मान्य संख्याएँ

मान्य संख्यात्मकता, या कठोर गणना, सत्यापित गणना, विश्वसनीय गणना, संख्यात्मक सत्यापन (Zuverlässiges Rechnen) गणितीय रूप से सख्त त्रुटि (राउंडिंग त्रुटि, ट्रंकेशन त्रुटि, विवेकाधीन त्रुटि) मूल्यांकन सहित संख्यात्मक है, और यह संख्यात्मक विश्लेषण का क्षेत्र है। गणना के लिए, अंतराल अंकगणित का उपयोग किया जाता है, और सभी परिणाम अंतराल द्वारा दर्शाए जाते हैं। स्माले की 14वीं समस्याओं को हल करने के लिए वारविक टकर द्वारा मान्य संख्याओं का उपयोग किया गया था, और आज इसे गतिशील प्रणालियों के अध्ययन के लिए शक्तिशाली उपकरण के रूप में मान्यता प्राप्त है।

महत्व
सत्यापन के बिना गणना से दुर्भाग्यपूर्ण परिणाम हो सकते हैं। नीचे कुछ उदाहरण हैं.

दुम का उदाहरण
1980 के दशक में रम्प ने उदाहरण बनाया। उन्होंने जटिल फ़ंक्शन बनाया और उसका मूल्य प्राप्त करने का प्रयास किया। एकल परिशुद्धता, दोहरी परिशुद्धता, विस्तारित परिशुद्धता परिणाम सही प्रतीत होते थे, लेकिन इसका प्लस-माइनस चिह्न वास्तविक मान से भिन्न था।

प्रेत समाधान
ब्रेउर-प्लम-मैककेना ने एम्डेन समीकरण की सीमा मूल्य समस्या को हल करने के लिए स्पेक्ट्रम विधि का उपयोग किया, और बताया कि असममित समाधान प्राप्त किया गया था। अध्ययन का यह परिणाम गिडास-नी-निरेनबर्ग के सैद्धांतिक अध्ययन से विरोधाभासी है जिसमें दावा किया गया था कि कोई असममित समाधान नहीं है। ब्रेउर-प्लम-मैककेना द्वारा प्राप्त समाधान विवेकाधीन त्रुटि के कारण उत्पन्न प्रेत समाधान था। यह दुर्लभ मामला है, लेकिन यह हमें बताता है कि जब हम अंतर समीकरणों पर सख्ती से चर्चा करना चाहते हैं, तो संख्यात्मक समाधानों को सत्यापित किया जाना चाहिए।

संख्यात्मक त्रुटियों के कारण दुर्घटनाएँ
निम्नलिखित उदाहरण संख्यात्मक त्रुटियों के कारण होने वाली दुर्घटनाओं के रूप में जाने जाते हैं:
 * खाड़ी युद्ध में मिसाइलों को रोकने में विफलता (1991) * एरियन 5 रॉकेट की विफलता (1996) *चुनाव परिणाम के समग्रीकरण में गलतियाँ

मुख्य विषय
मान्य संख्याओं के अध्ययन को निम्नलिखित क्षेत्रों में विभाजित किया गया है: • Verification in numerical linear algebra

• * Validating numerical solutions of a given system of linear equations

• * Validating numerically obtained eigenvalues

• * Rigorously computing determinants

• * Validating numerical solutions of matrix equations

• Verification of special functions:

• * Gamma function

• * Elliptic functions

• * Hypergeometric functions

• * Hurwitz zeta function

• * Bessel function

• * Matrix function

• Verification of numerical quadrature

• Verification of nonlinear equations (The Kantorovich theorem, Krawczyk method, interval Newton method, and the Durand–Kerner–Aberth method are studied.)

• Verification for solutions of ODEs, PDEs (For PDEs, knowledge of functional analysis are used. )

• Verification of linear programming

• Verification of computational geometry

• Verification at high-performance computing environment

उपकरण
• INTLAB Library made by MATLAB/GNU Octave

• kv Library made by C++. This library can obtain multiple precision outputs by using GNU MPFR.

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• Arb Library made by C. It is capable to rigorously compute various special functions.

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• CAPD A collection of flexible C++ modules which are mainly designed to computation of homology of sets, maps and validated numerics for dynamical systems.

• (Library made by Julia)

•  Boost Safe Numerics - C++ header only library of validated replacements for all builtin integer types]].

• *

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यह भी देखें
• Computer-assisted proof

• Interval arithmetic

• Affine arithmetic

• INTLAB (Interval Laboratory)

• Automatic differentiation

• Numerical calculations and rigorous mathematics

• Kantorovich theorem

• Gershgorin circle theorem

• Ulrich W. Kulisch

अग्रिम पठन

 * Tucker, Warwick (2011). Validated Numerics: A Short Introduction to Rigorous Computations. Princeton University Press.
 * Moore, Ramon Edgar, Kearfott, R. Baker., Cloud, Michael J. (2009). Introduction to Interval Analysis. Society for Industrial and Applied Mathematics.
 * Rump, Siegfried M. (2010). Verification methods: Rigorous results using floating-point arithmetic. Acta Numerica, 19, 287–449.

बाहरी संबंध

 * Validated Numerics for Pedestrians
 * Reliable Computing, An open electronic journal devoted to numerical computations with guaranteed accuracy, bounding of ranges, mathematical proofs based on floating-point arithmetic, and other theory and applications of interval arithmetic and directed rounding.