तुलनात्मक सांख्यिकी

अर्थशास्त्र में, तुलनात्मक सांख्यिकी दो अलग-अलग आर्थिक परिणामों की तुलना है, कुछ अंतर्निहित बहिर्जात चर मापदण्ड में बदलाव से पहले और बाद में। एक प्रकार के स्थैतिक विश्लेषण के रूप में यह समायोजन की प्रक्रिया (यदि कोई हो) के बाद दो अलग-अलग आर्थिक संतुलन राज्यों की तुलना करता है। यह न तो संतुलन की ओर गति का अध्ययन करता है और न ही स्वयं परिवर्तन की प्रक्रिया का।

तुलनात्मक सांख्यिकी का उपयोग सामान्यत: पर एकल बाजार (अर्थशास्त्र) का विश्लेषण करते समय आपूर्ति और मांग में परिवर्तन का अध्ययन करने और संपूर्ण व्यष्‍टि अर्थशास्त्र का विश्लेषण करते समय मौद्रिक नीति या राजकोषीय नीति में परिवर्तन का अध्ययन करने के लिए किया जाता है। तुलनात्मक सांख्यिकी सूक्ष्मअर्थशास्त्र (सामान्य संतुलन विश्लेषण सहित) और व्यष्‍टि अर्थशास्त्र में विश्लेषण का एक उपकरण है। तुलनात्मक सांख्यिकी को सर जॉन रिचर्ड हिक्स | जॉन आर. हिक्स (1939) और पॉल ए. सैमुएलसन (1947) (केहो, 1987, पृष्ठ 517) द्वारा औपचारिक रूप दिया गया था, लेकिन कम से कम 1870 के दशक से इसे रेखांकन के रूप में प्रस्तुत किया गया था। परिवर्तन की स्थिर संतुलन दरों के मॉडल के लिए, जैसे कि नवशास्त्रीय विकास मॉडल, तुलनात्मक गतिकी तुलनात्मक सांख्यिकी (ईटवेल, 1987) का प्रतिरूप है।

रैखिक सन्निकटन
तुलनात्मक सांख्यिकी के परिणाम सामान्यत: पर अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय का उपयोग करके समीकरणों की प्रणाली के लिए एक रैखिक सन्निकटन की गणना करने के लिए प्राप्त होते हैं जो संतुलन को परिभाषित करता है, इस धारणा के अनुसार कि संतुलन स्थिर है। यही है, यदि हम कुछ बहिर्जात मापदण्ड में पर्याप्त रूप से छोटे परिवर्तन पर विचार करते हैं, तो हम गणना कर सकते हैं कि संतुलन समीकरणों में दिखाई देने वाली शर्तों के केवल यौगिक का उपयोग करके प्रत्येक अंतर्जात चर कैसे बदलता है।

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि कुछ अंतर्जात चर का संतुलन मूल्य है $$x$$ निम्नलिखित समीकरण द्वारा निर्धारित किया जाता है:
 * $$f(x,a)=0 \,$$

कहाँ $$a$$ एक बहिर्जात मापदण्ड है। फिर, प्रथम-क्रम सन्निकटन के लिए, परिवर्तन $$x$$ में एक छोटे से परिवर्तन के कारण होता है $$a$$ संतुष्ट होना चाहिए:
 * $$B \text{d}x + C \text{d}a = 0.$$

यहाँ $$\text{d}x$$ और $$\text{d}a$$ में परिवर्तनों का प्रतिनिधित्व करते हैं $$x$$ और $$a$$, क्रमशः, जबकि $$B$$ और $$C$$ के आंशिक व्युत्पन्न हैं $$f$$ इसके संबंध में $$x$$ और $$a$$ (के प्रारंभिक मूल्यों पर मूल्यांकन $$x$$ और $$a$$), क्रमश। समान रूप से, हम में परिवर्तन लिख सकते हैं $$x$$ जैसा:
 * $$\text{d}x = -B^{-1}C \text{d}a .$$

अंतिम समीकरण को da से विभाजित करने पर a के संबंध में x का 'तुलनात्मक स्थैतिक व्युत्पन्न' प्राप्त होता है, जिसे x पर a का गुणक (अर्थशास्त्र) भी कहा जाता है:


 * $$\frac = -B^{-1}C.$$

कई समीकरण और अज्ञात
समीकरण के प्रणाली की स्थिति में उपरोक्त सभी समीकरण सही रहते हैं $$n$$ में समीकरण $$n$$ अज्ञात। दूसरे शब्दों में, मान लीजिए $$f(x,a)=0$$ की एक प्रणाली का प्रतिनिधित्व करता है $$n$$ के सदिश को सम्मलित करने वाले समीकरण $$n$$ अननोंस $$x$$, और का वेक्टर $$m$$ दिए गए मापदण्ड $$a$$. यदि हम पर्याप्त रूप से छोटा बदलाव करते हैं $$\text{d}a$$ मापदंडों में, फिर अंतर्जात चर में परिणामी परिवर्तनों को मनमाने ढंग से अच्छी तरह से अनुमानित किया जा सकता है $$\text{d}x = -B^{-1}C \text{d}a$$. इस स्थिति में, $$B$$ का प्रतिनिधित्व करता है $$n$$×$$n$$ कार्यों का जैकोबियन आव्यूह $$f$$ चर के संबंध में $$x$$, और $$C$$ का प्रतिनिधित्व करता है $$n$$×$$m$$ कार्यों के आंशिक व्युत्पन्न का आव्यूह $$f$$ मापदंडों के संबंध में $$a$$. (व्युत्पन्न में $$B$$ और $$C$$ के प्रारंभिक मूल्यों पर मूल्यांकन किया जाता है $$x$$ और $$a$$।) ध्यान दें कि यदि कोई एक अंतर्जात चर पर एक बहिर्जात चर का तुलनात्मक स्थैतिक प्रभाव चाहता है, तो क्रैमर के नियम का उपयोग कुल विभेदीकरण पर किया जा सकता है # समीकरणों की विभेदक प्रणाली के माध्यम से कुल व्युत्पन्न $$B\text{d}x + C \text{d}a \,=0$$.

स्थिरता
यह धारणा कि संतुलन दो कारणों से स्थिर है। सबसे पहले, यदि संतुलन अस्थिर था, तो मापदण्ड में एक छोटे से बदलाव के कारण के मूल्य में बड़ा उछाल आ सकता है $$x$$, एक रेखीय सन्निकटन के उपयोग को अमान्य कर रहा है। इसके अतिरिक्त, पॉल ए सैमुएलसन के पत्राचार सिद्धांत   बताता है कि संतुलन की स्थिरता का तुलनात्मक स्थिर प्रभावों के बारे में गुणात्मक प्रभाव पड़ता है। दूसरे शब्दों में, यह जानना कि संतुलन स्थिर है, हमें यह अनुमान लगाने में मदद कर सकता है कि सदिश में प्रत्येक गुणांक है या नहीं $$B^{-1}C$$ सकारात्मक या नकारात्मक है। विशेष रूप से, स्थिरता के लिए n आवश्यक और संयुक्त रूप से पर्याप्त शर्तों में से एक यह है कि n×n आव्यूह B के निर्धारक का एक विशेष चिह्न है; चूँकि यह सारणिक के लिए व्यंजक में हर के रूप में प्रकट होता है $$B^{-1}$$, निर्धारक का चिह्न सदिश के सभी तत्वों के चिह्नों को प्रभावित करता है $$B^{-1}C\text{d} a$$ तुलनात्मक स्थिर प्रभावों की।

स्थिरता धारणा की भूमिका का एक उदाहरण
मान लीजिए कि किसी उत्पाद की मांग और आपूर्ति की मात्रा निम्नलिखित समीकरणों द्वारा निर्धारित की जाती है:


 * $$Q^{d}(P) = a + bP$$
 * $$Q^{s}(P) = c + gP$$

कहाँ $$Q^{d}$$ मांगी गई मात्रा है, $$Q^{s}$$ आपूर्ति की गई मात्रा है, p कीमत है, a और c क्रमशः मांग और आपूर्ति पर बहिर्जात प्रभावों द्वारा निर्धारित अवरोधन मापदण्ड हैं, b <0 मांग वक्र के ढलान का पारस्परिक है, और जी ढलान का पारस्परिक है आपूर्ति वक्र; g > 0 यदि आपूर्ति वक्र ऊपर की ओर झुका हुआ है, g = 0 यदि आपूर्ति वक्र लंबवत है, और g < 0 यदि आपूर्ति वक्र पीछे की ओर झुका हुआ है। यदि हम संतुलन कीमत का पता लगाने के लिए मांग की गई मात्रा के साथ आपूर्ति की गई मात्रा की बराबरी करते हैं $$P^{eqb}$$, हम पाते हैं


 * $$P^{eqb}=\frac{a-c}{g-b}.$$

इसका मतलब यह है कि संतुलन मूल्य सकारात्मक रूप से मांग अवरोधन पर निर्भर करता है यदि g - b > 0, लेकिन इस पर नकारात्मक रूप से निर्भर करता है यदि g - b < 0. इनमें से कौन सी संभावनाएं प्रासंगिक हैं? वास्तव में, एक प्रारंभिक स्थिर संतुलन से प्रारंभ करना और फिर a को बदलना, नया संतुलन तभी प्रासंगिक होता है जब बाजार वास्तव में उस नए संतुलन की ओर जाता है। मान लीजिए कि बाजार में मूल्य समायोजन के अनुसार होता है


 * $$\frac{dP}{dt}=\lambda (Q^{d}(P) - Q^{s}(P))$$

जहाँ $$\lambda$$ > 0 समायोजन मापदण्ड की गति है और $$\frac{dP}{dt}$$ मूल्य का समय व्युत्पन्न है - अर्थात, यह दर्शाता है कि मूल्य कितनी तेजी से और किस दिशा में बदलता है। स्थिरता सिद्धांत द्वारा, p अपने संतुलन मूल्य में अभिसरण करेगा यदि, और केवल यदि व्युत्पन्न $$\frac{d(dP/dt)}{dP}$$ नकारात्मक है। यह व्युत्पन्न द्वारा दिया गया है


 * $$ \frac{d(dP/dt)}{dP} = - \lambda(-b+g).$$

यह ऋणात्मक है यदि और केवल यदि g – b > 0, जिस स्थिति में मांग अवरोधन मापदण्ड a सकारात्मक रूप से कीमत को प्रभावित करता है। इसलिए हम कह सकते हैं कि जबकि संतुलन कीमत पर मांग अवरोधन के प्रभाव की दिशा अस्पष्ट है, जब हम सभी जानते हैं कि आपूर्ति वक्र के ढलान का व्युत्क्रम, g, ऋणात्मक है, एकमात्र प्रासंगिक स्थिति में (जिसमें कीमत वास्तव में अपने नए संतुलन मूल्य पर जाता है) मांग अवरोधन में वृद्धि से कीमत बढ़ जाती है। ध्यान दें कि यह स्थिति, g - b > 0 के साथ, वह स्थिति है जिसमें आपूर्ति वक्र, यदि नकारात्मक रूप से झुका हुआ है, तो मांग वक्र की तुलना में तेज है।

बाधाओं के बिना
कल्पना करें $$p(x;q)$$ एक चिकनी और सख्ती से अवतल वस्तुनिष्ठ कार्य है जहां x n अंतर्जात चर का एक सदिश है और q m बहिर्जात मापदंडों का एक सदिश है। अप्रतिबंधित अनुकूलन समस्या पर विचार करें $$x^*(q)= \arg \max p(x;q) $$. होने देना $$f(x;q)=D_xp(x;q)$$, n by n आव्यूह के पहले आंशिक व्युत्पन्न का $$p(x;q)$$ इसके पहले n तर्क x के संबंध में1,...,xn. अधिकतम करने वाला $$x^*(q)$$ n × 1 प्रथम क्रम की स्थिति द्वारा परिभाषित किया गया है $$f(x^*(q);q)=0$$.

तुलनात्मक सांख्यिकी पूछता है कि m मापदण्ड में परिवर्तन के जवाब में यह अधिकतम कैसे बदलता है। उद्देश्य प्राप्त करना है $$\partial x^*_i/ \partial q_j, i=1,...,n, j=1,...,m$$.

वस्तुनिष्ठ फलन की सख्त अवतलता का तात्पर्य है कि f का जैकोबियन, जो वास्तव में अंतर्जात चर के संबंध में p के दूसरे आंशिक व्युत्पन्न का आव्यूह है, निरर्थक है (एक व्युत्क्रम है)। अंतर्निहित कार्य प्रमेय द्वारा, फिर, $$x^*(q)$$ स्थानीय रूप से एक निरंतर भिन्न कार्य के रूप में देखा जा सकता है, और स्थानीय प्रतिक्रिया $$x^*(q)$$ में छोटे परिवर्तन के द्वारा दिया जाता है
 * $$D_qx^*(q)=-[D_xf(x^*(q);q)]^{-1}D_qf(x^*(q);q).$$

श्रृंखला नियम और प्रथम आदेश शर्त लागू करने पर,
 * $$D_qp(x^*(q),q)=D_qp(x;q)|_{x=x^*(q)}.$$

(लिफाफा प्रमेय देखें)।

अधिकतम लाभ के लिए आवेदन
मान लीजिए कि एक निश्चित मात्रा में n वस्तुओं का उत्पादन करती है $$x_1,...,x_n$$. निश्चित का लाभ एक कार्य p है $$x_1,...,x_n$$ और m बहिर्जात मापदंडों की $$q_1,...,q_m$$ जो, उदाहरण के लिए, विभिन्न कर दरों का प्रतिनिधित्व कर सकता है। बशर्ते कि लाभ फलन सहजता और समतलता की आवश्यकताओं को पूरा करता हो, ऊपर दी गई तुलनात्मक सांख्यिकी विधि कर दरों में छोटे बदलावों के कारण निश्चित के लाभ में बदलाव का वर्णन करती है।

बाधाओं के साथ
उपरोक्त विधि का एक सामान्यीकरण अनुकूलन समस्या को बाधाओं के एक सेट को सम्मलित करने की अनुमति देता है। यह सामान्य लिफाफा प्रमेय की ओर जाता है। अनुप्रयोगों में मूल्य या मजदूरी में परिवर्तन के जवाब में मार्शलियन मांग समारोह में परिवर्तन का निर्धारण सम्मलित है।

सीमाएं और विस्तार
अंतर्निहित फ़ंक्शन प्रमेय का उपयोग करते हुए तुलनात्मक सांख्यिकी की एक सीमा यह है कि परिणाम केवल (संभावित रूप से बहुत छोटे) इष्टतम के निकटतम मान्य होते हैं - अर्थात, केवल बहिर्जात चर में बहुत छोटे परिवर्तनों के लिए। एक और सीमा पारंपरिक रूप से तुलनात्मक सांख्यिकी प्रक्रियाओं को सही ठहराने के लिए उपयोग की जाने वाली मान्यताओं की संभावित रूप से अत्यधिक प्रतिबंधात्मक प्रकृति है। उदाहरण के लिए, जॉन नचबार ने अपने एक स्थिति के अध्ययन में पाया कि सामान्य संतुलन विश्लेषण में तुलनात्मक सांख्यिकी का उपयोग समग्र स्तर के अतिरिक्त बहुत छोटे, व्यक्तिगत स्तर के आंकड़ों के साथ सबसे अच्छा काम करता है। पॉल मिलग्रोम और क्रिस शैनन 1994 में बताया कि अनुकूलन समस्याओं पर तुलनात्मक स्थैतिकी के उपयोग को सही ठहराने के लिए पारंपरिक रूप से उपयोग की जाने वाली धारणाएँ वास्तव में आवश्यक नहीं हैं - विशेष रूप से, पसंदीदा सेटों या बाधा सेटों की उत्तलता की धारणाएँ, उनकी सीमाओं की सहजता, पहली और दूसरी व्युत्पन्न स्थितियाँ, और रैखिकता बजट सेट या उद्देश्य कार्यों की। वास्तव में, कभी-कभी इन शर्तों को पूरा करने वाली समस्या को समान तुलनात्मक सांख्यिकी वाली समस्या देने के लिए नीरस रूप से रूपांतरित किया जा सकता है लेकिन इनमें से कुछ या सभी शर्तों का उल्लंघन किया जा सकता है; इसलिए ये शर्तें तुलनात्मक सांख्यिकी को सही ठहराने के लिए आवश्यक नहीं हैं। मिलग्रोम और शैनन के लेख के साथ-साथ वेइनॉट द्वारा प्राप्त परिणामों से उपजा और टोपकिस परिचालन अनुसंधान का एक महत्वपूर्ण सूत्र विकसित किया गया जिसे मोनोटोन तुलनात्मक सांख्यिकी कहा जाता है। विशेष रूप से, यह सिद्धांत केवल उन स्थितियों का उपयोग करके तुलनात्मक स्थैतिक विश्लेषण पर ध्यान केंद्रित करता है जो आदेश-संरक्षण परिवर्तनों से स्वतंत्र हैं। विधि जाली सिद्धांत का उपयोग करती है और अर्ध-तुल्य और एकल-प्रसंकर स्थिति की धारणाओं का परिचय देती है। अर्थशास्त्र में मोनोटोन तुलनात्मक सांख्यिकी के व्यापक अनुप्रयोग में उत्पादन सिद्धांत, उपभोक्ता सिद्धांत, खेल सिद्‍धांत के साथ पूर्ण और अधूरी जानकारी, नीलामी सिद्धांत और अन्य सम्मलित हैं।

यह भी देखें

 * मॉडल (अर्थशास्त्र)
 * गुणात्मक अर्थशास्त्र

संदर्भ

 * John Eatwell et al., ed. (1987). "Comparative dynamics," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 1, p. 517.
 * John R. Hicks (1939). Value and Capital.
 * Timothy J. Kehoe, 1987. "Comparative statics," The New Palgrave: A Dictionary of Economics, v. 1, pp. 517–20.
 * Andreu Mas-Colell, Michael D. Whinston, and Jerry R. Green, 1995. Microeconomic Theory.
 * Paul A. Samuelson (1947). Foundations of Economic Analysis.
 * Eugene Silberberg and Wing Suen, 2000. The Structure of Economics: A Mathematical Analysis, 3rd edition.

बाहरी संबंध

 * San Jose State University Economics Department - Comparative Statics Analysis
 * AmosWeb Glossary
 * IFCI Risk Institute Glossary (from the American Stock Exchange glossary)