आंतरिक पुनर्निर्माण

डिजिटल इमेजिंग में पुनरावृत्त पुनर्निर्माण में, आंतरिक पुनर्निर्माण (जिसे दृश्य के सीमित क्षेत्र (एलएफवी) पुनर्निर्माण के रूप में भी जाना जाता है) छवि डेटा को दृश्य के एक छोटे क्षेत्र तक सीमित करने के कारण होने वाली ट्रंकेशन कलाकृतियों को सही करने की एक तकनीक है। पुनर्निर्माण एक ऐसे क्षेत्र पर केंद्रित है जिसे रुचि का क्षेत्र (आरओआई) कहा जाता है। यद्यपि आंतरिक पुनर्निर्माण को दंत या कार्डियक एक्स-रे कंप्यूटेड टोमोग्राफी छवियों पर प्रयुक्त किया जा सकता है, यह अवधारणा सीटी तक सीमित नहीं है। इसे कई विधियों में से एक के साथ प्रयुक्त किया जाता है।

विधियों
प्रत्येक विधि का उद्देश्य सदिश $$x $$ का समाधान करना है निम्नलिखित समस्या में:



\begin{bmatrix} f \\ g \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}. $$

मान लीजिए कि $$X$$ रुचि का क्षेत्र (आरओआई) है और $$Y$$, $$X$$ के बाहर का क्षेत्र है। मान लीजिए कि $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ ज्ञात आव्यूह हैं; $$x$$ और $$y$$ मूल छवि के अज्ञात सदिश हैं, जबकि $$f$$ और $$g$$ प्रतिक्रियाओं के सदिश माप हैं ($$f$$ ज्ञात है और $$g$$ अज्ञात है)। $$X$$ क्षेत्र $$x \in X$$ के अंदर है और $$Y$$, क्षेत्र $$Y$$ में,$$y \in Y$$, क्षेत्र $$X$$ के बाहर है। $$F$$, $$X$$ के अनुरूप माप में एक क्षेत्र के अंदर है। इस क्षेत्र को $$F$$, ($$f  \in F$$ के रूप में दर्शाया गया है, जबकि g है क्षेत्र F के बाहर। यह $$Y$$ से मेल खाता है और इसे $$G$$, ($$g  \in G$$). के रूप में दर्शाया गया है

सीटी छवि-पुनर्निर्माण उद्देश्यों के लिए, $$ C = 0 $$.

आंतरिक पुनर्निर्माण की अवधारणा को सरल बनाने के लिए, आव्यूह $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ सम्मिश्र ऑपरेटर (गणित) के अतिरिक्त छवि पुनर्निर्माण के लिए प्रयुक्त किया जाता है।

नीचे सूचीबद्ध पहली आंतरिक-पुनर्निर्माण विधि एक्सट्रपलेशन है। यह एक स्थानीय टोमोग्राफी विधि है जो ट्रंकेशन कलाकृतियों को समाप्त करती है किंतु एक अन्य प्रकार की कलाकृतियों का परिचय देती है: एक कटोरा प्रभाव एक सुधार को अनुकूली एक्सट्रपलेशन विधि के रूप में जाना जाता है, चूँकि नीचे दी गई पुनरावृत्त एक्सट्रपलेशन विधि भी पुनर्निर्माण परिणामों में सुधार करती है। कुछ स्थितियों में, आंतरिक पुनर्निर्माण के लिए स्पष्ट पुनर्निर्माण पाया जा सकता है। नीचे दी गई स्थानीय विपरीत विधि स्थानीय टोमोग्राफी विधि को संशोधित करती है, और स्थानीय टोमोग्राफी के पुनर्निर्माण परिणाम में सुधार कर सकती है; पुनरावृत्तीय पुनर्निर्माण पद्धति को आंतरिक पुनर्निर्माण पर प्रयुक्त किया जा सकता है। उपरोक्त विधियों में, एक्सट्रपलेशन को अधिकांशतः प्रयुक्त किया जाता है।

एक्सट्रपलेशन विधि
f \\ g \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} $$

$$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ ज्ञात आव्यूह हैं; $$x$$ और $$y$$ अज्ञात सदिश हैं; $$f$$ एक ज्ञात सदिश है, और $$g$$ एक अज्ञात सदिश है। हमें सदिश $$x$$ को जानना होगा। $$x$$ और $$y$$ मूल छवि हैं, जबकि $$f$$ और $$g$$ प्रतिक्रियाओं के माप हैं। सदिश $$x$$ रुचि के क्षेत्र $$X$$, ($$x \in X$$). के अंदर है। सदिश $$y$$, क्षेत्र $$X$$ के बाहर है। बाहरी क्षेत्र को $$Y$$, ($$y \in Y$$) कहा जाता है और $$f$$, $$X$$ के अनुरूप माप में एक क्षेत्र के अंदर है। इस क्षेत्र को $$F$$, ($$f  \in F$$) दर्शाया गया है। सदिश $$g$$ का क्षेत्र (क्षेत्र $$F$$ के बाहर) भी Y से मेल खाता है और इसे $$G$$, ($$g  \in G$$). के रूप में दर्शाया गया है। सीटी छवि पुनर्निर्माण में यह है


 * $$ C = 0 $$

आंतरिक पुनर्निर्माण की अवधारणा को सरल बनाने के लिए, आव्यूह $$A$$, $$B$$, $$C$$, $$D$$ एक सम्मिश्र ऑपरेटर के अतिरिक्त छवि पुनर्निर्माण के लिए प्रयुक्त किया जाता है।

बाहरी क्षेत्र में प्रतिक्रिया का अनुमान $$G$$ हो सकता है; उदाहरण के लिए, मान लें कि यह $$g_{ex}$$ है।

\begin{bmatrix} x_0 \\ y_0 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} f \\ g_{ex} \end{bmatrix} $$



$$x$$ का एक समाधान $$x_0$$ के रूप में लिखा जाता है, और इसे एक्सट्रपलेशन विधि के रूप में जाना जाता है। परिणाम इस बात पर निर्भर करता है कि एक्सट्रपलेशन फलन $$g_{ex}$$ कितना अच्छा है। एक अधिकांशतः पसंद है


 * $$g_{ex}|_{\partial G}=f |_{\partial F}$$

दो क्षेत्रों की सीमा पर. एक्सट्रपलेशन विधि को अधिकांशतः प्राथमिक ज्ञान के साथ जोड़ दिया जाता है, और एक एक्सट्रपलेशन विधि जो गणना समय को कम करती है, नीचे दिखाई गई है।

अनुकूली एक्सट्रपलेशन विधि
मान लें कि एक समान्य समाधान, $$x_0$$ और $$y_0$$ ऊपर वर्णित एक्सट्रपलेशन विधि से प्राप्त किया गया है। बाहरी क्षेत्र $$g_1$$ में प्रतिक्रिया की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:



g_1 = C x_0+D y_0 $$ पुनर्निर्मित छवि की गणना निम्नानुसार की जा सकती है:



\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} f \\ g_1+g_{1ex} \end{bmatrix} $$ यह मान लिया है कि
 * $$f |_{\partial F}=(g_1+g_{1ex})|_{\partial G}$$

आंतरिक क्षेत्र की सीमा पर; $$x_1$$ समस्या का समाधान करता है, और इसे अनुकूली एक्सट्रपलेशन विधि के रूप में जाना जाता है। जिसमे $$g_{1ex}$$अनुकूली एक्सट्रपलेशन फलन है।

पुनरावृत्त एक्सट्रपलेशन विधि
यह माना जाता है कि एक समान्य समाधान, $$x_0$$ और $$y_0$$, नीचे वर्णित एक्सट्रपलेशन विधि से प्राप्त किया गया है:



\begin{bmatrix} f_1 \\ g_1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 \\ y_0 \end{bmatrix} $$ या



f_1=B y_0 $$ पुनर्निर्माण के रूप में प्राप्त किया जा सकता है



\begin{bmatrix} x_1 \\ y_1 \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} f - f_1 \\ g_{ex} \end{bmatrix} $$ यहाँ $$g_{1ex}$$ एक एक्सट्रपलेशन फलन है, और यह माना जाता है
 * $$(f-f_1)|_{\partial F}=g_{1ex}|_{\partial G}$$

इस समस्या का $$x_1$$ एक समाधान है.

स्थानीय टोमोग्राफी
बहुत छोटे फिल्टर वाली स्थानीय टोमोग्राफी को लैम्ब्डा टोमोग्राफी के रूप में भी जाना जाता है।

स्थानीय व्युत्क्रम विधि
स्थानीय व्युत्क्रम विधि स्थानीय टोमोग्राफी की अवधारणा का विस्तार करती है। बाहरी क्षेत्र में प्रतिक्रिया की गणना इस प्रकार की जा सकती है:



f = A x + B y $$ सामान्यीकृत व्युत्क्रम $$B^+$$ को संतोषजनक मानें
 * $$B B^+ B = B $$

परिभाषित करना
 * $$Q=[I-BB^+]$$

जिससे
 * $$QB = 0$$

इस तरह,


 * $$Q f = Q A x$$

उपरोक्त समीकरण को इस प्रकार हल किया जा सकता है
 * $$x_1 = A^+ Q^+ Q f$$,

ध्यान में रख कर
 * $$QQ = Q $$
 * $$QQQ = Q $$

$$Q$$, $$Q$$ का सामान्यीकृत व्युत्क्रम है, अर्थात।
 * $$Q^+ = Q $$

समाधान को इस प्रकार सरल बनाया जा सकता है
 * $$x_1 = A^+ Q f$$.

गणित का प्रश्न

आव्यूह $$A^+Q = A^+ [I-BB^+]$$ को आव्यूह $${\begin{bmatrix} A & B \\ C & D \\ \end{bmatrix}} $$ के स्थानीय व्युत्क्रम के रूप में जाना जाता है। इस प्रकार $$A$$ के अनुरूप इसे स्थानीय व्युत्क्रम विधि के रूप में जाना जाता है।

पुनरावृत्तीय पुनर्निर्माण विधि
यहां एक लक्ष्य फलन परिभाषित किया गया है, और यह विधि लक्ष्य को पुनरावृत्त रूप से प्राप्त करती है। यदि लक्ष्य फलन किसी प्रकार का सामान्य हो सकता है, तो इसे न्यूनतम मानक विधि के रूप में जाना जाता है।


 * $$ \min( R\|x\| + S\|y\|+T\|g\|)$$,

का विषय है



\begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} A & B \\ C & D \end{bmatrix}^{-1} \begin{bmatrix} f \\ g \end{bmatrix} $$ और $$ f$$ ज्ञात है,

जहां $$R$$, $$S$$ और $$ T $$ न्यूनतमकरण और $$\|\cdot\|$$ के भार स्थिरांक हैं एक प्रकार का आदर्श है. अधिकांशतः उपयोग किए जाने वाले मानदंड $$L_0$$, $$L_1$$, $$L_2$$, $$L_{+\infty}$$ कुल भिन्नता (टीवी) मानदंड या उपरोक्त मानदंडों का संयोजन हैं। इस विधि का एक उदाहरण उत्तल सेट (पीओसीएस) विधि पर प्रक्षेपण है।

विश्लेषणात्मक समाधान
विशेष परिस्थितियों में, आंतरिक पुनर्निर्माण को एक विश्लेषणात्मक समाधान के रूप में प्राप्त किया जा सकता है; जिसमे $$x$$ का समाधान है जो ऐसे स्थितियों में स्पष्ट है.

तेज़ एक्सट्रपलेशन
एक्सट्रपोलेटेड डेटा अधिकांशतः धनात्मक-निश्चित कर्नेल में कनवल्शन होता है। डेटा को एक्सट्रपलेशन के बाद इसका आकार N गुना बढ़ जाता है, जहां N = 2 ~ 3. यदि डेटा को ज्ञात कर्नेल फलन में संयोजित करने की आवश्यकता है, तो संख्यात्मक गणना log(N)·N गुना बढ़ जाएगी, यहां तक ​​कि तेज़ फास्ट फूरियर ट्रांसफॉर्म (FFT) के साथ भी एक एल्गोरिदम उपयोग है, जो एक्सट्रपलेटेड डेटा के भाग से योगदान की विश्लेषणात्मक गणना करता है। मूल कनवल्शन गणना की तुलना में गणना समय छोड़ा जा सकता है; इस एल्गोरिथ्म के साथ, एक्सट्रपोलेटेड डेटा का उपयोग करके कनवल्शन की गणना में उल्लेखनीय वृद्धि नहीं होती है। इसे तीव्र एक्सट्रपलेशन के रूप में जाना जाता है।

विधियों की तुलना
एक्सट्रपलेशन विधि ऐसी स्थिति में उपयुक्त होती है
 * $$ |x| > |y|  $$ और $$ |X| > |Y|$$
 * अथार्त एक छोटी ट्रिमिंग कलाकृतियों की स्थिति है ।

अनुकूली एक्सट्रपलेशन विधि ऐसी स्थिति के लिए उपयुक्त है
 * $$ |x|  \sim |y|  $$ और $$ |X| \sim  |Y|$$
 * अथार्त एक सामान्य ट्रंकेशन कलाकृतियों की स्थिति यह विधि बाहरी क्षेत्र के लिए एक समान्य समाधान भी प्रस्तुत करती है।

पुनरावृत्त एक्सट्रपलेशन विधि ऐसी स्थिति के लिए उपयुक्त है
 * $$ |x|  \sim |y|  $$ और $$ |X| \sim  |Y|$$
 * अथार्त एक सामान्य ट्रंकेशन कलाकृतियों की स्थिति यद्यपि यह विधि अनुकूली पुनर्निर्माण की तुलना में उत्तम आंतरिक पुनर्निर्माण प्राप्त करती है, किंतु बाहरी क्षेत्र में इसका परिणाम नहीं मिलता है।

ऐसी स्थिति के लिए स्थानीय टोमोग्राफी उपयुक्त है
 * $$ |x| \ll |y|  $$ और $$ |X| \ll |Y|$$
 * अर्थात सबसे बड़ी ट्रंकेशन कलाकृतियों की स्थिति। चूँकि इस पद्धति में कोई ट्रिमिंग कलाकृतियाँ नहीं हैं, पुनर्निर्माण में एक निश्चित त्रुटि ($$|y|$$ के मान से स्वतंत्र) है।

स्थानीय व्युत्क्रम विधि स्थानीय टोमोग्राफी के समान ऐसी स्थिति में उपयुक्त है
 * $$ |x| \ll |y|  $$ और $$ |X| \ll |Y|$$
 * अथार्त सबसे बड़ी ट्रंकेशन कलाकृतियों की स्थिति। चूँकि इस विधि के लिए कोई खंडन कलाकृतियाँ नहीं हैं, पुनर्निर्माण में एक निश्चित त्रुटि ($$|y|$$ के मान से स्वतंत्र) है जो स्थानीय टोमोग्राफी से छोटी हो सकती है।

पुनरावृत्तीय पुनर्निर्माण विधि बड़ी गणनाओं के साथ अच्छा परिणाम प्राप्त करती है। यद्यपि विश्लेषणात्मक विधि स्पष्ट परिणाम प्राप्त करती है, यह केवल कुछ स्थितियों में ही कार्यात्मक होती है। तेज़ एक्सट्रपलेशन विधि अन्य एक्सट्रपलेशन विधियों के समान परिणाम प्राप्त कर सकती है, और गणना को कम करने के लिए उपरोक्त आंतरिक पुनर्निर्माण विधियों पर प्रयुक्त किया जा सकता है।

यह भी देखें

 * पूर्वानुमान
 * न्यूनतम बहुपद एक्सट्रपलेशन
 * मल्टीग्रिड विधि
 * पूर्वानुमान अंतराल
 * प्रतिगमन विश्लेषण
 * रिचर्डसन एक्सट्रपलेशन
 * स्थिर विश्लेषण
 * रुझान अनुमान
 * प्रक्षेप
 * एक्सट्रपलेशन डोमेन विश्लेषण
 * मृत गणना
 * छवि पुनर्निर्माण
 * स्थानीय व्युत्क्रम
 * सामान्यीकृत व्युत्क्रम
 * एक्सट्रपोलेशन