कारणात्मक फ़र्मियन सिस्टम

मौलिक भौतिकी का वर्णन करने के लिए कारणात्मक फ़र्मियन सिस्टम का सिद्धांत एक दृष्टिकोण है। यह शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत के स्तर पर कमजोर बातचीत, मजबूत बातचीत और गुरुत्वाकर्षण के साथ विद्युत चुंबकत्व का एकीकरण प्रदान करता है। इसके अलावा, यह क्वांटम यांत्रिकी को एक सीमित मामले (विज्ञान के दर्शन) के रूप में देता है और क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के साथ घनिष्ठ संबंध प्रकट करता है।  इसलिए, यह एकीकृत भौतिक सिद्धांत के लिए एक उम्मीदवार है। पहले से मौजूद अंतरिक्ष समय   कई गुना  पर भौतिक वस्तुओं को पेश करने के बजाय, सामान्य अवधारणा स्पेसटाइम के साथ-साथ सभी वस्तुओं को एक अंतर्निहित कारण फर्मियन सिस्टम की संरचनाओं से द्वितीयक वस्तुओं के रूप में प्राप्त करना है। यह अवधारणा गैर-चिकनी सेटिंग के लिए विभेदक ज्यामिति की धारणाओं को सामान्य बनाना भी संभव बनाती है। विशेष रूप से, कोई ऐसी स्थितियों का वर्णन कर सकता है जब स्पेसटाइम में अब सूक्ष्म पैमाने पर कई गुना संरचना नहीं होती है (जैसे स्पेसटाइम जाली या अन्य असतत या प्लैंक स्केल पर निरंतर संरचनाएं)। नतीजतन, कारण फर्मियन सिस्टम का सिद्धांत क्वांटम ज्यामिति और क्वांटम गुरुत्व के लिए एक दृष्टिकोण के लिए एक प्रस्ताव है।

फेलिक्स फिनस्टर और सहयोगियों द्वारा कॉज़ल फ़र्मियन सिस्टम पेश किए गए थे।

प्रेरणा और भौतिक अवधारणा
भौतिक प्रारंभिक बिंदु यह तथ्य है कि मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में डायराक समीकरण में नकारात्मक ऊर्जा के समाधान हैं जो आमतौर पर डिराक समुद्र से जुड़े होते हैं। इस अवधारणा को गंभीरता से लेते हुए कि डिराक समुद्र की स्थिति भौतिक प्रणाली का एक अभिन्न अंग है, कोई पाता है कि कई संरचनाएं (जैसे कारण (भौतिकी) और मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) संरचनाएं और साथ ही बोसोनिक क्षेत्र) को पुनर्प्राप्त किया जा सकता है। समुद्री राज्यों के तरंग कार्यों से। यह इस विचार की ओर ले जाता है कि सभी कब्जे वाले राज्यों (समुद्री राज्यों सहित) के तरंग कार्यों को बुनियादी भौतिक वस्तुओं के रूप में माना जाना चाहिए, और यह कि अंतरिक्ष-समय में सभी संरचनाएं एक दूसरे के साथ समुद्री राज्यों की सामूहिक बातचीत के परिणामस्वरूप उत्पन्न होती हैं और अतिरिक्त कणों और डायराक समीकरण के साथ#होल सिद्धांत| समुद्र में छेद। इस तस्वीर को गणितीय रूप से कार्यान्वित करने से कारण फर्मियन सिस्टम के ढांचे की ओर अग्रसर होता है।

अधिक सटीक रूप से, उपरोक्त भौतिक स्थिति और गणितीय ढांचे के बीच पत्राचार निम्नानुसार प्राप्त किया जाता है। सभी कब्जे वाले राज्य मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में हिल्बर्ट अंतरिक्ष  ऑफ़ वेव फ़ंक्शंस का विस्तार करते हैं $$\hat{M}$$. स्पेसटाइम में तरंग कार्यों के वितरण पर अवलोकन योग्य जानकारी स्थानीय सहसंबंध ऑपरेटरों में एन्कोड की गई है $$F(x), x \in \hat{M},$$ जो एक अलौकिक आधार पर $$(\psi_i)$$ मैट्रिक्स प्रतिनिधित्व है
 * $$ \big( F(x) \big)^i_j = - \overline{\psi_i(x)} \psi_j(x) $$

(कहाँ $$\overline{\psi}$$ डिराक आसन्न है)। बुनियादी भौतिक वस्तुओं में तरंग कार्य करने के लिए, सेट पर विचार किया जाता है $$ \{ F(x) \,|\, x \in \hat{M} \} $$ अमूर्त हिल्बर्ट अंतरिक्ष पर रैखिक ऑपरेटरों के एक सेट के रूप में। आयतन माप को छोड़कर, मिन्कोवस्की अंतरिक्ष की सभी संरचनाओं की अवहेलना की जाती है $$d^4x$$, जो रैखिक ऑपरेटरों (सार्वभौमिक माप) पर एक संबंधित माप (गणित) में परिवर्तित हो जाता है। परिणामी संरचनाएं, अर्थात् एक हिल्बर्ट स्पेस एक साथ रैखिक ऑपरेटरों पर एक माप के साथ, एक कारण फर्मियन प्रणाली के मूल तत्व हैं।

उपरोक्त निर्माण वैश्विक रूप से अतिशयोक्तिपूर्ण स्पेसटाइम्स के कारण फर्मियन सिस्टम # लोरेंट्ज़ियन स्पिन ज्यामिति में भी किया जा सकता है। इसके अलावा, अमूर्त परिभाषा को शुरुआती बिंदु के रूप में लेते हुए, कारणात्मक फ़र्मियन सिस्टम सामान्यीकृत क्वांटम स्पेसटाइम के विवरण के लिए अनुमति देते हैं। भौतिक चित्र यह है कि एक कारणात्मक फ़र्मियन प्रणाली एक स्पेसटाइम का वर्णन करती है जिसमें सभी संरचनाएं और वस्तुएं होती हैं (जैसे कारण और मीट्रिक संरचनाएं, तरंग कार्य और क्वांटम क्षेत्र)। शारीरिक रूप से स्वीकार्य कारण फर्मियन प्रणालियों को एकल करने के लिए, भौतिक समीकरणों को तैयार करना होगा। शास्त्रीय क्षेत्र सिद्धांत के Lagrangian (क्षेत्र सिद्धांत) के निर्माण के अनुरूप, कारणात्मक फ़र्मियन प्रणालियों के भौतिक समीकरणों को एक भिन्नता सिद्धांत, तथाकथित कारण क्रिया सिद्धांत के माध्यम से तैयार किया जाता है। चूंकि कोई विभिन्न बुनियादी वस्तुओं के साथ काम करता है, कारण कार्रवाई सिद्धांत में एक उपन्यास गणितीय संरचना होती है जहां कोई सार्वभौमिक उपाय के बदलावों के तहत सकारात्मक कार्रवाई को कम करता है। पारंपरिक भौतिक समीकरणों का कनेक्शन एक निश्चित सीमित मामले (सातत्य सीमा) में प्राप्त किया जाता है जिसमें कणों और एंटीपार्टिकल्स से जुड़े गेज क्षेत्रों द्वारा बातचीत को प्रभावी ढंग से वर्णित किया जा सकता है, जबकि डायराक समुद्र अब स्पष्ट नहीं है।

सामान्य गणितीय सेटिंग
इस खंड में कारण फर्मियन प्रणालियों के गणितीय ढांचे को पेश किया गया है।

एक कारण फर्मियन प्रणाली की परिभाषा
स्पिन आयाम का एक कारण फर्मियन सिस्टम $$n \in \mathbb{N} $$ एक ट्रिपल है $$(\mathcal H, \mathcal F, \rho)$$ कहाँ पैमाना $$\rho$$ सार्वभौम उपाय कहा जाता है।
 * $$(\mathcal H, \langle .|. \rangle_{\mathcal{H}})$$ एक जटिल हिल्बर्ट स्थान है।
 * $$\mathcal F$$ सभी स्व-आसन्न ऑपरेटर का सेट है | परिमित-रैंक ऑपरेटर के स्वयं-आसन्न रैखिक ऑपरेटरों का सेट है $$\mathcal H$$ जो (ज्यामितीय बहुलता की गिनती) में अधिक से अधिक है $$n$$ सकारात्मक और अधिकतम $$n$$ नकारात्मक आइगेनवैल्यू।
 * $$\rho$$ एक उपाय है (गणित) $$\mathcal F$$.

जैसा कि नीचे रेखांकित किया जाएगा, यह परिभाषा भौतिक सिद्धांतों को तैयार करने के लिए आवश्यक गणितीय संरचनाओं के अनुरूपों को एन्कोड करने के लिए पर्याप्त समृद्ध है। विशेष रूप से, एक कारणात्मक फ़र्मियन प्रणाली अतिरिक्त संरचनाओं के साथ एक स्पेसटाइम को जन्म देती है जो स्पिनरों, मीट्रिक टेन्सर (सामान्य सापेक्षता) और वक्रता जैसी वस्तुओं को सामान्य करती है। इसके अलावा, इसमें क्वांटम ऑब्जेक्ट्स जैसे तरंग कार्य और एक फर्मिओनिक फॉक राज्य  शामिल हैं।

कारण क्रिया सिद्धांत
क्लासिकल फील्ड थ्योरी के लैंग्रैंगियन फॉर्मूलेशन से प्रेरित होकर, कॉसल फर्मियन सिस्टम पर डायनेमिक्स को एक वैरिएबल सिद्धांत द्वारा वर्णित किया गया है, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है।

एक हिल्बर्ट स्पेस दिया $$(\mathcal H, \langle .|. \rangle_{\mathcal{H}})$$ और स्पिन आयाम $$n$$, सेट $$\mathcal F$$ ऊपर के रूप में परिभाषित किया गया है। फिर किसी के लिए $$x,y \in {\mathcal{F}}$$, उत्पाद $$x y$$ अधिक से अधिक रैंक का संचालिका है $$2n$$. यह जरूरी नहीं है कि सामान्य रूप से स्व-संबद्ध हो $$(xy)^* = y x \neq xy$$. हम ऑपरेटर के गैर-तुच्छ eigenvalues ​​​​को निरूपित करते हैं $$x y$$ (बीजगणितीय बहुलता की गिनती) द्वारा
 * $$ \lambda^{xy}_1, \ldots, \lambda^{xy}_{2n} \in {\mathbb{C}} . $$

इसके अलावा, वर्णक्रमीय वजन $$|. |$$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$|xy| = \sum_{i=1}^{2n} |\lambda^{xy}_i| \quad \text{and} \quad

\big| (xy)^2 \big| = \sum_{i=1}^{2n} |\lambda^{xy}_i|^2 {\,}.$$ Lagrangian द्वारा पेश किया गया है
 * $${\mathcal{L}}(x,y) = \big| (xy)^2 \big| - \frac{1}{2n} {\,}|xy|^2

= \frac{1}{4n} \sum_{i,j=1}^{2n} \big( |\lambda^{xy}_i| - |\lambda^{xy}_j| \big)^2 \geq 0 {\,}.$$ कारण क्रिया द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $${\mathcal{S}}= \iint_{{\mathcal{F}}\times {\mathcal{F}}} {\mathcal{L}}(x,y){\,}d\rho(x){\,}d\rho(y) {\,}.$$

कारण कार्रवाई सिद्धांत को कम करना है $${\mathcal{S}}$$ की विविधताओं के तहत $$\rho$$ निम्नलिखित बाधाओं के तहत (सकारात्मक) बोरेल उपायों की श्रेणी के भीतर: यहाँ पर $${\mathcal{F}}\subset {\mathrm{L}}({\mathcal{H}})$$ द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी पर विचार करता है $$\sup$$सीमाबद्ध रैखिक ऑपरेटरों पर -मान $${\mathcal{H}}$$.
 * परिबद्धता बाधा: $$ \iint_{{\mathcal{F}}\times {\mathcal{F}}} |xy|^2 {\,}d\rho(x){\,}d\rho(y) \leq C$$ कुछ सकारात्मक स्थिरांक के लिए $$C$$.
 * ट्रेस बाधा: $$\;\;\;\int_{\mathcal{F}} \text{tr}(x) {\,}d\rho(x)$$ स्थिर रखा जाता है।
 * कुल मात्रा $$\rho({\mathcal{F}})$$ संरक्षित है।

बाधाएं तुच्छ न्यूनतमकर्ताओं को रोकती हैं और अस्तित्व सुनिश्चित करती हैं, बशर्ते कि $${\mathcal{H}}$$ परिमित-आयामी है। यह भिन्नता सिद्धांत भी इस मामले में समझ में आता है कि कुल मात्रा $$\rho({\mathcal{F}})$$ यदि कोई भिन्नताओं पर विचार करता है तो अनंत है $$\delta \rho$$ बाउंड वेरिएशन का#माप ऑफ़ बाउंड वेरिएशन के साथ $$(\delta \rho)({\mathcal{F}})=0$$.

अंतर्निहित संरचनाएं
समकालीन भौतिक सिद्धांतों में, स्पेसटाइम शब्द एक लोरेंट्ज़ियन कई गुना को संदर्भित करता है $$(M,g)$$. इसका मतलब यह है कि स्पेसटाइम टोपोलॉजिकल और ज्यामितीय संरचनाओं से समृद्ध बिंदुओं का एक सेट (गणित) है। कारणात्मक फ़र्मियन प्रणालियों के संदर्भ में, दिक्-समय के लिए कई गुना संरचना की आवश्यकता नहीं होती है। इसके बजाय, स्पेसटाइम $$M$$ हिल्बर्ट स्पेस पर ऑपरेटरों का एक सेट है (का एक सबसेट $$\mathcal F$$). इसका तात्पर्य अतिरिक्त अंतर्निहित संरचनाओं से है जो स्पेसटाइम मैनिफोल्ड पर सामान्य वस्तुओं के अनुरूप और सामान्यीकृत करती हैं।

एक कारण फर्मियन प्रणाली के लिए $$(\mathcal H, \mathcal F, \rho)$$, हम स्पेसटाइम को परिभाषित करते हैं $$M$$ सार्वभौमिक उपाय के समर्थन (माप सिद्धांत) के रूप में,
 * $$ M := \text{supp} \, \rho \subset \mathcal{F}. $$

द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी के साथ $$\mathcal{F}$$, अंतरिक्ष समय $$M$$ एक टोपोलॉजिकल स्पेस है।

कारण संरचना
के लिए $$x,y \in M$$, हम ऑपरेटर के गैर-तुच्छ eigenvalues ​​​​को निरूपित करते हैं $$x y$$ (बीजगणितीय बहुलता की गिनती) द्वारा $$ \lambda^{xy}_1, \ldots, \lambda^{xy}_{2n} \in {\mathbb{C}} $$. बिन्दु $$x$$ और $$y$$ स्पेसलाइक को अलग होने के लिए परिभाषित किया गया है यदि सभी $$\lambda^{xy}_j$$ समान निरपेक्ष मूल्य है। वे समयबद्ध रूप से अलग हो जाते हैं यदि $$\lambda^{xy}_j$$ सभी का निरपेक्ष मान समान नहीं होता और सभी वास्तविक होते हैं। अन्य सभी मामलों में, अंक $$x$$ और $$y$$ हल्के अलग हो गए हैं।

कार्य-कारण की यह धारणा उपरोक्त कारण क्रिया के कारण के साथ इस अर्थ में फिट बैठती है कि यदि दो दिक्-समय बिंदु $$x,y \in M$$ अंतरिक्ष की तरह अलग हो गए हैं, फिर Lagrangian $${\mathcal{L}}(x,y)$$ गायब हो जाता है। यह करणीय (भौतिकी) की भौतिक धारणा से मेल खाता है जो स्थानिक रूप से अलग किए गए स्पेसटाइम बिंदुओं पर बातचीत नहीं करता है। यह कारण संरचना कारण फर्मियन प्रणाली और कारण कार्रवाई में कारण धारणा का कारण है।

होने देना $$\pi_x$$ सबस्पेस पर ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन को निरूपित करें $$S_x := x({\mathcal{H}}) \subset {\mathcal{H}}$$. फिर कार्यात्मक का संकेत
 * $$ i \text{Tr} \big( x\, y \, \pi_x \, \pi_y - y \, x \, \pi_y \, \pi_x) $$

भविष्य को अतीत से अलग करता है। आंशिक रूप से आदेशित सेट की संरचना के विपरीत, संबंध भविष्य में सामान्य रूप से सकर्मक नहीं है। लेकिन यह विशिष्ट उदाहरणों में स्थूल पैमाने पर सकर्मक है।

स्पिनर्स और वेव फंक्शन्स
हरएक के लिए $$x \in M$$ स्पिन स्पेस द्वारा परिभाषित किया गया है $$S_x = x({\mathcal{H}})$$; यह एक उप-स्थान है $${\mathcal{H}}$$ अधिक से अधिक आयाम $$2n$$. स्पिन स्केलर उत्पाद $${\prec} \cdot | \cdot {\succ}_x$$ द्वारा परिभाषित
 * $${\prec}u | v {\succ}_x = -{\langle}u | x v {\rangle}_{\mathcal{H}}\qquad \text{for all } u,v \in S_x$$

पर एक अनिश्चित आंतरिक उत्पाद स्थान है $$S_x$$ मीट्रिक हस्ताक्षर का $$(p,q)$$ साथ $$p,q \leq n$$.

एक तरंग समारोह $$\psi$$ एक मैपिंग है
 * $$\psi {\,}:{\,}M \rightarrow {\mathcal{H}}\qquad \text{with} \qquad \psi(x) \in S_x \quad \text{for all } x \in M{\,}.$$

तरंग कार्यों पर जिसके लिए आदर्श $${|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}$$ द्वारा परिभाषित
 * $${|\!|\!|}\psi {|\!|\!|}^2 = \int_M \left\langle\psi(x) \bigg|\, |x|\, \psi(x) \right\rangle_{\mathcal{H}}{\,}d\rho(x)$$

परिमित है (जहां $$|x|= \sqrt{x^2}$$ सममित संकारक का निरपेक्ष मान है $$x$$), कोई आंतरिक उत्पाद को परिभाषित कर सकता है
 * $${\mathopen{<}}\psi | \phi {\mathclose{>}}= \int_M {\prec}\psi(x) | \phi(x) {\succ}_x {\,}d\rho(x) {\,}.$$

आदर्श द्वारा प्रेरित टोपोलॉजी के साथ $${|\!|\!|}\cdot {|\!|\!|}$$, एक केरीन स्थान प्राप्त करता है $$(, {\mathopen{<}}\cdot|\cdot {\mathclose{>}})$$.

किसी भी वेक्टर के लिए $$u \in \mathcal{H}$$ हम तरंग समारोह को जोड़ सकते हैं
 * $$\psi^u(x) := \pi_x u$$

(कहाँ $$\pi_x : \mathcal{H} \rightarrow S_x$$ स्पिन स्पेस के लिए फिर से ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन है)। यह तरंग कार्यों के एक विशिष्ट परिवार को जन्म देता है, जिसे कहा जाता है कब्जे वाले राज्यों के तरंग कार्य।

फर्मिओनिक प्रोजेक्टर
फर्मियोनिक प्रोजेक्टर की गिरी $$P(x,y)$$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$P(x,y) = \pi_x \,y|_{S_y} {\,}:{\,}S_y \rightarrow S_x$$

(कहाँ $$\pi_x : \mathcal{H} \rightarrow S_x$$ स्पिन स्पेस पर फिर से ऑर्थोगोनल प्रोजेक्शन है, और $$|_{S_y}$$ पर प्रतिबंध को दर्शाता है $$S_y$$). फर्मिओनिक प्रोजेक्टर $$P$$ संचालिका है
 * $$P {\,}:{\,}\rightarrow {\,},\qquad (P \psi)(x) = \int_M P(x,y)\, \psi(y)\, d\rho(y){\,},$$

जिसमें सभी वैक्टरों द्वारा दी गई परिभाषा का सघन डोमेन है $$\psi \in $$ शर्तों को पूरा करना
 * $$\phi := \int_M x\, \psi(x)\, d\rho(x) {\,}\in {\,}{\mathcal{H}}\quad \text{and} \quad {|\!|\!|}\phi {|\!|\!|}< \infty{\,}.$$

कारण कार्रवाई सिद्धांत के परिणामस्वरूप, फर्मीओनिक प्रोजेक्टर के कर्नेल में अतिरिक्त सामान्यीकरण गुण होते हैं जो प्रोजेक्शन (रैखिक बीजगणित) नाम को सही ठहराते हैं।

कनेक्शन और वक्रता
एक स्पिन स्पेस से दूसरे में एक ऑपरेटर होने के नाते, फर्मीओनिक प्रोजेक्टर का कर्नेल अलग-अलग स्पेसटाइम बिंदुओं के बीच संबंध देता है। स्पिन कनेक्शन पेश करने के लिए इस तथ्य का उपयोग किया जा सकता है
 * $$D_{x,y} \,:\, S_y \rightarrow S_x \quad \text{unitary}\,. $$

मूल विचार का ध्रुवीय अपघटन लेना है $$P(x,y)$$. निर्माण इस तथ्य से अधिक शामिल हो जाता है कि स्पिन कनेक्शन को इसी मीट्रिक कनेक्शन को प्रेरित करना चाहिए
 * $$\nabla_{x,y}\,:\, T_y \rightarrow T_x \quad \text{isometric}\,,$$

जहां स्पर्शरेखा स्थान $$T_x$$ पर रैखिक ऑपरेटरों का एक विशिष्ट उप-स्थान है $$S_x$$ एक लोरेंट्ज़ियन मीट्रिक के साथ संपन्न। स्पिन वक्रता को स्पिन कनेक्शन की पवित्रता के रूप में परिभाषित किया गया है,
 * $$\mathfrak{R}(x,y,z) = D_{x,y} \,D_{y,z} \,D_{z,x} \,:\, S_x \rightarrow S_x\,. $$

इसी तरह, मीट्रिक कनेक्शन मीट्रिक वक्रता को जन्म देता है। ये ज्यामितीय संरचनाएं क्वांटम ज्यामिति के प्रस्ताव को जन्म देती हैं।

यूलर-लैग्रेंज समीकरण और रैखिक क्षेत्र समीकरण
एक मिनिमाइज़र $$\rho$$ कार्य-कारण क्रिया का संबंध संगत यूलर-लैग्रेंज समीकरणों को संतुष्ट करता है। वे कहते हैं कि समारोह $$\ell_\kappa$$ द्वारा परिभाषित
 * $$ \ell_\kappa(x) := \int_M \big( {\mathcal{L}}_\kappa(x,y) + \kappa\, |xy|^2 \big) \, d\rho(y) \,-\, \mathfrak{s} $$

(दो लैग्रेंज मापदंडों के साथ $$\kappa$$ और $$\mathfrak{s}$$) गायब हो जाता है और के समर्थन पर न्यूनतम है $$\rho$$,
 * $$\ell_\kappa|_M \equiv \inf_{x \in \mathcal{F}} \ell_\kappa(x) = 0 \,. $$

विश्लेषण के लिए, जेट्स को पेश करना सुविधाजनक है $${\mathfrak{u}} := (a, u)$$ एक वास्तविक-मूल्यवान फ़ंक्शन से मिलकर $$a$$ पर $$M$$ और एक वेक्टर क्षेत्र $$u$$ पर $$T\mathcal{F}$$ साथ में $$M$$, और द्वारा गुणन और दिशात्मक व्युत्पन्न के संयोजन को निरूपित करने के लिए $$\nabla_{\mathfrak{u}} g(x) := a(x)\, g(x) + \big(D_u g \big)(x)$$. फिर यूलर-लैग्रेंज समीकरणों का अर्थ है कि कमजोर यूलर-लैग्रेंज समीकरण
 * $$\nabla_{\mathfrak{u}} \ell|_M = 0$$

किसी भी टेस्ट जेट के लिए रुकें $$\mathfrak{u}$$.

यूलर-लैग्रेंज समीकरणों के समाधान के परिवार एक जेट द्वारा असीम रूप से उत्पन्न होते हैं $${\mathfrak{v}}$$ जो रैखिकीकृत क्षेत्र समीकरणों को संतुष्ट करता है
 * $$\langle \mathfrak{u}, \Delta \mathfrak{v} \rangle|_M = 0 \,, $$

मज़ाक में सभी परीक्षाओं से संतुष्ट होने के लिए $$\mathfrak{u}$$, जहां लाप्लासियन $$\Delta$$ द्वारा परिभाषित किया गया है
 * $$ \langle \mathfrak{u}, \Delta \mathfrak{v} \rangle(x) := \nabla_{\mathfrak{u}} \bigg( \int_M \big( \nabla_{1, \mathfrak{v}} + \nabla_{2, \mathfrak{v}} \big) \mathcal{L}(x,y)\, d\rho(y) - \nabla_\mathfrak{v} \mathfrak{s} \bigg) \,. $$

यूलर-लैग्रेंज समीकरण कारण फर्मियन सिस्टम की गतिशीलता का वर्णन करते हैं, जबकि सिस्टम के छोटे गड़बड़ी को रैखिक क्षेत्र समीकरणों द्वारा वर्णित किया जाता है।

संरक्षित सतह परत अभिन्न
कारणात्मक फ़र्मियन सिस्टम की सेटिंग में, स्थानिक इंटीग्रल तथाकथित सतह परत इंटीग्रल द्वारा व्यक्त किए जाते हैं। सामान्य शब्दों में, एक सतह परत अभिन्न रूप का एक दोहरा अभिन्न अंग है
 * $$ \int_\Omega \bigg( \int_{M \setminus \Omega} \cdots {\mathcal{L}}(x,y) \, d\rho(y) \bigg) \, d\rho(x) \,, $$

जहां एक चर एक सबसेट पर एकीकृत होता है $$\Omega \subset M$$, और अन्य चर के पूरक पर एकीकृत है $$\Omega$$. आवेश, ऊर्जा, ... के लिए सामान्य संरक्षण नियमों को सतह परत समाकलन के रूप में व्यक्त करना संभव है। संबंधित संरक्षण कानून कारण क्रिया सिद्धांत के यूलर-लग्रेंज समीकरणों और रैखिक क्षेत्र समीकरणों का परिणाम हैं। अनुप्रयोगों के लिए, सबसे महत्वपूर्ण सतह परत इंटीग्रल वर्तमान इंटीग्रल हैं $$\gamma^\Omega_\rho(\mathfrak{v})$$, सहानुभूतिपूर्ण रूप $$\sigma^\Omega_\rho(\mathfrak{u}, \mathfrak{v})$$, सतह परत आंतरिक उत्पाद $$\langle \mathfrak{u}, \mathfrak{v}\rangle^\Omega_\rho$$ और अरेखीय सतह परत अभिन्न $$\gamma^\Omega(\tilde{\rho}, \rho)$$.

बोसोनिक फॉक स्पेस डायनेमिक्स
उपरोक्त सतह परत इंटीग्रल के लिए संरक्षण कानूनों के आधार पर, कारण कार्रवाई सिद्धांत के अनुरूप यूलर-लग्रेंज समीकरणों द्वारा वर्णित एक कारण फर्मियन प्रणाली की गतिशीलता को निर्मित बोसोनिक फॉक स्पेस पर एक रैखिक, मानक-संरक्षण गतिशीलता के रूप में फिर से लिखा जा सकता है। रेखीय क्षेत्र समीकरणों के समाधान के ऊपर। तथाकथित होलोमोर्फिक सन्निकटन में, समय का विकास जटिल संरचना का सम्मान करता है, जिससे बोसोनिक फॉक स्पेस पर एकात्मक समय के विकास को जन्म मिलता है।

एक फर्मीनिक फॉक अवस्था
अगर $${\mathcal{H}}$$ परिमित आयाम है $$f$$, एन ऑर्थोनॉर्मल बेसिस चुनना $$u_1, \ldots, u_f$$ का $${\mathcal{H}}$$ और संबंधित तरंग कार्यों के कील उत्पाद लेना
 * $$ \big( \psi^{u_1} \wedge \cdots \wedge \psi^{u_f} \big)(x_1, \ldots, x_f)$$

एक स्थिति देता है $$f$$-पार्टिकल फर्मिओनिक फॉक स्पेस। कुल विरोधी सममितता के कारण, यह राज्य के आधार की पसंद पर निर्भर करता है $${\mathcal{H}}$$ केवल एक चरण कारक द्वारा। यह पत्राचार बताता है कि क्यों कण अंतरिक्ष में वैक्टर को फ़र्मियन के रूप में व्याख्या किया जाना चाहिए। यह नाम कारण फर्मियन सिस्टम को भी प्रेरित करता है।

अंतर्निहित भौतिक सिद्धांत
कॉसल फ़र्मियन सिस्टम एक विशिष्ट तरीके से कई भौतिक सिद्धांतों को शामिल करते हैं:
 * एक स्थानीय गेज सिद्धांत: घटकों में तरंग कार्यों का प्रतिनिधित्व करने के लिए, कोई स्पिन रिक्त स्थान के आधार चुनता है। स्पिन स्केलर उत्पाद के मीट्रिक हस्ताक्षर को अस्वीकार करना $$x$$ द्वारा $$({\mathfrak{p}}_x, {\mathfrak{q}}_x)$$, एक छद्म-ऑर्थोनॉर्मल आधार $$(\mathfrak{e}_\alpha(x))_{\alpha=1,\ldots, {\mathfrak{p}}_x+{\mathfrak{q}}_x}$$ का $$S_x$$ द्वारा दिया गया है
 * $${\prec}\mathfrak{e}_\alpha | \mathfrak{e}_\beta {\succ}= s_\alpha{\,}\delta_{\alpha \beta}

\quad \text{with} \quad s_1, \ldots, s_{{\mathfrak{p}}_x} = 1,\;\; s_{{\mathfrak{p}}_x+1}, \ldots, s_{{\mathfrak{p}}_x+{\mathfrak{q}}_x} =-1 {\,}.$$
 * फिर एक तरंग समारोह $$\psi$$ घटक कार्यों के साथ प्रतिनिधित्व किया जा सकता है,
 * $$\psi(x) = \sum_{\alpha=1}^{{\mathfrak{p}}_x+{\mathfrak{q}}_x} \psi^\alpha(x){\,}\mathfrak{e}_\alpha(x) {\,}.$$ :आधारों को चुनने की स्वतंत्रता $$(\mathfrak{e}_\alpha(x))$$ स्वतंत्र रूप से प्रत्येक स्पेसटाइम बिंदु पर तरंग कार्यों के स्थानीय एकात्मक परिवर्तनों से मेल खाता है,
 * $$\psi^\alpha(x) \rightarrow \sum_{\beta=1}^{{\mathfrak{p}}_x+{\mathfrak{q}}_x} U(x)^\alpha_\beta \,\, \psi^\beta(x)

\quad \text{with} \quad U(x)\in \text{U}({\mathfrak{p}}_x, {\mathfrak{q}}_x) {\,}.$$
 * इन परिवर्तनों की स्थानीय गेज परिवर्तनों के रूप में व्याख्या है। गेज समूह को स्पिन स्केलर उत्पाद के आइसोमेट्री समूह के रूप में निर्धारित किया जाता है। कारण क्रिया इस अर्थ में गेज आक्रमण है कि यह स्पिनर आधारों की पसंद पर निर्भर नहीं करती है।


 * तुल्यता सिद्धांत: स्पेसटाइम के स्पष्ट विवरण के लिए स्थानीय निर्देशांक के साथ काम करना चाहिए। ऐसे निर्देशांकों को चुनने की स्वतंत्रता स्पेसटाइम मैनिफोल्ड में सामान्य संदर्भ फ़्रेमों को चुनने की स्वतंत्रता को सामान्यीकृत करती है। इसलिए, सामान्य सापेक्षता के तुल्यता सिद्धांत का सम्मान किया जाता है। कारण क्रिया सामान्य सहप्रसरण इस अर्थ में है कि यह निर्देशांक की पसंद पर निर्भर नहीं करती है।
 * पाउली बहिष्करण सिद्धांत: कारणात्मक फर्मियन प्रणाली से जुड़ी फर्मियोनिक फॉक स्थिति एक पूरी तरह से एंटीसिमेट्रिक तरंग फ़ंक्शन द्वारा कई-कण अवस्था का वर्णन करना संभव बनाती है। यह पाउली अपवर्जन सिद्धांत के साथ समझौता करता है।
 * कार्य-कारण के सिद्धांत को इस अर्थ में कार्य-कारण क्रिया के रूप में शामिल किया गया है कि अंतरिक्ष-समय के बिंदु अंतरिक्ष-समान अलगाव के साथ परस्पर क्रिया नहीं करते हैं।

मामलों को सीमित करना
कॉसल फर्मियन सिस्टम में गणितीय रूप से ध्वनि सीमित मामले होते हैं जो पारंपरिक भौतिक संरचनाओं से संबंध देते हैं।

विश्व स्तर पर अतिशयोक्तिपूर्ण स्पेसटाइम
की लोरेंट्ज़ियन स्पिन ज्यामिति

किसी भी विश्व स्तर पर हाइपरबोलिक लॉरेंट्ज़ियन मैनिफोल्ड स्पिन संरचना  मैनिफोल्ड पर शुरू करना $$(\hat{M}, g)$$ स्पिनर बंडल के साथ $$S\hat{M}$$, कोई चुनकर कारण फर्मियन सिस्टम के ढांचे में आ जाता है $$({\mathcal{H}}, {\langle}.|. {\rangle}_{\mathcal{H}})$$ डिराक समीकरण के समाधान स्थान के उप-स्थान के रूप में। तथाकथित स्थानीय सहसंबंध ऑपरेटर को परिभाषित करना $$F(p)$$ के लिए $$p \in \hat{M}$$ द्वारा
 * $${\langle}\psi | F(p) \phi {\rangle}_{\mathcal{H}} = -{\prec}\psi | \phi {\succ}_p$$

(कहाँ $${\prec}\psi | \phi {\succ}_p$$ फाइबर पर आंतरिक उत्पाद है $$S_p \hat{M}$$) और वॉल्यूम माप के पुश-फॉरवर्ड के रूप में सार्वभौमिक माप का परिचय देना $$\hat{M}$$,
 * $$\rho = F_* d\mu {\,},$$

एक एक कारण फर्मियन प्रणाली प्राप्त करता है। स्थानीय सहसंबंध ऑपरेटरों को अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, $${\mathcal{H}}$$ निरंतर वर्गों से युक्त होना चाहिए, आमतौर पर सूक्ष्म पैमाने पर नियमितीकरण (भौतिकी) को पेश करना आवश्यक होता है $$\varepsilon$$. सीमा में $$\varepsilon \searrow 0$$, कारण फर्मियन सिस्टम पर सभी आंतरिक संरचनाएं (जैसे कारण संरचना, कनेक्शन और वक्रता) लोरेंट्ज़ियन स्पिन मैनिफोल्ड पर संबंधित संरचनाओं पर जाती हैं। इस प्रकार स्पेसटाइम की ज्यामिति पूरी तरह से संबंधित कारण फर्मियन सिस्टम में एन्कोड की गई है।

क्वांटम यांत्रिकी और शास्त्रीय क्षेत्र समीकरण
कारण क्रिया सिद्धांत के अनुरूप यूलर-लैग्रेंज समीकरणों की एक अच्छी तरह से परिभाषित सीमा होती है यदि स्पेसटाइम $$M:=\text{supp}\, \rho$$ कारणात्मक फ़र्मियन प्रणालियाँ मिन्कोव्स्की अंतरिक्ष में जाती हैं। अधिक विशेष रूप से, कोई कारक फर्मियन सिस्टम के अनुक्रम पर विचार करता है (उदाहरण के लिए $${\mathcal{H}}$$ परिमित-आयामी ताकि फ़र्मियोनिक फॉक राज्य के साथ-साथ कारण क्रिया के मिनिमाइज़र के अस्तित्व को सुनिश्चित किया जा सके), जैसे कि संबंधित तरंग कार्य अतिरिक्त कण राज्यों या समुद्रों में छिद्रों को शामिल करने वाले डायराक समुद्रों के परस्पर क्रिया के विन्यास पर जाते हैं। यह प्रक्रिया, जिसे सातत्य सीमा के रूप में संदर्भित किया जाता है, शास्त्रीय क्षेत्र समीकरणों के साथ मिलकर डायराक समीकरण की संरचना वाले प्रभावी समीकरण देती है। उदाहरण के लिए, एक सरलीकृत मॉडल के लिए जिसमें तीन प्राथमिक फ़र्मोनिक कण शामिल हैं स्पिन आयाम दो में, शास्त्रीय अक्षीय गेज क्षेत्र के माध्यम से एक बातचीत प्राप्त करता है $$A$$ युग्मित Dirac समीकरण द्वारा वर्णित|Dirac- और यांग-मिल्स समीकरण
 * $$\begin{align}

(i \partial \!\!\!/\ + \gamma^5 A \!\!\!/\ - m) \psi &= 0 \\ C_0 (\partial^k_j A^j - \Box A^k) - C_2 A^k &= 12 \pi^2 \bar \psi \gamma^5 \gamma^k \psi \,. \end{align}$$ डिराक समीकरण की गैर-सापेक्षतावादी सीमा को लेते हुए, कोई पाउली समीकरण या श्रोडिंगर समीकरण प्राप्त करता है, जो क्वांटम यांत्रिकी के अनुरूप है। यहाँ $$ C_0$$ और $$ C_2$$ नियमितीकरण पर निर्भर करते हैं और युग्मन स्थिरांक के साथ-साथ शेष द्रव्यमान का निर्धारण करते हैं।

इसी तरह, स्पिन डायमेंशन 4 में न्यूट्रिनो को शामिल करने वाली प्रणाली के लिए, प्रभावी रूप से एक द्रव्यमान प्राप्त होता है $$SU(2)$$ डायराक स्पिनरों के बाएं हाथ के घटक के साथ युग्मित गेज क्षेत्र। स्पिन डायमेंशन 16 में मानक मॉडल के फर्मियन कॉन्फ़िगरेशन का वर्णन किया जा सकता है।

आइंस्टीन फील्ड समीकरण
न्यूट्रिनो को शामिल करने वाली अभी-अभी उल्लिखित प्रणाली के लिए, सातत्य सीमा भी डायराक स्पिनरों के साथ मिलकर आइंस्टीन क्षेत्र समीकरणों का उत्पादन करती है,
 * $$R_{jk} - \frac{1}{2}\,R\, g_{jk} + \Lambda\, g_{jk} = \kappa\, T_{jk}[\Psi, A] \,,$$

वक्रता टेन्सर में उच्च क्रम के सुधार तक। यहाँ ब्रह्माण्ड संबंधी स्थिरांक $$\Lambda$$ अनिर्धारित है, और $$T_{jk}$$ स्पिनर्स के एनर्जी-मोमेंटम टेंसर को दर्शाता है और $$SU(2)$$ गेज क्षेत्र। गुरुत्वाकर्षण स्थिरांक $$\kappa$$ नियमितीकरण की लंबाई पर निर्भर करता है।

मिंकोस्की अंतरिक्ष में क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत
सातत्य सीमा में प्राप्त समीकरणों की युग्मित प्रणाली से शुरू होकर और युग्मन स्थिरांक की शक्तियों में विस्तार करते हुए, एक अभिन्नता प्राप्त करता है जो पेड़ के स्तर पर फेनमैन आरेखों के अनुरूप होता है। फेरमोनिक लूप डायग्राम समुद्री राज्यों के साथ परस्पर क्रिया के कारण उत्पन्न होते हैं, जबकि बोसोनिक लूप डायग्राम तब दिखाई देते हैं जब सूक्ष्म (आम तौर पर गैर-चिकनी) स्पेसटाइम स्ट्रक्चर पर एक कॉसल फर्मियन सिस्टम (तथाकथित माइक्रोस्कोपिक मिक्सिंग) का औसत लेते हैं। मानक क्वांटम क्षेत्र सिद्धांत के साथ विस्तृत विश्लेषण और तुलना का कार्य प्रगति पर है।

अग्रिम पठन

 * Web platform on causal fermion systems