एसवाईजेड अनुमान

एसवाईजेड अनुमान मिरर समरूपता (स्ट्रिंग सिद्धांत) अनुमान को समझने का एक प्रयास है, जो सैद्धांतिक भौतिकी और गणित में एक मुद्दा है। मूल अनुमान एंड्रयू स्ट्रोमिंगर, शिंग-तुंग याउ और एरिक ज़स्लो द्वारा एक पेपर में प्रस्तावित किया गया था, जिसका शीर्षक था मिरर सिमिट्री टी-डुअलिटी। समरूप दर्पण समरूपता के साथ, यह गणितीय शब्दों में दर्पण समरूपता को समझने के लिए उपयोग किए जाने वाले सबसे अधिक खोजे गए उपकरणों में से एक है। जबकि होमोलॉजिकल मिरर समरूपता होमोलॉजिकल बीजगणित पर आधारित है, एसवाईजेड अनुमान दर्पण समरूपता का एक ज्यामितीय अहसास है।

सूत्रीकरण
स्ट्रिंग सिद्धांत में, दर्पण समरूपता प्रकार IIA और प्रकार IIB सिद्धांतों से संबंधित है। यह भविष्यवाणी करता है कि प्रकार IIA और प्रकार IIB का प्रभावी क्षेत्र सिद्धांत समान होना चाहिए यदि दोनों सिद्धांतों को दर्पण जोड़ी मैनिफोल्ड्स पर संकुचित किया जाता है।

SYZ अनुमान दर्पण समरूपता का एहसास करने के लिए इस तथ्य का उपयोग करता है। यह एक्स पर संकलित प्रकार आईआईए सिद्धांतों की बीपीएस स्थितियों पर विचार करने से शुरू होता है, विशेष रूप से 0-ब्रान जिनमें मॉड्यूलि स्पेस एक्स होता है। यह ज्ञात है कि वाई पर संकलित प्रकार आईआईबी सिद्धांतों की सभी बीपीएस स्थितियां 3-ब्रान हैं। इसलिए, दर्पण समरूपता प्रकार IIA सिद्धांतों के 0-ब्रान को प्रकार IIB सिद्धांतों के 3-ब्रान के उपसमूह में मैप करेगी।

अति सममित स्थितियों पर विचार करके, यह दिखाया गया है कि ये 3-ब्रान विशेष लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड्स होने चाहिए।  दूसरी ओर, टी-द्वैत इस मामले में समान परिवर्तन करता है, इस प्रकार दर्पण समरूपता टी-द्वैत है।

गणितीय कथन
स्ट्रोमिंगर, याउ और ज़ास्लो द्वारा एसवाईजेड अनुमान का प्रारंभिक प्रस्ताव एक सटीक गणितीय कथन के रूप में नहीं दिया गया था। एसवाईजेड अनुमान के गणितीय समाधान का एक हिस्सा, कुछ अर्थों में, अनुमान के कथन को सही ढंग से तैयार करना है। गणितीय साहित्य में अनुमान के सटीक कथन पर कोई सहमति नहीं है, लेकिन एक सामान्य कथन है जिसके अनुमान के सही सूत्रीकरण के करीब होने की उम्मीद है, जिसे यहां प्रस्तुत किया गया है। यह कथन दर्पण समरूपता की टोपोलॉजिकल तस्वीर पर जोर देता है, लेकिन दर्पण जोड़े की जटिल और सहानुभूतिपूर्ण संरचनाओं के बीच संबंधों को सटीक रूप से चित्रित नहीं करता है, या इसमें शामिल संबंधित रीमैनियन मीट्रिक ्स का संदर्भ नहीं देता है।

 एसवाईजेड अनुमान: प्रत्येक 6-आयामी कैलाबी-यॉ कई गुना $$X$$ इसमें एक दर्पण 6-आयामी कैलाबी-यॉ मैनिफोल्ड है $$\hat{X}$$ ऐसे कि लगातार कयास लग रहे हैं $$f: X\to B$$, $$\hat{f}:\hat{X} \to B$$ एक कॉम्पैक्ट टोपोलॉजिकल मैनिफोल्ड के लिए $$B$$ आयाम 3 का, ऐसा कि 
 * 1) एक सघन खुला उपसमुच्चय मौजूद है $$B_{\text{reg}}\subset B$$ जिस पर नक्शे हैं $$f,\hat{f}$$ नॉनसिंगुलर विशेष लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड टोरस#एन-डायमेंशनल_टोरस|3-टोरी द्वारा तंतु हैं। इसके अलावा हर बिंदु के लिए $$b\in B_{\text{reg}}$$, टोरस फाइबर $$f^{-1}(b)$$ और $$\hat{f}^{-1}(b)$$ Dual_abelian_variety के अनुरूप, कुछ अर्थों में एक दूसरे से द्वैत होना चाहिए।
 * 2) प्रत्येक के लिए $$b\in B\backslash B_{\text{reg}}$$, रेशे $$f^{-1}(b)$$ और $$\hat f^{-1}(b)$$ का एकवचन 3-आयामी विशेष लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड होना चाहिए $$X$$ और $$\hat{X}$$ क्रमश।

जिस स्थिति में $$B_{\text{reg}} = B$$ ताकि कोई एकवचन स्थान न हो, इसे एसवाईजेड अनुमान की अर्ध-सपाट सीमा कहा जाता है, और इसे अक्सर टोरस फाइब्रेशन का वर्णन करने के लिए एक मॉडल स्थिति के रूप में उपयोग किया जाता है। SYZ अनुमान को अर्ध-सपाट सीमाओं के कुछ सरल मामलों में दिखाया जा सकता है, उदाहरण के लिए एबेलियन किस्मों और K3 सतहों द्वारा दिया गया है जो अण्डाकार वक्रों द्वारा रेशेदार हैं।

यह उम्मीद की जाती है कि एसवाईजेड अनुमान का सही सूत्रीकरण उपरोक्त कथन से कुछ भिन्न होगा। उदाहरण के लिए एकवचन सेट का संभावित व्यवहार $$B\backslash B_{\text{reg}}$$ अच्छी तरह से समझा नहीं गया है, और यह सेट इसकी तुलना में काफी बड़ा हो सकता है $$B$$. मिरर समरूपता को भी अक्सर एकल कैलाबी-याउ के बजाय कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स के पतित परिवारों के संदर्भ में व्यक्त किया जाता है, और कोई इस भाषा में एसवाईजेड अनुमान को अधिक सटीक रूप से सुधारे जाने की उम्मीद कर सकता है।

समजात दर्पण समरूपता अनुमान से संबंध
एसवाईजेड दर्पण समरूपता अनुमान, दर्पण कैलाबी-याउ मैनिफोल्ड्स की हॉज संख्या से संबंधित मूल दर्पण समरूपता अनुमान का एक संभावित शोधन है। दूसरा है मैक्सिम कोंटसेविच | कोंटसेविच का होमोलॉजिकल मिरर समरूपता (एचएमएस अनुमान)। ये दो अनुमान अलग-अलग तरीकों से दर्पण समरूपता की भविष्यवाणियों को कूटबद्ध करते हैं: बीजगणितीय तरीके से समरूप दर्पण समरूपता, और ज्यामितीय तरीके से एसवाईजेड अनुमान। दर्पण समरूपता की इन तीन व्याख्याओं के बीच एक संबंध होना चाहिए, लेकिन यह अभी तक ज्ञात नहीं है कि क्या उन्हें समकक्ष होना चाहिए या एक प्रस्ताव दूसरे से अधिक मजबूत है। कुछ मान्यताओं के तहत यह दिखाने की दिशा में प्रगति हुई है कि होमोलॉजिकल दर्पण समरूपता का तात्पर्य हॉज सिद्धांतिक दर्पण समरूपता से है। फिर भी, सरल सेटिंग्स में एसवाईजेड और एचएमएस अनुमानों को जोड़ने के स्पष्ट तरीके हैं। एचएमएस की मुख्य विशेषता यह है कि अनुमान दर्पण ज्यामितीय स्थानों पर वस्तुओं (या तो सबमैनिफोल्ड्स या शीव्स) से संबंधित है, इसलिए एचएमएस अनुमान को समझने या साबित करने की कोशिश करने के लिए आवश्यक इनपुट में ज्यामितीय स्थानों की एक दर्पण जोड़ी शामिल है। एसवाईजेड अनुमान भविष्यवाणी करता है कि ये दर्पण जोड़े कैसे उत्पन्न होने चाहिए, और इसलिए जब भी एसवाईजेड दर्पण जोड़ी मिलती है, तो इस जोड़ी पर एचएमएस अनुमान को आजमाने और साबित करने के लिए यह एक अच्छा उम्मीदवार है।

एसवाईजेड और एचएमएस अनुमानों को जोड़ने के लिए अर्ध-सपाट सीमा में काम करना सुविधाजनक है। लैग्रेन्जियन टोरस फाइब्रेशन की एक जोड़ी की महत्वपूर्ण ज्यामितीय विशेषता $$X,\hat X \to B$$ जो दर्पण समरूपता को एन्कोड करता है वह फाइब्रेशन के दोहरे टोरस फाइबर है। लैग्रेंजियन टोरस दिया गया $$T\subset X$$, दोहरी टोरस जैकोबियन किस्म द्वारा दिया गया है $$T$$, निरूपित $$\hat T = \mathrm{Jac}(T)$$. यह फिर से उसी आयाम का एक टोरस है, और द्वंद्व इस तथ्य में कूटबद्ध है $$\mathrm{Jac}(\mathrm{Jac}(T)) = T$$ इसलिए $$T$$ और $$\hat T$$ इस निर्माण के तहत वास्तव में दोहरे हैं। जैकोबियन किस्म $$\hat T$$ लाइन बंडलों के मॉड्यूलि स्पेस के रूप में महत्वपूर्ण व्याख्या है $$T$$.

यह द्वंद्व और मूल टोरस पर शीव्स के मॉड्यूलि स्पेस के रूप में दोहरे टोरस की व्याख्या ही किसी को सबमैनिफोल्ड्स और सबशीव्स के डेटा को इंटरचेंज करने की अनुमति देती है। इस घटना के दो सरल उदाहरण हैं:


 * अगर $$p\in X$$ एक बिंदु है जो कुछ फाइबर के अंदर स्थित है $$p\in T\subset X$$ विशेष लैग्रेंजियन टोरस फ़िब्रेशन का, तब से $$T = \mathrm{Jac}(\hat T)$$, बिंदु $$p$$ समर्थित लाइन बंडल से मेल खाता है $$\hat T \subset \hat X$$. यदि कोई लैग्रेंजियन अनुभाग चुनता है $$s: B \to X$$ ऐसा है कि $$s(B)=L$$ का लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड है $$X$$, तब से ठीक है $$s$$ एसवाईजेड फाइब्रेशन के प्रत्येक टोरस फाइबर में एक बिंदु चुनता है, यह लैग्रेंजियन अनुभाग मिरर मैनिफोल्ड के प्रत्येक टोरस फाइबर पर समर्थित लाइन बंडल संरचना की पसंद के लिए दर्पण दोहरी है $$\hat X$$, और परिणामस्वरूप कुल स्थान पर एक लाइन बंडल $$\hat X$$, मिरर मैनिफोल्ड की व्युत्पन्न श्रेणी में दिखने वाले सुसंगत शीफ का सबसे सरल उदाहरण। यदि दर्पण टोरस फ़ाइब्रेशन अर्ध-सपाट सीमा में नहीं हैं, तो आधार के एकवचन सेट को पार करते समय विशेष ध्यान रखा जाना चाहिए $$B$$.


 * लैग्रैन्जियन सबमैनिफोल्ड का एक और उदाहरण टोरस फाइबर ही है, और कोई देखता है कि यदि पूरे टोरस को लैग्रैन्जियन के रूप में लिया जाता है $$T\subset X$$, इसके ऊपर एक सपाट एकात्मक रेखा बंडल के अतिरिक्त डेटा के साथ, जैसा कि होमोलॉजिकल मिरर समरूपता में अक्सर आवश्यक होता है, फिर दोहरे टोरस में $$\hat T \subset \hat X$$ यह एक एकल बिंदु से मेल खाता है जो टोरस पर उस रेखा बंडल का प्रतिनिधित्व करता है। यदि कोई दोहरे टोरस में उस बिंदु पर समर्थित गगनचुंबी इमारत शीफ को लेता है, तो हम देखते हैं कि एसवाईजेड फाइब्रेशन के टोरस फाइबर दर्पण टोरस फाइबर में बिंदुओं पर समर्थित गगनचुंबी इमारत शीफ में भेजे जाते हैं।

ये दो उदाहरण सबसे चरम प्रकार के सुसंगत शीफ, स्थानीय रूप से मुक्त शीफ (रैंक 1 का) और बिंदुओं पर समर्थित टॉर्सियन शीफ का उत्पादन करते हैं। अधिक सावधानी से निर्माण करके कोई सुसंगत शीफ के अधिक जटिल उदाहरण बना सकता है, जो मरोड़ निस्पंदन का उपयोग करके एक सुसंगत शीफ के निर्माण के समान है। एक सरल उदाहरण के रूप में, एक लैग्रैन्जियन मल्टीसेक्शन (के लैग्रैन्जियन सेक्शन का एक संघ) को मिरर मैनिफोल्ड पर एक रैंक के वेक्टर बंडल के लिए दर्पण दोहरी होना चाहिए, लेकिन किसी को होलोमोर्फिक डिस्क की गिनती करके इंस्टेंटन सुधारों को ध्यान में रखना चाहिए जो कि से बंधे हैं ग्रोमोव-विटन सिद्धांत के अर्थ में मल्टीसेक्शन। इस तरह से यह समझने के लिए गणनात्मक ज्यामिति महत्वपूर्ण हो जाती है कि दर्पण समरूपता दोहरी वस्तुओं को कैसे आपस में बदल देती है।

SYZ अनुमान में दर्पण तंतुओं की ज्यामिति को गणनात्मक अपरिवर्तकों की विस्तृत समझ और आधार के एकवचन सेट की संरचना के साथ जोड़कर $$B$$, लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड्स से श्रेणियों की समरूपता का निर्माण करने के लिए फ़िब्रेशन की ज्यामिति का उपयोग करना संभव है $$X$$ के सुसंगत ढेरों के लिए $$\hat X$$, वो नक्शा $$\mathrm{Fuk}(X) \to \mathrm{D}^b \mathrm{Coh}(\hat X)$$. टोरस तंतुओं के द्वंद्व का उपयोग करके इसी चर्चा को उल्टा दोहराकर, कोई भी इसी तरह सुसंगत ढेरों को समझ सकता है $$X$$ लैग्रेंजियन सबमैनिफोल्ड्स के संदर्भ में $$\hat X$$, और आशा है कि एचएमएस अनुमान एसवाईजेड अनुमान से कैसे संबंधित है, इसकी पूरी समझ प्राप्त होगी।