अभिलक्षण फलन (संभावना सिद्धांत)

संभावना सिद्धांत एवं सांख्यिकी में, किसी भी वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का विशिष्ट फलन पूर्ण रूप से इसकी संभाव्यता वितरण को परिभाषित करता है। यदि कोई यादृच्छिक चर संभाव्यता घनत्व फलन को स्वीकार करता है, तो अभिलक्षण फलन संभाव्यता घनत्व फलन का फूरियर रूपांतरण है। इस प्रकार यह संभाव्यता घनत्व फलनों या संचयी वितरण फलनों के साथ सीधे फलन करने की अपेक्षा में अभिलक्षणात्मक परिणामों के लिए वैकल्पिक मार्ग प्रदान करता है। यादृच्छिक चर के भारित योग द्वारा परिभाषित वितरण के विशिष्ट फलनों के लिए विशेष रूप से सरल परिणाम हैं।

अविभाज्य वितरण के अतिरिक्त, अभिलक्षण फलनों को आव्यूह या आव्यूह यादृच्छिक चर के लिए परिभाषित किया जा सकता है, एवं इसे अधिक सामान्य विषयों तक भी बढ़ाया जा सकता है।

क्षण उत्पन्न करने वाले फलन के विपरीत, वास्तविक-मूल्य वाले तर्क के फलन के रूप में व्यवहार किए जाने पर अभिलक्षण फलन सदैव सम्मिलित रहता है। वितरण के विशिष्ट फलन के व्यवहार एवं वितरण के गुणों के मध्य संबंध होते हैं, जैसे क्षणों का अस्तित्व एवं घनत्व फलन का अस्तित्व है।

परिचय
अभिलक्षण फलन यादृच्छिक चर का वर्णन करने की विधि है। अभिलक्षण फलन,
 * $$   \varphi_X(t) = \operatorname{E} \left [ e^{itX} \right ],$$

T का फलन, यादृच्छिक चर X के संभाव्यता वितरण के व्यवहार एवं गुणों को पूर्ण रूप से निर्धारित करता है। अभिलक्षण फलन संचयी वितरण फलन के समान है,
 * $$F_X(x) = \operatorname{E} \left [\mathbf{1}_{\{X\leq x\}} \right]$$,

(जहाँ 1{X ≤ x} सूचक फलन है, यह 1 के समान है जब X ≤ x, एवं अन्यथा शून्य), जो यादृच्छिक चर X के संभाव्यता वितरण के व्यवहार एवं अभिलक्षणओं को समझने के लिए विभिन्न अंतता्दृष्टि प्रदान करें। इसके अतिरिक्त, विशेष विषयों में, इसमें भिन्नता हो सकता है कि क्या इन फलनों को सरल मानक फलनों से जुड़े अभिव्यक्तियों के रूप में दर्शाया जा सकता है।

यदि यादृच्छिक चर संभाव्यता घनत्व फलन को स्वीकार करता है, तो अभिलक्षण फलन इसकी द्वंद्व (गणित) है, इस अर्थ में कि उनमें से प्रत्येक दूसरे का फूरियर रूपांतरण है। यदि किसी यादृच्छिक चर में क्षण उत्पन्न करने वाला फलन $$M_X(t)$$ होता है, तो अभिलक्षण फलन के डोमेन को सम्मिश्र विमान तक बढ़ाया जा सकता है, एवं


 * $$   \varphi_X(-it) = M_X(t) $$ होता है।

चूँकि, ध्यान दें कि वितरण का विशिष्ट फलन सदैव सम्मिलित रहता है, तब भी जब संभाव्यता घनत्व फलन या क्षण-उत्पन्न फलन सम्मिलित नहीं होता है।

अभिलक्षण फलन दृष्टिकोण स्वतंत्र यादृच्छिक चर के रैखिक संयोजनों के विश्लेषण में विशेष रूप से उपयोगी है: केंद्रीय सीमा प्रमेय का शास्त्रीय प्रमाण अभिलक्षण फलनों एवं लेवी की निरंतरता प्रमेय का उपयोग करता है। अन्य महत्वपूर्ण अनुप्रयोग यादृच्छिक चर के अविभाज्य वितरण के सिद्धांत का है।

परिभाषा
अदिश यादृच्छिक चर X के लिए 'अभिलक्षण फलन' को eitX के अपेक्षित मान के रूप में परिभाषित किया गया है, जहां i काल्पनिक इकाई है, एवं t ∈ R अभिलक्षण फलन का तर्क है:


 * $$\begin{cases} \displaystyle \varphi_X\!:\mathbb{R}\to\mathbb{C} \\ \displaystyle \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[e^{itX}\right] = \int_{\mathbb{R}} e^{itx}\,dF_X(x) = \int_{\mathbb{R}} e^{itx} f_X(x)\,dx = \int_0^1 e^{it Q_X(p)}\,dp \end{cases}$$

जहाँ FX, X का संचयी वितरण फलन है, fX संगत संभाव्यता घनत्व फलन है, QX(p) संगत व्युत्क्रम संचयी वितरण फलन है जिसे मात्रात्मक फलन भी कहा जाता है, एवं इंटीग्रल रीमैन स्टिल्टजेस प्रकार के हैं। यदि यादृच्छिक चर अभिलक्षण फलन की परिभाषा में दिखाई देने वाले स्थिरांक के लिए यह परिपाटी फूरियर रूपांतरण के लिए सामान्य परंपरा से भिन्न है। उदाहरण के लिए, कुछ लेखक,  को परिभाषित करते हैं, जो मूलतः पैरामीटर का परिवर्तन है। साहित्य में अन्य संकेतन का सामना किया जा सकता है:  संभाव्यता माप p के लिए अभिलक्षण फलन के रूप में, या  घनत्व f के अनुरूप अभिलक्षण फलन के रूप में किया जा सकता है।

सामान्यीकरण
विशिष्ट फलनों की धारणा यादृच्छिक चर एवं अधिक सम्मिश्र यादृच्छिक तत्वों को बहुभिन्नरूपी बनाने के लिए सामान्यीकृत होती है। अभिलक्षण फलन का तर्क सदैव उस स्थान के निरंतर दोहरे से संबंधित होगा जहां यादृच्छिक चर X अपना मान लेता है। सामान्य विषयों के लिए ऐसी परिभाषाएँ नीचे सूचीबद्ध हैं:


 * यदि X, k-आयामी यादृच्छिक आव्यूह है, तो के $t ∈ R^{k}$ के लिए$$ \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[\exp( i t^T\!X)\right], $$ जहाँ $ t^T$, $ t $ आव्यूह का स्थानांतरण है।
 * यदि X, k×p-आयामी यादृच्छिक आव्यूह है, तो $t ∈ R^{k×p}$ के लिए$$ \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[\exp \left( i \operatorname{tr}(t^T\!X) \right )\right], $$ जहाँ $ \operatorname{tr}(\cdot) $ ट्रेस (रैखिक बीजगणित) ऑपरेटर है।
 * यदि X सम्मिश्र यादृच्छिक चर है, तो के लिए $t ∈ C$ के लिए$$\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[\exp\left( i \operatorname{Re}\left(\overline{t}X\right) \right)\right], $$ जहाँ $\overline t$, $t$ का सम्मिश्र संयुग्म है एवं $ \operatorname{Re}(z)$ , $ z $  सम्मिश्र संख्या का वास्तविक भाग है।
 * यदि X, k-आयामी सम्मिश्र यादृच्छिक आव्यूह है, तो $t ∈ C^{k}$ के लिए  $$ \varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[\exp(i\operatorname{Re}(t^*\!X))\right], $$ जहाँ $ t^* $, $ t$  आव्यूह का संयुग्मी स्थानान्तरण है।
 * यदि X(s) स्टोकेस्टिक प्रक्रिया है, तो सभी फलनों के लिए t(s) ऐसा है कि अभिन्न $ \int_{\mathbb R} t(s)X(s)\,\mathrm{d}s $, X की लगभग सभी अनुभूतियों के लिए अभिसरण होता है जो$$\varphi_X(t) = \operatorname{E}\left[\exp \left ( i\int_\mathbf{R} t(s)X(s) \, ds \right ) \right] $$है।

उदाहरण
ओबरहेटिंगर (1973) विशिष्ट फलनों की व्यापक तालिकाएँ प्रदान करता है।

गुण

 * वास्तविक-मूल्यवान यादृच्छिक चर का विशिष्ट फलन सदैव सम्मिलित रहता है, क्योंकि यह स्थान पर बंधे हुए निरंतर फलन का अभिन्न अंग है जिसका माप (गणित) परिमित है।
 * विशिष्ट फलन संपूर्ण स्थान पर एकसमान निरंतरता है।
 * यह शून्य के समीप के क्षेत्र में लुप्त नहीं होता है: φ(0) = 1,
 * यह परिबद्ध |φ(t)| ≤ 1 है।
 * यह हर्मिटियन फलन φ(−t) = $\overline{φ(t)}$ है, विशेष रूप से, सममित (मूल के समीप) यादृच्छिक चर का विशिष्ट फलन वास्तविक मूल्यवान एवं सम एवं विषम फलन है।
 * संभाव्यता वितरण एवं विशिष्ट फलनों के मध्य आपत्ति है। अर्थात्, किन्हीं दो यादृच्छिक चर X1, X2, के लिए दोनों का संभाव्यता वितरण समान है यदि एवं केवल यदि $$ \varphi_{X_1}=\varphi_{X_2}$$है।
 * यदि यादृच्छिक चर X में k-वें क्रम तक क्षण (गणित) है, तो अभिलक्षण फलन φX संपूर्ण वास्तविक रेखा पर k गुना निरंतर अवकलनीय है। $$\operatorname{E}[X^k] = i^{-k} \varphi_X^{(k)}(0),$$
 * यदि विशिष्ट फलन φX है शून्य पर k-वें अवकलज है, तो यादृच्छिक चर X में k तक के सभी क्षण हैं यदि k विषम है, परंतु केवल तक k – 1 यदि k विषम है। $$ \varphi_X^{(k)}(0) = i^k \operatorname{E}[X^k] $$
 * यदि X1, ..., Xn स्वतंत्र यादृच्छिक चर हैं, एवं a1, ..., an कुछ स्थिरांक हैं, तो Xi के रैखिक संयोजन की अभिलक्षण फलन का है $$\varphi_{a_1X_1+\cdots+a_nX_n}(t) = \varphi_{X_1}(a_1t)\cdots \varphi_{X_n}(a_nt),$$ विशिष्ट विषय दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर  X1 एवं X2 का योग है, जिसमें विषय है,$$\varphi_{X_1+X_2}(t) = \varphi_{X_1}(t)\cdot\varphi_{X_2}(t),$$
 * मान लें $$X$$ एवं $$Y$$ विशिष्ट फलनों के साथ दो यादृच्छिक चर $$\varphi_{X}$$ एवं $$\varphi_{Y}$$ बनें, $$X$$ एवं $$Y$$ स्वतंत्र हैं यदि एवं केवल यदि $$\varphi_{X, Y}(s, t)= \varphi_{X}(s) \varphi_{Y}(t) \quad \text { for all } \quad(s, t) \in \mathbb{R}^{2}$$.
 * अभिलक्षण फलन का टेल व्यवहार संबंधित घनत्व फलन की चिकनाई (संभावना सिद्धांत) निर्धारित करता है।
 * यादृच्छिक चर $$Y = aX + b$$ यादृच्छिक चर का रैखिक परिवर्तन $$X$$ हो,  $$Y$$ का चारित्रिक फलन $$\varphi_Y(t)=e^{itb}\varphi_X(at)$$ है। यादृच्छिक वैक्टर के लिए $$X$$ एवं $$Y = AX + B$$ (जहाँ A  स्थिर आव्यूह है एवं B स्थिर आव्यूह है), हमारे पास $$\varphi_Y(t) = e^{it^\top B}\varphi_X(A^\top t)$$ है।

निरंतरता
संभाव्यता वितरण एवं विशिष्ट फलनों के मध्य ऊपर बताया गया आक्षेप क्रमिक रूप से निरंतर है। अर्थात्, जब भी वितरण का कोई क्रम Fj(x) फलन करता है, कुछ वितरण F(x) में (कमजोर रूप से) अभिसरण करता है, अभिलक्षण फलनों का संगत क्रम φj(t) भी अभिसरण होगा, एवं सीमा φ(t) कानून F के विशिष्ट फलन के अनुरूप होगी। अधिक औपचारिक रूप से, इसे इस प्रकार कहा गया है


 * 'लेवी की निरंतरता प्रमेय:' अनुक्रम Xjn चर का यादृच्छिक चर X का अनुक्रम जहां φ X का अभिलक्षणिक फलन है।

इस प्रमेय का उपयोग विशिष्ट फलनों के अभिसरण, बड़ी संख्या के नियम एवं केंद्रीय सीमा प्रमेय को सिद्ध करने के लिए किया जा सकता है।

व्युत्क्रम सूत्र
संचयी वितरण फलनों एवं विशिष्ट फलनों के मध्य पत्राचार होता है, इसलिए यदि हम दूसरे को जानते हैं तो इनमें से फलन को ढूंढना संभव है। अभिलक्षण फलन की परिभाषा में सूत्र हमें φ की गणना करने की अनुमति देता है जब हम वितरण फलन F (या घनत्व f) जानते हैं। दूसरी ओर, यदि हम अभिलक्षण फलन φ को जानते हैं एवं संबंधित वितरण फलन को ढूंढना चाहते हैं, तो निम्नलिखित 'व्युत्क्रम प्रमेय' में से एक का उपयोग किया जा सकता है।

'प्रमेय'. यदि अभिलक्षण फलन φX यादृच्छिक चर का X एकीकृत फलन है, फिर FX बिल्कुल निरंतर है, एवं इसलिए X में संभाव्यता घनत्व फलन है। अविभाज्य विषय में (अर्थात जब X अदिश-मूल्यवान है) घनत्व फलन द्वारा दिया जाता है $$ f_X(x) = F_X'(x) = \frac{1}{2\pi}\int_{\mathbf{R}} e^{-itx}\varphi_X(t)\,dt,$$ बहुभिन्नरूपी विषय में यह है $$ f_X(x) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\mathbf{R}^n} e^{-i(t\cdot x)}\varphi_X(t)\lambda(dt)$$ जहाँ $ t\cdot x$ डॉट उत्पाद है।

घनत्व फलन वितरण μX का रेडॉन-निकोडिम व्युत्पन्न है, लेब्सेग माप के संबंध में λ: $$ f_X(x) = \frac{d\mu_X}{d\lambda}(x), $$ प्रमेय (लेवी) यदि FX वितरण फलन FX का अभिलक्षणिक फलन है, दो बिंदु a<b ऐसे हैं {x μX का निरंतरता सेट है (विभिन्न विषय में यह स्थिति FX की निरंतरता के समान है, बिंदु a एवं b पर), फिर प्रमेय. यदि (संभवतः) X का परमाणु है (एकतरफा विषय में इसका तात्पर्य FX का असंततता बिंदु है) तब प्रमेय (गिल-पेलेज़),अविभाज्य यादृच्छिक चर X के लिए, यदि x, FX का निरंतरता बिंदु है, तब
 * यदि X अदिश राशि है: $$F_X(b) - F_X(a) = \frac{1} {2\pi} \lim_{T \to \infty} \int_{-T}^{+T} \frac{e^{-ita} - e^{-itb}} {it}\, \varphi_X(t)\, dt,$$ इस सूत्र को संख्यात्मक गणना के लिए अधिक सुविधाजनक रूप में पुनः बताया जा सकता है $$ \frac{F(x+h) - F(x-h)}{2h} = \frac{1}{2\pi} \int_{-\infty}^{\infty} \frac{\sin ht}{ht} e^{-itx} \varphi_X(t) \, dt ,$$ नीचे से घिरे यादृच्छिक चर के लिए कोई $$F(b)$$ भी प्राप्त कर सकता है, यदि $$a$$ ऐसा है कि $$F(a)=0$$ हो, अन्यथा, यदि कोई यादृच्छिक चर नीचे से परिबद्ध नहीं है, तो इसकी सीमा $$a\to-\infty$$, $$F(b)$$ देता है, परंतु संख्यात्मक रूप से अव्यावहारिक है।
 * यदि X सदिश यादृच्छिक चर है: $$\mu_X\big(\{a<x<b\}\big) = \frac{1}{(2\pi)^n} \lim_{T_1\to\infty}\cdots\lim_{T_n\to\infty} \int\limits_{-T_1\leq t_1\leq T_1} \cdots \int\limits_{-T_n \leq t_n \leq T_n} \prod_{k=1}^n\left(\frac{e^{-i t_k a_k}-e^{-i t_k b_k}}{it_k}\right)\varphi_X(t)\lambda(dt_1 \times \cdots \times dt_n)$$
 * यदि X अदिश राशि है: $$F_X(a) - F_X(a-0) = \lim_{T\to\infty}\frac{1}{2T} \int_{-T}^{+T} e^{-ita}\varphi_X(t)\,dt$$
 * यदि X सदिश यादृच्छिक चर है: $$\mu_X(\{a\}) = \lim_{T_1\to\infty}\cdots\lim_{T_n\to\infty} \left(\prod_{k=1}^n\frac{1}{2T_k}\right) \int\limits_{[-T_1, T_1] \times \dots \times [-T_n, T_n]} e^{-i(t\cdot a)}\varphi_X(t)\lambda(dt)$$
 * $$F_X(x) = \frac{1}{2} - \frac{1}{\pi}\int_0^\infty \frac{\operatorname{Im}[e^{-itx}\varphi_X(t)]}{t}\,dt$$

जहां सम्मिश्र संख्या का काल्पनिक भाग $$z$$, $$\mathrm{Im}(z) = (z - z^*)/2i$$ द्वारा दिया गया है,

एवं इसका घनत्व फलन है:
 * $$f_X(x) = \frac{1}{\pi}\int_0^\infty \operatorname{Re}[e^{-itx}\varphi_X(t)]\,dt$$

लेब्सग अभिन्न नहीं हो सकता है; उदाहरण के लिए, जब X असतत यादृच्छिक चर होता है जो सदैव 0 होता है, तो यह डिरिचलेट इंटीग्रल बन जाता है।

बहुभिन्नरूपी वितरण के लिए व्युत्क्रम सूत्र उपलब्ध हैं।

विशिष्ट फलनों के लिए मानदंड
सभी विशिष्ट फलनों का सेट कुछ परिचालनों के अंतर्गत संवृत है:
 * उत्तल संयोजन $ \sum_n a_n\varphi_n(t)$ (साथ $ a_n\geq0,\ \sum_n a_n=1$ ) चारित्रिक फलनों की परिमित या गणनीय संख्या भी अभिलक्षणिक फलन है।
 * विशिष्ट फलनों की सीमित संख्या का गुणनफल भी विशिष्ट फलन है। यही बात अनंत उत्पाद के लिए भी प्रस्तावित होती है, यदि यह मूल बिंदु पर निरंतर फलन में परिवर्तित हो।
 * यदि φ अभिलाक्षणिक फलन है एवं α वास्तविक संख्या है, तो $$\bar{\varphi}$$, पुनः(φ), |φ|2, एवं φ(αt) भी विशिष्ट फलन हैं।

यह सर्वविदित है कि सीमा F(−∞) = 0, F(+∞) = 1 के साथ कोई भी अन्य-घटता हुआ फलन F कुछ यादृच्छिक चर के संचयी वितरण फलन से मेल खाता है। ऐसे ही सरल मानदंड खोजने में भी रुचि है जब कोई दिया गया फलन φ किसी यादृच्छिक चर का विशिष्ट फलन हो सकता है। जहाँ केंद्रीय परिणाम बोचनर का प्रमेय है, चूँकि इसकी उपयोगिता सीमित है क्योंकि प्रमेय की मुख्य स्थिति, सकारात्मक निश्चित फलन, अन्य-नकारात्मक निश्चितता, को सत्यापित करना बहुत कठिन है। अन्य प्रमेय भी सम्मिलित हैं, जैसे खिन्चिन, मैथियास, या क्रैमर, चूँकि उनका अनुप्रयोग उतना ही कठिन है। दूसरी ओर, जॉर्ज पोल्या का प्रमेय, बहुत ही सरल उत्तलता स्थिति प्रदान करता है जो पर्याप्त है परंतु आवश्यक नहीं है। इस शर्त को पूर्ण करने वाले विशिष्ट फलनों को पोलिया प्रकार कहा जाता है।

बोचनर का प्रमेय मनमाना फलन φ: Rn → C कुछ यादृच्छिक चर का विशिष्ट फलन है यदि एवं केवल यदि φ सकारात्मक निश्चित फलन है, जो मूल पर निरंतर है, एवं यदि φ(0) = 1 है।

'पुल टेस्ट' सम्मिश्र मूल्यवान, बिल्कुल निरंतर फलन φ, φ(0) = 1 के साथ, विशिष्ट फलन है यदि एवं केवल यदि यह प्रतिनिधित्व को स्वीकार करता है
 * $$\varphi(t) = \int_{\mathbf{R}} g(t+\theta)\overline{g(\theta)} \, d\theta ,$$

मैथियास का प्रमेय, वास्तविक-मूल्यवान, सम, निरंतर, बिल्कुल पूर्णांकित फलन φ, φ(0) = 1 के साथ, विशिष्ट फलन है यदि एवं केवल यदि
 * $$(-1)^n \left ( \int_{\mathbf{R}} \varphi(pt)e^{-t^2/2} H_{2n}(t) \, dt \right ) \geq 0$$

n = 0,1,2,..., एवं सभी p > 0 के लिए, यहाँ H2n घात 2n के हर्माइट बहुपद को प्रदर्शित करता है।

पोल्या का प्रमेय, यदि $$ \varphi $$ वास्तविक मूल्यवान, सम, निरंतर फलन है जो शर्तों को पूर्ण करता है तब φ(t) 0 के विषय में निरंतर वितरण सममिति का विशिष्ट फलन है।
 * $$ \varphi(0) = 1 $$,
 * $$ \varphi $$, $$ t>0 $$ के लिए उत्तल फलन है ,
 * $$ \varphi(\infty) = 0 $$,

उपयोग
लेवी निरंतरता प्रमेय के कारण, केंद्रीय सीमा प्रमेय के सबसे अधिक बार देखे जाने वाले प्रमाण में विशिष्ट फलनों का उपयोग किया जाता है। किसी विशिष्ट फलन के साथ गणना करने में सम्मिलित मुख्य प्रौद्योगिकी फलन को किसी विशेष वितरण के विशिष्ट फलन के रूप में पहचानना है।

वितरण का मूलभूत आपरेशन
सांख्यिकीय स्वतंत्रता यादृच्छिक चर के रैखिक फलनों को करने के लिए अभिलक्षण फलन विशेष रूप से उपयोगी होते हैं। उदाहरण के लिए, यदि X1, X2, ..., Xn स्वतंत्र (एवं आवश्यक नहीं कि समान रूप से वितरित) यादृच्छिक चर का क्रम है, एवं


 * $$S_n = \sum_{i=1}^n a_i X_i,\,\!$$

जहां ai स्थिरांक हैं, तो Sn के लिए अभिलक्षणिक फलन इस प्रकार दिया गया है


 * $$\varphi_{S_n}(t)=\varphi_{X_1}(a_1t)\varphi_{X_2}(a_2t)\cdots \varphi_{X_n}(a_nt) \,\!$$

विशेष रूप से, φX+Y(t) = φX(t)φY(t), इसे देखने के लिए, अभिलक्षण फलन की परिभाषा लिखें:


 * $$\varphi_{X+Y}(t)= \operatorname{E}\left [e^{it(X+Y)}\right]= \operatorname{E}\left [e^{itX}e^{itY}\right] =  \operatorname{E}\left [e^{itX}\right] \operatorname{E}\left [e^{itY}\right] =\varphi_X(t) \varphi_Y(t)$$

तीसरे एवं चौथे भाव की समानता स्थापित करने के लिए X एवं Y की स्वतंत्रता आवश्यक है।

समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर के लिए रुचि का विशेष विषय है जब एवं फिर Sn माध्य है, इस विषय में, लेखन $\overline{X}$ माध्य के लिए,


 * $$\varphi_{\overline{X}}(t)= \varphi_X\!\left(\tfrac{t}{n} \right)^n$$ है।

क्षण
किसी यादृच्छिक चर के क्षण (गणित) को खोजने के लिए अभिलक्षण फलनों का भी उपयोग किया जा सकता है। बशर्ते कि nth क्षण सम्मिलित है, अभिलक्षण फलन को n बार विभेदित किया जा सकता है:

$$ \operatorname{E}\left[ X^n\right] = i^{-n}\left[\frac{d^n}{dt^n}\varphi_X(t)\right]_{t=0} = i^{-n}\varphi_X^{(n)}(0) ,\!$$ इसे डिराक डेल्टा फलन के डेरिवेटिव का उपयोग करके औपचारिक रूप से लिखा जा सकता है:$$f_X(x) = \sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^n}{n!}\delta^{(n)}(x)\operatorname{E}[X^n], $$जो तत्काल समस्या का औपचारिक समाधान संभव बनाता है। उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि X में मानक कॉची वितरण है। तब, यह t = 0 पर अवकलनीय फलन नहीं है, जो प्रदर्शित करता है कि कॉची वितरण का कोई अपेक्षित मूल्य नहीं है। इसके अतिरिक्त, नमूना माध्य का विशिष्ट फलन $\overline{X}$n की सांख्यिकीय स्वतंत्रता प्रेक्षणों का विशिष्ट फलन होता है φ$\overline{X}$(t) = (e−)n = e−, पूर्व अनुभाग के परिणाम का उपयोग करते हुए। यह मानक कॉची वितरण का विशिष्ट फलन है: इस प्रकार, नमूना माध्य का वितरण जनसंख्या के समान ही होता है।

उदाहरण के रूप में, मान लीजिए कि X गाऊसी वितरण का अनुसरण करता है अर्थात $$X \sim \mathcal{N}(\mu,\sigma^2)$$. तब $$\varphi_{X}(t) = e^{\mu i t - \frac{1}{2} \sigma^2 t^2} $$ एवं


 * $$\operatorname{E}\left[ X\right] = i^{-1} \left[\frac{d}{dt}\varphi_X(t)\right]_{t=0} = i^{-1} \left[(i \mu - \sigma^2 t) \varphi_X(t) \right]_{t=0} = \mu $$

इसी प्रकार की गणना से पता चलता है, $$ \operatorname{E}\left[ X^2\right] = \mu^2 + \sigma^2 $$ एवं मूल्यांकन के लिए अपेक्षा की परिभाषा को प्रस्तावित करने एवं भागों द्वारा एकीकरण का उपयोग करने की अपेक्षा में इसे $$ \operatorname{E}\left[ X^2\right] $$ प्रस्तावित करना सरल है।

विशिष्ट फलन का लघुगणक संचयी जनरेटिंग फलन है, जो क्यूम्युलेंट खोजने के लिए उपयोगी है; इसके अतिरिक्त कुछ लोग संचयी जनरेटिंग फलन को पल-जनरेटिंग फलन के लघुगणक के रूप में परिभाषित करते हैं, एवं अभिलक्षण फलन के लघुगणक को दूसरा क्यूम्युलेंट जनरेटिंग फलन कहते हैं।

डेटा विश्लेषण
डेटा के प्रारूपों में संभाव्यता वितरण को फिट करने के लिए प्रक्रियाओं के भाग के रूप में अभिलक्षण फलनों का उपयोग किया जा सकता है। ऐसे विषय जहां यह अन्य संभावनाओं की अपेक्षा में एक व्यावहारिक विकल्प प्रदान करता है, उनमें स्थिर वितरण को फिट करना सम्मिलित है क्योंकि घनत्व के लिए संवृत फॉर्म अभिव्यक्तियां उपलब्ध नहीं हैं जो अधिकतम संभावना अनुमान के फलनान्वयन को कठिन बनाती हैं। अनुमान प्रक्रियाएं उपलब्ध हैं जो डेटा से गणना की गई सैद्धांतिक अभिलक्षण फलन को अनुभवजन्य अभिलक्षण फलन से मेल खाती हैं। पॉलसन एट अल. (1975) एवं हीथकोट (1977) ऐसी आकलन प्रक्रिया के लिए कुछ सैद्धांतिक पृष्ठभूमि प्रदान करें। इसके अतिरिक्त, यू (2004) समय श्रृंखला मॉडल में फिट होने के लिए अनुभवजन्य अभिलक्षण फलनों के अनुप्रयोगों का वर्णन करता है जहां संभावना प्रक्रियाएं अव्यावहारिक हैं। अंसारी एट अल द्वारा अनुभवजन्य अभिलक्षण फलनों का भी उपयोग किया गया है। (2020) एवं ली एट अल (2020) जनरेटिव प्रतिकूल नेटवर्क के प्रशिक्षण के लिए।

उदाहरण
स्केल पैरामीटर θ एवं आकार पैरामीटर k के साथ गामा वितरण में अभिलक्षण फलन होता है
 * $$(1 - \theta i t)^{-k},$$

अब मान लीजिए कि हमारे पास है
 * $$ X ~\sim \Gamma(k_1,\theta) \mbox{ and } Y \sim \Gamma(k_2,\theta)$$

X एवं Y स्वतंत्र हैं, एवं हम जानना चाहते हैं कि X+Y वाई का वितरण क्या है। चारित्रिक फलन हैं
 * $$\varphi_X(t)=(1 - \theta i t)^{-k_1},\,\qquad \varphi_Y(t)=(1 - \theta it)^{-k_2}$$ हैं,

जो स्वतंत्रता एवं चारित्रिक फलन के मूल गुणों की ओर ले जाता है
 * $$\varphi_{X+Y}(t)=\varphi_X(t)\varphi_Y(t)=(1 - \theta i t)^{-k_1}(1 - \theta i t)^{-k_2}=\left(1 - \theta i t\right)^{-(k_1+k_2)},$$

यह गामा वितरण स्केल पैरामीटर θ एवं आकार पैरामीटर k1 + k2 का विशिष्ट फलन, एवं इसलिए हम निष्कर्ष निकालते हैं कि
 * $$X+Y \sim \Gamma(k_1+k_2,\theta)$$ है।

परिणाम को समान स्केल पैरामीटर के साथ n स्वतंत्र गामा वितरित यादृच्छिक चर तक विस्तारित किया जा सकता है, एवं हमें प्राप्त होता है।

$$\forall i \in \{1,\ldots, n\} : X_i \sim \Gamma(k_i,\theta) \qquad \Rightarrow \qquad \sum_{i=1}^n X_i \sim \Gamma\left(\sum_{i=1}^nk_i,\theta\right)$$

संपूर्ण चारित्रिक फलन
जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है, अभिलक्षण फलन के तर्क को वास्तविक संख्या के रूप में माना जाता है: चूँकि, अभिलक्षण फलनों के सिद्धांत के कुछ रूपों को अभिलक्षणात्मक निरंतरता द्वारा सम्मिश्र विमान में परिभाषा का विस्तार करके उन्नत किया जाता है, ऐसे विषयों में जहां यह संभव है।

संबंधित अवधारणाएँ
संबंधित अवधारणाओं में क्षण-उत्पादक फलन एवं संभाव्यता-उत्पन्न फलन सम्मिलित हैं। सभी संभाव्यता वितरणों के लिए अभिलक्षण फलन सम्मिलित है। यह क्षण-उत्पन्न करने वाले फलन के विषय में नहीं है।

अभिलक्षण फलन फूरियर रूपांतरण से निकटता से संबंधित है: संभाव्यता घनत्व फलन p(x) का अभिलक्षण फलन p(x) के निरंतर फूरियर रूपांतरण का सम्मिश्र संयुग्म है (सामान्य सम्मेलन के अनुसार; निरंतर फूरियर रूपांतरण देखें)।


 * $$\varphi_X(t) = \langle e^{itX} \rangle = \int_{\mathbf{R}} e^{itx}p(x)\, dx = \overline{\left( \int_{\mathbf{R}} e^{-itx}p(x)\, dx \right)} = \overline{P(t)},$$

जहां P(t) संभाव्यता घनत्व फलन p(x) के निरंतर फूरियर रूपांतरण को प्रदर्शित करता है। इसी प्रकार, p(x) को φX से पुनर्प्राप्त किया जा सकता है, (t) व्युत्क्रम फूरियर रूपांतरण के माध्यम से:


 * $$p(x) = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbf{R}} e^{itx} P(t)\, dt = \frac{1}{2\pi} \int_{\mathbf{R}} e^{itx} \overline{\varphi_X(t)}\, dt,$$

वास्तव में, जब यादृच्छिक चर में घनत्व नहीं होता है, तब भी अभिलक्षण फलन को यादृच्छिक चर के अनुरूप माप के फूरियर रूपांतरण के रूप में देखा जा सकता है।

अन्य संबंधित अवधारणा वितरण के कर्नेल एम्बेडिंग के माध्यम से पुनरुत्पादित कर्नेल हिल्बर्ट स्पेस के तत्वों के रूप में संभाव्यता वितरण का प्रतिनिधित्व है। इस आकृति को कर्नेल फलन के विशिष्ट विकल्पों के अंतर्गत अभिलक्षण फलन के सामान्यीकरण के रूप में देखा जा सकता है।

यह भी देखें

 * उपनिर्भरता, स्वतंत्रता की अपेक्षा में कमजोर स्थिति है, जिसे विशिष्ट फलनों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है।
 * क्यूमुलेंट, क्यूम्युलेंट जनरेटिंग फलन का शब्द, जो विशिष्ट फलन के लॉग हैं।