रैखिक बीजगणितीय समूह

गणित में, एक रेखीय बीजगणितीय समूह व्युत्क्रमणीय $$n\times n$$ आव्यूहों (आव्यूह गुणन के अंतर्गत) के समूह का उपसमूह होता है। जिसे बहुपद समीकरणों द्वारा परिभाषित किया जाता है। एक उदाहरण ओर्थोगोनल समूह है, जो संबंध $$M^TM = I_n$$ द्वारा परिभाषित है, जहाँ $$M^T$$, $$M$$ का स्थानान्तरण है।

कई लाई समूह को वास्तविक संख्या या जटिल संख्याओं के क्षेत्र (गणित) में रैखिक बीजगणितीय समूहों के रूप में देखा जा सकता है। (उदाहरण के लिए, प्रत्येक सघन लाई समूह को R (आवश्यक रूप से R-अनिसोट्रोपिक और रिडक्टिव) पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह के रूप में माना जा सकता है, जैसा कि सरल लाई समूह  SL(n, R) जैसे कई गैर सघन समूह हो सकते हैं। 1880 और 1890 के दशक में  विल्हेम किलिंग और एली कार्टन द्वारा सरल लाई समूह को वर्गीकृत किया गया था। उस समय, इस तथ्य का कोई विशेष उपयोग नहीं किया गया था कि समूह संरचना को बहुपदों द्वारा परिभाषित किया जा सकता है, अर्थात ये बीजगणितीय समूह हैं। बीजगणितीय समूहों के सिद्धांत के संस्थापकों में लुडविग मौरर, क्लाउड चेवेली और कोलचिन (1948) सम्मिलित हैं। 1950 के दशक में, आर्मंड बोरेल ने बीजगणितीय समूहों के अधिकांश सिद्धांत का निर्माण किया, जैसा कि आज भी उपलब्ध है।

सिद्धांत के लिए सबसे पहले उपयोगों में से एक शेवलेली समूहों को परिभाषित करना था।

उदाहरण
एक धनात्मक पूर्णांक $$n$$ के लिए, एक क्षेत्र $$k$$ पर सामान्य रैखिक समूह $$GL(n)$$, जिसमें सभी व्युत्क्रमणीय $$n\times n$$ आव्यूह सम्मिलित हैं, $$k$$ पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह है। इसमें उपसमूह सम्मिलित हैं:
 * $$U \subset B \subset GL(n)$$

फॉर्म के आव्यूहों से मिलकर,
 * $$\left ( \begin{array}{cccc} 1 & * & \dots & * \\ 0 & 1 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & * \\ 0 & \dots & 0 & 1\end{array} \right )$$ और $$\left ( \begin{array}{cccc} * & * & \dots & * \\ 0 & * & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & * \\ 0 & \dots & 0 & *\end{array} \right )$$.

समूह $$U$$ एक असमान रैखिक बीजगणितीय समूह का उदाहरण है, समूह $$B$$ एक  हल करने योग्य बीजगणितीय समूह का एक उदाहरण है जिसे $$GL(n)$$ का  बोरेल उपसमूह कहा जाता है। यह लाई-कोलचिन प्रमेय का परिणाम है कि $$\mathrm{GL}(n)$$ का कोई भी जुड़ा हुआ हल करने योग्य उपसमूह $$B$$ में संयुग्मित होता है। किसी भी शक्तिहीन उपसमूह को $$U$$ में संयुग्मित किया जा सकता है।

$$\mathrm{GL}(n)$$ का एक और बीजगणितीय उपसमूह निर्धारक 1 के साथ आव्यूहों का विशेष रैखिक समूह $$\mathrm{SL}(n)$$ है।

के साथ मेट्रिसेस की। समूह $$\mathrm{GL}(1)$$ को गुणात्मक समूह कहा जाता है, जिसे सामान्यतः $$ \mathbf G_{\mathrm m}$$ द्वारा निरूपित किया जाता है। $$k$$-बिंदु का समूह $$\mathbf G_{\mathrm m}(k)$$ क्षेत्र $$k$$ के अशून्य तत्वों का गुणक समूह $$k^*$$ है। योगात्मक समूह $$\mathbf G_{\mathrm a}$$, जिसके $$k$$-बिंदुओं $$k$$ के योज्य समूह के लिए समरूपी हैं, को आव्यूह समूह के रूप में भी व्यक्त किया जा सकता है, उदाहरण के लिए उपसमूह $$U$$ के रूप में $$\mathrm{GL}(2)$$ में:
 * $$\begin{pmatrix}

1 & * \\ 0 & 1 \end{pmatrix}.$$ क्रमविनिमेय रेखीय बीजगणितीय समूहों के ये दो मूलभूत उदाहरण, गुणक और योज्य समूह, उनके रेखीय प्रतिनिधित्व (बीजीय समूहों के रूप में) के संदर्भ में बहुत भिन्न व्यवहार करते हैं। गुणक समूह $$\mathbf G_{\mathrm m}$$ का प्रत्येक निरूपण अलघुकरणीय अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग है। (इसके अप्रासंगिक अभ्यावेदन में एक पूर्णांक $$n$$ के लिए $$x \mapsto x^n$$ रूप का आयाम 1 है।) इसके विपरीत, योगात्मक समूह $$\mathbf G_{\mathrm a}$$ अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व तुच्छ प्रतिनिधित्व है। इसलिए $$\mathbf G_{\mathrm a}$$ (जैसे कि ऊपर दिया गया 2-आयामी प्रतिनिधित्व) का प्रत्येक प्रतिनिधित्व तुच्छ प्रस्तुतियों का पुनरावृत्त विस्तार है, प्रत्यक्ष योग नहीं है (जब तक कि प्रतिनिधित्व तुच्छ न हो)। रैखिक बीजगणितीय समूहों का संरचना सिद्धांत किसी भी रैखिक बीजगणितीय समूह का विश्लेषण इन दो मूलभूत समूहों और उनके सामान्यीकरण, टोरी और यूनिपोटेंट समूहों के संदर्भ में करता है, जैसा कि नीचे उल्लेख किया गया है।

परिभाषाएँ
एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k के लिए, एक बीजगणितीय किस्म X पर k की अधिकांश संरचना को k-तर्कसंगत बिंदुओं के अपने समुच्चय X(k) में एन्कोड किया गया है, जो एक रेखीय बीजगणितीय समूह की प्राथमिक परिभाषा की अनुमति देता है। सबसे पहले, अमूर्त समूह GL(n,k) से k तक एक फलन को 'नियमित' होने के लिए परिभाषित करें यदि इसे n×n आव्यूह A की प्रविष्टियों में बहुपद के रूप में और 1/det(A) में लिखा जा सकता है, जहां det निर्धारक है। तब बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k पर एक 'रैखिक बीजगणितीय समूह' G कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए अमूर्त समूह GL(n,k) का एक उपसमूह G(k) है जैसे कि G(k) नियमित के कुछ समुच्चय के लुप्त होने से परिभाषित होता है और कार्य करता है।

इच्छानुसार क्षेत्र k के लिए, k से अधिक बीजगणितीय किस्मों को k से अधिक योजनाओं के एक विशेष स्थितियों के रूप में परिभाषित किया गया है। उस भाषा में, एक क्षेत्र पर एक 'रैखिक बीजगणितीय समूह' G कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए GL(n) पर एक सुचारू बंद उपसमूह योजना है। विशेष रूप से, G को GL(n) पर नियमित कार्यों के कुछ समुच्चय के लुप्त होने से परिभाषित किया गया है, और इन कार्यों में गुण होने चाहिए कि प्रत्येक कम्यूटेटिव k- बीजगणित R के लिए, G(R) अमूर्त का एक उपसमूह GL(n,R) समूह है। (इस प्रकार एक बीजगणितीय समूह G पर केवल अमूर्त समूह G (k) नहीं है, बल्कि कम्यूटेटिव k-बीजगणित R के लिए समूह G(R) का पूरा परिवार है; यह बिंदुओं के कारक द्वारा एक योजना का वर्णन करने का दर्शन है।)

किसी भी भाषा में, रैखिक बीजगणितीय 'समूहों के समरूपता' की धारणा है। उदाहरण के लिए, जब k बीजगणितीय रूप से बंद होता है, तो G ⊂ GL(m) से H ⊂ GL(n) तक एक समाकारिता अमूर्त समूहों G(k) → H(k) का समाकारिता है जो G पर नियमित कार्यों द्वारा परिभाषित है। यह k पर रैखिक बीजगणितीय समूहों को एक श्रेणी में बनाता है। विशेष रूप से, यह परिभाषित करता है कि दो रैखिक बीजगणितीय समूहों के लिए समरूपता का क्या अर्थ है।

योजनाओं की भाषा में, एक क्षेत्र k पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह G विशेष रूप से k पर एक 'समूह योजना' है, जिसका अर्थ k-बिंदु 1 ∈ G(k) और रूपवाद के साथ k पर एक योजना है।
 * $$m\colon G \times_k G \to G, \; i\colon G \to G$$

k पर, जो एक समूह में गुणन और व्युत्क्रम मानचित्रों के लिए सामान्य स्वयंसिद्धों (साहचर्य, पहचान, व्युत्क्रम) को संतुष्ट करता है। एक रेखीय बीजगणितीय समूह भी सुचारू है और k पर परिमित प्रकार का है, और यह एफ़िन (योजना के रूप में) है। इसके विपरीत, क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की प्रत्येक एफ़िन समूह योजना G का कुछ n के लिए k पर GL(n) में एक विश्वसनीय प्रतिनिधित्व है। एक उदाहरण योगात्मक समूह Ga को GL(2) में एम्बेड करना है, जैसा कि ऊपर उल्लेख किया गया है। परिणामस्वरूप, एक रैखिक बीजगणितीय समूहों के बारे में या तो आव्यूह समूहों के रूप में या अधिक सारगर्भित रूप से, एक क्षेत्र पर सुचारू एफ़िन समूह योजनाओं के रूप में सोच सकता है। (कुछ लेखक "रैखिक बीजगणितीय समूह" का उपयोग किसी क्षेत्र पर परिमित प्रकार की किसी भी समूह समूह योजना का अर्थ करने के लिए करते हैं।)

रैखिक बीजगणितीय समूहों की पूरी समझ के लिए, किसी को अधिक सामान्य (गैर-सुचारू) समूह योजनाओं पर विचार करना होगा। उदाहरण के लिए, मान लीजिए k विशेषता (बीजगणित) p > 0 का एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र है। फिर समाकारिता f: Gm → Gm x ↦ xp द्वारा परिभाषित अमूर्त समूहों k* → k* के एक समरूपता को प्रेरित करता है, लेकिन f बीजगणितीय समूहों का एक समरूपता नहीं है (क्योंकि x1/p नियमित कार्य नहीं है)। समूह योजनाओं की भाषा में, एक स्पष्ट कारण है कि f एक समरूपता क्यों नहीं है: f आच्छादक है, लेकिन इसमें गैर-तुच्छ कर्नेल (बीजगणित) है, अर्थात् एकता की pth जड़ों की समूह योजना μp है। यह समस्या विशेषता शून्य में उत्पन्न नहीं होती है। वास्तव में, विशिष्ट शून्य के क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की प्रत्येक समूह योजना k पर सुचारू होती है। किसी भी क्षेत्र k पर परिमित प्रकार की एक समूह योजना k पर सुचारू है यदि और केवल यदि यह 'ज्यामितीय रूप से कम' है, जिसका अर्थ है कि आधार परिवर्तन $$G_{\overline k}$$ घटाया गया है, जहां $$\overline k$$ k का बीजगणितीय समापन है।

चूँकि एक एफ़िन योजना X नियमित कार्यों के अपने वलय O(X) द्वारा निर्धारित की जाती है, एक क्षेत्र k पर एफ़िन समूह योजना G को वलय O(G) द्वारा निर्धारित किया जाता है, जिसकी संरचना हॉप बीजगणित से होती है। यह k से अधिक एफ़िन समूह योजनाओं और k पर कम्यूटेटिव हॉफ अलजेब्रा के बीच श्रेणियों (पीछे तीर) की समानता देता है। उदाहरण के लिए, गुणक समूह Gm = GL(1) के संगत हॉफ बीजगणित लॉरेंट बहुपदीय वलय k[x, x−1] है, जिसके सहगुणन द्वारा दिया गया है:
 * $$x \mapsto x \otimes x.$$

मूलभूत धारणाएं
k क्षेत्र पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G के लिए, पहचान घटक Go (बिंदु 1 से जुड़ा हुआ घटक) परिमित सूचकांक का एक सामान्य उपसमूह है। तो एक समूह विस्तार है:
 * $$1 \to G^\circ \to G \to F \to 1, $$

जहाँ F एक परिमित बीजगणितीय समूह है। (k बीजगणितीय रूप से बंद होने के लिए, F को एक अमूर्त परिमित समूह के साथ पहचाना जा सकता है।) इस कारण से, बीजगणितीय समूहों का अध्ययन अधिकतर जुड़े समूहों पर केंद्रित होता है।

समूह सिद्धांत से विभिन्न धारणाओं को रैखिक बीजगणितीय समूहों तक बढ़ाया जा सकता है। अमूर्त समूह सिद्धांत में परिभाषाओं के अनुरूप, यह परिभाषित करना सीधा है कि एक रेखीय बीजगणितीय समूह के लिए एबेलियन समूह, निलपोटेंट समूह, या हल करने योग्य समूह होने का क्या अर्थ है। उदाहरण के लिए, एक रैखिक बीजगणितीय समूह 'सुलझाने योग्य' होता है यदि इसमें रैखिक बीजगणितीय उपसमूहों की एक रचना श्रृंखला होती है जैसे कि भागफल समूह क्रमविनिमेय होते हैं। इसके अतिरिक्त, सामान्यक, समूह का केंद्र, और रेखीय बीजगणितीय समूह G के एक बंद उपसमूह H के केंद्रक को स्वाभाविक रूप से G की बंद उपसमूह योजनाओं के रूप में देखा जाता है। यदि वे k पर सुचारू हैं, तो वे रैखिक बीजगणितीय समूह पर परिभाषित हैं।

कोई यह पूछ सकता है कि एक क्षेत्र k पर जुड़े रैखिक बीजगणितीय समूह G के गुण किस सीमा तक अमूर्त समूह G (k) द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। इस दिशा में एक उपयोगी परिणाम यह है कि यदि क्षेत्र k पूर्ण क्षेत्र है (उदाहरण के लिए, विशेषता शून्य का), या यदि G रिडक्टिव है (जैसा कि नीचे परिभाषित किया गया है), तो G, k पर अपरिमेय है। इसलिए, यदि अतिरिक्त k अनंत है, तो समूह G(k) G में ज़ारिस्की सघन है। उदाहरण के लिए, उल्लिखित मान्यताओं के अंतर्गत, G क्रमविनिमेय, नीलपोटेंट, या हल करने योग्य है यदि और केवल यदि G(k) के पास संबंधित गुण है।

इन परिणामों में जुड़ाव की धारणा को छोड़ा नहीं जा सकता है। उदाहरण के लिए, माना G परिमेय संख्या 'Q' पर एकता के घनमूलों का समूह μ3 ⊂ GL(1) है। तब G, Q पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह है जिसके लिए G(Q) = 1, G में ज़रिस्की सघन नहीं है, क्योंकि $$G(\overline {\mathbf Q})$$ क्रम 3 का समूह है।

बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर, बीजगणितीय समूहों के बारे में बीजगणितीय किस्मों के रूप में एक कठोर परिणाम है: बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर प्रत्येक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह एक तर्कसंगत विविधता है।

एक बीजगणितीय समूह का लाई बीजगणित
लाई बीजगणित $$\mathfrak g$$ एक बीजगणितीय समूह G को कई समतुल्य विधियों से परिभाषित किया जा सकता है: पहचान तत्व 1 ∈ G(k) पर स्पर्शरेखा स्थान T1(G) के रूप में, या बाएँ-अपरिवर्तनीय व्युत्पन्नों के स्थान के रूप में है। यदि k बीजगणितीय रूप से बंद है, तो एक व्युत्पत्ति D: O(G) → O(G), G के निर्देशांक वलय के ऊपर k बायाँ-अपरिवर्तनीय है यदि
 * $$D \lambda_x = \lambda_x D$$

G(k) में प्रत्येक x के लिए, जहाँ λx: O(G) → O(G) बायें गुणन द्वारा x से प्रेरित है। इच्छानुसार क्षेत्र k के लिए, व्युत्पत्ति के बाएँ व्युत्क्रम को दो रैखिक मानचित्रों O(G) → O(G) ⊗O(G) के अनुरूप समानता के रूप में परिभाषित किया गया है। दो व्युत्पत्तियों के लाई ब्रैकेट को [D1, D2] =D1D2 − D2D1 द्वारा परिभाषित किया गया है।

G से $$\mathfrak g$$ तक का मार्ग इस प्रकार विभेदीकरण की एक प्रक्रिया है। एक तत्व x ∈ G(k) के लिए, संयुग्मन (समूह सिद्धांत) मानचित्र G → G, g ↦ xgx−1 के 1 ∈ G(k) पर व्युत्पन्न, $$\mathfrak g$$ का एक ऑटोमोर्फिज्म है, जो आसन्न प्रतिनिधित्व देता है:
 * $$\operatorname{Ad}\colon G \to \operatorname{Aut}(\mathfrak g).$$

विशेषता शून्य के एक क्षेत्र पर, एक रैखिक बीजगणितीय समूह G का एक जुड़ा हुआ उपसमूह H इसके लाई बीजगणित द्वारा विशिष्ट रूप से $$\mathfrak h \subset \mathfrak g$$ द्वारा निर्धारित किया जाता है। लेकिन $$\mathfrak g$$ का प्रत्येक लाई सबलजेब्रा नहीं G के एक बीजगणितीय उपसमूह से मेल खाता है, जैसा कि टोरस G = (Gm)2 पर C के उदाहरण में देखा जा सकता है)। धनात्मक विशेषता में, एक ही लाई बीजगणित के साथ समूह G के कई अलग-अलग जुड़े उपसमूह हो सकते हैं (पुनः, टोरस G = (Gm)2 उदाहरण प्रदान करता है)। इन कारणों से, चूँकि एक बीजगणितीय समूह का लाई बीजगणित महत्वपूर्ण है, बीजगणितीय समूहों के संरचना सिद्धांत के लिए अधिक वैश्विक उपकरणों की आवश्यकता होती है।

सेमीसिम्पल और यूनिपोटेंट तत्व
एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k के लिए, GL(n,k) में एक आव्यूह g को 'सेमीसिम्पल' कहा जाता है यदि यह विकर्णीय है, और 'nilpotent' है यदि आव्यूह g - 1 शून्य है। समतुल्य रूप से, जी अप्रभावी है यदि जी के सभी eigenvalues ​​​​1 के बराबर हैं। मेट्रिसेस के लिए जॉर्डन विहित रूप  का तात्पर्य है कि जीएल (एन, के) के प्रत्येक तत्व जी को एक उत्पाद जी = जी के रूप में विशिष्ट रूप से लिखा जा सकता है।ssgu ऐसा है कि जीss अर्धसरल है, जीu शक्तिहीन है, और जीss और जीu एक दूसरे के साथ आने वाले मैट्रिसेस।

किसी भी क्षेत्र k के लिए, GL(n,k) के तत्व g को अर्धसरल कहा जाता है यदि यह k के बीजगणितीय समापन पर विकर्णीय हो जाता है। यदि क्षेत्र k पूर्ण है, तो g के अर्धसरल और अप्रभावी भाग भी GL(n,k) में स्थित होते हैं। अंत में, किसी भी रेखीय बीजगणितीय समूह G ⊂ GL(n) के लिए एक क्षेत्र k पर, G के k-बिंदु को सेमीसिम्पल या यूनिपोटेंट के रूप में परिभाषित करें यदि यह GL(n,k) में सेमीसिंपल या यूनिपोटेंट है। (ये गुण वास्तव में जी के एक विश्वसनीय प्रतिनिधित्व की पसंद से स्वतंत्र हैं।) यदि क्षेत्र के एकदम सही है, तो जी के एक के-बिंदु के अर्धसूत्रीय और गैर-शक्तिशाली हिस्से स्वचालित रूप से जी में होते हैं। अर्थात् (जॉर्डन अपघटन) '): जी (के) के प्रत्येक तत्व जी को विशिष्ट रूप से उत्पाद जी = जी के रूप में लिखा जा सकता हैssgu जी (के) में ऐसा है कि जीss अर्धसरल है, जीu शक्तिहीन है, और जीss और जीu एक दूसरे के साथ आवागमन। यह जी (के) में संयुग्मन वर्गों का वर्णन करने की समस्या को कम कर देता है जो अर्ध-सरल और अप्रभावी स्थितियों में होता है।

तोरी
एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र 'के' पर एक टोरस का अर्थ है एक समूह आइसोमोर्फिक टू (जीm)n, कुछ प्राकृतिक संख्या n के लिए, k पर गुणात्मक समूह की n प्रतियों का कार्टेशियन गुणनफल। एक रेखीय बीजगणितीय समूह G के लिए, G में एक 'अधिकतम टोरस' का अर्थ G में एक टोरस है जो किसी भी बड़े टोरस में समाहित नहीं है। उदाहरण के लिए, k पर GL(n) में विकर्ण आव्यूहों का समूह GL(n) में एक अधिकतम टोरस है, आइसोमॉर्फिक टू (Gm)एन. सिद्धांत का एक मूल परिणाम यह है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k पर समूह G में कोई भी दो अधिकतम तोरी संयुग्मी वर्ग हैं#G(k) के कुछ तत्वों द्वारा उपसमूहों और सामान्य उपसमुच्चयों की संयुग्मनता। 'जी' की रैंक का अर्थ है किसी भी अधिकतम टोरस का आयाम।

इच्छानुसार क्षेत्र k के लिए, k पर एक टोरस T का अर्थ है k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह जिसका आधार परिवर्तन $$T_{\overline k}$$ k के बीजगणितीय बंद होने के लिए isomorphic है (Gm)n खत्म $$\overline k$$, किसी प्राकृत संख्या n के लिए। k पर एक 'विभाजित टोरस' का अर्थ है एक समूह समरूपी (Gm)n कुछ n के लिए k से अधिक। वास्तविक संख्या 'आर' पर एक गैर-विभाजित टोरस का उदाहरण है
 * $$T=\{(x,y)\in A^2_{\mathbf{R}}: x^2+y^2=1\},$$

जटिल संख्याओं x+iy को गुणा करने के सूत्र द्वारा दी गई समूह संरचना के साथ। यहाँ T 'R' पर आयाम 1 का एक टोरस है। यह विभाजित नहीं है, क्योंकि इसका वास्तविक बिंदुओं का समूह T('R') वृत्त समूह है, जो कि G के लिए एक अमूर्त समूह के रूप में भी आइसोमोर्फिक नहीं हैm(आर) = आर *।

क्षेत्र k पर टोरस का प्रत्येक बिंदु सेमीसिंपल है। इसके विपरीत, यदि 'G' एक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह है जैसे कि प्रत्येक तत्व $$G(\overline k)$$ सेमीसिम्पल है, तो G एक टोरस है। एक सामान्य क्षेत्र k पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह G के लिए, G (k) के तत्वों द्वारा संयुग्मित होने के लिए G से अधिक k में सभी अधिकतम टोरी की अपेक्षा नहीं की जा सकती है। उदाहरण के लिए, दोनों गुणक समूह जीm और वृत्त समूह T ऊपर 'R' पर SL(2) में अधिकतम तोरी के रूप में होता है। चूँकि, यह हमेशा सच होता है कि जी ओवर के में कोई भी दो 'मैक्सिमल स्प्लिट टोरी' (अर्थ जी में स्प्लिट टोरी जो एक बड़े स्प्लिट टोरस में समाहित नहीं है) जी (के) के कुछ तत्व द्वारा संयुग्मित होते हैं। परिणामस्वरूप, k पर k समूह g के k-रैंक या स्प्लिट रैंक को परिभाषित करना समझ में आता है क्योंकि g में किसी भी अधिकतम स्प्लिट टोरस के आयाम के रूप में 'g 'क।

किसी भी अधिकतम टोरस T के लिए एक रेखीय बीजगणितीय समूह G में एक क्षेत्र k पर, ग्रोथेंडिक ने दिखाया कि $$T_{\overline k}$$ में एक अधिकतम टोरस है $$G_{\overline k}$$. यह इस प्रकार है कि एक क्षेत्र पर जी में किसी भी दो अधिकतम टोरी का एक ही आयाम है, चूँकि उन्हें आइसोमोर्फिक होने की आवश्यकता नहीं है।

एकाकी समूह
यूn क्षेत्र k पर 1 के बराबर विकर्ण प्रविष्टियों के साथ GL(n) में ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूहों का समूह हो। क्षेत्र k पर एक समूह योजना (उदाहरण के लिए, एक रैखिक बीजगणितीय समूह) को 'यूनिपोटेंट' कहा जाता है यदि यह U की एक बंद उपसमूह योजना के लिए आइसोमोर्फिक हैn कुछ एन के लिए यह जाँचना सीधा है कि समूह Un शक्तिहीन है। परिणामस्वरूप, प्रत्येक गैर-शक्तिशाली समूह योजना शून्य है।

एक क्षेत्र k पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह G एकरूप है यदि और केवल यदि प्रत्येक तत्व $$G(\overline{k})$$ शक्तिहीन है। ग्रुप बीn जीएल (एन) में ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूहों का एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है
 * $$B_n = T_n \ltimes U_n,$$

जहां टीn विकर्ण टोरस है (जीm)एन. अधिक आम तौर पर, प्रत्येक जुड़ा हुआ हल करने योग्य रैखिक बीजगणितीय समूह एक टोरस का एक यूनिपोटेंट समूह, टी ⋉ यू के साथ एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है। एक पूर्ण क्षेत्र k (उदाहरण के लिए, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र) पर एक सुचारू रूप से जुड़ा हुआ एकतरफा समूह, योगात्मक समूह G के लिए सभी भागफल समूहों के साथ एक रचना श्रृंखला है।a.

बोरेल उपसमूह
रैखिक बीजगणितीय समूहों के संरचना सिद्धांत के लिए बोरेल उपसमूह महत्वपूर्ण हैं। बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र के पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह जी के लिए, जी के एक बोरेल उपसमूह का अर्थ है एक अधिकतम सुचारू जुड़ा हुआ हल करने योग्य उपसमूह। उदाहरण के लिए, जीएल(एन) का एक बोरेल उपसमूह ऊपरी त्रिकोणीय आव्यूह का उपसमूह बी है। ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूह (विकर्ण के नीचे सभी प्रविष्टियां शून्य हैं)।

सिद्धांत का एक मूल परिणाम यह है कि बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k पर जुड़े समूह G के किसी भी दो बोरेल उपसमूह G(k) के कुछ तत्वों द्वारा संयुग्मित होते हैं। (एक मानक प्रमाण बोरेल फिक्स्ड-पॉइंट प्रमेय का उपयोग करता है: एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k पर एक उचित विविधता X पर कार्य करने वाले कनेक्टेड हलेबल ग्रुप G के लिए, X में एक k-पॉइंट है जो G की क्रिया द्वारा तय किया गया है।) GL(n) में बोरेल उपसमूहों की संयुग्मता लाई-कोलचिन प्रमेय के बराबर है: GL(n) का प्रत्येक सुचारू रूप से जुड़ा हुआ हल करने योग्य उपसमूह GL(n) में ऊपरी-त्रिकोणीय उपसमूह के एक उपसमूह से संयुग्मित है।

एक इच्छानुसार क्षेत्र k के लिए, G के एक बोरेल उपसमूह B को k पर एक उपसमूह के रूप में परिभाषित किया गया है, जैसे कि एक बीजगणितीय समापन पर $$\overline k$$ के, $$B_{\overline k}$$का एक बोरेल उपसमूह है $$G_{\overline k}$$. इस प्रकार G में k पर बोरेल उपसमूह हो भी सकता है और नहीं भी।

G की एक बंद उपसमूह योजना H के लिए, भागफल स्थान (रैखिक बीजगणित) G/H k पर एक सुचारू अर्ध-प्रक्षेपी योजना है। एक जुड़े समूह G के एक चिकने उपसमूह P को 'परवलयिक उपसमूह' कहा जाता है यदि G/P k (या समतुल्य, k से अधिक उचित) पर प्रक्षेपी विविधता है। बोरेल उपसमूह बी की एक महत्वपूर्ण गुण यह है कि जी / बी एक प्रक्षेपी किस्म है, जिसे जी की 'ध्वज किस्म' कहा जाता है। अर्थात् बोरेल उपसमूह परवलयिक उपसमूह हैं। अधिक सटीक रूप से, k बीजगणितीय रूप से बंद होने के लिए, बोरेल उपसमूह बिल्कुल G के न्यूनतम परवलयिक उपसमूह हैं; इसके विपरीत, बोरेल उपसमूह वाला प्रत्येक उपसमूह परवलयिक होता है। तो एक G के सभी परवलयिक उपसमूहों को सूचीबद्ध कर सकता है (G (k) द्वारा संयुग्मन तक) G के सभी रैखिक बीजगणितीय उपसमूहों को सूचीबद्ध करके जिसमें एक निश्चित बोरेल उपसमूह होता है। उदाहरण के लिए, उपसमूह P ⊂ GL(3) over k जिसमें ऊपरी-त्रिकोणीय आव्यूहों के बोरेल उपसमूह B सम्मिलित हैं, स्वयं B हैं, संपूर्ण समूह GL(3), और मध्यवर्ती उपसमूह
 * $$\left \{ \begin{bmatrix}

* & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \end{bmatrix} \right \}$$ और $$\left \{ \begin{bmatrix} * & * & * \\ * & * & * \\ 0 & 0 & * \end{bmatrix} \right \}.$$ संबंधित सामान्यीकृत ध्वज विविधता जीएल(3)/पी (क्रमशः) हैं: रैखिक उप-स्थानों की सभी श्रृंखलाओं का ध्वज कई गुना
 * $$0\subset V_1\subset V_2\subset A^3_k$$

वी के साथi आयाम का मैं; एक बिंदु; ' प्रक्षेपण स्थान ' 'पी'A में 2 रेखाएँ (1-आयामी रैखिक उप-स्थान)।3; और दोहरी प्रोजेक्टिव स्पेस पीA में 2 विमान 3।

सेमीसिंपल और रिडक्टिव ग्रुप्स
एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह G को 'अर्धसरल' कहा जाता है यदि G का प्रत्येक सुगम जुड़ा हुआ हल करने योग्य सामान्य उपसमूह तुच्छ है। अधिक आम तौर पर, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर एक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह जी को 'रिडक्टिव ग्रुप' कहा जाता है, यदि जी के प्रत्येक सुचारू जुड़े असमान सामान्य उपसमूह तुच्छ हैं। (कुछ लेखकों को जोड़ने के लिए रिडक्टिव समूहों की आवश्यकता नहीं होती है।) एक सेमीसिंपल समूह रिडक्टिव है। इच्छानुसार क्षेत्र k पर एक समूह G को सेमीसिम्पल या रिडक्टिव कहा जाता है यदि $$G_{\overline k}$$ सेमीसिंपल या रिडक्टिव है। उदाहरण के लिए, किसी भी क्षेत्र k पर निर्धारक 1 के साथ n × n आव्यूहों का समूह SL(n) सेमीसिम्पल है, जबकि एक नॉनट्रिविअल टोरस रिडक्टिव है लेकिन सेमीसिम्पल नहीं है। इसी तरह, जीएल (एन) रिडक्टिव है लेकिन सेमीसिम्पल नहीं है (क्योंकि इसका केंद्र जीm एक नॉनट्रिविअल स्मूथ कनेक्टेड हलेबल नॉर्मल सबग्रुप है)।

प्रत्येक सघन कनेक्टेड लाई समूह में एक जटिलता (लाई समूह) होती है, जो एक जटिल रिडक्टिव बीजगणितीय समूह है। वास्तव में, यह निर्माण समरूपता तक सघन कनेक्टेड लाइ समूहों और जटिल रिडक्टिव समूहों के बीच एक-से-एक पत्राचार देता है। क्षेत्र k पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G को 'सरल' (या k-'सरल') कहा जाता है, यदि यह अर्धसूत्रीय, गैर-तुच्छ है, और G से अधिक k का प्रत्येक सुचारू रूप से जुड़ा हुआ सामान्य उपसमूह तुच्छ या G के बराबर है। (कुछ लेखक इस गुण को लगभग सरल कहते हैं।) यह अमूर्त समूहों के लिए शब्दावली से थोड़ा अलग है, जिसमें एक साधारण बीजगणितीय समूह में गैर-तुच्छ केंद्र हो सकता है (चूँकि केंद्र परिमित होना चाहिए)। उदाहरण के लिए, किसी भी पूर्णांक n के लिए कम से कम 2 और किसी भी क्षेत्र k के लिए, k पर समूह SL(n) सरल है, और इसका केंद्र समूह योजना μ हैn एकता की nth जड़ों की।

प्रत्येक जुड़ा हुआ रैखिक बीजगणितीय समूह G एक पूर्ण क्षेत्र k पर (एक विचित्र विधि से) एक सुचारू रूप से जुड़े एकतरफा समूह U द्वारा एक रिडक्टिव ग्रुप R का विस्तार है, जिसे G का 'यूनिपोटेंट रेडिकल' कहा जाता है:
 * $$1\to U\to G\to R\to 1.$$

यदि k की विशेषता शून्य है, तो अधिक सटीक 'लेवी अपघटन' है: प्रत्येक जुड़ा रैखिक बीजगणितीय समूह G over k एक अर्ध-प्रत्यक्ष उत्पाद है $$R\ltimes U$$ एक अप्रभावी समूह द्वारा एक रिडक्टिव समूह का।

रिडक्टिव समूहों का वर्गीकरण
रिडक्टिव समूहों में व्यवहार में सबसे महत्वपूर्ण रैखिक बीजगणितीय समूह सम्मिलित हैं, जैसे शास्त्रीय समूह: जीएल (एन), एसएल (एन), ऑर्थोगोनल समूह एसओ (एन) और सहानुभूतिपूर्ण समूह एसपी (2 एन)। दूसरी ओर, रिडक्टिव समूहों की परिभाषा काफी नकारात्मक है, और यह स्पष्ट नहीं है कि कोई उनके बारे में बहुत कुछ कहने की उम्मीद कर सकता है। उल्लेखनीय रूप से, क्लाउड चेवेली ने एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र पर रिडक्टिव समूहों का एक पूर्ण वर्गीकरण दिया: वे मूल डेटा द्वारा निर्धारित किए जाते हैं। विशेष रूप से, एक बीजगणितीय रूप से बंद क्षेत्र k पर साधारण समूहों को उनके डायनकिन आरेखों द्वारा वर्गीकृत किया जाता है (परिमित केंद्रीय उपसमूह योजनाओं द्वारा भागफल तक)। यह हड़ताली है कि यह वर्गीकरण k की विशेषता से स्वतंत्र है। उदाहरण के लिए, असाधारण लाई समूह जी2, एफ4, और6, और7, और ई8 किसी भी विशेषता में परिभाषित किया जा सकता है (और Z पर समूह योजनाओं के रूप में भी)। परिमित सरल समूहों का वर्गीकरण कहता है कि अधिकांश परिमित सरल समूह k के समूह के रूप में उत्पन्न होते हैं - एक परिमित क्षेत्र k पर एक साधारण बीजगणितीय समूह के अंक, या उस निर्माण के मामूली रूप के रूप में।

एक क्षेत्र पर प्रत्येक रिडक्टिव समूह एक टोरस और कुछ सरल समूहों के उत्पाद की एक परिमित केंद्रीय उपसमूह योजना द्वारा भागफल है। उदाहरण के लिए,
 * $$GL(n)\cong (G_m\times SL(n))/\mu_n.$$

एक मनमाने क्षेत्र k के लिए, एक रिडक्टिव ग्रुप G को 'स्प्लिट' कहा जाता है, यदि इसमें k पर एक स्प्लिट मैक्सिमम टॉरस होता है (अर्थात्, G में एक स्प्लिट टोरस जो k के बीजगणितीय बंद होने पर अधिकतम रहता है)। उदाहरण के लिए, GL(n) किसी भी क्षेत्र k पर विभाजित रिडक्टिव समूह है। शेवाली ने दिखाया कि विभाजित रिडक्टिव समूहों का वर्गीकरण किसी भी क्षेत्र में समान है। इसके विपरीत, आधार क्षेत्र के आधार पर इच्छानुसार रिडक्टिव समूहों का वर्गीकरण कठिन हो सकता है। उदाहरण के लिए, एक क्षेत्र k पर प्रत्येक गैर-डीजेनरेट द्विघात रूप q एक रिडक्टिव समूह SO(q) निर्धारित करता है, और प्रत्येक केंद्रीय सरल बीजगणित A ओवर k एक रिडक्टिव समूह SL निर्धारित करता है1(ए)। परिणामस्वरूप, k पर रिडक्टिव समूहों को वर्गीकृत करने की समस्या में अनिवार्य रूप से k पर सभी द्विघात रूपों को वर्गीकृत करने की समस्या या k पर सभी केंद्रीय सरल बीजगणित सम्मिलित हैं। बीजगणितीय रूप से बंद k के लिए ये समस्याएँ आसान हैं, और उन्हें कुछ अन्य क्षेत्रों जैसे संख्या क्षेत्र के लिए समझा जाता है, लेकिन मनमाने क्षेत्रों के लिए कई खुले प्रश्न हैं।

प्रतिनिधित्व सिद्धांत
रिडक्टिव समूहों के महत्व का एक कारण प्रतिनिधित्व सिद्धांत से आता है। एक शक्तिहीन समूह का प्रत्येक अलघुकरणीय प्रतिनिधित्व तुच्छ है। अधिक आम तौर पर, किसी भी रेखीय बीजगणितीय समूह जी के लिए एक विस्तार के रूप में लिखा जाता है
 * $$1\to U\to G\to R\to 1$$

यू यूनिपोटेंट और आर रिडक्टिव के साथ, आर के माध्यम से जी कारकों का प्रत्येक इर्रिडिएबल प्रतिनिधित्व। यह रिडक्टिव समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत पर ध्यान केंद्रित करता है। (स्पष्ट होने के लिए, यहां पर विचार किए गए प्रतिनिधित्व एक बीजगणितीय समूह के रूप में जी के प्रतिनिधित्व हैं। इस प्रकार, समूह जी के लिए क्षेत्र पर, प्रतिनिधित्व के-वेक्टर रिक्त स्थान पर हैं, और जी की क्रिया नियमित कार्यों द्वारा दी जाती है। यह टोपोलॉजिकल समूह को वर्गीकृत करने के लिए एक महत्वपूर्ण लेकिन अलग समस्या है # वास्तविक रिडक्टिव ग्रुप जी के लिए समूह जी ('आर') के सघन या स्थानीय रूप से सघन समूहों का प्रतिनिधित्व, या अन्य क्षेत्रों में इसी तरह की समस्याएं।)

शेवाली ने दिखाया कि एक क्षेत्र k पर एक विभाजित रिडक्टिव समूह के अप्रासंगिक प्रतिनिधित्व परिमित-आयामी हैं, और उन्हें प्रमुख भार द्वारा अनुक्रमित किया जाता है। यह वही है जो सघन कनेक्टेड लाई समूहों के प्रतिनिधित्व सिद्धांत में होता है, या जटिल अर्ध-सरल लाई बीजगणित के परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व सिद्धांत में होता है। विशेषता शून्य के k के लिए, ये सभी सिद्धांत अनिवार्य रूप से समकक्ष हैं। विशेष रूप से, विशेषता शून्य के एक क्षेत्र पर एक रिडक्टिव समूह G का प्रत्येक प्रतिनिधित्व अलघुकरणीय अभ्यावेदन का एक प्रत्यक्ष योग है, और यदि G विभाजित है, तो अलघुकरणीय अभ्यावेदन का वर्ण सिद्धांत वेइल वर्ण सूत्र द्वारा दिया जाता है। बोरेल-वील प्रमेय विशेषता शून्य में एक रिडक्टिव समूह जी के इरेड्यूसबल प्रतिनिधित्व का एक ज्यामितीय निर्माण देता है, जैसा कि फ़्लैग मैनिफोल्ड जी / बी पर उलटा शीफ के वर्गों के रिक्त स्थान के रूप में होता है।

धनात्मक विशेषता पी के एक क्षेत्र पर रिडक्टिव समूहों (टोरी के अतिरिक्त) का प्रतिनिधित्व सिद्धांत कम अच्छी तरह से समझा जाता है। इस स्थिति में, एक प्रतिनिधित्व को अलघुकरणीय अभ्यावेदन का प्रत्यक्ष योग नहीं होना चाहिए। और यद्यपि अलघुकरणीय अभ्यावेदन प्रमुख भार द्वारा अनुक्रमित होते हैं, अलघुकरणीय अभ्यावेदन के आयाम और चरित्र केवल कुछ स्थितियों में ही ज्ञात होते हैं। ने इन वर्णों को निर्धारित किया (जॉर्ज लुसिग के अनुमान को साबित करते हुए) जब समूह की कॉक्समुच्चयर संख्या की तुलना में विशेषता पी पर्याप्त रूप से बड़ी है। छोटे अभाज्य p के लिए, यहाँ तक कि एक सटीक अनुमान भी नहीं है।

समूह क्रियाएं और ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत
एक क्षेत्र k पर एक विविधता (या योजना) X पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह G की एक समूह-स्कीम क्रिया एक आकारिकी है
 * $$G \times_k X \to X$$

जो समूह क्रिया (गणित) के सिद्धांतों को संतुष्ट करता हो। अन्य प्रकार के समूह सिद्धांत के रूप में, समूह क्रियाओं का अध्ययन करना महत्वपूर्ण है, क्योंकि समूह प्राकृतिक रूप से ज्यामितीय वस्तुओं की समरूपता के रूप में उत्पन्न होते हैं।

समूह क्रियाओं के सिद्धांत का एक हिस्सा ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत है, जिसका उद्देश्य एक्स पर एक बीजगणितीय विविधता के रूप में एक रेखीय बीजगणितीय समूह जी की कक्षा (समूह सिद्धांत) के समुच्चय का वर्णन करते हुए एक भागफल किस्म एक्स / जी का निर्माण करना है। तरह-तरह की पेचीदगियां पैदा हो जाती हैं। उदाहरण के लिए, यदि एक्स एक एफ़िन किस्म है, तो कोई एक्स/जी को इनवेरिएंट ओ (एक्स) की अंगूठी की अंगूठी के स्पेक्ट्रम के रूप में बनाने का प्रयास कर सकता है।जी. चूँकि, न्यायमूर्ति नगाटा ने दिखाया कि आक्रमणकारियों की अंगूठी को के-बीजगणित के रूप में सूक्ष्म रूप से उत्पन्न करने की आवश्यकता नहीं है (और इसलिए अंगूठी की कल्पना एक योजना है लेकिन विविधता नहीं है), हिल्बर्ट की 14 वीं समस्या का नकारात्मक उत्तर। धनात्मक दिशा में, आक्रमणकारियों की अंगूठी अंतिम रूप से उत्पन्न होती है यदि जी रिडक्टिव है, हबॉश के प्रमेय द्वारा, डेविड हिल्बर्ट और नागाटा द्वारा विशेषता शून्य में सिद्ध किया गया।

ज्यामितीय अपरिवर्तनीय सिद्धांत में और अधिक सूक्ष्मताएं सम्मिलित होती हैं जब एक रिडक्टिव ग्रुप G एक प्रोजेक्टिव किस्म X पर कार्य करता है। विशेष रूप से, सिद्धांत X में स्थिर और अर्धस्थिर बिंदुओं के खुले उपसमुच्चय को परिभाषित करता है, भागफल रूपवाद के साथ केवल अर्धस्थिर बिंदुओं के समुच्चय पर परिभाषित किया जाता है।

संबंधित धारणाएं
रेखीय बीजगणितीय समूह कई दिशाओं में भिन्नताओं को स्वीकार करते हैं। उलटे नक्शे के अस्तित्व को छोड़ना $$i\colon G \to G$$, एक रैखिक बीजगणितीय मोनोइड की धारणा प्राप्त करता है।

लाई समूह
वास्तविक संख्या R पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह G के लिए, वास्तविक बिंदुओं का समूह G(R) एक लाइ समूह है, अनिवार्य रूप से क्योंकि वास्तविक बहुपद, जो G पर गुणन का वर्णन करते हैं, सुचारू कार्य हैं। इसी तरह, एक रैखिक बीजगणितीय समूह G के लिए C पर, G(C) एक जटिल लाई समूह है। बीजगणितीय समूहों के अधिकांश सिद्धांत लाई समूहों के साथ सादृश्य द्वारा विकसित किए गए थे।

ऐसे कई कारण हैं कि एक लाई समूह में R पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह की संरचना क्यों नहीं हो सकती है।


 * घटकों G/Go के अनंत समूह के साथ एक लाई समूह को एक रेखीय बीजगणितीय समूह के रूप में अनुभव नहीं किया जा सकता है।
 * R पर एक बीजगणितीय समूह G एक बीजगणितीय समूह के रूप में जुड़ा हो सकता है जबकि लाई समूह G(R) जुड़ा नहीं है, और इसी तरह केवल जुड़े समूहों के लिए है। उदाहरण के लिए, बीजगणितीय समूह SL(2) केवल किसी भी क्षेत्र से जुड़ा हुआ है, जबकि लाइ समूह SL(2,R) में पूर्णांक Z के लिए मौलिक समूह आइसोमॉर्फिक है। SL(2,R) का डबल कवर H, जिसे ' मेटाप्लेक्टिक समूह ' के रूप में जाना जाता है, एक लाइ ग्रुप है जिसे R पर एक रेखीय बीजगणितीय समूह के रूप में नहीं देखा जा सकता है। अधिक दृढ़ता से, H ​​के पास कोई विश्वासी परिमित-आयामी प्रतिनिधित्व नहीं है।
 * अनातोली माल्टसेव ने दिखाया कि प्रत्येक सरलता से जुड़े निलपोटेंट लाइ समूह को R पर एक अद्वितीय बीजगणितीय समूह G के रूप में एक विचित्र विधि से देखा जा सकता है। (एक किस्म के रूप में, G(R) पर कुछ आयाम के स्थान को परिशोधित करने के लिए आइसोमोर्फिक है।) इसके विपरीत, बस जुड़े हुए हल करने योग्य लाई समूह हैं जिन्हें वास्तविक बीजगणितीय समूहों के रूप में नहीं देखा जा सकता है। उदाहरण के लिए, सेमीडायरेक्ट उत्पाद H का सार्वभौमिक आवरण  S1 ⋉ R2 का केंद्र Z के समतुल्य है, जो एक रैखिक बीजगणितीय समूह नहीं है, और इसलिए H को R पर एक रैखिक बीजगणितीय समूह के रूप में नहीं देखा जा सकता है।

एबेलियन किस्म
बीजगणितीय समूह से जो संबधित नहीं होते हैं, वे बहुत भिन्न व्यवहार करते हैं। विशेष रूप से, एक सुचारू रूप से जुड़ी हुई समूह योजना जो एक क्षेत्र पर एक प्रक्षेपी किस्म है, एक एबेलियन किस्म कहलाती है। रेखीय बीजगणितीय समूहों के विपरीत, प्रत्येक एबेलियन किस्म क्रमविनिमेय है। चूँकि, एबेलियन किस्मों का एक समृद्ध सिद्धांत है। यहां तक ​​कि अण्डाकार वक्र की स्थिति (आयाम 1 की एबेलियन किस्में) संख्या सिद्धांत के लिए केंद्रीय है, जिसमें फ़र्मेट के अंतिम प्रमेय के प्रमाण सम्मिलित हैं।

तन्नाकियन श्रेणियां
एक बीजगणितीय समूह G के परिमित-आयामी निरूपण, एक साथ अभ्यावेदन के टेंसर उत्पाद के साथ, एक टैनकियन श्रेणी RepG बनाते हैं। वास्तव में, एक क्षेत्र पर "फाइबर फ़ैक्टर" वाली तन्नाकियन श्रेणियां एफ़िन समूह योजनाओं के बराबर होती हैं। (क्षेत्र k पर प्रत्येक एफ़िन समूह योजना इस अर्थ में समर्थक-बीजगणितीय है कि यह k पर परिमित प्रकार की एफ़िन समूह योजनाओं की व्युत्क्रम सीमा है। ) उदाहरण के लिए, इस औपचारिकता का उपयोग करके ममफोर्ड-टेट समूह और प्रेरक गैलोइस समूह का निर्माण किया गया है। एक (प्रो-) बीजगणितीय समूह G के कुछ गुणों को इसके प्रतिनिधित्व की श्रेणी से पढ़ा जा सकता है। उदाहरण के लिए, विशेषता शून्य के क्षेत्र में, RepG एक अर्धसरल श्रेणी है यदि और केवल यदि G का पहचान घटक प्रो-रिडक्टिव है।

यह भी देखें

 * लाई प्रकार का समूह परिमित क्षेत्रों पर सरल बीजगणितीय समूहों से निर्मित परिमित सरल समूह हैं।
 * लैंग प्रमेय
 * सामान्य ध्वज विविधता, ब्रुहत अपघटन, बीएन जोड़ी, वेइल समूह, कार्टन उपसमूह, संलग्न प्रतिनिधित्व, परवलयिक प्रेरण
 * वास्तविक रूप (लाई सिद्धांत), साटेक आरेख
 * एडेलिक बीजगणितीय समूह, तमागावा संख्या पर वेइल का अनुमान
 * लैंगलैंड्स वर्गीकरण, लैंगलैंड्स कार्यक्रम, ज्यामितीय लैंगलैंड्स कार्यक्रम
 * मरोड़, नॉनबेलियन कोहोलॉजी, स्पेशल ग्रुप (बीजगणितीय समूह सिद्धांत), कोहोलॉजिकल इनवेरिएंट, आवश्यक आयाम, केसर-स्तन अनुमान, सेरे का अनुमान
 * छद्म-अपचायक समूह
 * विभेदक गाल्वा सिद्धांत
 * एक रेखीय बीजगणितीय समूह पर वितरण