य संख्याओं के व्युत्क्रम का आंशिक योग शब्दों की संख्या के दोहरे लघुगणक के रूप में बढ़ता है, बाद के गणितज्ञों द्वारा मेर्टेंस प्रमेयों में से एक के रूप में पुष्टि की गई है, और अभाज्य संख्या प्रमेय के अग्रदूत के रूप में देखा जा सकता है। हार्मोनिक श्रृंखला से निकटता से संबंधित संख्या सिद्धांत में एक अन्य समस्या 1 से लेकर श्रेणी में संख्याओं के विभाजकों की औसत संख्या से संबंधित है। $$n$$, भाजक फलन के अंकगणितीय फलन के औसत क्रम के रूप में औपचारिक रूप दिया गया, $$\frac1n\sum_{i=1}^n\left\lfloor\frac{n}i\right\rfloor\le\frac1n\sum_{i=1}^n\frac{n}i=H_n.$$ हार्मोनिक श्रृंखला में प्रत्येक शब्द को अगले छोटे पूर्णांक गुणक में गोल करने का संचालन $$\tfrac1n$$ इस औसत को एक छोटे स्थिरांक द्वारा हार्मोनिक संख्याओं से अलग करने का कारण बनता है, और पीटर गुस्ताव लेज्यून डिरिचलेट ने अधिक सटीक रूप से दिखाया कि विभाजकों की औसत संख्या है $$\ln n+2\gamma-1+O(1/\sqrt{n})$$ (बिग ओ नोटेशन में व्यक्त)। अंतिम त्रुटि अवधि को अधिक सटीक रूप से सीमित करना एक खुली समस्या बनी हुई है, जिसे डिरिचलेट की विभाजक समस्या के रूप में जाना जाता है।

कूपन एकत्रित करना
कई सामान्य खेलों या मनोरंजन में वस्तुओं के एक सेट से एक यादृच्छिक चयन को तब तक दोहराना शामिल है जब तक कि सभी संभावित विकल्पों का चयन नहीं किया गया हो; इनमें ट्रेडिंग कार्ड का संग्रह शामिल है और parrun बिंगो का पूरा होना, जिसमें लक्ष्य चल रही घटनाओं के अनुक्रम से समय में सभी 60 संभावित सेकंड प्राप्त करना है। इस समस्या के अधिक गंभीर अनुप्रयोगों में गुणवत्ता नियंत्रण के लिए निर्मित उत्पाद की सभी विविधताओं का नमूना लेना शामिल है, और यादृच्छिक रेखांकन की कनेक्टिविटी (ग्राफ सिद्धांत)। इस रूप की स्थितियों में, एक बार होते हैं $$k$$ कुल में से एकत्र की जाने वाली शेष वस्तुएँ $$n$$ समान रूप से संभावित आइटम, एक यादृच्छिक विकल्प में एक नया आइटम एकत्र करने की संभावना है $$k/n$$ और एक नया आइटम एकत्र होने तक आवश्यक यादृच्छिक विकल्पों की अपेक्षित संख्या is $n/k$. के सभी मूल्यों का योग $$k$$ से $$n$$ down to 1 दिखाता है कि सभी वस्तुओं को एकत्र करने के लिए आवश्यक यादृच्छिक विकल्पों की कुल अपेक्षित संख्या is $nH_n$, कहाँ $$H_n$$ है $n$th हार्मोनिक संख्या।

एल्गोरिदम का विश्लेषण
हार्मोनिक संख्याओं का उपयोग करके वस्तुओं के एक सेट को सॉर्ट करने के लिए क्विकॉर्ट एल्गोरिथ्म का विश्लेषण किया जा सकता है। एल्गोरिथम एक आइटम को पिवट के रूप में चुनकर, अन्य सभी के साथ तुलना करके, और आइटम के दो सबसेट को पुनरावर्ती रूप से सॉर्ट करके संचालित होता है, जिनकी तुलना उन्हें पिवट से पहले और पिवट के बाद करती है। या तो इसकी औसत-मामले की जटिलता में (इस धारणा के साथ कि सभी इनपुट क्रमपरिवर्तन समान रूप से होने की संभावना है) या धुरी के एक यादृच्छिक विकल्प के साथ सबसे खराब स्थिति वाले इनपुट के अपेक्षित समय विश्लेषण में, सभी वस्तुओं को समान रूप से धुरी के रूप में चुने जाने की संभावना है. ऐसे मामलों के लिए, कोई भी संभाव्यता की गणना कर सकता है कि दो वस्तुओं की एक-दूसरे के साथ तुलना की जाती है, पुनरावर्तन के दौरान, अंतिम क्रमबद्ध क्रम में उन्हें अलग करने वाली अन्य वस्तुओं की संख्या के एक समारोह के रूप में। अगर आइटम $$x$$ और $$y$$ से अलग हो गए हैं $$k$$ अन्य मदों, तो एल्गोरिथ्म के बीच एक तुलना कर देगा $$x$$ और $$y$$ केवल जब, जैसे-जैसे पुनरावर्तन आगे बढ़ता है, यह चुनता है $$x$$ या $$y$$ किसी अन्य को चुनने से पहले धुरी के रूप में $$k$$ उनके बीच आइटम। क्योंकि इनमें से प्रत्येक $$k+2$$ आइटम समान रूप से पहले चुने जाने की संभावना है, ऐसा प्रायिकता के साथ होता है $$\tfrac2{k+2}$$. तुलनाओं की कुल अपेक्षित संख्या, जो एल्गोरिथम के कुल चलने के समय को नियंत्रित करती है, की गणना तब की जा सकती है, जब सभी जोड़ियों पर इन संभावनाओं को जोड़कर गणना की जा सकती है $$\sum_{i=2}^n\sum_{k=0}^{i-2}\frac2{k+2}=\sum_{i=1}^{n-1}2H_i=O(n\log n).$$ हार्मोनिक श्रृंखला का विचलन इस एप्लिकेशन में इस तथ्य से मेल खाता है कि, त्वरित प्रकार के लिए उपयोग किए जाने वाले तुलना क्रम में, रैखिक समय में क्रमबद्ध करना संभव नहीं है।

वैकल्पिक हार्मोनिक श्रृंखला
श्रृंखला $$\sum_{n = 1}^\infty \frac{(-1)^{n + 1}}{n} = 1 - \frac{1}{2} + \frac{1}{3} - \frac{1}{4} + \frac{1}{5} - \cdots$$ प्रत्यावर्ती हार्मोनिक श्रृंखला के रूप में जाना जाता है। यह वैकल्पिक श्रृंखला परीक्षण द्वारा सशर्त अभिसरण है, लेकिन पूर्ण अभिसरण नहीं। इसका योग 2 का प्राकृतिक लघुगणक है। स्पष्ट रूप से, श्रृंखला का स्पर्शोन्मुख विस्तार है

$$\frac{1}{1} - \frac{1}{2} +\cdots + \frac{1}{2n-1} - \frac{1}{2n} = H_{2n} - H_n = \ln 2 - \frac{1}{2n} + O(n^{-2})$$ केवल विषम इकाई अंशों के साथ वैकल्पिक संकेतों का उपयोग करने से संबंधित श्रृंखला उत्पन्न होती है, π के लिए लीबनिज़ सूत्र | लीबनिज़ सूत्र के लिए $\pi$ $$\sum_{n = 0}^\infty \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = 1 - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \cdots = \frac{\pi}{4}.$$

रीमैन जीटा फंक्शन
रीमैन जीटा फ़ंक्शन वास्तविक के लिए परिभाषित किया गया है $$x>1$$ अभिसरण श्रृंखला द्वारा $$\zeta(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^x}=\frac1{1^x}+\frac1{2^x}+\frac1{3^x}+\cdots,$$ जिसके लिए $$x=1$$ हार्मोनिक श्रृंखला होगी। इसे सभी जटिल संख्याओं पर एक होलोमॉर्फिक फ़ंक्शन के विश्लेषणात्मक निरंतरता द्वारा बढ़ाया जा सकता है except $x=1$, जहां विस्तारित फ़ंक्शन में एक साधारण ध्रुव होता है। जीटा फ़ंक्शन के अन्य महत्वपूर्ण मूल्यों में शामिल हैं $\zeta(2)=\pi^2/6$, बेसल समस्या का समाधान, एपेरी स्थिरांक $\zeta(3)$, रोजर एपेरी द्वारा एक अपरिमेय संख्या और जटिल संख्याओं की महत्वपूर्ण रेखा साबित हुई real part $\tfrac12$, रीमैन परिकल्पना द्वारा अनुमान लगाया गया कि नकारात्मक पूर्णांकों के अलावा केवल वही मान हैं जहां फ़ंक्शन शून्य हो सकता है।

यादृच्छिक हार्मोनिक श्रृंखला
यादृच्छिक हार्मोनिक श्रृंखला है $$\sum_{n=1}^{\infty}\frac{s_{n}}{n},$$ जहां मान $$s_n$$ स्वतंत्र और समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हैं जो दो मान लेते हैं $$+1$$ और $$-1$$ बराबर के साथ probability $\tfrac12$. यह लगभग निश्चित रूप से अभिसरण करता है|संभाव्यता 1 के साथ, जैसा कि कोलमोगोरोव की तीन-श्रृंखला प्रमेय|कोलमोगोरोव की तीन-श्रृंखला प्रमेय या निकट से संबंधित कोलमोगोरोव की असमानता का उपयोग करके देखा जा सकता है। श्रृंखला का योग एक यादृच्छिक चर है जिसका प्रायिकता घनत्व फलन है close to $\tfrac14$ मूल्यों के बीच के लिए $-1$ and $1$, और अधिक मूल्यों के लिए लगभग शून्य तक घट जाती है than $3$ या कम than $-3$. इन श्रेणियों के बीच मध्यवर्ती, पर values $\pm 2$, संभाव्यता घनत्व है $$\tfrac18-\varepsilon$$ एक गैर-शून्य लेकिन बहुत कम मूल्य के लिए $\varepsilon< 10^{-42}$.

समाप्त हार्मोनिक श्रृंखला
क्षीण हार्मोनिक श्रृंखला जहां वे सभी पद जिनमें अंक 9 हर में कहीं भी दिखाई देता है, हटा दिए जाते हैं, उन्हें मूल्य में अभिसरण करने के लिए दिखाया जा सकता है 22.92067 66192  64150  34816  .... वास्तव में, जब अंकों की किसी विशेष स्ट्रिंग (किसी भी संख्या आधार में) वाले सभी पदों को हटा दिया जाता है, तो श्रृंखला अभिसरित हो जाती है।