सामान्यीकृत मीट्रिक

गणित में, एक सामान्यीकृत मीट्रिक की अवधारणा एक मीट्रिक स्थान का एक सामान्यीकरण है, जिसमें दूरी एक वास्तविक संख्या नहीं है, बल्कि एक मनमाना आदेशित क्षेत्र से ली गई है।

सामान्य तौर पर, जब हम मीट्रिक स्पेस को परिभाषित करते हैं तो दूरी फ़ंक्शन को वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन (गणित) के रूप में लिया जाता है। वास्तविक संख्याएँ एक आदेशित फ़ील्ड बनाती हैं जो आर्किमिडीयन संपत्ति और पूर्ण आदेशित फ़ील्ड है। इन मेट्रिक स्पेस में कुछ अच्छे गुण होते हैं जैसे: मेट्रिक स्पेस में सघनता, अनुक्रमिक कॉम्पैक्टनेस और  गणनीय कॉम्पैक्टनेस  समतुल्य हैं आदि। हालांकि, ये गुण इतनी आसानी से पकड़ में नहीं आ सकते हैं, यदि दूरी फ़ंक्शन को मनमाने ढंग से ऑर्डर किए गए फ़ील्ड में लिया जाता है, बजाय इसके $$\scriptstyle \R.$$

प्रारंभिक परिभाषा
होने देना $$(F, +, \cdot, <)$$ एक मनमाना आदेशित क्षेत्र हो, और $$M$$ एक गैर-खाली सेट; एक समारोह $$d : M \times M \to F^+ \cup \{0\}$$ पर मीट्रिक कहा जाता है $$M,$$ यदि निम्न स्थितियां हैं:


 * 1) $$d(x, y) = 0$$ अगर और केवल अगर $$x = y$$;
 * 2) $$d(x, y) = d(y, x)$$ (समरूपता);
 * 3) $$d(x, y) + d(y, z) \geq d(x, z)$$ (असमानित त्रिकोण)।

यह सत्यापित करना मुश्किल नहीं है कि खुली गेंदें $$B(x, \delta)\; := \{y \in M\; : d(x, y) < \delta\}$$ एक उपयुक्त टोपोलॉजी के लिए एक आधार तैयार करें, बाद वाले को मीट्रिक टोपोलॉजी  ऑन कहा जाता है $$M,$$ में मीट्रिक के साथ $$F.$$ इस तथ्य को देखते हुए कि $$F$$ इसके क्रम में टोपोलॉजी नीरस रूप से सामान्य है, हम उम्मीद करेंगे $$M$$ कम से कम नियमित स्थान होना।

और गुण
हालांकि, पसंद के स्वयंसिद्ध के तहत, प्रत्येक सामान्य मीट्रिक नीरस रूप से सामान्य है, क्योंकि, दिया गया है $$x \in G,$$ कहाँ $$G$$ ओपन है, ओपन बॉल है $$B(x, \delta)$$ ऐसा है कि $$x \in B(x, \delta) \subseteq G.$$ लेना $$\mu(x, G) = B\left(x, \delta/2\right).$$ मोनोटोन सामान्यता के लिए शर्तों की जाँच करें।

आश्चर्य की बात यह है कि, पसंद के बिना भी, सामान्य मेट्रिक्स नीरस रूप से सामान्य हैं।

सबूत।

केस I: $$F$$ एक आर्किमिडीयन क्षेत्र है।

अब अगर $$x$$ में $$G, G$$ खुला, हम ले सकते हैं $$\mu(x, G) := B(x, 1/2n(x,G)),$$ कहाँ $$n(x, G) := \min\{n \in \N : B(x, 1/n) \subseteq G\},$$ और चाल बिना पसंद के की जाती है।

केस II: $$F$$ एक गैर-आर्किमिडीयन क्षेत्र है।

माफ़ कर दिया $$x \in G$$ कहाँ $$G$$ खुला है, सेट पर विचार करें $$A(x, G) := \{a \in F : \text{ for all } n \in \N, B(x, n \cdot a) \subseteq G\}.$$ सेट $$A(x, G)$$ खाली नहीं है। के लिए के रूप में $$G$$ ओपन है, ओपन बॉल है $$B(x, k)$$ अंदर $$G.$$ नहीं था $$F$$ गैर-आर्किमिडीयन है, $$\N_F$$ ऊपर से घिरा नहीं है, इसलिए कुछ है $$\xi \in F$$ ऐसा कि सभी के लिए $$n \in \N,$$ $$n \cdot 1 \leq \xi.$$ लाना $$a = k \cdot (2 \xi)^{-1},$$ हमने देखा कि $$a$$ में है $$A(x, G).$$ अब परिभाषित करें $$\mu(x, G) = \bigcup\{B(x, a) : a \in A(x, G)\}.$$ हम दिखाएंगे कि इस mu संकारक के संबंध में, स्थान नीरस रूप से सामान्य है। ध्यान दें कि $$\mu(x,G)\subseteq G.$$ अगर $$y$$ इसमें नहीं है $$G$$ (ओपन सेट युक्त $$x$$) और $$x$$ इसमें नहीं है $$H$$ (ओपन सेट युक्त $$y$$), तो हम उसे दिखाएंगे $$\mu(x, G) \cap \mu(y, H)$$ खाली है। यदि नहीं, तो कहिए $$z$$ चौराहे पर है। तब $$\exists a \in A(x, G) \colon d(x, z) < a;\;\; \exists b \in A(y, H) \colon d(z, y) < b.$$ ऊपर से हमें वह मिलता है $$d(x, y) \leq d(x, z) + d(z, y) < 2 \cdot \max\{a, b\},$$ जो असंभव है क्योंकि इसका अर्थ यह भी होगा $$y$$ से संबंधित $$\mu(x, G) \subseteq G$$ या $$x$$ से संबंधित $$\mu(y, H) \subseteq H.$$ यह प्रमाण को पूरा करता है।